Текст
Д. И. Сахаров
Сборник задач
по ФИЗИКЕ
для вузов
13-е издание, исправленное и дополненное
Москва
«ОНИКС 21 век»
«Мир и Образование»
2003
УДК 53@76.2)
ББК 22.3
С22
Сборник подготовлен к изданию сотрудниками
кафедры общей и экспериментальной физики
Московского педагогического государственного университета
А. Б. Казанцевой, Н. В. Соиной,
И. А. Васильевой, М. С. Каменецкой
Сахаров Д. И.
С22 Сборник задач по физике для вузов / Д. И. Саха-
Сахаров. — 13-е изд., испр. и доп. — М.: ООО «Издатель-
«Издательский дом «ОНИКС 21 век»: 000 «Издательство
«Мир и Образование», 2003. — 400 с: ил.
ISBN 5-329-00689-9@00 «Издательский дом «ОНИКС-21 век»)
ISBN 5-94666-063-2 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)
Сборник содержит более 1000 задач и вопросов по всем
разделам вузовского курса общей физики. В каждом пара-
параграфе приводятся основные физические законы и соотно-
соотношения, необходимые для решения задач.
В новом издании заменены устаревшие определения
и термины, введена Международная система единиц (СИ).
Все задачи снабжены ответами, а наиболее сложные — ука-
указаниями, комментариями к решению.
Задачник предназначен для студентов и преподавателей
вузов.
УДК 53@76.2)
ББК 22.3
ISBN 5-329-00689-9 (ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»)
ISBN 5-94666-063-2 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)
© Сахаров Г. Д., наследник, 2003
© 000 «Издательский дом «ОНИКС 21 век».
Оформление, 2003
Предисловие
Первое издание «Сборника задач по физике» Д. И. Са-
Сахарова (в соавторстве с И. С. Косминковым) было ут-
утверждено в качестве учебного пособия для физико-мате-
физико-математических факультетов педагогических институтов, но
сразу же стало широко использоваться в университетах
и технических вузах.
Задачник переиздавался 12 раз; при этом его содер-
содержание существенно улучшалось, и с каждым новым
изданием он становился все более популярным. Рецен-
Рецензентами выступали известные ученые-физики, мето-
методисты — профессора М. А. Леонтович, Н. В. Кашин,
Н. Н. Малов, Ю. В. Басов и др. Они считали, что это не-
несомненно лучший задачник по физике в стране. Многие
сборники задач по физике, появившиеся в последующие
годы, созданы под влиянием этой книги.
После смерти Дмитрия Ивановича Сахарова два послед-
последних издания были подготовлены его сыновьями — А. Д. Са-
Сахаровым — известным ученым-физиком, и Г. Д. Саха-
Сахаровым.
Несмотря на то, что последнее издание вышло более
20 лет назад, сборник задач не утратил своего значения.
Его по-прежнему активно используют в педагогических
и технических вузах. Несомненно высоки дидактиче-
дидактические достоинства задачника — качество и оригиналь-
оригинальность представленных задач, глубокая продуманность
их расположения, указания к решениям наиболее слож-
сложных и оригинальных задач.
Сотрудники кафедры общей и экспериментальной
физики Московского педагогического государственного
университета (бывшего МГПИ имени В. И. Ленина) —
вуза» где 20 лет работал Д. И. Сахаров и где в практике
преподавания до сих пор активно используется этот
Предисловие
сборник, — подготовили предлагаемое издание сборни-
сборника задач. Общее количество задач, их нумерация и рас-
распределение по разделам «Механика», «Молекулярная
физика», «Электромагнетизм» и «Волновые процессы»
остались прежними. В раздел «Оптика. Строение ато-
атома» добавлено несколько новых задач: в § 40 «Кванто-
«Квантовые явления в оптике» задачи 17—20, в § 42 «Внутри-
«Внутриядерные явления» — задачи 11—16, 22. Переработаны
и расширены теоретические введения к параграфам. За-
Заменены устаревшие названия и термины, исправлены
отдельные неточности в ответах. Для многих задач даны
не только ответы в виде буквенного и числового резуль-
результата, но и указания на метод решения. По сравнению
с предыдущими изданиями существенно увеличен объем
комментариев к решению задач. При работе использова-
использовались материалы из архива Д. И. Сахарова.
В предлагаемом издании все данные, ответы к зада-
задачам, справочные таблицы и решения даны в Междуна-
Международной системе единиц (СИ).
Н. Е. Парфентьева,
доцент кафедры теории
и методики обучения физике МПГУ
Советы студентам
1. Прежде всего необходимо ознакомиться с таблица-
таблицами, помещенными в конце книги, так как решение мно-
многих задач без их использования невозможно. Необходи-
Необходимо также знакомство с введениями, имеющимися в
каждом параграфе и содержащими обзор понятий и со-
соотношений, служащих для решения задач, помещенных в
данном параграфе и в следующих за ним.
2. Вникнув в смысл задачи, следует установить, все
ли данные, нужные для решения задачи, приведены;
недостающие данные можно найти в таблицах, поме-
помещенных в конце книги.
3. Затем следует сформулировать все упрощающие
предположения, которые нужно сделать, чтобы решить
данную задачу.
Часть из этих упрощающих предположений указана
в тексте задачи, часть должна быть непременно сформу-
сформулирована при ответе, например так: «Принимая Землю
за однородный шар, находим...» и т. д.
4. Следует решать задачи в общем виде, пользуясь
обозначениями величин (табл. XXXI).
5. Найдя ответ в виде некоторой формулы, выражаю-
выражающей искомую величину через заданные, следует прове-
проверить правильность полученной формулы следующими
способами:
а) проверить равенство размерностей у отдельных чле-
членов полученной формулы. Неравенство размерностей слу-
служит явным признаком неверности решения. Если в фор-
формулу входит показательная функция, то размерность
показателя должна быть равна нулю;
б) проверить применимость полученной формулы к ча-
частным случаям.
Советы студентам
Рассмотрим простой пример. Пусть для скорости па-
падения на Землю тела, брошенного на высоте h со скоро-
скоростью v0, найдена формула
v= Jv* + 2gk.
Если Vq = 0, то формула обращается в известную из
теории формулу для скорости тела, падающего без началь-
начальной скорости: v = J2gh. Если высота падения очень мала,
то скорость тела v, очевидно, почти равна начальной
скорости, что также получается из приведенной форму-
формулы, если положить h = 0;
в) иногда из условий видно, что формула, выражаю-
выражающая ответ, должна быть симметричной по отношению к
данным задачи, т. е. ответ не должен меняться, если по-
поменять данные местами.
Рассмотрим лример. Гальванический элемент дает ток
/j = 2 А, если сопротивление внешней цепи R1 = 0,2 Ом,
и ток /2 = 0,7 А, если сопротивление внешней цепи R2 =
= 1,5 Ом. Какова электродвижущая сила элемента?
Очевидно, что последовательность опытов, обозначен-
обозначенных индексами 1 и 2, произвольна и ее можно заменить
на обратную. Действительно, решая задачу, находим
формулу, выражающую ЭДС элемента как функцию 1Х,
9, ГЦ И Лл.
Ct i. ?t
Эта формула симметрична относительно величин,
обозначенных индексами 1 и 2, и если всюду, где стоит
индекс 1, поставить индекс 2, и наоборот, формула не
изменится. Предположим, что кто-нибудь, решая эту
или другую задачу, в которой по смыслу условий можно
менять последовательность данных, получил формулу,
в которой нельзя менять местами индексы. Такой ре-
результат служил бы признаком, что в решении задачи
есть ошибка.
Советы студентам
6. Необходимо иметь в виду, что решение задачи дол-
должно быть обосновано. Так, например, при решении за-
задачи 8—7 надо показать, почему в рассматриваемом
случае можно применить формулу для математического
маятника, хотя вместо материальной точки колеблется
целое полено.
Точно так же требуется обоснование ответов на каче-
качественные вопросы.
7. Прежде чем приступить к числовым расчетам, сле-
следует произвести пересчет всех имеющихся данных в Меж-
Международную систему единиц (СИ).
В пересчете нет необходимости, если ответ зависит от
отношения величин одинаковой размерности. Например,
в расчеты, связанные с уравнением состояния идеаль-
ного газа, часто входят отношения вида — , —- или — .
Pi T2 V2
В этих выражениях давление р, температуру Т, объем V
можно выражать в любых единицах.
8. Приступая к вычислениям, надо, приняв во вни-
внимание степень точности данных задач, определить число
знаков, которые следует вычислить в результате (в боль-
большинстве задач — два или три знака).
9. Легкие задачи отмечены значком « , задачи средней
трудности — значком *j , более трудные — значком W.
Значками * и л отмечены также задачи, требующие
применения формул интегрального и дифференциально-
дифференциального исчислений.
Глава 1
МЕХАНИКА
§ 1. Кинематика
1) Скорость материальной точки
и = lim ^ = *L,
д(-.О Л* cU
где Дг — перемещение (приращение радиуса-вектора);
ускорение материальной точки
2= lim *» «**.
2) Зависимости скорости и перемещения от времени
при равноускоренном движении:
v = ио + at; Дг = uot + -— ,
где v0 — начальная скорость. При а. = 0 получаем закон
равномерного движения: Дг = vt.
3) Путь, пройденный точкой за промежуток времени
s
где v — модуль скорости.
h
= jvdt
При прямолинейном равноускоренном движении
2 2
и -и,
S =
о
2а
4) Если из некоторой точки пространства проводить
векторы скорости материальной точки в различные мо-
моменты ее движения, то концы этих векторов располо-
расположатся по кривой, называемой годографом скорости.
При движении точки по ее траектории конец вектора
скорости движется по годографу, причем скорость дви-
§ 1. Кинематика
жения конца вектора скорости по годографу равна уско-
ускорению точки при движении по траектории.
5) При криволинейном движении
„2
где R — радиус кривизны траектории; ап — нормальное
(центростремительное) ускорение; at — тангенциальное
ускорение; а — полное ускорение.
6) При поступательном движении твердого тела ско-
скорости и ускорения всех точек тела в любой момент оди-
одинаковы.
7) Вращательное движение твердого тела характери-
характеризуется угловой скоростью со = lim — = ^ и угловым
Д(-.О Л* <"
ускорением 8 = lim -г^ = 4- • Векторы Дф и й направ-
направлю _ о At at
лены вдоль оси вращения по правилу правого винта.
8) Связь линейной скорости v и тангенциального ус-
ускорения at точки вращающегося твердого тела с угловы-
угловыми скоростью и ускорением:
у = сод = ?лЛ; at = eR,
где R — расстояние данной точки до оси; Т — период
вращения.
9) Гармоническое колебание описывается уравнениями:
s = A sin (cat + ф) = A sin (?Н? + <р);
v = Ао) cos (Ш + ф);
а = -Аы2 sin (со* + ф) = -w2s,
где s — смещение от положения равновесия; А — амп-
амплитуда; ф — начальная фаза; Г — период колебания.
10) При сложении двух одинаково направленных
гармонических колебаний с одинаковыми периодами
получается гармоническое колебание с амплитудой
I +А\ + 2АХА2 cos (фх - ф2)
10
Глава 1. МЕХАНИКА
и начальной фазой
Ал sin ф, +Аг sin ф,
Ф = arctg —: -. ,
^ At cos фх +А2 cos ф2
где Av A2 — амплитуды складываемых колебаний;
*Pi> ^2— их начальные фазы.
• 1-1. На рисунке 1-1 показан график зависимости пу-
пути от времени для движения вагона трамвая в начале пере-
перегона.
s, м.
50
т
*<
4
¦0
•
*
t,c
10
Рис. 1-1
15
20
а) Каков характер движения вагона в различные мо-
моменты времени?
б) В какой момент скорость вагона наибольшая?
в) Что показывают пунктирные линии графика?
г) Какова средняя скорость трамвая за первые 10 с?
за первые 17 с?
• 1-2. На рисунке 1-2 показан примерный график дви-
движения некоторой точки звучащей струны рояля. В какие
моменты точка движется с наибольшей скоростью и в ка-
какие — с наибольшим ускорением?
28 t, с
-1
Рис. 1-2
§ 1. Кинематика
11
• 1-3. Ha рисунке 1-3 показан примерный график
скорости автомобиля.
v, м/с
10
20 30
Рис. 1-3
40
+~*, 10"
а) Каков характер движения автомобиля в различ-
различные моменты времени?
б) Чему равен путь, пройденный автомобилем за 40 с?
• 1-4. Существуют приборы, позволяющие записы-
записывать графики, показывающие, как с течением времени
меняется ускорение движущегося вагона.
а) В какие отрезки времени движение вагона, описан-
описанное графиком на рисунке 1-4, было ускоренным, в ка-
какие — замедленным, в какие — равномерным?
а, м/с2,
0,5
0
-0,5
Рис. 1-4
б) Начертите приблизительно график скорости, соот-
соответствующий графику, показанному на рис. 1-4, пред-
предполагая, что при t = 0 v = 0.
• 1-5. На рисунке 1-5 дан график зависимости ско-
скорости от пройденного пути. Каков характер движения
на отдельных участках пути?
v, м/с
10
1
V
\
50
100
|
\
/
t, с
L50
V
3 6 9
Рис. 1-5
12
Глава!. МЕХАНИКА
¦ 1-6. Ha рисунке 1-6 показан график зависимости
ускорения материальной точки от пройденного пути.
S, М
Рис. 1-6
а) Каков характер движения на отдельных участках?
б) Что показывает площадь, ограниченная кривой и
осью абсцисс?
в) Что можно сказать о начальной и конечной ско-
скоростях материальной точки, если площади А и В на гра-
графике равны?
• 1-7. Поезд идет со скоростью 75 км/ч. Может ли
человек заметить его перемещение темной ночью при
вспышке молнии, продолжительность которой =2 • 10~4 с,
если он находится на таком расстоянии от поезда, на ко-
котором он может заметить смещение не меньше 1 см?
^ 1-8. Человек находится на расстоянии h = 50 м от
прямой дороги, по которой приближается автомобиль со
скоростью их = 10 м/с.
а) По какому направлению должен бежать человек,
чтобы встретиться с автомобилем, если автомобиль на-
находится на расстоянии Ь = 200 м от человека и если че-
человек бежит со скоростью и2 = 3 м/с?
б) Какова наименьшая скорость, с которой должен
бежать человек, чтобы встретиться с автомобилем?
• 1-9. Поезд, двигаясь от остановки, прошел 200 м в
течение 50 с и достиг скорости 6 м/с. Увеличивалось или
уменьшалось ускорение движения с течением времени?
• 1-10. Поезд метро проходит перегон 2 км за 2 мин
20 с. Принимая, что максимальная скорость поезда рав-
равна 60 км/ч и что в начале и в конце перегона поезд дви-
движется с постоянными ускорениями, равными по моду-
модулю, определите эти ускорения.
§ 1. Кинематика 13
^ 1-11. Наблюдатель, стоявший в момент начала
движения электропоезда у его переднего края, заметил,
что первый вагон прошел мимо него за т = 4 с. В течение
какого времени мимо него будет двигаться л-й G-й) ва-
вагон? Движение считать равноускоренным.
^ 1-12. Наблюдатель, стоящий на платформе, заме-
заметил, что первый вагон электропоезда, приближающегося
к станции, шел мимо него в течение 4 с, а второй — в те-
течение 5 с. После этого передний край поезда остановился
на расстоянии 75 м от наблюдателя. Считая движение по-
поезда равнозамедленным, определите его ускорение.
• 1-13. По наклонной доске пустили снизу вверх ша-
шарик. На расстоянии 30 см от начала пути шарик побы-
побывал дважды: через 1 с и через 2 с после начала движе-
движения. Определите начальную скорость и ускорение дви-
движения шарика, считая движение равноускоренным.
¦ 1-14. Фонарь, находящийся на расстоянии Ro = 3 м
от вертикальной стены, бросает на нее световой «зай-
«зайчик». Фонарь равномерно вращается вокруг вертикаль-
вертикальной оси с частотой п = 0,5 с. При вращении фонаря
«зайчик» «бежит» по стене по горизонтальной прямой.
Найдите скорость «зайчика» через * = 0,1 с после того,
как луч света был перпендикулярен стене.
• 1-15. С пристани А отправляются вверх и вниз по
реке два одинаковых катера и прибывают к пристаням В
и С через одинаковые отрезки времени. На обратное воз-
возвращение катера из В в А требуется в 1,5 раза больше
времени, чем на возвращение второго катера из С в А.
Во сколько раз скорость катера в стоячей воде больше
скорости течения реки?
А 1-16. Две линейки лежат
одна на другой (рис. 1-7). Края
линеек образуют угол ос. Если
линейку В перемещать поступа-
поступательно со скоростью и, вектор
которой образует с краем линей-
линейки А угол Р, то точка С пересече-
пересечения линеек перемещается. Опре-
Определите скорость v точки С как Рис. 1-7
14 Глава 1. МЕХАНИКА
функцию скорости v и углов аир. При каком угле р":
а) скорость vc наиболее велика? б) скорости vcvlv равны
между собой?
А 1-17. С какой скоростью должен лететь самолет и
какой курс он должен держать, чтобы за 1 ч пролететь
точно по направлению на север путь 200 км, если во вре-
время полета дует северо-восточный ветер под углом 35° к
меридиану со скоростью 30 км/ч?
А 1-18. Острова А и В расположены посередине
реки на расстоянии s = 0,5 км один от другого по на-
направлению течения, скорость которого их «=• 2,5 км/ч.
На берегу против острова А по направлению, пер-
перпендикулярному направлению течения, находится
пристань, расстояние которой от А тоже равно s =
= 0,5 км. Гребец плывет на лодке один раз с острова
А на остров В и обратно, другой раз — с острова А к
пристани и обратно. Скорость лодки в стоячей воде
равна v2-
а) При каком условии гребец может совершить пер-
первую поездку?
б) При каком условии он может переехать с острова
на пристань по соединяющей их прямой?
в} Как в предыдущем случае он должен держать свой
курс, если v2 — 5 км/ч?
г) Одинаковое ли время понадобится ему для этих
двух поездок?
д) При какой скорости и2 первая из этих поездок по-
потребует времени в п = 2 раза больше, чем вторая?
• 1-19. Какой вид имеет годограф скорости для сле-
следующих случаев: а) равномерное прямолинейное движение;
б) равноускоренное прямолинейное движение; в) равно-
равномерное движение по окружности; г) равноускоренное
движение по окружности?
• 1-20. Поезд движется по закруглению радиусом
400 м, причем его тангенциальное ускорение равно
0,2 м/с2. Определите его нормальное и полное уско-
ускорения в тот момент, когда его скорость равна 10 м/с.
§ 1. Кинематика 15
^ 1-21. Три самолета выполняют разворот, двигаясь
на расстоянии 60 м друг от друга (рис. 1-8). Средний са-
самолет летит со скоростью 360 км/ч, двигаясь по дуге ок-
окружности радиусом 600 м. Определите ускорение каж-
каждого самолета.
• 1-22. Колесо, имеющее 12 равноотстоящих спиц,
во время вращения фотографируют с экспозицией 0,04 с.
На снимке видно, что каждая спица за это время повер-
повернулась на половину угла между двумя соседними спица-
спицами. Найдите угловую скорость вращения.
^ 1-23. Круг (рис. 1-9) с черным сектором (централь-
(центральный угол равен 40°) вращается вокруг оси, проходящей
через центр круга перпендикулярно его плоскости, с ча-
частотой 1500 мин.
а) Что будет видно на круге, если в темной комнате
его освещать светом, мигающим 100 раз в секунду, при-
причем длительность каждой вспышки света равна 0,003 с
(неоновая лампа, работающая на переменном токе)?
Принять во внимание, что поверхность, освещаемая све-
светом, мигающим чаще, чем 10 раз в секунду, кажется
тем более яркой, чем длительнее промежутки времени,
в течение которых она освещается.
б) Решите эту задачу при частоте вращения 1470 мин.
• 1-24. Каково направление углового ускорения в сле-
следующих случаях: а) тело вращается вокруг вертикальной
оси по часовой стрелке с возрастающей угловой скоро-
скоростью? б) ось вращения тела поворачивается, но модуль
угловой скорости остается неизменным?
600 м
Рис. 1-8 Рис. 1-9
16
Глава!. МЕХАНИКА
• 1-25. Колесо, вращающееся с частотой 1500 мин",
при торможении стало вращаться равнозамедленно и ос-
остановилось через 30 с. Найдите угловое ускорение и
число оборотов с момента начала торможения до оста-
остановки.
Ф 1-26. Некоторое тело начинает вращаться с посто-
постоянным угловым ускорением 0,04 с. Через какое время
после начала вращения полное ускорение какой-либо
точки тела будет направлено под углом 76° к вектору
скорости этой точки?
А 1-27. Шарик радиусом R = 3 см катится равномер-
равномерно и без скольжения по двум параллельным рейкам,
расстояние между которыми I = 4 см (рис. 1-10), и за
время t = 2 с проходит путь s = 1,2 м. С какими скорос-
скоростями vx и v2 движутся верхняя и нижняя точки шарика?
А 1-28. Шар радиусом 16 см насажен на горизон-
горизонтальную ось и катится по плоской поверхности со скоро-
скоростью 60 см/с, описывая окружность радиусом 30 см
(рис. 1-11). Определите результирующую угловую ско-
скорость шара и ее наклон к горизонту.
• 1-29. Наибольшее смещение и наибольшая ско-
скорость точки, совершающей гармоническое колебание,
равны соответственно 5 см и 12 см/с, а) Каково наиболь-
наибольшее ускорение точки? б) Каковы скорость и ускорение
точки в тот момент, когда смещение равно 3 см?
• 1-30. Конец ветви камертона колеблется с частотой
500 Гц и амплитудой 0,2 мм. Определите: а) среднюю
скорость при движении от крайнего положения к поло-
Рис. 1-10
Рис. 1-11
§ 1. Кинематика 17
жению равновесия; б) среднюю скорость при прохожде-
прохождении 0,1 мм, начиная от крайнего положения; в) сред-
среднюю скорость при прохождении 0,1 мм, начиная от по-
положения равновесия; г) максимальную скорость.
• 1-31. Середина струны колеблется с частотой 200 Гц
и с амплитудой 3 мм. Найдите наибольшее ускорение.
• 1-32. Во многих машинах (компрессор, водяной
насос и т. п.) встречается механизм, схематически изо-
изображенный на рисунке 1-12. При каком условии движе-
движение точки А можно считать гармоническим колебанием,
если точка В равномерно движется по окружности?
Рис. 1-12
• 1-33. Балансир часов совершает вращательные гар-
гармонические колебания. Как движется при этих колеба-
колебаниях конец вектора угловой скорости балансира?
• 1-34. а) Два одинаково направленных гармониче-
гармонических колебания одного периода с амплитудами 5 и 7 см
складываются в одно гармоническое колебание с ампли-
амплитудой 9 см. Определите разность фаз складываемых ко-
колебаний.
б) Наибольшая скорость материальной точки в пер-
первом колебании равна 50 см/с. Определите наибольшую
скорость точки в результирующем колебании.
• 1-35. Начертите график движения, которое явля-
является результатом сложения двух гармонических колеба-
колебаний с периодами 0,02 и 0,03 с. Амплитуда первого коле-
колебания в два раза больше амплитуды второго. Принять,
что в начальный момент фазы колебаний равны 0 и я.
Определите период получившегося таким образом не-
негармонического колебания.
18
Глава 1. МЕХАНИКА
-2
Рис. 1-13
Ф 1-36. В помещении установлены два электродвига-
электродвигателя. Когда работает один из двигателей, некоторая точ-
точка пола совершает колебания с амплитудой 0,1 мм и
частотой 1410 мин. Когда работает другой двигатель,
та же точка пола совершает колебания с той же ампли-
амплитудой и частотой 1440 мин. Как будет колебаться эта
точка, если оба двигателя будут работать одновременно?
# 1-37. На рисунке 1-13 дан график сложного коле-
колебания. Известно, что оно состоит из двух синусоидаль-
синусоидальных колебаний. Найдите их частоты и амплитуды.
§ 2. Движение свободно падающих тел
Задачи данного параграфа относятся к движению тел
с ускорением, постоянным и по модулю, и по направле-
направлению. Примером такого движения можно считать движе-
движение тел в поле тяготения Земли на небольшом расстоя-
расстоянии от ее поверхности при условии, что сила сопротив-
сопротивления среды (воздуха) значительно меньше силы
тяжести тела. При решении задач следует принимать,
что эти условия выполнены. Зависимости скорости и пе-
перемещения от времени описываются формулами, приве-
приведенными в пункте 2 введения к § 1, где a = g.
1) Кроме случаев, особо оговоренных в условии зада-
задачи, ускорение падающих тел следует считать равным
g = 9,80 м/с2.
2) Наибольшая высота и дальность полета тел, брошен-
брошенных под углом а к горизонту с начальной скоростью и0:
uosin2a_ _ Uosin2cc
2g
§ 2. Движение свободно падающих тел
19
\1Г
б)
Рис. 2-1
# 2-1. С какой высоты в безвоз-
безвоздушном пространстве должно упасть
тело, чтобы приобрести скорость:
а) 72 км/ч (скорость поезда)?
б) 1 см/мин (скорость оседания
очень мелкой пыли в воздухе)?
А 2-2. На рисунке 2-1, а изобра-
изображена установка для определения ус-
ускорения падающих тел в школьной
лаборатории. Мимо смоченной кра-
краской кисточки (или птичьего пера),
вращаемой электродвигателем, падает после пережига-
пережигания нити цилиндр, обернутый бумагой. Кисточка нано-
наносит на цилиндр метки, как показано на рисунке 2-1, б.
а) Почему метки наклонены к оси цилиндра?
б) Определите ускорение g, если расстояния между
метками оказались равными 23, 40, 56, 74, 91, 110, 126
и 143 мм. Измерения показали, что частота вращения
двигателя равна 1440 мин.
А 2-3. На рисунке 2-2 показана в натуральную вели-
величину кривая линия, вычерченная острием, прикреплен-
прикрепленным к ветви звучащего камертона, на свободно падающей
мимо него закопченной стеклянной пластинке. Опреде-
Определите частоту колебаний камертона.
А 2-4. Камень брошен вертикаль-
вертикально вверх со скоростью и0 = 15 м/с.
Через какое время он будет на высо-
высоте: a) hx = 10 м? б) Л2 = 12 м?
А 2-5. Линейка А (рис. 2-3) дли-
длиной 25 см подвешена к стене на ни-
нити. Ниже линейки в стене имеется
маленькое отверстие В. На какой вы-
высоте h над отверстием В должен на-
находиться нижний край линейки, ес-
если нужно, чтобы линейка, падая при
пережигании нити, закрыла собой
отверстие В на 0,1 с?
1
h
Рис. 2-2 Рис. 2-3
20 Глава 1. МЕХАНИКА
А 2-6. С какой скоростью нужно бросить верти-
вертикально тело с высоты 40 м, чтобы оно упало: а) на 1 с
раньше, чем в случае свободного падения? б) на 1 с по-
позднее?
А 2-7. Два тела брошены вертикально вверх из одной
и той же точки с одинаковой начальной скоростью и0 =
= 24,5 м/с с промежутком времени т = 0,5 с.
а) Через какое время от момента бросания второго те-
тела и на какой высоте h они столкнутся?
2,v
б) Каков физический смысл решения, если т > —- ?
S
А 2-8. Покажите, что вектор перемещения Аг тела,
брошенного со скоростью vQ, через отрезок времени t ра-
равен векторной сумме:
• 2-9. Камень, брошенный горизонтально на высоте
h = 2 м над землей, упал на расстоянии s = 7 м от места
бросания (считая по горизонтали). Найдите его началь-
начальную (и0) и конечную (и) скорости.
А 2-10. На рисунке 2-4 изображена схема школьного
опыта, служащего для иллюстрации второго закона
Ньютона. Из капельницы А, установленной на движу-
движущейся тележке В, через равные промежутки времени
падают капли. Следы капель С, С, С, ... отстоят друг от
друга на расстояния, составляющие арифметическую
прогрессию. Этот факт принимается за доказательство
того, что тележка движется равноускоренно. Проверьте,
приняв во внимание, что капли падают по параболиче-
параболическим траекториям, правильно ли это.
А 2-11. Начальная скорость брошенного под некото-
некоторым углом к горизонту камня равна 10 м/с, а спустя
0,5 с скорость камня равна 7 м/с. На какую высоту над
начальным уровнем поднимется камень?
Ш 2-12. Две стальные плиты высотой h = 40 см поме-
помещены рядом и образуют вертикальную щель шириной
I = 2 см (рис. 2-5). К щели со скоростью v0 = 1 м/с под-
§ 2. Движение свободно падающих тел
21
Рис. 2-4
////////////////////////У////
Рис. 2-5
катывается стальной шарик и проваливается в нее. Не-
Несколько раз ударившись о стенки щели, он падает на пол.
Направление движения шарика перед падением в щель
перпендикулярно щели. Диаметр шарика d = 0,6 см.
Сколько раз шарик ударится о стенки перед тем, как
упасть на пол? Принять, что шарик отскакивает (отра-
(отражается) от плиты с той же скоростью, с которой ударил-
ударился, и что угол отражения равен углу падения. Временем
удара шарика о стенку пренебречь.
Ф 2-13. Под каким углом к горизонту надо бросить те-
тело, чтобы высота подъема была равна дальности полета?
• 2-14. Во время спортивных состязаний бросили
диск на расстояние 53,1 м.
а) С какой минимальной скоростью надо бросить
диск, чтобы он пролетел это расстояние, если g =
— 9,81 м/с2? Сопротивлением воздуха можно пренеб-
пренебречь. Принять, что места бросания и падения диска на-
находятся на одной высоте.
б) Какое расстояние пролетел бы диск при такой же
скорости и том же угле бросания на экваторе, где g =
= 9,78 м/с2?
в) Какие данные следовало бы добавить к числам, ха-
характеризующим рекорды метания диска, чтобы можно
было определить начальные скорости диска, которые
собственно и характеризуют спортсменов?
Ф 2-15. Из брандспойта бьет струя под углом а = 32°
к горизонту; струя падает на расстоянии s = 12 м от
брандспойта. Площадь отверстия брандспойта S = 1 см2.
Какой объем воды подает брандспойт за t = 1 мин?
Ф 2-16. Какой вид имеет годограф скорости для тела,
брошенного под углом к горизонту?
22 Глава 1. МЕХАНИКА
А 2-17. Тело брошено под углом а0 = 60° к горизонту
со скоростью v0 — 20 м/с.
а) Под каким углом а к горизонту движется тело пос-
после начала движения через 15 с? через 2,5 с?
б) Через какое время и на какой высоте тело будет
двигаться под углом а = 45° к горизонту?
¦ 2-18. Два тела брошены под разными углами к го-
горизонту и с различными скоростями. Покажите, что во
время движения их относительная скорость постоянна
по модулю и направлению.
^ 2-19. При каких углах между вектором начальной
скорости и горизонтом брошенный камень при навесной
траектории достигнет цели через промежуток времени в
п раз (л = 2) больший, чем при настильной с той же на-
начальной скоростью?
¦ 2-20. Камень брошен с высоты ft = 2,1 м над по-
поверхностью Земли под углом а = 45° к горизонту и упал
на Землю на расстоянии s = 42 м от места бросания, счи-
считая по горизонтали.
а) С какой скоростью камень был брошен?
б) В течение какого времени камень летел и на какой
наибольшей высоте был?
¦ 2-21. Упругий шарик, пролетев высоту ft = 20 см,
падает на наклонно поставленную стенку. На каком рас-
расстоянии от места падения он второй раз ударится о стен-
стенку? Угол наклона стенки к горизонту а = 37°.
А 2-22. Камень брошен со скоростью и0 = 20 м/с под
углом а = 60° к горизонту. Определите радиус кривизны R
его траектории: а) в верхней точке; б) в момент падения
на Землю.
§ 3. Законы Ньютона.
Работа, мощность, энергия
1) Если в условиях рассматриваемой задачи скорости v
и ускорения а всех точек тела в любой момент времени
мало отличаются друг от друга, то движение тела можно
рассматривать как движение материальной точки.
§ 3. Законы Ньютона. Работа, мощность, энергия 23
2) Ускорение, с которым движется материальная
точка,
а = f
и, — — ,
т
где F — векторная сумма всех сил, действующих на
тело; т — масса тела.
3) Изменение импульса тела
Др = A{mv) = F ¦ At
где Д* — отрезок времени, в течение которого действова-
действовала сила.
4) Центром масс системы материальных точек (дви-
(движущихся независимо или составляющих сплошное те-
тело) называется точка, координаты которой определяют-
определяются формулами:
_ Т.тх . = %ту . = JLtnz
где х0, у0, z0 — координаты центра масс; т, х, у, z —
массы и координаты материальных точек, составляю-
составляющих систему. Теми же формулами определяется поло-
положение центра тяжести системы, когда она находится в
однородном поле тяготения (поле тяготения Земли на
небольшом по сравнению с ее радиусом протяжении
можно считать однородным).
5) В замкнутой системе тел постоянны по модулю и
направлению: а) векторная сумма импульсов состав-
составляющих ее тел; б) скорость центра масс системы.
6) В незамкнутой системе тел ускорение центра масс
определяется по формуле
а=1,
т
где F — векторная сумма всех сил, действующих на
точки системы; т — сумма их масс.
7) При относительном движении соприкасающихся
тел сила трения
24 Глава 1. МЕХАНИКА
где ц — коэффициент трения; JV — сила нормального
давления тел друг на друга- При решении задач следует
принимать |i не зависящим от скорости.
8) Работа силы F при перемещении s
А = Fs cos (Fs).
9) Мощность
Р = — = (F v)
Г At { ' h
где ДА — работа, произведенная в течение отрезка вре-
времени Д*.
10) Кинетическая энергия тела
11) Потенциальная энергия системы груз — Земля
Еп = mgh,
где h — высота центра тяжести тела над уровнем, при-
принимаемым за нулевой.
12) В замкнутой системе, в которой отсутствуют силы
трения, полная энергия постоянна. В незамкнутой сис-
системе изменение энергии равно работе внешних сил.
Примечание. В задачах настоящего параграфа подразумева-
подразумевается, что движение тел и до, и после взаимодействия (напри-
(например, до и после удара) является поступательным.
• 3-1. Пуля массой т = 10 г, двигавшаяся со скоро-
скоростью v = 200 м/с, врезалась в доску и углубилась в нее
на расстояние I = 4 см.
а) Определите среднюю силу сопротивления F доски
и время t движения пули в доске, считая движение пу-
пули внутри доски равнозамедленным.
б) Что произойдет, если произвести выстрел в доску
из такого же материала, но толщиной 2 см? Какой им-
импульс получит доска?
• 3-2. Автомобиль-тягач, имеющий тормоза на всех
колесах, тянет прицеп со скоростью 30 км/ч. Масса ав-
автомобиля 5000 кг, масса прицепа 2000 кг. На каком
§ 3. Законы Ньютона. Работа, мощность, энергия 25
наименьшем пути можно затормозить этот автопоезд до
полной остановки, если коэффициент трения шин о по-
покрытие дороги равен 0,6, коэффициент силы тяги для
тягача и для прицепа равен 0,03? Сопротивлением воз-
воздуха можно пренебречь.
Указание. Коэффициентом силы тяги называется отноше-
отношение силы сопротивления, возникающего при качении любого
экипажа, к его весу. Сила сопротивления вызвана трением в
подшипниках и приложена к экипажу в точках сопрокоснове-
ния колес с землей.
Ф 3-3. Груз, масса которого равна 1 кг, подвешен на
динамометре. Груз поднимают сначала ускоренно, затем
равномерно и, наконец, замедленно, после чего его таким
же образом опускают. Модуль ускорения во всех случаях
постоянен и равен 0,5 м/с2. Что показывает динамометр
в различные моменты движения?
А 3-4. Через блок ничтожно малой
массы, вращающийся с малым трением,
перекинута нить, на концах которой
привязаны грузы тп1 и тп2, причем тп2 в п
раз (п = 2) больше mv Груз тп2 поднима-
поднимают настолько, чтобы груз т1 коснулся
пола (рис. 3-1), и отпускают. На какую
высоту h1 поднимется груз т1 после того,
как груз т2 ударится о пол, если высота
груза т2 над полом была h2 — 30 см?
А 3-5. Человек жестко связан с рези-
резиновым шаром, наполненным водородом. Масса человека
вместе с массой шара с водородом в п раз (п — 1,1) боль-
больше массы вытесняемого ими воздуха. Пренебрегая со-
сопротивлением воздуха и принимая, что при движении
шара в воздухе эффективная масса увеличивается на
массу вытесненного воздуха, вычислите:
а) с каким ускорением падает человек с шаром;
б) на какую высоту поднимется человек, если прыг-
прыгнет вместе с шаром вертикально вверх с такой скоро-
скоростью, при которой без шара поднялся бы на 20 см.
У//////////////////////
Рис. 3-1
26
Глава 1. МЕХАНИКА
Рис. 3-2
Рис. 3-3
Рис. 3-4
А 3-6. Доска А движется по горизонтальному столу
под действием силы натяжения привязанной к ней ни-
нити. Нить перекинута через прикрепленный к столу блок
и привязана к другой, падающей доске В (рис. 3-2).
а) Определите силу натяжения нити F, если масса т1
доски А равна 200 г, масса т2 доски В равна 300 г, коэф-
коэффициент трения ц = 0,25. Масса блока ничтожно мала.
б) Как изменится ответ, если доски поменять местами?
в) Определите силу, действующую на ось блока в слу-
случаях а) и б).
в 3-7. Для иллюстрации второго закона Ньютона
иногда показывают такой опыт (рис. 3-3). Тележка мас-
массой т2 приводится в движение вначале грузом тх, а за-
затем грузом в п раз (п = 2) большей массой.
а) Можно ли утверждать, что при отсутствии трения
ускорение во втором случае должно быть в п раз боль-
больше, чем в первом?
б) Чему равно отношение ускорений, если масса гру-
груза nzj = 30 г, масса тележки т2 = 200 г и коэффициент
трения \i = 0,1?
в) При каком коэффициенте трения ускорение во
втором случае в п раз больше, чем в первом?
А 3-8. Определите ускорение, с которым движется
груз массой т1 в установке, изображенной на рисунке 3-4.
Трением, массами блоков и жесткостью шнура пренеб-
пренебречь. Рассмотрите следующие частные случаи:
а) тх = т2; б) тх <К т2; в) 2т1 = т2; г) т1 2> т2.
§ 3. Законы Ньютона. Работа, мощность, энергия
27
Рис. 3-5
® 3-9. Санки скатываются с ледяной горы высотой h
и останавливаются на ледяном поле на расстоянии s по
горизонтальному направлению от вершины наклонной
плоскости (рис. 3-5). Покажите, что коэффициент тре-
трения ц = -.
s
• 3-10. Тело медленно втаскивают из точки В
(рис. 3-6) в точку А по плоской кривой. Покажите, что
работа при подъеме не зависит от формы пути, если ко-
коэффициент трения во всех точках пути один и тот же.
А 3-11. Наклонные плоскости 1, 2, 3 имеют общее
основание (рис. 3-7).
а) Каков наклон плоскости к горизонту, если время
соскальзывания тел по этой плоскости меньше, чем по
остальным плоскостям? (Рассмотреть случаи, когда трение
ничтожно мало и когда коэффициент трения \i = 0,25.)
б) Каков коэффициент трения, если время соскаль-
соскальзывания при угле наклона ах = 60° и время соскальзы-
соскальзывания при угле наклона а2 = 45° равны между собой?
^ 3-12. Ледяная гора составляет с горизонтом угол а =
= 10°. По ней пускают снизу вверх камень, который, под-
Рис. 3-6
Рис. 3-7
28 Глава 1. МЕХАНИКА
нявшись на некоторую высоту, затем соскальзывает по тому
же пути вниз. Чему равен коэффициент трения, если вре-
время спуска камня в п раз (п — 2) больше времени подъема?
¦ 3-13. По наклонной плоскости, составляющей угол а
с горизонтом, скользит доска, на которой находится
брусок. Определите ускорение доски ах и ускорение бру-
бруска а2, если коэффициенты трения доски о наклонную
плоскость и бруска о доску равны цх и |х2. Рассмотрите
случаи: a) i^ > ц2; б) J-ii < М-2' в) Mi = М-2- Отношение масс
бруска и доски т2/т1 известно.
• 3-14. Стальной шарик массой 10 г падает на гори-
горизонтальную поверхность стола с высоты 25,6 см и, от-
отскочив, поднимается на высоту 19,6 см. Какова средняя
сила, с которой шарик действовал на стол при ударе, ес-
если сопрокосновение шарика со столом длилось 10~4 с?
9 3-15. Некоторые животные, живущие в воде (на-
(например, каракатица), передвигаются следующим обра-
образом. Внутри тела животного имеется полость, сообщаю-
сообщающаяся с окружающей водой. Животное то увеличивает
объем полости (при этом вода входит в полость), то
уменьшает, выбрасывая воду наружу. Что происходит
при этих процессах?
® 3-16. Когда колеблется струна, скорость ее все время
меняется. Импульс струны вследствие этого тоже меняет-
меняется. Как это согласовать с законом сохранения импульса?
А 3-17. На рисунке 3-8 изображена схема школьного
опыта, иллюстрирующего третий закон Ньютона. Меж-
Между двумя тележками помещается легкая сжатая пружи-
пружина П. При пережигании нити Н пружина расталкивает
тележки в разные стороны. Как относятся расстояния,
н
Рис. 3-8
§ 3. Законы Ньютона. Работа, мощность, энергия 29
в)
Рис. 3-9
Рис. 3-10
Рис. 3-11
которые проедут тележки до полной остановки, если
масса левой относится к массе правой, как 1 : 3?
Ш 3-18. Ракета, первоначально неподвижная, выбрасы-
выбрасывает равномерной струей газы со скоростью их = 300 м/с
(относительно ракеты); расход газа ц = 90 г/с. Началь-
Начальная масса ракеты тп = 270 г.
а) Через сколько времени после пуска ракета достиг-
достигнет скорости v2 — 40 м/с?
б) Какой скорости достигнет ракета, если масса ее го-
горючего т0 = 180 г? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ф 3-19. Определите положение центра масс системы,
состоящей из четырех шариков массами 1, 2, 3 и 4 г в
случаях, если шарики расположены: а) на одной пря-
прямой; б) по вершинам квадрата; в) по четырем смежным
вершинам куба (рис. 3-9, а—в). Во всех случаях рас-
расстояния между соседними шариками равны 10 см.
А 3-20. а) Определите положение центра масс двойно-
двойного однородного цилиндра, изображенного на рисунке 3-10,
где гх = 5 см; г2 = 10 см; ht = 10 см; h2 = 15 см.
б) Определите положение центра масс пластинки,
имеющей форму осевого сечения тела, изображенного
на рисунке 3-10.
А 3-21. Определите положение центра масс фигуры
в виде тонкого круглого диска радиусом гг — 5 дм, в ко-
котором вырезано круглое отверстие радиусом г2 = 3 дм,
причем центр отверстия лежит на расстоянии d — 1 дм
от центра диска (рис. 3-11).
30 Глава 1. МЕХАНИКА
¦ 3-22. Потенциальные энергии двух одинаковых
сплошных прямых круглых конусов, один из которых
поставлен вертикально, а другой лежит на горизонталь-
горизонтальной плоскости, равны между собой. Определите угол
между осью и образующей конуса.
^ 3-23. Два точечных тела составляют замкнутую
систему, центр масс которой покоится. Отношение масс
тел —- = 2. На рисунке 3-12 показаны положения обоих
тел в некоторый момент времени и траектория тела мас-
массой mv являющаяся плоской кривой. Постройте по точ-
точкам траекторию тела массой т2.
^ 3-24. На концы однородного стержня насажены
два одинаковых шара. Стержень бросают, причем в на-
начальный момент один из шаров движется со скоростью
32 м/с по направлению, составляющему угол 60° с гори-
горизонтом, а другой шар движется в прямо противополож-
противоположном направлении со скоростью 4 м/с. На какую высоту
над начальным уровнем поднимется середина стержня?
А 3-25. а) Чему равно ускорение центра масс систе-
системы грузов массами т1 и т2, описанных в задаче 3-4?
б) Чему будет равна скорость центра масс в тот мо-
момент, когда груз массой т2 достигнет пола?
¦ 3-26. На рисунке 3-13, а показаны тележки А и В,
соединенные натянутым шнуром, перекинутым через
неподвижные блоки малой массы. На тележке А сидит
С
ТП\
Рис. 3-12
§ 3. Законы Ньютона. Работа, мощность, энергия 31
пассажир С. Масса тележки В равна сумме масс тележ-
тележки А A00 кг) и пассажира С E0 кг). Трение в тележках
и блоках ничтожно мало. Пассажир С встает, перемеща-
перемещается вдоль тележки вправо на 1,2 м и снова садится.
а) Как переместятся при этом тележки?
б) Как сместится при переходе пассажира центр масс
системы, состоящей из тележек и пассажира?
в) Ответьте на вопросы а) и б) в случае расположения
тележек, показанном на рисунке 3-13, б.
г) Как направлена результирующая сила, действую-
действующая на оси неподвижных блоков, в случаях расположе-
расположения тележек, показанных на рисунке 3-13, а и б?
Ш 3-27. Лодка неподвижно стоит на озере. На корме
и на носу лодки на расстоянии I = 2 м друг от друга си-
сидят два рыболова. Масса лодки т — 140 кг, массы рабо-
ловов т^ = 70 кг и т2 = 40 кг. Рыболовы меняются мес-
местами. Как перемещается при этом лодка?
# 3-28. Какая работа будет совершена, если поезд
массой 800 т: а) увеличит свою скорость от 36 до 54 км/ч?
б) остановится, имея начальную скорость 72 км/ч?
• 3-29. При выстреле из винтовки сила давления
расширяющихся газов производит работу 13 300 Дж;
продолжительность выстрела 1,47 • 10~3с; пуля массой
9,6 г вылетает со скоростью 880 м/с. Определите пол-
полную и полезную мощности выстрела.
^ 3-30. Тепловоз тянет поезд, общая масса которого
равна 2000 т. Принимая, что мощность тепловоза посто-
постоянна и равна 1800 кВт и что коэффициент силы тяги
(см. указание к задаче 3-2) равен 0,005, определите:
а) ускорения поезда в те моменты, когда скорость его
равна 4 и 12 м/с; б) максимальную скорость поезда.
А 3-31. Уклон участка шоссе равен 0,05. Спускаясь
под уклон при выключенном двигателе, автомобиль мас-
массой 1,5 т движется равномерно со скоростью 60 км/ч.
Какова должна быть мощность двигателя автомобиля,
чтобы он мог подниматься на такой же подъем с той же
скоростью?
32 Глава 1. МЕХАНИКА
А 3-32. Автомобиль движется вверх по небольшому
подъему с установившейся скоростью 3 м/с; если он дви-
движется в обратном направлении, т. е. под уклон, то при
той же мощности двигателя устанавливается скорость
7 м/с. Какая скорость v0 установится при той же мощнос-
мощности двигателя во время движения по горизонтальному пу-
пути? (При указанных скоростях можно принять, что сила
сопротивления движению не зависит от скорости.)
А 3-33. Конькобежец массой т — 50 кг движется по
горизонтальному пути равномерно, а затем с разгона
проезжает до остановки путь s = 60 м в течение времени
t = 25 с. Считая движение конькобежца после оконча-
окончания разгона равнозамедленным, определите: а) коэффи-
коэффициент трения; б) мощность, затрачиваемую конькобеж-
конькобежцем при равномерном движении.
• 3-34. Камень массой 50 г, брошенный под углом к
горизонту с высоты 20 м над поверхностью Земли со
скоростью 18 м/с, упал на Землю со скоростью 24 м/с.
Найдите работу силы сопротивления воздуха.
А 3-35. Камень массой т = 200 г, брошенный с гори-
горизонтальной поверхности под углом к горизонту, упал на
нее обратно на расстоянии s = 5 м через время t = 1,2 с.
Какая кинетическая энергия была сообщена камню при
бросании? Сопротивлением воздуха пренебречь.
А 3-36. На рисунке 3-14 показан школьный прибор
для демонстрации сложения импульсов, полученных
шариком С при ударах молотков А и В. Покажите, что
путь, пройденный шариком С по горизонтальной плос-
плоскости при одновременном ударе молотков А и В, равен
сумме путей, которые прошел бы ша-
шарик при таких же ударах молотков А
и В в отдельности: 8 = 8^^ + s2.
¦ 3-37. Покажите, что при упру-
упругом ударе тел направление их относи-
относительной скорости меняется, а по мо-
модулю не меняется.
Указание. При решении задачи следует
выбрать такую систему отсчета, в кото-
которой центр масс соударяющихся тел поко-
покоится.
§ 3. Законы Ньютона. Работа, мощность, энергия 33
^ 3-38. В ядерной технике часто бывает нужно
уменьшать скорость нейтронов, выделяющихся при
ядерных реакциях. Это осуществляется, например, при
упругом соударении нейтрона с медленно движущимся
ядром углерода (графита) или ядром дейтерия («тяже-
(«тяжелого» водорода).
а) Во сколько раз уменьшается энергия нейтрона при
упругом лобовом соударении нейтрона с ядром углерода
(при лобовом соударении нейтрон после удара движется
в направлении, противоположном начальному)? При-
Принять, что масса ядра углерода в п = 12 раз больше массы
нейтрона.
б) Во сколько раз уменьшается энергия нейтрона
в случае, если после соударения с ядром углерода он
движется в направлении, перпендикулярном началь-
начальному?
в) Произведите расчет а) и б) для соударения нейтро-
нейтрона с ядром дейтерия, массу которого можно принять
равной удвоенной массе нейтрона.
А 3-39. Покажите, что изменение кинетической
энергии тел при неупругом ударе зависит только от от-
относительной скорости тел до удара и от их приведенной
массы.
А 3-40. Молот массой 1,5 т ударяет по раскаленной
болванке, лежащей на наковальне, и деформирует бол-
болванку. Масса наковальни вместе с болванкой равна 20 т.
Определите коэффициент полезного действия при ударе
молота, считая удар неупругим.
Примечание. Считать работу, произведенную при деформа-
деформации болванки, полезной, а работу, затраченную на сотрясение
фундамента, — бесполезной.
А 3-41. Два стальных шара подвешены на нитях так,
что при их касании центры масс находятся на расстоя-
расстоянии I = 1 м ниже точек подвеса, а нити вертикальны.
Массы их т.у — 800 гиш2 = 200 г. Меньший шар отводят
в сторону так, что нить отклоняется на угол а = 90°, и
отпускают. Принимая шары за абсолютно упругие, оп-
34 Глава 1. МЕХАНИКА
ределите: а) на какую высоту они поднимутся после уда-
удара; б) что произойдет, если таким же образом отклонить
больший шар; в) при каком соотношении между масса-
массами шаров высоты, на которые они поднимутся после
удара, равны между собой.
^ 3-42. Три одинаковых упругих шарика висят, ка-
касаясь друг друга, на трех параллельных нитях одинако-
одинаковой длины. Один из шариков отклоняют по направле-
направлению, перпендикулярному прямой, соединяющей цент-
центры двух других шариков, и отпускают, причем он
приобретает скорость v. Чему равны скорости шариков
после удара?
А 3-43. Быстро движущаяся молекула газа ударяет-
ударяется о другую молекулу того же газа, скорость которой в
момент удара ничтожно мала. После удара молекулы
летят в разные стороны. Показать, что угол между на-
направлениями скоростей молекул после удара равен 90°,
если удар был упругим (т. е. внутреннее состояние моле-
молекул после удара таково же, как и до удара), и меньше
90°, если удар был неупругим (т. е. энергия, зависящая
от внутреннего состояния молекул, хотя бы у одной из
них увеличилась, молекула перешла в возбужденное со-
состояние), и больше 90°, если энергия, зависящая от
внутреннего состояния молекул, хотя бы у одной из них
уменьшилась (молекула перешла из возбужденного со-
состояния в основное).
А 3-44. На рисунке 3-15 показана схема установки
для определения скорости пули так называемым бал-
баллистическим методом. На восьминитном подвесе висит
Рис. 3-15
§ 4. Динамика вращательного движения 35
полено с плоской верхней поверхностью (или ящик с
песком). К полену привязана длинная нить, свободный
конец которой продернут под картон, прикрепленный
кнопками к деревянной вертикальной стойке так, что
нить расположена горизонтально. Расстояние от верх-
верхней поверхности полена до подвеса равно I. В торец по-
полена стреляют из ружья; полено отклоняется и протас-
протаскивает нить под картоном на длину s, значительно мень-
меньшую расстояния /. Принимая во внимание, что масса
пули т^ мала по сравнению с массой полена т2, пока-
покажите, что скорость пули можно вычислить по формуле
то
и = —
т,
¦ 3-45. Через два маленьких неподвижных блока,
оси которых горизонтальны и находятся на одной высо-
высоте на расстоянии 90 см друг от друга, перекинута нить.
К концам и к середине нити привязаны три одинаковых
груза. Средний груз поднимают так, чтобы нить была
горизонтальна и чтобы он находился посередине между
блоками, и отпускают, после чего средний груз опуска-
опускается, а крайние поднимаются.
а) С какой скоростью движутся грузы в тот момент,
когда части нити образуют угол 120°?
б) Какой путь пройдет средний груз, прежде чем на-
начать подниматься?
Я 3-46. На путях стоит цистерна с q
водой. Внизу цистерны расположена П |
вертикальная трубка, смещенная к од- i 1
ной из пар колес (рис. 3-16). Как будет ©У |
двигаться цистерна при сливании во- %%^~<—^
ды через трубку (трением пренебречь)? рис 3-16
§ 4. Динамика вращательного движения
1) Материальная точка равномерно движется по ок-
окружности, если векторная сумма действующих на нее
сил направлена к центру окружности и равна по модулю
F = т@2Д,
36 Глава 1. МЕХАНИКА
где т — масса точки; со — угловая скорость; R — ради-
радиус окружности. То же соотношение можно применять к
системе точек (например, к твердому телу конечных
размеров) в случае, если по окружности радиуса R дви-
движется центр масс системы. Эту силу называют центро-
центростремительной .
2) Твердое тело, находящееся под действием вращаю-
вращающего момента М, движется с угловым ускорением
где I — момент инерции тела относительно оси вращения.
3) Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
4) Работа постоянного момента сил М
А = Мф,
где ф — угол поворота вращающегося тела.
5) Мощность при вращении тела
6) Момент импульса вращающегося тела относитель-
относительно оси вращения
L = J5
(векторы направлены вдоль оси вращения согласно пра-
правилу правого винта).
7) Векторная сумма моментов импульса тел, состав-
составляющих замкнутую систему, постоянна по модулю и по
направлению.
8) Моменты инерции некоторых тел {т — масса тела):
а) тонкостенной круглой трубы радиусом г относи-
относительно оси, совпадающей с осью трубы: I = тпг2;
б) тонкого стержня длиной I относительно оси, пер-
перпендикулярной стержню и проходящей через его сере-
середину: I = ml2/l2;
в) сплошного круглого цилиндра радиусом г относи-
относительно оси, совпадающей с его осью: I = тг2/2;
§ 4. Динамика вращательного движения 37
г) шара радиусом г относительно оси, совпадающей с
его диаметром: I = 0,4/пг2.
9) Соотношение Штейнера:
I = 10 + тЬ2,
где 10 — момент инерции тела относительно оси, прохо-
проходящей через центр масс; I — момент инерции относи-
относительно оси, параллельной первой; Ъ — расстояние меж-
между осями; т — масса тела.
10) Соотношение между моментами инерции тонкого
плоского тела (например, пластинки) относительно трех
взаимно перпендикулярных осей (первая ось перпенди-
перпендикулярна плоскости):
h = h + h-
11) При наличии трения качения в точке касания те-
тела с поверхностью действует момент силы
М = Nkr,
где N — сила нормального давления; k — безразмерный
коэффициент трения качения; г — радиус катящегося
тела. Момент трения качения препятствует вращению.
В точке касания приложена также сила трения покоя F
(сила сцепления), направленная вдоль поверхности. Если
внешняя сила, действующая на катящееся тело, прило-
приложена к его центру и движение равномерно, то F = Nk.
В некоторых задачах используется коэффициент тре-
трения качения, имеющий размерность длины:
к' = кг.
12) На тело, движущееся со скоростью v относитель-
относительно системы отсчета, вращающейся с угловой скоростью ю,
действует сила инерции Кориолиса, перпендикулярная
плоскости, в которой лежат векторы и и со:
F = 2m[va].
Ш 4-1. Шарик массой 100 г, привязанный к нити,
движется в вертикальной плоскости по окружности ра-
радиусом 30 см.
38 Глава 1. МЕХАНИКА
а) С какой силой натянута нить в тот момент, когда
шарик проходит верхнее положение, если он движется
со скоростью 210 см/с?
б) С какой силой натянута нить, когда шарик прохо-
проходит нижнее положение?
# 4-2. а) Тело, масса которого равна 1 кг, вблизи эк-
экватора весит 9,78 Н. Принимая экваториальный радиус
Земли равным 6378 км, определите силу притяжения
этого тела Землей.
б) Каков был бы вес тела массой 1 кг на экваторе, ес-
если бы Земля вращалась в 10 раз быстрее?
А 4-3. На рисунке 4-1 изображен прибор для поясне-
пояснения зависимости центростремительной силы от массы и
расстояния от оси вращения. Шары А и В сделаны из
одного и того же материала и имеют диаметры 3 и 2 см.
Соединяющий шары шнур имеет длину / = 10,5 см. Объ-
Объемом канала, просверленного внутри шаров, можно пре-
пренебречь. Коэффициент трения шаров о стержень k = 0,05.
Угловая скорость вращения прибора со = 20 с.
Если расстояние шара А от оси лежит в некотором
интервале х ± Ах, то шары удерживаются на неизмен-
неизменном расстоянии от оси. Найдите х и Ах.
А 4-4. Небольшое тело скользит с вершины сферы
радиуса R вниз (рис. 4-2). На какой высоте h от вершины
тело оторвется от поверхности сферы и полетит вниз?
Трение ничтожно мало.
А 4-5. Небольшое тело соскальзывает вниз по на-
наклонному скату, переходящему в мертвую петлю ради-
радиусом R (рис. 4-3).
I
A !
! в
X |
Рис. 4-1 Рис. 4-2
§ 4. Динамика вращательного движения
39
Рис. 4-3
а) На какой высоте h1 выпадает тело, если начальная
его высота равна hi Трение ничтожно мало.
б) Какова должна быть высота h, чтобы тело сделало
полную петлю, не выпадая?
S 4-6. Круглый стальной конус высотой 10 см и диа-
диаметром основания 8 см катится без скольжения по гори-
горизонтальной плоскости, делая один оборот вокруг верти-
вертикальной оси 00' в течение 2 с (рис. 4-4). Определите силу
трения между образующей конуса и плоскостью, по ко-
которой он катится.
S 4-7. Если связать концы металлической цепочки
между собой, привязать цепочку к шнуру и вращать
шнур вокруг вертикальной оси, то цепочка принимает
форму, близкую к окружности, расположенной в плос-
плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис. 4-5).
а) Является ли форма цепочки плоской кривой?
б) Принимая форму цепочки за горизонтельную ок-
окружность, определите силу F натяжения вдоль цепочки,
если ее масса т = 100 г, длина I = 75 см и частота враще-
вращения п = 8 с.
О
Рис. 4-4
Рис. 4-5
40 Глава 1. МЕХАНИКА
////////////////////////////у
Рис. 4-6 Рис. 4-7
А 4-8. На рисунке 4-6 в упрощенном виде изображе-
изображена центрифуга. В пробирки покоящейся центрифуги на-
налили жидкость плотностью 1,1 • 103 кг/м3 до высоты 6 см
над дном. При вращении центрифуги пробирки движут-
движутся, располагаясь почти горизонтально. Определите дав-
давление жидкости на дно пробирок во время вращения
центрифуги, если дно пробирки при движении находит-
находится на расстоянии 10 см от оси вращения и если частота
вращения центрифуги равна 20 с.
А 4-9. Одинаковые упругие шарики, подвешенные
на нитях одинаковой длины к одному крючку (рис. 4-7),
отклоняют в разные стороны от вертикали на угол а и
отпускают. Шарики ударяются и отскакивают друг от
друга. Какова сила, действующая на крючок: а) при
крайних положениях нитей; б) в начальный и конечный
моменты удара шариков; в) в момент наибольшей де-
деформации шариков?
А 4-10. Грузик, подвешенный на нити, отводят в сто-
сторону так, что нить принимает горизонтальное положе-
положение, и отпускают. При движении грузика вертикальная
составляющая его скорости сначала возрастает, затем
убывает. Какой угол с вертикалью образует нить в тот
момент, когда вертикальная составляющая скорости
грузика наибольшая?
# 4-11. Школьную модель центробежного регулятора
(рис. 4-8) вращают с частотой п = 3 с. На какой угол
отклоняются при этом стержни, несущие шары ММ?
Длина стержней I = 14 см. Массой всех деталей, кроме
шаров, пренебречь.
§ 4. Динамика вращательного движения
41
Рис. 4-8
Рис. 4-9
Рис. 4-10
# 4-12. а) С какой максимальной скоростью может
ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, опи-
описывая дугу радиусом R = 90 м, если коэффициент тре-
трения резины о почву ц = 0,4?
б) На какой угол а от вертикального положения он
должен при этом отклониться?
А 4-13. Один из цирковых аттракционов — езда мо-
мотоциклистов по вертикальной стене цилиндрического
строения (рис. 4.9).
а) Определите минимальную скорость, с которой дол-
должен ехать по вертикальной стене мотоциклист, если
диаметр строения d = 18 м, центр масс мотоцикла и че-
человека отстоит на расстояние h = 1 м от места соприкос-
соприкосновения колес со стеной, коэффициент трения шин о
стену ц = 0,4.
б) Под каким углом а к горизонту наклонен мотоцик-
мотоциклист, если его скорость равна 20 м/с?
А 4-14. Грузик привязан к нити, другой конец которой
прикреплен к потолку. Вследствие толчка грузик движет-
движется по окружности, плоскость которой отстоит от потол-
потолка на h = 1,5 м. Чему равна частота вращения грузика?
И 4-15. Два грузика массами т1 = 100 г и т2 = 50 г
привязаны к нитям, длины которых Zx = 28 см и 12 = 30 см.
Другие концы нитей привязаны к третьему грузику,
подвешенному на проволочке к крючку. Крючок можно
вращать вокруг вертикальной оси (рис. 4-10). При ка-
42 Глава 1. МЕХАНИКА
кой частоте вращения проволочка над грузиком остает-
остается вертикальной?
# 4-16. Двигатель мощностью 0,1 кВт приводит в
движение токарный станок, причем обрабатываемый на
станке деревянный цилиндр диаметром б см вращается
с частотой 600 мин. Определите силу, с которой резец
отделяет стружку, принимая, что мощность станка со-
составляет 80% мощности двигателя.
А. 4-17. Легковой автомобиль работает в таком режиме:
мощность двигателя 30 кВт; потери в трансмиссии 10%;
частота вращения коленчатого вала 180 мин; частота
вращения ведущей задней оси в 5,125 раза меньше. Рас-
Расстояние между передней и задней осями автомобиля
равно 2,7 м. Чему равны при таком режиме нагрузки на
переднюю и заднюю оси, если при неподвижном автомо-
автомобиле нагрузки равны 7900 и 9100 Н?
Ф 4-18. Определите момент инерции системы шари-
шариков, описанной в задаче 3-19 а), относительно оси, пер-
перпендикулярной прямой, на которой расположены шари-
шарики, и проходящей через шарики: а) первый; б) второй;
в) третий; г) четвертый.
Ш 4-19. Определите момент инерции системы, со-
состоящей из четырех точечных масс т, расположенных
по вершинам квадрата со стороной а, относительно оси,
проходящей через центр квадрата в следующих случа-
случаях: а) ось лежит в плоскости квадрата, и образует с ди-
диагональю острый угол, не равный 45°; б) ось не лежит в
плоскости квадрата.
Ш 4-20. Определите момент инерции медного диска ра-
радиусом R = 5 см, в котором сделаны два выреза в виде
кругов радиусами г = 2 см; центры вырезов находятся на
прямой, проходящей через центр диска, на
расстоянии I = 2,5 см от него (рис. 4-11).
Толщина диска h = 0,1 см. Рассмотрите сле-
следующие случаи: а) ось перпендикулярна
плоскости диска и проходит через его центр;
б) ось проходит через центры вырезов; в) ось
проходит через центр диска и перпендику-
Рис. 4-11 лярна осям, указанным в пунктах а) и б).
§ 4. Динамика вращательного движения 43
# 4-21. Два маленьких шарика массами т1 = 40 г
и т2 = 120 г соединены стержнем длиной I = 20 см,
масса которого ничтожно мала. Система вращается во-
вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей
через центр масс системы. Определите импульс и
момент импульса системы. Частота вращения равна
Зс.
А 4-22. Укажите, какие силы и моменты сил дейст-
действуют в следующих случаях: а) колесо вагона поезда во
время ускорения поезда увеличивает свою скорость,
б) шарик замедленно катится по горизонтальной плос-
плоскости.
А 4-23. Определите ускорения, с которыми движутся
вдоль плоскости, наклоненной под углом а к горизонту,
центры масс следующих тел: а) доски, скользящей с
ничтожно малым трением; б) сплошного цилиндра, ска-
скатывающегося с ничтожным трением качения; в) доски,
положенной на два цилиндра. Масса доски равна массе
каждого из цилиндров.
А 4-24. Две прочные линейки расположены параллель-
параллельно друг другу на расстоянии d = 2 см под углом а = 5° к го-
горизонту (рис. 4-12). С каким ускорением будет катиться
по ним шарик, радиус которого равен г = 1,5 см? Сколь-
Скольжение отсутствует.
А 4-25. По тонкому стержню, покоящемуся на глад-
гладком столе, в некоторой точке А (рис. 4-13) производят
удар в горизонтальном направлении.
а) Покажите, что в момент удара стержень враща-
вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точ-
1
V"*
о.--':
"" i <S2. i
С si
Л
I
pt
Рис. 4-12 Рис. 4-13
44 Глава 1. МЕХАНИКА
ку О, причем, если трение мало, имеет место соотно-
соотношение
SlS2 = U '
где sx и s2 — расстояния точек А и О от С; т — масса
стержня; /с — момент инерции стержня относительно
оси, проходящей через центр масс стержня С.
б) Что произойдет, если ударить по стержню в точке О?
в) Где будет проходить ось вращения, если ударить
по самому концу стержня?
• 4-26. Двигатель равномерно вращает маховик.
После отключения двигателя маховик в течение време-
времени t — 30 с делает N = 120 оборотов и останавливается.
Момент инерции маховика I = 0,3 кг ¦ м2. Принимая,
что угловое ускорение маховика после отключения дви-
двигателя постоянно, определите мощность двигателя при
равномерном вращении маховика.
• 4-27. Какую работу нужно совершить, чтобы уве-
увеличить частоту вращения маховика массой 0,5 т от 0 до
120 мин? Массу маховика можно считать распреде-
распределенной по ободу диаметром 1,5 м. Трением пренебречь.
А 4-28. Вертикальный столб высотой h = 5 м подпи-
подпиливается у основания и падает на землю.
а) Определите линейную скорость его верхнего конца
в момент удара о землю.
б) Какая точка столба будет в любой момент падения
иметь ту же скорость, какую имело бы тело, падая с та-
такой же высоты, как и данная точка?
А 4-29. Массивное колесо, насаженное на ось, под-
поддерживается двумя нитями, закрепленными, как пока-
показано на рисунке 4-14. Ось вращения коле-
колеса горизонтальна. Нити постепенно рас-
раскручиваются с оси, а колесо опускается,
а) Определите силу натяжения F каждой
из двух нитей, если масса колеса вместе с
осью т ~ 1 кг, момент инерции относи-
относительно этой оси I = 2,5 • 10~3 кг • м2 и ра-
Рис. 4-14 диус оси г = 5 мм.
§ 4. Динамика вращательного движения
45
б) Какова будет сила натяжения F каждой нити, когда
колесо, опустившись до конца и продолжая вращаться по
инерции, начнет накручивать нить на ось и подниматься?
в) Предположим, что доска, к котрой прикреплены
поддерживающие нити прибора, поднимается, остава-
оставаясь горизонтальной, так что диск остается на неизмен-
неизменной высоте. Какова сила натяжения нитей?
Я 4-30. На круглый сплошной цилиндр А массой т
(рис. 4-15) навит шнур. Цилиндр положен на два парал-
параллельных стержня ВВ, наклоненных к горизонту под уг-
углом а = 30°, и удерживается в этом положении рукой.
Другой конец шнура перекинут через неподвижный
блок С, расположенный так, что шнур параллелен
стержням. К шнуру прикреплен груз D, масса которого
равна т sin а, т. е. такова, что при отсутствии враще-
вращения наблюдалось бы равновесие. Как будут двигаться
цилиндр и груз, если цилиндр отпустить? Трение и мо-
момент инерции блока считать ничтожно малыми.
Рис. 4-15
А 4-31. Стержень длины I и ничтожно малой массы
с двумя маленькими шариками массами т^ и т2 (т-^ > т2)
на концах может вращаться вокруг оси, проходящей че-
через середину стержня перпендикулярно ему. Стержень
приводят в горизонтальное положение и отпускают. Оп-
Определите: а) угловое ускорение и силу давления на ось в
начальный момент движения стержня; б) угловую ско-
скорость и силу давления на ось в момент прохождения
стержня через положение равновесия.
46 Глава 1. МЕХАНИКА
А 4-32. Деревянный стержень массой т = 1 кг и дли-
длиной / = 40 см может вращаться вокруг оси, проходящей
через его середину перпендикулярно стержню. В конец
стержня попадает пуля массой т^ = 10 г, летящая пер-
перпендикулярно оси и стержню со скоростью v = 200 м/с, и
застревает в нем.
а) Определите угловую скорость стержня сразу после
попадания пули.
б) Как изменилась при попадании пули в стержень
общая сумма их кинетических энергий?
• 4-33. Горизонтально расположенный диск может
вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через
центр диска. На диске помещены два одинаковых гру-
грузика так, что их центры масс расположены симметрич-
симметрично по отношению к центру диска. Грузики соединены
ниткой. При вращении диска грузики удерживаются на
своих местах натяжением нити и трением о диск. Тре-
Трение в оси диска и сопротивление воздуха ничтожно ма-
малы. В некоторый момент нить пережигается, и грузики
скользят к краям диска. Как изменяются при движении
грузиков: а) кинетическая энергия диска и грузиков;
б) импульсы диска и грузиков; в) моменты импульсов
диска и грузиков?
А 4-34. На вращающемся столике, используемом в
физических кабинетах для демонстрационных опытов,
стоит человек, держащий на вытянутых руках на рас-
расстоянии /х = 150 см друг от друга две гири. Столик вра-
вращается с частотой лх = 1 с. Человек сближает гири до
расстояния 1г — 80 см, и частота увеличивается до п2 =
= 1,5 с. Определите работу, произведенную челове-
человеком, если каждая гиря имеет массу т = 2 кг. Момент
инерции человека относительно оси столика считать по-
постоянным.
А 4-35. Горизонтальный диск вращается вокруг вер-
вертикальной оси с угловой скоростью (аг; его момент инер-
инерции относительно оси вращения Iv На него падает дру-
другой диск с моментом инерции относительно той же оси
§ 4. Динамика вращательного движения 47
12 и угловой скоростью &2- Плоскости дисков парал-
параллельны, центры находятся на одной вертикальной ли-
линии. Нижняя поверхность падающего диска снабжена
шипами, которые впиваются в верхнюю поверхность
нижнего диска и скрепляют диски в одно целое.
а) Найдите угловую скорость со получившейся системы.
б) На сколько изменится общая кинетическая энер-
энергия обоих дисков после падения второго диска?
в) Чем объяснить изменение общей кинетической
энергии дисков?
¦ 4-36. Сохраняется ли момент импульса в следую-
следующих явлениях и почему:
а) диск А вращается с ничтожно малым трением вокруг
оси, проходящей через его центр перпендикулярно его
плоскости и закрепленной на столе. К нему прикасаются
другим таким же диском В, ось которого держат в руке.
При этом угловая скорость диска А уменьшается, а ди-
диска В — увеличивается в противоположном направле-
направлении, причем сумма их моментов импульса уменьшается;
б) две пары жестко соеди-
соединенных упругих шаров (ганте-
(гантели) движутся поступательно с
одинаковыми скоростями на-
навстречу друг другу (рис. 4-16).
Момент импульса каждой ган-
гантели равен нулю. В некоторый т ф & т
момент времени средние шары
ударяются друг о друга, после и,
чего движутся в противопо- ^ те
ложных направлениях. Ганте-
'ил
ли начинают вращаться, при- -А * т
чем моменты импульса ганте-
гантелей направлены одинаково и Ри 4-16
их сумма не равна нулю.
^ 4-37. Тонкий однородный стержень вращается во-
вокруг оси, проходящей через его середину перпендику-
перпендикулярно ему. В некоторый момент стержень разделяется
на две равные части, которые, продолжая вращаться,
48 Глава 1. МЕХАНИКА
отдаляются друг от друга. Принимая отделившиеся час-
части за однородные стержни вдвое меньшей длины и пре-
пренебрегая работой, совершаемой при разделении, пока-
покажите:
а) что сумма моментов импульса половин стержня
равна моменту импульса стержня до разделения;
б) что энергия системы двух половин стержня равна
энергии вращения стержня до разрыва.
А 4-38. Определите полную кинетическую энергию
при качении без скольжения со скоростью v по плоской
поверхности: а) цилиндра массой т; б) шара массой т;
в) тележки, масса которой без колес равна т, имеющей
четыре колеса в виде дисков массой — каждый.
4
® 4-39. При каком радиусе шарика, описанного в за-
задаче 4-24, энергии поступательного движения центра
масс и вращательного движения шарика относительно
оси, проходящей через центр масс, равны между собой?
А 4-40. Шарик, диаметр которого d = б см, катится
по полу и останавливается через время t = 2 с, пройдя
расстояние s = 70 см. Определите коэффициент трения
качения, считая его постоянным.
Ш 4-41. Шарик находится на горизонтальной плас-
пластинке, перемещающейся с ускорением а. При каком ус-
условии шарик движется поступательно с тем же ускоре-
ускорением?
II 4-42. Пластинку наклоняют и на нее помещают
шарик. При каком угле наклона а шарик будет скатывать-
скатываться без скольжения, если коэффициент трения скольже-
скольжения \л = 0,25, а коэффициент трения качения k = 0,04?
А 4-43. На двух нитях подвешен шарик радиусом
1 см. Шарик вращают, нити закручиваются, вследствие
чего шарик поднимается (рис. 4-17). Когда было сдела-
сделано 20 оборотов, шарик поднялся на 1,2 см. Затем шарик
отпускают и нити раскручиваются. Чему равны ско-
скорость центра масс шарика и частота вращения, когда он
вернется к начальному уровню?
§ 4. Динамика вращательного движения 49
А 4-44. Диаметр подшипника оси железнодорожного
вагона равен 27 см, диаметр колеса — 180 см. Коэффи-
Коэффициент трения скольжения в подшипнике равен 0,01
(при хорошей смазке), коэффициент трения качения ко-
колеса на рельсах равен 0,05 см. Определите работу при
передвижении вагона массой 50 т на пути 1 км.
И 4-45. Шар, радиус которого равен г, скатывается по
наклонному желобу и описывает «мертвую петлю» ради-
радиусом R. Пренебрегая трением качения и сопротивлением
воздуха, найдите наименьшую начальную высоту h центра
масс шара над центром петли, при которой это возможно.
Ф 4-46. Горизонтально расположенный прут враща-
вращается вокруг вертикальной оси с частотой п = 1 с.
Вдоль него со скоростью v = 50 см/с скользит муфта,
масса которой т = 100 г. Определите горизонтальную
составляющую действующей на муфту силы.
Ф 4-47. Определите горизонтальную составляющую
силы, с которой прижимается к рельсу тепловоз массой
1000 т, если он движется по горизонтальному участку
пути на широте 50° со скоростью 15 м/с.
И 4-48. Человек находится во вращающемся помеще-
помещении с полом, имеющем форму параболоида вращения
(рис. 4-18).
а) Покажите, что при определенной угловой скорости
помещения человек, стоящий на полу, в любом месте
располагается так, что прямая, проходящая через центр
масс человека и точку его опоры на пол, нормальна по-
поверхности пола в рассматриваемом месте.
Рис. 4-17 Рис. 4-18
50 Глава 1. МЕХАНИКА
б) Как изменяется энергия системы при равномерном
перемещении человека по полу?
в) При удалении человека от оси вращения увеличива-
увеличивается и потендиальная энергия системы (человек поднима-
поднимается), и ее кинетическая энергия (линейная скорость чело-
человека возрастает). За счет чего меняется энергия системы?
Ф 4-49. Предположим, что велосипедист движется по
горизонтальной, вращающейся вокруг вертикальной оси
плоскости в таком направлении и с такой скоростью, что
относительно Земли он является неподвижным. Должен
ли он наклоняться по направлению к оси вращения плос-
плоскости? (Землю считать инерциональной системой.)
А 4-50. Найдите ускорение, с которым движется (за-
(замедленно) обруч, катящийся по инерции по горизон-
горизонтальной поверхности с трением качения k = 0,01.
А 4-51. Груз весом Р = 104 Н перемещается равно-
равномерно на катках, вес которых намного меньше Р. Коэф-
Коэффициент трения катков о пол k1 = 0,01; о груз k2 = 0,02.
Найдите внешнюю силу, приложенную к грузу.
§ 5. Закон всемирного тяготения
1) Сила притяжения двух точечных тел массами т1 и
т2, находящихся друг от друга на расстоянии г,
где G — гравитационная постоянная.
2) Однородный шаровой слой или шар притягивают
внешнюю материальную точку так, как будто его масса
сосредоточена в центре. Гравитационная сила, дейст-
действующая на материальную точку внутри однородного
шарового слоя, равна нулю.
3) Напряженность гравитационного поля
8= f
m'
где F — гравитационная сила, действующая на матери-
материальную точку массой т.
§ 5. Закон всемирного тяготения 51
4) Потенциальная энергия гравитационого взаимо-
взаимодействия двух точечных тел массами т1 и т2, находя-
находящихся друг от друга на расстоянии г,
Е = -^hUl
п
п г
(потенциальная энергия бесконечно удаленных друг от
друга тел принимается равной нулю).
5) Квадраты периодов обращения планет вокруг
Солнца (или спутников вокруг планет) пропорциональ-
пропорциональны кубам больших полуосей их орбит (закон Кеплера):
Т2 - а3.
6) Первая и вторая космическая скорости:
vl = JgR;
v2 =
где g — ускорение свободного падения на поверхности
планеты; R — радиус планеты.
#5-1. Какова сила притяжения Солнцем тела массой
т = 1 кг, находящегося на поверхности Земли?
А 5-2. Тело, находящееся на поверхности Земли, при-
притягивается и к Земле, и к Солнцу. В той точке поверхно-
поверхности Земли, для которой Солнце находится в зените, эти
силы имеют противоположные направления. В точке,
для которой Солнце находится в надире, эти силы име-
имеют одинаковые направления. Следует ли отсюда, что в
одном и том же месте поверхности Земли днем тела па-
падают медленнее, чем ночью?
А 5-3. а) Является ли вполне строгим утверждение,
что при отсутствии сопротивления воздуха падающие
тела имеют по отношению к поверхности Земли одно и
то же ускорение независимо от их массы?
б) В некоторых учебниках указывается, что ускоре-
ускорение, с которым движется Луна по отношению к Земле,
\2
где g — ускорение свободного падения вблизи поверх-
поверхности Земли; Дх — радиус Земли; R2 — расстояние
52 Глава 1 МЕХАНИКА
между центрами Земли и Луны. Найдите относитель-
относительную погрешность, которая делается при таком утверж-
утверждении.
Ф 5-4. Определите силы, с которыми действуют друг
на друга вследствие тяготения два соприкасающихся
свинцовых шара диаметром по 1 м каждый.
И 5-5. Два твердых шара, плотности которых равны
D1 и D2, находятся в жидкости плотностью Do вдали от
границ жидкости. При каком условии шары притяги-
притягиваются друг к другу и при каком отталкиваются?
Ш 5-6. Шарик массой т1
I I q находится на расстоянии а от
'и [ ,|. а ,\ конца тонкого однородного
стержня массой т9 и длиной I
Рис 5-1
(рис. 5-1).
а) Определите силу притяжения шарика и стержня.
б) Как изменится сила притяжения, если стержень
заменить шариком массой т2, помещенным в том месте,
где находится центр масс стержня? Принять длину
стержня I — 2а.
# 5-7. Пренебрегая изменением веса вследствие вра-
вращения Земли и Луны, вычислите, сколько весил бы на
поверхности Луны человек, весящий на Земле 720 Н.
А 5-8. Найдите напряженность поля тяготения пла-
планеты радиусом 6000 км в точках, расстояние которых от
центра планеты равны: 0, 1000 км, 2000 км, 3000 км,
4000 км, 5000 км, 6000 км, 8000 км, 10 000 км и
12 000 км, и постройте соответствующий график в двух
случаях:
а) плотность вещества планеты одинакова по всему
объему и равна 5 г/см3; вне планеты плотность среды
близка к нулю;
б) плотность вещества планеты в объеме от центра до
4350 км равна 10 г/см3, далее до 600 км равна 2 г/см3,
вне планеты близка к нулю.
II 5-9. Внутри однородного шара имеется сфериче-
сферическая полость.
§ 5. Закон всемирного тяготения 53
а) Покажите, что поле тяготения внутри полости од-
однородно.
б) Зная плотность вещества шара и расстояние I меж-
между центрами шара и полости, найдите ускорение тел,
движущихся в полости.
II 5-10. Центр тяжести корабля водоизмещением
10 000 т выше центра тяжести вытесненной им воды на
h = 5 м.
а) На сколько масса корабля отличается от массы вы-
вытесненной воды? Вес вытесненного воздуха не учиты-
учитывать.
б) Какова результирующая сила, с которой действу-
действуют друг на друга два таких корабля, находящихся друг
от друга на расстоянии 1 км?
# 5-11. Где находится точка, в которой силы притя-
притяжения к Земле и Луне взаимно уравновешены?
^ 5-12. 4 октября 1957 г. в СССР был произведен за-
запуск первого в мире искусственного спутника Земли. Он
имел форму шара диаметром 58 см, масса его 83,6 кг.
Спутник описывал эллиптические траектории вокруг
Земли, причем в некоторые моменты достигал высоты
900 км над ее поверхностью. Период обращения спутни-
спутника вокруг Земли был равным 1 ч 36,2 мин. Предполо-
Предположим, что спутник двигался вокруг центра Земли по кру-
круговой траектории. Какой высоте над поверхностью Зем-
Земли, какой скорости и какой кинетической энергии
соответствовал бы в таком случае указанный период об-
обращения?
# 5-13. Две планеты обращаются вокруг Солнца по
орбитам, принимаемым приближенно за круговые ра-
радиусами Дх = 150 • 106км (Земля) и R2 = 108 • 10е км
(Венера). Найдите отношение их линейных скоростей
°1 и v2.
Ш 5-14. С какой скоростью упадет на поверхность Лу-
Луны метеорит, скорость которого вдали от Луны мала?
Атмосфера на Луне отсутствует.
Я 5-15. На какое расстояние от поверхности Земли
Удалилось бы тело, брошенное вертикально вверх со
54 Глава 1. МЕХАНИКА
скоростью 5 км/с, если бы атмосфера у Земли отсутство-
отсутствовала?
Ш 5-16. Предположим, что механическая энергия
системы искусственный спутник — Земля уменьшилась
вследствие потерь на трение в верхних слоях атмосферы
на 2%. Принимая, что орбита спутника и до потери
энергии, и после нее мало отличается от окружности,
вычислите, как изменится при потере 2% энергии:
а) радиус орбиты; б) скорость спутника; в) период обра-
обращения спутника.
¦ 5-17. Чему равна сумма кинетической и потенци-
потенциальной энергий планеты массой т., обращающейся во-
вокруг Солнца по эллипсу, большая полуось которого
равна а? Рассмотрите положения планеты в точках ее
орбиты с наименьшим и наибольшим радиусами кри-
кривизны.
Указание. Наименьший и наибольший радиусы кривизны
эллипса равны — и %~ , где а и Ъ — полуоси эллипса.
а о
¦ 5-18. Сколько времени падало бы на Солнце тело,
находящееся на расстоянии, равном радиусу земной ор-
орбиты?
Я 5-19. Метеорит, имеющий на большом расстоянии
от Земли относительную скорость v, попадает на Землю,
если его «прицельный параметр» р (расстояние асимп-
асимптоты орбиты от центра Земли) меньше критического
значения рк. Определите эффективное сечение захвата
2
метеорита Землей ст = ярк .
Ш 5-20. Покажите, что задача о движении трех при-
притягивающихся по закону Ньютона тел, массы mv m2,
т3 которых сравнимы по значению и могут быть раз-
различными, имеет частное решение, при котором тела
вращаются вокруг общего центра масс, образуя равно-
равносторонний треугольник (решение Лагранжа). Определи-
Определите частоту вращения тел.
§ 6. Статика твердого тела 55
§ 6. Статика твердого тела
1) Условия равновесия твердого тела:
Xм* = 0; Ъму = 0; ?мг = о,
где Fx, Fy и Fz; Мх, М и Мг — проекции векторов сил и
моментов сил, действующих на тело, на прямоугольные
оси координат.
Те же условия относятся к равномерному прямоли-
прямолинейному поступательному движению.
Можно пользоваться теми же условиями и в неинер-
циальных системах отсчета, если присоединить к реаль-
реально действующим силам силы инерции.
2) Сила трения покоя может иметь при данной силе
нормального давления любое значение от нуля до неко-
некоторого максимального, определяемого нормальным дав-
давлением и природой трущихся тел.
Коэффициентом трения ц называют отношение мак-
максимальной силы трения покоя к нормальной силе давле-
давления. Коэффициент трения при скольжении практиче-
практически равен |и.
® 6-1. На плоской поверхности, образующей с гори-
горизонтом угол 20°, лежит доска массой 0,5 кг, в верхнюю
грань которой вбит гвоздь, проходящий через ее центр
тяжести. Коэффициент трения доски о наклонную по-
поверхность равен 0,4. Определите максимальную силу, с
которой можно надавить на гвоздь, не вызывая движе-
движения доски, в следующих случаях:
а) сила параллельна поверхности, образует с горизон-
горизонтом угол 20° и направлена вверх;
б) сила противоположна этому направлению;
в) сила горизонтальна и образует с наклонной по-
поверхностью угол 20°.
# 6-2. Между двумя вбитыми в стену гвоздями на-
натянут шнур длиной 1,7 м. Расстояние между гвоздями
56 Глава 1. МЕХАНИКА
Рис. 6-1 Рис. 6-2
равно 1,5 м. На шнур подвешен груз весом 200 Н
(рис. 6-1). Определите силу натяжения шнура, пре-
пренебрегая изменением его длины при подвешивании
груза.
Ф 6-3. Шар массой 5 кг опирается на две гладкие
(jj. = 0) плоскости, причем левая образует с горизонтом
угол а = 35°, а правая — угол Р = 20° (рис. 6-2). Опреде-
Определите силы, с которыми шар давит на плоскости.
А 6-4. Предположим, что в условиях предыдущей за-
задачи поскости не были бы гладкими и коэффициент тре-
трения ц был бы отличен от нуля. Как изменится решение
задачи?
А 6-5. На каждое из стропил АС и СВ (рис. 6-3) дей-
действует сила тяжести крыши и стропил Р = 8 • 103 Н.
Стропила удерживаются от раздвигания затяжкой ЕН,
длина которой в 1,5 раза меньше расстояния между
концами Аи В стропил и в 1,2 раза больше длины каж-
каждого из стропил. Силы тяжести Р можно считать прило-
приложенными в середине стропил. Каковы силы, действую-
действующие на затяжку?
Ф 6-6. Трое рабочих несут металлическую плиту в
виде разностороннего треугольника, поддерживая ее за
вершины. Докажите, что силы давления, действующие
на каждого из них, равны друг другу.
Р Ш 6-7. На доске, положен-
положенной на козлы, стоит человек
Н массой 60 кг. Вес доски
^-i 800 Н, размеры ее показаны
L~4
|1 800 Н, размеры ее показаны
U-J на рисунке 6-4. Определите
Рис. 6-3 силы, действующие на опоры.
§ 6. Статика твердого тела
57
1,5 м
1 м . 0,5 м
4м-
Рис. 6-4
А 6-8. Для определе-
определения положения центра
масс автомобиля произве-
произвели три взвешивания:
1) обе оси автомобиля
поместили на весы; об-
общий вес автомобиля ока-
оказался равным 2,71 • 104 Н;
2) задняя ось осталась на весах, а передняя опира-
опиралась на опору, находящуюся на одном уровне с площад-
площадкой весов; весы показали 1,41 • 104Н; 3) задняя ось оста-
осталась на весах, передняя была поднята на высоту 60 см по
сравнению с задней; весы показали 1,473 • 104Н. Опре-
Определите высоту центра масс автомобиля над площадью
опоры. Известно, что расстояние между осями автомо-
автомобиля равно 3,3 м, а рабочий радиус колес 0,42 м.
А 6-9. В гладкий цилиндрический стакан помещена
палочка длиной I = 15 см и массой 30 г (рис. 6-5). С ка-
какими силами действует палочка на дно и стенки стака-
стакана, если радиус дна R = 7 см? Трением пренебречь.
А 6-10. Ферма сделана из железных стержней одного
и того же сечения (рис. 6-6). Опора В устроена так, что
она не несет вертикальной нагрузки. Вес стержня АВ
равен 500 Н. Определите силы, действующие на опоры
А и В.
Рис. 6-6
58
Глава 1. МЕХАНИКА
10 см
J10 см
Рис. 6-7
10 см
Рис. 6-8
Ш 6-11. Нагруженная тележка находится на горизон-
горизонтальном рельсовом пути (рис. 6-7). Расстояние между ее
осями равно 80 см. Оси находятся на высоте 20 см над
полотном. Если тележка не движется, то силы давления
на ее левую и правую оси равны соответственно 103 Н и
0,9 • 103Н.
а) На тележку давят с силой 40 Н, приложенной на
высоте 140 см над полотном, и она равномерно движет-
движется в направлении силы (слева направо). Каковы силы
давления на оси в движущейся тележке?
б) Каковы силы давления на оси в случае, если те-
тележка движется под действием той же силы с ускорени-
ускорением 0,1 м/с2 и если центр масс тележки находится на вы-
высоте 61 см над полотном?
А 6-12. Модель коленчатого вала, сделанная из же-
железного прута диаметром 1 см (рис. 6-8) вращается в
подшипниках А и В с частотой 5 с. Определите силы
давления вала на опоры в момент, когда колена вала
расположены: а) вертикально; б) горизонтально.
А 6-13. а) У гладкой (цг = 0) стены стоит лестница.
Коэффициент трения лестницы о землю \х2 = 0,5. Центр
тяжести лестницы можно считать находящимся в ее се-
середине. Определите наименьший угол ф, который лест-
лестница может образовать с горизонтом, не падая.
б) Предположим, что лестница поставлена в такое по-
положение, что малейшее уменьшение угла должно при-
привести к ее падению. Упадет ли лестница, если человек
встанет на ее нижнюю ступеньку? на ее верхнюю сту-
ступеньку?
§ 6. Статика твердого тела 59
Я 6-14. Тонкий стержень длиной I = 100 см, сделан-
сделанный из дерева плотностью D = 0,8 г/см3, подвешен за
один из концов, а другим погружен в воду. Определите
угол а между направлением стержня и вертикалью, ес-
если верхний конец находится над уровнем воды на высо-
высоте h, равной: а) 30 см; б) 70 см.
А 6-15. Какую работу надо произвести, чтобы повер-
повернуть на другую грань сплошной железный куб, масса
которого равна 200 кг?
¦ 6-16. Сосуд с тонкими стенками, имеющий форму
полого куба без верхнего основания, наполовину заполнен
водой. Ребро куба равно 20 см. Какую работу нужно произ-
произвести, чтобы опрокинуть сосуд на боковую грань (причем
вода из него выльется)? Вес сосуда без воды равен ЮН.
А 6-17. Ящик в форме куба перемещают на некото-
некоторое расстояние L один раз волоком, а другой — кантова-
кантованием (т. е. опрокидыванием через ребро). Коэффициент
трения ящика о пол при скольжении равен ц; трением
при кантовании можно пренебречь. При каком значе-
значении ц работы при перемещении волоком и кантованием
одинаковы?
Ш 6-18. Имеются два круглых карандаша разных
диаметров (dl > d2). Второй карандаш удается уравнове-
уравновесить в горизонтальном (или близком к горизонтально-
горизонтальному) положении на первом, расположенном горизонталь-
горизонтально (рис. 6-9).
а) Уравновесить таким же образом первый карандаш
на втором нельзя. Почему?
б) Предположим, что второй карандаш уравновешен
в горизонтальном положении. Каково наибольшее зна-
значение угла а между направлением оси второго каранда-
карандаша и горизонтом, при котором он возвращается к гори-
горизонтальному положению, если
его отпустить? Коэффициент тре-
трения р. = 0,5; отношение диа-
диаметров карандашей — = 1,05.
d2 Рис. 6-9
60 Глава 1. МЕХАНИКА
§ 7. Прочность и упругость материалов
1) Отношение силы упругости к площади сечения,
в котором она действует, называют напряжением:
2) Деформация растяжения (сжатия) тела характери-
характеризуется относительным удлинением (сжатием) — , где I —
длина недеформированного тела; А1 — изменение длины.
Для упругих деформаций растяжения (сжатия) вы-
выполняется закон Гука:
М = р
Т ?'
где р — напряжение; Е — модуль упругости (модуль
Юнга).
3) Относительное изменение объема при растяжении
где р. — отношение относительного поперечного сжатия
образца к его относительному продольному удлинению
(коэффициент поперечного сжатия).
4) Относительное изменение объема при всесторон-
всестороннем сжатии
~v к'
где К — модуль всестороннего сжатия, связанный с мо-
модулем Юнга соотношением:
К= Е
3A-2ц)"
5) Деформация сдвига характеризуется углом сдвига у,
измеренным в радианах. При малых углах сдвига
где рх — тангенциальное напряжение; G — модуль сдвига.
§ 7. Прочность и упругость материалов 61
6) Потенциальная энергия при упругом растяжении
тела
Е„ = —-— ,
где F — сила упругости при удлинении t
7) Плотность энергии:
а) в растянутом или сжатом стержне
D2
б) во всесторонне сжатом теле
2
в) при деформации сдвига
2
8) Угол кручения цилиндра
(рис. 7-1) ~
где М — вращающий момент,
вызывающий кручение;
I и г — длина и радиус ци- Рис. 7-1
линдра; G — модуль сдвига.
9) В таблицах X, XI Приложения приведены значе-
значения разрушающего напряжения при растяжении для не-
некоторых материалов, а также модулей Юнга Е, сдвига
G, всестороннего сжатия К и коэффициенты поперечно-
поперечного сжатия \х.
Ж 7-1. Какова наибольшая длина свинцовой проволо-
проволоки, при которой подвешенная за один конец проволока
не оборвется от собственной тяжести?
^ 7-2. Какое давление изнутри при наружном давле-
давлении 0,98 ¦ 105 Па может выдержать: а) стеклянная труб-
трубка, наружный и внутренний диаметры которой dx = 8 мм
62 Глава 1. МЕХАНИКА
и d2 = 7 мм? б) стеклянная сферическая колба, наруж-
наружный и внутренний диаметры которой dl = 182 мм и d2 =
= 180 мм?
А 7-3. Покажите, что в котле, состоящем из цилинд-
цилиндрической части (обечайки) и двух полусферических
днищ (рис. 7-2), прочности
обечайки и днищ окажут-
Обечайка 11 } Ся одинаковыми, если сде-
сделать днища вдвое более
тонкими, чем стенки обе-
Риг 7-9
" чайки.
А 7-4. Горизонтальный железный стержень длиной
1= 150 см вращается вокруг вертикальной оси, прохо-
проходящей через его середину. При какой частоте вращения
он может разорваться?
• 7-5. Стальная проволока диаметром 1 мм имеет
длину 5 м, когда на ней висит груз весом 196 Н. На
сколько удлинится проволока, если вес груза увеличить
на 98 Н?
^ 7-6. Между двумя прочными упорами натянута
стальная проволока диаметром 1 мм и длиной 2 м. На
сколько сместится середина проволоки, если к ней под-
подвесить груз весом 2,94 Н? При расчете принять, что упо-
упоры при навешивании груза не смещаются.
А 7-7. Медный стержень длиной 2 м и диаметром
3 см переводят из горизонтального положения в верти-
вертикальное и ставят на пол. При этом диаметр его нижней
части становится чуть-чуть больше. Можно ли измерить
это изменение, если воспользоваться прибором, позво-
позволяющим измерять с точностью до 0,001 мм?
А 7-8. Длинная железная труба имеет внутренний
диаметр d = 30 см и толщину стенок Ъ — 0,5 см. На
сколько увеличится площадь сечения канала трубы, ес-
если разность давлений внутри и вне трубы увеличится от
нуля до р = 4,9 • 106Па? Изменением толщины стенок
при растяжении трубы пренебречь.
Ш 7-9. На какой глубине плотность пресной воды на
1 % больше ее плотности вблизи свободной поверхности?
§ 7. Прочность и упругость материалов
63
А 7-10. Труба, описанная в задаче 7-8, имеет длину
200 м и расположена горизонтально. Концы трубы пере-
перекрыты. Труба заполнена водой, причем разность давле-
давлений воды и наружного воздуха равна 4,9 • 106 Па. Какой
объем воды вытечет из трубы, если по верхней линии ее
стенки образуется трещина?
А 7-11. На рисунке 7-3 изображен пьезометр — при-
прибор для измерения модуля всестороннего сжатия жид-
жидкостей. При увеличении давления жидкости, окружаю-
окружающей стеклянный сосуд А, ртуть в колене В поднимается.
Как измерить модуль всесто-
всестороннего сжатия К жидкости,
находящейся внутри сосуда А?
Какова относительная погреш-
погрешность, которая будет иметь
место, если не принять во вни-
внимание сжатие стекла под дей-
действием всестороннего внешне-
внешнего давления, а модуль всесто-
всестороннего сжатия исследуемой
жидкости близок к 3 • 109 Па?
Рис. 7-3
^ 7-12. Стальной маховик вращается с частотой п =
= 30 мин. Средний диаметр его обода d = 1,5 м. Опре-
Определите увеличение диаметра маховика при вращении,
пренебрегая действием сил натяжения спиц.
А 7-13. К двум противоположным граням однород-
однородного кубика приложены две равные противоположно
направленные растягивающие силы. Если эти грани
удаляются друг от друга на расстояние Ы, то четыре
другие грани сближаются на расстояние \хА1. Предполо-
Предположим, что силы, действующие на две первые грани, ис-
исчезли, а на четыре остальные грани действуют попарно
равные сжимающие силы, такие, что эти грани остают-
остаются на прежнем расстоянии (т. е. сближены на цД2). Оста-
Останется ли форма кубика такой, какой она была при нали-
наличии двух растягивающих сил?
Ш 7-14. Стальная проволока длиной I = 4 м и диа-
диаметром d = 2 мм растягивается силой F = 9,8 • 102 Н. На
64 Глава 1. МЕХАНИКА
сколько изменятся при этом: а) ее объем? б) ее боковая
поверхность?
• 7-15. Определите энергию упругой деформации
растяжения проволоки, описанной в задаче 7-5, при
действии силы 294 Н.
Ф 7-16. Определите плотность энергии деформации,
зависящей от сжатия, в пресной воде на глубине 1,5 км.
• 7-17. Определите плотность энергии деформации в
проволоке, описанной в задаче 7-6.
А 7-18. Товарный вагон массой 31 т, двигаясь в ту-
тупике со скоростью 40 см/с, наталкивается буферами на
два упора. Буфера заметно сжимаются, а упоры почти
не деформируются. Пружина каждого из буферов сжи-
сжимается под действием силы, равной 104Н, на 7 мм.
Деформации пружин буферов можно считать абсолютно
упругими. На сколько сожмутся пружины буферов в
рассматриваемом случае?
^ 7-19. При забивании деревянной сваи в грунт коп-
копром в свае возникает напрязкение, которое достигает на-
наибольшего значения в случае, если при ударе бойка
нижний конец сваи не смещается (например, если свая,
продвигаясь в мягком грунте, дошла до каменной поро-
породы). Определите наибольшее напряжение, которое мо-
может возникнуть в свае при следующих данных: масса
бойка копра 180 кг; диаметр сваи 26 см; длина сваи б м;
боек падает с высоты 45 см. Небольшим перемещением
верхнего конца сваи при ударе можно пренебречь.
• 7-20. К закрепленной верхним концом проволоке
подвешивается груз массой т, причем проволока удли-
удлиняется на величину х. При этом груз теряет потенциаль-
потенциальную энергию mgx, а проволока приобретает потенциаль-
потенциальную энергию 7Щ^-. Куда расходуется другая половина
потенциальной энергии, потерянной грузом?
Ф 7-21. Когда натянутая стальная струна охлаждает-
охлаждается, ее натяжение, а следовательно, и зависящая от него
энергия увеличиваются. За счет чего происходит увели-
увеличение энергии?
§ 8. Динамика колебательного движения. Маятники 65
Ж 7-22. Грузик подвешен на резиновой нити, имею-
имеющей в ненатянутом состоянии длину I — 80 см. Грузик от-
отклоняют на 90°, не натягивая нити, и отпускают. Когда
нить проходит через вертикальное положение, ее длина
Zj = 100 см. Определите скорость грузика в этот момент.
Указание. Отличие 1± от I невелико, поэтому при вычисле-
вычислении сил, действующих на грузик, можно движение грузика по
сложной несимметричной кривой приближенно заменить дви-
движением по окружности радиуса 1г.
Ф 7-23. Мощность момента сил, вращающих стальной
вал длиной 150 см и диаметром 2 см с частотой 20 с,
равна 4,5 кВт. Чему равен угол закручивания вала?
А 7-24. На рисунке 7-4 графически показана зависи-
зависимость упругой силы от деформа-
деформации при циклическом деформи-
деформировании тела в случае наличия
гистерезиса. Согласно формуле
пункта 6 введения потенциаль-
потенциальная энергия деформированного
тела в состояниях, соответст-
соответствующих точкам А, В, С и D, рав-
равна нулю, а в состояниях, соот-
соответствующих точкам К и L, яв-
является отрицательной. Как
истолковать эти результаты ? Рис. 7-4
§ 8. Динамика колебательного движения.
Маятники
1) Циклическая частота со и период поступательных
гармонических колебаний Т определяются формулами:
со = /—; Т = 2л /^ ,
¦р
где k — коэффициент квазиупругой силы: k = — - (F —
s
возвращающая сила; s — смещение от положения рав-
равновесия); m — масса колеблющегося тела.
3 - 9038
66 Глава 1. МЕХАНИКА
2) Период вращательных гармонических колебаний
где I — момент инерции колеблющегося тела относи-
относительно оси вращения; D — отношение момента силы,
возвращающего тело к положению равновесия, к углу а
отклонения тела от положения равновесия ID = - —
V а
3) При малых качаниях физического маятника в по-
поле тяготения с напряженностью g период колебаний
Imgb'
где Ъ — расстояние от оси вращения маятника до центра
его масс.
4) Для математического маятника (тела малых раз-
размеров, подвешенного на невесомой нити длиной I) пери-
период колебаний
Т = 2
Указание. Во всех задачах этого параграфа принимать, что
амплитуды колебаний маятников малы и что периоды колеба-
колебаний можно вычислять по приведенным выше формулам.
5) Сумма кинетической и потенциальной энергий ма-
материальной точки, совершающей гармонические коле-
колебания, постоянна и равна
2 2 2
? _ гпА ш _ kA
2 IT'
где А — амплитуда колебаний.
6) В случае, если на тело, кроме возвращающей силы,
действует еще и сила сопротивления среды, пропорци-
пропорциональная скорости движения тела (Fc = -rv), колебания
тела являются затухающими. В этом случае смещение в
некоторый момент времени t определяется формулой
s = Ae~at sin (cot + ф),
§ 8. Динамика колебательного движения. Маятники 67
где А — постоянная для данного движения величина,
зависящая от смещения и скорости в начальный момент
времени (начальная амплитуда); а — коэффициент за-
затухания а = -^- ); ф — начальная фаза; частота зату-
хающих колебаний равна
( fk
юп = /— — собственная частота, соответствующая от-
V у т
сутствию затухания I. Колебания возможны только при
условии со0 > а. Если со0 < а, тело, отклоненное от поло-
положения равновесия, возвращается к нему без колебаний.
7) Логарифмический декремент затухания
8) Амплитуды смещения и скорости вынужденных
колебаний соответственно равны
F F
¦V + mV-«o) '
0)
где Fm — наибольшее значение вьшуждающей силы; г —
коэффициент сопротивления; со — циклическая частота
вынуждающей силы; ш0 — собственная частота; т —
масса колеблющегося тела.
При изменении частоты вынуждающей силы макси-
максимум амплитуды скорости (резонанс скоростей) имеет
место при со = со0; максимум амплитуды смещения (ре-
Г о 2
зонанс смещений) — при со = JcOq - 2а .
9) Система, совершающая вынужденные колебания,
потребляет мощность, среднее за период значение которой
au2
68
Глава 1. МЕХАНИКА
• 8-1. Стальная полоска зажата с одного конца и рас-
расположена горизонтально. На другом конце полоски за-
закрепляют груз, масса которого значительно больше мас-
массы полоски. При наличии груза полоска изгибается и ее
незажатый конец опускается на 4 см.
а) С какой частотой будет колебаться груз, если его
толкнуть в вертикальном направлении?
б) С каким ускорением будет двигаться колеблющийся
груз в тот момент, когда полоска полностью распрямится?
# 8-2. Принимая движение поршня в двигателе
внутреннего сгорания за гармоническое колебание (см.
задачу 1-32), определите силу, действующую на колен-
коленчатый вал со стороны поршня, когда он находится в
«мертвой точке». Масса поршня 1,2 кг; частота враще-
вращения коленчатого вала 200 мин; ход поршня 12 см.
Принять, что давление газов в цилиндре двигателя рав-
равно атмосферному.
¦ 8-3. На верхнюю ветвь горизонтально распо-
расположенного камертона (рис. 8-1) насыпан мелкий песок.
С помощью смычка камертон
приводят в колебательное дви-
/jP21"" з Г жение. Частота колебаний ка-
V8auik.ni и 11 -1 мертона f = 500 Гц.
а) Какова амплитуда коле-
колебаний в тех местах ветви ка-
камертона, где песчинки не под-
подскакивают?
б) Какова амплитуда коле-
колебаний в тех местах, где пес-
песчинки подскакивают на высоту
h = 3 мм (по отношению к по-
положению в случае покоящегося
камертона), считая удар пес-
песчинки о камертон неупругим?
А 8-4. При равновесии сис-
системы, показанной на рисунке
8-2, пружина П растянута на
А1 = 7 см по сравнению с неде-
Рис.8-1
'//////////////////л
V///W/////7ZW//
Рис. 8-2
§ 8. Динамика колебательного движения. Маятники 69
формированным состоянием. Блок представляет собой
сплошной однородный диск. Массы грузов и блока соот-
соответственно равны тх = 300 г, т2 = 100 г, ms = 100 г. Ос-
Остальными массами и трением можно пренебречь. Опре-
Определите период колебаний системы, которые начнутся, ес-
если груз тх отвести вертикально вниз и отпустить.
А 8-5. Верхний конец стальной проволоки диа-
диаметром 0,5 мм и длиной 80 см защемлен. К нижнему
концу проволоки прикреплен шар массой 2 кг и диа-
диаметром 10 см. Если шар повернуть вокруг вертикальной
оси на небольшой угол и отпустить, он будет совершать
вращательные колебания. Определите период колеба-
колебаний шара.
Ш 8-6. Шарик подвешен на длинной нити. Один раз его
поднимают по вертикали до точки подвеса, другой раз —
отклоняют, как маятник, на небольшой угол. В каком
из этих случаев шарик быстрее возвратится к начально-
начальному положению, если его отпустить?
А 8-7. Определите период колебаний полена, подве-
подвешенного на 8 шнурах одинаковой длины I = 0,8 м
(см. рис. 3-15). Углы между соседними шнурами ср = 49°.
Амплитуда колебаний мала.
И 8-8. Маятник в виде грузика, подвешенного на нити
длиной I = 0,5 м, колеблется в кабине самолета. Каков
период его колебаний, если самолет: а) движется равно-
равномерно? б) движется горизонтально с ускорением а =
= 2,5 м/с2? в) планирует вниз под углом а = 15° к гори-
горизонту? Лобовым сопротивлением самолета пренебречь.
¦ 8-9. Маятник в виде маленького шарика, подве-
подвешенного на нити длиной I = 10 см, находится внутри
жидкости, плотность которой в п = 1,2 раза меньше
плотности шарика. Определите период колебаний маят-
маятника, пренебрегая сопротивлением жидкости и прини-
принимая, что эффективная масса при движении шарика в
жидкости увеличивается на величину, равную массе вы-
вытесненной жидкости.
Ш 8-10. Маятник представляет собой очень легкий
стержень, на котором закреплены два одинаковых гру-
70 Глава 1. МЕХАНИКА
за — один на расстоянии 30 см от оси, другой на рас-
расстоянии 15 см от оси. Каков период колебаний такого
маятника?
^ 8-11. а) Определите период колебаний однородного
шара радиусом 6 см вокруг горизонтальной оси, прохо-
проходящей через точку, отстоящую от центра шара на рас-
расстоянии, равном 0,3 радиуса шара.
б) Каков будет период колебаний, если расположить
ось под углом 80° к горизонту?
¦ 8-12. Тонкая прямоугольная пластинка может ко-
колебаться вокруг горизонтальной оси, лежащей в ее
плоскости и перпендикулярной одной из ее сторон, дли-
длина которой равна I.
а) Каков период колебаний, если ось совпадает с
верхней стороной пластинки?
б) При каком расстоянии оси от середины пластинки
период колебаний пластинки будет наименьшим? Каков
этот период?
А 8-13. Шар радиусом 5 см подвешен на нити дли-
длиной 10 см. Определите погрешность, которую мы дела-
делаем, приняв его за математический маятник длиной
15 см.
А 8-14. Некоторое тело совершает малые колебания
вокруг горизонтальной оси с периодом Т1 = 0,5 с. Если
же к нему прикрепить грузик массой m = 50 г на рас-
расстоянии I = 10 см ниже точки подвеса, то оно колеблет-
колеблется с периодом Т = 0,6 с. Найдите момент инерции тела
относительной этой оси.
А 8-15. Определите период колебаний
ртути массой тп = 121 г, находящейся в
U-образной трубке (рис. 8-3). Площадь се-
сечения канала трубки S = 0,3 см2.
А 8-16. Шарик радиусом г катается по
дну сферической чашки радиусом R. Пред-
Предполагая, что эти колебания можно считать
гармоническими, определите их период.
А 8-17. Предположим, что по одному
Рис. 8-3 из диаметров Земли просверлен канал.
§ 8. Динамика колебательного движения. Маятники
71
Рис. 8-4
Принимая Землю за однородный
шар с плотностью D = 5,5 г/см3,
найдите время т движения тела от
поверхности Земли до ее центра.
Ж 8-18. Два диска могут вращать-
вращаться вокруг осей, являющихся про-
продолжением одна другой (рис. 8-4). Моменты инерции ди-
дисков относительно этой оси равны /х и /2- Диски соеди-
соединены пружиной, коэффициент кручения (то есть
коэффициент пропорциональности между моментом сил
упругости и углом кручения) которой равен D.
а) Определите период, с которым будут колебаться
диски, если их повернуть в противоположных направле-
направлениях, закручивая при этом пружину, и отпустить.
б) Как изменится период, если один из дисков (на-
(например, второй)закрепить?
¦ 8-19. Определите период вращательных колебаний
тонкого диска, подвешенного на трех параллельных нитях
длиной 1,2 м каждая (рис. 8-5).
¦ 8-20. На стальной проволоке
длиной ( = 6ми площадью сечения
S — 0,5 мм2 висит металлический
шар массой т = 2 кг. Шар поднима-
поднимают на некоторую высоту h и затем
отпускают, после чего начинаются
колебания шара в вертикальном
направлении.
а) Каков характер этих колеба-
колебаний при различных значениях h?
б) При каких амплитудах коле-
колебания являются гармоническими?
в) Определите период гармони-
гармонических колебаний.
А 8-21. Два блока быстро вра-
вращаются в противоположных на-
направлениях (рис. 8-6). Расстояние
между осями блоков d = 10 см; ко-
коэффициент трения между блоками Рис. 8-6
;
Рис. 8-5
72 Глава 1. МЕХАНИКА
и спицей ц, = 0,25. Если на блоки положить спицу так,
чтобы ее центр тяжести С был ближе к одному из бло-
блоков, то спица начнет колебаться вправо — влево.
а) Покажите, что эти колебания гармонические, и оп-
определите их период.
б) Почему при медленном вращении колебания спи-
спицы могут быть и негармоническими?
Ш 8-22. Начальная амплитуда колебаний маятника
равна 3 см. Через 10 с она стала равной 1 см. Через ско-
сколько времени амплитуда колебаний будет равна 0,3 см?
Ф 8-23. Три последовательных крайних положения
качающейся стрелки гальванометра соответствуют деле-
делениям шкалы пх = 20,0; п2 = 5,6 и п3 = 12,8. Считая дек-
декремент затухания постоянным, определите деление, со-
соответствующее положению равновесия стрелки.
А 8-24. Каков логарифмический декремент затухания
маятника длиной 0,8 м, если его начальная амплитуда
равна 5°, а через 5 мин она становится равной 0,5°?
Ш 8-25. Через сколько времени энергия колебаний ка-
камертона с частотой / = 600 Гц уменьшится в п = 106 раз,
если логарифмический декремент затухания равен 0,0008?
А 8-26. Какова общая сумма путей, пройденных ко-
колеблющейся точкой до полного затухания колебаний,
если амплитуда первого колебания равна 1 мм, а лога-
логарифмический декремент затухания равен 0,002?
А 8-27. Амплитуда затухающих колебаний уменьша-
уменьшается в течение одного периода в 3 раза.
а) На сколько процентов период колебаний больше,
чем при отсутствии причины, вызывающей затухание?
б) При каком значении фазы смещение максимально?
в) При каком значении фазы скорость максимальна?
г) Начертите приблизительно графики зависимости сме-
смещения и скорости от времени для этих колебаний.
Ш 8-28. Упругое тело колеблется в сопротивляющей-
сопротивляющейся среде, причем логарифмический декремент затуха-
затухания равен 0,7.
а) Возможны ли затухающие колебания этого тела в
среде, коэффициент сопротивления которой в 10 раз
больше, чем у данной среды?
§ 8. Динамика колебательного движения. Маятники 73
б) Ответьте на тот же вопрос, если декремент затуха-
затухания в данной среде равен 0,6; 0,1.
в) Если колебания в более вязкой среде возможны, то
каковы их декременты затухания?
# 8-29. При какой скорости поезда рессоры его ваго-
вагонов будут особенно сильно колебаться под действием
толчков колес о стыки рельс, если длина рельс 12,5 м,
нагрузка на рессору равна 5,5 кН и если рессора проги-
прогибается на 16 мм при нагрузке в 1 кН?
А 8-30. Амплитуды скоростей вынужденных колеба-
колебаний при частотах вынуждающей силы fr = 200 Гц и /2 =
= 300 Гц одинаковы. Принимая, что амплитуда вынуж-
вынуждающей силы в обоих случаях одна и та же, найдите
частоту, соответствующую резонансу скоростей.
А 8-31. Амплитуды смещений вынужденных колеба-
колебаний при частотах вынуждающей силы /х = 200 Гц и f2 =
= 300 Гц одинаковы. Найдите частоту, соответствую-
соответствующую резонансу смещений.
А 8-32. На графике зависимости амплитуды скорос-
скорости от частоты вынуждающей силы провели прямую, па-
параллельную оси абсцисс, на высоте, равной половине
максимума. Отрезок этой прямой между точками пере-
пересечения с графиком соответствует Af — 20 Гц. Определи-
Определите коэффициент затухания.
А 8-33. Амплитуда смещения вынужденных колеба-
колебаний при очень малой частоте равна s0 = 2 мм, а при ре-
резонансе равна s = 16 мм. Предполагая, что декремент
затухания меньше единицы, определите его.
¦ 8-34. Стальная струна протянута между полюсами
электромагнита, по обмотке которого идет переменный
ток, вследствие чего струна колеблется с частотой пере-
переменного тока. Натяжение струны постепенно увеличи-
увеличивают. Когда частота собственных колебаний струны /0 =
= 100 Гц, мощность тока в обмотке достигает макси-
максимального значения и на 50% превышает мощность, по-
потребляемую электромагнитом при отсутствии струны.
Когда частота собственных колебаний струны увеличи-
увеличивается до / = 101 Гц, мощность тока в обмотке электро-
74 Глава!. МЕХАНИКА
магнита только на 5% превышает мощность при отсут-
отсутствии струны. В течение какого отрезка времени т амп-
амплитуда колебаний струны уменьшится в 10 раз, если
ток в обмотке электромагнита выключить?
А 8-35. Маятник стенных часов массой 40 г соверша-
совершает колебания с периодом 0,4 с, причем его центр тяжес-
тяжести колеблется с амплитудой 7 мм. Если часы не заведе-
заведены, то амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза за
3 колебания. Определите полезную работу, которая про-
производится при заводе часов на недельный срок.
¦ 8-36. Определите период колебаний маятника,
угол отклонения которого равен 90°.
Указание. Использовать закон сохранения энергии для оп-
определения скорости движения в каждой точке траектории, ин-
интеграл вычислить приближенно.
§ 9. Движение жидкостей и газов
1) В поле тяготения напряженностью g скорость ис-
истечения жидкости из малого отверстия в открытом сосуде
v= J2gh,
где h — глубина отверстия относительно уровня жид-
жидкости в сосуде.
2) Для установившегося течения идеальной жидкос-
жидкости (несжимаемой и без трения) верно уравнение Бер-
Берну лл и:
где р — давление в жидкости; D — плотность жидкости;
v — скорость течения.
3) В случае ламинарного течения жидкости по круг-
круглой трубе внутренним радиусом г объем V жидкости,
протекающей за время t,
где Ар — разность давлений между точками, отстоящи-
отстоящими по оси трубы на расстоянии I (формула Пуазейля).
§ 9. Движение жидкостей и газов 75
4) Если движение среды, обтекающей твердое тело,
перемещающееся внутри нее с постоянной скоростью и,
является ламинарным, то лобовое сопротивление выра-
выражается формулой
F = -kr\bv,
где г) — вязкость среды; Ъ — величина, характеризую-
характеризующая линейные размеры тела; k — безразмерная величи-
величина, зависящая от формы тел и одинаковая для всех гео-
геометрически подобных тел. Знак минус указывает, что
вектор F направлен противоположно вектору v.
В случае шара, если принять Ъ равным радиусу шара г,
то k = 6л; получаем для F формулу Стокса:
F = -бпцги.
5) Если движение среды, обтекающей твердое тело, яв-
является турбулентным, формула, указанная в пункте 4),
неприменима. В этом случае при не слишком больших
скоростях лобовое сопротивление вычисляют по формуле
F = -CxSv2D,
где <S — площадь миделя, т. е. наибольшая площадь се-
сечения тела в направлении, перпендикулярном вектору
скорости v; D — плотность среды; Сх — безразмерный
коэффициент, зависящий от формы тела. Направление
нормали к площади миделя считается совпадающим с
вектором скорости тела.
6) Характер движения среды определяется безраз-
безразмерным числом Рейнольдса
Л
где Ь — величина, характеризующая линейные размеры
потока среды.
При малых значениях Re движение среды является
ламинарным, при больших — турбулентным. В случае
шара переход от ламинарного движения к турбулентно-
турбулентному происходит при значениях Re, близких к 0,5, если
в качестве Ъ взять диаметр шара. С увеличением скорое-
76 Глава 1. МЕХАНИКА
ти течения жидкости по трубе переход от ламинарного
течения к турбулентному происходит при Re, близком
к 3000, если в качестве Ъ взять диаметр трубы.
Указание При решении первых 9 задач этого параграфа
принимать, что вязкость среды и ее сжимаемость ничтожно
малы.
• 9-1. В середине дна цилиндрического ведра имеет-
имеется небольшое отверстие, сквозь которое вытекает вода.
Уровень воды в ведре на 30 см выше дна. С какой скоро-
скоростью вытекает вода сквозь отверстие, если ведро: а) не-
неподвижно; б) равномерно поднимается; в) движется с ус-
ускорением 120 см/с2 сначала вверх, затем вниз; г) висит
на веревке и качается, причем угол, образуемый верев-
веревкой с вертикалью, достигает 60°? Рассмотрите случаи
крайнего и среднего положений ведра.
Ш 9-2. В чан равномерной струей наливается вода.
Приток воды равен 150см2/с. В дне чана имеется от-
отверстие площадью 0,5 см2. Какого уровня может достиг-
достигнуть вода в чане?
# 9-3. На горизонтальном столе стоит сосуд, в верти-
вертикальной стенке которого сделано несколько отверстий
одно над другим. Сосуд наполнен водой, и из отверстий
вытекают струи.
а) Покажите, что все струи бьют о стол с одинаковы-
одинаковыми скоростями.
б) Покажите, что две струи бьют в одну и ту же точку
стола, если расстояния одного из отверстий от уровня
жидкости в сосуде и другого — от поверхности стола
одинаковы.
в) В каком месте стенки сосуда надо сделать отверс-
отверстие, чтобы струя из него била в поверхность стола воз-
возможно дальше от сосуда?
А 9-4. Цилиндрический сосуд высотой 70 см с пло-
площадью дна 600 см2 наполнен водой. В дне сосуда образо-
образовалось отверстие площадью 1 см2.
а) Как движется верхний уровень воды в сосуде?
§ 9. Движение жидкостей и газов
77
б) Сколько времени понадобится для полного опо-
опорожнения сосуда?
в) Сколько времени понадобится для опорожнения
сосуда наполовину?
г) Увеличится или уменьшится время опорожнения
сосуда, если сосуд будет совершать гармонические коле-
колебания в вертикальном направлении?
Ф 9-5. а) Покажите, что в схеме, изображенной на
рисунке 9-1, работа при перемещении правого поршня
больше работы при перемещении левого поршня.
б) За счет чего производится дополнительная работа,
если механизм, схематически изображенный на рисун-
рисунке 9-1, будет использован для увеличения силы?
• 9-6. Площадь поршня в спринцовке (рис. 9-2) St =
= 1,2 см2, а площадь отверстия .S2 = 1 мм2. За какое вре-
время вытечет вода из спринцовки, если действовать на
поршень силой F — 5 Н и если ход поршня I = 4 см?
А 9-7. Чтобы избежать необходимости остановки поез-
поезда для пополнения запаса воды в паровозе, иногда употреб-
употребляли следующий способ. Между рельсами выкатывали
длинную канаву и наполняли ее водой. В эту канаву с па-
паровоза опускали трубу, изогнутую, как показано на рисун-
рисунке 9-3. Вода в трубе поднималась и переливалась в бак, ус-
установленный на паровозе. Почему такой процесс возмо-
возможен? С какой скоростью v должен двигаться поезд, чтобы
вода поднялась на высоту h = 3,5 м и чтобы за промежуток
времени, в течение которого поезд пройдет путь 1 = 1 км,
в бак было подано 3 м3 воды? Диаметр трубы d = 10 см.
Рис. 9-1
Рис. 9-2
Рис 9-3
78
Глава!. МЕХАНИКА
i _ .
В
ими
Will
мим
шш
Рис. 9-4
Рис. 9-5
Ф 9-8. Очень широкий цилиндрический сосуд А
(рис. 9-4) имеет в дне отверстие, снабженное вертикаль-
вертикальной трубкой В. К трубке присоединен манометр С. Ниж-
Нижний конец трубки закрыт пробкой, и уровни жидкости в
сосуде и манометре одинаковы.
а) Как расположится уровень в манометре, если, вы-
вынув пробку, дать жидкости вытекать? Внутреннее тре-
трение предполагается ничтожно малым.
б) Как изменится ответ, если трубка В сужается
книзу?
• 9-9. Из брандспойта бьет струя воды, причем рас-
расход воды составляет 60 л/мин. Площадь отверстия в
брандспойте равна 1,5 см2. На сколько больше атмос-
атмосферного давление внутри шланга в том месте, которое
на 3 м ниже конца брандспойта? Площадь канала шлан-
шланга 10 см2.
А 9-10. Для измерения массы газа, протекающего по
газопроводу, употребляют прибор, устройство которого
схематически показано на рисунке 9-5. О скорости про-
протекания газа судят по разности давлений в точках Аи В
прибора. Определите массу газа, протекшего за 1 ч при
таких условиях: внутренний диаметр газопровода dx =
= 50 мм; внутренний диаметр наиболее узкой части
трубки d2 — 40 мм; разность давлений в точках Аи В Ар =
= 12 мм вод. ст.; плотность газа D = 0,0014 г/см3. При
расчете пренебречь трением и изменением плотности га-
газа с уменьшением давления.
§ 9. Движение жидкостей и газов 79
# 9-11. В восходящем потоке воздуха, скорость кото-
которого 2 см/с, находится пылинка, имеющая форму шари-
шарика диаметром 0,01 мм. Опускается или поднимается пы-
пылинка, если ее плотность на 2,3 г/см3 больше плотности
воздуха? Принять, что движение воздуха при обтекании
пылинки является ламинарным.
А 9-12. В высокий сосуд, наполненный касторовым
маслом при 20 °С, бросают маленькие свинцовые шари-
шарики разных диаметров. Опустившись на некоторую глу-
глубину, шарики движутся равномерно, так как действую-
действующие на них силы уравновешиваются.
а) Определите число Реинольдса для движения шари-
шарика диаметром 0,1 мм, предполагая, что движение масла
при опускании шарика является ламинарным. Выясни-
Выясните, является ли это предположение правильным.
б) Каков максимальный диаметр шарика, если при
опускании шарика движение масла остается ламинарным?
¦ 9-13. Покажите, что коэффициент Сх в формуле
для лобового сопротивления при турбулентном движе-
движении равен отношению модуля импульса, передаваемого
телу потоком, к модулю импульса, который передавал
бы телу за то же время поток площадью сечения, равной
площади миделя, если бы после встречи с телом он дви-
двигался по направлению, перпендикулярному скорости,
которую имел до встречи.
# 9-14. Грузовой автомобиль движется со скоростью
6 км/ч. Какова мощность по преодолению сопротивле-
сопротивления воздуха, если движение является турбулентным?
Площадь миделя автомобиля составляет 3,75 м2. При-
Принять, что Сх = 0,6 и плотность воздуха равна 1,2 кг/м3.
А 9-15. Свинцовая пуля в виде шарика диаметром
5 мм движется в воздухе.
а) Принимая плотность воздуха равной 0,0012 г/см3,
определите число Реинольдса, если мгновенная ско-
скорость пули равна 300 м/с.
б) С каким ускорением движется при этой скорости
пуля? Массой вытесненного воздуха и наличием поля
тяготения пренебречь. Принять, что для шара Сх = 0,25.
80
Глава!. МЕХАНИКА
# 9-16. а) Какова максимальная скорость течения
воды по трубе с внутренним диаметром 2 см, при кото-
которой течение еще остается ламинарным? Температура во-
воды 15 °С.
б) Какова при такой скорости разность давлений
между двумя точками внутри трубы, расстояние между
которыми равно 200 м?
Рис. 9-6
А 9-17. Широкий сосуд снабжен внизу горизонталь-
горизонтальной капиллярной трубкой, состоящей из двух звеньев
(рис. 9-6). Первое звено имеет длину 1Х = 20 см и внут-
внутренний диаметр dx = 1 мм, второе — длину 12 = 2 см и
внутренний диаметр d2 = 0,5 мм. В сосуд налит глице-
глицерин, уровень которого выше капилляра на h — 10 см. Ка-
Какой объем глицерина вытекает из капилляра за время t =
= 1 мин?
Глава 2
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 10. Тепловое расширение
твердых и жидких тел
1) Изменения длины и объема тела при изменении
температуры на At:
М = I - 10 = al0At; AV=V-VQ = $V0At,
где l0 — начальная длина; Vo — начальный объем; а и
Р — коэффициенты линейного и объемного расширения,
относящиеся к телам, внутри которых отсутствует на-
напряжение.
2) Для твердых изотропных тел р = За.
3) Плотность тела при температуре t (°C)
где DQ — плотность при 0 °С.
Ф 10-1. Два бруска разного объема из одного и того
же материала, имеющие разную температуру, при-
прикладываются друг к другу гранями, причем более теп-
теплый передает некоторое количество теплоты другому.
Обмен теплотой с окружающими телами отсутствует.
Изменяются ли при этом общий объем и общая длина
брусков?
• 10-2. Можно ли заметить увеличение диаметра ла-
латунного цилиндра вследствие теплового расширения, ес-
если измерения проводятся микрометром с точностью до
0,01 мм при температурах 5 и 35 °С? При 5 °С результаты
измерения составил 20,45 мм.
• 10-3. При 0 °С цинковый стержень имеет длину
200 мм, а медный — 201 мм. Поперечные размеры их
при 0 °С одинаковы. При какой температуре одинаковы:
а) их длины? б) их объемы?
82 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
А 10-4. Два стержня АВ и АС
одинаковой длины (рис. 10-1),
сделанные из металла с коэффи-
коэффициентом линейного расширения
alf соединены шарнирами в точ-
ках А, В и С между собой и со
стрежнем ВС, сделанным из ме-
металла с коэффициентом линейного
Рис 10-1 расширения а2. На концы стерж-
стержней надеты, как показано на рисунке, трубки AD и АН
одинаковой длины, сделанные из того же металла, что и
стержень ВС. Каково должно быть соотношение между
ах и а2, чтобы расстояние DH при изменении темпера-
температуры оставалось постоянным?
Ш 10-5. Холодный металлический шар опущен в го-
горячую воду, а такой же горячий шар опущен в холод-
холодную воду. Каковы деформации наружных и внутренних
слоев шаров?
А 10-6. Часы с латунным маятником идут правильно
при 0 °С. На сколько отстанут часы за сутки, если тем-
температура повысится до t — +20 °С?
Ш 10-7. Как изменится угловая скорость тела, вра-
вращающегося без трения вокруг некоторой оси, если тем-
температура повысится от 0 до t °C? Как изменится при
этом кинетическая энергия тела? За счет чего произой-
произойдет изменение энергии?
Ш 10-8. Сообщающиеся сосуды наполнены жидко-
жидкостью. Температура жидкости в одном из них повышает-
повышается, в другом остается неизменной. Меняется ли при
этом уровень жидкости во втором сосуде?
Ш 10-9. При какой температуре плотность ртути рав-
равна 13,48 г/см3, если при 10 °С она равна 13,57 г/см3?
А 10-10. Масса стеклянного сосуда тп0 = 53 г. Масса то-
того же сосуда, наполненного ртутью, при 0 °С равна тп1 =
= 1384 г. Когда этот сосуд нагрели до t = 40 °С, то часть
ртути вытекла и масса сосуда стала равной т2 = 1376 г.
Каков коэффициент объемного расширения стекла |32?
§11. Свойства идеальных газов 83
А 10-11. При отсчете показания барометра обычно
делают поправку на расширение шкалы и изменение
плотности ртути по сравнению с О °С. Каково было бы
показание барометра при О °С, если при 30 °С оно равно
758,2 мм? Шкала барометра латунная.
^ 10-12. Ртутный термометр со стеклянной шкалой,
установленный на паропроводе, частично утоплен в изо-
изоляции паропровода так, что снаружи видны деления
шкалы выше 27 °С. Резервуар термометра соприкасается
с паром и имеет его температуру. Температура воздуха в
помещении 30 °С. Принимая во внимание, что термометр
градуирован в условиях, обеспечивающих одинаковость
температуры по всей длине термометра, определите тем-
температуру пара, если термометр показывает 170 °С.
§11. Свойства идеальных газов
1) Уравнение состояния для идеальных газов (урав-
(уравнение Клапейрона—Менделеева)
ИЛИ
pvM = RT,
где р — давление; V и v — соответственно общий и уде-
удельный объемы газа; т — масса газа; М — молярная
масса; Т — термодинамическая (абсолютная) темпера-
температура газа; R — молярная газовая постоянная.
2) Давление смеси газов равно сумме парциальных
давлений газов, составляющих смесь.
3) Барометрическая формула
р
где р — давление газа на высоте h; pQ — давление при
h = 0; Т — термодинамическая температура.
Указание При решении задач принимать, что абсолютное
давление газов в баллонах на 1 атм больше показания маномет-
манометров В задачах 11-1—11-5 считать температуру постоянной
84 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
^ 11-1. Сколько качаний надо сделать, чтобы при
помощи насоса, захватывающего при каждом качании
40 см3 воздуха, наполнить пустую камеру шины велоси-
велосипеда настолько, что площадь ее соприкосновения с доро-
дорогой станет равной 60 см2? Нагрузка на колесо равна
350 Н. Объем камеры 2000 см3. Давление атмосферы
принять равным 105Па. Жесткостью покрышки каме-
камеры пренебречь.
А 11-2. В чашечный ртутный барометр попал пузырек
воздуха, вследствие чего барометр показывает давление
меньшее истинного. При сверке его с показанием точного
барометра оказалось, что при давлении 768 мм рт. ст. ба-
барометр показывает 748 мм рт. ст., причем расстояние от
уровня ртути до верхнего основания трубки равно 80 мм.
Каково истинное давление, если барометр показывает
734 мм рт. ст. (температура воздуха та же)?
А 11-3. В запаянной с одного конца стеклянной труб-
трубке, длина которой I = 70 см, находится столбик воздуха,
запертый сверху столбиком ртути высотой
h = 20 см, доходящим до верхнего края
трубки (рис. 11-1). Трубку осторожно пере-
перевертывают, причем часть ртути выливается,
а) Какова высота х столбика ртути, кото-
который останется в трубке, если атмосферное
давление соответствует давлению столба
ртути высотой 75 см?
Рис 11-1 б) При какой длине трубки столбик ртути
той же высоты выльется из трубки полностью?
А 11-4. На рисунке 11-2 изображен манометр для ма-
малых давлений. Трубка С соединяет прибор с испытуе-
испытуемым резервуаром. При поднимании сосуда А находя-
находящаяся в нем ртуть доходит до сосуда D, разобщая при
этом находящийся в нем газ с испытуемым резурвуа-
ром. При дальнейшем поднятии ртуть входит в одина-
одинаковые капилляры К1 и К2. Определите давление газа в
испытуемом сосуде при следующих данных: объем со-
сосуда D равен 130 см3; внутренний диаметр капилляра ра-
равен 1,1 мм; разность уровней в капиллярах h — 23 мм;
t
§11. Свойства идеальных газов
85
уровень ртути в капилляре К2 совпадает с концом ка-
капилляра Kt.
А 11-5. На рисунке 11-3 изображен прибор для изме-
измерения объемов — волюмметр. На нем произведены та-
такие измерения:
1) открыв кран К, соединили трубку АВ и сосуд Z
с атмосферным воздухом; затем трубка С была приведе-
приведена в такое положение, что ртуть стояла на уровне I;
2) закрыв кран К, медленно подняли трубку С на-
настолько, что ртуть достигла уровня п; отсчитали раз-
разность уровней ртути в трубках СиБ:й1 = 18,5см;
3) открыв кран К, в сосуд Z поместили зерна ржи
массой т = 72 г; установили ртуть на уровне I и снова
закрыли кран К;
4) подняли трубку С настолько, что ртуть поднялась
до уровня п; измерили разность уровней ртути в труб-
трубках h2 = 30,5 см.
Определите на основании этих измерений плотность
D зерен ржи, если внутренний объем сосуда вместе с объ-
объемом канала трубки до черты п равен V = 152 см3.
К
Рис. 11-2
Рис. 11-3
86 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
# 11-6. Манометр на баллоне со сжатым газом при
температуре 18 °С показывает давление 8,4 • 106 Па. Ка-
Какое давление он будет показывать, если температура по-
понизится до -23 °С? Изменением емкости баллона вслед-
вследствие охлаждения пренебречь.
Ш 11-7. Газ при давлении 745 мм рт. ст. и температу-
температуре 20 °С имеет объем 164 см3. Каков объем той же массы
газа при нормальных условиях?
А 11-8. Компрессор захватывает при каждом кача-
качании 4 л воздуха при атмосферном давлении и темпера-
температуре -3 °С и нагнетает его в резервуар объемом 1,5 м3,
причем температура воздуха в резервуаре держится око-
около 45 °С. Сколько качаний должен сделать компрессор,
чтобы давление в резервуаре увеличилось на 2 ¦ 105 Па?
А 11-9. Баллон объемом 20 л наполнен сжатым воз-
воздухом. При температуре 20 °С манометр показывает
давление 1,2 ¦ 107Па. Какой объем воды можно вытес-
вытеснить из цистерны подводной лодки воздухом этого бал-
баллона, если вытеснение производится на глубине 30 м и
температура равна 5 °С? Принять, что давление столба
воды высотой Юм равно 105 Па; атмосферное давление
равно 105Па.
# 11-10. Определите давление 4 кг кислорода, заклю-
заключенного в сосуд объемом 2 м3, при температуре 29 °С.
# 11-11. Определите удельный объем азота при тем-
температуре 27 °С и давлении 4,9 • 104 Па.
Ш 11-12. Определите массу кислорода, заключенного
в баллоне объемом 10 л, если при температуре -13 °С
манометр на баллоне показывает давление 8,8 • 106 Па.
# 11-13. Из баллона со сжатым водородом объемом
10 л вследствие неисправности вентиля вытекает газ.
При температуре 7 °С манометр показывал давление
4,9 • 106 Па. Через некоторое время при температуре
17 °С манометр показал такое же давление. Чему равна
масса вытекшего газа?
А 11-14. По газопроводной трубе течет углекислый
газ при давлениир = 3,9 • 105 Па и температуре t = 7 °С.
§11. Свойства идеальных газов 87
Какова скорость движения газа в трубе, если за т = 10 мин
протекает т — 2 кг углекислого газа и если площадь се-
сечения канала трубы S = 5 см2?
А 11-15. По трубе диаметром 3 см течет воздух, дав-
давление которого равно 50 атм, а температура 0 °С. При
какой скорости течение воздуха превратится из лами-
ламинарного в турбулентное?
Примечание. Вязкость газов практически не зависит от дав-
давления.
А 11-16. При начале подъема стратостата его оболоч-
оболочка наполнена водородом лишь на - - —- полного объ-
о 10
ема. При подъеме оболочка сначала раздувается. Затем
объем оболочки стратостата перестает увеличиваться, и
водород начинает вытекать из него сквозь аппендикс.
При этом давление и температура водорода внутри стра-
стратостата и воздуха снаружи стратостата продолжают ос-
оставаться приблизительно равными между собой.
а) Покажите, что при отсутствии вытекания водорода
подъемная сила стратостата остается неизменной, а при
вытекании водорода постепенно уменьшается.
б) Какая масса водорода вытекла из стратостата, если
при неизменном объеме баллона подъемная сила умень-
уменьшилась на 265 Н?
^ 11-17. Предположим, что температура воздуха в ат-
атмосфере зависит от высоты таким образом, что плот-
плотность воздуха по всей толще атмосферы одинакова. На
каком расстоянии по вертикали разность температур
равна 1 °С?
Я 11-18. В вертикальном закрытом сверху и снизу
цилиндре движется с ничтожным трением поршень.
Над поршнем и под ним находятся одинаковые массы
одного и того же газа при температуре Тх — 300 К. Вес
поршня уравновешивается разностью сил давлений га-
газа, если объем нижней части цилиндра в п = 3 раза
меньше объема верхней части. Каково будет соотношение
объемов, если температура повысится до Т2 = 400 К?
88 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
# 11-19. Три баллона объемами 3, 7 и 5 л наполнены
соответственно кислородом B атм), азотом C атм) и уг-
углекислым газом @,6 атм) при одной и той же темпера-
температуре. Баллоны соединяют между собой, причем образу-
образуется смесь той же температуры. Каково давление смеси?
А 11-20. Определите молярную массу газа, свойства
которого соответствуют свойствам смеси 160 г кислоро-
кислорода и 120 г азота.
А 11-21. Определите плотность смеси 4 г водорода и
32 г кислорода при температуре 7 °С и давлении 700 мм
рт. ст.
А 11-22. Топочный газ имеет следующий состав по
весу: СО2— 21,4%, Н2О — 6,8%, N2 — 71,8%. Опреде-
Определите удельный объем такого газа при давлении 105 Па
и температуре 500 К.
Ф 11-23. Давление воздуха на уровне моря/>0 = 750 мм
рт. ст., а на вершине горы 590 мм рт. ст. Какова высота
горы, если температура воздуха равна 5 °С?
А 11-24. Предположим, что внутри вертикальной
трубы высотой 100 м находится воздух при температуре
500 К; снаружи труба окружена воздухом при темпера-
температуре 250 К. Труба сверху открыта, а внизу отделена от
наружного воздуха заслонкой площадью 300 см2. Какая
сила действует на заслонку, если давление воздуха у
верхнего конца трубы равно 740 мм рт. ст.?
¦ 11-25. Трубка длиной 22 см вращается вокруг вер-
вертикальной оси, проходящей через ее середину, с часто-
частотой 30 с. Температура воздуха 16 °С. Принимая давле-
давление воздуха внутри трубки вблизи ее открытых концов
равным атмосферному G60 мм рт. ст.), определите дав-
давление в середине трубки.
§ 12. Первое начало термодинамики
в применении к идеальным газам
1) Первое начало термодинамики:
dU = -pdV + dQ,
где dU — изменение внутренней энергии системы;
§ 12. Первое начало термодинамики 89
pdV — работа против внешнего давления; dQ — количе-
количество теплоты, полученной системой.
2) Молярные теплоемкости идеальных газов зависят
от числа атомов в молекуле газа и характера процесса,
при котором газ получает теплоту. Молярные теплоем-
теплоемкости Cv и С при изохорном и изобарном процессах не
зависят от температуры и соответственно равны:
B
где i — число степеней свободы молекулы; у = -?¦ (i = 3,
CY
у = - — для одноатомного газа, i = 5, у = 1,4 — для двух-
3
атомного газа, i = 6, у = - — для многоатомного газа); R —
3
молярная газовая постоянная.
С С
Удельные теплоемкости cv = —v- , с„ = —? (М — мо-
М Р М
лярная масса)
3) Внутренняя энергия идеального газа массой т при
температуре Т:
UCVT.
М у-1
4) Работа газа при изотермическом процессе
A=Q = ^
Рг
где р1 и р2 — начальное и конечное давления.
5) Уравнение адиабатного процесса
pV1 = const.
• 12-1. Принимая отношение молярных теплоемкос-
тей для двухатомных газов равным у = 1,4, вычислите
удельные теплоемкости: а) кислорода; б) азота.
• 12-2. Вычислите отношение Y = — Для смеси 3 мо-
Су
лей аргона и 5 молей кислорода.
90 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
• 12-3. Баллон объемом V = 10 л с кислородом при
давлении р1 = 78,4 • 105 Па и температуре *г = 7 °С на-
нагревается до t2 = 15,5 °С. Какое количество теплоты при
этом получено газом?
А 12-4. Сосуд, содержащий некоторое количество
азота при температуре ix = 15 °С, движется со скоро-
скоростью и = 100 м/с. Какова будет температура t2 газа в со-
сосуде, если он внезапно остановится? Передачей теплоты
стенкам можно пренебречь.
Ш 12-5. В комнате объемом 90 м3 воздух сменяется
полностью через 2 ч. Какое количество теплоты требует-
требуется для обогревания воздуха в комнате за сутки, если
температура воздуха в комнате должна быть 18 °С, а на-
наружный воздух имеет температуру -5 °С? Принять, что
средняя плотность воздуха равна 1,25 кг/м3.
А 12-6. Турбогенератор мощностью 3000 кВт охлаж-
охлаждается проточным воздухом. Какие объемы воздуха
должны поступать в генератор и выходить из него в те-
течение 1 с, если коэффициент полезного действия генера-
генератора равен 94%, температура воздуха, выходящего из
генератора, не должна превышать 50 °С, температура
поступающего воздуха 20 °С, давление воздуха 750 мм
рт. ст.?
А 12-7. В цилиндре керосинового двигателя происхо-
происходит быстрое сгорание горючей смеси. Какая температу-
температура t2 и какое давление р2 установятся после сгорания,
если объем камеры сгорания V = 10 л, давление газовой
смеси перед сгоранием р1 = 5 • 105 Па, температура ?г =
= 210 °С, масса керосина в смеси т0 = 0,9 г, удельная
теплоемкость продуктов сгорания cv = 0,71 кДж/(кг • К),
средняя молярная масса горючей смеси М = 29,4 г/моль,
теплота сгорания керосина q = 4,2 • 104 Дж/г?
Указание. Рассчитывать нагревание при сгорании как изо-
хорный процесс, пренебрегая изменением объема за время сго-
сгорания.
§ 12. Первое начало термодинамики
91
hQ
# 12-8. Азот массой 200 г нагревается при посто-
постоянном давлении от 20 до 100 °С. Какое количество
теплоты поглощается при этом? Каков прирост внут-
внутренней энергии газа? Какую внешнюю работу произво-
производит газ?
^ 12-9. В цилиндре под поршнем на-
находится в замкнутом пространстве воз-
воздух (рис. 12-1). Какая работа должна
быть произведена, чтобы поднять пор-
поршень на высоту hx = 10 см, если началь-
начальная высота столба воздуха hQ = 15 см и
внешнее давление р0 = 760 мм рт. ст.?
Площадь поршня S = 10 см2. Весом по-
поршня можно пренебречь. Температура
остается неизменной.
А 12-10. Некоторая масса азота при
давлении 1 атм имела объем 5 л, а при
давлении 3 атм — объем 2 л. Переход от
первого состояния ко второму был сде-
сделан в два этапа: сначала изохорно, за-
затем изобарно.
Рис. 12-1
а) Определите изменение внутренней энергии, коли-
количество теплоты и произведенную газом работу.
б) Произведите те же расчеты в случае обратного по-
порядка этапов: сначала изобарно, затем изохорно.
Почему результаты расчетов теплоты и работы в слу-
случаях а) и б) различны?
А 12-11. Производится сжатие некоторой массы двух-
двухатомного газа (у = 1,4) один раз изотермически, другой
раз адиабатно. Начальные температура и давление сжи-
сжимаемого газа в обоих случаях одинаковы. Конечное дав-
давление в п раз больше начального. Найдите отношение
работы сжатия А2 при адиабатном процессе к работе
сжатия А1 при изотермическом процессе. Рассмотрите
случаи:
а) п = 2;
б) п = 100.
92
Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
# 12-12. Прибор, изображенный на рисунке
12-2 (воздушное огниво), служит для демонст-
демонстрирования нагревания воздуха при адиабат-
адиабатном сжатии. Определите температуру воздуха
в огниве при быстром уменьшении объема в
10 раз, если начальная температура 15 °С.
А 12-13. Некоторая масса сухого воздуха под-
поднимается в атмосфере в широком потоке тако-
такого же воздуха; теплообмен этой массы с внеш-
внешними телами практически отсутствует. Каково
Рис 12-2 изменение температуры воздуха (AT) при
подъеме на высоту Ah = 500 м?
Указание. При расчете надо принять во внимание, что при
подъеме воздуха за счет внутренней энергии увеличивается его
потенциальная энергия и производится работа расширения.
А 12-14. В четырехтактном дизельном двигателе
поступающий атмосферный воздух в объеме 10 л под-
подвергается 12-кратному сжатию. Предполагая процесс
сжатия адиабатным, определите конечное давление, ко-
конечную температуру и работу сжатия, если начальные
давление и температура равны 1 атм и 10 °С.
^ 12-15. а) Начальные и конечные состояния некото-
некоторой массы азота такие же, как в задаче 12-10. Переход
от первого состояния ко второму был произведен тоже в
два этапа: сначала адиабатно, затем изохорно. Опреде-
Определите изменение внутренней энергии, количество тепло-
теплоты и произведенную работу.
б) Произведите те же расчеты при обратном порядке
этапов перехода.
¦ 12-16. В цилиндре, закрытом с обоих концов и на-
наполненном воздухом, находится поршень, разделяющий
пространство в цилиндре на
две равные части (рис. 12-3).
Давление воздуха на обе сторо-
стороны поршня равно р0 = 1 атм.
Поршень отклоняется от по-
положения равновесия на незна-
незначительное расстояние и начи-
I
|
i
i
Рис. 12-3
§ 12. Первое начало термодинамики
93
нает колебаться, причем процессы в газе можно считать
адиабатными. Определите период этих колебаний, если
масса поршня т = 1,5 кг, расстояние от поршня до стенки
I = 20 см и площадь поршня S = 100 см2. Трение нич-
ничтожно мало.
Ф 12-17. Начертите примерные графики изохорного,
изобарного, адиабатного и изотермического процессов
на диаграммах: а) Т, р; б) Т, V; в) Т, U; г) V, U.
А 12-18. Два баллона объемами Vx и V2 со стенками
из не проводящих теплоту материалов содержат два га-
газа, имеющих давления pt и р2 и температуры Тг и Т2-
Баллоны соединены трубкой с краном. Кран открывает-
открывается, происходит перемешивание газов и устанавливаются
общее давление р и общая температура Т. Отношение
теплоемкостей при изобарном и изохорном процессах
для обоих газов одно и то же. Определите р vlT.
А 12-19. На рисунке 12-4
показана «теоретическая» ди-
диаграмма работы компрессора
двойного действия. Участок
АВ соответствует изотермиче-
изотермическому сжатию воздуха, ВС —
проталкиванию воздуха в ре-
резервуар (давление остается по-
постоянным), CD — мгновенно-
мгновенному уменьшению давления в
цилиндре компрессора при за-
закрытии выпускного клапана и открытии впускного,
DA — впуску воздуха при атмосферном давлении. Пока-
Покажите, что работа компрессора за 1 цикл равна работе на
изотермическом участке цикла и численно равна пло-
площади ABGF.
А 12-20. Компрессор должен давать в час 50 м3 сжа-
сжатого воздуха при давлении 8 • 105Па. Компрессор ох-
охлаждается проточной водой, так что процесс сжатия
можно считать изотермическим.
а) Какой мощности мотор требуется к компрессору,
если КПД последнего 60% ?
Рг
Р
0
С
В
D \H \s.
Pl \g
V,
А
F .
V
Рис. 12-4
94 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
б) Какое количество проточной воды в час требуется,
если температура ее в змеевике компрессора повышается
от 11 до 17 °С? Внешнее давление считать равным
105Па.
Ш 12-21. Двигатель внутреннего сгорания работает
по циклу, диаграмма которого представлена на рисунке
12-5. Процесс 1—2— сжатие го-
горючей смеси; 2—3 — вспышка го-
горючей смеси; 3—4 — рабочий ход;
4—5 — падение давления при от-
открывании выпускного клапана;
5—6 — выпуск отработавших га-
газов; 6—1 — засасывание горючей
смеси. Принимая во внимание,
что процессы 1—2 и 3—4 могут
считаться адиабатными и что про-
процессы 2—3 и 4—5 могут быть за-
заменены изохорными процессами, вычислите максималь-
V с
ный КПД двигателя, если известно, что — = 4; -^ для
V2 cv
горючей смеси и продуктов сгорания равно 1,3.
¦ 12-22. а) Покажите, что процесс, при котором во
время изменения температуры газа производится рабо-
работа, пропорциональная разности конечной и начальной
температур, может быть описан уравнением вида
pVn = const,
где п — постоянная величина (политропный процесс).
б) Покажите, что при политропном процессе удель-
удельная теплоемкость газа не зависит от температуры.
в) Выясните, являются ли политропными следующие
процессы: 1) процесс, происходящий при нагревании
прибора, описанного в задаче 11-18; 2) процесс, кото-
который происходит при повыпгении температуры газа в со-
сосуде А (рис. 12-6). Давление вне сосуда А постоянно.
Пружина П начинает растягиваться только после того,
как поршень В, двигаясь вправо, перейдет положение,
показанное на рисунке пунктиром; 3) процесс, который
§ 13. Кинетическая теория газов
95
П
ИУ\ЛЛ
в
Рис. 12-6
Рис. 12-7
происходит при повышении температуры газа в левой
части трубки, показанной на рисунке 12-7; 4) в приборе,
показанном на рисунке 12-2, вдвигание поршня произ-
производится настолько медленно, что вследствие потери теп-
теплоты сквозь стенки изменение температуры газа при ма-
малом продвижении поршня вдвое меньше, чем при быст-
быстром вдвигании на то же расстояние.
г) Объясните, как при повышении температуры из-
изменяются удельные теплоемкости газа в случаях 1)—4).
§ 13. Кинетическая теория газов
1) Средняя квадратичная скорость и средняя ско-
скорость частиц
где v — скорости частиц; N — число частиц.
2) Постоянная Больцмана
ь- R
где R— молярная газовая постоянная; NA— постоян-
постоянная Авогадро.
3) Давление газа
р= -nm(v2) = nkT,
3
где п — число молекул в 1 см3 (концентрация молекул);
т — масса молекулы.
96 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
4) Средняя квадратичная скорость молекул газа и час-
частиц при температуре Т
кв
где М — молярная масса газа.
5) Закон Максвелла о распределении молекул газа по
интервалам скоростей
__у2_
Л 2 2
An — п—- —— е "оер Av = nf(v)Av,
где ивер = \—тт- — скорость, соответствующая максиму-
максимуму функции распределения по интервалам скоростей
f(v), называемая наиболее вероятной скоростью.
6) Средняя скорость при максвелловском распределе-
распределении
%м
7) Число столкновений одной молекулы за 1 с
z = J2izo2n{v),
где а — диаметр молекулы.
8) Средний свободный пробег молекул
J2na2n
9) Вязкость газа
где D — плотность газа.
10) Число молекул, ударяющих за 1 с в площадку
1 м2, помещенную в газе,
§ 13. Кинетическая теория газов 97
# 13-1. В сосуде объемом 230 см3 находится газ при
давлении 0,01 мм рт. ст. и температуре 7 °С. Сколько
молекул находится в сосуде?
А 13-2. Плотность смеси азота и водорода при темпе-
температуре t — 47 °С и давлении р = 2 атм равна D = 0,3 кг/м3.
Какова концентрация молекул водорода в смеси?
А 13-3. В стеклянном сосуде сферической формы
с внутренним диаметром 3 см находится азот, давление
которого при температуре 190 °С равно 0,01 мм рт. ст.
На стенках сосуда имеется мономолекулярный слой
адсорбированного азота. Площадь, занимаемая одной
молекулой азота на стенке, равна 1 • 10~15см2. Каково
давление азота в сосуде при температуре 427 °С, при ко-
которой азот полностью десорбируется со стенок?
А 13-4. Сосуд, содержащий некоторое количество
газа, движется со скоростью и, затем внезапно останав-
останавливается. На сколько увеличится при этом квадрат
средней квадратичной скорости молекул газа в случае:
а) одноатомного газа? б) двухатомного газа? Каков фи-
физический смысл полученного результата?
# 13-5. Определите среднюю квадратичную скорость
газовых молекул: а) кислорода при 132 °С; б) гелия при
0,1 К.
# 13-6. Какая температура соответствует средней
квадратичной скорости молекул углекислого газа, рав-
равной 720 км/ч?
Ф 13-7. Определите среднюю квадратичную скорость
капельки воды радиусом г = 10~6 см, взвешенной в воз-
воздухе при t = 17 °С.
# 13-8. На рисунке 13-1 дан график, показывающий
распределение скоростей молекул газа по закону Максвел-
Максвелла. По оси абсцисс отложена скорость
молекул v, по оси ординат — величина i^t
- — , где An — число молекул, обла-
п Ди
дающих скоростями, заключенными в
пределах между v и v + Av; n — общее
число молекул в данном объеме. Рис. 13-1
4 - 9038
98 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
а) Покажите, что средняя скорость больше наиболее
вероятной скорости.
б) Чему равна общая площадь, ограниченная осью
абсцисс и графиком?
в) Как надо изменить абсциссы и ординаты графика,
соответствующие температуре Тх, чтобы получить гра-
график распределения скоростей при температуре Т2? На-
Начертите приблизительно график, соответствующий в
4 раза более высокой температуре.
Ф 13-9. Определите среднюю и наиболее вероятную
скорости молекул кислорода при 132 °С.
® 13-10. Чему равна вероятность того, что какая-ни-
какая-нибудь молекула имеет скорость, точно равную наиболее
вероятной скорости?
А 13-11. Кроме распределения газовых молекул по
интервалам скоростей, указанного в пункте 5) введения
к настоящему параграфу, можно рассматривать распре-
распределение молекул по интервалам энергий, а также по ин-
интервалам логарифмов скоростей или энергий.
а) Покажите, что максимум функции распределения
молекул по интервалам энергий соответствует скорости
б) Покажите, что максимум функции распределения
молекул по интервалам логарифмов их скоростей или
энергий соответствует средней квадратичной скорости.
А 13-12. а) Какой процент молекул обладает скорос-
скоростями, отличающимися от наиболее вероятной не более
чем на 1 % ?
б) Ответьте на тот же вопрос относительно средней
квадратичной скорости.
в) Почему в случае б) получается более высокий про-
процент, чем в случае а)?
А 13-13. Покажите, что в некоторой массе газа число
молекул, скорости которых меньше средней квадратич-
квадратичной скорости и больше средней, одинаково при любой
температуре.
§13. Кинетическая теория газов 99
А 13-14. Как изменится концентрация молекул двух-
двухатомного газа, скорости которых отличаются от наибо-
наиболее вероятной скорости не более чем на 1 см/с, если про-
произойдет адиабатное расширение в два раза?
• 13-15. Найдите число молекул азота в объеме 1 см3
при нормальных условиях, скорости которых лежат в ин-
интервале: а) 99—101 м/с; б) 499—501 м/с.
А 13-16. При какой температуре число молекул азота,
скорости которых лежат в интервале 299—301 м/с, рав-
равно числу молекул со скоростями в интервале 599—
601 м/с?
А 13-17. Покажите, что средняя квадратичная отно-
относительная скорость движения двух молекул иотн =
= икв J2, где икв — средняя квадратичная скорость от-
относительно стенок сосуда.
® 13-18. При каком давлении средняя длина свобод-
свободного пробега молекул азота равна 1 мм, если при нор-
нормальном давлении она равна 6 • 10'е см?
9 13-19. При каком давлении средняя длина свобод-
свободного пробега молекул водорода равна 2,5 см? Темпера-
Температура водорода 68 °С.
А 13-20. Найдите среднюю продолжительность сво-
свободного пробега молекул кислорода при давлении
2 мм рт. ст. и температуре 27 °С.
А 13-21. Определите число всех столкновений между
молекулами азота в объеме 1 см3 в течение 1 с при нор-
нормальных условиях.
А 13-22. Средняя длина свободного пробега молекул
азота при нормальных условиях равна 6 • 10 6 см. Неко-
Некоторая масса азота перешла от нормальных условий к со-
состоянию, при котором ее температура равна 300 °С. Ка-
Какова длина свободного пробега в новом состоянии азота,
если процесс перехода был: а) изохорным; б) изобар-
изобарным; в) адиабатным?
А 13-23. Как изменится вязкость двухатомного газа,
состояние которого далеко от вакуума, при уменьшении
100 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
объема в два раза, если процесс перехода был: а) изотер-
изотермическим; б) изобарным; в) адиабатным?
А 13-24. Зная вязкость кислорода (см. таблицу IX),
оцените среднюю длину свободного пробега молекул в
нем при нормальных условиях.
А 13-25. Вязкость некоторого газа определяется ме-
методом измерения силы трения между пластинами, отде-
отделенными друг от друга слоем этого газа толщиной
0,9 мм. При давлении 2,8 Па вязкость газа оказалась
равной 0,80 • 10~5 Па • с, при давлениях 10,9 Па и 16,0 Па
она равна 1,9 • 10~5Па • с. Какова приблизительно дли-
длина свободного пробега молекул этого газа при нормаль-
нормальном давлении?
# 13-26. Сколько молекул ударяется за 1 с в 1 см2
стенки сосуда, в котором находится кислород при давле-
давлении 750 мм рт. ст. и температуре 20 °С?
А 13-27. Как изменится число ударов молекул двух-
двухатомного газа в 1 см2 стенки сосуда за 1 с, если объем
газа адиабатно увеличится в 2 раза?
А 13-28. Предполагая, что каждая молекула кисло-
кислорода, попавшая на поверхность металлического волоска
в лампе накаливания, адсорбируется, рассчитайте, за ка-
какое время волосок покроется мономолекулярным слоем
кислорода, если давление его равнор = 1 • 10~5 мм рт. ст.,
а температура t = 27 °С. Принять, что каждая молекула
кислорода занимает на поверхности волоска площадь
S = 9 • Ю-16 см2.
§ 14. Реальные газы. Критическое состояние
1) Уравнение Ван-дер-Ваальса
(Vm -Ъ) = RT,
где р — давление газа; Vm — объем 1 моля вещества; а и
Ъ — постоянные Ван-дер-Ваальса (см. таблицу XV); R —
молярная газовая постоянная.
§ 14. Реальные газы. Критическое состояние 101
2) Соотношения между постоянными Ван-дер-Вааль-
са и параметрами критического состояния (VK — крити-
критический объем 1 моля газа):
# 14-1. Каков физический смысл выражения р + —- ?
К
Ф 14-2. 1 моль аргона занимает при температуре
300 К объем 1 л. Вычислите давление аргона: а) считая,
что он обладает свойствами идеального газа; б) прини-
принимая во внимание поправку Ван-дер-Ваальса на давле-
давление, но пренебрегая поправкой на объем; в) принимая
во внимание поправку на объем, но пренебрегая поправ-
поправкой на давление; г) принимая во внимание обе поправки
Ван-дер-Ваальса.
# 14-3. Вычислите, пользуясь формулой Ван-дер-Ва-
Ван-дер-Ваальса, давление массы т = 1,1 кг углекислого газа, за-
заключенного в баллоне объемом V = 20 л, при температу-
температуре t = 13 °С. Сравните полученный результат с давлени-
давлением идеального газа при тех же условиях.
Ф 14-4. Вычислите температуру, при которой давле-
давление кислорода, имеющего плотность 100 кг/м3, равно
70 атм. Сравните результат с температурой идеального
газа при тех же условиях.
А 14-5. В баллоне объемом 20 л находится 80 моль
некоторого газа. При 14 °С давление газа равно 90 атм,
при 63 °С — 109 атм. Вычислите постоянные Ван-дер-
Ваальса для этого газа.
А 14-6. Рассмотрите, пользуясь формулой Ван-дер-
Ваальса, изотермические процессы в газах такой плот-
плотности, что условие Vm 5г> Ъ является выполненным.
а) При какой температуре газ более сжимаем, чем
идеальный, при какой — менее сжимаем?
б) При какой температуре изотермические процессы
в газе протекают так же, как в идеальном газе?
Найдите эти температуры для углекислого газа и во-
водорода.
102 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
^ 14-7. Газ расширяется при постоянной температу-
температуре B7 °С), причем объем одного моля газа увеличивает-
увеличивается от 1,5 до 15 л. Принимая, что условие Vm 5г> Ъ выпол-
выполняется, определите, пользуясь формулой Ван-дер-Ва-
альса, работу при расширении одного моля: а) азота,
б) водорода.
Ш 14-8. В опыте Джоуля—Томсона измеряется изме-
изменение температуры газа при его дросселировании (тече-
(течение газа в условиях тепловой изоляции и значительном
перепаде давления, например сквозь ватный тампон;
рис. 14-1). При дросселировании газа имеет место соот-
соотношение
Pivl + ui = P2V2 + и2>
где U — внутренняя энергия газа.
а) Пользуясь указанным соотношением, покажите,
что в случае идеального газа температура газа при дрос-
дросселировании остается постоянной.
б) Пользуясь формулой Ван-
дер-Ваальса, вычислите из-
изменение температуры: 1) уг-
углекислого газа; 2)водорода
при дросселировании от дав-
"*" ления р-у = 2 атм до давления
р2 = 1 атм при начальной
Рис. 14-1 температуре 17 °С.
Указание. Принять, что при этих условиях Vm ~Э> Ъ и измене-
изменение внутренней энергии при дросселировании мало (меняется
только соотношение между кинетической энергией теплового
движения молекул и потенциальной энергией их взаимодей-
взаимодействия).
# 14-9. Найдите критическую плотность воды.
А 14-10. Найдите критические давление и темпера-
температуру аргона.
А 14-11. Найдите постоянные а и Ъ уравнения Ван-
дер-Ваальса для углекислого газа по его критическим
давлению рк = 73 атм и температуре tK = 31,1 °С.
к'
§ 14. Реальные газы. Критическое состояние
103
Ш 14-12. Для демонстрирования критиче-
критического состояния вещества используют при-
прибор русского физика Авенариуса (рис. 14-2),
в котором производится нагревание запаян-
запаянной трубки с этиловым эфиром.
а) Какую часть объема трубки должен за-
занимать эфир при температуре 20 °С, если
мы хотим, чтобы при достижении критиче-
критической температуры весь объем трубки был за-
заполнен эфиром в критическом состоянии?
Молярная масса эфира равна 74 г • моль.
Критические температура и давление эфира
соответственно равны 193,8 °С и 35,6 атм.
б) Что будет происходить при повышении
Рис. 14-2
температуры, если объем трубки больше или меньше
критического объема заключенного в ней эфира?
в) Начертите примерные графики зависимости р от t
для случаев, когда объем трубки: 1) равен критическому
объему эфира в трубке; 2) больше этого объема; 3) мень-
меньше этого объема.
Указание. Для упрощения чертежа принять, что при темпе-
температурах выше критической эфир имеет свойства идеального
газа.
Ш 14-13. В замкнутом сосуде, содержащем некото-
некоторую жидкость, поддерживается постоянное давление
(это схематически показано на рисунке 14-3). Темпе-
Температура постепенно повышается от значе-
значения, меньшего критической, до значения,
большего критической. Начертите пример-
примерные графики зависимости объема вещества
от температуры для случаев: а) давление
равно критическому; б) давление больше
критического; в) давление меньше критиче-
критического.
Указание. Для упрощения чертежа принять,
что при температурах выше критической вещест-
вещество имеет свойства идеального газа.
Рис. 14-3
104 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
А 14-14. Объясните, почему при приближении веще-
вещества к критическому состоянию теплоемкость при по-
постоянном давлении беспредельно растет.
§ 15. Молекулярные силы в жидкостях
1) Если две жидкие (или жидкая и газообразная) сре-
среды граничат по кривой поверхности, радиусы кривизны
двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений
которой равны i?j и i?2> то при равновесии имеет место
разность давлений в этих средах (формула Лапласа):
V-Rl -«2
где a — поверхностное натяжение.
2) Работа при изотермическом увеличении площади
поверхности жидкости на AS
А = oAS.
3) Высота поднятия жидкости в капиллярной трубке
с внутренним радиусом г
(при ft» г),
где g — ускорение свободного падения; D — плотность
жидкости; Ь — краевой угол.
4) Краевой угол Ф для случая смачивания во всех за-
задачах предполагается равным нулю; краевой угол для
ртути составляет 138°.
5) Температура во всех задачах (кроме задачи 15-1)
предполагается равной 20 °С.
® 15-1. Какова плотность воды в капельке радиусом
10см при t = 4°С?
А 15-2. Из крана вытекает вертикально струя воды.
Диаметр струи на протяжении 3 см уменьшается с 3 до
2 мм (рис. 15-1). Какой объем воды протекает за 1 с?
Указание. При расчете разности давлений воды и воздуха
для некоторого уровня поверхность струи принимать за ци-
цилиндрическую.
§ 15. Молекулярные силы в жидкостях
105
А 15-3. а) Какую работу надо произвести, чтобы вы-
выдуть мыльный пузырь диаметром d = 14 см, если про-
процесс раздувания пузыря изотермический? б) Чему равно
избыточное давление внутри этого пузыря?
А 15-4. Поверхностное натяжение на границе вода—
масло можно принять равным с = 18 мДж/м2. Какую
работу надо произвести, чтобы каплю масла массой
т = 1 г раздробить внутри воды на капельки диаметром
d = 2 • 10~4см, если процесс дробления происходит изо-
изотермически? Плотность масла D = 0,9 г/см3.
Ш 15-5. Из двух одинаковых воронок выдуты два
мыльных пузыря. Кран К закрыт (рис. 15-2).
а) Покажите, что при одинаковых диаметрах пузырей
имеет место равновесие, причем это равновесие является
устойчивым в случае, если каждый из пузырей имеет
форму полусферы или меньше нее, и неустойчивым, если
пузыри имею форму большей части сферы.
б) Пусть диаметры отверстий воронок равны 4 см, и
на них выдуты пузыри диаметрами по 5 см. Воздух из
одного пузыря будет перетекать в другой пузырь, пока
радиусы кривизны пузырей не сделаются снова равны-
равными. Принимая, что плотность воздуха при перетекании
его из одного пузыря в другой не меняется, определите
диаметр большего пузыря.
Примечание. При решении принять во внимание, что объем
сегмента шара вычисляется по формуле
V = A hd? ± Jd2-a2 Bd2 + a2)],
3 мм
Рис. 15-2
106
Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
где d — диаметр шара; а — диаметр основания сегмента.
Знак «+» ставится в том случае, если центр шара находится
внутри сегмента; в противоположном случае ставится знак
А 15-6. Капля воды равномерно падает в воздухе.
На сколько радиус кривизны в нижней точке ее по-
поверхности отличается от радиуса кривизны в верхней
точке, если расстояние между этими точками d =
= 2 мм?
# 15-7. В проволочное сито, все проволочки кото-
которого покрыты тонким слоем парафина, можно налить
воду. Каким образом удерживается вода в сите? По-
Почему сито протекает, если коснуться его снизу паль-
пальцем?
А 15-8. Круглая стеклянная пластинка касается по-
поверхности воды (рис. 15-3). Ее тянут кверху посред-
посредством пружины L.
а) Нарисуйте несколько последовательных форм по-
поверхности воды, получающихся при движении пластин-
пластинки вверх. В какой момент пружина натянута в наиболь-
наибольшей степени? Что происходит, если движение пластин-
пластинки вверх продолжается после этого момента?
б) Принимая для простоты расчета, что радиус кри-
кривизны Rx (рис. 15-3) на высоте - равен - , а кривизной
Рис. 15-3
Рис. 15-4
§ 15. Молекулярные силы в жидкостях 107
1/Д2 боковой поверхности воды под пластинкой можно
пренебречь, рассчитайте силу, с которой натянута пру-
пружина L при отрыве от воды пластинки с площадью сече-
сечения S = 20 см2.
А 15-9. Капиллярная трубка А (рис. 15-4) соеди-
соединена резиновой трубкой В с широкой трубкой С. Труб-
Трубку С медленно поднимают вверх, причем жидкость в
трубке А доходит до верхнего края, а затем вылива-
выливается.
а) Нарисуйте несколько последовательных положе-
положений уровня жидкости в трубке А при подъеме трубки С
(в случаях смачивания и несмачивания). В какой мо-
момент разность уровней в трубках С и А будет наиболь-
наибольшей?
б) Какова наибольшая разность уровней воды в труб-
трубках Аи С, если трубки стеклянные и если внешний диа-
диаметр трубки А равен 0,7 мм?
в) Произведите тот же расчет для ртути, если диа-
диаметр внутреннего канала трубки А равен 0,55 мм.
А 15-10. Сквозь стеклянный капилляр, погружен-
погруженный в жидкость, продувается воздух.
а) Нарисуйте несколько последовательных положе-
положений уровня в капилляре и образования пузырька (в слу-
случаях смачивания и несмачивания). В какой момент дав-
давление в капилляре наибольшее?
б) Вычислите разницу между наибольшим давлением
в капилляре и атмосферным давлением в случае, если
внутренний канал капилляра имеет диаметр dj = 0,8 мм;
жидкость — скипидар, смачивающий стекло; глубина
погружения капилляра h1 = 5 см.
в) Проведите тот же расчет для ртути (не смачивает
стекло). Внешний диаметр капилляра d2 = 1,2 мм; глу-
глубина погружения капилляра в ртуть h2 = 2 см.
# 15-11. В спирт опущена на ничтожную глубину
трубка с внутренним каналом диаметром d = 0,5 мм.
Чему равен вес Р вошедшего в нее спирта?
108
Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
# 15-12. Стеклянная трубка имеет фор-
форму, показанную на рисунке 15-5. Длина
каждого звена 10 см, а внутренний радиус
в самой узкой части равен 0,1 мм. Трубку
опускают в вертикальном положении в со-
сосуд с водой, а затем медленно, без толчков,
поднимают. Как будет перемещаться уро-
уровень воды в трубке?
® 15-13. Две стеклянные трубки, внут-
внутренние диаметры которых равны 0,2 и
0,3 мм, соединены внизу резиновой труб-
трубкой и заполнены водой. При каком условии уровни во-
воды в трубках одинаковы?
Ш 15-14. В стеклянный капилляры с внутренним ка-
каналом диаметром dl = 2 мм вставлена стеклянная па-
палочка диаметром d2 = 1,5 мм так, что просвет в канале
всюду одинаков. Определите высоту поднятия воды в
канале капилляра.
# 15-15. Когда жидкость поднимается по капилляр-
капиллярной трубке на высоту h, сила поверхностного натяжения
Рис. 15-5
F = 2пгс производит работу Fh =
. При этом потен-
потенциальная энергия столбика жидкости равна nr^hDg- =
— "ст (nr2hDg — вес поднятой жидкости; - —
высота
ее центра масс). Следовательно, приращение потенци-
потенциальной энергии вдвое меньше работы сил по-
верностного натяжения. На что истрачена ос-
оставшаяся часть работы?
Ш 15-16. Внутри горизонтальной трубки, на-
наружный и внутренний диаметры которой равны
2,5 и 0,3 мм, находится столбик воды. Трубку
приводят в вертикальное положение, причем
часть воды нависает снизу в виде капельки, ко-
которую можно принять за сегмент сферы диа-
диаметром 3 мм (рис. 15-6). Какова длина столбика
воды при горизонтальном положении трубки?
h
Рис. 15-6
§ 16. Свойства паров. Влажность воздуха 109
Указание. При решении принять во внимание примечание к
задаче 15-5.
# 15-17. Стеклянную капиллярную трубку, диаметр
внутреннего канала которой d = 0,2 мм, а длина h0 =
= 20 см, опускают в вертикальном положении в воду.
Верхний конец трубки запаян. Какой отрезок х трубки
должен находиться под водой, чтобы уровень воды в ка-
капилляре и вне его был одинаков? Давление воздуха
р = 750 мм рт. ст.
А 15-18. Стеклянную капиллярную трубку, диа-
диаметр внутреннего канала которой 1,5 мм, а длина
20 см, опускают в горизонтальном положении в ртуть
так, что имевшийся в ней воздух полностью остается в
ней.
а) Какова будет длина 1± столбика воздуха
в трубке, когда она будет опущена на глуби-
глубину 10 см? Давление воздуха нормальное.
б) Ответьте на тот же вопрос для глубины
погружения 0,5 см.
А 15-19. В изогнутую U-образную капил-
капиллярную трубку налиты две несмешиваю-
щиеся жидкости, например, ртуть и вода
(рис. 15-7). Справедливо ли в этом случае со-
соотношение —i = — ? Рис. 15-7
h2 D,
§ 16. Свойства паров. Влажность воздуха
1) При решении задач используйте таблицы XVII и
XVIII.
2) При вычислениях давления и плотности насыщен-
насыщенных паров следует при малых плотностях паров исполь-
использовать уравнение состояния для идеальных газов, а при
больших плотностях паров — уравнение Ван-дер-Вааль-
са (см. введения к §§ 11 и 14).
3) Удельной теплотой парообразования q называют
количество теплоты, требующееся для превращения
1 кг воды в пар при постоянной температуре.
110 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
4) Величина q слагается из двух частей. Первая часть
есть разность удельных внутренних энергий пара и
жидкости U1 - U2, вторая — работа против внешнего
давления р(иг ~ v2), где их и и2 — удельные объемы пара
и жидкости, соответственно. Таким образом,
q = (Ul - U2) + р(иг - и2).
Первое слагаемое называют внутренней теплотой па-
парообразования, второе — внешней теплотой парообразо-
парообразования.
5) Давление насыщенных паров вблизи сферической
поверхности жидкости
9.П.П
Р=Ро
D2r
где р0 — давление насыщенных паров вблизи плоской
поверхности; ст — поверхностное натяжение; Dx и Z>2 —
плотности пара и жидкости; г — радиус сферической
поверхности.
6) Решая задачи этого параграфа, можно полагать
при всех температурах удельную теплоемкость воды
равной 4 185 Дж/(кг ¦ К) = 1 кал/(г ¦ К) и удельный
объем воды 10~3 м3/кг = 1 см3/г, пренебрегая небольши-
небольшими изменениями их при повышении температуры.
# 16-1. Огромная часть поверхности Земли покрыта
водой. Почему, несмотря на это, атмосфера не насыщена
водяными парами?
® 16-2. Какого внутреннего диаметра следует сде-
сделать паропровод от парового котла к двигателю паровой
машины, если по паропроводу должно в течение часа
проходить 400 кг пара при давлении 105Па и темпера-
температуре 200 °С и если скорость движения пара не должна
превышать 40 м/с?
А 16-3. Предположим, что манометр, описанный в за-
задаче 11-4, присоединен к резервуару, в котором нахо-
находятся остатки воздуха и насыщенные пары ртути. Како-
§ 16. Свойства паров. Влажность воздуха
111
во давление в резервуаре при условиях задачи 11-4, если
отсчет по манометру производили при температуре 20 °С,
которой соответствует давление насыщенных паров рту-
ртути, равное 0,0013 мм рт. ст.?
9 16-4. В комнате объемом 120 м3 при температуре
15 °С относительная влажность воздуха равна 60%. Оп-
Определите массу водяных паров в воздухе комнаты.
Ф 16-5. Какова плотность воздуха при 29 °С и нор-
нормальном давлении, если относительная влажность сос-
составляет 70%?
А 16-6. В замкнутом сосуде объемом 2 л находятся
1 г воды и воздух. При температуре 14 °С давление в со-
сосуде равно 760 мм рт. ст. Каково будет давление в сосу-
сосуде при температурах: а) 90 °С? б) 100 °С?
Указание. При расчете пренебречь изменением объема воз-
воздуха вследствие испарения воды.
А 16-7. Резервуар газового термомет-
термометра (рис. 16-1) наполнен воздухом. Давле-
Давление газа в резервуаре при 0 °С равно
757 мм рт. ст., а при помещении в сосуд
с водой равно 840 мм рт. ст. Рассчитайте
температуру воды, предполагая: а) что
воздух сухой; б) что влажность воздуха
при 15 °С равна 60%.
Ф 16-8. В замкнутом прочном метал-
металлическом сосуде объемом 1 л находится
1 г воды и пара.
а) Сколько в сосуде пара и сколько
воды, если температура 17 °С?
б) При какой температуре сосуд будет
наполнен одним насыщенным паром?
А 16-9. В замкнутый сосуд объемом 6 л, содержащий
насыщенный пар при давлении 2 • 105 Па, вбрызгивает-
вбрызгивается некоторое количество воды при 10 °С. Давление пара
в сосуде понижается до 105 Па. Какое количество воды
введено в сосуд?
Рис. 16-1
112 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
# 16-10. Определите внешнюю теплоту парообра-
парообразования двнеш воды при давлениях: а) 0,002 ¦ 105 Па;
б) 10 • 105 Па.
Ф 16-11. Определите изменение внутренней энергии
при превращении в пар 4 г спирта во время кипения
при нормальном давлении (температура кипения 78 °С).
Удельный объем паров спирта 607 см3/г; удельная теп-
теплота парообразования спирта при этой температуре
862 Дж/г.
А 16-12. В воде на глубине 35 см находится пузырек
воздуха диаметром 0,1 мм. Атмосферное давление равно
750 мм рт. ст; температура воды 21 °С. Каково давле-
давление воздуха внутри пузырька?
А 16-13. При отсутствии пузырьков воздуха в жид-
жидкости ее можно перегреть несколько выше точки кипе-
кипения. Предположим, что при нормальном атмосферном
давлении вода перегрета до 105 °С. Высота уровня воды
относительно дна равна 20 см. Определите диаметр пу-
пузырька пара вблизи дна, при котором давление пара
в пузырьке и давление жидкости уравновешиваются.
Является ли это равновесие устойчивым?
Ф 16-14. Чему равно давление водяных паров вблизи
капельки воды радиусом 5 • 10~6 см при температуре
10 °С?
А 16-15. В 1 м3 охлаждающегося воздуха находится
8,3 г водяных паров.
а) При какой температуре начнется конденсация, ес-
если центрами конденсации являются пылинки, которые
можно принять за шарики диаметром 10~5см?
б) При какой температуре начнется конденсация в
пористом материале, смачиваемом водой, если диаметр
каналов в нем равен 10~5 см?
А 16-16. Принимают, что 0,036 всех молекул водя-
водяного пара, попавших на поверхность воды, задержива-
задерживаются ею. Вычислите массу всех молекул, которые в те-
течение 1 с вылетают с 1 м2 воды при 100 °С в находя-
находящийся над ней насыщенный водяной пар.
§ 17. Свойства растворов 113
§ 17. Свойства растворов
1) Если раствор отделен от чистого растворителя по-
полупроницаемой перегородкой, то через нее молекулы
растворителя переходят в область, занятую раствором.
Это явление называют осмосом.
Разность давлений между раствором и чистым рас-
растворителем, при которой осмос прекращается, называ-
называют осмотическим давлением.
2) В слабоконцентрированных растворах осмотиче-
осмотическое давление вещества массой т с молярной массой М,
растворенного в объеме V раствора:
а)р0 = т для недиссоциирующих веществ;
б) Ро = I* + а№ ~ 1)] „„ Для диссоциирующих веществ,
где а — доля диссоциированного вещества; k — число
ионов, образующихся при диссоциации одной молекулы.
3) Температура кипения раствора, содержащего мас-
массу т вещества с молярной массой М в объеме V раство-
растворителя, выше температуры кипения чистого раствори-
растворителя на величину
© = т 9.
MV'
где С — постоянная для данного растворителя величина
(для не диссоциирующих в растворе веществ).
4) Концентрация газа, растворенного в жидкости,
пропорциональна парциальному давлению этого газа
над жидкостью.
# 17-1. Каково осмотическое давление 8 г нафталина
(С10Н8), растворенных в 110 г бензола, при температуре
27 °С?
Примечание. Нафталин, растворяясь в бензоле, не диссоци-
диссоциирует.
® 17-2. В 500 см3 воды растворено 1,5 г хлористого
натрия. Чему равно осмотическое давление в растворе при
0 °С, если хлористый натрий полностью диссоциирован?
114
Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
А
• 17-3. Какую массу т1 хлористого натрия (NaCl)
надо растворить в 100 см3 воды, чтобы получить раствор
с таким же осмотическим давлением, какое имеет рас-
раствор хлорной меди (СиС12) массы /п2 — 0,4 г, растворен-
растворенной в таком же объеме воды и при той же температуре?
Считать, что в обоих случаях имеется полная диссоци-
диссоциация растворенного вещества.
А 17-4. Цилиндрическая трубка А
(рис. 17-1) с площадью сечения 2 см2 содер-
содержит раствор сахара (С12Н22ОП). Снизу она
закрыта перепонкой С, пропускающей чис-
чистую воду, но не пропускающей сахар (пере-
(перепонка из железистосинеродистой меди).
Трубка А опущена в сосуд В с чистой водой,
причем перепонка С находится на высоте
hx = 3 см ниже уровня воды в сосуде В. При
равновесии уровень раствора в трубке А на
высоте h = = 10 см выше уровня воды в со-
сосуде В. Температура ^ = 13 °С. Плотность раствора мало
отличается от плотности воды. Сколько граммов сахара
растворено в трубке А?
А 17-5. Предположим, что сосуд В с трубкой А
(см. рис. 17-1) находится в пространстве, наполненном
паром растворителя. Покажите, что давление пара над
слабым раствором меньше давления пара над чистым
растворителем на величину
Рис. 17-1
где ?>х — средняя плотность пара между уровнями в труб-
трубке и в сосуде; D2 — плотность раствора; р — давление
пара над чистым растворителем; яв и я — концентра-
концентрации растворенного вещества и растворителя.
А 17-6. В объеме V = 500 см3 воды растворен сахар
массой т = 15 г. Каково давление паров над раствором,
если температура раствора t = 100 °С? Плотность рас-
раствора D2 = 1 г/см3.
§ 1 8 Второе начало термодинамики 115
Ф 17-7. При нормальном атмосферном давлении рас-
раствор хлористого натрия в воде кипит при температуре
выше 100 °С. Какова температура паров над раствором?
А 17-8. Для воды постоянная С, определяющая по-
повышение температуры кипения раствора (см. пункт 3
введения), равна 5,1 • 10~4 К • м3 • моль. Какова моляр-
молярная масса вещества, если раствор 10 г этого вещества в
100 см3 воды кипит при температуре, на 0,18 °С превы-
превышающей температуру кипения чистой воды? Вещество
при растворении не диссоциирует.
А 17-9. На сколько точка кипения раствора 1,5 г
хлористого натрия в 200 см3 воды выше точки кипения
чистой воды? Принять, что хлористый натрий полно-
полностью диссоциирован.
Ф 17-10. При температуре 20 °С в одном литре воды
растворяется 28 см3 кислорода. Какова плотность кис-
кислорода в воде, свободная поверхность которой граничит
с атмосферным воздухом, при нормальном давлении?
Принять, что масса кислорода составляет 23% массы
воздуха.
^ 17-11. Колба наполовину заполнена водой, осво-
освобожденной от воздуха кипячением, наполовину — азо-
азотом при давлении 760 мм рт. ст. Какое давление устано-
установится в колбе по достижении равновесия? Температура
постоянна и равна 20 °С. Известно, что при этой темпе-
температуре в 1 л воды растворяется 14 см3 азота.
§ 18. Второе начало термодинамики
1) Изменение энтропии массы т вещества, теплоем-
теплоемкость с которого постоянна, при нагревании от Гх до Т2:
Т
AS = me In -2 .
Ti
2) Изменение энтропии массы m вещества при изме-
изменении его агрегатного состояния (плавлении, испарении):
AS = ). m; AS = I m,
116 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
где X и г — соответственно удельная теплота плавления
и удельная теплота испарения.
3) Изменение энтропии массы т идеального газа:
Pi y У
4) Уравнение Гиббса—Гельмгольца
dT'
где F и U — свободная и внутренняя энергии.
5) Связь между изменением давления р и изменением
температуры Т перехода вещества из одного агрегатного
состояния в другое определяется уравнением Клапейро-
Клапейрона—Клаузиуса:
dp r
где ох и о2 — удельные объемы вещества в двух состоя-
состояниях; г — удельная теплота перехода вещества из пер-
первого состояния во второе.
6) Изменение поверхностного натяжения с темпера-
температурой:
da _ _?
dT Г'
где q — количество теплоты, получаемой поверхностью
жидкости извне при увеличении поверхности на едини-
единицу площади.
7) Для идеальной тепловой (холодильной) машины
где Тх и Т2 — температуры горячего и холодного тел.
Количества теплоты Q1 и Q2 считают положительными,
если происходит передача теплоты от окружающих тел
к рабочему телу.
8) КПД тепловой машины
Л Яг
§ 18. Второе начало термодинамики 117
где А — работа, производимая рабочим веществом ма-
машины за один цикл.
КПД идеального цикла Карно
® 18-1. В замкнутом пространстве поме-
помещены один выше другого два открытых сосу-
сосуда с одной и той же жидкостью (рис. 18-1).
Если температуры жидкостей в начальный
момент одинаковы, то вследствие испарения
жидкости в верхнем сосуде и конденсации
паров в нижнем жидкость в нижнем сосуде р . „ .
будет нагреваться, а в верхнем охлаждаться.
Противоречит ли это второму закону термодинамики?
# 18-2. Определите изменение энтропии при нагрева-
нагревании 30 см3 железа от 20 до 100 °С.
Ш 18-3. Найдите изменение энтропии при охлажде-
охлаждении 2 г воздуха от 40 до 0 °С: а) при постоянном объеме;
б) при постоянном давлении.
# 18-4. Определите изменение энтропии при процес-
процессах, описанных в задачах 12-10 и 12-15. Масса азота
равна 6 г.
# 18-5. Определите изменение энтропии 1 г водорода
в следующих случаях: а) газ сначала адиабатно сжима-
сжимается до вдвое меньшего объема, затем изохорно охлаж-
охлаждается до начальной температуры; б) газ сначала ади-
адиабатно сжимается до вдвое меньшего объема, затем изо-
изотермически расширяется до начального объема.
9 18-6- 2 кг воды нагреваются от 10 до 100 °С и при
этой температуре обращаются в пар. Определите изме-
изменение энтропии.
^ 18-7. Покажите, что энтропия увеличивается при
следующих процессах:
а) Горячая вода отдает теплоту такой же массе холод-
холодной воды и температуры их выравниваются.
б) Два одинаковых сосуда, изолированных во избе-
избежание потери теплоты в окружающее пространство и со-
118 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
держащих одинаковые массы идеального газа при раз-
разных давлениях, соединены трубкой с краном. Кран от-
открывается, и состояния газа в обоих сосудах становятся
одинаковыми.
# 18-8. 200 г железа при 100 °С опущены в калори-
калориметр, в котором находится 300 г воды при 12 °С. Как из-
изменится энтропия системы при выравнивании температур?
А 18-9. Смешиваются два разнородных, не вступаю-
вступающих в химическую реакцию газа объемами Vj = 5 л и
V2 = 3 л, имеющих одинаковую температуру Т = 300 К
и давление р = 1 атм. Определите происходящее при
этом изменение энтропии.
А 18-10. В калориметр, содержащий 250 г воды при
23 °С, бросают 27 г льда при 0 °С. Определите измене-
изменение энтропии, происшедшее к моменту окончания тая-
таяния льда. Теплоемкостью калориметра пренебречь.
Ш 18-11. Пользуясь таблицей XVIII, вычислите удель-
удельную теплоемкость водяного пара при постоянном объеме
в интервале температур от 60 до 90 °С.
Ш 18-12. Насыщенный водяной пар при давлении
2 • 105 Па адиабатно расширяется до давления 0,2 • 105 Па.
Какая часть пара (в процентах) конденсируется при этом?
Ф 18-13. Как меняется температура плавления льда
при увеличении давления на 1 атм?
Ф 18-14. Вблизи 100 °С точка кипения воды повы-
повышается на 0,11 °С при изменении давления на
3 мм рт. ст. Определите теплоту парообразования воды.
А 18-15. В нижнем из сосудов, упомянутых в задаче
18-1, находится вода при температуре t = 17,2 °С. Опре-
Определите разность температур между верхним и нижним
сосудами, если разность уровней в сосудах h = 1 м. Теп-
Теплообменом между сосудами пренебречь.
А 18-16. Определите изменение энергии некоторого
количества воды, имеющей температуру 20 °С, при уве-
увеличении ее поверхности на 1 см2.
А 18-17. Предполагая, что изменение энергии воды
при изменении ее поверхности на 1 см2 остается одина-
§ 18. Второе начало термодинамики 119
ковым вплоть до такого распыления жидкости, при ко-
котором каждая капелька будет состоять только из одной
молекулы, т. е. образуются пары, рассчитайте измене-
изменение энергии 1 г воды при ее превращении в пар при 20 °С.
Ф 18-18. Температура пара, поступающего из котла в
паровую машину, равна tx = 210 °С. Конденсация пара
происходит при температуре t2 — 40 °С. Какова макси-
максимальная работа, которую можно получить при затрате
теплоты Q = 1 кДж на образование пара?
А 18-19. Какое максимальное количество теплоты Q
можно отвести от холодильной камеры при помощи хо-
холодильной машины, совершив работу А = 1 кДж, если
температура в холодильной камере t2 = -10 °С, а темпе-
температура охлаждающей воды t-y = 11 °С?
Ш 18-20. Динамическим отоплением называется сле-
следующая система отопления. За счет энергии, выделяю-
выделяющейся при сжигании топлива, тепловой двигатель со-
совершает работу над рабочим веществом холодильной
машины. Холодильная машина отнимает теплоту от
природного резервуара воды (например, от грунтовой
воды) и отдает ее воде в отопительной системе. Одновре-
Одновременно вода в отопительной системе служит охладителем
теплового двигателя. Определите (без учета потерь)
количество теплоты, которое получает вода в калори-
калориферах отопления на 1 кг сожженного топлива, при сле-
следующих условиях: теплотворная способность топлива
q — 2 • 104кДж/кг; температура в котле паровой маши-
машины tx = 210 °С; температура грунтовой воды t2 = 15 °С;
температура воды в отопительной системе ts = 60 °С.
^ 18-21. Допустим, вероятность того, что я молекул
газа, имеющих возможность попасть в любую точку
объема Vv в определенный момент находятся в части
этого объема V2, равна w = I —^ J . Исходя из этого поло-
жения покажите, что при изотермическом расширении
от V2 до Vj изменение энтропии идеального газа AS =
= k In w, где k — постоянная Больцмана.
120 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
А 18-22. В микроскоп сквозь диафрагму наблюдают
броуновское движение частиц гуммигута, взвешенных в
воде, при температуре 17 °С. Оказалось, что средние
числа частиц, видимых сквозь диафрагму на уровнях,
отличающихся между собой на ft = 5 мкм, равны пх — 2,0
и я2 = 3,2. Считая объемы всех частиц одинаковыми,
определите их.
§ 19. Теплопроводность
1) Количество теплоты, передаваемое слоем толщи-
толщиной &х и площадью поверхности S за время т:
или при постоянстве градиента —
dx
где X — коэффициент теплопроводности вещества слоя.
2) Количество теплоты, передаваемое от одной среды
в другую за время т, пропорционально разности темпе-
температур Тг и Т2 этих сред и площади поверхности их со-
соприкосновения:
Q -= а(Гх - T2)Si,
где а — коэффициент теплоотдачи.
В таблице XX Приложений приведены значения ко-
коэффициентов теплоотдачи для различных пар сред.
# 19-1. Наружная поверхность кирпичной стены
толщиной 37 см (полтора кирпича) имеет температуру
-15 °С, а температура внутренней поверхности равна
20 °С. Определите количество теплоты, проходящей за
сутки сквозь 1м2 стены.
® 19-2. В алюминиевой кастрюле кипит вода (при
100 °С). Определите разность температур нижней и верх-
§ 19. Теплопроводность 121
ней поверхностей дна кастрюли при таких данных: тол-
толщина дна 2 мм; площадь дна 200 см2; в кастрюле
за 5 мин выкипает 100 г воды. Обменом теплоты сквозь
боковые стенки кастрюли и лучеиспусканием пренеб-
пренебречь.
А 19-3. Между двумя металлическими стенками,
имеющими температуры 20 и 30 °С, зажаты сложенные
вплотную пластинки: вырезанная параллельно волок-
волокнам деревянная толщиной Ъх = 3 см и стеклянная тол-
толщиной Ъ2 = 2 см. Пренебрегая небольшим скачком тем-
температуры в месте соприкосновения металла, дерева и
стекла, определите температуру поверхности соприкос-
соприкосновения стекла и дерева.
А 19-4. Сложены медная пластинка толщиной Ь1 = 6 мм
и железная толщиной Ъ2 = 4 мм. Определите коэффи-
коэффициент теплопроводности однородной пластинки (Ь =
= 10 мм), проводящей теплоту в такой же степени, как
и две данные пластинки.
А 19-5. Кубик сложен из чередующихся
пластинок разной толщины и различной теп-
теплопроводности (рис. 19-1). Покажите, что
теплопроводность кубика в направлении
вдоль пластинок (А.ц) больше, чем в направ-
направлении, перпендикулярном к ним (А±).
• 19-6. Пространство между двумя горизонтальны-
горизонтальными плоскими стенками, имеющими различные темпера-
температуры (нижняя холоднее), заполнено газом. Как сказыва-
сказывается на распределении температур то обстоятельство,
что коэффициент теплопроводности газа возрастает с по-
повышением температуры?
А 19-7. Цилиндрический паропровод окружен асбес-
асбестовой теплоизолирующей оболочкой. Наружная по-
поверхность оболочки имеет температуру tt = 50 °С, а
внутренняя, прилегающая к паропроводу, t2 = 120 °С.
Длина паропровода / = 65 м; наружный диаметр теп-
теплоизолирующей оболочки d1 = 13 см, внутренний диа-
диаметр d2 = 7 см. Определите количество теплоты, отда-
122 Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ваемое паропроводом во внешнее пространство в тече-
течение суток.
А 19-8. Две трубы одинаковых диаметров и длины
окружены двухслойной изоляцией. Коэффициент теп-
теплопроводности материала одного слоя в 2 раза больше
коэффициента теплопроводности материала другого слоя.
Оба слоя имеют толщину, равную половине диаметра
трубы. В первой трубе (I) внутренним слоем теплоизоля-
теплоизоляции является слой с большей теплопроводностью, во
второй (II) — наоборот. Какая из труб отдает в окру-
окружающую среду сквозь изоляцию большее количество
теплоты за одно и то же время, если перепад температу-
температуры между поверхностью трубы и внешней средой в обо-
обоих случаях один и тот же?
• 19-9. Определите количество теплоты, передавае-
передаваемое поверхностью 0,5 м2 железной печи воздуху в тече-
течение часа, если температура воздуха 10 °С, а температу-
температура печи 200 °С.
А 19-10. Температура газов в топке парового котла
1000 °С, температура воды в котле 180 °С. Железные
стенки котла имеют толщину 2 см; с внутренней сторо-
стороны они покрыты слоем накипи толщиной 2 мм, с на-
наружной — слоем сажи толщиной 1 мм.
а) Какое количество теплоты передается за 1 ч через
1 м2 поверхности?
б) Определите температуры внутренних и наружных
поверхностей слоя сажи, железной стенки и слоя наки-
накипи. Излучение топочных газов очень мало.
Глава 3
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
§ 20. Взаимодействие зарядов
1) Закон Кулона: сила взаимодействия между точеч-
точечными зарядами q1 и q2, находящимися на расстоянии г
в среде с электрической проницаемостью е:
где е0 — электрическая постоянная.
2) Напряженность поля
q
3) Связь между напряженностью Е и электрическим
смещением D:
D = гогЁ.
4) Напряженность поля точечного заряда, а также по-
поля вне равномерно заряженного шара или сферы:
Е= q
2
5) Напряженность поля вне равномерно заряженного
цилиндра на расстоянии г от его оси:
Е= Y
где y — заряд единицы длины цилиндра.
6) Напряженность поля плоскости, равномерно заря-
заряженной с поверхностной плотностью а:
2б0б
7) Напряженность поля в плоском, цилиндрическом
и сферическом конденсаторах:
Е= g .
4яе0ег2
124 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
А 8) Напряженность поля, со-
^А здаваемого диполем (рис. 20-1)
в точке А на расстоянии г^>1,
Г у
,'Ле
E = —Е-— JT+ 3 cos2 0 ,
4ле0ег3
где р = ql — электрический мо-
1 диполя.
Рис 20-1
9) Если диполь, имеющий элект-
электрический момент р (вектор р на-
направлен от отрицательного заряда к положительному),
находится во внешнем электрическом поле напряжен-
напряженностью Е, то на диполь действует вращающий момент
М = \3, Ё].
10) Во всех задачах, в которых природа диэлетрика,
окружающего заряды, не указана, а также для воздуха
следует принимать е = 1.
# 20-1. Два одинаковых заряда, находящихся на ма-
маленьких шариках, отстоящих друг от друга на расстоя-
расстоянии 10 см, взаимодействуют в воздухе с силой 5 • 10~4 Н.
Определите величину зарядов.
9 20-2. На двух одинаковых капельках воды нахо-
находится по одному лишнему электрону, причем сила элек-
электрического отталкивания капелек уравновешивает силу
их взаимного тяготения. Каковы радиусы капелек?
А 20-3. Два маленьких проводящих шарика подве-
подвешены на длинных непроводящих нитях к одному крюч-
крючку. Шарики заряжены одинаковыми зарядами и нахо-
находятся на расстоянии 5 см друг от друга. Что произойдет
после того, как один из шариков разрядить?
Ш 20-4. Два заряда в вакууме взаимодействуют на рас-
расстоянии 11 см с такой же силой, как в скипидаре на рас-
расстоянии 7,4 см. Определите электрическую проницае-
проницаемость скипидара.
^ 20-5. Два заряженных шарика, подвешенных на ни-
нитях одинаковой длины, опускают в керосин. Какова долж-
должна быть плотность материала шариков, чтобы угол рас-
расхождения нитей в воздухе и керосине был один и тот же?
§ 20. Взаимодействие зарядов 125
А 20-6. Электрон движется в вакууме в поле напря-
напряженностью 10 В/см, направленном вертикально вниз.
а) Где вблизи электрона напряженность поля равна
нулю?
б) Скорость электрона в некоторой точке его траекто-
траектории направлена горизонтально и равна 2 • 106 м/с. Ка-
Каков радиус кривизны траектории в этой точке?
^ 20-7. Заряды qx и q2 находятся на расстоянии I
друг от друга. Определите положение точки, в которой
напряженность поля равна нулю. Рассмотрите случаи:
а) заряды одноименные; б) заряды разноименные.
9 20-8. Определите напряженность поля в центре
шестиугольника со стороной о, по вершинам которого
расположены: а) шесть равных одноименных зарядов q;
б) три положительных и три отрицательных равных за-
заряда.
А 20-9. Принимая протон и элект- С
рон, из которых состоит атом водорода, '" ""X
за точечные заряды, находящиеся на / t
расстоянии г = 0,5 ¦ 10~10 м, найдите на- | (у У
пряженность поля в точках В и С, от- '
ч
стоящих от протона на таком же рас- *¦- '
стоянии, как и электрон, и расположен- рис 2Q-2
ных, как показано на рисунке 20-2.
А 20-10. Молекулу воды можно рассматривать как
диполь, электрический момент которого равен 6,24 X
X 10-30Кл-м.
а) Принимая, что этот диполь составлен положитель-
положительным и отрицательным зарядами, равными заряду элект-
jpoHa, найдите длину диполя.
б) Определите напряженности поля, созданного дипо-
диполем, на расстоянии 3 • 10~9 м от середины диполя в точ-
точке, лежащей на продолжении диполя, и в точке, лежа-
лежащей на перпендикуляре к диполю.
в) Молекула воды и ион водорода находятся на рас-
расстоянии 3 • 10~9 м. Определите наибольшее и наимень-
наименьшее значения силы взаимодействия молекулы с ионом и
Момента сил, действующего на молекулы.
126 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
¦ 20-11. а) Определите силу взаимодействия двух
молекул паров воды, диполи которых составляют про-
продолжение один другого. Электрический момент диполя
равен 6,24 • 10~30Кл • м. Молекулы находятся на рас-
расстоянии 10~9 м друг от друга.
б) Вычислите приблизительно работу, которую нуж-
нужно произвести, чтобы удалить друг от друга молекулы
воды с расстояния 4 ¦ 10~1Ом (примерно на таком рас-
расстоянии находятся молекулы в воде при комнатной тем-
температуре) до расстояния, на котором силы взаимодейст-
взаимодействия диполей воды исчезающе малы (пар).
в) Какую работу нужно произвести, чтобы удалить
друг от друга все молекулы в 1 м3 воды? Сравните эту
работу с удельной теплотой парообразования воды при
комнатной температуре.
¦ 20-12. На рисунке 20-3 показаны два оди-
одинаковых диполя А и Б с электрическим мо-
моментом р, расположенных взаимно перпен-
перпендикулярно на расстоянии г» I. Чему равны
вращающие моменты, действующие на ди-
диполь А, на диполь Вина всю систему в це-
целом?
Ф 20-13. Напряженность электрического по-
поля Земли вблизи поверхности в среднем рав-
равна -130 В/м. Какой заряд имела бы Земля,
Рис. 20-3 если бы напряженность вблизи всей ее по-
поверхности одновременно имела это значение?
• 20-14. На расстоянии 4 мм от прямой проволоки
длиной 150 см, на которой равномерно распределен заряд
2 • 10~7 Кл, находится пылинка с зарядом -1,67 • 10~16 Кл.
Определите силу, действующую на пылинку.
А 20-15. Конденсатор, состоящий из пластин, разде-
разделенных воздушным промежутком, заряжен и помещен
в сосуд. Затем в сосуд наливают керосин. Определите,
как при этом меняются напряженность и электрическое
смещение, если во время наливания керосина конденса-
конденсатор: а) отсоединен от источника напряжения; б) присое-
присоединен к источнику постоянного напряжения.
§ 20. Взаимодействие зарядов 127
А 20-16. Две плоские пластинки площадью 200 см2
каждая, заряженные равными по модулю разноименны-
разноименными зарядами, находясь в парафине, притягиваются с си-
силой 2,5 ¦ 10Н. Расстояние между пластинками столь
мало, что напряженность поля можно рассчитывать по
формуле для бесконечных плоскостей. Определите:
а) находящиеся на них заряды; б) электрическое смеще-
смещение и напряженность поля в парафине.
9 20-17. Две одинаковые пластинки заряжены рав-
равными одноименными зарядами и расположены на столь
малом расстоянии друг от друга, что напряженность по-
поля между ними можно принять равной нулю. Как изме-
изменится сила взаимодействия между пластинками, если
пространство между ними заполнить диэлектриком с
проницаемостью е?
А 20-18. Определите работу против электрических
сил при раздвигании на расстояние 3 см двух пластин
плоского конденсатора, имеющих заряды +2 ¦ 10~7 Кл и
-2 ¦ 10~7 Кл. Площадь каждой из плостин 200 см2.
А 20-19. Заряд q = 2 • 10~8 Кл равномерно распреде-
распределен по тонкому стержню. Определите напряженность в точ-
точке, отстоящей от концов стержня на расстоянии i? = 20 см,
а от середины стержня — на расстоянии Ro — 15 см.
Я 20-20. Кольцо радиусом R = 5 см из тонкой прово-
проволоки равномерно заряжено зарядом q — 2 • 10~8 Кл. Оп-
Определите: а) напряженость поля в центре кольца; б) на-
напряженность в точке, находящейся на перпендикуляре
к плоскости кольца, восставленном из центра кольца, и
отстоящей от него на расстоянии ft = 10 см; в) макси-
максимальную напряженность на этом перпендикуляре.
Я 20-21. Круглая пластинка радиусом а = 8 см рав-
равномерно заряжена с поверхностной плотностью с =
= 2 • Ю-5 Кл/м2.
а) Определите напряженность поля в точке, лежащей
на расстоянии Ъ = 6 см от пластинки на перпендикуляре
к плоскости пластинки, проходящем через ее геометри-
геометрический центр.
128 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
б) Покажите, что полученная формула переходит в фор-
формулу напряженности поля бесконечной заряженной
плоскости [Е = -2_ 1, если Ъ —* 0, ив формулу напря-
женности поля точечного заряда, если Ъ S> a.
Ш 20-22. Плоскость равномерно заряжена с поверх-
поверхностной плотностью а. В середине плоскости имеется
круглое отверстие, радиус которого а мал по сравнению
с размерами плоскости. Найдите напряженность поля в
точке, лежащей на перпендикуляре к плоскости, прохо-
проходящем через центр отверстия, на расстоянии Ъ от плос-
плоскости.
Указание. Эту задачу решите после задачи 20-21.
¦ 20-23. Полусфера равномерно заряжена с поверх-
поверхностной плотностью а. Определите напряженность поля
в центре полусферы.
® 20-24. Металлический шар радиусом 2 см окружен
сферической металлической оболочкой радиусом 4 см,
концентрической с шаром. На шаре находится заряд
+2 • 10~8 Кл, на оболочке — заряд -4 • 1(Г8 Кл. Определи-
Определите напряженность поля на расстояниях от центра шара,
равных: а) 3 см; б) 5 см.
• 20-25. Плоский слой диэлектрика (? = 2) толщиной
0,5 см равномерно заряжен с объемной плотностью
3 • 10~4 Кл/м3. Какова напряженность поля: а) в середи-
середине слоя; б) внутри слоя на расстоянии 0,1 см от поверх-
поверхности; в) вне слоя?
# 20-26. Шарик радиусом R = 2 см, сделанный из ди-
диэлектрика, заряжен с объемной плотностью 2 • 10~4 Кл/м3.
Какова напряженность поля на расстоянии 3 см от цент-
центра шарика?
А 20-27. Начертите (примерно) графики, показываю-
показывающие, как меняется напряженность поля в зависимости
от расстояния в следующих случаях:
а) поле двух плоскостей, заряженных противополож-
противоположными зарядами (плоский конденсатор). По оси абс-
§21. Потенциал 129
цисс — расстояния х от какой-либо точки слева от пло-
плоского конденсатора, отсчитываемые вправо;
б) поле сферического конденсатора радиусами i?x и i?2-
Внутренний шар заряжен положительно. По оси абс-
абсцисс — расстояния г от центра;
в) поле слоя диэлектрика, заряженного с постоянной
объемной плотностью. По оси абсцисс — расстояния от
какой-либо точки слева от слоя, отсчитываемые вправо;
г) поле шара радиусом R из диэлектрика, заряженного
с постоянной объемной плотностью. По оси абсцисс —
расстояние от центра шара.
§21. Потенциал
1) Работа электрического поля по переносу заряда q
из точки 1 в точку 2
A = qU,
где U — разность потенциалов между точками 1 к 2.
2) Связь между напряженностью Е и разностью по-
потенциалов фх - ф2:
2
Ф, - Ф2 = f Дж d*; Я* = -|-
3) Потенциал поля точечного заряда, а также поля
вне равномерно заряженного шара или сферы на рас-
расстоянии R от центра:
При наличии многих точечных зарядов потенциал
а>= У q
4) Разность потенциалов (напряжение) в плоском,
цилиндрическом и сферическом конденсаторах:
d\ U
еое 2ле0е
130 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
^fe?
400 В — 400 В
.ф=0 | ^ ф = 0
У////////////////////////////
Рис. 21-1 Рис. 21-2 Рис. 21-3
# 21-1. Начертите эквипотенциальные поверхности
в случаях следующих полей:
а) одна проводящая плоскость снабжена острием
(рис. 21-1), другая плоскость расположена параллельно ей;
б) между двумя параллельными проводящими плос-
плоскостями помещен незаряженный проводящий шарик
(рис. 21-2);
в) изолированный заряженный шар соединен провод-
проводником со стержнем электроскопа (рис. 21-3).
Во всех этих случаях одно из тел имеет потенциал ср,
равный нулю (тело заземлено), а другое — потенциал
400 В. Начертите эквипотенциальные поверхности, со-
соответствующие потенциалам 100, 200 и 300 В.
• 21-2. а) Могут ли линии напряженности электри-
электрического поля (в той его части, где отсутствуют электриче-
электрические заряды и где напряженность поля не равна нулю)
пересекаться между собой?
б) Могут ли пересекаться или соприкасаться эквипо-
эквипотенциальные поверхности, соответствующие различным
потенциалам?
А 21-3. Принимая за исходное положение, что рабо-
работа электростатического поля по перемещению заряда по
замкнутому контуру равна нулю, выведите из него пере-
перечисленные ниже следствия.
а) Если линии напряженности прямые и параллель-
параллельны между собой, то густота их расположения всюду
постоянна (т.е. поле однородно).
б) Если линии напряженности представляют собой ду-
дуги концентрических окружностей, то напряженность по-
поля обратно пропорциональна радиусу окружности и не
меняется при передвижении вдоль дуги.
§21. Потенциал 131
А 21-4. Ha рисунке 21-4 изображен
«султан» для опытов по электростатике.
При сообщении заряда «султану» бумаж-
бумажные ленты располагаются, как показано
на рисунке 21-4, т. е. их расположение со-
соответствует линиям напряженности поля
заряженного шара. Между тем бумажные
ленты можно рассматривать как провод-
проводники, а поверхности проводников в элек-
электростатическом поле, как известно, эквипо-
эквипотенциальны. Разъясните кажущееся про- Рис. 21-4
тиворечие.
^ 21-5. Энергию отдельных частиц часто выражают
в электронвольтах (эВ). 1 эВ соответствует работе элект-
электрических сил при перемещении электрона между точ-
точками, разность потенциалов которых равна 1 В. Вы-
Выразите в электронвольтах: а)энергию электрона, ле-
летящего со скоростью 103 км/с; б) среднюю энергию
поступательного движения молекулы при О °С; в) раз-
разность средних энергий молекул водяного пара и моле-
молекул воды при 17,2 °С; г) работу против силы тяжести
при удалении молекулы азота с поверхности Земли в
бесконечность.
• 21-6. Сколько избыточных электронов находится
на пылинке массой 10~14кг, если она удерживается в
равновесии в плоском конденсаторе, расстояние между
пластинами которого равно 5 мм, а напряжение на
пластинах 76,5 В?
А 21-7. Между двумя плоскими параллельными вер-
вертикальными пластинами, расстояние между которыми
г =0,5 см, равномерно падает заряженная капелька
массой т = 10 9 г. При разности потенциалов между
пластинами U = 400 В капелька падает под углом 7°25'
к вертикали. Предполагая, что сила вязкого трения про-
пропорциональна скорости капельки, определите находя-
находящийся на ней заряд.
А 21-8. Две пластинки площадью S = 2 дм2 каждая
находятся в керосине на расстоянии d — 4 мм друг от
132 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
друга. С какой силой они взаимодействуют, если раз-
разность потенциалов между ними U = 150 В?
• 21-9. В каком случае сила взаимодействия двух за-
заряженных пластин: а) прямо пропорциональна диэлект-
диэлектрической проницаемости среды? б) обратно пропорци-
пропорциональна ей?
Ш 21-10. Заряд шарика радиусом R — 1 см равен
q = 101 Кл. Начертите в натуральную величину сече-
сечения эквипотенциальных поверхностей, соответствую-
соответствующих потенциалам 5, 4, 3, 2 и 1 В, плоскостью, прохо-
проходящей через центр шара.
® 21-11. Определите работу элект-
¦ х— —j рических сил при перенесении заряда
i i | q = 1 нКл (рис. 21-5): а) из точки А в
п г\ г\ точку В и б) из точки С в точку D, ес-
i \с ! ли г = б см, а = 8 см, qx — 5 нКл и q2 =
1t a.~t~<L | 2 = -5 нКл; в) дайте ответы на те же воп-
|« 2 »|« >1 росы для случая, когда q1 = q2 — 5 нКл.
Рис 21-5 ^ 21-12. В вершинах правильного
шестиугольника со стороной 5 см рас-
расположены равные точечные заряды 6,6 ¦ 10~9 Кл.
а) Определите работу электрических сил при перенесе-
перенесении заряда 3,3 • 10~9 Кл из центра шестиугольника в се-
середину одной из его сторон.
б) Чему равна эта работа, если заряды равны между
собой по модулю, но соседние заряды противоположны
по знаку?
А 21-13. Заряд q = 2 нКл равномерно распределен по
кольцу радиусом R — 5 см, сделанному из тонкой прово-
проволоки.
а) Определите потенциал точки, лежащей на перпенди-
перпендикуляре к плоскости кольца, как функцию расстояния h
точки от плоскости кольца.
б) Найдите напряженность как градиент потенци-
потенциала.
в) Определите потенциал и напряженность в центре
кольца и при h — 10 см. Сравните с результатом задачи
20-20.
§21. Потенциал 133
¦ 21-14. Для электрического поля круглой пластин-
пластинки, описанной в задаче 20-21, определите потенциал
как функцию расстояния Ъ и вычислите напряженность
как градиент потенциала.
¦ 21-15. Выведите формулу для потенциала поля за-
ряженого проводящего шара, рассматривая потенциал
как сумму потенциалов зарядов, находящихся в различ-
различных точках шара: а) для точки, лежащей на шаре;
б) для точки внутри шара; в) для точки вне шара.
А 21-16. Начертите примерные графики зависимос-
зависимости потенциала точек электрического поля от расстояния
во всех случаях задачи 20-27. Потенциал точки, служа-
служащей началом координат, принять равным нулю.
А 21-17. Определите потенциалы точек, находящих-
находящихся на расстояниях 3 и 5 см от центра заряженного шара,
описанного в задаче 20-24.
¦ 21-18. Разность потенциалов между длинными ко-
коаксиальными цилиндрами (.Rj = 3 см и R2 = 10 см), за-
заряженными равными разноименными зарядами, U —
~ 450 В. Определите: а) заряд на единце длины цилинд-
цилиндров; б) поверхностную плотность зарядов на каждом ци-
цилиндре; в) напряженности вблизи поверхности внутрен-
внутреннего цилиндра, на середине расстояния между цилинд-
цилиндрами и вблизи поверхности внешнего цилиндра.
¦ 21-19. Катод радиолампы представляет собой тон-
тонкую нагретую нить. Электроны, испускаемые катодом, под
действием электрического поля ускоренно движутся к ко-
коаксиальному цилиндрическому аноду. Цилиндр и нить
сделаны из одного и того же металла. Их диаметры равны
соответственно 10 и 0,1 мм. Напряжение между цилинд-
цилиндром и нитью равно 91 В. Начальная скорость электронов
мала. Определите ускорение и скорость электронов в
точке, находящейся от нити на расстоянии 3,5 мм.
А 21-20. На плоский воздушный конденсатор с тол-
толщиной воздушного слоя 1,5 см подается напряжение
39 кВ. Будет ли пробит конденсатор, если пробой возду-
воздуха при нормальном атмосферном давлении происходит
при напряженности электрического поля 30 кВ/см? Бу-
134 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
дет ли пробит конденсатор, если внутрь его ввести па-
параллельно стенкам стеклянную пластинку толщиной
0,3 см? Напряженность пробоя для стекла 100 кВ/см.
^ 21-21. Цилиндрический конденсатор имеет два ци-
цилиндрических слоя диэлектриков с электрическими
проницаемостями ег и е2 и с напряженностями пробоя
Ех и Е2. Чтобы наиболее рационально использовать ма-
материал, желательно, чтобы напряженность поля дости-
достигала значения, соответствующего пробою, в обоих ди-
диэлектриках одновременно. При каком соотношении
между внутренними радиусами слоев диэлектриков это
будет иметь место?
¦ 21-22. а) Цилиндрический конденсатор имеет два
слоя диэлектриков. Первый слой — бумага, пропитан-
пропитанная лаком (ег = 4), его внутренний радиус гх = 2 см,
внешний г2 = 2,3 см. Второй слой — стеклянный (е2 = 7,
г2 = 2,3 см, г3 = 2,5 см). Где будет пробит конденсатор —
в бумаге или стекле, если напряжение постепенно повы-
повышать? При каком напряжении Umax будет пробит конден-
конденсатор? Напряженность пробоя для бумаги -Elmax —
= 120 кВ/см, для стекла -Е2шах = Ю0 кВ/см.
б) Решите ту же задачу для случая обратного располо-
расположения слоев диэлектриков (внутри — стекло толщиной
2 мм, снаружи — пропитанная лаком бумага толщиной
3 мм).
¦ 21-23. Между двумя длинными параллельными
проволоками, расположенными на расстоянии I = 15 см
друг от друга, поддерживается разность потенциалов
U = 1500 В. Радиус проволок г = 1 мм. Определите на-
напряженности поля: а) в точке, лежащей на середине
расстояния между проволоками; б) в точке, отстоящей
от одной из проволок на расстоянии Rt = 30 см, от дру-
другой — на расстоянии R2 = 25 см.
А 21-24. Слой диэлектрика толщиной d = 5 см равно-
равномерно заряжен с объемной плотностью р = 10~5 Кл/м3.
Найдите разность потенциалов между поверхностью
слоя и его серединой (е = 3).
§21. Потенциал 135
^ 21-25. В вакууме расположе- А в
ны, как показано на рисунке 21-6,
цилиндры А и В. Цилиндр В име-
имеет высокий положительный по-
. Рис. 21-6
тенциал; потенциал цилиндра А
близок к нулю. Внутри цилиндра летят расходящимся
пучком электроны. Как действует на летящие электро-
электроны электрическое поле между цилиндрами Аи В?
А 21-26. Электрон, энергия которого соответствует
разности потенциалов Uo, попадает в вакууме в поле ци-
цилиндрического конденсатора (радиусы цилиндров i?x и R2);
направление скорости электрона в начальный момент
перпендикулярно плоскости, проходящей через ось кон-
конденсатора. При каком напряжении U между обкладка-
обкладками конденсатора электрон будет двигаться внутри кон-
конденсатора по окружности?
А 21-27. Узкий пучок электро-
электронов в вакууме пролетает сквозь _
плоский конденсатор параллель- ^
но его пластинам (рис. 21-7) и по-
падает на флуоресцирующий эк-
ран, отстоящий от конденсатора рис 2\.j
на расстоянии I = 15 см. При по-
подаче на конденсатор напряжения U = 50 В светящееся
пятно на экране смещается на s = 21 мм. Расстояние
между пластинами конденсатора d = 18 мм; длина кон-
конденсатора Ъ = 6 см. Определите скорость электрона.
А 21-28. Поток электронов, ускоренных напряжени-
напряжением [/х = 5000 В, влетает в середину между пластинами
плоского конденсатора. Какое наименьшее напряжение
нужно подать на конденсатор, чтобы электроны не вы-
вылетали из него, если длина конденсатора Ъ = 5 см, рас-
расстояние между пластинами d = 1 см?
¦ 21-29. Электрон, движущийся со скоростью v0 =
= 40 000 км/с, влетает в пространство между двумя
пластинами конденсатора. Длина каждой из пластин
Ъ = 6 см, расстояние между ними d = 0,5 см. На кон-
136 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
денсатор подается напряжение U — 40 В. На сколько
увеличится скорость электрона при выходе из конден-
конденсатора?
§ 22. Проводники в электрическом поле
См. введения к §§ 20 и 21.
® 22-1. Четыре проводящие пластинки расположе-
расположены, как показано на рисунке 22-1, параллельно друг
другу на равных расстояниях. Пластинки Аи В, распо-
расположенные на расстоянии d, заряжены до напряжения U,
после чего отсоединены от источника напряжения.
Пластинки С и D не заряжены.
а) Каково напряжение между пластинка-
А С D В ми А и С, С и D, D и В? Какова напряжен-
напряженность поля в пространствах между ними?
б) Каковы будут ответы на те же вопросы,
после того как пластинки С и D соединяют
проводником и вновь разъединяют?
в) Ответьте на те же вопросы, если после
действий, описанных в пункте б), пластинки
Рис. 22-1 Аи В соединяют проводником и вновь разъе-
разъединяют.
г) Как изменятся ответы на вопросы, поставленные
в пунктах а), б) и в), если в случаях а) и б) пластинки
А и В будут поддерживаться при постоянном напряже-
напряжении, а в случае в) будут сначала отключены от источ-
источника напряжения и лишь потом соединены проводни-
проводником?
Ф 22-2. Металлическое тело помещено между плас-
пластинами заряженного плоского воздушного конденсато-
конденсатора. На поверхности тела образуются индуцированные
положительный и отрицательный заряды. После этого
пространство между пластинами заполняют керосином-
Изменяется ли величина индуцированных на теле заря-
зарядов, если: а) заряд конденсатора остается неизменным?
б) напряжение на конденсаторе поддерживается неиз-
неизменным?
d
§ 22. Проводники в электрическом поле 137
# 22-3. Два равных разноименных точечных заряда
расположены на некотором расстоянии друг от друга.
Укажите, как изменяются сила, действующая на заря-
заряды, и напряженность поля в различных точках в сле-
следующих случаях:
а) оба заряда окружают тонкими металлическими
изолированными оболочками, совпадающими с эквипо-
эквипотенциальными поверхностями;
б) эти оболочки соединяют проводником.
А 22-4. Заряд маленького шарика q = 1 ¦ 10~8 Кл; ша-
шарик находится на расстоянии а = 3 см от плоской метал-
металлической заземленной стенки. С какой силой они взаи-
взаимодействуют?
А 22-5. Покажите, что работа против электрических
сил при удалении точечного заряда от равного разно-
разноименного заряда в бесконечность в 4 раза больше рабо-
работы при удалении того же заряда в бесконечность от бес-
бесконечной проводящей стенки, расположенной на таком
же расстоянии, как и точечные заряды.
А 22-6. а) Точечные заряды qt = +2 ¦ 10~9 Кл и q2 =
= +1 • 10~9 К л находятся на расстоянии dx = 4,6 см друг
от друга. Между ними на равных от них расстояниях
помещена проводящая заземленная пластина толщиной
d2 = 2 см. Поверхности пластины перпендикулярны
прямой, соединяющей заряды. Определите силу, дейст-
действующую на пластину.
б) Как изменится ответ, если один из зарядов заме-
заменить равным ему по модулю отрицательным зарядом?
А 22-7. Небольшое облако, имеющее заряд q = 20 Кл,
находится на высоте h = 1 км над поверхностью Земли.
Считая Землю проводником, определите напряженность
поля вблизи поверхности Земли на расстоянии s = 3 км
от места, над которым находится облако. Кривизной по-
поверхности Земли пренебречь.
¦ 22-8. Точечный заряд q = 2 нКл находится на рас-
расстоянии а = 3 см от металлической заземленной стенки.
Найдите поверхностную плотность индуцированного за-
138 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
ряда на стенке: а) в точке, ближайщей к заряду; б) в
точке, находящейся на расстоянии г = 5 см от заряда.
Определите общий заряд, индуцированный на поверхно-
поверхности стенки.
® 22-9. В установках для улавливания пыли пропус-
пропускают воздух сквозь металлические трубы, по оси кото-
которых протягивается металлическая проволока. Между
проволокой и трубой создают сильное электрическое по-
поле, причем проволоке сообщают отрицательный потен-
потенциал, а трубу заземляют.
Как будут вести себя пылинки: а) незаряженные?
б) заряженные положительно или отрицательно?
А 22-10. Шар с острием А и полый стакан В (рис. 22-2),
помещенные на изолирующих подставках, заряжены
так, что их потенциалы одинаковы. Если касаться ме-
металлическим шариком С, помещенным на изолирующей
ручке, поочередно острия А и внутренней поверхности
стакана В, то заряд на шаре А будет уменьшаться, а на
стакане В увеличиваться, и энергия этой системы уве-
увеличится. За счет работы каких сил увеличивается энер-
энергия системы?
А 22-11. Батарея гальванических элементов Ш пита-
питает установку, показанную на рисунке 22-3. Между ме-
металлическими пластинками А и В находится изолиро-
изолированная металлическая пластинка С, толщина которой
значительно меньше расстояния АВ. Пластинка С каса-
касается В, затем равномерно движется к А, касается ее, за-
затем равномерно движется обратно к В и т. д. Промежут-
Промежутки времени, в течение которых пластинка С касается А
В
АСВ
Рис. 22-2 Рис. 22-3
§ 23. Диэлектрики в электрическом поле 139
и В (перезаряжается), равны 0,1 с. Промежутки време-
времени, в течение которых пластинка С движется от А к В
или обратно, равны 0,3 с. Заряд, переносимый плас-
пластинкой С, равен 3 • 10~п Кл. Начертить график зави-
зависимости силы тока, который идет по цепи, от времени.
¦ 22-12. Оси двух длинных металлических цилинд-
цилиндров образуют прямой угол (рис. 22-4). Расстояние меж-
между поверхностями цилиндров в точке на-
наименьшего расстояния Д = 0,1 см. Ради-
Радиусы цилиндров R1 = R2 = R = Ь см. Меж-
Между цилиндрами поддерживается разность
потенциалов U = 300 В. Определите силу
взаимного притяжения цилиндров. рис 22.4
Указание. Использовать условие Д«]?.
§ 23. Диэлектрики в электрическом поле
1) В диэлектрике электрическое смещение
D = е0Ё + Р,
где Р — электрическая поляризация, причем
Р = гохЁ
(здесь и — диэлектрическая восприимчивость). Очевидно,
е = 1 + и.
2) Связь между поверхностной плотностью at связан-
связанных зарядов на границе диэлектрик—проводник и по-
поверхностной плотностью а зарядов на проводнике:
3) Условия на границе раздела двух диэлектриков:
Е1Т = Е2Т> е1-Е1л = ЧЕ2п>
где Ехи Еп — тангенциальная и нормальная составляю-
составляющие напряженности.
4) Преломление линий напряженности на границе
раздела двух диэлектриков:
tga2
140 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
• 23-1. Определите диэлектрическую восприимчи-
восприимчивость стекла.
А 23-2. Определите плотность связанных зарядов на
поверхностях слюдяной пластинки толщиной 0,2 мм,
служащей изолятором в плоском конденсаторе, заряжен-
заряженном до напряжения 400 В.
А 23-3. У поверхности фарфора напряженность поля
в воздухе 200 В/см. Вектор напряженности образует с нор-
нормалью к поверхности угол 40°. Определите: а) угол меж-
между вектором напряженности поля и нормалью в фарфо-
фарфоре; б) напряженность поля в фарфоре; в) плотность свя-
связанных зарядов на границе фарфор — воздух.
¦ 23-4. В керосине на глубине h — 3 см от свободной
поверхности находится точечный заряд q = +20 нКл
(рис. 23-1). Определите плотность связанных зарядов на
поверхности керосина: а) над зарядом и б) на расстоя-
расстоянии г = 5 см от заряда. Определите общую величину
связанного заряда на поверхности керосина.
• 23-5. Начертите расположение линий индукции и
эквипотенциальных поверхностей (отличающихся на по-
постоянную разность потенциалов) в следующих случаях:
а) металлический шарик, заряженный положитель-
положительно, наполовину погружен в керосин;
б) между двумя пластинами заряженного плоского
конденсатора помещен, как показано на рисунке 23-2,
клин из парафина.
А 23-6. Две горизонтально расположенные пластины
имеют заряды, равные +2 • 10 7Кл и -2 ¦ 10Кл. Плас-
Пластины расположены так близко, что поле между ними
можно считать однородным. Нижняя пластина погруже-
погружена в жидкий диэлектрик (е = 3). Площадь каждой пласти-
-q
Рис. 23-1 Рис. 23-2
§ 24. Электроемкость 141
ны 300 см2. Определите силы, действующие на каждую
из пластин и на поверхность жидкости. Считать, что
жидкость смачивает пластину.
§ 24. Электроемкость
1) Заряд конденсатора электроемкостью С при напря-
напряжении U:
2) Электроемкости плоского, цилиндрического и сфе-
сферического конденсаторов:
п - ?osS п - 2л?°?' • г - 471?о?
Изолированный шар можно рассматривать как сфе-
сферический конденсатор, у которого R2 ~* °°.
3) При последовательном соединении конденсаторов
электроемкость батареи
С - 1С,;
при параллельном соединении
1
С =
vl
4) Энергия заряженного конденсатора
~2~ 2С'
5) Плотность энергии электрического поля
где Е — напряженность поля.
Ф 24-1. Существуют диэлектрики, электрическая
проницаемость которых зависит от напряженности поля
142 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
(например, кристаллы сегнетовой соли). Имеет ли место
у конденсаторов, в которых изолирующим слоем слу-
служат такие вещества, пропорциональность между разно-
разностью потенциалов и зарядом конденсатора?
# 24-2. До какого напряжения надо зарядить теле-
телефонный конденсатор электроемкостью 2 мкФ, чтобы на
нем находился такой же заряд, как на лейденской банке
электроемкостью 1 мкФ, заряженной до напряжения
30 000 В?
А 24-3. а) Покажите, что при малой толщине изоли-
изолирующего слоя электроемкость сферического конденсатора
можно рассчитывать по формуле электроемкости пло-
плоского конденсатора.
б) Приведите то же доказательство для цилиндриче-
цилиндрического конденсатора.
Указание. Принять во внимание, что In A + х) - х, если х < 1.
# 24-4. Лейденская банка имеет следующие разме-
размеры: наружный диаметр дна 15 см; высота обкладок 20 см;
толщина стекла 2 мм. Определите ее электроемкость,
пользуясь формулой для плоского конденсатора.
А 24-5. Два проводящих шарика различного диа-
диаметра приводят в соприкосновение и заряжают. Затем
их отводят на значительное расстояние. Имеют ли они
при этом одинаковые потенциалы?
# 24-6. Конденсатор состоит из трех полосок станиоля
площадью по 6 см2 каждая, разделенных двумя слоями
слюды по ОД мм толщиной. Крайние полоски станиоля
соединены между собой. Какова электроемкость такого
конденсатора?
Ш 24-7. Два одинаковых металлических диска диа-
диаметром 12 см расположены параллельно друг другу и
разделены парафинированной бумагой толщиной 0,2 мм.
Диски сдвинуты так, что центр одного из них находится
против края другого (рис. 24-1). Определите электроем-
электроемкость такой системы.
А 24-8. Вследствие повреждения конденсатора пере-
переменной электроемкости (рис. 24-2) с четным числом воз-
§ 24. Электроемкость
143
Рис. 24-1
Рис. 24-2
Рис. 24-3
душных промежутков между пластинами все подвиж-
подвижные пластины опустились настолько, что толщины сосед-
соседних промежутков относятся как 1 : 2 (рис. 24-3). Как
изменилась электроемкость конденсатора по сравнению
с начальной, соответствующей тому же положению го-
головки (то есть такому же расстоянию между крайними
пластинами)?
• 24-9. Конденсатор из оловянной фольги с диэлект-
диэлектриком в виде листа парафинированной бумаги покрывают
с одной стороны листком такой же бумаги и скручивают
его в трубку. Как изменится при этом электроемкость
конденсатора?
А. 24-10. Пластины плоского конденсатора присоеди-
присоединены к источнику тока напряжением 300 В. Пластины
сближаются со скоростью 1 мм/с. Какой ток течет по
подводящим проводам в тот момент, когда пластины на-
находятся на расстоянии 2 мм друг от друга? Площадь
каждой из пластин 400 см2.
А 24-11. Металлический шар (R = 3 см) опущен на-
наполовину в керосин. Какой заряд находится на шаре,
если он заряжен до потенциала ф = 1800 В?
¦ 24-12. а) Определите электроемкость конденсатора,
состоящего из двух шариков диаметром d = 1 см, цент-
центры которых находятся в воздухе на расстоянии I = 20 см
друг от друга, приняв, что заряды на их поверхностях
распределены равномерно.
б) Определите электроемкость конденсатора, состоя-
состоящего из такого же шарика и большой проводящей плас-
пластины, отстоящей на расстоянии I = 20 см от центра ша-
144
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
с3ф ф
Рис. 24-4
Рис. 24-5
Рис. 24-6
рика. Сравните с электроемкостью изолированного ша-
шарика такого же диаметра.
# 24-13. Батарея из двух последовательно соединен-
соединенных конденсаторов C00 и 500 пФ) заряжена до напря-
напряжения 12 000 В. Определите: а) напряжения на первом
и втором конденсаторах; б) заряд на обкладках каждого
из них.
А 24-14. Кружки из металлической фольги и пара-
парафинированной бумаги, толщиной по 0,1 мм каждый и
диаметрами 2, 3, 4, 5 и 6 см, наложены друг на друга,
как показано на рисунке 24-4 (черным показаны метал-
металлические кружки). Определите электроемкость такой
системы.
® 24-15. Параллельно одному из 5 последовательно
соединенных одинаковых конденсаторов подключен
статический вольтметр, электроемкость которого в два
раза меньше каждого из конденсаторов. Вольтметр по-
показывает 500 В. Найдите напряжение на батарее кон-
конденсаторов.
А 24-16. Пробивное напряжение для прессшпана
толщиной 1 мм равно 18 000 В. Два конденсатора с изо-
изолирующим слоем из такого прессшпана соединены по-
последовательно. Емкость первого конденсатора 1100 пФ,
второго — 400 пФ. Будет ли эта система пробита, если
подать на нее напряжение 30 000 В?
А 24-17. а) Каковы электроемкости батарей конден-
конденсаторов, соединенных по схемам, показанным на рисун-
рисунках 24-5 и 24-6?
§ 24. Электроемкость 145
б) Покажите, что электроемкости этих батарей рав-
С С
ны, если выполняется условие — = —- .
С3 С4
А 24-18. Определите электроемкость плоского кон-
конденсатора с площадью обкладок S — 200 см2. Между
обкладками находится стекло толщиной d1 = 1 мм, по-
покрытое с обеих сторон слоем парафина (толщина каждо-
каждого слоя d2 = 0,2 мм).
¦ 24-19. Определите электроемкости цилиндрических
конденсаторов, описанных в задаче 21-22, если длины
их равны 1 м.
И 24-20. а) Определите электроемкость конденсатора,
состоящего из двух проволок, описанных в задаче 21-23,
приняв длину проволок равной 9 км.
б) Как изменится электроемкость системы, описан-
описанной в пункте а), если одну из проволок заменить зазем-
заземленной широкой металлической пластиной той же дли-
длины? Пластина перпендикулярна плоскости, в которой
расположены проволоки.
• 24-21. Конденсатор электроемкостью 3000 пФ за-
заряжен до напряжения 20 000 В. Предполагая, что при
разряде 10% энергии рассеется в виде звуковых и элек-
электромагнитных волн, определите количество выделив-
выделившейся теплоты.
А 24-22. Батарея из п последовательно соединенных
конденсаторов заряжается (рис. 24-7, а), а затем при по-
помощи переключателя КК конденсаторы соединяются
параллельно (рис. 24-7, б).
а) Как изменится при этом энергия батареи, если
электроемкости конденсаторов: 1) одинаковы; 2) раз-
различны?
"В " [IF
б)
Рис. 24-7
146 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
б) Ответьте на те же вопросы для случая,
когда батарея заряжается при параллель-
11 \, ном соединении конденсаторов, а затем сое-
/ динение переводится в последовательное.
А 24-23. Имеется система конденсато-
ров, соединенных по произвольной схеме,
р - . _ внутри которой поставлен ключ К (при-
(пример такой схемы показан на рисунке 24-
8). Увеличится или уменьшится электроемкость систе-
системы, если замкнуть ключ К1
А 24-24. Плоский конденсатор имеет в качестве изо-
изолирующего слоя стеклянную пластинку толщиной d =
2 мм и площадью S = 300 см2. Конденсатор заряжен до
напряжения U — 100 В, после чего отключен от источ-
источника напряжения. Какую работу против электрических
сил необходимо совершить, чтобы вынуть стеклянную
пластинку из конденсатора? Трением пренебречь.
А 24-25. Пластины воздушного конденсатора имеют
площадь 300 см2 и отдалены друг от друга на расстоя-
расстояние 3 мм. Между ними находится металлическая плас-
пластинка такой же площади толщиной 1 мм, изолирован-
изолированная от земли. Конденсатор заряжен до напряжения 600 В
и отсоединен от источника напряжения. Какую работу
против электрических сил надо совершить, чтобы выта-
вытащить пластинку?
# 24-26. Как изменяется энергия конденсатора в сле-
следующих случаях:
а) электроемкость конденсатора уменьшают (раздви-
(раздвигая пластины или выдвигая диэлектрик) при сохране-
сохранении величины заряда (т. е. отсоединив от источника тока);
б) электроемкость конденсатора уменьшают при со-
сохранении напряжения (т. е. не отсоединяя от источника
тока)?
А 24-27. Внутренняя обкладка заряженной лейден-
лейденской банки соединяется с внутренней обкладкой такой
же незаряженной банки, причем заряд поровну распре-
распределяется на обеих банках. Покажите, что энергия при
этом убывает вдвое, и объясните это.
§ 24. Электроемкость 147
А 24-28. Воздушный конденсатор заряжают до неко-
некоторого напряжения и в заряженном состоянии заливают
керосином, при этом энергия конденсатора уменьшает-
уменьшается в е раз. Куда «исчезает» остальная энергия?
# 24-29. Диэлектрическая проницаемость вещества
заметно изменяется при повышении температуры
(обычно уменьшается). Предположим, что заряженный
конденсатор охлаждается, вследствие чего его электри-
электрическая энергия уменьшается. Куда «исчезает» энергия?
^ 24-30. Два конденсатора (Сх = 600 пФ и С2 =
= 1000 пФ) соединены последовательно. Батарею заря-
заряжают до напряжения U = 20 кВ. Затем конденсаторы не
разряжая соединяют параллельно. Какое количество
теплоты Q выделяется при этом?
А. 24-31. Два одинаковых воздушных конденсатора
(С = 900 пФ) заряжены до напряжения U = 900 В. Один
из конденсаторов в заряженном состоянии погружают в
керосин, после чего конденсаторы соединяют парал-
параллельно. Определите количество выделившейся теплоты Q.
А 24-32. Одна лейденская банка (Сх = 600 пФ) заря-
заряжена до напряжения Ul = 3000 В, другая банка (С2 =
= 800 пФ) — до напряжения U2 = -4000 В. Определите
изменение энергии при соединении их внутренних об-
обкладок.
Я 24-33. Электроемкость конденсатора, изображен-
изображенного на рисунке 24-2, меняется в пределах от С1 =
= 700 пФ (а = 0) до С2 = 20 пФ (а = я). Определите мо-
моменты электрических сил при углах поворота подвиж-
подвижных пластин а = 0,а=^,а = 71в следующих случаях:
а) вращение головки конденсатора производится пос-
после того, как конденсатор при а = 0 заряжен до U = 200 В
и отключен от источника напряжения;
б) вращение головки конденсатора производится при
присоединенном источнике напряжения (U = 200 В).
В 24-34. Батарея из п = 5 последовательно соединен-
соединенных лейденских банок электроемкостью С = 400 пФ каж-
148 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
дая поддерживается при постоянном напряжении U —
= 60 000 В. Одна из банок пробивается. Определите:
а) изменение энергии батареи; б) работу источника на-
напряжения.
^ 24-35. Принимая протон и электрон в атоме водо-
водорода за точечные заряды, находящиеся на расстоянии
5 • 10~9 см друг от друга, найдите плотность энергии
электрического поля посередине расстояния между ними.
^ 24-36. На проводящем шаре диаметром 6 см име-
имеется заряд 2 ¦ 10~8 Кл. Шар погружен в керосин и распо-
расположен на значительном расстоянии от стенок сосуда.
Определите плотность энергии электрического поля в точ-
точках, отстоящих от центра шара на расстояниях: а) 2 см;
б) 4 см.
Ш 24-37. Заряд q равномерно распределен по объему
шара радиусом R. Принимая диэлектрическую про-
проницаемость вещества шара и окружающей среды рав-
равной единице, определите: а) чему равна энергия элект-
электрического поля 1) внутри шара, 2) вне шара, 3) во всем
пространстве; б) каково изменение энергии при де-
делении заряженного шара на два равных заряженных
шара.
§ 25. Закон Ома
1) Сила тока
т =dq
где d<7 — заряд, протекший через сечение проводника за
время dt.
Если сила тока не меняется с течением времени, то
2) Плотность тока
1=1.
i = м
1 AS'
§ 25. Закон Ома 149
где Д/ — сила тока, проходящего через сечение провода
площадью AS. В случае, если плотность по всему сече-
сечению S проводника одинакова,
3) Сопротивление проводника длиной I и постоянным
сечением S
где р — удельное сопротивление материала провод-
проводника.
При расчете сопротивления проводника переменного
сечения нужно применять интегрирование.
4) Зависимость удельного сопротивления металла от
температуры t:
р = роA + at),
где р0 — удельное сопротивление металла при О °С; а —
температурный коэффициент сопротивления.
5) Закон Ома:
ТТ , \- QP
т __
T.R '
где U — напряжение на концах участка цепи, содержа-
содержащего электродвижущие силы, алгебраическая сумма ко-
которых ? IP, ? R — сумма сопротивлений всех частей уча-
участка. Для полной цепи G = 0.
6) Связь между напряженностью поля Е в проводни-
проводнике и плотностью тока j в нем:
где g = - — удельная проводимость. Это соотношение
Р
называют законом Ома в дифференциальной форме.
Примечание. Предполагается, что гальванические элемен-
элементы, упомянутые в задачах §§ 25—27, являются неполяризую-
щимися. В таких источниках при протекании тока не проис-
происходит изменения электродных потенциалов.
150 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
• 25-1. Какой заряд переносится через поперечное
сечение проводника в следующих случаях: а) сила тока
равномерно возрастает от нуля до 3 А в течение 10 с;
б) сила тока убывает от 18 А до нуля, причем за каждые
0,01 с она убывает вдвое?
Ф 25-2. Какова плотность тока в волоске лампы на-
накаливания, если сила тока 0,125 А и диаметр волоска
0,019 мм?
А 25-3. В электронной лампе ток течет от металличе-
металлического цилиндра к накаленной нити, расположенной по
его оси. Определите плотность тока вблизи цилиндра и
вблизи нити при условиях: сила тока 3 мА; длина нити
и длина цилиндра 2,5 см; диаметр нити 0,02 мм; диа-
диаметр цилиндра 1 см.
Ф 25-4. Требуется изготовить реостат сопротивлением
0,2 Ом. Материал — никелиновая лента толщиной 0,5 мм
и шириной 10 мм. Какой длины ленту надо взять?
• 25-5. Имеется моток медной проволоки площадью
поперечного сечения 0,1 мм2. Масса всей проволоки 0,3 кг.
Определите сопротивление проволоки.
А 25-6. Предположим, что в неограниченной среде,
удельное сопротивление которой равно р = 104Ом • см,
находится металлический шар диаметром d = 10 см. Ка-
Каково сопротивление системы шар — неограниченная
среда? (Таково же приблизительно сопротивление за-
заземления, выполненного в виде шара такого же диа-
диаметра, закопанного в почву с указанным удельным со-
сопротивлением.)
Ш 25-7. Следует ли при расчете сопротивления прово-
проводов, температура которых отлична от 0 °С, принимать
во внимание изменение их геометрических размеров
при нагревании?
• 25-8. Вольфрам имеет положительный, а уголь от-
отрицательный температурные коэффициенты. Для ламп
с вольфрамовым и с угольным волосками сравните:
а) изменения силы тока при включении; б) распределе-
распределения плотности тока в накаленных волосках.
§ 25. Закон Ома 151
# 25-9. Обмотка электромагнитов в динамомашине
сделана из медного провода и при температуре 10 °С
имеет сопротивление 14,2 Ом. После работы сопротив-
сопротивление обмотки увеличилось до 16,5 Ом. Какой при этом
стала температура обмотки?
А 25-10. Определите температурный коэффициент
провода, составленного из алюминиевой проволоки со-
сопротивлением 3 Ом и железной проволоки сопротивле-
сопротивлением 2 Ом, соединенных последовательно.
А 25-11. Угольный стержень соединен последовате-
последовательно с железным, имеющим такую же толщину. При
каком соотношении их длин сопротивление такой ком-
комбинации не зависит от температуры?
А 25-12. Подвижная катушка в вольтметре медная, а
добавочное сопротивление сделано из манганина, удель-
удельное сопротивление которого почти не зависит от темпера-
температуры. Пружинка, противодействующая вращению ка-
катушки, сделана из фосфористой бронзы. Температурный
коэффициент ее модуля упругости равен C = -0,0004 К.
При каком соотношении между сопротивлениями под-
подвижной катушки Rl и добавочным сопротивлением R2
показания вольтметра не зависят от температуры?
• 25-13. В установке, изобра-
женной на схеме рис. 25-1, электро-
электроемкость конденсатора С, в два раза
К2
больше электроемкости конденсато-
Cl C2
К *К
1 it L
ра С2, а сопротивление резистора Rt
в три раза больше сопротивления
резистора R2. Сопротивление бата-
батареи гальванических элементов нич- рис 25.1
тожно мало, ее электродвижущая
сила равна 60 В. Определите напряжения на конденса-
конденсаторах в следующих случаях: а) ключи К± и К2 замкну-
замкнуты; б) ключ К1 замкнут, а К2 разомкнут; в) ключ К1
разомкнут, а К2 замкнут.
^ 25-14. Какое напряжение можно подать на катуш-
катушку, имеющую w = 1000 витков медного провода со сред-
152 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
ним диаметром витков d — 6 см, если допустима плот-
плотность тока ./ = 2 А/мм2?
А 25-15. Если вольтметр соединить последовательно
с сопротивлением R = 10 000 Ом, то при напряжении
UQ = 120 В он покажет Ux = 50 В. Если соединить его
последовательно с неизвестным сопротивлением Rx, то
он при том же напряжении покажет U2 — 10 В. Опреде-
Определите это сопротивление.
• 25-16. Батарея из 50 последовательно соединенных
гальванических элементов дает ток во внешнюю цепь,
состоящую из железного провода длиной 20 км и пло-
площадью сечения 3 мм2 и прибора сопротивлением 90 Ом.
ЭДС и внутреннее сопротивление каждого из элементов
равны 1,4 В и 0,4 Ом. Определите силу тока.
9 25-17. К моменту окончания зарядки батареи ак-
аккумуляторов током 3 А присоединенный к ней вольт-
вольтметр показывал напряжение 4,25 В. В начале разрядки
той же батареи током 4 А вольтметр показывал напря-
напряжение 3,9 В. Ток, проходящий по вольтметру, пренебре-
пренебрежимо мал. Определите ЭДС и внутреннее сопротивление
батареи.
Ш 25-18. При силе тока 0,5 А напряжение на участке
цепи равно 8 В. При силе тока 1,5 А напряжение на том
же участке равно 20 В.
а) Какова ЭДС, действующая на этом участке?
б) Каково будет напряжение, если сила тока умень-
уменьшится до 0,1 А?
# 25-19. Гальванический элемент создает в провод-
проводнике сопротивлением 4 Ом силу тока 0,2 А. Если же со-
сопротивление проводника равно 7 Ом, то сила тока ока-
оказывается равной 0,14 А. Какой будет сила тока, если
элемент замкнуть накоротко?
А 25-20. Два гальванических элемента с ЭДС, равны-
равными Ш\ и Ш2> вольтметр с большим внутренним сопротив-
сопротивлением и шкалой, нуль которой находится на ее середи-
середине, и сопротивление R соединены по схеме, показанной
на рисунке 25-2. Сопротивление R и внутренние сопро-
§ 25. Закон Ома
153
Рис. 25-2
Рис. 25-3
тивления каждого из элементов равны между собой.
При разомкнутом ключе К стрелка вольтметра отклоня-
отклоняется вправо. При каком соотношении между Шх и W2
стрелка вольтметра при замкнутом ключе К: а) откло-
отклонится вправо? б) остановится на нуле? в) отклонится
влево?
А 25-21. Два гальванических элемента A и 2), два
вольтметра с большими внутренними сопротивлениями
и шкалами, нули которых находятся на их серединах, и
резистор сопротивлением R соединены по схеме, пока-
показанной на рисунке 25-3, а. При разомкнутом ключе К
вольтметры Vl и V2 показывают напряжения 1,8 В и
1,4 В, причем их стрелки отклонены вправо. При замы-
замыкании ключа К вольтметры показывают напряжения
1,4 В и 0,6 В при том же направлении отклонения стре-
стрелок. Что будут показывать вольтметры, если соединить
приборы по схеме 25-3, б и замкнуть ключ К1
^ 25-22. Несколько одинаковых гальванических эле-
элементов соединены, как показано на схеме (рис. 25-4),
проводами, сопротивление которых
ничтожно мало.
а) Какова разность потенциалов
между любыми точками соедини-
соединительных проводов, например между
точками An В или между точками
А и С?
б) Ответьте на тот же вопрос при
условии, что ЭДС элементов не рав-
равны и внутренние сопротивления
прямопропорциональны ЭДС.
154 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
в) Как изменится ответ на вопрос а), если элементы
будут обращены друг к другу одноименными полюсами?
^ 25-23. Какие заряды находятся на плоских электро-
электродах, опущенных в раствор медного купороса, если сила тока
/ = 0,5 А, а удельное сопротивление раствора р = 0,5 Ом • м?
Диэлектрическая проницаемость раствора е = 8.
А 25-24. Линии напряженности электрического поля
в проводниках, по которым течет ток, совпадают с ли-
линиями тока1. Как это согласовать с тем фактом, что в
тонком слое электролита (например, в плоской кювете)
линии тока от двух электродов в виде маленьких шари-
шариков расположены в этом слое, тогда как силовые линии
двух разноименных зарядов располагаются по всем на-
направлениям?
А 25-25. Ток идет по проводнику пере-
tlf^—"""—-у. .1 менного сечения (рис. 25-5). Одинако-
Одинаковы ли напряженности поля в местах с
Рис. 25-5 узким и широким сечениями? Чем это
объяснить?
А 25-26. Каким образом расположены линии напря-
напряженности внутри изогнутой стеклянной трубки с элект-
электролитом, по которому идет ток? Как расположены ли-
линии напряженности в проводе, завязанном узлом?
В 25-27. (Предварительно решить задачу 21-23.) В рас-
растворе медного купороса (р = 0,4 Ом • м) ток идет между
двумя медными проволоками, оси которых расположе-
расположены параллельно друг другу на расстоянии 13 см. Радиус
проволок 4 мм. Между проволоками поддерживается
напряжение 12 В.
а) Определите плотность тока: 1) на середине рас-
расстояния между проволоками; 2) в точке, отстоящей на
10 см от осей обеих проволок.
б) Определите силу тока, принимая, что длина прово-
проволок 15 см равна глубине слоя раствора и размеры сосуда
весьма велики.
1 Линия тока — это линия, касательная к которой в каж-
каждой точке совпадает с направлением вектора плотности тока.
§ 26. Разветвленные электрические цепи 155
И 25-28. Изолирующий слой плоского конденсатора
состоит из двух слоев толщинами dl и d2 c диэлектриче-
диэлектрическими проницаемостями е1 и е2- Диэлектрики имеют
удельные сопротивления рх и р2. Напряжение U на кон-
конденсаторе поддерживается постоянным.
а) Покажите, что при установившемся состоянии в слу-
е, р2
чае, если — Ф _ , на границе диэлектриков должны на-
Ч Pi
ходиться свободные заряды.
б) Вычислите поверхностную плотность этих зарядов
(для стекла рг = 2 • 1011 Ом • м; для керосина р2 = 5 х
х 1012Ом ¦ м), если dx = d2 = 3 мм и полное напряжение
на конденсаторе U = 15 000 В.
в) Объясните, почему в слоистых конденсаторах наб-
наблюдается явление «остаточного заряда» (заряда, появ-
появляющегося спустя некоторое время после разрядки кон-
конденсатора).
А 25-29. К конденсатору (С = 10 мкФ) присоединяют
аккумулятор с ЭДС Ш = 2 В через сопротивление R =
= 1000 Ом. Через какое время конденсатор будет заря-
заряжен до напряжения U = 1,98 В? Внутреннее сопротивле-
сопротивление аккумулятора пренебрежимо мало.
А 25-30. Плоский конденсатор с диэлектриком из
парафинированной бумаги (? = 2) через время t =
= 10 мин сохранил заряд q, равный 0,1 первоначального
заряда <70. Полагая, что утечка произошла только сквозь
парафинированную бумагу, вычислите ее удельное со-
сопротивление.
§ 26. Разветвленные электрические цепи
1) Сопротивление R участка цепи, содержащего па-
параллельно соединенные проводники, сопротивления ко-
которых Rt, рассчитывается по формуле:
R **Щ
156 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
2) Правила Кирхгофа.
Первое правило. В каждой точке разветвления прово-
проводов алгебраическая сумма сил токов равна нулю:
X/, = о.
Токи, идущие к точке разветвления, и токи, исходя-
исходящие из нее, следует считать величинами разных знаков.
Второе правило. Для произвольного замкнутого
контура проводников, входящих в состав разветвлен-
разветвленной цепи, алгебраическая сумма ЭДС, действующих в
контуре, равна алгебраической сумме произведений
сил токов в проводниках этого контура на их сопротив-
сопротивления:
X*. - Х'А-
Если при обходе контура источник проходят от отри-
отрицательного полюса к положительному, то его ЭДС сле-
следует считать положительной; в противном случае ее на-
надо считать отрицательной.
Если направление обхода совпадает с направлением
тока It, то слагаемое IlRl считается положительным. Ес-
Если же эти направления противоположны, то оно счита-
считается отрицательным.
3) Для вычисления сопротивления разветвленной це-
цепи проводников, не содержащей источников тока, мож-
можно к входным узлам цепи мысленно присоединить ис-
источник тока произвольной ЭДС с пренебрежимо малым
внутренним сопротивлением и рассчитать силу тока /,
текущего в этом случае через источник. Тогда сопротив-
сопротивление цепи
# 26-1. Потребитель имеет 20 лампочек сопротивле-
сопротивлением по 48 Ом и 100 лампочек сопротивлением по 288 Ом
каждая. Лампочки соединены параллельно. Определите
сопротивление цепи потребителя.
§ 26. Разветвленные электрические цепи
157
В
Рис. 26-1
Рис. 26-2
• 26-2. Определите электрическое сопротивление це-
цепи проводников, показанной на рисунке 26-1, если со-
сопротивление каждого из звеньев цепи равно 1 Ом. Рас-
Рассмотрите два случая, когда ток течет: а) от точки А к
точке В; б) от точки С к точке D.
А 26-3. Требуется подобрать для схем, показанных на
рисунках 26-2 и 26-3, такие сопротивления резистора R,
чтобы при замкнутом ключе К1 и разомкнутом ключе К2
амперметр показывал такую же силу тока, как при зам-
замкнутом ключе К2 и разомкнутом ключе Kv Сопротивле-
Сопротивления источника тока и амперметра ничтожно малы.
# 26-4. К гальванометру, сопротивление которого
290 Ом, присоединили шунт, понижающий чувстви-
чувствительность гальванометра в 10 раз. Какое сопротивление
надо включить последовательно с шунтированным галь-
гальванометром, чтобы общее сопротивление осталось неиз-
неизменным?
^ 26-5. Для определения неизвестного сопротивле-
сопротивления R собирают цепь, схема которой показана на
рис. 26-4. Амперметр показывает силу тока / = 0,32 А,
вольтметр — напряжение U = 9,6 В. Со-
Сопротивление амперметра RA — 0,03 Ом.
а) Определите относительную по-
погрешность х, которую допускают, вы-
вычисляя сопротивление R без учета со-
сопротивления амперметра.
б) Произведите тот же расчет при ус-
условии, что I = 7 А и U = 2,1 В. Рис. 26-4
158
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
К
Rl R2
В
Рис. 26-6
А 26-6. Для определения неизвестного сопротивле-
сопротивления R собирают цепь, схема которой изображена на
рис. 26-5. Амперметр показывает силу тока I = 2,40 А,
вольтметр — напряжение U = 7,20 В. Сопротивление
вольтметра Rv = 1000 Ом.
а) Определите относительную ошибку х, которую до-
допускают, вычисляя сопротивление R без учета тока,
идущего через вольтметр.
б) Произведите тот же расчет при условии, что I =
= 24 мА, U = 7,20 В.
А 26-7. При включении приборов по схеме, изобра-
изображенной на рисунке 26-5, амперметр показывает силу то-
тока 1Х = 2,06 А, а вольтметр — напряжение 17г = 49,6 В.
При включении тех же приборов по схеме, изображен-
изображенной на рисунке 26-4, амперметр показывает 12 = 1,94 А,
а вольтметр — U2 = 50 В. Определите сопротивление R.
Напряжение, даваемое источником тока, является посто-
постоянным.
А 26-8. На рисунке 26-6 показана схема соединений
катушки К амперметра и шунтов Rl и R2. Если вклю-
включить амперметр в цепь, пользуясь клеммами А и Л, то
цена деления циферблата амперметра равна 0,1 А. Если
пользоваться клеммами Аи С, то цена деления равна
0,02 А. Какова цена деления, если пользоваться клем-
клеммами В и С?
А 26-9. На коробке амперметра, кроме клемм М и N
для присоединения к цепи, имеются 4 клеммы, распо-
§ 26. Разветвленные электрические цепи
159
м
о
ff
%
N
о
ложенные, как показано на рисунке 26-7. В паспорте
прибора указано, что при соединении этих клемм пере-
перемычками по схеме / вся шкала амперметра соответству-
соответствует 3 А; при соединении тех же клемм по схеме II вся
шкала соответствует 1,5 А. Внутри прибора имеются ре-
резисторы Rv R2 и R3, соединенные с катушкой К прибора
по схеме III, причем Rl = R2.
а) Какой силе тока будет соответствовать вся шкала,
если удалить перемычки между клеммами А, Б, С и D?
б) Каким должно быть отношение п сопротивлений
i?x и R2, чтобы при удалении перемычек вся шкала соот-
соответствовала 1,2 А?
® 26-10. Для определения места, где один из про-
проводов двужильного кабеля вследствие повреждения
оказался заземленным, ис-
используют установку, схема
которой приведена на рисун-
рисунке 26-8. АВ — струна, по ко-
которой можно передвигать
контакт К. Определите место
повреждения кабеля, если
стрелка гальванометра G не
отклоняется, когда контакт К
находится на расстоянии Zx =
= 41 см от конца В. Длина
струны I = 100 см; длина ка-
кабеля 7,8 км.
160
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Рис. 26-9
Ш 26-11. а) Чему равно сопротив-
сопротивление проволочного каркаса в виде
прямоугольника ACBD с диаго-
В налью АВ (длины сторон а и Ь), ес-
если ток идет от точки А к точке В
(рис. 26-9)? Сопротивление едини-
единицы длины проволоки равно у.
б) Дайте ответ на тот же вопрос, если ток идет от точ-
точки С к точке D.
А 26-12. Человек, стоя на земле, касается оголенно-
оголенного участка одного из проводов магистрали, напряжение
между проводами которой U = 600 В. Какой ток прой-
пройдет через тело человека, если сопротивление R тела
человека (главным образом кожи в месте соприкоснове-
соприкосновения) в случае сухой кожи оценивается в 50 000 Ом, со-
сопротивление изоляции между тем проводом, к которому
прикоснулся человек, и землей Rx = 50 000 Ом, сопро-
сопротивление изоляции между другим проводом и землей
R2 = 400 000 Ом? Сопротивлением земли можно пренеб-
пренебречь.
А 26-13. Для определения сопротивления изоляции
в проводах, находящихся под напряжением, вольтмет-
вольтметром с большим внутренним сопротивлением Rv измеря-
измеряют напряжения: 1) между первым и вторым проводами
(?/); 2) между первым проводом и землей (t/x); 3) между
вторым проводом и землей (U2)- Чему равны сопротив-
сопротивления изоляции первого (Ry) и второго (Д2) проводов по
отношению к земле, если Rv =
= 20 000 Ом, U = 120 В, Ux = 8 В,
и2 = ю в?
А. 26-14. Два вольтметра VI и
V2 внутренними сопротивлениями
6000 Ом и 4000 Ом соединены после-
последовательно. Параллельно к ним вклю-
включено сопротивление R = 10 000 Ом.
На эту систему подано напряжение
U = 180 В (рис. 26-10).
R3
Рис. 26-10
—t
0 TJ °г
I
X
м)—
§ 26. Разветвленные электрические цепи 161
а) Что показывают вольтметры, когда ключ К
разомкнут?
б) Каковы показания вольтметров, когда ключ К замк-
замкнут, а движок D соединен с серединой сопротивления 2??
в) Движок D двигают до тех пор, пока показания
вольтметров не сравняются между собой. В каком отно-
отношении R± : R2 делит движок D сопротивление R?
А 26-15. На рисунке 26-11
изображена схема потенциомет-
потенциометра, с помощью которого можно
менять напряжение Uv приходя-
приходящееся на прибор М. Потенцио-
Потенциометр находится под напряжени-
напряжением U. Полагая сопротивление при-
прибора М равным г и сопротивление
потенциометра равным R, опреде- рис 1
лите U1 как функцию расстояния
х движка потенциометра от одного из его концов.
Исследуйте случаи: а) х = 0; б) х = I; в) х = - ; г) г S> R.
Ш 26-16. Генератор постоянного тока с ЭДС 12 В и
внутренним сопротивлением 0,2 Ом заряжает батарею
аккумуляторов с ЭДС 10 В и внутренним сопротивлени-
сопротивлением 0,6 Ом. Параллельно батарее включена лампочка со-
сопротивлением 3 Ом. Определите силу тока в батарее ак-
аккумуляторов и лампочке.
Ш 26-17. Три гальванических элемента с ЭДС 1,3 В,
1,4 В и 1,5 В и внутренними сопротивлениями по
0,3 Ом каждый соединены параллельно друг другу и
замкнуты на внешнее сопротивление 0,6 Ом. Определи-
Определите силу тока в каждом элементе.
Ш 26-18. Три гальванических элемента и три вольт-
вольтметра соединены по схеме, показанной на рисунке 26-12.
Электродвижущие силы гальванических элементов равны:
<?х = 1 В; f2 = 2 В; f3 = 1,5 В. Сопротивления вольт-
вольтметров VI, V2, V3 соответственно равны Rt = 2000 Ом,
i?2 = 3000 Ом, R3 — 4000 Ом. Сопротивления элементов
ничтожно малы.
в 9038
162
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Рис. 26-12
а) Каковы показания вольтметров VI, V2, V31
б) Чему равно напряжение между узлами А и В
схемы рис. 26-12?
@ 26-19. Гальванические элементы с ЭДС 1,6 В,
1,4 В и 1,1В соединены параллельно и замкнуты на
внешнее сопротивление 1 Ом. Чему равны их внутрен-
внутренние сопротивления, если силы токов через элементы
равны соответственно 0,8 А, 0,6 А и -0,2 А?
Ф 26-20. Три гальванических элемента (Ш'1 = 1,3 В,
^2 = 1,5В, ^з = 2 В; г1 — г2 = г3 = 0,2 Ом) включены,
как показано на рисунке 26-13. Сопротивление R =
0,55 Ом. Определите силы токов 11, 12 и 13 в элементах.
А 26-21. На схеме, показанной на рисунке 26-14,
сопротивления резисторов
= 2?2 = Щ = Д4 = 1000 Ом,
Ш\ = 1,5 В, ^2 = 1,8 В. Определите силы токов в резисторах.
А 26-22. Для измерений разности температур с по-
помощью термопары иногда применяют схему, показан-
показанную на рисунке 26-15. Меняя сопротивление высокоом-
с
С
\
?1 R1
R4
J
R2 %
=н
\R3
Рис. 26-14
Рис. 26-15
§ 26. Разветвленные электрические цепи 163
ного реостата Rv добиваются того, чтобы стрелка галь-
гальванометра G стояла на нуле. Определите разность
температур А* между спаями термопары 1 и 2 при таких
данных: R — 0,1 Ом; внутреннее сопротивление вольт-
вольтметра Rv= 50 Ом; показание вольтметра при отсутствии
тока через гальванометр U = 0,07 В; коэффициент тер-
термоэлектродвижущей силы термопары (медь — констан-
тан) равен е = 4,4 • 10~5 В/К.
А 26-23. Батарея из 400 элементов, каждый с элек-
электродвижущей силой 2 В и внутренним сопротивлением
0,1 Ом, замкнута на внешнее сопротивление 10 Ом. Тре-
Требуется составить смешанную батарею из такого числа пх
параллельных групп, каждая из которых содержит п2
последовательно соединенных элементов, чтобы сила тока
была максимальной. Определите числа пх и п2.
А 26-24. Два гальванических элемента с электродви-
электродвижущими силами %х и 1?2 и внутренними сопротивле-
сопротивлениями гх и г2 соединены параллельно. Сила тока во
внешней цепи I, сопротивление внешней цепи R.
а) Определите силы токов в элементах 1Х и 12 и силу
тока / как функции &'l, l?2, rlt r2 и R.
б) Определите внутреннее сопротивление г и электро-
электродвижущую силу Ш элемента, эквивалентного данной ба-
батарее. Рассмотрите частные случаи: 1) Йг^ = |?2; 2) гх = г2.
в) Определите силы токов в элементах при коротком
замыкании батареи.
г) Найдите условия, при которых второй элемент не
будет работать.
д) При каком значении R силы токов в элементах
равны? Всегда ли это возможно?
А 26-25. Имеется гальванический элемент Грене, в
котором поляризацию электродов можно считать устра-
устраненной. Элемент замкнут на амперметр А, сопротивление
которого мало по сравнению с внутренним сопротивлени-
сопротивлением элемента (рис. 26-16, а). Как изменится показание
амперметра, если в элемент опустить (рис. 26-16, б, в)
164
Главо 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Рис. 26-16
Вг Bi
Рис. 26-17
цинковый и угольный электроды небольшого размера,
соединенные проводником малого сопротивления?
А 26-26. Определите сопротивление разветвленной
цепи, изображенной на рисунке 26-17. Сопротивление
каждого из проводников (А^А^, АхАг и т. д.) равно 1 Ом.
§ 27. Работа и мощность тока
1) Работа, производимая электрическими силами на
участке цепи, напряжение на котором U, при силе тока
I в течение времени t
t
А= jUIdt.
о
Если I и U постоянны, то
А = Ult.
2) Мощность тока
P = UI.
3) Количество теплоты, выделяющейся за время t на
участке цепи сопротивлением R, по которому идет ток /,
независимо от наличия или отсутствия ЭДС на рассмат-
рассматриваемом участке,
Q = I2pt.
® 27-1. На рисунках 27-1 и 27-2 показаны два спосо-
способа включения ваттметра в цепь. Докажите, что в первом
§ 27. Мощность и работа тока 165
случае показание ваттметра больше измеряемой величи-
величины на величину мощности, поглощаемой в толстой об-
обмотке, а во втором — на величину мощности, поглощае-
поглощаемой в тонкой обмотке.
• 27-2. Сколько ламп мощностью Р = 300 Вт каж-
каждая, рассчитанных на напряжение U = 110 В, можно ус-
установить в здании, если ток от магистрали к зданию под-
подводится по медному проводу длиной I = 100 м и сечени-
сечением S = 9 мм2 и если напряжение в магистрали
поддерживается равным Uo = 122 В?
Ш 27-3. Определите массу т медного провода, необ-
необходимого для устройства проводки длиной I — 5 км. На-
Напряжение на шинах электростанции Uo ~ 240 кВт. Пе-
Передаваемая потребителю мощность Р = 60 кВт. В про-
проводке допускается потеря напряжения р = 8%.
Ш 27-4. Как изменится температура медного стерж-
стержня, если по нему в течение 0,5 с пройдет ток, плотность
которого равна 9 А/мм2? Считать, что передача теплоты
окружающим телам отсутствует.
А 27-5. Батарея состоит из га = 5 последовательно со-
соединенных элементов с ЭДС I? = 1,4 В и внутренним со-
сопротивлением г = 0,3 Ом каждый.
а) При какой силе тока полезная мощность батареи
равна 8 Вт?
б) Чему равна наибольшая полезная мощность батареи?
^ 27-6. Ток от магистрали к потребителю подводится
по медному проводу длиной 49 м и площадью сечения
2,5 мм2. Напряжение в магистрали равно 120 В. Потреби-
Потребитель намеревается сделать электрическую печь мощнос-
мощностью 600 Вт. Каким должно быть сопротивление печи?
Рис. 27-1 Рис. 27-2
166 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
А 27-7. Определите работу тока на участке, не со-
содержащем источников ЭДС и имеющем сопротивление
R = 12 Ом, если сила тока в течение времени t = 5 с рав-
равномерно увеличивалась от 1г = 2 А до /2 = 10 А.
# 27-8. Определите работу электрических сил и ко-
количество теплоты, выделяемое в течение 1 с:
а) в проводе, по которому идет ток 1 А; напряжение
на концах провода равно 2 В;
б) в аккумуляторе, который заряжается током 1 А; на-
напряжение на полюсах аккумулятора равно 2 В; ЭДС ак-
аккумулятора равна 1,3 В;
в) в батарее аккумуляторов, которая дает ток 1 А на
внешнее сопротивление; напряжение на полюсах акку-
аккумулятора равно 2 В; ЭДС батареи равна 2,6 В.
А 27-9. Батарея аккумуляторов, ЭДС которой I? =
= 12 В, заряжается при напряжении U = 12,5 В током
1г — 3 А. Принимая, что внутреннее сопротивление при
зарядке и разрядке одинаково и что аккумулятор отдает
г|0 = 70% прошедшего через него при заряде электриче-
электричества, определите КПД г\ аккумулятора: а) при разрядке то-
током 12 = 3 А; б) при разрядке током 13 = 0,3 А.
А 27-10. По проводу сопротивлением R = 6 Ом прошел
заряд д = 30 Кл. Определите количество теплоты, выде-
выделенное в проводе в следующих случаях:
а) по проводу в течение т = 24 с протекал постоянный
ток;
б) сила тока в проводе равномерно убывала до нуля
в течение т = 24 с;
в) сила тока в проводе убывала до нуля таким обра-
образом, что за каждые т = 24 с она уменьшалась вдвое.
® 27-11. Сопротивление обмотки электрочайника
16 Ом. Определите промежуток времени, за который за-
закипит в нем вода массой 600 г, имеющая начальную
температуру tl = 10 °С, если КПД 60% и напряжение в
сети 120 В.
Ш 27-12. Сколько витков никелиновой проволоки на-
надо навить на фарфоровый цилиндр диаметром 1,5 см,
§ 27. Мощность и работа тока 167
чтобы сделать кипятильник, которым в течение 10 мин
можно вскипятить 120 г воды при начальной температу-
температуре 10 °С? КПД принять равным 60%. Диаметр проволо-
проволоки 0,2 мм; напряжение в сети 100 В.
Ш 27-13. Нагреватель электрического чайника имеет
две секции. При включении одной он закипает через
10 мин, при включении другой — через 20 мин. Через
какое время он закипит, если включить обе секции:
а) последовательно? б) параллельно? Напряжение в сети,
КПД чайника, количество воды и начальную температу-
температуру в обоих случаях считать одинаковыми.
¦ 27-14. Если напряжение в сети {7Х = 120 В, то вода в
электрическом чайнике закипает через хх = 20 мин. Если
же напряжение в сети U2 = НО В, то при той же началь-
начальной температуре такое же количество воды закипает че-
через т2 = 28 мин. Предполагая, что потери теплоты от
чайника в окружающее пространство пропорциональны
времени нагревания, рассчитайте, через какое время т3
закипит вода в чайнике при напряжении в сети Us =
= 100 В.
А 27-15. Гальванический элемент внутренним сопро-
сопротивлением г замыкают поочередно двумя проводниками
сопротивлениями Rl и R2. В каком соотношении нахо-
находятся Rlt R2 и г, если за одно и то же время:
а) в проводниках Rl и R2 выделяется одно и то же ко-
количество теплоты;
б) в проводнике с меньшим сопротивлением выделя-
выделяется больше теплоты?
^ 27-16. Ток идет от медной
трубки радиусом г = 2 мм к медной
трубке радиусом R = 4 см по пло-
плоской алюминиевой фольге толщи-
толщиной d = 0,1 мм (рис. 27-3). Какое
количество теплоты выделяется в
алюминиевой фольге за время t =
= 0,5 с, если сила тока I = 5 А? ?ис- 27-3
168 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Ш 27-17. К концам свинцовой проволочки длиной
I = 5 см и диаметром d — 0,2 мм приложено напряжение
17= ЮОВ.
а) Через какой промежуток времени т проволочка
начнет плавиться? Температура плавления свинца
t = 327 °С, начальная температура проволочки 0 °С.
Пренебречь потерей теплоты во внешнее пространство и
изменением теплоемкости свинца при нагревании.
б) Какой промежуток времени пройдет до начала
плавления проволочки, если по ней идет ток I = 50 А?
Ш 27-18. Свинцовая проволочка диаметром dx = 1 мм
в плавком предохранителе расплавляется при длитель-
длительном прохождении тока, сила которого не меньше 1Х =
= 8 А. Определите, при какой силе тока 12 расплавится
проволочка диаметром d2 = 2 мм. Считать, что прово-
проволочка достаточно длинная, так что можно пренебречь
охлаждением у ее зажимов, и что потеря теплоты прово-
проволочкой в окружающее пространство прямо пропорци-
пропорциональна поверхности проволочки.
Ш 27-19. Электрическая лампочка мощностью Рх =
= 50 Вт, рассчитанная на напряжение Ux = 120 В,
имеет волосок диаметром поперечного сечения dl =
= 0,044 мм и длиной I = 612 мм. Определите, какой
диаметр d2 и какую длину 12 должен иметь волосок
лампочки мощностью Р2 = 15 Вт, рассчитанной на на-
напряжение U2 = 220 В. Пренебречь потерями теплоты
вследствие теплопроводности крючков, поддерживаю-
поддерживающих волосок. Волосок рассматривать как круглый ци-
цилиндр. Считать температуру накала в обоих случаях
одинаковой.
¦ 27-20. Для накала нити электронной лампы требу-
требуется напряжение 3,8 В при силе тока в нити 0,65 А.
Вследствие испарения материала нити ее диаметр
уменьшился на 10%. Какое требуется напряжение, что-
чтобы поддержать температуру накала прежней? Какова
при этом сила тока в нити?
§ 28. Электронные явления в металлах
169
D
Рис. 27-4
8 27-21. Покажите, что
удлинение накаливаемой
током проволоки прямо
пропорционально квадрату
силы тока, принимая, что:
1) охлаждение накаливаемой
проволоки в воздухе прямо "*
пропорционально разности
температур проволоки и -
воздуха; 2) изменение ее со-
сопротивления с температу-
температурой незначительно.
И 27-22. На рисунке 27-4 изображена схема теплово-
теплового ваттметра. Тонкая проволока АВ, накаливаемая то-
током, перекинута через блок С, оттягиваемый кверху
пружинкой (не показанной на рисунке). Докажите, что
угол поворота стрелки D прямо пропорционален мощ-
мощности тока Р.
§ 28. Электронные явления в металлах
1) При решении задач, помещенных в этом парагра-
параграфе, используется представление, что некоторая часть
электронов свободно перемещается внутри металла и
что к ним применимы соотношения кинетической те-
теории газов. Следует помнить, что все результаты, полу-
полученные на основании этих представлений, являются
лишь первым приближением к действительности.
2) Плотность тока в металле
j = nev,
где п — концентрация носителей тока (в случае метал-
металла — свободных электронов); е — заряд электрона; v —
средняя скорость упорядоченного движения электронов
(средняя скорость дрейфа).
3) Между двумя металлами Аи В, имеющими одина-
одинаковую температуру Т и соединенными между собой или
непосредственно, или посредством иных металлов, име-
имеется разность потенциалов Й?^, зависящая от природы
170 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
металлов и их общей температуры, но не зависящая от
природы и температуры промежуточных металлов (кон-
(контактная ЭДС).
4) При прохождении по цепи заряда q, помимо тепла
Джоуля—Ленца, в контактах различных металлов и
между сечениями проводов, отличающихся по темпера-
температуре, выделяется или поглощается количество теплоты,
равное <??q, где $? — соответствующая контактная ЭДС.
5) Плотность тока эмиссии электронов в вакууме
(формула Дешмана)
где В — эмиссионная постоянная; Т — температура
металла; А — работа выхода электрона из металла; k —
постоянная Больцмана.
А 28-1. Определите импульс электронов р, соответст-
соответствующий силе тока I = 400 А в прямом проводе длиной
1= 10 км.
Ш 28-2. Принимая, что на каждый атом меди прихо-
приходится один свободный электрон, сделайте следующие
расчеты для медного провода длиной 15 км, сечением
1 мм2, по которому идет ток при напряжении 7 В:
а) определите время, необходимое для перемещения
свободного электрона от одного конца провода до другого;
б) найдите сумму электрических сил, действующих
на все свободные электроны в проводе.
А 28-3. Предполагая, что свободные электроны вну-
внутри вращающегося металлического тела перемещаются
от оси вращения к периферии до тех пор, пока центро-
центробежная сила инерции не уравновесится электрической
силой, определите разность потенциалов между цент-
центром и окружностью вращающегося металлического дис-
диска. Диаметр диска 5 см, частота вращения 1200 мин.
Ш 28-4. Катушка содержит 590 витков медного про-
провода диаметром 0,3 мм. Диаметр витков равен 14 см.
Катушка может вращаться вокруг своей оси, причем ее
§ 28. Электронные явления в металлах 171
концы соединены с баллистическим гальванометром.
Когда вращающаяся катушка резко тормозится, гальва-
гальванометр дает отброс. Какой заряд пройдет по цепи при
торможении катушки, если сопротивление гальваномет-
гальванометра вместе с сопротивлением контактов и проводов равно
130 Ом? Частота вращения катушки 33 с.
А 28-5. Какой наибольший заряд протечет по цепи,
состоящей из термопары медь — платина и некоторого
резистора, при поглощении горячим контактом 4,185 Дж
теплоты? Температура горячего контакта 100 °С. Кон-
Контактная ЭДС Ш = 0,76 мВ.
• 28-6. Наэлектризованная пылинка может быть
уравновешена в электрическом поле; между тем сила
тяжести действует на все частицы пылинки, а электри-
электрическое поле — лишь на имеющиеся на ней избыточные
электроны. Каким образом достигается равновесие пы-
пылинки?
А 28-7. При приближении отрица-
отрицательно заряженной палочки к накален-
накаленному волоску электрической лампочки
волосок притягивается (рис. 28-1). Если
же приблизить положительно заряжен-
заряженную палочку, то волосок остается без Рис. 28-1
движения и притягивается лишь в мо-
момент удаления положительного заряда. Если накал лам-
лампы очень слабый, то волосок притягивается и к положи-
положительному, и к отрицательному зарядам. Если накал
лампы достаточно сильный, то волосок остается в покое
при приближении любого заряда.
Объясните эти явления, принимая во внимание явле-
явление термоэлектронной эмиссии, а также учитывая, что
в колбе лампы имеется незначительное количество газа.
А 28-8. Какова работа выхода из металла, если при
повышении температуры нити накала, сделанной из
этого металла, от 2000 до 2001 К сила тока насыщения
в электронной лампе увеличивается на 1 % ?
А 28-9. Определите силу тока насыщения в элек-
электронной лампе с вольфрамовым катодом, если длина и
172 Главо 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
диаметр нити накала соответственно равны 3 см и
0,1 мм; температура накала 2700 К; эмиссионная посто-
постоянная для вольфрама В = 60,2 А/(см2 • К2).
А 28-10. Вольфрамовая нить, служащая катодом в
электронной лампе, накаливается током 1,9 А до неко-
некоторой темпертуры. На сколько вольт надо повысить на-
напряжение на этой нити, чтобы при анодном токе 0,1 А
температура нити осталась такой же, как и при отсутст-
отсутствии анодного тока?
§ 29. Электрический ток в газах
1) Работа ионизации молекулы газа
А = фе,
где ф — потенциал ионизации молекулы данного газа; е —
элементарный заряд.
2) Скорости v и и положительных и отрицательных
ионов в электрическом поле напряженностью Е связаны
с их подвижностями k+ и k_ соотношениями:
v = k+E; и = к_Е.
3) Плотность тока при концентрации ионов п (насы-
(насыщение не имеет места)
} = en(k+ + k_)E.
4) Плотность тока насыщения между плоскими
электродами, отстоящими друг от друга на расстоянии d,
j = eNd,
где N — число пар ионов, образуемых ионизатором в еди-
единице объема газа за 1 с.
5) Число пар ионов, рекомбинируюших за 1 с в
единице объема газа, свободного от пылинок,
An = an2,
где а — коэффициент рекомбинации, п — концентра-
концентрация ионов.
При наличии в газе частиц пыли, дыма и т. п. ре-
рекомбинация в значительной мере происходит на них. В
§ 29. Электрический ток в газах
173
таком случае число пар ионов, рекомбинирующих за
1 с в единице объема, можно считать пропорциональ-
пропорциональным п:
An = Рп.
6) Средняя продолжительность существования иона
"я-
® 29-1. При какой относительной скорости молекул
кислорода может произойти при соударении однократ-
однократная ионизация одной из них?
Указание. При решении этой и последующих задач следует
принять во внимание, что ионизация происходит при неупру-
неупругом ударе молекул.
А 29-2. а) Молекула кислорода ионизируется ударом
электрона. Какую ускоряющую разность потенциалов
прошел электрон, вызвавший ионизацию, если его на-
начальная скорость мала? Скорость ионизируемой моле-
молекулы перед ударом также считать малой.
б) Ответьте на тот же вопрос в случае ионизации мо-
молекулы ионом, масса которого вместе с «прилипшими»
молекулами в п = 4 раза больше массы молекулы кисло-
кислорода.
• 29-3. На рисунке 29-1 изображена схема опыта
по стеканию зарядов с острия. Против заряженного
острия находится узкая поло-
полоска папиросной бумаги, верх-
верхний конец которой прикреплен
к штативу, отведенному к зем-
земле. При медленном повышении
напряжения между острием и
землей полоска сначала притя-
притягивается к острию, затем при
некотором определенном для
данного острия напряжении
резко отталкивается. Объясни-
Объясните эти явления. Рис. 29-1
К источнику
высокого напряжения
174 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
А 29-4. Предположим, что два иона движутся в газе
вокруг их общего центра масс, причем общая кинетиче-
кинетическая энергия их движения равна средней энергии посту-
поступательного движения молекул окружающего газа. Чему
равно расстояние г между ними при О °С?
# 29-5. Воздух, заключенный между двумя пласти-
пластинами площадью 300 см2 каждая, находящимися на рас-
расстоянии 2 см друг от друга, ионизируется рентгеновски-
рентгеновскими лучами. При напряжении 150 В, значительно мень-
меньшем, чем напряжение, дающее ток насыщения, между
пластинами идет ток 4 ¦ 10~6А. Определите концентра-
концентрацию ионов между пластинами.
Ф 29-6. Концентрация ионов, обусловливающих про-
проводимость атмосферного воздуха, в среднем равна
700 см. Среднее значение напряженности электриче-
электрического поля Земли равно 130 В/м. Вычислите плотность
тока проводимости в атмосфере.
9 29-7. Воздух между двумя пластинами конденсато-
конденсатора ионизируется. Сила тока насыщения между ними
равна 2 • 10~10 А. Площадь каждой из пластин 100 см2,
расстояние между ними 0,5 см. Определите число пар
ионов, образующихся за 1 с в 1 см3 воздуха.
А 29-8. Ионы в газе рекомбинируют при столкнове-
столкновении друг с другом. Оцените, во сколько раз число
столкновений ионов воздуха в единице обема за едини-
единицу времени вследствие их электрического взаимодейст-
взаимодействия больше, чем число столкновений незаряженных
молекул при такой же концентрации. Температура
воздуха 17 °С, диаметр молекул воздуха принять рав-
равным о = 3 • 10~10 м. Коэффициент рекомбинации а =
= 1,6- 10-12m3'C4.
^ 29-9. Число пар ионов, образующихся в 1 см3 воз-
воздуха за 1 с, принимают равным над океанами вдали от
суши около 1 (действие космического излучения), над
сушей — в среднем около 8 (действие космических лу-
лучей и радиоактивных веществ в воздухе и почве). Воз-
Воздух над океаном можно считать свободным от пыли; а =
§ 29. Электрический ток в газах 175
= 1,6 • 10~6 см3 -с. Воздух над сушей загрязнен пылью;
Р = 0,01 с.
а) Вычислите концентрацию ионов над океаном и над
сушей.
б) На сколько за время своего существования пере-
переместятся в вертикальном направлении положительные
и отрицательные ионы в воздухе над океаном и над су-
сушей, если напряженность электрического поля Земли
в обоих случаях равна 130 В/м?
А 29-10. Число пар ионов в 1 см3 воздуха при иони-
ионизации рентгеновскими лучами п0 = 106см~3. Через ка-
какое время от момента прекращения действия ионизато-
ионизатора число пар ионов уменьшится до п = 104 см, если
воздух:
а) чистый (а = 1,6 • 10~см3 • с)?
б) загрязнен пылью (Р = 10~2 с)?
Ш 29-11. Газ между двумя плоскими электрода-
электродами, расстояние между которыми d, ионизируется.
Вблизи электродов рекомбинации не происходит, так
как все образующиеся там ионы достигают электродов
раньше, чем успевают рекомбинировать. Исходя из
этого:
а) покажите, что формула; = en(k+ + &_)— переходит
в формулу для плотности тока насыщения / = eNd, как
только будет достигнута такая скорость ионов, что ре-
рекомбинация не будет иметь места нигде в пространстве
между электродами;
б) вычислите, при каком напряжении будет иметь
место ток насыщения, если расстояние
между электродами d = 3 см и если N =
= 107см~3 • с. Воздух свободен от пыли
(а= 1,6- Ю-6см3 -с).
А 29-12. В изогнутой трубке с высоким
вакуумом (рис. 29-2) электроны летят от ка-
катода к аноду по траекториям, изогнутым по ^—-/
форме трубки. Как это объяснить? Рис. 29-2
176 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Ф 29-13. На рисунке 29-3 схема-
схематически представлено распределение
ф(д:) потенциала вдоль длины х
трубки, в которой происходит тлею-
^ щий разряд (If — катод, А — анод).
К Л х в какой области между электрода-
Рис. 29-3 ми напряженность поля наиболее
велика? Где она равна нулю? Ука-
Укажите области, где имеются пространственные заряды.
А 29-14. По вакуумированной трубке течет ток, и по-
поток электронов ударяет в анод, передавая ему некото-
некоторый импульс. Означает ли это, что результирующая си-
сила, действующая на анод, отлична от нуля?
А 29-15. При движении электронов в вакуумной
трубке они не встречают на своем пути атомов и моле-
молекул, следовательно, нельзя говорить о тепловом дейст-
действии тока внутри трубки. Почему же не равно нулю на-
напряжение между электродами трубки?
§ 30. Электрохимические процессы
в электролитах
1) Закон Фарадея для массы т вещества, выделенного
на электроде при прохождении заряда д через электролит:
2 F'
где А — атомная (или молекулярная) масса вещества;
z — валентность; F — постоянная Фарадея.
2) Удельная проводимость электролита
g = zena(k+ + kj),
где ze — заряд иона; п — концентрация молекул раство-
растворенного вещества; а — коэффициент диссоциации; k+
и k_ — подвижности ионов.
3) Уравнение Гиббса—Гельмгольца (§ 18) в применении
к разности потенциалов между электродом и электролитом
или между двумя электродами, опущенными в электролит:
о=> Н . rrid^
§ 30. Яьления ъ электролитах 177
где Н — общая сумма количества теплоты, выделяю-
выделяющейся при реакции внутри элемента на 1 моль ионов.
@ 30-1. Движутся ли ионы в электролитах по линиям
напряженности электрического поля? Что имеют в ви-
виду, когда говорят, что линии тока в электролитах совпа-
совпадают с линиями напряженности поля?
® 30-2. Никелирование металлического изделия,
площадь поверхности которого 120 см2, продолжалось
5 ч током 0,3 А. Валентность никеля 2 = 2. Определите
толщину слоя никеля.
Ш 30-3. Сколько цинка расходуется в элементе Дани-
еля за 20 мин работы при токе 0,5 А? Валентность цин-
цинка равна 2. Принять, что «выход» тока равен 100%.
Ш 30-4. Какая масса воды разложится при электро-
электролизе раствора серной кислоты в течение t = 10 мин, если
сила тока, протекающего через электролит, / = 0,8 А?
Ш 30-5. Определите коэффициент диссоциации вод-
водного раствора хлористого калия (КС1) с концентрацией
с = 0,1 г/см3. Удельное сопротивление такого раствора
при 18 °С равно 7,36 Ом • см.
• 30-6. Коэффициент диссоциации водного раствора,
содержащего 0,064 г азотной кислоты в 1 см3, равен 0,824.
Чему равна удельная электропроводность этого раствора
при 18 °С?
А 30-7. Определите диаметр шарика, который, имея
тот же заряд, что и ион серебра, при наличии электри-
электрического поля движется в слабом водном растворе соли
серебра с той же скоростью, что и ион серебра. Принять,
что сопротивление среды при движении шарика опреде-
определяется формулой Стокса (см. § 9) и что вязкость раство-
раствора такая же, как вязкость воды при 18 °С.
А 30-8. В воде растворено 1,5 г кристаллов медного
купороса (CuSO4 • 5Н2О), причем получившийся раствор
имеет объем 100 см3. В раствор опущены два медных
электрода в виде прямоугольных пластин со сторонами
8 и 10 см. Напряжение между электродами равно 0,5 В,
сила тока равна 0,56 А.
а) Какова общая сумма электрических сил, действую-
действующих на все ионы Си2+, находящиеся между электродами?
178 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
б) Какова сумма модулей скоростей упорядоченного
движения ионов Си2+ и SO^2 ? При расчете принять, что
диссоциация растворенного вещества является полной.
Ф 30-9. Определите молярную теплоту перехода в раст-
раствор ионов таллия. Разность потенциалов между таллием
и раствором, содержащим 1 моль ионов таллия (Т1+) в 1 л
при температуре 25 °С, равна Ё? = -0,0576 В, а измене-
изменение этой разности потенциалов при изменении темпера-
температуры равно ^ = -0,00121 В/К.
§ 31. Магнетизм
1) Магнитный момент прямой катушки (соленоида)
с числом витков w, площадью витков S при силе тока I:
р = wIS
(вектор S связан с направлением тока соотношением
правого винта).
2) Магнитный момент прямого магнита
где J — намагниченность (магнитный момент единицы
объема вещества); V— объем магнита.
3) Для катушки с сердечником (дросселя) магнитный
момент
р = wIS + JV.
4) Вращающий момент, действующий на катушку
(или на магнит) с магнитным моментом р, находящуюся
в магнитном поле с индукцией Б,
М = [р, В].
5) Напряженность магнитного поля, создаваемого
элементом dZ провода, по которому идет ток I, в точке,
находящейся на расстоянии г от этого элемента:
§31. Магнетизм
179
6) Напряженность магнитного поля, создаваемого то-
током I, текущей в конечном отрезке I прямого провода, в
точке N, отстоящей на расстоянии а от отрезка (рис. 31-1):
Н = -— (cos ax - cos а2).
В случае очень длинного отрезка пря-
прямого провода для точек, близких к его се-
середине, выражение в скобках мало отли-
отличается от 2. В этом случае можно принять
Я = JL
2па'
7) Напряженность магнитного поля в
центре дуги окружности длиной L
где R — радиус окружности. Если дуга
охватывает полную окружность, то
Рис. 31-1
8) Напряженность магнитного поля внутри длинной
прямой катушки (соленоида) длиной I с числом витков
w в точках, близких к ее середине,
я=т-
9) Напряженность магнитного поля внутри тороида
(кольцевого соленоида) на расстоянии R от его оси
(рис. 31-2)
Я= —
2nR'
10) Циркуляция напряженности
магнитного поля по замкнутому конту-
контуру, охватывающему токи Iv I2, •••, !„,'•
Рис. 31-2
180
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
11) Напряженность магнитного поля в магнетике
Н = ^ -J,
где jli0 — магнитная постоянная.
В диа- и парамагнетиках
где % — магнитная восприимчивость данного вещества,
зависящая от температуры (для парамагнетиков % > 0,
для диамагнетиков % < 0).
Связь между В п Н можно представить в виде:
В = цоцЯ,
где ц = 1 + % — магнитная проницаемость.
В случае ферромагнетиков зависимость Вот Н имеет вид,
графически представленный на рисунке 31-3. По значениям
Б и Л можно определить намагниченность и магнитную про-
проницаемость, которые зависят от напряженности поля.
в,
1
1
1
Тл
,40
,30
,20
1,10
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Н, кА/м
Рис. 31-3
§31. Магнетизм 181
12) Сила, действующая на элемент тока I dl в маг-
магнитном поле (сила Ампера),
F = Il&l, В].
13) Сила, действующая на заряд д, движущийся со
скоростью v в магнитном поле (сила Лоренца),
F = q[v, В].
14) Сила, действующая в неоднородном магнитном
поле на короткий соленоид (или магнит), ось которого
расположена вдоль поля:
где =р — производная вектора В по направлению маг-
си
нитного диполя.
15) Сила, действующая на отрезок I одного из двух
длинных параллельных проводов, находящихся на
расстоянии b друг от друга, по которым текут токи 1Х
и 12:
16) Магнитный поток, пронизывающий плоскую по-
поверхность площадью S:
Ф = BS cos (В, S).
17) Магнитный поток в сердечнике с различными маг-
магнитными проницаемостями и различными сечениями
на разных участках магнитной цепи:
Ф= wI
18) В случае, если длина катушки значительно боль-
больше ее диаметра, магнитный поток
= =
г i
182
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
19) Подъемная сила магнита
где S — площадь сечения магнита.
# 31-1. Ось прямой катушки, имеющей 400 витков
диаметром 4 см, расположена горизонтально в плоскос-
плоскости магнитного меридиана. По катушке идет ток 6 А. Оп-
Определите действующий на нее вращающий момент, если
напряженность магнитного поля Земли равна 40 А/м, а
угол наклонения равен 70°.
Ф 31-2. На рисунках 31-4, а—г схематически изобра-
изображены соленоиды одинаковой длины I, но различной
формы, у которых общее число витков, их площадь, а
также сила тока, протекающего через них, одинаковы и
соответственно равны: w = 3000; S = 10 см2; / = 2 А. Оп-
Определите магнитные моменты соленоидов, пренебрегая
магнитными потоками, перпендикулярными плоскости
чертежа.
А 31-3. На рисунке 31-5 изображена двойная спи-
спираль, служащая в некоторых типах ламп нитью накала.
а) I
Т
в)
г)
Рис. 31-4
Рис. 31-5
§31. Магнетизм 183
Общее число больших витков wv малых — w2; площадь
больших витков Sv малых — S2. По спирали идет ток I.
Определите магнитный момент двойной спирали.
А 31-4. Период небольших колебаний маленькой
магнитной стрелки вокруг вертикальной оси в магнит-
магнитном поле Земли равен 0,7 с. Период колебаний той же
стрелки, помещенной внутри соленоида, по которому
идет ток, равен 0,1 с. Затухание колебаний в обоих слу-
случаях невелико. Горизонтальная составляющая магнитно-
магнитного поля Земли равна 14,3 А/м. Определите напряжен-
напряженность магнитного поля внутри соленоида.
# 31-5. Намагниченная спица подвешена на нити в го-
горизонтальном положении и колеблется под действием маг-
магнитного поля Земли. Крутильный момент нити ничтожно
мал. Как изменится период колебаний, если спицу разло-
разломать пополам и подвесить половинку?
^ 31-6. а) До замыкания ключа К в цепи (рис. 31-6)
момент импульса электронов в цепи равен нулю. После
замыкания ключа К по цепи идет ток и
момент импульса электронов отличен от
нуля. Нарушается ли этим закон сохра- _^_
нения момента импульса?
б) Чему равен суммарный момент
электронов в этой цепи, если магнитный
е а ?о ¦ ИС. 31-6
момент р = 5 А • м^ /
• 31-7. Железные опилки, насыпанные на горизон-
горизонтально расположенный картон, сквозь который вертика-
вертикально протянут провод с током, при постукивании по
картону стягиваются по направлению к проводу; при
этом они движутся в направлении, перпендикулярном
линиям индукции магнитного поля тока. Почему это
происходит?
А 31-8. По трем длинным прямым проводам, распо-
расположенным в одной плоскости параллельно друг другу
на расстоянии 3 см, текут токи 1Х — 12 и /3 = -(/х + /2).
Определите положение прямой, в которой напряжен-
напряженность магнитного поля, создаваемого токами, равна
нулю.
184 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
• 31-9. По длинному вертикальному проводу сверху
вниз течет ток 4 А. Укажите точку вблизи середины
провода, в которой поле, получающееся от сложения
магнитных полей Земли и тока, имеет вертикальное на-
направление. Горизонтальную составляющую магнитного
поля Земли принять равной 16 А/м.
• 31-10. По длинному проводу, протянутому перпен-
перпендикулярно плоскости магнитного меридиана в направ-
направлении на запад, идет ток 15 А. Напряженность магнит-
магнитного поля Земли в данном месте равна 40 А/м, а угол
наклонения составляет 70°.
а) Укажите точку вблизи середины провода, в кото-
которой напряженность результирующего магнитного поля
равна нулю.
б) Каковы напряженности результирующего магнит-
магнитного поля на 5 см выше и ниже провода?
А 31-11. По двум длинным проводам, расположенным
параллельно друг другу на расстоянии 5 см, текут в од-
одном направлении токи 5 и 10 А. Определите напряжен-
напряженность магнитного поля в точке, отстоящей на 2 см от
первого из проводов и на 5 см от второго.
• 31-12. По длинному проводу, согнутому под пря-
прямым углом, течет ток / = 20 А. Определите напряжен-
напряженность магнитного поля в точке, лежащей на продолже-
продолжении одной из сторон угла на расстоянии г = 2 см от вер-
вершины.
А 31-13. Ток / = 30 А течет по длинному проводу, со-
согнутому под углом а = 60° (рис. 31-7). Определите на-
напряженность магнитного поля в точке А, находящейся
на биссектрисе угла на расстоянии а = 5 см от его вер-
вершины.
А 31-14. Определите напряженность магнитного по-
поля, создаваемого током / = 6А, текущим по проводу, со-
согнутому в виде прямоугольника со сторонами а = 16 см
и Ъ = 30 см, в его центре.
А 31-15. Определите напряженность магнитного поля,
создаваемого током /= 5 А, текущим по проводу, согну-
согнутому в виде правильного треугольника со стороной а =
§31. Магнетизм 185
\
\
\
\
I
I
I
Рис. 31-7 Рис. 31-8
= 30 см, в вершине правильного тетраэдра, для которого
этот треугольник служит основанием.
А 31-16. По проводу, согнутому в виде кольца ради-
радиусом R = 11 см, течет ток J = 14 А. Найдите напряжен-
напряженность магнитного поля: а) в центре кольца; б) в точке,
лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца, вос-
восставленном из его центра, на расстоянии а = 10 см от
центра.
# 31-17. К двум точкам проволочного кольца подве-
подведены идущие радиально провода, соединенные с удален-
удаленным источником тока (рис. 31-8). Чему равна напря-
напряженность магнитного поля в центре кольца?
А 31-18. По длинному прямому соленоиду, имеюще-
имеющему 35 витков на 1 см длины, течет ток 2 А. Определите
напряженность магнитного поля: а) внутри соленоида
вблизи его середины; б) в центре одного из его осно-
оснований.
^ 31-19. Диаметр витков соленоида в п — 4 раза
больше длины его оси. Число витков на единицу длины
w1 = 200 см". По виткам соленоида течет ток I = 0,1 А.
Определите напряженность магнитного поля: а) в се-
середине оси соленоида; б) в центре одного из его осно-
оснований.
# 31-20. Определите напряженность магнитного по-
поля, создаваемого в воздухе соленоидом с током, имею-
имеющим магнитный момент р = 7,5 ¦ 10~8 А • м2, в точке на
оси соленоида, отстоящей от соленоида на расстоянии
а = 50 см, значительном по сравнению с диаметром со-
соленоида и его длиной.
186
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
3 см
Рис. 31-10
А 31-21. Кольцевой соленоид с деревянным сердечни-
сердечником в виде кольца прямоугольного сечения, размеры ко-
которого показаны на рисунке 31-9, имеет w = 500 витков.
Определите магнитный поток, если сила тока в обмотке
1 = 2,5 А.
• 31-22. Циркуляция напряженности магнитного
поля по замкнутым кривым на поверхности Земли (на-
(например, по широтным кругам) отлична от нуля. Какой
вывод следует сделать из этого наблюдения для области,
в которой циркуляция по контуру при обходе его по ча-
часовой стрелке положительна?
• 31-23. Определите циркуляцию напряженности
магнитного поля для контуров, изображенных на рисун-
рисунке 31-10, если в обоих проводах идут токи 8 А.
А 31-24. Ток идет по полой металлической трубе.
Покажите, что: а) напряженность магнитного поля вну-
внутри трубы равна нулю; б) напряженность магнитного
поля вне трубы такая же, как напряженность поля, со-
созданного током, текущим по тонкому проводу, совпа-
совпадающему с осью трубы.
¦ 31-25. Какова структура магнитного поля: а) в слу-
случае, описанном в задаче 27-16; б) в случае, описанном в за-
задаче 25-6?
^ 31-26. Ток / = 20 А идет по полой тонкостенной
трубе радиусом R2 = 5 см и обратно — по сплошному
проводнику радиусом Rt = 1 мм, проложенному по оси
трубы. Длина трубы I = 20 м. Чему равен магнитный по-
поток такой системы? Магнитным полем внутри металла
пренебречь.
§31. Магнетизм
187
А. 31-27. По медному проводу, сечение которого яв-
является кругом радиусом R = 2 см, течет ток / = 500 А.
а) Определите напряженность магнитного поля вну-
внутри провода в точке, отстоящей на расстоянии г = 0,5 см
от оси провода.
б) Определите магнитный поток внутри провода, ес-
если его длина I = 3 м. (Имеется в виду поток, пронизы-
пронизывающий одну из половин осевого сечения провода.)
Я 31-28. Внутри длинного круглого металлического
цилиндра, вдоль которого идет ток плотностью /, имеет-
имеется цилиндрическая полость, ось которой отстоит от оси
цилиндра на расстоянии d (рис. 31-11). Определите на-
напряженность магнитного поля внутри полости.
^ 31-29. Длинный прямой соленоид с густотой вит-
витков 10 см расположен вертикально. По его виткам те-
течет ток 5 А. Определите: а) напряженность магнитного
поля внутри соленоида вблизи его середины; б) горизон-
горизонтальную составляющую магнитного поля тока вне соле-
соленоида на расстоянии 4 см от его оси; в) как расположе-
расположены линии напряженности магнитного поля внутри и вне
соленоида и являются ли они замкнутыми.
А 31-30. Медный провод сечением S = 2 мм2, согну-
согнутый в виде трех сторон квадрата, может вращаться, как
показано на рисунке 31-12, вокруг горизонтальной оси ОО.
Провод находится в однородном магнитном поле, на-
направленном вертикально. Когда по проводу идет ток
/ = 10 А, провод отклоняется от положения равновесия
на угол а = 15°. Определите индукцию магнитного поля.
Рис. 31-11
Рис. 31-12
188 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Jk 31-31. По кольцу диаметром d = 10 см из свинцо-
свинцовой проволоки площадью сечения S = 0,7 мм2 идет ток
I = 7 А, при этом температура проволоки повышается
до температуры, близкой к плавлению. Прочность свин-
свинца на разрыв при этой температуре равна р0 = 2 Н/мм2.
Разорвется ли такое кольцо, если поместить его в маг-
магнитное поле, индукция которого В = 1 Тл (плоскость
кольца перпендикулярна вектору В поля)?
• 31-32. Шины электростанции представляют собой
параллельные медные полосы длиной 3 м, находящиеся
на расстоянии 50 см друг от друга. В случае короткого
замыкания по ним может пойти ток 10 000 А. С какой
силой взаимодействуют при этом шины?
Я 31-33. По двум круглым проводам, оси которых
параллельны, а радиусы сечений сравнимы с расстояни-
расстоянием между осями, текут токи, плотности которых по все-
всему сечению неизменны. Покажите, что сила взаимодей-
взаимодействия таких проводов выражается по формуле пункта 15)
введения, причем Ъ означает расстояние между осями
проводов.
Ш 31-34. В Международной системе единиц (СИ) при-
приводится такое определение единицы силы тока — ампе-
ампера: «Ампер есть сила неизменяющегося тока, который,
будучи поддерживаем в двух параллельных прямоли-
прямолинейных проводниках бесконечной длины и ничтожно
малого кругового сечения, расположенных на расстоя-
расстоянии 1 метра один от другого в пустоте, вызвал бы между
этими проводниками силу, равную 2 • 10~7 единиц силы
системы СИ на 1 метр длины». Зачем в определение вне-
внесено указание, что проводники должны быть «бесконеч-
«бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения»?
А 31-35. Две катушки, магнитные моменты которых
равны рх = 0,08 А • м2 и р2 = 0,12 А ¦ м2, расположены
так, что их оси находятся на одной прямой. Расстояние
между ними Д= 1 м велико по сравнению с диаметрами
и длинами катушек. Определите силу их взаимодейст-
взаимодействия.
§31. Магнетизм
189
источнику
К источнику
тока
Рис. 31-13
Рис. 31-14
А 31-36. На рисунке 31-13 изображена схема демонст-
демонстрационного опыта по взаимодействию токов. Если на-
направления магнитных полей внутри катушек совпада-
совпадают, то катушка большего диаметра надевается на ка-
катушку, имеющую меньший диаметр. Для опыта берутся
катушки, диаметры которых отличаются лишь немно-
немного, а катушка с меньшим диаметром значительно длин-
длиннее другой.
Как будет проходить опыт, если диаметр подвижной
катушки в несколько раз больше диаметра неподвиж-
неподвижной катушки?
• 31-37. На рисунке 31-14, а изображена схема из-
известного из курса школьной физики опыта Эрстеда. Как
изменится угол, на который отклоняется при включе-
включении тока магнитная стрелка, если, не изменяя силы то-
тока и расстояния провода от стрелки: а) взять стрелку та-
такого же размера, но намагниченную более сильно?
б) взять стрелку более длинную? окружить провод же-
железной трубой (рис. 31-14, б)? Пренебречь взаимодейст-
взаимодействием стрелки с индуцированным в трубе продольным
намагничив анием.
190
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Н
В, Тл
1,40
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0
У
/
/
у
0,4
0,8,
,1,6,
Л4
Я, кА/м
Рис. 31-15
Рис. 31-16
• 31-38. Кривая намагничивания железа асимптоти-
асимптотически приближается к прямой (рис. 31-15). Что означа-
означает величина ОВ0?
Ф 31-39. Как определить по графику зависимости В
от Н (рис. 31-16) значения В и Н, соответствующие мак-
максимуму магнитной проницаемости ц?
Ф 31-40. Определите коэрцитивную силу в материале
постоянного магнита длиной 15 см, если поле вне маг-
магнита исчезает при наличии тока 2 А в обмотке в
300 витков, навитой на магнит.
А 31-41. На железном кольце (тороиде) имеется об-
обмотка, содержащая 1000 витков, по которой идет ток 1 А.
Определите напряженность и индукцию магнитного по-
поля внутри тороида на расстоянии от центра тороида:
а) 10 см; б) 12,5 см.
А 31-42. Средний диаметр железного кольца равен
15 см, площадь сечения кольца 7 см2. На кольцо навито
500 витков провода. Принимая, что магнитное поле
внутри кольца, имеющее место при наличии тока в об-
обмотке, является однородным, определите:
а) магнитный поток в сердечнике при токе 0,6 А;
б) при какой силе тока магнитный поток в кольце ра-
равен 8,4 • 10 4 Вб.
§31. Магнетизм
191
А 31-43. Средняя длина окружности железного коль-
кольца I = 61 см. В нем сделан прорез шириной 1Х = 1 см
(рис. 31-17). На кольце имеется обмотка, содержащая
w = 1000 витков. Когда по обмотке идет ток / = 1,5 А,
индукция магнитного поля в прорезе В = 0,18 Тл. Опре-
Определите магнитную проницаемость ц железа при этих ус-
условиях, приняв, что площадь сечения магнитного пото-
потока в прорезе в ft = 1,1 раза больше площади сечения
кольца.
^ 31-44. Два одинаковых железных кольца диа-
диаметром d = 10 см имеют обмотки по w = 100 витков
каждая. В одном из колец сделали поперечный прорез
шириной d1 = 1 мм. По обмотке сплошного кольца идет
ток 1г = 2 А. Какой ток 12 надо пустить по обмотке коль-
кольца с прорезом, чтобы создать в нем такое же магнитное
поле, как в сплошном кольце? Считать площади сече-
сечения магнитного потока в воздухе и в железе одинако-
одинаковыми.
^ 31-45. Общая длина линий индукции в электро-
электромагните равна 36 см, а толщина каждого из воздушных
зазоров 0,2 мм (рис. 31-18). Площадь сечения магнитно-
магнитного потока всюду равна 2 см2. Обмотка электромагнита
имеет 294 витка. При токе 3 А подъемная сила магнита
равна 160 Н. Определите при этих условиях: а) индук-
индукцию; б) магнитную проницаемость железа.
# 31-46. Какой из электромагнитов, изображенных
на рисунке 31-19, имеет большую подъемную силу, если
используемые магнитные потоки в обоих случаях оди-
одинаковы?
Рис. 31-17
Рис. 31-18
Рис. 31-19
192 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
И i U I И
Рис. 31-20 Рис. 31-21
• 31-47. Объясните следующий опыт. Имеется на-
намагниченная стальная спица, у концов которой удержи-
удерживаются приложенные к ним небольшие одинаковые
гвозди. Если один из концов спицы накалить добела
(примерно до середины) и затем охладить, то подверг-
подвергшийся нагреванию конец не удерживает гвоздя, в то
время как другой конец удерживает.
9 31-48. Траектория пучка электронов, движущихся
в вакууме в магнитном поле с индукцией В = Ч мТл, —
дуга окружности радиусом 3 см. Определите скорость и
энергию электронов.
А 31-49. Электрон движется в магнитном поле, ин-
индукция которого В = 2 мТл, по винтовой линии ради-
радиусом R = 2 см и шагом h = 5 см (рис. 31-20). Определите
скорость электрона.
А 31-50. Однородное электрическое (Е = 3 В/см) и
магнитное (В = 0,1 мТл) поля направлены взаимно пер-
перпендикулярно. Каковы должны быть модуль скорости
электрона и ее направление, чтобы его траектория была
прямолинейна?
А 31-51. Определите нормальное и тангенциальное
ускорения электрона, движущегося в совпадающих по
направлению электрическом и магнитном полях, в двух
случаях: а) скорость электрона v направлена вдоль по-
полей; б) скорость электрона v направлена перпендику-
перпендикулярно к ним.
II 31-52. Одним из приборов, служащих для получе-
получения быстро движущихся заряженных частиц, является
§ 31. Магнетизм 193
циклотрон, представляющий собой низкую цилиндри-
цилиндрическую металлическую коробку (рис. 31-21), разрезан-
разрезанную на две половины (дуанты). Дуанты помещены в ва-
вакуум. Между ними создается электрическое поле, при-
причем через некоторые промежутки времени направление
этого поля меняется. Вблизи центра одного из дуантов
имеется источник ионов К. Дуанты находятся в одно-
однородном магнитном поле Б, направление которого пока-
показано на рисунке стрелками.
Ион, попавший в разрез между дуантами, вследствие
действия электрического поля движется с ускорением.
Затем внутри дуанта он движется под действием маг-
магнитного поля по дуге окружности и вновь подлетает к
разрезу между дуантами. Промежуток времени, по ис-
истечении которого напряжение между дуантами меняет
свой знак, подбирается так, чтобы ион успел описать
внутри дуанта полуокружность. Таким образом, при
каждом переходе иона из одного дуанта в другой ско-
скорость его увеличивается, и ион описывает внутри дуан-
дуантов полуокружности все большего диаметра.
а) Докажите, что промежутки времени, через кото-
которые надо менять направление электрического поля меж-
между дуантами, не зависят от радиуса полуокружности, по
которой движется ион, а потому должны оставаться не-
неизменными в течение всего времени движения иона.
б) Определите индукцию магнитного поля, которая
требуется для сообщения протону энергии W = 4 МэВ,
если максимальный радиус полуокружности внутри ду-
дуанта R = 60 см.
в) Определите промежуток времени, в течение кото-
которого протон достигает указанной энергии. Его началь-
начальная скорость мала. В моменты перехода протона из од-
одного дуанта в другой напряжение между ними
U = 20 000 В. Промежуток между дуантами d = 1 см.
Принять, что поле между дуантами однородно.
А 31-53. Какая сила действует на витки длинной
круглой катушки с током, если они намотаны под углом
45е к образующей цилиндра?
194 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
§ 32. Работа при перемещении
проводника с током в магнитном поле.
Электромагнитная индукция
1) Работа силы Ампера при перемещении проводни-
проводника, по которому идет ток /,
ДА = 1ДФ,
где АФ — изменение магнитного потока через контур,
по которому идет ток.
2) ЭДС индукции в контуре, пронизываемом пото-
потоком Ф,
g7 = _йФ
"сп"
3) ЭДС индукции в проводнике длиной А1, движу-
движущемся в магнитном поле со скоростью у,
g7 = BAlv sin (В, и).
Направления v и А1 взаимно перпендикулярны.
4) Заряд, протекший через контур сопротивлением R
при изменении пронизывающего его потока на АФ:
4 R
5) Индуктивность соленоида с числом витков ю
Здесь Ф = Ф^ш, где Фх — магнитный поток, пронизы-
пронизывающий 1 виток.
6) Индуктивность прямого соленоида
_ W2\l\L0S
Xj К ,
где I — длина соленоида; S — площадь, ограничиваемая
каждым витком соленоида (ее можно приближенно счи-
считать равной площади сечения сердечника соленоида);
w — число витков; ц — магнитная проницаемость среды
(под ц можно подразумевать магнитную проницаемость
§ 32. Электромагнитная индукция 195
сердечника, находящегося внутри соленоида); k — безраз-
безразмерный множитель, значение которого зависит от отноше-
отношения диаметра соленоида к его длине (см. задачу 32-24).
Если длина соленоида значительно больше диаметра вит-
витков, можно принимать k равным единице. В случае коль-
кольцевого соленоида, диаметр которого значительно больше
диаметра витков, для расчета индуктивности можно при-
применять ту же формулу, подразумевая под I среднюю дли-
длину магнитных силовых линий внутри соленоида.
7) Если в цепь включены две катушки, индуктивнос-
индуктивности которых равны Lx и L2, а взаимная индуктивность
равна М, то общая индуктивность системы равна
L = Lx + L2 ± 2M.
Знак + перед последним слагаемым ставится в том
случае, если магнитные поля в катушках усиливают
друг друга.
8) Сила тока в цепи, содержащей источник постоян-
постоянной ЭДС, резистор сопротивлением R и катушку индук-
индуктивности L, через время t после замыкания цепи равна
9) Плотность энергии магнитного поля
В2
10) Энергия магнитного поля тока
# 32-1. Ось катушки диаметром 10 см, имеющей
1000 витков, расположена горизонтально по магнитно-
магнитному меридиану Земли. По катушке идет ток 0,5 А. Гори-
Горизонтальная составляющая напряженности магнитного
поля Земли 16 А/м. Какую работу надо произвести, что-
чтобы повернуть катушку на 180°?
196
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
N
Рис. 32-1
Рис. 32-2
Ф 32-2. Медный провод заключен в железную обо-
оболочку, как показано на рисунке 32-1, поэтому магнит-
магнитное поле в полости железной оболочки слабее наружного.
Как это влияет на электродвижущую силу индукции:
а) при движении проводника вместе с железной оболоч-
оболочкой в магнитном поле? б) во время усиления или ослаб-
ослабления магнитного поля при неподвижном проводнике?
• 32-3. В катушку, замкнутую на гальванометр,
вдвигают магнит, и стрелка гальванометра дает отброс.
Затем гальванометр заменяют реостатом, сопротивление
которого равно сопротивлению гальванометра, и снова с
той же скоростью вдвигают магнит. Одинаковы ли ин-
индукционные токи в этих случаях?
Ф 32-4. Внутрь короткозамкнутой катушки вставле-
вставлена другая, по которой идет ток от аккумулятора. Во вто-
вторую катушку вдвигают железный сердечник, вслед-
вследствие чего в первой катушке индуцируется ток, и она
нагревается. За счет какой работы производится нагре-
нагревание?
Ф 32-5. В короткозамкнутую катушку один раз быст-
быстро, другой медленно вдвигают магнит, а) Одинаковые
ли заряды индуцируются в катушке в первый и второй
раз? б) Однаковую ли работу против электромагнитных
сил производит сила руки, вдвигающей магнит?
А 32-6. Магнит вдвигают в металлическое кольцо,
возбуждая в нем индукционный ток. а) Чему равна раз-
разность потенциалов между двумя точками на кольце?
§ 32. Электромагнитная индукция 197
б) Что покажет гальванометр, присоединенный одними
и теми же проводами к точкам А и В кольца так, как по-
показано на рисунке 32-2 сплошной линией, и так, как по-
показано пунктиром?
# 32-7. В переменном однородном магнитном поле
находится сетка, описанная в задаче 26-2 (без подводя-
подводящих проводов). Что можно сказать про индукционные
токи в проводниках, из которых состоит сетка?
® 32-8. Какие явления происходят в кольце, если в
него вдвигают магнит? Рассмотрите случаи: а) кольцо
сделано из диэлектрика; б) кольцо сделано из сверхпро-
сверхпроводника.
# 32-9. Горизонтальный металлический стержень
вращается вокруг вертикальной оси, проходящей на
1 Г. -1
расстоянии, равном - его длины, с частотой п = ? с *.
3
Длина стержня I = 60 см. Определите разность потен-
потенциалов между концами стержня, если вертикальная со-
составляющая напряженности магнитного поля Земли
Н = 40 А/м.
А 32-10. При вращении металлического тела элект-
электроны удаляются от оси вращения и в нем создается
электрическое поле. С какой частотой должен вращать-
вращаться вокруг вертикальной оси металлический диск, чтобы
электрическое поле в нем отсутствовало? Вертикальную
составляющую напряженности магнитного поля Земли
принять равной 40 А/м.
Ш 32-11. Проволочное кольцо радиусом Д = 10 см на-
находится в постоянном однородном магнитном поле (В =
= 0,01 Тл), перпендикулярном плоскости кольца. Центр
кольца О соединен с точками А и В кольца двумя пря-
прямыми проволочками (рис. 32-3). Одна из проволочек
(ОА) неподвижна, другая (ОБ) вращается с постоянной
угловой скоростью со = 4 рад • с, вследствие чего и по
прямым проволочкам, и по кольцу идут индукционные
токи. Сопротивление проволочки длиной 1 см равно у =
= 10~2Ом. Магнитные поля индукционных токов малы
по сравнению с внешним магнитным полем. Определите
198
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Рис. 32-3
Рис. 32-4
силы токов в прямых проволочках и в дугах кольца при
следующих положениях: а) ф = 0; б) ф = тс; в) ф = 2тс.
А 32-12. В катушке без железного сердечника,
имеющей 1000 витков, диаметр сечения 10 см и длину
50 см, сила тока равномерно увеличивается на 0,1 А за
1 с (с помощью реостата). На катушку надето кольцо из
медной проволоки площадью сечения 2 мм2. Считая,
что магнитные потоки, пронизывающие катушку и коль-
кольцо, в любой момент равны между собой, найдите силу
тока в кольце.
¦ 32-13. Проволочный каркас в виде квадрата ABCD
с перекладиной П, сделанной из той же проволоки
(рис. 32-4), находится в однородном переменном магнит-
магнитном поле, вследствие чего по проволокам идут индукци-
индукционные токи. Магнитные поля индукционных токов малы
по сравнению с изменениями внешнего магнитного поля.
Определите, в каком случае индукционные токи выделя-
выделяют большее количество теплоты: а) перекладина находит-
находится на середине квадрата; б) перекладина сдвинута к од-
одной из сторон квадрата; в) перекладина делит площадь
квадрата на части в отношении 1:3.
А 32-14. Постоянный магнит длиной 20 см, магнит-
магнитный момент которого равен 6 А • м2, вдвигают в катуш-
катушку, диаметр основания которой равен 5 см, имеющую
обмотку из медной проволоки сечением 0,5 мм2. Какой
заряд проходит по обмотке катушки при вдвигании в
нее магнита?
§ 32. Электромагнитная индукция 199
А 32-15. На деревянный цилиндр, длина которого
I — 20 см значительно больше его диаметра, навиты две
медные обмотки равным сечениями S = 2 мм2. Одна из
обмоток замкнута накоротко. Какой заряд индуцирует-
индуцируется в ней, если другую обмотку присоединить к аккумуля-
аккумулятору с ЭДС §? = 2 В и с очень малым внутренним сопро-
сопротивлением?
А 32-16. Медный обруч массой т = 5 кг расположен
в плоскости магнитного меридиана Земли. Какой заряд
индуцируется в нем, если его повернуть вокруг верти-
вертикальной оси на 90е? Горизонтальная составляющая ин-
индукции магнитного поля Земли Вг = 2 • 10~5 Тл.
• 32-17. Каков магнитный поток, создаваемый ка-
катушкой из 1000 витков, имеющей индуктивность 5 Гн,
если по катушке течет ток 0,6 А?
@ 32-18. Когда по катушке идет ток, то она вследствие
взаимодействия витков с током стремится изменить свои
продольный и поперечный размеры. Как изменяется ин-
индуктивность катушки при изменении ее размеров?
# 32-19. Почему индуктивность катушки сильно за-
зависит от магнитных свойств сердечника, находящегося
внутри катушки, и мало зависит от магнитных свойств
тел, окружающих катушку?
• 32-20. Сколько витков проволоки надо навить на
картонный цилиндр длиной I = 60 см и диаметром d =
= 5 см и чтобы получить катушку, индуктивность кото-
которой L = 6 • 10 3 Гн? Множитель k (см. введение, п. 6)
принять равным 1.
А 32-21. На круглом деревянном цилиндре имеется об-
обмотка из медной проволоки, масса которой т = 50 г.
Расстояние между крайними витками {I = 60 см) много
больше диаметра цилиндра. Сопротивление обмотки
R = 30 Ом. Какова ее индуктивность?
# 32-22. а) Две катушки с индуктивностями Lx = 5 мГн
и L2 = 3 мГн включены последовательно и расположены
так, что их магнитные поля взаимно усиливают друг дру-
друга. Индуктивность этой системы оказалась равной L =
= 11 мГн. Чему равна взаимная индуктивность катушек?
200
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
б) Какова будет индуктивность системы катушек,
если, не меняя расположения катушек, переменить на-
направление тока в одной из них на обратное?
• 32-23. Катушка А находится вну-
внутри катушки В большего размера и может
вращаться вокруг оси ОО', перпендику-
перпендикулярной осям обеих катушек (рис. 32-5).
При каком расположении катушек ин-
индуктивность двух последовательно соеди-
соединенных катушек: а) наибольшая; б) наи-
наименьшая; в) равна сумме индуктивностей
отдельных катушек?
@ 32-24. Коэффициент k в формуле
для вычисления индуктивности катушки
диаметром, d и длиной I (см. введение, п. 6) для одно-
однослойной катушки имеет значения, указанные в таблице:
Рис. 32-5
d/l
к
0,00
1,00
0,02
0,992
ОД
0,959
0,2
0,920
0,33
0,872
0,5
0,818
1
0,688
2
0,526
5
0,320
10
0,203
100
0,035
Какова причина того, что у длинных катушек коэф-
коэффициент к больше, чем у коротких того же диаметра?
А 32-25. Пользуясь таблицей, приведенной в задаче
32-24, определите индуктивность: а) катушки, пред-
представляющей собой деревянный сердечник длиной 10 см и
диаметром 5 см с намотанной на него плотно приле-
прилегающими друг к другу витками проволокой. Диаметр
проволоки вместе с изоляцией равен 0,5 мм; б) кольца
диаметром 10 см, сделанного из проволоки диаметром
1 мм.
А 32-26. а) Пользуясь таблицей, приведенной в зада-
задаче 32-24, определите взаимоиндуктивность двух одина-
одинаковых катушек, диаметр которых равен их длине, сло-
сложенных вплотную и соединенных последовательно так,
что их магнитные потоки складываются. Индуктив-
Индуктивность каждой из катушек равна 10 мГн.
б) Какова взаимоиндуктивность тех же катушек, ес-
если они раздвинуты на расстояние, равное их длине?
§ 32. Электромагнитная индукция 201
А 32-27. а) Определите индуктивность катушки с замк-
замкнутой магнитной цепью (кольцевой соленоид) при сле-
следующих данных: число витков w = 1000; площадь се-
сечения магнитопровода S = 25 см2; средний диаметр
кольца d = 20 см; сила тока I = 1 А. Магнитные свойст-
свойства железа выражены кривой, приведенной на рисунке
31-3.
б) Ответьте на тот же вопрос, если сила тока 11 =
= 0,1 А.
А, 32-28. Каково различие
зависимостей индуктивности от
силы тока у кольцевых солено-
соленоидов с железными сердечника-
ми в виде полых цилиндров, се- . -- ,
чения которых изображены на
рисунке 32-6?
А 32-29. Сердечник соленоида представляет собой коль-
кольцо, состоящее из двух сложенных колец, сечения кото-
которых St и S2 и магнитные проницаемости цх и ц2. Сред-
Средняя длина силовых линий в кольце I; число витков ш.
Определите индуктивность соленоида.
А 32-30. Определите индуктивность петли из двух про-
проводов (т. е. двухпроводной линии). Длина петли I = 1500 м;
диаметр проводов d — 1 мм; расстояние между осями
проводов а = 2 см. Магнитным полем внутри проводов
можно пренебречь.
• 32-31. На катушку, сопротивление и индуктив-
индуктивность которой равны 10 Ом и 58 мГн, подается постоян-
постоянное напряжение. Через какое время сила тока в катуш-
катушке достигает значения, равного половине установившей-
установившейся силы тока?
# 32-32. На рисунке 32-7 показана схема телеграф-
телеграфной передачи. Аппарат А на станции работает от мест-
местной батареи §Г2- Ток от батареи включается с помощью
реле Р, приводимого в действие рабочим током из ли-
линии. Сколько времени пройдет после включения ключа К
до замыкания местной цепи, если общее сопротивление
всей цепи, включающей линию, 80 Ом; индуктивность
202
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
>HI !
Рис. 32-7
0,6 Гн; ЭДС батареи 20 В; для приведения в действие ре-
реле требуется ток 0,2 А?
Ш 32-33. На катушку сопротивлением 0,7 Ом и ин-
индуктивностью 0,2 Гн подается напряжение 100 В в тече-
течение 0,3 с. Как изменится при этом температура меди
в катушке, если ее масса 2,5 кг, а изоляция не успеет
нагреться?
¦ 32-34. На рисунке 32-8 показан график зависимос-
зависимости силы тока от времени в дросселе при подключении
к нему источника постоянного тока.
а) Каков физический смысл площадей ОАВО и ОСАО?
б) Пользуясь графиком, определите индукцию маг-
магнитного поля в сердечнике дросселя через 0,5 с после
включения тока, если известны следующие данные: об-
1,5
1,0
0,5
с-
J
t
J
Г
i
f
/
J
/
А
-г
1
1
1
1
1
1
1
1
1
¦и
I-R
-
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Рис. 32-8
*-<, с
§ 32. Электромагнитная индукция
203
Rl
В
Kl
Рис. 32-9
Рис. 32-10
мотка дросселя состоит из медного провода площадью
сечения S = 1 мм2; диаметр сердечника d = 5 см. Сопро-
Сопротивлением всех частей цепи, кроме обмотки дросселя,
можно пренебречь,
^ 32-35. На рисунке 32-9 изображена схема мостика
Уитстона, с помощью которого измеряют омическое со-
сопротивление катушки индуктивностью L = 0,1 Гн. Клю-
Ключи К^ и К2 смонтированы в виде двойного ключа так,
что при нажатии кнопки сначала замыкается ключ Kv
а затем ключ К2. Передвигая движок D по струне АВ,
добились, что при медленном нажатии кнопки двойного
ключа стрелка гальванометра G не отклоняется.
а) В каком направлении пойдет ток в мостике DC, ес-
если, нажать двойной ключ слишком быстро?
б) Какова разность потенциалов между точками D
и С схемы через время t = 0,001 с после замыкания
ключа Кх, если сопротивление катушки R1 — 120 Ом,
сопротивление R2 = 80 Ом, ЭДС источника тока ?? =
— 1,4 В? Внутренним сопротивлением источника тока,
сопротивлением подводящих проводов и индуктивно-
индуктивностью всех частей установки, кроме катушки, можно
пренебречь.
А 32-36. Катушка индуктивностью 6 Гн и омиче-
омическим сопротивлением 200 Ом и резистор сопротивлени-
сопротивлением 1000 Ом присоединены параллельно к магистрали, в
которой поддерживается напряжение 120 В (рис. 32-10).
Какое напряжение будет между точками А и В схемы
через 0,001 с после размыкания ключа К?
204 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
А 32-37. Катушка без железного сердечника имеет
10 000 витков диаметром 5 см. Длина катушки равна
50 см. Обмотка сделана из медного провода (S = 0,1 мм2).
Через сколько времени после подключения катушки
к батарее аккумуляторов сила тока достигнет значения
I = 0,99/0, где /0 — установившаяся сила тока? Таблица
значений множителя k приведена в задаче 32-24.
$ 32-38. Определите энергию магнитного поля в же-
железном сердечнике объемом 400 см3, если магнитная
индукция равна 1,2 Тл.
# 32-39. Определите энергию магнитного поля для
случая, описанного в задаче 31-26.
$ 32-40. Имеются две входящие одна в другую ка-
катушки одинаковой длины с одинаковым числом витков.
Если по обеим катушкам идет одинаковый ток, то плот-
плотности энергии магнитного поля в катушках равны меж-
между собой. Вставим меньшую катушку в большую так,
чтобы их магнитные поля совпали. При этом внутри
меньшей катушки плотность энергии учетверится (а не
удвоится). За счет чего произойдет увеличение энергии
в два раза?
Если же перевернуть внутреннюю катушку, то энер-
энергия магнитного поля внутри нее будет равна нулю. Куда
она «исчезла»?
# 32-41. Обмотка электромагнита имеет сопротивле-
сопротивление 10 Ом и индуктивность 0,2 Гн и находится под по-
постоянным напряжением. В течение какого промежутка
времени в обмотке выделится количество теплоты, рав-
равное энергии магнитного поля в сердечнике?
Ф 32-42. Чему равна энергия магнитного поля в ка-
катушке длиной 50 см, имеющей 10 000 витков диа-
диаметром 25 см, без железного сердечника, если по ней
идет ток 2 мА? (См. задачу 32-24.)
А 32-43. Определите энергию магнитного поля на
единицу длины бесконечного прямого провода, по кото-
которому идет ток /. Дайте объяснение полученному резуль-
результату.
§ 32. Электромагнитная индукция
205
Рис. 32-11
А 32-44. а) Определите энергию магнитного поля, ес-
если по двухпроводной линии (см. задачу 32-30) идет ток
силой 8 А.
б) Решите ту же задачу, считая провода бесконечно
тонкими.
А 32-45. Для демонстрации явления
самоиндукции при размыкании поль-
пользуются следующей установкой (рис.
32-11). Параллельно дросселю большой
индуктивностью включают лампочку
накаливания, рассчитанную на напря-
напряжение 120 В. Ток на дроссель и лампоч-
лампочку дает батарея аккумуляторов напряжением 4—6 В.
При этом нить накала лампы нагревается очень слабо.
При размыкании тока в дросселе лампочка на мгновение
вспыхивает. Определите температуру накала при таких
условиях: индуктивность дросселя L = 0,03 Гн; сила тока
в нем I — 5 А; материал нити накала — вольфрам; ее
длина I = 43 см; диаметр d = 0,019 мм; начальная тем-
температура нити ?х = 100 °С. Принять, что на нагревание
нити накала расходуется вся энергия магнитного поля в
дросселе.
Ш 32-46. По обмотке, плотно навитой на железный
тороид, идет ток, при этом сила тока периодически ме-
меняется, достигая то некоторого положительного значе-
значения, то такого же по абсолютному значению отрица-
отрицательного. При этом напряженность
магнитного поля в тороиде меняется
пропорционально силе тока в обмотке.
Зависимость магнитной индукции в
железе от напряженности для данного
случая графически представлена на
рисунке 32-12 (петля гистерезиса).
Вычисляя плотность энергии магнит-
магнитного поля в железе по формуле, ука-
указанной в пункте 9 введения, получим
для состояний, соответствующих точ-
точкам А, С, D и Е графика, значения, Рис. 32-12
206 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
равные нулю, а для точек L и К — отрицательные зна-
значения. Как объяснить эти результаты?
Ш 32-47. Имеется постоянный магнит в виде кольца
с прорезом шириной 4 мм. Средний диаметр кольца ра-
равен 10 см, а сечение кольца имеет форму круга, диаметр
которого мал по сравнению с диаметром кольца. При та-
таких размерах поле в прорезе можно считать однород-
однородным, а площади сечения магнитного потока в прорезе
и в кольце равными между собой. Магнитная индукция
в прорезе равна 0,01 Тл.
а) Какова напряженность магнитного поля в коль-
кольце?
б) Какова плотность энергии магнитного поля в кольце?
в) Чему равка сумма энергий магнитных полей в коль-
кольце и в прорезе?
Указание. Применить теорему о циркуляции напряженнос-
напряженности магнитного поля (введение к § 31, п. 10).
§ 33. Переменный ток
1) Эффективные значения силы тока и напряжения:
о 1 Г 9 Л г
Т ^= I т^ (it* TJ ^= _^. I W (it
о о
где Т — период тока; i, и — мгновенные значения
силы тока и напряжения. В тексте задач, где нет
специальных оговорок, эффективные значения силы
тока и напряжения обозначают буквами I и U без ин-
индексов.
2) Для синусоидального тока
^ = J; ^* = J'
где Im и Um — амплитуды силы тока и напряжения.
3) Средние значения силы тока и напряжения
Т/2 Т/2
(I) = \ \ i dt; (U) = 2 J u dt.
§ 33. Переменный ток 207
4) Для синусоидального тока
5) Закон Ома для синусоидального тока
'-§•
где I vi U — эффективные значения силы тока и напря-
напряжения (или их амплитуды).
6) Сопротивление последовательно соединенных ре-
резистора сопротивлением R, катушки индуктивностью L
и конденсатора электроемкостью С:
где со = 2nf = — — циклическая частота.
7) Мощность тока при разности фаз (р между напря-
напряжением и током:
8) Активное сопротивление определяет выделяемую
мощность:
Да = -?- = Z cos ф.
Величина Ra равна омическому сопротивлению R при
отсутствии потерь на нагревание железных сердечников
вследствие гистерезиса и токов Фуко, на нагревание ди-
диэлектриков в переменном электрическом поле и т. д.
При наличии этих потерь Ra > R.
Кроме того, при высоких частотах активное сопро-
сопротивление Ra увеличивается вследствие того, что практи-
практически весь ток идет в поверхностных слоях проводника.
9) Сила взаимодействия токов, текущих по проводам
длиной I, расположенным параллельно на расстоянии Ъ
друг от друга:
2пЬ
208 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
где 11 и 12 — эффективные значения силы токов; ф —
разность фаз между ними.
10) Решение задач на переменные токи в последова-
последовательно или параллельно соединенных приборах упроща-
упрощается, если построить векторные диаграммы напряжений
и токов.
Примечание. Под дросселем, упоминаемым в ряде задач этого
параграфа, подразумевается катушка с железным сердечником.
Ф 33-1. Эффективная сила тока равна 7 А. Какова
средняя сила тока?
А 33-2. Переменный ток выпрямляется прибором,
пропускающим ток только одну половину периода
(рис. 33-1). При протекании такого тока в течение 10 мин
по раствору медного купороса на электроде выделилось
200 мг меди. Чему равна амплитуда тока?
^ 33-3. Аккумулятор, емкость1 которого q — 20 А • ч,
заряжают выпрямленным синусоидальным током, график
которого показан на рисунке 33-2. Тепловой амперметр,
включенный в цепь, показывает силу тока / = 1,5 А.
а) За какое время происходит зарядка аккумулято-
аккумулятора? При расчете принять, что на зарядку используется
100% протекающего тока.
б) За какое время зарядится аккумулятор, если график
выпрямленного тока имеет вид, представленный на рисун-
рисунке 33-1, и если показание теплового амперметра то же?
II 33-4. Если увеличивать напряжение, под которым
находится неоновая лампа, то при напряжении 80 В она
1 Аккумуляторы характеризуются, помимо ЭДС, емко-
емкостью — величиной заряда, отдаваемого при разрядке. Она вы-
выражается в ампер-часах.
А В
§ 33. Переменный ток 209
вспыхивает. Если затем уменьшать напряжение, то при
70 В лампа гаснет. Лампу присоединяют к сети пере-
переменного тока через потенциометр и увеличивают напря-
напряжение.
а) При каком эффективном напряжении лампа
вспыхнет?
б) Какую долю от общего времени горения лампы со-
составляет продолжительность свечения каждого из элект-
электродов, если эффективное напряжение на лампе 120 В?
Ф 33-5. На рисунке 33-3 показана схема
установки для одного из способов измерения
подвижностей ионов1. В пространство между
электродами Ал В через сеточный электрод А
проникают ионы какого-либо одного знака
(например, отрицательные ионы от накален-
накаленной металлической проволочки). Электроды
А и В находятся под переменным (синусо-
(синусоидальным) напряжением, причем амплитуду
напряжения можно менять. Увеличивая на-
напряжение переменного тока, добиваются то-
того, что ионы достигают электрода В, и стрел- рис ЗЗ-З
ка гальванометра G начинает отклоняться.
При измерении подвижности отрицательных ионов
кислорода прибором, в котором расстояние между элект-
электродами d — 1 см, стрелка гальванометра отклоняется
при эффективном напряжении, не меньшем 17 = 61,5 В.
Вычислите подвижность ионов k, если частота перемен-
переменного тока f = 50 Гц.
# 33-6. Батарея аккумуляторов с ЭДС Ш" = 40 В при-
присоединена к сети переменного тока {U = 120 В) через ре-
резистор сопротивлением R = 80 Ом (рис. 33-4). В цепь
включены: амперметр Ах — магнитоэлектрический и
амперметр А2 — тепловой.
а) Каковы показания приборов Аг и А2?
1 Подвижность ионов в газах и электролитах — это отно-
отношение средней дрейфовой скорости в электрическом поле к
напряженности этого поля.
210
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Рис. 33-4
Рис. 33-5
б) Какое количество теплоты выделяется в резисторе R
за 10 с? Все сопротивления, кроме R, ничтожно малы.
А 33-7. Найдите соотношение между максимальным,
средним и эффективным значениями силы тока в случае
переменного тока, график которого показан на рисунке
33-5.
Ш 33-8. Начертите примерные графики зависимости
от времени напряжения, при котором зависимость силы
тока от времени имеет вид, показанный на рисунке 33-5.
Рассмотрите случаи: а) участок цепи, по которому идет
ток, имеет чисто омическое сопротивление; б) участок
цепи имеет ничтожное омическое сопротивление и зна-
значительную индуктивность; в) участок цепи имеет значи-
значительные омическое сопротивление и индуктивность;
г) ток идет по конденсатору,
# 33-9. При каком эффективном значении напряже-
напряжения по обмотке катушки, имеющей омическое сопро-
сопротивление 35 Ом и индуктивность 0,1 Гн, пойдет ток
3 А? Частота тока 50 Гц.
# 33-10. Какой электроемкости надо взять конденса-
конденсатор, чтобы его сопротивление было таким же, как у ре-
реостата сопротивлением 500 Ом, если частота тока равна:
а) 50 Гц? б) 50 000 Гц?
# 33-11. В катушке с омическим сопротивлением
10 Ом при частоте 50 Гц получается сдвиг фазы между
напряжением и током, равный 60°. Определите индук-
индуктивность катушки.
А 33-12. На картонный цилиндр длиной I = 50 см и
диаметром d2 = 5 см навиты ш = 500 витков медного
провода диаметром d1 = 0,5 мм. При какой частоте f
§ 33. Переменный ток 211
полное сопротивление такой катушки в п = 2 раза боль-
больше ее омического сопротивления?
II 33-13. Кольцо диаметром dt = 10 см, сделанное из
медной проволоки диаметром d2 — 1 мм, вращается в од-
однородном магнитном поле индукцией В = 10~3 Тл с час-
частотой п = 10 с. Индуктивность кольца таких размеров
L = 0,35 мкГн (см. задачу 32-24).
а) Определите эффективную силу тока в кольце.
б) Какова была бы сила тока в кольце, если бы его со-
сопротивление было близко к нулю (или в случае сверх-
сверхпроводника)? Пренебречь уменьшением индуктивности
из-за скин-эффекта1.
А 33-14. На деревянное кольцо, диаметр которого
d — 30 см, а поперечное сечение имеет вид круга, навита
обмотка из медной проволоки, масса которой т = 2 кг.
Обмотку присоединяют сначала к сети постоянного то-
тока, затем к сети переменного тока (f = 50 Гц), причем
эффективное напряжение равно напряжению постоян-
постоянного тока. В каком случае потребляется большая мощ-
мощность?
^ 33-15. Обмотка дросселя, имеющая ничтожное
омическое сопротивление и значительную индуктив-
индуктивность, находится под напряжением, меняющимся с те-
течением времени по синусоидальному закону. Гистерезис
в железном сердечнике дросселя выражен слабо, и им
можно пренебречь. Токи Фуко тоже ничтожно малы.
Изменения магнитного потока значительны, и в течение
части периода намагниченность сердечника достигает
насыщения.
а) Является ли близким к синусоидальному ток, иду-
идущий по обмотке дросселя?
б) Является ли близким к синусоидальному магнит-
магнитный поток в сердечнике дросселя?
1 Ток в сверхпроводнике течет в узком поверхностном слое
(скин-слое). При пропускании тока высокой частоты по обыч-
обычному проводнику ток также протекает по тонкому поверхност-
поверхностному слою. Это явление и называют скин-эффектом.
212
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
1 \ Rl L2
R2
Ы L2
Rl R2
С1
R1>R2
L2>L1
Рис. 33-6
Ф 33-16. Начертите векторные диаграммы напряже-
напряжений и токов для схем 1—3, изображенных на рисунке
33-6.
• 33-17. Начертите векторные диаграммы токов и на-
напряжений для схем 1—3, изображенных на рисунке 33-7.
@ 33-18. Какой ток пойдет по последовательно сое-
соединенным конденсатору (С = 20 мкФ) и резистору
(R = 150 Ом), если подать на них переменное напряжение
(U = 110 В; / = 50 Гц)? Какие напряжения будут на кон-
конденсаторе и на резисторе?
• 33-19. По последовательно соединенным катушке и
конденсатору электроемкостью 10 мкФ идет ток 1 А час-
частотой 50 Гц. Омическое сопротивление катушки 120 Ом.
Общее напряжение 220 В. Определите индуктивность
катушки.
§ 33. Переменный ток 213
• 33-20. К сети переменного тока A20 В; 50 Гц) при-
присоединены параллельно конденсатор B0 мкФ) и катуш-
катушка A00 Ом; 0,5 Гн). Определите силы тока в конденсато-
конденсаторе, катушке и общую.
# 33-21. Параллельно соединенные реостат F0 Ом) и
катушка B0 Ом; 0,05 Гн) присоединены к сети перемен-
переменного тока E0 Гц). По катушке идет ток 4 А. Какой ток
идет по реостату и чему равен полный ток, идущий от
источника?
А 33-22. Катушка, индуктивность которой равна
0,1 Гн, а омическое сопротивление 2 Ом, соединена по-
последовательно с конденсатором. Эта система присоеди-
присоединена к источнику переменного тока.
а) Какова должна быть электроемкость конденсато-
конденсатора, чтобы при частоте 50 Гц по катушке шел наиболее
сильный ток?
б) Конденсатор выдерживает напряжение не более
400 В. Какое максимальное напряжение можно дать на
эту систему без опасности пробить конденсатор?
@ 33-23. Измерительные приборы на щитке у генера-
генератора переменного тока показывают силу тока 540 А, напря-
напряжение 235 В и мощность 108 кВт. Каков сдвиг фазы ср?
# 33-24. Определите потери мощности в проводке от
магистрали к потребителю при следующих данных: пе-
передаваемая мощность 100 кВт; напряжение на станции
220 В; сопротивление проводки 0,01 Ом; сдвиг фазы 37°.
А 33-25. Дроссель, соединенный последовательно с ре-
резистором сопротивлением R = 20 Ом, присоединен к се-
сети напряжением U = 120 В (f = 50 Гц). При этом дрос-
дроссель находится под напряжением U2 = 91 В, а резистор —
под напряжением Ul = 44 В. Какие мощности Р2 и Рг по-
поглощаются дросселем и резистором?
А 33-26. Дроссель и резистор сопротивлением 50 Ом
присоединены параллельно к сети синусоидального тока.
По дросселю идет ток 2,8 А, по резистору — ток 2,5 А;
из сети потребляется ток 4,5 А. Определите мощности,
потребляемые дросселем и резистором.
214
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
А 33-27. Омическое сопротивление дросселя равно
14 0м, активное 17 0м, полное сопротивление 40 Ом.
Определите потери мощности в железном сердечнике
дросселя, если напряжение, под которым находится
дроссель, равно 120 В.
А 33-28. К магистрали переменного тока, в которой
поддерживается напряжение U — 120 В (/ = 50 Гц), при-
присоединена через дроссель индуктивностью L = 0,05 Гн
и активным сопротивлением Ro = 1 Ом осветительная
сеть жилой квартиры (рис. 33-8).
а) Под каким напряжением
Ux находятся лампы в кварти-
квартире, если общий потребляемый
ток I = 2 А?
б) Какова может быть мак-
максимальная мощность, потреб-
потребляемая сетью в квартире?
в) Какая мощность будет потребляться дросселем, ес-
если в квартире произойдет короткое замыкание?
¦ 33-29. По обмотке дросселя идет переменный ток 2 А
(У = 50 Гц). Максимальная напряженность магнитного
поля в сердечнике 0,8 кА/м. Объем сердечника 50 см3.
На рисунке 33-9 показана петля гистерезиса для железа,
из которого сделан сердечник. Омическое сопротивление
обмотки сердечника равно 0,7 Ом. Токи Фуко в сердечни-
сердечнике практически отсутствуют. Определите: а) мощность,
Рис. 33-8
1,60
1,20
0,80
0,40
0-
0,40
0,80
1,20
1,60
ш
Й
/
1
/
/
/
И
1
/
в
»
Тл
~1 1
N.
.rii
и
и
И
М
1
и
у
**¦
Р
W
т
т
в
- Н, кА/м
0,8 0,4
0 0,4
Рис. 33-9
0,8
§ 33. Переменный ток 215
затрачиваемую на нагревание железного сердечника вслед-
вследствие гистерезиса; б) активное сопротивление дросселя.
А 33-30. В раствор медного купороса (удельное соп-
сопротивление р = 40 Ом • см) опущены две медные плас-
пластинки. Диэлектрическую проницаемость раствора мож-
можно принять равной е = 80. При какой частоте f пропус-
пропускаемого тока емкостное и омическое сопротивления
равны между собой?
А 33-31. Диэлектрик с диэлектрической проница-
проницаемостью е = 2,8 употреблен в качестве изолятора в кон-
конденсаторе. Конденсатор, находясь под напряжением,
поглощает некоторую мощность, причем при / = 50 Гц
коэффициент мощности cos (p = 0,1. Определите удель-
удельное сопротивление диэлектрика.
• 33-32. По двум параллельным проводам текут то-
токи 5 А и 15 А одной и той же частоты, отличающиеся
между собой по фазе на 60°. С какой силой притягива-
притягиваются друг к другу части проводов длиной 1 м, если рас-
расстояние между ними 3 см?
• 33-33. По двум параллельным проводам текут то-
токи, частоты которых равны 500 Гц и 503 Гц. Как они
взаимодействуют?
А 33-34. Какой груз может удержать электромагнит,
питаемый переменным током, если максимальная магнит-
магнитная индукция Вт = 1 Тл, площадь соприкосновения маг-
магнита с грузом S = 2 см2? Предположить, что индукция из-
изменяется по закону В = Вт sin cot и что за отрезок периода,
в течение которого индукция настолько мала, что электро-
электромагнит не может удержать груз, он не успевает упасть.
Ш 33-35. На рисунке 33-10 изо-
изображен разрез телефонного аппа-
аппарата: М — мембрана; К — обмот-
обмотка; А — постоянный магнит; В —
полюсные наконечники из мягко-
мягкого железа.
а) С какой целью вводится в
конструкцию телефона постоян-
постоянный магнит? **ис- 33-10
216 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
б) Какова амплитуда силы, действующей на мембра-
мембрану, при прохождении по обмотке тока I — Im sin coi при
следующих данных: амплитуда тока 1т = 2 • 10~4 А; ин-
индукция в воздушном промежутке при отсутствии тока
в обмотке Во = 0,8 Тл; сечение каждого из полюсных на-
наконечников имеет площадь S = 15 мм2; число витков в
обмотке w = 400; длина воздушного зазора I ~ 0,2 мм.
Указание. Считать, что основной вклад в циркуляцию век-
вектора напряженности вносит магнитное поле воздушных зазо-
зазоров, и принять во внимание, что индукция постоянного магни-
магнита значительно больше индукции, создаваемой током в сердеч-
сердечниках катушки.
• 33-36. Первичная обмотка понижающего транс-
трансформатора находится под напряжением 120 В и потреб-
потребляет ток 0,5 А. Сила тока во вторичной обмотке равна
3 А при напряжении 10 В. Коэффициент полезного дей-
действия трансформатора равен 0,7. Определите сдвиг фазы
в первичной обмотке.
§ 34. Электрические колебания
1) Период свободных колебаний в контуре, включаю-
включающем конденсатор электроемкостью С, катушку индук-
индуктивностью L и резистор сопротивлением R,
L
4L2
1 R2
или при _ » _
Т =
2) Зависимость сила тока от времени в случае затуха-
затухающих колебаний
-At
2L
I = /ое sin cat,
где со = 2nf — циклическая частота.
§ 34. Электрические колебания 217
3) Логарифмический декремент затухания
Ф 34-1. Колебательный контур состоит из катушки
индуктивностью 0,07 Гн и плоского конденсатора с пло-
площадью каждой из обкладок 0,45 м2, разделенных пара-
парафинированной бумагой толщиной 0,1 мм. Определите
период свободных колебаний. Сопротивление ничтожно
мало.
® 34-2. Максимальное напряжение в колебательном
контуре, состоящем из катушки индуктивностью L =
= 5 мкГн и конденсатора электроемкостью С = 0,013 мкФ,
равно Uo = 1,2 В. Сопротивление ничтожно мало. Опре-
Определите: а) эффективную силу тока в контуре; б) макси-
максимальное значение магнитного потока, если число витков
катушки w = 28.
А 34-3. Колебательный контур состоит из катушки
индуктивностью 30 мкГн и сопротивлением 1 Ом и кон-
конденсатора электроемкостью 2,2 нФ. Какую мощность
должен потреблять контур, чтобы в нем поддержива-
поддерживались незатухающие колебания, при которых макси-
максимальное напряжение на конденсаторе равно 0,5 В?
Ш 34-4. Батарея, состоящая из двух конденсаторов
электроемкостью по 2 мкФ каждый, разряжается через
катушку (L = 1 мГн; R = 50 Ом). Возникнут ли при этом
колебания, если конденсаторы соединены: а) параллель-
параллельно? б) последовательно?
А 34-5. Как изменится логарифмический декремент
затухания, если, не меняя длины катушки в контуре,
увеличить число витков на ней в п раз (считать, что диа-
диаметр витков остается без изменения)?
^ 34-6. Какова относительная погрешность, которая
будет сделана, если воспользоваться формулой То = 2л JLC
для вычисления периода колебания контура, состояще-
состоящего из конденсатора электроемкостью С = 5,5 нФ и ка-
катушки с обмоткой из медной проволоки сечением пло-
218 Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
щадью S = 0,2 мм2? Длина катушки I = 50 см. Диаметр
катушки мал по сравнению с ее длиной.
А 34-7. Определите логарифмический декремент за-
затухания контура, электроемкость которого С = 2,2 нФ и
индуктивность L = 150 мкГн, если на поддержание в этом
контуре незатухающих колебаний с максимальным на-
напряжением Um = 0,9 В требуется мощность Р = 10 мкВт.
А 34-8. В контуре, состоящем из катушки и конден-
конденсатора переменной электроемкости, создаются вынуж-
вынужденные колебания. Если электроемкость увеличить на
3 = 0,01 электроемкости, соответствующей резонансу,
то сила тока в контуре убывает в п = 1,5 раза. Определи-
Определите логарифмический декремент затухания.
Ш 34-9. В установке, схема которой показана на ри-
рисунке 34-1, все сопротивления, кроме Щ = 1 Ом и R2 =
= 50 Ом, ничтожно малы. Индуктивность катушки L —
= 0,1 Гн, электроемкость конденсатора С = 1 мкФ, ЭДС
элемента ^ = 1,4В. Ключ К замыкают и, после того как
ток в катушке установится, размыкают.
а) Какова начальная энергия колебаний, которые
возникают в контуре LC после размыкания ключа К1
б) Какова энергия колебаний через 0,2 с после раз-
размыкания ключа?
И 34-10. Контур состоит из катушки сопротивлением
R = 14 Ом и индуктивностью L = 10~5 Гн и конденсатора
электроемкостью С = 0,002 мкФ. Конденсатор С заря-
заряжается от батареи аккумуляторов (рис. 34-2), а затем
присоединяется к катушке L.
а) Найдите логарифмический декремент затухания
колебаний, которые возникнут в контуре.
б) Какая доля периода соответствует изменению си-
силы тока от нуля до максимального значения?
¦ с
Рис. 34-1 Рис. 34-2
§ 34. Электрические колебания 219
в) Найдите отношение между энергиями магнитного
поля в катушке и электрического поля в конденсаторе в
момент максимального значения силы тока.
г) Какая доля периода соответствует изменению на-
напряжения от максимального значения до нуля?
д) Каково значение /0 в формуле силы тока (см. п. 2
введения), если ЭДС батареи равна 3,5 В?
Глава 4
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 35. Волны
1) Связь длины волны Хг скорости волны v и частоты
колебаний f:
2) Скорость продольных волн в тонких стержнях
где Е — модуль упругости (модуль Юнга); D — плот-
плотность вещества.
3) Скорость продольных волн в неограниченной уп-
упругой среде
-Л-
где К — модуль всестороннего сжатия.
4) Скорость поперечных волн в неограниченной уп-
упругой среде
где G — модуль сдвига.
5) Скорость поперечных волн в натянутой нити (стру-
(струне)
где F — сила, растягивающая нить; S — площадь попе-
поперечного сечения нити. Формула справедлива в том слу-
случае, когда напряжение, вызванное сдвигом, мало по от-
отношению к напряжению, вызванному растягивающей
силой.
§ 35.Волны 221
6) Скорость волн в газах
где Y — отношение удельных теплоемкостей газа при
постоянном давлении (с ) и постоянном объеме (cv), т. е.
Су
Для идеальных газов при температуре Т
v=
М '
где R — молярная газовая постоянная; М — молярная
масса газа.
7) Уравнение плоской бегущей гармонической волны,
распространяющейся в положительном направлении
оси X:
где Е, — смещение; ^т — его амплитуда; оэ = 2л/ — цик-
циклическая частота. ^
8) Плотность потока энергии S (вектор Умова) в про-
продольной волне _^
S = Арй,
где Ар — избыточное давление (разность между давле-
давлением в волновом поле1 и давлением в той же среде при
отсутствии волнового процесса); и — скорость частиц
среды при волновом процессе.
9) Связь между амплитудой избыточного давления
Дрт в продольной волне и амплитудой скорости иш час-
частиц среды:
Apm = Dvum,
где D — средняя плотность среды.
1 Волновое поле — область упругой среды, вовлеченная в вол-
волновой процесс.
222 Глава 4. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
10) Интенсивность продольных волн
11) При наличии поглощения в среде интенсивность
плоской волны убывает по закону
I = 10е-Р*,
где р — коэффициент поглощения; I и 10 — интенсив-
интенсивности в начале и в конце поглощающего слоя толщиной х.
12) Скорость электромагнитных волн в среде с ди-
диэлектрической проницаемостью е и магнитной проница-
проницаемостью jj,
13) Плотность потока энергии в электромагнитной
волне (вектор Умова—Пойнтинга)
S = [Е, Н],
где Е и Н — напряженности электрического и магнит-
магнитного полей в волне.
® 35-1. Скорость продольных упругих волн в сталь-
стальном стержне равна 5100 м/с. Определите модуль упру-
упругости стали.
® 35-2. Какова скорость продольных упругих волн в
ртути?
А 35-3. При повышении температуры от 20 до
100 °С скорость продольных волн в медном стержне
убывает на 7,4% скорости при 20 °С. Чему равен сред-
средний температурный коэффициент упругости в этом ин-
интервале температур?
А 35-4. Почему в неограниченном твердом теле не-
невозможны упругие волны, в которых направление коле-
колебаний составляет с направлением распространения волн
угол, отличный от 0° (продольные волны) и от 90° (попе-
(поперечные волны)?
§ 35. Волны 223
А 35-5. Скорость продольных упругих
волн в земной коре равна 14 км/с; скорость
поперечных волн 7,5 км/с. Определите угло-
угловое расстояние от центра землетрясения А
(гипоцентра) до сейсмической станции В
(рис. 35-1), если по записи сейсмографа вид-
видно, что продольные колебания пришли на Рис. 35-1
91 с раньше поперечных (при таком значе-
значении At можно предполагать, что волны рас-
распространяются только по земной коре).
А 35-6. От поверхности Земли вертикально вверх
распространяются звуковые волны. Через какой отре-
отрезок времени t они дойдут до высоты h = 10 км, ес-
если температура воздуха у поверхности Земли равна
16 °С, а градиент температуры в атмосфере равен k =
= -0,007 К/м?
® 35-7. Скорость продольных звуковых волн в кисло-
кислороде при нормальных условиях равна 3,172 ¦ 104 см/с.
Определите отношение cp/cv.
# 35-8. Найдите отношение скорости продольных
звуковых волн в газе к средней скорости теплового дви-
движения молекул в нем.
# 35-9. При отражении упругих волн, падающих на
границу двух сред с разными волновыми сопротивле-
сопротивлениями, происходит изменение направления вектора
Умова на противоположное, т. е. меняется или знак Ар,
или направление вектора и. В каком случае происходит
первое изменение и в каком — второе?
# 35-10. Определите частоты колебаний для стоячих
звуковых волн в трубе длиной 80 см: а) открытой; б) за-
закрытой. Температура воздуха в трубе 16 °С.
^ 35-11. В двух одинаковых закрытых трубах дли-
длиной по 60 см образуются стоячие звуковые волны. Из-за
различия температур воздуха в трубах частоты этих
волн немного различаются, и в результате получаются
биения частотой 1Гц. Температура воздуха в трубе, даю-
дающей более низкий тон, равна 16 °С. Какова температура
воздуха в другой трубе?
224 Глава 4. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
9 35-12. Две одинаковые струны длиной по 1 м на-
настроены в унисон. Если одну из струн укоротить на
0,5 см, то струны при звучании дают биения с частотой
2 Гц. Определите частоту тона струны (до укорачива-
укорачивания).
Ф 35-13. На нити образовались стоячие волны, при-
причем расстояния между точками, в которых колебания
происходят с амплитудой 3 мм, равны 3 и 7 см. Найдите
длину волны и амплитуду в середине пучности.
А 35-14. На нити образовались стоячие волны. Ка-
Какую долю от силы натяжения нити (при отсутствии
волн) составляет амплитуда колебаний натяжения в уз-
узлах, если амплитуда смещений в середине нити равна
0,1 расстояния между узлами? Принять, что проекция
силы натяжения нити на направление покоящейся нити
равна силе ее натяжения при отсутствии волн.
# 35-15. Определите три наименьшие частоты, при
которых в медном стержне длиной 90 см, закрепленном
в середине, возникнут стоячие продольные волны.
# 35-16. В цилиндрической трубе диаметром 5 см,
внутри которой находится воздух, распространяются
звуковые волны. Интенсивность волн равна 8 ¦ 10~3 Вт/м2,
частота 300 Гц.
а) Какую энергию переносит каждая волна через по-
поперечное сечение трубы за время, равное периоду?
б) Чему равны средняя и максимальная плотности
энергии в волнах, если температура воздуха 10 °С?
А 35-17. Определите полную мощность источника
продольных звуковых волн в воздухе, если в любом на-
направлении на расстоянии 100 м от него амплитуда дав-
давления равна 9 Па. Давление нормальное, температура
воздуха 20 °С, поглощение ничтожно.
А 35-18. Интенсивность волн на расстоянии 20 м от
источника равна 30 • 10~6Вт/м2. Какова интенсивность
волн на расстоянии 100 м от источника, если коэффици-
коэффициент поглощения равен 5 • 10~5 см?
® 35-19. Плотность энергии в некоторой точке упру-
упругой среды спустя 0,01 с после прохождения максимума
§ 35. Волны 225
синусоидальной волны равна 0,2 максимальной. Чему
равна частота колебаний в волне?
# 35-20. Определите длину волны, соответствующую
колебательному контуру, состоящему из катушки ин-
индуктивностью 1,2 • 10~3 Гн и конденсатора электроемко-
электроемкостью 3 • 10~2 мкФ. Сопротивление контура ничтожно мало.
# 35-21. Какова скорость электромагнитных волн в ке-
керосине?
® 35-22. Имеются два параллельных провода, одни
концы которых изолированы, а другие связаны индук-
индуктивной или емкостной связью с генератором колебаний
(рис. 35-2, а). При правильном подборе частоты колебаний
в системе возникают стоячие электромагнитные волны.
а) Зависит ли длина стоячих волн от толщины прово-
проводов и расстояния между ними?
б) На рисунке 35-2, б стрелками показаны разной
длины векторы напряженности электрического поля в
точках, находящихся посередине между проводами на
протяжении одной стоячей волны для момента, когда
токи в проводах и магнитное поле отсутствуют. Где на
проводах находятся положительные и отрицательные
заряды? Изобразите их распределение вдоль проводов
плюсами и минусами разных размеров соответственно
их плотностям.
в) Как изменится распределение зарядов через одну
четверть периода? Изобразите распределение токов в про-
проводах и медной пластине (мост) стрелками разной длины.
а) Мост
Пружины
От гене-
ратора
1 I I
ill 8
Рис. 35-2
8-9038
226 Глава 4. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
Изобразите напряженности магнитного поля в точках,
находящихся на середине расстояния между провода-
проводами, значками ® и О разной величины.
г) Каковы будут напряженности электрического и маг-
магнитного полей через 0,5 периода и 0,75 периода? Сде-
Сделайте соответствующие рисунки.
д) От чего зависит амплитуда колебаний в системе?
Почему при увеличении числа стоячих волн, образую-
образующихся в системе (что достигается отодвиганием моста
дальше от генератора), амплитуда колебаний уменьша-
уменьшается?
е) Расстояние между двумя пучностями в системе
при погружении проводов в спирт равно 40 см. Какова
частота колебаний?
Указание. При ответах на все вопросы, кроме вопроса д),
принять, что сопротивление проводов ничтожно мало.
А 35-23. Излучение антенны полевой радиостанции
имеет мощность 50 Вт. Какова средняя напряженность
электрического поля при приеме на наземную антенну,
находящуюся на расстоянии 80 км от радиостанции?
Указание. Принять во внимание, что интенсивность излуче-
излучения по направлению, перпендикулярному антенне, в 3 раза
больше той, которая имела бы место при равномерном излуче-
излучении по всем направлениям.
Ш 35-24. Три наблюдателя находятся на одной пря-
прямой на расстоянии 10 км друг от друга и измеряют мак-
максимальную напряженность электрического поля в элек-
электромагнитных волнах, излучаемых некоторым источни-
источником. Где находится источник волн, если напряженности
поля у крайних наблюдателей одинаковы, а у среднего
на 10% больше?
А 35-25. На рисунке 35-3, а показаны две системы
плоских электромагнитных волн (I и II); длины волн
одинаковы; направления распространения составляют
угол 2и. Векторы Е лежат в плоскости чертежа и изо-
изображены стрелками. Векторы Н перпендикулярны плос-
плоскости чертежа и изображены кружками с точкой (век-
(вектор направлен на читателя) или с крестиком (вектор на-
§ 35. Волны
227
правлен от читателя). Показаны также векторы Умова—
Пойнтинга S для тех же точек. На рисунке 35-3, б те же
системы волн показаны наложенными друг на друга.
а) Начертите векторы Умова—Пойнтинга во всех
точках волнового поля, отмеченных на рисунке 35-3, б
черными точками.
б) Найдите расстояние х между направлениями, в ко-
которых векторы Умова—Пойнтинга имеют максималь-
максимальное значение, если угол 2и = 1' и длины волн равны X =
= 0,5 мкм.
Ш 35-26. Предположим, что два пучка электронов
движутся параллельно друг другу в вакууме со скоро-
скоростью, в т раз меньшей скорости света. Что больше: си-
сила, с которой пучки электронов отталкиваются вслед-
вследствие электростатического взаимодействия, или сила, с
коротой они притягиваются вследствие магнитного
взаимодействия?
228 Глава 4. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 36. Звуковые явления
1) Уровень громкости звука
h АРо
где индексами 0 отмечены величины, соответствующие
порогу слышимости для звука данной частоты.
2) Эффект Доплера. Воспринимаемая наблюдателем
частота звука:
а) в случае движения источника звука частотой / со
скоростью уист
где v — скорость звука; знак «+» соответствует удале-
удалению источника от наблюдателя.
б) в случае движения наблюдателя со скоростью инабл
г = f{\ ±
знак «+» соответствует движению наблюдателя по нап-
направлению к источнику.
# 36-1. Какую долю от средней скорости молекул
воздуха составляет максимальная скорость молекул в плос-
плоских волнах, если амплитуда давления:
а) Дрт1 = 900 Па (сильный звук, вызывающий боль
в ушах)?
б) Арт2 = 9 • 10~Па (еле слышный звук)?
Давление воздуха нормальное.
® 36-2. Какова амплитуда смещения в звуковой вол-
волне в воздухе при речи средней громкости (максимальное
давление около 90 Па) при частоте 400 Гц? Давление
нормальное, температура воздуха 20 °С.
# 36-3. В воздухе при температуре 2 7 °С и нормаль-
нормальном давлении распространяется звуковая волна, ампли-
амплитуда давления которой 900 Па (сильный звук, вызываю-
вызывающий боль в ушах). Определите температуру в областях
максимального давления.
§ 36. Звуковые явления
229
9 36-4. Иногда на большом расстоянии голос слы-
слышен, но слов разобрать нельзя. Чем это объясняется?
# 36-5. Два звука разнятся по уровню громкости на
1 дБ. Определите: а) отношение их интенсивностей;
б) отношение амплитуд давлений.
Ш 36-6. При амплитуде давления 10 Па уровень
громкости звука равен 60 дБ. Какова амплитуда дав-
давления для звука той же частоты на пороге слыши-
слышимости?
А 36-7. Звук распространяется по трубе длиной 50 м.
Средний коэффициент поглощения можно принять рав-
равным 10~4см~1. Каков уровень громкости звука у конца
трубы, если у начала он равен 60 дБ?
А 36-8. На расстоянии 10 м от источника звука, раз-
размеры которого малы, уровень громкости звука равен
20 дБ. Пренебрегая поглощением, вычислите: а) уро-
уровень громкости на расстоянии 5 м; б) на каком расстоя-
расстоянии звук не слышен.
А 36-9. Наблюдатель, находящийся на расстоянии
10 м от звучащего камертона, отметил исчезновение
звука камертона на 20 с раньше, чем наблюдатель, на-
находящийся на расстоянии 1 м. Определите коэффици-
коэффициент затухания колебаний камертона.
А 36-10. На рисунке 36-1 дана диаграмма, показы-
о
S
а
100
10
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
4
у
\
ч
О
Граница
щущения боли
Г/
\
ч,
эаница слухового
ощущения
i i J
Г
у
Л
¦
i
г
0 32 128 512 2048 8192 32768
Частота, Гц
Рис. 36-1
230 Глава 4. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
вающая свойства человеческого слуха (амплитуды дав-
давлений даны в Па). Пользуясь ею, определите:
а) интенсивность звука на нижней границе слуха (по-
(порог слышимости) и на верхней границе слуха (ощуще-
(ощущение боли) для частот 256 Гц и 2048 Гц;
б) уровень громкости звука при амплитуде давления
10 Па для частот 32 Гц и 2048 Гц;
в) уровень громкости звука при мощности источника
звука 10~5Вт (человеческая речь) на частоте 256 Гц на
расстоянии 5 м;
г) мощность источника звука при уровне громкости
50 дБ на расстоянии 10 м (частота 1024 Гц).
Указание. При пользовании диаграммой ограничиваться
следующими приближенными значениями: lg 1,6 = 0,2;
lg 2 - 0,3; lg 3 = 0,5; lg 4 - 0,6; lg 5 - 0,7; lg 6 = 0,8; lg 8 =
= 0,9.
A 36-11. В струнных музыкальных инструментах
(например, в рояле) для получения низких тонов приме-
применяют стальную проволоку того же диаметра, как для
средних и высоких тонов. Так как для низких тонов
нужна большая масса струны, то на стальную проволо-
проволоку навивают медную проволоку (канитель), не доводя ее
до самых концов струны.
а) Почему нельзя для струн низких тонов применять
толстую стальную проволоку без канители?
б) Как влияет наличие канители на затухание основ-
основного тона и обертонов?
® 36-12. Частота основного тона гудка электровоза
650 Гц. Какова кажущаяся частота гудка для наблюда-
наблюдателя, к которому электровоз приближается со скоро-
скоростью 54 км/ч? Температура воздуха 16 °С.
® 36-13. а) Наблюдателю, слушающему гудок авто-
автомобиля, кажется, что при приближении автомобиля
частота основного тона гудка больше в - раза, чем при
8
удалении. Определите скорость автомобиля, приняв ско-
скорость звука в воздухе равной 340 м/с. Считать воздух не-
неподвижным.
§ 36. Звуковые явления 231
б) Ответьте на тот же вопрос в случае, если гудящий
автомобиль неподвижен, а наблюдатель находится в ав-
автомобиле, сначала приближающемся, а затем удаляю-
удаляющемся от гудящего автомобиля.
9 36-14. Машинист поезда, двужущегося со скоро-
скоростью 72 км/ч, дает свисток в течение 2 с. Какова про-
продолжительность звука, воспринятого неподвижным на-
наблюдателем, если паровоз: а) приближается к нему?
б) удаляется от него? Температура воздуха -17 °С.
Глава 5
ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
§ 37. Фотометрия
1) Кривая относительной спектральной чувствитель-
чувствительности V(X) нормального глаза показана на рисунке 37-1.
Поток энергии Фв, соответствующий световому пото-
потоку Ф для монохроматического света с длиной волны X:
Фе = ФУ(Х) ¦ А,
где А = 0,0016 Вт/лм — коэффициент перевода фото-
фотометрических величин в энергетические.
2) Сила света источника по данному направлению
где dQ — малый телесный угол, содержащий данное на-
направление; с1Ф — световой лоток, распространяющийся
от источника внутри этого угла.
Для изотропного источника
V
1.0
0,8
0,6
0,4
0,2
¦¦
J
j
>
/
/
/
/
/
/
/
/
i
г
S
V
*
V
*
1
\
V
\
\
\
\
\
V
S
400 450 500 550 600 650 700 750
Рис 37-1 А" нм
§ 37. Фотометрия 233
где Ф — суммарный световой поток, излучаемый источ-
источником.
3) Светимость источника
-й-
где dФ — световой поток, испускаемый с площади dS
поверхности источника.
4) Яркость светящейся поверхности площадью dS по
направлению, составляющему угол 8 с нормалью к по-
поверхности:
~ d-S cose'
где I — сила света по этому направлению.
5) Если источник излучает по закону Ламберта (т. е.
его яркость не зависит от направления), то
Для ламбертовских источников сила света по направ-
направлению, составляющему угол 0 с нормалью к излучаю-
излучающей поверхности:
I = Io cos 0,
где 10 — сила света в направлении нормали.
6) Освещенность поверхности, создаваемая точечным
источником силой света I, находящимся на расстоянии
г от поверхности:
т-, / cos a
где а — угол падения света на поверхность.
# 37-1. Найдите с помощью рисунка 37-1 поток энер-
энергии, соответствующий световому потоку 1,0 лм, если
свет монохроматический и длина волны равна: а) 610 нм;
б) 520 нм.
# 37-2. Определите освещенность на расстоянии 4 м от
источника света, если сила света равна 180 кд и лучи пада-
падают под углом 37° к нормали к освещаемой поверхности.
234
Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
А 37-3. Над полусферой находится точечный источ-
источник света (I = 50 кд) на высоте, равной диаметру полу-
полусферы (рис. 37-2). Определите освещенность в той точке
поверхности полусферы, в которой лучи падают под уг-
углом а = 35°. Радиус полусферы г = 1 м.
А 37-4. Точечный источник света S освещает поверх-
поверхность MN (рис. 37-3). Как изменится освещенность в точ-
точке А, в которой лучи от S падают на поверхность нор-
нормально, если сбоку от S на таком же расстоянии, как и
освещаемая поверхность, поместить зеркало Z, отража-
отражающее свет в точку А? Коэффициент отражения принять
равным 1.
А 37-5. Прожектор установлен на высоте 15 м над ос-
освещаемой поверхностью. В некоторой точке поверхно-
поверхности освещенность горизонтальной плоскости равна
10 лк, а наибольшая освещенность вертикальной плос-
плоскости в той же точке 20 лк. Определите силу света про-
прожектора по направлению к этой точке.
А 37-6. Над горизонтальной поверхностью MN поме-
помещены на высоте 2 м и на расстоянии 1 м друг от друга
два источника света, дающие световые потоки по 300 лм
каждый. Определите освещенность на поверхности MN:
а) в точках под источниками света; б) на середине рас-
расстояния между ними.
А. 37-7. На рисунке 37-4 показана кривая 1 распреде-
распределения силы света для «условной» лампы, дающей свето-
световой поток 1000 лм, снабженной светильником (прибо-
(прибором для распределения света), предназначенным для ос-
освещения улиц и больших цехов. В светильник помещена
М
Рис. 37-2
W//////////////////////////
Рис. 37-3
§ 37. Фотометрия
235
лампа, дающая световой поток 3050 лм B00 Вт). Све-
Светильник подвешен на высоте 5 м над землей. Определи-
Определите освещенность поверхности: а) в точке А, находящей-
находящейся под светильником; б) в точке В, удаленной на 7 м от
точки А; в) в тех же точках для лампы без светильника
(пунктирная кривая 2).
А 37-8. В вершинах равностороннего треугольника
помещены три одинаковых источника света. Покажите,
что маленькая пластинка, помещенная в центре треуголь-
треугольника под произвольным углом к его сторонам, освещена
одинаково с обеих сторон.
180° 165° 155° 145° 135°
236 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
А 37-9. Для изготовления фотоснимка при освеще-
освещении лампой силой света 40 кд, находящейся от него на
расстоянии 1 м, требуется экспозиция 2 с. Какая требу-
требуется экспозиция при освещении лампой 30 кд, находя-
находящейся на расстоянии 1,5 м? Предполагается, что общие
количества энергии, полученной фотобумагой, должны
быть в первом и втором случаях одинаковыми.
А 37-10. При фотографировании объекта, освещенно-
освещенного 100-ваттной лампой, находящейся на расстоянии 1 м
от него, требуется экспозиция 8 с. Какой должна быть
продолжительность экспозиции при освещении двумя
100-ваттными лампами, помещенными на расстояниях
3 и 4 м от объекта, если общие количества энергии, по-
попавшей на светочувствительную пластинку, должны
быть в обоих случаях одинаковыми?
А 37-11. На рисунке 37-5, изображающем орбиту
Земли 3 вокруг Солнца С, проведена произвольная пря-
прямая АСВ. Покажите, что общие количества световой
энергии, получаемые Землей от Солнца за время
прохождения участков АтВ и ВпА орбиты, одинаковы.
# 37-12. Лампа накаливания, потребляющая мощ-
мощность 40 Вт, дает световой поток 380 лм. 40% этого по-
потока направлены на поверхность площадью 5 м2. Опре-
Определите среднюю освещенность этой поверхности.
А 37-13. Общий световой поток, излучаемый прямой
накаленной нитью длиной I = 60 см, равен Ф = 132 лм.
Определите наибольшую освещенность плоской поверх-
поверхности, помещенной параллельно нити на расстоянии а —
Рис. 37-5
§ 37. Фотометрия 237
= 5 см от нее (имеется в виду место, находящееся про-
против середины нити).
# 37-14. Источник света имеет форму куба, ребро ко-
которого равно 10 см. Максимальная сила света равна 90 кд.
Определите яркость источника.
^ 37-15. Источник света заключен в цилиндр, боко-
боковая поверхность которого непрозрачна, а дно прозрачно
и рассеивает свет по закону Ламберта. Источник поме-
помещен над центром круглого стола, радиус которого Ъ = 70 см
(рис. 37-6). На краю стола лежит книга А. Яркость ис-
источника В = 8000 кд/м2, площадь светящей поверхно-
поверхности S = 100 см2.
а) На какой высоте h надо поместить источник света,
чтобы книга была максимально освещена? Чему равна
эта освещенность?
б) Какова наибольшая освещенность стены, отстоя-
отстоящей от центра стола на расстоянии ! = 1,5 м?
® 37-16. Какова светимость волоска электрической
лампы, если излучаемый ею световой поток равен
400 лм, длина волоска 60 см, а его диаметр 0,04 мм?
# 37-17. На экран площадью 3 м2, рассеивающий
свет с коэффициентом отражения 0,8, падает световой
поток 150 лм. Определите: а) светимость экрана; б) яр-
яркость экрана.
^ 37-18. Светящаяся часть люминесцентной лампы
мощностью 15 Вт имеет форму цилиндра длиной 42 см и
диаметром 2,24 см. Яркость лампы равна 5 • 103 кд/м2.
Определите ее КПД.
А. 37-19. Сквозь отверстие в ставне в комнату падает
пучок солнечных лучей, образующих «зайчик» на листе
белой бумаги, лежащей на полу. Площадь «зайчика»
80 см2 и освещенность 10 000 лк; коэффициент отраже-
отражения бумаги равен 0,8. Найдите, чему равна освещенность:
а) потолка комнаты над листом бумаги, если высота
комнаты равна 4 м;
б) стены на высоте 2 м от пола, если стена отстоит на
3 м от «зайчика» и перпендикулярна плоскости паде-
падения луча на пол.
238 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
§ 38. Геометрическая оптика
1) Формула сферического зеркала
1 + 1 - 2 _ 1 =D
где хну — расстояния точки и ее изображения от вер-
вершины зеркала; R — радиус сферы; f — фокусное рас-
расстояние; D — оптическая сила. Здесь и далее положи-
положительными считаются расстояния, отсчитываемые по на-
направлению распространения света.
2) Закон преломления света на границе двух сред
п1 sin i1 = n2 sin i2,
где ix и i2 — углы падения и преломления; п1и п2 — ко-
коэффициенты преломления первой и второй сред для
данной длины световой волны.
В задачах данного параграфа (за исключением особо
оговоренных случаев) имеют в виду указанные в табли-
таблице XXVIII средние коэффициенты преломления лучей
видимого света.
3) Связь между углом наименьшего отклонения в приз-
призме ет и преломляющим углом призмы 0:
ni sin J?2~ = n2 sin | >
где Пу и п2 — соответственно коэффициенты преломле-
преломления среды, окружающей призму, и материала, из кото-
которого сделана призма.
4) Отклонение луча в призме с малым преломляю-
преломляющим углом 0
5) При прохождении параксиального пучка лучей
света сквозь сферическую поверхность, разделяющую
среды с коэффициентами преломления п1 и п2, имеет
место соотношение
, RJ ?\а9 R
§ 38. Геометрическая оптика
239
где а1 и а2 — расстояния сопряженных точек от сфери-
сферической поверхности; R — ее радиус.
Отсюда
а1 а2
где D — оптическая сила сферической поверхности раз-
раздела сред:
^ п« — пл
R
6) Формула линзы
1 , 1 _ л
-— + — - D,
где
и а2 ¦— расстояния со-
сопряженных точек от главных
плоскостей линзы. Главные
плоскости Нг и Н2 отстоят от
вершин сферических поверх-
поверхностей линзы (или от плоских
поверхностей) на расстояниях
х1 и х2 (рис. 38-1), равных
хл = -с
х2 =
где d — толщина линзы; D1 и D2 — оптические силы ее
поверхностей; D — оптическая сила всей линзы, равная
D = Z>1 + D2- —DXD2.
7) В случае тонкой линзы (толщина линзы d мала)
расстояния аг и а2 можно без существенной погреш-
погрешности отсчитывать от плоскости, проходящей через не-
некоторую среднюю точку линзы. Это не относится к ме-
менисковым линзам, у которых поверхности имеют значи-
значительную кривизну и поэтому погрешность может быть
большой.
240 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
Оптическая сила тонкой линзы
8) Оптическая сила системы двух центрированных
линз с оптическими силами Dx и D2
D = Dx + D2 - А • DXD2 = -S • DJ)^,
где Д — расстояние от второй главной плоскости первой
линзы до первой главной плоскости второй линзы; S —
оптический интервал системы (расстояние между вто-
вторым фокусом первой линзы и первым фокусом второй
линзы; у отрицательных линз первый фокус находится
сзади линзы, а второй — спереди).
9) Светосила объектива
C = Dd,
где d — диаметр входного отверстия.
10) Увеличение угла зрения оптическими приборами
N = tgoc
tga0'
где a — угол зрения, под которым предмет виден сквозь
прибор; а0 — угол зрения, под которым предмет виден
невооруженным глазом (в случае лупы и микроскопа
под а0 подразумевается угол зрения при наблюдении
предмета, находящегося на расстоянии наилучшего зре-
зрения Lo = 25 см).
Формулы увеличения:
а) лупы
N = DL0;
б) микроскопа (Dl и D2 — оптические силы объекти-
объектива и окуляра)
в) труб Кеплера и Галилея
§ 38. Геометрическая оптика 241
Приведенные формулы увеличения относятся к случаю,
когда глаз наблюдателя аккомодирован на бесконечность.
• 38-1. Небольшой предмет расположен между двумя
плоскими зеркалами, поставленными под углом а = 32°,
на расстоянии г = 10 см от линии пересечения зеркал
ближе к одному из зеркал.
а) На каком расстоянии х друг от друга находятся
первые мнимые изображения предмета в зеркалах?
б) Как сместится середина отрезка прямой, соеди-
соединяющей два изображения предмета, если предмет сдви-
сдвинуть на I — 2 см так, чтобы его расстояние от линии пе-
пересечения зеркал осталось неизменным?
А 38-2. Луч света падает на одно из зеркал, состав-
составляющих двугранный угол 20°, параллельно плоскости,
делящей угол пополам, под прямым углом к линии пе-
пересечения зеркал. Как луч идет дальше? Чему равна си-
сила света по выходе луча из двугранного угла, если на-
начальная сила света равна 10 кд и если при каждом отра-
отражении сила света уменьшается в два раза?
А 38-3. Три плоских зеркала расположены взаимно
перпендикулярно. Покажите, что луч, упавший под про-
произвольным углом на одно из зеркал и отразившийся на
второе, а затем на третье зеркало, после трех отражений
идет противоположно прежнему направлению.
• 38-4. Волосок маленькой электрической лампочки
находится на расстоянии 24 см от вершины вогнутого
зеркала с фокусным расстоянием 20 см.
а) Где надо поставить экран, покрытый белой бума-
бумагой, чтобы получить на нем четкое изображение нака-
накаленного волоска?
б) Определите яркость этого изображения при сле-
следующих условиях: лампочка дает световой поток 10 лм;
на зеркало падает 0,2 этого потока; коэффициент отра-
отражения бумаги равен 0,8; волосок имеет длину 2 см и
диаметр 0,1 мм.
А 38-5. Луч света падает на вогнутое сферическое
зеркало радиусом R параллельно оптической оси ОО' на
242 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
a
(У—*
a)
_^ \A M ——M
О 6)
M ; M
Рис. 38-2 Рис. 38-3
расстоянии а от нее (рис. 38-2) и после отражения пере-
пересекает оптическую ось ООГ в точке В. Найдите отноше-
отношение между а и R, при котором относительная ошибка,
которую мы делаем, принимая ОВ = 0,5Я, равна 1%.
• 38-6. Вогнутое сферическое зеркало, радиус опра-
оправы которого — величина того же порядка, что и радиус
кривизны зеркала, дает на экране размытое действи-
действительное изображение. Почему же при рассматривании
этого изображения в зеркале мы видим его четким (хотя
и искаженным)?
• 38-7. Наблюдатель смотрит сквозь тонкую стек-
стеклянную пластинку на свое изображение в выпуклом
зеркале и, перемещая пластинку, добивается, что изо-
изображения его глаза, видимые в зеркале и стеклянной
пластинке, налагаются друг на друга и не смещаются
при покачивании головы (отсутствует параллакс). На
каком расстоянии от глаза наблюдателя помещена плас-
пластинка, если фокусное расстояние зеркала равно 10 см и
глаз отдален от его вершины на 40 см?
• 38-8. На рисунке 38-3, а, б показаны положения
оптической оси сферического зеркала ММ, светящейся
точки S и ее изображения S'. Найдите построением по-
положения вершины зеркала и его центра для обоих слу-
случаев.
Ф 38-9. Высота Солнца над горизонтом равна 20°.
Пользуясь плоским зеркалом, пускают «зайчик» в воду
пруда. Как надо расположить зеркало, чтобы отражен-
отраженный от него луч шел в воде под углом 60° к горизонту?
§ 38. Геометрическая оптика 243
Ф 38-10. Каков предельный угол полного отражения
при падении луча на границу стекло — вода?
А 38-11. Лучи, исходящие из какой-либо точки пред-
предмета, находящегося в воде, проходят сквозь плоскую
границу между водой и воздухом.
а) Докажите, что продолжения направлений прелом-
преломленных лучей в сторону воды не пересекаются в одной
точке.
б) Докажите, что продолжения лучей, исходящих из
одной точки и прошедших сквозь плоскопараллельную
пластину, тоже не пересекаются в одной точке.
в) Почему, несмотря на это, мы видим дно водоема
или предметы за прозрачной плоскопараллельной плас-
пластинкой вполне четко?
А 38-12. Наблюдатель смотрит на предмет, лежащий
на дне водоема. Ему кажется, что предмет находится на
глубине h = 1 м на расстоянии I = 5 м от его глаз по пря-
прямой линии. Глаза наблюдателя находятся на одной и
той же высоте, а именно на высоте Н = 1,5 м над по-
поверхностью воды. На какой глубине h0 лежит предмет?
@ 38-13. Человек смотрит на свое изображение в зер-
зеркале, положенном на дно сосуда, наполненного водой.
На какое расстояние аккомодирован глаз человека, если
он находится на высоте 10 см над уровнем воды, а зерка-
зеркало — на глубине 8 см под уровнем воды?
• 38-14. В воде идут два параллель-
параллельных луча 1 и 2 (рис. 38-4). Луч 1 вы-
выходит в воздух непосредственно, а луч
2 проходит сквозь горизонтальную
плоскопараллельную стеклянную плас- р .,0 л
тинку.
а) Будут ли лучи 1 и 2 параллельны по выходе в воз-
дух?
б) Выйдет ли в воздух луч 2, если луч 1 испытывает
полное отражение?
А 38-15. Луч падает на плоскую стеклянную плас-
пластинку толщиной 3 см под углом 70°. Определите смеще-
смещение луча внутри пластинки.
244 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
Ф 38-16. Пучок света проходит сквозь несколько про-
прозрачных плоскопараллельных пластин. При каждом
преломлении теряется 0,1 светового потока; внутри
каждой пластины поглощается 0,2 светового потока.
Какова сила света, прошедшего сквозь 5 пластин, если
начальное ее значение равно 10 кд?
• 38-17. При рассматривании предметов сквозь приз-
призму наибольшая отчетливость получается При наимень-
наименьшем отклонении лучей. Почему?
Ф 38-18. Приставив призму к глазу, мы видим сквозь
нее прямые линии, параллельные ребру призмы, в виде
дуг. Объяснить явление.
А 38-19. а) Чему равен преломляющий угол у стек-
стеклянной призмы, если угол наименьшего отклонения ра-
равен преломляющему углу?
б) Каков должен быть коэффициент преломления ве-
вещества, из которого сделана призма, чтобы условие а)
могло быть выполнено?
А 38-20. Полая стеклянная призма с преломляющим
углом 60е находится в воде. Определите угол наиболь-
наибольшего отклонения луча в призме. Решение поясните чер-
чертежом.
А. 38-21. Имеются две одинаковые призмы с прелом-
преломляющими углами 0, дающие угол наименьшего отклоне-
отклонения ет. Как следует расположить их, чтобы луч, прохо-
проходя сквозь призмы, в каждой из них отклонялся на
угол ет?
# 38-22. У призмы с преломляющим углом 50° угол
наименьшего отклонения 35°. Каким будет угол наимень-
наименьшего отклонения, если погрузить эту призму в воду?
А 38-23. Для получения с помощью проекционного
аппарата проекций опытов в прямом, а не перевернутом
виде используют «оборотную призму», преломляющий
угол которой равен 90°.
Начертите, как идут в призме и за ней лучи 1 и 2, па-
падающие на призму параллельно стороне АВ (рис. 38-5).
Изменяется ли расстояние между лучами? Одинаковы
ли длины путей первого и второго лучей внутри стекла?
§ 38. Геометрическая оптика
245
Рис. 38-5
Рис. 38-6
А 38-24. При каких условиях луч, падающий на пер-
первую грань стеклянной призмы в плоскости, перпендику-
перпендикулярной ребру преломляющего угла 9, проходит сквозь
вторую грань? Рассмотрите случаи: а) Э > 2Р0 (Ро — пре-
предельный угол для стекла); б) 6 = C0; в) Э < C0. Ответы пояс-
поясните чертежами.
^ 38-25. Гало, т. е. светлые круги вокруг Солнца
(или Луны), видимые в морозные дни, являются резуль-
результатом преломления света в ледяных кристаллах, взве-
взвешенных в воздухе и имеющих форму шестигранных
призм. Угловые радиусы кругов 22° и 46° соответствуют
углам наименьшего отклонения лучей, идущих от Солн-
Солнца. Какие грани в ледяных призмах образуют прелом-
преломляющие углы, соответствующие этим кругам?
^ 38-26. В каких пределах возможно изменение угла
отклонения, который может дать стеклянная призма с
преломляющим углом 9 = 60°?
• 38-27. На тонкостенную сферическую колбу, напол-
наполненную жидкостью, падает параллельный пучок лучей
света, диаметр сечения которого значительно меньше диа-
диаметра колбы. На противоположной стороне колбы пучок
света освещает кружок, диаметр которого в два раза
меньше диаметра пучка, падающего на колбу (рис. 38-6).
Определите показатель преломления жидкости.
@ 38-28. Чему равно фокусное расстояние тонкой
двояковыпуклой стеклянной линзы, если радиусы ее
поверхностей одинаковы и равны 13 см?
^ 38-29. На рисунке 38-7 показаны сечения двух не-
несимметричных стеклянных линз. Принимая их за тон-
246
Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
Cl _, С2,
Рис. 38-7
Рис. 38-8
Рис 38-9
кие, определите оптические силы этих линз, если для
первой линзы 4г = 40 мм, &х = 5 мм, с1 = 3 мм, для вто-
второй линзы d2 = 40 мм, &2 = 1,5 мм, с2 = 3 мм.
• 38-30. Оптическая сила тонкой стеклянной линзы
в воздухе равна +5,5 дптр. Какова оптическая сила той
же линзы, погруженной в воду?
• 38-31. Тонкая стеклянная линза имеет оптическую
силу +5 дптр. Та же линза, погруженная в жидкость,
действует как линза с оптической силой -1 дптр. Опре-
Определите показатель преломления жидкости.
А 38-32. Тонкая плоско-вогнутая линза опущена в во-
воду в горизонтальном положении вогнутой поверхностью
вниз так, что пространство под ней заполнено воздухом
(рис. 38-8). Радиус вогнутой поверхности равен 15 см.
Чему равно фокусное расстояние такой системы?
^ 38-33. Горизонтально расположенное вогнутое зер-
зеркало заполнено водой (рис. 38-9). Радиус зеркала 60 см.
Каково фокусное расстояние такой системы? Наиболь-
Наибольшая глубина воды в зеркале мала по сравнению с ради-
радиусом сферы.
• 38-34. На рисунке 38-10 показаны положения тон-
тонкой собирающей линзы LL и ее фокусов Fl и F2. Найди-
Найдите построением ход произвольного луча АВ после линзы.
Ф 38-35. На рисунке 38-11, а, б показаны положения
оптической оси ММ тонкой линзы, светящейся точки S
и ее изображения S'. Найдите построением положения
центра линзы и ее фокусов для обоих случаев.
§ 38. Геометрическая оптика
247
а)
М
М
б)
М-
-м
Рис. 38-10 Рис. 38-11
Ф 38-36. На рисунке 38-12 показаны положения оп-
оптической оси тонкой линзы LL и ход проходящего
сквозь нее луча ABC. Найдите построением ход произ-
произвольного луча DE за линзой.
Я 38-37. Чтобы найти положение изображения точки
S-p лежащей на главной оптической оси тонкой соби-
собирающей линзы, можно выполнить следующее постро-
построение: из оптического центра линзы О восставить перпен-
перпендикуляр к оси и отложить на нем фокусное расстояние
линзы ОА = f (рис. 38-13). Затем из точки О провести
прямую ОК под углом 45° к оси. Из точки В пересече-
пересечения продолжения SjA и прямой ОК опустить перпенди-
перпендикуляр на ось. Его основание есть искомая точка S2. До-
Докажите правильность такого построения: а) для точек,
лежащих за фокусом; б) для точек, лежащих между фо-
фокусом и линзой.
Ф 38-38. Диапозитив имеет размер 8 х 8 см. Опреде-
Определите оптическую силу тонкой собирающей линзы, кото-
Рис. 38-13
248 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
рая может служить объективом проекционного аппара-
аппарата, если изображение диапозитива на экране должно
иметь размеры 1,2 х 1,2 м. Расстояние от объектива до
экрана равно 4 м.
• 38-39. На экране, отстоящем от объектива (тонкая
линза оптической силой 5 дптр) на расстоянии 4 м, по-
получено четкое изображение диапозитива. Экран отодви-
отодвигают на 20 см. На сколько надо переместить диапози-
диапозитив, чтобы восстановить четкость изображения?
^ 38-40. Предмет находится на расстоянии 90 см от
экрана. Между предметом и экраном перемещают тон-
тонкую собирающую линзу, причем при одном положении
линзы на экране получается увеличенное изображение,
а при другом — уменьшенное. Каково фокусное рас-
расстояние лиинзы, если линейные размеры первого изо-
изображения в 4 раза больше размеров второго?
А 38-41. Экран находится на расстоянии d = 100 см
от свечи. Помещая между свечой и экраном собираю-
собирающую тонкую линзу, можно получить изображение свечи
на экране при двух положениях линзы, отстоящих одно
от другого на расстоянии Ъ = 20 см. Во сколько раз отли-
отличаются яркости изображений свечи?
# 38-42. Точечный источник света находится на рас-
расстоянии 95 см от экрана. На каком расстоянии от источ-
источника света следует поместить линзу с фокусным рас-
расстоянием +16 см и с диаметром оправы 10 см, чтобы по-
получить на экране ярко освещенный кружок диаметром
2,6 см? Ответ поясните чертежами.
А 38-43. Солнечные лучи, падая нормально на эк-
экран, дают освещенность 10 000 лк. Перед экраном поме-
помещают: а) тонкую линзу оптической силой +5 дптр на
расстоянии 60 см; б) тонкую линзу оптической силой
-2 дптр на расстоянии 20 см. Определите в обоих случа-
случаях среднюю освещенность экрана в тени от линзы и в
светлом кольце вокруг тени. Потерями света в линзе
пренебречь.
А 38-44. Лучи Солнца освещают бумагу. Как изме-
изменится освещенность бумаги, если на ней с помощью тон-
§ 38. Геометрическая оптика 249
кой линзы оптической силой +4 дптр и диаметром опра-
оправы 6 см получить изображение Солнца?
А 38-45. Фотограф снимает человека, одетого в белое
платье. Определите освещенность фотопластинки в ап-
аппарате в том месте, где находится изображение челове-
человека, при следующих условиях: освещенность человека
Е = 100 лк (открытое место, пасмурный день); коэффи-
коэффициент отражения белой материи г = 0,8; светосила объ-
объектива фотоаппарата с = — ; потери света в объективе
4,5
составляют 10% (р = 0,1).
# 38-46. При каком условии оптическая сила центри-
центрированной системы двух тонких линз положительна, при
каком отрицательна и при каком равна нулю (т. е. сис-
система является телескопической)? Рассмотрите случаи:
а) обе линзы собирающие;
б) первая линза собирающая, вторая рассеивающая;
в) первая линза рассеивающая, вторая собирающая;
г) обе линзы рассеивающие.
Ответы поясните чертежами хода лучей.
• 38-47. Как следует разместить две тонкие линзы
с оптическими силами +5 дптр, чтобы оптическая сила
системы была равна: а) +8 дптр? б) +5 дптр?
А 38-48. Расстояние между двумя тонкими линзами,
образующими телескопическую систему, равно 12 см, а
увеличение равно -5. Какова будет оптическая сила сис-
системы тех же линз, если их сложить вплотную?
А 38-49. Две стеклянные линзы, находясь на некото-
некотором расстоянии друг от друга в воздухе, образуют теле-
телескопическую систему. Как надо изменить расстояние
между линзами, чтобы они образовали телескопическую
систему, находясь в воде?
А 38-50. Лучи света проходят сквозь тонкую соби-
собирающую линзу (D = +5 дптр), отражаются от поставлен-
поставленного сзади нее плоского зеркала и вновь проходят
сквозь линзу. Какова оптическая сила такой системы,
если отражающая поверхность зеркала отстоит от вто-
второй главной плоскости линзы на расстоянии 6 см?
250
Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
S
-Ж-
М-
-М
м-
S'
S'
-м
Рис. 38-14
Рис. 38-15
Ф 38-51. На риснуке 38-14 показаны оптическая ось
ММ и первый фокус Fl толстой собирающей линзы, а так-
также две сопряженные точки S и S'. Найдите построением
положения главных плоскостей и второго фокуса линзы.
Ф 38-52. На рисунке 38-15 показаны оптическая ось
ММ толстой собирающей линзы, ее первая главная
плоскость Hv а также две сопряженные точки Sx и S'.
Построением найдите точку, сопряженную с произволь-
произвольной точкой S2.
• 38-53. На рисунке 38-16 по-
показаны положения оптической
оси ММ толстой линзы и ее пер-
первой главной плоскости Нх, а так-
также ход некоторого луча до и пос-
после линзы. Найдите построением
фокусы линзы.
А 38-54. Найдите положения
главных и фокальных плоскостей
стеклянных линз (в воздухе) следующих форм:
а) передняя поверхность линзы выпуклая (Rx = 13 см),
задняя плоская. Толщина линзы 3,5 см;
б) обе поверхности линзы выпуклые (R = 13 см). Тол-
Толщина линзы 3,5 см;
в) передняя поверхность линзы выпуклая (Дг = 6,5 см),
задняя вогнутая (R2 = 13 см). Толщина линзы 3,5 см;
г) передняя поверхность линзы вогнутая (Лг = 6,5 см),
задняя выпуклая (R2 = 13 см). Толщина линзы 3,5 см;
д) линза имеет форму шара радиусом 3,5 см.
Рис. 38-16
§ 38. Геометрическая оптика 251
А 38-55. Какова должна быть толщина двояковы-
двояковыпуклой стеклянной линзы (Дг = Д2 = 5 см), чтобы ее оп-
оптическая сила в воздухе была равна нулю?
А 38-56. Плоские поверхности плоско-выпуклой и
плоско-вогнутой линз склеены тонким слоем проз-
прозрачного клея. Коэффициенты преломления стекол, из
которых сделаны линзы, равны соответственно 1,6 и
1,5. Радиусы сферических поверхностей и толщины
линз одинаковы и равны соответственно 10 см и
2,4 см. Определите оптическую силу такой системы в
воздухе.
А 38-57. С помощью линзы, описанной в задаче
38-54, пункт в), получено изображение пламени свечи
на экране. Если повернуть линзу так, чтобы вершины
выпуклой и вогнутой поверхностей поменялись места-
местами, то для получения четкого изображения линзу при-
придется сдвинуть. На какое расстояние?
А 38-58. Две одинаковые плоско-выпуклые стеклян-
стеклянные линзы сложены вплотную. Радиусы сферических по-
поверхностей равны 5 см, толщина 2,5 см. Определите оп-
оптическую силу системы в воздухе в следующих случаях:
а) плоская поверхность одной линзы приложена
к плоской поверхности другой;
б) выпуклая поверхность одной линзы касается вы-
выпуклой поверхности другой;
в) выпуклая поверхность одной линзы касается пло-
плоской поверхности другой.
А 38-59. Имеются два стеклянных шара диаметрами
10 см и 1 см.
а) Как следует расположить эти шары в воздухе, что-
чтобы получилась телескопическая система?
б) Каково увеличение такой системы?
• 38-60. Начертите примерный ход лучей от некото-
некоторой точки предмета до ее изображения на сетчатке гла-
глаза, аккомодированного на бесконечность и вооруженного:
а) лупой; б) микроскопом; в) трубой Кеплера; г) трубой
Галилея.
252
Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
А 38-61. а) Каково фокусное расстояние 2,5-кратной
лупы?
б) Какое увеличение дает эта лупа, если наблюдатель
рассматривает сквозь нее свой зрачок, видимый в пло-
плоском зеркале? Глаз аккомодирован на бесконечность.
А 38-62. Человек рассматривает свой глаз, пользуясь
вогнутым зеркалом радиусом кривизны 10 см. Глаз ак-
аккомодирован на бесконечность. Каково увеличение изо-
изображения?
Ф 38-63. К микроскопу приложены объективы и оку-
окуляры с данными, указанными в таблице.
№
1
2
Объективы
Фокусное
расстояние,
мм
18
4,3
Числовая
апертура
0,20
0,65
Окуляры
А
В
Фокусное
расстояние,
мм
36
17
а) Если установить тубус микроскопа на механиче-
механическую длину 16 см, то при объективе № 1 и окуляре А
микроскоп дает 56-кратное увеличение, а при объективе
№ 2 и окуляре В — 600-кратное. Вычислите в обоих
случаях оптические интервалы микроскопа. Почему
они не равны между собой?
б) Каковы будут увеличения микроскопа при тех же
объективах и окулярах, если механическую длину тубу-
тубуса установить равной 18 см?
9 38-64. Фокусное расстояние объектива одного из
рефракторов в Пулкове равно 14,1 м. Чему равно увели-
увеличение этого рефрактора при пользовании окуляром с фо-
фокусным расстоянием 2,5 см?
® 38-65. Каждая трубка театрального бинокля состо-
состоит из собирающей линзы (объектив) и рассеивающей
линзы (окуляр). Расстояние между линзами, которые
можно считать тонкими, при аккомодации глаз на бес-
бесконечность равно 5 см. Диаметр объектива 3,6 см, оку-
окуляра 1,2 см. Увеличение бинокля равно 2,5.
§ 39. Волновая природа света 253
а) Что получится, если посмотреть в объектив бинок-
бинокля, обратив окуляр к объекту?
б) Каковы оптические силы объектива и окуляра?
в) Что более ограничивает пучок лучей, проходящих
сквозь бинокль: оправа объектива или окуляра?
@ 38-66. На экране получен непрерывный спектр (с по-
помощью щели, освещенной электрической дугой, объек-
объектива и призмы). Что будет происходить, если ширину
щели постепенно увеличивать?
® 38-67. Что видит наблюдатель, рассматривающий
сквозь стеклянную призму черную черту на белой бума-
бумаге? Сделать поясняющий чертеж.
• 38-68. При помощи объектива и стеклянной приз-
призмы с преломляющим углом 60° на экране получено ок-
окрашенное изображение щели (спектр). Определите ши-
ширину спектра при таких условиях: лучи падают на приз-
призму под углом 49°; экран находится на расстоянии 3 м от
объектива; коэффициент преломления стекла для край-
крайних красного и фиолетового лучей равен 1,505 и 1,525
соответственно. Шириной щели можно пренебречь.
• 38-69. Коэффициент преломления стекла для край-
крайних красных лучей спектра п1 = 1,510, а для крайних
фиолетовых п2 = 1,531. Определите расстояние между
фокусами для красных и фиолетовых лучей двояковы-
двояковыпуклой тонкой линзы с радиусами преломляющих по-
поверхностей по 15 см.
§ 39. Волновая природа света
1) Расстояние х между полосами интерференции на
экране Э, находящемся на расстоянии I от двух коге-
когерентных источников света Sl и S2, отстоящих друг от
друга на расстоянии d (рис. 39-1),
х=
2«1sinu1
где п1 — показатель преломления среды, в которой нахо-
X
дится экран; — — длина световой волны в среде, в кото-
254
Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
О
Источник света
Экран
Рис. 39-2
рой находится экран; иг — половина угла между на-
направлениями лучей SXO и S2O, образующих в данной
точке экрана интерференционную картину.
Если I 2> d, cos u^Ih формула принимает вид
2) Принято считать, что протяженный источник све-
света (например, щель, сзади которой находится источник
света) дает на экране достаточно четкую интерференци-
интерференционную картину, если интерференционные картины, об-
образуемые крайними точками источника, сдвинуты одна
по отношению к другой не более чем на 0,5 расстояния
между интерференционными полосами. На основании
этого для получения интерференционной картины необ-
необходимо выполнение следующего условия: линейные
размеры источника света (например, ширина Ъ щели)
должны удовлетворять соотношению
&<-Л-,
4л sin и
где и — половина угла между направлениями лучей, ис-
исходящих из какой-либо точки источника света и сходя-
сходящихся в некоторой точке экрана (рис. 39-2); п — пока-
показатель преломления среды, в которой находится источ-
источник света.
§ 39. Волновая природа света 255
3) Эффективная оптическая разность хода лучей, от-
отраженных под углом а от двух поверхностей тонкой
пластинки толщиной d, по обе стороны которой нахо-
находятся одинаковые среды, равна
2-sin2a + -.
4) Углы отклонения ф от нормали для главных мак-
максимумов, даваемых дифракционной решеткой при нор-
нормальном падении света на решетку, находящуюся в ва-
вакууме, определяются условием:
dsin(p = kX(k = 0; 1; 2; ...),
где d — постоянная решетки; k — порядок спектра.
Если лучи падают на решетку под углом а, то имеет
место соотношение
d(sin ф - sin a) = kX.
5) Закон Брэгга—Вульфа для отражения рентгенов-
рентгеновских лучей от кристалла:
kX = 2d sin 0,
где k — порядок спектра; X — длина волны; d — посто-
постоянная кристаллической решетки; Э — угол между на-
направлением отраженного луча и гранью кристалла.
6) Разрешающая способность дифракционной решетки
где N — общее число штрихов в дифракционной решетке.
7) Разрешающая способность оптического прибора
определяется соотношением
ъ>
2nsinu
где Ъ — наименьшее расстояние между двумя штрихами
на объекте, разрешаемое при наблюдении посредством
прибора; п — показатель преломления среды, запол-
заполняющей пространство от объекта до прибора; и — поло-
половина угла между лучами, исходящими из точек объекта
и попадающими в прибор.
256 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
8) Полная поляризация света, отраженного от ди-
диэлектрика, показатель преломления которого ге2, в среду
с показателем преломления nv имеет место при угле па-
падения ф (угле Брюстера), удовлетворяющем соотношению
9) Интенсивность света, прошедшего сквозь поляри-
поляризатор и анализатор, плоскости поляризации которых об-
образуют угол а:
I = Io cos2 а,
где /0 — интенсивность поляризованного света, падаю-
падающего на анализатор.
10) Угол поворота плоскости поляризации
\(/ = ad,
где a — постоянная вращения, зависящая от природы
вещества и длины пути световых волн; d — длина пути
светового луча в веществе.
Для растворов угол поворота определяется соотноше-
соотношением
i|/ = [a\dc,
где [а] — удельная постоянная вращения; d — длина
пути луча в растворе; с — концентрация активного ве-
вещества (число граммов активного вещества в единице
объема раствора).
@ 39-1. Длина волны красного луча в воде равна дли-
длине волны зеленого луча в воздухе. Вода освещена крас-
красным светом. Какой цвет видит при этом свете человек,
открывший глаза под водой?
А 39-2. Угол между зеркалами Френеля a = 10'. На
них падает свет от щели, находящейся на расстоянии
г — 10 см от линии пересечения зеркал. Длина световых
волн X = 0,6 мкм. Отраженный от зеркал свет дает ин-
интерференционную картину на экране, отстоящем на рас-
расстоянии L = 270 см от линии пересечения зеркал.
§ 39. Волновая природа света 257
а) Чему равно расстояние между интерференционны-
интерференционными полосами на экране?
б) Что случится с интерференционной картиной на
экране, если щель сдвинуть на расстояние s = 2 мм в та-
таком направлении, что ее расстояние от линии пересече-
пересечения зеркал не изменится?
в) Что случится с картиной на экране, если расстоя-
расстояние от щели до линии пересечения зеркал увеличить
вдвое?
г) Покажите справедливость соотношения, указанно-
указанного в пункте 2) введения, как условия наблюдаемости ин-
интерференционной картины, получаемой с помощью зер-
зеркал Френеля.
д) Определите наибольшую ширину щели, при кото-
которой интерференционная картина еще может наблюдаться.
е) Сколько интерференционных полос можно видеть
на экране?
Примечание. Предварительно следует решить задачу 38-1.
А. 39-3. На рисунке 39-3 изображена схема опыта с
бипризмой Френеля. Лучи от источника света S (осве-
(освещенная щель) проходят сквозь бипризму В и дают на
экране Э интерференционную картину. Чему равен ту-
тупой угол 5 бипризмы, если при расстоянии d = 50 см от
щели до бипризмы и расстоянии L = 450 см от биприз-
бипризмы до экрана интерференционные полосы излучения
натрия отстоят друг от друга на х = 1,1 мм? Показатель
преломления данного сорта стекла (легкий флинт) п =
= 1,578. Длина волны света X = 590 нм.
Рис. 39-3
о 9о18
258
Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
А 39-4. Лучи от источника света (накаленная нить)
проходят сквозь разрезанную на две половины собираю-
собирающую линзу (рис. 39-4). При этом на экране получаются
интерференционные полосы.
а) Объясните их происхождение.
б) Определите расстояние между темными полосами
интерференции при таких данных: нить находится на
расстоянии 20 см от разрезанной линзы; фокусное рас-
расстояние линзы 10 см; половинки линзы раздвинуты на
расстояние 1 мм; экран находится на расстоянии 450 см
от линзы; длина волны света 500 нм.
в) Каков должен быть диаметр нити для того, чтобы
получилась интерференционная картина?
г) Сколько интерференционных полос видно на экране?
• 39-5. Какова толщина мыльной пленки, если при
наблюдении ее в отраженном свете она представляется
зеленой (к = 500 нм), когда угол между нормалью и лу-
лучом зрения равен 35°? Показатель преломления мыль-
мыльной воды принять равным 1,33.
А 39-6. На изображении натриевого пламени (А =
= 589 нм), наблюдаемом на вертикальной мыльной плен-
пленке (рис. 39-5), видны темные горизонтальные полосы.
Расстояние между серединами темных полос I = 5 мм.
Показатель преломления мыльной воды п = 1,33. Чему
равен угол между поверхностями пленки?
Рис. 39-4
Рис. 39-5
§ 39. Волновая природа света 259
Рис. 39-6 Рис. 39-7
А 39-7. а) Какова максимальная толщина dm мыль-
мыльной пленки, при которой наблюдается интерференцион-
интерференционная картина, показанная на рисунке 39-5, если выпол-
выполняются следующие условия: глаз наблюдателя находит-
находится на уровне пленки; натриевое пламя (А, = 589 нм)
отстоит от наблюдаемого места пленки на расстоянии
а = 30 см; высота пламени b = 3 см; свет от пламени па-
падает на пленку под углом а = 45°?
б) Почему у свежеполученнои пленки интерференцион-
интерференционные полосы сперва не видны, а затем появляются в верх-
верхней части пленки и постепенно распространяются вниз?
в) Почему при освещении пленки белым светом вид-
видны окрашенные в разные цвета светлые полосы и при-
притом только в верхней части пленки?
• 39-8. На рисунке 39-6 показано расположение лин-
линзы и пластинки из темного стекла в опыте по наблюде-
наблюдению колец Ньютона в отраженном свете. Свет может от-
отразиться от следующих поверхностей: от верхней плоской
поверхности 1 линзы; от выпуклой нижней поверхности
2 линзы; от плоской поверхности 3 пластинки. Почему
при рассмотрении явления принимается во внимание воз-
возможность интерференции лучей, отразившихся от
поверхностей 2 и 3, и не обсуждается возможность интер-
интерференции лучей, отразившихся от поверхностей 1 и 2?
А 39-9. Собирающая линза положена на плоскую
стеклянную пластинку, причем вследствие попадания
пыли между линзой и пластинкой нет контакта
(рис. 39-7). Диаметры 5-го и 15-го темных колец Ньюто-
Ньютона, наблюдаемых в отраженном свете (А, = 589 нм), рав-
равны 0,7 и 1,7 мм. Определите радиус кривизны поверх-
поверхности линзы, обращенной к пластинке.
260 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
А 39-10. Стеклянная симметричная двояковыпуклая
линза сложена с такой же двояковогнутой, причем полу-
получившаяся система имеет оптическую силу D = 0,25 дптр.
Между линзами в некоторой точке имеет контакт, во-
вокруг которого наблюдается в отраженном свете интер-
интерференционная картина.
а) Определите радиус пятого темного кольца (k = 5),
если длина волны X = 0,6 мкм.
б) Ответьте на тот же вопрос для случая, когда про-
пространство между линзами заполнено водой.
А 39-11. Наблюдатель отсчитывает ширину 10 колец
Ньютона вдали от их центра. Она оказывается равной
0,7 мм. Ширина следующих 10 колец оказывается рав-
равной 0,4 мм. Наблюдение производится в отраженном
свете при длине волны 589 нм. Определите радиус кри-
кривизны поверхности линзы.
® 39-12. Какова будет форма интерференционных
полос, если: а) цилиндрическую собирающую линзу по-
положить на плоскую стеклянную пластинку? б) сложить
две цилиндрические собирающие линзы так, чтобы их
образующие составляли прямой угол?
II 39-13. Желтая линия излучения натрия состоит из
двух компонент с длинами волн 589,00 и 589,59 нм. Ка-
Какое по счету темное кольцо Ньютона, соответствующее
одной из этих компонент, совпадает со следующим по
счету темным кольцом, соответствующим другой компо-
компоненте? Наблюдение производится в отраженном свете.
• 39-14. На рисунке 39-8, а показана диаграмма
амплитуды колебания, дошедшего до некоторой точки
К от светящей точки S. Каждая половина витка спира-
спирали соответствует одной зоне Френеля. Направление пря-
прямой ОМ показывает фазу колебания, дошедшего от све-
светящей точки до точки К по прямой. Отрезок ОА показы-
показывает амплитуду колебания, дошедшего до точки К при
полном отсутствии препятствий между точками S и К.
На рисунке 39-8, б показана диаграмма, соответствую-
соответствующая случаю, когда между источником света S и точкой
К помещена ширма с отверстием, диаметр которого со-
§ 39. Волновая природа света
261
ответствует 2,4 первых зон Френеля. Сплошная часть
спирали соответствует зонам, видимым сквозь отверс-
отверстие, а пунктирная — закрытым; ОВ — амплитуда коле-
колебаний в точке К.
а) Начертите подобные диаграммы для случаев, когда
ширма закрывает все зоны Френеля, кроме: 1) первой зо-
зоны; 2) двух первых зон; 3) трех с половиной первых зон.
(Спираль следует воспроизводить приближенно.)
б) Покажите, что при отсутствии
препятствий интенсивность света
(освещенность) в точке К приблизи-
приблизительно в 4 раза меньше интенсив-
интенсивности света, прошедшего сквозь от-
отверстие, пропускающее только пер-
первую зону Френеля.
в) Покажите, что интенсивность
света, прошедшего сквозь отверс-
отверстие, пропускающее только половину
первой зоны, приблизительно в два
раза больше интенсивности при пол-
полном отсутствии препятствий.
г) Начертите диаграммы, соответ-
соответствующие случаям, когда: 1) первые
1,5 зоны закрыты круглым диском; 2) свет проходит
сквозь кольцевое отверстие, открывающее третью и чет-
четвертую зоны; 3) третья и четвертая зоны закрыты неп-
непрозрачным кольцом.
А 39-15. Точечный источник света S, излучающий
свет длиной волны X = 550 нм, освещает экран, располо-
расположенный на расстоянии I = 11 м от S. Между источником
света S и экраном на расстоянии а = 5 м от экрана поме-
помещена ширма с круглым отверстием, диаметр которого
d = 4,2 мм. Является ли освещенность в центре полу-
получающейся на экране дифракционной картины большей
или меньшей, чем та, которая будет иметь место, если
ширму убрать?
Ш 39-16. Какова роль линзы в опытах с дифракцион-
дифракционной решеткой?
262 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
А 39-17. Лучи света падают нормально на ту сторону
стеклянной дифракционной решетки, где нанесены
штрихи, а с другой стороны решетки производится на-
наблюдение получающегося спектра и измерение длин
волн. Лучи дифрагируют в стекле, проходят сквозь
стеклянную пластинку и выходят в воздух. Следует ли
отсюда, что измеряются длины волн в стекле?
^ 39-18. Одна сторона плоскопараллельной прозрач-
прозрачной пластинки гладкая, а на другой имеются цилиндри-
цилиндрические канавки одинаковой ширины (порядка 0,01 мм),
вплотную прилегающие друг к другу, так что плоская
поверхность отсутствует (рис. 39-9).
а) Как влияет такая пластинка на
1*>^~у*ч~/>к~>^^ч-^~ул свет, нормально падающий на ее по-
поверхность?
ill б) Как изменится влияние пластин-
I ' ' ки на свет, если ее поместить в жид-
Рис 39-9 кость с таким же показателем прелом-
преломления, как и вещество пластинки?
Ф 39-19. На дифракционную решетку нормально па-
падает свет от натриевой лампы (к = 589 нм). При этом
для спектра третьего порядка получается угол отклоне-
отклонения 10°11'. Какова длина волны, для которой угол от-
отклонения во втором порядке равен 6° 16'?
# 39-20. На дифракционную решетку, имеющую
50 штрихов на 1 мм, падает нормально параллельный
пучок белого света.
а) Какова разность углов отклонения конца первого и
начала второго спектров? Длины крайних красных и край-
крайних фиолетовых волн принять равными 760 нм и 400 нм.
б) Какова разность углов отклонения конца второго
и начала третьего спектров?
^ 39-21. На дифракционную решетку с постоянной
0,006 мм нормально падает монохроматический свет.
Угол между спектрами первого и второго порядков ра-
равен 4°36'. Определите длину световой волны.
# 39-22. Определите наибольший порядок спектра,
который можно наблюдать с помощью дифракционной
§ 39. Волновая природа света 263
решетки, имеющей 500 штрихов на 1 мм, если длина
волны равна 590 нм. Рассмотрите два случая: а) свет
падает на решетку нормально; б) свет падает под уг-
углом 30°.
А 39-23. Если смотреть сквозь дифракционную ре-
решетку на отдаленную лампочку, то видна дифракцион-
дифракционная картина. Объясните все явления, которые будут на-
наблюдаться, если, оставляя решетку перед глазом: а) вра-
вращать ее вокруг оси, проходящей через середину
решетки перпендикулярно ее плоскости; б) двигать ре-
решетку поступательно перпендикулярно прямой, направ-
направленной от лампочки к глазу, и вдоль этой прямой;
в) вращать решетку вокруг оси, совпадающей с плоско-
плоскостью решетки и параллельной ее штрихам; г) вращать
решетку вокруг оси, совпадающей с плоскостью решет-
решетки и перпендикулярной ее штрихам.
^ 39-24. Две среды с показателями преломления гах
и п2 граничат по плоской поверхности, на которой нане-
нанесены штрихи, образующие дифракционную решетку с по-
постоянной d. Покажите, что при длине волны, удовлетво-
удовлетворяющей соотношению
X > (гах + n2)d,
лучи света проходят сквозь такую заштрихованную по-
поверхность так же, как и сквозь гладкую.
II 39-25. Прозрачная пластинка покрыта с обеих сто-
сторон штрихами, образующими дифракционные решетки.
На пластинку нормально падает монохроматический
свет. Чем отличается влияние такой пластинки на свет
по сравнению со стеклянной пластинкой такой же тол-
толщины, покрытой штрихами только с одной стороны?
Рассмотрите два случая: а) толщина пластинки значи-
значительно больше постоянной решетки; б) толщина плас-
пластинки равна постоянной решетки.
А 39-26. Рентгеновские лучи от палладиевого анти-
антикатода падают на грань A00) кристалла хлористого нат-
натрия и отражаются под углом 5,9°.
264
Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
Рис. 39-10
а) Определите длину падаю-
падающей волны, зная, что решетка
хлористого натрия имеет вид,
показанный на рисунке 39-10,
на котором белые кружки соот-
соответствуют положениям цент-
центров ионов натрия, а черные —
хлора. Грань A00) параллель-
параллельна плоскости YZ.
б) Под каким углом должно
происходить отражение первого порядка для грани
A10)? (Эта грань параллельна оси Z и отсекает от осей X
и Y равные отрезки.)
® 39-27. Какой должна быть длина дифракционной
решетки, имеющей 50 штрихов на 1 мм, чтобы в спект-
спектре второго порядка можно было раздельно различить
две компоненты линии натрия длинами волн 580 нм и
589,6 нм?
® 39-28. Диаметр зрачка человеческого глаза может
меняться от 2 до 8 мм. Чем объяснить, что максималь-
максимальная острота зрения имеет место при диаметре зрачка
3—4 мм?
• 39-29. Человеческий глаз с нормальным зрением
может видеть на расстоянии 10 м раздельно два парал-
параллельных штриха на белой бумаге, отстоящих друг от
друга на 3 мм. При остром зрении расстояние между
раздельно видимыми штрихами уменьшается до 2 мм.
Соответствуют ли эти данные разрешающей способности
глаза, вычисленной по формуле пункта 7 введения?
Принять для расчета диаметр зрачка равным 3 мм, дли-
длину световых волн 600 нм.
# 39-30. Предположим, что диаметр зрачка при
наблюдении в призматический бинокль с 8-кратным
увеличением равен 5 мм. Каким должен быть диаметр
оправы объектива, чтобы увеличение разрещающей
силы, получающейся при пользовании биноклем, по
сравнению с невооруженным глазом было тоже 8-крат-
8-кратным?
§ 39. Волновая природа света 265
® 39-31. Определите показатель преломления в сле-
следующих случаях:
а) для непрозрачной эмали угол полной поляризации
при отражении оказался равным 58°;
б) для прозрачного вещества угол полной поляриза-
поляризации (при падении света извне) оказался равным пре-
предельному углу (наименьшему углу, при котором получа-
получается полное отражение).
^ 39-32. Найдите угол полной поляризации при от-
отражении света от границы стекло — вода.
А 39-33. Каким должен быть преломляющий угол у
стеклянной призмы, чтобы углы входа и выхода луча из
нее были равны углу полной поляризации? Каков при
таком преломляющем угле угол наименьшего откло-
отклонения?
А 39-34. Естественный луч света
падает на плоскопараллельную стек-
стеклянную пластинку. Угол падения
равен углу полной поляризации.
При таком угле падения на стекло
интенсивность отраженного луча /
составляет примерно 0,1 от интен-
интенсивности падающего естественного
света. Определите интенсивности
естественного и поляризованного
света в лучах, обозначенных циф-
цифрами 2, 3, 4 на рисунке 39-11, приняв интенсивность па-
падающего луча за единицу. Поглощением света в плас-
пластинке пренебречь.
• 39-35. Пусть поглощение света в николе таково,
что наибольшая интенсивность поляризованного света,
прошедшего сквозь николь, равна 90% интенсивности
поляризованного света, падающего на него.
а) Во сколько раз уменьшается интенсивность естест-
естественного света при прохождении его сквозь два николя,
плоскости поляризации которых составляют угол 63°?
б) Во сколько раз уменьшается интенсивность света,
если, кроме двух николей, упомянутых в условии а), свет
266
Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
проходит еще сквозь один николь, направление плоскости
поляризации которого такое же, как для первого николя?
Ш 39-36. Две стопы стеклянных пластинок, исполь-
используемые как поляризаторы, при параллельных плоскос-
плоскостях поляризации пропускают в п = 16 раз больше света,
чем при скрещенных плоскостях.
а) Определите степень поляризации р (отношение ин-
интенсивности поляризованного света к общей интенсив-
интенсивности прошедшего света), которую создает каждая стопа
в отдельности.
б) Какова будет степень поляризации р', если число
стеклянных пластинок в каждой стопе удвоить?
® 39-37. Определите толщину кварцевой пластинки,
для которой угол поворота плоскости поляризации света
длиной волны 509 нм равен 180°. Постоянная вращения в
кварце для этой длины волны а = 29,7 угл. град ¦ мм.
А 39-38. Монохроматический свет (к = 404,7 нм) про-
проходит сквозь поляроид Р (рис. 39-12) и падает на квар-
кварцевую пластинку К, имеющую форму клина, угол меж-
между гранями которого Э = 7°48'. Направление оптической
оси в кварце показано штриховкой. Лучи света прохо-
проходят в кварце пути порядка нескольких миллиметров.
Постоянная вращения для указанной длины волны в
В
Рис. 39-13
§ 40. Квантовые явления в оптике 267
кварце а = 48,9 угл. град • мм. Какая картина видна
наблюдателю, который смотрит сквозь второй поляроид А?
А 39-39. На рисунке 39-13 показана схема демон-
демонстрационного опыта выдающегося русского физика
Н. А. Умова. Свет от источника S проходит сквозь по-
поляризатор (поляроид) Р, а затем идет сверху вниз
сквозь слегка замутненный раствор сахара в стеклян-
стеклянном сосуде В. В сосуде видна темная винтообразно рас-
расположенная полоса.
а) Объясните явление.
б) Какова длина шага темного винта в растворе при
следующих условиях: раствор содержит 650 г сахара на
1 л воды; плотность раствора 1,32 г/см3; освещение рас-
раствора производится светом длиной волны 521 нм, для
которого постоянная вращения а = 87 угл. град • дм?
§ 40. Квантовые явления в оптике
1) Энергия фотона
е = hv,
где h — постоянная Планка; v — частота.
2) Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
= hv - A,
то2
где т и v — масса и скорость вылетевшего электрона;
А — работа выхода электрона из металла.
3) Давление света при нормальном падении на по-
поверхность с коэффициентом отражения г
р= -A + г),
с
где I — интенсивность света; с — скорость света.
4) Движению частицы со скоростью v соответствует
волновой процесс, причем длина волны
у - h
к — —,
то
где т — масса частицы.
268 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
5) Длина волны излучения водородоподобного иона с
порядковым номером Z при переходе из состояния с глав-
главным квантовым числом п2 в состояние с главным кванто-
квантовым числом п1 < п2 определяется формулой Бальмера:
где R = ——— — постоянная Ридберга (т — приведен-
ная масса ядра и электрона); е — заряд электрона.
• 40-1. а) Определите энергию одного фотона: 1) для
красного света (Я = 600 нм); 2) для жестких рентгенов-
рентгеновских лучей (X = 0,1 нм).
б) При каких температурах средняя энергия теплово-
теплового движения (на одну степень свободы) молекул равна
энергии указанных фотонов?
® 40-2. Лампочка карманного фонаря потребляет
мощность 1 Вт. Приняв, что эта мощность рассеивается
во всех направлениях в виде излучения и что средняя
длина волны излучения лампочки равна 1 мкм, опреде-
определите число фотонов, падающих на 1 см2 площадки, пос-
поставленной перпендикулярно лучам на расстоянии 10 км,
в течение 1 с.
• 40-3. Определите наибольшую длину световой вол-
волны, при которой наблюдается фотоэффект: а) для пла-
платины; б) для цезия.
® 40-4. Определите максимальную скорость электро-
электрона, вылетевшего из цезия при освещении его светом
длиной волны 400 нм.
А 40-5. Селеновый фотоэлемент имеет чувствитель-
чувствительность по току, равную 200 мкА/лм. Принимая, что та-
такая же чувствительность имеет место при освещении
фотоэлемента монохроматическим светом длиной волны
551 нм, определите, сколько фотонов приходится на
1 электрон, участвующий в фототоке.
Указание. Принять во внимание пункт 4 введения к § 37.
§ 40. Квантовые явления в оптике 269
® 40-6. Наименьшая длина рентгеновских лучей, по-
получаемых с помощью трубки, работающей под напряже-
напряжением U, вычисляется по формуле: Хо = — , где А — посто-
постоянная, зависящая от выбора единиц. Определите значе-
значение А при условии, что X выражена в нм, a U — в кВ.
А 40-7. Излучение рентгеновской трубки падает на
кристалл кальцита (СаСО3). Наименьший угол между
плоскостью кристалла и пучком рентгеновских лучей,
при котором можно наблюдать отражение, равен 2°36'.
Постоянная решетки кальцита равна 3,04 • 10~8 см. Под
каким напряжением работает рентгеновская трубка?
А 40-8. а) Определите давление излучения Солнца на
поверхность черного тела, помещенного на таком же
расстоянии от Солнца, как и Земля. Угол падения равен
нулю. Солнечная постоянная (интенсивность солнечной
радиации за пределами атмосферы) равна 1,35 • 103 Вт/м2.
б) Произведите тот же расчет: 1) для тела с идеально
отражающей поверхностью; 2) для стеклянной пластин-
пластинки, отражающей 4% и поглощающей 6% падающей на
нее энергии.
^ 40-9. Часть стенки колбы электролампы накалива-
накаливания, представляющей собой сферу радиусом 4 см, посе-
посеребрена. Лампа потребляет мощность 50 Вт, из которых
90% затрачивается на излучение. Что больше: давление
газа в колбе A,33 • 10Па) или световое давление на
стенки?
^ 40-10. Свет падает на плоскую пластинку под уг-
углом а # 0. В каком направлении будет отталкиваться
пластинка: а) если ее поверхность поглощает весь свет?
б) если поверхность зеркально отражает свет?
¦ 40-11. В вакууме подвешена плоская металличе-
металлическая пластинка, с одной стороны блестящая (г = 1), с
другой зачерненная (г = 0). Ее освещают нормально па-
падающим светом большой интенсивности. Найдите отно-
отношение сил, действующих на пластинку, при освещении
блестящей и черной ее сторон.
270 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
А 40-12. Предположим, что находящаяся в вакууме
пылинка под давлением световых лучей движется с ус-
ускорением. За счет чего увеличивается ее кинетическая
энергия? Рассмотрите случаи: а) пылинка отражает все
лучи; б) пылинка поглощает все лучи.
• 40-13. Определите длины волн для волновых про-
процессов, соответствующих движению: а) альфа-частицы
со скоростью 5000 км/с; б) молекул кислорода со сред-
средней скоростью, соответствующей температуре 27 °С.
® 40-14. Электроны, падающие на алюминиевую фоль-
фольгу, дают дифракционную картину, причем угловое от-
отклонение спектра первого порядка равно 1,1°. Постоян-
Постоянная решетки алюминия равна 0,405 нм. Какова ско-
скорость электронов?
• 40-15. В электронном микроскопе электроны ус-
ускоряются разностью потенциалов 90 кВ. Какова может
быть апертура микроскопа, если требуется рассмотреть
объект, детали которого имеют размеры примерно
1 нм?
А 40-16. В 1913 г. Н. Бор предложил модель атома
водорода, сыгравшую роль первого наброска совре-
современной теории строения атомов. По этой модели атом
водорода состоит из положительно заряженного ядра
(протон), вокруг которого обращается по окружности
электрон. Устойчивым является движение электро-
электрона лишь по тем орбитам, для которых момент импуль-
импульса равен или кратен постоянной Планка, деленной
на 2л:
mvr = п А ,
2л
где т — масса электрона; о — его скорость; г — радиус
орбиты; п = 1; 2; 3 и т. д. Каждой орбите соответствует
определенный уровень энергии атома, так что при по-
поглощении атомом энергии или при испускании ее элект-
электрон переходит с одной орбиты на другую.
а) Покажите, что приведенное выше условие устой-
устойчивости движения электрона равносильно требованию,
§ 41. Законы излучения 271
чтобы на орбите электрона укладывалось целое число
стоячих волн де Бройля электрона.
б) Найдите радиус орбиты электрона, соответствую-
соответствующий наименьшему уровню энергии атома водорода.
в) Определите работу ионизации атома водорода, т. е.
полного удаления электрона с первой орбиты.
г) Определите длину волны спектра испускания ато-
атомарного водорода Лн, излучаемой при переходе электро-
электрона с орбиты с п2 = 4 на орбиту с п1 = 2. Каково измене-
изменение скорости атома водорода?
д) Определите длину волны спектра испускания иони-
ионизованного гелия, соответствующего переходу электрона
с орбиты га2 = 4 на орбиту с гах = 2.
• 40-17. Пользуясь формулой Бальмера, рассчитайте
коротковолновую и длинноволновую границы первых
четырех серий спектра атомарного водорода (серий Лай-
мана, Бальмера, Пашена и Брэккета).
• 40-18, Сколько спектральных линий будет испус-
испускать атомарный водород, который возбуждают на чет-
четвертый уровень? В каком диапазоне длин волн лежат
искускаемые линии?
А 40-19. Учитывая, что в постоянную Ридберга R
входит приведенная масса ядра и электрона, найдите
разность длин волн головных линий серии Лаймана для
атомов легкого и тяжелого водорода (дейтерия). На
сколько электронвольт отличаются работы ионизации
для этих атомов?
• 40-20. В спектре некоторого атома известны длины
волн трех линий, принадлежащих одной и той же се-
серии: Xv X2 и Хг (к1 < Х2 < Х3). Какие спектральные ли-
линии можно предсказать еще? Будут ли они принадле-
принадлежать той же серии?
§ 41. Законы излучения
1) Тело, поглощающее падающий на него поток элек-
электромагнитных волн полностью, называется абсолютно
черным телом или полным излучателем. Коэффициент
272 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
поглощения абсолютно черного тела равен единице для
волн всех частот (А = 1).
Тела, поглощающие падающие на них потоки волн
частично (А < 1), называются нечерными. У нечерных
тел коэффициент А зависит от частоты. Воображаемые
тела, у которых коэффициент А для всех частот имеет
одно и то же значение, называются серыми.
2) Стенки замкнутой полости внутри любого тела яв-
являются абсолютно черными (полным излучателем), если
температура их всюду одна и та же. Любое тело той же
температуры внутри полости тоже является полным из-
излучателем. Свойства стенок незамкнутой полости тем
ближе к свойствам полного излучателя, чем меньше
площадь отверстия по сравнению с общей площадью
стенок полости.
3) Мощность излучения с единицы площади нечерно-
нечерного тела в интервале частот от v до v + Ду
Aiv = AAJV,
где А — коэффициент поглощения в том же интервале
частот; AJV — мощность излучения с единицы площади
полного излучателя (абсолютно черного тела) в том же
интервале (закон Кирхгофа).
4) Суммарная мощность излучения с единицы пло-
площади полного излучателя, имеющего температуру Т (за-
(закон Стефана—Больцмана),
J = оГ4,
где а — постоянная Стефана—Больцмана.
5) Суммарная мощность излучения с единицы пло-
площади нечерного тела
J = есгТ4,
где 8 — коэффициент полного излучения данного тела,
равный, согласно закону Кирхгофа, коэффициенту сум-
суммарного поглощения тела и зависящий от природы тела
и его температуры. У серых тел 8 не зависит от темпера-
температуры.
§41. Законы излучения 273
6) Формула Планка для функции распределения
мощности полного излучателя по интервалам частот
AJV
~Av" _
Vr-1
где h — постоянная Планка; k — постоянная Больцмана,
7) Связь между температурой полного излучателя и
длиной волны, соответствующей максимуму функции
распределения мощности полного излучателя по интер-
интервалам длин волн (закон смещения Вина):
Л гтт /~i
ло± — о,
где С — постоянная.
Указание. При решении задач об излучении вольфрама сле-
следует использовать сведения, приведенные в таблице XXIX.
# 41-1. Мощность излучения с поверхности Земли
в космос принимается равной 91 • 104 Вт/м2.
а) Какова температура абсолютно черного тела,
имеющего ту же мощность излучения?
б) Чему равен коэффициент полного излучения тела,
если при температуре 15 °С (средняя температура по-
поверхности Земли) оно имеет ту же мощность излучения?
Ф 41-2. Вольфрамовая нить накаливается в вакууме
током 1 А до температуры 1000 К. При какой силе тока
нить накалится до 3000 К? При расчете пренебречь по-
потерями энергии вследствие теплопроводности подвесов
нити и обратным излучением окружающих тел.
Ф 41-3. Вольфрамовая нить диаметром 0,1 мм соеди-
соединена последовательно с другой вольфрамовой нитью.
Нити накаливаются в вакууме током, причем первая
нить имеет температуру 2000 К, а вторая — 3000 К. Ка-
Каков диаметр второй нити?
А 41-4. Температура волоска электрической лампы,
питаемой переменным током, колеблется. Разница меж-
между наибольшей и наименьшей температурами накала
274 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
вольфрамового волоска электрической лампы A5 Вт,
120 В) при переменном токе E0 Гц) оценивается в 80 К.
Во сколько раз изменяется общая мощность излучения
вследствие колебания температуры, если среднее ее зна-
значение равно 2300 К? Принять, что вольфрам излучает
как серое тело.
А 41-5. При работе радиоламп происходит разогрева-
разогревание анода вследствие бомбардировки его электронами.
Рассеяние энергии происходит в основном в виде излу-
излучения, рассеяние посредством теплопроводности подво-
подводящих частей незначительно. Определите допустимую
силу анодного тока в лампе, работающей под напряже-
напряжением 400 В. Анод сделан из никеля; он имеет форму ци-
цилиндра длиной 4 см и диаметром 1 см. Принять, что
энергия рассеивается только с наружной поверхности
цилиндра и что нагревание анода до 1000 К является
допустимым. При этой температуре коэффициент пол-
полного излучения никеля равен 0,2.
¦ 41-6. Вольфрамовый волосок диаметром 0,1 мм на-
находится в вакууме. Волосок накален до 2500 К.
а) На сколько температура волоска на его оси отлича-
отличается от температуры его поверхности, если теплопровод-
теплопроводность вольфрама при 2500 К равна 148 Дж/(м • с - К)?
б) Какой ток идет по волоску?
А 41-7. Интенсивность солнечной радиации вблизи
Земли за пределами ее атмосферы (солнечная постоян-
постоянная) равна J = 1,35 • 103Вт/м2. Принимая, что Солнце
излучает как абсолютно черное тело, определите темпе-
температуру его излучающей поверхности.
А 41-8. Определите диаметр сферической космиче-
космической частицы, если действующие на нее силы светового
давления и притяжения к Солнцу взаимно уравновеши-
уравновешиваются. Частица состоит из железа. Температуру Солн-
Солнца принять равной Тс = 6000 К.
А 41-9. Сплошной, проводящий теплоту шар распо-
расположен в другом, полом; коэффициент поглощения на-
наружной поверхности второго шара равен нулю. Если
темпертуры обоих шаров одинаковы, то второй излучает
§ 41. Законы излучения 275
энергии больше, чем первый, так как его излучающая
поверхность больше. Как это согласуется со вторым
началом термодинамики?
® 41-10. Муфельная печь потребляет мощность
0,5 кВт. Температура ее внутренней поверхности при от-
открытом отверстии диаметром 5 см равна 700 °С. Какая
часть потребляемой мощности рассеивается стенками?
• 41-11. Согласно определению в СИ 1 лм есть свето-
световой поток, излучаемый абсолютно черным телом с пло-
площади 0,5305 мм2 при температуре затвердевающей пла-
платины B042 К). Какая доля энергии этого излучателя
приходится на видимую область спектра?
• 41-12. Вольфрамовая нить диаметром 0,1 мм натя-
натянута в вакууме по оси трубки, длина которой во много
раз больше ее диаметра. Температура трубки поддержи-
поддерживается равной 700 К. По нити течет ток, вследствие чего
ее температура на 300 К выше температуры трубки. Оп-
Определите силу тока.
При расчете принять, что интегральный коэффици-
коэффициент поглощения вольфрамом обратного излучения труб-
трубки равен коэффициенту полного излучения вольфрама
при той же температуре.
А 41-13. Колосниковая решетка площадью 2 м2 ок-
окружена железными стенками. Температура угля на ре-
решетке равна 1300 К, температура стенок 600 К. Коэф-
Коэффициенты поглощения угля и окисленного
железа можно считать равными 0,9. Вычис-
Вычислите количество теплоты, передаваемое от
решетки к стенкам за 1 ч путем излучения.
¦ 41-14. Лучи Солнца собираются с помо-
помощью линзы светосилой - = 0,5 на маленькое
отверстие полости, стенки которой изнутри
зачернены, а снаружи блестящие (рис. 41-1).
Диаметр отверстия меньше диаметра изобра-
изображения Солнца. Пренебрегая потерями энер-
энергии при прохождении солнечных лучей
сквозь атмосферу и линзу, а также количе- Рис. 41-1
276 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
ством теплоты, проходящим сквозь стенки полости, оп-
определите температуру Т внутри полости. Температуру
поверхности Солнца принять равной Тс = 6000 К.
Ш 41-15. Внутри солнечной системы на таком же рас-
расстоянии R от Солнца, как и Земля, находится частица
сферической формы. Принимая, что Солнце излучает
как абсолютно черное тело с температурой Тс = 6000 К
и что температура Т частицы во всех ее точках одинако-
одинакова, определите ее температуру, исходя из следующих
предположений:
а) частица обладает свойствами серого тела;
б) частица поглощает и излучает только лучи длиной
волны, близкой к X = 500,0 нм;
в) частица поглощает и излучает только лучи длиной
волны, близкой к X = 5 мкм.
А 41-16. В афелии Земля находится на 3,3% дальше
от Солнца, чем в перигелии. Принимая Землю за серое
тело со средней температурой 288 К, определите раз-
разность температур, которые Земля имеет в афелии и пе-
перигелии.
А 41-17. В электрической лампе вольфрамовый воло-
волосок диаметром d = 0,05 мм накаливается при работе
лампы до 7\ = 2700 К. Через какое время после выклю-
выключения тока температура волоска упадет до Т2 = 600 К?
При расчете принять, что волосок излучает как серое те-
тело с коэффициентом поглощения А = 0,3. Пренебречь
всеми другими причинами потери теплоты и обратным
излучением стенок комнаты.
¦ 41-18. В каком случае лампа накаливания дает
больше света: когда она работает на постоянном токе
или на переменном, эффективное напряжение которого
равно напряжению постоянного тока?
# 41-19. Как изменилась бы энергия, излучаемая
Солнцем, если бы одна часть его поверхности немного
охладилась, а другая на столько же нагрелась?
^ 41-20. Напишите формулы, выражающие функ-
функции распределения излучения абсолютно черного тела:
§ 41. Законы излучения 277
а) по интервалам длин волн; б) по интервалам логариф-
логарифмов частот; в) по интервалам логарифмов длин волн.
Покажите, что при заданной температуре максимумы
функций распределения по интервалам частот и по ин-
интервалам длин волн соответствуют разным длинам волн,
а максимумы функций распределения по интервалам
логарифмов этих величин соответствуют одинаковым
длинам волн.
А 41-21. Определите длины волн, соответствующих
максимумам функции распределения по интервалам длин
волн в следующих случаях:
а) Волосок софитной лампы (рис. 41-2) i
имеет длину I = 15 см и диаметр d = 0,03 мм. /^
Потребляемая мощность Р = 10 Вт, из нее
вследствие теплопроводности рассеивается
мощность Р-р составляющая около 2 Вт. При-
Принять, что волосок излучает как серое тело с ко-
коэффициентом поглощения А — 0,3.
б) Та же лампа помещается в металличе-
металлический цилиндр, с поверхности которого, равной
150 см2, рассеивается указанная выше мощ-
ность. Принять, что потери на теплопроводность р .. „
и коэффициент поглощения не изменились.
А 41-22. На экране получен спектр от положительного
кратера вольтовой дуги, имеющего температуру 4000 К.
Определите отношение д: между мощностями излуче-
излучения, падающего на участки экрана, соответствующие
длинам волн от 695 до 705 нм (участок красного цвета)
и от 395 до 405 нм (участок фиолетового цвета). При-
Принять, что кратер излучает как черное тело. Поглощение
в стекле и воздухе одинаково для красных и фиолето-
фиолетовых лучей.
Ш 41-23. В длинной (L = 100 м) вращающейся печи
диаметром D = 1 м поддерживается температура 1200 К
на холодном конце трубы и 1300 К на горячем. Опреде-
Определите поток теплоты вдоль оси, обусловленный лучистым
теплообменом. Стенки считать черными. Допустимо огра-
ограничиться приближенной оценкой (+50% точности).
278 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
§ 42. Внутриядерные явления
и теория относительности
1) Число радиоактивных атомов, распадающихся за
промежуток времени dt, пропорционально числу имею-
имеющихся атомов п и промежутку времени:
dn = -Хп dt = -^ п dt,
где X — постоянная распада; Т — период полураспада.
Число материнских атомов убывает с течением вре-
времени по закону:
п = пое~^1
(л0 — начальное число материнских атомов).
2) Если количества материнского и дочернего радио-
радиоактивных веществ с течением времени не меняются (ус-
(установилось радиоактивное равновесие), то имеет место
соотношение
Я.1я1 = Х2п2.
3) Активность радиоактивного препарата
dt ^
где Ао = Хп0— начальная активность.
Единицей активности в СИ является беккерель (Бк);
1 Бк — это активность препарата, в котором происходит
1 распад в секунду. Часто употребляется внесистемная
единица активности — Кюри (Ки):
1 Ки = 3,7- 1010Бк.
4) Радиус ядра с массовым числом А определяется
эмпирической формулой
R= 1,4?Д фм
A фм = 105м).
5) Изменение энергии Е, соответствующее измене-
изменению массы на величину тп,
Е = тс2,
где с — скорость света.
§ 42. Внутриядерные явления и теория относительности 279
5) Энергия связи атомного ядра с зарядовым числом
Z и массовым числом А
Есв = [Zmp + (А - Z)mn - пгя]с2,
где т , тп, тя — масса протона, нейтрона и ядра соот-
соответственно.
Для расчетов удобнее пользоваться формулой:
Есв = [ZAH + (А - Z)An - А] • 931,502 МэВ,
где Ан, А„ и А — избытки масс атома водорода, нейтрона
и атома, содержащего данное ядро. (Избыток массы —
это разность между массой атома, выраженной в атом-
атомных единицах массы, и его массовым числом А.)
6) Поглощенная доза — энергия ионизирующего излу-
излучения, поглощенная единицей массы облученного тела.
238
• 42-1. Вследствие радиактивного распада уран 92U
превращается в свинец 82Pb . Сколько а- и Р-превраще-
ний при этом испытывает уран?
® 42-2. За какой промежуток времени из 107 атомов
актиния распадается один атом?
А 42-3. Определите среднюю продолжительность т
жизни изотопа атома полония 84Ро — одного из про-
продуктов распада радия (рис. 42-1)
А 42-4. Крупинка, содержащая радий, находится на
расстоянии 1,2 см от флуоресцирующего экрана. Какое
количество радия имеется в ней, если в течение 1 мин
на площади экрана, равной 0,02 см2, видно 47 сцинтил-
а а а ,2Ю
/ / / \ / '
226 / 222 / 218 / 214 214 ' / ... _— -
Ra^ Rn^ Po-~ Pb—* Bi \P Pb
88 86 84 82 \ 83 I ч |а^^г 82
\ \ \214р0^
Р Р 84
Рис. 42-1
280 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
ляций? Продукты распада радия очень быстро отсасы-
отсасываются насосом. Принять, что все испускаемые при рас-
распаде атомов радия а-частицы вылетают из крупинки.
23
А 42-5. Натрий uNa, облучаемый дейтонами, пре-
превращается в радиоактивный изотоп натрия uNa с пери-
периодом полураспада 15,5 ч. Какая доля первоначального
количества радиоактивного натрия останется через сут-
сутки, если прекратить облучение дейтонами?
• 42-6. Определите отношение количества радия к
количеству урана в древних минералах.
А. 42-7. На рисунке 42-1 показана схема превраще-
226_ 210то „
ния радия 88Ка в свинец 82РЬ. Сколько а-частиц ис-
испускает за 1 с смесь 1 мг радия со всеми продуктами
распада, указанными на схеме, если установилось ра-
радиоактивное равновесие?
А 42-8. Определите объем радона, активность кото-
которого 1 Ки, при нормальных условиях.
А 42-9. Измерения показывают, что сила ионизацион-
ионизационного тока насыщения в присутствии в воздухе радона ак-
активностью 1 мКи равна 0,92 мкА. Сколько ионов произво-
производит в воздухе каждая ос-частица, испускаемая радоном?
® 42-10. Определите энергию, соответствующую мас-
массе покоящегося электрона (собственная энергия элект-
электрона).
# 42-11. Определите среднюю плотность ядра и сред-
среднюю объемную плотность его электрического заряда.
® 42-12. а) Определите энергии связи ядер гелия 2Не
и дейтона ХН .
б) Какую энергию надо затратить, чтобы расщепить
ядро гелия на два дейтона?
А 42-13. Рассчитайте энергии связи нейтрона и про-
протона в ядре изотопа бора 5В. Объясните причину их
различия.
§ 42. Внутриядерные явления и теория относительности 281
# 42-14. Определите энергию, выделяющуюся при об-
образовании двух а-частиц в результате синтеза ядер дейте-
дейтерия jH и лития 3Li, если удельные (т. е. приходящиеся
на один нуклон) энергии связи ядер дейтерия, гелия и ли-
лития равны соответственно 1,11, 7,08 и 5,33 МэВ.
# 42-15. Исследуйте энергетическую возможность
о
самопроизвольных распадов изотопов: а) бериллия 4Ве
на две а-частицы; б) углерода 6С на три а-частицы.
215
# 42-16. Ядро протактиния 91Ра испускает а-части-
а-частицы с кинетической энергией 8,09 МэВ. Найдите ско-
скорость а-частицы и скорость отдачи дочернего ядра, а так-
также энергию, выделяющуюся при а-распаде этого ядра.
А 42-17. При бомбардировке лития протонами с энер-
энергией 1 МэВ образуются две а-частицы. Определите ско-
скорость этих частиц для случая, когда направления их вы-
вылета образуют одинаковые углы с направлением полета
протона.
¦ 42-18. Мишень, содержащая дейтерий (такой ми-
мишенью может служить «тяжелый лед»), бомбардирует-
бомбардируется дейтонами. При ударе дейтона в ядро дейтерия к дей-
дейтерию присоединяется один электрон и образуются
легкий изотоп гелия 2Не и нейтрон. Какова энергия Е2
нейтрона, если энергия дейтона перед ударом Е± = 0,6 МэВ
и если скорость нейтрона направлена перпендикулярно
скорости ударяющего дейтона?
# 42-19. Облучение нейтронами некоторых тяжелых
атомов вызывает деление их ядер на две различные,
близкие по массам, разлетающиеся с громадными ско-
скоростями частицы. В дальнейшем эти частицы, выбрасы-
выбрасывая нейтроны и испытывая р-превращения, превраща-
превращаются в ядра атомов со средними номерами.
а) Допустив в качестве примера, что в результате де-
235ТТ -
ления ядра изотопа урана 92U появятся ядра рубидия
282 Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
37Rb и цезия 55Cs, оцените выделяющуюся при этом
энергию по изменению энергии электрического поля,
рассматривая ядра атомов как шары с равномерно рас-
распределенным по их объему зарядом.
б) Приняв, что средняя энергия, выделяющаяся при де-
235
лении одного атома 92U , равна 200 МэВ, определите коли-
количество угля теплотворной способностью 29,3 • 106Дж/кг,
эквивалентное энергии, выделяющейся при делении 1 кг
урана.
# 42-20. Найдите энергию распада
236U _ 132М + 102М + 2п,
если энергия связи на 1 нуклон составляет 7,6 МэВ для
урана и 8,5 МэВ для элементов в середине периодиче-
периодической системы.
# 42-21. Определите дозу облучения при поглощении
энергии у-излучения 60Со (энергию Е кванта принять
равной 1,3 МэВ) в объеме, содержащем массу вещества
т = 70 кг. Время облучения t = 1 сут, активность погло-
поглощенного излучения А =100 мКи (милликюри).
¦ 42-22. Вычислите разность энергий связи зеркаль-
зз„ зз„..
ных ядер серы 16Ь и хлора 17СЛ , если известно, что мас-
масса атома 33S меньше массы атома 33С1 на Am =
= 0,00599 а. е. м. Сравните полученное значение с раз-
разностью энергий кулоновского отталкивания в этих яд-
ядрах. Считать, что заряд распределен по объему ядер рав-
равномерно.
Ш 42-23. Критическая масса сплава, содержащего
235
92U , при температуре 15 °С составляет 150 кг (рассмат-
(рассматривается шар, помещенный в большом удалении от стенок
комнаты). Линейный коэффициент расширения сплава
а = 1,7 • 10~5 Кг1. Найдите критическую массу при 25° С.
# 42-24. Импульсный реактор для генерации неза-
незамедленных нейтронов деления состоит из двух выпол-
выполненных из 239Ри деталей, общая масса которых т = 8 кг.
§ 42. Внутриядерные явления и теория относительности 283
Эти детали приводят в сближение, обеспечивающее над-
надкритическое состояние. Цепная реакция прекращается
из-за теплового расширения, когда температура 239Ри
повысится (в среднем по объему) на At = 50 °С. Сколько
нейтронов выдает реактор за импульс? Удельную тепло-
теплоемкость 239Ри принять равной с = 102 ДжДкг • К). Кине-
Кинетическую энергию осколков деления принять равной Е =
= 170 МэВ; среднее число нейтронов деления v = 3.
А 42-25. Два самолета, летящие на одной высоте с оди-
одинаковой скоростью Vq, одновременно вылетают из точ-
точки, расположенной на экваторе, и облетают Землю по
экватору в противоположных направлениях — с восто-
востока на запад и с запада на восток. На борту самолетов ус-
установлены сверхточные атомные часы. Чему равна раз-
разность показаний часов к концу полета?
N 42-26. Найдите конечную скорость ракеты, у кото-
которой скорость истечения газа из сопла равна с. Началь-
Начальная масса ракеты с топливом т0, конечная масса тх.
Начальная скорость ракеты равна нулю.
¦ 42-27. Фотон с энергией Е поглощается покоящим-
покоящимся протоном с образованием пары протон — антипротон
по реакции
р + у^ р+р + р.
Найдите порог этой реакции.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
К§1
1-1. а) В течение времени от 0 до 10 с — ускореное, от 10 с
до 20 с — замедленное;
б) t = 10 с; г) 4 м/с и 5,4 м/с.
1-3. б) 150 м.
1-5. От 0 до 3,3 м — ускоренное, от 3,3 до 9 м — равномер-
равномерное, далее замедленное.
1-6. б) Площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс, по-
показывает половину разностей квадратов скоростей, соответст-
соответствующих конечному и начальному моментам движения.
в) Начальная и конечная скорости равны.
1-7. Нет.
1-8. а) Обозначим угол между направлением, в котором ви-
виден автомобиль, и направлением, по которому должен бежать
человек, буквой а. Пусть человек прибежит к некоторому мес-
месту дороги через время т2, а автомобиль приедет туда же через
время Tj. Пользуясь рисунком 1-14, находим
sin a =
bv2r2
ho-.
По условию тх > т2, поэтому sin a > —1. Отсюда 56,5° <
<a< 123,5°.
б) 2,5 м/с.
1-9. Уменьшалось.
1-10. +0,83 м/с2 и -0,83 м/с2.
1-11. хп
1-12. -0,25 м/с2.
1-13. 0,45 м/с; -0,3 м/с2.
0,8 с.
Рис. 1-15
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 285
1-14. Обозначив путь, который успеет пройти «зайчик» за
время t, буквой s, имеем (см. рис. 1-15):
s = RQtg (p = RQtg 2nnt.
Отсюда
d д;2™ =ю,4м/с.
at cos22nnt
1-15. Примерно в 10 раз.
1-16. vc = изш(а + Р); а) при p = 5 - a; б) при p = 0.
S1H (X Ck
1-17. 225 км/ч; 4,4° к меридиану.
1-18. а), 6) i>2 > i>j. в) Под углом 120° к скорости течения.
2 ч п
г) Для первой поездки время tx = ——L = 16 мин, для второй
v2-vx
= 2s = 13,86 мин; д) При vz - " vt = 2,9 км/ч.
1-19. Точка; прямая; окружность; спираль Архимеда.
1-20. 0,25 м/с2; 0,32 м/с2.
1-21. 18,3 м/с2; 16,7 м/с2; 15,0 м/с2.
1-22. а) = -5. =6,5 с.
nt
1-23. а) На круге будет видно четыре неподвижных размы-
размытых темных сектора, каждый около 67°. б) Секторы будут ка-
казаться вращающимися в сторону, противоположную враще-
вращению диска при п = 0,5 с.
1-24. а) Вертикально вниз; б) перпендикулярно оси.
1-25. -5,24 с~2; 375.
1-26. Через 10 с.
1-27. Движение шарика можно рассматривать как сумму
двух движений; вращения вокруг горизонтальной оси ОО
(см. рис. 1-16), проходящей через центр
шарика, и поступательного движения 2
ЭТОЙ ОСИ СО СКОРОСТЬЮ Vo = - . УГЛОВУЮ jT ^S4
скорсть вращения ш найдем из условия О_^ ш_ \ О
отсутствия проскальзывания для точек
А и В соприкосновения шарика с рейка-
рейками: vA = vB — v0 - юг = 0, где г =
I 7г
= R2 - -г — расстояние от точек А и В
V 4
до оси ОО. Таким образом, ш = — . Ско- Рис. 1-16
286 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
рости нижней B) и верхней B) точек шарика равны соответ-
соответственно
i>i = vQ - coR = vo[l - - ) = -0,2 м/с,
v2 = v0 + <aR = uo[l + - J = 1,4 м/с.
1-28. 4,25 c; 28°.
1-29. a) 0,29 м/с2; 6) 0,096 м/с и 0,17 м/с2.
1-30. a) 0,40 м/с; 6) 0,30 м/с; в) 0,60 м/с; г) 0,63 м/с.
1-31. 4,7 см/с2.
1-32. Радиус колеса значительно меньше длины шатуна.
1-33. Совершает гармонические колебания по направлению
оси балансира.
1-34. а) 1,47 рад; б) 90 см/с.
1-35. 0,06 с.
1-36. Будут наблюдаться биения частотой 0,5 с" и ампли-
амплитудой 0,2 мм.
1-37. 8 Гц и 10 Гц; 1 см.
К§2
2-1. а) 20,4 м; б) 1,4- 10~9m.
2-2. б) ? = 9,87 м/с2.
2-3. 120 Гц.
2-4. t = — ^—5 . Камень может дважды побывать на
g
одной и той же высоте: при подъеме и при спуске. Верхний
знак перед корнем соответствует подъему, нижний — спуску,
a) ?2 = 0,98 с; f2 = 2,1 с; 6) не будет.
2-5. 20,6 см.
2-6. а) Вниз со скоростью 12,4 м/с; б) вверх со скоростью
8,5 м/с.
2-7. a) t - 2p°2"gT - 2'25 с; h - || - ^! = 30,3 м.
2-9. у0 = s ]¦§- « 11 м/с; v = Jul + 2gh ~ 12,6 м/с.
А/ П
2-10. Правильно.
2-11. 3 м.
2-12. При упругом соударении с вертикальной плитой вер-
вертикальная составляющая скорости не меняется, а горизонталь-
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
287
ная составляющая изменяет направление на противополож-
противоположное, оставаясь равной v0. Интервал времени т между двумя по-
последовательными соударениями будет постоянным и равным
I j ley j.
т = -И- . Общее время падения t = /— , поэтому число ударов
v0 N g
20.
п = I = J^L p
т г-d v g
2-13. 76°.
2-14. а) Минимальная скорость при данном расстоянии со-
соответствует углу бросания а = 45° и равна 22,83 м/с; б) на эк-
экваторе при такой начальной скорости и а = 45° диск пролетел
бы расстояние 53,3 м; в) следует указать: 1) высоту, с которой
диск был брошен; 2) точное значение g для места метания;
3) угол, под которым диск был брошен.
2-15. Объем воды V = St ПЦ^- = 69 л-
\sm2a
2-16. Вертикальная прямая.
2-17. а) tg a = "oslna°~gt; a = 14,7°; се, = -35,7°; б) t =
u0cosa0
= — (sin a0 + cos a0 tg a); верхний знак соответствует подъему,
нижний
спуску; tx = 0,747 с; t2 ~ 2,788 с; h = ^.(sin2a0 -
- cos2 a0 tg2 a) = 10,2 m.
2-19. Навесная и настильная траектории соответствуют
одинаковым дальностям полега s при одинаковых значениях
начальных скоростей v0 (рис. 2-6):
о 2
_ fosin2a1 _ t70
s
8 ё
откуда находим связь между углами бросания
2aj = 180° - 2a2, аг = 90° - a2
Так как времена полета t2 и tt по на-
навесной и настильной траекториям отли-
отличаются в п раз, получаем уравнение:
2u0sina2 _ 2u0sina1
g g
Решив его с учетом соотношения A), по-
лучаем a2 = arctg п = 63°26'; ах = 26°34'.
и ос2
A)
"о
288
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
2-20. v
19,8 м/с; T^
2-21. s = 8ft sin a = 96 см.
2-22. R, = ° = 10,2 м; R2 = "°
g 8 cos a
82 м.
K§3
3-1. a) F = 5000 H; t = 4 ¦ 10~4 с; б) Пуля пробьет доску и
вылетит со скоростью 141 м/с; 0,59 кг • м/с.
3-2. 7,7 м.
3-3. В начале подъема и спуска 10,3 Н. В середине подъема
и спуска 9,8 Н. В конце подъема и спуска 9,3 Н.
- Л, = 40 см.
3-4. hx =
3-5. а) а ¦=
п-1
га+ 1
g~ 0,47 м/с2; б) 4,2 м.
3-6. a) F =
1,47 H; б) не изменится; в) 2,08 H.
3-7. а) Нет; б) -1
3-8. а =
(ram, -
+ ш2)
[nml + m2)(ml +(i/n2)
'; a) 0,4 g; б) 0; в) -2g; г) g.
3,54; в) 0,031.
3-11. a) tg 2а0 = -i ; а0 = 45°; 52°; б) ц = 0,27.
3-12. ц= ^zitga = 0,l.
2 1
3-13. Уравнения движения тел в проекции на наклонную
плоскость имеют вид (направления сил трения указаны на
рис. 3-17):
Рис. 3-17
mzg sin a - FTp2 = m2a2,
причем FTp2 < \L2mz8 Cos a> FTpi **
< \il{ml + m2)g cos a (знак равен-
равенства — при скольжении, знак не-
неравенства — при отсутствии
скольжения между соприкасаю-
щимися поверхностями).
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 289
1) цх > ц2. Если ах * 0 и а2 > ах, то
*"тр2 = М2Щ2^ COS а' FtP1 = Mml + m2^ COS а-
Решив систему уравнений, находим:
ах = g\ sin а - nxcos а + —? (ц2 - (ij)cos а ;
аг = g(sin а - (i2cos а).
Исследуем, при каких углах а такое движение возможно.
Решив неравенство ах > 0, получаем
tg а > цх + ^ (nj - ц2).
При меньших углах ах = 0: доска покоится. Брусок же будет
скользить по доске (а2 > 0), если tg а > ц2- Таким образом, в
зависимости от угла а возможны три варианта:
если tg a < ц2, то al = аг = 0;
если ц2 < tg а < цх + — (цх - ц2), то ах = 0; а2 > 0;
если tg а > m-j + — (цх - ц2), то аг> а1> 0.
2) (ij < ц2. Брусок не скользит относительно доски: аг =
•* а2 — а. Их общее движение описывается уравнением
(wij + mz)g sin a - FTpl = (т1 + тг)а.
Если а > 0, то FTpl = MiCwij + m2)g cos а. Тогда получаем
для ускорения:
а = g(sin a - Hjg cos а).
Это возможно при tg а > \lv При этом сила трения
FTp2 = m2g sin a - т2а = \ilm2g cos а,
что меньше максимального трения покоя ^m^g cos a.
Если же tg а < цх, то а = 0.
3) Ц-х = Ц2 = ц: движение с общим ускорением а = g(sm а -
- ц cos а) при tg а > ц; равновесие (а = 0) при tg а < ц.
3-14. 420 Н.
3-15. Втягивая воду в полость, каракатица получает равные,
противоположно направленные импульсы, а потому остается
на месте; выбрасывая воду, каракатица отдает некоторый им-
импульс и движется с ускорением в противоположную сторону.
3-16. Надо рассматривать движение струны совместно с дви-
движением корпуса инструмента, на котором натянута струна.
Ю-9о38
290 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
3-17. Левая тележка пройдет расстояние в 9 раз большее.
3-18. Положим, что с момента пуска ракеты прошло время *.
За промежуток от t до t + dt выбрасывается масса газа ц, dt.
Согласно закону сохранения импульса
ц dt ¦ vl = -{т - \it) dv,
откуда
и
а) Принимая во внимание, что векторы v и v^ направлены
в противоположные стороны, имеем t = 0,375 с.
б) Полагая [it = т0, имеем v = t>j In ——— (формула Циол-
Циолковского); v = 330 м/с.
3-19. а) Центр шарика 3.
б) Если ось X направить (см. рис. 3-9, б) по линии 4—3, а
ось Y по линии 4—1, то х0 = 5 см, у0 = 3 см.
в) Если ось X направить (см. рис. 3-9, в) по линии 4—1, ось Y
по линии 4—3, а ось Z по линии 4—2, то х0 = 1 см, у0 ¦= 3 см,
20 = 2 см.
3-20. а) На общей оси цилиндров на расстоянии 9,3 см от
нижнего основания; б) на расстоянии 10,6 см.
3-21. Центр инерции находится на расстоянии 0,56 дм от
центра диска.
3-22. 19,5°.
3-24. 7,5 м.
3-25. а) а - g{?~ ) = 109 см/с2; б) 47 см/с.
3-26. а) 20 см; б) 20 см; в) 20 см и 0; г) влево; результирую-
результирующая сила равна нулю.
3-27. Так как внешние силы в горизонтальном направле-
направлении на систему «лодка с рыбаками» не действуют (сопротивле-
(сопротивлением воды при медленном перемещении лодки можно пренеб-
пренебречь), то ее центр масс остается неподвижным относительно
земли. Направим ось X вдоль лодки, совместим начало коор-
координат с первоначальным положением центра масс лодки; ко-
координата первого рыбака хх = i , второго — х2 = — - . Центр
масс всей системы имеет координату
т,х, + т-,Хо
= mlxl+m2x2
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 291
После перемещения рыбаков центр масс лодки сместился
на некоторое расстояние х, тогда координаты рыбаков х\ =
= —I - - х0 I; х'г = - + xQ. Координата центра масс всей системы:
_m1xl
Хп — '
m1xl+mzx2
(I Л (I Л
? К +хп )~tni л ~хп }
\2 °) 42 V
Приравняв A) и B), находим
х= (m>-m*)l =0,24м.
+тп + т
п2
3-28. а) 5 ¦ 104кДж; б) -16 • 104кДж.
3-29. 9000 кВт; 2500 кВт.
3-30. а) 0,176 м/с2; 0,026 м/с2; б) 66 м/с.
3-31. 24,5 кВт.
' 2
3-32. vn = 2cos a —' 2 . Так как угол а уклона мал, то
и vl + v2
v0 = 4,2 м/с.
3-33. ц = if. - 0,02; Р = *2±? = 46 Вт.
gt2 t3
3-34. -3,5 Дж.
3-35. Ек - «(«?+•!)- 5,2 Дж.
3-38. а) { ^±1) = 1,4; б) ^±1 = 1,2; в) 9 раз и 3 раза.
V га — \ ) га — 1
3-39. Д? = i—-— (и, - v2J, где (их - и2) есть относитель-
2(m.j + m.2)
ная скорость движения шаров.
3-40. 93%.
3-41. a) h, = I 4m , - 16 см; Л2 = г^1"^ - 36 см;
1 {ml + m2J (m, + m2)z
б) больший шар поднимется на 36 см, меньший сделает
полный оборот;
в) гих : тпг = 3 : 1.
3-42. -Ц; t;.
3-45. а) 126 см/с и 63 см/с; б) 60 см.
3-46. Цистерна первоначально движется вправо, так как
292 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
вода в цистерне перетекает влево, и суммарный импульс воды
в цистерне и цистерны первоначально должен быть равен ну-
нулю. Вытекающая вода уносит при этом импульс, направлен-
направленный вправо, поэтому цистерна приобретает скорость, направ-
направленную влево. Эта скорость остается у нее к моменту, когда
вся вода вытечет, и уже больше не меняется.
Этот качественный ответ можно обосновать вычислениями.
Обозначим массу цистерны Мо, скорость ее движения v0.
Пусть масса воды в цистерне M(t), средняя скорость движения
воды в цистерне относительно цистерны v. Смещение трубки
относительно центра тяжести равно ЦК 0).
Предположим, что
М dt "
Закон сохранения импульса имеет вид:
о)]-и0™- =0.
Отсюда
v = Г f dt d2M •
0 J M + Mo ~сп2~ '
v0 меняется так, как описано выше. В частности, так как
оо
| dt —— = 0 и монотонно возрастает, —— > 0.
К§4
4-1. а) 0,49 Н; б) 6,37 Н.
4-2. а) 9,814 Н; б) около 6,4 Н.
2,4 см; Ах - Ц = 0,12 см.
2
4-5. a) hx = 2h + R ; б) h > 2,5Я.
3
4-6. 0,29 Н.
4-7. а) Получается пространственная кривая.
б) Для решения следует определить векторную сумму сил,
действующих на отдельные элементы одной из половин цепоч-
цепочки. Эта сумма равна удвоенной искомой силе. F = тпЧ = 4,8 Н.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 293
4-8. 550 мм рт. ст.
4-9. a) F = 2mg cos2 а; б) F = 2mgC - 2cos а); в) F =
4-10. tg а = 72 ; а - 54,7°.
4-11. cos а = f ; а = 78,6°.
4я22г
4-12. а) и = ,/Кцг = 19 м/с; б) tg a = ц; а = 21,8°.
4-13. а) и = (°'5d-b>g = и м/с; б) а - 11°.
N М-
4-14. /г = .1 If = 0,4 с.
4-15. 0,96 с.
4-16. 43 Н.
4-17. 7620 Н и 9380 Н.
4-18. а) 5 • 103 г • см2; б) 2 • 103 г • см2; в) 1 • 103 г • см2;
г) 2 • 103 г • см2.
4-19. а) та2; б) тагA + sin2 р), где р — угол между осью и
плоскостью.
4-20. а)/, = lDnh(R* - 2г4 - 4r2i2) = 689 г • см2; б) 72 =
2
1 DnhiR* - 2г4) = 414 г • см2; в) /3 = i БяАСЛ4 - 2г* - 8г2/2) =
= 275 г ¦ см2, где D — плотность меди. Заметим, что 7х = 12 + Is
(см. введение к § 4, пункт 10).
4-21. Нуль и 2,26 • 10~2 кг • м2 • с.
4-22. а) Сила Fo, приложенная к оси колеса, и противопо-
противоположно направленная сила Ft сцепления колеса с рельсом. Мо-
Момент силы сцепления Мх = Ftr и момент трения качения М2 =
= -kNr (г — радиус колеса, N — сила нормального давления,
k — коэффициент трения качения). Если / — момент инерции
колеса, а — линейное ускорение, то уравнение вращательного
движения колеса имеет вид:
а уравнение поступательного движения:
F0-Fl= та,
где т — масса колеса. Откуда находим: Fx = /— + kN; Fo
= та + /4 + kN.
294 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
б) Те же моменты; так как Fo = 0, то
4-23. a) g sin а; б) 0,67^ sin а; в) l,14g sin а.
4-24. а - 5* sin aJ^f^i = 49'7 см/с2-
4-25. а) Приложим мысленно в точке С две равные и проти-
противоположно направленные силы Fx— F2= F (рис. 4-19). Сила Ft
р
вызовет поступательное движение стержня с ускорением а = — .
т.
Пара сил Fvs.F2 вызовет вращение с угловым ускорением е = —-
вокруг оси, проходящей через центр масс С. Вследствие вра-
вращения стержня точка О будет двигаться с линейным ускоре-
Fs.s,
нием es2 = —~t. Если точка О покоится, то
1с
F8ls2 = p
iFl iF Jc m
откуда
О
1 " m
б) повернется вокруг вер-
Рис. 4-19 тикальной оси, проходящей через
точку А;
в) s2 = - , где I — длина стержня.
4-26. 25 Вт.
4-27. 22,2 кДж.
4-28. a) v = JWgh =12 м/с; б) точка, находящаяся на высо-
высоте, равной - высоты столба.
3
4-29. a) F = т(в-а) ( где а — ускорение, с которым колесо
опускается;
отсюда
г г=: 4,85 Н;
2(тг2+1)
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
295
б) при подъеме — та же сила натяжения;
в) 4,90 Н.
4-30. Уравнения поступательного движения цилиндра и гру-
груза (рис. 4-20):
mg sin a - Т = таг;
mg sin а - Т = m sin а • а2.
Уравнение вращательного движения цилиндра относитель-
относительно его центра масс:
TR = 7е, где / = mi3- /2.
Ускорения аг и а2 связаны
соотношением: ах = tR - а2- В са-
самом деле, ускорение аг оси ци-
цилиндра относительно земли скла-
складывается из ее ускорения eR от-
относительно точки А касания нити
и цилиндра и ускорения (~а2)
точки А.
Решив систему уравнений, получаем:
ускорение оси цилиндра
Рис. 4-20
= 1,96 м/с2;
ускорение груза
а, =
sin а
3,92 м/с2.
Л в) а. - 2
2 2
3(m.j + m2) -
4-32. а) ш = ^ - = 29 с; б) кинетическая энергия
Зш,
стержня с застрявшей в нем пулей составляет -—-— от на-
начальной энергии системы, т. е. 3%.
4-33. а) Сумма кинетических энергий диска и грузиков
уменьшается на величину совершенной силой трения работы;
б) сумма импульсов диска и грузиков в любой момент равна
нулю; в) момент импульса диска убывает, момент импульса
грузиков на столько же возрастает.
296 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
4-34. А = п2т( 1\ - q )П1п2 = 48 Дж.
1,A), + /,(])„
4-35. а) (О = -!—i i-i ; б) энергия уменьшается на величи-
1,1? (w, -WoJ
ну, равную —_— :—* *' • в) при соударении дисков часть
1Х ч 12 2
кинетической энергии перешла в тепловую энергию.
4-36. а) Система, состоящая из дисков А и В, не является
замкнутой, а потому закон сохранения момента импульса к
ней не относится; б) центры масс гантелей движутся с антипа-
антипараллельными скоростями, поэтому система двух гантелей име-
имеет момент импульса, равный Imd • 2v (здесь 2т — масса каж-
каждой гантели; d — расстояние между направлениями скоростей
центров масс гантелей; 2v — относительная скорость ганте-
гантелей). После удара скорость центра масс каждой из гантелей
равна нулю, зато каждая гантель имеет момент импульса
Imdv. Сумма моментов импульса обеих гантелей равна Amdv,
т. е. моменту импульса всей системы до удара.
4-37. а) Момент импульса стержня до разрыва равен —
(т — масса стержня; I — длина; ю — угловая скорость). После
разрыва каждая из половинок продолжает вращаться с той же
угловой скоростью. Сумма моментов импульса обеих полови-
половинок равна — ml2a>. Кроме того, так как центры масс полови-
половинок движутся с антипараллельными скоростями, система из
двух половинок имеет момент импульса, равный — ml2u>. Та-
16
ким образом, суммарный момент импульса системы равен
ml2m , гп12ш _ гп12ш
~W ~Т<Г ~12~'
т. е. моменты импульса до и после разрыва равны.
б) Кинетическая энергия стержня до разрыва равна — mlz<az.
24
После разрыва энергия вращения половинок равна м .
У О
Энергия поступательного движения половинок равна м .
Общая сумма энергий после разрыва равна
ml2an2 , ш1гш2 _ т12ы2
96 32 24 '
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
297
4-38. a) 0,75mv2; б) OJrnv2; в) l,25mv2.
4-39. 1,3 см.
4-40. а =
, отсюда к = 0,05.
4-41. а < kg.
4-42. Уравнение моментов относительно мгновенной оси вра-
вращения:
mgr sin a - Nkr = G + mr2) - ,
где 7 = - mr2, откуда
о
_ fe cos
-)•
Уравнение поступательного движения:
mg sin a - F^ = та,
откуда
B - , 5 .
г = mg1 sm a — тиа = mg\ - sin а + - «cos i
Учитывая, что трение сцепления F^ < yimgcos а, получаем
условие, при котором отсутствует проскальзывание:
tg а < 3,5ц - 2,5fe = 0,775, а < 38°.
4-43. 0,73 см/с; 12 с.
4-44. 1000 кДж.
4-45. h = l,7(R-r).
4-46. 0,63 Н.
4-47. 1,67 кН.
4-48. а) Принимаем, что расстояние центра масс человека
от пола мало. В таком случае высота центра масс человека над
уровнем пола в середине равна (рис. 4-21)
где р — полупараметр параболы;
х — расстояние человека от оси.
Если угловая скорость со
- , то
р
тш2х = mg tg p,
т. е. результирующая силы тя-
тяжести и центробежной силы
Рис. 4-21
298 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
инерции, действующей на человека, нормальна поверхности
пола.
б) При удалении человека от оси вращения на расстояние х
энергия системы возрастает на
ЬЕ - ^ + mgy.
Но v = (ах и v2 = S^- = 2gi/, поэтому Д? = 2mgy.
в) Во время движения человека от оси вращения двига-
двигатель, вращающий сооружение, работает с большей мощно-
мощностью, чем в случае, если человек не перемещается. Когда он
идет по полу со скоростью — , действует сила Кориолиса
At
At У 2 HJ At7
поэтому при движении человека двигатель развивает дополни-
дополнительную мощность 2тшгх — . За время dt двигатель произво-
At
дит дополнительную работу 2тш2х6.х, а за все время движе-
движения человека производится дополнительная работа
тш2х2 = 2mgy.
Итак, изменение энергии системы происходит за счет до-
дополнительной работы двигателя при перемещении человека.
4-49. Нет.
4-50. а = - kN (см. ответ к задаче 4-22); а =-^ =
г2
= -4,9- Ю-7 м/с2.
4-51. F = Р(\+ *2) = 150 Н.
К§5
5-1. 5,9 • Ю-3 Н.
5-2. Нет.
5-3. а) Нет; б) 1,23%.
5-4. 2,34- Ю-3 Н.
5-5. Шары притягиваются, если a) Dt > Do и D2 > Do;
б) Dt < Do и D2 < Do. Шары отталкиваются, если D1> Do> D2
или D1< Do < D2.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
299
ш^
; б) уменьшится в 1,33 раза.
5-6. a) F =
а(а
5-7. Примерно 120 Н.
5-8. См. рисунок 5-2: а) кривая I; б) кривая II.
*-г, тыс. км
6 8 10 12
Рис. 5-2
5-9 4
5-10. а) Задача допускает простое решение, если средняя
плотность корабля (?>) много меньше плотности воды DB. В
этом случае корабль почти весь находится вне воды, и средняя
напряженность поля тяготения, действующего на корабль,
меньше напряженности поля, действующего на воду, в
—ё.— = A - "Щ J раз, где R — радиус Земли.
(R + hJ v R '
Поэтому масса корабля больше массы вытесненной воды на
uffi — тп— == ю кг.
R
В общем случае Лги может быть в несколько раз меньше.
б) В том же предельном случае, когда DB » <D>, результи-
результирующая сила оказывается равной нулю, так как расстояние
между центрами масс кораблей больше, чем расстояние между
центрами масс вытесненной воды в f "?" J раз.
5-11. 38 400 км от центра Луны.
5-12. ~ 600 км; 7,7 км/с; 2,5 • 106 кДж.
IrZ
5-13. li =
= 0,85.
300 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
5-14. Сила притяжения массы mv находящейся на расстоя-
-_. Gnxirtt -r _
нии х от центра Луны, равна , где т — масса Луны. Ра-
х2
- , . . GmTTi-i ,
бота силы тяжести на пути dx ееть оА = ах, а на пути из
X2
бесконечно удаленной точки до поверхности Луны
сю
Gmm,
_
R
Эта работа равна приросту кинетической энергии —!— , от-
куда
5-15. 1600 км.
5-16. Радиус орбиты уменьшится на 2%, скорость увели-
увеличится на 1%, период обращения уменьшится на 3%.
5-17. Принимая, что потенциальная энергия тел, удален-
удаленных на бесконечное расстояние, равна нулю, найдем полную
энергию:
_ Gmmc
~ 2а '
где тс — масса Солнца.
5-18. Падение на Солнце можно рассматривать как пре-
предельный случай обращения вокруг Солнца по весьма вытяну-
вытянутому эллипсу, большая ось которого немного больше радиуса а
орбиты Земли. Такой эллипс стало бы описывать вокруг обще-
общего центра тяжести тело, помещенное в пространстве на рас-
расстоянии а от центра и получившее одновременно небольшую
скорость v по направлению, перпендикулярному прямой, со-
соединяющей это тело с центром. В пределе, при v = 0, большая
ось эллипса равна а (эллипс вытягивается в прямую). Обраще-
Обращение по такому эллипсу требует времени
= Г7ОД25,
где Т — период обращения Земли вокруг Солнца. Продол-
Продолжительность же падения тела на Солнце равна - = г"^°'125 =
= 64,6 суток.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 301
5-19. По закону сохранения момента импульса
vpk - vRR,
где R— радиус Земли; vR— скорость метеорита вблизи по-
поверхности Земли. Из закона сохранения энергии следует:
2 2 , ,
VR = VQ + V2,
где v0 = 11 км/с — вторая космическая скорость.
Отсюда эффективное сечение захвата
_ _„ о G(m, + т<, + т»)
5-20. coz = -= — , где а — сторона треугольника.
а3
К§6
6-1. а) 3,5 Н; б) 0,17 Н; в) 4,4 Н или 0,16 Н.
6-2. 212 Н.
6-3. F, = mgsinP = 20 Н; F2 = 34 Н.
1 sin (а + Р) 2
6-4. Задача неопределенна. В этом случае силы зависят от
обстоятельств, при которых шар был помещен в положение,
показанное на рисунке 6-2.
6-5. 1,24- 104Н.
6-7. 650 Н и 750 Н.
6-8. 83,5 см.
6-9. F, = mgR = 0,38 Н = F2; F3 = 0,29 Н.
7г2 4Д2
6-10. На опору А действует под углом к горизонту сила
1,13 • 10* Н; на опору В действует в горизонтальном направле-
направлении сила 9,15 • 103 Н.
6-11. а) 940 Н; 960 Н; б) 950 Н; 950 Н.
6-12. а) 8,7 Н и -2,7 Н; б) 6,5 Н.
6-13. a) tg ф = — ; (р = 45°. б) Если человек встанет на ниж-
нюю ступеньку, то лестница не упадет; она упадет, когда чело-
человек перейдет через ее середину.
6-14. a) cos а = ^ /тг-^ '¦> а = i8°> б) а = 0.
6-15. А - U^l g ¦ з|^ = 1,2 • 102 Дж.
6-16. 1,73 Дж.
302 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
6-17. При волочении работа равна А1 = mg\iL, где т — мас-
масса ящика. При кантовании ящик приходится опрокидывать
п = - раз (а — ребро ящика). Работа при одном опрокидыва-
опрокидывании равна разности потенциальных энергий ящика в положе-
положении неустойчивого равновесия (на ребре) и исходном положе-
положении: mga\ _ — _ I — 0,207mga. При п опрокидываниях работа
Kj2 2 '
равна А2 = 0,2Q7mgL; Аг = А2 при ц = 0,207.
6-18. а) Условие отсутствия соскальзывания карандаша:
tg a < ц.
Условие его возвращения в положение равновесия:
° d2 d2J
где b — расстояние центра масс второго карандаша от верти-
вертикали, проходящей через ось первого карандаша при горизон-
горизонтальном расположении второго. Это условие может иметь мес-
d,
то только при _± > 1.
б) Карандаш соскальзывает при а > 26°, а опрокидывает-
опрокидывается при а > 24°. Следовательно, предельное значение угла а
равно 24°.
К§7
7-1. 177 м.
7-2. а) 4,3 • 106 Па; б) 7,5 • 105 Па.
7-4. п = ^Ez = 82,5 с.
ljD
7-5. На 0,32 см.
7-6. На 2,7 см.
7-7. Нет.
7-8. На ^-Р =1,06 см2.
АЕЬ
7-9. =200 м.
7-10. 56,5 л.
7-12. Ad = K2dlDn2 -3,3-10-6 см.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 303
7-13. Нет. Удлинение будет равно 2ц2Д?.
7-14. a) AV = tA~|^)f = 8 мм3; б) AS = 4*A ~ |i) = 0,28 см2.
7-15. 1,4 Дж.
7-16. 5,5- 104Дж/м3.
7-17. 2,5 • 104Дж/м3.
7-18. На 4,2 см.
7-19.6,9 • 106Па.
7-22. Кинетическая энергия грузика равна разности изме-
изменения его потенциальной энергии в поле тяготения mgl-^ и ра-
работы растяжения нити А = —!-— . Силу / в этом «поправоч-
ном» члене вычисляем приближенно, заменяя радиус кривиз-
кривизны и скорость движения грузика величинами, относящимися
к нерастяжимой нити длиной I:
f=3mg; t>= Jg^Sl-lj) =3,68 м/с.
7-23. 2,5°.
7-24. Формула Еа = ?-=- относится к случаю, для которого
справедлив закон Гука, т. е., в частности, когда нет гистерезиса.
К§8
8-1. а) 2,5 с-1; б) а = g.
8-2. 32 Н.
8-3. Уравнение движения песчинки (см. рис. 8-7):
та = N - mg.
а) Условие ее отрыва: N = 0, т. е. при отрыве а = -g. Ha тех
точках ножки камертона, у которых в процессе колебаний
lamaxl < 8> песчинки не подскакивают. Амплитуда колебаний А$
в точке, на которой песчинки начинают подскакивать, опреде-
определяется из условия
^ ОJ 4*2f2
б) Скорость песчинки в момент
Положение т
отрыва равна скорости ножки ка- равновесия
мертона в точке нахождения пес- F ножки
чинки. Из закона движения этой
точки х = A sin cot находим ее ско- °ис- ""'
304 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
рость: v = саА cos cot и ускорение: а = -ш2А sin at. В момент от-
отрыва tx:
аг = -м2А sin wtj = -?,
vx = caAcos wtj = caA ll - ¦
Так как начальная скорость отрыва песчинки vv то она
2
подскочит над точкой отрыва на высоту —1, а высота подскока
по отношению к положению равновесия при покоящемся ка-
2
мертоне h = х* + — , где х, = A sin art, = -^-. Подставив най-
2g * ю2
денное выше значение и,, получаем: h — ^-^- + Л— , откуда
2g 2ю2
А = i. /2^ ^ = _?_ /2А 1 = ^ 7 ¦
о) ^ ? ю2 2л/ л/ g 4л2/2 '
8-4. 0,8 с.
8-5. 11,5 с.
8-6. В первом в 1,11 раза быстрее.
' см.
8-7. Т = 271 fc°s°'5<p
8-8. а) 1,419 с; б) Т = 2тц\-^-—, = 1,397 с; в) Г = 1
= 2,1 с.
8-10. 1,74 с.
8-11. а) 0,63 с; б) 1,5 с.
8-12. а) 2тс Ш-; б) J- ; 2я СП .
8-13.2,2%.
8-14. / = -JJL. J5? Dтс2г - Т\ g) - 1,2 • 10 кг • м2.
8-15. Г = 27t /—?L- = 0,77 с.
ig cos a
8-16. Уравнение моментов относительно мгновенной оси
вращения А (см. рис. 8-8):
mgr sin ер = lAmr^t, A)
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
305
где е — угловое ускорение враще-
вращения шарика относительно этой
оси. Центр шарика О совершает
вращательные гармонические ко-
колебания относительно центра
кривизны чашки Оу, при этом
скорость центра шарика
„ — /п «\Оф (О\
1/q \?% Г) ~~— . К /
Эта же скорость v0 связана с
угловой скоростью ш вращения
шарика относительно мгновенной оси А соотношением
v0 = шг.
Приравняв выражения B) и C), получаем:
C)
(О = -i
dt dt r dt2
Подставив выражение для е в A) и учитывая, что при ма-
малых углах sin <p = ср, получаем дифференциальное уравнение
dt2 1,4(Л-г)т
решением которого являются гармонические колебания часто-
частотой to = L. .,„ г и периодом Т = 2п —
У 1,4 (xv — г) ^
8-17. т = i /Ж = 21
4(Д-г)
8-18. а) Г
б) период колебаний увеличится
раз.
8-19. 1,55 с.
8-20. а) Колебания шара гармоничны при малых Л; б) А >
= 0,12 см; в) Т = 2тг
= 0,07 с.
8-21. При отклонении спицы в сторону равнодействующая
сил трения направлена противоположно смещению х центра
тяжести от середины расстояния между блоками и равна
р = _
d
отсюда Т = я /— =0,9 с.
306
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
8-22. 21 с.
8-23. п0 -
= 10,4.
8-24. 0,014.
8-25. t
8-26. 2 м.
= 14 с.
8-27. а) 1,5%; б) tg (at = ^ = l? ; cot = 80°5'; в) cot =
ос In3
= 160°10'.
8-28. а) Нет; б) да; в) в случаях б) декременты затухания
равны 19 и 1 (декремент 19 надо признать лишенным реально-
реального смысла).
8-29. 21 м/с.
8-30. / = Jf~f2 - 245 Гц.
8-31. / =
= 255 Гц.
8-32. а - ^М. =36 с.
7
8-33. s - *Л ( *? + ± ); при Ь < 1 можно принять, что s - ^ ,
откуда Ь= —- = 0,4.
S
8-34. Принимая во внимание пункт 8) введения, находим
коэффициент затухания колебаний струны:
а =
f2
4V" - 1 ¦ nf
где п — отношение мощностей при частотах fQ и /. Отсюда т =
= 43 с.
8-35. 170 Дж.
8-36
. Т = 4 Д ?
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 307
Заменяя приближенно 2(и - и3) на 3(и - и2) (коэффициент
выбран так, что f 2(u - и3) du- = J 3(u - и2) du], имеем Т =
о о ^
» _ /- , т. е. на 15% больше периода малых колебаний.
Уз vg
К§9
9-1. a) v = 72g^ = 242 см/с; б) и = J2gh = 242 см/с; в) у =
<= J2(g + a)h = 257 см/с и v = J2(gzrajh = 227 см/с; г) у =
- */2gftC-2cos60°) = 171 см/с и t> = Д^/ГсозбО5 = 342 см/с.
9-2. 46 см.
9-3. в) На половине расстояния от поверхности стола до
уровня воды в сосуде.
9-4. а) Если h ¦— высота уровня воды в некоторый момент
времени, то скорость истечения воды в этот момент v = J2gh .
За время dt уровень понизится на dh = —v ^ dt, где а — пло-
площадь отверстия, S — площадь поверхности воды. Получаем
дифференциальное уравнение:
dh = -J2gh | 72dl.
Разделяя переменные и интегрируя, находим:
~S
где Н — начальная высота уровня. Таким образом,
{ _ _ . ^2 / „2 „^2
—
Это — уравнение равнозамедленного движения с началь-
ной скоростью Н j2gH и ускорением -^- '>
S Ь
б) h = 0 при t = | ^ = 227 с;
в) Л = 0,5 Я при f = t? Щ-il- 7оТ5 ) = 67 с;
а Н g
г) увеличится.
308 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
2 2
9-6. Пренебрегая значением S2 по сравнению с Sx, получаем
9- °= РШе = 32 км/ч-
9-8. а) На уровне нижнего конца трубки В; б) выше нижне-
нижнего конца трубки В.
9-9. а) На 2,94 • 104Па.
9-10. т - nd\ d\ t I A/D A = 107 кг.
9-11. Поднимается.
9-12. a) Re = 5,4 • 10~6; предположение правильно; б) 4,5 мм.
9-14. 12,5 кВт.
9-15. а) 105; б) 720 м/с2.
9-16. а) 16,5 см/с; б) 5,4 мм рт. ст.
9-17. V = Dfhnt ч - 0,004 см3.
К§10
10-1. Общий объем брусков не изменится; длина увеличит-
увеличится, если более холодный брусок имеет меньшую площадь сече-
сечения, параллельного плоскости соприкосновения брусков.
10-2. Да.
10-3. а) 420 °С; б) 140 °С.
10-4. При условии 2сс2 = ах (например, алюминий и железо).
10-6. На 16 с.
10-7. ы = ш0 , где а — коэффициент линейного рас-
расширения. Кинетическая энергия уменьшится на величину
10-8. Результат зависит от формы сообщающихся сосудов.
Пусть сосуд А расширяется кверху (рис. 10-2). При его нагре-
нагревании вследствие объемного расширения уровень жидкости в нем
поднимется на dh = -— = __i (где S — площадь сечения на
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
высоте Ло) и плотность жидкости
уменьшится: D
-—
. Давление на
дно сосуда А станет равным
1 +
Sh
1 +
0 = ¦
Рис. 10-2
fit
Так как для расширяющегося сосуда —2- < 1, тор <р0, по-
s«o
этому жидкость перетекает из сосуда В в сосуд А и ее уровень в
сосуде В понижается.
В случае, если сосуд А сужается кверху, уровень жидкости
в сосуде В, наоборот, повышается. При цилиндрическом сосу-
сосуде А уровень жидкости в сосуде В остается неизменным.
10-9. =47 °С.
10-10. Р2 = "Ч - "Ч +
(ml-ma)t
коэффициент объемного расширения ртути.
10-11. 754,6 мм.
10-12. 173 °С.
- "о) = 2,9 • 10-5 к-1, где
К§11
11-1. 79.
11-2. 751 мм рт. ст.
11-3. а) х = 3,5 см; б) I > 95 см.
11-4. 3,9 • 10~3ммрт. ст.
11-5- D = гс*2,. , = 1,2 г/см3.
11-6. 7,2- 106Па.
11-7. 150 см3.
11-8.637.
11-9. 554 л.
11-10. 1,57- 105Па.
11-11. 1,82 м3/кг.
11-12. 1,32 кг.
11-13. 1,48 г.
11-14. и =
MpSt
0,9 м/с (М = 44 • Ю-3 кг/моль).
310 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
11-15. 3 см/с.
11-16. а) Подъемная сила
F - -(т1 - m2)g ( ^
где т1 и /га2 — массы водорода и вытесненного воздуха, соот-
ветственно. Но —==—=, поскольку давление, температуру и
т1 М1
объем воздуха и водорода можно считать равными. Пока тпх
неизменно (газ не вытекает из оболочки), F постоянна; б) 2 кг.
11-17. 29,3 м.
11-18. 2,4.
11-19. 2 атм.
11-20. М = mi + m2 = 30,2 г/моль.
Ш ТП
11-21. 0,48 кг/м3.
11-22. 1,45 м3/кг.
11-23. 1950 м.
11-24. 20 Н.
11-25. Рассмотрим элемент объема воздуха S dx, находя-
находящийся в трубке на расстоянии х от оси вращения (рис. 11-4).
Результирующая сил давления S dp направлена к оси враще-
вращения и сообщает ему центростремительное ускорение ы2х:
i O
шй
dx aSWxSdp. где П = РК
-*-х Получаем дифференциальное
х i уравнение, определяющее зависи-
2 мость р от х:
2
Рис. 11-4 ^
til
Разделяя переменные и интегрируя по х от 0 до - , по р —
Li
от р0 (в центре) до ратм (у концов), получаем:
Разность давлений на краях трубки и в центре
Ро ~ Ратм = -Рагм^Й^ " ММ РТ. СТ.
Таким образом, р0 = 758 мм рт. ст.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 311
К §12
12-1. а) ср = 649 Дж/(кг • К); cv = 908 Дж/(кг • К), б) ср =
= 1040 Дж/(кг • К); cv = 741 Дж/(кг • К).
12-2. у= 1,47.
=595°ДЖ-
12-4. tz = tl + Mgl =21,8°C.
12-5. 3,15- 107Дж.
12-6. =5 м3 и =5,5 м3.
12-7. Сначала определим массу продуктов горения
т 35,8г.
При сгорании выделится количество теплоты
Q = qm0
и температура газа в камере станет равной
t, = f, + JL = 1690 °С.
тс
v
При этом создается давление
p2 = ^i = 20,3 Ю5 Па.
Т1
12-8. б = 1,66 ¦ 104 Дж; Д[/ = 1,18 • 104 Дж;^4 = 4,8 • 103 Дж.
12-9. А = pos(ftj - Л0Ь hlh ) - 2,37 Дж.
12-10. а) Д[/ = 2,5 л ¦ атм = 253,25 Дж; Q = -6,5 л • атм =
= -658,45 Дж; А = -9 л • атм = -911,7 Дж.
б) Д[/ = 2,5 л • атм = 253,25 Дж; Q = -0,5 л • атм = -50,65 Дж;
А = -3 л ¦ атм = -303,9 Дж.
Y-1
12-11. ф = /"" Y ; а) 1,5; б) 0,8.
Ах (у - 1Iп п
12-12. 450 °С.
12-13. ДГ = -1ДЛ = -5°.
ср
12-14. р = 32,4 атм; t = 491 °С; А = 4300 Дж.
12-15. а) Д{/ = 2,5 л • атм = 253,25 Дж; Q = -3 л ¦ атм =
= -303,9 Дж; А = -5,5 л • атм = -557,15 Дж;
312
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
б) Ш = 2,5 л • атм = 253,25 Дж; Q = -2,11 л • атм =
¦= -213,74 Дж; А = -4,61 л • атм = -467 Дж.
12-16. При отклонении поршня на малое расстояние х от
положения равновесия давление по одну сторону поршня уве-
( , . „ у ( „ \
дичится: р1 = Ро[~- ) ~ Ро[1 + \хJ, а по другую сторону
уменьшится: рг ~ Роу1 ~ Xх)- Вследствие разности давлений
рх - р2 возникает возвращающая сила F = — Sp0 —? x. Уравнение
движения поршня:
_ 2SPoY.
т
Период колебаний
Т = 271
¦ х.
0,065 с.
12-17. См. рисунок 12-8.
tO to PlVl + PiV2 rr
lu-io. р — ; 1 :
12-19. Работа компрессора за один цикл численно равна
сумме площадей ABGF и BCOG минус площадь ADOF, опре-
а)
V;
Изотерма
Изохора
¦ Изобара
Адиабата
Т
Изотерма
Изобара
Изохора
в)
и.
Изохора
.Изобара
Адиабата
Изохора
Изобара
Изотерма
Адиабата
Адиабата
Рис. 12-8
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 313
деляющая работу по продвижению поршня назад. Так как
SDBCOG = P2V2 =*PlVl = SOADOF< To
12-20. a) 37,8 кВт; б) 3250 кг/ч.
12-21. Расчет можно производить для 1 г газа; г| = А . Ра-
Работа А равна разности работ при двух адиабатных процессах;
количество теплоты Q± принимаем равным количеству тепло-
теплоты, необходимому для нагревания газа от Т2 до Г3. Итак, полу-
получаем
По уравнению адиабаты
\f — 1 M^t Л1^1 V^I
m Tfl *¦ m Trt ¦*¦ . m Tl Г\ *¦ ГЛ ТП -1
откуда
Поэтому
л-1-^-1-EУ '-о.а^
12-22. б) с = Су^—I. Поскольку cv, n и у постоянны, посто-
постоянно и с.
в) 1) Работа при повышении температуры газа на 1К по ме-
мере поднятия поршня уменьшается, уравнение процесса в ниж-
нижней части цилиндра
p4'2V = const
Я' v
' vo
(g — общий объем газа в цилиндре) не может быть приведено
к видурР™ = const. Процесс не политропный.
2) Уравнение процесса в газе
-const.
где р0 — атмосферное давление; VQ — объем газа при положе-
положении поршня, показанном на рисунке 12-6 пунктиром. Процесс
не политропный.
314 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
3) Уравнение процесса в газе имеет такой же вид, как и в
случае 2), Vo означает объем газа в левой части трубки при ра-
равенстве уровней жидкостей в левой и правой частях. Процесс
не политропный.
4) Уравнение процесса в газе
У + 1
ру 2 = Const.
Процесс политропный.
г) В случаях 1)—3) удельные теплоемкости газов при повы-
повышении температуры уменьшаются. В случае 4) удельная теп-
теплоемкость газа постоянна и равна -су. Знак минус получился
потому, что в данном процессе газ при повышении температу-
температуры отдает теплоту вовне.
К§13
13-1. 8 • 1016.
13-3. 0,23 мм рт. ст.
13-4. Из формулы J{v2) = }—гт- имеем: <и2J - <i'2>i==
где <У2>2 и <u2>j— квадраты среднеквадратичных
скоростей после остановки и до остановки, соответственно.
Подставляя ДГ = Щ^~ (см. ответ к задаче 12-4) и принимая во
внимание, что Cv = , получаем: (i>2J ~ (f2)i — - (у - !)•
Y — 1 2
Отсюда a) (v2J - {и2^ = и2; б) {v2J - {v2I = 0,6u2.
Физический смысл полученного результата заключается в
следующем. В одноатомном газе вся энергия поступательного
движения идет на увеличение энергии поступательного дви-
движения молекул. В двухатомном газе на увеличение энергии
поступательного движения молекул затрачивается 0,6 энер-
энергии; 0,4 энергии — на увеличение энергии вращательного дви-
движения молекул.
13-5. а) 562 м/с; б) 25 м/с.
13-6.-203 °С.
3 I kT
13-7. v = - I = 169 см/с, где D — плотность воды.
? Чкиг6
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 315
13-8. а) Это видно из несимметричного вида кривой: орди-
ордината точки, соответствующей скорости, большей наиболее ве-
вероятной, более ординаты точки, соответствующей скорости,
меньшей наиболее вероятной на такую же величину.
б) Единице.
в) Изменить абсциссы в \~ раз, а ординаты в \~ раз.
13-9. a) (v) = 518 м/с; ивер = 459 м/с.
13-10. Нулю.
13-11. Поскольку энергия поступательного движения моле-
молекулы е = ^- , имеем:
1 2е
= „472
Дга = пШ —-— е то™ Де = геф(е)Де.
а) максимум функции ф(е) соответствует энергии
е - mUBep
0 ~з~'
откуда скорость, соответствующая максимуму функции рас-
распределения, равна
13-12. а) ^ = -±- ¦ 0,02 = 1,66%; б) 1,85%.
13-13. Искомое число молекул равно
2
Заменим переменную: -^— = х; тогда " = dx. Верхний
ивер ивер
г3 (ч\Ъ1г
предел интегрирования станет равен -?— =12 1 , нижний
предел станет равен 1, т. е. пределы станут независимыми от Т.
2
1 -X3
Подынтегральное выражение будет равным - е dx, т. е. то-
3
же независимым от Т. Значит, N не зависит от Т.
13-14. Уменьшится в 2,3 раза.
316 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
13-15. а) 1,75 ¦ 1016см~3; б) 9,95 • 1016cm~3.
13-16. 55 °С.
13-18. 4,6 • 1(Г2мм рт. ст.
13-19. 6 ¦ 10~3 мм рт. ст.
13-20.9,3- 10-8с.
13-21. 7- Ю^см-з-с-1.
13-22. а) 6 • 10см; б) 12,5 • 1(Г6см; в) 9,4 • 1(Г7см.
13-23. а) Не изменится; б) уменьшится в 1,41 раза; в) уве-
увеличится в 1,15 раза.
13-24.9,5- Ю-6 см.
13-25. 6 ¦ 10~6 см.
13-26. 2,8 ¦ 1023 см • с.
1±А
13-27. Уменьшится в 2 2 = 2,3 раза.
13-28. т = J^MT = 031 с.
К §14
14-1. р + ~ — давление, которое имело бы место, если бы
m
все молекулы одного моля газа находились в объеме Vm - Ъ и
не притягивались друг к другу.
14-2. а) 24,6 атм; б) 23,3 атм; в) 25,4 атм; г) 24,1 атм.
14-3. 25,6 атм; 29,5 атм.
14-4. 21 °С; 0 °С.
14-5. Ъ = 4 • Ю-5 м3/моль; а = 0,135 Па • м6/моль2.
14-6. а) Более сжимаем при Т > ?- ; б) 1020 К (углекислый
газ); 112 К (водород).
14-7. а) 5,71 кДж/моль; б) 5,75 кДж/моль.
14-8. б) Выражая р^Уг и p2Vz по формуле Ван-дер-Ваальса
и полагая Ul = U2, имеем
Чтобы выполнить приближенный расчет, величину — - —
можно вычислить по формуле Клапейрона—Менделеева:
Vl V2 RT '
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
317
Отсюда
Pi - Рг
RT '
1) -1,3 К; 2) +0,2 К; эти числа близки к эксперименталь-
экспериментальным результатам.
14-9. 0,2 г/см3 = 200 кг/м3.
14-10. =53 атм; 157 К.
14-11. а = 0,365 Па ¦ м6/моль2; Ь = 4,3 • 10~5 мЕ/моль.
14-12. а) Масса эфира, имеющая критический объем Fo,
m = MV =
зл:г„
K
— ' п•
Ее объем при ? = 20 °С (массой паров эфира над жидким
эфиром можно пребречь)
V- - =
D
отсюда -?- = 0,26.
"о
б) Если температура по всему объему трубки одинакова, то
критическое состояние возможно лишь в том случае, если
критический объем взятой массы эфира равен объему полости
трубки. При меньшем количестве эфира вся жидкость в нагре-
нагреваемой трубке испаряется до достижения критической темпе-
температуры; при большем количестве вся трубка заполняется жидко-
жидкостью до достижения критической температуры, после чего давле-
давление в трубке быстро повышается. Это видно на рисунке 14-4; при
V = V1 наблюдается критическое состояние; при V = V2 вся жид-
жидкость испарится; при V=V3 весь объем заполняется жидкостью.
в) См. рисунок 14-5; кривая 1 — объем трубки равен кри-
критическому объему; 2 — меньше критического объема; 3 —
больше критического объема.
Pi
0 V3 Vi У2
Рис. 14-4
-273 °С tKp t°C
Рис. 14-5
318
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
14-13. См. рисунок 14-6.
-273°С
t,°C
Рис. 14-6
К§15
15-1. =1007 кг/м3.
15-2. 2,6 см3/с.
15-3. а) 5 • 103 Дж; б) 2,3 Па.
15-4. Пренебрегаем поверхностью первоначальной капли
по сравнению с суммой поверхностей всех мелких капелек.
Тогда
бтст
= 6 • Ю-2 Дж.
15-5. б) 6 см.
15-6. ДД=
ост
=0,14 мм.
15-7. На рисунке 15-8 черные кружки изображают сечения
проволочек сита. При равновесии внутри жидкости вблизи
точки А давление равно р0 + Dgh (р0 — атмосферное давление).
Разность давлений внутри и вне жидкости (Dgh) равна — , где
R
R — радиус кривизны вблизи точки А. Если при прикосновении
пальцем получится поверхность с
большим радиусом кривизны (по-
(показана пунктиром справа; Rt > R),
равновесие нарушится и жид-
жидкость будет вытекать, как показа-
показано на рисунке. Кроме того, по-
поверхностное натяжение жидкости
может уменьшится вследствие за-
загрязнения ее пальцем.
Рис Л 5-8
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 319
15-8. а) Формы кривых поверхно-
поверхностей жидкости на рисунке 15-9 удов-
удовлетворяют соотношению - = Dgh,
R
где R — радиус кривизны; h — вы- '
сота рассматриваемой точки над по-
поверхностью жидкости; на рисунке
15-9, г показано положение плас- (
тинки, соответствующее моменту ее ?
отрыва. Максимальное натяжение I 1
пружины соответствует несколько в)~~ =*=W;F=';f'=r=W=^='=?
меньшей высоте h.
б) На основании указанных в
задаче предположений имеем
г, h Рис. 15-9
= Dg'- , откуда
Заметим, что эта формула может быть выведена без упро-
упрощающих предположений, приведенных в тексте задачи. Обо-
Обозначая элемент длины образующей поверхности dS, угол на-
наклона поверхности ф, имеем выражение для кривизны
dtp _ gkD
dS ~~a~
Очевидно,
Деля эти два уравнения друг на друга, находим
hdh = — sin ер dcp.
gD
Интегрируя, получаем
^ - id-сое ф).
Если cos (р = — 1, то мы имеем формулу A).
Так как поверхность воды в положении, показанном на ри-
рисунке 15-9, г, направлена вдоль поверхности пластинки, и ре-
результирующая сил поверхностного натяжения, действующих
на пластинку, равна нулю, то сила, действующая на пластин-
пластинку, равна весу столба жидкостей под ней:
F = ShDg = 2SjoDg = 0,105 Н.
320
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
У
а) б) в) г)
Рис. 15-10
11
а) б) в)
Рис. 15-11
а) б)
Рис. 15-12
а)
в)
Рис. 15-13
д)
15-9. а) См. рисунки 15-10 и 15-11. Положения д на рисун-
рисунке 15-10 и в на рисунке 15-11 соответствуют наибольшей раз-
разности уровней в трубках; б) 41 мм; в) 27 мм.
15-10. а) См. рисунки 15-12 и 15-13. Положения б на ри-
рисунке 15-12 и д на рисунке 15-13 соответствуют наибольшему
давлению воздуха в капилляре;
б)рх = Dghx +
550 Па (радиусом пузырька по сравне-
нию с глубиной погружения можно, очевидно, пренебречь);
в) 4300 Па.
15-11. P=nad = 3,5 • Ю-6 Н.
15-12. Уровень воды в трубке будет совпадать с уровнем во-
воды в сосуде до тех пор, пока не дойдет до более узкого места.
Затем уровень воды в трубке будет подниматься вместе с труб-
трубкой и поднимется до 14 см, после чего упадет до уровня воды
в сосуде. По достижении следующего узкого места картина
повторится, и т. д.
15-13. При условии, если давление воздуха в узком колене
на 3,5 мм рт. ст. больше, чем в широком.
15-14. Столб жидкости, вес которого
н,, ^, i,
- d\)h
, удерживается силами
поверхностного натяжения .FH, сумма ко-
которых равна aGidj + nd2) (см. рис. 15-14).
Отсюда находим
h =
Рис. 15-14
4а
Dg{dl - d2)
= 5,7 см.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 321
15-15. Если внутреннее трение отсутствует, то жидкость
по инерции поднимется на вдвое большую высоту, а затем в
трубке начнутся колебания уровня жидкости с амплитудой
h = —— . При наличии трения вместо этого увеличивается
внутренняя энергия системы — происходит нагревание.
15-16. 13 см.
15-17. х - 4/to° = 2,8 мм.
Pod + 4о
15-18. а) 17,8 см; б) 20 см.
15-19. Справедливо лишь при условии, что поверхностное
натяжение на границе между жидкостями равно разности по-
поверхностных натяжений жидкостей на границе жидкость —
пар (для каждой жидкости отдельно).
К§ 16
16-1. При адиабатном расширении и охлаждении влажного
воздуха в восходящих воздушных потоках происходит выпа-
выпадение дождя. Освобожденный от части влаги воздух адиабатно
нагревается в нисходящих потоках и оказывается ненасыщен-
ненасыщенным.
16-2. 2,8 см.
16-3. 0,0052 мм рт. ст.
16-4. 922 г.
16-5. 1,14 кг/м3.
16-6. Сначала найдем давление воздуха в сосуде при 14 °С.
Пар при этой температуре будет насыщенным, так как испа-
испарится не вся вода (масса испарившейся воды равна DV —
= 12,1 г/м3 ¦ 2 • 10~3 м3 = 0,0242 г; здесь D — плотность насы-
насыщенного пара, см. табл. XVII). Давление пара при этой темпе-
температуре (табл. XVII) составит 11,99 мм рт. ст., поэтому давле-
давление воздуха равно 760 - 11,99 = 748 мм рт. ст.
а) Выясним, испарится ли вся вода при 90 °С. Масса пара, на-
насыщающего данный объем, равна DV= 0,4219 кг/м3-2-10~3 м3 =
= 0,84 г < 1 г. Испарится не вся вода, следовательно, пар насы-
насыщенный, его давление при 90 °С равно 0,70098 • 105Па (см.
табл. XVIII). Давление воздуха пропорционально абсолютной
температуре Т и равно 946 мм рт. ст. = 1,26 • 105Па. Полное
давление в сосуде р — 1,96 ¦ 105 Па.
б) Масса пара, насыщающего данный объем при 100 °С,
равна DV = 1,2 г > 1 г, так что пар в сосуде будет ненасыщен-
ненасыщенным. Давление пара вычисляем с помощью уравнения Кла-
322 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
нейрона—Менделеева и получаем 0,86 • Ю5 Па. Давление воз-
воздуха при 100 °С составит 1,30 ¦ 105 Па. Общее давление в сосу-
сосуде р = 2,16 ¦ 105Па.
16-7. а) 30 °С; б) 29 °С.
16-8. а) 0,0145 г пара и 0,9855 г воды; б) приблизительно
при 116 °С.
16-9. 19,8 г.
16-10. двнеш - p(va&p - 1>жид); а)9впсш = 134 кДж/кг;
б) 197 кДж/кг.
16-11. 3201,5 Дж.
16-12. 778 мм рт. ст.
16-13. 0,013 мм. Равновесие неустойчиво. Пузырьки мень-
меньшего размера исчезают, а большего бурно увеличиваются и
поднимаются.
16-14. 9,41 мм рт. ст.
16-15. а) Плотность пара Dn = 8,3 г/м3. Относительно пло-
плоской поверхности пар становится насыщенным при t0 — 8 °С,
при этом его давление^ = 8,05 мм рт. ст. Однако относитель-
относительно маленьких капелек пар будет ненасыщенным, так как дав-
давление насыщенных паров над сферической поверхностью диа-
диаметром d больше на Ар = -? —- = 0,177 мм рт. ст. (Dx — плот-
плотность жидкости). Чтобы началась конденсация на капельках
диаметром d, пар в окружающем пространстве должен быть
перенасыщен на Ар = 0,177 мм рт. ст. Для этого его темпера-
температура должна быть ниже t0 на 0,33 °С (вблизи 8 °С понижение
температуры на 1 °С соответствует уменьшению давления на
0,54 мм рт. ст.) Следовательно, температура воздуха должна
быть равной 7,67 °С.
б) Давление насыщенного пара внутри каналов на
0,177 мм рт. ст. меньше, и конденсация начнется при более
высокой температуре, т. е. при 8,33 °С.
16-16. 3,5 кг/(с ¦ м2).
К§17
17-1. р0 = 12 атм.
17-2. р0 = 2,3 атм.
17-3. 0,26 г.
17-4. „_»*>"*(* + *)_ 3,7 мг.
д2
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 323
17-6. В предыдущей задаче показано, что давление паров
над раствором меньше, чем над чистым растворителем, на ве-
величину
где Dx — средняя плотность пара; М — молярная масса сахара.
Следовательно, давление паров воды над раствором равно
758,8 мм рт. ст.
17-7. Если стенки сосуда, в котором кипит раствор, и дру-
другие тела, с которыми соприкасается пар, выделяющийся из
раствора, имеют температуру, равную температуре раствора
или более высокую, то пар имеет температуру раствора. Если
же стенки сосуда или термометр, опущенный в пар, имеют бо-
более низкую температуру, то пар конденсируется на них до тех
пор, пока они не прогреются до температуры, которая соответ-
соответствует температуре насыщенного пара при атмосферном давле-
давлении. Таким образом, при отсутствии термометра температура
пара равна температуре кипящего раствора. При наличии тер-
термометра пар конденсируется, и температура его при нормаль-
нормальном атмосферном давлении равна 100 °С.
17-8. М = 283 г/моль.
17-9. На 0,13 °С.
17-10. 7,76 • 10кг/м3.
17-11. 750 мм рт. ст.
К§18
18-1. Нет. Изменение температуры не является единствен-
единственным результатом процесса: уменьшается потенциальная энер-
энергия жидкости.
18-2. 2,6 Дж/К.
18-3. а) -0,199 Дж/К; б) -0,277 Дж/К.
18-4. AS = -0,836 Дж/К для всех описанных процессов.
18-5. а) -2,9 Дж/К; б) +2,9 Дж/К.
18-6. 14,4 кДж/К.
18-7. Это видно из следующих соображений:
т ~ т
а) температура смеси Т = —¦!——- ; изменение энтропии
AS = m In ?- + m In ^- = m In Li 1L > 0,
так как (Тг + ТгJ > ±TVT2\
324 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
б) внутренние энергии газа в сосудах:
до смешения —— и -±— ;
у-1 у-1
после смешения 2
pV
где у — отношение теплоемкостей с и cv.
Отсюда, так как обмен теплотой с окружающими телами
отсутствует, получим р = — - . Таким образом,
AS = m(cv\n I. + cvln I-) = mcvln <?llll^ > о.
у Pi Рг' 4PiP2
18-8. Увеличивается на 3,26 Дж/К.
18-9. AS = I (Fxln Zllll + F2ln V-l±Zl} = 1,79 Дж/К.
(Fxln Zll
18-10. +2,21 Дж/К.
18-11. Решение основано на том, что изменение энтропии
системы зависит только от начального и конечного состояний
системы. Изменение удельной энтропии пара при постоянном
объеме при повышении температуры от Тх до Т2 равно
Т
Cyln —- . С другой стороны, процесс нагревания пара в посто-
т\
янном объеме можно заменить следующим рядом процессов:
1) пар превращается в воду той же температуры; 2) получив-
получившаяся вода нагревается от Ту до Т2; 3) вода превращается в
пар; 4) получившийся пар изотермически расширяется до на-
начального объема; так как в условиях задачи плотность пара
невелика, то процесс расширения можно рассчитывать по фор-
формулам для идеального газа. Приравняв изменения удельной
энтропии при описанных процессах, получаем:
где с0 — удельная теплоемкость воды (в указанном интервале
температур ее можно принять равной 4,185 Дж/(кг • К)). Под-
Подставляя данные из таблицы XVIII, найдем
ск=1,31кДж/(кг-К).
Отметим, что согласно молекулярно-кинетической теории
идеальных газов удельная теплоемкость многоатомного газа рав-
на Су = ~j = 1,385 кДж/(кг • К) и не зависит от температуры.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 325
18-12. Обозначим процентное содержание конденсирован-
конденсированного пара через х, абсолютную температуру и удельную тепло-
теплоту парообразования при давлении 2 • 105 Па соответственно че-
через Т1 и гх, при 0,2 • 105 Па — через Т2 и г2. В таком случае из-
изменение энтропии системы (см. решение задачи 18-11)
AS - S2 - Sl = -? - с In ? + ?A - х),
где с — удельная теплоемкость воды (в этом диапазоне темпе-
температур ее можно принять равной 4,2 кДж/(кг • К)).
При адиабатном процессе AS = 0. Отсюда
х = ?A_ll II = 10,5%.
18-13. На -0,0075 К.
18-14. = 2270 кДж/кг.
18-15. Полагая (ввиду малости высоты h) Ар = D2gh, имеем
AT =
г
или, поскольку — <§С 1,
Д7Т= ?*1 = 0,0012
г
18-16. 114 мДж/м2.
18-17. г = nd2 — Na = 660 Дж/г, где d — диаметр молеку-
М
лы. Опыт дает около 2250 Дж/г. Расхождение объясняется не-
неправомерностью применения по отношению к отдельным мо-
молекулам понятий, касающихся макроскопических систем.
18-18. 0,352 кДж.
18-19. Q =А Т* = 12,5 кДж.
18-20. Вода в отопительной системе, являясь холодным
Т
телом в двигателе, получает количество теплоты Н— ; та же
м
вода является горячим телом в холодильной машине и пото-
му получает количество теплоты <?—i-=—- ——^=г • Итого, ко-
326 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
личество теплоты, получаемое водой при сжигании 1 кг топ-
топлива,
Q = qT^ElllA =6-10* кДж/кг.
18-22. V = _rtl = 1,9 ¦ 103 см3, где D и Do — плот-
ности гуммигута и воды.
К §19
19-1. 5,69 • 106Дж.
19-2. 0,36 °С.
19-3. t = -L Л- = 28,6 °С.
2 + Н
19-4. X = —5— = 120 Дж/(м • с К)
19-5. Примем, что ребро кубика равно I. Обозначим число
пар пластинок и их толщины п, Ьг и Ъг. Тогда
; Я., = 5
так как
19-6. Градиент температуры у верхней стенки меньше.
19-7. Q = 2яХт(*2 ~ *1I = 8;з • Ю5 кДж.
19-8. Количество теплоты, передаваемое за время т через ци-
цилиндрическую поверхность произвольного радиуса г (R < г < Rv
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 327
где R — радиус трубы, Дх = 2R — внешний радиус первого
слоя изоляции),
Q = -^^ -2пг1т.
Разделяя переменные Г, г и: интегрируя, находим темпера-
ТУРУ Т\ на внешней границе первого слоя изоляции:
Т - Т - Q In Rl
где То — температура трубы.
Аналогично находим температуру Т2 на внешней границе
второго слоя (Д2 = ЗД — радиус этой границы):
Д, и 2к1х^Хг R Х2 I
Таким образом, при фиксированных температурах То и Т2
количество передаваемой через теплоизоляцию теплоты
Q= (То - Т2) 2кП
Зная, что \fk2 = 2 для трубы I, a A.j/A.2 = 1/2 для трубы II,
находим
Qj_ = In 2 + 0,5 In 1,5 =12
Qu 0,5 In 2 + In 1,5 ' '
т. е. труба I отдает в окружающую среду в 1,2 раза больше
теплоты.
19-9. 4,446 • 103 кДж.
19-10. а) 50000 кДж; б) температура слоя сажи 400—200
°С; железа 200—195 °С; накипи 195—183 °С.
К §20
20-1. 2,3- 10"8Кл.
20-2. 0,076 мм.
20-3. Шарики соприкоснутся, а затем установятся на рас-
расстоянии 3,1 см друг от друга.
20-4. е = 2,2.
20-5. 1,6 • 103 кг/м3.
20-6. а) Под электроном на расстоянии 1,2 ¦ 10~6 м; б) 2,3 см.
328 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
20-7. Расстояние от заряда qt равно
* 'r- г-'
411 ± «М
Знак «-» соответствует разноименным зарядам, знак «+»
одноименным.
20-8. а) 0; б) 0, 1—— или —i2— в зависимости от рас-
4пгг* 4кг2
положения зарядов.
20-9. 4,3 • 1011 В/м; 4,2 • 1011 В/м.
20-10. а) 3,9 -10 п м; б) 4,6 • 106 В/м и 2 • 106 В/м; в) 6,6 X
X Ю-13 Н и 3,3 • 103 Н, КГ21 Н • м и нуль.
20-11. а) 2 • 10-12Н; б) 1,3 • 109 Дж; в) 2,1 • 106Дж/кг.
20-12. Диполь А находится в поле диполя В напряженно-
напряженностью -—?—- ; вектор напряженности перпендикулярен векто-
вектору электрического момента рА. Момент сил (относительно
о
центра диполя А) примерно равен —Е— и направлен по нор-
4леоег3
мали к плоскости рисунка 20-3 («на нас»).
Диполь В находится в поле диполя А напряженностью
?__ ; вектор напряженности перпендикулярен рв. Момент
сил (относительно центра диполя В) примерно равен =^ и
4яе0ег3
направлен также «на нас».
На первый взгляд кажется странным, что сумма этих двух
моментов сил отлична от нуля, хотя система замкнута. Дело
в том, что эти момеыы рассчитаны относительно разных то-
точек (начал). Между тем силы, действующие на каждый из за-
зарядов диполя со стороны другого диполя, не образуют точную
пару сил, поэтому создаваемый ими вращающий момент зави-
зависит от выбора начала. Суммарный же момент сил, действую-
действующий на всю систему, равен нулю относительно произвольно
выбранного общего начала.
20-13. 5,9 • 104Кл.
20-14. 10-10Кл.
20-15. а) Электрическое смещение останется без измене-
изменения, а напряженность уменьшится в 2 раза;
б) Электрическое смещение увеличится в два раза, а напря-
напряженность останется без изменения.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
329
20-16. a) q = ,J2e0SF
2,7 • 105В/м.
20-17. He изменится.
20-18.3,4- 10Дж.
20-19. E =
9,4 • 10Кл; б) 4,7 • 10Кл/м2 и
4ле0ЛД0
20-20. a) 0; б) Е = -
= 6000 B/m.
1h = 1,3 • 104В/м; в) макси-
максимальная напряженность имеет место в точке, отстоящей от
кольца на расстоянии h0 = А ; ?тах = 2,8 • 104 - .
20-21. а) Исходим из решения преды-
предыдущей задачи. Разделяем пластинку на
ряд бесконечно тонких колец (рис. 20-4).
Заряд на кольце радиусом х равен
у = сг • 2nxdx.
Тогда
jP_ 2jiabxdx
4яео(дс2
Рис. 20-4
2еп
1 -
45,2 §.
б) При Ъ —>¦ 0 второй член в скобках равен нулю и
Если а <§С Ъ, то
При этом
= 1 - —
22 '
1 +
4jie0b'i
20-22. Решение легко получается как следствие решения
задачи 20-21 и принципа суперпозиции:
330
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
20-23. Разбиваем полусферу на ряд бес-
бесконечно узких колец (рис. 20-5). Пло-
Площадь каждого кольца 27LRdft. Заряд на
кольце cs2nRAh. Из соображений сим-
симметрии ясно, что напряженность поля
направлена по линии ОА. Поэтому на-
напряженность поля, создаваемая зарядом
кольца, равна
а • 2nRAh R~ h
Рис. 20-5
d? =
Проинтегрировав, находим
20-24. a) 2 • 105В/м; б) -7,2 • 104В/м.
20-25. а) 0; б) 2,53 • 104В/м; в) 8,47 ¦ 104В/м.
20-26. ? = 6,7- 104В/м.
20-27. См. рисунок 20-6.
а)
Е
б)
Е
0 Д, Д2
Ek
0 R
Рис. 20-6
К§21
21-2. а) Нет, так как направление напряженности поля во
всех точках вполне определенно.
б) Нет.
21-4. Ситуация не является электростатической. Заряд сте-
стекает с шара через бумажные полоски. Таким образом, по поло-
полоскам течет слабый ток, причем линии тока совпадают с линия-
линиями напряженности электрического поля.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
331
21-5. а) 2,8 эВ; б) 3,5 • 10-2эВ; в) 0,434 эВ; г) 18 эВ.
21-6. 40 электронов.
21-7. 1,6- ПГ17Кл.
21-8. F =
= 2,5'10-*Н.
21-9. а) При постоянстве напряжения между пластинами;
б) при постоянстве зарядов.
21-11. а) 6 • 10-7Дж; б) 0; в) 0 и-10"бДж.
21-12. а) 2,5- 10Дж;бH.
21-13. a) U = 1 -e,\F.= 1h
.-; б) Е
в) t/j = = 360 В, Е1 = 0; U2 = 161 В, Е2 = 1,3 • 104 В/м.
21-14. J7 = -5- Gа2 + Ь2 - Ъ).
2е0?
2Ь1б.аO^;6):г-?-5;в)_?_.
21-16. См. рисунок 21-8.
21-17. -3000 В; -3600 В.
21-18. а) у =
= 2,08 • 10-8 Кл/м;
б) ax = JL_ = 1,1 • 10^Кл/м2; а2 - _J_ = 0,33
J
1
2пЛ
б)
ф,
0
г)
Ф.
г
—1
Ri Яг г
о л
Рис. 21-8
332 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
в) Е = - U' ; 125 В/см; 57,5 В/см; 37,4 В/см.
XV о
д1
21-19. 1017см/с2; 5 ¦ 108см/с.
21-20. Пробьется лишь после введения стеклянной плас-
пластинки, так как в этом случае напряженность в воздухе будет
31,4 кВ/см, а после пробоя воздуха напряженность в стекле
будет 130 кВ/см, так что пробьется и стекло.
21-21. Напряженность в слое диэлектрика в цилиндриче-
цилиндрическом конденсаторе наиболее велика у внутренней его поверх-
поверхности. При достижении напряжения, соответствующего про-
пробою в данном диэлектрике, мы имеем условия:
s— =Е,; 1 =Е„
где г1 и г2— внутренние радиусы диэлектрических цилинд-
цилиндров. Отсюда
21-22. а) Из соотношения между напряженностями пробоя
в изолирующих слоях и их внутренними радиусами (см. реше-
решение задачи 21-21)
Ъ. = !ili
El е2г2
следует, что при повышении напряжения на конденсаторе бу-
будет пробит сначала бумажный, а затем стеклянный слой. Ис-
Исходя из этого, можно подсчитать, что пробой произойдет при
напряжении 45 кВ; б) в этом случае тоже сначала будет про-
пробит бумажный слой при напряжении 48 кВ.
о ту
21-23. а) Е = __ -= 40 В/см; б) складывая векторно,
I ¦ In '-Л1
г
имеем:
Е - m = 3 В/см.
21-24. Дер = р-- = 118 В.
8еое
21-25. Линии напряженности имеют вид, показанный на
рисунке 21-9.
В левой части поля скорости электронов увеличиваются,
причем углы наклона векторов скорости по отношению к оси
уменьшаются. В правой части поля электроны отклоняются от
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 333
оси, но в меньшей мере, чем отклонялись
к оси в левой части (так как скорости их
стали больше). Таким образом, поле ока-
оказывает фокусирующее действие (делает
расходящийся пучок менее расходящим- Рис. 21-9
ся или сходящимся).
21-26. U = 2J70ln 5? .
21-27. v - №±(b- + i) =1,58- 109 см/с.
21-28. U2 = ^iEl = 400 В.
21-29. Под действием поля в конденсаторе электрон
сместился на расстояние s = — ; работа сил электриче-
l
ского поля равна Щ- s = e U Ь . Она равна разности энергий
d 2d2mv
2
электрона —— — —-; эту разность ввиду незначительности
прироста v - Vq можно принять равной (i> - wo)t>om. Отсюда
v - v0 =
К §22
22-1. а) Одна и та же разность потенциалов, равная — . Нет.
о
Одна и та же напряженность, равная -, .
б) Между пластинами А и С и между В и D разность потен-
потенциалов — . Между пластинами С и D разность потенциалов
3
равна нулю. На пластинках С и D отрицательный и положи-
положительный заряды такой же величины, как и на пластинках А и
В. Напряженность поля между Л и С и между В и .D равна — ,
между С и D равна нулю.
334
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
в) Разность потенциалов и напряженность между А и С и
между В и D равны — и —-, между С и D эти величины равны
У 3d
2 U 2 U
соответственно —=— и — • Н.
г) На вопросы пункта а) ответы прежние; б) между А и С и
между D и В разность потенциалов равна ^ ; между Си?) рав-
на нулю. Напряженность поля между А и С и между D и В рав-
3 С/
на — ; между Си/) равна нулю; в) разность потенциалов и
напряженость поля между С и D равны —_ и -— .
3 d
22-2. а) Индуцированные заряды остаются без изменения;
б) увеличивается в 2 раза.
22-3. а) Силы, действующие на заряды, никак не изменя-
изменяются; не меняется и напряженность поля во всех точках про-
пространства;
б) напряженность поля между оболочками равна нулю;
напряженность поля в остальном пространстве и силы оста-
остаются прежними.
22-4. Расположение линий напряженно-
напряженности в случае шарика и заземленной стены
таково же, как и в случае двух разноимен-
разноименных шариков, находящихся на удвоенном
расстоянии (рис. 22-5). Поэтому сила
взаимодействия
F = 2! = 2,5 • 10Н.
47i?<)EBaJ
22-5. Это следует из результата предыду-
предыдущей задачи.
2 2
Я\ - Яг
4ite0e(<i1 - d2J
б) Сила не изменится.
4- 10Н.
22-7. Е = -
Zqh
= 114 В/см.
22-8. а) а = -_2- = -3,5 • 10 Кл/м2;
2па1
б) на основании таких же соображений а = - -25L =
2лг3
-0,76 • 10 Кл/м2;
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
335
Рис. 22-6
1,5
1
0,5
0,5
Рис. 22-7
1 t, с
в) рассмотрим (рис. 22-6) бесконечно узкое кольцо ради-
радиусом Ъ. Его площадь dS = 2nb&b. Заряд на нем
Полный заряд на всей стенке
гь ль
-q = -2 нКл.
22-9. Пылинки, заряженные положительно, и пылинки не-
незаряженные будут при всех условиях двигаться к проволоке.
Пылинки, заряженные отрицательно, будут двигаться к тру-
трубе, если они находятся вдали от проволоки, и к проволоке, ес-
если они находятся ближе определенного расстояния, так как
благодаря индуцированному электрическому моменту пылин-
пылинки втягиваются в область более сильного поля.
22-10. Энергия увеличивается за счет механической работы
при переносе заряда от более низкого потенциала к более вы-
высокому. Поэтому при первых переносах, пока потенциалы
близки, работа мала.
22-11. См. рисунок 22-7.
22-12. Расстояние между противоположными точками ци-
цилиндров вблизи точки наименьшего расстояния (х = у = 0) равно
2R
U
; поверхностная
напряженность электрического поля Е
?пЕ2
плотность силы / = -=5— . Сила притяжения цилиндров
F = 2л J rf dr = 7teol
о
=n?0U2^ - 12,5- 10~5 H.
336
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
К §23
23-1. к = 0,48.
23-2. 1,06 • 10-8Кл/см2.
23-3. а) 78°46'; б) 131 В/см; в) 0,011 нКл/см2.
23-4. а) Условие равенства нормальных составляющих
электрического смещения в воздухе и в керосине дает
Отсюда
у4кг0Н2
= -Я
^| = 1,2- 10Кл/м2;
б) ст, = SlL Lzi = 0,25 • Ю-7 Кл/м2.
1 27ir3e+l
Общая величина связанного заряда на поверхности (см. от-
ответ к задаче 22-8):
a, =g^-i =6,7нКл.
Воздух
23-5. а) См. рисунок 23-3.
23-6. Сила, действующая на верх-
верхнюю пластину, такая же, какая
была бы в отсутствие диэлектрика:
Рис. 23-3 Сила, действующая на нижнюю
пластину вместе с прилегающим
к ней слоем жидкого диэлектрика, равна сумме сил притяже-
притяжения суммарного заряда q + qx (где ql — связанный заряд на по-
поверхности диэлектрика) к зарядам —q верхней пластины и за-
зарядам -qrj верхней поверхности диэлектрика:
= (q
9i
2e.0S
1 -е
2znS
Учитывая, что q± = q , получаем
2e0e2S
- 8,37- 10~3Н.
Верхний слой жидкости находится в поле, создаваемом
обеими обкладками конденсатора, а также связанными заря-
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
337
дами нижней поверхности жидкого диэлектрика. Поэтому си-
сила, действующая на него, равна
6,7- 10~2Н.
-L.1
2e0S) 2e0e2S
К §24
24-1. Нет.
24-2. 15 В.
24-4. 3,5 • 10~9 Ф.
24-5. Емкость системы двух соприкасающихся шаров, оче-
очевидно, меньше суммы емкостей двух изолированных шаров.
При удалении шаров друг от друга емкость большего увеличи-
увеличивается на меньшую величину, поэтому потенциал большего
уменьшается на меньшую величину.
24-6. 740 пФ.
24-7. Рабочая площадь пластины такого
конденсатора равна сумме площадей двух
одинаковых сегментов. Площадь So одного
сегмента (см. рис. 24-9) находим как раз-
разность площадей сектора с углом а = -? и
треугольника: So = r\\ ~ X )' ТогДа элек"
троемкость
Рис. 24-9
2S
° =* 390 пФ,
где d — толщина парафинированной бумаги.
24-8. Электроемкость половины конденсаторов, составляю-
щих систему, увеличилась и составляет - от прежнего значения.
Обозначая электроемкость до сдвигания пластин С, получим,
что электроемкость этой половины равна - С. Электроемкость
о
другой половины уменьшилась и равна - С. Относительное из-
о
менение электроемкости равно
дс
с
0,125.
Таким образом, электроемкость увеличилась на 12,5%.
338 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
24-9. Увеличивается почти вдвое.
24-10.2,6 ¦ КГ8 А.
24-11. Электроемкость такого шара
Тогда
q = Сер = 2лЕ0ДфA + е) = 9 ¦ 10"9 Кл.
24-12. а) С - ^-^ - 0,29 пФ; б) С ^^
i(i — а) 1.1 — а
= 0,57 пФ.
24-13. а) 7500 В; 4500 В; б) 2,25 • 10Кл.
24-14. 44 пФ.
24-16. Да; будет пробит сначала второй конденсатор, а за-
затем первый.
24-17 а) С - (Ci
C
C1 + C2 + C3 + Ci1 Ct + С8
б) Положим, Cg = kCr; Ci = kC2; тогда
С= (
{С
k)
С - feCl + kC*
C^l + k
C2(l + k) l + k
электрические проницаемости стекла и парафина, соответ-
соответственно.
24-19. Сх = 1190 пФ; С2 = 1220 пФ.
24-20. а) 0,05 мкФ; б) увеличится в 1,75 раза.
24-21. 0,54 Дж.
24-22. а) При одинаковых конденсаторах перетекания заря-
зарядов не происходит и энергия системы остается без изменения.
Это можно показать еще так: при переводе из последова-
последовательного соединения в параллельное напряжение уменьшает-
уменьшается в л раз, а емкость увеличивается в л2 раз. Следовательно,
энергия остается без изменения.
В случае различной емкости конденсаторов при переключе-
переключении происходит перетекание зарядов, т. е. частичный разряд.
Энергия системы уменьшается.
б) Энергия системы остается без изменения. Однако если
соединить крайние обкладки конденсаторов батареи, то про-
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 339
изойдет лишь частичный разряд батареи, так как средние кон-
конденсаторы останутся частично заряженными.
24-23. Если при замыкании ключа К происходит перетека-
перетекание зарядов, то энергия системы уменьшается; отсюда следу-
следует, что емкость ее увеличилась. Если перетекания нет, то ем-
емкость остается без изменения.
24-24.А- Г^_(е- 1) = 2,79 ¦ 1(Г5Дж.
24-25. 1,19 • 1(Г5Дж.
24-26. а) Изменение энергии положительно и совершается
за счет механической работы при раздвигании пластин или
при вытаскивании изолятора.
б) Изменение энергии отрицательно. Производится поло-
положительная механическая работа и вдвое большая по модулю
отрицательная работа в источнике тока.
24-27. После соединения образуется конденсатор, емкость
которого С = 2СХ, где Сх — емкость одной лейденской банки.
Полный заряд системы остается неизменным, значит, энергия
уменьшается вдвое. Половина первоначальной энергии рассе-
рассеивается в виде электромагнитных и звуковых волн, а также
тратится на нагревание воздуха и электродов.
24-28. Керосин поляризуется и втягивается в пространство
между электродами. При этом электростатическими силами
производится механическая работа, которая в конечном итоге
приводит к нагреванию системы.
24-29. Удельная теплоемкость диэлектрика, находящегося
в электрическом поле, иная, чем у диэлектрика в отсутствии
поля. Количество теплоты, отданное при охлаждении, равно
изменению энергии конденсатора.
24-30. Q = ciC2^(Ci сг) = „ 047 Дж
2(С, + С2Г
24-31. Q - си^-1J = 6 ¦ Ю-5 Дж.
^ 2е(е + 1) ^
24-32. AW = -i fiSl- (t/j - U2J - -8,4 • 1(Г3 Дж.
2 Сj + (^2
24-33. Элементарная работа при повороте пластин на угол
da равна изменению dW энергии конденсатора: dA = Mda =
= 6W, откуда вращающий момент М = 5-— . Энергия конденса-
dct
тора при произвольном угле а в случае а):
W(a)
, = Я2
2С(а)'
340 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
С — С
где q = Cjt/, C(oc) = С1 - — а, откуда
^г - Са) .
M
da 27iC2(a)
при a = 0 имеем М = 4,33 • КГ6 Н • м; при a ¦= 5 получим М
= 1,64 • КГ5 Н • м; при a = к М = 5,15 • 1(Г3 Н • м.
В случае б)
Ща)
^н.
da 2л
M не зависит от а.
24-34. Электроемкости батареи до и после пробоя равны,
С С
соответственно, - и ; энергия батареи до и после про-
п ге — 1
и
2ге 2(ге-1)
а) Изменение энергии
б) А = ot/ - 7,2 • Ю-2 Дж.
ге(ге - 1)
24-35. 9,4- 1013Дж/м3.
24-36. а) 0; б) 0,028 Дж/м3.
24-37. а) 1) Напряженность электрического поля внутри
шара на расстоянии г от центра
я, - qr ;
энергия поля внутри шара
R о
0 2 10
2) Напряженность поля вне шара
4леог2
энергия поля вне шара
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 341
3) w = w, + w, = - q2 .
1 * 5 4ле„Л
б) При разделении на два одинаковых шара радиусами —
1/2
энергия уменьшилась на 0,222
К §25
25-1. а) 15 Кл; б) 0,26 Кл.
25-2. 44 000 А/см2.
25-3. 3,8 • 10~4 А/см2 и 0,19 А/см2.
25-4. 2,5 м.
25-5. 57 Ом.
25-6. R = JL =160 Ом.
2d
25-7. Нет, так как температурный коэффициент сопротив-
сопротивления имеет порядок 10~3 К, а коэффициент линейного рас-
расширения — порядок 10~5—10~6К-1.
25-8. а) В вольфрамовом волоске ток при включении значи-
значительно больше, чем в установившемся режиме, а в уголь-
угольном — наоборот;
б) плотность тока в вольфрамовом волоске в середине мень-
меньше, чем по краям; в угольном — наоборот.
25-9. 44 °С.
25-10. 0,0049 К1.
25-11. Угольный стержень должен быть в 44 раза короче.
25-12. Для того чтобы температура не влияла на показания
вольтметра, необходимо, чтобы ток, от которого зависит вра-
вращающий момент подвижной катушки, изменялся пропорци-
пропорционально изменению упругости пружинки. Температурный ко-
коэффициент манганинового сопротивления и сопротивления
катушек равен
а
Компенсация получится при условии —-— = 1 + Bf, что
1 + at
ввиду малости В может быть заменено соотношением a = —В,
отсюда
342 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
25-13. а) 45 В и 15 В; б) 20 В и 40 В; в) 60 В и 0.
25-14. U = jQndpw = 6,4 В.
25-15. Rx = Я^0"^1 = 78 600 Ом.
25-16. 77 мА.
25-17. 4,1 В и 0,05 Ом.
25-18. а) -2 В; знак минус указывает, что ЭДС включена
против тока; б) 3,2 В.
25-19. 0,47 А.
25-20. а) f\ > 2Ш2\ б) Шх = 2W^, в) Шу < 2%г.
2.5-2Л.. Стрелка первого вольтметра отклонится вправо и по-
покажет 1,75 В; стрелка второго вольтметра отклонится влево и
покажет 1,5 В.
25-22. а) Нуль; б) нуль; в) разность потенциалов между
проводами через нечетное число элементов равна Ш\ (Шг —
ЭДС одного элемента), через четное — нулю.
25-23. q = Ip??0 = 1,79 • 10-10Кл/м2.
25-24. На поверхности электролита, а также на дне и стен-
стенках кюветы образуются свободные или связанные заряды, ме-
меняющие картину линий напряженности электрического поля.
25-25. В области сужения больше плотность свободных за-
зарядов на поверхности проводника, что и обусловливает увели-
увеличение напряженности поля в узкой части.
25-26. На поверхности трубки (или провода) имеются свя-
связанные (или свободные) заряды, благодаря которым линии на-
напряженности поля следуют всем изгибам трубки (или провода).
25-27. а) 1) 1,3 ¦ 10-2А/см2; 2) 5,7 ¦ 10-3А/см2; б) 4,1 А.
25-28. а) Это явствует из следующего рассуждения. На ос-
основании закона Ома (который можно применять ввиду малос-
малости получающихся при этом плотностей тока) отношение на-
напряженностей Ег и Е2 электрических полей в слоях диэлект-
диэлектриков при протекании постоянного тока должно быть равно
?i = Pi
Е2 Р2'
что отличается от отношения напряженностей в слоистом кон-
Е[ е2 р, е„
денсаторе _i = _ , если — Ф — .
Е2 et p2 E,
Вследствие этого равновесное состояние установится толь-
только тогда, когда на границах диэлектриков будут находиться
такие заряды, при которых имеет место соотношение
Щ = р,
^2 Р2"
ОТВЕТЫ РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 343
Очевидно, что при наличии проводимости и при условии
Pi Е2
— * — электроемкость конденсатора больше, чем при отсут-
Рг Ei
ствии проводимости.
б) Величину этих зарядов можно подсчитать так. Если U —
полное напряжение на конденсаторе, то по закону Ома
V —
С другой стороны, при равновесии
01 - _ °2
Е. = -II. и Ег =
1 с с L
EqEj ЕоЕ2
где аг и а2— плотности свободных зарядов на границе ди-
диэлектриков; суммарная плотность свободных зарядов
а~а&-ол- ео(е2?2 - влЕЛ - Eyp'e'"piei =
= 2,94- 10~4Кл/м3.
в) При разряде внешние заряды на обкладках конденсато-
конденсаторов перемещаются так, что на обкладках остаются одноимен-
одноименные заряды, в сумме равные crS (но не равные, вообще говоря,
между собой). Получаются как бы два последовательно соеди-
соединенных конденсатора, заряженных в противоположных на-
направлениях, так что их противоположные обкладки (т. е. об-
обкладки слоистого конденсатора) находятся при одном потен-
потенциале. Так как один из конденсаторов разряжается быстрее
другого, то появляется разность потенциалов между обкладка-
обкладками слоистого конденсатора и возможен разряд.
25-29. * = CR In -Д- = 0,046 с.
& — U
25-30. р = г- = 1,48 • 1012 Ом • м.
К §26
26-1. 1,3 Ом.
26-2. а) 0,8 Ом; б) 1 Ом.
26-3. R = гТЗ для схемы рис. 26-2; R = -L для схемы
л
рис. 26-3.
26-4. 261 Ом.
344
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
26-5. а)+0,1%; б)+11%.
26-6. а) -0,3%; б) -30%.
25,6 0м.
26-8. 0,025 А.
26-9. а) 1 А; б) Rx = B ± 7з )Д2.
26-10. х = 6,40 км.
26-11. а) у
26-12. / =
26-13.
UR,
R2Rl + R(R2
- =1,2- 10~3A.
= 204 000 Ом;
= 255 000 Ом.
26-14. а) 108 В и 72 В; б) 99 В и 81 В; в) Яг: R2 = 2 : 3.
26-15. [/, = U Щ ;
1 Rxl + rl2 - Rx2
a) U, — 0; б) С/, = U; в) U, = U 2г < - V- г) U, = U- .
26-16. 1,58 А и 3,65 А.
26-17. | А; | А; 1 А.
26-18. a) I/j = 0,27 В; U2 = 1,27 В; [73 = -2,23 В; б) 0,73 В.
26-19. 0,5 Ом; 0,33 Ом; 0,5 Ом.
26-20.1г = 1,5 А; 12 = 2,5 A; J3 = 4 А.
26-21. Без вычислений видно, что /4 = 0, так как резистор
RA закорочен. Приняв это во внимание, находим 1г = 0,4 мА;
12 = 0,7мА;/3 = 1,1 мА.
?;i
26-22. М
26-23. их
26-24. а)
Г2Г| + i?(Tj
6) г- Г1
= ДС7 =
= 2; и2 =
/ = ^1Г2
+ г2)'
3,2 °С.
= 200.
; + Л(У4
+ г2)
г2)
Г, + Г
Г, + Г,
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 345
в) /j = -1; /2 = — , т. е. токи таковы же, как и при корот-
Г1 Г2
ком замыкании отдельных элементов;
г) второй элемент не будет работать: 1) если г2 —» °°. В этом
случае ток через первый элемент
I = Г> -7-
2) если ^2 = L_ R. Это значит, что ^2 рав™ напряжению во
Г[ т it
внешней цепи.
Ш г — (? г
д) R = ' ^—^?-i . Возможно в следующих случаях: 1) при
11 - 11; 2) при 11 ? I-2 и Г2 % У..
26-25. В случае б) показание амперметра уменьшается, в слу-
случае в) — увеличивается.
26-26. Используем симметрию задачи. Обозначим потенци-
потенциалы точек AQ, Av А2 и BQ, By, B2 через а0, ах, а2 и, соответ-
соответственно, Ьо, Ъ1г Ъ2- Если а0 = -Ьо, то ох = -Ьх и а2 = —Ь2. Состав-
Составляем два уравнения баланса токов в точках Ах и А2 для опреде-
определения двух неизвестных величин аг и а2, полагая а0 = — Ьо =
= - Ь. Находим суммарную силу тока — А, т. е. сопротивле-
?4 15
ние равно _ Ом.
К §27
27-1. При включении ваттметра по схеме рис. 27-1 напря-
напряжение на тонкой обмотке равно сумме напряжений на нагруз-
нагрузке и на толстой обмотке, т. е.
Vx = Ua + ?/голст.
Ток Jx, текущий по толстой обмотке, равен току через нагруз-
нагрузку. Мощность Pv измеряемая ваттметром, равна
При включении по схеме рис. 27-2 ток /2, текущий по толс-
толстой обмотке, равен сумме токов в нагрузке и в тонкой обмотке:
346 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
Напряжение на тонкой обмотке равно напряжению на на-
нагрузке. Мощность Р2, измеряемая ваттметром, равна
Рг - I2UB = IBUa + 1такиа = Ра + Ртонк.
27-2. 23.
27-3. 53,5 т.
27-4. 0,2 °С.
27-5. а) / = nVTjn*W*-tPnr ; 7 - 2? А; /2 = 2 А;
27-6. 23,3 Ом.
27-7. А = 1 Щ/f + l\ + I,I2) = 2480 Дж.
3
27-8. а) +2 Дж; +2 Дж; б) +2 Дж; +0,7 Дж;
в) -2 Дж; +0,6 Дж.
27-9. а) г] - nog(fi+j2)^2 „ 67о/о . б) 70% _
27-10. a) Qx = §-^ = 225 Дж; б) Q2 = *q n = 300 Дж; в) Q3 =
т 3x
= ln 2 2f " Д = 78 Дж.
27-11. 7 мин.
27-12. 133.
27-13. a) 30 мин; б) 6 мин 40 с.
27-14. На основании указанного в задаче предположения
можно написать
и\ и\ _ и\
откуда
-ц = т,т,— — 1 —- = 2,64 • 103 с = 44 мин.
27-15. а) Д^г = г2; б) Л^а > г2.
27-16. Q = Jl- pt In ^ =16,7 Дж.
TL(t V
27-17. а) х - Д^*РоAа+О.5в*> . 5 ¦ 10"» с где роA + 0,5ctf) -
среднее удельное сопротивление свинца при изменении его
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
347
температуры от О °С до точки плавления t; D и с — соответст-
соответственно плотность и удельная теплоемкость свинца;
6)T=*WcIMl+a*) =5,6-10-* с.
16/2ра
27-18. Предельный ток для данного предохранителя опре-
определяется условием, чтобы температура при установившемся
режиме была равна температуре плавления. Количество теп-
теплоты, теряемое проволочкой через боковую поверхность пло-
площадью S за 1 с, равно
Q = Sf(t),
где функция f(t) учитывает зависимость потери теплоты от
температуры. При установившемся состоянии для первой про-
проволочки
nd,
для второй проволочки
fit).
Отсюда
27-19. Вследствие одинаковости температуры накала воло-
волосков площади боковых поверхностей волосков должны быть
пропорциональны мощности ламп. Отсюда получаем:
do — d
0,0131 мм;
614 мм.
27-20. 4 В; 0,55 А.
27-21. При установившемся состоянии количество тепло-
теплоты, выделяемое током за 1 с, равно количеству теплоты, рассе-
рассеиваемому в воздухе:
IZR - kS{tx - t0),
где к — коэффициент теплоотдачи.
Далее
М = Zoa(^ - tQ),
где а — коэффициент линейного расширения.
348 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
Отсюда
М - и г2
где fej — коэффициент пропорциональности, равный
k = 4ар
1 '
обратно пропорционален кубу диаметра проволочки.
27-22. По участку ЕС течет ток Iv прямо пропорциональ-
пропорциональный напряжению U: Ix = k^U. По участку АС течет ток /2 =
fe2/ (пропорциональный нагрузочному току) минус ток -± ,
?*
т. е. /2 - -^ . По участку СВ течет ток /2 + — . Удлинение уча-
стка АС пропорционально квадрату силы тока (см. решение
( I Л2
задачи 27-21), т. е. равно с\ /2 - _2 J , где с — коэффициент
пропорциональности, зависящий от размеров и материала
проволочки. Удлинение участка СВ равно с(/2 + -^ ) . Раз-
ность удлинений, обусловливающая поворот стрелки, равна
2с/^ = 2ck1k2IU = kP.
К §28
28-1. / = —^ , где N — общее число свободных электронов
в проводе; v — скорость их упорядоченного движения. Отсюда
p=UHL = 2,27 • 10~5 кг • м • с.
е
28-2. а) 240 лет; б) 9,8 ¦ 104Н.
28-3. 2,8- КГ11 В.
28-4. 1,1 • 1010Кл.
28-5. Наибольшая (теоретически) работа термопары
1 2
Заряд, протекший по цепи,
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 349
28-7. При приближении к волоску положительного заряда
по направлению к нему двигаются электроны, испускаемые
накаленным волоском. Осаждаясь на стенке колбы, они созда-
создают внутри нее поле, компенсирующее внешнее поле, и волосок
остается в покое. По удалении положительного заряда волосок
притягивается к отрицательному заряду на стенке колбы.
При слабом накале волосок испускает слишком мало
электронов.
При сильном накале электроны, летящие от одного из
электродов к другому, ионизируют остатки газа. Благодаря
наличию ионов внутренний объем колбы обращается в провод-
проводник, поэтому электрическое поле внутри него отсутствует.
28-8. 3,1 эВ.
28-9. 0,15 А.
28-10. 0,12 В.
К §29
29-1. v > 2 №¦ = 1,28 • 104 м/с.
V го
29-2. а) (У > cp = 13,56 В, где ср — потенциал ионизации мо-
молекулы кислорода; б) U > ср(га + 1) = 67,8 В.
29-3. Полоска сначала притягивается, потому что на ней
вследствие электризации ообразуется заряд, по знаку противо-
противоположный заряду на острие. Затем, когда напряженность по-
поля вблизи острия достигает такого значения, что энергия
ионов, соответствующая работе электрических сил на длине
свободного пробега, оказывается достаточной для ионизации
молекул воздуха, возникает ионный «ветер», полоска заряжа-
заряжается зарядом того же знака, как и острие, а потому отталкива-
отталкивается.
29-4. Задача о движении двух частиц относительно их цент-
центра масс, как известно, сводится к задаче о движении одной
„ ГО. 171л
частицы, масса которой равна приведенной массе ц =
/В, т ТПп
а длина радиус-вектора — расстоянию г между частицами.
Считая заряды ионов противоположными по знаку и рав-
равными по модулю заряду электрона е, можно записать уравне-
уравнение для вращения относительно центра масс с угловой скоро-
скоростью со:
цсо2г= е%
4яе0г2
350 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
По условию, кинетическая энергия их вращения ^ю г
равна средней энергии поступательного движения молекул
о
- kT. Таким образом находим, что
= 2 • 10"8
м.
29-5. 3,4- 108см.
29-6. 4,78 мкА/км2.
29-7. При силе тока, равной силе тока насыщения, все N
пар ионов, образующихся в единицу времени в объеме V = Sd,
достигают пластин (S — площадь'одной пластины, d — расстоя-
расстояние между ними). Значит, сила тока насыщения / = NSdq, где
q — заряд одного иона. Для однозарядных ионов q = e. Тогда
N= -L =2,5-107см-8-с-1.
dSe
29-8. Число столкновений ионов в единице объема в едини-
единицу времени z1 = an2, где п — концентрация ионов, а — коэф-
коэффициент рекомбинации. Число столкновений нейтральных
молекул при такой же концентрации z2 = г - , где г = тюгпи Л —
число столкновений, испытываемых одной молекулой в еди-
ницу времени, и = I—— — средняя скорость молекул в случае
максвелловского распределения. Таким образом,
и fi = o-JM _ 173 . 104
где Af — молярная масса.
29-9. а) Над океаном число образующихся пар ионов в еди-
единице объема в единицу времени равно Nl = 1 см ¦ с. Число
2
рекомбинирующих ионов равно ап1 . В установившемся со-
состоянии концентрация ионов не изменяется, т. е. iVj = ап\ ,
откуда ^~
ге, = — = 790 см-3.
1 V а
Аналогично над сушей
N2 = Ри2 (ЛГ2 = 8 см~3 • с), откуда п2 = ^ = 800 см.
б) Над океаном на 14 м и 19,7 м; над сушей на 1,78 м и
2,48 м.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 351
29-10. а) Скорость изменения концентрации ионов при
включенном ионизаторе определяется уравнением
^ - N - ст2,
at
где N — число пар ионов, образуемых ионизатором в единице
объема за 1 с.
При выключении ионизатора N = 0. Тогда -^ = -are2. Раз-
dt
деляя переменные и интегрируя, получим
тогда - — — = at, откуда
п п
T=_L(^-ll-62c.
б) ^ = N - Bra. При ЛГ = 0 имеем
си
*, или
п0 О
откуда
т = I In t° = 460 с
p л
29-11. а) Ширина зоны А, откуда все образующиеся отри-
отрицательные ионы попадают на анод (рис. 29-4), равна
^xfe+ = ^fe+; + a\b\c
ширина зоны С равна
i
i i
i i
¦ i
В средней зоне В рекомбинация имеет место.
При получении насыщения зона В исчезает рис_ 29-4
и общая ширина зон А и С становится равной d.
Отсюда
n(k
Nd . A)
)
352 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
Подставляя A) в формулу для плотности тока
имеем
у = eNd,
что и требовалось доказать;
М П - d*N - dZJUu - 11 R
Этот результат неточен, потому что мы не приняли во вни-
внимание влияния пространственных зарядов и того обстоятель-
обстоятельства, что т = ^ есть лишь средняя продолжительность сущест-
существу
вования ионов. На деле насыщение получается при более вы-
высоких напряжениях, чем следует по найденной формуле.
29-14. Результирующая сила равна нулю, так как электро-
электроны, увеличивая свою скорость, притягивают к себе анод.
К §30
30-1. Движение иона есть результат наложения дрейфа
вдоль линии напряженности электрического поля и теплового
хаотического движения.
30-2. 15,5- 1(Г6м.
30-3. 0,203 г.
30-4. т = —— — 0,045 г, где М — молярная масса воды.
N с
30-5. Число молекул соли в 1 см3 раствора п = ——, где
М
М — молярная масса; NA — постоянная Авогадро; а = 0,77.
30-6. 31,3 Ом • м-1.
30-7. 2,8 ¦ Ю-8 см.
30-8. а) 4,6 • 10* Н; б) 6 • 10 м/с.
30-9. 2,9 • 104Дж/моль.
К §31
31-1. 1,42- 1(Г4Н-м.
31-2. а) 6 А • м2; б) 4,2 А • м2; в) 2 А ¦ м2; г) 0.
31-3. р = I(w1S1 + wzS2 cos а), где а — угол, образованный
осями большой и малой спиралей.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
353
31-4. 700 А/м.
31-5. Уменьшится в 2 раза.
31-6. а) Нет, так как после замыкания ключа К момент им-
импульса электронов будет равен моменту импульса системы
ионов, находящихся в узлах кристаллической решетки. По-
Последний противоположен по направлению моменту импульса
электронов, б) L = -?^ = 5,6 ¦ 101 кг • м2/с, где т и е — со-
соответственно масса и заряд электрона.
31-7. Наличие железных опилок изменяет магнитное поле:
появляется составляющая магнитной индукции, перпендику-
перпендикулярная первоначальному ее направлению. Эта составляющая
и обусловливает радиальную (направленную к проводу) силу,
действующую на опилки.
31-8. Если провод, по которому идет ток 13, расположен
посередине, то решение невозможно. Если этот провод рас-
расположен с краю, то искомая прямая расположена между
проводами с токами 1г и /2 на расстоянии 1 см от среднего
провода.
31-9. На расстоянии 4 см к востоку от провода.
31-10. а) На 2,1см ниже провода и на 5,6 см южнее;
б) 72 А/м и 50 А/м.
31-11. 56 А/м.
J_ =
4пг
I
31-12. Н = J—
80 А/м.
356 А/м.
31-13. Н
31-14. Н =
31-15. Н - У^- =2,3 А/м.
4яа
nab
?¦ = 28 А/м.
31-16. а) 64 А/м; б) Н
IR2
= 26 А/м.
R2K
31-17. Нулю.
31-18. а) 7000 А/м; б) 3500 А/м.
31-19. Воспользуемся ответом
к задаче 31-16, б). Обратив внима-
внимание, что на участке длиной dx
(рис. 31-22) сила тока равна
Iw^dx, и приняв для упрощения
вычислений
R = sin а и х = Rctg a,
Рис. 31-22
(•2 12-9638
354 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
получаем: для случая а) Н = 1— — 485 А/м для случая
J 2
б)Я=—^L= =450 А/м.
л/4 + n2
31-20. Решение легко получается из ответа к задаче 31-16
б), если принять во внимание, что o»iJ:
А/м.
31-21. Ф = ^ ЫыДп ^? = 3,5 • Ю-6 Вб.
31-22. Отличие от нуля циркуляции напряженности магнит-
магнитного поля Земли есть доказательство существования вертикаль-
вертикальных электрических токов в атмосфере. Для тех областей, в ко-
которых циркуляция при обходе горизонтально расположенного
контура по часовой стрелке положительна, сумма токов, теку-
текущих сверху вниз, больше суммы токов, текущих снизу вверх.
31-23. а) 8 А; б) 16 А; в) 0.
31-24. Для доказательства надо воспользоваться теоремой
о циркуляции напряженности.
31-25. а) Поле вокруг тонкой проволоки и поле вне трубы
такие же, как и поле при наличии тока в длинной тонкой про-
проволоке; поле внутри трубы отсутствует; б) вне шара имеется
поле, обусловленное наличием тока в проводе, по которому
ток идет к шару; ток, идущий от шара через проводящую сре-
среду, магнитного поля не создает.
31-26. Ф = ^ Цо/Пп *Ь. = 3,13 • Ю-4 Вб.
31-27. а) Я = -IL- = 1 • 103А/м; б) Ф = А. ¦ цоцЛ = 1,5 X
2nR* 4 я
Х1(Г4В6.
31-28. Я = "' '. Поле в полости однородно. Вектор 3 на-
правлен от оси цилиндра к оси полости.
31-29. а) 5 • 103 А/м; б) 20 А/м; в) линии индукции замкну-
замкнуты или уходят в бесконечность.
31-30. В = 2SDgi tg a = 9,35 • Ю-3 Тл (D — плотность меди).
31-31. Не разорвется. Для разрыва кольца требуется маг-
магнитное поле индукцией
Id
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 355
31-32. 120 Н.
31-34. Утверждение, сформулированное в условии задачи
31-33, относится к случаю одинаковой плотности тока по все-
всему сечению проводника. Так как это трудно осуществить в
толстых проводах, следует пользоваться тонкими проводами.
31-35. Сила, действующая на вторую катушку, F = р2 i,
где В1 — индукция магнитного поля на оси первой катушки в
месте расположения второй: В, = ° 1 ; тогда
2kR3
^1^иР 5,76 • 10-9 н.
dR 2Ri 2Д4
31-36. Катушки стремятся расположиться так, чтобы их
магнитные поля совпадали по направлению. В случае значи-
значительной разницы диаметров катушек совпадение полей имеет
место только внутри неподвижной и вне подвижной катушек,
а в пространстве между ними поля имеют противоположные
направления. Поэтому при большой разнице диаметров сила
взаимодействия заметно меньше, чем при малой разнице.
31-37. Угол отклонения: а) не изменится; б) уменьшится,
если размеры стрелки сравнимы с расстоянием до провода;
в) не изменится.
31-38. Индукция Во равна намагниченности при насыще-
насыщении, умноженной на Цо, т. е. J30 = Цо^нас-
31-39. Искомые значения В и Н определяются точкой каса-
касания касательной, проведенной из начала координат к кривой
намагничивания. В данном случае В = 0,88 Тл, Н = 1,2 кА/м.
31-40. 4000 А/м.
31-41. Сначала определяем Н, затем по графику на рис. 31-3
находим Б. а) Н = 1,6 кА/м; В = 1,39 Тл; б) Н = 1,3 кА/м;
В = 1,33 Тл.
31-42. а) Сначала вычисляем Н при силе тока 0,6 А, затем
по графику на рисунке 31-3 определяем В, после чего находим
Ф = 8,0- 10-4Вб;бH,75А.
31-43. ц - Bk(l ~ '*> - 1480.
31-44. Определяем напряженность магнитного поля в пер-
первом кольце
Н= —I =640 А/м.
По кривой на рисунке 31-3 находим В = 1,14 Тл, тогда
_ (nd-d1)H\iu+Bdl _
Ал — XX А..
«'Но
356 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
31-45. а) 1 Тл; б) 396.
31-46. Правый.
31-48. 3,7 • 107м/с; 3900 эВ.
31-49. v = J*L Jh2 + 4K2R = 7,6 ¦ 108см/с.
2лго
31-50. Скорость электрона должна быть направлена пер-
перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы ? и В, и
равна по модулю v = Ц = 3 ¦ 106 м/с.
31-51.
31-52.
1,4- 10
31-53.
а)ап
б) В =
-5с.
Сила
= 0;at
_ J2W
eR
равна
т
нулю
; б) at =
0,48 Тл;
0; ап
_ е
т
Jb2
V2 +
l-(nR
E2
+
¦
2d)
К §32
32-1.1,57- 10-4Дж.
32-2. Никак.
32-3. Во втором случае больше.
32-4. За счет работы аккумулятора.
32-5. а) Одинаковые; б) в первом случае больше.
32-6. Стрелка гальванометра, присоединенного так, как по-
показано пунктиром на рис. 32-2, отклоняется больше.
32-7. По наружному контуру идет индукционный ток. В ра-
радиальных проводниках токов нет.
32-8. а) Диэлектрик поляризуется; б) в сверхпроводящем
кольце образуется ток, магнитный поток которого в сумме
с потоком магнита равен нулю.
32-9. U = i nBl2n = 38 мкВ.
О
32-10. 1,4- 106c-J.
32-11. a) J, = 10~3 А; /2 = 0; 13 = 10 А; б) 1г - 1г = 2,8 • 10~4 А;
/3 = 5,6 • 10~4А; в) 11 = 0; /2 = /3 = 10 А.
32-12. 7,4 • 10~4 А.
32-13. В случае б) выделяется теплоты на 14%, а в слу-
случае в) — на 2% больше, чем в случае а).
32-14. 0,007 Кл.
32-15. q — -5—— = 1,38 ¦ 10~2 Кл (р — удельное сопротив-
4лр I
ление меди).
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 357
32-16. q = г ¦ = 0,053 Кл, где D — плотность меди, р —
4ргс?>
ее удельное сопротивление.
32-17. 3 ¦ Ю-3 Вб.
32-18. Увеличивается.
32-19. Вдали от катушки поле слабое. Следовательно, изме-
изменение этого поля мало влияет на индуктивность.
32-20. ы) = - Щ- =1200 витков.
32-21. L - '""™ = 16,5 мГн.
4лХ)рг
32-22. а) 1,5 мГн; б) 5 мГн.
32-23. Магнитные поля катушек должны быть: а) одинако-
одинаково направлены; б) противоположны; в) взаимно перпендику-
перпендикулярны.
32-25. а) 0,81 мГн; = 350 см.
32-26. а) 1,9 мГн; б) 0,23 мГн.
32-27. а) Сначала определим Н:
Н = ЧЦ. = 1,59 кА/м.
red
Затем по кривой намагничивания (рис. 31-3) находим В и вы-
вычисляем L:
L = 3,5 Гн.
б) 18,5 Гн.
32-28. У соленоида, сердечник которого изображен на
рисунке 32-6, б, напряженность поля во всем сечении почти
одна и та же, поэтому индуктивность его меняется в зависи-
зависимости от силы тока по тому же закону, что и ц (имеется ост-
острый максимум L).
У соленоида, сердечник которого изображен на рисунке
32-6, а, напряженность поля в ближних частях значительно
больше, чем в дальних, поэтому максимум индуктивности
сглажен.
32-29. L - H02
32-30. h = — In ?±S-d = 2,2 мГн.
к d
32-31. 0,004 с.
32-32. Местная цепь замыкается через 0,012 с.
32-33. Повысится на 0,8К.
32-34. а) Площадь ОАВО численно равна заряду, прошед-
прошедшему по дросселю за время 0,5 с. Площадь ОСАО численно
358 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
равна —, где Ф — магнитный поток в сердечнике дросселя;
it
и> — число витков в обмотке дросселя; R — сопротивление его
обмотки.
б) Обозначив площадь ОСАО буквой ст, запишем
л
Sd "
Сосчитав на рисунке число клеток, находящихся на площади
ОСЛО, найдем, что а = 0,17 Кл. Отсюда В = 0,23 Тл.
32-35. а) От точки С к точке D.
б) U = 1% ехр (-hlb А = 0,076 В.
32-36. 490 В.
32-37. 0,008 с.
32-38. 0,19 Дж.
32-39. W = ^Hl In J? - 3,1 ¦ Ю-3 Дж.
471 i?i
32-41. 0,01 с.
32-42. 2 ¦ 10~5Дж.
32-43. Бесконечность. Бесконечный прямой ток есть пре-
предельный случай конечного прямого тока. Полученный резуль-
результат подчеркивает его неосуществимость.
32-44. а) 0,07 Дж; б) бесконечность.
п г2 г
32-45. *2 = *! + , ,. = 1150 °С (D — плотность вольфра-
DlTid^c
ма, с — его удельная теплоемкость).
32-46. Формула пункта 9) введения относится к случаю от-
отсутствия гистерезиса.
32-47. а) На основании соотношения 10 введения к § 31
имеем
где Hs, lB и Нж, 1Ж — напряженности магнитного поля и длины
силовых линий соответственно в воздухе (в прорезе) и в желе-
железе (в кольце). Отсюда
Нж = -104 А/м.
б) -5,02 Дж/м3; в) 0.
К §33
33-1. 6,3 А.
33-2. 3,2 А.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 359
33-3. a) JUL. = 15 ч; б) 25 - 21 ч.
21Д 2/
33-4. а) 57 В; б) продолжительность свечения каждого из
электродов составляет 38,5% от времени горения лампы.
33-5. к - ™?1 = 1,8 см2/(с • В).
33-6. а) Амперметр Аг покажет 11 = 0,5 А; амперметр А2 по-
.1
R
кажет /2 = I Ju2 + 8>г = 1,6 А; б) 115 Дж.
ф
33-9. 141 В.
33-10. а) 6,4 мкФ; б) 0,0064 мкФ.
33-11. 0,055 Гн.
33-12. f = s-№~llP = 7,48 кГц, где k — коэффициент,
2\
определяющий индуктивность катушки с заданным отноше-
отношением длины к диаметру (см. задачу 32-24).
33-13. а) I = , Bn2dn , где R = ^ = 6,8 • 10^ Ом;
78(Д2 + ш2Ь2) d\
d)L = 3,08 • 10~5 Ом. Так как u>L <?C R, то, пренебрегая ш2!,2 по
сравнению с R2, имеем:
16 р
б) I = 1 = 16 А независимо от частоты вращения.
33-14. В случае постоянного тока мощность в 1,2 раза
больше.
33-15. а) Нет; б) да.
33-18. / = 0,5 А; напряжение на конденсаторе 80 В, на ре-
резисторе — 75 В.
33-19. 1,6 Гн.
33-20. 0,75 А; 0,64 А; 0,4 А.
33-21. 1,7 А; 5,4 А.
33-22. а) 100 мкФ; б) 25 В.
33-23. 31,7°.
33-24. 3,2 кВт.
772 Г72 — Г72 — Г72
33-25. Pi - ^ =97 Вт; Р2 - —-1 = Ю5 Вт.
33-26. 154 Вт; 312 Вт.
360 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
33-27. 27 Вт.
27 В
33-28. a) U1 = JU2 - /2L2co2 - IRQ = 114 В; б) потребляе-
потребляеосветительной сетью (включая дроссель) мощность равна
мая
Р
(Л + Я0J
где R — сопротивление всей сети, кроме дросселя. Отсюда
? Вт;
в) при коротком замыкании -Ркор = 58 Вт.
33-29. а) Число клеток сетки, охватываемых петлей гис-
гистерезиса (см. рис. 33-9), приблизительно равно 38. Отсюда
Р= 15,2 Вт;
б) 4,5 Ом.
33-30. f = А - 5,6 • 108 Гц.
ре
33-31. р - A. C0S(P = 1,28 • 109 Ом • см.
е' Jl - cos2 ф
33-32.^=2,5- 104Н.
33-33. Взаимодействуют с силой, изменяющейся по сину-
синусоидальному закону с частотой 3 Гц.
33-34. F = ^^ = 40 Н.
4 Но
33-35. б) Сила притяжения мембраны к полюсам магнита
равна
а переменная составляющая силы, вызывающая колебания
мембраны,
2SBBn
Магнитную индукцию В находим, применив теорему о цир-
циркуляции, и получаем
В =
21
Отсюда амплитуда силы F^
Flm = SB°™T™ = 4,8 • Ю-4 Н.
33-36. 44,4°.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 361
К §34
34-1.4,7- 10-* с.
34-2. а) / = U0J^ = 43 мА; б) Фтах = Ч°^? = 1Д • Ю"8 Вб.
34-3. 9,2 мкВт.
34-4. а) Нет; б) да.
34-5. Не изменится.
34-6. С учетом сопротивления катушки период колебаний
Т = 2л
I 1 Д2"
4LC 4L2
где R = Р' *nrw ф — удельное сопротивление проволоки;
о
г — радиус витков; w — их число), L = \10\ш>гпг2/1. Находим
относительную погрешность:
2,25 • 10-«.
34-8. д = "Р = 0,028.
^л2-1A + Р)
)
34-9. а) Жо - g2(? + СД1) - 3,8 • 10-7Дж. б) W- 7 • 10-7Д
2(H + Щ)
34-10. а) д = 2я/ _ 2 = 0,2я = 0,63;
б) максимальное значение силы тока имеет место при усло-
условии, если фаза ш^ определяется из соотношения
tg mtj - i?; cot! = 87,1°,
т. е. от начала колебания пройдет 0,24 периода;
в) напряжение на конденсаторе
362 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
При t = ?х имеем U = ImR. Отношение энергий магнитного
и электрического полей в этот момент равно
-к- = 25;
г) максимальное значение напряжения имеет место, когда
Ш = -I = 0, т. е. при / = 0.
Напряжение равно нулю, если
что соответствует 0,26 периода;
--t
Д)^тах = ^ •еГ.При4 = 0У=^. Отсюда
/0 = 0,05А.
К §35
35-1. 202,86 ГПа.
35-2. 1340 м/с.
35-3.-1,9- Ю-3 К.
35-4. Вследствие того, что скорости распространения про-
продольных и поперечных волн различны.
35-5. 13,25°.
I m
35-6. Скорость упругих (звуковых) волн в воздухе v = i>0 {—— ,
где i>0— скорость волн при 0 °С, Т — термодинамическая (аб-
(абсолютная) температура. Выберем систему координат, связан-
связанную с Землей. Если ось X направлена вверх (начало координат
на поверхности Земли), то k = ^i-, или Г = Го + kx, где То —
абсолютная температура на поверхности Земли. За промежу-
промежуток времени dt волна проходит расстояние Ах — v At =
• At, откуда х = -2— . Интегрируя, полу-
JTO + kx л/273
чаем
,= 27273,
35-7. 1,42.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 363
35-8. Скорость звука меньше средней скорости молекул для
одноатомного газа в 1,236 раза; для двухатомного — в 1,349 раза.
35-9. При отражении от более плотной среды меняется на-
направление вектора и, от менее плотной — знак Др.
35-10. а) 212 Гц; б) 106 Гц.
35-11. 20 °С.
35-12. 398 Гц.
35-13. 20 см; 6,6 мм или 3,4 мм.
35-14. 0,05.
35-15. 2040 Гц; 6120 Гц; 10 200 Гц.
35-16. а) 5,2 • Ю-8 Дж; б) 2,4 • 10~5 Дж/м3; 4,8 • 10~5 Дж/м3.
35-17. 1,С4 Вт.
35-18.8- 10-7Вт/м2.
35-19. 17,6 Гц.
35-20. 11,3 км.
35-21.2,1 ¦ 1010см/с.
35-22. а) Нет; е) 7,4 • 107Гц.
35-23.8,4- 10 В/см.
35-24. На расстоянии 21,8 км от среднего наблюдателя.
35-25. б) х = Х - = 17 мм.
2 sin и
35-26. Сила электрического взаимодействия в т2 раз боль-
больше силы магнитного взаимодействия.
К §36
36-1. а) 4,7- Ю-3; б) 4,7- 10~9.
36-2. 8,7 ¦ Ю-5 см.
36-3. 27,76 °С.
36-4. Разборчивость речи связана с наличием верхних час-
частот в звуке. Коэффициенты поглощения звука в воздухе для
высоких частот больше, чем для низких, а потому звуки верх-
верхних частот ослабляются в большей мере, чем звуки нижних.
36-5. а) 1,26; б) 1,12.
36-6. 0,01 Па.
36-7. 51,3 дБ.
36-8. а) 26 дБ; б) 100 м.
36-9. 0,12 с1.
36-10. а) Частота 256 Гц: на пороге слышимости ампли-
амплитуда давления Лрга1 = 5 • 10~4 Па; интенсивность звука 1\ =
— 3 • 10~10Вт/м2; на верхней границе слуха Apm2 = 200 Па,
12 = 50Вт/м2.
364 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
Частота 2048 Гц: Дрш1 = 3 • КГ5 Па, /х - 1,1 • 10~12Bt/m2;
Дрт2 = 160 Па, 12 = 30 Вт/м2.
б) Звук частотой 32 Гц не слышен; звук частотой 2048 Гц
имеет уровень громкости 70 дБ.
в)=20дБ;г)=3 • 10~4Вт.
36-12. 680 Гц.
36-13. а) и б) 72 км/ч.
36-14. а) 1,88 с; б) 2,12 с.
К §37
37-1. а) 0,0033 Вт/лм; б) 0,0023 Вт/лм.
37-2. 9 лк.
37-3. Е = —J- = 15,26 лк.
4 г2 cos a
37-4. Увеличится в 1,12 раза.
37-5. 25 000 кд.
37-6. а) 10,2 лк; б) 10,9 лк.
37-7. а) = 10 лк. б) Расстоянию 7 м соответствует угол с вер-
вертикалью а = 54,5°. По кривой видно, что сила света в этом на-
направлении равна 73 кд. Освещенность = 1,7 лк. в) = 7,7 лк и
1,3 лк.
37-9. 6 с.
37-10. 46 с.
37-12. 30,4 лк.
37-13. Е = ~ = 700 лк.
2nal
37-14. 7000 кд/м2.
37-15. a.)h = b; ?max = Щ = 41 лк; б) 11,5 лк.
37-16. 5,30- 106лк.
37-17. а) 40 лк; б) 12,7 кд/м2.
37-18. 5%.
37-19. а) 1,27 лк; б) 0,72 лк.
К §38
38-1. а) х = 2rsin a = 10,6-см.
б) Сместится в противоположном направлении на расстоя-
расстояние у = I ¦ cos a = 1,7 см.
38-2. 0,02 кд.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
365
К
D
а
В
Рис. 38-17
38-3. Разложим вектор Умова—Пойнтинга на три состав-
составляющие по нормалям к зеркалам. При каждом отражении из-
изменит свое направление на противоположное составляющая,
направленная по нормали к "отражающему зеркалу, а две ос-
остальные составляющие не будут изменены. После трех отра-
отражений все составляющие будут направлены противоположно.
Следовательно, и вектор Умова—Пойнтинга будет иметь про-
противоположное направление. Луч пойдет в обратном направле-
направлении.
38-4. а) На расстоянии 120 см от вершины зеркала;
б) 104кд/м2.
38-5. Из условия
Я -ВО=?- 0,01
2 2
следует, что СВ = 0,505Л (С — центр кривизны). С другой сто-
стороны (рис. 38-17),
Отсюда ^ = 0,14.
38-7. 24 см.
38-9. Зеркало должно образовать с горизонтом угол 34°.
38-10. 68°18'.
38-11. а) Для доказательства возьмем три луча, лежащие в
вертикальной плоскости XY, причем ось Y направлена вдоль
поверхности воды (рис. 38-18).
Уравнения траекторий лучей внутри воды имеют вид:
у = х tg a2 + Ь2;
у = х tg а3 + Ъг.
366
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
Так как они исходят из одной точки S, то имеет место соот-
соотношение:
1 tgocj bx
1 tga2 b2
1 tga3 b3
0.
Уравнения траекторий преломленных лучей имеют вид:
у = х tgpx 4- by-,
у = х tg p2 + Ь2;
у - х tg р3 + &з-
Так как tg аг : tg a2 : tg Од * tg px : tg p2 : tg P3, то
1 tgpx Ьг
Это означает, что преломленные лучи не имеют общей
точки.
38-12. Так как глаза наблюдателя находятся на одинако-
одинаковой высоте, то кажущееся положение предмета нргодится на
той же вертикали, что и его истинное положение-. Принимая
это во внимание, находим:
h0- h
(Н
+ 1 =2м.
38-13. 32 см.
38-14. а) Да; б) нет.
38-15. 2 см.
38-16. 1,14 кд.
38-19. а) 81°; б) Д < п < 2.
38-20. 16°.
38-21. Угол между соседними гранями призм должен быть
равен В + sm (см. рис. 38-19).
38-22. 10,9°.
38-23. Лучи выходят из призмы параллельно прежнему на-
направлению. Расстояние между ними не меняется. Длины пу-
путей лучей в призме одинаковы.
38-24. а) Луч не пройдет ни при каком угле падения; б) луч
пройдет при условии: 0 < у < %, где у — угол, показанный на
2
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 367
Рис 38-19 Рис. 38-20
рисунке 38-20; в) луч пройдет при условии:
0 < у < ^ + arcsin n • sin (p0 - в).
38-25. В шестигранных призмах грани образуют между со-
собой углы 120, 60 и 90°. Гало 22° соответствует углу 60°; гало
46° — углу 90°.
38-26. Угол наименьшего отклонения равен
ею1п - 38°56'.
Наибольшее отклонение имеет место в том случае, когда луч
выходит из призмы под углом, близким к ^. В таком случае у
первой грани угол падения равен smax + 0 - 5 , а угол прелом-
ления 0 - Ро, где предельный угол Ро при п = 1,52 равен 41°8\
Применяя закон преломления, имеем
П Sin @ - Ро) = Sin (Emax + 0 ~ «),
откуда
smax - 59°26'.
38-27. 1,333.
38-28. 12,5 см.
38-29. Dx = 5,2 дптр; ?»2 = -3,9 дптр.
38-30. 1,48 дптр.
38-31. 1,7.
38-32. -38,5 см.
38-33. 22,5 см.
38-38. 4 дптр.
38-39. На 0,55 мм.
38-40. 20 см.
38-41. Меньшее изображение ярче в ( !i-? J = 2,25 раза.
vd - Ь >
368 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
38-42. Задача имеет четыре решения: 19 см; 22 см; 69 см;
80 см.
38-43. а) 2500 лк и 12 500 лк; б) 5000 лк и 15 000 лк.
38-44. В 660 раз.
38-45. Обозначим: R — расстояние от объектива до объек-
объекта (человека); S — площадь поверхности объекта; f — фокус-
фокусное расстояние объектива (/ <К R). Тогда площадь поверхно-
сти изображения S" = S-L . Объект отражает световой поток
ESr; на объектив падает световой поток Ф = =—— *—~ (d —
R2 4
диаметр объектива); сквозь объектив проходит и падает на
изображение световой поток Ф' = ФA - р). Освещенность изо-
изображения
Е. _ Ф* . ESrndHl - р) „ ЕгсЦ! - р) . 9 с . А
S' 4Sf2 4 /
38-46. a) D > 0, если 8 < 0, т. е. если задний фокус F'^ пер-
первой линзы дальше переднего фокуса F'2 второй линзы; D < 0,
если ?'[ ближе F'2 ; D = 0, если F'{ и F'z совпадают;
б) D > 0, если 8 > 0, т. е. F'{ лежит ближе F'2 (в отрица-
отрицательной линзе передний фокус лежит сзади линзы); D < 0, ес-
если F'j лежит дальше F'2 ; D — 0, если F'/ и F'2 совпадают;
в) то же, что в случае б);
г) 5 всегда положительна, и система может иметь только
отрицательную оптическую силу.
38-47. а) На расстоянии 8 см; б) на расстоянии 20 см.
38-48. 60 дптр.
38-49. Увеличить в 3,7 раза.
38-50. 7 дптр.
38-54. а) Первая главная плоскость проходит через верши-
вершину передней поверхности линзы; первая фокальная плоскость
отстоит от нее на расстоянии 25 см. Вторая главная плоскость
проходит внутри линзы на расстоянии 2,3 см от плоской по-
поверхности; вторая фокальная плоскость отстоит от поверхно-
поверхности линзы на 22,7 см;
б) главные плоскости проходят внутри линзы на расстоя-
расстоянии 1,2 см от вершин поверхностей; фокальные плоскости на-
находятся от поверхностей линзы на расстоянии 11,9 см;
в) первая главная плоскость расположена вне линзы на
расстоянии 1,9 см от передней поверхности. Первая фокаль-
фокальная плоскость отстоит от линзы на 22,9 см. Вторая главная
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
369
плоскость находится тоже вне линзы на расстоянии 0,4 см от
передней поверхности. Вторая фокальная плоскость находит-
находится за линзой на расстоянии 17,1 см от ее поверхности;
г) первая главная плоскость находится перед линзой на
расстоянии 2,8 см от ее поверхности. Первая фокальная плос-
плоскость находится на расстоянии 24,4 см за задней поверхно-
поверхностью линзы. Вторая главная плоскость находится перед лин-
линзой на расстоянии 2,1 см от ее поверхности. Вторая фокальная
плоскость проходит перед линзой на расстоянии 32,8 см от ее
поверхности;
д) обе главные плоскости проходят через центр шара. Фо-
Фокальные плоскости находятся на расстоянии 1,6 см от поверх-
поверхности шара.
38-55. 29,2 см.
38-56. 1,93 дптр.
38-57. На 5,8 см.
38-58. а) 17,2 дптр; б) 20,8 дптр; в) 19,0 дптр.
38-59. а) Поверхности шаров должны отстоять друг от дру-
друга на 2,5 см; б) 10.
38-61. а) 10 см; б) 2,5.
38-62. 5.
38-63. а) 14,5 см; 17,5 см; б) 64; 670.
38-64. 564.
38-65. а) Увеличение будет равно 0,4; б) 12 дптр и 30 дптр;
в)оправа окуляра.
38-68. 9 см.
38-69. 5,8 мм.
К §39
39-2. а) По рисунку 39-14 видно,
что в данном случае
/ = L + г cos a.
На основании ответа к задаче 38-1
имеем
d = 2r sin a.
Далее, пользуясь формулой, ука-
указанный в пункте 1) введения, нахо-
находим (для воздуха 7^=1)
х = HL + гсвва) _ 2>9 мм;
2 г sin a
б) сместится на расстояние
i—
s' = s- =5,4 см;
г
Рис. 39-14
13-9638
370
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
в) интерференционная картина не сместится, но расстоя-
расстояние между полосами уменьшится вдвое;
г) пользуясь ответом на вопрос б), получим, что смещение
полос интерференционной картины, даваемой левым краем ще-
щели, по отношению к картине, даваемой правым краем, равно
s' = b^,
г
где b — ширина щели. Но по условию вопроса г) s' меньше по-
половины расстояния между полосами. Отсюда
)- <
г
X(L + r cos a)
4r sin a
Так как a и и малы, то, пользуясь рисунком 39-14, можно
вывести, что
sin a = sin и .
В таком случае
Ь<
4 sin и
д) 0,052 мм; е) 5 полос.
39-3. 8 = я
- X(L
d) = 179,5°.
xd{n -
39-4. б) 1,1 мм; в) меньше 0,024 мм; г) 18 полос.
39-5. Задача неопределенная; пленка может иметь толщи-
толщину k • 104 нм, где k = 1; 3; 5 и т. д.
39-6. Пользуясь рисунком 39-15 находим, что увеличение
толщины пленки при переходе от одной полосы к другой равно
Рис. 39-15
Отсюда
ср = _L = 9".
у 2nl
39-7. а) Глаз фокусирован на пленку. При-
Принимая во внимание, что а » d, по рис. 39-16
найдем
sin и =
Отсюда, пользуясь соотношением 2) введения
к параграфу, находим
j _ aXjn2 -
т
26 sln2a
= 3,3- 10mm.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 371
Рис. 39-16
39-9. 10,2 см.
39-10. а) г = ^2kM^ 1} = 3,5 мм; б) 3 мм.
39-11. 175 мм.
39-12. а) Прямые линии, параллельные линии касания
линзы с пластинкой; б) см. рисунок 39-17.
39-13. 998-е кольцо, соответствующее меньшей длине волны.
39-15. Так как число зон Френеля равно
п - g -J— = 2,94 « 3,
то освещенность при наличии ширмы больше, чем при ее от-
отсутствии.
39-17. Нет. Угол ср' внутри стекла соответствует длине вол-
волны X' в стекле:
d sin ф' = kX'.
Затем при выходе луча из стекла происходит преломление:
sin ф' - !!2J ,
п
где ф — измеряемый угол отклонения в воздухе:
d sin ф = kX'n = kX,
где X — длина волны в воздухе. Таким образом, с помощью
данной установки измеряется длина волны в воздухе.
39-18. а) На выходе из пластинки фаза световой волны бу-
будет периодически меняться в соответствии с изменением тол-
толщины пластинки, б) Пластинка не будет влиять на световую
волну.
39-19. 546 нм.
39-20. а) 7'; б) -56'.
372 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
39-21. 478 нм.
39-22. а) 3; б) 5.
39-25. а) Если толщина пластинки велика по сравнению с
постоянной решетки, то можно считать, что на вторую решет-
решетку падают пучки лучей, ширина которых равна длине решет-
решетки. В этом случае свет проходит сквозь две решетки, образуя
такой же дифракционный спектр, как свет, прошедший
сквозь пластинку с одной решеткой;
б) если толщина пластинки равна постоянной решетки, то,
кроме света, прошедшего в направлении нормали, свет прой-
пройдет только в тех направлениях, которые удовлетворяют соот-
соотношению
d cos ф = — - ,
«2 П
где кг и k2 — целые числа, п — показатель преломления.
39-26. а) Постоянную решетки хлористого натрия можно
определить из соотношения
d = з/
где М — молярная масса хлористого натрия; NA — постоян-
постоянная Авогадро; D — плотность кристалла. Отсюда
i _ sin в /4JW _ л ко А .
к цсч А1)
б) для грани A10)
отсюда
в' = 8,4°.
39-27. 9,8 мм.
39-28. При большом диаметре зрачка острота зрения
уменьшается из-за большой сферической аберрации глаза.
При малом диаметре зрачка сказывается искажение изобра-
изображения из-за дифракционных явлений.
39-29. Соответствует для острого зрения.
39-30. 4 см.
39-31. а) 1,6; б) 1,272.
39-32. 48°45'.
39-33. 66°40'; 46°40'.
39-34. Луч 1. Полностью поляризован. Его интенсив-
интенсивность 0,1.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 373
Луч 2. Частично поляризован; он содержит 0,8 естествен-
естественного света и 0,1 поляризованного. Интенсивность равна 0,9.
Луч 3. Полностью поляризован. Интенсивность 0 8-01 =
= 0,08.
Луч 4. Частично поляризован; 0,18 поляризованного света
и 0,63 естественного.
39-35. а) в 12 раз; б) в 65 раз.
39-36. а) Прежде всего отметим, что число п не зависит
от поглощения света внутри пластинок, так как оно одинако-
одинаково и для поляризованного, и для естественного света. Поэто-
Поэтому в дальнейшем коэффициент поглощения принят равным
нулю. Если сквозь стопу прошло р поляризованного света и
1 - р естественного, то общая интенсивность до стопы была
2р + 1 -р = 1 +р. Таким образом, интенсивность поляризован-
поляризованного света равна —В-— от начальной, а естественного -—?- от
1 + р 1 + р
начальной. Отсюда можно подсчитать, что интенсивность све-
света, прошедшего сквозь две паралллельные стопы, равна
р от начальной, а при скрещенных стопах * ~Р
(
В таком случае
Отсюда
б)р'= _??_ =0,994.
1 +р2
39-37. 6,06 мм.
39-38. Наблюдатель видит темные полосы на светлом фоне.
Расстояние между полосами равно 2,7 см.
39-39. б) 80 см.
К §40
40-1. а) 1) 3,31 • Ю-19 Дж; 2) 1,99 • Ю5 Дж; б) 48 000 К и
2,9-108К.
40-2.4- 105см~2 -с.
40-3. а) 197 нм (ультрафиолет); б) 653 нм (красная часть
спектра).
40-4.6,5- 105м/с.
40-5. 3,6.
374 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
40-6. 1,241 кВ • нм.
40-7. 45 кВ.
40-8. а) 4,5 • 10 Па; б) 1) 9 • 10~6 Па; 2) 6,3 • 10 Па.
40-9. Давление света больше в 11 раз.
40-10. а) По направлению света; б) по нормали к поверхно-
поверхности.
40-11. Бели пластинка обращена к свету блестящей сторо-
ной, то на нее действует сила F^ = , где S — ее поверх-
поверхность.
Если пластинка обращена к свету зачерненной стороной, то
г о
сила светового давления F' = — .
В то же время сама пластинка излучает в пространство по-
полученную энергию. Если она излучает согласно закону Лам-
Ламберта, то суммарная мощность, излучаемая во всех направле-
направлениях, равна
IS = nl'S,
где Г — интенсивность света, излучаемого в направлении нор-
нормали к пластинке.
Суммируя силы отдачи, действующие на пластинку вслед-
вследствие излучения в разных направлениях, получим общую си-
силу отдачи
V" = 2/S
Зс '
Результирующая сила
F2 = F' + F"= l
Отсюда
40-12. а) Энергия фотонов, отраженных от движущегося
зеркала, уменьшается — это проявление эффекта Доплера.
б) За счет энергии поглощенного света увеличиваются ее
кинетическая и внутренняя энергии.
40-13. а) 2 ¦ Ю-10 м; б) 4 • 10~7 м.
40-14.9 • 107м/с.
40-15. Г.
40-16. б) Центростремительной силой является сила взаи-
взаимодействия электрона с протоном:
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 375
где г — радиус окружности, по которой движется элект-
электрон; гх — расстояние между центрами электрона и протона;
е0 — электрическая постоянная. Так как масса электрона нич-
ничтожно мала по сравнению с массой протона, то
г.-г= i^l =5,3-10-11м.
типе1
в) Если принять, что потенциальные энергии протона и
электрона, удаленного из атома в бесконечность, равны нулю,
то на расстоянии гг потенциальная энергия
W = - е .
Кинетическая энергия
Следовательно, искомая работа
А == е2 = 2,17 • 10~18 Дж A3,58 эВ).
8]tEori
Это число почти совпадает с результатом непосредственно-
непосредственного измерения A3,54 эВ).
г) Хп = -J^- ^ = 4,87 • 10~13 м = 487 нм, что близко
совпадает с результатом опыта; Av = 81 см/с.
д) Приняв во внимание, что ионизированный атом гелия
имеет вдвое больший заряд ядра, чем атом водорода, и так же,
как и атом водорода, имеет один электрон, получим
ЯНе = ^ - 122 нм,
что тоже близко совпадает с результатом опыта.
40-17. 91,1 нм и 121,6 нм; 364,5 нм и 656,1 нм; 820,2 нм и
1874,6 нм; 1457,6 нм и 2050,4 нм.
40-18. 6 линий; 97,3 нм — 1874,6 нм.
40-19. ДА = Хк - XD = Хц-—^ = 0.033 нм; ДА = AD - Лн =
2тр
2mp
40-20. Х4 = —L_1_ ; Я5 = —J-J_ ; Я6 = —s-i- ; эти линии не
принадлежат той же серии.
376 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
К §41
41-1. а) 200 К; б) 0,23.
41-2. 8 А.
41-3. 0,063 мм.
41-4. Увеличивается в 1,14 раз.
41-5. 36 мА.
41-6. а) На 0,11°; б) 1,5 А.
41-7. 5750 К.
41-8. На частицу действуют следующие силы: 1) сила при-
притяжения к Солнцу
_ ynd3mcD
F
где тс — масса Солнца; R — расстояние от частицы до его
центра; D — плотность железа;
2) сила светового давления со стороны Солнца (если счи-
считать, что частица черная)
2
где с — скорость света в вакууме; Rc — радиус Солнца.
При равновесии
р + F ¦= О-
2ymcDc
41-10. -80%.
41-11.0,3%.
41-12. 0,22 А.
41-13. 109Дж.
41-14. Г = Тс Ш- = 3000 К.
41-15. а) Мощность излучения Солнца, поглощаемая час-
частицей,
где d — диаметр частицы; Дс — радиус поверхности Солнца;
А — коэффициент поглощения.
Мощность излучения частицы по всем направлениям равна
Р2 =
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 377
При термодинамическом равновесии
откуда находим
Г = Гс/^ =290 К,
что мало отличается от средней температуры поверхности
Земли;
б) мощность излучения Солнца, поглощаемая частицей,
р = nd2 2nhc2AX ^c
1 4
Мощность, излучаемая частицей, равна
Р2 = nd2
При термодинамическом равновесии
Имея в виду, что
Pi-Рг-
he
- e4.s » 1 и Т < Тс,
получаем
l2K
Rc
J_ 4-
Tr he
1700 К
(выше, чем для серого тела);
в) Т = 230 К (ниже, чем для серого тела).
41-16. -4,8 К.
41-17. т = ^- { -L - Л ) = °.°33 с, где D и с — соответст-
12Аа ^ т1 т
12Аа ^ т1 т
J 2 ^ 1
венно плотность и удельная теплоемкость вольфрама.
41-18. В случае переменного тока температура волоска ис-
испытывает Малые колебания около среднего значения То:
Т=Т0 + Tl sin 2coi (при Ту «С То).
378 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
Значения То и Тг могут быть найдены из уравнения теплового
баланса
ATс_ и2 о _о
где С — теплоемкость волоска; Qx ~ Т - Ти есть потеря энергии
волоска за счет теплопроводности, a Q2 ~ Г* - Тв — за счет
излучения (Гв— температура окружающего воздуха). Необхо-
Необходимо также учесть зависимость сопротивления волоска R от
температуры:
R = До + ЩСТ - То) + Щ(Т - Т0J.
Подставляя и сравнивая постоянные и пропорциональные
cos 2iot члены уравнения баланса, находим среднее значение Q2:
Коэффициент Ъг > 0 всегда, коэффициент Ьл > 0 при R ~ Т.
Вывод. Потеря энергии за счет излучения больше для
переменного тока. Еще в большей степени это правильно для
светового потока при типичных значениях То. Значит, лампа
накаливания дает больше света при питании ее переменным
током.
41-19. Увеличилась.
41-20. Максимумы функций распределения соответствуют
минимумам следующих величин:
1) для распределения по интервалам частот
2) для распределения по интервалам длин волн
he
- l);
3) для распределения по интервалам логарифмов частот
(или логарифмов длин волн)
Поэтому постоянная С в законе смещения максимума функ-
функции распределения в зависимости от температуры для разных
функций распределения имеет разные значения. Обычно ука-
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 379
зывают значение С для распределения по интервалам длин
волн (так сделано и в таблице VI).
Для серых тел значение постоянной С то же, что и для пол-
полных излучателей.
41-21. а) Хо = С ¦ 4/Р^ = 1,2 мкм; б) 6,9 мкм.
*v ~ " i
41-22. Обратив внимание, что при указанных условиях
he
eXkT ^> it можно выразить искомое отношение так:
x-^_J e 2,9.
41-23. Тепловой поток, проходящий сквозь какое-либо се-
сечение, обусловлен разностью тепловых излучений от точек
трубы, расположенных справа и слева от него на расстояниях
порядка радиуса трубы. Поэтому этот поток можно оценить по
следующей формуле:
где
Г, - Го = 2Д^|; Q = 8Г3^гсД3а.
1 dL UL
Подставляя Г = 1250 Ки^=1 К/м, имеем: Q = 360 Вт.
dL
Точный ответ, получение которого требует интегрирова-
интегрирования, отличается от найденного нами множителем |.
3
К §42
42-1. 8 ос-превращений и 6 Р-превращений.
42-2. 61 с.
42-3. 4,4 мин.
42-4. 1,9- 10"8г.
42-5. 0,34.
42-6. 3,4 ¦ Ю-7.
42-7. По схеме на рисунке 42-1 видно, что число выбрасы-
выбрасываемых смесью ос-частиц в 4 раза больше числа частиц, выбра-
выбрасываемых одним радием, и составляет 1,48 • 108с~х.
42-8. 0,66 мм3.
42-9. 1,6 • 105.
380 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
42-10. 0,51 МэВ.
42-11. 1,4 • 1014г/см3; 7 • 1018Кл/см3.
42-12. а) 28,3 МэВ и 2,2 МэВ; б) 23,6 МэВ.
42-13. 11,46 и 11,24 МэВ; энергия связи протона меньше
из-за электростатического отталкивания.
42-14. 22,44 МэВ.
42-15. а) Возможен; б) невозможен.
42-16. 4,6 • 107м/с и 6,3 • 106м/с; 8,24 МэВ.
42-17. 2,1 • 107м/с.
42-18. Применяя законы сохранения энергии и импульса,
получим:
Qm3 +?i(to3 -TOt)
' m2 + m3
Здесь Q — энергия, связанная с изменением масс частиц:
Q = BWIJ — т2 — т3)с2,
где тх, т2я т3 — массы соответственно дейтерия, нейтрона и
атома 2Не. Сделав расчет, получим Е2 = 2,6 МэВ.
42-19. а) Кулоновская энергия ядра с зарядовым числом Z
и массовым числом А
W = 3 z2g2
«ул 5
где R = 1,4 • ZJA • 10~15 м — радиус ядра. Изменение энергии
электрического поля при рассматриваемом превращении
KWKyjl ~ 288 МэВ. (Заметим, что полученное число — грубо
ориентировочное.)
б) 2800 т.
42-20. (8,5 ¦ 234 - 7,6 • 236) МэВ = 200 МэВ.
42-21. ^?i = 0,6 Дж/кг = 0,6 Гр.
ТП
42-22. Разность энергий связи
Еса g — Есв С1 = (mn — mH + Awi)c2 = 6,36 МэВ,
где пгп и тн — соответственно массы нейтрона и атома водоро-
водорода. Кулоновская энергия ядра радиусом R с зарядовым числом Z
Разность кулоновских энергий ядер
Wc,-Ws = 6,34 МэВ.
Совпадение результатов свидетельствует о зарядовой
независимости ядерных сил, вследствие чего энергии ядер-
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 381
ного взаимодействия для зеркальных ядер практически оди-
одинаковы.
42-23. Условие критичности есть - = const, где R — радиус
шара; I — пробег нейтрона, обратно пропорциональный плот-
1
1 „3
ности, т. е. R ~ - . Учитывая, что R ~ —г , имеем
р k
р3
т ~ — или т ~ 1 + босД*.
Р2
При t = 25 °С т = 150,15 кг.
42-24. N = 9mAt (v - 1) = 3 • 1015.
Е
42-25. Скорости самолетов относительно инерциальной
системы отсчета, связанной со звездами, равны
v - V ± v0,
где V — линейная скорость вращения Земли [V = - ; Т =
= 8,64 ¦ 104с; L — длина экватора^
Релятивистский эффект отставания часов по отношению
к инерциальной системе составляет
A*--2IU
2с2
где t = — — время облета.
Разность показаний часов для двух самолетов равна
42-26.1 Из закона сохранения энергии в системе отсчета, в
которой в начальный момент ракета покоилась, следует:
+р;р
1 В задачах 42-26, 42-27 полагаем с = 1, т. е. скорость света в ва-
вакууме выбирается в качестве единицы скорости (при этом размериости
длины и времени становятся одинаковыми). Чтобы вернуться к обыч-
обычным единицам, надо ввести скорость света в формулы таким образом,
чтобы обеспечить правильную размерность.
382 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
Отсюда
42-27. Рассмотрим инвариант (ХЕJ - BрJ = inv. В конеч-
конечном состоянии находим минимальное значение •этого инвари-
инварианта, используя систему отсчета, где 2р = 0 (система центра
масс). Получаем inv. = 9М2.
В начальной системе имеем уравнение
(Е + МJ -Е2= 2ЕМ + М2 - inv.
Отсюда минимальное значение (порог реакции): Е = 4М =
= 3,6 ГэВ.
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Некоторые часто встречающиеся числа
Число
%
4л
2
п
К2
Jk
е
In 10
In 2
Л
л
1°
г
1"
п
3,141593
12,56637
0,63662
9,86960
1,77245
2,718282
2,3026
0,6931
1,41421
1,73205
0,017453 радиана
0,000291 »
0,0000048 »
Ign
0,49715
1,09921
1,80388
0,99430
0,24857
0,43429
0,33222
—
0,15052
0,23856
II. Некоторые соотношения между единицами
физических величин
1. Соотношения между механическими единицами
СИ и системы СГС
Название
величины
и ее обозначение
Длина 1
Площадь S
Объем V
Единицы СИ
Название
метр
квад-
квадратный
метр
кубиче-
кубический
метр
Обозна-
Обозначение
М
м2
м3
Единицы СГС
Название
санти-
сантиметр
квад-
квадратный
санти-
сантиметр
кубиче-
кубический
санти-
сантиметр
Обозна-
Обозначение
СМ
СМ2
СМ3
Отношение
един. СИ
един. СГС
102
10*
10е
384
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжение табл.
Назвав не
величины
я ее обозначение
Время t, т
Частота
колебаний v
Частота
вращения ш
Скорость v
Угловая
скорость ш
Ускорение а
Угловое
ускорение е
Масса т
CvuiblF
Давление р
Плотность D
Работа, энергия
Плотность
энергии w
Мощность W
Момент силы р
Момент
инерции
Импульс
Момент
импульса
Вязкость
(динамическая)
Единш
Название
секунда
герц
—
—
—
—
—
кило-
килограмм
ньютон
—
—
джоуль
—
ватт
—
—
—
—
—
UJ СИ
Обозна-
Обозначение
С
Гц
С
м/с
рад/с
(С"»)
м/с2
рад/с2
(с)
кг
Н
Па
кг/м3
Дж
Дж/м3
Вт
Н-м
кг • м2
кг • м/с
кг • м2/с
Па- с
Единицы СГС
Название
секунда
герц
—
киа
—
гал
—
грамм
дина
—
—
эрг
—
—
—
—
—
—
пуаз
Обозна-
Обозначение
С
Гц
с
см/с
рад/с
(с-1)
см/с2
рад/с2
(с-2)
г
Дин
дин/см2
г/см3
эрг
эрг/см3
эрг/с
дин • см
г • см2
г • см/с
Г • СМ2/С
п
Отношение
един. СИ
един. СГС
1
1
1
102
1
ю2
1
103
105
10
10
107
10
W
ю7
ю7
ю5
ю7
10
ПРИЛОЖЕНИЯ
385
2. Соотношения между единицами электрических величин
в СИ и системе СГСЭ (гауссовойI
Название величины
н ее обозначение
Заряд q
Потенциал q>,
напряжение U,
Напряженность
электрического
поля Е
Электрический
момент р
Электрическое
смещение D,
электрическая
поляризация Р
Электроем-
Электроемкость С
Сила тока I
Плотность
тока j
Сопротивле-
Сопротивление R
Удельное
сопротивление р
Напряженность
магнитного
поля Н
Единицы СН
Назва-
Название
кулон
вольт
вольт
на метр
кулои-
метр
кулон
на квад-
квадратный
метр
фарад
ампер
ампер
на квад-
квадратный
метр
ом
ом-
омметр
ампер
на метр
Обозна-
Обозначение
Кл
В
В/м
Кл- м.
Кл/м2
Ф
А
А/м2
Ом
Ом- м
А/м
Единицы СГСЭ
Назва-
Название
—
—
—
—
санти-
сантиметр
—
—
—
эрстед
Обозна-
Обозначение
СГСЭ-ед.
СГСЭ-ед.
СГСЭ-ед.
СГСЭ-ед.
СГСЭ-ед.
см
СГСЭ-ед.
СГСЭ-ед.
СГСЭ-ед.
СГСЭ-ед.
Э
Отношение
един. СИ
един. СГСЭ
3- 109
1
3-Ю2
1
3-10*
3 • 10й
12я • 105 =
= 3,8 ¦ 10е
9 • 1011
з- ю9
3- 10s
1
9-Ю11
1
9-Ю9
4я • Ю-3 =
1
80
1 Всюду, где в настоящей таблице стоят цифры 3 и 9, следует,
строго говоря, ставить 2,99776 и 8,99776. Ввиду малой точности чис-
числовых данных в задачах при их решении вполне возможно округление
точных, чисел до 3 и 9.
386
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжение табл.
Название величины
и ее обозначение
Индукция
магнитного
поля В
Магнитный
поток Ф
Магнитный
момент р
Намагничен-
Намагниченность М
Индуктивность L,
взаимная
индукция L1Z
Глиынцы СИ
Назва-
Название
тесла
вебер
ампер-
амперметр
квад-
квадратный
ампер
на метр
генри
Обозначе-
Обозначение
Тл
Вб
А-м2
А/м
Ги
Единицы СГСЭ
Назва-
Название
гаусс
макс-
максвелл
—
санти-
сантиметр
Обозначе-
Обозначение
Гс
Мкс
СГСЭ-ед.
СГСЭ-ед.
см
Отношение
едни СИ
едни. СГСЭ
104
108
103
1(Г3
10fl
Величина
Время
Длина
Объем
Масса
Сила
Энергия
3
. Некоторые внесистемные единицы
Соотношение между единицами
1 г (год) = 3,1557- 107с
1 сут (сутки) = 86 400 с
1 А (ангстрем) = 10~10 м
1 ферми = 10~15 м
1 а. е. (астрономическая единица) = 1,496 ¦ 1011 м
1 л (литр) = 10~3 м3
1 т (тонна) = 103 кг
1 а. е. м. (атомная единица массы) = 1,66 • 10~27 кг
1 кгс (килограмм-сила) = 9,81 Н
1 кал (калория) = 4,187 Дж
1 л ¦ атм = 101,3 Дж
1 эВ (электронвольт) = 1,60 • 109 Дж
1 кВт • ч (киловатт-час) = 3600 кДж
ПРИЛОЖЕНИЯ
387
Продолжение табл.
Величива
Давление
Поглощен-
Поглощенная доза
Эквива-
Эквивалентная
доза
Актив-
Активность
Экспози-
Экспозиционная
доза рент-
рентгеновского
и у-излуче-
ний
1
1
1
1
1
1
1
1
Соотношение между единицами
атм = 101,3 кПа = 760 мм рт. ст.
мм рт. ст. = 133,3 Па = 0,001316 атм
кгс/см2 - 98,07 кПа
бар = 100 кПа
рад = 0,01 Гр (грей)
бэр - 0,01 Дж/кг
Ки (кюри) - 3,7 • Ю10 Бк (беккерель)
Р (рентген) - 2,58 • 1О Кл/кг
. Десятичные приставки к названиям единиц
Санти (с) —
Милли (м) —
Микро (мк) —
Пнко (п) —
Фемто (ф) —
Гига (Г)
Тера (Т)
Мега (М)
Кило (к)
Деци (д)
10»
ю12
106
103
10"!
10~2
10
10"в
ю12
10-15
IV. Основные формулы электродинамики
в СИ и системе СГСЭ
Наименование
Закон Кулона
Напряженность поля
равномерно заряженной
плоскости
Потенциал поля точечного
заряда
Вектор поляризации Р
СИ
47te0er2
F- °
<р- q
г 4ле0ег
Р - хео?
(х — восприимчи-
восприимчивость)
сгсэ
ег2
?= 2яо
е
со- 1
Ф ег
Р- кЕ
388
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжение табл.
Наименование
Электрическое смещение
Диэлектрическая
проницаемость
Связь между D и Е
Теорема
Остроградского—Гаусса
Электроемкость плоского
конденсатора
Плотность энергии
электрического поля
Магнитный момент
контура с током
Закон
Био—Савара—Лапласа
Индукция поля длинного
прямого тока
Иидукция поля в длинном
соленоиде
Вектор Н
Намагниченность J
Магнитная проницаемость
Связь между В а Н
Закон полного тока
в постоянном поле
Сила Лоренца
ев
В - Е0Ё + Р
?-= 1 + И
В = еое?
§5*s~q
-?
^р_ HoH/[dZ,r]
4я г3
в _ ^ot1 21
4я г
В = цоц/га
h=*-o -3
[Х — восприимчи-
восприимчивость)
ц=1 + Х
В = ЦОЦН
j>Hdl = I
F = q[5, В]
сгез
D ¦= Ё + 4пР
Е - 1 + 4ЯХ
5-ef
&>D dS — 4nq
С- eS
4nd
W ~ "8Jt
m с
С Г
с
тт _ D i- T
Jti — & — 47w
ц — 1 + 4kx
B = pH
J с
F - 2 [5, B]
ПРИЛОЖЕНИЯ
389
Продолжение табл.
Наименование
Сила Ампера
ЭДС индукции
Индуктивность
Индуктивность длинного
соленоида
Энергия магнитного поля
гока
Плотность энергии
магнитного поля
Плотность тока смещения
Скорость
электромагнитной
волны
Вектор
Умова—Пойнтинга
си
dF - /[dl, В]
IF
BH
dD
J~ It
1
§ = [Ё, H]
сгсэ
dF = I [dl, S]
с dT
~ T
»-^
8л
t 1 dB
4я dt
4я
V. Основные фундаментальные постоянные
Гравитационная постоянная
Нормальная напряженность
поля тяготения Земли
(ускорение свободного
падения)
Число молекул в 1 моле
(постоянная Авогадро)
Молярный объем газа
при нормальных, условиях
Молярная газовая постоянная
6,672 ¦ Ю1 м3/(кг • с2)
¦=¦ 9,80665 м/с2
N = 6,02 • 1023 моль
22,4 л/моль
Л = 8,314 Дж/(моль • К) -
- 0,0820 (атм л)/(моль • К) ¦
= 1,986 калДмоль К)
390
ПРИЛОЖЕНИЯ
Молярная масса воздуха
(средняя)
Постоянная Больцмана
Точка таяния льда
Постоянная закона
Стефана—Больцмана
Постоянная закона смещения
максимума излучения
(закона смещения Вина)
Заряд электрона
Масса электрона
Масса протона
Число Фарадея
Постоянная Планка
Скорость света в вакууме
Постоянная Ридберга
28,9 г/моль
к = 1,380 • 103Дж/К
273,16 К
(при решении задач
принимать 273 К)
а = 5,67- 10-8Вт/(м2-К4)
С =¦ 0,290 см • К
е= 1,601 ¦ 10~19Кл
те = 9,106 ¦ 10~31кг
тр= 1,672 • 10~27кг
F = 9,65 • 104 Кл/моль
h = 6,626 • 104Дж ¦ с,
Й = — = 1,0546 • 10~84 Дж • с
2л
с = 2,99776 • 108м/с
(при решении задач
принимать 3 ¦ 10s м/с)
Л= 1,097- 107м-'
VI. Астрономические величины
Средний радиус Земли 6370 км
Масса Земли 5,96 ¦ 1024кг
Радиус Солнца 696 000 км
Масса Солнца 1,97 ¦ 1030кг
Среднее расстояние от Земли до Солнца 149,6 • 10е км
Радиус Луны 1735 км
Масса Луны 7,35 ¦ 1022 кг
Среднее расстояние от Луны до Земли 384 000 км
Угловая скорость вращения Земли 7,272 • КР'с"
VII. Диаметр молекул и атомов, 10~8 см
н,
N,
2,3
2,9
3,1
Н2О
Не
3,0
1,9
ПРИЛОЖЕНИЯ
391
VIII. Плотность вещества D, Ю3 кг/м3
Газы (при нормальных условиях)
Воздух
Углекислый газ
Бензол
Керосин
Скипидар
Касторовое масло
0,001293
0,001977
Кислород
Водород
Жидкости
0,88
0,80
0,85
0,97
Спирт
Ртуть
Эфир B0° С)
Глицерин
0,001429
0,00008988
0,79
13,6
0,714
1,21
Твердые вещества
Висмут
Вольфрам
Гуммигут
Железо (сталь)
Лед
9,7
19,0
1,2
7,8
0,917
Медь
Натрий хлористый
Никель
Свинец
Цинк
8,9
2,17
8,8
11,3
7,0
IX. Вязкость г), 10 Па • с
Воздух при 0 °С 0,018
Кислород при 0 °С 0,0191
Водапрн15°С 1,1
Касторовое масло при 20 °С 1000
Глицерин при 20 "С 850
X. Разрушающее напряжение при растяжении, 108 Па
Сталь
Железо
Медь
7
6
2,4
Свинец
Стекло
0,2
0,3
392
ПРИЛОЖЕНИЯ
XI. Упругость
Материал
Сталь
Железо
Медь
Свинец
Стекло
Дерево
Ртуть
Вода
Модуль Юнга
Е, х 101» Па
20
20
12
1,7
5
1
Коэффициент
поперечного
сжатия
0,3
0,3
0,35
0,38
0,2—0,3
Модуль сдвнга
С, 10|(|Па
8
8
4,5
0,56
Модуль
всестороннего
сжатия,
101» Па
16,5
13,5
3,0
2,5
0,2
XII. Коэффициенты теплового расширения
Линейное расширение а, 10~в К
Цинк 29 Латунь 19
Железо (сталь) 12 Стекло 10
Медь 17 Алюминий 24
Объемное расширение Р, К
Ртуть 0,00018
XIII. Удельная теплоемкость твердых и жидких веществ,
Дж/(кг-К)
Висмут
Вольфрам
Железо (сталь)
130
150
460
Медь
Свинец
Спирт
380
130
2500
XIV. Удельная теплоемкость газов, Дж/(кг ¦ К)
Газ яли пар
Воздух.
Водяной пар
Аргон
Азот
Кислород
Углекислый газ
Удельная
тенлоемкость
прн постоянном
давлении ср
1020
1820
531
1040
912
847
Удельвая
теплоемкость
прн постоянном
объеме cv
728
1380
319
741
649
653
Коэффициент
Пуассона
cv
1,40
1,32
1,67
1,41
1,40
1,30
ПРИЛОЖЕНИЯ
393
XV. Постоянная Ван-дер-Ваальса
Вещество
N2
Аг
Н20
СО2
о2
щ
о. Па • мв/моль2
0,137
0Д32
0,554
0,365
0,137
0,024
Ь, К)*3 м-'/моль
0,04
0,03
0,03
0,043
0,03
0,026
XVI. Удельная теплота плавления, Дж/кг
Лед 3,33 • 105
XVII. Давление (р) и плотность (D)
насыщенного водяного пара (при температуре до
30° С)
1, °С
-23
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
р,
мм рт. ст.
0,58
4,58
4,93
5,29
5,69
6,10
6,54
7,01
7,51
8,05
8,61
9,21
9,84
10,52
11,23
11,99
D,
г/к*
0,66
4,84
5,22
5,60
5,98
6,40
6,84
7,3
7,8
8,3
8,8
9,4
10,0
10,7
11,4
12,1
1. °С
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
р.
мм рт. ст.
12,79
13,63
14,53
15,48
16,48
17,54
18,65
19,83
21,07
22,38
23,76
25,21
26,74
28,35
30,04
31,82
D,
г/ма
12,8
13,6
14,5
15,4
16,3
17,3
18,3
19,4
20,6
21,8
23,0
24,4
25,8
27,2
28,7
30,3
394
ПРИЛОЖЕНИЯ
XVIII. Свойства насыщенного водяного пара
Температура
1, °С
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
Давление
р, 10s Па
0,00608
0,01228
0,02824
0,04246
0,07375
0,12337
0,19888
0,31136
0,47336
0,70098
1,01332
1,43245
1,98505
2,70064
3,61226
4,75787
6,16207
7,91495
9,83065
12,53794
16,21737
19,05422
23,26319
Плотность
D, кг/м3
0,004843
0,009398
0,01730
0,03037
0,05118
0,08320
0,13026
0,1982
0,2936
0,4219
0,5974
0,8254
1,122
1,497
1,968
2,547
3,253
4,114
5,141
6,353
7,770
9,443
11,38
Удельная теплота
иарообрааоваиия
г, кДж/кг
2498,3
2468,1
2446,3
2425,0
2403,2
2378,1
2356,7
2332,5
2307,3
2281,8
2257,4
2228,8
2213,5
2169,6
2139,0
2109,3
2079,2
2049,9
2018,9
1997,5
1955,3
1920,9
1884,9
XIX. Коэффициент теплопроводности "к
Вещество
Воздух
Алюминий
Висмут
Железо
Медь
Свинец
1 м с К
0,023
210
10
59
380
35
Вещество
Асбест
Дерево(перпенди-
Дерево(перпендикулярно волокнам)
Кирпич
Накипь котельная
Сажа
Стекло
м ч К
0,75
0,63
2,5
8
0,25
2,5
XX. Коэффициент теплоотдачи а
Металл — газ
Сажа — газ
Металл, покрытый накипью, — вода
13 Дж/(м2 • с ¦ К)
84 Дж/(м2 ¦ ч • К)
2,1- 10* Дж/(м2 - ч • К)
ПРИЛОЖЕНИЯ
395
XXI. Коэффициент поверхностного натяжения а, 10~2 Дж/м2
Вода при 20 °С
Мыльная вода
Ртуть
Скипидар
Спирт
7
4
49
2,7
2,2
Примечание. Коэффициент поверхностного натяжения воды при
иных температурах можно вычислить, зная, что при повышении темпе-
температуры на 1 °С а уменьшается на 0,15 мДж/м2.
XXII. Удельное сопротивление (р) (при комнатной температуре)
и температурный коэффициент (а)
Вещество
Алюминий
Железо
Медь
Никелин
Нихром
Свинец
Уголь
р, 10~' Ом • м
0,28
1,2
0,17
4
10
2,2
400
а, 10'3 К
4,2
б
5
—
_
4,2
-0,8
XXIII. Диэлектрическая проницаемость е
Стекло 7
Вода 81
Парафин 2
Керосин
Спирт
Слюда
Фарфор
2
26
7
б
XXIV. Подвижность ионов к, см2/(В • с)
Ag+
К+
н+
Водные
0,00056
0,00067
0,00324
растворы
СГ
НОз
0,00068
0,00064
Газы при нормальных условиях
Воздух
Азот
1,37
1,27
1,91
1,84
396
ПРИЛОЖЕНИЯ
XXV. Работа ионизации, эВ
Кислород
Азот
однократная
13,56
14,47
двукратная
48,56
44,05
XXVI. Работа выхода электронов из металла, эВ
Платина 6,3
Цезий 1,2
Вольфрам 4,53
XXVII. Скорость звука, м/с
В воздуке при 0 °С 332
В воде 1450
XXVIII. Показатель преломления п
(средний для видимых лучей)
Стекло 1,52
Вода 1,333
Лед 1,31
XXIX. Коэффициент полного излучения е и удельное
сопротивление р вольфрама при различных температурах Т
т, к
1000
1500
2000
2500
3000
3500
е
0,115
0,194
0,260
0,303
0,334
0,351
р, 10s Ом - м
25,7
41,8
59,1
77,2
96,2
115,7
XXX. Период полураспада Т радиоактивных веществ
Уран 4,5 ¦ 109лет= 1,4 ¦ 107с
Радий 1620 лет = 5,04 ¦ 1010 с
Радон 3,825 суток = 3,305 • 105 с
Актиний 13,5 лет = 4,23 • 108 с
RaA (полоний) 183 с
ПРИЛОЖЕНИЯ
397
XXXI. Массы легких атомов
Z
0
1
2
3
4
5
Атом
п
2Н
Зн
3Не
*Не
6Li
7U
7Ве
8Ве
«Be
10Ве
юв
ПВ
Избыток пгассы
атома М — А,
а. е. м.
0,00867
0,00783
0,01410
0,01605
0,01603
0,00260
0,01513
0,01601
0,01693
0,00531
0,01219
0,01354
0,01294
0,00930
z
6
7
8
9
10
11
12
Атом
"С
12С
18С
18N
uN
15N
150
160
170
19р
20Ne
23Na
2*Na
24Mg
Избыток массы
атома М — А,
а. е. м.
0,01143
0
0,00336
0,00574
0,00307
0,00011
0,00307
-0,00509
-0,00087
-0,00160
-0,00756
-0,01023
-0,00903
-0,01496
Примечание. Здесь М — масса атома в а. е. м., А — массовое число.
Оглавление
Предисловие 3
Советы студентам 5
Глава 1. МЕХАНИКА
§ 1. Кинематика 8
§ 2. Движение свободно падающих тел 18
§ 3. Законы Ньютона. Работа, мощность, энергия 22
§ 4. Динамика вращательного движения 35
§ 5. Закон всемирного тяготения 50
§ 6. Статика твердого тела 55
§ 7. Прочность и упругость материалов 60
§ 8. Динамика колебательного движения. Маятники 65
§ 9. Движение жидкостей и газов 74
Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 10. Тепловое расширение твердых и жидких тел 81
§ 11. Свойства идеальных газов 83
§ 12. Первое начало термодинамики 88
§ 13. Кинетическая теория газов 95
§ 14. Реальные газы. Критическое состояние 100
§ 15. Молекулярные силы в жидкостях 104
§ 16. Свойства паров. Влажность воздуха 109
§ 17. Свойства растворов 113
§ 18. Второе начало термодинамики 115
§ 19. Теплопроводность 120
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
§ 20. Взаимодействие зарядов 123
§ 21. Потенциал 129
§ 22. Проводники в электрическом поле 136
§ 23. Диэлектрики в электрическом поле 139
§ 24. Электроемкость 141
§ 25. Закон Ома 148
Оглавление 399
§ 26. Разветвленные электрические цепи 155
§ 27. Работа и мощность тока 164
§ 28. Электронные явления в металлах 169
§ 29. Электрический ток в газах 172
§ 30. Электрохимические процессы в электролитах 176
§ 31. Магнетизм 178
§ 32. Электромагнитная индукция 194
§ 33. Переменный ток 206
§ 34. Электрические колебания 216
Глава 4. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 35. Волны 220
§ 36. Звуковые явления 228
Глава 5. ОПТИКА. СТРОЕНИЕ АТОМА
§ 37. Фотометрия 232
§ 38. Геометрическая оптика 238
§ 39. Волновая природа света 253
§ 40. Квантовые явления в оптике 267
§ 41. Законы излучения 271
§ 42. Внутриядерные явления и теория относительности. . 278
Ответы, решения и указания 284
Приложения 383
Учебное издание
Сахаров Дмитрий Иванович
Сборник задач по физике
для вузов
Ответственный редактор Е. С. Гридасова
Художественно-технический редактор Е. П. Хазова
Корректор Р. К. Сапожникова
Компьютерная верстка С. А. Белых
Подписано в почать 25.10.02. Формат 84x108 1/32.
Гарнитура «Школьная». Печать офсетная.
Усл. псч. л. 21,0. Тираж 7000 эю.
Заказ №9638.
ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»
Изд. лиц. ИД № 02795 от 11.09.2000
105066, Москва, ул. Доброслободская, 5а
Отдел реализации: тел. @95) 310-75-25, 150-52-11
Internet: www.onyx.ru; e-mail: mail@onyx.ru
ООО «Издательство «Мир и Образование»
Изд. лиц. ИД № 05088 от" 18.06.2001
109193, Москва, 5-я Кожуховская ул., д. 13, стр. 1
Тел./факс @95) 928-78-26
E-mail: mir-obrazovanie@rambler.ru
Издание ос5Щссшлепо при техническом солепешпи
OCX) «Излачсльспю ЛСТ»
Отпечатано с готовых диапозитивов
на Книжной фабрике № 1 МПТР России.
144003, г. Электросталь Московской обл., ул. Тевосяиа, 25.
Тел./095/917-91-41 e-mail: fcnigist@mail.ru