Текст
Д. И. САХАРОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
по ФИЗИКЕ
ИЗДАНИЕ Не
Допущено Министерством
высшего образования СССР
в качестве учебного пособия
для педагогических институтов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Москва 1967
При подготовке И-го издания в текст были
внесены незначительные изменения.
А. Д. Сахаров
Г, Д. Сахаров
2-3-1
19-67
ВНИМАНИЮ УЧАЩИХСЯ
1. Прежде всего необходимо ознакомиться с таблицами, помещенными
в конце книги, так как решение многих задач без пользования ими невоз-
невозможно. Необходимо также знакомство с введениями, имеющимися в каждом
параграфе и содержащими обзор понитий и соотношений, служащих для
решения задач, помеШ,еыиых в данном параграфе и в следующих за ним.
2. Вникнув в смысл задачи, следует установить, все ли данные, нужные
для решения задачи, приведены; недостающие данные можно найти в таб-
таблицах, помещенных в конце книги.
3. Затем следует ясно представить себе все упрощающие предположения,
которые нужно сделать, чтобы решить данную задачу. Например, рассчиты-
рассчитывая движегше моторной лодки после выклЕОчения двигателя, принимают, что
ее движение равномерно замедленное, хотя несомненно, что на самом деле
оно более сложно.
Часть из этих упрощающих предположений указана в тексте задачи,
часть должна быть непременно сформулирована при ответе, например, так:
«Принимая Землю за однородный шар, находим...» и т. д.
4. Следует решать задачи в общем виде, пользуясь обозначениями вели-
величин (табл. XXXIV).
5. Найдя ответ в виде некоторой формулы, выражающей искомую вели-
величину через заданные, следует проверить правильность полученной формулы
следующими способами:
а) Проверить равенство размерностей у отдельных членов полученной
формулы. Неравенство размерностей служит явным признаком неверности
решения. Если в формулу входит показательная функция, то размерность
показателя должна быть равна нулю.
б) Проверить применимость полученной формулы к частным случаям.
Рассмотрим простой пример: пусть для скорости падения на Землю тела,
брошенного на высоте h со скоростью v0, найдена формула:
v = V «о
Если v0 = 0, то формула обращается в известную из теории формулу
для скорости тела, падающего без начальной скорости: v =Y2gh. Если
высота падения очень мала, то скорость тела v, очевидно, почти равна
начальной скорости, что также получается из приведенной формулы, если
положить h = 0.
Второй пример. Из условий задачи 27—14 ясно, что при U3 = Ui при-
приведенная в ответе формула должна дать т3 = Ti, а при Us = 1)г должно
получиться т3 = т2- Если, решая задачу 27—14, мы получили бы формулу,
которая не удовлетворяла бы указанным требованиям, то это означало бы,
что в наши вычисления вкралась ошибка.
в) Иногда из условий видно, что формула, выражающая ответ, должна
быть симметричной по отношению к данным задачи, то есть ответ не должен
меняться, если поменять данные местами.
Рассмотрим пример. Гальванический элемент при сопротивлении внеш-
внешней цепи, равном R\— 0,2 ом, дает ток /i = 2 а, а при сопротивлении внеш-
внешней цепи, равном Яг= 1,5 ом, дает ток 12 = 0,7 а. Какова электродвижущая
сила элемента? Очевидно, что последовательность опытов, обозначенных ин-
индексами 1 и 2, произвольна и ее можно заменить на обратную. Действитель-
Действительно, решая задачу, находим формулу, выражающую э. д. с. элемента как
функцию /х, /2, Rx и R2:
„ ^1^2 (^?1 Ri)
Эта формула симметрична относительно величин, обозначенных индексами
1 и 2, и если всюду, где стоит индекс 1, поставить индекс 2, и наоборот,
формула не изменится. Предположим, что кто-нибудь, решая эту или другую
задачу, в которой по смыслу условий можно менять последовательность
данных, получил формулу, в которой нельзя менять местами индексы. Такой
результат служил бы признаком, что в решение задачи вкралась ошибка.
6. Необходимо иметь в виду, что решение задач должно быть обосно-
обосновано. Так, например, при решении задачи 8—7 надо показать, почему в рас-
рассматриваемом случае можно применить формулу для математического маят-
маятника, хотя вместо математической точки колеблется целое полено.
Точно так же требуется обоснование ответов на качественные вопросы.
Например, полный ответ на вопрос 32—5, б должен быть примерно таков.
Рассмотрим работу А А при столь малом продвижении магнита, что ток /
в течение его -можно считать постоянным. Так как за счет этой
работы выделяется некоторое количество теплоты, то можно написать:
ДЛ = PR&t = I&qR. Так как Aq при определенном изменении магнитного
потока не зависит от скорости этого изменения, то &А пропорционально /.
При быстром вдвигании магнита /, а следовательно, и ДЛ больше, чем при
медленном. Это справедливо для любого малого участка движения магнита.
Следовательно, и общая работа при быстром движении магнита больше, чем
при медленном.
7. Прежде чем приступать к числовым расчетам, следует произвести
пересчет всех имеющихся данных в какую-нибудь одну систему единиц,
лучше всего в международную систему единиц СИ. При пересчете данных
удобно пользоваться таблицами V. В частности, пересчет электрических и маг-
магнитных величин может быть облегчен пользованием таблицей V, 4.
Приведем примеры пользования таблицей. V, 4.
1) Найти силу взаимодействия двух зарядов по 10 ед. СГСЭ, находя-
находящихся в вакууме на расстоянии 5 см:
а) Система СГСЭ:
q— 10 ед. заряда СГСЭ,
е=1,
г = 5 еж,
дин = 4 Зин.
б) Система МКСА (нерационализированная форма):
е==
¦ 10
1
9=-1Ло^к-
9-10» ж'
г = 0,05 ж,
10*.9.10»
к = 4.КНк = 4 дин.
в) Система СИ (г. е. МКС Ар):
4ле7*
_ Ю
Ч~ 3.10» К|
1 1 ф ф
г' = — • —— = 8,84-102 — (рационализированная),
4я 9-109 м м
г = 0,05 м,
10а
f= 4n.9.10».8.84.10-».25.10-«
2) Ответ к задаче 32—15 гласит:
«= 4.10-ь« = 4
а) Система СГСМ:
ц = 1 ед. СГС/И,
? = 2-108 ед. СГСМ,
S = 0,02 сжз,
р = 1,7-10-6.Ю9 ед. СГСМ,
I = 20 ел,
1-2- 10s 0 022
^ 1,7*-10-13-1013-20 е
б) Система М^ССЛ (^рационализированная форма):
,-!», = .
?=-2 в,
S = 2-10-в л«,
р = 1,7-10-8ож-л,
/ = 0; 2 м,
10-'-2-4-Ю-12
в) Система СИ (т. е. МКС Ар):
ИМ
11' = 4л-10-'—,
м
S = 2.10-«
/ = 0,2 м,
*к-10 -2-4 -Ю-13
3) Какова скорость света в среде с электрической проницаемостью 4 ед.
СГСЭ и магнитной проницаемостью 1 ед. СГСМ?
а) система СГСЭ:
е = 4 ед. СГСЭ,
1 см
1
сек
сек
МО-»
б) Система СГСМ:
ед. СГСМ,
9-Ю20
ц = 1 ед. СГСМ,
см
о= 1,5-1010 .
сек
в) Система МК.СА (нерационализированная форма):
4 ф
9 • 10э м '
гн
СП
< 1 • 10~7 —(нерационализированиая),
= 1,5-108-
сек
г) Система СЯ (т. е. МКС Ар):
е'=-
= 4л • 10-'
гн
0=1,5-10»-
сек
8. Приступая к вычислениям, надо, приняв во внимание степеиь точности
данных задачи, определить число знаков, которые следует вычислить в ре-
результате (в большинстве задач два или три признака). При расчетах надо
пользоваться счетной линейкой или логарифмическими таблицами.
9. Легкие задачи отмечены значком О, задачи средней трудности —
значком Q, более трудные = значком ф.
Глава t
МЕХАНИКА
§ 1. Кинематика
1) Смещение точки (s) есть расстояние между конечным
начальным положениями точки.
2) Скорость точки
ускорение
,. As ds
v= urn — = — ,
At-*O&t dt
.. Av dv
a = lim — = —.
д(-,оЛ< dt
3) Сумма бесконечного числа бесконечно малых смещений
точки есть пройденный движущейся точкой путь. В случае если
точка движется по незамкнутой кривой и если в течение рассма-
рассматриваемого отрезка времени длина отрезка траектории между
конечным и начальным положениями точки изменялась моно-
монотонно, то длина этого отрезка есть пройденный точкой путь.
4) Скорость (v) и смещение (s) точки, соответствующие от-
отрезку времени (t) при равномерно переменном движении по пря-
прямой линии, связаны следующими соотношениями:
v = у0 + at; s = vot + — ; v2 —v\ = 2ast
где vo — начальная скорость. При а — 0 получается уравнение
равномерного движения: s = vt.
5) Если из некоторой точки проводить векторы скорости дви-
движущейся точки в различные моменты движения, то концы этих
векторов расположатся по кривой, называемой годографом
скорости. При движении точки по траектории конец вектора
скорости движется по годографу, .причем скорость движения
конца вектора скорости по годографу равна ускорению точки
при движении по траектории.
6) При криволинейном движении
о„ = — ; а =
где а, — тангенциальное ускорение; ап — нормальное (центро-
(центростремительное) ускорение; а — полное ускорение.
7) Простое гармоническое колебание определяется уравне-
уравнениями:
s = A sin (Ы + ср)=Л sin
v = Aw cos (ш/ -f- ф);
а = — Лсоа sin (со/ -|- ф) = — w25,
где А — наибольшее расстояние колеблющейся точки от ее сред-
среднего положения; Т — период колебания и ф — начальная фаза.
8) При сложении двух одинаково направленных гармониче-
гармонических колебаний с одинаковыми периодами получается гармони-
гармоническое колебание с амплитудой
А =
9) Скорость сложного движения определяется по правилу
параллелограмма.
10) При поступательном движении твердого тела скорости и
ускорения всех точек тела в любой момент одинаковы.
11) Вращательное движение твердого тела характеризуется
угловой скоростью и
,. Асо
р
I- Аса
~^~ и угловым ускорением
Угловая скорость и угловое ускорение— век-
торы и складываются по правилу параллелограмма.
12)лСвязь тангенциальных скорости и ускорения точки вра-
вращающегося тела с угловыми:
V = oxR =
где R — расстояние данной точки до оси; Т — период вращения.
О 1—!• На рисунке 1—1 показан график зависимости смеще-
смещения от времени для движения вагона трамвая в начале перегона.
а) Каково движение вагона в различные моменты времени?
б) В какой момент скорость вагона наибольшая?
too
so
=3
»¦*
/
/
/
о s ю 15 га
Рис. 1—1.
tjcmj
$(MM) 1
1
0,5
D
'OP
-7
\
4 \
—i—
1
к
8
\
V
..... ,,
[
\
\
\
12 \
/
/
)
/
I
ml
/
/
\
\
га\
\
1
s!
1
28
Рис. 1—2.
в) Что показывают пунктирные линии?
г) Какова средняя скорость за первые 10 секунд? за первые
17 секунд?
О 1—2. На рисунке 1—2 показам примерный график движе-
движения некоторой точки звучащей струны рояля. В какие моменты
точка движется с наибольшей скоростью и в какие с наиболь-
наибольшим ускорением?
и(м/се/<)
6
4
2
У
/
/
s
*"
V
S
\
\
\
10
го
Рис. 1—3.
30
i (сек)
О 1—3. На рисунке 1—3 показан примерный график скоро-
скорости автомобиля.
а) Каково движение автомобиля в различные моменты вре-
времени?
б) Каков путь, пройденный автомобилем за 40 сек?
О 1—4. Существуют приборы, позволяющие записывать гра-
графики, показывающие, как с течением времени меняется ускоре-
ускорение движущегося вагона.
а (м/секг)
О
-0,5
J
\
\
5
0
100
\
4
:1(сек)
Рис. 1—4.
о
1м/секг)
W
z
ч
\
3 6 9
Рис. 1—5.
12
•SIM)
а) В какие отрезки времени движение вагона, описанное гра-
графиком, показанным на рисунке 1—4, было ускоренным, в ка-
какие — замедленным, в какие — равномерным?
б) Начертить приблизительно график скорости, соответствую-
соответствующий графику 1—4, предполагая, что при t = 0 v — 0.
О 1—5. На рисунке 1—5 дан график зависимости скорости
от пройденного пути. Каков характер движения на отдельных
участках пути?
Ф 1—6. На рисунке 1—б показан график зависимости уско-
ускорения вагона от пройденного пути.
а) Каков характер движения на отдельных участках?
б) Что показывает площадь, ограниченная кривой и осью
абсцисс?
в) Что можно сказать о начальной и конечной скоростях ва-
вагона, если площади Л и В на графике равны?
км
О 1—7. Поезд идет со скоростью 75—^-. Может ли человек
заметить его перемещение темной ночью при вспышке молнии,
продолжительность которой ss 2 • Ю7* сек, если он находится на
таком расстоянии от поезда, на котором он может заметить сме-
смещение не меньше 1 см?
© 1—8. а) Человек находится на расстоянии h = 50 м от
прямой дороги, по которой приближается автомобиль со ско-
At
ростью Vi = 10 —. По какому направлению должен бежать че-
свк
15
20
30
•SIM]
Рис. 1—6.
10
ловек, чтобы встретиться с автомобилем, если автомобиль нахо-
находится на расстоянии Ь — 200 м от человека и если человек может
бежать со скоростью v2 — 3— ?
сек
б) Какова наименьшая скорость, с которой должен бежать
человек, чтобы встретиться с автомобилем?
О 1—9. Поезд, двигаясь от остановки, прошел в течение
50 сек 200 м и достиг скорости 6—. Увеличивалось или умень-
сек
шалось ускорение движения с течением времени?
О 1—10. Поезд метро проходит перегон 2 км за 2 мин 20 сек.
Принимая, что максимальная скорость поезда равна 60— и
что в начале и в конце перегона поезд движется с постоянными
ускорениями, равными по абсолютной величине, определить эти
ускорения.
0 1—11. Наблюдатель, стоявший в момент начала движе-
движения электропоезда у его переднего края, заметил, что первый
вагон прошел мимо него за т = 4 сек. Сколько времени будет
двигаться мимо него n-й G-й) вагон? Движение считать равно-
равномерно ускоренным.
0 1—12*- Наблюдатель, стоящий на платформе, заметил, что
первый вагон электропоезда, приближающегося к станции, про-
прошел мимо него в течение 4 сек, а второй — в течение 5 сек. По-
После этого передний край поезда остановился на расстоянии
75 м от наблюдателя. Считая движение поезда равномерно за-
замедленным, определить его ускорение.
О 1—13. По наклонной доске пустили катиться снизу вверх
шарик. На расстоянии 30 см от начала пути шарик побывал два-
дважды: через 1 сек и через 2 сек после начала движения. Опреде-
Определить начальную скорость и ускорение движения шарика, считая
его постоянным.
© 1—14. Фонарь, находящийся на расстоянии Ro = 3 м от
вертикальной стены, бросает на нее зайчик. Фонарь равномерно
вращается около вертикальной оси. Частота оборотов фо-
фонаря п = 0,5 сект1. При вращении фонаря зайчик бежит по
стене по горизонтальной прямой. Найти скорость зайчика через
t — 0,1 сек после того, как луч света был перпендикулярен к
стене.
О 1—15. С пристани А вверх и вниз по реке отправляются
два одинаковых катера и прибывают к пристаням В и С через
одинаковые отрезки времени. Обратное возвращение катера из
В в А требует в 1,5 раза больше времени, чем возвращение вто-
второго катера из С в А. Во сколько раз скорость катера в стоячей
воде больше скорости течения реки?
© 1 —16. Две прямые линейки лежат одна на другой
(рис. 1—7). Края линеек образуют угол а. Если линейку В пере-
перемещать поступательно со скоростью v, вектор которой образует
с краем линейки А угол р\ то точка
пересечения линеек (точка С) пере-
перемещается. Определить скорость ve точ-
точки С как функцию скорости v и углов
аи р\ При каком угле р скорость vc
наиболее велика? При каком угле
р скорости vca v равны между собой?
в 1—17. С какой скоростью дол-
должен лететь и какой курс должен дер-
держать самолет, чтобы за время I н проле-
пролететь точно по направлению на север
Рис. 1—7. путь 200 км, если во время поле-
полета дует северо-восточный ветер под
к*
углом 35° к меридиану со скоростью 30 ц ?
0 1—18. Два острова А и В лежат посередине реки на
расстоянии s = 0,5 км один от другого по направлению тече-
км * л
ния, скорость которого uj=2,5 —. На берегу против А
по направлению, перпендикулярному к направлению течения, на-
находится пристань, расстояние которой от А тоже равно s =
= 0,5 км. Гребец едет на лодке один раз с острова А на ос-
остров В и обратно, другой раз — с острова А к пристани ^обрат-
^обратно. Скорость лодки в стоячей воде равна vz.
а) При каком условии гребец может совершить первую по-
поездку?
б) При каком условии он может переехать с острова на при-
пристань по соединяющей их прямой?
в) Как в предыдущем случае он должен держать свои курс,
км
если »2 ^ 5 ч ¦
г) Одинаковое ли время понадобится ему для этих двух по-
поездок? ^
д) При какой скорости иг первая из этих поездок потребует
времени в п = 2 раза больше, чем вторая?
О 1—19. Какой- вид имеет годограф скорости для следую-
следующих случаев: равномерное прямолинейное движение ? равномерно
ускоренное прямолинейное движение? равномерное движение по
окружности? равномерно ускоренное движение по окружности?
О 1—20. Поезд движется по закруглению с радиусом 400 м,
причем его ускорение (тангенциальное) равно 0,2 ^. Опреде-
Определить его нормальное и полное ускорение в тот момент, когда его
м
скорость равна Ю^-
9 1_21 Три самолета выполняют разворот, двигаясь на
расстоянии 60 м друг от друга (рис. 1-8). Средний самолет ле-
12
км
тит со скоростью 360—, двигаясь по дуге окружности радиусом
600 м. Определить ускорение каждого самолета.
О I—22. Колесо, имеющее 12 равноотстоящих спиц, во
время вращения фотографируют с экспозицией в 0,04 сек. На
снимке видно, что каждая спица за это время повернулась на
половину угла между двумя соседними спицами. Найти угловую
скорость вращения.
© 1—23. а) Круг (рис. 1—9) с черным сектором (угол при
центре равен 40°) вращается вокруг оси, проходящей через центр
круга перпендикулярно к его плоскости, с частотой оборотов
1500 мин'1. Что будет видно на круге, если в темной комнате его
освещать светом, мигающим 100 раз в секунду, причем длитель-
длительность каждой вспышки света равна 0,003 сек (неоновая лампа,
работающая на переменном токе)? Принять во внимание, что
поверхность, освещаемая светом, мигающим чаще, чем 10 раз
в секунду, кажется тем более яркой, чем длительнее промежутки
времени, в течение которых она освещается.
б) Решить эту задачу при частоте оборотов 1470 мин'1.
О I—24. Каково направление углового ускорения в следую-
следующих случаях: а) тело вращается около вертикальной оси по
стрелке часов с возрастающей угловой скоростью? б) ось вра-
вращения тела поворачивается, но величина угловой скорости
остается неизменной?
О 1—25. Колесо, вращающееся с частотой оборотов
1500 muh~x , при торможении стало вращаться равномерно замед-
замедленно и остановилось через 30 сек. Найти угловое ускорение и
число оборотов с момента начала торможения до остановки.
О 1—26. Некоторое тело начинает вращаться с постоянным
угловым ускорением 0,04 сект2. Через сколько времени после
начала вращения полное ускорение какой-либо точки тела будет
направлено под углом 76° к направлению скорости этой точки?
Э 1—27. Шарик радиусом 3 см катится равномерно и без
скольжения по двум параллельным линейкам, расстояние между
которыми равно 4 см (рис. 1—10), и за 2 сек проходит 120 см.
С какими скоростями движутся верхняя и нижняя точки ша-
шарика?
/ г
600м
Рис. 1—8. Рис. 1—9.
13
Рис. 1—10.
Рис. 1—11.
© 1—28. Шар радиусом 16 см насажен на горизонтальную
ось и катится по плоской поверхности со скоростью 60—, опи-
С BtC
сывая окружность радиусом 30 см (рис. 1—11). Определить пол-
полную угловую скорость шара и ее наклон к горизонту.
О 1—29. Наибольшее смещение и наибольшая скорость
точки, совершающей гармоническое колебание, равны соответ-
соответственно 5 см и 12 —.а) Каково наибольшее ускорение? б) Ка-
Каковы скорость и ускорение точки в тот момент, когда смещение
равно 3 см?
О 1—30. Конец ветви камертона колеблется с частотой
500 ец и амплитудой 0,2 мм. Определить: а) среднюю скорость
при движении от крайнего положения к положению равновесия;
б) среднюю скорость при прохождении 0,1 мм, начиная от край-
крайнего положения; в) среднюю скорость при прохождении 0,1 мм,
начиная от положения равновесия; г) максимальную скорость.
О 1—31. Середина струны колеблется с частотой 200 гц и с
амплитудой 3 мм. Найти наибольшее ускорение.
О 1—32. Во многих машинах (компрессор, водяной насос
и т. п.) встречается механизм, схематически изображенный на ри-
рисунке 1—12. При каком условии движение точки А можно счи-
считать гармоническим колебанием, если точка В равномерно дви-
движется по окружности?
О 1—33. Балансир карманных часов совершает вращатель-
вращательные гармонические колебания. Как движется при этих колеба-
колебаниях конец вектора угловой скорости балансира?
Рис. 1—12.
14
Si см)
¦2\-
Рис. 1—13.
О 1—34. а) Два одинаково направленных гармонических
колебания одного периода с амплитудами 5 см и 7 см склады-
складываются в одно гармоническое колебание с амплитудой 9 см. Оп-
Определить разность фаз складываемых колебаний.
см
б) Наибольшая скорость первого колебания равна 50 —.
Определить наибольшую скорость результирующего колебания.
О 1—35. Начертить график движения, кйторое является ре-
результатом сложения двух гармонических колебаний с периодами
0,02 сек и 0,03 сек. Амплитуда первого колебания в два раза
больше амплитуды второго. Принять, что в начальный момент
фазы колебаний равны 0 и я. Определить период получившегося
таким образом негармонического колебания.
О 1—36- В помещении установлены два электродвигателя.
Когда работает один из двигателей, некоторая точка пола совер-
совершает колебания с амплитудой ОД мм и с частотой 1410 мин~х.
Когда работает другой двигатель, та же точка пола совершает
колебания с той же амплитудой и с частотой 1440 миьг1 . Как
будет колебаться эта точка, если оба двигателя будут работать
одновременно?
О 1—37. На рисунке 1—13 дан график сложного колебания.
Известно, что оно состоит из двух синусоидальных колебаний.
Найти их частоты и .амплитуды.
§ 2. Движение свободно падающих и брошенных тел
Задачи настоящего параграфа относятся к движению тел с
ускорением, постоянным и по величине и по направлению. При-
Примером такого движения можно считать движение тел в поле тя-
тяготения Земли на небольшом расстоянии от ее поверхности при
условии, что сила сопротивления среды (воздуха) значительно
меньше силы тяжести тела. При решении задач следует прини-
принимать, что эти условия выполнены.
1) Кроме случаев, особо оговоренных, ускорение ладающих
м
тел следует считать равным g = 9,80 —;.
сек
15
i
с
б
Рнс 2—1. Рис 2—2 Рис 2—3.
2) Наибольшая высота и дальность полета тел, брошенных
под углом а к горизонту с начальной скоростью v0, равны
#=_i^
Q sin2 a
и s ==.
vi sin 2a
О 2—1. G какой высоты в безвоздушном пространстве
км
должно упасть тело, чтобы приобрести скорость: а) 72— (ско-
СМ
рость поезда)? б) 1 (скорость оседания очень мелкой пыли
мин
в воздухе)?
© 2—2. На рисунке 2—1, а изображена простая установка для
определения ускорения падающих тел в школьной лаборатории.
Мимо смоченной краской кисточки (или птичьего пера), вращае-
вращаемой электродвигателем, падает после пережигания нити ци-
цилиндр, обернутый бумагой. Кисточка наносит на цилиндр метки,
как показано на рисунке 2—1, б.
а) Почему метки наклонены к оси цилиндра'
б) Определить ускорение g, если расстояния между метками
оказались равными 23, 40, 56, 74, 91, ПО, 126 и 143 мм. Измере-
Измерения показали, что число оборотов двигателя равно 1440 мин~}.
0 2—3. На рисунке 2—2 показана в натуральную величину
кривая линия, вычерченная острием, прикрепленным к ветви
звучащего камертона, на свободно падающей мимо него закоп-
закопченной стеклянной пластинке. Определить частоту камертона.
0 2—4. Камень брошен вертикально вверх со скоростью
v0 = 15 м/сек Через сколько времени он будет на высоте: а) /ц —
= 10 м* б) Нг = 12 Mi
16
© 2—5. Линейка А (рис. 2—3) длиной 25 см подвешена к
стене на нити. Ниже линейки в стене имеется маленькое огвер-
стие В. На какой высоте h над отверстием В должен находиться
нижний край линейки, если нужно, чтобы линейка, падая при
пережигании нити, закрыла собой отверстие В на 0,1 сек*
© 2—6. С какой скоростью нужно бросить вертикально тело
с высоты 40 м, чтобы оно упало: а) на 1 сек раньше, чем в слу-
случае свободного падения? б) на 1 сек позднее?
© 2—7. Два тела брошены вертикально вверх из одной и
At
той же точки с одной и той же начальной скоростью v0 = 24,5—
сек
с промежутком времени т = 0,5 сек.
а) Через сколько времени от момента бросания второго тела
и на какой высоте h они столкнутся?
б) Каков физический смысл решения, если т > —?
© 2—8. Показать, что вектор смещения s тела, брошенного
со скоростью vo, через отрезок времени t равен векторной сумме.
О 2—9. Камень, брошенный горизонтально на высоте h — 2 м
над землей, упал на расстоянии s = 7 м от места бросания (счи-
(считая по горизонтали). Найти его начальную и конечную скорости
(Vo И V).
© 2—10. На рисунке 2—4 изображен школьный опыт, слу-
служащий для иллюстрации второго закона движения. Из капель-
капельницы А, установленной на движущейся тележке В, через равные
промежутки времени падают капли. Следы капельССС... отстоят
друг от друга на расстояниях, составляющих арифметическую
прогрессию. Это принимается за доказательство того, что тележ-
тележка движется равномерно ускоренно. Проверить, приняв во
внимание, что капли падают по параболическим траекториям, пра-
правильно ли это.
© 2—11. Начальная скорость брошенного камня равна 10 — ,
а спустя 0,5 сек скорость камня рав-
равна 7 —. На какую высоту над началь-
сек
ным уровнем поднимется камень^1
сек
C\\\\V
Рис. 2—4.
Рис. 2—5.
17
ф 2—12. Две стальные плиты высотой 40 см помещены ря-
рядом и образуют вертикальную щель шириной 2 см (рис. 2—5).
At
К щели подкатывается стальной шарик со скоростью 1 — и про-
просек
валивается в нее, несколько раз ударяется о стенки щели и па-
падает на пол. Направление движения шарика перед падением в
щель перпендикулярно к щели. Диаметр шарика равен 0,6 см.
Сколько раз шарик ударится о стенки перед тем, как упасть на пол?
(Принять, что шарик отражается от плиты с той же скоростью,
с которой ударился, и что угол отражения равен углу падения.
Временем удара шарика о стенку пренебречь.)
О 2—13. Под каким углом к горизонту надо бросить тело,
чтобы высота подъема была равна дальности полета?
О 2—14. а) Во время спортивных состязаний бросили диск
на расстояние 53,1 м. С какой минимальной скоростью надо бро-
сить диск, чтобы он пролетел это расстояние, если g = 9,81 — ?
сек2
Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Принять, что места
бросания и падения диска находятся на одной высоте.
б) Что получилось бы при такой же скорости и том же угле
м
бросания на экваторе, где g = 9,78 —?
сек2
в) Какие данные следовало бы добавить к числам, характе-
характеризующим рекорды метания диска, чтобы можно было опреде-
определить начальные скорости диска, которые собственно и характе-
характеризуют спортсменов?
О 2—15. Из брандспойта бьет струя под углом а = 32° к го-
горизонту; струя падает на расстоянии s = 12 м от брандспойта.
Площадь отверстия брандспойта равна S = 1 см2. Сколько воды
подает брандспойт за t = 1 мин?
О 2—16. Какой вид имеет годограф скорости для наклонно
брошенного тела?
© 2—17. Тело брошено под углом <х0 = 6о° к горизонту со
скоростью v0 = 20 —.
сек
а) Под каким углом « к горизонту движется тело через 1,5 сек
после начала движения? через 2,5 сек?
б) Через сколько времени и на какой высоте тело будет дви-
двигаться под углом а = 45° к горизонту?
© 2—18. Два тела брошены под разными углами к горизонту
и с различными скоростями. Показать, что во время движения их
относительная скорость постоянна по величине и по направлению.
© 2—19. При каких углах между начальной скоростью и
горизонтом брошенный камень при навесной траектории достиг-
достигнет цели через промежуток времени в п раз (п=2) больший, чем
при настильной с той же начальной скоростью?
© 2—20. Камень брошен с высоты h = 2,1 м над поверх-
поверхностью Земли под углом а = 45° к горизонту и упал на Землю
18
на расстоянии s = 42 м от места бросания, считая по горизон-
горизонтали. С какой скоростью камень был- брошен, сколько времени
летел и на какой наибольшей высоте был?
© 2—21. Упругий шарик падает на наклонно поставленную
стенку, пролетев высоту h = 20 см. На каком расстоянии от ме-
места падения он второй раз ударится о стенку? Угол наклона
стенки к горизонту а = 37°.
0 2—22. Камень брошен со скоростью vo = 20 — под углом
ев к
а — 60° к горизонту. Определить радиус кривизны R его траек-
траектории: а) в верхней точке; б) в момент падения на Землю.
§ 3. Законы движения. Работа, мощность, энергия
1) Если в условиях рассматриваемой задачи скорости р и
ускорения а всех точек тела в определенный момент мало отли-
отличаются друг от друга, то движение тела можно рассчитывать
как движение точки (точечное тело).
2) Ускорение, с которым движется точечное тело, равно
<¦ = -?-.
m
где F — векторная сумма всех сил, действующих на тело, т —
масса тела.
3) Изменение количества движения тела (импульса тела)
равно АК = A (tnv) = F • At, где At— отрезок време-
времени, в течение которого действовала сила.
4) Центром инерции системы точечных тел (движущихся не-
независимо или составляющих сплошное тело) называется точка,
координаты которой определяются, формулами:
2jn
где хо, г/о, го — координаты центра инерции; т, х, у, z — массы
и координаты тел, составляющих систему. Теми же формулами
определяется положение центра тяжести системы, когда она на-
находится в однородном поле тяготения (поле тяготения Земли на
небольшом по сравнению с ее радиусом протяжении можно счи-
считать однородным).
5) В замкнутой системе тел постоянны по величине и напра-
направлению: а) векторная сумма импульсов составляющих ее тел; б) ско-
скорость центра инерции системы.
6) В незамкнутой системе тел ускорение центра инерции а опре-
определяется по формуле
_ F
где F есть векторная сумма всех сил, действующих на точки
системы, т — сумма их масс.
19
7) При относительном движении соприкасающихся тел сила
трения равна f = \iN (N — сила нормального давления тел друг
на друга, \л — коэффициент трения). При решении задач следует
принимать ц. не зависящим от скорости.
8) Работа А силы F при смещении s равна
А = F-s- cos (Fs).
9) Мощность
P Fv,
At
где Л А — работа, произведенная в течение отрезка времени kt.
10) Кинетическая энергия тела
Ь~ 2
П) Потенциальная энергия системы груз — Земля
П = mgh,
где h — высота центра тяжести тела над уровнем, принимаемым
за нулевой.
12) В замкнутой системе полная энергия постоянна. В не-
незамкнутой системе изменение энергии равно работе внешних сил.
13) В задачах настоящего параграфа подразумевается, что
движение тел и до и после взаимодействия (например, до и по-
после удара) является поступательным.
О 3—1. а) Пуля с массой т = 10 г, двигавшаяся со ско-
скоростью v — 200 — , врезалась в доску и углубилась в нее на
сек
расстояние 1 = 4 см. Определить среднюю силу сопротивления F
доски и время t движения пули в доске, считая движение пули
внутри доски равномерно замедленным.
б) Что произойдет, если произвести выстрел в доску такого
же материала толщиной в 2 см? Какое количество движения по-
получит доска?
О 3—2. Автомобиль-тягач, имеющий тормоза на всех коле-
колесах, тянет прицеп со скоростью 30 —. Масса автомобиля
5000 кг, масса прицепа 2000 кг. На каком наименьшем пути можно
затормозить этот автопоезд до полной остановки при следующих
данйых: коэффициент статического трения шин о покрытие
дороги равен 0,6, коэффициент силы тяги и для тягача и для
прицепа равен 0,03? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Указание. Коэффициентом силы тяги называется отношение силы
сопротивления, возникающего при качении любого экипажа, к его весу.
Сила сопротивления вызвана трением в подшипниках и приложена к экипажу
в точках соприкосновения колес с землей.
О 3—3. Груз, масса которого равна 1 кг, подвешенный на дина-
динамометре, поднимается сначала ускоренно, затем равномерно и, на-
20
'////////////////////Л
Рис. 3—1.
конец, замедленно, после чего он таким же
образом опускается. Абсолютная величина
ускорения во всех случаях постоянна и рав-
равна 0,5— . Что показывает динамометр в
сек*
различные моменты движения?
0 3—4. Через блок ничтожной массы, вра-
вращающийся с малым трением, перекинута нить,
на концах которой привязаны грузы mt и т2,
причем т2 в п раз (п = 2) больше тг.
Груз т2 поднимают настолько, чтобы груз т4
коснулся пола (рис. 3—1), и отпускают. На
какую высоту поднимется груз ти после того
как груз т2 ударится о пол, если высота гру-
груза была равна Д2=30 см>
Q 3—5. Человек жестко связан с резино-
резиновым шаром, наполненным водородом. Масса че-
человека вместе с массой шара с водородом в п раз (п = 1,1) боль-
больше массы вытесняемого ими воздуха. Пренебрегая сопротивле-
сопротивлением воздуха и принимая, что при движении шара в воздухе
эффективная масса увеличивается на величину массы вытеснен-
вытесненного воздуха, вычислить:
а) с каким ускорением падает человек с шаром;
б) на какую высоту поднимется человек, если прыгнет вместе
с шаром вертикально вверх с такой скоростью, при которой без
шара поднялся бы на 20 см.
© 3—6. Доска А движется по горизонтальному столу под
действием силы натяжения привязанной к ней нити. Нить пере-
перекинута через прикрепленный к столу блок и прикреплена к дру-
другой доске В, падающей вниз (рис. 3—2).
а) Определить натяжение нити F, если масса доски A tnv —
=200 г, масса доски В т2=300 г, коэффициент трения ц,=0,25.
Масса'блока ничтожна мала.
б) Как изменится ответ, если доски поменять местами?
в) Определить силу, действующую на ось блока в случаях
а) и б).
4В 3—7. Для иллюстрации второго закона движения иногда пока-
показывают такой опыт (рис. 3—3). Тележка тг приводится в дви-
движение вначале грузом ти а затем грузом в п раз (п=2) большим.
Рис 3-2.
Рис. 3—3.
21
а) Можно ли утверждать, что при отсутствии трения ускоре-
ускорение во втором случае должно быть в п раз больше, чем в пер-
первом?
б) Каково отношение ускорений, если масса груза mi=30 г,
масса тележки т2=200 г и коэффициент трения ц,=0,1?
в) При каком коэффициенте трения ус-
ускорение во втором случае в п раз больше,
чем в первом?
^ Э 3—8. Определить ускорение, с кото-
которым движется груз тх в установке, изобра-
изображенной на рисунке 3—4.
Рис 3—4.
Рис. 3—5.
Трением, массами блоков и жесткостью шнура пренебречь.
Рассмотреть следующие частные случаи:
а) ml = т2; в) 2т1 = т2;
б) OTj^m,; г) т4>т2.
О 3—9. Санки скатываются с ледяной горы высотой h и
останавливаются на ледяном поле на расстоянии s по горизон-
горизонтальному направлению от вершины наклонной плоскости
h
(рис. 3—5). Показать, что коэффициент трения ц = —.
S
О 3—10. Тело медленно втаскивают из точки В (рис. 3—6)
в точку А по плоской кривой. Показать, что работа
подъема не зависит от формы .
пути, если коэффициент трения во Аз
всех точках пути один и тот же. / I
© 3—11. Несколько наклон-
ных плоскостей имеют
основание (рис. 3—7).
общее
Рис. 3—6.
Ь
Рис. 3—7.
а) Каков наклон плоскости к горизонту, если время соскаль-
соскальзывания тел по этой плоскости меньше, чем по остальным пло-
плоскостям? (Рассмотреть случаи, когда трение ничтожно мало и
когда коэффициент трения ц,=0,25.)
б) Каков коэффициент трения, если время соскальзывания
при наклоне ai=60° и время соскальзывания при наклоне а2=
=45° равны между собой?
© 3—12. Ледяная гора составляет с горизонтом угол а=
= 10°. По ней пускают снизу вверх камень, который, поднявшись
на некоторую высоту, затем соскальзывает по тому же пути вниз.
Каков коэффициент трения, если время спуска камня в п раз (и—
=2) раза больше времени подъема?
Ф 3—13. По наклонной плоскости, составляющей угол а с
горизонтом, скользит доска, на которой находится брусок. Опре-
Определить ускорение доски av и ускорение бруска аг, если коэффи-
коэффициенты трения доски о наклонную плоскость и бруска о доску
равны (Ли и ц.г- Разобрать следующие случаи:
а) tg a> fij = ft2; 6) tg a > ц4 >ц2; в) tg a > \i2 > fi4;
r) ft2 > tg a > nt; д) |xt > tg a > jj,2.
О 3—14. Стальной шарик падает на горизонтальную поверх-
поверхность стола с высоты 25,6 см и, отскочив, поднимается на высоту
19,6 см. Масса шарика 10 г. Какова средняя сила, с которой ш»-
рик действовал на стол при ударе, если соприкосновение шарика
со столом длилось 1 • Ю~* сек?
О 3—15. а) Вниз по реке идет пароход. Изменяет ли это в
какой-либо мере количество воды, приносимой рекой в море?
б) Некоторые животные, живущие в воде (например, кара-
каракатица), передвигаются следующим образом. Внутри тела жи-
животного имеется полость, сообщающаяся с окружающей водой.
Животное то увеличивает объем полости (при этом вода входит
в полость), то уменьшает ее объем и выбрасывает воду наружу.
Что происходит при этих процессах?
О 3—16. Когда колеблется струна, скорость ее все время- ме-
меняется. Количество движения струны вследствие этого тоже ме-
меняется. Как это согласовать с законом сохранения количества
движения?
© 3—17. На рисунке 3—8 изображен школьный опыт, иллю-
иллюстрирующий третий закон движения. Между двумя тележками
p
н
Рис. 3—8.
23
помещается легкая сжатая пружина Р. При пережигании нити Н
пружина расталкивает тележки в разные стороны. Как отно-
относятся расстояния, которые проедут тележки до полной остановки,
если масса левой относится к массе правой, как 1 : 3?
© 3—18. Ракета, бывшая первоначально неподвижной, вы-
выбрасывает равномерной струей газы со скоростью У4=ЗОО —
сек
(относительно ракеты); расход газа равен \а — 90—. Началь-
сек
ная масса ракеты равна т=270 г.
а) Через сколько времени после пуска ракета достигнет ско-
скорости у2=40—?
сек
б) Какой скорости достигнет ракета, если масса ее заряда
равна то = 18О г? Сопротивлением воздуха пренебречь.
v) 3—19. Определить положение центра инерции (центра тя-
тяжести) масс системы, состоящей из четырех шариков с массами
1 г, 2 г, 3 г и 4 г, в следующих случаях (рис. 3 — 9, а, б, в):
а) шарики расположены на одной прямой; б) шарики располо-
расположены по вершинам квадрата; в) шарики расположены по четы-
четырем смежным вершинам куба.
Во всех случаях расстояния между соседними шариками
равны 10 см.
Э 3—20. а) Определить положение центра инерции двойного
однородного цилиндра, размеры которого показаны на рисун-
рисунке 3—10.
б) Определить положение центра инерции пластинки, имею-
имеющей форму осевого сечения тела, изображенного на ри-
рисунке 3—10.
Э 3—21. Определить положение центра инерции фигуры в
виде тонкого круглого диска с радиусом г4—5 дм, в котором
вырезано круглое отверстие с радиусом г2=3 дм, причем центр
отверстия лежит на расстоянии 1 дм от центра диска (рис. 3—11).
© 3—22. Потенциальные энергии двух одинаковых сплош-
сплошных прямых круглых конусов, один из которых стоит, а другой
f—
r, - 5 см
'
-S
h,= l
v
=10
Рис. 3—9.
Рис. 3—10.
Рис. 3—11.
24
лежит на горизонтальной
плоскости, равны между со-
собой. Определить угол между
осью и образующей конуса.
© 3—23. Два точечных
тела составляют замкнутую
систему, центр инерции ко-
которой покоится. Отношение
масс тел равно — = 2. На
рисунке 3—12 показаны по- Рис. 3—12.
ложения тел tni и т2 в
некоторый момент и траектория тела ть являющаяся плоской
кривой. Построить по точкам траекторию тела т2.
Q 3—24. На концах однородного стержня насажены два
одинаковых шара. Стержень бросают, причем в начальный
момент один из шаров движется со скоростью 32 — по
сек
направлению, составляющему угол 60° с горизонтом, а
другой шар движется в прямо противоположном направлении
со скоростью 4 —. На какую высоту над начальным уров-
сек
нем поднимется середина стержня?
© 13—25. а) Каково ускорение центра инерции системы гру-
грузов nti и ms, описанных в задаче 3—4?
б) Какова скорость центра инерции в тот момент, когда груз
т2 достигает пола?
© 3—26. На рисунке 3—13, а показаны две тележки Л и В,
соединенные натянутым шнуром, перекинутым через неподвиж-
неподвижные блоки малой массы. На тележке А сидит пассажир С. Мас-
Масса тележки В равна мзссе тележки А A00 кг) вместе с пас-
пассажиром С E0 кг). Трение в тележках и блоках ничтожно
мало. Пассажир С встает, перемещается вдоль тележки вправо
на 1,2 м и снова садится.
а) Как переместятся при этом тележки?
б) Как сместится при переходе пас-
пассажира центр инерции системы, состоя-
состоящей из тележек и пассажира?
в) Ответить на вопросы а) и б) в
случае расположения тележек, показан-
показанном на рисунке 3—13, б.
г) Как направлена результирующая
сила, действующая на оси неподвиж-
неподвижных блоков в случаях расположения те-
тележек, показанных на рисунках 3 — 13,
а и б? j
Ф 3—27. Лодка неподвижно стоит на
озере. На корме и на носу лодки на рас- рИс. а—13.
25
стоянии 2 м друг от друга сидят рыболовы. Масса лодки 140 кг,
массы рыболовов 70 кг и 40 кг. Рыболовы меняются местами.
Как перемещается при этом лодка?
Указание. При вычислении импульса вытесненной воды принять, что
ее эффективная масса составляет 0,2 ее фактической величины.
О 3—28. Какую работу надо произвести, чтобы заставить
поезд с массой 800 иг:
а) увеличить свою скорость от 36 до 54—?
б) остановиться при начальной скорости 72 —?
ч
О 3—29. При выстреле из винтовки давление расширяю-
расширяющихся газов производит работу 13 300 дж; продолжительность
выстрела 1,47 • 10~3 сек; пуля массой 9,6 г вылетает со скоростью
880—. Определить полную и полезную мощность выстрела.
сек
© 3—30. Паровоз тянет поезд, общая масса которого равна
2000 т. Принимая, что мощность паровоза постоянна и равна
1800 кет и что коэффициент силы тяги равен 0,005, определить:
а) ускорения поезда в те моменты, когда скорость поезда равна
4 — и когда скорость поезда равна 12—; б) максимальную
сек сек
скорость поезда.
© 3—31. Уклон участка шоссе равен 0,05. Спускаясь под
уклон при выключенном двигателе, автомобиль движется равно-
равномерно со скоростью 60 —. Какова должна быть мощность дви-
двигателя автомобиля, чтобы он мог подниматься на такой же
подъем с той же скоростью? Масса автомобиля 1,5 т.
© 3—32. Автомобиль движется вверх по слабому подъему с
установившейся скоростью 3 —; если он движется в обратном
направлении, т. е. под уклон, то при той же мощности двигателя
устанавливается скорость 7 —. Какая скорость v0 установится
свк
при той же мощности мотора во время движения по горизонталь-
горизонтальному пути? (При указанных скоростях можно принять, что сила
тяги не зависит от скорости.)
© 3—33. Конькобежец движется по горизонтальному пути
равномерно, а затем с разгона проезжает до остановки путь
s=60 м в течение /=25 сек. Масса конькобежца т=50 кг.
Определить, считая движение с разгона равнозамедленным:
а) коэффициент трения; б) мощность, затрачиваемую конько-
конькобежцем при равномерном движении.
О 3—34. Камень с массой 50 г, брошенный под углом к го-
горизонту в высоты 20 м над" поверхностью Земли со скоростью
26
р 3_1
18 —, упал на Землю со скоростью 24 —.
сек сек
Найти работу преодоления сопротивления воз-
воздуха.
© 3—35. Камень с массой т=200 г бро-
брошен с горизонтальной поверхности под углом
к горизонту и упал на нее обратно на рас- $
стоянии s=5 м через t=\,2 сек. Найти рабо- ^
ту бросания. Сопротивлением воздуха прене-
бречь.
© 3—36. На рисунке 3—14 показан школь-
школьный прибор для демонстрации сложения ко-
количеств движения, полученных шариком С
при ударах молотков А и В. Показать, что путь, пройденный
шариком С по горизонтальной плоскости при одновременном
ударе молотков А и В, равен сумме путей, которые прошел
бы шарик при таких же ударах молотков Л и В по отдель-
отдельности: S=Si+S2.
© 3—37. Показать, что при упругом ударе тел их относитель-
относительная скорость меняет свое направление, не меняясь по величине.
Указание. Решение задачи облегчается, если выбрать такую систему
отсчета, в которой центр инерции соударяющихся тел покоится.
© 3—38. В ядерной технике часто бывает нужно уменьшать
скорость нейтронов, выделяющихся при ядерных реакциях.
Это осуществляется, например, при упругом ударе нейтрона
в медленно движущееся ядро углерода (графит) или ядро
дейтерия («тяжелый» водород).
а) Во сколько раз уменьшается энергия нейтрона при упру-
упругом лобовом ударе нейтрона в ядро углерода (при лобовом
ударе нейтрон после удара движется в направлении, противо-
противоположном начальному)? Принять, что масса ядра углерода в
я=12 раз больше массы нейтрона.
б) Во сколько раз уменьшается энергия нейтрона в случае,
если после удара о ядро углерода он движется в направлении,
перпендикулярном к начальному?
в) Произвести расчет а) и б) для удара нейтрона в ядро дей-
дейтерия, массу которого можно принять равной удвоенной массе
нейтрона.
© 3—39. Показать, что изменение кинетической энергии тел
при неупругом ударе зависит только от относительной скорости
тел до удара и от их масс.
© 3—40. Молот массой 1,5 т ударяет по раскаленной бол-
болванке, лежащей на наковальне, и деформирует болванку. Масса
наковальни вместе с болванкой равна 20 т. Определить коэф-
коэффициент полезного действия при ударе молота, считая удар не-
неупругим.
Примечание. Считать работу, произведенную при деформации
болванки, полезной, а работу сотрясения фундамента — бесполезной.
27
© 3—41. Два стальных шара подвешены на нитях так, что
лри их касании центры тяжести находятся на /=1 м ниже точек
подвеса, а нити вертикальны. Массы их т^вОО г и т2=200 г.
Меньший отводят в сторону так, что нить отклоняется на а=90°,
и отпускают. Принимая шары за вполне упругие, определить:
а) на какую высоту они поднимутся после удара; б) что произой-
произойдет, если таким же образом отклонить больший шар; в) при ка-
каком соотношении между массами шаров высоты, на которые они
поднимутся после удара, равны между собой.
© 3—42. Три одинаковых упругих шарика висят, касаясь
друг друга, на трех параллельных нитях одинаковой длины.
Один из шариков отклоняют по направлению, перпендикуляр-
перпендикулярному к прямой, соединяющей центры двух других шариков, и
отпускают, причем он приобретает скорость у. Каковы скорости
шариков после удара?
© 3—43. Быстро движущаяся молекула газа ударяется о
другую молекулу того же газа, скорость которой в момент удара
ничтожно мала. После удара молекулы летят в разные стороны.
Показать, что угол между направлениями скоростей молекул
после удара равен 90°, если удар был упругим (т. е. внутреннее
состояние молекул после удара таково же, как и до удара), и
меньше 90°, если удар был неупругим (т. е. энергия, зависящая
от внутреннего состояния молекул, хотя бы у одной из них уве-
увеличилась, молекула перешла в «возбужденное» состояние), и
больше 90°, если энергия, зависящая от внутреннего состояния
хотя бы у одной из молекул уменьшилась (молекула перешла-
из «возбужденного» состояния в нормальное).
© 3—44. На рисунке 3—15 показана схема установки для
определения скорости пули так называемым баллистическим ме-
методом. На восьминитном подвесе висит полено с плоской верхней
поверхностью (или ящик с песком). К полену привязана- длин-
длинная нить, свободный конец которой продернут под картон, при-
прикрепленный кнопками к деревянной вертикальной стойке, так, что
нить расположена горизонтально. Расстояние от верхней поверх-
Рис. 3—15.
28
ности полена до подвеса известно (I). В торец полена стреляют
из ружья; полено отклоняется и протаскивает нить под картоном
на длину s, значительно меньшую расстояния /. Принимая во
внимание, что масса пули т^ мала по сравнению с массой по-
полена т2, показать, что скорость пули можно вычислить по фор-
формуле
т1 Г I
Ф 3—45. Через два маленьких неподзижных блока, оси ко-
которых горизонтальны и находятся на одной, высоте на расстоя-
расстоянии 90 см друг от друга, перекинута нить. К концам и к сере-
середине нити привязаны три одинаковых груза. Средний груз под-
поднимают так, чтобы нить была горизонтальна и чтобы он
находился посередине между блоками, и отпускают, после чего
средний груз опускается, а крайние поднимаются.
а) С какой скоростью двигаются грузы в тот момент, когда
части нити образуют угол 120°^
б) Какой путь пройдет средний груз, прежде чем начать под-
подниматься'5
§ 4. Динамика вращательного движения
1) Точечное тело равномерно движется по окружности, если
векторная сумма действующих на него сил направлена к центру
окружности и равна nwPR, (т — масса, ш — угловая скорость,
R — радиус окружности). То же соотношение можно применять
к системе точек (например, к твердому телу конечных размеров)
в случае, если по окружности радиуса R движется центр системы
инерции.
2) Твердое тело, находящееся под действием вращающего
момента М, движется с угловым ускорением
м
где J — момент инерции тела относительно оси вращения.
3) Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
/со2 .
2
4) Работа при постоянном М равна А—М. ¦ <р, где ф —угол,
поворота вращающегося тела.
5) Мощность при вращении тела равна Р—М ¦ ш.
6) Векторная сумма моментов количества движения тел, со-
составляющих замкнутую систему, постоянна по величине и по на-
направлению.
7) Моменты инерции некоторых тел:
а) тонкостенной круглой трубы относительно оси, совпадаю-
совпадающей с осью трубы тг%\
29
б) тонкого стержня длиной / относительно оси, перпендику-
перпендикулярной к стержню и проходящей сквозь его середину—- ; .
в) сплошного круглого цилиндра относительно оси, совпа-
„ тг1
дающей с его осью —;
г) шара относительно оси, совпадающей с его диаметром,
0,4 тг%.
8) Соотношение Штейнера
J = J0 + тЪ\
где Jo — момент инерции тела относительно оси, проходящей
сквозь центр инерции, J — момент инерции относительно оси, па-
параллельной первой, Ъ — расстояние между осями.
9) Соотношение между моментами инерции тонкого плоского
тела (например, пластинки) относительно трех взаимно перпен-
перпендикулярных осей, проходящих сквозь центр инерции (первая ось
перпендикулярна к плоскости),
10) На тело, движущееся со скоростью v относительно си-
системы отсчета, вращающейся с угловой скоростью ю, действует
сила инерции, перпендикулярная к плоскости, в которой лежат
векторы v и ш, и равная
F = 2mva> sin (у, со).
11) Сила трения при качении круглого тела по плоской по-
поверхности F=N — , где N — сила, прижимающая катящееся
тело к поверхности; k — коэффициент трения качения; г — ра-
радиус тела.
О 4—1. Шарик массой 100 г, привязанный к нити, дви-
движется в вертикальной плоскости по окружности радиусом 30 см,
а) С какой силой натянута нить в тот момент, когда шарик
проходит сквозь верхнее положение, если он движется со ско-
скоростью 210— ?
сек
б) С какой силой натянута нить,
когда шарик проходит сквозь нижнее
положение?
О 4—2. а) Тело, масса которого равна
1 г, вблизи экватора весит 97$,0 дин.
Принимая экваториальный радиус Зем-
Земли равным 6378 км, определить силу
притяжения этого тела Землей.
б) Каков был бы вес 1 г на эквато-
экваторе, если бы Земля вращалась в 10 раз
Рис. 4—1. скорее?
30
Рис. 4—2.
Рис. 4—3.
© 4—3. На рисунке 4—1 изображен прибор для пояснения
зависимости центробежной силы от массы и расстояния от оси
вращения. Шары А и В имеют диаметры 3 см и 2 см. Соединяю-
Соединяющий шары шнур имеет длину /=10,5 см. На каком расстоянии х
от оси 00 должен быть помещен центр шара А, чтобы при
вращающемся приборе шары удерживались на неизменном рас-
расстоянии от оси? Шары сделаны из одного и того же материа-
материала. Объемом канала, просверленного внутри шаров, можно
пренебречь.
© 4—4. Небольшое тело скользит с вершины сферы вниз
(рис. 4—2). На какой высоте h от вершины тело оторвется
от поверхности сферы и полетит вниз? Трение ничтожно мало.
0 4—5. а) Небольшое тело соскальзывает вниз по на-
наклонному скату, переходящему в мертвую петлю радиуса R
(рис. 4—3). На какой высоте hi выпадает тело, если началь-
начальная его высота равна Ю Трение ничтожно мало.
б) Какова должна быть высота h, чтобы тело сделало пол-
полную петлю, не выпадая?
© 4—6. Круглый стальной конус высотой 10 см и диамет-
диаметром основания 8 см катится без скольжения по горизонтальной
плоскости, делая один оборот вокруг вертикальной оси 00' в
течение 2 сек (рис. 4—4). Определить силу статического трения
между образующей конуса и плоскостью, по которой он ка-
катится.
Ф 4—7. Если связать концы метал-
металлической цепочки между собой, привя-
привязать цепочку к шнуру и вращать шнур
Рис. 4—4.
Рис. 4—5.
31
(посредством центробежной машины), то цепочка принимает фор-
форму, близкую к окружности, расположенной в плоскости, пер-
перпендикулярной к оси вращения (рис. 4—5).
а) Является ли форма цепочки плоской кривой?
б) Принимая форму цепочки за горизонтальную окружность,
определить силу F натяжения вдоль цепочки, если ее масса т=
= 100 г, длина /=75 см, цепочка вращается с частотой оборо-
оборотов, равной п—8 сект1.
© 4—8. На рисунке 4—6 ъ упрощенном виде изображена
центрифуга. В пробирки покоящейся центрифуги налили жид-
жидкость плотностью 1,1 — до высоты в 6 см над дном. При вра-
вращении центрифуги пробирки движутся, имея почти горизонталь-
горизонтальное направление. Определить давление жидкости на дно лроби-
рок во время вращения центрифуги, если дно пробирки движется
на расстоянии 10 см от оси вращения и если частота оборотов
центрифуги равна 20 сект1.
© 4—9. Одинаковые упругие шарики, подвешенные на нитях
одинаковой длины к одному крючку (рис. 4—7), отклоняют в
разные стороны от вертикали на угол а и отпускают. Шарики
ударяются и отскакивают друг от друга. Какова сила, действую-
действующая на крючок: а) при крайних положениях нитей; б) в началь-
начальный и конечный моменты удара шариков; в) в момент наибольшей
деформации шариков.
© 4—10. Грузик, подвешенный на нити, отводят в сторону
так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпус-
отпускают. При движении грузика вертикальная составляющая его
скорости сперва возрастает, затем убывает. Какой угол с верти-
вертикалью образует нить в тот момент, когда вертикальная состав-
составляющая скорости грузика наибольшая?
О 4—11. Школьную модель центробежного регулятора
(рис. 4—8) вращают с частотой оборотов п=3 сект1. На какой
угол отклоняются при этом стержни, несущие шары ММ? Длина
стержней /=14 см. Массой всех деталей, кроме шаров, прене-
пренебречь.
О 4—12. а) С какой максимальной скоростью может ехать
по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая дугу ра-
Рис 4— 6.
Рис 4—7.
м
Рис 4—8.
Рис 4—9
диусом R = 90 м, если коэффициент статического трения резины
о почву ц, = 0,4?
б) На какой угол а от вертикального направления он должен
при этом отклониться?
Э 4—13. Один из цирковых аттракционов состоит в езде мо-
мотоциклистов по вертикальным стенкам цилиндрического строе-
строения (рис. 4—9).
а) Определить минимальную скорость, с которой должен
ехать по вертикальной стенке мотоциклист, если диаметр строе-
строения d = 18 м, центр тяжести мотоцикла и человека отстоит на
h— 1 м от места соприкосновения колес со стенкой, коэффи-
коэффициент трения шин о стенки равен ji = 0,4.
б) Под каким углом а к горизонту наклонен мотоцик-
м
лист, если его скорость равна 20 —'
в 4—14. Грузик привязан к нити, другой конец которой
прикреплен к потолку. Вследствие толчка грузик движется
по окружности, плоскость которой отстоит от потолка на
h — 1,5 м. Какова частота оборотов грузика?
©4—15. Два грузика (т^ = 100 г, тг = 50 г) при-
привязаны к нитям, длины которых равны lt — 28 см, 12 — 30 см.
Другие концы нитей привязаны к
третьему грузику, подвешенному на
проволочке к крючку. Крючок
можно вращать около вертикаль-
вертикальной оси (рис. 4—10). При некото-
некоторой частоте оборотов проволочка
над грузиком остается вертикальной.
При какой?
О 4—16. Двигатель мощностью
в 0,1 кет приводит в движение
токарный станок, причем обрабаты-
обрабатываемый на станке деревянный ци-
цилиндр диаметром 6 см вращается с т,{
частотой оборотов, равной 600 мин*1. Рис 4—10
2 Д И Сахаров
Определить силу, которой резец отделяет стружку, принимая, что
мощность на станке составляет 80% мощности двигателя.
Э 4—17. Легковой автомобиль работает в таком режиме:
мощность двигателя 30 кет, потери в трансмиссии 10%;
частота оборотов коленчатого вала 1800 мин~^, частота оборо-
оборотов ведущей задней оси в 5,125 раза меньше. База автомобиля
(расстояние между передней и задней осями) 2,7 м. Каковы при
таком режиме нагрузки на переднюю и заднюю оси, если при
покоящемся автомобиле нагрузки равны 790 кГ и 910 кГ?
О 4—18. Определить момент инерции системы шариков, опи-
описанной в задаче 3—19 а), относительно оси, перпендикулярной к
прямой, на которой расположены шарики, и проходящей сквозь
а) первый; б) второй; в) третий; г) четвертый шарики.
© 4—19. Определить момент инерции системы, состоящей из
четырех точечных масс ш, расположенных по вершинам квад-
квадрата со стороной а относительно оси, проходящей сквозь центр
квадрата в следующих случаях: а) ось лежит в плоскости квад-
квадрата и образует с диагональю острый угол, не равный 45°;
б) ось не лежит в плоскости квадрата.
© 4—20. Определить момент инерции медного диска ра-
радиусом 5 см, в котором сделаны два выреза в виде кругов
радиусами 2 см; центры вырезов находятся на прямой, про-
проходящей сквозь центр диска на расстоянии 2,5 см от него
(рис. 4—11). Толщина диска 0,1 см. Рассмотреть следующие
случаи: а) ось перпендикулярна к плоскости диска и проходит
сквозь его центр; б) ось проходит сквозь центры вырезов; в) ось
проходит сквозь центр диска и перпендикулярна к осям, -ука-
-указанным в а) и б).
О 4—21. Два маленьких шарика (mi = 40 г, ш2= 120 г)
соединены стержнем (/=20 см), масса которого ничтожно мала.
Система вращается около оси, перпендикулярной к стержню
и проходящей сквозь центр инерции системы. Определить
импульс и момент количества движения системы. Частота обо-
оборотов равна 3 сект1.
© 4—22. Угловая скорость меняется только в том случае,
если действующие на тело моменты сил не уравновешиваются.
Указать, какие моменты сил действуют в следующих случаях:
а) Колесо вагона поезда во время ускорения поезда увели-
увеличивает свою скорость.
б) Шарик замедленно катится по горизонтальной плоскости.
0 4—23. Определить ускорения, с которыми
движутся вдоль плоскости, наклоненной под уг-
углом а к горизонту, центры инерции следующих
тел: а) доски, скользящей с ничтожным трени-
трением; б) сплошного цилиндра, скатывающегося с
ничтожным трением качения; в) доски, поло-
положенной на два цилиндра. Масса доски равна
Рис. 4—11. массе каждого из цилиндров.
34
С-*'" '—S,—I"
fl'
Рис. 4—12. Рис. 4—13.
© 4—24. Две прочные линейки расположены параллельно
друг другу на расстоянии d=2« под углом а = 5° к горизонту
(рис. 4—12). G каким ускорением будет катиться по ним шарик,
радиус которого равен г — 1,5 см? Скольжение отсутствует.
© 4—25. По тонкому стержню, покоящемуся на гладком
столе, производят в некоторой точке А (рис. 4—13) удар в гори-
горизонтальном направлении.
а) Показать, что в момент удара стержень вращается около
вертикальной оси, проходящей сквозь точку О, причем, если
трение мало, имеет место соотношение
где т — масса стержня, Jс — момент инерции стержня относи-
относительно оси, проходящей сквозь центр инерции стержня (С), s,,
и s2 — расстояния точек Л и О от С.
б) Что произойдет, если ударить по стержню в точке О?
в) Где будет проходить ось вращения, если ударить по са-
самому концу стержня?
О 4—26. Двигатель равномерно вращает маховик. После от-
отключения двигателя маховик делает в течение t = 30 сек
N — 120 оборотов и останавливается. Момент инерции махови-
маховика J = 0,3 кг ¦ м*. Принимая, что угловое ускорение маховика
после отключения двигателя постоянно, определить мощность
двигателя при равномерном вращении маховика.
О 4—27. Какую работу нужно произвести, чтобы увеличить
частоту оборотов маховика, массу которого 0,5 т можно считать
распределенной по ободу диаметром 1,5 м, от 0 до 120 мин'1?
Трением пренебречь.
© 4—28. а) Вертикальный столб высотой h = 5 м подпили-
подпиливается у основания и падает на Землю. Определить линейную
скорость его верхнего конца в момент удара о Землю.
б) Какая точка столба будет в любой момент падения стол-
столба иметь ту же скорость, какую имело бы тело, падая с такой же
высоты, как и данная точка?
© 4—29. Массивное колесо, насаженное на оси, поддержи-
поддерживается двумя нитями, закрепленными, как показано на рисунке
2* 35
4—14. Ось вращения колеса горизонтальна. Нити постепенно
раскручиваются с оси, а колесо опускается.
а) Определить натяжение F каждой из двух нитей, если мас-
масса колеса вместе с осью т = 1 кг, момент инерции относительно
этой оси J = 2,5 • Ю~3 кг ¦ м2 и радиус оси г = 5 мм.
б) Каково будет натяжение F каждой нити, когда колесо,
опустившись до конца и продолжая вращаться по инерции, нач-
начнет накручивать нить на ось и подниматься^
в) Предположим, что доска, к которой прикреплены поддер-
поддерживающие нити прибора, поднимается, оставаясь горизонталь-
горизонтальной, так что диск остается на неизменной высоте. Каково натя-
натяжение нитей?
Ф 4—30. На круглый сплошной цилиндр А (рис. 4—15) на-
навит шнур. Цилиндр положен на два параллельных стержня ВВ,
наклоненных к горизонту под углом а = 30°, и удерживается в
этом положении рукой. Другой конец шнура перекинут через не-
неподвижный блок С, расположенный так, что шнур параллелен
стержням. К шнуру прикреплен груз D, масса которого равна
массе цилиндра, умноженной на sin а, т. е. такова, что при отсут-
отсутствии вращения наблюдалось бы равновесие. Как будут дви-
двигаться цилиндр и груз, если цилиндр отпустить? Трение и
момент инерции блока считать ничтожно малыми.
Э 4—31. Стержень ничтожной массы, длины /, с двумя ма-
маленькими шариками mt и т2 (ту ~>т2) на концах может вра-
вращаться около оси, проходящей через середину стержня перпен-
перпендикулярно к стержню. Стержень приводят в горизонтальное по-
положение и отпускают. Определить: а) угловое ускорение и силу
давления на ось в начальный момент движения стержня;
б) угловую скорость и силу давления на ось в момент прохож-
прохождения через положение равновесия.
в 4—32. Деревянный стержень с массой т — 1000 г и дли-
длиной / = 40 см мржет вращаться около оси, проходящей через его
середину перпендикулярно к стержню. В конец стержня попа-
Рис. 4—14.
Рис. 4—15.
36
дает пуля с массой пгх = 10 г, летящая перпендикулярно к оси и
к стержню со скоростью v = 200—.
сек
а) Определить угловую скорость, которую получит стержень,
если пуля застрянет в нем.
б) Как изменилась при попадании пули в стержень общая
сумма их кинетических энергий?
О 4—33. Горизонтально расположенный диск может вра-
вращаться около вертикальной оси, проходящей сквозь центр дис-
диска. На диске помещены два одинаковых грузика так, что их
центры инерции расположены симметрично по отношению к
центру диска. Грузики соединены ниткой. При вращении диска
грузики удерживаются на своих местах натяжением нити и
трением о диск. Трение в оси диска и сопротивление воздуха
ничтожно малы. В некоторый момент нить пережигается и гру-
грузики скользят к краям диска, причем производится работа по
преодолению трения. Как меняются при движении грузиков:
а) кинетическая энергия диска и грузиков; б) количества дви-
движения диска и грузиков; в) моменты количества движения дис-
диска и грузиков?
© 4—34. На вращающемся столике, употребляющемся в фи-
физических кабинетах для демонстраций', стоит человек, держащий-
на вытянутых руках на расстоянии ^=150 см друг от друга две
гири. Столик вращается с частотой оборотов nv — 1 сект1. Чело-
Человек сближает гири до расстояния /2 = 80 см, и частота оборотов
увеличивается доя2 = 1>5 сект1. Определить работу, произведен-
произведенную человеком, если каждая гиря имеет массу пг=2 кг. Момент
инерции человека относительно оси столика считать постоянным.
© 4—35. Горизонтальный диск вращается вокруг вертикаль-
вертикальной оси с угловой скоростью йL; его момент инерции относи-
относительно оси вращения Jt. На него падает другой диск с моментом
инерции относительно той же оси J2 и угловой скоростью а>2.
Плоскости дисков параллельны, центры — на одной вертикаль-
вертикальной линии. Нижняя поверхность падающего диска снабжена
шипами, которые впиваются в верхнюю поверхность нижнего
диска и скрепляют диски в одно целое.
а) Найти угловую скорость ю получившейся системы.
б) На сколько изменится общая кинетическая энергия обоих
дисков после падения второго диска?
в) Чем объяснить изменение общей кинетической энергии
дисков?
Ф 4—36. Согласовать с законом сохранения моментов коли-
количества движения следующие явления:
а) Диск А вращается с ничтожным трением около оси, про-
проходящей сквозь его центр перпендикулярно к его плоскости и
закрепленной на столе. К нему прикасаются другим таким же дис-
диском В, ось которого держат в руке. При этом угловая скорость
диска А уменьшается, а диска В увеличивается в противополож-
37'
m m ном направлении, причем сумма их
9 а моментов количества движения умень-
1 I шается.
'' V' б) Две пары жестко соединенных
,, упругих шаров (гантели) движутся
| поступательно с одинаковыми скоро-
стями навстречу одна другой, как
показано на рисунке 4—16. Момент
количества движения каждой ганте-
ли равен нулю. В некоторый мо-
т
1
мент средние шары ударяются друг
о друга, после чего движутся в про-
m * тивоположных направлениях. Гантели
начинают вращаться, причем моменты
количеств движения гантелей на-
Рис. 4—16. правлены одинаково и их сумма не
равна нулю.
© 4—37. Тонкий однородный стержень вращается около
оси, проходящей сквозь его середину перпендикулярно к
нему. В некоторый момент стержень разделяется на две рав-
равные части, которые, продолжая вращаться, отдаляются друг
от друга. Принимая отделившиеся части за однородные
стержни вдвое меньшей длины и пренебрегая работой, совер-
совершаемой при разделении, показать: а) что сумма моментов ко-
количеств движения половин стержня равна моменту количест-
количества движения стержня до разделения; „
б) что энергия системы двух половинок стержня равна энер-
энергии вращения стержня до разрыва.
© 4—38. Определить полную кинетическую энергию при ка-
качении без скольжения со скоростью v по плоской поверхности:
а) цилиндра, имеющего массу т;
б) шара, имеющего массу т;
в) тележки, масса которой без колес равна т, имеющей че-
четыре колеса в виде дисков с массой — каждый.
О 4—39. При каком радиусе шарика, описанного в задаче
4—24, энергии поступательного и вращательного движений ша-
шарика равны между собой?
© 4—40. Шарик, диаметр которого равен d = 6 см, катится
по полу и останавливается* через t = 2 сек, пройдя расстояние
s — 70 см. Определить коэффициент трения качения, считая его
постоянным.
© 4—41. Шарик находится на горизонтальной пластинке,
перемещающейся с ускорением а. При каком условии шарик
движется поступательно с тем же ускорением?
© 4—42. Пластинке дают наклон и помещают на нее шарик.
При каком угле наклона а шарик будет скатываться без сколь-
скольжения, если коэффициент максимального статического трения
38
равен [1=0,25, коэффициент трения качения & = 0,1 см и диа-
диаметр шарика d = 5 см?
© 4—43. На двух нитях подвешен шарик радиусом 1 см. Ша-
Шарик вращают, нити закручиваются, вследствие чего шарик под-
поднимается (рис. 4—17). Когда было сделано 20 оборотов, шар-ик
поднялся на 1,2 см. Затем шарик отпускают и нити раскручи-
раскручиваются. Каковы скорость центра шарика и частота оборотов,
когда он вернется к начальному уровню?
© 4—44. Диаметр подшипника оси железнодорожного ваго-
вагона равен 27 см, диаметр колеса — 180 см. Коэффициент трения в
подшипнике равен 0,01 (при хорошей смазке), коэффициент тре-
трения качения колеса на рельсах равен 0,05 см. Определить ра-
работу передвижения вагона весом 50 т на пути 1 км.
© 4—45. Шар, радиус которого равен г, скатывается по на-
наклонному -.скату и описывает «мертвую петлю» радиуса R. Пре-
Пренебрегая трением качения и сопротивлением воздуха, найти наи-
наименьшую высоту h центра шарика над центром петли, при ко-
которой это возможно.
О 4—46. Горизонтально расположенный прут вращается око-
около вертикальной оси с частотой оборотов п = 1 сек.'1. Вдоль
него скользит со скоростью V = 50 — муфта, масса которой
сек
равна т = 100 г. Определить горизонтальную составляющую
действующей на муфту силы.
О 4—47. Определить горизонтальную составляющую силы,
с которой прижимается к рельсу паровоз, масса которого равна
1000 т, если он движется по горизонтальному участку пути на
широте 50° со скоростью 15 — .
сек
® 4—48. В «Занимательной физике» Я. И. Перельмана опи-
описано вращающееся помещение с полом, имеющем форму пара-
параболоида вращения (рис. 4—18).
Рис. 4-17.
Рис. 4—18.
а) Показать, что при определенной угловой скорости поме-
помещения человек, стоящий на полу, в любом месте располагается
так, что прямая, проходящая сквозь центр инерции человека
и многоугольника его опоры на пол, нормальна к поверхности
пола в рассматриваемом месте.
б) Показать, что при равномерном перемещении человека
по полу помещения в любом направлении он не производит ни-
никакой работы, кроме той, которую производит, перемещаясь по
горизонтальному полу.
в) При удалении человека от оси вращения увеличивается
и потенциальная энергия системы (человек поднимается) и ки-
кинетическая энергия системы (линейная скорость человека воз-
возрастает). За счет чего меняется энергия системы?
О 4—49. Предположим, что велосипедист катится по гори-
горизонтальной, вращающейся около вертикальной оси плоскости
в таком направлении и с такой скоростью, что относительно Зем-
Земли он является неподвижным. Должен ли он наклоняться по на-
направлению к оси вращения плоскости? (Считать Землю инер-
циальной системой.)
§ 5. Закон всемирного тяготения
1) Сила притяжения двух точечных тел с массами nii и тг,
находящихся на расстоянии г, равна
где т — гравитационная постоянная.
2) Однородный шаровой слой или шар притягивают внеш-
внешнюю точку так, как будто его масса сосредоточена в центре.
Внутреннюю точку шаровой слой не притягивает.
3) Планеты обращаются вокруг Солнца по законам Кеп-
Кеплера (приблизительно); этим же законам подчиняется движение
спутников вокруг планет.
О 5—1. Какова сила притяжения Солнцем массы т=\ г,
находящейся на поверхности Земли?
© 5—2. Тело, находящееся на поверхности Земли, притяги-
притягивается и к Земле, и к Солнцу. В той точке поверхности Земли,
для которой Солнце находится в зените, эти силы имеют проти-
противоположное направление. В той точке, для которой Солнце на-
находится в надире, эти силы имеют одинаковое направление. Сле-
Следует ли вывести отсюда, что днем тела падают медленней, чем
ночью, в том же месте поверхности Земли?
© 5—3. а) Является ли вполне строгим утверждение, что при
отсутствии сопротивления воздуха падающие тела имеют по от-
отношению к поверхности Земли одно и то же ускорение незави-
независимо от их массы?
40
Рис. 5—1.
б) В некоторых учебниках указывается, что ускорение, с ко-
которым движется Луна по отношению к Земле, равно
р \а
где g — ускорение свободного падения вблизи поверхности Зем-
Земли, У?! — радиус Земли и R2 — расстояние между центрами Земли
и Луны. Найти относительную погрешность, которая делается
при таком утверждении.
О 5—4. Определить силы, с которыми действуют друг на
друга вследствие тяготения два соприкасающихся свинцовых
шар'а диаметром по 1 м каждый.
© 5—5. Два твердых шара, плотности которых равны Dt и
Dz, находятся в жидкости с плотностью Do вдали от границ жид-
жидкости. При каком условии шары притягиваются друг к другу
и при каком отталкиваются?
© 5—6. Шарик массой щ\ находится на расстоянии а от
конца тонкого однородного стержня массой т2 и длиной / (рис.
5-1).
а) Определить силу притяжения шарика и стержня.
б) Приняв длину стержня I = 2а, вычислить, как изменит-
изменится сила притяжения, если стержень заменить шариком мас-
массой тг, помещенным в том месте, где находится центр инерции
стержня.
О 5—7. Пренебрегая изменением веса вследствие вр щения
Земли и Луны, вычислить, сколько весил бы на поверхносш
Луны человек, на Земле весящий 72 кГ.
О 5—8. Найти напряженность поля тяготения планеты ра-
радиусом 6000 км в точках, расстояние которых от центра плчнеты
равно: 0, 1000 км, 2000 км, 3000 км, 4000 км, 5000 км, 6000 км,
8000 км, 10 000 км и 12 000 км, и вычертить соответствующий
график в двух случаях:
а) Плотность вещества планеты одинакова по всему объ-
объему и равна 5—; вне планеты плотность среды близка к нулю.
см3
б) Плотность вещества планеты в объеме от центра до
4350 км равна 10 —,' далее до 6000 км равна 2 —, вне планеты
см3 см3
близка к нулю.
Ф 5—9. Внутри однородного шара имеется сферическая по-
полость. Показать, что поле тяготения внутри полости однородно.
Зная плотность вещества шара и расстояние между центрами
41
шара и полости (/), найти ускорение тел, движущихся в поло-
полости.
Ф 5—10. а) Центр тяжести корабля водоизмещением 10000 т
на h—5 м выше центра тяжести вытесненной им воды. На
сколько масса корабля разнится от массы вытесненной воды?
б) Какова результирующая сила, с которой действуют друг
на друга два таких корабля, находящихся на расстоянии 1 км?
О 5—11. Где находится точка, в которой силы притяжения
к Земле и к Луне взаимно уравновешиваются?
О 5—12. 4 октября 1957 г. в СССР произведен запуск пер-
первого в мире искусственного спутника Земли. Спутник имел фор-
форму шара диаметром 58 см, масса его 83,6 кг; спутник описывал
эллиптические траектории вокруг Земли, причем в некоторые
моменты достигал высоты 900 км над поверхностью Земли. Пе-
Период обращения спутника вокруг Земли оказался равным 1 часу
36,2 мин. Предположим, что спутник двигался вокруг центра
Земли по круговой траектории. Какой высоте над поверхностью
Земли, какой скорости и какой кинетической энергии соответ-
соответствовал бы в таком случае указанный период обращения?
О 5—13. Две планеты обращаются вокруг Солнца по орби-
орбитам, принимаемым приближенно за круговые с радиусами
#! = 150 • 10е км (Земля) и ^2= 108 • 10е км (Венера). Найти
отношение их линейных скоростей vt и и2.
© 5—14. С какой скоростью упадет на поверхность Луны
метеорит, скорость которого вдали от Луны мала? Атмосфера на
Луне отсутствует.
Ф 5—15. На какое расстояние от поверхности Земли удали-
км
лось бы тело, брошенное вертикально вверх со скоростью 5 ~—.
СЁК
если бы атмосфера у Земли отсутствовала?
© 5—16. Предположим, что механическая энергия системы
искусственный спутник — Земля уменьшилась вследствие по-
потерь на трение на 2%. Принимая, что орбита спутника и до по-
потери энергии и после нее мало отличается от окружности, вы-
вычислить, как изменится при потере 2% энергии: а) радиус ор-
орбиты; б) скорость спутника; в) период обращения.
© 5—17. Чему равна сумма кинетической и потенциальной
энергии планеты с массой т, обращающейся вокруг Солнца по
эллипсу, большая полуось которого равна а? Рассмотреть поло-
положения планеты в точках ее орбиты с наименьшей и с наиболь-
наибольшей кривизной.
Указание. Наименьший и наибольший радиусы кривизны эллип-
Ь* а2
са равны — и —, где а и Ь — полуоси эллипса.
а о
© 5—18. Сколько времени падало бы на Солнце тело с рас-
расстояния, равного радиусу земной орбиты?
42
§ 6. Статика твердого тела
1) Условия равновесия твердого тела:
где Fx, Fy и Fz; M^, Mj, и Мг — проекции векторов сил и вращаю-
вращающих моментов, действующих на тело, на прямоугольные оси
координат. Те же условия относятся к равномерному прямоли-
прямолинейному поступательному движению. Можно пользоваться теми
же условиями и при неравномерном движении, если присоеди-
присоединить к реально действующим силам силы инерции.
2) Сила статического трения может иметь в зависимости от
условий задачи при данной нормальной силе давления любое
значение от нуля до некоторого максимального значения, опреде-
определяемого нормальным давлением и природой трущихся тел. Коэф-
Коэффициентом статического трения ц называется отношение макси-
максимальной силы статического трения к нормальной силе давления.
Коэффициент трения при скольжении всегда меньше коэффици-
коэффициента статического трения.
О 6—1. На плоской поверхности, образующей с горизонтом
угол 20°, лежит доска, в верхнюю сторону которой вбит гвоздь,
проходящий сквозь ее центр тяжести. Коэффициент статического
трения доски по наклонной поверхности равен 0,4. Масса доски
равна 0,5 кг. Определить максимальную силу, с которой можно
надавить на гвоздь, не вызывая движения доски, в следующих
случаях:
а) сила параллельна поверхности, образует с горизонтом угол
20° и направлена вверх;
б) сила противоположна этому направлению,
в) сила горизонтальна и образует с наклонной поверхностью
угол 20°.
О 6—2. Между двумя гвоздями натянут шнур длиной 1,7 м.
Расстояние между гвоздями равно 1,5 м. На шнур повешен груз
весом 200 н (рис. 6—1). Определить натяжение шнура, прене-
пренебрегая изменением длины шнура при навешивании груза.
О 6—3. Шар, масса которого равна 5 кг, опирается на две
гладкие (|л=0) плоскости, образующие угол, причем левая
j Ъ
Рис. 6—1.
Рис. 6—2.
43
образует с горизонтом угол а=35°, а правая — угол Р = 20°
(рис. 6—2). Определить силы, с которыми шар давит на плос-
плоскости.
© 6—4. Предположим, что в условиях предыдущей задачи
плоскости не были бы гладкими и jw было бы отлично от нуля.
Как изменилось бы решение задачи?
G 6—5. На каждое из стропил (АС и СВ на рис. 6—3) дей-
действует сила тяжести крыши и стропил, равная 800 кГ. Стропила
удерживаются от раздвигания затяжкой ЕН, ддина которой в
1,5 раза меньше расстояния между концами стропил (АВ) и в
1,2 раза больше длины стропила (АС). Силы тяжести можно счи-
считать приложенными в середине стропила. Каковы силы, дей-
действующие на затяжку?
О 6—6. Трое рабочих несут металлическую плиту в виде
разностороннего треугольника, поддерживая ее за вершины. До-
Доказать, что на долю каждого приходится одна и та же тя-
тяжесть.
О 6—7. На доске, положенной на козлы, стоит человек весом
60 кГ. Вес доски 80 кГ. Размеры показаны на рисунке 6—4. Оп-
Определить силы, действующие на опоры.
G 6—8. Для определения положения центра инерции авто-
автомобиля произвели три взвешивания: 1) обе оси автомобиля по-
поместили на весах; общий вес автомобиля оказался равным
2710 кГ; 2) задняя ось осталась на весах, а передняя опиралась
на опору, находящуюся иа одном уровне с площадкой весов; весы
показали 1410 кГ; 3) задняя ось на весах, передняя поднята на
высоту 60 см по сравнению с задней; весы показали 1473 кГ.
Определить высоту центра инерции автомобиля над площадью
опоры. Известно, что база автомобиля (расстояние между ося-
осями) равна 3,3 м, а рабочий радиус колес 0,42 м.
1.5»
> 7 m-»j 0,5м
Рис. 6—4.
44
© 6—9. В гладкий цилиндрический
стакан помещена палочка, как пока-
показано на рисунке 6—5. Длина палочки
1=15 см; масса 30 г. С какими си-
силами действует палочка на дно и
стенки стакана, если радиус дна R =
=7 см? Трением пренебречь.
© 6—10. Ферма сделана из желез-
железных стержней одного и того же сече- г,
ния так, как показано на рисунке 6—6. "*
Опора В устроена так, что она не не-
несет вертикальной нагрузки. Вес стерж-
стержня АВ равен 50 кГ. Определить силы,
действующие на опоры А и В.
Ф 6—11. Нагруженная тележка на-
находится на горизонтальном рельсовом пути (рис. 6—7). Рас-
Расстояние между ее осями равно 80 см. .Оси находятся на вы-
высоте 20 см над полотном. Если тележка не движется, то силы
давления на левую и правую оси тележки равны соответст-
соответственно: 100 кГ и 90 кГ.
Рис. 6—5.
Рис. 6—6.
а) На тележку давят с силой 4 кГ, приложенной на высоте
140 см над полотном, и она равномерно движется в направлении
силы (слева направо). Каковы силы давления на оси в дви-
движущейся тележке?
б) Каковы силы давления на оси в случае, если тележка
движется под действием той
м
же силы с ускорением 0,1 ^j-
и если центр инерции тележки \ / tiocn
находится на высоте 61 см
над полотном?
© 6—12. Модель коленча-
коленчатого вала, сделанная из же-
железного прута диаметром
1 см, как показано на рисунке
I I
К-80-см-н
Рис. 6—7.
45
tl Юсм
Юсм
Юсм n
Юсм б—8, вращается в подшипниках А
и В с частотой оборотов, равной
5 сект1. Определить силы давления
б вала на опоры: а) в момент, когда
колена вала расположены верти-
вертикально; б) когда колена вала распо-
расположены горизонтально.
G 6—13. а) У гладкой (ц=0)
стены стоит лестница. Коэффици-
Юсм ент статического трения лестницы о
Рис. 6—8. землю равен |Л2=О,5. Центр тяже-
тяжести лестницы можно считать нахо-
находящимся в середине ее. Определить наименьший угол <р, кото-
который лестница может образовать с горизонтом, не падая.
б) Предположим, что лестница поставлена в таком поло-
положении, что малейшее уменьшение угла должно повести к ее
падению. Упадет ли лестница, если человек встанет на ее
нижнюю ступеньку? на ее верхнюю ступеньку?
© 6—14. Тонкий стержень длиной /=100 см, сделанный из
дерева плотностью D = 0,8 —^, подвешен за один из концов, а
другим погружен в воду. Определить угол а между направле-
направлением стержня и вертикалью, если верхний конец находится над
уровнем воды на высоте h, равной: а) 30 см; б) 70 см.
О 6—15. Какую работу надо произвести, чтобы повернуть на
другую грань сплошной железный куб, масса которого равна
200 кг?
® 6—16. Сосуд с тонкими стенками, имеющий форму полого
куба без верхнего основания, наполовину наполнен водой. Ребро
куба равно 20 см. Какого работу нужно произвести, чтобы опро-
опрокинуть сосуд на боковую грань (причем вода из него выльется)?
Вес сосуда равен 1 кГ.
© 6—17. Ящик в форме куба перемещают на некоторое рас-
расстояние L: один раз волоком, а другой кантованием (т. е. опро-
опрокидыванием через ребро). Коэффициент трения ящика о пол
при скольжении равен \i; трением при кантовании можно
пренебречь. При каком ц работы перемещения волоком и
?
кантованием равны?
© 6—18. Имеются
рис. 6—9.
деа круглых карандаша разных диа-
мзтров (dl > d2)- Второй карандаш
удается уравновесить в горизон-
горизонтальном (или близком к горизон-
горизонтальному) положении на первом,
расположенном горизонтально (рис.
6—9).
а) Уравновесить таким же обра-
образом первый карандаш на втором
нельзя. Почему?
46
б) Предположим, что второй карандаш уравновешен в гори-
горизонтальном положении. Каково наибольшее значение угла а ме-
между направлением оси второго карандаша и горизонтом, при ко-
котором он возвращается к горизонтальному положению, если его
отпустить? Коэффициент статического трения равен ц=0,5; от-
d-i
ношение диаметров карандашей равно -j~ =1.05.
§ 7. Прочность и упругость материалов
1) Разрушающая сила
где рт — разрушающее напряжение; S — площадь сечения.
2) Относительное удлинение или сжатие
I ~ E'
где р — напряжение; Е — модуль упругости (модуль Юнга).
3) Относительное изменение, объема при растяжении
V V w ? '
где [х — отношение относительного сжатия образца к относи-
относительному удлинению.
4) Относительное изменение объема при всестороннем
сжатии
AV __ р
где К — модуль всестороннего сжатия.
5) Потенциальная энергия упруго деформированного тела
П = : ,
где F — сила упругости при удлинении А/.
6) Плотность энергии: а) в растянутом или сжатом стержне
W =
2? ' t
б) во всесторонне сжатом теле Д/ • / \ ( \ д/
W-
2/С
-*>
7) Угол кручения цилиндра ~?
(рис. 7—1) ^-ы. '
о/ ^
Рис. 7—1.
47
где М — вращающий момент, вызывающий кручение, I и г —
длина и радиус цилиндра, G — модуль сдвига.
О 7—1. Какова наибольшая длина свинцовой проволоки, при
которой подвешенная за один конец проволока не оборвется от
собственной тяжести'
G 7—2. Какое давление изнутри при наружном давлении
1 —г может выдержать:
а) стеклянная трубка, наружный и внутренний диаметры ко-
которой равны dx = 8 мм и d2 = 7 мм?
б) стеклянная сферическая колба, наружный и внутренний
диаметры которой равны dx = 182 мм я d2 = 180 мм?
Q 7—3. Показать, что в котле, состоящем из цилиндрической
части (обичайки) и двух полусферических днищ (рис. 7—2), по-
получается одинаковая прочность обичайки и днищ, если сделать
днища вдвое более тонкими.
G 7—4. Горизонтальный железный стержень длиной
/=150 см вращается около вертикальной оси, проходящей через
его середину.
При какой частоте оборотов он может разорваться'
О 7—5. Стальная проволока диаметром 1 мм имеет длину
5 м, когда на ней висит груз весом 20 кГ. На сколько удлинится
проволока, если груз увеличить еще на 10 «Г?
Э 7—6. Между двумя прочными упорами натянута стальная
проволока диаметром 1 мм и длиной 2 м. На сколько сместится
середина проволоки, если к ней подвесить груз весом 300 Г? При
расчете принять, что упоры при навешивании груза не сме-
смещаются.
Q 7—7. Медный стержень длиной 2 м и диаметром 3 см пе-
переводится из горизонтального положения в вертикальное и опи-
опирается на пол. При этом диаметр его нижней части становится
чуть-чуть больше Можно ли измерить это изменение, если вос-
воспользоваться прибором, позволяющим измерять с точностью до
0,001 мм?
О 7—8. Длинная железная труба имеет внутренний диаметр
d = 30 см и толщину стенок Ъ = 0,5 см. На сколько увеличится
площадь сечения канала трубы, если разность давления внутри
и вне трубы увеличится от нуля до р = 4,9 • Ю6~? Изменением
толщины стенок при растяжении пренебречь.
Рис. 7—2.
48
Рис 7—3
О 7—9. На какой глубине
плотность пресной воды на 1%
больше плотности вблизи свобод-
свободной поверхности?
G 7—10. Труба, описанная в
задаче 7—8, имеет длину 200 м
и расположена горизонтально.
Концы трубы перекрыты Труба
заполнена водой, причем раз-
разность давлений воды и наружно-
н
го воздуха равна 4,9 • 10G~3
Какой объем воды вытечет из
трубы, если по верхней линии ее
стенки образуется трещина?
© 7—11. На рисунке 7—3 изображен пьезометр — прибор
для измерения модуля сжатия жидкостей. При увеличении дав-
давления жидкости, окружающей стеклянный сосуд А, ртуть в
колене В поднимается. Как измерить модуль всесторонне-
всестороннего сжатия жидкости, находящейся внутри сосуда Л? Како-
Какова относительная погрешность, которая будет иметь место,
если не принять во внимание сжатия стекла под действием
всестороннего давления, а модуль всестороннего сжатия
кГ
исследуемой жидкости близок к 300 —„ ?
0 7—12. Стальной маховик вращается с частотой обо-
оборотов п=30 мин~1. Средний диаметр его обода равен й=\,Ъ м.
Определить увеличение диаметра маховика, пренебрегая дей-
действием спиц.
G 7—13. К двум противоположным граням однородного ку-
кубика приложены две равные противоположно направленные рас-
растягивающие силы. Если эти грани удаляются друг от друга на
расстояние А/, то четыре другие грани сближаются на расстояние
\i • А1. Предположим, что силы, действующие на две первые грани,
исчезли, а на четыре остальные грани действуют попарно равные
сжимающие силы, такие, что эти грани остаются на прежнем
расстоянии (т. е сближены на цД/). Останется ли форма куби-
кубика такой, какой она была при наличии двух растягивающих сил?
О 7—14. Стальная проволока длиной 1 = 4 л и диаметром
d — 2 мм растягивается силой F = 100 кГ. На сколько изменит-
изменится при этом: а) ее объем? б) ее боковая поверхность?
О 7—15. Определить энергию, зависящую от наличия напря-
напряжения в проволоке, описанной в задаче 7—5, при действии силы
30 кГ.
О 7—16. Определить плотность энергии, зависящей от сжа-
сжатия, в пресной воде на глубине 1,5 км.
О 7—17. Определить плотность энергии в проволоке, описан-
описанной в задаче 7—6
49
Q 7—18. Товарный вагон массой 31 т, двигаясь в тупике со
см
скоростью 40 —, наталкивается своими буферами на два упо-
упора. Буфера заметно сжимаются, а упоры почти не деформи-
деформируются. Пружина каждого из буферов сжимается при действии
силы, равной 10* н на 7 мм. Удар вагона о буфера можно счи-
считать вполне упругим. На сколько сожмутся пружины буферов
в рассматриваемом случае?
О 7—19. При забивке деревянных свай копром в грунт в свае
возникает напряжение, которое достигает наибольшего значения
в случае, если при ударе бойка нижний конец сваи не смещается
(например, если свая, продвигаясь в мягком грунте, дошла до
каменной породы). Определить наибольшее напряжение, которое
может получиться в свае при следующих данных: масса бойка
копра 180 кг, диаметр сваи 26 см, длина сваи 6 м; боек падает
с высоты 45 см (небольшим перемещением верхнего конца сваи
при ударе можно пренебречь).
О 7—20. К закрепленной верхним концом проволоке подве-
подвешивается груз массой т, причем проволока получает удлине-
удлинение х. При этом груз теряет потенциальную энергию mgx, а про-
mgx
волока приобретает потенциальную энергию ~7Г , т. е. половину.
Куда девается другая половина потенциальной энергии, потерян-
потерянной грузом?
О 7—21. Когда натянутая стальная струна охлаждается, ее
натяжение, а следовательно, и энергия, зависящая от натяжения,
увеличиваются. За счет чего происходит увеличение энергии?
ф 7—22. Грузик подвешен на резиновой нити, имеющей в не-
ненатянутом состоянии длину I = 80 см. Грузик отклоняют на 90°,
не натягивая нити, и отпускают. Когда нить проходит через
вертикальное положение, ее длина равна /4 = 100 см. Опреде-
Определить скорость грузика в этот момент.
Указание. Отличие h от I невелико. Поэтому при вычислении сил,
действующих на грузик, можно движение грузика по сложной несимметрич-
несимметричной кривой приближенно заменить движением по окружности радиуса h,
О 7—23. Стальной вал длиной
150 см и диаметром 2 см передает,
вращаясь с частотой оборотов рав-
равной 20 сект1, мощность 4,5 кет. Ка-
Какой угол закручивания вала?
Э 7—24. На рисунке 7—4 пока-
показана зависимость упругой силы от
деформации при циклическом дефор-
деформировании тела в случае наличия ги-
гистерезиса. Согласно формуле пункта
5 введения потенциальная энергия де-
Рис. 7—4. формированного тела в состояниях, со-
50
ответствующих точкам А, В, С и D, равна нулю, а в состояниях,
соответствующих точкам К. и L, является отрицательной. Как
истолковать эти результаты?
§ 8. Динамика колебательного движения. Маятники
1) Циклическая частота w и период поступательных гармони-
гармонических колебаний Т определяются формулами:
w = I/ _ ; 1=1:
F
где k — коэффициент квазиупругой силы, равный k = .
s
F — возвращающая сила, s — смещение.
2) Период вращательных гармонических колебаний
где J — момент инерции колеблющегося тела относительно оси
колебаний, D — отношение момента силы, возвращающего тело
к положению равновесия, к углу отклонения тела от положения
равновесия
2
а
3) При малых качаниях маятника в поле тяготения с напря-
напряженностью g качания маятника можно рассматривать как вра-
вращательные гармонические колебания. При этом D = mgb (b —
расстояние от оси до центра инерции маятника). Период качания
маятника равен
mgb
В случае, если маятник состоит из грузика малых размеров
и легкой нити (точечный маятник),
Т = 2з
где I — длина нити.
Во всех задачах этого параграфа принимать, что амплитуды
колебаний маятников малы и что периоды колебаний можно вы-
вычислять по приведенным выше формулам.
4) Сумма кинетической и потенциальной энергий точечного
тела, совершающего гармонические колебания, постоянна и
равна
где А — амплитуда колебания.
5) В случае, если на тело, кроме возвращающей силы, действует
еде и сопротивление среды, пропорциональное скорости
51
движения тела (Fc = — rv), движение не является Гармониче-
Гармоническим колебанием. В этом случае смещение через отрезбк времени
t определяется формулой
s =з Ае~*{ sin (ю/+ф),
где А— постоянная для данного движения величина, зависящая
от смещения и скорости в начальный момент; коэффициент за-
затухания а = —, ф — начальная фаза; w = I/— — а2. Колебания
возможны только при условии: k > та?. Если k < ma2, тело, от-
отклоненное от положения равновесия, возвращается к нему без
колебаний.
6) Логарифмический декремент затухания равен
ft=aT.
7) Амплитуды смещения и скорости вынужденных колебаний
Я = Sk • V = ¦
(со* -
где Fm — наибольшее значение вынуждающей силы, й и g>0 =
= у циклические частоты вынуждающей силы и собствен-
собственных колебаний системы (при отсутствии затухания).
При переменной частоте вынуждающей силы максимум ам-
амплитуды скорости имеет место при со=й)о; максимум амплитуды
смещения имеет место при w= у ю20—2аа.
8) К системе, совершающей вынужденные колебания, подво-
подводится мощность, средняя за период величина которой равна
Р — amv2m-
О 8—1. Стальная полоска зажата с одного конца и распо-
расположена горизонтально. На другом конце полоски закрепляют
груз, масса которого значительно больше массы полоски. При
наличии груза полоска изгибается и иезажатый конец ее опус-
опускается на 4 см.
а) С какой частотой будет колебаться груз, если дать ему тол-
толчок в вертикальном направлении?
б) "С каким ускорением движется колеблющийся груз в тот
момент, когда полоска полностью распрямляется?
О 8—<?. Принимая движение поршня в двигателе внутрен-
внутреннего сгорания за гармоническое колебание (см. задачу 1—32),
определить силу, действующую на коленчатый вал со стороны
поршня, когда он находится в мертвой точке. Масса поршня
1,2 кг; частота оборотов коленчатого вала 200 минг1; ход поршня
12 см.
Принять, что давление газов в цилиндре равно атмосфер-
атмосферному.
52
Рис. 8—1.
Ф 8—3. На верхнюю ветвь
горизонтально расположенного
камертона (рис. 8—1) насы-
насыпан мелкий песок. Камертон
приводят посредством смычка
в колебания. Частота колеба-
колебаний камертона 500 гц.
а) Какова амплитуда колеба-
колебаний в том месте ветви камертона, где песчинки не подскакивают?
б) Какова амплитуда колебаний в том месте, где песчин-
песчинки подскакивают на высоту h = 3 мм (по отношению к положе-
положению при покоящемся камертоне), считая удар песчинки о ка-
камертон неупругим?
G 8—4. При равновесии системы, показанной на рисунке 8—2,
пружина Р на А/ = 7 см растянута по. сравнению с недефор-
мированным состоянием. Блок сделан из сплошного однородного
диска. Массы грузов и блока соответственно равны mt = 300 г,
т2 = 100 г, т3 — 100 г. Остальными массами и трением можно
пренебречь. Определить период колебаний системы, которые
начнутся, если груз /п4 отвести вертикально вниз и отпустить.
О 8—5. Верхний конец стальной проволоки диаметром
0,5 мм и длиной 80 см защемлен. К нижнему концу про-
проволоки прикреплен шар массой 2 кг и диаметром 10 см. Если
шар повернуть вокруг вертикальной оси на небольшой угол
и отпустить, он будет совершать вращательные колебания. Оп-
Определить период колебаний шара.
О 8—6. Шарик подвешен на длинной нити. Один раз его
поднимают по вертикали до точки подвеса, другой раз его
отклоняют, как маятник, на небольшой угол. В каком из этих
случаев шарик скорее возвратится к начальному положению,
если его отпустить?
в 8—7. Определить период колебания полена,
подвешенного на 8 шнурах одинаковой длины
I = 80 см (см. рис. 3—15). Углы между соседними
нитями равны ф = 49°. Амплитуда колебаний мала.
© 8—8. Маятник в виде грузика, подвешен-
подвешенного на нити длиной I = 50 см, колеблется в ка-
биг.е самолета. Каков период его колебаний:
а) если самолет движется равномерно?
б) если самолет движется горизонтально
с ускорением а — 2,5 -^- ?
сек2
в) если самолет планирует вниз под1 углом
а =15° к горизонту? Лобовым сопротивлением
самолета пренебречь.
© 8—9. Маятник в виде маленького шарика,
подвешенного на нити длиной / = 10 см, находится
внутри жидкости, плотность которой в /г =1,2 Рис. 8—2,
53
Рис. 8—3. Рис. 8—4.
раза меньше плотности шарика. Определить период колебаний
маятника, пренебрегая сопротивлением жидкости и принимая, что
эффективная масса при движении шара в жидкости увеличивает-
увеличивается на величину массы вытесненной жидкости.
О 8—10. Маятник состоит из очень легкого стержня, на ко-
котором закреплены два одинаковых груза — один на расстоянии
30 см от оси, другой на расстоянии 15 см от оси. Каков период
колебаний такого маятника?
G 8—11. а) Определить период колебания однородного ша-
шара около горизонтальной оси, проходящей сквозь точку, отстоя-
отстоящую от центра шара на расстоянии 0,3 радиуса шара. Радиус
шара равен 6 см.
б) Каков будет период колебаний, если расположить ось под
углом 80° к горизонту?
Ф 8—12. Тонкая прямоугольная пластинка может колебать-
колебаться около горизонтальной оси, лежащей в ее плоскости и перпен-
перпендикулярной к одной из ее сторон, длина которой равна /.
а) Каков период колебания, если ось совпадает с верхней
стороной пластинки?
б) При каком расстоянии оси от верхней стороны период ко- ¦
лебания пластинки будет наименьшим? Каков этот период?
Э 8—13. Шар, радиус которого 5 см, подвешен на нити дли-
длиной 10 см. Определить погрешность, которую мы делаем, приняв
его за точечный маятник с длиной 15 см.
0 8—14. Некоторое тело качается около оси с периодом
Tt = 0,5 сек. Если же к нему прикрепить грузик массой т —
= 50 г на расстоянии I = 10 см ниже оси, то оно качается с перио-
периодом Т = 0,6 сек. Найти момент инерции тела относительно оси
качания.
Э 8—15. Определить период колебания массы т—\2\ г рту-
ртути, находящейся в U-образной трубке (рис. 8—3). Площадь се-
сечения канала трубки S = 0,3 см2.
Q 8—16. Шарик катается по дну сферической чашки. Пред-
Предполагая, что эти колебания можно считать синусоидальными,
определить их период.
54
Э 8—17. Предположим, что по одному из диаметров Земли
просверлен .канал. Принимая Землю за однородный шар с плот-
г
ностью D = 5,5 —3, найти время т движения тела от поверхно-
поверхности Земли до ее центра.
© 8—18. Два диска могут вращаться около осей, являющих-
являющихся продолжением одна другой (рис. 8—4). Моменты инерции
дисков относительно этой оси равны Jt и J2- Диски соединены
пружиной, коэффициент кручения которой равен D.
а) Определить период, с которым будут колебаться диски,
если их повернуть в противоположных направлениях, закручивая
при этом пружину, и отпустить.
б) Как изменится период, если один из дисков (например,
второй) закрепить?
© 8—19. Определить период крутильных колебаний тонкого
диска, подвешенного на трех параллельных нитях длиной 120 см
(рис. 8—5).
© 8—20. На стальной проволоке длиной /=6 м и площадью
сечения S=0,5 мм2 висит металлический шар, масса которого
равна т=1 кг. Шар поднимают на некоторую высоту h и затем
отпускают, после чего начинаются колебания шара в верти-
вертикальном направлении.
а) Каков характер этих колебаний при различных ft?
б) При каких амплитудах колебания являются синусоидаль-
синусоидальными?
в) Определить период синусоидальных колебаний.
Э 8—21. Два блока быстро рращаются в противоположных
направлениях, как показано на рисунке 8—6. Расстояние между
осями блоков равно d=lO см; коэффициент трения между бло-
блоками и спицей равен ц = 0,25. Если на блоки положить спицу
так, чтобы ее центр тяжести (С)
w///// был ближе к одному из блоков,
i то спица начнет двигаться то
вправо, то влево.
а) Показать, что эти коле-
колебания синусоидальны, и опреде-
определить их период.
б) Почему при медленном
вращении колебания спицы могут
быть и не синусоидальными?
73 ©
Рис. 8—5.
Рис. 8—6.
О 8—22. Начальная амплитуда колебания маятника равна
3 см. Через 10 сек она равна 1 см. Через сколько времени ампли-
амплитуда колебаний будет равна 0,3 см?
О 8—23. Три последовательных крайних положения качаю-
качающейся стрелки гальванометра пришлись против делений
ni = 20,0; «2 = 5,6 и п3= 12,8. Считая декремент затухания по-
постоянным, определить деление, соответствующее положению
равновесия стрелки.
© 8—24. Каков логарифмический декремент затухания маят-
маятника длиной 0,8 м, если его начальная амплитуда 5°, а через
5 мин амплитуда равна 0°,5?
О 8—25. Через сколько времени энергия колебаний камер-
камертона с .частотой / = 600 гц уменьшится в п = 10е раз, если ло-
логарифмический декремент затухания равен гз=О,ООО8?
0 8—26. Какова общая сумма путей, пройденных взад и
вперед колеблющейся точкой до полного затухания колебаний,
если амплитуда первого колебания равна 1 мм, а логарифмиче-
логарифмический декремент затухания равен 0,002?
Э 8—27. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается в
течение одного периода в 3 раза.
а) На сколько процентов период колебания больше, чем при
отсутствии причины, вызывающей затухание?
б) При каком фазовом угле смещение максимально?
в) При каком фазовом угле скорость максимальна?
г) Начертить приблизительно график смещения и скорости
этих колебаний.
© 8—28. а) Упругое тело колеблется в сопротивляющейся
среде, причем логарифмический декремент затухания равен 0,7.
Возможны ли затухающие колебания этого тела в среде, коэф-
коэффициент сопротивления которой в 10 раз больше, чем у данной
среды?
б) Тот же вопрос, если декремент в данной среде равен 0,6; 0,1.
в) Если колебания в более вязкой среде возможны, то како-
каковы их декременты затухания?
О 8—29. При какой скорости поезда рессоры его вагонов
будут особенно сильно колебаться под действием толчков колес
о стыки рельс, если длина рельс 12,5 м, нагрузка на рессору рав-
равна 5,5 Т и если рессора прогибается на 16 мм при нагрузке в
одну тонну?
Q 8—30. Амплитуды скорости вынужденных колебаний при
частотах вынуждающей силы, равных ft — 200 гц и f2 — 300 гц,
равны между собой. Принимая, что амплитуда вынуждающей
силы в обоих случаях одна и та же, найти частоту, соответствую-
соответствующую резонансу скорости.
© 8—31. Амплитуды смещений вынужденных колебаний при
частотах вынуждающей силы, равных fi = 200 гц и /2 = 300 гц,
равны между собой. Найти частоту, соответствующую резонансу
смещений.
56
0 8—32. На графике зависимости амплитуды скоростей от
частоты вынуждающей силы провели прямую, параллельную оси
абсцисс, на высоте, равной половине максимума. Отрезок этой
прямой между точками пересечения с графиком соответствует
Д/ = 20 гц. Определить коэффициент затухания.
© 8—33. Амплитуда смещения вынужденных колебаний при
очень малой частоте равна so = 2 мм, а при резонансе равна
s = 16 мм. Предполагая, что декремент затухания меньше еди-
единицы, определить его.
Ф 8—34. Стальная струна протянута между полюсами элек-
электромагнита, по обмотке которого идет переменный ток, вслед-
вследствие чего струна колеблется с частотой переменного тока. На-
Натяжение струны постепенно увеличивают. Когда~ частота соб-
собственных колебаний струны равна 100 гц, мощность тока в об-
обмотке достигает максимальной величины и на 50% превышает
мощность, потребляемую электромагнитом при отсутствии стру-
струны. Когда частота собственных колебаний струны увеличивается
до 101 гц, то мощность тока в обмотке электромагнита только
на 5% превышает мощность при отсутствии струны. В течение
какого отрезка времени т амплитуда колебаний струны умень-
уменьшится в 10 раз, если ток в обмотке электромагнита выключить?
в 8—35. Маятник стенных часов массой 40 г совершает ко-
колебания с периодом 0,4 сек, причем его центр инерции колеб-
колеблется с амплитудой 7 мм. Если часы не заведены, то амплитуда
колебания уменьшается в 2 раза за 3 колебания. Определить
полезную работу, которая производится при заводе часов на не-
недельный срок.
§ 9. Движение жидкостей и газов
1) В поле тяготения с напряженностью g скорость истечения
жидкости из малого отверстия в открытом сосуде равна
v =
где h — глубина отверстия относительно уровня жидкости в со-
сосуде.
2) Для установившегося течения жидкости (несжимаемой и
без трения) верна теорема Бернулли
р + -у + Dgh = const,
где р — давление; D — плотность жидкости; v — скорость тече-
течения.
3) Если движение среды, обтекающей твердое тело, переме-
перемещающееся внутри нее с постоянной скоростью и, является лами-
ламинарным, то лобовое сопротивление выражается формулой
F — —k ц ¦ Ь • v.
57
Здесь г] — вязкость среды, b — величина, характеризующая ли-
линейные размеры тела, k — безразмерная величина, зависящая от
формы тел и одинаковая для всех геометрически подобных тел.
Знак минус указывает, что F направлено противоположно а.
В случае шара, если принять Ъ равным радиусу шара г, k~ бя,
F выражается формулой Стокса
F = — бщги.
4) При ламинарном течении жидкости по круглой трубе с
внутренним радиусом г объем жидкости, протекающей за время
t, равен
л/
где Ар есть разность давлений между точками, отстоящими по
оси трубы на расстоянии I (формула Пуазейля).
5) Если движение среды, обтекающей твердое тело, является
турбулентным, формула п. 3) неприменима. В этом случае при
не слишком больших скоростях лобовое сопротивление можно
вычислять по формуле
F = -CxSv2D.
Здесь S — площадь миделя, т. е. наибольшая площадь сечения
тела в направлении, перпендикулярном к скорости v, D — плот-
плотность среды, Сх — безразмерный коэффициент, зависящий от
формы тела. Направление нормали к площади миделя считается
совпадающим с вектором скорости тела.
6) Характер движения среды определяется безразмерным
b-v-D
числом Реинольдса, Re = , где Ь — величина, характери-
характеризующая линейные размеры потока среды. При малых значениях Re
движение среды является ламинарным, при больших — турбу-
турбулентным. В случае шара переход от ламинарного движения к
турбулентному происходит при значениях Re, близких к 0,5, если
при вычислении Re в качестве Ъ взять диаметр шара. При увели-
увеличении скорости течения жидкости по трубе переход от ламинар-
ламинарного течения к турбулентному происходит при Re, близком к
3000, если в качестве Ъ взять диаметр трубы.
7) При решении первых 9 задач этого параграфа принимать,
что вязкость среды и ее сжимаемость ничтожно малы.
О 9—1. В середине дна цилиндрического ведра имеется не-
небольшое отверстие, сквозь которое вытекает вода. Уровень воды
в ведре на 30 см выше дна. С какой скоростью вытекает вода
сквозь отверстие в следующих случаях: а) ведро неподвижно;
б) ведро равномерно поднимается; в) ведро движется с ускоре-
см
нием 120 —г сначала вверх, затем вниз; г) ведро висит на ве-
ревке и качается, причем угол, образуемый веревкой с верти-
вертикалью, достигает 60°. Рассмотреть случаи крайнего и среднего
положений ведра.
58
О 9—2. В чан равномерной струей наливается вода. Приток
воды равен 150 ~— . В дне чана имеется отверстие площадью
0,5 см2. Какого уровня может достигнуть вода в чане?
О 9—3. На горизонтальном столе стоит сосуд, в вертикаль-
вертикальной стенке которого сделано несколько отверстий одно над дру-
другим. Сосуд наполнен водой и*из отверстий бьют струи.
а) Показать, что все струи бьют о стол с одинаковыми ско-
скоростями.
б) Показать, что две струи бьют в одну и ту же точку стола,
если расстояния одного из отверстий от уровня жидкости в со-
сосуде и другого от поверхности стола одинаковы.
в) В каком месте стенки сосуда надо сделать отверстие, что-
чтобы струя из него била в поверхность стола возможно дальше от
сосуда?
Э 9—4. Цилиндрический сосуд высотой 70 см с площадью
дна 600 см2 наполнен водой. В дне сосуда образовалось отвер-
отверстие с площадью 1 см2.
а) Как движется верхний уровень воды в сосуде?
б) Сколько времени понадобится для полного опорожнения
сосуда?
в) Сколько времени понадобится для опорожнения сосуда
наполовину?
г) Увеличится или уменьшится время опорожнения сссуда,
если сосуд будет совершать гармонические колебания в верти-
вертикальном направлении?
О 9—5. а) Показать, что в схеме на рисунке 9—1 работа при
перемещении правого поршня больше работы при перемещении
левого поршня.
б) За счет чего производится дополнительная работа при
использовании схемы как механизма для увеличения силы?
О 9—6. Площадь поршня в спринцовке (рис. 9—2) Sl —
= 1,2 см2, а площадь отверстия S2 = 1 мм2. Сколько времени
будет вытекать вода из спринцовки, если действовать на пор-
поршень с силой F = 0,5 кГ и если ход поршня 1 = 4 см?
Q 9—7. Чтобы избежать необходимости остановки поезда
для пополнения запаса воды в паровозе, иногда употребляют
следующий способ. Между рельсами устраивают длинную канаву,
наполненную водой. В эту канаву с паровоза опускают трубу,
изогнутую, как показано на рисунке 9—3. Вода в трубе подни-
поднимается и переливается в бак, установленный на паровозе. Почему
это происходит? С какой скоростью v должен двигаться поезд,
Рис. 9 — 1. Рис. 9—2.
59
в
Рис 9—3.
Рис 9—4.
чтобы вода поднималась на высоту h = 3,5 м и чтобы за проме-
промежуток времени, в течение которого поезд пройдет путь I = 1 км,
в бак подавалось 3 м3 воды? Диаметр трубы d= 10 см.
О 9—8. Очень широкий цилиндрический сосуд А имеет в дне
отверстие, снабженное вертикальной трубкой В. К трубке при-
присоединен манометр С (рис. 9—4). Нижний конец трубки закрыт
пробкой, и уровни жидкости в сосуде и манометре одинаковы.
а) Как расположится уровень в манометре, если, вынув проб-
пробку, дать жидкости вытекать? Внутреннее трение предполагается
ничтожно малым.
б) Как изменится ответ, если трубка В сужается книзу?
О 9—9. Из брандспойта бьет струя воды, дающая 60 л за
1 мин. Площадь отверстия в брандспойте 1,5 см2. На сколько
больше атмосферного давления давление внутри шланга в
том месте, которое на 3 м ниже конца брандспойта? Площадь
канала шланга 10 см2.
О 9—10, Для измерения количества газа, протекающего
по газопроводу, употребляют прибор, устройство которого
схематически показано на рисунке 9—5. О скорости протекания
газа судят по разности давлений в точках А и В прибора.
Определить массу газа, протекшего за час при таких условиях:
внутренний диаметр газопровода dt = 50 мм; внутренний диа-
диаметр наиболее узкой части трубки d2 = 40 мм; разность давлений
в точках А и В равна р = 12 мм вод. ст., плотность газа
D = 0,0014 -j-j . При расчете пренебречь трением и изменением
плотности газа при уменьшении давления.
О 9—11. В восходящем потоке воздуха,
см
скорость которого равна 2 -— , находится
ев к
пылинка, имеющая форму шарика диаметром
2 0,01 мм. Опускается или поднимается пы-
з
_ , линка, если ее плотность на 2,3 гболь-
Рис. 9—5. ем'
ше плотности воздуха? Принять, что движение воздуха при об-
обтекании пылинки является ламинарным.
в 9—12. В высокий сосуд, наполненный касторовым маслом
при 20° С, бросают маленькие свинцовые шарики разных диамет-
диаметров. Опустившись на некоторую глубину, шарики движутся рав-
равномерно, так как действующие на них силы уравновешиваются.
а) Определить число Рейнольдса для движения шарика диа-
диаметром 0,1 мм, предполагая, что движение масла при опускании
шарика является ламинарным. Выяснить, является ли это пред-
предположение правильным.
б) Каков максимальный диаметр шарика, при котором при
опускании шарика движение масла остается ламинарным?
Ф 9—13. Показать, что коэффициент Сх в формуле для ло-
лобового сопротивления при турбулентном движении равен отноше-
отношению количества движения, передаваемого телу потоком, к тому
количеству движения, которое передавал бы телу за то же время
поток с площадью сечения, равной площади миделя, если бы
после встречи с телом он двигался по направлению, перпендику-
перпендикулярному к скорости, которую имел до встречи.
км
О 9—14. Грузовой автомобиль движется со скоростью 60 ~^~
Какова мощность по преодолению сопротивления воздуха, если
движение является турбулентным? Площадь миделя автомобиля
кг
3,75 м2. Принять Сх = 0,6 и плотность воздуха 1,2 —— .
0 9—15. Свинцовая пуля в виде шарика с диаметром 5 мм
движется в воздухе со скоростью 300 —. а) Принимая плот-
ность воздуха равной 0,0012 —-, определить число Рейнольдса.
б) С каким ускорением движется при этой скорости пуля (мас-
(массой вытесненного воздуха и наличием поля тяготения пренеб-
пренебречь). Принять, что для шара Сх = 0,25.
О 9—16. а) Какова максимальная скорость течения воды
при температуре 15° С по трубе с внутренним диаметром 2 см,
при которой течение еще остается ламинарным?
б) Какова при такой скорости разность давлений между двумя
точками внутри трубы, расстояние между которыми равно 200 м>
0 9—17. Широкий сосуд снабжен внизу горизонтальной ка-
капиллярной трубкой, состоящей из двух звеньев (рис. 9—6). Пер-
Первое звено имеет длину 20 см и внутренний диаметр 1 мм, второе
имеет длину 2 см и внутрен-
внутренний диаметр 0,5 мм. В сосуд
налит глицерин, уровень кото-
которого на 10 см выше капилля-
капилляра. Какой объем глицерина
вытекает из капилляра за
1 минуту? Рис. 9—6.
Глава II
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 10. Расширение при нагревании твердых
и жидких тел
1) Изменение длины и объема при изменении температуры
на At
Д/ = / — /0 = а10М; ДК = V — Va = $V0At,
где /0 — начальная длина; Уо — начальный объем; аир — коэф-
коэффициенты линейного и объемного расширения, относящиеся к те-
телам, внутри которых отсутствует напряжение.
2) Для твердых изотропных тел Р = За.
3) Плотность при температуре t
где Do — плотность при 0° С.
О Ю—I. Два бруска разного объема из одного и того же ма-
материала, имеющие разную температуру, прикладываются друг
к другу гранями, причем более теплый передает некоторое коли-
количество тепла другому. Обмен теплотой с окружающими телами
отсутствует. Изменяется ли при этом общий объем и общая дли-
длина брусков?
О Ю—2. Можно ли заметить тепловое расширение диаметра
латунного цилиндра, если измерение производится микрометром
с точностью до 0,01 мм при температурах 5° С и 35° С? При
5° G измерение дало 20,45 мм.
О Ю—3. При 0° С цинковый стержень имеет длину
200 мм, а медный 201 мм. Поперечные размеры их при 0°С
одинаковы.
а) При какой температуре их
длины одинаковы?
б) При какой температуре их
объемы одинаковы?
Э 10—4. Два стержня одина-
одинаковой длины (рис. 10—1) АВ
и АС, сделанные из металла с ко-
коэффициентом расширения а4, со-
соединены шарнирами в точках А,
Рис. 10—1. В и С между собой и со стерж-
62
нем ВС, сделанным из металла с коэффициентом линейного рас-
расширения а2. На концы стержней надеты, как показано на
рисунке 10—1, трубки AD и АН одинаковой длины, сделанные
из того же металла, что и стержень ВС. Каково должно быть
отношение между а4 и а2, если требуется, чтобы расстояние DH
при изменении температуры оставалось постоянным?
О 10—5. Холодный металлический шар опущен в горячую
воду, а такой же горячий шар опущен в холодную воду. Каковы
деформации наружных и внутренних слоев шаров?
* в 10—6. Часы с латунным маятником идут правильно при
0° G. На сколько отстанут часы за сутки, если температура повы-
повысится до t = + 20е С?
О Ю—7. Как изменится угловая скорость тела, вращающе-
вращающегося без трения вокруг некоторой оси, если температура повы-
повысится от 0 до f С? Как изменится при этом кинетическая энергия
тела? За счет чего произойдет изменение энергии?
О Ю—8. Сообщающиеся сосуды наполнены жидкостью. Тем-
Температура жидкости в одном из них повышается, в другом остает-
остается неизменной. Меняется ли при этом уровень жидкости во вто-
втором сосуде?
О Ю—9. При какой температуре плотность ртути равна
13,48 ~ , если при 10° С она равна 13,57 -^j ?
О 10—10. Стеклянный сосуд весит Ро=53 Г. Тот же сосуд,
наполненный ртутью, при 0° С весит Р1=1384 Г. Когда этот со-
сосуд нагрели до t = 40° С, то часть ртути вытекла и сосуд стал
весить Р2 = 1376 Г. Каков коэффициент объемного расширения
стекла Рг?
в 10—11. При отсчете показания барометра обычно делают
поправку на расширение шкалы и изменение плотности ртути
по сравнению с 0° С. Каково было бы показание барометра при
0° С, если при 30° С оно равно 758,2 мм? Шкала барометра
латунная.
О 10—12. Ртутный термометр со стеклянной шкалой, уста-
установленный на паропроводе, частично утоплен в изоляции паро-
паропровода так, что снаружи видны деления шкалы выше 27° С. Ре-
Резервуар термометра соприкасается с паром и имеет его темпера-
температуру. Температура воздуха в помещении 30° С. Принимая во вни-
внимание, что термометр градуирован в условиях, обеспечивающих
одинаковость температуры по всей длине термометра, определить
температуру пара, если термометр показывает 170° С.
§11. Свойства идеальных газов
1) Характеристическое уравнение для идеальных газов
(уравнение Клапейрона — Менделеева)
ру = -2L
63
или
где р — давление, V — общий и v — удельный
объемы газа, т — масса газа, \i — молекулярный вес,
Т — абсолютная температура газа, R — универсальная
газовая постоянная.
2) Давление смеси газов равно сумме парциаль-
парциальных давлений газов, ¦ составляющих смесь.
3) Барометрическая формула
Рис. 11—1. р, g р
4) При решении задач принимать, что абсо-~
н кГ
лютное давление газов в баллонах на 9,8 • 104—~г= 1—г больше
Jn СЛ1
показания манометров. В первых 5 задачах считать температуру
постоянной.
0 11—1. Сколько качаний надо сделать, чтобы при помощи
насоса, захватывающего при каждом качании 40 см3 воздуха, на-
наполнить пустую камеру шины велосипеда настолько, чтобы пло-
площадь ее соприкосновения с дорогой была равна 60 еле2? Нагрузка
на колесо равна 35 кГ. Объем камеры равен 2000 см3. Давление
кГ
атмосферы принять равным 1 упг • Жесткостью покрышки камеры
пренебречь.
0 11—2. В чашечный ртутный барометр попал пузырек воз-
воздуха, вследствие чего барометр показывает давление меньше
истинного. При сверке его с точным барометром оказалось,
что при давлении 768 мм pm. ст. барометр показывает
748 мм рт. ст., причем расстояние от уровня ртути до верхнего
основания трубки равно 80 мм.
Каково истинное давление, если барометр показывает
734 мм рт. ст. (температура воздуха та же)?
в 11—3. В запаянной с одного конца стеклянной трубке,
длина которой 70 см, находится столбик воздуха, запертый
сверху столбиком ртути высотой 20 см, доходящим до верх-
верхнего края трубки (рис. 11—1). Трубку осторожно переверты-
перевертывают, причем часть ртути выливается.
а) Какова высота х столбика ртути, который останется в труб-
*е, если атмосферное давление соответствует давлению столба
ртути высотой 75 см?
б) При какой длине трубки столбик ртути той же высоты
выльется из трубки полностью?
О 11—4. На рисунке 11—2 изображен манометр для малых
давлений. Трубка С соединяет прибор с испытуемым резервуа*
ром. При поднимании сосуда А находящаяся в нем ртуть дохо-
доходит до сосуда D, разобщая при этом находящийся в нем газ с
64
Рис. 11—2.
испытуемым резервуаром. При дальнейшем под-
поднятии ртуть входит в одинаковые капилляры
Ki и Kz. Каково давление газа в испытуемом
сосуде при таких данных: объем сосуда D ра-
вен 130 см9; внутренний диаметр капилляра '
равен 1,1 мм; разность уровней в капилля-
капиллярах 23 мм; уровень ртути в капилляре К*
совпадает с концом капилляра КЧ?
0 11—5. На рисунке 11—3 изображен
прибор для измерения объемов — волюмметр.
На нем произведены такие измерения.
1) Открыв кран К", соединили трубку
АВ и сосуд Z с атмосферным воздухом. За-
Затем трубка С была приведена в такое по-
положение, что ртуть стояла на уровне I.
2) Закрыв кран К, медленно подняли
трубку С настолько, что ртуть достигла уров-
уровня "п. Отсчитали разность уровней ртути в
трубках С к В: /и=18,5 см.
3) Открыв кран К, в сосуд Z поместили
m=72 e зерен ржи. Установили ртуть на
уровне / и снова закрыли кран К-
4) Подняли трубку С настолько, что
ртуть поднялась до уровня п, измерили разность уровней ртути
в трубках /i2=30,5 см.
Определить на основании этих измерений плотность D зерен
ржи, если известно, что внутренний объем сосуда вместе с объе-
объемом канала трубки до черты п равен V = 152 см3.
О 11—6. Манометр на баллоне со сжатым газом при темпе-
ратуре 18°С показывает давление 84 — • Ка-
Какое давление он будет показывать, если' тем-
температура" понизится до —23Х!? Изменением
емкости баллона вследствие охлаждения пре-
пренебречь.
О 11—7. Газ при давлении 745 мм, рт. ст.
и при температуре 20°С имеет объем 164 см3.
Каков объем той же массы газа при нормаль-
нормальных условиях?
© 11—8. Компрессор захватывает при
каждом качании 4 л воздуха при атмосфер-
атмосферном давлении и температуре —3°С и нагне-
нагнетает его в резервуар емкостью 1,5 м3, при-
причем температура воздуха в - резервуаре дер-
держится около 45°С. Сколько качаний должен
сделать компрессор, чтобы давление в резер-
вуаре увеличилось на 2 — .
Рис п_3
3 в.. и, с»х»ро»
0 11—9. Баллон емкостью 20 л наполнен сжатым воздухом.
кГ
При температуре 20°С манометр показывает давление 120 ~т*
К#кой объем воды можно вытеснить из цистерны подводной лод-
лодки воздухом этого баллона, если, вытеснение производится на
глубине 30 м и температура равна 5°С? Принять, что давление
кГ
столба воды высотой 10 м равно 1— ; давление атмосферы при-
кГ
нять равным 1 ~; ¦
О 11—Ю. Определить давление 4 кг кислорода, заключен-
заключенного в сосуд емкостью 2 м3, при температуре 29°С.
О И—Н« Определить удельный объем азота при температу-
температуре 27°С и давлении 4,9 • Ю4^-
О Н—12. Определить массу кислорода, заключенного в
баллоне емкостью 10 л, если при температуре —13°С манометр
кГ
на баллоне показывает давление 90 -~^ •
О 11—13. Из баллона со сжатым водородом емкостью 10 л
вследствие неисправности вентиля утекает газ. При температуре7°С
манометр показывал 50 :. Через некоторое время при температу-
СМ
ре 17°С манометр показал такое же давление. Сколько утекло газа?
© 11—14. По газопроводной трубе идет углекислый газ при
к
давлении р=3,9 • Ш5~г и температуре ?=7°С. Какова ско-
At
рость движения газа в трубе, если за т = 10 мин протекает т=
—2 кг углекислого газа и если площадь сечения канала трубы
S=5 ел»2?
G 11—15. По трубе диаметром 3 см течет воздух, давление
которого равно 50 am, а температура 0°С. При какой скорости
течение воздуха превратится из ламинарного в турбулентное?
Примечание. Вязкости газов практически не зависит от давления.
О 11—16. При начале подъема стратостата его оболочка на-
наполнена водородом лишь на — — — полногообъема. При поднятии
оболочка сначала раздувается. Затем объем стратостата пере-
перестает увеличиваться, и водород начинает вытекать из него сквозь
аппендикс. При этом давление и температура водорода внутри
стратостата и воздуха снаружи стратостата продолжают оста-
оставаться приблизительно равными между собой.
а) Показать, что при отсутствии вытекания водорода подъем-
подъемная сила стратостата остается неизменной, а при вытекании во-
водорода постепенно уменьшается.
б) Сколько водорода вытекло из стратостата, если при неиз-
неизменном объеме баллона подъемная сила уменьшилась на 27 кГ?
66
Э 11—17. Предаоложим, что температура воздуха в атмос-
атмосфере зависит от высоты таким образом, что плотность воздуха
по всей толще атмосферы одинакова. На каком расстоянии по
вертикали разность температур равна 1°С?
© 11—18. В вертикальном закрытом сверху и снизу цилинд-
цилиндре находится движущийся с ничтожным трением поршень. Над
и под поршнем находятся одинаковые массы одного и того же
газа при температуре Ti=300°K- Вес поршня уравновешивается
разностью сил давлений газа, если объем нижней части цилиндра
в п~Ъ раза меньше объема верхней части. Каково будет соотно-
соотношение объемов, если температура повысится до Т2=400°Ю
О П—19. Три баллона емкостью 3 л, 7 л и Ъ л наполнены
соответственно кислородом B am), азотом C am) и углекислым
газом @,6 am) при одной и той же температуре. Баллоны соеди-
соединяют между собой, причем образуется смесь той же температу-
температуры. Каково давление смеси?
G 11—20. Определить молекулярный вес газа, свойства ко-
которого соответствуют свойствам смеси 160 г кислорода и 120 г
азота.
G 11—21. Определить плотность смеси 4 г водорода и 32 г
кислорода при температуре 7°С и при давлении 700 мм рт. ст.
0 11—22. Топочный газ имеет следующий состав по весу
СОг — 21,4%, Н Ю — 6,8 %, N2 — 71,8 %. Определить удельный
кГ
объем такого газа при давлении 1 — и при температуре 500°/С.
см2
О И—23. Давление воздуха на уровне моря ро= 750 мм
рт. ст., а на вершине горы 590 мм рт. ст. Какова высота горы,
если температура воздуха равна /=5°С?
Э 11—24. Предположим, что внутри вертикальной трубы вы-
высотой 100 м находится воздух при температуре 500°К"; снаружи
труба окружена воздухом при температуре 250°К. Труба сверху
открыта, а внизу отделена от наружного воздуха заслонкой пло-
площадью 300 см2. Какая сила действует на заслонку, если давле-
давление воздуха у верхнего конца трубы равно 740 мм рт. ст.?
© 11—25. Трубка длиной 22 см вращается около вертикаль-
вертикальной оси, проходящей сквозь ее середину, с частотой оборотов,
равной 30 сект1. Температура воздуха 16°С. Принимая давление
воздуха внутри трубки вблизи ее открытых концов равным атмо-
атмосферному G60 мм рт. ст.), определить давление в середине трубки.
§ 12. Первый принцип термодинамики в применении
к идеальным газам
1) Первый принцип термодинамики
<Ю = — pdV + dQ,
где dU — изменение внутренней энергии газа; pdV — работа про-
против внешнего давления; dQ — количество притекающей теплоты.
з* 67
2) Удельные теплоемкости идеальных газов зависят от при-
природы газа (от молекулярного веса) и от характера процесса, при
котором газ поглощает теплоту. При некоторых процессах (см.
задачу 12—22) удельные теплоемкости газов зависят, кроме то-
того, от температуры. Удельные теплоемкости при изохорическом
и изобарическом процессах cv и ср не зависят от температуры.
3) Внутренняя энергия идеального газа
U = cvmT = &— , где х = ?*..
к —2 cv
4) Связь между удельными теплоемкостями идеального газа
<, = *, + *•
5) Работа при изотермическом процессе
А = Q = PiV± In ^ = ^RT In-^t..
P. С Pa
6) Уравнение адиабатного процесса
pVx = const.
О 12^-1. Принимая отношение теплоемкостей для двухатом-
двухатомных газов равным и=1,4, вычислить удельные теплоемкости:
а) кислорода; б) азота.
О 12—2. Вычислить отношение к*=— для смеси 3 молей
аргона и 5 молей кислорода.
О 12—3. Баллон емкостью 10 л с кислородом при давлении
80 — и при температуре 7° С нагревается до 15,5°С. Какое ко-
косм2
личество теплоты при этом поглощается газом?
в 12—4. Сосуд, содержащий некоторое количество азота
при температуре h=15°C, движется со скоростью и=100 — .
сек
Какова будет температура fa газа в сосуде, если он внезапно ос-
остановится и если передачей теплоты стенкам можно пренебречь?
О 12—5. В комнате размером 90 м3 воздух сменяется пол-
ностью через 2 часа. Какое количество теплоты требуется для
обогревания воздуха в комнате за сутки, если температура воз-
воздуха в комнате должна быть 18°С, а наружный воздух имеет
температуру —5°С? Принять, что средняя плотность воздуха
1,25— .
л
0 12—6. Турбогенератор мощностью 3000 кет охлаждается
проточным воздухом. Какие объемы воздуха должны входить в
генератор и выходить из него в течение 1 сек, если коэффициент
полезного действия генератора равен 94%, температура воздуха,
выходящего из генератора, не должна превышать 50°С, темпе-
температура в машинном зале 20°С, давление воздуха 750 мм рт. ст.?
68
\
шш
© 12—7. В цилиндре керосинового двигателя
происходит быстрое сгорание горючей смеси. Ка-
Какая температура U и какое давление рг получатся
при сгорании, если объем камеры сгорания V=
= 10 л; давление перед сгоранием pi=5—' темпера-
см.2
тура /i=210°C; количество керосина в смеси
т=0,9 г, теплоемкость продуктов сгорания са =
=0,17 ~аЛ ; средний молекулярный вес горючей
г-град
смеси и=29,4 —-—; калорийность керосина
МОЛЬ
ЮООО^-? Рис. 12-1
Указание Рассчитывать нагревание ггрн сгорании, как изохорный
процесс, пренебрегая изменением объема за время сгорания
О 12—8. 200 г азота нагреваются при постоянном давлении
от 20°С до 100°С. Какое количество теплоты поглощается при
этом? Каков прирост внутренней энергии газа? Какую внешнюю
работу производит давление газа?
О. 12—9. В цилиндре под поршнем находится в замкнутом
пространстве воздух (рис. 12—1). Какая работа должна быть
произведена, чтобы поднять поршень на высоту hi=10 см, если на-
начальная высота столба воздуха равна he—15 см и если наружное
давление равно ро=760 мм рт, ст."? Площадь поршня 5=10 сжа.
Весом поршня можно пренебречь. Температура остается не-
неизменной.
G 12—10. а) Некоторая масса азота при давлении 1 am
имела объем 5 л, а при давлении 3 am — объем 2 л.
Переход от вервого состояния ко второму был сделан в два
этапа: сначала по изохоре, затем по изобаре. Определить из-
изменение внутренней энергии, количество теплоты и произве-
произведенную работу.
б) Произвести те же расчеты в случае обратного порядка
этапов: сначала по изобаре, затем по изохоре. Почему резуль-
результаты расчетов в случаях а) и б) различны?
© 12—11. Производится сжатие некоторой массы двух-
двухатомного газа (х =1,4) один раз изотермически, другой раз
адиабатно. Начальные температура и давление сжимаемого
газа оба раза одинаковы. Конечное давление в п раз больше
начального. Найти отношение работ сжатия при адиабатном
и изотермическом процессах. Рассмотреть случаи: а) п=2;
б) п=100.
О 12—12. Прибор, изображенный на рисунке 12—2 (воздуш-
(воздушное огниво), служит для демонстрирования нагревания воздуха
при адиабатном сжатии. Определить температуру воздуха в
69
огниве при быстром уменьшении объема в 10 раз,
если начальная температура 15°С.
0 12—13. Некоторая масса сухого воздуха под-
поднимается в атмосфере в широком потоке такого же
воздуха; теплообмен этой массы с внешними тела-
телами практически отсутствует. Каково изменение тем-
температуры воздуха (М) при подъеме на высоту
Д/1=500 м>
Указание. При расчете надо принять во внимание, что
при подъеме воздуха за счет его внутренней энергии увеличи-
увеличивается его потенциальная энергия и производится работа рас-
расширения.
0 12—14. В четырехтактном двигателе Дизеля
засосанный атмосферный воздух в объеме 10 л под-
Рис. 12—2. вергается 12-кратному сжатию. Предполагая процесс
сжатия адиабатным, определить конечное давление,
конечную температуру и работу сжатия, если начальное давле-
давление и температура равны 1 am и 10Х,.
Q 12—15. а) Начальные и конечные состояния некото-
некоторой массы азота такие же, как и в задаче 12—10. Переход от
первого состояния ко второму был произведен тоже в два
этапа: сначала по адиабате, затем по изохоре. Определить
изменение внутренней энергии, количество теплоты и произве-
произведенную работу.
б) Произвести те же расчеты при обратном порядке этапов
перехода.
@ 12—16. В цилиндре, закрытом с обоих концов и напол-
наполненном воздухом, находится поршень, разделяющий простран-
пространство в цилиндре на две равные части (рис. 12—3). Давление
воздуха на обе стороны поршня равно ро=1 am. Поршень
отклоняется от положения равновесия на незначительное
расстояние и начинает колебаться, причем процессы в газе
можно считать адиабатными. Определить период этих колеба-
колебаний, если масса поршня равна т=1,5 кг; расстояние от порш-
поршня до стенки равно 1=20 см и площадь поршня S=100 см%.
Трение ничтожно мало.
О 12—17. Начертить примерные графики изохорического,
изобарического, адиабатного
и изотермического процессов
на диаграммах: а) Т, р;
б) Т, V; в) Т, U и г) V, U.
Q 12—18. Баллоны со стен-
стенками из непроводящих тепло-
теплоту материалов, объемы кото-
которых равны Vi и Vt, содержат
два газа, имеющих давления
pi и р2 и температуры Т\ и Та.
-I-
Рис. 12—3.
Баллоны соединены трубкой с краном. Кран открывается,
происходит перемешивание газов, и устанавливается общее дав-
давление р и общая температура Т. Отношение теплоемкостей при
изобарическом й" при изохорическом процессах для обоих газов
одно и то же. Определить р и Т.
0 12—19. На рисунке 12—4 показана «теоретическая» диа-
диаграмма работы компрессора двойного действия (при опытных
исследованиях получаются закругленные углы). Часть АВ соот-
соответствует изотермическому сжатию воздуха; ВС — проталкива-
проталкиванию воздуха в резервуар (давление остается постоянным);
CD — мгновенному уменьшению давления в цилиндре компрес-
компрессора при закрытии выпускного клапана и открытии впускного;
DA — впуску воздуха при давлении одной атмосферы. Показать,
что работа компрессора за 1 оборот равна работе для изотерми-
изотермического процесса и выражается площадью ABGF.
0 12—20. Компрессор должен давать в час 50 м6 сжатого
„ кг
воздуха при давлении о —-. Компрессор охлаждается проточной
водой, так что процесс сжатия .можно считать изотермическим.
а) Какой мощности мотор требуется к компрессору, если
к.п.д. последнего 60%?
б) Какое количество проточной воды требуется, если темпе-
температура ее в змеевике компрессора повышается от 11°С до 17°С?
кГ
Наружное давление считать равным 1 —2.
Ф 12—21. Двигатель "внутреннего сгорания работает по
циклу, теоретическая диаграмма которого представлена на ри-
рисунке 12—5. Процесс 1—2 — сжатие горючей смеси; 2—3 —
вспышка; 3—4 — рабочий ход; 4—5 — падение давления при от-
открывании выпускного клапана; 5—6 — выпуск отработавших
газов; 6—1 — засасывание горючей смеси. Принимая во внима-
внимание, что процессы 1—2 и 3 — 4 могут считаться адиабатными и
что процессы 2—3 и 4—5 могут быть заменены изохорическими
процессами, вычислить максимальный к.п.д. двигателя, если
V
известно, что
равно 1,3.
= 4 . — для горючей смеси и продуктов сгорания
Рис. 12—5.
71
Ф 12—22. а) Показать, что процесс, при когором во время из-
изменения температуры газа производится работа, пропорцио-
пропорциональная разности конечной и начальной температур, может быть
описан уравнением вида ,.„ ,
^ pVn =^ const,
где п — постоянно (политропический процесс).
б) Показать, что при политропическом процессе удельная
теплоемкость газа не зависни1 от температуры.
в) Выяснить, являются ли политропическими следующие
процессы:
1) Процесс, происходящий при нагревании прибора, описан-
описанного в задаче 11—18.
2) Процесс, который происходит при повышении температуры
газа в сосуде А (рис. 12—6). Давление вне сосуда А постоянно,
Пружина Р начинает растягиваться толь-
только после того, как поршень В, двигаясь
вправо, перейдет положение, показанное
на рисунке пунктиром.
Рис. 12—6.
Рис. 12—7.
3) Процесс, который происходит при повышении температуры
газа в левой части трубки, показанной на рисунке 12—7.
4) В приборе, показанном на рисунке 12—2, вдвигание порш-
поршня производится настолько медленно, что вследствие потери теп-
теплоты сквозь стенки изменение температуры газа при малом про-
продвижении поршня вдвое меньше, чем при быстром вдвигании на
то же расстояние.
г) Как изменяются при повышении температуры удельные
теплоемкости газа в случаях 1), 2), 3) и 4)?
§ 13. Кинетическая теория газов
1) Средняя квадратичная скорость и средняя скорость частиц
f —;
w
где v — скорость частицы; w — число частиц.
2) Постоянная Больцмана
где R — газовая постоянная; N — число Авогадро.
72
с =
3) Давление газа
р — — time2 = nkT,
где т — масса молекулы; п — число молекул в I cms (концент-
(концентрация молекул).
4) Средняя квадратичная скорость молекул газа и частиц
-т/Ж".
? т
5) Закон Максвелла о распределении газовых молекул по
интервалам скоростей
An = п —г=-. — ' е р* Ди = nf (v) Ди,
Y% рз iv/.
/2RT
—• есть скорость, соответствующая максимуму
функции распределения по интервалам скоростей / (v) и назы-
называется наиболее вероятной скоростью.
6) Средняя скорость при максвелловском распределении
и =
яц
7) Число столкновений одной молекулы за 1 сек
где о — диаметр молекулы.
8) Средний свободный пробег
1
X =
V2 Я02/г
9) Вязкость газа
т) = 0,49 БЫ,
где D — плотность газа.
10) Число молекул v, ударяющих за 1 сек в площадку 1 'см2,
помещенную в газе,
4
О 13—1. В сосуде емкостью 230 ом3 находится газ при да-
давлении 0,01 мм и температуре 7° С. Сколько молекул находится
в сосуде?
© 13—2. Плотность смеси азота и водорода при температу-
г
ре 47° С и давлении 2 отлравна 0,3~". Какова концентрация мо-
молекул водорода в смеси?
0 13—3. В стеклянном сосуде сферической формы с внут-
внутренним диаметром 3 см находится азот, давление которого при
73
' 6П температуре 190° С равно 0,01 ммрт. ст.
На стенках сосуда имеется мономоле-
мономолекулярный слой адсорбированного азота.
Площадь, занимаемая одной молекулой
азота на стенке, равна 1 • 10~15 слЛ
,_v Каково давление азота в сосуде при
Рис. 13—1 температуре 427° С, при которой азот
полностью десорбируется со стенок?
Э 13—4. Сосуд, содержащий некоторое количество газа, дви-
движется со скоростью v, затем внезапно останавливается.
На сколько увеличится при этом квадрат средней квадратич-
квадратичной скорости молекул газа: а) в случае одноатомного газа?
б) в случае двухатомного газа? Каков физический смысл полу-
полученного результата3
О 13—5. Определить среднюю квадратичную скорость газо-
газовых молекул: а) кислорода при 132° С; б) гелия при 0,1° К.
О 13—6, Какая температура соответствует средней квадра-
квадратичной скорости молекул углекислого газа, равной 720 — ?
О 13—7. Определить среднюю квадратичную скорость ка-
капельки воды с радиусом 10~в см, взвешенной в воздухе при
17° С.
О 13—8. На рисунке 13—1 дан график, показывающий рас-
распределение скоростей молекул газа по закону Максвелла. По
оси абсцисс отложена скорость молекул v; по оси ординат отложе-
отложена величина — • —, где Ди — число молекул, обладающих ско-
п Av
ростями, заключенными в пределах между v и v -f- \v\ n — об-
общее число молекул в данном объеме.
а) Откуда вид-но, что средняя скорость больше наиболее вероят-
вероятной скорости?
б) Чему равна общая площадь, ограниченная осью абсцисс
и графиком?
в) Как надо изменить абсциссы и ординаты графика, соот-
соответствующие температуре 7\, чтобы получить график распределе-
распределения скоростей при температуре Г2? Начертите приблизитель-
приблизительно график, соответствующий в 4 раза более высокой темпера-
температуре.
О 13—9. Определить среднюю и наиболее вероятную скоро-
скорости молекул кислорода при 132° С.
О 13—10. Чему равна вероятность того, что какая-нибудь
молекула имеет скорость, точно равную наиболее вероятной ско-
скорости?
0 13—11. Кроме распределения газовых молекул по интер-
интервалам скоростей, указанного в пункте 5) введения к настоящему
параграфу, можно рассматривать распределение молекул по
интервалам энергий, а также по интервалам логарифмов скорос-
скоростей или энергий.
74
а) Показать, что максимум функций распределения по интер-
интервалам энергий молекул соответствует скорости vo = -?= .
б) Показать, что максимум функции распределения молекул
по интервалам логарифмов скоростей молекул или их энергий
соответствует средней квадратичной скорости.
в 13—12. а) Какой процент молекул обладает скоростями,
разнящимися от наиболее вероятной не более чем на 1%?
б) Тот же вопрос относительно средней квадратичной скорости.
в) Почему в случае б) получается более высокий процент,
чем в случае а)?
в 13—13. Показать, что число молекул некоторой массы га-
газа, скорости которых меньше средней квадратичной скорости и
больше средней, одно и то же при любой температуре.
0 13—14. Как изменится концентрация молекул двухатомно-
двухатомного газа, скорости которых отличаются от наиболее вероятной
скорости не более чем на 1 — , если произойдет адиабатное рас-
рассек
ширение в два раза?
О 13—15. Найти число молекул азота, заключающихся при
нормальных условиях в 1 см3 и обладающих скоростью: а) ме-
между 99 — и 101 — ; б) между 499 —и 501 —.
сек сек сек сек
Q 13—16. При какой температуре число молекул азота, об-
обладающих скоростями в интервале 299 — —301 — , равно чис-
сек сек
лу молекул, обладающих скоростями в интервале 599 —
сек
601 — ?
сек
О 13—17. Средняя относительная скорость движения двух
молекул г = и J/2,' где и — средняя скорость по отношению к
стенкам сосуда. Какой вывод можно сделать отсюда о среднем
значении угла между скоростями молекул?
О 13—18. При каком давлении средняя длина свободного
пробега молекул азота равна 1 мм, если при нормальном да-
давлении она равна 6 ¦ 10~в см?
О 13—19. При каком давлении средняя длина свободного
пробега молекул водорода равна 2,5 см? Температура 68° С.
G 13—20. Найти среднюю продолжительность свободного
пробега молекул кислорода при давлении 2 мм рт. ст. и при
27° С.
0 13—21. Определить число всех столкновений между моле-
молекулами, которые произойдут в течение I сек в I см3 азота при
нормальных условиях.
О 13—22. Средняя длина свободного пробега в азоте равна
при нормальных условиях 6 • 10~6 см. Некоторая масса азота пе-
перешла от нормальных условий к состоянию, при котором ее
75
температура равна 300° С. Какова длина свободного пробега в
новом состоянии азота, если процесс перехода был: а) изохори-
ческим; б) изобарическим; в) адиабатическим?
0 13—23. Как изменится вязкость двухатомного газа, со-
состояние которого далеко от вакуума, при уменьшении объема в
два раза, если процесс перехода был: а) изотермическим; б) изо-
изобарическим; в) адиабатическим?
0 13—24. Зная вязкость кислорода (см. таблицу XII), опре-
определить длину свободного пробега в нем при нормальных усло-
условиях.
0 13—25. Вязкость некоторого газа определяется методом
измерения силы трения между пластинами, отделенными друг от
друга слоем этого газа толщиной 0,9 мм. При давлении 2,8 —
вязкость газа оказалась равной 0,80- Ю~ъН 'сек , при давлении
10,9— и давлении 16,0 — вязкость равна 1,9 • 10~5 ^^.
Какова приблизительно длина свободного пробега молекул этого
газа при нормальном давлении'
О 13—26. Сколько молекул ударяется за 1 сек в 1 см2 стен-
стенки сосуда, в котором находится кислород при давлении
750 мм рт. ст. и температуре 20° С?
0 13—27. Как изменится число ударов двухатомного газа в
1 аи2 стенки в сосуде за 1 сек, если объем газа адиабатно уве-
увеличится в y — 2 раза?
© 13—28. Предполагая, что каждая молекула кислоррда, по-
попавшая на поверхность металлического волоска в калильной
лампе, адсорбируется, рассчитать, сколько времени требуется
для покрывания волоска мономолекулярным слоем кислорода,
если давление его равно р = 1 • 1Сг;8 мм рт. ст., а температура
t — 27° С. Принять, что каждая молекула кисл'орода занимает на
поверхности волоска площадь S = 9 • 10~16 см2.
§ 14. Реальные газы. Критическое состояние
1) Уравнение Ван-дер-Ваальса
где р — давление, Vp. — объем 1 моля веществ, R — универ-
универсальная газовая постоянная, а и b — постоянные Ван-дер-Вааль,-
са (см. таблицу XVIII). В случае, если газ не уплотнен и имеет
место соотношение V^ ^> b, уравнению Ван-дер-Ваальса можно
придать вид:
76
2) Соотношение между постоянными Ван-дер-Ваальса и па-
параметрами критического состояния (Vk — критический объем
1 моля газа)
О 14—1. Каков физический смысл выражения (р+— )?
О 14—2. 1 моль аргона имеет при температуре 300° К объем
1 л. Вычислить давление аргона: а) считая, что он обладает
свойствами идеального газа; б) принимая во внимание поправку
Ван-дер-Ваальса на давление, но пренебрегая поправкой на
объем; в) принимая во внимание поправку на объем, но прене-
пренебрегая поправкой на давление; г) принимая во внимание обе
поправки Ван-дер-Ваальса.
О 14—3. Вычислить, пользуясь формулой Ван-дер-Ваальса,
давление массы от = 1,1 кг углекислого газа, заключенного в
баллоне емокостью V = 20 л, при температуре t = 13° С. Сравнить
результат с давлением идеального газа при тех же условиях.
О 14—4. Вычислить температуру, при которой давление кис-
кислорода, имеющего плотность 100—, равно 70 йт. Сравнить с
Л
идеальным газом.
Э 14—5. В баллоне емкостью 20 л находится 80 молей неко-
некоторого газа. При 14° С давление газа равно 90 am; при 63° С
давление газа равно 109 am. Вычислять постоянные Ван-дер-
Ваальса для этого газа.
© 14—6. Рассмотреть, пользуясь формулой Ван-дер-Вааль-
Ван-дер-Ваальса, изотермические процессы в газах такой плотности, что усло-
условие VV ^> Ь является выполненным.
а) При какой температуре газ более сжимаем, чем идеальный,
при какой менее сжимаем?
б) При какой температуре изотермические процессы в газе
протекают так же, как в идеальном газе? Найти эти температу-
температуры для углекислого газа и для водорода.
0 14—7. Газ расширяется при постоянной температуре
B7° С), причем объем 1 моля газа увеличивается от 1,5 до 15 л.
Принимая, что условие Vy. ^> b выполняется, определить, поль-
пользуясь формулой Ван-дер-Ваальса, работу при расширении 1 моля
газа. Сделать расчеты: а) для азота; б) для водорода.
Ф 14—8. В опыте Джоуля — Томсона измеряется изменение
температуры газа при его дросселировании (течении газа в ус-
условиях тепловой изоляции и значительном перепаде давления,
например сквозь ватный тампон, рис. 14—1). В курсах физики
доказывается, что при дросселировании газа имеет место соот-
соотношение
PtVt + U, - p2V2 + U,,
где U — внутренняя энергия газа.
77
Рис. 14—1.
а) Пользуясь указанным соотношением, показать, что в слу-
случае идеального газа температура газа при дросселировании
остается постоянной.
б) Сделать, пользуясь формулой Ван-дер-Ваальса, прибли-
приближенный подсчет изменения температуры: 1) углекислого газа,
2) водорода (при дросселировании от давления pi = 2 am до да-
давления р2 = 1 am при начальной температуре 17° С). Принять, что
при этих условиях l/f»fi и изменение внутренней энергии при
дросселировании мало (меняется только соотношение между ки-
кинетической энергией теплового движения молекул и потенци-
потенциальной энергией их взаимодействия).
О 14—9. Найти критическую плотность воды.
G 14—10. Найти критическое давление и температуру
аргону.
0 14—11. Найти постоянные а и b уравнения Ван-дер-
Ваальса для углекислого газа по его критическим давлению
рк = 73 am и температуре tk = 31,1° С.
© 14—12. Для демонстрирования критического состояния
употребляют прибор русского физика Авенариу-
Авенариуса (рис. 14—2), в котором производится нагре-
нагревание запаянной трубки с этиловым эфиром.
а) Какую часть объема трубки должен зани-
занимать эфир при температуре 20° С, если мы хотим,
чтобы при достижении критической температуры
весь объем трубки был заполнен эфиром в крити-
критическом состоянии? Молекулярный( вес эфира ра-
равен 74 г • моль~х. Критические температура и дав-
давление эфира равны 193,8° С и 35,6 am.
б) Что будет происходить при повышении тем-
температуры, если объем трубки больше или меньше
критического объема эфира, заключенного в трубке?
в) Начертить примерные графики р, t для слу-
случаев, когда объем трубки равен, больше и меньше'
критического объема эфира в трубке. Для упроще-
упрощения чертежа принять, что при температурах вы-
Рис. 14—2. ше критической эфир имеет свойства идеального газа.
78
( r-^
Ф 14—13. В замкнутом сосуде, содержащем
некоторое вещество в виде жидкости, поддержива-
поддерживается постоянное давление (это схематически пока-
показано на рис. 14—3). Температура постепенно повы-
повышается от значения меньше критической до значе-
значения больше критической. Начертить примерные
графики зависимости объема вещества от темпе-
температуры для случаев: а) давление равно критиче-
критическому; б) давление больше критического; в) давле-
давление меньше критического. Для упрощения чертежа
принять, что при температурах выше критической Рис. 14—3.
вещество имеет свойства идеального газа.
0 14—14. При приближении вещества к критическому со-
состоянию ,теплоемкость при постоянном давлении беспредельно
растет. Объяснить это.
§ 15. Молекулярные силы в жидкостях
1) Если две жидкие (или жидкая и газообразная) среды гра-
граничат по кривой поверхности с главными радиусами кривизны
i?t и R2, то при равновесии имеет место разность давлений в
этих средах
где а — поверхностное натяжение.
2) Работа при изотермическом увеличении поверхности жид-
жидкости на величину AS
A =o.\S.
3) Высота поднятия жидкости в капилляр-
капиллярных трубках
, 2ст cos ¦&
rgD
4) Краевой угол ¦& для случая смачивания —Ц ?-—змм
во всех задачах предполагается равным ну-
нулю; краевой угол для ртути 138°.
5) Температура во всех задачах предпола-
предполагается равной 20° С (кроме задачи 15—1). ,
О 15—1. Какова плотность воды в капель-
капельке, радиус которой равен 107* см ПРИ * = 4° С?
© 15—2. Из крана вытекает вертикальная
струя воды. Диаметр струи на протяжении
3 см уменьшается с 3 до 2 мм (рис. 15 — 1).
Какой объем воды протекает за 1 сек? Рис. 15—1.
Указание. При расчете разности давлений воды и воздуха для неко-
некоторого уровня принимать поверхность струи за цилиндрическую.
79
15—3. а) Какую работу надо про-
произвести, чтобы выдуть мыльный пу-
пузырь диаметром d = 14 см., если процесс
раздувания пузыря изотермический?
б) Чему равно избыточное давление
внутри этого пузыря?
G 15—4. Поверхностное натяжение
на границе вода — масло можно при-
эрг
нять равным а = 18 —г . Какую ра-
Рис. 15-2. см*
боту надо произвести, чтобы каплю
масла с массой т = 1 г раздробить
внутри воды на капельки диаметром d — 2 • 10~* см, если процесс
дробления происходит изотермически? Плотность масла Z)==0,9—.
смг
Ф 15—5. На двух одинаковых воронках выдуты два мыль-
мыльных пузыря. Кран К. закрыт (рис. 15—2).
а) Показать, что при одинаковых диаметрах пузырей имеет
место равновесие, причем это равновесие является устойчи-
устойчивым в случае, если каждый из пузырей имеет форму полусфе-
полусферы или меньше ее, и неустойчивым, если пузыри имеют фор-
форму большей части сферы.
б) Пусть диаметры отверстий воронок равны 4 см, и на
них выдуты пузыри с диаметрами по 5 см. Воздух из одного
пузыря будет перетекать в другой пузырь, пока радиусы кри-
кривизны пузырей не сделаются снова равными. Принимая, что
плотность воздуха при перетекании из одного пузыря в другой
не меняется, определить диаметр большего пузыря.
Примечание. При решении принять во внимание, что объем сег-
сегмента шара вычисляется по формуле
V = — 12d3± Vd% — a* Bd* + a2)],
24 L
где d — диаметр шара, а — диаметр основания сегмента. Знак «+ » ставится
в том случае, если центр шара находится внутри сегмента, знак « — » в
противоположном случае.
0 15—6. Капля воды равномерно падает в воздухе. На
сколько радиус кривизны в нижней точке ее поверхности отли-
отличается от радиуса кривизны в верхней точке ее поверхности, если
расстояние между этими точками равно d = 2 мм?
О 15—7. В проволочное сито, все проволочки которого по-
покрыты тонким слоем парафина, можно налить воду. Каким обра-
образом удерживается вода в сите? Почему сито протекает, если кос-
коснуться его снизу пальцем?
Э 15—8. Круглая стеклянная пластинка прикасается к воде
(рис. 15—3). Ее тянут кверху посредством пружины L.
а) Нарисовать несколько последовательных форм поверхно-
поверхности воды, получающихся при движении пластинки вверх. В ка-
80
кой момент пружинка натянута в наибольшей мере? Что проис-
происходит, если движение пластинки вверх продолжается после это-
этого момента?
б) Принимая для простоты расчета, что радиус кривизны R
(рис. 15—3) на высоте—равен—, и пренебрегая второй кривиз-
ной боковой поверхности воды под пластинкой, рассчитать силу,
с которой натянута пружинка L при отрыве от воды пластинки
с площадью сечения 5 = 20 см2.
0 15—9. Капиллярная трубка А (рис. 15—4) соединена ре-
резиновой трубкой В с широкой трубкой С. Трубку С медленно
поднимают вверх, причем жидкость в трубке А доходит до верх-
верхнего края, а затем выливается.
а) Нарисовать несколько последовательных положений уров-
уровня жидкости в трубке А при подъеме трубки С (в случаях сма-
смачивания и несмачивания). В какой момент разность уровней в
трубках С и Л будет наиболее велика?
б) Какова наибольшая разность уровней воды в трубках А
и С, если трубки стеклянные и если наружный диаметр трубки
А равен 0,7 мм.
в) Произвести тот же расчет для ртути, если диаметр внут-
внутреннего канала трубки А равен 0,55 мм.
0 15—10. Сквозь стеклянный капилляр, погруженный в жид-
жидкость, продувается воздух.
а) Нарисовать несколько последовательных положений уров-
уровня в капилляре и образования пузырька (в случаях смачивания и
несмачивания); В какой момент давление в капилляре наи-
наибольшее?
б) Вычислить разницу между наибольшим давлением в капил-
капилляре и давлением атмосферы в случае, если внутренний канал ка-
капилляра имеет диаметр dt = 0,8 мм; жидкость — скипидар, сма-
смачивающий стекло; глубина погружения капилляра /ц = 5 см.
в) Провести тот же расчет для ртути (не смачивает стекло):
Рис. 15—3.
Рис. 15—4.
81
Рис. 15—5.
Внешний диаметр капилляра йг = 1,2 мм. Глу-
Глубина погружения капилляра в ртуть h2 = 2 ел.
О 15—11. В спирт опущена на ничтожную
глубину трубка с диаметром внутреннего кана-
лач4 = 0,5 мм. Каков вес Р вошедшего в нее
спирта?
О 15—12. Стеклянная трубка имеет форму,
показанную на рисунке 15—5. Длина каждого
звена 10 см, а внутренний радиус в самой узкой
части равен 0,1 мм. Трубку опускают в вер-
вертикальном положении в сосуд с водой, а затем
медленно, без толчков, поднимают. Как будет
перемещаться уровень воды в трубке?
О 15—13. Две стеклянные трубки, внутрен-
внутренние диаметры которых равны 0,2 мм и 0,3 мм, соединены внизу
резиновой трубкой и заполнены водой. При каком условии
уровень воды в трубках одинаков?
® 15—14. В стеклянный капилляр с внутренним каналом
диаметром dt = 2 мм вставлена стеклянная палочка диамет-
диаметром d2 = 1,5 мм так, что просвет в канале всюду одинаков. Опре-
Определить высоту капиллярного поднятия воды в канале.
О 15—15. Когда жидкость поднимается по капиллярной
трубке на высоту h, то сила поверхностного натяжения F — 2яга
производит работу Fh = . Между тем потенциальная энер-
энергия столбика жидкости равна nr2hDg . - =-^- (itr2hDg — вес
h
поднятой жидкости; высота ее центра тяжести). Следо-
вательно, приращение потенциальной энергии равно половине
работы капиллярной силы. На что истрачена другая половина?
Ф 15—16. Внутри горизонтальной трубки, наружный и
внутренний диаметры которой равны 2,5 мм и 0,3 мм, нахо-
находится столбик воды. Трубку приводят в вертикаль-
вертикальное положение, причем часть воды нависает снизу
в виде капельки, которую можно принять за сег-
сегмент сферы с диаметром 3 мм (рис. 15—6). Ка-
Какова длина столбика воды при горизонтальном по-
положении трубки? (При решении принять во
внимание примечание к задаче 15—5.)
О 15—17. Стеклянная капиллярная трубка, диа-
диаметр внутреннего канала которой d = 0,2 мм, а дли-
длина h0 = 20 см, опускается в вертикальном положе-
положении в воду. Верхний конец трубки запаян. Какой
отрезок х трубки должен находиться под водой, что-
чтобы уровень воды л капилляре и вне его был одина-
Рис. 15—6. ков? Давление воздуха р = 750 мм рпг. ст.
82
015—18. а) Стеклянная капиллярная трубка, диаметр
внутреннего канала которой 1,5 мм, а длина 20 см,
опускается в горизонтальном положении в ртуть
так, что имевшийся в ней воздух полностью остается
в ней. Какая будет длина 1± столбика воздуха в
трубке, когда она будет опущена на глубину 10 см?
Давление воздуха нормальное.
б) Решить тот же вопрос для глубины погружения
0,5 см.
© 15—19. В изогнутой {/-образной капиллярной
трубке налиты две несмешивающиеся жидкости (на- Рис 15_7
пример, ртуть и вода, рис. 15—7). Справедливо ли в
этом случае соотношение
*3
§ 16. Свойства паров. Влажность воздуха
1) Таблицы XX и XXI.
2) При вычислениях, касающихся давления и плотности на-
насыщающих паров, следует при малых плотностях паров пользо-
пользоваться характеристическим уравнением для идеальных газов, а
при больших плотностях паров — уравнением Ван-дер-Ваальса
(см. введения к'§ 11 и 14).
3) Полной теплотой пара называется количество теплоты, тре-
требующееся для превращения 1 кг воды при 0° С в пар данной тем-
температуры.
4) Внешняя теплота парообразования
г = Р(Р, — v2),
где Vi и и2 — удельные объемы пара и жидкости
5) Давление паров вблизи сферической поверхности жидкости
Р = Ро + тг^ •
Do,r
где р0 — давление паров вблизи плоской поверхности; о — по-
верхностног натяжение; Dt и D2 — плотности пара и жидкости;
г — радиус сферы.
6) При решении задач этого параграфа можно полагать при
всех температурах удельную теплоемкость воды равной
1_^1_= 4185 —~— и удельный объем воды 1 —, пренебре-
пренебрегшей кг ¦ град г
гая небольшими изменениями их при повышении температуры.
О 16—1. Громадная часть поверхности Земли покрыта вод-
водной оболочкой. Почему, несмотря на это, атмосфера не насыщена
водяными парами?
О 16—2. Какого внутреннего диаметра следует сделать па-
паропровод от парового котла к двигателю, если по паропроводу
83
должно в течение часа проходить 400 кг
Рис 16—1.
пара при давлении 10— и при Темпера-
Темперами2
туре 200° С и если скорость движения пара
не должна превышать 40 — ?
сек
© 16—3. Предположим, что манометр,
описанный в задаче 11—4, присоединен к
резервуару, в котором находятся остатки
воздуха и насыщающие пары ртути. Како-
Каково давление в резервуаре при условиях за-
задачи 11—4, если отсчет по манометру про-
производился при температуре 20° С, которой
соответствует давление насыщающих паров
ртути, равное 0,0013 мм рт. ст.?
О 16—4. В комнате объемом 120 ла
при температуре 15° С относительная влаж-
влажность равна 60%. Определить массу водя-
водяных паров в воздухе комнаты.
О 16—5. Какова плотность воздуха при 29° G при относи-
относительной влажности 70% и нормальном давлении?
0 16—6. В замкнутом сосуде емкостью 2 л находятся 1 г
воды и воздух. При температуре 14° С давление в сосуде рав-
равно 760 мм рт. ст. Каково будет давление при температу-
температурах: а) 93° С? б) 100° С?
При расчете пренебречь изменением объема воздуха вследст-
вследствие испарения воды.
0 16—7. Резервуар газового термометра (рис. 16—1) наполнен
воздухом. Давление в резервуаре газа при 0° G равно 757 мм
рт. ст., а при помещении в сосуд с водой равно 840 мм рт.
ст. Рассчитать температуру воды: а) предполагая, что воздух
сухой; б) предполагая, что воздух при 15° С имеет 60% влажности.
© 16—8. В замкнутом прочном металлическом сосуде емко-
емкостью 1000 см3 находится 1 г воды и пара.
а) Сколько в сосуде пара и сколько воды, если температура 17,2°С?
б) При какой температуре сосуд будет наполнен одним насы-
насыщающим паром?
в) Сколько теплоты затрачивается при нагревании воды и пара
от 17,2° С до найденной температуры?
0 16—9. В замкнутый сосуд емкостью б л, содержащий на-
кР
сыщающий пар при Давлении 2 —-, вбрызгивается некоторое
см
количество воды при 10° С. Давление пара в сосуде понижается
кГ
до 1—. Какое количество воды введено в сосуд?
см2
О 16—10. Определить внешнюю теплоту парообразования
кГ кГ
воды при давлении: а) 0,02 и б) 10——.
сш% смг
.84
О 16—11. Определить изменение внутренней энергии при
превращении в пар 4 г спирта во время кипения при нормальном
давлении G8° С). Удельный объем паров спирта 607—. Тепло-
2
та кипения спирта 206 —.
г
© 16—12. В воде на глубине 35 см находится пузырек
воздуха диаметром 0,1 мм. Давление атмосферы равно 750 мм
рт. ст. Температура воды 21° С. Каково давление воздуха
внутри пузырька?
0 16—13. При отсутствии пузырьков воздуха в жидкости ее
можно перегреть несколько выше точки кипения. Предположим,
что при нормальном атмосферном давлении вода перегрета до
105° С. Высота уровня воды относительно дна равна 20 см. Опре-
Определить диаметр пузырька пара вблизи дна, при котором давле-
давление пара в пузырьке и давление жидкости уравновешиваются.
Является ли это равновесие устойчивым?
О 16—14. Каково давление водяных паров вблизи капельки
воды, радиус которой 5 ¦ 10~6 см, при температуре 10° С?
© 16—15. В 1 л3 охлаждающегося воздуха находится 8,3 г
водяных паров.
а) При какой температуре начнется конденсация, если центра-
центрами конденсации являются пылинки, которые можно принять за
шарики с диаметром 10~5 аи?
б) При какой температуре начнется конденсация в пористом
материале, смачиваемом водой, если диаметр каналов в нем ра-
равен 10~5 см?
Q 16—16. Принимают, что у = 0,036 всех молекул водяного
пара, попавших на. поверхность_воды, задерживаются ею. Под-
Подсчитать массу всех молекул, вылетающих в течение 1 сек с 1 смг
воды при 100° С в находящийся над ней насыщающий водяной
пар.
§ 17. Свойства растворов
1) Осмотическое давление т граммов вещества с молекуляр-
молекулярным весом \i, растворенных в объеме V раствора:
а) П = для недиссоциирующих веществ;
От1
б) П = [ 1 -J- a (k — 1)] для диссоциирующих веществ, где
а — доля диссоциированного вещества; k — число ионов, полу-
получающихся при диссоциации одной молекулы.
2) Точка кипения раствора, содержащего 1 г вещества с мо-
молекулярным весом \i на 100 см3 растворителя, выше точки кипе-
кипения чистого растворителя на
85
z
.--
л
V
где С — постоянная для данного растворителя
величина (для не диссоциирующих в растворе
веществ).
3) Количество газа, растворенного в жид-
жидкости, пропорционально парциальному давле-
давлению этого газа над жидкостью.
О 17—1. Каково осмотическое давление 8 г
нафталина (С10Н8), растворенных й 110 г бензо-
бензола, при температуре 27° С? (Нафталин,, раство-
растворяясь в бензоле, не диссоциирует.)
О 17—2. В 500 см3 воды растворено 1,5 г хло-
хлористого натрия. Каково осмотическое давление
Рис. 17—1. в растворе при 0° С, если считать, что хлористый
натрий полностью диссоциирован?
О 17—3. Какое количество т^ хлористого натрия (NaCl)
надо растворить в 100 см3 воды, чтобы получить"раствор с таким
же осмотическим давлением, какое имеет раствор т2= 0,4 г
хлорной меди (СиС12), растворенные в таком же объеме воды
и при той же температуре? Считать, что в обоих случаях
имеется полная диссоциация растворенного вещества.
0 17—4. Цилиндрическая трубка А (рис. 17—1) с пло-
площадью сечения 2 см2 содержит раствор сахара (С12 Н22 Оц).
Снизу она закрыта перепонкой С, пропускающей чистую воду,
но не пропускающей сахара (перепонка из железистосинеро-
дистой меди). Трубка А опущена в сосуд В с чистой водой,
причем перепонка С находится на высоте Нл = 3 см ниже уров-
уровня воды в сосуде В. При равновесии уровень раствора в труб-
трубке А на высоте к = 10 еж выше уровня воды в сосуде В. Температу-
Температура 13° С. Плотность раствора мало отличается от плотности во-
воды. Сколько сахара растворено в трубке Л?
0 17—5. Предположим, что сосуд В с трубкой А (рис. 17—1)
находится в пространстве, наполненном паром растворителя.
Показать, что давление пара над слабым раствором меньше да-
давления пара над чистым растворителем на величину
где Di — средняя плотность пара между уровнями в трубке и в
сосуде; D2 — плотность раствора^ р — давление пара над чистым
растворителем; пь и пр — концентрации (числа в 1 еж3) моле-
молекул растворенного вещества и растворителя.
© 17—6. В 500 см3 воды растворено 15 г сахара. Каково
давление паров над раствором, если температура раствора
100° С? Плотность раствора принять равной 1 — .
СМ'
.3
О 17—7. При нормальном атмосферном давлении раствор
хлористого натрия в воде кипит при температуре выше 100° С.
Какова температура паров над раствором?
86
© 17—8. а) Точка кипения воды вблизи 100° С при повыше-
повышении давления на 3 мм рт. ст. повышается на 0,1 Г С. Опреде-
Определить для воды постоянную С.
б) Каков молекулярный вес вещества, если раствор 10 г это-
этого вещества в 100 см3 воды кипит при температуре на 0,18° С вы-
выше, чем чистая вода? Вещество при растворении не диссоции-
диссоциирует.
0 17—9. На сколько точка кипения раствора 1,5 г хлористо-
хлористого натрия в 200 си3 воды выше точки кипения чистой воды? При-
Принять, что хлористый натрий полностью диссоциирован.
О 17—10. При температуре 20° С один литр воды поглощает
28 см3 кислорода. Какова плотность кислорода в воде, находя-
находящейся в соприкосновении с атмосферным воздухом при нормаль-
нормальном давлении? Принять, что вес кислорода составляет 23% веса
воздуха.
© 17—П. Колба наполовину заполнена водой, освобожден-
освобожденной от воздуха кипячением, наполовину азотом при давлении
760 мм рт, ст. Какое давление установится в колбе по достиже-
достижении равновесия? Температура постоянна и равна" 20° С. Извест-
Известно, что при этой температуре 1 л воды поглощает 14 см3 азота.
§ 18. Второй принцип термодинамики
1) Изменение энтропии массы т вещества, теплоемкость ко-
которого с является постоянной величиной, при нагревании от
7\ до Т2
AS = me In—2.
2) Изменение энтропии при изменении агрегатного состояния
AS = -m; AS=-m,
Т т
где ?. и г — удельные теплоты плавления и испарения.
3) Изменение энтропии при процессах в идеальных газах
4) Уравнение Гиббса — Гельмгольца
F = U4-T. — ,
где F и U — свободная и внутренняя энергии.
5) Связь между изменением давления р, изменением темпе-
температуры Т перехода вещества из одного агрегатного состояния в
другое (vt и v2 — удельные объемы вещества в двух состояниях,
г — удельная теплота перехода его из первого состояния во вто-
второе)
АГ _ (р, - vx)T
Ар г
87
6) Изменение поверхностного натяжения с тем-
температурой
До у
лг т'
где у — количество теплоты, получаемой поверхнос-
поверхностью жидкости извне при увеличении поверхности на
1 см2.
7) Соотношение приведенных теплот и работ
К
)
Рис. 18—1. для цикла Карно
где Ti и Та — температуры горячего и холодного тел; количества
теплоты Qi и Q2 считаются положительными, если происходит
передача йоличества теплоты от окружающих тел к рабочему
телу; работа считается положительной в случае, если маши-
машина работает как двигатель.
8) Соотношение Больцмана:
А_
иг
где пх и п2 — концентрации частиц, беспорядочно движущихся
в объемах 1 и 2; Л — работа перехода частицы из объема 1 в объ-
объем 2; k — постоянная Больцмана.
О 18—1. В замкнутом пространстве помещены один выше
другого два открытых сосуда с одной и той же жидкостью
(рис. J8—1). Если температуры жидкостей в начальный момент
одинаковы, то вследствие испарения жидкости в верхнем
сосуде и конденсации паров в нижнем жидкость в нижнем сосу-
сосуде будет нагреваться, а в верхнем охлаждаться. Противоречит
ли это второму принципу термодинамики?
О 18—2. Определить изменение энтропии при нагревании
30 см3 железа от 20° С до 100° С.
О 18—3. Найти изменение энтропии при охлаждении 2 г воз-
воздуха от 40° С до 0° С: а), при постоянном объеме; б) при постоян-
постоянном давлении.
О 18—4. Определить изменение энтропии при процессах, опи-
описанных в задачах 12—10 и 12—15. Масса азота равна б г.
О 18—5. Определить изменение энтропии 1 г водорода в
следующих случаях: а) газ сначала адиабатически сжимается
до вдвое меньшего объема, затем изохорически охлаждается до
начальной температуры; б) газ сначала адиабатически сжи-
сжимается до вдвое меньшего объема, затем изотермически расши-
расширяется до начального объема.
О 18—6. 2 кг воды нагреваются от 10° С до 100° С и при
этой температуре обращаются в пар. Определить изменение эн-
энтропии.
0 18—7. Показать, что энтропия увеличивается при следую-
следующих процессах:
а) Горячая вода отдает теплоту такой же массе холодной во-
воды, и температуры их уравниваются.
б) Два одинаковых сосуда, изолированных от потери тепло-
теплоты в окружающее пространство и содержащих одинаковые мас-
массы идеального газа при разных давлениях, соединены трубкой с
краном. Кран открывается, и состояния газа в обоих сосудах
становятся одинаковыми.
О 18—8. 200 г железа при 100° С опущены в калориметр, в
котором находится 300 г воды при 12° С. Как меняется энтропия
системы при уравнивании температур?
G 18—9. Смешиваются Vj = 5 л и V2 = 3 л двух разнород-
разнородных, химически не реагирующих газов, имеющих одинаковую
температуру Т = 300° К и давление р = 1 am. Определить про
исходящее при этом изменение энтропии.
0 18—10. В калориметр, теплоемкостью которого можно
пренебречь, содержащий 250 г воды при 23° С, бросают 27 г льда
при 0°С. Определить изменение энтропии, происшедшее к мо-
моменту окончания таяния льда.
Ф 18—11. Пользуясь таблицей XXI, вычислить удельную
теплоемкость водяного пара при постоянном объеме в интервале
температур от 59,7° С до 93° С.
ф 18—12. Насыщающий водяной пар при давлении 14 —
кГ
адиабатко расширяется до давления 0,2 —. Какой процент
С \i
пара конденсируется при этом?
О 18—13. Как меняется точка плавления льда при увеличе-
увеличении давления на 1 am?
О 18—14. Вблизи 100° С точка кипения воды повышается на
0,11° С при изменении давления на 3 мм ptn. cm. Определить теп-
теплоту парообразования воды.
© 18—15. В нижнем из сосудов, упомянутых в задаче 18—1,
находится вода при температуре 17,2° С. Определить разность
температур между верхним и нижним сосудами, если разность
уровней в сосудах h = 1 м. Теплообменом между сосудами пре-
пренебречь.
© 18—16. Определить изменение энергии некоторого количе-
количества воды, имеющей температуру 20° С, при увеличении ее по-
поверхности на 1 см2.
© 18—17. Предполагая, что изменение энергии воды при из-
изменении ее поверхности на 1 смг остается одинаковым вплоть до
такого распыления жидкости, при котором каждая капелька бу-
будет состоять только из одной молекулы, то есть получатся пары,
89
рассчитать изменение энергии 1 г воды при ее превращении в пар
при 20° С.
О 18—18. Температура пара, поступающего из котла в паро-
паровую машину, равна ^ = 210° С. Температура в конденсаторе
t2 = 40° С. Какова теоретически максимальная работа (в кило-
килоджоулях), которую можно получить при затрате 1 ккал на об-
образование пара?
0 18—19. Каково максимальное количество теплоты, которое
может быть унесено из холодильной камеры при помощи холо-
холодильной машины при затрате А = 1 кдж работы, если темпера-
температура в холодильной камере t2 = —10° С, а температура охла-
охлаждающей воды tt = 11° С?
® 18—20. Динамическим отоплением называется следующая
система отопления. За счет энергии, выделяющейся при сжига-
сжигании топлива, работает тепловой двигатель, ведущий холодиль-
холодильную машину. Холодильная машина отнимает теплоту от природ-
природного резервуара воды (например, от грунтовой воды) и отдает
ее воде в отопительной системе. Одновременно вода в отопитель-
отопительной системе служит охладителем теплового двигателя. Опре-
Определить теоретическое (без учета потерь) количество теплоты, ко-
которое отдает вода в калориферах отопления на 1 кг сожженною
топлива при следующих условиях: теплотворность топлива Н =
_ gQQQ лжгл. температура в котле паровой машины ty = 210° С;
кг
температура грунтовой воды /2 = 15° С; температура воды в
отопительной системе t3 = 60° С.
0 18—21. Исходя из положения, что вероятность того, что
п молекул газа, имеющих возможность попасть в любую точ-
точку объема Vu находятся в определенный момент в* части это-
f V \"
го объема V2, равна w = — , показать, что измене-
изменение энтропии идеального газа при изотермическом расшире-
расширении от V2 до Vi равно AS = k In w, где k — постоянная Больц-
мана.
0 18—22. В микроскоп сквозь диафрагму наблюдают броу-
броуновское движение частиц гуммигута, взвешенных в воде, при
температуре 17° С. Оказалось, что средние числа частиц, видимые
сквозь диафрагму на уровнях, отличающихся между собой
на h = 5 (i, равны щ = 2,0 и пг = 3,2. Считая объемы всех час-
частиц одинаковыми, определить их.
§ 19. Передача теплоты
1) Количество теплоты, передаваемое слоем толщиной dx и
поверхностью S за время т
90
dT
или при постоянстве градиента — .
Q _. I Tl — T2 Sr
V х
где Я — коэффициент теплопроводности вещест-
вещества слоя.
2) Теплоотдача от одной среды в другую, Рис. 19—1.
например от железной стенки котла воде в нем,
Q = а G\ — Г2) 5т,
где а — коэффициент теплоотдачи.
О 19—1. Наружная поверхность кирпичной стены толщиной
37 см (полтора кирпича) имеет температуру — 15° С, а внутрен-
внутренняя 20° С. Определить количество теплоты, проходящей за сутки
сквозь 1 мг стены.
О 19—2. В алюминиевой кастрюле кипит вода (при 100° С).
Определить разность температур нижней и верхней поверхностей
дна кастрюли при таких данных: толщина дна 2 мм; площадь
дна 200 см\ в кастрюле выкипает за 5 мин 100 г воды. Обменом
теплоты сквозь боковые стенки кастрюли и лучеиспусканием пре-
пренебречь.
© 19—3. Между двумя металлическими стенками, имеющи-
имеющими температуры 20° С и 30° С, зажаты сложенные вплотную де-
деревянная пластинка, вырезанная параллельно волокнам, толщи-
толщиной 3 см, и стеклянная пластинка толщиной 2 см. Пренебрегая
небольшим скачком температуры в месте соприкосновения ме-
металла, дерева и стекла, определить температуру поверхности
соприкосновения стекла и дерева.
в 19—4. Сложены медная пластинка толщиной 6 мм и же-
железная толщиной 4 мм. Определить коэффициент теплопровод-
теплопроводности однородной пластинки A0 мм), проводящей теплоту в
такой же степени, как и две данные пластинки.
0 19—5. Кубик сложен из чередующихся пластинок раз-
разной толщины и различной теплопроводности (рис. 19—1). По-
Показать, что теплопроводность кубика в направлении вдоль
пластинок (Я|,) больше, чем в направлении, перпендикулярном
к ним (A.J.).
О 19—6. Пространство между двумя горизонтальными плос-
плоскими стенками, имеющими различные температуры (нижняя хо-
холоднее), заполнено газом. Как отзывается на распределении тем-
температур то обстоятельство, что коэффициент теплопроводности
газа возрастает с повышением температуры?
© 19—7. Цилиндрический паропровод окружен асбестовой
теплоизолирующей оболочкой. Наружная поверхность оболочки
имеет температуру /, = 50° С, а внутренняя, прилегающая к па-
паропроводу, ^ = 120° С. Длина паропровода I = 65 м; наружный
диаметр теплоизолирующей оболочки равен d1 = 13 см, внутрён-
91
ний диаметр d2 — 7 см. Определить количество теплоты, отда-
отдаваемое паропроводом во внешнее пространство в течение су-
суток.
G 19—8. Две трубы одинаковых диаметров и длины окруже-
окружены двухслойной изоляцией. Коэффициент теплопроводности мате-
материала одного слоя в 2 раза больше коэффициента теплопровод-
теплопроводности материала другого слоя. Оба слоя имеют толщину, равную
половине диаметра трубы. В первой трубе внутренним слоем теп-
теплоизоляции является слой с большей теплопроводностью, во
второй — наоборот. .Как разнятся количества теплоты, проходя-
проходящие сквозь теплоизоляцию труб за одно и то же время, если
перепад температуры между поверхностью трубы и внешней
средой в обоих случаях один и тот же?
О \9—9. Определить количество теплоты, передаваемое по-
поверхностью 0,5 м2 железной печи воздуху в течение часа, если
температура воздуха 10° С, а температура печки 200° С.
0 19—10. Температура газов в топке парового котла 1000° С,
температура воды в котле 180° С. Железные стенки котла имеют
толщину 2 см; они покрыты с внутренней стороны слоем накипи
толщиной 2 мм и с наружной стороны слоем сажи 1 мМ. а) Ка-
Какое количество теплоты передается за 1 ч через 1 м% поверхно-
поверхности? б) Определить температуры внутренних и наружных поверх-
поверхностей слоя сажи, железной стенки и слоя накипи. Излуче-
Излучение топочных газов очень мало.
Глава III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВЬ
§ 20. Взаимодействие зарядов
В приводимых ниже формулах рационализированная форма
(относящаяся, в частности, к системе СИ) дается в скобках.
1) Закон Кулона: сила взаимодействия F между точечными за-
зарядами qi и <72, находящимися на расстоянии г в среде с электри-
электрической проницаемостью е,
р — ЯгЯъ /р = ?i?2
2) Напряженность поля
Я
3) Связь между напряженностью и индукцией электрического
поля
D=b.E.
4) Напряженность поля точечного заряда и поля вне равно-
равномерно заряженного шара
q
5) Напряженность поля заряженной прямой нити и поля вне
равномерно заряженного цилиндра на расстоянии г от его оси
&г V 2яе'г
где у — заряд единицы длины нити или цилиндра.
6) Напряженность поля плоскости, равномерно заряженной
с плотностью а,
-V
' /
Е (е
el 2e'
7) Напряженность поля в плоском, цилиндрическом и сфери-
сферическом конденсаторах:
93
у
й ?==i!^ (?=JM;
Е = —
-);
ег \ 2яе
?=_^ (?= ?_\.
er2 \ 4лё'г2 У
8) Напряженность поля, соз-
Рис. 20—1. даваемого диполем (рис. 20—1)
в точке А на расстоянии г ^> /ь
=_P-]/l+3cos2e
где р = q ¦ I — электрический момент диполя.
9) Если направление диполя р образует угол а. с напряжен-
напряженностью поля Е, то на диполь действует вращающий момент, рав-
равный
М = Ер sin a.
10) Во всех задачах, в которых природа диэлектрика, окру-
окружающего заряды, не указана, а также для воздуха следует при-
принимать е = 1 СГСЭ, а в системе СИ
11) При решении задач полезно иметь в виду таблицу V, 4,
в которой даны соотношения электрических и магнитных
единиц разных систем единиц.
О 20—1. Два одинаковых заряда, находящихся на малень-
маленьких шариках, отстоящих друг от друга на расстоянии 10 см, вза-
взаимодействуют в воздухе с силой 5 • Ю74 н. Определить величи-
величину зарядов.
О 20—2. На двух одинаковых капельках воды находится по
одному лишнему электрону, причем сила электрического оттал-
отталкивания капелек уравновешивает силу их взаимного тяготения.
Каковы радиусы капелек?
0 20—3. Два маленьких проводящих шарика подвешены на
длинных непроводящих нитях к одному крючку. Шарики 'заря-
'заряжены одинаковыми зарядами и находятся на расстоянии 5 см друг
от друга. Что произойдет после того, как оДин из шариков раз-
разрядить?
О 20—4. Два заряда в вакууме взаимодействуют с такой же
силой на расстоянии 11 см, как в скипидаре на расстоянии
7,4 см. Определить электрическую проницаемость скипидара.
0 20—5. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях
одинаковой длины, опускаются в керосин. Какова должна бьпь
94
плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей
в воздухе и в керосине был один и тот же?
G 20—6. Электрой движется в вакууме в поле напряженно-
напряженностью 10—, направленном вертикально вниз, а) Где вблизи элек-
см
трона напряженность поля равна нулю? б) Скорость электрона
в верхней точке его траектории равна 2 • 10е—. Каков радиус
сек
кривизны траектории в этой точке?
© 20—7. Определить положение точки, в которой напряжен-
напряженность равна нулю вблизи двух неодинаковых зарядов qt и q2,
находящихся на расстоянии /. Рассмотреть случаи: а) одноимен-
одноименных зарядов; б) разноименных зарядов.
О 20—8. Определить напряженность ноля в центре шести-
шестиугольника со стороной а, по вершинам которого расположены:
а) шесть равных одноименных зарядов q; б) три положительных
и три отрицательных равных заряда.
© 20—9. Принимая протон и электрон, из которых состоит
атом водорода, за точечные заряды, находящиеся на расстоянии
5 • 10~9 см, найти напряженность поля в точках В я С, отстоящих
на таком же расстоянии от протона, как и электрон, и располо-
расположенных, как показано на рисунке 20—2.
© 20—10. Молекулу воды можно рассматривать как диполь,
электрический момент которого равен 1,85 • 10~18 СГСЭ.
а) Принимая, что этот диполь составлен положительным и
отрицательным зарядами, равными заряду электрона, най-
найти длину диполя.
б) Определить напряженность поля, созданного диполем
на расстоянии 3 ¦ 10~7 см от середины диполя в точке, лежа-
лежащей на продолжении диполя, и в точке, лежащей на перпендику-
перпендикуляре к диполю.
в) Молекула воды и ион водорода находятся на расстоянии
3 • 10~7 см. Определить наибольшее и наименьшее значения
силы взаимодействия молекулы с ионом и вращающего момен-
момента, действующего на молекулу и на систему молекула — ион.
® 20—11. а) Определить силу вза-
взаимодействия двух молекул паров воды,
диполи которых составляют продолжение q
один другого. Электрический момент ди- — -•--^.
поля воды равен 1,85 • 10~18 СГСЭ. Mo- ^
лекулы отдалены друг от друга на рас- .
стояние 10~7 см. _^
б) Сделать приблизительный подсчет В • (jy
работы, которую нужно произвести, что- *
бы отдалить друг от друга молекулы во- \
ды от расстояния 4 • 10~8 см (примерно N ^
на таком расстоянии находятся моле-
кулы в воде комнатной температуры) до рИс. 20—2.
95
— расстояния, на котором силы взаимодействия ди-
диполей воды исчезающе малы (пар).
+ в) Какую работу нужно произвести, чтобы от-
отдалить друг от друга все молекулы воды в 1 см3
комнатной воды? Сравнить с внутренней теплотой
парообразования воды комнатной температуры.
© 20—12. На рисунке 20—3 показаны два оди-
одинаковых диполя (р), расположенных взаимно пер-
перпендикулярно на расстоянии г ^> /. Каковы вра-
вращающие моменты, действующие на диполь А, ~на
диполь В и на всю систему в целом?
О 20—13. Напряженность электрического поля
¦ Земли около поверхности в среднем равна — 130—.
Какой заряд имела бы Земля, если бы напряжен-
Рис. 20—3 ность около всей ее поверхности одновременно
имела эту величину?
О 20—14. На расстоянии 4 мм от прямой проволоки'дли-
проволоки'длиной 150 см, на которой равномерно распределен заряд 2 • 10~7 к,
находится пылинка с зарядом — 1,67 ¦ 10~16 к. Определить силу,
действующую на пылинку.
© 20—15. Конденсатор, состоящий из пластин, разделенных
воздушным промежутком, заряжен и помещен в сосуд. Затем в
сосуд наливают керосин. Как меняется при этом напряженность
и индукция электрического поля в следующих случаях:
а) Во время наливания керосина конденсатор отсоединен от
источника- напряжения?
б) Во время наливания керосина конденсатор присоединен к
источнику постоянного напряжения?
© 20—16. Две плоские пластинки площадью 200 см2, за-
заряженные равными зарядами, притягиваются, находясь в керо-
керосине, с силой 2,5 ¦ 10~2 я. Расстояние между пластинками столь
мало, что напряженность поля можно рассчитывать по формуле
для бесконечных плоскостей. Определить: а) находящиеся на
них заряды; б) индукцию поля в керосине.
О 20—17. Две одинаковые пластинки заряжены равными од-
одноименными зарядами, причем расстояние между ними так мало,
что напряженность поля между ними можно принять равной
нулю. Как изменится сила взаимодействия между пластинками,
если пространство между ними заполнить жидким диэлектриком
с проницаемостью е?
© 20—18. Определить работу раздвигания на расстояние
3 см двух пластинок B00 см2) плоского конденсатора, заряжен-
заряженных +2 • 10~7 к и — 2-10-7 к.
© 20—19. Тонкий стержень равномерно заряжен зарядом
q г= 60 ед. заряда СГСЭ. Определить напряженность в точке, от-
отстоящей от концов стержня на расстоянии R — 20 см, а от се-
середины стержня на расстоянии Ro = 15 см.
96
@ 20—20. Кольцо радиусом R — 5 см из тонкой проволоки
равномерно заряжено 50 ед. заряда СГСЭ Определить: а ) на-
напряженность поля в центре кольца; б) напряженность в точке,
находящейся на перпендикуляре к плоскости кольца, восставлен-
восставленном из центра кольца, и отстоящей от него на расстоянии h =
= 10 см, в) максимальную напряженность на этом перпендику-
перпендикуляре.
© 20—21. Круглая пластинка радиусом а = 8 см равномер-
равномерно заряжена электричеством с плотностью о = 5 ед. заряда
СГСЭ на 1 см2.
а) Определить напряженность поля в точке, лежащей на рас-
расстоянии 6 = 6 см от пластинки на перпендикуляре к плоскости
пластинки, проходящем через ее геометрический центр.
б) Показать, что полученная формула переходит в формулу
напряженности поля бесконечной заряженной плоскости (Е =
= 2 па), если Ь -> 0, ив формулу для напряженности поля точеч-
точечного заряда, если b ^> а.
© 20—22. Плоскость равномерно заряжена электричеством
с плотностью а. В середине плоскости имеется круглое отвер-
отверстие, радиус которого а мал по сравнению с размерами плоско-
плоскости. Найти напряженность поля в точке, лежащей на перпенди-
перпендикуляре к плоскости, проходящем через центр отверстия на рас-
расстоянии b от плоскости.
Указание. Решить эту задачу после задачи 20—21.
© 20—23. Полусфера равномерно заряжена электричеством,
причем на единице поверхности находится заряд а. Определить
напряженность поля в центре полусферы.
О 20—24. Металлический шар радиусом 2 см окружен сфе-
сферической металлической оболочкой радиусом 4 см, концентриче-
концентрической с шаром. На шаре находится заряд + 2 • 10~8 /с, на оболоч-
оболочке — заряд — 4 • 10~s k. Определить напряженность поля на рас-
расстоянии, а) Зсмиб) 5 см от центра шара.
О 20—25. Плоский слой диэлектрика (б = 2 СГСЭ) толщи-
толщиной 0,5 см равномерно заряжен электричеством, причем 1 см3
слоя имеет заряд 0,8 СГСЭ. Какова напряженность -.поля: а) в
середине слоя? б) внутри слоя на расстоянии 0,1 см от поверх-
ности? в) вне слоя?
О 20—26. Шарик (R — 2 см), сделанный из диэлектрика, за-
заряжен электричеством с объемной плотностью 0,7 СГСЭ. Какова
напряженность поля на расстоянии 3 см от центра шара?
Э 20—27. Начертить (примерно) графики, показывающие,
как меняется напряженность поля в зависимости от расстояния
в следующих случаях:
а) Поле двух плоскостей, заряженных противоположными
зарядами (плоский конденсатор). По оси абсцисс — расстоя-
расстояния х от какой-либо точки слева от плоского конденсатора, от-
отсчитываемые вправо.
4 Д И Сахаров 97
б) Поле сферического конденсатора с радиусами /?i и /?2.
Внутренний шар заряжен положительно. По оси абсцисс — рас-
расстояния г от центра.
в) Поле слоя диэлектрика, заряженного с постоянной объем-
объемной плотностью. По оси абсцисс — расстояния от какой-либо
точки слева от слоя, отсчитываемые вправо.
г) Поле шара из диэлектрика, заряженного с постоянной
объемной плотностью. По оси абсцисс — расстояние от центра
шара.
§ 21. Потенциал
В приводимых ниже формулах рационализированная форма
(относящаяся и к системе СИ) дается в скобках.
1) Работа переноса заряда q в электрическом поле из точки
1 в точку 2
A = q.U,
где U — разность потенциалов между точками 1 и 2.
2) Напряженность как градиент потенциала
3) Потенциал поля точечного заряда и поля вне равномерно
заряженного шара
sR [ Аяе'Ц
При наличии многих точечных зарядов
и^ул. (и=У—!—\.
Леш gD \ *¦" 4:7t&f f? I
4) Разность потенциалов (напряжение) в плоской, цилиндри-
цилиндрическом и сферическом конденсаторах:
2яе'
е \
JL__LV Ги—2-/J LM.
#1 RJ' [ 4JT8' ^ /?! Rj\
О 21—1. Начертить расположение эквипотенциальных по-
поверхностей в случаях следующих полей:
98
400 В
Рис. 21—1.
Рис. 21—2.
Рис. 21—3.
а) Одна проводящая плоскость снабжена острием (рис.
21—1). Другая плоскость расположена параллельно ей.
б) Между двумя параллельными проводящими плоскостями
помещен незаряженный проводящий шарик (рис. 21—2).
в) Изолированный заряженный шар соединен проводником
со стержнем электроскопа (рис. 21—3).
Во всех случаях одно из тел имеет потенциал нуль (заземле-
(заземлено), а другое — потенциал 400 в. Требуется начертить эквипо-
эквипотенциальные поверхности, соответствующие потенциалам 100 в,
200 в и 300 в.
О 21—2. а) Могут ли силовые линии электрического поля {в
той его части, где отсутствуют электрические заряды и где на-
напряженность поля не равна нулю) пересекаться между собой? б) со-
соприкасаться между собой? в) пересекаться или соприкасаться эк-
эквипотенциальные поверхности (соответствующие различным по-
потенциалам)?
© 21—3. Принимая положение, что в электрическом поле ра-
работа передвижения заряда по замкнутому полю равна нулю, за ис-
исходное, вывести из него следующие следствия:
а) Если силовые линии прямые и параллельны между собой, то
густота их расположения всюду постоянна (т. е.
поле однородно).
б) Если силовые линии представляют дуги
концентрических окружностей, то напряженность
поля обратно пропорциональна радиусу круга
и не меняется при передвижении вдоль силовой
линии.
© 21—4. На рисунке 21—4 изображен «султан»
для опытов по электростатике. При заряжении сул-
султана бумажные ленты располагаются, как показано
на рисунке, то есть их расположение соответствует
силовым линиям поля заряженного шара. Me-
жду тем бумажные ленты можно рассматривать как
проводники, а их поверхности как эквипотенциаль-
эквипотенциальные поверхности. Выяснить суть дела.
G 21—5. Энергию отдельных частиц часто
выражают в электроновольтах (эв). 1 эв. соответ- рИс. 21—4.
ствует работе электрических сил при перемещении электрона меж-
между точками, потенциалы которых разнятся на 1 в. Выразить в
электроновольтах:
а) энергию электрона, летящего со скоростью 103 — ;
сек
б) среднюю энергию поступательного движения молекулы
при 0°С;
в) разность средней энергии молекул водяного пара и воды
при 17,2° С;
г) работу удаления молекулы азота с поверхности Земли в
бесконечность.
О 21—6. Сколько электронов содержит заряд пылинки с мас-
массой 10~п г, если она удерживается в равновесии в плоском кон-
конденсаторе с расстоянием между пластинами 5 мм, заряженными
до разности потенциалов 76,5 б?
Э 21—7. Между двумя плоскими параллельными вертикаль-
вертикальными пластинками, отстоящими на 0,5 см, равномерно падает
капелька (т = Ю~9 г). При наложении на пластинки разности
потенциалов U — 400 в капелька падает под углом 7°25' к вер-
вертикали. Предполагая, что скорость капельки пропорциональна
действующей на нее силе, определить находящийся на ней
заряд.
0 21—8. Две пластинки (S = 2 дм2 ) находятся в керосине на
расстоянии d = 4 мм друг от друга. G какой силой они взаимо-
взаимодействуют, если они заряжены до разности потенциалов U =
= 150 б?
О 21—9. В каком случае сила взаимодействия двух заряжен-
заряженных пластинок: а) прямо пропорциональна электрической • про-
проницаемости среды? б) обратно пропорциональна ей?
О 21—-10. Шарик, радиус которого равен 1 см, заряжен
q— Ю СГСЭ. Начертить в натуральную величину сечения эк-
эквипотенциальных поверхностей, соответствующих потенциалам
10, 8, 6, 4 и 2 СГСЭ, плоскостью, проходящей через центр
шара.
О 21—11. Определить работу электрических сил/при перене-
перенесении заряда q — 3 СГСЭ: а) из точки А в точку В (рис. 21—5)
и б) из точки С в точку D, если г = 6 см, а — 8 см, qt = +
+ ЮСГСЭ и q2 = — Ю ед. заряда СГСЭ.
Те же вопросы при gi = q2 = 10 ед. заряда СГСЭ.
Q 21—12. По вершинам правильного шести-
Д D В угольника со стороной 5 'см расположены рав-
равные точечные заряды 6,6 ¦ Ю79 к. а) Определить
работу электрических сил при перенесении заря-
заряда 3,3 • 10~9 к из центра шестиугольника в се-
q редину одной из его сторон, б) Чему равна эта
2 работа, если заряды равны между собой по аб-
абсолютной величине, но соседние заряды проти-
противоположны по знаку?
№
В 21—13. Кольцо радиусом R—5cm из тонкой проволоки
равномерно заряжено зарядом q = 50 СГСЭ. а) Определить потен-
потенциал точки, лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца, как
функцию расстояния h точки от плоскости кольца, б) Найти на-
напряженность как градиент потенциала, в) Определить потенциал и
напряженность в центре кольца и при h = 10 см. Сравнить с
результатом задачи 20—20.
Ф 21—14. В задаче 20—21 определить потенциал как функ-
функцию расстояния Ъ и вычислить напряженность как градиент по-
потенциала.
Ф 21—15. Вывести формулу для потенциала поля заряжен-
заряженного проводящего шара, рассматривая потенциал как сумму по-
потенциалов зарядов на отдельных местах шара: а) для точки, ле-
лежащей на шаре; б) для точки внутри шара; в) для точки вне
шара.
0 21—16. Начертить примерные графики зависимости потен-
потенциала точки поля от расстояния во всех случаях задачи 20—27.
Потенциал точки, служащей началом отсчета расстояния, при-
принять равным нулю.
0 21—17. Определить потенциалы точек, находящихся на
расстояниях 3 аи и 5 см от центра шара, описанного в задаче
20—24.
Ф 21—18. Разность потенциалов между длинными коакси-
коаксиальными цилиндрами (/?! = 3 см и R2 = 10 см), заряженными
равными разноименными зарядами, равна U = 450 в. Опреде-
Определить: а) заряд на единице длины цилиндров; б) плотность заря-
зарядов на каждом цилиндре; в) напряженность вблизи поверхности
внутреннего цилиндра, на середине расстояния между цилиндра-
цилиндрами и вблизи поверхности внешнего цилиндра.
Ф 21—19. Накаленная нить радиолампы испускает электро-
электроны, которые под действием электрического поля ускоренно дви-
движутся к цилиндру, по оси которого натянута нить. Цилиндр и
нить сделаны из одного и того же металла. Их диаметры равны
соответственно 10 мм и 0,1 мм. Напряжение между цилиндром и
нитью равно 91 в. Начальная скорость электронов мала. Опреде-
Определить ускорение и скорость электронов в точке, отстоящей от нити
на расстоянии 3,5 мм.
© 21—20. На плоский воздушный конденсатор с толщиной
воздушного слоя 1,5 см дается напряжение 39 кв. Будет ли про-
пробит конденсатор, если предельная напряженность в воздухе рав-
равна 30—? Будет ли пробит конденсатор, если внутрь его ввести
СМ
параллельно стенкам стеклянную пластинку толщиной 0,3 см}
Предельная напряженность для стекла 100— .
0 21—21. Цилиндрический конденсатор имеет два диэлект-
диэлектрика с электрическими проницаемостями ei и ег и с предельными
напряженностями ?j и Е2. Чтобы наиболее рационально исполь-
101
зовать материал, желательно, чтобы напряженность поля дости-
достигала значения, соответствующего пробою в обоих диэлектриках
одновременно. При каком соотношении между радиусами ци-
цилиндров диэлектриков это будет иметь место?
Ф 21—22. а) Цилиндрический конденсатор имеет два слоя
диэлектриков. Первый слой — бумага, пропитанная лаком (bj =*
¦=4 СГСЭ), его внутренний радиус г* = 2 см, внешнийг2 =
= 2,3 см. Второй слой — стеклянный (Ё2 = 7 СГСЭ, г2 = 2,3 см,
г3 = 2,5 см). Где будет пробит конденсатор, если напряжение по-
постепенно повышать, в бумаге или в стекле? При каком напряже-
напряжении 1/тйХ будет пробит конденсатор? Предельная напряженность
для бумаги Eimax= 120 —, а для стекла ?2п1,ч= 100—.
см см
б) Решить ту же задачу для случая обратного расположения
слоев диэлектриков (внутри стекло толщиной 2 мм, снаружи
бумага, пропитанная лаком, толщиной 3 мм).
Ф 21—23. Между двумя длинными параллельными проволо-
проволоками, протянутыми на расстоянии / = 15 см друг от друга, под-
поддерживается разность потенциалов U = 1500 в. Радиус проволок
г = 1 мм. Определить напряженность поля: а) в точке, лежащей
на середине расстояния между проволоками; б) в точке, отстоя-
отстоящей от одной- из проволок на расстоянии Ri = 30 см, от другой на
расстоянии R2 = 25 см.
© 21—24. Слой диэлектрика толщиной d = 5 см равномерно
заряжен с объемной плотностью р = 0,02 СГСЭ. Найти разность
потенциалов между поверхностью слоя и его серединой (е =
= 3 СГСЭ).
© 21—25. В вакууме расположены, как показано на рисунке
21—6, два цилиндра А а В. Цилиндр В имеет высокий положи-
положительный потенциал; потенциал цилиндра А близок к нулю. Вну-
Внутри цилиндра летят расходящимся пучком электроны. Как дей-
действует на летящие электроны электрическое поле между цилинд-
цилиндрами Л и Б?
0 21—26. Электрон, энергия которого соответствует разности
потенциалов Uo, попадает в вакууме в поле цилиндрического
конденсатора (радиусы цилиндров /?4 и R2), направление скоро-
скорости электрона в начальный момент перпендикулярно к плоскости,
проходящей через ось конденсатора. При каком напряжении (U)
между обкладками конденсатора электрон будет лететь внутри
конденсатора по окружности?
В
Рис. 21—6.
102
Рис. 21—7.
© 21—27. Узкий поток элек-
электронов в вакууме пролетает сквозь
плоский конденсатор парал-
параллельно его пластинкам (рис. 21—7) - Л I
и заставляет светиться флуорес- ч.
цирующий экран, отстоящий от
конца конденсатора на расстоянии
/ = 15 см. При наложении на
конденсатор напряжения U =
= 50 в светящееся пятно на эк-
экране смещается на s = 21 мм.
Расстояние между пластинками
конденсатора d = 18 мм; длина конденсатора 6 = 6 см. Опреде-
Определить скорость электрона.
0 21—28. Поток электронов, получивших свою скорость под
действием напряжения, равного ?Л = 5000 в, влетает в середину
между пластинками плоского конденсатора. Какое самое мень-
меньшее напряжение нужно наложить на конденсатор, чтобы электро-
электроны не вылетали из него, если размеры конденсатора таковы:
длина конденсатора b = 5 см; расстояние между пластинками
d = 1 см?
Ф 21—29. Электрон, движущийся со скоростью vo =
= 40 000-^*, влетает в пространство между двумя пластинками.
сек
Длина пластинок конденсатора 6 = 6 см; расстояние между пла-
пластинками d = 0,5 см. На конденсатор наложено напряжение
U = 40 в. На сколько увеличится скорость электрона по выходе
его из конденсатора по сравнению с начальной?
§ 22. Проводники в электрическом поле
См. введения к § 20 и 21.
22—1. Четыре проводящие пластинки расположены, как по-
показано на рисунке 22—1, параллельно друг другу на равных рас-
расстояниях. Пластинки А а В расположены на расстоянии d, заряже-
заряжены до напряжения U, после чего отсоединены от источника напря-
напряжения. Пластинки С и D не заряжены.
а) Каково напряжение между А к С, С и D, D и В? Какова на-
напряженность поля в пространствах между пластин-
пластинками?
б) Те же вопросы, после того как пластин-
пластинки С и D соединяются проводником и вновь разъ-
разъединяются.
в) Те же вопросы, если после манипуляций, опи-
описанных в пункте б), пластинки А и В соединяются
проводником и вновь разъединяются.
г) Как изменяются ответы на вопросы а), б)
и в), если при первых двух положениях пластинки рИс. 22—1.
А С D В
103
А и В будут поддерживаться при постоянном .напряжении, а-при
третьем положении будут сначала отключены от источника напря-
напряжения и лишь потом соединены проводником'
О 22—2. Металлическое тело помещено между пластинками
заряженного плоского воздушного конденсатора. На поверхности
тела образуются вследствие электризации через влияние поло-
положительный и отрицательный заряды. После этого пространство
между пластинками заполняется керосином. Изменяется ли ве-
величина наведенных на теле зарядов в случаях: а) заряд конден-
конденсатора остается неизменным? б) напряжение на конденсаторе
поддерживается неизменным?
О 22—3. Два равных разноименных точечных заряда распо-
расположены на неизменном расстоянии друг от друга. Как изме-
изменяется сила, действующая на заряды, и напряженность поля
в различных точках в следующих случаях:
а) оба заряда окружают тонкими металлическими изолиро-
изолированными оболочками, совпадающими с эквипотенциальными по-
поверхностями?
б) эти оболочки соединяют проводником?
0 22—4. Маленький шарик, заряженный q — I ¦ Ю~в к, нахо-
находится на расстоянии а = 3 см от плоской металлической стенки,
отведенной к земле. С какой силой они взаимодействуют?
0 22—5. Показать, что работа при удалении точечного заря-
заряда от равного разноименного заряда в бесконечность в 4 раза
больше работы удаления того же заряда в бесконечность от бес-
бесконечной проводящей стенки, расположенной на таком же рас-
расстоянии.
0 22—6. а) Точечные заряды qt = + 2 • 10~9 к и q2 =
= -f I • 10~9 к находятся на расстоянии d± = 4,6 см друг от друга.
Между ними на равных от них расстояниях помещена проводя-
проводящая, отведенная к земле пластина толщиной d2 = 2 см. Поверх-
Поверхности пластины перпендикулярны к прямой, соединяющей за-
заряды. Определить силу, действующую на пластину.
б) Как изменится ответ, если один из зарядов заменить рав-
равным ему по величине отрицательным зарядом?
0 22—7. Небольшое облако с зарядом q = 20 к находится •
на высоте h — 1 км над поверхностью Земли. Считая Землю про-
проводником, определить напряженность поля, создаваемую этим
зарядом на расстоянии s = 3 км от места, над которым находит-
находится заряд. Кривизной поверхности Земли пренебречь.
Ф 22—8. Точечный заряд q = 5 СГСЭ находится на расстоя-
расстоянии а = 3 см от металлической стенки, отведенной к земле. Най-
Найти поверхностную плотность наведенного заряда на стенке: а) в
точке, ближайшей к заряду q; б) в точке, находящейся на рас-
расстоянии г = 5 см от заряда; в) определить общую величину за-
заряда, индуцированного на поверхности стенки.
О 22—9. В установках для улавливания пыли пропускают
воздух сквозь металлические трубы, по оси которых протяги-
104
А С В
Рис. 22—2.
Е
Рис. 22—3.
вается металлическая проволока. Между проволокой и трубой
создают сильное электрическое поле, причем проволоке придают
отрицательный потенциал, а труба заземляется.
Как будут вести себя пылинки: а) незаряженные? б) заряженные
положительно или отрицательно?
0 22—10. Шар с острием А и полый стакан В (рис. 22—2),
помещенные на изолирующих подставках, заряжены до одина-
одинакового положительного потенциала. Если касаться металличе-
металлическим шариком С, помещенным на изолирующей ручке, поочеред-
поочередно острия А и внутренней поверхности стакана В, то заряд на
шаре А будет уменьшаться, а на стакане В увеличиваться, и
энергия этой системы увеличится. За счет какой работы увели-
увеличивается энергия системы?
Э 22—11. Батарея гальванических элементов Е питает уста-
установку, показанную на рисунке 22—3. Между металлическими
пластинками Л и В находится изолированная металлическая
пластинка С, толщина которой значительно меньше расстояния
АВ. Пластинка С касается В, затем равномерно движется к А,
касается ее, затем равномерно движется обратно к В и т. д.
Промежутки времени, в течение которых пластинка С касается
А и В (перезаряжается), равны 0,1 сек. Промежутки времени, в
течение которых пластинка С движется от Л к В или обратно,
равны 0,3 сек. Заряд, переносимый пластинкой С, равен
3 • 10~п к. Начертить график тока, который идет по цепи.
§ 23. Диэлектрики в электрическом поле
1) Связь между электрической проницаемостью среды е и
коэффициентом электризации k в системе СГСЭ
в = 1 + 4rtfe,
а в системе СИ
105
1 2 где
2) Связь между поверхностной плотностью 0!
Рис. 23—1. фиктивных зарядов на границе диэлектрик —
проводник и плотностью о действительных за-
зарядов на проводнике
e
3) Скачок нормальной составляющей напряженности на гра-
границе двух диэлектриков
Еи — Е2п = 4rt(cr2 — Oj) (в системе СГСЭ),
а в системе СИ
1
^1л ^2л == (^2 ' ^l) "Т7"
о
4) Преломление силовых линий на границе раздела двух ди-
диэлектриков
tg«i =Jh_-
tg a2 e2
О 23—1. Определить коэффициент электризации стекла.
© 23—3. Определить плотность фиктивных зарядов на по-
поверхностях слюдяной пластинки толщиной 0,2 мм, служащей
изолятором в плоском конденсаторе, заряженном до напряже-
напряжения 400 в.
© 23—3. У поверхности фарфора напряженность поля в воз-
воздухе 200 — . Направление поля образует с нормалью к поверх-
СМ
ности угол 40°. Определить: а) угол между направлением поля и
нормалью в фарфоре; б) напряженность поля в фарфоре;
в) плотность фиктивных зарядов на границе фарфор — воздух.
Ф 23—4. В керосине на глубине h = 3 см от Свободной nor
верхности находится точечный заряд q = + 50 ед. СГСЭ
(рис. 23—1). Определить плотность фиктивных зарядов на по-
поверхности керосина: а) над зарядом и б) на расстоянии г — 5 см
от заряда; в) определить общую величину фиктив-
фиктивного заряда на поверхности керосина.
О 23—5. Начертить приблизительное расположе-
расположение линий индукции и эквипотенциальных поверх-
поверхностей (отличающихся на постоянную разность потен-
потенциалов) в следующих случаях:
1) Металлический шарик, заряженный положитель-
Рис. 23—2. но, наполовину погружен в керосин.
106
2) Между двумя пластинками заряженного плоского конден-
конденсатора помещен, как показано на рисунке 23—2, клин из пара-
парафина.
0 23—6. Две горизонтально расположенные пластинки заря-
заряжены + 2 • 10~7 к и —2 ¦ 10 к. Пластинки расположены так
близко, что поле между ними можно считать однородным.
Нижняя пластинка погружена в жидкий диэлектрик
(е = 3 ед. СГСЭ). Площадь пластинок 300 см2. Определить си-
силы, действующие на каждую из пластинок и на поверхность
жидкости.
§ 24. Электроемкость
В приводимых ниже формулах рационализированная форма
(относящаяся, в частности, к системе СИ) дается в скобках.
1) Заряд конденсатора емкостью С при напряжении U
2) Емкость плоского, цилиндрического и сферического кон-
конденсаторов
^ eS /„ e'S
And V d
2ne'l
C= *-L (C =-
4л e'
Al Ag Ч Al A2 '
Изолированный шар можно рассматривать как шаровой кон-
конденсатор, у которого R2 ->-х>.
3) Параллельное и последовательное соединения конденсато-
конденсаторов
^ — 7.С: С —
1
У—
4) Энергия заряженного конденсатора
а _ СУ- д9-
~~ 2 2С"'
5) Плотность энергии электрического поля
W — (W = I
8я V 2 Г
О 24—1. Существуют диэлектрики, электрическая проницае-
проницаемость которых зависит от напряженности поля (например, у сег-
нетовой соли). Имеет ли место у конденсаторов, у которых изо-
107
лирующим слоем служат такие вещества, пропорциональность
между разностью потенциалов и зарядом конденсатора?
О 24—2. До какого напряжения надо зарядить телефонный
конденсатор емкостью 2 мкф, чтобы на нем находился такой же
заряд, как на лейденской банке, емкостью 900 см, заряженной
до напряжения 30 000 е?
0 24—3. а) Показать, что при малой толщине изолирующего
слоя емкость шарового конденсатора можно рассчитывать по
формуле емкости плоского конденсатора.
б) Провести то же доказательство для цилиндрического кон-
конденсатора.
Принять во внимание, что In A + х) = х, если х <1.
О 24—4. Лейденская банка имеет следующие размеры: на-
наружный диаметр дна 15 см; высота обкладок 20 см; толщина
стекла 2 мм. Определить электроемкость ее (пользуясь форму-
формулой плоского конденсатора).
0 24—5. Два проводящих шарика различного диаметра при-
приводятся в соприкосновение и заряжаются. Затем они отводятся
на значительное расстояние. Имеют ли они при этом одинако-
одинаковые потенциалы?
О 24—6. Конденсатор состоит из трех полосок станиоля, пло-
площадью по 6 смг каждая, разделенных двумя слоями слюды по
0,1 мм толщиной. Крайние полоски станиоля соединены между
собой. Какова емкость такого конденсатора?
Ф 24—7. Два одинаковых металлических диска диаметром
12 см расположены параллельно друг другу и разделены пара-
парафинированной бумагой толщиной 0,2 мм. Диски сдвинуты так,
что центр одного из них находится против края другого (рис. 24—1).
Определить емкость такой системы.
0 24—8. Вследствие повреждения переменного конденсатора
(рис. 24—2) с четным числом воздушных промежутков между
пластинками все подвижные пластинки
опустились настолько, что толщины со-
соседних промежутков относятся, как 1 : 2
(рис. 24—3). Как изменилась емкость кон-
конденсатора по сравнению с начальной, со-
соответствующей тому же положению го-
головки?
Рис. 24—1.
Рис. 24—2.
108
О 24—9. Конденсатор из оловянной фольги с
диэлектриком в виде листа парафинированной бумаги
покрывают с одной стороны листком такой же бумаги
и скручивают в трубку. Как изменится при этом
емкость конденсатора?
в 24—10. Пластинки плоского конденсатора
присоединены к источнику постоянного напряже-
напряжения 300 в. Пластинки сближаются со скоростью 1 —. Рис 24—з
Какой1 ток идет по подводящим проводам в тот мо-
момент, когда пластинки находятся на расстоянии 2 мм друг от
друга? Площадь пластинок 400 см2.
© 24—11. Металлический шар (R = 3 см) опущен наполови-
наполовину в керосин. Какой находится в нем заряд, если он заряжен до
1800 б.
Ф 24—12. а) Определить емкость конденсатора, состоящего
из двух шариков диаметром d = 1 см, центры которых находятся
в воздухе ьа расстоянии I — 20 см друг от друга, приняв,
что заряды на их поверхностях распределены равномерно.
б) Определить емкость конденсатора, состоящего из такого
же шарика и большой проводящей пластинки, отстоящей на рас-
расстоянии I = 2Q см от центра шарика. Сравнить с емкостью изо-
изолированного шарика такого же диаметра.
О 24—13. Батарея из двух последовательно соединенных лей-
лейденских банок C00 пф и 500 пф) заряжена до напряжения
12 000 в. Определить:
а) напряжение на первой и второй банках;
б) количество электричества на обкладках.
Q 24—14. Кружки из металлической фольги и парафиниро-
парафинированной бумаги, толщиной по 0,1 мм каждый и диаметрами 2, 3,
4, 5 и 6 см, наложены друг на друга, как показано на рисунке 24—4
(черным показаны металлические кружки). Определить емкость та-
такой системы.
О 25—15. Параллельно одному из 5 последовательно соединен-
соединенных одинаковых конденсаторов подключен статический вольтметр,
емкость которого в два раза меньше каждого из конденсато-
конденсаторов. Вольтметр показывает 500 в. Найти напряжение на всей ба-
батарее.
0 24—16. Пробивное напряжение для прессшпана толщиной
1 мм равно 18 000 в. Два конденсатора с изолирующим слоем
из такого прессшпана, один емкостью 1100 пф, другой емкостью
400 пф, соединены последовательно. Будет ли эта система про-
пробита, если дать на нее напряжение
30 000 в?
Э 24—17. а) Каковы емкости ба-
^_- таРеи конденсаторов, соединенных
¦^ по схемам, показанным на рисунках
Рис. 24-4. 24—5 и 24—6?
Ш
Рис. 24—5.
Рис. 24—6.
б) Показать, что емкости этих батарей равны, если выполняется
условие р = ~\
@ 24—18. Определить емкость плоского конденсатора с пло-
площадью обкладок 5 = 200 см2. Между обкладками .находится
стекло (di = 1 мм), покрытое с обеих сторон слоем парафина
(толщина каждого слоя d2 = 0,2 мм).
© 24—19. Определить емкости конденсаторов, описанных в
задаче 21—22, если длины их равны 1 м.
Ф 24—20. а) Определить емкость конденсатора, состоящего
из двух проволок, описанных в задаче 21—23, приняв длину про-
проволок равной 9 км.
б) Как изменится емкость системы, описанной в а), если одну
из проволок заменить отведенной к земле широкой металличе-
металлической пластиной той же длины? Направление пластины перпенди-
перпендикулярно к плоскости, в которой расположены проволоки.
О 24—21. Лейденская банка емкостью 3000 см заряжена до
20 000в. Предполагая, что при разряде 10% энергии рассеется в
виде звуковых и электромагнитных волн, определить количество
теплоты.
Q 24—22. а) Батарея из п последовательно соединенных кон-
конденсаторов заряжается и при помощи переключателя КК, показан-
показанного на рисунках 24—7, а и б, без изменения зарядов на конденса-
конденсаторах переводится в параллельное соединение. Как изменится при
этом энергия батареи и какова будет работа разряда батареи, если:
Рис. 24—7.
ПО
1) емкости конденсаторов одинаковы? 2) емкости
конденсаторов различны?
б) Те же вопросы в случае, если батарея заря-
заряжается при параллельном соединении и затем
переводится в последовательное,
в 24—23. Имеется система конденсаторов, сое-
соединенных по произвольной схеме, внутри которой
поставлен ключ К (пример такой схемы показан
на рисунке 24—8). Увеличится или уменьшится
емкость системы, если замкнуть ключ К?
© 24—24. Плоский конденсатор имеет в
качестве изолирующего слоя стеклянную пла- Рис' 24~8-
стинку толщиной d = 2 мм и площадью S =
=300 см2. Конденсатор заряжен до напряжения
U = 100 в, после чего отключен от источника напряжения.
Определить механическую работу, которую нужно произвести,
чтобы вынуть стеклянную пластинку из конденсатора (трение в
расчет не принимать).
0 24—25. Пластинки воздушного конденсатора имеют площадь
300 см2 и отдалены друг от друга на расстояние 3 мм. Между ними
находится металлическая пластинка с такой же площадью толщиной
1 мм, изолированная от земли. Конденсатор заряжен до напряжения
600 в и отсоединен от источника напряжения. Какую работу надо
произвести, чтобы вытащить пластинку?
О 24—26. В чем состоит различие в явлениях в следующих
случаях:
а) емкость конденсатора уменьшают (раздвиганием пластин
или выдвиганием диэлектрика) при сохранении величины заряда
(т. е. отсоединив от источника тока)?
б) емкость конденсатора уменьшают при сохранении напря-
напряжения (т. е. не отсоединяя от источника тока)?
0 24—27. Внутренняя обкладка заряженной лейденской
банки соединяется с внутренней обкладкой такой же незаря-
незаряженной банки, причем заряд поровну распределяется на обеих
банках. Показать, что энергия заряда убывает вдвое, и объяс-
объяснить это.
0 24—28. Воздушный конденсатор заряжается до некоторо-
некоторого напряжения и в заряженном состоянии заливается керосином,
8
отчего энергия конденсатора уменьшается в — раз. Куда исче-
зает остальная энергия?
О 24—29. Электрические проницаемости веществ заметно из-
изменяются при повышении температуры (обычно убывают). Пред-
Предположим, что заряженный конденсатор охлаждается, вследствие
чего его электрическая энергия изменяется (например, убывает).
Куда исчезает энергия?
© 24—30. Две лейденские банки (Ci =600 пф и Сз =»
= 1000 пф) соединены последовательно. Батарею заряжают до
111
напряжения U — 20 кв. Затем банки, не разряжая, Соединяют
параллельно. Определить работу разряда, который происходит
при этом соединении.
0 24—31. Два одинаковых воздушных конденсатора (С =
= 800 см) заряжены до напряжения U = 900 в. Один из конден-
конденсаторов погружается в заряженном состоянии в керосин, после
чего конденсаторы соединяются параллельно. Определить работу
происходящего при этом разряда.
0 24—32. Одна лейденская банка (Ci = 600 пф) заряжена
до напряжения Ui = 3000 в, другая банка (С2 = 800 пф} — до
напряжения Ич. = — 4000 в. Определить работу разряда при со-
соединении их внутренних обкладок.
Ф 24—33. Емкость конденсатора, изображенного на рисунке
24—2, меняется в пределах от Ci = 700 см (а — 0) до Сг = 20 см
(а =я). Определить вращающие моменты электрических сил
при углах а — 0, а =— , а = л ¦
а) Вращение головки конденсатора производится после того,
как конденсатор при а = 0 заряжен до U = 200 в и отключен от
источника напряжения.
б) Вращение головки конденсатора производится при присо-
присоединенном источнике напряжения (U — 200 в).
Ф 24—34. Батарея из п = 5 последовательно соединенных
лейденских банок, каждая емкостью С = 400 см, поддерживает-
поддерживается при постоянном напряжении U — 60 000 в. Одна из банок
пробивается. Определить: а) изменение энергии батареи банок;
б) работу разряда, в) работу источника напряжения.
Э 24—35. Принимая протон и электрон, из которых состоит
атом водорода, за точечные заряды, находящиеся на расстоянии
5 - 10"* см, найти плотность энергии электрического поля на сере-
середине расстояния между ними.
0 24—36. На проводящем шаре диаметром 6 см находится
заряд 2 • 10~* к. Шар погружен в керосин и расположен на зна-
значительном расстоянии от стенок сосуда. Определить плотность
энергии электрического поля в точках, отстоящих от центра ша-
шара на расстоянгшх: а) 2 см; б) 4 см.
@ 24—37. Заряд q равномерно распределен по объему шара,
радиусом R. Принимая электрическую проницаемость вещества
шара и окружающей среды равной во, определить:
а) энергию электрического поля внутри шара;
б) вне шара,
в) во всем пространстве;
г) изменение энергии при делении заряженного шара на
равных заряженных шара.
112
§ 25. Закон Ома
1) Связь между количеством электричества д, током / и вре-
временем т
В случае, если ток не меняется с течением времени
/ = -?-.
т
2) Плотность тока
3 AS '
где А/ — ток, проходящий сквозь сечение провода AS. В случае,
если плотность по всему сечению S проводника одинакова,
3) Сопротивление проводов длины / с постоянным сечением S
где р — удельное сопротивление материала.
Для подсчета сопротивления тела с переменным сечением
нужно прибегать к интегрированию.
4) Зависимость удельного сопротивления от температуры t
Р =- РоО + аО,
•где а — температурный коэффициент сопротивления, р0 — удель-
удельное сопротивление при 0° С.
5) Закон Ома _.,
, U+2E
где U — напряжение на концах участка цепи, содержащем элек-
электродвижущие силы, сумма'которых ]?Е, ]?/? — сумма сопротивле-
сопротивлений всех частей участка. Для полной цепи U = 0.
6) Связь между напряженностью поля Е и плотностью тока /
где g = удельная проводимость»
Р
7) Предполагается, что гальванические элементы, упомяну-
упомянутые в задачах § 25—27, являются неполяризующимися.
О 25—1. Какое количество электричества переносится в сле-
следующих случаях: а) ток равномерно возрастает от нуля до 3 а
в течение 10 сек; б) ток убывает от 18 а до нуля, причем за ка-
каждые 0,01 сек он убывает вдвое?
j 25—2. Какова плотность тока в волоске калильной лампы,
если ток 0,125 аи диаметр волоска 0,019 мм?
ИЗ
G 25 — 3. В электронной лампе ток идет от металлического
цилиндра к накаленной нити, расположенной по его оси. Опре-
Определить плотность тока вблизи цилиндра и вблизи нити при та-
таких условиях: ток 3 ма; длина нити и цилиндра 2,5 см; диаметр
нити 0,02 мм, диаметр цилиндра 1 см.
О 25 — 4. Требуется устроить реостат на 0,2 ом„ Материал —
никелиновая лента толщиной 0,5 мм и шириной 10 мм. Какую
длину ленты надо взять?
О 25—5. Имеется моток медной проволоки с площадью по-
поперечного сечения 0,1 мм2. Масса всей проволоки 0,3 кг. Опреде-
Определить сопротивление проволоки.
0 25—6. Предположим, что в неограниченной среде, удель-
удельное сопротивление которой равно р = Wom • см, находится метал-
металлический шар диаметром d = 10 см. Каково сопротивле-
сопротивление системы шар — неограниченная среда? (Таково же прибли-
приблизительно сопротивление заземления, выполненного в виде шара
такого же диаметра, закопанного в почву с указанным удель-
удельным сопротивлением.)
О 25—7. Следует ли при расчете сопротивления проводов
при температурах, отличных от 0° С, принимать во внимание из-
изменение их геометрических размеров при нагревании?
О 25—8. Вольфрам имеет положительный, а уголь — отрица-
отрицательный температ- рный коэффициент. Каково различие ламп с
вольфрамовым и с угольным волоском: а) в отношении измене-
изменения тока при включении? б) в отношении распределения плотно-
плотности тока в накаленном волоске?
О 25—9. Обмотка электромагнитов в динамо-машине сдела-
сделана из медного провода и при температуре 10° С имеет сопроти-
сопротивление 14,2 ом. После работы сопротивление обмотки повыси-
повысилось до 16,5 ом. Какова при этом температура обмотки?
Q 25—10. Определить температурный коэффициент провода,
составленного из алюминиевой проволоки с сопротивлением 3 ом
и железной проволоки с сопротивлением 2 ом, соединенных по-
последовательно.
0 25—Н. Угольный стержень соединен последовательно с
железным такой же толщины. При каком соотношении их длин
сопротивление такой комбинации не зависит от температуры?
© 25—12. Рабочая катушка в вольтметре медная, а доба-
добавочное сопротивление сделано из манганина, удельное сопроти-
сопротивление которого почти не зависит от температуры. Пружинка,
противодействующая вращению катушки, сделана из фосфори-
фосфористой бронзы. Температурный коэффициент модуля упругости
фосфористой бронзы равен р = — 0,0004 град . При каком соот-
соотношении между сопротивлениями рабочей катушки Rt и доба-
добавочным сопротивлением R2 показания вольтметра не зависят от
температуры?
О 25—13. В установке, изображенной на схеме (рис. 25—1),
емкость конденсатора С4 в два раза больше емкости конденсато-
114
Рис. 25—1.
pa C2, а сопротивление Rt в три раза
больше сопротивления R2. Сопро-
Сопротивление батареи ничтожно мало,
ее электродвижущая сила равна
60 в. Определить напряжения на
конденсаторах в следующих слу
чаях: а) ключи /Ci и К2 замкнуты;
б) ключ Ki замкнут, /С2 разомкнут;
в) ключ Ki разомкнут, К2 замкнут.
0 25—14. Какое напряжение
можно дать на катушку, имею-
имеющую w = 1000 витков медного
провода, со средним диаметром
витков d = 6 см, если допустима
плотность тока j = 2 а/мм2?
Q 25—15. Если вольтметр
соединить последовательно с со-
сопротивлением R = 10 000 ом, то при напряжении ?/„ = 120 в он
покажет l/t=50 в. Если соединить его последовательно с неиз-
неизвестным сопротивлением Rx, то он при том же напряжении пока-
покажет U2 — 10 в. Определить это сопротивление.
О 25—16. Батарея из 50 последовательно соединенных эле-
элементов дает ток во внешнюю цепь, состоящую из железного про-
провода длиной 20 км и с площадью сечения 3 мм2 и аппарата с
сопротивлением 90 ом. Э. д. с. и внутреннее сопротивление ка-
каждого из элементов равны 1,4 в и 0,4 ом. Определить силу
тока.
О 25—17. Под конец зарядки батареи аккумуляторов током
3 а присоединенный к ней вольтметр показывал напряжение
4,25 в. В начале разрядки той же батареи током 4 а вольтметр
показывал напряжение 3,9 в. Ток, проходящий по вольтмет-
вольтметру, ничтожен. Определить э д. е. и внутреннее сопротивление ба-
батареи.
О 25—18. При токе 0,5 а напряжение на участке некоторой
цепи равно 8 в. При токе 1,5 а напряжение на том же участке
равно 20 в. а) Какова э.д.с, действующая на этом участке? б) Ка-
Каково будет напряжение, если ток уменьшится до 0,1 а?
О 25—19. Гальванический элемент дает на внешнее сопро-
сопротивление 4 ом ток 0,2 а. Если же внешнее соп-
сопротивление 7 ом, то элемент дает ток 0,14 а.
Какой ток он даст, если его замкнуть накоротко?
0 25—20. Два гальванических- элемента
F
I с э.д.с, равными ?j и Ег, вольтметр с боль-
\к шим внутренним сопротивлением и шкалой,
| нуль которой находится на ее середине, и со-
-' противление R соединены по схеме, показанной
на рисунке 25—2. Сопротивление R и внутрен-
Рис. 25—2. ние сопротивления каждого из элементов рав-
Ф
115
ны между собой. При разомкнутом ключе К стрелка вольтметра
отклоняется вправо. При каком соотношении между ?j и Ег
стрелка вольтметра при замкнутом ключе К: а) отклонится вправо?
б) остановится на нуле? в) отклонится влево?
© 25—21. Два гальванических элемента A а 2), два вольт-
вольтметра с большими внутренними сопротивлениями и шкалами,
нули которых находятся на их серединах, и сопротивление R
соединены по схеме, показанной на рисунке 25—3, а. При ра-
разомкнутом ключе К вольтметры при 1-м и 2-м элементах пока-
показывают напряжения 1,8 ей 1,4 8, причем их стрелки отклонены
вправо. При замыкании ключа К вольтметры показывают на-
напряжения 1,4 в и 0,6 в при том же направлении отклонения стре-
стрелок. Что будут показывать вольтметры, если соединить приборы
по схеме 25—3, б и замкнуть ключ Ю
© 25—22. Несколько одинаковых гальванических элементов
соединены, как показано на схеме (рис. 25—4), посредством про-
проводов, сопротивление которых ничтожно мало.
а) Какова разность потенциалов между любыми точками соеди-
соединительных проводов, например между точками А и В или между
точками Л и С?
б) Тот же вопрос в случае, если э.д.с. элементов не равны и внут-
внутренние сопротивления прямо пропорциональны э.д.с.
в) Как изменится ответ на вопрос а), если элементы будут обра-
обращены друг к другу одноименными полюсами?
© 25—23. Какие заряды находятся на
плоских электродах, опущенных в раствор
медного купороса, если идет ток / = 0,5 а
и если удельное сопротивление раствора
равно р = 50 ом ¦ см? Электрическую
проницаемость раствора принять е' =
© 25—24. Силовые линии электрическо-
электрического тока в проводниках совпадают с линиями
тока. Как это согласовать с тем фактом,
что в тонком слое электролита (например,
в плоской кюветке) линии тока от двух
Рис. 25—4.
116
электродов в виде маленьких шариков расположены в этом слое,
тогда как силовые линии двух разноименных зарядов располага-
располагаются по всем направлениям?
0 25—25. Ток идет по проводнику формы, показанной на ри-
рисунке 25—5. Одинакова ли напряженность поля в местах с уз-
узким и широким сечением' Чем это объяснить?
Рис. 25—5.
0 25—26. Каким образом расположены силовые линии вну--
три изогнутой стеклянной трубки с электролитом, по которому
идет ток? Как идут силовые линии в проводе, завязанном
узлом?
© 25—27. (Предварительно решить задачу 21—23.) В рас-
растворе медного купороса (р = 40 ом • см) ток идет между двумя
медными проволоками, оси которых расположены параллельно
друг другу на расстоянии 13 см. Радиус проволок 4 мм. Между
проволоками поддерживается напряжение 12 в. Определить
плотность тока: а) на середине расстояния между проволока-
проволоками; б) в точке, отстоящей на 10 см от осей обеих проволок; в)
определить ток, принимая, что длина проволок 15 см равна
глубине слоя раствора и размеры сосуда весьма велики.
© 25—28. Изолирующий слой плоского конденсатора состоит
из двух слоев толщиной d^ и d2 с электрическими проницаемо-
стями ei и ег- Диэлектрики имеют удельные сопротивления р4
и р2. Конденсатор находится под постоянным напряжением U.
а) Показать, что при установившемся состоянии в случае,
если -^- =?.?*. на границе диэлектриков должны находиться сво-
Ч Pi
бодные заряды.
б) Вычислить величину этих зарядов (для стекла р i =
= 2 • 1013 ом ¦ см; для керосина р2 = 5 • 1014 ом • см), если d^ =
= d2 = 3 мм и если полное напряжение на конденсаторе U =
= 15 000 в.
в) Объяснить, почему слоистые конденсаторы дают явление
«остаточного заряда» (заряда, появляющегося спустя некото-
некоторое время по разряжении конденсатора).
в 25—29. К конденсатору (С = 10 мкф) присоединяют акку-
аккумулятор с э.д.с. Е = 2 в через сопротивление R = 1000 ом. Через
сколько времени конденсатор будет заряжен до напряжения U =
= 1,98 в? Внутреннее сопротивление аккумулятора ничтожно.
© 25—30. Плоский конденсатор с диэлектриком в виде пара-
парафинированной бумаги (е = 2 СГСЭ) через / = 10 мин сохранил
заряд q, равный 0,1 первоначального заряда </<>. Предполагая,
что утечка произошла только сквозь парафинированную бумагу,
вычислить ее удельное сопротивление.
117
§ 26. Разветвленные цепи
1) Сопротивление при параллельном соединении проводни-
проводников
1 Vi 1
2) Правила Кирхгофа:
а) для суммы токов в узле
б) для суммы произведений сил токов на сопротивления уча-
участков и суммы электродвижущих сил при обводе по контуру
2?=2'*-
О 26—1. Потребитель имеет 20 лампочек с сопротивлением
по 48 ом и 100 лампочек с сопротивлением по 288 ом каждая.
Лампочки соединены параллельно. Определить сопротивление
установки потребителя.
О 26—2. Определить электрическое сопротивление сетки, по-
показанной на рисунке 26—1, если сопротивление каждого из звеньев
сетки равно 1 ом. Рассмотреть два случая: а) ток идет от точки А к
точке В; б) ток идет от точки С к точке D.
© 26—3. Требуется подобрать для схем, показанных на ри-
рисунках 26—2 и 26—3, такие сопротивления R, чтобы при замкнутом
ключе /Ci и разомкнутом ключе /С2 амперметр показывал такой же
ток, как при замкнутом ключе /С2 и разомкнутом ключе /Ci- Сопро-
Сопротивления источника тока и амперметра ничтожно малы.
О 26—4. К гальванометру, сопротивление которого 290 ом,
присоединили шунт, понижающий чувствительность гальвано-
гальванометра в 10 раз. Какое сопротивление надо включить последова-
последовательно с шунтированным гальванометром, чтобы общее сопро-
сопротивление осталось неизменным?
© 26—5. а) Сопротивление R измеряется вольтметром и ам-
амперметром по схеме, показанной на
рисунке 26—4. Амп§рметр А показы-
показывает / = 0,32 а; вольтметр U = 9,6 в.
Сопротивление амперметра RA=0,03 ом.
Определить относительную ошибку х,
которую делают, вычисляя сопротивле-
сопротивление без учета сопротивления ампер-
амперметра.
б) Произвести тот же расчет при
I = 7а hU = 2,1 в.
© 26—6. а) Сопротивление R из-
1 меряется вольтметром и амперметром
Рис 26—1. по схеме, показанной иа рисунке 26—5.
118
Рис. 26—2.
Рис. 26—3.
Амперметр А показывает / = 2,40 а; вольтметр V показывает
U — 7,20 в. Сопротивление вольтметра Rv = 1000 ом. Опре-
Определить относительную ошибку у, которую делают, вычисляя со-
сопротивление без учета тока, идущего в вольтметр.
б) Произвести тот же расчет при / = 24 ма; If— 7,20 в.
© 26—7. При включении приборов по схеме, показанной на
рисунке 26—5, амперметр показывает ток It = 2,06 а, а вольт-
вольтметр — напряжение Vi = 49,6 в. При включении тех же прибо-
приборов по схеме на рисунке 26—4 амперметр показывает /2 = 1,94 а,
а вольтметр — U2 = 50 в. Определить сопротивление R. Напря-
Напряжение, даваемое батареей, является постоянным.
0 26—8. На рисунке 26—6 показана схема соединений ка-
катушки амперметра К и шунтов Ri и R2. Если включить ампер-
амперметр в цепь, пользуясь клеммами Л и В, то цена деления циферблата
амперметра равна 0,1 а. Если пользоваться клеммами А и С ,
то цена деления равна 0,02 а. Какова цена деления, если поль-
пользоваться клеммами В и С?
© 26—9. На коробке амперметра, кроме клемм М и N для
присоединения к цепи, имеются 4 клеммы, расположенные как
показано на рисунке 26—7. В паспорте прибора указано, что при
соединении этих клемм перемычками по схеме / вся шкала ам-
К
А В
Рис. 26—6.
С
119
Ji
M
о
PC
°0
N
о
eccz
До
M
о
=dC
oO
N
о
Рис. 26—7.
перметра соответствует 3 а\ при соединении тех же клемм по
схеме // вся шкала соответствует 1,5 а. Внутри прибора имеются
сопротивления, соединенные с рабочей катушкой К прибора по
схеме рисунка ///, причем Rx = R2.
а) Какому току будет соответствовать вся шкала, если уда-
удалить совсем перемычки между клеммами А, В, С и D?
б) Каково должно быть отношение п между сопротивлениями
/?i и R2l если желательно, чтобы при удалении перемычек вся
шкала соответствовала 1,2 а?
О 26—10. Для определения места, где один из проводов дву-
двужильного кабеля вследствие повреждения получил соединение с
землей, можно употребить установку, схема которой приве-
приведена на рисунке 26—8. АВ — струна, по которой можно пере-
передвигать контакт К. Определить место повреждения Кабеля, ес-
если гальванометр G не дает отклонения, когда контакт К на-
находится на расстоянии 41 см от конца В. Длина струны 100 еж,
длина кабеля 7,8 км.
© 26—'11. а) Чему равно сопротивление проволочного карка-
каркаса в виде прямоугольника со
сторонами а и Ъ и диагона-
диагональю, если ток идет от точки А
к точке В (рис. 26—9)? Сопро-
Сопротивление единицы длины про-
проволоки равно у .
б) Тот же вопрос, если ток
идет от точки С к D.
0 26—12. Человек, стоя на
земле, касается оголенного ме-
места одного из проводов ма-
магистрали, между проводами
Рис. 26—8.
Рис. 26 —9.
120
которой имеется напряжение U — 600 в. Какой ток пройдет сквозь
тело человека, если он прикоснется к одному из проводов при сле-
следующих условиях: сопротивление тела человека (главным об-
образом кожи в месте прикосновения) в случае сухой кожи оце-
оценивается в R — 50 000 ом; сопротивление изоляции между тем
проводом, к которому прикоснулись, и землей равно /? t = 50 0ОО ом,
сопротивление изоляции между другим проводом и землей равно
R2 — 400 000 ом? Сопротивлением земли можно пренебречь.
© 26—13. Для измерения сопротивления изоляции в прово-
проводах, находящихся под напряжением, измеряют посредством
вольтметра с большим внутренним сопротивлением R напряже-
напряжения: 1) между первым и вторым проводами ((/); 2) между первым
проводом и землей (?/4); 3) между вторым проводом и землей (U2).
Чему равны сопротивления изоляции первого и второго проводов
по отношению к земле /?4 и R2 при таких данных: R = 20 000 ом;
U = 120 в; Ui = 8 в; U2 = 10 в?
0 26—14. Два вольтметра с внутренними сопротивлениями
6000 ом и 4000 ом соединены последовательно. Параллельно к
ним включено сопротивление 10 000 ом. На эту систему дано
напряжение 180 в (рис. 26—10).
а) Что показывают вольтметры, когда ключ К разомкнут?
б) Каковы показания вольтметров, когда ключ К замкнут, а
движок D соединен с серединой сопротивления R3?
в) Движок D двигают до тех пор, пока показания вольтметров
не уравняются между собой. На какие части делит движок D
сопротивление R3?
0 26—15. На рисунке 26—11 изображена схема потенцио-
потенциометра, при помощи которого можно менять напряжение Uи при-
приходящееся на прибор М. Потенциометр находится под напряже-
напряжением U. Полагая сопротивление прибора М равным г и со-
сопротивление потенциометра равным R, определить [/4 как функ-
функцию расстояния х ползунка потенциометра от одного из его
концов.
Исследовать случаи: а) х = 0; б) х = /; в) х — —; г) г > R.
О 26—16. Генератор постоянного тока дает э.д.с. = 12 в.
Его внутреннее сопротивление 0,2 ом. Он заряжает батарею
Рис. 26 —10.
Рис. 26-11.
121
Рис. 26—12.
аккумуляторов с э.д.с. = 10 в и внутренним сопротивлением
0,6 ом. Параллельно батарее включена лампочка с сопротивле-
сопротивлением 3 ом. Определить ток в батарее аккумуляторов и в лам-
лампочке.
О 26—17. Три гальванических элемента с э.д.с. 1,3 в; 1,4 в
и 1,5 s и с внутренними сопротивлениями по 0,3 ом каждый
включены параллельно друг другу на внешнее сопротивление
0,6 ом. Определить ток в каждом элементе.
О 26—18. Три гальванических элемента и три вольтметра
соединены по схеме, показанной на рисунке 26—12. Электродви-
Электродвижущие силы гальванических элементов равны: Е± = 1 в; Ег — 2 в;
Е3= 1,5 в. Сопротивления вольтметров равны: i?4 = 2000 ом;
R2 — 3000 ом; R3 = 4000 ом. Сопротивления элементов ничтожно
малы.
а) Каковы показания вольтметров?
б) Каково напряжение между узлами схемы?
О 26—19. Каковы внутренние сопротивления гальванических
элементов с электродвижущими силами 1,6 в; 1,4 в и 1,1 в, если,
будучи соединены параллельно при внешнем сопротивлении
1 ом, они дают токи 0,8 а; 0;6 а и —0,2 а?
О 26—20. Три гальванических элемента (?4 = 1,3 в;
г4 = гг — г3 = 0,2 ом) включены, как это
показано на рисунке 26—13. Сопро-
Сопротивление R — 0,55 ом. Определить то-
токи 1и /2 и /g в элементах.
Э 26—21. На схеме, показанной
на рисунке 26—14, сопротивления
Ki = R2 = #з = Я4 = Ю0° ом, Ei =
= 1,5 в, Е2 = 1,8 в. Определить
токи в сопротивлениях.
0 26—22. Для измерений раз-
разности температур посредством тер-
термоэлемента иногда применяют схе-
Рис. 26—14. му, показанную на рисунке 26—15.
Е2= 1,5 в; Е3 = 2 в;
122
Рис. 26—15.
Меняя сопротивление высокоомного
реостата Ru достигают того, что стрел-
стрелка гальванометра G стоит на нуле. Опре- '
делить разность температур Л/ между
спаями термоэлемента 1 и 2 при таких 2
данных: R = 0,1 ом, внутреннее сопро-
сопротивление вольтметра Rv = 50 ом; пока-
показание вольтметра при отсутствии тока
в гальванометре равно U = 0,07 в; ко-
коэффициент термоэлектродвижущей силы
термоэлемента (медь — константан) ра-
равен е=4,4 • 10~5— .
град
© 26—23." Батарея из 400 элементов,
каждый с электродвижущей силой 2 в
и внутренним сопротивлением 0vl ом, должна давать ток на внеш-
внешнее сопротивление 10 ом. Требуется составить смешанную бата-
батарею из такого числа п4 параллельных групп, содержащих каж-
каждая п2 последовательно соединенных элементов, чтобы получи-
получилась максимальная сила тока. Определить числа nt и м2.
0 26—24. Два гальванических элемента с электродвижу-
электродвижущими силами Е{ и Ег и внутренними сопротивлениями г4 и г2
соединены параллельно и дают ток / во внешнюю цепь,
сопротивление которой равно R.
а) Определить токи в элементах It и /2 и ток / как функции
Еи Еъ ru г2 и R.
б) Определить внутреннее сопротивление г и электродвижу-
электродвижущую силу Е элемента, эквивалентного данной батарее. Разо-
Разобрать случаи: 1) когда Е^ = Е2 и 2) когда г4 = г2.
в) Определить ток в элементах при коротком замыкании ба-
батареи.
г) Найти условия, при которых второй элемент не будет ра-
работать.
д) При каком R токи в элементах равны? Всегда ли это воз-
возможно?
Рис. 26—16.
123
Э 26—25. Имеется элемент Грене, в котором поляризацию
можно считать устраненной. Элемент дает ток на амперметр, со-
сопротивление которого мало по сравнению с внутренним сопроти-
сопротивлением элемента (рис. 26—16). Как изменится показание ам-
амперметра, если в элемент опустить, как показано на рисунках б
и в, цинковый и угольный электроды небольшого размера, со-
соединенные проводником малого сопротивления?
§ 27. Мощность и работа тока
1) Работа, производимая электрическими силами на участке
цепи, концы которого имеют разность потенциалов U, при токе /
в течение времени т
А =
Если / и U постоянны, то
2) Мощность тока
А = UIx.
Р =UI.
3) Количество теплоты, выделяющейся на участке цепи с со-
сопротивлением R, по которому идет ток /, за время т, независимо
от наличия или отсутствия э. д. с. на рассматриваемом участке,
равно
Q = PRx.
4) Количество теплоты, выделяющееся в 1 ел3 проводника с
удельным сопротивлением р при плотности тока /, равно
Я = /V1-
О 27—1. На рисунках 27—1 и 27—2 показаны два способа
включения ваттметра. Показать, что в первом случае показание
ваттметра больше измеряемой величины на величину мощности,
поглощаемой в толстой обмотке, а во втором — на величину мощ-
мощности, поглощаемой в тонкой обмотке.
О 27—2. Сколько ламп мощностью Р = 300 вт каждая, пред-
предназначенных для напряжения U — ПО в, можно установить в
R
Рис. 27—1.
Рис. 27—2.
124
здании, если проводка от магистрали сделана медным проводом
общей длиной I = 100 м и сечением S — 9 мм2 и если напряже-
напряжение в магистрали поддерживается равным Uo = 122 в?
О 27—3. Определить количество меди т, потребное для
устройства проводки с общей длиной I = Ъ км. Напряжение на
шинах станции Uo = 240 в. Передаваемая потребителю мощ-
мощность Р = 60 кет. Допускается в проводке потеря напряжения
р = 8%.
О 27—4. Как изменится температура медного стержня, если
по нему в течение 0,5 сек пройдет ток, плотность которого равна
9-^-? При расчете принять, что передача теплоты окружающим
мм2
телам отсутствует,.
Э 27—5. а) Батарея состоит из п = 5 последовательно со-
соединенных элементов с э.д.с. Е = 1,4 в каждый и с внутренним
сопротивлением по г = 0,3 ом каждый. При каком токе полезная
мощность батареи равна 8 вот?
б) Какова наибольшая полезная мощность батареи?
0 27—6. Ток от магистрали к потребителю подводится по
медной проводке общей длиной 49 м и площадью сечения 2,5 мм2.
Напряжение в магистрали равно 120 в.
Потребитель намеревается сделать электрическую печь мощ-
мощностью 600 вт. Каково должно быть сопротивление у печи?
0 27—7. Определить работу тока на участке, не содержа-
содержащем источников э.д.с. и имеющем сопротивление R = 12 ом, если
ток в течение т = 5 сек равномерно увеличивался от 1\ —
= 2 а до /2 = 10 а.
О 27—8. Определить работу электрических сил и количество
теплоты, выделяемое в течение 1 сек (и то и другое выразить в
джоулях) в следующих случаях:
а) в проводе, по которому идет ток 1 а; напряжение между
концами провода равно 2 в;
б) в аккумуляторе, который заряжается током в 1 а; напря-
напряжение между полюсами аккумулятора равно 2 е; э.д.с. аккуму-
аккумулятора равна 1,3 в;
в) в батарее аккумуляторов, которая дает ток 1 а на внешнее
сопротивление; напряжение между полюсами аккумулятора рав-
равно 2 в; э.д.с. батареи равно 2,6 в.
0 27—9. Батарея аккумуляторов, э.д.с. которой Е = 12 в,
заряжается при напряжении U = 12,5 в током /t = 3 с. Прини-
Принимая, что внутреннее сопротивление при заряде и при разряде
одинаково и что аккумулятор отдает щ = 70% прошедшего "че-
"через него при заряде электричества, определить к.п.д. ц аккуму-
аккумулятора: а) при разряде током /2 = 3 а; б) при разряде током
13 = 0,3 а.
0 27—10. По проводу, сопротивление которого R = 6 ом,
протекло количество электричества q = 30 к. Определить коли-
количество теплоты, выделенное в проводе в следующих случаях:
125
а) по проводу в течение т = 24 сек
протекал постоянный ток;
б) ток в проводе равномерно убы-
убывал до нуля в течение т = 24 сек;
в) ток в проводе убывал до нуля
таким образом, что за каждые т =
Рис. 27—3. = 24 сек он убывал вдвое.
О 27—11. Сопротивление обмотки
электрочайника 16 ом. Определить промежуток времени, за кото-
который закипит в нем 600 г воды, имеющей начальную температу-
температуру ti = 10° С, если к.п.д. 60% и если напряжение в се-
сети 120 в.
О 27—12. Сколько витков никелиновой проволоки надо на-
навить на фарфоровый цилиндр диаметром 1,5 см, чтобы устроить
кипятильник, которым в течение 10 мин можно вскипятить 120 г
воды при начальной температуре 10° С; к.п.д. принять 60%. Ди-
Диаметр проволоки 0,2 мм. Напряжение 100 в.
О 27—13. Электрический чайник имеет две секции нагрева-
нагревательной проволоки. При включении одной он закипает через
10 мин; при включении другой он закипает через 20 мин. Через
сколько времени он закипит, если включить обе секции: а) по-
последовательно? б) параллельно? Напряжение, к.п.д. чайника,
количество воды и начальную температуру считать во всех слу-
случаях одинаковыми.
Ф 27—14. Если напряжение в сети равно U\ = 120 в, то
вода в электрическом чайнике закипает через т4 = 20 мин. Если
же напряжение в сети равно U2 = ПО в, то при таком же коли-
количестве воды и при той же начальной температуре вода закипает
через т2 = 28 мин. Предполагая для упрощения, что потери
теплоты от чайника в окружающее пространство пропорци-
пропорциональны времени нагревания, рассчитать, через сколько време-
времени т3 закипит вода в чайнике при напряжении в сети, равном
U3 = 100 в.
0 27—15. Гальванический элемент с внутренним сопротивле-
сопротивлением г замыкают поочередно двумя проволочками с различными
сопротивлениями Ri и R2. В каком соотношении должны нахо-
находиться Ru R2 и г при следующих условиях:
а) в сопротивлениях Ri и R2 должно за определенное вре-
время выделяться одно и то же количество теплоты;
б) в меньшем сопротивлении должно выделяться больше
теплоты?
0 27—16. Ток идет от медной трубки радиусом г =
— 2 мм к медной трубке радиусом R = 4 см по плоской алю-
алюминиевой фольге толщиной d = 0,1 мм (рис. 27—3). Какое ко-
количество тепла выделяется в алюминиевой фольге за т = 0,5 сек,
если ток равен I = Б а?
© 27—17. а) К концам свинцовой проволоки длиной I = Б см
и диаметром d — 0,2 мм прилагается напряжение U = 100 в. Ка-
126
кой промежуток времени т пройдет до того момента, как прово*
лочка начнет плавиться? Точка плавления свинца f=327°C.
Пренебречь потерей теплоты во внешнее пространство. Принять
начальную температуру проволочки равной 0сС. Пренебречь из-
изменением теплоемкости свинца при нагревании.
б) Какой промежуток'времени пройдет до начала плавления
проволочки, если по ней идет ток 7 = 50 а?
ф 27—18. Свинцовая проволочка диаметром c?i = 1 мм в
плавком предохранителе расплавляется при длительном токе не
меньше /] = 8 а. Определить, при каком токе /2 расплавится
проволочка диаметром с?2 = 2 мм. Считать проволочку доста-
достаточно длинной (для того чтобы можно было пренебречь охла-
охлаждением у ее зажимов). Считать, что потеря теплоты проволоч-
проволочкой в окружающее пространство прямо пропорциональна по-
поверхности проволочки.
ф 27—19. Электрическая пустотная лампочка мощностью
Pi = 50 em, предназначенная для напряжения ?/i=120 в, имеет
волосок диаметром поперечного сечения d{— 0,044 мм и длиной
/i = 612 мм. Определить, какой диаметр d2 и какую длину 4 дол-
должен иметь волосок лампочки мощностью Р2=15 вт, предназна-
предназначенной для напряжения ?/2 = 220 в. При расчете пренебречь по-
потерями теплоты по крючкам, поддерживающим волосок; считать
температуру накала в обоих случаях одинаковой; волосок рас-
рассматривать как круглый цилиндр.
ф 27—20. Для накала нити одного из типов электронной
лампы требуется напряжение 3,8 в, причем идет ток 0,65 а.
Вследствие испарения материала нити диаметр ее уменьшился
на 10%. Какое требуется напряжение, чтобы поддержать темпе-
температуру накала прежней? Какой идет при этом ток?
ф 27—21. Принимая: 1) что охлаждение накаливаемой про-
проволоки в воздухе прямо пропорционально разности тем-
температур проволоки и воздуха (закон охлаждения Ньютона);
2) что изменение сопротивления ее с температурой незначительно,
показать, что удлинение
проволоки, накаливаемой то-
током, прямо пропорциональ-
пропорционально квадрату величины тока.
ф 27—22. На рисунке
27—4 изображена схема
теплового ваттметра. Тон-
Тонкая проволока АВ, накали-
накаливаемая током, перекинута
через блок С, оттягиваемый ^_
кверху пружинкой (не пока-
показанной на рисунке). Пока-
Показать, что поворот стрелки
D прямо пропорционален
мощности тока Р. Рис. 27—4.
D
127
§ 28. Электронные явления в металлах
1) При решении задач, помещенных в этом параграфе, исполь-
используется представление, что некоторая часть электронов.свободно
перемещается внутри металла ^н что к этой части применимы со-
соотношения кинетической теории газов. Следует помнить, что все
результаты, полученные на основании этих представлений, явля-
являются лишь первым приближением к действительности.
2) Плотность тока в металле
/ = nev,
где п = концентрация носителей заряда (в случае металла —
свободных электронов), е — заряд электрона, v — средняя ско-
скорость упорядоченного движения электронов.
3) Между двумя металлами А и В, имеющими общую темпе-
температуру Т и соединенными между собой или непосредственно,
или посредством иных металлов, имеется разность потенциалов
ЕАВ, зависящая от природы металлов и их общей температуры,
но не зависящая от природы и температуры промежуточных ме-
металлов (контактная э.д.с).
4) При прохождении по цепи количества электричества q,
помимо джоулевой теплоты, в контактах различных металлов и
между сечениями проводов, отличающихся по температуре, вы-
выделяется или поглощается количество теплоты, равное Е • q, где
? — соответствующая э.д.с.
5) Плотность тока эмиссии электронов в вакууме (формула
Дешмана)
/ = АТ2е
кТ
где А — постоянная; ере — работа вырывания электрона из ме-
металла; k — постоянная Больцмана; Т — температура.
0 28—1. Определить количество движения электронов (р), со-
соответствующее току 7=400 а в прямом проводе длиной /=10 Лм.
Ф 28—2. Принимая, что на каждый атом меди приходится
один свободный электрон, сделать следующие расчеты относи-
относительно медного провода длиной 15 км, сечением 1 мм2, по кото-
которому идет ток при напряжении 7 в:
а) Определить, сколько времени потребуется для перемещения
свободного электрона от одного конца провода до другого.
б) Найти сумму электрических сил, действующих на все сво-
свободные электроны в проводе.
0 28—3. Предполагая, что свободные электроны внутри вра-
вращающегося тела перемещаются от оси вращения к периферии до
тех пор, пока центробежная сила инерции не уравновесится элек-
электрической силой, определить разность потенциалов между цен-
центром и окружностью вращающегося металлического диска. Диа-
Диаметр диска 5 см, частота оборотов равна 1200 минг1.
0 28—4. Катушка содержит 590 витков -медного провода
128
Рис. 28—1.
диаметром 0,3 мм. Диаметр битков ра-
равен 14 см. Катушка может вращаться
вокруг своей оси, причем ее концы со-
соединены с баллистическим гальвано-
гальванометром. Когда вращающаяся катушка
резко тормозится, гальванометр дает от-
отброс. Какое количество электричества
пройдет по цепи при торможении ка-
катушки при следующих условиях: сопро-
сопротивление гальванометра вместе с сопро-
сопротивлением контактов и проводов равно
130 ом. Частота оборотов катушки равна 33 сект1.
© 28—5. Каково наибольшее (теоретически) количество
электричества, которое протечет по цепи, состоящей из термо-
термопары медь — платина и некоторого сопротивления, при погло-
поглощении горячим контактом 1 калории? Температура горячего
контакта 100° С, холодного 0° С; э.д.с. равна 0,76 мв.
О 28—6. Наэлектризованная пылинка может быть уравно-
уравновешена в электрическом поле; между тем сила тяжести дей-
действует на все частицы пылинки, а электрическое поле — лишь
на имеющиеся на ней избыточные электроны. Каким образом
уравновешиваются эти силы?
Э 28—7. При приближении отрицательно заряженной па-
палочки к накаленному волоску электрической лампочки во-
волосок притягивается (рис. 28—1). Если же приблизить положи-
положительно заряженную палочку, то волосок остается без движения
и притягивается лишь в момент удаления положительного за-
заряда. Если накал ламйы очень слабый, то волосок притягивается
одинаково и к положительному и к отрицательному зарядам.
Если накал лампы очень силен, то волосок остается в покое при
приближении любого заряда.
Объяснить эти явления, принимая во внимание явление тер-
термоионной эмиссии, а также то обстоятельство, что в колбе лампы
имеется незначительное количество газа.
0 28—8. Какова работа выхода из металла, если повыше-
повышение температуры нити накала, сделанной из этого металла, от
2000° К до 2001° К увеличивает ток насыщения в электронной
лампе на 1%?
0 28—9. Определить ток насыщения в электронной лампе с
вольфрамовым катодом при таких данных: длина и диаметр нити
накала 3 см и 0,1 мм; температура накала 2700° К; постоянная А
для вольфрама равна 60,2 .
см1-град1
Э 28—10. Вольфрамовая нить, служащая катодом в элек-
электронной лампе, накаливается током 1,9 а до некоторой темпера-
температуры. На сколько вольт надо повысить напряжение на этой нити,
чтобы при анодном токе 0,1 а температура нити осталась такой
же, как и при отсутствии анодного тока?
5 Д И
129
§ 29. Электрический так в газах
1) Работа ионизации
А = <ре,
где ф — потенциал ионизации.
2) Связь скоростей ионов к и и с их подвижностями k+ н fe_
и с напряженностью поля
v — k+E; и = k!E.
3) Плотность тока при концентрации ионов п (насыщение не
имеет места)
j = en (k++kJ) E.
4) Плотность тока насыщения между плоскими электродами,
отстоящими на расстоянии d,
j = eqd,
где q — число пар ионов, образуемых ионизатором в 1 см9 за
1 сек.
5) Число пар ионов, рекомбинирующихся за 1 сек в 1 см3 га-
газа, свободного от пылинок,
An = an2,
где а — коэффициент рекомбинации. При наличии в газе частиц
пыли, дыма и т. п. рекомбинация в значительной мере происхо-
происходит на них. В таком случае число пар ионов, рекомбинирующихся
за 1 сек, можно считать пропорциональным п:
An = рп.
6) Средняя продолжительность существования иона
О 29—1. При какой относительной скорости молекул кисло-
кислорода может произойти при соударении однократная ионизация-
одной из них?
Указание. При решении этой и последующих задач- следует при-
принять во внимание, что ионизация происходит при неупругом ударе молекул.
Э 29—2. а) Молекула кислорода ионизируется ударом элек-
электрона. Какова разность потенциалов, которую прошел электрон,
вызвавший ионизацию, если его начальная скорость мала? Счи-
Считать также малой скорость ионизируемой молекулы перед
ударом.
б) Тот же вопрос относительно иона, масса которого вместе
с «прилипшими» молекулами в п = 4 раза больше массы моле-
молекулы кислорода.
130
О 29—3. На рисунке 29—1 изо-
изображен опыт по стеканию зарядов с
острия. Против заряженного острия
находится узкая полоска папиросной
бумаги, верхний конец которой при-
прикреплен к штативу, отведенному к
земле. При медленном повышении на-
напряжения между острием и землей
полоска сначала притягивается к
острию, затем при некотором опреде-
определенном для данного острия напр я- ^источнику высокого
жении резко отталкивается. Объяс- напряжения
нить явления. Рис. 29—1.
0 29—4. Предположим, что два
иона движутся в газе вокруг их общего центра инерции, при-
причем общая кинетическая энергия их движения равна средней
энергии поступательного движения молекул окружающего га-
газа. Чему равно расстояние Ь между ними при 0е С?
О 29—5. Воздух, заключенный между двумя пластинками
с площадью 300 си2, находящимися на расстоянии 2 см друг от
друга, ионизируется рентгеновскими лучами. При напряже-
напряжении 150 в, значительно меньшем, чем напряжение, дающее ток
насыщения, между пластинами идет ток 4 • Ю76 а. Определить
концентрацию ионов между пластинами.
О 29—6. Концентрация ионов, обусловливающих проводи-
проводимость атмосферного воздуха, в среднем равна 700 см~3. Средняя
величина напряженности земного электрического поля равна
130 —. Вычислить плотность тока проводимости в атмосфере.
At
О 29—7. Воздух между двумя пластинками конденсатора
ионизируется. Ток насыщения между ними равен 2 • 10~JO а. Пло-
Площадь пластинок 100 см2; расстояние между ними 0,5 см. Опреде-
Определить число пар ионов, образующихся за 1 сек в 1 см3.
© 29—8. Можно считать, что столкнувшиеся ионы рекомби-
нируются. Во сколько раз увеличивается число столкновений
ионов воздуха вследствие их взаимодействия по сравнению с не-
незаряженными молекулами при температуре 17° С? Диаметр мо-
молекул воздуха принять равным о = 3 • Ю^8 см. Коэффициент ре-
рекомбинации а = 1,6- 10~s см3 ¦ сект1.
© 29—9. Число пар ионов, образующихся в 1 м3 воздуха
за 1 сек, принимают равным над океанами вдали от суши око-
около 1 (действие космического излучения), над сушей в среднем око-
около 8 (действие космических лучей и радиоактивных веществ
в воздухе и в почве). Воздух над океаном можно считать свобод-
свободным от пыли; а = 1,6 • 10~6 см3 ¦ сек*1. Воздух над сушей загряз-
загрязнен пылью; р = 0,01 сек'1.
а) Вычислить концентрацию ионов над океаном и над су-
сушей.
5* 131
Рис. 29—2.
б) На сколько переместятся в вертикальном на-
направлении положительные и отрицательные ионы в
воздухе над океаном и над сушей, если напряжен-
напряженность электрического поля Земли в обоих случаях
равна 130 — ?
м
0 29—10. Число пар ионов в 1 см3 воздуха при
ионизации рентгеновскими лучами равно п0 =
— 10s слг3. Через сколько времени от момента пре-
прекращения действия ионизатора число пар ионов умень-
уменьшится до п = 104 см~3:
а) если воздух чистый (а = 1,6 ¦ 10~8 см3 ¦ сект1)?
б) если воздух загрязнен пылью ф = 10~2 сект1)?
Наличием других ионизаторов пренебречь.
Ф 29—11. Газ между двумя плоскими электродами ионизи-
ионизируется. Вблизи электродов рекомбинации не происходит, так как
все образующиеся там ионы достигают электродов раньше, чем
успеют рекомбинироваться. Исходя из этого:
а) показать, что формула / = en (k+ -j- kj) — переходит в фор-
формулу для плотности тока насыщения / = eqd, как только бу-
будет достигнута такая скорость ионов, что рекомбинация не бу-
будет иметь места нигде в пространстве между электродами;
б) вычислить, при каком напряжении должен получиться
ток насыщения, если расстояние между электродами d = 3 см
и если q = 107 сект1 ¦ см~3. Воздух свободен от пыли
(а = 1,6 • 10-» см3 -.сек-').
© 29—12, В изогнутой трубке с высоким вакуумом (рис. 29—2)
электроны летят от катода к аноду по траекториям, изогну-
изогнутым по форме трубки. Как это объяснить?
О 29—13. На рисунке 29—3 представлено распределение
потенциала в трубке, в которой происходит тлеющий разряд
(схематически). В какой области между электродами напряжен-
напряженность поля наиболее велика? Где она равна нулю? Указать об-
области, где имеются пространственные заряды.
Э 29—14. По пустотной трубке идет ток, и поток электронов
ударяет в анод, передавая ему некоторое ко-
количество движения. Значит ли это, что резуль-
результирующая -сила, действующая на анод, отлич-
на от нуля?
0 29—15. При движении электронов в
вакуумной трубке они не встречают на своем
пути атомов и молекул; следовательно, нель-
нельзя говорить о тепловом действии тока внутри
трубки. Почему же не равно нулю напряжение
между электродами трубки? Рис. 29—3.
К
132
§ 30. Явления в электролитах
1) Закон Фарадея для массы т вещества, выделенного на элек-
электроде при прохождении количества электричества q,
A q
т — . —— ,
г F
где А — атомный (или молекулярный) вес вещества; г — валент-
валентность; F — число Фарадея.
2) Удельная проводимость электролита
g = zena(k+-+kj),
где ze — заряд иона; п — концентрация молекул растворенного
вещества; а — коэффициент диссоциации; kr и ?_—подвижности
ионов.
3) Уравнение Гиббса — Гельмгольца (§ 18) в применении к
разности потенциалов между электродом и электролитом (полу-
(полуэлемент) или между двумя электродами, опущенными в электро-
электролит (элемент),
Е+Т,
F-z ^ dT
где Н — общая сумма количества тепла, выделяющегося при ре-
реакции внутри элемента (или полуэлемента) на 1 моль ионов.
О 30—1. Движутся ли ионы в электролитах по силовым ли-
линиям электрического поля? Что имеют в виду, когда говорят,
что линии тока в электролитах совпадают с силовыми линиями
поля?
О 30—2. Никелирование металлического изделия с поверх-
поверхностью 120 см2 продолжалось 5 ч током 0,3 а. Валентность нике-
никеля равна 2. Определить толщину слоя никеля.
О 30—3. Сколько цинка расходуется в элементе Даниеля за
20 мин работы при токе 0,5 а? Валентность цинка равна 2. При-
Принять, что выход тока равен 100%.
О 30—4. Какое количество воды разложится при электро-
электролизе раствора серной кислоты в течение t = 10 мин, если ток ра-
равен / = 0,8 а?
О 30—5. Определить коэффициент диссоциации водного рас-
раствора хлористого калия (КС1) с концентрацией с — 0,1 —,-
см3
Удельное сопротивление такого раствора при. 18° С равно
7,36 ом ¦ см.
О 30—6. Коэффициент диссоциации водного раствора, со-
содержащего 0,064 г азотной кислоты в 1 см3, равен 0,824. Какова
удельная электропроводность этого раствора при 18° С?
0 30—7. Определить диаметр шарика, который, имея тот
же заряд, что и ион серебра, движется в слабом водном растворе
соли серебра при наличии электрического поля с той же скоростью,
что и ион серебра. Принять, что сопротивление среды при двнже-
133
нии шарика определяется формулой Стокса (см. § 9) и что вязкость
раствора такова же, как вязкость воды при 18° С.
0 30—8. В воде растворено 1,5 г кристаллов медного купо-
купороса (CuSO4 ¦ 5Н2О), причем получившийся1 раствор имеет объем
100 см3. В раствор опущены два медных электрода в виде пря-
прямоугольных пластин со сторонами 8 см и 10 см. Напряжение меж-
между электродами равно 0,5 в, ток равен 0,56 а.
а) Какова общая сумма электрических сил, действующих на
ионы Си", находящиеся между электродами?
б) Какова арифметическая сумма скоростей упорядоченного
движения ионов Си" и SO'i ? При расчете принять, что диссоциа-
диссоциация растворенного вещества является полной.
О 30—9. Определить молярную теплоту перехода в раствор
ионов таллия. Разность потенциалов между таллием и раство-
раствором, содержащим моль ионов таллия (ТУ) в 1 л при температу-
температуре 25° С, равна Е = — 0,0576 в, а изменение этой разности потен-
потенциалов при изменении температуры равно —0,00121 .
град
§ 31. Магнетизм
В приводимых ниже формулах рационализированная форма
(относящаяся, в частности, к системе СИ) дается в скобках.
1) Магнитный момент прямой катушки (соленоида), имеющей w
витков площадью S, по которым идет ток /,
р — \iwIS = [iwJSl,
w
где w} = густота витков, ц. — магнитная проницаемость
среды.
2) Магнитный момент тонкого прямого магнита
р =ml,
где / — длина, т — величина, зависящая от степени намагниче-
намагничения и от площади сечения магнита (магнитная масса).
3) Магнитный момент нескольких катушек или магнитов ра-
равен векторной сумме их магйитных моментов.
4) Вращающий момент, действующий на катушку (или на маг-
магнит) с магнитным моментом р, находящуюся в магнитном поле,
напряженность которого Н, составляет угол а с их осью:
М = Нр sin а.
5) Напряженность поля, создаваемого элементом А/ провода,
по которому идет ток /, в точке, находящейся на расстоянии г,
ДЯ = А// sin <7' г> (\н =
/¦а [
134
6) Напряженность поля, создаваемого током /
в конечном отрезке / прямого провода, в точке, от-
отстоящей на расстоянии а от отрезка (рис. 31—1),
Я = —(cos а4 — cos oc2)
a
Н = (cos 0ц — cos аЛ ).
Ала '
В случае очень длинного отрезка прямого про-
провода для точек, близких к его середине, выраже- 1
ние в скобках мало отличается от 2. В этом случае
можно принять
7) Напряженность магнитного поля в центре ду-
дуги окружности длиной L
Рис. 31—1.
где R — радиус окружности. Если дуга охватывает полную ок-
окружность, то
Н =
2л/
R \ 2R'
8) Напряженность поля внутри длинной прямой катушки
(соленоида) в точках, близких к ее середине,
wl \
//=
Н =
I
9) Напряженность поля внутри тороида (кольцевого солено-
соленоида) на расстоянии R от его оси (рис. 31—2)
н =
2ш!
I г, _
I 11 —
wl
R V 2nR
10) Циркуляция,напряженности поля при обводе вокруг токов
/j, /2, ... И Т. Д.
11) Связь между магнитной индукцией В,
магнитной проницаемостью (х и напряжен-
напряженностью магнитного поля Я
В =Я(х.
В системе СГСМ в вакууме магнитная про-
проницаемость A = 1 и В = Н.
В нерационализированнои форме системы
МКСА в вакууме цо = 1 • 10~
,гн
В системе СИ р'а = Аи -КГ7 —.
Рис. 31—2.
135
Ниже для магнитной восприимчивости в системе СИ исполь-
используется обозначение \х':
где ц — магнитная проницаемость данной среды в системе СГСМ,
а (Хд — магнитная восприимчивость вакуума в системе СИ.
12) Сила, действующая на прямолинейный отрезок Д/ про-
провода, по которому идет ток /, в магнитном поле
F = В-A/./-sin(В, А/).
13) Сила, действующая на заряд q, движущийся со скоростью
v в магнитном поле,
F = Bqv sin (В, v).
14) Сила, действующая в неоднородном магнитном поле на
короткий соленоид (или магнит), ось которого расположена
вдоль поля,
Р = -Р~-
15) Сила, действующая на отрезок / одного из двух длинных
параллельных проводов, находящихся на расстоянии Ь, по ко-
которым текут токи4 /j и -/2,
р — —1Л—. \F——±iJ-—).
b \ ' 2nb I
16) Магнитный поток, пронизывающий плоскую поверхность,
Ф = ВБ cos (В, S).
17) Магнитный поток в сердечнике с различными магнитными
проницаемостями и различными сечениями на разных участках
магнитной цепи
ф =_iil^ (Ф = «-'
у ' у i
18) В случае, если длина катушки значительно больше ее
диаметра,
/ I \ l l
19) Подъемная сила магнита
2(х'
где (л — магнитная проницаемость среды, в которой действует
магнит (воздух).
20) Во всех задачах, где речь идет о железных сердечниках,
предполагается, что магнитные свойства железа выражены гра-
графиком, изображенным на рисунке 31—3.
136
ю
ot
— и. I ..
Рис 31—4.
земного магнитного
21) Для облегчения перевода чис-
числовых значений величин из одной си-
системы единиц в другую служит таблица
V, 4 (см. также статью «Внима-
«Вниманию учащихся» в начале книги,
пункт 7).
Нужно обратить внимание на то,
что величина единицы напряженности
магнитного поля меняется при пере-
переходе от нерационализированной фор-
формы уравнений к рационализирован-
рационализированной так, что единица напряженности в
системе СИ, т. е. МКСА рациона-
лизиров.) в 4 я раз больше единицы
напряженности в системе МКСА иера-
ционализир.
О 31—1. Ось прямой катушки,
имеющей 400 витков по 4 см диамет-
диаметром, расположена горизонтально в
плоскости магнитного меридиана.
По катушке идет ток 6 а. Опреде-
Определить действующий на нее вращаю-
вращающий момент, если напряженность
поля (выраженная в рационализированных
единицах) равна 40—, а наклонение равно 70°
М.
О 31—2. На рисунках 31—4, а, б, в, г соленоиды различ-
различной формы, у которых общее число витков, их площадь, длина,
а также величина тока одинаковый равны: w = 3000; S = 10 см2;
I = 2а. Определить магнитные моменты соленоидов, пренебрегая
магнитными потоками, перпендикулярными к плоскости
чертежа.
Э 31—3. На рисунке 31—5 изображена двойная спираль,
служащая в некоторых типах ламп накальным телом. Общее
число больших витков wu малых w2. Площадь
больших витков Slt малых S2. По спирали идет
ток /. Определить магнитный момент двойной
спирали.
0 31—4. Период небольших колебаний ма-
маленькой магнитной стрелки около вертикальной
оси в земном магнитном поле равен 0,7 сек.
Период колебаний той же стрелки, помещенной
внутри соленоида, по которому идет ток, ра-
равен 0,1 сек. Затухание колебаний в обоих слу-
случаях невелико. Горизонтальная составляющая
земного поля в системе СИ равна 14,3 —. Опре-
Рис.
делить напряженность поля внутри соленоида.
138
G 31—5. Намагниченная спица подвеше-
подвешена на нити в горизонтальном положе-
положении и колеблется под действием земного
магнитного поля. Крутильный момент нити
ничтожно мал. Как изменится период ко-
колебания, если спицу разломать пополам и
подвесить половинку?
0 31—6. а) До замыкания ключа К в
цепи '(рис. 31—6) момент количества дви- Рис- 31~6
жения электронов в проводниках, составляю-
составляющих депь, равен нулю. После замыкания ключа К по цепи идет
ток и момент количества движения электронов отличен от нуля.
Нарушается ли этим закон сохранения момента количества дви-
движения?
б) Каков момент количества движения у электронов в этой
цепи, если магнитный момент равен р = 5 ед. СГСМ^
О 31 — 7. Железные опилки, насыпанные на горизонтально рас-
расположенный картон, сквозь который проходит вертикально про-
протянутый провод, несущий ток, при простукивании по картону
стягиваются по направлению к проводу; при этом они дви-
двигаются в направлении, перпендикулярном к силовым линиям маг-
магнитного поля тока. Почему это происходит?
0 31—8. По трем длинным прямым проводам, расположен-
расположенным в одной плоскости параллельно друг другу на расстоянии
3 см, текут токи /4 = /2 и 13 = — (Л + h)- Определить положе-
положение прямой, в которой напряженность поля,^создаваемого токами,
равна нулю.
О 31—9. По длинному вертикальному проводу сверху вниз
течет ток 4 а. Указать точку вблизи середины провода, в которой
поле, получающееся от сложения земного поля и поля тока,
имеет вертикальное направление. Горизонтальную составляю-
составляющую земного магнитного поля принять равной (в рационализи-
рационализированных единицах) 16 —
м
О 31—10. По длинному проводу, протянутому перпендику-
перпендикулярно к плоскости магнитного меридиана в направлении на за-
запад, идет ток 15 а. Напряженность земного магнитного поля в
данном месте равна 0,5 э, а угол наклонения 70° .
а) Указать точку вблизи середины провода, в которой напря-
напряженность результирующего поля равна нулю.
б) Какова напряженность результирующего поля на 5 см вы-
выше и ниже провода?
0 31—11, По двум длинным проводам, расположенным па-
параллельно друг другу на расстоянии 5 см, идут в одном направле-
направлении токи 5 а и 10 а. Определить напряженность поля в точке, от-
отстоящей на 2 см от первого из проводов и на 5 см от второго.
О 31—12. По длинному проводу, согнутому под прямым
углом, идет ток 20 а. Определить напряженность магнитного
139
Рис. 31—7.
поля в точке, лежащей на продолжении од-
одной из сторон угла на расстоянии 2 см от
вершины.
0 31—13. Ток / = 30 а идет по длин-
длинному проводу, согнутому под углом а = 56&
(рис. 31—7). Определить напряженность
поля в точке А, находящейся на биссектри-
биссектрисе угла на расстоянии а = 5 см от верши-
вершины угла.
© 31—14. Определить напряженность
создаваемого током / = 6 а, текущим по про-
в виде прямоугольника со сторонами а =
Рис. 31—8.
магнитного поля,
воду, согнутому
= 16 см и Ь — 30 см, в его центре.
0 31—15. Определить напряженность поля, создаваемого
током / = 5 а, текущим по проводу, согнутому в виде правиль-
правильного треугольника со стороной а = 30 см, в вершине пра-
правильного тетраэдра, для которого этот треугольник служит
основанием.
0 31—16. По проводу, согнутому в виде ко-
кольца радиусом R = Н см, течет ток / = 14 а.
Найти напряженность поля: а) в центре коль-
кольца; б) в точке, лежащей на перпендикуляре к
плоскости кольца, восставленном из его центра,
на расстоянии а — 10 см от центра.
О 31—17. К двум точкам проволочного коль-
кольца подведены идущие радиально провода,
соединенные с весьма удаленным источником тока (рис. 31—8).
Чему равна напряженность поля в центре кольца3
© 31—18. По длинному прямому соленоиду, имеющему 35
витков на 1 см длины, течет ток 2 а. Определить напряженность
поля- а) внутри соленоида близ его середины, б) в центре одного
из его оснований.
0 31—19. Диаметр витков соленоида в п = 4 раза больше
длины его оси. Густота витков равна а>\ = 200 смг1. По виткам
соленоида идет ток / = 0,1 а. Определить напряженность маг-
магнитного поля: а) в середине оси соленоида; б) в центре одно-
одного из его оснований.
О 31—20. Определить напряженность
поля, создаваемого в воздухе соленоидом с
магнитным моментом р = 60 ед. СГСМ в
точке на оси соленоида, отстоящей от соле-
соленоида на расстоянии а = 50 см, которое яв-
является значительным по сравнению с диа-
диаметром соленоида и его длиной.
© 31—21. Кольцевой соленоид с дере-
деревянным сердечником в виде кольца с пря-
прямоугольным сечением, размеры которого
показаны на рисунке 31—9, имеет w = 500
140
Рис. 31—10
витков. Определить магнитный поток при
токе / = 2,5 а в обмотке.
О 31—22. Циркуляция напряженнос-
напряженности по замкнутым кривым на поверхности
Земли (например, по широтным кругам)
отлична от нуля. Какой вывод следует
сделать из этого наблюдения для обла-
области, для которой" циркуляция по ее
контуру по стрелке часов положительна?
О 31—23. Определить циркуляцию* напряженности в слу-
случаях, изображенных на рисунке 31—10, если в обоих проводах
идут токи 8 а.
в 31—24. Ток идет по полой металлической трубе. Пока-
Показать, что: а) напряженность поля внутри трубы равна нулю;
б) напряженность поля вне трубы такова же, как напряженность
поля, созданного током, текущим по тонкому проводу, сов-
совпадающему с осью трубы.
® 31—25. Какова структура магнитного поля: а) в случае,
описанном в задаче 27—16, б) в случае, описанном в задаче
25—6.
Э 31—26. Ток / = 20 а идет по полой тонкостенной трубе
радиусом /?а = 5 см и обратно по сплошному проводнику радиусом
/?! = 1 мм, проложенному по оси трубы. Длина трубы / = 20 м.
Чему равен магнитный поток такой системы? Магнитным полем
внутри металла пренебречь.
Э 31—27. По медному проводу, сечение которого является
кругом (R = 2 см), течет ток / = 500 а.
а) Определить напряженность магнитного поля внутри про-
провода в точке, отстоящей на расстоянии г = 0,5 см от оси провода.
б) Определить магнитный поток внутри провода, если длина
его равна 3 м. (Имеется в виду поток, пронизывающий одну из
половин осевого сечения провода.)
Ф 31—28. Внутри длинного круглого металлического ци-
цилиндра, вдоль которого идет ток плотностью /, имеется цилин-
цилиндрическая полость, ось которой отстоит от оси цилиндра на рас-
расстоянии d (рис. 31—11). Определить напряженность маг-
магнитного поля внутри полости.
в 31—29. Длинный прямой солено-
соленоид с густотой витков 10 слг1 располо-
расположен вертикально. По виткам его идет
ток 5 а Определить: а) напряженность
поля внутри соленоида вблизи его се-
середины; б) горизонтальную составляю-
составляющую поля тока вне соленоида на рас-
расстоянии 4 см от оси соленоида; в) как
идут силовые линии внутри и вне со-
соленоида; являются ли- они замкну-
замкнутыми.
141
G 31—30. Медный провод сечени-
сечением S = 2 мм2, согнутый в виде трех
сторон квадрата, может вращаться,
как показано на рисунке 31—12, око-
около горизонтальной оси. Провод нахо-
находится в однородном магнитном поле,
направленном вертикально. Когда по
проводу идет ток / = 10 а, провод от-
отклоняется от положения равновесия
на угол а = 15°. Определить индук-
индукцию поля.
Q 31—31. По кольцу диаметром d = 10 см из свинцовой
проволоки площадью сечения S — 0,7 мм2 идет ток / = 7 а,
отчего температура проволоки повышается до температуры,
близкой к плавлению. Прочность свинца на разрыв при этой
Рис. 31—12.
температуре равна ра — 2
мм'
Разорвется ли такое кольцо,
если поместить его в магнитное поле, индукция которого В «
= 1 — (плоскость кольца перпендикулярна к полю)?
О 31—32. Шины электространции представляют собой
параллельные медные полосы длиной 3 м, находящиеся на
расстоянии 50 см. При коротком замыкании по ним может пойти
ток 10 000 а.
С какой силой взаимодействуют при этом шины?
@ 31—33. По двум круг-
круглым проводам, оси которых
параллельны, а радиусы
сечений сравнимы с рас-
расстоянием между осями, те-
текут токи, плотности кото-
которых по всему сечению неиз-
неизменны. Показать, что сила
взаимодействия таких про-
проводов выражается по фор-
формуле пункта 15) введения,
причем b означает расстоя*
ние между осями проводов.
© 31—34. В приложе-
приложении к Государственному
стандарту 8033-56 дано оп-
определение единицы тока —
ампера: «Ампер есть сила
неизменяющегося тока, ко-
который, будучи поддержива-
поддерживаем в двух параллельных
прямолинейных проводни-
Рис. 31—13. ках бесконечной длины и
142
Рис 31—14.
ничтожно малого кругового сечения,
расположенных на расстоянии
1 метр один от другого в пустоте,
вызвал бы между этими проводни-
проводниками силу, равную 2 ¦ 10~' единиц
силы системы МКС на 1 метр длины».
Зачем в стандарт внесено ука-
указание, что проводники должны
быть «бесконечной длины и нич-
ничтожно малого кругового сечения»?
0 31—35. Две катушки, магнит-
магнитные моменты которых равны р, =
= 80 СГСМ и р2 = 120 СГСМ,
расположены так, что их оси на-
находятся на одной прямой. Расстоя-
Расстояние между ними R — 100 см велико
по сравнению с диаметром и дли-
длиной катушки. Определить силу их
взаимодеГствия.
0 31—36. На рисунке 31—13 изображен демонстрационный
опыт по взаимодействию токов. Если по катушкам текут попут-
попутные токи и направления магнитных полей внутри катушек совпа-
совпадают, то катушка большего диаметра надевается на катушку,
имеющую меньший диаметр. Для опыта берутся катушки, диа-
диаметры которых разнятся лишь немного, а катушка с меньшим
диаметром значительно длиннее другой
Как будет проходить опыт, если диаметр подвижной катушки
в несколько раз больше диаметра неподвижной катушки?
О 31—37. На рисунке 31—14, а изображен известный из
курса школьной физики опыт Эрстеда. Как изменится угол, на
который отклоняется при включении тока магнитная стрелка,
если, не меняя величины тока и расстояния провода от
стрелки, сделать следующие
изменения опыта- а) взять
стрелку такого же размера, но
намагниченную более сильно? tzooo
нооо
В
Во
10000
в 000
вооо
4 000
2000
-н
7
Рис. 31—15.
5 10 15 20 25 30 Н(э)
Рис. 31—16.
143
Рис. 31 — 17.
Рис. 31—18.
б) взять стрелку более длинную? в) окружить провод же-
железной трубой (рис. 31—14, б)?
О 31—38. Кривая намагничения железа асимптотически при-
приближается к прямой (рис. 31—15). Что означает величина 050?
О 31—39. Как определить по графику (рис. 31—16) значе-
значения В и Н, соответствующие максимуму [г?
О 31—40. Определить коэрцитивную напряженность в мате-
материале постоянного магнита длиной 15 см, если поле вне магнита
исчезает при наличии тока 2 а в обмотке в 300 витков, навитой
на магнит.
в 31—41. На железном кольце (тороиде) имеется обмотка,
содержащая 1000 витков. По обмотке идет ток 1 а. Определить
напряженность и индукцию магнитного поля внутри тороида на
расстоянии: а) 10 см от центра тороида; б) 12,5 см.
0 31—42. Средний диаметр железного кольца равен 15 см.
Площадь сечения кольца 7 см%. На кольцо навито 500 витков про-
провода. Принимая, что поле внутри кольца, имеющее место при на-
наличии тока в обмотке, является однородным, определить:
а) магнитный поток в сердечнике при токе 0,6 а;
б) при каком токе магнитный поток в кольце равен 8,4 -10 вб.
0 31—43. Средняя длина окружности железного кольца / =
= 61 см. В нем сделан прорез tt = 1 см (рис. 31—17). На кольце
имеется обмотка с w — 1000 витками. Когда по обмотке идет ток
/ = 1,5 а, индукция поля в прорезе равна В = 1800 гс. Опреде-
Определить fi железа при этих условиях, приняв, что площадь сечения
магнитного потока в прорезе в k = 1,1 раза больше площади се-
сечения кольца.
0 31—44. Два одинаковых железных кольца (d = 10- см)
имеют обмотки по w — 100 витков каждая. В одном из колец
имеется поперечный прорез dt = 1 мм. По обмотке сплошного
кольца идет ток /, = 2 с. Какой ток /2 надо пустить по обмотке
второго кольца, чтобы создать в нем ту же индукцию? Считать
-Д Я
с
Iй-
Рнс. 31—19.
М4
площади сечения потока индукции в воздухе и в
»eie3e одинаковыми.
в 31—45. Общая длина'силовых линий в элек-
электромагните равна 36 см, а толщина каждого из
воздушных зазоров- 0,2 мм (рис. 31—lg). Площадь
сечения магнитного потока всюду равна 2 см2. Об-
Обмотка электромагнита имеет 294 витка. При то-
токе 3 а подъемная сила магнита равна 160 н. Опре-
Определить, каковы при этих условиях: а) индукция;
б) магнитная проницаемость железа.
I О 31—46. Какой из электромагнитов, изобра- Рис л_2о
женных на рисунке 31—19, имеет большую подъ-
подъемную силу, если используемый магнитный поток
в обоих случаях одинаков?
О 31—47. Объяснить следующий опыт. Имеется намагни-
намагниченная стальная спица, у концов которой удерживаются прило-
приложенные к ним небольшие одинаковые гвозди. Если один из кон-
концов спицы накалить добела (примерно до середины) и затем ох-
охладить, то подвергшийся нагреванию конец не удерживает гвоз-
гвоздика, в то время как другой конец удерживает.
О 31—48. Траектория пучка электронов, движущихся в ва-
вакууме в магнитном поле (В = 70 гс), —дуга окружности радиу-
радиусом 3 см. Определить скорость и энергию электронов.
0 31—49. Электрон движется в магнитном поле, индукция
которого В = 20 гс, по винтовой линии радиусом R — 2 см и
шагом h = 5 см (рис. 31—20). Определить скорость электрона.
в 31—50. Однородное электрическое (? = 3 —) и магнит-
СМ 1
ное (В = 1 гс) поля направлены взаимно перпендикулярно.
Каковы должны быть направление и величина скорости элек-
электрона, чтобы его траектория была .прямолинейна?
в 31—51. Каковы нормальное и тангенциальное ускорения
электрона, движущегося в совпадающих по направлению элек-
электрическом и магнитном полях? а) Скорость электрона v направ-
направлена вдоль полей. б) Скорость электрона направлена
перпендикулярно к ним.
© 31—52. Одним из типов прибо-
приборов, служащих для получения быстро
движущихся заряженных частиц, яв-
является циклотрон, представляющий
собой низкую цилиндрическую метал-
металлическую коробку (рис. 31—21), раз-
разрезанную на две половины (дуанты).
Дуанты помещены в вакуум. Между
ними создается электрическое поле,
причем через ' некоторые промежутки
времени направление этого поля ме-
Рис. 31—21. няется. Вблизи центра одного из
М5
дуантов имеется источник ионов К. Дуанты находятся в однородном
магнитном поле, направление которого показано на рисунке
стрелками.
Ион, попавший в разрез между дуантами, вследствие дей-
действия электрического поля движется с ускорением. Затем внутри
дуанта он движется под действием магнитного поля по дуге
окружности и вновь подлетает к разрезу между дуантами. Про-
Промежуток времени, по истечении которого напряжение между
дуантами меняет свой знак, подбирается так, чтобы ион успел
описать внутри дуанта полуокружность. Таким образом, при
каждом переходе иона из одного дуанта в другой скорость его
увеличивается, и ион описывает внутри дуантов полуокружности
все большего диаметра.
а) Доказать, что промежутки времени, через которые надо
менять направление электрического поля между дуантами, не
зависят от радиуса полуокружности, по которой движется ион,
а потому должны оставаться неизменными во все время движе-
движения иона.
б) Определить индукцию магнитного поля, которая требуется
для сообщения протону энергии 3 = 4 Мэв, если максимальный
радиус полуокружности внутри дуанта равен R — 60 см.
в) Определить промежуток времени, в течение которого про-
протон достигает указанной энергии. Его начальная скорость мала.
В моменты перехода протона из одного дуанта в другой напряже-
напряжение между ними равно U = 20 000 в. Промежуток между дуан-
дуантами d = 1 см. Принять, что поле между дуантами однородно.
§ 32. Работа при перемещении проводника с током
в магнитном поле
и электромагнитная индукция
В приводимых ниже формулах рационализированная форма
относящаяся, в частности, к системе СИ дается в скобках.
1) Работа при перемещении проводника, по которому идет
ток /,
ЛЛ =/-ДФ,
где ДФ— изменение магнитного потока в контуре, по которому
идет ток.
2) Мощность при перемещении со скоростью v в магнитном
поле проводника длиной Д /, по которому идет ток /,
Р = B-I-Al.v-sm(B, v).
Направления А/ и о предполагаются взаимно перпендикуляр-
перпендикулярными.
3) Э. д. с. индукции в контуре, пронизываемом потоком Ф,
6Ф .
dt
146
4) Э. д. с. индукции в проводнике длиной Л /, движущемся
в магнитном поле со скоростью v,
Е = B.M.vsm(B, v).
Направление v и АI предполагаются взаимно перпендикуляр-
перпендикулярными.
5) Количество индуцируемого электричества в контуре с со-
сопротивлением R при изменении пронизывающего его потока на
ЛФ
6) Индуктивность соленоида с числом витков w
7) Индуктивность прямого соленоида равна
Lj — К ¦ I L/ -—'¦ /с
где I — длина соленоида, S — площадь, ограничиваемая каждым
витком соленоида (приближенно ее можно считать равной пло-
площади сечения сердечника соленоида), w — число витков, \х и
\х' — магнитная проницаемость среды (приближенно под \а мо-
можно подразумевать магнитную проницаемость сердечника, нахо-
находящегося внутри соленоида), выраженная соответственно в си-
системе СГСМ и в системе СИ, k — безразмерный множитель, зна-
значение которого зависит от отношения диаметра соленоида к его
длине (см. задачу 32—24). При I ^> d можно принимать k рав-
равным единице. В случае кольцевого соленоида, диаметр которого
значительно больше диаметра витков, можно применять для
расчета индуктивности ту же формулу, подразумевая под i
среднюю длину магнитных силовых линий внутри соленоида.
8) Если в цепь включены две катушки, индуктивности кото-
которых равны Li и L2i a взаимная индуктивность равна М, то об-
общая индуктивность системы равна
L =Ь^1%±2М.
Знак + ставится в том случае, если магнитные поля в катуш-
катушках усиливают друг друга.
9) Ток в цепи, содержащей постоянную э. д. с, омическое
сопротивление R и индуктивность L, через время t после замы-
замыкания
F / — — t
/= В. 1-е L
147
N
10) Ток в цепи через время / после исчезновения
в ней э д,с.
где /0 — ток в момент исчезновения э д с.
11) Плотность энергии магнитного поля
Рис. 32—1.
ВН
8л
W =
ВН
12) Энергия магнитного поля тока
О 32—1. Ось катушки, имеющей 1000 витков, диаметром
10 см, расположена горизонтально по земному магнитному ме-
меридиану. По катушке идет ток 0,5 а. Горизонтальная составляю-
составляющая земного магнетизма в системе СИ 16 —. Какую работу
At
надо произвести, чтобы повернуть катушку на 180°?
О 32—2. Медный провод заключен в железную оболочку,
как показано на рисунке 32—1, поэтому магнитное поле в по-
полости железной оболочки слабее наружного. Как это отзывается
на электродвижущей силе индукции- а) при движении провод-
проводника вместе с железной оболочкой в магнитном поле? б) во вре-
время усиления или ослабления магнитного поля при непо-
неподвижном проводнике?
О 32—3. В катушку, замкнутую на гальванометр, вдви-
вдвигают магнит, и стрелка гальванометра дает отброс. Затем галь-
гальванометр заменяют реостатом, сопротивление которого рав-
равно сопротивлению гальванометра, и снова с той же скорос-
скоростью вдвигают магнит. Одинаковы ли величины индукционных то-
токов в этих случаях?
О 32—4. Внутрь короткозамкнутой катушки вставлена дру-
другая, по которой идет ток от аккумулятора. Во вторую катушку
вдвигают железный сердечник, вследствие чего в первой катуш-
катушке индуцируется ток, и она нагревается. За счет какой работы
производится нагревание?
О 32—5. В короткозамкнутую катушку один раз быстро,
другой медленно вдвигают магнит, а) Одинаковое ли количе-
количество электричества индуцируется в катушке в первый и второй
раз? б) Одинаковую ли работу против электромагнитных сил про-
производит сила руки, вдвигающей магнит?
Э 32—6. Магнит вдвигается в металлическое кольцо, воз-
возбуждая в нем индукционный ток. а) Чему равна разность потен-
потенциалов между двумя точками на кольце? б) Что покажет
гальванометр, присоединенный одними и теми же проводами
143
Рис 32-2.
к точкам А и В кольца: так, как показано
сплошной линией, или так, как показано пунк-
пунктиром на рисунке 32—2?
О 32—7. В переменном однородном маг-
магнитном поле находится сетка, описанная в
задаче 26—2 (без подводящих проводов). Что
можно сказать про индукционные токи в про-
проводниках, из которых состоит сетка?
О 32—8. Какие явления происходят в коль-
кольце, если в него вдвигается магнит? Рассмо-
Рассмотреть случаи: а) кольцо сделано из диэлек-
диэлектрика; б) кольцо сделано из сверхпровод-
сверхпроводника.
О 32—9. Горизонтальный металлический стержень враща-
вращается около вертикальной оси, проходящей на расстоянии— = —
k 3
его длины, с частотой оборотов п — 2 сект1. Длина стержня рав-
равна I — 60 см. Определить разность потенциалов между концами
стержня, если вертикальная составляющая земного магнитного
поля равна Н — 0,5 э.
в 32—10. При вращении металлических тел электроны уда-
удаляются от оси вращения и в теле создается электрическое поле.
С какой частотой оборотов должен вращаться около вертикаль-
вертикальной оси металлический диск, чтобы электрическое поле в нем
отсутствовало? Вертикальную составляющую магнитного поля
Земли принять равной в системе СИ 40 —.
м
® 32—11. Проволочное кольцо (R = 10 см) находится в
постоянном однородном магнитном поле (В = Ю0 гс), перпен-
перпендикулярном плоскости кольца. Центр кольца соединен с
ним двумя прямыми проволочками (рис. 32—3). Одна из про-
проволочек (ОА) неподвижна, другая (ОВ) вращается около
центра с постоянной угловой скоростью
w = 4 рад ¦ сек , вследствие чего и
по прямым проволочкам и по коль-
кольцу идут индукционные токи. Сопро-
Сопротивление проволочки длиной 1 см
равно у — 10~2 ом. Магнитные поля
индукционных токов малы по срав-
сравнению с наводящим магнитным по-
полем. Определить токи в прямых
проволочках и в дугах кольца при
следующих положениях: а) ср = 0,
б) ф = л, в) ф = 2л.
в 32—12. В катушке без же-
железного -сердечника, имеющей 1000
витков, диаметр сечения 10 см и
Рис 32. -з, длину 50 см, величина тока рав-
И9
J
номерно увеличивается на 0,1 а за 1 сек (по-
(посредством реостата). На катушку надето коль-
кольцо из медной проволоки площадью сече-
г ния 2 мм2. Считая, что магнитные потоки,
пронизывающие катушку и кольцо, в любой
момент равны между собой, найти ток в
кольце.
Ф 32—13. Проволочный каркас в виде
Рис. 32—4 квадрата с перекладиной, сделанной из той
же проволоки (рис. 32—4), находится в од-
однородном переменном магнитном поле, вследствие чего по про-
проволокам идут индукционные токи. Магнитные поля индукци-
индукционных токов малы по сравнению с изменениями внешнего маг-
магнитного поля. В каком случае индукционные токи выде-
выделяют большие количества теплоты: а) перекладина находится
на середине квадрата^ б) перекладина сдвинута к одной из
сторон квадрата? в) перекладина делит площадь квадрата на ча-
части в отношении 1 : 3^
0 32—14. Постоянный магнит (магнитный момент кото-
которого равен 6000 СГСМ), длиной 20 см вдвигается в катушку,
диаметр основания которой равен 5 см, имеющей обмотку из мед-
медной проволоки сечением 0,5 мм2. Какое количество электри-
электричества проходит при вдвигании магнита в катушку по ее об-
обмотке?
0 32—15. На деревянный цилиндр, длина которого I = 20 см
значительно больше его диаметра, навиты две медные обмотки
сечениями S = 2 мм2. Одна из обмоток замкнута накоротко.
Какое количество электричества индуцируется в ней, если дру-
другую обмотку присоединить к аккумулятору с э.д.с, равной Е =
= 2 в и с очень малым внутренним сопротивлением?
0 32—16. Медный обруч, имеющий массу т = 5 кг, распо-
расположен в плоскости магнитного меридиана. Какое количество
электричества индуцируется в нем, если его повернуть около
вертикальной оси на 90° ? Горизонтальная составляющая земного
магнетизма равна #„ = 0,2 з.
О 32—17. Каков магнитный поток, создаваемый катушкой
из 1000 витков, имеющей индуктивность 5 гн, если по катушке
течет ток 0,6 а?
О 32—18. Когда по катушке идет ток, то она вследствие вза-
взаимодействия токов стремится изменить свои продольные и по-
поперечные размеры. Как изменяется индуктивность катушки, если
изменение размеров имеет место?
О 32—19. Почему индуктивность катушки сильно зависит
от магнитных свойств сердечника, находящегося внутри катуш-
катушки, и мало зависит от магнитных свойств тел, окружающих ка-
катушку?
О 32—20. Сколько витков надо навить на картонный ци-
цилиндр длиной / = 60 см, диаметром d = 5 см, чтобы получить
150
катушку, индуктивность которой L = 6• 10~3 гн?
Множитель k (см. введение, пункт 7) принять
равным 1.
0 32—21. На круглом деревянном цилинд-
цилиндре имеется обмотка из медной проволоки, мас-
масса которой равна т = 50 г. Расстояние меж-
между крайними витками, равное / = 60 см, мно-
много больше диаметра цилиндра. Сопротивление
обмотки R = 30 ом. Какова ее индуктивность?
О 32—22. а) Две катушки с индуктив-
ностями Lf = 5 мгн и L2 = 3 мгн включены
последовательно и расположены так, что их
магнитные поля взаимно усиливают друг
друга. Индуктивность этой системы оказалась
равной L — 11 мгн. Чему равна взаимная индуктивность ка-
катушек?
б) Какова будет индуктивность системы катушек, если, не
меняя расположения катушек, переменить направление тока в
одной из них на обратное?
О 32—23. Катушка А находится внутри катушки В боль-
большего размера и может вращаться около оси 00', перпен-
перпендикулярной к осям обеих катушек (рис. 32—5). При каком
расположении катушек индуктивность двух последовательно
соединенных катушек: а) наибольшая; б) наименьшая; в) рав-
равна сумме индуктивностей отдельных катушек?
О 32—24. Коэффициент k в формуле для вычисления индук-
индуктивности катушки (см. введение, п. 7) для однослойной катушки
имеет значения, указанные в таблице:
Диаметр
Длина
k
0,00
1,00
0,02
0,992
0,1
0,959
0,2
0,920
0,33
0,872
0,5
0,818
1
0,688
2
0,526
5
0,320
10
0,203
100
0,035
Какова причина того, что у длинных катушек коэффициент k
больше, чем у коротких того же диаметра?
32—25. Пользуясь таблицей, приведенной в задаче 32—24,
определить индуктивность: а) катушки, намотанной в один слой
плотно прилегающих друг к другу витков на деревянный сер-
сердечник длиной 10 см и диаметром 5 см. Диаметр проволоки
вместе с изоляцией равен 0,5 мм; б) кольца диаметром 10 см,
сделанного из проволоки диаметром 1 мм.
О 32—26. а) Пользуясь таблицей, приведенной в задаче
32—24, определить взаимоиндуктивность двух одинаковых ка-
катушек, диаметр которых равен их длине, сложенных вплотную
и соединенных последовательно согласно. Индуктивность каж-
каждой из них равна 10 мгн.
151
б) Какова взаимоиндуктив-
взаимоиндуктивность тех же катушек, если
они раздвинуты на расстояние,
равное их длине?
в 32—27. а) Определить
индуктивность катушки с за-
Рис. 32—6. мкнутой магнитной цепью
(кольцевой соленоид) при
следующих данных: число витков w = 1000; площадь сечения
магнитопровода S = 25 см2; средний диаметр кольца d = 20 см;
ток / = 1 а. Магнитные свойства железа выражены кривой на ри-
рисунке 31—3. б) Тот же вопрос при токе /t = 0,1 а.
0 32—28. Каково различие в зависимости индуктивнос-
индуктивности от величины тока у кольцевых соленоидов с железными
сердечниками в виде полых цилиндров, сечения которых изо-
изображены на рисунке 32—6?
в 32—29. Сердечник соленоида представляет собой кольцо,
состоящее из двух сложенных колец, сечения которых Sf и S2 и
магнитные проницаемости (j,± и fi2- Средняя длина силовых ли-
линий в кольце /; число витков до. Определить индуктивность со-
соленоида .
0 32—30. Определить индуктивность петли из двух про-
проводов. Длина петли t = 1500 м, диаметр проводов d = 1 мм;
расстояние между осями проводов а = 2 см. Магнитным полем
внутри проводов можно пренебречь.
О 32—31. На катушку, сопротивление и индуктивность ко-
которой равны 10 ом и 58 мгн, дается постоянное напряжение. Че-
Через сколько времени ток в катушке достигает величины, равной
половине установившегося тока?
О 32—32. На рисунке 32—7 показана схема телеграфной
передачи Аппарат А на станции работает от местной бата-
батареи ?2. Ток от батареи включается посредством реле Р, приво-
приводимым в действие рабочим током из линии. Сколько времени
пройдет после включения ключа К до замыкания местной цепи
при таких данщ>1х: общее сопротивление всей цепи, включающей
к
'-а
Рис. 32—7.
152
J
(О)
1.5-
0,54
-7-
01 0,2 0,3 0.4 0 5
Рис. 32—8.
[itсек)
| | [
0,6 0,7
линию, ЙО ом, индуктивность 0,6 гн; э д с. батареи 20 в; для
приведения в действие реле требуется ток 0,2 а?
Ф 32—33. Катушка с сопротивлением 0,7 ом и индуктивно-
индуктивностью 0,2 гн попадает на 0,3 сек под напряжение 100 в. Как из-
изменится при этом температура меди в катушке, если ее масса
2,5 кг, а изоляция не успеет нагреться?
ф 32—34. На рисунке 32—8 показан график тока в дросселе
при приключении к нему источника постоянного тока.
а) Чему равны площади ОАВО и ОСЛО?
б) Пользуясь графиком, определить индукцию магнитного
поля, которая имеет место в сердечнике дросселя «через 0,5 сек
по включении тока, если известны следующие данные: обмотка
дросселя состоит из медного провода площадью сечения S —
= 1 мм2, диаметр сердечника равен d = 5 см; сопротивлени-
сопротивлением всех частей цепи, кроме обмотки дросселя, можно пренебречь.
G 32—35. На рисунке 32—9 изображена схема мостика
Уитстона, причем измеряется омическое сопротивление ка-
катушки с индуктивностью L = 0,1 гн. Ключи /(j и К2 смонтиро-
смонтированы в виде двойного ключа так, что при нажатии кнопки
сначала замыкается ключ Ки а затем ключ
/С2. Передвигая движок D по струне АВ,
добились, что при медленном нажатии
кнопки двойного ключа гальванометр G не
дает отброса.
а) В каком направлении пойдет ток
в мостике DC, если нажать двойной
ключ слишком быстро?
б) Какова разность потенциалов
между точками D и С схемы через t —
=0,001 сек после замыкания ключа К и
если сопротивление катушки Ri = 120 ом, Рис. 32—9.
15а
A
R L
— сопротивление R2 = 80 ом, э.д.с.
источника тока равна Е =1,4 в?
Внутренним сопротивлением источ-
ника тока, сопротивлением под-
подводящих проводов и индуктивностью
всех частей установки, кроме катущ-
ки, можно пренебречь.
о © 32—36. Катушка с индуктив-
индуктивностью 6 гн и омическим сопротив-
Рис 32—10 лением 200 ом и безындуктивное
сопротивление 1000 ом, присоеди-
присоединены параллельно к магистрали, в
которой поддерживается напряжение 120 в (рис. 32—10). Какое
напряжение будет между точками Д и В схемы через 0,001 сек после
размыкания ключа К}
в 32—37. Катушка без железного сердечника имеет 10 000 вит-
витков диаметром 5 см. Длина катушки равна 50 см. Обмотка
сделана из медного провода (S = 0,1 ммг). Через сколько
времени после подключения катушки к батарее аккумуляторов
величина тока достигнет значения / = 0,99 /0, где /0—
установившаяся величина тока? Таблица значений множи-
множителя k приведена в задаче 32—24.
^ 32—38. Определить энергию магнитного поля в железном
сердечнике объемом 400 см3, если индукция равна 12 000 гс.
О 32—39. Определить энергию магнитного поля для случая,
описанного в задаче 31—26.
О 32—40. Имеются две входящие одна в другую катушки
одинаковой длины с одинаковым числом витков. Если по обеим
катушкам идет одинаковый ток, то плотности энергии магнит-
магнитного поля в катушках равны между собой. Вставим меньшую
катушку в большую так, чтобы магнитные поля их совпали.
При этом внутри меньшей катушки плотность энергии учетве-
учетверится (а не удвоится). За счет чего произойдет увеличение энергии
в два раза?
Если же перевернуть внутреннюю катушку, то энергия маг-
магнитного поля внутри нее будет равна нулю. Куда она делась?
О 32—41. Обмотка электромагнита имеет сопротивление
10 ом и индуктивность 0,2 гн и находится под постоянным на-
напряжением. В течение какого промежутка времени t в обмотке
выделится количество теплоты, равное энергии магнитного поля
в сердечнике?
О 32—42. Какова энергия магнитного поля в катушке дли-
длиной в 50 см, имеющей 10 000 витков диаметром 25 см, без железного
сердечника, если по ней идет ток 2 мсп (См. задачу 32—24.)
© 32—43. Определить энергию магнитного поля на единицу
длины бесконечного прямого провода, по которому идет ток /.
Дать объяснение полученному результату.'
154
Рис. 32—11.
0 32—44. а) Определить энергию магнит-
магнитного поля, если по петле из двух проводов
(см. задачу 32—30) идет ток силой 8 а.
б) Решить ту же задачу, считая провод
бесконечно тонким.
в 32—45. Для демонстрирования явления
самоиндукции при размыкании пользуются
следующей установкой (рис. 32—11). Парал-
Параллельно дросселю с большой индуктивно-
индуктивностью включают лампочку накала на 120 в. Ток на дроссель и
лампочку дает батарея аккумуляторов 4—6 в. При этом нить
накала лампы нагревается очень слабо. При размыкании то-
тока в дросселе лампочка на мгновение вспыхивает. Определить
температуру накала при таких условиях: индуктивность дрос-
дросселя L = 0,03 гн; величина тока в нем I = 5 а; материал ни-
нити накала — вольфрам; длина ее / = 43 см; диаметр d = 0,019 мм;
начальная температура нити ti = 100° С. Принять, что на на-
нагревание нити накала идет вся энергия магнитного поля в
дросселе.
© 32—46. По обмотке, густо навитой на железный тороид,
идет ток, величина которого периодически меняется; достигая
то некоторого положительного значения, то такого же по абсо-
абсолютной величине отрицательного. При этом напряженность маг-
магнитного поля в тороиде меняется пропорционально току в об-
обмотке. Зависимость магнитной индукции в железе от напряжен-
напряженности для данного случая представлена на рисунке 32—12
(петля гистерезиса). Вычисляя плотность энергии магнитного
поля в железе по формуле, указанной в пункте 11 введения,
получим для состояний, соответствующих точкам А, С, D и
Е графика, значения 0, а для точек L и К. отрицательные
значения. Как истолковать эти результаты?
© 32—47. Имеется постоянный магнит в виде кольца с
прорезом шириной 4 мм. Средний диаметр кольца равен 10 см,
а сечение кольца имеет форму круга, диаметр которого мал
по сравнению с диаметром кольца. При таких размерах поле
в прорезе можно считать однородным, а
площади сечения магнитного потока в про-
прорезе и в кольце равными между собой. Индук-
Индукция в прорезе равна 100 гс.
а) Какова- напряженность магнитного по-
поля в кольце?
б) Какова плотность энергии магнитного
поля в кольце?
6J Чему равна сумма энергий магнитных
полей в кольце и в прорезе?
Указание. Применить теорему о циркуляции
напряженности магнитного поля (введение к §31, п. 10).
Рис. 32—12.
155
§ 33. Периодические токи
1) Эффективные значения величины тока и напряжения
т т
На = ~ f ЛИ! Ultt = ^- f «АЛ,
где Т — период тока; i, и — мгновенные значения тока и напря-
напряжение. В тексте задач, где нет специальных оговорок, эффек-
эффективные значения тока и напряжения обозначаются буквами /
и U без индексов.
2) Для синусоидального тока
eff ~ ~ут~ ' eff = ТТ'
где Im и Um — амплитуды тока и напряжения.
3) Средние величины тока и напряжения
т г
= ~ Г idt;
о
о о
4) Для синусоидального тока
/ 2 j . г. " jj
'raed ' т' итей — и т"
Я Л
5) Закон Ома для синусоидального тока
Z
где 1 и U — эффективные величины (или амплитуды).
6) Кажущееся сопротивление для участка, включающего
омическое сопротивление R, индуктивность L и емкость С,
2
! i
где со = 2л/ = циклическая частота.
7) Мощность тока при сдвиге фазы ф
Р = ha U^ cos ср.
8) Активное сопротивление
Ra =—^— =zcos<p.
'
eff
RA равно омическому сопротивлению R при отсутствии по-
потерь на нагревание железных сердечников вследствие гистере-
гистерезиса и токов Фуко, на нагревание диэлектриков в переменном
алектрическом поле и т. д. При наличии этих потерь RA > R.
156
Кроме того, при высоких частотах активное сопротивление RA
увеличивается вследствие того, что практически весь ток идет
в поверхностных слоях проводника.
9) Сила взаимодействия токов, текущих по проводам дли-
длиной /, расположенным параллельно на расстоянии Ь друг от
друга,
г, 2u,/,/Jcosm / j. с ц'Л/, / cos го'
р ~ f * * л дЛя рационализир. формы F — — —
Ъ \ 2пЬ
10) Решение задач на переменные токи в последовательно
или в параллельно соединенных приборах очень облегчается
черчением векторных диаграмм напряжений и токов.
11) Под дросселем, упоминаемом в ряде задач этого параграфа,
подразумевается катушка с железным сердечником.
О 33—1. Эффективный ток равен 7 а. Каков средний ток?
G 33—2. Переменный ток, выпрямляемый прибором, про-
пропускающим ток только одну половину гериода (рис. 33—1),
проходя в течение 10 мин по раствору медного купороса, выде-
выделил на электроде 200 мг меди. Какова амплитуда тока?
в 33—3. а) Аккумулятор, емкость которого равна q = 20 а ¦ ч,
заряжают выпрямленным синусоидальным током, график кото-
которого показан на рисунке 33—2. Тепловой амперметр, включен-
включенный в цепь, показывает ток / = 1,5 а. Сколько времени надо
заряжать аккумулятор? При расчете принять, что на зарядку
используется 100% протекающего тока.
б) Сколько времени надо заряжать аккумулятор, если гра-
график выпрямленного тока имеет вид, показанный на рисунке 33—1,
и если показание теплового амперметра то же?
© 33—4. Если увеличивать напряжение, под которым нахо-
находится неоновая лампа, то при напряжении 80 в она вспыхивает.
Если затем уменьшать напряжение, то при 70 в лампа гаснет.
Лампу присоединяют к сети переменного тока через потенцио-
потенциометр и увеличивают напряжение.
а) При каком эффективном напряжении лампа вспыхнет?
б) Какую долю от общего времени горения лампы соста-
составляет продолжительность свечения каждого из электродов, если
лампа находится под эффективным напряжением 120 в?
О 33—5. На рисунке 33—3 показана схема установки для
одного из способов измерения подвижностей ионов. В простран-
пространство между двумя электродами А к В через сеточный электрод А
Рис 33—1. Рис 33—2.
157
А В
\d
проникают ионы какого-либо одного знака (напри-
(например, отрицательные ионы от накаленной металлической
проволочки). Электроды А и В находятся под перемен-
переменным (синусоидальным) напряжением, причем амплитуду
напряжения можно менять. Увеличивая напряжение
переменного тока, добиваются того, что ионы достигают
электрода В, и гальванометр G начинает давать
отклонение.
При измерении подвижности отрицательных ионов
кислорода в приборе, в котором расстояние между
электродами d = 1 см, отклонение гальванометра по-
Рис. 33—3. дучается при эффективном напряжении, не меньшем
U = 61,5 в. Вычислить подвижность ионов, если ча-
частота переменного тока / — 50 гц.
О 33—6. Батарея аккумуляторов с э.д.с. Е = 40 в при-
присоединена к сети переменного тока @ — 120 в) через сопротивление
R = 80 ом (рис. 33—4).
Амперметр Л,— магнитоэлектрический, Ла— тепловой.
а) Каковы показания приборов Ai и Л2?
б) Какое количество теплоты выделяется в сопротивлении R
за 10 сек? Все сопротивления, кроме R, ничтожно малы.
0 33—7. Найти соотношение между максимальным, средним
и эффективным токами в случае переменного тока, график кото-
которого показан на рисунке 33—5.
© 33—8. Начертить примерные графики напряжения, при
котором график тока в приборе имеет форму, показанную на
рисунке 33—5. Рассмотреть случаи: а) прибор, по которому
идет ток, имеет чисто омическое сопротивление; б) прибор имеет
ничтожное омическое сопротивление и значительную индуктив-
индуктивность, в) прибор имеет значительные омическое сопротивление
и индуктивность, г) ток идет по конденсатору.
О 33—9. При каком напряжении по обмотке дросселя, имею-
имеющей омическое сопротивление 35 ом и индуктивность 0,1 гн, пой-
пойдет ток За? Частота 50 гц.
О 33—10. Какой емкости конденсатор надо взять, чтобы его
емкостная проводимость была эквивалентна проводимости рео-
реостата с сопротивлением 500 ом, если частота тока равна: а) 50 гц?
б) 50 000 гц>
Рис. 33—4.
Рис. 33—5.
158
О 33—11. В катушке с омическим сопротивлением 10 ом при
частоте 50 гц получается сдвиг фазы между напряжением и
током, равный 60°. Определить индуктивность катушки
0 33—12. На картонный цилиндр длиной I — 50 см и диа-
диаметром d2 — 5 см навиты w = 500 витков медного провода
диаметром dt = 0,5 мм. При какой частоте / кажущееся сопро-
сопротивление такой катушки в п = 2 раза больше ее омического
сопротивления?
© 33—13. а) Кольцо, диаметр которого dt = 10 см, сделан-
сделанное из медной проволоки диаметром d2 — 1 мм, вращается
в однородном магнитном поле (В = 10 гс) с частотой обо-
оборотов я = 10 сект1. Индуктивность кольца таких размеров
L = 350 см (см. задачу 32—24). Определить эффективный ток
в кольце, б) Каков был бы ток в кольце, если бы его сопро-
сопротивление было близко к нулю (или в случае сверхпроводника)?
Пренебречь уменьшением индуктивности из-за скин-эффекта.
0 33—14. На деревянное кольцо, диаметр которого d = 30 см,
а поперечное сечение имеет вид круга, навита обмотка из мед-
медной проволоки, масса которой m = 2 кг. Обмотку присоединяют
сначала к сети постоянного тока, затем к сети переменного тока
(/ = 50 гц), причем эффективное напряжение равно напряжению
постоянного тока. В каком случае потребляется большая мощ-
мощность?
0 33—15. Обмотка дросселя, имеющая ничтожное омиче-
омическое сопротивление и значительную индуктивность, находится
под напряжением, меняющимся с течением времени по закону
синуса П стерезис в железном сердечнике дросселя выражен
слабо, и им можно пренебречь.
Токи Фуко тоже ничтожно малы. Изменения магнитного
потока значительны, и часть пе-
периода проходит при насыщении.
а) Является ли близким к сину-
синусоидальному ток, идущий по обмот- '
ке дросселя?
б) Является ли близким к сину-
синусоидальному магнитный поток в
сердечнике дросселя?
О 33—16. Начертить векторные у
диаграммы напряжений и токов для
случаев, изображенных на схемах
рисунка 33—6.
О 33—17. Начертить векторные
диаграммы токов и напряжений для
случаев, изображенных на схемах 3
рисунка 33—7.
О 33—18. Какой ток пойдет по
последовательно соединенным конден-
конденсатору (С = 20 мкф) и безындук- рИс. 33—6.
159
7.
тивному сопротивлению (R = 150 ом), если
дать на них напряжение (U = 110 в;
/ = 50 гц)} Какое напряжение будет на каж-
каждом приборе?
О 33—19. По последовательно соединен-
соединенным дросселю и конденсатору A0 мкф) идет
ток 1 а. Частота 50 гц. Омическое сопротив-
сопротивление дросселя 120 ом. Общее напряжение
220 в. Определить индуктивность дросселя.
О 33—20. К сети переменного тока A20 в;
50 гц) присоединены параллельно конденсатор
B0 мкф) и дроссель A00 ом; 0,5 гн). Опреде-
Определить токи в конденсаторе, дросселе и общий.
О 33—21. Параллельно соединенные рео-
реостат F0 ом) и дроссель B0 ом; 0,05 гн) при-
присоединены к сети переменного тока E0 гц).
По дросселю идет ток 4 а. Какой ток идет по
реостату и какой ток поступает из сети?
0 33—22. Катушка, индуктивность которой равна 0,1 гн
и омическое сопротивление 2 ом, соединена последовательно
с конденсатором. Эта система присоединена к источнику переменного
тока.
а) Какова должна быть емкость конденсатора, чтобы при частоте
50 гц по катушке шел наиболее сильный ток?
б) Конденсатор выдерживает напряжение не более 400 в.
Какое максимальное напряжение можно дать на эту систему без
опасности пробить конденсатор?
О 33—23. Измерительные приборы на щитке у генератора
переменного тока показывают ток 540 а, напряжение 23Е> в и
мощность 108 кет. Каков сдвиг фазы ф?
О 33—24. Определить потери мощности в проводке от ма-
магистрали к потребителю при следующих данных: передаваемая
мощность 100 кет; напряжение на станции 220 в; сопротивление
проводки 0,01 ом; сдвиг фазы 37°.
0 33—25. Дроссель, соединенный последовательно с безын-
дуктнвным сопротивлением R = 20 ом, присоединен к сети с на-
напряжением U = 120 в (f = 50 гц). При этом дроссель находится
под напряжением U2 = 91 в, а сопротивление R — под напряже-
напряжением Ut — 44 в. Какие мощности (Р2 -и Pf) поглощаются дрос-
дросселем и сопротивлением?
0 33—26. Дроссель и безындуктивное сопротивление 50 ом
присоединены параллельно к сети синусоидального тока. По
дросселю идет ток 2,8 а, по сопротивлению — ток 2,5 а; из сети
потребляется ток 4,5 а. Определить мощность, потребляемую
дросселем и сопротивлением.
0 33—27. Омическое сопротивление дросселя равно 14 ом,
активное 17 ом, кажущееся 40 ом. Определить потери мощности
160
L
Рис. 33—8.
сеть жилой квартиры
в железном сердечнике, дроссе-
дросселя, если напряжение, под кото-
которым находится дроссель, равно
120 в.
Q 33—28. К магистрали пе-
переменного тока, в которой под-
поддерживается напряжение L/=120 в
{/ = 50 гц), присоединена че-
через дроссель с индуктивностью
L = 0,05 гн и активным сопротив-
сопротивлением " Ro — 1 ом осветительная
(рис. 33—8).
а) Под каким напряжением Hi находятся лампы в кварти-
квартире, если общий потребляемый ток равен /0 = 2 й?
б) Какова может быть максимальная мощность, потребляе-
потребляемая сетью в квартире?
в) Какая мощность будет потребляться дросселем, если в
квартире произойдет короткое замыкание?
Ф 33—29. По обмотке дросселя идет переменный ток 2 а
(/ = 50 гц). Ток вызывает в сердечнике дросселя максимальную
напряженность 10 э. Объем сердечника 500 см3. На рисунке 33—9
показана петля гистерезиса для железа, из которого сде-
сделан сердечник. Омическое сопротивление обмотки сердечника
равно 0,7 ом. Токи Фуко в сердечнике практически отсут-
отсутствуют.
а) Определить мощность, затрачиваемую на нагревание
железного сердечника вследствие гистерезиса.
б) Определить активное сопротивление дросселя.
G 33—30. В раствор медного купороса (р — 40 ом • см) опу-
опущены две медные пластинки. Электрическую проницаемость
раствора можно принять равной е = 80 СГСЭ. При какой ча-
частоте / емкостная и омическая проводимости равны между со-
собой?
0 33—31. Диэлектрик с электрической проницаемостью
е = 2,8 СГСЭ употреблен
в качестве изолятора в
конденсаторе. Конденса-
Конденсатор, находясь под напря-
напряжением, поглощает неко-
некоторую мощность, причем
при / = 50 гц коэффици-
коэффициент мощности cos ф = 0,1.
Определить удельное со-
сопротивление диэлектрика.
О 33—32. По двум
параллельным проводам
текут токи 5 а и 15 а
одной и той же частоты,
16000
12000
вооо
4000
о
4000
$000
что
иооо
Btzc)
108642024
Рис. 33—9.
о в
б Д. И. Сахаров
161
отличающиеся между собой по фазе на
69°. С какой -силой притягиваются друг
к другу части проводов длиной 1 м, ес-
если расстояние между ними 3 см?
О 33—33. По двум параллельным
проводам текут токи, частоты которых
равны 500 гц и 503 гц. Как они взаимодей-
взаимодействуют?
0 33—34. Какой груз может удер-
удержать электромагнит, питаемый перемен-
переменным током, если максимальная индукция Вт — 10 000 гс, пло-
площадь соприкосновения S = 2 см2? Предположить, что индукция
меняется по закону В — Вт sinmt и что за отрезок периода, в
течение которого индукция настолько мала, что электромагнит
не может удержать груза, он не успевает упасть.
© 33—35. На рисунке 33—10 изображен разрез телефона:
М — мембрана; К — обмотка; А — постоянный магнит; В — по-
полюсные наконечники из мягкого железа.
а) С какой целью вводится в конструкцию телефона посто-
постоянный магнит?
б) Какова амплитуда силы, действующая на мембрану, при
прохождении по обмотке тока I — Im sin to/ при следующих дан-
данных: амплитуда тока 1т = 2 х 10~* а; индукция в воздушном про-
промежутке при отсутствии тока в обмотке Во = 800 гс; сечение каж-
каждого из полюсных наконечников имеет площадь S = 15лша; число
витков в обмотке ю = 400; длина воздушного зазора I = 0,2 мм.
При расчете пренебречь магнитным сопротивлением всех
участков магнитной цепи, кроме воздушных, и принять во вни-
внимание, что индукция постоянного магнита значительно больше
индукции, создаваемой током в сердечниках катушки.
О 33—36. Первичная обмотка понижающего трансформа-
трансформатора находится под напряжением 120 е и потребляет ток 0,5 а.
Вторичная обмотка дает ток на лампу накала 3 а при напряже-
напряжении 10 в. Коэффициент полезного действия 0,7. Определить
сдвиг фазы в первичной обмотке.
§ 34. Электрические колебания
1) Период свободных колебаний в контуре,
емкость С, индуктивность L и сопротивление R,
1
включающем
Т =2я
V
1
LC
4Z.2
или при
1
LC
ьи-
162
2) Ток при затухающих колебаниях
I — I p -2-t
* * ПС of* • j
0 2L • sin Ы,
где ю = 2я/.
3) Логарифмический декремент затухания
О =
2L
О 34—1. Колебательный контур состоит из катушки с ин-
индуктивностью 0,07 гн и плоского конденсатора с площадью об»
кладок 0,45 м%, разделенных парафинированной бумагой тол-
толщиной 0,1 мм. Определить период колебаний. Сопротивленае
ничтожно мало.
О 34—2. Максимальное напряжение в колебательном кон-
контуре, состоящем из катушки индуктивностью L = 5000 см и
конденсатора емкостью С = 12 000 см, равно (/„ = 1,2 в. Со-
Сопротивление ничтожно мало.
а) Определить эффективную величину тока в контуре.
б) Определить максимальное значение магнитного потока,
если число витков катушки w = 28.
0 34—3. Контур состоит из катушки индуктивностью
30 000 см и сопротивлением \ о* и из конденсатора емкостью
2000 см. Какую мощность должен потреблять контур, чтобы в
нем поддерживались незатухающие колебания, при которых
максимальное напряжение на конденсаторе равно 0,5 в?
О 34—4. Батарея, состоящая на двух конденсаторов емко-
емкостью по 2 мкф каждый, разряжается через катушку (L = 1 мгн;
R = 50 ом).
Возникнут ли при этом колебания, если конденсаторы со-
соединены: а) параллельно? б) последовательно-?
0 34—5. Как изменится логарифмический декремент зату-
затухания, если, не меняя длины катушки в контуре, увеличить
число витков на ней в п раз (считать, что диаметр витков остает-
остается без изменения)?
0 34—6. Какова относительная ошибка, которая будет сде-
сделана, если воспользоваться формулой Т = 2п у LC для вычис-
вычисления периода колебания контура, состоящего из емкости
С = 5000 см и катушки, сделанной из медной проволоки, пло-
площадью сечения S = 0,2 мм2? Длина катушки / = 50 см. Диаметр
катушки ма*л по сравнению с ее длиной.
0 34—7. Определить логарифмический декремент затуха-
затухания контура с емкостью С = 2000 см и индуктивностью
L = 150 000 см, если на поддержание в этом контуре незатухаю-
незатухающих колебаний с максимальным напряжением Um = 0,9 в" тре-
требуется мощность Р = 10 мквпг.
0 34—8. В контуре, состоящем из катушки и конденсатора
переменной емкости, создаются вынужденные колебания. Если
6* 163
Рис. 34—2.
емкость увеличить на Р = 0,01 емкости, соответствующей макси-
максимуму колебаний, то величина тока в контуре убывает в
п — 1,5 раза. Определить логарифмический декремент затуха-
яч
© 34—9. В установке, собранной по схеме на рисунке 34—1,
все сопротивления, кроме Rt = 1 ом и R2 — 50 ом, ничтожно
малы. Индуктивность катушки L = 0,1 гн, емкость конденса-
конденсатора С = 1 мкф, э.д.с. элемента Е = 1,4 в. Ключ К замыкают
и, после того как ток в катушке L установится, размыкают.
а) Какова начальная энергия колебаний, которые будут
иметь место в контуре LC после размыкания ключа К?
б) Какова энергия колебаний через 0,2 сек после размыка-
размыкания ключа?
34—10. Контур состоит из катушки с сопротивлением
Я = 14 ом и индуктивностью L = 10~& гн и конденсатора емко-
емкостью С = 0,002 мкф. Конденсатор С заряжается от батареи акку-
аккумуляторов (рис. 34—2), а затем присоединяется к катушке L.
а) Найти логарифмический декремент затухания колебаний,
которые начнутся в контуре.
б) Какая доля периода соответствует переходу величины
тока от нуля до максимального значения?
в) Найти отношение между энергиями магнитного поля в ка-
катушке и электрического поля вsконденсаторе в момент макси-
максимума тока.
г) Какая доля периода соответствует переходу напряжения
от максимального з«ачения до нуля?
д) Каково значение величины /0 в формуле тока (см. п. 2
введения), если э'.д.с. батареи равна 3,5 в?
Глава IV
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 35. Волны
1) Связь длины волны Я, скорости волн с и частоты колеба-
колебаний /
= т
2) Скортэсть продольных волн в тонких стержнях
-V-TT-
где Е — модуль упругости (модуль Юнга), D — плотность.
3) Скорость продольных волн в неограниченной упругой
среде
где К — модуль всестороннего сжатия.
4) Скорость поперечных (сдвиговых) волн в неограниченной
упругой среде
где G — модуль сдвига.
5) Скорость поперечных волн в натянутой нити (струне)
где F — сила, растягивающая нить, S — площадь поперечного
сечения нити. Формула справедлива в том случае, когда напря-
напряжение, вызванное сдвигом, мало по отношению к напряжению,
вызванному растягивающей силой.
6) Скорость волн в газах
где х — отношение удельных теплоемкостей газа CJL.
c
165
Для идеальных газов
с
здесь R — универсальная газовая постоянная, ц — молекулярный
вес.
7) Связь между амплитудой давления в продольных вол-
волнах Ар, скоростью волн и амплитудой волновой скорости vm
Ар = vmDc.
Здесь под D разумеется средняя плотность среды.
8) Поток энергии в волновом поле сквозь 1 см2 площадки,
поставленной перпендикулярно к скорости волн, за 1 сек (вектор
Умова)
S = Apv,
здесь Др — волновое давление (разность между давлением в
волновом поле и давлением в той же среде при отсутствии вол-
волнового процесса), v — волновая скорость.
9) Интенсивность продольных волн
10) Затухание волн
где р — коэффициент поглощения, / и /0 — интенсивности плос-
плоских волн в начале и в конце расстояния х.
11) Скорость электромагнитных волн в среде с электриче-
электрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью (х
12) Вектор Умова — Пойнтинга
ЕН
S — (для рационализир. формы S = ЕН).
4п
О 35—1. Скорость продольных волн в стальном стержне
равна 5100 —. Определить модуль упругости у стали.
сек
О 35—2. Какова скорость продольных волн в ртути?
0 35—3. При повышении температуры от 20 до 100° С ско-
скорость продольных волн в медном стержне убывает на 7,4 % ско-
скорости при 20° С. Каков средний температурный коэффициент
модуля упругости в этом интервале температур?
0 35—4. Почему в неограниченном твердом теле невоз-
невозможны волны, в которых направление колебаний составляет
с направлением распространения волн угол, отличный от 0°
(продольные волны) и от 90° (поперечные волны)?
166
© 35—5. Скорость продольных волн в
земной коре равна 14 —; скорость попе-
сек
КМ
речных волн 7,5—. Определить угловое
сек
расстояние от центра землетрясения А (гипо-
(гипоцентра) до сейсмической станции В (рис.
35—1), если по записи сейсмографа видно,
что продольные колебания пришли на 91 сек
раньше поперечных (при такой величине At p _5 ,
можно предполагать, что волны идут только
по земной коре).
© 35—6. От поверхности Земли вертикально вверх идут
воздушные волны. Через какой отрезок времени они дойдут
до высоты 10 км, если температура воздуха у поверхности
Земли равна 16° С, а градиент температуры в атмосфере ра-
равен — 0,007 ^?
м
О 35—7. Скорость продольных волн в кислороде при нор-
нормальных условиях равна 3,172- 10*-^-. Определить отноше-
сек
ние ??-.
О 35—8. Найти отношение между скоростью продольных
волн в газе и средней скоростью теплового движения молекул
в нем.
О 35—9. При отражении упругих волн, падающих на гра-
границу между двумя средами с разными волновыми сопротивлени-
сопротивлениями, происходит изменение направления вектора Умова на
обратное, то есть меняется или знак Ар, или знак v. В каком
случае происходит первое изменение и в каком второе?
р, 35—10. Определить частоту колебаний в трубе длиной
80 см при температуре воздуха 16° С: а) открытой; б) закрытой.
0 35—11. Две одинаковые закрытые трубы длиной по 60 см
вследствие неодинаковости температуры воздуха в них дают
1 биение в секунду. Температура воздуха в трубе, дающей бо-
более низкий тон, равна 16° С. Какова температура воздуха в
другой трубе?
О 35—12. Две одинаковые струны длиной по 1 м настроены
в унисон. Если одну из струн укоротить на 0,5 см, то струны
при звучании дают биения с частотой 2 гц. Определить частоту
тона струны (до укорачивания).
О 35—13. На нити образовались стоячие волны, причем рас-
расстояния между точками, в которых колебания происходят с ам-
амплитудой 3 мм, равны 3 см и 7 см. Найти длину волны и ампли-
амплитуду в середине пучности.
© 35—14. На нити образовались стоячие волны. Какую долю
натяжения нити (при отсутствии волн) составляет амплитуда
167
колебаний натяжения в узлах, если амплитуда смещений в се-
середине нити равна 0,1 расстояния между узлами? Принять, что
проекция силы натяжения нити на направление покоящейся
нити равна силе ее натяжения при отсутствии волн.
О 35—15. Определить три наименьшие частоты, при которых
в медном стержне длиной 90 см, закрепленном посередине, полу-
получатся стоячие продольные волны.
О 35—16. По цилиндрической трубе диаметром 5 см бегут
синусоидальные воздушные волны. Интенсивность волн равна
эрг
-, частота 300 гц.
см1-сек
а) Какую энергию несет каждая волна?
б) Какова средняя и максимальная плотность энергии в вол-
волнах, если температура воздуха равна 10° С?
© 35—17. Определить полную мощность источника продоль-
продольных волн в .воздухе, если в любом направлении на расстоянии
100 м от него амплитуда давления равна 0,9—. Давление нор-
см2
мальное, температура воздуха 20° С, затухание ничтожно.
© 35—18. Интенсивность волн на расстоянии 20 м от источ-
источника равна 0,03 -———¦. Какова интенсивность- волн на рас-
сел. -смг
стоянии 100 м от источника, если коэффициент затухания равен
5 • Ю-5 см-1?
О 35—19. Плотность энергии в некоторой точке волнового
поля спустя 0,01 сек после прохождения максимума синусо-
синусоидальной волны,равна 0,2 максимальной. Какова частота^
О 35—20. Определить длину волны, соответствующую коле-
колебательному контуру, состоящему из катушки с индуктивностью
1,2 • 10~3 гн и конденсатора емкостью 3 • 10~2 мкф. Сопротивле-
Сопротивление ничтожно мало.
О 35—21. Какова скорость электромагнитных волн в керо-
керосине?
О 35—22. Имеются два параллельных провода, одни концы
которых изолированы, а другие связаны индуктивной или ем-
емкостной связью с генератором колебаний (рис. 35—2, а). При
Мост Изоляторы
Пружины
От гене-
генератора
.ill
Рис. 35—2.
168
надлежащем подборе частоты колебаний в системе возникают
стоячие волны.
а) Зависит ли длина стоячих волн от толщины проводов и
от расстояния между ними?
б) На рисунке 35—2, б показаны стрелками разной длины
напряженности электрического поля в точках, находящихся
посередине между проводами на протяжении одной стоячей
волны для момента, когда токи в проводах и магнитное поле
отсутствуют. Где на проводах находятся положительные и и отри-
отрицательные заряды? Изобразить их распределение вдоль прово-
проводов крестиками и минусами разных размеров, соответственно их
плотностям
в) Что будет иметь место через одну четверть периода? Изо-
Изобразить распределение токов в проводах и в медной пластине
(мост) стрелками разной длины. Изобразить напряженности
магнитного поля в точках, находящихся на середине расстояния
между проводами, значками Ф и 0 разной величины.
г) Каковы будут напряженности электрического и магнит-
магнитного полей через 0,5 периода и через 0,75 периода? Сделать
соответствующие рисунки.
д) От чего зависит амплитуда колебаний в системе? Почему
при увеличении числа стоячих воли, образующихся в системе,
что достигается отодвиганием моста дальше от генератора,
амплитуда колебаний уменьшается?
е) Расстояние между двумя пучностями в системе при про-
проволоках, опущенных в спирг, равно 40 см. Какова частота коле-
колебаний?
Указание. При ответах на все вопросы, кроме вопроса д), прини-
принимать, что сопротивление проводов ничтожно мало
© 35—23. Иглучение антенны полевой радиостанции имеет
мощность 50 ет. Какова средняя напряженность электрического
поля при приеме на наземную антенну на расстоянии 80 км>
Указание. Принять во внимание, что интенсивность излучения
направлению, перпендикулярному к антенне, в три раза больше той, которая
имела бы место при равномерном излучении по всем направлениям.
О 35—24. Три наблюдателя находятся на одной прямой на
расстоянии 10 км друг от друга и измеряют среднюю напряжен--
ность электрического поля в электромагнитных волнах, излучае-
излучаемых некоторым источником. Где находится источник волн, если
напряженность поля у крайних наблюдателей одинакова, а
у среднего на 10% больше?
0 35—25. На рисунке 35—3, а показаны две системы пло-
плоских электромагнитных волн (I и II); длины волн одинаковы;
направления движения составляют угол 2 и. Векторы Е лежат
в плоскости чертежа и изображены стрелками. Векторы Я
перпендикулярны к плоскости чертежа и изображены кружками
с точкой (вектор направлен на читателя) или с крестиком (век-
169
Рис. 35—3.
тор направлен от читателя). Показаны также векторы Умова —
Пойнтинга S для тех же точек. На рисунке 35—3, б те же си-
системы волн показаны наложенными друг на друга.
а) Начертить векторы Умова — Пойнтинга во всех точках
волнового поля, показанных на рисунке 35—3, б черными круж-
кружками.
б) Найти расстояние х между направлениями, в которых
векторы Умова ¦— Пойнтинга имеют максимальное значение,
если угол 2« = Г и длины волн равны Я = 0,5 мк,
Ф 35—26. Предположим, что две цепочки электронов дви-
движутся параллельно друг другу в пустоте со скоростью в т раз
меньшей скорости света. Что больше: сила, с которой цепочки
электронов отталкиваются вследствие электростатического взаи-
взаимодействия, или сила, с которой они притягиваются вследствие
магнитного взаимодействия?
§ 36. Звуковые явления
1) Уровень ощущения звука
/о Д/>о '
где индексами 0 отмечены величины, соответствующие порогу
ощущения для звука данной частоты.
170
2) Принцип Допплера. Воспринимаемая частота:
а) в случае движения источника звука частоты / со ско-
скоростью v
f = f—Ц- >
где с — скорость звука;
б) в случае движения наблюдателя
О 36—1. Какую долю от средней скорости молекул воздуха
составляет максимальная акустическая скорость молекул при
плоских волнах:
а) амплитуда давления Apj = 900 — (сильный звук, вызы-
вызывающий боль в ушах)?
б) Ар2 = 9 • 10""* — (еле слышный звук).
Давление воздуха нормальное.
О 36—2. Какова амплитуда колебаний в звуковой волне в
воздухе при речи средней громкости (максимальное давление
около.9 —) при частоте 400 гц> Давление нормальное, темпера-
см2 )
тура воздуха 20° С.
О 36—3. В воздухе при температуре 27° С и при нормаль-
нормальном давлении идет звуковая волна, максимальное давление ко-
которой 900 — (сильный звук, вызывающий боль в ушах). Опре-
делить температуру в месте максимального давления.
О 36—4. Иногда на большом расстоянии голос слышен, но
слов разобрать нельзя. Чем это объясняется?
О 36—5. Два звука разнятся по уровню ощущения на 1 дб.
Каково: а) отношение их интенсивностей? б) отношение ампли-
амплитуд давлений?
О 36—6. При амплитуде давления 1 -^- уровень ощущения
.см2
звука равен 60 дб. Какова амплитуда давления для звука той
же частоты при пороге слышимости?
0 36—7. Звук распространяется по трубе длиной 50 м.
Средний коэффициент поглощения можно принять равным
10~' слс1. Каков уровень ощущения звука у конца трубы, если
у начала он равен 60 дб?
0 36—8. На расстоянии 10 м от источника звука, размеры
которого малы, уровень ощущения звука равен 20 дб. Пренебре-
Пренебрегая затуханием, вычислить:
а) уровень ощущения на расстоянии 5 м\
б) на каком расстоянии звук не слышен.
171
(Бар}
g, юоо
% '00
| | ,0
О O.I
о С»
15. o.oi
*** 0.00,
0.0001
у
VI
\
s
i\
А '
QfJIIUtt
\
\
s
границ
Гр1
К
—-.
а
ОЛЦ\
а г
v_
mix
ошцщенця
N1
i
К
1
1
зг
51г 2048
Частота
Рис. 36—1.
см2
G 36—9. Наблюдатель, находящийся на расстоянии 10 м
от звучащего камертона, отметил исчезновение звучания камер-
камертона на 20 сек раньше, чем наблюдатель, находящийся на рас-
расстоянии 1 м. Определить коэффициент затухания колебаний ка-
камертона.
G 36—10. На рисунке 36—1 дана диаграмма, показываю-
показывающая свойства человеческого слуха (амплитуды давлений даны
дин \ т-т
в ), Пользуясь ею, определить:
см1
а) интенсивность звука при нижней границе слуха (порог
слышимости) и при верхней границе слуха (ощущение боли)
для частот 256 гц и 2048 гц:
б) уровень ощущения звука при амплитуде давления 1 ^
для частот 32 гц и 2048 гц;
в) уровень ощущения звука при мощности источника звука
10~5 em (человеческая речь) при частоте 256 гц на расстоянии
5 м;
г) мощность источника звука при уровне ощущения на 50 дб
на расстоянии 10 м ^частота 1024 гц).
Указание. При пользовании диаграммой на рисунке ограничивать-
ограничиваться следующими, приближенными значениями: lg 1,6 = 0,2; lg 2 = 0 3;
lg 3 = 0,5; lg 4 = 0,6; lg 5 = 0,7; lg 6 = 0,8; lg 8 = 0,9.
0 36-—II. В струнных музыкальных инструментах (напри-
(например, в рояле) для низких тонов применяют стальную проволоку
того же диаметра, как струн средних и высоких тонов. Так как
для низких тонов нужна большая масса струны, то на прОЕолоку
навивают медную проволоку (канитель), не доводя ее до самых
концов струны.
а) Почему нельзя для струн низких тонов применять толстую
стальную проволоку без канители?
172
б) Как влияет наличие канители на затухание основного
тона и обертонов?
О 36—12. Частота основного тона гудка паровоза 650 гц.
Какова кажущаяся частота гудка для наблюдателя, к которому
паровоз приближается со скоростью 54 —? Температура воз-
воздуха 16° С.
О 36—13. а) Наблюдателю, слушающему гудок автомобиля,
кажется, что при приближении автомобиля основной тон гудка
на секунду выше (т. е. частота больше в — раза), чем при уда-
8
лении. Определить скорость автомобиля, приняв скорость звука
в воздухе равной 340 —. Считать воздух неподвижным.
сек
б) Тот же вопрос в случае, если гудок неподвижен, а наблю-
наблюдатель находится на автомобиле, сначала приближающемся,
затем удаляющемся от гудка.
К.М
О 36—14. Паровоз, движущийся со- скоростью 72 —, дает
свисток в течение 2 сек. Какова продолжительность звука, вос-
воспринятого неподвижным наблюдателем; а) если паровоз прибли-
приближается к нему? б) если паровоз удаляется от него? Температура
воздуха — 17° С.
Глава V
ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
§ 37. Законы освещения
1) Освещенность Е при силе света / на расстоянии г от то-
точечного источника света при угле падения света а
р /cosа .
2) Связь между световым потоком F и средней силой
света /ср
F = 4я/ср.
3) Светность R и яркость В источника света
р —ЛЕ. ¦ в — д/
~~ AS ' ~ AS '
где AF — суммарный световой поток, излучаемый площад-
площадкой AS; А/ — сила света, излучаемого поверхностью AS в на-
направлении нормали. Если тело излучает по закону Ламберта
(сила света пропорциональна косинусу угла между направле-
направлением излучения и нормалью), то R = пВ.
4) Световой поток монохроматического света с длиной волны
551 тр, равный 1 люмену, имеет мощность 0,0016 ет.
О 37—1. На рисунке 37—1 показана кривая видности, даю-
дающая чувствительность нормального глаза к световым волнам
разной длины. Какова мощность светового потока в 1 лм, если
свет монохроматический и длина волны равна: а) 610 т\а;
б) 520 тц?
.О 37—2. Определить освещенность на расстоянии 4 дот
источника света, если сила света равна 180 се и если лучи па-
падают под углом 37°.
0 37—3. Над полусферой находится точечный источник све-
света (/ = 50 се) на высоте, равной диаметру полусферы
(рис. 37—2). Определить освещенность в той точке поверхности
полусферы, в которой лучи падают под углом 35°. Радиус полу-
полусферы равен 1 м.
0 37—4. Точечный источник света S освещает поверхность
MN (рис. 37—3). Как изменится освещенность в точке А, в ко-
174
0,8
Ofi
0,'
0,2
s
**
f
1
1
j
I
1
У
/
s
\
>
3
5,5 б
Л Ю'см
Рис 37—1.
7,5
торой лучи от S падают на поверхность нормально, если сбоку S
на таком же расстоянии, как и освещаемая поверхность, поме-
поместить зеркало Z, отражающее свет в Л? Коэффициент отражения
принять равным 1.
© 37—5. Прожектор заливающего света установлен на вы-
высоте 15 м над освещаемой площадью. В некоторой точке пло-
площади освещенность горизонтальной поверхности равна 10 лк,
а наибольшая освещенность вертикальной плоскости 20 лк.
Определить силу света прожектора по направлению к этой
точке.
© 37—6. Над горизонтальной поверхностью MN помещены
на высоте 2 м и на расстоянии 1 м друг от друга два источника
света, дающие световые потоки по 300 лм каждый. Определить
освещенность на поверхности MN: а) в точках под источниками
света; б) на середине расстояния между ними.
0 37—7. На рисунке 37—4 показана кривая распределения
силы света для «условной» лампы, дающей световой поток
Рис. 37—2.
Рнс. 37—3.
175
I6S" ISS' 145* ГЭ5"
105'
95'
75'
S5'
55
45'
1000 лм, снабженной светиль-
светильне' никои, (прибором для распре-
распределения света), предназначен-
предназначенным для освещения улиц и
" больших цехов В светильник
помещена лампа, дающая по-
поток 3050 лм B00 вт). Све-
Светильник подвешен на высоте
5 м над землей. Определить
во' освещенность мостовой:
85* а) в точке А, находящейся
под светильником;
б) в точке В, удаленной на
7 м от точки А\
в) те же вопросы для лам-
лампы без светильника (пунктир-
(пунктирная линия).
© 37—8. По вершинам
равностороннего треугольника
помещены три одинаковых ис-
источника света. Показать, что
маленькая пластинка, помещен-
помещенная в центре треугольника под
произвольным углом к сторо-
сторонам треугольника, освещена
одинаково с обеих сторон.
0 37—9. Для печатания
фотоснимка при лампе, даю-
дающей силу света 40 ев на рас-
расстоянии 1 м, требуется продол-
продолжительность печатания 2 сек.
Какая требуется продолжительность печатания при лампе
30 ев на расстоянии 1,5 м? Предполагается, что общее коли-
количество энергии, полученной фотоснимком, должно быть в пер-
первом и втором случаях одинаково.
0 37—10. При фотографировании объекта, освещенного
100-ваттной лампой на расстоянии 1 м, требуется экспозиция
8 сек. Какова должна быть продолжительность экспозиции при
освещении двумя 100-ваттными лампами на расстояниях
3 м и 4 м, если общее коли-
количество энергии, попавшей на
светочувствительную пластин-
пластинку, должно быть таким же?
G 37—11. Рисунок 37—5
показывает орбиту Земли Т
вокруг Солнца S. На рисун-
рисунке проведена произвольная
Рис. 37—5. прямая ASB. Показать, что
35'
-Крибая сбешилЬника
-Крибая голой
Рис. 37—4.
176
общие количества световой
энергии, получаемые Землей
от Солнца, в то время как
она проходит участки АтВ
и ВпА орбиты, равны между
собой.
О 37—12. Электролампа
накаливания, потребляющая
мощность 40 em, дает свето-
световой поток 380 лм. 40% этого
потока направлено на поверх-
поверхность 5 jwa. Определить сред- Р"с- 37~
нюю освещенность поверхности.
G 37—13. Общий световой поток, излучаемый прямой нака-
накаленной нитью длиной / = 60 см, равен F = 132 лм. Определить
наибольшую освещенность плоской поверхности, помещенной
параллельно нити на расстоянии а = 5 см от нее (имеется в виду
место, находящееся против середины нити).
О 37—14. Источник света имеет форму куба, ребро которого
равно 10 см. Максимальная сила света равна 90 се. Определить
яркость источника.
© 37—15. Источник света заключен в цилиндр, боковая по-
поверхность которого непрозрачна, а дно прозрачно и рассеивает
свет- по закону Ламберта. Источник помещен над центром круг-
круглого стола, радиус которого Ь — 70 см, (рис. 37—6). На краю
стола лежит книга А. Яркость источника равна В = 8000 нт,
площадь светящей поверхности равна S = 100 см2.
а) На какой высоте h надо поместить источник света, чтобы
книга была освещена наиболее сильно? Какова эта освещен-
освещенность?
б) Какова наибольшая освещенность стены, отстоящей от
центра стола на расстоянии / = 1,5 л?
О 37—16. Какова светность волоска электрической лампы,
если излучаемый световой поток равен 400 лм, длина волоска
60 см и диаметр его 0,04 мм?
О 37—17. На экран площадью 3 лB, рассеивающий свет
с коэффициентом отражения 0,8, падает световой поток 150 лм.
Каковы: а) светность; б) яркость экрана?
G 37—18. Светящаяся часть люминесцентной лампы мощ-
мощностью 15 em имеет форму цилиндра длиной. 42 см и диаметром
2,24 см. Яркость ее 5 • 103 нт. Определить ее к.п.д.
0 37—19. Сквозь отверстие в ставне в комнату падает пучок
солнечных лучей, образующих зайчик на листе белой бумаги,
лежащей на полу. Площадь зайчика 80 с«2 и освещенность
10 000 лк; коэффициент отражения бумаги равен 0,8. Какова
освещенность:
а) потолка комнаты над листом бумаги, если высота комнаты
равна 4 м?
177
б) стены на высоте 2 м от пола' Стена отстоит на 3 м от зай-
зайчика и расположена перпендикулярно к плоскости падения
луча Солнца на пол.
§ 38. Зеркала, призмы и линзы
1) Формула сферического зеркала
х у R f
где х и у — расстояния точки и ее изображения от вершины
зеркала; R — радиус сферы; / — фокусное расстояние; D — опти-
оптическая сила.
2) Закон преломления света
n4 sin ii = п2 sin г2,
здесь h и г'г — углы падения и преломления, шит — коэффи-
коэффициенты преломления первой и второй сред для данной длины све-
световой волны. В задачах § 38 (за исключением особо оговорен-
оговоренных случаев) имеются в виду указанные в таблице XXXI средние
коэффициенты преломления лучей видимого света.
3) Связь между углом наименьшего отклонения в призме ет
и преломляющим углом призмы ¦&
п. sin e"'""*~— = n2 sin —,
1 2 2 2 '
здесь mi и пг — коэффициенты преломления среды, окружающей
призму, и материала, из которого сделана призма.
4) Отклонение луча в призме с малым преломляющим углом
5) При прохождении параксиального пучка лучей света
сквозь сферическую поверхность, разделяющую среды с коэффи-
коэффициентами преломления т и т, имеет место соотношение
«1
где ai и й! — расстояния сопряженных точек от сферической по-
поверхности, R — ее радиус. Здесь и далее положительными счи-
считаются расстояния, отсчитываемые по направлению распростра-
распространения света.
Отсюда
где
R
178
есть оптическая сила сферичес-
сферической границы между двумя сре-
средами.
6) Формула линзы
Здесь я, и я2 — расстояния со-
сопряженных точек от главных
плоскостей линзы. Главные
плоскости HY и Я2 отстоят от
вершин сферических поверхнос-
поверхностей линзы (или от плоских поверхностей) на расстояниях xi
и х2 (рис. 38—1)
d d
где d — толщина линзы, 0, и D2 — оптические силы ее поверх-
поверхностей, D — оптическая сила всей линзы, равная
D=D1-}-Dt—-DlDt.
«2
7) В случае тонкой линзы (толщина линзы d мала) расстоя-
расстояния й и аи можно без существенной погрешности отсчитывать
от плоскости, проходящей сквозь некоторую среднюю точку
линзы. Это не относится к менисковым линзам, у которых при
значительных кривизнах их поверхностей погрешность может
быть большой. Оптическую силу тонкой линзы можно опреде-
определять по формуле
8) Оптическая сила системы двух центрированных линз с оп-
оптическими силами Dx и Dt
где Д — расстояние от второй главной плоскости первой линзы
до первой главной плоскости второй линзы; б— оптический ин-
интервал системы (расстояние между вторым фокусом первой лин-
линзы и первым фокусом второй линзы; у отрицательных линз первый
фокус лежит сзади линзы, а второй — спереди).
9) Светосила объектива
C=D.d,
где d — диаметр входного отверстия.
10) Увеличение угла зрения визуальными приборами
179
Здесь а — угол зрения, под которым предмет виден сквозь при"
бор, ао — угол зрения, под которым предмет виден невооружен-
невооруженным глазом (в случае лупы и микроскопа под ао подразуме-
подразумевается угол зрения при наблюдении предмета, находящегося иа
условном расстоянии Lo = 25 см). Приведенные ниже формулы
увеличения относятся к случаю, когда глаз наблюдателя акко-
аккомодирован на бесконечность.
а) Лупа
N = D.L0.
б) Микроскоп (Z?! и Ds — оптические* силы объектива и оку-
окуляра)
N = -
в) Трубы Кеплера и Галилея
0 38—1. Небольшой предмет расположен между двумя
плоскими зеркалами, поставленными под углом а — 32°, на рас-
расстоянии г = 10 см от линии пересечения зеркал ближе к одному
из зеркал.
а) На каком расстоянии х друг от друга находятся первые
мнимые изображения предмета в зеркалах?
б) Как сместится середина отрезка прямой, соединяющей два
изображения предмета, если предмет сдвинуть на I — 2 см. так,
чтобы его расстояние от линии пересечения зеркал осталось
неизменным?
© 38—2. Луч света падает на одно из зеркал, составляющих
двугранный угол 20°, параллельно плоскости, делящей угол по-
пополам, под прямым углом к линии пересечения зеркал. Как он
идет дальше? Какова будет сила света ло выходе луча из дву-
двугранного угла, если начальная сила света равна* 10 ев и если при
каждом отражении сила света уменьшается в два раза?
© 38—3. Три плоских зеркала расположены взаимно пер-
перпендикулярно. Показать, что луч, упавший под произвольным
углом на одно из зеркал и отразившийся на второе, а затем на
третье зеркало, после трех отражений идет антипараллельно
прежнему направлению.
О 38—4. Волосок маленькой электрической лампочки нахо-
находится на расстоянии 24 см от вершины вогнутого зеркала с фо-
фокусным расстоянием 20 см. а) Где надо поставить экран, покры-
покрытый белой бумагой, чтобы получить на нам четкое изображение
накаленного волоска? б) Какова яркость этого изображения при
следующих условиях: лампочка дает Световой поток 10 лм, на
зеркало падает 0,2 этого потока, коэффициент отражения бума-
бумаги равен 0,8, волосок имеет длину 2 см и диаметр 0,1 мм?
© 38—5. Луч света падает на вогнутое сферическое зеркало
с радиусом R параллельно оптической оси ОО' на расстоянии а
180
от нее (рис. 38—2) и после отражения —,
пересекает оптическую ось 00' в точке В. I
Найти отношение между аи/?, при кото- О'__|_
ром относительная ошибка, которую мы в
делаем, принимая ОВ = 0,5 /?, равна 1%.
О 38—6. Вогнутое сферическое зерка-
зеркало, радиус отверстия которого величина Рис 38~2-
того же порядка, как радиус сферы, дает
иа экране размытое действительное изображение. Почему же
при рассматривании этого изображения в зеркале мы видим его
четким (хотя и искаженным)'
О 38—7. Наблюдатель глядит сквозь тонкую стеклянную
пластинку на свое изображение в выпуклом зеркале и, переме-
перемещая пластинку, добивается, что изображения его глаза, види-
видимые в зеркале и в стеклянной пластинке, налагаются друг на
друга и не смещаются при покачивании головы (отсутствует
параллакс).
На каком расстоянии от глаза наблюдателя помещена пла-
пластинка, если фокусное расстояние зеркала равно — 10 см и глаз
отдален от его вершины на 40 см?
О 38—8. На рисунке 38—3, а и b показаны положения оси
сферического зеркала ММ, светящей точки S и ее изображения
S'. Найти построением положения вершины зеркала и его
центра для обоих случаев.
О 38—9. Высота Солнца над горизонтом равна 20°. Поль-
Пользуясь плоским зеркалом, пускают зайчик в воду в пруде.
Как надо расположить зеркало, чтобы отраженный от него
луч шел в воде под углом 60° к горизонту'
О 38—10. Каков предельный угол при падении луча на гра-
границу стекло — вода?
© 38—11. Лучи, исходящие из какой-либо точки предмета,
находящегося в воде, проходят сквозь плоскую границу между
водой и воздухом.
а) Доказать, что продолжения направлений преломленных
лучей в сторону воды не пересекаются в одной точке.
б) Доказать, что продолжения лучей, исходящих из одной
точки и прошедших сквозь плоскопараллельную пластину, тоже
не пересекаются в одной
о *5 точке.
. ?' в) Почему, несмотря
М .— М на это, мы видим дно
водоема или предметы
за прозрачной плоскопа-
б "*S раллельной пластинкой
м м вполне четко?
~™ 0 38—12. Наблюда-
* тель смотрит на предмет,
Рис. 38—3. лежащий на дне водо-
Ш
ема. Ему кажется, что предмет находится на
глубине h = 1 м на расстоянии / = 5 м от
его глаз по прямой линии. Глаза наблю-
наблюдателя находятся на одной и той же вы-
высоте, а именно на высоте // = 1,5 м над по-
Рис. 38—4. верхностью воды. На какой глубине й0 ле-
лежит предмет?
© 38—13. Человек смотрит на свое изображение в зеркале,
положенном на дно сосуда, наполненного водой. На какое рас-
расстояние аккомодирован глаз человека, если он находится на вы-
высоте 10 см над уровнем воды, а зеркало на глубине 8 см под уров-
уровнем воды?
О 38—14. В воде идут два параллельных луча 1 и 2
(рис. 38—4). Луч / выходит в воздух непосредственно, а луч 2
проходит сквозь горизонтальную плоскопараллельную стеклян-
стеклянную пластинку.
а) Будут ли лучи 1 и 2 параллельны по выходе в воздух?
б) Выйдет ли в воздух луч 2, если луч / испытывает полное
отражение?
Э 38—15. Луч падает на плоскую стеклянную пластинку
толщиной 3 см под углом 70°. Определить смещение луча внутри
пластинки.
О 28—16. Луч света проходит сквозь несколько прозрач-
прозрачных плоскопараллельных пластин. При каждом преломлении
теряется 0,1 часть силы света; внутри каждой пластины
поглощается 0,2 силы света. Какова сила света, прошед-
прошедшего сквозь 5 пластин, если начальная сила света равна
10 се?
О 38—17. При рассматривании предметов сквозь призму наи-
наибольшая отчетливость получается при наименьшем отклонении
лучей. Почему?
О 38—18. Приставив призму к глазу, мы видим сквозь нее
прямые линии, параллельные ребру призмы, в виде дуг. Объяс-
Объяснить явление.
Э 38—19. а) Каков преломляющий угол у стеклянной приз-
призмы, если угол наименьшего отклонения равен преломляющему
углу?
б) Каков должен быть коэффициент преломления вещества,
из которого сделана призма, чтобы условие а) могло быть вы-
выполнено?
© 38—20. Полая стеклянная равноугольная призма находит-
находится в воде. Определить угол наибольшего отклонения. Пояснить
решение чертежом.
Э 38—21. Имеются две одинаковые призмы с преломляю-
преломляющими углами 9, дающие угол наименьшего отклонения е0. Как
следует расположить их, чтобы луч, проходя сквозь призмы, в
каждой из них отклонялся на е0?
182
Рис. 38—5.
О 38—22. Призма с преломляю-
преломляющим углом 50° дает угол наи-
наименьшего отклонения 35°. Какой
угол наименьшего отклонения по-
получится, если погрузить эту призму
в воду?
0 38—23. Для получения по-
посредством проекционного аппарата
проекций опытов в прямом, а не в перевернутом виде употреб-
употребляют «оборотную призму», преломляющий угол которой ра-
равен 90°.
Начертить, как идут в призме и за ней два луча, падающие
на призму параллельно стороне АВ (рис. 38—5). Изменяется ли
расстояние между лучами? Одинаковы ли длины первого и вто-
второго лучей внутри стекла?
© 38—24. При каких условиях луч, падающий на первую
грань стеклянной призмы в плоскости, перпендикулярной к реб-
ребру преломляющего угла ¦&, проходит сквозь вторую грань? Рас-
Рассмотреть случаи:
а) § > 2f5o (Ро — предельный угол для стекла); б) ¦& = pV,
в) О < Ро.
Пояснить ответы чертежами.
в 38—25. Гало, т. е. светлые круги вокруг Солнца (или Лу-
Луны), видимые в морозные дни, являются результатом преломле-
преломления света в ледяных кристаллах, взвешенных в воздухе и имею-
имеющих форму шестигранных призм. Угловые радиусы кругов 22°
и 46° соответствуют углам наименьшего отклонения лучей, иду-.
щих от Солнца. Какие грани в ледяных призмах образуют прело-
преломляющие углы, соответствующие этим кругам?
в 38—26. В каких пределах может изменяться угол откло-
отклонения, который может дать стеклянная призма с преломляющим
углом # = 60°?
О 38—27. На тонкостенную сферическую колбу, наполнен-
наполненную жидкостью, падает параллельный пучок лучей света, диа-
диаметр сечения которого значительно
меньше диаметра колбы. На про- НСЬ- Н с К"
тивоположной стороне колбы пучок —
Рис. 38—6.
Рис. -38—7.
183
Рис. 38—8.
Рис. 38—9.
света освещает кружок, диаметр которого в два раза меньше диа-
диаметра пучка, падающего на колбу (рис. 38—6). Определить по-
показатель преломления жидкости.
О 38—28. Каково фокусное расстояние тонкой двояковыпук-
двояковыпуклой линзы, сделанной из стёкла, если радиксы ее поверхностей
одинаковы и равны 13 см?
© 38—29. На рисунке 38—7 показаны сечения двух несим-
несимметричных стеклянных линз. Определить их оптические силы,
если для первой линзы d, — 40 мм, 6, = 5 мм, с{ — 3 мм, для
второй линзы йг = 40 мм, Ь2 = 1,5 мм, съ = 3 мм, принимая их
за тонкие.
О 38—30. Оптическая сила тонкой стеклянной линзы в воз-
воздухе равна 5,5 дп. Какова оптическая сила той же линзы, по-
погруженной в воду?
О 38—31. Тонкая стеклянная линза имеет оптическую силу
+5 дп. Та же линзй, погруженная в жидкость, действует как
линза с оптической силой —1 дп. Определить показатель прелом-
преломления жидкости.
© 38—32. Тонкая плоско-вогнутая линза опущена в воду
в горизонтальном положении вогнутой поверхностью вниз так,
что пространство под ней заполнено- воздухом (рис. 38—8). Ра-
Радиус вогнутой поверхности равен 15 см. Каково фокусное расстоя-
расстояние такой системы?
Э 38—33. Горизонтально расположенное вогнутое зеркало
заполнено водой (рис. 38—9). Радиус зеркала 60 см. Каково фо-
фокусное расстояние такой системы? Наибольшая глубина воды в
зеркале мала по сравнению с радиусом сферы.
О 38—34. На рисунке 38—
10 показаны положения тон-
тонкой собирающей линзы LL и
ее фокусов Fi и Рг. Найти по-
построением ход произвольного
луча АВ после линзы.
О 38—35. На рисунке 38—
?. 11, а и б показаны положения
оптической оси ММ тонкой
линзы, светящейся точки S и
ее изображения S'. Найти по-
построением положения центра
линзы и ее фокусов для обо-
РИС, 38—10. их случаев.
В
184
м
м
-м
rS'
Рис. 38—П.
О 38—36. На рисунке 38—12 показаны положения оптиче-
оптической оси тонкой линзы LL и ход проходящего сквозь нее луча
ABC. Найти построением ход произвольного луча DE за линзой.
Ф 38—37. Чтобы найти положение изображения точки Su
лежащей на главной оптической оси тонкой собирающей линзы,
можно провести следующее построение: из оптического центра
линзы О восставить перпендикуляр к оси и отложить на нем фо-
фокусное расстояние линзы .ОА — f (рис. 38—13). Затем из
точки О провести прямую ОК под углом 45° к оси. Из точки В
пересечения продолжения StA и прямой ОК опустить пер-
перпендикуляр на ось. Его основание есть искомая точка S2.
Доказать правильность такого построения: а) для точек, ле-
лежащих за фокусом; б) для точек, лежащих между фокусом
и линзой.
w 38—38. Диапозитив имеет размер 8x8 см2. Определить
оптическую силу тонкой собирающей линзы, которая может слу-
служить объективом проекционного аппарата, если изображение
диапозитива на экране должно иметь размеры 1,2 ¦ 1,2 м2. Рас-
Расстояние от объектива до экрана равно 4 м.
О 38—39. На экране, отстоящем от объектива (тонкая линза
оптической силой 5 дп) на расстоянии 4 м, получено четкое изо-
изображение диапозитива. Экран отодвигают на 20 см. На сколько
надо переместить диапозитив, чтобы восстановить четкость изо-
изображения?
© 38—40. Предмет
находится на расстоянии к
90 см от экрана. Между
предметом и экраном пе-
перемещают тонкую соби-
собирающую линзу, причем
при одном положении
линзы на экране получа-
получается увеличенное изобра-
изображение, а при другом —
Рис. 38—13.
185
уменьшенное. Каково фокусное расстояние линзы, если линейные
размеры первого изображения в 4 раза больше размеров второго?
G 38—41. Экран находится на расстоянии d — 100 см от
свечи. Помещая между свечой и экраном собирающую тонкую
линзу, можно получить изображение свечи на экране при двух
положениях линзы, отстоящих на расстоянии b — 20 см. Во
сколько раз отличаются яркости изображений свечи?
О 38—42. Точечный источник света находится на расстоянии
95 см от экрана. На каком расстоянии от источника света сле-
следует поместить линзу с фокусным расстоянием +16 см и с диа-
диаметром оправы 10 см, чтобы получить на экране ярко освещен-
освещенный кружок диаметром 2,5 см? Пояснить ответ чертежами.
G 38—43. Солнечные лучи, падая нормально на экран, дают
освещенность 10 000 лк. Перед экраном помещают: а) тонкую
линзу оптической силой +5 дп на расстоянии 60 см; б) линзу
оптической силой —2 дп на расстоянии 20 см. Определить в обо-
обоих случаях среднюю освещенность экрана в тени от линзы и
а светлом кольце вокруг тени. Потерями света в линзе пре-
пренебречь.
0 38—44. Лучи Солнца освещают бумагу. Как изменится
освещенность бумаги, если на ней при помощи тонкой линзы с
оптической силой в 4 дп и с диаметром отверстия 6 см получить
изображение Солнца?
Э 38—45. Фотограф снимает человека в белом платье. Ка-
Какова освещенность фотопластинки в аппарате в том месте, где
находится изображение человека, при следующих условиях:
освещенность человека равна 1000 лк (открытое место, пасмур-
пасмурный день); коэффициент отражения белой материи равен 0,8,
светосила объектива фотооаппарата равна —; потери света в
4,5
объективе составляют 10%.
О 38—46. При каком условии оптическая сила центрирован-
центрированной системы двух тонких линз положительна, при каком отрица-
отрицательна и при каком равна нулю (т. е. система является телеско-
телескопической)?
Рассмотреть случаи:
а) обе линзы собирающие;
б) первая линза собирающая, вторая рассеивающая;
в) первая линза рассеивающая, вторая собирающая;
г) обе линзы рассеивающие.
Пояснить ответы чертежами хода лучей.
О 38—47. а) Как следует разместить две тонкие линзы с оп-
оптическими силами +5 дп, чтобы оптическая сила системы была
равна 8 дп? 6) 5 дп?
© 38—48. Расстояние между двумя тонкими линзами, обра-
образующими телескопическую систему, равно. 12 см, а увеличение
равно —5. Какова будет оптическая сила системы тех же лннз,
если их сложить вплотную?
186
s
s, и>
M
М
м
S'
s'
Рис. 38—14.
Рис. 38—15.
Э 38—49. Две стеклянные линзы, находясь на некотором
расстоянии в воздухе, образуют телескопическую систему.
Как надо изменить расстояние между линзами, чтобы они об-
образовали телескопическую систему, находясь в воде?
Э 38—50. Лучи света проходят сквозь тонкую собирающую
линзу (D — +5 дп), отражаются от поставленного сзади нее
плоского зеркала и вновь проходят сквозь линзу. Какова опти-
оптическая сила такой системы, если отражающая поверхность зер-
зеркала отстоит от второй главной плоскости линзы на расстоянии
6 см?
О 38—51. На рисунке 38—14 показаны оптическая ось ММ
и первый фокус Ft толстой собирающей линзы, а также две со-
сопряженные точки S и S'. Найти построением положения главных
плоскостей и второго фокуса линзы.
О 38—52. На рис. 38—15 показаны оптическая ось толстой
собирающей линзы ММ, первая главная плоскость Н{ и две со-
сопряженные точки S4 и S'. Построить точку, сопряженную с про-
произвольной точкой S2.
О 38—53. На рисунке 38—16 показаны положения оптиче-
оптической оси ММ толстой линзы, ее первой главной плоскости Я4 и
ход некоторого луча до и после линзы. Найти построением фо-
фокусы линзы.
G 38—54. Найти положения главных и фокальных плос-
плоскостей стеклянных лннз (в воздухе) следующих форм:
а) Передняя поверхность линзы выпуклая (Rt = 13 см), зад-
задняя плоская. Толщина линзы 3,5 см.
б) Обе поверхности линзы выпуклые (R = 13 см). Тол-
Толщина линзы 3,5 см. и
в) Передняя поверхность лин-
линзы выпуклая (/?4 = 6,5 см), зад-
задняя вогнутая (/?2 = 13 см). Тол-
Толщина линзы 3,5 см.
г) Передняя поверхность лин
зы вогнутая (/?4 = 6,5 см), зад-
задняя выпуклая (R2 = 13 см). Тол-
Толщина линзы 3,5 см.
д) Линза имеет форму шара
С радиусом 3,5 СМ. Рис. 38—16.
187
в 38—55. Какова должна быть толщина двояковыпуклой
стеклянной линзы (/?1==/?2=5 см), чтобы ее оптическая сила
в воздухе была равна нулю?
Э 38—56. Плоские поверхности плоско-выпуклой и плоско-
плосковогнутой линз склеены тонким слоем прозрачного клея. Коэффи-
Коэффициенты преломления стекол, из которых сделаны линзы, равны
соответственно 1,6 и 1,5. Радиусы сферических поверхностей и
толщины линз одинаковы и равны соответственно 10 см и 2,4 см.
Определить оптическую силу такой системы в воздухе.
G 38—57. При помощи линзы, описанной в задаче 38—54, в),
получено изображение пламени свечи на экране. Если повернуть
линзу так, чтобы вершины выпуклой и вогнутой поверхностей
поменялись местами, то для получения четкого изображения
линзу придется сдвинуть. На какое расстояние?
0 38—58. Две одинаковые плоско-выпуклые стеклянные
линзы сложены вплотную. Радиусы сферических поверхностей
равны 5 см, толщина 2,5 см. Определить оптическую силу си-
системы в воздухе в следующих случаях:
а) плоская поверхность одной линзы приложена к плоской
поверхности второй;
б) выпуклая поверхность одной линзы касается выпуклой по-
поверхности другой;
в) выпуклая поверхность одной линзы касается плоской по-
поверхности второй.
© 38—59, а) Имеются два" стеклянных шара диаметрами
10 см и 1 см. Как следует расположить эти шары в воздухе,
чтобы получилась телескопическая система?
б) Каково увеличение такой системы?
О 38—60. Начертить примерный ход лучей от некоторой
точки предмета до ее изображения на сетчатке глаза, аккомоди-
аккомодированного на бесконечность и вооруженного: а) лупой; б) микро-
микроскопом; в) трубой Кеплера; г) трубой Галилея.
G 38—61. а) Каково фокусное расстояние 2,5-кратной лупы?
б) Какое увеличение дает эта лупа, если наблюдатель рас-
рассматривает сквозь нее свой зрачок, видимый в плоском зеркале?
Глаз аккомодирован на бесконечность.
Э 38—62. Человек рассматривает свой глаз, пользуясь во-
вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 10 см. Глаз аккомодиро-
аккомодирован на бесконечность. Каково увеличение?
О 38—63. К микроскопу приложены объективы и окуляры
со следующими данными:
Объективы:
№
1
2
Фокусное расстояние
18 ММ
4,3 мм
Числовая апертура
0,20
0,65
388
Окуляры:
А
В
Фокусное расстояние
36 ММ
17 мм
а) Если установить тубус микроскопа на механическую
длину 16 см, то при объективе № I и окуляре А микроскоп дает
56-кратное увеличение, а при объективе № 2 и окуляре В —
600-кратное. Вычислить в обоих случаях оптические интервалы
микроскопа. Почему они не равны между собой?
б) Каковы будут увеличения микроскопа при тех же объек-
объективах и окулярах, если механическую длину тубуса установить
18 см?
О 38—64. Фокусное расстояние объектива одного из рефрак-
рефракторов в Пулкове равно 14,1 м. Каково увеличение этого рефрак-
рефрактора при пользовании окуляром с фокусным расстоянием 2,5 см?
О 38—65. Каждая трубка театрального бинокля состоит из
собирающей линзы (объектив) и рассеивающей линзы (окуляр).
Расстояние между линзами, которые можно считать тонкими, при
аккомодации глаз на бесконечность, равно 5 см. Диаметр
объектива 3,6 см, окуляра 1,2 см. Увеличение бинокля равно 2,5.
а) Что получится, если посмотреть в объектив бинокля, об-
обратив окуляр к объекту?
б) Каковы оптические силы объектива и окуляра?
в) Что более ограничивает пучок лучей, проходящих сквозь
бинокль, оправа объектива или окуляра?
О 38—66. На экране получен непрерывный спектр (при по-
помощи щели, освещенной электрической дугой, объектива и
призмы). Что будет происходить, если ширину щели постепенно
увеличивать?
О 38—67. Что видит наблюдатель, рассматривающий сквозь
стеклянную призму черную черту на белой бумаге? Сделать по-
поясняющий чертеж.
О 38—68. При помощи, объектива и стеклянной призмы с
преломляющим углом 60° на экране получено окрашенное изо-
изображение щели (спектр). Какова ширина спектра при таких ус-
условиях: лучи падают на призму под углом 49°; экран находится
на расстоянии 3 м от объектива; коэффициент преломления
стекла для крайних красного и фиолетового лучей равен 1,505
и 1,525? Шириной щели можно пренебречь.
О 38—69. Коэффициент преломления стекла для крайних
красных лучей спектра равен л1=1,510, а для крайних фиоле-
фиолетовых п2—1,531. Определить расстояние между фокусами для
красных и фиолетовых лучей двояковыпуклой тонкой линзы с
радиусами преломляющих поверхностей по 15 см.
189
§ 39. Волновая природа света
1) Расстояние х между полосами интерференции на экране,
находящемся на расстоянии / от двух когерентных источников
света, отстоящих друг от друга на расстоянии d (рис. 39—1),
равно
А, К l
sin ux
d cos u
Здесь длина световой волны в среде* в которой на-
ходится экран, ut — половина угла между направлениями
лучей, образующих в данной точке экрана интерференцион-
интерференционную картину, rtj — коэффициент преломления среды , в которой
находится экран. Если / > d, cos «t -*¦ 1 и формула принима-
принимает вид
2) Принято считать, что протяженный источник света (на-
(например, щель, сзади которой находится источник света) дает
на экране удобонаблюдаемую интерференционную картину,
если интерференционные картины, образуемые крайними точ-
точками источника, сдвинуты одна по отношению к другой не бо-
более чем на 0>5 расстояния между полосами. На основании
этого для наблюдаемости интерференционной картины необ-
необходимо соблюдение следующего условия: линейные размеры
источника света (например, ширина щели Ь) должны удо-
удовлетворять соотношению
Ь<—-± •
An зш и
Здесь и — половина угла между
направлениями лучей, исходящих
из какой-либо точки источника све-
света н сходящихся в некоторой точ-
точке экрана (рие. 33—2), п. — коэф-
коэффициент преломления среды, в ко-
которой находится источник света.
3} Число длин волн, укладываю-
укладывающихся в разности хода лучей, от-
отраженных от двух ишеряностен тон-
тонкой пластинки под углом «г по обе
стороны которой находятся одина-
одинаковые среды, равна
ев
Рис. 39—1.
4) Соотношение для углов от-
клоиекия ср от нормали для глав-
190
ных максимумов, давае-
даваемых Дифракционной ре-
решеткой при нормальном
падении света на решетку, ¦vi^C^J2" 2u,
находящуюся в пустоте
с-sirup = kX
(k = 0; 1; 2; ...), Рис. 39—2.
где к — порядок спектра,
с — постоянная решетки. Если лучи падают на решетку под уг-
углом а, то имеет место соотношение
с (sin <р — sin а) = kX.
5) Закон Брэгга — Вульфа для отражения рентгеновских лу-
лучей от кристалла
где X — длина волны; k — порядок спектра; d — постоянная кри-
кристаллической решетки; в — угол между направлением отражен-
отраженного луча и гранью кристалла,
6) Разрещающая сила дифракционной решетки
где N — общее число штрихов в дифракционной решетке.
7) Разрешающая сила оптического прибора определяется со-
соотношением
здесь b — наименьшее расстояние между двумя штрихами на
объекте, различимое при наблюдении посредством прибора, п —
показатель преломления среды, заполняющей пространство от
объекта до прибора, и — половина угла раскрытия лучей, исхо-
исходящих из течек объекта и попадающих в прибор.
8) Полная поляризация света, отраженного от диэлектрика,
коэффициент преломления которого равен пъ в среду, коэффи-
коэффициент преломления которой равен пи имеет место при угле па-
падения Ф, удовлетворяющем соотношению
«1
9) Интенсивность света /, прошедшего сквозь поляризатор и
анализатор, плоскости поляризации которых образуют угол а,
/ = /0 cos2 a,
где /о — интенсивность поляризованного света, падающего на
анализатор.
10) Угол поворота плоскости поляризации
191
где а — постоянная вращения, зависящая от природы вещества
и длины световых волн, d — длина светового луча в веществе.
Для растворов угол поворота определяется соотношением
где [а] — удельная постоянная вращения, d—длина луча в рас-
растворе не — концентрация активного вещества (число граммов
активного вещества в I см3 раствора).
О 39—1. Длина волны красного луча в йоде равна длине
волны зеленого луча в воздухе. Вода освещена красным светом.
Какой цвет видит при этом свете человек, открывший глаз под
водой?
0 39—2. Угол между зеркалами Френеля равен а=10'. На
них падает свет от щели, находящейся на расстоянии г=10 см
от линии пересечения зеркал. Длина световых волн равна
X =0,6 мк. Отраженный от зеркал свет дает интерференционную
картину на экране, отстоящем на расстоянии L=270 см от ли-
линии пересечения зеркал.
а) Каково расстояние между интерференционными полосами
на экране?
б) Что случится с интерференционной картиной на экране,
если щель сдвинуть на расстояние s=2 мм в таком направлении, что
ее расстояние от линии пересечения зеркал не изменится?
в) Что случится с картиной на экране, если расстояние от
щели до линии пересечения зеркал увеличить вдвое?
г) Показать справедливость соотношения, указанного в пунк-
пункте 2) введения, как условия наблюдаемости интерференционной
картины, получаемой при помощи зеркал Френеля.
д) Определить наибольшую ширину щели, при которой ин-
интерференционная картина еще может наблюдаться.
е) Сколько интерференционных полос можно видеть на эк-
экране?
Примечание. Предварительно следует решить задачу 38—1.
© 39—3, На рисунке 39—3 изображена схема опыта с би-
бипризмой Френеля. Лучи от источника света S (освещенная
щель) проходят сквозь бипризму В и дают на экране КК интер-
интерференционную картину. Каков тупой угол б бипризмы, если при
К
Рис. 39—3.
192
Рис. 39—4.
расстоянии d=50 см от щели до
бипризмы и при расстоянии L —
=450 см от бипризмы до экрана ин-
интерференционные полосы натриевого
света (Я—590 ммк) отстоят друг от _>]•<
друга на дс= 1,1 лш? Коэффициент "V
преломления данного сорта стекла
(легкий флинт) равен п=1,578.
0 39—4. Лучи от источника света
(накаленная нить) проходят сквозь раз-
разрезанную на две половины собирающую
линзу (рис. 39—4). При этом на экране
получаются интерференционные полосы.
а) Объяснить их происхождение.
б) Определить расстояние между темными полосами интер-
интерференции при таких данных: нить находится на расстоянии 20 см
от разрезанной линзы; фокусное расстояние линзы 10 см; поло-
половинки линзы раздвинуты на расстояние 1 мм; экран находит-
находится на расстоянии 450 см от линзы- длина волны 500 ммк.
в) Каков должен быть диаметр нити для того, чтобы полу-
получилась интерференционная картина?
г) Сколько интерференционных полос видно на экране?
О 39—5. Какова толщина мыльной пленки, если при наблю-
наблюдении ее в отраженном свете она представляется зеленой
(\=500 ммк), когда угол между нормалью и лучом зрения
равен 35°? Показатель преломления мыльной воды принять
1,33.
0 39—6. На изображении натриевого пламени (X =589 ммк),
наблюдаемом на вертикальной мыльной пленке (рис. 39—5),
видны темные горизонтальные полосы. Расстояние между
серединами темных полос /=5 мм. Коэффициент прелом-
преломления мыльной воды п=1,33. Каков
угол между поверхностями пленки?
© 39—7. а) Какова максималь-
максимальная толщина dm мыльной пленки, при
которой наблюдается интерференцион-
интерференционная картина, показанная на рисунке
39—5, при следующих условиях: глаз
наблюдателя находится на уровне
пленки; натриевое пламя (Х=589 ммк)
отстоит от наблюдаемого места плен-
пленки на расстоянии а=30 см; высота
пламени Ь — 3 см; свет от пламени
падает на пленку под углом а=45°?
б) Почему у свежеполученной плен-
пленки интерференционные полосы сперва
не видны, а затем появляются в
верхней части пленки и постепенно Рис. 39—5.
7 Д И, Сахаров
193
распространяются вниз? в) Почему при освещении пленки бе-
белым светом видны окрашенные в разные цвета светлые полосы
и притом только в верхней части пленки?
О 39—8. На рисунке 39—6 показано расположение линзы и
пластинки в опыте по наблюдению колец Ньютона в отражен-
отраженном свете. Свет может отразиться от следующих поверхностей:
от верхней поверхности линзы 1, от выпуклой нижней поверх-
поверхности линзы 2 и от плоской поверхности темного стекла 3.
Почему при расчете явления принимается во внимание возмож-
возможность интерференции лучей, отразившихся от второй и третьей
поверхностей, и не обсуждается возможность интерференции лу-
лучей, отразившихся от первой и второй поверхностей?
Э 39—9. Собирающая линза положена на плоскую стеклян-
стеклянную пластинку, причем вследствие попадания пыли между лин-
линзой и пластинкой нет контакта (рис. 39—7). Диаметры 5-го и
15-го темных колец Ньютона, наблюдаемых в отраженном свете
(А=589 ммк), равны 0,7 мм и 1,7 мм. Определить радиус кри-
кривизны поверхности линзы, обращенной к пластинке.
Э 39—10. Стеклянная симметричная двояковыпуклая линза
сложена с такой же двояковогнутой, причем получившаяся си-
система имеет оптическую силу D=0,25 дп. Между линзами в не-
некоторой точке имеется контакт, вокруг которого наблюдается в
отраженном свете интерференционная картина.
а) Определить радиус пятого темного кольца (?=5), если
длина волны ^,=0,6 мк. -
б) Тот же вопрос, если пространство между линзами запол-
заполнено водой.
0 39—11. Наблюдатель отсчитывает ширину 10 колец Нью-
Ньютона вдали от их центра. Она оказывается равной 0,7 мм. Ши-
Ширина следующих 10 колец оказывается равной 0,4 мм. Наблюде-
Наблюдение производится в отраженном свете при длине волны 589 ммк.
Определить радиус кривизны поверхности линзы.
О 39—12. а) Какова будет форма полос интерференции, если
цилиндрическую собирающую линзу положить на плоскую стек-
стеклянную пластинку?
б) Какова будет форма полос интерференции, если сложить
две цилиндрические собирающие линзы так, чтобы их образую-
образующие составляли прямой угол?
Рис. 39—6. Рис. 39—7.
194
О 39—13. Спектр натрия состоит из
двух линий с длинами волн 589,00 ммк
и 589,59 ммк. Какое по счету темное коль-
кольцо Ньютона, соответствующее одной из
этих линий, совпадает со следующим по
счету темным кольцом, соответствующим
другой линии? Наблюдение производится
в отраженном свете.
О 39—14. На рисунке 39—8, а показа-
показана диаграмма амплитуды колебания, до-
дошедшего до некоторой точки /С от светя-
светящей точки S. Каждая половина витка
спирали соответствует одной зоне Френе-
Френеля. Направление прямой ОМ показывает
фазу колебания, дошедшего от светящей
точки до точки К. по прямой. Отрезок
ОА показывает амплитуду колебания,
дошедшего до точки К при полном отсутствии препятствий
между S и К- На рисунке 39—8, б показана диаграмма, соот-
соответствующая случаю, когда между источником света и точ-
точкой К; помещена ширма с отверстием, диаметр которого соот-
соответствует 2,4 первых зон Френеля. Сплошная часть спирали
соответствует зонам, видимым сквозь отверстие, а пунктир-
пунктирная — закрытым. ОВ — амплитуда колебаний в точке К,-
а) Начертить подобные диаграммы для случаев, когда
ширма закрывает все зоны Френеля, кроме: 1) первой зоны
Френеля; 2) двух первых зон; 3) трех с половиной первых
зон. (Спираль следует воспроизводить приближенно.)
б) Показать, что при отсутствии препятствий интенсивность
света (освещенность) в точке К приблизительно в 4 раза меньше
интенсивности света, прошедшего сквозь отверстие, пропускаю-
пропускающее только первую зону Френеля.
в) Показать, что интенсивность света, прошедшего сквозь
отверстие, пропускающее только половину первой зоны, прибли-
приблизительно в два раза больше интенсивности при полном отсут-
отсутствии препятствий.
г) Начертить диаграмму, соответствующую случаю, когда
первые 1,5 зоны закрыты круглым диском.
д) Начертить диаграмму, соответствующую случаю, когда
свет проходит сквозь кольцевое отверстие, открывающее третью
и четвертую зоны.
е) Начертить диаграмму, соответствующую случаю, когда
третья и четвертая зоны закрыты непрозрачным кольцом.
0 39—15. Точечный источник света S, излучающий свет с
длиной волны Я.=5500 А, освещает экран, расположенный на
расстоянии /=11 м от S. Между источником света S и экраном
на расстоянии а=Ъ м от экрана помещена ширма с круглым
отверстием, диаметр которого d — 4,2 мм. Является ли
7* 195
1 f
освещенность в центре получающейся на экра-
экране дифракционной картины большей или
меньшей, чем та, которая будет иметь ме-
место, если ширму убрать?
О 39—16. Какова роль линзы в опы-
Рис 39—9* тах с ДиФРаки-ионн°й решеткой?
Э 39—17. Лучи света ¦ падают нормаль-
нормально на ту сторону стеклянной дифракцион-
дифракционной решетки, где нанесены штрихи, а с другой стороны решет-
решетки производится наблюдение получающегося спектра и изме-
измерение длин волн. Лучи дифрагируют в стекле, проходят
сквозь стеклянную пластинку и выходят в воздух. Следует
ли отсюда, что измеряются длины волн в стекле?
© 39—18. Одна сторона плоскопараллельной прозрачной
пластинки гладкая, а на другой имеются цилиндрические ка-
канавки одинаковой ширины (порядка 0,01 мм), вплотную приле-
прилегающие друг к другу, так что плоская поверхность отсутствует
(рис. 39—9).
а) Как действует такая пластинка на свет, нормально
падающий на ее поверхность?
б) Как изменится действие пластинки на свет, если ее
поместить в жидкость с таким же коэффициентом преломле-
преломления, как и вещество пластинки?
О 39—19. На дифракционную решетку нормально падает
свет от натриевого пламени (Я,=589 ммк). При этом для спектра
третьего порядка получается угол отклонений 10°1Г. Какова
длина волны, для которой угол отклонения во втором порядке
равен б°1б'?
О 39—20. а) На дифракционную решетку, имеющую 50 штри-
штрихов на 1 мм, падает нормально параллельный пучок белого
света. Какова разность углов отклонения конца первого и на-
начала второго спектров? Длины крайних красных и крайних фио-
фиолетовых волн принять равными 760 ммк и 400 ммк.
б) Какова разность углов отклонения конца второго и на-
начала третьего спектров?
Э 39—21. На решетку с постоянной 0,006 мм нормально
падает монохроматический свет. Угол между спектрами 1-го и
2-го порядков равен 4°36'. Определить Длину световой волны.
О 39—22. Определить наибольший- порядок спектра, который
может образовать дифракционная решетка, имеющая 500 штри-
штрихов на 1 мм, если длина волны равна 590 ммк. Рассмотреть два
случая: а) свет падает на решетку нормально; б) свет падает
под углом 30°.
© 39—23. Если смотреть сквозь дифракционную решетку на
отдаленную лампочку, то видна дифракционная картина. Дать
объяснения всем явлениям, которые будут наблюдаться, если,
оставляя решетку перед глазом: а) вращать ее вокруг оси, про-
проходящей сквозь ее середину и перпендикулярной к плоскости
196
решетки; б) двигать решетку поступательно перпендикулярно
к прямой, направленной от лампочки к глазу, и вдоль этой пря-
прямой; в) вращать решетку вокруг оси, совпадающей с плоско-
плоскостью решетки и параллельной ее штрихам; г) вращать решетку
вокруг оси, совпадающей с плоскостью решетки и перпендику-
перпендикулярной ее штрихам.
© 39—24. Две среды с показателями преломления п.\ и п2
граничат по плоской поверхности, на которой нанесены штрихи,
образующие дифракционную решетку с постоянной с. Показать,
что при длине волны, удовлетворяющей соотношению
% > {щ 4 п2) ст
лучи света проходят сквозь такую заштрихованную поверхность
так же, как и сквозь гладкую.
Ф 39—25. Прозрачная пластинка покрыта с обеих сторон
штрихами, образующими дифракционные решетки. На пла-
пластинку нормально падает монохроматический свет. Чем отли-
отличается действие на свет такой пластинки по сравнению со
стеклянной пластинкой такой же толщины, покрытой штри-
штрихами только с одной стороны? Рассмотреть два случая:
а) толщина пластинки значительно больше постоянной ре-
решетки;
б) толщина пластинки равна постоянной решетки.
Э 39—26. Рентгеновские лучи от палладиевого антикато-
антикатода падают на грань A 0 0) кристалла хлористого натрия и
отражаются под углом 5°,9.
а) Определить длину падающей волны, зная, что решетка
хлористого натрия имеет вид, показанный на рисунке 39—10,
на котором белые кружки соответствуют положениям центров
ионов натрия, а черные — хлора. Грань A 0 0) параллельна пло-
плоскости YZ.
б) Под каким углом должно происходить отражение первого
порядка для грани A 1 0)? (Эта грань параллельна оси Z и
отсекает от осей X и Y равные
отрезки.) v
О 39—27. Какова должна
быть длина дифракционной
решетки, имеющей 50 штри-
штрихов на 1 мм, чтобы в спектре .*_+_<
второго порядка можно было
раздельно различить две ли-
линии натрия 5800 А и 5896 А?
О 39—28. Диаметр зрачка
человеческого глаза может
меняться от 2 до 8 мм. Чем
объяснить, что максимальная
острота зрения имеет место ?
при диаметре зрачка 3—4 мм? Рис. 39—10.
197
V-
О 39—29. Средний человеческий глаз
может видеть на расстоянии 10 м раз-
раздельно два параллельных штриха на бе-
белой бумаге, отстоящих друг от друга на
3 мм. При остром зрении расстояние
между раздельно видимыми штрихами
уменьшается до 2 мм. Соответствуют ли
эти данные разрешающей способности
глаза, вычисленной по формуле пункта
Рис. 39-И. 7 введения?
Принять для расчета диаметр зрачка
о
равным 3 мм, длину световых волн 6000 А.
О 39—30. Предположим, что диаметр зрачка при наблюде-
наблюдении в призматический бинокль с 8-кратным увеличением равен
5 мм. Каков должен быть диаметр оправы объектива, чтобы уве-
увеличение разрешающей силы, получающейся при пользовании
биноклем, по сравнению с невооруженным глазом было тоже
8-кратным?
О 39—31. Определить коэффициент преломления в следую-
следующих случаях:
а) Для непрозрачной эмали угол полной поляризации при
отражении оказался равным 58°.
б) Для прозрачного вещества угол полной поляризации (при
падении света извне) оказался равным предельному углу (наи-
(наименьшему углу, при котором получается полное отражение).
Э 39—32. Найти угол полной поляризации при отражении
от границы стекло — вода.
0 39—33. Каков должен быть преломляющий угол у стек-
стеклянной призмы, чтобы углы входа и выхода луча из призмы
были углами полной поляризации? Каков при таком прелом-
преломляющем угле угол наименьшего отклонения?
Э 39—34. Естественный луч света падает на плоскопарал-
плоскопараллельную стеклянную пластинку. Угол падения равен углу пол-
полной поляризации. При таком угле падения на стекло интенсив-
интенсивность отраженного луча составляет около 0,1 от интенсивности
падающего естественного света. Определить интенсивность
естественного и поляризованного света в лучах, помеченных
цифрами на рисунке 39—11, приняв интенсивность падаю-
падающего луча за единицу. Поглощением света в пластинке пре-
пренебречь.
О 39—35. Пусть поглощение света в николе таково, что
наибольшая сила поляризованного света, прошедшего сквозь
николь, равна 90% поляризованного света, падающего на него.
а) Во сколько раз уменьшается сила естественного света
при прохождении света сквозь два николя, плоскости поляриза-
поляризации которых составляют угол 63°?
б) Во сколько раз уменьшается сила света, если, кроме двух
николей, упомянутых в условии а), свет проходит еще сквозь
198
один николь, направление плоскости поляризации которого сов-
совпадает с первым николем?
Ф 39—36. а) Две стопы стеклянных пластинок, используе-
используемые как поляризаторы, при параллельных плоскостях поляриза-
поляризации пропускают в п=16 раз больше света, чем при скрещенных
плоскостях. Определить степень поляризации р (отношение ин-
интенсивности поляризованного света к общей интенсивности про-
прошедшего света), которую создает каждая стопа в отдельности.
б) Какова будет степень поляризации р, если число стеклян-
стеклянных пластинок в каждой стопе удвоить?
О 39—37. Определить толщину кварцевой пластинки, для
которой угол поворота плоскости поляризации света с длиной
волны 509 ммк равен 180°. Постоянная вращения в кварце для
этой длины волны равна 29°,7 ммг1.
Э 39—38. Монохроматический свет (Х=4047 А) проходит
сквозь поляроид Р (рис. 39—12) и падает на кварцевую пла-
пластинку К, имеющую форму клина, угол между гранями кото-
которого равен в =7°48'. Направление оптической оси в кварце по-
показано штриховкой. Лучи света проходят в кварце пути
порядка нескольких миллиметров. Постоянная вращения для
указанной длины волны в кварце равна 48°,9 мм~1. Какая
картина видна наблюдателю, который смотрит сквозь второй
поляроид Л?
Э 39—39. На рисунке 39—13 показана схема демонстра-
демонстрационного опыта выдающегося русского физика Н. А. Умова.
Свет от источника 5 проходит сквозь поляризатор (поляроид) Р,
а затем идет сверху вниз сквозь слегка замутненный раствор
сахара в стеклянном сосуде В. В сосуде видна темная винто-
винтообразно расположенная полоса.
а) Объяснить явление.
б) Какова длина шага темного винта в растворе при сле-
следующих условиях: раствор содержит 650 г^сахару на 1 л воды;
плотность раствора 1,32 — ; освещение
см?
раствора производится светом с длиной
волны 521 ммк, для которого постоян-
постоянная вращения равна 87° дм'1?
В
Рис. 39—13.
199
§ 40, Квантовые явления в оптике
1) Энергия фотона
е = hv,
где h — постоянная Планка; v — частота.
2) Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
где ф — работа выхода электрона из тела; т. и v — масса и
скорость вылетевшего электрона.
3) Световое давление (при зеркальном отражении и нормаль-
нормальном падении)
где / — интенсивность света; г — коэффициент зеркального от-
отражения; с — скорость света.
4) Движению частицы со скоростью v соответствует болно-
сой процесс, причем длина волны
то
где т — масса частицы.
О 40—1. Определить энергию одного фотона: а) для крас-
красного света (Х=600 ммк); б) для жестких рентгеновских лучей
о
(Х=1 А), в) При «какой температуре средняя энергия теплового
движения (на одну степень свободы) молекул равна энергии
указанных фотонов?
О 40—2. Лампочка карманного фонаря потребляет мощ-
мощность около 1 вт. Приняв, что эта мощность рассеивается во всех
направлениях в виде излучения и что длина волны, соответ-
соответствующая средней частоте, равна 1 мк, определить число фото-
фотонов, падающих на 1 см% площадки, поставленной перпендику-
перпендикулярно к лучам на расстоянии 10 км, в течение 1 сек.
О 40—3. -Определить наибольшую длину световой волны,
при которой может иметь место фотоэффект: а) для платины,
б) для цезия.
О 40—4. Определить максимальную скорость электрона,
вылетевшего из цезия при освещении светом с длиной волны
400 ммк.
Э 40—5. Селеновый фотоэлемент имеет чувствительность по
току, равную 200 ^^. Принимая, что такая же чувствительность
лм
имеет место при освещении фотоэлемента монохроматическим
о
светом с длиной волны 5510 А, определить, сколько фотонов при-
приходится на 1 электрон, участвующий в фототоке.
Указание. Принять во внимание пункт 4 введения к § 37.
200
О 40—6. Наименьшая длина рентгеновских лучей, получае-
получаемых при посредстве трубки, работающей под напряжением U,
вычисляется по формуле: ко = — , где А — постоянная, завися-
зависящая от выбора единиц. Определить величину А при условии, что
А, выражена в ангстремах, а (/ — в киловольтах.
© 40—7. Излучение рентгеновской трубки падает на кри-
кристалл кальцита (СаСО3). Наименьший угол между плоскостью
кристалла и пучком рентгеноЕских лучей, при котором можно
отметить отражение, равен 2°36'. Постоянная решетки кальцита
равна 3,04 • 10~8 см. Под 1<аким напряжением работает рентге-
рентгеновская трубка?
© 40—8. а) Спределить давление лучей Солнца на поверх-
поверхность черного тела, помещенного на таком же расстоянии от
Солнца, как и Земля. Угол падения равен нулю. Солнечная по-
постоянная (интенсивность солнечной радиации за пределами ат-
атмосферы) равна 1,35 ¦ 103 .
м*-сек
б) Произвести тот же расчет для тела, отражающего все лучи.
в) Произвести тот же расчет для стеклянной пластинки, от-
отражающей 4% всех лучей и поглощающей 6% их энергии.
© 40—9. Часть стенки колбы электролампы накаливания,
представляющей собой сферу радиусом 4 см, посеребрена.
Лампа потребляет мощность 50 вт, из которых 90% затрачи-
затрачивается на излучение. Что больше, давление газа в колбе
A0~8 мм рт. ст.) или световое давление на стенки?
© 40—10. Свет падает на плоскую пластинку под углом
а ф 0. В каком направлении будет отталкиваться пластинка:
а) если ее поверхность поглощает весь свет? б) если поверх-
поверхность зеркально отражает свет?
Ф 40—11; В вакууме подвешена плоская металлическая
пластинка, с одной стороны блестящая (г=1), с другой зачер-
зачерненная (г=0). Ее освещают нормально падающим сильным
светом. Найти отношение сил, на нее действующих, при освеще-
освещении блестящей и черной ее сторон.
© 40—12. Предположим, что находящаяся в вакууме пы-
пылинка под давлением световых лучей движется с ускорением.
За счет чего увеличивается ее кинетическая энергия? Рассмо-
Рассмотреть случаи: а)' пылинка отражает все лучи; б), пылинка
поглощает все лучи.
О .40—13. Определить длины волн для волновых процессов,
соответству ющи х:
а) движению альфа-частицы со скоростью 5000 —;
сек
б) движению молекул кислорода при температуре 27°С (при
средней скорости).
О 40—14. Электроны, падающие на алюминиевую фольгу,
дают дифракционную картину, причем угловое отклонение
201
спектра первого порядка равно 1°,1. Постоянная решетки алю-
о
миния равна 4,05 А. Какова скорость электронов?
О 40—15. В электронном микроскопе электроны ускоряются
разностью потенциалов 90 кв. Какова может быть апертура
микроскопа, если требуется рассмотреть объект, детали кото-
которого имеют размеры около 1 ммк?
0 40—16. В 1913 г. Н. Бор предложил модель атома водо-
водорода, сыгравшую роль первого наброска современной теории
строения атомов. По этой модели атом водорода состоит из по-
положительно заряженного ядра (протон), вокруг которого обра-
обращается по окружности электрон. Устойчивым является движение
электрона лишь по тем орбитам, для которых момент количе-
количества движения равен или кратен постоянной Планка, деленной
на 2я:
тог = п — ,
2л;
где я=1; 2; 3 и т. д.; т — масса электрона; v — скорость его;
г — радиус орбиты. Каждой орбите соответствует определенный
уровень энергии атома, так что при поглощении атомом энер-
энергии или при испускании ее электрон переходит с одной орбиты
на другую.
а) Показать, что приведенное выше условие устойчивости
движения электрона равносильно требованию, чтобы на орбите
электрона укладывалось целое число стоячих волн, длины кото-
которых соответствуют движению электрона.
б) Найти радиус орбиты электрона, соответствующий наи-
наименьшему уровню энергии атома водорода.
в) Определить работу ионизации атома водорода, т. е. пол-
полного удаления электрона с первой орбиты.
г) Определить длину волны спектра испускания атомного
водорода Я,н, излучаемой при переходе электрона с орбиты с
номером и=4 на орбиту с номером п=2. Каково изменение ско-
скорости атома водорода при излучении им этой линии?
д) Определить длину волны спектра испускания ионизован-
ионизованного гелия, соответствующего переходу электрона с орбиты с но-
номером п=4 на орбиту с номером п=2.
§ 41. Законы излучения
1) Тело, поглощающее падающий иа него поток электромаг-
электромагнитных волн полностью, называется абсолютно черным телом
или полным излучателем. Коэффициент поглощения абсолютно
черного тела равен единице для волн всех частот (А — \). Тела,
поглощающие падающие на них потоки волн частично ( А < 1),
называются «нечерными». У нечерных тел коэффициент А зави-
зависит от частоты. Воображаемые тела, у которых коэффициент А
для всех частот имеет одно и то же значение, называются «серыми».
202
2) Стенки замкнутой полости внутри любого тела являются
абсолютно черными (полным излучателем), если температура
их всюду одна и та же. Любое тело той же температуры внутри
полости тоже является полным излучателем. Свойства стенок
незамкнутой полости тем ближе к свойствам полного излуча-
излучателя, чем меньше площадь отверстия по сравнению с общей пло-
площадью стенок полости.
3) Мощность излучения с единицы площади нечерного тела
в интервале частот от v+Av равна
Atv = А • A/v,
где А — коэффициент поглощения в том же интервале частот,
ДЛ — мощность излучения с единицы площади полного излуча-
излучателя в том же интервале (закон Кирхгофа).
4) Суммарная мощность излучения с единицы площади пол-
полного излучателя, имеющего температуру Т (закон Стефана),
J =. оТ\
5) Суммарная мощность излучения с единицы площади не-
нечерного тела
J =
где е — коэффициент полного излучения данного тела, равный,
согласно закону Кирхгофа, коэффициенту суммарного поглоще-
поглощения тела и зависящий от природы тела и его температуры. У се-
серых тел е не зависит от температуры.
6) Формула Планка для функции распределения мощности
полного излучателя по интервалам частот
Av
7) Связь между температурой полного излучателя и длиной
волны, соответствующей максимуму функции распределения
мощности полного излучателя по интервалам длин волн,
\Т = С,
где С — постоянная величина.
8) При решении задач об излучении вольфрама следует ис-
использовать сведения о вольфраме, приведенные в таблице XXXII.
О 41—1. Мощность излучения с поверхности Земли в космос
dvc
принимается равной 91 .
г см? ¦ сек
а) Какова температура абсолютно черного тела (полного
излучателя), имеющего ту же мощность излучения?
б) Каков коэффициент полного излучения тела, если при
температуре 15°С (средняя температура поверхности Земли)
оно имеет ту же мощность излучения?
203
О 41—2. Вольфрамовая нить накаливается .в вакууме током
1 а до температуры 1000°К. При каком токе нить накалится
до 3000°К? При расчете пренебречь потерями энергии вслед-
вследствие теплопроводности подвесов нити и обратным излучением
окружающих тел.
О 41—3. Вольфрамовая нить диаметром 0,1 мм соединена
последовательно с другой вольфрамовой нитью. Нити накали-
накаливаются в вакууме током, причем первая нить имеет температуру
2000°К, а вторая — 3000°К. Каков диаметр второй нити?
© 41—4. Температура волоска электрической лампы, питае-
питаемой переменным током, колеблется. Разница между наибольшей
и наименьшей температурами накала вольфрамового волоска
электрической лампы A5 вт, 120 б) при переменном токе E0 гц)
оценивается в 80°. Во сколько раз изменяется общая мощность
излучения вследствие колебания температуры, если среднее ее
значение равно 2300°К? Принять, что вольфрам излучает, как
серое тело.
0 41—5. При работе радиоламп происходит разогревание
анода вследствие бомбардировки его электронами. Рассеяние
энергии производится в основном в виде излучения, рассеяние
посредством теплопроводности подводящих частей незначитель-
незначительно. Определить допустимую силу анодного тока в лампе, рабо-
работающей под напряжением 400 в. Анод сделан из никеля: он
имеет форму цилиндра длиной 4 см и диаметром 1 см. Принять,
что энергия рассеивается только с наружной поверхности ци-
цилиндра и что нагревание анода до 1000°К является допустимым.
При этой температуре коэффициент полного излучения никеля
равен 0,2.
Ф 41—6. Вольфрамовый^волосок находится в вакууме. Диа-
Диаметр волоска 0,1 мм Волосок накален до 2500°К. а) На сколько
температура волоска на его оси отличается от температуры его
поверхности, если теплопроводность вольфрама при 2500°К
равна 148 — ?
м • сек • град
б) Какой ток идет по волоску?
0 41—7. Интенсивность солнечной радиации вблизи Земли
за пределами ее атмосферы (солнечная постоянная) равна
У = 1,35 • 10а ——. Принимая, что Солнце излучает, как абаз-
абазин2-сек
лютно черное тело, определить температуру его излучающей по-
поверхности.
© 41—8. Определить диаметр сферической космической ча-
частицы, если действующие на нее силы светового давления и
притяжения к Солнцу взаимно уравновешиваются. Частица состо-
состоит из железа. Температуру Солнца принять равной Тс=6000оК._
© 41—9. Вокруг сплошного, проводящего теплоту шара рас-
расположен другой, полый; коэффициент поглощения наружной по-
поверхности второго шара равен нулю. Если температуры обоих
204
Рис 41—1.
шаров одинаковы, то второй излучает энергии боль-
больше, чем первый, так как излучающая поверхность
больше. Как это примирить со вторым принципом
термодинамики'
О 41—10. Муфельная печь потребляет мощ-
мощность 0,5 кет Температура ее внутренней поверхно-
поверхности при открытом отверстии диаметром 5 см равна
700° С. Какая часть потребляемой мощности рас-
рассеивается стенками?
О 41—11. Согласно положению о световых еди-
единицах 1 лм есть световой поток, излучаемый абсо-
абсолютно черным телом с площади 0,5305 мм2 при
температуре затвердевающей платины B042° К).
Каков коэффициент полезного действия такого из-
излучателя?
О 41—12. Вольфрамовая нить диаметром 0,1 мм
натянута в вакууме по оси трубки, длина которой
во много раз больше ее диаметра Температура трубки поддер-
поддерживается равной 700° К По нити идет ток, вследствие чего
ее температура на 300° К выше температуры трубки. Опреде-
Определить ток
При расчете принять, что интегральный коэффициент погло-
поглощения вольфрамом обратного излучения трубки равен коэф-
коэффициенту полного излучения вольфрама при той же темпера-
температуре.
Э 41—13. Колосниковая решетка площадью 2 м2 окружена
железными стенками. Температура угля на колосниковой ре-
решетке равна 1300°К, температура стенок 600°К. Коэффици-
Коэффициенты поглощения угля и окисленного железа можно считать
равными 0,9. Вычислить количество теплоты, передаваемое
лучами от решетки к стенкам за 1 час.
Ф 41—14. Лучи Солнца собираются посредством линзы
со светосилой —=0,5 на маленькое отверстие полости, стенки
которой изнутри зачернены, а снаружи блестящие (рис. 41—1).
Диаметр отверстия меньше диаметра изображения Солн-
Солнца. Пренебрегая потерями энергии при прохождении лучей
Солнца сквозь атмосферу и линзу, а также количеством теп-
тепла, проходящим сквозь стенки полости, определить темпера-
температуру Т внутри полости. Температуру поверхности Солнца при-
принять равной Гс=6000°К.
Ф 41—15. Внутри солнечной системы на таком же расстоя-
расстоянии R от Солнца, как и Земля, находится частица сферической
формы. Принимая, что Солнце излучает, как абсолютно черное
тело с температурой Тс= 6000°К, и что температура частицы Т
во всех ее точках одинакова, определить ее температуру, исходя
из следующих предположений:
а) частица обладает свойствами серого тела;
205
Ж б) частица поглощает и излучает только лучи с
о
длиной волны, близкой к Х=5000 А;
в) частица поглощает и излучает только лучи с
длиной волны, близкой к ^.=5 мк.
© 41—16. Проходя афелий, Земля находится на
3,3% дальше от Солнца, чем когда она проходит
перигелий. Принимая Землю за серое тело со сред-
средней температурой 288°К, определить разность тем-.
ператур, которые Земля имеет в афелии и перигелии.
0 41—17. В электрической лампе вольфрамо-
вольфрамовый волосок диаметром d=0,05 мм накаливается
при работе лампы до Ti—2700°К. Через сколько
времени после выключения тока температура волос-
волоска упадет до Гг=600°К? При расчете принять, что
волосок излучает, как серое тело, с коэффициентом
Рис. 41—2. поглощения А—0,3. Пренебречь всеми другими причи-
причинами потери теплоты.
О 41—18. В каком случае электрокалильная
лампа дает больше света: когда она работает на постоянном токе
или на переменном, эффективное напряжение которого равно нап-
напряжению постоянного тока?
О 41—19. Как изменилось бы общее количество энергии, из-
излучаемой Солнцем, если бы одна часть его поверхности немного
охладилась, а другая на столько же нагрелась?
0 41—20. Написать формулы, выражающие -функции рас-
распределения излучения абсолютно черного тела: а) по интер-
интервалам длин волн; б) по интервалам логарифмов частот; в) по
интервалам логарифмов длин. Показать, что при заданной
температуре максимумы функций распределения по интерва-
интервалам частот и по интервалам длин волн соответствуют разным
длинам волн, а максимумы функций распределения по интер-
интервалам логарифмов этих величин соответствуют одинаковым
длинам волн.
0 41—21. Определить длину волн, соответствующих мак-
максимумам функции распределения по интервалам длин волн
в следующих случаях: а) Волосок софитной лампы (рис. 41—2)
имеет длину /=15 см и диаметр d = 0,03 мм. Потребляемая
мощность Р=Ю вт, из нее около Pi—2 вт рассеивается
вследствие теплопроводности. Принять, что волосок излуча-
излучает, как серое тело, с коэффициентом поглощения А =0,3.
б) Указанная лампа помещается в металлический цилиндр,
с поверхности которого, равной 150 см2, рассеивается указан-
указанная выше мощность. Принять, что потери на теплопроводность
и коэффициент поглощения не изменились.
© 41—22. На экране получен спектр от положительного кра-
кратера вольтовой дуги, имеющего температуру 4000°К. Опреде-
Определить отношение х между мощностями излучения, падающими
206
на участки экрана, соответствующие длинам войн от 695 до
705 ммк (участок красного цвета) и от 395 до 405 ммк (участок
фиолетового цвета). Принять, что кратер излучает, как черное
тело. Поглощение в стекле и в воздухе одинаково для красных
и фиолетовых лучей.
§ 42. Внутриядерные явления
1) Число радиоактивных атомов, распадающихся за проме-
промежуток времени Д/, пропорционально числу наличных атомов п
и промежутку времени
где ^ — постоянная распада; Т — период полураспада.
2) Если количества материнского и дочернего радиоактив-
радиоактивных веществ с течением времени не меняются (установилось
радиоактивное равновесие), то имеет место соотношение
3) Единица активности радиоактивных веществ — кюри. Кю-
Кюри есть активность такого радиоактивного препарата, в котором
за 1 сек происходит 3,700 • 10го актов распада.
4) Изменение энергии W, соответствующее изменению массы
на величину пг,
W = шс\
где с — скорость света.
О 42—1. Вследствие радиоактивного распада 92U238 превра-
превращается в 82РЬ206. Сколько а-превращений и Р-превращений он при
этом испытывает?
О 42—2. За какой промежуток времени из 107 атомов акти-
актиния распадается один атом?
© 42—3. Определить среднюю продолжительность т жизни
атома радия А.
© 42—4. Крупинка, содержащая радий, находится на рас-
расстоянии 1,2 см от флуоресцирующего экрана. Какое количество
радия имеется в ней, если в течение минуты на площади экрана,
равной 0,02 си2, видно 47 сцинтилляций? Продукты распада ра-
радия очень быстро отсасываются насосом. Принять, что все вы-
выбрасываемые при распаде атомов радия а-частицы вылетают из
крупинки.
0 42—5. Натрий uNa23, облучаемый дейтонами, превра-
превращается в радиоактивный изотоп натрия nNa24 с периодом полу-
полураспада 15,5 часа. Какая доля первоначального количества ра-
радиоактивного натрия останется через сутки, если прекратить об-
облучение дейтонами?
207
a a a a
/ / / #\
Ra— Rn—RoA—RaB — /?oC '. RaD
"" ~~ "" ~\ ~|Va^~f
p I p
Рис. 42—1.
О 42—6. Определить отношение количества радия к количе-
количеству урана в древних минералах.
0 42—7. На рисунке 42—1 показана схема превращения Ra
в RaD. Сколько а-частиц испускает за 1 секунду смесь 1 мг
радия со всеми продуктами распада, указанными на схеме» если
}становилось радиоактивное равновесие?
0 42—8. Определить объем 1 кюри радона при нормальных
условиях.
© 42—9. Измерения показывают, что ионизационный ток на-
насыщения в присутствии 1 милликюри радона в воздухе равен
0,92 мка. Сколько ионов производит в воздухе каждая а-частица,
выбрасываемая радоном?
О 42—10. Определить энергию, соответствующую массе по-
покоящегося электрона (собственная энергия электрона).
О 42—11. Определить энергию связи (разность энергии
сложной частицы и энергий составляющих частиц): а) у дейто-
на; б) у а-частицы.
© 42—12. При бомбардировке лития протонами с энергией
I Мэв образуются две а-чаетицы. Определить их скорость для
случая, когда направления их вылета образуют одинаковый угол
с направлением полета протона.
Ф 42—13.- Мишень, содержащая дейтерий (такой мишенью
может служить «тяжелый лед»), бомбардируется дейтонами.
При ударе дейтона в ядро дейтерия к дейтерию присоединяется
один электрон и образуется легкий изотоп гелия аНе8 и нейтрон.
Какова энергия нейтрона (Е2), если энергия дейтона перед
ударом равна E^Ofi Мэв и если скорость нейтрона направлена
перпендикулярно к скорости ударяющего дейтона?
Ф 42—14. Облучение нейтронами некоторых тяжелых атомов
вызывает деление их ядер на две различные, близкие по мас-
массам, разлетающиеся с громадными скоростями частицы. В даль-
дальнейшем эти частицы, выбрасывая нейтроны и испытывая fi-npe-
вращения, превращаются в ядра атомов со средними номерами.
Допустив в качестве примера, что в результате деления ядра
изотопа урана (e2U235) появятся ядра рубидия (S7Rb85) и цезия
(jjCs183), провести грубый подсчет выделяющейся при этом
энергии:
а) по изменению энергии электрического поля, рассматри-
рассматривая ядра атомов как шары с равномерно распределенным по их
208
объему зарядом (см. задачу 24—35); радиусы ядер можно опре-
определить по эмпирической формуле:
R = 1,4 |/Л- 1071а cjm,
где А — атомный вес элемента;
б) по изменению энергии связи (см. задачу 42—11). Из-
Известно, что у ядер со средними массовыми, числами энергия
связи на один нуклон приблизительно равна 8,5 Мэв. У урана
энергия связи на 1 нуклон составляет около 7 Мэв.
в) Приняв, что средняя энергия, выделяющаяся при деле-
делении одного атома 92U235, равна 200 Мэв, определить количе-
количество угля с теплотворной способностью 7000 , эквивалентное
энергии, выделяющейся при делении 1 кг урана.
ОТВЕТЫ
1-1. г) 4— и 5,4—.
сек сек
1-3. 150 м.
1—5. От 0 до 3,3 м — ускоренное, от 3,3 до 9 м ¦*- равномерное, далее
замедленное.
1—6. б) Площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс, показывает
половину разностей квадратов скоростей, соответствующих конечному
и начальному моментам движения.
в) Начальная и конечная скорости равны.
1-7. Нет.
1—8. а) Обозначим угол межау направлением, в котором виден ав-
автомобиль, и направлением, по которому должен бежать человек, бук-
буквой а. Пусть человек прибежит к некоторому месту дороги через т2 сек,
а автомобиль приедет туда же через т^ сек. Пользуясь рисунком 1, легко
найти, что
sina= ¦—
По условию ti>t2. Поэтому
sin a>
Отсюда 56°,5 <<% < 123°,5.
м
б) 2,5 —.
сек
1—9. Уменьшалось,
1-10. + 0,83 -^- и — 0,83 —.
сек2 сек3
hvt
1-11. г„ = т1 {VH:~У^^Г\) ^ 0,8 сек.
1-12. —0,25
м
1—13. —30
сек*
см
45-
см
сек
Рис. 1
Отсюда As ~ /?0 tg 2яп (t +
1—14. Обозначив путь, кото-
который успеет пройти зайчик за
время t, буквой s, имеем:
s = Ro tg 2nnt.
-*0tg2wif = - RnSia'
RB2nn
cos2
= 10,4-
cos2nnt-cos 2nn{t ¦
м
210
1-15. В 12 раз.
1-16.
sin (а + 6) . л о п
ve=v v. Vl ; при ? = — — а; при ? = 0.
sin а 2
1—17. 225 — ; 4°,4 к меридиану.
1—18. а) и б) иг > vi.
в) Против течения под углом 60°.
г) Первая требует времени больше на 2,14 мин.
^ 29
1—19. Точка; прямая; окружность; спираль Архимеда.
1-20. 0,25-4; 0,32-^-.
сек2 сек2
1-21. 18,3 ~; 16,7 —^ 15,0-^-.
сек3 сек2 сек2
1—22. ш =¦ 6,5 сект1.
1—23. а) На круге будет видно четыре неподвижных размытых темных
сектора, каждый около 67°.
б) Секторы будут казаться вращающимися в сторону, противоположную
вращению диска при п=0,5 сек'1.
1—24. а) Вертикально вниз; б) перпендикулярно к оси.
1-25. —5,24 сек'2; 375.
1—26. Через 10 сек.
1-27. 140 —и -20—.
сек сек
1-28. 4,25 сек-1; 28°.
см см см
1—29. а)—29 ; б) 9,6 —; —17-—.
сек2 сек сек2
1—30. а) 40 —; б) 30 —; в) 60 —; г) 63 — .
сек сек сек сек
1-31. 4,7 ^г.
сек2
1—32. Радиус колеса значительно меньше длины шатуна.
1—33. Совершает гармонические колебания по направлению оси балан-
балансира.
1-34. а) 84°,3, б) 90-??
сек
1 —35. 0,06 сек.
1—36. Будут наблюдаться биення о частотой 0,5 сек-1 и амплитудой
0,2 мм.
1-37. 8 гц и 10 гц; 1 см.
2-1. а) 20,4 м; б) 1,4 • 10~7 см.
2-2. 6)g = 9,87 ~.
сек2
2—3. 120 гц.
2-4. t=. —~
g
Верхний знак перед радикалом соответствует восходящему движению,
нижний — нисходящему.
a) /i=0,98 сек; /2=2,1 сек; б) Не будет.
2-5. 20.6 см.
211
2—6. а) Вниз со скоростью 12,4 —.
сек
б) Вверх со скоростью 8,5 —.
сек
2tH — g% vl ?т2
2-7. а) <= — = 2,25 сек; ft = —- — — = 30,3 м.
0 У 2/г ~" сек' ' ° ~ ' сек'
2—10. Правильно.
2—11. 3 м.
2—12. 20 раз.
2—13. 76°.
2—14. а) Минимальная скорость при Данном расстоянии соответствует
самому выгодному углу бросания а= 45° и равна 22,83-^-. б) На экваторе
сек
при такой начальной скорости и а=45° получилось бы расстояние 53,3 м.
в) Следует указать: 1) высоту, с которой диск был брошен; 2) точную вели-
величину g для места метания; 3) угол, под которым диск был брошен.
2-15. Объем еоды V = S.t Л/-s'& .. =69л.
? sin 2a
2—16. Вертикальная прямая.
2-17. a) t "osinao^ 3
Уо COS <Z0
6) h = Юж.
2-19. 63°26' н 26°34\
2-20. v, =- —5— l/ 2^ = 19,8 —;
2 cosq V s-tga + h сек
2—21. s=8ftsin a=96 см.
vl cos2 a vi
2-22. i?, = — = 10,2 m; R2 = = 82 м.
g gcosa
3—1. a) F=5000 к; <=4 . 10-» сек.
б) Пуля пробьет доску и вылетит со скоростью 141 —; 0,59 кг-м-секг1.
сек
3—2. 7,7 м.
3—3. В нижних частях подъема и спуска 1,051 кГ. В середине
подъема и спуска 1 кГ. В верхних частях подъема и спуска 0,949 кГ.
in
3-4. /ij^fta = 40 см.
n+ I
3-5. а) 47 —; б) 4,2 м.
' сек*
8А
б) Не изменится; в) 2,08 н.
3-7. а) Нет; б)^~^^ + "¦) д 3,54; вH,031.
(nm + Щ) (Щ — цт2)
212
a) 0,4g; 6) 0; в) — 2g; r) g.
3-11. a) tg 2<z0 = — — j. a0 = 45°; 52"; б) ц = 0,27.
=0,1.
3—13. %=# sin a — u-! cos a + "~2 (u» — Hi) coS a Ь
L Щ \
a2 = g (sin a — Ц2 cos a).
а) ^ = a2; б) trx < a2; d) и г) аг = а2; д) ах = 0; а2 =? 0.
3—1.4. 420 к.
3—15. а) Нет, так как количество движения, получаемое водой, отталки-
отталкиваемой винтом парохода назад, при равномерном движении точно равно коли-
количеству движения, получаемому водой, увлекаемой корпусом парохода вперед-
б) Втягивая воду в полость, каракатица получает равные, противо-
противоположно направленные количества движения, а потому остается на месте;
выбрасывая воду, каракатица отдает некоторое количество движения и дви-
движется с ускорением в противоположную сторону.
3—16. Надо рассматривать движение струны совместно с движением кор-
корпуса инструмента, на котором натянута струна.
3—17. Левая пройдет расстояние -в 9 раз большее.
3—18. Положим, что с момента пуска ракеты уже прошло время t.
За промежуток от t до t-\-dt выбрасывается газа d/
Отсюда
ц ({/•(>!=: — (т — fit) dv,
ml -
t = — [ 1-е
а) Принимая во внимание, что о н ^ направлены в противоположные
стороны, имеем /=0,375 сек.
б) Полагая u,t = т9, имеем v — vx In (формула Циолковского)
т — тй
v =. 330 —.
сек
3—19. а) Центр шарика 3.
б) Если ось X направить по линии 4—3, а ось У по линии 4—1, то
Яо—Б см; ув—3 см.
в) Если ось X направить по линии 4—1, ось Y по линии 4—3, а ось Z
по линии 4—2, то хо=1 см, уо=3 см; го=2 см.
3—20. а) На общей оси цилиндров на расстоянии 9,3 см от нижнего
основания; б) на расстоянии 10,6 см.
3—21. Центр инерции находится на расстоянии 0,56 дм от центра диска.
3—22. 19° ,5.
3—24. 7,5 м.
I п — 1 \2 см см
3-25. a) a = g{—— = 109—-; б) 47 .
\ я + 1 / сек2 сек
3—26. а) 20 см; б) 20 см; в) 20 см и 0. г) Влево; результирующая сила
равна нулю.
3—27. 20 см.
3—28. а) 5 ¦ 10* кдж.
б) —16 • 10* кдж.
3—29. 9000 кет; 2500 кет.
3-30. а) 0,176 м.сек-*; 0,026 м-сект*; 6N6^.
213
3—31. 24,5 кет.
3—32. u0 = 2cosa———. Так как угол а уклона мал, то ио=4,2 —
Vi + V2 сек
2s 4ms2
3-33. ц = — = 0,02; Р = -— = 46 вт.
3—34. 3,5 дж.
3—38. а) —!— =1,4; б) —!— = 1,2; в) 9 раз и 3 раза.
3—39. Работа сжатия равна:
р р _ т\т2 , >2
1 — о ^1 2/ •
где 4i—1»2 есть относительная скорость движения шаров.
3—40. 93%.
2
3—41. а) /г1=г ¦ т2—- =16 CHt; /гг=г та ~ П -¦ <= 36 си.
б) Больший шар поднимется на 36 см, меньший сделает полный оборот
в) 3 i 1.
3-42. ~^;
5 5
3—45. а) 126 -^- н 63 —; б) 60 см.
сек сек
4—1. а) 0,49 м; б) 6,37 н.
4—2. а) 981,4 а«я. б) около 640 дин.
4—3. *=2,4 см.
4-4. А=|.
4-5. а) /ij = Ш^К ; 6) h> 2,5/?.
4—6. 0,29 w.
4—7. а) Получается пространственная кривая.
б) Для решения следует определить векторную сумму сил, действующих
на отдельные элементы одной из половин цепочки. Эта сумма равна удвоен-
удвоенной искомой силе.
4—8. 550 мм рт. ст.
4—9. а) F=2mg cos2a; б) F=2mgC—2 cos a); в) F=2mg.
4—10. tg a = VT; a = 54°,7.
4-11. cosa= f ,; a = 78°,6.
4-12. a) y = /?|Ii= 19 -^-; 6) tga= u; a = 2Г,8.
сек
4-13. a) o=T/@.5d-ft)g:=14Jb6)o=11..
гц сек
4-14. n= —l/"-!. =0,4 се/г1.
4—15. 0,96 сект1.
4—16. 4,3 кГ.
4—17. 762 кГ н 938 кГ.
4—18. а) 5 ¦ 103е • зда; б) 2 • 103г • еж2; в) 1 • Ю3 г • ^2; г) 2 . 103 г-см*
214
с
Рис. 2.
4—19. a) ma2; 6) ma2 A+sin'p) ф —угол между осью и плоскостью).
4—20. а) 689 г ¦ ей2; б) 414 г ¦ см2; в) 275 г ¦ см2.
4—21. Нуль и 2,26 • 10в г ¦ см2 ¦ сект1.
4—23. a) g sin а, б) 0,67 g sin а; в) 1,14 g sin а.
4ra — d2 см
4—24. a = 5gsina =49,7——.
g 28r2 5d2 се2
8 5 к
4—25. а) Приложим мысленно в точке С две равные и противоположные
силы Fi=F2=F (рис. 2). Сила Fi вызовет поступательное Движение стержня
F
с ускорением а=—. Пара сил F и Рг Еызоьет вращение с угловым уско-
m
рением е = —- около оси, проходящей скеозь центр масс С. Вследствие
Браздения стержня точка О будет двигаться с линейным ускорением
es2 = ^-. Если точка О покоится, то
J
откуда
12 tn'
б) Повернется около точки А.
в) s2= -— , где / — длина стержня.
6
4—26. 25 вт.
4—27. 22,2 кдж.
. ju 2
4—28. a) v — yZgh = 12—-. б) Точка, находящаяся на высоте, равной —
сек 3
высоты столСа.
т (g — а)
4—29. a) F = , где а — ускорение, с которым прибор опускается;
отсюда
mgr2 mgj
а= ——-; F-——гт,¦ = 4,85 к. б) При подъеме —то же ватяжение;
mri -j- J 2 (tnr^A-J)
в) 4,90 н.
4—30. Ось цилиндра будет двигаться с ускорением:
2 sin2 а м м
ai — g , . о ¦— = *>96 —-. Груз будет двигаться с ускорением: а2=3,92 .
I -\-о sin а сек* сек2
215
4_31. a) e=r *<*l^L F=a
s l(m + mj
3 ( m\ -\- /Tig) — 2m1m2
4—32. а) ш = - = 29 рад-сек'1. б) Кинетическая энергия стер-
(т -f- 3/rtj) I
3mj
жня с застрявшей в нем пулей равна — от начальной-энергии системы,
т -\- Ъ<П\
то есть 3%,
4—33. а) Сумма кинетических энергий Диска и грузиков уменьшается
иа величину совершенной работы; б) сумма количеств движения диска и
грузиков в любой момент равна нулю; в) момент количества движения диска
убывает, момент количества движения грузиков настолько же возрастает.
4—34. А = лат ( l\ — ifjn^ = 48 док.
435.a)to
• 1 + 2
б) энергия уменьшается на геличину — — • —-ь
*i + Ji 2
4—36. а) Система, состоящая из двух дисков Л и В, не является замкну-
замкнутой, а потому закон сохранения моментов количеств движения к ней не
относится.
б) Центры ннерцин гантелей движутся с антипараллельными скоростями.
Поэтому система двух гантелей имеет момент количества движения, равный
1т . d ' 2v (здесь 2т — масса гантели, d — расстояние между направле-
направлениями скоростей центров инерции гантелей, 2у — относительная скорость ган-
гантелей). После удара скорость цеитра инерции каждой из гантелей равна ну-
нулю, зато каждая гантель имеет момент количества движения 2md • v. Сумма
моментов количеств^движения обеих гантелей равна 4«d • v, то есть моменту
количества движения всей системы до удара.
4—37. а) Момент количества движения стержня до разрыва равен — К,
где К—т1гк> (т — мгсса стержня,I — длина, и — угловая скорость). После
разрыва каждая нз половинок продолжает вращаться с той же угловой ско-
скоростью. Сумма моментов количеств движевня обеи-х половинок равна—К.
Кроме того, так как центры инерции половинок движутся с антипараллель-
антипараллельными скоростями, система из двух половинок имеет момент количества дви-
жения, равный - /С, J_ J_ J_^
48 +16 12 '
то есть моменты количеств движения до и после разрыва равны,
б) Кинетическая энергия "стержня до разрыва равна
— А, где А = /п/2ш2.
После разрыва энергия вращения половинок равна — А. Энергия поступа-
тельного движения половинок равна— А. Общая сумма энергий после раз-
рыва равна
216
4—38. a) 0,75 mv2; 6) 0,7 mv2,
в) 1,25 mv2.
4—39. 1,3 см.
4_40. k == -Ц- = 0,15 ел.
ё ,
gfe
4—41. При d < — (й — коэффициент
трення качения, г — радиус шарика).
4—42.
а < 38°.
При tga < 3,5ц — 2,5_;
см.
Рис. 3.
4—43. 0,73 —; 12 сект1,
сек
4—44. 1000 кдж.
4_45. А=1,7(Я—г).
4—46. 0,63 н.
4—47. 1,67 кн.
4—48. а) Принимаем, что расстояние центра инерции человека от пола
мало. В таком случае высота центра инерции человека над уровнем пола
в середине равна (рис. 3)
х2
y=v
где р — полу параметр параболы, х— расстояние человека от оси. Если*
угловая скорость со =
= tng fg p,
что и означает, что сила, действующая на человека, нормальна к поверхно-
поверхности пола.
б) При удалении человека от оси вращевия на расстояние х энергия
системы возрастает на величину
mv2
&Э = — + mgy.
Но О = <»• х и у2 = — = 2gy. Поэтому ДЗ = 2mgy.
Р
в) Во время движения человека от оси вращения двигатель, вращающий
сооружение, работает с большей мощностью, чем при неперемещающемся
человеке. Если человек идет по полу со скоростью —, то действует сила
at
Кориолиса
f
Поэтому при движении человека двигатель Дает Дополнительную мощ-
мощность
dx
—.
at
За время dt Двигатель производит дополнительную работу
а за все время движения человека от оси будет произведена исполнительная
работа
22
Итак, изменение энергии системы происходит за счет дополнительной
работы двигателя при перемещении человека.
217
1200
1000
800
600
too
гоо
i
j
/
/
\
/
\
MI
\
\
12
Рис. 4.
4—49. Нет.
5—1. 0,59 дин.
5—2. Нет.
5—3. а) Нет; б) 1,23%.
5—4. 2,34 • 10-" н.
5—5. Шары притягиваются, если a) Di > Do и D2 > Do; б) Di < Do и
Da < Do. Шары отталкиваются, если Di > Do > D2 или Di < Do < D2.
5—6. a) F=- 'Y'mi/"i! . б) Уменьшится в 1,33 раза.
5—7. Около 12 кГ.
5—8. См. рисунок 4: а) — крестики, б) — кружочки.
,-,f
5—10. а) Напряженность поля тяготения в месте, где находится центр
тяжести корабля, меньше напряженности в месте, где находится центр тяже-
( R \2 2h
сти вытесненной воды в I ——— «1 — — (R — радиус Земли). Поэтому
\R -\- h J R
масса корабля больше массы вытесненной еоды т на величину ат= т— =
R
= 16 ке.
б) Можно рассматривать корабли и вытесненные нмн массы воды как то-
точечные массы. Результирующая сила равна разности силы притяжения'
кораблей и силы притяжения вытесненных ими масс воды. Массы кораблей
больше массы воды, но расстояния между центрами тяжести кораблей тоже
больше, чем расстояния между центрами тяжести вытесненной воды. Эти два
обстоятельства точно компенсируют друг Друга, и результирующая сила ока-
оказывается равной нулю.
5—11. 38 400 км от центра Луны.
5—12. Около 600 км; 7,7—; 2,5-10s кдж.
сек
218
5-13. -^ = I/ fit = 0,85.
5—14. а) Сила притяжения массы tnv находящейся на расстоянии х от
утт,
центра Луны, равна , где т — масса Луны. Работа силы тяжести на
ytn 'tit*
пути ах есть йл = —- dx, а на пути из бесконечно удаленной точки до
поверхности Луны есть
2,38.
Я сек
5—15. 1600 км.
5—16. Радиус орбиты уменьшится на 2%, скорость увеличится на 1%,
период уменьшится на 3%.
5—17. Принимая, что потенциальная энергия тел, удаленных на беско-
бесконечное расстояние, равна нулю, найдем
Ча '
где тс — масса Солнца.
5—18. Падение на Солнце можно рассматривать как предельный случаи
обращения вокруг Солнца по весьма вытянутому эллипсу, большая ось кото-
которого немного больше радиуса а орбиты Землн. Такой эллипс стало бы описы
вать вокруг общего центра тяжести тело, помещенное в пространстве на
расстоянии а от центра и получившее одновременно небольшую скорость v
по направлению, перпендикулярному к прямой, соединяющей это тело с цент-
центром. В пределе, при v = 0, большая ось эллипса равна а (эллилс вытягивается
в прямую). Обращение по такому эллипсу требует времени т = Т 1/ ' ' ' =
V а3
— Т- ^0,125, где Т — период обращения Земли вокруг Солнца. Продолжи-
Продолжите т. Л/ О 125
тельность же падения тела на Солнце есть — = 1—! = 64,6 суток,
6— 1. а) 3,5 к; б) 0,17 к; в) 4,4 н или 0,16 к.
6—2. 212 н.
(+P)
6—4. Задача неопределенна. В этом случае силы зависят от обстоятельств,
при которых шар был помещен в положение, показанное на рисунке 6—2.
6—5. 1240 кГ.
6—7. 65 кГ; 75 кГ.
6—8. 83,5 см.
6~9- fi = YT=W = °'38 н ~ F*' Fa = °'29 "¦
6—10. На опору А действует под углом к горизонту сила 1130 кГ. На
опору В действует в горизонтальном направлении сила 915 кГ.
6—11. а) 94 кГ; 96 кГ; б) 95 кГ; 95 кГ,
6—12. а) 886 Г и —274 Г, б) 656 Г.
6^13. а) tg ф = —; ф = 45°.
б) Если человек встанет на нижнюю ступеньку, то лестница не упадет,
она упадет, когда человек перейдет через ее середину.
419
6-14. a) cos a = — l/ P» ; a = 48°; 6) a = 0.
I f ?)q — О
6—IS. Д= ^2 ~X g \f — =¦¦ 1,2-102 дав.
в—16. 0,4
в—17. При волочении работа равна Ах = mg\iL, где т — масса ящика.
При кантовании ядаик приходится опрокидывать п= — раз (а—ребро ящика).
1 1
Работа при оцном опрокидывании равна mgai—p=. — —1 = 0,207 mga. Прн п
опрокидываниях работа равна Аг = 0,207 mgL, Работы Ai и А2 равны
приц = 0,207.
6—18. а) Условие отсутствия соскальзывания карандаша
tga< р..
Условие возвращения в положения равновесия есть
tg a < — a — —,
Ai d2
где b-— расстояние центра инерции второго карандаша от вертикали, про-
проходящей сквозь ось первого карандаша при горизонтальном расположении
d,
второго. Это условие может иметь место только при — > 1.
<4
б) Карандаш соскальзывает прн a > 26 , карандаш опрокидывается при
а > 24°. Следовательно; предельное значение угла а равно 24°.
7—1. 177 м.
7—2. а) 44— = 4,3-106—; б) 7,7 ~ — 7,5-106 —.
см2 м2 см* м2
7-4. тг = ^-~:=82,5 сек'К
/'
7—5. На 0,32 см.
7—6. На 2,7 см.
7-7. Нет.
7-8. На ^2-= 1,06 смК
7—9. Около 200 м.
7—10. 56,5 л.
7—11. Около 10%.
ndDn
7-12. Дй= = 3,3 10-5 см.
7—13. Нет. Удлинение будет равно 2(г2Д/.
7_„. а) Дув iibzM? = 8 Лш3; б) Д5 = 4/A-^ =
7—15. 1,4 дж.1
7-Г6. 5,5-10* —.
ж3
7-17. 2,5-10* ^.
7-18. На 4,2 см.
7-19. 71-^.
см2
220
7—22. Кинетическая энергия грузика равна разности изменения по-
потенциальной энергии грузика в поле тяготения mgh и работы растя-
растяжения нити А —.'' ' \~~ '. Вычисление силы I в этом поправочном*
члене производим' приближенно, заменяя радиус кривизны и скорость
движения грузика величинами, относящимися к нерастяжимой нити длиной /t.
— *i) «3,68—^—'
7—23. 2°,5.
7—24. Формула II = ?=—относится к случаю справедливости закона
Гука, когда, в частности, нет гистерезиса.
8—1. а) 2,5 сек-1.
8—2. 32 и.
w
2
8-3. a) A < 10-4> cm; 6) A = -^ j/ - — _L = 7,7-10~3 ел.
со r f
8—4. 0,8 сек.
8—5. 11,5 сек.
8—6. В первом в 1,11 раза скорее.
8-7. Г = 2я ТЛ cos °'5(P = 1,7 сек.
8-8. а) 1,419 сек; б) Г = 2ят/_г^_т = 1,397 се/с;
в) Г = 2я 11-—L-I = 1,444 се/с.
Г g cos a
lSEST
8-9. Г = 2л l/lSdEST = 2,1 сек.
\ g(n — l)
8—10. 1,74 сек.
8—11. а) 0,63 сек|_б) 1,5 сек.
8-12. а) 2л "}/— ; б) 0,21] /; 2л |/ ?
8—13. 2,2%.
8—14.
=120°
8-15. T = 2n i/_-^__ =0,77 се/с.
zbDg
g
где /< — радиус чашки, г — радиус шарика.
8-17. т = - Т/_ Зя = 21 лии.
4 г 7^1
8-18. а) Г = ¦
б) Период колебаний увеличится в 1/ —О1_1_ раз.
8—19. 1,55 се/с.
8—20. а) Колебания шара синусоидальны при малых А;
б) А > ~^~ = 0,12 см; в) Г = 2л ]/-^- = 0,07 сек.
221
8—21. При отклонении спицы в сторону равнодействующая сил трения
направлена противоположно смещению д; центра тяжести от середины рас-
расстояния между блоками и равна
2mgjix
Fs=_ _,
отсюда
T = я l/— =0,9 сек.
? \ig
8—22. 21 сек.
8—23. по= —
8—24. 0,014.
8—25. t = Г"г " ¦¦ = 14 се/с.
8—26. 2 ж.
со 2я
8—27. а) 1,5 %; б) tg(i>*= — = ——-; co«=8O°5'; в) <of = 160*10'.
СС 1П о
8—28. а) Нет. б) Да. в) В случаях б) около 19 н 1 (декремент 19 надо
признать лишенным реального смысла).
м
8—29. 21 .
сек
8—30. f = YKTa = 245 гц.
-31. / = Л/A
—32. а= ~у—
Sn/ 2Л © \ о '"•¦So
8—33. s == — ¦ + — ); при и < 1 можно принять, что s = ———, откуда
8-31. / = Л/AlJL = 255 гц.
8—32. а= ~у——=36
4.
S
8—34. Принимая во внимание пункт 8) введения, найдем коэффициент
затухания колебаний струны
l
а=
где п — отношение мощностей при [о и [. Отсюда
т = 43 сек.
8—35. 170 дж.
0-1. а) 242 -2Ц б) 242 ~ • в) 257 — и 227 — ; г) 171— и 342 — ,
сек сек сек сек сек сек
9—2. 46 см.
9—3. в) На лоловнне расстояния от поверхности стола до уровня воды
в сосуде.
9—4. а) Равнозамедленно; б) 227 сек; в) 65 сек; г) увеличится.
9—6. Пренебрегая 5§ по сравнению с Sf, получим
222
9—8. а) На уровне нижнего конца трубки В. б) Выше нижнего конца
трубки В.
кГ
9—9. На 0,52 —*
см*
9—11. Поднимается.
9—12. a) Re = 5,4 • 10~в; предположение правильно, б) 4,5 мм.
9—14. 12,5 кет.
9-15. а) 10^; б) 720 — .
; ' сек*
9-16. а) 16,5 —• б) 5,4 мм рт. ст.
сек
9—17. Около 0,01 см3.
10—1. Объем не изменится; длина увеличится, если более холодный бру-
брусок имеет меньшую площадь сечення, параллельного плоскости соприкосно-
соприкосновения.
10—2. Да.
10—3. а) 420° С; б) 140° С.
10—4. При условии 2а2 = ai (например, алюминий и железо).
10—6. На 16 сек.
10—7. со = ш0 , где a — коэффициент линейного расширения.
Кинетическая энергия уменьшится на величину « Jaajat.
10—8. Если первый сосуд расширяется кверху, то уровень жидкости во
втором сосуде понижается, и наоборот. При цилиндрическом сосуде уровень
остается неизменным.
10—9. Около 47° С.
10-10. ра=Р2-Р1 +
(Л. — о)
где pi — коэффициент объемного расширения ртути.
10—11. 754,6 мм.
10—12. 173° С.
11—1. 79.
11—2. 571 мм рт. ст.
11—3. а) 3,5 см. б) Больше 95 см.
11—4. 3,9 ¦ 10-зжл рт. ст.
пВ.д = 1,2
V{h2 — hi) см3
11-6. 72—.
СМ2
11—7. 150 см3.
11—8. 637.
11—9. 554 л.
11-10. 1,6 — .
см3
11-11. 1,82—.
11-12. 1320 г.
223
11—13. 1,48 г.
„и.и = =о,9.
[грот сек
И-15. 3 —.
сек
11—16. а) Подъемная сила
(пи
1——
где /щит,- массы водорода и вытесненного воздуха. Но "h — !i?, по-
скольку давление, температуру и объем воздуха и водорода можно считать
равными. Пока mi неизменно (газ не вытекает из оболочки), F постоянна.
б) 2 кг.
11—17. 29,3 м.
11—18. 2,4.
И —19. 2 am.
11—20. 30,2 ¦ .
Л1ОЛ6
11—21. 0,48 — .
л
11-22. 1,45 — .
кг
11—23. 1950 ж.
11—24. 20 н.
11—25. 758 мм рпг. ст.
дж дж
12-1. а) ср = ?08 '— ; с„ = 649 —
кг-град $г-град
дж дж
б) ср = 1040 ; Се, = 741 -.
кг-град кг град
12—2. и = 1,47.
12—3. 1400 кал.
12-4. <. = /!+-^- = 22° С.
12—5. 3,15 • Ю'дэю.
12—6. Около 5л3 и 5,5жч.
12—7. Сначала определим массу продуктов горения
При сгорании выделится количество теплоты
Q = 0,9 • 10 000 кал
в получится температура
U t\ = 16?0° С.
При этом создается давление
12—8. Q = 1,66 • 104 дж. AU = 1,18 ¦ Ю'Эж. Л = 4,8
12-9. А =. POS f ft, - ft0 In А»+Л1 \ = 2,37 дяс.
224
12—10. a) 2,5 л • am; —6,5 л • am; —9 л ¦ am;
б) 2,5 л • am; —0,5 л • am; —3 л • am.
l
1— n
A\ (" — 1) Inn
12—12. 450° С.
; a) 1,5 6) 0,8.
12-13. AT = — — ДА = — 5°.
cp
12—14. p = 32,4 am; t = 491° С; А = 4300 d»
12—15. a) 2,5 л • am; —3 л ¦ am; —5,5 л • am;
C) 2,5 л ¦ am; —2,11 л ¦ am; —4,61 л • am.
12—16. T = 2я 1/ —— =0,065 «к.
Г 2Sp0K
12 — 17. См. рисунок 5.
„ Pi^i + P2V2
P1V1 , P2V2
г 2
12—19. Работа компрессора за один цикл определяется суммой площадей
ABGF и BCOG за вычетом площади ADOF, определяющей работу по про-
продвижению поршня назад. Так как OBC0G = paV2 = piVi = dAoOF, to
+ aBCOG — nADOF = nABGF.
12—20. a) 37,8 кет; б) 3250
кг
12—21. Ведем расчет для 1 г газа; ц = —-. Работа А равна разности
Vt
работ при двух адиабатных процессах; количество теплоты Qj принимаем
равным кольчеству теплош, потребному для нагревания газа от 72 до T3t
Т) =
сэ (Г3 - Г2)
__. 1 ^
Изотерма
Изохора
. Изобара
'Адиабата
Изотерма
Изобара
Изохора
Рабата
Изохора
Изобара
'Адиабата
Изотерма
Адиабата
Рис. 5.
8 Д. И. Сахаров
225
По уравнению адиабаты
TaVl~l «=
Откуда
Поэтому
ra
12—22. 6) c = cv . Поскольку cv, n и и постоянны, постоянно и с.
я — 1
в) 1) Работа при повышении температуры газа на 1° по мере поднятия
поршня уменьшается, уравнение процесса в нижней части цилиндра
q — 2V
р _ const
(q~~ общий объем газа в цилиндре) не может быть приведено к виду
руп __ const_ Процесс ие политропический.
2) Уравнение процесса в газе
здесь р0 — атмосферное давление, Vo — объем газа при положении поршня,
показанном на рисунке 12—6 пунктиром. Провдсс не политропический.
3) Уравнение процесса в газе нмеет такой же вид, как и в случае 2), Vo,
означает объем газа в левой части трубки прн равенстве уровней жидкости
в левой н правой частях. Процесс не полнтропический.
4) Уравнение процесса в газе
»+)
pV 2 = const.
Процесс политропнческнй.
г) В первых трех случаях удельные теплоемкости газов при повышении
температуры уменьшаются. В случае 4) удельная теплоемкость газа постоян-
постоянна и равна — cv. Знак минус получился потому, что в данном процессе газ
при повышении температуры отдает теплоту вовне.
13—1. 8 • 10".
13—2. 4,2 ¦ 10».
13—3. 0,23 мм рт. ст.
*
р
13—4. Из формулы с= "I/ 3КТ имеем: с? = с? =
Г |i |
Подставляя AT — (см. деление задачи 12 — 4) и принимая во вннма-
R 3
вие, что cv = — , получаем: с\ — с? = — v\k — 1).
ц(х—1) 2
Отсюда а) с\ — с] = у2; 6) с\ — с\ = 0,6ч2.
Физический смысл этого таков. В одноатомном газе вся энергия поступа-
поступательного движения идет на увеличение энергии поступательного Движения
молекул. В двухатомном газе на увеличение энергии поступательного дви-
движения молекул идет 0,6 энергии, 0,4 энергии идет на увеличение энергии
вращательного движения молекул.
13-5. а) 562 — ; б) 25 — *
сек сек
226
13—6. —203° С.
2 Г я?>г> сек
19—8. а) Это видно из несимметричного вида кривой! ордината точки,
соответствующей скорости, большей наиболее вероятной, более ординаты
точки, соответствующей скорости, меньшей наиболее вероятной на такую же
величину. i
б) Единице.
в) Изменить абсциссы в 1/ il раз, а ординаты в Т/ -J раз.
г Тх V Т2
М. М
13—9. а) и = 518 ; р == 459 '
' сек сек
13—10. Нулю.
13—11. Полагая
то2
е- —.
имеем
_2е_
4 V2 е'Ь ~Щ'
&п = п ——— • е Де = жр (е) Де.
V я т /ар3
Максимум функции <р (е) соответствует
тра
4 ¦
откуда скорость, соответствующая максимуму функции распределения, равна
v = р_
13-12. — =¦ —^= -0,02 = 1,66 %; б) 1,85 %.
13—14. Уменьшится в 2,3 раза.
13—15. а) 1,75 • 10>« см'3.
13—16. 55° С.
13—17. Относительная скорость движения двух тел есть векторная- раз-
разность их абсолютных скоростей. Из того факта, что г = и.уГ2, приходится
вывести заключение, что среднее значение угла между «ими равно 90°. Это
естественно увязывается с тем фактом, что этот угол меняется в пределах
от 0 до 180°.
13—18. 4,6 ¦ Ю-2 мм рт. ст.
13—19. 6 • 10~э мм рт. ст.
13—20. 9,3-10"8 сек.
13—21. 7 . Ю2*.
13—22. а) 6 • 10-«сж; б) 12,5 • 10"» см; в) 9,4 • 10~' см.
13—23. а) Не изменится, б) Уменьшится в 1,41 раза, в) Увеличится
в 1,15 раза.
13—24. 6,5 • 16-е см.
13—25. 6 . 10-« см.
13—26. 2,7 . 10м см~2 . сект1.
.4-1
13—27. Уменьшится в у 2 = 2,3 раза.
22?
14—1. p -f- т^"—давление, которор имело бы
место, есги бы все молекулы газа находились
в объеме V— Ь и не притягнвались друг к Другу.
14—2. а) 24,6 am; б) 23,3 am; в) 25,4 am;
г) 24,1 am.
14—3. 25,6 am; 29,5 am.
14—4. 21° С; 0°С.
моль
'3 'I *Z
Рис. 6.
Г—7. а) 56,4
14—6. а) Более сжимаем при Т >
моль*
а
Rb
л-агп
моль
14—8. Выражая
U\ = U\, имеем
б) 1020° К (углекислый газ); 112° К (водород).
л-агп
б) 56,8
моль
и paV2 по формуле Ван-дер-Ваальса и полагая
-—
Так как имеется в виду произвести приближенный расчет, то величину
— — можно вычислить по формуле Клапейрона
1
1
Pi —Ра
Отсюда
AT
V1 F2 RT
R I RT
а)—1,3° К; б)+0,2° К; эти числа близки к экспериментальным резуль-
результатам.
14-9. 0,2 —— *
см3
14—10. х;53 am; 157° К.
14-11. а ==3,6 л2-ат
моль2
Ь = 0,043
моль
14—12. а) Масса эфира.имею-
щая критический объем Vo, равна
m =
ZRTk
У
У
У
У
У
-273
Рис. 7.
228
Ее объем при t — 20° С (мас-
(массой паров эфнра над жидким
эфнром можно пренебречь) равен
Рис. 8.
V
отсюда —- — 0,26.
'0
б) Если температура по всему
объему трубки одинакова, то
критическое состояние возможно
лишь в том случае, если крити-
критический объем взятой массы эфи-
эфира равен объему полости труб-
трубки. При меньшем количестве эфи-
эфира вся жидкость в нагреваемой
трубке испаряется до достиже-
достижения критической температуры.
При большем количестве — до
достижения критической темпера-
температуры вся трубка заполняется
жидкостью, после чего давление
в трубке быстро повышается. Это
видно на рисунке 6; при V = Vi
можно наблюдать критическое со-
состояние; при V = V2 вся жид-
жидкость испарится; при V = V3
весь объем будет заполнен жид-
жидкостью.
в) См. рисунок 7; 1-я кри-
кривая — объем трубки равен кри-
критическому объему, 2-я— меньше критического объема, 3-я — больше кри-
критического объема.
14—13. См. рисунок 8.
15—1. Около 1,007
Рис. 9.
см3
15—2. 2,6
сек
15—3. а) 5-Ю-3 дж; б) 2,3
ж2"
15—4. Пренебрегаем поверхностью первоначальной капли по срав-
сравнению с суммой поверхностей всех мелких капелек.
15—5. б) 6 см.
15-6. AR и
d-D
=6.10-
D.g-d»
80
= 0,14 м.
15—7. На рисунке 9 черные кружки изображают сечення проволочек
сита. При равновесии внутри жидкости вблизи точки А давление равно
Ро + Dgh (р0 — атмосферное давление). Разность давлений внутри и вне
жидкости (Dgh) равна — , где R — радиус кривизны вблизи точки А
R
Если при прикосновении пальцем получится поверхность с большим радиусом
кривизны (показанная пунктиром справа; R^ > R), равновесие нарушится
и жидкость будет вытекать, как показано на рисунке. Кроме того, поверх-
229
ностиое натяжение жидкости может умень-
уменьшиться вследствие загрязнения ее пальцем.
15—8. а) Форма! кривых поверхностей
? жидкости на рисунке 10 удовлетворяет соот-
>t^?z^^-zs^^K=^s^i ношению — = Dgh, где R — радиус кривиз-
¦ К
1 - ны; ft—высота рассматриваемой точки иад по-
¦^^¦¦^к. верхностью жидкости; на рисунке 8, г пока-
fesb"SH3 зано положение пластинки, соответствующее
<* моменту ее отрыва. Максимум натяжения
j пружины соответствует несколько меньшей
6;_^^|Щ1.. 1 • высоте Л.
-* " "вЯ б) На основании указанных в задаче
v 2о Л
предположений имеем — = Dg —, откуда
А 2
Рис. 10. h = 2 У -Щ- •
Так как поверхность воды ггрв положе-
положении г (рис. 10) направлена вдоль поверхности пластинки и результирую-
результирующая сил поверхностного натяжекня, действующих на пластинку, равна
нулю, то сила, действующая на пластинку, равна весу столба под ней
F = ShDg = 25 y/Wg = 10 500 дин = 0,105 «.
15—9. а) См. рисунки 11 и 12. Положение д на рисунке 11 и в на ри-
рисунке 12 соответствует наибольшей разности уровней в трубках; б) 41 мм;
в) 27 мм.
15—10. а) См. рисунки 13 и 14. Положение б на рисунке 13 и д~ на
рисунке 14 соответствует наибольшему давлению воздуха в капилляре.
б) р, = Dgh, + - = 5500 -^- = 550 —
а1 см% мг'
Радиусом пузырька по сравнению с глубиной погружения можно, очевидно,
пренебречь.
дин м
в) 43000 = 4300 - '
см2 м2
15—11. Р — nod = 3,5 дин.
15—12. Уровень воды в трубке будет совпадать с уровнем воды в сосуде
до тех пор, пока не дойдет до более узкого места. Затем уровень воды
в трубке будет подниматься вместе с трубкой и поднимется до 14 см, после
чего упадет до следующего узкого места, и т. д.
15—13. При давлении воздуха в узком колене, на 3,5 мм рт. ст. боль-
большем, чем в широком.
15-14. h = 4СТ = 5,7 см.
15—16. 13 см.
15—17. х = = 2,8 мм.
pad + 4<т
15—18. а) 17,8 см; б) 20 см.
У
а б в
Рис. 11.
230
15—19. Справедливо лишь при условии, что поверхностное натяжение на
границе между жидкостями равно разности поверхностных натяженнй жидко-
жидкостей на границе Жидкость — пар (для каждой жидкости отдельно).
16—1. Насыщение воздуха парами имеет место при равновесии (тепло-
(тепловом и механическом), которого нет в атмосфере.
16—2.2,8 см.
16—3. 0,0052 мм рт. ст.
16—4. 922 г.
16-5. 1,14 —'
м3
16—6. а) Давление пара можно определить по таблице XX, давление
воздуха пропорционально абсолютной температуре.
Общее давление pt = 1540 мм рт. ст. — 2,05-105 — *
б) Так как при 100° С пары ие будут насыщающими, то их давление
можно вычислить, пользуясь характеристическим уравнением для идеальных
газов
Общее дарлсние р2 = 1620 мм рт. ст. =2,16-105 — '
16—7. а) 30° С, б) 29° С.
16—8. а) 0,015 г; б) приблизительно при 116° С; в) €20 кал.
16—9. 19,8 г.
кал кал
16—10. а) 37 ; б) 46
г г '
16—11. 765 кал.
16—12. 768 мм рт. ст.
16—13. 0,013 мм. Равновесие неустойчиво. Пузыри меньшего размера
исчезают, а большего бурно увеличиваются и поднимаются.
16—14. 9,41 мм рт. ст.
16—15. а) 7,67° С; б) 8,33° С.
16-16. 0,35
сек-см2 '
17—1. П = 12 am.
17—2. /7 = 2,3 am.
17—3. 0,26 г.
17—4. 3,7 мг.
17—6. На основании решения предыдущей задали
Dx mRT
&р— —~—-— = 1,2 мм рт. ст.
Следовательно, давление паров воды равно 758,8 мм рт. ст.
17—7. Если стенки сосуда, в котором кнпит раствор, и другие тела,
с которыми соприкасается пар, выделяющийся нз раствора, имеют темпера-
температуру, равную температуре раствора или более высокую, то пар имеет темпе-
температуру раствора. Если же стенки сосуда или термометр, опущенный в пар,
имеют более низкую температуру, то пар конденсируется на них до тех пор,
пока они не прогреются до температуры, которая соответствует температуре
Насыщающего пара прн имеющемся атмосферном давлении. Таким образом,
при отсутствии термометра температура пара равна температуре кипящего
231
раствора. При наличии термометра пар конденсируется и температура его
равна при нормальном атмосферном давленин 100° С.
17—8. а) На основании сказанного в тексте задачи
0,11
~т-др.
где Ар выражено в мм рт ст.
Но До — —-—
где т = 1 г, V = 100 еж1; Отсюда
С = цб = 5,1 град • г • моль -1;
б) ц = 283
ЛЮЛ6
17—9. НаО,13эС.
/гг
17—10. 7,76- 10-J
ж1
17—11. 750 мм рт. cm
18-2.0,62^=2,6-^-.
град град
18-3. а) - 0,0476 -^- = -0,199 -^-
град град
б) -0,0664^- = -0,277-^-.
грао грао
кал
8--». —0,2
град
кал кал
18-5 а)—0,7 ; б) +0,7 .
град град
18-6. 3450^-.
град
18—7. Это видно из следующих соображений:
Т, + Т2
а) температура смеси равна- Т = ;
AS = mln-- + m'n — = m In ^ 2; > 0,
так как
(Г, н- Г2J > 4Г!Г2.
б) Внутреш ие энергии газа в сосудах до смешения:
и
— 1 И —~ 1
pV
после смешения: 2 , где у. — отношение теплоемкостей.
v.— 1
Отсюда, так как обмен теплотой с окружающими телами отсутствует:
Pi + Рг
Таким образом,
AS = m (cv In — +cv In—) =mcv In iBL+P^*
\ P P/
+cv In) mcv In
Pi Pa/ 4PiP2
18—8. +0,78 ^
232
,8-9. AS = f \Vl In A±Z, + y2 ln A±M _ o,43 JEL .
' I Vi V3 J град
18-10. +0,53 .
граб
18—11. Решение основано иа том положении, что изменение энтропии
системы зависит только от начального и конечного состояний системы.
Изменение удельной энтропии пара при постоянном объеме при повышении
X
температуры от 7\ до Та равно cv In -zr • С другой стороны, процесс нагре-
' я
вания пара в постоянном объеме можно заменить следующим рядом про-
процессов: 1) пар превращается в воду тон же температуры; 2) получившаяся
вода нагревается от 7\ до Т2; 3) вода превращается в пар; 4) получившийся
пар изотермически расширяется до начального объема; так как в условиях
задачи плотность пара невелика, то процесс расширения можно рассчиты-
рассчитывать по формулам для идеального газа.
где с0 — удельная теплоемкость воды (в указанном интервале температур ее
кал \
можно принять равной 1 |. Подставляя данные из таблицы XXI,
г-град j
найдем
г • град
18—12. Обозначим процентное содержание конденснрованного пара через
х, абсолютную температуру и скрыг>ю теплоту парообразовання пара при дав-
кГ кГ
лении 14—- через Т, и г.; прн 0,2 —- —через Г, и г.. В таком случае
смг см2
с с Ja. г' - in 1л. у J±.
Й2—Л1— т — т —с in —х .
1 2 ' 1 ' 2 ' 2
При адиабатном процессе S2 —Si = 0.
Отсюда
х = —? — — = 21%
18—13. —ОД
am
18—14. Около 542- ШЛ .
г
18—15. Полагая ввиду незначительности высоты А
g»r(i-3)
Др = DagA, имеем AT =
или, ввиду того что —г- < 1,
ДГ =-2 =0,0012° С.
2вЗ
18-16. 114^
см2
КйЛ
Опыт дает около 550 . Расхождение объясняется неправильностью
г
применения uo отношению к отйельным молекулам понятий, касающихся со-
собрания молекул.
18—18. 1,47 кдж.
Т
18—19. р = А ——*-zr = 3 ккал.
'i— '1
18—20. Во-первых, вода в отопительной системе, являясь холодным телом
Т
в двигателе, получает Н —~ теплоты. Во-вторых, та же Еода является горя-
'1
т •—— т т
чим телом в холодильной машине и потому получает Н ——— • ——-—
Тх Тъ — Г,
теплоты. Итого оиа получает прн сжиганнн 1 кг топлива
18—21. Рассмотрим изменение объема 1 моля газа:
ftTln-^-
18-22. V= ^— = 1,«.10-и см3,
gfc(?>A)
g(A>)
гдеХ> и ?)« — плотности гуммигута н воды.
19—1. 1360 ккал = 5,69 • 10е дж.
19—2. 0,36° С.
19—3. 28,6° С.
19-4. 0,285 — .
см- сек- град
19—5. Примем, что ребро кубика равно 1 см. Обозначим число пар пла-
пластинок н их толщины /t, bt и b2. Тогда
«Л + h) = 1; Л-j. = ~тъ ь
так как
12-L I2
2
19—6. Градиент температуры у верхней стенки меньше.
19_7. Q . 2я^Д-Ц/ = 200 ш wa<j_
19—8. Первая труба отдает в 1,2 раза больше теплоты.
19—9. 1030 ккал,
19—10. а) 12 000 ккал.
б) Температура слоя сажи 400—200° С; железа 200—195° С; накипи
195—183° С.
234
20—1. 2,3 • 10"s к.
20—2. 0,076 мм.
20—3. Шарики соприкоснутся, а затем установятся на расстоянии 3,1 см.
20—4. 2,2 СГСЭ.
20-5. ^
см3
20—6. а) Под электроном на расстоянни 1,2 • 10~4 см; б) 2,3 см.
20—7. Расстояние от заряда qt равно
Знак — соответствует разноименным зарядам, знак + одноименным.
20—8. а) 0; б) 0, — нли —— в зависимости от расположения зарядов.
еа? ея3
20—9. 4,3-1011 —; 4,2 ¦ 10й —.
20—10. а) 3,9 • 10"» см; б) 137 СГСЭ и 68 СГСЭ;
в) 6,6 • Ю-8 дин и 3,3 • 10"8 дин, 10-»« дин • см и нуль.
20-11. а) 2-10 дин; б) 1,3-10~12 эрг; в)
20—12. Диполь А: — —— ; диполь В: — ——; на всю систему: + —— .
г3 г3 г3
Сумма всех вращающих моментов равна нулю.
20—13. 5,9 • 104 к.
20—14. Ю-10 «.
20—I5i а) Индукция останется без изменения, а напряженность умень-
уменьшится в 2 раза.
б) Индукция увеличится в два раза, а напряженность останется без
изменения.
20—16. а) 1,33• 10~7 к; б) 3,3- 10~в — (рацнонализиров.)
м
20—17. Не изменится.
20—18. 3,4 • 10-3 дж.
q
20—19. ?=——- = 0,2 СГСЭ ед. напряженности."
ah
20—20 а) 0; б) Е =¦ — , ^ а= = 0,36 СГСЭ ед. напряженности.
в) Максимальная напряженность имеет место в точке, отстоящей от
кольца па расстоянии:
п
Ао= __ ; ?fflax = 0,77 СГСЭ ед. напряженности.
20—21. а) Исходим из решения предыдущей
задачи. Разделяем пластинку на ряд бесконеч-
бесконечно тонких колец (рис. 15). Заряд на кольце с
радиусом х равен:
y=a-2nx-dx.
Тогда
2по • bxdx
at =
Е1 _„
2па
1 —
е(*2
1
= 12,57 СГСЭ ед.
напряженности
Рис. 15.
235
б) При Ь -* 0 второй член в скобках равен
нулю и
2па
Если о С Ь, то
- «1 — -
При этом
е&2'
20—22. Решение легко получается как следствие решения задачи 20—21
? = ¦
20—23. Разбиваем полусферу на ряд бесконечно узких колец (рис 16).
Площадь каждого кольца 2nRd h Заряд на кольце а ¦ 2nRd ¦ h Из сооб-
соображений симметрии ясно, что поле направлено по линии ОА Поэтому напря-
напряженность поля, создаваемая зарядом иа кольце, равна
а 2л R dh R — h
d
Отсюда
eR*
?-¦
R
20-24. а) 2- 105— , б) —7,2 104 —.
м м
20—25. а) 0, б) 0,75 СГСЭ, в) 2,51 СГСЭ
20—26. Е = 2,6 СГСЭ ед напряженности
21—2. а) Нет, так как направление поля во всех точках вполне опре-
определенно
б) Нет, так как соприкосновение между собой двух силовых линий озна-
означало бы бесконечную величину напряженности в данной точке
в) Нет
21—5. а) 2,8 эв, б) 3,5 • 10 эе, в) 0,434 эв, г) 18 зв
21—6. 40 электронов
21—7. 1,6 • Ю-17 к
U4S
21—8, F = = 25 дин = 2,5 10"* к
and2
21—9. а) При постоянстве напряжения между пластинами
б) При постоянстве зарядов
21—11. а) 4 яре, б) 0, в) 0 и 6,7 эрг.
21—12. а) 2,5 • 10-е дж, б) нуль
о oh
21-13. a) U= —г б) Е = ¦.... ;
б VR2+ h2 е \ (R2 + /1-И
в) Ui = 10 СГСЭ ед. потенциала, U2 = 4,47 СГСЭ ед потенциала.
21-14. U = 2ла (Каа + б2 — Ь) е-*
21—15. а) — ; б) — ,
' bR ' sR
21—17. — 3000 в, —3600 в.
в)
6(R+a)
236
eU
21—IS. а) у = n— =0,623 ел. заряда СГСЭ,
б) ai = 0,033 СГСЭ, а2 = 0,0099 СГСЭ,
в) Е = ^р- , 125—; 57,5 —; 37,4 —.
*<2 СМ СМ СМ
21-19. 10» — , 5.10» —.
сек2 сек
21—20. Пробьется лишь после введения стеклянной пластинки, так как
кв
в этом случае напряженность в воздухе будет 31,4 —, а после пробития
см
кв
роздуха напряженность в стекле будет 130 —,
см
21—21. Напряженность в слое диэлектрика в цилиндрическом конденса
торе наиболее велика у внутренней его поверхности. При достижении напря
жения, соответствующего пробою в данном диэлектрике, мы имеем условия
Г1 61 Г2 82
где пиг, — внутренние радиусы диэлектрических цилиндров Отсюда
Е\Г\Ь\ — ?3г3еа.
21—22. а) Из соотношения между наибольшими напряженностями
изолирующих слоях
следует, что при повышении напряжения на конденсаторе будет пробит
сперва бумажный, а затем стеклянный слой. Исходя из этого, можно под
считать, что пробой произойдет при напряжении 45 кв, б) в этом случае
тоже сперва будет пробит бумажный слой прн напряжении 48 кв.
2U в
21—23. а) Е = ; =40 — .
Мп -^
т
б) Складывая векторно, имеем
_3
In ~^у~ см
21-24. t;=
21-26. U = 2
21-27. v = l/^L (L + 1\ = 1,58 • 10» —
Г d/ns V. 2 У сек
21-28. U%= -^i- = 400 e.
21—29. Под действием поля в конденсаторе электрон сместился иа
eUb* eU eWW
, работа сил электрического поля равна —s= 5—5~ . Она
d 2dzmvi
237
mv
равна разности энергий электрона —— — —-^-; эту разность можно принять
ввиду незначительности прироста v—v0 равной (v—щ)о0т. Отсюда
см
- ,о о
2d2m2
...
= 5'6 • 10
сек
U
22—1. а) Одна и та же разность потенциалов, равная —. Нет. Одна и
о
U
та же напряженность, равная — .
U
б) Между А и С и между В и D разность потенциалов —.
3
Между СнО разность потенциалов равна нулю. На пластинках С и D
отрицательный и положительный заряды такой же величины, как и на пла-
стинках А и В. Напряженность поля между А и С и между В и D равна —,
d
между СиО равна нулю.
в) Разность потенциалов и напряженность между Л и С и между В и D
U U
равны ~г~ и —, между СиО эти величины равны соответстгеш.о
2U 2U
~ 9 " "~ 3d *
г) а) Ответы прежние, б) Между Л и С и между D и В разность потен-
U *
диалов равна — , между СиО равна нулю. Напряженность поля между
3U
Л и С и уежду D и В равна —; между С и D равна нулю, в) Разность
потенциалов и напряженность лоля уежду С я D равны ——• я —— .
о d
22—2. а) Наведенные заряды остаются без изменения. б)Увеличиваются
в 2 раза.
22—3. а) Силы, действующие на заряды, никак яе изменяются; не ме-
меняется и напряженность поля во всех точках пространства.
б) Напряженность поля между оболочками равна нулю. Напряженность
поля в остальном пространстве и силы остаются прежними.
22—4. Расположение силовых линий в случае шарика и стены, отведен-
отведенной к земле, таково же, как и в случае двух разноименных шариков, нахо-
находящихся на удвоенном расстоянии (рис. 17).
f = 2
22—5. Это следует из результата предыдущей
задачи
22-6. a) F =
4яе' (o!i — d.J2
2h
= 4-10"»
22-7. ? =
22-8. а) а = — ¦
* см
= — 0,088 СГСЭ.
Рис 17.
б) На основании таких же соображений
a = — —^— = — 0,019 СГСЭ.
2л
236
(to-'0*)
1.5
0.5
Ofi
¦Ucao
Рис. 18.
Рис. 19.
в) Рассмотрим (рис. 18) бесконечно узкое кольцо с радиусом Ь. Его пло-
площадь dS = 2nb • db. Заряд на нем равен
q • ab • db
dq'= О dS = - .
Полный заряд на всей стеике
26 • <й>
2 J /(а2 + 62K
о
¦ = — q = — 5 СГСЭ ед. заряда.
22—9. Пылннки, заряженные положительно, и пылинки незаряженные
будут при всех условиях двигаться к проволоке. Пылинки, заряженные отри-
отрицательно, будут двигаться к трубе, если они находятся вдали от проволоки,
и к проволоке, если они находятся ближе определенного расстояния.
22—10. Работа производится за счет энергии рукн при переносе заря-
заряда от более низкого потенциала к более высокому. Поэтому при первых
переносах, пока потенциалы близки, работа мала.
22—11. См рисунок 19.
23-1. ft = 0,48 ед. СГСЭ или ft' = 5,3-Ю1 — .
м-в
23—2. 1,06 • 10"8 —- .
см2
23—3. а) 78°46'; б) 131 — ; в) 0,034 ед. СГСЭ.
СМ
23—4. а) Условие равенства индукции в воздухе и в керосине дает
здесь ео и в — электрические проницаемости воздуха и керосина. Отсюда
а, = —— . ^-^ = 0,29 ед. СГСЭ.
2 пЬ? в + е0
" — ^^-°= 0,064 ед. СГСЭ.
в) см. ответ к задаче 22—8:
Qi-q I !» = 17 ед СГСЭ.
239
23—6. Результирующая сила, действующая на верхнюю пластинку, равна
сумме притяжения находящегося на ней заряда к заряду на нижней пластин-
пластинке, которая имела бы место, если бы также н нижняя пластинка находилась
в воздухе, и притяжения к фиктивному заряду на поверхности жидкости,
плотность которого равна, как это видно из решения задачи 23—4,
„ _ Л- еа~ ei
0|~ S Ч-
Итак,
, 2nq 2паЛ 4я<?з еа
F, = q\ —— + = ——— • — = 1! 300 дин.
Аналогично вычисляется сила, действующая на нижнюю пластинку:
4яо2 е,
/\» = —~ = 1300 дин.
S ( + )
Сила, действующая на поверхность жидкости, равна
— — — | = 10 000 дин.
F3=
S
24—2. 15 в.
24—4. 3,5 . Ю-» ф.
24—5. Емкость системы двух соприкасающихся шаров, очевидно, меньше
суммы емкостей двух изолированных шаров. При удалении шаров емкость
большего увеличивается на меньшую величину. Поэтому потенциал большего
уменьшается на меньшую величину.
24—6. 670 см.
24—7. 350 см.
24—8. Увеличилась на 12,5%.
24—9. Увеличивается почти вдвое.
24 — 10. 2,6 • 10"8 а.
24 — 11. 9 • It)"9 к.
Eod B1 —d) eodDl — d)
24 — 13. а) 7500 е; 4500 в; б) 2,25 ллк.
24 — 14. 40 сиг.
24 — 15. 3500 в.
24 —IS. Да.
24_17. а) с = (CH^jfCi+Cj). с, = „са_ + са _
Ci + С2 + С3 + С4 Q + С3 С2 + С4
б) Положим, С3 = ^Ct; C4 = АС2;
с =
AC?
24-18. С = ^^ = 516 пф.
4л F^426^)
24-19. С,= — ^^ = 1070 см; С2 == 1100 еж.
2 (e1ln-^-+e,ln?-)
24—20. а).0,05 мкф. б) Увеличится в 1,75 раза.
24—21. 0,14 кал.
24—22. а) При одинаковых конденсаторах перетекания зарядов не про-
происходит и энергия системы остается без изменения.
240
Это можно показать еще так: прн переводе из последовательного соеди-
соединения в параллельное напряжение уменьшается в п раз, а емкость увеличи-
увеличивается в пг раз. Следовательно, энергия остается без изменения.
В случае различной емкости конденсаторов при переключении происхо-
происходит перетекание зарядов, т. е. частичный разряд. Энергия системы, а также
работа разряда батареи уменьшается.
б) Энергия системы остается без изменения. Однако если соединить
крайние обкладки конденсаторов батареи, то произойдет лишь частичный
разряд батареи, так как средние конденсаторы останутся частично заря-
заряженными.
24—23. Если при замыкании ключа К происходит перетекание заря-
зарядов, то энергия системы уменьшается; отсюда следует, что емкость ее увели-
увеличилась. Если перетекания нет, то емкость остается без изменения.
24-24. А = т^ — = 279 эрг.
8nde
9
24—26. 119 эрг.
24—26. а) Изменение энергии положительно и совершается за счет меха-
механической работы при раздвигании или при вытаскивании изолятора
б) Изменение энергии отрицательно. Производится положительная меха-
механическая работа и удвоенная отрицательная работа в источнике тока,
24-31. А = ——^ — = 600 эрг.
2е (е + е0)
1 С С
24—32. А = L-?— (Ui — f72J = 8,4-10~3 дж.
Li ^U \Li^ — C2)
24—33. a) M = ; ; 48 дин-см; 180 дин-см; 59000 дин.см.
(С, — СЛ V-
б) М = —^—i = 48 дин-см при любом угле а.
24—34. Емкость батареи до и после пробития:
С С
— и — .
п п — 1
Энергия
cm cm
Чп И 2(n—1) *
Изменение энергии
а) ДЭ=
2 \ л—1
CU2
CU
б) А, = ; тт = 4- Ю-2 дж.
CU2
в) Аг =-— — = 8.10-2 дж.
п(п—\)
24-36. 9,4-
см3
эрг
24 — 36. а) Нуль; б) 0,28 -—•.
см3
241
24—37. а) Напряженность поля внутри шара на расстоянии г от центра
равна
энергия
б) Напряженность поля вне шара на расстоянии t
отсюда Э% = ———.
3 <ja
в) э== т "яё/ s
г) ДЭ = 0,222-|^-.
25—1. а) 15 к; б) 0°,26 к.
25 — 2 . 44 000 -— .
25 — 3. 3,8-10-*-^; и 0,19—.
см? см2
25—4. 2,5 м.
25—5. 57 ом.
25-6. Л = —2— =160 ojw.
2nd
25—7. Нет.
25—8. а) В вольфрамовом волоске ток при включении значительно боль-
больше, чем после. В угольном — наоборот.
б) Плотность тока в вольфрамовом волоске в середине меньше, чем по
краям, в угольном — наоборот.
25—9. 44° С.
25—10. 0,0049 град.
25—11. Угольный стержень должен быть в 44 раза короче.
25—12. Для того чтобы температура не влияла на показаиня вольтметра,
необходимо, чтобы ток, от которого зависит вращающий момент рабочей ка-
»ушки, изменялся пропорционально изменению упругости пружинки. Темпе-
Температурный коэффициент манганинового сопротивления и сопротивления кату-
катушек равен
Компенсация получится при условии —-—-=1 + fit, что ввиду малости
1+at
может быть заменено соотношением а = —р, отсюда
25—13. а) 45 в и 15 в; б) 20 в и 40 в; в) 60 в и 0.
24 — 14. U —jondpw = 6,4 в.
25-16. 77 ма.
25—17. 4,1 в я 0,05 ом.
25—18. а) —2 в; знак минус указывает, что источник тока включен
встречно; б) 3,2 в.
25—19. 0,47 а.
25—20. a) ?i > 2Ег; б) Ei = 2?2; в) ?i < 2Ег.
25—21. Стрелка первого вольтметра отклонится вправо и покажет 1,75 в:
стрелка второго вольтметра отклонится влево и покажет 1,5 в.
25—22. а) Нуль; б) нуль; в) разность потенциалов между проводами через
яечетное число элементов равна Ei, через четное — нулю.
25—23. q = /ре' = 1,8 • 10"м к.
25—24. На границах слоя электролита образуются действительные заря-
заряды, изменяющие поле.
25—26. Силовые линии следуют всем изгибам трубкн или провода. Это
вызывается наличием действительных зарядов на стенках трубкн (или на изо-
изоляции провода).
25-27. а) 0,013 — -, б) 0,0057—; в) 4,1а.
смг см?
25—28. а) Это явствует из следующего рассуждения. На основании закона
Ома (который можно применять ввиду малости получающихся при этом
плотностей тока) в слоях диэлектрика получаются напряженности Ei и Et,
?i Pi
отношение которых -г- = — отлично от отношения напряженностей в слои-
С2 Р2
Ег е2 Pi , es
стом конденсаторе —; => , если — Ф — .
Е2 ех р2 et
Вследствие этого равновесное состояние установится только тогда, когда
на границах диэлектриков будут находиться такие заряды, при которых
имеет место соотношение
E'i_ Pi
Е'2 р2
Очевидно, что при наличии проводимости и при условии—— Ф — емкость
Рг е,
конденсатора больше, чем при отсутствии проводимости.
б) Величину этих зарядов можно подсчитать так. Если V — полное на-
напряжение на конденсаторе, то по закону Ома
С другой стороны, при равновесии
4ЯО-! 4лаг
е1 е2
где oi и as — плотности действительных зарядов на границе диэлектриков,
а = а а2 = ± (гЕ _е2?2; = А . Р^'~р^ = 22 ед. СГСЭ.
4л 4я pjd, -f p2d2
в) При разряде внешние заряды на обкладках конденсаторов переме-
перемещаются так, что на обкладках остаются одноименные заряды, в сумме раи-
иые oS (но не равные, вообще говоря, между собой). Получаются как бы два
последовательно соединенных конденсатора, заряженных в противоположных
направлениях, так что их противоположные обкладки (т. е. обкладки слои-
слоистого конденсатора) находятся при одном потенциале. Так как один из кон-
конденсаторов разряжается скорее другого, то появляется разность потенциалов
между обкладками слоистого конденсатора и возможен разряд.
243
E
25 - 29. i= CR\n — =0,046 сек.
с, ^™ и
25 — 30. p = — = 1,47-1016 om-cm.
Я
26—1. 1,3 ом.
26—2. a) 0,75 ом; б) 1 ом.
26-3. a) tfi = л/з1 б) Я2= —Г—,
26—4. 261 ом.
26-5. а) +0,1%, б) +11%.
25—6. а) —0,3%; б) —30%.
26—7. R = -1 %~~ х =25,6 ом.
26—8. 0,025 а.%
26—9. а) 1 а; б) 3,73.
26—10. х = 6,40 км.
Я2=
26—14. а) 108 в и 72 в,'б) 99 в н 81 в, в) 4000 ом и 6000
/
а) [/, = 0; б) U1 = U; в) Ul^'
г) Ci пропорционально дс.
26—16. 1,58 а и 3,65 а.
1 2
26-17. — а; —а; 1а.
26—18. a) Ui = 0,27 в, f/2 = 1,27 в, t/g = — 2,23 в, б) 0,73 в.
26—19. 0,5 ом, 0,33 ол; 0,5 ож
26—20. /i = 1,5 а; /2 = 2,5 а, 13 = 4 а.
26—21. Без вычислений видно, что /4 = 0, так как /?4 закорочено. П
ИЯ1 это во внимание, находим /i = 0,4 ма, /2 = 0,7 ма, /3 = 1,1 ма.
26-22. Д/ = -^- = 3,2° С.
26—23. п1==2; п2 = 200.
26-24 а) /
244
т. е. токи таковы же, как и при коротком замыкании отдельных элементов,
г) Второй элемент не дает тока 1) если л2 ~* оо. В этом случае первый
элемент дает ток
2) если Ег = ~
i + "¦
Это значит, что Е2 равно напряжению во внешней цепи.
д) R= E^-E^
РЕ ЕЕ
Возможно в следующих случаях' 1) при = -— ; 2) при — г — и Ег з? Et.
ri 'a rl Ti
26—25. В случае б) показание амперметра уменьшается, в случае в) уве-
увеличивается.
27—2. 23.
27—3. 54 т.
l
27-5. а)/== nETVn^-JPfU. /l==2la; /i = 2e;
2rw 3
6) Pfflax = ^-=8J em
27-7. A = -^ т/? ( /^ + /^ + /,/a) = 2480 5ж.
27—8. а) +2 дж; +2 азк;
б) +2 дж; +0,7 дат, в) —2 дж, 4- 0,6 Зав.
27-9. а) i, = * ?(/1+/;)~^2 = 64о/„; б) 67%.
27-10. а) Л = —— = 54 кал = 2,4 • 102 дж.
г
б) Л2 =. ^^- = 72 кал = 3,0 • 103 дж.
In 2 • д2 • R
в) Л3 = -* = 19 кал к 79 аяю.
27—11. 7 жык
2*7 \2 133
27—13. а) 30 .«цк, б) 6 мкн 40 се/с.
27—14. На основании указанного в задаче предположения можно напи-
написать
и\ и\ и\
-— хх — kxx =. —- т2 — йт2 = —— %3 — йт3,
откуда
* - "I
х, = х,х„ = 44 мин.
27—15. а) /?t/?2 = г», б) /?х/?2
/2 Р
27—16. (?= —- рт In — = 4 •
245
27 .7 я» т О/с<РоA+0,5а<)
27—17. а) т = — = 5 • 10 сек,
где p0 (l+0,5a<)«« среднее удельное сопротивление свинца при изменении его
температуры от 0° С до точки плавления t, D л с — плотность и теплоем-
теплоемкость свинца.
хЧЮс In A-f a<) _ =
б) т = --, т—- = 5,6 • 10-*- сек.
16/ара
р
27^-18. Предельный ток для данного предохраиителя определяется усло-
условием, чтобы температура при установившемся режиме равнялась температуре
плавления. Количество теплоты, теряемое проволочкой за 1 сек, равно
где функция f{i) учитывает зависимость потери теплоты от температуры.
При установившемся состоянии для первой проволочки
для второй проволочки
1 4- at) / • 4
Отсюда
«4
27—19. Вследствие одинаковости температуры накала волосков боковые
поверхности волосков должны быть пропорциональны мощности ламп. От-
Отсюда, получаем
fp\u\
2Jjr-=0,0m мм; и=°у JJJ
27—20. 4 в; 0,55 а.
27—21. Прн установившемся состоянии количество теплоты, выделяемое
током за 1 сек, равно количеству теплоты, рассеиваемой в воздух:
/•Я = kS (<! - <„),
где k — коэффициент теплоотдачи.
Далее
д/ = ш (^ - t0),
где а — коэффициент расширения.
Отсюда
kSM Д(
1 R k^
где ftj — коэффициент пропорциональности, равный
_ 4<хр
обратно пропорционален кубу диаметра проволочки.
27—22. По участку ЕС течет ток Iv прямо пропорциональный напряже-
напряжению U; /х = kxU. По участку АС течет ток /2 = k%l (пропорциональный нагру-
вочному току) минус ток —, т. е. /2— —. По участку СВ течет ток /2 + —
( ЛЛ2
Удлинение участка АС равно с 1/2— ~) , где с — коэффициент пропорцио-
246
нальности, зависящий от размеров и материала проволочки (см. предыдущую
задачу). Удлинение участка СВ равно с /а -\- —Ч . Разность удлинений, обу-
словливающая поворот стрелки, равна
2chl3 = 2ckik3W = kP.
Nev
28—1. / = , где N — общее число свободных электронов в проводе,
ч — скорость их упорядоченного движения. Отсюда
Urn
р = =2,3 г • см • сект1.
28—2. а) 240 лет; б) 10 Г.
28—3. 2,8 • 101 в.
28-4. 1,1 • 10-l0fe.
28—5. Наибольшая (теоретически) работа термопары равна:
Количество электричества равно:
28—7. При приближении положительного заряда по направлению к нему
двигаются электроны, испускаемые накаленным волоском. Осаждаясь иа стен-
стенки колбы, они создают внутри стенки колбы поле, уничтожающее внешнее по-
поле, и волосок остается в покое. По удалении положительного заряда волосок
притягивается к отрицательному заряду на стенке колбы.
При слабом накале волосок испускает слишком мало электронов.
При сильном накале электроны, летящие от одного из электродов к дру-
другому, ионизируют остатки газа. Благодаря наличию ионов внутренний объем
колбы обращается в проводник, почему электрическое поле внутри него
отсутствует.
28—8. 3,1 эв.
28—9. 0,15 а.
28-10. 0,12 в.
29-1. v > 2~\/? 'е = 1,28 • 10« —.
У ш сек
29—2. a) U > 13,56 в;
б) U > ф (п + 1) = 67,8 в.
29—3. Сначала полоска притягивается, лотому что на ней вследствие
электризации через влияние образуется заряд, по знаку противоположный
заряду на острие. Затем, когда напряженность поля вблизи острия достигает
такого значения, что энергия ионов, соответствующая работе электрических
сил на длине свободного пробега, оказывается достаточной для ионизации
молекул воздуха, возникает ионный «ветер», полоска заряжается тем же
знаком, как и острие, а потому отталкивается.
29—4. Если <а — угловая скорость вращения ионов, mi и т2 — массы
их, х — расстояние от первого иона до центра инерции системы, то энергии
ионов равны
— т^х^ и — /ПаШ2 (Ь — х)\
По условию
| »tlfflV+1 /п,ш2 (Ь - х? = J- кТ.
247
Л 181 С
Центростремительные силы равны:
т^аРх = /п2ш2 (Ь — х) = —
где е — заряд иона. Отсюда
« 2 • 10"» см,
3kTe0
d™. on где ео — электрическая проницаемость вакуума.
Нис- м 29-5. 3,4 • 108 сиг*.
мка
29—6. 4,78 .
' км2
29—7. 2,5 • 10' см-3- сект1.
29—8. 17 000 раз.
29—9. а) Над океаном п — 790 см~3 ; над сушей л = 800 сл~я
б) Над океаном 14 м а 19,7 м; над сушей 178 см и 248 ел.
29-10. а)
— ( —
62сек; б) < = — In — = 460 сек.
и
1
d
Un
dq
Un
~dq
29—11. а) Ширина зоны А, откуда все образующиеся отрицатель-
отрицательные ионы попадают на анод, равна (рис. 20)
ширина зоны С равна:
В средней зоне В рекомбинация имеет место.
При получении насыщения зона В исчезает и общая ширина зон А и С
делается равной d.
Отсюда
U qd
Подстайляя это в формулу
имеем
что и требовалось доказать.
i = en(k+ + k.
I = eqd,
U_
d'
U°-
= 11 в.
Этот результат неточен, потому что мы не приняли во внимание влия-
ння пространственных зарядов и того обстоятельства, чтот =— есть лишь
q
средняя продолжительность существования ионов. На деле насыщение по-
получается при более высоких напряжениях, чем следует по иайдеииой фор-
формуле.
29—14. Результирующая сила равна нулю, так как электроны, увеличи-
увеличивай свою скорость, притягивают к себе анод.
30—2. 15,5A-
30—3. 0,203 г.
30—4. m — -i— = 0,045 г, гдер. — молекулярный вес воды.
No
30—5. Число молекул соли в 1 см3 раст-оря п = —,
гдеA — молекулярный вес; N — число Авогадро.
а = 0,77.
30—6. 0,313 (ом ¦ см)-1.
30—7. 2,8 • ID"8 см.
30—8. а) 4,6 • Ю4 и; б) 6
ю-» —.
сек
кал
30—9. 7000
моль
31—1. 1,42 • Ю-4 н ¦ м.
31—2. а) 6000 СГСМ; б) 4200 СГСМ; в) 2000 СГОМ; г) нуль.
31—3. р =|xoai1Sl/.
31—4. 70— (рапионализиров ).
31—5. Уменьшится в 2 раза.
vm\x г
31—6. а) Нет; б) L=~~= 1,4- 10-'
ел2
где т и е — масса и за-
2е сек
ряд электрона, |х — магнитная проницаемость среды.
31—8. Если провод, по которому идет ток /g, расположен посередине,
то решение невозможно. Если этот провод расположен с краю, то искомая
прямая расположена иа расстоянии 1 см от среднего провода.
31—9. На расстоянии А см к востоку.
31 —10. а) На 2,1 см ниже провода, на 5,6 см южнее,
б) 0,9 9 и 0,63 з.
а
31—11. 0,7 э=56— (рационализиров.).
31 — 12. 1 з = 80 — (рационализиров.).
31—13. Я =
= 4,8 9.
8/ Va? 4- б2
31-14. Я = ——j^ =0,34э.
31—15. Я =
2/
— =0,019 э.
31-16. а) 64 — (рационализиров.); б) Я => --. == = 26-(рацио-
иализиров.).
31—17. Нулю.
а а
31—18. а) 7000— (рационалнзиров.); б) 3500— (рационализиров.).
31—19. Для решения удобно вос-
воспользоваться ответом к задаче 31 —
16, б). Обратив внимание, что на уча-
участке длиной dx (рис. 21) величина тока
равна Iwidx, и приняв для упроще-
упрощения вычислений
Ух* + R-
получаем для случая а)
sin а и х = R ctg а,
Рис. 21.
349
wJ 2 • 10* л-» • 1 ¦ 10-» a a
H = , = -r== = 485 — (рацнонализиров.)
У 1 —J— tX у 1 / M
и для случая б)
им а
/f = , = 450 — (рацяонализиров.).
31—20. Решение легко получается из ответа к задаче 31—16 б), если
принять во внимание, что а > R:
р
Н = — (рационализиров.).
2к|1а3
р = 60 СГСМ = 6 • 10-» МКСА (нерационализиров.) == 7,5 • 10"в СИ
(рациоиализиров.).
а
Н = 7,7 • 10"*— (рациоиализиров.).
и' /?
31—21. Ф = — blw • In — = 3,5 • 10"в вб (формула рационализнров.).
2я Ri
31—22. Отличие от нуля циркуляции напряженности магнитного поля
Земли есть доказательство существования вертикальных электрических токов
в атмосфере. Для тех областей, для которых циркуляция при обводе по часо-
ван стрелке положительна, сумма токов, текущих сверху вниз, больше суммы
токов, текущих снизу вверк.
31—23. а) 8 а (рационализированных единиц циркуляции системы
СИ) = 10 э ¦ см;
б) 16 а; с) нуль.
31—24. Для доказательства надо воспользоваться теоремой о циркуляции
напряженности.
31—25. а) Поле вокруг тонкой проволоки и поле вне трубы таково же,
как и поле при наличии тока в длинной тонкой проволоке; поле внутри
трубы отсутствует, б) Вне шара имеется поле, обусловленное наличием тока
в проводе, подводящем ток к шару; ток, идущий от шара, магнитного поля
не имеет. D
f
f
31-26. Ф = — = 3,13 ¦ 10-* вб.
2%
lr a
31—27. а) Н— — = 1 • 103 — (рационализиров.);
а'II
б) Ф = -? =1,5- Ю-* вб.
4я
id
31—28. Н = — (напряженность в рационализированной форме). Поле в по-
полости однородно. Вектор напряженности перпендикулярен векторам / и d.
а а
31—29. а) 5-103 —(рационализиров.);-бJ0— (рационализмов.); в) силовые
м м
линии не замкнуты.
31-30. B = 2'tgaSDg = 93,5гс =9,35-10-*-.
/ л2
31—31. Не разорвется. Для разрыва требуется индукция;
Id
31—32. 120 к.
31—34. Вывод задачи 31—33 относится к случаю одинаковой плотности
тока по всему сечению проводника. Так как это трудно осуществить в тол-
толстых проводах, следует пользоваться тонкими проводами.
•250
31-35. F = ^~ = 0,00058 дин.
31—36. Катушки стремятся расположиться так, чтобы их магнитные поля
совпадали по направлению. В случае значительной разницы диаметров кату-
катушек совпадение полей имеет место только внутри неподвижной и вне под-
подвижной катушек, а в пространстве между ними поля имеют противополож-
противоположные направления. Поэтому при большой разнице диаметров сила взаимодей-
взаимодействия заметно меньше, чем при малой разнице.
31—37. а) Угол отклонения ие изменится ; б) уменьшится, если размеры
стрелки сравнимы с расстоянием до провода; в) не изменится.
31-—38. Намагничение при насыщении (в рационализиров. форме);
В = р'оН + Р, где Р — намагничение.
31—39. Искомые значения В и Я определяются точкой касания каса-
касательной, проведенной из начала координат к кривой намагничения. В данном
случае В = 8800 гс; Н = 15 э.
а
31— <0. 50э = 4000 — (рационалнзиров.).
31—41. Сначала определяем Н, затем по графику на рисунке 31— 3
находим В.
а) Н = 20 э; В = 13 900 гс, б) Н = 16 э; В = 13 300 гс.
31—42. а) Сначала вычисляем Н при силе тока 0,6 а, затем по графику
иа рисунке 31—3 находим В.
Ф = 80 000 мкс = 8 > 10-* в&.
б) 0,75 а.
{1
31-43. \l= В{-11^- = ИОО ед СГСМ,
31л
где Ц о — проницаемость воздуха.
31—44. Определяем Н в первом кольце
Awl,
Н = —-± = 8s.
а
По кривой на рисунке 31—3 находим В = 11 400 гс;
+flrfi
= на.
Здесь (i0 — магнитная проницаемость воздуха.
31—45. a) l—j бM-10-ьМКСА (нерационализиров.) = 6,3.10-* СИ (МКСА
рационализиров.).
31—46. Правый.
31—48. 3,7-Ю9-^-; 3900эв.
сек.
?j
31-49. v = — /ft*+ 4*2#2 = 7,6-108—.
2пт сек
31—50. Скорость электрона должна быть направлена перпендикулярно
плоскости, в которой лежат векторы Е и В, н равна и = — « 3-10» —.
В сек
31-51. а) а„=0; а, = —, б)а<=0; а„ = -/ЯМ + Е1-
т т
251
81—ES. б) В=
в) t =
32—1. 1570 эрг=1,57 . Ю-4 дж.
32—2. Никак.
32—3. Во втором случае больше.
3"—1. За счет работы аккумулятора.
32—5. а) Одинаковое; б) в первом случае больше.
32—6. Отброс гальванометра в случае пунктирной линии больше.
32—7. По наружному контуру идет индукционный ток. В радиальных
проводниках токов нет.
32—8. а) Диэлектрик поляризуется, б) В сверхпроводящем кольце обра-
образуется ток, магнитный поток которого в сумме с потоком магнита равен
нулю.
k — 2
32—9. U = к-ЪРп ~ = 38 мкв.
k
32—10. 1,4 • 10s сек-1.
32—11. а) /1 = 10-;) а; /2=0; /3=10-8 а;
б) 1Х ^1г = 2,8-10-«а; /8 = 5,6-КИа;
в) /, =0; /2 = /3= Ю-За.
32—12. 7,4 • 10~* а.
32—13. Во втором случае выделяется теплоты на 14%, а в третьем
случае на 2% больше, чем в первом.
32—14. 0,007 k.
a ?S2
32--15. q— ——— = 1,38 • 10~2/с (формула нерационализнров.).
32—16. ц= ^г = 0,053к, где \i0—магнитная проницаемость Еоздуха;
p
D — плотность меди (формула в нерациоиализированной форме).
32—17. Ъ-Юьмкс = 3-10-3вб.
32—18. Увеличивается.
32—20. w = — I/ —=1200 витков (формула в нерационализированной
Я1 f [А
форме).
32—21. L = ——- — 16,5 мгн (формула в нерационализированной форме).
32—22. а) 1,5 мгн; б) 5 мгн.
32—23. а) Магнитные поля кагушек одинаково направлены; б) противо-
противоположны, в) образуют прямой угол.
32—25. а) 0,81 мгн; б) около 350 см.
32—26. а) 1,9 мгн; б) 0,23 мгн.
32—27. а) Сначала определим Н:
а
Затем по кривой намагничения (рис. 31—3) находим В и определяем L:
1=3,5 гн.
б) 18,5 гн.
32—28. У соленоида, сердечник которого изображен справа, напряжен-
напряженность поля во всем сечеиии почти одна и та же. Поэтому индуктивность
его меняется в зависимости от величины тока по тому же закону, что и A
(имеется острый максимум L).
252
У соленоида, сердечник которого изображен слева, напряженность поля
в ближних частях значительно больше, чем в дальних. Поэтому максимум
индуктивности сглажен.
32-29. L_**lS
32-30. Z. = 4/(iln^—- = 2,2 мгн.
32-31. 0,004 сек.
32—32. Местная цепь замыкается через 0,012 сек.
32—33. Повысится на 0,8°.
32—34. а) Площадь О А ВО равна количеству электричества, протекшего
0W
по дросселю за время 0,5 сек. Площадь ОСАО равна-^г-, где Ф — маг-
R
иитный поток в сердечнике дросселя, w — число витков в обмотке дросселя,
R — сопротивление его обмотки.
б) Обозначим площадь ОСАО буквой а,
R 4°Р
Сосчитав число клеток сетки на рисунке, которое заключает площадь ОСАО,
найдем, что а=0,17 к. Отсюда В=2300 гс.
? R
32—35. б) {/ = --,' -е L =0,076 в.
32-36. 490 в.
32-37. 0,008 сек.
32—38. 0,19 дж.
32-39. Э = у.11* ¦ 1п -е- = 31300 эрг.
32-41. 0,01 сек.
32-42. 2 • 10-5 дж.
32—43. Бесконечность. Бесконечный прямой ток есть предельный случай
конечного прямого тока. Полученный результат подчеркивает его неосуще-
неосуществимость.
32—44. а) 0,07 дж; б) бесконечность.
c
32—46. Формула пункта 11 введения относится к случаю отсутствия
гистерезиса.
32—47. а) На основании соотношения 10 введения к § 31 имеем:
1Ж = 0.
Здесь индексы «в» и «ж» указывают, что речь идет о напряженности маг-
магнитного поля Н и длине силовых линий I в воздухе (в прорезе) и в железе
(в кольце). Отсюда
Яж=—1,3 Э;
б) — 5,2—; в) нуль.
СМ
33—1. 6,3 а.
33—2. 3,2 а.
33-3. а) -^— = 15 ч. б) ~ = 21ч.
2/^ 2/
33—4. а) 57 в; б) продолжительность свечения каждого из электродов
составляет 38,5% от времени горения лампы.
253
ncPf см*
33-5. k = '— = 1,8
y
yy2 сек-в
33—6. а) Амперметр Аг покажет /х = 0,5 а Амперметр Аг покажет
/2 = — V U* + ?2 = 1,6а. б) 480 кал.
R
„„ _ , 1т . [т
/3 2
33—9. 141 в.
33—10. а) 6,4 мкф; б) 0,0064 мкф.
33—11. 0,055 гн.
33-12. / = а/я'-'Р' =1600 гц.
33-13. а) / =
где R =^=6,8-10-3ол; <»?.== 3,08-10-» ом.
Так как ю! < /?, то, пренебрегая ca2L2 по сравнению с /?s, имеем
б) I = ¦ = 16 а независимо от скорости вращения.
8L
33—14. В случае постоянного тока мощность в 1,2 раза больше.
33—15. а) Нет, б) да.
33—18. /=0,5 а; напряжение на конденсаторе 80 е, на сопротнвле-
нви 75 в.
33—19. 1,6 гн.
33—20. 0,75 а; 0,64 а; 0,4 а.
33—21. 1,7 а; 5,4 а.
33—22. а) 100 мкф. б) 25 в.
33—23. 31°,7.
33—24. 3,2 кет.
33-25. , Pt = -j- = 97 em; P% = -^ — = 105 em.
33—26. 154 em; 312 em.
33—27. 27 em.
33—28. a) U^ = VU* — /aL2coa — /Ko = 114 e,
б) Потребляемая квартирной сетью (включая дроссель) мощность равна
U*(R+R0)
(R.+ Ro^ + LW '
где R — сопротивление всей сети, кроме дросселя. Отсюда
в) При коротком замыкании Ркор =58 вт.
33—29. а) Число клеток сетки, охватываемых петлей гистерезиса, при-
приблизительно равно 38.
Отсюда
Р х 15, 2 в/п;
б) 4,5 ом.
254
33-30. JF = — = 5,6.10»aj.
ре
2 cos ф
33—31. p = — т - = 1.28-10» о*-с*.
6/ /l —cos2q>
33—32. F=25 дин.
33—33. Взаимодействуют с силой, меняющейся по закону синуса с ча-
частотой 3 гц.
Bis
33—34. F = = 40 к (формула в иерационализнрованной форме),
16яц
где(л — проницаемость воздуха.
33—35. Сила притяжения мембраны к полюсам магнита равна
Нас интересует переменная составляющая, так как она вызывает коле-
колебания мембраны
- SBB0
F
Пренебрегая всеми магнитными сопротивлениями, кроме сопротивления
воздушного промежутка, имеем
Отсюда амплитуда силы
33—36. 44°4.
34—1. 4,7 • Ю-4 сек^
34-2. а) / = Uo l/"^- = 44 ма, б) Фтах «1,1 мкс.
34—3. 10~5 em.
34—4. а) Нет; б) да.
34—5. Не изменится
34—6. —
34-7. 0 = 7^" У -— °>02-
34—8. ft = — =0,028.
б) 7 эрг.
34—10. a) d = 25tl/ 5!? = 0,2я = 0,63.
б) Максимум тока имеет место при фазовом угле и/i, определяемом
нз соотношения
^-, ш/1 = 87э,1.
255
От начала колебания до максимума тока пройдет 0,24 периода,
в) Напряжение иа конденсаторе равно
\2
При t=h
Отношение энергий магнитного и электрического полей в этот момент
равно j
6U 1
v) Максимум напряжения имеет место при —=—— = 0, то есть
си о
при / = 0.
Напряжение равно нулю при
tg ш?2 = — ~ ah = S2°, 9.
Это соответствует 0,26 периода.
Д) Umax = -^ -е L . При^ = 0, U^~~.
Отсюда /о 0,05 а.
.35-1. 2О7ОО-.
35—2. 1340—.
сек
35— 3. — },9-}О-ЗграЭ-г.
35—4. Вследствие того, что скорости распространения продольных и по-
вереччых колебаний различны.
35-5. 13°,25.
35-6. 31,4 сек.
35—7. 1,42.
35—8. Скорость звука меньше средней скорости молекул для одноа-
одноатомного газа в 1,236 раза; &ля двухатомного в 1,349 раза.
35—10. а) 212 гц, б) 106 гц.
35—П. 20эС.
35-12. 398 гц.
35—13. 20 см, 6,6 мм или 3,4 мм.
35 — 14. 0,05.
35—15. 2040 гц; 6120 гц; W 200 гц.
зпг эрг
35-16. а) 0,52эрг; 6J,4-10-*—; 4,8-10-*-=—-.
' см3 см3
35-17. 1,24 вт.
эрг
35—18. 8-10-*
см} ¦ сек
35-19. 17, 6 гц.
35—20. 11,3 км.
35-21. 2,1-1010—.
сек
35-22. а) Нет; е) 7,4 . 10' гц.
35-23. 8,4-Ю-" —.
см
35—24. На расстоянии 21,8 км от среднего наблюдателя.
35—25. б) х = = 17 мм.
2 sin и
256
35—26. Сила электрического взаимодействия в тг раз больше сил ма-
магнитного взаимодействия.
36—1. а) 4,7 . 10"s; б) 4,7 • 10"».
36—2. 8,7 . 10"ь см.
36—3. 27,7б°С.
36—4. Разборчивость речи связана с наличием верхних частот. Коэффи-
Коэффициенты поглощения в воздухе для высоких частот больше, чем для низких,
а потому верхние частоты ослабляются в большей мере, чем нижние.
36-5. а) 1,26; б) 1,12.
36—6. 0,001 —.
см2
36—7. 51,3 дб.
36-8. а) 26 дб; б) 100 м.
36—9. 0,12 сект1.
36—10. а) 1) Частота 256 гц; порог слышимости: амплитуда давления
дин эрг
др. =0,005 —; интенсивность звука /, =3-10"' ; верхняя граница»
см* см*-сек
дин эрг
dp» ==2000 —; /2 = 5.10а—^ .
н см? см2-сек
дин эрг
2) Частота 2048 гц: bPi = 0,0003 —- ; J,= l,bl0-» —f;
' см*
см* см2-сек
=1600^; у,- 3-10.
см3
^; у,- 310 .
см3 см?-сек
б) Частота 32 гц не слышна; частота 2048 гц имеет громкость 70 дб.
в) Около 20 дб. г) Около 3 • 10~4 em.
36—12. 680 гц.
KJI/L
36—13. а) и б) 72 —.
36—14. а) 1,88 сек; б) 2,12 сек.
37-1. а) 0,0033—; 6H,0023—.
AM AM
37—2. 9 лк.
37—3. 15,3 лк.
37—4. Увеличится в 1,12 раза.
37—5. 25 000 св.
37—6. а) 10,2 лк; 10,9 лк.
37—7. а) Около 10 лк. б) Расстоянию 7 м соответствует угол с верти-
вертикалью а=54°,5. По кривой видно, что сила света в этом направлении равна
73 се. Освещенность около 1,7 лк. в) Около 7,7 лк и 1,3 лк.
37—9. 6 сек.
37—10. 46 сек.
37—12. 30,4 лк.
37-13. Е = —— = 700 лк.
2l
37—14. 7000 нт.
S * R
37-15. a) h = Ь; ?тах = —- = 41 лк.
4оЛ
б) 11,5 лк.
37—16. 530 ф=5,30 • 10е лк.
37—17. а) 40 лк; б) 12,7 нт.
37—18. 5%.
37—19. а) 1,27 лк; б) 0,72 лк.
38—1. a) x=2r sin ce=10,6 см.
9 Д. И. Сахаров 257
Рис. 22.
б) Сместится в противоположном на-
направлении на расстояние
у=/ ¦ cos a=l,7 см.
38—2. 0,02 св.
38—4. а) На расстоянии 120 см от вер-
вершины зеркала; б) 1 сб.
38—5. Из условия
|-?О=| 0,01
следует: Cfl=0,505/?.
С другой стороны (рис. 23)
Cfl = .
2 У№— а1
а
Отсюда — = 0,14.
38—7. 24 см.
38—9. Зеркало должно образовать с горизонтом угол 34".
38—10. 6Г18'.
38—11. а) Для доказательства возьмем три луча, лежащие в вертикаль-
вертикальной плоскости XY, причем ось Y направлена вдоль поверхности воды (рис.23).
Уравнения лучей внутри воды имеют вид:
y=)t tg ai+6i;
у=* tg a2+62;
У=* *g «a -ffr3.
Так как они исходят из одной точки S, то имеет место соотношение:
= 0.
1 tg a3b3
Уравнения преломленных луче$ имеют вид:
у=х tg Pi + fri;
Так как tg ai : tga2 : tg a3 =^tg P 1 : tg P2~: tg P3,
то
Это означает, что прелом-
преломленные лучи не имеют общей
точки.
38—12. Так как глаза
наблюдателя находятся на одной
высоте, то кажущееся положе-
положение предмета находится на той
же вертикали, как и его истин-
истинное положение. Принимая это
во внимание, находим
(Я + Л) 2
+ 1 = 2 м.
Рис. 23.
258
38—13. 32 см.
38—14. а) Да; б) нет.
38—15. 2 см.
38—16. 1,14 св.
38—19. а) 81°; б) /2 < п < 2.
38—20. 16°.
38—21. Угол между соседними гранями призм дол-
должен быть равен 8 -f em.
38—22. 10°,9.
38—23. Лучи выходят нз призмы параллельно
прежнему направлению. Расстояние между ними не 9
меняется. Длины лучей в призме одинаковы. ™Cl 4-
38—24. а) Луч не пройдет ни при каком угле
падения. 6) Луч пройдет при условии:
к
0 < V < "^ . где у — угол, показанный на рисунке 24.
в) Луч пройдет при условии: 0 < у < — + arc sin n-sin ({50 — ft).
38—25. В шестигранных призмах грани образуют между собой углы
120°, 60° и 90°. Гало 22° соответствует углу 60°; гало 46° — углу 90°.
38—26. Угол наименьшего отклонения равен:
emin = 38°56'.
Наибольшее отклонение имеет место в том случае, когда луч выходит из
¦к
призмы под углом, близким к —. В таком случае у перюи грани угол падения
равен етах + Ф — — , а угол преломления ¦& — р0, где предельный угол ро
при п=1,52 равен 41°8'. Применяя закон преломления, имеем:
п sin (d — р0) = sin I егоах + ¦& — - I,
откуда
•W = 59°26'.
38—27. 1,333.
38-28. 12,5 см.
38—29. ?>i=5,2 дп; ?>2=— 3,9 дп.
38—30. 1,48 дп.
38—31. 1,7.
38-32. —38,5 см.
38—33. 22,5 см.
38—38. 4 дп.
38—39. На 0,55 мм.
38—40. 20 см.
fd+ Ь\*
38—41. Меньшее изображение ярче в( =2,25 раза.
\d-bj
38—42. а) 80 см; 6) 19 см; в) 69 см; г) 22 см.
38-43. а) 2500 як и 12 500 як; б) 5000 як и 15 000 лк.
38—44. В 660 раз.
38—45. 9 як.
38—46. a) D> 0, если б < 0, то есть если задний фокус Fi"nepBofi линзы
дальше переднего фокуса F2' второй лннзы; D<0, если Fx" ближе F2'; D=0,
если F\" и /Y совпадают.
б) D>0, если 6>0, то есть fi" лежит ближе F2' (B отрицательной линзе
передний фокус лежит сзади линзы); D<0, если F\" лежит дальше F2'l D—0,
если Fi" и F2' совпадают.
&* 259
в) То же, что в случае б).
г) б всегда положительна, и система может иметь только отрицатель-
отрицательную оптическую силу.
38—47. а) На расстоянии 8 см. б) На расстоянии 20 см.
38—48. 60 дп.
38—49. Увеличить в 3,7 раза.
38—50. 7 дп.
38—54. а) Первая главная плоскость проходит сквозь вершину передней
поверхности линзы; первая фокальная плоскость отстоит от нее на расстоя-
расстоянии 25 см. Вторая главная плоскость проходит внутри линзы на расстоянии
2,3 см от плоской поверхности, вторая фокальная плоскость отстоит от по-
поверхности линзы иа 22,7 см..
б) Главные плоскости проходят внутри линзы на расстоянии 1,2 см от
вершин поверхностей, фокальные плоскости находятся от поверхностей линзы
на расстоянии 11,9 см.
в) Первая главная плоскость расположена вне лиизы на расстоянии 1,9см
от передней поверхности. Первая фокальная плоскость отстоит от лиизы
на 22,9 см. Вторая главная плоскость находится тоже вие линзы на расстоя-
расстоянии 0,4 см от передней поверхности. Вторая фокальная плоскость находится
за линзой на расстоянии 17,1 см от ее поверхности.
г) Первая главная плоскость находится перед линзой на расстоянии
2,8 см от ее поверхности. Первая фокальная плоскость находится на
расстоянии 24,4 см за задней поверхностью линзы. Вторая главная плоскость
находится перед линзой на расстоянии 2,1 см от ее поверхности. Вторая
фокальная плоскость проходит перед линзой на расстоянии 32,8 см от ее
поверхности.
д) Обе главные плоскости проходят сквозь центр шара. Фокальные пло-
плоскости находятся на расстоянии 1,6 см от поверхности шара.
38—55. 29,2 см.
38—56. 1,93 дп.
38—57. 5,8 см.
38—58. а) 17,2 дп, б) 20,8 дп: в) 19,0 дп.
38—59. а) Поверхности шаров должны отстоять друг от друга на 2,5 см.
б) 10.
38—61. а) 10 см; б) 2,5.
gg Q2 5
38—63. а) 14,5 см, 17,5 см; б) 64, 670.
38—64. 564
38—65. а) Увеличение будет равно 0,4, б) 12 дп н 30 дп. в) Оправа
окуляра.
38—68. 9 см.
38—69. 5,8 мм.
39—2. а) Пользуемся формулой, указанной в пункте 1) введения. По ри-
рисунку 25 видно, что в данном случае
l=L-\-r cos a.
Далее на основании ответа к задаче 38—1 имеем
d=2r sin a.
Отсюда, полагая для воздуха ти=1, находим
I ¦ (L+rcosa)
х _ _ 2>9 мм;
2r sin a
б) сместится на расстояние
s' = s— =5,4 см;
г
в) интерференционная картина не сместится, но расстояние между
полосами уменьшится вдвое,
260
г) пользуясь ответом на вопрос б), получим,
что смешение полос интерференционной картины,
даваемой левым краем щели, по отношению
к картине, даваемой правым краем, равно:
где Ь—ширина щели. Но по условию вопроса
г) s' меньше половины расстояния между по-
полосами. Отсюда
L \(L-\- r cos a)
Ь— < — ; .
г 4 • т • sin а
Так как а и и малы, то, пользуясь рисунком 25,
можно вывести, что
L + r
sin a = sin и ,
В таком случае
Ь<
4 sm и
д) 0,052 мм;
е) 5 полос.
Рис 25.
= *179д
xd(n—l)
39—4. б) 1,1 мм, в) меньше 0,024 мм; г) 18 полос.
39—5. Задача неопределенная, пленка может иметь толщину k -104 ммк,
где fe=l; 3; 5 и т. д.
39—6. Пользуясь рисунком 26, можно найти, что увеличение толщины
пленки при переходе от одной полосы к другой равно
Отсюда
Рис. 26.
In
.
Qff
39—7. Глаз фокусирован на пленку. Принимая во вни-
внимание, что а > d, найдем по рисунку 27
sinu =
d tg
cos a
Отсюда, пользуясь соотношением 2) введения к пара-
параграфу, находим
аХ -\f п2 — si
39—9. 10,2 см.
39—10. а) г
26 sin 2а
— 3,3 • 10 мм.
= 1 /
V
_ з,5 мм; б) 3 мм.
V D
39—11. 175 мм.
39—13. 998-е кольцо, соответствующее меньшей длине
волны.
39—15. Так как число зон Френеля равно
/i==
U n(l-a
=2,94^3,
261
то освещенность при на-
наличии ширмы больше, чем
при ее отсутствии.
39—17. Нет. Угол <р'
Енутри стекла соответствует
длине болны А' в стекле:
с sin ф'=АЛ,'.
Затем при выходе луча
из стекла происходит пре-
преломление:
sm Ф = ¦
sin <р
п
Рис. 27.
где <р — измеряемый угол
отклонения в воздухе:
с sin <p = kX'n =k X,
где X — длина волны в воздухе.
39—19. 546 ммк.
39—20. а) 7'; б) —56'.
39—21. 478 ммк.
39—22. а) 3; б) 5.
39—25. а) Если толщина пластинки велика по сравнению с постоянной
решетки, то можно считать, что на вторую решетку падают пучки лучей,
ширина которых равна длине решетки. В этом случае свет проходит сквозь
две решетки, образуя такой же дифракционный спектр, как свет, прошед-
прошедший сквозь пластинку с одной решеткой.
б) Если толщина пластинки равна постояниой решетки, то, кроме света,
прошедшего в направлении нормали, свет пройдет только в тех направле-
направлениях, которые удовлетворяют соотношению
kt X
с cos <р = — • — ,
к2 п
где ki и k% — целые числа, п — коэффициент преломления.
39—26. а) Постоянную решетки хлористого натрия можно определить
из соотношения:
' V 2ND '
где \i — молекулярный вес хлористого натрия; N — число Авогадро; D—
плотность кристалла. Отсюда
б) Для грани (ПО)
d
отсюда
в' = 8°,4.
39—27. 9,8 мм.
39—28. При большом диаметре зрачка острота зрения уменьшается из-за
большой сферической аберрации глаза. При малом диаметре зрачка сказы-
сказывается искажение изображения дифракционными явлениями.
39—29. Соответствует для острого зрения.
39—30. 4 см.
39—31. а) 1,6; б) 1,272.
39—32. 41°15'.
39—33. 66°40'; 46°40'.
262
39—34. Луч 1. Полностью поляризован. Его интенсивность 0,1.
Луч 2. После первого преломления получился луч, содержащий 0,8 есте-
естественного света и 0,1 поляризованного.
Луч 3. Полиостью поляризован. Интенсивность 0,8 ¦ 0,1 = 0,08.
Луч 4. Частично поляризован; 0,18 поляризованного света и 0,63 есте-
естественного.
39—35. а) 12 раз; б) 65 раз.
39—36. а) Прежде всего надо отметить, что число п не зависит от по-
поглощения света внутри пластинок, так как оно одинаково и для поляризо-
поляризованного и для естественного света. Поэтому в дальнейшем коэффициент
поглощения принят равным нулю. Если сквозь стопу прошлор поляризован-
поляризованного света и 1—р естественного, то общая интенсивность до стопы была
2р+1—р=1-\-р. Таким образом, интенсивность поляризованного света
Р 1 — Р
равна от начальной, а естественного от начальной. Отсюда
1+р 1 + Р
можно подсчитать, что интенсивность света, прошедшего сквозь две парал-
1 + ра
дельные стопы, равна от начальной, а при скрещенных стопах
A + РJ
1-Р
A + />J "
В таком случае 1 + р2
1 —Р
Отсюда
- + n — 1 = 0,89.
б) р' =¦ "к , = 0,994.
1 +p2
39—37. 6,06 м.
39—38. Наблюдатель видит темные полосы иа светлом фоне. Расстояние
между полосами равно 2,7 см.
39—39. б) 80 см.
40—1. а) 3,31 • Ю-" эрг. б) lj99 . ю^эрг; в) 48 000°К и 2,9 • 108оК.
40—2. 4 • 105 смгг ¦ сенг1.
40—3. а) 197 ммк (ультрафиолет.); б) 653 ммк (красная часть спектра).
40—4. 6,5-105—.
сек
40—5. 3,6.
40-6. 12,41 кв • А.
40—7. 45 кв.
<0—8. а) 4,5 • 10-»—; б) 9 • ]0~в— ; в) 6,3 • 10"' —.
м2 м2 см?
40—9. Давление света больше в 11 раз.
40—10. а) По направлению света;
б) по нормали.
40—11. Если пластинка обращена к свету блестящей стороной, то на нее
2/S
действует сила F^= ¦ , где S—ее поверхность.
с
Если пластинка обращен'а к свету зачерненной стороной, то сила свето-
Foro давления равна F' = —.
с
В то же время сама пластинка излучает в пространство перед собой
полученную энергию. Если она излучает согласно закону Ламберта, то сум-
суммарная мощность, излучаемая во всех направлениях, равна
!S=nl'S,
где /' — интенсивность света, излучаемого по нормали.
263
Суммируя силы отдачи, действующие на пластинку вследствие излуче-
излучения в разных направлениях, получим общую силу отдачи
я 2/5
Результирующая сила равна
Отсюда
40—12. а) Энергия фотонов, отраженных от движущегося зеркала, умень-
уменьшается (на волновом языке это проявление эффекта Допплера).
б) Приращение внутренней энергии пылинки меньше энергии поглощен-
поглощенного света.
40-13. а) 2 ¦ 10~12 см; б) 4 ¦ 10"» см.
см
40 — 14. 9 • Ю9 .
сек
40—15. 7'.
40—16. Центростремительной силой является взаимодействие электрона
с протоном:
ma2 e2
Здесь т — радиус окружности, по которой движется электрон; п— расстоя-
расстояние между центрами инерции электрона и протона; ео — электрическая про-
проницаемость вакуума. Так как масса электрона ничтожно мала по сравнению
с массой протона, то
1 4к2е2т
в) Если принять, что потенциальная энергия протона и электрона, уда-
удаленного из атома в бесконечность, равна нулю, то потенциальная энергия
при расстоянии г между ними
П еаг'
Кинетическая энергия
Следовательно, искомая работа
А = -^— = 13,58 эв.
2еог
Это число почти совпадает с результатом непосредственного измерения
A3,54 эв).
0
г) X = т .-г- = 487 ммк,
2Ч*\
что близко совпадает с результатом опыта
см
сек
264
д) Приняв во внимание, что ионизированный атом гелия имеет вдвое
больший заряд ядра, чем атом водорода, и так же, как и атом водорода
имеет один электрон, получим
Хн
X Ие — —— —- 122 ммк,
что тоже близко совпадает с результатом опыта.
41 — 1. а) 200°К; б) 0,23.
41—2. 8 а.
41—3. 0,063 мм.
41—4. Увеличивается в 1,14 раз.
41—5. 36 та.
41—в. а) 0,11°; б) 1,5 а.
41—7. 5750°К.
41—8. На частицу действуют следующие силы: 1) сила притяжения
к Солнцу, равная
_ у ¦ к<Ртс ¦ D
1 6Я2
где тс— масса Солнца; R — расстояние от частицы до его центра; D — плот-
плотность железа;
2) сила светового Давления со стороны Солнца, равная, если считать,
что частица черная,
Fa = ~ ~ " аТс 7р~' 7'
где Rc — радиус Солнца.
При равновесии Fi+F2=0,
3aT4cR*
d = ^_ = 1 74 • 10-5 ш.
2yrncD ¦ С
41—10. Около 80%.
41—11. 0,3%.
41—12. 0,22 а.
41—13. 240 000 ккал==\ ¦ 109 дж.
А. = 3000° К.
41—15. а) Мощность излучения Солнца, поглощаемая частицей, равна
где d — диаметр частицы; Rc — радиус поверхности Солнца; А — коэффи-
коэффициент поглощения.
Мощность излучения частицы по всем направлениям равна
Р2=А ¦ я.йа • а Г*.
При равновесии
Г Ms. = 290° К,
т. е. мало отличается от средней температуры поверхности Земли,
б) Мощность излучения Солнца, поглощаемая частицей, равна
т.& 2тсЛсадА, Rc
f he
265
Мощность, излучаемая частицей, равна
Р2 = *d2 • -
he
При равновесии
имея в виду, что
и что Т < Тс, получаем
1
' = 2^~ = 1700°К (гыше, чем серое тело);
, 2Шп -n—
1 _¦_ fv.
в) Г=230°К (ниже, чем серое тело).
41 — 16. —4,8°К.
Dcd /1 IV
41—17. т = -( — — — I = 0,033 сек,
12 • А • <т1 тЗ то I
\ ' 2 ' 1 /
где D и с — плотность и удельная теплоемкость вольфрама.
41—18. При переменном токе.
41—19. Увеличилось.
41—20. Максимумы функций распределения соответствуют минимумам
следующих величин:
1) Для распределения по интервалам частот
2) Для распределения по интервалам длин волн
3) Для распределения по интервалам логарифмов частот (или логарифмов
длин волн)
(\
Поэтому зиачение постоянной С в законе смещения максимума функции
распределения в зависимости от температуры для разных функций распре-
распределения имеет разную величииу. Обычно указывают зиачение С для распре-
распределения по интервалам длин волн (так сделано и в таблице VI).
Для серых тел значение постоянной С то же, что и для полных излу-
излучателей.
41-21. а) %0 = С у -i1*"'" ¦ = 1,2 мк;
б) 6,9 мк. hc
41—22. Обратив внимание, что при указанных условиях еит > 1, мож-
можно выразить искомое отношение так:
he I I I\
266
42—1. 8 а-превращеиий и б Р-превращений.
42—2. 61 сек.
42—3. 4,4 мин
42—4. 1,9 • Ю-8 г%
42—5. 0,34.
42—6. 3,4 • 10-7.
42—7. По схеме на рисунке 4i—1 видно, что число выбрасываемых
смесью сс-частиц в 4 раза больше числа частиц, выбрасываемых одним
радием,
1,48 • 108 сект1.
42—8. 0,66 лш*.
42—9. 1,6 • 105.
42—10. 0,51 Мэв.
42—11. а) 2,2 Мэв; б) 28 Мэв.
42-12. 2,1 • 10»—.
сек
42—13. Применяя законы сохранения энергии и сохранения количества
движения, получим
Q • mi-\-E1 (m3 — от.)
Здесь Q — энергия, связанная с изменением масс частиц и равная
Q=Bmi — т2 — т3) ¦ с3,
a mi, ms и ms суть массы дейтерия, нейтрона и атома 2Не'.
Е26 М
•х ( Z2 Z2 Z2
42-11. а) Э =4 еа -г^- - -^ - — ) = 290 Мзв;
б) 210
в) 2800 т.
ПРИЛОЖЕНИЯ
N
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
SO
N
0
0000
0414
0792
1139
1461
1761
2041
2304
2553
2788
ЗОЮ
3222
3424
3617
3802
3979
4150
4314
4472
4624
4771
4914
5051
5185
5315
5441
5563
5682
57Г8
5911
6021
6128
6232
6335
6435
6532
6628
6721
6812
6Ь02
6950
0
1
0043
0453
0828
1173
1492
1790
2068
2330
2577
2810
3032
3243
3444
3636
3820
3997
4166
4330
4487
4639
4786
4928
5065
5198
5328
5453
5575
5694
5809
5922
6031
6138
6243
6345
6444
6542
6637
6730
6821
6511
6998
1
2
0086
0492
0864
1206
1523
1818
2095
2355
2601
2833
3054
3263
3464
3655
3838
4014
4183
4346
4502
4654
4800
4942
5079
5211
5340
5465
5587
5705
5821
5933
6042
6149
6253
6355
6454
6551
6646
6739
6830
6920
7007
2
I.
3
0128
0531
0899
1239
1553
1847
2122
2380
2625
2856
3075
3284
3483
3674
3856
4031
4200
4362
4518
4669
4814
4955
5092
5224
5353
5478
5599
5717
5832
5944
6053
6160
6263
6365
6464
6561
6656
6749
6839
6528
7016
3
Логарифмы
4
0170
0569
0934
1271
1584
1875
2148
2405
2648
2878
3096
3304
3502
3692
3874
4048
4216
4378
4533
4683
4829
4969
5105
5237
5366
5490
5611
5729
5843
5955
6064
6170
6274
6375
6474
6571
6665
6758
6848
6937
7024
4
5
0212
0607
0969
1303
1614
1903
2175
2430
2672
2900
3118
3324
3522
3711
3892
4065
4232
4393
4548
4698
4843
4983
5119
5250
5378
5502
5623
5740
5855
5966
6075
6180
6284
6385
6484
6580
6675
6767
6857
6946
7033
5
6
0253
0645
1004
1335
1644
1931
2201
2455
2695
2923
3139
3345
3541
3729
3909
4082
4249
4409
4564-
4713
4857
4997
5132
5263
5391
5514
5635
5752
5866
5977
6085
6191
6294
6395
6493
6590
6684
6776
6866
6955
7042
6
7
0294
0682
1038
1367
1673
1959
2227
2480
2718
2945
3160
3365
3560
3747
3927
4099
4265
4425
4579
4728
4871
5011
5145
5276
5403
5527
5647
5763
5877
5988
6096
6201
6304
6405
6503
6599
6693
6785
6875
6964
7050
7
8
0334
0719
1072
1399
1703
1987
2253
2504
2742
2967
3181
3385
3579
3766
3945
4116
4281
4440
4594
4742
4886
5024
5159
5289
5416
5539
5658
5775
5888
5999
6107.
6212
6314
6415
6513
6609
6702
6794
6884
6972
7059
8
9
0374
0755
1106
1430
1732
2014
2279
2529
2765
.2989
3201
3404
3598
3784
3962
4133
4298
4456
4609
4757
4900
5038
5172
5302
5428
5551
5670
5786
5899
6010
6117
6222
6325
6425
6522
6618
6712
6803
6893
6981
7067
9
268
I. Логарифмы
Продолжение
N
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
S6
97
98
99
N
0
6990
7076
7160
7243
7324
7404
7482
7559
7634
7709
7782
7853
7924
7S93
8062
8129
81G5
8261
8325
8388
8451
8513
8573
8633
8692
8751
8808
8865
8S21
8976
9031
?085
9138
9191
9243
9294
9345
9395
9445
9494
9542
9590
S638
9685
9731
9777
9823
9868
9912
9956
0
1
69S8
7084
7168
7251
7332
7412
74S0
7566
7642
7716
7789
7860
7931
86С0
?069
8l?6
8202
8267
8331
83?5
8457
8519
8579
8639
86S8
8756
8814
8871
8S27
8E82
?036
S090
9143
9196
9248
9299
9350
9400
9450
9499
9547
9595
9643
S689
9736
9782
9827
9872
9917
9961
1
2
7007
7093
7177
7259
7340
7419
7497
7574
7649
7723
77?6
7868
7S38
8C07
€075
8142
8209
8274
?338
8401
8463
8525
8585
8645
8704
8762
?820
8876
8932
8987
9042
9096
9149
9201
9253
9304
9355
9405
9455
9504
9552
9600
9647
9694
9741
9786
9832
9877
9921
9965
3
7016
7101
7185
7267
7348
7427
7505
7582
7657
7731
7803
7875
7945
8014
8082
8149
8215
?280
8344
8407
8470
8531
8591
8651
8710
8768
8825
8882
8938
8993
9047
9101
9154
9206
9258
9309
9360
9410
9460
9509
9557
?605
9652
?699
9745
9791
9836
?881
9926
9969
2 |- 3
4
7024
7110
7193
7275
7356
7435
7513
7589
7664
7738
7810
7S82
7<52
8C21
8C?9
8156
8222
8287
8251
8414
8476
8537
8597
8657
8716
8774
8831
8887
8?43
8998
9053
9106
9159
9212
9263
9315
9365
9415
9465
9513
9562
9609
9657
9703
9750
9795
G841
9886
9930
9974
5
7033
7118
7202
7284
7364
7443
7520
7597
7672
7745
7818
7889
7959
8028
80?6
8162
8228
82E3
8357
8420
8482
8543
8603
¦ 8663
8722
8779
8837
8893
8949
9004
9058
9112
9165
9217
9269
9320
9370
9420
9469
9518
9566
?614
9661
9708
9754
9800
9845
9890
9934
9978
6
7042
7126
7210
7292
7372
7451
7528
7604
7679
7752
7825
78?6
7966
8035
8102
8169
8235
Й299
8363
8426
8488
8549
8609
8669
8727
8785
8842
8899
8954
9009
9063
9117
9170
9222
9274
9325
9375
9425
9474
9523
S571
9619
9666
9713
9759
9805
9850
9894
9939
9983
4 | 5 | 6
7
7050
7135
7218
7300
7380
7459
7536
7612
7686
7760
7832
7E03
7973
8041
8109
8176
8241
82C6
8370
8432
8494
8555
8615
8675
8733
8791
8848
8?04
8960
9015
9069
9122
9175
9227
9279
9330
9380
9430
9479
9528
9576
9624
9671
9717
9763
9809
9854
9899
9943
9987
7
8
7059
7143
7226
7308
7388
7466
7543
7619
76S4
7767
7839
7910
7980
8048
8116
8182
8248
8312
8376
8439
8500
8561
8621
8681
8739
8797
8854
8910
8965
?020
9074
9128
9180
9232
?284
9335
9385
9435
9484
9533
9581
9628
9675
9722
9768
9814
9859
9903
9948
9991
8
9
7067
7152
7235
7316
7396
7474
7551
7627
7701
7774
7846
7917
7?87
8055
8122
8189
8254
8319
8382
8445
8506
8567
8627
8686
8745
8802
8859
8915
8971
9025
9079
9133
9186
9238
9280
9340
43°0
9440
9489
9538
9536
9633
9680
9727
9773
9818
9863
9908
9Й52
99?6
9
269
II. Синусы
0°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22"
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
0'
0000
0175
0349
0523
0698
0872
1045
1219
1392
1564
1736
1508
2079
2250
2419
2588
2756
2<24
30С0
3256
3420
3584
3746
3S07
4067
4226
4384
4540
46S5
4848
5000
5150
5299
5446
55S2
5736
5878
-6018
6157
6293
40 | 6428
41
42
43
44
6561
6691
6820
6С47
6'
0017
0192
0366
0541
0715
0889
1063
1236
1409
1582
1754
1924
2096
2267
2436
2605
2773
2?40
3107
3272
3437
3600
3762
3923
4083
4242
4399
4555
4710
4863
5015
5165
5314
5461
5606
5750
5892
6032
6170
6307
6441
6574
6704
6833
6Г59
12'
0035
0209
0384
0558
0732
0906
1080
1253
1426
1599
1771
1942
2113
2284
2453
2622
27Е0
2957
3123
3289
3453
3616
3778
3939
4099
4258
4415
4571
4726
4879
5030
5180
5329
5476
5621
5764
5906
6046
6184
6320
6455
6587
6717
6845
6972
18'
0052
0227
0401
0576
0750
0924
1097
1271
1444
1616
1788
1959
2130
2300
2470
2639
2807
2974
3140
3305
3469
3633
37S5
3955
4115
4274
4431
4586
4741
4894
5045
5195
S344
5450
5635
5779
5920
6060
6198
6334
6468
6600
6730
6858
6984
24'
0070
0244
0419
0593
0767
0941
1115
1288
1461
1633
1805
1977
2147
2317
2487
2656
2823
2«0
3156
3322
3486
3649
3811
3971
4131
4289
4446
4602
4756
4С09
5060
5210
5358
5505
5650
5793
5934
6074
6211
6347
6481
6613
6743
6871
6S97
30'
0087
0262
0436
0610
0785
0958
1132
1305
1478
1650
1822
1994
2164
2334
2504
2672
2840
3007
3173
3338
3502
3665
3827
3987
4147
4305
4462
4617
4772
4924
5075
5225
5373
5519
5664
5807
5948
6088
6225
6361
6494
6626
6756
6884
7009
36'
0105
0279
0454
0628
0802
0976
1149
1323
1495
1668
1840
2011
2181
2351
2521
2689
2857
3024
3190
3355
3518
3681
3843
4003'
4163
4321
4478
4633
4787
4939
5090
5240
5388
5534
5678
5821
5962
6101
6239
€374
6508
6639
6769
6896
7022
42'
0122
0297
0471
0645
0819
0993
1167
1340
1513
1685
1857
2028
2198
2368
2538
2706
2874
3040
3206
3371
3535
3697
3859
4019
4179
4337
4493
4648
4802
4955
5105
5255
5402
5545
5693
5835
5976
6115
6252
6388
6521
6652
6782
6909
48'
0140
0314
0488
0663
0837
1011
1184
1357
1530
1702
1874
2045
2215
2385
2554
2723
2890
3057
3223
3387
3551
3714
3875
4035
4195
4352
4509
4664
4818
4970
5120
5270
5417
5563
5707
5850
5990
6129
6266
6401
6534
6665
6794
6921
7034 | 7046
54'
0157
0332
0506
0680
0854
1028
1201
1374
1547
1719
1891
2062
2233
2402
2571
2740
2907
3074
3239
3404
3567
3730
3891
4051
4210
4368
4524
4679
4833
4985
5135
5284
5432
5577
5721
5864
6004
6143
6280
6414
6547
6678
6807
6934
7059
270
Продолжение
II. Синусы
45°
46
47
48
49 1
50
51
62
63
54
55
56
67
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
0'
7071
7193
7314
7431 '
7547
7660
7771
7880
7986
8090
8192
8290
8387
8480
8572
8660
8746
8829
8910
8988
9063
9135
9205
9272
9336
9397
9455
9511
9563
9613
S659
9703
9744
9781
9816
9848
9877
9903
9925
9945
С?62
9976
9986
9964
9998
6'
7083 ,
7206
7325
7443
7559
7672
7782
7891
7997
8100
8202
8300
8396
8490
8581
8669
8755
8838
8918
8996
S070
9143
9212
9278
9342
9403
9461
9516
9568
S617
9664
9707
9748
9785
9820
S851
9880
9<05
9928
?947
9963
9977
9987
99?5
9999
12'
7096
7218
7337
7455
7570
7683
7793
7902
8007
8111
82П
8310
8406
8499
8590
8678
8763
8846
8926
9003
9078
9150
9219
9285
9348
9409
9466
9521
9573
9622
9668
9711
9751
У789
9823
9854
9882
9907
9930
9949
18'
7108
7230
7349
7466
7581
7694
7804
7912
8018
8121
8221
8320
8415
8508
8599
8686
8771
8854
8934
9011
9085
9157
9225
9291
9354
?415
9472
9527
9578
9627
9673
9715
9755
9792
9826
9857
9885
9910
9932
9951
9965 | 9966
9978
9988
9995
9999
9979
9989
9996
9999
24'
7120
7242
7361
7478
7593
7705
7815
7923
8028
8131
8231
8329
8425
8517
8607
8695
8780
8862
8942
9018
9092
9164
9232
9298
9361
9421
9478
9532
9583
9632
9677
9720
?759
97?6
Г829
9860
9888
9912
9934
9?52
9?63
9980
9990
9996
9999
30'
7133
7254
7373
7490
7604
7716
7826
7934
8039
8141
8241
8339
8434
8526
8616
8704
8788
8870
8949
9026
9100
9171
9239
9304
9367
9426
9483
9537
9588
9636
?681
9724
9763
9799
9833
9863
9890
9914
9936
??54
9Е69
9Ш
?9?0
9997
1.0000
36'
7145
7266
7385
7501
7615
7727
7837
7944
8049
8151
8251
8348
8443
8536
8625
8712
8796
8878
8957
еозз
9107
9178
9245
9311
9373
6432
?489
9542
9593
?641
9686
9728
9767
9803
9836
9866
9893
9917
9938
9Е56
9971
9982
9991
9997
42'
7157
7278
7396
7513
7627
7738
7848
7955
8059
8161
8261
8358
8453
8545
8634
8721
8805
8886
8965
9041
9114
9184
9252
9317
9379
9438
9494
9548
9598
9646
6690
9732
9770
9806
Ы839
9869
9895
9919
9940
9957
9972
9983
9992
9997
1.0000] 1.0000
48'
7169
7290
7408
7524
7638
7749
7859
7965
8070
8171
8271
8368
8462
8554
8643
8729
8813
8894
8973
9048
9121
9191
9259"
9323
9385
9444
9500
9553
9603
9650
9694
9736
9774
9810
9842
9871
9898
9921
9942
9959
9973
9984
9993
9968
1.0000
54'
7181
7302
7420
7536
7649
7760
7869
7976
8080
3181
8281
8377
8471
8563
8652
8738
8821
8902
8980
9056
9128
9198
9265
9330
9391
9449
9505
9558
9608
9655
9699
9740
9778
9813
5845
9874
9900
9923
9943
9960
9974
9?85
9993
9998
1.0000
271
Ш. Тангенсы
0°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
0'
0 000
• 0175
.0349
• 0524
¦ 0699
• 0875
• 1051
• 1228
•1405
• 1584
• 1763
.1944
• 2126
.2309
.2493
• 26?9
• 2867
• 3057
• 3249
• 3443
• 3640
• 3839
• 4040
• 4245
• 4452
• 4663
• 4877
• 5095
• 5317
• 5543
• 5774
¦ 6009
• 6249
• 6494
¦ 6745
• 7002
• 7265
• 7536
¦ 7813
• 80Э8
• 8391
• 8693
• 9004
• 9325
•9657
6'
0017
0192
0367
0542
0717
0892
1069
1246
1423
1602
1781
1962
2144
2327
2512
2698
2886
3076
3269
3463
3659
3859
4061
4265
4473
4684
4899
5117
5340
5566
5797
6032
6273
6519
6771
7028
72S2
7563
7841
8127
8421
8724
?036
5358
9691
12'
0035
0209
0384
0559
0734
0910
1086
1263
1441
1620
1799
1980
2162
2345
2530
2717
2905
3096
3288
3482
3679
3879
4081
4286
4494
4706
4921
5139
5362
5589
5820
6056
6297
6544
6796
7054
7319
7590
7869
8156
8451
8754
F067
9391
9725
18'
0052
0227
0402
0577
0752
0928
1104
1281
1459
1638
1817
1998
2180
2364
2549
2736
2924
3115
3307
3502
3699
3899
4101
4307
4515
4727
4942
5161
5384
5612
5844
6080
6322
6569
6822
7080
7346
7618
7898
8185
8481
8785
9099
9424
9759
24'
0070
0244
0419
0594
0769
0945
1122
1299
1477
1655
1835
2016
2199
2382
2568
2754
2943
3134
3327
3522
3719
3919
4122
4327
4536
4748
4964
5184
5407
5635
5867
6104
6346
6594
6847
7107
7373
7646
7926
8214
8511
8816
9131
9457
9793
30'
0087
0262
0437
0612
0787
0963
1139
1317
1495
1673
1853
2035
2217
2401
2586
2773
2962
3153
3346
3541
3739
3939
4142
4348
4557
4770
4986
5206
5430
5658
5890
6128
6371
6619
6873
7133
7400
7673
7954
8243
8541
8847
9163
94S0
9827
36'
0105
0279
0454
0629
0805
0981
1157
1334
1512
1691
1871
2053
2235
2419
2605
2792
2981
3172
3365
3561
3759
3959
4163
4369
4578
4791
5008
5228
5452
5681
5914
6152
6395
6644
6899
7159
7427
7701
7983
8273
42'
0122
0297
0472
0647
0822
0998
1175
1352
1530
1709
1890
2071
2254
2438
2623
2811
3000
3191
3385
3581
3779
3979
4183
43<0
4599
4813
5029
5250
5475
5704
5938
6176
6420
6669
6924
7186
7454
7729
8012
8302
8571 j 8601
8878
9195
9523
9861
8910
9228
9556
9896
48'
0140
0314
0489
0664
0840
1016
1192
1370
1548
1727
1908
2089
2272
2456
2642
2830
3019
3211
3404
3600
3799
4000
4204
4411
4621
4834
5051
5272
5498
5727
5961
6200
6445
6694
6950
7212
7481
7757
8040
8332
8632
8941
9260
9590
9930
54'
0157
0332
0507
0682
0857
1033
1210
1388
1566
1745
1926
2107
2290
2475
2661
2849
3038
3230
3424
3620
3819
4020
4224
4431
4642
4856
5073
5295
5520
5750
5985
6224
6469
6720
6976
7239
7508
7785
8069
8361
8662
8972.
9293
9623
9965
272
Продолжение
III. Тангенсы
45°
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
S2
83
84
85
86
87
88
89
0'
1.0000
1.0355
1.0724
1.1106
1.1504
1.1918
1.2349
1.2799
1.3270
1.3764
1.4281
1.4826
1.5399
1.6003
1.6643
1.7321
1.8040
1.8807
1.9626
2.0503
2.144
2.2460
2.3559
2.4751
2.6051
2.7475
2.9042
3.0777
3.2709
3.4874
3.7321
4.0108
4.3315
4.7046
5.1446
5.6713
6.3138
7.1154
8.1443
9.5144
11.43
14.30
19.08
28.64
57.29
6'
0035
0392
0761
1145
1544
1960
2393
2846
3319
3814
4335
4882
5458
6066
6709
7391
8115
8887
9711
0594
1543
2566
3673
4876
6187
7625
9208
0961
2914
5105
7583
0408
3662
7453
1929
7297
3859
2066
2636
9.677
11.66
14.67
19.74
30.14
63.66
12'
0070
0428
0799
1184
1585
2002
2437
2892
3367
3865
4388
4938
5517
6128
6775
7461
8190
8S67
9797
0686
1642
2673
3789
5002
6325
7776
9375
1146
3122
5339
7848
0713
4015
7867
2422
7894
4596
3002
3863
9.845
11.91
15.06
20.45
31.82
71.62
18'
0105
0464
0837
1224
1626
2045
2482
2F38
3416
3916
4442
4994
5577
6191
6842
7532
8265
9047
Р883
0778
1742
2781
3906
5129
6464
7929
9544
1334
3332
5576
8118
1022
4373
828в
2524
8502
5350
3962
5126
10.02
12.16
15.46
21.20
33.69
81.85
24'
0141
0501
0875
1263
1667
2088
2527
2985
3465
3968
4496
5051
5637
6255
6909
7603
8341
9128
9970
0872
1842
2889
4023
5257
6605
8083
9714
1524
3544
5816
8391
1335
4737
8716
3435
9124
6122
4947
6427
10 20
12.43
15.89
22.02
35.80
95.49
30'
0176
0538
0913
1303
1708
2131
2572
3032
3514
4019
4550
5108
5697
6319
6977
7675
8418
9210
.0057
0565
1943
2998
4142
5386
6746
8239
9887
1716
3759
6059
8667
1653
5107
9152
3955
9758
6912
5958
7769
10.39
12.71
16.35
22.90
38.19
114.6
36'
0212
0575
0951
1343
1750
2174
2617
3079
3564
4071
4605
5166
5757
6383
7045
7747
8495
9292
.0145
1060
42'
0247
0612
оадо
1383
1792
2218
2662
3127
3613
4124
4659
5224
5818
6447
7113
7820
8572
9375
.0233
1155
2045 \ 2148
3109
4262
5517
68S0
8397
.0061
1910
3977
6305
8947
1976
5483
9594
4486
.0405
7720
6996
9152
10.58
13.30
16.83
23.86
40.92
143.2
3220
4383
5649
7034
8556
.0237
2106
4197
6554
9232
2303
5864
.0045
5026
.1066
8548
8062
.0579
10.78
13.30
17.34
24.90
44.07
191.0
48'
0283
0649
1028
1423
1833
2261
2708
3175
3663
4176
4715
5282
5880
6512
7182
7893
8650
9458
.0323
1251
2251
3332
4504
5782
7179
8716
.0415
2305
4420
6806
?520
2635
6252
.0504
5578
.1742
9395
9158
.2052
10.99
13.62
17.89
26.03
47.74
286.5
54'
0319
0686
1067
1463
1875
2305
2753
3222
3713
4229
4770
5340
5S41
6577
7251
7S66
8728
S542
.0413
1348
2355
3445
4627
5916
7326
8878
.0595
2506
4646
7062
9812
2972
6646
.0970
6140
.2432
.0264
.0285
.3572
11.20
13.S5
18.46
27.27
52.08
573.0
273
TV. Некоторые часто встречающиеся числа
п lg га
ж 3,141593 0,49715
4я 12,56637 1,09921
2 _
— 0,63662 1,80388
тс
яа_ 9,86960 0,99430
V* 1,77245 0,24857
е 2,718282 0,43429
In 10 2,3026 0,33222
lnj^ 0,6931 —
Y2_ 1,41421 0,15052
^3 1,73205 0,23856
1° 0,017453 радиана
Г 0,000291 »
1" 0,0000048 »
V. Некоторые соотношения между единицами
1. Соотношения между механическими единицами систем СГС и СИ (МКС)
\ч^ Система
Величина ^ч
Длина
Площадь
Объем
Время
Частота
колебаний
Частота
оборотов
Скорость
Угловая
скорость
Ускорение
Углогое
ускорение
Масса
! Сила
Дарление
СГС
название
сантиметр
квадратный
сантиметр
кубический
сантиметр
секунда
герц
кии
гал
грамм
дина
обозначе-
обозначение
СМ
СМ%
см11
сек
гц
1
сек
см
сек
1
сек
см
сек2
1
сек2
г
дин
дин
см3
МКС
название
метр
квадратный
метр
кубический
метр
секунда
герц
килограмм
ньютон
обозначе-
обозначение
М
М*
М3
сек
гц
1
сек
м
сек
1
сек
м
сек*
1
сек*
кг
н
н
мг
Отношение
един МКС
един. С/С
10а
Ю4
10е
1
1
Ю3
1
10а
1
10'
Ю5
274
Продолжение
^v Система
Величина ^ч
Плотность
Работа, энергия
Плотность
энергии
Мощность
Момент силы
Момент инерции
Количество
движения
Момент коли-
количества движения
Вязкость
(динамическая)
сгс
название
эрг
гуаз
обозначе-
обозначение
е
см3
эрг
эрг
см3
эрг
сек
дан-см
г-см2
г-см
сек
г см1
сек
пз
СИ и МК.С
название
джоуль
ватт
обочначе-
ине
кг
М3
дж
дж
м3
вт
н-м
кг-м2
кг-м
сек
кг~м2
сек
н-сек
Отношение
един МКС
един. СГС
Ю-»
10'
10
10'
10'
10'
105
10'
10
2. Соотношение между единицами давления
а) 1 коруальная атмосфера (атм) = 760 мм рт. ст. = 1,0333
_кГ_
см2
= 1,013-10"
см2
= 1,013-10^ —.
мг
б) 1 мм рт. ст. = 0,001316 атм = 1333-^- = 133,3
см"-
в) 1
кГ
см"-
. 735,6 мм рт. cm = 9,80665-10*-
см2 м2
3. Соотношение между единицами работы, энергии
а) 1 аэк=0,239 кал=%,2А2 ¦ 1018 эв.
б) 1 кГм=Э,80665 дж (при подсчетах принимать 1 кГм=Э,8 дж).
в) 1 /сал=4,185 Зж=2,612 • 101» эв.
г) 1 5в= 1,602-102 эрг = 1,602-10-1в дж = 1,63- Ю0 кГм =
=4,45-Ю6 квт-ч.
д) 1 атм ¦ -«=101,3 Зж=24,1 кал.
4. Соотношения между единицами электрических величин
в системах СГСЭ, СГСМ и ИКСА
Система единиц СГСЭ есть система сантиметр — грамм — секунда,
в которой в качестве основной электрической величины принята электри-
электрическая проницаемость. За единицу электрической проницаемости принята
проницаемость пространства, в котором отсутствуют частицы (вакуум).
Система СГСМ есть система сантиметр — грамм — секунда, в которой в ка-
качестве основной электрической величины принята магнитная проницаемость.
За единицу магнитной проницаемости принята проницаемость вакуума.
275
Система МКСА есть система метр — килограмм — секунда, в которой в ка-
качестве основной электрической величины принята сила тока. Определение
единицы силы тока — ампера приведено в тексте задачи 31—34. Каждой
из этих систем можно пользоваться при • расчетах как по иерационализиро-
ванным, так и по рационализированным формулам. Однако нужно помнить,
Что при пользовании одной и той же системой величина одних единиц
меняется при замене нерационализированных формул рационализированными,
а величина других единиц остается неизменной. Эти соотношения приведены
в последнем столбце таблицы V—4.
It В этой книге системы СГСЭ и СГСМ используются только с нерацио-
нализированньши уравнениями, а система МКСА как с нерационализирован-
ными, так и с рационализированными. Когда система используется с рацио-
рационализированными уравнениями, ее обозначаем СИ.
Название
величины и ее
обозначение
Количество
электриче-
электричества q
Разность
потенциалов V
Напряженность
электрического
поля Е
Индукция
электрического
поля D
Электроем-
Электроемкость С
Электрическая
проницаемость
Сила
тока /
Название единицы н ее
обозначение -
СГСЭ
—
—
—
—
санти-
сантиметр
см
__
_
СГСМ
—
—
—
—
—
—
СИ и
МКСА
кулон
к
вольт
в
ЕОЛЬТ
на метр
в
м
кулон
на квад-
квадратный
метр
к
фарада
Ф
—
ампер
а
Отношения
ед. СГСМ
ед. СГСЭ
3.101"
1
3-101°
1
3-101"
3. Ю1»
9- ЮМ
9-Ю20
3-1010
ед.СИ
ед. СГСЭ
3-10э
1
3-102
1
3-10*
3,77-10«
9-10»
i
1,13.1011
3-10э
ед. СИ
ед. СГСМ
Ю-1
10е
10«
?,26 10-*
Ю-9
1,26 10-ю
10-1
ед. СИ
ед. МКСА"
ед. СГСМр
"ед. СГСМ '
ед. СГСЭР_
=ед. СГСЭ
1
1
I
4.1
1
4л
1
276
Продолжение
Название
величины и ее
обозначенне
Плотность
тока / '
Сопротивле-
Сопротивление R
Удельное
сопротивле-
сопротивление р
Напряженность
Магнитного
поля Н
Магнитный
момент р
Магнитная
проницае-
проницаемость (Л
Магнитный
поток Ф
Индукция
магнитного
поля В
Индуктив-
Индуктивность L
Название единицы и ее
обозначение
СГСЭ
—
—
—
—
—
—
сгсм
—
эрс-
эрстед
э
—
макс-
Еелл
МКС
гаусс
гс
санти-
сантиметр
см
СИ и
МКСА
ампер на
квадрат-
квадратный метр
а
~м?
ом
ом
ом-метр
ом-м
ампер
на метр
а
м
—
вебер
вб
вебер
на квад-
квадратный
- метр
вб
яа
генри
гн
Отношения
ед. СГСМ
ед. СГСЭ
3-10"
1
9- 10м
1
9-102»
3-Ю1»
1
3-Ю10
1
9-102»
1
3-Ю1»
1
3-1010
1
9-Ю2»
ед. СИ
ед. СГСЭ
3-105
1
9-10"
1
9-10»
3,77-10»
1
37,7
1
1,13-1015
1
3-10г
1
3-10*
\
9-Ю11
ед.СИ
ед. СГСМ
Ю-6
10»
10»
1,26 Ю-2
Ю9
1,26
10в
1,26
10»
10*
10»
ед. СЯ
ед. МКСА
ед. СГСМр
~ ед. СГСМ
ед. СГСЭр
~ ед.СГСЭ
1
1
1
4я
1
4я
-1
4л
1
1
1
277
Всюду, где в настоящей таблице стоят цифры 3 и 9, следует, строго
говоря, ставить 2,99776 и 2,997762. В виду малой точности числовых
данных в задачах при их решении вполне возможно округление точных
чисел до 3 и 9.
Далеко не все единицы в указанных системах имеют наименования и
обозначения. В таких случаях следует после числа ставить наименование
системы (например, количество электричества q — 5 СГСЭ).
5. Разные величины
Длина: микрон (мк); 1 Л1К= 10~3 м,
о о
Длина: ангстрем (А); 1 А=10~8 см.
Объем: литр (л), 1 л=103 си3 (точнее, 1000,028 см3).
Освещенность: люкс и фот; 1 лк= 1(У ф.
Яркость: нит и стильб; 1 ят=10~4 сб.
Теплопроводность:
2,778 . Ю-з кал = ,,162 10.
м • ч • град см.-сек-град см • град
Приставки к обозначениям единиц
Мега (М) 10«
Кило (к) 101»
Деци (д) 10-1
Саьти (с) Ю-2
Милли (м) 10-'
Микро (мк) 10-е
Пико (л) l0~ia
VI. Основные физические величины
СЛ4з
1) Гравитационная постоянная: у = 6,67 • 10~8 = 6,67 • 101
F гсек2
= 6,67 • 10„.
г-сек2 кг-сек2
2) Нормальная напряженность поля тяготенияЗемли (ускорение падающих
м м.
Tf л): g0 = 9,80665 — . При решении задач принимать g равным 9,80 -,
сек2 сек?
за исключением особо оговоренных случаев.
3) Число молекул в 1 грамм-моле (число Авогадро):
W=6,02 . 1023 моль'1.
4) Молярный объем газа при нормальных условиях: 22,4 .
дж
5) Универсальная газовая постоянная R = 8,314
моль • град
. 0,0820 -™*1*- = 0,848 «ГМ = 8,314 . 10'
моль рад о д
= 0,848 = 8,314 10 г
моль • град моль • град моль ¦ град
моль • град
6) Молекулярный Еес Еоздуха (средний): 28,9 .
моль
7) Постоянная Больцмаиа:
k = 1,380 • Ю-'* -^L. = 1,380 • Ю--3
град град
278
8) Точка таяния льда: 273,16°К (при решении задач принимать 273°К).
9) Постоянная закона Стефана:
= 5,67- 10-5-
эрг
= 5,67 • 10-8
вт
ем* • сек • град* '' ' " м? • град*
10) Постоянная закона смещения максимума излучения:
С=0,290 см. ¦ град.
11) Заряд электрона:
е=4,803 • 10-10 СГСЭ= 1,601 • Ю'19 к
(при решении задач принимать 4,80 ¦ 10~10 СГСЭ).
12) Масса электрона (покоящегося):
«,,=9,106 • Ю-28 г
(при решении задач принимать 9,1 • 10~2s г).
13) Масса протона:
тр= 1,672
14) Число Фарадея:
F = 9,65 . 104 .
г-экв
15) Постоянная Планка:
h — 6,62 ¦ 10-2' эрг ¦ сек.
16) Скорость света в пустоте:
см
с — 2,99776 • Ю1» ¦
сек
(СМ
при решении задач принимать 3 • 1010 ).
е сек '
VII. Атомные веса
Азот . .
Алюмигий
Аргон . .
Барий . .
Бериллий
Бор . . ,
Бром . .
Висмут
Водород .
Вольфрам
Гелий . .
Железо .
Золото
Йод . .
Калий .
Кальций
Кислород
Кремний
Литий '.
N
AI
Аг
Ва
Be
В
Вг
Bi
Н
W
Не
Fe
Аи
J
К
Са
О
Si
Li
14,008
26,97
39,944
137,36
9,02
10,82
79,916
209,00
1,0081
184
4,004
55,84
197,2
126,62
38,096
40,08
16,000
28,08
6,S4
Магний
Медь .
Натрий
Неон
Никель
Олог о .
Платина
Радий .
Радон .
Ртуть .
Свинец
Сера
Серебро
Углерод
Уран
Фосфор
Хлор
Хром .
Цинк .
Mg
Си
Na
Ne
Ni
Sn
Pt
Ra
Rn
Hg
Pb
s
и
p
Cl
Cr
Zn
24,32
63,57
22,997
20,183
58,69
118,70
1S5.23
226,05
222
200,61
207,22
32,060
107,88
12,00
238,14
31,02
35,457
52,01
65,38
279
VIII. Массы частиц, выраженные в атомных единицах массы
I — массы атома изотопа углерода С12 ]
е . . . . электрон 0,00055 jH1 ..... атом водорода 1,00782
п ... нейтрон 1,00866 iH2 атом дейтерия 2,01410
Р ... протон 1,00728 2Hes .... атом гелия 3,01602
D ... дейт он 2,01355 2Не4 .... атом гелия 4,00260
а .... а-частица 4,00150 8Li7 .... атом лития 7,01600
IX. Диаметр молекул и атомов (см,)
Н2 2,3-10-8 Но0 2,6-lO-s
О, 2,9-10-8 Не 1,9-Ю-8
N2 3,1-Ю-8
X. Астрономические величины
Средний радиус Земли ....— ... 6370 км
Масса Земли 5,96-1027 г
Радиус Солнца 696 000 км
Масса Солнца . . . *. 1,97-10s* г
Среднее расстояние от Земли до Солнца 149 000 000 км
Радиус Луны 1735 км
Масса Луны 7,35-10** г
Среднее расстояние от Луны до Земли 384 000 км
Угловая скорость вращения Земли . . 7,272-10~6 сект1
XI. Плотности (D)
а) Газы (при нормальных условиях)
Воздух 1,293
Углекислый газ ... 1,977
Кислород
Водород
б) Жидкости
Бензол . . . . .
Керосин . . . .
Скипидар . . .
КастороЕое масло
0,88
0,80
0,85
0,97
(-
Кем*
Спирт . . .
Ртуть . . .
Эфир B0J С)
Глицерин
в) Твердые вещества —-
Висмут 9,7
Вольфрам 19,0
Гуммигут 1,2
)Келезо (сталь) ... 7,8
Лед v 0,917
Медь ,
Натрий хлористый
Никель
1,429
0,08988
0,79
13,6
0,714
1,21
8,9
2,17
8,8
Свинец 11,3
Цинк
7,0
XII. Вязкость ((,)
. к•сек
1 = 10 пз
м2
Воздух при 0° С 1,8-10-* пз
Кислород при 0' С 1,92-Ю »
Вода при 15° С 0,011 »
Касторовое масло при 20° С .... 10 »
Глицерин 3,5 »
280
ХШ. Разрушающее напряжение при растяжении
1 — = 9,8-104 —
см* v?
Сталь 7000 кГ/сж2
Железо 6000 »
Медь 2400 »
Свинец 200 »
Стекло 300 »
XIV. Упругость
мм'
Название
материала
Сталь . . . .
Железо . . .
Медь . . . .
Свинец . . .
Стекло . . .
ДереЕО . . .
Ртуть . . . .
Вода . . . .
Модуль упруго-
упругости 1-го рода Е
(—)
20 00Э
20 000
12 000
1700
5000
1000
—
—
Коэффициент
поперечного
сжатия
0,3
0,3
0,35 _
0,38
0,2—0,3
—
—
—
Модуль сдвига
О
8000
8000
4500
560
—
—
—
—
Модуль всесто-
всестороннего сжатия
\MM'j
16 500
13 500
—
3000
—
2 500
200
Цинк . . . . ,
Железо (сталь)
Медь . . . .
XV. Коэффициенты теплового расширения
а) линейное расширение (а)
. . . 29-Ю-8 град-1 Латунь 19-10-» град'
. . . 12- 10-в » Стекло 10-10-» »
. . . 17-10-' » Алюминий 24-10"» »
б) объемное раоширенне (Р)
Ртуть .... 0,00018 град'1
XVI. Теплоемкости твердых и жидких веществ
Название
материала
Теплоемкость
\г-град J
ка-град
Название
материала
Теплоемкость
кал \
е-град )
кг-град
Висмут . . .
Вольфрам . .
Железо (сталь)
0,031
0,037
0,11
130
1,5-10а
460
Медь
Свинец
Спирт
0,091
0,032
0,59 -
380
1,3-102
2,5-Ю3
281
XVII. Теплеемкостн газов
Название газа
или пара
Теплоемкость при
постоянном давлении
)
/ дж
\кг¦ера
град}
Теплоемкость при
постоянном объеме
кал
г-ераО/
док \
¦ град)
Коэффициент
Пуассона
Воздух
Водяной пар .
Аргон ....
Азот
Кислород . .
Углекислый газ
0,243
0,435
0,127
0,249
0,218
0,2025
1020
1820
531
1040
912
847
0,174
0,330
0,0762
0,177
0,155
0,156
728
1380
319
741
649
653
1,40
1,32
1,67
1,41
1,40
1,30
XVIII. Постоянные Ван-дер-Ваальса
Вещество
Аг
Н2О
СО2
а
а
/лг'птм\
\ моль' /
1,35
1,3
5,47
3,6
1,35
0,24
6
1 * \
\ МОЛЬ )
0,04
0,03
0,03
0,043
0,03
0,26
Лед
XIX, Теплота плавления
79,6^=3,33.10.^.
г кг
XX. Давление и плотность насыщающего водяного пара
е с
—23
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
р
(мм рт. ст.)
0,58
4,58
4,93
5,29
5,69
6,10
6,54
7,01
7,51
8,05
8,61
9,21
9,84
10,52
11,23
11,99
D
{?)
0,66
4,84
5,22
5,60
5,98
6,40
6,84
7,3
7,8
8,3
8,8
9,4
10,0
10,7
11,4
12,1
t° С
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
р
(мм рт. ст.)
12,79
13,63
14,53
15,48
16,48
17,54
18,65
19,83
21,07
22,38
23,76
25,21
26,74
28,35
30,04
31,82
D
(i)
12,8
13,6
14,5
15,4
16,3
17,3
18,3
19,4
20,6
21,8
23,0
24,4
25,8
27,2
28,7
30,3
282
XXI. Свойства насыщающего водяного пара
Давление
, „г- \
(-?)
0,02
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
0,9
1
1,0333
1,23
1,8
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
30
40
t° С
17,2
45,4
59,7
75,4
85,45
93,0
96,2
99,1
100
105
116,3
119,6
132,9
142,9
151,1
158,1
164,2
169,6
174,5
179,0
187,1
194,1
200,4
206,2
211,4
232,8
249,2
Удельный
объем пара
( *\
\ кг)
68,3
14,96
7,80
4,071
2,785
2,127
1.S05
1,726
1,674
1,420
0,996
0,602
0,617
0,4708
0,3818
0,3214
0,2778
0,2448
0,2189
0,1980
0,1663
0,1434
0,1261
0,1125
0,1015
0,0679
0,0506
Скрытая
испа]
1 ккал \
\ кг )
586,9
570,4
563,7
554,6
548,6
544,1
542,0
540,2
539,7
535,4
529,1
526,9
517,7
510,4
504,1
498.7
493,7
489,2
485,0
481,1
473,8
467,2
461,2
455,5
450,3
427,5
408,9
теплота
>ения
/ кдж \
\ кг )
2456
2387
2359
2321
2296
2277
2268
2261
2259
2241
2214
2205
2167
2136
2110
2087
2066
2047
2030
2013
1983
1955
1930
1S06
1884
1789
1711
Полная
теплота
испарения
/ ккал \
\ кг )
604,1
617,2
623,3
630,0
634,1
637,1
638,3
639,4
639,8
640,4
645,8
646,9
-€51,2
654,2
656,4
658,2
659,5
660,7
661,7
662,5
663,7
664,6
665,3
665,8
666,2
666,8
666,4
( кдж \
1 кг )
2528
2583
2608
2636
2653,7
2666
2671
2676
2678
2680
2703
2707
2725
2738
2747
2755
2760
2765
2769
2773
2778
2781
2784
2786
2788
2791
2789
XXII, Коэффициенты теплопроводности (А)
см • сек ¦ град
дж
м ¦ сек ¦ град
Воздух .
Алюминий
Висмут .
Железо .
Медь . .
Свинец
0,000056
0,5
0,024
0,14
0,92
0,083
0,023
210
10
59
380
35
град
кдж
м ¦ ч ¦ град
Асбест
Дерево (перпендикулярно к ео-
локиам)
Кирпич
Накипь котельная
Сажа
Стекло
0,18
0,15
0,6
2,
0,06
0,6
0,75
0,63
2,5
8
0,25
2,5
283
XXIII. Коэффициенты теплоотдачи (а)
Металл — газ 3 • 10~» = 13
см2-сек-град
л?
м
дж
¦сек-град
2 ¦ ч • град
Сажа — газ 20 = 84
м2-ч-град
Металл, покрытый накипью,— ккал 9 , ]П4
рп™ 5000 м*-ч-град -z-wu ^-ч-град
XXIV. Поверхностное натяжение (а)
л2 см?
Вода при 20° С1 . . . . 70 эрг/см2
Мыльная вода .... 40 »
Ртуть 4<0 »
Скипидар 27 »
Спирт 22 »
XXV. Удельные сопротивления (при комнатной температуре)
и температурные коэффициенты (р и а)
Алюминий 2,8-10-6 ом-см 4,2 • 10~3 град'1
Железо 12 . 20-6 » 6 . 10 »
Медь 1,7 . 10 » 5 ¦ 10-з »
Никелин 4 - 10~5 » —
Нихром 1 ¦ 10-* » —
Свинец 22 • 10"в » 4,2 . Ю-3 »
Уголь 4 • 10-з » — 0,8 • Ю-3 »
XXVI. Электрические проницаемости (е)
е'= е • 8,84. 102 —,
м
где е — электрическая проницаемость, выраженная в единицах СГСЭ;
е' — электрическая проницаемость, ъыраженная в рационализированной систе-
системе МКС А, т. е. в СИ
Керосин 2 (ед. СГСЭ)
Спирт 26 »
Слюда 7 »
Фарфор 6 »
Стекло 7 »
Вода 81 »
Парафин 2 »
v Поверхностное натяжение воды при иных температурах можно вычислить,
8ная, что при повышении температуры на Г поверхностное натяжение уменьша-
уменьшается на 0.15 •.
см1
284
XXVII. Подвижности ионов (ft)
а) Водные растворы
Ag- 0,00056 см2/в-сек
К" 0,00067 »
Н- 0,00324 »
CV 0,00068 »
N0/ 0,00064 »
б) Газы при нормальных условиях
Воздух 1,37 см?/в-сек 1,91 см^/в-сек
Азот 1,27 » 1,84 » .
XXVIII. Работа ионизации (<р-е)
однократная двукратная
Кислород 13,56 эв 48,56 эв
Азот 14,47 » 44,05 »
XXIX, Работа выхода электронов из металла (<р-в)
Платина 6,3 эв
Цезий 1,9 »
Вольфрам 4,53»
XXX, Скорость звука (с)
В воздухе при 0° С 332 м/сек
В воде 1450 »
XXXI, Коэффициенты преломления (средние для видимых лучей) (л)
Стекло 1,52
Вода 1,333
Лед 1,31
XXXII, Коэффициенты полного излучения {&) н удельные
сопротивления (р) вольфрама при различных температурах (Т)
Т р
(°К) {om-cm-W)
1000 0,115 25,7
J500 0,194 41,8
2000 0,260 59,1
2500 0,303 77,2
3000 0,334 96,2
3500 0,351 115,7
XXXIII. Периоды полураспада радиоактивных веществ (Т)
Уран 4,4 • 10" лет= 1,4- 1017 сек
Радий 1590 лет =5,02 ¦ 10'° сек
Радон 3,825 суток = 3,305 • 105 сек
Актиний 13,5 лет = 4,23 ¦ 103 сек
RaA 183 сек
285
XXXIV, Рекомендуемые обозначения некоторых величин
Длина ha,d
Ширина . . b
Глубина, высота 'i
Диаметр ........... d
Радиус R, г
Площадь i
Объем V
Время , U 1
Смещение, путь s
Скорость о, и
Ускорение я
Угловое перемещение ..... ф
Угловая скорость «>
Угловое ускорение е
Масса т
Плотность D
Удельный объем v
Сила F
Вес (в воздухе) Р
Давление Р
Момент силы М
Момент инерции ....... J
Количество движения К
Момент количества движения L
Работа ., А
Мощность Р, N
Коэффициент трения . . . . И*
Энергия Э
Плотность энергии W
Энергия кинетическая .... ?
Энергия потенциальная . . . Л
Напряженность поля тяготе-
тяготения Земли 8
Период Т
Частота колебаний ...... f. ч
Частота оборотов п
Циклическая частота w
Разность фаз <Р
Длина волны X
Скорость волн (фазовая) . . с
Скорость волн (групповая) . . и
Коэффициент затухания колеба-
колебаний а
Логарифмический декремент
затухания ©
Модуль упругости 1-го рода
(модуль Юнга) Е
Коэффициент поперечного сжа-
сжатия |х
Модуль сдвига О
Модуль всестороннего сжатия К
Коэффициент линейного расши-
расширения а
Коэффициент объемного рас-
расширения Р
Молекулярный Еес 1^
Отношение f? х
Коэффициент полезного дейст-
действия *j
Поверхностное натяжение . . о
Температура по шкале Цель-
Цельсия t
Абсолютная температура . . Т
Количество теплоты . . . . Q
Внутренняя энергия . ... II
Энтропия S
Удельная теплоемкость ... с
Теплота испарения г
Теплопроводность X
Заряд (количество электриче-
электричества) q
Заряд электрона е
Поверхностная плотность за-
заряда о
Объемная плотность заряда . р
Электрическая проницаемость е
Напряженность электрического
поля Е
Индукция электрического по-
поля D
Электроемкость С
Напряжение (разность потен-
потенциалов) U
Электродвижущая сила ... ?
Величина тока I,i
Плотность тока /
Сопротивление R ,г
Удельное сопротивление . . р
Проводимость G
Удельная проводимость . . . g
Напряженность магнитного
поля Н
Индукция магнитного поля . В
Магнитная проницаемость . . |х
Магнитный поток Ф
Число витков катушки . . . w
Индуктивность ....... L
Взаимная индуктивность . . М
Кажущееся сопротивление . г
Вектор Умова •— Пойнтинга . S
Интенсивность воли /
Световой поток F
Освещенность Е
Сила света J
Угол между лучом и нормалью
к границе двух сред . . . «, it
Преломляющий угол призмы д
Фокусное расстояние линзы,
зеркала /
Оптическая сил^ D
Коэффициент преломления . . п
ОГЛАВЛЕНИЕ
Вниманию учащихся 3
Глава I. Механика
§ 1. Кинематика 7
§ 2. Движение свободно падаю-
падающих и брошенных тел . . 15
§ 3. Законы движения. Рабо-
Работа, мощность, энергия . . 19
§ 4. Динамика вращательного
движения 29
§ 5. Закон всемирного тяготения 40
§ 6. Статика твердого тела . 43
§ 7. Прочность и упругость
материалов 47
§ 8. Динамика колебательного
движения. Маятники ... 51
§ 9. Движение жидкостей и
газов 57
Глава II. Молекулярная физика
§ 10. Расширение при нагрева-
нагревании твердых и жидких тел 62
§ 11. Свойства идеальных газов 63
§ 12. Первый принцип термо-
термодинамики в применении к
идеальным газам 67
§ 13. Кинетическая теория газов 72
§ 14. Реальные газы. Критиче-
Критическое состояние 76
§ 15. Молекулярные силы в жид-
жидкостях 79
§ 16. Свойства паров. Влаж-
Влажность -воздуха ...... 83
§ 17. Свойства растворов ... 85
§ 18. Второй принцип термоди-
термодинамики 87
§ 19. Передача теплоты .... 90^
Глава III. Электричество
§ 20. Взаимодействие зарядов . 93
§ 21. Потенциал 98
§ 22. Проводники в электричес-
электрическом поле 103
§ 23. Диэлектрики в электричес-
электрическом поле 105
§ 24. Электроемкость ..... 107
§ 25. Закон Ома 113
§ 26. Разветвленные цепи . . .118
§ 27. Мощность и работа тока . 124
§ 28. Электронные явления в
металлах 128
§ 29. Электрический ток в газах 130
§ 30. Явления в электролитах 133
§ 31. Магнетизм 134
§ 32. Работа при перемещении
проводника с током в маг-
магнитном поле и электромаг-
электромагнитная индукция .... 146
§ 33. Периодические токи . . . 156
§ 34. Электрические колебания 162
Глава IV. Волновые процессы
§ 35. Волны 165
§ 36. Звуковые явления .... 170
Глава V. Оптика.
<з> Строение атома
§ 37. Законы освещения . . . 174
§ 38. Зеркала, призмы и лиизы 178
§ 39. Волновая природа света 190
§ 40. Квантовые явления в оп-
оптике 200
§ 41. Законы излучения .... 202
§ 42. Внутриядерные яйления . 207
Ответы . 210
Приложения , 268
Дмитрий Иванович Сахаров
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
Редактор Т. В. Михалкевич
Переплет художника Г. С. Богачева
Художественный редактор В. С. Эрденко
Технический редактор В. И. Корнеева
Корректор Т. А. Кузнецова
с!дано в набор 26/XI 1966 г. Подписано к
печати 12/VI 1967 г. 60X907,6. Бумага тип
№ 2. Печ. л. 18. Уч.-изд. л. 17,52. Тираж
100 тыс. экз. А04832.
Издательство «Просвещение» Комитета по
печати при Совете Министров РСФСР.
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41
Саратовский полиграфический комбинат
Росглавполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров РСФСР. Саратов,
ул. Чернышевского, 59. Заказ № 636.
Цена без переплета 49 коп.
Переплет бум. ледерин 13 коп.