Историко-математические исследования. Выпуск XXXI - Юшкевич А.П.

Автор: Юшкевич А.П.

Теги: алгебра математика математические исследования история математики академия наук ссср институт истории естествознания и техники

Год: 1989

Похожие

Историко-математические исследования 25

Историко-математические исследования

Историко-математические исследования.

Историко-математические исследования. Выпуск XXI

Текст

АКАДЕМИЯ НАУК СССГ
институт ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
И ТЕХНИКИ
историко-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Выпуск
XXXI
Ответственным редактор
доктор фплпко математических наук
А. П. ЮШКЕВИЧ
МОСКВА
«11 А У К А»
1У89
УДК 512(091)
В сборник включены материалы, касающиеся вопро-
сов математического анализа в творчестве И. Ньютона,
а также статьи о математике XX века в свете достиже-
ния лауреатов Фнлдсовскон премии, о результатах Г.
Грассмана, о сферической тригонометрии ал-Хоре мп.
Публикуется переписка Н. Н. Лузина с II. А. Флоренс-
ким и А. Н. Крыловым.
Издание рассчитано на математиков и историков
науки.
Рецензенты:
академик АН УССР
Б. В. Гнеденко,
кандидат технических паук
В. С. Кирсанов
Редакционная коллегия:
С. С. Демидов, A. II. Паршин, 10. В. Прохоров,
А. Д. Соловьев, Е. И. Славутин (секретарь редакции),
Д. К. Фаддеев
16(12010000-520
11 055(02)-MI ки. 2
© Издательство «Наука»,
1989
ISBN 5-02-1 ни к (77-9
СОДЕРЖАНИЕ
От редакции............................................. 5
О МАТЕМАТИЧЕСКИХ СОЧИНЕНИЯХ И. НЬЮТОНА
В. И. Арнольд (Москва). Топологическое доказательство
трансцендентности абелевых интегрален н «Математических
началах натуральной философии» И. Ньютона............... 7
ф. А. Медведев (Москва). Роговидные углы в работах И. Нью-
тона .................................................. 13
С. С. Петрова (Москва), М. Г. Булычева (Москва). На исто-
рии метода многоугольника Ньютона...................... 38
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
II. С. Ермолаева (Ленинград). Докторская диссертация Г. В.
Колосова н ее оценка В. А. Стекловым................... 52
В. И. Визгни (Москва). Роль математики в восприятии фуи
даментальных физических теорий (на материале теории отно-
сительности и квантовой механики в России н СССР) . . . 75
М. И. Монастырский. Лауреаты премии <1>плдса........... 88
ПУБ. Ill НАЦИИ
С. С. (ем п.до в (Москва), \. II. Партии (Москва), С. М. Поло
вникни (Москва). О переписке Н. И. .Тузина с И. А. Флорен-
ским .................................................. ПС
Переписка И. II. Лузппа с II. А. Флоренским (публикация
и примечания С. С. Демидова, А. 11. Паршина, С. М. Поло-
винкина и II. В. Флоренского)......................... 125
И. С. Ермолаева (Ленинград). Новые материалы к биографии
Н. Н. Лузина.......................................... 191
Переписка II. II. Лузина с А. Н. Крыловым (публикация, пре-
дисловие и комментарии II. С. Ермолаевой)............. 203
А. П. Юшкевич (Москва). К истории паучпых «вязей между
математиками СССР п Франции (об пзбрапин в Парижскую
академию наук С. 11. Бернштейна, И. М. Виноградова н
М. А. Лаврентьева).................................... 273
О. Б. Шейнин (Москва) Письма А. М. Ляпунова К. А. Андре-
еву .................................................. 306
Указатель имен (сост. А. Ф. .Талко) .................. 314
Указатель авторов п названий статей выпусков с 21 но 30
«Историко-математических исследований» (составил А. И.
Володарский)......................................... 325
3
SO.MMAIRE
Editorial.................................................... 5
St В L’OEUVBE MATllEMATIQl E DE NEWTON
5. I. Arnold (Moscou). la demonstration topologiqne de la
transcendaiice des integrates abeliennes dans les «Principia» de
Newton....................................................... 7
F. A. Medvedev (Moscou). I cs angles de contingence dans les tra-
vaux de Newton.............................................. 18
S. S. Petroxa (Moscou) et M. G. Bulycheva (Moscou). Snr 1’his-
toire de lamethode du polygone do Newton................... 38
VANIA
N. S. ErMoIaeva (Leningrad). La these dn doctoral de G. V. Ko-
lossov et son appreciation par V. A. Steklov................ 52
V. 1*. \ tzguine (Moscou). La role des niathcmatiques dans la
conception (aperception) des theories scientifiques fondamen-
tales (1c develop] ement de la thcorie de la relativite en Bussie
et en t’BSS) . . . ............................. 75
M. I. Monastyrski (Moscou). Les laureats du prix Fields ... 88
PUBLICATIONS
S. S. Demidov (Moscou), A. N. Parshin (Moscou), S. M. Polo-
vinkine (Moscou). Sur la correspondance entre N. N. Lousine
et P. A. Florenski......................................... 116
Correspondance entie N. N. Lousine et P. A. Florenski (publie
et annote par S. S. Demidov, A. X. Parshin, S. M. Polovinkine
et P. V. Florenski)........................................ 125
N. S. Ermolaeva (Leningrade). Nouvellcs donnes sur la vie de
N. N. Lusine............................................... 191
Correspondance entre N. N. I ousinc et A. N. Krylov. Publica-
tion, et commentaire de N. S. Ermolaeva.................... 203
\. I*. Youchkevitch (Moscou). Snr I'histoire des contactes scien-
tifiques entre les mathcniaticiens sovietiques et fran^-ais: les
elections de S. N. Bernstein, 1. M. Vinogradov et M. A. 1 av-
rentiev а Г Academic des Sciences de Paris................. 273
A. M. Liapotinow. Lettres a C. A. Andriev. Publices et commen*
tees par <1. B.Sheynin (Moscou)............................ 306
Index des noms (A. Ph. Lapko) ............................. 314
Index des auteurs et des publications dans les volumes 21-30
des clstorico-inatematitcheskie issledovauiB» (A. I. \ olo-
dar.-ki)................................................... 325
ОТ РЕДАКЦИИ
В 1987 г. во многих странах отмечалось 300-летие со
времени издании «Математических начал натуральной фи-
лософии» И. Ньютона. Отой памятной дате была посвящена
и Международная конференции, проведенная в Москве в
октябре 1987 г. Одним из докладов, прочитанных на этой
конференции, открывается настоящий сборник. Автор
произвел с современной точки зрения оригинальный ана-
лиз XVIII леммы «Начал», трактующий о трансцендент-
ности площадей, отсекаемых некоторым образом прямыми
от замкнутой плоской овальной кривой. В следующей ста-
тье анализируется в свете идей нестандартного анализа
понятие бесконечно малой у Ньютона па примере так
называемых углов касания, о свойствах которых, при-
влекавших внимание целого ряда предшественников и
современников Ньютона, говорится в «Поучении» к лем-
мам о пределах в I отделе первой книги «Начал». Наконец,
в третьей статье первого раздела сборника, целиком посвя-
щенного Ньютону, уточнен ряд вопросов истории так назы-
ваемого метода многоугольника Ньютона.
Во втором разделе сборника помещены работы различ-
ною содержания: статьи о докторской диссертации Г. В. Ко-
лосова по теории упругости, о роли, которую сыграли
в вашей стране математика и математики в распростра-
нении в пей теории относительности Зйпштейна и о лау-
реатах премии Филдса, этой своего рода Нобелевской
премии для математиков (Нобелевская премия математи-
кам не присуждается).
Весьма обширен раздел публикаций. В него включена
переписка Н. П. Лузина с II. А. Флоренским, продолжа-
ющая начатую в предыдущем выпуске публикацию бумаг
из архива II. А. Флоренского, а также II. II. Лузина с
А. II. Крыловым. Значительная часть переписки с
А. II. Крыловым приходится на 1928—1932 гг., когда Лузин
работал в Париже над подготовкой своего фундаменталь-
ного труда по теории аналитических и проективных мно-
жеств и выступил на Международном конгрессе в Болонье
(1928) с обобщающим докладом о путях развития теории
5
множеств. Обе эти публикации снабжены вступительными
статьями п комментариями.
Наконец, в разделе публикации помещены новые сведе-
ния о зарубежных контактах н uunx математиков — теме,
неоднократно привлекавшей внимание наших историков
науки. Речь идет здесь об избрании иностранными чле-
нами Академии наук Института Франции С. 11. Берн-
штейна, II. М. Виноградова и М. А. Лаврентьева. При
.этом использованы материалы Архива Парижской ака-
демии наук, а именно представления названных совет-
ских математиков такими видными их французскими кол-
легами, как УК. Адамар, УК. Лерэ, II. Серр и М. Руа.
В заключение публикуется список работ, напечатан-
ных в 21—30 выпусках «Историко-математических иссле-
дований», и указатель имен для данного выпуска.
Когда XXXI выпуск готовился к печати, советская и
мировая наука понесла тяжелую утрату: скончался круп-
нейший математик современности академик А. II. Кол-
могоров (25.4.1903—20.10.1987), столь многое сделавший
и для успехов советских работ по истории математики п
сам внесший значительный вклад в этой отрасли науки.
В XXXII выпуске наших сборников мы поместим ряд
новых материалов как самого А. II. Колмогорова, так и о
нем.
Редакция с огорчением сообщает также о смерти не-
скольких историков математических паук: II. Д. Бес-
памятных (1910—1987) и Е. М. Полищука (1914—1988),
работы которых публиковались в наших сборниках,
математика II. II. Кузнецова (1911 —1987), автора ряда
статей о Д. Ф. Егорове и 11. П. Лузине, специалиста по
теоретической механике Н. II. Полехова (1906—1987),
руководившего многие годы . 1енипградск11М семинаром
по истории математики и механики.
А. И. Юшкевич
о МАТЕМАТИЧЕСКИХ СОЧИНЕНИЯХ
И. НЬЮТОНА
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ДОКАЗ \ТЕЛ>СТВО
ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТИ
ЛЕЕ 1ЕВЫХ ИНТЕГРАЛОВ
В «МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАЧАЛАХ
НАТУР VI 1»1 ЮП ФИ. ЮСОФП11»
НЬЮТОНА
В. II. Крнольд
I. Ньютон II топология
Перелистывая ♦.Математические начала» Ньютона в
связи с трехсотлетием этой великой книги, я наткнулся
на две чисто математические страницы, содержащие удиви-
тельно современное топологическое доказательство за-
мечательной теоремы об абелевых интегралах. Приведу
текст этих страниц в русском переводе А. И. Крылова
[1, с. 153-1551.
«Лемма XXVIII:
Не существует такой замкнутой овальной кривой, для
которой площадь, отсекаемая произвольно проводимыми
прямыми, определялась бы в общем виде уравнениями с
конечным числом членов и конечной степени.
Пусть внутри овала взята какая-нибудь точка, около
которой, как около полюса, равномерно вращается пря-
мая линия, и одновременно из полюса выходит точка и
движется по этой прямой со скоростью, пропорциональной
квадрату длины отрезка этой прямой, заключенного внут-
ри овала, между полюсом и периметром. При таком дви-
жении точка описывает спираль из бесконечного множе-
ства оборотов. Если бы часть площади овала, отсекаемая
сказанной прямой, могла бы быть найдена при помощи
алгебраического уравнения с конечным числом членов, то
при помощи того же уравнения нашлось бы и расстояние
точки спирали до полюса, которое этой площади пропор-
ционально; следовательно, все точки спирали могли бы
7
быть найдены при помощи конечного алгебраического
уравнения поэтому и точки пересечения с какою угодно
заданной по положению прямой определялись бы при
помощи алгебраического уравнения конечной степени. Но
всякая неопределенно продолженная прямая пересекает
спираль в бесконечном числе точек, уравнение же, по-
мощью которого находятся точки пересечения двух линий,
доставляет их всеми своими корнями и в том же числе,
следовательно, степень уравнения должна быть такою ;ке,
каково число точек пересечения.
Так, например, два круга пересекаются в двух точках,
и каждая из них находится не иначе, как при помощи
уравнения второй степени, которым определяется вместе
с нею и вторая точка пересечения. Два конических сече-
ния могут пересекаться в четырех точках, н этп точки
вообще нельзя найти иначе, как при помощи уравнения
четвертой степени, которым они все определяются совме-
стно. Это происходит потому, что если бы искать каждое
из этих пересечений в отдельности, то так как для них
для всех условия одни и те же. то и вычисление для каждо-
го пересечения будет то же самое, поэтому и получится
одно и то же окончательное уравнение, которое должно
доставлять все пересечения совместно, полно и безразлич-
но. Таким образом, пересечения конического сечения и
кривой третьего порядка, так как их может быть шесть,
доставляются совместно уравнением шестой степени; пере-
сечения двух кривых третьего порядка, которых может
быть девять, доставляются уравнением девятой степени.
Если бы это могло быть иначе, то все задачи, приводящие
к уравнениям третьей степени, можно было бы сводить
на задачи плоские, т. е. решаемые при помощи уравнений
первой и второй степени. Все же задачи высших степеней —
к задачам третьей степени. Здесь я говорю о кривых не-
приводимых, ибо, если уравнение, определяющее кривую,
может быть приведено к уравнению низшей степени, то
эта кривая не простая, а составленная из двух или не-
скольких, которых пересечения н могут быть находимы
в отдельности для каждой. Таким образом, пересечения
двух прямых и конического сечения доставляются всегда
уравнениями второй степени, трех прямых и неприводимой
кривой третьего порядка—уравнениями третьей степени,
четырех прямых и неприводимой кривой четвертого по-
рядка* — уравнением четвертой степени и так далее к»
бесконечности.
Следовательно, бесчисленное .множество точек пересе-
8
чения прямой п спирали, так как эта кривая простая и
неприводимая, потребуют для своего определения урав-
нения с бесконечным числом корней и бесконечно боль-
шой степени, которое могло бы доставить все пересечения
совместно, ибо для веек них один и тот же закон и одно
и то же вычисление. Если из полюса опустить на сказан-
ную секущую перпендикуляр и вращать его вместе с се-
кущей около полюса, то пересечения спирали будут пере-
ходить одно в другое; то, которое было первым или бли-
жайшим к основанию перпендикуляра, через один оборот
станет вторым, после двух оборотов — третьим, и т. д.,
между тем самое уравнение не иначе может измениться,
как только от изменения величины тех количеств, кото-
рыми определяется положение самой секущей. А так как
после каждого полного оборота эти количества принима-
ют свои прежние значения, то и сравнение вновь принима-
ет свой первоначальный вид, и, следовательно, будучи
единственным и оставаясь неизменным, должно доставить
все точки пересечения в бесконечном числе, следовательно,
оио должно иметь бесчисленное число корней. Итак, нель-
зя определить, вообще, пересечения прямой и спирали
при помощи конечного уравнения, поэтому и не сущест-
вует замкнутого овала, коего площадь, отсекаемая произ-
вольно взятою прямой, могла бы выражаться в общем
виде при помощи таких уравнений.
Подобным же образом, взяв за расстояние между полю-
сом и подвижной точкою, описывающею спираль, длину,
пропорциональную отсекаемой части периметра овала,
можно доказать, что длина периметра не может быть най-
дена вообще при помощи уравнений конечной степени.
Под замкнутым овалом я разумею здесь такие кривые, ко-
торые не касаются сопряженных с ними кривых, уходя-
щих в бесконечность.
Следствие. Птак, для эллипса площадь, оппсываемая
радиусом, проводимым из фокуса к предыдущему телу,
не может быть получена по данному времени при помощи
конечного алгебраического уравнения, и поэтому не мо-
жет быть определена пересечением эллипса с геометри-
чески рациональной (алгебраической) кривой. Я называю
геометрически рациональными (алгебраическими) кривы-
ми такие, все точки которых определяются при помощи
Длин, определяемых, в свою очередь, алгебраическими
Уравнениями, т. е. при помощи сложных и составных отно-
шений между длинами. Прочие же кривые (как снирали1
квадратрисы, трохоиды) я называю геометрически пр.
9
рациональными (трансцендентными), подобно тому, как
длины называются арифметически рациональными, ес.тц
они относятся друг к другу, как целое число к целому,
если же такого отношения не существует, то арифметиче-
ски иррациональными, как о том сказано в книге X „Эле-
ментов**».
Затерянная среди астрономических исследований, свя-
занных с уравнением Кеплера, эта теорема Ньютона (ои
называет ее леммой XXVIII) не была понята математика-
ми \ Причина, я думаю, в том, что Ньютон на пару веков
опередил свое время. Его тонкое доказательство основано
на использовании своего рода вещественного аналога
римановых поверхностей для топологического исследова-
ния алгебраических кривых. Поэтому оно было слишком
трудным как для его современников, так и для матема-
тиков XX века, вскормленных на теоретико-множествен-
ной аксиоматической схоластике и неспособных восприни-
мать многозначные функции.
Ниже я постарался объяснить результаты Ньютона,
слегка модернизовав его терминологию.
2. Теорема Ньютона
Определение. Овал (замкнутая песамопересе-
кающаяся кривая на плоскости) называется алгебраически
квадрируемым, если площадь 5 сегмента, отсекаемого
прямой ахby = с, алгебраически зависит от прямой:
существует нетривиальный многочлен Р, такой, что
P{S-, а, Ь, с) =0.
Т е о р е м а. Всякий Сх-гладкий овал алгебраически
не квадрируем. Для любого п существуют Сп-гладкие ал-
гебраически квадрируемые овалы, класса С00 всюду, кроме
одной точки.
Пример (п = 1): х = (1г — I)1 2, у = Z3 —t, /2 1. По-
скольку j ydx есть многочлен относительно t, овал ал-
гебраически квадрируем.
3. Доказательство Ньютона
Прежде всего Ньютон замечает, что вместо сегментов
можно рассматривать секторы. Достаточно выбрать точку
О внутри овала и выходящий из нее луч. Рассмотрим пло-
1 Тэрнбул [2] замечает, что рассуждения Ньютона близки к теориям
групп как Галуа, так и Ли. Я никакой близости тут вс вижу.
10
щадь, заметенную радиусом-вектором с началом в этой
точке' н концом в переменной точке, движущейся по ова-
лу, начиная от выбранного луча.
Л е м м а. Заметенная площадь алгебраически зависит
от движущегося луча если и только если овал алгебраичес-
ки квадрируем.
Это утверждение подробно обсуждается (и напрасно
подвергается сомнению) в русском переводе |3| книги
Цейтеяа о математике X\ 11 п. Для Ньютона оно было оче-
видным. Для алгебраического овала доказательство легко
провести, используя алгебраичность площади треуголь-
ника, которым сектор отличается от сегмента. Общий слу-
чай легко сводится к случаю алгебраического овала (см.
разд. 6, лемма).
Заметенная площадь — многозначная функция, так
как при каждом обороте движущейся точки вокруг опала
площадь увеличивается на всю площадь, ограниченную
овалом. Поэтому заметенная площадь не может быть алгеб-
раической функцией (алгебраическая функция не может
принимать в одной точке бесконечно много значений).
Это подробно объясняется Ньютоном: он явпо формули-
рует «теорему Везу» (число точек пересечения алгебраи-
ческих кривых степеней тип равно тп), как хорошо
известный факт (я думаю, «теорема Безу», подобно «рядам
Тейлора» и «рядам Пюизё», должна посить имя Ньютона).
4. Коптрпрпмер
Итак, доказательство закопчено. Но тут Ньютон заме-
чает, что что-то не в порядке, а именно в том случае, когда
кривая имеет другие ветви, соединяющие овал с беско-
нечностью.
По-впдпмому, Ньютон обнаружил какие-то примеры,
вроде приведенного выше в п. 2. Но здесь он ошибается
(по крайней мере, ошибочно утверждение в русском пере-
воде — если в латинском оригинале действительно идет
речь об уходящих на бесконечность ветвях, то ошибочен
и он).
Пример, у2 = z2 — xi, х 0. Уходящих на бесконеч-
ность ветвей пет, но овал алгебраически квадрируем.
Во всяком случае контрпримеры показывают, что в
Доказательстве Ньютона что-то не в поря же. Действитель-
но, гладкость овала не использована в доказательстве.
Доказательство нуждается в исправлении. На самом
Деле даже формулировка теоремы, которую Ньютон имел
11
в виду, слегка отличается от той, которую он написал и
которую я воспроизвел в п. 2. Исправленная формулиров-
ка приведена в п. 6.
а. .Локальная алп браичность
Определение. Кривая на аффинной плоскости
называется локально алгебраической, если опа алгебраич-
на в некоторой окрестности каждой своей точки.
Пример. Объединение окружностей
л-2 4- (у — n)2= I, п 0, 1, . . .,
локально алгебраическая, но не алгебраическая кривая.
Определен и е. (.Многозначная) функция у = / (jj
называется локально алгебраической, если ее график —
локально алгебраическая кривая.
При м е р. Заметенная площадь для овалов приме-
ров п. 2 и п. 4 является локально алгебраической функ-
цией тангенса угла наклона секущей к оси х. Эта бес-
конечнозначная алгебраическая функция очевидно не
алгебраична.
В приложениях локальная алгебраичность практичес-
ки почти так же полезна, как глобальная. Итак, проблема,
которую решает Ньютон, такова: существуют ли гладкие
локально алгебраически квадрируемые овалы?
6. Топкая теорема Ньютона
Т е о р е м а. Бесконечно гладкий овал локально алгеб-
раически не квадрируем.
Л е м м а. (Локально) алгебраически квадрируемый
овал (локальноj алгебраичен.
Доказательство. Площадь вырожденного сег-
мента. отсекаемого касательной, равна нулю. Поэтому
касательные ах + by = с к алгебраически квадрируемой
кривой удовлетворяют алгебраическому уравнению
Р (0; а, Ь, с) = 0.
Итак, двойственная кривая (образованная касательны-
ми к исходному овалу, как точками двойственной плос-
кости) алгебраична. Следовательно, алгебраична и ис-
ходная кривая.
Замена н и е. Для Ньютона алгебранчность кри-
вой. двойственной к алгебраической, была очевидной.
Действительно, рассмотрим точку пересечения касатель-
ных и двойственной кривой, параметризованных танген-
12
сами угла наклона к фиксированной прямой, равными
j и i 4- Л. Если исходная кривая алгебраична. то точки
пересечения при фиксированном h и переменном / образу-
ют алгебраическую кривую, степень которой ограничена
равномерно по h. Поэтому ее предел при h—>0 также ал-
гебранчен.
Но этот предел содержит двойственную кривую, кото-
рую мы исследуем. Таким образом Ньютон мог доказать,
что кривая, двойственная алгебраической, алгебраична.
Не убежденные предыдущим замечанием читатели мо-
гут добавить условие алгебраичности овала к условиям
гладкости в предыдущей теореме.
7. Доказательство топкой теоремы Ньютона
Лемма. Бесконечно гладкая алгебраическая кривая
аналитична.
Доказательство. Ньютон открыл, что каж-
дая ветвь алгебраической кривой вблизи каждой точки
допускает представление
у = о(|.т₽/ч -|- ягт<р+’) ч р у
(это очевидно следует из «параллелограмма Ньютона»).
Если ряд содержит нецелую степень х, то овал не мо-
жет быть бесконечно дифференцируемым. Поэтому ряд
содержит только целые степени и овал аналитичен.
Лемма. Локально алгебраически квадрируемый ана-
литический овал глобально алгебраически квадрируем.
Доказательство. Заметеппая площадь ло-
кально аналитически зависит от движущейся точки.
Локально аналитическая функция на овале, которая
локально алгебраична, алгебраична глобально. Действи-
тельно, в противном случае существует точка, по одну
сторону которой график функции совпадает с одной алгеб-
раической кривой, а по другую — с другой. Поскольку
функция аналитична, эти две алгебраические кривые имеют
в этой точке касание бесконечного порядка. Это противо-
речит теореме Безу (Пьютоиа). поскольку число (сливших-
ся) точек пересечения этих двух алгебраических кривых
ограничено произведением их степенен. Итак, заметенная
площадь — (глобально) алгебраическая функция.
Значит локально алгебраически квадрируемый С^-глад-
кни овал должен бы быть глобально алгебраически квадри-
руемым. Это противоречило бы легкой теореме Ньютона из
и. _. Противоречие доказывает топкую теорему.
13
Замечание. Собственно говоря, гладкость сама
по себе несущественна для доказательства алгебраической
неквадрируемости — оно проходит и для кривых с осо-
бенностями вроде у2 — а? — X1 или у2 = (1 — лг)3. Что дейст-
вительно важно, так это отсутствие самопересечений:
овал должен оставаться замкнутым при переходе на ри-
манову поверхность.
Таким образом, анализ условий применимости рассуж-
дений Ньютона автоматически приводит к римановой
поверхности кривой (точнее, к ее части, лежащей в ок-
рестности вещественного овала).
8. Алгебраически квадрируемые
гиперповерхности
Теорема Ньютона обобщается на многомерный случай
гладких гиперповерхностей в евклидовом Вп.
В R2n нет (локально) алгебраически «квадрируемых»
бесконечно гладких компактных гиперповерхностей (В. А.
Васильев, 1987). Это прямое обобщение теоремы Ньютона
вытекает из формул Пикара—Лефшеца. Рассмотрим
семейство параллельных плоскостей I (х) = t, пересекаю-
щих гиперповерхность при а t Ь. Рассмотрим аналити-
ческое продолжение объема 5 (t) соответствующего сег-
мента.
Когда t обходит интервал la, &1 комплексной оси t, функ-
ция S (t) получает постоянное приращение (равное объ-
ему тела, ограниченного гиперповерхностью). Поэтому
функция 5 (/) не алгебраическая.
В В3 существуют бесконечно гладкие алгебраически
«квадрируемые» поверхности. Это установил Архимед.
Действительно, площадь сферического сегмента пропор-
циональна его высоте и, следовательно, алгебраична.
Отсюда следует алгебраичность объема сферического сек-
тора, а значит, и сегмента. Поэтому двумерная сфера в
трехмерном пространстве алгебраически «квадрируема».
Эллипсоиды в печетномерных евклидовых пространст-
вах алгебраически «квадрируемы». По-видимому, других
компактных бесконечно гладких локально алгебраически
«квадрируемых» гиперповерхностей в нечетномерных про-
странствах пет. Васильев доказал, что такие гиперповерх-
ности, если они и существуют, должны быть очень спе-
циальными, исключительными.
14
9. Заключение
Ньютоново доказательство трансцендентности абелевых
интегралов было одним из первых «доказательств невоз-
можности» в математике нового времени, и Ньютон сам
сравнивал его с классическим доказательством иррацио-
нальности |Л2.
Сравнивая сегодня тексты Ньютона с комментариями
его последователей, поражаешься, насколько оригиналь-
ное изложение Ньютона современнее, яснее н идейно бо-
гаче, чем принадлежащий комментаторам перевод его
геометрических рассуждений на формальный язык лейб-
ницева исчисления. Два века между гениальными откры-
тиями Ньютона и геометризацией математики Римана и
Пуанкаре кажутся математической пустыней, заполненной
одними лишь вычислениями ...
Более подробное изложение теоремы о трансцендентно-
сти, а также обобщения ряда других теорем из Principia
можно найти в [4—9|1 2.
Когда рукопись била у.ке ютова к отправке в типографию,
автор сделал дополнение, публикуемое ниже.
Фраза об отсутствии уходящих на бесконечность ветвей
вставлена Ньютоном лишь во втором издании, в 1714 г.
По-видимому, Ньютону не были известны замечания «Лейб-
ница и Гюйгенса, критиковавших текст 1687 г.
♦Я не считаю возможным приписать Ньютону его
предложение, так как он никак не использует природу
того, что он называет овалом, а только то, что это замкну-
тая кривая, замыкающаяся после одного оборота, что не
исключает даже случаи квадрата или треугольника»,—
писал Гюйгенс Лейбницу в 1691 г.3
«Ньютон, для защиты невозможности квадратуры ова-
лов, должен бы был ответить, что такой овал (образован-
ный дугами двух парабол] не настоящий и не составлен
одной обегающей его кривой, как того требует, по-видимо-
1 Лемма XXVIII привлекла внимание еще современников Ньютона.
Я. Бернулли признал ее верной (1691), в то время как Г. В. Лейб-
ниц нашел, что доказательство Ньютона недостаточно, позднее
согласился с леммой Э. Варииг (1772); высказывались о пей и дру-
гие математики XVIII и XIX вв., например, Ч. Ч. Раус. Болл
также признал истинность леммы и вместе с тем отметил, что
проследить за выводом Ньютона трудно. Краткую историческую
, справку Д. Т. Уайтсайда см.: в (10, с. 305—308].— Примеч. ред.
Qeuvres mathematiques de Leibniz. Paris: A. Frank, 1853, I partie.
Vol. 2. P. 91—93.
15
му, его рассуждение, ибо одна из парабол при продолже-
нии не пойдет по другой. Но Ваша кривая в форме вось-
мерки действительно обегаема, и его рассуждение примени-
мо к ней, хотя опа и не совсем имеет форму овала; итак,
по его рассуждению она не должна была бы быть квадри-
руемой общим образом [иметь алгебраические площади
сегментов]. Было бы полезно рассмотреть само его рас-
суждение, чтобы понять, чего же в нем не хватает. Что
касается круга или эллипса, то невозможность их общего
квадрирования доказана в достаточной мере, но я еще
не видел никакого доказательства неквадрпруемости цело-
го круга или какой-либо определенной его части»,— писал
Лейбниц Гюйгенсу 10 20 апреля 1(>!М г.
Кривая в форме восьмерки — лемниската «не Бернул-
ли» у~ = х2— х4, обсуждавшаяся Г. Гюйгенсом в предыду-
щих письмах. Таким образом, ошибка как исходного, так и
исправленного текста Ньютона была замечена Гюйгенсом
и Лейбницем еще до того, как Ньютон внес исправления.
Фразы о неприводимости кривых также вставлены
лишь во второе издание. Непонятно, зачем Ньютону по-
требовалось пересекать кривую третьей степени с тремя
прямыми, четвертой с четырьмя и т. д. До внесения упоми-
нания о неприводимости это место допускало иное толко-
вание: пересечение (прямой) с кривой третьей степени,
как и с тремя прямыми, отыскивается с помощью куби-
ческого уравнения, с кривой четвертой степени — как с
четырьмя кривыми, с помощью уравнения четвертой степе-
ни, и т. д.
В таком случае это место может рассматриваться как
план очень простого, топологического доказательства тео-
ремы Безу: при подсчете числа точек пересечения двух
кривых можно кривую заменить прямыми, число которых
равно степени кривой (поскольку для кривых данных сте-
пеней общего положения число комплексных точек пере-
сечения не зависит от специального выбора кривых, его
достаточно подсчитать для кривых, близких к полностью
распавшимся кривым, т. е. оно равно произведению сте-
пеней).
Ньютон по поводу доказательства теоремы Безу ссыла-
ется на то, что ппаче кубические иррациональности сво-
дились бы к квадратичным и т. д.— можно также сказать,
что он ссылается на неразрешимость проблемы резольвент
пли тринадцатой проблемы Гильберта для алгебраических
функций (в отличие от теоремы Безу, эти утверждения в
общем случае не доказаны и сегодня):
16 ’
Непонятно, для чего Ньютон опускает перпендикуляр
па подвижную прямую: для доказательства достаточно
ограничиться прямыми, проходящими через центральную
точку, и <>т ,1ее 11 начинать отсчет. По-видимому, Ньютон
для чего-то хотел рассматривать площадь как функцию
прямой, определенную для всех прямых (вопреки мнению,
что он избегал функции многих переменных, здесь сразу
вводится, в духе преобразования Радона, интегральной
геометрии или томографии, функция на многообразии
прямых).
Связь между трансцендентностью функции и транс-
цендентностью чисел, па которую намекает Лейбниц в
конце цитированного письма Гюйгенсу, глубже, чем ка-
жется па первым взгляд. Она включает гипотезу трансцен-
дентности числа л, гипотезу 7-й проблемы Гильберта о
трансцендентности экспонент алгебраических чисел и более
общую гипотезу о трансцендентности (с очевидными иск-
лючениями) площади сегмента, ограниченного гладким
алгебраическим овалом с рациональными пли а.иебраи-
ческими коэффициентами и прямыми с алгебраическими
или рациональными коэффициентами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ньютон И. Математические начала натуральной философии.
М.; .1.: 11лд-во АП СССР, 1936.
2. Turnhull Н. И'. The mathematical discoveries of Newton. Lon-
don md Glasgow: Blackee and Son, 1945.
3. Дейтен Г. Г. Истории математики в XVI u XVII веках. М.;
.1.: ГТТИ, 1933.
4. Арнольд В. И. О ньютоновском потенциале гиперболических
слоев // Груды Тбилисского университета, 1982. Т. 232—233.
С. 23-28.
5. Арнольд В. И. Магнитные аналоги теорем Ньютона и Айвори
Успехи мат. наук. 1983. Т. 38. Вып. 5. С. 145—146.
о. Арнольд В. И. Трехсотлетие математического естествознания и
„ небесной механики I/ Природа. 1987. № 8.
'• Арнольд В. И. Второй закон Нейлера и топологии абелевых
интегралов (но Ньютону) // Квант. 1987. № 12.
»• Вайнштейн А. Д., Шапиро Б. 3. Многомерные аналоги теорем
Ньютона и Айвори Функциональный аиатиз и его прнложе-
«ия 1985. Т. 19. Вып. 1. С. 20—24.
Гивенталь А. Б. Полиномиальность электростатических по-
тенциалов J цехи мат. наук. 1984. Т. 39. вып. 5. С. 253—
254.
19. I he mathematical papers of Isaac Newton. Cambridge: t'niver-
Mty Press. 1<)74. \o| 6.
at. И. 1
РОГОВИДНЫЕ УГЛЫ
В РАБОТАХ И. НЬЮТОН А
Ф. Л. Медведев
Проблема роговидных углов представляет собой одну
из интереснейших проблем истории математики, к сожале-
нию, еще изученную поразительно мало. Нельзя сказать,
что историки математики полностью игнорировали ее.
К пей обращались Ж. 0. Моитюкла И, с. 575— 576],
Г. С. Клюгель 12, с. 287—292| и, конечно, М. Кантор
13. см. по предметному указателю на слово «Contingenz-
winkel»|; ее, как правило, не оставляли без внимания
переводчики и комментаторы «Начал» Евклида, включая
относительно недавних, например Г. Л. Хиса [4, т. 1,
с. 176 —178, 182, 265; т. 2, с. 39 -431 и Д. Д. Мордухай-
Болтовского [5, с. 336—338); названную проблему затра-
гивали по разным поводам и другие историки математики,
к примеру А. П. Юткевич [•>, с. 333, 384—385, 389],
а также математики — Ф. Клейн [7; 8, с. 335—3421, Д. Ла-
угвиц 19, с. 133—134] и, наверно, другие. ’Гем ие менее
история роговидных углов остается еще далеко не ис-
следованной.
Эта история интересна, по меньшей мере, в двух отно-
шениях. Во-первых, роговидными углами занимались
очень многие: Евклид и Нрокл; ибн Сипа, аш-Ширази, и,
вероятно, ат-Туси *; многочисленные переводчики и ком-
ментаторы евклидовых «Начал», среди которых следует
выделить Ж. Пелетье и X. Клавин; обращались к ним
Д. Кампано, Т. Брадвардин, Евклид из Кандалы, Ф. Ви-
ет, Г. Галилей, Григорий Санкт-Винцеит, А. Таке, Д. Вал-
лис и еще ряд менее известных авторов; уделяли им внима-
ние II. Ньютон, Г. В. Лейбниц, Ж. Л. Лагранж, О. Л-
Коши, О. Штольц, Ф. Клейн и Д. Лаугвиц. Уже этот
простой перечень, который, по-видимому, далек от полно-
ты, достаточно красноречив. Во-вторых, их рассмотрение
математиками оказывалось, как правило, связанным с
фундаментальными понятиями и положениями математи-
1 Слово «вероятно» здесь потому, что анонимный трактат «О двп
женин качения и об отношении между плоским и кривым» XIII вд
имеющийся во многих библиотеках, но еще не изученный и со
держащий многое о роговидных углах, Дж. ад-Даббах н Б- Aj
Розенфельд довольно обосповапно предполагают ЦО, с. 321*
принадлежащим ат-Туси.
18
ки такими, как аксиома Архимеда, общие понятия угла
и величины, отношения «равно», «больше» и «меньше»,
понятие актуально бесконечной величины и т. д.
Здесь будет рассмотрен лишь небольшой фрагмент
этой длительной и сложной истории — использование
роговидных углов в двух работах И. Ньютона, в «Методе
флюксий н бесконечных рядов с приложением его к гео-
метрии кривых» [11, 12] и в «Математических началах
натуральной философии» [13, 14]. Насколько известно
автору, в историко-математической литературе этот воп-
рос почти не освещался. О нем глухо упомянул Ж. 3. Моп-
тюкла (1. с. 576], а Г. С. Клюгель [2. с. 292] после при-
меров кривых, у которых углы касания несравнимы, про-
сто сослался на ньютоновскую работу [11].
Отличительной особенностью обращений И. Ньютона к
роговидным углам является то, что если до пего последние
рассматривались как некие своеобразные и даже странные
объекты элементарной геометрии, то он привлек их к по-
строению математического анализа, дифференциальной
геометрии и даже механики.
Предполагается целесообразным начать с рассмотре-
ния некоторых дифференциально-геометрических результа-
тов Ньютона и прежде всего с задачи о построении каса-
тельной к кривой. Решение последней Ньютоном много-
кратно освещалось в псторпко-математпческоп литературе
в частности, в комментариях Д. Д. Мордухай-Болтовского
[15, с. 322—328], и нет нужды подробно останавливаться
па этом. Обратим внимание лишь на два момента. Прежде
всего подчеркнем вместе с Д. Д. Мордухай-Болтовским.что
касательная у Ньютона в «Методе флюксий» [11] еще есть
«прямая, проходящая через две бесконечно близкие точки,
причем близость понимается в смысле актуально беско-
нечно малого» [15, с. 322], курсив Д. Д. Мордухай-Бол-
товского]. У самого Ньютона это представлено так (рис. 1):
«Пусть ордината (BD.— Ф. М.) переместится на беско-
нечно малое пространство до места bd, когда АВ возрастет
на момент ВЪ. которому равно и параллельно De. Продол-
жим Dd до встречи с АВ в Т; прямая эта будет касаться
кривом в D или d и треугольники dcD, DBT будут подоб-
ны, вследствие чего
ТВ : RD : : De (или ВЪ) : cd»
И-, с. 76; знак : : играет здесь роль знака равенства];
выделено нами,— ф. М.).
19
Второе, заслуживающее внимания обстоятельство со-
держится в ньютоновых словах: «После того следует взять
ТН в том же отношении к HD, в каком флюксия АН на-
ходится к флюксии HI) (т. е. сс'.— Ф. М-), и просеченная
таким образом прямая коснется кривом в точке 1)»
[Там же[. Д. Д. Мордухай-Болтовскоп говорит в связи с
этим: «Ньютон оперирует с подобными треугольниками,
просто отождествляя бесконечно малую хорду с бесконеч-
но малой дугой, став, таким образом, на точку зрения
неделимых» [15, с. 328]. Нам представляется, что слово
«отождествляя» здесь не вполне уместно, ибо отождествле-
ние означало бы полное совпадение свойств кривой и пря-
мой. Фактически у Ньютона здесь совершен переход к
новому пониманию равенства как некоторого отношения
эквивалентности, в котором объекты, отличающиеся на
актуально бесконечно малый элемент, считаются нераз-
личимыми или «ранными» в смысле, отличном от элемен-
тарно-геометрического равенства (в данном случае кон-
груентиостп). В соответствии с новым смыслом слова «ра-
венство» изменяются понятия отношения и пропорции.
Далее нам придется иметь дело не с касательными, а с
нормалями к кривым. Поскольку, однако, нормаль опреде-
ляется через касательную, то соответствующие инфините-
зимальные процедуры переносятся и на нормали.
Л теперь перейдем к задаче о кривизне кривой. Считая
кривизну заданной окружности одинаковой во всех точ-
ках, принимая за меру кривизны окружности величину,
равную обратной величине 1 г радиуса г этой окружности,
и допуская, что кривизна различных окружностей обрат-
но пропорциональна отношению их радиусов. Ньютон
[12. с. 90—91] определяет кривизну произвольной кривой
в рассматриваемой точке как кривизну окружности, со-
прикасающейся с кривой в этой точке, беря за центр кри-
визны кривой центр этой соприкасающейся окружности-
20
Центр кривизны в любой точке находится на нормали к
кривой в точке, отстоящей от кривой на расстоянии, рав-
ном радиусу соприкасающейся окружности. Привлечение
к этой процедуре нормали означает в силу сказанного
выше обращение к инфинитезимальным соображениям
описанного типа.
Все это теперь — азбучные истины дифференциальной
геометрии. В общем виде Ньютон излагает их без особого
обоснования, однако когда он переходит к вычислению
радиуса или центра кривизны, то его методы определенно
выступают в инфинитезимальном одеянии.
В трех различных точках d, D, 6 кривой (рис. 2) про-
водятся нормали, причем те, которые проведены в d и D,
сходятся в точке h, а те, которые проведены в D и 6,— в
точке Н. «Если кривизна па участке Db больше, чем па
участке Dd, то DH будет меньше dh. Ио чем больше норма-
ли 6// н dh приближаются к средней нормали DII, тем
меньше становится расстояние между точками И и h.
Наконец, когда эти нормали сольются, то совпадут и эти
точки. Допустим, что совпадение произойдет в точке С.
Тогда она и будет центром кривизны в точке D, в кото-
рой остановятся нормали. Это очевидно само собой» [Там
же]. Перечислив затем ряд свойств центра кривизны С,
он за основное берет такое, по его выражению, простей-
шее свойство: в С «сходятся все нормали, проведенные с
о^сих сторон от DC и бесконечно мало отстоящие от нее»
Нам же] (курсив наш.— Ф. М.). Па это свойство Ньютон
и опирается далее при нахождении положения точки С,
Рассуждая следующим образом: «Допустим, что в точке
D кривой (рис. "З.— Ф. .1/.) проведены касательная DT и
21
нормаль DC. Пусть, как и раньше, С есть центр кривизны.
Кроме того, пусть АН есть абсцисса, к которой BD прила-
гается под прнмым углом и которую DC пересекает п
Проведи DG параллельно АВ, GC — перпендикулярно к
пей, на GC отложи отрезок Gg какой-либо данной вели-
чины и проведи к последнему перпендикуляр g6, который
пересечет CD в точке 6. Тогда
Cg : dg : : (ВТ : BD):: флюксия абсциссы
к флюксии ординаты.
Представив себе далее, что точка D бесконечно мало пере-
двинулась по кривой до d, проведи de перпендикулярно
DC, а также нормаль к кривой Cd, пересекающую DG в F
и gfi в /.
Тогда DE будет моментом абсциссы, de — моментом
ординаты, a dj — одновременно порождаемым моментом
прямой gf>- Далее.
DF = DE+ den de \
De
Таким образом, найдя отношение этих моментов или
(что то же) флюксии, порождающих эти моменты, ты вместе
с тем получишь отношение CG к данной линии Cg (кото-
рое то же, что и отношение DF к 6/) и отсюда определишь
точку С» [Там же, с. 92 J.
Пет нужды давать здесь пояснения ньютоновских
терминов «момент» и «флюксия», а также истолковывать
способ получения пропорции, поскольку это не раз дела-
лось в историко-математической литературе (см., напри-
мер, [16, с. 233—238[). Подчеркнем лишь опять инфини-
тезимальный характер подхода Ньютона к рассматривае-
мой задаче нахождения центра кривизны, нестандартное
понимание равенства в пропорции и то обстоятельство,
что ньютонова терминология служила ему для построения
аналитического исчисления. Вслед за приведенными гео-
метрическими рассуждениями Ньютон переводит их на
свой аналитический язык — на язык исчисления флюксий
[Там же, с. 92—93J.
Так что еслп принять за дату подготовки «Метода
флюксий н бесконечных рядов» 1671 г., что представляется
несомненным теперь, после опубликования Д. Т. Уайт-
сайдом математических рукописей Ньютона [17, с. ХП>
1 DF - De ' eF, a eF• De = dea (как высота m вершины прямого
угла).— Нримсч. 13G Д. Д. Мордухай-Болтовского (15, с. 338],
22
отпадает сомнение, выражавшееся некоторыми историками,
частности, М. Кантором [18, с. 171 —1721 и вслед за ним
Ч Д- Стройкой [19, с. 181, в том. что Ньютон Гнал первым,
кто н инея аналитическое выражение для радиуса кривиз-
ны. Точно также указания Д. Д. Мордухай-Болтовского
[15, с. 138примеч. 1371 на то, что, хотя X. Гюйгенс ввел
понятие об эволюте в 1673 г., но не дошел до мысли вос-
пользоваться длиной нормали от кривой до эволюты, и что
эту мысль впервые в 1886 г. высказал Лойбниц, выступают
оправданными только при условии отнесения рассматри-
ваемой работы Ньютона к более позднему времени. При-
нимая же ее датировку 1671 годом, можно определенно
утверждать, что при отсутствии у Ньютона общего опре-
деления понятия эволюты (геометрического места центров
кривизны рассматриваемой кривой) само это понятие
имелось у него в 1671 г.3, равно как и идея измерения кри-
визны ври помощи расстояния от кривой до ее эволюты
(причем, как уже сказано, за меру кривизны в точке при-
нималась кривизна соприкасающейся окружности), и саму
эту идею он воплощает в практике геометрических и ана-
литических вычислений. Необоснованными, по-внднмому,
являются утверждения Г. Г. Цейтена, будто Ньютон по-
ступает здесь «подобно Гюйгенсу» пли чго он «распрост-
раняет гюйгепсов способ нахождения эволюты циклоиды
па эпициклоиды и гипоциклоиды» [21, с. 371—3721, а
также предположение Г. Вплейтпера [23, с. 1231 о том,
что соображения Пьютона, связанные с радиусом кривиз-
ны. включены им при более поздней частичной переработ-
ке указанной его работы после ознакомления с трудом
X. Гюйгенса о маятниковых часах (об этой работе см.
116, с. 206—2101).
Перейдем, однако, к непосредственно интересующему
нас вопросу.
Ньютон совершенно четко говорит о том, что при опре-
делении кривизны нужно рассматривать именно соприка-
сающуюся окружность: «Если круг касается кривой в ее
вогнутой части в данной точке и величина его такова, что
внутри их угла касания нельзя вписать ни одного другого
касающегося круга, то этот круг имеет ту же кривизну,
Прп рассмотрении конкретных кривых он явно говорит об их
волютах, не пользуясь специальным термином. Определяя. Иа-
ример, центр кривизны циклоиды, он прямо пишет о кривой, они-
ываемой центром ее кривизны при перемещении от точки к точке,
утверждает оо эволюте цпклопды, что эта кривая «представляет
00011 Другую, равною ей циклоиду» [12, с. 97].
23
что и кривая в точке касания. Действительно, круг, кото-
рый бы проходил между кривой и другим кругом через
точку касания, отличался бы от кривой менее, чем лог
другой круг, и более, чем он подходил бы по кривизне к
этой кривой. Следовательно, ближайшим по кривизне из
всех кругов будет тот, между которым и кривой нельзя
вписать ни одного другого круга» [12, с. 90—91].
Таким образом, интересующие пас роговидные углы
(в данном случае углы между дугой кривой, исходящей из
рассматриваемой точки, и дугами окружностей, исходящих
из той же точки и касающихся в пей кривой) совершенно
естественно вовлекаются в ход рассуждений Ньютона,
связанных с проблемой кривизны кривых, которую он
характеризовал так: «Существует мало проблем в учении
о кривых, более изящных и более глубоко вскрывающих
их природу» [12, с. 90|.
13 приведенном рассуждении поражает близость хода
мыслей Ньютона н Евклида. Последний в предложении
16 третьей книги «Начал» [5, с. 97—98] установил, в част-
ности, то свойство касательной к окружности, что опа
«упадет вне круга, и в пространстве между прямой (каса-
тельной.— Ф. М.) и обводом (окружностью круга.—Ф. Л/.)
не поместится никакая другая прямая», для чего он рас-
сматривал роговидные углы, образуемые дугой окружнос-
ти и касательной к ней. У Ньютона окружность заменяет-
ся произвольной кривой (разумеется, относительной про-
извольной), вместо евклидовых роговидных углов при-
влекаются ботее сложные роговидные углы, и, как j
Евклида между окружностью и касательной к пей не
помещается ни одной прямой, проходящей через точку
касания и не имеющей с окружностью другой общем точки,
так и у Ньютона между кривой и дугой соприкасающейся
окружности не помещается никакой другом окружпости.
касающейся кривой в рассматриваемой точке.
Роговидные углы играют существенную роль в спосо-
бах вычисления радиусов кривизны рассматриваемых
Ньютоном кривых, и особенно это проявилось у него в
случае нахождения радиуса кривизны у циклоиды (тро-
хоиды. как ее чаще называет Ньютон). Он обнаруживает,
что в самой верхней точке этой кривой или, как говорят
теперь, в точке возврата радиус кривизны обращается и
нуль (а поэтому кривизна бесконечна), а значит данная
кривая в точке возврата образует роговидный угол, «бес-
конечно больший, чем тот, который может образовать с
прямой линией какой бы то ни было круг» [Там же|.
24
Из этого факта Ньютон делает поразительные выводы, ь
сожалению, не раскрытые им подробно. Приведем соот
ветствующую цитату.
«Однако существуют углы касания, бесконечно боль-
шие, чем любые углы, образуемые трохоидой, а также дру-
гие углы, еще бесконечно большие, и так далее до бесконеч-
ности; и все же даже самые большие из пп.х бесконечно
меньше, чем прямолинейный угол. Так, уравнения хх = ау,
х3 by у, х* - су3, х6 = dy* и т. д. определяют собой после-
довательность кривых, из которых каждая следующая об-
разует с абсциссой угол касания бесконечно больший, чем
те, которые могут образовать с тою же абсциссой все
предыдущие кривые. Углы касания, образуемые первой
кривой, определяемой уравнением хх ау, того же рода,
что круговые; те углы, которые образует вторая кривая
Xя Ьуу, того же рода, что и трохоидные, и хотя все углы
последующих кривых всякий раз бесконечно превосходят
углы предыдущих, все же они никогда не могут достигнуть
величины прямолинейного угла.
Таким же образом уравнения х= у, хх=ау, х?= bby,
х* -<?у и т. д. образуют ряд линии, из которых последу то-
щие образуют у своих вершин с абсциссами углы беско-
нечно меньшие, чем те, которые образуют предыдущие.
Кроме того, между углами касания, которые образуются
какими-либо двумя из этих родов кривых, можно найти
еще бесконечное число других углов касания, из которых
один бесконечно больше других.
Теперь таким образом ясно, что углы касания одного
рода бесконечно больше, чем углы какого-либо другого
рода, так как кривая одного рода, как бы велика опа пи
была, не может пройти через точку касания между каса-
тельной и кривой другого рода, как бы мала пи была эта
последняя. Пли же угол касания одного рода по необхо-
димости не может содержать в себе угол касания другого,
как целое содержит в себе часть. Например, угол касания
кривой х4= су3 или угол, который она образует с ее
абсциссой, по необходимости заключает в себе угот каса-
ния кривой х3=Ьуу и никогда не может в нем содержаться.
Ибо углы, которые могут взаимно переходить друг в дру-
га. суть того же рода, как это происходит с упомянутыми
углами трохоиды и кривой, природа которой выражается
Уравнением х3-byу.
Отсюда ясно, что в некоторых точках кривые могут
•ыть бесконечно более выпрямленными или более искрив-
ленными. чем любой круг, хотя и не теряют от того формы
25
кривых. Впрочем, об этом я упоминаю лишь мимоходом»
112, с. 98—99].
В этих словах мы видим как прообраз бесконечно боль-
ших и бесконечно малых величии различных порядков
будущего лейбницевского анализа, так и исток последую-
щих исследований «П. Эйлера |2э]. II. Дюбуа-Реймопа
|26—30] и других по теории роста функций 4 *, доходящих
до современного нестандартного анализа 6. По поводу
самого понятия роговидного угла Ньютон не ссылается
ни на кого, но, не говоря об уже отмеченном родстве его
и 1 вклпда рассуждений. можно заметить, что он, как и
X. Клавин, рассматривает роговидные углы в виде своего
рода величиив, не подчиняющихся аксиоме Архимеда
(хотя эта аксиома им и не упоминается), причем имеется
в виду неархимедовость не в смысле классического анали-
за. как это считал Д. Д. Мордухай-Болтовский [5, с. 312],
а в смысле нестандартного анализа с его актуализацией
бесконечно малых и бесконечно больших величин.
Хотя Ньютон в заключении приведенной цитаты и
говорит, что об этом он упоминает «лишь мимоходом», но
фактически он продолжает размышлять над соображения-
ми, высказанными в приведенных его словах, еще долгие
годы. Спустя полтора десятилетия он вновь возвращается
к ним. За это время у него значительно изменился подход
к проблеме обоснования анализа: он перешел от инфините-
зимального к продельному его обоснованию. Этот пере-
ход многократно освещался в историко-математической
литературе, и здесь не место останавливаться на этом.
Ограничимся отсылкой читателя ко второму тому «Исто-
рии математики» ] 16, с. 238—245| в связи с методом пре-
делов у Ньютона и займемся теперь изменениями толко-
вания роговидных углов в его «Математических началах
натуральной философии» 113, 11].
Первое, и, пожалуй, основное изменение отражено в
лемме VI отдела 1 первой книги. Как сказано выше, в
«Методе флюксий и бесконечных рядов» Ньютон рассмат-
4 Здесь указаны лишь осповпыс работы Эйлера и Дюбуа Реймопа
ио теории роста фхпкцпй. Их у того и другого больше; к тому же
ею занимались многие другие математики, перечень работ кото-
рых содержится в списке литературы (неполном) статьи Г. Фишера
[31, с. 158-1631.
* Так, К. Шмпдеп и Д. Лаугвпц [32, с. 3] ссылаются на книгу
II. Дюбуа-Репмопа [30], а А. Робинсон [33, с. -4-401 — на его ста-
тью |28[. 1
• О взглядах X. Клавин см., например, [3, с. 560; 5, с. 336 3391-
26
л роговидные углы в виде некоторых актуально бес-
вечно малых величии, пе удовлетворяющих аксиоме
А°хпме1а. В указанной лемме он отказывается от такого
^кования. Это видно уже из формулировки самой лем-
*. «Если какая угодно заданная по положению дуга
АСВ стягивается хордою АВ, и в какой-либо ее точке А,
лежащей в области непрерывной кривизны, проведена
касательная AD, продолженная в обе стороны, и если точ-
ки А и В приближаются друг к другу и совпадают, то
угол BAD, заключенный между хордою и касательной,
уменьшается бесконечно и в пределе исчезает» [14, с. 601.
В этой формулировке, если прочесть ее буквально, нет
речи о роговидном угле BAD, заключенном в одноименном
прямолинейном угле, о котором в ней идет речь. По зато
он в явном виде входит в ньютоново доказательство этой
леммы: «Ибо если бы этот угол не исчезал (имеется в виду
прямолинейный угол BAD), то между дугою АСВ и каса-
тельной (т. е. в криволинейном угле BAD', курсив наш.—
Ф. А/.) заключался бы угол, равный прямолинейному
углу (т. е. конечной величине) и, следовательно, кривизна
в точке А не была бы непрерывною, в противность пред-
положению» (рис. 4.— Ф. М.).
Термин «кривизна» Ньютон здесь никак пе поясняет.
Можно предположить, что под кривизной он понимает то
самое, о чем он говорил в своей предшествующей работе
И2], но тогда вместе с этим понятием кривизны и в фор-
мулировку леммы и в ее доказательство роговидные углы
входят, хотя бы неявно. Вместе с тем объем этого поня-
тия существенно сужается за счет представления о «не-
прерывности кривизны». Что он имел в виду Ньютон тоже
не говорит.
Опять-такп можно предположить, что он исключал
случаи, когда кривизна в окрестности рассматриваемой
точки не обращается в бесконечность, п его слова из фор-
мулировки леммы о «точке А, лежащей в области непре-
рывной кривизны» означают, по-видимому, как раз это.
Следовательно, такие точки, как точка возврата циклоиды
или еще более экзотичные, заведомо исключаются из рас-
смотрения. Фактически речь здесь идет о дифференцируе-
мости кривой в точке. По, как известно, из дифферепциру
емостн следует непрерывность. Так что Ньютон, предпола-
гая «непрерывность кривизны», вводит требование непре-
рывности кривой, а тем самым молчаливо принимает
аксиому Архимеда, что и позволяет ему исключить пеархн-
медовы роговидные углы и сделать нужный ему вывод
«об исчезновении» прямолинейного угла.
Мимоходом отметим, что вместе с изменением взгляда
на угол, образованный дугой произвольной кривой и
касательной к ней, здесь же налицо изменение представле-
ния о касательной, а значит, и о нормали. Если ранее ка-
сательная выступал» у Ньютона как прямая, проходящая
через две бесконечно близкие точки кривой, то теперь опа
уже является продельным положенном .хорды, проведен-
ной через две точки кривой при их сближении друг с
другом.
Столь подробно мы остановились па лемме VI потому,
что она играет большую роль во многих последующих
рассуждениях Ньютона как в связи с основаниями анали-
за, так и в связи с некоторыми вопросами механики. Па пес
он опирался в доказательствах леммы VII о равенстве
пределов отношений дуги, .хорды и касательной друг к
другу и следствий из нее, леммы VI11 о равенстве пределов
отношений площадей прямолинейных и криволинейных
треугольников, леммы IX о равенстве отношения площа-
дей криволинейных треугольников квадратов их сторон
[14, с. 60—621; последняя лежит в основе доказательства
X леммы («чисто механического характера», по выражению
А. П. Юшкевича, обычно опускаемой при рассмотрении
подходов Ньютона к обоснованию анализа [16, с. 2W1)
об отношении путей, проходимых телом под действием
постоянной или переменной силы, как квадратов времен
их прохождения [14, с. 62—63|, а сама лемма X и след-
ствия из нее используются затем в «Математических нача-
лах натуральной философии» многократно, в частности
при рассмотрении движения небесных тел по орбитам И4,
с. 82[ и получения основной аналитической формулы, нред-
28
назначенной для нахождения -------*-----л
центростремительных сил И'..
с. 831, входя через ото во всю ХхЬ
ньютонову механику. с
Пе менее примечательна в ><Х.
рассматриваемой связи и лем- / \\
ма XI, формулировку котором р_______ /__________Х| в
мы вновь передадим словами j / /
11. Ньютона в переводе А. II. / /
Крылова: «Расстояние от конца /
дуги до касательной, проведен- /
пой в ее начале, при бескопеч- /
ном уменьшении для всех крп /
вых, коих кривизна в точке /
касания конечная, пропорции- /
пально в пределе квадрату ее /
хорды» [14, с. (>4|. &
В эту формулировку тоже Рне. 5
входит понятие кривизны, а
условие ее конечности заме-
няет условие непрерывности в лемме VI и служит той
же цели исключения слишком экзотических кривых. Одна-
ко роговидные углы опять-таки неявно привлекаются
вместе с понятием кривизны. Но они входят и более непо-
средственно в доказательство этой леммы: ведь расстояния
BD, bd и т. д. от концов рассматриваемых дуг до касатель-
ной AD (рис. 5) Ньютон берет внутри роговидного угла
BAD. а каждый из этих отрезков называется им «subtense
anguli contaclus» или, в переводе А. 11. Крылова, «затяж-
ка угла соприкосновения», «затяжка угла касания».
Именно об этих «затяжках» идет речь в следствиях
данной леммы, причем, как верно заметил А. 11. Крылов
[14, с. бэ, примем. 2lt[, своеобразная терминология Ньюто-
на в них (отрезки AD, Ad и ВС он называет «тангенсами»,
соответственно «синусами» дуг АВ и Л 6, хотя они являют-
ся дугами произвольной кривой, а не дугами окружности,
которым отвечают термины «тангенс» и «синус») объясняет-
ся тем, что он представляет эти дуги замененными дугами
окружности и мыслит о кривых, имеющих непрерывную
кривизну, привлекая тем самым нестандартную эквива-
лентность.
Одиннадцать ньютоновских лемм, образующих мате-
матическую основу «Математических начал натуральной
философии», казалось бы, ясно говорят о том, что автор
этого основополагающего труда полностью перешел на
29
предельное обоснование анализа. Роговидные углы, I
вместе с ними и актуально бесконечно малые, хотя я
присутствуют в этих леммах и и.х следствиях, но, скорее]
как тени тех наглядно представимых объектов, которые
фигурировали в «Методе флюксий и бесконечных рядов»
а основанное на них понятие кривизны, хотя и применяет-
ся, но без какого-либо даже приблизительного описания
и при этом существенно ограничивается условием конеч-
ности пли непрерывности; тем более не должно быть речи
о бесконечно малых п.ш бесконечно больших величинах
различных порядков. Но тогда их не должно быть и в
механике, построенной па фундаменте такого предельного
анализа.
II вот па этом фопе вдруг появляется завершающее все
указанные леммы и их следствия знаменитое поучение,
которое мы опять представим переводом: «До всех преды-
дущих выводах предполагалось, что «угол касания или
соприкосновения» не бесконечно велик и пе бесконечно
мал по сравнению с углом касания круга со своими каса-
тельными, т. е. что кривизна кривой в точке .1 не бес-
конечно малая и пе бесконечно большая, иначе — что
длина AJ (радиус кривизны кривой в точке А па рис. 5.—
Ф. М.) конечная. Действительно, можно взять кривую, в
которой DB пропорционально J/93; в таком случае через
точку Л нельзя провести дугу круга между кривой и
касательной, ибо угол касания дтя этой кривой в этой
точке бесконечно мал по сравнению с углом касания для
круга 7. По этой же причине, если !>D будет пропорци-
онально AD*, AD6, AD6, AD1 и т. д., то получится бес-
предельный ряд таких углов касания, из которых каж-
дый последующий бесконечно мал по отношению к пре-
дыдущим. Точно также, если BD будет пропорционально
AD2, AD'*, AD'*, AD' • и т. д., то получится другой бес-
предельный ряд углов касания, из которых первый такого
же рода, как у круга, второй бесконечно больше и вообще
всякий последующий бесконечно больше предыдущих. По и
между любыми двумя из этих углов соприкосновения мож-
но включить беспредельный ряд других, из коих каждый
последующий будет или бесконечно больше или бесконеч-
но меньше предыдущего. Так, между AD2 и AD3 мо.кп<’
включить ряд .12?“ •, ADV*, AD'«, AD'*, AD'*, AD*,
AD"l*, AD"/* и t. д. Далее, между любыми двумя чле-
7 Что Ньютон установил в «Методе флюксий и бесконечных рядов»
для случая точки возврата циклоиды.
30
этого ряда можно включить новый ряд промежуточ-
ных углов, бесконечно различных между собою. Природа
не терпит исключений» [14, с. (>7—G8J; (курсив наш.—
Ф. М.).
Очевидна близость содержания этой части поучения
(о его продолжении несколько далее) с содержанием цита-
ты из [121, приведенной выше. Роговидные углы — в ана-
литическом одеянии в «Методе флюксий и бесконечных
рядов» и в чисто геометрическом здесь — полностью вос-
станавливаются. Более того, если о плотности всюду шкалы
порядков бесконечности из более ранней цптаты можно
лишь догадываться (по предложению: «между углами ка-
сания, которые образуются какими-либо двумя из этих
родов кривых, можно найти еще бесконечное число дру-
гих углов касания, из которых одни бесконечно больше
других» [12, с. 98]), то теперь «всюду плотпость» стано-
вится достаточно прозрачной и даже особенно подчеркива-
ется.
Однако между этими двумя цитатами имеется сущест-
венное различие в отношении их статутов в системах
«Метода флюксий» [12| и «Начал» [1 '•]. Если для первого
труда они представляют собой естественное продолжение
инфинитезимальных соображений Ньютона, то для второ-
го они, на первый взгляд, являются в некотором роде
чужеродным довеском. Действительно, раз во всех лем-
мах (а они, как уже сказало, образуют основу большой
части ньютоновских рассуждений в «Началах») пред-
полагается, что кривизна рассматриваемых кривых не-
прерывна, а значит и построенная па них система анали-
за архимедова, то архимедовой является и структура «На-
чал» в целом, а потому излишними являются какие-либо
неархимедовы величины, включая углы соприкосновения.
Между тем Пыотоп их сохраняет, по-видимому, понимая,
что-Предложенная им система «Начал», как в математиче-
ской, так и механической частях, есть лишь первое огра-
ниченное, линейное приближение к более адекватной
системе, лучше соответствующей реальной действитель-
ности. Природа более сложна, она не лппепна, «не тер-
пит исключении», а потому простое отбрасывание арсенала
инфинитезимальных процедур, оказывающихся полез-
ными при исследовании многих вопросов математики и
механики, было бы ошибочным 8. П он их не исключает
8 Q
исключение^ основывалось у Ньютона, как уже сказало, па
Р Дельных соображениях, на методе первых и последних отно
в своих «Началах», что отчасти мы уже видели и что не раз
отмечалось в историко-математической литературе, па.
пример И. II. Лузиным [34—35, с. 380—3811 при апа шзе
леммы II о моменте произведения [14, с. 331—3341® или
В. II. Антроповой при описании [36, с. 209—215| теорему
XXXI о силе, с которой материальная частица, находяща-
яся вне однородного сферического слоя, притягивается к
центру слоя [14, с. 245—247]. Правда, он уверяет не-
сколько далее, что и при помощи метода пределов можно
получать то же самое и что сущность доказательств с нс
пользованием актуально бесконечно малых и бесконечно
больших состоит в сведении их к предыдущим леммам, но
это уверение было лишь благим пожеланием. Сам он не
осуществил полностью это пожелание, поскольку, как
сказано, в его леммах метод пределов не был достаточно
развит, но в связи с этим интересный аспект получает
обещанная вторая часть ньютонова поучения. Текст там
таков.
«Предыдущие леммы приведены, чтобы избежать уто-
мительности длинных доказательств, основываясь по
образцу древних на приведении к нелепости.
Доказательства делаются более короткими и при по-
мощи способа неделимых, но так как само представление
неделимых грубовато (diirior), то этот способ представля-
ется менее геометричным, почему я и предпочел сводить
доказательство последующего к пределам сумм исчезающих
количеств и к пределам их отношений; поэтому я и пред-
шенпй — еще недостаточно развитом тогда методе пределов.
Для того чтобы расправиться с указанными им в процитирован-
ных словах актуально бесконечно малыми п бесконечно большими
величинами различных порядков, образующих всюду плотную
шкалу — прообраз будущего нестандартного континуума — по-
требовалось бы дальнейшее развитие теории пределов п теории
действительных чисел, чего, естественно, у Ньютона еще не было.
Более детальное рассмотрение всего этого вывело бы нас далеко
за пределы темы статьи.
* Сам II. Н. Лузин вряд ли согласился бы с нашей интерпретацией
его толкования рассуждений Ньютона, ибо считал [34—35, с-
386], что идея актуально бесконечно малых чужда Ньютону
«Началах» (чему противоречит сказанное выше). По когда <>н
говорпт, что ньютоновский момент «есть по существу дифферент
цпал Лейбница» или что у Ньютона «фигурируют половины мо-
ментов и четверть их произведения», т. е. моменты имеют харак-
тер величины [34 -35. с. 381], то он тем самым признает
в [14] именно актуально бесконечно малых, поскольку свои диф-
ференциалы Лейбниц нередко принимал за таковые.— см., на"
пример, итоговое заключение X. Боса о структуре континуум’
у Лейбница [37, с. 83].
32
слап сколь можно краткие доказательства свойств
ПтцХ* пределов. Способом пределов достигается то же.
что и способом неделимых, и после того, как его основания
оказаны, мы можем им пользоваться с большей уверен-
ностью. Поэтому, если во всем последующем изложении я
п рассматриваю какие-либо величины как бы состоящими
из последних частиц, то следует разуметь, что это — не
неделимые, а исчезающие делимые величины, что это не
суммы и не отношения отдельных конечных частей, а
пределы сумм и пределы отношений исчезающих величии,
п сущность этих доказательств в том и состоит, чтобы
все приводить к предыдущим леммам» [14, с. 68—69]
(курсив наш.— Ф. М.).
Приведенный фрагмент в полном виде или в сокращени-
ях цитировался не раз и в лучшем случае толковался в том
смысле, что Ньютон, перейдя в «Началах» на предельное
обоснование анализа, еще «не .может преобороть довлею-
щую над эпохой концепцию бесконечно малых (имеются
в виду актуально бесконечные малые.—Ф. М.) и тем са-
мым отказаться от употребления последних па практике»,
что он сохраняет «за методом неделимых практическое
значение» [38, с. 18, 201. Однако данный фрагмент допус-
кает п гораздо более широкое — в духе нестандартного
анализа — толкование.
Прежде всего, в первом предложении Ньютон отка-
зывается от метода исчерпывания, заменяя его методом
пределов. Ио, как известно, тот и другой представляют
собой лишь разные формы одной и той же контпнуалистс-
кой программы, и между ним нет различия в смысле про-
тивопоставления архимедовости и неархимедовости, срав-
нимости и несравнимости.
Иное дело для метода пределов (как и его первоначаль-
ной формы — метода исчерпывания) и метода неделимых
или актуально бесконечно малых. Они суть составляющие
разных программ — коптипуалистской и атомистической
в широком смысле. По, вводя первый, Ньютон, отнюдь
не отказывается от второго, сохраняя за ним лишь «прак-
тическое значение». Напротив, он прямо утверждает
(в выделенных курсивом словах) равнозначность обоих ме-
тодов, т. е. фактически формулирует один нз основных
принципов современного нестандартного анализа — прин-
цип переноса 10. П право пользоваться первым с «большей
I® г>
разных ситуациях он формируется по-разному — см., иапри-
М,Т, Н", с. (И г,2; 42, с. 202—203; 43, с. 28; 't\, с. 19, 24; 45,
2 Паи п м 2060
уверенностью» проистекает из того, что с его помощью
получаются те же результаты, что и при использовании
второго, причем (в обоих случаях) короче, чем посредством
метода исчерпывания. Метод неделимых не нравится ему
лишь тем, что представления о неделимых «грубовато»
но он, как уже отмечалось, широко пользовался им не
только в «Методе флюксии и бесконечных рядов», но и в
«Математических началах натуральной философии».
Так что в отношении принципа переноса II. Ньютон
стоял па более прочном основании, нежели Г. В. Лейбниц,
если исходить из общепринятого приписывания послед-
нему этого принципа, опирающегося на одно место письма
к П. Парнньону [4’J1 н. Но даже если привлечь и многие
другие соображения Г. В. Лейбница, позволяющие свя-
зать его имя с принципом переноса, то и тогда пришлось бы
в наименование принципа поставить рядом с фамилией
Лейбница и фамилию Ньютона. Фактически же здесь
ситуация является еще более сложной, ио на этом мы
здесь останавливаться пе будем. Заметим лишь, возвра-
щаясь к роговидным углам, что Ньютон, утверждая рав-
ноправность двух подходов к анализу, косвенно оправ-
c. 81; 46, с. 22; 47, с. 30; 48, с. 70]. Нам удобно сделать та! ю
переформулировку А. К. Звопкнпа и М. Л. Шубина из [45]:
любое утверждение нестандартного анализа эквивалентно соот-
ветствующему утверждению классического анализа, т. е. они
верны или неверны одновременно. Можно сказать также, что
всякое утверждение. доказуемое в нестандартном анализе, io-
казуемо н в классическом анализе, и наоборот.
11 Приведем выдержку оттуда, по которой обычно судят о наличии
принципа переноса у .Лейбница: «Можно сказать вообще, что
всякая непрерывность представляет собой некую идеальную
вещь и что в природе пе имеется ничего, что имело бы совершенно
однородные части. По зато и реальность пе полностью управ-
ляется идеальным н абстрактным. И оказывается, что правила
конечного годятся дтя бесконечности, как если бы существовали
атомы (т. е. указуемые элементы природы), хотя таковых вовсе
пе существует, и материя в действительности делима бесконечно,
и что, наоборот, правила бесконечного годятся для конечного,
как если бы существовали метафизические бесконечно малые,
хотя они совсем пе нужны, н деление материи никогда не произ-
водится до бесконечно малых частиц» [49, с. 94J. Любопытно,
что при ссылках па Лейбппца в рассматриваемой связи оерут
лишь небольшую часть приведенной цптаты. Так. А. Робинсон
[50, с. 266] довольно свободно цитирует из нее фразу: «то, что
годится (succeed) для конечных чпеел, годится и для бесконеч-
ных чисел, п наоборот», и именно ее обд.являет лейбницевским
принципом переноса, хотя ясно, что соображения Лейбница не
исчерпываются этим; Д. Лаусниц [51, с. 7] ограничивается еш°
более вольным пересказом.
34
пывал и применение роговидных углов, иоо они как раз
и были теми неделимыми, о которых идет речь в тексте
его поучения.
В заключение следует сказать, что псторпческая судьба
сообра :ений Ньютона о роговидных углах, особенно вы-
сказанных в двух фрагментах из «Метода флюксий» и
«Начал», посвященных этим углам, остается далекой от
ясности. Неизвестно, повлияли ли опи па работу Д. Вал-
лиса Н>85 г., столь высоко оцененную II. II. Лузиным
[34_35, с. 398—3991, ио можно предположить, что о них
пли хотя бы одном из них знал Л. Эйлер: уж очень похожи
ход мыслей И. Ньютона в [12, с. 98—99] и рассуждения
Л. Эйлера в [25], хотя последний и пе ссылается на кого-
либо. Во всяком случае, роговидные углы дожили до
современного нестандартного анализа [9].
ЛИТЕРАТУРА
I. Montucla J. Е. Ili’toire des mathematiques. Nouv. id., conside-
rabl. augmentee, et prolongee jusque vers 1'epoque actuelle.
Paris: Agasse. 17’.»!». T. 1.
A hi к el G. S. Matheinatisches \V< rterbuch oder Eiklarung der Be-
2. griffe, Lehrsiitze, Aufgaben mid Methoden der Matheniatik mil
den notigen Beweisen und Literarischen ISachrichten begleitet
in alphabetischer Ordnung. Erste Abteilung. Die reine Matheina-
tik. Erster Toil von A bis D. Leipzig: Schwickert, 1803.
3. Cantor M. Vorlesungen iiber Geschichte der Matliematik. Leip-
zig: Teubner, 1900. Aufl. 2. Bd. 2.
ч. Tlie thirteen books of Euclid's Elements, translated from the
text of Heiberg, with introduction and commentary by Th. L.
Heath. Cambridge: I niversitv Press, 1926. Repr.: New У ork:
Dover, 1956. Vol. 1—3.
5. Евклид. Начала Пер. и коммент. Д. Д. Мортуxaii-Болтов-
ского при ред. участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского.
М.; Л.; Гостехиздат, 1950. Би. I—VI.
Юшкевич A. [/. История математики в средине века. Мл Фнз-
_ матгиз, 1961.
< Klein F. Eleinentarmathematik vom hidieren Standpunkt aus /
gusgearbeitet von E. Hellinger. Berlin: Springer, 1925. Aufl. 3.
Ф- Клейн. Элементарная геометрия с точки зрения высшей /
В обработке Е. Геллиигера [Э. Хеллпнгера.] Пер. Д. А. Крыжа-
д новского. М ; .1.: Гостехиздат. 1934. Т. 2.
Laugwitz D. Die Messung von Kontingezxxinkel ! J. reine und
10 aTw’ Mat11’ ,97°- B<L 245‘ S’ 132-И2.
' n| Розенфельд li. А. Примечания к трактату ani-
iiipaan // Научное наследство. Из истории физико-математи-
ческих паук па Средневековом Востоке. Трактаты ал-Хазинп,
л-Ьирупп. ибн ал-Хусанна. аш-Шпразп. Мл Паука. 1983.
Т- r>. С. 321-325.
2* 35
11. Veirfon 1. Methodus fluxionuni ct serierum iufinitaruin (1671).
The method of fluxions and infinite series, with its applications
to the geometry of curve-linies. London: Woodfall, 1736.
12. Ньютон И. Метод флюксии и бесконечных рядов с приложе-
нием его к геометрии кривых // Ньютон И. Математические ра-
боты / Пер. и коммент. Д. Д. Мордухап-Болтовского. М.; ,Т.:
Гостехиздат, 1937. С. 25—166.
13. Newton 1. Philosophiae naturalis principia malhematica. Lon-
dini, 1687.
14. Ньютон И. Математические начала натуральной философии /
Собр. трудов академика А. II. Крылова. М.; Л.: Изд-во \И
СССР, 1936. Т. 7.
15. Мордухай-Болтовскии Д. Д. Комментарии // Ньютон II. Мате-
матические работы М.; Л.: Гостехиздат, 1937. С. 263—416.
16. История математики с древнейших времен до начала XIX сто-
летия I Иод ред. А. II. Юшкевича. М.: Паука, 1970. Т. 2.
17. Newton 1. The mathematical papers of Isaac Newton I I’d. by
D. T. Whiteside. Cambridge: University Press. 1969. Vol. 3.
P. 1670—1673.
18. Cantor At. Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik. Leip-
zig: Teubner, 1901. Aufl. 2. Bd. 3.
19. Страйк Д. Дж. Очерк истории дифференциальной геометрии
до XX столетия / Пер. М. Г. Шестопал. М.; Л.: Гостехиздат,
1941.
20. Zeuthen Н. G. Geschichte der Matliematik im XVI und XVII
Jahrhundert. Leipzig: Teubner, 1903.
21. Цейтен Г. История математики в XVI и XVII веках / Пер.
11. Новикова. Обработка, прпмеч. и и редис л. М. Выгодского.
М.; Л.: Гостехиздат, 1933.
22. Wieleitner Н. Geschichte der Matliematik. II. Von 1700 bis zur
Mitte des 19. Jahrhundert. Berlin: Teubner, 1923.
23— 24. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины
XIX столетия / Пер. под ред. А. II. Юшкевича. М.: Физматгиз,
1960.
25. Huler L. De infinities infinitis grailibus tain infinite niagnoniin
quani infinite parvoruiu // Acta Acnd. sci. Petropolitainie. 1780.
Vol. 21. P. 102—118; Opera omnia. Series priraa, Lipsiae, Berolini:
Teubner, 1927. Vol. 15. P. 298—313.
26. bu Bois-Heymond P. Theoreme generate concernant la grandeur
relative des infinis des fonctions et de leurs derivees // J. reine
und angew. Math. 1872. Bd. 74. S. 294—304.
27. bu Bois-Beymond P. Sur la grandeur relative des infinis des
fonctions // Ann. di mat. Ser. 2. 1871. Vol. 4. P. 338—353.
28. bu Bois-Beymond P. L'eber asymptotischo Wertlie, infiiiitiire
Approximationen und infinitiire Aullosting von Gleichungeii /
Math. Ann. 1875. Bd. 8. S. 362—414, 576—578.
29. bu Bois-Heymond P. Ueber die Paradoxien des Infinitiircalculs
// Math. Ann. 1877. Bd. 11. S. 149—167.
30. bu Bois-Heymond P. Die allgemeine Funktionenlehre. Tubingen:
Laupp. 1882.
31. Fischer G. The infinite and infinitesimal quantities of du Bois-
Beymond and their reception H Arch. Hist. Exact Sci. 1984.
Vol. 24, N. 2. P. 101—163.
32. Schmieden C., Laugwitz b. Eine Erweiterung der Infinitesimal-
rechiiung I/ Math. Ztschr. 1958. Bd. 69, N 1. S. 1—89.
33. Hobinson A. Non-standard analysis (I Konikl. Nederlandse Aktul.
36
van Wetenschappen. Proceedings. Ser. A. Math. Sci. 1961.
Vol. 64, N 3. P. 432—440.
34—35. Лузин U. U. Ньютонова теория пределов // Исаак Ньютон.
1643—1727. Со. статен к 300-летпю со дня рождения. М.: Изд-
во АН СССР, 1943. С. 53—74; Собр. соч. Т. 3. М.: Изд-во АН
СССР, 1959. С. 343—400.
36. Антропова В. Л. О геометрическом методе «Математических
пача । натуральной философии ) II. Ньютона // Ист.-мат. псслед.
1966. Т. 17. С. 205 228.
37. Нов II. J. М. Differentials, higher-order differentials and the de-
rivative in the Leibnizian calculus // Arch. Hist. Exact Sci. 1974.
Vol. 14, Nt. P. 1—90.
38. Юшкевич A. II. Идеи обоснования математического анализа
в восемнадцатом веке // Карно .1. Размышления о метафизике
исчисления бесконечно малых / Пер. II. М. Соловьева, ред. и
встун. ст. А. П. Юшкевича. М.; .1.: Гостехн (ат, 1933. С. 5—57.
39. Hobinson A. Introduction to model theory and to the metamathe
italics of algebra. Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1963.
40. 1’обинсон A. Введение в теорию моделей и метаматематику
алгебры / Пер. А. В. Вольжапского под ред. А. Д. Тайманова.
М.: Наука, 1976.
41. Stroyar К. D. Infinitesimal analysis of curves and surfaces //
Handbook of mathematical logic / Ed. J. Barwise. Amsterdam:
North-Holland Publ. Co, 1977. Pt A. P. 197—231.
42. Строян К. Д. Инфинитезимальный анализ кривых и поверх-
ностей // Справочная книга по математической логике. М.:
Паука, Ч. 1. с. 199—234.
43. Молчанов В. А. Основы нестандартного анализа. Методическая
разработка для студентов старших курсов математического
факультета. Саратов, 1982.
44. Успенский В. А. Нестандартный или неархнмедов анализ. М.:
Знание, 1983.
45. Звонкий А. К., Шубин .М. А. Нестандартный анализ и сингу-
лярные возмущения обыкновенных дифференциальных урав-
нений I/ Успехи мат. паук. 1984. Т. 39. Вып. 2(236). С. 77—127.
46. Кутателадзе С. С. Основы нестандартного математического
анализа. Теоретико-множественное обоснование нестандарт
кого анализа: Методические указания. Новосибирск, 198#.
47. Лянце В. Э. О нестандартном анализе // Математика сегодня,
86. Киев: Нища школа, 1986. С. 26—44.
48. Молчанов В. А. Введение в исчисление бесконечно малых. Ме-
тодическая разработка для студентов физико-математического
факультета пединститута. Саратов, 1986.
49. Leibniz G. IV. Extrait d’une lettre de M. Leibniz a M. Varignon
concernant 1’explication de ce qu’on a rapporte de luy, dans les
Mcmoires de Trevoux des mois de Novembre et Decembre derniers
// J. des Savans, 2(1 March 1762. P. 183—186. To же: Math.
Schriften / Hrsg. von C. G. Gerhard. Halle: Shmidt, 1857.
S. 91—95.
50. Hobinson A. Non-standard analysis. Studies in logic and founda-
tions of mathematics. Amsterdam: North-Holland, 1966.
51. Laugwilz D. Rise, fall and resurrection of infinitesimals// Textes
I’MITIFA. 1984. N 88. P. 1—24.
37
113 11(101’1111
МЕТОДА МНОГОУГОЛЬНИКА НЬЮТОНА
С. С. Петрова, М. Г. Булычева
1. Введение. Метод многоугольника Ньютона позволя-
ет находить разложения неявных функции в ряды, вообще
говоря, по дробным степеням независимой переменной.
Главные члены разложений определяются с помощью
выпуклой ломаной, которую называют многоугольником
или параллелограммом или диаграммой Ньютона.
Метод многоугольника Ньютона сыграл важную роль
в математике XIX—XX в. Он нашел применение во
многих ее областях, в частности в теории аналитических
функций, теории дифференциальных уравнений, алгеб-
раической геометрии. Активный интерес к нему и его
обобщениям (многогранник Ньютона) сохраняется и в
наше время: см. И — 4|.
История исследований, связанных с многоугольником
Ньютона, рассматривалась в ряде работ, например в 15—
7f, наиболее полно в статье II. Г. Чеботарева [8]. Однако
многое в этой истории остается неизвестным. Недостаточ-
но прочитан даже сам II. Ньютон, по существу мало из-
вестны результаты Дж. Стирлинга, Б. Тейлора, Ж. II. де
Гю де Мальва, К. Маклорена.
В частности, в историко-математической литературе
бытуют следующие точки зрепия на метод Ньютона,
требующие, на наш взгляд, пересмотра:
а. Ньютон, как писал А. II. Юшкевич, не рассмотрел
вопрос о числе разложений неявной функции в окрестнос-
ти точки х = 0 [7, с. 50] 1.
б. Но мпепню Н. Г. Чеботарева «у самого Ньютона
никакого многоугольника не было, так как он наносил на
диаграмме только одну прямую... Поэтому лучше было бы
употребить термин „диаграмма Ньютона"» [8, с. 109|. Эта
точка зрения сохраняется и в новейшей литературе, на-
пример в книге А. Д. Брюно читаем [1, с, 21J: «Сам Нью-
тон строил лишь нижнее правое ребро этой ломаной...»
в. Аналитическое изложение метода многоугольника
связывается [9, с. 1090] почти исключительно с именем
Следует заметить, что в 1970 г. Л. П. Юшкевич не мог быть зна-
ком с основной работой Ньютона по такому вопросу, опублико-
ванной в 1971 г.
38
Лагранжа, хотя уже Д. М. Синцов отметил [6] наличие
v Ньютона аналитической трактовки вопроса.
Пересмотру этих точек зрения посвящена настоящая
статья. Основанием для такого пересмотра стали рукописи
П. Ньютона, опубликованные Д. Т. Уайтсайдом в 1971 г.
[101. Речь идет, в частности, о незаконченном сочинении
Ньютона «О вычислении рядов», над которым он работал
в 1684 г. (подробности об этой работе см. [11], о некоторых
ее результатах мы уже писали ранее [12|). Прежде чем
приступить к анализу этой работы, поясним, в чем состо-
ит метод многоугольника Ньютона. Воспользуемся для
этого наиболее простой его современной формой, прибли-
женной к изложению Ньютона.
Пусть дано уравнение
Р(х, у)=0, (1)
где
/’(•'.«/)= У» ai}xl-y}.
i, i=o
Требуется все решения уравнения (1) представить степен-
ными рядами, сходящимися в окрестности точки х0.
Заметим, что без ограничения общности можно взять
л-0 = 0; у (./„) = (). Тогда этп ряды будут иметь виц
у (х) = аз0 + Ьх*' + сху + . . .. а < Р < у < . . . (2)
Для того чтобы получить такое разложение, Ньютон
придумал следующий геометрический прием. На плоскос-
ти строится множество точек
G = {(i, j): аи=/=0}.
.'•то множество находится в первом октанте (рис. 1), причем
хотя бы по одной точке лежит на каждой оси координат
(в противном случае уравнение (1) можно было бы сократить
па х или у в некоторой степени). (Заметим, что чертежи у
Ньютона выглядят несколько иначе: клетки, отвечающие
членам уравнения, он отмечал звездочками.)
Для того чтобы получить первый член разложения (2),
нужно приставить линейку к нижней точке А множе-
ства G на оси ОХ вертикально вниз (см. рис. 1) и затем
поворачивать вокруг этой точки А до тех пор, пока она не
наткнется па другую точку множества G В. Конечно, на
линейку может попасть сразу несколько точек, в этом
случае буквой В обозначаем самум» правую.
39
После этого поворачиваем линейку вокруг В до совпа-
дения со следующей точкой D и т. д. Получаем ломаную
ABCDEF (ломаную или многоугольник Ньютона), кото-
рую назовем нижней границей выпуклой оболочки G и
обозначим Г. Возьмем одно из звеньев ломаной. На нем.
вообще говоря, может быть несколько точек. В многочлене
Р(х, у) возьмем только соответствующие этим точкам
слагаемые и приравняем их сумму к нулю
*11
S =<» (h<h< •)• (3)
Так как все точки (i\, jk) лежат па одной прямой, от-
ношение
—— А) = — а
постоянно, т. е. iк + а/ = ix + сцх. Если положить у — аз?,
то (3) перейдет в уравнение
5«м/к='’-
k—1
Решив его относительно а. получим значения коэффициен-
та а: ах, а2, . . ., а,. Это даст первые члены разложения (2):
У* («) = а^з?.
Уравнение (4) имеет /т — /х корней (с учетом их кратности),
т. е. столько корней, сколько единиц содержит длина
проекции рассматриваемого звена на ось UY. Поступая
аналогично для каждого звена, паходим все первые члены
разложений. Так как длина проекции всей ломаной Г
на ось OY равна п, то получим ровно п (учитывая крат-
ность корней) значений первого члена для разложе-
ния (2).
40
Заметим, что для звеньев ломаной, наклоненных к оси
OY п°Д тупым углом, а > 0, для горизонтального звена
а == 0, а для других звеньев а <0. (Звенья, параллельные
оси ОХ, естественно, не включаются.)
Беря одни из найденных первых членов ахР- и делая в
(1) подстановку у = аз? + р, мы получаем уравнение от-
носительно р и х, Pi(x, р)—0, в которое х входит, вообще
говоря, в дробных степенях а. Применяя к нему тот же
метод, найдем первый член и разложении для р
р = Ьз$ + • . .
Продолжая описанный процесс, получаем все п решений
уравнения (1), имеющих вид (2). Сходимость этих разло-
жений была доказана впервые В. Пюнзс, поэтому нередко
их называют рядами Пюпзе (см. [7, с. 511).
2. Метод многоугольника у Ньютона. Метод решения
(целых) алгебраических уравнений Ньютон изложил в
1669 г. (опубликовано в 1711 г.) в «Анализе с помощью
уравнении с бесконечным числом членов» [13, с. 3—241.
Геометрическое правило многоугольника, которое он сам
называл «параллелограммом», он привел в «Методе флюк-
сий» [13, с. 25—1661, написанном в 1670—1671 гг., но
увидевшем свет лишь после его смерти, в 1736 г. Суть
своего метода Ньютон вкратце сообщил во втором письме
к Лейбницу от 24 октября 1676 г. [13, с. 233—2561. В 1685 г.
правило параллелограмма было опубликовано в «Алгебре»
Валлиса.
Однако наиболее зрелое изложение метода мы нахо-
дим в работе «О вычислении рядов», написанной в 1684 г.
и опубликованной, как уже упоминалось, лишь недавно.
Метод многоугольника содержится в первой главе, со-
стоящей из девяти пунктов. Первый пункт посвящен фор-
муле бинома, восемь остальных — методу решения алгеб-
раических уравнений.
На небольшом числе примеров Ньютон продемонстри-
ровал все особенности метода, практику решения и пре-
имущества применения геометрического приема. Собст-
венно метод многоугольника по Ньютону «состоит в зна-
нии того, как посредством прямоугольной таблицы найти
первый член корня» [10, с. 5951. Заметим, что само пра-
вило составления «прямоугольной таблицы» или «парал-
1 Метод не меняется из-за наличия в уравнении дробных степеней
переменной.
41
лелограмма» Ньютон в этой работе не приводит, считая
его, очевидно, известным.
Далее решение проводится по описанной выше схеме.
Есл« первый член решения найден, то складывая его с
«неопределенным количеством» р, являющимся остатком
ряда и подставляя в исходное уравнение, Ньютон полу-
чает второе уравнение, которое нужно разрешить уже
относительно р. Продолжая подобный процесс сколь
угодно далеко, он получает требуемое решение перво-
Рис. 2 Рис. 3
начального уравнения. Эту процедуру Пьютоп иллюстри-
рует примером решения уравнения
у* -J- аху 4- а2у — х3 — 2а3 = 0. (э)
рассмотренного им раньше и в «Анализе», н в «Методе
флюксий», и в письмах к Лейбницу.
В качестве первого члена корпя «прямоугольная таб-
лица» (чертежей в рукописи пет) дает Ньютону значение а.
(На самом деле вспомогательное уравнение, типа (3).
соответствующее единственному звену ломаной (рис. 2)
У3 + — 2а3 = 0, дает три корня, о которых Ньютон еще
будет говорить; но здесь, как и в прежних работах, он
берет одно значение.)
Полагая у = а + р и подставляя в исходное ура впей не.
он приходит к уравнению
р* -J- Зар2 + \агр -f- ахр + a2z — х3 = 0,
для которого по правилу параллелограмма находит един-
ственное подходящее значение р из уравнения \а-р -Ь
-|- a8j = 0, соответству ющего звену с положительным на-
клоном. Горизонтальное звено ломаной, естественно,
в расчет не принимается (рис. 3). Полагая р = —l/4x + q,
он получает следующее уравнение:
42
q3 * * * * — 8 4х?2 + 8 де*2? — в7в«^ + Зяд2 — lltaxq + 4a2g —
—Vie»*2 = 0.
для которого аналогично находит с помощью таблицы выра-
жение первого члена.
Продолжая таким образом (делая еще один шаг), Нью-
тон записывает решение уравнения (5) в виде
У = a— 'IjC + Veja & + г.
В черновике второго письма к Лейбницу Ньютон указал
[10. с. 5371, что для этого уравнения г находят из равен-
ства
—181 г’я^ + 4агг == 0.
Таким образом, Ньютон нашел то единственное реше-
ние уравнения (5). которое существует в окрестности прос-
той точки (0. а).
Заметим, что Ньютон ставит вопрос о сходимости полу-
чаемых разложений, понимая, что это необходимо для
вычислений. Он пишет: «Если р, q, г, s — остатки ряда —
постоянно уменьшаются так, что наконец станут меньше
любого данного количества, то это означает, что извлечен-
ный ряд надлежащим образом сходится и бесконечно
приближается к величине у, которую выражает» [10,
с. 5951.
Еслп нс подходить слишком формально, то это опре-
деление верно, хотя требование, чтобы остатки ряда посто-
янно уменьшались, излишне (см. [12, с. 141).
Как уже говорилось выше, строгое доказательство
сходимости разложений, получаемых методом многоуголь-
ника. было дано лишь в середине XIX в. В. Пюизе.
Четвертый пункт озаглавлен «О нескольких корнях
того же уравнения и о том, как указанный корень может
быть извлечен». Ввиду важности его содержания приведем
из него несколько фрагментов [10, с. 595—5971.
«То же уравнение имеет несколько корней. Нахожде-
ние каждого показано на решетчатой таблице 3. Члены,
3 У Ньютона — tabula tesselata. Д. Т. Уайтсайд переводит этот
термин по-английски squared array, что можно передать словами
«группа квадратов» пли «прямоугольников». .Латинский термин
Ньютона tesselata означает «мозаичный* и применяется к мозаич-
ному полу, мостовой и т. п. Редакция предложила, с согласия
автора, термин «решетчатая таблица», по существу выражающий
суть дела.— Примеч. ред.
43
отобранные этой таблицей, составляя вспомогательное
уравнение 4, из которого должны быть получены первые
члены ряда, будут давать столько первых членов, сколько
существует корней, которые могут быть определены с
помощью ряда, и для каждого отдельного первого члепа
будет затем составлен отдельный ряд. Так для решения
уравнения у3 + аху 4* а2у — х3 — 2а3 = 0 таблица дает
вспомогатетьное уравнение у3 4* а2у — 2а3 0, три корня
которого я, х/2(— 1 4* — 7) а и 1/,(— 1 — |л—7)« — пер-
вые члены того же числа рядов, в то время как для ре-
шения
У* — 5ух? + а~1х2у* — 1а2х2у2 4- 6а3х® 4~^2я4 - О
таблица дает вспомогательное уравнение, шесть корпеп
которого 4- 4- 1г[2ях], — Jr[2azl,
4* —Зих], — ]A[—3ax] — начальные члены того же
числа рядов. Из возможных начальных членов получа-
ются возможные ряды, из невозможных — невозможные» 5
<• . •> Нередко таблица дает различные вспомогательные
уравнения в соответствии с тем, как по-разному приклады-
вается линейка. Линейка может быть приложена любым
путем, так, чтобы все клетки, соответствующие членам
уравнения, находились по одну сторону от нее и чтобы
самые крайние к ней примыкали при условии, что опа
не параллельна левой стороне таблицы АВ. Члены, соот-
ветствующие членам в контакте, будут тогда составлять
вспомогательное уравнение, отдельные корпи которого
могут быть использованы как начальные члены ряда.
Например, пусть нужно решить уравнение у6 * — by2 4-
4- 9ta-8 — Xя ='0. Если лпиейку прикладывать снизу, то она
в одном положении будет в соприкосновении с клетками
членов — by2 4* $bx2, и в другом положении с клетками
членов у3 — by2. Первое составит вспомогательное урав-
нение — by2 4* ЭЬя3 = 0 корни которого у будут 4- Зх и — Зх.
Во втором случае вспомогательное уравнение у6 — by2 = О,
корни которого являются Ь1'*, 1/г(—1 4* —3) Ь'/г, 1/2(— 1 —
4 У Ньютона aequatio fictitia в анг.нпк ком переводе Д. Т. Уайт-
сайда fictitious, т. е. выдуманный, придуманный. Латинский
глагол fingo, fingere означает среди прочего, «образовать», «при-
думывать», «подготовлять» п т. д. Редакция предложила, с со-
гласия автора, термнп «вспомогательное уравпеппс».— Примеч.
ред.
* Невозможные ряды — это ряды, коэффициенты которых содержат
мнимые величины.
44
— —3)bv*. Существует, следовательно, пять начальных
членов ряда, в точности число измерений уравнения,
которое должно быть решено. Иногда случается, однако,
что два или более начальных членов оказываются равны-
ми...».
Таким образом, на частных примерах Ньютон показал:
1) что число решений у(т) уравнения (1) Р (х, у) =0
в окрестности точки г = 0с учетом их кратности равно в
точности степени уравнения относительно у в точке х = 0.
Эти решения могут быть представлены рядами по дробным
степеням переменной х.
2) Чтобы найти первые члены этих разложении, па
диаграмме линейку нужно прикладывать снизу во всех
возможных положениях. Это соответствует тому, что на
чертеже возникает ломаная или многоугольник. Таким
образом термин многоугольник Ньютона является вполне
оправданным.
Скажем несколько слов о рассмотренных Ньютоном
примерах. Они не новы. О первом мы уже говорили. Второй
пример Ньютон привел в «Методе флюксий», а также во
втором письме к Лейбницу для иллюстрации своего гео-
метрического правила. Там он указал только четыре корпя
вспомогательного уравнения ув — 7а2х2у2-±- Ля’х® =0. отбро-
сив мнимые. В рассматриваемом нами сочинении он привел
все шесть, включив’ и мнимые решения. Третье уравнение
у6 — by2 + 9Ьх2 — Xя = 0 рассматривалось только в «Методе
флюксий». Для определения первого члена разложения,
приводилось тогда только одпо вспомогательное уравнение
9Ьха — by2 = 0 и одпо его' решение у = Зх. В рассмат-
риваемой рукописи ломаная состоит из двух звеньев. Им
соответствуют два вспомогательных уравнения, определя-
ющие пять первых членов решеппй исходного уравнения в
окрестности точки х = 0.
В пункте 5, озаглавленном «Как должны быть извле-
чены корни, когда неопределенное количество, по степе-
ням которого составлен ряд, становится чрезвычайно боль-
шим» ПО. с. 597]. Ньютон предлагает способ, нахождения
корней уравнения (1) в окрестности х = ->?, то есть но убы-
вающим степеням х с помощью правила многоугольника.
Он рассматривает верхнюю выпуклую ломаную или. гово-
ря другими словами, верхнюю границу выпуклой оболоч-
ки множества G, нанесенных па чертеже точек. В других
работах он находит такие разложения заменой в исходном
уравнении х = 1/z. Здесь же он пишет: «Но если вы хотите
чтобы оно (переменное х.— Авт.) было весьма велико,
45
линейку нужно прикладывать к верхним клеткам табли-
цы. И если нужно решить уравнение у3 + аху + а2 у — я? —
— 2а3 = О, то линейка, приложенная сверху, касается кле-
ток с членами у3 и х3. Они образуют фиктивное уравнение
у3 — х3 = О. которое имеет три корня, одни х, два других
невозможные. Из первого путем дальнейшего разло/ьепия
будет получен в конце концов ряд
1 и2 . 37 а
Т~ + "вЕЧ*" “' ’ ’
члены которого сходятся вблизи больших х» 6 ИО. с. 597].
Любопытно еще одно замечание Ньютона, которого не
было в его прежних работах. Если в уравнение перемен-
ные входят в дробных степенях, а такие уравнения могут
возникнуть уже после первого шага в методе многоуголь-
ника. то производя соответствующие замены, можно при-
вести уравнение к натуральным показателям. Так Ньютон
предлагал поступать раньше. В рассматриваемой работе
он считает, что такого рода преобразования можно делать
геометрически, изменяя масштаб на осях координат. Он
полагает также, что аналогично можно поступать, если
показатели степеней иррациональны.
Что касается остальных пунктов перво!! главы работы
«О вычислении рядов», то в них Ньютон демонстрирует
особенности применения метода, фактически повторяя
изложенное ранее в «Анализе» и в «Методе флюксии», ио,
по возможности, опираясь на свой геометрический прием.
Так, он показывает, что его «параллелограмм» можно
применять и к уравнениям, в которых левая часть предста-
влена бесконечным рядом. Например, он получает раз ю-
жение экспоненты, решая уравнение
X - у + ’/# - ЧзУ3 + 1/1У* - 1/&у3 + Чеу* -. . . = 0.
Таким образом, с помощью «параллелограмма» удается
очень просто обращать ряд. При этом нет необходимости,
как это приходилось ему делать раньше, обрывать ряд,
беря конечное число членов. На диаграмме в этом случае
достаточно учитывать только одно звено ломаной, при-
мыкающее к осп ОХ.
3. Многоугольник Ньютона у его последователей. Рас-
смотренная работа Ньютона была опубликовала, как мы
Как заметил Д. Уайтсайд, здесь в четвертом члене арифметпче-
„ 55 а3
сипя ошибка Верное значение его -gp ^5-
46
уже говорили, лишь в 1971 г. Ее следовало бы рассмат-
ривать лишь как факт его научной биографии, не оказав-
ший никакого влияния на дальнейшее развитие вопроса,
ести бы мы не знали, что научные результаты Ньютона
становились известными его коллегам и ученикам из его
лекций, рукописей, писем. Так случилось и с его исследо-
ваниями, связанными с методом многоугольника. Их пере
лагали и развивали многие из британских математиков.
Мы уже упоминали имя Валлиса. При жизни Ньютона
метод многоугольника комментировали Тейлор (1715) [14|
и Стирлинг (1717) 115]. К. Маклореи в спой «Трактат п®
алгебре» [16], задуманный как расширенный комментарий
к лекциям Ньютона по алгебре и опубликованный по-
смертно в 1718 г., включил большой раздел о методе
многоугольника. В зтом разделе при решении уравнения
у1 — ауьх у*х? 4- а~ух* — ах* = О
Маклореп строит весь выпуклый многоугольник для того,
чтобы найти первые члены разложений т(у) по возрастаю-
щим и убывающим степеням у. Un приводит следующее
правило: «Опишем многоугольник Zabcd, имеющий члены
уравнения в каждом из углов и заключающий внутри себя
остальные члены, так что для х можно найти ряды 7, пред-
полагая равными любые два члена, находящиеся в любых
соседних углах многоугольника» [16, с. 255].
Можно предположить, что с идеей использования вы-
пуклого многоугольника (а не только одного его звена)
Маклорен познакомился по рукописи Ньютона, хотя,
конечно, он мог придти к этой идее и самостоятельно,
разъясняя и обосновывая метод Ньютона.
4. Метод многоугольника Ньютона в теории дифферен-
циальных уравнений. Первоначально Ньютон изобрел
метод многоугольника для решения (целых) алгебраиче-
ских уравнений. Впоследствии он применил этот метод
(но не в геометрической, а в аналитической форме) при
решении дифференциальных уравнений видгт
a^ytyW . .. = О,
(К, и, а, Э, у)
где z — независимая переменная, у = у (z). On изложил его
в письмах к Дж. Валлису от 27 августа и 17 сентября
1692 г. [13, с. 260—262|. Ньютон искал решения таких
В отличие от Ньютон^ Маклореи за незавпенмую переменную
принимает у и ищет разложения х (у).
47
уравнений в форме ряда
у = azv + a'zv' 4~ . . .
Для нахождения первого члена ряда уравнения первого
порядка, он дает следующее правило: «Пусть kzK есть
член с низшей степенью, который не умножен ни на у,
пи на его флюксию у, ни на какую-либо их степень. Пусть
lzuyrty^ есть любой другой член. Пробегая по порядку все
члены, составь для каждого из них в отдельности число
(7. — р 4- р) (а ] Р) так, что ты будет ьпметь столько чисел
этого рода, сколько всего имеется членов. Наибольшее
пэ этих чисел обозначь через г; тогда zv будет степень пер-
вого члена ряда. Коэффициентом при этом члене положи а
и... в уравнения напиши azv вместо у и vaz'-1 вместо у.
Собрав все получающиеся члены, в которых z содержится
в той же степени, что в члене azv, с их знаками, положи
сумму их равном пулю. Получившееся уравнение после
надлежащего приведения даст коэффициент а. Так ты
получишь первый член ряда яг'» [13, с. 260[.
Из приведенной цитаты видно, что Ньютон рассмат-
ривает уравнения вида
2 bkz’k + 3 akz^ya*ifr = О. (6)
к к
Тогда, если X = min то прп подстановке в уравнение
к
у — az'' он получает в его левой части под знаком второй
суммы переменную z в степени рк + «к v + Pk (v — 1) ,,lu
тк + vnk, где тк = рк — ps, пк = ak + pR.
Приравнивая каждый показатель тк 4~ vnk — 7., Ньютон
почучает набор значений vh. = (Л—тк)//1к ив качестве
искомого значения v берет
v = шах Vk.
к
Прп этом, очевидно, для всех других показателей
тК 4- vnk > 7. = 4- vknk,
так как это неравенство равносильно v^; vk. Таким обра-
зом Ньютон находит лишь один из возможных показате-
лей v первого члена ряда.
Приравнивая к нулю коэффициент прп zv, Ньютон
получает уравнение для коэффициента а и находит глав-
ные члены разложения решений в ряд у— azv 4" • • •
Затем, подставив в исходное уравнение у = az'' 4*р, он
получает дифференциальное уравнение относительно вели-
48
чипы р, к которому снова применяет описанный выше
метод, и т. д.
В письме к Валлису Ньютон решает у равнение
и2 — z2y + d-z — <P = 0.
,1 3 z*
Он находит пять членов ряда дляy.y = d-?-z---g- -j —
9 za ~
---------- (Можно пок ьзать [17, с. 21 — 221, что этот
1(> аа----'
ряд расходится при всех значениях z =/=().)
В 1693 г. Валлис опубликовал приведенный Ньютоном
метод решения дифференциальных уравнении в латинском
издании своей «Алгебры». Однако наиболее широкое рас-
пространение получил геометрический прием Ньютона,
который стал известен Валлису. Не будучи знакомым с
аналитическим изложепием метода многоугольника Нью-
тона, Лаграпж, по существу, вновь открыл это правило.
5. Метод многоугольника у Лагранжа. УК. Л. Лагранж
познакомился с методом многоугольника Ньютона по
упоминавшимся выше сочинениям Тейлора и Стирлинга.
Свое аналитическое изложение этого метода Лагранж
привел в статье «О приложении непрерывных дробей в
интегральном исчислении» [181, опубликованной в 1776 г.
Так же как и Ньютоп, Лагранж рассматривает уравнение
типа (6). Его решение он ищет в виде непрерывной дроби

где каждая из величин £, • • • будет иметь вид az“.
Если для первой из этих величин £ показатель а может быть
как положительным, так и отрицательным или нулевым,
то для всех остальных величин £', ... он может
быть только положительным.
♦Итак, все сводится к определению величины а,— пи-
шет Лагранж,— посредством того условия, что минималь-
ная степень z находится по крайней мере в двух членах
уравнения. Господа Тейлор и Стирлинг дали для этого
методы, которые мы можем видеть в «Method ns incremen-
torum* и «Lineae tertii ordin is...». Но так как метод первого
требует некоторой геометрической конструкции и также
метод второго зависит от параллелограмма Ньютона
и, следовательно, может быть рассмотрен как метод меха-
нический, то я полагаю, что математики будут рады уви-
49
Деть, как можно решить эту задачу посредством чисто
аналитического метода» [ 18. с. 3041.
Метод Лагранжа заключается в следующем.
Подставляя в левую часть уравнения (6) у = az*,
Лагранж получает сумму
Sakza"‘k+'lkam,f- mt <т2< . . . Стк < . . . (7)
Он хочет найти все а, для которых
а) но крайней мере два члена в (7) имели бы одинако-
вый показатель и при этом
б) все остальные показатели были бы больше.
Сначала он приравнивает первый показатель ко всем
остальным
- пк
+ г?! - атк + пк, а = ак =
и находит те А', при которых ак будет максимальным. Пусть
a0 = шах ak достигается при к' <Zk”<. . .<Zk(’>.
к
Легко видеть, что при этом для всех остальных к
аотк + пк > аот1 + пп
так как последнее неравенство равносильно
„ ^~nk
mk~mi ’
что верно по определению а0.
Далее Лагранж должен был бы такую процедуру про-
делать. сравнивая второй член ат2 + и2 со всеми осталь-
ными, п так далее. Но он замечает, что это излишне и
можно сравнивать только ат^ -J- со всеми членами
при А'^> А‘(в) и затем повторять эту процедуру. Лагранж
объясняет, почему второе значение а нужно искать имен-
но таким образом, показывая, что в противном случае не
будет выполняться условие б).
Нетрудно заметить, что правило Лагранжа то же са-
мое, что и приведенное Ньютоном в письме к Валлису,
с той только разницей, что оно позволяет находить все
возможные значения показателя а дтя первого члена
разложений решений дифференциальных уравнений (6),
а не только одно, как у Ньютона.
На это обстоятельство обратил внимание в 1898 г.
Д. М. Синцов. Ознакомившись с упоминавшейся работой
Стирлинга, в которой давалась геометрическая интер-
претация правила Ньютона для случая дифференциаль-
но
ных уравнений, он писал, что «замечания, составляющие
сущность способа Лагранжа, были... сделаны еще Ньюто-
ном- Они относятся к первой стороне многоугольника
Ньютона и. очевидно, применимы и к остальным его
сторонам, что даст другие решения Лагранжа. Таким
образом, то. что Лакруа называет „способом Лагранжа**
([19, с. 103[ — Авт.). следовало бы называть вторым
способом Ньютона — Стирлинга» [6, с. 16|.
ЛИТЕРАТУРА
1. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа диффе-
ренциальных уравнений. М.: Наука. 1979.
2. Вайнберг М. V.. Треногим В. А. Теория ветвления нелиней-
ных уравнений. М.: Наука. 1969.
3. Арнолы) В. И., Варченко А. //.. 1'усейн-Заде С. М. Особенности
дифференцируемых отображений. Классификация критических
точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука. 1982.
4. Уокер Р. Алгебраические кривые. М.: Изд-во иностр, лит.
1952.
5. Cantor М. Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik. 2 Aufl.
Bd. 3. Leipzig. 1903.
6. Синцов Д. M. (>б «аналитическом параллелограмме* Лаграпжа-
Ньютова // Пав. Каз. ФМО (2). 1902. Т. 9. С. 44—46.
7. Юшкевич А. В. Арифметика и алгебра История математики
с древнейших времен до начала XIX века. М.: Наука, 1970.
Т. 2. С. 22-53.
8. Чеботарев If. Г. Многоугольник Ньютона и его роль в совро
мениом развитии математики // Исаак Ньютон. 1643—1727.
Сб. статей к ЗОИ-летпю со дня рождения. М.: Пзд-во АН СССР,
1943.
9. Треногий В. А. Ньютона диаграмма II Математическая энцик-
лопедия. М.: Сов. энциклопедия. 1982. Т. 3. С. 1090—1091.
10. The mathematical papers of Isaak Newton Ed. by D. T. White-
side. Cambridge. 1971. Vol. 4.
II. Юшкевич А. И. О математических рукописях И. Ньютона //
Ист.-мат. псслед. М.: Наука, 1985. Выв. 29. С. 113—124.
12. Петрова С. С. (1 суммировании расходящихся рядов у Нью-
тона /I Проблемы истории математики и механики. М.: МГУ,
1972. Выи. 1. С. 11—14.
13. Ньютон П. Математические работы М.; Л.: Гостехиздат, 1937.
14. Taylor В. Methodus incrementorum directa et inversa. Londini,
1715.
15. Stirling J. Lineae 3. ordinis sive illustiatio tractatus I. Neutoni
de eniiincratioiie liiiearum 3. ordinis, cui suhjuiigitnr solntio
trium problematuin. Oxoniae. 1717.
16. Maclaurin C. A treatise of algebra. L., 1748.
17. Петрова С. С.. Рочановска Д. A. li истории открытия ряда Тей-
лора // Ист.-мат. псслед. М.: Наука, 1980. Вып. 25. С. 10—24.
18. Lagrange J.-L. Sur Г usage des fractions continues dans le calcul
integral // Lagrange J.-L. Oeuvres. P.. 1869. Vol. 4. P. 301—332.
19. Lacroix S.-F. ТгаИё du calcul differenliel et du calcul integral.
P., 1797. Vol. 1.
СТАТЬИ
РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Д() КТОРСК.А Я Д11ССЕРТАЦ1 Iя
Г. В. КОЛОСОВА
II ЕЕ ОЦЕНКА В. СТЕКЛОВЫМ
II. С. Ермолаева
21 ноября 1910 г.1 в Петербургском университете со-
стоялась защита докторской диссертации Г. В. Колосова
«Об одном приложении теории функций
комплексного
переменного к плоской задаче математической теории уп
ругости» [1]. Оппонентами выступали Д. К. Бобылев и
В. А. Стеклов.
Защита прошла успешно, хотя и «не без трении», по
свидетельству И. Я. Депмана [2, с. 83] и ученика Колосо
ва Г. А. Ряго |3, с. 97]. В чем заключались зти «трения» —
до сих пор оставалось неизвестным. Сохранившаяся, хотя и
не полностью, переписка двух оппонентов и два письма
Стеклова Колосову позволяют до некоторой степени вос-
полнить этот пробел. (Письма см. в Приложении.)
Аппарат теории функций комплексного переменного
вопреки распространенному мпепию, использовался в
работах многих петербургских ученых. Подход, пред-
ложенный впервые Колосовым к решению плоской задачи
теории упругости, оказался чрезвычайно плодотворным
и нашел блестящее продолжение в трудах Н. И. Мусхе-
лшпвилп.
О Колосове и его методе много писалось (см., например,
(2—6]), но кроме известных «формул Колосова», о других
достоипствах работы [1] обычно пе упоминают.
Не ставя себе целью дать полный анализ диссертации
Колосова, нам хотелось бы обратить внимание на появле-
1 Здесь и далее все даты приведены по старому стилю, за исключе-
нием даты доклада Г. В. Колосова на IV Международном кон-
грессе в Риме.
52
пне теории функций в его работе, на обстоятельства, свя-
занные с защитой им докторской диссертации, и на то,
что не все идеи Колосова были развиты впоследствии дру-
гими учеными.
Гурий Васильевич Колосов (1867—1936) окончил Пе-
тербургский университет в 1889 г. Еще в студенческие
годы он получил золотую медаль за работу «О кручении
призм». Эта тема была предложена его учителем Д. К. Бо-
былевым, по рекомендации которого Колосов был остав-
лен при университете «для приготовления к профессор-
скому званию».
В 1890—1891 гг. он был сверхштатным преподавате-
лем в Новгородском реальном училище и в Петербургском
коммерческом училище. В 1893—1894 гг. Колосов сдал
магистерские экзамены, с 1894 г. он стаповится храни-
телем механического кабинета Петербургского универси-
тета и одновременно преподает в Институте инженеров
путей сообщения (1894), в Институте гражданских ин-
женеров (1898) и па архитектурном отделении хАкадемин
художеств (1898). В 1902 г. он перешел в только что от-
крывшийся Политехнический институт, но в том же году
принял приглашение на вакантное место в Юрьевский
(ныне Тартуский) университет. Утверждение его в долж-
ности экстраординарного профессора состоялось почти
сразу после защиты им в Петербургском университете
магистерской диссертации [7] (11 мая 1903 г.). Доктор-
скую степень, как было сказано, Колосов получил в
1910 г., а со следующего года он становится ординарным
профессором. Дополнительно к основной нагрузке Коло-
сов с 1907 г. работал на Юрьевских частных универси-
тетских курсах.
В 1913 г. Колосов переехал в Петербург и до конца
жизнп был профессором в университете и Электротехни-
ческом институте; с 1916 г. оп заведовал в университете
кафедрой механики, а с 1930 г.— кафедрой механики уп-
ругих тел. Научные заслуги Колосова были отмечены из-
бранием его 31 января 1931 г. членом-корреспондентом
Хкадемии паук СССР по представлению академиков
С. А. Чаплыгина и А. II. Крылова [8, л. 2].
Г. В. Колосов — автор около 60 научных работ. По-
мимо своей педагогической деятельности, оп участвовал
во многих экспертизах, вел работы по гироскопам в Мор-
ском ведомстве, способствовал математической постановке
и решениюТряда технических задач строительства.
С теорией функций комплексного переменного, столь
53
успешно примененной в докторской диссертации. Колосов
познакомился в годы обучения в университете. Хотя от-
дельного курса по этой дисциплине в то время не было,
но основы теории включались в лекции по теории опре
деленных интегралов (Ю. В. Сохоцкий) и теории эллипти-
ческих функций (II. Л. Пташицкнй). В 80-х годах XIX в.
в Петербургском университете растет интерес к теории
функций: по различным вопросам из этой области студен-
ты делают доклады на заседаниях математического круж-
ка. пишут конкурсные сочинения.
Большое влияние па Колосова оказал Д. К. Бобылев,
который сам эффективно применял теорию функций комп-
лексного переменного для решения различных приклад-
ных задач и немало содействовал использованию этого
математического аппарата другими учеными.
Специализируясь по механике, Колосов широко при-
менял теорию эллиптических функций и интегралов,
а также теорию интегральных вычетов еще в своей магис-
терской диссертации [7| 2 и в некоторых других рабо-
тах.
В Юрьевском университете, кроме различных курсов
по механике, Колосов читал теорию функций комплекс-
ного переменного и теорию определенных интегралов.
Руководя молодыми учеными. оставленными при универ-
ситете по кафедре прикладной механики, Колосов состав-
лял для них обстоятельные программы, в которые обяза-
тельно включал теорию функций комплексного пере-
менного и теорию эллиптических функций, рекомендуя
сочинения О. Бирмана, Г. Дюрежа, Э. Форсайта, а из
отечественных авторов — С. Г. Петровича и П. М. Покров-
ского [9. л. 132; 10, л. 57].
Относительная близость г. Юрьева к Петербургу поз-
воляла Колосову лично поддерживать научное общение
с петербургскими профессорами. В Петербурге тогда
работали такие известные специалисты по теории упру-
гости, как С. II. Белзецкнй, X. С. Головин, П. А. Шифф,
Т. Э. Фрилендорф и др. Напомним, что и В. А. Стеклов
был автором нескольких работ в этой области. Что ка-
сается Д. К. Бобылева, то он разработкой теории упруго-
* В этой диссертации на с. 51 Волосов сообщает, что в 1901 г. он
переписывался с С. А. Чаплыгиным в связи с почти одновремен-
ным получением ими некоторых результатов при исследовании
вадачи о вращении твердого тела.
54
стн не занимался, но был автором широко распространен-
ного руководства «Гидростатика н теория упругости»
(1886). Готовя для посмертного издания сочинения
ф. С. Ясинского (1856—1899), Бобылев дописал незакон-
ченный автором фрагмент о теории кручения (задача Сен-
Венана в трактовке Клебша).
Интерес к задачам теории упругости у Колосова по-
явился, по его собственным словам, под влиянием его
друга, профессора Политехнического института С. II. Бел-
зецкого И, с. XVI]. Первые результаты Колосова ио этой
тематике были опубликованы им в двух статьях в отчетах
Парижской академии наук за 1908 г. [И] и 1909 г. [12].
Обе статьи были представлены П. Аппелем. В них в сжа-
той форме Колосов изложил свой основной метод решения
плоской задачи теории упругости, который более подроб-
но был рассмотрен им в докторской диссертации. Прежде,
чем перейти к этой главной работе Колосова, напомним
постановку задачи в обозначениях 11. И. Мусхелишви-
ли3 (см., например, [4, 13]).
Рассматривается тонкая пластинка, которая подвер-
гается нагрузкам, приложенным к ее периметру и лежащим
в плоскости пластинки, пли произвольное поперечное
сечеппе длинного цилиндра, в предположении отсутствия
массовых сил.
Пусть F — напряжение, т. е. сила, отнесенная к еди-
нице площади и имеющая тензорный характер. Тогда Fx
и Fy — напряжения, отнесенные к элементам, перпенди-
кулярным осям х и у (Fx и Fy — векторные величины с
проекциями А\., Ух и Xv, Yv соответственно). Ясно, что
Fx = Хх + iY„
Fy = Ху + iYy,
где A\, Y4 называются нормальными, а Хи, Yx — каса-
тельными или тангенциальными напряжениями.
При плоском напряженном состоянии уравнения рав-
новесия упругих тел. известные еще в 20-х годах XIX в.,
3 II. И. Мусхелшнвнлн применяет обозначения Л. .'1ява. Так. д я
komi олеитов напряжения оп. как и .1яв. употребляет обозначе-
ния: Л\. .Y,z н > v, введенные еще Г. Кирхгофом. Г. В. Ко-
лосов в 11) для тех же величин пользуется обозначениями В. Т< м-
сона (Кельвина) н II. Тэта: Р, Q, S, Т. а в современной лнтератхре
чаще встречаются обозначения Т. Кармана: <тх, ау, тх и Ту.
имеют вид
дХ-,
бу
= П,
<)Y
чх
АУи
бу
=?.
<?Л .
причем
ху -- Ух. (2)
Под действием напряжений пластинка подвергается
деформации. Обозначим через и (х, у) и и (г, у) компо-
ненты смещения, зависящие от изменившейся координаты
(х, у) точки пластинки, а через ехх = diddx, еуи = di/dy.j
exU = ll„(dv!dx + ди!ду) — компоненты деформации. Тог-
да величина е = ехх + «уу = диЮх + Ovldy представляет
собой расширение при деформации прямоугольного эле-
мента dxdy.
Применив закон Гука к однородной изотропной плас-
тинке, упругие свойства которой одинаковы во всех
точках и по всем направлениям, Г. Ламе в 1852 г. получил
соотношения
Хх = Х6 + 2рехх,
Yv — ХО 4- 2[ieyy, (3)
Ху = Yx = 2цеХ1>,
где X и р — постоянные неотрицательные коэффициенты
упругости (постоянные Ламе).
Уравнения (1)—(3) представляют собой систему пяти
уравнений с частными производными первого порядка
относительно пяти неизвестных функций X , Yy, X ,, и, г,
каждая из которых зависит от двух независимых перемен-
ных х и у.
Эту систему можно преобразовать в систему двух диф-
ференциальных уравнений второго порядка относительно
неизвестных и и v, содержащую только компоненты сме-
щения:
№ + W + И Д“ = °’
Р- + Р)-^- + НД1’=°'
где А — оператор Лапласа.
5б
Другой вариант системы уравнений для решения пло-
ской задачи, в которую входят только компоненты напря-
жений, состоит из уравнения (1) вместе с уравнением
М. Леви \ (Хх 4- F,,) = О (последнее получается после
некоторых преобразований указанных выше соотноше-
ний).
Аналогию между трактовкой некоторых вопросов тео
рии упругости п теорией потенциала заметил В. Томсон.
В работах /К. Буссипеска и Г. Герца рассматривались
общие представления решений таких систем с помощью
гармонических функций. Разрешимость задачи о равно-
весии упругого тела была доказана профессором Михай-
ловской артиллерийской академии П. А. Шиффом в 1891 г.
После того, как были составлены общие дифференци-
альные уравнения равновесия и движения упругих тел
(в несколько иной форме их вывели О. Коши (1823),
Г. Ламе и Э. Клаппероп (1828) и др.), теория упругости
развивалась по двум основным направлениям: с одпой
стороны, разрабатывались методы получения общих ин-
тегралов этих уравнений и изучались их свойства, а с
другой — исследовались отдельные классы задач с более
простыми системами уравнений с целью получения их
частных решений. Так выделилась в самостоятельный
раздел плоская задача теории упругости [14].
В 1863 г. английский астроном Дж. Б. Эри показал,
что с помощью одпой единственной функции U (х, у)
можно выразить компоненты смещения, если положить
v _ aifZ
- ду» ’
v &U
X —Y — d*U
У Эри функция U была произвольной, по вскоре (1864)
Дж. Максвелл заметил, что она должна удовлетворять
омгармоннческому уравнению
АЧ'=-£- +2 « +«L = ((. (4)
их* 1 дх*ду* 1 ду* ' '
Поскольку любую бнгармоническую функцию можпо
представить с помощью аналитических функций комплекс-
57
ного переменного, то через бигармоническую функцию вы-
ражаются компоненты напряжения и смещения и, следо-
вательно. решение плоской задачи теории упругости
может иметь комплексное представление.
Введение теории функций комплексного переменного
как метода решения плоской задачи теории упругости на-
чалось в конце XIX в. Сама структура уравнений равно
весия такова, что выполняются условия Коши—Римана.
Поэтому, введя функцию комплексной переменной и ин-
теграл от нее, можно выразить через них компоненты
смещения. Это сделал А. Ляв в 1892 г. Попытка получить
удобные формулы с помощью функций комплексного пере-
менного была предпринята Л. Файловом в 1903 г. Однако
пи Ляв, ни Файлов не получили желаемого эффекта. Имен-
но зту задачу и решил впервые Г. В. Колосов, который
ввел вторую комплекснозпачную функцию, вещественная
часть которой равна Хх + Y у.
Действительно, так как XU = Р — гармоническая
функция, то Р + iQ = / (z), где Q — сопряженная к XU
функция. Однако удобнее рассматривать не функцию / (z),
а функцию
(р (z) = */4 \ / (z)Jz = р + iq.
Тогда гармонической будет и функция р} — I’ — рх — qy.
Пусть теперь у (z) = pj+ iqt — аналитическая функ-
ция. Тогда, как показал Э. Гурса в 1898 г. 115],
U = Ke {z<f (z) + у (z)} = */2(zq + zq + у + у). (5)
С помощью двух аналитических функций q и у и фор-
мулы (5) можно получить комплексное представление
компонентов смещений:
Хх+ Yy = 2 [q'(z) + <(F)1 = 4Re <p'(z),
Yy - Xx + 2iXv = 2 [zq’(z) + 4’'(z)L («)
где ф'(г) = y'(z)- ЧРН этом для компонентов деформации
справед ibo выражение
и + iv = [xq (z) — zq'(z) — Ф (z)J/(2p), (7)
где x = (к + 2jt) (1 + ц). Формулы (G) и (7) и есть из-
вестные «формулы Колосова». В оригинале эти формулы
записаны в несколько ином виде. В частности, представ.ie-
58
ния (G) у Колосова записаны так:
Хх + Yv = */2(Ф(2) + <ОД], (8)
2XV + i (Хх - Yy) = i (а0+ /₽0)Ф'(2) + F (z).
Здесь а0 и Ро должны удовлетворять системе уравнений
da dp |
дх Чу
ду ' дх " '
Для получения (G) надо принять Ф(г) = 4ip'(z), F (z) =
= —2np'(.z), и выбрать a0= —х!2, ро= у/2. так что а0+
iPu= —z/2. Ясно, что представление (8) имеет более
общий характер, чем (6).
Колосов вывел своп формулы более сложным путем,
так как пе использовал формулу Гурса, которая была ему
неизвестна. Лишь почти закончив свою работу, он узнал
об этом результате французского математика, на которого
он ссылается в приложении к своей диссертации [1, с. 179],
где дал более простой вывод с учетом формулы (5) Гурса.
Таким образом, формулы Колосова дают общее пред-
ставление решения плоской задачи теории упругости.
Однако для решения конкретных задач необходимо выпол-
нение краевых условий, что не просто. В связи с этим на-
помним слова II. II. Мусхелишвилп нз его известной моно-
графии «Некоторые основные задачи математической тео-
рии упругости»: «Таким общим представлениям решении
Дифференциальных уравнений в частных производных
при помощи „произвольных" функций придавалось па заре
развития математической физики преувеличенное значе-
ние, аналогичное тому, которое в свое время придавалось
интегрированию обыкновенных дифференциальных урав-
нений при помощи квадратур. По вскоре выяснилось, что
нахождение „общего решения" далеко не исчерпывает
вопроса и что для решения соответствующих граничных
задач такие общие решения зачастую почти ничего пе
дают.
Это вызвало обычную в таких случаях реакцию и при-
вело к другой крайней точке зрения, господствовавшей до
самого последнего времени, что из «общих решений» вооб-
ще нельзя извлечь почти никакой пользы.
Дело обстоит, однако, далеко не так. Общие решения,
если их возможно найти, при целесообразном использова-
59
нии оказываются часто чрезвычайно полезными, особенно
в вопросах прикладного характера. В ряде же случаев
они дают возможность построить также вполне закончен-
ную теорию данного вопроса проще и полнее, чем это
можно сделать другими, до сих пор известными методами;
примером может служить плоская теория упругости»
[4 с. 395-396].
Добавим, что период «охлаждения» к общпм решениям
приходится в основном на вторую половину XIX в. Скеп-
тическое отношение к общим представлениям решения
высказывал, например, Г. Кирхгоф, а также 1’. Хаттен-
дорф при издании лекций по дифференциальным уравне-
ниям математической физики своего учителя Б. Римана.
В России эту точку зрения поддерживал X. С. Головни
]16, с. 378]. Только в начале XX в. этот взгляд начинает
постепенно меняться, чему способствовала эффективность
метода, предложенного Колосовым.
В теории упругости имеется несколько видов краевых
задач, из которых упомянем две основные. В первой из них
требуется найти упругое равновесие пластинки при за-
данных внешних напряжениях Хп и Yn на ее контуре С
с внешней нормалью п, т. е. при заданной функции
Fn(t.) = Хп + iYn, Тогда аналитические функции
<р (z) и ф (z), входящие в формулы Колосова, связаны иг
контуре С условием
+ i -%- Ф(?) + + W=/(?).
где /(£) — * \ F„ds, s — s (?) — длина дуги контура С от
и
его произвольной точки.
Вторая краевая задача отличается от первой заданием
на контуре С смещений и и v его точек, т. е. задана функ-
ция g (£) = и + iv. При этом краевое условие принимает
вид
ХФ(О - C?R)-W = 2w(0.
Эти краевые задачи могут быть решены различными
методами (например с помощью степенных рядов или ин-
тегральных уравнений), а в некоторых простых случаях
они решаются в конечном виде. После нахождения функ-
ций q> (z) Hip (z) напряжения и смещения всех точек плас
тппки при ее упругом равновесии вычисляются пепосред
ственпо по формулам Колосова (б) и (7).
60
Колосов решил первую и вторую задачи теории упру-
гости для полуплоскости и круга (путем квадратур и с
применением интеграла Коши), а также для плоскости
с круглым, эллиптическим и некоторыми другими отвер-
стиями, контуры которых изображаются простыми алгеб-
раическими кривыми. При этом он применял конформные
отображения и преобразовывал к полученным областям
интеграл Шварца.
Из данных Колосовым решений частных задач отметим
задачу растяжения бесконечной плоскости с эллиптиче-
ским отверстием, которая впоследствии приобрела важное
значение в исследованиях концентраций напряжений и в
теории хрупкого разрушения (теории трещин).
Защите диссертации предшествовали упомянутые выше
статьи Колосова (111 и [12], а также публичные выступ-
ления. На IV Международном математическом конгрессе
в Риме Колосов сделал доклад «О плоской задаче теории
упругости», состоявшийся 11 апреля 1908 г. и (•публико-
ванный в трудах конгресса 117J.
На этом конгрессе присутствовала группа русских
ученых (19 человек), среди которых из Петербурга при-
ехали А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов, Д. К. Бобылев,
А. В. Васильев, Н. М. Гюнтер, К. А. Поссе, С. Е. Савич,
Д. Ф. Селиванов, Т. Э. Фрнзендорф 118].
11 апреля 1908 г., когда Колосов делал доклад на сек-
ции механики и математической физики, председателем
заседания был Ж. Адамар. Доклад вызвал оживленную
дискуссию. Выступали К. Рунге, Т. Боджо, В. Вольтерра
и, наконец, Адамар, который предложил по материалам
этих выступлений составить две небольшие заметки. К со
жалению, не удалось выяснить, какие конкретные вопро-
сы обсуждали выступавшие: в трудах конгресса они не
отражены (18, с. 49].
Поездка на конгресс была, несомненно, очень полезна
Колосову, так как он имел возможность обсудить свой
метод со многими учеными и прежде всего с итальянскими.
В Италии в это время работала сильная группа специа-
листов по теории упругости. Достаточно перечислить тех
из них, с которыми беседовал Колосов — это Г. Леви-
Чивнта, В. Вольтерра, Б. Боджо, К. Сомильяна, Г. Мо-
рера, 11. Марколонго. С последним из них Колосов пере-
писывался еще в 1902 г. по поводу вывода интеграла
С. А. Чаплыгина для вращения твердого тела вокруг не-
подвижной точки в случае Д. Н. Горячева. Выдержки
из письма Колосова были опубликованы в Отчетах Па-
61
лермского математического кружка вместе с за меча ни в ми |
Марколонго |19, 201. Интересно отметить, что Марколонго I
внимательно следил за работами русских ученых но этому I
вопросу: в его статье 1201 упоминаются исследования
С. А. Чаплыгппа. А. М. Ляпунова, В. А. Стеклова,
Н. Е. Жуковского. Г. Г. Аппельрота, II В. Делоне,
Г. В. Колосова, II. А. Некрасова, М. А. Тихомапдрпц-
кого.
Во время конгресса Колосов имел возмоллюсть вос-
пользоваться консультациями профессора из Геттингена
К. Рунге, сделавшего ряд полезных замечаний по работе,
о чем Колосов пишет в предисловии к [1|. Возможно, что
Колосов присутствовал на докладе /К. Адамара (на сек-
ции алгебры и анализа) «О некоторых интересных случаях
Ангармонической проблемы» 1211.
Как видно из статьи Колосова Ill, с. 524], он собирался
опубликовать все свои результаты в конце 1908 г., одпако
его работа появилась значительно позднее. По-видимому,
критические замечания иностранных коллег потребовали
существенной переработки почти ютового материала.
По теме своей диссертации Колосов выступил еще с
двумя докладами па XII съезде русских естествоиспытате-
лей и врачей, проходившем в Москве с 28 декабря 1909 г.
по б января 1910 г. Первый доклад «Применение теории
функций комплексного переменного к интегрированию
гииергармонического уравнения V2V2iz = 0 4 при задан-
ных условиях на контуре» он сделал 31 декабря. В этом
докладе автор предложил при решении Ангармонического
уравнения искать не саму функцию и, а ее частные произ-
водные, что приводит задачу к определению двух функций
комплексного переменного при условиях, заданных на
некоторых простых контурах. Колосов распространил
этот способ и на криволинейные координаты [22, с. 123].
Па докладе присутствовали В. А. Стеклов и С. А. Чаплы-
гин, выступившие при обсуждении доклада с замечаниями.
Второй доклад «Плоская задача математической теории
упругости» 123] Колосов сделал 4 января 1910 г. и из-
ложил в нем основные результаты своей диссертации. (Па
этом же заседании В. А. Стеклов выступил с докладом «Об
уравнениях математической физики».)
Здесь следует напомнить, что Чаплыгин еще в 1900 г.,
4 Ныне принято это уравнение называть Ангармоническим и обозна-
чать 0, хотя в теории упругости его обычно записывают
с помощью оператора Гамильтона: О. Колосов в своих
работах Ангармоническое уравнение пишет так: VsVsu (>.
62
решая задачу о деформациях в двух измерениях, получил
формулы, фактически совпадающие с формулами Коло-
сова, но не опубликовал своей работы, которая стала
известной только после разбора его архива и публикации
ее II. В. Зволннским |24|- Познакомившись через десять
лет с результатами Колосова, Чаплыгин, видимо, не имел
возражений против публикации своего коллеги, который
больше продвинулся в решении этой задачи.
Закончив основную работу над диссертацией, Колосов
отдал ее в типографию, рассчитывая защищать ее в Петер-
бургском университете весной НЛО г. Оппонентами, как
уже говорилось, были назначены Д. К. Бобылев и
В. А. Стеклов.
Из письма Стеклова Колосову от 6 февраля 1910 г.
(точнее, черновика этого письма) видно, что в начале
1910 г. Колосов еще не закончил полностью свою диссер-
тационную работу, а имеющийся текст он представил
Стеклову не позднее апреля 1910 г. [25, л. 1—2 об.[.
Следующее письмо Стеклов адресует Бобылеву [26, л. 7—
12[ и высказывает свои соображения но поводу слабых
мест (иссертации Колосова. Бобылев ответил коротким
ппсьмом [26, л. 15[, Те же мысли о диссертации, что и в
письме к Бобылеву, Стеклов изложил Колосову. Мы рас-
полагаем только незаконченным черновиком этого письма,
дата его не указана [25. л. 4- 6 об.1.
Все эти письма показывают, что Стеклов сразу понял
главный результат диссертации — формулы Колосова,
т. е. метод введения двух функций комплексного перемен-
ного. Увидел и недостаточную строгость рассуждений дис-
сертанта. Первое сомнение Стеклова —функция
i(ao+I0o)-^- + F(f)
(см. формулу (8) и в Приложении 2 формулу (Л)) не яв-
ляется аналитической (а это так. потому что связанные
с ней условия (10) не являются условиями Коши—Рима-
на) — было разрешено, так как Колосов понимал это.
но не оговорил четко в диссертации. Второе и самое су-
щественное — отсутствие доказательства существования
решения получающейся краевой задачи. В письме к Ко-
лосову Стеклов сообщает, что «пытался выйти из этого
затруднения, ... по ни к какому положительному ре-
зультату придти не мог». Бобылеву он пишет: «Я думаю,
что этого не удастся доказать». Зто предположение Стек
лова не оправдалось: через двенадцать лет ученик Коло-
63
сова II. И. Мусхелншвили сумел доказать существование
решения 1271. Впрочем, и позднее в своей монографии
1935 г. [281 Колосов не останавливается на вопросах су-
ществования и единственности решения уравнений теории
упругости и отсылает читателей к трудам Мусхелншвили.
После обсуждения диссертации со своими оппонентами
в письмах и личных беседах Колосов признал «неясность
изложения» своего основного § 12 [1, с. 57—631, а Стеклов
согласился с тем, что Колосов достоин докторской сте-
пени. В «Приложениях» к диссертации Колосов добавил
главные тезисы этого параграфа в редакции Стеклова [1,
с. 176—1781. Этот текст, заключенный в кавычки,
является выдержкой из письма Стеклова, которую Коло-
сов приводит с его разрешения. Таким образом, именно
Стеклов привлек внимание к необходимости строгого
обоснования метода Колосова.
Защита, предполагавшаяся, судя по письмам, ие позд-
нее сентября 1910 г., состоялась только 21 ноября. Эту
задержку можно объяснить прежде всего необходимостью
переработки некоторой части диссертации. Защита про-
шла успешно, и Колосов получил степень доктора при-
кладной математики. Протокол диспута, как тогда на-
зывали защиту диссертаций, подписали декан В. М. Шим-
кевич и профессора В. А. Стеклов, Д. К. Бобылев,
Ю. В. Сохоцкий, С. П. Глазепап, А. А. Иванов и
II. Л. Пташицкий [29, л. 7J.
На титульном листе диссертации Колосова указан
1909 г., но издание ее пе было закончено в этом году, так
как Колосов включпл в нее письмо Стеклова по поводу
§ 12, а также добавил вывод своих формул с помощью
формулы Гурса, о которой он узнал, вероятно, от свопх
оппонентов. По-видимому, его «Приложения» к диссерта-
ции были напечатаны после апреля 1910 г., и только по-
том вся книга была переплетена. Па оборотной стороне
титульного листа указано, что это — отдельный оттиск
из «Учепых записок Юрьевского университета». Действи-
тельно, работа Колосова была напечатана там по частям
в № 1—5 за 1911 г., причем титульный лпст отличается
от [Ц отсутствием года издания. В этом журнале, как и
в ряде других периодических изданий того времени, пет
сплошной пагинации. Работы печатались частями, и каж-
дая имела свою нумерацию страниц. То же самое можно
сказать*!! о работе Колосова: журнальный текст и его па-
гинация полностью соответствует монографии [1). Кстати,
в напечатанной в 1914 г. статье на немецком языке [301,
64
в которой Колосов изложил результаты своей докторской
диссертации, он дважды ссылается на работу [1|, но при
этом указывает год издания 1 910 г. [.30, с. 392, 404|.
Эта работа Колосова оказала большое влияние на
труды его учеников и последователей, среди которых на
первом месте стоит И. II. Мусхелишвили.
Сохранилась дипломная работа (называемая тогда
кандидатской диссертацией) Н. II. Мусхелишвили (в преж-
нех« написании — Мусхелова) «Некоторые свойства пло-
ской задачи математической теории упругости в случае
многосвязпых тел» [311, написанная под руководством
Колосова и получившая положительную оценку Бобы-
лева 4 января 191.3 г. В этой работе Мусхелишвили, исходя
из формул Колосова, делает попытку их распространения
на многосвязную область, когда возникает многозначность
рассматриваемых функций (строгое обоснование метода
Колосова для этих областей было дано нм позднее). В том
же году вышла совместная статья Колосова и Мусхели-
швили [32[, а в 1916 г.— уже самостоятельная работа
Мусхелишвили |.33|.
После отъезда Мусхелишвили в Тбилиси многие ленин-
градские ученые продолжали развивать метод Колосова,
применяя теорию аналитических функций и интегральные
уравнения к различным задачам теории упругости. На-
зовем здесь имена некоторых из них: Д. Л. Гавра,
Р. О. Кузьмин. С. Г. Лехннцкий, А. II. Лурье, С. Г. Мих-
лип, В. 11. Смирнов, С. Г. Соболев. Д. II. Шерман.
Сам Колосов и дальше продолжал работать в выбран-
ном нм направлении. Так, например, в 192.3 г. он н Гавра
применили теорию функций комплексного переменного
к задаче о кручении некругового сектора с малым цент-
ральным углом [311.
В 1926 г. Колосов писал Д. А. Граве о своем методе
следующее: «Пользуюсь случаем обратить Ваше внимание
на предлагаемое мною новое решение плоской задачи
теории упругости при помощи интеграла Коши (до сих
пор у нас были лишь случайные решения и решения при
помощи бесконечных рядов). Вместе с тем метод мой чрез-
вычайно упрощает (раза в 3—4) вычисления, относящиеся
к известным уже задачам, решенным в теории упругости
и относящимся к равновесию цилиндрических тел (случаи
Сеи-Венана, Клсбша. Стеклова и т. п.)... Я посылаю
Вам работу мою еще потому, что задача, к которой я при-
вожу плоскую задачу теории упругости, аналогична задаче
Дирихле, и я уверен, что метод, предложенный в своо
3 Закал М 2060
65
время Вамп, основанный также на введении комплексных
переменных
? = х + и t,i= х — iy,
окажется весьма удобным и для решения задач теории
упругости. Мой метод совершенно ему аналогичен» 1351.
(Колосов здесь имеет в виду докторскую диссертацию
Д. А. Граве 1361, третья глава которой посвящена реше-
нию задачи Дирихле для алгебраических контуров с по-
мощью введенных Гране комплексных преобразований.)
11. II. Мусхелпшвили неоднократно писал, что работы
его учителя не получили такой известности, какой они
заслуживают, нн в СССР, пн за рубежом, и что впоследст-
вии появлялись работы иностранных ученых, которые
применяли методы теории функций комплексного пере-
менного к решению различных задач теории упругости,
но делали это не столь эффективно, как Колосов [4, с. 114 —
115; 5; 37, с. 3G—39]. Причину этому Мусхелпшвили ви-
дит и в том, что изюжеиие Колосова не отличается яс-
ностью, иногда по небрежности проскальзывают ошибоч-
ные утвер/кденпя, хотя многпе результаты и идеи, содер-
жащиеся в его работах, надо было бы сохранить н развить.
«Поэтому я считаю полезным,— пишет Мусхелпшвили,—
чтобы молодые математики взялись за задачу изучения и
углубления результатов Колосова, иногда только наме-
ченных, а иногда и не совсем правильно сформулирован-
ных, с тем, чтобы облечь эти результаты в форму, которую
они заслуживают» 15, с. 2811. Значительную часть этой
работы выполнил сам Мусхелпшвили.
В качестве примера усовершенствования результатов
Колосова укажем на одну из ранних работ известного фи-
зика В. А. Фока 1381, также выпускника Петроградского
университета. Одной из новых идей Колосова было при-
ведение плоской задачи теории упругости сначала к си-
стеме двух интегральных уравнений Фредгольма, а затем
к одному интегральному уравнению. Однако доказатель-
ства существования решения он не дал. (Как мы уже ви-
дели, математическая строгость была слабым местом Ко-
лосова, хотя оп прекрасно знал и «чувствовал» теорию
упругости и быстро ориентировался при выборе нужного
математического аппарата.) Фок, исходя из дифференци-
альных уравнений в форме Колосова, вывел более простое
интегральное уравнение Фредгольма, а главное, опреде-
лил условия, при которых оно допускает решение.
Призыв Мусхелпшвили к изучению и углублеиию'ре-
6С
зультатов Колосова и теперь не потерял своей актуально-
сти. По мнению профессора «Ченпнградского университета
II- П. Поляхова (19U6—1987), которое он высказывал
автору настоящей статьи, некоторые неиспользованные
возможности скрывают в себе «условия Колосова» (9).
Эти условия шире, чем применяемый Мусхелншвили их
частный случай, который непосредственно не пригоден
для получения, например, периодических решений, воз-
никающих при исследовании задачи теории упругости для
полос.
Решение плоской задачи теории упругости еще раз
показывает, как с помощью абстрактного математического
аппарата получается решение чисто практических задач,
и как сам этот аппарат развивается и совершенствуется
под влиянием запросов практики. Возможно, поэтому Ко-
лосов и выбрал эпиграфом к своей докторской диссертации
слова Г. Ламе из его «Курса рациональной .математиче-
ской физики» (1861): «Всегда избегайте деления науки на
чистую математику и на прикладную математику».
ЛИТЕРАТУРА
1. Колегов Г. В. Об одном приложении теории функций комплекс-
ного переменного к плоской задаче математической теории уп-
ругости. Юрьев: тип. К. Маттисена, 1909. 187 с.
2. Денман И. Я. С.-Петербургское математическое общество //
Историко-математические исследования. М.: Изд-во All СССР,
1960. Вып. 13. С. 11—106.
3. Ряго Г. А. Из жизни и деятельности четырех замечательных
математиков Тартуского университета // Уч. зап. Тартуского
унта. 1955. Вып. 37. С. 74—1оЗ.
4. Мусхелишвили Я. И. Некоторые основные (адачи математиче-
ской теории упругости. М.: Изд-во АН СССР, 1954. 647 с.
5. Мусхелишвили 11. И. Гурий Васильевич Колосов. Некролог //
Успехи мат. наук. 1938. Выи. 4. С. 279—281.
6. Мотылевская Р. Е. Генезис метода комплексных переменных
в теории упругости в научном творчестве 11. И. Мусхелишви-
ли Ц Из истории развития физико-математических паук. Киев:
Паукова думка, 1981. С. 88—94.
7. Колосов Г. В. О некоторых видоизменениях начала Гамильтона
в применении к решению вопросов механики твердого тела.
СПб., 1903. 76 с.
8. Хрхив АН СССР, Ленинградское отделение (ЛО ААП СССР).
Ф. 1. Ои. 1-1931. Д. 258.
9. Центральный государственный исторический архив (ЦГИА).
Ф. 733. Он. 153. Д. 484.
Ю. ЦГИА. Ф. 733. Оп. 153. Д. 403.
П. Kolossoff G. Sur les problemes d'elasticite a deux dimensions //
С. r. 4cad. sci. Paris. 1908. T. 146. P. 522—524.
3* 67
12. Kolotsoff G. Sur les problemes d'elasticite й deux dimensions ,!
С. r. Acad. sci. Paris. 1909. T. 148. P. 1242—124.
13. Лаврентьев 1/. Л.. Шабат В. В. Методы теории функций ком-
плексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.
14. Вогребысский И. В. Теория упругости // Развитие механики
в СССР. М.: Паука, 1967. С. 167—205.
15. Goursat Е. Sur Г equation ЛА1 -0 // Bull. Soc. Math, de France.
1898. T. 26. P. 236—237.
16. Головин X. С. Одна из за шч статики упругого тела // Изв. С.-
Пе ербургского технологического нн-та. 1882. С. 373—410.
17. kolassoff G. Sur le probli me plan dans la theorie d'elasticite //
Atti del IV Congr. intern, dei inatematici. Roma: R. Accad. dei
Lincei, 1909. Vol. 3. P. 187—190.
18. Atti del Congress.) internazioiiale dei inatematici (Roma, 6—
11 Aprile 1908). Roma: R. Accad. dei Lincei. 191.9. Vol. 1. 216 p.
19. Kolossojf G. Sur le cas de M. Goralcheff de la rotation d’un corps
pesant autour d’un point fixe // Rendiconti del Circ. mat. di
Palermo. 1902. T. 16. P. 346—348.
20. Marcolongo P. Osservazioui intorno alia nota del sig. Kolossuff
♦Sur le cas de M. Goralcheff de la rotation d’un corps pesant autour
d’un point fixe» // Ibid. P. 349—357.
21. Badamard J. Sur certains cas interessants du problemes biharmo-
niqiie ' Atti del IV Congr. intern, dei inatematici. Roma, 11)09.
Vol. 2. P. 12—14.
22. Колосов Г. В. Применение теории функции комплексного пере-
менного к пнтегрироваппю гниергармонпческого уравнения
\ 2V2u = 0 при заданных условиях на контуре II Дневник
ХН съезда русских естествоиспытателей и врачей в Москве
с 28 декабря 1909 г. по 6 января 1910 г. № 4. С. 123.
23. Колосов Г. В. Плоская задача математической теории упругости
И Дневник ХИ съезда русских естествоиспытателей п врачей
1910. Л» 8. С. 427-428.
24. Чаплыгин С. А. Деформация в двух измерениях // Собр. соч.
М.; Гостехтеорпздат, 1950. Т. 3. С. 306—316.
25. .10 ЛАП СССР. Ф. 162. Оп. 2. Д. 588.
26. Там же. Д. 47.
27. Moushelichuili A. Applications des integrates analogues a celles
de Cauchy a quelques probli mes de la Physique Matheinatique.
Tiflis: ed. de I’Cniversite, 1922. 157 p.
28. Колосов Г. В. Применение комплексных диаграмм и теории функ-
ций комплексной переменной к теории упругости. М.;
ГОИТП, 1935. 224 с.
29. Ленинградский исторический архив. Ф. 14. Оп. 3. Д. 15513.
30. Kolossojf G. ('her einige Eigenschaften des ebenen Problems der
Elastizitatstheorie // Ztschr. Math. Phys. 1914. Bd. 62. S. 384.
31. Ленинградский исторический архив. Ф. 14. Оп. 8. Д. 1100.
32. Колосов Г. В., Мусхелишвили В. В. О равновесии упругих круг-
лых дисков // Изв. электротехн. ин-та. 1915. Т. 12. С.39—56.
33. Мусхелишви tu Н. И. О тепловых напряжениях в плоской за-
даче теории упругости. // Изв. электротехн. нн-та. 1916. Т.
13. С. 23—37.
34. Kolossojf G., Gairra D. Leber eine Anwendung der Theorie der
complexen Veranderlichen zur Torsion // Зап. ВУАН. 1925.
Вып. 3. С. 1—4.
35. Рукописный отдел Центральной научной библиотеки АН УССР.
Ф. XX. .1. 257—258.
68
36. Граве Д. А. 06 основных задачах математической теории по-
строения географических карт. СПб.: Тип. ЛИ. 1896. 197 с.
37_ ^fyc^e.inuieinii JI. Л. Приложения теории функций комплекс-
ного переменного в теории упругости // Приложения теории
функций в механике сплошной среды. Тр. Междупар. симпо-
зиума в Тбилиси, 17—23 сентября 1963 г./ Под ред. Н. И. Мус-
хелишвплн, .Т. И. Седова и Г. К. Михайлова. М.: Наука,
1965. Т. 1. С. 32—55.
38. Фок В. А. Приведение плоской задачи теории упругости к ин-
тегральному уравнению Фредгольма // ЖРФХО. 1926. Ч. физ.
Т. 58. вып. 1. С. 11—20.
ПРИЛОЖЕНИЕ
1. В. А. Стеклов — Г. В. Колосову
СПб., 6 февраля 1910
Многоуважаемый Гурий Васильевич!
Теперь для меня выяснилось определенно, что, несмотря па
все мое желание, мне будет крайне затруднительно изучить Вашу
диссертацию к И апреля. У меня как раз скопилась к настоящему
времени масса дела, частью неотложного. Между прочим, как раз
теперь началось печатанье моих мемуаров в Aiinales de Toulouse и в
Memorie della В. Accademia dei Lincei. Приходится во нться с кор-
ректурами, откладывать исправление которых невозможно, ибо
более чем неудобно задерживать выход в свет нумеров этих журна-
лов. Благодаря .пому я забросил даже писание обещанного мною
реферата для Матем. сборника (в Москве (слово пера борчиво»,
сверх того начались у меня еженедельные экзамены н прочее в
этом роде.
Конечно, если Вы будете упорно настаивать на необходимости
закончить рассмотрение Вашей работы к И аир., я попытаюсь как-
нибудь справиться, но для меня это будет до крайности затрудни-
тельно. Поэтому я просил бы Вас отсрочить диспут до первого же
заседания в сентябре. Конечно, Baina работа еще не копчена и если
Вы ее представите в факультет даже к концу февраля, то я имею п
формальное право отложить дело до осени, ибо могу требовать
6 мес. для изучения, по здесь я пе хочу основываться па формальной
стороне д"ла. Если устройство диспута непременно в пастоящс м полу-
годии не является для Вас крайней пеоб однмостью, то я просил бы
Вас сделать так: как только Ваша диссертация будет готова, пред-
ставьте се в факультет (в марте пли в апреле — это все равно). За
лето я сделаю все, что нужно, в в первое же заседание факультета
осенью может быть устроен и Ваш диспут. Задержки уже никакой
не будет. Сообщите, пожалуйста, согласны ли Вы на это бел особен-
ных для Вас неудобств п без особого негодования па мепя за предла-
гаемую мною отсрочку.
Искренне преданный Вам
В. Стеклов
Р. Я. Диссертацию в факультет Вы должны представить во всяком
случае в этом полугодии, лучше всего до Пасхи.
69
2. В. А. Стеклов — Д. К. Бобылеву
СПб., 11 апреля 19Ю г.
Многоуважаемый Дмитрий Константинович!
Дело с диссертацией Колосова, по-моему, обстоит весьма не-
важно. Самым важным результатом, действительно заслуживающим
внимания, является результат исследовании 12го §а.
Вчера и сегодня я размышлял по поводу зтого §‘* и прихожу к
неутешительным выводам. В лучшем случае, утверждения Гурия
Васильевича, высказанные нм в 12*'м § остаются совершенно пе io-
казаппыми. Я даже думаю, что они и неверны. Судите сами.
Задача состоит в следующем. Пусть £ п ц — изотермические коор-
динаты, Р, Q п U — нормальные и тангенциальные напряжения
(стр. 15, § 3). Плоская задача упругости требует: найти три функ-
ции Р, Q и Г (от переменных | и 1]), удовлетворяющих дифференци-
альным уравнениям:
dh
+ °’
+ Р-^-= 0 *
(4)
где
(5)
внутри контура (например, при всяком q и 5< а) и таких, чтобы
на контуре (при | = а)
(2) Р = Л(т)), U = /,(т)).
где /, п /2 суть две наперед заднпные функции.
Г. В. Колосов показывает, что если через <( и ф обозначим две
сопряженные функции от ;и 1). через а0 и Р„ две какие-либо функ-
ции, удовлетворяющие уравнениям
/ЗУ 1 <>а Ofi
W <>1 <>т)---А2 • di] + 01 -0,
то выражения Р, Q и I , следующие из уравнений
21/ OQ «Q
л» = “° <л] “ ^<Г’
Р — Q п dQ dQ
Л2 — ₽° di) +а° d£ +*•
^+е = й,
есть функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа
М2 огй
Л0= Ох* + Оу* “°
будут представлять решение уравнении упругости (1). Это все верно.
Чтобы действительно решить задачу, надо показать, что функ-
цип <р, ф и й можно выбрать так, что решения у равнений (5) относи-
тельно U п Р дадут для них такие выражения в функциях | и >],
что на контуре будут на самом деле выполнены условия (2), где.
«
1 Л — дифференциальным параметр (Примем. В. А. Стеклова.>
70
повторяю, fx П /2 произвольно папород заданные флпкцип Что же
делает Г. В.?
Заметив, что выражение 1
дЬО
«(во + Фо) —+ F (t)
иа контуре (при £ - а) обращается в то самое, которое принимает
при £ — а функция комплексного переменного
1 <М» С)
X С) = ~ + F (»)’
он ищет вещественную часть этой функции под условием, чтобы па
контуре опа обращалась в
2U
IP
2/i (i|)
'‘alj=a
(в силу условия (2)).
Положим для определенности
Х(0 = Ti + ‘Ф1-
Он ищет, следовательпо, д, как функцию, удовлетворяющую ус-
ловиям Аф| О внутри контура.
41
2/i (П)
Л2 1Е=а
(т. е. на контуре). Ото задача Дирихле. Функция д', определяется
вполне п единственным образом. Функция ф, затем определяется
нрн помощи простои квадратуры.
В силу соотношения (стр. 58, формула (5))
2U ! i(P-Q)
IP
* (ОоЧ- фо)
д ! (?)

которое должно иметь место и на контуре (при £ = а), заключаем,
что ф, будет функцией, которая и i контуре обратится в значении
(Р— Q'l/h2 для контура. Таким образом, будем знать значение й
на атом контуре, а следовательно, н самое й (см. стр. 60).
Таким путем найдены три функции д',, ф, н й, удовлетворяющие
уравнению Лапласа и такие, что (см. условие* (2) письма)
*М*Ф1 = /10)) ПР“ £ = « (,ia контуре),
Л2Ф, = /1(r))-Clt=a.
=/,(’1) + <ЛЕ=«.
Все это так, но что же отсюда следует? Положим (формула (II),
стр. 59)
-*/2.Ф(£)аФ(г;)/а; - «Г11 + *ф0.
Тогда
Х(С) = Фо + Ф + «Фо + Ф>. т- о. Ф1 = Фо + ф, Ф1 = Фо + Ф-
= Я употребляю обошачеипя Колосова без пояснения. Они Вам
хорошо известны. < Примем. В. А. Стеклова.>
71
Запав произвольно две сопряженные функции <(„ н ф(1 п зная
функции <Р[ и ф,, определенные вышеуказанным способом, найдем
ф = ЧI — ’Го. Ф = Ф1 — Фо-
Функция 9 нам известна также. Функции Р, Q н L' должны
летворять уравнениям (4) (стр. 58). которые дают
удов-
(а)
, hi / "Я о ‘'Я
6 "= 2 у06® ф] -Po-rft- + 4i
d9 oQ
1°“фГ + С[0"^+’*1
Р
Подставляя сюда вы шенап денные значения 9, <р,, ф, н (рп, ф0,
чнм опять-таки решения уравнений упругости. (Величину
выписываю.)
По откуда же следует, что эти выражения U и Р будут удовлет-
ворять заданным условиям (2) на контуре?
Если бы выражение
„ (ч)
(Л) Чао + Фо)—M G)
полу-
Q не
действительно представляло бы функцию комплексного переменного
во всех точках вне три копту ра п совпадало бы с фу пкцпей комп-
лексного переменного /_(£) (формула (II), стр. 59) во всех точках
не только на контуре, по н внутри его, это было бы верно. Но па
самом деле выражение (А) даже н пе есть функция комплексного
переменного. Па самом деле, для того, чтобы (А) было функцией
комплексного переменного, необходимо (и достаточно), чтобы
д (
5 = di] ~ Р°
<> (л
~ "фГ "фГ + а°
О
II
т =
д / dQ dQ \
dr] V*0 -Р° d£ +Ч7 +
д /_ ой dQ \
+ "аГ р° "фГ + “° - °*
По легко убедиться, приняв в расчет (3) и (5) (п то, что <] п ф
сопряженные функции), что
1 dQ
-.9
5 — h* di) ' Г
т. e. S и T могут равняться
He здесь ли кроется недоразумение? Не заключил ли поспешно
Гурнй Васильевич из того обстоятельства, что функция
*2 <
нулю лишь при 9 = постоянной.
d I> (u)
я + iG = I (ао + ipo) + F (J)
(которая не есть функция комплексного переменного) па контуре
совпадает со значениями па этом контуре функции комплексного
72
переменного
X(v> 1i +
что п внутри контура
if, - Я. Ф1 = G.
Во всяком случае, если п можно его способом подыскать функ
цпп <f|. ф, <Го 11 1|о так, чтобы выражения (а) (стр, 7 письма) на
контуре обращались в наперед заданные функции h и то это от-
нюдь не докг ано, а следовательно, задача не ретена. Я же думаю,
что этого и не удастся доказать. Если я нрав, то, к великому сожа-
лению, диссертация теряет все наиболее существенное. Останется
неразработанный материал, над которым еще нужно будет порабо-
тать много, чтобы сделать его годным для докторской диссертации,
ибо и §§ы 27, 28, 29 п Зо также неудовлетворительны, о чем мы с
Вами уже говорили.
Я не пишу прямо Колосову, так как хочу основательно обду-
мать и разъяснить возникшие серьезные недоразумения, н считаю
нужным сообщить п\ прежде всего Вам, как главному оппоненту,
чтобы сначала вместе н всесторонне обсудить вопрос. Может быть,
я н ошибаюсь, чему был бы очень рад. Предлагаю вышеизложенное
на Ваше суждение; вместе лучше и вернее можно выяснить дело.
Искренне преданный Вам
В Стеклов
3. Д. К. Бобылев — В. А. Стеклову
14 апреля 1910 г.
Многоуважаемый Владимир Андреевич!
Вчера у меня был Колосов. Оп говорит, что ему очень хорошо
известно, что 2-н часть равенства (5) стр. 58 не представляет собой
функции от комплексного переменного, по что выражение (И) стра-
ницы 59 есть функция от комплексной переменной, ибо
Ф(Е) = /(2а- □/'(£).
Я пишу к Вам, нс желая беспокоить лично. Подробности со-
общу при личном свидании.
Искренне Вам преданный
Д. Бобылев
4. В. Л. Стеклов — Г. В. Колосову
Многоуважаемый Гурий Васильевич,
Дмитрии Константинович Бобылев уже отправил Вам письмо, в
кото] ом сообщает о недоразумениях, встреченных нами в §§ 28- 30.
Из равештва (5) никоим образом не следуют равенства (6)
(стр. 117) п уже поэтому, не говоря о формулах стр. 122, все далг-
нейшее сомнительно и, по моему мнению, едва ли может быть ис-
правлено.
Те же §§28 п 30 решат н в другом отношении: рассуждения
стр. 124 н 125, по-моему, ошибочны. Ото бы не беда, поо §§ 27, 28 -
Зн можно было бы исключить совсем без ущерба для диссертации,
но нехорошо то, что прием стр. 124 н 125 (§ 28) есть тот самый, ко-
торый указывается Вамп в § 12ом.
73
По-моему, результат §а 12 есть самое лажное в Пашем пссле-1
донанпн и указанный Вамп метод применения функций комплекс-
ного переменного действительно представлял бы интерес, если бы
рассуждения № 12го были обоснованы надлежащим образом.
Но, вникнув надлежащим образом в Ваш анализ (в том виде,
как он Вами изложен), я пришел к выводу, что Ваши рассуждения
несправедливы или, в лучшем случае, требуют существенных из-
менений и дополнений.
Вы говорите: «Мы найдем... вещественную часть (II) (фхпкцпи
Х(Е)), решая задачу Дирихле об определении конечной, непре-
рывной и однозначной функции /(5, ц) па площади замкнутого кон-
тура (1), удовлетворяющей уравнению
а*/ 3»/
+ 5т)1 =0-
а па самом контуре принимающей паперед заданные значения (в дан-
ном случае 2(7/Ля)».
Откуда это следует?
По-моему, очевидно, что функция / никакого отношения к ве-
щественной части функции %(£) не имеет. Из того обстоятельства,
что в ф икции х(£) (И)
Х(С) = <|| + «ф,,
(Рт 11 Фт суть такие функции £ и т], что
dQ ай
f»lj=a-°[o or} ~ P° dz +<Nj=a>
„ dQ aQ
’ftlE=a=₽o-^j- + “o-^-+♦ iJ=a, a p-k>
(т. е. на контуре) отнюдь не следует, что и внутри контхра
Vi = /, а ф, = 7,
где 7 — функция сопряженная к / (см. утверждение конца стр. 59).
Это даже неверно, вообще говоря. Я пытался выйти из этого
затруднения, видоизменив соответственным образом Ваши сужде-
ния, но ин к какому положительному результату придти пе мог.
Если даже допустить, что вышеприведенное утверждение Ваше
верно. — все таки решение .задачи не получается.
Пусть, в самом деле, найдена /(£, ц), совпадающая с <р1 н обра-
щающаяся в заданное значение 2U!h* на контуре. Пусть ф! найдена
затем квадратурой; примем ее значенпя на контуре за значения
(Р — и определим, наконец, Р, как указано у Вас в начале
стр. (60).
Каким образом, даже н при этом допущении найдете Вы функ-
ции <р, и ф, входящие в формулы (4), если в них под Р разуметь
только что вайдепное его значение?
Для случая круга дело упрощается тем, что можно положить
р0 = 0, а а0 не зависит от »), а только от £.
В этом случае Вы можете положить
dQ
«=«‘7|_ + Ф = /.
74
где а есть значение а„ (на контуре), н точно так же
ибо в этом случае функции ц н /» удовлетворяют уравнении! Лапла
са, что Вы и делаете для крута на стр. 51, 52, ио для какой угодно
изотермической системы так рассуждать нельзя.
<Имеющпйся черновик письма на этом обрывается —
И. Е.У
1’0.11» МАТЕМАТИКИ
В ВОСПРИЯТИИ Ф> НДАМЕНТА 1Ы1ЫХ
ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИИ
(на материале теории относительности
н квантовой механики в России и СССР)1
Вл. П. Визгни
Вв< деине
Научная революция может иметь реальное развитие
и последствия только тогда, когда она, поначалу свершаясь
в умах творцов новых фундаментальных теорий, охваты-
вает затем умы большинства ученых, т. е. когда эти уче-
ные усваивают эти теории, расширяют, подтверждают
и обосновывают их экспериментально, находят нм разно-
образные приложения. .')тот процесс восприятия растяги-
вается на годы, а порою и на десятилетия и по-разному
протекает в различных странах. Его особенности, прису-
щие различным национальным научным сообществам,
определяются их структурой и научным потенциалом, на-
циональными научными традициями, характером между-
народных научных связей, социокультурным климатом
и т. п.
С другой стороны, есть немало общего в восприятии
одних и тех же теорий различными национальными сооб-
ществами, что обусловлено особенностями этих теорий,
1 Настоящая статья представляет собой обработанный текст до-
клада. сделанного автором на XI конференции Секции истории,
философии н оснований математики Математического общества
ГДР (октябрь 1987 г., г. Гюстров).
75
характером их связи с опытом, философской проблемати-
кой, родственными научными дисциплинами и т. д.
В настоящей работе мы рассмотрим те стороны восприя-
тия теории относительности и квантовой механики в Рос-
сии и СССР в первой трети XX в., которые оказались свя-
занными с математикой, а именно и с резко возросшей (по
сравнению с классикой) ролью математики в физике, и с
выдвижением на передний план новых математических
структур, не игравших существенной роли в классических
теориях, и с национальными математическими традиция-
ми. Мы увидим, что в этом случае «математический канал»
восприятия научной революции в физике играл весьма
заметную, если не определяющую роль.
«Завоевание физики духом математики...»
Это выражение принадлежит французскому философу
А. Рею. который основательно проанализировал состоя-
ние физики на рубеже XIX и XX вв. Этот анализ был ис-
пользован В. II. Лениным п «Материализме и змппрпо-
критпцизме» (1909). Одну из главных особенностей физики
этого периода Рей видел во «вторжении духа .математики
в приемы физических суждений», в «переносе общей тео-
рии математики па физику, в превращении теоретической
физики в математическую». Этот новый этап математиза-
ции физики повысил точность и предсказательную силу
физических теорий, открыл возможности теоретического
анализа в ранее недоступных для этого областях физиче-
ского мира. Ленин также считал «завоевание физики ду-
хом математики» «крупным успехом естествознания»,
«прогрессом пауки» и связывал это «завоевание» с «при-
ближением к таким однородным и простым элементам ма-
терии (атомы, электроны, эфир.— Н. /{.), законы движе-
ния которых допускают математическую обработку» [1|.
Эта тенденция стала особенно заметной в электродина-
мике Максвелла и Лоренца, в статистической термодина-
мике Больцмана и Гиббса, по в наиболее острой и концент-
рированной форме проявилась при разработке специальной
и общей теорий относительности (СТО и ОТО) и не
сколько позже — квантовой механики. После работ гет-
тингенских математиков Г. Минковского и Ф. Клейпа по
геометрической формулировке СТО (1907—1910), отчасти
предвосхищенной А. Пуанкаре, постепенно складывается
представление о физической теории как, прежде всего,
о теории инвариантов некоторых фундаментальных групп
76
пространствеппо-времеппых преобразований. Затем тео-
рия гравитации строится как рнманова геометрия, а через
10 лет квантовая механика формулируется естественным
образом на языке функционального анализа.
II физики, и математики, и философы того времени,
зачарованные таким беспрецедентным математическим про-
рывом в физическую реальность, все чаще стали говорить
о «предустановленной гармонии между чистой математи-
кой и физикой» (выражение Г. Минковского (2. с. 22]. см.
об этом также |3|). Эта «гармопия» предполагает такой тип
взаимосвязи физики и математики, когда последняя по-
нимается как источник структурных форм для описания
физической реальности. Эта точка зрения была популярна
и средн российских ученых. Математик Д. Л. Грапе в
1908 г. говорил о «поразительных примерах гармониче-
ской связи между математическими теориями и опытным
знанием» |4. с. 4|. В. А. Стеклов, обосновывая необходи-
мость организации академического физико-математиче-
ского института, писал в 1921 г.: «Пи одна из естественных
наук, если дело идет не о собирании сырого материала,
а о действительном творчестве, пе обойдется без матема-
тики, матери всех наук. Что же касается физики, постав-
ленной впереди всех других наук..., то в настоящее время
математика и физика до такой степени слились в одно це-
лое, что иногда трудно отделить — где кончается матема-
тика и начинается физика» [5, с. Г>7|.
Аналогичные высказывания можно найти и у ведущих
физиков России, например, у II. Л. Умова [(», с. 'i88|,
А. II. Вачинского |7. с. 84|. Конечно, преувеличение мате-
матического аспекта физики таило в себе опасность недо-
оценки собственно физических аспектов и некоторого фи-
лософско-методологического крепа в сторону идеализма.
Концепция «предустановленной гармонии» между мате-
матикой п физикой могла истолковываться как «старая
кантианская идея: разум предписывает законы природе»
11]. Однако осознание того обстоятельства, что сама
математика укоренена в естествознании,— а этой точки
зрения придерживались и Граве, и Стеклов, и др.—
существенно уменьшало упомянутую опасность.
Т|>ад|Щ11я Лобачевского
СТО. особенно после работ Минковского, привлекла
внимание специалистов по неевклидовой геометрии
(Ф. Клейн, югославский математик В. Варичак, который
77
вслед за А. Зоммерфельдом уже в 1910 г. истолковывал
релятивистскую кинематику на основе трехмерной гео-
метрии Лобачевского, п др.)- Интерес русских математи-
ков к теории относительности проявился в еще большей
мере и сыграл важную роль в восприятии этой теории в
России и СССР. Это было связано с восходящей к II. И. Ло-
бачевскому геометрической традицией, которая пе только
культивировала исследования по неевклидовой геомет-
рии, но и стимулировала интерес к таким проблемам, как
отношение геометрии к реальности, связь геометрии и
механики (и более широко — физики) и т. п., проблемам,
которые привлекали внимание классиков неевклидовой
геометрии, пачиная с. Лобачевского. Гаусса и Больяи.
Хорошо известны, папример, пророческие высказыва-
ния Лобачевского об обусловленности геометрических
понятий физическими взаимодействиями и движением
материи (см. 18, с. 64; 9, с. 49] и т. п.). Лобачевскому же,
кстати говоря, создателю первого русского курса по мате-
матической физике (и, вероятно, одного из первых курсов
такого рода в мире) 110], была очень близка мысль о «ма-
тематическом устройстве физического мира»: «Пауке чисел
принадлежит все, что имеет величину; а что в физическом
мире ее не имеет? — в нем все существует под необходи-
мым условием быть измеряему. и, следовательно, все
подчинено законам математики» Ill, с. 396].
Наиболее непосредственно с традицией Лобачевского
были связаны представители Казанской геометрической
школы Ф. М. Суворов, А. В. Васильев, А. II. Котельни-
ков, Д. М. Синцов, Д. II. Зейлигер, II. II. Парфентьев
и др. Приверженность к пей состояла не только в разра-
ботке неевклидовой геометрии и интерес к проблеме соот-
ношения геометрии и реальности, по и в распространении
и популяризации трудов и идей Лобачевского. Особенно
много на этом пути потрудился А. В. Васильев, прорабо-
тавший в Казанском университете с 1874 по 1907 г. Вместе
с Ф. М. Суворовым он в 1883—1886 гг. подготовил первое
издание трудов Лобачевского, а в 1893 г. в связи со сто-
летним юбилеем последнего организовал международный
комитет по учреждению премии им. Лобачевского за наи-
более значительные труды по неевклидовой геометрии
(впервые эта премия была присуждена С. Ли, в 1897 г.);
всего, до 1937 г., состоялось 8 конкурсов, лауреатами
стали крупнейшие математики конца XIX — первой трети
XX в.: В. Кнллинг, Д. Гильберт, Ф. Шур, Г. Вейль,
Э. Картап; среди отмеченных почетными отзывами пе-
78
сколько математиков и физиков, внесших важный вклад
в теорию относительности,— это В. Варнчак, И. А. Схоу-
тен, Д. Ван-Данциг, Т. де Дондер, В. А. Фок [12]. Своей
обширной научной, издательской, организационной, педа-
гогической и просветительской деятельностью А. В. Ва-
сильев более, чем кто-либо, сделал для распространения
идей Лобачевского; в его трудах использовались различ-
ные аспекты неевклидовой геометрии, теория непрерывных
групп н многомерные пространства. Он был инициатором
установления памятника великому земляку перед зданием
Казанского университета (1896). Васильев — автор множе-
ства статей и книг о жизни и творчестве Лобачевского,
в частности первой его научной биографии и ряда статей
в энциклопедиях и т. д. Па этом же пути немало потруди-
лись и другие казанские математики или воспитанники
Казанской математической школы. Помимо уже назван-
ных, упомянем казанских математиков — продолжателей
традиции Лобачевского в советский период, прежде всего
11. А. Широкова, А. II. Пордена, Б. .'I, Лаптева, крупней-
шего специалиста по математическим методам ОТО
А. 3. Петрова п др.
Влияние идей Лобачевского было заметным и в других
университетах. В Москве эта лпппя смыкалась с диффе-
ренциально-геометрическими исследованиями (К. М. Пе-
терсон, В. Я. Цичгер, Б. К. Млодзеенскин, К. А. Андреев,
А. К. Власов, Д. Ф. Егоров, Е. Ф. Сабинин, Л. К. Лах-
тин, II. А. Некрасов). В Одессе до 1922 г. работал В. Ф. Ка-
ган, внесший значительный вклад в разработку осповаппй
геометрии и развитие идей Лобачевского (с 1922 г. он
стал профессором Московского университета, где в 1927 г.
организовал знаменитый семинар по векторному и тен-
зорному анализу).
Вышедшие в 1905—1907 гг. его «Основания геометрии»
в 2-х томах содержали не только исчерпывающее изложе-
ние геометрии Лобачевского, но, фактически, были первым
учебным пособием по римановой геометрии многомерных
пространств и теории непрерывных групп. Кагап был глав-
ным редактором «Полного собрания сочинений» Лобачев-
ского (при его жизни вышло три первых тома).
До появления теории относительности ведущие про-
должатели традиции Лобачевского (А. В. Васильев,
А. П. Котельников, Д. II. Зенлигер, Д. М. Синцов,
В. Ф. Каган и др.) неоднократно обсуждали знаменитые
высказывания Лобачевского и других классиков неевкли-
довой геометрии о возможной иеевклидовости реального
79
пространства, о зависимости геометрии физического про*
страиства от физических сил. о взаимосвязи геометрии и
кинематики, о возможности изменении геометрии на ма-
лых расстояниях и т. п. Так, А. В. Васильев писал в
1900 г.: «Во всем предыдущем шла речь о движении твер-
дых тел. т. е. видимых масс. Применимы ли законы пере-
мещений, выведенные из рассмотрения движения твердых
тел. к скрытым от пас движениям молекул?» Он также до-
пускал возможность использования в микромире четырех-
мерной геометрии и пространств с группами движения,
отличными от евклидовой |13, с. 11—12|. Поэтому как
только в России стали известны работы Минковского, в
которых была разработана замечательная четырехмерная
геометрическая формулировка СТО, сторонники традиции
Лобачевского с энтузиазмом поддержали новую теорию,
проливающую, как им казалось, новый свет на проблемы,
поставленные еще Лобачевским. К тому же их как мате-
матиков, в значительно меньшей мере, чем физиков, свя-
занных путами общепринятых физических представлений,
смущала революционность выводов СТО, парадоксаль-
ность релятивистских эффектов.
Именно математики Казанского уипверситета, где
традиция Лобачевского была особенно сильна, провели
первое в России специальное заседание, посвященное
СТО, именно ее четырехмерной формулировке. На 144-м
заседании Казанского физико-математического общества
10 октября 1909 г. с обзорным докладом выступил
Д. II. Зейлигер, автор известных работ по линейчатой гео-
метрии и винтовому исчислению. Присутствовало пример-
но 60 человек, в обсуждении приняли участие А. II. Ко-
тельников, II. П. Порфирьев и др. 114|. Широко известный
кельнский доклад Минковского «Пространство и время»
был переведен на русский язык А. В. Васильевым и впер-
вые опубликован в «Известиях Казанского физико-мате-
матического общества» в 1910 г. |1.э|. С этого времени Ва-
сильев стал самым деятельным пропагандистом теории от-
носительности, которую он рассматривал как естественное
развитие идей Лобачевского. Под его редакцией в серии
«Новые идеи в математике» в 1913—1914 гг. было издано
четыре сборника но проблемам теории относительности, в
которых были напечатаны переводы ряда классических и
важнейших обзорных работ по СТО н философским проб-
лемам этой теории. Кстати говоря, большая часть перево-
дов для этих сборников была выполнена математиком и
философом II. С. Юшкевичем, который, наряду с А. П. Ко-
80
телышконым, одним из первых в России, у;ке в 90-х го-
дах XIX в., занимался неевклидовой механикой и испы-
тал на себе влияние традиции Лобачевского (и в дальней
шем он принял участие в популяризации теории относи-
тельности 11С»1). А. В. Васильеву принадлежит и одна из
лучших научно-популярных книг по теории относитель-
ности, изданная уже в годы Советской власти и содержа-
щая глубокий историко-научный анализ и СТО, и ОТО
|17|. В в послереволюционные годы, несмотря на отъезд
из Казани Васильева и Котельникова (заметим, что в
20-х годах последний продолжал изучать связь СТО
с геометрией Лобачевского, которую считал исходным
пунктом на пути к этой теории), традиция Лобачевского
пе угасла в Казанском университете. В 20-е и 30-е годы ее
продолжали II. II. Парфентьев и ученики Котельникова —
В. А. Яблоков и 11. А. Широков, с 1926 г. возглавивший
широко известный казанский семинар по тензорной диф-
ференциальной геометрии. Затем эстафета была подхва-
чена упомянутыми выше А. П. Пордепом, Б. Л. Лаптевым
и А. 3. Петровым, автором важных работ по теоретико-
групповой классификации псевдорнмановых пространств,
определяемых уравнениями Эйнштейна в ОТО: в 50-х го-
дах Петров возглавил единственную в стране кафедру
теории относительности.
Один из главных пеказанских лидеров традиции Ло-
бачевского В. Ф. Каган также весьма рано заинтересовал-
ся теорией относительности, по основной вклад в препо-
давание и популяризацию ее он внес в послереволюцион-
ное время: в 1921.1922 гг. он читал курс этой теории в Но-
вороссийском университете, где его слушали видные со-
ветские физики Л. 11. Мандельштам, II. Д. Папалекси.
II. Е. Тамм и др. Переехав в Москву, В. Ф. Каган читал
курс тензорного исчисления и римановой геометрии, ко-
торый был популярен и средн физиков.
Традиция Остро граде кого—Чебышева
Наиболее выдающиеся советские достижения в области
ОТО и квантовой механики связаны с именами А. А. Фрид-
мана и В. А. <1>ока. Первый заложил основы теории «рас-
ширяющейся Вселенной», а второй внес фундаментальный
вклад в квантов) ю теорию: уравнение Клейна—Фока,
калибровочная инвариантность уравнений квантовой ме-
ханики, уравнение Дирака в рнмаионом пространстве
и т. д.; в конце 2( х — начале 30-х годов Фок получил
81
выдающиеся результаты в области квантовой электроди-
намики, а в 1939 г.— важный результат в ОТО: а именно,
вывел уравнения движения конечных масс из уравнений
гравитационного поля. II Фридман, и Фок были главными
фигурами в распространении и пропаганде теории отно-
сительности и квантовой механики в СССР. Им принадле-
жат первые курсы лекций, первые учебники и монографии,
первые научно-популярные работы и т. д. И хотя они не
были математиками в полном смысле этого слова (впрочем,
Фридман закончил математическое отделение Петербург-
ского университета п самые первые его работы относились
к теории чисел и уравнениям с частными производными) —
основная область исследований первого — гидродинамика,
динамическая метеорология и физика атмосферы, а вто-
рого — теоретическая физика —, их основные резуль-
таты в области ОТО н квантовой механики носят сущест-
венно математический характер н вписываются в то на-
правление математической физики, которое находится па
стыке с теоретической физикой.
Это было не случайным явлением. Дело в том, что
оба теоретика связаны с другим .характерным направле-
нием отечественной математической мысли, связанным
со строгим математическим подходом к задачам естество-
знания и техники. Эта традиция, сформировавшаяся
в Петербургской математической школе, восходит, с одной
стороны, к М. В. Петроградскому и В. Я. Пуликовскому,
воспринявшим идеи и стиль французской математической
физики, а с другой — к II. «Л. Чебышеву и его школе.
Именно ученики Чебышева второго и третьего поколений,
как мы увидим, были учителями Фридмана и Фока.
В Петербургской школе в основном разрабатывались
следующие области математики: теория чисел, связанная
с теорией машин и механизмов, теория наилучшего при-
ближения функций, математическая физика и теория
вероятностей. Последние три имели самое непосредствен-
ное отношение к приложениям, главным образом к зада-
чам точного естествознания и техники. Для Петербургской
школы математики и традиции Остроградского — Чебыше-
ва были характерны связь математических проблем с прин-
ципиальными вопросами естествознания, стремление к по-
становке конкретных задач, мастерское владение вычис-
лительными методами, получение результатов в числен-
ном виде и даже стремление к проверке математических
теорий на опыте.
Конечно, все это в значительной мере было свойствен.
82
по и Эйлеру, п французской школе математической физики
как составной части французской математической школы
конца XVIII — первой трети XIX в. Даже в 20-х годах
II. II. Л узин говорил об «извечном стремлении француз-
ской математики к естествознанию», о том, что французская
математика по традиции включает в себя механику,
а «кафедра механики считается почетнейшей для чистых
математиков» |18, с. 283]. Петербургская математическая
школа унаследовала и развила эти черты эйлеровской
математики и французской школы (последней особенно
через иосредство Остроградского и Буняковского).
Хорошо известно, какое значение придавал П. Л. Че-
бышев естественнонаучным и техническим приложениям
математики, которые он называл практикой: «Несмотря па
ту высокую степень развития, до которой доведены науки
математические.., практика явно обнаруживает непол-
ноту их во многих отношениях; она предлагает вопросы
существенно новые для пауки и. таким образом, вы-
зывает па изыскание совершенно новых метод» [19. с. 150].
Многие выдающиеся математические достижения Чебы-
шева были стимулированы его исследованиями по теории
механизмов. Прямыми учениками Чебышева были такие
крупные русские математики как Л. Н. Крылов, А. А. Мар-
ков, А. М. Ляпунов, упомянутые выше А. В. Васильев,
Д. А. Граве и др., а учениками А. М. Ляпунова являлись
В. А. Стеклов, А. II. Крылов и др. А. М. Ляпунов, созда-
тель математической теории устойчивости, имекмцей не-
оценимое значение для механики и точного естествознания
в целом, говорил о том. что «II. Л. Чебышев и его после-
дователи остаются постоянно па реальной почве, руковод-
ствуясь тем взглядом, что только те изыскания имеют цену,
которые вызываются приложениями (научными или прак-
тическими), и только те теории действительно полезны,
которые вытекают из рассмотрения частных случаев»
120, с. 20].
Ориентация на приложения и конкретные задачи не
означала отхода от строгих и точных методов математиче-
ского анализа, как это нередко случалось в работах фи-
зиков и инженеров. Ближайший ученик А. М. Ляпунова
В. А. Стеклов в качестве программного для традиции
Остроградского—Чебышева, в дополнение к выше ска-
занному, приводит следующее высказывание своего учи-
теля: «Непозволительно пользоваться сомнительными суж-
дениями, коль скоро мы решаем определенную задачу,
будь то задача механики или физики — все равно, кото-
83
рая поставлена совершенно определенно с точки зрения
математики. Она становится тогда задачей чистого анализа
и должна трактоваться как таковая» [21. с. 3].
И В. А. Стеклов, автор классических трудов по мате-
матической физике, был ярко выраженным продолжателем
традиции Остроградского—Чебышева (см. его высказы-
вание. приведенное па с. 2 настоящей работы, а также его
книгу (221), как н А. II. Крылов, который как математик
сформировался под влиянием А. II. Коркина, А. А. Мар-
кова, Д. А. Граве.
Вернемся теперь к А. А. Фридману и В. А. Фоку.
Своим главным учителем Фридман считал В. А. Стеклова,
с которым переписывался до конца своей жизни; Стекло-
вым же и Д. К. Бобылевым, крупным механиком и учи-
телем А. М. Ляпунова, Фридман был оставлен на кафед-
ре чистой и прикладной математики для подготовки к
профессорскому званию.
А. Ф. Гаврилов вспоминал, что Фридман незадолго до
окончания университета организовал семинар, па котором
каждый из участников (кроме Фридмана. Гаврилов,
Я. Д. Тамаркин. В. II. Смирнов и др.) читал какой-нибудь
раздел математики или механики. Хотя семинаром никто
не руководил, «все его участники находились, так ска-
зать. под неофициальным обаянием личности и трудов
академика В. А. Стеклова..» |23, с. 419]. Как справедливо
заметил Л. С. Полак, и за пределами собственно гидроди-
намики, «в теоретической метеорологии и теории относи-
тельности с математической точки зрения Фридман зани-
мался, по существу говоря, исследованием решений диф-
ференциальных уравнений в частных производных с при-
менением его же собственных методов» [24, с. 4441. Конеч-
но, традиция Остроградского—Чебышева была не един-
ственным фактором, повлиявшим на интерес Фридмана
к теории относительности и его космологические исследо-
вания.
Важную роль в распространении ОТО в СССР в 20-е
годы сыграл В. К. Фредерикс, который годы первой ми-
ровой войны провел в Геттингене в качестве частного ас-
систента Д. Гильберта, увлеченного в этот период, как
и Ф. Клейн, идеями ОТО и внесшего в ее разработку фун-
даментальный вклад 125, 26]. С начала 20-х годов Фреде-
рикс находился в тесном творческом общении с Фридма-
ном (так. уже в середине 1922 г. ими был закончен текст
первого выпуска «Основ теории относительности» |27|.
в котором очень ощутимо влияние геттингенской матема-
84
тической физики, ассоциируемой в этот период с именами
Гильберта. Клейна, Минковского; о восприятии теории
относительности в Геттингене см. I3J). Так, через посред
ство Фредерикса на Фридмана, по-видимому, оказала
немаловажное воздействие и геттингенская традиция
математической физики.
В. А. Фок в своих воспоминаниях о Фридмане также
подчеркивал математический характер отношения его
к ОТО: «Фридман же делал упор не на физику, а па мате-
матику. Он стремился к математической строгости и при-
давал большое значение полной и точной формулировке
исходных предпосылок» [28, с. 399|. Вероятно, не случай-
но А. А. Фридману одному из самых близких и блестящих
учеников Стеклова, ближайшего ученика А. М. Ляпунов»,
была поручена в начале 20-х годов подготовка к изданию
трудов последнего, который был наиболее выдающимся
учеником Чебышева.
В. А. Фок закончил физическое отделение физико-мате-
матического факультета Петроградского университета в
1022 г., но своему математическому образованию уделял
особое внимание. Своими учителями в области математики
и математической физики он считал А. II. Крылова, лек-
ции которого о приближенных вычислениях оп высоко
ценил, а также Фридмана, одну из космологических работ
которого он перевел для немецкого журнала «Zeitschr. f.
Phys.», а также в известной мере и ученика Стеклова
Я. Д. Тамаркина, курс лекций которого по теории опе-
раторов и интегральных уравнений — оп слушал его в
1920 г.— подготовил его к активному восприятию кван-
товой механики, особенно ее математической стороны [29|.
Таким образом, п Фока во многом можно отнести к тради-
ции Остроградского—Чебышева, по крайней мере в мате-
матической плоскости его научного творчества. «Умение
оценить п отделить несущественные для конечной цели
свойства физического явления, сформулировать матема-
тическую задачу и разработать общий, пригодный для
круга задач метод решения — характерные черты науч-
ного творчества В. А. Фока, проявившиеся уже в первых
его работах,— писал впоследствии ученик Фока М. Г. Ве-
селов.— Имя В. А. Фока как теоретика, владеющего мощ
ным арсеналом математических средств, способного соз-
давать новые методы и решать трудные задачи прикладной
физики, стало широко известным в первой половине 20-х
годов в кругах физиков и математиков» [29. с. 11 —121.
Когда в 1927—1928 гг. Фоку представилась возможность
85
в течение гида поработать (как рокфеллеровскому стипен-
диату) в одном из зарубежных университетов, он выбрал
Геттинген, где продо икала культивироваться традиция
математической физики, вносившая свой вклад и в освое-
ние только что возникшей квантовой механики. Даже
самый беглый просмотр главных научных работ Фока,
включая его пионерский курс квантовой махаппкп и более
позднюю фундаментальную монографию по ОГО, демон-
стрирует первостепенное значение математического на-
чала в его исследованиях в той его форме, которая была
присуща традиции Остроградского—Чебышева. Ото в пол-
ной мере относится и к его ранним работам по квантовой
механике, связанным с решением уравнения Шредингера
для ряда конкретных задач и с разработкой приближенно-
го метода для решения многоэлектронных задач, и к усо-
вершенствованию математического аппарата квантовой
электродинамики, и к его работам по ОТО.
Заключительные замечания
«Математический канал» восприятия релятивистских
и квантовых теорий, создание которых составило главный
нерв научной революции в физике первой трети XX в.,
имел существенное значение не только па российской поч-
ве, и это было связано с резко возросшей ролью матема-
тики в физике и изменением характера взаимосвязи между
ними, с «завоеванием физики духом математики». Хорошо
известно, сколь велик был вклад математиков в создание,
развитие и распространение этих теорий в Германии
(геттингенская традиция математики и математической
физики — Минковский. Гильберт, Клейн, Г. Вейль. I’. Ку-
рант, фон Нейман и др.), во Франции (А. Нханкаре,
«•. Картан. Ж. Адамар и др.), в Италии (Г. Риччи, Т. Ле-
ви-Чнвита и др.) и других странах. В России, где теоре-
тическая физика в те времена заметно отставала от за-
падной, по где были сильные математические школы и
математические традиции, благоприятствующие восприя-
тию и развитию высокоматематизировапных естественно-
научных теорий, «математический капал» был особенно
важным. За рамками нашего рассмотрения осталось
несколько существенных вопросов, связанных с особенно-
стями «математического восприятия» неклассических тео-
рий в отечественной физике первой трети XX в. Отметим,
по крайней мере, еще два вопроса: 1) место Московской
школы теории функций в рассматриваемом процессе
86
(заметим, например, что первые курсы п научно-популяр-
ные лекции по теории относительности в .Московском уни-
верситете читали крупные представители Московской шко-
лы П. С. Урысон и 11. С. Александров); 2) возможные
отрицательные последствия «вмешательства» математиков
в дела физиков (например, история с «магистерским мате-
матическим барьером» в Петербургском университете:
А. И. Коркин и другие математики предъявляли к физи-
кам слишком высокие требования при сдаче магистерских
экзаменов по математике, из-за чего в течение 25 лет ни
одному из физиков не удалось «остепениться» —
А. Ф. Иоффе видел в этом одну из причин весьма тяжелого
положения, в котором находилась физика в Петербург-
ском университете).
ЛИТЕРАТУРА
1. Ленин В. II. Поли. собр. соч. Т. 18. С. 32G.
2. Минковский Г. Пространство и время II Новые идеи в матема-
тике. Принцип относительности в математике / Под ред. А. В.
Васильева. СПб.: «Образование», 1914. А° 5. С. 1— 22.
3. Pyenson L. The young Einstein: the advent of relativity. Bristol
and Boston: A. Ililger, 1985.
4. Граве Д. А. Значение математики в естествознании. Киев, 19о8.
5. Владимиров В. С., Маркуш И. II. Владимир Андреевич Стек-
лов — ученый и организатор Пауки. М.: Наука, 1981.
6. Умов II. А. Эволюция физических наук и ее идейное значение //
Собр. соч. М„ 1916. Т. 3. С. 438—520.
7. Бачинский А. II. Запросы преподавания физики в области ма-
тематики // Математическое образование. 1914. Вып. 2. С. 83—
89.
8. Лобачевский II. II. Новые начала геометрии с полной теорией
параллельных: (Вступление к сочинению) // Об основаниях
геометрии / Под ред. А. 11. Нордепа. М.: Гоствхтеориздат, 1956.
С. 61—70.
9. Лобач вскии II. И. О началах геометрии: (Первая часть сочи-
нения) // Там же. С. 27—49.
10. Андрианова II. Б. Становление математической модели электро-
статики в математическом физике (1-я половина XIX в.). Ав-
тореф. канд. дне. М , 1987.
И. Лобачевский П. И. Происхождение и распространение звука
в воздухе (1823) // Лобачевский 11. М. Научно псдагогиче» ьое
наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты.
Письма. М.: Наука, 1976. С. 396—399.
12. Герасимова В. М. Указатель литературы но геометрии Лобачев-
ского и развитию ее идем. М.: Госте.хтеорнздат, 1952.
13. Васильев А. В. Пространство и движение. М., 1900.
14. Протокол 144-го заседания Казанского физико-математического
общества 10 октября 19о9 г. // Изв фин.-мат. о-ва при Ка.з.
ун-те. Сер. 2. 1910. Т. 16, № 4. С. 77.
15. Минковский Г. Пространство и время / Пер. А. В. Васильева //
Там же. С. 137—156.
87
1G. Юшкевич ll. С. Принцип относительности п повое учепие о вре-
мени / Летопись. 1916. Июль. Ч. 1. С. 2о4—213. Август. Ч. 2.
С. 19о —21о.
17. Васильев Л. В. Пространство, время, движение. Исторические
Основы теории относительности. Пг.: Тов-о «Образование»,
1923.
18. Письмо II. II. Лузина к О. 10. Шмидту / Публ. И прнмеч.
С, С. Демидова // Пст.-мат. исслед. 1985. Вып. 28. С. 278—286.
19. Чебышев ll. Л. Черчение географических карт Полн. собр.
соч. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1951. Т. 5. С. 150—157.
20. Ляпунов А. М. Пафвутин Львович Чебышев // Избр. матема-
тические труды. М.; Гостехтеорпздат, 1946.
21. Ляпунов А, Л/. Sur ни probleme de Tchebychef // Зап. Академии
наук по физ.-мат. отделению. Сер. 8. 1905. Т. 17, № 3. С. 1—32.
22. Стеклов В. А. Математика и ее значение для человечества. Бер-
лин: ГИЗ, 1923.
23. Гаврилов А. Ф. Воспоминания о Фрпдмапе // Фридман Л. А.
Избр. тр. / Под ред. Л. С. Полака. М.: Наука, 1966. С. 417—
426.
24. Полак Л. С. Жизнь и научное творчество Л. А. Фридмана //
Там же. С. 427—447.
25. Визгин В. II., Горелик Г. Е. Восприятие теории относитель-
ности в России и СССР //‘Эйнштейновский сборник, 1984—1985.
М.: Наука, 1988. С. 7—70.
26. Визгин В. П., Френкель В. Я. Всеволод Константинович Фре-
дерикс — ппопер релятивизма и физики жидких кристаллов
в СССР // Там же. С. 106—142.
27. Фредерикс В. К., Фридман А. А. Основы теории относительнос-
ти. Л.: Академия, 1924. Вын. 1.
28. Фок В. А. Работы А. А. Фридмана но теории тяготения Эйн-
штейна// А. А. Фридман. Избр. тр. И.: Наука. I960. С. 398—4о2.
29. Веселов М. Г. Научная деятельность В. А. Фока // Квантовая
механика н теория относительности. Л.: П.зд-во ЛГУ, 1980.
С. 7—25.
ЛАУРЕАТЫ ПРЕМИИ ФИЛДСА
М. И. Монастырский
3 августа 1986 года на открытии Всемирного конгресса
математиков в Беркли (США) были по традиции названы
повые лауреаты медали Филдса — высшей награды по
чистой математике 1 международного математического со-
юза.
Премия Филдса отметпла первый крупный юбилей —
50-летие своего существования. Петрнвналыюсть этой
С 1982 г. присуждается также премия но прикладной матема-
тике — премия Певаилины.
88
цифры можно оцепить, лишь сделав небольшой экскурс
в историю математических премий.
В XIX в. практически в каждой европейской Акаде-
мии наук были установлены премии за выдающиеся науч-
ные результаты. Многие из них присуждались п иност-
ранным ученым. Но принцип присуждения не позволял
ни о той из премий стать постоянной наградой общеевро-
пейского значения. Премия обычно присуждалась специ-
ально созданным комитетом за решение какой-нибудь
трудной (часто конкурсной) задачи и с самого начала пред-
полагалась быть одноразовой, либо по каким-то обстоя-
тельствам больше не присуждалась, как. например, пре-
мия шведского короля Оскара II, которой удостоился
Анри Пуанкаре.
Ботее регулярный характер носили премии француз-
ской Академии, например, известная премия Бордена.
(В 1888 г. она была присуждена Софье Ковалевской.)
Однако премия Бордена и все другие премии, существо-
вавшие в XIX — начале XX в., не могли претендовать
на мировое и даже общеевропейское значение.
Последний «удар» нанес математике Альфред Нобель,
пе пожелавший включить ее в число паук, достойных на-
граждения основанной им премии 2.
Роль премий, как и вообще международного призна-
ния, несомненно, важна для деятельности отдельных уче-
ных. хотя существует прекрасное высказывание Фрапца
Неймана: «Открытие повой истины само является величай-
шим счастьем; признание почти ничего пе может добавить
к этому». Как всякая мудрая мысль опа, конечно, верна,
по, следуя Бору, противоположное заключение тоже спра-
ведливо. Даже первая красавица, лишенная признаний
в любви, начинает сомневаться в своих чарах. Особенно
важно признание начинающему исследователю.
После первой мировой войны организация междуна-
родной премии нпервые серьезно обсуждалась в l,J2,i г.
па Международном конгрессе математиков в Торонто. Это
был второй международный конгресс после мировой вой-
ны 3. Математики разных стран налаживали прерванные
2 Существует большое число домыслов, особевно любимых авто-
рами популярных статен, *обт ясвяюших» этот 4аьт (см., напри-
мер [1, 2|). Критический анализ этого дан в статье двух всемирно
известных шведских математиков .’I. Гордннга п .'I. Хермандера
в работе [3].
3 Первый послевоенный конгресс проходил в Страсбурге в 1920 г.
Он был небольшим но числу стран и количеству участников.
89
Меда 1ь лауреата премии Филдса
(скульптор Р. Г. Маккензи, Канада)
Надпись на лицевой стороне:
«Превзойти человеческие возможности и познать Все н-нную»,
на оЛ >р >тной:
•Математический мир приветствует ninr к познанию»
войной связи, и было вполне естественно поднять вопрос
об учреждении премии. Инициатором этих обсуждений
был президент конгресса — профессор Дж. Ч. Филдс*.
Однако организация премии оказалась далеко не про-
стым делом. Мир вступил в эпоху различных социальных
катаклизмов, и международное сотрудничество осложни-
лось изменившейся политической картиной послевоен-
ного мира.
Настойчивость Филдса далеко не сразу, но все же дала
плоды. Хотя на следующем конгрессе в Болонье (1928)
ие удалось принять окончательное решение, к 1932 году —
году проведения очередного конгресса в Цюрихе —
предварительное согласие ряда математических обществ
было получено. В начале 1932 г. Филдс составил мемо-
рандум. в котором подробно охарактеризовал статут
новой премии и указал на основные особенности, отлнчаю-
В частности, па нем не присутствовали представители Германии
и союзных oil в во line стран.
Конгресс в Торонто был значительно представительнее, хотя
Германия п ее союзники также ие были приглашены па конгресс.
На конгрессе в Торонто была делегация СССР.
4 Дж. Ч. Филдс (1863 1932) — профессор математики универси-
тета Торонто, президент Канадского королевского института,
чнеи Лондонского королевского общества (1913), член коррес-
пондент Российской академии паук (1924).
90
щпе се. «Я особо подчеркиваю, что медаль должна быть
интернациональна и объективна, насколько это возможно.
Опа ни под каким видом пе должна включать упоминание
о какой-либо стране, институте или личности». 11 действи-
тельно, на медали, в отличие от нобелевской, нет ника-
кого упоминании о Филдсе. 11а ее ободке выгравирована
лишь фамилия лауреата и год присуждения премии (рис.).
Тем пе менее и за премией, л за медалью вполне заслужен-
но закрепилось имя Филдса.
11езадолго до начала конгресса Филде скончался. Часть
своего состояния он завещал на организацию премии.
На Цюрихском конгрессе меморандум Филдса был одоб-
рен; было решено первые премии вручить на следующем
конгрессе в Осло в 1936 г.
В меморандуме Филдса говорилось, что премия должна
не только отмечать уже достигнутые результаты, но и сти-
мулировать дальнейшую деятельность. Первым составом
Филдсовского комитета эта фраза была истолкована как
указание, что премии должны присуждать относительно
молодым ученым.
В первый состав Филдсовского комитета (1932 г.)
входили крупнейшие ученые: Дж. Внркгоф, К. Каратео-
дори, 0. Картам, Ф. Севери (председатель), Т. Такаги.
Первые лауреаты были названы на конгрессе в Осло
в 1936 г. Золотые медали и денежный приз (1л00 долларов)
были вручены двум американским математикам: Джесси
Дугласу (р. 1897) за решение задачи Плато и «Чарсу Аль-
форсу (р. 1907) за работу но теории римановских поверх-
ностей.
Выбор первых лауреатов имел важное значение. Во-
первых, обозначилась некоторая иозрастпая граница:
в дальнейшем все лауреаты были не старше 40 лет. Во-
вторых, при отборе кандидатур в дальнейшем учитывалось
как решение конкретных трудных проблем, так и создание
новых теорий н методов, расширяющих области примене-
ния математики.
Рассмотрение кандидатов проводится специальным ко-
митетом по Филдсовскнм премиям, назначаемым испол-
нительным комитетом Международного математического
союза. Председателем Филдсовского комитета обычно
бывает президент этого союза. Отбор кандидатов осуществ-
ляется весьма тщательно. Обязательно запрашивается
мнение ряда ведущих математиков. Окончательное реше-
ние принимается тайным голосованием (по переписке).
Состав комитета меняется после каждого конгресса. Имена
91
членов комитета, за исключением председателя, хранятся
в тайпе до объявления имен лауреатов на очередном кон-
грессе. Все эти меры обеспечивают максимально возмож-
ную объективность выбора.
Следующий конгресс должен был состояться в США,
традиционно через четыре года. Вторая мировая война
перечеркнула этот план.
Только спустя 14 лет, в I960 г. уже пид эгидой вновь
созданного Международного математического союза, был
созван конгресс в Кэмбридже (штат Массачусетс, США).
Он проходил в Гарвардском университете.
Конгресс 1930 г. как и конгресс 1936 г., к сожалению,
прошел без участия советских математиков. Причины, по
которым советская делегация не смогла принять участие
в работе конгресса в Кэмбридже, были изложены в теле-
грамме, подписанной президентом All СССР С. 11. Ва-
виловым.
Академия наук СССР б laroдарит ла получение искреннего
приглашения сом такам ученым принять участие в работе Между-
народного математического конгресса, проводимого в Кэмбридже.
Советские математики слишком заняты своей повседневной рабо-
той и не смогут посетить конгресс. Надеюсь, что предстоящий кон-
гресс станет важным событием для математической науки. Желаю
успеха в работе конгресса.
U резидент А И СССР С. И. Равилов
Не смог принять участие в работе Филдсовского коми-
тета включенный в его состав А. II. Колмогоров. Филд-
совскпй комитет, расширенный в I960 г. до восьми чле-
нов, собрался в количестве семи человек. II поныне коми-
тет состоит из восьми членов.
В число членов Филдсовских комитетов включались
крупнейшие математики старших поколений. Полный
список членов Филдсовских комитетов, публикуемый
ниже, красноречивее всяких слов говорит об их авторитет-
ности. (В скобках указаны страна и место проведения).
I960 (Кэмбридж, США). X. Бор (председатель), ,1. Альфорс,
К. Борсук, Д. Козамоп, A. II. Колмогоров (не участвовал),
М. Морс, М. Фреше. В. Ходж.
1954 (Амстердам, Голландия). Г. Вейль (председатель), Э. Бом-
ппанн. Ф. Бюро, А. Картан, А. Островский, А. Плейель.
Г. Сеге, Э. Титчмарш.
1958 (Эдинбург, Шотландия). Х.Хоиф (председатель), О. Зарпс-
ский, К. Зигель, А. II. Колмогоров. К. Фридрихе, К. Чанд-
расекхаран, II. Холл, ,1. Шварц.
1962 (Стокгольм, Швеция), Р. Неванлпна (председатель), II. С.
Александров, Э. Артнн. Л. Гордппг, К. Иоспда, С. С. Черв,
X. Уитни, К. Щевалле.
92
966 (Москва, СССР). Ж. де Рам (председатель), Г. Давенпорт,
М. Деиринг, М. А. Лаврентьев, Mi. П. Серр. Д. С. Спенсер,
Р. Том, В. Феллер.
1970 (Ницца, Франция). А. Картап (председатель), Д. Дуб, Дж.
Милнор, II. Туран, ,1. Хермандер, Ф. Хирцебрух, II. Р. Ша-
фаревич, С. Янага.
1974 (Ванкувер, Канада). К. Чандрасекхаран (председатель), Дж.
Адамс, А. Зигмунд, К. Кодаира, Б. Мальграпж, А. Мостов-
cKiiii, Л. С. Понтрягин. Дж. Таит.
1978 (Хельсинки, Финляндия). Д. Монтгомери (председатель),
11. Дженмс. .1. Карлесон. К). Мо»ер. К). В. Прохоров, Б. Се-
кеф ыьви-Надь, М. Пихлер, Ж. Гите.
1983'* (Варшава, Польша). .1. Карлесон (председатель). X. Араки.
II. 11. Боголюбов. II. Маллпавеп, Д. Мамфорд. .'I. Нирен-
берг, Ч. Т. Ч. Уолл. А. Шницель.
1986 (Беркли, США). IO. Модер (председатель), М. Ф. Атья,
II. Делппь. К. Ито. Дж. Милнор. С. II. Новиков, С. Сешад-
ри, .’I. Хермандер.
Награждение происходит на открытии конгресса. Пос-
ле вступительного слова председателя Филдсовс.кого ко-
митета медали вручает почетный президент конгресса.
Средн вручавших медали были, например, король Швеции
(Стокгольмский конгресс 1962 г.), президент Академии
паук СССР М. В. Кел twin (Московский конгресс 1966 г.).
Научная программа конгресса предваряется специальным
заседанием, на котором зачитывают доклады, посвящен-
ные работам лауреатов. Крупнейшие специалисты в соот-
ветствующей области математики дают обзор достижений
филдсовских лауреатов.
Первоначально были учреждены две премии, но улуч-
шившееся положение фонда и частные пожертвования
позволили в 1966, 1970 и 1978 гг. вручить четыре премии,
а в 1983 и 1986 гг.— три премии.
Лауреатами премии Филдса стали следующие математи-
ки (в скобках указан год рождения и место работы лауреа
та к моменту присуждения медали).
1936 Д. Дуглас (1897— 1965. Массачусетский технологический п .-
статут, США), . I. Альфорс (1907, Гарварцгкий университет,
США).
1950 .'I. Шварц (1915, Университет Нанси, Франция), А. Сельберг
(1917, Институт высших исследовании, Принстон, США).
1954 Ж. П. Серр (1926, Университет Парижа, Франция), К. Ко-
даири (1915. Принстонский университет, США).
1958 К. Ф. Рот (1935, Лондонский университет, Великобритания),
Р. Том (1923, Университет Страсбурга, Франция).
* Конгресс должен был состояться в 1982 г., но из-за введения
в Польше военного положения (декабрь 1981 г.), был иереиесеп
на 1983 г.
93
1962 Л. Хермандер (1931, Стокгольмский университет, Швеция),
Дж. Милнор (1931, Принстонский университет, США).
19С6 С. Смейл (1930, Калифорнийский университет, СШ \), П. Ко-
лн, (1934. Стэнфордский университет, США), А. Гротендик
(1928, Парижский университет, Франция), М. Атья (1929,
Оксфордский университет, Великобритания).
1970 Л. Вейкер (1939, Кэмбрвджскпй университет, Великобрита-
ния), С. II. Новиков (1938, Математический институт им.
Стеклова, СССР), Дж. Томпсон (1932, Чикагский универси-
тет, США), X. Хпронака (1931, Гарвардский университет,
США).
1974 Д. Мамфорд (1937. Гарвардский университет, США), Э. Бом-
биерп (1940, Пизанский университет, Италия).
1978 II. Дс шпь (1944. Институт высших исследований Бюр-Сюр-
Иветт, Франция), Д. Квиллен (1940, Массачусетский тех-
нологический институт, США), Г. А. Маргулис (1946, Ин-
ститут проблем передачи информации, СССР), Ч. Фефермап
(1949, Принстонский университет, США).
1983 Л. Конн (1947. Парижский университет, Франция), В. И. Те-
рстон (1946, Принстонский университет, США), Ш. 'Г. Но
(1949, Стэнфордский университет, США).
1986 С. К. Дональдсон (1957, Оксфордский университет, Велико-
британия), Г. Фалтингс (1954, Прпнстопский университет,
США), М. Фридман (1951, Университет Сап Диего, Кали-
форния, США).
Выбор лауреатов показывает тенденцию в развитии
математики и, конечно, отдает дань «моде» в лучшем
смысле этого слова. Среди членов Филдсовских комитетов
выдающиеся математики старшего поколения — тем ин-
тереснее их оценка творчества молодых.
Работы лауреатов охватывают почти все разделы мате-
матики (пока обойденной оказалась .тишь теория вероят-
ностей), и их подробный анализ равносилен созданию эн-
циклопедии современной математики. Поэтому я ограни-
чусь только эскизным описанием результатов лауреатов,
выделяя либо более доступные для краткого изложения,
либо более близкие автору статьи.
Просматривая списки лауреатов, можно заметить, что
больше половины награжденных работает в области алгеб-
раической топологии, алгебраической геометрии и комп-
лексного анализа. Это весьма симптоматично. Несмотря на
очевидную преемственность и «непрерывность» развития
математики, очевидное доминирование этих областей в из-
менении лица математики после второй мировой войны
представляется бесспорным. Перечисленные области в на-
стоящее время так переплетены, что трудно провести меж-
ду ними границу. Тем более трудно провести границу в
творчестве отдельных математиков, особенно учитывая,
94
что направление исследований многих из них сильно ме-
нялось.
Первой Филдсовской премией ла работы по топологии
был отмечен Жан Пьер Серр (премия 1954 г.) — предста-
витель блестящей плеяды французских топологов, вклю
чающей таких математиков как А. Картан и Ж. Лере.
Только война и возрастные ограничения помешали им
стать Филдсовскимн лауреатами. В частности. Ж. П. Серр,
применяя созданный Лере метод спектральных последо-
вательностей, добился принципиальных продвижений в
классической задаче топологии — вычислений гомотопи-
ческих групп сфер.
В дальнейшем интересы Серра сместились в область
алгебраической геометрии. 11м получены первоклассные
результаты в теории когерентных аналитических пучков
и представлений р-адпческнх групп. Кроме того, Серр
известен как автор блестящих монографий и учебников.
Достаточно упомянуть только два из них [4. 5|.
Премия 1958 г. была присуждена Рене Тому — пред-
ставителю той же школы французских алгебраических
топологов. В его работе была построена теория коборднз-
мов. Одна из задач теории коборднзмов формулируется
достаточно просто — найти необходимые и достаточные
условия, чтобы данное компактное многообразие АГ' было
границей многообразия Пг,,+1. Необходимое условие —
равенство нулю чисел Штифеля — Уитни было найдено
ранее Л. С. Понтрягиным. Томом была доказана более
сложная часть — это условие является и достаточным.
Теория коборднзмов Тома продолжила работы совет-
ских математиков Л. С. Понтрягина и В. А. Рохлина и.
в свою очередь, вызвала ряд крупных работ, приведших к
решению труднейших задач топологии. Работы Тома
получили дальнейшее развитие в трудах последующих
лауреатов.
Премия 1962 г. была вручена Джону Милнору. Дж.
Милнор получил ряд важных результатов в задаче о вы-
числении групп коборднзмов многообразий. Однако самым
ярким результатохг Дж. Милнора было доказательство
существования различных гладких структур на семнмер-
иой сфере. Это открытие, поразившее воображение всех
математикой, привело к созданию повой области тополо-
гии — дифференциальной топологии.
Результат Милнора — существование 28 различных
гладких структур на семимерион сфере ни в коей мере не
является «патологическим». 11есколько позднее немецкий
95
математик 3. Брискорн построил псе 28 гладких структур
на S7, задавая их системами уравнении:
+ ^ + 4 +z23+ Z2, = О,
|Ма+1*1|2+|*г|2+Ы2+1*4 Г = 0.
Здесь z0, Zp . . z4— произвольные комплексные числа!
к = 1, . . . 28.
13 работе М. Кервера были построены примеры много-
образий вообще не имеющих гладкой структуры. Спустя
25 лет, С. Дональдсоном было показано, что различные
гладкие структуры существуют уже на /?4. Зтот выдаю-
щийся результат был отмечен премией Филдса в 1986 г.
Дж. Милнор — автор прекрасных книг по теории Мор-
са, характеристическим классам и кобор щзмам [6, 7],
где с исключительной ясностью излагает сложные разделы
математики.
13 следующие годы ряды Филдсовскн.х лауреатов по-
полнили три тополога: М. Ф. Атья, С. Смей i и С. II. Но-
виков.
Майклу Атье (премия 1966 г.) принадлежат важные ре-
зультаты в нескольких разделах алгебраической тополо-
гии и комплексного анализа. Но самым знаменитым ре-
зультатом является, доказанная в 1963 г. совместно с аме-
риканским математиком II. Зингером, теорема об индексе.
Теорема об индексе эллиптических операторов на про-
извольном компактном многообразии I/ может быть сфор-
мулирована в следующей форме.
Пусть D — дифференциальный эллиптический опера-
тор на I/. Известно, что ядро оператора D — ker I) об-
разует конечномерное векторное пространство. Анало-
гично можно определить понятие коядра: coker I) = ker I)*
(здесь D* — сопряженный оператор). Оказывается, что
величина ker D — coker D. называемая индексом (I н<1 D),
не меняется при непрерывных деформациях многообразия
.1/, т. е. является топологическим инвариантом. Гипотеза,
что Ind О выражается через характеристические классы
многообразия М, была высказана II. М. Гельфандом и
доказана Атьей и Зингером.
Теорема об индексе имеет длительную предысторию.
Она вобрала в себя целый ряд классических результатов,
связывающих топологические свойства многообразий с
дифференциально-геометрическими. Например, классиче-
ская теорема Пуанкаре, выражающая сумму индексов
векторного поля на поверхности через эйлерову характе-
ре»
ристику, есть простейший частный случай теоремы об ин-
дексе. Здесь оператор D есть О 01. Дальнейшие обобщения
этой теоремы развивались в нескольких направлениях.
Во-первых, расширялся класс многообразий, например,
теорема об индексе была перенесена на многообразия
с краем, открытые многообразия и т. д. Во-вторых, рас-
ширялся класс операторов. По существу в первоначаль-
ном доказательстве использовался более обширный класс
операторов — псевдоднфференциальиые операторы, тео-
рия которых развивалась в предшествующие годы. Круп-
ный вклад в построение общей теории псевдоднфференцн-
альных операторов внес лауреат Филдсовской медали
1962 г. Ларс Хермандер.
Теорема об индексе нашла применение и в теории комп-
лексных алгебраических многообразий. Ее частным слу-
чаем является теорема Римана—Роха—Хнрцебруха —
ключевой результат в алгебраической геометрии.
Собственно исследования Атьи и Зингера по проблеме
индекса и начались с попыток обобщить теорему Римана —
Роха—Хнрцебруха. В процессе работы они узнали от
С. Смейла о гипотезе Гельфанда. Подробности и другие
тонкие замечания М. Атьи, представляющие общемате-
матический интерес, можпо найти в его интервью журна-
лу «The Mathematical Intelligencer» [SI.
Первоначальное доказательство теоремы Атьи—Зин-
гера было весьма сложным. Оно использовало широкий
спектр математических понятий, начиная от методов то-
пологической A-теории (где основополагающие результа-
ты принадлежали М. Атье, Ф. Хирцебруху и др.) и теории
коборднзмов до теории псевдоднфференцнальных опера-
торов. Соболевских пространств и других тонких фактов
функционального анализа.
Труды нескольких годичных семинаров и школ, по-
священных изучению этой теоремы, вышедшие вскоре
после появления первой работы Атьи и Зингера, дают
представление о трудности первоначального доказатель-
ства. Значение этой теоремы не уменьшается вплоть до
сегодняшнего дня. В последние годы обнаружились ее
интереснейшие применения в физике. Речь идет о проблеме
квантовых аномалий в теории поля и о вычислениях раз-
мерности пространства инстантонов в калибровочных тео-
риях. В этих теориях вычисляется индекс оператора Ди-
рака и его аналогов.
Другой аспект применения теоремы об индексе в физи-
ке имел важное значение для упрощения самого доказа-
4 Заказ М 2061»
97
тельства. После первого варианта доказательства был сде-
лай ряд попыток по его упрощению и прояснению.
Доказательство самих авторов, появившееся в цикле
статей [*Л, а также работы М. /\тьи. Р. Нотта и В. К. 11а-
тоди [101, отличались большей простотой и прозрачностью,
но опирались на тот же круг идей, хотя и удавалось
избавиться от одною плн другого сложного ингре-
диента.
Новый подход к доказательству теоремы об индексе
возник после работ физика Э. Виттена. Первоначально
он применил появившиеся в 70-х годах идеи суперсим-
метрии к доказательству неравенств Морса и формулы
Лефшеца. По, учитывая общую идеологию теоремы об ин-
дексе,.было ясно, что можно использовать этот подход и к
самой теореме.
Этот результат был получен физиком Л. Альварецом-
Гауме [111.
Результат Атьи—Зингера породил новый раздел мате-
матики — аналитическую топологию. Как удачно выра-
зился сам Атья — раньше топологи изучали простые опе-
раторы на сложных многообразиях, а аналитики — слож-
ные операторы на простых пространствах. Теперь настало
время изучения сложных операторов па сложных много-
образиях.
Многочисленные применения теоремы Атьи — Зингера
в различных разделах математики и физики сулят ей не-
сомненно долгую жизнь.
Продолжая знакомство с премированными работами ио
топологии, мы перейдем к трудам лауреата IlMMi г. Стефа-
на Смейта, который получил ряд замечательных резуль-
татов в топологии и теории динамических систем.
Начнем с топологии. Гипотеза Пуанкаре принадлежит
к числу труднейших проблем топологии. В современных
терминах она формулируется в следующем виде: будет ли
замкнутое, гладкое односвязиое многообразие Afn с груп-
пами гомологий сферы Sn гомеоморфно 5".
Самим Пуанкаре эта гипотеза формулировалась в раз-
мерности три. Естественное обобщение на н-мерпый слу-
чай называется «Обобщенной гипотезой Пуанкаре».
Пуанкаре предполагал, что справедливо ботее сильное
утверждение о диффеоморфизме .V" и 5". По, как следует
из существования экзотических сфер Мнлпора. в таком виде
гипотеза несправедлива. С. Смейл доказал более общую
теорему об Л-кобордизме, из которой следует справедли-
вость гипотезы Пуанкаре в размерностях п Г». В раз-
98
мерностях 5 и 6 справедлива усиленная гипотеза Пуанкаре
(о диффеоморфизме .17" и S'1).
Приведем формулировку теоремы Смейла об Л-кобор-
дцзме.
Пусть W’,,+1, Л1п, ST — тройка многообразий, М",
\Jn — границы 1ГЦ+1 : dlCn+1 = ЛГ1 (J .17" и Мп, ЛТ1 —
деформационные ретракты И'"*’. Это есть определение
Л-коборднзма. Если 1Г,,+1 и I/'*, .17" — односвязны, то
И “+j — Мп |t), 1| и, следовательно, .17" днффеоморф-
п<> -17".
Доказательство Смейла искусно использует теорию
перестроек Морса и прекрасно изло.кепо в книге Дж. Мил-
нора [7|.
Па первый взгляд кажется парадоксальным, что дока-
зательство гипотезы Пуанкаре для многомерных про-
странств оказалось более доступным, чем для трех- и че-
тырехмерных многообразий. Это объясняется тем. что
техника перестроек, аффективная в больших размернос-
тях, приводит к сильным вырождениям в малых размер-
ностях. Приблизительно также обстоит дело и с класси-
фикацией многообразий.
Однако в последние годы был достигнут существенный
прогресс в четырехмерной топологии, где наиболее впе-
чатляющие результаты принадлежат лауреатам 1986 г.—
М. Фридману и С. Дональдсону. К этим работам мы вер-
немся чуть позднее.
Обращаясь к другому циклу работ С. Смейла по теории
динамических систем, отметим их глубокую топологиче-
скую основу. С. Смейлу принадлежит заслуга введения
многомерных грубых динамических систем — важного
понятия современной теории. Само понятие грубости ди-
намических систем было точно сформулировано в работе
А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина в 1937 г., по было
изучено в двумерном случае. Понятие грубости системы
д (фференцнальных уравнений формулируется так. Си-
стема уравнений
х = / (х), х — п-мерпый вектор (1)
называется грубой, если малым «шевелением» правой час-
ти (1) топологический тип траекторий (фазовый портрет)
сохраняется. Точная формулировка «грубости» требует
введения ряда понятий и может быть найдена в [121.
В двумерном случае грубые системы Андронова — Понт-
рягина характеризуются следующими свойствами: а) ко-
нечным числом особых точек типа фокуса и седла; б) ко-
нечным числом предельных циклов.
4* 99
В многомерном случае, как показал Смейл, ситуация
радикально меняется. Смейл построил пример грубой си-
стемы, имеющей бесконечное число особых точек, предель-
ных циклов и т. п. Он показал, что грубые системы воз-
никают п из дискретных автоморфизмов. Например, ав-
томорфизмы двумерного тора с собственными значениями:
К, IX. Х> 1.
Им была высказана гипотеза о грубости геодезического
потока на многообразиях отрицательной кривизны. Эта
гипотеза, доказанная позднее Д. В. Аносовым, привела
к выделению важного класса динамических систем с экс-
поненциальной неустойчивостью (К системы — системы
Аносова).
В настоящее время теория многомерных динамических
систем находит интересные физические приложения в тур-
булентности. гидродинамике и т. д. и обогатилась откры-
тиями первостепенного научного значения (странные ат-
ракторы, универсальность Фейгеибаума и ряд других)
|13|.
В 1970 г. медали Филдса за работы по топологии был
удостоен Сергей Петрович Новиков. Ему принадлежат
выдающиеся результаты в нескольких разделах тополо-
гии. Мы начнем со стоящей несколько особняком работы
по теории слоепнй, так как опа находится на границе
теории динамических систем и топологии. Теория слоений
есть многомерное обобщение теории обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений в следующем смысле. Вместо
траекторий в теории слоепнй рассматриваются распреде-
ления гиперповерхностей, задаваемых дифференциальными
формами. Первый ио простоте класс слоепнй — класс
слоений коразмерности t или п — t-.мерпых гиперповерх-
ностей в «-мерном многообразии. Теория слоений доста-
точно новый раздел математики, находящийся на стыке
дифференциальной топологии и дифференциальных урав-
нений. Эта теория, по существу, начинается с работы
Риба, построившего нетривиальные слоения на S".
Слоение Риба. Построим слоение Риба сначала на пол-
ноторин Г)" А 5’, гдеО2 —диск с координатами (j-j, x2)S
GE X)2, xj-]-1. а 51 — единичная окружность, пара-
метризованная углом <р. Зададим слоение геометрически,
с помощью сечений:
а. = С (const) — сечения окружности Sp (.г2 + г2 =
= р. 0 р 1, 5J — точка).
б. Сечения слоения Хг1= рт2 есть кривые t2= 2q»2 (t -]-
100
। ф2), где t — параметр на прямой Xr,= pxlt t — про-
порцнонален длине, 1 ( —1. 1).
Граница D~ S1 -= У3 — образует замкнутый слой. Это
единственный замкнутый слой слоении Риба, остальные
слон гомеоморфны плоскости.
Трехмерную сферу S3 можно получить, склеив два
полноторпя D{ X 5'1 п Д' X 51, отождествив точки гра-
ницы 0D\ х и vD2 х 5-1 => 5s = (D2 x 5}) [J (D2 x
5->). Выбран па каждом полпоторпн по слоению Рнба,
мы, учитывая отождествление границ, получим слоение
Рнба на всей 5s. При этом компактным слоем —Т~ будет
dD2 х 5'1 = dL)2 X 51. Это слоение имеет гладкость Сх.
Существовала гипотеза — любое слоение коразмерно-
сти 1 на 53 имеет компактный слой. С. II. Новикову уда-
лось доказать эту трудную гипотезу. Но ходу доказатель-
ства были предложены конструкции, оказавшиеся важ-
ными дтя дальнейшего развития теории слоений.
Другие работы С. И. Новикова относятся к алгебраи-
ческой топологии. Перечислим важнейшие из них. Клас-
сификация односвязных многообразий Мп (для п 5).
(Этот результат независимо был получен В. Броудером.)
Доказательство топологической инвариантности рацио-
нальных классов Понтрягина. Доказательство Новикова
включает алгебраический аппарат (теорию формальных
групп и др.), который оказался плодотворным и в даль-
нейших исследованиях.
Анализируя работы топологов, мы видим, что многие
из них так или иначе связаны с задачей классификации
многообразий. Работами по четырех- и трехмерным много-
образиям мы и закончим раздел, посвященный топо-
логии.
Майкл Фридман в 1982 г. доказал гипотезу Пуанкаре
Для 51. Нм получен более общий результат — классифи-
кация четырехмерных одпосвязных компактных много-
образий.
В терминах формы пересечения Q, возникающей на
группе когомологий Н2(М*, Z), его результат формули-
руется в следующем виде: любая упимодулярная квадра-
тичная форма над Z (кольцом целых чисел) может быть
формой пересечения Q на Нг(М*, Z).
Уже в следующем, 1983, году С. Дональдсон доказал
Для гладких односвязных многообразий, что если форма Q
чад Z положительно определена, то она приводится к сум-
ме квадратов. Отсюда сразу следует замечательный факт —
101
существование гомеоморфных, но не дпффеоморфпых друг
ДРУГУ многообразий Л/1.
Заметим, что из работы Дональдсона не следует сущест-
вование различных гладких структур на X1 (и тем самым
опровержение усиленной гипотезы Пуанкаре). Для X1,
H2(S*, Z) = 0 и теорема тривиально вырождается. Тем
не менее возможное усиление результатов Дональдсона
приведет к построению различных гладких структур па
5*. Интересно отметить, что из результатов Дональдсона
следует существование различных гладких структур на
некомпактном пространстве /{* (четырехмерном эвклидовом
пространстве). Неизвестно, сколько существует таких
структур. Американский математик Р. Гомпф недавно
построил три такие структуры. (В самое последнее время
Ч. Таубе доказал существование бесконечного (конти-
нуум) числа различных гладких структур па R1).
Классификация двумерных многообразий, замечатель-
ная по простоте и полноте, была завершена к началу
30-х годов. Ио уже переход к трехмерным пространствам
привел к огромным трудностям, казавшимися совершенно
непреодолимыми. Эта ситуация радикально изменилась
после работ Уильяма Терстона. Идеи Терстона и ряда
других математиков позволили продвинуться и в этой,
казавшейся безнадежной, задаче.
Терстон предположил, что трехмерные многообразия
допускают каноническое разбиение на куски, имеющие
определенную геометрическую структуру. Последние сло-
ва нуждаются в расшифровке. Утверждается.что компакт-
ное трехмерное ориентируемое многообразие Л/3 можно
разбить вложенными в него двумерными сферами и торами
на части так, что заклеивая граничные сферы трехмерными
шарами и, не трогая торы, мы получим многообразие 173
с краем, допускающее геометрическую структуру.
Многообразие Л73 называется допускающим геометри-
ческую структуру, если на нем можно ввести полную, ло-
кально однородную рнманову метрику. В большинстве
интересных случаев речь идет о метрике отрицательной
кривизны (гиперболических пространствах).
Полностью гипотеза Терстона не доказана (ее доказа-
тельство включало бы в себя доказательство трехмерной
гипотезы Пуанкаре). Однако для широкого класса много-
образий (так называемых многообразий Хакена) Терстону
удалось доказать свою гипотезу.
Совершенно неожиданной представляется связь топо-
логии трехмерных многообразий с дифференциально гео-
luz
метрическими .характеристиками (существованием на мно-
гообразии гиперболической метрики). В этом направлении
был получен ряд выдающихся результатов. Отметим лишь
один из них, принадлежащий М. Громову.
Для гиперболических пространств объем является
топологическим инвариантом. Более того, существует
лишь конечное число полных гиперболических прост-
ранств, имеющих объем, мепьишй заданной константы.
При изучении трехмерных многообразий обнаружились
удивительно красивые связи между различными ра.зде
ламп математики — теорией клейновых групп, квазикон-
формными отображениями, дискретными группами и мно-
гим другим. Читателю, заинтересовавшемуся этим много-
обещающим направлением математики, можно порекомен-
довать популярную статью [141 и обзор Терстона 1151.
К сожалению. Принстонские лекции В. Терстона (1979)
пока существуют только в виде препринта. Заканчивая
краткий экскурс в работы Терстона, отметим, что в его
исследованиях трехмерных многообразий содержится мно-
го побочных блестящих результатов. Например, им до-
казана, давно стоявшая гипотеза П. А. Смита.
Теорема (гипотеза Смита). Пусть <р: S3—* № — диф-
феоморфизм, сохраняющий ориентацию и <р" = 1. сущест-
вует х <рт = х. Тогда множество неподвижных точек
<р — незаузленная окружность и диффеоморфизм ф со-
пряжен изометрии.
В. Терстону принадлежит ряд интересных результатов
и в других областях математики, например, в теории слое-
ний. В последнее время он занимается и моделями клеточ-
ных автоматов.
Работы Терстона отражают наметившийся в последние
годы интерес к изучению топких связей между алгебро-
геометрическими. дифференциал ьно-геометрическпмн и то-
пологическими характеристиками многообразий.
Здесь естественно перебросить мостик к работам но
комплексному анализу. В нарушение естественной хро-
нологии, я начну с работ лауреата 198-3 г.— Шинг-Тунг
По, математика разносторонних интересов. Крупным до-
стижением Яо явилось доказательство гипотезы Е. Ка-
ла би.
Гипотеза Калаби. Пусть М— компактное кэллерово
многообразие с кэллеровой метрикой g.^ п ассоциирован-
ной формой го
<•>=(' -')^г> A dz*- (2)
11)3
В 1954 г. Калаби предположил, что каждая кэллерова
форма (2) когомологична форме о», порожденной тензо-
ром Риччи.
Многочисленные следствия этой теоремы показывают
ее важность для комплексного анализа и алгебраической
геометрии. Приведем одпо из них — известное, как гипо-
теза Ф. Севери.
Если комплексная поверхность гомотопна СР2 (дву-
мерная комплексная проективная плоскость), то она би-
голоморфна СР2-
Другим результатом Яо. имеющим значение, выходя-
щее за рамки чистой математики, явилось доказательство
(совместно с Р. Шоеном) гипотезы о положительности
массы в ОТО. Ими было доказано, что для нетривиальной
изолированной физической системы полная энергия, вклю-
чая вклад материи и гравитации, положительна.
Опуская изложение других' интересных результатов
Яо. упомянем еще работы по трехмерным многообразиям
(выполненные совместно с В. Мппксом). И t были дока-
заны давно стоящие проблемы в теории минимальных
поверхностей. Полученные результаты (теорема об экви-
вариантной петле) оказались важными и для доказатель-
ства гппотезы Смита.
В цикле работ, выполненных совместно с X. В. Лоу-
соном. оп описал класс многообразий, обладающих мет-
рикой отрицательной кривизны, на которых действует
компактная пеабелева группа преобразований.
Нужно отметить, если доказательства, предложенные
Яо, часто включают сложный аналитический аппарат (на-
пример. для доказательства гипотезы Калабп), исполь-
зуются априорные оценки, сами результаты имеют алгеб-
раическую или топологическую природу.
Вернемся па 30 лет назад. В 1954 г. медаль Филдса
была вручена Кунпхико Кодаире. Его работы принадле-
жат сразу трем разделам математики: топологии, комплекс-
ному анализу н алгебраической геометрии. Па примере
работ Кодаиры видно, как условно это деление.
Наиболее важный результат Кодаиры — критерий а.ч-
гебраичности компактного комплексного многообразия.
Он доказал, что компактное комплексное многообразие
является алгебраическим тогда и только тогда, когда
опо является многообразием Ходжа, т. е. его фундамен-
тальный класс когомологий над С (комплексными числа-
ми) изоморфен классу над Z.
Работы Кодаиры подвели итог под длительным пери-
104
одом исследований а пебраических многообразий над по-
лем комплексных чисел. Но мнению такого выдающегося
математика как Герман Вейль, эти работы явились круп-
нейшим вкладом в теорию комплексных многообразий
после работ В. Ходжа.
Г. Вейль, как председатель Фплдсовского комитета
1954 г., произнес речь о работах лауреатов К. Кодаиры
п Ж. Серра. Любопытно, что у Вейтя возникла трудность,
связанная с разделением области исследования у обоих
математиков. Он сказал: «У непосвященного может воз-
никнуть ощущение, что Филдсовскпй комитет плохо ра-
ботал, так как выдал две награды за похожие работы.
И его задача показать, что несмотря на некоторое пере-
сечение в методах, они дают решения совершенно различ-
ных труднейших проблем».
В последующие годы связи между алгебраической гео-
метрией, топологией и комплексным анализом стали еще
теснее.
Медалью Филдса за работы по алгебраической геомет-
рии в 1966 г. был удостоен Александр Гротендик. С его
именем связывают фундаментальный переворот в алгеб-
раической геометрии, повлиявшей и на другие разделы
математики. Введенная им концепция схем перевела ал-
гебраическую геометрию на совершенно другой уровень
абстракции, оставшийся недоступным математикам с тра-
диционным образованием. Теория пучков, спектральные
последовательности и другие новинки конца 40-х — на-
чала 50-х годов, были поглощены этой сложной техникой.
По если некоторые математики могли какое-то время
утешаться надеждой, что вся эта сложная конструкция
«абстрактная чепуха» *, дальнейшие работы самого Гро-
тендика и его последователей показали, что в терминах
А'-фупктора Гротендика, мотивов и других столь же слож-
ных понятий могут быть решены классические проблемы
алгебраической геометрии и теории чисел, неподдавав-
1Uнеся усилиям нескольких поколений первоклассных ма-
тематиков.
Ряд выдающихся результатов, полученных в этом кру-
ге идей, был удостоен награды в следующие годы.
Хеисуке Хиронака удостоен медали в 1970 г. за рг»-
шение важной проблемы — о разрешении особенностей
алгебраических многообразий над полями нулевой ха-
рактеристики.
• Термин «абстрактная чепуха» в алгебре имеет совершенно кон-
кретный смысл и не песет негативной оценки.
105
9/4 г. премия присуждена Дэвидх Мамфорду, дале-
ко продвинувшему решение классической проблемы алгеб-
раической геометрии — описание многообразия модулей
абелевых многообразий. Иго работы включают чисто ал-
гебраическое построение теории О-фупкций. Нельзя пе
упомянуть и о его работах по теории инвариантов, воз-
родивших интерес к этой классической области матема-
тики, связанной с именами Гильберта. Гордона, Клебша
и ряда других крупных математиков XIX — начала XX в.
Работы Мамфорда находятся в русле многообещающих
исследований последних десятилетий, направленных на
слияние обобщающих концепций современной алгебраиче-
ской геометрии и блестящих конкретных результатов клас-
сической математики, полученных трансцендентными ме-
тодами, в частности, и трудах итальянской школы алгеб-
раической геометрии.
В 1978 г. Пьер Делит* получил премию за доказатель-
ство гипотез Л. Вейля о ^-функциях над конечными по-
лями. Из результатов Делиия следует, в частности, клас-
сическая гипотеза Рамануджана — Петерсона.
Гипотеза Рамануджана—Петерсона. Рассмотрим па-
раболическую форму
Д(9) =Я П (1 - у")2* = £т («)9П. |?|< ’•
ч=1
Тогда |т (р)| < 2р”б для всех простых р.
Формулировка гипотезы Рамануджана—Петерсона до-
статочно проста, ио доказательство, рассчитанное на ма-
тематика-неспециалиста в алгебраической геометрии, по
словам самого Делиня, занимает около 2000 страниц.
Последней из отмеченных медалью Филдса работ по
алгебраической геометрии послегротеидпковской эры ста-
ла замечательная работа Герда Фалтпигса. доказавшего
гипотезу Морделла, стоявшую более 60 лет. Сделан прин-
ципиальной важности шаг на пути к доказательству по-
следней теоремы Ферма.
Гипотеза Морделла (в упрощенном виде) предполагает,
что система алгебраических уравнений с рациональными
коэффициентами, задающая алгебраическую кривую ро-
да > 2, имеет конечное число целочисленных решений
(точек).
При доказательстве гипотезы Морделла Фалтппгс ис-
пользовал некоторые результаты Делиня и советских ма-
тематиков С. Аракелова, 10. Зархииа, Ю. Манина, А. Пар-
106
шина и И. Шафаревича. Представление о доказательстве
фелтингса можно получить по статьям [16, 171.
При выборе лауреатов всегда старались соблюсти ос-
новной принцип основателя премии — награждать как за
решение конкретных трудных задач, давно стоящих в ма-
тематике, так и за создание новых концепций, расширяю-
щих наше знание.
Если говорить о решении конкретных классических
задач, то в наиболее чистом виде к ним можно отнести ра
боты лауреатов в области аналитической теории чисел.
Начиная с Агле Сельберга. награжденного в 1950 г.
за цикл исследований по большому решету — элементар-
ному методу доказательства теоремы о распределении
простых чисел, теория чисел широко представлена в ра-
ботах. отмеченных премией.
В 1958 г. был награжден Клаус Рот за доказательство
точной оценки в теоремах Туэ—Зигеля о приближениях
алгебраических чисел рациональными. Им доказана сле-
дующая теорема.
Если а — любое алгебраическое число т-п степени,
то неравенство
|а — р g| < 1 д'
имеет конечное число решений при любом ж > 2.
К этой тематике примыкают работы А. Вейкера (пре-
мия 1970 г.), развившего мощный метод доказательства
трансцендентности чисел задаваемыми линейными форма-
ми от логарифмов алгебраических чисел. Эти результаты
ycii.iif.iii классические теоремы А. (). Гельфоида. К. Зи-
геля о трансцендентности чисел вида л + 1п а. Методы
Бейкера впервые позволили дать эффективную оценку
чпсла решений диофантовых уравнений. Ранее был из-
вестен лишь сам факт конечноеги числа решений.
Последним в этом списке теоретиков-числовпков надо
отметить работы Энрико Бомбиери (премия 1974 г.) по
большому решету.
Работы Э. Бомбиери выходят за рамки теории чисел.
Это исключительно разносторонний математик, которому
принадлежит ряд первоклассных работ и в других разде-
лах математики (теории алгебраических чисел, классиче-
ском анализе, алгебраической геометрии).
Я остановлюсь лишь на одном результате, полученном
в 1969 г. Бомбиери совместно с Е. Де Джорджи и Е. Джу-
сти — многомерном аналоге теоремы С. П. Бернштейна
из теории минимальных поверхностей.
107
Теорема Бернштейна имеет долгую историю. В 1902 г.
Бернштейн доказал, что полная двумерная регулярная
поверхность с нулевой средней кривизной в /?3 есть плос-
кость. Возникла гипотеза, что это верно в любой размер-
ности. В 1968 г. Дж. Саймонсом была доказана теорема
Бернштейна в размерности п < 7. Однако для У?" 1
(п = 7) аналог этой теоремы оказался неверным.
В той же работе Саймонс привел пример еще одного
класса локально минимальных поверхностей в /{-"'-ло-
кально минимальные конусы.
Конусы Саймонса, как было показано в работе трех
авторов, дают глобальный минимум при п > 7. Весьма
топкое доказательство остроумно использует па послед-
нем этапе теорию Бендпксопа—Пуанкаре.
К классическим проблемам математики относится и за-
дача о классификации конечных простых групп. Эта за-
дача в настоящий момент, по-видимому. окончательно
решена и здесь важный вклад принадлежит Джону Томп-
сону (премия 1970 г.).
Забегая несколько вперед, надо сказать, почему в точ-
ном математическом утверждении возникло слово «по-ви-
димому». Оно принадлежит крупному специалисту в тео-
рии конечных групп Д. Горенштейну и связано с возник-
шей здесь проблемой, весьма необычной в истории мате-
матики.
Доказательство полноты полученной классификации
содержит порядка 5000 журнальных страниц. При этом
для полного понимания требуется еще столько же страниц
дополнительных результатов. Кроме того, часть резуль-
татов получена с помощью компьютера. Поэтому только
проверка всего доказательства представляет труднейшую
задачу.
Частичное изложение появилось в книге Д. Горен-
штейна [18]. и готовятся (а может быть, уже вышли) его же
два тома с подробными доказательствами.
Классификация простых конечных групп неизмеримо
более сложная вещь, чем, например, классификация про-
стых алгебр Ли. Среди простых конечных групп исклю-
чительных групп очень много. Порядки таких групп мо-
гут быть очень велики. Например, порядок группы (мон-
стра) Фишера—Грпсса:
2«.32°-5e-7e-11М33-17-19-23-29-31-41-47.59-71.
Доказательство простоты исключительных групп тре-
бует сложной и весьма специальной техники. Нахождение
108
окончательного списка исключительных простых групп
и завершило классификацию. Однако очень трудным был
и предыдущий этап: доказательства ряда общих теорем о
структуре простых групп. Эти теоремы позволили найти
общие закономерности в строении конечных простых
групп.
В этом направлении результаты Дж. Г. Томпсона ис-
ключительно важны. В совместной с В. Фейтом работе,
нм быта доказана фундаментальная теорема: все неабе-
левы простые группы имеют четный порядок.
Работы Дж. Томпсона связаны со всей проблематикой
конечных групп. Он активно работает в этой области и в
последующие годы. Любопытно отметить, что одну из
проблем, поставленных Дж. Томпсоном, недавно решил
Э. Вомбиери.
Рассказывая о работах Филдсовских лауреатов, все
время сталкиваешься с трудностью отнесения данной ра-
боты к какому-нибудь традиционному разделу математи-
ки, так изменилось лицо математики за последние 30 тет.
К какой области математики отнесли, например, рабо-
ты Г. Маргулиса и Д. Квиллена?
Наиболее важным результатом Григория Александро-
вича Маргулиса считается доказательство гипотезы Сель-
берга об арифметичпости одного класса дискретных
групп. Сам результат формулируется достаточно просто,
однако его доказательство потребовало виртуозного вла-
дения техникой теории алгебраических групп, использо-
вания мультипликативной эргодической теоремы, теории
квазиконформных отображений и многого другого. Круп-
ный французский математик Ж. Титс, представляя работы
Г. Маргулиса на конгрессе в Хельсинки, сказал: «за год,
когда я вел семинар по работам Маргулиса, я узнал о ма-
тематике больше, чем за все предшествующие годы».
Теория дискретных групп тесно связана с теорией ри-
мановых поверхностей. Еще в работах Ф. Клейна п Л. Пу-
анкаре было обнаружено, что описание римановых по-
верхностей рода >1 может быть сведено к изучению
дискретных подгрупп группы SL (2, 7?) (унпмодулярной
группы с det = 1), действующей па верхней полуплос-
кости с+ (Iinz>0) дробно-линейно g: >
{а, Ь\
U JeE.VL(2./O-
Дискретная подгрхппа FCZSL(2, 7?)— подгруппа
SL (2, Z) подгруппа матриц в SL(2, И) с целочнс юнпыми
109
коэффициентами. Другими дискретными подгруппами в
SL(2, В) будут подгруппы конечного индекса в SL(2, I).
Хорошо известно, что все римановы поверхности рода
> 1 компактного и некомпактного типа можно получить,
факторпзуя С+ по Г', где Г' — дискретная подгруппа в
SL(2, В).
Многомерные обобщения двумерной теория возможны
в различных направлениях. Одна из естественных задач
может быть сформулирована в следующем виде. Описать
все дискретные подгруппы Г группы SL(n, В) такие, что
пространство SL(и, 7?)7Г имеет конечный объем (относи-
тельно имеющейся инвариантной меры). Заметим, доказа-
тельство утверждения: SL(n, /?)/SL(n, Г) имеет конечный
объем,— принадлежит III. Эрмиту. Многие такие факты
из теории алгебраических чисел могут быть сведены к по-
добным общим постановкам. Не вдаваясь в подробные опре-
деления, заметим, что дискретная подгруппа SL(n, Z)
является важным примером так называемых арифметиче-
ских подгрупп.
Арифметические подгруппы полупростых групп Ли
характеризуются свойством р(67/Г) где р, — объем
G/Г относительно инвариантной меры.
Г. А. Маргулис доказал фундаментальную теорему,
утверждающую, что при определенных условиях па ранг
G(rg G > 2), верно и обратное утверждение. Всякая дис-
кретная подгруппа Г С G, такая, что p(G/F) < -с, ариф-
метпчна.
Различные обобщения этого результата и ряд красивых
следствий в теории дискретных групп и примыкающих к
ней разделов математики, полученные в пос Юдине годы
многими известными математиками, свидетельствуют о
глубине и содержательности теорем Маргулиса.
Г. А. Маргулису принадлежат интересные и красивые
результаты и в других областях, например, в эргодической
теории, теории слоений. Анализируя стиль работы
Г. А. Маргулиса, нельзя не поразиться его исключительной
оригинальности. Привлекая зачастую идеи из совершенно
других областей математики, он максимально простым
путем движется к цели.
Одна из теорем, явившаяся ключевой для доказатель-
ства теоремы об арнфметичиости, была им анонсирована
за несколько лет до появления полного доказательства.
Несмотря на усилия ряда крупных специалистов в этой
области, они не смогли самостоятельно восстановить его.
Оригинальное доказательство Маргулиса оказалось весь-
110
ма простым и совершенно неожиданным для специалистов.
Лауреат премии 1978 г. Даниель Квиллен является
крупным специалистом в области алгебры и алгебраиче-
ской топологии. Его достижения крайне трудно изложить
в краткой и доступной для неспециалиста форме. Отметим
лишь, что одним из впечатляющих достижений Д. Квилле-
на стало доказательство гипотезы Серра о строении проек-
тивных модулей над кольцом непрерывных функций. (Этот
результат был о (повременно и независимо получен ленин-
градским математиком А. А. Суслиным). Нс мепее знаме-
нитым результатом Квиллена считается и доказательство
гипотезы Адамса в топологической А-теорни.
Математика в представлении прикладников в большой
степени воспринимается через анализ. Но в списке лауреа-
тов чистых аналитиков относительно мало. Помимо уже
упоминавшегося .’I. Хермапдера, специалиста по диффе-
ренциальным уравнениях!, среди лауреатов мы видим
J1. Шварца н Ч. Фефермана.
Лоран Шварц (премия 19.»0 г.) удостоен премии за
труды по теории обобщенных функций (распределений).
Теория обобщенных функций, ведущая свое начало от
работ математиков 7К. Адамара, М. Риса, С. Л. Соболева
и физика 11. Дир ка7, в работах Л. Шварца приобрела за-
копченный вид и нашла широкие приложения. Его труд
«Theorie des distributions» наряду с шеститомным кур-
сом «Обобщенные функции», написанным II. М. Гельфан-
дом с соавторами, стал настольной книгой специали-
стов по функциональному анализу.
С именем Чарльза Фефермана связано возрождение
интереса к классическим проблемам анализа. Им получены
сильные результаты в вещественном и комплексном анали-
зе, включая решение проблемы двойственности для прост-
ранств Харди и исследование сходимости рядов Фурье в
случае функций нескольких переменных. Очень интерес-
ным представляется и цикл исследований ио классифика-
ции биголоморфпых областей. Здесь используются резуль-
таты по точным оценкам функций Бергмана. В работах
Ч. Фефермана гармонично сочетаются методы веществен-
ного и комплексного анализа. Особенно красивые резуль-
таты этого подхода видны в работах по вещественным ги-
перповерхностям в комплексных многообразиях.
7 В последние годы обнаружилось. что б-фупкиня Дирака уже
встречалась в трудах О. Хевисайда в конце XIX в.
111
Работы Алана Конна (премия 1983 г.) можно отнести
к функциональному анализу с некоторой натяжкой. Наи-
более сильные результаты им получены в теории факторов —
красивейшем творении Дж. фон Неймана в теории опера-
торов. В работах Дж. фон Неймана и Ф. Мюррея (ЗО-е —
40-е годы) были заложены основы теории факторов.
Основные положения этой теории, имеющей своими ис-
токами коммутационные соотношения квантовой механи-
ки. сводятся к следующему.
Пусть А — кольцо операторов, действующих в гиль-
бертовом пространстве Н, а А' — кольцо перестановоч-
ных с А операторов. Кольца А и А' называются фактором,
если Л П А' = 7.Е, Е — единичный оператор. В конеч-
номерном случае кольца 1„ изоморфны кольцам всех мат-
риц, действующих в пространстве Нп. Это следует из лем-
мы Шура. Размерность К" — есть единственный инвари-
ант фактора Лп. В бесконечномерном случае ситуация
неизмеримо сложнее Помимо фактора описанного типа,
онп называются факторами типа I, есть еще два класса
факторов, факторы типа II и III. Усилиями мпогпх мате-
матиков задача о классификации факторов типа 11 и III
была далеко продвинута. В частности. Р. Пауэрс построил
в 1967 г. непрерывное семейство попарно пеизоморфных
факторов типа III. А. Конну принадлежит заслуга в пол-
ной классификации факторов типа III.
Другой многообещающий цикл исследований А. Конн
выполнил в совершенно новой области — некоммутатив-
ной алгебраической геометрии.
В связи с работами А. Коппа хочется сделать замеча-
ния общего характера. Судьба работ фон Неймана и Мюр-
рея по теории факторов весьма любопытна. Несомненно
онп пппципровались глубоким интересом фон Неймана к
проблемам квантовой механики. Это ясно из текста его
статей. Предполагалось, что факторы найдут приложения
в квантовой теории поля и статистической физике. По,
кроме весьма искусственных и эпизодических приложе-
ний, этого пока не произошло. Впрочем, новейшее разви-
тие теории поля, включая двумерные конформные теории,
может изменить положение.
Приложения работ А. Конна по некоммутативной ал-
гебраической геометрии возникли совсем недавно и свя-
заны с новой областью в квантовой теории поля — .моделя-
ми суперструн. Э. Виттен применил эти рафинированные
результаты к выводу лагранжианов для суперструн.
Совершенно непредсказуемые пути приложений весьма
112
абстракты! X математических конструкции иллюстрируют
«непостижимую эффективность математики в естественных
науках». 11, как говорят англичане, «last by not least» 8.
Несколько особняком стоит работа Поля Коэна по
математической логике, решение континуум гипотезы.
Контппуум-гппотеза была поставлена Георгом Кантором
в 1878 г. Несколько более поздняя формулировка такова:
доказать, что по существует множества промежуточной
мощности между счетным множеством и множеством
мощности континуум Заканчивая в «Matliemati-
sche Aniialeii» статью словами «продолжение следует»,
Кантор полагал в следующей части статьи дать доказа-
тельство контннуум-гппотезе. Однако оно никогда не
появилось.
Многочисленные попытки нескольких поколений мате-
матиков доказать пли опровергнуть континуум-гипотезу
не увенчались успехом. Крупный результат в этой области
был получен Куртом Геделем в 1938—1910 годах, доказав-
шим, что контннуум-гнпотеза совместна с аксиомами тео-
рии множеств, включая аксиому выбора. 11, наконец,
в 1963 г. II. Коэн доказал, что континуум-гипотеза не мо-
жет быть выведеиа из аксиом теории множеств.
Наряду с теоремой К. Геделя о неполпоте арифметики,
это фундаментальный результат общенаучного и философ-
ского значения.
Оглядывая этот краткий и поневоле поверхностный об-
зор премированных работ, видишь впечатляющую картину
достижений математики за последние 50 лет.
Прослеживая судьбу лауреатов Фнлдсовской медали,
нельзя не признать, что идея ее создателя явилась исклю-
чительно стимулирующей. Сейчас живы почти все луреа-
ты премии Фплдса (только Джессн Дуглас скончался в
1965 г). Многие из них и после награждения получили
первоклассные результаты и являются общепризнанными
авторитетами в соответствующих областях. Ряд лауреатов
сменил круг интересов, но и в новых для себя областях
получил важные результаты. Например, Р. Том стал ос-
нователем теории катастроф, нашедшей важные примене-
ния в механике, физике, экологии и т. д., С. П. Новиков
занялся теорией нелинейных уравнений и общей теорией
относительности. С. Смейл — экономикой и вычислитель-
ной математикой.
8 Хотя и последний, но не менее важный (анел.).
113
В последние годы поили лисп и другие крупные между-
народные математические премии. Пока трудно говорить
об их долголетии или сравнивать с Филдсовской премией.
Наиболее значительная из них — премия Вольфа —
основана па других принципах. Она скорее венчает карье-
ру крупных математиков (так во всяком случае пока вы-
глядит список награжденных). Характерно, что средн
получивших премию Вольфа есть уже и первые Филдсов-
ские лауреаты: А. Сельберг, Л. Хльфорс, К. Кодапра,
Л. Хермандер.
Стоит ли сравнивать Фнлдсовскую медаль с Нобелев-
ской премией? Счастливая идея Филдса давать ее молодым
увенчалась полным успехом.
Основным источником подробных ссылок являются
труды конгрессов (Proceedings of the International Mathe-
matical Congresses).
Практически все лауреаты были приглашенными пле-
нарными или секционными докладчиками, а некоторые п
не один раз. Доклады печатаются в трудах конгрессов и
дают непосредственное представление о полученных ре-
зультатах.
Недавно появилась прекрасно изданная «Иллюстриро-
ванная история математических конгрессов» [191. В пей
имеется краткое описание всех математических конгрессов,
начиная с конгресса 1893 г. в Чикаго. Приведены фотогра-
фии всех лауреатов медали Филдса и их краткие биогра-
фии.
Интересные материалы, касающиеся основания меда-
ли, включая текст завещания Филдса, приведены в статье
X. Троппа [201.
Крупный французский математик Ж. Дьедопне посвя-
тил историческому обзору достижений в чистой математи-
ке в XX в. большую книгу [211.
.111 ГЕРА ГУРА
1. Смирнов С. Вез Нобелевских премии // Знание — Сила. 1983.
№2. С. 30—31.
2. Абель .V., Абель Э., Флейшер А. Математика: 85 лет без Нобе-
левских премий // Наука и жизнь. 1987. .V 2. С. 62—63.
3. Carding L., Ilormander L. Why is there no Nobel Prize in mathe-
matics // The Mathematical Intelligencer, 1985. Vol. 7. X 3
P. 73—74.
114
4. Серр Ж. П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969.
5. Серр Ж. П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.
0, .Милънор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965.
7 . Милънор Дж. Теорема об h-кобордизме. М.: Мир, 1969.
8 \п interview with Michael Ativah // The mathematical intelli-
' gencer. 1984. Vol. 6, N 1. P. 9—19.
9 Атия M. Ф., Зингер 11. M. Индекс эллиптических операторов.
1 „ УМИ. 1969. Т. 23, вып. 5. С. 99—143.
10. Атия М„ Ботт Р., Патоди И. К. Уравнение теплопроводности
и теорема об индексе // Математика (со. переводов). 1973. Т. 17,
.\: 6. С. 3—48.
И. Altares-Gaume L. Supersymmetry and the Atiyah—Singer index
theorem // Commun. math. phys. 1983. T. 90. P. 161 — 173.
12. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // УМН.
1970. Т. 25. А» 1. С. 113—185.
13. Странные атракторы (сб. статен). М.: Мир. 1981.
14. Терстон У. II., Уикс Д. Р. Математика трехмерных многооб-
разии // В мире науки. 1984. Т. 9. С. 74—88.
15. Thurston И'. Р. Three dimensional manifolds, Kleinian groups
and hyperbolic geometry // Bull. amer. math. soc. 1982. Vol. 6.
P. 357—382.
16. Bloch S. The proof of the Mordell conjecture // The mathematical
intelligencer. 1984. Vol. 6, N 2. P. 41—47.
17. Harris I). The Mordell conjecture // Notices amer. math. soc.
1986. Vol. 33. P. 443—449.
18. ГоренштейнД. Конечные простые группы. Введение в их клас-
сификацию. М.: Мир, 1985.
19. International Mathematical Congresses. An illustrated history
1893—1986. N.Y.: Springer. 1986.
20. Tropp II. S. The origing and history of the Fields .Medal// llisto-
ria math. 1976. Vol. 3. P. 167 —181.
21. Dieudomie J. A panorama of pure mathematics. N.Y.: Acad.
Press, 1978.
ПУБЛИКАЦИИ
О ПЕРЕПИСКЕ П. П..1УЗППА
С П. А. ФЛОРЕНС КИМ
С. С. Демидов. А. II. Паршин,
С. М. Половинкин
Предлагаемая вниманию читателей переписка продол-
жает начатую в предыдущем выпуске «Историко-матема-
тических исследований» публикацию материалов о рапной
истории московской школы теории функций из архива
выдающегося философа и ученого Павла Александровича
Флоренского (1888—1943).
Формирование в начале нынешнего столетия Москов-
ской школы теории функций Егорова—Лузина относится
к важнейшим событиям в истории отечественной науки.
Московская школа и Петербургская школа, основанная
П. Л. Чебышевым, образовали тот фундамент, на котором
выросла одна из наиболее авторитетных математических
школ нашего времени — советская математическая шко-
ла. Отсюда тот живой интерес, который всегда проявляли
математики и историки математики к истокам и первым
годам деятельности московской школы.
Начало разработки ее истории падает уже на послево-
енные годы. Так, появившийся в 1948 г. первый выпуск
«Историко-математических исследований» открывается ста-
тьей П. С. Александрова, Б. В. Гнеденко и В. В. Степано-
ва о развитии математики в Московском университете в
XX в. [1 ]. Центральное место в ней отводится легендарной
«Лузитании» и идеям ее основателей и выдающихся дея-
телей.
Эта тема была продолжена статьей II. С. Александрова
[2]. опубликованной в вышедшем в 1955 г. 8-м выпуске
«Историко-математических исследований». Там же были
опубликованы два документа, относящиеся к биографии
скончавшегося в 1950 г. Н. И. Лузина.
В дальнейших выпусках «Историко-математических
исследований», а также на страницах «Успехов математи-
ческих наук» и других журналов появился ряд матерна-
116
Николай Николаевич Лузин
лов, касавшихся различных сторон деятельности москов-
ской школы теории функций: ограничимся упоминанием
ставших широко известными работ П. С. Александрова
13], А. II. Колмогорова ]4|, Л. А. Люстерппка [.">], Д. Е.
Меньшова [<»|- большинство этих публикаций носило ха-
рактер обзоров пли мемуаров. Историко-математические
исследования, в собственном смысле этого слова, были
очень немногочисленны, хотя отдельные аспекты деятель-
ности школы были подвергнуты серьезному изучению в
работах П. И. Кузнецова |7], Ф. А. Медведева ]8|, А. П.
Юшкевича [9] и др.
В 80-е годы интерес к истории московской школы тео-
рии функций заметно возрос. Отчасти это объясняется от-
празднованным в 1983 г. столетием со дня рождения Лу-
зина, сопровождавшимся рядом публикаций (см., напри-
мер, составленную П. И. Кузнецовым брошюру |10| или
опубликованное впервые па русском языке предисловие
А. Лебега к книге Лузина об аналитических множествах
111]). Но, вероятно, главной причиной, определившей рост
117
интереса, послужило то обстоятельство, что, наконец,
образовалась необходимая для исследователя дистанция,
с которой изучаемые события становятся действительной
историей. Мы уже можем взглянуть на них беспристрастно,
обладая необходимой перспективой для отделения главно-
го от второстепенного.
Нет ничего удивительного в том. что начало активному
и целенаправленному изучению генезиса и первых шагов
Московской школы теории функций отмечено комменти-
рованными публикациями архивных материалов. Ибо изу-
чение генезиса столь сложных в истории пауки явлений
необходимо должно опираться па архивные изыскания.
В случае Московской школы теории функций это особо
важно, так как начальный период ее истории пришелся на
очень непростую для нашей страны эпоху, охватывающую
первую мировую войну, революцию, гражданскую войну
и сложное и противоречивое время 20—ЗО-х гг., трагиче-
ским образом преломившееся в судьбах действующих лиц
нашей истории — Д. Ф. Егорова. II. II. Лузина, II. А.
Флоренского и др. Архивные источники помогают прави ль-
но понять многое из известного пам по публикациям, за-
полнить некоторые пробелы, а в ряде случаев даже внести
существенные коррективы.
Первой крупной публикацией архивных материалов
стало предпринятое в 1980 г. Ф. А. Медведевым прп уча-
стии А. II. Юшкевича издание писем Д. Ф. Егорова к
II. II. Лузину [12|. Затем, уже в 1986 г. в 30 выпуске по-
явились упомянутые выше публикации [13—17|. основан-
ные на материалах из архива Павла Александровича Фло-
ренского.
II. А. Флоренский в 1900 - 1901 гг. учился на математи-
ческом отделении Московского университета. Он был ини-
циатором и душой студенческого кружка при Московском
математическом обществе [13J. Ученик II. В. Бугаева и
активный пропагандист идей Г. Кантора, он во многом
способствовал созданию атмосферы, благоприятной для
восприятия в Москве идей новомодной теории функции
действительного переменного [13J.
Он был старшим товарищем Лузина и их дружеские
отношения сохранились на всю жизнь. Фотография Фло-
ренского с его дарственной иадппсью стояла на лузипском
письменном столе.
Предлагаемая переписка Флоренского и Лузина охва-
тывает период с 1901 по 1922 г.
Для Флоренского это годы учебы (1901—1908) в Мес-
ив
Навет Александрович Флоренский
конской духовной академии, в которую он поступил сразу
по окончании физико-математического факультета Мос-
ковского университета, затем работы в этой академии в
качестве профессора кафедры истории философии, подго-
товки и защиты (1914) магистерской диссертации «О Ду-
ховной Истине», составившей часть его известного труда
«Столп и утверждение Истины» [1<S|. изданного в 1914 г.
Для Лузина это время окончании университета, первой
(1905—1906) и второй (1910—1914) заграничных команди-
ровок. блестящей защиты диссертации «Интегра i и три-
гонометрический ряд» (1916). С 1911 г. он приват-доцент,
а с 1917 профессор Московского университета.
Для обоих корреспондентов — это время упорной ра-
боты, больших творческих взлетов и достижения при-
знания.
Флоренский жил в Сергиевском Посаде (г. Сергиев —
нынешний Загорск) *, где располагалась духовная акаде-
мия, и лишь изредка бывал в Москве. Лузин, в свою оче-
редь, время от времени наведывался к Флоренскому в
Сергиевский Посад, где зачастую проводил лето. Он любил
1 В публикуемой переписке наряду с этим названием употребля-
ются п другие — Сергиев Посад (посад). Мы приняли форму
написания, наиболее часто употребляющуюся в переписке и на
штемпелях.
11!)
этот городок и его окрестности и очень высоко ценил
встречи и беседы с Флоренским (об этом см., например,
публикуемые ниже письма XXX от 4 августа 1915 г. и
XXXIII от 21 апреля 1916 г., а также примечание 1 к не-
му). Отголоски этих бесед мы находим в их письмах, осо-
бенно в более пространных, написанных в период загра-
ничных командировок Лузина, когда корреспонденты бы-
ли лишены возможности общаться лично.
Последнее из публикуемых писем датировано 18 ок-
тября 1922 г. Дальнейших писем обнаружить не удалось.
Возможно, их и пе было. Затухание, а затем и прекраще-
ние переписки скорее всего связано с тем, что 21 января
1921 г. Флоренский поступил работать в Карболитную
комиссию ВСПХ, где заведовал научно-техническими ис-
следованиями. Помимо этого в том же 1921 г. он был из-
бран профессором Высших художественно-технических
мастерских (ВХУТЕМАС) по кафедре «Анализа прост-
ранственности в художественных произведениях» печатно-
графического факультета. В связи с этим он жил в Москве
у В. 11. Лисева 1 по адресу: Большая Спасская д. 11 кв. 1.
Лишь на выходные дни он возвращался в Сергиевский По-
сад. Так что ввиду возможности личных встреч с Лузиным
необходимость в переписке отпала.
В переписке затрагивается очень широкий круг тем.
Здесь и сведения о деятельности студенческого математи-
ческого кружка при Московском математическом общест-
ве, о научной жизни в Москве (например о том, с каким
трудом некоторые московские математики воспринимали
появление идей теории множеств — письмо XVI 1908 г.
или о дискуссии по поводу правомерности использования
аксиомы произвольного выбора, которая ожидалась на
защите диссертации Лузина — письмо XXII1 1916 г.),
о математике и математиках Геттингена и Парижа.
В письмах обсуждаются и проблемы личные и семейные
(женитьба обоих корреспондентов, неурядицы в семье
Лузиных, вопросы, связанные с детьми Флоренского, бо-
лезни Лузина и т. д.), отношения с общими знакомыми и
впечатления Лузина от посещения Италии.
1 Лисев Василии Иванович — один из изобретателей карболита
(диэлектрик, который в первые годы после революции заменил
дорогостоящий иностранный бакелит). Именно В. И. Лосев в
1920 г. пригласил П. А. Флоренского работать на московском
заводе «Карболит», деятельность которого была связана с осу-
ществлением плана ГОЭ.'1 РО (но воспоминаниям Е. К. Апушки-
ной о И. А. Флоренском).
120
Но главное, конечно, это «общие вопросы» философии
и науки и все связанное с ними.
Характер взаимоотношений обоих корреспондентов в
период, охватываемый перепиской, меняется. Вначале —
это отношения двух товарищей-студентов. Волее старший
и умудренный Флоренский имеет на Лузина сильное нрав-
ственное и интеллектуальное влияние, он определяет его
интерес к «общим вопросам», к философии, при этом к
философии пе просто как к предмету, достойному размыш-
лении (такое отношение проскальзывает, например, у
Д. Ф. Егорова), но как к занятию жизненно необходимому.
Человек должен выработать мировоззрение и в соответст-
вии с ним должен определять жизненную позицию и каж-
дый свой поступок.
Постепенно их отношения несколько выравниваются:
Лузин становится известным математиком, он приобретает
уверенность в своих силах, у пего вырабатываются собст-
венные взгляды на многие принципиальные вопросы, в
ряде случаев кардинально отличающиеся от воззрений
Флоренского. Так, они сильно расходятся во взглядах на
актуальную бесконечность (см. письмо XXX от 4 августа
1915 г.).
Переписка содержит интересные сведения о занятиях
Лузина философией: о его чтении, о некоторых вопросах,
которые, вероятно, были предметом бесед с Ф оренским,
о плане написания Лузиным какой-то заметки по филосо-
фии для редактировавшегося Флоренским журнала (см.
письмо от 24 октября 1915 г.). Лузин-философ — тема,
требующая самого серьезного изучения, ибо от ее прояс-
ненности существенно .зависит решение более общей зада-
чи —' выяснение философских предпосылок создания и
развития Московской школы теории функций.
В переписке мы находим важные свидетельства об эво-
люции интересов Лузина в математике. В частности, она
позволяет уточнить время поворота Лузина к исследовани-
ям в области теории функций действительного перемен-
ного.
В письме от 1 мая 190В г. из Парижа Лузин очерчивает
круг своих математических занятий — символическая ло-
гика и теория множеств. Весьма вероятно, что уже тогда
он занялся континуум-гнпотезой, о безуспешных попытках
доказать которую мы узнаем из его письма от В. IV 1912
(об этом см. ниже). В 1908 г. он заинтересовался алгебраи-
ческой теорией чисел. В 1909 г. изучает «Учение о линей-
ном протяжении» Г. Грассмана и пытается строить проек-
11’1
тивную геометрию трансцендентных кривых. В этом же
году в одном из инеем мы находим первое глухое упомина-
ние о континуум-проб (емс: «Летом думаю готовиться к
пробным лекциям и разработать несколько тем: «возмож-
ность проективной геометрии трансцендентных кривых»
н Koiit iiiiiiim-probleine». Следующие слова из письма . (узи-
на от 24.XII.1909 дают основание предположить, что к
концу этого года он оставляет надежды на решение проб-
лемы и начинает занятия теорией функций: «Что дальше
делать не знаю. Интерес н вера в символическую логику
пропали. Влечет теория функций и теория электронов».
А уже к концу следующего года тематика его дальнейших
занятий определяется окончательно. В письме от 23.IX
1910. написанном незадолго до его трехлетней командиров-
ки в Германию и Францию, он писа i: «Теперь начинаю
понемногу работать в области тригонометрических рядов...
Обнаружил прискорбный факт, что, занимаясь Mengen-
lehre, я отстал в других областях». Во время этой команди-
ровки ои и подготовит свою знаменитую диссертацию «Ин-
теграл н тригонометрический ряд». Сам он в письме от
6(23).IV 1912 так напишет об этом из Парижа: «Во время
командировки мной была предпринята работа о тригоно-
метрических рядах Fourier, которая почти доведена до
конца. Вероятно, это и будет первой диссертацией. Работа
была предпринята главным образом для меня самого, так
как после неудачи с Continuum-problem мне просто хоте-
лось проверить свои силы и выяснить причины неудачи
(их происхождение). Так как работа, делаемая не случай-
но и «вдохновением» (как я хотел этого ранее), но упорным
напряжением, удалась почти вся (сейчас заканчиваю) —
то я получил некоторую бодрость и лучше чувствую себя
(духовно)». Представляя натуру Лузина, его нервность и
впечатлительность, мы можем догадываться о глубине
того душевного кризиса, в который повергла его неудача
с проблемой континуума и о сложностях выхода из тяже-
лого состояния.
Особенностью предлагаемой переписки является то,
что Флоренский выступает в иен преимущественно через
восприятие Лузина — через его письма к Флоренскому
(из 39 сохранившихся и публикуемых писем лишь 7 при-
надлежат Флоренскому!). Для характеристики Флорен-
ского как математика и мыслителя, как личности, инте-
ресны фрагменты из писем Лузина к жене Надежде Ми-
хайловне, урожденной Малыгиной, помещенные в приме-
чаниях.
122
Говоря о Флоренском как о математике, надо всегда
иметь в виду, что математиком-профессионалом в обычном
смысле слова он не был. Задачи математики как таковой
его мало интересовали. Нам не известно ни одного случая,
когда он занялся бы какой-либо задачей, представлявшей
интерес с точки зрения чисто математической.
Математика для Флоренского — мощное средство, да-
ющее возможность моделирования в самых различных об-
ластях, включая философию и богословие. Все приводи-
мые им математические конструкции служат именно этой
цели. Классификация трансцендентностей — разъясне-
нию вопроса о небесной иерархии, теорема П. Дюбуа-
Реймона о типах возрастания — выяснению возможности
бесконечного совершенствования личности, его интерпре-
тация комплексных чисел — построению модели соеди-
нения двух миров. Причем важно, как подчеркивал сам
Флоренский, что предлагаемые модели «не аналогии или
сравнения, а указания на сходство по существу,— не что-
либо. что можно принимать, но можно и не принимать, в
зависимости от вкусов, а нечто, правомерность чего опреде-
ляется достаточно раздельными посылками; короче — не-
обходимо-мыслимые схемы» (19. с. 4|. Математика — бо-
гатейший источник таких схем-моделей, а потому ее зна-
чение как орудия мнропознания всеобще.
Что же более всего ценил Лузин в трудах Флоренского?
Прежде всего — критику системы взглядов, широко рас-
пространенных в среде российской интеллигенции, и, ши-
ре, среди тех. «чья профессия думать». Эти взгляды ведут
к «мировой трагедии жизни и разума». Флоренский не толь-
ко отвергает эту систему взглядов, но и предлагает соб-
ственную концепцию, показывает «чем жить». Понимание
этого, считал Лузин, есть самое главное в жизни каждого
человека. Возможно, здесь и кроется основание самоуничи-
жения Лузина (он ведь только математик!) и превознесе-
ния им Флоренского, проявившееся в письмах.
Молодому Лузину могли импонировать идеи аритмо-
логии, призванные, по мнению Флоренского и деятелей
Московской философско-математической школы, корен-
ным образом изменить все способы познания и действия
человека. Об этом нет ни слова в переписке, возможно, по-
тому, что это было очевидным для обоих.
Сказанного достаточно, чтобы оценить значимость пред-
лагаемой вниманию читателей переписки для истории ма-
тематики и шире — для истории отечественной культуры.
123
Все публпкуехгые материалы хранятся в семье Флорен-
ских: письма II. II. Лузина и II. М. Лузиной, а также
письма 11. А. Флоренского к 11. М. Лузиной (примечания
к письму XXVII) и II. Н. Лузину (письмо XXIX) — в
подлинниках, остальные материалы — в копиях.
Авторы благодарят внуков Флоренского — А. С. Тру-
бачева и П. В. Флоренского за предоставленные архивные
материалы и консультации.
Письма II. II. Лузина подготовлены для печати
С. С. Демидовым, А. 11. Паршиным и С. М. Половинкиным,
письма 11. А. Флоренского — А. А. Санчесом и II. В. Фло-
ренским.
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров 11. С., Гнеденко И. В., Степанов В. В. Развитие
математики в Московском университете в XX в. (до 194(1 г.) //
Историко-математические исследования. М.: ГИТТЛ, 1948.
Вып. 1. С. 9—42.
2. Александров II. С. Математика в Московском университете в
первой половине XX века // Историко-математические исследо-
вания. М.: ГИТТЛ, 1955. Вып. 8. С. 9—54.
3. Александров II. С. Страницы автобиографии // Успехи мат.
паук. 1979. Т. 34, выи. «. С. 219—249; 1980. Т. 35, вып. 3.
С. 241—278.
4. Колмогоров А. II. Воспоминания о П. С. Александрове // Ус-
пехи мат. паук. 1986. Т. 41, вып. 6. С. 187—203.
5. Люстерник Л. А. Молодость московском математической шко-
лы I Успехи мат. паук. 1967. Т. 22, выв. 1. С. 137—161; вып. 2.
С. 195—253; выи. 4. С. 147—185; 1970. Т. 25, выи. 4. С. 188—
196.
6. Меньшов Д. Е. Воспоминания о молодых годах и о возппкпоие-
нии Московской школы теории функц iii II Исторпко-математи
ческпе исследования. М.: Наука. 1983. Вып. 27. С. 312—333.
7. Кузнецов II. II. Дмитрий Федорович Егоров (к 100-летию со
дня рождения) // Успехи мат. паук. 1971. Т. 26. вып. 5. С. 169—
210.
8. Медведев Ф. А. Подготовка теоретико-множественных и теоре-
тике функциональных исследований в России // Очерки исто-
рии математики и механики. М.: Изд-во АН СССР. 1963. С. 48—
66.
9. Юшкевич А. И. История математики в России. М.: Наука, 19С8.
10. Николай Николаевич Лузин / С ост. П. И. Кузнецов. М.: Зна-
ние, 1983.
11. Лебег А. Предисловие к книге Н. 11. Лузина «Лекции об ана-
литических множествах и их приложениях» // Успехи мат.
наук. 1985. Т. 4о, вып. 3. С. 9—14.
12. Письма Д. Ф. Егорова к II. Н. Лузину I Предисл. П. С. Алек-
сандрова. Публ. и прпмеч. *]». А. Медведева при участии А. П.
Юшкевича II Ист.-мат. исслед. М.: Наука, 1980. Вып. 25.
С. 335—361.
13. Демидов С. С. Из ранней истории Московской школы теории
функций // Там же. 1986. Вып. 30. С. 124—130.
124
14 Медведев Ф. А. О курсе лекций Б. К. Млодзеевского по теории
функций действительного переменного, прочитанных осенью
1‘Ю2 г. в Московском университете 7 Там же. С. 131» -148.
15. Половинкин С. Л/. О студенческом математическом кружке при
Московском математическом обществе в 1902—1903 гг. // Там
же. С. 148-158.
10. Флоренский П. А. Введение к диссертации «Идея прерывности
как элемент миросозерцания» / Публ. н примем. С. С. Демидова
и Л. Н. Наришна // Там ;ке. С. 159—177.
17. Пулин И. II. О рестрикторах / Публ. п примем. С. С. Деми-
дова // Там же. С. 177—181.
18. Флоренский II. А. Столпи утверждение истины. М.: Путь, 1914.
19. Флоренский II. Л. П тинах возрастания. Сергиевский Посад,
1900.
ПЕРЕПИСКА Н. II. ЛУЗИНА
С И. А. ФЛОРЕНСКИМ
Публикация и примечания
С. С. Демидова, А. II. Паршина,
С.М. Половинкина и II. В. Флоренского*
I
II. II. Лузин — И. А. Флоренскому
31 мая НИМ г. Москва
Флоренский!
Но поручению Николая Егоровича Жуковского 1 сооб-
щаю Вам отрадную весть а: Вы оставлены при Универси-
тете. 11<иколай> Егорович просил Вас явиться к профессо-
ру Лахтину 3 и возможно скорее.
Дай Бог Вам всего лучшего.
Ваш товарищ Николай Лузин
Р. S.
Прибыл к Вам в 4 часа 57'3’ дня 31 мая 1904 года 4.
* Даты в письмах, за исключением отдельных, оговоренных слу-
чаев, даны по старому стилю. Вставки в письмах, сделанные пуб-
ликаторами. отмечены скобками < >. В некоторых случаях сохра-
нена авторская орфография (например, Еллада, король Едуард,
дай Бог и т. п.).
Слова и фразы, выделенные в данных письмах полужирным
шрифтом, в оригинале были подчеркнуты, за исключением пи-
сем 111 и IV, написанных на бланках.
125
Примечания
Записка оставлена II. Н. Лузиным па квартире Флоренского
опа вложена в маленький конверт, на котором великолепным .ту.
ЗППСК11М почерком выведено: Павлу Александровичу г-ну Флорей
скому от Лузина.
1 Жуковский Николай Егорович (1847—1921) — механик и ма-
тематик, профессор Московского университета, один ни учителей
П. А. Флоренского, относившийся к своему ученику с неизменной
любовью.
2 В конце мая 1904 г. Флоренский окончил фпзпко-математн!
ческпй факультет Московского университета по отделению mutJ
матнки с дипломом первой степени.
3 Лахтин Леонид Кузьмич (1853—1927) — математик. профес
top Московского университета, под его руководством Флоренский
писал свое кандидатское сочинение «Идея прерывности как элемент
миросозерцании» (см.: Историко-математические исследования. М.:
Паука. 1987. Вып. 31». С. 159—176).
4 Вероятно. Лузин пародирует манеру Флоренского точно ука-
зывать время и место написания письма.
11
II. Н. Лузин — II. А. Флоренскому
8 сентября 1904 г. Москва
8. IX 1904
Флоренский!
С Вами сильно желал бы увидеться вольнослушатель
нашего курса — Николай Евлампиевич Добрнцкий *. Он
думал было поговорить с Вами в этом году, будучи на 4-ом
курсе, когда Вы намерева шсь посещать некоторые лек-
ции, по теперь, ввиду изменившихся обстоятельств 2,
приходится поспешать. Он зайдет к Вам в пятницу (10)
между 6-ым и 7-ым часом вечера. Не знаю, будет ли для
Вас это возможным. Если нет, будьте добры, известите.
Человек он — образованный и очень, очень хороший.
Всего вам лучшего.
Ваш товарищ Николай Лузин.
Прнмечпния
Письмо доставлено почтой. Оба штемпеля — 9 сентября 1904 г.
Адрес ва конверте: Здесь. Обыденский переулок, дом Ковригина
(против храма Христа Спасителя) квартира 44.
1 Никаких сведений о II. Е. Добрнцком найти не удалось.
1 Флоренский принял решение не оставаться в университете,
но поступать в Московскую духовную академию, расположенную
в Сергиевском НоСаде.
126
Ill
И. JI. Лузин — II. А. Флоренскому
23 сентября 1904 г. Москва
Во вторник 28 сентября сс”о 1904 года в механической
аудитории прн помещении механического кабинета имеет
бьть 14 неочередное заседание Математического (студен-
ческого) Общества.
П]>едметы заседания:
Н. Е. Жуковский
♦О траектории воздушного змея»
[Извлечение из сообщения, которое будет сделано
«большому» математическому обществу] ’.
К. И. IIIа пошляков 3
«О плотности жидкостей и парообразовании»
В. А. Костицын 8
«Заметка о рядах Фурье»
(Пример рядов, изображающих ступенчато-ломаные
кривые с числом зубцов = (п); эти ряды при переходе
и к -к> начинают изображать совершенно посторонни''
формы, не имеющие ничего общего с функцией, изобра-
женной рядом конечного (п). Сильно подозреваю униформ-
ность 4 ряда относительно (и)].
Пачало заседания в 7 1 2 ч. вечера6.
5-го октября в профессорском математическом общест-
ве будут доклады:
Н. Е. Жуковского
«О траектории воздушного змея» 8 и
Власова 7
«О интегральных линейных ур<авпен>иях» 8
[В эти ур(авнен>ия входит, по-видимому, линейно
а'
j /(«.У-’’)da.
а.
где у искомая функция, х независимое ее переменное, a
переменное интеграла, а0 и а, = constant’ы.]
21 сентября там же был одни только реферат Власова*
о его пребывании в Геттингенском университете.
127
Примечания
Извещение отправлено на адрес духовной академии. Моснов-1
скип штемпель — 23.9.04. Сергиевского посада — 24.9.04.
Текст на типографском бланке извещения о заседаниях Студен-
ческого математического кружка при Московском математическом
обществе (см.: Половинкин С. М. О студенческом математическом
кружке при Московском математическом обществе в 1902—1903 гг. //
Историко-математические исследования. М.: Наука, 1986. Вып. 30.
С. 148—158.) Текст, выделенный здесь полужирным шрифтом, па
бланке набран типографски, все остальное вппсано от руки.
1 Этот доклад был сделан 19 октября. (См.: Извлечения из про-
токолов заседаний Московского математического общества // Мате-
матический сборник. 1906. Т. 25. вып. 4. С. 712).
* Шапошников Константин Николаевич — студент физико ма-
тематического факультета Московского университета, впоследствии
профессор физики Иваново-Вознесепского политехнического инсти-
тута и Ярославского педагогического института.
3 Костицын Владимир Александрович (1882 -1963 г.) — сту-
дент математического отделения физико-математического факульте-
та Московского университета, впоследствии известный математик,
специалист по математическим вопросам зкологпи и эволюции био-
логических макросистем, ученик Д. Ф. Егорова и В. И. Вернад-
ского.
4 Слова «сильно подозреваю унпформпость» следует понимать
в смысле: сильно сомневаюсь в равномерности.
4 Дальнейший текст нанисап на обороте повестки.
4 См. примеч. 2.
7 Власов Алексей Константинович (1868—1922) — геометр,
приват-доцент, впоследствии профессор Московского университета. I
8 Доклад «Работы Гильберта по линейным интегральным урав-
нениям» был сделан 16 ноября Власовым, незадолго до этого вер-
нувшимся из командировки в Геттинген. (Извлечения из про-
токолов заседаний Московского математического общества И Мате- i
магический сборник. 19(i6. Т. 25, вып. 4. С. 713.)
• Доклад Власова «Два семестра в Геттингене (из заграничной
командировки)», был сделан 21 сентября 1904 года. (Извлечения из
протоколов заседаний Московского математического общества И 1
Математический сборник. 1996. Т. 25, вып. 4. С. 710.)
IV
Н. И. Лузин — П. Л. Флоренскому
21 октября 1904 г. Москва
Во вторник 24 октября сего 1904 года в механической
аудитории при помещении механического кабинета име-
ет быть 15-ое неочередное заседание Математического (сту-
денческого) общества.
Предметы заседания:
Е. А. Болотов 1
«Парадоксы в области теории трения».
128
с. С. Бютгснс 1 2
«О суммах стеиенеп натуральных чисел»
Н. Н- Горячев 3
«Трисекция угла с приближением».
2 ноября в нрофес(сорском) математическом} общест-
ве будут сообщения:
1) Волкова
«О математическом съезде»
и 21 Власова
«Работы llilbeil’a в теории интегральных ур(авне-
н>ий» *.
Последний реферат был отложен 19 октября и перено-
сится на 2 ноября.
Начало заседания в 7 1/2 ч. вечера.
Примечания
Письмо отправлено на адрес духовной академии. Оба штемпе-
ля— 21.04.04.
Так же как предыд.мцее отправление, настоящий текст на типо-
графском извещении заседаний Студенческого математического
кружка. Точно также приведенный выше полужирным шрифтом
текст набран типографски. Далее, за исключением слов «Начало
Заседания в 7 1/2 ч. вечера», от руки.
1 Болотов Евгений Александрович (1870- 1922) — механик,
ирпват-доцепт Московского университета, с 1914 г. ординарный про-
фессор Казанского университета, с 1921 — заведующий кафедрой
теоретической .механики Московского Выешего Технического учи-
лища. Доклад «Парадоксы в области теории треиин» связан с под-
готовкой им магистерской диссертации «О движении материальной
плоской фигуры, стесненной связями с трением» в 25-м томе Мате-
матического сборника (см.: Цыганова II. Я. Евгений Александрович
Болотов. М.: Паукп, 1969).
* Бюшгенс Сергеи Сергеевич (1882 1963) — впоследствии in
вестиый геометр, профессор Московского университета (см. о нем:
Успехи математических наук. 1953. Т. 8, выи. 4. С. 185—192).
3 Горячей Николай Ннкаидрович (1883—194(1) — ученик
Б. К. Млодзеевского, впоследствии профессор Томского универси-
тета и Томского технологического института (см.: Круликовский Н. Н.
История развития математики в Томске. Томск. 1967. С. 37—39).
1 Доклады А. А. Волкова «Съезд математиков в Гейдельберге»
и Власова (см. примем. 8, с. 128) были сделаны 16 ноября 1904.
(См.: извлечения из протоколов заседаний Московского математи-
ческого общества .'/ Математический сборник. 1906. Т. 25, выи. 4.
С. 713.)
5 Заказ М 20С0
129
V
II. IT. Лузин — II. А. Флоренскому
19 ноября 1904 г. Москва
Флоренский!
Во вторник 23 ноября в 7 1 2 часов вечера будет 16-ое
заседание математического} студ<енческого} общества.
Предметы сообщений:
A. II. Некрасов 1
«Разложение в ряд пертурбационных функций»
В. С. Любатович 2
«О погрешностях в измерении площадей» н
II. 3. Эпштейн3
«Определение заряда электронов»
Заседание было бы гораздо интереснее, ес ш бы в са-
мую последнюю минуту II. II. Жегалкин 4 пе отказался
от обещанного ранее реф(рата. Приходите на следующее
заседание (в декабре). Будут рефераты чисто математиче-
ские: профессора} Егорова ь, студ. 2-курса и. может
быть, мой. Второй секретарь у пас Костицын 8 — хоро-
ший работник, идейный человек. Собрать старшие курсы
во-едино в интересах общества пока не удается: слишком
мало работников, да и те проникнуты русским духом раз-
розненности. А еще справедливее потому, что нет у нас
умения склеивать. Во всяком случае, пока наш курс
держится в университете, также и 3-й курс — общество
будет живо. Несколько тяготит новое помещение для за-
седаний. Собираемся при помещении механического каби-
нета, в том этаже, где продаются коночные билеты. Что
касается до экономической части общества, то банкротст-
ва не будет. Бываю на заседаниях «большого» математи-
ческого} общества. В самом деле — оно, если приглядеть-
ся, скучнее. Я имел другое о нем представление. Можно
на его заседаниях собрать ценный психологический мате-
риал. Жалко того идеального типа профессора-ученого,
который когда-то сложился в душе. Это — просто —
буржуа. В последнем «большом» заседании Волков делал
доклад о международном математическом} конгрессе 7.
Между прочим па математической его секции были Bo-
rel 8, G. Cantor ’нт. д. Па этой секции G. Cantor заявил,
что ему удалось преобразовать отрезок без конечных точек
в отрезок с концами. По доказательства пока не дал. Потом
130
поднялся другой какой-то молодой математик и сквзал,
что возможность этого преобразования влечет за собой
парадоксы и привел к тому доказательства. G. Cantor,
с большой нервностью слушавший его, заявил, что «эти
минуты для него самые критические в жизни; что он еще
подумает». Этим Волков о Канторе и ограничился.
А я Вами. Флоренский, до слез разобижен. За что, за
что Вы комплексному переменному дали в зубы? Да еще
публично! *" Я очень рад был тому, что Вы отметили совре-
менную нервную крикливость в научных работах. Что,
в самом деле, люди забывают о научной дороге н тяготеют
к путям, где известность продается распивочно и навынос!
По за мнимое переменное очень больно. Вы очень хороню
знаете, какую роль играет дифференциальное ур(авне-
н)не. Знаете также, что все способы до сих пор известные
интеграции его — есть только уловки — только частные
случаи единой общей теории интеграла — теории на почве
исключительно комплексного переменного; что мы интег-
рируем ур(авнеи>ие для того, чтобы знать значения ин-
тегралов в любой точке действительной оси, или мнимой
плоскости; что это именно знание и даст в недалеком буду-
щем аналитическая теория днф<ференци>алыюго уравне-
ния; что при хорошо развитой этой теории, мы знали бы
критические точки интегралов и значения их в обыкновен-
ных—знали бы все. что нужно, все свойства, и «интегра-
ция», как ее теперь еще понимают, сделалась бы излиш-
нею. Разве только для того, чтобы полюбоваться кучей
символов (результат «интеграции»)... Я думаю, что ввиду
этого нельзя называть мнимое переменное модным вопро-
сом. Это вопрос жизни, вопрос, такой же важности — как
и вопрос о трансфиннте. По крайней мере тому, для кого
живые люди всего дороже...
Я с большим интересом прочел характеристику Can-
tor’а, как еврея. Очень интересно было проследить расо-
вые математические отличия ".
Как Вы чувствуете себя? Чем занимаетесь? Много ра-
боты? Занятия интересны?
Какую работу считаете для себя обязательной в буду-
щем?
Всего Вам лучшего.
Ваш тов. II. Лузин.
19 ноября 1904 г. 7 часов 10'41" вечера.
5* 131
Примечания
Московский штемпель па конверте — 21.11.04. штемпель Сер-
гиевского посада — 22.11.04. Адрес: Тропце-Сергпевский Посад,|
духовная академия, Е. В. Б. Павлу Афанасьевичу Г-ну Флорей
скому от Лузина. Написание «Афанасьевичу» вместо Александро-
вичу имеет, судя по письму VII (см. прпмеч. 1 к пему) какой-то не-
ясный нам смысл.
1 Некрасов Александр Иванович (1883—1957) — механик и ма-
тематик. впоследствии академик (1940).
г О В. С. Люблтовнче сведений пе имеется.
3 BiniiTeiin Павел Зигмундович (Спгнзмуп ювпч) (Пауль Софус)
(1883—1900) — впоследствии известный физик-теоретик, в 1906 г.
окончил Московский университет, где работал до 1914 г., в 1919—
1921 гг. преподавал в Цюрихском университете, в 1921 1953 —-
профессор Калифорнийского технологического института.
* Жегалкпн Иван Иванович (1869- 1947) — приват-доцент Мос-
ковского университета, впочедствнн его профессор.
• Егоров Дмитрий Федорович (1869—1931) — профессор Мос-
ковского университета, один из основателей Московской школы
теории функций, впоследствии почетный член АН СССР.
• См. прпмеч. 4 к письму III.
7 См. прпмеч. 5 к письму IV.
" Борель Эмиль (1871 -1956) — одни из создателей теории
функций действительного переменного.
• Кантор Георг (1845- 1918) — создатель те< рпп множеств,
как самостоятельной дисциплины.
10 Лузин имел в виду следующее место в статье Флоренского «О
символах бесконечного. (Очерк идей Г. Кантора)»: *Ов (Кантор)
отка «ывался от известности п славы, на которую, несомненно, имел
полные основания рассчитывать, пренебрегая суетным желанием
написать нечто в роде того, чем создаются репутации, н шел мимо
модных вопросов (мнимо? переменное, п т. Д.)» (Новый путь. 1994.
.V 9. С. 226).
11 Речь идет о работе Флоренского «О символах бесконечного.
(Очерк идей Г. Кантора)», упомянутой в прпмеч. 10. На с. 193 Фло-
ренский писал: «Хочется сказать, что идея потенциальной бесконеч-
ности есть национальная идея арийцев, по преимуществу индусов,
как актуальной — семитов, главным образом евреев».
VI
Л. Л. Флоренский — II. Н. Лузину
3 апреля 19()(> г. Сергиевский Посад
Многоуважаемый Николай Николаевич!
Кажется, более году тому назад получил Ваше пись-
мо *, поверите ли? — обстоятельства не давали возможно-
сти ответить Вам, равно же п другим знакомым. Вы, ко-
нечно, знаете тревожное состояние родины, еще худшее,
кажется, положение матери (для меня по крайней мере) —
Церкви, сумятицу н сумбур в умах и сердцах, царящую
132
теперь в России. Мне слишком тяжело было все это время,
чтобы иметь возможность отдавать силы письмам 2. А вдо-
бавок присоедините множество разных дел, не дающее
заниматься своим образованием, и личные достаточно тя-
желые дела. Одно к одному. И Вы, вероятно, поймете, по-
чему Вам не ответил, хотя и хотел и много собирался.
Но я рад, что И. Добрпцкий дал возможность списаться
с Вами, сообщить адрес 3. Впрочем, даваемые им координа-
ты Вашего местонахождения мне почему-то подозритель-
ны, н я нишу с таким же чувством, как если бы должен
был вытянуть белый шар из tO-тп черных, положенных
во всем надоевшую «урну».
Ну, расскажите, как живете, чем занимаетесь и, глав-
ное, чем интересуетесь. Добрпцкий пишет, что Вы зани-
маетесь философией, и т. п. Так ли? Рад был бы, если бы
так. Л математика двигается ли? В Париже, верно, наслу-
шаетесь всяких Пуанкаре 4 и нроч^их), так что вернетесь
гппер-модерным математиком. Расскажите, как подума-
ли поехать в Париж: что там теперь хорошего по части
науки, философии и искусства. Я совсем отстал от научной
жизни, т. к. тут, в академии нужных мне книг и журналов
нет, да и времени еще того менее. Почти все приходится
отдавать практическим делам. Жалко, по что же делать.
Такие уж времепа, что приходится оставлять свои дела и
заниматься делами общими. Меня лично интересует более
всего дело церковное, дело грядущего обновления Церкви
н оживление церковного застоя.
Московских почти не вижу, а из прежних товарищей
по факультету — так прямо никого. Раз, впрочем, встре-
тил на улице Вюшгенса. по он не ответил на поклон. Уж
не знаю — Бог с ним! — не заметил ли он, или этим хотел
выразить презрение к академику. Я искренне ценю его
способности и работу. Может быть, из него и выйдет хоро-
ший математик. Но мне кажется, он не понял еще того,
что важнее всего для человека, для человечества, не по-
нял его религиозных запросов. Вот ему и кажется дико и
неясно, чтобы другие занимались религией. Он высказы-
вался в этом смысле мне не раз, думая, что я — с ним,
или просто не зная моих убеждений. По его психология
мне понятна, и потому я нисколько ие в претензии на его
презрительность. Авось образумится когда-нибудь и пой-
мет. что могут быть серьезные обоснования, чтобы поки-
нуть все, даже жизнь, не говоря уже о какой-нибудь пар-
шивой кафедре и лекциях, на которые придет 312 скучаю-
щих студента, ради интересов религии. Впрочем, я про-
133
должаю по-малепьку думать по математике, ио оольше
нее об общем.
Христос с Вами! Пусть идут успешно Ваши мысли и
соображения и пусть приведут они к Источнику всякой
истины, it самой Истине.
Ваш И. Флоренским
1906 IV 3(17) Сергиевский Посад
Примечания
1 Письмо не обнаружено.
1 Флоренского глубоко взволновали кровавые события, про-
катившиеся тогда по России. Отрывки из письма друга Флорен-
ского В. Ф. Эрпа к его будущей жене Е. Д. Векпловой (Зрп-Наташ-
miKOBoii) от 26 марта 1906 г. пл Москвы в Царские Колодцы (Грузия)
живо рисуют события тою времени: «Вчера вечером пришел ко мие
одни академик'1 п сообщил мне, что II. Флоренский, бывший когда-
то мне очень близким человеком (п теперь очень дорогой мие) арес-
тован. 12-го марта в академической церкви оп произнес проповедь
(зто уж у них такой обычай, чтобы студенты iipoii-iiioeiuiii пропо-
ведь), в которой с большим религиозным чувством он говорил о со-
вершающихся теперь расстрелах, казнях и убийствах. Был состав-
лен протокол. Академики, т. е. студенты, встретили проповедь его
восторженно (это как раз было в тот день, когда пришло известие
о казни Шмидта) и решили издать се бесцензурно на своп собствен-
ные средства, что и сделали6. А 23-го вызвали Павлушу повесткой
власти и, арестовав, переслали в Москву в Таганскую тюрьму...
Все это произошло страшно неожиданно, потому что Павлуша Фло-
ренский) был очень враждебно настроен к какоп бы то ни было об-
щественной деятельности и говорил всегда, что можно влиять лишь
па отдельные личности, и в этом пункте как раз очень расходился
с нами...»
В тюрьме Флоренский пробыл около педели. Сохранилась тет-
радь, на обложке которой рукой Флоренского написано: «У/авел
Флоренский студ. 2-го курса МДА. Губернская тюрьма на Таганке
Л» 290. Москва, 1906 111.26—111.28. Об элементах ч-иричной систе-
мы. счисления». Па обороте обложки — «УУстиному виновнику пред-
лагаемого труда Ф. В. Дубасову — посвящает его признательный
Автор». (Дубасов — адмирал, генерал-губернатор Москвы в 1905—
1906 гг., организатор разгрома Декабрьского вооруженного вос-
стания 1905 г. в Москве )
3 В Париж Лузин был послан Московским университетом в
конце 1905 г. по настоянию Егорова, который, видя тяжелое внут-
реннее состояние Лузина, а также' учитывая сложности революцион-
ного времени, посчитал за лучшее отправить его для научной ра-
боты в Париж.
а Т. е. студент духовной академии.
6 Флоренский Павел. Вопль крови. Слово в Педелю Крестопоклон-
ную. Сказано в храме Московской Духовной Академии ла литур-
гией 12 марта 1873 г. от смерти Христа. М., 1906.
* Пуанкаре Анри (1854— 1Я12) — первоначально выступил сто-
ропппком теории множеств, однако появившиеся в конце XIX — па-
ч по XX в. парадоксы этой теории нобу шли его кардинально из-
менить взгляды и привели в лагерь ее противников.
VII
Н. II.. 1узин — П. А. Ф 1орснскому
1 мая 191)6 г. Париж
Многоуважаемый Петр Афанасьевич! 1
Я получил уже три недели тому назад Ваше письмо, и
только сейчас (быть может) могу ответить... Ради Бога,
пе припишите мое молчание к небрежности, нехотению и
т. п. явлениям итого порядка. Совесть моя в этом чиста.
Мне слишком тяжело жить, иногда мучительно тяжело.
У меня пет ничего, нет прочного миросозерцания: я не
могу найти решения к ♦проблеме жизни» 2. Самосознание
у меня так часто меняется, что жизнь становится прямо
мучительной. Поэтому я и не мог Вам ответить сразу. Вы
не поверите, как мне дорого Ваше письмо. Ваше обраще-
ние к моей внутренней жизни. Зто ужас. ужас, бесконеч-
ный ужас видеть окрест себя эгоизм, один только эгоизм,
без просвета... Пи личность, пн даже простая жизнь так
не уважается, что спрашиваешь себя: ♦полно, есть ли, на
самом деле, эти вещи в мире? Могут ли они существовать?
Пе мечта ли это ♦идеалистов», их выдумка?..» П если бы
я был уверен, что действительно, нет и пе может быть в
мире абсолютное уважение души другого, я немедленно
убил бы себя. Мне немыслимо жить без этой надежды. По-
чему? Пе знаю...
Вы поймете теперь, как мпе дорого, на фопе глухой
ночи, давящей душу, сердце, мозг до сумасшествия —
как мне дорого Ваше обращение к моей внутренней жизни.
Очутился я за границей, в Париже не зпаю как, по-ви-
димому, случайно 3.
Вы застали меня в университете ребенком, пе знающим
многого. Пе знаю, как это случилось — ио я не могу удов-
летворяться более теперь аналитическими функциями и
рядом Тейлора... Именно, назад тому год это случилось...
Видеть горе людей, видеть муку жизни, ворочаться домой
изматсм тнческого заседания. ворочаться через Александ-
ровский сад. где дрожа от холода, стоят несколько жен-
щин. тщетно ожидая ужина, купленного ужасом — это
зрелище невыносимо. Невыносимо спокойно заниматься
133
(в сущности, наслаждаться) наукой, видя это. Тогда я не
мог заниматься только одной математикой и хотел пере-
ходить на медицинский факультет. Не знаю, что меня удер-
жало. Только не соображения карьерного (зачеркнуто
«шкурного») свойства. По-впдпмому, мысль: «будет ли
это решение верным?» Затем наступили ужасные дни у
всех нас. У меня, в частности... >1 плохо помню, что со
мной было. Работать в науке я пе мог и, кажется, начал
сходить с ума от невозможности спокойно жить и понять,
где же, где же истина. Димитрий Федорович (ир(офессор)
Егоров), видя меня в таком состоянии, выслал меня сюда,
в Париж. Вот каким образом я здесь... Хотя я здесь около
5-ти месяцев, но заниматься начал недавно. Самосознание
отсутствовало.
Мне мучительно тяжело жить, Петр Афанасьевич! Те
миросозерцания, которые я до сих пор знал (материалисти-
ческие миросозерцания) меня абсолютно пе удовлетворя-
ют. Может быть, я ошибаюсь, по. мне думается, во всех
них какой-то чудовищный порочный круг, какое-то фа-
тальное нежелание попять условность материи, какое-то
абсолютно непонятное для меня нежелание разобраться
в основах, принципах. Здо я недавно понял, ио прежде
верил материализму, но жить по нему не мог. и мучался,
мучался без конца.
Да. теперь мне попятно, что «наука», в сущности, мета-
физична и пе обоснована ни на чем. Мне абсолютно непо-
нятно искание в пауке «дифференциальных резольвент
для уравнении шестой степени» 4... Как все это жалко и.
пожалуй, было бы смешно, если бы уже на так печально
и тяжело... В настоящий момент меня интересуют в пауке
исключительно принципы, символическая логика и тео-
рия множеств. По одпой наукой жить не могу... Правда,
в занятиях ею проходит большая часть дня. по зато проме-
жутки. свободные от науки, особенно когда средн людей
бываешь — они страшно тяжелы. У меня ничего нет. пн
миросозерцания, пи образования. Я абсолютно ие знаком
с филологическими пауками, историей, философией...
.Мне до боли ясно, что удовлетворяться «естественным»
образованием, немыслимо. Видеть кругом фатальное не-
уважение души другого, попирание ее. видеть все это и
не знать, как же правильно относиться к людям, пе уметь
заступиться за них, чувствовать безумную нелепицу от-
ношений и пе иметь, ие знать правды — Господи, что это
за мука... Ах. какая боль видеть неправду, и не знать, в
чем же правда, видеть, чувствовать всем своим существом
136
д<»жь. и iif видеть света истины, ;'бсо.иотпой истины...
\х. какая это сумасшедшая боль! Но временам опа мучи-
тельно нестерпима...
Дорогой Петр Афанасьевич! Простите, Бога ради, за
такое личное письмо, но мне так тяжело, я ниоткуда по
вижу помощи... Те, к кому я пи обращался, давали чи-
тать анатомию, политическу о экономию, физиологию...
По ведь это не то, не то, не то... Профессор Егоров посо-
ветовал читать Найта ь. По положения Канта мне кажутся
ультра-шаткими. О жалкой философии Пуанкаре я уже
не говорю. Вы пишете о «моде»... Ч го такое мода? Я готов
отказаться от личной жизни, чтобы только знать, где ис-
кать истину. Ибо знать, что истина, и не идти туда — это
немыслимо и невозможно... Мне тяжело жить, быть может,
потому, что я не понимаю, что мне надо. То. что я сейчас
думаю делать, это но приезде в Москву слушать лекции
па историко-филологическом факультете. Я абсолютно не
знаком с этими науками, а с одними математическими и
естественными жить пе могу. Быть может этот факультет
даст мне разобраться в человеческих отношениях, где
я вижу и чувствую только одну боль, ужас без всякой на-
дежды па просвет... Параллельно, думав» работать ио
математике, но по общим вопросам. Если же я не найду
пути, где искать истину, или увижу, что всегда, необхо-
димо вечно будет в жизни людей эгоизм, замкнутость —
тогда я пе буду жить.
Простите. Петр Афанасьевич, за ппсьмо. целиком лич-
ное. Я к Вам потому пишу его, что Зачеркнуто *> то немно-
гое. что я сохранил в памяти из Ваших разговоров, сооб-
щений, мыслей — это мне Зачеркнуто слово) до сих пор
помогло не отчаяться, заставляло надеяться, что может
же быть наконец жизнь прекрасной и без обид, это ободря-
ло в поисках дороги к правде.
Что же Вам нависать про Париж?.. Право, не знаю.
С одной стороны, меня поражает изящество, разлитое
окрест, изящество зданий, искусства; поражает удиви-
тельная деликатность в обращении студентов (сорбопцев)
друг к другу, к посторонним, деликатность, так резко
отличающаяся от нашей, с другой стороны, у меня тяжелое
подозрение, что зто только внешняя форма общения (лоск,
так сказать). В жизни, на конках, трамваях ни один из
137
них. по-видимому, пе заступится за снижаемого. за жен
щину, например.— тогда как у пас. непременно поднялся
бы «разговор». Бог их знает, любят ли они другую лич-
ность, или она им нуль! В науке течение старое: разраба
тывается метод последовательных приближений, комп-
лексное переменное, ряды Фурье; с особенным жаром ин-
тегрируют системы уравнений,
нужных для теоретических
механики п физики. Poincare занят своей небесной меха
никой, к теории множеств (боюсь утверждать, но вероят-
но) относится подозрительно. Borel занимается ею. ио с
какой-то особенной точки зрения: все воплощает в геомет-
рические группы. Continuum считает не способным быть
bien ordonnc ". Мне симпатично течение, начавшееся
здесь на историко-филологическом факультете, изучить
математику, ее логику. Талантливый преподаватель его
Louis Coufiirat 8. Слившись с английской школой В s
зеП’я •, он борется горячо за теорию ensembles 10,
считает
ее за основу математики. Меня очень интересует это тече-
ние, течение символической логики, хотя... Бог знает,
какие у него предпосылки! Ну, спасибо Вам от души
письмо! Всего Вам лучшего! .Храни Вас Господь!
Ваш тов. Николай Лузин.
1 мая (14) Об г.
Р. S.
Вам очень некогда...
Пе отвечайте немеделенпо на письмо: я понимаю Вашу
работу, ее великое значение и.
Через месяц я вернусь в Москву и тогда, быть может, мож-
но будет увидеться с Вами.
Мой адрес верен.
Мне грустно, что Бюшгенс пе уважает лпчность. Боюсь,
что он никогда пе поднимается до критики принципов люд-
ских отношений. Он мне пе раз говорил, что надо «застра-
ховать себя от этого».
Примечания
Письмо отправлено пл Парижа. Пари» кип штемпель не сох-
ранился, штемпель Сергиевского Посада — 7.5.190С. Письмо адре-
совано: Bussie. Moscou. Россия. Московская губерния. Сергиевский
Посад. Духовная Академия. Его Высокоблагородию П. А. Флорен-
скому. Обратный адрес: Paris, 9. rue de Sommerard, <неразборчнво>
chez m. Vetter)
1 Почему Лузин именует Павла Александровича Петром Афа-
насьевичем, нам неясно. Вероятно, в этом имеется какой-то смысл,
понятный обоим корреспондентам. Возможно, это — игра слов:
138
Петр — Павел, Афанасий Александрийский. В это время И. Л. Фло-
ренский работал над трудом «Священное переименование».
1 О тяжелом духовном кризисе, который Лузин перижнвал в
эту пору, смотри также письма к нему Д. Ф. Егорова 1!И»5 г. (см.:
Историко-математические исследования. М.: Паука. 1980. Вып. 25.
С. 339).
3 См. примем. 4 к письму VI.
4 Намек на работы Л. К. Лахтина и других о дифференциаль-
ных резольвентах (см.: Сушкевич А. К. Материал к истории алгеб-
ры в России И 11сторпко-м,исматнче< кие исследования. М.; Л.,
ГИТТЛ. 1951. Вын. 4. С. 237 -456).
• Об этом см. также письмо Егорова Лузину от 25.IV.<16 (Исто-
рико-математические исследования. М.: Паука, 1980. Вып. 25.
С. 336—337).
• Зачеркнутые слова: «(помню Вас в университете, помню Ваши
мысли), то немногое, что я тогда мог, те мысли (очень немногие, те)».
7 Вполне упорядоченным (франц.) т. е. копти их ум не может
быть вполне упорядоченным; такую точку зрения О. Король выска-
зал в статье «Несколько замечаний об общих прппцпаах теории
множеств», опубликованной в 19(15 г. (Math. Ann. 1905, Bd. 66,
S. 194—195) в ответ на появившуюся в 1904 г заметку 3. Цермело,
в которой с помощью аксиомы произвольного выбора докалывалась
возможность вполне упорядочить любое множество. Сам Лузин
в ту пору принимал аксиому выбора. Впоследствии он занял по от-
ношению к ней критическую позицию. Подробнее об этом и о раз-
вернувшейся затем дискуссии об аксиоме выбора см.: Медведев Ф. А.
Раппяя история аксиомы выбора. М.: Наука, 1982.
3 Луп Кутюра (1868 -1914) — французский математик и фило-
соф, последователь Б. Рассела.
* Рассел Бертран (1872 -1970) — английский математик, фило-
соф и общественный деятель.
10 Множеств (франц.).
11 Сам II. А. Флоренский в письме к матери от 3 марта 1904 г.
так определял сущность этой работы: «Произвести синтез церковно-
сти и светской культуры, вполне соединиться с Церковью, по без
каких-нибудь компромиссов, честно воспринять все положительное
учение Церкви и научно-философское мировоззрение вместе с искус-
ством и т. д. — пот как мне представляется одна пз ближайших
целей практической деятельности».
A III
Н. 11. Лузин — II. А. Флоренскому
24 февраля 1907 г. Москва
24.2.07
Дорогой Павел Александрович!
Простите, что при книгах не написал Вам несколько
строк — право, я не мог это сделать: внешние причины
мешали, а когда онп устранялись, появлялись внутрен-
ние...
Посылаю Вам Сон!ига! 1 и Lucas2. Последний, по-ви-
димому (я мало его перебирал), стар и лишен единой систе-
139
матизирующей силы. Но лучшего я ничего не могу пред
дожить. Ну. Христос с Вамп. Пусть для Вас «не будет
времени»!
Ваш Н. Лузин
Р. S. Забыл, спасибо от души за присылку письма
Д. Ф. Егорова 3.
Примечания
Письмо Лузина, судя по штемпелю, пришло в Сергиевский По-
сад 25.1.07. Оно послано по адресу духовной академии. Обратный
адрес — Москва, \рбат, дом Общества русских врачей, кв. 3
адрес квартиры врача Малыгина, на дочери которого. Надежде Ми-
хаиловне, он вскоре женился (см. письмо XIII от 11 апреля 1908 г.).
1 Возможно, зто книга: Coutnrat I,. Les principes des malhe-
tnatiques. 1905. Она упоминается в книге П. А. Флоренского
«Столп п утверждение Истины* (М., 1914. С. 688). Позже был осу-
ществлен ее русский перевод: Л. Кутюра. Философские принципы
математики Пер. с франц. Б. Кореня под ред. П. С. Юшкевича со
вступит, статьей Ф. Ф. Линде. СПб., 1913.
2 Во (можно, речь идет о какой-либо книге Люка (1842—1891),
важнейшие работы которого относятся к теории чисел п дпофапто-
вому анализу.
3 Весьма вероятно, что речь идет о письме Егорова от 21.1.(17
(см.: Историко-математические исследования. М.: Паука, 198(1. Вып.
25. С. 341).
IX
П. Л. Флоренский — Н. II. Лузину
9 февраля 1907 г. Сергиевский Посад
Дорогой Николай Николаевич!
Книги, посланные Вами, получил *. Не только благода-
рен Вам за Вашу любезную услугу, по и искренне тронут
Вашею добротою ко мне. увы, столь незаслуженною. Хо-
телось бы повидать Вас. Как только побываю в Москве
(мож(ет> быть в конце той недели), непременно забегу.
Как идут Ваши занятия и экзамены? Впрочем, о послед-
них. конечно, не для чего спрашивать. Без сомнения. Вы
их превосходно сдадите. И (зачеркнуто «впрочем»> опять-
таки этого с меня слишком мало. Никогда не поверю,
чтобы Вы только сдавали экзамены. Убежден, это было бы
слишком мало для Вас. Если увидите Егорова и Жуков-
ского. то пожалуйста, передайте нм мой сердечный привет,
особенно последнему. Что же касается до лекторов —
Лахтина и Млодзеенского 2, прп случае скажите, что весь-
ма хотел бы передать им свой поклон, но пе дерзаю, потому
140
что чую, что он» слишком настроены против меня. Послед-
няя (мотивировка) впрочем предназначается только для
Вас. После Вашего отъезда ко мне пришли кое-какие мыс-
ли. но. поверьте, и там меня раздирают дела, что до сих
пор не имел часа, чтобы переписать их на бумаге. Воисти-
ну, Николай Николаевич, мои делишки, от которых рад
бы избавиться ради какой угодно математической работы—
хотя бы даже стирать за кого-нибудь! — образуют группу
всюду-плотную. вот почему до сих пор так неделикатно
не отвечал Вам. Еще раз благодарю за память.
Во всем всего Вам наилучшего, больше всего — мира
души.
Искренно любящий Вас
Павел Флоренский
1907 II. 9
Сергиевский Посад
Примечания
1 Ответ на предыдущее письмо ст 24 января 1907 г. О книгах
см. примем. 1 к письму VIII.
1 Млодзееискпп Болеслав Корпелпевнч (1858— 1923) — профес-
сор Москов(кого университета, один из учителе» 'Флоренского и
Лузина. Первым в Москве начал читать курс теории функции Дейст-
вительного переменного (см.: Российский С. Д. Болеслав Корнели-
евнч Мтодзеевскпп. М.: Пзд-во МГУ, 1950).
11.11. Лузин —11. А. Флоренскому
23 мая 1907 г. Москва
Дорогой Навел Александрович!
У меня к Вам большая просьба. Если это для Вас по
трудно и возможно, зайдите, пожалуйста, в книжный ма-
газин (на площади, в каменных рядах) н возьмите там Мо-
розова «Откровение в грозе и буре» *. В Москве эта книга
уже разошлась. Я первого числа приеду в Троицу и уви-
жусь еще раз с Вами. Ну, простите, пожалуйста, за
просьбу.
Всего Вам хорошего
Ваш 11. Лузин
23.V 07
141
Примечания
Письмо адресовано в духовную академию. Московский н Сер.
гневскнй штемпели — 24.5.07.
1 Речь идет о книге народовольца И. А. Морозова (1854 1946)
«Откровение в грозе и буре. История возникновения Лпока i и пен-
са» — о ее первом (СПб.; Былое, 1907) пли втором (М.: изд. Сабли-
на. 1907) изданиях. Критику этой книги В. Ф. Эрном — другом Фло-
ренского — см.: Эрн R. Ф. Откровение в грозе п буре (разбор кни-
ги Н. Морозова). Сергиев Посад. 1907.
XI
II. II. Лузин — П. Л. Флоренскому
14 марта 1908 г. Москва
Дорогой Навел Александрович!
Сердечное спасибо Вам за память обо мне! Как жаль,
что Вы меня не застали. А мне бы так хотелось повидаться
с Вами и именно с Вами... В конце концов жизнь — удиви-
тельно сложная вещь, которую можно сделать и чудно-
прекрасною и полною мук ада. Чем больше живу — тем
больше чувствую, что надо иначе жить, иначе смотреть
на мир. людей, иначе к ним относиться. Что-то зреет. Всю-
ду: и во мне. и вне. Это чувствуется. II все-такн «источник
всякой истины и жизни» — внутренняя свобода и опыт;
полная свобода от насилий со стороны других личностей,
теорий и, главное, свобода от самого себя...
Иу. у нас мало изменилось. Сергей Сергеевич (Бюш-
генс) сильно переменился — по крайней мере его отноше-
ние к людям. Он женился только что. Часть моих товари-
щей увлекается педагогикой, другая часть (-Ь я) — жиз-
нью и созерцанием ее. II. II. Жегалкнн написал диссерта-
цию: «Трансфинитные числа» и защитил третьего дня.
Он просил меня передать Вам его книгу ’, говоря «и при-
бавьте: истина не тут. в этой книге. Хотя трансфинитные
числа и останутся и войдут в анализ, но истина не здесь...»
II только. Если Вы скажете, где Вы живете (пишу в Трои-
цу наудачу: говорят. Вы уезжали), тотчас же пришлю
Вам ее.
Математикой занимаюсь (слово неразборчпво> мало.
Пе хочется. Больше пробегаю историко-филологические
журналы и новости по теории электронов. По н это не час-
то. Просто живу н смотрю.
Хотя Вам (я знаю) очень некогда — но напишите хотя
немного: я буду очень рад хотя Вашей открытке с адре-
сом.
142
Иу. храни Вас Господь!
.Любящий Вас горячо
Николай Лузин
14.111 08
Р. S. Специалистом я все-таки не могу сделаться: отравлен
Вами. Спасибо за это 2.
Примечания
1 Жегалкин И. И. Трапсфипитпые числа. М.: изд. Московского
университета. 1907.
Па обложке экземпляра, прппаллежнвшего П. Л. Флоренско-
му, кроме слов *//з книг Наела Флоренского 1908.111.29. Сергиев-
ский Посад», имеется чья-то (Жегалкнпа?) надпись карандашом:
Павлу Александровичу Флоренскому. В конце этого экземпляра на
листе, вплетенном после цветной обложки. П. Л. Флоренский сде-
лал следующую запись:
♦ В университетской среде, по крайней мере московской, пер-
вым заговорил о транефнпптпых числах и о множествах я. -Чти воп-
росы были тогда до того чужды решительно всем, что работы Кан-
тора не только не признавали, по и просто пе знали. Когда я начал
заниматься этими вопросами, то мои занятия казались чудачестном
и бесполезною игрок» в полубогословскпе абстракции. Первая лек-
ция, прочитанная в Московском Университете, принадлежала мне.
В Религиозно-философском студенческом Обществе и в Студенческом
Математическом Кружке прочитал я доклады о трансфппитах и о
множествах; в Математическом Кружке (зачеркнуто: Обществе)
при этом присутствовало несколько профессоров. Это было в < про-
пуску -м году, я был тогда студентом <пропуск >-го курса. Затем мною
напечатана популярная статья па ту же тему под заглавием «О сим-
волах бе.чкопечпости», она нашла себе приют в «Новом пути*. Па
моих глазах, далее, трансфпнптамп стали заниматься и, наконец,
появилась цслан диссертация об mix И. И. Жегалкппа. Поэтому
считая себя произведшим в русской науке толчок к изучению транс-
фипптов, я полагаю, что заслуживал бы хотя бы мимолетного упо-
минания в специальной диссертации, посвященной этим вопросам,
п в библиографических указателях; но из моей статьи черпали неод-
нократно (ср<авни> иапр<пмер> в «Математическом Образовании*),
и никто даже словечком не помянул моего имени.
Свящ. II. Флоренский
1920.П.8
Сергиев Посад
Как показывают опубликованные в последние годы материалы.
П. А. Флоренский играл важную роль в зарождении па московской
почве исследований по теории множеств и теории функции. Одпако
объективно оценивая события тех лет, пе следует забыватьи о дея-
тельности других математиков, оказавших сильное воздействие на
развитие этих исследований в Москве. Так еще в осенний семестр
1900 г. (когда П. А. Флоренский лишь только поступил на первый
курс) профессор Б. К'. Млодзеевскпй прочитал курс лекций по тео-
рии функций действительного переменного.
1 Письмо адресовано в духовную академию. Сохранился толь-
ко московский штемпель: 15.3.08. На конверте рукою Флоренского
помечено: получ.1908.111.15.
143
XII
11. II. Лузин — П. А. Флоренскому
28 марта 1908 г. Москва
Дорогой Навел Александрович!
Спасибо от всей души Вам за карточку *, за любовь!
Это мне дорого, дорого.
Думаю пронести все лето в Вифании 2, начиная с 15-го
мая до 1 сентября, с родителями. Это такой тихий уголок,
где можно осмотреться, взг пшуть на жизнь глубже (—про-
сто потому, что можно посмотреть в себя дальше). Потреб-
ность в этом растет до боли.
Если Вы останетесь в Вифании до нюня, увидимся.
Пу всего Вам хорошего дай Господи!
Простите, тороплюсь.
Любящий Вас
Николай Лузин.
28. II 1.08
Примечания
Конверт пе сохранился. Па письме имеется пометка Флорен-
ского: получ. 1908.111.29.
1 Речь идет о фотографии П. Л. Флоренского, подаренной
II. II. Лузину (см. рис.). Фотография всегда стояла на его письмен-
ном столе в деревяппой рамке, выполненной мастерами Сергиев-
ского Посада в традиционной местной технике. На обороте надпись:
^Дорогому Николаю Николаевичу Лузину на добрую память. Навел
Флоренский. 1908.111.16. Сергиевский Посад».
гр. 28
1 Вифания — Впфанскпй скпт Тропце-Ссргиевскоп Лавры в
окрестностях Сергиевского Посада, устроенный в конце .XVIII в.
Мирополптом Платоном. Там же в 18(1(1 г. окрыта Впфанекая ду-
ховная семинария (см.: Голубинский Е. Е. Преподобный Сергий и
созданная нм Троицкая Лавра. М.: 1ЖИ1).
Судя по дальнейшим письмам (XIV и XV), II. И. Лузин про-
вел лето где-то в окрестностях Сергиевского Посада.
XIII
Н. 11. Лу зпп — П. А. Флоренскому
11 апреля 1908 г. Москва
ll.IV.08
Христос Воскрес! Дорогой Павел Александрович!
Очень жаль, что не могу Вас приветствовать святыми
словами о Воскресении самой Жизни лично. Пе знаю даже,
когда мы увидимся: я думал провести лето в Троице или
\'Л
в Вифании, по все квартиры уже оказались занятыми и
здесь и там. Где проведу лето — не знак», пока. Выть мо-
жет, мы все-таки увидимся, если Вы будете в Москве и
заглянете ко мне. Моя личная жизнь глубоко изменилась:
я женился, и теперь не одинок *. Все время провожу за
работой. Занимаюсь Zahleiitheorie2. Эта таинственная
область захватывает меня больше и больше. Диссертацию
JI. II. Жегалкипа я Вам переслал неделю тому назад. Если
Вы ее не получили — почему бы то ни было,— пожалуй-
ста, напишите. Я тогда постараюсь прислать еще. Боюсь,
что Вы книги не получили: я послал ее не заказной посыл-
кой. Как Ваша работа? Я буду ждать Вашего труда с не-
терпением; верите: мы ждем очень Вашей работы, потому
что жена тоже очень интересуется и сочувствует исканиям
истинной жизни, глубокой.
Пу, дай Господи Вам всего лучшего и нужного!
Любящий Вас Николай Лузин.
P.S. Приезжайте, мы рады будем Вам!
Примечания
Оба штемнеля (и московский и Сергиевский) — 12.IV.08. Рукой
Флоренского приписано: получ. 1908.IV.20. Серг. Пос.
1 Его жена — Надежда Михайловна Малыгина, дочь врача.
1 Теорией чисел (нем.). Судя по дальнейшим письмам, речь
идет об алгебраической теории чисел.
XIV
II. А. Флоренский — Н. II. Лузину
11 июня 1908 г. Сергиевский Посад (?)
Дорогой Николай Николаевич!
Заходил к Вам. пригласить Вас на диспут 1 в Акаде-
мии. но, к сожалению, не застал, /(омой 2 думаю уехать
числа 14-го — l”) го, вернусь во второй половине июля
обратно. Если у Вас будет время, заходите как-нибудь
ко мне до отъезда. Если можете, захватите тогда с собой
Ваш index кантианской литературы.
«Вопросы религии» As 2 вышли, но, к сожалению, досе-
ле мне не доставили 3.
Ваш II. Флоренский
1908 VI. И
145
Примечания
Эту записку, судя по всему. Флоренский оставил на квартире
Лузина, проводившего лето с родителями в Черниговском ските
близ Сергиевского Посада.
1 Речь идет о состоявшейся 10 июня 1908 г. защите П. Л. Фло-
ренским кандидатского сочинения «0 религиозной Истине».
1 То есть в Тифлис.
3 Имеется в виду вып. 2.1а 1908 г. сборника * Вон росы религии»,
в котором опубликован первый вариант сочинения «Столп и утверж-
дение истины».
Сохранилось письмо Лузина к его жене, написанное из Серги-
евского Посада 29 июня 1908 г., в котором он так не[ едает своп впе-
чатления от прочитанного: «Сегодня мне хотелось бы многое напи-
сать из пиутренпо пережитого — не знаю, удастся ли. Пережить
мне многое пришлось вследствие работы Флоренского: «Столп н
утверждение Истины...» Я се прочел всего один раз в один день —
многое пропускал, по впечатление по (являющее. Когда я ее читал,
я был ОГЛУШАЕМ все время у (арами твердого тарана в твердыне,
о которой люди бились несколько десятков веков. И пыль этих
веков, пыль лицемерия, скрытности сыпались па меня и я стоял и
смотрел, что же останется от твердынь. Это пе субъективная впечат-
лительность, нн тем более игра художественными нервами — нет,
но в том, па что направлен страшный таран — в атом мировая
трагедия жнзяп и разума.
Я пе боюсь употреблять этих слов — опп всегда уместнее здесь.
Да именно мировая драма. И этими твердынями живет, движется п
«суть» паша интеллигенция. Этими твердынями она думает, живет.
Да, не одна наша — повторяю, здесь дело идет о человеческом разу-
ме — его жизни н драме Нечто подобное ощущали, вероятно, сов-
ременники Канта, читая его «Критику чистого разума». Хотя «там»
н «здесь» не сравнения. Про зту работу Канта пе знал никто, здесь
же Таран был создан и окопан сталью давно; Флоренский привел
это орудие в действие.
Дело идет, в этой работе Флоренского о «разумности нашего
разума», п о том «чем жить». Паша жп шь, т. е. жизнь XIX. XX сто-
летий — полна смятения, полна взаимно исключающих Элементов—
чего не было прежде, чего не было у греков (откуда их сила — дитя
единства, цельности). Стоит только посмотреть па наших интелли-
гентов, каких хочешь, чем выше, тем виднее. Чего нельзя у пего
найти: элементов язычества, отрицание постов ради духа, призна-
ние пх ради гигиены профилактики, отрицание Вога и наряду про-
питанность христианством, или признание Вога и языческие де-
ла — сострадание, подбор, физика, спиритизм, сердцеведение, марк-
сизм, романтизм, теория Руссо, Ницше. Кантианство..— я бы мог
не одно письмо написать такими словами, с окончанием «изм», сло-
вами, выражающими сущности, добытые цельными пародами... у
нас воплощаемыми как плохо связанные камушки мозаичной кар-
тины кривой и неоконченной... И вот вся культура висит, «колеб-
лясь над бездной». Какою? Где выход? Куда идти? Вопросы, отве-
ты носятся в воздухе, ошибаются — а вырождение делает тихо свое
дело.
Культура наша такова, ты сама столько раз говорила, думая
вслух, что так дальше продолжаться не может, без вреда для но-
сителей ее.
14G
Работа Флоренского ) — это одно из разрешений ее невозмож-
ного положения. *Одно из разрешении?» Ты спросишь. «Разве мо-
жет быть несколько разрешений?» Конечно, нет, для данного мо-
мента, одного момента. По разрешение Флоренского) венец ее на
с. 293, 294, 295 и 29(> мне чуждо пока, чуждо по под-логпческоп поч-
ве п, значит, чуждо по разуму.
Ты мгновенно поймешь его разрешение, если ты вспомнишь его
слова, о том, что он «ежечасно ждет мирового события» — что то,
что наступит, будет «самое ноетеднее — то, что не было етце» — ко-
роче в преображении плоти и твари всей под духом суда Божия.
Мистицизм? «Небесная физика?» Конец ли здесь в самом деле всего?
Да н как отвечать на это? Чувством или разумом? Полноправен ли
разум в такого рода делах? Вопросов без конца — вопросов важных,
тщательно обходимых теми, кто их видит, подводный камень для
невидящих их... Работа Фл(оренского) начинается с начала. С пос-
тановки читателя в настроение («Два мира») и с вопросов о полноправ-
ности разума в вопросах жизни, т. с. с учения о логике («I мнение»).
Эта глава скандальная для университетской философии. Ибо тут к
позпанию через чувство («Физика», «Естествознание») и к познанию
Умом («Математика», «Логика») прибавляется па равных правах
еще один род познания, о котором в университете пе слышали (. . .),
именно «познание интуитивно-мистическое» (индусское). Это ог-
ромный скандал. В этом письме («Сомнение») превосходный психо-
логический анализ Ума при философских изысканиях (прочти 241,
242 п 243 стр.).
Жаль, что тут много рабочего, научного материала, а то эта
глава специально была бы попята всем и всех бы покрыла блед-
ностью. Дальше в «Триединстве» изображаются искания мучимого в
философском аду ума, искания в религии. Его видение нового и
подготовление к восприятию его. Складывание своего оружия,
здесь негодного, п ожидание помощи. Дальше «Свет Истины»: опи-
сание психического и соматического переворота при вступлении па
путь христианства и преуспевание в нем. Дальше догматическая за-
шита некоторых, вероятно осаждаемых, пунктов религии: учения о
Духе Святом, защита от противоречий религии уму. Дальше пре-
восходная защита у синя об аде и его муках, защита логическая,
прямо блестящая... Здесь очень хорошее описание искушения лю-
бовью — которое* пережил сам Флоренский), очевидно...
Я ценю эту работу потому, что опа трактует о самых фундамен-
тальных вопросах жизни, не принимая ничего па веру, а наоборот,
показывая пределы ума и идя далее за-.югпчно, интуитивно, по опи-
раясь на разум. Ни в какой работе по религиозным вопросам я ие
встречал так мало фантазии и так много логики, в недостатке ко-
торой упрек сделался обычным явленном для религиозников.
Повторяю, твердыни, степы разума, веры, чувства — тверды-
ни, за углами которых привыкли прятаться атеисты и религиозни-
ки, подстреливая друг друга из-за угла н прячась в лабиринтах —
эти твердыни разрушает Таран. Горе тем, кто это пе впдпт! Удары
его меня оглушили. И это тем законнее, что это разрушение не дело
одного Флоренского),— он говорит, что «благодатная энергия»
здесь копилась веками, что он только извлек работы не знаемых
миру философов п показал их, дав нм несокрушимую логическую
оболочку, против ядовитых стрел людей, чья профессия думать...
С тем большим вниманием приходится отнестись к этой работе. Без
вни' анпя эту работу я оставить не могу, не в силах — слишком
много правды и яда в ней. «Имеющий очи да видит, ушн — да слы-
117
шит, что говорит Дух!» Величайшее открытие именуется таковым,
когда менаду несвязанными областями пионер пролегает мост н пе-
реходит по нему. Прокладывание мостов между разнородными эле-
ментами нашего воспитания н отбрасывание ненужных, взаимно
исключающих задача «Теперь». Если работа закончится, будет цель-
ность, все».
XV
И. Н. Лузин — И. Л. Флоренскому
15 (?) июля 1908 г. Сергиевский Посад
Дорогой Павел Александрович!
С глубокой благодарностью возвращаю Нам книгу
«Христианин»1. Но еще с большей благодарностью, с бла-
годарностью, на какую я только способен, я всегда буду
помнить те беседы, которые Вы дали мне в это лето 2. Пе
простая любезность заставляла меня вслушиваться в то.
что говорилось тогда. Это ведь для меня — вопрос жизни.
Что-то есть во мне то. чему быть пе должно: жить, просто,
ради процесса жизни я не в силах, жить ради пауки, по-
видпмому. тоже: у меня, с грустью (и только Вам) созна-
юсь, у меня пет для этого достаточных творческих сил
Bat io3, кроме того (и это очень страшное), почему-то,
слабеет интерес к «тому, как это все так выходит». Два ра-
за я был очень близок к самоубийству — я тогда приезжал
сюда, в Троицу, ища беседы с Вами и оба раза я чувство-
вал, что опираюсь как на «столб», и с этим чувством опоры
я возвращался. Простите за откровенность, и пе истолкуй-
те ее отрицательно как-либо: я Вам обязан интересом к
жизни...
Какая страшная вещь — эта жизнь. Часто особенно
сильно чувствую, что все там внутри точно свело беско-
нечно долгой судорогой, которой отряхнуть не могу.
Всегда, всегда напряженность, точно внутреннее беспре-
рывное самонасилие — точно все завинчивающиеся какие-
то струны, завинчивающиеся крепче и крепче, до боли.
II странно, что не может найти, что это там завинчивается
и сгибает и отчего. И всякий раз я чувствую, что Вы бьете
именно ио отим натянутым струнам, что именно они за
трагиваются Вамп, и в душе является почти потерянная
надежда избавиться от этого вечного напряжения.
Я говорил со многими (кроме этого, конечно). И посто-
янно я чувствовал, что все это и любопытно, но не «ТО».
148
И лишь только Вы говорите мне «то», ослабляя вечную
судорогу. Если бы избавиться от нее!
Пу, простите, ради Бога, за откровенность
Любящий Вас II. Лузин
P.S. Завтра переезжаем в Москву.
Примечания
Письмо доставлено пе по почте. Опо вложено в маленький кон-
верт, на котором обозначено: Павлу Александровичу Флоренскому
от П. Лузина. Рукой Флоренского помечено: 1908.VI1.15. Сер. Пос.
1 Речь, вероятно, идет о журнале «Христиании», где в 1907—
1908 гг. появился ряд публикаций Флоренского.
2 О встречах Лузина с Флоренским, произошедших летом
1908 г. и предшествующих тому письму, мы узнаем из писем Лузина
к жене Надежде Михаиловне. Отрывок из письма от 29 июня мы
привели в примечании 2 к письму XIV. Ниже помещены отрывки
из двух других писем. Относительно первого из них мы полагаем,
что оно написано до 29 июня: судя по этому письму, Лузин еще не
читал сочинения «Столп и утверждение Истины». Второе письмо
получено 3 августа.
В первом из них Лузин пишет:
«Без меня (когда я был в Москве) к нам заходил Флоренский и
юнорил с мамон — говорил много хорошего про меня так, что мама
его полюбила. Впрочем и пе за то одпо. а (неразборчиво). Просил
передать тебе поклон «глубокий». У.шав об этом, я на другой день
по приезде отправился к нему, застал одного н в радостный для него
момент жизни. Оп сидел одни в комнате и что-то читал ио филосо-
фии. Л наверху как раз в это время кончался совет академических
профессоров, на котором было решено Флоренского пе оставлять
при Академии для подготовления к профессорскому званию, а пря-
мо дать ему кафедру. И вот два профессора спустились и поздрави-
ли его с кафедрой, сказав, чтобы оп осенью начал курс по «антино-
миям Капта». За ними пришел его швейцар Матвей и тоже пожал руку
(...— Здесь пропуск в сохранившейся копии). Затем мы сели раз-
говаривать. Передаю по порядку. Сначала оп стал обсуждать со
мной вопрос о «числе три». Его затаенная мысль такая: почему Бог
троичеп в лицах, а не двоичен, четверпчен и т. д.? Почему именно
число три? Откуда эта мистика арифметики? По учению православ-
ной церкви все три лица Бога равноправны. Ни одно пе выше дру-
гого, ни одно не первое, среднее п последнее. А вот у Флоренского
явилась мысль, нельзя ли соединить это математическими соображе-
ниями, а именно с теорией порядка. По-видимому, это в самом деле
можно. Вот так:
7
149
Здесь при круговом обходе любое дпцо можно видеть первым.
,1юбое другое лицо можно принять вторым и тогда последнее станет
третьим. Если же лиц было четыре, то это не было бы можно и вот
почему.
Тогда обходя круг в любую сторону, начав хотя с Вога Отца,
нельзя перейти к Богу Духу. не пройдя одно какое-либо лицо па
оставшихся двух: Сына пли гипотетическое. Значит нельзя сделать
Бога Духа вторым, значит Лица неравноправны и по сему при 4-х
лицах быть не может равенства ипостасей. Вот какой смысл дает
Флоренский числу 3. Такова затаенная мысль Флоренского.
Он ее хотел провести абстрактно, с доказательствами. По вы-
разить (родить) свою мысль в логической форме он пе мог. Потому
он привлек меня — но вдвоем мы пе сладили. По-видимому, нужно
сделать много углублений н предварительных соображений, чтобы
вылить в кристальную прозрачную форму связь теории порядка с
числом «три». Пам это не удалось после долгих дум. Затем он пока-
зал свое кандидатское сочинение (выпускное). Lro заглавие, кажет-
ся, «Утверждение истины». Подарил мпе его конец. Начало его
пришлось вернуть в редакцию. Он жаловался, что ему с тяжелым
трудом дается творчество. Особенная мука ему начисто отделывать
работу для печати. Он говорит, что от изнеможения лежит в это вре-
мя на кровати и в полусонном состоянии схватывает нужные ему
слова, бежит, пишет и опять ложится. Потом мы отправились ужи-
нать (прости за стенографичпость). Возвратившись, я начал про-
сматривать его работы ио физике, когда он был еще в гимназии и па
первых курсах университета. Какая масса сохранилась у пего тет-
радей. какая усидчивость, какой труд... Пу. пе только это, остро-
умие, способность — везде на виду. Он покалывает своп открытия
беспроволочного телеграфа до Попова. Я с любопытством живым
смотрел и думал о том страшном труде, который он пес еще юношей.
Но как только он показал своп работы по математике — опять ста-
рое зашевелилось во мпе мнение: все его работы не имеют цепы в
области математики. Намеки, красивые сравнения — что-то уви-
вающее и обещающее, дразнящее, манящее и безреахльтатпвное.
И под конец я перестал понимать, что же такое Флоренский? Пли
это предвестник нового, буревестник, пли способный человек с под-
сознательным адским себялюбием, который из-за желания быть
всех лучше удалился сюда... Как еще сказал Цезарь: лучше быть
первым в деревне, чем вторым в городе. Простп меня, что я так ре-
зок. Но я люблю его и тебе только говорю то, что думаю глубоко в
сердце своем. Я привык тебе поверять свое все. На столе у пего кра-
суется огромная фотография отца в гробу в большой раме. Мне ста-
ло очень жутко при виде этого постоянного напоминания о смерти.
Каково-то ему видеть всегда родного отца в гробу? Я бы измучился
<50
эти'1 memento шопя или бы привык, целительной сплои жизни ув-
леченный. Потом Флоренский вытащил свою «интимную фотогра-
фию» для друзей, как он говорил. Описываю ее тебе. Яркий луч маг-
впя падает большим столбом на угол, выхватывая ослепительно го-
рящий образ Спасителя, большой нерукотворный (кисти ие знаю
какой, только знаешь — с двойными глазами — закрыто-открыты-
ми). Гроздями висят цветы. Под самым образом, опустив глаза
так, что онп закрылись совсем веками, склонив немного голову, оде-
тый в белое (по-видимому, саван) стоит Флоренский, крепко держа
в руках большой, сделанный из топкой березы, крест. Вся фигура
проникнута отдачей воле Отца. Фотография больше твоей фотогра-
фии на моем столе. Потом он читал до 12 часов ночи своп стихи. Я
не буду говорить об них, просто перепишу в следующем ипскме одно
из пп.х п пошлю тебе. Только я долго пе мог прицыкнуть пи к ело
гу’, ни к дикции, с которой читал Флоренский. Совсем иначе, чем
говорят в обычной беседе.
Позднею ночью я воротился домой к страху мамы. А в душе
все время стоял вопрос — что же такое Флоренский? Мученик ли
он сам от себя или действительно в силу веления Вога, говоривше-
го в пем?..*
Из письма 3 августа 1908 г.
«...Наконец, я могу тебе прислать стихи Павла Александрови-
ча! Приехал он третьего дня. Три раза приходил в Чернигов116, но,
как нарочно, я, полный работы и уставший от нее, убегал в поле,
именно в это время. Наконец, сегодня, зайдя к нему, узнал, что он
уже приехал. После долгих ро«ысков, я обрел его у товарища. Ои
сейчас уже повел меня на свое новоселье. Теперь в Академии ему
больше жить нельзя — он пе студент. Он попил за 10 р. в месяц ма-
ленький домик на краю Посада, только что выстроенный. Крохот-
ный, как-будто нарочно для пего сделанный. II. А. выбрал его из-за
«стильности». Он бревенчатый, без обоев, смола каплет на пол с бре-
вен стен, перебегая от бревна к бревну через закопченные рубцы.
И. А. нарочно все хочет устроить «стильным» — в духе крестьян-
ской пабы. Пз Костромы он привез много соответственной утвари:
глиняной посуды, глиняных письменных принадлежностей: чер-
нильницы, перевпицы. Глиняная же у него п лампада — просто
юршочек, наполненный елеем. И вот с моей помощью ои стал уст-
раиваться: прежде всего иконы. Их у пего ящики. Иконы стильные,
древние, большие, маленькие... псе дареные — киоты ои всегда сам
приделывает, в силу стильности, но вкусу. Па главном фоне образ —
картина Мах’а с двоичными глазами... Столько у него всяких мел-
ких. мелких вещиц — короба! И всякая — «воспоминание, пережи-
вание». Ветки осины, верещалкп, дубки, палки, колесики, сделан-
ные, нарисованные, лоскутики одежд, пузырьки воды, масла —
все это он с любовью оглядывал и развешивал по степам. Особенно
ему дорога икона, представляющая па картоне красным карандашом
нарисованный вот такой знак, величиной с четверть аршппа. Знак
этот сжимает в один символ, по его словам, сущность религии. На
него молился Серапиоп Машкин в и отдал по завещанию П. А. Я его
а Думай о смерти (лат.).
с Имеется в виду Черниговский скит близ Сергиевского Посада.
в О. Сераипои (Владимир Михайлович Машкин) (1855—1905) —
монах, православный философ. В течение почти 30 лет (с 1871 по
151
Тихонько запомнил и нарисовал тебе по памяти... Прости меня
я пе смеюсь над этим: это грех смеяться над тем, что у человека та-
кая масса символов любви и дружбы. Много** {пропуск в конину ему
отдано его друзьями — крестьянами г. По просто все это так дале-
ко от нашего мира {пропуск в копип>, что невольно вызывает изум-
ление.
• Разум, рассудок (лат.).
XVI
11. II. Лузин — II. А. Флоренскому
19 ноября 1908 г. Москва
Дорогой Павел Александрович!
Давно н собираюсь написать Вам, по все пе могу: или
мелкие заботы и дела, или пе хочется лишать Вас кусочка
времени, столь дорогого Вам. Теперь же обстоятельства
заставляют сделать последнее. Дело в том, что я ухожу
из библиотекарей студенческой библиотеки и поэтому при-
ходится вернуть книги, мною взятые. Если Вам, Павел
Александрович, не нужны (три) книги: 1‘еано l, Сои! ига!
и Russell, будьте добры пошлите их мне, если сами пе ду-
маете заглянуть в Москву. Другие книги, которые есть
у Вас, мне пе нужны: они взяты из другой библиотеки
(фундаментальной), их никто не спрашивает. Зти же кни-
ги (Peano. . . .) я имел ранее неосторожность отдать в
собственность библиотеке. Но если Russell elc. нужны,
тогда я могу оставить их у Вас, записав их на другое имя.
Что Вам сказать о нашей жизни? Среди преподавателей
замечается растерянность от ядовитых идем Canlor’a.
Один ордии(арпый) профессор жалуется, что: «В настоя-
щее время необыкновенно тяжело работать как исследо-
вателю и как педагогу. Если я последний, то как я буду
читать лекции? Читать со всеми оговорками, со всей стро-
гостью нельзя, могут не понять —а без них, язык не
поворачивается говорить заведомо детские доказательства.
1!Ю(1 год) писал свое основное сочинение «Опыт системы Хрис-
тианской Философии». Этот труд на 2250 страницах, хорошо из-
вестный II. А. Флоренскому и близкий ему по духу, так и пе
был опубликован.
г П. А. Флоренский и этп годы часто бывал в селе Толиыгппе Не-
рехтского уезда Костромской губернии у своего друга Сергея Се-
меновича Троицкого (1881- 1910), отец которого был в этом
селе священником. П. А. Флоренский и С. С. Троицкий устроили
в селе Толпыгино библиотеку. Они пользовались большим ува-
жением крестьян, которые помогали им собирать изделия на-
родных умельцев и местный фольклор.
152
Пу и приходится устанавливать ряд постулатов, доказы-
ваемых. утешая слушателей, что когда они подрастут,
тогда им сообщат эти доказательства, основанные на
Mengenlehre. Ну, а если я работаю как исследователь —
еще хуже. Ведь прежде чем сделать шаг, я должен обосно-
вать его,—и выходит, что никогда далеко не уходишь от
начала работы...» Вот картина Вам современного матема-
тического междуцарствия. «Разложение умов», как гово-
рит В. К. Млодзеевский. Кстати, я винюсь, что пе мог пе-
редать ему Вашего привета — побоялся. Б.К., Бог весть,
откуда-то узнал, что я видаюсь с Вами, косится па мои
«общие» слова, общие соображения, без которых я не хочу
обойтись в своих рефератах («Вот, Ваш приятель тоже
этим интересовался...»).
II. И. Жегалкнн. II. В. Преображенский 2 посылают
Вам привет. Я все никак ие могу достать Вашей работы
от II. В. Преобр(аженского>, говорил я ему, обещал при-
нести па заседание — по вероятно, забывает об этом. Еще
Вам кланяется II. Е. Жуковский.
Недавно познакомился я с идеями Кппипег’а 3 («иде-
альные числа») н пришел в восторг. Пе знаю, знакомы ли
они Вам. Дело вот в чем. Берем уравнение
лг 4-5 = 0
и его корень (4" | — б) считаем данным целым числом.
(Обобщение идеи целого числа, как корня уравнения
а- 4~ т = 0.) В силу этого присоединения | - 5 к разряду
целых чисел, мы обязаны признать за «рациональные»
числа, числа вида
£ + П • I
где £, I) об:>1киов(енные> дробные и ш целые числа, а за
«целые» числа, числа вида
Е 4- Н Г^б,
«де Е, II натуральные числа ( ^0).
Теперь, оказывается, что в новой области «рацноиаль
пых» и «целых» чисел не соблюдается основная теорема
арифметики: «Всякое целое число есть произведение про-
стых чисел и это разложение целого числа возможно сде-
лать одним только способом». Тогда как все другие теоре-
мы арифметики прилагаются без исключения к новой об-
ласти, папр(11.мер>: «первые четыре операции над рацио-
нальными числами дают рациональные числа». Как пример
153
падения основной теоремы арифметики в новой области
есть число 21:
21 = 3 • 7 = (1 4- 2 | ^5)(1 - 2 | ^5).
Здесь 3, 7. 1 4- 2 |Л—5, 1 — 2 | --5 неразложимые числа
в нашей области целых чпсел {Е 4- II |г—5); число 21
разложилось двумя «манерами».
Идеи Kummer’a. заключаются в том. что он считает
3, 7,1+2 | — 5, 1 —2 —5 р-зложимымп. считает их
произведениями некоторых целых чисел, которые являют-
ся «идеальными» числами для нашей области {Е +
-4-11 —5} слишком реальной, чтобы выразить их прямо.
Так. например, простое число 5
5 (1 + 20(1 - 2/)
разложимо, если мы примем в область (Entier) 4 «идеаль-
ное число» \г—1 как целое. Но здесь | —1 простая мни-
мость, а числа Кипнпег'а идеальные даже для/ () —1)
(«более мнимы»), (В пашем примере для )г—5.) Kummer
пишет:
3 о-, • о2,
Р. • Р,.
тогда:
1 + 2 | Z3 -= а,р2,
1 _ 2 = а2р,
и теперь нет ничего изумительного, ибо теорема арифме-
тики о разложениях соблюдается:
21 = (а,а2)(р1₽2) = (7,р2)(а2р,)
Что доказывает Exist enz * идеальных чисел? Я не знаю,
как сам Кииниег на них смотрел, только йотом их обосно-
вали как теорию систем чем их Existenz был для логики
доказан и оправданы операции над ними (как это было и
для а 4- ib). Хотя мы ие можем написать в старых симво-
лах самое идеальное число •, по все-таки мы можем не
только различать индивидуальность каждого числа, но
и судить, какие реальные числа делимы на то или другое
идеальное число, можем производить операции (алгебраи-
ческие) над идеальными числами, и если результат будет
«реальным»’, .можем тотчас же вычислить его, если и;е пдо-
алом — попять ого индивидуальность среди других иде-
альных чисел.
Например, для того чтобы реальное целое чис-1° вида
“ + Н | 3Z5
делилось на идеальное число cq, необходимо} и достаточ-
но, чтобы имело место сравнение (реальное)
Н + И = О (mod 3), (*i)
для других же идеальностей а2, Р,. р, — сравпеП,,я:
£ _ Н = 0, (^г)
~ _ :;н = о, (Pi)
Е + ЗН = 0. (Рг)
Можно далее доказать, что otj, а2, pt, 02 идеальПые чнс"
ла абсолютно простые, ибо если, напр(имер}, Oi Дв-чит
произведение двух чисел ю^о,, то непреложно разДел,,тся
и одпо из составляющих ы, или <о2.
Иден Kummer’а простираются на все алгебраические
уравнения: присоединяя корень уравнения (пусть
а" 4- «jj'*-1 + а2х"-» 4-. . .+ a„_iT 4- ап = О.
где Я; entier (натуральное» к натуральным чис-,,ам как
данное целое число, имеет область £2 чисел, которые* полу-
чаются рациональными операциями из 0. Эти чпс-,а мно-
жества £2 воспроизводятся, если над ними будем совершать
рациональные операции. Каждое число удовлс’твоРиет
j равнению вида
Рохп + р,х""> 4-- -+ Р..-1-r 4- Рп = О.
где Pj натуральное} и п тождественно с прежним п для
числа 6.
Теперь те числа, где Ро = 1 (старший коэффициент»,
назовем целыми, прочие — дробными (в области 11
далее изучаются законы арифметики для целых чисел
области £2. С помощью идеальных чисел Кивни1*1’ а всв
действия арифметики соблюдаются над ними, и всякий
прогресс, всякая формула в простой арифметике гимназии
и реал(ьпых} училищ есть прогресс и формула длЯ теории
алгебраических чисел, для алгебры в ее общем впДе---
155
Меня это несказанно забавляет и я не утерпел, чтобы
ие поделиться с Вами. Пе знаю, не надоел .nt?..
Лично живу очень счастливо. Перестал копаться в ма-
тематике. стремясь понять ее последние основания, душу
теорем, теории. Вероятно, стал просто математиком. 11о-
нпди.мому. математика, только как математика самая лег-
комысленная наука п ее адепты...
Ну всего хорошего дай Вам Тот, Кого я не умею чувст-
вовать и видеть.
Сердечно желаю Вам самого лучшего! Надя Вам шлет
глубокий привет. Ваш II. .Лузин
среда, XI. 08, 19
Адрес старый 7.
Примечания
Штемпель па письме — 20.11.08 (московский) и 21.11.08
(сергиевскнй). Письмо адресовано в духовную академию. На кон-
верте рукою Флоренского помечено: получ. 1908.XI .21.
1 Пеано Джузеппе (1858—1932) — итальянский математик.
Речь, вероятно, идет об одной из двух книг, хранящихся в библио-
теке Московского мшверсптета: Notation de logique matlieinatiqiie.
Introduction an formulairc- de mathematique. Turin, 1894; I'ormulai-
re de inatheinatiques. Paris, 19H1.
* Преображенский Петр Васильевич — математик и физик, каз-
начей Московского математического общества.
3 Куммер Эрнст (1819—1893) —немецкий математик, основные
результаты относятся к теории алгебраических чисел, геометрии,
анализу.
4 Целых (франц.).
* Существование (нем.).
• Интересно, что упоминая выше об интерпретации «идеальных
чисел» как «систем», Лузин не приводит дедекиндова описания идеа-
лов как по (множеств множества всех целых чисел. Здесь, возмож-
но. сказалось переживаемое им тогда временное охлаждение к тео-
ретико-множественным понятиям.
7 То есть арбатский.
XVII
Н. II. Лузин — П. А. Флоренскому
7 апреля 1909 г. Москва
1909-^-Москва. вторппк.
Христос Воскресе. дорогой Павел Александрович! Глу
бокое искреннее спасибо Вам за посылку Вашей ♦проб-
ной» лекции *. Я ее прочел, опа мпе очень нравится, хотя
15Г>
пугает в некоторых своих частях смелостью мысли и ее
глубиной. На днях я напишу Вам еще письмо (побольше);
я давно хочу написать Вам, но экзамены, программы (Ко-
миссии домашнего чтения) и т. д, расхищают время по
актуально-малым, суммирующимся в «сплошность». Ин-
тересуюсь Grassmann’овской 2 «Ansdehiningslehre». Хо-
чется построить проективную геометрию для трансцен-
дентных кривых 3. Ну всего хорошего. Спасибо сердечное
за работу. Любящий Вас
Ваш товарищ Николай Лузин.4
Примечания
1 17 сентября I!l(i8 г. в Московской духовной академии Флорен-
ский прочел две лекции, которые были опубликованы в «Вогос.тов-
ском вестнике» за 19о9 г. Имеются отдельные оттиски: 1) Флорен-
ский 11. А. Общечеловеческие корни идеализма. Пробная лекция
pro venia legend i, читанная в МДА 17 сент. 1908 г. (Сергиев По-
сад, 1909). 2) Флоренский 11. А. Космологические антиномии Им-
мануила Канта. Пробная лекция pro veiiia legendi, читанная в об-
щем собрании Совета МДА 17-го септ. 1908 г. С приложением экскур-
са об антиномической структуре разума. Сергиев Посад 1909. (Пе-
репечатано с сокращениями в ки.: Вопросы теоретического наследия
Иммануила Кавта. Вып. 3. Калининград, 1978.)
Какую из этих двух лекций имеет в виду Лузин, неясно.
* Грассман Герман Гюнтер (18( 9—1877) — немецкий матема-
тик, физик, филолог. Имеется в виду книга Г. Грассмана «Учение
о линейном протяжении» (Grassmann II. Lineale Ausdeliiiungslelire.
Leipzig, 1844
s Такая теория была построена гораздо позже в 30-х годах
.1. Альфорсом и Г. и И. Вейлями под названием теории голоморф-
ных (мероморфных) кривых.
4 II. М. Малыгина сделала к письму небольшую приписку:
поздравление с праздником и выражение надежды на их приезд
на Троицу в Сергиевский Посад.
XV1I1
II. II. Лузин — П. А. Флоренскому-
12 апреля 1909 г. Москва
Дорогой Павел Александрович!
Я собираюсь обратиться к Вам с несколькими просьба-
ми, Во-первых, если Вам пе нужен Cohen «Logik» ’. то,
быть может. Вы с кем-либо ил знакомых его пошлете мне.
В сущности — это просьба не моя. так какая-то курсист-
ка обратилась в библиотеку за Cohen’ом. а библиотека ко
мне. Мне очень совестно обращаться к Вам с этой прось-
бой и для себя я не сделал бы этого. Вам наверное нужно
157
книгу. Пу, извините, пожалуйста! За вторую же просьбу
мне не стыдно: я собираюсь летом читать Plolin'a «Еппеа-
des» 2. У .меня сейчас французский перевод Bouille! 3
(1857 года и т. д.). Хорош он? Может быть, есть лучший,
или еще может быть русский перевод? В подлиннике мне
было бы читать Plolin’a тягостно. Быть может, самый
выбор Plolin’a неудачен? Цель моя: познакомиться с ми-
росозерцанием мистика, сильного мужа, для которого пе
тайна глубины логической работы реального созерцания.
Мпе думается, что Plolin рубеж между логической работой
расцвета Еллады и христианским мистицизмом, будет мпе
понятнее и ближе, чем мистицизм средних веков. Новых
же «систем» мистической философии я совсем не знаю.
Лето пробуду в Калуге у родственников. Магистерский
экзамен еще не едал. Сдал 2. сдаю 3-н. Еще остается два:
механика и дифференциальные^ ур<авнепия). Летом ду-
маю готовится к пробным лекциям и разработать несколь-
ко тем: «Возможность проективной геометрии трансцен-
дентных кривых» и «1\оп1 iiniiim-problem» 4.
Жажду солнца, синего неба, причудливых, резко-очер-
ченных* туч. тоскую по воде. Устаю от экзаменов — не
столько от них.сколько от торопливого захватывания ма-
териала. Экзамены очень облегчают сами профессора,
уступая нам выбор его формы. Держу вместе с Бюшгенсом.
Бюшгенс математикой занимается урывками, зато, кажет-
ся. читает систематически но философии. Сейчас его очень
привлекает «философия хаоса». Но его словам, абсолют-
ной гармонии нет, есть quasi-rapMoniiH, обязанная конеч-
ному числу отверстий в человеке, вливаясь куда, хаос
производит впечатление гармонии. Соответственно с этим
нет непреложной истины. «Истина есть все. что я хочу».
Вот результаты критики основ геометрии и арифме-
тики!
Как идут Ваши работы? Чем занимаетесь? Быть может,
я приеду дня на 2—3 в Троицу в конце апреля, или в на-
чале мая и, вероятно, застану еще Вас. Мне бы очень хоте-
лось Вас видеть. Я давно не имею от Вас вестей, ин прямо,
ни косвенно. Где будете летом?
Ну всего Вам лучшего дай Бог!
Любящий Вас
Ваш товарищ Николай Лузин.
Надя Вам шлет привет.
12.1\ ОН
158
Примечания
Московский и Сергиевский штемпели — 13.4.09. Письмо адресо-
вано на Петропав >вскую ул. д. Ивойлова. Рукой Флоренского по-
мечено получ. 1909./Г. 13. Серг. Пос.
1 Коген Герман (1842—1918) — немецкий философ, глава мар-
бургской школы неокантианства. Вероятно, речь идет о книге:
Coban Н. System der Philosophic. Bd 1. Logik der reiner Erkenntnis.
Berlin, 1902.
Па нее ссылается II. А. Флоренский: на с. 709 книги «Столп и утвер-
ждение Истины» (М.: 1914).
* «Эпнеады» — собрание трактатов греческого философа пеон
латонпка Плотина (ок. 204—270), приведенное в порядок его уче-
ником Порфирием.
s Plotin. Les Enneades / Trad, en fran^ais par M. Boiiillet. Paris.
1857—1861. T. 1—3. (Существует русский перевод избранных трак-
татов Плотина, сделанный Г. В. Малсвапским и помещенный в жур-
нале «Вера и разум» за 1898—1900 гг.)
4 Континуум-проблема 1неч)\ Лузин долго и безуспешно бил-
ся над континуум-нроблемон.
XIX
11.11. Лузин — II. А. Флоренскому
24 декабря 1909 г. Москва
Дорогой Павел Александрович!
Я Пас все время ждал, думая, что как-нибудь загляне-
те в Москву. Обещанные журналы дожидались Вас (ста-
тья II. Minkowski 1 о формуле 1 sec. = 1 cm ) —1) 2 но нс
дождались: библиотекарь потребовал для переплета. Как
живете? О Вас ничего не слышно даже. Я доканчиваю свои
экзамены. Осталась одна механика. Что дальше делать,
не знаю. Интерес и вера в символическую логику пропали.
Влечет теория функций и теория электронов. Но пока
ничем решительно не занимаюсь. Пассивно переглядываю
механику. Очень устал от безделья. Л для дела времени
нет. Хочу воспрянуть после сдачи последнего экзамена.
Сейчас получил сообщение Bamsay о появлении угле-
рода (С) из серебра и эманации радия 3. Контрольный опыт
(без эманации) не дал совсем С.
Пу, до свидания! Всего, всего лучшего. Храпи Вас
Господь. ПИШИТЕ!
Ваш товарищ Николай Лузин
24.XI1 09.
159
Примечания
Новогодняя открытка. Оба штемпеля — 25.12.09. Адрес: Мос«,
ковско-Ярославская ж. д. Станция «Сергиево» Сергиевский По-
сад. Петропавловская улица, д. И пойл опа. Имеется приписка
Н. М. Малыгиной: «Шлю Вам свой привет и очень бы желала быть
в Троице среди чистого белого снега (слово неразборчиво) на лыжи
и услыхать Вашу беседу с Нпк<олаем> Николаевичем). Пока же с
Новым Годом п со счастьем — не знаю каким!? Н. Малыгина».
Ученик Н. II. Лузина В. С. Федоров сохранил следующую за-
пись из дневника Лузина, помеченную 14 марта 1910 г.: «Был как-
то П. Ал. Флор<енскпй>, долго сидел, был бесконечно мил, прост
и задушевен. Я успокоился, что кризис пе религиозный, но личный,
человеческий, даже отчасти па почве переутомления. Тяготится
академией и опять мечтает о священстве и семейной жизни, но ведь,
увы, ее не создать по заказу».
1 Речь идет об одпой из двух статей Г. Минковского: Die Grnnd-
gleichungen fur die elektromagnetischen Vorgiinge in bev.f'gten Kor-
pern//G6tl. Nachr. 1908. S. 53—111; Baum und Zeit//Phys. Z.
1909. Bd. 20. S. 104—111.
* Имеется в виду запись метрики в пространстве Минковского
с переходом к мнимому времени.
• Имеются в виду вызвавшие тогда сенсацию результаты опы-
тов У. Рамзая по трансмутацпп элементов под действием радиевоп
эманации, оказавшиеся ошибочными (см. Соловые Ю. И., Пет-
ров Л. П. Вильям Рамзай. М.: Наука, 1971. С. 169—177).
Н. Н. Лузин — II. А. Флоренскому
22 сентября 1910 г. Москва
22.IX 10
Дорогой Павел Александрович!
Я получил командировку за границу на два года 1 и
тороплюсь написать Вам до своего отъезда. Мне очень
хотелось бы лично нидеть Вас, прежде чем уехать на такое
долгое время. Я уезжаю 9 октября 2, и если Вы будете до
этого срока в Москве, быть может, заглянете ко мне? Быть
может, даже напишите наперед, когда Вы могли бы быть
в Москне у меня: тогда бы Вы, наверное, застали меня до-
ма. Если же у Вас не будет случая приехать сюда, я прие-
ду в Троицу, но только боюсь не застать Вас. так как Вы
нередко уезжаете. Я был бы рад, если бы Вы написали,
застану ли в этом случае Вас я или могу не застать.
Это лето я провел очень плохо; все хнорал. В начале
июня я, простудившись, получил ишиас и сильный брон-
хит. В силу прибавившегося к всему сильного малокровия
и слабости я должен был пролежать более двух месяцев
в различных лечебницах и санаториях, пока наконец
160
весьма недавно не получил возможность существовать без
непрерывного медицинского надзора. Теперь я на прежней
квартире. Занятия я конечно все бросил, даже научные,
так как слабость тела и ума не позволяли сколько-нибудь
значительных усилий. За все лето прочел только Джемса
«Многообразие религиозного опыта»3, книгу очень мне
понравившуюся богатством содержания и гибкостью миро-
созерцания автора. Теперь начинаю понемногу работать
в области тригонометрических рядов 4, которые для меня
являются только символами каких-то общих законов по-
следовательностей, которые чувствуются теперь, но еще
нс обрисованы. Но и собственно в самих тригонометриче-
ских рядах много интересного. Так, например, ряд
сто
V"! sin пх
2— logn
«=1
сходится всюду и. следовательно, изображает функцию
F(x). Но оказывается, что это ие ряд Fourier. А ведь до
последнего времени думали, что если какая-либо Л’(т)
разложима в ряд тригонометрический, то он есть именно
ряд Fonirer, т. е. его коэффициенты получаются так:
гл гл
яо==_2л-5 F(x)dx, ап = — ^ F(r)cosnxdx,
О о
24
bn = — /'’(r)sinzi.rdj,
о
если сам ряд
F{x) = а0 4- (a, cos х -f- bt sin х) 4- . . . 4- (ап cos пх 4-
4- bn sin пх) 4-. • •
Причина ошибки, конечно, та, что при выражении коэффн"
циеитов тригонометрического ряда по формулам Fourier
implicit©ь допускают возможность некоторых операций
с рядом, которуюне имеют права вообще предполагать.
Есть и другие вещи в тригонометрических рядах не
менее интересные.
Обнаружил прискорбный факт, что занимаясь Mengen-
lehre я отстал в других областях; во многих так и совсем
ничего нс понимаю, а некоторые понимаю, по, говорят,
превратно. Выходит, что занимаясь наукой, я стал не
научен! Думаю исправить пробел за предстоящие два года.
Воюсь только незнания языков (разговорных).
6 Заказ Лй 2060
161
О Вас ничей) не знаю: как пропели лето, даже и то,
где Вы сейчас. Жалею, что был болен, а то непременно бы
приехал в начале августа к Вам, или в середине.
Желаю от души Вам всего хорошего. Жена Вам ш 1ет
свой привет. Храни Вас Бог!
Ваш товарищ Николаи Лузин.
Москва, Арбат, до.м О-ва Русских врачей, кв. 3.
Примечания
Московский штемпель — 23.9.10, Сергиевский — 24.9.10.
Письмо отправлено ио адресу: Петропавловская ул. д. Ивоилова.
Рукой II. А. Флоренского помечено: получ. 1910 IX.24. Серг. Пос.
1 После блестящей сдачи магистерских экзаменов Лузин был
командирован на двв года за границу для работы над диссертацией.
Звтем его командировка была продлена еще на год. С зимы 1911
до поздней весны 1914 г. он жил с женой в Геттингене п Париже
(см. Отчетозаграннчноп командировке для научных занятии при-
ват-доцента Московского университета Николая Лузина Ч Исто-
рико-математические исследования. 1955. М.: П1ТТ/1. Вып. 8.
С. 57—7<>). В начато 1911 г. оп был утвержден в должности приват
доцента. (Там же. С. 71).
* Уехать за границу Лузин смог только после 2(1 декабря.
В дневнике Лузина имелись две следующие записи: а) ^Флоренский
благополучен сравнительно, был у нас недавно с женой <о его жене
см. примеч. 2 к письму ХХ1>. По недавно убит на Кавказе муж его
сестры, а его друг, Троицкий, учитель гимназии... (12.XII 10).
б) вЕздили в (Зосимову) Пустынь, говели. Видели обоих старцев
<— Германа и Алексия)... Пыл и Пав(ел) Александрович), он очень
хорошее впечатление теперь производит. Мечтает о «сыне» (слово
неразборчиво), в котором уверен. Немного чудит, но в общем благо-
получен. Мечтает о бегстве из Академии все-таки в вдеревню», во
всяком случае, в священство» (20..\ 1/.1910).
3 Джемс В. Многообразие религиозного опыта. М.: изд. журна-
ла «Русская мысль». 1910.
4 Н.П. Лузин начинает активно работать в области теории
тригонометрических рядов. Результатом этой работы станет его
классическая диссертации «Интеграл и тригонометрический ряд»
(см. последующие письма).
* Неявно (лат.).
XXI
JI. Н. Лузин — П. А. Флоренскому
6 октября 1910 г. Москва
Дорогой Павел Александрович!
Очень жалею, что мы не свидимся до отъезда. Я никак
пе мог приехать к Вам в Троицу по причине болезни моей
жены. Сейчас ей лучше, но все-таки пе настолько, чтобы
приехать. Кроме того, эта болезнь взяла у меня много
времени, и я не успел далеко еще многого еде 1ать до оть-
162
езда, как хотел. Теперь я в хлопотах. Мне жалко, что при-
ходятся не видать Вас два года. Многое за это время может
измениться. Ваш сборник «Частушек» *, который Вы .хо-
тели мне передать, я с удовольствием считаю уже своим.
Если не будет удобно переслать мне, то — моя просьба —
сохраните его у себя.
Ваше письмо меня очень изумило. Я рад тому, что Вы
теперь не одни, поздравляю и желаю полного и глубокого
счастья, невозмутимого творческого мира 2. Ну, дай Бог
Вам обоим всего хорошего
Уважающий и любящий Вас
Ваш товарищ Николай Лузин.
Примечания
Штемпель — 6.10.10 (Москва), 7.10.10 (Сергиевский Посад).
Адрес: Московско-Ярославская ж. д. Станция «Сергиево». Серги-
евский Посад. Петропавловская ул., д. Ивоплова. Рукой Флорен-
ского помечено: получ. 1910 Х.7. Сере. Пос.
1 Флоренский II. А. Собрание частушек Костромской губернии
Перехтского уезда. Кострома. Изд. Костромской губ. ученой ар-
хивной комиссии. 1909 (на обл. 1910) (см. письмо XV, прпмеч. 2,
сноска «г»),
8 25 августа 1910 г. П. А. Флоренский вступил в брак с Анной
Михайловной, урожденной Гиацинтовой (1889—1973).
XXII
Н. II. Лузин — П. А. Флоренскому
23 декабря 1911 г. Париж
23.XII 1911
Дорогой Павел Александрович!
Поздравляем Вас с праздником Рождества и наступаю-
щим Новым Годом! Сердечно желаем Вам счастья. Моя
жена шлет Вам свое пожелание. Мы сейчас оба в Париже,
где я обретаюсь в неописуемом унынии вследствие отсут-
ствия математики у здешних математиков и еще потому,
что в библиотеках ничего нельзя достать 1.
Буду ждать от Вас весточки; быть может выберете вре-
мя для нее и доставите этим мне радость? Напишите, хотя
немного, о себе — как живете и работаете? Что касается
до меня, то я среди «сумасшедшего дома, полного обезьян»
(Бисмарк), часто тоскую по серебряному спегу и чуткой
тишине полей России или Геттингена. Ну, всего хорошего
сердечно желаю. Пишите.
Уважающий Вас и преданный Николай Лузин.
6* 163
Примечания
Новогодняя поздравительная открытка. Отправлена по адресу;
Петропавловская ул., дом II поп лова, обратный адрес: Paris. Bd.
Montparnasse, 123, Pension Mmc Jeanne. Entresol N 3. Датирована
23.XII 1911. Штемпели разобрать трудно, но видно, что в Сергиев-
ский Посад открытка прибыла еще в 1911 г.
В октябре-ноябре 1911 г. Лузин ненадолго приезжал в Москву.
Из письма Н. М. Малыгиной от 6.XI 1911 к Флоренскому: вИеожи-
данно из-за нездоровья матушки мужа нам пришлось на месяц вер-
нуться на Родину... Уезжаем 8.XI — и снова на год*.
1 «Отсутствие математики у здешних математиков» — этп слова
раздражения свидетельствуют о том, что . 1узпп еще не акклиматизи-
ровался в новой для пего среде после уже ставшей привычной для
него атмосферы Геттингена (см. письма Д. Ф. Егорова к II. II. Лу-
зину от 7.X1I 10, 28.XI1 10, 9.1 И, 22.1 11, 30.1 И // Историко-ма-
тематические исследования. М.: Наука. Вып. 25. 1980). Этому
чувству неустроенности способствовали трудности бытового харак-
тера, в частности, сложности с литературой (об атом см. ниже).
XXIII
Н. 11. Лузин — II. А. Флоренскому
G апреля 1912 г. Париж
6(23), IV, 1912
Дорогой Павел Александрович!
Ваше письмо от 11.1 12 получил ’. Сердечное спасибо
за пего: мпе всегда очень дороги и очень интересны Ваши
весточки с тихого Посада. Простите, что замедлил так
ответом; надеюсь, далее немного оправдаться.
Прежде всего относительно мод: о дамской моде Вы
лучше обратитесь к моей жене, Надежде Михайловне; я
не совсем понимаю, как она делается. Знаю только, что
результат ее положительный: производит впечатление.
Лично могу только сообщить из наблюдений на улицах
Пари ка, что без косметики ничего сделать нельзя и что
jиpe-culotte 2 совсем пе привилась. Относительно же муж-
ской моды —то приняты исключительно серые пальто,
черный цилиндр или панама. Цветные же котелки и ци-
линдры не признаны, несмотря на все усилия покойного
английского) короля Едуарда. Что же касается до моды
на идеи, то единственное достойное внимание, конечно,
интегральные уравнения. Дело в том. что в м ханнке до
сих пор употреблялись только дифференциальные урав-
нения. А они характеризуют состояние частицы материн
только в данный момент. Уничтожте весь мир до момента
t =
164
п в этот момент
t = t0
создайте снова вселенную с теми скоростями и ускорения-
ми частиц, с которыми они несутся ну, хоть, сейчас (I =
= /0). Тогда дифференциальные уравнения дадут Вам по-
ложение вещей в мире для
t > to-
lly это, разумеется, недостаток методов механики, так
как частица, подвергаясь изменениям за прошлые эпохи
I < t0
несет в себе следы былых деформаций, которые теплятся
в пей и, несомненно, влияют на дальнейшие ее судьбы.
Так вот, теперь, для того чтобы сделать счет этой «памяти»
частицы от прошлых эпох, для того чтобы характеризовать
ее «наследственность» и употребляются интегро-дифферен-
циальные уравнения. Сейчас уже изучена (для эластиче-
ской сферы) «Линейная наследственность» и сделаны соот-
ветствующие опыты... Итак, Вы видите, что в моде сейчас
интегральные и интегро-дифференциальные уравнения.
Таким образом я. по-видимому, добросовестно исполнил
Вашу просьбу относительно «мод»!
Боюсь, дорогой Навел Александрович, что Вы подума-
ли. что я обиделся на Ваше письмо и прислал две свои за-
метки математические3, не написав Вам ничего. По это
не так, и exislenztheorem * о науке я вовсе пе хотел дока-
зывать присылкой своих статей.
Что такое наука? Я не знаю; не зиаю также, зпает ли
об этом кто-нибудь. По я хорошо знаю, что наука — не фи-
лософия и не один только голый метод, и что систематиче-
ское изучение шахматной игры, может быть научным, но
ие будет наукой. Безусловной необходимости в разверты-
вании науки нет, так же как пет в науке и абсолютной ис-
тины. Да если бы последняя и была в ней, то пауке нечего
было бы с ней делать. Она, таким образом, и не нужна
пауке.
И, одпако, если будут доказывать математически или,
лучше, абсолютно строго, что истинной науки нет и быть
пе может, а то, что есть, то совсем не важно и не нужно и
вредно — если это все будет доказано — этим все-таки не
уничтожат пауки. До тех пор, как будут рождаться люди
и существовать, до тех пор будет существовать и наука.
П хотя абсолютной истины и пет в науке, истина всегда
165
будет в пауке, и никогда позднейшая истина не будет про-
тиворечива прежней, но всегда будет ее покрывать, как
пз двух концентрических кругов круг большего радиуса
покрывает меныпнй.
И хотя можно сказать, что все это останется верным,
если просто слово «наука» заменить словом «обман», есть
другой еще признак пауки — это мысль, которая совсем
не игрушка и не должна ею быть.
Пусть геологические эпохи с яркостью показывают
нам все ничтожество длительности человеческой жизни.
Мысль — это свет среди бесконечно долгой ночи. И этот
свет д 1я нас, людей, все.
Что же касается до давления официальных учений на
возникающие, то факт влияния сильных людей (живых или
умерших) и под покрытием их не сильных — всегда оста-
нется. Это ведь должно восприниматься как сама жизнь.
Совсем иное дело, когда борьба переносится с научной
почвы на общественно-политическую, как в настоящий
момент в России. Факт создания искусственного производ-
ства в инкубаторах молодых ученых, которые должны
стать в скором времени товарищами и colleg’a.Mn — очень
тяжелый факт 6. Мне приходится наблюдать первый тран-
спорт командированных, и впечатление столь тягостное,
что прямо не знаю, как лично мне далее придется быть.
Конечно, здесь дело зависит все от индивидуальности, но
по-видимому, результат будет в подавляющем большинст-
ве случаев одни: самодовольство, схваченные верхи уче-
ний без активности своей собственной, ограниченность и
пошлость! Стараюсь пока не думать об этом.
Вы, наверное, знаете о происшедшем в Московском
Университете выходе товарищей старших и младших ’.
Ввиду этого, надеюсь все-таки на возможное изменение
положения дел, лишь хотелось бы как можно дольше про-
быть здесь, за границей, где я могу работать и думать толь-
ко о работе.
Пробуду не дольше, все-таки, октября этого года и
тогда вскоре свяжусь с Вами.
Во время командировки мной была предпринята работа
о тригонометрических рядах Fourier, которая почти дове-
дена до конца. Вероятно, это и будет первой диссертацией.
Работа была предпринята главным образом для меня само-
166
го. так как после неудачи с Cont iiiHinn-probletn мне просто
хотелось проверить свои силы и выяснить причины неуда-
чи (их происхождение). Так как работа, делаемая не слу-
чайно, поверхностной аналогией и «вдохновением» (как
я хотел это ранее), но упорным напряжением, удалась
почти вся (сейчас закапчиваю) — то я получил некоторую
бодрость и лучше чувствую себя (духовно). Если все дове-
ду до конца, то дальше но буду нервничать н буду спокойно
работать. Абсолютная неуверенность в себе давно уже
гнела меня. Огромный недостаток было отсутствие школы
и простого умения работать. В этом смысле я многому обя-
зан немцам (Hilbert’y 7, Landau8).
Вообще, все прошлое мое состояние (за 4 последние
года) сейчас представляется в виде какого-то бесконечно-
го ряда знаков вопроса и длящегося тяжелого недоумения.
Вероятно, кроме духовной причины (т. е. той. что я не
работат совсем так. как нужно) есть и физические. Врачи
говорят, что в моем физическом развитии что-то сильно
опоздало и замедлило формирование — отсюда все.
Позволю себе кратко сообщить тему работы. Как Вы
знаете, тригонометрические ряды все делятся на два класса:
ряды Foin ie и ряды не Fourie. У первых тригонометри-
ческих рядов
ею
4- У* ап cos пх ф- bn si и пх
1
коэффициенты определяются так:
= f(x)dx,
О
ап = / (л) cos пх d.r,
о
bn = -/(a-)sin nxdx,
о
где /(т) та функция, которая производит вышенаписанный
тригонометрический) ряд. Зто ряды Fourie.
Что же касается рядов пе Fourier
~2—I У flncosw< 4- on sin их,
]
1G7
то их коэффициенты так пе могут быть написаны, ибо
/(*)
в этом случае не интегрируема.
Мысль, к доказательству которой я стремился (почти
закончил), есть то положение гипотетическое, что «Всякий
ряд Fourie есть ряд сходящийся всюду, кроме отдельных
точек».
Этим положением сразу бы устранились кропотливые
нужные до сих пор исследования о сходимости этих рядов.
Что же касается до рядов нс Fourier, то мне удалось
построить ряд расходящийся всюду, кроме отдельных
точек.
Вот и все. По мере окончания работы интерес к ней
почему-то уменьшается, так что я сейчас с наслаждением
думаю о той минуте, когда мне не нужно будет подбирать
доказательств к положению, необходимость которого дав-
но мне ясна, но когда мне будет можно искать новые
вещи.
Ну, будет обо всем этом! Вы определили, таки меня,
дорогой Павел Александрович, и уже печатаете диссер-
тацию *, тогда как я только приступаю к ее написанию.
Я очень желал бы иметь экземпляр Вашей диссертации
(свою непременно я пришлю Вам), но не знаю, могу ля я
просить об этом у Вас?
Работать в Париже невыносимо трудно без протекции,
так как для работы прямо неслыханные условия: для
иностранцев ни журналов, ни книг не выдают на дом. В
библиотеках же флирт вместо науки. Теперь через посла
удалось устроиться, но 3 месяца пропало совсем. Закан-
чивая письмо, обращаюсь к Вам с очепь большой и труд-
ной просьбой для colleg’n Seliber’a 10, относительно кото-
рой очень прошу Вас, если у Вас есть время и возмож-
ность, конечно. Mr. Seliber биолог, работавший в Гер-
мании у Бючлп п, и в Париже в Институте Пастера, и
теперь, в связи с философией, заинтересовавшийся рус-
ской религиозной мыслью. Для его работы ему необходимы
следующие сочинения:
1. Знаменский. «Учебное руководство по истории рус-
ской церкви» 1а.
2. Макарий. «Догматическое богословие»13 и
3. Епископ Сергий «Православное учение о спасении»14.
Особенно ценным ему было бы познакомиться с пер-
вой книгой (Зпаменского). В собственность эти книги,
пока, ему не нужны. Поэтому, Павел Александрович, ес-
168
ли можно, пожалуйста, укажите, нельзя лп их на время
достать откуда-нибудь для прочтения, на срок от 1—2 ме-
сяцев. Быть может, какая нибудь библиотека может ссу-
дить хотя бы первую книгу. С библиотекой, конечно, поды-
мается вопрос о гарантии целости этой книги и точное ее
возвращение. Может быть, ввиду близости летнего време-
ни, это окажется возможным, как Вы думаете? Пли, если
дело касается до библиотек, то лучше обратиться мне не в
Посад, а прямо в Москву? Я это еде ал ввиду религиозного
характера книг.
Может быть, я могу сделать еще одно предположеппе
(ввиду того, что это иногда делается), а именно: быть мо-
жет, у какого-нибудь знакомого Вам студента или част-
ного лица есть книга Знаменского или другая. Тогда, если
это лицо ничего не будет иметь против путешествия книги
ко мие лично и обратно, я обращаюсь к Вам с соответст-
венной просьбой. Адрес мой остается прежпий.
Может случиться, что какая-либо из этих книг библи-
ографическая редкость — тогда это меняет дело, и я беру
назад свою просьбу.
Наконец, еще одна просьба: если это пе окажется труд-
ным, можно узнать цепу сочинения
Голубинский — «История русской церкви» 1В.
Простите, дорогой Павел Александрович, за эти две
просьбы, за то, что обратился именно к Вам, отнимая у
Вас и без того разобранное время.
Еслп могу Вам быть в чем-либо полезным, напр<нмер>,
в высылке книг, справкой — буду очень рад сделать что-
либо.
Пу, пока до свидания. Храни Вас Бог.
/Нелаю Вам полной жизпп.
Сердечно любящпй Вас
Ваш товарищ II. Лузин.
Р. S.
Адрес мой прежний: Paris, Bd. Montparnasse 123, Nicolas
Lousine. ТКепа Вам очень кланяется, мечтает по возвра-
щении в Россию поехать отдохнуть в Троицкий Посад,
который опа очень любит.
Примечания
Письмо отправлено по адресу: Штатная-Сергневская ул. дом
Озерова. Штемпель — 8.V 1912 (и. ст.; Париж), 3'».IV 1912 (Сер-
гиев) .
1 Письмо пе известно.
* Женские брюки, скроепиие как юбка (франц.)
169
3 О каких дву х заметках из числа статен, опубликованных в Ма-
тематическом сборнике (т. 28, вып. 2. с. 266—291; 295—392; 461—
472), в журнале Математического общества в Палермо (Б. С. Circ.
mat. Palermo, 1911. Т. 22. Р. 386—390) и в докладах Парижской
Академии паук (С. г. Akad. sci. Paris, 1912. Vol. 154. P. 1688—1690;
Vol. 155. P. 580—582; 1475—1477), идет речь, можно лишь гадать.
* Теорема существования (нем.).
5 Что здесь имеет в виду . 1у.шн, установить не удалось.
8 В 1911 г. в знак протеста против действий министра просвеще-
ния Л. А. Кассо университет покинули 1по преподавателей, в том
числе П. II. Лебедев, И. А. Умов, С. А. Чап ibirini, Б. К. Млодге-
eBCKiiii, А. К. Власов, С. II. Финников, И. И. Жегалкпп, В. II. Вер-
надский.
7 Гильберт Давид (1862—1943)—профессор Геттингенского
университета, один из величайших математиков XIX—XX вв.
8 Ландау Эдмунд (1877—1938) — профессор Геттингенского
университета. Основные работы относятся к теории чисел.
• Диссертация II. А. Флоренского «О Духовной Петине» вышла
в Москве в 1913 году в двух выпусках. Па обложке вып. 1 стоит:
1912.
и О Селибере никаких сведений по имеется.
11 Бючлп Отто (1848—192U) — зоолог, профессор Гепдельберг-
ского университета с 1878 г.
12 Знаменский Л. В. Руководство по истории русской церкви.
5-е изд. Казань, 1886.
13 Макарий (Булгаков). Православно догматическое богосло-
вие. СПБ., 1849—1853. Т. 1—5. 5-е пзд. СПб., 1895 Т. 1—2.
11 Сергей Епископ. Православное учение о спасении. Сергиев-
ский Посад. 1895.
18 Голубинский Е. Е. История русской церкви. М.: 1880. Т. 1—2.
2-е пзд. 19о1—1904.
XXIV
11.11. Лузпп — П. А. Флоренскому
)7 июня 1912 г. Париж
7(20). IV 1912. Paris.
Дорогой Павел Александрович!
Прежде всего простите, что не .могу сейчас отпетитыга
Ваше пптереспое и цепное для меня письмо *. Ответить
мне хотелось бы подумавши, а для приведения вопросов в
ясность нужно время. Сделать же это после уже мне бы
очень хотелось, так как это для меня очень интересно.
Пока же ограничиваюсь своим приветом и новой прось-
бой Mr. Seliber’a, за которую очень неловко перед Вами и
совестно. Именно, он благодарит Вас за Ваши хлопоты и
просит не беспокоиться поисками книг и пересылкой их,
так как условия работы потребовали от пего скорого оз-
накомления с этими книгами и поэтому он просит меня
написать Вам, чтобы Вы не заботились, потому что он
170
войдет в соглашение с книжными фирмами. Мне очень со-
вестно перед Вами в том, что Вы хлопотали, и Ваши заботы
я вынужден замелить обратными. Пожалуйста, извините
за неловкость положения, быть может, и Вашего перед
Вашими знакомыми!
Всего хорошего! Спасибо за память. Привет от жены!
Любящий Вас
Ваш товарищ II. Лузин
Примечания
Открытка. Парижский штемпель 20.\ I (ио и. ст.) 1912; Сергиев-
ский штемпель 12.С.12. Рукой Флоренского помечено: получ. 1912
1'1.14. Серг. Пос.
1 Письмо это не известно.
XXV
II. II. Лузин и Н. М. Лузина — II. А. Фло!»снскому
24 сентября 1913 г. Флоренция
24(G). IX 1913 1
Пз прекрасной маленькой Флоренции шлю Вам сер-
дечный привет, дорогой Павел Александрович. Сюда я
попал, копечпо, пе для научных занятий, а как раз с
обратной целью — улизнуть па время от них. Несколько
вечеров, очарованные, бродили мы по городу и окрест-
ностям, необыкновенно мягким с нежными очертаниями
при вечернем освещении. Всюду зеленые небольшие хол-
мики Henaissance, подернутые слабой лиловой дымкой.
Самый город сохранил в общем свой старый характер; его
музеи отражают Henaissance — эту эпоху надежд па что-то
и таинственную деятельность Галилея и мага-кудеспнка
из Вппчп. Не знаю, как для других, но для пас обоих
здесь «камин вопиют». Хотя здесь камней и пе так много,
бо 1ынс холста. Часто оба вспоминаем Вас и больше всего
именно здесь; пока желаем Вам всего лучшего; искрен-
ний привет Вашей супруге и сыну, если только последний в
изучении русского лексикона дошел до этого слова. Став-
ным у Вас Ваш Васёнок! 2
II. и Н. Лузины
Примечания
Штемпель Флоренции—0.1(1.13 (новый стиль), Сергиевского
Посада — 27.9.13 (старый стиль). Письмо адресовало в Академию.
Рукой Флоренского помечено: получ. 1913 1Х.29.
1 24.IX ст. ст. плп 6.Х и. ст.
171
1 Флоренский Василий Павлович (1911—1956) — сын
П. А. Флоренского, Впоследствии доцент Московского нефтяного
института (ныне — Московский институт нефти и газа) нм.
II. М. Губкина, мпперолог, геолог-иефтяпик, автор более 71) работ,
в том числе по древнейшим (докембрийским) отложеппям фундамен-
та Русской платформы.
XXVI
II. II. Лузин — П. А. Ф юренскому
6 декабря 1913 г. Парни;
6(23).XII 1913
Paris (VI)
Rue Stanislas, 14
Дорогой Павел Александрович!
Обращаюсь к Сам с большой просьбой, за которую
заранее извиняюсь перед Вами, так как имею в виду при
этом взять у Вас часть времени, так нужного и дорогого
Вам самим. Дело вот в чем: один из моих знакомых, Сер-
гей Петрович Бартенев \ пишет книгу, кажется, по во-
просам русской старины (или приблизительно так]; в
своей работе он встретился с вопросом, трудным для него,
вопросом, в котором он считает себя нс компетентным. По-
этому он обратился ко мпе с просьбой посодействовать,
если можно, свиданию его с Вами, так как Вы единствен-
ный большой знаток в его вопросе. Согласно его просьбе,
в свою очередь я обращаюсь к Вам, дорогой Павел Алек-
сандрович, с просьбой уделить, если можпо, часть времени
Вашего для беседы с С. П. Бартеневым. Если это воз-
можно для Вас, в этом случае, быть может, можпо просить
Вас сообщить мне об этом и о времени, когда Вы желали бы
его принять. По получении от Вас ответа я сообщу его
содержание Бартеневу.
Должен лишь предупредить Вас относительно Сергея
Петровича: между нами — ои не специалист-историк и во-
обще нс занимался специально научной работой; быть мо-
жет, это скажется и на его вопросах. По ои занимает
служебное место в Кремле, имеющее близкое отношение к
хранению кремлевских древностей, поэтому в практиче-
ском отношении он, думаю, осведомлен о многом.
Простите, Павел Александрович, что занимаю Вас
своей просьбой!
172
fl писал Вам из Флоренции; не знаю, получили ли Вы
мою флорентийскую весточку?! Спустить се в ящик я
поручил итальянцу, ну а им, прп всех их внутренних
достоинствах, нельзя доверяться в смысле их точности.
По Италии мы (я жена) путешествовали 51 день.
Путешествие мы предприняли, во-первых, ради любо-
пытства, во-вторых, потому, что я столь сильно переуто-
мился, что была нужна совершенная перемена привычек.
Самое силыюе впечатление произвела, конечно, Помпея.
День был ясный, тихий и жаркий. Помпея блистала яр-
кими красками, была совсем свежей. Казалось, что это
вовсе не мертвый город, а живом, что вот-вот сейчас за-
шумит в ней древняя жизнь. Становилось грустно и
страшно. Только сотни ящериц, греющихся па тысячелет-
них камнях, чувствовали себя превосходно, да еще рои
звенящих мух.
Теперь я в Париже, слушаю по-прежпему лекции, nunij
работы и по-прежпему тоскую по славной русской приро-
де, особенно ио русской иеспс.
Чувствовал бы совсем себя хорошо, если бы не трудное
положение Университета s, при котором я сам не знаю,
что я [по формуляру, но не Реапо’вскому 3J, такое из себя
представляю! Пе знаю, па что я приеду, что найду и не при-
дется ли, в копце концов, заняться вместо науки мирным
преподаванием арифметики и алгебры [до квадратных
ур<авпеп>ий[. Конечно, это проще Кгопесксг’овской
теории иррациональностей 4, которой сейчас я интересу-
юсь, но и куда тяжелее поэтому.
Жена чувствует себя недурно, с живым интересом
подробно осматривала опа итальянские музеи, особенно
сокровища Kenaisance'a. Что же касается мепя, то я
пристально вглядывался и в остатки греческих статуй
богов и богинь. Какая страшная сила художественного
созерцания выявлена в них! Какая разница между совре-
менным модерп-са.топом с кубистами, футуристами и дру-
гими учеными, производящими, думается, эксперименты
в искусстве по проблеме изображения неподвиж'ным под-
вижного, но далеких от художественности.
Думаем возвратиться не позже мая месяца в Москву и,
увы, этот раз окончательно! Пока же желаем искренне оба
Вам обоим всего, всего хорошего, Васёночка целуем оба,
жена даже хотела прислать ему открытку, но тут про-
изошло разногласие: я настаивал на научности открытки,
жена же на художественности — в результате отсутствие
ее!
173
Искренне уважающий Вас Ваш товарищ
II. Лузин.
Р. S. Если бы Вы желали почему-либо знать адрес
С. П. Бартепева — то вот ои: Москва. Кремль, Кавале-
рийский корпус, Сергею Петровичу Бартеневу.
Примечания
Парижский штемпель — 6.12.13 (по и. ст.), Сергиевский —
27.11.13 (по ст. ст.). Письмо адресовано в духовную академию. Кем-
то на конверте доппсано: Штатная ул. д. Озерова. Рукой Флорен-
ского помечено: получ. J913 XI.23 Сер. Пос.
1 Бартепев Сергей Петрович (1863—1930) — пианист, препода-
ватель музыки Московского Николаевского института. Автор за-
писок «Поездка на Восток (Выдержки пз писем)», опубликованных
в «Русском обозрении» >а 1895 год и книги «Большой Кремлевский
дворец. Указатель к его обозрению» (М., 19(>9). В то время работал
над книгой о московском Кремле, которую опубликовал в двух то-
мах в 1912—1916 гг. (Московский Кремль в старину п теперь.
Кн. 1—2. М.: 1912—1916.).
1 См. прпмеч. 5 к письму ХХТП. Очевидно, положение
II. II. . ly.unia. ставшего в начале 1911 г. приват-доцентом Универ-
ситета. выглядело неопределенным.
3 Речь идет о книге Дж. Пеано «Formulaire de matheinaliques»,
изданной в пяти томах в 1895—19о8.
1 Речь идет о работах Л. Кронекера по общей теории алгебраи-
ческих величии, в которых ои попытался синтезировать основы
теории алгебраических чисел и алгебраической геометрии.
XXVII
II. П. Лу вин — П. А. Флоренскому
4 января 191.5 г. Сергиевский Посад
4.1 151
Посад
Дорогой Павел Александрович.
Были у Вас сегодня, Надежда Михайловна и я. Жела-
ли бы Вас видеть, по пе пришлось.
Жизпь ставит препятствия к свиданию: и Вы заняты и я.
Не успели Вас поздравить и приветствовать от всего
сердца с успехом 2. Пе был па Вашей These 3 только пото-
му, что был в это время в Париже. Часто зато читаю и
перечитываю Вашу работу и, нужно ли говорить, поража-
юсь помимо глубины, даже простой работоспособностью.
Лично я пе способен даже па простую форму Вашей ра-
боты.
These понравилась Дмитрию Федоровичу Егорову *.
Что же касается до моей «(These», то опа чисто техниче-
ски («юбщее» скрыто в технике) и в печати.
174
Чаплыгин 8 ругается за полноту: говорит, что это
ошибка — делать диссертации (первые) целиком не-ко.м-
пилятивными.
Мы познакомились с .мамой Чашей супруги и глубоко
признательны ей за беседу и уют.
Во .многих вещах я ничего ле понимаю и могу только
просить у Вас прощения.
Искрение уважающий Вас
Ваш товарищ
Н. Лузин.
Примечания
Конверт не сохранился.
1 Время, прошедшее со времени прошлого письма, было напол-
нено крупными событиями в жизни всей страны и оказалось очень
сложным в жизни Лузиных. В 1914 г. началась первая мировая вои-
на. II. II. Лузин продолжал работать в университете, его жепа ра-
ботала в госпитале. Еще накануне войпы п их отношениях возник-
ли трения и они решили жить раздольно. Сохранились два письма
II. .М. Малыгиной-.Лузиной к Флоренскому, в которых Надежда
Михаиловна обращалась за советом. Первое от 12.7.14 из Ессенту-
ков, где опа отдыхала и лечилась, в нем, в частности, опа пишет:
«Сейчас 11пк<олай> Ник<олаевнч> живет с родителями в Вифании,
в гостинице, № 17; он очень тоскует, много работает пяд окончанием
диссертации, быть может, Вы навестите его; Вас оп п очень любит,
и очень ценит, н, я думаю, беседы с Вами были бы для пего большим
утешением.
Он мне, впрочем, говори I, что и сам собирался заглянуть к
Вам».
Сохранился ответ Флоренского Малыгпиой-Лузппой—либо
это черновик письма, которое опа (су гя по следующему ее письму
от 14.XII 1914) пе получила из-за превратностей военного времени,
либо оно не было отправлено вовсе. В нем. в частности, характери-
зуя ситуацию, Флоренский пишет: «Дня 2 тому назад я ходил в
Вифанию, к II. II.. во елх китель заявил мне, что ои уже с неделю
выехал.— Куда? Николай Николаевич очень милый и хороший че-
ловек; по в жизненном отношении, в особенности в интуитивном
улавливании подземных течений жизни он совсем еще не взрослый.
Вам, как жепщппе и в силу этого одного бодее способной ощущать
нутро жизни — Вам должно было бы взять Ваши взаимные отноше-
ния в руки и создать семейный тон, простоту. Между тем, насколько
я воспринимаю (простите м<ожет> б<ыть>, ошибаюсь!). Вы сами
устанавливали тон пе семейности, а знакомства». В следующем сохра-
нившемся письме II. М. Малыппюй-.Чузпноп от 14.ХП 1914 г. из
Москвы она сообщает: «Я по-прежнему живу одна, теперь —
с Ник<олаем> Нпк<олаевмчем> все же видаюсь». Между 14.XII 1914
и 4.1 15 супруги помирились.
1 19 мая 1914 г. Флоренский защитил магистерскую диссерта-
цию.
3 Диссертации (франц.) — имеется в виду зашита диссертации.
1 Из письма Д. Ф. Егорова II. II. Лузину от 27.VI 1914: «До-
стал я себе диссертацию II. Л. Флоренского и нашел в пен много пн-
тересного. В частности, мысль о неизбежности аптпномпчпости
догматов, хотя, м(ожет) б(ыть), но нова, ио хорошо выставлена и
проведена. Интересны замечания об Аше-ле-Храинтеле как об ,,in-
telligibiler Charakter" (умопостигаемом характере) Кайта.
Меньше всего мне нравятся „поэтические" вступления к пись-
мам: не всякому дано быть поэтом». (Историко-математические ис-
следования. М.: Наука, 1980. Вып. 25. С. 355).
Критическую оценку полного издания «Столпа и утверждения
Истины» мы находим в письме .Лузина супруге от б августа 1914 г.:
«Книга Флоренского очепыштересна, но, главное, в сущности, уже
мы читали. Только здесь больше подробностей, да два письма но-
вых: „О дружбе" н „О ревности1.
Но, в общем, ость манерность. Кинга украшена многими кар-
тинками. Картинка к „Введению" изображает орла, который разры-
вает себе грудь и дает свою плоть п кровь птенцам, которые голодны.
И подпись: „Е me alo. Собою питаю". И бы, ей-Еогу, по был настоль-
ко дерзок, чтобы поместить это. Все-такп, хотя книга П. А. и очепь
умная, ио всецело рассудочная п холодная, холодная, несмотря па
многочисленные набеги па область чувств*. Вероятно, различия в
оценках Н. II. . Iy.iiuii.iM «Столпа» во многом объясняются иимепе-
ниями внутреннего его состояния (сравни, например, примеч. 3 к
письму XIV).
5 Чаплыгин Сергей Алексеевич (1869—1942)—механик и ма-
тематик, профессор Московского университета, впоследствпп ака-
демик.
XXVI и
II. И. Лузин — II. А. Ф.тщ>енскому
2 августа 191 > г. Сергпевскпй Посад
2.VIII.15
Посад
Дорогой Павел Александрович,
устроился в Поволаврскон Гостип(ице\ № 31. Желал бы
свидеться с Вами, но не хочу помешать Вам, явившись
без предупреждения. Быть может, Вы оставите для меня
записку у себя, или сообщите открыткой?
Искренне уважающий Вас Ваш тов<арищ> Лузин.
Примечания
Записка па обороте визитной карточки («Николай Николаевич
Лузпп. Приват-доцент Московского Университета») вложена в ма-
ленький конверт, на котором паппсапо: «Его высокородию Павлх
Александровичу Флоренскому» п добавлено рукой Флоренского:
191.1 VIII.2. Сер. Пос.
17В
XXIX
11. H. Лузин — 11. А Флоренскому
Между 2 н 4 августа 1915 г. Сергиевский Посад
Дорогой Павел Александрович,
заходил к Вам, но по застал; очень жалею, что не приве-
лось беседовать с Вами. Побуду в Посаде еще 1 педелю.
Искренне желаю Вам всего .хорошего.
Ваш II. Лузин.
Примечания
Записка без даты на обороте ви.штиой карточки («Николай Ни
коласвич Лузин. Приват-доцент Московского Университета»), Хра-
нилась в том же конверте, что п записка от 2.VIII 1915.
XXX
II. И. Лузин— II. Л. Флоренскому
4 августа 1915 г. Сергиевский Посад
4.VIII 15
Посад
Дорогой Павел Александрович,
получил Вашу книгу «Смысл идеализма» ’.
Прежде всего сердечно благодарю Вас за подарок,
чрезвычайно интересный, и объективно, а для меня в осо-
бенности. Это — по существу дела.
И еще более по существу — искренне рад вниманию и
отношению ко мне с Вашей стороны: поверьте, песмотря
па divergence2 нашпх мнений. Ваше отношение дорого
мне, как и всегда было дорогим, с того самого времени,
когда я, студентом, робко присутствовал на заседаниях
«Студенческого Математического Общества», секретарем
которого были Вы.
Я тогда ясно почувствовал в Вас силу, желая сбли-
зиться с Вами, но это пе удалось: я боялся Вас, боялся
Вашего мнения, стыдился своей наивности и дефектов
своего интеллекта.
Нужно ли, после этого, говорить, какой радостью я
был исполнен, когда Вы — Вы предложили меня в Ваши
заместители в секретари?
Память об этом, о этой радости, о обнаружившемся ин-
тересе к моей личности, ко мне, и... быть может, улыбка
надежды, надежды па то, что у мепя что-либо иыпдет —
177
память об этом всегда со мной, quelque soil cetle divergen-
ce...3
To, что Вы сделали в тот только один момент для меня,
предпочтя меня, ничего не знающего, наивного, С. С. Бю-
шгепсу — этого и никогда не могу забыть, потому что это
впервые я получил в этот момент радостную уверенность
в себе... сомневаться же так тяжело, вечно сомневаться.
У нас, в России, пет правильных форм научной жизни,
почти нет математики, как пауки, а не как объекта пре-
подавания. Поэтому начало всякой научной самодеятель-
ности принимает у нас всегда ложные формы, направляет-
ся по кривым путям, усыпанным острыми камнями горь-
ких сомнении, заросшим дурманом первых успехов, ложно
истолкованных... Л между тем так просто и радостно было
бы учиться «делать пауку» у того, кто имеет право учить
этому и показывать это — как это показывал Ileiiri Poin-
care! Сколько исчезало бы вредного, темного, болезненно-
го! Сколько бы отпало людей, не созданных для науки,
сколько бы горьких сомнений исчезло бы у способных!
Но этого нс было... были профессора, не ученые. Пе
было живой пауки, было преподавание, была таинствен-
ность, тьма, стена, пробить которую представлялось
каждому, кто как хочет и может. Не было ШКОЛЫ,
как живой творческой научной атмосферы; отсутствие
творчества прикрывалось важностью 4.
Не напрасно, поэтому, не субъективно говорю я о
том, как много значила для меня Ваша рука, вовремя
поддержавшая меня.
Много времени прошли с тех пор, но память об этом
жива до сих пор. Пе изменилось нисколько и мое отно-
шение к Вам, Вашим силам, по существу оставшееся преж-
ним. Изменилась, быть может, лишь внешняя форма,
выражение этого отношения — но в этом виновато одпо
время: мне уже 30 лет!
Что же касается до «divergence» наших мнений — она
значительна, это — правда. Но разве это меняет дело,
по крайней мере для меня?
Вы ищете бестрепетного сердца непреложной Истины,
оснований всему, смело шагаете через все, сметая теории,
как карточные домики, а я... я не жду последних «как» и
«почему», и, боясь бесконечного, я сторонюсь его, я не
верю в пего.
Нет актуальной бесконечности! а когда мы усиливаемся
говорить о ней, мы фактически всегда говорим о конечном
и о том, что за п есть п-|-1 ... вот и все!
178
Тьма окружает всех пас, и на этом темном фоне един-
ственная есть радость — мысль... La pensee n’estqu’un
eclair au milieu d’une longue nuit; maisc’est cet eclair
qui est tout...4
Преданный Вам Ваш II. Лузин.
Р. S. Ваша книга чудовищна по новизне. Я ее прочел —
она все подрывает, как динамит!
Примечания
Письмо отправлено не по почте. Рукой Флоренского на конвер-
те отмечено: получ. 1915 VIII.4 Сергиев Ilocat).
1 Флоренский П. А. Смысл идеализма. Сергпев Посад. 1914.
(На обл.: 1915).
’ Расхождение (франц.).
1 Каково бы ни было это расхождение (франц.).
* Пессимистическая оценка, данная Лузиным положению пау-
ки и ее преподавания в России в начале века, не соответствует дейст-
вительности. Такого рода преувеличения (как в положительную,
так и в отрицательную стороны) характерны для Лузина.
5 Мысль — лишь вспышка сре ц> длинной ночи, по эта вспыш-
ка — все... (франц.) «Ночная природа» мысли — философская ме-
тафора, проходящая через всю новую философию (ее можно встре-
тить и у Канта, и у Тютчева, и у .многих других).
XXXI
П. А. Флоренский — II. Н. Лузину
24 октября 1915 г. Сергиевский Посад
Дорогой Николай Николаевич!
Как живете и что делаете?
Направляю к Вам за советами брата своего Александра1,
который почти окончил два фак(ультета>, и теперь не мо-
жет окончательно развязаться пи с одним. Пе имеете ли
Вы связи с Любавским 2 или с Лахтиным 8? Дело, требую-
щее решения 4, пустяковое, но так или иначе, приведенное
к концу, оно будет иметь большие последствия.
Напоминаю Вам, не напишите ли чего при случае в
«Бог(ословский> Вестн(ик>, и в таком роде, как мы с
Вами уже говорили 5.
Надежду Николаевну • приветствую, а Вас дружески
обнимаю.
Когда же Ваш диспут? Когда выйдет диссертация?
Любящий Вас
священник Павел Флоренский
1915.Х.24
Сергиев Посад
179
Примечания
В промежутке между предыдущим п настоящим письмами
II. Л. Флоренский подарил 11. II. Лузину свою брошюру «Приве-
дение чисел (к математическому обоснованию числовой символики)»
(Сергпевскпй Посад. 1916) с дарственной надписью: ^Дорогому Нико-
лаю Ииколаевичу Лузину на добрую память — негодный матема-
тик, но издали радующийся успехам автора „Интеграла" (имеется
в впду диссертация Н. II. .Лузина „Интеграл и тригонометрический
ряд“> 1916.1 X,1~>. Сергиев Посад*.
1 Флоренский Александр Александрович (1890—1937) — пет-
рограф, минералог, геолог, археолог, педагог, знаток искусства.
Автор ряда работ по полезным ископаемым Кавказа. Остались руко-
писи по истории Закавказья.
1 .Любавскпп Матвеи Кузьмич (18(>п—1937) — историк, ректор
Московского университета с 1911 ио 1917 г., впоследствии акаде-
мик.
s Л. К. Лахтин в эти годы (1912—1917) был деканом физико-ма-
тематического факультета.
4 Суть этого дела неизвестна (см. примем. 4 к письму XXXIII).
4 Редактором «Богословского вестника» Флоренский состоял с
1911 по 1917 гг. В списке лиц, которых II. А. Флоренский «желает
иметь в журнале» числится и II. II. Лузин (см. стр. 301 статьи
А. С. Трубачева в книге: Богословские труды. Юбилейный сбор-
ник. М„ 198Г>).
Никаких сведений о появлении в этом журнале работ Лузина
нет.
4 Описка. Следует — Надежду Мпхапловпу.
XXXII
II. А. Флоренский — Н. II.. Ij3iniy
2(> ноября 1915 г. Сергиевский Посад
Дорогой Николай Николаевич!
Данно давно собирался написать Вам, ио все время
уходило в суете, и не выберу никак пи одной свободной
минуты. Вот и сейчас нишу Вам на практических заня-
тиях, засадив студентов писать зачетное сочинение. Про-
стите поэтому, если письмо мое будет бестолково.
Я слышал, что скончался недавно и Ваш отец '. Хотя
мне мало известны Ваши взаимные с ним отношения, но
понятно и то, что Вам, во всяком случае, приходится в
упор всматриваться в вопросы жизни. При Вашей нерв-
ности это, вероятно, еще взвинчивает Вас. Не надо ли
Вам отдохнуть, дорогой Николай Николаевич? Если бы
Вы нновь появились в Посаде, я был бы очень рад, не
скажу, чтобы с удобствами, но мог бы я устроить Вас и у
себя в кабинете.
180
Не стесняйтесь и поверьте, что из всех товарищей по
Университету я сохранил настоящие теплые чувства, ка-
жется, лишь к Вам одному. Вы ничего не пишете о себе
и о своей диссертации 2. Полагаю, ей давно нора выйти.
Что же случилось? Почему ее нет еще на моем столе (к
сожалению, не могу сказать — в голове, т. к. не знаю,
вместится ли она в мою голову).
Что до меня, то этот год по преимуществу посвящен у
меня Каббале 3 и ее принципам. Я задумал новый курс —
«учение о категориях», в котором .хотел бы показать сту-
дентам, что разные бывают типы мышления, разные систе-
мы категорий и притом в связи с разными верами, лежа-
щими в основе Toil или другой системы. Другими словами,
мие захотелось вскрыть глубочайшие нервы мировоз-
зрения и, после наиболее близкого мне топографически и
.хронологически, но наиболее удаленного по своей «ориен-
тировке» мировоззрения западно-европейского, т. е. ме-
хапически-поаитивно-каитиапского, я приступил к мыш-
лению иудейско-каббалистическому, и па нем застрял до
сих пор. Далее предполагаю изучать начала магизма и,
затем, церковного жизнепонимания.
Удивительно, сколько течений исходит из Каббалы, и
притом теряя основное вдохповепие Каббалы и {слово
неразборчиво^ механическими и удивительно скучными.
Напр{имер> «Ваша» логистика 4, конечно, ничто иное как
производное от Каббалы. Ио, Боже мой, насколько все
это живо, вдохновенно и сильно в Каббале, и насколько
скучпо и тускло у Пеано, Росселя и др. Пли вот, гегелев-
ская диалектика. Ведь, это опять есть осложненная {оскоп-
1еипая?> Каббала, не более.
Еще занимаюсь «почитанием предков», расследования-
ми генеалогическими, требующими ужаспо много сил и
времепи и оказывающихся чем-то вроде расходящихся
рядов и чем больше, чем больше занимаешься и углубля-
ешься в предков, тем более выискиваешь лиц и, вместо
того чтобы сходиться, отдельные линии все упорнее рас-
ходятся. Желаю Вам всего доброго. Господь да храни Вас.
Прпвет Надежде Михайловпе. Любящий Вас священник
Павел Флоренский.
1915 XI.2G
Сергиев Посад
Примечания
Письмо вложено в официальный конверт с типографской над-
писью: Редакция «Богословского вестника». Штемпели: 28.XI 1915
(Сергиевский Посад), 28.XI 1915 (Москва).
181
1 Отец Лузина скончался 20 сентября. Отец II. Л. Флоренско-
го — инженер путей сообщения Александр Иванович Флоренский —
умер 22 января 19о8 г.
2 Об этом смотри ответное письмо Лузина от 21.IV 1916.
2 Каббала (предание, традиция — евр.) — собрание иудейских
сочинении мистического характера, наиболее раннее из которых
книга Пециры написано в VIII пли IX в., а папботее позднее и важ-
нейшее, Книга Зогара, около 12оо г.
4 Имеется в виду математическая логика.
ХХХ1Н
И. II. Лузин — П. Л. Флоренском}
21 апреля 1916 г. Москва
21.IV 1916
Москва
Арбат, д. Общества
Русских Врачей (25), кв. 3
Дорогой Павел Александрович,
очень давно я собирался быть у Вас 1 ii.ui, по крайней
мере, написать Вам — по все ие приходилось выполнить
этого. Непривычная обязательная деятельность, не на-
учная, по педагогического характера — берет у меня поч-
ти все время и все силы так, что почти ие остается ничего
на научную работу 2. В результате, пришлось запустить
почти все личное — переписку, общение, даже знакомства.
Вот почему я так и по смог написать Вам и быть у Вас —
хотя мне это сильно хотелось и было нужно. Нужно ли
говорить, что мне часто пе хватало тех общих бесед, кото-
рые мы часто вели, и которые все1да столь интересны,
побуждая к новым мыслям, опьяняя мой «интеллект».
Теперь конец года, занятия замирают, превращаясь в
скучные, но неизбежные экзамены (которых у меня более
12 сеансов). И пока все не кончилось, я не способен пи к
чему более интересному, чем «дела». Таким образом, пе
мысль чем-либо интересным поделиться с Вами побудила
меня написать Вам, отымая у Вас нужное время, а ис-
полнение одного обещания. Дело в том, что Вы пожелали,
.детом, знать срок защиты моей диссертации 3, так как
Вам это было тогда интересно знать. До сих пор я не мог
выполнить этого, потому что н сам не знал срока защиты.
Все зависело от Леонида Кузьмича Лахтппа. Теперь это
дело выясненное. Защита моей диссертации будет в среду,
27 чиста, в 2 час. дня в новом здании Университета (там,
где памятник во дворе Михайле Ломоносову), в одной из
LS2
математических аудиторий. Какая — это ие выяснено,
по при входе тотчас же укажут.
Кусать меня собираются основательно, ио я ие сдамся,
и сам буду откусываться. Предвижу, что будет открыт
огонь за «принцип произвольного выбора».
Должен сказать, что моя позиция очень трудна: ведь
я нападаю на Caiitor'a. А защищает его весь факультет —
так что, думается, будут общие дебаты по основам теории
множеств, и будет пролито немало пота.
Если Вам время позволит к этому времени быть в Мос-
кве — буду очень счастлив видеть Вас — искренне рад —
хотя и знаю, что самый опасный противник — это Вы.
Я стремился, насколько мог, выполнить желание
Александра Александровича 4 — по встретил прямо не-
преодолимые препятствия — все со стороны того точного
механизма, который называется управлением уиивереиге-
та. Препятствия эти были прямо неодолимы, и сам Алек-
сандр Александрович не мог ничего посоветовать мне,
что я мог бы выполнить в его пользу.
Александр Александрович мне очень понравился, и я
калею что он ие в Москве, так как видеть его было бы
мне очень приятно.
Приезжайте, Павел Александрович, если будет время.
Пока же всего хорошего. Мой глубокий поклон Вашей
супруге и сыну (первому), так как со вторым 8 мы е1це
пе познакомились.
Искренне уважающий Вас
II. Лузин.
Нримечаипя
Письмо заказное. Штемпели — 22.1V 16 (Москва), 23.IV 16
(Сергиевский Носат). Адресовано па Дворянскую ул., дом Якуб
(ныне Пионерская ул. д. 19). Семья Флоренских переехала туда
20—21 апретя 1915 г. В октябре того »ке года зтот дом был приоб-
ретен семьей Флоренских в собственность. Рукой II. А. Флоренско-
го помечено: иотуч. 1916 IV.23.
1 Средн бумаг П. А. Флоренского сохранилось следующее письмо
Н. М. Малыгиной-Лузиной от 4.XI 15 г. «Вот уже два месяца, как
мы покинули милый Сергиевский посад, нашу мирную жизнь там п
живем снова в Москве со всеми ее треволнениями. Хотелось бы по-
видать Вас, глубокоуважаемый Павел Александрович, хотя ненадол-
го возобновить паши беседы и послушать — пожалуйста, не счи-
тайте за комплимент, я их терпеть не могу и не умею говорить —
Ваши интересные речи (неразборчиво четыре слова) Пожалуйста,
если будете в Москве, вспомните хотя иногда и об нас; я знаю. Вы
всегда очень заняты, у Вас много интересных знакомых, но Н. II.
в качестве Вашего товарища, тоже имеет покушение на Ваше вре-
мя. Заходите к вам, когда захотите. У Н. Н. снова было большое
183
горе: 20 сентября скончался его отец, он остался таким образом со-
вершенно одиноким, поселился теперь с нами, как с самыми близки-
ми ему людьми. Я была бы очень рада, если бы Вы, как и в Троице,
пригласили как-нибудь 11. Н. навестить Вас; я предлагала ему по-
ехать в Троицу дня на два, провести там время в прогулках, в раз-
говорах с Вами, которые оп так ценит.
Пожалуйста, Павел Александрович, когда случится Вам быть
в Москве, вспомните о пас. Всегда очень рады Вас видеть. Передай-
те, пожал у бета, наш привет Вашей супруге и матушке. Васепочка
целуем.
Искренне уважающая Вас
11. Малыгина
Арбат д. 25 (О-во русских врачей) кв. 3
4.17
Ла । Москва
Спишите наш телефон 4.27.48
Пмк<олап> 11нк<олаевпч> занят в понедельник до 3 дня. втор-
ник до 3 дпп, среда до 8 вечера, четверг весь спободпый, пятница
до 2 1/2 дня, суббота до 7 ч. вечера, воскресенье свободен».
3 Будучи приват-доцентом университета. .Лузин читал обяза-
тельный курс аналитической геометрии, вел семинарий. Кроме это-
го оп преподавал в Межевом институте (см. Псторпко-математпческпе
исследования. М.: Г11ГТ. I. 1955. Вып. 8. С. 71.).
3 Защита, официальными оппонентами па которой выступили
Д. Ф. Егоров п .’I. К. Лахтин, прошла блестяще: в виде псключе
пин .Лузину, минуя степень магистра, была сразу присуждена сте-
пень доктора чистой математики.
4 Речь пдет о брате Павла Александровича — Александре Алек-
сандровиче (см. прнмеч. 1 к письму XXXI).
• Второй сын Флоренских — Кирилл Павлович (1915—1982).
Впоследствии геохимик, мпнералог, бпогеохпмнк, планетолог, уче
ник академика В. 11. Вернадского, создатель лаборатории сравни-
тельной планетологии Института геохимии п аналитической химии
АП СССР им. В. И. Вернадского.
XXXIV
II. М. Лузина — II. Л. Флоренскому
15 октября 1916 г. Москва
916^-
Л.
Глубокоуважаемый Павел Александрович,
пишу Вам по поручению Николая Николаевича х; оп про-
сил меня передать Вам его благодарность за присланную
Вами книгу, а также спросить Вас, будете ли Вы дома в
четверг 20 октября, т. к. II. П. очень хотелось бы пови-
даться с Вами. Я же со своей стороны обращаюсь к Вам
с большой просьбой; Вы, когда в последний раз были у
нас, приглашали Н. П. приехать к Вам погостить дня иа
два; если Вас не стеснит, Павел Александрович, то я была
184
бы Вам очень благодарна, если бы IT. II. мог пробыть у
Вас, четверг и пятницу; он очень устал, переживает,— и
мне бы так хотелось, чтобы он побыл с Вами, в другой
обстановке, и немного бы отдохнул от московской сутоло-
ки. Простите, что так просто к Вам обращаюсь, но Вы
всегда былп добры к II. II., и я и он. мы очень дорожим и
ценпм Ваше знакомство с нами. Пока всего доброго. Пе-
редайте наш привет Вашей супруге. Буду ждать ответа.
Н. II. просит передать Вам свой сердечный привет.
II. Малыгина.
Арбат д. 25 кв.3
Примечания
Московский п Сергиевский штемпели — 16.10.10. Письмо адре-
совано: Дворянская ул. дом Якуб.
1 По этой причине мы пометаем это и следующее за ним письмо
среди писем II. II. Лунина.
XXXV
II. М. Лузина — II. А. Флоренскому
8(21) января 1918 г. Москва
918
Понедельник, Москва
Глубокоуважаемый Павел Александрович,
пишу7 Вам по поручению Пик<олая> Николаевича}, он
сам хотел прпехать к Вам, получив Ваше любезное при-
глашение. Но па Новый год с ним случилось маленькое
несчастье: его нечаянно столкнули с вагона трамвая, так
что он упал и повредил себе правую руку; сильный ушиб и
вытянул сухожилие, пришлось просить профессора Спп-
жарпого 1 навестить его. Он две ночи не спал от боли,
сейчас руке лучше, но писать он избегает, делает горячие
ванны и массаж, т(акпм> образом, не может пока двинуть-
ся в путь. В библиотеку, по Вашему поручению, Н. II.
ходил, но, к сожалению, нужная Вам книга взята. Если
университет и другое учебное заведение в связи с события-
ми не скоро начнут функционировать, а также не прекра-
тится временно пассажирское движение, то И. Н. соби-
рается к Вам, т. к. он давно не видал Вас и ему очень
хочется побеседовать с Вами. Когда приведется Вам быть
в Москве, будем очень, очень рады, если Вы посетите нас.
18.'.
паша гостппая к Вашим услугам, а питание то;ке minimum,
1/4 ф хлеба на человека и все в этом роде. Привет иаш
Вашей супруге. Уважающая Вас
Н. Лузина.
Примечания
Штемпели: Москва, 11.1 18, 12.1 18 — Сергиевский Посад. Ад-
ресовано на Дворянскую ул., собственный дом (бывший Якуб).
1 Сппжарный Иван Константинович — хирург, ординарный
профессор Московского университета, директор университетской
хирургической клиники.
Приписано рукой Флоренского: получ. 1918.2.12.
Сохранилось также пшьмо Надежды Михайловны от 23.3(9.4)
1919 теще Флоренского — Надежде Петровне Гиацинтовой (18(>2—
1940), в девичестве Рязаповой. Надежда Михайловна по ошибке
именует ее Надеждой Петровной Флоренской. В письме опа просит
достать ей в Посаде творога к приближающейся Пасхе. В этом пись-
ме, в частности, она пишет: «Паша жп.шь с Ппк<олаем) 11нк<олае-
вичем> стата совершенно кочеван, полпеделп мы в Москве, полови-
ну в Иванове-Возпесенском — поездки утомляют ужасно, особенно
теперь, когда пас лишили вагона п пришлось ехать в делегатском —
это было что то невообразимое, по тесноте и грязп. Каждый раз,
проезжая мимо Сергиева, мы вспоминаем паше житье там, вспоми-
наем Вас всех; так бы хотелось сдетать остановку п повидаться, по
приходится торопиться па чтение лекций. Все же. может, когда-
либо н увидимся! Как поживает Павел Алекса! дровнч? Пик(олай)
Ннк<олаевнч> узнает иногда о нем от Каптерева — жаль, что Па-
в<ел> Александрович) никогда пе зайдет к нам; в Москве мы бы-
ваем в попеделышк и вторник».
Голодное время первых послереволюционных лет вынуждало
преподавателей университета искать работу в учебных заведениях,
предоставлявших своим сотрудникам продовольственные папки.
Одним из таких заведений стал организованный в г. Пиапоно-Воз-
песепске Ивановский политехнический институт. Туда целиком пли
частично переехали многие юсковскне математики — Д. Е. Мень-
шов. A. II. Покрасив, В. С. Федоров. А. Я. Хппчин н др. Пре-
подавал там н сам Лузин. Приведенные строчки из письма Надеж-
ды Михаиловны одно из свидетельств этого периода.
XXXVI
II. Н. Лузин — II. А. Флоренскому
Без даты (не ранее 1918 г.). Москва
Дорогой Павел Александрович,
как давно, давно мы не виделись! Очень желал бы
видеть Вас и, если у Вас ость время, то жаждал бы и побе-
седовать с Вами! Я свободен вечером всякий депь с КУ*
вечера, исключая завтра в пятницу. Как судьба Вашей
книги х. Если есть у Вас желание, не склонились ли бы
Вы на желание некоторых заграничных друзей, глубочай-
ше интересующихся Вашей книгой и пе пожелали бы Вы
снестись с ними пли переслать что-либо? Издание за
границей возможно. Я тогда бы снесся с prof. Sierpinski 2
и еще кое с кем.
Любящий искрение и глубоко чтущий Вас
Ваш II. Лузин.
Примечания
Письмо написано на небольшом клочке плохой бумаги плохими
синими чернилами, отправлено пе по почте н не датировано. Па кон-
верте: профессору Павлу Александровичу <1>лоренскому от И. Лу-
зина. Рукой II. А. Флоренского написано па конверте: «без числа».
Ясно, что письмо паппсапо нс ранее 1918 г. (до этого Ссрнпнскип
•кил в Москве). Письмо помещено между XXV п XXVII—так, как
оно лежало в подборе писем в архиве Флоренского.
1 О каков книге идет речь, остановить не удалось.
2 CepiiiiiicKiiii Вацлав (1882- 1969) — польский математик.
В 1914—1918 гг. жил п работал в России, где сблизился с Д. Ф. Его-
ровым п П. П. Лузиным. С 1918 г.— профессор Варшавского уни-
верситета.
XXXVII
П. Н. Лузин — П. А. Флоренскому
5 мая (в. с.) 1919 г. Москва
Москва,
Арбат, д. 25, кв. 11(3)
5 мая 1919
Дорогой Павел Александрович,
простпте, что решился отнять у Вас несколько минут
Вашего цепного времени: я это делаю лишь потому, что
к этому меня понуждает глубокая внутренняя потреб-
ность.
Пе стапу распространяться; скажу' только, что в
последнее время меня очень гнетет чувство пустоты и
отрешенности от источника жизни духа. С внешней сто-
роны все без изменения: по-прежнему читаю лекции, веду
упражнения, руковожу дорогим мне семинарием и цен-
ными для меня занятиями оставленных; по-прежнему,
наконец, веду работы — свои и других; но все-таки что-то
изменилось, что-то переломилось; мне трудно только
сказать, что именно.
Приходится сознаться: очевидно, были допущепы не-
которые ошибки, требующие исправления. Немного страш-
но за будущее, так как сейчас для меня оно неопределимо.
187
Трудно сказать, почему только потребность остановить-
ся и внутренне осмотреться у меня непреодолимо связы-
вается с потребностью б пике познакомиться с путем, прой-
денным и проходимом Вамп, приобщиться ему, наскотько
это дозволено мне внутренней моей структурой. Вот отче-
го я н обращаюсь к Вам, дорогой Павел Александрович,
помочь мне, насколько это ие отнимет у Вас много времени:
именно, я желал бы иметь но возможности все Ваши ра-
боты, вышедшие в печати. Многое уже есть у меня, но у
меня нет Ваших больших вещей, последних лекций ио
философии (говорят, они вышли) 1 и, главное, я не имею
Вашей These: «Столп н утверждение Истины». Без сом-
нения, относительно первых я обращаюсь к Вам только
лишь в том смысле, чтобы Вы указали мне, откуда я мог
бы выписать их: в прежнее время я приобрел бы, пе
беспокоя Вас, так как достаточно для этого было бы об-
ратиться к солидной фирме. Теперь это все перемешалось,
и никто ие в силах помочь мне. Таким образом, буду Вам
серьезным образом обязан, если Вы мне указали бы, куда
именно мне обратиться в целях иметь то, что можно полу-
чить в общем порядке
Гораздо сложнее дело обстоит с Вашей основной и
фундаментальной работой «Столп и утверждение Истины».
И знаю, что эта книга есть крайне цепная (даже внешне)
библиографическая редкость. Поэтому я и ие пре (полагаю,
что мог бы получить ее на общих основаниях, т. е. купить
обычным образом. Поэтому я решился бы обратиться к
Вам лишь в том смысле, что ие имеете ли Вы кого-либо
в виду, кто мог бы расстаться с Вашей книгой, пе вредя
своим духовным интересам. Я пе могу взять книгу лишь на
время, ибо я по хочу ее только прочесть: мне необходимо
ее читать. Далее, я решаюсь обратиться к Вам с этой
просьбой лишь потому, что это непреодолимый запрос ду-
ши, поборовший у меня чувство неловкости перед Вами
за беспокойство Вас, и уж никак ие любовь к коллекци-
онерству редких книг. Дожидаться 2-го издания, если
оно и выдет, слишком долго для меня: мпе это надо «сейчас»,
а не «потом» (когда это, может быть, будет и поздно — в
том смысле, что будет предпринят некоторый путь).
Как ничтожный эквивалент за беспокойство гипоте-
тического лица, обладающего, допустим, песколькпмп
(«п») экземплярами (n^>(J) Вашей книги и согласившегося
уступить мне один, я мог бы предложить в любой момент
до 2е рублей, и в рассрочку до 2,и рублей 2. Я желал бы
написать до 2й, если бы имел столько.
188
Простите, дорогой Павел Александрович, за мок
просьбу, которая пусть лишь в том случае получит ответ.
если последний не затруднит Вас.
Искрение уважающий и любящий Вас
Ваш Николай Лузин.
Примечания
Письмо заказное. Штемпели неразборчивы.
1 Возможно. II. П.Лу.шн имеет н виду следующее издание:
Флоренский II. Л. Первые шаги философии. Пз лекции по истории
философии. Сергиев Посад, 1917. Выи. 1.
* Курс рубля в то время очень упал.
XXXVIII
П. А. Флоренский — II. Н. Лузину
8 сентября (н. с.) 1921 г. Москва
Николаю Николаевичу Тузину
Дорогой Николай Николаевич,
податель этого письма — Александр Михайлович Коно-
валов 1 в качестве слушателя моих лекций по философии 2
является моим учеником. Но мне крайне хотелось бы,
чтобы ие только моим, по и Вашим, был ои. (hi филолог,
но причастен и математике; ему выяснилась ныне необ-
ходимость войти и гущу математических идей и методов,
но мне-то неясно, что именно п как нужно сделать, чтобы
перевестись ему на математический факультет. Очень
прошу оказать ему содействие — советом и влиянием, если
только таковое понадобится. Не знаю, что требуется у
Вас, т. е. для экзамена, по поручаюсь, что в скором вре-
мени он, если пе удовлетворит Вас сейчас, с успехом про-
штудирует все, что от пего потребуется. Обращаюсь именно
к Вам, ибо знаю, что именно Вы особенно прислуши-
ваетесь к запросам молодежи и входите в дело по сущест-
ву. А кроме того, питаю надежду, что Вы ие совсем забыли
своего старого друга. Всего доброго, Жму Вашу руку.
Пр данный Вам
священник Павел Флоренский
Москва, 1921 VIII. 2С> IX 8
Примечания
Записка, кроме слов, выделенных здесь курсивом, напечатана
на манишке.
1 Никаких сведении об А. М. Коновалове найти пе удалось.
189
1 В 1919 г. Московская духовная академия в Гропце-Сергиев-
скоп лавре была закрыта. Студенты продолжали заниматься в
Москве в Даниловой, а затем в Петровском монастырях приблизи-
тельно до 1928 г. Флоренским продолжал читать им лекции, но, ра-
зумеется, в ином объеме. С лета по октябрь 1921 г. он читал студен-
там III курса МДА курс, состоящий из двух больших циклов —
«философия культа* н *У водоразделов мысли» (см. статью
А. С. Трубачева в книге: Богословские труды. Юбилейный сбор-
ник. М.,‘ 1986. С. 233).
XXXIX
Л. А. Флоренский — Н. II. Лузину
18 октября, 1922 г.
Дорогой Николай Николаевич, посылаю Вам наскоро
паписаииый список рукописных работ; хотя и знаю, что он
пе полон, по память у меня слишком ослабла, чтобы дер-
жать в голове своей.
Всего доброго. Жму Вашу руку.
Ваш 11. Флоренский
1922 Х.18
Примечания
Последнее известное в настоящее время письмо из переписки
Лузина с Флоренским. Написано на плохой бумаге. Конверт от-
сутствует. К письму приложен следующий список:
Некоторые рукописные работы 11. А. Флоренского
1. Преимущественно математического иаправ 1оипя:
а) повышение чисел
б) теория сетей
в) о поверхностях (топологическое обследование)
г) об особенностях плоских кривых, как местах нарушения их
непрерывности (геометрическое введение в теорию функции действи-
тельиого переменного)
д) расширение п новое доказательство одной теоремы Кантора
о континууме
е) множества, как величины
ж) исследование кривых методом областей
з) лекции по методике геометрии (курс)
и) лекции по энциклопедии математики (курс)
к) конкретное значение прерывности (материалы к введению
в прерывное мировоззрение)
л) форма в природе п математика
м) лекции по анализу перспективы (курс) (пространство, как
предмет восприятия и изображения)
и проч.
2. Преимущественно электротехнического направления:
а) электрические зонды (сводка и исторический обзор приемов
зондирования электрического поля)
б) физические приборы для решения алгебраических п некото-
рых трансцендентных уравнении (изобретение автора)
190
в) электроинтегратор (прибор автора)
г) пространство и силовые ноля
1) исследование электрических полей применительно к по-
строению высоковольтных изоляторов и проч, потребностям высоко-
вольтной техники (.моделирование различных пространств на плос-
кости.
е) программа испытаний карболита
ж) об изучении диэлектриков в отношении их высоковольтной
электротехники (I установка основных понятии, диэлектрический
пц’терпзпе н его измерение)
а) об электрических изоляционных веществах, в особенности о
материале из бакелита. (Перевод и обработка статьи Бюльтемана,
с дополнительными примечаниями).
н) технические условия диэлектриков (перевод и обработка ста-
тьи Бюльтемана, с дополнительными примечаниями.
к) слюда (краткая записка о некоторых ее свойствах, примени-
тельно к задачам электротехники, с приложением программы иссле-
дования слюды.
л) о символическом исчислении и его применения к интегриро-
ванию дифференциальных уравнении электротехники п механики,
перевод работ Фохта, с дополнительными примечаниями.
м) общая характеристика изоляторов
н) ряд отзывов о докладах:
о) Смурова и Третьяка — применение румкорфовон спирали к
электротехническим испытаниям;
Семенова несколько работ об исследовании полей термпонным
зондом;
Шпнльреина о некоторых терминологических нововеденнях
электротехники;
Королькова — о лампах накаливания
— эфир и планеты
и проч.
18/Х — 22 г.
НОВЫЕ МАТЕРИАЛЫ
К БИОГРАФИИ И. И. ЛУЗИНА
П. С. Ермолаева
В «Историко-математических исследованиях» (вып. 23—
25, 27—30) было уже опубликовало пемало архивных ма-
териалов о жизни и творчестве Н. II. Лузина (1883—1950),
оказавшего столь мощное и длительное влияние на про-
гресс математики в нашей стране и во всем мире. Публикуе-
мая далее в настоящем издании переписка II. II. Лузина
с академиком А. И. Крыловых! (1863—1945). .хранящаяся
в Архиве АП СССР (Москва) и Ленинградском отделе-
нии ЛАП, значительно дополняет ранее издававшиеся ма-
териалы и представляет интерес не только для биографий
191
II. II. Лузин (публикуется впервые)
обоих корреспондентов, особенно Лузина, но и для исто-
рии математики вообще и Московской школы теории функ-
ций действительного переменного, в частности.
Переписка двух выдающихся ученых охватывает пе-
риоде 1928 г. по 1942 г. К сожалению, не все письма, кото-
рыми обменивались Лузин и Крылов, сохранились. Это
относится прежде всего к письмам Крылова: па 22 письма
Лузина найдено только б ответных писем (пли их черно-
виков) Крылова. Возможно, что и первое письмо Лузина
от 19 июня 1928 г. не было его первым письмом, адресо-
ванным Крылову, однако начало переписки вряд ли может
быть отнесено к существенно более ранпей дате. Здесь
естественно поставить вопрос: когда и при каких обстоя-
тельствах произошло знакомство Лузина и Крылова?
Во всяком случае, это знакомство не могло произойти в
июне 1921 г. во время приезда Лузина вместе с группой
московских математиков в Ленинград для участия в кон-
ференции, посвященной 100-летию со для рождения
И. Л. Чебышева, так как еще в марте этого года Крылов
192
уехал в заграничную командировку в составе академиче-
ской комиссии и вернулся лишь в конце 1927 г. Болео
вероятно, что знакомство произошло в Париже. Это пред-
положение основано на следующем.
Последние два года своего пребывания за границей (пос-
ле Берлина и Лопдона) Крылов провел во Франции. Из-
вестно, что Лузин был в командировках в Париже в 1925 г.
п в 1926 г. Вероятно также, что инициатором знакомства
был Крылов.
Дело в том, что в связи с внезапной кончиной В. А. Сте-
клова 30 мая 1926 г. в Академии паук СССР встал вопрос
о замещении освободившемся кафедры, и 6 октября toi*o же
года Крылов вошел в состав выборной комиссии по заме-
щению свободных вакансий академиков по математиче-
скому разряду. Однако уже в июне 1926 г., т. е. до офи-
циального назначения, этот вопрос Крылов обсуждал в
переписке с академиком Я. В. Успенским, причем рас-
сматривался и более общий аспект этого вопроса, а имен-
но: ограничиваться ли требованием выбирать только спе-
циалиста по прикладной математике или пет.
Среди возможных кандидатов Я. В. Успенский назвал
С. Н. Бернштейна, II. М. Гюнтера, С. А. Чаплыгина и
П. II. Лузина, из которых первому оп отдавал предпоч-
тение. Отношение Успенского к теории функций действи-
тельного переменного в то время было крайне отрицатель-
ным, что видно из следующих строк его письма к Крылову
в Париж от 17 нюня 1926 г., касающихся Лузина: «Отно-
сительно Лузина я знаю, что оп хороший специалист в сво-
ей области (теория множеств и связанная с нею канторов-
ско-лебеговская дребедень), блестящий профессор, со-
здавший в Москве школу своих учеников и своим влиянием
упразднивший настоящую математику в Москве» (1, л.
1об.]. Затем Успенский пишет, что было бы желательно
знать мнение специалиста в этой области о работах Лузи-
на, но не А. Лебега, от которого «кроме похвал ничего не
услышишь», и советует Крылову обратиться к А. С. Бе-
•тковичу, мнению которого Успенский доверяет. (А. С. Бе-
зикович занимался также и разработкой теории функ-
ций действительного иеремеппого.)Далее Успепский пишет:
«Лично я Лузина почти не знаю и потому, если я позволяю
себе высказываться неодобрительно о его направлении, то
только потому, что чувствую к этому направлению глубо-
кое омерзеппе и твердо уверен, что мода на это скоро прой-
дет, особенно, если принять во внимание выступления
Brouwer’a |Л. Брауэра! и Weil’n [Г. Вейля], которые
7 Заказ Л« 2060
193
выставили веские возражения пе только против всей ма-
хины. воздвигнутой Кантором н Лебегом, по также и про-
тив того, что со времен Вейерштрасса считалось прочно
установленным» |1, л. 2].
В ответном письме Крылов писал: «В отношении мате-
матического направления Лузина более чем согласен с
Вами. Считаю, что это — перелнваппе из пустого в порож-
нее. и кандидатуры Лузина поддержать не могу» [1, л. 4].
Все-таки Крылов, по-видимому, стал наводить справки
о Лузине и его работах. По изложенным причинам пред-
ставляется вероятным, что знакомство Крылова с Лузи-
ным, причем не формальное, произошло в 1926 г. в Пари-
же, где они. наверное, основательно обсуждали проблемы
избранных каждым из них областей математики. Это име-
ло большое значение для Лузина и его дальнейшей науч-
ной деятельности.
Во-первых. Крылов несколько изменил свое отноше-
ние к теории функций действительного переменного и с
очевидным сочувствием отнесся к научной карьере Лузина
и к его исследованиям. Отношение Крылова выразилось
в том. что по его представлению 15 января 1927 г. Лузип
был избран членом-корреспондентом АП СССР, и в даль-
нейшем Крылов всячески поддерживал Лузина, как это
видно из публикуемой переписки. Впрочем, это пе един-
ственный прт ер такого рода: аналогично поступал и
И. Е. Жуковский, поощрявший в Московском универси-
тете исследования по теории функций действительного
переменного, также далекой от его собственных научных
интересов.
Во-вторых, Лузин сам заинтересовался некоторыми
вопросами прикладного характера. В письме от 19 пюпя
1928 г. он сообщает Крылову, что берет с собой в коман-
дировку н Париж* вышедшую незадолго перед этим книгу
Крылове |2] о приближенном вычислении траекторий сна-
рядов и что он уже много раз подходил в своих размышле-
ниях к обоснованиям приближенных вычислений и ин-
терполирования. Это пе было простой любезностью по
отношению к адресату. После возвращения из этой по-
следней его заграничной командировки в Москву Лузип
в 1931—1932 гг. опубликовал несколько работ, в которых
исследовал дифференциальные уравнения движения поез-
да, сходимость к решению обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений последовательности приближений, доста-
вляемых методом Чаплыгина, дал алгебраическое обос-
нование методу Крылова решения векового уравнения.
194
Возвращаясь к обсуждению Крыловым и Успенским
кандидатур в академики, напомним, что выборы в дейст-
вительные члены АН СССР были проведены только в
1929 г. Предыдущие выборы по математическим кафедрам
состоялись в 1921 г., когда по представлению Л. А. Мар-
кова, В. А. Стеклова и /X. II. Крылова на вакантное
после смерти А. М. Ляпунова место был избран Я. В. Ус-
пенский.
В 1927 г. был пведеп новый устав АII СССР (просуще-
ствовавший до 1930 г.), и число действительных членов
академии было существенно увеличено. При этом по уста-
ву право выдвижения кандидатов в члены Академии было
предоставлено не только академикам, по и широкому кругу
научных учреждений, а также группам ученых и даже
отдельным ученым. Изменилась и структура академии:
были объединены два отделения — Отделение русского
языка и литературы и Отделение историко-филологиче-
ское, так что в академии стало вместо трех два отделения:
физико-математических паук и гуманитарных паук. Число
академических кафедр в апреле 1928 г. было почти удвое-
но и доведено до 85 (по физико-математическому и есте-
ственно-научному отделению — до 45, причем впервые
были учреждены две кафедры по технике). Предстояло
выбрать ряд историков, философов, геологов, математи-
ков и специалистов по техническим наукам. Кроме того,
было впервые установлено, что академики могут избирать-
ся среди ученых, проживающих вне Леи пн града, так что
на ближайших выборах 1929 г. москвичи составили
60% вновь избранных, ленинградцы — 28%, жители
Киева — 12%.
Постановление Совнаркома от 6 апреля 1928 г. преду-
сматривало по специальности «чистая математика» четыре
места, из которых одно занимал Я. В. Успенский, а три в
то время были вакантными и впоследствии были заняты
С. 11. Бернштейном, П. М. Виноградовым и II. М. Крыло-
вым. А. Н. Крылов числился по отделу физических паук,
по специальности «математическая физика». Добавим, что
С. А. Чаплыгин был выбран по специальности «техничес-
кие пауки».
Весной 1928 г. по всей стране началось выдвижение и
обсуждение кандидатов в академики, списки кандидатов
печатали в газетах. Заявок было много, и ситуация скла-
дывалась сложная и вообще, и для Лузина. Это отрази-
лось в первом публикуемом письме Лузина от 19 июня
1928 г., написанном нм перед отъездом в очереди у > ко-
7* 195
мандпровку в Париж, а затем па Международный конгресс
математиков в Болонье. Основная тема этого письма —
тяжелая для Лузина обстановка, сложившаяся в Инсти-
туте математики и механики при 1-м Московском уни-
верситете 1 в связи с противопоставлением ему Д. Ф. Его-
рова, его учителя, бывшего тогда директором этого ин-
ститута. Теперь вряд ли возможно выяснить все детали
того заседания, па котором происходило обсуждение кан-
дидатов. Несомненно, однако, что Егоров пользовался
большим авторитетом и симпатией, а об отношениях Лузи-
на с некоторыми коллегами в какой-то мере можно судить
по переписке. Конечно, имело значение и то, что Егоров,
старший по возрасту, занимал и более высокое общест-
венное положение, будучи и директором института, и пре-
зидентом Московского математического общества.
Так или иначе, но Институт рекомендовал Егорова, о
чем и было послало в Академик» наук официальное сообще-
ние от 26 мая 1928 г. за подписью В. А. Костицына. С ре-
комендацией кандидатуры Егорова выступила и группа
профессоров и преподавателей кафедры математики 1-го
МГУ (в пх числе И. II. Привалов, В. А. Костицын,
В. В. Степапов, Д. Е. Меньшов). Московское математи-
ческое общество также выдвинуло своего председателя.
Однако в представ leiinii, поступившем в Академию паук
25 мая 1928 г., были и такие слова: «Вместе с тем. Мате-
матическое общество считает своим долгом отметить не-
достаточность числа математических кафедр в Академии
наук СССР, вследствие чего такой бесспорный, по мнении»
Общества, кандидат, как 11. II. Лузип, не может быть
представлен в списке кандидатов Общества» 13, л. 14(‘»|. Это
представление было подписано секретарем общества
И. II. Приваловым и членами совета С. II. Финиковым и
В. В. Степановым. Отметим также, что Привалов, Кости-
цын и Фиников паправили в академию и отдельный отзыв
о научных работах Лузина [4, л. 97—98об.].
С выдвижением кандидатуры Лузина выступила 9 июня
1928 г. «группа московских математиков и работающих в
смежных к математике областях» 15, л. 81—86], направив-
шая в академию большое заявление, иод которым стоила
41 подпись, в частности Д. Е. Меньшова, О. К). Шмидта,
Л. С. Лейбензопа, М. А. Люстерпнка, II. К. Барн,
М. А. Лаврентьева, А. II. Колмогорова (тогда еще асппран-
1 В 1918 г. был создан 2-й МГХ , а потому, в отличие от него, основ-
ной унннерсите’» Назин.|.1<я к» 1930 Г. 1-М МГУ.
196
та Института математики и механики), А. А. Андронова,
Л. И. Мандельштама и ряда научных сотрудников и ас-
пирантов Научно-исследовательского астрофизического
института. К заявлению, содержащему обоснованную
оценку Лузина как ученого с мировым именем, была при-
ложена в числе других документов «Краткая характерис-
тика научных работ II. II. Лузина» |5, л. 87—97]. Именно
она была включена A. II. Крыловым в его «Записку об
ученых трудах проф. II. II. Лузина» |б|.
Здесь названы лишь основные организации, выдвигав-
шие Лузина. Были еще и другие, выступавшие с выдвиже-
нием или с поддержкой выдвинутых кандидатур, например,
пленум Московского бюро секции научных работников,
бюро Нижегородской секции научных работников и прав-
ление Нижегородского университета, совет 1-го МГУ, бю-
ро Казанской секции научных работников, Московское
высшее техническое училище и Московский технологиче-
ский институт (оба последних рекомендовали и Лузина,
и Егорова), и даже такие, не имеющие отношения к ма-
тематике учреждения, как Кубанский государственный
медицинский институт и Белорусская академия сельского
хозяйства.
А. Н. Крылов, пользовавшийся большим авторитетом
в Академии наук, входил в состав нескольких выборных
академических комиссий, в том числе в комиссии ио
философским и математическим наукам, причем в этих
двух комиссиях ои был председателем.
Учитывая создавшуюся обстановку и считая избрание
Лузина в академики необходимым, Крылов представил его
кандидатуру для занятия одной из двух учрежденных
философских кафедр. Для этого имелись достаточные
основания, хотя Лузин был прежде всего математиком.
Занимаясь теорией функций, он заинтересовался дискус-
сиями, вызванными спорами об основании этой теории и
теории множеств, вопросом о законности применения ак-
сиомы выбора (аксиомы Цермело), и всем этим проблемам
посвятил значительную часть своего доклада «Современ-
ное состояние теории функций действительного перемен-
ного» 17; 8, Т 2, с. 494—551], сделанного весной 1927 г.
на Всероссийском съезде математиков в Москве. Здесь
речь шла действительно о вопросах, находящихся па стыке
математики и философии, о философии математики. Не-
сколько позднее эту философскую направленность мышле-
ния Лузина отметил А. Лебег в предисловии к монографии
Лузина по теории аналитических множеств, изданной в
197
Париже в 193Г) г. [9|, (русский Перевод 19]. „о Пел предис-
ловия Лебега, был опубликован в [10; 8. т. 2, с. 11—2(>9|).
Характеризуя эту монографию. Лебег писал, что Лузин
«исследует вопросы с философской точки зрения и приходит
к математическим результатам: беспрецедентная ориги-
нальность!» 11 тут же: «После первых крупных успехов
теории множеств философы и математики сочли, что настал
момент протянуть друг другу руки через разделяющую
их глубокую пропасть» (цит. но: [II, с. 1(1|).
Крылов вряд ли был знаком с упомянутым докладом
Лузина, а монография [9| еще пе вышла в свет, однако
понимание Крыловым мышления Лузина было близко к
трактовке Лебега. Сказались, вероятно, и личные беседы
с Лузиным. Оставалось убедить академиков, которым пред-
стояло голосовать на выборах. Эти взгляды Крылова на-
шли свое отражение в первой части составленной нм
«Записки» [б. 12|.
С KI ио 2(1 октября 1928 г. проходили заседания особых
комиссий академии ио выборам в действительные члены,
на которых обсуждались представленные кандидатуры и
решался вопрос, какие из них будут предложены д ni
избрания на общем собрании академии.
10 октября выборная комиссия по группе математичес-
ких паук постановила: «1) По кафедре математики призна-
ны достойными кандидатами: Ьернштейи, Виноградов,
Лузин, Чаплыгин, причем вопрос о предоставлении Чап-
лыгину кафедры в группе технических и Лузину в группе
паук философских подлежит обсуждению в соответствуве-
щих комиссиях. 2) Кандидатуры Граве, Гюнтера, Егорова.
Крылова подлежат обсуждению в следующем заседании ко-
миссии после того, как вопрос о приемлемости кандидатур
Чаплыгина и Лузина будет решен в комиссиях по наукам
техническим относительно Чаплыгина и философским
относительно Лузина, в соответствии с каковым решением
и будет установлен окончательный список кандидатов
по математике. 3) Остальных 9 кандидатов считать отпав-
шими» [13, л. 1, 1об.|.
11 октября комиссия ио группе философских наук боль-
шинством голосов (10 — за. 2 — против) призвала канди-
датуру Лузина «подлежащей представлению к избранию
но кафедре паук философских» [13, л. 151. так что в окон-
чательный список кандидатов по математическим наукам
вошли С. II. Бернштейн, 11. М. Виноградов и II. \1. Кры-
лов [13, л. 2|. В результате псе представленные кандида-
ты прошли при голосовании па общем собрании академии,
198
и Лузин 12 января 1929 г. стал академиком по кафедре
философии Отделения гуманитарных наук, а по предложе-
нию Крылова эту кафедру стали считать относящейся к
обоим отделениям. Через некоторое время после возвра-
щения Лузина из командировки 29 ноября 1930 г. на
общем собрании академии было зачитано письмо от ака-
демика Я. В. Успенского с просьбой считать его выбыв-
шим из числа действительных членов в связи с переездом
на постоянное жительство в ('ЛИА [14, л. 1501, а еще через
два месяца после исключения Успенского — 31 января
1931 г.— общее собрание академии постановило «перечис-
лить академика Лузина, избранного по кафедре философии,
на кафедру математики» [15, л. 14[.
Первая часть переписки (письма .№ 1—8) посвящена в
основном вопросам, связанным с выборами Лузина в Ака-
демию наук, а также с его работой над монографией [91 и
необходимостью продления его пребывания за границей,
о его научных контактах. В письме .№ 2 Лузин отводит
лишь несколько строк предстоящему VIII Международно-
му конгрессу математиков в Болонье, па котором он дол-
жен был выступить с докладом, а следующее письмо, кото-
рым мы располагаем, относится уже к январи* 1929 г.
Вряд ли Лузин не сообщил Крылову о своих впечатлениях
от поездки в Болонью и о конгрессе.
Конгресс проходил с 3 по 1(1 сентября 1928 г., и это
был первый послевоенный съезд математиков, на котором
были представлены без ограничений все страны. 8 сентября
па пленарном заседании Лузин сделал доклад «О путях
развития теории множеств» [16; 8 т. 2, с. 464—4931,
а 6 сентября вместе с С. Банахом ои председательствовал на
подсекции I — Ь (функции вещественной переменной . . .)
секции анализа.
В отчете о своей командировке, приведенном в Прило-
жении I, Лузин сообщает, что оп был вице-президентом
конгресса.
Советских участников конгресса было 34. в официаль-
ную делегацию входили С. П. Бернштейн, II. М. Крылов,
П. II. Парфентьев. Отметим участие коллег Лузина ио
теории функций — это II. С. Александров, II. К. Бари,
Д. Е. Меньшов, М. А. Лаврентьев, Л. А. Люстерник,
П. II. Привалов.
После возвращения из командировки Лузин выступил
с отчетом о своей поездке на этот конгресс на общем соб-
рании Академии наук (29 ноября 1930 г.). Учитывая
присутствие ученых разных специальностей, Лузин поста-
199
рался облечь основные идея своего доклада на конгрессе
в наиболее понятную форму (см. Приложение I).
Вторая часть писем (№ 9—26) охватывает период с
1930 г. по 1936 г., когда Лузин, вернувшийся из Парижа
после окончания работы над монографией 19], включился в
работу Академии наук.
Помимо обсуждения различных текущих дел, Лузин
рассказывает в них о своих размышлениях о методе Кры-
лова составления векового уравнения, а Крылов, в свою
очередь, интересуясь мнением Лузина, посылает ему ру-
кописи или корректуры своих работ и докладов. В письмах
№ 16—18 обсуждается заметка А. М. Каца «Алгебраичес-
кое преобразование „векового уравнения" в форму, пред-
ложенную А. II. Крыловым», для которой Лузин написал
«Несколько замечаний к предыдущей статье А. Каца».
Этот материал приведен в Приложении II, а текст рукописи
А. Каца — в примечании к этому Приложению. Письма
№ 25 (Лузина) и № 26 (Крылова) написаны по поводу
доказательства Л. Диксоном теоремы Баринга. Оба кор-
респондента аналитической теорией чисел не занимались и
выразили свое неприятие этой теории.
Затем в публикуемой переписке наступает длительный
перерыв, хотя скорее всего перерыва не было, но письма
этого периода не сохранились.
Уже в письме № 24 от 12 февраля 1936 г. Лузин пишет
Крылову о неблагоприятной для него обстановке в Мате-
матической группе Академии наук, председателем которой
он был, о том, что он «с огромным бы удовольствием ушел
просто в члены Технической группы, чем быть в центре
столкновения группировок математиков, имеющих случай-
ный и чисто личный характер». Как выяснилось впослед-
ствии, все это имело отнюдь не «случайный характер», н в
том же году началось печально-знаменитое «дело Лузина».
После появившихся в газете «Правда» статей «Ответ
академику Н. Лузину» и «О врагах в советской маске»
развернулась кампания, направленная против Лузина,
но это был лишь один из эпизодов разгрома «террористи-
ческой группы в АН», связанной с II. II. Бухариным и
рядом других лиц. В № 8—9 «Вестника Академии наук
СССР» после статьи «Усилить революционную бдитель-
ность!», в которой подчеркивалось, что «не работники VII,
а „Правда" вскрыла серьезный гпойппк „лузинщины“»2И7,
с. 3], было напечатано постановление Президиума/АП
СССР от 5 августа 1936 г. по поводу «дела Лузина». За-
ключительные слова этого постановления о том, что
200
«учитывая значение Н. II. Лузина, ...Президиум считает
возможным ограничиться предупреждением» 117, с. 71,
можно понять так, что Академии наук ждалось отстоять
знаменитого математика. Думается, что и в этот тяжелый
период Крылов не оставил Лузина в беде и содействовал
прекращению кампании.
Мы не знаем подробностей этих событий, заслюниваю-
щих специального изучения, но можно себе представить,
чего это стоило Лузину, болезненно воспринимавшему даже
небольшие неприятности. II однако Лузин нашел в себе
силы вернуться к Пауке с большой буквы, которая ни-
когда его пе подводила. Правда, теорией функций он
практически перестал заниматься, перейдя к вопросам,
связанным с изгибанием поверхности на главном осно-
вании, и получил в этом новом для него направлении ряд
фу ндаменталынях результатов.
Последние два письма — одно от Крылова от 8 августа
1940 г., а другое от Лузина, написанное в 1942 г., уже
во время войны, показывают, что переписка между двумя
учеными пе прекращалась.
Письмо Лузина связано с подготовкой им доклада «Нью-
тонова теория пределов» к предстоящему 300-летию со дня
рождения Исаака Ньютона.
Президиум АН СССР еще 1 июня 1941 г. назначил
А. 11. Крылова председателем Юбилейной комиссии по
ознаменованию этой даты. Несмотря на тяжелое военное
время, Академия наук в январе 1943 г. отметила юбилей
Ньютона, организовав торжественные собрания и кон-
ференции с научными докладами в разных городах стра-
ны. В декабре 1942 г. на заседании Президиума АН стало
известно, что Крылов не сможет прочитать свой доклад
«Исаак Ньютоп и его значение в мировой науке» в связи
с болезнью и что он поручил это академику А. Ф. Поффе.
Позднее, в декабре 1943 г., в Боровом (Северный Казахс-
тан) Крылов прочитал свой доклад группе находившихся
вместе с ним в эвакуации академиков.
В статье «Ньютонова теория пределов» [18; 8, т. 3,
с. 373—400] Лузин высказывает мысль о том, что теория
пределов была построена Ньютоном в его «Математических
началах натуральной философии» в почти современной
форме. Надо отметить, что Лузин опирался на перевод
«Начал», сделанный Крыловым с применением современ-
ной терминологии. В своей статье Лузин полемизирует с
Д. Д. Мордухай-Болтовским, высказавшим критическую
оценку точности перевода Крылова. Следует сказать, что
201
единого мнения по поводу взгляда на ньютонову концеп-
цию предела нет; известны различные точки зрения на
этот вопрос А. II. Колмогорова, Ф. Д. Крамара и др.
(подробнее об этом см. (19, 20IJ.
В приложении 111 приведено письмо Лузина по поводу
рукописи этой статьи, адресованное Юбилейной комиссии,
в котором Лузин повторяет те же соображения, что п в
письме к Крылову, сделав некоторые добавления.
В заключение следует сказать, что инициатором всего
нуб шкуемого исследования является А. II. Юшкевич.
Автор выражает ему свою глубокую признательность за
помощь и постоянное внимание к работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. ЛО ААН. Ф. 759. ип. 3. Д. 258.
2. Kriloff А. Sur Г integration nunieriqne approchee ties equations
differcntielles avec application an calciil lies trajectoires des
projectiles. P.: Impriinerie nationnle. 1927. 73 p.
3. ЛО ААИ. Ф. 2. Ob. 1-1928. Д. 90.
4. .TO ААИ. Ф. 2. On. 1-1928. Д 97.
5. .10 ААИ. Ф. 2. On. 1-1928. Д. 92.
6. Крылов A. H. Записка об ученых трудах проф. II. II. Лузи-
на // Записки об ученых трудах действительных членов Акаде-
мии наук СССР по Отделению гуманитарных наук, избранных
12 января и 13 февраля 1929 г. Л.: Изд-во АН СССР, 1930.
С. 48—64.
7. Лузин II. II. Современное состояние теории функций действи-
тельного переменного. М.: Л.; ГТТИ. 1933. 58 с.
8. Лузин II. II. Собрание сочинений. В 3-х т. М.: Изд-во АП СССР,
1953.
9. Lusin A*. Lefons sur les ensembles analytiques et leurs appli-
cations I Collection de monographies sur la theorie des fonctions
publics sous la direction de M. Emile Borel. I’.: Gauthier-
Villars, 1930. 328 p.
10. Лузин II. II. Лекции об аналитических множествах н их iq к-
ложеппях Редакция, предисловие и примечания Л. В. Келдыш
н П. С. Новикова. М.: Фпзматгиз. 1959 // Собр. соч. М.: Изд во
АН СССР. 1953. Т. 2. С. 11—269.
11. Лебег А. Предисловие к книге II. Н. Лузина «Лекции об ана-
литических множествах и их приложениях» / Пер. с фравп.
В. В. Успенского. Комментарии В. А. Успенского " Успехи
мат. паук. 1985. Т. 40, вып. 3. С. 9—14.
12. Крылов А. Н. Записки об ученых трудах нроф. 11. Н. .'Iузи-
на // Николай Николаевич Лузин / Сект. П. И. Кузнецов. М.:
Знание. 1983. С. 27—33.
13. ЛО ААИ. Ф. 2. Оп. 1—1928. Д. ИИ.
14. ЛО ААИ. Ф. 1. Он. 1—1930. Д. 254.
15. ЛО ААН. Ф. 1. Он. 1 — 1931. Д. 257.
16. Lusin -V. Snr les voies de la theorie des ensembles // Atti del
Congresso internazionale dei matematici 3—10 settembre 1928.
202
bologna: Zaiiiclielli. 1929. 'Г. 1. P. 295—299; Лузин H. II. Собр.
соч. М.: Нзд-во ЛИ СССР, 1953, Т. 2. С. 464—493.
17. Вестник АН СССР. 1936. Л» 8—9.
18. Лузин II. II. Ньютонова теория пределов // Сб. статен к 300-
летпю со дня рождения Исаака Ньютона / Под ред. С. И. Ва-
вилова. .41.; .’1.: Нзд-во АН СССР, 1943. С. 53—74.
[9. Юшкевич А. II. История математики в трудах Н. Н. Лузина
Вонр. истории естествознания и техники, 1984. А: 1. С. 98—106.
2ч. Юшкевич А. II. Советская юбилейная литература о Ньютоне //
Тр. Нп-та истории естествознания. 1947. Т. 1. С. 440—455.
ПЕРЕПИСКА 11. 11. ЛУЗИНА
С А. 11. КРЫЛОВЫМ
Публикация и примечания
II. С. Ермолаевой
В Ленинградском отделении Архива АП СССР находят! я под-
линники следующих публикуемых материалов: письма № 1 —15,
24—22, 24—26 (ф. 759, он. 3, д. 147); письма № 16—18 и Приложе-
ние 11 (ф. 759, он. 4, д. 37); Приложение I (ф. 1, оп.1 —1930, д. 254,
л. 209—211).
В Архиве АН СССР (Москва) хранятся: письма № 19, 23, 27
(ф. 606, он. 2, д. 126); письмо Ае 28н Прнло'кение III (ф. боб, оп. 2,
д. 58).
Все тексты приведены в современной орфографии, явные описки
исправлены. Сноски н подчеркивания (в данном тексте выделенные
полужирным шрифтом) принадлежат авторам инеем.
Публикуемые архивные материалы снабжены примечаниями,
в которых даны краткие сведения об упоминаемых лицах и обсуждае-
мых вопросах. Подданство французских и отечественных матема-
тиков особо не оговаривается. Комментарий о теории относитель-
ности был написан В. П. Внзгипым, а о доказательстве теоремы Ба-
ринга — Ю. В. Нестеренко, которым автор публикации приносит
благодарность.
1
11. 11. Лу зии — А. 11. Крылову
Москва, 1*,1 июня г.
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич.
пред самым моим отъездом за границу я желал бы по-
прощаться с Вами и хотел бы Вам сказать, что Ваша добро-
та по отношению ко мне. о которой я раньше н не мечтал,
была для меня в последнее, крайне тяжелое для меня вре-
мя тою опорой, которая помогала мне жить.
203
II. II. Л)Зии (публикуется впервые)
За границу я, собственно, должен был выехать уже
10-го июня, по пришлось задержаться из-за необходимости
обеспечить квартиру на время отсутствия: рассчитанная
нами прислуга не хочет уходить, и нам пришлось обра-
щаться в суд, постановивший предоставить ей льготный
месяц. Не будучи в силах далее дожидаться, мы — я и же-
па — через неделю едем прямо в Париж, где я поработаю
над докладом Конгрессу, а в середине августа отправимся
и на самый Конгресс, в Болонью.
Я давно хотел написать Нам и давно должен был это
сделать, но ие мог собрать душевных сил, и внутри все было
так смутно и тревожно. Последний месяц упес у мепя много
душевных сил и сильно разбил даже физическое здоровье —
в связи с выборами в Академию, которые, по-видимому,
во всех отношениях, и делу и людям, дадут только отри-
цательное.
О себе самом трудно судить, так как это всегда находит-
ся за пределами возможности, но я ждал в Москве просто-
го спокойного ко мне отношения, без уничтожающих жес-
тов. Должно быть, по самому своему складу я — просто
спокойный мечтатель, несколько боящийся жизнп и бес-
сознательно сторонящийся ее. И когда мне пришлось про-
ходить чрез врата уничтожающих суждений, затрагива-
ющих и мое доброе имя, и мою честь, и аннулирующих
204
самое значение того, над чем я д мал в Пауке, то мне иног-
да казалось, что я схожу с ума, или что, напротив, надо бо-
яться за жизнь и людей.
А между тем, насколько я понимаю вещи, все дело было
только в том, что кандидатов оказалось больше, чем мест:
рассматривали меня как кандидата на кафедру математи-
ки. которого надо было уничтожить, дабы дать возмож-
ности и шансы Димитрию Федоровичу Егорову !, дирек-
тору Института математики и механики. В связи с этим
были даны директивы моего уничтожения по всем учреж-
дениям, где имелось влияние Владимира Александровича
Костицына 2. II таким образом я был почти устранен из
Математического общества, остался в стороне в универ-
ситете и был уничтожен радикальным образом в Институте
математики и механики. Последнее для меня было особен-
но мучительно, так как Институт состоит из большей части
моих личных учеников, и решающее заседвпне, па котором
был председателем Вл. Ал. Костицын, протекло при
лишении слова их, а двух, наиболее стойких 3, удалили из
заседания. II у меня осталось такое чувство, когда я уз-
нал об этом, точно меня лично выгнали па улицу из дома,
1де я жил.
Вся тяжесть для меня была в том, что отвод не был
достойным н спокойным, но сопровождался такими унич-
тожающими жестами и суждениями, которые создали труд-
но выносимую душевную боль. Аналогичное бывает при
смерти близких. И, действительно, для меня умерло в эти
дни несколько дорогих мне людей, в благоприятное отно-
шение которых я верил, ибо они старались всегда его
показать. Умер для меня и сам Влад. Алек. Костицын,
бывший моим университетским товарищем, с которым была
связана часть моей юности и который всегда старался
показать нашу близость. А ведь мы даже жили одно
время, студентами, в одпой комнате, и ночи наши бывали
наполнены спорами pro и contra идеалистической и эм-
пирической логики.
Но, как говорит пословица: «не знаешь, где найдешь
и где потеряешь», и эти дни принесли для меня нечто
положительное. Люди, бывшие вдали от меня и относи-
те.! ьно которых я думал, что у7 них никакого дела нет
до меня — неожиданно вступились за меня. II таким
образом я оказался проведенным по Астрофизическому ин-
ституту, Московскому высшему техническому’ училищу и
даже по ВСНХ *. Какой смысл выборов в последнем, я не
могу разобраться и, правду сказать, и не стремлюсь, так
205
как вряд ли пойму толком п, безумно устав, хочу как
можно скорее уехать.
II вот в эти-то дни столь интенсивной душевной боли,
Ваши добрые слова ободрения все время были со мною;
для меня дорого то, что не прошло бесследно то. над чем
я думал в Науке, п то, что — сказать правду — для меня
было делом жизни, так как я связываю Науку и жизнь. и
события выборов не могуг никак повлиять на мои раз-
мышления, ускорить темп которых я все равно не могу.
Собираясь уехать, я с радостью думаю, что уйду от
жизни, так жестко обошедшейся со мною, в мысль.
Кроме источников для работы по эмпирической мате-
матической логике, я взял с собою Вашу дорогую для
меня работу «Sur I’integralion numerique approcliee des
equations differenlielles avec application an calcnl des
trajecloires des projectiles», I’aris, 1927 5.
II в теоретических размышлениях, и на практике я уже
много раз подходил вплотную к основаниям du calcul
approclie 8 и интерполяции.
Парижский адрес наш я уже знаю, так как он остает-
ся все тот же самый, как и в первые две паши послевоенные
ноез (кн: I’aris (V), 4 rue Tourneforl (pres du Pantheon)
Parisians Pension 7. Здесь недорого, близко к College de
France и Sorbonne, и можно мирно, по-студенчески, суще-
ствовать.
Прощаясь с Вами в этом длинном письме, глубокоува-
жаемый Алексей Николаевич, я хотел лишь сказать, что
никогда не забуду этих дней, в течеппе которых Ваша сила
помогла мне жить. Желаю Вам всего самого лучшего.
Глубочайше уважающий Вас и искреннейше преданный
Вам
Нико >ай Лузин
Примечания
1 Д. Ф. Eiopon (181>9—1931) — учитель It. II. .(узина, один
из основателей Московской матема тпческой школы теории функций,
президент Московского математического общества (1922—1931).
Чл.-корр. АН СССР (1921). почетный член (1929).
3 В. А. Костицын (1882—19Г>3(?)) — московский математик, со-
ученик II. II. Лузина по университету |1. с 35(>; 2, с. 286]. Около
1925 г. был начальником Главнауки Народного комиссариата про-
свещения. В 1929(?) г. уехал во Францию, где оставался до конца
своей жизни.
3 Предположительно, это были II. I». Сарп н Д. Е. Меньшов.
4 BCIIX — Высший совет народного хозяйства, созданный на
основании декрета в 1917 г.
206
5 Книга Л. IT. Крылова «О приближенном численном интегри-
ровании дифференциальных, уравнений с приложением к расчету
траекторий снарядов» была издана в Париже н 1927 г. [3| н являлась
незначительной переработкой русского варианта книги «Приближен-
ное численное интегрирование обыкновенных дифференциальных
сравнений», изданной в Перлине в 1923 г. /К. \дамар включил § 16
книги А. Н. Крылова |3] в свой «Курс анализа» (I93H). (Подробнее
см. 14, т. 12, с. 42, 48, 51, 172—173|.)
• Приближенных вычислений (франц.).
7 Париж (X), 4, улица Гуриефор (около Пантеона), пансион
Парнзпана» (франц.). В этом пансионе, существующем п теперь,
обычно останавливались русские ученые, в том числе 11. II. Лузин
и его ученики.
9
II. II. Лузин — А. II. Крылову
Villa Ileul Glos, Benodet (Finisere) Franco
15 aofil 1928
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич,
позволю себе написать Вам из Франции, где я нахо-
жусь по случаю моей заграничной командировки па Меж-
дународный математический конгресс.
Мы выехали, моя жена и я, 27-го июня из Москвы п
были в начале июля в Париже.
Чтение лекции в Париже, натурально, уже закончи-
лось, но длились еще экзамены, и я некоторых котлег
застал еще в Париже. Раньше же мне не удалось выехать
из Москвы вследствие хлопот по устройству и обеспече-
нию квартиры на время командировки.
Застал в Париже Henri Lebeague’a *, с которым виделся
несколько раз и который принял огромное участие в заду-
манной мною работе, в которой я желал бы сделать сводку
всех набравшихся у меня за последние годы результатов,
а также у моих учеников.
Виделся с Emile ВогеГем 2, которого задержали в Па-
риже организационные научные дела, как и обязанности,
связанные со званием депутата: Emile Borel переизбран
снова.
Виделся также с Paul Montel'eM 3, приехавшим из
Палестины (Сирии), где ои читал свои курсы и поэтому
запоздал уехать из Парижа.
Виделся еще с некоторыми ппостраппымп гостями:
Birclioff’oM 4, заканчивающим свое кругосветное путеше-
ствие и вознращающимся назад к себе в Америку, н с груп-
пой румынских математиков.
207
К несчастью, пе застал J. Hadamard'a s, который уехал
уже па каникулы и деревню. Виделся па заседании Acade-
mic, куда был приглашен ВогеГем, с Vito Volterre 8 и
Emile Picard’ом 7.
В Париже пробыл месяц, так как пужпо было приго-
товиться к Конгрессу п собраться с мыслями к моему
докладу, и собрать литературу. К несчастью, библиотеки
уже перестали функционировать, и до сих пор мне не
хватает для постановки доклада двух важных новых не-
мецких работ, без которых обойтись, видимо, и придется,
хотя это и очень опасно, так как может быть неправильно
истолковано. Видимо, придется, угадывая и догадываясь,
что там есть, держаться с большой осторожностью.
Долее оставаться в Париже пе было необходимости и
смысла, и притом в противоположность Москве в Париже
царила такая ужасающая жара и духота, что работать,
особенно при шуме на парижских улицах и починке мос-
товых, было тяжело. Полоса жары прошла по всей средин-
ной Европе, и в Париже, как и в Берлине сопровождалась
солнечными ударами у лиц, вынужденных много оста-
ваться па улице. В Париже и сейчас душно, как сообщают.
Очепь яркое чувство недостатка в кислороде, так как пет
ветра и мпого auto.
В Париже я позволил себе нанести визит глубокоува-
жаемой Анне Богдановне 8 и, застав ее, имел удовольствие
познакомиться с нею. Мпе показалось, что Анна Богдапов-
на не была против моего визита.
Когда я был у нее, опа кончала Вам писать. Ей, как и
мпе, тоже было тяжело от духоты и жары в Париже, по, к
сожалению, ее в Париже удерживает много научных дел,
работа в которых сильно спорится, и вследствие этого
удачливого течепия научных дел Анне Богдановне невоз-
можно прервать темп занятий и уехать куда-нибудь на
отдых.
Анна Богдановна сообщила много интересных для меня
научных идеи, лежавших в стороне от обычных моих заня-
тий. У меня осталось общее ощущение большой энергии и
удовлетворительного вполне состояния ее здоровья. Толь-
ко есть некоторая бледность, по это от работы и жары те-
перь здесь у всех.
Первого августа я и моя жена уехали на берег, 1е Вепо-
det (Finistere), в Бретань. Сюда пас пригласил математик
Сорбонны Arnaud Denjoy • пожить с его семейством и с
ним. В прошлом году мы с ним и его семейством жили па
острове Oleron 10 в величайшей простоте. Здесь же, в
208
Бретани, несколько более чопорпо: как ни как пе рыбац-
кий поселок, а городок.
Погода ясная, прохладная, но море .хорошее. Работаю
много и как раз по самому больному месту современной
математики: теории Bronwer’a u, интересующей так меня
и Якова Викторовича 12.
Закапчивая письмо, прощу Вашего позволения, глу-
бокоуважаемым Алексей Николаевич, написать Вам не-
много о своих делах.
Прежде всего я позволяю себе прислать Вам здесь
Введение (Preface) в печатающейся книге в Serie de Borel 13
профессора Sierpinski'oro. носящей название «Lemons sur
les nomres translinis» **. Книга эта выходит из печати и
будет (по утверждению Gauthier-Villars’a ,5) фигурировать
уже на Конгрессе.
На второй странице этого Preface Вы увидите лестное
для меня предложение паписать аналогичную книгу о
нагап.х работах, сделанное ВогеГем 1б, как и то, что меня
в настоящий момент рассматривают как лицо, работающее
в математической философии 17.
«Введение» это написано ВогеГем еще 5 месяцев назад
и его текст стал мне пзвестеп теперь только случайно,
когда я по просьбе проф. Sierpinski'oro, желающего уско-
рить появление его книги (ко дню Конгресса), зашел к
редактору Serie Emile ВогеГю, который направил меня к
Gauthier-ViBars’y, у которого лежало это «Введение».
В связи с выпавшим на мою долю вниманием здесь к
нашим результатам здешние ученые, преимущественно
Henri Lebesgue, взялись руководить мною при составлении
упомянутой книги в ВогеГевской серии. Для ускорения
же этого дела они исхлопотали для меня так называемую
Bourse de voyage RockefeHer’a 18 на один год. Для обык-
новенной ВоскеГеИег’овской стипендии я слишком стар,
так как опа дается лишь до 30-летнего возраста, а мир
44 года. Поэтому они нашли возможность исхлопотать
для меня другое. Я уже был в Board RockefeHer’a ,в, и мне
сообщили, что bourse пойдет для меня с октября 1928 по
октябрь 1929.
В связи с этим я должен написать в Москву: в универ-
ситет и в институт, прося продлить мою командировку.
Если бы было возможно мпе как члену-корреспонденту
Академии наук СССР исхлопотать формальное разрешение
академии остаться — это, конечно, был бы плюс в .моем
прошении в университет и в Моск, матем. институт.
209
Кончая письмо, прошу Вас, глубокоуважаемый Алек-
сей Николаевич, распорядиться с присылаемым мною
I’rciice так, как Вы пожелаете. Простите за длинное
письмо.
Глубочайше уважающий Вас и искренне преданный
Николай Лузин
Примечания
1 А. Лебег (1875—1941) — член Парижской академии паук (см.
примем. 4 к письму 15) (1922), иностр, чл.-корр. All СССР (1929).
II. 11. Лузин познакомился с ним в 1912 г. во время своего пребыва-
ния в Париже.
2 3. Король (1871—1956) — член Парижской академии наук
(1927), иностр, чл.-корр. АП СССР (1929), был видным политиче-
ским деятелем. И. II. Лузин слушал лекции 3. Б о ре л я по теории
целых функций в Сорбонне в 1906 г. Личное зпакохк тво началось во
время второй поездки Лузине в Париж в 1912 г.
3 II. .Монтель (1876—1975) — член Парпжск и академии паук
(1937).
4 Дж. Бпркгоф (1884—1944) — американский математик и ме-
ханик, член Пацпопа ююй академии паук США.
s Ж. Адамар (1865—1963) — член Парижской АП (1912),
иностр, чл.-корр. АП СССР (1922), почетный член АН СССР (1929).
II. 11. Лузпи слушал его лекции по теории распространения волн
в 1912 г.
4 В. Вольтерра (1860—1940) — итальянский математик, член
Национальной академии деи Линчей (1899), чл.-корр. Петербург-
ской АП (1908), почетный члеп АН СССР (1926).
7 3. Пикар (1856—1941)—член Парижской академии паук
(1889), ее президент (1910), член Французской академии (1924),
чл.-корр. Петербургской All (1893), иностр, почетный член АН
СССР (1924).
3 А. Б. (Берингер — физик, окончила в 1901 г. Высшие жен-
ские курсы в Петербурге, работала в Палате мер и весов, в Главной
геофизической обсерватории. Была секретарем секции физики в
Оргкомитете 1 Всероссийского съезда преподавателей фишки, хи-
мии и космографии, проходившем в Петербурге с 27 декабря 1913 г.
по 6 января 1914 г. (ст. ст.). В 1921 г. была командирована за гра-
ницу в составе академической комиссии во главе с А. 11. Крыловым.
Работала в Берлине. Лондоне и Париже. А. Б. Форингер вместе с
А. II. Крыловым организовала закупки и обмен научной литерату-
рой для СССР, установила связь СССР с Международным бюро мер
и весов в Париже, участвовала в приемке и испытаниях стеклянных
дисков для объектива телескопа Главной астрономической обсерва-
тории. а также в издании международного сборника физических
постоянных. Кроме того, содействовала пересылке с СССР известно-
го «Онегинского музея» 15. л. 265—276 об.]. Умерла в Париже
(около 1934 г.). Дата рождения неизвестна.
• А. Данжуа (1884 -1974) — члеп Парижской АН (1942),
иностр, члеп АП СССР (1970). II. Н. Лузин познакомился с ним в
1912 г. в Париже.
210
10 Остров Оперой (с населением тогда около 15 иш) II. Н. Лу-
зин посетил еще летом 1927 г. В то же время там отдыхал по при-
глашению А. Данжуа и Д. Е. Меньшов (2, с. 332).
11 Л. Э. Я. Брауер (1881—1966) — голландский тополог, член
Нидерландской АП (1912), профессор Амстердамского университе-
та (1912—1951), создатель интуиционистского направления в мате-
матике. П. С. Урысои и II. С. Александров одними из первых оце-
нили и продолжили работы Брауэра по топологии (см. [6]).
14 Я. В. Успенский (1883—1947) — математик, член Россий-
ской АП (1921 —1930). В 1929 г. переехал в США (см. (7; 8, с. 324—
3251). В 1926 г. Успенский был командировал на год в США, возмож-
но, что по пути он посетил Париж, где мог встречаться с II. II. Лу-
зиным. Во время той же поездки, будучи в Геттингене, Успенский
писал А. II. Крылову в Париж: «В общем у меня создалось впечат-
ление, что чем дальше, тем больше здесь забываются традиции Гаус-
са, и здешнее направление все более отдаляется от реальности.
Впрочем, это первое впечатление может быть изменится при более
близком знакомстве» [9. л. 8 об.). Об этом интересе Успенского, ви-
димо, п пишет II. И. Лузин.
13 Серия Бореля — серия монографий ио теории функций, ос-
нованная Э. Борелем. В этой серин печатались, кроме трактатов са-
мого Бореля. книги А. Лебега, Р. Бэра, а также иностранных ав-
торов — В. Вольтерра (Рим), Т. Карлемапа (Копепгвгеп), Р. Пе-
ванлиины (Хельсинки), В. Серпипского (Варшава), С. II. Берн-
штейна, И. II. Лузина и др. При жизни Бореля вышло 50 кпиг
этой серпи, из которых 10 наппсапо нм самим.
11 «Лекции по траисфпинтным числам» В. Берлинского вышли в
1928 г. в Париже в серии Бореля и были переизданы там же в
1950 г.
13 Готье Вплар - известная французская издательская фирма
(преемница фпрмы Малле-Башелье), публиковавшая, в частности,
серию математических монографий Бореля.
13 Когда точно было сделано это предложение, пока установить
пе удалось, по. видимо, задолго до написания этого письма. Так,
упоминание об этом предложении встречается в письме П. Н. Лу-
зина к О. Ю. Шмидту от 24 февраля 1926 г. [2, с. 284] и в его письме
к А. Данжуа от 10 января 1927 г. [9, с. 3241.
17 И. II. Лузин сообщает в автобиографии, опубликованной
A. IT. Крыловым в 110], что он после окончания Московского уни-
верситета в 1907 г. был оставлен для подготовки к профессорскому
званию, но так как программа подготовки к магистерским экзаме-
нам им была выполнена еще в студенческие годы, то он «в течение
долгого времени состоял слушателем Историко-филологического
факультета, где посещал лекции: по теоретической философии, фи-
лософии различных направлений (Лопатин. Викторов)» [10; 11,
-Д- 2721. Кроме того, па заре ра вития теории функций действитель-
ного переменного многие математики, особенно далекие от этой об-
ласти, считали теорию функций близкой к философии, поскольку в
ней видное место занимают проблемы методологического характера.
Э. Борель в своем предисловии в книге В. Серпипского [121 (см.
прпмеч. 14 к этому письму) писал, что вопросы теории функций на-
ходятся на рубеже математики и фплософпп.
,в Дословно: «Стипендия Рокфеллера дтя поездок» (Франц.)
пли просто стипендия Рокфеллера. Она предоставлялась из Рокфел-
леровского фонда специальным научным комитетом для у чалых
пе старше 35 лет (по воспомппанпям Д. Е. Меньшова [13, с. ЗЗЦ.
211
H. IT. Лузину было в то время 45 лет, но для него, видимо, было сде-
ч.ию исключение.
” Правление, совет Рокфеллеровского фонда (англ.).
3
П. П. Лузин — A. IT. Крылову
4, rue Tournefort (pres Pantheon) Paris
1 janv. 1929
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич.
прошу у Вас разрешения приветствовать Вас с празд-
ником Новым Годом, душевно и горячо желая Вам всего
самого хорошего в наступившем новом году, всякого счас-
тья, здоровья и благоприятных условий для Вашей цен-
ной и нужной работы.
Из газеты я узпал, что Отделение гуманитарных паук
Академии наук СССР пожелало остановить на мне свое
внимание в отношении кафедры философии.
Я зпаю хорошо, глубокоуважаемый Алексей Николае-
вич. что я всецело этим обязан Вам.
Я исполнен глубокого счастья и глубочайше приношу
от всего сердца Вам мою признательность за Ваше внима-
ние ко мне. которым Вы оказали и оказываете самую высо-
кую честь!
Сейчас здесь в Париже жепа Надежда Михайловна 1
и я ведем тихую уединенную жпзнь. Несмотря па благо-
приятные условия работы здесь и довольно большой срок
(стипендия RockefeHer’a кончается 1-го ноября), я должен
торопиться с окончанием работы, так как опа подвигается
медлепно. во всяком случае пе так, как я бы желал. Это
обусловливается не только мною, по, главным образом,
самим характером работы.
Г” Действительно, если бы возложеппую здешними кру-
гами на меня работу (составление трактата по новейшим
методам теории функций вещественного переменного) мож-
но было выполнять механически, то тогда дело зависело бы
просто от усидчивости и павыков работоспособности. Но
тогда составляемая книга превратилась бы в своего рода
энциклопедию новейших методов, стоящих рядом друг с
другом и обусловленных своим возникновением различным
лицам, а пе самому предмету. И тогда все равпо кто-то
должеп был бы дать сравнительное изучение пх, т. е. их
анализ.
" Подобное формальное отношение, столь часто замечае-
мое у представителей гуманитарных наук, часто удовлет-
212
поряющихся механическим соединением методов разной
природы, является невозможным для пас, математиков.
Мы всегда чувствуем лежащую на нас обязанность довер-
шить сравнительное изучение до конца, указав среди раз-
личных методов один и только один, действительно соот-
ветствующий делу.
II вот, когда я взялся за сравнительное рассмотрение
методов в теории функций, практикуемых в разных стра-
нах, то и начали обнаруживаться мало жданные вещи.
По-видимому (я говорю так, ибо еще не дошел до
конца в анализе), метод символической математики, изоб-
ретенный Hilbert'oM 2 и разрабатываемый его школою в
Gottingen’e, освобожденный от символизма, в который он
укутан, является ничем иным, как обычным методом,
давным-давно практикуемым во Франции и относительно
которого во Франции было пролито столько чернил и
затрачены действительно гигантские усилия мысли.
Если мне удастся до конца проникнуть в суть метода
Gotlingen’a и счистить с пего символизм, то тогда, веро-
ятно, обнаружится, что разные страны, разные ученые в
них идут к одной и той же цели приблизительно одною
и тою же дорогою, не замечая того сами. И, вероятно,
тогда вскроется по вопросу о новых методах теории функ-
ций, что немцы идут тем же путем, что и французы, но
лишь с тою разницей, что вторые говорят о глубоких
паучпых истинах обыкновенным житейским языком по-
вседневной жизни, тогда как первые употребляют для
этого нарочитый язык торжественных символов, и это при
гой же самой сути дела. Вообще у меня впечатление, что
немцы начинают лишь учиться в этих вопросах (несмотря
на высокую ценность работ Cantor’a 3 и Zermello *, Haus-
dorff 8 лишь их ученик). Но я не хочу сказать, что, выу-
чившись, опи пе пойдут дальше.
Так вот, этот сравнительный анализ берет страшно
много времени. II, что всего хуже, нельзя (по крайней
мере, я пе умею) ускорить его ход, так как ои связан с
новыми мыслями и догадками, приход которых я пе могу
ускорить.
Все это вместе взятое заставляет торопиться с работою,
Дорожить всяким часом пребывания здесь, свободного от
заседаний и телефонов.
Но помимо этого, масса времени уйдет па изложение на
фр. языке, в котором я чувствую сильнейшее стеснение,
несмотря на помощь, любезно обещанную мне Lebesque’oM.
213
В середине марта на 6 дней уедем с женою в Бельгию,
куда приглашен прочесть цикл лекций по новейшим мето-
дам теории функций•.
Все-таки все ранее бывшее сильно отозвалось на моей
работоспособности. Прежде я выдерживал легко 14 часов
в сутки работы, а теперь расплачиваюсь за них уже бес-
сонницей.
Еще раз самым глубоким образом благодарю Вас за все!
Глубочайше уважающий Вас и искренпе преданный Вам
Ваш Николай Лузин.
Послал па днях приветствие А. П. Карпинскому7,
С. Ф. Ольденбургу ®, II. П. Сушкипу • и П. Ю. Крач-
ковскому 10, так как мне показалось, что это нужно было
сделать.
Примечания
1 Н. М. Малыгина — жена Н. Н. Лузина (см. овей [14, с. 321J).
* Д. Гильберт (1862—1943) — немецкий математик, почетный
академик Берлинской ЛИ (1942, чл.-корр. 1913), почетный член
ЛН СССР (1934, чл.-корр. 1922), с 1895 по 1930 г.— профессор Гет-
тингенского университета, где продолжал читать лекции до 1933'г.
Крупный представитель формалистического направления в основа-
ниях математики.
8 Г. Кантор (1845—1918) — немецкий математик, основатель
теории множеств.
4 Э.Цермело (1871 — 1953)—немецкий математик, профессор
Геттингенского (1899—1910), Цюрихского (1910—1926), Фрейбург-
ского (с 1926 г.) университетов. В своих работах по теории множеств
выделил вксиому свободного выбора (1904), ставшую предметом дол-
гих споров (см. 114)) и носящую теперь его имя.
6 Ф. Хаусдорф (1868—1942) — немецкий математик, автор ра-
бот по теории множеств.
• 16 ноября 1928 г. Н. Н. Лузин получил от профессора Воль-
ного университета в Брюсселе А. Эррера приглашение прочитать в
Бельгийском институте высших исследований 2—3 лекции на темы
по выбору Лузина [15, л. 1].
7 А. П. Карпинский (1847—1936) — геолог, академик (1896),
президент Российской АН (1917—1925), президент АН СССР (1925—
1936).
8 С. Ф. Ольденбург (1863—1934) — востоковед, академик
(1900), непременный секретарь Российской АН (1904—1925), АН
( ССР (1925—1929).
• II. II. Сушкпн (1868 1928)—зоолог, академик (1923),
с 1927 г.— академик-секретарь Отделения физико-математических
наук АП СССР.
10 II. Ю. Крачковский (1883—1951) — арабист, академик АП
СССР (1921).
214
4
Л. 11. Крылов— 11. 11. Лузину
[Без даты] 1
Глубокоуважаемый Николай Николаевич,
прилагаю при сем тот отзыв, который волею судеб мне
пришлось писать, представляя Вашу кандидатуру в
Академию наук, простите мне эту «нредерзость». Ведь в
самом деле, по образованию я моряк, по специальности
и основной профессии кораблестроитель, т. е. техник, ре-
месленник, н вдруг отзыв о математике и философии!?
Оправданием мпе может разве служить, что этот отзыв
прежде всего должен быть понятен членами гуманитарного
отделения, к которому пока причислены обе кафедры фило-
софии. Само собою разумеется, что после Вашего избра-
ния, в котором я твердо уверен, будет внесено предложе-
ние считать кафедру философии, занимаемую математи-
ком, принадлежащей обоим отделениям, так что, я наде-
юсь, и в Физико-математическом отделении Вы будете
полноправным членом и будете в кругу Ваших друзей-
математиков, столь высоко ценящих Ваши заслуги. Во
всяком случае, пе ставьте мне мою «предерзость» в вину,
а примите ее как знак моего глубочайшего уважения и
искренней преданности.
Примечания
Это черновик письма А. И. Крылова, дата на нем не указана.
Письмо написано, ио-видпмому, в октябре 1928 г.
5
II. И. Лу зип — А. И. Крылову
4, rue Tournefort, Paris (V)
6 mars 1929
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич,
очень давно желал написать Вам письмо вслед за моей
ответной Вам телеграммой, дабы еще раз глубочайше по-
благодарить Вас и выразить глубокое и полное удовлетво-
рение и счастье ходом моих выборов и избранием.
.Моему письму к Вам прежде всего помешала моя бо-
лезнь — грипп, распространившийся по Западной Европе
и уложивший меня па 3 недели в постель. Форма болезни
была не очень легкая, и угроза в легких озабочивала вра-
ча. А затем ио возвращении возможности писать я прежде
213
всего вернулся к работе, прерванной болезнью, так как
сейчас у меня в работе напряженный момент, н разрыв,
обусловленный болезнью, сильно спутал идеи и остановил
изложение моей книги; промедление же было опасным.
Видимо, приходится еще и еще раз признать справедли-
вость в нашем деле сравнения нас с музыкантом-пианис-
том, папример, нуждающимся в ежедневной практике
руки и пальцев. Только у меня, ввиду срочности работы,
дело было еще сложнее.
С работою в настоящий момент у меня обстоит следую-
щим образом: работа подвигается и 1/3 книги написана
французским текстом. Медленное движение работы обус-
ловлено не столько, по видимому, течением идей и труд-
ностью доказательств, сколько трудностями литературной
французской речи. Ведь то, что я делаю, это в самом деле
граница математики. И тогда как в «срединной математи-
ке» (т. е. в ее классических ветвях) достаточно писать:
done...; ainsi...; par suite...; considerons maintenant une
quantity telle que...1 — в это самое время у меня нет спа-
сительных формул, освобождающих от языка, и мне при-
ходится без формул отваживаться на длинный «опасный»
экскурс ио языку, мне — иностранцу, лавируя между
тонкостями: illimite, inf ini, indefini, non borne, aussi grand
qu’on veut, etc 2.
Как бы то ни было, работа все-таки двигается.
В средине апреля уедем, жена и я, в Бельгию, Bruxel-
les, куда приглашен прочесть 3 лекции в Institut des Hautes
Etudes de Belgique s, каковое приглашение окончательно
оформлено и заусловлепо время чтения.
С Академией СССР у меня установился постоянный
контакт. Прежде всего я получил от С. Ф. Ольденбурга
официальное извещение о моем избрании в Академию по
Отделению гум. наук. Затем от II. Ю. Крачковского полу-
чил рукопись «Аналитические замечания об опыте, лежа-
щем в основе математики, и понятия о числе» украинского
автора Лагунова 4 — что, к сожалению, пришлось при-
знать неподходящим для «Известий Ак. наук». Затем от
книгоиздательства Ак. наук я получил запрос, по какому
отделению я желал бы получать «Известия Ак. паук».
Я ответил, что ио физико-математическому и, если воз-
можно совмещать, то в силу формального моего положе-
ния, и по другому Отделению; если же совмещение за-
труднительно,— по одному фпз.-мат. отделению. Затем
от С. Ф. Ольденбурга получил предложение дать эскиз
сметы па ближайшее будущее по кафедре философии. В
216
моем ответе я указал на затруднительность для меня, как
нового человека, и притом издали сделать это. Но все же
упомянул о вероятной необходимости иметь книг 40—50
по математической философии, вышедших за последние
20 лет: в последнее время в некоторых университетах Аме-
рики и доминионов Англии учреждены специальные кафед-
ры математической философии, по которым уже появились
как литографированные лекции, так и специальные курсы
и трактаты.
Наконец, я был счастлив получить от Л. Е. Ферсмана
сообщение о том, что в заседании Президиума положено
считать целесообразным, дабы мне было позволено при-
нять участие в заседаниях и работе Отделения физико-ма-
тематических паук. Я был бесконечно счастлив узнать об
этом и глубочайше благодарю Вас, Алексей Николаевич,
за это дело. Вы мепя возвратили к моему делу, ибо чуж-
дым и чужим я был бы и буду на ОГИ •.
Еще раз глубочайше благодарю Вас за все и за это!
Тяжко обстоит у меня только с Москвою, и именно сей-
час — в материальном отношении.
Rockefeller’ona стипендия выдается в Париже на одно-
го, по я живу в Париже вдвоем с женою. Поэтому невоз-
можно думать об отсылке части этих денег в Москву.
Университет московский — мое самое главное место —
отказал мне совершенно в содержании за все время коман-
дировки (до 1 ноября), и я пе получаю от него ничего.
Институт математический до сих пор мне платил как
члену 119’р. в месяц. По недавно я получил устрашившее
.меня ^сообщение от директора института, что возможно
снимут меня с содержания, как отсутствующего (хотя я в
командировке), но это пе наверное. Остается шаткое ака-
демическое обеспечение от ЦКУБУ 7 (80 р. в месяц), но
и это пе спасет положения, и с утратой жалования из ин-
ститута мне, видимо, другого пе остается, как немедленно
вернуться.
Вот почему, да не будет нескромностью с моей стороны,
глубокоуважаемый Алексей Николаевич, узнать, не пола-
гается ли от Академии наук СССР систематического содер-
жания, и возможно ли мне рассчитывать на него.
Я забыл сказать (потому что о подобных вещах неловко
и тяжело говорить), что у меня в Москве остались в квар-
тире матушка моей жены 79 лот, тетя, тоже в летах, и ее
дочь — все трое исключительно на моем содержании, не
считая расходов по квартире. При отпятил содержания
по институту мне не выдержать.
217
Простите за длинное письмо. Желаю Вам всего хоро-
шего.
Глубочайше уважающий Вас и искренне преданный
Вам
Николай Лузин
Примечания
1 C-тедовательпо. таким образом, вследствие, рассмотрим тенерь
величину такую, что... (франц.)
* Беспредельный, бесконечный, бесконечный, не ограничен-
ный. сколь угодно большой, и т. д. (франц.). Эти слова, являющие-
ся фактически синонимами, у разных французских авторов имеют
несколько различный математический смысл, который определя-
ется пл контекста.
3 Бельгийский институт высших исследований (франц.).
4 Б. И. Лагунов — .заведующий секцией промышленной ста-
тистики Киевского окружного статистического бюро.
6 А. Е. Ферсман (1883—1945) — минералог и геохимик, ака-
демик (1919). вице-президент АН СССР (15.<11.1927—26.11.1927).
• Отделение гуманитарных наук.
7 Центральная комиссия по улучшению быта ученых. Основана
при деятельном участии А. М. Горького по постановлению Совнар-
кома от декабря 1919 г. «Об улучшении положения научных специа-
листов».
б
II. II. Лузин — Л. II. Крылову
4, rue Tournefort, Paris (V)
23 марта 1929
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич,
разрешите в Вашем лице прппести Отделению физико-
математических паук мою глубочайшую благодарность за
ту самую высокую честь и внимание, которые Отделение
пожелало мпе оказать приглашением принимать участие
в столь дорогих мне по интересам его научных делах.
Примите, прошу Вас, выражение моего глубочайшего
уважения.
Николай Лузин
7
II. II. Лузин — А. II. Крылов)
23 ноября 1929
4, rue Tournefort, Paris (V)
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич.
я уже столько раз обращался к Вашему содействию,
получая всякий раз от Вас исчерпывающую помощь, что
в нижеследующих строках совершенно некрепким обра-
218
зом не имею в виду ничем Вас беспокоить. Я только желал
бы осведомить Вас о себе, что помимо этого естественного
желания считаю кроме того своим долгом.
Вот вкратце мое положение. Летом заболела тяжело
моя жена, находящаяся со мною за границей. Положение
ее все ухудшалось, и осматривающие ее врачи определяли
неблагополучие в печени и почке. Наконец, стало совер-
шенно очевидным, что предпринять ей путешествие без
операции невозможно. Операция была ей сделана 30 ок-
тября, срок же моей командировки истекал 1-го ноября.
Операция удалась, хотя и была трудной. Многого не
пришлось делать, так как центр болезни оказался в аппен-
диците в усложненном виде. Сейчас жена уже выписалась
из лечебницы и находится дома, по еще очень слаба и
страдает временами от боли.
Когда все это случилось, я целиком ушел в заботы, свя-
занные с ее болезнью. Эти заботы пе были легкими, так
как трудности были в материальном отношении значи-
тельные. То же учреждение — Fondation Rockefeller —
которое до сих мор брало на себя заботу о материальной
стороне жизни, отказалось войти в положение, так как
средства должны быть отпускаемы лишь па научные изыс-
кания.
Все это в совокуппости не позволило мпе своевременно
написать академии о непроизвольной задержке: срок воз-
вращения совпал с самыми горячими хлопотами, а я при-
том не знал, каков будет исход операции.
Вследствие этого и получилось во многих отношениях
неудобное от мепя молчание. Притом писать откровенно
о готовящейся операции я никому ни в Москве, ни в Ле-
нинграде официальным образом не мог, так как в Москве
у меня мать жены 82 лет *, с опасною болезнью сердца.
Приходилось поэтому все тщательно скрывать, дабы пе
вызвать катастрофы, и написать обо всем открыто лишь
на этих днях, по миновании опасности.
Эта болезнь и еще раньше болезнь работавшего со
мною Lebesgue’a (простата, оперированная н июне) поста-
вили в тяжелое положение мою работу. Моя книга состоит
из 5 больших глав. Вследствие всех затруднений мною
сделаны 3 первых главы, совместно с Lebesgiie’o.M, а две
остальные представляют кучу черновых набросков, проек-
тов и планов.
Кончить работу мне одному теперь уже будет затрудни-
тельно, так как это, собственно, перевернет весь план ра-
боты.
219
Состояние работы крайне беспокоит меня, так как ре-
зультаты, излагаемые в моей книге, я находил в течение
11-ти с лишком лет. Случай изложить их все вместе в од-
ной книге есть единственный. С утратой его, я боюсь, ут-
ратится вообще возможность целостного изложения тео-
рии. Вообще я считаю, что ото уже в последний раз для
м< ня возможность выступить с книгою.
Замедление выхода ее угрожает расхватыванием но
частям материала и, так сказать, тривпалнзацией содержа-
ния. Если это случится — момент целесообразности со-
ставления книжки будет пропущен.
Обдумав все зто, я решился на следующие шаги. После
беседы с ВогеГем и по совету Lebesgue’a я дал нм право
запросить Foiulation Rockefeller, может ли это учреждение
поддерживать в материальном отношении меня за грани-
цею до окончания редактирования оставшихся 2-х глав
(первые 3 находятся в состоянии, годном к сдаче в печать).
Ответ получился благоприятный. Тогда указанные ученые
посоветовали мне просить продления срока пребывания
до окончания редактирования указанных 2-х глав.
При этом Lebesgue написал письмо в академию. Письмо
в академию должно быть от физика Langevin’a 2, но оно
запоздает па 2—3 дпя, так как Langevin сейчас в Belgique
и пришлет Академии оттуда.
Согласно всему, я написал в академию ходатайство о
продлении командировки до 31 мая 1930 года — срок,
установленный и положением дела с работою и Foiulation
Rockefeller. Срок этот является окончательным и не могу-
щим быть далее отложенным: и работа будет окончена
вполне, и I oiulation Rockefeller не имеет права продлить
его за этот предел.
В целях простой точности я позволяю прислать Вам
копию моего заявления академии.
К подлиннику же было приложено и послано па имя
В. Л. Комарова 3 еще письмо Lebesgue’a, краткая характе-
ристика содержания моей работы (книги) и свидетельство
о болезни и операции жены.
Если Академия отнесется положительно, буду просить
тогда поддержать мое ходатайство пред Московским уни-
верситетом и институтом, для чего я вложил конверты с
документами для этих учреждении.
Если академия отнесется отрицательно, тогда я, ко-
нечно, немедленно возвращусь.
Таково положение дел. Я понимаю, насколько неудоб-
но мне начинать свое служение академии просьбою об
220
отпуске. II зто мне тяжело; моим ходатайством я хотел бы
восполнить мой долг пред работою, как и ее понимаю.
Простите, глубокоуважаемый Алексей Николаевич,
за длинное письмо. Желаю Вам искренне всего лучшего.
Глубочайше уважающий Вас и преданный Вам
Николай Лузип
В Академию наук
Союза Советских Социалистических Республик
Академика Николая Лузина
Заявление
Настоящим покорнейше прошу Академию наук СССР
о продлении мне срока заграничной командировки до
31-го мая 1930-года.
Основанием моего ходатайства служит нижеследующее.
Во время моего пребывания на Международном мате-
матическом конгрессе в сентябре 1928 года мною было по-
лучено от членов Парижской академии наук М. М. Borel
и Lebesgue предложение составить дтя известной Collec-
tion de monographies sur la theorie des fonclious 4 книгу,
посвященную изложению результатов, полученных у нас
за послевоенный период в области дескриптивных теорий
учения о функциях. Это предложение сопровождалось еще
и другим: взять на себя заботу о материальной стороне
жизни за границей исходатайствованием специальной
суммы па составление книги у Fondation Rockefeller.
Я сообщил об этом предложении Паркомпросу, кото-
рый принял сделанное мне предложение и сделал распоря-
жение о командировке меня до 1-го ноября 1929 года в це-
лях выполнения предложения, причем мне было сохра-
нено содержание по Научно-исследовательскому инсти-
туту математики и механики в Москве и не сохранено по
Московскому университету.
За этот период моего пребывания я имел честь быть из-
бранным действительным членом Академии наук СССР.
Моя работа по составлению книги повелась в самом
тесном контакте с ВогеГем и Lebesgue’oM. Особенное вни-
мание и участие принял Lebesgue, теории которого яви-
лись началом наших работ, моих лично и моих учеников,
и научное дело которого мы, таким образом, продолжали.
Близость с Lebesgue’oM вскоре перешла в прямое его уча-
стие уже личным образом в работе.
Редактируемая книга состоит пз 5 глав, из которых 3
первые приняли окончательную редакцию и находятся в
221
печати. Что же касается до 2-х последних, то они нахо-
дятся еще в отрывочных набросках, так как мне и Lebes-
que’y пе хватило на анализ времени вследствие необходи-
мости Крайнев осторожности в тонких рассуждениях. При-
том тяжелая болезнь самого Lebesgue’a и затем моей жены
и заботы, связанные с необходимостью ее операции, унес-
ли у меня много времени и, таким образом, мне не удалось
сделать изложение этих оставшихся 2-х глав п привести
всю книгу в состояние, годное для печати.
Редактируемая книга вызвала глубокое внимание фран-
цузских кругов и желание видеть ее сданной в печать до
моего отъезда. Вследствие зтого Borel и Lebesgue запроси-
ли Fondalion Rockefeller, не может ли Fonda lion продол-
жить мио материальную поддержку до окончания редак-
тирования вставших я 2-х глав, дабы вся книга была сда-
на в печать, следуя первоначальному плану и предложе-
нию. Ввиду положительных указаний Fondation Rockefel-
ler, Borel и Lebesgue в настоящее время предложили мне
окончить составление книги, установив для этого послед-
ним сроком 31 мая 1930 года.
Ввиду того, что редактирование оставшихся глав те-
перь уже не может быть окончено мною одним, безучастия
академика Lebesgue’a, так как это изменило бы весь ха-
рактер делаемой работы, я возбуждаю ходатайство пред
Академией наук о предоставлении мне возможности окон-
чить работу, для каковой цели ходатайствую о продол-
жении командировки до 31-го мая 1930 года.
К этому позволю себе добавить, что испрашиваемый
срок ни в коем случае не может быть отдален, как вследст-
вие условий личной работы Lebesgue’a, так и вследствие
твердых границ, поставленных Fondation Rockefeller. За-
мечу еще, что результаты, излагаемые в этой книге, были
находимы мною в течение слишком 11-ти лет и что, таким
образом, отсутствие возможности окончить составление
указанных глав, собственно, уничтожило бы результаты
усилий уже проведенного в командировке времени и по-
ставило бы под опасность — в отношении приоритета —
многое из полеченного ранее.
Если решение академии будет благоприятным в отно-
шении испрашиваемого мною продолжения, я буду просить
академию подкрепить своим авторитетным словом мои
ходатайства о продлении срока отпуска, направляемые
мною в Московский университет и в Московский матема-
тический институт. С этой целью я присылаю два соот-
ветствующих конверта с документами для этих учрежде-
222
нпй. Я буду глубоко благодарен, если академия прибавит
от себя ходатайство и направит их по назначению.
Если решение академии будет отрицательным, я неза-
медлительно возвращусь.
К этому ходатайству прилагаю письмо членов Institut
de France Lebesque’a и Langevin’a и краткий анализ со-
держания делаемой книги.
Академик Николай Лузип
Примечания
1 II. Н. Лузин допустил здесь описку: его теще А. Г. Малыги-
ной в это время было 79 лет (в других своих письмах он указывает
возраст прапилыю).
2 11. Лаижевсн (1872—1946)—физик, член Парижской АН
(1934). С 1925 г. до последних лет жизни был директором Школы
физики и химии, заменив П. Кюри и а этом посту. Лапжевеп при-
езжал в СССР в 1928 г. и 25 мая этого года в большом конференц-зале
Академии наук СССР прочитал лекцию «Равновесие между мате-
рией и излучением» (1ft. л. 19(>1. Помимо его ученых заслуг, он из-
вестен как яркий пропагандист новых пдеп в физике. Общественный
деятель, одни из организаторов Амстердамского антифашистского
комитета. Народного фронта Франции, общества «Франция—СССР»
(194G).
s В. Л. Комаров (1869 - 1945) — в то время и. о. непременного
секретаря АП СССР (1929- 1939). ботаник, академик (1920), вице-
президент (1930—1936) н президент (1936—1945).
4 Коллекция монографий по теории функций (франц.).
8
II. II. Лузип — A. II. Крылов;
27 dec. 1929
4, rue Tournefort, Paris (V)
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич.
примите, прошу Вас, мое искренне приветствие по
случаю начинающегося 1930 года и душевное пожелание
всего хорошего, в особенности сил и здоровья па служение
Науке.
Получил от Академии весьма благоприятное письмо в
ответ иа мою просьбу о продлении командировки до 31 мая
наступающего года. Душевно благодарю всех тех, кто по-
желал внять моему желанию довести до конца работу!
Сейчас пребываю в тягостном состоянии, ие зная, ка-
ков будет окончательный ответ Паркомпроса. С работою
столь тороплюсь, как только могу, по боюсь, что неопреде-
ленность положения сильно отзывается на ее качестве.
223
В Париже Institut Henri Poincare 1 достроился оконча-
тельно, н сейчас сюда переведены все математические лек-
ции из Сорбонны 2. В постройке, как Вы знаете, приняло
участие американское правительство в лице Fondation
Rockefeller, которому, собственно, и принадлежат все
затраты материального порядка. С постройкой этого Ин-
ститута (rue Pierre Curie, около Pantlieon’a) 3 явилась воз-
можность разгрузки самой Sorbonne, давно страдавшей
от недостатка помещения. Кроме того, важно сосредото-
чение всей математической жизни Парижа в одном месте.
Так, началось приглашение ряда ученых всего света для
чтения лекций и небольших курсов. Из Бельгии de Donder4
читал курс по относительности. Приезжал и Эйнштейн в,
выступавший со своим 3-им принципом относительности,
обобщающим 2-й и 1-й в. По здесь отмечают, что автор
был более осторожен, чем в своем сообщении Берлинской
академии наук, и что он сделал более узкие заявления.
Все яснее и яснее становится, что дело идет о построении
особой «геометрии», из уравнений которой будут выведе-
ны, как надеется автор, соотношения, связывающие коэф-
фициент тяготения ньютоппанского с данными электроди-
намики. Иначе говоря, автор стремится оправдать свое
заявление: «нет физических констант, есть только матема-
тические константы».
Но здесь отмечают, что Эйнштейн отступил кое в чем
пазад теперь и что его метод — метод постройки особых
геометрий — давно уже разрабатывается во Франции и,
в частности, Е. Cartan 7 дал до эйнштейнова 3-го принципа
свое пространство, которое служит теперь Эйнштейну для
его третьей попытки. Эйнштейн в своем сообщении сделал
заявление, что открываемые нм связи констант тяготения
н электродинамики можно будет поставить в опытную про-
верку и еще раз этим подтвердить «единство Природы».
С другой стороны, очень курьезным звучало заявление
Эйнштейна, что «разрывности не существует», и это после
ряда лекций в институте Henri Poincare по теории квант!
Желаю Вам еще раз всего лучшего.
Глубочайше уважающий Вас и искренне преданный
Вам
Николай Лузин
Примечания
1 Институт Анри Пуанкаре (франц.).
1 Сорбонна — часть Парижского^ университета, основана в
1253 г. Названа но имени ее основателя Робера Сорбонв (1201 —
224
1274), духовника короля Людовика IX. В настоящее время Париж-
ский университет состоит из 13 университетов, каждый из которых
имеет своп номер.
8 Улица Пьера Кюри, около Пантеона (франц.) — ныне это
улица Пьера и Мари Кюри.
4 Т. де Доидер (1872—1957) — бельгийский физик-теоретик,
участник Сольвеевского конгресса 1927 г., автор ряда работ по об-
щей теории относительности (ОТО) п единым геометризованным
теориям поля. По-видимому, он первым ввел широко распространен-
ные в ОТО гармонические координатные условия. [Примеч.
В. II. Визгпиа.]
4 Л. Эйнштейн (1879—1955) — создатель специальной и общей
теории относительности, профессор Берлинского университета
(1914—1933) и директор Института физики. С 1933 г. работал в
Принстоне (США). Член многих академии наук, в частности,
иностр, член АП СССР (1926).
4 8 ноября 1929г. А. Эйнштейн в Париже в Институте А. Пуан-
каре выступил с докладом, опубликованном затем в «Анналах»
итого института под названием «Единая теория физического поля*
[17, т. 2, с. 286—3061. Доклад был посвящен одному из вариантов
единой теории гравитационного и электромагнитных полей, осно-
ванной на четырехмерной геометрии с абсолютным параллелизмом.
Пространствами с абсолютным параллелизмом задолго до Эйнштейна
(и. конечно, вне связи с проблемами физики) занимался Э. Картан.
Говоря о 3-ем принципе относительности, Н. Н. Лузин имеет в
виду вообще единые геометрнзованные теории поля (1-й принцип
относительности — специальная теория относительности, 2-й —
общая теория относительности), в частности, единую теорию, ос-
нованную на геометрии с абсолютным параллелизмом. О единых
теориях поля такого рода см. [18, с. 216—237J. [Примеч. В. II. Виз-
гина.[
7 Э. Картан (1869 -1951)—математик, член Парижской АП
(1931). В 1937 г. за исследования по геометрии п теории групп полу-
чил Международную премию имени И. II. Лобачевского. Картапу
принадлежит концепция пространства с абсолютным параллелиз-
мом (1922). которую А. Эйнштейн, не зная работ Картана, вновь
открыл в 1928 г.
9
Н. II. Лузин — А. И. Крылову
17 сентября 1930
Арбат, д. 25, кв. 8
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич,
третьего дня возвратился из командировки. Бесконеч-
но благодарен Вашим ходатайством пред Академией наук
о том, чтобы моя работа была доведена до конца. Я в са-
мом деле окончил мой труд и теперь буду счастлив вручить
Вам уже напечатанный авторский экземпляр моей книги
на Ваше благосклонное суждение.
Я еще не знаю ни порядка приездов в Академию наук,
ни, в частности, срока моего приезда. Во всяком случае я
8 Заказ J'S 2060
225
думай», что его необходимо сделать вскоре. И тогда я буду
просить у Вас сиидапия с Вами и, если возможно. Ваших
драгоценных советов в моей начинающейся деятельности
в академии. Эти советы или хотя бы только мнения Ваши
были бы бесконечно дороги для меня, так как я в акаде-
мии homo noviis 1 и абсолютно ничего не знаю.
Искренне желаю Вам всею-всего хорошего.
Глубочайше уважающий Вас и искренне преданный
Вам
Николай Лузин
Примечания
1 Новый человек (лат.).
10
II. II. Лузин — А. И. Крылов}
Санаторий «Узкое» 1 ЦКУБУ
10 япв. 1931
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич,
горячо извиняюсь перед Вами за то, что решаюсь обес-
покоить Вас во время Вашего, столь нужного отдыха.
Дело в следующем: во время моего переезда из Москвы
па трехпедельный отдых в санатории «Узкое» я потерял
папку с бумагами, или она была просто похищена у меня.
В этой панке среди прочих бумаг находился черновик
той моей работы — попытки о Вашем методе составления
векового уравнения 2, которую я решился — после коле-
баний — послать Вам в самый депь (31 июля)3 моего
отъезда в санаторий «Узкое».
Я адресовал эту мою попытку прямо па Ваше имя, в
Физико-математический институт им. В. А. Стеклова,
т. е. в Академию паук (В. О. * Университетская паб. 5)
заказным письмом.
Так вот, теперь после утраты черновика меня немного
беспокоит моя посылка: дошла ли опа?
Черновик я имел неосторожность взять с собою в «Уз-
кое», потому что знакомство с Вашими идеями сильнейшим
образом привязало меня к ним: мне сразу оторваться от
них было и очень жалко, и трудно, настолько я весь был
захвачен ими и, уезжая, еще мысленно продолжал дви-
гаться в этом направлении. Беря черновик, я надеялся,
что мне, быть может, еще удастся кое-что присоединить
к написанному и отправленному Вам.
226
Но утрата черновика сделала это крайне затруднитель-
ным, и мысль, что утрачен и беловик, посланный Вам,
заставляет вновь возвратиться к уже понятому и пзло-
жеипому и, в случае утраты беловика, мне, по-видимому,
придется еще раз попытаться изложить Вам размышления
о Вашем методе, если, конечно, при этом изложении меня
не охватит обычное чувство отсутствия интереса и очевид-
ности того, о чем хотелось говорить и писать.
Если возможно, прикажите, глубокоуважаемый Алек-
сей Николаевич, навести справки в ФМН о получении там
моей рукописи и пусть, если возможно, оттуда сообщат
мпе о получении или неполучении.
Мой адрес обычный московский: Москва, Арбат, д. 25,
кв. 8.
Простите, искренне прошу, за беспокойство.
Глубочайше уважающий Вас
Николай Лузин
Примечания
1 Санаторий «Узкое* под Москвой, ныне находящийся в черте
города, принадлежит Академии наук СССР. Размещается в быв-
шем поместье кинзен Трубецких, давни х России ряд деятелен куль-
туры.
1 II. II. Лузин пишет о своей работе «() методе академика
Л. II. Крылова составлении векового уравнения», которая по ке
была напечатана в ♦ Изаестнях АП СССР» ОМЕН (1931, № 7, с. 903—
958, см. также |19|).
3 Вероятно, зто описка; скорее всего имеется в виду 31 декаб-
ря 1930 г.
4 Васильевский остров.
11
H.II..IJ зии — А. Н. Крылову
21 мая 1931 г.
Москва, Арбат, д. 25, кв. 8
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич,
прочтя в газетах сообщение о имеющей быть сессии
Академии паук в июне, подумал о том, что, быть может,
мне следовало бы сделать сообщение в этой сессии на ту
или иную тему математпчески-прикладного характера.
К несчастью, я еще пе готов к разрешению Вашей важ-
ной и интересной проблемы, о которой Вы сообщили в
Вашем докладе с Вашим в высшей степени ценным методом
интегрирования систем лилейных дифференциальных урав-
нений (или 2-го порядка) с постоянными коэффициентами Ч
8» 227
Таким образом, я пока ограничусь другой темой. Именно,
я желал бы прочесть доклад на тему. «К теории метода
приближенного интегрирования академика С. А. Чаплы-
гина» а.
На этом пути мною получены некоторые результаты,
вполне гармонирующие с самим рассматриваемым методом
и с интересом к прикладному уклону математических дис-
циплин.
Теперь, если Вы одобряете самую идею моего доклада,
я ставлю себе вопрос: на какой части сессии |учше всего
мне сделать доклад — части ленинградской или москов-
ской? Выть может, в силу соображений личного характе-
ра было бы лучше всего, дабы на моем докладе были мос-
ковские математики, чего, конечно, не будет, если я буду
делать сообщение в Ленинграде. Но с другой стороны, пе
знаю, осуществимо ли это в силу самого порядка делания
докладов.
Таким образом, буду Вас просить, глубокоуважаемый
Алексей Николаевич, поступить по Вашему усмотрению,
так как Вам виднее, как это сделать, и поместить мой до-
клад, куда следует, если Вы его одобряете *.
В настоящее время в связи с изучением мною работ
Ляпунова об устойчивости движения и в связи с Вашей
проблемой изучаю теорию матриц. Жалею, что раньше
не был знаком с нею, так как опа служит, по-видимому,
прекрасным переходным мостом к многим физическим со-
временным теориям.
С нетерпением поджидаю опубликования Вамп Вашего
доклада, дважды мною слышанного в совершенно различ-
ных освещениях. Очень желал бы появления Вашей тео-
рии па иностранном языке, сопровожденной параллелями
с аналогичными попытками Lagrange s, Laplace 4, Leverri-
ег 8 и J acobi •.
Глубочайше уважающий Вас
Николай Лузин
Примечания
Доклад «О численном решении уравнения, которым в техни-
ческих вопросах определяются частоты малых колебании материаль-
ных систем» был прочитан А. И. Крыловым 1 марта 1931 г. в объеди-
ненном заседании групп математики, астрономии н физики. Онуб-
* Сыть может, лучше дублировать доклад, прочти его в академии
(.Зенипград) и от имени академии в каком-либо московском
ВУЗе.
228
пн копа и под названием *0 численном решении урипиенин, которым
в технических вопросах определи hitch частоты малых Ko.icuiiiniii ма-
териальных систем в *11звестпя.х АН СССР» O.MLH (Сер. 7, 1931,
X 4, с. 491—539, см. также [4, т. 5, с. 93—1381). А. II. Крылов пред-
ложил новую форму векового уравнения, облегчающую его приведе-
ние к развернутому виду н основанную на приведении системы ли-
нейных дифф1 ренциа п.ны.х уравнений к одному уравнению высшего
порядка.
2 Ятот доклад Н. II. Лузина под названием «О методе прибли-
женного интегрирования С. А. Чаплыгина» был опубликован в
•Трудах ЦАГП» (1912. вып. 141, с. 1 -32).
3 Ж. Лагранж (1736 1813) — математик и механик, член 1>ер-
.шнекой АП (1759). Парижской АП (1772). иностр, член Птербург-
скон АП (1776). Лагранж работал н над решением векового уравне-
ния, им разработаны основные задачи, входящие в современную тео-
рию колебаний.
4 II. Лаплас (1749 1827) — математик, физик н астроном,
член Париж-ской АП (1785), иностр, член Петербургский АП (1802).
Хета попил ряд ноложевий теории устойчивости.
4 У. Леверье (1811—1877) — астроном, чтен Парижской АН
(1846), иностр, чл.-корр. Петербургской АН (1848). В 1846 г. тео-
ретически доказал существование планеты Нептун, обнаруженной
в указанном нм месте.
* К. I'. Я. Якоби (1804 1851) — математик, член Верлннскон
АН (1836), чл.-корр. (18.30) н почетный член Петербургской АН
(1833).
12
II. II. Лузин — Л. II. Крылову
1-е августа 1931, Москва
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич,
с сомнением решаюсь прислать Вам размышления о
Вашей методе. В них я становлюсь на алгебраический путь,
на котором я никогда не работал и в котором не чувствую
себя уверенным. Но главное — пишу о работе по класси-
ческому анализу, изложенной чрезвычайно сжато: по
намекам и замечаниям, бросаемым Вами как бы мимохо-
дом, я догадывался о важных вещах, имевшихся Вами
в виду и бывших Вам очевидными, либо оставленных без
развития, дабы не перегружать изложения \
Моим размышлениям я придал форму статьи. Но это
отнюдь не означает, что эта статья должна появиться в пе-
чати, так как она может оказаться совсехг неудачной.
До сих нор я печатно выступал в академии лишь с не-
крологами г, к которым ведь невозможно предъявлять
много требований: в некрологе на первом плане человек,
а не наука, и здесь всегда возможно допустить себе по-
слабление. Напротив, в чисто научной статье все является
229
ответственным, п мпе не хотелось бы ни вносить дисгармо-
нию в печатное слово академии, ни вызывать удивление.
Притом и внешним образом я не уверен также: терми-
нология ленинградской школы совершенно отличается
от употребляемой в Москве. Но в то время, как школа Ле-
нинграда насчитывает более века, накопляя строго точ-
ный запас терминов, понятий, форм выражения мысли,
в это самое время в Москве все постоянно всегда изменя-
лось, завися лишь от лпчиости и вкусов данных лиц.
Короче, здесь нечто близкое к провинциальности, не чувст-
вовать которую я ие могу.
К сожалению, я не имел надлежащей книги по алгебре,
которая помогла бы мне в этом деле.
В присылаемой работе я не ищу углубить Ваши идеи:
я лишь пытался изложить в алгебраической форме то,
что Вы дали методом бесконечно малых. Таким образом,
я останавливаюсь в точности там, где Вы прекращаете
изложение.
Размышления эти доставили мпе глубокую радость:
мысли хорошо пригонялись друг к другу. Так всегда бы-
вало, когда приходилось размышлять о большом и счаст-
ливо сделанном деле. Временами я даже испытывал труд-
но описываемое чувство, нечто вроде «интеллектуального
головокружения», словно заглядывал вдаль или вглубь.
И тогда было трудно отрывать себя от дальнейших раз-
мышлений.
По делать это было необходимо, так как я не уверен
в интересе моих попыток, и еще боялся изнуриться, так
как математика берет много силы.
Простите меня, если я написал прямые глупости или
топорно неумелой рукой коснулся Ваших идей.
У нас в Москве большое горе: от переутомления вне-
запно впал в острое помешательство один из сильнейших
наших математиков Иван Иванович Привалов 3, еще моло-
дой человек. Я не видел его семьи, но идущие с разных
сторон сведения не оставляют сомнения в трагедии. Он
достойный прекрасный человек.
Глубочайше уважающий Вас
Николай Лузип
Примечания
1 Эти исследования II. II. Лузина были опубликованы им В
статье »О некоторых свойствах перемещающего множителя в методе
академика Л. II. Крылова» в «Известиях ЛИ СССР», ОМЕII, 1932,
№ 5, с. 595—658 (ч. 1); .V 6, с. 735—762 (ч. 2); Л; 8, с. 1066—1102
230
(ч. 3). О своих исследованиях Лузин дел л л доклад, а 29 ноября
1931 г. А. И. Крылов выступал ио его докладу.
1 В 1931 г. II. Н. Лузин по поручению Академии наук напи-
сал для «Известии АН СССР» два некролога: «Поль Аппель» (см.
119, т. 3, с. 344—347)) и «Иван Александрович Латю-Данилевскии»
(см. [19, т. 3, с. 347—350]).
3 И. И. Привалов (1891 1941) — математик, чл.-корр. АН
СССР (1939). Ряд саонх рапних результатов ио теории функции
получил в соавторстве с II. II. Лузиным. Сведениями о болезни
Привалова мы не располагаем, однако он продолжал и в дальнеп-
пк м активную научную деятельность.
13
II. И.. Тузин — А. И. Кры вв)
25 авг. 1931, Москва
Г губокоуважаемый Алексей Николаевич,
глубоко благодарю Вас за Ваше сообщение о моей
рукописи. Мне теперь так стыдно, что н написал Вам о
ней; если бы пе утрата черновика — с массою заграничных
писем, на которые я должен был дать ответы — этого,
конечно, пе произошло бы. Я вообще довольно аккуратен,
и утрата рукописи в черновике произошла первый раз в
моей жизни. Поэтому и так и растерялся и не знал, что
же дальше мне делать.
Сообщение же Вашего впечатления о содержании моей
рукописи глубоко и радостно взволновало меня. По сове-
сти, я не думал, что она может Вам понравиться: ведь это
же есть, подлинно, лишь пересказ Ваших идей, и я хорошо
знаю, что ни на шаг пе двинулся дальше. Я кончил там,
где захотели остановиться Вы сами: больше того, Вы даете
анализ тех случаев, когда неизвестное к фигурирует в
каждом элементе определителя; я же решился только
разобрать Ваш первый случай диагона н>ного расположе-
ния неизвестной к.
Искрение рад, что Иван Матвеевич Виноградов 1 также
благоприятно отозвался о моей попытке.
Я не думал, что Вы сочтете возможным уже тотчас же
напечатать мою попытку. Я очень счастлив был узнать об
этом! Благодарю Вас за предложение сделать сообщение
па заседании группы: конечно, я с огромной охотой сде-
лаю это. Ранее я только мечтал начать свою деятельность
в академии при Вашем содействии. Теперь это осуществля-
ется, и я глубочайше счастлив этому.
С бесконечной скорбью узнал из газет о преждевре-
менной кончине молодого академика Бориса Яковлевича
231
Владнмнрцова 2. Па прежнем моем отделении я познако-
мился с ним как с одним из первых встреченных мною кол-
лег. Он приютил меня на этом отделении и ввел в академи-
ческие круги. Меия очень влекло к нему. Какая ката-
строфа!
У нас в Москве тоже нехорошо: у Ивана Ивановича
Привалова шизофрения: это почти безнадежная болезнь.
И еще погибло два молодых одаренных математика в Кав-
казских горах при пересечении ими лавипы s.
Обращаюсь к Вам с очень нескромною просьбой», Алек-
сеи Николаевич. В санатории «Узком» мне рассказали,
что Вы совместно со Шмидтом 4 проектируете издательст-
во классиков. Если эта вещь способна дать заработок, я
бы не отказался принять участие.
Ведь я теперь только и академии, уйдя из университета
и лишившись издательства редактированного мною учеб-
ника «Грэнвиль» 8 и, по совести, сильно нуждаюсь в под-
собном заработке.
По если это не так, или если мое участие затрудни-
тельно вследствие уже намеченного состава — пусть мое
желание позабудется Вамп.
Глубочайше уважающий Вас
Николаи Лузип
Я уезжаю на 1 месяц в Кисловодск: Санаторий ЦКУБУ,
Крестовая гора.
Примечания
1 И. М. Вииограюв (1891—1486) — математик, академик ЛИ
СССР (1929), крупнейший специалист по аналитической теории чи-
сел.
* Б. Я. Владимирцев (1884—1931) — монголовед, чл.-корр.
(1923) и академик АН СССР (1929).
3 .Что погибшие при восхождении на гору Мнсее тау (Павка.))
математики Ю. А. Гольдовскнй (1907 -1931) и С. С. Левин (1906 -
1931). ученики Д. Е. Меньшова и В. В. Степанова (см. о них [20,
с. 126—1271).
1 О. К). Шмидт (1891 —1956) - исследователь Арктики, ака-
демик АП СССР (1935). В 1930 1931 гг.— директор Института ма-
тематики и механики Московского университета, в 1924 1941 гг.—
главный редактор Большой Советской :)иц||кло11елпи и ряда журна-
лов; в 1939—1942 гг.— вице-президент АП СССР. (Одно письмо
II. II. Лузина к О. К). Шмидту было опубликовано в [2|.)
4 До 1931 г. II. II. Лузин редактировал русский перевод «Бурс
дифференциального и интегрального исчисления» американского
математика В. Грснвнля (1863 1943). а начиная с 1931 г. стал
его перерабатывать. В 1933 г. вышел переработанный вариант этого
учебника [211.
232
14
II. II. Лузин — A. И. Крылову
Кисловодск, 14 сентября 1931 г
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич,
осмеливаюсь обеспокоить Вас большою просьбою, от-
носительно которой прошу у Вас самого искреннего изви-
нения.
Дело в том, что я сейчас нахожусь в Кисловодске в са-
натории, и мне сюда никаких писем, приходящих на мос-
ковскую квартиру, не пересылают. Среди же этих писем
может быть полученным отношение от академии, в котором
меня спрашивают, имею ли я прочесть доклад в ближай-
шем заседании сессии, и если имею, то какова тема.
Так вот в связке этим предложением и стоит моя боль-
шая к Вам просьба. Если в самом деле Вам, глубокоува-
жаемый Алексей Николаевич, представляется подходя-
щим мой доклад, то сделайте, пожалуйста, распоряжение
о том, чтобы сообщили о моей готовности держать доклад.
Пусть также заглавие его будет на Ваше усмотрение.
Утрата мною черновика не позволяет точно вспомнить
заглавие моей рукописи. Кажется, что было приблизи-
тельно так: «О методе академика А. 11. Крылова состав-
ления векового уравнения».
Но я не уверен, действительно ли это так и, если да,
то сохранимо ли это заглавие в докладе.
Простите, что опять затрудняю Вас и отымаю у Вас
Ваше дорогое время.
В Кисловодске хорошая погода, жара временами чрез-
вычайная. Источник нарзана чувствительно портится
вследствие, как говорят, трещины, образовавшейся после
землетрясения, в которую вливается обыкновенная вода.
Во всяком случае содержание газа заметно меньшее.
Больных масса, санатории переполнены, и лечение
ведется в ускоренном порядке: дают вместо б педель лишь
38 дпей. В итоге, по-видимому, лишь подобие лечения, а
пе действительное лечение.
Надежда Михайловна просит передать Вам ее поклон.
Желаю Вам всего хорошего.
Глубочайше уважающий Вас
Николай Лузин
233
15
II. Н. Лузин — А. 11. Крылову
Москва, 22 декабря 1923 1
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич,
в силу нездоровья я, к несчастью, должен пропустить
сессию и поэтому прошу Вашего позволения написать Вам
по поводу академических дел.
Прежде всего о кандидатурах в члены-корреспонденты.
Я продолжаю утверждать, что кандидатура А. Я. Хин-
чина 2 пока преждевременна. А. Я. Хинчин не работает
уже 2 года, пе печатает ничего и, по сведениям, перестал
даже делать доклады. Неизвестно, когда он возвратится
к Науке и вернется ли вообще оп к ней.
Я считаю, что звание члена-корреспондента есть важ-
ное паучное отличие. А. Я. Хипчин еще слишком молод,
чтобы ему давать его за прошлое. Значит, это будет авапс.
Но печальный опыт Academic de Paris с Painleve 8 (я
отнюдь не сравниваю научных сил Painleve и А. Я. Хин-
чина, совершенно несравнимых), избранного в Institut
de France 4 и переставшего работать в самый момент из-
брания и потом всю жизнь занимавшегося чуждыми Науке
делами — этот опыт, по-моему, не стопт повторять с
А. Я. Хинчиным.
В момент моего отъезда С. II. Бернштейн 8 сообщил мне
о смерти Konigs’a ®, бывшего у нас членом-корреспонден-
том. Он прпбавпл: «Значит, у нас 2 кандидатуры пустые и,
значит, все улаживается».
По-моему, трудность остается Bte та же самая. II по-
моему в этом случае надо избрать: и Некрасова 7, и Смир-
нова *.
Бумаги о Некрасове я спешно пересылаю в секретари-
ат: 1) свой доклад о его трудах, 2) curricnlnm vitae * и
3) список трудов. Сегодня это будет уже в дороге.
По-моему, будет бочыпой несправедливостью, если
звания члена-корреспондента лишить или Смирнова, или
Некрасова.
Ведь труды Некрасова очень сильные, стиля Poincare,
широты и размаха крупного мастера, и редкого изящества.
Более того, я настаивал бы на том, чтобы его имя было
названо в числе кандидатов в действительные члены ака-
демии, в числе 13 свободных кафедр. Право, в числе на-
зываемых половина лиц головой ниже его!
Простите, что пишу столь наспех и неразборчиво!
234
Работу свою о Вашем методе заканчиваю: я не успел
послать к сессии, так как вышли научные трудности:
приходится вторгаться даже в проективную геометрию!
Чрез неделю, другую она будет у Вас. Работа вышла очень
большая.
Простите за то, что написал Вам.
Глубочайше уважающий Вас и искренне преданный
Вам
Ваш П. Лузин
Примечания
1 Судя по содержанию письма, II. Н. Лузин написал его в
1931 г., а пе в 1923 г., как у пего указано.
* А. Я. Хиичип (1894 1959) — математик, чл.-корр. АП
СССР (1939), член Академии педагогических паук (1944). Ученик
II. II. Лузина, он отошел от лузинской тематики, переключившись
(с 1924 г.) на исследования по теории чисел, теории вероятностен и
теории массового обслуживания (1930). В 1932—1934 гг.— дирек-
тор Научно-исследовательского института математики и механики
при Московском университете. Действительно, у Хпнчина с 1930 г.
но 19.32 г. не было публикации, но это было вызвано тем, что он в
это время работал нал книгой «Основные законы теории вероятнос-
тей», вышедшей в 19.32 г., а также рядом других статен (всего в
19.32 г. у Хпнчина было опубликовано 8 работ); вероятно, что в
это иремя он работал и над мон >графиеп «Асимптотические законы
теории вероятностен», которая появилась па немецком языке в
193.3 г. И. И. Лузин, видимо, нс знал научных планов Хпнчина.
3 П. Пеплеве (186.3—19.33) — член Парижской АН (1900),
иностр, чл.-корр. АН СССР (1927). С 1910 г.— депутат парламен-
та; позже занимал различные министерские посты. Основные ре-
зультаты получил в конце XIX — начале XX в. Все же Пеялеве
не совсем забросил научную деятельность: ои издал курс механи-
ки, лекции о сопротивлении в потоке невязкой жидкости и др.
1 Институт Франции (франц.) — состоит из пяти академии:
Фрапцуяскон, Паук, Нравственных и Политических паук. Надпи-
сей и Литературы, Искусства. Все они размещаются во Дворце
Института па набережной Конти и Париже. Пазпаипе «Парижская
академия» — пе официальное, оно отражает только то, что Акаде-
мия паук находится в Париже; официально она именуется Академией
наук Института Франции.
* С. Н. Бернштейн (188U—1968) — математик, чл.-корр. (1924)
И академик АН СССР (1929), академик АН У ССР (1925).
• Г. Боинге (1858—1931) — французский математик и механик,
член Парижской АН (1918)
7 А. И. Некрасов (1883—1957) — математик н механик,
чл.-корр. (1932) и академик АП СССР (1946).
* В. И. Смирнов (1887— 1974) — математик, чл.-корр. (1932)
и академик АН СССР (1943).
3 Биография (лат.).
235
16
II. II. .(узин — А. Н. Крылову
[Без даты Ч
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич,
очень возможно, что преобразование векового уравне-
ния, даваемое аспирантом А. Кацом 2, и совпадает с про-
образ >ванием, изученным мною, но сейчас, на заседании
это трудно решить. Однако это вполне возможно, дм и
как иначе это могло бы случиться, раз и его, и мое преоб-
разование суть лишь ИЕРЕВО (1>1 на язык алгебры того,
что Вы впервые нашли рассмотрением бесконечно малых?!
Что работа написана юным (или неопытным) челове-
ком — это сразу видно, хотя бы из того, что его формула
(2) гласит D =# 0, а когда он фактически найдет D ио
формулам (4), (7), (И), .... то ведь и сам автор не знает:
на самом-то деле выйдет ли D =£ О или 1) = 0. А ведь
в этом-то все и дело, ибо речь идет о том. применим ли
Ваш ПЕРВЫЙ прием (когда перемещающий множитель
D отличен от нуля) или же необходимо обращение к Ваше-
му ВТОРОМУ приему, когда D = 0 и когда возможно
понижение порядка Вашего дифференциального уравне-
ния с буквою-формою х
х = ng, + + С5з + • • •+ М-
Нанлучшим мне представляется следующее: я, если,
Вы разрешите, возьму сегодня па дом работу А. Каца,
внимательно рассмотрю его выкладки, и если все верно
в пей, то ради его юности быть может и следовало бы где-
нибудь опубликовать, так как на молодую душу первый
успех действует невыразимо сильно. По, конечно, с осто-
рожностью и, может быть, где-нибудь в стороне от Акаде-
мии. Последнее осложнится, если он будет настаивать на
«Известняк» — и тогда сама ситуация продиктует поведе-
ние.
Н. .Лузин
Примечания
1 Зта записка без даты написана в начале 1932 г.
2 А. М. Кац (1909 — 1953) прислал А. II. Крылову рукопись
своей работы «Алгебраическое преобразование «векового уравнения»
в форму, предложенную А. II. Крыловым», сопроводив ее письмом
от 31 декабря 193| г., в котором он просит просмотреть предлагае-
мый им вывод и высказать свое мнение (22. л. 1|. \. М. Кац впослед-
ствии — доктор технических наук, профессор Ленинградского по-
литехнического института им. М II. Калинина, специалист по тео-
рии колебаний.
236
17
И. И. Лузин — А. II. Крылову
Москва, Арбат, д. 25, кв. 8
27 апреля 1932 г.
Глубокоуважаемый /Алексей Николаевич,
приношу Вам искреннее извинение за задержку моей
заметки, препровождающей работу аспиранта А. Каца
ио теории Вашей методы преобразования векового урав-
нения.
Я отнюдь не забыл н не забывал ни одного дня об атом,
но по возвращении в Москву я был столь сильно сдавлен
Государственным издательством в отношении сроков пред-
ставления рукописей, что мне буквально не оставалось
времени даже для сна.
Теперь я на днях представил все, что надо, и делаю ко-
роткую передышку на несколько диен, после которой при-
шлю на Ваше потное усмотрение мою заметку.
Размышляя на этих днях о заметке, я увидел, что труд-
но, очень даже трудно доказать единственность Вашего
преобразования даже для определителя второ.» порядка.
Дело сводится к 18 уравнениям вида сурового. Придется
послать заметку, видимо, не сделав этого, как я первона-
чально вознамерился было!
Итак, па этих днях я напишу заметку и тотчас же выш-
лю Вам. Простите за неаккуратность!
Глубочайше уважающий Вас
Николай Лузин
18
П. Н. Лузин — А. Н. Крылову
10 января 1933 г.
Москва, Кремлевская больница, палата .V. 30
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич.
нее еще болею, и очень сильно. Почти не могу передви-
гаться. и всякое напряжение, сидение за столом в течение
часа уже заставляет болеть сердце и страшно уставать.
Прошу Вас поэтому простить меня за то, что не писал,
и за то, что и сейчас ограничиваюсь самым необходимым.
Я ведь пред Вами в долгу: обещал В im мое мнение по
поводу статьи молодого математика А. Каца, с которым
мы встретились в рассмотрении Вашей замечательной ме-
тоды. Я думаю, как и тогда, что его статью можно безу-
словно печатать.
237
Я написал препроводительную заметку к статье А.
Каца, кото рую я позволяю себе приложить к этому пись-
му *.
Если Вы найдете, глубокоуважаемый Алексей Николае-
вич, что эта заметка пе будет неприятна автору и представит
некоторый интерес — и если Вы лично ничего не будете
иметь против — буду рад, если она появится вместе со
статьей А. Каца. В свое время, koi да я был молодым чело-
веком, мпе было крайне ценным печатное внимание, так
как я больше всего боялся писать впустую, без отклика,
без интереса хотя одной живой души.
Если А. Кац имеет такое же мнение, буду рад искренно
служить ему. Если же он найдет полемику и обидится,
тогда, конечно, ие надо моей заметки и пусть его статья
идет в печать одна.
Я, собственно, составляя мою заметку, преследовал
2 цели: откликнуться дтя А. Каца и затем защитить себя
в глазах невнимательного читателя («Вот-де как просто
выходит, и не надо было писать так много и непонятно,
как у Н. Н. Лузина»).
Все дело, по-моему, в том, интересно ли и не заденет
ли А. Каца. Я постарался поставить новую проблему,
проблему единственности Вашего замечательного преобра-
зования. По решение этом проблемы бесконечно далеко
от меня и требует сил, которыми я не располагаю.
Лично я верю в то, что Ваше преобразование есть един-
ственное, но это только интуиция.
Простите за дурно написанное письмо. Глубочайше
уважающий Вас и сердечно чтущпи
Николай Лузин
Примечания
1 Приложенная к этому письму заметка II. II. Л узина «Несколь-
ко замечаний к предыдущей статье А. Каца» приведена в Приложе-
нии II.
19
А. 11. Крылов — II. 11. Лузину
12 апреля 19.34 г.
Ленинград, Васильевский остров,
10-,я линия, д. 51, кв. 47
Глубокоуважаемый и дорогой Николай Николаевич!
Сергей Львович 1 Вам лично расскажет про Gambier 2;
по-видимому, он очень доволен оказанным ему приемом.
238
Вы были так любезны, что интересовались ходом моей
работы но теории Лупы Вилера 8,— пользуюсь случаем
доставить Вам для предварительного ознакомления кор-
ректурный оттиск, самая книга выйдет недели через три,
и тогда я буду иметь удовольствие поднести Вам хороший
экземпляр.
Прошу Вас передать мой почтительный привет Надеж-
де Михайловне. Надеюсь увидать Вас па сессии.
Искренно Вам преданный
А. Крылов
Надежда Константиновна * шлет Вам и Надежде \1п-
хайловне свой привет.
А. Крылов
Примечания
1 С. Л. Соболев (р 1908) — математик и механик, чл.-корр.
(1933) и академик АП СССР (1939). В этот период премени работал
в Математическом институте АН СССР.
2 Б. Гамбье (1879—1954)—французский математик (основные
труды в области дифференциальной и алгебраической геометрии),
соавтор и последователь С. 11. Фнппкова. Посетил в 1934 г. СССР
вместе с другими французскими учеными. 17 чая 1934 г. Л. II. Кры-
лов участвовал во встрече французских ученых, приехавших в
СССР для участия в декаде франко-советского научного сближения.
(Добавим, что в том же году в ('ССР приезжал и 7К. Адамар.)
3 В 1934 г. Л. II. Крылов опубликовал перевод работы
J1. Пилера «Новая теория движении Луны», снабдив ее своими при-
мечаниями н пояснениями |4. Дополнение к т. 5 и б].
4 Надежда Константиновна — жена А. II. Крылова.
20
II. Н. Лузин — А. II. Крылову
22 апреля 1934 г.
Москва, Арбат, д. 25, кв. 8
Глубокоуважаемый и дорогой Алексей Николаевич,
самым душевным образом благодарю Вас за Ваш цен-
ный и бесконечно дорогой для меня дар: Ваш важный труд
о «Новой теории движения Луны» Леонарда Эйлера. II то,
что он выразился именно еще в корректуре (притом впол-
не переплетенной) делает этот подарок для мепя особен-
но дорогим.
Этот труд Ваш теперь мне служит пищей, к которой
я возвращаюсь и возвращаюсь при всяком свободном мо-
менте от мелких текущих надоедных «дел».
239
Книгу мне вручил Сергей Львович, но, видя меня в тя-
желом состоянии, ничего не решился, видимо, добавить.
В книге я нашел Ваше письмо.
Что Gambier был в восторге от оказанного ему приема
и такого почета — это я очень скоро узнал еще до посеще-
ния меня Сергеем Львовичем из глубоко удовлетворенно-
го и трогательного письма Gambier к Фиппкову 1 и ко мне.
Но Сергей Львович ничего мне не передал, не желая,
должно быть, меня беспокоить. Так что я деталей еще не
знаю; зато знаю из писем Gambier и Паевского 2, что
Вы лично пожелали оказать ему честь, встретив лично
его на вокзале.
Узнав об этом, я был невыразимо смущен, боясь, не
написал ли я Вам так, что Вы сочли надлежащим это сде-
лать. Боюсь, что, когда я писал Вам о Gambier, я не мог
обдумать моего письма.
Могу только сказать Вам, что Gambier глубочайше
оценил все Ваше внимание и что его друзья, знакомые и
collegties узнают о чести, оказанной Вамп ему. Gambier,
в самом деле, был чрезвычайно доволен приемом.
У меня случилось большое горе: умерла мать моей же-
ны, жившая с нами 30 лет. Ей было только 84 года и при
замечательном по здоровью сердце она еще долго могла
бы жить. Склероз мозга сломил ее.
Хотя я и пожилой человек, но смерть во всей ее ре-
альности я пережил впервые. II это оставило неприятный
след и сообщило такое оцепенелое состояние, из которого
я с трудом выхожу. Сергей Львович застал меня, когда
еще не было похорон.
Есть в сознании какая-то вещь, которая безумно про-
тивится факту смерти. Одно из двух: или смерти не долж-
но быть совсем, или наше отношение к ней неправильно.
И так как все-таки никакого иного отношения нельзя во-
образить, то остается лишь первое.
Простите за грустное письмо.
Глубочайше уважающий Вас п искренне преданный
Вам
Ваш II. Лузин
Надежде Константиновне от нас обоих самый глубокий
поклон.
Примечания
1 С. П. Фиников (1883- 1964) — геометр, одни из создателей
советской школы проективно-дифференциальной геометрии. В |23|
опубликован отзыв о научных работах Финикова, написанный
Н. И. Лузиным в 1937 г.
240
1 В. В. Паевскип (1893- -1934) — статистик, заместитель ди-
ректора Циститу та демографии АН СССР, основанного в 1931 г.
(В 1934 г. этот институт слился с Математическим институтом ЛИ
СССР.)
21
А. И. Крылов — И. II. Лузину
Ленинград, Вас. Остр. 10ап линия
д. 51, кв. 47
28го ноября 1934 г.
Глубокоуважаемый и дорогой Николай Николаевич!
Некий афинянин замахнулся на Сократа пал-
кой, и рече мудрец: «Сперва выслушай, потом
бей».
(Из письмовника Курганова х)
В одной нз Ваших последних работ, оставив правовер-
ное учение об исчислимых и неисчислимых совокупностях,
Вы впали в ереси технически прикладной математики и
дали превосходный анализ метода Чаплыгина приближен-
ного численного интегрирования дифференциальных урав-
нений. Это дало мне повод злоупотребить Вашу доброту
и заранее сообщить Вам содержание того доклада о «Нью-
тоновской теории астрономической рефракции» 2, который
я имею в виду сделать па заседании физико-математиче-
ской группы.
Вас может удивить — какое дело мне, кораблестрои-
телю, до астрономической рефракции? Но дело в том, что
здесь Ньютон встретил дифференциальное уравпепие (ра-
нее даже, чем существовало это слово) и численно его ин-
тегрировал до конца, то есть до составления таблицы ре-
фракции. Мне думается, что это был первый пример тако-
го интегрирования, что и заставило меня его обстоятельно
изучить и просить Вас ознакомиться с моей работой и
высказать о ней на группе Ваше мнение, которым я осо-
бенно дорожу 3.
Примечания
Письмо является черновиком письма Крылова к Лузину.
1 Н. Г. Курганов (ок. 1726—1796) — математик и писатель,
составитель популярного в свое время «Письмовника» (1769), вклю-
чающего материалы справочного характера, толковый словарь,
собрание анекдотов, пословиц, загадок, стихов, а также общие рас-
суждения о математике, физике, о системе мироздания. Выдержал
несколько изданий. Привс аеииых А. II. Крыловым слов в «Письмов-
нике» 1769 г. Курганова нет, но они написаны в стиле «Письмовника».
241
1 A. II. Крыюв прочитал доклад «Ньютонова теория астроно-
мической рефракции» 16 октября 1113-4 г. в Институте истории пауки
и техники (опубликован в 11135 г. в «Архиве истории науки и тех-
ники», см. также [4. т. 6, с. 151—225|).
3 Далее идет текст доклада А. И. Крылова, который мы не при-
водим, так как он является сокрапц-иным вариантом публикации
Крылова, в которой добавлен ряд таблиц и численных примеров.
22
П. П. Лузин — А. К. Крылову
Москва, 7 декабря 1934
Глубокоуважаемый и дорогой Алексей Николаевич!
Получив Ваше письмо и читая его, я испытал глубокое
и трудно выразимое чувство. Могу сказать лишь то, что
этот день был для мепя одним из моих лучших дней и что
я счастлив читать и сохранять это письмо, глубокоуважае-
мый Алексей Николаевич.
По самому же предмету — Ваш анализ ньютонова спо-
соба рассматривать дифференциальное уравнение рефрак-
ции и доводить его интегрирование до таблиц (и зто тогда,
когда даже слова «дифференциальное уравнение» еще не
существовало!) является одною из самых сильных вещей,
какую мне доводилось читать: кристальная ясность и
прозрачность идеи, ее поразительная простота и та самая
величавость, которая, собственно, характерна для ппсаний
самого Ньютона, в Вашем анализе даны с такой силой, что
я не сомневаюсь в том, что Вам удалось открыть и рестав-
рировать подлинный путь мысли Ньютона. Но какая же,
оказывается, сила и глубина его исследований! А тем пе
менее, на первый взгляд, поставленная Вами себе самому
проблема:
«...спрашивается, каким образом он (Ньютон) это сде-
лал? Иными словами надо, пользуясь теперешними обозна-
чениями, по не выходя за пределы тех элементов анали-
за, которыми владел Ньютон, вывести обе его теории ре-
фракции и вычислить обе его таблицы»
a priori казалась безнадежной. Я не знал, что такие
вещи могут вообще удаваться.
Поразительно еще то, что Пьютон дал обе эти теории
в течение одного года: октябрь 1694—март 1695, и это при
отсутствии математического анализа в современном смы-
сле! Вы показали дело его мысли во весь его рост, дока-
зав, что получается современная теория рефракции и что
самый способ извлекать из дифференциального уравнения
таблицы превосходит современный.
242
Шаг за шагом Вы делаете реставрацию пути мысли
Ньютона, и иногда я вспоминал Кювье *, только здесь-то
получается вещь актуального значения, а пе палеонто-
логического.
Нет никакого сомнения, что Ньютон именно так и раз-
бивал атмосферу на конечное число слоев, предполагае-
мых однородными и из конечных соотношении путем
passage a la liinite 2 получа i все: п нужную ему теоремку,
лежавшую в основании 1-й таблицы, и, наконец, самые
дифференциальные соотношения.
Но подумать только, что ведь знака j тогда не было
и Ньютон оперироват лишь с символом |Й или словесной
формулировкой!
Ваше замечание о том, что Ньютон имел не только идею
всех формул приближенных квадратур, но и фактически
употреблял их, когда само дело диктовало ему эту необ-
ходимость — поразительно. Здесь я онять-такн не знал
(вернее: не думал) этого и, право, как-то явственно утра-
чиваешь уважение к современным профессорам математи-
ки. несмотря па 240 издающихся в настоящее время на зем-
ном шаре чисто математических журналов. Лемма же V
Ньютона, в самом деле, пе допускает никакого другого
толкования 3.
Далее Ваш анализ получает в Ваших руках особенную
остроту, переходя в ясновидение: я говорю о манере упо-
треблять лемму V и об обходе как эллиптического интег-
рала, так и, во второй теории, трудностей, связанных с
бесконечным пределом и с обращением знаменателя в
нуль.
Здесь я не имею возможности проникнуть в самую
глубь Вашей — ньютоновой идеи, так как для этого слиш-
ком мало несколько раз прочесть соответствующий текст
Вашего письма: это место нужно изучить, что я и сделаю.
Едва ли нужно говорить о том, что вся сделанная Вами
вещь должна быть немедленно опубликована. По мне жаль,
если это будет сделано только на одном языке. Я знаю и
понимаю, что Вы делаете для пауки и пе для люден, но
все-таки как-то всегда больно, когда видишь, что препят-
ствия, воздвигаемые языком, имеют какое-то значение
в жизни идей.
Лично для меня Ваш повып труд имеет еще и то значе-
ние, что волнует меня очень трудно оценимым образом:
ведь я преимущественно ухожу в область загадок конти-
нуума. А эти загадки — не призрачные, но воистину су-
ществующие — по-видимому, привнесены каким-то иска-
243
женнем идеи бесконечности. К ней, к бесконечности, «схо-
дятся все радиусы круга идей» (Парменид 4): говоря кон-
кретно, что то случилось в середине 19 века (1861 г.)’,
когда на математику начался наплыв идей (Cantor), ранее
в ней никогда не бывших (их нет даже у тончайшего Paul
du LJois Reymond’a e).
Теперь я вижу, что ужас и брезгливость Ilermite'a 7,
ио-видимому, хорошо обоснованы были у него, но лишь
психологически, ибо противостоять идее актуальной бес-
конечности Hermite все-таки не мог. Вся деятельность —
моих личных учеников и моя — состоит в усилиях как-то
уничтожить эту идею, но вместо триумфа мы натолкну-
лись на ряд загадок, полностью разгадать которые мы не
умеем, но которые не оставляют ни малейшего сомнения
в том, что дело математического анализа поставлено не-
правильно при введении в него идей Cantor'a.
Придти к этому хорошо в 33 года, по в 51 год — нехо-
рошо.
Впрочем, «очи разума начинают светлеть лишь тогда,
когда очи тела начинают слабеть» (Платон 8).
Так вот, возвращаясь к Вашей работе: она сильно вол-
нует меня, причем я не умею даже сказать, чем именно:
тем ли, что она указывает на истинные пути научной мыс-
ли, тем ли, что она свободна от того яда, который содер-
жится в атмосфере современного анализа, или, наконец,
тем, что всегда нужно менять предмет мысли, дабы не
быть маньяком. Впрочем, вряд ли последнее.
Мне часто хотелось приехать к Вам в Ленинград; я
очень жалею о том, что пе езжу на сессии.
Относительно же кораблестроения, то хорошо сказал
какой-то адмирал: «Прежде корабли были деревянные,
а люди — железные; теперь же: корабли железные, а
люди только деревянные».
Вы — наш современник, но Вы — из тех. Это я гово-
рю об идеях, которые соединяют Вас с деятелями 17 и
18 веков.
Передайте мой глубочайший и почтительный привет
Надежде Константиновне. Надежда Михайловна просит
передать Надежде Константиновне и Вам ее искренний
привет.
Глубочайше уважающий Вас
Н. Лузин
244
Примечания
1 /К. Кювье (1769 — 1832) — зоолог, одни из реформаторов срав-
нительной анатомии, палеонтологии н систематики животных;
академик Парижской АП (1795), непременный секретарь (1803),
иностр, почетный член Петербургской АП (1802).
1 Перехода к пределу (франц.).
• Лемма V Ньютона: «У подобных фигур длины соответствую-
щих сторон, как прямолинейных, так и криволинейных, меж iy со-
бою пропорциональны, площади же фигур пропорциональны квад-
рата»! сторон» (цнт. ио пер. А. II. Крылова [4, т. 7, с. 6О|).
1 Парменид (конец 6 в. — 5 в. до н. з.) — древнегреческий фи-
лософ, основатель элейской школы.
* Вероятно, Н. II. Лузин имеет в виду другую дату. В 1851 г.
была опубликована работа Б. Больцано (1781 -1848) «Парадоксы
бесконечного», появтпявшая на творца теории множеств Г. Канто-
ра, основные труды которого по теории множеств относятся к 70-м
годам XIV в.
• II. Дюбуа-Рейчон (1831 —1889) — немецкий математик, ра-
ботал над перестройкой оснований математического анализа, а
также в области теории множеств н теории функций действительно-
го переменного.
7 III. Зрмнт (1822—1901) — математик, член Парижской АП
(1856), чл.-корр. (1857) н почетный член (1893) Петербургской АН.
8 Платон (427—347 до н. э.) — древнегреческий философ, уче-
ник Сократа.
23
А. П. Крылов — Н. Н. Лузину
Ленинград, 7го июля 1935 г.
Глубокоуважаемый н дорогой Николай Николаевич!
Посылаю Вам копню доклада, прочитанного мною
25г” апреля в Ленинградском кораблестроительном инсти-
туте, «Значение математики для кораблестроителя» *.
Многое в этом докладе Вам покажется ересью, но я
хотел нарочно оттенить взгляд па математику инженера,
для которого опа служит инструментом, и противопоста-
вить этот взгляд воззрениям геометра, для которого мате-
матика важна сама по себе независимо от ее приложений
к практическим потребностям.
Буду очень признателен, если найдете время прочесть
и черкнуть мне Ваше мнение.
Надежда Константиновна п я просим Надежду Михай-
ловну и Вас принять наши паилучшпе пожелания.
Всего хорошего. Искренно Ваш
А. Крылов
Примечания
1 Этот доклад Л. II. Крылова был опубликован в 1935 г. в
журнале «Судостроение» (см. также |4, т. 1, ч. 2, с. 7—10J).
245
24
II. II. Лузин — Л. П. Крылову
Москва. Арбат, д. 25. кв. 8
12 февраля !93(> г.
Глубокоуважаемый и дорогой Алексей Николаевич,
посылая Вам постанов leiine Математической группы,
я позволю себе еще прибавить, что и случае, если Вам
неудобным является 20‘‘ марта, тогда, если Вы пожелаете,
Ваш доклад мог бы быть 21г" или 22г", в 11 ч. утра в Ма-
тематическом институте.
Если Вы не предполагаете быть лично в Москве 1 в эти
дни или будете отвлечены другими делами, Ваш доклад
мог бы быть прочитан за Вас другим лицом, па кого Вы
укажете. В частности, я считал бы за честь сделать это
лично за Вас г.
Следующая сессия Группы намечается в мае сего года—
20, 21 и 22 числа. Она также должна быть «направленной»,
т. е. преследующей определенную тему, каковой намеча-
ется «Теория чисел, алгебра». Дальнейшие сессии предпо-
лагаются на осень. Вероятно, тогда темами будут: «Теория
функций действительного и мнимого переменного», «Диф-
ференциальные уравнения» и «Теория вероятностей».
По вообще есть много искусственного в такой деятель-
ности. н мы ждем, что по истечении 1 года, P.j лет или
двух лет ситуация снова изменится и мы. вероятно, бх цем
иметь опять что-нибудь иное, чем «направленные сессии
групп».
Конечно, все дело в том, что еще не доведено до пони-
мания то совершенно ясное обстоятельство, что лучшей ор-
ганизацией науки является сама Наука.
Лично я с огромной охотой ушел бы ил председателей
Математической группы, но упустил момент. Сейчас ввиду
отстранения Ивана Матвеевича < Виноградова/ и неожи-
данной для всех пас замены его ленинградским коллегою,
пе проживающим в Москве, мпе бросить все и уйти пред-
ставляется затруднительным. По помимо моей печальном
деятельности «философа от математики», у меня ведь есть
и технические работы (движение поезда, периодограммы,
elc.), н я с огромным бы удовольствием ушел просто в
члены Технической группы, чем быть в центре столкнове-
ния математиков, имеющего случайный п чисто личный ха-
рактер. По проблема ухода очень трудна, п я пе знаю, как
ее решить, кроме разве уйдя вообще из числа членов ака-
демии. Я уже начал присматриваться к нынешнему Мос-
246
ковскому университету и дал согласие на чтение в нем
этою весною эпизодического курса.
Надежда Михайловна просит передать ее искренний
поклон Надежде Константиновне и Вам. Прошу Вас. пере-
дайте мой глубочайший поклон Надежде Константиновне.
Глубочайше уважающий Вас
Николай Лузин
P.S. Позволю себе прислать Вам мой доклад в академии 3,
мпе за него пеловко — он нехорошо сделан, что было не-
обходимостью. Наш адрес — пока прежний.
Москва, 12 февраля 193В г.
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич.
Математическая группа Академии наук СССР просит
Вашего разрешения сообщить Вам о том, что ее ближайшая
сессия имеет быть 20—22 марта сего года.
Указанная сессия будет первой; ее темой является
«Прикладная математика».
Вместе с тем Математическая группа просит Вас ока-
зать ей внимание и честь, дав Ваш доклад па тему, всецело
находящуюся в Вашем усмотрении.
Ваш доклад Математическая группа желала бы иметь
первым, т. е. имеющим быть 20го марта сего года в 11 ч.
утра в помещении Математического института академии
(Б. Калужская, 67 *).
Размер доклада определяется Вами самими; согласно
желанию Математической группы его объем мог бы быть
часовой или больше, по Вашему усмотрению.
В силу постановления Президиума Академии паук все
прочитанные доклады или сообщения передаются в «Из-
вестия Академии паук — Математическая группа» для
напечатания в течение 2 месяцев.
Математическая группа очень жалеет, что дпп сессий
всех вообще групп точно фиксированы па 20й® числа каж-
дого месяца или через месяц и что, таким образом, отпа-
дает возможность определения наиболее удобного для Вас
дня и часа.
Председатель Математической группы Академии паук
академик Николай Лузин
Примечания
* В 1934 г. АП СССР была переведен.! пл Ленинграда в Москву,
куда переехала и большая группа ученых. А. П. Крылов продол-
жал жить в Ленинграде.
247
1 Ha заседании Математической группы во время очередной
сессии АН СССР А. II. Крылов прочитал 27 марта 1936 г. доклад
♦О нагреве масляного кабеля прп коротком замыкании», опублико-
ванный позднее под названием «О расчете нагревания масляного
кабеля при коротком замыкании» в «Известиях АН СССР», ОМЕН
(Сер. мат.. 1937, № 1, с. 3 — 14, см. также [4, т. 5, с. 419—4361).
3 По-видимому. Н. Н. Лузин имеет в виду доклад «Теория пе-
риодограмм», который ои сделал на ;»той сессии АН СССР. -Чтон те-
мой Лузин начал заниматься еще в 1933 г., по доклад был опублико-
ван в 1959 г. после смерти Лузина [19, т. 3, с. 218—2911.
4 Б. Калужская — ныпе Ленинский пр. В 1936 г. Математи-
ческий институт занимал часть помещения Энергетического инсти-
тута. Теперь Математический институт находится на ул. Вапилова
44.
25
II. II.. 1узин — Л. Н. Крылову
Москна, Сретенский бульв.,
д. 6 I, кв. 105
23.VI 31»
Глубокоуважаемый и дорогой Алексей Николаевич,
только что получил Coinptvs Rendus de I’Aead’mie des
sciences de Paris (N 22.2 jnin 1930) E
На первой странице — Note Dickson'a ®, занимающая
8 строк. Вот опа вся:
Theorie des noinbres.— Resolution du problem* de Wa-
ring. Note de M. L. E. Dickson.
Rappelons la definition de la fonction numeriqiie g(n):
tout entier posilif est la somme de g(n) puissances n-icmes
mais il у a un entier qui n’est pas la somme de g — 1 puis-
sances.
Ceci dit, soil 3" = 2nq -f- r, 0 < r < 2” el soil / le
plus grand entier moindre que (4 3)". On pent enoncer le
theoreine suivant:
THEOREME.— Si n > 6 el 2" r + 9 + 3, on a
g(n) = 2" + q — 2. Mais si 2n < r + q + 3, on a g(n) =
= 2n + / + q — 2 on g(ri) = 2n + f + q — 3 suivant que
2" = fq + / + q ou 2" < fq + / + q
fin 3
Вот и все. Просто и величественно. Несмотря па неко-
торую сложность формулировки, легко видеть, что исчер-
паны действительно псе возможности, так как неравенство
2" > fq + / -Г q
никогда не имеет места.
248
В самом деле
/?+/ + ?=(/+ 1) (9+ О - 1.
Но в силу определения / имеем
/ = £1(4 3)’* I = (4 3)” - 0, где 0 < 0 < 1.
Значит,
/4- 1 = (4 3)" + 0,, где О < 0, < 1.
С другой стороны,
3" = 2nq + г, 0 < г < ‘п.
Значит,
3 — г
Я 2"
и поэтому
9 + ‘ = 3‘±(Х~Г) =(3 2)” + Н2. где О< 02< 1.
Отсюда
fq + / + q = 1(4'3)" + О, I-[(3'2)" + Ог1 - 1 = ’
= 2" + 1(4 З)пог + (3/2)"е, + е,б21 - 1.
Но выражение в скобках !♦♦♦ | должно быть целым и поло-
жительным, ибо fq + / + q целое и 0х >0, 0а > 0. Зна-
чит,
fq+f + q > 2".
Поэтому никогда пе может быть 2" > fq -f- / + q, и Вы
видите, что действительно все случаи исчерпаны решени-
ем Dickson’a. Это решение:
п > 6
Если 2" >• г q 3, то g (л) = 2n q — 2
Если 2" < г 4- q -J- 3) п
„ . то г(П) = 2п4-74-9-2
при 2 —fq + f + я)
Если 2П <г4-9 4-31 „
n J. то g(n) = 2 4-74-9 — 3
при 2 <794-74-9)
249
имеет вполне эйлеровскнй характер, совершенно закон-
ченный и конечный. И оно побуждает к размышлениям,
мало радостным, по которые приходится сделать *.
Прежде всего получился скандал. Если заглянуть в
современные книги ио «аналитической» теории чисел, то
увидишь бесчисленные страницы, наполненные до отказа
символами анализа бесконечно малых и тончайшими рас-
суж тениями по функциям комплексной переменной. Сюда
же привлечена могущественная аппаратура теории групп
и геометрии. Предо мною сейчас, например, лежит раскры-
той книга prof. Е. Landau «Vorlesnngcn Ober Zablentbeo-
rie» 6.
На странице 2.35 стоит «Das Waringscbc Problem» —
отдел, состоящий из 6 глав и идущий вплоть до конца
книги (стр. 360). И па протяжении этих 125 страниц, до
отказа наполненных знаками интеграла, читатель приво-
дится к тому великому результату, что
л2'1-1
II этот бесконечный ряд «уточнений», «обострений» и оце-
нок, собственно, сводился лишь к тому, что авторы оце-
нивали помощью анализа бесконечно малых и теории
функций лишь выражение 2й -|- q — 2 или 2" -|- f q — 3!
Положение это мало приносит чести современному уче-
ному миру, если вспомнить о творчестве Эйлера и о том, что
Dickson’o.M дано истинно эйлеровское решение после того,
как целые поколения ученых истощали свое остроумие
по пустякам.
Это положение мне сильно напоминает рассказ, кото-
рый мне передавали в Париже: некий ученый, итальянец,
весьма крупный, пришел в своих размышлениях о задаче
механики к необходимости углубленно изучить функцию
от х, написанную в виде определенного интеграла
<30
У F (х, t)dt,
о
где выражение F было свирепым. И он добросовестно при-
нялся за дело: установил непрерывность, доказал, что эта
функция от х есть ограниченная по всей оси ОХ и нашел
два первые корня этой функции — они оказались близ-
кими к 3 и 6.
Л потом, когда соответствующий мемуар был напеча-
тан, нашелся любитель-озорник, который показал, что
250
изучавшийся интеграл прекрасно берегся и есть пе что
иное как sin х.
Такой же интерес скандала имеет пока и решение Dick-
son’a. Но все это приводит меня тревожное состояние.
Во-первых, как много совсем близко от пас действи-
тельно великих вещей, мимо которых мы проходим, ие ста-
раясь их увидеть и понять! Решение Dickson'a проблемы
Варипга находилось рядом с нами более 300 лет: достаточ-
но было протянуть руку, чтобы найти его. 11 однако ученый
мир предпочел двинуться по направлению «аналитиче-
ской» теории чисел, по пути бесконечных уточнений, обо-
стрений, понижений коэффициентов. Целые горы бумаги
исписаны и напечатаны: последнее еще хуже, так как за-
соряет глаза и может отвлекать внимание. С чтением мате-
матической литературы вообще обстоит не очень благо-
получно. В 18 веко было б математических журналов и
те, кто печатался, давали строчки, которые надо было це-
нить прямо па золото. В настоящее время па земном шаре
издается около 300 математических журналов. Каждый
дает около 4 выпусков в год (в среднем). В каждом выпус-
ке minimum 20 теорем. Итого, «продукция» в год — 24000
теорем, печатаемых в журналах (включая экзотические
страны: Новая Зеландия. Иашитадт, etc.). И если это доб-
росовестно изучать, то не хватит времени па чтение; я уже
пе говорю относительно личных размышлений.
И важнее всего, что среди этого океана математической
печати почти все — хлам. Ведь появление в печати — дело
не только самолюбия, но и вопрос о материальном поло-
жении. Жаждущие «места под солнцем» фабрикуют наско-
ро копии с трудов преуспевших, обобщают, уточняют,
обостряют, etc. и, в результате, готово сочинение. Отка-
зать ему в праве напечатания нельзя, хотя бы ex-acquo ®.
В результате в печати появляется бездна непродуманного
сырого и пустякового материала, который, однако, выгля-
дит с внешней стороны как и творения Ньютона н Эй-
лера.
У Льва Толстого есть рассказ: «Разрушение ада и вос-
становление его» 7. Там дух зла говорит, что, желая от
людей скрыть божественную истину, он па нес высыпал
кучу полуистин, никому не нужных, по имеющих такой
же вид, и что самый лучший способ скрыть истину — это
заставить ее затеряться в куче других, па нее внешне по-
хожих. Так и теперь, найти золотые математические вещи
среди бездны хлама уже сейчас почти невозможное дело.
Научный карьеризм губит пауку.
251
Во-вторых, дело, но-видимом у, гораздо глубже, так
как не все сводится к дефектам отдельных личностей.
По-видимому, мы имеем дело вообще с громадным пониже-
нием научной чуткости, с явной утратой чувства гармонии
и истины. Нас, теоретико-фуикцноналнстов, не раз упре-
кали в создании вещей, имеющих лишь мимолетное значе-
ние, сырых, некрасивых, пе служащих ни к чему. Эти
обвинения я считаю совершенно правильными. По я пе
вижу большого прогресса в творениях современной теории
чисел: решение Dickson’a—cxperiinentiiin crncis **. Всю-
ду здесь и там — одно и то же самое: желание поскорее
вырвать у мысли результаты, желание фабричного изго-
товления научных истин,надежды на коллективное науч-
ное движение, тогда как наука — индивидуальна до
конца, и чувство личной ответственности за направление
изысканий, за самый их смысл, за их гармонию и глуби-
ну — это чувство теперь почти изъято из употребления,
так как в фабричном процессе изготовления научных истин
отсутствует чувство конфуза н при коллективном способе
работы утрачивается чувство личной ответственности. Уси-
лия сотен математических рабов ие стоят усилий одного
Эвклида.
Но опять-таки это пе главное, так как ио люди винова-
ты. А здесь есть что-то другое, бесконечно более глубокое,
что надвигается на ищущий истины ум, как луна на солн-
це. Измельчание, утрата пафоса — все это налицо; все
это явные признаки надвигающейся па науку тени.
Можно почти на глаз видеть ее движение и захват ею
все новых н новых научных областей. И среди сгущающих-
ся сумерек все ярче и ярче горят одинокие редкие звезды.
Мне не дано быть таковою, и жажда света побудила
меня написать это письмо.
Глубочайше уважающий Вас
Николай Лузин
P.S. Метод Dickson'a мне неизвестен. Если он, как и в
формулировке его замечательного результата, также эйле-
ровский,— духовная нищета современных аналитических
методов налицо.
По может быть и такая еще возможность: Dickson
воспользовался всей аппаратурой уточнений, понижений
коэффициентов — всем, чем пользуется современная ана-
литическая теория чисел, и на основании нее получил
свой замечательный результат.
Если это произошло па самом деле, то это еще вовсе
252
не доказывает необходимость аналитических методов в
теории чисел, но только то. что иногда эти методы могут
оказать известную услугу в обнаружении существования
эйлеровского решения. II тогда пред математиками уже
по-настоящему возникает необходимость доказать эйле-
ров результат Dickson’a также эйлеровыми методами, без
аппаратуры аналитической теории чисел.
И так как па протяжении почти века это есть лишь вто-
рой результат аналитической теории чисел (первый, на-
сколько я знаю, принадлежит Lejeinie Dirichlet • о бес-
конечности простых чисел в арифметической прогрессии
а + bn, D(a, b) — 1), — то самое это обстоятельство еще
более по 1черкнвает необходимость идти путем Эйлера.
Примечании
1 Отчеты Парижской академии наук (№ 22, 2 июня 1936)
(франц.).
1 Заметка Диксона (франц.).
Л. Ю. Диксон (1874—1954) — американский математик, спе-
циалист но теории чисел.
3 Теория чисел.— Решение задачи Варпнга. Заметка
г. Л. Ю. Диксона.
Напомним определение числовой функции g(n): каждое положи-
тельное целое* число является суммой g(a) п-х степеней, но имеется
целое* число, которое не является суммой g — 1 степеней.
Исходя КЗ этого, пусть 3" 2"д 4- г. О < г < 2" н пусть / —
самое большое целое число, меньшее (4/3)'*. Можно сформулировать
следующую теорему:
ТЕОРЕМА.— Если в>6п2п г + q + 3, то g (п) 2п +
+ q — 2. Но если 2” < г -f- g 3, то g (п) 2" -4- / q — 2 или
g (п) 2п + / q — Зв зависимости от того, будет лн 2” fq 4-
4* / + q ИЛИ 2” < fq + / 4- q. Конец (франц.).
Проблема Варпнга — проблеме! теории чисел, поставленная в
1770 г. английским математиком 3. Вариигом (1734—1798), членом
Лондонского математического общества (1763): всякое натуральное
число есть сумма четырех квадратов, девяти кубов, девятнадцати
четвертых степеней. Иначе: любое целое число N может быть пред-
ставлено в виде суммы V = «“ 4- а2 4" 4* "j некоторого числа
g слагаемых, каждое пл которых есть л-я степень целого неотрица-
тельного числа, причем число слагаемых g зависит только от п.
1 Предположение 11. II. Лузина об элементарности доказатель-
ства теоремы Диксона пе оправдалось. В 1934 г. с помощью анали-
тического метода И. М. Виноградов доказал, что при любом целом
п 2 каждое достаточно большое число представимо в виде суммы
()(п In п) слагаемых, равных n-м степеням натуральных чисел. До-
казательство позволило определить границу*, начиная с которой это
утверждение выполнимо и принципиально свело задачу вычисления
функции g(n) (см. формулировку теоремы Диксона) к проверке проб-
лемы Варпнга для чисел из конечного отрезка. В 1936 г. Л. Диксон
н С. Пиллаи, используя очень искусные и достаточно громоздкие
вычисления, смогли, опираясь на метод Виноградова, и независимо
253
Друг от др>га найти почти окончательное решение задачи о точном!
числе слагаемых в проблеме Варнша. |Прпмеч. Ю. В. Нестеренко.)
• 3. .lamaj (1877—1938) — немецкий математик, член Bep«j
липской, Геттингенской АН; чл.-корр. (1924) и почетный член (1932)
АН СССР, автор трехтомного трактата «Лекции по теорпп чисел*
(Лейпциг, 1927).
* Ради равноправия (лат.).
• Зтот рассказ Л. II. Толстой написал в 1902 г. (см.: Толстой
Л. Н. Иолн^собр. соч. М.: ГПХ.Ч, 1952. Т. 34. С. 100 115).
* * Дословно: опыт креста (ллт.) — решающий эксперимент,
определяющий путь дальнейших исследований.
• II. Г. Лежен-Днрпх ic (1805—1859) — немецкий математик,
член берлинской All (1X31), иностр, ч |еп Парижской АП (1854),
иностр, чл.-корр. Петербургской АН (1837).
2(5
А. II. Крылов — Н. II.Лузину
Ленинград, 28 нюня 1936
Глубокоуважаемый и дорогой Николай Николаевич!
Спасибо Вам большое за Ваше интересное письмо и за
те соображения, которые Вы мне сообщили по поводу фор-
мулы Диксона.
Теорией чисел я никогда по занимался, хотя и по на-
стоянию Л. II. Коркина 1 и пытался читать «теорию срав-
нений» Чебышева 2 и Гаусса Disquisitiones 3, но ие мог
одолеть больше нескольких страниц, ибо не видел ника-
ких приложений к своему делу.
Просматривая «Доклады» Лк. паук, я видел, что зада-
ча Варнига служила предметом многих сложных исследо-
ваний
Но мне при этом всегда вспоминался украинский фило-
соф Григорий Сковорода 4 и его изречение: «Слава Созда-
телю, сотворившему" все ненужное трудным и все трудное
ненужным».
По теореме Диксона надо, чтобы было п > б, тогда
g(n) = 2" + q — 2 и т. д. Значит, наименьшее значение п
есть 7 и g(n) ~ 128!
Спрашивается, кому, зачем, когда и в каком практиче-
ском доле понадобится знать, что число 666 представляется
в виде суммы 128 и седьмых степеней целых чисел?
Мой двоюродный брат¥. Henri 6 (теперь проф. физ. хи-
мии в Льеже) учился в Париже в lycee Louis le ('rand ®, ко-
гда там преподавал Ed. Lucas 7, который часто задавал им
задачи какая ему в голову приходила; иногда оказыва-
лось, что задача неразрешима, то он говаривал: «liens,
254
CP probleme est coniine nn baton cmiiierde: on no sait pas,
par quel bout 1c prendre» 8.
В гл. XXXVIII ст. 24 книги Премудр. Иисуса сына
Снракова сказано: «Мудрость книжная приобретается в
благоприятное время досуга, и кто мало имеет своих за-
нятий может приобресть мудрость» ’.
Сколько же было досужих людей, приобретавших
книжную мудрость и тративших ее в течение 250 лет па ре-
шение задачи Варипга, ведь, пожалуй, наберется /,'(15), и
вот Диксон поставил этой задаче точку, а по-моему, было
бы еще лучше, если бы он поставил точку вообще заняти-
ям подобными вещами, которых вся прелесть в том, что
они трудные.
С глубочайшим уважением искрение Вам преданный
А. Крылов
Примечания
1 А. П. Коркин (1837 - 19о8) — математик, профессор Петер-
бургского университета (1864 1908) и Николаевской морской ака-
демии (1864 — 19оо). Основные работы относятся к теории интегри-
рования уравнений с частными производными и к теории чисел.
Л. II. Крылов учился у Л. II. Коркине в Морской академии и ел у
шал его лекции. организованные па частных квартирах в 1906 г.
(так называемый Вольный университет).
2 П. Л. Чебышев (1821 1894) — математик и механик, про-
фессор Петербургского университета (1847—1882), академик Пе-
тербургской All (1859) и др. академий, глава Петербургской мате-
матической школы. «Теория сравнения» (1849) — докторская дис-
сертация Чебышева, явившаяся полным и практически первым на
русском языке изложением теории чисел того премепп. Этот труд вы-
держал три издания (1849, 1879, 1901) и был переведен на немецкий
и итальянский языки (см. также; Чебышев II. Л. Поли. собр. соч.
М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1944. Т. 1. С. 10—172).
3 К. Ф. Гаусс (1777— 1856) — крупнейший математик, профес
сор Геттингенского университета (1807- 1855) п одновременно ди-
ректор университетской астрономической обсерватории. Его «Ариф-
метические исследования» («Disquisitioaes arithmetical*») (1801),
первые главы которых посвящены теории сравнений, сыграли боль-
шую роль для последующих поколений математиков, хотя лаконич-
ность изложения делает это произведение весьма трудным для чи-
тателя.
4 Г. С. Сковорода (1722—1794) — украинский философ и поэт,
просветитель-демократ.
* В. А. Апри (1872 1940) — доктор философии, доктор ес-
тественных паук (1903). епециа шст по физической химии, учился и
работал в Париже, с 1915 г. но 1919 г. работал в Москве (в Москов-
ском городском университете А. Л. Шанявского и в Институте фи-
зики у II. П. Лазарева, где заведовал лабораторией; ему была
предложена должность ученого секретаря в организованном
II. II. Лазаревым Московском отделении ака (омической Комиссии
по изучению естественных производительных сил России (24,
255
л. 1347—1348J). 5 марта 1919 г. на заседании Отделения физико-ма-
тематических наук докладывалось о пожелании съезда физиков
проходившем в Петрограде с 4 по 8 февраля того же гола, команди-
ровать за границу ученых-специалистов для закупки ииструмситов
и книг. Была организована комиссия во главе с А. II. Крыловым.
В нее вошел, по-внднмому, и В. А. Анри, выехавший 6 мая 1919 г.,
тогда как отъезд Крылова и остальных членов комиссии был отложен
из-за блокады и закрытия границы [4, т. 1. ч. 1, с. 258; 4. т. 12, ч. 2,
с. 292, 294|. В последующие годы Анри работал в Цюрихе, затем в
Льеже. Биографические сведения и список его трудов см. в |25|.
• Лицеи Людовика Великого (франц). — одно из лучших па-
рижских средних учебпых заведении, названное по имени короля
Людовика XIV. В. А. Хирн учился в нем в конце 80-х годов XIX в.
7 Люка (1842—1891) — французский математик, работал в
области теории чисел. Известен как автор сборника «Математические
развлечения» («Les recreations matlieinatiques»), дважды издавав-
шегося в русском переводе. Люка — один из корреспондентов
П. Л. Чебышева.
8 «Надо же, эта задача — как загаженная палка: не знаешь,
с какого конца за нее взяты я» (франц.).
• А. Н. Крылов приводит цитату из «Библии пли Книги свя-
щенного писания Ветхого и Нового завета» (рус. пер. 1-е изд. СПб.:
Синодальная тип., 1889, с. 839).
27
A. II. Крылов — 11. II..Ij зину
Ленинград, 8 августа 1940 г.
Дорогой и глубокоуважаемый Николай Николаевич!
Спасибо Вам за память, за Вашу книгу и брошюры ].
Па стр. 8 Вы приводите определение Г. Кантора: «Мно-
жество есть многое, мыслимое нами как единое». Мне ду-
мается, что прекрасный пример на это определение дан
1900 лет тому назад: «И спросил его: Как тебе имя? И он
сказал в отпет: Легион имя мне, ибо нас много». (От Мар-
ка, Гл. V, ст. 9). Эти слова могут служить эпиграфом к
Гл. 1 Вашей книги.
Некрепко преданный
А. Крылов
Примечания
1 Книга — это «Теория функции действительного переменно-
го. Общая часть» II. II. Лузин» (М.: Учпедгиз, 194U); о каких бро-
шюрах идет речь — установить не удалось.
256
28
Н. Н. Лузин — А. Н. Крылову
Москва, октябрь 1942 г.
Глубокоуважаемый Алексей Николаевич.
посылаю Вам, согласно обещанию, мою статью о Нью-
тоне. имеющую название: «Ньютонова теория пределов» *.
Как я уже писал Вам, первоначально я предполагал —
в уже ранее посланной Вам моей речи «Исаак Ньютоп» —
поместить параграф о ньютоновой теории пределов. Но
когда я начал зтот параграф редактировать, то сразу уви-
дел и большую ответственность этого дела, и необходи-
мость тщательной сделанной аргументации и. как след-
ствие этого, слишком большой объем этого параграфа,
чтобы он мог фигурировать в речи. Поэтому я оттуда его
изъял и. придав тексту форму отдельной статьи, посылаю
сейчас Вам его на Ваше полное усмотрение.
Скажу лишь несколько слов об юридической стороне
дела. Мне кажется, она безукоризненна, ибо — оставляя
в стороне С. Богомолова 2 — высказывания проф.
Д. Д. Мордухай-Болтовского 3 носят слишком определен-
ный характер. Им сделаны в печати указания — еще в
1928 году — о тенденциозности перевода. Эти указания
он не снял, но подчеркнул в своей книге: «Математические
работы Исаака Ньютона», изданной в 1935 году в Ленин-
граде. Там имеются огромные комментарии на Ньютона и
сделаны ссылки на С. Богомолова и на свою статью
1928 г.
Таким образом, положение вещей определенное, и кто-
то должен, в конце концов, ответить им обоим: Богомоло-
ву и Д. Д. Мордухай-Болтовско.му. Оставлять без ответа,
по-моему, трудно, ибо и неосновательные мысли могут у
неискушенных людей вызвать впечатление основательно-
сти.
Эти соображения, мне думается, и могут служить юри-
дическим основанием к выступлению по поводу теории
пределов Ньютона.
Посылая Вам мою статью па Ваше полное усмотрение,
прошу Вас не отказать в доброте сообщить мио о судьбе
статьи. Если она пе будет соответствовать Вашим наме-
рениям. прошу Вас попросить, чтобы мне ее возвратили.
Мой адрес: Москва, Б. Калужская, д. 13, кв. 74 (Чуха-
пова).
Если Вы сочтете последний параграф статьи: «Из исто-
рии математического анализа» усложняющим дело статьи,
9 Заказ JA 2060
257
его можно изъять в этом случае. Помещая его, я рассчи-
тываю на интерес посмотреть на вещи с общей точки зре-
ния.
Глубочайше уважающий Вас
Николай Лузин
Примечания
1 См. [26|. В том же 1943 г. II. II. Лузин написал статью «Исаак
Ньютон как математик и натуралист , опубликованную в журнале
«Природа» (Л'- 3—4, с. 74—83).
г С. А. Богомолов (1876—1965) — геометр, автор статьи «Об-
щие основания Ньютонова метода первых и последних отношений»,
опубл вкованной в 1916 г. в «Известиях Физико-математического
общества Казанского ун «верснтета».
3 Д. Д. Мордухап-Болтовскои (1876—1952) — математик, в
1937 г. издал в своем переводе с латинского «Математические рабо-
ты» II. Ньютона, снабдив пх обширными комментариями. Еще ра-
псе, в 1928 г., опубликовав «Исследования о происхождении неко-
торых основных идей современной математики. V, Гептане п исто-
рия теории пределов» («Известия Северо-Кавказского гос. универ-
ситета», Ростов-на-Дону, 1928, т. III(XV), с. 35—129). Н. Н. Лузин
ссылается на § 3 этой работы, который называется «Лейбниц п
Ньютон» (с. 106—109).
ПРИЛОЖЕНИЯ
I
Отчет И. Н. Лузина о командировке
на Международный конгресс в Болонье,
сделанный им на общем собрании
Академии паук 29 ноября 1930 г.
Позвольте мне ограничиться несколькими словами, так
как я командирован был не Академией наук, а Москов-
ским институтом математики и механики. В 1928 г. я был
командирован указанным институтом на Международный
конгресс в Болонье и принял участие в работах этого
конгресса в качестве представителя от страны и в качестве
вице-президента конгресса. На конгрессе я получил пред-
ложение от французских академиков паписать книжку,
содержащую изложение результатов, полученных у нас
в области основ математики. Для этой цели французские
академики мне обещали исхлопотать средства на 1 год от
Рокфеллеровского института. Когда я сообщил об этом
258
Московскому институту математики и механики, он ко-
мандировал меня на 1 год.
Я работал в области основ математики и, надо сказать,
что мне интересно было начать работу под руководством
прежде всего французских математиков, так как они пер-
вые явились инициаторами ревизии принципов. Должен
сказать, что математика — это, конечно, живая наука и
поэтому принципы математики подвергаются периодиче-
ским ревизиям так же, как в области физико-химических
наук. В конце концов, как у физиков, так и у химиков
факты остаются, ио объяснения этих фактов меняются.
То же самое и в области чистой математики: найденные
математические решения остаются незыблемыми, по объ-
яснения этих соотношений меняются от эпохи к эпохе. Чи-
стая математика уже пережила несколько эпох ревизии
принципов. Обычно это происходило так: накоплялись
новые факты, которые пе увязывались и прямым образом
противоречили другим фактам. Следовательно, необходимо
было для согласования ввести новые объяснения, и по-
этому то некоторые факты подвергались ревизии.
Приблизительно таких ревизионных периодов в чистой
математике насчитывается три. В настоящее время в об-
ласти математического анализа накопилось очень много
фактов, которые показывают на глубокое и npiiiimiinia.ib-
ное неблагополучие в учении о геометрическом континуу-
ме. Дело в том, что мы математические константы опре-
делять до конца можем в очень незначительном количе-
стве, но геометрических точек гораздо больше, чем тех
констант, которые мы можем определять. Московские ра-
боты и вообще русские работы, про которые я хочу ска-
зать, по-видимому, это подтвердили, так как, по-видимо-
му, среди образований математического континуума были
найдены такие, которые показали, что принятый взгляд
на математический континуум как на совокупность точек
надо оставить. Имеет ли это чисто теоретическое значение?
Ие думаю, потому’ что подобного рода критика математи-
ческого континуума должна, по-видимому, продвинуться
дальше и даже проникнуть в область такой твердой нау-
ки, каковой является арифметика.
Дело в том, что в последнее время сильно критикуется
идея натурального ряда чисел от единицы до бесконеч-
ности, именно является смутным понятие «бесконечность»;
по-видимому, натуральный ряд чисел не представляет из
себя абсолютно объективного образования. По-впдимому,
ои представляет собой функцию головы того математика,
9* 253
который в данном случае говорит о натуральном ряде.
По-видимому, среди задач арифметики есть задачи абсо-
лютно неразрешимые.
Если мы начнем систематически выводить следствия из
теоремы Ферма — то предполагая ее верной, то считая ее
ложной — тогда мы получим два ряда следствий. II мо-
жет случиться, что из этих двух рядов следствий ни один
не вступит в прямое соприкосновение с другим. Таким
образом, мы можем иметь два ряда выводов, т. е. может
получиться такое положение, когда сама теорема Ферма
ни верпа, ни ложна.
Я не буду касаться дальнейшей критики натурального
ряда, но дело в том, что возможно допустить несколько
арифметик, как оказалось возможно допустить несколько
геометрий в силу работы Лобачевского и ряда других
математиков.
Моя книжка была написана, она касалась близко этой
теории. Выпуск книжки несколько задержа 1СЯ, она по-
явилась в печати 24 августа сего года. В начале сентября
я уже был в Москве. В последнее время не только фран-
цузские математики сильно заинтересовались критикой
основ математики. Нужно сказать, что германской шко-
лой Гильберта внесена сильная струя, оживляющая дело
ревизии принципов математики.
Я забыл еще сказать, что в то время, когда я редакти-
ровал книжку, я был избран членом Академии наук, и
когда моя книжка печаталась, я задерживался два раза в
командировке. Я просил Академию наук разрешить мне
задержаться для присмотра за изданием этой книги, что
мне и было разрешено, и сейчас прпношу свою благодар-
ность за то, что Академия наук дала мне возможность кон-
чить мою работу.
II
Несколько замечаний
к П[И“дыдущей статье А. Каца
Н. II. Л у з и н1
Знакомство с напечатаппой выше статьей А. Каца вну-
шило мне мысль изложить здесь некоторые соображения,
лежавшие в основе моих рассмотрений метода преобра-
зования векового уравнения ак. А. Н. Крылова * 1.
*г Основная работа ак. А. II. Крылова «О численном решении
уравнения, которым в технических вопросах определяются час-
260
§ 1. Одним из свойств принятой в математическом ана-
лизе системы чисел и алгебраических выражений является
следующее основное положение: произведение любого чис-
ла или алгебраического выражения на нуль равно нули-.
Это положение пишется в виде
Л-0 = О,
(1)
где А обозначает совершенно произвольное число пли лю-
бое алгебраическое выражение.
Отправляясь от этого равенства (1), можно пытаться
выполнить следующее преобразование векового уравне-
ния. Примем за выражение левую часть векового уравне-
ния A(Z) = 0 в обычной (диагональной) форме
A(Z) =
°н — 1 “и • •
«21 «22 — 1 . . .
“1*
°2к
(2)
и одновременное этим возьмем какой-нибудь определитель
D порядка к, численный или буквенный, равный нулю:
«п а1а • • • «пт
Ctji «я «23 • • • а2к
D = а» Пя - а»к = 0
aki акз «кз • акк
(3)
То обстоятельство, что определитель D равен пулю, не-
медленно позволяет нам написать произведение A(Z) • D в
виде определителя же к-го же порядка и уже такого, в ко-
тором переменная I содержится лишь в нервом столбце:-
тоты малых колебании материальных систем» появилась в ИМЕН ,
1931 г.
Моя первая статья «О методе ак. А. II. Крылова составления
векового уравнения» напечатана в ИМЕН, 1931. Лё 7; вторая
статья «О некоторых свойствах перемещающего множителя в ме-
тоде ак. А. II. Крылова» напечатана: часть первая и ИМЕН,
1932. Лё 5; часть вторая и ИМЕН. 1932, Лё б и третья часть
в ИМЕН, 1932, Лё 8.
261
Для этого достаточно предположить просто, что один из
столбцов, следующих за первым, есть линейная комби-
нация остальных.
Действительно, производя фактическую поверку ра-
венства (4), мы получим \(Z) • 0 = 0, т. е. придем к вер-
ному тождеству:
0 = 0.
Поэтому никакие сомнения в закоппости сделанного пре-
образования пе являются более возможными, и однако
ясно, что это «преобразование» не служит ни к чему, так
как не может ни в малейшей мере содействовать определе-
нию корней пекового уравнения.
Причина совместимости законности этого преобразова-
ния с его фиктивностью лежит в самой природе алгебраи-
ческого символизма. к< торый не в состоянии сделать раз-
личие между случаем «действительного выведения» из од-
ной формулы другой и между7 простой проверкой хотя н
верной формулы, но сводящейся к простому механическо-
му7 соединению знаком равенства «—» двух нулей: 0 = 0.
Лишь тогда мы имеем гарантию того, что равенство (4)
дает действительное выведение пз левой части правой, ко-
гда определитель D отличен от пуля. Только в этом случае
мы избегаем тривиального тождества 0 = 0 и только в
этом случае те алгебраические преобразования, которые
превращают левую часть A(Z) D равенства (4) в его пра-
вый определитель, являются действительными преобразо-
ваниями векового уравнения, т. е. переводом из диагональ-
ного вида в столбцевой.
§ 2. Необходимость избегать тривиальных равенств и,
следовательно, чисто фиктивных преобразований застав-
ляет быть осторожным в обращении с величинами опреде-
лителей. Когда хотят, следуя предложению ак. А. Н. Кры-
лова, придти чисто алгебраическими средствами к тому
окончательному (столбцевому) виду векового определи-
теля. который был ак. А. II. Крыловым получен прп по-
мощи аппарата дифференциальных уравнений, для этого
достаточно просто шаг за шагом проследить вывод ак.
Н. Крылова, переводя каждое его действие на язык
алгебры. II тогда тотчас же усматривают, что преобразо-
вание ак. А. Н. Крылова алгебраически вызывается по-
множением векового определителя, взятого в обычной
диагональной форме, на некоторый определитель того же
самого порядка и не содержащий переменной I, назван-
ный мною «перемещающим множителем ак. А. Н. Кры-
лова».
Когда таким индуктивным путем приходят к выраже-
нию перемещающего множителя чрез элементы данного
векового определителя, уже легко предпринять обратный,
дедуктивный путь, а именно: взяв a priori только что по-
лученный перемещающий множитель, написанный в виде
определителя, формально умножить его на начальный
вековой определитель и тут же показать, что эффектом
этого умножения будет перемещение переменной I из
диагонали в первый столбец.
Самое это формальное доказательство чрезвычайно
просто и коротко, занимая в моей первой статье — со всеми
рассуждениями полной индукции — всего 21/, страницы
(стр. 925—927); это же самое формальное доказательство,
по-видимому, составляет и содержание статьи А. Каца.
Но рассматриваемое само по себе, чисто форма, ьным
образом, это преобразование векового определителя не
стоило бы ничего, если бы за пим не стоялп бы результаты
ак. А. Н. Крылова, в силу которых из соображений, ба-
зирующихся на аппарате дифференциальных уравнений,
следует, что в огромном большинстве случаев перемещаю-
щий множитель заведомо отличен от пуля и, значит,
найденное алгебраическое преобразование не является
формальным и на деле фиктивным, но есть преобразова-
ние по существу.
Но тогда главная часть изыскании естественно упадет
па нахождение тех случаев, когда перемещающий множи-
тель заведомо отличен от нуля. Этому изысканию и была
посвящена моя первая статья: в ней я старался установить
как случаи заведомого отличия от нуля перемещаю-
щего множителя, так и случаи, где он, наоборот, тожде-
ственно равен нулю (случаи ак. Л. И. Мандельштама *
и А. Н. Крылова). Но в этой статье вопрос еще не получил
полного решения: нужно было не отыскивать отдельные
случаи, но определить необходимые и достаточные условия
равенства пулю перемещающего множителя ак.
263
A. II. Крылова. Это отыскание и составило содержание
моей второй статьи.
Таким образом, главной трудностью, по .моему мне-
нию, в поставленной проблеме ак. А. II. Крылова яв-
ляется не формальный вывод столбцевой формы векового
определителя из диагональной — что делается немедлен-
но — а установление того, что это формальное преобразо-
вание действительно достигает цели. Аналогичное мы име-
ем, по моему мнению, в работах, трактующих разложения
в ряды, где самое разложение в формальный ряд делается
очень быстро, но где доказательство сходимости получен-
ного формального ряда представляет главную трудность
и берет все место.
§ 3. Другой вопрос, с которым встречается изучающий
эти проблемы, это — вопрос о единственности преобразо-
вания ак. А. II. Крылова.
Ак. А. II. Крылов дал преобразование диагональной
формы векового определителя в столбцевую; оно оказалось
выполнимым чисто алгебраическим и средствами при по-
мощи умножения на соответствующий перемещающий
множитель ЛГ, имеющий совершенно определенный вид и
совершенно определенные элементы.
Но есть ли это единственный множитель, дающий эф-
фект перемещения X из диагонали в столбец? Нет ли еще
других множителей *2, также перемещающих X из диаго-
нали в столбец, по не указываемых дифференциальными
преобразованиями ак. А. II. Крылова? 11 главное, среди
них нет ли перемещающего множителя, не содержащего
никаких букв (от численных величин которых он обращал-
ся бы в нуль и, значит, делал бы все преобразование не-
годным), т. е. перемещающего множителя тождественно-
го 1?
Иными словами, нельзя ли выполнить перемещение X. из
диагонали в столбец, не прибегая ни к какому множителю?
Вопрос имеет большой интерес, так как в этом случае проб-
лема об уничтожении (равенстве нулю) перемещающего
множителя отпала бы совсем. К сожалению, проблема
единственности представляет большие трудности и даже
в случае определителей 4-го порядка (к = 4) сводится к
нескольким десяткам линейных уравнений.
Возможность наличия еще и иных перемещающих мно-
жителей, не типа ак. А. II. Крылова, мною имелась с са-
*2 Мы имеем в виду, конечно, множители существенно нового
рода, а не выводимые, например, из множителя ак. Л. II Кры-
лова перестановкой столбцов.
264
мого начала в виду. Это вынудило в первой статье посвя-
тить первых 4 параграфа исключительно рассмотрению
дифференциального преобразования ак. А. Н. Крылова и
переводу его шаг за шагом на алгебраический язык с тем,
чтобы иметь полную уверенность в том, что освободивший-
ся отсюда перемещающий множитель Л/ есть как раз имен-
но тот самый, который эквивалентен теории ак. А. Н. Кры-
лова, а не какой-нибудь иной. И толььо потом, когда эта
эквивалентность была таким образом удостоверена, самый
формальный вывод из диагональной формы в столбцевую
занял всего страницы, будучи начат сызнова (§ 5,
стр. 925—927).
§ 4. Возвращаясь к предшествующей статье А. Каца,
легко теперь заметить, что на первый взгляд она по сво-
бодна от двух упреков.
Во-первых, определитель D (2), берущийся автором
a priori отличным от нуля, на самом деле в дальнейшем вы-
числяется заново, причем ниоткуда не ясно, что элементы
его atj, принудительно определенные автором, не дадут
определителю D численную величину как раз равную ну-
лю-
Что это выражение пе имеет чисто формального харак-
тера, это видно нз того, что, например, вековое уравнение
3—X I
— 1 5 —X
— I 2
— I
1
4-Х
имеющее все корпи различными (X, = 2, Х3 — k, Х3 = б),
как раз не может быть преобразовано автором в желаемую
форму, потому что его множитель
ап
«21
а»
ап ац
«22 «23
«31 «33
1
3
10
0 0
1 — 1
6 —6
= 0,
вычисленный согласно данным им формулам, в точности
равен нули» *3.
*3 Для того чтобы преобразовать указанное вековое уравнение
методой ак. А. И. Крылова, до.гкно взять другом перемещаю-
щим множитеть, например,
1 1
0 8
— 16 48
1
4
24

получаемый в дифференциальной методе ак. А. Н. Крылова,
полагая <7| 1, д2- 1, <fa= 1. Статья А Каца базируется на
постоянно»! выборе g, — 1, qt =- 0, g3 О.
265
Таким образом, для того чтобы алгебраическое преоб-
разование, рассматриваемое статьей автора, не оказалось
тождеством 0 = 0, необходима уверенность, что имеются
случаи (хотя бы один), при которых определитель автора
D отличен от нуля. A priori в пределах статьи автора это
ниоткуда пе следует, и на первый взгляд, значит, можно
усомниться в праве пользоваться определителем D как
множителем.
Во-вторых, a priori для читателя ниоткуда не следует,
что найденный автором перемещающий множитель D есть
именно тот самый, который отвечает дифференциальному
преобразованию ак. А. И. Крылова, а не какой-нибудь
иной. Сомнения в этом весьма законны, раз единствен-
ность перемещающего множителя до сих пор не доказана.
Без сомнения, преобразования автора являются переводом
шаг за шагом дифференциальных преобразований ак.
А. Н. Крылова на алгебраический язык; но доказатель-
ство это лежит за пределами статьи автора.
Но, к счастью, оба a priori высказанных возражения на
деле не состоятельны. Преобразования А. Каца действи-
тельно являются эквивалентными частпому преобразова-
нии» ак. А. Н. Крылова. Чтобы убедиться в этом, доста-
точно отпестись к формулам (57) моей первой статьи, из
которых явствует, что определитель D автора получается
при предположении дг = 1, gt = д3 = ... = д* = 0 в ме-
тоде ак. А. Н. Крылова и является тождественным в этом
частном случае определителю этой статьи. Отсюда
все то, что было сказано относительно равенства пулю оп-
ределителя D автора и его единственности, находит разъ-
яснение; но зто разъяснение необходимо искать уже вне
статьп автора. В пределах слишком малого объема статьи
А. Каца указанные сомнения не могут быть устранены без
значительного расширения ее рамок.
Все, что мною было сказано по поводу статьи А. Каца,
отнюдь не должно служить ей упреком; интерес его статьи,
значительность усилий, сделанных автором и приведших
его к правильной цели — вне всяких сомнений.
Николай Лузин
10 января 1933 г.
Москва, Кремлевская больница, палата № 30.
Примечания
1 Этот текст был отправлен А. И. Крылову вместе с письмом
А: 18. Для пояснения приводим текст рукописи А. М. Каца [22,
л. 2—3]:
266
Алгебраическое преобразование «веконого уравнения»
в форму, предложенную А. Н. Крыловым
(ИМЕН, 1931, № <4, с. 491).
Классическая форма «векового уравнении* есть
У множим левую часть этого уравнения на некоторый определитель
см. (2)>, причем будем комбинировать столбцы определителя Д
со строчками определители D. Получаем <см. (3)>, где все суммы
берутся по индексу п. Положим ;
«11=1- «12= «is = • • = «1к = 0. 2(4)
Тогда первая строчка определителя (3) будет
«11 — «12. ....... «1к’ (5)
т. е. I будет входить только в элемент 1-го столбца. Прибавим ко
2-й строчке определителя (3) его 1-ю строчку (5), умноженную на
Р, отчего величина определителя не изменится. Получим:
к
3 anl«2n + («11 — «21) ? —
1
к
3 апм2п + (012 — Oj,) Z2,.. .,
1
к
3 anka.in + (а1к — а2к) Р. (6)
1
Если теперь положить
«21 = «II. «22 = «12» «23 = «13. • -. «2к = «1к
и
к к к
^1 = Зап1а1п. = 3 ап2°1п. • • • ’ Z>k =3lankflln.
11 1
(8)
то вторан строчка определителя (3) окончательно примет такой вид:
bt-P, Ь2, Ь8....Ьп. (9)
Прпбавпв к 3-й строчке опдеделптеля (3) его 2-ю строчку (9), ум-
ноженную па Р, получим
к к
3 «п1«зп + №1 — «31) Р, 3 «па«зп + (&а — «зг) Р.
1 1
- • . 3 япк«зп + (Ьк — Озк) /3- (10)
1
267
2С8
Положпв
asi = ^ii aai = bj, ааз = Ъ3, . . <И/
и
к к
ci = .ь„» с. == У,
ZJnln’ 1 ZJ П2 П, • - • I
1 1
1
ск = ^апкЬп’ 02)
к
приведем 3-ю строчку к вид}
с, — Iе, ct, cs......Ск. (13)
Совершенно аналогичным путем приведем 4-ю строчку к виду
I8/ d3, - •» dj^, (14)
где
к к
«Л=»Уа_,с_, d2=V.a с,..........
1 ZJ nl п’ х л2 ** *
1 1
к
'V=S%k'n' (15)
I
Доведя тот ;ке процесс до последней строчки, преобразуем ур-е
(3) (эквивалентное ур-Ю (1)) в следующую форму
(fln-12 *) ° 13 • - °ik
(bi-14 * * *) b„ • - • bk
(d - f) Cs • • s
(di-1") d8 • - dk = 0.
/a li ♦ • • h
Это и есть форма, предложенная А. Н. Крыловым, к которой
мы пришли чисто алгебраическим путем, основываясь только на
элементарных свопствах определителей.
А. Кац 31.Х II 31
1 Л. И. Мандельштам (1879—1944) — физик, специалист в области
радиотехники. Чл.-корр. (1928) и академик АП СССР (1929),
С 1925 г.— профессор Московского университета, с 1934 г. работал
в Физическом институте АП. Совме?тно с И. Д. Напалексп выпол-
нил основополагающие работы по нелинейной теории колебаний.
Пример, когда перемещающий множитель тождественно равен ну-
лю, Мапделыптам устно сообщил А. II. Крылову, который упо-
минает об этом в |4. т. 5, с. 93—138].
269
ш
Письмо 11. Н.. Кзииа Юбилейной комиссии
□о ознаменовании» 300-летия со дня рождения
II. Ньютона
Москва, 12 ноября 1942 г.
Мною было отправлено два письма председателю Ко-
миссии по юбилею Исаака Ньютона академику Алексею
Николаевичу Крылову. Прп первом письме была послана
первая половина моей речи на юбилейной сессии, при вто-
ром письме — окончание этой речи. При этом же ппсьме
я послал мои исправления к первой половине речи, так как
я не успел тогда их внести туда (в текст, напечатанный на
машинке); вторая половина была послана в исправленном
виде.
Так как никаких извещений от председателя комиссии
я не получил, то предполагаю, что ои иа\ »дился и нахо-
дится в отсутствии. Поэтому настоящее письмо я направ-
ляю непосредственно Юбилейной комиссии, к которой
я имею ряд дел.
1.
Во-первых, я прошу Комиссию сделать зависящее рас-
поряжение об аккуратном внесении исправлений в пер-
вую половину моей речи («Исаак Ньютон»). Эти исправ-
ления мною были посланы прп втором письме вместе с
окончанием речи.
Если моя речь не будет напечатана в соответствующем
«Сборнике», очень прошу переслать мне обратно весь мой
текст речи.
2.
Как я ужо извещал председателя Юбилейной комиссии,
в моей речи «Исаак Ньютон», я предполагал ввести еще
один параграф, который должен был носить заглавие
«Ньютонова теория пределов». Важность и своевремен-
ность его для меня была ясна.
Но когда я приступил к редактированию этого пара-
графа, я тотчас же увидел и большую ответственность
этого дела, и необходимость тщательно сделанной аргу-
ментации. Как следствие этого, указанный параграф при-
обретал слишком большой объем, чтобы он мог фигури-
ровать в речи. Поэтому я его оттуда изъял и, дав тексту
форму отдельной статьи, посылаю сейчас Юбилейной ко-
миссии этот текст полностью.
270
3.
Несколько слов об юридической стороне дела. Она без-
укоризненна. Оставляя в стороне других авторов, сетовав-
ших на «недостаточно верный» перевод «Начал» Ньютона,
сделанный академиком Алексеем Николаевичем Крыло-
вым, я укажу только на то, что высказывания в этом на-
правлении профессора Д. Д. Мордухай-Болтовского име-
ют вполне прозрачный характер. Еще в 1928 году он в пе-
чати сделал указания па тенденциозность этого перевода.
В своей большой книге, изданной в Ленинграде в 1937 г.
(«Исаак Ньютон, Математические работы», перевод с ла-
тинского и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского), он
солидаризовался с С. А. Богомоловым и снова сослался на
свою статью 1928 г.
Таким образом, положение стало вполне определенным,
и кто-то должен в конце концов ответить Д. Д. Мордухай-
Болтовскому и С. А. Богомолову. Оставлять без ответа
трудно, ибо и неосновательные мысли могут у неискушен-
ных людей вызвать впечатление основательности.
Эти соображения и служат юридическим основанием к
выступлению по поводу теории пределов Ньютона, ибо
спор о точности перевода Алексея Николаевича возник
только по поводу идеи предела у Ньютона.
Посылая Вам текст моей статьи <• Ньютонова теория
пределов», я прошу Комиссию, если опа не сочтет соот-
ветственным поместить ее в печать, переслать ее мне об-
ратно.
4.
При моей статье прилагаю еще статью геометра-спе-
циалиста Нила Александровича Глаголева 1, профессора
1го Гос. моек, университета, «Ньютон как геометр».
Статья эта написана Н. А. Глаголевым по моей прось-
бе, так как авторитетность автора в вопросах геометрии
слишком известна, чтобы мне было нужным говорить о
желательности его статьи. Этой статье он дал форму речи
на юбилейном заседании.
Примите выражение глубокого уважения
академик II. Лузип
Примечания
1 Н. А. Глаголев (1888—1945) — математик, профессор Мос-
ковского университета (1916—1938), Московского городского педа-
гогического института (1938—1945). Его статья «Ньютон как гео-
метр» была напечатана в сборнике «Московский университет — па-
мяти Ньютона» (М., 1946, с. 71—80).
271
ЛИТЕРАТУРА
1. Письма Д. Ф. Егорова к Н. Н. Лузину / Предисловие П. С.
Александрова. Публ. и пр шея. Ф. А. Медведева при участии
А. 11. Юшкевича // Ист.-мат. исслед. М.: Наука, 1980. Вып. 25.
С. 335—361.
2. Письмо Н. П. Лузнва к О. Ю. Шмидту / Публ. и примеч.
С. С. Демидова '/ Пет.-мат. исслед. 1985. Вып. 28. С. 278—287.
3. Kriloff A. Sur 1’inttgration numerique approchee des equations
differentielles aver application au calctil des trajectoires des
projettiles. P.: Iniprimerie nationale. 1927. 73 p.
4. Крылов A. II. Собрание трудов. M.; Изд-во MI СССР,
1951 — 1956. T. 1—12.
5. ЛО ААН. Ф. 2. On. 1-1929. Д. 39.
6. Александров П. С. Страницы автобиографии // Успехи мат.
наук. 1979. Т. 35, № 3. С. 241—278.
7. Ожигова Е. П. Математика в Академии паук в первые годы со-
ветской власти // Ист.-мат. исслед. М.: На\'ка, 1966. Вып. 17.
С. 381—389.
8. Ожигова Е. П. Развитие теории чисел в России. Л.: Наука,
1972. 360 с.
9. Письма II. II. Лузина к А. Дапжув / Публикация П. Дюгака.
Пер. с франц. Ф. А. Медведева // Ист.-мат. исслед. М.: Наука,
1978. Вып. 23. С. 314—348.
10. ЛО ААН. Ф. 759. Оп. 3. Д. 258.
11. ЛО ААН. Ф. 2. Оп. 1—1928. Д. 96.
12. Sierpinski W. Leyens stir les nombres transfinis. P.: Gauthier-
Villars, 1928. 1 t'-tl. 240 p.
13. Меньшов Д. E. Воспоминания о молодых годах о возникнове-
нии Московской школы теории функций Историко-математи-
ческие исследования. М.: Наука, 1983. Вып. 27. С. 312—333.
14. Медведев Ф. А. Очерки истории теории функций депствитель-
пого переменного. М.: Паука. 1975.
15. Архив АП СССР. Ф. 606. Оп. 2. Д. 220.
16. ЛО ААН СССР. Ф. 2. Оп. 1 — 1928. Д. 18.
17. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 2. С. 280—306.
18. Визгин В. П. Едпиые теории поля в 1-й трети XX в. М.: Наука,
1985.
19. Лузин II. И. Собрание сочинений в трех томах. М.: Изд-во АП
СССР. 1953.
20. Степанов В. В. Ю. О. Гольдовскпн и С. С. Левин (пекролог) //
Мат. сб. 1932. Т. 39.. А» 1—2. С. 126—127.
21. Грэнвилъ В., Лузин II. Курс дифференциального и интеграль-
ного исчислений. М ; Л.: ГТТП. 1933. Ч. 1. Изд. 12.
22. ЛО ААН. Ф. 759. Оп. 3. Д. 109.
23. Лузин И. II. Отзыв о иаучпых работах профессора Сергея Пав-
ловича Фиппкова // Ист.-мат. исслед. М.: Наука, 1985. Вып. 29.
С. 285—316.
24. ЛО ААН СССР. Ф. 759. Оп. 4. Д. 83.
25. Poggendorff J. С. Biographisch-literarisclies Handworterbuch
der exacten Naturwissenschaften. В.: Akad. Vert., 1971.
Bd. VHb. Tl. 4. S. 1955.
26. Лузин H. Н. Ньютонова теория пределов // Сб. статей к 300-
летпю со дня рождения Исаака Ньютона / Под ред. С. II. Ва-
вилова. М.; Л.: П.зд-во АН СССР, 1943. С. 53—74.
272
К ИСТОРИИ НАУЧНЫХ СВЯЗЕН
МЕЖДУ МАТЕМАТИКАМИ СССР И ФРАНЦИИ
(Об избрании в Парижскую академию наук
С. II. Бернштейна, II. М. Виноградова
и М. А. Лаврентьева)
\. II. Юшкевич
Русско-французские контакты в области физико-мате-
матических паук восходят к эпохе Петра Великого и на-
чалу в 1725 г. деятельности Петербургской академии наук.
Они возникли и результате посещения в 1717 г. Петром 1
Парижа, где он беседовал с целим рядом французских уче-
ных, в частности, с астрономом и географом Ж.-П. Де
.шлем, который более двадцати лет был активным членом
Петербургской академии паук с самого ее основания (два
года спустя, в 1727 г., к нему присоединился его брат
Л. Делиль де ла Круайер, также астроном). В 30 е годы
XVIII в. завязалась научная переписка между петер-
бургскимп и парижскими академиками-математиками и
механиками: затем последовало взаимное участие в ака-
демических конкурсах и изданиях. Интенсивные личные
контакты между русскими и французскими учеными воз-
никли в первые же годы XIX в., после чего они регулярно
расширялись и углублялись, если пе считать некоторых
перерывов, вызванных внешними обстоятельствами. Од
ним из следствий этих связей являлось и является избра-
ние ученых одной страны в академию другой. Число таких
«иностранных членов» всегда невелико. С одной стороны,
здесь имеет место, так сказать, международная конкуреи
ция. с другой — количество вакансий иностранных чле-
нов жестко лимитируется уставами и обычаями. В частно-
сти, избрание в Парижскую академии) (теперь она назы-
вается Академией наук Института Франции) возможно,
вообще говоря, в случае смерти кого-либо из иностран-
ных членов: лишь изредка лимит численности иностран-
ных членов повышается специальным распоряжением пра-
вительства. Далее говорится о выборах в Парижскую
академию только наших отечественных математиков.
В XVIII в. были выбраны только три перебургских
академика: 15.06.17лл 1 знаменитый ,1. Эйлер и па осно-
1 Все даты здесь в последующем приведены ио новому стилю.
10 Заказ 2060
273
бодившуюся с его смертью вакансию. 12.02.1784 г. ого
сын П.-А. Эйлер (впрочем, более в знак уважения к его
посту непременного секретаря Петербургской академии)
Кроме того, корреспондентом парижского академика
Ж.-Ж. де Лаланда был выбран 24.05.1776 г. математик и
астроном А. II. Лексель3. Затем после долгого перерыва,
с 1856 г. по 1984 г. было выбрано еще 10 математиков, а
именно:
1. М. В. Остроградский — 24.09.1856 (корреспондент),
2. II. Л. Чебышев — 28.05.1860 (корреспондент) п 18.05.1874
(иностранный член).
3. А. М. Ляпунов — 6.03.1916 (корреспондент),
4. С. И. Еериштейн — 10.12.1928 (корреспондент) и 16.05.1955
(иностранный член),
5. И. М. Виноградов — 4.(1.3.1946 (корреспондент),
6. С. Л. Соболев — 5.06.1957 (корреспондент) и 12.06.1978
(иностранный член),
7. А. II. Колмогоров — 16.05.1966 (шостранпын член),
8. М. А. Лаврентьев — 22.02.1971 (иностранный член),
9. И. М. Гельфанд — 28.06.1976 (иностранный член),
10. В. И. Арнольд— 16.04.1984 (иностранный члеп).
Как видно, за 1856 1916 г. были выбраны три отече-
ственных математика, а за 1946 -1984 г., т. е. за такой же
срок — семь. Это с очевидностью свидетельствует о воз-
росшем в глазах французских математиков авторитете их
российских коллег. Десятилетний перерыв между 1916
и 1926 г. в объяснении ие нуждается.
Кандидатуры на выборах в Парижскую академию вы-
двигаются ее членами, обсуждаются в так называемых
«секретных комитетах» и представляются общему собра-
нию для тайного голосования; они подлежат утверждению
французским правительством. Обсуждение в «секретных
комитетах» было сперва устным, по затем стали обяза-
тельными письменные доклады о кандидатах. Первые та-
кие доклады о русских математиках были о II. Л. Чебы-
шеве и А. М. Ляпунове, их русский перевод опубликован
в [1, с. 32—33, 65—71]. Доклады, написанные всегда ком-
петентными специалистами, весьма интересны. Они пока-
зывают. что н в какой мере ценили французские математи-
ки в трудах своих русских коллег, как складывались
взаимоотношения научных школ и отдельных ученых, и
* Еще ранее 9.06.1717 г. иностранным членом Парижской акаде-
мии наук был выбран «вне всяких рангов» Петр I.
1 Звание корреспондента было введено в Парижской академии
с 1699 г. для обмена научной информацией с иногородними уче-
нымп, причем довольно долго корреспонденты вели переписку
с каким-либо одним определенным академиком.
274
воооще, уточняют ретроспективу развития математики.
Очевидна биографическая ценность таких документов.
В данной статье приведены и прокомментированы
доклады о С. II. Бернштейне, II. М. Виноградове и
М. А. Лаврентьеве, тексты которых предоставил в мое
распоряжение архивист Парижской академии наук
г. Пьер Ь ртоп (Berlhoii), которому я выражаю свою иск-
реннюю признательность. Вообще говоря, такие доклады,
хранящиеся в личных делах (досье) кандидатов на вакан-
сии, выдаются только через много лет после кончины всех
заинтересованных' лиц, но г. Бертон счел возможным от-
ступить от этого правила, так как публикуемые далее в
русском переводе тексты пе задевают чьи бы то ин было
интересы. После докладов о каждом из кандидатов сле-
1уют примечания. Мпе пришлось отказаться от математи-
ческих пояснений различных терминов, теорем и пр.,
что потребовало бы много места; вместо этого в примеча-
ниях даны отсылки к соответствующей литературе.
Биографические справки об ученых, пользующихся
мировой известностью, не приводятся, за исключением
самих С. II. Бернштейна, 11. М. Виноградова пМ. А. Лав-
рентьева, по и о них сообщены только самые необходимые
сведения, как и о докладчиках.
При чтении докладов следует иметь в виду, что некото
рые работы кандидатов, напечатанные только ио-рус-
скн, были знакомы докладчикам лишь по рефератам в за-
рубежных журналах или вовсе неизвестны. П, разумеет-
ся, личные научные интересы докладчиков отражены в
акцентировке тех или иных сторон творчества кандидатов.
Т
ДОКЛАДЫ А. ЛЕБЕГА 11 А.ДАИЖУА
О С. II. БЕРНШТЕЙНЕ
Сергей Натанович Бернштейн (1880—1966) окончил в
1893 г. одну из одесских гимназий, а затем факультет наук
Сорбонны и Высшую электротехническую школу в Пари-
же в 19U1 г. В Сорбонне его руководителем был Э. Пикар.
Затем около года он занимался еще в Геттингене. Первый
из трех больших циклов своих исследований Бернштейн
начал под влиянием доклада «Математические проблемы»
Д. Гильберта, с которым этот уже тогда знаменитый уче-
ный выступил 8.08.1900 г. на II Международном математи-
ческом конгрессе в Париже и в том же году напечатал в
10* 275
«Ciottingor X'aclirichten»; этот доклад имеется в хорошо
комментированном группой советских специалистов рус-
ском переводе [2]. Внимание Бернштейна привлекла
19-я проблема Гильберта: являются ли аналитическими
все решения дифференциальных уравнений Лагранжа в
частных производных для так называемой регулярной
вариационной задачи? К этой проблеме непосредственно
примыкает 21)-я: имеет ли решения всякая названная за-
дача при некоторых допущениях относительно гранич-
ных условий и расширенном толковании самого понятия
решения? В 1903 г. Бернштейн решил 19-ю проб-
лему и тогда же опубликовал резюме своего решения в
«Comples icikIii^» Парижской акждемии (т. 137, с. 778 —
781) под названием, в русском переводе гласящем: «Об
аналитической природе решений дифференциальных урав-
нений с частными производными второго порядка», а об-
стоятельное исследование по-французскн же и под тем же
названием в «Matliemat ischen Anna leu» (1904. т. 59. с. 20 —
7(>). Эту работу он защитил как докторскую диссертацию
и Сорбонне: в комиссию по защите диссертации входили
Э. Пикар, А. Пуанкаре и Ж. Адамар. (Русский перевод
диссертации см. в [3. т. III].)
Вернувшись в Россию в 1905 г., Бернштейн продолжил
изыскания в том же направлении, распространив их па
20-ю проблему Гильберта, и в 1908 г. опубликовал «Ис-
следование и интегрирование дифференциальных уравне-
ний с частными производными второго порядка эллипти-
ческого типа», которое защитил в Харькове в качестве
магистерской диссертации (3, т. III] 4.
В новой защите возникла необходимость, так как ино-
странные степени и звания пе давали права чтения лекций
в русских университетах. О последующих работах Берн-
штейна в данной области см. статьи С. II. Бернштейна и
II. Г. Петровского, а также других авторов в [4. с. 8— 991,
комментарии А. Г. Ситалова и О. А. Олейник в [2, с. 204 —
219] и статью С. С. Демидова [5, с. 110—111].
В 1907- 1908 г. Бернштейн начал преподавание в Харь-
ковском университете, а вскоре затем исследования в но-
вом направлении, которое неустанно разрабатывал затем
более сорока лет. и в 1938 г. назвал конструктивной тео-
рией функции. В этой теории он в высшей степени ориги-
нально синтезировал идеи, восходящие к теореме К. Вей-
4 В те времена докторской степгпп в России предшествовала ма-
гистерская.
276
ерштрасса 1885 г. о возможности неограниченного при-
ближения всякой непрерывной на некотором отрезке
функции равномерно сходящимся рядом целых многочле-
нов с идеями теории наилучшего приближения функций
II. Л. Чебышева 1854 и следующих годов. Импульс к
этому синтезу Бернштейну сообщили работы 3. Бореля
(1!.Ю5), А. Лебега (1898) и бельгийского математика
JII. /К. ле ла Валле-Нуссеиа (1!Ю8). Первые заметки
Бернштейна по данному вопросу появились в парижских
«(’omples remltts зимой 1911 и в 1912 г., по уже в июне
1911 г. оп послал Бельгийской академии наук обширный
мемуар на французском языке «О порядке на ил уч те го при-
ближения непрерывных функций многочленами данной
степени», напечатанный в «Meinoires de la Classe des scien-
ces», (1912. t. 4) и в том же году с небольшими изменения-
ми и добавлениями по-русски «О иаилучшем приближе-
нии непрерывных функций посредством многочленов дан-
ной степени» 13, т. 1, с. 11—1(>4|. Эта работа явилась (вто-
рой) докторской диссертацией Бернштейна. Впоследствии
конструктивная теория функций получила интенсивное
развитие в трудах как самого Бернштейна и большой шко-
лы его советских учеников, а также многих зарубежных
ученых: ее проблематика тесно переплелась с вопросами
других аналитических дисциплин. За подробностями чи-
татель может обратиться к статье В. Л. Гончарова (1896 —
1955) [(>] и книге II. И. Ахиезера (1901- 1980) [71; оба
опп были выдающимися учениками С. II. Бернштейна.
Третьим важным направлением работ С. II. Бернштей
на явилась теория вероятностей. Уже в 1911 г. он прочи-
тал в Харьковском университете курс лекций по этому
предмету, но его главные теоретико-вероятностные рабо-
ты — по аксиоматике теории вероятностей и ее предель-
ным теоремам — относятся уже к советскому периоду его
деятельности; в докладах Лебега и Данжуа они только
упомянуты, скорее всего потому, что были далеки ио тема-
тике от интересов обоих докладчиков. В 1917 г. С. II. Берн-
штейн стал профессором Харьковского университета, с
1933 г. был профессором Ленинградского университета
и Политехнического института, а с 1941 г. жил в Москве,
сотрудничая в Математическом институте им. В. А. Стек-
лова. В 1924 г. он был избран академиком АН УССР, в
1925 г.— членом корреспондентом и в 1929 г. академиком
АП СССР.
В досье Бернштейна, хранящемся в Архиве Парижской
академии паук, кроме списка его французских работ и
277
немногих деловых бумаг, некролог, иаипсаппый выдаю-
щимся французским математиком академиком II. Моите-
лем, напечатанный 13.02.1969 в «Comptes rendus»,
(т. 268, с. 26—27) п два доклада: А. Лебега от 7.06.1926,
написанный от руки, и Л. Дапжуа от 15.04. 1955. напеча-
танный на машинке. Имена обоих этих ученых хоро-
шо известны всем математикам, особенно по их работам в
области теории функций действительного переменного.
Напомню только, что Апри-Леоп Лебег (1875—1941), па-
рижский академик с 1922 г., был избран иностранным чле-
ном-корреспондентом АН СССР в 1929 г. Арно Дапжуа
(1885—1974), парижский академик с 1941 г., был избран
иностранным членом нашей Академии наук в 1971 г. Оба
они поддерживали дружеские отношения со многими уче-
ными, ие считая С. Н. Бернштейна, например, с акаде-
миком II. II. Лузиным и др.
Доклад о научных трудах г. Сергея Бернштейна
Докладчик: А. Л е б е г
Первой работой г. Бернштейна является диссертация,
защищенная им в Париже в 1904 1 (1).
Все решения уравнения Лапласа — аналитические; с
помощью своего метода последовательных приближений
г. Пикар 2 показал, что также обстоит дело с целым важ-
ным классом уравнений. В 1900 на конгрессе в Париже
г. Гильберт выдвинул гипотезу, что это же свойство, быть
может, присуще всем эллиптическим уравнениям 3. В сво-
ей диссертации г. Бернштейн доказал во всей ее общности
эту теорему, ире (виденную г. Гильбертом.
Когда г. Б. приступил к рассмотрению вопроса, два
ученика г. Гильберта г. Люткемейер 4 и г. Холмгрен ь,
сумели использовать рассуждение г. Пикара в новых слу-
чаях, по пе представлялось, что можно пойти дальше их
крайне частного и фрагментарного результата, не более
чем предварительного в сравнении с тем, который полу-
чил г. Б. Последний пе ограничивается использованием
метода г. Пикара в некотором роде так, как ои есть; он
вскрывает глубокою причину встречающихся при его
употреблении трудностей; выявляет изменения, нужные,
чтобы приспособить метод к новой преследуемой цели, и
обладает технической сноровкой, необходимой для их осу-
ществления. Трудности обусловлены тем, что ряд Тэйлора
пе всегда позво 1яет представить па всем отрезке аналити-
ческую функцию, регулярную па этом отрезке; а г. Б. при-
278
думывает всегда пригодное представление этих функций:
нормальные ряды, двойные рнды. расположенные в слу-
чае отрезка (а, Ь) но степеням как х — а, так н х — Ь.
Решение уравнения Лапласа полностью определяется
значениями, которые оно принимает на границе области,
в которой оно регулярно; это принцип Дирихле ". Г. Пи-
кар распространил это свойство на целый класс уравне-
ний. Было естественно, что г. Бернштейн рассмотрел слу-
чай всех уравнений, па которые ои распространил первую
теорему г. Пикара. Однако простые примеры показыва-
ют. что оп не мог высказать тот же результат для всех этих
уравнений; поэтому требовалось определить свойства,
позволяющие сгруппировать уравнения по семействам,
достаточно однородным для того, чтобы решение задачи
Дирихле было одинаковым для всех функций одного и того
же семейства 7. Это было сделано в четырех последова-
тельных мемуарах г. Б., иногда дополняющих друг дру-
га, а при необходимости и вносящих исправления, все
же в вопросах всегда второстепенных ". Впрочем, при доб-
рой жатве, можно ли помешать тому, что к качественному
зерну примешается немного плевелов? Жатва, собранная
г. Б., удивительно богата, т. к. он с успехом исследует
эффект изменений всех данных проблемы: значений на гра-
нице, формы области, формы уравнения. Область его ре
лультатов настолько обширна, что охватывает сразу две
знаменитые задачи: первоначальную задачу Дирихле и
задачу Плато: найти фигуру равновесия глицериновой
волны, пли. выражаясь математически, найти минималь-
ную поверхность, ограниченную данным контуром *. За-
дача, о возможности которой ничего но знали, несмотря
на замечательные работы 1’имапа. Вейерштрасса, Шварца,
Дарбу, если не считать случай, когда данный контур мио
гоугольиый. Г. Б. сообщил нам. что задача имеет реше-
ние, притом единственное, если одна из проекций контура
выпуклая.
После Эйлера п Лагранжа умеют составлять диффе-
ренциальные уравнения, которым должны удовлетво-
рять решения задач вариационного исчисления. Но после
того, как эти уравнения даны, нужно еще решить для них
задачу Дирихле, например, если идет речь о минимуме
двойного интеграла 10. В этом вопросе не наблюдалось
прогресса от Эйлера до г. Б., и ранее последнего можно
было бы пересчитать задачи, возможность которых была
доказана. Используя результаты, полученные им в задаче
Дирихле, г. Б. сообщает, что достаточно, например, опре
27!)
делить порядок роста некоторых данных функций, да Г>ы
можно было утверждать, что некоторый класс задач ва-
риационного исчисления имеет единственное решение для
всякой области, каковы бы ни были значения на границе,
а для некоторого другого класса надлежит считать об-
ласть выпуклой, когда же область не выпуклая, .задача
более не всегда уже имеет решение. Огромный достиг
нутый прогресс оценят лучше, если вспомнят, что неза-
долго до работ г. Б., новый метод, прямой метод, позволил
рассмотреть случай совсем небольшого числа некоторых
кратных интегралов и этим результатом восхищались н.
Мы рассмотрели три главных этапа последовательно-
сти исследований аналитических функций, к которым при-
мыкают еще обобщения классических теорем Лиувилля и
г. Пикара ,2, изучение некоторых геометрических задач,
как отыскание поверхности постоянной положительной
кривизны, проходящей через данный контур. По я спешу
перейти к исследованиям общих функций действительного
переменного 13.
Сточки зрения их актуальной важности, результаты в
теории аналитических функций, которая одна составляет
три четверти наших математических знаний, нельзя срав-
нивать с результатами, относящимися к молодой еще теории
общих функций: однако можно сказать, что г. Б. получил
в этой новой области столь же обширные и глубокие
результаты, как и те. которые он дал в более классиче-
ских изысканиях. И как раз потому, что речь идет о менее
завершенной теории, результаты его оказываются бо-
лее фундаментальными. В этих' занятиях, д 1Я которых
еще нужно создать сами средства исследования. где
предстоит открыть еще саму совокупность возможных
результатов, он, быть может, еще более демонстрирует
особую плодовитость своего воображения и уверенность
своей интуиции.
В 1908 г. де ла Валле-Пуссен и я привлекли внимание к
интересу, который имела бы оценка порядка величины
наилучшего возможного приближения Л’п1<[(г)1 функции
if(ar) с помощью полиномов степени н. причем для раз шч-
ных простых классов функций <|(-г). Опубликовав по это-
му вопросу несколько прекрасных мемуаров, г. де ла Вал-
ле-Пуссен предложил Бельгийской ^кадемин наук вы-
двинуть его па конкурсную премию 14.
Премию получил г. Б.: он сразу добился результатов
одновременно более обширных и удивительно более точ-
ных, чем те, на какпе решались рассчитывать 16.
280
В это время молодой американец г. Денхап Джексон
представил Геттингенскому университету диссертацию,
которая была справедливо оценена как превосходная и
премирована факультетом. Г. Джексон решил постав-
ленную нами задачу для некоторых классов функций,
в частности для р-кратпо дифференцируемых ,в.
Г. Бернштейн получил в своем мемуаре не только
эти результаты г. Джексона и но только изучил новые
классы функций, но и сверх того получил обратные ре-
зультаты, позволяющие нам утверждать в соответствии с
порядком А’п[<[(.г)1, что функция <[(j) дифференцируема
пли. например, аналитическая ,7.
Из этого нос «едиего результата г. Б. впоследствии
вывел весьма оригинальную теорию действительных ана-
литических функций н стимулировал рассмотрение квазн-
апалитнческнх функций ,8.
Я пользуюсь случаем это отметить, т. к. несмотря па
их важность, не вернусь к этим исследованиям.
Что же касается используемых средств, то я ограничусь
указанием, что некоторые тесно связаны с приемами, ис-
пользованными г. Б. в его первых исследованиях, н что
применяются тригонометрические многочлены, некогда
рассмотренные Чебышевым. Полагаю, что не только я ие
понимаю интереса и значения зтнх оранных задач о ma-
xima и minima, изучавшихся Чебышевым в мемуарах,
заглавие которых часто начинается: о функции, наименее
уклоняющейся от нуля..., быть может нужно обладать
лавянской душой, чтобы попять великого русского уче-
ного? Во всяком случае в течение 50 лет никто, за исклю-
чением только русского В. Маркова, нс прибегал к ис-
следованиям Чебышева |8, в которых г. Б. сумел найти
солидную основу, позволившую ему вычислить порядок
Еп, иногда вычислить асимптотическое разложение Еп,
в иных случаях вычислить само Еп длн функций, опреде-
ление которых зависит от аналитических приемов.
Таким образом в изысканиях, в которых можно было бы
получить только качественные результаты, г. Б. приходит
к результатам удивительной точности, к численным ре-
зультатам; как, например, в случае паилучшего прибли-
жения функции [г|, что в некотором отношении есть
составной элемент всякой непрерывной дроби.
Применяя тригонометрические многочлены, г. Б. воз-
вращается, таким образом, к аналитическим функциям;
о приближении аналитических функций г. Б. опубликовал
мемуары, заполненные результатами. Можно составить
281
себе представление об изобилии этих результатом, про-
сматривая недавнюю книгу г. Б.2и, где результаты следу-
ют одни за другими с такой быстроток, что чтение стано-
вится затруднительным. Г. Б. определяет асимптотиче-
ское значение Еп для аналитической функции, зная те
особые точки этой функции, которые в известном смысле
являются наиболее соседними к рассматриваемому отрез-
ку. Он изучает все виды особых точек, циклические или
логарифмические точки, полюсы, существенно особые точ-
ки и получает относительно влияния этих точек на быстро-
ту возможного посредством полиномов приближения ре-
зультаты по меньшей мере столь же точные, как те,
какими располагают относительно влияния этих же точек
па быстроту сходимости ряда Тей юра.
>1 оставляю в стороне другие исследования, другие ре-
зультаты, я сказал уже достаточно и высказатся доста-
точно хорошо для того, чтобы вы почувствовали,
насколько основательны математические доводы, которые
побудили отделение Геометрии представить вам г. Б. на
место Корреспондента в первом ряду.
Все же — еще одно слово, чтобы дать вам представле-
ние о человеке.
Исследования г. Б. о приближении были прерваны
войной и революцией; но едва лишь буря успокоилась,
когда стало возможным думать о чем-либо ином, чем о том,
чтобы дожить по крайней мере до завтра, г. Б. принялся
за научную работу, подавая тем самым прекрасный при-
мер. Однако ему нужно было прокормить семью и для
этого он должен был. как н многие другие, добавить к сво-
им обязанностям профессора, еще одно занятие, оплачи-
ваемое лучше, но отнимающее много времени. Можно было
бы опасаться, что должность статистика и страхового ра-
ботника помешает его научной активности; напротив, он
расширил поле своих исследований. Таким образом, г. Б.
пришел к определению непосредственно используемого
точного статистического результата, доставляемого фор-
мулой Лапласа, к распространению закона Менделя и
других законов наследственности-*, к формулировке
системы аксиом, лежащей в основании исчисления вероят-
< по
иостеи .
17 июня 1926
282
Доклад г. Данжуа о г. Сергее Бернштейне
Факультет наук Парижский университет
Кафедра tlfi Бульвар Pacnaii (6)
теории функций п топологии Париж, 15 апреля 1955
Академия решила передать Отделению математических
и физических наук четыре из недавно учрежденных восьми
мест иностранных членов, и секция механики и секция
астрономии получили каждая вакансию для одного уче-
ного по их специальностям.
Секция геометрии хочет, чтобы первое из двух мест,
которыми располагает еще отделение, было резервиро-
вано за математиком.
Опа единодушно решила представить кандидатуру
повсеместно признанного и уважаемого авалиста, славы
науки, который не снизит престиж нашей академии своим
наличием в собрании знаменитых ученых, которых мы
считаем своей обязанностью объединять в пашей секции.
Сергей Бернштейн, ныне в возрате 77» лет. наш коррес
пондент с 1929. почетный доктор Парижского универси-
тета 23 (2.3). прибыл учиться сюда в начале века.
В то время защиты математических диссертаций на пашем
факультете были редкими, две или три в год и некоторые
из них. как таковые гг. /Хдамара. Боре.тя, Бэра, , leoera,
остались историческими памятниками. Та. которую 24-лет-
ний Бернштейн представил в 1904. была такого же класса.
В ней шла речь об уравнениях с частными производ-
ными второго порядка, одного из главных источников
приложения математики к физике, к динамике. Вопросы
фундаментального значения, которые усмотрели в не-
ожиданно встретившихся примерах первые авалисты того
времени. Пикар, Гильберт, отступившие перед вставшими
здесь трудностями, и которые были почти неприступными,
молодой Бернштейн разрешил в самых общих предполо-
жениях.
Долгие годы последний работал над развитием почти
неисчерпаемых следствий из своих открытий. Знаменитая
задача Плато: найти поверхность наименьшей площади,
подвезенную к замкнутой пространственной кривой 24,
получила свое первое решение по методу Бернштейна.
Позднее последовало изучение нанлучшего приближе-
ния непрерывных функций — таких, какие доставляет
экспериментирование.— посредством численных выра-
жений. наиболее удобных для вычисления, каковыми яв-
ляются полиномы и рациона.н.ные функции.
283
Наконец. Сергей Бернштейн является одним нз ana-
листов, вклад которых в теорию вероятностей наибо-
лее важен в наиболее ценится.
Французские математики рассматривают Сергея Берн-
штейна. как одного из своих. Его научные труды в своей
совокупности опубликованы на нашем языке. Одно нз наи-
более высоко ценимых сочинений серии, руководимой
г. Борелем. представляет собой дидактическое изложе-
ние курса, который Бернштейну было поручено прочитать
в Сорбонне 26. Его связывает с Францией и то, что его
сестра, доктор медицины, замужем во Франции и долгое
время работала в одной из больниц столицы 2®.
Эти доводы, столь же сильные с точки зрения науки,
как патриотических и личных чувств, объясняют едино-
душное стремление секции Геометрии представить и горя
чо поддержать кандидатуру Сергея Бернштейна на бли-
жайшую вакансию иностранного члена.
Арно Данжуа
Примечания к докладам А. Лебега и А. Данжуа
1 О диссертации Бернштейна 1904 г. см. во введении к докладам
Лебега и Данжуа.
8 Речь идет о мемуаре И. Пикара. опубликованном в Jouni.
math, pares et appliquees (4), 6 (1890), c. 145—2П>; об этой работе см.
в обзорной статье С. И. Бернштейна и И. Г. Петровского в [4,
с. 20—21].
3 Собственную формулировку Гняьбсртом 19-й проблемы см.
в [2, с. 53 -54] в замечания к пей в указанной в прпмеч. 2 статье
С. Н. Бернштейна и И. Г. Петровского (с. 21 н след.).
4 О диссертации Г. Люткемайера (G. Liilkemeyer) см. [5, с. 110].
* О статье шведского математика Г. Холмгрена (Eric Holm-
gren, 1872—1943) см. [5. с. 11о|. В 1901 г. Холмгрен привлек внима-
ние Гильберта к работе Э. Фредгольма по теории интегральных
уравнений.
• О принципе Дирихле см. [8, т. 2. с. 182,.
• О задаче Дирихле см. [8. т. 2, с. 178 180].
8 Трудно сказать, какие именно четыре мемуара Бернштейна
имеются в виду. Синеок его публикаций по данной тематике па фран-
цузском языке (всего 28 названий) приведен в [4. с. 27—28|.
8 О задаче Плато см. [8, т. 4, с. 302 —308]. Первая заметка
Бернштейна о минимальных поверхностях была напечатана в tComp-
tes rendtis» (1905, т. 141, с. 558—559).
10 Следует заметить, что прием решения задач на экстремумы
двойных интегралов, как мы теперь знаем, был впервые изложен
Ж.-Л. Лагранжгч в письме к Л. .Эйлеру от 5.10.1756 г. н там жо
выведено дифференциальное уравнение минимальных поверхностей,
подхода к решению которого не удалось найти ни одному нз коррес-
пондентов.
11 Здесь идет речь о серии нескольких работ Бернппейпа. напе-
чатанных в «Comptes rendus» за 1910 г., и обобщенных в обширном
284
мемуаре *06 уравнениях вариационного исчисления» (Ann. Ес.
Хопп. Snpl., 1912, т. 29, с. 431 485), перевод которого с авторскими
дополнениями см. в [4. с. 32—74|.
12 О теоремах Ж. Днувилля (1844) и Л. Пнкара (1879) см. в [8]
-.©ответственно т. 3, с. 393 и т. 4, с. 285—286. Между прочим, впер-
вые теорему Днувилля в аналитической теории функций высказал
п дока ia.'i в 1844 г. О. Коши.
13 Далее Лебег переходит ко второму большому циклу работ
Бернштейна, относя его к «исследованию общих функций действи-
тельной переменной», конкретнее — к теории нанлучшего приб-
лижения функции нлп. в позднейшей терминологии самого Берн-
штейна (1938), к конструктивной теории функций.
14 Отсылая за подробностями к обзору В. Л. Гончарова [6]
н книге II. II. Ахнезера [7|, здесь следует сделать несколько пояс-
нений. Как говорилось во введении к докладу Лебега, в 1885 г.
К. Вейерштрасс доказал, что псякая непрерывная па отрезке, ска-
жем — 1 < х 1 функции <|(х) может быть сколь угодно при-
ближена целым многочленом Рп(х) степени п, так что для любого
е(п)^(>, при достаточно большом
шах | q(x) — Рп(х) | < е.
Если обозначить, как это принято в теории нанлучшего прпблпже
ния функций II. .'1. Чебышева, погрешность нанлучшего приближе-
ния или «наименьшее у клоиение»] функции <( (х) от Рп (J) через
А'п|<((г)|, то теорему Веиерштрасса можно записать равенством
lint Еп [<р (х)] = 0. На стыке общей теории функций н теории пан-
П-*оо
лучiiii'iо приближения функции встал вопрос об оценке скорости
убывания "I111 п-* оо в зависимости от спойетн функции
<р(х). Существенной предпосылкой решения вопроса явилось новое
доказательство теоремы Вейерштрассл, опубликованное Лебегом в
статье «О приближении функций» (Sur I’approxiination ties functi-
ons), напечатанной n Bull. Sci. nialli. t. (1898), t. 22, c. 278—287).
Непрерывную функцию Лебег прежде всего аппроксимировал ку-
co4iio-.ni пей поп н уже эту вторую функцию целым многочленом.
В простейшем случае возникла задача аппроксимации многочлена-
ми непрерывной на отрезке 1 х 1 фу вкцпп | х | с одной уг-
ловой точкой прих <>. В 1908 г. 111. Ж. дела Валле-Пуссен (1866 -
1962). е 1909 г. член Бельгийской академии паук, имя которого зна-
ли в 20-е и Зо-е годы все наши студенты математики по его превосход-
к
ному курсу математического анализа, доказал, что Е„[| х || <7
где к — постоянная от п независящая. Два года спустя Валле-Пус-
сен несколько улучшил свою оценку, год спустя ее еще несколько
уточнили С. II. Бернштейн и Д. Джексон (см. прнмеч. 16).
Еще ранее по предложению Валле-Ilyccena Бельгийская акаде-
мия паук объявила на 1968 г. конкурсную тему о новых исследова-
ниях по проблеме разложения функций в ряды многочленов (см.
прнмеч. 15). Валле-Пуссеп конкретизировал вопрос, указав, что речь
идет о кусочно-линейных (он писал — многоугольных) функциях
или, что сводится к тому же, функции | х |. См. прнмеч. 15.
14 Во введении к докладу Лебега уже была названа премирован-
ная Бельгийской академией паук работа С. II. Бернштейна. Чтобы
охарактеризовать «чебышевский» подход Бернштейна к оценкам
Еп [|J|1 достаточно заметить, что, не ограничиваясь, как это делал
Валле-Пуссен, оценками Еп [|х|| снизу, он установил для нее при
285
четном указателе 2п в манере, характерной для школы П. Л. Че-
бышева, неравенства
]/~2 — J 2
4(2п—1) <Е2п IIх П < п(2п±1)
и
18 Американец Д. Джексон (Dunham Jackson, 1880- 194fi),
занялся аналогичном проблематикой по рекомендации известного
геттингенского профессора Э. Ландау (Edmund Landau, 1877—
1938), члена-корреспондента (1924) н затем иностранного члена
(1932) АН СССР. В своей докторском диссертации «О точности
приближения непрерывных функций целыми рациональными функ-
циями данной степени н тригонометрическими суммами данного по-
рядка» (Gber die (*<'паиi^keit der Annalierung sleliger Kunktioiien
durch ganze rationale Funklionen gegebenen Grades und (regonomet-
rischen Summen gegebener Ordnung. Gollingen, 1911) Джексон по-
лучил независимо от Бернштейна ряд таких же результатов. Впо-
следствии Джексон был профессором Стенфордского университета
(США). Следует добавить, что Бернштейн также рассматривал при-
ближения посредством тригонометрических многочленов н что оба
они, Бернштейн п Джексон, распространили своп исследования на
функции комплексного переменного.
17 Установление взаимной связи между наплучшнм прибли-
жением и аналитическими свойствами функций, обнаруженной
Бернштейном н Джексоном, привлекло широкое внимание матема-
тиков многих стран особенно благодаря докладу, сделанному
Бернштейном па V Международном математическом конгрессе в
1912 г. и напечатанному в 1913 г. на французском языке в трудах
этого конгресса. В небольшой таблице Бернштейн кратко сформули-
ровал 10 результатов, характеризующих необходимые п (пли) дос-
таточные условия асимптотического поведения £'„ («| (лг)J, ИР» кото-
рых функция q(x) обладает темп или ппымн аналитическими свой-
ствами: аналитическая, дифференцируема определенное или какое
угодно число раз, удовлетворяет условиям Липшица н т. д. Из 10 ре-
зультатов 7 принадлежали Бернштейну, 2 — Джексону н 1 — Ле-
бегу: кроме того, из теормы Веперштрасса следует необходимость и
достаточность условия lim Еп [<р (х)] = 0 для непрерывности cf(x).
П—»оо
Упомянутый доклад «О новых исследованиях, относящихся к нап-
лучшему приближению непрерывных функций многочленами» был
напечатай на русском языке в «Успехах математических наук»
(1950, т. V, выи. 4) н в [3, т. 2|.
18 В первой половине фразы Лебег, вероятно, имеет в виду преж-
де всего важную статью Бернштейна «Об определении н свойствах
аналитических функций действительного переменного», напечатан-
ную в «Math. Aiinaleii» (1914, в. 75) [3, т. 2|. одну нз отправных в
разработке конструктивной теории функций (см. [б, с. 160|). В этой
же статье Бернштейн ввел н изучил новый класс квазнаналптиче-
скпх функций, удовлетворяющих некоторому условию, налагаемо-
му па их ианлучшне приближения. Квазпаиалптяческим функциям
посвящены и более поздяне работы Бернштейна в «Coinptee rend ns*
за 1923 и 1924 гг. Другие классы кназпапалптпческпх функции и их
281>
свойства изучали Ж. Адамар (1912), А. Данжуа (1921), Т. Карле-
май и еще некоторые ученые (см. (8, с. 798—800|).
” Эти слова Лебега свидетельствуют о его совершенно недоста-
точном знакомстве* с литературой по теории панлучшего приближе-
ния функций II. Л. Чебышева, с ее разнообразными направлениями
и приложениями, разрабатывавшимися не только В. А. Марковым
(1871 —1897), ио и другими крупнейшими математиками России и
других стран (см. ]б] н (9, гл. 20]).
Очень ярко и точно охарактеризовал связь упомянутых здесь
Лебегом работ Бернштейна с идеями как общей теории функции,
так и теории нанлучшего приближения школы Чебышева И. И.
Ахпезер в заключении к своей работе [10, с. 72—79|.
20 Лебег имеет в виду «Лекции об экстремальных свойствах п
наилучшем приближении аналитических функций действительного
переменного», изданные на французском языке в серии монографий,
выходившей под редакцией Э. Бореля, н подготовленные на основе
курса, прочитанного Бернштейном в Сорбонне в 1923 г. За эту кни-
гу Парижская академия наук присудила автору премию фонда
Бордена, некогда присужденную (в двойном размере) С. В. Кова-
левской за ее исследования по теории движения твердого тела во-
круг неподвижной точки. На русском языке этот труд в перерабо-
танном виде вышел в 1937 г. (см. [6, с. 1611 и [3, т. 4, с. 235—320]).
21 Статья о математическом доказательстве закона наследст-
венности Менделя и о его обобщении были напечатаны в «Coinptes
renihis» (1923, т. 177, с. 528—531, 581—584). В [3] эти статьи пе на-
печатаны.
22 «Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей»
Бернштейна был напечатан, насколько мне известно, только на рус-
ском языке в 1917 г. [3, т. 4, с. 10—60].
Между прочим, . 1ебег недостаточно оценил и потому полностью
оставил в стороне глубокие исследования Бернштейна но предель-
ным теоремам теории вероятностей, хотя соответствующие работы
последнего появляются на французском языке, начиная с 1922 г.
21 Звание почетного доктора Парижского университета было
присуждено С. Н. Бернштейну в 1945 г.
24 См. прпмеч. 9.
2* См. прпмеч. 20.
26 Какими-либо сведеннямп об упоминаемой здесь сестре
С. II. Бернштейна я не располагаю.
II
ДОКЛАД Ж. АДАМАРА
О НАУЧНЫХ ТРУДАХ И. М. ВИНОГРАДОВА
II ПХ ХАРАКТЕРИСТИКА Ж.-Н. СЕРРОМ
Иван Матвеевич Виноградов (1891—19йЗ) родился в
с. Мнролюб Псковской губ., в 1910 г. окончил реальное
училище в Великих Луках и в 1914 г. физико-математи-
ческий факультет Петербургского университета. Еще в
студенческие годы он углубленно занялся теорией чисел,
которую в университете представлял тогда Я. В. Успен-
ский, и получил в дтой области свои первые научные ре-
287
зультаты. публикация которых началась в 1!Н7 г. В 1918 —
1920 гг. он преподавал в звании доцента, а затем профес-
сора в Пермском университете, а осенью 1920 г. был избран
профессором Политехнического института в Петрограде и
тогда же начал работу в здешнем университете, где стал
заведующим кафедрой теории чисел и теории вероятностей.
Его первые же открытия в об 1астн аналитической теории
чисел (были столь значительны, что в 1929 г. ои был избран
академиком АН СССР. Некоторое время он возглавлял
Демографический институт, а с 1932 г. до самой кончи-
ны — Математический институт пм. В. А. Стеклова АН
СССР. Его научные заслуги получили широкое междуна-
родное признание и были отмечены многими высшими
правительственными наградами Советского Союза.
В досье II. М. Виноградова, хранящемся в Архиве
Парижской академии наук, имеются два документа, за-
служивающих внимания. Первый из них представляет
собой напечатанный на машинке доклад в «секретном ко-
митете» Ж. Адамара. датированный 21.02.1945 г., вто-
рой — некролог, написанный Ж.-П. Серром и напечатан-
ный в «C.omples rend ns» (1985. т. 298. с. 667—679).
Жак-Соломон Ада.мар (Jacques-Solomon Iladamard,
1865—1963), парижский академик с 1912 г. и иностранный
член-корреспондент (1922), а затем почетный член (1929)
АН СССР, был одним из наиболее авторитетных француз-
ских математиков своего времени. Исследования его охва-
тывали обширный круг вопросов анализа, в особенности
теории аналитических функций, уравнений математиче-
ской физики, теории чисел, оснований математики и т. д.;
громкую известность принесло ему доказательство в
1896 г. (одновременно с Валле-Пуссеном) асимптотическо-
го закона распределения простых чисел, блестяще увен-
чавший предварительные результаты в этой области
А.-М. Лежандра, уточненные известными неравенствами в
оценке относительной частоты простых чисел в натураль-
ном ряде II. Л. Чебышева и трактовку проблемы Б. Ри-
мана. Руководимый долгие годы Адамаром научный се-
минар служил международных! центром общения многих
математиков, приезжавших в Париж; на нем неоднократ-
но выступали с докладами п советские математики. От-
ношения Адамара с русскими математиками были неиз-
менно дружественными. Выше упоминалось, что он входил
в состав комиссии, перед которой защищал докторскую
диссертацию С. II. Бернштейн; через него пе раз представ-
лял статьи своих учеников II. Н. Лузин. Адамар не раз
288
посещал Советский Союз, и вместе с А. Дапжуа, Г). Кар-
тавом и II. Моптелем активно участвовал в I Всесоюзном
съезде математиков в Харькове (1930), на котором высту-
пил с двумя докладами.
Отзыв Адамара о трудах II. М. Виноградова, хотя и
краток, по весом. Эта краткость, быть может, объясняется
тем, что докладчик не считал нужным тратить лишних
слов в столь очевидном случае, а быть может, и его воз-
растом, в то время почти восьмидесятилетнпм.
В связи с краткостью отзыва Адамара к нему добавлен
фрагмент из некролога II. М. Виноградова, написанного
выдающимся топологом Жаном-Пьером Серром (Jean-Pier-
re Serre. р. 1926), лауреатом премии Филдса 1954 г., этой
♦ нобелевской премии» для математиков, и с 1976 г. па-
рижским академиком.
Доклад о научных трудах г. Виноградов;!
(Москва)
г. Ж. А д а м а р
Творчество г. Виноградова посвящено преимуществен-
но вопросам Арифметики, точнее той особенно трудной
главе Арифметики, какой является «аддитивная теория
чисел»; более специально — аддитивной теории простых
чисел: вопросам, поднятым в XXIII веке, и теоремой
Гольдбаха, которая привлекла внимание Эйлера и со-
гласно котором всякое четное число есть сумма двух
простых чисел,— теоремой, высказанной, но еще н по сей
день недоказанной 1 (1). К этому роду вопросов не мечтали
и приступить до нашей эпохи, настолько представлялись
они неприступными.
До недавнего времепи они были действительно такими.
В самом деле, представляется, что достичь существенных
успехов в этой области на прямом пути, с помощью одних
только принципов Арифметики, невозможно: оказывается
нужным привлечь мощные средства, доставляемые Ана-
лизом благодаря теории аналитических функций. Так
поступили еще Чебышев 2 (2) и Риман 3 (3) для выяснения
распределения простых чисел в последовательности чисел
натуральных. Вопросы Анализа, поднятые этой знамени-
той проблемой, представляли, как известно, серьезные
трудности, которые до сих пор не разрешены полностью.
Но рассмотрения, к которым приходится прибегнуть в ад-
дитивной теории чисел, еще гораздо более тонкие.
289
Приступить к пх успешному рассмотрению смогли
прежде всего два человека. Один из них — г. Харди из
Кембриджа, уже являющийся нашим корреспондентом 4
(4). Но было бы несправедливо пе отвести место, наряду с
работами г. Харди, и глубоким исследованиям г. Вино-
градова: исследованиям, которые также потребовали са-
мой проницательной интуиции и необыкновенной мощи
Анализа.
Нужно было бы войти в подробности, здесь невозмож-
ные, чтобы выявить сходства и различия между дарова-
ниями обоих названных только что людей. Скажем только,
что г. Виноградов, пользуясь своими тонкими и особенно
трудными для изобретения методами, достиг в этой еще
столь новой и столь таинственной главе Пауки, успехов
капитальной важности.
Оценка трудов II. М. Винэгра щва в некрологе,
написанном Ж.-II. Серро.м
Международная слава Виноградова значительна. Он
был членом Академии наук Италии и США, почетным
членом Королевского общества в Лондоне. В СССР он был
членом Академии наук с 1929 г. и получил многие отли-
чия, в частности, орден Ленина (пять раз); он имел заа-
ние Героя Социалистического Труда 6 (5).
Его работы лежатв области аналитической теории чи-
сел, а особенно метода «тригонометрических сумм», назы-
ваемого также «методом Виноградова». По этому вопросу
он опубликовал два труда, переведенные на многие языки:
Основы теории чисел. Москва — Ленинград. 1936 ®.
Метод тригонометрических сумм в теории чисел. Тру-
ды Мат. Пнет. Стеклова. Москва, 1947 7.
Из наиболее известных его результатов можно указать:
1. Проблема Варинга 8
После Гильберта известно, что для всякого целого по-
казателя h 0 существует такое целое г, что всякое доста-
точно большое целое Д' можно записать в виде N =
— х'у + ... + х", где Xj суть целые 0.
Допустим, что (j(n) есть наименьшее возможное зна-
чение г для фиксированного показателя п: тогда, согласно
Лагранжу, имеем g(2) = 4. Оригинальное доказательство
Гильберта давало довольно грубую мажорирующую оцен-
ку С(и), которая была улучшена с помощью аналитиче-
ских методов Харди и Литтлвудом. Виноградов усовер-
290
шенствовал эти методы и получил очень топкие оценки
<7(лг) 6/г logn + Юн
и затем
67(п) (2 + 0(1))n log ii прп п —► х>
2. Оценка точности приближения в теореме о простых
числах
Пусть л(.с) есть число простых чисел х. Согласно де
ла Валле-Пуссену известно, что
X
л(а) = ^ 4-O(j ехр(— с (lug г)0-5)) при э-+ х>.
Виноградов в 1958 г. показал, что показатель 0,5 можно
заменить на 0,6.
.3. Суммы трех простых чисел
В 1937 г. Виноградов доказал, что
всякое достаточно большое нечетное число есть сумма
трех простых чисел.
Этот результат вызвал сенсацию как благодаря прос-
тоте своей формулировки, так я по трудности его
доказательства. Это важный шаг вперед в направлении
проблемы Гольдбаха (всякое четное целое 4 есть сумма
двух простых чисел?), проблемы, которая все еще не ре-
шена, но в рассмотрении которой был недавно достигнут
крупный прогресс *.
Иван Матвеевич Виноградов оказал глубокое влияние
на развитие аналитической теории чисел за последние
шестьдесят лет. В его лице наша Академия теряет одного
из наиболее знаменитых своих корреспондентов ,0.
Примечания к докладу /К. \ да мара и некрологу Ж.-П. Серра
1 Петербургский академик Хр. Гольдбах в письме к Эйлеру от
27.05.1742 г. [15] высказал гипотезу, что всякое целое, большее даух,
есть сумма трех простых (относя к простым и единицу). Пз ответа
Эйлера от 30.06 видно, что Гольдбах еще ранее сообщил ему, что
любое четное число есть сумма двух простых, откуда следовала бы
истинность предыдущего предположения. Почти два столетия теоре-
тические подходы к доказательству этого предположения, которые
лишь проверяли па некоторых отрезках натурального ряда, оста-
вались совершенно неясными. В 2о-е годы нашего столетия г. Хар-
ди п Дж. Литтлвуд установили связь этой проблемы с другими воп-
росами теории чисел и анализа (см. примеч. 4). В 1930 г. Л. Г. Шпи-
рельмап (1905—1938) (с 1933 г. член-корреспопдент АН СССР) с
помощью специального продуманного им метода, имеющего, впро-
чем, и другие широкие применения, показал, что каждое целое
число есть сумма не более, чем некоторого фиксированного числа
Л' простых чисел (включая единицу). Для числа N Шпирельман по-
291
лучил большую оценку, позднее удалось показать, что .V пе более
20, по по его методу не удалось полечить значение Л', указанные
Гольдбахом. Об исследованиях И. М. Виноградова, применившего
новые более сильные методы, см. прнмеч. 9.
2 Адамар здесь имеет в виду работы П. ,1. Чебышева о распре-
делении простых чисел, изложенные в двух статьях 1848 и 1850 гг.,
имеющиеся и во францу ickom переводе; см. книгу Б. Н. Делоне
[И, с. 7-421.
8 Соответствующий мемуар Б. Римана о распределении прос-
тых чисел был опубликован на немецком языке в 1859 г., причем Ри-
ман указывает, что рассмотренный им вопрос привлекал внимание
также К.-Ф. Гаусса и П. Дирихле. Русский перевод в [12, с. 216—
224, прнмеч. В. Л. Гончарова па с. 498 503].
4 Годфри Херолд Хардп (Godfrey Harold Hardy, 1877—1945),
английский математик, член Королевского общества (1910), кор-
респондент (1945) и иностранный член (1947) Парижской акаде-
мии, иностранный члеп-корреспондент (1924) и почетный член
(1934) АН СССР, был автором многих важных исследований по ад-
дитивной теории чисел и различным разделам анализа, частью вы-
полненных совместное Джоном Идензором Литтлвудом (John Iden-
sor Littlewood, 1885—1977), также членом Королевского общества
и корреспондентом Парижской академии с 1957 г. Теоретико-чис-
ловая проблематика It. М. Виноградова нередко близка к исследова-
ниям названных английских математиков, но в развитии методов
аддитивной теории чисел и в общности полученных результатов ои
продвинулся значительно далее.
6 Этот перечень титулов и наград II. М. Виноградова является
далеко не полным. Следует, по крайней мере, добавить, что оп был
дважды Героем Социалистического Труда.
• Неясно, почему Серр отнес университетский учебник [13] к
разряду основоположных работ Виноградова по аналитической тео-
рии чисел.
7 Это сочинение, из данное в 1937 г. под несколько нпым назва-
нием, чем в собрании избранных трудов И. М. Виноградова 1952 г.
[14[ и затем в [151. явилось в части, касающейся самого метода, «зна-
чительной переработкой, сильно его упростившей» первоначальной
формы метода, найденного автором в 1934 г. и примененного тогда
же и в последующие годы к целому ряду задач [14, с. 239]. Отправ-
ным пунктом здесь явилось усовершенствование и усиление метода
сумм Г. Вейля (1916), примененного последним также к некоторым
вопросам теории чисел. Во введении к труду под приведенным на-
званием Виноградова дает краткий обзор истории вопроса и рассмот-
ренных в этом труде проблем [14, с. 239—2511.
8 Проблему английского математика Дж. Варппга (правиль-
нее: Уэрннга) впервые решил в общем виде, по весьма громоздко,
Д. Гильберт в 19(<9 г., а затем в серии статей 1920 1925 гг. Хардп п
Литтлвуд. Виноградов, начиная с 1928 г., предложил несколько
вариантов вывода теоремы Варинга. в том числе с помощью своего
метода тригонометрических сумм (1937); уточненпем оценки вели-
чины, обозначенной им G, оп продолжал заниматься, как отмечает
Серр, и позднее. Ср. [11. с. 341—3641.
• О проблеме Гольдбаха, в частности для нечетных чисел, см.
прпмеч. 1. Доступное широкому читателю изложение решения ее,
предложенное Виноградовым, см. в [И. с. 364—395|.
10 О жизни и творчестве И. М. Виноградова, см., кроме [И),
также [16].
292
Ill
ДОКЛАДЫ /К. ЛЕРЭ II М. ГУЛ
О М. Л.ЛАВРЕНТЬЕВЕ
Михаил Алексеевич Лаврентьев (1900—1980), уроже-
нец Казани, после шести лет обучения в местном Коммер-
ческом училище, поступил на физико-математический фа-
культет Казанского университета, а затем по совету
II. II. Лузина перевелся в Московский университет, ко-
торый окончил в 1922 г. В своей чрезвычайно интересной
автобиографии, почти неизвестной широкому кругу чи-
тателей, так как она печаталась, к сожалению, с сокра-
щениями, в мало распространенном и весьма специали-
зированном сибирском журнале «ЭКО» [17], Лаврентьев
рассказывает, что в 1910—1911 гг. во время заграничной
командировки отца, специалиста по механике, познако-
мился в Геттингене с командированным туда же II. II. Лу-
зиным, который рассказывал мальчику о своем детстве, о
сочинениях Конан Дойля и Жюля Верна, по также охотно
ставил неожиданные задачи, вроде: можно ли малыми
толчками повалить фонарный столб. Наверное, добавляет
Лаврентьев, с тех пор он и приобрел вкус к подобным
задачам [17, № 7, с. 113—ll'ij. В Московском университе-
те Лаврентьев естественно примкнул к группе учеников
.’[узина пли, как ее называли, к «Лузитании»; этой школе
и ее руководителю посвящены несколько страниц авто-
биографии. на которых автор с большой теплотой и очень
живо рассказывает о «Лузитанин» (там же, с. 118—123).
Через несколько лет научная школа Лузина разделилась
на несколько самостоятельных школ: теории функций,
топологии, теории вероятностей, теории чисел и др.; но
математическая закалка, приобретенная в «Лузитании»,
имела для всех ее членов огромное значение, в том числе
для тех, кто занялся вопросами прикладной математики,
а таких стало немало. Постепенно изменились и личные
отношения между М. А. Лаврентьевым и II. II. Лузи-
ным. Эта перемена иногда отражена и па страницах книги
биографии Лаврентьева 5. В частности в одном случае
он рассказывает, что решив полную задачу, поставлен-
ную И. II. Лузиным и II. С. Александровым, выбрал ее
темой дипломной работы. «Мой дипломный результат
Лузину понравился, он даже включил его в свою книгу,
но про меня забыл... Однако вскоре он предложил мне
другую проблему, поставленную польским математиком
•Ср., например, 117, №7, с. 124 -125; №8, с. 1291.
203
Сериинским, а также подсказал путь к решению. Мои ре-
зультат он послал для публикации в польском математи-
ческом журнале. Это и была моя первая печатная рабо-
та» [там же, с. 118]. Судя по списку работ М. А. Лаврен-
тьева, приведенному в сборниках [18, с. 383—384, № 1 —
71; 19, с. 729, № 72—841, он здесь имел в виду одну из
двух статей по теории функций действительного перемен-
ного, напечатанных в журнале «Fuiidamenta mathema-
ticae», т. 6, за 1924 г. [18, № 2 или № 3]. Что касается
упоминаемой книги Лузина — это его «Лекции об анали
тическпх множествах и их приложениях» [41, а статья
Лаврентьева, о которой идет речь, трактует, вероятно,
о подклассах в классификации Бэра [18, № 4].
Как сказано в докладе Лерэ, общей теорией функций
действительного переменного, особенно дескриптивным
направлением, Лаврентьев занимался до 1927 г. Из ре-
зультатов Лаврентьева того времени сильное впечатление
произвел опубликованный в «Math. Zeitschrift, т. 23 за
1925 г. пример обыкновенного дифференциального урав-
нения с непрерывной правой частью, для которого в каж-
дой точке нарушается единственность решения [18, № 51.
Об этом эффектном результате еще подавно вспоминал, как
о характерном образце тонких примеров, которые в те вре-
мена строились в школе Н. И. Лузина. А. П. Колмогоров
в интервью с В. А. Успенским, помещенном в «Успехах
математических паук» (1985, т. 40. вып. 3, с. 8). С 1927 г.
Лаврентьев начинает исследования по различным вопро-
сам теории аналитических функций, в особенности по
конформным отображениям, а также по вариационному
исчислению. Начав работу научным сотрудником Инсти-
тута математики и механики Московского университета,
ои приступает также к преподаванию в Московском тех-
ническом училище. В 1927 г. он командируется на полгода
в Париж, где сближается с направленным туда же
Д. Е. Меньшовым и заводит обширные знакомства в сре-
де французских математиков. В семинаре Адамара он
успешно выступает с докладом о своем только что упомя-
нутом выше результате по теории дифференциальных урав-
нений и о московских работах по теории функций. В Па-
риже Лаврентьев, по его словам, разработал метод, «поз-
воливший весьма просто решать ряд проблем теории функ-
ций и вариационного числения. Работа была опубликова-
ла во Франции и в Италии» [17, № 8, с. 136J. Эта работа
пропущена в списке, помещенном в [181, хотя изложена
в совместной статье М. А. Лаврентьева и Л. А. Люстер-
294
пика в сборнике [20, с. 134— 1.351, где приведено ее назва-
ние: «О некоторых задачах вариационного исчисления» и
итальянский журнал «Atinali di iiialematica», в котором она
появилась на французском языке (в 1926 г.). В своем до-
кладе Лера упоминает эти изыскания Лаврентьева.
В Париже Лаврентьев и Мепыиов жили в гостинице,
в которой ранее и позднее останавливался И. И. Лузин,
а также его ученики: неподалеку от Пантеона, па ул. Тур-
нефора. № 4. О пребывании в Париже Лаврентьев очень
живо, хотя и кратко рассказал в своей автобиографии
[17, А» 8, с. 136—1371. Веселый, жпвой и общительный,
Лаврентьев оставил здесь по себе долгую и добрую память.
Случайным образом, семья моего отца, включая меня, то-
гда восьмилетнего мальчика, прожила несколько месяцев
1914 г. в той же гостинице. Будучи в Париже в 60-е годы,
я посетил «отель Шомара» (так звали хозяина гостиницы).
Прежнего хозяина уже не было в живых, но я встретился
с одной из его дочерей. Опа хорошо помнила не раз оста-
навливавшегося у нее Лузина, а среди его учеников особо
выделила «высокого, всегда оживленного и такого прият-
ного господина Мишеля», т. е. М. А. Лаврентьева. Мир
тесен, говорят в таких случаях.
По возвращении из Парижа, Лаврентьев продолжил
успешные исследования в избранных им направлениях,
но приступил и к принципиально новым исследованиям.
Многие ученики II. II. Лузина уходили в другие области
математики — теорию чисел, теорию вероятностей, тео-
рию дифференциальных уравнений и т. д., но также и ме-
ханику и физику. Как вспоминал Лаврентьев, частое об-
щенпе с работавшими в МВТУ сотрудниками Централь-
ного аорогидродинамического института — ЦАГП приве-
ло его в эту область механики, служащую теоретической
базой авиационной техники [17, № 8, с. 138—140[.
С 1929 г. он стал старшим инженером теоретического отде-
ла ЦАГП, которым руководил ученик И. Е. Жуковского
и профессор МВТУ Владимир Петрович Ветчипкин
(1888—1950). Нмеппо с работами в области аэродинамики
и новыми задачами ее, обусловленными возросшими по-
требностями авиационной техники — постройки и экс-
плуатации все более совершенных типов самолетов — ока-
зались связанными наиболее глубокие исследования Лав-
рентьева 1938 п следующих годов в молодой тогда отрас-
ли — теории квазиконформных отображений, т. е. ото-
бражений с ограниченным отклонением от конформных
(см. [8, т. 2, с. 810—813]).
295
Этп н другие научные результаты Лаврентьева в тон
или иной мере охарактеризованы в обстоятельном докла-
де Лер.), а его научно-организационная деятельность,
вершиной которой явилось создание Сибирского отделе-
ния АН СССР, которым он руководил в 1957—1976 гг. и
которому посвящена большая часть его автобиографии,
в основных чертах обрисована в докладе Руа. Оба доклад-
чика хорошо знали Лаврентьева.
Научная карьера М. А. Лаврентьева была блестящей.
В Сибирском отделении он был также директором Инсти-
тута гидродинамики. До того в течение ряда лет он руко-
водил Институтом математики АН УССР, членом которой
был избран в 1939 г. и состоял вице-президентом в 1945—
1949 гг. В разное время он был профессором университе-
тов Киева, Москвы, Новосибирска. В 1946 г. он был из-
бран академиком АН СССР и, возглавляя Сибирское от-
деление Всесоюзной АП, одновременно был ее вице-пре-
зидентом. Наконец, он был награжден двумя Государ-
ственными премиями СССР, Ленинской премией, званием
Героя Социалистического Груда и многими орденами.
Лучше всего рассказал о своей жизни сам Лаврентьев
в упоминавшейся автобиографии и желате 1ьно, чтобы
она была издана отдельной книгой, так как новосибир-
ский журнал для экономистов и хозяйственников, в ко-
тором опа напечатана, мало известен впе круга специа-
листов. Надо надеяться, что в свое время будет паписана
и обстоятельная биография М. А. Лаврентьева. Брошю-
ра «Михаил Алексеевич Лаврентьев» (Материалы к
биобиблиографии ученых СССР. Сер. матем., вып. 12) не-
достаточно полна.
Жан Лер.) (Jean Leray, р. 1906) корреспондент (1944)
и член (1953) Парижской академии наук, иностранный
член АН СССР (1966) — специалист по функциональному
анализу, математической физике, топологии, алгебраиче-
ской геометрии, гидродинамике и т. д.— Морис Руа (Mau-
rice Roy, 1899—1986) — корреспондент (1937) и член
(1949) Парижской академии наук, награжденный АН
СССР медалью им. Ломоносова — выдающийся специа-
лист в области механики.
В досье М. А. Лаврентьева, хранящемся в Архиве
Парижской академии наук, имеются два доклада на пи-
шущей машинке, представленных «секретному комитету».
Первый, написанный Лерэ, был заслушан 29.05.1967; вто-
рой, сделанный Руа, датирован 9.03.1970. Так же имеется
оттиск некролога, составленного Лерэ и напечатанного в
296
«Comptes reiuliis» (1983, т. 29G, с. 59—62). К докладу I’ya
приложены ссылки па некоторые работы Лаврентьева и
па статью М. В. Келдыша к 60-летию М. А. Лаврентье-
ва в «Известиях АП СССР», мат. серия, 1951 и на книгу
1201.
II пиная деятельность Михаила Лаврентьева
(члена Академии наук (XICP,
директора Института в Новосибирске,
родившегося в 191И) г. в Казани)
Ж. . I о р э
Первая научная публикация М. А. Лаврентьева вос-
ходит к 1922 ’, когда он только закончил Московский
университет. В период с 1922 по 1927 Лаврентьев работал
в области теории функций действительного переменного,
главным образом — дескриптивной теории множеств (Ле-
бег, 1».»р, Борель. Данжуа, Лузин). В этой области он по-
лучил два важных результата, доказав, что всякое гомео-
морфное соответствие между двумя множествами может
быть распространено на гомеоморфизм двух множеств
типа Ge- Эта теорема позволила решить целый ряд задач
дескриптичноп теории множеств и вошла в основной курс
теории множеств 2. Другим важным исследованием яви
лась теория подклассов3, подробно изложенная Лузиным
в монографии «Об аналитических множествах» 4. Отправ-
ляясь от методов теории функций, Лаврентьев начинает
изучать разнообразные проблемы различных областей
анализа. Он построил пример такой непрерывной функ-
ции /(а*, у). что дифференциа п.ное уравнение
dyldx - f(x, у)
допускает бесконечное множество интегральных кривых,
проходящих через каждую точку единичного квадрата 6.
Этот пример лежит в основании целой серии исследований
в поисках достаточных условий единственности решений
почти всюду.
Лаврентьев сумел найти новый подход к задачам ва-
риационного исчисления в направлении Гильберта—То-
нелли. Один из результатов Лаврентьева был обобщен
Тоиелли в.
В 1926, занимаясь поиском новых методов приближен-
ных конформных отображений, оп установил теорему о
компактности гомеоморфных отображений с ограничен-
ной деформацией. Эта теорема, независимо и в более пол-
297
пом виде найденная Гротшепом 7 лежит в основании ка-
чественной теории ква.зн-конформпых отображений. Эта
теорема позволила Лаврентьеву доказать в 1935 существо-
вание и единственность «обобщенных» решений задачи
Бельтрами об отображении круга |z| < 1 на круг |ц?|<^1
с помощью функций и — и(х, у), v г(х, у), удовлетво-
ряющих эллиптической системе уравнений
де ди , , ди
— = Я1 -5-Г "1 “Г— •
дх 1 дх 1 ду
де ди , , ди
—г— = а2 —--f- Ь2 —— ,
ду i дх i ду
где а, Ь — непрерывные функции х и у. Задача эта была
давно решена в случае, когда а и b удовлетворяют усло-
вию Гёльдера. Лаврентьев полностью решил задачу с по-
мощью обобщенных решений и на примерах показал, что
в случае классической постановки, решение может пе су-
ществовать. Обобщенные решения системы (1) совпадают
(в этом случае) с более общим понятием распределения,
позднее введенным С. Соболевым 8.
В период с 1927 по 1937 усилия Лаврентьева были на-
правлены главным образом на решение ряда задач тео-
рии функций комплексной переменной.
Лаврентьев создал оригинальные конструктивные ме-
тоды в теории копформиых отображений, позволившие
ему решить ряд важных и трудных задач в этой области,
поставленных им самим, а также целую серию задач, по-
ставленных зарубежными учеными и годами дожидав-
шихся своего решения. Среди этих задач следует отметить
1) Задачу Пона об однолистных функциях, ие прини-
мающих п значений н обладающих наибольшей деформа-
цией в данной точке. Эта задача многие годы ирип.шкала
внимание многих крупных ученых (Нойа, Сёге #, Чебота-
рев, Кочни и другие), которым удалось получить только
частные результаты. Лаврентьев решил эту задачу в об-
щем случае.
2) Он нашел количественные оценки соответствия гра-
ниц при конформном отображении, относящимся к теоре-
ме Привалова—Лузина—Риса, широко применяемые
при изучении ортогональных многочленов па границе
области и в других предельных задачах теории функций 10.
3) Равным образом он дал количественную характе-
ристику модуля непрерывности семейств одполпстных
функций. Этот результат имеет фундаментальное значе-
ние в изучении самых различных задач теории функций
(I)
298
в однолистных областях. Те же методы позволили Лав-
рентьеву получить очень сильным результат, относящийся
к возможности равномерного приближения непрерывных
функций, заданных на компактах без внутренних точек,
не разбивающих комплексную плоскость. Этой задаче
посвящена целая серия работ иностранных ученых (Мон-
тель и, Хартогс 12, Розенталь ,3, Курант и). Эта теорема,
как и другие работы Лаврентьева о сходящихся полино-
мах в комплексной области весьма известны и относятся
к наиболее крупным результатам теории рядов комплекс-
ного переменного. Результаты эти собраны Лаврентьевым
в книге «Snr les fonctions d’une x'ariable complexe repre-
sentable.* pas des series des polynoines», написанной no
предложению нашего собрата Поля Моителя и опублико-
ванной в 1936 г. в «Cahiers scienlifiques» ,s.
Методы, созданные в этом цикле трудов Лаврентьева,
находятся в центре современной геометрической теории
функций. Эти методы позволили ему решить целый ряд
других задач, нашли многочисленные приложения и по-
лучили развитие в трудах советских и иностранных уче-
ных. Среди работ школы Лаврентьева в этом направлении
следует упомянуть 18 принадлежащие М. А. Лаврентьеву
и А. Ф. Бермапту 17 о задаче покрытия (задаче Блоха *8),
Базилевича 18 о проблеме коэффициентов однолистных
функций, Лаврентьева и Шепелева 20 о задаче Сегё, Лав-
рентьева, Безсопова 21 о граничных значениях производ-
ной и, наконец, Лаврентьева и его учеников о разложе-
нии функций в ряды полиномов.
Аналитическая теория квази-конформных отображе-
ний представляет собой оригинальное и весьма цепное
направление, истоком которой являются работы Лав-
рентьева. Ои рассматривает классы непрерывных ото-
бражений, которые также связаны со специальными урав-
нениями эллиптического типа, как конформные отобра-
жения и уравнение Лапласа. Известна большая ценность
теории конформных отображений в самых разнообразных
приложениях, связанных с уравнением Лапласа.
В 1932 параллельно с основной темой, относящейся к
теории функций, Лаврентьев предпринимает исследова-
ние различных задач механики жидкостей.
М. А. Лаврентьев выдвинул проблемы удара твердых
тел о воду, и, вместе со своими учениками, решил неко-
торые относящиеся к их числу предельные задачи 22. Не-
сколько человек под его руководством до конца изучили
частные задачи, имеющие непосредственные приложения.
299
В Советском Союзе Лаврентьеву принадлежат постановка
и первые результаты в теории нерегулярного обтекания
крыла, получившие важные приложения, и широкая раз-
работка задач о вибрации крыльев, играющих первосте-
пенную практическую роль в авиации 23.
В механике жидкостей М. А. Лаврентьеву принадле-
жат самые глубокие и оригинальные результаты в теории
волн. Здесь, основываясь на своих тончайших теоретико-
функциональных результатах, оп разработал новый метод
теории нелинейных волн, позволивший ему решить проб-
лему Рзлея **; этот замечательный результат привлек вни-
мание специалистов в области классической механики
жидкостей (средн других — Левн-Чпвнта 25). Целый ряд
бесплодных попыток привел их к выводу,что появление
на поверхности тяжелой жидкости только одной волны
невозможно. М. А. Лаврентьев доказал существование
таких волн и дал метод, позволяющий их рассчитывать.
Исследования М. А. Лаврентьева по теории струй-
ных течений имеют принципиальную важность п большую
ценность. С помощью новых методов он устанавливает
целую серию теорем существования, а также сообщает
целую серию интересных теорем, характеризующих из-
менение формы струй и значение фронтального сопротив-
ления при изменении обтекаемого тела.
В период с 194.3 по 1945 М. А. Лаврентьев производит
экспериментальные и теоретические исследования в об-
ласти кумуляции. Эти исследования привели его к объяс-
нению целого ряда фундаментальных законов, управляю-
щих кумулятивным взрывом, а именно к объяснению важ-
ной роли металлической оболочки. Результаты работ
М. /X. Лаврентьева в этой области, изложенные в четырех
его работах, позволили ему внести конкретные предло-
жения относительно расширения эффекта кумуляции.
В этом цикле работ М. А. Лаврентьев проявил себя не
только как теоретик, но и как экспериментатор 2в.
За последние двадцать лет, с 1947 по 1967, работы
Лаврентьева относятся главным образом к механике не-
прерывных сред. Здесь прежде всего нужно указать за-
метку Лаврентьева и Пшлннского27 по динамической
теории устойчивости. Известно, что когда медленно за-
ряжают сравнительно тонкий ствол и заряд достигает сво-
его критического значения (согласно Эйлеру), ствол утра-
чивает свою устойчивость и начинает изгибаться, так что
его ось образует волну. Авторы показали па опытах и
предложили теорию, согласно которой, если ствол мгно-
300
веныо нагружается зарядом, в п раз превосходящим кри-
тический заряд, то ствол начинает сгибаться так, что его
ось образует J п воли. Сегодня эта теория широко распро-
странена и получила важное развитие.
Лаврентьев и его ученики построили целую серию но-
вых схем движений жидких сред для случаев, когда об-
ласть, занимаемая средой, составлена из нескольких об-
ластей, в каждой из которых движение задано своей систе-
мой уравнении.
Эти схемы во многих случаях движения оказываются
близкими к действительности и позволяют вычислить дви-
жение, которое пе прннад 1ежнт к классическим схемам.
Совершенно новой является работа Лаврентьева о вы-
числении движения в воде ужей и некоторых видов рыб.
В последние годы Лаврентьев вернулся к задачам ква-
зи-конформных отображений пространственных облас-
тей. В качестве приложения ои впервые получил резуль-
тат, относящийся к построению истечения жидкости с су-
щественно пространственной свободной границей 28.
Ж. Лерэ
М. А. Лаврентьев
Доклад г. М о р и с а Г у а
9 марта 1970
Михаил Алексеевич ЛАВРЕНТЬЕВ — русский мате-
матик, ставший специалистом во многих областях, осо-
бенно в механике.
Он был и остается одновременно исследователем и пре-
подавателем очень высокого класса, который продемон-
стрировал выдающееся дарование не только главы науч-
ной школы, но также крупного организатора, админист-
ратора, деятеля. Сочетание этих качеств обусловило руко-
водящее место, которое он более десятка лет занимает в
ученом мире Советского Союза, притом более всего в Ака-
демии наук этой страны, которую я здесь буду кратко на-
зывать Академией СССР.
Родившись в Казани 19 ноября 1900, Лаврентьев окон-
чил Московский университет в 1922, с которого начинается
публикация его математических трудов. Во время стажи-
ровки во Франции он успешно усваивал преподавание
нескольких крупных математиков того времени, и он не-
изменно проявит впоследствии свою признательность
этим кратковременным учителям.
301
В 1932—1933 оп становится одновременно доктором
технических и доктором физико-математических наук и
эта двойная квалификация определяет уже его склонности
и талант и в абстрактной и в конкретной областях. С 1931
по 1911 оп является профессором Московского универси-
тета и с 1939 он руководит Отделом теории функций Мате-
матического института Академии СССР.
С 1939 по 1918 он руководит Институтом математики и
механики Академии наук Украины, членом которой со-
стоит с 1939 и Президентом с 1945 по 1948 28. В 1946 по
окончании войны ои избирается членом нашего советского
собратства и с 1950 по 1953 руководит его Институтом точ-
ной механики и вычислительной техники.
В 1946 и 1949 он получает две Сталинские премии и в
1960 орден Лепина, которые характеризуют в его стране
его значение и научное влияние.
В 1961 он становится директором Института гидроди-
намики нового Новосибирского отделения Советской ака-
демии, затем председателем этого Отделения. Здесь оп
полностью проявляет себя как организатор и творец, ру-
ководя созданием в Новосибирске (Сибирь) совершенно
нового города — Академгородка, единственного в мире
города, сосредоточенного на научном преподавании и ис-
следовании. Он подлинный создатель этого столь уникаль-
ного поселения, так быстро ставшего посреди Сибири од-
ним из крупных мировых центров распространения науки.
Творчества математика Лаврентьева уже было бы дос-
таточно, чтобы он заслужил место принадлежать к нашей
среде, благодаря многочисленным и важным теоремам и
новым результатам, автором которых ом является. Оно
было высоко оценено в ряде случаев нашими собратьями
гг. Данжуа, Монтелем и Лерэ.
Коротко говоря, оно относилось главным образом к
дескриптивной теории множеств, к теории функции комп-
лексного переменного, особенно к функциям этого рода,
представимым сходящимися рядами многочленов, к ана-
литической теории конформных отображений, теории ква-
зиконформных отображений, к весьма многочисленным
близким математическим задачам, относящимся к прило-
жениям в механике непрерывных сред. Весьма примеча-
тельно, что эти приложения математических теорий, во-
обще говоря, принадлежат к неклассическим и особенно
грудным вопросам механики, например, к удару твердых
тел о воду, к удару и форме жидких стрхй, наталкиваю-
щихся на препятствия, к не-лннейным волнам жидкостей,
302
пли к кумулятивным взрывам. В последнее десятилетие,
в частности, Лаврентьев начал, побуждал и осуществлял
чрезвычайно важные теоретические и опытные исследова-
ния о применении взрывов для изменения земного релье-
фа и, например, прорытия каналов. Новосибирский центр
изобилует работами, вызванными смелым и плодотвор-
ным вдохновением. В новейших исследованиях, по меха-
нике как систем, так и непрерывных сред Лаврентьев не
ограничивается тем, что направляет и вдохновляет дея
тслыюсть своих учеников н сотрудников, но ведет также
личные оригинальные работы.
В настоящее время место Иностранного члена, зани-
мавшегося ранее русским математиком, является вакант-
ным ао. Предложение предоставить это местоЛавреитьеву
дает нашей Академии случай включить в свои состав
весьма выдающегося ученого из Советского Союза, кото-
рый приобрел в нашем собратстве весьма влиятельное
и вполне заслуженное положение.
Если добавить, что Лаврентьев — человек открытый и
благородный, превосходно понимающий наш язык, улав-
ливает все его оттенки и бегло на нем говорит, что ои яв-
ный друг нашей культуры, что он всегда очень тепло при-
нимал в своей стране французских ученых, имевших воз-
можность его встретить или прибывших с ним повидаться,
то можно было бы сказать, полагаю, что привлекая его в
состав нашего Общества, мы приобретаем не только квали-
фицированного представителя советского ученого Мира,
но также подлинного Друга,
Примечания к докладам Ж. Лерч и М. Ру а
Ссылки па работы М. А. Лаврентьева как правило, даны ио
книгам [18, с. 383—384| и (12, с. 729[.
1 Лера, вероятно, имеет ввиду статью Лаврентьева о гомеоморф-
ных множествах в «Comptes rendut-» за 1924 г. [18, № 1J.
2 Речь идет о статье [18, № 3[.
* Эта работа папечатапа в «Comptes rondus» за 1925 г. [18, № 3).
4 Монография Лузина, упоминаемая выше во введении к докла-
ду Лерэ, была издана на французском языке в серии под редакцией
Бореля в 1928 г. и в русском переводе в 1958 г., а также во 2-м томе
его Собрания сочинений (М.: Пзд-во АН СССР, 1958). Предисловие
А. Лебега к этому труду напечатано в русском переводе с поясне-
ниями В. А. Успенского в «Успехах математических наук», 1985,
вып. 3, т. 40, с. 9—14.
4 Об этом результате Лаврентьева см. выше во введении к док.та
ду Лерэ и [18, Л" 6[.
• О связи теоретико-функциональных методов вариационного
исчисления Лаврентьева (а также II. II. Боголюбова) с методами
Тонелли см. [20, с. 133—136]. Л. Тоннелли (Leonidas Tonelli, 1885—
303
1946) — итальянский математик, автор двухтомного труда но ва-
риационному исчислению, изданного в 1922—1924 гг.
• В тексте Лерэ фамилия профессора университета в Галле
(ГДР) Герберта Грётшп (Herbert Gri.tsch, р. 1902) написана непра-
вильно: Grotschen. О результатах Грётша в теории конформных и
квазиконформных отоораженпй см. [8, т. 1, с. 1122; т. 2, с. 811].
В (8, т. 2, с. 810—811] см. также об упоминаемом несколько далее
уравнении Бельтрами (Eugenio Beltrami, 1835—1900), итальянского
математика, предложившего первую (не совсем полную) интерпре-
тацию геометрии Лобачевского в евклидовом пространстве; об ус-
ловии Гельдера, профессора в Лейпциге (Otto Liidxvig Holder,
1859—1937) см. [8, т. 1, с. 913].
В датировке работы М. А. Лаврентьева 1926 г. Лерэ, ио-види-
мому, ошибся. Речь идет о работах 1927 1928 гг. [18, № 6—8|.
Статьи 1935 г. .что |18. №31—32].
8 О теории обобщенных функции академика С. Л. Соболева см
(8, т. 3, с. 1104 - 1110].
* Дьёрдь Попа (Gyorgy, George Polya. 1887—1985) — венгер-
ский математик, переехавший в 1940 г. в США, иностранный коррес-
пондент Парижской академии паук (1947). Габор Сеге (Gaber, Gab-
riel Szego, 1895—1985) — венгерский математик, также переехав-
ший в США [18, № 13, 14], и [20, с. 58—59|.
10 О теоремах II. II. Лузина — II. И. Привалова п Ф Рнсса
см. [8, т. 3,с. 459—460, т. 4, с. 1040 1041], а также [т. 1, с. 1101 н
20, с. 327—329]. Лерэ, очевидно, имеет в виду теорему братьев
Ф. it М. Риссон. Соответствующие работы Лаврентьева: [18, № 6,
И, 28. 34]. (Ференц Рисе (Ferenz Riesz, 1880 1956) — венгерский
математик, член-корр. (1916) и академик (1936) Венгерской академии
наук, корреспондент Парижской академии наук (1948).— Его брат
Марсель Рисе (Marcel Riesz, 1886—1969) с 1911 г. был профессором
в Швеции, затем в США).
11 Поль Моптель (Panl-Antoine Montel, 1876- 1975), члеп Па-
рижской академии наук (1937), автор многочисленных исследований
в различных областях математики, в частности теории аналитиче-
ских функций (их приближение многочленами, теоремы о компакт-
ности и др. см. [8. т. 2, с. 994 и т. 3, с. 820—821]). Ряд исследований
Лаврентьева святи с работами Моптеля, иапрнмер [18, №7, 12[
и др.
12 Фридрих Хартогс (Friedrich Ilartogs, 1874 1933) — профес-
сор в Мюнхене.
13 Артур Розенталь (Arthur Rosenthal, 1887—1959), немецкий
математик.
11 Рихард Курант (Richard Courant, 1888—1972), профессор в
Геттингене, в 1933 г. эмигрировавший в США. где в Нью-Порке
организовал крупный математический институт. Иностранный член
АН СССР (1966).
13 Это работа [18, № 331; см. также [18, № 23], [8, т. 3, с. 167[,
[21, с. 387].
18 Речь идет о работах [20, № 27, 30[, посвященных задаче
Блоха.
17 Анисим Федорович Бермант (1904—1959) — профессор ряда
вузов в Москве.
18 Андре Блох (Andre Bloch. 1893 - 1948) — французский мате-
матик и физик (см. [8, т. 1, с. 506—507]).
18 Базилевич Иван Евгеньевич, профессор ряда московских
вузов (1904—1983). Список его работ см. в [18, с. 51].
304
20 Имеется в виду работа [18, № 141. Виталий Матвеевич Шепе-
лев (1897—?) был профессором в Москве.
21 Имеется в виду работа [18, № 15[. Павел Александрович
Безсонов (1889 -1979) был профессором в Москве.
и См. [18, № 26J (работа эта совместная с М. В. Келдышем).
23 Обзор работ М А. Лаврентьева по кругу вопросов гндро-
н аэродинамике, о которых пишет далее Лерэ, см. в написанном
Г. К. Михайловым разделе книги [22, с. 281—3071 по именному ука-
зателю; см. также [22, с. 323, 334[. Там же на с. 284 есть указания
на соответствующие работы Леви-Чивита и на вклад в теорию струй
самого Лерэ (см. [18, № 43, 45, 4б[).
24 Лорд Рэлей (правильнее Роли; John William Strutt, Lord
Rayleigh, 1842—1919) английский физик и механик, член Королев-
ского общества (1873), иностранный член-корреснондент Российской
академии наук (1896), корреспондент (1890) и иностранный член
(1910) Парижской академии наук.
24 Туллпо Леви-Чивита (Tuilio Levi-Civita, 1873—1941), член
Национальной академия деп Лпнчеп, иностранный чл.-корр. (1904)
и иностр, член (1934) АН СССР, корр (1911) и иностр, член (1938)
Парижской академии наук.
28 Ср. обзорную статью М. А. Лаврентьева 1957 г. по этому воп-
росу [18, № 71[.
27 См. [18, № 62[, а также [24, с. 258[.
28 См. [19, № 76, 80, 84[.
21 Перечисление постов, которые занимал М. А. Лаврентьев
и полученных им наград в докладах Лерэ и Руа не является ни пол-
ным, пн совершенно точным. В частности, Лаврентьев был вице-
президентом АП УССР.
20 М. А. Лаврентьев был избран па вакансию, освободившуюся
после смерти С. И. Бернштейна.
.ЛИТЕРАТУРА
1. Русско-французские научные связи. Л.: Паука, 1968.
2. Проблемы Гильберта. М.: Наука, I960.
3. Бернштейн С. И. Собрание сочинений. М.: Пачка. 1952 —1964.
Т. 1—4.
4. Успехи математических наук. М.; Л.: Гостехтеориздат, 194(1.
Вып. 8.
5. Демидов С. С. К истории проблем Гильберта // Историко-мате-
матические исследования. 1966. Вып. 17. С. 91 —121.
6. Гончаров В. Л. Теория наилучшего приближения функций //
Научное наследство П. .1. Чебышева. Математика. М.; Л.:
Изд-во АН СССР, 1945. Выи. 1. С. 122—172.
7. Ахиезер Н. И. Академик С. Н. Бернштейн и его работы по кон-
структивной теории функций. Харьков, 1955.
8. Математическая энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1977—
1985. Т. 1—5.
9. Юшкевич А. И. История математики в России до 1917 года. М.:
Паука, 1968.
10. Ахиезер Н. И. Чебышевское направление в теории функций //
Математика XIX века. М.: Наука, 1987. С. 9—79.
И. Делоне Б. Н. Петербургская школа теорпп чисел. М.; Л.: Изд-
во АН СССР, 1947.
12. Риман Б. Сочинения. М.; Л.: ОГИВ, 1948.
11 Заказ М 2060
305
13. Виноградов И. V. Основы теории чисел. 9-е изд. М.: Паука
1981.
14. Виноградов И. М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР
1952.
15. Виноградов И. -V. Метод тригонометрических сумм в теории
чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1980.
К». Виноградов Иван Матвеевич (Материалы к биобиблиографии
ученых СССР. Сер. математ.). М.: Наука, 1979. Вып. 14.
17. .7аврентъев М. А. Опыты 'жизни. 50 лет в науке // ЭНО (Эко-
номика и организация промышленного производства). 1979
№ 7; 1980. А* 8.
18. Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957. Биобиблиография.
М.: Физматгиз, 1959. Т. 2.
19. Математика в СССР. 1958—1967. Биобиблиография. М.: Наука,
1959. Т. 2. Вып. 1.
20. Наука в СССР за пятнадцать лет (1917—1932). Математика.
М.; Л.: Гостехтеорнздат, 1932.
21. Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947. М.; Л.: ОГИЗ,
1948.
22. История механики с конца XVIII века до середины XX века.
М.: Наука, 1972.
23. Leonhard Euler und Christian Goldbach in ihrem Briefwechsel.
1736—1764 / Hr ;. von. A. P. Jnskevic und E. Winter. Berlin:
Akad. Verl., 1965.
ПИСЬМА A. M. ЛЯПУНОВА К. А. АНДРЕЕВУ
О. Б. Шейнин
1. Жизнь Александра Михаиловича Ляпунова хорошо известна
11,2]. Константин Алексеевич Ан реев (1848—1921), воспитанник
Московского университета, в 1873—1898 гг. преподавал в Харь-
ковском университете, затем — в Московском: в 1884—1899 гг.
оп был президентом Харьковского математического общества (ХМО)
и редактором «Сообщении» этого общества [3]. В 1884 г. ои был
избран членом-корреспондентом Петербургской академии наук.
Д. 3. Горловский |3] опубликовал без комментариев выдерж-
ки из писем Андреева Ляпунову *, ио о письмах Ляпунова
Андрееву, которые мы обнаружили в Архиве МГУ а, ничего не СООб-
ЩИЛ.
Первое письмо Андреева (17.02.1899) не связано с известными
паи теперь письмами Ляпунова и мы его оставляем в стороне. Мы
также нс станем воспроизводить первого письма Ляпунова (11.06.
1897 — все даты даются по старому стилю), поскольку в нем речь
идет только о его пребывании в Крыму и о том. насколько поездка
помогла его брату, который вначале не мог самостоятельно ходить.
Ляпунов не назвал нмепи этого брата, однако в статье фнтолога,
академика Бориса Михайловича Ляпунова [1. с. 11] упомянута
поездка А. М. с женой, тещей п им самим в Крым в мае — июне
1897 г. Никаких подробностей поездки Б. М. пе привел.
Почти все последующие письма Ляпунова связаны с публика-
цией статьи [4] в ответ на критику II. \. Некрасова [5]. Другая
Зоб
тема переписки была связана с подготовкой нового университет-
ского устава. Оказывается [I, с. 11], Ляпунов участвовал в работе
соответствующей комиссии Харьковскою университета. 29 апреля
1901 г. министерство народного просвещения разослало для об-
сужденпя предложения о иовом уставе (6, с. 1—4], однако еще до
того в нескольких университетах стали обсуждаться причины сту-
денческих волнении и предлагаться «меры к у иорядочеипю уни-
верситетской жизни» (там же, с. 5). В Московском универ птете
комиссия была избрана для этой цели 28 февраля 1901 г., а в Харь-
ковском университете—26 апреля 1901 г. (там же).
2. Павел Алексеевич Некрасов (1853 1924) был крупным
ученым, профессором щ одно время ректором Московского уни-
верситета, ио на рубеже XIX —XX пв. в ею научной деятельности
произошел перелом. Математику он связал с религией и политиком,
стал невообрашмо многословен и его тогдашние сочинения до сих
пор не разобраны. Вот мнение II. С. Юшкевича из забытой газетной
статьи: Некрасов — «большой охотник до философии», до «любо-
мудрия», но «любомудрие почтенною ученого носит совершенно
особенный... характер. :>то какая-то диковинная смесь глубоко-
мыслия гоюлевского Кифы Мокмевнча с нудным пустословием
и сухословпем щедринского Иудушки» 17].
Некрасов [5] обвинил Ляпунова в ошибках и недочетах, якобы
допущенных им в его классическом мемуаре |8|. По его рассужде-
ния были либо голослонпы или неопределенны, либо совсем не от-
вечали содержанию работы Ляпунова. Аналогичное заключение
можно сделать по поводу обвинении Некрасова в адрес критикуемых
нм заодно сочинении II. Л. Чебышева п Л. А. Маркова. Ослеп-
ленный своей критикой, Некрасов даже перепутал понятия предела
п асимптотически! о выражения функции.
А. М. Ляпунов — К. А. Андрееву
29 марта 1901 г.
Многоуважаемый Константин Алексеевич,
обращаюсь к Вам с очень большой просьбой. Вы уже,
вероятно, имеете отдельный оттиск заметки Некрасова,
в которой он выступает с обвинениями против меня, Мар-
кова и Чебышева. Если Вы познакомились с моими статья-
ми, то, конечно, заметили, что Некрасов совершение из-
вращает истину и делает это с нахальством, превосходящим
всякую меру. Поэтому, хотя я и пе имею пи малейшего
желания вступать с ним в полемику, приходится отвечать,
и вот я посылаю Вам рукопись своего «Ответа» и прошу
Вашего содействия для помещения его в Матем. Сборнике,
по возможности в том же книжке, в которой должна по-
явиться заметка Некрасова. Я не стал бы Вас беспокоить
этой просьбой, если бы мог напечатать свой «Ответ» в Со-
общениях 3. Ио отношения с Зильбербергом у нас окон-
чательно испортились и печатание Сообщений приходится,
11* 307
по крайней .мере па время, приостановить 4. Вот почему
мпе прихо щтся обращаться к помощи Мат. Сборника.
Думаю, впрочем, что я имею на это некоторое право, так
как состою членом Московского Мат. Общества6.
Тон моего «Ответа» Вы найдете быть может несколько
резким. Ио что же делать? Я старался смягчить его на-
сколько было возможно. Одпако всему есть предел и иттп
дальше в этом направлении я не могу. Достаточно и того,
что я пе ставлю в вину Некрасову умышленное искажение
истины, в чем нисколько пе сомневаюсь, а странные его
нападения на меня объясняю .шшь незнакомством его с
содержанием моей первой статьи.
Злая, что своей просьбой я причиняю Вам некоторую
неприятность, я прошу Вас извинить меня, принимая
в расчет, что положенно мое в настоящем случае почти
безвыходное, так как я не имею возможности напечатать
свой «Ответ» где-либо в другом месте. Впрочем, Ваше со-
действие может ограничиться лишь передачей рукописи
председателю Общества 6 с изложением ему моего желания.
Исполнением моей просьбы Вы меня крайне обяжете.
Как дела в Университете? Слышал я о Вашей комиссии,
но сколько-нибудь определенных сведений о ее назначении
здесь нельзя получить.
Поздравляю Вас и Екатерину Ивановну с наступающим
праздником и всему Вашему семейству шлю самые лучшие
пожелания. То же просят передать Вам и все мои.
Искренне уважающий Вас и преданный Вам
Л. Ляпунов
К. А. Андреев — А. М. Ляпунову
31 марта 1901 г.
Андреев передаст рукопись Ляпунова секретарю ММО,
Б. К. Млодзеевскому п переговорит с Бугаевым. Судьей в споре
Ляпунова с Некрасовым быть нс берется. Некрасов «мыслит ...
вообще неясно, .хотя, может быть, в глубоко, а налагает свои мысли
еще темнее. Удивляюсь только, что он так самонадеян. В его по-
ложении при такой массе административных тягостен 7 нельзя,
по-моему, иметь даже достаточно свобо щого времени, чтобы спо-
койно обдумывать глубокие научные вопросы...*
Андреев скептически настроен ио поводу университетской
реформы, поздравляет Ляпунова с избранием в члены-корреспон-
денты Петербургской академии наук н даже *с будущим более
полным вступлением в Академию* [3, с. 40 -41].
308
А. М. Ляпунов — К. А. Андрееву
8 апреля 1901 г.
Многоуважаемый и дорогой Константин Алексеевич,
благодарю Вас за поздравление с избранием меня в
корреспонденты Академии н за добрые пожелания. Что
касается более полного вступления в Академию, па ко-
торое Вы намекаете, то это вопрос еще не решенный,
и как он разрешится пока сказать нетьзя. По раз зашла об
атом речь, я должен Вам сообщить, что получил предло-
жение баллотироваться, па что и дал согласие. Однако
окончательно вопрос будет решен только осенью. Пока
же мне было бы приятно, если бы об этом деле не говорили.
Сегодня был у нас В. А. Стеклов, только что приехавший
из Москвы. Рассказывал много интересного о Ваших уни-
верситетских делах. Очень приятно было узнать, что доклад
нашей факультетской комиссии наконец получил неко-
торое движение и теперь в качестве материала фигурирует
в делах Вашей комиссии.
Я просил В. А. Стеклова перед отъездом из Москвы
побывать у Вас и взять рукопись моего «Ответа», если
его не нашли возможным печатать в Матем. Сборнике.
Но В. А. Стеклов говорит, что рукопись уже передана
Вами В. К. Млодзеевскому; узнать же, будут ли ее пе-
чатать, он не мог. Ввиду этого я просил бы Вас, много-
уважаемый Константин Алексеевич, при свидании с
Б. К. Млодзеевскнм спросить, как решено это дело. Если
статья не будет печататься в Математическом Сборнике,
я желал бы получить рукопись обратно. В таком случае
я напечатаю ее в Университетских Записках 8 (о сущест-
вовании которых, к стыду своему должен прибавить, я
совершенно позабыл, когда послал Вам рукопись).
Если же статью решено печатать в Мат. Сборнике, то
я просил бы Вас сообщить кому следует, что я непременно
желаю просматривать корректуры, которые до 20-го мая
прошу адресовать в Харьков (Сумская. (>8), а позлее так:
Симбирской губернии Волховское почтовое отделение,
село Теплый Стан, А. М. Ляпунову ®.
Прошу Вас извинить меня за все причиняемые Вам
хлопоты и премного благодарю Вас за содействие, ока-
занное мне в этом неприятном деле.
Все мои благодарят Вас за память и просят передать
Вам и Екатерине Ивановне поклоны и наилучшие поже-
лания.
309
С пожеланием всего лучшего Нам и всему
мепству остается глубоко уважающий Вас
проданный Вам
Вашему ce-
il искренне
А. Ляпунов
К. \. Андреев — \. М. Ляпунову
13 апре 1я 1901 г.
Еугаев и Некрасов не желают публиковать рукопись Ляпуно-
ва. Впрочем, Некрасов согласился опубликовать ее, но не раньше
чем через год - и с добавлением своих возражении в отдельной
заметке. Андреев считает целесообразным расширить рукопись
и смягчить ее той 13, с. 41 43].
М. Ляпу нов — К. Л. Аидр< еву
21 апреля 1901 г.
Дорогой и многоуважаемый Константин Алексеевич,
благодарю Вас за присылку рукописи н за все хлопоты
по ее добыванию. Из Вашего предыдущего письма я за-
ключил, что рассчитывать на скорое возвращение рукописи
едва ли можпо, а потому' принялся за редактирование
нового «Ответа». При этом, согласно Вашему совету, я
значительно расширил свою статью, изобразивши деталь-
но всю фактическую сторону' дела и не оставивши без от-
вета ни одного возражения Некрасова. Однако думаю,
что именно благодаря этому мой «Новый ответ» причинит
Некрасову значительно большие неприятности. Быть мо-
жет, Некрасов даже пожалеет (конечно, в душе), что
не поторопился напечатать «Ответ» в старой редакции.
Кончили ли Вы работу в комиссии? Если результат
этой работы уже был доложен Совету, то интересно было
бы знать, как он отнесется к делу.
Когда мы поедем в деревню, еще пе выяснено вполне.
Вероятно, в самых последних числах мая. Если проездом
бущем в Москве, надеюсь повидаться с Вами.
Все мы шлем Вам и Вашему семейству искренний при-
вет н наилучшие пожелания.
Глубоко уважающий Вас и сердечно преданный Вам
Л. Ляпунов
310
Л. М. Ляпунов — К. А. Андреев)
(Без даты)
Петроград, В. О., 7-я лип., 2.
Дорогой и многоуважаемый Константин Алексеевич,
чрезвычайно приятно было получить от Вас весточку.
Мы слышали, что операция принесла Вам существенную
пользу и что в настоящее время здоровье Baine значительно
поправилось, что нас очень порадовало. Хотелось бы по-
видаться с Вами. Но с тех пор как введен прямой поезд
Петроград—Казань, нам не приходится останавливаться
в Москве. Поезд же стоит там около трех часов, и мы едва
успеваем повидаться с родными, живущими в Москве.
О Вашем желании получить книгу. изданную
А. II. Крыловым 10. я ему передал вчера по телефону и
он ответил, что книга иа-днях будет Вам выслана.
С осени этого года мы перебрались на казенную квар-
тиру. Квартира небольшая, но уютная, и для нас двоих
достаточно поместительная, притом очень теплая, что в
настоящую суровую зиму очень ценно. Недостаток ее,
однако весьма существенный, лишь в том. что она темно-
вата: помещается в 1-.м этаже и окна, выходящие на улицу,
обращены на северо-восток. Хдрес наш: В. О., 7-я линия,
Л. 2.
Лето мы провели в деревне довольно плохо, так как
Наташа 11 все время хворала: лето у пас было довольно
прохладное и у нее обострился старый легочный процесс.
Теперь от этого заболевания опа оправилась, но сильно
страдает от болей в руках и ногах. Быть может, это рев-
матизм или модная теперь подагра, а возможно, что и
невралгия. Начались эти боли еще весной, а к осени сильно
обострились. Лечится синими лучами. По это лечение по-
могает лишь очень медленно.
Я занимаюсь теперь науками далеко ие так усердно,
как прежде. Совершающиеся мировые события до такой
степени захватывают, что ни о чем другом как-то не хо
четен и думать. Притом для запнтий науками необходимо
спокойное состояние духа, а совершающееся вокруг весьма
часто до такой степени возмутительно, что может приво
днть лишь в сильное раздражение и озлобление. В таких
случаях занятия наукой могут служить лишь средством
для отвлечения мыслей и не могут быть плодотворными 1г.
В этом году обычный предпраздничный обмен визит-
ными карточками допущен пе будет. Поэтому заранее
ЗИ
поздравляю Вас и Екатерину Ивановну с наступающими
праздниками и Новым годом. Наташа также шлет Вам
обоим привет, поздравления и наилучшие пожелания.
Глубоко уважающий Вас и преданный Вам
А. Ляпунов.
Примечавпл
1 Письма хранились в Архиве АП СССР в Ленинграде (ф. 257,
он. 1, № 29).
» Ф. 217, on. 1, № 87.
3 Ляпунов имеет в виду Сообщения ХМО.
4 «Сообщения» печатались в харьковской типографии «М. Зиль-
берберг и Сыновья». Хронология выхода в свет отдельных но-
меров седьмого тома «Сообщений», если судить ио разрешитель-
ным надписям Ляпунова, была нарушена, а Ай 1 снабжен двумя
такими надписями: 30 ноября 1900 г. и 10 апреля 1902 г.
4 Ляпунов был членом Московского математического общества
(ММО) с 1892 г. (Мат. сб. 1891. Т. 16. С. 845).
• Президентом ММО был И. В. Бугаев.
7 Некрасов был в то время попечителем Московского учебного
округа 11 вице-президентом ММО.
8 Точнее, в Записках Харьковского университета.
8 В Теплом Стане жила младшая сестра отца Ляпунова.
10 Из дальнейших строк письма следует, что оно было написано
в военные годы; единственном книгой, «изданной» в то время
A. II. Крыловым, как ото следует из библиографии его трудов
[9, с. 39—411, был перевод «Математических начал натур 1ьноп
философии» Ньютона. Он вышел в свет в 1915 г. (кн. 1) и 1916 г.
(кн. 2 и 3).
11 Жена Ляпунова, Наталья Рафаиловна.
и В 1916 г. Ляпунов опубликовал две статьи, обе в «Известиях
Петроградской ака »емип паук». Еще одна статья, представлен-
ная нм в том же 1916 г., вышла в спет в 1917 г., снова в «Из-
вестиях»... [toj.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ляпунов />. .1/. Краткий очерк жизни и деятельности А. М. Ля-
пунова Ч Пав. All СССР. Отд. фпз.-мит. на\к. Сер. 7. 1930.
№ 1. С. 1-24.
2. Цесевич В. П. А. М. Ляпунов. М.: Знание, 1970.
3. Гордевскии Д. 3. К. А. Андреев. Харьков: Харьковский уни-
верситет, 1955.
4. Ляпунов А. М. Ответ И. А. Некрасову //Зап. Харьк. ун-та.
1901, Т. 3. С. 51- 63.
5. Некрасов 11. А. По поводу одной простейшей теоремы о вер ят-
ностях сумм и средпнх величин /7 Мат. сб. 1901 Т. 22, № 2.
С. 225—238.
6. Труды высочайше учрежденной комиссии по преооразованпю
высших учебных заведений. СПб., 1903. Вып. 1. (На правах
рукописи.)
312
7. Юшкевич И. [С.] Об одной ученой полемике//Газета «День».
8 ноября 1915 г. С. 3 4.
8. Ляпунов A. At. Sur ипе proposition de la theorie des probabili-
tes // Bull. Acad. Imp. Sci. St. Petersbg., 19Щ; сокращ. вариант;
Sur un theoreme du cakul des probabilites // С. r. Acad. sci. Paris.
1991. Vol. 132. P. 126—128; рус. нер.: Об одной теореме теории
вероятностен И Собр. соч. М.: Изд-во АН СССР, 1954. Т. 1.
С. 125 151.
9. Крылов А. Н. Собрание трудов. М.; Л.: Нзд-во АН СССР,
1956. Т. 12, ч. 2.
10. Лукомская А. М. А. М. Ляпунов. Библиография. М.; Л.: Изд-во
АН СССР, 1953.
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН*
\ шмар Ж. С. (ilad.unard J. Я.)
61, 62, 86, 111, 207, 208, 210,
239, 276, 283, 287—289, 291,
292, 294
Адамс Дж. (Adams J.) 93, 111
Александров П. С. 87 , 92, 116,
117, 124, 199, 211, 293
Альварес-Гаум JI. (Alvares-Gaii-
mo L.) 98
Альфорс Л. (Ahlfors Б.) 91 93,
114, 157
Андреев К. А. 79, 306—311
Андронов А. А. 99, 197
Аносов Д. В. 100
Анрп В. A. (Henri V.) 254 -256
Апушкина Е. К. 120
Аппель И. Э. (Appell Р. Е.) 56,
231
Аппельрот Г. Г. 62
Аракелов С. 106
Араки X. (Araci II.) 93
Арнольд В. 11. 274
Лртпн Э. (Artin Е.) 92
Архимед 14, 19, 26 28
Атья М. Ф. (Athiyah М. F.) 93,
94, 96 98
Ахиезер 11. II. 277 , 285, 287
Базилевич И. Е. 299, 304
Ванах С. (Banach S.) 199
Бари Н. К. 196, 199, 206
Бартенев С. П. 172, 174
Бачинский А. И. 77
Белпковпч А. С. (Besicovich
A. S.) 193
Безсоиов П. А. 299, 305
Белу В. (Bezout Е.) 11, 13, 16
Бейкер A. (Baker А.) 94, 107
Бельзецкпй С. И. 55
Бельтрами •>. (Beltrami Е.) 298,
304
Бендпксоп Ц. (Bendixson 1.) 108
Бергман Дж. (Bergman G.) Ill
Бермаит А. <1>. 299. Зо4
Бернулли Яков I (Bernoulli
Jacob 1) 15, 16
Бернштейн С. 11 107, 108, 193.
195, 198, 199, 211, 234, 273-
288
Бертон И. (Bertlion Р.) 275
Бпркхоф Дж. (Birehoff G. I).)
91, 207, 210
Бирман О. (Biermann О.) 55
Блох A. (Bloch А.) 299, 304
Бобылев Д. К. 53 55, 61, 63 -
65, 70, 73, 84
Боголюбов II. II. 93, 303
Богомолове. \. 257, 258, 271
Боджо Т. (Bogio Т.) 61
Болл Р. (Boll R.) 15
Болотов Е. А. 128, 129
Больцано Б. (Bolzano В.) 245
Больцман /I. (Boltzmann L.) 76
Бомбперп (Bom bier г Е.) 94,
107, 109
Боминанп A. (Bompiaiii А.) 90
* Составитель А. Ф. Лапко.
314
Бор X. (Bohr 11.) 89. 92
Борден III. JI. (BordinCh. L.) 89,
287
Борель (Borel Ё) 130, 132,
138, 139, 2(17-211. 220-222,
277, 283, 284, 287, 297, 303
Борсук К. (Borsuk К.) 92
Бос X. (Bos II. J. M.) 32
Ботт P. (Bolt B.) 98
Больян II. (Bolyai J.) 78
Брадвардпп T. (Bradwardine
Th.) 18
Брауэр JI. it. Я. (Brouwer
L. E. J.) 193, 209. 211
Брис-кори it. (Bneskorn E.) 96
Броудер В. (Browder W.) 101
Брюно А. Д. 38
Бутен H. B. 118, 308, 310, 312
Булгаков (MaKapnii) 1G8, 17o
Буйе M. (Boiiillel M.) 158, 159
Бувяковскип В. II. 82, 83, 308,
310, 315, 316
Ьуссииеск Ж. (Boussinecq J.) 57
Бухарин II. И. 200
Бэр Р. (Bairo К. Б.) 211, 283,
294, 297
Бюльтечаи (Bulltliemann) 191
Бючлн О. (Biitschly О.) 168, 170
Бюшгепс С. С. 129, 133, 138,
142, 158, 178
Вавилов С. И. 92
Валле-Пуссен III. Ж. де ла (Vai
lee Poussin Ch. J. de la) 277,
280, 285, 288, 291
Валлис Д. (Уоллис, Wallis J.)
18, 35, 41, 47 -49, 51
Ван Данциг (Van Dantzig 11.)
79
Варинг it. (Уэрнпг, Waring Е.)
15, 200, 203, 251, 253—255,
290, 292
Вариньон П. (Varignon Р. de)
34
Варичак В. (VariCak V.) 77, 79
Васильев А. В. 61, 78 81, 83
Васильев В. А. 14
Венерштрасс К. Т. В. (VVeier-
strass К. Th. W.) 194, 276,
279, 285, 286
Вейль A. (Weil А.) 106
Вейль Г. (Weyl И.) 78, 86, 92,
105, 157, 193, 292
Вейль И. (VVeylJ.) 157
Векилова Е. Д. 134
Верн Ж. Г. (Verne J. G.) 293
Вернадский В. II. 128, 170, 184
Веселов М. Г. 85
Ветчпикии В. II. 295
Виет Ф. (Виета, Viete F., Vie
ta) 18
Визгни Вл. II. 203, 225
Викторов 211
Вплсйтнер Г. (Wieleilner II.) 23
Виноградов II. VI. 195, 198, 231,
232, 246, 253, 273 275, 287 —
292
Винчи Леонардо да (V inci Leo-
nardo da) 171
Виттен Э. (Witten Е.) 98, 112
Владимиров Б. Я. 232
Власов А. К. 79, 127 129, 170
Волкова. А. 129 131
Вольтерра В. (Volterra V.) 61,
2о8, 210, 211
Гавра Д. Л. 65
Гаврилов А. Ф. 84
Галичен Г. (Galilei G.) 18, 171
Галуа J. (Galois Ё.) 10
I амбье Б. (Gambie В.) 238 240
Гампльтоп У. (Hamilton W.) 62
Гаусс Б’. Ф. (Gauss С. F.) 78,
211. 254, 255, 292
Гельфанд II. М. 96, 97, 111, 274
Гельфоид А. О. 107
Герц Г. Р. (Hertz Н. R.) 57
Гёдель К. (Godel К.) ИЗ
Гёльдер О. Л. (Holder О. Б.) 298
304 -
315
Гиацинтова А. М. 163
Гиацинтова (Рязанова) Н. П.
186
Гиббс Д. В. (Gibbs J. W.) 76
Гильберт Д. (Hilbert 1).) 16, 17,
78, 84-86, 106, 128, 129, 167,
170, 213, 214, 260, 275, 276,
278, 283, 284, 290, 292. 297
Глаголев II. А. 271
Глазеиап С. Н. 64
Гнеденко Б. В. 116, 124
Головин X. С. 55, 60
Голубинский Е. Е. 144, 109. 170
Гольдбах X. (Goldbach Ch.) 289,
291, 292
Гольдовскпй К). А. 232
Гомиф Р. (Hompf R.) 102
Гончаров В. Л. 277, 285, 292
Гордевекий Д. 3. 306
ГордпнгЛ. (Gording L.) 89, 92,
114
Гордон (Gordon) Ю6
Горенштепн Д. (Gorenstein D.)
108, 115
Горький А.М. 218
Горячев Д. Н. 61
Горячев И. И. 129
Готье Витлар Л. (Gauthicr-Vil-
lars L.) 209
Граве Д. А. 65, 66, 77, 83, 84.
198
Грассман Г. Г. (Grassmann
Н. G.) 121, 157
Гренвпль В. (Granvill \V. Е.)
232
Грётш Г. (Griitseh 11.) 293, 30 4
Григорий Санкт-Винцент (Gre-
goris a Sancto-V invent io) 18
Грисс (Gnss) 108
ГромовM. ЮЗ
Гротендик A. (Grothendieck А.)
94, 105
Губкин И. М. 172
Гун Р. (Hooke R.) 56
Гурса Л. (Goursat Е.) 58, 59,
64, 68
Гю де Мальв 7К. П. де (Gua
de MalvesJ. Р. de) 38
Гюйгенс ХДХёйхенс, Huyghens
Ch.) 15-17, 23
Гюнтер Н. М. 61, 193, 198
ад-Даббах Дж. 18
Давенпорт Г. (Davenport Н.) 93
Данжуа A. (Denjoy А.) 208, 210,
211, 275, 277, 278, 283, 284,
287, 289, 297, 302
Дарбу Г. (Darboux G.) 279
Дейрпнг М. (Deuring М.) 93
Делиль 7К. II. (De 1 ’Isle J. N.)
273
Делиль де ла КруайерЛ. (De
Г Isle de la Croyere L.) 273
Делинь П. (Delisgne P.) 93, 94,
106
Делоне Б. 11. 292
Делоне Н. Б. 62
Демидов С. С. 124, 276
Денман И. Я. 53
Джеймс И. (James J.) 93
Джексон Д. (Jackson D.) 281,
285, 286
Джемс В. (James W.) 161, 162
Джорджи Э. де (Giorgi Е. de)
107
Джустп :t. (Giusti Е.) 107
Диксон Л. Ю. (Dickson L. J.)
200, 248-255
Дирихле, см. Лежен-Дпрпхле
Дирак II. А. -М. (Dirac Р. А. М.)
81, 97, III
Добрпцкий 11. Е. 126, 133
Дойль А. К. (Doyle А. К.) 293
Дональдсон С. I». (Donaldson
S. С.) 94, 96, 99, 101. Ю2
Дондер Т. де (Donder Т. de)
79, 224, 225
Дуб Д. (DoobJ.) 93
Дубасов Ф. В. 134
316
Дуглас Д. (Douglas J.) 91, 93,
ИЗ
Дьёдонпо /К. (Diendonne J.) 114
Дюбуа-Репчон П. (Du Bois Rey-
mond Р.) 26, 123, 244, 245
Дюреж Г. (Durege G.) 55
Евклид 18, 24, 26, 252
Евклид из Кандалы 18
Егоров Д. Ф. 79, 116, 118, 121,
124, 128, 130, 131, 134, 136,
137, 139, 140, 164, 174, 175,
184, 187, 196 198, 205, 206
Жегалкпн И. II. 130, 132, 142,
143, 145, 153, 170
Жуковским 11. Е. 62, 125—127,
140, 153, 194, 295
Зарисский О. (Zariski О.) 92
Захарин Ю.106
Зволинский Н. В. 63
Звонкий А. К. 34
Зейлигер Д. II. 78—80
Зигель К. Л. (Siegel С. L.) 92,
107
Зигмунд A. (Zygmund А.) 93
Зингер II. М. (Singer I. М.) 96 -
98, 115
Знаменский П. В. 168—170
Зоммерфсльд A. (Sommerfeld А.)
78
Иванов А. А. 64
Иосида К. (Yosida К.) 92
Иоффе А. Ф. 87, 201
Ито К. (Ио К.) 93
Ишлиискип Ю. А. Зоо
Каган В. Ф. 79, 81
Калабп Э. (Calabi Е.) 103, 104
Калинин М. И. 236
Кампано Д. (Campano G.) 18
Кант И. (Kant I.) 137, 146, 149,
157, 176, 179
Кантор Г. (Cantor G.) 113, 118,
130-132, 143, 152, 183, 194,
213, 214, 244 , 245, 256
Кантор М. (Cantor М.) 18, 23
Каптерев 186
Каратсодори К. (Caratheodory
С.) 91
Карлемап Т.| (Carleman Т.) 211,
287
Карлесон Л. (Carleson L.) 93
Карман Т. (Carman Т.) 55
Карпинский А. II. 214
Картав A. (Cartan II.) 93, 95
Картав •'). (Cartan Ё.) 78, 86,
91, 224, 225, 289
Кассо Л. А. 170
Кац А. М. 200, 236—238, 260,
263, 265, 266, 269
Квиллен Д. (Quillen D.) 94, 109,
111
Келдыш М. В. 93, 297, 305
Кеплер 11. (Kepler J.) 10, 17
Кервер М. (Kervaire М.) 96
Кёниге Г. (Koenigs G.) 234, 235
Килтипг В. К. II. 78
Кирхгоф Г. Р. (Kirchhoff G. R.)
56, 60
Кланпй см. Шлюссель Хр.
Клайперои 3. (Claipeyron Е.) 57
Клебш Р. Ф. A. (Clehsch
R. F. А.) 55, 65, 106
Клейн Ф. X. (Klein F. Ch.) 18,
76, 77, 81, 84—86, 109
Клюгель Г. С. (Kliigel G. S.) 18,
19
Ковалевская С. В. 89, 287
Коген Г. (Cohen П.) 157, 159
Кодапра К. (Kodaira К.) 93,
104, 114
Колмогоров А. II. 92, 117, 124,
196, 202, 274, 294
Колосов Г. В. 53—56, 58—73
Комаров В. Л. 220
Конн A. (Conn А.) 94, 112
Коновалов А. М. 189
Корень Б. 140
317
Коркин А. II, 84, 87, 254, 255
Корольков 191
Косамбп Д. (Cosambi D.) 91
Котельников А. П. 78—81
Костицын В. Л. 127, 128, 130,
196, 205, 206
Кочнн Н. Е. 208
Коти О. Л. (Cauchy A. L.) 18,
57, 58, 61, 63, 65, 285
Кози П, (Cohen Р.) 94, 113
Крамар Ф. Д. 202
Крачковский И. К». 214. 216
Кропекер Л. (Kronecker L.) 173,
174
Крулнковский II. II. 129
Крылов A. II. 29, 54, 83—85,
191 195, 197— 203, 206, 207,
209 212, 215, 217, 218, 221,
223, 225 234, 236- 239, 241,
242, 245 248, 254 -257, 260 -
266, 269 -272, 311, 312
Крылов II. М. 195, 198, 199,
239, 240, 244, 245, 247
Кузнецов П. II. 117, 124
Кузьмин Р. О. 65
Куммер (Kummer Е.) 153 -
156
Курант Р. (Courant И.) 86, 299,
304
Курганов II. Г. 241
Кутюра Л. (Couturat L.) 138—
140, 152
Кювье Ж. (Cuvier G.) 243, 245
Кюри М. см. Склодовская-Кюри
Кюри П. (Curie Р.) 223, 225
Лаврентьев М. А. 93, 196, 199,
273 -275, 293 -305
Лагранж Ж. Л. (Lagrange J. L.
de) 18, 39, 49—51, 228, 229,
276, 279, 284, 290
Лагунов Б. И. 216, 218
Лазарев П. П. 255
Лакруа С. Ф. (Lacroix S. F.) 51
Лаланд Ж. Б. де (Lalande
J. В. J. de) 274
Ламе Г. (Lame G.) 56, 57, 67
Ландау 3. (Landau Е.) 167, 170,
250, 254 , 286
Ланжевен П. (Langevin Р.) 220,
223
Лаплас П. С. (Laplace Р. S. de)
57, 70, 75, 228, 229, 278, 279,
282, 299
Лагпто-Данилевскпп II. А. 231
Лаптев Б. Л. 79, 81
Лаугвиц Д. (Laugwitz. Р.) 18,
26, 34
Лахтин Л. К. 79, 125, 126, 139,
140, 179, 180, 182, 184
Лебег A. (Lebesgue II. L.) 117,
124, 193, 194, 197, 198, 202,
207, 209 211, 213, 219 223,
275. 277, 278, 283- 287, 297,
303
Лебедев II. II. 170
Леверье У. Ж. Ж. (Lcverrier
U. J. J.) 228, 229
Леви М. (Levey М.) 56
Левин С. С. 232, 272
Левп-Чпвпта Т. (Levi-Civita Т.)
61, 86, 300
Лежандр A. М. (Legendre А. М.)
288
Лежен—Дирихле II. IL I’. (Le-
jeune Dirichlet J. P. G.) 65,
66, 71. 253, 279, 284, 292
JleiioeH.ion Л. C. 196
Лейбниц Г. В. (Leibniz G. \\.)
15—18, 23, 32, 34, 41 43,
45, 258
Лексель A. 11. (Lexell A. J.) 274
Ленин В. II. 76
Лерэ Ж. (LerayJ.) 95, 293—
297, 301-305
Лефшец C. (Lefschetz S.) 14, 98
Ле.хинцкпй С. Г. 65
ЛнС. (LieS.) 10, 78, 108, 110
Линде Ф. Ф. 140
318
Липшиц Р. (Lipschitz R.) 286
Лнсев В. 11. 12о
Литтлвуд Д. 11. (Littlewood J. 1.)
290—292
Лпувнлль Ж. (Lionville J.) 280,
285
Лобачевский Н. И. 77—81, 225,
260, 304
Ломоносом М. В. 182, 296
Лопатин 211
Лоренц Г. A. (Lorentz 11. Л) 76
Лоусон X. Б. (Loiison II. В.) 104
Лузин II. Н. 32, 35, 83,116-132,
134, 135, 138-146, 148, 149,
152,156 160,162- 164.169 -
172, 174 177, 179, 180, 182 -
187, 189—204 , 206, 207 , 210 -
212, 214, 215, 218, 221. 223 -
242, 244—248, 252, 254, 256 -
258, 260, 270 -272, 278, 288,
293—295, 297, 303, 304
Лузина М. II. 122, 124, 171,
174, 175, 179 -181, 183-186
Лурье А. II. 65
Лобавский М. 1>. 179, 180
. 1юбатович В. С. 130, 132
Люка Э. (Lucas Е.) 139, 140,
254, 256
Люстсрпнк Л. А. 117, 124, 196,
199, 294
Люткемейер Г. (I.iitkenieyer G.)
278, 284
Ляв A. (Love А.) 56, 58
ЛяпуновА. М. 61, 62, 83—85,
195, 228, 274, 306—312
Ляпунов Б. М. 306
Ляпунова II. Р. 311, 312
Маккензи Р. Т. (Mackensy R. Т.
90
Маклеров 1». (Maclaurin С.) 38,
47
Мансвелл Дж. К. (Maxwell I. С.)
57, 76
Малеванскпй Г. В. 159
Малле-Ба шел ье (Ma I le-Bachel ier)
211
Малянавеи II. (Malliavin Р.) 93
Малыгина А. Г. 223
Малыгина II. М. 122, 140, 145,
149, 157, 160, 164. 175, 183 -
185, 212, 214, 233, 239, 244,
245, 247
Мальгранж A. (Malgrange Л.)
93
Мамфорд Д. (Mumford D.) 93,
94, ПИ5
Мандельштам Л. II. 81, 197,
263, 269
Манли Bt.lL 106
Маргулис Г. А. 94, 109, ПО
Марков А. А. 83, 84, 195, 307
Марков В. А. 281, 287
Марколонго 11. (Marcolongo Р.)
61, 62
Машкин В. М. 151
Медведев Ф. А. 117, 118, 124,
125, 139
Мендель Г. IL (Mendel G. J.)
282, 287
Меньшов Д. Е. 118, 124, 186,
196, 199, 206, 211, 232, 294«
295, 312’
Минке В. (Minx А'.) 104
Милнор Дж. (Miltior J. W.) 93—
96, 98, 99, 115
Минковский Г. (Minkowski Н.)
76, 77 , 80, 85—87, 159, 160
Михаилов Г. К. 69, 305
Михлин С. Г. 65
Млсцзеевский Б. К. 79, 125, 129,
140, 141, 143, 153,170, 308, 309
Мозер Ю. (Moser J. К.) 93
Монтгомери Д. (Montgomery D.)
93
Монтель П. A. A. (Montel
Р. А. А.) 207, 210, 278, 289,
299, 302, 304
319
Монтюкла Ж.З. (MontucLi J. Е.)
18, 19
Мордеа Л. Д. (Mordell L. I.) 106,
115
Морду xaii-БолтовскойД. Д. 18—
20, 22, 23, 26, 20|, 257, 258.
271
Морер Г. (Morer G.) 61
Морозов II. А. 142
Морс Г. М. (Morse П. М.) 92, 96,
98
Мостовский \. (Mostowski А.) 93
Мусхелишвили 11. 11. 53, 56, 59,
64 -67
Мюррей Ф. X. (Murray F. 11.) 112
Неваплппиа 1». Г. (Nevanlin-
па В. II.) 92, 211
Нейман Дж. фон (Neuman J.
von) 112
Нейман Ф. Э. фон (Neumann
F. Е. хоп) 86, 89
Некрасов А. И. 130, 132, 186,
234, 235
Некрасов П. А. 62, 79, 306—308,
310, 312
Нестеренко Д. В. 203, 254
Ниренберг Л. (Nirenberg Б.) 93
Ницше Ф. (Nietzsche F.) 146
Нобель A. (Nobel А.) 89
Новиков С. 11. 93, 94, 96, 1и0,
101. 113
Норден A. И. 79, 81
Ньютон II. (Newton I.) 7, 10—16,
18—34, 38, 39, 40—51 201,
241—243, 251, 257, 270, 271
Ожигова Е. П. 272
Олейник О. А. 276
Ольденбург С. Ф. 214, 216
Островский. А. 92
Остроградскнй М. В. 81—86,
274
Паев М. Е. 313
Паевскнй В. В. 240, 241
Папалекси II. Д. 81, 269
Парменид 244, 245
Парфен ьев Н. Н. 78, 81, 199
Паршин А. II. 106, 124
Пастер Л. (Pasteur Б.) 168
Патоди В. К. (Patodi V. С) 98
Пауэрс 1*. (Powers К.) 112
Пеано Дж. (Peano G.) 152, 156
173, 181
Пелетье Ж. (Peletazius J.) 18
Пенлеве II. (Painlove Р.) 234,
235
Петерсон К. М. 79, 106
11етр I 274
Петров А. 3. 79, 81
Петров Л. П. 160
Петрович С. Г. 55
Петровский И. Г. 276, 284
Пикар Ш. Э. (Picard Ch. £)
14, 208, 210, 275, 276, 278—
280, 283—285
Пиллаи С. (Pillay S.) 253
Плато Д. А. Ф. (Plateau J. A. F.)
191, 279, 283, 284
Платон 244, 245
Платон (метрополит) 144
Плепель A. (Pleyel А.) 92
Плотин 158, 159
Пойа Д. (Polya G.) 298, 304
Покровский II. М. 55
Полак Л. С. 84
Половинкин С. М. 124, 128
Поля.хов Н. Н. 67
Понтрягин Л. С. 93, 95, 99, 101
Попов А. С. 150
Порфприй 159
Порфирьев Н. И. 80
Носсе К. А. 61
Преображенский П. В. 153
Привалов 11.11. 196, 199, 230—
232, 298, 304
Прокл Диадох 18
Прохоров Ю. В. 93
Пташицкий И. Л. 54, 64
Пуанкаре A. (Poincare Н.) 15,
320
76,80,89,90,98, 99, 101, 102,
108, 109, 133, 135, 137, 138,
178, 224, 225. 234, 276
Пюпзё В. A. (Puiseux V. А.)
И, 41, 43
Радон II. (Badon I.) 17
Рам Ж. де (Rham J. де) 03
Рамануджан С. (Rauiuniijan S.)
106
Рамзай У. (Rtimsay IV.) 15'1,
166
Рассел Б. (Russell В.) 138, 139,
152, 181
Раус Ч. Ч. iRouth Ch.) 15
Peii A. (Rey A.) 7G
Риб (Reeb) 100, 101
Риман Г. Ф. Б. (Riemann
G. F. В.) 15, 58, 60, 63, 97,
279, 288, 289, 292
Рисе М. (Riesz М.) 111, 304
Рисе Ф. (Riesz F.) 298, 304
Риччи Г. (Ricci G.) 86, 104
Робинсон A. (Robinson А.) 26, 34
Розенталь A. (Rosenthal А.)
299, 304
Розепфельд Б. А. 18, 35
Рокфеллер (Rockefeller) 209
211, 212, 217, 219—222, 224
Российский С. Д. 141
Рот К. (Roth К. F.) 93, 107
Рох Г. (Hoch G.) 97
Рохлин В. А. 95
Руа М. (Roy М.) 293, 296, 297,
301, 303, 305
Рунге К. (Runge К.) 61, 62
Руссо Ж. Ж. (Rousseau J. I.)
116
Рэлей Дж. У. (Рейли, Strutt
J. IV., Lord Rayleigh) 300, 305
1’яго Г. А. 53
Сабинпн Е. Ф. 79
Саблин 142
Савич С. Е. 61
Саймонс Дж. (Symons J.) 108
Санчес А. А. 124
Северн Ф. (Severi F.) 91. 104
Сече Г. (Szegb G.) 92, 298, 299.
304
Секефальви-Надь Б. (Szokefalvi
Nagy В.) 93
Селнбер (Selieber) 168, 170
Селиванов Д. Ф. 61
Ольборг A. (Solberg А.) 93,
107, 109, 114
Сен-Венан А. Ж. К. Б. де (Saint
Venant A. J. С. В. de) 55, 65
Серппнскип В. (Sierpiiiski IV.)
187, 209, 211, 294
Серр Ж. II. (Serre J. Р.) 93, 95,
105, 287—292 —
Сешадрн С. (Sechadri S.) 93
Сигалов А. II. 276
Синцов Д. М. 39, 51, 78, 79
Склодовская-Кюрн Al. (Sklo-
dovska-Curie М.) 225
Сковорода Г. С. 254, 255
Смейл С. (Smale S.) 94, 96—100,
ИЗ, 115
Смирнов В. И. 65, 84, 234, 235
Смирнов С. 114
Смит П. A. (Smith Р. А.) 103,
104
Смуров 191
Соболев С. Г. 65
Соболев С. Л. ill, 238—240,
274, 298, 304
Сократ 241, 245
Соловьев Ю. И. 160
Сомильяна К. (Somigliana С.) 61
Сорбон Р. (Sorbonne R.) 224
Со.хоцкин Ю. В. 53, 64
Спенсер Д. К. (Spencer D. С.)
93
Сппжарнып И. К. 185, 186
Стеклов В. А. 53, 55, 61—65,
69-71, 73, 77, 83-85, 94,
193, 195, 22G, 227, 288, 290,
309
321
Степанов В. В. 116, 124, 191, 232
Стирлинг Дж. (Stirling I.) 38,
47, 49
Стройк Д. (Mruik D.J.) 23
Суворов Ф. М. 78
Суслин А. А. 111
Сушкевич А. К, 139
Сушкин П. П. 214
Схоутен Я. .'1. (Schouleg J. А.)
79
Уайтсайд Д. Т. (Whiteside D.T.)
15, 22, 39, 43, 44, 4(5
> итпи X. (Whitney H.) 92, 95
Умов Н. А. 77, 170
Уолл Ч. Т. Л. (Wall С. Т. С.)
93
Урысон П. С. 87, 211
Успенский В. А. 294, 303
Успенский Я. В. 193, 195, 199,
209, 211, 287
Такага Т. (Takaga Т.) 91
Таке A. (Tacquet А.) 18
Тамаркин Я. Д. 84, 85
Тамм И. Е. 81
Таубе Ч. (Taubes Ch.) Ю2
Тейлор Б. (Taylor В.) 11, 38,
47, 49, 52, 135, 278, 282
Терстон В. (Thurston VV. Р.)
94, 102, 109
Титс Ж. (Tits J.) 93, 109
Титчмарш Э. Ч. (Titchmarsh
Е. Ch.) 92
Тихомандрицкпй М. А. 62
Толстой Л. II. 251, 254
Том Р. (Thom В.) 93, 95, 113
Томпсон Д. Г. (Thompson J. С.)
94, 108, 109
Томсон У. (Thomson W.) 56,
57
Тониелчп Л. (Tonelli L.) 297,
303
Третьяк 191
Троицкий С. С. 152, 162
Тропи X. (Tropp S.) 114
Трубачев А. С. 124, 180, 190
Туран П. (Turtn Р.) 93
ат-Тусп, Шараф ад-Днн 18
Тэйт Дж. (Tait I.) 93
Т.эрнбул Г. У. (Turnbull II. W.)
10
Тэт П. Г. (Tait Р. G.) 56
Тютчев Ф. 11. 179
Тюэ A. (Thue А.) 107
Файлон Л. (Pilon L.) 58
Фалтингс Г. 94, 106
Фемгенбаум Э. A. (Feugen-
baum Е. А.) 100
Фейт В. (Feit W.) 109
Феллер В. (Feller W.) 93
Ферпнгер А. Б. 208, 210
Ферма II. (Fermat Р.) 106, 260
Ферсман А. Е. 217, 218
Феферман Ч. (Fefferman Ch.)
94, 111
Федоров В. С. 160
Филдс Дж. Ч. (Fields J. Ch.)
90, 91, 93, 100, 104—106,
113-114, 289
Фиников С. И. 170, 196, 239,
240
Фишер Г. (Fischer G.) 26, 108
Флоренский А. А. 179, 180, 183,
184
Флоренский А. И. 182
Флоренский В. II. 171, 172
Флоренский К. 11. 184
Флоренский П. А. 116, 118—
128, 130—132, 134—152, 156,
157, 159, 160, 162—165. 168—
172, 174- 176, 179—190
Флоренскни П. В. 124
Фок В. А. 66, 79, 81, 82, 84—86
Форсайт Э. (Forsyth Е.) 55
Фохт К. (Vogt К.) 191
Франк A. (Frank А.) 15
322
Фредгольм Э. И. (Fredholm E.I.)
66, 284
Фредерикс В. К. (Frede-
richs W. К.) 84, 85
Фреше М. (Frechet .М.) 92
Фридман А. А. 81, 82, 84, 85
Фридман М. (Friedman М.) 94,
99, 101
Фридрихе К. (Fridrichs К.) 92
Фризендорф Т. Э. 55
Фурье Ж. Б. Ж. (Fourier J. В. J.)
Ill, 122, 127, 138, 164, 166—
168
Хакеи (Ilakeu) 102
Харди Г. X. (Hardy G. II.) Ill,
290- -292
Хартогс Ф. (Ilartogs F.) 299,
.404
.Хаттендорф Р. (Ifattendorf В.)
60
Хаусдорф Ф. (Hausdorff F.) 213,
214
Хевисайд О. (Heaviside О.) 111
Хермандер •'[. (Hormander L.)
89, 93, 94, 97, 111
Хинчин А. Я. 186, 234, 235
Хироиака X. (Hironaka II.)
94, 105
Хирцебрух Ф. (Hirzebruch F.)
93, 97
Хне Т. Л. (Heath Th. L.) 18
Ходж В. (Hodge W.) 92, 104
105
Холл П. (Hall Р.) 92
Холмгрен Э. (Holmgren Е.) 273,
284
Хопф X. (Hopf И.) 92
Цептен Г. Г. (Zeuthen П. G.)
23
Цермело Э. (Zermelo Е.) 139,
197, 213, 214
Цингер В. Я. 79
Циганова Н. Я. 129
Чандрасекхарам К. (Chandra-
sekharan К.) 92, 93
Чаплыгин С. А. 54, 61, 63, 170,
174, 176, 193—195, 198, 228,
229, 241
Чеботарев Н. Г. 38, 298
Чебышев П. Л. 81—86, 116,
192, 254-256, 274, 277, 281,
285—289, 292, 307
Чсрп С. С. (Чжень Шпншэн,
Chern S. S.) 92
Шапяпскпй А. .’I. 255
Шапиро Б. 3. 17
Шапошников К. М. 127, 128
Шафаревич И. Р. 93, Ю7
Шварц Л. (Schwarz L.) 61, 92,
93, 111, 279
Шсвалле If. (Chevalley С.) 92
Шепелев В. М. 299, 305
Шерман Д. II. 65
Шнмкевпч В. М. 64
Шницель A. (Schinzel А.) 93
аш-Шпразп, Кутб ад-Дин Мах-
муд 18
Широков П. А. 79, 81
Шифф П. А. 55, 57
Шлюссель Хр. (Клавпй, Schliis-
sel Ch., Clavius) 18 26
Шмиден К. (Schmieden С.) 26
Шмидт О. Ю. 88, 196, 211, 232
Шмидт П. П. 134
Шнирельмац Л. Г. 291
Шен Р. (Schoen В.) 104
Шпнльрени Я. Н. 191
Шрёдингер 3. (Schrodinger Е.) 86
Штифель М. (Stifel М.) 95
Штольц О. (Stolz О.) 18
Шубин М. А. 34
Шур Ф. (Schur F.) 78, 112
Эйлер И. A. (Euler J. А.) 274
Эйлер Л. (Euler L.) 26, 35, 239,
323
250, 251, 253, 273, 279, 284,
289, 291, 300
Эйнштейн A. (Einstein А.) 224,
225
Эйхлер М. (Eichler М.) 93
Эпштейн П. 3. 130, 132
Эри Дж. Б. (Airy J. В.) 57
Эрмит Ш. (Hermite Ch.) 110,
244, 245
Эрн В. Ф. 134, 142
Эрн-Калашникова Е. Д.—
см. Векплова
Эррер А. (Herrer А.) 214
Юшкевич А. П. 18, 28, 117,
118, 202
Юшкевич П. С. 80, 307
Яблоков В. А. 81
Якоби К. Г. Я. (Jacobi С. G. J.)
228, 229
Янага С. (Yanaga S.) 93
Яо Шиндун (Yao Schingttmg)
94, 103, 104
Ясинский Ф. С. 55
УКАЗАТЕЛЬ АВТОРОВ II НАЗВАНИЙ СТАТЕЙ
ВЫПУСКОВ С XXI ПО XXIX
«ПСТОРПКО-М ^ТЕМАТИЧЕСКИХ ПОСЛЕДОВ VНИЙ»
(Римские цифры указывают выпуск,
арабские — страницы)
Александров П. С. (Москва). Воспоминания о Геттингене. XXII»
242—245.
Александров П. С. О вкладе Георга Кантора в математику. XXVII,
290—2112.
Александрова II. И. (Москва). Формирование основных понятии
векторного исчисления. XXVI, 205—235.
Антропов А. А. (Москва). Метод «приближении» Валлиса в приме-
нении к решению уравнения z*— лу,==1 в целых числах. XXIX,
177—189.
Апокин И. А. (Москва). Вычислительная машина Дж. В. Атанасо-
ва. (Совм. с Ю. А. Белым и Л. Е. Майстровым). XXIII, 168—
180.
Арболеда Л. К. (Париж). Рождение советской топологической шко-
лы. Замечания о письмах П. С. Александрова и П. С. Урысопа
Морису Фреше. XXV, 281—302.
Атагаррыев М. II. (Ашхабад). Применение стереографической про-
екции к определению азимута кыблы: ал-Бирупи, ал-Чагмини
и ат-Туркумани. XXIX, 44—47.
Ахиезер Н. И. (Харьков). К спектральной теории уравнения Ляме.
XXIII, 77—86.
Банах С. О «иысшем законе* Гене—Вронского. XXIV, 176—185-
Башмакова И. Г. (Москва). Исчисление треугольников Ф. Виета и
исследование диофантовых уравнений. (Совм. с Е. И. Славути-
ным). XXI, 78—101.
Башмакова И. Г. Арабская верспя «Арифметики . (Совм. с Е. И. Сла-
вутиным и Б. А. Розенфельдом). XXIII, 192—225.
Башмакова И. Г. Композиция квадратичных форм и математике
XIII—XVI вв. XXV, 303—314.
Башмакова И. Г. О роли интерпретаций в истории математики.
XXX, 182-194.
Белый Ю. А. (Николаев). Вычислительная машина Дж. В. Атана-
сова. (Совм. с И. А. Апокипым и Л. Е. Майстровым). XXIII,
168—180.
Белый Ю. А. Геометрия треугольника в неопубликованных материа-
лах «'I. Эйлера. XXVII, 88—101.
Березкина Э. И. (Москва) Математический трактат Сяхоу Яна. (Пе-
ревод и комментарии). XXVIII, 293—337.
Бернулли Пог. Решение задачи, предлагавшейся Декарту достой-
непшим Дебопом. (Перевод и примечания А. Б. Штыкана
и О. А. Петровой). XXII, 289—291.
Бернулли Як. Решение задачи брата, посланной в Лейпциг за во-
семь дней до майских ид. (Перевод и примечания А. Б. Штыкана
и О. А. Петровой). XXII, 292—294.
Бирман К. Р. (Берлин). Гаусс н Гбте. XXI, 261—272.
325
Бирман К. Р. Некоторые результаты новых исследовании о Гауссе
XXV, 266—280.
Боголюбов А. Н. (Киев). Организация и становление математических
учреждений АН УССР. (Совм. с В. М. Урбанским). XXVIII
160—187.
Боголюбов А. II. Математические методы в механике машин. XXIX
137-152.
Брёйнс Э. М. (Амстердам). Улучшение приближений в математике
вавилонян. XXI, 61—70.
Брылевская Л. И. (Ленинград). К истории проблемы меры в первой
половине XX века. XXX, 97—112.
Буняковский Б. Я. Представления к избранию немецких математи-
ков в Академию наук СССР. (Совм. с И. II. Сомовым. II. Л. Че-
бышевым, В. А. Стекловым). (Публикация А. II. Юшкевича.).
XXVI, 294-324.
Буняковский Я. Я. О вращательном движении в сопротивляющейся
среде системы пластин постоянной толщины н определенного
контура вокруг осн, наклоненной относительно горизонта.
XXVIII, 247—256.
Буняковский Б. Я. Определение радиуса-вектора в аллинтнческом
движении планет. XXVI11, 256—260.
Буняковский В. Я. О распроетрапснпн теплоты в твердых телах.
XXIX, 255—261.
Бырйина Т. В. (Ленинград). Об асимптотических методах решения
у равнений Лежандра н Бесселя. .XXVI, 114- 137.
Ван <’ер Варден Б. Л. (Цюрих). Переписка между Паскалем и Фер
ма но вопросам теории вероятностей. XXI, 228—232.
Васильева М. В. (Мотква). Сергей Павлович Фиников. (К столетию
со дня рождения). XXIX, 285—293.
Вахабов С. А. (Андижан). Две математические модели ал-Бируни.
XXV, с. 328-334.
Визгин Вл. II. (Москва). Взаимосвязь физики и математики в XIX
веке. XX11, 111 —126.
Визгин Вл. II. Гильберт и проблема общековарнантных уравнений
гравитации. XXIV, 226—246.
Визгин Вл. 11. К истории открытия уравнений гравитации (Эйнштейн
и Гильберт). XXV, 261—265.
Визгин Вл. II. Генезис тензорно-геометрической концепции гравита-
ции (1912—1913 гг.). XXVI, 235-265.
Виленкин И. Я. (Москва). О вычислении объема усеченной пирами-
ды в Древнем Египте. XXVIII, 123—125.
Виллузндас М. В. (Барет тона). Трактат Ибн Му аза но сферической
тригонометрии. XXV, 317—519.
Винтер Э. (Берлин). Теория и практика в переписке Чпрпгауза с
Кирхом. XXI, 292—299.
В.идуц С. Г. (Москва). К истории комплексного умножения. Комп-
лексное умножение у Абеля. XXVI, 91—114.
Влздуц С. Г. К истории комплексного умножения. Гаусс, Эйзен-
штейн и Кропекор. XXVII, 190—238.
Волков А. К. (Москва). Вычисление площадей в древнем Китае.
XXIX, 28-43.
Гаусс К. Ф. Пояснение возможности построения семнадцатиуголь-
ннка. (Перевод М. В. Крутиковой. Публикация Е. П- Ожиго-
вой). XXI, 285—291.
326
Гельфанд А. О. (Москва). Некоторые впечатления о научной поезд-
ке в Германии» в 193(i г. XXII. 246 251.
Геронимус Я. .1. (Харьков). К истории квадратурной формулы
П. Л. Чебышева. (Совм. с А. К. Медведевой). XXII, 46—64.
Гиндикин С. Г. (Москва). Иден Плюккера в современной математи-
ческой фн.знке. XXX, 248—261.
Глушков С. С. (Николаев). Соотнонк ппе между алгеброй п и-омет-
рней в математике эпохи Возрождения. XXIX, 55— 68.
Головинский И. Л. (Москва). Из истории интерполяционных рядов.
XXИ, 65-81.
Головинский //.А. Как было введено преобразование Лапласа*
XXIII, 127- 141.
Головинский II. А. Интерполяционные ряды Лапласа. XXIV,
104—120.
Головинский II. А. Рання история аналитических итераций и функ-
циональных уравнении. XXV, 25—51.
Гоювинский II. А . Формула суммирования Лидера -Буля. XXVI,
52—91.
Головинский II. А. О методе интерполяции О. Л. Коши. XXV11I,
26—78.
Головинский И. А. К обоснованию метода наименьших квадратов у
И. Л. Чебышева. XXX, 224—247.
Грей Дж. Дж. (Милтон Кейс). «Черновой набросок» (1639) Де-
зарга. (Совм. с Дж. В, Филдом). XXIX, 153 177.
Григорьян А. Т. (Москва). Из истории развития иеголономвой ме-
ханики в конце XIX столетия. (Совм. с 13. И. Фрадлпным).
XXI, 214—227.
Григорьян А. Т. И. Г. Ламберт и Иетербур1ская академия паук.
(Совм. с И. И. Невской). XXV, 218—224.
Гусев II. В. (Москва). Математика орнаментов Дионисия. (Совм. с
Л. Е. Майстровым). XXIV, 331—339.
Гутер Р. С. (Москва). Двоичная арифметика в инструментальном
счете у Джона Непера. (Совм. с 10. Л. Полуниным). XXIII,
156—167.
Гюйгенс Л. Письмо к автору. (Перевод и примечания А. Б. Штыка-
па). XXII, 286 -288.
Данилова II. И. (Харьков). Ра шитие элементарных методов в теории
пзоперпметров в X VII1 и первой трети XIX столетий. XXIX,
199—209.
Дечидов С. С. (Москва). О попятпп решения дрфферепцнальных
уравнений с частными производными в споре о колебании стру-
ны в XVIII веке. XXI, 158—182.
Демидов С. С. К истории теории С. Ли дифференциальных уравне-
ний с частными производными. ХХ111, 87—117.
Дечидов С. С. К истории теории щфференциатьиых уравнении с
частными производными первого порядка. Работы И. Ф. Пфаф-
фа н О. Коши. XXIV, 191—217.
Демидов С. С. Развитие исследований но уравнениям с частными про
взводными первого порядка в XV111—XIX вв. XXV, 71 —ЮЗ.
Демидов С. С. К истории теории дифференциальных уравнений с
частными производными первого порядка. «Первый метод»,
К. Якоби. XXVI, 137—153.
Демидов С. С. От скобок Пуассона до алгебр Ли. XXVII, 275—289.
Демидов С. С. К шторпп теории линейных дифференциальных урав-
нений. XXV1I1. 7«—98.
327
Денисов С. С. И. В. Бугаев и noiniikiioik-iiik- московской школы
теории ф\ iih'iuiii Действительного нерешенного. XXIX, 113_________
124.
Демидов С. С. Пл ранней истории Московской школы теории функ-
ций. XXX, 124- 130.
Дзядык В. И. (Пнев). Об одном результате П. Л. Чебышева по тео-
рии аппроксимации. XXVI, 168—171.
Дорофеева А. В. (Москва). От правила множителей Лагранжа до
принципа макспмхма Понтрягина. (Совм. с В. М. Гпхомпро-
вым). XXV. Ю4 ’ 128.
Дорофеева А . В. О письмах Д. Ф. Егорова к (. Гильберту. XXVIII,
270 278.
Ды'Лопче Ж. (Ницца). О прогрессе математики. XXI, 9- 21.
Еганян А. Л/. (Ереван). О математических таблицах Анания Шира"
кацп. (Совм. с Л. Е. Майстровым). XXVI. 189—197.
Ермолаева Н. С. (Ленинград). О докторской диссертации В. Я. Бу-
няковского. XXIX, 241 -255.
Ермолаева В. С Русский перевод «Алгебраического анализа»
О. Ноши с дополнениями А. А. Ильина. XXX, 87—96.
Жаров В. К. (Ташкент). О двух задачах трактата «Девять книг по
математике» Цинь Цзюшао. ХХХ, 338 -343.
Жмудь Л. Я. (Ленинград). Раииегреческая математика п Восток.
XXIX, 9—27.
Журавский А. JU. К истории ряда Лагранжа. XXII, 34 -45.
Канунов If. Ф. (Владимир). Труд Ф. 3. Молина «Об инвариантах
групп линейных подстановок». XXX, 306—322.
Карпова ./. Л/. (Москва). График функции у ал-Маракинш. (Совм.
с И. Д. Сергеевой). XXIII, 231 — 234.
Каучикас А. II. (Вильнюс). Двойные равенства у Диофанта п II. Фер-
ма. XXVI. 179—189.
Кеннеди А. К. (Провиденс). Карл Маркс и основания дифференци-
ального исчисления. XXVI, 17—39.
Кирсанов В. С. (Москва). Диссертация В. Я. Вуняковского и тео-
рия вычетов О. Коши. XXVIII, 261—266.
Кноблох Э. (Западный Берлин). Рукописи Лейбница 1672 1676 гг.
XXIV, 258- 309.
Кожухова Г. М. (Багдад). Арабская версия «Измерения круга» Ар-
химеда. XXV, 315—316.
Колмогоров А. 11. (Москва). Письмо в редакцию «Историко-матема-
тических исследований». XXVIII, 337—338.
Коновалова Л. В. (Ленинград). К историп понятия лнпейпой неза-
висимости частных решении линейных однородных дифферен-
циальных уравнений. XXIX, 77—88.
Коновалова Л. В. Даламбер и общая теория линейных обыкновен-
ных дифференциальных уравнений, XXX, 81—87.
Коренцова М. Л/. (Кустанай). Кинематико-геометрическая модель
анализа в «Трактате о флюксиях» К. Маклорена. XXII, 9—
33.
Костабелъ II. (Париж). Изобретение Христианом Гюйгенсом и кло-
пдалыюго маятника и ремесло математика. XXI. 143—149.
Кох X. (Берлин). К 175-летию со дня рождения П. П. .(ежен-Ди-
рихле. XXVII, 179—189.
328
Кромби А. К. (Оксфорд). Об общем воздействии математики на на-
турфилософию Запада. XXI, 22—50.
Кузичева 3. А. (Москва). Спмвс зческая логика в сочинениях
II. Г. Ламберта. XXV, 225—247.
Курдюмова А . II. (Гула). Экстраординарные интегралы Houin. XXII,
82 -84.
Курдюмова А. И. Критерий сходимости Кольцами—Коши н работе
Гаусса 1812 г. ХХШ, 142—143.
Лавриненко Т.А. (Москва). Решение неопределенных \ равнений
3-н н 4-й степени в поздних работах Эйлера. XXVII, 67—79.
Лавриненко Т.А. Методы решения неопределенных уравнений в
рациональных числах в XVIII — XIX вв. XXVIII, 202—22.3.
Лаптев Б. Л. (Казань). Ламберт — геометр. XXV, 248—260.
Левинова И. С. (Москва). Об одной математической задаче в «Книге
весов мхдростн» ал-Хa.iiiim. (Совм. с М. М. Рожанской), XXI,
71-77.'
Левитан Б. М. (Москва). Очерк истории теории почтп-нерноднчес-
кпх функций. XXV. 156—166.
Лейбниц Г. В. Дополнение измерительной геометрии или наиболее
общее выполнение всех квадратур посредством движения,
а также многообразное построение линий но заданном) свой
стих- касательных. (Перевод и примечания А. С. Штыкана).
XXII, 274—285.
Лузин II. И. Отзыв о научных работах профессора Сергея Павлови-
ча Фпнпкова. XXIX, 293— 316.
Лузин II. II. Отзыв о научных работах С. II. Фпнпкова последнего
периода 1938-1946 гг. XXIX, 316—318.
Лузин II. И. Научные работы Сергея Наиловича Фпнпкова. (Сонм,
с С. Л. Чаплыгиным). XXIX, 319—321.
Лузин Н. II. |0 рестрикторах] (Публикация и примечания С. С. Де-
мидова). XXX, 177—181.
Люстерник Л. А. (Москва). Из истории символического исчисления.
(Совм. с С. С. Петровой). XXII, 85—101.
Мадер В. В. (Нижний Таги»). О логико-арифметической концепции
Готлоба Фреге. XXX, 261—305.
Майстров Л. Е. (Москва). М. В. Ломоносов и «Арифметика*
Л. Ф. Магницкого. XXI, 233—239.
Майстров Л. Е. О вероятностной концепции Паскаля у А. Реньн.
XX11. 200—211.
Майстров Л. Е. Вычислительная машина Дж. В. Атанасова. (Сонм,
с И. Л. Лпокипым п Ю. А. Целым). XXIll, 168 I8O.
Майстров Л. Е. Взгляды Д. Юма на вероятность. ХХШ, 307 -313.
Майстров Л. Е. Математика орнаментов Дионисия. (Совм. с
II. В. Гусевым). XXIV, 331 339.
Майстров Л.Е. О математических таблицах Анания Шнракаци.
(Совм. с А. М. Еганяиом). XXVI, 189—197.
МайстровЛ. Е. О простых значениях многочлена х,-Гх-|-41. XXVII,
63—67.
Майстрова .1. Л. Решение алгебраических уравпеппй в работах
Л. Эйлера. XXIX. 189—199.
Малых А.Е. (Пермь). I) соз.дапнп Эйлером комбинаторной теории
латинских киадратов. XXVII, 102 123.
329
Малых А. Е. Решение и развитие '•плером комбинаторных задач,
относящихся к перечислению и расположению элементов
XXX. 223.
Маркушевич А. If. (Москва). К статье Ф. А. Медведева «О канторов-
скоп теории действительных чисел». XXIII, 71 — 76.
Маркушевич А. И. Некоторые вопросы истории теории аналити-
ческих функции в XIX в. XXV. 52—70.
Матвиевская Г. II. (Ташкент). Об изучении истории математики в
Средней Азии. (Совм. с С. X. Спражднновым). XXI, 51—60.
Матвиевская Г. П. Заметки о многоугольных числах и записных
книжках Эйлера. XXVII. 27—50.
Медведев Ф.А. (Москва). О капторовскоп теории действительных
чисел. XXIII. 56—70.
Медведев Ф. А. Аксиома выбора в первых работах Г. Кантора по тео-
рии множеств. XXIV, 218—225.
Медведев Ф.А. Аксиома выбора и математический анализ. XXV,
167- 188.
Меде дев Ф. А. Из истории так называемой теоремы Кёнига в тео-
рии множеств XXVI. 153—168.
Медведе Ф.А. Доказательство как предмет историко-математи-
ческих исследований. XXVIII, 187—202.
Медведев Ф. А. Капторовская теория множеств н теология. XXIX,
209- 240.
Медведев Ф. А . О курсе лекций К. К. Млодзеевского по теории функ-
ций действительного переменного, прочитанных осенью 1902 г.
в Московском университете. XXX. 130—148.
Медведева А. К. (Харьков). К истории квадратурной формулы
П. Л. Чебышева. (Совм. с Я. .'I. Героннмусом). XXII. 46—64.
Мельников II. Г. (Ленинград). К вопросу об эйлеровском определе-
нии удобных чисел. XXI. 110—112.
Мельников И. Г. Метод бесконечного спуска. XXII. 193—199.
Мельников If. Г. Вацлав CepniiiicKiiii. XXIV, 361—365.
Мельников И. Г. Удобные числа в рукописном наследии Эйлера.
XXVII, 10—27.
Меньшов Д. Е. (Москва). Воспоминания о молодых годах и о воз-
никновении Московской школы теории функций. XXVII,
312-333.
МШиряева О. Е. (Москва). О некоторых результатах Джемса Грего-
ри ио интегральному исчислению. (Совм. с С. С. Петровой).
XXVI, 40-51.
Михайлов Г. К. (Москва). К истории задачи о вращении твердого
тела вокруг неподвижной точки в случаях Гесса и Ковалевской
и пх геометрического моделирования. (Совм. с С. Я. Степано-
вым). XXVIII, 223—246.
Молин Ф. Об инвариантах групп линейных подстановок. (Пере-
вод 3. <|>. Мол пион, примечании II. <1>. Капупопи). XXX, 322
338.
Молодший В. II. (Москва). О. Ковш п революции в математическом
анализе первой четверти XIX века. XXIII, 32—55.
Молодший В. 11. ♦Математические рукописи» К. Маркса и развитие
истории математики в СССР. XXVI, 9—17.
Невская Н. И. (Ленинград). II. Г. Ламберт н Петербургская акаде-
мия наук. (Совм. с А. Т. Григорьяном). XXV. 218—224.
Невская II. II. Неизвестные работы .1. Эйлера по астрономии.
XXVII. 123- 137.
33V
Новы Л. (Прага). Универсальная алгебра у Сильвестра и Уайтхеда.
XXI, 113—128.
Ожигова Е. II. (Лешин рад). О научных связях Гаусса с Петербургс-
кой Академией наук. XXI, 273—284.
Ожигова Е. И. Об истоках символических и комбинаторных методов
в конце XVIII — начале XIX века. XXIV, 121—157.
Ожигова Е. П. Функция Ойлера в его записных книжках. XXVII,
50—63.
Онуфриева Л. А. (Ленинград). О методе интерполирования Чебыше
ва в случае большого числа данных. XXVII, 25*.)—274.
Паев М. Е. (Днепропетровск). О двух античных историко-математи-
ческих проблемах. XXVIII, 126—153.
Петренко А. К. (Москва). Машина Беббпджа и возникновение
программирования. (Совм. с О. .'I. Петренко). XXIV, 340 360.
Петренко О. Л. (Москпа). Машина Беббиджа и Bo.iiiiiKiioneiiiie про-
граммирования. (Сонм, с А. К. Петренко). XXIV, 340- 360.
Петрова С. С. (Москва). Из истории символического исчисления.
(Совм. с Л. А. Люстерпиком). XXII, 85—101.
Петрова С. С. Об универсальном ряде Г<?пе Вронского. (Совм.
с Д. А. Романовски). XXIV, 158 -175.
Петрова ('. ('. I» истории открытия ряда Гейлора. (Совм. с Д. А. Ро
мапопека). XXV, 10—24.
Петрова С. С. О некоторых результатах Джемса Грегори но инте-
гральному исчислению. (Совм. с О. Е. Митряевой). XXVI,
4U-51.
Петрова С. С. О. Хевисайд и развитие символического исчисления.
XXVIII, 98—122.
Петрова С. С. Дж. Буль и развитие символических методов в тео-
рии дифференциальных уравнений. XXIX, 88—102.
Петросян Г. П. (Ереван). Об алфавитных системах счисления.
ХХШ, 144—155.
Письма В. Серпипского к И. Н. Лузину. (Публикация В. \. Вол-
кова н Ф. А. Медведева). XXIV, 366—373.
Письма Д. Ф. Егорова к Д. Гильберту. (Перевод и примечания
А. В. Дорофеевой). XXVIII, 266- 270.
Письма Д. Ф. Егорова к II. II. Лузину. (Предисловие II. С. Алек
сапдрова. Публ кацпя и примечания Ф. А. Медведева при
участии A. II. Юшкевича). XXV. 335—361.
Письма II. И. Лузина к А. Дапжуа. (Публикация II. Дюгака, Па-
риж. Перевод <1>. А. Медведева). ХХШ. 314—348.
Письма III. И», де ла Валле-Пуссена к II. П. Лузину. (Перевод и
публикация Ф. А. Медведева). XXVII, 3U1—312.
Письмо II. II. Лузина к М. Фреше. (Публикация А. П. Юшкевича).
XXVII. 298—300.
Письмо II. Н. Лузина к О. Ю. Шмидту. (Публикация С. С. Демидо-
ва). XXVIII, 278—287.
Полищук Е. А/. (Ленинград). Вито Вольтерра. XXI, 183 -213.
Половинкин С. М. (Москва). О студенческом математическом кружке
при Московском математическом обществе в 1902—1903 гг.
XXX, 148 158.
Полунов К). Л. (Москва). Двоичная арифметика в цистру менталь-
ном счете у Джона Непера. (Совм. с Р. С. Гутером). XXIII,
156 —167.
Попова П. Я. (Чебоксары). I» постановке проблемы Римана. XXIX,
102 112.
331
Раик A. E. (Саранск). К теории египетских дробей. XXIII. 181-
191.
Рейзинь Л. Э. (Рига). Из истории общей теории обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. XXII, 102—110.
Рожинская М. М. (Москва). Об одпой математической задаче в «Кни-
ге весов мудрости» ал Хазпии. (Совм. с И. С. Левиновой)
XXI, 71—77.
Розенфельд Б. А. (Москва). Векторы и псевдовекторы Впета и пх
роль в создаппи аналитической геометрии. XX). 102—109.
Розенфельд Б. А. Арабская версия «Арифметики» Диофапта. (Совм.
с И. Г. Башмаковой и Е. II. Славутипым). XXIII, 192—225.
Розенфельд Б. А. Некоторые вопросы математики и переменных
величин в трактате ал-Г>ируии о топях. XXIII, 226—230.
Розенфельд Б. А. О геометрических работах Дункана Соммервилля
(к столетию со дня рождения). XXIV, 247—257.
Розенфельд Б. А. О математическпх работах Кутб ад-Дина аш-Ши-
рази. XXV, 320—327.
Розенфельд Б. А. Об одной системе линейных уравнений у Диофан-
та и ал-Караджи. XXVII, 142—146.
Розенфельд Б. А. Геометрическая алгебра ас-Сиджи.зи. (Совм. с
Р. С. Сафаровым и Е. И. Славутиным). XXIX, 321—325.
Розенфельд Б. А. Инверсия относительно окружности и инверсия
относительно эллипса, гиперболы и параболы в «Конических
сечениях» Аполлония. XXX. 195—199.
Романовски Д. А. (Варшава). Об универсальном ряде Гёпе-Врон-
ского. (Совм. с С. С. Петровой). XXIV, 158—175.
Романовски Д. А. К истории открытия ряда Тейлора. (Совм. с
С. С. Петровой). XXV, 10—24.
Сифиров Р. С. (Душанбе). Геометрическая алгебра ас-Спджпзи.
(Совм. с Б. А. Розенфельдом и Е. И. Славутиным). XXIX
321—325.
Сергееви II. Д. (Москва). График фуикцпп у ал-Маракшип. (Совм.
с Л. М. Карповой). XXIII, 231 -234.
Серпинский Б. Привет< твениая речь на приеме, организованном
Академией паук СССР 17 апреля 1957 г., в дни Юбилейной сес-
сии, посвященной 250-летию со дня рождения Л.!>йлера. XXVII,
137.
Ас-Сиджизи А бу Си ид Ахмид. Киша об измерении шаров шарами.
(Перевод Б. А. Розенфельда и Р. С. Сафарова). XXIX, 326—
333.
Симонов Н. II. (Москва). О развптпп идеи корректпостп краевых
задач математической физики. XXV, 129—155.
Симонов Р. А . (Москва). О формировании древнерусской нумерации.
ХХП, 237-241.
Синкевич Г. II. (Ленинград). Открытие В. Сериипским двойствен-
ности между мерой и категорией. XXX, 113—123.
Сириждинов С. X. (Ташкент). Об изучении истории математики в
Средней Азии. (Совм. с Г. II. Матвиевскоп). XXI. 51—60.
Сливутин Е. И. (Москва). Исчисление треугольников Ф. Виета и ис-
следование диофантовых уравнений. (Совм. с И. Г. Башмако-
вой). XXI, 78-101.
Сливутин Е. II. О «Данных» Евклида. XXII, 229—236.
Славутич F. И. Арабская версия «Арифметики» Диофанта. (Совм.
с И. Г. Башмаковой и Б. А. Розенфельдом). ХХ111, 192 225.
332
Славутин Е. И. Общий метод решения неопределенных уравнений
второй степени в «Арифметике* Диофанта. XXIV, 310—330.
Славутин Е. II. Геометрическая интерпретация методов решения
«двойных равенств» в «Арифметике» Диофанта Александрий-
ского. XXVI, 172—178.
Славутин Е. И. Геометрическая алгебра ас-Спджизи. (Совм. с
Б. А. Розенфельдом и Р. С. Сафаровым). XXIX, 321—325.
Смирнов В. И. (Ленинград). Переписка А. М. Ляпунова с А. Пуан-
каре и П. Дюзмом. (Совм. с А. II. Юшкевичем). XXIX, 265—
284.
Сомов И. II. Представления к избранию немецких математиков в
Академию наук СССР. (Совм. с В. Я. Буiihkobckiim, II. Л. Чебы-
шевым. В. А. Стекловым). Публикация А. II. Юшкевича. XXVI,
294-324.
Сорокина .4. А. (Москва). О работах Лежандра по теорпи эллипти-
ческих интегралов. XXVH, 163—178.
Список опубликованных работ А. П. Юшкевича. XXI. 312—327.
Список опубликованных работ А. 11. Юшкевича. XXX, 352—357.
Стеклов В. А. Представления к избранию немецких математиков в
Академию наук СССР. (Совм. с В. Я. Буняковским, И. И. Со-
мовым, П. Л. Чебышевым). Публикация А. П. Юшкевича.
XXVI, 294—324.
Степанов С. Я. (Москва). I» истории задачи о вращении твердого
тела вокруг неподвижной точки в случаях Гесса п Ковалевской
и их геометрического моделирования. (Совм. с Г. К. Михайло-
вым). XXVIII, 223—246.
Татон Р. (Париж). Хронологическое описание работ А. Клеро.
XXI, 240— 260.
Тихомиров В. М. (Москва). От правила множителей Лагранжа до
принципа максимума Понтрягина. (Совм. с А. В. Дорофеевой).
XXV, 104—128.
Токарева Т.А. (Москва). Алгебра Шюке. XXIII, 270—283.
Токарева Т.А. Об «Историческом п практическом трактате по ал
гебре» Джона Валлиса. XXVII, 146—163.
Трактат ал-Фадла ибн Хатпма ан-Найризи о дока лтельстве извест-
ного постулата Евклида. (Перевод и примечания А. А. Абду-
рахманова и Б. А. Розенфельда). XXVI, 325—329.
Трактат выдающегося шейха Абу Сахла Виджана ибн Рустама ал-
Кухн о построении равностороннего пятиугольника в извест-
ном квадрате. (Перевод и примечания Б. А. Розенфельда и
Р. С. Сафарова). XXX, 343—351.
iрбанский В. М. (Киев). Организация и становление математи-
ческих учреждений АН УССР. (Совм. с А. Н. Боголюбовым).
XXV1I1, 160-187.
Фелъман Э. А. (Цюрих). О замечании Г. В. Лейбница по поводу од-
ной теоремы в «Математических началах натуральной филосо-
фии» Ньютона. XXI, 15U—157.
Филд Дж. В. (Лондон). «Черновой набросок» (1639) Дезарга.
(Совм. с Дж. Дж. Греем). XXIX, 153—177.
Флоренский 11. А. Введение к диссертации «Идея прерывности как
элемент миросозерцания». (Публикация и примечания С. С. Де-
мидова и \. II. Паршниа). XXX, 159—177.
333
Фогель К. (Мюнхен). Средневековые купеческие руководства по
практической арифметике. XX III. 235—249.
Фрадлин Б. 11. (Киев). На истории развития него юномной меха-
ники в конце XIX столетия. (Совм. с А. Т. Григорьяном).
XXI, 214—227.
Франк И. Л/. (Москва). Михаил Людвигович Франк. XXVI. 266 —
293.
Фреше М. Приветственная речь на приеме, организованном Акаде-
мией наук СССР 17 апреля 1957 г., в дни Юбилейно сессии,
посвященной 251)-летню со дня рождения Л. .')плера. XXXII.
138-141.
Хайретдинова II. Г. (Егорьевск). Тригонометрия ас-Снджпзн,
XXVI. 197 -204.
Хайретдинова Н. Г. История полярно!о треугольника. XXVIII,
154 -159.
X айретдинова II. Г. История сферической теоремы тангенсов.
XXIX, 48—54.
Чаплыгин С. А. Научные работы Сергея Павловича Фнинкона.
(Совм. с II. II. Лузиным). XXIX, 319—321.
Чебышев II. Л. Представление к избранию немецких математиков в
Ккцдемию наук СССР. (Сонм, с В. Я. Bjпяковскнм, И. И. Сомо-
вым, В. А. Стек ювым). (II силикация А. И. Юшкевича). XXVI,
294—324.
Чирнгацз — Кирх. Переинска.(11 ублпкацпя Винтера — Перлин).
XXI, 299 311.
Шейнин О. Б. (Москва). Теория вероятностен П. С. Лапласа. XXII,
212—224.
Шейнин О. Б. Теория вероятностей до П. Л. Чебышева. XXIII,
284 106
Широков В. С. (Горький). О «Кинге вычислений» Ричарда Суисета.
XXI, 129—142.
Широков В. С. Нпфишпе.зпмальпая концепция Ж. Вурщипш.
XXIII, 250-269.
Широков В. С. Галилей и средневековая математика. XXIV, 88-
ЮЗ.
Широков В. С. Средневековая математика и Лейбниц. XXIX, 69—
76.
Шнирелъман Л. Г. Об аддитивных задачах теории чисел. XXVIII,
290—293.
Шраер М. Г. (Крест). К истории математических методов теории
дпффракцнп. XXIII, 118—126.
Штыкан А. Б. (Иркутск). О некоторых вопросах истории математи-
ческого анализа и зволюцип средств вычш lemiii. XXII, 252
273.
Штыкан А. Б. Некоторые вопросы шторми математического ана-
лиза и зполюцпн средств вычислений. XXVIII, 9-26.
Эльнатанов Б. А. (Душанбе). Краткий очерк истории развития зра-
тосфенова решета. XXVII. 238—259.
Юркина М. 11. (Москва). Вклад Пилера п Гаусса в решение задач о
счете высот. XXII, 225 -228.
334
Юшкевич А. //. (Москва). О математических рукописях Л. Ньютона.
XXII. 127 — 192.
Юшкевич А. И. Концепции исчислении бесконечно малых Ньютона
н Лейбница. XXIII. 11—31.
Юшкевич А . П. Советские исследования но истории математики за
шестьдесят лет (1917 1977). XXIV, 9—87.
Юшкевич А. //. К. Ф. Гаусс и /К. \. да Кунья. XXIV, 186- 190.
Юшкевич А. II. II. Г. Ламберт и Л. HiUep. XXV, 189—217.
Юшкевич А. II. Письма А. Дапжуа к II. II. Лузину. XXV, 362—
368.
Юшкевич А. II. О неопубликованной рукописи Л. Эйлера «Диффе-
ренциальное исчисление». XXVII, 79 -87.
Юшкевич А. II. Неопубликопаииое письмо 11. II. Лузина Ф. Клей-
ну. XXVII. 293-298.
Юшкевич А. //.Л. Г. Шнирельман в Геттингене. XX VI11, 287—290.
Юшкевич А. II. О трудах II. С. Александрова по истории матема-
тики. XXIX. 125-137.
Юшкевич А. //. Переписка А. М. Ляпунова с А. Пуанкаре и II. Дюэ-
мом. (Совм. с В. И. Смирновым). XXIX. 265—284.
Юшкевич А. II. Развитие понятия предела до К. Веперштрасса.
XXX, 11—81.
Утверждено к печати
Институтом истории естествознания и техники
Академии наук СССР
Редактор И. М. Столярова
Художественный редактор М. .'I. Храм нов
Технический редактор II. Н. Кокина
Корректоры Р. 3. Землянская, .1. И. Никоизва
11Б X: 40166
Сдано в набор 16.<ж.88
Подписано к печати 19.12.88
Т-23315. Формат 84Х108'/в
Бумага киижно-журнатыыи импортная
Гарнитура обыкновенная новая
Печать высокая
Усл. неч. л. 17,64. Усл. кр. отт. 17.64
Уч.-изд. л. 20,1
Тираж 1200 экз. Тип. зак 2060
Цена 4 р. 50 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
117864, ГСП-7, Москва, В-485
Профсоюзная ул., 9И
2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 6