БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА «МАТЕМАТИКА»
Ж.-П. СЕРР
Алгебры Ли
и группы Ли
Перевод с английского
и французского
А. Б. ВОЛЫНСКОГО
Под редакцией
А. л. онищика
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1969

ИЗДАТЕЛЬСТВО
«МИР»

JEAN-PIERRE SERRE
LIE ALGEBRAS
AND
LIE GROUPS
LECTURES GIVEN AT HARVARD UNIVERSITY
NEW YORK-AMSTERDAM BENJAMIN', 19G5
JEAN-PIERRE SERRE
ALGEBRES DE LIE
SEMI-SIMPLES COMPLEXES
NEW YORK-AMSTERDAM, BENJAMIN, 1966

УДК 512; 519.46
Книга известного французского математика, уже
знакомого нашему читателю по переводам его книг
„Алгебраические группы и поля классов" и „Кого-
мологии Галуа" (изд-во „Мир", 1968), содержит из-
ложение основ теории алгебр Ли и групп Ли, а
также теорию комплексных полупростых алгебр Ли.
Наряду с классическим случаем вещественных и
комплексных групп Ли она охватывает случай
р-адических групп Ли и является единственной в ми-
ровой литературе книгой, содержащей подробное
изложение теории р-групп с точки зрения класси-
ческих методов теории групп Ли.
Книга рассчитана на студентов старших курсов
и аспирантов. Может быть полезна математикам
различных специальностей.
Редакция литературы по математическим наукам
И;)-?. 2-2-3
2S-69

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Здесь объединены переводы двух книг Ж.-П. Серра. Части
I и II —это перевод (с английского) книги „Алгебры Ли и
группы Ли" A965), которая представляет собой запись курса
лекций, прочитанного Серром в Харвардском университете в
1964 г. Часть III —перевод (с французского) книги „Полупрос-
тые комплексные алгебры Ли" A9G6), представляющей собой
запись курса лекций, прочитанного им в Алжире в 1965 г.
В связи с объединением двух книг в одну было сочтено це-
лесообразным ввести единую систему ссылок на предыдущие
теоремы и определения (например, „теорема 3.1.2.1"—это теоре-
ма 1 из § 2, гл. I, ч. III). При ссылках на теорему той же части
(главы, параграфа) номер части (главы, параграфа) опускается.

Часть I
Алгебры Ли
Здесь излагаются основные общие теоремы об
алгебрах Ли в объеме примерно первой главы
книги Бурбаки.
К этому я присовокупил некоторые результаты о
свободных алгебрах Ли, полезные как в самой тео-
рии Ли (формула Кэмпбелла — Хаусдорфа), так и
в приложениях к про-р-группам.
Недостаток времени не позволил включить сюда
более развитую теорию полупростых алгебр Ли (кор-
ни, веса и т. д.); все-таки в последней главе разоб-
ран типичный случай алгебры si (n).
В работе над этой частью мне оказали помощь
Ф. Рэгги и Дж. Тейт. Я хотел бы поблагодарить их,
а также Сью Голэн, отпечатавшую обе части руко-
писи.
ж.-п. с.
Харвард
осень 1964

Глава I
АЛГЕБРЫ ЛИ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
Пусть k — коммутативное кольцо с единицей и
А — некоторый /е-модуль. Мы будем называть этот
модуль k-алгеброй, если задано /е-билинейное отоб-
ражение Л X А —> А (т. е. /е-гомоморфизм A®kA-+ А).
Как обычно, определяются левые, правые, дву-
сторонние идеалы и факторалгебры.
Определение 1. Алгеброй Ли над k называет-
ся /е-алгебра А, обладающая следующими свойст-
вами:
1) гомоморфизм Л®ftЛ-> Л допускает разложение
2
-> А А-*А.
Иными словами, если обозначить образ пары (х, у).
при этом гомоморфизме через [х, у], то
[х, х] = 0 для всех хеЛ;
2) (тождество Якоби)
[[*, У],г] + [[у, г],х] + [[г, х],у] = 0.
Заметим, что из условия 1) вытекает равенство
[х, у] = - [у, х].
Примеры, (i) Пусть k — поле, полное относитель-
но некоторого нормирования, G — аналитическая груп-
па над /ей g — множество касательных векторов к
G в единице. Как будет показано ниже, на g су-
ществует естественная структура алгебры Ли.
(Относительно алгебраического аналога этой си-
туации см. пример (vi) ниже.)

10	Ч I. Алгебры Ли
(И) Пусть g — произвольный ^-модуль, и пусть
[х, у] = 0 для всех х, у е д. В этом случае g назы-
вается коммутативной алгеброй Ли.
(in) Пусть % то же, что и в предыдущем примере.
2
Рассмотрим модуль д©Лд и положим
[х, у] = х А у,
[х, уАг] = 0,
[х А у, г) = 0,
[xAy,zAt} = 0
2
для любых х, у, z, t е д. Модуль о © Л 3 с такой
операцией есть алгебра Ли.
(iv) Пусть Л—ассоциативная алгебра над k. По-
ложим [х, у] = ху — ух. Очевидно, что алгебра А с
таким умножением удовлетворяет аксиомам 1) и 2).
Определение 2. Пусть А — алгебра над k. Диффе-
ренцированием D: А—>А называется ^-линейное отоб-
ражение, для которого
D(x- y) = Dx • у + х - Dy.
(v) Множество Der(A) всех дифференцирова-
ний алгебры Л является алгеброй Ли с операцией
[D, D'\ = DD'-D'D.
Тот факт, что [D,D'\ есть дифференцирование, до-
казывается прямым вычислением:
[D,D'\ (х • у) = DD' (х-у)- D'D (x • у) =
= D (D'x -у + х- D'y) - D' (Dx • у + х ¦ Dy) =
= DD'x • у + D'x -Dy + Dx-D'y + x- DD'y —
- D'Dx • y-Dx- D'y-D'x • Dy-x- D'Dy =
= DD'x • у + x'. DD'y - DD'x • у - x • D'Dy =
= [D, D']x-y + x-[D, D']y.
Теорема 3. Пусть g — алгебра Ли. Для каж-
дого xeg определим отображение adx: fl-^cj фор-
мулой ad x(y) — [х, у]. Тогда
A) отображение adx есть дифференцирование
алгебры д;

Гл. I. Алгебры Ли. Определения и примеры	Ц
B) отображение х\—>adx есть гомоморфизм ал-
гебры Ли % в алгебру Ли Der(g).
Доказательство.
ad л: ([у, z]) = [x, [у, z]] = -[y,[z, x] ] - [z, [x, y]] =
= [[*, у], z] + [y, [x, z]] = [adx (у), z] + [y, adx (z)].
Таким образом, утверждение A) эквивалентно тож-
деству Якоби.
Далее,
ad [x,y] (z) = [ [х, у], z] = - [ [у, z], х] - [ [z, x], у] =
=>[х,[у, г]]-[у, [х, z}] = auxady(z)-adijadx(z) =
—	[adx, ad у] (z).
Следовательно, утверждение B) также эквивалентно
тождеству Якоби.
(vi) Алгебра Ли алгебраической матричной группы.
Пусть k — коммутативное кольцо с единицей и А =
—	М (п,k) — алгебра квадратных матриц порядка п
над к. Нулем системы многочленов {Pa{Xij)} (с ко-
эффициентами в к) называется матрица X = (х,-;-), та-
кая, что Xij^k и Pa(x(;-) = 0 для всех а. Обозначим
через G (k) множество всех нулей данной системы
{Ра}- Аналогичным образом для любой ассоциатив-
ной коммутативной й-алгебры k' с единицей рассмот-
рим множество G {k')cz M(n, к').
Определение 4. Мы скажем, что система
{Ра} определяет алгебраическую группу над k, если
для любой ассоциативной коммутативной /г-алгебры
k' с единицей G (k') есть подгруппа в GL(n, k'f).
Примером алгебраической группы может служить
ортонормальная группа (определяющее уравнение:
*Х'Х=\, где (Х — матрица, транспонированная к X).
1) Через GL (л, k'), как обычно, обозначается множество
всех матриц из М (п, k'), определитель которых есть обратимый
элемент в k'. — Прим. перев.

12	Ч I. Алгебры Ли
Пусть, далее, k'— свободная (как fe-модуль) ал-
гебра над k с базисом {1, е}, где е2 = 0, т. е. kr —
= к[г].
Теорема 5. Пусть д — совокупность всех матриц
Х<=М(п, k), таких, что 1 + еХ (= G (k [e]). Тогда g
является подалгеброй Ли алгебры М {п, k).
Доказательство. Мы должны установить,
что включение X, Fej влечет включение XX Л цГе
eg, где %, ц е & и XY — YX ^ ([. Заметим сначала,
что по определению условие Ра{1 + еХ) = 0 для всех
а означает, что Хед. Так как е2 = 0, мы имеем
Pa(l + eX) = Pa(l) + dPa(l)eXl). Но 1 <= G (k), так что
РаA) = 0. Следовательно,
что доказывает первое утверждение.
Введем теперь вспомогательную алгебру k" =
= k [е, е', е-е'], где е2 = е'2 = 0 и ее' = е'е; другими
словами, &" = &[е] ®ft&[e'l. Пусть J, Кед. Тогда
g=l+eIsG((fe [в]) с= G (k"),
g'=\+e'Ye±G(k [е']) с G (/г"),
^ = A +е^)A +еТ)=1 4 вЯ + еТ + вв'ДГ,
g'g = 1 + еХ + e'Y ¦+ ее' Г*.
Если положить Z = [Z, Y], то в силу написанных
выше формул будет иметь место равенство gg' =
= g'g(l + ee'Z).
Поскольку gg', g'g e G (&"), отсюда вытекает, что
1 + ее' Z ?Е G (/г").
Но подалгебра к[гг'\ алгебры k" изоморфна k{&\
[над k], поэтому 1 -j eZ e G (k [e]) и, следовательно,
Zej. что и требовалось доказать.
!) Символ dPa(l)X есть сокращенное обозначение выраже-
нияу—-i(l) хп. -Прим. перев.
*ш1 алц
h!

Гл. I. Алгебры Ли. Определения и примеры	13
Пример. Алгебра Ли ортонормальной группы есть
множество всех матриц X, для которых A+eJQx
ХA + е00=1, т. е. X + 'X = Q.
(vii) Построение новых алгебр Ли, исходя из задан-
ных алгебр.
а)	Пусть g — алгебра Ли и а — ее идеал. Фактор-
алгебра g/tt является алгеброй Ли.
б)	Пусть {i]t}l e j — семейство алгебр Ли. Прямое
произведение Ц д,- есть также алгебра Ли.
в)	Предположим, что g — алгебра Ли, а — ее идеал
и Ъ — ее подалгебра. Мы будем говорить, что g — полу-
прямое произведение Ь и а, если каноническое ото-
бражение g-*g/a индуцирует изоморфизм b^g/a1).
Пусть g — полупрямое произведение Ь и а. Поскольку
а —идеал, постольку для любого хеб отображе-
ние adx переводит а в себя, т. е. ограничение adx
на ft является дифференцированием а. Таким обра-
зом, имеется гомоморфизм алгебр Ли 8: Ь—*Der(a).
Теорема 6. Структура алгебры Ли g однозначно
определяется заданием а, Ь и 8, причем их можно
задавать произвольно.
Доказательство. Поскольку g есть прямая
сумма а и b (как й-модулей) и поскольку умножение
в g билинейно и антикоммутативно, достаточно рас-
смотреть произведение [х, у] для следующих трех
случаев:
х, i/e= a,
х, г/е=Ь,
хеб, у 6= а.
В первом случае произведение [х, у] есть произведе-
ние в а, во втором —"в Ь, а в последнем случае
[х, y] = adx(y) = Q(x)(y).
Обратно, пусть даны алгебры Ли а и Ъ и гомо-
морфизм Ли 8: b-»Der(ft). С помощью приведенной
') Иными словами, g есть прямая сумма о и Ь как /!г-моду-
лей. — Прим. перев.

14	Ч. 1. Алгебры Ли
выше формулы мы можем построить алгебру а, на
прямой сумме модулей а п Ь так, чтобы 8 (л:) = a'd0 x,
где ado х — ограничение ad;1x на а, для xefi. Нам
остается только проверить, что относительно введен-
ной операции в g имеет место тождество Якоби:
/(х, у, г) = [х, [у, z] ] + [у, [z, х] ] + [z, [x, у]]=0.
Это достаточно сделать в следующих четырех слу-
чаях:
а)	х, у, ге»; тогда J{x,y,z) = 0, поскольку
о — алгебра Ли;
б)	х, jet и 2et; в этом случае J{x, у, z)—
= 04Ф9(«) —дифференцирование в а;
в)	х е а, j/, ze {у в данном случае
J(x, у, г) = О#фО([0, z]) = 6(y)B(z)-Q(z)Q(y);
г) х, у, ге Ь; тогда J (х, у, г) = 0, поскольку
—алгебра Ли.

Глава II
ФИЛЬТРОВАННЫЕ ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ
§ 1. Тождества с коммутаторами
Пусть G — группа и х, у, геС Мы примем сле-
дующие обозначения:
(i) ху = у'1ху; тогда отображение G-+G, задавае-
мое правилом Ал—> xv, есть автоморфизм группы G,
и выполняется соотношение (ху)г — xyz\
(ii) (х, у) — x~ly~lxy; мы будем называть (х, у) ком-
мутатором элементов хну.
Предложение 1. Имеют место следующие то-
ждества:
1)	ху=*уху = ух(х, у), ху = х(х, у), (х, х)=\(у, *) =
= (* • уТ\
2)	(х, уг) = (х, г) (х, у)г;
2') (ху, z)~(x,z)y(y,z);
3)	(х\(у, z))(</, (г, x)){z\ (x,y)) = \.
Доказательство. 1) Очевидно.
2)	В силу (i) и 1) имеем
х(х, yz) = xy* = (xyy = \x,(x, y)Y-
= хг{х, yf = x{x, г){х, у)\
откуда
(х, уг) = (х, z) (x, у)г.
2') ху (ху, z) = (ху)г = х*уг = х (х, z) у (г/, г) =
= ху(х, z)y(y, z),
откуда
{ху, z) = (х, z)y (у, z).
3)	(ху, (у, z)) = (ifxx-xyz-xifxzyy-xxyy-xz-xyz =

16	4.1. Алгебры Ли
Положим и = zxz~xyz, v = хух~хгх, w = yzy~lxy. Тогда
{х\ {y,z)) = w-hi.
Аналогично (циклическая перестановка)
(/, (z, х)) = «-1у,
(zx, (x, y)) = v~]w,
и, следовательно,
{х\ (у, z))(y\ (г, x))(zx, (x,y)) = l, ч. т. д.
В качестве приложения доказанных тождеств по
лучаем следующее утверждение.
Пусть А и В — подгруппы группы G. Обозначим
через (А, В) подгруппу в G, порожденную элементами
вида (а, Ь), где aei и b е Б. Если Л, В, С — нор-
мальные подгруппы в G, то {А, В) также является
нормальной подгруппой, и имеет место включение
(Л, (В, С))<=(В,(С, А))(С, (Л, В)).
Это вытекает из тождества 3).
§ 2. Фильтрация на группе
Определение 1. Фильтрацией на группе G
называется отображение w: G->RU{+°°}, удовле-
творяющее следующим аксиомам:
A)	w(\)= + оо;
B)	w(x)>0 для всех хеС;
C)	w{xy-l)^M(w{x), w{y));
D)	w((x, y))>w(x) + w (у).
Из аксиомы C) вытекает, что w {у'1) = w (у). Для
lsR+ положим
Gl = {x<=G\w{x)> Я}.
Очевидно, Gk и Gt являются подгруппами группы G.
Более того, если igG^ y^G, то ху = я (mod ??)•
Действительно,

§ 2	Гл. //. Фильтрованные группы и алгебры Ли	17
Сказанное выше означает, что Gk — нормальная
подгруппа G, а поскольку Gl= (J G(l, группа Gt —
р. > X
тоже нормальная подгруппа в G.
Семейство (GJ (соответственно {Ga}) является
убывающим, т. е. Gx^> Ga (соответственно Gt^Gjt)
при Л<ц.
Определение 2. Для каждого а^О положим
graG = Ga/Ga и grG = 2graG. Будем называть gr G
a
присоединенной группой группы G.
Предложение 3. 1) Группа gra G абелева.
2)	Если для каждого ieGa обозначить через х
соответствующий элемент в graG, то (ху) = х для
всех у е G.
3)	Отображение са^\ GaX Gp-»Ga+p, определенное
правилом х, у ь-*• (х, г/), индуцирует билинейное ото-
бражение cap: graG X gr(j G -*¦ gr Ga+p.
4)	Отображения сар могут быть продолжены по
линейности до отображения с: gr G X gr G ->• gr G, и
это отображение задает структуру алгебры Ли на
grG.
Доказательство. 1) Это утверждение выте-
кает из определения 1, D).
2)	Это было доказано выше.
3)	Пусть х е Ga и у е Gp. Тогда (х, у) е Ga+p, и
мы должны показать, что (хи, у) = (д;, г/) (mod Ga+p)
и (х, г/о) ^ (х, у) (mod Ga+з) для любых и е Ga и
oeGp. В силу 1.1, 2') и в силу C) имеем
{хи, у) = (х, г/)" + (и, у) = (л;, у),
(х, yv) = (х, v) + (х, y)v = (х, у).
Пусть хд'е Ga и у, г/'е Gp. Тогда
(хх', у) = (л:, г/)х' + (*', г/) = (х, у) + (х', г/),
(л. У'У) =пГ7) + (*, г/')у = (х, у) + (х, у').
2 Ж.-П. Серр

18	4.1. Алгебры Ли	§ 3
4) Пусть | е gra G и r)SgrpG. Выберем элементы
jsOa и г/eGp, такие, что х = ? и у = ц. Тогда по
определению (х, #) = ca, р(?, л); мы будем записывать
это выражение также в виде [|, ti]. Далее, если
geigrG, то | = 2ia, где ?ae=graG. Доказать равен-
ство [|, |] = 0 — это значит установить, что [?а, |а] = О
и [la, ig] = - [?р, У. Для каждого а выберем xae Ga,
такое, что ха = 1а. Имеем
[la. У = (*«, *а) = 1 = О
\р	?]_(¦>-	у \ — (у	у \"] _ _ ft	6 1
Lea» 5р| \Ла> Лр/ V-*p, ла}	[g^, taj.
При доказательстве тождества Якоби /(лг, г/, г) = О
можно (ввиду линейности / по каждому аргументу)
ограничиться случаем I e gra G, r\ e grp ChJg grY G.
Выберем x e Ga, yG=Gp и zeGY, такие, что Jc = |,
у = т) и г = |. Тогда в силу предложения 1.1, 3),
J(l, цЛ)- (ху, (у, г)) (у\ (z, х)) (z*. (jc, у)) = 1 = О,
поскольку ху = |, г/ж = т) и 2^ = ?.
§ 3. Дискретные фильтрации группы
Предложение 1. Для всякой группы G суще-
ствует взаимно однозначное соответствие между
1)	фильтрациями группы w: G -> R U { + оо}, такими,
что w(G)cz N U {+ оо},
2)	убывающими последовательностями {Gn}neN
подгрупп группы G, такими, что
(i) G, = G,
(ii) (О„, OJ с Gn+m.
Доказательство. По каждой дискретной филь-
трации очевидным образом восстанавливается семей-
ство подгрупп {Grt]neN со свойствами (i) и (ii).

§ 3	Гл. II. Фильтрованные группы и алгебры Ли	19
Обратно, пусть задано такое семейство. Опреде-
лим фильтрацию w: G->RU{+°°}> полагая для ка-
ждого ieG
w (х) = sup {«}.
Ясно, что w(l)= + oo и w(x)>0 для всех jcsG,
а также что w (x) = w (x~l). Пусть теперь w (x) = п,
w (у) = in, т. е. х <= Gn, у е Gm, но х ф Gn+l и у ф. Gm+l.
Допустим, что я<т. Тогда GmczGn, и, следова-
тельно, xy~l e Gn, т. е.
ш (х у1) > inf {ay (x), w (у)}.
В случае и = + оо или m = + оо это неравенство оче-
видно.
Наконец, неравенство w((x, y))^w(x) + w(y) не-
посредственно вытекает из (и), ч. т. д.
Пример. Убывающий центральный ряд группы G.
Положим C[ = G и определим по индукции Gn+X фор-
мулой
Полученная последовательность подгрупп {Gn} удо-
влетворяет условиям (i) и (п) предложения 1. Дей-
ствительно, 0) имеет место по условию. Чтобы дока-
зать (ii), применим индукцию по п.
При п—\ имеем (G, Gm)czGm+l по определению.
При п > 1
О„.,), Gm)<=
c=(G, (Cn-i, GJ)(Gn.,, (G, Gm))
cz(G, Gn+m_,)(Gn_b Gm+1) c: Gn+mGn+m
Обратно, если {^„} —убывающая последователь-
ность подгрупп группы G, удовлетворяющая усло-
виям (i) и (ii), то Нп => Gn для каждого п. Доказы-
вается это также по индукции. При п = 1 по опреде-
лению Hi^Gu а при и>1 имеют место включения
Hn+lZD(H, Hn)=>(G,

20	Ч. 1. Алгебры Ли	§ 4
§ 4. Фильтрации группы OL (п)
Пусть k — некоторое поле с неархимедовым абсо-
лютным значением | х | = pv {Х) ')• Пусть Ао — кольцо
нормирования v, mv — его идеал и kv = AJmv.
Для всякого натурального числа п обозначим че-
рез G множество всех квадратных матриц g порядка п
с коэффициентами в Av, таких, что g = 1 (mod т„)
(т. е. gi,- = б,7 (mod mv), где g == (gu)). Таким образом,
если g^G, то g = 1 + х, где х —матрица с коэффи-
циентами в mv. Ясно, что множество G является
группой, поскольку G есть ядро гомоморфизма
GL(n, Av)-+GL{n, kv).
Для каждой матрицы X е М (п, k), Х = {хц), поло-
жим v(X) = ini{v(X[j)} и определим отображение
°} равенством w (g) = v(x), где g=[
Теорема 1. Отображение w является фильтра-
цией группы G.
Доказательство. Соотношения а>>A) = + оо
и w(g)>0 для всех g^G очевидны.
Пусть Gx = {g ^ G | йу (g) ^ Я,}. Рассмотрим для ка-
ждого Я>0 идеал а^ в кольце Av:
Понятно, что Gh есть ядро канонического гомомор-
физма
GL{n, Av)-+GL(n, AJax).
Следовательно, GK — подгруппа в G, и, значит, усло-
вие C) выполнено.
Для проверки условия D), т. е. включения
(GA, Gu) с: Gx+д, запишем элементы geG^ и h e GM
в следующем виде:
§=1+д; и /i=l + (/.
') См. ч. II, гл. I. — Прим. перев.

§ 4	Гл. //. Фильтрованные группы и алгебры Ли	21
Мы должны показать, что hg = gh(mod GU[1). Но
hg=l+x + y + yx,
gh=l+x
причем коэффициенты матриц ху и ух лежат в ах+(г.
Элементы /гд и g/г имеют поэтому один и тот же
образ в группе GL(n, Аг,/<хкП1), что и означает их
сравнимость по модулю G?,+ll.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Описать алгебру Ли группы grG.
2.	Доказать, что G = lim G/Gk, если /г — полное
поле1).
') То есть k является полным метрическим пространством
относительно своей метрики | х | = ри (xh — Прим. перев.

Глава III
УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Определение и построение универсальной
обертывающей алгебры
Пусть k — коммутативное кольцо с единицей и
Й — алгебра Ли над кольцом k.
Определение 1. Назовем универсальной обер-
тывающей алгеброй алгебры g отображение е: g —> f/g,
где ?/д — ассоциативная /г-алгебра с единицей, обла-
дающее следующими свойствами:
1)	е есть гомоморфизм алгебр Ли (т. е. е fe-линейно
и е ([х, у]) = ех • еу — &у • е х);
2)	для всякой ассоциативной алгебры А с едини-
цей и для всякого гомоморфизма алгебр Ли a: g-> A
существует единственный гомоморфизм ассоциатив-
ных алгебр ф: U$->A, такой, что диаграмма
9-* 1/3
коммутативна. (Иными словами, имеет место изомор-
физм
/(|, Л),
где L^ обозначает алгебру Ли, ассоциированную с А,
см. гл. I, пример (iv).)
То, что алгебра ?/$, если она существует, определяет-
ся единственным образом с точностью до изоморфизма,
очевидно. Для доказательства ее существования рас-
смотрим тензорную алгебру Та, над Д. Напомним, что
п
Г9 = 2 Гяз, где Т% = 6 и Глй = g ® ... ® g = ® 9 при
л=0

§ 2 Гл. III. Универсальная обертывающая алгебра	23
и>0. Для любой ассоциативной алгебры А с едини-
цей имеет место канонический изоморфизм
HomMod {%, А) ~ HorriAss G"й, А).
Обозначим через / двусторонний идеал в Гд, по-
рожденный элементами вида [х, у] — х ® у + у ® х,
х, у е tj, и положим f/g = Гд//.
Теорема 2. Пусть е: <\-> Uа, — композиция ото-
бражений д-> ГЧ]—> Г;]-* f/g. Тогда пара (f/g, e)
является универсальной обертывающей алгеброй
для д.
Доказательство. В самом деле, пусть задан
некоторый гомоморфизм а алгебры >1 в ассоциативную
алгебру Л. Так как а линейно над &, это отображение
продолжается до гомоморфизма ф: 7"й—>А. При этом
ясно, что !):(/) = О, а потому г|з определяет отображе-
ние ф: U&-* А. Тем самым свойство универсальности
алгебры f/g доказано, поскольку ф восстанавливается
по а единственным образом.
Замечание. Пусть ? —некоторый g-модуль (т. е.
^-модуль, снабженный билинейным отображением
%ХЕ->Е, таким, что [х, у] е = х (уе) — у {хе), где х,
j/ei| и ве?). Отображение <\—>End(E, E), опреде-
ляющее на Е структуру g-модуля, является гомомор-
физмом алгебр Ли, поэтому оно продолжается до го-
моморфизма ассоциативных алгебр f/g—> End(E, E),
так что Е становится левым f/g-модулем. Легко понять,
что таким образом мы получаем изоморфизм катего-
рии g-модулей на категорию левых f/g-модулей.
УпРАЖнЕние (Бергман). Доказать, что f/g = k тогда
и только тогда, когда g = 0. [Указание: использовать
присоединенное представление.]
§ 2. Функториальные свойства
1)	Если g = limga, то f/g = limf/ga.
2)	Пусть g = g, X $2 —прямое произведение алгебр
Ли (т. е. Й1 и $2 коммутируют в д). Тогда (/д =
U ® Щ

24	Ч. I. Алгебры Ли	§ 3
3) Пусть k' — расширение поля k (т. е. k' — комму-
тативная ассоциативная k-алгебра с единицей), и пусть
g' = g®ftfe'. Тогда ?/[)' = U% ®kk'.
Доказательство свойства 2). Нам заданы
гомоморфизмы е,-: &-> ?/д,-, /=1, 2. Рассмотрим ото-
бражение f: i]-> t/fli ®ft t/ti2. задаваемое формулой
/(x) = e,(x'i)® 1 + 1 ®e2(x2),
где x = Xi + x2 и a'i e дь x2 s ii2. Отображение f есть
гомоморфизм алгебр Ли, поскольку g, и д2 коммути-
руют в д. Следовательно, f индуцирует гомоморфизм
ассоциативных алгебр г|з: U%-> 67ij, ®fe C/g2-
С другой стороны, имеют место гомоморфизмы
3i-+E-¦ f/g, i=l, 2,
индуцирующие гомоморфизмы ф;: f/(]j->f/g. По-
скольку 3, и д2 коммутируют, 9i(a:i)92(x2J = ф2(л:2)ф1(х1)
для всех лг,&'<Ь х2ед2').
Определим, наконец, отображение ф: f/3i®f/y]2->
—> ?/(}¦ полагая ф(.г, ® х2) = ф, (Х[)ф2(х2). В силу ска-
занного выше ф есть гомоморфизм ассоциативных
алгебр, причем по построению г|з о ф = id и ф°г|э=Нс1.
Аналогично, исходя из категорного определения
универсальной обертывающей алгебры, доказываются
свойства 1) и 3).
§ 3. Симметрическая алгебра модуля
Пусть Q — произвольный ^-модуль. Положим
[х, у] = 0 для всех х, у е д. В этом случае универ-
сальная обертывающая алгебра ?/д называется сим-
метрической алгеброй fe-модуля g и обозначается Sg.
') А следовательно, и для всех х{ е i/gj, x2 e f/g2> так как
порождает t/g^. — Прим, перев.

§ 4	Гл. III. Универсальная обертывающая алгебра	25
Алгебру Sg можно определить также как наиболь-
шую коммутативную факторалгебру алгебры 7'д.
Иными словами,
где 5"й = v® %)/1- (Здесь/ обозначает идеал, поро-
жденный элементами вида а — оа, где а — подста-
новка порядка п и ae®j.
Рассмотрим пример свободного /г-модуля g с ба-
зисом (е,).е/.
Обозначим через S кольцо многочленов над k от
переменных {Xi)lf-r Пусть е: <]-» S — гомоморфизм
^-модулей, однозначно определяемый равенствами
e(ei) = Xit /е/. Легко проверяется, что пара (е, S)
обладает свойством универсальности (определение
1.1), а именно, е есть fe-линейное отображение и
г(х)&{у) — е(у)е(х). Далее, всякому ^-линейному ото-
бражению /: д->Л, для которого / (х) f (у) = f (у) f (x)
(здесь Л— коммутативная ассоциативная й-алгебра
с единицей), отвечает единственный гомоморфизм
ассоциативных алгебр f: S-+A, такой, что f*°e = f.
В самом деле, если P(Xt)^S, то f (P) = Р (/(е,)).
Приведенное рассуждение показывает, что S% кано-
нически отождествляется с алгеброй многочленов
s = *[(MS/]-
Если множество / линейно упорядочено, то в Sg
можно выделить базис, состоящий из одночленов
е,-, ... ein, ii < i2< ... < /„, п > 0.
in,
§ 4. Фильтрация алгебры U%
Пусть д —алгебра Ли над k и t/g — ее универсаль-
ная обертывающая алгебра.
Обозначим через ?/„д подмодуль в U%, порожден-
ный произведениями г{хх) ... &{хт), где т^п и

26	Ч. I Алгебры Ли	§4
xt s g. Имеем
и
?/og <= С/,в с= ... c= Un%
Положим
oo
gr I/g = 2 grra t/e,
где
Отображение f/pg Xf/9g-> Up+q$, задаваемое правилом
(a, 6)i—>a6, дает при факторизации билинейное ото-
бражение
grp f/g X gr? f/<]-
Алгебра gr Uc\ с таким законом композиции назы-
вается градуированной алгеброй, ассоциированной
с [/д. Эта алгебра, очевидно, ассоциативна и обла-
дает единицей.
Предложение 1. Алгебра gr f/g порождается
образом алгебры д при отображении, индуцирован-
ном отображением е: д -* f/дJ)-
Доказательство. Пусть ае grra f/д и ае [/„д—
любой представитель элемента а, т. е. а = а. Как мы
знаем,
Поэтому а= 2 VeUi )... s(xm), что и требова-
лось доказать.
Теорема 2. Ллгебра gr U% коммутативна.
Доказательство. Ввиду предложения 1 до-
статочно показать, что е(х) и &{у) перестановочны
') Иными словами алгебра gr f/g порождается gr! Uq и еди-
ницей. — Прим. перев.

$ 4	Гл. III. Универсальная обертывающая алгебра	27
в gr2 ?/д при любых х, i/ej. Поскольку е — гомомор-
физм алгебр Ли, имеем
е(х) е (у) - е(у) е(х) = е([х, у]).
Однако е([х, г/])е С/1д. так что
е {х} е(у)^е (у) е (х) (mod
Теорема доказана.
Из теоремы 2 немедленно вытекает, что канони-
ческое отображение g-*grt/g продолжается до гомо-
морфизма
т: Sg-»grf/i3,
где Sg — симметрическая алгебра модуля д (см. § 3).
Так как gr U§ порождается образом д, гомомор-
физм т сюръективен.
Теорема 3 (Пуанкаре — Биркгоф — Витт).
Если д — свободный k-модуль, то х — изоморфизм 1).
Прежде чем доказывать теорему, установим пред-
варительно две леммы.
Пусть (Xi)iml — базис модуля д, причем множество
индексов / произвольным образом линейно упорядо-
чено.
Лемма 4. Семейство одночленов г (x;J ... е (#гт),
ij^ ... =О'т, ш<п, порождает k-модуль ?/„д.
Доказательство. Воспользуемся индукцией
по п. При п = 0 утверждение очевидно. Предположим,
что п>0, и рассмотрим элемент ае {/„д. Его образ
а е grn ?/д есть многочлен степени п от элементов
в (*,¦). Отсюда вытекает, что элемент а представляет
собой с точностью до элемента а{ е f/n_jg линейную
комбинацию произведений е(лг* ).. .e(x,-ffi), ii^.. .^im.
Однако, согласно предположению индукции, at есть
') Градуированных алгебр. — Прим. перев.

28	Ч. I. Алгебры Ли	§ 4
линейная комбинация произведений вида е(х{)...
... в(х{т), /i^ ... <лт, m<n, что и завершает до-
казательство.
Лемма 5. Следующее утверждение эквивалентно
теореме 3: семейство одночленов г (х{) ... е (#<п),
ii<J ... <л„, п^О, образует базис модуля ?/д.
Доказательство. Условимся вначале о некото-
рых обозначениях. Пусть задан набор M = (iu ..., im),
h ^ ••• =O'm- Назовем число пг длиной 1(М) этого
набора и будем для краткости вместо e(xi) ... е(х(да)
писать хм.
Для каждого п ^ 0 элементы л:^ длины и лежат
в Un%, а их образы % в grn f/g = Un%IUn^% совпадают
с образами (при отображении т: Sn%—* grra f/g) базисных
одночленов из S"g. Таким образом, инъективность ото-
бражения х равносильна отсутствию нетривиальных
сравнений вида
По лемме 4 это сравнение эквивалентно равенству
2 смхм= 2 с^л:^,
/(М)-п	КМХп
где по крайней мере один коэффициент см отличен
от нуля. Но любая нетривиальная линейная зависи-
мость элементов хм над k может быть приведена
к такому виду. Лемма доказана.
Теперь мы можем доказывать теорему 4.3 в ее
новой формулировке. В дальнейшем мы можем (и
будем) предполагать множество / вполне упорядочен-
ным.
Пусть V — свободный fe-модуль с базисом {ZM},
где М, как и выше, пробегает множество наборов
(/], ..., /„), таких, что п^О и tj ^ ... =О'„. Пусть
(Е/иМ = (i\, ..., /„). По определению / ^ M^i ^ ix.
В случае i^M введем обозначение Ш = (г, ilt ..., г„).
Основная лемма. Модуль V можно наделить
структурой ^-модуля так, чтобы xtZM — Z(M при ^

§ 4	Гл. III. Универсальная обертывающая алгебра	29
Доказательство. Прежде всего мы должны
определить fe-линейное отображение g X V -*¦ V и до-
казать, что V является g-модулем, т. е.
xyv - yxv = [x, y]v (х, у е= %, v e= V).	A)
Чтобы определить xv, достаточно задать XiZM для
всех i и М. Мы определим xtZM по индукции. Будем
считать (предположение индукции) элемент xtZN опре-
деленным для всех j е /, если Z (N) < / (М), и для / < i,
если l(M) = t(N); кроме того, мы будем предполагать,
что каждый элемент xtZN является линейной комби-
нацией над k элементов Z/, где
/(!)</(#)+1.	(•)
Положим
|	ZlM,	если i^.M,
XiZm = \ Xj {x,ZN) + [xt, x,] ZN, если М = jN, i > j.
B)
Выражение Xi{xtZN) имеет здесь смысл, так как /</;
по предположению индукции х^д, есть линейная ком-
бинация элементов ZL, где l(L)^.l (N) + 1 = / (М). Вы-
ражение [хй Xj] ZN также определено, поскольку [xt, xt\
линейно выражается через xk. Из равенства B), между
прочим, видно, что условие (*) остается справедливым
при замене j к N соответственно на i и М.
Для доказательства равенства A) достаточно в силу
линейности установить справедливость формулы
xtXjZN — XjXtZN = [xh Xj] ZN	(V)
для всех i, j и N. Так как обе стороны этого равен-
ства совершенно симметричны и обращаются в нуль
при i = ], мы предположим, что />/. Если j^N, то
XjZN~ ZjN и равенство (Г) следует из индуктивного
определения B). Остается разобрать случай N = kL,
где i>j>k. Соотношение A') переписывается в этом
случае так:
xtx,xkZL - xtXiXhZL = [xit Xj] xkZL. (ijk)

30	Ч. I. Алгебры Ли	§4
В силу сказанного выше нетрудно установить спра-
ведливость равенств (jki) и (kij), получаемых из (ijk)
циклической перестановкой. Действительно, учитывая,
что i>j>k^L, мы получаем, например, для (jki)
Ho
XjXkZii — xkXjZlL = [xj, Xk]Zn = [xj, xk]xtZL,
так как k<iL, а в этом случае соотношение A') уже
установлено. Аналогично доказывается (kij).
Далее, применяя индукцию по I (N), мы можем
считать, что
xyZL = yxZL + [х, у] ZL
для всех х, j/sj. Таким образом, мы можем пере-
писать правую часть равенства (ijk) следующим об-
разом:
[xt, Xj]xkZL=*xk[xt, Xj]ZL + [[xh xj], xk]ZL =
+ [ [xit Xj], xk] ZL.
Подставим это выражение в правую часть (ijk) и
сложим полученное равенство с (уже доказанными)
равенствами (jki) и (kij), записанными в такой же
форме. В результате мы придем к соотношению вида
2 = 2 + J(xt, Xj, xk)ZL,
справедливость которого доказывает (ijk) и тем самым
нашу лемму.
Поскольку V является ^-модулем, на нем опре-
делена структура левого t/g-модуля (см. замечание
в конце § 1).
В частности, в модуле V имеется элемент Zq l),
где 0 — пустое множество. Для всех М имеем
') То есть элемент Zм, где / (М) — 0. - Прим. перев.

§ 4 Гл. III. Универсальная обертывающая алгебра	31
Докажем это равенство индукцией по 1{М). Если
ЦМ) — 0, то по определению хм=1. Если 1(М)>0,
то М — iN, где / ^ N. Тогда хм = е (xt) xN и
xMZ 5 = xt {xNZa) = xtZN = ZijV = Z^.
Доказательство теоремы 4.3 в новой
формулировке. Предположим, что ^jCMxM = Q.
Тогда
откуда вытекает, что см = 0 для всех М, ч. т. д.
Следствие 1. Если $ — свободный k-мод у ль, то
отображение е: а, —> f/»i инъективно.
Доказательство. Утверждение очевидно, если
заметить, что е индуцирует изоморфизм
(т. е. 5'й~ ^)
Следствие 2. /7г/сг& C( = cji©fe г^е fli « Яа —
подалгебры в (\, свободные как модули над k. Ото-
бражение U§\®U\\2-* Ui[, индуцированное гомомор-
физмами U\]i~* U$ и задаваемое правилом U\ ® ц2'—*¦
I—*-н,м2, есть изоморфизм k-модулей.
Доказательство. Пусть (х{Iеп (г/у)/е/ —сво-
бодные образующие алгебр д, и (]2 соответственно.
Элементы {(х,-), (г/у-)} образуют базис алгебры П. Упо-
рядочим линейно множество I [} 1 так, чтобы каждый
элемент из / был строго меньше любого элемента
из /. Мы знаем (лемма 4.5), что наборы одночленов
{e(x(i) ... е(х,а)}, {в(У1>) ... г{у,т)} и {е^,)...
являются свободными образующими модулей 6%',
U%2 и U% соответственно. Остается заметить, что ото-
бражение U\\i ®fe ?/&>->¦ f/g(ui ® «г1—*- M[«2) взаимно
однозначно переводит базис модуля С/д, ®й^й2 (по-
строенный из базисов f/gi и 6/й2) в базис алгебры f/g,
ч. т. д.

32	Ч. I. Алгебры Ли	§5
Отметим, что в данном случае наше отображение
* Ua, индуцирует изоморфизм
поскольку gr и${ cz Sh и gr (/g ~ Sg ~ Sg, <g> Sg2.
§ 5. Диагональное отображение
Пусть д —алгебра Ли над k. Предположим, что д
свободна как fe-модуль.
Определение 1. Гомоморфизм алгебр Ли
А: д->дх д,
задаваемый правилом х->(х, х), индуцирует гомо-
морфизм ассоциативных алгебр
Д: С/д-»-?/д®*?/в,
который мы будем называть диагональным отобра-
жением.
Предложение 2. Диагональное отображение А
однозначно определяется следующими двумя свой-
ствами:
1)	А — гомоморфизм алгебр;
2)	Ах — х ® 1 + 1 ® х для всех х е д1).
(Здесь мы отождествляем элемент хед с его
образом е(х)е д.)
Определение 3. Элемент ae(/j называется
примитивным, если Аа = а ® 1 + 1 ® а.
В частности, каждый элемент из д примитивен.
Теорема 4. Предположим, что k (как Z-модуль)
не имеет кручения и что д — свободный модуль над k.
Тогда множество примитивных элементов алгебры f/g
совпадает с %.
Доказательство. Г. Случай, когда алгебра g
абелева. Универсальная обертывающая алгебра Ua,
есть не что иное, как кольцо многочленов k [(X,j]
') Предложение очевидно, так как ?/<j порождается элемен-
тами из д. — Прим. перев.

§ 5	Гл. III. Универсальная обертывающая алгебра	33
(см. § 3) от переменных Х(, соответствующих сво-
бодным образующим Xi модуля д. Диагональное ото-
бражение может быть интерпретировано как гомо-
морфизм
A: ft[№)]-»MU0. И
(x'i соответствует элементу Xi <8> 1, а X" — элементу
1 ® Xi), где А/ (X,-) = f(x'i + X"), поскольку Д (Xt) =-
= X/ + ^i для каждого /. Таким образом, примитив-
ные элементы /(Хг)е & [(Xt)] удовлетворяют уравнению
Если многочлен f обладает свойством аддитив-
ности, то этим же свойством обладают и его одно-
родные компоненты /„. Пусть / — однородный много-
член степени п с таким свойством. Тогда
2"/ (Xt) = f BXt) = f(Xt + Xt) = 2/ (X,),
и BЛ —2)/ = 0. Поскольку k как Z-модуль не имеет
кручения, f = 0 прн-пф\. Итак, линейные однород-
ные многочлены и только они обладают свойством
аддитивности.
2°. Общий случай. Гомоморфизм A: U%-> U% <g>k f/g
индуцирует отображения
gr A: gr U% -> gr (f/g ® f/g) ~ gr f/g ф g ~ gr f/g ® gr U%
(см. конец § 4). С другой стороны, как мы знаем,
gr U% ^ S%, причем соответствующее отображение
Sg->5g®5g то самое, какое мы рассматривали
в первом случае. Последнее можно усмотреть, про-
слеживая в цепочке отождествлений путь элементов
вида х е gr] f/g, где х^ д.
Пусть Jte!/n(i и х — его образ в grra f/g. Если л:
примитивен, то таков же и х относительно отобра-
жения grA. Следовательно, как было показано выше,
х = 0, если п>1. Повторяя этот прием нужное число
3 Ж.-П. Серр

34	Ч. I. Алгебры Ли	§5
раз, заключаем, что х е f/,g, т. е. х — К + у, где Лей
и j/ej. Но тогда
Ах = А + г/ ® 1 + 1 ® </,
Таким образом, если х — примитивный элемент, то
21 = к, т. е. X = 0 и х е д.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Пусть PUct, — множество примитивных элемен-
тов алгебры Uо,. Показать, что Р?Л] устойчиво отно-
сительно коммутирования, т. е. ху — ух е PU$, если
х, y<=PU$.
2.	Предположим, что pk = O для некоторого про-
стого числа р и что алгебра Ли g является свобод-
ным fe-модулем с базисом (xi)i^I. Доказать, что
а)	множество Pt/g устойчиво относительно ото-
бражения у у—> ур\
б)	элементы {xf\ /e/, v^O, образуют базис
над & для PU%\
в)	(х + у)р — хр — г/р е д, если х и г/ лежат в д.

Глава IV
СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Как и прежде, k — коммутативное (и ассоциатив-
ное) кольцо с единицей. Все рассматриваемые алгебры
и модули определены над k.
§ 1. Свободные моноиды
Определение 1. Моноидом1) называется мно-
жество М с отображением М X М-+ М, которое за-
писывается в виде (х, у)*-*ху.
Для заданного множества X определим по индук-
ции семейство множеств Хп(п^1):
1)	Х, = Х;
2)	Х„— П ХРХХЧ (п^2) (объединение непере-
p + q-n
секающихся множеств).
Положим Мх= \\Хп и определим отображение
посредством отображений Хр X Xq -* XP+IJ cz Mx, где
стрелка обозначает каноническое включение, выте-
кающее из 2.
Построенный моноид Мх называется свободным
моноидом на X, Элемент w e Мх иногда называют
неассоциативным словом на X. Длина / (ш) этого
слова есть по определению (единственное) число п,
такое, что w e Хп.
') В оригинале „magma". —Прим. перев.

36	Ч. I. Алгебры Ли	$2
Теорема 2. Пусть N — некоторый моноид и
f: X-> N — произвольное отображение. Существует
единственный гомоморфизм моноидов F: МХ—>М,
продолжающий f.
Доказательство. ГомоморфизмFопределяется
индуктивно: F (и, v) = F (и) • F (и), где (и, а) е XpXXq.
В заключение этого параграфа отметим следую-
щие очевидные свойства моноида Мх:
1)	Мх порождается множеством X;
2)	m^Mx\X?$m = uv с и, оеМх; при этом и, v
однозначно определяются по т.
§ 2. Свободная алгебра над X
Обозначим через Ах /г-алгебру свободного мо-
ноида Мх. Каждый элемент ае/1х есть конечная
сумма вида а= 2 стт, где cm^k. Умножение
в Ах является продолжением по линейности умноже-
ния в Мх.
Определение 1. Алгебра Ах называется сво-
бодной алгеброй над X.
Введение такого определения оправдывается сле-
дующей теоремой.
Теорема 2. Пусть В — некоторая k-алгебра и
f: X -> В — произвольное отображение. Существует
единственный гомоморфизм k-алгебр F: Ах—>-В, про-
должающий f.
Доказательство. Согласно теореме 1.2, / про-
должается до гомоморфизма моноидов /': МХ-*В,
где В рассматривается как моноид относительно
умножения. Отображение f по линейности продол-
жается до /е-линейного отбражения F: АХ~>В. Легко
видеть, что F—гомоморфизм алгебр. Единственность F
очевидна, так как X порождает Ах.
ЗлмЕЧАние. В Ах имеется структура градуирован-
ной алгебры, причем однородные элементы степени п
суть линейные комбинации слов длины п.

§ 3	Гл. IV. Свободные алгебры Ли	37
§ 3. Свободная алгебра Ли над X
Пусть / — двусторонний идеал в Ах, порожденный
элементами вида а • а и / (а, Ь, с), где а, Ь, с е Ах и
/ (а, Ь, с) = (аЬ) с + (be) а + (со) Ь.
Определение 1. Факторалгебра Ах/1 назы-
вается свободной алгеброй Ли над X.
Эту алгебру мы будем обозначать Lx(k) или
просто Lx.
Функториальные свойства. 1) Пусть /: Х-+Х' —
произвольное отображение множеств. Тогда суще-
ствует единственный гомоморфизм F: Lx -*¦ Lxr, та-
кой, что F \X — f.
Г) Пусть [ха, /а) — индуктивная система множеств
и X = lim Xa. Тогда
lim Lxa = Lx.
2) Если kr — расширение кольца k (г. е. ассоциа-
тивная коммутативная k-алгебра с единицей), то
3)	Идеал I является однородным идеалом в градуи-
рованной алгебре Ах, что позволяет определить на Lx
естественную структуру градуированной алгебры.
4)	Однородные компоненты Llx и Lx имеют в ка-
честве базисов над k множества X и [X, X] —
— {[*> у]'- х<у; х, jel} соответственно. (Множество X
предполагается линейно упорядоченным.)
Доказательство свойства 3). Обозначим
через /* множество всех а^Ах, таких, что каждая
однородная компонента элемента а принадлежит /.
Ясно, что /й — двусторонний идеал и /й а [.
Пусть х е Ах, х = ^хп, где элементы хп одно-
родны. Тогда х • х = 2 х7п + S (xnxm + хтхп). Но
Xl S 1- ХпХт + ХтХп = (Хп + Хт? ~ Xl ~ Xm S 7> ПОЭТОМУ

38	Ч. 1. Алгебры Ли	§4
Аналогично для трех элементов х =
2	J(x,y,z)= 2
I
I, m, n
Таким образом, /# = /, ч. т. д.
Доказательство свойства 4). Очевидно,
X порождает Lx, а [X, X] порождает h\. Рассмотрим
модуль Е = kw') и алгебру Ли Е ф Л Е = g (пример (iii)
из гл. I). Каноническое отображение L -> g индуци-
рует гомоморфизм алгебр Ли Lx-*g, и композиция
Z-x Ф L\ —> Lx —>¦ g является изоморфизмом, ч. т. д.
§ 4. Связь со свободной ассоциативной
алгеброй над X
Определение 1. Пусть Е — ka) — свободный
fe-модуль с базисом X. Будем называть свободной
ассоциативной алгеброй над X и обозначать через Assx
тензорную алгебру ТЕ модуля Е.
(Элементы алгебры Assx можно было бы назвать
„ассоциативными, но не коммутативными" многочле-
нами от элементов множества X.)
Теорема 2. Пусть ср: Lx~*Assx и Ф: ULx-> Assx
— два отображения, индуцированных вложением
X->Assx. Тогда
A)	отображение Ф есть изоморфизм;
B)	гомоморфизм ф изоморфно отображает Ьх на
подалгебру Ли алгебры Assx, порожденную мно-
жеством X;
C)	алгебра Ьх и ее однородные компоненты Ьх
являются свободными k-модулями;
D)	если множество X конечно и Card X = d2), то
Lx —свободный k-модуль конечного ранга ld(n), причем
2 mld(m) = dn.	(*)
m I ft
') To есть свободный fe-модуль с базисом А". — Прим. перев.
2) Card ^ обозначает мощность множества X. — Прим. перев.

§ 4	Гл. IV. Свободные алгебры Ли	39
Замечание. Формула (*) определяет число ld{n)
по индукции. Фактически
nld(n) — dtl— 2 mldim).
т\ п
(Точнее, пусть \х — функция Мёбиуса, определенная
соотношением
2 Ц (и) n~s = 1/S (s) — Ц A ~~ P~s).
11=1	р
Тогда
d
ml n
Доказательство. Утверждение A) очевидно,
так как отображение X-*ULX определяет гомомор-
физм Ч?: Assx-*- ULX, причем Ф ° V = id и Ч* °Ф = id.
Отметим также, что ф отображает Lx на под-
алгебру Ли алгебры Assx, порожденную множе-
ством X. Поэтому свойство B) эквивалентно инъек-
тивности ф. Наконец, заметим, что C)=>B). В самом
деле, если Lx — свободный ^-модуль, то (по следствию
из теоремы Биркгофа — Витта) отображение Lx-> ULX
инъективно. Но мы можем отождествить алгебры ULX
и Assx.
Доказательство остальных утверждений прово-
дится в четыре шага.
Шаг 1. Предположим, что k — поле и множество X
конечно. Выберем однородный базис(Y(),-<=/ алгебры Lx
и линейно упорядочим множество /. Положим d{ =
= deg(Y;)- При доказательстве теоремы Биркгофа —
Витта было установлено, что семейство элементов
вида Y* —Yf' ¦•• Y;4 гДе h < ••• <Л> образует базис
1	S
алгебры ULX = Assx, причем deg(Ye) = 2 ^iAi- По-
скольку элементы уе, где deg (ye) — п, составляют
базис модуля AssJ, ранг a in) этого модуля равен
числу (конечных) наборов iet), таких, что 2 ^idi = п,
0

40	Ч I. Алгебры Ли	§ 4
Последнее высказывание можно переформулиро-
вать следующим образом: формальный степенной
ряд A (t) = 2 а (п) t" представим в виде
Действительно,
и коэффициент при /" есть в точности число (конечных)
наборов (ег-), таких, что 2е^,=я.
По определению для каждого натурального т
число элементов у{ степени т равно ld{m). Поэтому
ж A - f*I'*"-
С другой стороны, по построению алгебры Assx се-
мейство одночленов xt ... xin, xiv e X, образует базис
модуля AssJ. Значит, a{n) = dn и
откуда
Используя равенство Log -j—; — /j —1'\ получаем
т, v	«—1

§ 4	Га IV. Свободные алгебры Ли	41
Поэтому для каждого п
-dn= У -/„(«),
mv—n
т. е.
d"= S ml4(m),
in I /z
что и доказывает утверждение D) в этом случае.
Шаг 2. Предположим, что k = Z м А' — конечное
множество. Нам понадобится следующая
Лемма 3, Пусть Е — конечно порожденный Х-мо-
дуль. Если размерность пространства Е <8>z Fp «ad
Fp = Z/pZ для всех простых р одинакова, то Е — сво-
бодный Ъ-модуль, и его ранг равен этой размерности.
Указанная лемма есть простое следствие основной
теоремы о строении абелевых групп с конечным числом
образующих.
Остается заметить, что Lx (Z) <8>z Fp = 1Л (FP) и раз-
мерность dim(L" (Fp)) — td(n) не зависит от р, так что
Lx — свободный Z-модуль ранга ld (n).
Шаг 3. Предположим, что k = Z, а множество X
произвольно. Пусть {Ya} — семейство всех конечных
подмножеств в X. Тогда X = \imYa.
Докажем вначале свойство B).
Используя второй шаг, мы видим, что отображение
Фи: Ly -»AssF
инъективно для всех а. Однако отображение
есть limqpa, а индуктивный предел семейства инъек-
тивных отображений инъективен. Таким образом,
свойство B) доказано.
Из B), в частности, вытекает, что Lx и L\ — под-
модули Z-модуля Assx; последний свободен, а по-
тому Lx и Lx (для всех п) также являются свободными

42	Ч. 1. Алгебры Ли	§ 5
Z-модулями. Тем самым теорема в рассматриваемом
случае доказана.
Шаг 4. Общий случай. Учитывая тот факт, что
модуль LX(Z) свободен, а также равенство Lx(k)~
= LX{Z) <8>zk, заключаем, что Lx (k) — свободный мо-
дуль над k. Значит, справедливо C) и, следова-
тельно, B).
С другой стороны, rkfe L" (k) = rkzLx(Z). Поэтому,
если X конечно, то rkk Lx(k) = ld(n).
§ 5. Семейства Холла
Определение 1. Пусть задано некоторое множе-
ство X. Семейством Холла в свободном моноиде Мх
называется линейно упорядоченное подмножество
НаМх со следующими свойствами:
A)	XczH;
B)	если и, ое// и l(u)<l(v), то u<v;
C)	пусть v е Мх \ X и v = uw — (единственное)
разложение элемента v (с и, w e Мх); тогда элемент v
принадлежит Н в том и только в том случае, когда
выполнены следующие условия:
(a)	«e/f, щей и u<w;
(b)	либо ajel, либо да = w' • w", где w', w" <= Я
и w' ^ v.
Лемма 2. Семейство Холла существует для
любого множества X.
Доказательство. Определим по индукции
множества Н" = Н[\Хп. Положим Н1 = X и линейно
упорядочим X. Допустим, что Я1, ..., Нп~1 уже опре-
делены и линейно упорядочены таким образом, что
условия A), B) и C) выполняются для всех элементов
длины </г— 1. Тогда множество Н" однозначно опре-
деляется условием C). Выберем в Н" некоторое
линейное упорядочение и положим u<v, если и е Я'
(is^.n—1), a tie//", Очевидно, что (J Я" есть се-
мейство Холла.

§ 5	Гл. IV Свободные алгебры Ли	43
Пример. Пусть Х = {х, у}, где хфу. Тогда
Я1 = {х, у}, х<у,
Н2 = {х- у},
Я3 = {х ¦ (х ¦ у), у-{х- у)}, х • (х ¦ у)< у • (х ¦ у),
Н* = {х(х(ху)), у(х(ху)), у(у(ху))},
Н5 = {х (х (х (ху))), у(х (х (ху))), у (у (х (ху))),
у(у(у(ху))), (ху)(х(ху)), (ху)(у(ху))}.
Теорема 3. Если Н — семейство Холла в Мх, то
канонические образы элементов Ае Н образуют
базис в Lx-
Обозначим через h образ элемента h е Н в Lx.
Наша теорема эквивалентна следующим двум утвер-
ждениям:
A)	семейство {h}, h^H, порождает Lx\
B)	элементы {/г}, АеЯ, линейно независимы.
Мы докажем здесь лишь первую (более легкую)
часть теоремы. Вторую часть доказательства читатель
сможет найти в книге Холла [1], гл. 11, или в работе
Витта [1]. Доказательство Холла носит чисто вычисли-
тельный характер; доказательство Витта лучше, но
длиннее.
Доказательство утверждения A). Сим-
волом Lx обозначим й-подмодуль, порожденный эле-
ментами h. Поскольку Lx содержит X, нам доста-
точно показать, что Lx — алгебра Ли, т. е. [hi, /12] е Lx,
если hi, h2^ Я.
Доказательство мы проведем при помощи двойной
индукции: сначала но числу l(hi) + l(h2) (т. е. по
длине п элемента hih2), а затем для заданного п,
спуском по числу inf (/гь 1г2). Для того чтобы такой
индуктивный процесс можно было осуществить, мы
предположим, что X конечно. Общий случай полу-
чится переходом к индуктивному пределу.
Мы можем считать, что h\ < h2 (в противном слу-
чае воспользуемся соотношениями [hi, h2\ = — [h2, h{\
и [h, й] = 0).

44	4.1. Алгебры Ли	$6
Первый случай. Пусть /г2е1. Тогда h\^X (по-
скольку hl<h2), откуда (по определению семейства
Холла) hyh2^H, так что h]h2 = {hi, Я2].
Второй случай. Пусть Н2 ф X. Положим h2 = h3h4,
где h3ti4?=H и h3<h4. Имеют место два подслучая:
a) h3^h{; тогда пх (h3h4) е Я и
[hu /z2] = [hi, [h3, h4] ] = hi (h3h4);
b) hi<Zh3<.h4, в этом случае имеем, согласно
тождеству Якоби,
[hb [h3, h4]\ = [h3, [hi, h4]] — [h4, [hu h3]].
Поскольку t(hxh4)<l(hxh2), получаем (по предпо-
ложению индукции) соотношение [hu h4]— ^jcaha, где
ha e H. Отсюда вытекает, что / (ha) = / (hi) +1 (h4) и,
в частности, l(ha)>l(hi), так что ha> h{. Вспоминая,
что hi < h3, заключаем, что inf (h3, ha) >hx = inf (hh h2).
Следовательно, согласно второму предположению
индукции, имеет место включение [из, ha] e Ь'х.
Аналогичное рассуждение (с заменой 1г3 на Л4)
показывает, что элемент [h4, [hu h3] ] также есть
линейная комбинация элементов вида h, где h^H.
Доказательство закончено.
§ 6. Свободные группы
В этом параграфе мы предполагаем, что k = Z.
Пусть X — некоторое множество и Fx — свободная
группа над X, и пусть {Fx} — убывающий централь-
ный ряд этой группы, т. е. (по определению) Fx — Fx
и Fx = (Fx, FT1) при п> 1.
Присоединенная градуированная группа
gr Fx - 2 gr" Fx, gr" Fx - Fx №+l
является, как --мы знаем, алгеброй Ли. Заметим,
кстати, что gr lFx = FX/(FX, Fx), т. e. gr lFx есть сво-
бодная абсл ва группа над X.

§ 6	Гл. IV. Свободные алгебры Ли	45
Теорема 1. Каноническое отображение X -*¦ gr lFx
индуцирует изоморфизм алгебр Ли
Следствие 2. Группы Fx/ Fx+l —свободные Z- мо-
дули; если Card (X) = d конечно, то rk (Fx/fT1) - hi (я).
Прежде чем доказывать теорему, введем некоторые
понятия и обозначения.
Рассмотрим свободную ассоциативную алгебру Assx
над X и обозначим через AssJ ее однородную компо-
ненту степени п. Пополнением Assx алгебры Assx
оо
назовем бесконечное произведение Ц Ass" Элемент
п—о
f e Assx можно представить в виде формального ряда
со
/•= 2 /„. где /neAss«.
п=0
Пусть Ass^—мультипликативная группа обратимых
элементов алгебры Ass^. Определим гомоморфизм
0: Fx-+Ass"x, полагая Q(x)=l+x1) (ясно, что эле-
мент 1+jc обратим в Assx).
Для каждого целого положительного числа п
положим
Г	" ' m=0"
и рассмотрим группу ''F'x = б (l + mn). Легко видеть,
что F^ = Fx и Fx cz Fx ¦
Теорема 3. fFnx=Fx.
Доказательства теорем 1 и 3.
1°. Очевидно, что отображение cpj: Lx-> gr Fx
сюръективно.
') На элементах х е X. — Прим. перев.

46	Ч. I. Алгебры Ли	§ 6
2°. Докажем, что {'Fx) — фильтрация группы Fx.
Фактически для этого нужно лишь проверить, что
\ гх, гх) с: Ьх ¦
Возьмем g^'Fx и Ле ' F\. Тогда 6 (g) = 1 + G и
0 (А) = 1 + Я, где Сет™ и Яе т". Отсюда
6(gA)= l + G + H + GH,
Q(hg)= l + G + H + HG.
Но g/г = Ag (g, /г) и 0 — гомоморфизм, поэтому 0 (gh) =
= Q(hg)Q({g, h)); следовательно,
+ члены высших порядков. (*)
Таким образом, (g, h) s 'F^+p.
Далее, имеется естественное отображение т|: gr Fx-+
—>Assx, определяемое следующим образом. Пусть
| е 'gr Fx, и пусть g s 'fj — представитель класса |.
Допустим, что
0(g)=l + Gn+Grt+I+ .... где Gp
Положим
Легко видеть, что это определение не зависит от
выбора представителя g. Формула (*) показывает,
что т): 'gr/^ —> Assx есть гомоморфизм алгебр Ли.
Поскольку {'/^/ — фильтрация, для всех п имеют
место включения Fx a Fx, индуцирующие гомомор-
физм
Рассмотрим теперь композицию отображений
Lx -^ gr Fx J* 'gr Fx ^> Assx,
где ф! сюръективно, а ц инъективно. Композиция эта
есть, очевидно, отображение ф: Lx->Assx, фигури-
рующее в теореме 4.2, которое, как мы знаем, инъек-

§ 7	Гл. IV. Свободные алгебры Ли	47
тивно. Значит, гомоморфизм q>i инъективен и, следо-
вательно, является изоморфизмом. Этим доказана
теорема 6.1.
Из сказанного выше вытекает также инъективность
отображения о|з. Докажем теперь по индукции равен-
о Fnx = 'Fnx.
При п=\ имеем
При п > 1 имеем
ство Fnx = 'Fnx.
При п=\ имеем Fx = 'Fx по определению.
причем инъекция grn~lFx -> gvn~uFx есть каноническое
отображение
откуда Fx = 'Fnx, ч. т. д.
§ 7. Формула Кэмпбелла—Хаусдорфа
В §§ 7 и 8 предполагается, что основное кольцо
k — алгебра над Q (например, поле нулевой характе-
ристики).
Теорема 1. Пусть X — некоторое множество.
Тогда свободная алгебра Lx совпадает с множеством
примитивных элементов алгебры Assx (т. е.
да = w ® 1 + 1 ® w},
где A: Assx-> Assx ® Ass^ — диагональное отображе-
ние).
Это следует из теоремы 5.4, доказанной в гл. III,
поскольку алгебра Assx может быть отождествлена
с ULX.
Так же как в § 6, мы определим пополнение Lx
алгебры Ли Lx равенством

48	Ч 1. Алгебры Ли	§ 7
Определим аналогично полное тензорное произве-
дение Assx®Assx формулой
Assx <g> Ass^, = П Ass? ® AssJ.
Р, Q
Диагональное отображение А продолжается до гомо-
морфизма A: Assx -> Assx <g> Assx, причем ясно, что
теорема 7.1 остается справедливой при замене Assx,
Assx <S> Assx и Lx их пополнениями.
Теорема 2. Пусть m — идеал в алгебре Assx,
порожденный множеством X. Определим отображения
exp: m->l+m и log: l+m-»m
следующими формулами:
exp (jb) = 2 x7«l, log A + х) = S (- 1)"+1 хп/п.
Тогда exp ° log = 1 м log°exp=l1).
Доказательство. Установим, например, равен-
ство exp (log A + г/))=1 + г/, у е т. Хорошо известно,
что в кольце Q[|T]] формальных степенных рядов
от переменной Т имеет место формула
exp(log(l + 7')) = 71.
Но поскольку у лежит в т, имеется (корректно опре-
деленный) непрерывный гомоморфизм р: Q [ [Т] ] —>
-->Assx, переводящий Т в у. Применяя р к равенству
exp(log(l + Т)) = Т, получаем exp(log(l + у)) = 1 + у,
ч. т. д.
Следствие 3. Отображение ехр определяет
биекцию множества {а е m | Да = а ® 1 + 1 ® а} на'
множество {Р е 1 + тп | Ар = р ® р}.
') В дальнейшем потребуется еще одно очевидное свойство
отображения ехр, доказываемое прямым вычислением. А именно,
ехр (х + у) = ехр (х) • ехр {у), х, у е ni, если элементы х а у ком-
мутируют. - Прим. перев.

§ 7	Гл. IV Свободные алгебры Ли	49
Доказательство. Пусть asm, p = еа и Да =
= а ® 1 -|- 1 ® а. Поскольку Д коммутирует с экспо-
ненциальным отображением, а элементы а® 1 и 1 ®а
перестановочны, получаем цепочку равенств
Дй — Д^а = gAa _ ga ® 1+1 ® а __ ga ® 1 . gl ® a _
= (Р® 1)A®Р) = Р®Р').
Теорема 4 (Кэмпбелл —Хаусдорф). Пусть
X = {л:, г/}, л: =^ г/. Гогда е' • еу = ег, где г е= Lx.
Доказательство. Поскольку ех, еуе1 + га,
постольку / ¦е'? 1 + т. Поскольку экспоненциаль-
ное отображение биективно, существует один и только
один элемент г em, такой, что ех • еу = ег.
Далее,
Д (ег) = Д {ех ¦ еу) = Д (ех) • Д (еу) =
= (ех ® е^) (еу ® еу) = е' • еу ® <зх • еу = ег ® ег.
В силу следствия 3 г —есть примитивный элемент,
и по теореме 1 (для пополнений) г е Lx, ч. т. д.
Рассмотрим теперь произвольное множество X.
Для любых элементов х, у е X обозначим через z(x, у)
элемент множества Цх, у) с: Lx, такой, что ех • еу =
_ ег (ж, у)ш
Мы имеем г (л:, г/) = 2 zn(x, у), где г„ (л:, y)aLx.
«=i
Явные выражения для первых трех однородных ком-
понент элемента z(x, у) таковы:
2,
, y) = у[х, г/],
+ -^-[г/, [г/, л;]].
') Обратно, пусть р е= 1 + т, лр = р ® р и Р = еа, где
о - log р <= т. Очевидно, р ® р = (р ® 1) A ® Р) = (ea ® l) (l ® ea) =
= еа ® i . е1 ® а _ еа ® hi ® а Однако Ар = еДа, откуда Да = а® 1 +
+ 1 ® а. — Прим. перев.
4 Ж.-П. Серр

50	Ч. I. Алгебры Ли	§ 8
Ясно также, что г @, у) = у, z (х, 0) = х и
z(z(w, x), y) = z{w, z(x, у)).
§ 8. Явная формула
ейные отображения
Assx), полагая
... хп) = [jcI( [jc2, ... [*„_„ xj ... ] ] =
Введем линейные отображения Ф: m—>Lx и
ср: m -> Lx (m с: Assx), полагая
хге Х.
Теорема 1. Отображение ср является ретракцией
идеала тп на Lx, г. е. 9|Lx = idi .
Доказательство. Наша задача — доказать,
что Ф(ы) = «ы, если «e=L". Рассмотрим гомоморфизм
ассоциативных алгебр 8: Assx-> End (Lx), продолжаю-
щий гомоморфизм алгебр Ли ad: Lx-*-End {Lx)-
Лемма 2. Для любых и е Assx и v ^ m спра-
ведливо равенство Ф (uv) — в (и) • Ф (v).
Доказательство леммы. Так как Ф и 9
линейны, достаточно рассмотреть случай и = х1 . . . хп,
xt е X; проведем индукцию по п. При п = 1 утвер-
ждение очевидно. Пусть /г>1. Тогда
Ф (*, ... хп ¦ v) = 9 (*,) Ф(х2 ... xn-v) =
Тем самым лемма доказана.
Вернемся к нашей теореме. Доказательство фор-
мулы Ф(ы) = пи, и(= Lx, проведем опять по индукции.
При п — 1 формула очевидна.
Пусть п>\. Тогда u = '?i[vi, wt\. Мы можем
поэтому считать, что и — [v, w], где v e Lx, w e Ll,
p + q = n, p, q>0.

§ 8	Гл. IV. Свободные алгебры Ли	51
Учитывая тот факт, что 0(o) = ady и 8 (w) — ad w,
получаем
Ф ([v, w]) = Ф (vw — wu) = 0 (v) Ф (ay) — 9 (w) Ф (у) =
= g9 (у) w — pQ (w) v — q[v, w\ — p [w, v] =
= (q + p)[v, w] = nu.
Теперь мы в состоянии дать явную формулу для
г(х, y) = \og(ex-ey) (x, у<=Х).
Как и раньше, запишем
где 2neLl.
Имеем
yq
откуда
оо	/	\т
1 / л- Уч V (-Dm+1 / V Л<? I
2 = iog(e •ey)=2J^^r— L тпг =
m-I
р|<яу
POP On	P Q
\ — I)	X у Л у	...Л у
т	pi\ qx\ ... рт\ qm\
Применим отображение Ф к фигурирующим здесь
одночленам:
a (у)
1), если qm> 1,
и
Ф(л:р«/« ... xp«) = ad(x)Pl ad(y)q* ... ad(x)"» (x),
если ^m = 0.
Заметим, что первое выражение равно нулю при
qm^2, а второе равно нулю при рт>2. Таким

52	Ч. 1. Алгебры Ли	Упр.
образом, ненулевые члены возможны только в двух
случаях: при qm = 1 или при рт = 1, дт = 0. Применяя
тождество 2„ = фB„), получаем явную формулу Кэмп-
белла — Хаусдорфа (в форме Дынкина):
где
У	(-l)m+l ad(x)piad(y)"ri ... ad (x)pm (y)
=	^	m	pi ! <?i! .. • Qm-i!
Pi
f
И
z" =
p.?
		V^	(— l)m+1 ad (x) ' ad (y) ' ... ad (y) m~l (x)
*^	m	d, ! a, ! ... o_ .!
Pi
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть X — конечное множество и Card(X) = d.
Показать, что число элементов длины п в моноиде Мх
пп-\,п 1-3-5 ... Bл-3)
равно 2 d 	р
2.	Доказать, что L\ = [х, LJ] для и>2.
3.	Показать, что центр алгебры Lx сводится к 0,
если Card (X) =^= 1, а центр алгебры Lx/^ Lx pa-
ra > p
вен Lj.
4.	Пусть X — некоторое множество, Card (X) J> 2
и е%? —совокупность всех семейств Холла в Мх. До-
казать, что Card(#2?) = 2Card(Jo.
5.	Показать, что гомоморфизм в: Fx->Ass*x, опре-
деленный в § 6, инъективен.

Глава V
НИЛЬПОТЕНТНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ
АЛГЕБРЫ ЛИ
В этой главе k предполагается полем, а в § 5,
где рассматриваются основные теоремы о разреши-
мых алгебрах Ли, — полем характеристики нуль. Все
встречающиеся алгебры и модули имеют конечную
размерность над k.
§ 1. Дополнительные сведения о д-модулях
Пусть задана некоторая алгебра Ли g над k.
По определению g-модулем называется векторное
пространство V над k вместе с fe-билинейным ото-
бражением g X V —>]/ (которое обозначается (х, v)*—>
»—> xv), таким, что [х, y]v = xyv — yxv для всех
х, j/eii и v^V. Соответствующий гомоморфизм
алгебр Ли р: fl —> End (V) называется линейным пред-
ставлением алгебры g, a V — пространством предста-
вления.
Произвольное векторное пространство V можно
превратить в g-модуль, полагая xv = 0 для любых
аеУ ихед;в этом случае говорят, что $ действует
тривиально на V. В частности, всякий раз, когда k
рассматривается как g-модуль, мы будем молчаливо
предполагать (если не оговорено противное), что k—
тривиальный д-модуль.
Пусть V\ и V2 —Два g-модуля. На их тензорном
произведении К]®^У2 можно единственным способом
определить структуру g-модуля, такую, что выпол-
няется соотношение
v2+vlg(xv2).	A)

64	Ч ! Алгебры Ли	§ 1
Это можно проверить непосредственно или усмо-
треть из диаграммы
где А — диагональное отображение. Действие A) ал-
гебры g на V\®Vi иногда называется диагональным,
действием.
Аналогично пространство fe-линейных отображений
Homfe(Fb V2) становится g-модулем, если положить
= x(f(vt))-f(xvl), где *е=ц, о, е К,. B)
Более общим образом пусть дано конечное семей-
ство g-модулей V, Vu ..., Vr. Тогда легко построить
структуру g-модуля на пространстве /г-полилиней-
ных отображений из Ц F; в V.
Элемент v g-модуля V называется ^-инвариантным,
если xv = 0 для всех хед. Эта на первый взгляд
странная терминология возникла из соответствующей
групповой ситуации; равенство xv = 0 равносильно
равенству v = (l + bx)v. Множество всех ij-инвариант-
ных элементов образует, очевидно, ii-подмодуль в V,
являющийся наибольшим подмодулем, на котором i]
действует тривиально.
Пример 1. Линейное отображение f: V\-> V2 инвари-
антно относительно действия % в пространстве
Homfe(Fi, V2) в том и только в том случае, если
f{xvl) = xf(vl), т.е. если f — гомоморфизм $-модулей.
Пример 2 (инвариантные билинейные формы).
По определению инвариантная билинейная форма
В: V[XУ4—>-/гесть форма, удовлетворяющая тождеству
B{xvx, v2) + B(vu xv2) = Q.
(Для групп это означает, что B(gvlt go2) = S(wb v2),
где g = 1 -f ex.) Пусть V — некоторый (^-модуль и
р: а,—>End V — соответствующее линейное представле-
ние. Положим Вр(х, у) = Ttv(р (х) р(у)), где Тгка
означает след fe-линейного преобразования a: V-+V.

§ 2 Гл. V. Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли	55
Предложение 1. Билинейная форма Вр сим-
метрична и %-инвариантна относительно присоединен-
ного представления алгебры я на 0.
Доказательство. Из тождества lxv{o$) =
= Try (pa) легко следует симметричность Sg. Для до-
казательства инвариантности мы должны показать,
что выражение
Т1>(р[лг,, х2\)р(х2) + Чгу{р(х{)рAхъ х2])) =
= Ttv (р (х) р (*,) р (х2) - р (х{) р (х) р (х2) +
~ 9 (*i) Р (*2) Р (х))
равно нулю при любых хь х2ед. Но два средних
члена взаимно уничтожаются. Остается воспользо-
ваться уже доказанной симметричностью, положив
а = р(х) и P = ()()
Определение 2. Формой Киллинга называется
инвариантная симметрическая билинейная форма
В (х, у) = Tr(adx ady) на алгебре д, соответствующая
присоединенному представлению.
§ 2. Нильпотентные алгебры Ли
Пусть g — конечномерная ^алгебра Ли над k. Для
любых двух подмножеств V, W с: g через [V, W] обо-
значим подмодуль в я, порожденный элементами вида
[х, у] cieF, (/ef. В случае когда V и W — под-
модули в %, множество [V', W] есть образ тензорного
произведения V ® kW при отображении х® уу-^ [х, у].
Если V и И7 — идеалы алгебры с\, то [7, U7] также
является идеалом, что легко следует из тождества
Якоби. Рассмотрим, в частности, убывающий цен-
тральный ряд идеалов: С1^ = f( и Спа, = [g, Cre~'g],
п^2. Мы предоставляем читателю проверку вклю-
чения
[Crc,, Csg]crC'+s3.
Теорема 1. Следующие условия эквивалентны:
(i) существует целое число п, такое, что C"g«=@);

56	Ч. I. Алгебры Ли	§ 2
(ii) существует такое целое число п, что
[хи [х2, [х3, . . ., хп] ...]] = (ad *,) (ad х2) ...
... (ad *„_,) хп = О
для любого набора (хи ..., хп) элементов из $;
(iii) алгебра % может быть получена при помощи
центральных расширений абелевых групп Ли; иными
словами, существует цепочка идеалов
такая, что а,-/аг+1 лежит в центре алгебры й/а<+1 (т. е.
[%, аг] с: а1+1 для каждого г).
Доказательство. Импликации (i)гф(ii) =ф(iii)
совершенно очевидны. Заметим, что цепочка идеалов
Сп% является минимальной из всех возможных цепо-
чек, удовлетворяющих свойству (iii). Другими сло-
вами, для любой цепочки идеалов {ctj, обладающей
свойством (iii), Cn% cz an для всех п.
Определение 2. Алгебра Ли, удовлетворяю-
щая одному из эквивалентных условий теоремы 1,
называется нильпотентной.
Пример. Пусть V — векторное пространство и
<&~ ~ {VD ~ флаг этого пространства, т. е. последова-
тельность подпространств @) = V0 а V\ сг ... сг Vn = V,
таких, что dim !/,• = /. Положим
и {оТ) = {и е End V | uVt cz l/(-_, для всех I > 1}.
Понятно, что элементы из и (а?") —это те и только те
эндоморфизмы V, которые переводят Vt' в себя и
индуцируют нулевое отображение на V{IVг-\ для всех
/;> 1. Очевидно, что п(а?") — ассоциативная подалгебра
алгебры End V и, a fortiori, подалгебра Ли относи-
тельно коммутирования [х, у] = ху — ух. Выберем
в пространстве V базис {vt}, согласованный с флагом <^~
(в том смысле, что Vi = kvi+ ... + kvt). Элементами
п(а?") в этом базисе отвечают строго верхние тре-
угольные матрицы, т. е. треугольные матрицы с ну-
лями по главной диагонали и ниже ее. Покажем,

§ 3 Гл. V. Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли	57
что алгебра Ли п(<&~) нильпотентна. Рассмотрим
идеалы
v.j (еГ) = {« е= End V\uV{<= Vi4 для всех i > /}.
Замечая, что п(<&") пД^О с: п;Ч1 @") и n;-
сг п;-+1 (^"), получаем
Следовательно, наша алгебра нильпотентна, поскольку
\\j {0~) = 0 для достаточно больших /.
§ 3. Основные теоремы
Следующая теорема дает некоторое оправдание
термина „нильпотентность".
Теорема 1. Алгебра Ли % нильпотентна в том
и только в том случае, когда эндоморфизм ad л; для
каждого Jteij нильпотентен.
С этой теоремой тесно связана следующая
Теорема 2 (Энгель). Пусть р: %—
линейное представление %в векторном пространстве V,
причем р(х) нильпотентно для каждого х е ([. В этом
случае существует флаг ^ = {V{}, такой, что ()
Обращение теоремы 2 тривиально, так как строго
треугольные матрицы нильпотентны. Суть теоремы
состоит в следующем. Если для каждого данного
элемента х е i] существует флаг <хГх = {VXt,-}, такой,
что р(х) VXt t с: Vх,;_], то тогда существует единый
флаг of, годный для всех х одновременно.
Утверждением, равносильным теореме 2, является
Теорема 2'. В условиях теоремы 3.2 (при
V ф @)) существует ненулевой элемент v e V, такой,
что р (х) v = 0 для всех ^ej.
В самом деле, из теоремы 2 очевидным образом
следует теорема 2', так как в качестве искомого
аеУ можно взять любой элемент пространства V\

58	Ч. I. Алгебры Ли	§ 3
флага <&~. Обратно, если справедлива теорема 2', то
теорема 2 легко доказывается индукцией по размер-
ности V. Именно: натянем на элемент v, существо-
вание которого утверждается теоремой 2, одномерное
подпространство kv и рассмотрим факторпространство
V = Vlkv. По предположению индукции в V имеется
флаг <&' = {Vi}, такой, что p(ft)F? с: V t.\. Отсюда
легко усмотреть, что соответствующие подпростран-
ствам V i подпространства Vt cF и прямая kv обра-
зуют в совокупности искомый флаг на V.
Доказательство теоремы 2' проведем в семь шагов.
Шаг 1. Поскольку условия и заключение отно-
сятся не к самой алгебре ft, а к р (д), мы можем за-
менить алгебру ее образом, т. е. можем считать, что
gc: EndF.
Шаг 2. Отображение adx нильпотентно для ка-
ждого х е ft. Действительно, айх (у) — Lxy — Rxy, где
Lx и Rx—линейные эндоморфизмы пространства End V,
определенные соответственно правилами а->ха и
а->си:. Но так как по условию Lx и Rx нильпотентны,
нильпотентна и их разность Lx — Rx. (Доказать, что
в любом кольце (а - р)т+(г-' = о, если ат = рге = 0 и
ар = ра.)
Шаг 3. Применяя индукцию по размерности ft, мы
можем предполагать теорему 2' установленной для
всех алгебр Ли f), таких, что dim I) < dim g.
Шаг 4. Пусть I) — подалгебра алгебры ft (lj Ф ft).
Обозначим через п = {х е ft | ad x (§) cz |} нормализа-
тор ^ в д, т. е. максимальную подалгебру в д, для
которой f) является идеалом. Покажем, что п строго
больше I). (Читатель, знакомый с теорией р-групп,
несомненно, заметит здесь некоторую аналогию.)
Алгебра Ли | действует на пространстве | и на дД)
при помощи нильпотентных преобразований (при-
соединенное представление). Поскольку dim f) < dim g,
существует (в силу индуктивного предположения)
ненулевой инвариантный (т. е. аннулируемый алгеб-

§ 3 Гл. V. Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли	59
рой i)) вектор x = x + $^s\fy. Тогда для любого г/el)
имеем
ad *(«/) = — ady(x)<^ ty
(так как ady(x)-O). Итак, я е и/1), и наше утвер-
ждение доказано.
Шаг 5. Если д=^=@), существует идеал fj eg кораз-
мерности 1. В самом деле, пусть ^ — максимальная
подалгебра в д, отличная от д. Тогда (см. четвертый
шаг) нормализатор подалгебры f) в g совпадает со
всей алгеброй д, т. е. 1) — идеал в д. Рассмотрим
в алгебре д/I) какое-нибудь одномерное подпростран-
ство и возьмем его полный подобраз в д. Мы полу-
чим подалгебру в д, строго большую, чем I), и по-
тому совпадающую с д, откуда следует, что dim g/l) = 1.
Выберем такой идеал $.
Шаг6. Положим W={v^V\$v = 0}. Пространство №
инвариантно относительно д. В самом деле, пусть
и у^-Ъ), тогда
yxv ~ xyv — \х, у] v = 0 (эеК),
поскольку fy— идеал.
Шаг 7. По предположению индукции (dimlj<
< dim g) W^@). Выберем элемент г/eg, не принад-
лежащий f). Так как у — нильпотентное преобразова-
ние, оно аннулирует некоторый ненулевой вектор
из W, который тем самым аннулируется всей алгеб-
рой a, = fy + ky. Теорема 2' доказана.
Доказательство теоремы 1. Если алгебра g
нильпотентна, то по теореме 2.1 (свойство (ii)) пре-
образование ad л; нильпотентно для каждого х^%.
Обратно, пусть adx нильпотентно для каждого хе%.
Применив теорему Энгеля, получим флаг
@)cza,c:a2c= ... <=an = g8
состоящий из подпространств at алгебры д, таких,
что [g, Qjjcaj.! для всех I. Отсюда вытекает, сог-
ласно критерию (Hi) (теорема 2.1), что алгебра Ли g
нильпотентна.

60	Ч, I. Алгебры Ли
§ 3*. Теоретико-групповой аналог теоремы Энгеля
Пусть V — конечномерное векторное пространство
над k. Элемент gG GL(V) назовем унипотентным,
если g удовлетворяет одному из трех эквивалентных
условий (доказательство их эквивалентности мы
предоставляем читателю в качестве упражнения):
(i) g = 1 + п, где элемент п нильпотентен:
(И) в подходящей системе координат преобразо-
ванию g отвечает треугольная матрица с единицами
на главной диагонали:
(ш) все собственные значения преобразования g
равны единице.
Теорема (Колчин). Пусть G — подгруппа
группы GL{V), причем каждый элемент g^G унипо-
тентен. Существует флаг &" = \У ii в пространстве V,
такой, что все подпространства Vt инвариантны от-
носительно G.
Другими словами, найдется система координат,
в которой все элементы группы G одновременно
представляются треугольными матрицами, на диаго-
нали которых ввиду свойства (Hi) обязательно бу-
дут стоять единицы.
Доказательство. Теорема будет доказана
(индукцией по размерности V), если при наших пред-
положениях мы сможем установить существование
ненулевого вектора иеУ, инвариантного относи-
тельно G.
Система линейных уравнений
имеет нетривиальное решение v над k тогда и только
тогда, когда она имеет его над алгебраическим за-
мыканием k поля k, т. е. в пространстве V®kk. По-
этому мы можем предполагать, что поле k алгебра-
ически замкнуто. Далее, рассматривая вместо про-
странства V его подпространство, можно считать,
что V — простой G-модуль. Из теоремы плотности,
или теоремы Бернсайда (Бурбаки [3], гл. VIII, § 4,

§ 4 Гл. V. Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли	61
п. 2 и 3) вытекает, что элементы группы G линейно
порождают все пространство End V, ибо 2 kg является
«ев
fe-подалгеброй в End V.
С другой стороны, для каждого g = 1 + /isG имеем
так как след нильпотентного преобразования равен
нулю. Итак, след Trv(g) не зависит от g^G, так
что для любых двух элементов g, gf<=G
Trv {ng') = Тг„ ((g - 1) g') = Trv {gg> - g') =
Но элементы gr порождают End V, так чт,о Trv(na) = 0
для всех aeEndV. Следовательно, п = 0, т. е. g=l.
Теорема доказана.
§ 4. Разрешимые алгебры
Производным рядом {Dn§} идеалов в »д называется
цепочка идеалов
определенных индуктивно по формулам Dl\{ = s1,D"fl =
= Р"-1Й, D"-1!?], л>1.
Теорема 1. Следующие три условия эквива-
лентны:
(i) существует целое п, такое, что Dn(\ — @);
(ii) существует целое п, такое, что для любого
семейства из 2п элементов xvei
(ш) алгебра а, получается последовательными рас-
ширениями абелевых алгебр Ли; иными словами,
существует последовательность идеалов
;5 = Д1ГЭО.2Г5 ... Г5Лп = @),
такая, что факторы &tlai+\ абелевы, т. е. [a;, u{]czci[+1
для всех L
Действительно, импликации
очевидны.

62	Ч. I. Алгебры Ли	§ 5
Определение 2. Алгебра Ли g, удовлетворяю-
щая трем эквивалентным условиям предыдущей те-
оремы, называется разрешимой алгеброй Ли.
Пример. Пусть t&~ — {V{} — флаг в конечномерном
векторном пространстве V. Положим
b(#") = {xe=EnclF \xVtCzVi для всех г}.
В координатной системе, связанной с этим флагом,
элементы из Ъ {<&") представляются треугольными ма-
трицами. Легко убедиться в том, что факторалгебра
Ь (#")/п (#') абелева, так что алгебра Ъ(<&~) разре-
шима.
§ 5. Основная теорема
На протяжении этого параграфа основное поле k
есть поле характеристики нуль.
Основная теорема о разрешимых алгебрах Ли
гласит:
Теорема I (Ли). Пусть g — разрешимая алгебра
Ли над алгебраически замкнутым полем k нулевой
характеристики, и пусть р — произвольное линейное
представление алгебры а, в пространстве V. Тогда
в пространстве V существует флаг <&~ = {Vi}, такой,
что р(д)с=Ь(<У).
Индукцией по размерности V эта теорема сводится
к следующей.
Теорема Г. В условиях теоремы 5.1 (при
Уф@)) существует ненулевой вектор asF, собствен-
ный для всех преобразований р(х), где *&}.
Заметим, что вектор v с такими свойствами опре-
деляет отображение %: <\ -> k, такое, что р (x)v = % (х) v.
Основная лемма. Пусть $ — алгебра Ли над
полем k нулевой характеристики, ф — идеал в с|,
V — некоторый q-модуль, »sl/(^0) и %: §->k —та-
кое отображение, что hv = %(h)v для всех ft|
Тогда %{[х, h]) = 0 при х^(\ и Л

§ 5 Гл. V. Нилыготентные и разрешимые алгебры Ли	63
Доказательство. Рассмотрим произвольный
элемент хец(хфО). Обозначим через Vi подпростран-
ство пространства V, порожденное векторами v,xv, . . .
. .., xl~lv. Имеем, очевидно,
Пусть п — минимальное целое число, для которого
Vn^Vn+i (га>0). Очевидно, dimVtl = n, xV naV n+x и
Vп — Vn+k Для всех k^O. Мы утверждаем, что для
каждого элемента /zef) имеет место сравнение
hx'v = %(h)x'v(modVi), i^O. Докажем это индук-
цией по /.
При / = 0 наше утверждение верно в силу опре-
деления отображения %.
При / > 0 имеем
hxlv = hxxl~lv = xhxl~lv — [х, h] x'~lv.
Но по предположению индукции
[х, к]хи1и
где о', о"е1/, Учитывая, что xV^iCzVi, получаем
искомое сравнение.
Из доказанного следует, что каждый эндомор-
физм пространства V п, определенный элементом
Aelj, представляется в базисе этого пространства
{о, xv, ..., xn~1v] треугольной матрицей с числами
%Aг) по главной диагонали. Таким образом, 7vVii{h) =
= n%{h). Заменяя h на [х, h], получаем
п% ([х, h]) = ТтУп ([х, h]) = TvVn (xh - hx) = 0
(заметим, что xVnciVn).
Доказательство теоремы 1'. Снова при-
меним индукцию по dimF. Если dim g = 0, наше
утверждение тривиально. Пусть dim 3 > 0. Поскольку
алгебра о, разрешима, Dg = \%, <&]=?% (в против-
ном случае % = Dn% для всех п^О). Рассмотрим

64	Ч. I. Алгебры Ли	§5
подпространство fycg коразмерности 1, содержа-
щее D%. По определению алгебры ?)g имеем
так что ф — идеал в %. По предположению индукции
найдутся ненулевой вектор v^V и отображение
%: b—>k, такие, что hv = %(h)v для всех /?е|. По-
ложим
W = {ше1' \hw = %(h) w для всех
По построению W— нетривиальное линейное под-
пространство в V. Покажем, пользуясь основной
леммой, что W инвариантно относительно $. Если
и х^а,, то Для любого /tel) имеем
— [х, h]w — %(h)xw — %{[x, h])w.
Поскольку последний член в этом равенстве равен О,
получаем xw^W.
Выберем теперь элемент хед, не лежащий в I).
Так как поле k алгебраически замкнуто, то для
эндоморфизма х : W->W существует собственный
вектор Vq^W. Полученный вектор является искомым,
поскольку о0 будет собственным для всех элементов
алгебры kx + t) = g. Теорема доказа-иа.
Заметим, что теорема Ли неверна в случае поля
характеристики, отличной от нуля. В качестве при-
мера рассмотрим алгебру Ли si B) квадратных мат-
риц второго порядка с нулевым следом над полем
характеристики 2. Легко показать, что эта трехмер-
ная алгебра нильпотентна, однако ее стандартное
представление в пространстве векторов-столбцов
длины 2 не имеет собственных векторов.
Мы закончим этот параграф двумя следствиями
из теоремы Ли.
Следствие 2. В разрешимой алгебре Ли су-
ществует флаг из идеалов этой алгебры.
Для доказательства достаточно применить тео-
рему Ли к присоединенному представлению.

§ 5* Гл. V. Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли	65
Следствие 3. Если поле k имеет характери-
стику нуль и g — разрешимая алгебра Ли, то ал-
гебра [g, д] нильпотентна.
.Доказательство. Заметим, что наше утвер-
ждение линейно. Если k' — расширение поля k и
g' = g®kk\ то ясно, что разрешимость (соответственно
нильпотентности) алгебры д' равносильна разреши-
мости (соответственно нильпотентности) алгебры д,
так как [д, д]' = [д', д'] и т. д. Поэтому можно пред-
полагать, что поле k алгебраически замкнуто. Со-
гласно предыдущему следствию, существует флаг
идеалов алгебры g
Пусть хе[д, д]. Легко видеть, что adxg,c:gi+1, по-
скольку алгебра Ли End СЗг/вл-i) — k коммутативна.
Следовательно, ad х нильпотентен на д, а тем более
на [д, д]. Нильпотентность алгебры [д, д] следует
теперь из теоремы 3.1.
Замечание. Обратно, если алгебра [д, д] нильпо-
тентна, то алгебра д, очевидно, разрешима.
§ 5*. Теоретико-групповой аналог теоремы Ли
Группа G называется разрешимой, если она может
быть получена посредством конечного числа рас-
ширений абелевых групп.
Рассмотрим ряд подгрупп
где G^ = G и G(n) = (G(II-1), G*"') при п>\. Тогда
разрешимость группы G эквивалентна равенству
G(re)=1 для некоторого п.
Пусть G — топологическая группа и р: G -> GL (V) —
непрерывный гомоморфизм группы G в группу авто-
морфизмов конечномерного векторного пространства V
над полем комплексных чисел С.
Теорема 1*. Если группа G разрешима и свя-
зна, то в пространстве V существует флаг &, ин-
вариантный относительно р(х) для всех G
5 Ж.-П. Серр

66	Ч. I. Алгебры Ли	§ 5*
Представление р называется неприводимым, если
в пространстве У(ф@)) нет иных подпространств,
инвариантных относительно всех р(х), кроме V и
@). Из теоремы 1* непосредственно вытекает
Следствие 2*. Если группа G разрешима и
связна, а представление р неприводимо, то dimK = l.
Обратно, с помощью индукции по dim V наша
теорема легко получается из этого следствия.
Следствие 3*. Всякая компактная разреши-
мая топологическая группа абелева.
Доказательство. По теореме Петера — Вейля
для любой компактной группы G существует семей-
ство неприводимых представлений ра: G -> GL (Fa),
такое, что отображение G -*¦ П GL {Va) инъективно.
a
Но dimFa=l, так что G — абелева группа.
Прежде чем доказывать теорему, условимся о сле-
дующей терминологии.
Элемент v^V назовем собственным для подгруппы
#c=G, если v=?0 и /гУбСэ для всех АеЯ. Соб-
ственный вектор v определяет характер %v: H-*-C*,
для которого p(h) v — %v(h) v, где ЛеЯ. Разумеется,
функция %v непрерывна, поскольку непрерывно ото-
бражение р. Число различных характеров %v, отве-
чающих собственным векторам »eF, не превышает
размерности V (и следовательно, конечно). В самом
деле, допустим, что {vu ..., vr}— максимальная ли-
нейно независимая система собственных векторов для
группы Н и {%ь ..., хЛ — соответствующая система
характеров. Пусть v — произвольный собственный век-
тор с характером %. Тогда v = ^ialvi, где а(еС, и,
применяя р (h) к этому равенству, мы получаем
Oix(h) = at%i{h) при любом i.
Следовательно, х = Ъ Для некоторого i, поскольку
не все at равны нулю.
Основная лемма*. Пусть G — связная топо-
логическая группа и о — собственный вектор для ее

§ 5* Гл. V. Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли	67
нормального делителя Н. Тогда %v (x~lhx) = %.и (h) для
всех xeG и h^H.
(Читатель, конечно, заметит аналогию с основной
леммой предыдущего параграфа.)
Доказательство. Несложное вычисление по-
казывает, что %o(x~lhx) = %xv{h). Как уже было вы-
яснено раньше, существует лишь конечное число
характеров группы Н вида %xv. Поэтому подгруппа
5 = {хе G\xxv = %v} имеет в группе конечный индекс.
Однако 5, будучи множеством общих нулей функций
%v{x~lhx) — %v(h) на группе G (h пробегает Н), является
замкнутым множеством. Таким образом, G есть объеди-
нение конечного числа попарно непересекающихся
замкнутых множеств (смежных классов по 5). Ввиду
связности G это означает совпадение 5 и G, ч. т. д.
Доказательство теоремы 1*. Восполь-
зуемся индукцией по наименьшему числу п, для ко-
торого G(re)=(l). Если п=\, то G = (l) и теорема
очевидна. Пусть и>1, тогда G{2)=?Ga) = G (в про-
тивном случае G(n) = G для всех п). Докажем сна-
чала связность G'2\ а затем применим к этой группе
предположение индукции. Обозначим через С множе-
ство всех коммутаторов группы G; это множество,
очевидно, связно как образ связного топологического
пространства GXG при отображении (х, у)*—>хух~ху~1.
Положим
Cm = {x^G\x=4ji ... ym, где уи .... г/т€=С}.
Множество Ст есть образ произведения СХ .. .ХС
(т раз) и потому тоже связно. Поскольку включения
«еС и ичеС выполняются одновременно, группа GB>,
порожденная С, есть объединение множеств Ст. Таким
образом, GB) —связная группа, ибо все Ст связны и
имеют общую точку 1.
По предположению индукции существует собствен-
ный вектор vQ^V для группы GB). Обозначим

68	Ч. 1. Алгебры Ли	§ 5*
через Хо: GB)->C* соответствующий характер. В силу
основной леммы множество
, где /!
инвариантно относительно p(G). Однако по предпо-
ложению р неприводимо, поэтому p(h)v = %0(h)v для
всех tieF и Ag GB).
Пусть xeG. Рассмотрим подгруппу HaG, поро-
жденную G2 и элементом л:. Легко видеть, что Я —нор-
мальный делитель (#:^G<2)). Так как поле С алге-
браически замкнуто, оператор р(х) имеет собственный
вектор Vi^V. По приведенным выше соображениям
V[ — собственный вектор для GB) и, следовательно,
для Н. Пусть Хр Н —> С" — соответствующий характер.
Применяя опять основную лемму, находим, что мно-
жество
инвариантно относительно p(G) и, следовательно, со-
впадает со всем пространством V. В частности,
p(x)i)eCt) для любого oeF. Поскольку элемент х
выбирался в группе G произвольно, мы заключаем,
что dim V = 1. Тем самым следствие 2* и теорема 1
доказаны.
Замечание. Фактически теорема Ли и ее теоретико-
групповой аналог эквивалентны друг Другу. Если
исходить, например, из групповой теоремы, то соот-
ветствующее утверждение для алгебр Ли сразу полу-
чается (при k = С) рассмотрением связной 1) группы
Ли, соответствующей данной алгебре Ли. Случай
произвольного алгебраически замкнутого поля k нуле-
вой характеристики сводится к случаю k = С с по-
мощью принципа Лефшеца. Именно: возьмем под-
поле k' с: k, конечно, порожденное (над Q) структур-
ными константами алгебры % и отображения gXF->F.
Вложим затем поле W в С и осуществим спуск от С
к к'.
') И односвязной. — Прим. перев.

§ б Гл. V. Нилыготентные и разрешимые алгебры Ли	69
Обратно, пусть мы исходим из теоремы Ли. Тео-
рема 1* получится, если рассмотреть замыкание
группы p(G) в GL{V) как вещественную группу Ли
и применить к ее алгебре Ли теорему Ли.
§ 6. Леммы об эндоморфизмах
Пусть k — алгебраически замкнутое поле нулевой
характеристики и V — конечномерное векторное про-
странство над k. Элемент «eEndl^ называется полу-
простым, если пространство V имеет базис, состоя-
щий из его собственных векторов, или, что то же
самое, если в некоторой системе координат и пред-
ставляется диагональной матрицей.
Лемма 1. Для каждого и е End V существуют
полупростой элемент s и нильпотентный элемент п
из алгебры End V, такие, что sn~ns и u — s + n,
причем sun однозначно определяются этими двумя
условиями. Кроме того, существуют многочлены S (Т)
и N (Т) (зависящие от и), такие, что S@) — N@) = 0,
s = S(u) и n=>N(u).
Доказательство. Пусть JJ (Т — Я,)' — разло-
i
жение характеристического многочлена оператора и
в произведение степеней различных линейных множи-
телей T — Xt. Для каждого i обозначим 'через V\- ядро
эндоморфизма (и — Лг)т': V->V. Тогда V = ф Vi (пря-
мая сумма), dimVi — шг и uVidV{. Пусть искомые s
и п уже найдены. Перестановочность s и п влечет
за собой перестановочность s и и, а тем самым s и
(и — Х^™1; поэтому sVtciVi для каждого i. Из ниль-
потентности эндоморфизма и — sl) вытекает, что и
и s имеют на Vt одинаковые собственные значения.
Но по построению оператор и имеет в пространстве V{
единственное собственное значение Xt. Поэтому полу-
простота s означает, что ограничение этого оператора
') А также из перестановочности и и s. — Прим. перев.

70	Ч. 1. Алгебры Ли	§6
на V1 есть просто оператор умножения на скаляр Яг-.
Таким образом, единственность эндоморфизмов п и s
доказана. С другой стороны, определяя s указанным
способом и полагая n = u — s, мы получаем решение
нашей задачи (так как ограничение оператора п на Vt
имеет вид и — Xt и является, следовательно, нильпо-
тентным по определению V<).
Рассмотрим, наконец, многочлен S(T), удовле-
творяющий следующей системе сравнений:
5 (T)=Xt (mod (T - Л,I"'), 5 (Г) = 0 (mod T).
(Заметим, что эти условия согласованы, если Х{ = 0
для некоторого г.)
Очевидно, что 5@) = 0 и S(u) = s. Полагая N(T) =
= T — S(T), мы получим jV(O) = O и N(u) = u — s = n,
ч. т. д.
Следствие 2. Пусть u=>s + п — разложение из
предыдущей леммы, и пусть А и В —два подпро-
странства в V, такие, что Лс В и В cz А. Тогда
sBaA и пВ^А.
Действительно, в силу предыдущей леммы доста-
точно заметить, что для любого многочлена Р (Г) без
свободного члена имеем Р(«)ВсЛ.
Обозначим через V* двойственное к V простран-
ство Нотк(У, k) и положим для любых целых р,
р раз	q раз
р	q
Пространство У„,ч можно рассматривать как
модуль над алгеброй Ли End V относительно диаго-
нального действия (см. § 1). Для каждого «eEndl/
обозначим через uPt q соответствующий эндоморфизм
пространства VPi q.
Например,
«i, 2 = и <8> 1 <8> 1 — 1 ® "* ® 1 — 1 ® 1 ® и*.
где и*е End V* — сопряженный к и эндоморфизм,
определяемый формулой {и*у, х) = (у, и х) (мы пишем
здесь {у, х) вместо у(х) для «/е V*, ^еК).

§ 6 Гл. V. Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли	71
В частном случае р = q = 1 имеется канонический
изоморфизм У], i^ End V, который сопосгавляет паре
x<S>y эндоморфизм х'*—>х{у, х'). Несложное вычи-
сление показывает, что при этом изоморфизме эле-
менту «[ ^End^! ] соответствует элемент ad us
<= End (End V).
Лемма 3. Пусть и = s + n — каноническое разло-
жение эндоморфизма и, указанное в лемме 1. Тогда
иР, q = sp,4 + tip, q есть каноническое разложение эндо-
морфизма uPiq для любых р и q.
Доказательство. Прежде всего [sPiq, nPtl/] =
= [$, ti\p. q = Op. g = 0. ТЭК ЧТ0 SP. q И пр, q КОММуТИруЮТ.
Если {xj —базис V, состоящий из собственных век-
торов оператора s, то двойственный базис [x^J про-
странства V* и базис [х, <gs ... <8>х, <8sx* <8> ... <S> х*. }
1 1	lp 'i	'р>
пространства Vp,q состоят соответственно из собствен-
ных векторов операторов s* и sPtQ. Таким образом,
эндоморфизм sPit/ полупрост. Оператор np<q нильпо-
тентен, будучи равен сумме операторов вида
1® ... <g)n<g) ... <8> 1 и 1® ... <g)n*<8) ... <8> 1, кото-
рые нильпотентны и попарно перестановочны. Равен-
ство ир,ч = spiQ + nPit/ тоже имеет место, поскольку
отображение и >—> ир< q линейно. Остается учесть един-
ственность канонического разложения.
Пусть seEnd V — полупростой элемент, V = © Vi~
соответствующее разложение в прямую сумму, такое,
что s\Vi = hl, и пусть q>: k-*• k — некоторое Q-линей-
ное отображение.
Определение 4. Символом cp(s) будем обозна-
чать полупростой эндоморфизм пространства V, для
которого ф (s)j V/ = ф(Яг). (Другими словами, если
эндоморфизм s представлен диагональной матрицей,
то матрица, соответствующая q>(s), получится, если
применить ф к ее элементам.)
Существует многочлен Р (Т) (зависящий от ф и s),
для которого <f>(s) — P(s) и Р @) = 0. (Нахождение
такого многочлена сводится к решению Интерпола-

72	Ч. I. Алгебры Ли	§6
ционной задачи Р(Аг) = ф(Лг) для всех i и Р@) = 0.)
До сих пор мы использовали лишь тот факт, что ф
отображает k в k и ф@) = 0. Для того чтобы дока-
зать следующую лемму, нам понадобится линей-
ность ф.
Лемма 5. Для любых р и q имеет место фор-
мула
(ф (s))P, « = Ф («/>,?)•
Доказательство. Пространство У p,q разла-
гается в прямую сумм,у подпространств вида
V ix% ... <8>Vi <8> Vjt <S> ... <8>Vi . На каждом таком
подпространстве
sp>q есть оператор умножения на скаляр Ki + ...
... +^р-Я,/1- ... -Kiq,
<p{sp,g) есть оператор умножения на скаляр
(Я	.. +Xip-Xii- ... -Х,р),
q есть оператор умножения на скаляр
Следствие 6. Пусть и = s + n — каноническое
разложение эндоморфизма ueEndV, и пусть А
и В — подпространства в Vp,q, такие, что АаВ и
up,qBc:A. Тогда для любого Q-линейного отобра-
жения ф: k —> k имеет место включение ф (s)Pi qB с: А.
Доказательство. Ввиду леммы 3 и след-
ствия 2 sPtljBczA. Лемма становится теперь очевид-
ной, если учесть замечание (перед леммой 5) о том,
что эндоморфизм ф (s)p> q = ф (spi q) представляется
многочленом от sp, q без свободного члена.
Лемма 7. Пусть и = s + n — каноническое раз-
ложение из леммы 1. Если Ti> (цф (s)) = 0 для всех
Ф е Нотч (fe, й), то оператор и нильпотентен.
Доказательство. Используя те же обозначе-
ния, что и при доказательстве леммы 1, получаем

§ 7 Гл. V. Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли	73
для всех <peHomQ(&, k). Пусть ф таково, что
q>(k)czQ. Тогда, применяя повторно ф, мы придем
к тождеству 2/"гф(^(J = О. из которого следует, что
ф(Я;) = 0 для каждого I. Но включение ф(?)с=E вы-
полняется, например, для любых феНотч [k, Q), так
что Яг = 0 для всех I, т. е. s = 0 и п = и, как и утвер-
ждалось.
Замечание (Бергман). Если k — С, достаточно
предполагать, что равенство Tiv(i«p(s)) = 0 вы-
полняется лишь для одного-единственного ф, а именно
для отображения комплексного сопряжения.
Эндоморфизмы вида (p(s) называются (по терми-
нологии Шевалле) репликами эндоморфизма s.
Мы предоставляем читателю в качестве упражне-
ния следующую характеризацию реплик.
Теорема 7. Пусть s и s' — полупростые элементы
пространства End У. Тогда s' является репликой s
(т. е. существует преобразование ф, такое, что q>(s) = s')
в том и только в том случае, если для любых р и q
каждый элемент пространства VPjq, аннулируемый
sp,q, аннулируется и s'pq.
Имеется еще одно, более красивое описание реплик
в терминах алгебраических групп. Пусть ц—множе-
ство всех реплик эндоморфизма s. Можно показать,
что g есть алгебра Ли наименьшей алгебраической
подгруппы GcrGL(V), алгебра Ли которой содержит s.
В самом деле, группа G (или, точнее, группа G (k)
точек группы с координатами из поля k) состоит из
всех автоморфизмов х пространства V, таких, что
для каждого i ограничение x\Vt есть оператор умно-
жения на скаляр Xt e k*, причем эти скаляры
удовлетворяют соотношению Пх"' = 1 для всякого
целочисленного вектора (..., nt, ...), такого, что
2 пЛ = 0 (см. Шевалле [2], гл. II, §§ 13 — 14, или Ше-
валле [6]).

74	4.1. Алгебры Ли	$ 7
§ 7. Критерий Картана
Часто бывает полезным следующий критерий раз-
решимости.
Теорема 1. Пусть k — поле¦ нулевой характе-
ристики, V — конечномерное векторное пространство
над k и д —подалгебра Ли алгебры End V. Следую-
щие условия эквивалентны:
(i) алгебра g разрешима;
(ii) Ti> (ху) — 0 для всех х е g и г/ s Dg = [g, ij].
Доказательство. Заметим сначала, что утвер-
ждение теоремы линейно, т. е. k можно предполагать
алгебраически замкнутым (объяснение этому было
дано выше при доказательстве следствия 5.3). Далее,
применяя „принцип Лефшеца" (т. е. выбирая конечно
порожденное подполе k' c= k, над которым опреде-
лены У и а, и вкладывая k' в С), мы можем свести
случай произвольного поля k к случаю k = C
A)=ф(п). По теореме Ли в пространстве V суще-
ствует флаг {1/J, инвариантный относительно д. Но
Trv(xy) = 2
потому что элемент у е Dg должен аннулировать
одномерный g-модуль Уг/У(+1.
(ii)=#>(i). Пусть usbg. По теореме Энгеля (см.
замечание к следствию 5.3) достаточно показать,
что и нильпотентен. Напишем каноническое разло-
жение u = s-Vn. Принимая во внимание лемму 6.7,
нам надо лишь показать, что Ti> (мер (s)) = 0 для всех
Ф е Hoitiq (k, k). Дело осложняется тем, что ф (s) не
обязательно лежит в с\. Пусть и = 2 са [ха, уа], где
с„еА и ха, i/ae(j. Воспользовавшись тождеством
Trv{[a, b]с) = Тг^(Ь[с, а}), получаем
Тгг (мф (s)) = 2 ca Tr^ ([д;а, уа] ф (s)) =
Таким образом, нам достаточно установить, что
[ф (s), xa] e Dg. Используем для этого канонический

Упр. Гл. V. И'ильпотентные и разрешимые алгебры Ли	75
изоморфизм End У ~ V ® V" = Vj, i и применим след-
ствие 6.6 (с р = q = 1), положив А = Da, и fi = g. Имея
в виду отождествление EndF = Vi,i, можно написать
ии\(х) = их — хи = [и, х] (см. замечание перед лем-
мой 6.3). Следовательно, ии t (g) c= Dg. Отсюда, по
лемме 6.6, 9(s),,b (g) c=Dg, т. е. [<f(s), x]eDg для
всех j;gj, ч. т. д.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Класс нильпотентных (соответственно разреши-
мых) алгебр Ли замкнут относительно перехода
к подалгебрам, факторалгебрам и конечным произ-
ведениям. Что можно сказать о расширениях?
2.	Нильпотентная алгебра размерности 2 абелева.
В неабелевой двумерной алгебре Ли существует
базис {х, у}, такой, что [х, у] = х.
3.	Неабелева нильпотентная алгебра Ли размер-
ности 3 имеет базис {л;, у, z}, такой, что [*, у] = г,
[X, 2] = [у, 2] = 0.

Глава VI
ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
На протяжении этой главы k — поле нулевой
характеристики и все алгебры и модули имеют над k
конечную размерность.
§ 1. Радикал
Пусть д — алгебра Ли, а и 6 —ее разрешимые
идеалы. Идеал а + b тоже разрешим, поскольку он
является расширением алгебры а + Ь/а ~ b/а f] Ь с по-
мощью идеала а. В алгебре g имеется, следовательно,
разрешимый идеал, содержащий все другие разре-
шимые идеалы. Этот наибольший разрешимый идеал х
называют радикалом алгебры д.
§ 2. Полу простые алгебры Ли
Мы будем говорить, что алгебра Ли g полупроста,
если ее радикал х равен нулю. Эквивалентное опре-
деление: алгебра Ли g полупроста, если она не со-
держит ненулевых абелевых идеалов. Действительно,
если г Ф @), то последний нетривиальный член про-
изводного ряда радикала х будет абелевым идеалом
алгебры д.
Другой критерий полупростоты дает следующая
Теорема 1. Алгебра g полупроста в том и
только в том случае, когда ее форма Киллинга не-
вырождена.
Доказательство. Обозначим через и прост-
ранство всех хед, для которых Tr (ad л; ad у) = 0

§ 2	Гл. VI. Полупростые алгебры Ли	77
при любом j/eg, Несложное вычисление, исполь-
зующее инвариантность формы Киллинга (см. гл. V,
§ 1, пример 2), показывает, что множество н является
идеалом в алгебре д. Если же и, то Tr(ad х ad у) = 0
для всех уед и, в частности, для у ^ Dm. Отсюда,
согласно критерию Картана, вытекает, что ad8n —
разрешимая подалгебра алгебры End g. Но ad8n есть
факторалгебра алгебры п по центру алгебры д, так
что и сам идеал н тоже разрешим. Таким образом,
если g — полупростая алгебра, то идеал п равен нулю.
Обратно, допустим, что а — абелев идеал в д, и
покажем, что a cz п. В самом деле, пусть а = ad x ° ad у,
где xet и f/ e g, тогда erg cr а и ога = @). Поэтому
о2 = 0 и Тга = 0. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть д — полупростая алгебра Ли,
а — ее идеал и ах — ортогональное дополнение
к идеалу а в алгебре д относительно формы Кил-
линга. Тогда ах — идеал алгебры д и д = афи1 (пря-
мая сумма).
Доказательство. Стандартное рассуждение,
использующее инвариантность формы Киллинга, по-
казывает, что ах —идеал в алгебре д. Аналогично
тому, как это делалось в предыдущей теореме, дока-
зывается, что а П ах — разрешимый идеал. Последнее
означает ввиду полупростоты алгебры д, что а |") ах = 0.
Теорема доказана.
Определение 1. Алгебра Ли § называется
простой, если она
(i) неабелева;
(ii) не содержит собственных идеалов.
Заметим, что в предыдущей теореме [а, а1] = @),
так как а и а-1 — идеалы в д. Поэтому из разложения
д = а ф ах следует изоморфизм алгебр Ли д~ахах.
Таким образом, любой идеал в а будет идеалом и в д,
и потому идеал а полупрост. Алгебра д/а ~ ах также
полупроста. Применяя индукцию по dim g, получаем
Следствие 1. Полупростая алгебра Ли изо-
морфна прямому произведению простых алгебр Ли.

78	Ч. I. Алгебры Ли	§ 2
Для простых алгебр 8 имеет место очевидное
равенство D8 = ё. Из него вытекает
Следствие 2. Если алгебра Ли g полупроста,
то Z)g = g.
Заметим, что разложение g в произведение про-
стых алгебр определено однозначно в буквальном
смысле (а не только с точностью до изоморфизма).
Иными словами, пусть g = ©aa —разложение в пря-
мую сумму простых идеалов и ср: д->3 — некоторый
сюръективный гомоморфизм алгебры Ли д на простую
алгебру Ли §. Тогда для некоторого индекса р огра-
ничение ф |ар: ug->§ есть изоморфизм, причем для
а Ф р ограничение ф|оа = 0. В самом деле, образ
ф(аа) —идеал в $, так как аа —идеал в g и гомомор-
физм ф сюръективен. В силу простоты алгебры Ь
гомоморфизм ф | аа либо нулевой, либо сюръективный.
В последнем случае ф|аа будет изоморфизмом, так
как идеал аа прост. Множество тех а, для которых
Ф |аа —изоморфизм, непусто, поскольку ф — ненулевой
гомоморфизм. С другой стороны, ограничения ф|<*а
и ф|ар не могут быть изоморфизмами для двух раз-
личных индексов аир ввиду равенств
К, ар] = О,
Ф К. ар] = [ф (аа). Ф (арI = [«. в] = й-
Следствие 3. Если д = фаа — представление
алгебры в виде прямой суммы простых идеалов,
то любой идеал алгебры есть прямая сумма неко-
торых из идеалов аа.
Примеры полупростых алгебр Ли. 1. Алгебра sl(V)
эндоморфизмов пространства V с нулевым следом
проста, если dim Г ^2.
2.	Алгебра sp (V) эндоморфизмов пространства V,
оставляющих инвариантной невырожденную кососим-
метричную форму, проста, если dim У — 2п{п^ 1).
3.	Алгебра o(V) эндоморфизмов пространства V,
оставляющих инвариантной невырожденную симме-
трическую форму, полупроста, если dim V^3, и даже

§ 3	Гл. VI. Полупростые алгебры Ли	79
проста, за исключением того случая, когда dim V = 4
и дискриминант этой формы является квадратом.
§ 3. Полная приводимость
Пусть g — алгебра Ли, V — некоторый g-модуль и
р: g->End V — соответствующее представление.
Определение. Модуль V (или представление р)
называется простым (или неприводимым), если Vф{0)
и если в модуле V нет подмодулей, отличных от @)
и V.
Модуль V (или представление р) называется полу-
простым (или вполне приводимым), если V разла-
гается в прямую сумму простых подмодулей, или,
что то же самое, если каждый подмодуль обладает
дополнительным подмодулем.
Предостережение! Алгебра (} может быть полупро-
стым g-модулем, не будучи полупростой алгеброй Ли,
как показывает пример % = k.
Теорема (Г. В е й л ь). Если алгебра g полу-
проста, то все а,-модули {конечной размерности) полу-
просты.
Замечание. В своем доказательстве Вейль исполь-
зовал так называемый унитарный прием, который
состоит в следующем. Пусть k = C, G — связная и
односвязная комплексная группа Ли, соответствую-
щая алгебре д, и пусть К,— максимальная компакт-
ная подгруппа в G. Можно показать, что любая ком-
плексная (замкнутая) подгруппа Ли группы G, содер-
жащая К, совпадает с G. Отсюда выводится, что
любой /(-подмодуль модуля V является в то же время
и G-подмодулем. Поскольку К. компактно, на V суще-
ствует /С-инвариантная эрмитова форма, с помощью
которой строится дополнительный подмодуль (орто-
гональное дополнение). В случае G — SL (п) в каче-
стве К можно взять SU(n) — специальную унитарную
группу; отсюда и название „унитарный прием". Чисто
алгебраическое доказательство теоремы Вейля было
найдено лишь несколько лет спустя.

80	Ч. I. Алгебры Ли	§ 3
Доказательство теоремы мы осуществим
в несколько шагов.
Шаг 1. Если алгебра g полупроста и отображе-
ние р: g->EndV инъективно, то форма Вр(х, у) =
= Тту(р(х)р(у)) невырождена. В самом деле, согласно
критерию Картана, идеал
и = {х е= g | Вр (х, у) = 0 для всех i/eg}
разрешим и, следовательно, равен нулю.
Шаг 2. Допустим, что на алгебре Ли g задана
невырожденная, инвариантная, симметрическая, били-
нейная форма В(х, у). Пусть {et} и {fj} — два базиса
этой алгебры, сопряженных относительно В, т. е.
5 (ег, /7) = бг/- (символ Кронекера). Рассмотрим в уни-
версальной обертывающей алгебре U% элемент Ъ —
= 2 ^ifi- Утверждается, что элемент Ь лежит в центре
алгебры С/g и не зависит от выбора базисов {ej, {/;}.
Действительно, возьмем отображение д ®k g — ->
-> Homfe (д, д), при котором Ф (х <S> у) = Ф, где ф (z) =
= В (у, z) х. Используя невырожденность формы
В (х, у), легко показать, что отображение Ф — изомор-
физм и даже изоморфизм g-модулей (последнее про-
веряется прямым вычислением). Нетрудно усмотреть,
что при этом отображении элемент 2 et <S) ft переходит
в тождественный гомоморфизм idfl. Таким образом,
Ь есть образ элемента idg при композиции д-гомомор-
физмов
Homfe (д, д) _> д ®fe д' — ¦> д ®fc g -> С/д.
Поскольку элемент id9 аннулируется алгеброй д,
элемент Ъ обладает тем же свойством, т. е. лежит
в центре U% (так как g порождает алгебру С/g). Эле-
мент b мы будем называть элементом Казимира,
соответствующим форме В.
Шаг 3. Предположим, что мы находимся в усло-
виях первого шага и что Ъ — элемент Казимира, со-
ответствующий форме Вр. Тогда элемент Ь определяет
эндоморфизм д-модуля V и TrK (b) = dim g. Действи-

§ 3	Гл. VI. Полупростые алгебры Ли	81
тельно, Ъ коммутирует с действием алгебры g на V,
поскольку Ь лежит в центре алгебры Us.
Далее, имеем
Тгк F) = 2 Try (p (e,) p (ft)) = S Sp (e*. W
Шаг 4. Пусть на предыдущем шаге д-модуль V
прост. Тогда р F) — автоморфизм модуля V, если
только алгебра g ненулевая (в случае д = 0 простран-
ство V одномерно). В самом деле, по лемме Шура
эндоморфизм простого модуля либо нулевой, либо
является автоморфизмом, но р (Ь) — ненулевой опер.а-
тор (при g ф @)), так как Тгк (р (Ь)) — dim g, а поле k
имеет характеристику нуль.
Шаг 5. Пусть 0-> V -> W—>й—>0 — точная после-
довательность g-модулей, причем на модуле k ал-
гебра g действует тривиально (ничего другого, впро-
чем, и быть не может, так как в силу полупростоты
g = D%). Мы хотим доказать, что эта последователь-
ность расщепляется, иными словами, что в простран-
стве W существует одномерное подпространство,
инвариантное относительно g и дополнительное к про-
странству V, т. е. отображающееся на k. Этот част-
ный случай нашей теоремы, так называемый прин-
цип подъема инвариантов, является центральным,
поскольку общий случай сводится к нему использо-
ванием модулей гомоморфизмов (см. ниже). Мы рас-
членим пятый шаг на три подшага.
Шаг 5а. Редукция к случаю, когда V — простой
g-модуль. Эта редукция проводится индукцией по
размерности V. Пусть V \ сг V, но V \ Ф @) н У\Ф V.
Рассмотрим точную последовательность 0->V/Vi->
-*WlV\—>k->0; по предположению индукции она
расщепляется, т. е. в пространстве W/V\ найдется
прямая V'/Vi, дополнительная к V/Vi- Снова исполь-
зуя предположение индукции и вторую точную после-
довательность 0—*-Vi->V'—>-k->0, получаем суще-
ствование дополнительной прямой к V\ в простран-
стве V, которая по построению будет также допол-
нять и У в пространстве W,
6 Ж.-П. Серр

82	Часть 1. Алгебры Ли	§ 3
Шаг 56. Редукция к случаю точного представления
(Кегр = @)). Пусть a = Ker(g-*Endy). Для хео,
очевидно, имеем xW a V и xV = @), так что Do. анну-
лирует W. Но D& = а, потому что идеал полупростой
алгебры тоже полупрост. Следовательно, в простран-
стве W можно определить представление фактор-
алгебры g/a, которое является по построению точным
в пространстве V. При этом полупростота сохра-
няется, поскольку факторалгебра полупростой алгебры
полупроста.
Шаг 5в. Пусть теперь V — простой g-модуль и
отображение р: g->EndF инъективно. Ассоциирован-
ная билинейная форма Вр невырождена (шаг 1).
Пусть Ь е U% — соответствующий ей элемент Кази-
мира, который дает нам некоторый д-эндоморфизм
пространства W. Заметим, что bW c= V, так как Ъ
действует тривиально на W/Vc^k. Если g = 0, то
наша теорема очевидна. В противном случае (см.
шаг 4) bV = V, откуда следует, что KerF: W->W)
и есть искомая прямая в пространстве W, дополни-
тельная к У и инвариантная относительно д.
Шаг 6. Общий случай. Пусть 0-*Ei-> Е-*Е2->0 —
точная последовательность g-модулей. Мы должны
показать, что она расщепляется. Обозначим через W
подмодуль модуля Homk(E, ?[), состоящий из гомо-
морфизмов, ограничение которых на Е\ является
гомотетией (т. е. умножением на элемент поля); соот-
ветственно через V обозначим множество гомомор-
физмов, ограничение которых на Е\ равно нулю.
В результате мы получаем точную последователь-
ность
(если только модуль Ei ненулевой, но этот случай
тривиален). Применяя утверждение, доказанное на
шаге 5, мы находим элемент ф??, инвариантный
относительно g и отображающийся в единицу поля k.
Иными словами, существует g-гомоморфизм ср: Е-*Еи
такой, что <р| ?i = icb,. Теорема доказана,

§ 3	Гл. VI. Полупростые алгебры Ли	83
С точки зрения гомологической алгебры шаг 5
является доказательством того, что Exty(fe, U) = Q,
где ?/=?/g. Мы сделали это на шаге 5в, вычислив
действие центрального элемента Ь на Exty двумя
способами. Поскольку Ъ аннулирует k, он аннули-
рует Exty, и поскольку Ь — автоморфизм модуля V,
он дает автоморфизм пространства Ext^. Следова-
тельно, Exty = @). Вообще, можно определить группы
Hr (g, V) = Extv(k, V); они называются группами ко-
гомологии алгебры Ли д. На шаге 6 мы фактически
доказали, что Exty (?2, Е:) — Я1 (g, Homfe (E2, Et)) = @).
Следствие 1. Пусть g — полупростой идеал
в некоторой объемлющей алгебре Ли fy. Существует
единственный идеал а сг ф, такой, что $ = дфа (пря-
сумма).
Доказательство. Поскольку алгебра ^ (как
д-модуль) вполне приводима, существует fe-подпро-
странство а сг 1>, дополнительное к g и устойчивое
относительно adx (xeg). Утверждается, что [д, ч] = @).
Действительно, [д, а] с= д и [д, а] ста, потому что
д — идеал и а устойчив относительно д, следовательно,
[д, а] с: д f] а = @). Отсюда вытекает, что а состоит
в точности из тех элементов у е ^, для которых
[<5> i/] = 0- В самом деле, у = х + а, где л; е g и а е а,
и, значит, [д, у] = [д, х], но равенство [д, х] = @) вле-
чет равенство х = 0, так как центр алгебры д нуле-
вой. Из сказанного ясно, что а определено единствен-
ным образом (даже как g-подмодуль) и, кроме того,
является идеалом в §, будучи аннулятором ^-мо-
дуля д.
Следствие 2. Если g — полупростая алгебра
Ли, то каждое ее дифференцирование имеет вид ad x,
где х е д.
Доказательство. Положим f) = Der(g) и при-
меним предыдущее следствие. Заметим при этом,
что g является идеалом в алгебре t), поскольку

84	Часть I. Алгебры Ли	§ 4
[D, adx] = ad(Dx) для любых DeDer(g) и xeg.
Итак, Der (g) = g ф а, где идеал а состоит из всех
дифференцирований, коммутирующих с ad C. Пока-
жем, что а = @). Пусть Den, тогда ad (Dx) =
= [D, adx] = 0 и, следовательно, Dx = 0 (так как
g —алгебра с нулевым центром). Значит, а = @).
§ 4. Теорема Леви
Пусть д —алгебра Ли.
Теорема 1 (Леви). Пусть ф — сюръективный
гомоморфизм алгебры дна полупростую алгебру Ли 3.
Тогда существует гомоморфизм е: 8->д, такой, что
Ф о е = id-.
Доказательство. Будем считать, что § = д/а,
где а = Кег ф.
Основной частный случай нашей теоремы — это
случай, когда идеал а абелев и является простым д-
(или S-) модулем с нетривиальным действием.
Первый шаг доказательства будет состоять в све-
дении теоремы к этому основному случаю. Допустим,
что в g найдется ненулевой идеал аи содержащийся
в а. Рассмотрим сюръективный гомоморфизм fl/ci!—>
—>g/a = S с ядром a/aj. Предположим, что для такого
гомоморфизма наша теорема верна, т. е. существует
подалгебра gj/at ~ ё, дополнительная к а/с^ в фактор-
алгебре g/tt]. Мы получаем еще один сюръективный
гомоморфизм fli->§ с ядром а,. Предположим, что
и для него теорема справедлива, т. е. в алгебре gj
существует подалгебра 8'~$, дополнительная к at.
Несложная проверка показывает, что алгебра §' будет
искомым дополнением к идеалу а в алгебре д. Поэтому
(учитывая, что dim й{ < dim a и dim a/a] < dim a) мы
можем, проводя индукцию по dim a, считать идеал a
простым д-модулем.
Далее, радикал г алгебры g лежит в идеале а,
так как ф (г) —разрешимый идеал в S и, следовательно,
Ф (г) = 0. Но идеал а прост, поэтому могут предста-
виться два случая: г=0 или r = a. Если г = 0, то
g — полупростая алгебра, и утверждение нашей тео-

§ 4	Гл. VI. Полупростые алгебры Ли	85
ремы вытекает из теоремы 2.2. Если х — а, то а — раз-
решимый идеал, и потому а Ф [а, а]. В этом случае
из простоты идеала а следует, что [а, а] = 0, т. е.
а—абелев идеал. Если g действует тривиально на а,
то а лежит в центре алгебры д. Поэтому присоеди-
ненное представление алгебры g можно заменить дей-
ствием факторалгебры д/а~§ на алгебре д. Таким
образом, алгебра д оказывается вполне приводимым
ё-модулем (теорема Вейля); в частности, в этой алгебре
найдется идеал, дополнительный к а.
Осталось разобрать основной случай. Итак, пусть
а — абелев идеал и простой нетривиальный ^-модуль.
Если бы в нашем распоряжении была теория ко-
гомологий и если бы мы знали, что расширения
алгебры 3 с помощью идеала а классифицируются
элементами группы //2(§, a) = E\tUs(k, а), то нам
оставалось бы только провести обычное рассуждение
с использованием элемента Казимира, доказывающее
тривиальность группы Ext^. Однако такой теории
у нас нет, и мы прибегнем к следующему способу,
предложенному Бурбаки.
Лемма. Пусть дан некоторый ^-модуль W и
в нем элемент aief, удовлетворяющий двум усло-
виям:
а)	отображение av—> aw есть биекция а^ада;
б)	%w — a.w.
Обозначим через \,ф множество {хед|хш = 0}.
Тогда iw — подалгебра Ли в д и g = a@tra (прямая
сумма векторных пространств).
Эта лемма совершенно тривиальна. Наша задача
состоит в том, чтобы построить подходящий эле-
мент W.
Положим W=End(g) и обычным образом опре-
делим на этом пространстве структуру д-модуля по-
средством представления
a: g->End W = EndEndg,
где
a(x)(f = adx ° ф — ф => ad* = [adx, q>].

86	Ч. I. Алгебры Ли	§ 4
Рассмотрим следующие подпространства Р a Qcz
а и
# = {ф е № | ф (g) с: a и ф | а — гомотетия}.
Читатель без труда проверит, что Р, Q и R являются
на самом деле ((-подмодулями. Таким образом, мы
приходим к точной последовательности д-модулей
0->Q — *R — *k-*0,
где i — вложение, а т сопоставляет каждому элементу
г е R скаляр, оператором умножения на который
является г. Если хеа и фе R, то
а (х) ф = ad х ° ф — ф о ad л; = — % ad д;,
где А, = т(ф)е&. Поэтому 0(.иг)/?с=Р (при igi), и
точную последовательность
О -> Q/P —^ /?/Р — ¦> ft -> О
можно рассматривать как точную последовательность
ё-модулей, где § = g/а. Согласно „принципу подъема
инвариантов", найдется элемент w e R/P, инвариант-
ный относительно § и такой, что т(й))=1. Пусть
w — какой-нибудь прообраз w в R. Мы утверждаем,
что w удовлетворяет условиям нашей леммы.
а)	Пусть eei, Тогда а (а) w — — ad а. Если
а (а) w = 0, то ad8 а = 0, т. е. [а, х] = 0 для всех хед.
Отсюда уже следует, что а — 0, поскольку а — про-
стой идеал и алгебра g действует на нем нетри-
виально.
б)	Пусть j;G(j. Мы должны показать, что a(x)w
можно представить в виде 0 (a) w с а е а. Так как
а(а)ш= —adga, нам надо лишь установить, что
0(х)шеР. Но последнее включение эквивалентно
инвариантности элемента w.
Следствие 1. Каждая алгебра Ли есть полу-
прямое произведение радикала г и полупростой ал-
гебры.

§ 5	Гл. VI. Полупростые алгебры Ли	87
Достаточно применить теорему 1 к гомоморфизму
«-¦8А-
Замечание. К этому следствию примыкает следую-
щий результат, принадлежащий Мальцеву. Если Д]
и 0,2 — ДВе подалгебры в д, такие, что г ® дг = g
(t=l, 2), то существует автоморфизм а алгебры я,
переводящий #i в д2 (причем а можно выбрать
в форме eada, где aet и преобразование ad а ниль-
потентно). В случае когда радикал г абелев, доказа-
тельство этого факта сводится к доказательству три-
виальности группы Н1(ф, г); общий случай полу-
чается „отвинчиванием" (подробности см. Бурбаки [1]).
Пусть алгебра Ли g обладает тем свойством, что
а, ф Dg. Если подпространство асд коразмерности 1
содержит ?)д, то а является идеалом в д и % — аф&я
для любого xs«, Поскольку прямая kx автомати-
чески является подалгеброй Ли, мы получаем
Следствие 2. Всякая ненулевая алгебра Ли
(если только она не проста и не одномерна) разла-
гается в полупрямое произведение двух алгебр Ли
строго меньшей размерности.
§ 5. Полная приводимость (продолжение)
Следующая теорема дает критерий полной при-
водимости представления алгебры Ли.
Теорема 1. Пусть поле k алгебраически замк-
нуто, V — векторное пространство над k и g — неко-
торая подалгебра Ли в алгебре End V. Простран-
ство V вполне приводимо как %-модуль тогда и
только тогда, когда выполняются следующие усло-
вия:
(а)	алгебра g разлагается в прямое произведение
а X 8, где идеал а абелев, а подалгебра § полупро-
ста;
(б)	в надлежащем базисе элементы идеала а пред-
ставляются диагональными матрицами.

Ч. I. Алгебры Ли	§ S
Замечания. 1. Пусть поле k не является алгебраи-
чески замкнутым. Утверждение останется справедли-
вым, если предположить, что элементы идеала а по-
лупросты (т. е. диагонализуемы над алгебраическим
замыканием k).
2. Неопределенность, содержащаяся в условии (б),
только кажущаяся. Если каждый элемент из идеала а
в отдельности представляется диагональной матри-
цей в некотором базисе, то существует единый базис,
в котором все элементы из а диагональны, поскольку
а — коммутативный идеал.
Доказательство. Пусть У —вполне приводи-
мый ^-модуль, г — радикал алгебры д. Согласно тео-
реме Ли (гл. V, § 5), в пространстве V существует
одномерное подпространство, инвариантное относи-
тельно г (мы исключаем тривиальный случай V = @)),
или, что то же самое, существует линейная форма
%: x—>k, такая, что собственное подпространство
Vx — {v e V \xv = %(x) v для всех j;ei}
отлично от нуля. По основной лемме, использован-
ной при доказательстве теоремы Ли (см. выше), про-
странство Vx инвариантно относительно <]. Ввиду
полной приводимости имеем V = VX®V, где V также
является ^-модулем. Применяя аналогичное рассу-
ждение к У и т. д., мы получаем
V = VXi ф VXi 0 ... 0 VXm (прямая сумма) (*)
для некоторого набора характеров %{ радикала г. Из
этого разложения видно, что t действует диаго-
нально, коммутируя с действием алгебры $. Таким
образом, г содержится в центре и, следовательно,
совпадает с ним, т. е. а = г. Для того чтобы получить
окончательное представление g = а X 6, можно со-
слаться на теорему Леви, а можно и непосредственно
использовать присоединенное представление.
Обратно, пусть условия (а) и (б) выполнены. Со-
гласно последнему условию, векторное простран-

§ 5	Гл. VI. Полупростые алгебры Ли	89
ство V имеет разложение вида (*), где %{ — характеры
идеала а. Но поскольку а — центр алгебры g = а X §,
собственные подпространства Ух инвариантны относи-
тельно д, а в каждом пространстве такого вида
любой ^-подмодуль будет также и (аХ§)-подмодулем.
Остается применить теорему Вейля.
Следствие 1. Пусть g = а X §, где идеал а
абелев и подалгебра Ь полупроста. с\-модуль W полу-
прост тогда и только тогда, когда действие идеала а
на W представляется диагональными матрицами.
Следствие 2. Пусть а, —произвольная алгебра
Ли и V —некоторый ^-модуль. Если модуль V вполне
приводим, то вполне приводимы и все тензорные
модули
Vp,q = ®pV®'1V\
Действительно, образ g алгебры g в End V имеет
вид а X 3, где идеал а действует диагонально на V,
а следовательно, и на каждом модуле Vp,q.
Аналогичным рассуждением доказывается
Следствие 3. Тензорное произведение вполне
приводимых с^-модулей вполне приводимо.
Теперь мы можем доказать следующую теорему.
Теорема 2. Пусть V — конечномерное векторное
пространство над k и g c= End V —некоторая алгебра
эндоморфизмов. Если алгебра g полупроста, то она
однозначно определяется своими тензорными инва-
риантами (другими словами, существует набор эле-
ментов Va S Vpai qa, TaKOU, ЧТО
g = {x e End V \xva = 0 для всех а}).
Доказательство. Стандартные соображения,
использующие линейность, позволяют считать поле k
алгебраически замкнутым. Положим
Обозначим через i) множество всех xeEndy, ан-
нулирующих каждое пространство V'Pt q. Ясно, что

90	Ч. I. Алгебры Ли	§5
g c= i) cz End V. Мы должны доказать, что 1> = 3- Дока-
зательство проведем в четыре шага.
Шаг 1. Всякий линейный g-гомоморфизм и: Vp,p~->
—>Vr,s является в то же время ^-гомоморфизмом.
Действительно, Homfe (Vp, q, V т, s) канонически отож-
дествляется с Vq+r, p+s (как End К-модуль). Но свой-
ство линейного отображения и быть ^-гомоморфизмом
равносильно тому факту, что и аннулируется алгеб-
рой §, или, что то же самое, алгеброй д, так как
Homfe (Vp, q, Vr, s) ^ Vq+r. p+5-
Шаг 2. Подпространство W cr Vp,g, инвариантное
относительно g, инвариантно таклсе относительно §.
В самом деле, ввиду полной приводимости VPi q над g
имеется эндоморфизм g-модулей и: VP,q-*Vp,q, про-
ектирующий Vp, g на W. Как мы уже знаем, и яв-
ляется ^-гомоморфизмом, поэтому образ W эндомор-
физма и инвариантен относительно |.
Шаг 3. Имеем ^ = дХс, где с — центр алгебры ^.
Действительно, полагая в предыдущем шаге g = W
и p = q=\ и используя отождествление Vi, i = EndV,
заключаем, что g есть идеал в I). По следствию I и
теореме Вейля (§ 3), имеет место разложение i) —
= g X с, где с — идеал алгебры i), перестановочный
с д. Отсюда (см. шаг 1) вытекает, что с коммутирует
с §, т. е. с лежит в центре ^ (и тем самым с ним
совпадает).
Шаг 4. Пусть W—неприводимый g-подмодуль про-
странства V. Ясно, что W инвариантно относи-
тельно с (шаг 2), и, кроме того (лемма Шура), эле-
менты центра с, ограниченные на W, являются гомо-
тетиями. Мы покажем, что это нулевые гомотетии,
а так как V есть прямая сумма неприводимых
пространств, тем самым мы докажем искомое равен-
ство с = @). Поскольку характеристика основного поля
равна нулю, достаточно показать, что след нашей
гомотетии нулевой.

§ 5	Гл. VI. Полупростые алгебры Ли	91
Лемма 3. Пусть g — алгебра Ли и W — неко-
торый %-модуль размерности т. Тогда т-я внешняя
т
степень Л W, рассматриваемая как факторпрост-
m
ранство пространства ® W (или как его подпростран-
ство, если характеристика поля равна 0), является
^-модулем, причем для каждого Jtej,, соответ-
ствующее преобразование одномерного пространства
m
Л W есть умножение на скаляр 1rw (х).
Доказательство леммы мы предоставляем чита-
телю в качестве упражнения. Считая лемму дока-
занной, рассуждаем следующим образом. Раз алгебра %
полупроста, мы можем считать, что пространство
m	m	m
Л W вложено как g-подмодуль в ® W, т. е. A Wcz
m	m
cz ® W cz ® V = Vm, о- Далее (снова в силу полупро-
стоты), алгебра g действует тривиально на любом
одномерном модуле (Z)g = g!), так что алгебра %
m
аннулирует Л W. Следовательно, по определению
m
алгебры ^ все элементы алгебры с аннулируют Л W,
и, следовательно, Тгкг(х) = 0 для всех jet. Теорема
доказана.
Следствие 4. Рассмотрим полупростую ал-
гебру gczEndK. Пусть xsj u х = п ¦+• s — канони-
ческое разложение оператора х на полупростую и
нильпотентную составляющие, причем [n, s] = 0 (си.
гл. V). Тогда
а)	п и s принадлежат д;
б)	ф(s) принадлежит % для любого фе HomQ(fe, k).
Следует лишь заметить, что любой элемент из Vр< q,
аннулируемый эндоморфизмом xej, аннулируется
также п, s и y(s).
Определение 5. Пусть я — полупростая ал-
гебра Ли. Элемент хед называется полупростым

92	Ч. I. Алгебры Ли	§ 6
(соответственно нильпотентным), если преобразова-
ние ad л: полупросто (соответственно нильпотентно).
Теорема 6. Если алгебра g полупроста, то лю-
бой элемент xsj однозначно представляется в виде
x — n + s, где s, «eg, причем элемент п нильпо-
тентен, s полупрост и [га, s] =0.
Для доказательства достаточно применить след-
ствие 4 к присоединенному представлению (V = д).
Теорема 7. Если qp: gx —>-g2 — гомоморфизм полу-
простых алгебр Ли, то образ полупростого (соответ-
ственно нильпотентного) элемента также полупрост
(соответственно нильпотентен).
Доказательство. Заметим прежде всего, что &
можно с помощью ф наделить структурой gj-модуля-
Пусть V — прямая сумма д^модулей gi и д2. При-
меняя к V следствие 4, мы видим, что любой эле-
мент х е g записывается в виде x = n + s, причем
дед,, seji, [n, s] — 0, adn и ad(qp(«)) нильпо-
тентны, ad(s) и ad(qp(s)) полупросты. Если элемента
полупрост (соответственно нильпотентен), то п — 0
(соответственно s = 0), и, следовательно, q>(x) ниль-
потентен (соответственно полупрост).
§ 6. Связь с компактными группами Ли
над полями R и С
Теорема 1. Связная компактная комплексная
группа Ли G является комплексным тором, т. е.
изоморфна группе вида С "/Г, где Г — дискретная под-
группа в С" ранга 2«.
Доказательство. По принципу максимума
на группе G не существует аналитических функций,
отличных от констант. Поэтому любое аналитическое
отображение G в Endcg^C1, где д —алгебра Ли
группы G и n = dimg, постоянно. Внутренний авто-
морфизм х I—*¦ gxg~l, задаваемый элементом g^G,
индуцирует некоторый автоморфизм алгебры д, обо-
значаемый Adg. Отображение
2

§ 6	Гл. VI. Полупростые алгебры Ли	93
аналитично и, следовательно, постоянно, т. е. Adg =
= Ad I = 1 для всех g e G. Если элемент *ед нахо-
дится в достаточно малой окрестности нуля, то имеет
место равенство
g (exp х) g*1 = exp (Ad g (х)).
Поскольку экспоненциальное отображение является
гомеоморфизмом окрестности нуля в g на окрест-
ность единицы в G, заключаем, что группа G ло-
кально абелева, а потому и просто абелева, поскольку
она связна. Таким образом, С" есть универсальное
накрытие группы G, и G~C"A\ где Г — дискретная
подгруппа и притом подгруппа максимального ранга 2п
ввиду компактности G. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть G —вещественная компактная
группа Ли и g — ее алгебра Ли. Тогда g — с X $, где
(. — абелева, а Ь — полупростая алгебра с отрица-
тельно определенной формой Киллинга.
Справедливо также и обратное утверждение:
Теорема 3. Если вещественная алгебра Ли
допускает представление в виде $ = сХ§, где с —абе-
лева, а § — полупростая алгебра с отрицательно
определенной формой Киллинга, то существует веще-
ственная компактная группа Ли с алгеброй Ли §.
При этом если с = 0, то любая связная группа G
с алгеброй Ли % компактна.
Доказательство теоремы 2. Как мы уже
видели при доказательстве теоремы 1, группа G дей-
ствует (посредством Ad) на алгебре д. В силу ком-
пактности G в пространстве g можно ввести евкли-
дову метрику (положительно определенную квадра-
тичную форму), инвариантную относительно G (и тем
самым относительно д). Таким образом, алгебра g
вполне приводима как g-модуль. Поэтому она раз-
лагается в прямую сумму минимальных ненулевых
идеалов at и, значит, изоморфна прямому произве-
дению алгебр (ij. Каждый из идеалов а{ либо одно-
мерен (абелев), либо прост, так что g ~ с X ё, где

94	Ч. I. Алгебры Ли	§6
алгебра с абелева, а алгебра 3 полупроста. Оста-
ется показать, что форма Киллинга алгебры 3 отри-
цательно определена. Обозначим через (х, у) скалярное
произведение на g и положим и = ad5 x, где х её.
Ввиду инвариантности нашей евклидовой структуры
имеем {иу, z) + (y, uz) = 0 для любых у, zee. При
z — uy получаем (у, и2у) = — (иу, иу). Выберем в про-
странстве ё ортонормальный базис yt. Тогда
Тгз (и2) = 2 {Hi, u2yt) = -21 uyt I2.
i	i
Если Хт^О, to u=: adx=?0 (так как центр алгебры ё
нулевой) и Tr,s(M2)<0, что и доказывает отрица-
тельную определенность формы Киллинга алгебры ё.
Доказательство теоремы 3. В качестве
компактной вещественной группы Ли для алгебры с
можно взять вещественный тор (R/Z)". Для того чтобы
найти соответствующую группу для алгебры 3, рас-
смотрим группу Aute автоморфизмов алгебры Ли ё.
Ясно, что Aut ё — замкнутая подгруппа ортогональной
группы линейных преобразований пространства й,
оставляющих инвариантной форму Киллинга. По-
скольку эта форма строго определена, последняя
группа (а вместе с ней и группа Aute) компактна.
Алгеброй Ли группы Aut ё, как легко усмотреть,
является алгебра дифференцирований Der(e), которая
изоморфна алгебре ё по следствию 2 теоремы
Вейля (§ 3). Таким образом, первая часть теоремы
доказана.
Пусть теперь с = 0 (т. е. g — полупростая алгебра)
и G—связная группа Ли с алгеброй Ли д. Имеет
место канонический гомоморфизм
Ad: G-*-Autg.
Как мы уже видели, Aut g — компактная группа Ли
с той же алгеброй Ли д, поэтому отображение Ad
является накрытием. Очевидно, Н — Im (Ad).— связная
компонента группы Aut g, причем Я = G/Z, где Z =
= Ker (Ad) — дискретная группа. Заметим теперь, что

Упр.	Гл. VI. Полупростые алгебры Ли	95
группа Я компактна и коммутант (Я, Я) всюду
плотен в Я — это вытекает (по теории Ли) из равен-
ства g = [%, д]. Следовательно, группа G компактна
(см. Бурбаки [1], Ch. VII, § 3, Pr. 5I).
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Пусть д —алгебра Ли, г —ее радикал и { — пере-
сечение ядер всех неприводимых представлений ал-
гебры д.
а)	Доказать, что t = [g, г] = ?)дПг. [Указание: поль-
зуясь теоремой Леви, показать, что [g, r] = Da, f] г.]
б)	Доказать, что элемент i;et принадлежит t
тогда и только тогда, когда эндоморфизм р (х) ниль-
потентен для каждого представления р алгебры д.
2.	Пусть д — алгебра Ли и В (х, у) — невырожден-
ная инвариантная симметричная билинейная форма
на д.
а)	Пусть х, j/ej. Доказать равносильность сле-
дующих условий:
(i) у е Im ad(x);
(ii) В (у, z) = 0 для всех z, коммутирующих с х.
б)	Предположим, что g — полупростая алгебра.
Пусть i;ei], и пусть ad x — нильпотентный эндомор-
физм. Показать, что найдется элемент h e g, такой,
что [h, x] = x. Используя этот факт, доказать, что
для любого представления алгебры g оператор р(х)
нильпотентен.
3.	Привести пример алгебры Ли с ненулевым ра-
дикалом, на которой задана невырожденная инва-
риантная симметричная билинейная форма.
4.	Пусть g — алгебра Ли, V — неприводимый д-мо-
дуль и К — кольцо всех g-эндоморфизмов простран-
ства V. Доказать, что К — алгебра с делением. При-
вести пример алгебры g с некоммутативным коль-
цом К-
') См. также Семинар „Софус Ли", гл. 17, п. 1, теорема 2.—
Прим. перев.

96	Ч. I. Алгебры Ли	Упр.
5.	Пусть g — полупростая алгебра Ли, и К — кольцо
всех g-эндоморфизмов алгебры (относительно при-
соединенного представления). Обозначим через k ал-
гебраическое замыкание поля к.
h
а)	Пусть к — k и g = ® §,-, где все идеалы ё?- просты.
i=i
Показать, что кольцо К изоморфно прямому произ-
ведению h экземпляров поля к.
б)	Пусть к — произвольное поле нулевой характе-
ристики. Показать, что [К, '• к] = h, где h — число про-
стых компонент алгебры д®д.й (над к), а К изо-
морфно прямому произведению т полей, где т — число
простых компонент алгебры д.
в)	Мы будем говорить, что алгебра Ли g абсо-
лютно проста, если проста алгебра З&^й (над k).
Показать, что это эквивалентно равенству К— к.
Показать, далее, что из простоты алгебры g выте-
кает коммутативность кольца /С, а также абсолютная
простота алгебры g относительно заданной на ней
естественной структуры алгебры Ли над К-
г)	Обратно, пусть К — конечное расширение поля k
и g — абсолютно простая алгебра Ли над К. Дока-
зать, что g проста как алгебра Ли над к.
д)	Рассмотрим алгебру Ли ортогональной группы,
соответствующей квадратичной форме от четырех пе-
ременных, дискриминант d которой не является квад-
ратом. Показать, что К есть квадратичное расшире-
ние k(\Td).
6.	Пусть G —связная комплексная группа Ли, и
// — ее вещественная замкнутая подгруппа Ли. Обо-
значим через g и" 5j алгебры Ли групп G и Н соответ-
ственно (алгебра g определена над С, а алгебра
% - над /?).
а)	Допустим, что I) + it) = g. Показать, что любая
комплексная замкнутая подгруппа Ли, содержащая Н,
совпадает со всей группой G,
б)	Проверить, что условие пункта а) выполняется
в следующих случаях:
(i) G = SL {п, С) и Н — SU {п) — специальная
унитарная группа;

Упр.	Гл. VI. Полупростые алгебры Ли	97
(И) G = SO(n, С) и Я = 50(п) -специальная
вещественная ортогональная группа;
(Hi) G = Sp B«, С) и H = SU Bn) П G - кватер-
нионная унитарная группа.
7.	Пусть основное поле /г алгебраически замкнуто,
и пусть заданы две алгебры Ли (над k) g, и g2- По-
ложим fl = 9i X иг-
а)	Допустим, что V{ — неприводимый дг-модуль
(г=1, 2). Показать, что тензорное произведение
Vi®hV2 является неприводимым ^-модулем.
б)	Показать, что любой неприводимый д-модуль
изоморфен модулю вида У\®кУъ рассмотренному
выше.
в)	Что будет, если k не является алгебраически
замкнутым?
8.	Пусть g — вещественная алгебра Ли с положи-
тельно определенной формой Киллинга. Доказать,
что 0 = @).
7 Ж.-П. Серр

Глава VII
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБРЫ st(n)
В этой главе k — алгебраически замкнутое поле
нулевой характеристики. Все алгебры Ли и все мо-
дули над k имеют конечную размерность.
§ 1. Обозначения
Пусть п — целое число ^2. Обозначим через g
алгебру si (я) квадратных матриц порядка п с нуле-
вым следом. Эта алгебра полупроста, так как центр
ее равен нулю, а пространство kn неприводимо как
g-модуль (теорема 6.5.1). Этот результат можно по-
лучить и непосредственным вычислением формы Кил-
линга. Фактически алгебра g даже проста (см. упраж-
нение 1), однако этот факт нам в дальнейшем не по-
надобится.
Введем следующие обозначения:
I) — алгебра Ли диагональных матриц Я вида
\ \
[для удобства мы будем писать Я = (Хи ,..
..., К)] с
п+— алгебра Ли строго верхних треугольных матриц
(т.е. матриц {хц), для которых Хг/ = 0 при i^j);
п_ — алгебра Ли строго нижних треугольных матриц
(т. е. матриц (хц), для которых х,7 = 0 при i^j).
Алгебра g очевидным образом разлагается в прямую
сумму
9 = п. © 9 Ф «+•

§ 1	Гл. VII. Представления алгебры sl(n)	99
Заметим, что алгебра § абелева, а алгебры и+ и п_
нилыютентны (см. гл. V, § 4). При п — 2 эти алгебры
имеют вид
/* ОМ	(/0 *\1	(/О О
Hlo -*J)' «¦"Ко о)}- n- = lV* о
Обозначим еще через b алгебру ф © п+ треуголь-
ных матриц с нулевым следом; Ь —разрешимая ал-
гебра (каноническая „подалгебра Бореля") и ее произ-
водная алгебра [Ь, 6] совпадает с н+.
Пусть 1)* — двойственное к I) пространство. Всякий
элемент хе1' можно записать в виде
... + ипКп, где (Ль ...,У = Яии,е /г.
Поскольку 2^ = 0, набор (иь ..., ы„) определен с точ-
ностью до аддитивной константы.
Обозначим через R+ подмножество в ^*, состоящее
из линейных форм Х{ — Kj (i < /), и через R — объеди-
нение R+\J {—R+). Элементы а множества R (соот-
ветственно R+) мы будем называть корнями (соответ-
ственно положительными корнями). Положительные
корни
Й! = А.1 — %2> а2 ~ А-2 ~ ^3> • • • • ап-\ = ^п-\ ~ ^п
называются простыми корнями. Всякий положитель-
ный корень a = Xt — Kj (i < /) может быть представлен
в виде суммы простых корней:
а = а, + аг+1 + ... +a;_i.
Пусть a = Kt — Kj (i ф j) — некоторый корень. Рассмот-
рим следующие два элемента На и Ха алгебры д:
Ха — матрица, у которой на (/, /)-м месте стоит 1,
а на остальных — нули;
На — диагональная матрица (из ^), у которой г-й
диагональный элемент равен 1, /-й диагональный
элемент равен — 1, а остальные элементы равны нулю.
Заметим, что а(На) = 2.
Предложение 1.
(а) Элементы Ia(ae^t) образуют базис в п+,
а элементы Х-а (а е R+) — базис в п_.

100	Ч. I. Алгебры Ли	§ 2
(б)	Если H^i) и ae=R, то [Я, Ха] = а(Н)Ха.
(в)	[Ха, Х-а] = //„.
Доказательство. Утверждение (а) очевидно.
Докажем (б). Пусть Я = (А.ь ..., Хп) —диагональная
матрица и а —линейная форма вида Xi — Xj. Пере-
множая матрицы Я и Ха, получаем Я • Ха = Х(Ха и
Ха • Н = 1,Ха, откуда [Я, Ха] = (Я,г — Xj) Xa = a (Я) Ха.
Аналогичным вычислением доказывается (в).
Пример. При «==2 имеется в точности один поло-
жительный корень а = Л] — Х2. Элементы
1 (П	/0 1\	/0
о/1 z-° = ii о,
образуют базис алгебры si B).
§ 2. Веса и примитивные элементы
Пусть V — некоторый g-модуль. Для каждой формы
/е t)' положим
Vx = {v е К | Я (о) = X (Я) v для всех Я г f>}.
Элементы пространства Ух мы будем называть
собственными векторами алгебры § (веса %).
Предложение 1. Если aei? и v<^Vv то
Xav e Vx+a.
Доказательство. Для любого Я е!? имеем
Предложение 2. Пространство V есть прямая
сумма собственных подпространств Vx (x s {)*).
Доказательство. Как хорошо известно, нену-
левые собственные векторы линейного оператора,
отвечающие различным собственным значениям, ли-
нейно независимы. Таким образом, сумма W ~ 2 Vx
является прямой суммой. Предложение 1 показывает,

§ 2	Гл. VII Представления алгебры sl(n)	101
что пространство W инвариантно относительно опе-
раторов Ха. Более того, это пространство инвариантно
относительно всей алгебры $, так как оно инвариантно
относительно Ij. Следовательно (полная приводи-
мость!), V разлагается в прямую сумму подпростран-
ства W и некоторого ^-подмодуля V. Допустим,
что V ф @). Поскольку k алгебраически замкнуто и
\) — абелева алгебра, в пространстве V существует
хотя бы один ненулевой собственный вектор v ал-
гебры ij. Но тогда v содержится в некотором под-
пространстве Vv а это противоречит тому, что
K'flW = @). Итак, К' = @) и V = W. Предложение
доказано.
Определение 3. Линейная форма х s ()', для
которой УхФ@), называется весом g-модуля V,
а размерность пространства V% — кратностью веса %.
Пример 4. Весами g-модуля % (относительно при-
соединенного представления) являются корни ael?
(кратность их равна единице) и нулевая форма (ее
кратность равна п — 1).
Предложение 5. Пусть v — некоторый элемент %-мо-
дуля V. Следующие условия равносильны:
(i) вектор v является собственным для алгебры
Бореля Ь = f> Ф п+;
(п) вектор v является собственным для алгебры fy,
и Xav = 0 для всякого а е R+.
Это следует из равенства n+ = [b, b] и того факта,
что элементы ^(ое^+) образуют базис алгебры tt+.
Определение 6. Ненулевой элемент veV,
удовлетворяющий эквивалентным условиям предло-
жения 5, называется примитивным.
Заметим, что каждый примитивный элемент опре-
деляет некоторый вес % е ф\
Предложение 7. Каждый ненулевой 0,-модуль
содержит примитивный элемент.
Для доказательства достаточно применить тео--
рему Ли (см. гл. V) к Ь-модулю V.

102	Ч. I. Алгебры Ли	§ 3
[Другое доказательство. Обозначим через S
множество всех весов д-модуля V. Используя то об-
стоятельство, что S конечно и непусто (см, предло-
жение 2), нетрудно усмотреть, что в S содержится
элемент %, такой, что % + a<?S, каково бы ни было
а е R+. Ввиду предложения 1 любой ненулевой эле-
мент соответствующего пространства Vx примитивен.]
§ 3. Неприводимые д-модули
Теорема 1. Пусть V — некоторый ^-модуль и
v — примитивный элемент веса %. Обозначим через V\
подмодуль (?/g) v в V, порожденный вектором v. Тогда
(а)	модуль Vx неприводим;
П — I
(б)	веса модуля V\ имеют вид %— 2/гаЛ, где
аг — простые корни и ш^ — целые неотрицательные
числа;
(в) любой вектор из Vi с весом % коллинеарен
вектору v.
Доказательство. Универсальную обертываю-
щую алгебру U = U% можно представить в виде
?/н_ ® Uh (см. следствие 3.4.2). Имеем (Ub)v = kv,
поскольку v — собственный вектор алгебры Ь; следо-
вательно, Fj = (?/$) у совпадает с (f/tt_)y. По теореме
Биркгофа —Витта (примененной к алгебре ?/n_) V[ по-
рождается элементами вида Mv, где М — одночлен
от матриц JLa (aei?+). Предложение 2.1 показывает,
что Mv — собственный вектор алгебры ф веса %— 2 <7aa>
a>0
где qa — целые неотрицательные числа. Утвержде-
ние (б), таким образом, доказано. Что касается утвер-
ждения (в), то оно следует из того факта, что ра-
венство всех коэффициентов qa нулю возможно лишь
в том случае, когда степень М равна нулю (т. е. М = 1),
а тогда Mv = v.
Осталось доказать (а). Допустим, что Vi разла-
гается в прямую сумму двух д-модулей V и V".
Пусть v = о' + v" — соответствующее разложение век-

§ 3	Гл. VII. Представления алгебры sl(n)	103
тора v. Поскольку {V\)% = V'%@V'X, оба вектора v и v"
имеют вес %, и потому (утверждение (в)) оба они
коллинеарны о. Но тогда один из них, скажем у",
равен нулю, т. е. и'= v. Учитывая, что v порождает V \
(как g-модуль), получаем V' — Vi и F" = @). Теорема
доказана.
Теорема 2. A) Любой неприводимый ^модуль V
содержит единственный (с точностью до умножения
на элемент из k) примитивный элемент; вес этого
элемента называется старшим весом модуля V.
B) Неприводимые д-модули с одним и тем же
старшим весом изоморфны.
Доказательство. A) Каждый g-модуль V со-
держит хотя бы один примитивный элемент (см. пред-
ложение 2.7); обозначим через % вес этого элемента.
Пусть v' — другой примитивный элемент и^'- его вес.
Так как V — неприводимый модуль, вектор v поро-
ждает модуль V. По теореме 1
га-1
где ttii^O для всех i.
Применяя те же рассуждения к v', имеем
%' - г = 2 mWi,
где пг'^О. Складывая эти равенства, получаем т( =
= Ш; = 0, т. е. х = х'- Ввиду утверждения (в) теоремы
3.1 векторы v и v' коллинеарны.
B) Пусть заданы два неприводимых д-модуля V\
и V2, и пусть у, и У2~их примитивные элементы,
имеющие одинаковый вес %. Элемент v — (vu v2) про-
странства V\ X V% тоже примитивен и тоже имеет
вес х- По теореме 1 д-подмодуль WaV\X V2, поро-
жденный вектором v, неприводим. Проекция л{: W--*Vi
является сюръективным отображением (так как
щ (v) = vt), а потому в силу неприводимости W —
изоморфизмом. Таким образом, модули V\ и V2

104	Ч. I. Алгебры Ли	§ 4
изоморфны, поскольку каждый из них изоморфен мо-
дулю W. Теорема доказана.
Замечание. Теорема 2 сводит классификацию не-
приводимых g-модулей к нахождению линейных форм
X^f, являющихся „старшими весами", т. е. весами
примитивных элементов, лежащих в некотором д-мо-
дуле. Эти формы будут найдены в § 4.
§ 4. Нахождение старших весов
Теорема 1. Пусть % — некоторый элемент из $*;
запишем его в виде
Неприводимый %-модуль со старшим весом х СУ~
ществует в том и только том случае, если «,- — ui —
целое неотрицательное число для всех i </.
Доказательство. 1°. Необходимость. Заметим
сначала, что иг — Uj = %(Ha) (г</), где а — положи-
тельный корень %i — Kj. Мы должны показать, что
х(Яа) — целое неотрицательное число (для asi?+),
если х ~ вес примитивного элемента v.
Предложение 2. Пусть v — примитивный эле-
мент веса %. Положим vam = (X-a)m v/m\ для m ^ 0
(здесь символ {Х^,) означает ш-кратное применение
оператора Ха). Тогда имеют место следующие фор-
мулы:
(И) Hvl = (x-ma)(H)v«m, где
О") «
Доказательство предложения. Фор-
мула (i) очевидна, а формула (и) означает, что vam
имеет вес % — та (предложение 2.1). Равенство (ш)
докажем индукцией по т. Случай т = 0 тривиален

§ 4	Гл. VII. Представления алгебры sl(n)	105
(мы можем считать, что и^, = 0, и это согласуется
с (i) при m = — 1). Если m ^ 1, то
где
Я = х(Яа) - (т - 1)а(Яа) + (от - 1)(%(Яа) - от + 2).
Окончательно получаем Я = m (%(На) — m + 1) (так как
а(Яа) = 2), чем равенство (iii) и доказано.
Следствие 3. Существует такое целое т^О,
что vam=/=0, а и^+1 = &; при этом %(На) = ш.
Действительно, вектор vam имеет вес % — та, а число
всех возможных весов (ненулевой кратности) данного
g-модуля конечно, поэтому vат = 0 для достаточно
больших т. Значит, существует такое т, что у^ФО
и »^+1 = 0. Применяя формулу (iii) (для т+1), при-
ходим к равенству
Следовательно, %(На) = т, поскольку vam Ф 0.
Тем самым доказательство необходимости закон-
чено.
2°. Достаточность. Обозначим через щ, ..., я„_]
линейные формы Яь Я,! + А2, ..., Я[ + ... + /,„_]. Усло-
вие теоремы 4.1 эквивалентно представимости формы %
в виде суммы
Х= 2 т{щ,
где W/ — целые неотрицательные числа.
Предложение 4. Если % и %' — два старших
веса неприводимых модулей V и V, то % + %' — стар-
ший вес неприводимого подмодуля ^-модуля V ® V.
Доказательство предложения. Пусть v
и v' — примитивные элементы модулей V и V. Из
определения $"м°ДУля V ® V легко усмотреть, что

106	Ч. I. Алгебры Ли	§4
v ® v'— примитивный элемент модуля V <8> V с весом
% + %'¦ Остается заметить, что g-подмодуль W, поро-
жденный v <8> v', неприводим (теорема 3.1) и его стар-
ший вес равен % + %'.
Следствие 5. Множество старших весов замк-
нуто относительно сложения.
Таким образом, для того чтобы установить, что
% — старший вес, достаточно доказать это для форм лг.
Для этих форм мы можем дать явную конструкцию
соответствующего неприводимого д-модуля.
Предложение 6. Пусть V —пространство kn
с естественной структурой %-модуля. Обозначим
через Vi i-ю внешнюю степень пространства V. Тогда
для l^i^n— 1 модуль Vt неприводим и его стар-
ший вес равен щ.
Доказательство предложения. Пусть
еи ..., еп — канонический базис пространства V. Рас-
смотрим элемент vt = е\ А ... Л е;. Несложное вычи-
сление показывает, что этот элемент примитивен и
весом его является форма nt. Далее, легко прове-
ряется, что, действуя на вектор vt одночленами от
матриц Х-а> можно получить любой член вида emj Л ...
... Л emt, ni\< ... <mt. Следовательно, по теореме
3.1 модуль Vt неприводим.
Итак, предложение б, а с ним и наша теорема 1
доказаны.
Замечания. 1. Аналогичные результаты справедливы
для любой полупростой алгебры Ли. Действительно,
все изложенные доказательства (за исключением по-
следнего, использующего явную конструкцию непри-
водимых модулей) применимы и в общем случае, если
считать известными основные свойства „корней" и
„подалгебр Картана".
2. Теорема 1 показывает, что классы неприводи-
мых g-модулей находятся во взаимно однозначном
соответствии с наборами (пг\, .. ., mn-\) из п — 1 целых
неотрицательных чисел. Явное описание модуля, соот-

Упр.	Гл VII. Представления алгебры sl(n)	107
ветствующего набору [тъ ..., тп~\), читатель может
найти, например, в книге Вейля [2*], гл. IV.
3. При п = 2 каждый такой набор есть просто
целое неотрицательное число т. Соответствующим
неприводимым модулем является т-я симметрическая
степень модуля V = k2.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Пусть алгебра g = s/(n) разлагается в прямое
произведение полупростых алгебр %г и д2- Доказать,
что д-модуль V = kn есть тензорное произведение
V\ <8> F2> где VI — точный неприводимый дгмодуль,
/=1, 2 (см. гл. VI). Далее, если nl = dimVi, то п =
= п1 ¦ п2 и dimg^^rt?— 1. Показать, что из этих соот-
ношений вытекает равенство /г,- = 1 для одного из
двух /. Это означает, что & = 0, т. е. что алгебра g
проста.
2.	Показать, что все результаты этой главы спра-
ведливы над произвольным полем k нулевой харак-
теристики. [Указание: использовать тот факт, что над
алгебраическим замыканием k все веса принимают
рациональные значения на элементах На; этого уже
достаточно для того, чтобы установить (над k) пред-
ложения 2.2 и 2.7. Дальнейшее не представляет ника-
ких трудностей.]
3.	Пусть k = С — поле комплексных чисел. Группа
G = SL(n, С) содержит подгруппу SU(n) унитарных
матриц с определителем, равным единице. Показать,
что многообразие G/SU(n) гомерморфно евклидову
пространству R^. [Указание: отождествить однород-
ное пространство GJSU (п) с пространством всех поло-
жительно определенных эрмитовых форм на С".] По-
казать, что многообразие SU {n)/SU (n— 1) гомео-
морфно сфере S2n-i- Используя этот факт, дока-
зать (индукцией по п ^2), что группы SU (п) и G
связны и односвязны. Таким образом, любое линейное

108	Ч. I. Алгебры Ли	Упр.
представление алгебры Ли sl(n) = L(G) соответствует
аналитическому представлению группы G, и наоборот.
4.	В обозначениях упражнения 3 показать, что
подалгебра f) с si (n) соответствует (замкнутой) под-
группе Ли, изоморфной прямому произведению п — 1
экземпляров группы C/Z. Использовать этот факт
для прямого доказательства того факта, что любой
вес алгебры si (n) есть линейная комбинация с целыми
коэффициентами форм nt.
5.	(а) Пусть Я (соответственно Q) — подгруппа в I}*,
порожденная элементами лг (соответственно корнями).
Определить точную последовательность
0 _> Q -?-> р -?->. Z/nZ -> 0,
где i — вложение, а е (я,-) = i для 1 ^ / ^ п — 1.
(б)	Пусть g = si (п) и V — неприводимый д-модуль.
Показать, что все веса пространства V лежат в группе Р
и имеют (при отображении е) один и тот же образ;
обозначим этот образ символом e{V).
(в)	Пусть k = C (см. упражнение 3). Доказать, что
центр С группы G = SL (п, С) есть циклическая группа
порядка п, состоящая из скалярных матриц w, таких,
что wn=\. Пусть V — неприводимый (^-модуль; пока-
зать, что образ элемента шеб при соответствующем
представлении G -*¦ GL{V) есть умножение на ска-
ляр we {V).
(г)	Используя (в), показать, что неприводимые
представления проективной группы PGL{n, C) = G/C
соответствуют неприводимым д-модулям V, для кото-
рых e(F) = 0.
6.	Пусть х —любой элемент из fj* и ^ — одномер-
ный b-модуль веса %. Введем соответствующий „инду-
цированный д-модуль"
Ег = L% <&иъ U§,
который, очевидно, имеет бесконечную разкерность.
Показать, что Ег содержит примитивный элемент v
веса %. Что можно сказать о других весах модуля ?х?

Упр.	Гл. VII. Представления алгебры sl(n)	109
Установить существование наибольшего подмодуля Н
модуля Ех, не содержащего v. Фактормодуль V% = Е%/Н
неприводим; показать, что Уг конечномерно тогда и
только тогда, когда % удовлетворяет условию тео-
ремы 4.1. Дать явное описание модуля Vx при и = 2.
7. Пусть п — 4 и V — неприводимый g-модуль со
старшим весом щ (см. предложение 4.6). Показать,
что dim 7 = 6 и что на V существует невырожденная
инвариантная симметричная билинейная форма. Вос-
пользовавшись этим фактом, построить изоморфизм
алгебры si D) на алгебру Ли ортогональной группы о F).

Часть
Группы Ли
Эту часть книги можно рассматривать как введе-
ние в теорию формальных групп и аналитических групп,
а также в теорию связи между этими группами и
алгебрами Ли (теория Ли). При этом аналитические
группы определяются над любым полным полем (ве-
щественным, комплексным или неархимедовым). Тео-
рия Ли применима в обоих случаях при условии, что
основное поле имеет характеристику нуль.
В процессе работы я существенно использовал
неопубликованные рукописи Н. Бурбаки по аналити-
ческим многообразиям и по группам Ли.
Вторую часть моих лекций записал Р. Расала,
которому я приношу свою благодарность за отлично
проделанную работу; он внес много усовершенство-
ваний по сравнению с устным изложением.
ж.-п. с.
Харвард
осень 1964

Глава I
ПОЛНЫЕ ПОЛЯ
Определение. Пусть k — поле. Абсолютным
значением на k называется функция &—>R, обозна-
чаемая х>—Н # I. которая удовлетворяет следующим
четырем условиям:
A) |лг|^О, причем | х | = 0 в том и только в том
случае, когда х = 0;
B)\х-у\ = \х\\у\;
C)	11 |=1;
D)	\х + у\^\х\ + \у\.
Примеры, (i) Положим
I х | = 0 при х = 0,
\Х | = 1 При Хф\.
Топология поля &, определяемая этим абсолютным
значением, дискретна.
Впредь мы будем иметь дело лишь с нетривиаль-
ными абсолютными значениями, т. е. такими, что
0<|х|<1 для некоторого х е= k.
(ii) обычные абсолютные значения полей R и С;
(ш) если условие D) заменить условием
то мы придем к так называемым ультраметрическим
или неархимедовым абсолютным значениям.
Замечание. Условие D') равносильно следующему
условию: для любого е ^ 0 отношение I х — у \ 5^ е есть
отношение эквивалентности.
8 Ж.-П. Серр

114	Ч. II. Группы Ли
Предположим теперь, что поле k снабжено не-
архимедовым абсолютным значением и относительно
него является полным.
Теорема 1. Рассмотрим последовательность {хп}
с xn^.k. Ряд 2хп сходится тогда и только тогда,
когда лг„->0.
Доказательство непосредственно вытекает из усло-
вия D') и определения полноты.
Теорема 2 (Островский). Пусть k — поле,
полное относительно некоторого абсолютного значе-
ния. Тогда либо k совпадает с R или С (и соответ-
ствующее абсолютное значение имеет вид | х |", 0 <
<а^1), либо данное абсолютное значение неархи-
медово.
Доказательство этой теоремы можно найти, на-
пример, в книге Бурбаки [2*], Ch. VI, § 6.
Пусть по-прежнему k — поле, полное относительно
неархимедова абсолютного значения | х \, и пусть р —
вещественное число, 0<р<1. Определим v (x) фор-
мулой \x\ = pv(x). Имеем, очевидно,
2)
3)
4) v(x + y)>inf(v(x),
Функция x*—>-v(x), удовлетворяющая указанным
четырем условиям, называется нормированием поля k.
Примеры. 1. Пусть k — С ((Г)) — поле формальных
степенных рядов от одной переменной Т, и пусть
оо
а" 2 aj, где а,еС, ап = 0 при всех доста-
точно больших —п. Положим v(a) равным наимень-
шему целому п, для которого ап ф 0. Тогда а —
= Tv (a) (oq + atf + ...), где ct0 Ф 0. Иными словами,
соотношение v(a)^n равносильно равенству а = ТпЬ,
где 6бС[[Г]].

Гл. 1. Полные поля	115
Отметим, что С ((Г)) —полное поле.
2. Пусть Q —поле рациональных чисел. Зафикси-
руем простое число р. Любое число aeQ можно
представить в виде а = pnr/s, где г и s — целые числа,
не делящиеся на р. Полагая по определению v(a) = n,
мы получим так называемое р-адическое нормирова-
ние поля рациональных чисел.
Пополнение поля Q по р-адической метрике обо-
значается через Qp и называется полем р-адических
чисел.
Очевидно, что ап—>0 (в р-адической топологии)
тогда и только тогда, когда ап = phnbn, где ioeZ
и Л„->оо.
Определение. Пусть k — поле и v — его нор-
мирование. Множество
Av = {х <= k I v (x) > 0}
является кольцом и называется кольцом нормирова-
ния V.
Пример. Пусть k = Qp. Кольцо его р-адического
нормирования есть не что иное, как кольцо Ър целых
р-адических чисел.
Для каждого действительного числа а^О рас-
смотрим множества
/a = {*€= Av\ w(*)>a},
la = {X €= Av I V (X) > a},
которые, как легко видеть, являются идеалами
кольца Av. В частности, при а = 0 идеал
/о = та = {л;еЛ0| а(л;)>0}
максимален; поле kv = kj"<nv называется полем выче-
тов нормирования v.
Примеры. 1. Пусть k = C((T)). Тогда
AV~C[[T\],

116	Ч. //. Группы Ли
2. Пусть k = Qp. Тогда
К = Zp,
га,, = рЪ„
и
ft, = Fp = Z/pZ.
Теорема 3. Каждое неархимедово абсолютное
значение ху-^-\х\ поля рациональных чисел Q либо
тривиально (т. е. | л; | = 1 для всех х ф 0), либо со-
впадает с одним из р-адических нормирований.
Доказательство. Предположим, что наше
абсолютное значение нетривиально. Тогда найдется
такое рациональное число reQ, что
Из этого обстоятельства сразу вытекает существо-
вание простого числа р с | р \ ф 1, откуда 0<| р |< 1
(заметим, что |и|^1 для всех целых neZ).
Пусть neZ, и пусть числа пир взаимно просты.
Как известно, в этом случае можно найти целые
числа q, seZ, для которых
qn + sp = 1.
Если предположить, что |и|<1, то, учитывая нера-
венства | <71 ^ 1, ( s |^ 1 и | р |< 1, мы получим [ 1 |< 1,
что противоречит определению абсолютного значения.
Итак, для любых целых чисел п, взаимно простых
с р,
|п|=1.
Всякое рациональное число reQ можно представить
в виде
г = pvp {nnln\
где п и и' —целые числа, взаимно простые с р. От-
сюда | г | = р°р <г), где р = | р |, ч. т. д.
Следствие. Если k — поле, полное относительно
неархимедова абсолютного значения, причем харак-
теристика его равна нулю, то k содержит в качестве
топологического подпространства либо поле Q с ди-
скретной топологией, либо поле Qp.

Глава II
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Сначала о символике.
1.	k будет обозначать поле, полное относительно
некоторого нетривиального абсолютного значения,
a k[[Xu ..., Хп] ] — кольцо формальных степенных
рядов от п переменных Хь . .., Хп над k.
2.	Мы будем обозначать
а)	греческими буквами а, р наборы целых чисел:
а = (аь ..., а„), at > 0, a,eZ;
б)	латинскими буквами г, s наборы вещественных
чисел:
в) латинскими буквами х, у наборы элементов
поля k:
х = (хи ..., хп), xt^k.
3.
4.
Положим
а
*- —.т
а
X =
Za =
| а| =
а! =
/ а\
\Р/
По определению
I r (соответственно
а.
Г11
*"'
S
п
pi
1 *
а
• • ' Гп"
... Х^
1 • • • К
щ,
щи
а!
(а — р) 1
Кг)Ф
(соответственно | х{ \

118	V. //. Группы Ли
Аналогичный смысл будет вкладываться в соотно-
шения
r'<r, r'<r, а'^а, а'<а.
5. Назовем
множество Р (г)(х) = {у ^ kn\\ у — х \^г] (замкну-
тым) полицилиндром радиуса г с центром в точке х;
множество Ро(г)(х) = {у е kn\ \ у — х \<г} открытым
полицилиндром радиуса г с центром в точке х.
Полицилиндры Р(г)@) и Я0(г)@) будем для крат-
кости обозначать Р (г) и Р0(г) соответственно.
Определение. Пусть
1)	Мы скажем, что ряд / сходится в полицилиндре
Р {г), если
2|а„|га< +оо.	A)
2)	Мы скажем, что ряд / сходится в открытом
полицилиндре Р0(г), если он сходится в каждом по-
лицилиндре Р{г') сг'<г.
Лемма, (а) Если ряд / = 2 ааХп сходится в по-
лицилиндре Р(г), то существует такая константа М,
что
I аа I га < М для всех а.	B)
(б) Обратно, пусть существует такая константа М,
что неравенство B) справедливо для всех а. Тогда
ряд f сходится в открытом полицилиндре Ро (г) и
притом равномерно во всяком полицилиндре Р (г')
с г'<г.
Доказательство, (а) В качестве константы М
можно взять сумму 2i\aa\ra, которая по условию
конечна.
(б) Пусть г'<г. Тогда

Гл. II. Аналитические функции	119
Таким образом, ряд / сходится равномерно в Р (г'),
и, следовательно, сходится в Рй{г). Лемма доказана.
Эта лемма часто фигурирует в литературе под
названием леммы Абеля.
Определение. Ряд f — ^jaaXa называется схо-
дящимся, если он сходится в некотором открытом
полицилиндре Р0(г), г>0.
Пусть ряд f = 2 ааХа сходится в Ро (г). Для вся-
кого tePj (r) ряд 2 ааХа сходится абсолютно (и равно-
мерно в Р{г), г' < г); его сумма f(x) есть непрерыв-
ная функция от х.
Лемма. f = 0=#>/ = 0.
Доказательство. Пусть /г=1. Предположим,
что f ф 0. Тогда
f(X)=*Xm(c0
где с,- ф 0 и т^О. Ряд 2сДг сходится. Функция,
определяемая этим рядом, отлична от нуля в точке
х — 0, а потому (по непрерывности) и в некоторой
окрестности U этой точки. Далее, функция Хт от-
лична от нуля на множестве ?/\{0}. Таким образом,
функция f в окрестности U не равна тождественно
нулю. Фактически при т>0 точка х = 0 есть изоли-
рованный нуль функции f(x).
Пусть п>1. Предположим, что для п—\ наша
лемма доказана. Пусть f = 0, где / е & [ f^b ..., А,г] ].
Запишем
Так как ряд f сходится в .Ро(г), ряды сг сходятся
в (п—1)-мерном полицилиндре P0(s), где s = {ri,..., rrt_i).
По предположению для любой фиксированной точки
p(ji	 j/«-i)e^o(s) функция g, определенная
формулой
тождественно равна нулю. Следовательно (см. случай
п = 1), все выражения сг(г/ь ..., г/п_() равна нулю.

120
4. U. Группы Ли
Отсюда, согласно предположению индукции, с( = 0
для всех i и, следовательно, f = 0. Лемма доказана.
С помощью этой леммы мы можем отождествлять
ряд f с соответствующей функцией f.
Приступим теперь к изучению аналитических функ-
ций.
Определение. Пусть задано открытое мно-
жество Uckn и функция qp: U->k. Мы скажем, что
функция ф аналитична в U, если для каждой точки
x^U найдется формальный ряд / и радиус г>0,
такие, что
1) P0(r)(x)<=U;
B) / сходится в Р0(г), и q>(x + h) = f(h) для
(
Замечание. Формальный ряд f, соответствующий
аналитической функции <р в точке хе(/, определяется
единственным образом и называется рядом Тейлора1)
этой функции в точке х.
Теорема 1. Если ряд f = 2 #<Да сходится в по-
лицилиндре Р0(г), г>0, то функция f аналитична
в этом полицилиндре.
Доказательство.
такой радиус г', что ||
Следовательно,
Пусть х^Р0(г). Выберем
'r, и положим s~r — r'.
<а
, he=P0(s).
Покажем, что можно изменить порядок суммиро-
вания. Для этого достаточно показать, что
а р<а
') В оригинале „local expansion". — Прим. перев.

Гл. II Аналитические функции	121
Но, в самом деле, пусть \h\ ^s'<s. Тогда
„	| /tx\ (	/а\ /	/а\
Заметим теперь, что LI Н*Ц81 (под символом )
в левой части неравенства понимается элемент поля k,
а в правой — целое положительное число).
Отсюда
|5<a
- I a
~ I "а
Таким образом, сумма (*) мажорируется рядом
сумма которого конечна, поскольку f сходится в Ро (г)
и г' + s'<r.
То, что нам осталость доказать, можно сформу-
лировать в виде отдельной леммы.
Лемма. Пусть дан формальный ряд f = 2 ааХа,
сходящийся в PQ{r). Для каждого C<Ia положим
A)	ряд Д15/ сходится в Рй{г);
B)	ряд 2Л0/М*Р сходится в Р0(г-\х\), где
ii
C) яри
Доказательство леммы. Утверждения A)
и B) непосредственно вытекают из сходимости ряда (*).

122	Ч. 11. Группы. Ли
Утверждение C) также следует из этого факта, по-
скольку
C<а
3
Тем самым лемма, а вместе с ней наша теорема
полностью доказаны.
Понятие аналитической функции можно распро-
странить также на вектор-функции.
Определение. Пусть U — открытое множество
в km, и пусть Ф = (фь ..., ф„): U—>kn. Мы скажем,
что отображение ф аналитично, если все его компо-
ненты ф,-, 1<1г</г, суть аналитические функции.
Предыдущая лемма есть частный случай следую-
щей теоремы.
Теорема 2. Если отображения U —->V и V —¦> W
аполитичны, то и композиция g°f этих отображе-
ний тоже аналитична {здесь U, V и W — открытые
множества в km, kn и kp соответственно).
Доказательство. Мы должны показать, что
компоненты отображения g ° f в каждой точке х е U
разлагаются в ряд Тейлора. Применяя предыдущую
лемму, легко усмотреть, что аналитичность любой
функции ф(х) (а также любой вектор-функции) в ок-
рестности точки х равносильна аналитичности функ-
ции ф' (/г) = ф (х + К) в некоторой окрестности нуля.
Мы можем поэтому, не теряя общности, считать, что
х = 0, f @) = 0, g @) = 0. Кроме того, в силу опреде-
ления аналитичности вектор-функции достаточно дока-
зать нашу теорему для р= 1.
Пусть 2 Ь(У® — ряд Тейлора функции g в точке
(}>о р
(
= 0, сходящийся в PQ(s), где s — (slt ..., sn). Пусть
= (fi	fn), и пусть 2а;,аХа —ряд Тейлора функ-
а>0

Гл. 11. Аналитические функции	123
ции ft. Выберем такой радиус г = (гь ..., rm), что
а>0
Тогда при h s P0(r)
ct>0
Для завершения доказательства нам надо уста-
новить, что правая часть этого равенства есть сумма
некоторого ряда от h, сходящегося в Р0{г). Однако
если в правой части формально раскрыть скобки и
привести подобные члены, то окажется, что коэф-
фициентом при ha будет служить выражение, в ко-
торое входит лишь конечное число коэффициен-
тов ftp и а{,а. В самом деле, после раскрытия скобок
члены с 1Р1>1а1 вообще не будут содержать ha (так
как все at, 0 = 0), поэтому при вычислении коэффи-
циента при ha нам придется просуммировать лишь
конечное число выражений. Итак, функции f°g(h)
можно сопоставить некоторый ряд от h. Нам остается
показать, что ряд
Zi Of, I . . ., Zi fl;,/ , ...
P>0 '\	a>0
сходится абсолютно. Но, действительно,
е	а>о
Теорема доказана.
Замечания. 1. Более подробное доказательство суще-
ствования искомого степенного ряда читатель может
найти в книге Бурбаки [3*], гл. IV, § 5, п. 5.
2. Имеется общий метод, основанный на теореме
Островского, с помощью которого часто доказываются
такого рода теоремы. Он заключается попросту в том
наблюдении, что достаточно рассматривать два случая:
Г fc = R или С;

124	Ч П. Группы Ли
2° поле k неархимедово.
Проиллюстрируем этот метод, дав другое доказа-
тельство теоремы 2.
Случай 1°. k = R или С.
а)	/г = С. Известно, что отображение <р аналитично
тогда и только тогда, когда оно есть отображение
класса С1 и его производная ?)ф — комплексное линей-
ное отображение. Так как композиция отображений
класса С1 тоже класса С1, так как композиция про-
изводных есть производная композиции и так как
композиция комплексных линейных отображений есть
снова комплексное линейное отображение, нашу тео-
рему в этом частном случае можно считать дока-
занной.
б)	k = R. Каждую вещественную аналитическую
функцию можно локально продолжить до комплекс-
ной аналитической функции с помощью ряда Тейлора.
Поэтому этот случай сводится к предыдущему.
Случай 2°. Поле k неархимедово.
Как и в первоначальном доказательстве теоремы,
мы ищем разложение композиции g °f в степенной ряд
в точке х = 0, причем f@) = 0 и g@) = 0. Несложная
проверка показывает, что нашу теорему достаточно
доказать для композиции отображений g 1 —) и ц/1-^-1,
где ц и v — произвольные фиксированные, отличные
от нуля элементы поля k.
Покажем, что ц и v можно выбрать таким образом,
что утверждение теоремы станет тривиальным.
Пусть g = {gi, .... gp), и пусть gj= 2 by, s^ —
ряд Тейлора для функции gj в точке у = 0. Выберем
такой радиус s, что каждый ряд gj сходится в поли-
цилиндре P0(s). По лемме Абеля найдется констан-
та М, такая, что | b,,,,\sP^.N для всех / и р. Выберем
такой элемент [i поля k, что |ц|>тах|—A+ЛО).
Тогда для всех / и р имеем
1

Гл. II. Аналитические функции	125
Следовательно, коэффициенты ряда g (F/ц) лежат
в кольце нормирования Av поля k и, в частности, ряд
g(Y/\i) сходится в Ро A)-
Применяя аналогичные соображения к ц/, мы
сможем найти такой элемент v e k, что у всех коор-
динатных функций \ifi (x/v) отображения [if(x/v) коэф-
фициенты рядов Тейлора лежат в кольце Av.
Итак, все свелось к случаю, когда ряды Тейлора
координатных функций отображений / и g лежат
в кольце нормирования. Но тогда формальный ряд
композиции этих отображений снова имеет коэф-
фициенты в кольце Av и потому сходится в РоСП-
Доказательство закончено.
Сформулируем теперь явно некоторые утверждения
о рядах Тейлора и производных, которые неявно
фигурировали в предыдущих рассуждениях.
Определение. Пусть задана вектор-функ-
ция ф: U-+V, где U{akm) и V (akn) — открытые
множества. Линейное отображение L: km->kn назы-
вается производной функции ф в точке х е U, если
|<p(x + A)-q>(;c)-LA| = o(|A|),
т. е.
Ul->o	IM
Замечания. 1. Если функция ф имеет в точке х
производную L, то последняя определена однозначно
и обозначается Dq> (x).
2. Образ вектора бг = @, ..., 1	0) (на г-м
месте 1, а на остальных нули) при отображении Dq>{x)
называется г-й частной производной функции ф
в точке х и обозначается Dt(p(x).
При изучении дифференцируемое™ аналитических
функций достаточно для начала ограничиться анали-
тическими функциями со значениями в поле k. Далее,
поскольку дифференцируемость — свойство локальное,
мы можем рассматривать лишь функции, которые
представлены некоторым сходящимся рядом.

126	Ч. 11. Группы Ли
Теорема 3. Пусть f=^aaXa — степенной ряд,
сходящийся в P0(r), r >0. Тогда соответствующая функ-
ция f дифференцируема в каждой точке хеР0(г) и
Df(x) =
Таким образом, производная аналитической функ-
ции существует и аналитична, и, следовательно,
всякая аналитическая функция бесконечно диффе-
ренцируема.
Доказательство. Если внимательно просмо-
треть вычисления, выполненные при доказательстве
леммы к теореме 1, то мы увидим, что выражение
f(x + h) — f(x) — Df(x)h является таким степенным
рядом, сходящимся в Р0{г), у которого члены нулевой
и первой степеней отсутствуют. Отсюда немедленно
следует, что
^0
Замечание. Положим Da = D .. . ?)"". Тогда
1)	а! Ла = Da;
2)	ряд f (х + А) = 2 Лр/ (х)/гр есть обычный ряд Тей-
3
лора для случая нулевой характеристики;
Приступим теперь к доказательству следующего
основного результата.
Теорема об обратной функции. Пусть
f: ?/—> k"—аналитическое отображение, где U —откры-
тое множество в k". Допустим, что OsU и f@) = 0.
Тогда если производная в нуле Df(O): k"'-*¦ k"' — линей-
ный изоморфизм, то отображение f — локальный ана-
литический изоморфизм.

Гл. II. Аналитические функции	127
Доказательство. В случае & = R или С тео-
рема общеизвестна. Мы можем поэтому в силу тео-
ремы Островского предполагать, что абсолютное зна-
чение поля k неархимедово. Пусть / = (/i, ..., fn).
Умножая, если нужно, отображение / на автоморфизм
Df(O)~\ мы можем считать, что
Заменяя f(X) выражением \if(X/\i), где |iefc и |ц|
достаточно мало, мы можем предполагать, что все
коэффициенты а,-,а лежат в кольце нормирования Av.
Найти обратное к f аналитическое отображение —
это значит найти такие ряды ^(Т), 1<л^/г, что
Xt = ^i(T) есть решение уравнения
Tl = Xl-m(X), 1</<я.	(*)
Мы решим эту задачу в два приема.
1.	Покажем, что уравнение (*) имеет единственное
формальное решение {г|зг (Г)}, и найдем соотношения
между коэффициентами рядов я|зг и ср^.
2.	Двумя существенно различными методами мы до-
кажем сходимость полученного формального решения.
Положим 1|зг = 2 bt oT и рассмотрим уравнения
Р>0 Р
(**)
Нетрудно видеть, что &*,б;=бг/ (символ Кронекера);
вообще для произвольного р коэффициент bti „ есть
линейная комбинация тех коэффициентов рядов г|з и <р,
которые стоят при одночленах степени, строго мень-
шей, чем р. В этих линейных комбинациях участвуют
также целые числа (различные биномиальные коэф-
фициенты), не зависящие от <р и f. Таким образом,
по индукции
bi, р = Рр (а,-,«)-
где
pi — многочлен с целыми положительными коэф-
фициентами, которые не зависят ни от {q)J, ни от {i|)J;

128	Ч. 11. Группы Ли
в качестве неременных в pi участвуют только а.
Единственность формального решения установлена;
остается доказать его (абсолютную) сходимость.
Первый способ доказательства основан на том,
что, как мы уже говорили, поле k можно считать
неархимедовым. Мы можем также предполагать, что
а{ а е Av для всех i и а. Поскольку b. р = р| (а. а),
ясно, что bit .e^ для всех i и C. Следовательно,
ряды {ij);} сходятся в полицилиндре Ro{\).
Второй способ доказательства, так называемый
метод мажорант Коши, пригоден также и для по-
лей R и С. Допустим, что нам удалось найти такие
положительные ряды {ф,}, ф,- = 2 &i, сД°> 1 ^ г ^ я, что
а > 1
A)	ряды яЬ; = 2 6, „Г1, l^i^/г, сходятся, где
3 > о ''
{t|)j} — формальное решение задачи обращения для {ф,-};
B)	|fli,a|<flu для всех / и а.
Тогда легко показать, что
C)	\bi>A<^bi~ для всех i и р.
Действительно, поскольку многочлен р1» имеет
целые положительные коэффициенты,
Очевидно, из свойств B) и C) в совокупности
следует сходимость всех рядов г|з,-, 1<1г^/г. Нам
остается поэтому подыскать требуемые формальные
вещественные ряды ф(.
Пусть сначала п— 1. В силу сходимости ряда ф]
можно подобрать такое достаточно большое нату-
ральное гп, что ряд
Ф"г = 1i (тХУ {rn > 0)
i > i
удовлетворяет свойству A) (лемма Абеля). Вычислим
в явном виде соответствующий обратный ряд фт.
Для этого нам надо решить уравнение
1 ~А \-тХ'

Гл. 11. Аналитические функции	129
Решение этого уравнения дается формулой
тт/т> {\+тТ)-У(\ +mTJ-4(r,
V у± ' ~	2 (т2 + т)	'
из которой легко усмотреть, что $т(Т) представляется
степенным рядом, сходящимся в окрестности нуля.
Перейдем теперь к общему случаю; пусть п — произ-
вольное натуральное число. Заменяя, если нужно,
ряды {ф(Ш) на {ф/(ЯД1)} (где ц — специально подо-
бранный с помощью леммы Абеля элемент поля к),
мы можем считать, что | аг-,а|^ 1 для всех г и а. Рас-
смотрим положительные ряды фг = 2 №+...+ ХпУ
и докажем, что они обладают требуемыми свойствами.
В силу нашего соглашения свойство A) выполняется
очевидным образом. Соответствующие обратные ря-
ды ф имеют вид
В самом деле,
*-»¦¦
Поскольку ряды fyi сходятся в некоторой окрест-
ности нуля, теорема доказана.
„Опасные повороты". 1. Пусть k — неархимедово
поле. Функция <р, равная единице на элементах
кольца Av и нулю на дополнении k\Av, всюду анали-
тична. Это вытекает из того факта, что множество Л„
одновременно открыто и замкнуто в k.
9 Ж.-П. Серр

130	Ч. II. Группы Ли
2.	Если поле k имеет характеристику р>0, то для
любой аналитической функции <р, определенной в об-
ласти U a k", имеем
Da<p = 0 при |a|>(p-l)n+l.
В частности, радиус сходимости производной фор-
мального ряда может быть строго больше радиуса
сходимости самого этого ряда.
3.	Если функция <р аналитична в области U с k",
причем P0(r)(x)czU, где хе(/, то ряд Тейлора
функции ф в точке х вовсе не обязан сходиться
во всем полицилиндре Р()(г). Последнее имеет место,
вообще говоря, лишь для k — С.

Глава III
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
В этой главе k — поле, полное относительно нетри-
виального абсолютного значения.
§ 1. Карты и атласы
Пусть X — топологическое пространство.
Картой с пространства X называется тройка
c = (U, ф, п), где
A)	U — открытое подмножество в X,
B)	п — целое неотрицательное число,
C)	ф —отображение U в к", причем множество <p(U)
открыто в kn и отображение ф: U-*-<p{U) — гомео-
морфизм.
Обозначения:
U — О (с) — открытое множество карты с;
Ф = М (с) — отображение карты с;
п = dimfe (с) — размерность карты с.
Пусть заданы две карты c = (U, ф, п) и c' — (U', ф', п')
пространства X. Мы скажем, что cue' согласованы,
если отображения ф'^ф" |ф(V) и фоф' |ф'(V) анали-
тичны, где V = U П V (см. диаграмму).
f[V)<=kn
Если сие' согласованы и V ф 0, то п = п'.

132	Ч. II. Группы Ли
Семейство карт {сДге/ называется покрытием про-
странства X, если (J О (сг) = X.
Атласом А пространства X называется такое се-
мейство карт, образующее покрытие пространства X,
в котором любые две карты согласованы.
Мы будем говорить, что два атласа Л и Л' согла-
сованы, если выполнено одно из следующих двух
эквивалентных условий:
A)	ЛUЛ'— атлас;
B)	если сЁЛис'еДто карты с и с' согласованы.
Замечание. Согласованность двух атласов есть
отношение эквивалентности. Действительно, рефлек-
сивность и симметричность очевидны; докажем тран-
зитивность. Пусть даны три атласа Ль Л2 и Л3, причем
атлас А\ согласован с Л2 и атлас Л2 согласован с Л3.
Пусть С\ е Л, и с3 е Л3. Мы должны показать, что с,
и с3 согласованы. Обозначим через V пересечение
О(ci)(]O(c3). Случай V = 0, тривиален. Пусть VФ0,
и пусть ф! = М(С|) и фз = М(с3). В силу симметрии
достаточно установить, что отображение ф3°ф7' ана-
литично на ф[ (]/). Для этого мы покажем, что
это отображение аналитично в каждой точке вида
ф! (х) (х е V). Выберем карту с2 = (U, ф, п) е Л2, такую,
что x^U. Отображение ф°ф71-' <Pi Ф П V)-+(f>(U О V)
аналитично в точке <р\(х), отображение ф^оф:
ф(?/ П V)~>q>3 (U П V) аналитично в точке ф(л;). Сле-
довательно, отображение ф3°ф] = (ф3° ф") = (ф«ф~')
аналитично в точке ф] (х), что и требовалось доказать.
§ 2. Определение аналитического многообразия
Пусть X — топологическое пространство.
Структурой аналитического многообразия в про-
странстве X называется класс эквивалентности согла-
сованных атласов этого пространства.
Можно дать и другое определение. Будем говорить,
что атлас А полон, если любая карта с простран-
ства X, согласованная со всеми картами этого атласа,

§ 3	Гл. III. Аналитические многообразия	133
тоже принадлежит этому атласу. Понятно, что класс
эквивалентности всех согласованных атласов данного
пространства содержит только один полный атлас.
Таким образом, мы приходим ко второму определению:
структурой аналитического многообразия называется
полный атлас пространства X.
Всюду в дальнейшем символ X обозначает топо-
логическое пространство, снабженное фиксированной
структурой аналитического многообразия; его полный
атлас мы будем обозначать через А{Х). Говоря
о картах этого пространства, мы будем иметь в виду
только карты атласа А(Х).
Пусть j;el Размерностью dim,,.X многообра-
зия X в точке х называется размерность любой карты с,
такой, что х^О(с). Функция л: н-* dimx X локально
постоянна на X. Если эта функция— глобальная кон-
станта, равная п, то мы говорим, что многообразие X
имеет всюду одинаковую размерность, и называем
его п-мерным многообразием.
В частных случаях, представляющих наибольший
интерес, принята следующая терминология:
если & = R, говорят, что X — вещественное анали-
тическое многообразие;
если k = C, говорят, что X — комплексное анали-
тическое многообразие;
если k — Qp, где р — некоторое простое число,
говорят, что X есть р-адическое аналитическое много-
образие.
§ 3. Топологические свойства многообразий
Пусть x^k", п <= Z, п > 0, и пусть reR, г > 0.
Обозначим через В{г)(х) шар радиуса г с центром
в точке х, т. е. полицилиндр Р (s)(х), где s = (г, ..., г).
Подмножество В cz X мы будем называть шаром
в том случае, когда имеется карта c — {U, <p, п), такая,
что В cz U и ф (В) — обычный шар в пространстве kn.
Следующие свойства почти очевидны.
A) Каждая точка х е X обладает окрестностью,
которая является шаром. В частности, X — локально

134	Ч. П. Группы Ли	§4
полное метрическое пространство (и следовательно,
пространство Бэра).
B)	Если k — локально компактное поле, то шар
пространства X компактен. В частности, еслиХ —хаус-
дорфово пространство, то оно локально компактно.
C)	Предположим, что X — регулярное пространство,
a k — неархимедово поле. Тогда каждая точка iel
обладает базисом окрестностей, одновременно откры-
тых и замкнутых.
Из всех перечисленных свойств только последнее,
пожалуй, не совсем очевидно; докажем его. Пусть
В — шар многообразия X* содержащий точку х, и пусть
с — (U, ф, п) — карта этого многообразия, такая, что
В a U и ф(В) —шар в k". В силу известных свойств
неархимедовых полей шар ф(В) является открытым
множеством пространства kn. Таким образом, само
множество В тоже открыто в X. Поскольку простран-
ство X регулярно, найдется окрестность V точки х,
такая, что V а В и V замкнута в X. Рассмотрим
совокупность всех шаров с центром в точке ф(х),
содержащихся в множестве q>(V), и возьмем их про-
образы (при отображении ф). Нетрудно видеть, что
множество этих прообразов образует фундаменталь-
ную систему окрестностей точки х, каждая из которых
одновременно открыта и замкнута.
Замечание. В добавлении 1 к этой главе приведен
пример Г. Бергмана, показывающий, что свойство 3,
вообще говоря, не имеет места, если предполагать
пространство X лишь хаусдорфовым.
§ 4. Простейшие примеры многообразий
1.	X — дискретное пространство (п = 0).
2.	X = V, где V — конечномерное векторное про-
странство над k, dimkV = п. Обозначим через А набор
карт вида c = (V, ф, п), где ф: V-*kn — линейный
изоморфизм. Легко проверяется, что все эти карты
согласованы, т. е. множество А образует атлас про-
странства V, которое таким образом наделяется
структурой аналитического многообразия.

Гл. 111. Аналитические многообразия
135
3.	Пусть X — многообразие и U — его открытое
подмножество. Возьмем полный атлас А(Х) нашего
многообразия и рассмотрим множество
4 = {сеЛA) 10 (с) cz U}.
Очевидно, Аи является полным атласом множества U.
Подпространство U вместе с этим атласом называется
открытым подмногообразием многообразия X.
4.	Пусть X — топологическое пространство, и пусть
X = (J Ut. Предположим, что
а)	все множества Ut открыты в X;
б)	каждое подпространство Ut наделено структу-
рой аналитического многообразия;
в)	для любых i и / структуры аналитического
многообразия, индуцированные на Ut{]Uj много-
образиями Ui и Uj, совпадают.
Тогда в пространстве X существует единственная
структура аналитического многообразия, индуцирую-
щая на множествах Ut заданную структуру.
5. Прямая с „двойной точкой". Пусть fe = R.
Возьмем два экземпляра поля R и отождествим их
во всех точках, кроме нуля:
О
Полученное многообразие X можно интерпретиро-
вать как факторпространство. Для этого рассмотрим
плоскость R2, расслоенную на прямые:

136	Ч. П. Группы Ли	§ В
Если отождествить между собой все точки каждого
слоя, то факторпространством будет обыкновенная
прямая R. Выколем теперь из R2 начало координат
и отождествим только те точки, которые лежат в связ-
ной компоненте каждого слоя:
Факторпространством будет в точности прямая с двой-
ным нулем.
Заметим, что построенное многообразие не является
хаусдорфовым.
§ 5. Морфизмы
Пусть X и Y — два аналитических многообразия.
Отображение f: X-*Y называется аналитическим
отображением, или морфизмом, если
A)	отображение f непрерывно;
B)	отображение / „локально аналитично", т. е.
существуют атлас А пространства X и атлас В про-
странства Y, такие, что для любых двух карт с =
= (U, ф, т) е А и d = (V, г|з, п) е В композиция
Ф (W) -2-U W -f-> V -i> г|з (V)
аналитична (здесь W = U Л /"' {V)).
Замечания. 1. Условие 2 мы назвали „локальной
аналитичностью", поскольку в координатной записи
композиция 'фо/оф задается набором п аналити-
ческих функций от т переменных.
2. Свойство непрерывного отображения f быть
морфизмом не зависит от выбора атласов А и В.
Это можно показать примерно теми же рассужде-
ниями, которые использовались при доказательстве

§ 6	Гл. III. Аналитические многообразия	137
того факта, что согласованность атласов есть отно-
шение эквивалентности.
Следующие формальные свойства морфизмов почти
непосредственно следуют из определения.
1)	Композиция морфизмов тоже является мор-
физмом.
2)	Тождественное отображение 1Х: Х—>Х является
морфизмом.
3)	Пусть заданы отображения /: X—*¦ Y и g: Y-> X,
такие, что g°/=lxHf°gr=lK- Отображение f является
аналитическим изоморфизмом в том и только в том
случае, когда отображения f и g — морфизмы.
Сформулируем без доказательства следующий
гораздо более глубоки-й результат.
Теорема. Пусть k — алгебраически замкнутое
поле нулевой характеристики и f: Х-+У — морфизм
аналитических многообразий. Для того чтобы ото-
бражение f было аналитическим изоморфизмом, не-
обходимо и достаточно, чтобы оно было гомеомор-
физмом.
Замечание. Утверждение теоремы неверно для & = R.
Действительно, противоречащим примером может
служить отображение /: R->R, задаваемое форму-
лой / (х) = х3.
§ 6. Произведения и суммы
1. Произведения. Пусть {Х^{е1 — конечное семей-
ство аналитических многообразий. Обозначим через At
атлас пространства Xt (i^l). Пусть Ci = {uit qp,-, йг)еЛг.
Положим
чги
Очевидно, X — топологическое пространство и А — его
атлас. Пространство X со структурой аналитического

138	V. //. Группы Ли
многообразия, определенной атласом А, называется
произведением многообразий {Xi}i^r
Легко проверяется, что справедливо обычное свой-
ство универсальности произведения: для всякого
многообразия Y
Мог (Г, П*;) = ПМогG, X,).
2. Сумма, или несвязное объединение. Пусть
hr ~ произвольная совокупность многообразий.
Обозначим через 2 Xt, или II Х{, несвязное объеди-
нение топологических пространств {ZJ. е/. В про-
странстве X = П Xi существует (см. пример 4, § 4)
единственная структура аналитического многообразия,
согласованная с заданной структурой каждого много-
образия Х(; такое аналитическое многообразие X
называется суммой, или несвязным объединением
многообразий.
Легко проверяется, что справедливо обычное свой-
ство универсальности суммы: для всякого много-
образия Y
Мог ( П Xt, Y) = П Мог (Xh Y,).
lie/	/ ie/
В добавлении 2 к этой главе с помощью несвяз-
ных объединений будет описано строение компактных
аналитических многообразий, определенных над ло-
кально компактным неархимедовым полем.
§ 7. Ростки аналитических функций
Пусть х ge X, и пусть <ST — множество пар вида
(U, ф), где U — открытая окрестность точки х и
Ф — аналитическая функция на V¦ Множество $~х
иногда называют множеством локальных функций
в точке х. Мы введем в этом множестве отношение
эквивалентности.
Будем говорить, что два элемента (U, ф), (V, ¦§)^<&'х
эквивалентны, если найдется такая открытая окрест*

§ 7	Гл. III. Аналитические многообразия	139
ность W точки х, что Wcz U О V и ср| W=*<p\V. Соот-
ветствующее множество классов эквивалентности
обозначается через Жх и называется множеством
ростков аналитических функций в точке х, или локаль-
ным кольцом точки х.
В множестве &вх естественным образом вводится
структура кольца. Пусть / и g — ростки функций
в точке х, выберем их представителей (U, <p)ef
и (V, i|;)eg. Положим W = U QV. Сумма ростков
f + g определяется как класс, содержащий пару
(W, /| W + g I W), а произведение f-g — как класс,
содержащий пару (W,(f\W)-(g\W)). Легко прове-
ряется, что эти определения корректны, т. е. не
зависят от выбора представителей.
Имеем каноническое отображение k-*^x, сопо-
ставляющее элементу oGi пару (X, са), где с„ —ана-
литическая функция, принимающая всюду на X по-
стоянное значение а. Это отображение индуцирует
каноническое вложение i: k-*g?6x, которое превра-
щает кольцо &вх в /г-алгебру.
Имеем также другое каноническое отображение
ъГ'x-*k, относящее каждой паре (С/, ф) е 4F'х элемент
ф(х). Это отображение индуцирует канонический
сюръективный гомоморфизм 8: Шх-*-к. Образ 8(/)
элемента f <^eff?x обозначим через f(x) и назовем его
значением ростка f в точке х. Ядро тх эпиморфизма 8
является, разумеется, максимальным идеалом.
Поскольку 8°/ = idb постольку /г-модуль Шх раз-
лагается каноническим образом в прямую сумму:
Как правило, мы будем отождествлять i{k) и k.
Нетрудно показать, что Ш'х — локальное кольцо.
Мы докажем более сильное утверждение.
Лемма. Пусть (и, ф, п) — некоторая карта много-
образия в точке х. Беря всевозможные композиции
отображения ф с локальными аналитическими функ-
циями в окрестности точки 0 е kn, мы получаем изо-
морфизм ф: <Жъ-*<§№х, такой, что ф(шо) = т^.. (Здесь

140	Ч. //. Группы Ли
е%>'0 обозначает кольцо ростков аналитических функ-
ций в точке 0 е k'\ a m0 — его максимальный идеал.)
Кольцо 3@q изоморфно локальному кольцу сходя-
щихся степенных рядов от п переменных.
Доказательство. Все утверждения леммы оче-
видны, за исключением, возможно, последнего, ка-
сающегося локальности кольца сходящихся степен-
ных рядов от п переменных. Для того чтобы его до-
казать, нам надо установить, что любой сходящийся
степенной ряд /, для которого /@)=#=0, обратим
в нашем кольце. Поскольку f(x) = a + ty (x), (где а е k,
афО и г|з(О) = О) и поскольку функция g{y)~\jy
аналитична в точке а, композиция gof=l/f анали-
тична в точке 0 g fe". Лемма доказана.
Пусть f^e?6Jx (f Ф 0). Наименьшее целое неотри-
цательное число ц, такое, что / ф ni?+I, обозначим
ordj./. Выбрав некоторую карту {и, <р, п) точки х,
мы можем с помощью предыдущей леммы интерпре-
тировать число (J.+ 1 как степень первой ненулевой
однородной компоненты ряда ср(/).
§ 8. Касательное и кокасательное пространства
Пусть iel По определению
Т*ХХ = ^xjm2x — кокасательное пространство в точке х,
ТХХ = (т^т^)* — касательное пространство в точке х.
Касательное пространство допускает еще два
эквивалентных описания.
1) Пространство ТХХ канонически изоморфно про-
странству дифференцирований v: &№x—*-kl).
Действительно, пусть »еу. Тогда v предста-
вляет собой некоторую линейную форму на тх, анну-
лирующуюся на т2х. Продолжим эту форму на все
пространство 3@х = k ф т^., полагая у = 0 на k. По-
') То есть линейных отображений v: &6x->k, таких, что
(f • g) = (vf) g{x) + f (x) (vg), где f,«e &ex, - Прим. перев.

§ 8	Гл. III. Аналитические многообразия	141
кажем, что такая форма v: e№x—>k является диф-
ференцированием. Поскольку у —линейное отображе-
ние (над k), нам надо показать, что
для любых f,g^ q/-{jx. Заметим, однако, что левая
и правая части этого соотношения билинейны по /
и g, а потому нам достаточно установить его для
трех частных случаев:
(а)	f, g e k;
(б)	/ е k и g e mx или / е тх и ge^;
(в)	/, g e тх.
Если имеют место случаи (а) или (в), то обе части
нашего соотношения равны нулю; в случае (б) наше
соотношение вытекает непосредственно из того факта,
что отображение v линейно и обращается в нуль
на k.
Обратно, пусть задано дифференцирование
Э: 3&х-+ 6.Из свойств дифференцирования легко сле-
дует, что 6 аннулируется на k и на тх и потому
однозначно определяет некоторую форму v на про-
странстве т^/ш^, т. е. некоторый касательный вектор
v e ТХХ. Описанное соответствие, как легко прове-
рить, является изоморфизмом.
2) Пространство ТХХ канонически изоморфно про-
странству Сх «классов кривых, касающихся друг
друга в точке х».
Сначала точно определим пространство Сх. Пусть
^т'х — множество пар (Л', ф), где JV — открытая окре-
стность точки 0 е k и г|з: N-+X — морфизм, такой,
что г|)@) = х. Введем в множестве of X следующее
отношение эквивалентности. Пусть (Nt, <рг) е &Г'Х,
г=1, 2. Выберем в точке х какую-нибудь карту (и,
ф, п). Отображение ф°г|)г (г = 1, 2) определено в окре-
стности нуля Nf\tyJl(u)- Мы скажем, что две «кри-
вые» (Л'ь г^) и (N2, ^2) эквивалентны (или касаются
в точке х), если Ь(ф°г|I)(О) = ?> (ф ° ^г) @)- Через Сх
обозначим множество соответствующих классов экви-
валентности элементов множества еГ'х.

142	Ч. 11. Группы Ли
Заметим кстати, что отображение, сопоставляю-
щее каждой паре (N, ф) е <?Г'% производную D (ф ° ф) @),
определяет биекцию <р: Сх -> Homfe (k, kn) = kn. Нали-
чие таковой позволяет ввести в Сх структуру вектор-
ного пространства над полем k.
Нетрудно проверить, что эта структура и само
определение множества Сх не зависят от выбора
карты (и, ф, п.). В самом деле, пусть (и', ф', п) — дру-
гая карта в точке х, и пусть (N, i|i)e^. Легко
видеть, что
D (ф' о Ф) @) = D (ф' о ф) @) о D (ф о -ф) @).
Полученная формула показывает, что эквивалент-
ность двух кривых не зависит от выбора карты. Кроме
того, отсюда следует, что ц>' — D (ф' ° qT1) @) ° ф, а это
означает, что структура векторного пространства на
множестве Сх тоже определена корректно.
Для того чтобы установить наличие канониче-
ского изоморфизма между Сх и ТХХ, построим спари-
вание1) СХХТ*ХХ—^->k. Для этого рассмотрим вна-
чале естественное спаривание ST'K X $~*—*¦ k, сопоста-
вляющее паре элементов (N, tfjefj, (V, f)^<?Fx
элемент D (/ ° ф) @) е k. Стандартные выкладки,
использующие координатную запись, показывают, что
такое спаривание индуцирует невырожденное спари-
вание Сх X ТХХ —+k, которое и позволяет отожде-
ствить С х с пространством, двойственным к прост-
ранству Т*ХХ.
Замечания. 1. Спаривание со можно интуитивно
представлять себе просто как дифференцирование
данной функции по направлению, касательному
к данной кривой.
2. Если бы мы захотели ввести структуру вектор-
ного пространства на множестве производных более
') Спариванием двух векторных пространств V и V назы-
вается билинейное отображение VX V'-> к; спаривание назы-
вается невырожденным, если индуцированные им отображения
V -> V и V -» V* суть изоморфизмы. — Прим. перев.

§ 8 Гл. III. Аналитические многообразия 143
высокого порядка так, как мы это делали для мно-
жества Сх, то нас постигла бы неудача. Причина
кроется в том, что производные более высокого по-
рядка от композиции двух функций уже не зависят
билинейным образом от производных этих функций.
Пример. Пусть X — конечномерное векторное про-
странство V, тогда
Введем теперь два связанных между собой основ-
ных понятия: дифференциал функции и касательное
к морфизму отображение.
Пусть f^<3%?x\ очевидно, f — f(x)^mx. Образ эле-
мента f — f(x) в факторпространстве mx/ml~TxX на-
зывается дифференциалом локальной функции /
в точке х и обозначается dfx.
Пусть v e ТХХ. Значение v на элементе dfx назы-
вается производной локальной функции f no напра-
влению v и обозначается < и, dfx > или v • \х. Эле-
мент dfx можно мыслить себе как линейную форму
на пространстве ТХХ.
Каждая аналитическая функция, заданная в окре-
стности точки х, определяет элемент кольца &Ь'х,
а вместе с ним линейную форму dfx e (ТХХ)*.
Пусть даны два аналитических многообразия X
и Y, морфизм ф: Х-> Y и две точки х е X, у^-У,
такие, что ц>{х) = у. Определим отображение
7>: ТХХ^ТИУ
формулой
(Txcp(v), dfy) = (v, d(f°q>)x)
для всех v е ТХХ и всех / е ?7вх. Можно определить
отображение Тхц> и через его транспозицию
Т*хщ T*yY-*T*xX;
именно для любого f e ?f6x полагаем

144	Ч. II. Группы Ли	§ 9
Линейное отображение Тхц> называют обычно каса-
тельным отображением морфизма <р.
В частном случае, когда Y = k, а ф — есть анали-
тическая функция /, имеем TJ = Dfx.
В заключение этого параграфа мы рассмотрим
несколько простых свойств касательных пространств
произведений многообразий. Пусть X, К —два анали-
тических многообразия, и пусть х^-Х, у е Y. Имеют
место следующие две формулы:
Т(Х,У)ХХ Y= TxXXTyY,
T'{XJI)XX Y = T*xXXT*yY.
Пусть, далее, <р: X X Y-> Z — морфизм, для которого
ф(х, y) = z. Отображение Т(х< у)ф определяет два дру-
гих отображения
Т(Х, у)Ч>: ТхХ-> TZZ
удовлетворяющие соотношению
Т(Х. й)ф (t>, w) - Т*х, У)Ф (у) + Tjx, г,)ф (w).
Отображения Гхф и Гкф называются частными про-
изводными морфизма ф по X и по У соответственно.
§ 9. Теорема об обратной функции
Пусть iel и fu ..., fm — аналитические фуяк-
ции, определенные в некоторой окрестности U точки х.
Положим F(y) = (fl(y), ..., fm(y)), где je?/. Будем
говорить, что набор {/t}i<t-<OT определяет в точке х
систему координат, если существует такая открытая
окрестность U'czU, что({/', F\U', m) — карта много-
образия X в точке х.
Теорема 1. Следующие условия эквивалентны:
A)	набор {fi} определяет систему координат
в точке х;
B)	дифференциалы dfix образуют базис прост-
ранства ТХХ.

§ 10	Гл. III. Аналитические многообразия	145
Эта теорема является следствием другой, более
общей теоремы.
Теорема 2. Пусть ср: X-* Y — морфизм двух
многообразий, и пусть q>(x) = y (jeI, у ен Y). Тогда
следующие условия эквивалентны:
A)	ф — локальный изоморфизм;
B)	Т^ц> — изоморфизм;
B') Гхф — изоморфизм.
Доказательство. Импликации A)=#B) и
B)^B)' очевидны. Импликация B)=#A) следует из
теоремы 4 гл. II, поскольку рассматриваемый вопрос
носит локальный характер.
Определение. Морфизм ф: X—>Y, удовлетво-
ряющий эквивалентным условиям теоремы 2, назы-
вается наложением1) в точке х. Отображение ф, ко-
торое является наложением в каждой точке х е X,
называется просто наложением.
§ 10. Регулярные, нерегулярные и локально
линейные отображения2)
Определение. Пусть ф: X->Y и ф: X-» Y —
два морфизма.
Будем говорить, что они локально подобны
в точках j;g!h х е X, если существуют такие откры-
тые окрестности U, V, U, V точек х, ф(х), х, ф(х)
соответственно и такие изоморфизмы g: U —> U и
h: V —> V, что
A)	cp{U)<=.V и ф(?/)с:Й;
B)	g(x) = x и
C)	диаграмма
коммутативна.
') В оригинале „etale". — Прим. перев.
2) В оригинале соответственно „immersions", „submersions",
„subimmersions". — Прим. перев.
10 Ж.-П. Серр

146	Ч II. Группы Ли	§ 10
Замечание. Мы будем пользоваться этим определе-
нием, как правило, в том случае, когда X, Y — линей-
ные пространства и ф —линейное отображение; при
этом без лишних оговорок будет предполагаться, что
х = 0 и z/ = 0.
Пусть X и Y — два многообразия, леХ, yeF,
ф: Х-> Y — морфизм, для которого ф(х) = г/, и пусть
т — й\тхХ и п = dim,, Y.
1. Регулярные отображения. Теорема 1. Следу-
ющие свойства эквивалентны:
A)	отображение Тхц> инъективно;
B)	существуют такие открытые окрестности U
точки х, V — точки у, W — точки 0 е ?"~m « такой
изоморфизм tj>: У -> С/ X W, что
(а)	Ф(?/)с:1/;
(б)	коммутативна диаграмма
\ |
«\ 1ф
и xw,
где i — естественное отображение U -> f/X{0} cz f/X W;
C)	отображение ф локально подобно в точке х
линейной инъекции ф: E—>F, где Е и F — векторные
пространства размерностей m и п соответственно;
D)	существуют такие функции {/;} ы {g,}, опреде-
ляющие системы координат в точках х и у соответ-
ственно, что f{ = g,- ° ф дрм 1 ^ i ^ m « 0 = §г- о ф др«
m + 1 <; < п;
E)	существуют такие открытые окрестности U
точки х и V — точки у и такой морфизм о: V —> U,
что ф(С/) с; К и а °ф = \йи.
Доказательство. Импликации B) =ФC) =фD) =^>
=фE)=ФA) очевидны. Докажем, что A)=ФB). По-
скольку все рассматривается локально, мы можем
предполагать, что

§ 10	Гл. III. Аналитические многообразия	147
а)	Y — открытое подмножество в kn\
б)	ф (х) = О и Im G» = km X {0} с km X ?"~m = fc".
Обозначим множество {0} X kn~m{c k") через W. Опре-
делим отображение q/: X X W-> F формулой ф' (х, да) =
= ф(х) + ш. По теореме об обратной функции ф'
является локальным изоморфизмом в точке х. Уре-
зая, если нужно, пространства X, Y и W, мы можем
считать ф' изоморфизмом. Искомый изоморфизм я()
есть просто отображение ф'~ . Теорема доказана.
Определение. Морфизм ф, удовлетворяющий
эквивалентным условиям предыдущей теоремы, назы-
вается регулярным в точке х. Морфизм, регулярный
во всех точках х е X, называется просто регулярным.
2. Корегулярные отображения. Теорема 2. Сле-
дующие свойства эквивалентны:
A)	отображение Гжф сюръективно;
B)	существуют такие открытые окрестности U
точки х, V — точки у, W — точки 0 s km~n и такой
изоморфизм \|з: U -*• V X W, что
(а)	Ф(С/)=У;
(б)	коммутативна диаграмма
*1 /
V X W
где р обозначает проекцию V X W->V;
C)	отображение ф локально подобно в точке х
линейной сюръекции ф: E—>F, где Е и F — векторные
пространства размерностей тип соответственно;
D)	существуют такие наборы функций {f{} и {j
определяющие системы координат в точках х и у
соответственно, что fi = gi°<f для \^.i^.n;
E)	существуют такие открытые окрестности U
точки х и V — точки у и такой морфизм а: V —> U,
что <p{U)czV и ф°а = 1с!„.
ю*

148	Ч. //. Группы Ли	§ 10
Доказательство проводится точно так же, как
в предыдущей теореме, и предоставляется читателю
в качестве упражнения.
Определение. Морфизм <р, удовлетворяющий
эквивалентным условиям предыдущей теоремы, назы-
вается нерегулярным в точке х. Морфизм, корегуляр-
ный во всех точках ле1, называется просто коре-
гулярным.
Замечания. 1. Наложениями являются в точности
те морфизмы, которые одновременно регулярны и
корегулярны.
2.	Иногда мы будем употреблять выражение „мор-
физм ф имеет максимальный ранг". Это означает,
что отображение Тхщ инъективно, если т^.п, или
сюръективно, если т~^п.
3.	Вложения. Определение. Морфизм <р назы-
вается вложением, если
(а)	ф — регулярный морфизм;
(б)	ф: Х—>у(Х) — гомеоморфизм.
4.	Локально линейные отображения. Определе-
ние. Морфизм ф: X~>Y называется локально линей-
ным в точке х, если выполнены следующие эквива-
лентные условия:
A)	морфизм ф в точке х локально подобен компо-
зиции морфизмов X--+Z— +Y, где s—корегулярное,
а г — регулярное отображения;
B)	морфизм ф в точке х локально подобен линей-
ному отображению ф: E—>F, где Е и F — векторные
пространства размерностей тип соответственно.
Если морфизм ф является локально линейным во
всех точках х ^ X, мы будем называть его просто
локально линейным.
Замечания. 1. Множество точек х s X, в которых
морфизм ср: X-+Y регулярен (соответственно корегу-
лярен, локально линеен), есть открытое подмножество
многообразия X.

§ 10	Гл. ///. Аналитические многообразия	149
2. Композиция двух регулярных (соответственно
корегулярных) морфизмов является регулярным (соот-
ветственно нерегулярным) морфизмом. Аналогичное
утверждение для локально линейных морфизмов
неверно.
Теорема 3. Предположим, что основное поле k
имеет нулевую характеристику. Тогда следующие
условия эквивалентны:
A)	морфизм ф локально линеен в точке х;
B)	ранг отображения Г^/ф постоянен для всех
точек х' из некоторой окрестности U точки х.
Доказательство. Импликация A)=#B) оче-
видна. Докажем, что B)=^A).
Обозначим через р размерность образа lm(Tx(p).
Поскольку все рассматривается локально, мы можем
считать, что
(а)	Y = V\XV 2 —открытое множество в kn = kpxkn~p;
(б)	ф (jc) = 0 и Im (Tx(f) = k" X {0}.
Пусть я: kp X kn~p ->kp — проекция на первый сомно-
житель. Очевидно, композиция я ° ф корегулярна.
Следовательно, мы можем считать, что
(в)	X = V{X U2 — открытое множество в kpXkm~p'=km,
причем х = 0;
(г)	композиция зт°ф: V\X V<2-+V\ есть проекция
на первый сомножитель.
Таким образом, морфизм ф имеет следующий вид:
ф(хь x2) = (xlt ty(xu x2)), *,еУ,, ^е[/2.
Наконец, мы можем считать, что ранг Тх>ц> постоя-
нен (именно равен р) на всем V'i X C/2. Докажем, что
отображение г|з не зависит от х2 в некоторой окрест-
ности нуля. Для этого заметим прежде всего, что
ZJi|)(xi, x2) = 0. В противном случае морфизм -ф имел бы
в точке (хи х2) ранг, строго больший р. Наше утвер-
ждение вытекает теперь из следующей леммы.
Лемма. Пусть f: V X U -> k — аналитическая
функция, такая, что D2f = 0. Если поле k имеет

150	Ч II. Группы Ли	§ 10
нулевую характеристику, то функция f локально не
зависит от аргумента, пробегающего сомножитель U.
Доказательство леммы. В окрестности
нуля функция f представляется степенным рядом
2 fa.(y)x<1(x s У> У ^ U)- Равенство DJ = 0 означает,
что D2f2 = 0 Для всех а. Нам надо показать, что
fa = ca, где ca^k. Задача, таким образом, свелась
к случаю f = /a. Мы можем считать теперь, что
f=2 Ь^(Ь^^-к). Из свойств степенных рядов и равен-
ства D2f = 0 вытекает, что р,-6р = 0, где |3 = (рь ..., рг),
l^i^r. Но так как характеристика поля k равна
нулю, бр^О, если f} ф 0, т. е. функция f постоянна,
и т. д.
Для того чтобы закончить доказательство теоремы,
представим морфизм ф как композицию морфизмов
Очевидно, первый морфизм корегулярен, а второй
регулярен. Теорема доказана.
Следствие 1. Предположим, что поле k имеет
нулевую характеристику. Тогда множество точек
jcgI, в которых морфизм локально линеен, всюду
плотно в X.
Доказательство. Обозначим указанное мно-
жество через X' и положим /(л:) = гкГжф. Согласно
предыдущей теореме, функция / локально постоянна
на X'. Наше следствие вытекает теперь непосред-
ственно из двух очевидных свойств функции f:
а)	она принимает целочисленные значения и
локально ограничена;
б)	она полунепрерывна снизу.
Следствие 2. Предположим, что поле k имеет
нулевую характеристику и отображение <р инъективно.
Тогда множество точек х е X, в которых морфизм <р
регулярен, всюду плотно в X.

§ 11	Гл. 111. Аналитические многообразия	151
Это вытекает из следствия 1 и того факта, что
инъективное локально линейное отображение регу-
лярно.
§11. Конструирование многообразий. Прообразы
1. Принцип единственности. Теорема 1. Пусть
X — топологическое пространство, А и В — два его пол-
ных атласа. Обозначим через ХА (соответственно Хв)
аналитическое многообразие, определенное в про-
странстве X атласом А (соответственно атласом В).
Следующие условия эквивалентны:
A)	ХА = ХВ, т. е. А = 5;
B)	для любого многообразия Y
Mor(F, XA) = Mor(Y, XB)\
C)	для любого многообразия Y
Mor(F, ХА) = Жог(У, Хв).
Доказательство. Настоящая теорема есть
частный случай общей теоремы, согласно которой
функтор определяет объект однозначно с точностью до
изоморфизма. Тем не менее мы приведем доказа-
тельство ввиду его большой простоты.
Импликация A)=#>B) очевидна.
Покажем, что B)=у> A). Положим Y = ХА. Очевидно,
тождественное отображение idx: XB-> ХА является
морфизмом; аналогично морфизмом является также
отображение idx: XA—>ХВ. Значит, атласы А я В
согласованы и, следовательно, совпадают, поскольку
они полны.
Доказательство эквивалентности ALФC) также
просто.
Сформулируем теперь две леммы, которые пона-
добятся, когда мы будем применять предыдущую
теорему.
Пусть /: X—> Y — морфизм двух многообразий,
Z — произвольное третье многообразие.

152	Ч. П. Группы Ли	§11
Лемма 1. Пусть f — регулярный морфизм. Ото-
бражение g: Z-+X является морфизмом тогда и
только тогда, когда
A)	отображение g непрерывно;
B)	f о g 6= Мог (Z, Y).
Лемма 2. Пусть f —нерегулярный морфизм. Тогда
A)	отображение f открыто; в частности, множество
f(X) открыто в Y;
B)	если f(X) = Y, то
g е= Мог (У, Z)^g о f s Мог (X, Z).
Леммы 1 и 2 непосредственно следуют из локаль-
ного описания регулярных и нерегулярных морфизмов,
данного в § 10.
2. Прообразы. Пусть X — топологическое простран-
ство, Y — многообразие и /: X-^-Y — непрерывное ото-
бражение.
Теорема 2. Пусть пространство X можно снаб-
дить структурой аналитического многообразия, так
чтобы отображение f было регулярным морфизмом.
Тогда эта структура единственна.
Доказательство. По лемме 1 для всякого
многообразия Z множество Mor(Z, X) определяется
лишь топологической структурой пространства X и
аналитической структурой многообразия Y. Следова-
тельно, согласно теореме 1, структура многообразия
в пространстве X определена однозначно, ч. т. д.
Пусть igI Мы скажем, что пара {X, f) удовле-
творяет условию (Im) в точке х, если
(Im) существуют открытая окрестность U точки х
в пространстве X, карта (V, ф, п) многообразия Y
и линейное подпространство Е cr kn, такие, что
(а)	f(U)czV и /: {/->/(?/) —гомеоморфизм;
(б)	Ф(/(?/)) = ? ПФ(Ю-
Если это условие выполняется для всех точек j;el,
то мы скажем, что пара {X, f) удовлетворяет усло-
вию Aга).

§ 11	Гл. III. Аналитические многообразия	153
Теорема 3. Следующие условия эквивалентны:
A)	8 пространстве X существует структура анали-
тического многообразия, относительно которой ото-
бражение f является регулярным морфизмом;
B)	пара (X, f) удовлетворяет условию (Im).
Доказательство. Импликация A)=ФB) сле-
дует из теоремы 1 § 10.
Покажем, что, обратно, B)=ФA). Выберем откры-
тое покрытие {Uiii^i пространства X, такое, что для
каждого индекса i 6= / найдутся карта ct = (Viy q>t, nt)
и линейное подпространство Et cz kn'1, удовлетворяю-
щие следующим двум условиям:
(а)	f(Ui)czV{ и /: Ut-*f(?/,¦) — гомеоморфизм;
(б)	%(f(Ui)) = E()<pl(Vi).
Каждое множество ?/г естественным образом наде-
ляется структурой аналитического многообразия, отно-
сительно которой отображение f | Ut регулярно. Далее,
по теореме 2 структуры, индуцированные множе-
ствами Ui и U/ на пересечении Ut{\Uj, совпадают.
Но, как мы знаем (§ 4, пример 4), пространство X
можно снабдить структурой аналитического много-
образия, согласованной с первоначальными структу-
рами на множествах Ut. Остается заметить, что ото-
бражение f является регулярным морфизмом относи-
тельно введенной структуры. Теорема доказана.
Пусть пара (X, f) удовлетворяет условию (Im).
Из теоремы 1 и 2 в совокупности вытекает, что про-
странство X обладает единственной структурой ана-
литического многообразия, при которой отображение /
становится регулярным морфизмом. Эту аналити-
ческую структуру в пространстве X мы будем назы-
вать структурой прообраза (относительно f) или
просто индуцированной структурой. Соответствующее
аналитическое многообразие будем обозначать че-
рез Xf в тех случаях, когда мы захотим подчеркнуть
зависимость этой структуры от f.
Рассмотрим несколько приложений предыдущих
результатов.

154	Ч. II. Группы Ли	§ 11
А. Подмногообразия. Пусть Y — некоторое многооб-
разие, X — его подпространство (наделенное индуци-
рованной топологией), и пусть i: X—> Y — отображе-
ние вложения. Мы будем говорить, что X — подмно-
гообразие в Y, если пара (X, f) удовлетворяет усло-
вию (Im). Заметим, что из этого условия, в частно-
сти, вытекает, что пространство X локально зам-
кнуто в Y.
Пусть хе! Мы будем говорить, что X является
локальным подмногообразием в точке х, если вы-
полнено одно из трех эквивалентных условий:
A)	пара (X,i) удовлетворяет условию Aт)в точке х;
B)	существует открытая окрестность UczY точки х,
такая, что U Л X— подмногообразие в U;
C)	в некоторой подходящей локальной системе
координат (лг1( ..., хп) в точке х множество X в не-
которой окрестности этой точки задается уравнени-
ями х{ = ... = хр = 0 (р < п).
Б. Локальный гомеоморфизм. Если отображение
/: Х-*- Y — локальный гомеоморфизм, то пара (X, f)
удовлетворяет условию (Im). Морфизм /: Xf-+Y
в этом случае является наложением.
В. Прообразы точек. Пусть f: X-+Y — морфизм мно-
гообразий, и пусть йеК. Обозначим через Хь про-
образ f~l(b). Изучим вложение ХьаХ в окрестности
некоторой точки aeXj.
Теорема 4. Для того чтобы множество Хь
в точке а было локальным подмногообразием в X,
достаточно выполнения любого из следующих трех
условий:
A)	морфизм f корегулярен в окрестности точки а;
B)	существует подмногообразие WczX, такое, что
(а)	fcl,(aef),
(б)	TaW = Ker{TaXT-&'-+TbY);
C)	(А. В ейль) существуют многообразие Z, точка
Z и морфизм g: Z-+X, такие, что
(а)	fog(z) = b для всех
(б)	g(c) = a,

§ 11	Гл. III. Аналитические многообразия	155
(в) последовательность линейных отображений
TCZ -^-> ТаХ ~^U TbY
точна.
В каждом из этих трех случаев имеем
Доказательство. A) Наше утверждение не-
медленно вытекает из локального описания нерегу-
лярного морфизма.
B)	Докажем более сильное утверждение: сущест-
вует открытая окрестность UaX точки а, такая, что
unxb = uuw.
Ввиду локального характера нашей задачи мы
можем считать, что X — открытая окрестность точки
0е?т и что X — W X V. Определим отображение
F: X->WX Y
формулой
F(w, v) = (w, f(w, v)),
Поскольку морфизм F регулярен в точке 0, мы мо-
жем считать, урезая, если нужно, X, что F инъек-
тивно. Тогда
Xb<=F-1 (W X {b}) = W X {0} = W.
т. е. Хь = W в окрестности точки а.
C)	Докажем более сильное утверждение: сущест-
вуют открытая окрестность WczZ точки с, открытая
окрестность UczX точки а, разложение W = Wi X W2
и морфизм ф: Wi—>-X, такие, что
(а') <р —изоморфизм U^i на подмногообразие
(б') морфизм g представим в виде композиции
(в') Ur\Xb=.g(W).
Тем самым, в частности, будет доказана нерегу-
лярность морфизма g в точке с.

156	Ч П. Группы Ли	$ 11
В силу локального характера задачи мы можем
предполагать, что Z —открытая окрестность точки
с = 0 в пространстве kp. Можно считать, что эта
окрестность имеет вид Z = Wi X W3, причем ГсТ'С^) —
изоморфизм, а Го3 (g) — нулевое отображение. Поло-
жим q> = g\W\. Поскольку морфизм ф регулярен
в нуле, можно предполагать, урезая, если нужно,
множество Wu что ср есть изоморфизм Wx на под-
многообразие в X. Ввиду свойств (а) и (в) образ
qp(Wi) удовлетворяет условию B). В силу доказан-
ного выше найдется открытая окрестность UaX
точки а, такая, что U П Xb = U ПфС^7,). Открытое
множество g~1(U)=W является окрестностью нуля
в W{ X W3, причем g(W)dUf]Xb.
Ясно, что морфизм g отображает W в qp(W[).
Нетрудно видеть также, что отображение g: W —> ф (Wi)
корегулярно в точке 0. Урезав подходящим образом
W] и ~W2, мы получим разложение W = W^ X W2, удов-
летворяющее условиям (а) и (б). Для того чтобы вы-
полнялось свойство (в), достаточно сузить окрест-
ность U.
Теорема доказана.
Г. Трансверсальные подмногообразия. Пусть X — мно-
гообразие, 7[ и Y2 — его подмногообразия и х е!К, f] Y2.
Теорема 5. Следующие три свойства равно-
сильны:
A)	Г,Х = Г,Г, + 7,К2;
B)	точка х обладает картой с = (U, ср, п.), такой,
что
V1X VSX W,
1/1Х{О}Х W,
{О}ХУ2Х W;
C) в точке х существуют локальные координаты
(хи ..., хп), такие, что в окрестности этой точки Y
задается уравнениями х^ = . . . = хр = 0, a Y2 — уравне-
ниями xp+i = . .. = хр+ч = 0, где р, q — иелые неотри-
цательные числа, p + q^n.

§ 11	Гл. III. Аналитические многообразия	157
Доказательство. Импликации B) ФФ C) и
ф очевидны. Докажем, что A)ФФC).
Поскольку 7, и Y2 — подмногообразия в X, можно
(урезав, если надо, пространство X) найти такие ко-
регулярные морфизмы
h: X~*k\ fa: X-*k',
что Yt = fjl(O), i=\, 2. Условие A) показывает, что
отображение (fi,f2): X->kp X kq корегулярно в точке х.
Это позволяет отождествить координаты (хи ..., xp+q)
произведения kp X kq с частью локальных координат
(хи ..., хп) в точке х. Следовательно, A)=фC). Тео-
рема доказана.
Если Y\ и Y2 удовлетворяют одному из эквива-
лентных условий предыдущей теоремы, то гово-
рят, что подмногообразия Y] и У2 трансверсальны
в точке х.
Следствие. Пусть подмногообразия Y\ и Y2
трансверсальны в точке х. Тогда
A)	Y\ и Y2 трансверсальны в некоторой окрест-
ности этой точки;
B)	пересечение 7, f| Y2 является локальным под-
многообразием многообразия X в точке х;
C)	Tx(Yx(\Y2) = TxY{(\TxY2.
Д. Трансверсальные морфизмы. Рассмотрим пару
морфизмов ft: Yt-*-X, t = l, 2. Положим
YiXxY2-{(yu г/2)е7,Х Y21 f, (у) = /2 (у)}.
Это множество называется расслоенным произведе-
нием Yx и Y2 над X. Положим
f==fl°Pl=f2°P2,
где
РГ- YxXxY2-^Yt
ограничение отображения
рг,: У,ХУ2-*У|

158	Ч. П. Группы Ли	§ И
(см. диаграмму).
Ух X XY, -*-'¦> У2
i
¦X
Пусть (г/,, y2)^Yi XXY2, и пусть x = f(yuy2). Бу-
дем говорить, что морфизмы f[ и /2 трансверсальны
в точке у = (уj, z/2), если ГХХ = 1т(Г4,1/]) + 1т (Г^),
Теорема 6. Пусть морфизмы fj м f2 трансвер-
сальны в точке у. Тогда
A)	морфизмы fx и f2 трансверсальны в некото-
рой окрестности точки у в Y\XXY2\
B)	множество Y{ X xYz в точке у является локаль-
ным подмногообразием в Yi X Y2',
C)	Ту (У, X XY2) = Г^ (У,) X тх(Х)ТУ2 (У2).
Набросок доказательства. Положим У =
= Г, X У2 и Z = Fi ХХУ2- Обозначим через б<: У ->
—> У X X отображение (idK, ft ° ргг) и положим б = bt\Z,
Теорема вытекает из следующих трех утверждений:
а)	морфизмы б! и б2 являются изоморфизмами
многообразия У на подмногообразия в Y X X;
б)	подмногообразия б! (У) и 62(У) трансверсальны
в точке б (у);
в) б(г) = б,(у)Пб2(У).
Подробности предоставляем читателю.
Замечания. 1. Если хотя бы одно из отображе-
ний ft корегулярно, то морфизмы fi и /2 всюду транс-
версальны.
2. Если в описанной выше ситуации ft есть вло-
жение подмногообразия Yi в многообразие X и если f,
и f2 трансверсальны в точке у, то мы будем говорить,
что морфизм /2 трансверсален над Y\ в точке у.
§ 12. Конструирование многообразий.
Фактормногообразия
Пусть X- многообразие и RaX XX- некоторое
отношение эквивалентности. Обозначим через X/R
множество классов эквивалентности относительно R

§ 12	Гл. III. Аналитические многообразия	159
и через р: X-+XJR — каноническую проекцию. Снаб-
дим множество XjR обычной фактортопологией.
Именно: множество UczXIR открыто в том и только
в том случае, если множество p~l(U)czX открыто.
Теорема 1. Если в пространстве X!R сущест-
вует структура аналитического многообразия, отно-
сительно которой отображение р является корегу-
лярным морфизмом, то такая структура единственна.
Доказательство. По лемме 2 из § 11 множество
Мог {XjR, Z) для любого многообразия Z зависит
лишь от аналитической структуры пространства X.
Следовательно, по теореме 1 из § 11 структура мно-
гообразия на факторпространстве XjR определена
однозначно, ч. т. д.
Если ситуация, описанная в предыдущей теореме,
имеет место, то мы называем пространство X/R фак-
тор многообразием (или просто многообразием), а от-
ношение R — регулярным отношением эквивалент-
ности.
Теорема 2 (Годеман). Следующие условия
эквивалентны:
A)	отношение R регулярно (т. е. X/R) — многооб-
разие;
B)	(a) R — подмногообразие в XXX;
(б) pr2: R ~* X — нерегулярный морфизм.
Доказательство A)=фB). Пусть выполнено
условие A). Покажем, что тогда выполнено условие B).
Рассмотрим диаграмму
РГ||
X—+XIR
Очевидно, множество R совпадает с X X XIRX.
Поскольку отображение р корегулярно, множество R
является подмногообразием в X х X (см. теорему 6

160	Ч. //. Группы Ли	§ 12
из § 11 и замечание 1). Далее, если (х, y)^R и z =
= р (х) = р (у), то
Тх. y(R) = Tx(X)X тгшюТу(Х).
Последнее равенство, в частности, показывает,
что отображение Т(Х, У) {R)—> Ty (X) сюръективно, и,
следовательно, ограничение проекции рг2 на R — ко-
регулярный морфизм (ср. с упражнением 5 ниже).
B)=ФA). Для удобства доказательство этой импли-
кации будет представлено в виде последовательно-
сти лемм.
Пусть U — подмножество в X. Положим Ru =
= Rf\(UXU). Напомним, что подмножество U а X
называется насыщенным относительно отношения экви-
валентности R, если U = p~lp(U).
Лемма 1. Пусть X={JjUi, где каждое под-
множество Ut открыто и насыщено в X, причем фак-
торпространство UilRui — многообразие. Тогда X/R
также является многообразием.
Доказательство. По условию все отображе-
ния Ui -» Ui/Rul корегулярны. Поэтому для любых
двух индексов I, /е/ структуры аналитических мно-
гообразий, индуцированные многообразиями V'iIRi
и Uj/Rj на UtO UfjRu.f)ur совпадают (теорема 1).
На множестве X/R имеется, следовательно, единст-
венная структура многообразия, согласованная с за-
данными структурами на множествах UiJRut. Нако-
нец, отображение р корегулярно, так как для всех I
ограничение р\ Ut является корегулярным морфизмом.
Лемма 2 Отображение р открыто (т. е. если
подмножество U с: X открыто, то открытым будет и
подмножество p~lp (U)).
Доказательство. рр(?/) = рг2 ((UXX)f]R).
Но множество pr2 ((U X X) {] R) открыто в X, по-
скольку проекция рг2 корегулярна (лемма 2 из §11).

§ 12	Гл. 111. Аналитические многообразия	161
Лемма 3. Если существует такое открытое под-
множество U с X, что р~хр (U) = X и U/Rv — много-
образие, то факторпространство X/R также является
многообразием.
Доказательство. Каноническое отображение
a: UlRu-^XIR — гомеоморфизм. Если мы докажем
теперь, что р : X —*¦ U/Rv — корегулярный морфизм, то,
перенеся структуру аналитического многообразия
с UlRu на X/R, мы превратим факторпростран-
ство X/R в аналитическое многообразие, причем ото-
бражение р будет корегулярно. Рассмотрим следую-
щую коммутативную диаграмму:
(UXX)[)R
рг,/	\рг2
и	х
\
*U\Ru
Отображение (Р | U) ° рг1 = р ° рг2, как легко видеть,
корегулярно. Значит, поскольку проекция рг2 корегу-
лярна, отображение Р является морфизмом, и даже
корегулярным (лемма 11.2).
Комбинируя леммы 1, 2 и 3, мы получаем следую-
щее утверждение.
Лемма 4. Если существует такое открытое по-
крытие {Ui}[^[ многообразия X, что все Ui/Ri — мно-
гообразия, то факторпространство X/R также является
многообразием.
Суть леммы 4 заключается в том, что наша за-
дача о построении структуры многообразия на фактор-
пространстве X/R (при условии корегулярности ото-
бражения р) приобрела теперь локальный характер.
Остальные две леммы будут посвящены решению
этой локальной задачи. Именно: мы покажем, что для
каждой точки х0 е X найдется такая ее открытая ок-
рестность UaX, что фактормножество UlRu обладает
И Ж.-П. Серр

162	Ч. П. Группы Ли	§ 12
структурой многообразия, относительно которой про-
екция U-^-UIRu корегулярна.
Лемма 5. Пусть хй е X. Тогда существуют
открытая окрестность U точки х0, подмногообразие
W a U и морфизм r:U->W, такие, что для любой
точки us U имеет место сравнение г (и) =s u(modR),
причем г (и) — единственный элемент из W, удовле-
творяющий этому сравнению.
Доказательство. Обозначим через .V множе-
ство всех касательных векторов ?е ТХ,(Х), таких, что
(|, 0) е 7V0, *„) (R). Выберем подмногообразие W с X,
проходящее через точку х0, касательное пространство
Тх№' = К к которому является дополнительным к под-
пространству JV cr ТХоХ. Положим S = (FXl)(l R.
Мы утверждаем, что
Г. 2 — подмногообразие в R;
2°. рг2: 2—>Х — наложение в точке (х0, х0).
Сразу заметим, что pr^ R—> X — корегулярный мор-
физм, поскольку морфизм рг2 корегулярен и R — сим-
метричное отношение. Утверждение 1° получается при-
менением теоремы 6 из § 11 к проекции pr^ R-^-X
и вложению /: W'-*-X.
Далее, из определения N ясно, что
Поскольку N Г\К = @), заключаем, что Г<Хо, Ха) (рг2) —
инъекция. С другой стороны, отображение Г(Х1> Хо, (рг2)
сюръективно. Действительно, пусть ч\ е ТХаХ. Возьмем
любой вектор | е ТХоХ (например, Ъ, = ц), такой, что
(|, ^еГ^,^. Представим | в виде i = ii + |2, где
|, е N и |2 е /С. Тогда (|2, r\) e 7"^^ Ло)/?, поскольку
N X {0} cr Га,, Xo)R. Следовательно, элемент (|2, т})
лежит в, пересечении ТXaW {] T(X!h Xo)R. Остается заме-
тить, что TXaW Г) TUa, X«)R = Г^, Ха) 2 (теорема 5 из § 11)
и Г(,„,,0)(Рг2)(^. ^) = 11-
Итак, доказано, что наше отображение есть
локальный изоморфизм в точке (д;0, х0). Поэтому
найдутся такие окрестности Uy и Uo точки х0, что

§ 12	Гл. III. Аналитические многообразия	163
рг2: 2 Q(Ul X ?/i)-> U2 — изоморфизм. Обозначим че-
рез f обратное отображение. A priori морфизм f имеет
вид: f (х) = (г(х), х). Заметим, что U2c:U1 и г{х) = х,
если хе U2(] W. Первое очевидно, а второе вытекает
из того обстоятельства, что точки (х, х), (г (х), х)
лежат в 2f)(t/i X ?/[) и их образы в U2 совпадают.
Положим, наконец,
Множество U, очевидно, является открытым.
Мы должны установить, что
(а)	r(U)<=W,
(б)	г (х) — единственный элемент в W, эквивалент-
ный элементу i(xe U).
Установим это.
(а)	Пусть jce(/. Нужно показать, что r(x)e.U,
т. е. г (х) е U2 и г (г (х) )е(/2П W- Первое очевидно;
что же касается второго, то достаточно заметить,
что r(x)s(/2fir и г (г (х)) = г (х).
(б)	Если у = г (х) и у е W, то (у, x)(=Rf}(WX U).
Но поскольку (r(x), x)^ R(](W X U) и проекция
рГг: /? ГК^7 X U)—>- U инъективна, точки г{х) и у сов-
падают.
Лемма 6. Если тройка (U, W, г) удовлетворяет
условиям предыдущей леммы, то пространство U'IRU
является фактор многообразием.
Доказательство. Морфизм г: U—>W обла-
дает обратным справа (вложение W в U), поэтому
отображение г корегулярно. Рассмотрим следующую
коммутативную диаграмму:
U
Очевидно, отображение а —гомеоморфизм. Остается
перенести структуру многообразия с IF на UiRu-

164	Ч. II. Группы Ли	Упр.
Теорема доказана.
Замечание. Если отношение R регулярно, то фак-
тормногообразие X/R является хаусдорфовым тогда
и только тогда, когда множество R замкнуто в XXX
(это непосредственно следует из леммы 2).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть задана конечная группа G автоморфизмов
многообразия X; обозначим через Ха множество не-
подвижных точек (относительно действия этой группы).
Предположим, что порядок группы G взаимно прост
с характеристикой р поля k. Показать, что
а)	любая точка л:е!° обладает локальной си-
стемой координат, относительно которой действие
группы G записывается линейно;
б)	Х° — подмногообразие в X и
2. Пусть k — совершенное поле характеристики
р Ф 0, и X — произвольное многообразие над полем k.
Доказать, что на топологическом пространстве X су-
ществует единственная структура многообразия (обо-
значим ее Хр) со следующими свойствами:
(i) для всякого многообразия Y множество
Mor(Jp, Y) состоит из всех морфизмов f: X~>Y, та-
ких, что Tx(f) = O для всех xgI;
(п) отображение /: X->k есть Хр-морфизм в том
и только в том случае, когда отображение /?: X-*k
(	L	-\
\где fp {x) = f(x)p! является Х-морфизмом.
Показать затем существование многообразия Хр >
( в~'\р
такого, что \Х ) = X.
Доказав эти утверждения, определить по индук-
ции многообразия Хч, где q = pn, «eZ.
Показать, что Mor(J*, F9) = Mor(X, Y). Равенство
Xq = X имеет место тогда и только тогда, когда q— 1
или X дискретно (т.е. di^ 0)

Упр.	Гл. III. Аналитические многообразия	165
3.	Пусть k — локально компактное неархимедово
поле, Av — его кольцо нормирования, mv = nAv — мак-
симальный идеал этого кольца, kv = Av/mv и q —
= Card^. Обозначим через В единичный шар (AV)N
размерности N и положим Bn = (AJnnAv)N, так что
В = lim Вп. Пусть X — некоторое подмногообразие в В.
Предположим также, что X во всех точках имеет
одинаковую размерность d. Пусть Хп — образ много-
образия X в Вп и сп= CardXn.
а)	Доказать существование таких целых чисел
щ ^ 0 и А > 0, что
с„ = Л • <?"d, n>«0.
б)	Показать, что А = a(mod(^ — 1)), где as
eZ/(^f- 1)Z — инвариант многообразия X, определен-
ный ниже в добавлении 2 (при этом предполагается
также, что d ^ 1).
4.	Пусть X — многообразие и {Хг}г s/— некоторый
конечный набор его подмногообразий. Пусть Р)Х;т^0,
ie/
и пусть хе Р Xt. Предположим, что подпростран-
ства Тх (Х{) сг Тх (X) линейно независимы (иными сло-
вами, сумма их является прямой). Показать, что
найдется карта c = (U,y,n) многообразия X(xeU),
такая, что ф(С/ П Xt) есть пересечение ф (f/) с линей-
ным подпространством пространства kn.
5.	Пусть ft: Xi-^-X (/=1, 2) — трансверсальные
морфизмы и pt: Хх Хх %2 ->^г — проекции. Показать,
что морфизм р2 регулярен (соответственно корегуля-
рен или локально линеен), если таковым является
морфизм fj.
6.	Пусть /: Х-> Y — морфизм многообразий. Пред-
положим, что отображение f открыто и характери-
стика поля k равна нулю. Доказать, что множество
точек пространства X, в которых морфизм / корегу-
лярен, всюду плотно в ,Y.

166	Ч //. Группы Ли	Доб. 1
Добавление 1
ПРИМЕР ХАУСДОРФОВА МНОГООБРАЗИЯ НАД
НЕАРХИМЕДОВЫМ ПОЛЕМ k, ОБЛАДАЮЩЕГО ТОЧКОЙ,
НЕ ИМЕЮЩЕЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
ОКРЕСТНОСТЕЙ, ОТКРЫТЫХ И ЗАМКНУТЫХ
ОДНОВРЕМЕННО
Настоящий пример принадлежит Бергману.
Пусть k — полное неархимедово поле и Л —его
кольцо нормирования.
Допустим, что в кольце А имеется такой ненуле-
вой элемент хеД что факторкольцо А/хА беско-
нечно.
Мы утверждаем, что А как многообразие анали-
тически изоморфно многообразию Л\{0}. Для того
чтобы это установить, мы покажем, что пространства
А и Л\{0} могут быть представлены в виде несвяз-
ного объединения одного и того же числа многооб-
разий, изоморфных А.
Заметим прежде всего, что любой класс смежно-
сти по подгруппе x^dxeZ) аналитически изомор-
фен А. Очевидно, А есть несвязное объединение всех
смежных классов по подгруппе хА. В то же время
Л\{0} есть несвязное объединение следующего набора
смежных классов (по подгруппам х*А, где ц пробе-
гает все целые числа):
1° смежные классы по подгруппе хА, за исклю-
чением самой подгруппы хА;
2° смежные классы группы хА по подгруппе х2А,
за исключением самой подгруппы х2А;
ц° смежные классы группы х*~1А по подгруппе
хУ-А, за исключением самой подгруппы Л4;
Поскольку факторкольцо А/хА бесконечно, оба опи-
санные семейства смежных классов имеют одну и
ту же мощность.

Доб. 1	Гл. III. Аналитические многообразия	167
Приведенную выше конструкцию можно рассма-
тривать также как некую операцию присоединения
точки Р к шару А:
(точке Р соответствует во втором экземпляре шара А
точка 0). Подобная операция присоединения обладает
тремя важными свойствами:
1)	А \}{Р} — хаусдорфово аналитическое много-
образие;
2)	точка Р принадлежит замыканию множества Л;
3)	точка Р не лежит в замыкании ни одного смеж-
ного класса по идеалу т.
Последнее свойство есть следствие того факта,
что точка 0 находится „достаточно далеко" от любого
из смежных классов, которые были введены выше при
разбиении пространства Л\{0}.
Повторим указанную операцию счетное число раз.
Именно: сначала к пространству А присоединим
точку Ро, затем (воспользовавшись аналитическим
изоморфизмом хА ~ А) аналогичным образом присое-
диним точку Р, к пространству хА и склеим простран-
ства А[){Р0} и xA[j{Pl} по их общему открытому под-
множеству хА. Полученное пространство A U {Po} U {Р\)
является хаусдорфовым, так как по свойству 3)
точки Ро и Р, „достаточно далеко" отстоят друг от
друга. Пусть пространство А [) {Ро} U {P,} U . .. (J }
уже построено. Пространство А [} {Ро} U ... U {Р^} [} {
мы определим как результат склеивания пространств
А[}{Р0}[} ...ЩРц} и Jt^MUf/VJ по их общему от-
крытому подмножеству х^+]А. В результате мы при-
ходим к счетной возрастающей последовательности
хаусдорфовых многообразий, таких, что каждое по-
следующее содержит предыдущее в качестве своего
открытого подмножества. Объединение этих много-
образий—множество X — наделяется естественной то-
пологией, относительно которой все его подмноже-
ства A U {Р,;} U ... U {PjJ открыты и обладают исходной
топологией.

168	Ч. //. Группы Ли	Доб. 2
Так как по нашему построению точки Ро,
Pi, ..., Рц, ... находятся „достаточно далеко" друг
от друга, пространство X, получаемое в пределе,
является хаусдорфовым. Покажем, что точка ОеХ
не имеет фундаментальной системы окрестностей, со-
стоящей из множеств, открытых и замкнутых одно-
временно. Если бы такая система существовала, то
одна из ее окрестностей U содержалась бы в про-
странстве А. Поскольку совокупность {хМ} образует
фундаментальную систему окрестностей точки 0, най-
дется такое целое число \i, что x^AaU. Обозначив
через х^А замыкание подмножества хМ с: X, мы ви-
дим, _что, с одной стороны, х»А a U cz А, ас другой,
Р^ е х11А. Тем самым мы получаем противоречие, по-
скольку по построению Р^ ф. А.
Замечание. Мы предполагали существование такого
полного неархимедова поля k и такого ненулевого
элемента хеЛ, что факторкольцо А/хА бесконечно.
Читатель без труда проверит, что поле k обладает
этим свойством в том и только в том случае, когда
выполняется одно из следующих условий:
1)	поле вычетов kv бесконечно;
2)	нормирование поля k имеет недискретную об-
ласть значений.
Заметим, что неархимедовы поля, не удовлетво-
ряющие ни одному из этих условий, исчерпываются
конечными расширениями поля р-адических чисел и
полей вида F((J)), где F —конечное поле.
Добавление 2
СТРОЕНИЕ р-АДИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ
При изучении многообразий над локально ком-
пактным неархимедовым полем k основную роль
играет понятие несвязного объединения.
Пусть X— некоторое аналитическое многообразие;
допустим, что его размерность всюду одинакова и

Доб. 2	Гл. III. Аналитические многообразия	169
равна п(п^О). Предположим также, что простран-
ство X хаусдорфово и непусто.
Символ В(г){х) будет, как и прежде, обозначать
шар в линейном пространстве kn радиуса г (г е R)
с центром в точке х е kn.
Лемма 1. Шар В(г)(х) (г>0) является откры-
тым и компактным подмножеством пространства kn.
Этим свойством обладает, следовательно, любой шар
многообразия X.
Доказательство. 1°. Компактность. Так как
поле k локально компактно, точка х обладает ком-
пактной окрестностью U. Мы можем считать поэтому,
что для достаточно малого ,е е R (е>0) все шары
вида B(s)(x), где s<er, содержатся в U. Такие шары
компактны ввиду их замкнутости. Поскольку абсо-
лютное значение поля k нетривиально, найдется такой
ненулевой элемент ае?, что |а|<е. Преобразование
/ (у) — х + а (у — х) есть гомеоморфизм шара В{г)(х)
на шар B(|a|r)(jc), что и доказывает компактность
первого шара.
2°. Открытость. Для того чтобы показать, что мно-
жество В(г){х) открыто, приходится существенно поль-
зоваться неархимедовостью поля k. Пусть у е В (г)(х).
Мы утверждаем, что В {г) (у) = В{г)(х). (Это, в част-
ности, означает, что шар В (г) (х) — окрестность точки
у.) Поскольку х е В {г) (у), нам достаточно в силу
симметрии доказать включение В (г) (у) с: В (г) (х).
Пусть 1ЕЙ(г)(у), тогда
так что геВ(г)(х), как и утверждалось.
Замечание. Подобными рассуждениями можно уста-
новить следующий факт. Пусть В{ и В2 — шары ра-
диусов г\ и г2 соответственно, причем ri<Jr2. Тогда
возможны лишь два случая: либо шар В\ содержится
в шаре В2, либо не пересекается с ним.
Лемма 2. Пусть В — некоторый шар в простран-
стве kn, и пусть U — открытое и замкнутое подмно-

170	Ч. II Группы Ли	Доб. 2
жество этого шара. Существует такое положительное
число г, не превышающее радиуса шара В, что мно-
жество U представляется в виде несвязного объеди-
нения конечной совокупности шаров радиуса г.
Доказательство. Поскольку множество U от-
крыто, оно может быть представлено в виде объеди-
нения некоторой совокупности шаров. Но так как
множество U замкнуто и лежит в В, оно является
компактным. Следовательно, упомянутую выше сово-
купность можно считать конечной, а ввиду предыду-
щего замечания — даже несвязной. Тот факт, что все
шары могут быть выбраны одного радиуса, почти оче-
виден, так как каждый шар радиуса s может быть
(в силу замечания и леммы 1) представлен в виде
конечного несвязного объединения шаров любого ра-
диуса s' < s.
Замечание. Пусть В — некоторый шар многообра-
зия X, и пусть U — открытое и замкнутое подмноже-
ство этого шара. Из доказанной леммы 2 непосред-
ственно вытекает, что U есть несвязное объединение
конечного числа шаров.
Теорема 1. Следующие условия эквивалентны:
A)	многообразие X паракомпактно;
B)	многообразие X представляется в виде несвяз-
ного объединения шаров.
Доказательство.
Импликация B)=фA) очевидна, так как несвязное
объединение компактных пространств паракомпактно.
Докажем, что A)=#>B). Покажем вначале, что про-
странство X обладает локально конечным покрытием,
состоящим из шаров. Так как X — многообразие, оно
покрывается некоторой совокупностью шаров {U)}leL.
По условию в это покрытие можно вписать локально
конечное открытое покрытие {^н}^еД1. Пользуясь из-
вестными теоремами общей топологии, впишем в это
покрытие локально конечное замкнутое покрытие
{№v}v e N. Пусть <р: М —*¦ L и ¦$: N -> М — такие отобра-

Л<У>. 2	Гл. 111. Аналитические многообразия	171
жения, что Уц с: ?/ф (ц) и U7vcl/^(v). Для каждого
индекса veiV имеем
Множество Wv замкнуто и лежит в компактном
шаре ?/qn|,(v)> следовательно, оно само компактно.
Поскольку множество Уф(у> открыто, найдется конеч-
ный набор шаров Bv, г> / е /v, лежащих в Уф (v) и по-
крывающих Wv. Воспользовавшись локальной конеч-
ностью покрытия {^ц},, е м, мы можем выбрать ука-
занные шары таким образом, что каждый шар Bv, i
будет пересекаться лишь с конечным числом мно-
жеств Vp,. Таким образом, совокупность шаров
{Bv, f}V6Ejv i e / образует локально конечное покрытие
многообразия X, такое, что любой шар BVi, пересе-
кается лишь с конечным числом шаров из этой сово-
купности.
Построенное покрытие обозначим просто {f/J; e,.
Обозначим, далее, через F(I) множество всех конеч-
ных подмножеств множества /. Для каждого эле-
мента J e F (/) положим
Uj= Л и,п(х\ (J и,).
Очевидно, что
В правой части лишь для конечного числа членов
Ui П Uj ф 0. Каждое множество вида U{\Ui открыто
и компактно; следовательно, и множество Ut П
П /-Х\ U ?//). будучи пересечением конечного числа
множеств U{\Ut, также открыто и компактно. Из
всего сказанного следует, что каждое множество Uj
(если оно непусто) является открытым компактным
подмножеством шара и потому представимо в виде
несвязного объединения шаров. Остается заметить,

172	Ч. П. Группы Ли	Доб. 2
что множества Uj, J^F(I), по построению попарно
не пересекаются. Теорема доказана.
Теорема 2. Обозначим через q число элементов
поля вычетов kv. Предположим, что многообразие X
компактно, непусто и имеет во всех точках одинако-
вую размерность п~^\. Тогда
A)	X есть несвязное объединение конечного числа
шаров;
B)	число шаров, участвующих в представлении
пространства X в виде несвязного объединения, имеет
вычет по модулю (q — 1), не зависящий от выбора
этого представления.
(Следовательно, такое многообразие X опреде-
ляется, с точностью до изоморфизма, элементом
кольца Z/(q— 1)Z.)
Набросок доказательства. Утвержде-
ние A) есть очевидное следствие компактности много-
образия X и теоремы 1.
Что касается утверждения B), то сначала мы осу-
ществим ряд несложных редукций, которые сведут
нашу теорему к некоторому частному случаю. Все
проводимые редукции основываются на следующем
замечании: любой шар можно разбить на ql шаров,
где I — целое положительное число, не изменив вы-
чета числа шаров по модулю q — 1.
Итак, пусть X представлено двумя способами
в виде конечных несвязных объединений шаров
{[/,}(.е/ и {V /}/?=/• Мы должны показать, что
Card (/) == Card (/) (mod (q - 1)).
Шаг 1. Редукция к случаю, когда покрытие
)Bl вписано в покрытие {V/}NE7.
Шаг 2. Редукция к случаю X = Vj и / = {/}. После
этого шага ситуация такова:
а)	X — шар в пространстве kn\
б)	U( — шар в пространстве kn, i e /;
в)	существует набор аналитических изоморфизмов
Ф,-: Ui—>-X, /'е/, таких, что X есть несвязное объе-
динение множеств {ф;?/Л.

Доб. 2	Гл. III. Аналитические многообразия	173
Шаг 3. Редукция к случаю, когда все отображе-
ния ср; задаются сходящимися степенными рядами.
Шаг 4. Редукция к случаю фг = Ь,-°'ф1-, где Lt —
линейный изоморфизм, а -ф,-— аналитический изомор-
физм шара на шар. После этого шага мы можем
считать, что фг = Lt.
Шаг 5. Чуть ниже мы докажем следующее утвер-
ждение. Пусть {/ — шар в пространстве kn и L — ли-
нейный изоморфизм. Тогда существует такое число
г (г > 0), что
1)	LU есть несвязное объединение шаров ра-
диуса s, где s — любое положительное число, не пре-
вышающее г;
2)	число шаров, участвующих в любом таком раз-
ложении, равно степени q.
Посмотрим, как из этого утверждения вытекает
наша теорема. Пользуясь конечностью множества /
и приведенным выше утверждением, мы можем вы-
брать такое положительное число г, что все множе-
ства LiUi представляются как несвязные объединения
шаров радиуса г. Число шаров, участвующих в раз-
биении каждого множества L^Ui, равно q™1, а число
шаров в разбиении всего пространства X (т. е. общее
число шаров) равно qm. Итак,
1 = <7т= 2 q'^ 2 l = Card(/) (mod^-l)),
is/	ie/
что и доказывает теорему в этом частном случае.
Нам осталось установить справедливость сформу-
лированного выше утверждения. Отметим прежде
всего, что число смежных классов по идеалу т?,
[ieZ, ц>0 (т. е. число всевозможных сдвигов этого
идеала) конечно и равно Card (^40/mjJ) = <?ц.
Производя подходящие сдвиги и гомотетии, мы
можем считать, что центром шара U служит точка 0,
U с А" и L e GL (n, Av), при этом, очевидно, LU с Л".
Используя неархимедовость поля k, легко усмотреть,
что шар U, а вместе с ним и множество LU являются

174	Ч. //. Группы Ли	Доб 3
^„-подмодулями модуля Л". Обозначим через h' число
Card(AvlLU). Это число конечно, так как Ы —
= Card (A"l U), а пространство Л„ компактно. Мы
видим, таким образом, что множество Л" есть несвяз-
ное объединение сдвигов подмножества LU.
В силу леммы 2 существует положительное число г,
удовлетворяющее требованию 1) нашего утверждения.
Докажем, что выполняется и требование 2).
Возьмем любое положительное число s<> и пред-
ставим LU в виде несвязного объединения шаров
радиуса s; число их обозначим через h. Используя
представления А" в виде несвязного объединения
сдвигов множества LU, разобьем А" на hh непере-
секающихся шаров радиуса s. Мы должны показать,
что целое число h имеет вид qm, где meZ и т^О.
Для этого достаточно установить, что таким свой-
ством обладают числа Ы и hh'.
Относительно h' это очевидно. Действительно,
h' — Card{Av/LU), но AiJLU — периодический модуль
над кольцом главных идеалов Av и, следовательно,
разлагается в прямое произведение модулей вида
Ии/т?. Из числа построенных выше шаров радиуса s
выберем тот шар, который содержит точку 0; он, оче-
видно, имеет вид (niJJ)". Следовательно, hh' =
= Card(Avl(mv)n) = (qll)n, что и требовалось доказать.
Замечание. Другое доказательство теоремы 2 (ис-
пользующее аппарат интегрирования дифференциаль-
ных форм) читатель сможет прочесть в новом выпуске
журнала „Topology":).
Добавление 3
ТРАНСФИНИТНАЯ р-АДИЧЕСКАЯ ПРЯМАЯ
В связи с теоремой 1 стоит заметить, что суще-
ствуют непаракомпактные хаусдорфовы многообразия
над локально компактным неархимедовым полем k.
') См. Серр 11].— Прим: перев.

Доб. 3 Гл. III. Аналитические многообразия 175
Мы приведем здесь пример такого многообразия,
принадлежащий Бергману.
Мы построим индуктивную систему пространств
{Ху}, индексы которой пробегают первое несчетное
(вполне упорядоченное) множество. Индуктивный
предел lim Ху даст нам искомое непаракомпактное
многообразие.
В качестве многообразия Ху мы возьмем экземпляр
кольца нормирования Л^поля k. Отображения Х6—>Ху
для б< у мы определим трансфинитной индукцией по y-
Выберем фиксированный простой элемент я
кольца Av.
1°. v = 0- Условие 6<v в этом случае бессодержа-
тельно.
2°. y = y'+ 1, где у' — некоторое порядковое число.
Отображение Ху -> Ху есть по определению умно-
жение на элемент я. Для производных индексов 6<y
определим отображение Х&->Ху как композицию
Хь —> Ху' —* Ху.
3°. у ~- предельное порядковое число.
Пусть Yv = lim X&. Пространство Yv есть объеди-
б< у
нение счетного семейства открытых, компактных под-
пространств Хь{6<у); в частности, пространство FY
паракомпактно. По теореме 1 оно есть несвязное
объединение шаров. Число этих шаров объязательно
должно быть счетным, так как несвязное объеди-
нение всегда локально конечно, а в любом локально
конечном покрытии лишь конечное число элементов
этого покрытия может пересекаться с заданным мно-
жеством Хт Поскольку пространство Л\{0} также
может быть представлено в виде объединения счет-
ного числа шаров, существует аналитический изо-
морфизм qpY: Yy-> Л\{0}. Определим для 6<y отобра-
жение Х{,—*Ху как композицию отображений
*б -¦ У у — * Л\{0} с А = Хг
Таким образом, дано полное индуктивное определе-
ние отображений Хь -*¦ Ху F < у).

176	Ч. 11. Группы Ли	Цоб. 3
Многообразие Jf —HmXv обладает следующими
основными свойствами.
1)	Любое счетное семейство {/(„} компактных под-
множест пространства X содержится в некотором
компактном множестве.
2)	Пространство X некомпактно.
Доказательство.
1) Поскольку Kn = {J(Knf]Xy) и поскольку мно-
У
жество Ху открыто в X, существует номер уп, такой,
что Кп с Ху . Выбрав индекс у таким образом,
у
чтобы Уп^У Для всех п, мы видим, что Кп^Ху,
а множество Ху компактно.
2) Некомпактность пространства X очевидна, так
как Ху ф X для любого индекса у.
Мы предоставляем читателю доказать, что локаль-
ное компактное пространство X, обладающее свой-
ствами 1) и 2), не является паракомпактным.

Глава IV
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Как и прежде, k — поле, полное относительно
некоторого нетривиального абсолютного значения.
§ 1. Определение аналитической группы
Пусть множество G наделено одновременно струк-
турой топологической группы и структурой аналити-
ческого многообразия (над полем k). Мы будем назы-
вать G аналитической группой или группой Ли (над
полем k), если
A)	отображение G X G-> G, задаваемое правилом
(я, у)<г~>ху, является морфизмом;
B)	отображение G->G, задаваемое правилом
ху-»лг\ является морфизмом
Замечание 1. Предположим, что G — аналитическая
группа. Тогда
(а)	пространство G хаусдорфово;
(б)	пространство G метризуемо;
(в)	пространство G является полным относительно
левой и правой равномерных структур.
Доказательство.
(а)	Известно (см., например, Бурбаки [4*], гл. 3,
§ 1, п. 2), что пространство топологической группы
хаусдорфово тогда и только тогда, когда пересечение
всех окрестностей единицы е равно {<?}. В нашем
случае это условие выполняется, поскольку простран-
ство G локально изоморфно открытой области в про-
странстве k11.
(б)	Очевидно, что е обладает счетной фундамен-
тальной системой окрестностей. Метризуемость группы
12 Ж--П. Серр

178	Ч. //. Группы Ли	§ 1
Ли G есть следствие этого факта и хаусдорфовости
пространства G (см. Бурбаки [4*], гл. 9, § 3, п. 1).
(в) Достаточно доказать утверждение только для
правой равномерной структуры. Для этого достаточно
показать, что единица группы G обладает окрест-
ностью V, полной относительно индуцированной равно-
мерной структуры (см. Бурбаки [4*], гл. 3, § 3, п. 3).
Пусть (U, ф, п) — некоторая карта в точке е, причем
ф(е) = 0. Выберем такую окрестность V\ элемента е,
что ]/\ • V[ a U. Закон композиции индуцирует (пос-
редством ф) аналитическое отображение
F: ф(У,)
Ясно, что F(y, Q)-F@, 0) = г/- 0 = г/, где i/ф)
Поскольку отображение F аналитично, мы можем
найти такую замкнутую окрестность V czV\ точки е, что
\y\^\F(y, x)-F@,
для всех пар (у, x)e<p(F)X(p(K). На множестве V
возникает кроме первоначальной еще одна равно-
мерная структура, индуцированная (посредством ф)
аддитивной структурой линейного пространства kn.
Мы докажем полноту нашей окрестности V, установив
согласованность обеих структур. По определению
фундаментальную систему окружений правой равно-
мерной структуры пространства V образуют множе-
ства VwczV X V, где
1°. W — окрестность точки е, причем f сТ и
) — шар радиуса е с центром в точке 0;
2°. Vw = {(w -x,x)<=V X V \xe=V, wezW,wxe=V].
С другой стороны, множества
F>0)
образуют фундаментальную систему окружений про-
странства ф(У) относительно равномерной структуры,
индуцированной аддитивной структурой линейного
пространства k". Приведенное выше неравенство озна-
чает, что
А/?сг(ф X ф) Vw cz N2&.
2

§ I	Гл. IV. Аналитические группы	179
Таким образом, мы показали, что две рассматри-
ваемые равномерные структуры пространства V согла-
сованы. Тем самым наше утверждение полностью
доказано, поскольку равномерная структура, инду-
цированная линейным пространством kn, является
полной, а множество V замкнуто.
Примечание. Таким образом, установлено, что левые
и правые равномерные структуры локально согласо-
ваны с равномерными структурами, индуцированными
картами многообразия G.
Замечание 2. Об аксиомах аналитической группы.
(а)	Из аксиомы A) следует, что отображение
у i—> ху при фиксированном х е G есть изоморфизм от-
носительно аналитической структуры многообразия G.
(б)	Аксиома B) есть следствие аксиомы A).
(в)	Из аксиомы B) вытекает, что отображение
х<г->х~1 есть изоморфизм.
Доказательство. Обозначим через qp: G X G-*G
закон композиции группы G, через ц>х: G-> G — ото-
бражение, задаваемое формулой ф^ (у) = ф (я, у), и
через ty: G —*¦ G — отображение х*—>х~1. Пусть Т1ц> и
Г2Ф — первая и вторая частные производные мор-
физма ф (см. гл. 3, § 8).
Утверждение (а) почти очевидно. Действительно,
отображение ф^ является морфизмом, поскольку оно
является композицией морфизма у<—>(х, у) и мор-
физма ф. Далее, обратным к этому отображению
является морфизм ф^-i. Заметим, кстати, что линейное
отображение Тусрх: TyG —> TxyG естественным образом
отождествляется с отображением Т%,У): TyG-*TxyG.
Отсюда, в частности, вытекает, что вторая произ-
водная Т2ц> является изоморфизмом.
Утверждение (б) доказывается следующим обра-
зом. Рассмотрим морфизм 9: G X G ~> G X G, задава-
емый формулой 0 (х, у) — (х, ху) — (х, ф (х, у)). Отобра-
жение 9, как нетрудно видеть, является наложением х).
') В категории групп Ли наложение совпадает с накры-
тием. — Прим. перев.
12*

180	Ч. П. Группы Ли	§ 2
Действительно, в любой точке (х, у) касательное ото-
бражение Т (9) — изоморфизм, поскольку
0
Ф Г2ф
Пусть 0 = 9"'. Тогда а(х, е) — (х, х~[) = (х, фС*:))
для всех .teG, и, следовательно, отображение ij)
является морфизмом.
Утверждение (в) вытекает из соотношения i|J = id0,
которое означает, что ijT1 = if).
§ 2. Простейшие примеры аналитических групп
1. Полные линейные группы. Пусть ^ — некоторая
ассоциативная /г-алгебра с единицей, имеющая над k
конечную размерность. Полной линейной :) группой
над R называется группа Gm{R) обратимых элементов
алгебры R. Мы утверждаем, что Gm(R) — во-первых,
аналитическая группа, а во-вторых, открытое под-
множество в R. Для доказательства последнего нам
достаточно установить, что множество Gm(R) со-
держит некоторую окрестность единицы в простран-
стве R. Но в этом пространстве существует такая
окрестность U точки 0, что ряд 2х" сходится для
всех точек x^U. Очевидно, множество 1/={1 — х | хе?/}
является окрестностью единицы и лежит в Gm(R).
Осталось установить, что группа Gm(R) относитель-
но индуцированной топологии аналитична. Для этого
нужно показать, что закон композиции Gm{R) X Gm(R)-+
->Gm{R) есть аналитическое отображение. Но это оче-
видно, так как в алгебре R умножение билинейно.
В том частном случае, когда R — кольцо эндомор-
физмов EndF конечномерного векторного простран-
ства V над полем k, группа Gm(R) называется пол-
ной линейной группой пространства V и обозначается
1) В оригинале „general linear group". — Прим. перев.

§ 2	Гл. IV. Аналитические группы	181
GL (V). Если V — kn, мы будем писать GL (n, k) вместо
GL (V). Каждому элементу а е GL (n, k) соответствует
квадратная обратимая матрица я-го порядка. Поэтому
группу GL(n, k) называют также полной линейной
группой матриц п-го порядка над k.
Предположим, что поле k неархимедово; обозначим
через А его кольцо нормирования. Пусть а = (аа) е
<^GL{n, k). Следующие условия эквивалентны:
1)	матрица а определяет автоморфизм простран-
ства А";
2)	(а) коэффициенты atj лежат в кольце А;
(б) определитель матрицы а — обратимый элемент
кольца А.
Множество всех матриц а е GL (n, k), удовлетво-
ряющих этим условиям, обозначим GL {п, А). В силу
условия 2) множество GL (п, А) открыто и замкнуто
в множестве всех матриц с коэффициентами в А.
Следовательно, это множество является также откры-
тым и замкнутым в пространстве End(?"). Согласно
условию 1), множество GL(n, А) образует группу.
Ввиду сказанного выше эта группа аналитична. Мы
будем называть ее полной линейной группой матриц
порядка п над А.
Предположим теперь дополнительно, что поле k
локально компактно. В этом случае GL(n, A) — от-
крытая компактная подгруппа группы GL{n, k).
В добавлении 1 нами будет доказана следующая
Теорема. Группа GL(n, А) — максимальная ком-
пактная подгруппа группы GL (n, k). Всякая другая
максимальная компактная подгруппа этой группы
сопряжена с GL{n, A).
2. Индуцированные аналитические группы. Пусть
G — аналитическая группа, Я —топологическая группа
и i: H -> G — непрерывный гомоморфизм. Предпо-
ложим, что пара (Я, i) удовлетворяет условию (Im)
(см. гл. 3, § 11). Группа Я является многообразием
с индуцированной структурой. Мы утверждаем, что
Н — аналитическая группа (относительно этой струк-

182	Ч. П. Группы Ли	§2
туры). В самом деле, пусть фо и фн-законы ком-
позиции в группах G и Я соответственно. Диаграмма
НХН —-> Я
tXi\
i
¦i	¦i
GXG —-> G
очевидно, коммутативна. Композиция ф0 ° (ixi) — мор-
физм, а следовательно, и отображение фя —тоже
морфизм, поскольку морфизм / регулярен. Аналитич-
ность отображения ф#, как отмечалось выше, выра-
жает в точности тот факт, что Я — аналитическая
группа.
Замечания. 1. Проверку того, что пара (Я, i) удо-
влетворяет условию (Im), достаточно проделать только
в одной точке еИ (единице группы Я). В самом деле,
пусть условие (Im) выполнено в ен. Рассмотрим
произвольный элемент ЛеЯ и его образ g = i(/г).
Введем два отображения ф: Н-+Н и •§'• G->G, по-
ложив ф(х) = /г • х и if (у) = g • у. Очевидно, <f(h) = eH,
<f>(eQ) = g и г = г|з°/°ф. Далее, композиция г|зоi удо-
влетворяет условию (Im) в точке еИ, так как if> — ана-
литический изоморфизм, а отображение i удовлетво-
ряет условию (Im) в точке ен._ Но поскольку ф — гомео-
морфизм, отображение i удовлетворяет условию (Im)
также в точке /г.
2.	Как мы знаем, пара (Я, i) удовлетворяет усло-
вию (Im), если i ~ локальный гомеоморфизм (см. гл. 3,
§ 11). Если, кроме того, / — эпиморфизм, причем k = R
или С, то мы говорим, что группа Я накрывает
группу G.
3.	Подгруппы Ли !). Пусть заданы аналитическая
группа G и ее подгруппа Я, которая в то же время
является подмногообразием группы G. Вложение
') В оригинале „group submanifolds". Заметим, что в оте-
чественной литературе по теории групп Ли подгруппами Ли
часто называют аналитические группы, индуцированные мономор-
физмами, в смысле автора (см. выше). — Прим. ред.

§ 3	Гл. IV. Аналитические группы	183
/: Я -> G есть регулярный гомоморфизм. В силу п. 2
Я —аналитическая группа. В такой ситуации мы будем
говорить, что Н — подгруппа Ли группы G.
Замечание. Подгруппа Ли является замкнутым
подмножеством объемлющей аналитической группы.
Для доказательства этого факта достаточно учесть
два хорошо известных факта:
а)	любое подмногообразие локально замкнуто
в объемлющем многообразии;
б)	локально замкнутая подгруппа топологической
группы всегда замкнута (см., например, Бурбаки [4],
гл. 3, § 2, п. 1, предложение 4).
§ 3. Локальные группы1)
Топологической локальной группой называется
топологическое пространство X, снабженное отмечен-
ным элементом е е X, открытой окрестностью U cz X
этого элемента и парой отображений qp: U X U -*¦ X
и г|з: U->U, таких, что
A)	в некоторой окрестности V\ cz (J точки е вы-
полняется тождество х = ($(х, е) = ф(е, х);
B)	в некоторой окрестности У2 с: {/ точки е вы-
полняется тождество е = (р(х, ty (х)) ~ <p(ty(x), x);
C)	для некоторой окрестности V3czil точки е выпол-
няется включение ф (F3 X V3) cz U, причем ф (х, ф (у, г)) =
= ф(ф(х, у), z), где х, у, г —любые элементы окрест-
ности У3.
Мы будем говорить о строгой локальной группе,
если равенства A), B), C) имеют место всякий раз,
когда определены обе их части.
Сузив окрестность U, мы всегда можем локаль-
ную группу превратить в строгую локальную группу.
В дальнейшем, если это не вызовет недоразуме-
ний, мы часто будем писать ху и х~1 вместо ф(х, у)
и г|з (х) соответственно.
Пусть X и Y — две локальные группы. Локальным
гомоморфизмом /: X	> Y называется непрерывное
') В оригинале „group chanks". — Прим. ред.

181	Ч. П. Группы Ли	§4
отображение f: U -*¦ Y, где U — окрестность точки ех,
такое, что f{ex) — ey и f{x-y) = f(x)-f(y) B некото-
рой окрестности единицы ех.
Два локальных гомоморфизма f, f: X	>Y
назовем эквивалентными, если они совпадают в неко-
торой окрестности точки ек.
Две локальные группы X и Y называются экви-
валентными, если существуют такие локальные гомо-
морфизмы f: X	>Y и g: X	>Х, что произ-
ведения f°g и g°f эквивалентны тождественным
отображениям idK и idx соответственно.
Аналогичные определения можно дать в аналити-
ческом случае. Для этого надо все пространства
считать многообразиями, а все отображения — мор-
физмами.
Пример. Пусть G —топологическая группа и X — от-
крытая окрестность единицы е с очевидной структу-
рой локальной группы. Локальная группа X эквива-
лентна топологической группе G.
Может возникнуть вопрос: всякая ли локальная
группа эквивалентна топологической группе? Поло-
жительный ответ можно дать для двух типов локаль-
ных групп: для конечномерных аналитических и для
метризуемых локально компактных (см. Якоби [1]).
Однако ответ отрицателен в случае банаховых локаль-
ных аналитических групп (см. Эст и Кортхаген [1]).
§ 4. Продолжение локальных подгрупп
Пусть G — топологическая группа и X — некоторое
ее подмножество, содержащее единицу е. Мы ска-
жем, что X — локальная подгруппа группы G, если
у точки е найдется такая окрестность U в X, что
ху е X и г'е! для любых элементов х, i/g U.
Пусть X — локальная подгруппа группы G. Рас-
смотрим множество N всех элементов g e G, для
каждого из которых существует такая окрестность U
точки е, что U Q X = U f| g~*Xg. Ясно, что JV — под-
группа группы G, содержащая некоторую окрест-
ность единицы (пространства X).

§ 4	Гл. IV. Аналитические группы	185
Обозначим через i: N->G гомоморфизм вложе-
ния.
Теорема 4.1. Пусть F = {U (]N \U — окрестность
точки е в X]. Тогда
A)	Ж удовлетворяет аксиомам базы фильтра ок-
рестностей единицы, согласованной с групповой струк-
турой в множестве N;
B)	относительно топологии, которую <ff опреде-
ляет в N', отображение i непрерывно; оно устана-
вливает эквивалентность локальных групп N и X.
Доказательство.
A)	Проверим аксиомы (GV'j), (GV'n), (GVrIU) (см.
Бурбаки [4*], гл. 3, § 1, п. 2).
Выше было замечено, что некоторая окрестность
пространства X содержится в N. Мы можем поэтому
считать, что все рассматриваемые окрестности еди-
ницы пространства X лежат в N. Возьмем произволь-
ную окрестность U е 3". Мы должны доказать сле-
дующие три свойства:
а)	существует окрестность V е 3", такая, что
V -V czU;
б)	существует окрестность V е <^~, такая, что
У cz U;
в)	для любого элемента g e N найдется окрест-
ность Уе^", такая, что VagUg'1.
Первые два утверждения суть очевидные след-
ствия того факта, что отображения (х, у)>—>х-у и
х *—> х'1 непрерывны в G, а следовательно, и в X.
Утверждение в) вытекает из определения множе-
ства N.
B)	По определению топологии в группе N отобра-
жение i является локальным гомеоморфизмом про-
странств N и X в окрестности точки е. В частности,
отображение /: N-* G непрерывно в единице, а зна-
чит, и всюду (см. Бурбаки [4'], гл. 3, § 2, п. 8).
Теорема доказана.
В качестве следствия доказанной теоремы полу-
чаем, что любая локальная подгруппа эквивалентна
топологической группе.

186	Ч. //. Группы Ли	§ 4
Замечание. Отображение i: N-*i(N), вообще го-
воря, не является гомеоморфизмом. Например, если
X = {е}, то N есть G с дискретной топологией.
Предположим теперь, что G — аналитическая группа
и X — ее локальная аналитическая подгруппа. По-
скольку X — подмногообразие в G, а N и X локально
гомеоморфны в единице eN, пара (N, i) удовлетво-
ряет условию (Im) в точке eN, а значит, и всюду
(см. § 2, п. 2).
Замечание. Таким образом, группа N однозначно
наделяется структурой аналитической группы, отно-
сительно которой вложение i становится регулярным
морфизмом. В частности, локальные аналитические
группы N и X эквивалентны.
Рассмотрим более подробно случай архимедовых
полей: k = R или С.
В этом случае N локально связна, так что связ-
ная компонента Н единицы в N является открытой
и замкнутой подгруппой Ли группы N. Мы будем
говорить, что Я — аналитическая группа, порожден-
ная локальной подгруппой X. Предположим, что
образ i(H) замкнут в G. Мы утверждаем, что ото-
бражение i в этом случае является гомеоморфизмом,
т. е. на самом деле Н — это подгруппа Ли группы G.
Действительно, множество i(H) замкнуто в G и по-
тому является пространством Бэра. Далее, группа Я
локально компактна и связна и, следовательно, пред-
ставима в виде объединения счетного числа компак-
тов. Наше утверждение свелось, таким образом,
к следующей лемме.
Лемма 1. Пусть А и В — две топологические
группы. Предположим, что
A)	группа А локально компактна и представима
в виде объединения счетного числа компактов;
B)	группа В — пространство Бэра;
C)	i: А-*-В — непрерывный изоморфизм.
Тогда i является гомеоморфизмом.
Лемма 1 вытекает в свою очередь из следующей
леммы.

§ 5	Гл. IV. Аналитические группы	187
Лемма 2. Предположим, что
A)	А — локально компактная топологическая
группа, представимая в виде объединения счетного
числа компактов]
B)	В — пространство Бэра;
C)	группа А транзитивно и непрерывно действует
на В (обозначим это действие через ср: А X В -+ В).
Тогда для каждого элемента b e В отобраоюе-
ние ф индуцирует гомеоморфизм факторпространства
A/Nb на В, где Ыь —стационарная подгруппа точки b
Доказательство. См. Бурбаки [5], Ch. 7,
арр. 1).
§ 5. Однородные пространства и орбиты
Пусть G — группа Ли и Я — ее подгруппа Ли.
Рассмотрим пространство левых смежных клас-
сов G/H. Оно определяется как факторпространство
группы G по отношению эквивалентности
R = {(х, !/)eGXG| х-1 у е= Я}.
Теорема 1. Отношение эквивалентности R ре-
гулярно. Таким образом, пространство G/H одно-
значно наделяется структурой аналитического мно
гообразия, относительно которой каноническое ото-
бражение п: G -*¦ G/H является корегулярным
морфизмом.
Доказательство. Согласно теореме 3.12.2, мы
должны проверить, что
1)	/? —подмногообразие в G X G;
2)	проекция pr2: R -> G — корегулярный морфизм.
Для доказательства первого утверждения рассмо-
трим отображение р: GXG-+G, определенное фор-
мулой р (х, у) = х~1у. Очевидно, R = р~1Н. Ввиду тео-
ремы 3.11.4 нам достаточно показать, что морфизм р
корегулярен во всех точках. Пусть (х, г/)е.6 X G.
Введем морфизм q>: G -> G X G, определяемый

188	Ч. //. Группы Ли	§5
формулой ф {z) = (jc, xz). Как видно из определения,
Ф (х~гу) = (х, у) и p°<p — \dQ. Следовательно, мор-
физм р корегулярен в точке (х, у) (см. гл. III, § 10).
Для доказательства второго утверждения рассмо-
трим композицию морфизмов
где "ф(х, h) = {xh, x). Очевидно, pr2°i|) есть просто
проекция GXH->G, которая, конечно, является
корегулярным морфизмом. Но тогда морфизм рг2
тоже корегулярен, поскольку ty отображает G X Н
на все R.
Теорема доказана.
Замечания. 1. Каноническое действие группы G на
пространстве G/H аналитично. В самом деле, имеет
место следующая коммутативная диаграмма:
GXG	-> G
idGX я
GX G/H-+G/H
Оба вертикальных отображения этой диаграммы ко-
регулярны, а верхнее отображение аналитично. От-
сюда следует аналитичность нижнего отображения.
2. Предположим дополнительно, что Я —нормаль-
ный делитель группы G. В этом случае G/H — ана-
литическая группа. Для того чтобы убедиться в этом,
достаточно рассмотреть коммутативную диаграмму
G X G—+G
ях я
G/H X G/H -> G/H
из которой следует аналитичность отображения
G/H X G/H-+G/H.
Пусть G — группа Ли, X— аналитическое многооб-
разие и ф: G X Х-+Х — некоторый морфизм. Мы ска-
жем, что группа G действует на X посредством ф,
если

# 5	Гл. IV. Аналитические группы	189
A)	ф(е, х) — х для всех х е X;
B)	cp(g, ф(Л, x)) = q>{gh, x) для всех хеХ и всех
g, h<=G.
(В подобной ситуации мы часто будем писать g (x)
вместо cp(g, *).)
Введем для удобства следующие морфизмы:
Lg: G-+G, h^gh (geG);
Mg. G->G, x^gx feeG);
Фх:, G->X, g>~>gx (x<=X).
Очевидно, Lg и Mg— аналитические изоморфизмы,
причем (fx = Mg° (fx ° Lg-i.
Воспользовавшись последним соотношением, можно
сформулировать следующий принцип однородности.
(ПО) Пусть Р — некоторое локальное свойство.
Тогда ц>х обладает свойством Р в том и только
в том случае, если ц>х обладает этим свойством
(хотя бы) в одной точке группы G.
Зафиксируем точку х0 е X и обозначим через Н
стационарную подгруппу этой точки:
# = {/?. <~G|Ajc0 = *(,}.
Далее, условимся вместо ц>Хс писать просто qp0.
Теорема 2. Предположим, что ф0 — локально
линейный морфизм. Тогда
A)	Н — подгруппа Ли группы G;
B)	индуцированное отображение ф0: G/H -> X —
регулярный морфизм.
Доказательство. Первое свойство вытекает
из определения локально линейного морфизма и тео-
ремы 3.11.4. В силу той же теоремы Кег Tgq>0=Tg(gH).
Отсюда ясно, что отображение Tng(p0 инъективно
и, следовательно, ф0 —регулярный морфизм.
Следствие. Пусть г|з: Gi-* Go — гомоморфизм
аналитических групп, и пусть Д" = Ксг\|з. Тогда если
отображение г|з локально линейно, то
A) К —подгруппа Ли группы G;

190	Ч. П. Группы Ли	§5
B) индуцированный гомоморфизм аналитических
групп ¦ф: GilK.->G2 регулярен.
Теорема 3. Если поле k имеет нулевую харак-
теристику, то морфизм ф0 локально линеен.
Доказательство. Выберем точку goeG,
в которой ранг п касательного отображения Тср0
максимален. Очевидно, ранг отображения Тц>й равен п
и в некоторой окрестности точки g0. Сформулируем
теперь следующее свойство (Pg) точки g^G:
(Pg) существует окрестность U точки g, такая,
что во всех ее точках ранг отображения Ту0 равен п.
Свойство {Pg) локально и выполняется в точке
g = go- Согласно принципу однородности, свойство (Pg)
справедливо для всех точек g^G. Иными словами,
ранг морфизма есть величина постоянная, и по тео-
реме 3.10.3 морфизм локально линеен, поскольку ха-
рактеристика поля k равна нулю.
Теорема 4. Предположим, что группа Ли G
локально компактна и представима в виде объеди-
нения счетного числа компактов, а также что мно-
жество ф0(G) = Gx0 локально замкнуто в X. Тогда
A)	индуцированное отображение ф0: G/H -*¦ Gx0 —
гомеоморфизм;
B)	если морфизм ф0 локально линеен, то Gx0 —
подмногообразие в X и q>Q — аналитический изомор-
физм.
Для доказательства достаточно применить лемму
4.2.
Следствие. Пусть характеристика поля k равна
нулю. Множество Gx0 является подмногообразием
в X тогда и только тогда, когда Gx0 локально замк-
нуто в X.
Приступим теперь к изучению главных расслое-
ний со структурной группой G. Мы будем предпола-
гать, что
1° отображения ц>х взаимно однозначны и регу-
лярны для всех х е X;

§ 5	Гл. IV. Аналитические группы	191
2° заданы аналитическое многообразие В и мор-
физм ф многообразия X на В, такие, что ty(X) = B
и Gx = ty~lty(x) для всех igI
Введем в множестве X отношение эквивалентности
R с= X X X, полагая (у, х) е R в том и только в том
случае, когда y = gx для некоторого элемента geG.
Отображение ф индуцирует непрерывное взаимно
однозначное отображение ф факторпространства X/R
на многообразие В.
Систему (X, ф, G, -ф. В) будем называть расслое-
нием, многообразие X — расслоенным пространством
(или пространством расслоения), группу Ли G —слоем,
а многообразие Б — базой. Иногда для краткости мы
будем писать вместо (X, ф, G, ¦ф, б) просто X.
Теорема 5. Следующие свойства системы (X, ф,
G, ф, В) эквивалентны:
A)	-ф — нерегулярный морфизм;
B)	^ — регулярное отношение эквивалентности и
¦ф — аналитический изоморфизм;
C)	для каждой точки Ъ е= Б существуют такая ее
окрестность Ub и такое аналитическое отображение
ab: Ub->tf\Ub), что г|) ° aft = id^;
D)	для каждой точки b e= Б существуют такая ее
окрестность Ub и такой аналитический изоморфизм
Bb: G X t/ft-^^'t/j,, 'гго
Dа) диаграмма
рг2
4
коммутативна;
D6) Qb(gh, a) ~ gQb(h, а) для любых элементов g,
G	U
Доказательство. Равносильность первых двух
свойств непосредственно вытекает из определений.
Импликация A) =фC) также есть следствие опре-
деления корегулярного морфизма (см. гл. III, § 10,
п. 5 теорема 3.10.2).

192	Ч. II. Группы Ли	§5
Докажем импликацию C)=>D). Определим ото-
бражение В6: GX(/j-^f'(f/i) формулой Qb(g, a)—
t=g°ob{a). Отображение Qb аналитично и отображает
G X Ub взаимно однозначно на -ф1 (t/fo). Легко видеть,
что это отображение удовлетворяет условиям Dа)
и D6). Нам остается показать, что 0^, — аналитический
изоморфизм. Для этого достаточно проверить, что 0й
является наложением в любой точке (g, a)^G X Ub.
Пусть х = 0Й {g, а) = g • ab (а) и а = Mg ° а„ = g ¦ аь_
Морфизм -ф корегулярен в точке х ввиду равенства
i|}°a = idc/. Последнее равенство позволяет также
усмотреть, что Тоа — мономорфизм и ТХХ — прямая
сумма пространств 1т(Гаф) и Ker(r^). Но так как
¦ф" (а) = Gx и так как ух — регулярный морфизм, то
Ker Txty = Tx(Gx) = lm(Teq>x). Заметим, наконец, что
T(g, aH6= ТеУх X Таа.
Суммируя все сказанное, заключаем, что T(g,a)Qb~
изоморфизм.
Импликация D)=фA) очевидна.
Определение. Предположим, что система
(X, ф, G, -ф, В) удовлетворяет эквивалентным условиям
предыдущей теоремы. В этом случае многообразие X
будет называться главным расслоенным простран-
ством со структурной группой G и базой В.
Замечание. Действие группы G на множестве X
записывалось нами слева. Таким образом, определен-
ный нами объект является левым главным расслое-
нием. Аналогичные определения можно сформулиро-
вать для правого действия группы G.
Теорема 6. Пусть G — группа Ли и И — ее под'
группа Ли. Рассмотрим канонический морфизм
п: G-+G/H и морфизм умножения ф: G X Н -> G.
Относительно этих морфизмов группа G есть правое
главное расслоенное пространство со структурной
группой Н и базой G/H.
Это частный случай теоремы 5,

§ 6	Гл. IV. Аналитические группы	193
§ 6. Формальные группы.
Определения и простейшие примеры
Пусть R — коммутативное кольцо с единицей и
R [ [Хи ..., Хп] ] = R [ [X] ] —кольцо формальных степен-
ных рядов от п переменных. Пусть Y = (YU ..., Yn)~
еще один набор п переменных.
Определение. Формальным групповым зако-
ном, (для п переменных) называется система F — (F,)
из п формальных степенных рядов У7,-е R[[X, Y]],
таких, что
A)	F{X, 0) = X и /40, Y) = Y;
B)	F(U, F(V, W)) = F (F (U, V), W).
Приведем некоторые примеры.
1.	Аддитивная группа: Ft (X, Y) = Xi + Yt.
2.	Мультипликативная группа (и = 1): F (X, Y) =
= X+Y+XY. Отметим, что этот групповой закон
получается из обычного закона умножения, если
перенести 1 в 0:
Y + XY,
3. Частный случай группы Витта для простого
числа р (п = 2):
F\(X\, X2, Yu K2) = ^i + -^2.
F2(XU X2, У„ Y2) = X2 + Y2 + ^{Xi + Kf - (Xi + F,)p).
Укажем теперь некоторые элементарные свойства
формальных групп.
(i) Каждый ряд Ft имеет вид
F,(X, Y) = Xi+Yi+ S са, 0ГУ1
1Р1>1
Это легко вытекает из аксиомы 1 формальной группы,
(п) Существует единственный набор ф (X) =
= (ф1Ш, .... ф„Ш), где Vi(X)f=R[[X]], такой, что
ф@) = 0 и
13 Ж.-П. Серр

194	4. It. Группы Ли	§6
Действительно, из того факта, что D2F@) —MRn, сле-
дует существование единственного набора рядов ср(Х),
для которого ф@) = 0 и F (X, <${Х)) = 0 (см. Бурбаки [3*],
гл. IV, § 5, п. 9). Аналогично существует единствен-
ный набор рядов ty(X), удовлетворяющий соотношению
(() ) = 0. Но тогда
= FMX). F{X,
), X),
Замечание, Укажем теперь, где формальные группы
могут представить интерес для нас. Имеются два
важных случая:
1)	R = k, где k — полное поле;
2)	R = А, где А — кольцо нормирования полного
неархимедова поля.
В первом случае мы определим естественный
функтор
Аналитические группы —•> Алгебры Ли
из категории аналитических групп в категорию ал-
гебр Ли. Мы хотим далее определить функтор 5 из
категории алгебр Ли в категорию аналитических
групп, такой, что r°5 = id. Задача построения функ-
тора S — это в точности задача построения аналити-
ческой группы с заданной алгеброй Ли. Нам будет
полезно знать, что над полем нулевой характеристики
категория формальных групп и категория алгебр Ли
эквивалентны:
Алгебры Ли <	-> Формальные группы
Изучение случая 2) окажется полезным при иссле-
довании аналитических групп над полным неархиме-
довым полем k. При этом мы получим следующую
коммутативную диаграмму функторов:
Аналитические 	 Формальные
Группы над k	Группы над k
Формальные
Группы над А

§ 7	Гл. IV. Аналитические группы	195
Оказывается, что всякая аналитическая группа,
рассматриваемая локально, есть в точности формаль-
ная группа над кольцом А.
§ 7. Формальные группы. Формулы
Мы будем использовать символ o(d°^n) для обо-
значения формальных степенных рядов с нулевыми
однородными компонентами степеней, строго мень-
ших п. Символом F (X, Y) мы, если не оговорено
противное, будем обозначать формальный групповой
закон над кольцом R.
1°. F (X, Y) = X + Y + В (X, Y) + о (d° > 3), где
В — билинейная форма. Это непосредственно следует
из основного выражения для закона формальной
группы (§ 6), поскольку коэффициенты с„, „ отличны
от нуля только при |<х|, |р |^1.
Положим
[X,Y] = B(X, Y)-B(Y,X).
2°. Пусть ф(Х)- обратная операция, соответствую-
щая закону F. Тогда
Ф(X) = - X + В (X, X) + о
Действительно, запишем у(Х) в виде
где ф'(Х) —однородная компонента степени /. Имеем
О = F (X, ф (X)) = X + ф1 ДО + о (d°> 2).
Следовательно, ср1(Х)= — X. Используя этот факт,
получаем
0-F(X, фДО) = Х + (-Х + Ф2ДО+ ...) +
+ В(Х, -X +...)+... =ф2ДО
Следовательно, ф2 ДО = В (X, X).
13*

196	Ч. 11. Группы Ли	§ 7
3°. XYX~l=*Y + [X, F) + o(d°>3). В самом деле,
^iX+Y + BiX, У) + ...) +
+ {-Х + В(Х, Х)+ ...) +
+ B(X + Y+ ..., -Х+ ...)+ ...
Введем (это пригодится впоследствии) обозначения1)
для членов высшего порядка ряда XYX~\ Именно:
положим
XYX~l = Y + [X, Y] + 2 4, р*"^.
где |а|>1, |р|>1, |а| + |р|>3.
4°. F!JF = X+[X, F] + o(rf°>3). Доказательство
аналогично предыдущему.
5°. X~*Y~]XY=[X, Y] + o(d°>3).
Доказательство проводится так же, как и для
формулы 3°, с использованием формулы 4°.
6°. Тождество Якоби
[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y}] = 0.
Для доказательства применим тождество Холла
(см. часть I, гл. II, § 1):
(XY, (У, Z)){YZ, (Z, X))(ZX, (X, У)) = 0.
Мы утверждаем, что
(XY, (У,
(Yz, (Z,
(Zx, (X, Y)) = [Z, [X, У]] + о(й0>4).
В силу симметрии достаточно доказать, например,
первую формулу. Для этого заметим, что
Хг = Х + о(#>2) (формула 4°),
(У, Z) = [У, Z] + o (rf° > 3) (формула 5°).
¦) Далее автор часто будет употреблять выражение XY вме-
сто F(X,Y). В частности, XKJT1 - F (F {X, У), ф {X)). - Прим.
перев.

§ 7	Гл. IV. Аналитические группы	197
Следовательно, повторно применяя формулу 5°, по-
лучаем
(Ху, (Y, Z)) = [X, [Y, Z]] + o(d°>4).
Наконец, рассматривая тождество Холла с точ-
ностью до элементов третьего порядка, мы получаем
тождество Якоби.
7°. Возведение в пг-ю степень. Определим по ин-
дукции последовательность {fm(X)}, полагая fo(X) = O
и fm+1(X) = F(X, fm(X)). Эти определения можно рас-
пространить на отрицательные пг, полагая /„, = <P°f_m
для т<0. При этом первоначальное рекуррентное
соотношение останется справедливым. Из индуктив-
ных соображений вытекает, что
Имеет место более общая
Теорема 1 (Лазар). Существует и единственно
семейство степенных рядов
такое, что
A)	Ъ(Х) = Х;
B)	порядок tyt (X) больше или равен i;
C)	для всех m e Z
Доказательство. Единственность решения
этой задачи легко вытекает из свойства C), если при-
менить его к натуральным числам пг—1, 2, ... (за-
метим, что G)""^ для

198	Ч. II. Группы. Ли	§7
Для доказательства существования несколько
видоизменим нашу задачу.
Пусть с самого начала нам задана система F (X, Y)
из п формальных степенных рядов, причем
(а)	F(X, Y) = X + Y + o(d^2),
(б)	F@, Y) = Y.
Соотношения foU) = O и fm+l(X) = F(X, fm(X))
определяют элементы fm (X) для всех т е Z.
Запишем
где аа — отображение Z в произведение R X ... X R =
= R". Покажем, что все отображения аа являются
биномиальными полиномиальными функциями сте-
пени, не превосходящей | а |, иными словами, что су-
ществуют такие элементы oie 7? X ... X R, что
аа{7
i<\a\
Доказав это утверждение, мы тем самым докажем
нашу теорему, так как элементы я^. (Х)= 2 а'аХа
будут удовлетворять требуемому условию. Доказа-
тельство будем вести индукцией по числу [ а |. Пусть
! а | = 0. В этом случае аа = 0, поскольку свободные
члены рядов \т равны нулю.
Пусть |а|^1. Допустим, что для индексов р
с 1Р1<|а| утверждение справедливо. Покажем, что
аа(т) — биномиальный полином (от целого аргумента т)
степени, не превосходящей | а |. Для этого, как из-
вестно, достаточно показать, что (Ааа)(т) = аа(т + 1) —
— аа(т) есть биномиальный полином, степень кото-
рого не больше |а|—1. Пусть
По предположению | y I ^ 1 и | y I +1 б I ^ 2. Далее,
/mtl (X) + х+и (X)+2 cv4*Y (fm (X) f

§ 8	Гл. IV. Аналитические группы	199
Если | а | = 1, то аа (пг + 1) = аа (ш) + 1, что и утвер-
ждалось. Если |а|>1, то из предыдущего равенства
мы видим, что аа(пг + 1) = aa(m) + Sa(m), где Sa(m) —
сумма коэффициентов при Ха в выражениях
cybXy(fm(X)f. Так как \у\^ 1, нам надо брать только
те выражения, у которых |6|<|а|. Рассмотрим сте-
пень (fm (X) f с | 6 |<| а |. Коэффициент при Ха~у в этом
произведении имеет координаты вида 2П^г (т),
V
где btv(m) — координаты коэффициента при X'v в fm(X).
Согласно предположению индукции, &,- (т) — бино-
миальные полиномы степени, не превосходящей iv.
Однако, как легко проверить (см., например, упраж-
нение 2), произведение биномиальных полиномов яв-
ляется снова биномиальным полиномом. Более того,
неравенство 2 *'v = I a I ~ I Y КI а I показывает, что сте-
пень функции И bt строго меньше | а |.
v v
Таким образом, 5а = Ааа есть биномиальный поли-
ном, причем степень его строго меньше | а |. Теорема
доказана.
Следствие. Пусть р —простое число. Имеет
место сравнение fp = typ (mod p). В частности, поря-
док fp (no модулю р) не меньше р.
§ 8. Формальные группы над кольцом полного
нормирования
Пусть k — полное неархимедово поле, Л —кольцо
нормирования и т — максимальный идеал этого кольца.
Пусть F (X, Y) — формальный групповой закон над
кольцом А. Обозначим через G полицилиндр
РоA, .. ., 1) = {(*!, .... Х„)|Х;€=т}.
Определим в множестве G умножение, полагая х • у =
*= F {х, у). Мы утверждаем, что G — аналитическая
группа. Для этого нам нужно установить

200	Ч. П. Группы Ми	§8
1)	ассоциативный закон;
2)	наличие нейтрального элемента: им будет 0;
3)	существование обратной операции: у(х) = х~1,
где ф(Х) — формальный ряд и
F(x, q(x)) = 0 = F(<f(x), х).
Все три утверждения вытекают из соответствую-
щих аксиом формальных групп и следующей леммы.
Лемма. Допустим, что f ^ А[[Хи ..., Хр]\ и
gi^A[[Y]	Yq]}, 1</<р, причем gt@) = 0dAH
всех i. Рассмотрим композицию рядов h = f(g{, ...
. .., gp)e= A[[Yu ..., Yg]]. Тогда для любых хи ...
..., xq e m имеем
Доказательство. См. Бурбаки [2*], Ch. 3, § 4,
п. 5.
Определение. Аналитическая группа G, по-
строенная указанным выше способом, называется
стандартной.
Теорема 1. Всякая локальная аналитическая
группа содержит открытую подгруппу, изоморфную
стандартной.
Доказательство. Пусть G—локальная ана-
литическая группа. Выбрав в окрестности единицы
локальные координаты, мы можем считать, что G —
открытая окрестность точки 0 в пространстве kn.
Умножение в локальной группе G задается набором
степенных рядов F(X, Y), сходящихся в шаре ра-
диуса е. Как и раньше,
F(X, У) = * + К + 2с„.(}ЛпУр,
где |а|^1, ipi^l, a коэффициенты са,0 —векторы
в пространстве k". Посмотрим, как меняется груп-
повой закон при умножении всех координат на мно-
житель цеА. Именно, пусть х, y^G, причем произ-

§ 9	Гл. IV. Аналитические группы	201
ведение z — х • у определено. Положим х' = цх, у' = цу
и z' = [гг. Тогда
Z -X + IJ -
Следовательно, новый групповой закон F^ имеет коэф-
фициенты |а|°|ц|_1 . Выбирая элемент \i с достаточно
большим значением | ц \, мы можем считать, что все
коэффициенты группового закона F^ лежат в Ап и
|ц|е^1, так что все новые ряды сходятся в шаре
радиуса 1. Таким образом, в новой координатной
системе шар РоA,..., 1) является стандартной под-
группой группы G.
Следствие 1. Всякая локальная аналитическая
группа эквивалентна аналитической группе.
Следствие 2. Во всякой локальной аналити-
ческой группе единица группы обладает фундамен-
тальной системой окрестностей, состоящей из откры-
тых подгрупп.
§ 9. Фильтрация в стандартных группах
Сохраним обозначения предыдущего параграфа.
Обозначим через w : k —> R U {<x} нормирование
поля k, т. е. такую функцию w, что
| х | = рда м,
где р — фиксированное вещественное число, 0<р<1.
На элементах x = (xlt ..., хп) е kn мы определим
функцию до (х) = inf (до (Xt)). Для каждого действи-
тельного числа Л^О положим
d = {х е G | w (х) > к},
Gi = {xe=G\w(x)> I}.
Более общим образом, пусть а —идеал кольца А.
Положим
Ga = {х е G | xt e a, 1 < / < п},
G+a = {л: е G | Xi <= а • т, 1 < i < п}.

202	Ч. П. Группы Ли	§9
Таким образом, если ак = {хе A \w(x)^K}, то Gi — G^
И G\ = Gax = Gaym-
Теорема 1. Для любого идеала1) a cz А мно-
жества вида Ga и Gt являются нормальными под-
группами группы G. Сравнение x = y(modGa) (х, z/sG)
равносильно системе сравнений xt =s yt (mod а), 1 ^
Доказательство. Рассмотрим группу G (А/а),
индуцированную групповым законом F на множестве
(т/а)". Сопоставляя каждому элементу-* = (xlt ..., л:„)е
ёш" элемент х = (хи ..., хп) s (m/a)rt, мы получаем
сюръективный гомоморфизм фа: G->G (Л/а). Его ядром
является, очевидно, множество Ga, что доказывает
наше утверждение относительно Ga. Что касается
множества G*, то оно также является нормальной
ПОДГруППОЙ, ПОСКОЛЬКУ Ga=Ga-m-
(Другое доказательство можно получить, исполь-
зуя формулу A) из § 6 и формулы B) и C) из § 7.)
Следствие. Подмножества {G^,} определяют
фильтрацию группы G.
Доказательство. Проверим все аксиомы
фильтрации (см. часть I, гл. II, § 2):
A)	ш@)=оо;
B)	w(x)>0 для всех xeG;
C)	w (xy-1) > inf {да (х), да (у));
D)	w((x, y))^w(x) + w(у).
Аксиомы A) и B) очевидны в силу определения
группы G. Аксиома C) эквивалентна утверждению,
что G^ —подгруппа группы G для любого числа к.
Аксиома D) эквивалентна включению (G^, бц) с Gl+11.
Действительно, пусть jceGj и у е G^. Тогда
') Здесь, по-видимому, имеются в виду замкнутые идеалы а.
Если кольцо А нётерово (что верно, например, для локально
компактлого поля k), то любой идеал кольца А замкнут (см.
Самюэль и Зарисский, Коммутативная алгебра, т. II,
гл. VIII, § 4). — Прим. перев.

§ 9	Гл. IV. Аналитические группы	203
(а)	[х, у] е Gx+il,
(б)	(х, у) = [х, у] (mod Gt+I1).
Свойство (а) очевидно, а свойство (б) является
следствием теоремы 1 и формулы E) из § 7.
Теорема 2. Пусть а и Ь —идеалы кольца А,
такие, что a id Ь id а2. Отображение редукции ц>ъ: G ->
-> G (А/Ь) индуцирует изоморфизм группы Ga/Gb на
аддитивную группу (а/Ь)".
Доказательство. Как видно из формулы A)
§ 6, для любой пары х, i/eG, имеем
F(x, y) = x + y (mod а2).
Наша теорема очевидным образом вытекает теперь
из теоремы 1.
Следствие 1. Пусть К s w (m) (Л ф оо). Тогда
факторгруппа Gk/Gx изоморфна аддитивной группе
(A/mf.
Доказательство. Выберем такой элемент
аел, что да (а) = Я, и положим а = (а). По теореме 2
§ 9 группа Ga/Ga изоморфна группе (a/a • m)". Но
отображение си—>a«a устанавливает изоморфизм
групп Л/m и a/a • т.
Следствие 2. Пусть поле k локально компактно,
и пусть р — характеристика поля А/т. Тогда
A)	Gx/Gt —коммутативная конечная р-группа, если
Яе w (ш) м Я ^= оо;
B)	G/Gjt — (не обязательно конечная) р-группа для
всех К е w (in), Я ^= оо;
C)	G — проективный предел р-групп ("про-р-
группа").
Доказательство. Ввиду локальной компакт-
ности поля k имеем:
(а)	поле Л/m компактно и дискретно, а потому
конечно;
(б)	множество m компактно, так что функция да (х)
достигает на нем минимума в некоторой точке

204	Ч. П. Группы Ли	§ 9
Теперь ясно, что m = (а) и, следовательно,
А является кольцом дискретного нормирования.
Первое утверждение вытекает из следствия 1 и
свойства (а). Второе утверждение есть следствие пер-
вого и дискретности нашего нормирования. Третье
утверждение вытекает из второго.
Применим построенную фильтрацию {GJ к изу-
чению отображения возведения в r-ю степень fT (см.
§ 7). Пусть k = А/т и р — характеристика поля к.
Теорема 3. Предположим, что числа г и р
взаимно просты. Тогда для каждого числа Аеги (т)
(X =Ф оо) отображение fr определяет изоморфизм ана-
литического многообразия Gk на себя.
Доказательство. Вычет числа г в k отличен
от 0, поэтому г — обратимый элемент в кольце А.
Отсюда видно, что ряды fr обратимы в кольце А [[X]}.
Положим 9 = /~. Ряды, входящее в 9, абсолютно
сходятся на множестве G, а лемма из § 8 показывает,
что fr ° 9 = 9 °fr = id. Поскольку fr и 9 отображают
группу GK в себя, fr — биекция на G^. Наконец, про-
изводная отображения fr в любой точке xeG сравнима
по модулю га с отображением г • id и, следовательно,
обратима. Следовательно, fr — наложение и, значит,
является аналитическим изоморфизмом на G^.
Теорема 4. Пусть поле k имеет нулевую
характеристику и р ф 0. Тогда для всех Я е до (ш),
таких, что ^. <Л< оо, отображение fp является
изоморфизмом аналитического многообразия G^ на
Доказательство. В силу следствия теоремы
Лазара
причем порядок ty(X) не меньше двух, а порядок
¦ф'(Х) не меньше р.
Очевидно, w (ха) ^ X ¦ | а |, если х ен G^ и | а | ^ 1.
В частности,

Гл. IV. Аналитические группы	205
(а)	да (Ч> (*)) > А,;
(б)	wW{x))>pk = k + (p-l)
Поэтому fp(Gi) с: GXU1. Для доказательства того,
что fp: Gx-> G^+li — аналитический изоморфизм, выбе-
рем элемент a^G, такой, что ш(а)"=Я, и определим
отображение F: Ап-+Ап формулой F (х) = — fp(ax).
Тогда
ар *
Возьмем такое число reR, 0<г<1, что . , ,
\а \<гр~]. Пусть
"о? и ^
|а|>2	|о|>р
Легко видеть, что | аа |<| а ||а|"' <г' а|"' и
\аа
\Н I
Теорема доказана.
Ниже (см. добавление 2) будет доказано, что
следствием этих условий является абсолютная схо-
димость F и его формального обращения 9 на мно-
жестве Ап. Таким образом, F: А11-* Ап — аналитиче-
ский изоморфизм, откуда непосредственно следует
соответствующее утверждение для отображения
Теорема 5. Пусть G — аналитическая группа
над полем k. Существует открытая подгруппа U, не
содержащая конечных подгрупп, порядок которых
взаимно прост с характеристикой поля.
Доказательство. Поскольку группа G со-
держит открытую подгруппу, изоморфную стандарт-
ной, наше утверждение сводится к теоремам 3 и 4.
Замечание. Теорема 5 утверждает, в частности, что
если характеристика поля k равна нулю, то группа G
не содержит „малых" конечных подгрупп.

206	V. //. Группы Ли	Упр.
В добавлении 3 будут даны некоторые приложе-
ния теоремы 5.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Пусть k — локально компактное поле, и пусть
А — компактная аналитическая группа над k.
а)	Пусть G— конечная группа, порядок которой
взаимно прост с характеристикой поля k. Допустим,
что группа G действует аналитически ') на группе А.
Определим обычным образом множество одномерных
когомологий Я1 (G, А). (Если группа А коммутативна,
то определены все группы когомологий2) H4(G, A).)
Доказать, что множество Hl{G, Л) конечно. [Указание:
использовать структуру многообразия на коциклах.]
Доказать аналогичный результат для групп Н" (G, А),
q^l, в случае абелевой группы Л.
б)	Доказать (используя пункт а)), что имеется
лишь конечное число классов сопряженных конечных
подгрупп группы А заданного порядка (взаимно про-
стого с характеристикой поля k).
2.	Пусть i и /- два положительных целых числа.
а)	Доказать, что произведение ( т 11 т I (как функ-
ция от т) является линейной комбинацией биномиаль-
ных коэффициентов (^). где /, /<й</ + /.
б)	Доказать тождество
kl
[Указание: двумя способами представить произведе-
ние биномов (l+X)m(l + Y)m, где X и Y- две неза-
висимые переменные.]
') Группа G аналитически действует на А, если задан гомо-
морфизм группы G в группу всех аналитических автоморфизмов
группы А.— Прим. ред.
2) Определение когомологий см., например, в книге Серра
12*]. - Прим. ред.

Упр.	Гл. IV. Аналитические группы	207
3. Пусть обозначения те же, что в § 7 (теорема
Лазара). Рассмотрим случай, когда F(X, Y) обладает
свойством
(а)	F(X, F) = X+r + 0(d°>2),
но не обладает свойством
(б)	F@, F) = 0.
Показать, что и в этом случае fm могут быть
I l I ty{, но уже неверно, что
4.	Показать, что лемма 4.2 останется справедли-
вой, если условие A) заменить следующим условием:
(Г) А — отделимая топологическая группа, полная
относительно обеих равномерных структур, причем
ее топология может быть задана счетным семейством
открытых подмножеств. [Указание: имитировать дока-
зательство теоремы Банаха о замкнутом графике.]
5.	Пусть k — локально компактное неархимедово
поле и G — стандартная группа размерности п над k.
Обозначим через dx меру Хаара на аддитивной
группе kn. Показать, что ограничение меры dx на G
определяет левую и правую меры Хаара на G. [Ука-
зание: использовать тот факт, что G — lim GjG\ и что
мера Хаара на группе G есть проективный предел
мер Хаара на конечных группах G/G},.]
6.	а) Пусть F(X, Y) = X+Y + XY-,,мультиплика-
тивный" формальный групповой закон от одной пере-
менной. Показать, что ряды afo, определенные в тео-
реме Лазара, суть просто одночлены X1.
б) Предположим дополнительно, что поле k не-
архимедово и имеет нулевую характеристику; пусть
р — характеристика поля вычетов. Показать равно-
сильность следующих условий:
A)Ы*) = 0;
B) 1 + х — корень р-й степени из единицы (в поле k).
Используя теорему 9.4, доказать, что для таких
элементов х имеет место неравенство

208	Ч. П. Группы Ли	Доб. 1
Показать далее, что если х ф О (т. е. если 1 + х —
примитивный корень р-п степени), то имеет место
равенство.
7. Пусть F и f —два формальных групповых
закона над полем k характеристики р, и пусть хр(Х)- —
формальный гомоморфизм одного закона в другой
(т. е. y(F(X, Y)) = F'(y{X), ф(У))). Предположим,
что все члены первой степени в ф(Х) равны нулю.
Показать, что ф(Х) имеет вид ty(Xp). [Указание: рас-
смотреть дифференциальное уравнение
<р' (X) • D2F (X, 0) = D2F' (Ф (X), 0) • Ф' @)
для доказательства равенства q>'(XY=*0.] Интерпре-
тировать этот результат как разложение гомомор-
физма ф при помощи отображения Фробениуса
F -> F<p) в случае, когда поле k совершенно.
Добавление 1
МАКСИМАЛЬНЫЕ КОМПАКТНЫЕ ПОДГРУППЫ bOL(n.k)
Основная цель этого добавления — доказать тео-
рему, сформулированную в § 2, п. 1.
Пусть k — локально компактное неархимедово поле,
Л — кольцо его нормирования, m — максимальный
идеал кольца Аи G — группа матриц GL(n, A) (neZ,
п>0).
Лемма 1. Пусть L — некоторый А-под модуль
модуля kn. Следующие условия эквивалентны:
A)	модуль L конечно порожден над А и множе-
ство L порождает пространство kn над k;
B)	L — свободный модуль ранга п над А.
Доказательство. Поскольку А — кольцо глав-
ных идеалов, модуль L свободен. Далее, rkAL = п,
так как L порождает kn над k.
Обратное очевидно.
Л-модуль L, удовлетворяющий эквивалентным
условиям леммы 1, называется решеткой в kn.

Доб. I	Гл. IV. Аналитические группы	209
Лемма 2. Пусть Lj, L2, ..., Lr — решетки в k".
Подмодуль L {модуля kn), порожденный модулями
Lu ..., Lr, является решеткой.
Доказательство. Покажем, что выполняется
условие A) предыдущей леммы. Ясно, что множество L
порождает пространство kn над k, поскольку этим
свойством обладает любая решетка L{. Далее, так
как все модули Li конечно порождены над Л, модуль L
также конечно порожден.
Лемма 3. Пусть L — решетка в пространстве kn.
Обозначим через Kl подгруппу группы GL(n, k),
которая переводит в себя решетку L. Существует
такой элемент d^GL(n, k), что /Ci = aGa~1; в част-
ности, группа Kl компактна и открыта.
Доказательство. В силу условия B) леммы 1
найдется такой элемент aeGL(n, k), что a(An) = L.
Из определения группы GL(n, А) ясно, что 7*Ci = aGa.
Как было отмечено выше, группа G компактна и
открыта (в GL(n, k)), следовательно, такими же свой-
ствами обладает и группа Kl-
Лемма 4. Пусть L и U — две решетки в kn, при-
чем Kl с: Ки- Тогда Kl = Ки и L' = KL для некото-
рого А е k".
Доказательство. Очевидно, что у решеток
вида L и KL (A e А*) группа Kl одна и та же. По-
этому мы можем считать, что U с L и U ф m • L
(идеал m главный!). Пусть V = LfmL и V' = (L' + mL)/mL.
По предположению К' —ненулевое линейное подпро-
странство пространства V (над полем вычетов Л/т).
Далее, поскольку Kl^Kl', решетка U инвариантна
относительно группь f(L, а следовательно, и ее образ V
в пространстве V инвариантен относительно Kl> t- е-
относительно GL(V). Учитывая, что V ф @), мы
получаем V' = V, т. е. U + mL — L. Отсюда, согласно
известной лемме Накаямы, вытекает равенство L = U.
Теорема 1. Пусть Н — компактная подгруппа
группы GL(n, k). Тогда
A) существует решетка М a kn, инвариантная отно-
сительно всех элементов группы. Я;
14 Ж.-П. Серр

210	Ч. II. Группы Ли	Доб. 2
B) существует матрица ctsGL(n, k), такая, что
Я era- Ga-\
Доказательство. Возьмем для начала любую
«-мерную решетку L, например L = An. Группа HL =
= Я[\Kl состоит в точности из тех элементов
группы Я, которые переводят в себя решетку L. Мно-
жество K.L (соответственно HL) открыто в GL(n, k)
(соответственно в Я), а значит, факторгруппа HjHL
компактна и дискретна (т. е. конечна). Итак, имеется
лишь конечное число множеств вида oL (a e Я).
Пусть М — подмодуль Л-модуля kn, порожденный се-
мейством {oL}a е д. В силу леммы 2 модуль М является
решеткой, которая, разумеется, инвариантна относи-
тельно группы Я.
Второе утверждение нашей теоремы немедленно
вытекает из первого и леммы 3.
Теорема 2. A) G = GL(n, А) —максимальная
компактная подгруппа группы GL(n, k).
B)	Все максимальные компактные подгруппы
группы GL(n, k) сопряжены группе G.
C)	Всякая компактная подгруппа группы GL(n, k)
содержится в некоторой максимальной компактной
подгруппе.
Доказательство. Допустим, что группа G со-
держится в компактной подгруппе Я с GL (n, k). На
основании теоремы 1 найдется решетка М, такая, что
Я с= Км- Но тогда G а К.м\ более того, G = Км ввиду
леммы 4. Итак, G — максимальная компактная под-
группа.
Утверждения B) и C) нашей теоремы являются
следствиями этого факта и теоремы 1.
Добавление 2
НЕКОТОРЫЕ ЛЕММЫ О СХОДИМОСТИ
Рассмотрим систему F(X) = (Ft (X)) из п формаль-
ных степенных рядов от п переменных, такую, что
каждый ряд Ft (X) имеет вид
Ft{X)~X,- S alaXa = Xt-%(*)¦
I a I ^ 2

S
Доб. 2	Гл. IV. Аналитические группы	211
Как мы уже вицели при доказательстве теоремы
об обратной функции, система./7 формально обратима,
причем обратная формальная система 9(Х) = (9г(Х))
имеет вид
е, (*) = *
Пусть reR, 0<г<1. Рассмотрим два условия
(Аг) | а1а | < Нa I для всех а;
(В,)|йр|<г|ри для всех р.
Лемма 1. (Аг) =Ф F абсолютно сходится в шаре Ап.
(Вг) ^ 9 абсолютнолходится в шаре Ап.
Доказательство. Достаточно заметить, что
2
IVl>0
Лемма 2. (АГ)Ф#(ВГ).
Доказательство. Поскольку условия симмет-
ричны, покажем, например, что (Аг)=ф(Вг). Применим
индукцию по | р |. Предположим, что для всех индек-
сов Р' с 1Р'|<|р| наше утверждение справедливо.
Имеем
Сравнивая коэффициенты при X', мы видим, что
Ь(, есть суммарный коэффициент при Х^ в <р2(9(Х)).
В силу неархимедовости основного поля достаточно
проверить, что для всех одночленов вида ЬХ^, встре-
чающихся в %(Q(X)), выполняется неравенство
K'PI-1. Но
2
|al>2
где 9(Z)a = 9,(X)a« ... Qn(X)a". Все одночлены, входя-
щие в 9 (Х)а, имеют вид
14*

212	Ч. П. Группы Ли	Доб. 3
Нас интересуют члены с 2y«, / = P- По предположе-
нию индукции
i.l 1 !	i,l
Требуемая оценка коэффициентов при X® в q>i(Q(X))
непосредственно вытекает теперь из неравенства
Следствие. (Ar)=^(F — аналитический изомор-
физм А" на А").
Доказательство. Ввиду леммы 2 имеют место
оба условия (Аг) и ВЛ). По лемме 1 для всех х е= А11
имеем
Добавление 3
ПРИМЕНЕНИЯ § 9. ФИЛЬТРАЦИЯ
В СТАНДАРТНЫХ ГРУППАХ
Теорема 1. Для каждого п>0, «eZ, сущест-
вует такое N > 0, AfsZ, что порядок любой конеч-
ной подгруппы в GL(n, Q) не превосходит N.
Доказательство. Г. Докажем вначале соот-
ветствующее утверждение для группы GL(n, Zp), где
Ър — кольцо целых р-адических чисел, р — любое про-
стое число. По теореме 9.8 § 9 в группе GL {n, Zp)
имеется открытая подгруппа U, не содержащая ко-
нечных подгрупп. Многообразие GL(n, Zp)/U ком-
пактно и дискретно, т. е. конечно. Обозначим через N
его порядок. Для всякой конечной подгруппы
HczGL(n,Zp) имеем Я с GL(n, Zp)/U, поэтому ее
порядок не превышает N.
2°. Сведем нашу теорему к доказанному выше
утверждению. Имеются два существенно различных
способа.

Лоб. 3	Г л IV. Аналитические группы	213
Способ 1. Пусть Я —конечная подгруппа группы
GL (n, Q). Вложим группу GL (n, Q) в группу GL (n, Qp),
так что HczGL(n,Qp). Поскольку группа Я ком-
пактна, мы можем утверждать (см. теорему 1, доба-
вление 1), что некоторая подгруппа, сопряженная Я,
лежит в GL(n, Zp). Следовательно, в силу доказан-
ного выше в пункте 1° порядок группы Я ограничен
некоторым числом Л^.
Способ 2. Читатель без труда проверит, что леммы 1
и 2 из добавления 1 справедливы для k = Q и А = Z.
Нам потребуются также следующие утверждения.
(а)	Пусть L — решетка в Q". Подгруппа
{aeGt(n, Q)|a(L) = L}cGL(tt, Q)
сопряжена подгруппе GL(n, Z).
(б)	Для каждой конечной подгруппы Я с GL(n, Q)
существует решетка М, инвариантная относительно
группы Н (т. е. h(M)cM, ЛеЯ).
Утверждение (а) доказывается в точности тем же
способом, что и лемма 3 из добавления 1. Докажем
утверждение (б). Возьмем для этого произвольную
решетку L и построим с ее помощью решетку М =
= {aL}ae5H, порожденную решетками вида oL. Из
построения ясно, что каждый элемент группы Я ото-
бражает решетку М на себя.
Комбинируя доказанные утверждения, нетрудно
усмотреть, что любая конечная подгруппа Я с:
с GL {n, Q) сопряжена некоторой подгруппе, лежащей
в GL(n, Z).
Таким образом, мы можем считать, что HczGL (n, Z).
Замечая, что GL{n, Z)aGL{n, Zp), мы сводим нашу
теорему к разобранному выше случаю.
Из доказательства теоремы 1 мы можем извлечь
явную оценку числа N, оценивая порядок группы
GL(n, Zp)jU для каждого простого р. Рассмотрим два
случая.
1) р нечетно. В этом случае 1>—^Т > и в каче-
стве группы U молено взять группу

214	V. //. Группы Ли	Доб. 3
Тогда GL{n, Zp)/U = GL(n, Fp), где Fp-поле из р
элементов. Мы можем явно вычислить порядок
группы GL(n, Fp). Он равен числу различных упоря-
доченных базисов в Fp, т. е.
2) р = 2. Имеем 2>-—у, так что можно поло-
жить U = G2. Тогда GL(n, Zp)/U = GL (n, Z/4Z). Имеет
место точная последовательность
О -> BZ/4Z) -+GL{n, Z/4Z) -* GL (n, Z/2Z) -> 1,
позволяющая вычислить порядок группы GL (n, Z/4Z);
он равен
2B"-1)B"-2)...B"-2"-1).
Рассмотрим подробнее случай п = 2.
1)	р нечетно. Имеем (р2—1)(р2 —р) = (р — 1Jр X
Х(р+ 1). В силу нечетности р имеют место сравнения
а)	р2 - 1 = 0 (mod 8), (р2 - 1) (р2 - р) = (mod 16);
б)	(p-l)p(p+l)^0(mod3).
Следовательно, (р — IJ р (р + 1) = 0 (mod 48). При
р = 3 имеем (р- 1Jр(р+ 1) = 48.
2)	р = 2. В этом случае 222B2-1)B2-1) = 96. Та-
ким образом, наилучшей оценкой порядка конечных
подгрупп группы GL B, Z), которую дает приведенный
выше метод, является число 48. Фактически эту оценку
можно несколько улучшить. Заметим прежде всего,
что любая конечная подгруппа группы GL (n, Q) со-
держится в группе Go всех матриц с определите-
лем ± 1. Имеет место точная последовательность
l-*SLB, Q)-*G0->Z/2Z->0.
Отсюда видно, что оценки для группы Go можно полу-
чить из соответствующих оценок для группы SL (n, Q),
умножая их на 2.
Докажем следующее
Предложение. A) Всякая конечная подгруппа
группы SL B, Q) содержится в группе вращений пло-
скости и потому является циклической.

Доб. 3	Гл. IV. Аналитические группы	215
B) Порядок конечных циклических подгрупп
группы SLB, Z) может равняться лишь одному из
чисел 1, 2, 3, 4, 6.
Доказательство. A) Пусть задана конечная
подгруппа Я с= SL B, Q). Возьмем любую положи-
тельно определенную билинейную форму В {х, у)
в пространстве Q2. Положим В (х, у)= ^ В {ах, оу).
_	а е н
Очевидно, новая форма В положительно определена
и инвариантна относительно группы Я. Поскольку
определитель любого элемента из Я равен единице,
группа Я является подгруппой группы вращений пло-
скости R2 относительно скалярного произведения,
определенного формой В.
B) Пусть aeSL {n, Q) — некоторый элемент конеч-
ного порядка. Расширим основное поле Q до поля
комплексных чисел С и приведем матрицу а к жор-
дановой форме. Имеются две возможности.
(i) Жорданова форма имеет вид
/и Г
\0
Простая проверка показывает, что в этом случае эле-
мент а не может иметь конечного порядка,
(и) Жорданова форма имеет вид
,0 у)'
Обозначим через N порядок элемента а. Очевидно,
^ = vN—\. Далее, числа ц и v являются корнями
характеристического многочлена матрицы а и, следо-
вательно, лежат в квадратичном расширении поля Q.
При этом числа ц и v либо оба содержатся в поле Q,
либо являются комплексно сопряженными. Учитывая,
что ц и V —корни из единицы, мы получаем следую-
щие возможности:
а)	|i = v = 1 или ц — v = — 1;
б)	К — примитивный корень Л/-й степени из еди-
ницы, N >2 и v = п.

216	Ч. //. Группы Ли	Доб. 3
В последнем случае поле Q(n-) есть круговое рас-
ширение поля Q степени q>(N), где ф — функция
Эйлера. Из равенства <p(N) = 2 легко извлечь, что
число N может равняться 3, 4 или 6. Это завершает
доказательство второго утверждения.
Укажем явно элементы четвертого и шестого по-
рядка в группе SL B, Z). Для этого мы возьмем
соответствующее квадратичное расширение K = Q(x)
поля Q и посмотрим, какой матрицей в базисе {1, х}
записывается умножение на элемент х.
1.	Построение элемента четвертого порядка. Пусть
х — примитиЁный корень четвертой степени из еди-
ницы. Умножение на х как линейное преобразование
имеет порядок 4 и записывается матрицей
0	-1
1	О
2.	Построение элемента шестого порядка. Пусь
х — примитивный корень шестой степени из единицы.
Умножение на х имеет порядок 6 и записывается
матрицей
'О -Г
1 1
Пусть k — локально компактное неархимедово поле,
А — кольцо его нормирования, ш —максимальный идеал
кольца А, р — характеристика поля k и q = Card (Л/тп).
Обозначим через до каноническое нормирование поля k
(w: k—>Z|J{oo} и w (k") = Z). Каноническое абсолют-
ное значение в поле k можно определить тремя экви-
валентными способами:
1)	||jc ||= Card (А/хАТ1;
2)	IUI| = <r»w;
3)	умножение на х изменяет меру Хаара в || х \\ раз.
Допустим, что reZ взаимно просто с р. Рас-
смотрим возведение в r-ю степень fr: A*->A*.
Пусть s = Card (Ker/r) —число корней г-н степени из
единицы в поле k.
Теорема 2. Card{A*/Atr) = \\r fl ¦ s.

Доб. 3	Гл. IV. Аналитические группы	217
Эту теорему мы получим как следствие более
общей теоремы об аналитических группах над k.
Пусть G — коммутативная компактная аналитиче-
ская группа над полем k. Положим
hr (G) = Card (Coker /r)/Card (Ker fr).
Как мы увидим ниже, число hr{G) определено (т. е.
числитель и знаменатель написанной дроби конечны).
Теорема 3. Число hr(G) существует и равно
|| г|Г\ где rc =
Доказательство. Предварительно мы уста-
новим три вспомогательных утверждения.
A)	Теорема справедлива, если G = G'K, где G'—
стандартная группа и J,>0.
B)	Теорема справедлива, если G —конечная группа.
C)	Теорема справедлива, если в G существует
группа Ли Я, такая, что теорема верна для Я и
для факторгруппы G/H.
Доказательство этих утверждений проведем в об-
ратном порядке.
C) Рассмотрим коммутативную диаграмму с точ-
ными строками
1 -> И -* G -> G/H -* 1
где Ф1 = /г (на группе Я), ф2 = /г (на группе G), Ф3=/г
(на группе G/H). Следствием этой диаграммы явля-
ется точность последовательности
1 —> Ker ф] -> Ker ф2 —> Ker ф3 —> Coker ф! ->
-* Coker ф2 —>¦ Coker ф3 -*¦ 1 (*)
(см., например, Бурбаки [2*], гл. I, § 1, п. 4). Все
отображения в этой последовательности определены
очевидным образом, за исключением разве что б.
Последнее определяется так. Пусть х" е Ker ф3; вы-
берем представителя xe=G элемента х"(т. е. х" = хН).
Ввиду точности нижней строки xr e Я. Определим

218	Ч. II. Группы Ли	Доб. 3
Ь(х") как образ элемента хг в Сокегфь Читателю
предоставляется проверка корректности этого опре-
деления и точности последовательности (*).
Мы предположили, что для групп Я и G/H тео-
рема 3 справедлива. Поэтому все группы Кегф!,
Кегфз, Сокег фь Сокег ф3 конечны. В силу точности
последовательности (*) отсюда следует, что, во-пер-
вых, группы Кег ф2 и Сокег ф2 конечны, а во-вторых,
справедливо равенство (с = Card)
с (Кег ф,) с (Кег ф2)"! с (Кег Фз) с (Сокег ф1Г' X
X с (Сокег ф2) с (Сокег ф3)~' = 1.
Другими словами,
hr(G) = hr(H)-hr(G/H).
Пусть т = dimfe Я, тогда п — т = dimfe G/H и
Но по предположению
|МГ и
откуда hr{G) = \\r fn, как и утверждалось.
B) Имеет место точная последовательность
1 -* Кег fr -> G —'¦> G -> Сокег fr-*l.
Поскольку группа G конечна, конечны также ядро
Кег/з и коядро Сокег fr; далее,
1 = с (Сокег fr) с (G) с (G) с (Кег /г)"' = hT (G)
1=1к1Г,
так как п = 0.
A) Поскольку доказательство достаточно провести
для достаточно большого числа X & Z, мы можем

Доб. 3	Гл. IV. Аналитические группы	219
Предполагать (см. теоремы 3 и 4 из § 9), что
fr: G^—>• Gx+W(Г) — изоморфизм. Но тогда
с(Кег/г)=1
и
с (Сокег /г) = (^ ^>)" = || г |Г.
Итак, все три утверждения доказаны, остается
применить теорему 8.1.
Упражнение. Пусть <р: G-+G — аналитический эндо-
морфизм группы Ли G, являющийся наложением.
Используя, например, меру Хаара, показать, что
1)	группы Кегф и Сокег ф конечны;
2)	/г9 = с (Сокег <р)/с (Кег ср) = || det 7> ||ч.

Глава V
ТЕОРИЯ ЛИ
Если не оговорено противное, k обозначает поле,
полное относительно нетривиального абсолютного
значения.
§ 1. Алгебра Ли локальной аналитической группы
Пусть F (X, Y) — формальный групповой закон
(над полем k). Как мы видели (см. гл. IV, § 7, п. 1),
F(X, Y) = X+Y + B(X, F) + o(d°>3),
где В (X, У) —билинейная форма.
Положим
[X, Y]P = B(X, Y)-B(Y, X).
Операция [X, Y]F определяет на пространстве k"
структуру алгебры Ли (см. гл. IV, § 7, п. 6). Эту
алгебру мы назовем алгеброй Ли, ассоциированной
с формальной группой F.
Пусть G — локальная аналитическая группа над
полем k. Положим L(G) = % = TeG. Введем в прост-
ранстве о, структуру алгебры Ли. Для этого выберем
на группе G некоторую карту c = (U, ср, п) в точке е.
Закон композиции в локальной группе G определяется
(посредством карты ф) некоторым формальным груп-
повым законом F. Пусть Геф = ф: g —> kn — соответ-
ствующий изоморфизм касательных пространств. Для
любой пары элементов х, у ^ % положим
[х, у]е - Ф ([ф*.

§ 2	Гл. V. Теория Ли	221
Мы утверждаем, что в действительности [х, у]с
не зависит от выбора карты с. Нам понадобится
следующая лемма.
Лемма 1. Пусть G и С — две локальные ана-
литические группы, с и с'—их карты в точках е и е'
соответственно и f: G -> G' — локальный гомомор-
физм. Тогда касательное отображение TJ: g —>• g'
является гомоморфизмом алгебр Ли относительно
операций [ , ]с и [ , ]с„
Доказательство немедленно сводится к следующей
лемме.
Лемма 2. Пусть F(X, Y) и F'(X', Y')-два фор-
мальных групповых закона и f — формальный гомо-
морфизм первого закона во второй. Обозначим
через fx линейную часть отображения f. Тогда
[h(X),h(Y)]F, = fi([X, Y]F).
Доказательство. Согласно формуле 5° (гл. IV,
§ 7), имеем
/ {XT1 f (Г) f(X)f(Y) = [/, (X), f, (Y)]F, + o(<P> 3),
Сравнивая члены второго порядка, получаем искомую
формулу.
Определение. В описанной выше ситуации
линейное пространство д, наделенное канонической
структурой алгебры Ли, называется алгеброй Ли
группы G.
Замечание. Лемма 1 показывает, что указанное
соотношение алгебр Ли локальным группам функто-
риально.
§ 2. Простейшие примеры и свойства
1. Алгебра Ли полной линейной группы. Пусть R —
конечномерная ассоциативная й-алгебра с единицей.
Выше доказывалось (см. гл. IV, § 2, п. 1), что

222	Ч. П. Группы Ли	§2
Gm(R) — аналитическая группа и открытое подмно-
жество в R. Следовательно, TiGm(R)==R. Умножение
в Gm{R) имеет вид
Ему соответствует следующий формальный групповой
закон:
F{X, Y)*»X + Y + XY.
Таким образом, структура алгебры Ли в простран-
стве TiGm(R) задается формулой
[х, у] = ху- ух.
В частности, если R есть кольцо эндоморфизмов End V
конечномерного векторного пространства V, получаем
хорошо известную структуру алгебры Ли.
2. Алгебра Ли прямого произведения групп.
Пусть G\ и G2—аналитические группы. Естествен-
ный изоморфизм линейных пространств Te(Gi X Go)
и TeG\ X TeG2 есть изоморфизм соответствующих
алгебр Ли, т. е.
L(GiX G2) = L(Gl)XL(G2).
В самом деле, пусть ct и с2 — карты групп G\ и
G2 в точках ех и е2 соответственно. Тогда с = С]Хс2 —
карта произведения G\ X G2. Требуемое утверждение
легко вытекает из сравнения операций [ , ]н (/=1, 2)
3. Алгебра Ли подгруппы Ли. Пусть заданы две
аналитические группы G и Я и аналитический
регулярный гомоморфизм f: H-+G. Отображение
L(f): L(H)-+L(G), очевидно, инъективно, так что
L(H) можно отождествить с подалгеброй алгебры L (G).
Это замечание применимо, в частности, тогда, когда
Н — подгруппа Ли группы G и / — соответствующее
вложение.
Рассмотрим подробнее случай, когда характе-
ристика поля k равна нулю.

§ й	Гл. V. Теория Ли	223
Теорема 1. Пусть Нх и Н2 — подгруппы Ли
группы Ли G, и пусть характеристика поля k равна
нулю. Тогда пересечение Нх{\Нг — тоже подгруппа
Ли и L(Hl(]H2) = L(Hl)(]L{H2).
Доказательство. Согласно теореме 4.5.1, мно-
жество (левых) смежных классов GjH\ является мно-
гообразием. Обозначим через ё смежный класс Нх
в GjH[. Группа Я2 действует (слева) в пространстве
G/Я], причем НхаН2 —стационарная подгруппа точки ё.
Но тогда Я, П #2 — подгруппа Ли группы G (см. гл. IV,
§ 5, теоремы 2 и 3). Наконец, L {Н{ Л Я2) отождест-
вляется со своим образом в L(G), который, очевидно,
равен ядру отображения ТеНг2-> ТeGjTeH\ (см. тео-
рему 4.5.2, B)), т. е. пересечению L{Hl)C\L(H2).
Следствие 1. Допустим, что Z-(#i)c:L(#2).
Тогда в некоторой окрестности единицы
Доказательство. Имеем
Те (Я! П Я2) = L (Я,) П L (Я2) = L (Я,) = ТеНх
откуда ясно, что вложение Н\ П Н^-* Н2 есть локаль-
ный изоморфизм. Поэтому в некоторой окрестности
точки е группы Н\ и Н{ Л Н2 совпадают, т. е. ло-
кально Я1СГ//2.
Следствие 2. Допустим, что L{HX) = L(H2).
Тогда в некоторой окрестности единицы Н\ — Н2.
Следствие 3. Пусть G, и G2 — dee группы Ли
и ф, г|з: C?i-> G2 — пара аналитических гомоморфиз-
мов. Условие L (ф) = L (г|з) равносильно совпадению
отображений ф и г|з в некоторой окрестности точки ех.
Доказательство. Пусть графики Оф и G^ го-
моморфизмов ф и г|з в Gi X G2 являются подгруппами

224	Ч. 11. Группы Ли	§ 3
Ли. Имея в виду указанные выше отождествления,
мы можем написать
L(O4) = {{x, y)^L{G, X G2)|y =
Далее, на основании следствия 2 условия:
а)	отображения ф и -ф совпадают в окрестности
точки ?f,
б)	графики Сф и G^ совпадают в окрестности
точки (еи e2)^G] X G2;
в)	/.(ф)=-/.(ф)
эквивалентны. Это завершает доказательство.
4. Алгебра Ли ядра гомоморфизма. Пусть заданы
две аналитические группы G и Н и аналитический
локально линейный гомоморфизм /: G—>Н. Обозна-
чим через К ядро этого гомоморфизма. В силу след-
ствия теоремы 2 §5 гл. IV К — подгруппа Ли группы G;
кроме того,
L (Ю = Кег ГЛф) = {*<=/, (G)|L (Ф) (я) == 0}.
§ 3. Линейные представления
Пусть G — аналитическая группа и V — векторное
пространство')• Линейным представлением группы G
в пространстве V называется аналитический гомомор-
физм о: G -> GL(V). Линейное представление опре-
деляет действие группы G в пространстве V:
gv = o(g){v).
Представление 0 индуцирует также представление
алгебры L(G), т. е. гомоморфизм алгебр Ли a: L (G)->
1. Основные примеры, (i) Тождественное представ-
ление:
') Все рассматриваемые здесь линейные пространства пред-
полагаются конечномерными. — Прим. перев.

§ 3	Гл. V. Теория Ли	225
(и) Обозначим через V* пространство, двойствен-
ное к У. Введем отображение *: GL{V)->GL{V),
и^-ъ-'и'1 Легко, проверяется, что * — аналитический
групповой изоморфизм. Пусть l = idK и l* = idK*.
В некоторой окрестности элемента 1 имеем
оо
'A + х) = (Г + 1х)-1 = 2(- I?(xf =V-'x + o(rf°> 2).
ti-0
В частности, L(*)(x)= —*x.
(iii) Пусть Vu ..., Vn — векторные пространства
и V = V\ ® ... ® V„. Определим отображение
9: End ViX ... X End ]/„-> End У,
положив
6(Уь ..-. Уп) = У1® '--®Уп, y^EndVi, i= 1, ..., п.
Это отображение, очевидно, индуцирует аналитиче-
п
ский гомомор4изм J\GL(Vi)-+GL(V), причем в не-
которой окрестности единицы
п
6A + *,	 1 + *„)= 1 + 2I ® ... ®дс,® ...
... ® l + o(d°>2).
В частности,
Z. (9) (ж,	ж„) = S 1 ® ... ® х,- ® ... ® 1.
(iv) Пусть Vi, ..., Vn, W — векторные пространства,
V = Нот/, (V1 ® ... ® Vп, W) — пространство полили-
нейных отображений и G = Щ GL(F{) J X GL (№).
\i = l	/
Пространство У канонически изоморфно тензорному
произведению V\ ® ... ® V'n<S>W. Используя отобра-
жения из примеров (п) и (iii), получаем гомоморфизм
6: G —*-GL{V). Он задается следующей формулой:
Q(yu ..., уп, w)(v) = w°v°(yi® ... ®уп)-К
15 Ж.-П. Серр

226	Ч. П. Группы Ли	§ 3
Применяя предыдущие результаты, находим
L(Q)(xu ..., хп, z)(y) =
п.
= z ° у - 2 У ° A ® • ¦ ¦ ® Х[ ® ... ® 1).
1 = 1
(v) Возьмем группу G = GL (V) и рассмотрим ана-
литический гомоморфизм det: G —> Gm(k). Здесь
det(y) означает определитель отображения у, a Gm{k)
есть просто группа ненулевых элементов k*. В неко-
торой окрестности единицы группы G имеем
det A + х) = 1 + Тг (*) + ... + det (x) =
где Тг (х) — след отображения л;. В частности,
L(det)(x) = Tr(x).
2. Ядра представлений. Если линейное предста-
вление локально линейно, то можно применить ре-
зультат п. 4 § 2. Применим его, в частности, к при-
меру (v) предыдущего пункта. Действительно, ото-
бражение det корегулярно (при V^o)). Рассмотрим
группу
SLG) = ker(det).
Она является группой Ли. Ее называют специаль-
ной линейной группой. В частности, с учетом резуль-
татов § 1 получаем
L (SL (V)) = {xeaEnd V |Тг (*) = 0}.
3. Стационарные подгруппы. Пусть, как и раньше,
char 6 = 0. В предыдущей главе (см. § 5, тео-
ремы 2 и 3) было доказано, что стационарная под-
группа Од. = {g^G\g • х = х} точки х многообразия X,
на котором действует группа Ли G, является под-
группой Ли. Применим этот результат к теории пред-
ставлений
(i) Пусть a: G -> GL (V) — линейное представление
аналитической группы G в векторном пространстве V.
Рассмотрим стационарную подгруппу точки

§ 3	Гл. V. Теория Ли	227
Тогда Gv есть подгруппа Ли в С и
L(Gv)-{xe=L(G)\a(x)(v)~O}.
Действительно, пусть qp: GL (V)-* V — отображение,
задаваемое правилом м-—>u(v). Ясно, что касательное
отображение Te(q>): End V -*¦ V задается формулой
Te(q>)(z) — z(v). При этом
TSGV = ker (Т. (ф о а)) = ker (Te (<р) » а),
что и утверждалось.
(ii) В тех же обозначениях рассмотрим предста-
вление *°о: G-*-GL-{V*). Пусть Gf — стационарная
подгруппа элемента fe V*. Тогда
Для того чтобы установить первое соотношение,
достаточно (поскольку Gf —группа) доказать, что
включение g'1 e Gf равносильно равенству f°o{g)=f.
Имеем
и наш результат вытекает из определения группы Gf.
Что касается второго соотношения, то в силу первого
достаточно доказать равносильность равенств L(* °cr)°
'(x)(f)-0(xe=L(G)} и foff(x) = 0. Но, согласно п. 1,
L {* о а) (х) (f) = - 'о (х) (f) = - f о а (х),
что и доказывает требуемую равносильность.
Важным примером группы типа Gf является группа
A(V) аффинных преобразований векторного прост-
ранства V. Отождествляя аддитивную группу прост-
ранства V с группой сдвигов этого пространства,
группу A(V) можно определить как полупрямое про-
изведение групп V и GL (V).
Умножение в этой группе определяется формулой
15*

228	Ч. II. Группы Ли	§ 3
Оказывается, что группу A(V) можно отождест-
вить с подгруппой G cz GL (V X k), оставляющей
инвариантными гиперплоскости вида V X a (aefe).
Для доказательства этого факта нужно рассмотреть
отображение о: A(V)-+G, определенное формулой
a(v, g) (w, a) = (av + gw, a),
где (v, g)^A(V) и (w, a)^V Xk. Группа G имеет
вид GL{V X Щ, где /: V X k-+k — линейная форма,
задаваемая формулой f(w, a) = a.
(iii) Пусть a: G-+GL (V) — линейное представление
группы Ли G в векторном пространстве V, и пусть
0: GL {V) X GL (V) -+GL(V® V)
— аналитический гомоморфизм, определенный в п. 1
(здесь V = Vi=zV2)- Рассмотрим композицию
т = е°{<тхсг): G->GL{V ®V).
Для всякого элемента {$ е (V ® V)* определена
группа Gp, причем (см. (ii))
и
L (Gp) ~ {* е= L (G) IfWa (x) ® 1 + 1 ® a (x)) = 0}.
Условие, определяющее алгебру L (Gg), означает,
что
P(a(x) v ® w) + р(и ® д(*)ш) = 0
для всех у, (tieF.
Укажем два применения предыдущих рассмотре-
ний. Пусть G = GL {V) и a — тождественное предста-
вление, причем V = kn, что является наиболее инте-
ресным случаем.
А. Ортогональная группа. Определим билинейную
форму р в пространстве kn равенством
х„; ylt ..., уп)= ^

Гл. V. Теория Ли	229
Соответствующая группа Gp называется ортого-
нальной группой пространства kn. Определим явным
образом элементы группы Gp и алгебры Ли L(Ga).
Пусть и е End (kn). Обозначим через *и сопряженное
преобразование (оно задается транспонированной
матрицей); легко проверить, что
Них, у) = $(х, 1иу)
для любых х, ye kn.
Пусть gzzGL{kn) и ueEnd(fe"). Тогда
а)	Шх, gy)=*Hx, y)&Hx, tg-gy) = V(x, у);
б)	р(и*, г/) + р(х, uy) = 0OP(x, ('и + и)у) = 0.
Ввиду невырожденности формы В это означает, что
p
L (Op) = {и г End F") | 'и + и = 0}.
Б. Симплектическая группа. Пусть «= 2т, а били-
нейная форма р определена равенством
уь .... г/2т)^
Соответствующая группа Gp называется симплек-
тической группой пространства k2m. Покажем, как
явно определить группу Gp и алгебру Ли L(GJ. Мы
можем отождествить пространства End (km x km) и
End(^n). Иными словами, любое линейное отображе-
ние и: kn->kn можно представить в виде
A B)
С
где А, В, С, Z)e EndFm). Отображению и сопоста-
вим отображение
Легко проверяется, что

230	Ч. П. Группы Ли	§ 3
где х, у е k". Используя это тождество, а также не-
вырожденность формы р, нетрудно усмотреть, что
L (Gp) = {и с= End {kn) | м' + и = 0}.
Условие, определяющее алгебру L (Ge), эквива-
лентно совокупности трех равенств:
(iv) „Метод стационарных подгрупп" можно при-
менять всякий раз, как мы имеем дело с комбина-
циями стандартных представлений, указанных в п. 1.
Формулировку общего утверждения мы предостав-
ляем читателю; приведем здесь еще один пример.
Пусть А — конечномерная ^-алгебра, и пусть
f>: АХА-+А (или C: A ®k A~-> А) — закон умножения
в алгебре А. Следующие условия эквивалентны (р(х,
))
У)
(а)	^
(б)	ge=GL(A) и g$(g-xx, g~ly) = $(x, у) для лю-
бых х, г/еЛ;
(в)	g^GL(A) и g(x ¦ y) = (gx)-{gy) для любых х,
у<=А.
Условия (а) и (б) эквивалентны по определению.
Эквивалентность условий (б) и (в) доказывается за-
меной элементов х и у элементами gx и gy соот-
ветственно. Таким образом, Gp есть просто группа
автоморфизмов алгебры А. Покажем, что L(Gp) есть
не что иное, как пространство дифференцирований
Der(A) алгебры А в А. В самом деле, включение
d e L (Gp) означает, что
d$(x, y) — $(dx, у) — р(х, dy) = 0 для всех х, у е А.
Но эту формулу можно переписать и так:
d(x- у) = (dx) -у + х- (dy),
что и требовалось доказать.
4. Присоединенное представление. Пусть G — ана-
литическая группа. Для каждого элемента geG on-

§ 4	Гл. V. Теория Ли	231
ределен внутренний автоморфизм фг: G -* G, x^-^-gxg'1.
Пусть u, — L(G); обозначим через Ad: G-+GL{§)
отображение gt—>Te(pg. Очевидно, что отображение
Ad является гомоморфизмом. Более того, как мы
сейчас увидим, это отображение аналитично, а по-
тому определено отображение L(Ad): g->End(t3).
Будет показано, что L (Ad) совпадает с ad — присоеди-
ненным представлением, которое определяется для
любых алгебр Ли.
Поскольку Ad — гомоморфизм, достаточно прове-
рить аналитичность этого отображения какой-нибудь
окрестности единицы. Вычислим Ad в локальных
координатах; для этого воспользуемся формулой 3°
гл. IV, § 7. Имеем (в окрестности точки е)
q>g {х) = х + [g, х] + 2 da,pgax?,
где |а|>1, |р|>1, |а| + |р|>3. Следовательно,
Ad (g) = Те Ф(Г: х ^ х + [g, x] + Z 4.0 gV.
Мы видим, что отображение Ad аналитично в еди-
нице. Далее, в последней сумме |а|>2, так как
|р| = 1. Поэтому касательное отображение TeAd(y)
совпадает с отображением х>-^-[у, х]. Таким обра-
зом, L(Ad)(y) = Te(Ad)(y) = ad(y), как и утвержда-
лось.
§ 4. Сходимость формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа
Теорема 1. Всякая конечномерная алгебра Ли
g над полем k нулевой характеристики является ал-
геброй Ли некоторой локальной аналитической группы.
Доказательство. Пусть п — dimA cj. С помощью
формулы Кэмпбелла —Хаусдорфа (см. часть I, § 7, 8)
определим формальный групповой закон F = (Ft) от
п переменных, такой, что ряды Ft сходятся и алгеб-
ра g изоморфна алгебре Ли, определенной в про-
странстве kn посредством операции [, \Р. Доказатель-
ство мы проведем в три приема.

232	Ч. П. Группы Ли	§4
1°. С каждым базисом хи ..., хп алгебры g
связана однозначно определенная система структур-
ных констант
таких, что
Положим
Система Ajclt ..., kxn(k^.k, X =? 0) также является
базисом, причем
и ..., Ххп) = Я,\*у (*,, .. ., х„),
2°. Пусть R = k[[X, Y]] = k[[Xh ...,Xn; Yb ...
..., Yn}], и пусть E = Rn. При фиксированном
базисе Х\, ..., хп определим на множестве Е струк-
туру алгебры Ли формулой
В частности, рассмотрим отображения ad(J) и ad (У),
где Х = (Хи ..., JJ и У = (У„ ..., У„).
Будем называть набор Р = (РЬ ..., Рп)^Е од-
нородным многочленом степени г, если каждый ряд
Pt является однородным многочленом степени г.
Символом ||Р|| в этом случае обозначим max \a'\, где
а'а — коэффициенты многочлена Рг.
Лемма 1. Пусть Р е Е — однородный многочлен
степени г. Тогда ad(X)(P) и ad(Y)(P) — однородные
многочлены степени г + I, причем ||ad(J)(P)|| ^n2Y||P||
и ||ad(y)(P)||<n2Yl!P||.
Доказательство леммы. Пусть ad(J)(P) =
= (Qi,--. , Qn), и пусть PJ = 2iQlfiXaYt, qa==
— "^b^X^. По определению

§ 4	Гл. V. Теория Ли	233
а следовательно, Qh — однородный многочлен степени
г + 1 и
Отсюда |&*»| ^п2у||Я||. Аналогично доказывается
утверждение для многочлена ad (У) (Я).
Следствие. Пусть га — максимальный идеал
(X, У) в кольце R. Тогда
и
ad (У) (m' ?) с: mr+1 Е (г > 0).
3° Пусть S = {л;, у) — множество из двух элементов.
Рассмотрим свободную алгебру Ли Ls над S, ее по-
полнение Ls = XI^s ^см- часть ^> гл- IV, § 3, 7) и
канонический гомоморфизм алгебр Ли 9: LS->E, та-
кой, что 9(х) = X и 9 (у) = Y.
Лемма 2. 9 (Lrs) с: mr? (г > 0).
Доказательство непосредственно вытекает из след-
ствия леммы 1.
В частности, б единственным образом продол-
жается до гомоморфизма LS-*E.
В алгебре Ls существует однозначно определенный
элемент z, для которого ех • е& = ez (теорема 1.4.7.4).
Пусть F = б (г). Используя замечание в конце § 7
гл. IV ч. I, получаем следующие утверждения:
1) F — формальный групповой закон от перемен-
ных X и У;
= Vs[*. Y].
В частности, [X, Y]P = V2 [*, Г] - V2 [Y, X] = [Z, У].
Прежде чем завершить доказательство теоремы 1,
докажем следующую теорему.
Теорема 2. Ряды F = (F{) сходятся.

234	Ч. 11. Группы Ли	§ 4
Доказательство. Нам понадобятся две эле-
ментарные леммы.
Л е м м а 3. При достаточно малых t ряд
сходится.
Доказательство леммы 3. Указанный ряд
можно переписать так:
2 2 Н
т-1\р+<7>1	/
При U1 < 1 член в скобках сходится к а, где
Но при достаточно малых |/| имеем 0<а< I, что
гарантирует сходимость всего ряда.
Лемма 4. Существует константа а, 0 < а ^. 1,
такая, что
| га! | > а" ы | п \ > а" (« е Z, я > 0).
Доказательство леммы 4. Рассмотрим три
случая.
A)	Поле k архимедово. Берем а— 1.
Б) Поле & неархимедово и ограничение его аб-
солютного значения на подполе Q тривиально. Бе-
рем а = 1.
B)	Поле k неархимедово и ограничение его абсо-
лютного значения на подполе Q совпадает с одним
из р-адических абсолютных значений.
Заметим сначала, что неравенство \п\^а" следует
из неравенства \п\\^ап, так как \(п— 1)!|^1 для
всех п>1. Возьмем в качестве а число \pflP~l. Нера-
венство \п\ \^ап означает, что vр(п!)^п/р — 1. Однако

Гл. V. Теория Ли	233
Приступим теперь к доказательству теоремы 2.
Заметим прежде всего, что если умножить все коор-
динаты на некоторый элемент K^k\ это не повлияет
на сходимость. Поэтому можно заменить базис
хь ..,, хп алгебры % на базис Кх\, ..., Ххп(Х=?0), где
Используя для нового базиса старые обозначения,
получаем (в силу леммы 1) следующую лемму.
Лемма 1'. Пусть Pg?-однородный многочлен
степени г. Тогда ad{X){P) и ad(Y){P) — однородные
многочлены степени (V+1), причем ||ad(X)(P)||^||P||
и ||ad(y)(P)IK||P||.
Воспользуемся теперь формулой Дынкина (см. ч. I,
гл. IV, § 8):
где
= v 2
Здесь
(-1)4'1 ad(X)"'ad(F)'7l...ad(X)Pm(F)
'"¦"	&	пг	Pilqil...pml
++
p =	у	adfflP'ad(y)?
Все числители в последних двух суммах пред-
ставляют собой однородные многочлены степени
v = p + q, причем, согласно лемме 1, значение нашего
абсолютного значения на коэффициентах этих много-
членов не превосходит единицы. Далее, используя
явный вид операции [ , ], легко подсчитать по индук-
ции, что количество одночленов, входящих в эти

236	Ч. П. Группы Ли	§ 4
многочлены, не превышает n2v. Итак, каждый числи-
тель мажорируется вещественным однородным много-
членом от переменных X и Y степени v, все коэффи-
циенты которого равны единице, а число одночленов
не превышает n2v. Значение такого многочлена на
векторе (s	s) e R2n (s > 0) оценивается сверху
числом
С другой стороны, для чисел, входящих в знаме-
натель, имеют место следующие оценки:
\pi\qt\ ... qm-i\
Полагая t = (n2s/a3), мы видим, что ряд F(X, Y) =
— 2/v(^> Y) мажорируется вещественным рядом из
v
леммы 3. При достаточно малых значениях t послед-
ний ряд сходится, что обеспечивает сходимость ряда
F (х, у) при достаточно малых s.
Таким образом, все теоремы полностью доказаны.
Замечания. 1. Если g — нильпотентная алгебра Ли
(см. ч. I, гл. V, § 2), то ряд F вырождается в много-
член, так что его сходимость тривиальна.
2. Для того чтобы в общем случае оценить радиус
сходимости ряда F, надо оценить две константы,
фигурирующие в доказательстве, а именно:
1)	константу а из леммы 4;
2)	радиус сходимости ряда из леммы 3.
Что касается последнего ряда, то, как легко
видеть, он сходится, если
Следовательно, ряд F сходится в шаре В (г), где
a3 V2- 1
2 V '

§ 4	Гл. V. Теория Ли	237
Это не слишком хорошая оценка, но для k = R или С
ничего лучшего неизвестно.
Пусть k — неархимедово поле и ограничение его
абсолютного значения на подполе Q индуцирует
р-адическое абсолютное значение. Предположим, что
g — подалгебра алгебры Ли L (Gm(R)), где R — конечно-
мерная ассоциативная й-алгебра с единицей. Другими
словами, %c:R и [х, у] = ху — ухеg для любых х,
jgj. Допустим для простоты, что умножение
в алгебре R удовлетворяет неравенству | х • у | ^
^ | х | • | у \. При этих условиях можно определить
экспоненциальный ряд
_Х	1 | А ( A	t
е =1 + тг+2Т+ ¦•• •
Экспонента определяет изоморфизм открытой адди-
тивной подгруппы М на себя, где
На множестве М можно определить групповой закон,
полагая G(x,y) — z, где элемент геМ однозначно
определяется соотношением ех - еу = ez. Из конструк-
ции формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа (см. тео-
рему 1.4.7.4) видно, что наш закон согласуется с фор-
мулой Кэмпбелла — Хаусдорфа там, где последняя
сходится. Как показал Лазар1), фактически она схо-
дится на всем множестве М. В частности, мы полу-
чаем, что формула Кэмпбелла —Хаусдорфа сходится
на МП 9-
3. Если поле k неархимедово, то, как известно
(см. гл. IV, § 8), каждая локальная аналитическая
группа соответствует некоторой аналитической группе.
Поэтому справедливо
Следствие. Если поле k неархимедово и имеет
нулевую характеристику, то каждая конечномерная
алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой анали-
тической группы над k.
') См. Лазар [3*]. — Прим. черев.

238	Ч. II. Группы Ли	§ 5
§ 5. Точечные распределения
В этом параграфе мы введем понятие распределе-
ния ]), носитель которого сосредоточен в одной точке.
Это понятие понадобится нам в качестве технического
средства в следующем параграфе, где будет доказана
эквивалентность категории формальных групп и кате-
гории алгебр Ли.
При изучении „формальных вопросов" k будет
предполагаться просто коммутативным кольцом с еди-
ницей (иногда Q-алгеброй); однако, рассматривая
„вопросы сходимости", мы будем, как правило, счи-
тать, что k — поле, полное относительно нетривиаль-
ного абсолютного значения.
1.	Пусть X — аналитическое многообразие, и пусть
PsI. В гл. III, § 7 было определено локальное
кольцо <§6р многообразия X в точке Р и его макси-
мальный идеал nip. Было показано, что кольцо &€Р
изоморфно кольцу сходящихся степенных рядов от п
переменных, где п = АхтрХ. Наделим это кольцо обыч-
ной топологией, принимая степени идеала тР за фун-
даментальную систему окрестностей нуля. Поле k<^&BP
при этом автоматически наделяется дискретной топо-
логией.
Точечным распределением на Шр мы назовем
линейную форму и: Щ1р —> k, удовлетворяющую одному
из следующих двух эквивалентных условий:
A)	форма и обращается в нуль на некоторой сте-
пени идеала тР;
B)	отображение и: &?p-*k непрерывно (относи-
тельно дискретной топологии в k).
Форму и можно продолжить по непрерывности на
пополнение &6р кольца &6р в этой топологии. Заме-
тим, что &Jp изоморфно кольцу формальных степен-
ных рядов от п переменных над полем k.
2.	Пусть k — коммутативное кольцо с единицей
и H = k[[ Хи ..., Хп]] — кольцо формальных степен-
') У нас больше принят термин „обобщенная функция". ¦
Прим. ред.

§ 5	Гл. V. Теория Ли	239
ных рядов от п переменных над кольцом k. Обозна-
чим через m идеал, порожденный элементами Х\, ...
..., Хп, а через Нт — факторкольцо H/mr+1 (r ^ Z, г > 0).
Положим, далее, Ur = Я* = L (#г, Щ. Как и выше,
линейную форму и: H^>k мы назовем точечным,
распределением, если выполнены следующие эквива-
лентные условия:
A)	форма и. обращается в нуль на некоторой
степени nf+I (иными словами, отображение и „про-
пускается" через проекцию Н—>НГ);
B)	отображение и непрерывно на Я.
Пусть U czH* — подмножество всех точечных рас-
пределений. Рассмотрим проекцию Н-+Нг. Сопря-
женным к ней отображением будет инъекция Ur-*H*.
Мы видим, что U можно отображать с объединением
образов множеств {Ur}.
Рассмотрим подробнее строение ^-модулей Я и U.
По определению Я (как fe-модуль) есть произведение
II kXa. Для каждого а определим элемент Д°еУ
формулой
0 при
Элементы Аа линейно независимы над k. Кроме того,
любой элемент «ef/ представляется в виде конеч-
ной линейной комбинации (над k) этих элементов,
поскольку и аннулируется на некоторой степени
идеала т. Итак, справедлива
Лемма 1. U = ф k ¦ Аа.
а
Имеет также место
Лемма 2. U* = H.
Доказательство. Поскольку UczH", имеется
отображение Я->Я**->6?*. При этом отображении
элемент Ха отождествляется с такой линейной фор-
мой на U, которая равна 1 на Аа и нулю на Ар (р ф а).
Поэтому

240	Ч. II. Группы Ли	§5
а	а
Замечание. Распределение е = А° называется рас-
пределением Дирака1).
Посмотрим теперь, какую структуру индуцирует
на U закон умножения \i: Н®Н->Н. Пусть m =
=т®Я+Я®т— идеал кольца Я <8> Я. Введем в этом
кольце топологию, определенную степенями идеала in.
В такой топологии отображение ц непрерывно и
потому продолжается на пополнение Н ® Я кольца
Я ® Я. Пусть U — множество точечных распределений
кольца Н <8) Н (или, что то же самое, кольца Н ® Н).
Сопряженное отображение цт: Н*:-> (Я ® Я)* индуци-
рует при ограничении так называемое диагональное
отображение 6: U-+U. Смысл названия поясняет
следующая
Лемма 3. (а) Каноническое отображение C/®f/-»C/
есть изоморфизм.
(б) б(Аа)= 2 Лр® Av {формула Лейбница).
Доказательство. Положим Xt ® 1 = У,- и
1 ® Хг = Zh 1 ^ г ^ п. Каноническое вложение
H®H-+k[[Ylt .... Yn, Zb .... Zj] = /7
продолжается до изоморфизма колец Н <8> Н и Я.
При этом отождествлении в U выделяется канони-
ческий базис Ла' р:
1( еСЛИ а==а' и Р = Р''
0 в противном случае.
Отображение U ® U -+ U переводит базисный элемент
Аа ® Ар_модуля U ® U в базисный элемент Да' р мо-
дуля f/. Тем самым первое утверждение доказано.
') Или дельта-функцией Дирака. —Прим. ред.

§ 6	Гл. V. Теория Ли	241
Для доказательства второго утверждения доста-
точно посмотреть, какое значение принимает форма
б(Да) на произвольном одночлене FeZv. Имеем
б (Да) (F0ZV) = Аа (ц (FPZV)) = Аа (X3+Y).
Отсюда
( h если P + Y==a'
0 в противном случае,
что и доказывает формулу Лейбница, а с ней и лемму.
Равенство Н — &®т позволяет обобщить понятие
касательного вектора на алгебраическую ситуацию,
которую мы изучаем. Именно: мы скажем, что
и е U — касательный вектор, если выполняются сле-
дующие три эквивалентных условия:
A)	отображение и: Н —> k — дифференцирование;
B)	форма и обращается в нуль на k и на т2;
C)	элемент и примитивен относительно б, т. е.
6 (к) = и ® 1 + 1 ® и.
Эквивалентность первых двух условий доказы-
вается так же, как в гл. III, § 8, п. 1. Эквивалентность
условий A) и C) вытекает из формулы Лейбница.
§ 6. Биалгебра, ассоциированная с формальной
группой
Для того чтобы мотивировать изучение „формаль-
ного случая", мы рассмотрим сначала вкратце „слу-
чай сходимости".
1. Пусть G — аналитическая группа, &в — локальное
кольцо этой группы в точке е, т —максимальный
идеал этого кольца, $6 — его пополнение (относительно
топологии, определенной степенями идеала т) и
U — множество точечных распределений на ?№ (или
на Sff). В формальной теории (§ 5, п. 2) было опре-
делено диагональное отображение 6: U -*¦ U ® U.
Используя групповой закон ср : G X G -*¦ G, можно
определить умножение 9: U ® U -* U. Именно: введем
отображение а: &ве-*¦ &в(е< е) f >—»¦ / ° ср (здесь &€е = &в
и &в(е, е) — локальное кольцо группы G X G в точке
16 Ж--П. Серр

242	Ч. II. Группы Ли	§ 6
(е, е)). Полученное отображение продолжим до ото-
бражения а: $в -* Ш(е, с) = &* ® &?• Сопряженное к а
отображение и есть искомое отображение 8 = (a)*: U ®
&U-+U.
В „формальной ситуации", как мы увидим, U
является (относительно 8) ассоциативной Q-алгеброй
с единицей (каковою является распределение Дирака).
2. Сохраним все обозначения и предположения § 5,
п. 2._Пусть H = k[[Yl, .... Yn, Z,, .... ZJ], и пусть
F e Hn — формальный групповой закон над k от п
переменных. Положим tn = m <g> Н + Н <g> m (напомним,
что при доказательстве леммы 5.3 кольца Я и Я ® Н
были отождествлены).
Поскольку ряды F = (Ft) не имеют свободных чле-
нов, для любого элемента f^H можно образовать
композицию / о F е И (см. Бурбаки [3*], гл. IV, § 5, п. 5).
Обозначим через а: Н-> Н отображение fy-^-f°F.
Тогда a(mr)czmr, так что а — непрерывное отображе-
ние (относительно топологий, определенных идеа-
лами m и ш). Пусть 6: U ® U -* U — сопряженное к а
отображение.
Лемма 1. Отображение 9 наделяет U структурой
ассоциативной алгебры с единицей (каковой является
распределение Дирака).
Доказательство. Нам придетея_ иметь дело
с ^двумя кольцами степенных рядов H = k[[Y, Z] ]
nT[ = k[\Yt Z, Щ], где W~(WU .... Wn). Через Д?,
Дг. Дг обозначим элементы, двойственные к одно-
членам Ya, Z', Wy соответственно. Тогда, например,
произведение ДуД|Ду двойственно к одночлену YaZ^Wy.
Покажем вначале ассоциативность операции 9.
Пусть Да ® Д ® Д7 — произвольный базисный элемент
модуля U ® U ® С/. Тогда для [еЯ имеем
е(да, е(д3, ду))/ = д?д|д^(/о^(г, f(z,
е(е(да, де), д^/ = д?д|д^(/о(^(г, z),

§ 6	Гл. V. Теория Ли	243
Требуемая ассоциативность легко вытекает из ассо-
циативности закона F.
Осталось показать, что распределение Дирака е
является единицей относительно нашего умножения.
Пусть Дае{/ и f е= #. Тогда
Q(s, Aa)f = eYAaz(f о F(Y,Z)) = Aaz(f о F @, Z)) = Aaz(f(Z)).
Это означает, что 8 (е, Ая) = Да. Тем самым дока-
зано, что е — левая единица. Аналогично доказывается,
что е —правая единица.
Лемма 2. Диагональное отображение б: U-*¦
-> U ® U является гомоморфизмом алгебр.
Доказательство. Мы должны доказать ком-
мутативность следующей диаграммы:
U ®U
(	)
el	le
U	->U 0 U
Поскольку все модули в этой диаграмме свободны,
нам достаточно доказать коммутативность двойствен-
ной диаграммы:
Н ® Н ^-^-(Н® Н)®(Н® Н)
я <¦	*	н <? н
Поскольку все отображения этой диаграммы непре-
рывны относительно соответствующих топологий, до-
статочно проверить коммутативность на элементах
вида f ® g е Я ® Я, где f, gsff. Но
= ц ® ц. (а ® а (/
что и требовалось доказать.
Множество ?/, наделенное законом умножения
6: U <8> U -*¦ U и диагональным отображением 6: U-*
16*

244	Ч. П. Группы Ли	§6
-* U ® U, называется биалгеброй, ассоциированной
с формальной группой F.
Примем следующие обозначения:
8 (и, v) = и * v
и
[и, о], = и * v — v * и.
Лемма 3. Для любых а и р имеем
остаточный член Еа< ^ есть линейная комбинация
элементов Av, 0<|у|<|а + Р1.
Доказательство. Требуется показать, что
формы Аа*А13 и 1а j А принимают на элементах Ху,
|у|^|а + р|, одинаковые значения и что Еа<« обра-
щается в нуль на /г. Но
Так как
Aa*A*(Xy) = AaYAUxy°F(Y, Z)\
мы получаем
в противном случае
Итак, мы проверили совпадение элементов Да * Ар и
/ а + р j дЧ+р на одночленах xY, где | у I > I a + Р I- Заме-
тим теперь, что оба эти элемента на Х° равны 1,
если а + р = 0, и равны нулю в противном случае,
т. е. ?a, p обращается в нуль на k. Лемма доказана.

§ 6	Гл. V. Теория Ли	245
Пусть g — алгебра Ли, ассоциированная с фор-
мальной группой F (см. § 1). Как векторное простран-
ство алгебра g совпадает с /г". Обозначим через {?>,},
l^t^n, стандартный базис пространства /г". Опре-
делим отображение -ф: {(->?/ формулой г|э (?)г) = А6'.
Из определения ясно, что г|> — линейный изоморфизм
пространства g на множество тех элементов «g[/,
которые обращаются в нуль на kn и in2.
Лемма 4. Пусть х, j/g§ и / е= Я — линейная
функция. Тогда
Ч>([*. y])f = f(B(x,y)-B(y,x)).
Доказательство. Так как по определению
[х, t/] = B(x, у) —В (у, х), нам нужно показать, что
Учитывая, что обе части этого равенства трилинейны
по х, у и /, достаточно рассмотреть случай x — Di,
у = Dj, f = ifc. Но тогда как правая, так и левая части
равны просто структурной константе y\t(pv ..., ?>„),
что и завершает доказательство леммы.
Теорема 1. Отображение -ф: g -> ?/ является го-
моморфизмом алгебр Ли, т. е. ^>{\х, у]) = [-ф(лг), i|)(#)],.
Доказательство. Нам известно, что -ф([х, у])
обращается в нуль на k и т2. То же самое справед-
ливо и для [г|з(л;), -ф(у)], (см. лемму 3). Остается, сле-
довательно, показать, что i|)([*> У\) и ЬИ*)» ^>(у)\,
совпадают на множестве представителей смежных
классов фактормодуля in/m2, например на линейных
функциях. Но для /е=Я имеем
[* М, Ф (У)\. f = (Ч> W ® * (г/) - Ф (г/) ® г|> (*)) (f » F (X, Y)}=
= (-ф(х) ® г|з(г/) - 1|з(г/) ® ф(*))(/ ° X + f ° У +
+ foB(X, Y)+ ...) =
= (it (*) ® г|) (г/) - * (у) О ф (*)) (f - В U", Г)) =
= f(B(x,y)-B(y, x)).
и теорема 6.1 вытекает из леммы 4.

246	Ч II. Группы Ли	§6
Начиная с этого момента мы будем предполагать,
что кольцо k является Q-алгеброй.
Отображение -фг %-*-U продолжается до гомомор-
физма U$,-> U универсальной обертывающей алгебры
(см. ч. I, гл. III, § 1); этот гомоморфизм мы для крат-
кости обозначим той же буквой if.
Теорема 2. Отображение г|): t/g -> U — изомор-
физм биалгебр.
Доказательство. В алгебрах Uo, (см. ч. I,
гл. III, § 4) и U (§ 5, п. 2) определены фильтрации.
Непосредственно проверяется, что гомоморфизм г|)
согласован с этими фильтрациями и что относительно
них алгебры ?/д и U отделимы и полны. Следова-
тельно (см. Бурбаки [2*], Ch. 3. § 2, п. 8), достаточно
установить, что отображение gr(i|)) — изоморфизм.
По теореме Пуанкаре —Биркгоф а —Витта (тео-
рема 13.4.3) алгебра ?/д — свободный fe-модуль с базой
Da __?>"' ^a^ Замечая, что k — алгебра над Q, мы
видим, что в качестве базиса алгебры U можно взять
элементы Da = —гДа. По лемме 2 г|)(/)а) и Da совпа-
дают в gr (?/), а потому gr (г|)) — изоморфизм.
Итак, установлено, что -ф — изоморфизм алгебр.
Для того чтобы распространить это утверждение на
биалгебры, нам надо проверить коммутативность сле-
дующей диаграммы:
U% —¦> Щ ® U%
щ	1ф®ф
и —-> и®и
На основании предложения 1.3.5.2 леммы 5.3 и
леммы 2 имеем
а)	Д и б— гомоморфизмы алгебр;
б)	для любого и е g с f/g
Поскольку элементы из $ порождают ?/д (предложе-
ние 1.3.4.1) равенство г|)оД = б°г|) выполняется для
любых элементов алгебры t/g. Теорема доказана.

§6	Г л- V. Теория Ли	247
Теорема 3. Функтор Т: (FG) -» (LA) из категории
формальных групп над k в категорию конечномер-
ных k-алгебр Ли, определенный в § 1, задает экви-
валентность этих категорий, т. е.
A)	отображение Нот(/7,, F2) ->¦ Нот (TFU TF2)
биективно (Fx, F2^ (FG));
B)	для любой алгебры, Ли (\ е (LA) существует
формальная группа F^(FG), такая, что алгебры TF
и 3 изоморфны. (Напомним, что k здесь — Q-алгебра.)
Доказательство. A) Пусть Fx и /^ — фор-
мальные групповые законы от п{ и п2 переменных
(над k) соответственно. Обозначим через Я,- (/ = 1, 2)
кольцо формальных степенных рядов k \\ХХ, .. . Д„.]1,
через и{ — биалгебру точечных распределений кольца
Hi, через ij,- — алгебру Ли, ассоциированную с Fь и
через U i — универсальную обертывающую алгебру
алгебры дг. Введем далее следующие обозначения для
отображений:
а)	:
Ji®Ut->Ui законы умножения;
UiQUi-* и{
б)	¦
Ui~> Ut ® Ui диагональные отобрал-.ения;
Ui -> Ut ® Ut
в)
Ui —> Ui — изоморфизм из теоремы 2.
Итак, для заданного гомоморфизма t: (\->(\ мы
должны найти соответствующий гомоморфизм фор-
мальных групп т: Fi-+F2, такой, что T(x) = t, и до-
казать его единственность.
Покажем, что отображение
Нот (Fu F2) -> Нот (TFU TF2)
разлагается в цепочку отображений, каждое из ко-
торых биективно. Мы сделаем это за шесть шагов.
Шаг 0. Начнем с предварительного шага. Пусть
Ногплг. (#2, Нх) — множество всех гомоморфизмов ал-
гебр, переводящих т2 в та, (такие гомоморфизмы мы
будем называть допустимыми; они непрерывны отно-

248	Ч. 11. Группы Ли	§6
сительно естественных топологий колец Я2 и Нх).
Обозначим через S множество всех элементов т =
= (т,, ... , т„2) е Щ\ у которых т,- @) = 0 для всех л.
Каждый элемент igS определяет отображение
yx:H2^>-Hl, g*-*-g°t(g<^H2). Нетрудно проверить
(см. Бурбаки [3*], гл. IV, § 5, п. 5), что фт —допу-
стимый гомоморфизм алгебр.
Лемма 5. Отображение т t—*¦ q>t есть биекция
множества S на Ногпл/. (Я2, Н{).
Доказательство. Указанное отображение,
очевидно, инъективно, так как фт(Л',-) = т<. Докажем,
что оно сюръективно. Рассмотрим элемент т = (т,,
... , tJeS, где т; = ф(Хг). Поскольку ф и фт —го-
моморфизмы алгебр, они совпадают на кольце k\Xu
... , ХпЦ- Но тогда они совпадают и всюду, так как
это кольцо плотно в #2, а ф и фт непрерывны.
Шаг 1. Пусть НотВд (Я2, Я,) — множество допу-
стимых гомоморфизмов биалгебр.
Лемма 6. Пусть tgS. Тогда
х е= Нот™ (FltF2) фф фТ е= Нотвл (Я2, Я,) (т е S).
Доказательство. Ввиду леммы 5 включе-
ние фт s Ногпвл (Я2, Hi) означает коммутативность
следующей диаграммы:
Я2 — •> Я2 ® Я,
Я! -^> Я! ® Я,
Последняя имеет место тогда и только тогда, когда
g о Т о F, (Z, Y) = б, о фт (g) = (фт ® фт) о б2 (g) =
для всех g e Я2. Это равенство в свою очередь рав-
носильно соотношению
которое и выражает тот факт, что т — гомоморфизм
формальных групп.

Гл. V. Теория Ли	249
Шаг 2. Пусть Нотвл(^ь U2) и HomBA(Uh U2)-
множества гомоморфизмов биалгебр.
Лемма 7. Двойственность определяет изомор-
физм
НотВА (Я2, Я,) с* Нотвл (?/„ U2).
Доказательство. Пусть ф : Н2 -> Я, — допу-
стимый гомоморфизм биалгебр, и пусть ме?/].
Отображение щ°^: H2->k непрерывно, и, следова-
тельно, «1°фе{/2. Итак, определено отображение
Нотвл(Я2, //,)->НотЯА(?/,, U2).
Обратно, пусть ty'.U]-* U2 — гомоморфизм биал-
гебр, и пусть g е Н2. На основании леммы 5 (§ 5)
g о г|зеЯ1. В силу двойственности отображение g>—>g о
о -ф есть гомоморфизм биалгебр, поскольку таков го-
моморфизм -ф. Далее, поскольку ф(е!) = е2, gem24
=#¦ g о ¦»)) <= Ш|. Итак, g t—> g ° г|) — допустимый гомомор-
физм биалгебр; тем самым определено отображение
Нотдл (Ult U2)-> Нотвл (Я2> Я,).
Построенные отображения, как легко проверить,
взаимно обратны. Лемма доказана.
Шаг 3. Из теоремы 6.2 вытекает
Лемма 8. Отображения %(г=1, 2) определяют
изоморфизм
Нотвл(?/,, U2)ca Hom(Uu U2).
Шаг 4. Из определения универсальной алгебры
и теоремы 1.3.5.4 вытекает
Лемма 9. Нотвл (Uu U2) = Нот^л (йц 9г)-
Шаг 5. Нам осталось рассмотреть композицию
биекций, фигурирующих в леммах 6, 7, 8, 9, и убе-
диться, что она совпадает с функтором Т.
Пусть т е HorriFG (Flt F2). Запишем
где tt (X) — однородная компонента степени L Ясно,
что T{x) = tx. Пусть/ е Нот/.л (9ь й2) — элемент, соо-

250	Ч. II. Группы Ли	§7
тветствующий гомоморфизму т при наших биекциях.
Мы должны показать, что t — t\.
Пусть и е= Qi. Для того чтобы проверить равен-
ство t(u) = tl(u), достаточно показать, что g(t(u)) =
= ё" (^i («))> гДе g e Я2 —линейная функция. Но
g (t (и)) = и (фт (g)) = и (g о т) = и B gt
Первая строка есть просто расшифровка изомор-
физмов, определенных в леммах 6, 7, 8, 9; во вто-
рой строке мы воспользовались отождествлением
алгебры a,i с подмножеством в Ut (указанное ото-
ждествление задается отображением фг). Сравнивая
оба результата, получаем искомое равенство.
B) Сопоставим алгебре Ли о. е (LA) формальную
группу с помощью формулы Кэмпбелла —Хаусдорфа.
Все основные детали этого построения по существу
приведены в первой части доказательства теоремы
4.1; там же было установлено, что алгебра Ли этой
формальной группы совпадает с д. Хотя в той тео-
реме кольцо k предполагалось полем нулевой харак-
теристики, доказательство было полностью „фор-
мальным" и использовало лишь тот факт, что к есть
Q-алгебра.
Теорема полностью доказана.
Замечание. Доказательство части B) теоремы 3
можно было бы провести иначе, доказав вначале,
что fe-алгебра, двойственная к t/g, изоморфна кольцу
формальных степенных рядов k[[Xu..., Xn]] (п =
— dim t]), а затем заметив, что диагональная струк-
тура алгебры C/fi определяет в этом кольце искомый
формальный групповой закон F(X, Y).
§ 7. Сходимость формальных гомоморфизмов
Пусть снова k — поле, полное относительно нетри-
виального абсолютного значения, и char k = 0.
Теорема 1. Пусть Gj и G2 — локальные анали-
тические группы, F\ и F2 — формальные групповые

§ 7	Гл. V. Теория Ли	251
законы, индуцированные картами с{ и с2 этих групп
в точках et и е2 соответственно. Тогда любой фор-
мальный гомоморфизм этих групп т: Ft —* F2 схо-
дится, т. е. определяет локальный гомоморфизм
т: G,	>G2.
Доказательство. Формальные законы F{ и F2
сходятся, так как они лишь запись соответствующих
сходящихся законов умножения в G, в локальных
координатах. Поскольку заключение теоремы является
локальным, мы можем предполагать, что Gt — откры-
тая окрестность точки 0 е ?"' (гсг = dime. G,-, i—\, 2)
и что умножение определяется функциями Ft (X, Y).
Мы рассмотрим сначала частный, а потом общий
случай.
Частный случай. Gx = k, /7, = „ + ", G2 = G, F2 = F.
Утверждение о том, что т —формальный гомоморфизм,
сводится к следующим формальным равенствам:
x(s + t) = F(x(s),r(t)),
т @) = 0.
Дифференцируя это равенство формально по t и пола-
гая t = 0, мы видим, что т удовлетворяет следую-
щему формальному дифференциальному уравнению:
xf(s) = D2F(x(s), О)-т'(О).
Так как D2F(x@), 0) = D2F{0, O) = idft«, написанное
выше уравнение формально непротиворечиво при s = 0.
Положим ф(Л) = Д2Р (X, 0)т'@), где т'@)-любой
фиксированный вектор из k". Сходимость гомомор-
физма т есть частный случай следующей теоремы,
которая будет доказана в добавлении к этой главе.
Теорема 7.2. Пусть ф = (фь ..., ф„) — набор
из п формальных сходящихся степенных рядов от
п переменных. Тогда формальное дифференциальное
уравнение х' (s) = ф (т (s)) (т@) = 0) обладает един-
ственным формальным решением, и решение это
сходится.
Общий случай. Пусть F — сходящийся формальный
групповой закон, соответствующий локальной группе G,
и X — элемент алгебры g = I(G). Этот элемент одно-

252	Ч. II. Группы Ли	§ 7
значно определяет гомоморфизм алгебр Ли Lx: &-*g,
такой, что Lx(\} = X. Согласно теореме 6.3 существует
единственный формальный гомоморфизм ф^: k+-+F,
такой, что <р'х@) = Х. В частном случае мы видели,
что гомоморфизм фх сходится.
Пусть д,- = L (Gt) (i = 1, 2) и t = L {%): %х -> g2. Кон-
струкция гомоморфизма ух обладает следующим функ-
ториальным свойством: для X^^i
Ф< (X) = т ° Фх (^ е 9i) (формально).
Выберем базис {Х^} алгебры gt и положим
, Определим два локальных морфизма
71 С?)
ч>>/
\
формулами
Касательное отображение /-(ф^: /%"'—>9i есть изо-
морфизм, поскольку оно переводит ц-й (стандартный)
базисный вектор D^ e kn' в вектор Х^. Следовательно,
Ф! — наложение и потому локальный изоморфизм
(в окрестности точки 0 е А"').
Формальное равенство т о <р, = ф2 можно переписать
теперь так: т = ф2°ф7'. Однако правая часть этого
равенства, как мы только что видели, сходится, значит,
сходится и т.
Теорема полностью доказана.
Следствие 1. Пусть Gx и G2 — локальные ана-
литические группы, алгебры Ли которых L(G{)
и L(G2) изоморфны. Тогда

§ 7	Гл. V. Теория Ли	253
1)	любой изоморфизм L(Gi)—>L(G2) индуцирует
локальный изоморфизм G^-* G2;
2)	в неархимедовом случае локальные группы G[
и G2 содержат изоморфные открытые подгруппы.
Доказательство. Первое утверждение является
следствием доказанной теоремы и теоремы 3 § 6.
Второе утверждение непосредственно вытекает из
первого и из теоремы 4.8.1.
Следствие 2. Пусть G — локальная аналити-
ческая группа, a, = L(G) и СН (а) —локальная анали-
тическая группа, построенная по алгебре $ при
помощи формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа (см. § 4).
Тогда существует единственный локальный изомор-
физм C#(g)->G, такой, что L(exp) = id.
Замечание. Пусть G = GL (V), где V — конечномер-
ное векторное пространство над полем k. Положим
у-	v2
е* = 1 + _L J. — +
1! 2!
Мы утверждаем, что ехр (х) = ех в окрестности точки
0e<5 = EndV. В самом деле, в силу конструкции
формулы Кэмпбелла— Хаусдорфа ряд ех опреде-
ляет формальный гомоморфизм CH(%)-+G, причем
L(ex) = id. Следовательно, в силу единственности
ехр (X) = ех, как и утверждалось.
Изучим отображение ехр в случае, когда k = R
или С и G — аналитическая группа. Пользуясь тем,
что в (формальной) группе СН(%) операция возве-
дения в п-ю степень выглядит особенно просто:
}п(Х) = пХ< мы можем продолжить отображение ехр
на все пространство а,. Пусть U — область определе-
ния отображения ехр, и пусть х е д. Поскольку
k — числовое поле, существует такое целое п > 0, что
— x^U. Положим
п
ехр (*) = ехр (-JJ- *) .	(•)
Мы имеем

254	Ч. II. Группы Ли	§ 7
Следовательно, приведенное выше определение не
зависит от выбора числа п:
( 1 \я	I 1 \пт	I 1 у*
ехр — х] = ехр	х) = ехр —х) .
v\п }	v \nm J	v\ml
Для каждого ха s g можно в некоторой его окрест-
ности ограничиться единым числом п в формуле (*).
Отсюда видно, что отображение ехр аналитично. Как
известно, оно является наложением в точке 0 s $,
однако это верно не во всех точках, и, вообще говоря,
отображение ехр не биективно.
Следствие 3. Пусть /e = R или С, и G — анали-
тическая группа над k с абелевой алгеброй Ли д.
Тогда
A)	если группа G связна, то она абелева;
B)	в общем случае группа G содержит открытую
абелеву подгруппу Ли.
Доказательство. Очевидно, A)=#B). Дока-
жем A). Поскольку g — абелева алгебра, группа СН (д)
совпадает с ее аддитивной группой д+. Мы утвер-
ждаем, что (глобальное) отображение ехр определяет
гомоморфизм групп. Действительно, пусть х, у s g.
Выберем такое целое и>0, что — х, —у, —{х + у)
лежат в той области, где ехр является локальным
изоморфизмом. Тогда
ехр (| х) ехр A у} - ехр (-J- (х + у))
Но поскольку элементы ехр I— х\ и ехрf— у] пере-
становочны, мы получаем, возводя в п-ю степень,
ехр (х) ехр (у) = ехр (х + у).
Итак, ехр— гомоморфизм; следовательно, это ото-
бражение является наложением во всех точках, так
что ехр (д) — открытая абелева подгруппа в G. Если
группа G связна, то exp(fl) = G, так как всякая
открытая подгруппа замкнута.

§ 8	Гл. V. Теория Ли	255
Следствие 4. Пусть k — неархимедово поле.
Тогда всякая аналитическая группа G с абелевой
алгеброй Ли % — L (G) содержит открытую подгруппу,
изоморфную группе А", где А — кольцо нормирования
поля k и п — dim G.
Доказательство. Наш результат вытекает из
следующих двух фактов: во-первых, группа СН(%)
совпадает с аддитивной группой д+; во-вторых, С#(д)
содержит открытую подгруппу, изоморфную открытой
подгруппе в G.
Пример (к следствию 4). G — группа точек абеле-
вого многообразия, определенного над полем Q,,.
§ 8. Третья теорема Ли
В этом параграфе & = R или С.
Теорема 1. Пусть G — связная и односвязная ана-
литическая группа (над k), G' — любая другая анали-
тическая группа над k, и пусть g = L(G) и g'=Z.(G/) —
соответствующие алгебры Ли. Тогда отображение
Нотло(О, G')—* HomiA(i], tf) биективно.
Доказательство. Пусть t: $ -> %' — гомомор-
физм алгебр Ли. Мы должны показать, что t = L (ф),
где ф: G —* G' — однозначно определенный аналити-
ческий гомоморфизм. Мы знаем, что гомоморфизм t
единственным образом продолжается до локального
гомоморфизма f: G	> G' (теорема 3.6 и тео-
рема 1.7). График этого отображения Г( с G X С
является локальной аналитической подгруппой. Пусть
(Я, /)— аналитическая группа, индуцированная ло-
кальной группой Tf (см. гл. IV, § 4). Рассмотрим
диаграмму
Н-t+G Х G'
\	I
Ф\	рг,
где ¦ф = рг1ог. Очевидно, ^ — локальный изоморфизм.
Далее, поскольку группа Н связна, а группа 6 одно-

256	Ч. П. Группы Ли	§ 8
связна, -ф является изоморфизмом на открытую под-
группу группы G. В силу связности последней ото-
бражение i]5 сюръективно. Положим <р = рг2 ° / ° т|Г'.
Легко видеть, что отображения <р и / локально сов-
падают; тем самым существование требуемого гомо-
морфизма доказано. Осталось заметить, что два гомо-
морфиза ф! и ф2: G —> С, для которых L (ф!) = L (ф2),
совпадают в некоторой окрестности единицы, а сле-
довательно, совпадают и всюду на G, так как мно-
жество {а: е G/ф, (х) = ф2(лг)} открыто и замкнуто в G.
Теорема 2. Категория связных односвязных
аналитических групп (вещественных или комплексных)
эквивалентна категории конечномерных алгебр Ли.
Доказательство. Теорема вытекает из тео-
ремы 1 и следующей теоремы 3.
Теорема 3 (третья теорема Ли). Для вся-
кой конечномерной алгебры Ли g существует связная
односвязная аналитическая группа G, такая, что
(
Доказательство. Эта теорема была впервые
полностью доказана Картаном. Мы дадим набросок
его доказательства, но сначала приведем более про-
стое доказательство, основанное на мощной теореме
Адо. Заметим прежде всего, что нам достаточно
найти какую-нибудь группу Ли G, такую, что L (G) = g,
поскольку универсальная накрывающая группа связ-
ной компоненты точки eeG будет удовлетворять
всем требуемым условиям.
Доказательство 1. Воспользуемся теоремой
Адо (см. Бурбаки [1], гл. I, § 8, п. 3, или Джекоб-
сон [1], гл. 6, § 2).
Теорема (Адо). Всякая конечномерная алгебра
Ли обладает точным конечномерным линейным пред-
ставлением.
Рассмотрим теперь локальную группу Н, построен-
ную с помощью формулы Кэмпбелла —Хаусдорфа по
алгебре д. Указанное' в теореме Адо точное предста-

§ 8	Гл. V. Теория Ли	257
вление t: g->EndV индуцирует некоторый локальный
гомоморфизм f: H	>GL(V). Но поскольку ?—точ-
ное представление, гомоморфизм f регулярен в точке е,
и, следовательно, Н соответствует локальной подгруппе
группы GL(V). Но в этом случае локальная группа Н
эквивалентна аналитической группе (см. гл. IV, § 4).
Доказательство 2. Частные случаи. Теорема
верна в следующих частных случаях:
1° алгебра g полупроста;
2° алгебра g абелева.
Действительно, в случае 1° отображение ad:g->
~>End(g) инъективно, и мы можем повторить преды-
дущее рассуждение, не прибегая к теореме Адо.
Проще, однако, заметить, что Im(ad) = Der(g) и, сле-
довательно, g = L(Aut(g)) (см. § 3, п. 4, (iv)).
Случай 2° тривиален, так как в качестве группы G
можно взять аддитивную группу самой алгебры д.
Общий случай. Доказательство будем вести индук-
цией по dim g. Если имеет место случай 1° или 2°,
то все доказано. В противном случае, как мы знаем
(см. ч I, гл. VI, § 4), алгебра g есть полупрямое произ-
ведение своих подалгебр $[ и д2, причем с\ж — идеал
алгебры д. Очевидно, dirrui^dimg, i=l, 2.
Пусть ф: g2-^Der(g,) —гомоморфизм, определяю-
щий структуру полупрямого произведения. По индукции
существуют связные односвязные группы Ли G\ и G2,
такие, что L(GI) = g1, L(G2) = g2. Покажем, что g = L(G),
где G — полупрямое произведение групп G\ и G2.
Основные этапы доказательства:
а)	Der(e,) = L(i4,), где Aj = Aut (fl,);
б)	i4!=Aut(Gi) по теореме 1;
в)	группа Ли Л) аналитически действует на
группе G{.
В самом деле, пусть а^А{ и geC. Найдем
окрестность N с А{ точки а и окрестность U точки g,
такие, что. соответствующее отображение N X U—*-G-
аналитично. Пусть Wt с: ^ — окрестность нуля, в ко-
торой сходится формула К^мпбелла _ Хаусдорфа.
Выберем окрестность N cr At (a g= Л^) и окрестность
W2 czWi@^ W2), для которых N {W$ с: Г;. Положим
17 Ж.-П. Серр

258	Ч. П. Группы Ли	§ 8
V = ехр(№2). Действие N X V —> G индуцировано дей-
ствием Л/ X W2-+ W\. Последнее отображение, оче-
видно, аналитично, значит, аналогично и первое.
Поскольку группа Gj связна, существует такое
целое п>0, что g e l/w, где Vм — множество все-
возможных произведений п элементов из V. Мы можем
считать множество V открытым. Множество Vln), бу-
дучи объединением сдвигов окрестности V, тоже будет
открытым. Пусть U = VW, и пусть 0: AtX Gi-*G1 —
действие группы А{ на G{. Покажем, что отображе-
ние 8 аналитично на N X U. Рассмотрим декартово
tt-кратное произведение V" и я-кратное умножение
(г: Vn-*U. Определим отображение 6: NxV'l->G,
положив
... e(bgn).
При таком определении диаграмма
N X V\9
I ^
коммутативна. Далее, отображение 0 аналитично,
и отображение |х: V"—>U есть корегулярный мор-
физм, причем \i(V")= U. Отсюда следует, что 8 ана-
литично.
г) Ввиду связности и односвязности группы G2
отображение ф определяет аналитический гомомор-
физм о];: G2—>-Ai. Введем на многообразии G\XG2
структуру полупрямого произведения по формуле
2, е2)(е„ А) = (i{.(A)g, e2).
Определенная таким образом группа G является
группой Ли, поскольку действие А\ X Gj—>G\ и гомо-
морфизм о); аналитичны. Наконец, несложная про-
верка показывает, что L(G) = g. Теорема доказана.
Теорема 4. Пусть G — связная и односвязная
группа Ли. Для любого идеала ^cr(] = Z.(G) суще-
ствует замкнутая связная и односвязная подгруппа
Ли HczG, такая, что 1() ^

? 8	Гл. V. Теория Ли	259
Доказательство. Пусть К — произвольная ана-
литическая группа с алгеброй Ли ?(/() —дД>. Проек-
ция g->g/ij индуцирует аналитический гомоморфизм
<р: G-*¦ К, так как группа G связна и односвязна.
Связная компонента единицы Я ядра Кегф является
связной замкнутой подгруппой Ли, причем L(H) = f).
Для доказательства односвязности полученной группы
надо воспользоваться тем фактом, что jt2(G/ff) = 0
(поскольку G/H — аналитическая группаI). Из точной
гомотопической последовательности
... -> п2 (G/H) -> Jti (Я) -> Jti (G)
II	II
О	О
получаем Пх (Я) — 0.
Замечание. Вероятно, не существует „простого"
доказательства третьей теоремы Ли. Если бы такое
„простое" доказательство не использовало существенно
локальной компактности полей R и С, то оно распро-
странялось бы на банаховы аналитические группы.
Однако в случае банаховых пространств третья тео-
рема Ли неверна (как недавно было замечено ван
Эстом и другими). Действительно, теорема 4, которая
является формальным следствием теоремы 3, неверна.
Противоречащий пример таков.
Пусть G = GL(H)XGL(H), где Я - бесконечно-
мерное банахово пространство над полем С. Известно,
что группа GL{H) связна и односвязна. Центр
группы G содержит С* X С* и, следовательно, S1 X S1.
Положим Z = S1 X S1. Алгебра Ли 1 = L (Z) содер-
жится в центре алгебры Ли L (G), а потому любое
одномерное подпространство I) cz % является идеалом
в L(G). В качестве ф возьмем алгебру Ли одномер-
ной подгруппы
{(li, v)eS'X Sl\v = o,li}czSl X S\
где а —иррациональное число. Указанная подгруппа
связна и односвязна, однако не замкнута в G.
') См. Милнор [1*], гл. 4, § 21, теорема Ботта. — Прим.
перев.
17*

260	Ч. П. Группы Ли	§9
§ 9. Теоремы Картана
Предположим, что поле k имеет нулевую харак-
теристику и подполе Q cz k плотно в k.
Теорема 1. Всякая замкнутая1) {в топологиче-
ском смысле) локальная подгруппа Н аналитической
группы G аналитична.
Следствие. Замкнутая подгруппа аналитиче-
ской вещественной или р-адической группы, анали-
тична.
Теорема 2. Всякий непрерывный гомоморфизм
q>: G1—>G2 групп Ли над k является аналитическим.
Доказательство. 1°. Теорема 14ФТеорема 2.
Действительно, так как отображение <р непрерывно,
его график Г^с: Gj X G2 является замкнутой подгруп-
пой, которая по теореме 1 аналитична. Проекция
р = pri | Гф есть аналитический гомоморфизм с три-
виальным ядром, так что отображение L (р) инъек-
тив-но и морфизм р регулярен. Но р — гомеоморфизм
и, следовательно, аналитический изоморфизм. По-
скольку Ф = рг2°р~1, аналитичность <р доказана.
2°. Доказательство теоремы 1 для случая k = Qp,
На основании следствия 2 теоремы 4.3.1 и след-
ствия теоремы 5.7.1 мы можем (взяв достаточно ма-
лую окрестность единицы) предполагать, что группа G
изоморфна группе U (cz g = L (G)), построенной с по-
мощью формулы Кэмпбелла —Хаусдорфа, и что Н —
замкнутая подгруппа в G. Отождествим группы G
и U. Операция „возведения в n-ю степень" имеет вид
fn(x) = nx (neZ, n>0). Поэтому элементы вида пх
(где х е Н) лежат в группе Я, причем ввиду замкну-
тости последней это верно для всех п е Ър.
Выберем максимальную линейно независимую си-
стему хь ..., хт^Н над полем Qp. Обозначим че-
рез V подпространство, порожденное этой системой.
Очевидно, HaV, так как иначе система {xt} не
') Точнее, локально замкнутая. — Прим. перев.

§ 9	Гл. V. Теория Ли	261
была бы максимальной. Наше утверждение будет до-
казано, если мы покажем, что Я содержит окрест-
ность нуля в пространстве V. Рассмотрим отобра-
жение
f: Z?-*V,
задаваемое формулой
f(h	tm) = (tiXl)... (tmXm).
Отображение / аналитично; касательное отображение
Df(O) — изоморфизм по построению. Следовательно,
f — наложение в точке 0. Но так как 1т(/)с:Я, это
означает, что Я содержит окрестность нуля в про-
странстве V.
3°. Доказательство теоремы 1 в случае k = R.
Пусть L{G) = <?y, Мы можем считать, что Я —замк-
нутая локальная подгруппа локальной группы U a g,
построенной посредством формулы Кэмпбелла —Хаус-
дорфа. Можно также предполагать, что Я —строгая
подгруппа, т. е.
а)	х, у ^ Н и ху е U =#¦ х у е Я;
б)	^еЯ#г'еЯ.
Положим
V — {х е g| tx e Я для достаточно малых t}.
Иными словами, V содержит такие точки х е <j, для
которых некоторая окрестность нуля прямой, прохо-
дящей через точку х, лежит в Я. Имеет место
Л е м м а. A) Пространство V является подалгеброй
алгебры Ли (|.
B) Допустим, что хп е Я, хп ф 0, п = 1, 2, . . . .
Обозначим через Dn прямую (в пространстве а,), про-
ходящую через точку хп (н точку 0). Предположим,
что хп-+0 и Dn-> D при п->оо. Тогда D а V.
Доказательство. Начнем с конца B). Зафик-
сируем некоторый шар радиуса е с центром в точке 0,
содержащийся в U. Пусть пг — целое положительное
число и ет<=~. Положим

262	Ч. II. Группы Ли	§9
В частности, Sj — шар радиуса гт. Существует такая
константа К,т, что xn&S\ для всех п~^К,т. Возьмем
любое целое положительное число /, такое, что
l<i^.m. Для каждого целого п^Km найдется эле-
мент и'^ вида цхп(ц^2, fi>0), лежащий в Sr
D
Случай т — 2
Так как Dn-*D при п—>оо, некоторая подпоследова-
тельность [уМ] сходится к точке х ^ Str\ D. В силу а)
^еЯ, поскольку Н замкнуто, а у")ей. Итак, мы
доказали следующее утверждение:
(*) для любых целых положительных чисел т и /,
таких, что Ki^m, существует элемент хеЯПД
для которого (i — l)em<| x |<г"ет.
На основании б) множество H(]D располагается
на прямой D симметрично относительно нуля. Из
этого замечания и из утверждения (*) вытекает, что
множество Я всюду плотно в интервале прямой D
длины 2е с центром в точке 0. Но поскольку Н
замкнуто, пересечение Н f\D содержит указанный
интервал, откуда и следует, что DczV.
A) Покажем, что множество V замкнуто относи-
тельно сложения и коммутирования. Пусть х, у е V.
Как показывает формула Кэмпбелла — Хаусдорфа,

§ 9	Гл. V. Теория Ли	263
(см. также гл. IV, § 7, п. 5). Далее, x + y^V и
[х, y]eF, так как прямые, проходящие через х + у
и [х, у], удовлетворяют условиям B) леммы.
Итак, V — подалгебра Ли алгебры а,. Следова-
тельно, пересечение V П U является локальной под-
группой, которая строится по алгебре V с помощью
формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа. Используя усло-
вия а) и б), легко усмотреть, что Н ^з V (] U. Наше
доказательство будет закончено, если мы покажем,
что Я содержится в некоторой окрестности нуля
пространства V. Предположим противное. Тогда су-
ществует последовательность {хп}, такая, что xn^H\V
и хп->0 при п-+оо. Выберем в g прямое дополне-
ние W к V. Поскольку (локальное) отображение
(U7f| U)X(V П U)-*U{(w, v)v->w • v) является по по-
строению наложением в точке 0 (т. е. локальным
изоморфизмом), при достаточно большом п имеется
однозначное разложение xn — wn-vn, где wn e W и
»пе1/. При этом wn и vn->0 при п-*<х>. Поэтому
для достаточно больших п имеем
(так как Н ^>V П U) и wn^ H (ввиду условий а) и
б)). Мы можем, таким образом, с самого начала счи-
тать, что последовательность {хп} лежит в W. Пусть
Dn — прямая, проходящая через точку хп. В силу
компактности проективного пространства Р (It7) под-
последовательность этих прямых сходится к некото-
рой прямой D. Но, согласно утверждению B) нашей
леммы, прямая D содержится в V, — противоречие.
Теорема доказана.
Замечание. Теорему 2 можно сформулировать так:
категория аналитических групп (над R или Qp)
является полной подкатегорией в категории всех ло-
кально компактных топологических групп.
В связи с этим уместен вопрос: при каких усло-
виях локально компактная топологическая группа
является вещественной или р-адической группой Ли?
Вопрос этот имеет смысл, так как ввиду теоремы 2
структура аналитической группы на локальной ком-

264	Гл. V. Теория Ли	Упр.
пактной топологической группе определена одно-
значно.
Ответ на этот вопрос таков.
1)	Вещественный случай (Глисон — Монтгомери—
Зиппин — Ямабе). Группа G не должна содержать
„малых" подгрупп (т. в группе G должна суще-
ствовать окрестность единицы, которая не содержит
никаких подгрупп, кроме тривиальной);
2)	р-адический случай (Лазар1)). Группа G долж-
на содержать открытую подгруппу U со следую-
щими свойствами:
а)	U — конечно порожденная про-р-группа;
б)	коммутант (U, U) лежит в Up2 (множестве р2-х
степеней).
Необходимость в обоих случаях доказывается не-
сложно (см. упражнение 4).
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Пусть k — поле характеристики р?=0, F — фор-
мальный групповой закон (над k), U — соответству-
ющая биалгебра точечных распределений и д —со-
ответствующая алгебра Ли (очевидно, g cr U).
а)	Показать, что g порождает в U подалгебру
размерности рп, где п = dim g.
б)	Показать, что ^е д, если xej (здесь хр обо-
значает р-ю степень х в алгебре U). Показать затем,
что a&{xp) = ad (л;)''.
в)	Пусть a — элемент поля k, не лежащий в про-
стом подполе ?р. Рассмотрим алгебру Ли f) с бази-
сом {X, Y, Z) и соотношениями [X, Y] = Y, [X, Z] = aZ,
[Y, Z] = 0. Показать, что не существует элемента
у е I), для которого ad (у) = ad {X)p. Доказать, что \)
не может быть алгеброй Ли никакой формальной
группы.
2.	Пусть #, = *[[*]] и H2 = k[[Y]}.
а) Предположим, что k — поле. Показать! что лю-
бой гомоморфизм алгебр <р: Я2->Я, допустим (см. § 6).
См. Лазар [3*]. — Прим. перев.

Упр.	Гл. V. Теория Ли	265
б) Предположим, что кольцо k не содержит
нильпотентных элементов (отличных от нуля). Пока-
зать, что любой гомоморфизм алгебр <р: Н2—>Н1 до-
пустим.
3.	Пусть k — числовое поле (т. е. k — R или С),
и пусть ^ — полупростая подалгебра алгебры Ли
группы GL(n, k). Показать, что lj соответствует под-
группе Ли HczGL(n, k). [Указание: использовать
теорему 1.6.5.2.]
4.	Пусть G — стандартная р-адическая группа Ли
(см. гл. IV), и пусть {G,,} — каноническая фильтра-
ция. Показать, что
(Gn, GJczGf, n>2.
5.	Пусть G — вещественная группа Ли с алгеброй
Ли g, t) — подалгебра в-g и Я — аналитическая под-
группа в G, соответствующая подалгебре I)'). Пред-
положим, что Н плотна в G.
а)	Показать, что Ad (g) I) cz fy для всех g e G и
что i) идеал в g.
б)	Пусть G —универсальное накрытие группы G,
Z — ядро эпиморфизма G—> G и Я —аналитическая
подгруппа группы G, соответствующая подалгебре
\) с: д. Известно (теорема 8.4), что Я —замкнутая
подгруппа. Показать, что Я • Z плотно в G и что
GJH — абелева группа (и, значит, д/1) — абелева алгеб-
ра Ли).
в)	Допустим, что алгебра д полупроста. Дока-
зать, что G (как аналитическое многообразие) изо-
морфно Я X Rn, где п — некоторое целое число. До-
') Если Я) — локальная группа, соответствующая алгебре Ij,
то вложение Ц -> ff индуцирует локальный аналитический гомо-
морфизм /: Я, -> G, который определяет локальную аналитиче-
скую подгруппу /(Я,). Согласно § 4 гл. IV, эту локальную под-
группу можно продолжить до аналитической группы Я cz G,
которую и имеет в виду автор. Она, вообще говоря, не являет-
ся подгруппой Ли, но является индуцированной аналитической
группой в смысле § 2 гл. IV. — Прим. ред.

266	Ч. П. Группы Ли	Доб.
казать затем, что п — 0 (т. е. G = Н), если центр
группы Н конечен.
г) Пусть #0 = SLB, R). Показать, что я,(Я0) = г.
Доказать, что универсальное накрытие Н группы Но
может быть вложено в качестве всюду плотной ана-
литической подгруппы в группу Ли произвольной
размерности^ 3.
6. Пусть G — вещественная группа Ли с алгеброй
Ли д, и пусть I) с: g— произвольная подалгебра. Возь-
мем соответствующую аналитическую подгруппу Н
и рассмотрим ее замыкание Я, которое по теореме
Картана является подгруппой Ли. Обозначим через
| алгебру Ли L (Н).	_
а)	Показать, что fyct), lj = |, I), f|ta ^ §i f\h-
б)	Показать, что ?) — идеал в| и что алгебра ~ty/f)
абелева. [Указание: использовать упражнение 5.]
Добавление
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Предположим, что k — поле нулевой характери-
стики.
Теорема. Пусть ф = (<р,, .,., ф/2) — система п
сходящихся формальных степенных рядов от п пе-
ременных. Тогда формальное дифференциальное
уравнение
Т'E) = Ф(ТE)), Т(О) = ОГ,
имеет единственное (формальное) решение, и это ре-
шение сходится.
Доказательство. Рассмотрим два случая.
Случай 1. & = R или С. Запишем
t(s)= 2iansn,
i$\

Доб,	Гл. V. Теория Ли	267
В этих обозначениях наше дифференциальное
уравнение принимает вид
Приравнивая коэффициенты, мы видим, что суще-
ствуют однозначно определенные многочлены Qn (ca,
ат), где | а | < я и т < ft, с целыми положительными
коэффициентами, такие, что
an = — Qn(ca, ат).
Таким образом, индукцией по п устанавливается су-
ществование и единственность формального решения.
Для доказательства сходимости используем ме-
тод мажорант. Предположим, что |ca|^da, где
da — неотрицательное вещественное число. Пусть т =
= 2 bntn — формальное решение для ф(Х) = 2^аХ°.
Справедлива
Лемма. Сходимость ряда т влечет за собой
сходимость ряда т. Точнее, т — мажоранта для т.
Доказательство леммы. Докажем по ин-
дукции, что \ап\^Ьп. При гс = О имеем
аа = Ьо = 0.
Пусть для всех k<n лемма доказана. Тогда
п
< — Qn (da, bm) = .
Лемма доказана.
Заметим, что мы пользовались равенством
1
= —, верным только для числовых полей.
Для того чтобы применить лемму, нам надо
построить подходящее семейство рядов ф = (ф,-) и
явно вычислить соответствующее решение т. Поско-

268	4. tl. Группы Ли	Доб.
льку ряды q>(X) = ((pi(X)) сходятся, существуют по-
ложительные константы М и R, такие, что
Пусть da= [а| ¦ Ясно, что |са|<с?а. Далее,
IK-*)
В силу единственности решение x(s) можно искать
в виде x(s) = (о(s), ... , cr(s)), где a(s) — формальное
решение одного дифференциального уравнения
и \ м
a' (s) = -.	, . . .
Г R )
Для cr(s) можно указать явную формулу, из кото-
рой и будет вытекать сходимость. Именно:
Действительно, дифференцируя равенство
1	р;— =
и используя формулу (*), мы видим, что o(s) удов-
летворяет требуемому дифференциальному уравне-
нию.
Случай 2. Поле k неархимедово.
Так как ряды ф (X) = (ф,- (X)) сходятся, мы можем
(применяя, если надо, преобразование подобия) счи-
тать, что все коэффициенты лежат в кольце норми-
рования А.
Запишем

Доб.	Гл. V. Теория Ли	269
Наше дифференциальное уравнение принимает
вид
т>1
Используя тот факт, что биномиальные коэффи-
циенты лежат в Z, находим, что
ал= Qn(ca, am), |a|<n, m<n,
где Qn — однозначно определенные многочлены с це-
лыми коэффициентами. Это доказывает единствен-
ность и существование формального решения. По
индукции все коэффициенты ап лежат в А, так как
са е А. Следовательно, по лемме 4 § 4 t(s) мажо-
рируется вещественным рядом
Zi а"'
где 0<a*^l. Этот ряд как геометрическая прогрес-
сия сходится при достаточно малых г, что и завер-
шает доказательство.

Часть
Комплексные полупростые
алгебры Ли
Посвящаю
Клодин и Лиз
Эти заметки — запись курса лекций, прочитанного
мной в Алжире с 10 по 21 мая 1965 г. Содержание
их следующее.
Первые две главы представляют собой сводку
результатов (без доказательств), относящихся к об-
щим свойствам нильпотентных, разрешимых и полу-
простых алгебр Ли1). Результаты эти хорошо известны,
и читатель может их найти, например, в первой
главе книги Бурбаки или в моем харвардском курсе.
Доказательства основных теорем довольно подробны.
В нескольких местах мне показалось целесообразным
привести без доказательства некоторые дополнитель-
ные факты; они отмечены звездочкой,
В последней главе указывается, без доказательств,
как переходить от алгебр Ли к группам Ли (ком-
плексным, а также компактным). Эта глава —лишь
простое введение, призванное подвести читателя
к теории алгебраических групп и топологии групп Ли.
Я счастлив выразить здесь признательность Пьеру
Жигору и Даниэлю Леману, отредактировавшим
первоначальный вариант заметок, а также мадемуа-
зель Франсуаз Пеша, отпечатавшей рукопись.
Ж.-П. С.
') При переводе эти две главы опущены. — Прим. перев,

Глава III1)
ПОДАЛГЕБРЫ КАРТАНА
В этой главе (за исключением § 6) основным по-
лем является поле С комплексных чисел. Все рас-
сматриваемые алгебры Ли имеют над полем С ко-
нечную размерность.
§ 1. Определение подалгебр Картана
Пусть (\ — алгебра Ли и а —ее подалгебра. Напом-
ним, что нормализатором подалгебры а в алгебре g
называется множество
n (a) = {Jteg| ad x (а)сга}.
Нормализатор является наибольшей подалгеброй в д,
содержащей алгебру а в качестве идеала.
Определение 1. Подалгебра §crg называется
подалгеброй Картана (алгебры д), если она удовлет-
воряет следующим условиям:
(а)	f) — нильпотентная алгебра;
(б)	lj совпадает со своим нормализатором (т. е.
Немного позже (§ 3) мы увидим, что любая ал-
гебра обладает подалгеброй Картана.
§ 2. Регулярные элементы. Ранг
Пусть g — алгебра Ли. Для каждого элемента
jceg обозначим через РХ{Т) характеристический мно-
гочлен эндоморфизма ad x алгебры д:
Px(T) = d<zt(T-adx).
') Напомним, что главы I и II при переводе опущены. ~
Пр и. ред.
IS Ж.-п. Сер?

271	4. 111. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 2
Многочлен Pjc(T) можно расписать по степеням Т:
1
1-0
где п = dim g. Если в алгебре а, зафиксировать не-
который базис, то любому элементу *€=$ будет от-
вечать набор комплексных чисел (хи ..., хп), так
что коэффициенты а, (х) мы можем рассматривать
как функции от п комплексных переменных хи .. .
. . ., хп. Непосредственно проверяется, что эти функ-
ции являются однородными многочленами от хи ...
. .., хп степени п — L
Определение 2. Назовем рангом алгебры $
минимальное целое число /, для которого функция
at(x), определенная выше, не равна тождественно
нулю. При этом элемент х^$ мы будем называть
регулярным, если и[(х)фО.
Замечание. Поскольку ап—\, то заведомо 1-^.п;
равенство имеет место тогда и только тогда, когда i]
нильпотентна. С другой стороны, для любого нену-
левого элемента алгебры g имеем ас1лг(л:) = О. Это
показывает, что число 0 является собственным зна-
чением эндоморфизма ad х. Поэтому а0 = 0 и 1~^\
(при условии, что ФО)
Предложение 1. Пусть g — алгебра Ли. Мно-
жество %г ее регулярных элементов открыто, всюду
плотно в а, и связно {относительно обычной тополо-
гии, которой наделяется любое конечномерное ком-
плексное векторное пространство).
Доказательство. По определению gr = g
где V — множество нулей полиномиальной функции аг.
Очевидно, V — замкнутое множество, a J,- откры-
тое. Если бы множество V имело внутреннюю точку,
то в ее окрестности многочлен at обращался бы
в нуль и потому равнялся бы нулю тождественно,
что невозможно по определению ранга. Пусть, на-
конец, х, у — любые два элемента из множества gr.
Комплексная прямая D, проходящая через х и у,

§ 3	Гл. HI. Подалгебры Картана	275
пересекает V в конечном числе точек. Отсюда сле-
дует, что пересечение D П &¦ связно, так что точки х
и у лежат в одной связной компоненте множества gr.
Таким образом, множество %г связно, поскольку
точки л; и у выбирались произвольно.
§ 3. Подалгебра Картана, ассоциированная
с регулярным элементом
Пусть х — элемент алгебры Ли g и Я — любое ком-
плексное число. Обозначим через дх ни ль -простран-
ство оператора ad Ос) —Я,, т. е. множество таких эле-
ментов #&з, которые аннулируются достаточно боль-
шой степенью оператора ad(jt) —Я,.
В частности, $° является ниль-пространством
эндоморфизма adx. Размерность этого пространства
равняется кратности нулевого корня многочлена
Рд.(ГI), т. е. наименьшему целому числу i, для ко-
торого а{(х)=?0.
Предложение 2. Пусть лгед. Тогда
(а)	алгебра % разлагается в прямую сумму про-
странств д?;
(б)	[?, 85]=8^, где Я, цеС;
(в)	д° — подалгебра Ли алгебры д.
Доказательство. Утверждение (а) получается
применением к ad x стандартных свойств эндомор-
физмов векторных пространств. Для доказательства
свойства (б) нам нужно установить, что [у, z]eg?+ti,
если г/eg^ и гед^. Имеет место рекуррентная фор-
мула
(ad х - Я - ц)" [г/, г] = S С^ [(ad * - Я)р г/, (ad а: - цГ'г]
(справедливость ее легко доказывается индукцией
по п). При достаточно большом п все члены справа
обращаются в нуль, и мы получаем, что [у, z] e g^+!i.
') См. часть I, гл. V, § Q. — Прим. перев.
18*

276	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 3
Свойство (в) есть частный случай свойства (б) при
Теорема 1. Если х — регулярный элемент, то
алгебра д° является подалгеброй Картана алгебры д;
размерность этой подалгебры равна I {рангу ал-
гебры д).
Доказательство. Покажем вначале, что ал-
гебра д° нильпотентна. Для этого, согласно теореме
Энгеля, нужно показать, что ограничение любого
эндоморфизма ad%y на %х(у^(\х) нилытотентно. Обоз-
начим через adly это ограничение, а через ad2// —
соответствующий эндоморфизм факторпространства
g/g°. Положим
U — {y^ifx\ оператор ad1y не нильпотентен},
F = |#&VJ| оператор ad2y обратим].
Множества U и V открыты в д°, причем множество V
непусто, так как оно содержит элемент х. Поскольку V
является дополнением к алгебраическому подмного-
образию (над С) в пространстве %°х, то это множество
всюду плотно в §х- П° аналогичным соображениям
множество U тоже всюду плотно (если оно непусто!),
и, следовательно, Uf)VФ0. Пусть y^Uf\V. Эндо-
морфизм adly имеет 0 своим собственным значением,
однако кратность его строго меньше dim %°x, так как
г/е[/, Как уже отмечалось, dimg° = /. С другой сто-
роны, y^V, и поэтому число 0 не является собствен-
ным значением эндоморфизма ad2y. Отсюда легко
вытекает, что кратность нуля как собственного зна-
чения оператора ad у та же, что и для ad1y, и, сле-
довательно, строго меньше /. Последнее противоре-
чит определению числа /, и мы заключаем, что мно-
жество U пусто, т. е. алгебра д° нильпотентна.
Покажем теперь, что алгебра д^ совпадает со
своим нормализатором н(д°). Пусть zen(g°). Тогда
adz(g°)c я? и, в частности, [г, x]^q°x. По опреде-
лению алгебры д° существует такое целое р, что

§ 4	Гл. 111. Подалгебры Картами	277
(adx)p([z, л:]) = 0. Последнее равенство равносильно
тому, что (adx)p+lz = О, а это и означает, что
Замечание. Приведенная выше теорема позволяет
строить подалгебры Картана вида fl°; как мы уви-
дим дальше, такими подалгебрами исчерпываются
все подалгебры Картана.
§ 4. Сопряженность подалгебр Картана
Пусть $ — алгебра Ли. Обозначим через G группу
внутренних автоморфизмов этой алгебры, т. е. под-
группу группы Aut(g), порожденную элементами
вида eady, где г/eEfl.
Теорема 2. Группа G действует транзитивно
на множестве всех подалгебр Картана алгебры д.
Из теорем 1 и 2 вытекает
Следствие 1. Размерность любой подалгебры
Картана равна рангу алгебры д.
Следствие 2. Все подалгебры Картана имеют
вид д°, где х — регулярный элемент алгебры %.
Доказательство теоремы разобьем на две части.
Первая часть доказательства. Пусть ф — некоторая
подалгебра Картана алгебры д. Символом ad1* (со-
ответственно ad2*), где х — элемент алгебры fy, обо-
значим эндоморфизм пространства i) (соответственно
9/|), индуцированный эндоморфизмом ad&x.
Лемма 1. Множество
У = [jc e 11 ad^ — обратимый оператор)
непусто.
Доказательство. Применяя теорему Ли
к ^-модулю g/lj, получаем флаг подпространств
О = Ко с К, с ... с1/т = й,

278	Ч. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 4
инвариантных относительно §. Действие алгебры ^
на одномерном пространстве V ilV i-\ задается линей-
ной формой а,-, такой, что
xv = at (х) v (mod F/_i), где х е fj и oeF,.
(Для простоты мы пишем здесь xv вместо ad2x(v).)
Числа а{(х), ..., аш(х) являются, таким образом,
собственными значениями оператора ad2.v. Нам
остается, следовательно, показать, что ни одна из
форм а?- не равна тождественно нулю. Пусть, напро-
тив, «! =т^= 0, ..., aft_] Ф О, но afe = 0. Выберем такой
элемент ха <= i), что а, (х0) ф 0, .... afe_, (xa) Ф 0. Огра-
ничение эндоморфизма ad2x0 на VVi является обра-
тимым эндоморфизмом; ограничение эндоморфизма
ad2A:0 на Vk уже необратимо и имеет число 0 своим
собственным значением (кратности 1). Ниль-простран-
ство V оператора ad2x0 (в пространстве Vk) имеет
поэтому размерность 1 и является прямым дополне-
нием к пространству Vk-i-
Покажем, что любой элемент v' e V аннулируется
произвольным эндоморфизмом вида ad2x, где xefj.
В случае когда х — х0, это очевидно. С другой сто-
роны, для любого п имеет место формула
хп (хо') = ((ad xo)n x) v' (x e $, v' e V')
(она легко доказывается по индукции). Так как ал-
гебра ^ нильпотентна, то при достаточно большом п
имеем (ad хо)пх = 0. Отсюда видно, что элемент xv'
лежит в ниль-пространстве оператора ad2 х0, т. е.
xv'^V. Вспомним теперь, что ad2л: отображает Vk
в Vk-i- Но если так, то xv' e Vk-\ П У, т. е. xv' = 0.
Итак, мы доказали, что алгебра I) аннулирует V.
Возьмем в V произвольный ненулевой элемент v' и
выберем любого его представителя z в алгебре д.
Равенство xv' — О (для всех i;e|) означает, что
[х, z] е $ (для всех х е ^).
Таким образом, z лежит в нормализаторе tt(t)).
Однако по условию z ф. ?) (так как v' ф 0), что не-

§ 4	Гл. III. Подалгебры Картана	279
медленно приводит к противоречию, поскольку n(l)) = f)
по определению подалгебры Картана.
Лемма 2. Множество W = G (V) = (J gV всех
элементов, получаемых из элементов множества V ав-
томорфизмами из группы G, открыто в д.
Доказательство. Пусть xeF. Нам нужно
показать, что W содержит некоторую окрестность
элемента х. Рассмотрим отображение (g, v)*—^gv
произведения G X V в алгебру д. Обозначим через 9
дифференциал этого отображения в точке A, х) (т. е.
соответствующее отображение касательных про-
странств). Нам надо установить, что образ 6 запол-
няет все пространство <]. Этот образ содержит во
всяком случае касательное пространство к V, т. е.
пространство i). С другой стороны, касательным век-
тором кривой
t и-» ei ad (у) (x)=l + t[y, x]+ ... (i/e(?)
в точке 0 является элемент [у, х]. Отсюда вытекает,
что adx(ij) cr 1т(в). Но так как adx определяет
автоморфизм пространства ф) (хеК!), мы получаем
ad*(fi) + l) = fl,
что ввиду сказанного выше дает равенство Im@) = fl.
По известной теореме о неявных функциях заклю-
чаем, что отображение G X V -*¦ § является открытым
в точке A, х), а это по существу и есть утвержде-
ние нашей леммы.
Лемма 3. Существует регулярный элемент xeij,
такой, что I) = $°.
Доказательство. Сохраним все предыдущие
обозначения. Леммы 1 и 2 показывают, что множе-
ство W открыто и непусто. Таким образом, множе-
ство gr регулярных элементов алгебры g (см. предло-
жение 1) имеет с множеством W непустое пересече-
ние. Ясно, что элемент х регулярен (ж е V), если
регулярен элемент gx(g ^ G). Мы можем считать
поэтому, что V содержит по крайней мере один регу-

280	4. I/I. Комплексные полцпростые алгебры Ли	§ 4
лярный элемент х. Замечая, что ad1 x — нильпотент-
ныи эндоморфизм, a ad2x — обратимый, мы получаем,
что § = д°-.
Вторая часть доказательства. В силу леммы 3
все подалгебры Картана в алгебре g имеют вид
д°(л:едл). Введем в множестве gr следующее отно-
шение эквивалентности R:
R(x, г/)#фалгебры д° и д° сопряжены относительно G.
Лемма 4. Классы эквивалентности отношения R
являются открытыми множествами.
Доказательство. Пусть хе§г. Мы должны
найти такую окрестность U этого элемента в дг> что
любой элемент г/е U эквивалентен х. Применим ре-
зультаты, полученные в первой части, к подалгебре
Картана ^ = д°. Соответствующее множество V со-
держит, конечно, элемент х (см. предложение 2).
По лемме 2 множество G (V) открыто в g и имеет
с открытым всюду плотным множеством аг непустое
пересечение. Положим U = G (V) Л gr- Если у ен U,
то у есть регулярный элемент и имеет вид gx\ где
g e G и /eF (следовательно, х' тоже регулярный
элемент). Имеем
а это и означает эквивалентность элементов х и у.
Итак, связное (предложение 1) множество gr рас-
падается в сумму непересекающихся открытых мно-
жеств (классов эквивалентности). Из сказанного ясно,
что класс эквивалентности может быть только один.
Теорема 2, таким образом, полностью доказана.
Замечание. Теорема 2 остается справедливой, если
группу G заменить подгруппой, порожденной эле-
ментами еайУ, где ad у — нильпотентныи эндоморфизм.
В такой форме эта теорема была распространена
Шевалле на случай произвольного основного поля
(алгебраически замкнутого нулевой характеристики).
Доказательство читатель сможет найти, например,
в главе 12 семинара „Софус Ли".

§ 5	Гл. HI. Подалгебры Картана	281
§ 5. Случай полупростой алгебры
Теорема 3. Пусть | — подалгебра Картана по-
лупростой алгебры Ли а,. Тогда
(а)	^ — абелева алгебра;
(б)	все элементы подалгебры t) полупросты;
(в)	централизатор подалгебры ^ (г. е. множество
совпадает с fy,
(г) ограничение формы Киллинга на ^ невыро-
ждено.
Доказательство, (г) По следствию 2 тео-
ремы 2 найдется регулярный элемент х, такой, что
f) = 8°. Пусть
* X ФО Х
— разложение, соответствующее эндоморфизму adx
(см. предложение 2). Несложное вычисление показы-
вает, что пространства д? и д? ортогональны друг
другу (относительно формы Киллинга В) в том и
только в том случае, когда Х + \i ф 0. Отсюда видно,
что алгебра g разлагается в прямую сумму попарно
ортогональных подпространств:
Так как форма В невырождена, ее ограничение на
каждое из этих подпространств, и в частности на
Ь — 9°> тоже невырождено.
(а) Применяя критерий Картана (см. часть I,
гл. V, § 7) к представлению ad: t}->Endg, получаем
Tr (ad х ° ad у) = 0, если jcs|h je[|, |]. Иными сло-
вами, [f), Щ ортогонально к f) относительно формы
Киллинга. Поскольку свойство (г) уже доказано, это
влечет за собой равенство [f), Щ = 0.
(в) Так как подалгебра | абелева, она содержится
в своем централизаторе с (fy). С другой стороны, ясно,
что с (§) лежит в нормализаторе п(^). Но известно,
что 1? = иA)), поэтому с ($) = &.

282	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 6
(б) Пусть х е Ь, и пусть х = s + п — каноническое
разложение на полупростую и нильпотентную ком-
поненты соответственно (см. часть I, гл. VI, § 5).
Любой элемент </sl) коммутирует с х (см. (а)), по-
этому он коммутирует с его компонентами s и п,
т. е. s и п лежат в c(fj) = f). С другой стороны, по-
скольку у и п коммутируют, a adra — нильпотентный
оператор, мы видим, что ad у о ad п — тоже нильпо-
тентный оператор и его след В (у, п) равен нулю.
Таким образом, элемент п, принадлежащий подал-
гебре I), ортогонален ко всем ее элементам. Ввиду (г)
это означает, что /г = 0, т. е. элемент х = s полу-
прост, как и утверждалось.
Свойство (в) можно переформулировать так:
Следствие 1. Подалгебра Картана является
максимальной абелевой подалгеброй полупростой
алгебры д.
Следствие 2. Каждый регулярный элемент
в полупростой алгебре полупрост.
Для доказательства следует лишь заметить, что
любой регулярный элемент х содержится в подалгебре
Картана д°.
Замечание. Можно было бы показать, что всякая
максимальная абелева подалгебра, состоящая из по-
лупростых элементов, является подалгеброй Картана.
Напротив, существуют при g Ф 0 максимальные абе-
левы подалгебры алгебры д, содержащие ненулевые
нильпотентные элементы и тем самым не являющиеся
подалгебрами Картана.
§ 6. Вещественные алгебры Ли
Пусть д0—алгебра Ли над полем вещественных
чисел R, а алгебра g = g0 ® rC — ее комплексифика-
ция. Определения подалгебры Картана, регулярного
элемента и ранга для вещественных алгебр форму-
лируются точно так же, как и для комплексных.
Заметим, что ранг алгебры (\0 (над R) и ранг алгебры g
(над С) равны и что подалгебра % с: д0 тогда и

§ 6	Гл. III, Подалгебра Картана	283
только тогда является подалгеброй Картана, когда
ее комплексификация lH (g> rC является подалгеброй
Картана в д. Хотя теоремы 1 и 3 остаются верными
и в вещественном случае (первая, в частности, дока-
зывает существование подалгебр Картана), этого уже
нельзя сказать о теореме 2. Можно только утвер-
ждать, что подалгебры Картана алгебры % распа-
даются на конечное число классов сопряженности
относительно внутренних автоморфизмов. (Последнее
объясняется тем, что множество регулярных элемен-
тов алгебры д0 не обязательно связно, а является
лишь объединением конечного числа связных откры-
тых множеств.) Явное описание этих классов можно
найти в работе Костанта [1].

Глава IV1)
АЛГЕБРА si B) И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
В этой главе (за исключением § 6) основным по-
лем является поле С комплексных чисел.
§ 1. Алгебра Ли si B)
Эта алгебра состоит, как известно, из квадратных
матриц второго порядка с нулевым следом; обозна-
чим ее для краткости через $. Легко проверяется,
что алгебра % проста, имеет ранг 1 и естественный
базис из трех элементов
° М Н-11 °) Y-l° °
0 0J' "~\0 -1/' Г~\1 О
Непосредственное вычисление показывает, что
[X, Y] = Н, [Н, X] = 2Х, [Н, Y]=- 2Y.
Отсюда видно, что эндоморфизм ad (Я) полупрост и
имеет три собственных значения: 2, 0, —2. Прямая
| = С • Я, проходящая через Н, является подалгеброй
Картана, которую называют также канонической под-
алгеброй.
Элементы X и Y нильпотентны. Подалгебра Ъ с д,
порожденная Н и X, разрешима (Ь есть не что иное,
как подалгебра Бореля алгебры дJ).
') Основная часть результатов этой главы содержится по су-
ществу в гл. VII ч. I. Однако в дальнейшем автору понадобятся
в явном виде свойства алгебры si B). Поэтому было признано
целесообразным перевести настоящую главу. — Прим. перев.
2) Определение подалгебры Бореля будет дано в гл. VI. —
Прим. перев.

§ 2	Гл. IV. Алгебра slB) и ее представления	285
§ 2. Модули, веса, примитивные элементы
Пусть V — некоторый g-модуль (не обязательно ко-
нечной размерности). Пусть Vх AеС)-собственное
подпространство оператора Н в пространстве V с соб-
ственным значением Я, т. е.
Об элементах из Vх мы будем говорить, что они
имеют вес X.
Предложение 1. (а) Сумма 2 Vх (в про-
1ёс
странстве V) является прямой суммой.
(б) Если элемент х имеет вес X, то Хх имеет вес
X + 2, а Ух-вес Х-2.
Доказательство. Свойство (а) выражает лишь
тот известный факт, что векторы, отвечающие раз-
личным собственным значениям, линейно независимы.
Далее, если Нх = Хх, то
НХх = [Н, Н]х + ХНх = 2Х,
т. е. вектор Хх имеет вес X + 2.
Аналогичное вычисление показывает, что вектор Yx
имеет вес Х — 2.
Замечание. Если пространство V конечномерно,
то сумма 2 Vх равна V (см. предложение 1.7.2.2).
Это, вообще говоря, уже неверно в бесконечномерном
случае.
Определение 1. Пусть V — произвольный д-мо-
дуль и Я — комплексное число. Мы скажем, что эле-
мент eeF является примитивным элементом веса X,
если х =? 0 я если
Хе = 0 и Не = Хе.
Предложение 2. Для того чтобы ненулевой
вектор е модуля V был примитивен, необходимо и
достаточно, чтобы прямая, проходящая через вектор е,
была инвариантна относительно пода ггебры Бореля Ь,

286	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 3
Доказательство. Необходимость очевидна.
Докажем достаточность. Если прямая Се инвариантна
относительно алгебры Ь, то Хе = fie и Не — Хе, где
A, 1еС. Из формулы [Я, Х] — 2Х видно, что 2ц = О,
т.е. ji = 0, и, значит, элемент е примитивен.
Предложение 3. Каждый ^-модуль конечной
размерности содержит примитивный элемент.
Для доказательства достаточно применить тео-
рему Ли (см. ч. I, гл. V, § 5).
[Другое доказательство. Рассмотрим произ-
вольный собственный (относительно Н) вектор х и
возьмем последний ненулевой элемент в последова-
тельности
X) J\Xj J\ Xt • * . ¦
Он и будет примитивным.]
§ 3. Строение подмодуля, порожденного
примитивным элементом
Теорема 1. Пусть V — некоторый ^-модуль и
eel/ — его примитивный элемент веса К. Положим
еп = Yne/n\ при п > 0 и е_, = 0. Тогда
(i) Hen = (l-2n)en,
(И) Yen = {n+l)en+1,
(iii) Xen=(k-n+l)en.i
для всех га^О.
Доказательство. Формула (i), выражающая
тот факт, что вектор еп имеет вес К — 2п, есть пря-
мое следствие предложения 1.
Формула (ii) очевидна.
Формула (iii) доказывается индукцией по п. При
п = 0 формула справедлива, так как е_! = 0 и Хе = 0.
При я^О имеем
пХеп = XYen.x = [X, Y] е„_,
= ((Я. - 2га + 2) + (Я. - я + 2) (п - 1))

§ S	Гл. IV. Алгебра slB) и ее представления	287
Деля это равенство на п, получаем формулу (ш).
Следствие 1. Возможны только два случая:
(а)	все векторы {еп} (/г^О) линейно независимы;
(б)	вес X вектора е есть целое число пг^О, такое,
что векторы е0, ..., ет линейно независимы и е; = О
при i>m.
Доказательство. Поскольку все элементы
в последовательности
ео = е, еи е2, ...
имеют различные веса, ненулевые элементы этой по-
следовательности линейно независимы. Если все эле-
менты отличны от нуля, то мы, очевидно, приходим
к случаю (а). В противном случае существует такое
целое число т^О, что е0) ..., ет не равны нулю,
а ет+] = 0 (и тем более ет+2 = ет+3 = ... = 0). Приме-
няя формулу (Hi) при п = т + 1, получаем
Хет+1 = (I - т) ет.
Но по условию ет+1 = 0 и ет Ф 0, откуда и вытекает,
что Л = т.
Следствие 2. Допустим, что модуль V имеет
конечную размерность (т. е. случай (а) следствия 1
исключается). Тогда подпространство W с: V, порож-
денное векторами {е0) .. ., ет}, является ([-подмоду-
лем (т. е. инвариантно относительно д), и притом не-
приводимым.
Доказательство. Формулы (i), (ii) и (iii) по-
казывают, что подпространство W инвариантно отно-
сительно д. Согласно (i), собственные значения опе-
ратора Я равны пг, пг — 2, пг — 4, ..., — пг, причем
кратность их равна 1. Поэтому если W содержит
подпространство W, инвариантное относительно Я,
то один из векторов е( @ ^ i ^ пг) лежит в W. Если,
кроме того, пространство W инвариантно относи-
тельно д, то оно содержит в силу формулы {iii) век-
торы e,-_i, ..., ео = е, а в силу формулы (ii) —векторы
et, ei+\	Следовательно, W'= W, т.е. ^ — непри-
водимый g-модуль.

288	4, III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 4
§ 4. Модули Wm
Пусть m — целое неотрицательное число и Wm —
векторное пространство размерности ш+1 с фикси-
рованным базисом {е0, ..., ет}. Определим действие
элементов X, Y, Н на пространстве Wm следующими
формулами:
(i) Неп = (т~2п)еп,
(и) Yen = (n + l)en+I,
(iii) Xen = (m-n+ 1)е„.
(Мы считаем здесь, что em+l = e_i = 0.) Простая про-
верка показывает, что
НХеп - ХНеп = 2Хеп,
HYen-YHen=-2Yen,
XYen - YXen = Неп.
Другими словами, эндоморфизмы X, Y, Н наде-
ляют Wm структурой д-модуля.
Теорема 2. (a) Wm — неприводимый %-модуль.
(б) Всякий неприводимый %-модуль размерности
m + 1 изоморфен Wm.
Доказательство, (а) легко следует из след-
ствия 2 теоремы 1, если заметить, что е0 — примитив-
ный элемент веса пг.
(б) Пусть V — неприводимый g-модуль, dim V =
= m + l. Согласно следствию 3, V содержит прими-
тивный элемент. Следствие 2 теоремы 1 показывает,
что вес элемента е есть целое неотрицательное
число т' и подмодуль W, порожденный вектором е,
имеет размерность т'+1. Так как V неприводим,
W совпадает с V и т' = т. Изоморфизм д-модулей
V и Wm следует теперь из формул (i), (ii), (iii) тео-
ремы 3.1.
Примеры. Модуль №0 есть тривиальный д-модуль
размерности 1. Пространство С X С, наделенное есте-
ственной структурой g-модуля, изоморфно W\. Ал-
гебра д, рассматриваемая как g-модуль относительно
присоединенного представления, изоморфна W^.

§ 5	Гл. IV. Алгебра slB) и ее представления	289
Замечание. Можно показать, что модуль Wm изо-
морфен пг-й симметрической степени модуля W\ = С2.
§ 5. Строение конечномерных g-модулей
Теорема 3. Всякий а,-модуль конечной размер-
ности изоморфен прямой сумме модулей вида Wm.
Доказательство. В самом деле, по теореме
Вейля (см. ч. I, гл. VI, § 3) любой конечномерный
g-модуль есть прямая сумма своих неприводимых
подмодулей. Наша теорема вытекает поэтому из до-
казанного ранее утверждения о том, что неприводи-
мый g-модуль изоморфен модулю вида Wm.
Теорема 4. Пусть V — некоторый ^-модуль ко-
нечной размерности. Тогда
(а)	Эндоморфизм пространства V, определенный
элементом Н, полупрост. Его собственные значения
являются целыми числами. Если п — собственное зна-
чение оператора Н, то таковыми являются также
числа п — 2, п — 4, . . ., — п.
(б)	Линейные отображения
Г: Vn^V'n и Х'г: V~n-*Vn
являются изоморфизмами. В частности, Vn и V~n
имеют одинаковую размерность.
(Напомним, что V" обозначает множество всех
элементов пространства V, имеющих вес п.)
Доказательство. Теорема 3 позволяет свести
все эти утверждения к случаю, когда V = Wm. Но
в этом частном случае, как показывают формулы
теоремы 1, свойства (а) и (б) очевидны.
Замечания. 1. Тот факт, что пространства Vn и V~n
имеют одну и ту же размерность, можно было бы дока-
зать, воспользовавшись автоморфизмом 9 = ехеуе~х
пространства V. (Заметим, что X и Y — нильпотент-
ные операторы на V, так что все экспоненты суть
многочлены.) Легко показать, что
19 Ж.-П. Серр

290	Ч III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 6
Из последнего соотношения вытекает, что 8 пере-
водит V" в V~\
2. Укажем одно применение теорем 3 и 4, не свя-
занное с интерпретацией алгебры si B) как алгебры
Ли группы SLB). Пусть Л —компактное кэлерово
многообразие (комплексной) размерности п, и пусть
V — пространство когомологий Н'(А, С). Согласно
теории Ходжа, с кэлеровой структурой на много-
образии А ассоциируются эндоморфизмы Л и ? про-
странства Y (см. Вейль А. [Г], гл. IV); обозначим
их через X и Y. Действие элемента Н на V опре-
делим формулой Нх = (п — р)х, где х<^Нр(А, С).
Такое определение снабжает пространство V струк-
турой g-модуля (см. цитированную выше книгу Вейля).
Применяя к этому модулю теоремы 3 и 4, мы при-
ходим кизгестным теоремам Ходжа о „примитивных"
классах когомологий.
§ 6. Топологические свойства группы SL B)
Рассмотрим группу SLB) комплексных квадрат-
ных матриц второго порядка с определителем 1; она
является комплексной группой Ли, и ее алгеброй Ли
служит алгебра si B). Элементы X, Y, H e si B) опре-
деляют в группе SL B) однопараметрические подгруппы
1 t\	/1 0\	/е< 0
0 1/' е \t 1/' е ДО е-
Далее, в группе SLB) содержится подгруппа
SUB), состоящая из унитарных матриц; это веще-
ственная компактная группа Ли, алгебру Ли которой
мы обозначим через suB).
Теорема 5. (а) Группа SLB) изоморфна (как
вещественное аналитическое многообразие) прямому
произведению SUB)X R3.
(б)	Группа SUB) изоморфна (как группа Ли)
группе кватернионов с единичной нормой и гомео-
морфна (как топологическое пространство) сфере S3.
(в)	Группы SUB) и SLB) связны и односвязны.

§6	Га IV. Алгебра slB) и ее представления	291
(г) Алгебра Ли si B) естественным образом ото-
ждествляется с комплексификацией вещественной
алгебры Ли suB), т. е. si B) = suB) (gRC = s«B)©
Ф isu B).
Доказательство. Утверждение (б) хорошо
известно и мы не будем на нем останавливаться.
Далее, алгебра su B) есть не что иное, как алгебра
Ли косоэрмитовых матриц со следом 0. При этом
очевидно, что sl{2) = su{2)@P, где через Р мы обо-
значили множество эрмитовых матриц с нулевым
следом. Свойство (г), таким образом, тоже доказано.
С другой стороны, элементарные вычисления по-
казывают, что отображение
(U, P)*-*U -ер
устанавливает изоморфизм (вещественных аналити-
ческих многообразий) SUB)XP и SLB). Но мно-
жество Р, будучи трехмерным векторным простран-
ством, изоморфно R3, так что SL B), как и утвер-
ждалось в пункте (а), гомеоморфно R3.
Утверждение (в) вытекает из (б), если учесть, что
сфера S3 связна и односвязна.
„Унитарный прием" Вейля принимает, таким обра-
зом, следующий вид:
Теорема 6. Для всякой комплексной группы
Ли G с алгеброй Ли g указанные ниже канонические
отображения суть биекции:
Homc(SLB), G)— ¦>HomR(St/B), G)
|	1
Home (si B), g) ^>HomR(s«B), g)
(Символ Homc (SL B), G) обозначает здесь мно-
жество аналитических комплексных гомоморфизмов
группы SLB) в группу G; соответственно символ
HomR(sMB), g) обозначает множество R-гомоморфиз-
мов алгебры Ли su B) в алгебру Ли g и т. д. Ото-
бражения а и у суть не что иное, как отображения
ограничения; отображения р и б определяются стан-
19*

292	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 7
дартным функтором, переводящим группы Ли в со-
ответствующие алгебры Ли.)
Доказательство. Отображения р и б биек-
тивны, поскольку группы SL B) и SUB) связны и
односвязны. Отображение у биективно, поскольку
si B) — комплексификация вещественной алгебры su B).
Наконец, биективность отображения а (заранее не
очевидная) вытекает из коммутативности нашей диа-
граммы.
Следствие. Конечномерные линейные предста-
вления групп и алгебр Ли SLB), SU B), si B), suB)
находятся в биективном соответствии друг с другом.
Для доказательства достаточно применить тео-
рему 6 к линейной группе G = GL (п, С), п = 0, 1, ....
§ 7. Приложения
Глобальные результаты предыдущего параграфа
позволяют иначе доказать некоторые свойства si B)-
модулей. Например:
(i) Полная приводимость конечномерных s/B)-
модулей вытекает из следствия теоремы 6, согласно
которому эти модули биективно соответствуют линей-
ным представлениям компактной группы SUB).
(ii) Тот факт, что собственными значениями опе-
ратора Я могут быть лишь целые числа, можно уста-
новить следующим образом. Пусть V — произвольный
siB)-модуль конечной размерности, и пусть ieF-
собственный вектор оператора Я с собственным зна-
чением Я. По следствию теоремы 6 группа SLB)
действует на V'„; в частности, элемент ew e SZ, B)
переводит х в еах. Положим t — 2ni, тогда еш = 1
и ешх = х. Следовательно, etk = 1 при t = 2ni, а это
и означает, что К —целое число.
(ш) Автоморфизм 0, введенный в конце § 5, есть
' О V
не что иное, как действие элемента , группы
\— 1 О/
SLB).

Глава V
СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
В этой главе (за исключением § 17) основным
полем является поле R вещественных чисел. Все рас-
сматриваемые векторные пространства имеют конеч-
ную размерность.
§ 1. Отражения
Пусть V — векторное пространство и а — его не-
нулевой элемент. Отражением (относительно вектора а)
мы назовем автоморфизм s пространства V, удовле-
творяющий следующим двум условиям:
(i) s(a)= - a;
(ii) множество Н элементов пространства V, инва-
риантных при автоморфизме s, является гиперпло-
скостью в V.
Очевидно, что V разлагается в прямую сумму
подпространства Н и прямой Ra, что автоморфизм s
имеет порядок 2 и что отражение s однозначно опре-
деляется заданием прямой Ra и гиперплоскости Я.
Пусть V* — двойственное к V пространство и а* —
его элемент, такой, что
а*(Я) = 0 и а*(а) = 2.
Имеем
s(x) = х — (а*, х)а для всех xeF
Последнее равенство можно переписать еще так:
s = 1 — а* ® а,
где End V отождествляется с V (8) V*.
Обратно, если ае^ и а'еГ, причем
(а*, а) = 2,

294	Ч. III. Комплексные полупростые алгебры Ли § 2
то элемент 1— а* ® а есть отражение относительно
вектора а.
Лемма 1. Пусть а — ненулевой вектор простран-
ства V и R — конечный набор векторов, порождаю-
щих V. Тогда существует не более одного отражения
(относительно вектора а) переводящего множество R
в себя.
Доказательство. Пусть s и s'— два таких
отражения и и —их произведение. Автоморфизм и
обладает следующими свойствами:
«(/?) = /?,
и (а) = а,
и индуцирует тождественный эндоморфизм на
факторпространстве V/Ra.
Два последних свойства показывают, что все соб-
ственные значения оператора и равны 1. С другой
стороны, так как R конечно, существует целое число
п^1, такое, что ип(х) = х для всех x^R. Отсюда
следует, что и" = 1, поскольку множество R поро-
ждает V, и, значит, эндоморфизм и диагонализуем.
Поскольку все собственные значения оператора и
равны 1, заключаем, что м=1 и s = s'.
§ 2. Определение системы корней
Определение 1. Пусть V — векторное прост-
ранство и /? — некоторое его подмножество. Мы
скажем, что /? есть система корней в пространстве V,
если выполнены следующие условия:
1)	/? —конечное множество, порождающее прост-
ранство V и не содержащее нулевого вектора;
2)	для любого вектора aei? существует отраже-
ние sa (относительно а), переводящее множество /?
в себя (в силу леммы 1 такое отражение един-
ственно);
3)	для любых а, {3 е R
sa(Р) — Р = гаа. где «eZ.
Размерность пространства V называется рангом
системы R, а элементы множества R — корнями про-

§ 3	Гл. V. Системы корней	295
странства V (относительно системы /?). Как было
установлено в § 1, отражение sa, соответствующее
корню а, записывается следующим (единственным)
образом:
sa = 1 - а* ® а, где (а*, а) = 2.
Элемент а* е V' мы назовем корнем, двойственным
(или обратным) к а. Условие 3) можно теперь пере-
формулировать так:
3') Для любых а, ре/? число (а*, р) является
целым.
Заметим, что — а е /?, если oeJ?, Это вытекает
из 2) или 3), так как — a = sa(a).
Определение 2. Система корней R называется
приведенной, если при любом ае# вектор — а явля-
ется единственным корнем, коллинеарным а.
Если /?/ не является приведенной системой, то
в ней содержатся два корня вида а и ta с 0<<<1.
Применяя свойство 3) к корню р = ta, мы видим, что
2t e Z, так что t = 1/2.
Таким образом, корни, коллинеарные вектору а,
имеют вид
— а, —а/2, а/2, а.
Замечание. Приведенные системы корней соответ-
ствуют в теории алгебр Ли (или алгебраических
групп) полупростому случаю при условии, что основ-
ное поле алгебраически замкнуто. Именно с такими
системами мы и будем в дальнейшем встречаться.
Неприведенные системы появляются лишь тогда,
когда основное поле алгебраически не замкнуто.
§ 3. Первые примеры
(Другие будут указаны в § 16.)
Единственной приведенной системой корней ранга 1
является система
—•	•	—(тип А)
-а	0	а

296
4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли
Существует также неприведенная система ранга 1:
-2а -ос
О
Можно показать (см. § 8, 15), что всякая при-
веденная система ранга 2 изоморфна одному из сле-
дующих четырех типов:
••. (тип Аг)
-а
>• (тип Aj-
• (тип в,)
Упражнение. Пополнить систему корней типа В2
так, чтобы получить неприведенную систему. Можно ли
сделать то же самое с системами А2 и G2?
§ 4. Группа Вейля
Определение 3. Пусть ^ — система корней
в векторном пространстве V. Назовем группой Вейля
системы R подгруппу W в полной линейной группе
GL (V), порожденную отражениями sa, ae^.

§ 5	Гл. V. Системы корней	297
Группа W является, очевидно, подгруппой группы
Aut(R) автоморфизмов пространства V, переводящих R
в себя. Поскольку R порождает V, обе эти группы
отождествляются с некоторыми подгруппами в группе
всех подстановок множества R. В частности, обе эти
группы конечны.
Пример. В том случае, когда R есть приведенная
система ранга 2, группа W изоморфна диэдральной
группе порядка 2ге, где п = 2 (для типа Ах X А{),
п = 3 (для типа А2), п = 4 (для типа В2) и п = 6 (для
типа G2). При этом Aut (/?)=№, если /? имеет тип В2
или E2, и (Aut(#): W) = 2, если /? имеет тип AxxAx
или Л2.
§ 5. Инвариантные квадратичные формы
Предложение 1. Пусть R — система корней
в пространстве V. Существует невырожденная би-
линейная симметрическая положительно определен-
ная форма ( , ) в пространстве V, инвариантная от-
носительно группы Вейля W системы R.
Доказательство. В самом деле, W — конечная
группа. Возьмем на V произвольную билинейную
невырожденную симметричную положительно опре-
деленную форму В (х, у) и рассмотрим форму
(*> У) = 2 В (wx, wy).
Легко видеть, что форма (х, у) инвариантна относи-
тельно W и (х, х)>0, если х =? 0.
Всюду в дальнейшем через ( , ) будет обозначаться
именно такая форма.
Таким образом, пространство V оказалось снаб-
женным структурой евклидова пространства, относи-
тельно которой элементы группы Вейля (в частности,
отражения sa) являются ортогональными преобразо-
ваниями. Легко видеть, что
sa(х) = х — 2 *' °j а для всех ге/,

298	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли § 6
Наша форма ( ,) определяет изоморфизм V -> V.
Пусть а' —элемент пространства V, соответствующий
элементу а* при этом изоморфизме. По определению
sa (х) = х — (а', х)а для всех х е V,
откуда (сравнивая с написанной выше формулой)
получаем
, 2а
(a, a) '
(Итак, a' получается из a обычной „инверсией сте-
пени 2", которая рассматривается в элементарной
геометрии.)
Условие 3), наложенное на систему корней, запи-
сывается в виде
где а,
Здесь мы, наконец, возвращаемся к традицион-
ному определению системы корней (см. Джекобсон [1]
или Семинар „Софус Ли" [1]). Определение § 2 взято
по существу у Бурбаки [1]; по сравнению с тради-
ционным оно имеет лишь то преимущество, что
строго разграничены роли пространств V и V'.)
§ 6. Дуальная система
Пусть R — система корней пространства V.
Предложение 2. Множество R*, состоящее из
двойственных корней а* (а е R), является системой
корней пространства V*. Кроме того, а** = а для всех
Доказательство. Ясно, что R' конечно и не
содержит 0. Для доказательства того, что R' по-
рождает V*, достаточно (ввиду изоморфизма V-+V)
установить, что V порождается векторами вида <х'=
= 2а/(а, а). Но это очевидно. В качестве отраже.
ния sa* для а* е R' можно взять транспозицию 'sa =
= 1— а® а* автоморфизма sa. Далее, sa*(R*) — R*,

§ 7	Гл. V. Системы корней	299
поскольку sa(/?) = /?, и аналогично а** = а. Наконец,
если a*, р*е/?\ то
<сГ, р*> = <р', а) е= Z,
ч. т. д.
Система #* называется дуальной (или обратной)
к /?. Отображение
tw i—> 'да
устанавливает изоморфизм групп Вейля для систем R
и R\
§ 7. Относительное расположение двух корней
Пусть а, E — произвольные корни. Положим
Как мы знаем, п($, a)eZ. Далее, (а, р)={ а | • ] ^| cos ф,
где | а | = (а, аL' и | E1 = (р, P)V| — длины векторов а и
р, а ф — угол между ними (относительно введенной
на V евклидовой структуры). Следовательно,
я(р, а) = 2
откуда
п (р, а) • п (а, р) = 4 cos2 ф.
Так как справа стоит целое число, величина 4соз2ф
может принимать лишь конечное число значений: О,
1, 2, 3, 4 (последний случай соответствует колли-
неарным корням а и р). Мы ограничимся случаем
неколлинеарных корней; меняя, если нужно, аир
местами, получаем семь существенно различных воз-
можностей:
1)я(а, р) = 0,	n(p, a)-0,	ф = л/2;
2)п(а,р)=1,	я(р,а)=1,	Ф = л/3, |р| = |а|;
3) п(а, р)=1,	пф, а)--1,	ф-2ц/3, IPHM;
4)п(а,р)=1,	п(р, о)-2,	Ф = я/4, |р|=/2|а
5)	я(а, р)--1,	и(р; а)=-2,	Ф = Зл/4,	/
6)	я (а, р)=1,	и(р,а) = 3,	ф = л/6,
7)	п(а,р)=-1,	п(р, а)--3,	Ф = 5я/6,

300	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 8
Из этой таблицы видно, что задание угла ф одно-
значно определяет пару чисел {п(а, Р), п($, а)}, а также
отношения длин {| а |/| р| , | р |/| а |} (если, конечно,
Ф ф л/2).
Предложение 3. Пусть а и $ — два неколли-
неарных корня. Тогда разность а — р тоже является
корнем, если «(Р, а)>0.
Отметим, что неравенство л(р, а)>0 эквивалентно
неравенству (а, р)> 0, которое показывает, что угол
между векторами аир острый.
Доказательство. Как видно из приведенной
выше таблицы, в нашем случае одно из двух чисел
п(Р, а) или к (а, р) равно 1. Пусть, например, п($, а) = 1.
Тогда
<z-p=-(p-n(p, <z)a)=-sa(p).
Если же п(а, C)= 1, то a —p = sB(a). В обоих случаях
а-ре/?.
§ 8. Базисы
Пусть # —система корней пространства V.
Определение 4. Подмножество S a R назы-
вается базисом системы /?, если (i) S — базис вектор-
ного пространства V; (п) все корни ре/? записы-
ваются в виде линейных комбинаций
Р= S пгаа
с целыми коэффициентами ma, имеющими один и
тот же знак (т. е. все ma^0 или все /na<!0).
Вместо слова „базис" говорят также система
простых корней, а элементы множества S называют
простыми корнями.
Теорема 1. Для всякой системы корней суще-
ствует базис.
В действительности мы докажем более точный ре-
зультат. Пусть /eF'- такой элемент, что (t, a)=^0 для
всехае/?. Положим Ri = {a^R \(t, a)>0}. Очевидно,

§ 8	Гл. V. Системы корней	301
R = R*U(— Rt)- Элемент aei?* называется разло-
жимым, если существуют два корня р, y^Rt, такие,
что а = р + у; в противном случае мы будем говорить,
что а —неразложимый элемент. Обозначим через St
множество всех неразложимых элементов из /?<"•
Предложение 4. Множество St является бази-
сом системы R. Обратно, если S — базис системы R
и элемент (еГ таков, что (t, а) > О для всех а е 5,
го S = 5f.
Доказательство. Покажем вначале, что
St — базис системы R. Доказательство проведем в не-
сколько этапов.
Лемма 2. Любой элемент из Rt записывается
в виде линейной комбинации элементов из St с целыми
неотрицательными коэффициентами.
Доказательство леммы. Обозначим через/
множество элементов, не удовлетворяющих нужному
нам свойству. Мы хотим показать, что / пусто. Если
это не так, существует элемент а е /, для которого
величина (t, а) минимальна. Элемент а разложим
(иначе он лежит в St), т. е. a = p + Y. где р, у е. Rf.
Следовательно,
Но так как числа (t, p) и (t, у) строго положительны,
оба они строго меньше (/, а), и потому р ф. I и у ф. I.
Из определения множества / вытекает тогда, что
о.ф.1, и мы приходим к противоречию.
Лемма 3. (а, р)<0, если а, ре St.
Доказательство леммы. Действительно,
в противном случае (см. предложение 3) вектор
Y = a —p является корнем. Если, например, у е R*,
то a = p + Y, хотя вектор а, будучи элементом мно-
жества St, неразложим. Если же —y^Rt, то р =
= a + (—Y). а это противоречит неразложимости
вектора р.

302	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 8
Лемма 4. Пусть /еГ и А — подмножество
пространства V, такое, что
(а)	(t, a)>0 для всех ае/1;
(б)	(а, р)< 0 для а, 0 €= Л.
Тогда элементы множества А линейно независимы.
Другими словами, система векторов, образующих
попарно тупые углы и лежащих в одном полупро-
странстве, линейно независима.
Доказательство леммы. Любое линейное
соотношение, наложенное на элементы множества А,
можно записать в виде
2 у$ =
где г/р>0 и ?Y>0, причем индексы р и y пробегают
конечное число различных векторов из А.
Пусть Я = 2 УрР- Тогда
(Я, Я) = 2 #gZv (p, у),
и, следовательно, (Я, Я)^0 (см. (б)). Итак, мы полу-
чаем, что Я = 0. Значит,
/, р)
и потому у а = 0 и 2Y = 0 для всех р и у.
Леммы 2, 3 и 4, как легко убедиться, в сово-
купности показывают, что множество St — базис си-
стемы R.
Обратно, пусть S —базис этой системы и для не-
которого элемента /eF' неравенство (t, a) > 0 имеет
место для всех aeS. Обозначим через R+ множество
всех корней, представимых в виде линейных комби-
наций корней из S с целыми неотрицательными коэф-
фициентами. Очевидно, R+ а /?* и (— R+)cz — /?*. По-
этому R+ = Rt, так как R есть объединение R+ и — R+.
Из определения базиса вытекает, что элементы мно-
жества S неразложимы, т. е. S с St. Однако S и St
имеют одинаковое количество элементов (равное раз-
мерности пространства V), что и доказывает искомое
равенство S = St. Предложение доказано.

§ 9	Гл. V. Системы корней	303
Пример. Пусть dim V = 2 и {а, р} — базис системы У?.
Поскольку угол между аир тупой (см. лемму 3),
могут представиться лишь случаи 1), 3), 5), 7) {см. § 7)
(с точностью до перестановки а и р). Эти возможности
как раз соответствуют системам типов А{ X Аи А2,
В2 и (?2 (см. § 3).
§ 9. Некоторые свойства базисов
В этом и последующих параграфах символом S
мы будем обозначать базис системы корней R, а сим-
волом R+— множество корней, представимых в виде
линейной комбинации элементов множества S с це-
лыми положительными коэффициентами. Элементы
множества R+ назовем положительными корнями
(относительно системы S).
Предложение 5. Каждый положительный
корень р представим в виде суммы
р = а:+ ... +ak, a,(=S (i = 1, .. ., k),
притом так, чтобы, все частичные суммы
а,+ ... +ай, 1 </*<&,
тоже были корнями.
Доказательство. Выберем в V* такой эле-
мент t, что {t, а) = 1 для всех aeS. Так как р —поло-
жительный корень, число {t, p) является целым и
положительным. Докажем наше предложение индук-
цией по k = (t, p). Прежде всего заметим, что нера-
венство (а, Р) ^ 0 не может иметь место для всех
aeS. Действительно, в противном случае мы полу-
чили бы (см. лемму 4), что векторы базиса 5 и век-
тор р в совокупности линейно независимы, а это про-
тиворечит определению базиса. Итак, найдется такой
корень aeS, что (а, Р)>0. Если а и Р коллинеарны,
то либо а = р, либо р = 2а; в обоих случаях предло-
жение очевидно. Если же это не так, то разность
Y = P —a будет (предложение 3) корнем пространства V.
Понятно, что y не лежит в — R+, так как равенство

304	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 9
а=р+(— у) противоречило бы неразложимости корня а.
Поэтому Y e R+ и
По предположению индукции у — а1 + ,,. + ak_u а;е5
(г = 1, ..., /г— 1), причем все суммы <Xj + ... + аЛ,
1^/г^б— 1, являются корнями. Но тогда предста-
вление Р в виде суммы
удовлетворяет требуемым условиям.
Предложение 6. Пусть система R является
приведенной. Тогда отражение sa (относительно aeS)
переводит множество R+\{a] в себя.
Доказательство. Пусть ре/?\{й}. Как мы
знаем,
Поскольку R — приведенная система и Р^о, век-
торы аир неколлинеарны. Существует, следова-
тельно, такой корень у е. S, что y ?=« и my=^0.
Однако равенство sa(P) = p— n(p, a)a показывает,
что коэффициенты корня Y в разложении корней
sa(p) и р по простым корням одинаковы, за исклю-
чением коэффициента при а. Поэтому sa(p)=^=a
и sa(p)e/?+, что и требовалось доказать.
Следствие. Обозначим через р полусумму всех
положительных корней (т. е. р = 1/2 2 pV Для всех
+
aeS имеет место равенство
Доказательство. Пусть ра = 1/2 2 Р- Оче-
видно (см. предложение 6), что sa(pa) = pa. С другой
стороны, р = ра + а/2. Поскольку su(a) = — а, получаем
()

§ 10	Гл. V. Системы корней	305
Предложение 7. Пусть система R приведен-
ная. Множество S", состоящее из корней, двойствен-
ных к корням из S, является базисом системы R*.
Доказательство. Пусть R'— система корней
вида а' = 2а/(а, а) (а е R). Достаточно (в силу изомор-
физма V—>V*) показать, что множество S' векторов
вида а' (а е 5) является базисом системы R'. Выберем
такой элемент /еГ, что {t, a) >0 при всех aeS,
и натянем на систему векторов R+ — R* выпуклый
конус С. Натянув конус на векторы из S = St, мы
получим то же самое тело С. Заметим теперь, что
лучи, порожденные элементами базиса S, и только
они, являются ребрами1) нашего конуса. Рассмотрим
систему (Rt) . Легко видеть, что она образована
векторами а', где a ge R+. Пусть St — соответствующий
базис этой системы (см. предложение 4). В силу ска-
занного выше конус, натянутый на векторы из (/?/) ,
совпадает с конусом, натянутым на векторы из R+,
т. е. с С. По аналогичным соображениям ребрами
этого конуса являются лучи, порожденные элемен-
тами множества S't. Таким образом, элементы мно-
жеств 5' и St лежат на одних и тех же лучах.
Поскольку R'— приведенная система (система R при-
веденная), на одном луче не может лежать двух
разных корней, т. е. S =St-
Замечание. В общем случае дело обстоит следую-
щим образом. Пусть S{ (соответственно S2) — подмно-
жество в S, состоящее из таких aeS, что вектор 2а
не является (соответственно является) корнем. Ока-
зывается, базис в R* образуется векторами a* (a e S{)
и а*/2 (а е= S2).
§ 10. Связь с группой Вейля
Предполагается, что система корней R является
приведенной.
') В оригинале „generatrices extremales". — Прим. ред
20 Ж.-П. Сорр

306	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 10
Теорема 2. Пусть W— группа Вейля системы R.
(а)	Для каждого элемента /еУ существует авто-
морфизм t»ef, такой, что (w{t), a)^0 при
любом ае 5.
(б)	Для всякого базиса S' системы R существует
автоморфизм aielF, такой, что w(S') = S.
(в)	Для каждого элемента ре/? существует авто-
морфизм w e W, такой, что w (Р) е S.
(г)	Группа W порождена отображениями вида sa,
где oeS.
Доказательство. Обозначим через Ws под-
группу в W, порожденную отражениями sa, ae5.
Докажем вначале утверждение (а) для группы Ws.
Пусть t ^ V* и р —полусумма положительных корней
(см. следствие предложения 6). Выберем в группе Ws
элемент w, для которого величина {w (t), p) макси-
мальна. В частности,
(w(t),9)^(saw(t),p), ogS.
Но
{saw (t), p) = (w (t), sa (p)> = (и» (t), p - a)
(см. указанное выше следствие). Из этого соотноше-
ния и предыдущего неравенства получаем (w (t), a)^0
для всех asS.
Докажем теперь утверждение (б), но также для
группы Ws. Пусть элемент V е V* таков, что (?, а') >0
для всех а' е S'. В силу (уже доказанного) утвер-
ждения (а) существует автоморфизм w e Ws, такой,
что (t, а) ^ 0 при всех aeS, где t — w (f). Но (t, a) =
= (f, w'1 (a)), и форма t' не обращается в нуль ни на
одном корне из R (так как (f, a') > 0 при a' e S').
Поэтому (^,а}>0. Итак, согласно предложению 4,
Осталось заметить, что автоморфизм w переводит St>
в S, поскольку он переводит f в t.
Докажем утверждение (в) (снова для группы Ws).
Пусть р е /?, и пусть L — гиперплоскость в V", орто-
гональная к р. Гиперплоскости, ортогональные к кор-
ням, не равным ± Р, отличны от L, и число их конечно.

§ 11	Гл. V. Системы корней	307
Поэтому в гиперплоскости L существует элемент /0,
который не лежит ни в одной из упомянутых гипер-
плоскостей, т. е.
(to, Р) = 0 и (t0, у) ф 0 для всех Y <= #• У Ф ± Р-
Итак, | (te, у) \>{io, Р)- В достаточно малой окрест-
ности t0 найдется такой элемент /, что {t, р) > 0 и
I {t, v)\~>{t, P)- Рассмотрим базис St системы R,
ассоциированный с элементом t (см. § 8). Из двух
последних неравенств вытекает, что р е St- Однако,
согласно (б), существует такое w e Ws, что w (St) = S
и, следовательно, w (p) e S.
Докажем, наконец, что Ws — W. Поскольку
группа W порождена отражениями sp, где р^/?,
достаточно показать, что spe Ws. Согласно (в), имеется
автоморфизм w e Ws, такой, что а = w (P) e S. Значит,
и Sp = W1 • sa • w, откуда sp s W5.
Замечания. 1. Можно показать, что элемент до,
существование которого утверждается в (б), определен
однозначно (см. гл. VII, § 5).
2.	Множество элементов / е V, таких, что (t, a) > 0
для всех aeS, называется камерой Вейля, ассоции-
рованной с S. В силу (а) и (б) камера Вейля является
связной компонентой в У*\ (J Lp, где Lp — гиперпло-
скость, ортогональная к корню р.
3.	Утверждение (г) можно уточнить, явно указав
соотношения между образующими sa(a6 S) группы W.
Именно:
S2 _ ] fg g \m <a. P> _ J
где m(a, p) равно 2, 3, 4 или 6 в зависимости от
того, каков угол между аир: я/2, 2я/3, Зя/4 или 5я/6
(см., например, Шевалле [3], сообщение 14).
§ 11. Матрица Картана
Определение 5. Матрицей Картана системы
корней R (при фиксированном базисе S) называется
матрица (я (a, P))apeS.
20*

308	4. Ill, Комплексные полупростые алгебры Ли	§11
Напомним (см. § 7), что и (а, р) = (р\ а) — целое
число. Кроме того, п(а,а) = 2, а если а ф C, то
я (а, р)<0 (см. лемму 3); п{а, р) может принимать
значения 0, —1, — 2, —3.
Пример. Матрица Картана системы корней типа G2
равна	t
-3 :
Предложение 8. Приведенная система корней
однозначно, с точностью до изоморфизма, опреде-
ляется своей матрицей Картана.
Имеет место более точное утверждение.
Предложение 8'. Пусть R' — приведенная си-
стема корней векторного пространства V, и пусть
S' — базис этой системы. Предположим, что задано
биективное отображение ср: S-+S', такое, что п(ф(а),
Ф (Р)) = п (а, р) для всех а, peS. Если система R
приведенная, то существует единственный изоморфизм
f:V—> V, продолжающий ф и переводящий систему R
в систему R'.
Доказательство. Продолжим по линейности
отображение ф до изоморфизма /: V-*V. Если а,
ре5, то
5Ф (а) (f (Р) ) = 5ф (а) (ф (Р) ) = ф (Р) - П (ф (Р), ф (а) ) ф (а)
Обе формулы в совокупности дают равенство 5ф(а) ° / =
= f°sa, a<=S. Пусть W и W обозначают группы
Вейля систем R и R' соответственно. Последнее
равенство показывает, что W — fWf~\ а следовательно,
f(R) = R't так как R = W (S) и R'=W'(S').
Рассмотрим группу Е подстановок множества S,
оставляющих инвариантной матрицу Картана. Из
доказанного нами предложения 8 вытекает, что
группу Е можно отождествить с подгруппой группы
Kut{R), состоящей из таких автоморфизмов, которые
переводят в себя мноокество S.

§ 12	Гл. V. Системы корней	309
Предложение 9. Группа AutG?) есть полупря-
мое произведение групп Е и W.
Доказательство. Если w <= W Л Е, то w (S) = S
и, значит, w = 1 (этот факт мы докажем несколько
позже, см. гл. VII, § 5). С другой стороны, если
и е Aut (/?), то и (S) — базис системы R. Следовательно
(см. теорему 2), существует элемент w e W, такой,
что w(u(S)) = S. Элемент wu лежит в Е, т. е. любой
элемент и е Aut (R) имеет вид we, где w e W и еЕ?,
Следствие. Факторгруппа Aut (R)/W изоморфна
группе Е.
§ 12. Графы Кокстера
Определение 6. Графом Кокстера системы R
(относительно фиксированного базиса S) называется
граф, вершинами которого служат элементы S, при-
чем две различные вершины аир соединены одним,
двумя или тремя ребрами или не соединены вообще
в зависимости от того, какому из чисел: 1, 2, 3 или 0
равно произведение п{а, р) • л ({$, а).
Напомним (см. § 7), что
п (а, р) • п (р, а) = 4 cos2cp,
где ф — угол между векторами а и р.
Заметим, что графы, отвечающие различным бази-
сам, изоморфны (согласно теореме 2 § 10).
Пример. Графы Кокстера систем корней, указан-
ных в § 3, имеют вид
о	(тип А,)

310	Ч. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 13
§ 13. Неприводимые системы корней
Предложение 10. Пусть V — прямая сумма
своих подпространств V\ и V 2, и пусть R содержится
в объединении Fi(JV2. Положим Ri--=R{\Vi i=l, 2.
Тогда
(а)	V\ и V2 ортогональны;
(б)	Rt — система корней в пространстве Vt.
Доказательство. Если aei?, и ре/?2, то
a — ^^Vi\JV2- Элемент а — р, как мы видим, не
является корнем, поэтому (см. предложение 3) (а, р)^0.
Применяя то же соображение к — {5 вместо р, получаем,
что (а, р) = 0. Элементы Rt порождают Vt(i=l, 2),
что и доказывает (а).
Для доказательства (б) достаточно заметить-, что
отражения sa(aej?,), согласно (а), действуют на V2
тождественно и, следовательно, переводят в себя
пространство V\.
В ситуации, описанной в предложении 10, говорят,
что система R есть сумма своих подсистем Rt. Если
такое разложение невозможно (разумеется, в пред-
положении, что пространства Vt нетривиальны) и если
V ф 0, то система R называется неприводимой.
Предложение 11. Каждая система корней есть
сумма своих неприводимых подсистем.
Доказательство очевидно.
Можно показать, что такое разложение един-
ственно.
Предложение 12. Для того чтобы система R
была неприводима, необходимо и достаточно, чтобы
ее граф Кокстера был связен и непуст.
Доказательство. Если система R есть сумма
своих нетривиальных подсистем Rj и R2, то в качестве
базиса S этой системы можно взять объединение
базисов S\ и S2 систем /?i и R2. Элементы базисов Si
и S2 попарно ортогональны, поэтому в графе Кок-
стера они не соединяются никаким ребром, т. е.
граф Кокстера системы R распадается в несвязное
объединение графов Кокстера для Ri и ^2-
Обратно, если S = SiUS2, причем части Si и S2
не связаны никаким ребром, то йсе элементы мно-

§14
Гл. V. Системы корней
311
жества Si ортогональны ко всем векторам из S2.
Следовательно, пространства Vx и V2, порожденные
векторами S\ и S2, тоже друг другу ортогональны и
инвариантны относительно отражений $0, ае5. Тео-
рема 2 позволяет нам заключить, что система R
содержится в объединении Vi U V2 и, следовательно,
является приводимой.
§ 14. Классификация связных графов Кокстера
Теорема 3. Всякий непустой связный граф
Кокстера изоморфен одному из следующих графов:
( п вершин, п-zi]
(п вершин, п 24)
In вершин, п
Идея доказательства. Рассмотрим непу-
стой связный граф G, множество вершин S которого
конечно, причем последние либо соединены одним,
двумя или тремя ребрами, либо не соединены вообще.
Такому графу можно сопоставить билинейную сим-
метрическую форму А(х, у), определенную на про-
странстве Rs (с фиксированным базисом {ea}assj,
полагая
А(еа, еа)=\,

312	4. 111. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 15
где тар равно cos (л/2), cos Bл/3), cos (Зл/4) или
cosEn/6) в зависимости от того, сколько ребер со-
единяют вершины а и р —0, 1, 2 или 3.
Для того чтобы граф G был графом Кокстера,
необходимо, чтобы эта форма была невырождена и
положительно определена (так как она реализуется
одной из инвариантных форм, введенных в § 5).
С помощью хитроумных вычислений можно показать,
что условие положительной определенности этой формы
влечет изоморфизм графа G с одним из графов вида
Ап, Dn, . . ., ?8. (Подробнее см. Семинар „Софус Ли"[1]
или Джекобсон [1], стр. 146.)
§ 15. Схема Дынкина
Мы ограничимся для простоты лишь приведенными
и неприводимыми системами корней.
Как легко понять, графа Кокстера недостаточно
для определения матрицы. Картана (а следовательно,
и системы корней); он определяет всего-навсего угол
между парой корней базиса, не давая никакой до-
полнительной информации. Двойственные друг другу
системы корней (например, Вп и С„, см. § 16) могут
иметь один и тот же граф Кокстера.
Однако матрицу Картана можно однозначно вос-
становить, зная отношения длин корней. Это наводит
на мысль приписать каждой вершине графа Кокстера
коэффициент, пропорциональный квадрату длины (а, а)
соответствующего корня а. Доопределенный таким
образом граф Кокстера называется схемой Дынкина
системы R.
Условимся не различать две схемы Дынкина, ко-
торые отличаются друг от друга только коэффициен-
том пропорциональности.
Предложение 13. Задание схемы Дынкина
равносильно заданию матрицы Картана. Каждый из
этих объектов определяет систему корней с точностью
до изоморфизма.

§ 15
Гл. V. Системы корней
313
Доказательство. В силу предложения 8 и
в силу сказанного выше достаточно доказать, что по
схеме Дынкина однозначно восстанавливается матрица
Картана. Действительно,
если а = р, то /г (а, р) = 2;
если а Ф р и если а и E не соединены ребром
графа, то я (а, Р) = 0;
если а.ф§, аир имеют хотя бы одно общее ребро
и коэффициент при а не больше коэффициента
при р, то я (а, р) = — 1;
если аф$, аир соединяются I ребрами A ^г^З)
и коэффициент при а больше коэффициента
при р, то п (а, р) = — I.
(В последнем случае коэффициент при а в i раз
больше коэффициента при Р; используя это обстоя-
тельство, можно вычерчивать не все отрезки.)
Теорема 4. Всякая непустая связная схема
Дынкина изоморфна одной из схем вида:
о (л вершин, nil)
In вершин, п i4)
(п вершин, n
/п вершин, п
l 1 г г

314	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 16
Эта теорема непосредственно вытекает из тео-
ремы 3.
Замечания. 1. Можно утверждать и обратное:
каждой из схем Дынкина Ап, ..., Е& соответствует
некоторая система корней. В следующем параграфе
мы укажем явную конструкцию этих систем.
2. Из предложения 13 вытекает, что группа Е
автоморфизмов матрицы Картана (см. § 11) изоморфна
группе автоморфизмов схемы Дынкина. С одного
взгляда на таблицу теоремы 4 видно, что
? = {1} для систем вида Аи Вп, Сп, G2, F4, E7, Е8;
Е состоит из двух элементов для систем вида
Ап(п>2), Dn(n>5) и Е6;
Е изоморфна группе подстановок из трех элемен-
тов для системы D4.
§ 16. Конструкция неприводимых систем корней
В этом параграфе {еи ..., еп} — канонический базис
пространства Rrt; (,) —билинейная форма в простран-
стве R", такая, что (е;, е^) = б(;-; Ln — аддитивная под-
группа пространства R", порожденная векторами е{,
1<<
Конструкция системы Ап(п~^1). В качестве про-
странства V возьмем гиперплоскость в Rrt+1, ортого-
нальную к вектору ех + ... + еп+ь а в качестве
R — множество элементов a^V [] Ln+U для которых
(а, а) = 2. Для каждого ае/? рассмотрим отображе-
ние sa:
рн->р-(а, р)а.
Непосредственная проверка показывает, что множе-
ство R является системой корней.
Элементы этого множества, как нетрудно видеть,
суть векторы вида et — ej, 1ф\. В качестве базиса 5
системы R можно взять, например, набор векторов
Группа Вейля естественным образом отождест-
вляется с группой подстановок множества {еь ..., еп+1}.

§ 16	Гл. V. Системы корней	315
Конструкция системы Вп(п^1). В пространстве
V =¦ R" рассмотрим подмножество
^ = {aeij(a, a)=l или (a, a) — 2}.
Очевидно, R состоит из векторов вида ± е( и
()
j
Базис: ех-еъ е2-е3, .... еп.х-еп, еп.
Группа Вейля: произведение группы подстановок
множества {еь ..., еп} и группы преобразований,
меняющих знаки при векторах et.
(При п—\ системы Ах и В\ изоморфны.)
Конструкция системы Сп (я ^ 1). Рассмотрим двой-
ственную к Вп систему корней; она состоит из векто-
ров вида ±ei±ej (i=?j) и ± 2et.
Базис: ех-е2, е2-ег, .... еп.х-еп, 2еп.
Группа Вейля изоморфна соответствующей группе
для системы Вп.
(При п=1 система Сх изоморфна системам А1
и St; при п. —2 система С2 изоморфна системе В2-)
Конструкция системы Dn(n^2). Пусть y = Rn и
/? = {aelj(a, a) = 2}. Множество R состоит из век-
торов вида ± et ± ej {1ф)
Базис: е, - е2, е2-е3,	п
Группа Вейля: произведение группы подстановок
множества {еь ..., еп} и группы преобразований,
меняющих знаки (в четном числе) при векторах е,-.
(При п = 2 эта система изоморфна Ах X А{~, а при
п = 3 — системе Л3.)
Конструкция системы (?2. Эта система была по-
строена в § 3. Ее можно описать как множество
целых алгебраических чисел кругового поля, поро-
жденного корнем кубическим из единицы, с нормой 1
или 3.
Конструкция системы F^. Обозначим через Li под-
группу в пространстве V = R4, порожденную груп-
пой L4 и элементом y(?i + ег + е3 + е4). Положим
/? = {as L{\(a, a) = 2 или (a, a)= l}»

316	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 17
Это множество состоит из векторов вида ± eit
±et± в] (i?=j) и у(± ех ± е2 ± еъ ± еА).
Базис: е2~е3, е3 - е4, е4, у(е, - е2- е3 - е4).
Конструкция системы Е%. Обозначим через La под-
группу в пространстве V = R8, порожденную груп-
пой L8 и элементом у(в! + . . . + е8), а через Ls' —под-
группу группы L&, образованную векторами, у кото-
рых сумма координат есть целое четное число.
В качестве R возьмем множество {aeLg |(a, a) = 2].
Оно состоит из векторов вида ± et ± e, (i Ф j) и
8
Y ^j(~~ l)m(i) et, где \/n (i) — четное число. Базис:
е2,
Конструкция систем fe и Е7. В качестве си-
стемы ?6 (соответственно Е7) можно взять пересече-
ние системы Es (построенной выше в пространстве R8)
и векторного подпространства, порожденного первыми
шестью (соответственно семью) элементами базиса
Неприведенные системы корней. Можно показать,
что для каждого целого п^ 1 существует единствен-
ная (с точностью до изоморфизма) неприводимая, но
не приведенная система корней ВСп, получаемая
объединением систем Вп и Сп, построенных выше.
§ 17. Комплексные системы корней
Пусть V — комплексное векторное пространство
конечной размерности. Определение отражения, дан-
ное в § 1, переносится без изменения на комплекс-
ный случай, причем лемма 1 по-прежнему остается

§ 17	Гл. V. Системы корней	317
справедливой. Последнее обстоятельство позволяет
сформулировать следующее
Определение 7. Конечное подмножество R
пространства V называется системой (комплексных)
корней, если
1)	множество R порождает V {как комплексное
векторное пространство) и не содержит нулевого
вектора;
2)	для любого вектора aej? существует отраже-
ние sa = 1 — а* <?) а относительно вектора а, переводя-
щее множество R в себя;
3)	векторы sa(P) —p и а (где а, ре/?) коллинеарны
и их отношение есть целое число.
Пример. Пусть R — система корней вещественного
векторного пространства Vo- Обозначим через V ком-
плексификацию Vo®rC. Пространство Vo вклады-
вается в пространство V, и множество R является
системой комплексных корней этого пространства.
Действительно, мы получим все требуемые отраже-
ния sa, продолжая по линейности соответствующие
отражения s° пространства Vo.
Теорема 5. Всякая комплексная система корней
может быть получена описанным выше способом.
Имеет место более точное утверждение.
Теорема 5'. Пусть R — система корней ком-
плексного векторного пространства V, и пусть V0 — eeo
вещественное векторное подпространство, порожден-
ное векторами множества R. Тогда
(а)	R — (вещественная) система корней простран-
ства Vo',
(б)	каноническое отображение i: Vo<8>rC-»V есть
изоморфизм;
(в)	отражение s,(aej() пространства V есть про-
должение по линейности отражения s° простран-
ства Vo-
Доказательство, (а) По условию множество R
порождает пространство VQ. С другой стороны,

318	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ П
множество R инвариантно относительно отражений sa,
и потому пространство Vo тоже инвариантно относи-
тельно этих отражений. Обозначим через s°a ограни-
чение sa на пространство Vo. Если а, ре^, то s°(p) =
= Р —а*(р)а, где a*({i)eZ. Таким образом, множе-
ство R действительно является системой корней про-
странства Vo- Более того, действительные корни
a* e F* суть не что иное, как образы соответствую-
щих корней а'еГ при гомоморфизме ограничения
V->HomR(F0, С).
б) Поскольку R порождает V, отображение
сюръективно. С другой стороны, сопряженное отобра-
жение
переводит а" в а* для всех ае/J. Однако, согласно
предложению 2, элементы а* образуют систему корней
в пространстве V* и, в частности, порождают это про-
странство. Поэтому отображение Ч также сюръек-
тивно, следовательно, само отображение / инъективно,
что и доказывает (б).
Что касается утверждения (в), то оно вытекает
из всего сказанного выше и из леммы 1.
Теорема 5 естественным образом сводит всю тео-
рию комплексных систем корней к теории веществен-
ных систем. Таким образом, все определения и все
результаты настоящего параграфа без изменений пере-
носятся на комплексный случай.

Глава VI
СТРОЕНИЕ ПОЛУПРОСТЫХ АЛГЕБР ЛИ
В этой главе g обозначает полупростую комплек-
сную алгебру Ли, а ?) — ее подалгебру Квартана.
§ 1. Разложение алгебры 9
Пусть а — элемент сопряженного пространства Ь*.
Обозначим через д" соответствующее собственное под-
пространство в д. Иными словами, д" состоит из таких
элементов х е д, что [Я, х] = а(Н)х для всех йе|.
Векторы пространства да мы будем называть эле-
ментами веса а.
В частности, д° есть множество элементов х е д,
коммутирующих с Ij. Ввиду теоремы 3 гл. III мы
получаем, что
3° = ^.
Мы скажем, что элемент ое^' является корнем
алгебры g (относительно fj), если а Ф О и да Ф @);
множество всех корней обозначим через R.
Теорема 1. д = ^ф2йа (прямая сумма).
Доказательство. Согласно теореме 3 гл. III,
каждый эндоморфизм ad Я (//е ^) алгебры g диаго-
нализуем в некотором базисе. Поскольку, согласно
той же теореме, эти эндоморфизмы коммутируют
между собой, существует общий базис, в котором все
эндоморфизмы ad (Я) представляются диагональными
матрицами. Последнее утверждение есть в точности
содержание нашей теоремы.
Подпространства да обладают следующими свой-
ствами.

320	Ч. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 1
Теорема 2. (а) Множество R есть система кор-
ней пространства \* (в смысле определения 7 гл. V,
§ 17); система R приведенная (см. гл. V, § 2).
(б)	Если aej?, то пространства ga и §a —[ga, sTa]
одномерны, (очевидно, §аа§). Кроме того, суще-
ствует единственный элемент На е Ija, такой, что
а(На) = 2; указанный элемент На является корнем,
двойственным к а (см. гл. V, § 2).
(в)	Для каждого ненулевого элемента Ха е i]a су-
ществует (единственный) элемент Ya e \\~а, такой, что
[Ха, Ya] = На, причем [На, Ха] = 2Ха и [На, Уа] = - 2Уа.
Подалгебра %а—Ьа@$а(ВЧГа изоморфна алгебре
Ли si B).
(г)	Если а, ре/? и если а + Р?=0, то [да, $] = <\а+^.
Доказательство этой теоремы будет дано в § 2.
Перед тем как сформулировать следующую тео-
рему, услрвимся обозначать через ( , ) некоторую
фиксированную инвариантную невырожденную сим-
метрическую билинейную форму на алгебре g (напри-
мер, форму Киллинга).
Теорема 3. (i) Если а + Р=^=0, то подпростран-
ства if- и fl15 ортогональны. Формы, полученные огра-
ничением формы ( , ) на \) и на даф(Га (a^R),
невырождены. Форма ( , ) приводит в двойствен-
ность пространства да и (\~а.
(и) Если х <= да, г/е i]"a и Яе f), то
(Я, [х, у]) = а(Н)(х, у).
(iii) Пусть а е R, и пусть ha — элемент, соответ-
ствующий корню а при изоморфизме \ -> f)*, индуци-
рованном нашей билинейной формой. Тогда имеет
место равенство
[х, у] = (х, у) ha, хед», у <= $~а.
Доказательство, (i) Пусть х е да, у е cf> и
Н е $. Очевидно,
([Я, х], у) + (х, [Н, г/]) = 0,
так как форма (х, у) инвариантна. Следовательно,

§ 2	Гл. VI. Строение полупростых алгебр Ли	321
Если а + р^=О, то можно найти такой элемент	|
что а(#) + Р(#) Ф 0. В этом случае предыдущее ра-
венство означает, что (х, у) = 0, т. е. что простран-
ства %а и if3 ортогональны.
Таким образом,
есть разложение алгебры а, на взаимно ортогональные
подпространства. Форма (х, у) невырождена, и потому
невырожденным будет ограничение ее на любое из
из этих подпространств.
(И) В силу инвариантности формы ( , )
(Я, [х, у}) = ([Н,х],у) = а(Н)(х,у).
(ш) Если We|, то a (#) = (#, ha) по определению
элемента ha. Формулу (И) можно теперь переписать
так:
(Я, [х, у]) = (Н, {х,у)К).
Поскольку ограничение формы ( , ) на подалгебру lj
невырождено, получаем
[х, у] = (х, у) К.
§ 2. Доказательство теоремы 2
В этом параграфе будут существенно использо-
ваться теорема 3 и свойства алгебры si B), устано-
вленные в главе IV. Доказательство нашей теоремы
мы разобьем на ряд последовательных шагов.
2.1.	Если а, ре|', то [д,а, дР] с: да+». Действи-
тельно, это включение есть прямое следствие тожде-
ства Якоби
[Я, [х, у]]-[[Н, х], у] + [х, [Н,у]],
примененного к элементам Яе|, jtef, уе д&.
2.2.	Множество R порождает §. В противном слу-
чае существовал бы ненулевой элемент Яеб, такой,
что а (Я) = 0 для всех корней a e R. Последнее ввиду
21 Ж.-П. Серр

322	4 111. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 2
теоремы 1 означает, что ad(tf) = O, т. е. что элемент Н
лежит в центре алгебры % и, следовательно, равен
нулю, так как алгебра д полупроста.
2.3.	Если а е R, то подпространство fja = [$", g~°] c= ф
имеет размерность 1. В самом деле, согласно тео-
реме 3, (ш), все векторы пространства |а коллинеарны
вектору ha.
2.4.	Если ае /?, то существует элемент Нае §„
(ы притом единственный), такой, что a(#a) = 2. В силу
доказанного на предыдущем шаге нам достаточно
показать, что ограничение формы а на подпростран-
ство lja не является нулевым. Допустим противное
и выберем элементы igj" и i/efa так, чтобы их
коммутатор z = [x, у] не равнялся нулю. Так как
a (z) — 0, имеем
[г, х] - 0, [г, у] = 0, [х, у] = г.
Эти равенства показывают, что подалгебра a c= g,
порожденная тремя элементами х, г/, г, разрешима
(и даже нильпотентна). По теореме Ли (теорема 1.5.5.1)
для любого конечномерного линейного представления
р: fl-*EndV алгебры а найдется флаг ^ простран-
ства V, инвариантный относительно р (а).
Поскольку элемент z лежит в [а, а], эндоморфизм
р (z) содержится в п (<&") и потому нильпотентен. При-
меняя это рассуждение к присоединенному предста-
влению ad: a—>-End(g), получаем, что элемент z ниль-
потентен. Но, с другой стороны, этот элемент полу-
прост (см. гл. III, теорема 3), так что г = 0, и мы
приходим к противоречию.
2.5.	Пусть а е R и Ха — ненулевой элемент про-
странства $а. Существует элемент Каесга, такой, что
[^а. Уа] — На. В самом деле, так как форма ( , )
приводит в двойственность пространства да и д~а, су-
ществует элемент у е д~а, такой, что (Ха, у) ф 0. Но
тогда, согласно теореме 3, (ш), [Ха, у] Ф 0. Умножая у
на подходящий скаляр, мы найдем искомый эле-
мент Ya. Итак,
[На, Ха] = а (Яа) Ха = 2Ха, [На, Ya] = ~а(#а) Ya = -2Ya.

§ 2	Гл. VI. Строение полупростых алгебр Ли	323
Обозначим через в„ подалгебру в алгебре д, порожден-
ную элементами Ха, Ya, Ha. Написанные выше фор-
мулы показывают, что отображение (X, Y, Н) >—>
|—*(Ха, Ya, Ha) определяет изоморфизм фа алгебр s/B)
и ёа. С помощью присоединенного представления мы
можем теперь рассматривать алгебру g как sIB)-mo-
дуль.
2.6.	Если ае/?, то dimga=l. Сохраним обозна-
чения предыдущего шага. Пусть, напротив, dimga>l.
Так как пространства ga и g~a находятся в двойствен-
ности относительно формы ( , ), существует ненуле-
вой элемент у е g~a, ортогональный к Ха. По теореме 3,
(ш), [Ха, у] = 0; с другой стороны, [На, у] = ~а(На)у =
= — 2у. Итак, если рассматривать (с помощью фа)
алгебру g как si B)-модуль, то элемент у является
примитивным с весом (—2) (см. гл. IV, определение 1).
Однако это обстоятельство противоречит следствию 2
теоремы 1 гл. IV.
2.7.	Имеем
Это следует из 2.5 и 2.6.
2.8.	Элемент Ya, построенный на шаге 2.5, един-
ствен. Это легко вытекает из одномерности простран-
ства g"e.
2.9.	Если а и $ —корни, то $(На) — целое число и
Р — Р (#a) a — тоже корень. Пусть у е дР, у Ф 0, и пусть
р = ?>(На). Тогда
[Я„, у] =
Таким образом, элемент у имеет вес р, если рас-
сматривать алгебру д как siB)-модуль. Но теорема 4
гл. IV утверждает, что все веса алгебры si B) суть
целые числа. Положим теперь
z = Yay, если р > 0; z = Хару, если р < 0.
Согласно той же теореме, элемент z отличен от нуля
и имеет вес E — ра, а это и означает, что линейная
форма р — pa является корнем.
21*

324	Ч. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 2
2.10.	R — система корней и На — корень, двойствен-
ный к а. Действительно, на шаге 2.2 было устано-
влено, что множество R порождает ft*. С другой сто-
роны, пусть «е^, и пусть sa — эндоморфизм
Р н-> р — р (На) а. Из равенства а(Яа) = 2 легко выте-
кает, что этот эндоморфизм есть отражение (см. гл. V)
относительно а. Далее, на предыдущем шаге было
показано, что множество R устойчиво относительно
всех sa. Таким образом, R удовлетворяет всем усло-
виям определения 7 гл. V.
2.11.	Система корней R приведенная. Действи-
тельно, допустим, что найдется такой корень ае/?,
что 2а е R. Пусть у — любой ненулевой алемент из д2а.
Тогда [На, у] = 2а(На)у = 4у. С другой стороны, эле-
мент За не является корнем, поэтому ad(Xa)y = 0.
Формула На=[Ха, Ya] показывает тогда, что ad(//a) г/=
= ad(Xa)ad (Ya) у. Элемент ad(Ya)y лежит в с)а и,
следовательно, коллинеарен Ха и аннулируется эндо-
морфизмом ad(Xa). Значит, Ау— аd(Яa) у = 0, что
противоречит условию.
2.12.	Пусть а «р — неко л лине арные корни, пусть р
(соответственно q)—наибольшее целое число, для кото-
рого линейная форма р — ра (соответственно р + qa)
является корнем, и пусть ?=2 $+ка- Тогда Е —
k<=z'
неприводимый Ъа-модуль размерности p + q+l,
E (На) = р — q, и отображения
ad (Ха):
+1) а -
суть изоморфизмы. В самом деле, Е является моду-
лем йа модуля %. С другой стороны, если рассматри-
вать Е как si B)-модуль (отождествляя si B) с ёа), то
легко усмотреть, что весами этого пространства
являются числа р(#а) + 2& (при условии, что р + ka —
корень кратности 1). Применяя теперь структурную
теорему 4 гл. IV, § 5, видим, что модуль Е непри-
водим и имеет размерность ш + 1, где m = р (Яа) + 2q.

§ 3	Гл. VI. Строение полупростых алгебр Ли	325
С учетом строения неприводимых х/B)-модулей полу-
чаем, далее, что отображения
ad (Xa): if+ka -* 0р+(/г+1) а
суть изоморфизмы.
2.13. Если ае=#, $<^Rua + $e=R, то [да, $} =
= да+р. Указанное равенство становится очевидным,
если заметить, что отображение
ad(Xa): ^->#+a
является (как мы показали на предыдущем шаге)
изоморфизмом.
Теорема 2 полностью доказана.
Замечание. Рассмотрим группу Вейля W, связан-
ную с системой корней R; отождествим W с подгруп-
пой группы автоморфизмов алгебры lj. Тогда всякий
элемент w e W индуцируется внутренним автомор-
физмом алгебры % оставляющим на месте подал-
гебру ^. Действительно, достаточно убедиться в этом
для того случая, когда w есть отражение sa, соот-
ветствующее корню. В этом случае автоморфизм w
индуцируется внутренним автоморфизмом
(см. гл. IV, § 5).
Обратно, можно показать, что ограничение на fy
любого внутреннего автоморфизма алгебры д, оста-
вляющего на месте подалгебру Ij, есть элемент из W.
Более того, можно показать, что группа Aut (g)/Aut°(g)
„внешних автоморфизмов" алгебры % естественно
отождествляется с группой Е = Aut (R)/W, введенной
в § 11 главы V (см. Семинар „Софус Ли" [1]).
§ 3. Подалгебры Бореля
Пусть R — система корней, связанная с полупро-
стой алгеброй д и ее подалгеброй Картана ^. Выбе-
рем в системе R некоторый базис S. Обозначим че-

326	Ч. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 3
рез R+ множество всех положительных корней (отно-
сительно 5) и положим
Теорема 4. (a) g = п. © f) © п+ = п_ © Ь.
(б)	п+ и п. — подалгебры алгебры д, состоящие, из
нильпотентных элементов, причем сами эти алгебры
тоже нильпотентны.
(в)	b — разрешимая подалгебра алгебры д, и ее
производная алгебра равна и+.
Доказательство, (а) Очевидно,
(б) Пусть х е п+. Для любого целого it^O и лю-
бой формы р е I)* имеем
Пусть р е /?, тогда, очевидно, при достаточно боль-
шом k суммы вида р + а, + .... + ak (at e /?+) не могут
лежать в R U {0}, и, следовательно, при таком & имеет
место равенство ad (х)* = 0, т. е. х — нильпотентный
элемент. То обстоятельство, что алгебра п+ сама ниль-
потентна, есть следствие теоремы Энгеля (тео-
рема 1.5.3.1).
Утверждения относительно алгебры п_ доказы-
ваются аналогично.
(в) Соотношение [Ь, Ь] = п+ есть легкое следствие
равенства [?), п+] = п+.
Алгебра b называется подалгеброй Бореля отно-
сительно f) и S.
Теорема 5 (Б орель —Морозов). Всякая
разрешимая подалгебра алгебры g может быть пере-
ведена посредством внутреннего автоморфизма этой
алгебры, в подалгебру Бореля Ь; в частности, b — мак-
симальная разрешимая подалгебра в алгебре д.
Доказательство этой теоремы можно найти в ра-
боте Бореля [1].
Следствие. Любая подалгебра алгебры д, со-
стоящая из нильпотентных элементов, может быть

§ 4	Гл. VI. Строение полупростых алгебр Ли	327
переведена посредством внутреннего автоморфизма
этой алгебры в подалгебру п+.
Это вытекает из теоремы 5, если учесть, что лю-
бой нильпотентный (относительно д) элемент алгебры b
лежит в н+.
§ 4. Базис Вейля
Сохраним обозначения предыдущего параграфа.
Пусть S = {a>\, ..., а„} — фиксированный базис и
п = dim lj — ранг алгебры g (см. гл. III). Обозначим
через Hi элемент На^Ь (см. теорему 2) и выберем
два элемента Xt е tj"', F,-eg"°', такие, что [Xh У,-] = Я,-.
Наконец, положим
п (г, /) = а, (Н{).
Матрица, образованная числами n(i, /), есть не
что иное, как матрица Картана рассматриваемой си-
стемы корней R. Известно (см. лемму 5.11.3), что
числа я (г, /) целы и n(i, /)^0 при 1ф\.
Теорема 6. (а) Алгебра п+ порождается элемен-
тами Xi, алгебра п_ — элементами Y{ и алгебра
о, — элементами Xt, Yit Ht.
(б)	Имеют место следующие формулы (сооотно-
шения Вейля):
[Ht, Н{\ = О,
[Х„ Yt] = Hh	[Xh Y,\ = 0 при i Ф и
[Hh Xj] = п (i, }) Х„ [Hlt Y,]--n (i, j) Y,.
(в)	Для любых индексов i и j (i Ф j) справед-
ливы равенства
О.	@7/)
Доказательство, (а) Достаточно показать,
что п+ порождается элементами Xt. Пусть а — некото-
рый положительный корень. Как известно (см.

328	Ч. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 4
предложение 5.9.5), а можно таким образом предста-
вить в виде суммы элементов at:
а = (*,_+ ... +aik,
что все (частичные) суммы а^-Ь ... +а«Л, h^.k, при-
надлежат R+. Возьмем такое разложение и положим
По теореме 2 Ха — ненулевой элемент прямой $а.
Поскольку п+ есть сумма пространств <f, ae^t, мы
видим, что п+ порождается элементами Xt.
(б)	Если бы коммутатор [Xh Ys] был ненулевым,
то он имел бы вес а, — а,-, который, однако, не
является корнем (так как каждый корень в разложе-
нии по элементам at имеет коэффициенты одного
знака). Следовательно, [Xit У/] = 0, 1ф\.
Все остальные формулы очевидны.
(в)	Элемент
имеет вес а/ — п(/, /)аг + а; = Si(af — al), где s,- = Sar
Так как а,- — а/ ф. R, то и si (а; — аг) ф. R, и потому
8|/ = 0. Равенство 67/ = 0 доказывается тем же спо-
собом.
Теорема 7. (i) Алгебра п+ полностью опреде-
ляется соотношениями F7/), / ф /, наложенными на
образующие Х{.
(ii) Алгебра g вполне определяется соотношениями
Вейля и соотношениями (&%) и F7/), наложенными на
образующие Xt, Yt, Ht.
Утверждение (i) означает следующее. Пусть
L — свободная алгебра Ли со свободными образую-
щими Х{. Тогда ядро канонического гомоморфизма
/: L —*¦ 11+ есть идеал, порожденный элементами Q+it.
Аналогично интерпретируется свойство (И).
Доказательство этой теоремы приведено в доба-
влении в конце настоящей главы.

§ 5	Гл. VI. Строение полупростых алгебр Ли	329
Пример. Если система R имеет тип G2, алгебру п+
можно представлять себе как алгебру Ли с двумя
образующими Хи Х2 и соотношениями
[Хи [Хи Х2] ] = О, [Х2, [Х2, [Х2, [Х2, ХД ] ] ] = 0.
Следствие. Существует автоморфизм а ал-
гебры д, равный (—1) на подалгебре Ц и переводя-
щий Х{ в —Y{, a Yi в —Х{ для всех L При этом
Доказательство. Положим Н\ = — Hi, X't =
= — Yi, Yi= — Xi. Непосредственно проверяется, что
элементы Xi, Yi, Hi удовлетворяют всем соотноше-
ниям Вейля и соотношениям (б]"/), (97/). Согласно
теореме 7, (и), существует автоморфизм a: g-*g,
переводящий Xi, У/, Я,- в Х\, Y\, Hi. Автоморфизм а
оставляет инвариантными элементы Xit Yt, Ht и по-
тому тождествен.
Замечание. Теорема 7 дает явное описание алгебр g
и п+ через матрицу Картана.
§ 5. Теоремы существования и единственности
Теорема о сопряженности подалгебр Картана
(гл. III, § 4) показывает, что система корней полу-
простой алгебры Ли не зависит (с точностью до изо-
морфизма) от выбора подалгебр Картана. Обратно,
имеет место
Теорема 8. Две полупростые алгебры Ли, кото-
рым отвечают изоморфные системы корней, сами
изоморфны.
Имеет место более точное утверждение.
Теорема 8'. Пусть % {соответственно д') — полу-
простая алгебра Ли, % {соответственно ^ — подал-
гебра Картана алгебры % {соответственно алгебры д'),
5 {соответственно S') — базис соответствующей системы
корней и г: S—>S'— биективное отображение, такое,
что п{а, p) = n(r(a), r{ft}) при любых а, ре5. Для
каждого элемента oeS {соответственно р е 5') вы-
берем в пространстве да (соответственно eg') нену-
22 Ж.-П. Серр

330	Ч. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 6
левой элемент X (соответственно Л'р). Тогда сущест-
вует единственный изоморфизм f'.§—>¦ g', отображаю-
щий На в Нг(а) и Xt в Хг(а) для всех asS.
Доказательство. Пусть ^(соответственно Fp)—
такой элемент из g~a (соответственно из 0,'~®), что
[Ха> Ya] = На (соответственно [Хр, Fp] = Яр), Теорема 7
показывает, что найдется изоморфизм f: g->g', пере-
водящий Ха, Fa, На В Хг (а), К' (а), Я' (а). Указанный
изоморфизм f (определяемый, очевидно, однозначно)
является искомым.
Замечание. Полагая в этой теореме g =¦ g7, ^ = ^'
и S'= — 5, получаем следствие теоремы 7.
Сформулируем, наконец, теорему существования.
Теорема 9. Пусть R — приведенная система кор-
ней. Существует полупростая алгебра Ли д, система
корней которой изоморфна /?.
Доказательство. Пусть S = {a,, .... сс„} —
базис системы R и (п (i, j)) — соответствующая матрица
Картана. Обозначим через g алгебру Ли, заданную
посредством Зп образующих Xt, Yh Ht и соотноше-
ний, фигурирующих в теореме 6 (т. е. соотношений
Вейля и (9t/), (бГ/)). Можно показать (см. добавле-
ние), что эта алгебра Ли конечномерна, полупроста
и что система ее корней изоморфна R. Теорема до-
казана.
Следствие. Для того чтобы алгебра g была
простой, необходимо и достаточно, чтобы система R
была неприводима.
Это очевидно.
§ 6. Нормализация Шевалле
Выберем для каждого корня a e R ненулевой
элемент Ха^$а. Тогда
Л?' если

§ 6	Гл. VI. Строение полупростых алгебр Ли	331
где Л^а,р — ненулевой скаляр (по теореме 2, (г)). Числа
Na,a опргделяют „закон коммутирования" в алгебре д.
Сами они определены неоднозначно (зависят от вы-
бора элементов Ха).
Теорема 10. Элементы Ха можно выбрать так,
что
[Ха, Х_а] = На для всех ае^,
Na, р = ~~ N-a, _g для всех а, р, а + ре/?.
Доказательство. Пусть R+ — множество поло-
жительных корней (относительно базиса S системы R),
и пусть сг — автоморфизм алгебры, удовлетворяющий
условиям следствия теоремы 7. Тогда or(ga) = (]~a. Для
каждого корня aei?t выберем ненулевой элемент
Х'а е= ga. Как известно, \Х'а, o(Xra)]<=[f, <TaL T- e. суще-
ствует ненулевой скаляр ta, такой, что [Xa,o(Xa)] =
— ^аЯа.
Обозначим через иа один из квадратных корней
из числа — ta и положим
Ja = U-'X;, Х„а=-в(Ха).
Тогда
[Ха, Х-а] — На.
Равенство iVa> „ = — yV_a, _p вытекает теперь из соот-
ношений
[а (Ха), а (Х0)] = а [Ха, Х&] и а (Ха) = - I_a.
Теорема* 11 (Шевалле). Пусть элементы
1аед° выбраны так, как указано в теореме 10, и
пусть а, ре/? и а + ре#. Обозначим через р наи-
большее целое число, такое, что р — pa e # (слг. 2.12).
Тогда
Доказательство см. в работе Шевалле [4].
Замечания. 1. Обозначим через §{Z) аддитивную
подгруппу алгебры я, порожденную элементами На
и Ха (последние выбираются согласно теореме 10).
Теорема 11 показывает, что g(Z) является алгеброй Ли
22*

332	Ч. III. Комплексные полупростые алгебры Ли Доб.
над кольцом Z. Следовательно, над любым полем /С
можно рассмотреть алгебру Ли g (К) — g (Z) ® /С- Ука-
занная конструкция служит отправной точкой по-
строения так называемых групп Шевалле (см. по этому
поводу цитированную выше работу Шевалле [4] или
работу Картера [1]).
2.	Знак ± в теореме 11 уточнен Титсом (однако
при этом нужно изменить систему индексации эле-
ментов Ха). Им же получено новое доказательство
теоремы существования (теоремы 9).
3.	Пусть К ~ вещественное векторное подпростран-
ство алгебры д, порожденное элементами iHa, Xa—X,a,
i(Xa + X-a). Легко проверяется, что К — вещественная
подалгебра Ли алгебры д. Форма Киллинга этой под-
алгебры отрицательно определена, кроме того, ал-
гебру g можно отождествить с комплексификацией
/C<S>rC алгебры К- Иными словами, существует ком-
пактная форма алгебры д. Существование такой формы
можно установить с помощью „унитарного приема"
Вейля. В случае, когда g = si B), подалгебра К сов-
падает с su{2) (см. гл. IV, § 6, 7).
Добавление
ПОСТРОЕНИЕ ПОЛУПРОСТЫХ АЛГЕБР ЛИ
ПО ОБРАЗУЮЩИМ И СООТНОШЕНИЯМ
Пусть ^ — система корней в комплексном вектор-
ном пространстве V. Мы будем по возможности со-
хранять предыдущие обозначения. В частности,
Г = § и V-V-
Пусть S = {ab ..., an} —базис системы R; Ни ...
..., Яле^- двойственные корни к элементам базиса,
и пусть
n(i, ;) = («/. Ht).
Числа п (i, j) образуют матрицу Картана нашей
системы корней (относительно базиса S).

Доб.	Гл. VI. Строение полупростых алгебр Ли	333
Наша цель — доказать следующую основную
теорему.
Теорема. Пусть % — алгебра Ли, определенная Зп
образующими и соотношениями
(w. 1) [Н,, Я/] = 0;
(w. 2) [Xh Y{] = Н{, [Xt, У/3 = 0 при i Ф j;
(w.3) {Hh X,] = n(i, j)X,, [Ht, Yl]=-n(i, ])Y,;
(в?/) ad (Xi)-n{i-/)+1 (Xd == 0 при ЬФ j;
F7/) ad (Yi)'n (i-/)+1 (Y,) = 0 при i Ф j.
Тогда g — полупростая алгебра Ли, причем ее
подалгебра Картана порождена элементами Ht,
а система корней есть R.
Доказательство. Рассмотрим сначала алгебру
Ли а, задаваемую теми же образующими Xt, Yt, Ht
и тремя первыми соотношениями (w. I), (w. 2), (w.3).
Строение этой алгебры хорошо известно, оно было
определено Шевалле, Хариш-Чандрой и Джекоб-
соном. Мы приведем здесь лишь окончательный
результат (см. Джекобсон [1], стр. 231).
Предложение. Имеет место разложение
а = х ® I) ® у,
где х (соответственно у) — алгебра Ли, порожденная
элементами Yt (соответственно элементами Xt), и
f) — пространство, натянутое на элементы Ht. Кроме
того, алгебра у (соответственно х) естественно изо-
морфна свободной алгебре Ли с множеством свобод-
ных образующих {Y{} (соответственно {Х{}), и, наконец,
семейство {#j образует базис пространства §.
Для простоты обозначений мы отождествили здесь
первоначальное пространство D и векторное подпро-
странство алгебры а, порожденное элементами Ht.)
Пусть, как и прежде,

334	Ч. III. Комплексные полупростые алгебры. Ли Доб.
Очевидно, 67/ s х и 67/е г/. Обозначим через п+
(соответственно пГ) идеал в алгебре х (соответственно
в алгебре у), порожденный элементами 87/ (соответ-
ственно 67/) с i ф /. Положим г — п+ ф пГ.
(а)	п+, п~, г — идеалы в алгебре а. Пусть Ua, Ux,
[/// — универсальные обертывающие алгебры соответ-
ствующих алгебр Ли. Присоединенное представление
ad: a-* End (а) наделяет алгебру а структурой Ua-
модуля. Идеал пц алгебры а, порожденный элемен-
том 6^-, равен подмодулю Ua(dtj). Согласно следствию
из теоремы Биркгофа — Витта (см. следствие 1.3.4.2),
идеал пц натянут (как векторное пространство) на
элементы вида ХУН(вЬ), где X^Ux, Ys=Uy, Н^Щ.
По понятным соображениям векторы HB^i и 6?/ кол-
линеарны. С другой стороны, как показывает неслож-
ное вычисление (см. Джекобсон [1], лемма 1, стр. 239),
аё(У*)(в*/) = 0 для всех k, и, следовательно векторы
YQti и Btj тоже коллинеарны. Таким образом, идеалы»/
порожден (как векторное пространство) элементами
вида XBti и потому содержится в й+. Осталось заме-
тить, что п+ = 2 utj, так что п+ действительно является
идеалом алгебры а. Аналогичное рассуждение пока-
зывает, что «" — идеал, а отсюда уже следует, что
их прямая сумма г тоже является идеалом.
Итак, г есть наименьший идеал алгебры а, содер.
жащий 6?/ и 67/. Наша алгебра д, которую мы наме-
рены изучить, совпадает попросту с факторалгеброй а/г.
(б)	Имеет место разложение
где п+ = х/п+, п_ = у[п~.
Это очевидно.
(в) Эндоморфизмы ad(Xi) и ad(Yt) алгебры g ло-
кально нилыготентны.
Обозначим через V{ множество таких элементов
zeg, что ad(X{)kz — 0 для некоторого целого k. Мы
должны показать, что Vt = g. Можно убедиться
простым вычислением, что множество Vt образует

Доб.	Гл. VI. Строение полупростых алгебр Ли	335
подалгебру Ли в алгебре д. Однако Xk e V{ (ввиду
соотношения Э^=0) и FjG Vi (ввиду соотношений w)
для всех k, и потому Нк = [Хк, Yk]^Vt. Следова-
тельно, Vt — a,. Аналогичное рассуждение проходит и
для ad(y,)-
Введем дополнительные обозначения. Пусть Я—
линейная форма на пространстве 1?. Обозначим через ах
(соответственно дх) множество таких элементов гей
(соответственно 2Gj), что ad(H)z = X(H)z для всех
Я е I). Мы будем говорить в этом случае, что эле-
мент z имеет вес Я. Из приведенного выше разложе-
ния алгебры а ясно, что а есть прямая сумма своих
подалгебр вида ах; отсюда, кстати, вытекает, что и
алгебра g есть прямая сумма подалгебр а,к, Заметим
также, что если акф0, то линейная форма Я пред-
ставляется в виде линейной комбинации элементов at
с целыми коэффициентами одного и того же знака.
Имеем ^ = а0, х = S ^х. У= 2 ах и аналогично
Х0	К<0
для алгебры д.
Вычислим теперь размерность пространств да,
Вначале докажем следующее утверждение.
(г) Если линейные формы Я и ц (на fj) перево-
дятся друг в друга элементом w группы Вейля W,
то dim gx = dim o^.
Достаточно доказать это в том случае, когда w
является отражением st относительно корня a; e S
(см. гл. V, теорема 2). Рассмотрим автоморфизм Qt
алгебры й, определенный формулой
6. = ead №)<fad (y*)ead (*/).
Выражение это имеет смысл в силу (в). Нетрудно
проверить, что 8^ индуцирует отражение простран-
ства \ относительно #,, сопряженное к st. Следова-
тельно, 82 (дМ|) = дя (поскольку st (м.) = Я), так что dim gx =
di
(д) Имеем dimga' = l и dimgma' = 0 при гпф ±1,0.
Для алгебры а аналогичные формулы очевидны;
наш результат получается отсюда, если заметить,
что Хц ф п+>

336	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли Доб.
(е)	Если aGj?, то dim ga = 1.
Действительно, существует такой автоморфизм
w <= W, что w(a) = al (см. гл. V, теорема 2, (в)).
Применяя (г) и (д), приходим к требуемому соот-
ношению.
(ж)	Пусть линейная форма Ае|' представима
в виде линейной комбинации корней at с веществен-
ными коэффициентами и не коллинеарна ни одному
из корней. Тогда найдется такой элемент w e W,
что в разложении w (X) = 2 Uai n0 крайней мере
два ненулевых коэффициента будут иметь противо-
положные знаки.
Обозначим через ljR вещественное векторное под-
пространство пространства I), порожденное элемен-
тами Hi (см. гл. V, § 17), через La (соответственно
через L) — гиперплоскость в f)R, ортогональную к a
(соответственно к X). По условию гиперплоскость L
не совпадает ни с одной гиперплоскостью La и по-
тому не содержится в их объединении. Выберем про-
извольный элемент Н е L, не лежащий в (jLa.
a
вергая, если нужно, % и L действию некоторого
элемента w^W, можно считать, что at(H)>0 при
всех i (см. гл. V, теорема 2, (а)). Запишем X в виде
Тогда
Из этого равенства видно (поскольку а(-(#)>0), что
коэффициенты tt не могут быть все одного знака.
(з) Если линейная форма Я е lj* не является кор-
нем и если КфО, то 9=0.
Можно ограничиться случаем, когда К есть линей-
ная комбинация корней at с целыми коэффициентами.
Если форма X коллинеарна одному из корней, то
наше утверждение вытекает из (г) и (д). Если же
это не так, то можно найти такой элемент w e W,
что в разложении формы y, = w(X) по элементам
базиса S по крайней мере два коэффициента имеют

Доб.	Гл. VI. Строение полупростых алгебр Ли	337
разные знаки. Но для такой формы, как было пока-
зано, all = 0. Поэтому 9^ = 0, и нам остается снова
применить (г).
(и) Алгебра g имеет конечную размерность, рав-
ную п + Card(#).
В самом деле, согласно (е) и (з),
а каждое пространство да одномерно.
(к) Если а<=#, то пространство [да, д~а] натянуто
на элемент На {в частности, dim [да, д~а] = 1). Под-
алгебра ёа, порожденная На, да, д~а, изоморфна si B).
Утверждение очевидно, если а совпадает с одним
из корней а(. Общий случай можно свести к этому,
воспользовавшись автоморфизмами Э,- и их произ-
ведениями (см. (г)).
(л) Алгебра g полупроста.
Пусть а — коммутативный идеал алгебры д. Будучи
идеалом, пространство а инвариантно относительно
всех ad (Я), Яе|. Поэтому а = аA^ф 2 аГ)да.
Но так как алгебры- 8а и s/B) изоморфны, af|§a = O
и тем более a f] да = 0, так что a cz %. Условие ин-
вариантности идеала а относительно ad(X,) показы-
вает теперь, что все формы аг обращаются в 0 на а
и, следовательно, а = 0.
(м) Алгебра § совпадает с подалгеброй Картана
алгебры д, и система корней последней совпа-
дает с R.
Действительно, подалгебра Ij совпадает со своим
нормализатором. Второе свойство очевидно.
На этом доказательство нашей теоремы, а вместе
с ней и теоремы 9 {теоремы существования) закан-
чивается.
Нетрудно доказать теперь и теорему 7. Пусть
%'— полупростая алгебра Ли, Ц — ее подалгебра Кар-
тана и Х\, Y\, H\ — соответствующие образующие
Вейля (см. § 4). Допустим, что матрицы Картана
алгебр g и д' совпадают. Согласно теореме 6, обра-
зующие Х\, Y\, Н\ удовлетворяют соотношениям (W),

338	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли Доб.
F7/) и F7/). Существует, следовательно, гомоморфизм
f: g-*g', переводящий Xt, Yv Ht в Xrv Y'p H'r По-
скольку последние элементы порождают g', отобра-
жение f сюръективно. Но алгебры % и д' имеют оди-
наковую размерность, равную п + Card(R), так что
гомоморфизм f на самом деле является изоморфизмом.
Теорема 7 доказана.
Упражнение. Пусть г' —некоторый идеал упомянутой
выше алгебры а. Доказать равносильность следующих
свойств:
(i) идеал г, порожденный элементами 6t/ и 67/,
содержится в ?:
(ii) алгебра а/г' конечномерна;
(iii) существует целое число m^sO, такое, что
ad(Xi)m{X,)^f' и ad (К,Г(У/)ег' при 1Ф\.
(Отсюда видно, в частности, что г — это наимень-
ший идеал конечной коразмерности в алгебре а.)

Глава VII
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ПОЛУПРОСТЫХ АЛГЕБР ЛИ
В этой главе, как и раньше, g — комплексная
полупростая алгебра Ли, \ — подалгебра Картана и
R — соответствующая система корней. Зафиксируем
в этой системе некоторый базис 5 = {аь ..., а„} и
обозначим через R+ множество всех положительных
корней (относительно S).
Для каждого корня а е /?+ выберем элементы
1ае{|о. ^ае8"а. такие, что [Ха, Ya] = Ha (см. гл. IV,
§ 1). Если а совпадает с одним из простых корней ah
то мы будем писать Xit Уь Ht вместо Хщ, Y4, Нщ.
Положим
а>0	а<0
Мы будем изучать неприводимые g-модули, соот-
ветствующие старшему весу (см. § 3), и, в частности,
дадим описание тех из них, которые имеют конечную
размерность.
§ 1. Веса
Пусть V — некоторый g-модуль (не обязательно ко-
нечной размерности), и пусть сое^*—линейная форма
на пространстве §. Обозначим через Vй пространство
всех элементов seF, таких, что Hv = со (Я) v для
Яе|. Мы будем говорить, что элементы этого про-
странства имеют вес со. Размерность dimV40 назы-
вается кратностью формы ©. Мы скажем, что форма <а
является весом пространства V, если Vю

340	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 2
Предложение 1. (а) Пусть coefj* и ае^,
Тогда tfV'czV™.
(б) Сумма V' = 2 V" есть прямая сумма. Прост-
(В
ранство V инвариантно относительно действия ал-
гебры д.
Доказательство. Пусть Xsf, v s Va и
Я е$. Равенство
показывает, что вектор Ху имеет вес со + а.
Утверждение (а) общеизвестно (собственные век-
торы, отвечающие различным собственным значе-
ниям, линейно независимы). Наконец, приведенное
выше равенство доказывает инвариантность прост-
ранства V относительно всех да и, следовательно,
относительно всей алгебры § ф 2 9а-
§ 2. Примитивные элементы
Пусть V — некоторый g-модуль, v — элемент этого
модуля и со —линейная форма на %. Назовем v при-
митивным 2) элементом веса со, если выполнены сле-
дующие два условия:
(i) вектор v отличен от нуля и имеет вес со;
(И) для всех ae^t (или, что то же самое, для
всех oeS)
Xav = 0.
Примитивные элементы можно охарактеризовать
также, как собственные векторы подалгебры Бореля Ь.
Предложение 2. Пусть v — примитивный эле-
мент ^-модуля V веса со, и пусть Е — подмодуль,
порожденный этим элементом. Тогда
A) Модуль Е порождается (как векторное про-
странство) элементами вида
Ур ... Урп. mt <=¦ N,
где Pi, ..., Pfe — различные положительные корни.
') В отечественной литературе примитивный элемент назы-
вают также старшим вектором. — Прим. перев.

§ 2 Гл. VII. Линейные представления алгебр Ли	341
B)	Веса модуля Е имеют вид
п
и кратности их конечны.
C)	Форма со является весом модуля Е кратности 1.
D)	Модуль Е неразложим.
(Напомним, что модуль Е называется неразложи-
мым, если он нетривиален и не разлагается в пря-
мую сумму нетривиальных подмодулей. Всякий не-
приводимый модуль неразложим, обратное, вообще
говоря, неверно.)
Доказательство. Обозначим через А, В, С
универсальные обертывающие алгебр U%, Ub, t7n_
соответственно. Как мы знаем, А = С ® В, поскольку
д = п_фЬ (см. ч. 1, гл. III, § 4), поэтому E = Av =
= С • Bv. Однако вектор v является собственным для
любого оператора JeB, так что С • Bv = Cv, т.е.
E = Cv. Утверждение A) вытекает теперь из теоремы
Биркгофа — Витта, согласно которой одночлены
образуют базис алгебры С.
Для того чтобы доказать утверждение (г), доста-
точно заметить (см. предложение 1), что элемент
2
Y^1 ... YTkv имеет вес со — 2"*/Р/ (т/ е N), причем
корни р разлагаются в линейные комбинации по эле-
ментам базиса 5 = {а,, ..., а„} с целыми неотрица-
тельными коэффициентами. Нетрудно также сообра-
зить, что формы со и со —2^/Р/ (Р/ <= R+, m/GN)
равны тогда и только тогда, когда все числа т/
равны нулю, а это в точности эквивалентно части C)
предложения 2.
Допустим, наконец, что модуль Е равен прямой
сумме двух подмодулей Е1 и Е2. Тогда ?*> = ?Тф?з-
Но, как мы доказали, dim ?ш= 1, а потому E^^Ef
или ?ш = Е®' В первом случае v e Е\, и поскольку

342	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 3
вектор -v порождает Е, мы получаем Е = Е1 и Е2 = 0.
Аналогично во втором случае Е = Е2 и Ег = 0.
§ 3. Неприводимые модули, соответствующие
старшим весам
Теорема 1. Пусть V — неприводимый д-модуль,
содержащий примитивный элемент v веса со. Тогда
(а)	Вектор v является единственным с точностью
до умножения на скаляр примитивным элементом
модуля V. Вес этого элемента называется старшим
весом неприводимого модуля V.
(б)	Любой вес л нашего модуля имеет вид
п = со — 2"*га;> где MjeN.
Кратности всех весов конечны; в частности, кратность
веса со равна единице. Кроме того, V = Sv"*
(в)	Два неприводимых ^-модуля Vx и V2 со стар-
шими весами со! и со2 изоморфны в том и только в
том случае, когда со2 = со2.
(Как показывает (б), каждый вес модуля V в не-
котором очевидном смысле строго меньше веса ©,
чем, собственно, и объясняется происхождение термина
„старший вес".)
Доказательство, (б) Подмодуль Е czV, по-
рожденный элементом v, совпадает с модулем V
ввиду неприводимости последнего. Применяя предло-
жение 2, получаем (б).
(а) Пусть v' — примитивый элемент модуля V с
весом ю'. Согласно (б),
со' = © — 2 nil ai>
Поменяв ролями v и v', приходим к соотношению
Сложив эти равенства, видим, что mt = m? = 0 для
всех i, т. е. со = со'. Снова применяя (б), получаем,
что векторы v и и' коллинеарны.
(в) Докажем, что равенство coj = со2 влечет за со-
бой изоморфизм соответствующих g-модулей V\ и V2.

§ 3 t~A. VII. Линейные представления алгебр Ли	343
Обозначим через vt (o=l, 2) примитивный элемент
модуля Vi веса со( = coj = со2). Очевидно, вектор v =
— V[ + v2 модуля V\Q>V2 является примитивным эле-
ментом с тем же весом со. Пусть Е — подмодуль
модуля V, порожденный элементом v. Проекция
prj: V -*• V\ индуцирует гомоморфизм ((-модулей
fi'. E-*V\. Ясно, что f\(v) = vi. Так как v} порож-
дает модуль V\, заключаем, что отображение fx сюръ-
сктивно. С другой стороны, ядро N\ = Vz П Е этого
гомоморфизма является подмодулем в VV. при этом
указанный подмодуль не содержит v2, поскольку (см.
предложение 2) любой элемент веса со модуля Е дол-
жен быть коллинеарен вектору v. Итак, N\?=V2, и,
следовательно, в силу неприводимости последнего
модуля Ni = 0, т. е. отображение /i — изоморфизм.
Доказав аналогичным образом изоморфизм модулей
V2 и Е, мы получаем искомый изоморфизм первона-
чальных модулей V, и V2-
Замечание. Можно привести пример неприводимого
g-модуля, не обладающего старшим весом (иными
словами, не имеющего примитивного элемента); та-
кой модуль обязательно имеет бесконечную размер-
ность (см. § 4).
Теорема 2. Для всякой формы со е У сущест-
вует неприводимый %-модуль, старший вес которого
равен со.
(В теореме 1 доказано, что такой модуль единст-
вен с точностью до изоморфизма.)
Доказательство, (i) Построим вначале д-мо-
дуль Vа, содержащий примитивный элемент v веса со
и порожденный этим элементом.
Обозначим через La одномерный b-модуль (с ба-
зисным вектором v), такой, что
v при Яе|
Xv = 0	при X е п+.

344	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 3
Пространство Lffl можно рассматривать как мо-
дуль над соответствующей универсальной обертываю-
щей алгеброй Ub. Взяв тензорное произведение
Va = Uq ® иьЬ®,
мы получим некоторый t/g-модуль. Очевидно, что
этот модуль порожден элементом I <8>_v (который мы
для краткости обозначим через v). Легко видеть, что
элемент v не равен нулю, так как по следствию тео-
ремы Биркгофа — Витта (см. ч. 1, гл. III, § 4) ал-
гебра U% является свободным f/b-модулем, причем
в качестве одного из элементов свободного базиса
можно взять единицу. Из приведенных выше формул
видно также, что v — примитивный элемент модуля Vo
веса со.
(Можно было бы показать, что модуль Va обладает
базисом, состоящим из элементов вида Y?1 ... УГ*о,
однако для нас это несущественно.)
(ii) Положим
VZ= 2 (Vaf,
я ф га
где Уа — построенный выше ^-модуль. Если V — не-
который подмодуль модуля Va,, отличный от всего
модуля Va, то V с Vffl. Действительно, во-первых,
V = 2 У'п> поскольку пространство V инвариантно
относительно %; во-вторых, V'a = 0, так как в против-
ном случае мы имели бы v e V** и V = V^. Итак,
V' = 2 V'n, т. е. V' с: V®. Таким образом, ^-подмодуль
Na cz Va, порожденный всеми подмодулями, отлич-
ными от Va, содержится в VZ и тем более не совпа-
дает с Va. Фактормодуль ?1a = V0)/iVra является, оче-
видно, искомым неприводимым д-модулем.
Замечания. 1. Для заданной формы со мы можем
встретиться с двумя возможностями: Na = @) и iVm=7^@);
обе они реализуются в случае алгебры s/B).
2. Теоремы 1 и 2 дают в совокупности биективное
соответствие между элементами со е |* и классами

§ 4 Гл. VII. Линейные представления алгебр Ли	345
неприводимых g-модулей, имеющих в качестве стар-
шего веса форму со.
§ 4. Модули конечной размерности
Предложение 3. Пусть V — конечномерный
%-модуль. Тогда
(а)	V = %Vn;
(б)	числа вида п(На), где л —вес модуля V и
ае/?, являются целыми;
(в)	модуль V содержит примитивный элемент (если,
конечно, УфО);
(г)	если модуль V порождается примитивным эле-
ментом, то он неприводим.
Доказательство, (а) По теореме 3 гл. III
каждый элемент алгебры ^ полупрост; полупрост
также соответствующий ему эндоморфизм простран-
ства V (следствие 1.6.5.4). Поскольку алгебра t) ком-
мутативна, все соответствующие эндоморфизмы диа-
гонализуются в одном общем базисе.
(в)	Теорема Ли (см. ч. 1, гл. V, § 4), примененная
к разрешимой алгебре Бореля Ь, дает существование
примитивного элемента.
(г)	Комбинируя неразложимость модуля, порож-
денного примитивным элементом (предложение 2), и
его полную приводимость (см. ч. 1, гл. VI, § 3), за-
ключаем, что такой модуль неприводим.
(б) Наконец, если а «= #+> то пространство V можно
рассматривать как модуль над алгеброй Ли йа, по-
рожденной тремя элементами Ха, Уа, Яа (см. гл. VI).
Применяя теорему 4 гл. IV, мы видим, что собствен-
ные значения оператора, соответствующего элементу
На, лежат в Z. Остается заметить, что эти собствен-
ные значения суть не что иное, как числа п(На)-
Следствие. Всякий конечномерный неприводи-
мый %-модуль имеет старший вес.
Это непосредственно вытекает из утверждения (в)
предыдущей теоремы.
23 Ж.-П. Серр

346	Ч. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§4
С помощью теорем 1 и 2 мы в состоянии теперь
дать описание тех форм со е §*, для которых соответ-
ствующий неприводимый g-модуль имеет конечную
размерность.
Теорема 3. Пусть со е i>* и Еа — неприводимый
%-модуль, старший вес которого равен со. Для того
чтобы модуль Еа имел конечную размерность, необ-
ходимо и достаточно, чтобы
*)со(#а) были целыми неотрицательными числами
для всех корней а е R*.
(Достаточно, впрочем, чтобы форма со принимала
целые неотрицательные значения на элементах ба-
зиса Н^)
Доказательство. Необходимость. Пусть v —
примитивный элемент g-модуля Еа. Очевидно, этот
элемент останется примитивным, если рассматривать
?й как §а-модуль (где §а —подалгебра, порожденная
элементами Ха, Ya, Ha). Применяя следствие 2 тео-
ремы 1 гл. IV, мы заключаем, что со (Яа) — целое не-
отрицательное число.
Достаточность. Допустим, что свойство (*) выполнено.
Пусть v — примитивный элемент модуля Еш. Положим
т, = ©(#,), vt = Yp+iv, где l<i<dim $.
Если / ф }, то элементы Xj и Yt коммутируют, поэтому
Рассматривая Еа как §г-модуль (где подалгебра ё; по-
рождается элементами Xh Yh Яг), получаем в силу
теоремы 3.11, (ш), гл. IV
Если бы vt ф 0, это означало бы, что vt-~прими-
тивный элемент веса со —(тг + 1)а, в противоречие
с теоремой 1, (а). Итак, vt = 0. Согласно теореме 1
гл. IV, векторное подпространство Fh порожденное
векторами Y^v, 0^p^mt, является Ь^модулем ко-
нечной размерности.

§ 4 Гл. VII. Линейные представления алгебр Ли	347
Обозначим через Tt множество всех ^-подмодулей
модуля Еа конечной размерности и через Е\ — их
сумму. Очевидно, если F е Ти то и % • F e Tt. Отсюда
вытекает, что Е\ является инвариантным (относи-
тельно й) пэдпространством модуля Еа. Ввиду непри-
водимости последнего Е\ = Еа. Итак, мы доказали,
что модуль Еа есть сумма §t-мод у лей конечной раз-
мерности.
Пусть Ра — множество всех весов модуля Еа. По-
кажем, что это множество инвариантно относительно
отражения slt соответствующего корню <xt. В самом
деле, пусть яеРш и у — ненулевой элемент простран-
ства Е%. Как мы знаем, р. = я(#,-) — целое число (см.
теорему 1, (б)). Положим
x—Yptly, если pt >0, и х = ХУ'у, если р. ^0.
Применяя теорему 4 гл. IV к конечномерному
§гм0ДУлю> содержащему элемент у, видим, что х ф 0.
Вес элемента х равен
л — PjCtj = л — я; (Яг) аг = S/ (л).
Таким образом, S{ (я) — вес модуля Е^,, что и дока-
зывает инвариантность множества Ра.
Докажем теперь конечность этого множества.
Пусть яеРв. Тогда (теорема 1)
я = со-2ргаь где pt e N.	A)
Достаточно, разумеется, доказать ограниченность
коэффициентов рг. Рассмотрим множество
-S = {-au ..., -ап}.
Оно, как и множество S, является базисом системы R.
Найдется, следовательно, автоморфизм w e W, такой,
что w(S)— — S (см. гл. V, § 10). Но, как известно,
w есть произведение элементов вида s;; поэтому
в силу доказанного выше \у(тс)еРи и
\?(я) = ю-2^а/,	qi>0.
Применяя w~l к этой формуле,	находим
я-огЧоО + Цгд!,,	о>0. B)
23*

348	4. 111. Комплексные полупростые алгебры Ли	§5
Пусть со — w~1(a) = 2с*а;- Ясно, что коэффициенты сг
зависят только от выбора базиса S (при фиксирован-
ной форме о). Но из равенств A) и B) видно, что
ct = p; + гг. Отсюда следует, что pi^c(, т.е. числа
pi ограничены.
Итак, модуль Еа имеет конечное число весов. По-
скольку каждый из них имеет конечную кратность
(см. теорему 1) и поскольку Еа есть прямая сумма
соответствующих собственных подпространств, рас-
сматриваемый модуль Еа имеет конечную размер-
ность. Теорема доказана.
Замечания. 1. В ходе доказательства мы устано-
вили, что множество Ра весов модуля Еф инвариантно
относительно группы Вейля W. Фактически веса л и
w (n) (n e Pa, w <^W) имеют одинаковую кратность.
Действительно, достаточно рассмотреть случай w = s,-,
а в этом случае, как нетрудно проверить, автомор-
физм
Э = exte~Yiexi~
преобразует ?* в EsJin) (см. гл. IV, §5, замечание 1).
2. Рассмотрим базис {соД пространства §*, двой-
ственный к базису {ЯД:
Веса со,- называются фундаментальными весами
системы корней R (относительно выбранного базиса S).
Условие (*) теоремы 3 означает, что рассматриваемая
форма со представима в виде линейной комбинации
элементов сог с целыми неотрицательными коэффи-
циентами.
Неприводимые модули, соответствующие фунда-
ментальным весам, называются фундаментальными
модулями {или фундаментальными представлениями)
алгебры д.
§ 5. Приложение к группе Вейля
Предложение 4. На множестве всех базисов
системы корней R группа Вейля действует транзи-
тивно и „без неподвижных точек".

§ в Гл. VII. Линейные представления алгебр Ли	349
Доказательство. Свойство транзитивности
было доказано выше в гл. V, § 10. Нам остается,
следовательно, показать, что тогда и только тогда
w(S) — S, где w e W, когда w — l.
Пусть со — произвольный фундаментальный вес
(относительно базиса S), и пусть Еа— соответствующий
ему конечномерный неприводимый g-модуль. Как мы
уже знаем (см. замечание 1), форма да (о) тоже яв-
ляется весом модуля Еа. Поэтому
w~l (со) = со — 2 Piat, Pi e N.
Отсюда, используя условие w (S) = S, находим
или
Поскольку w (со) — вес модуля Е&, постольку в силу
теоремы 1, (б), все коэффициенты р'( = 0, т. е. w (со) = со.
Вспоминая, что фундаментальные корни образуют ба-
зис пространства §*, получаем w = 1.
§ 6. Пример: st(n + l)
Пусть g = sl(n+ 1) — алгебра квадратных матриц
порядка п + 1 с нулевым следом. В качестве под-
алгебры 1) возьмем алгебру, состоящую из диагональ-
ных матриц
(сокращенно (А,|, ..., Я„+1)), таких, что S^/ = 0. Кор-
нями этой алгебры служат линейные формы вида
ai, /1 < Ф U такие, что
ai, IШ) *" ^ч — Я/

350	4. 111. Комплексные полупростые алгебры Ли	§7
где Н — (At, ..., Я„+1). В качестве базиса системы кор-
ней можно взять формы af = a^ (+ь 1 <!/<;«; соот-
ветствующий элемент Яге^ есть диагональная
матрица (Аь ..., Х„+1), у которой Аг=1, Хм = —1 и
Kj = 0 при / =т^= г, / + 1.
Фундаментальные веса со/ задаются равенствами
где Я = (АЬ ..., А„+1).
Фундаментальный вес со, является старшим весом
стандартного представления алгебры sl(n+l) в век-
торном пространстве ? = С"+1. Более общо, фундамен-
тальный вес СО( есть старший вес представления
sl(n+l) в пространстве Л Е1).
В действительности любое неприводимое конечно-
мерное представление алгебры sl(n + l) можно полу-
чить, разлагая тензорные степени пространства Е
(см. Г. Вейль [2*]).
§ 7. Характеры
Пусть Р — аддитивная подгруппа пространства ^*,
образованная всеми формами я, такими, что п(На) е Z
для любого корня ае/( (или, что то же самое, для
любого простого корня aeS). Группа Р является
свободной абелевой группой, имеющей в качестве
базиса систему фундаментальных весов {соь ..., соя}.
Обозначим через А групповое кольцо Z [Р]. Иными
словами, А есть Z-алгебра со свободным базисом
(еп)пшР, таким, что ея - е*' — ея+п'.
Определение 1. Пусть V — некоторый д-мо-
дуль конечной размерности и я — его вес. Обозначим
через пгя кратность dim Vя этого веса.
Элемент
ch (К) = Ц пгяея
алгебры А называется характером модуля V,
') См. предложение 1.7.4.6 —Ярил, перев.

§ 7	Гл. VII. Линейные представления алгебра Ли	351
(Это определение корректно, поскольку ненулевые
члены в указанной сумме соответствуют весам мо-
дуля V, а их, согласно предложению 3, конечное
число.)
Предложение 5. (а) Характер chG) инва-
риантен относительно группы Вейля W.
(б) Имеют место соотношения
(в) Два 0,-модуля V и V конечной размерности
изоморфны тогда и только тогда, когда ch(K) = ch(V')
Доказательство. Утверждение (а) выражает
по существу тот факт, что два сопряженных (относи-
тельно группы Вейля) веса имеют одинаковую крат-
ность (см. замечание 4.1).
Формулы пункта (б) очевидны.
Докажем (в). Нам надо показать, что из равен-
ства ch(V) = ch(K') следует изоморфизм модулей V
и V. Доказательство будем вести индукцией по раз-
мерности пространства V. Если dimK = 0 (т. е. V = 0),
то ch (V) = 0, откуда ch (К') = 0 и V' = 0. Пусть теперь
V ф 0. Обозначим через Pv множество всех весов
модуля V. Поскольку ch(V) = ch(V')> множество всех
весов модуля V совпадает с Ру. Очевидно, РУФ0.
Так как Pv конечно, существует такой элемент
© е Pv, что ш + щфРу для любого i. Выберем в про-
странстве Va произвольный ненулевой элемент v.
Ясно, что этот элемент примитивен. В силу предло-
жения 3 подмодуль V, с; V, порожденный вектором v,
неприводим и имеет старший вес со. На основании
теоремы Вейля о полной приводимости найдется до-
полнительный к Vi подмодуль V2. т.е. V = V}{BV2-
По аналогичным соображениям V = У|ф V'2, где
V[ — неприводимый ^-модуль со старшим весом со.
Но поскольку модули К, и V\ имеют одинаковые
старшие веса и неприводимы, они по теореме 1 изо-
морфны и, следовательно, ch(V1) = ch(K^). Из фор-
мул (б) и последнего равенства вытекает, что ch(K2) =

352	Ч. III. Комплексные полупростые алгебры, Ли	§8
= ch(KQ. Применяя предположение индукции, заклю-
чаем, что модули V2 и V2 (а потому и первоначаль-
ные модули V и V) изоморфны.
Пусть А^ — подалгебра алгебры А = Z [Р], состоя-
щая из всех элементов, инвариантных относительно
группы Вейля. В силу (а) каждый характер лежит
в Aw. Можно показать, что, обратно, любой элемент
этой алгебры есть разность двух характеров. Ука-
занное свойство вытекает из следующего более точ-
ного результата, который мы приведем без доказа-
тельства.
Предложение 6. Пусть Г,-= ch(/Ц) — харак-
тер i-го фундаментального модуля алгебры g (см.
замечание 4.2). Элементы Th l^z^rt, алгебраиче-
ски независимы и порождают алгебру kw.
Таким образом, алгебру А^ можно отождествить
с алгеброй многочленов Z[TU ..., Тп].
Следствие. Операция ch индуцирует изомор-
физм „группы Гротендика" конечномерных ^-моду-
лей на алгебру Aw.
Это вытекает из предложений 5 и 6.
§ 8. Формула Вейля
Эта формула позволяет вычислять характер не-
приводимого g-модуля как функцию от его старшего
веса. Введем предварительно несколько обозначений.
(i) Символом e(w) будем обозначать определитель
автоморфизма w e W пространства ф*. Очевидно,
e(w)= 1, если w представляется в виде произведения
четного числа отражений sa, и е(ш)=— 1 в против-
ном случае.
(и) Положим р — ~2 ^j a- Можно показать, что
р (Я;) = 1 для всех /, так что реР.
(ш) Положим
?>= П (еа'2-е-а12)

§ 8 Гл. VII. Линейные представления алгебр Ли	353
(произведение берется в алгебре Z -Р ). Фактиче-
ски DeZ[P], так как имеет место (не доказываемое
здесь) равенство
D= 2
Теорема 4. Пусть Е — неприводимый ^-модуль
конечной размерности, и пусть со — его старший вес.
Тогда
2 е (w) ew (и+р)
СП (Е) = 	^	.
В первоначальном доказательстве этой теоремы
(Вейль, 1922 г.) использовалась теория компактных
групп Ли (см. Семинар „Софус Ли" [1], гл. 16).
Чисто алгебраическое (но менее естественное) до-
казательство было получено в 1954 г. Фрейденталем.
Оно воспроизведено в книгах Джекобсон [1] и Семи-
нар „Софус Ли" [1], гл. 15.
Следствие 1. Размерность модуля Е дается
формулой
dim?= ТТ <« + Р.Яа> д |Т
11 (р, На)	11
(р, На)	11 (р, а)
ае=Я
Этот результат легко получается из формулы
Вейля подсчетом суммы коэффициентов элемента ch(?)
(см. Семинар „Софус Ли" [1]).
Следствие 2. Пусть V — конечномерный §-мо-
дуль, и пусть n(V, со) — кратность неприводимого
%-модуля Е (со старшим весом со), входящего в раз-
ложение (на неприводимые подмодули) модуля V.
Тогда коэффициент при етр в произведении D • ch (V)
равен n(V, со).
Этот результат также непосредственно вытекает
из основной теоремы.
Пример. Для алгебры g = si B) существует всего
один положительный корень а, равный 2р. Группа Р

354	Ч. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§8
состоит из элементов вида пр, где neZ, и старший
вес со = /лр, где /л^О. Формула Вейля принимает
в этом случае следующий вид:
(m+l) p_ „-(m+l)t>
Ch (?)=¦-	——.	= emp + e(m-2) р + __ + e-mPj
ev — е v
что вполне согласуется с результатами гл. IV.

Глава VIII
КОМПЛЕКСНЫЕ ГРУППЫ
И КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
Настоящая глава совсем не содержит доказа-
тельств 1).
Все рассматриваемые группы Ли предполагаются
(за исключением § 7) комплексными.
§ I. Подгруппы Картана
Всюду в дальнейшем группа G — связная группа
Ли, алгебра Ли g которой полупроста. Такие группы
Ли называются комплексными полупростыми.
Пусть % — подалгебра Картана алгебры g и
Н — соответствующая ей аналитическая подгруппа.
Подгруппы, сопряженные подгруппе Н, называются
подгруппами Кардана.
Теорема 1. (а) Подгруппа Н является замкну-
тым подмногообразием в группе G.
(б) Группа Н является „мультипликативным то-
ром"; иными словами, группа Н изоморфна прямому
произведению групп С*.
Уточним строение группы С*.
Пусть R — система корней алгебры g относительно
подалгебры fj; R* (с: Щ — двойственная к R система;
Г —аддитивная подгруппа алгебры fj, порожденная
элементами На е R*, и Г, — аддитивная подгруппа
алгебры I), образованная элементами ie|, такими,
что a(jc)eZ для всех ае^. Имеем
') Доказательства следующих ниже теорем в случае ком-
пактных групп см. в работе Дынкина и Онищика [1]. Случай
комплексных групп сводится к случаю компактных с помощью
компактных вещественных форм (см. ¦§ 7). —Прим. перев.

356	Ч. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 1
Введем отображение
е: Ъ^Н,
задаваемое правилом х >—»¦ exp Bnix). Оно, очевидно,
является гомоморфизмом, поскольку алгебра ^ ком-
мутативна.
Теорема 2. (а) Гомоморфизм е: ^ —*¦ Н сюръек-
тивен и для его ядра НО имеют место включения
ГсГ(ОсГ,
(б)	Отображение е индуцирует изоморфизм фак-
торгруппы r,/r(G) на центр группы G.
(в)	Канонический гомоморфизм щ(Н)->-щ(С)
сюръективен и индуцирует (если отождествить пх{Н)
и T(G) посредством е) изоморфизм группы F(G)/T
на щ(О).
Утверждение (а) допускает обращение.
Теорема 3. Для всякой подгруппы М с: 5, та~
кой, что Г с: Мег Г,, существует полупростая ком-
плексная группа G, алгебра Ли которой равна g и
для которой Y(G) — M. Указанная группа G опреде-
ляется (с точностью до изоморфизма) единственным
образом.
В частности, группа G имеет тривиальный центр
тогда и только тогда, когда r(G)=T,; группа G
односвязна (ni(G) = (l)) тогда и только тогда, когда
r(G)-г.
Поскольку группа Г,/Г конечна, имеется лишь ко-
нечное число (с точностью до изоморфизма) групп Ли
с заданной полупростой комплексной алгеброй Ли;
все они реализуются как накрытие группы Ли с три-
виальным центром.
Примеры. 1. Если g==s/B), то имеется один поло-
жительный корень а, и группы Г и Г, имеют вид ZHa
и y Ztfa соответственно. Таким образом, существуют
две группы с алгеброй Ли s/B): односвязная группа
SL B) и группа с тривиальным центром PGL B) =>
= 5LB)/{±1},

§ 2.	Гл. VIII. Комплексные и компактные группы	357
2. Укажем строение факторгрупп Г,/Г для раз-
личных типов простых алгебр Ли:
тип Ап, л > 1	Г,/Г = Z/(n + 1) Z
тип Dn, п четно, n>4	iyT = Z/2Z X Z/2Z
тип Dn, п нечетно, п !> 5	Г,/Г = Z/4Z
тип Ев	r,/r = Z/3Z
типы Вп, С„, n>2, ?7	r,/r = Z/2Z
типы С2, F4, F8	Г,/Г = О
§ 2. Характеры
Характером подалгебры Картана Н называется
всякий гомоморфизм %: Н->С. Группа X (Я) харак-
теров группы Н является свободной абелевой груп-
пой ранга dim H. Известно, что соответствующей
группой характеров группы Х(Н) служит группа Н,
т. е. имеет место естественный изоморфизм
Я~Нот(Х(Я), С).
Пусть %^Х{Н). Касательное к % отображение
есть гомоморфизм §->С, т. е. элемент простран-
ства ^*. Таким образом, мы получаем инъекцию
группы Х(Н) в пространство I)*, которая позволяет
отождествить Х{Н) с некоторым подмножеством в §*
•
Теорема 4. (а) Пусть Р, (соответственно Р) —
аддитивная подгруппа пространства §*, порожденная
всеми корнями (соответственно старшими весами).
Тогда
PxczX(H)czP.
(б) Обратно, всякая подгруппа М' а %*, такая, что
P{czM*ciP, имеет вид Х(Н), где Н — подгруппа
Картана некоторой группы G; эта группа G опреде-
ляется единственным образом с точностью до изо-
морфизма.
Это —простая переформулировка теоремы 3, так
как Р, Pi и Х(Н) двойственны группам Г, Г\ и Г (С).

358	4. III. Комплексные полупростые алгебры Ли § 3, 4
§ 3. Связь с представлениями
Пусть р: g -> End (?) — линейное конечномерное
представление алгебры д.
Теорема 5. Для того чтобы представление р
соответствовало некоторому линейному представлению
р: G^GL(E)
группы G, необходимо и достаточно, чтобы веса про-
странства Е лежали в подгруппе X (Н), определенной
в § 2.
Замечания. 1. Требование теоремы 5 заведомо вы-
полняется, если группа G односвязна.
2. Если Е — неприводимый g-модуль, то в теореме 5
достаточно потребовать, чтобы старший вес принад-
лежал Х(Е). Действительно, как мы знаем (гл. VII),
всякий вес модуля Е имеет вид со — у, где у е Рх.
Пример. Возьмем в качестве G группу, ассоцииро-
ванную с алгеброй Ли si B), т. е. группу (с тривиаль-
ным центром) PGL B) = SL B)/{± 1}. На основании
вышесказанного неприводимые представления группы G
соответствуют таким неприводимым представлениям
алгебры s/B), у которых старший вес есть целое
кратное положительного корня а. Это представле-
ния W2n из гл. IV.
§ 4. Подгруппы Бореля
Пусть S —базис системы R, д = п_0^фп+ —соот-
ветствующее разложение алгебры g (см. гл. IV, § 3)
и Ь = ^ф
Теорема 6. (а) Экспоненциальное отображение
определяет изоморфизм пространства п+ на некото-
рую замкнутую подгруппу Ли f/crG.
(б) Аналитическая подгруппа В, соответствующая
подалгебре Ь, замкнута; группа В есть полупрямое
произведение своих подгрупп Н и U.

§ 5	Гл. VIII. Комплексные и компактные группы	359
(в) Любая разрешимая связная аналитическая
подгруппа группы G сопряжена некоторой подгруппе
группы В.
Подгруппа В и сопряженные с ней подгруппы
называются подгруппами Бореля.
Теорема 7. Факторпространство G/B есть проек-
тивное алгебраическое (и, следовательно, компактное)
многообразие.
Кроме того, существует клеточное разбиение одно-
родного пространства GIB, так называемое разбиение
Брюа, согласованное с действием группы В на GIB.
Более точно, пусть W — группа Вейля, соответ-
ствующая алгебре g и ее подалгебре Картана ^. Для
каждого автоморфизма w e W подыщем элемент
nw^G, такой, что подалгебра f) инвариантна отно-
сительно внутреннего автоморфизма Ad nw и что его
ограничение на $ равно w (см. гл. VI, § 2); через w
обозначим класс элемента nw в G/B.
Теорема 8. Факторпространство G/B есть не-
связное объединение орбит Bw (w e W).
Следствие. Отображение w^-^BnwB есть биек-
ция В на множество B\(GIB) двусторонних смежных
классов группы G по модулю В.
Можно показать также, что орбита Bw изоморфна
аффинному пространству С" {w\
§ 5. Построение неприводимых представлений
при помощи подгрупп Бореля
Сохраним все обозначения предыдущего р
графа. Пусть © — старший вес, т. е. такой элемент
группы Р, что (и(На) — целое неотрицательное число
для всех aeS. Допустим, что со лежит в подгруппе
Х(Н) группы Р. По теореме 5 (см. § 3) существует
неприводимый G-модуль Еа со старшим весом со.
Дадим его явное описание.
По условию со можно рассматривать как гомо-

360	4. 111. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 6
морфизм Я -> С*. Продолжим этот гомоморфизм
на В, полагая
со(«)=1 для всех не(/.
Обозначим через Vа множество голоморфных на G
функций, удовлетворяющих тождеству
f(yb) = <a(b)f(y), где jeC, 6еВ.
Наделим Va структурой G-модуля с помощью
формулы
(§¦/) (У) = /(§~гУ), где у, g^G.
Теорема 9. Модуль Vа неприводим и имеет
конечную размерность. Двойственный к нему модуль
изоморфен Еа.
Примитивный элемент ее?в веса ю определяет
G-отображение
где
= (k, ye).
Можно доказать, что это отображение является
изоморфизмом.
§ 6. Связь с алгебраическими группамиJ)
По-прежнему G — комплексная полупростая груп-
па Ли.
Теорема 10. (а) На G существует (единственная)
структура алгебраической группы, согласованная с
заданной аналитической структурой.
(б) Каждый аналитический гомоморфизм группы
G в алгебраическую комплексную группу G' явля-
ется алгебраическим.
Таким образом, во всех утверждениях, относя-
щихся к полупростым комплексным группам Ли,
эпитет „аналитический" можно всюду заменять на
„алгебраический".
') См. Шевалле [3]. — Прим. перев.

§ 7	Гл. VIII. Комплексные и компактные группы	361
Замечание. Задавать алгебраическую структуру
на группе можно несколькими различными способами.
Наиболее „явный" способ состоит в задании точного
представления р: G~>GL(E) и проверке того, что
образ р (С) является алгебраической подгруппой в
GL(E). После этого алгебраическая структура пере-
носится с группы p(G) на G и доказывается, что она
не зависит от выбора р.
Можно также непосредственно указать соответ-
ствующую аффинную алгебру Ао(координатное коль-
цо) алгебраического многообразия G следующим обра-
зом: /е А0ФФ/^ — голоморфная на G функция, сдвиги
которой (на элементы из группы G) порождают ко-
нечномерное векторное пространство.
§ 7. Связь с компактными группами
(В этом параграфе будут одновременно рассмат-
риваться комплексные и вещественные группы Ли.)
Напомним сначала следующий результат.
Теорема 11. Пусть U — вещественная полу-
простая связная группа Ли с алгеброй Ли и. Группа
U компактна тогда и только тогда, когда форма
Киллинга алгебры и отрицательно определена.
Сформулируем теперь утверждение, которое ле-
жит в основе „унитарного приема" Вейля (см. след-
ствие 2 ниже).
Теорема 12. Пусть G —комплексная полупростая
группа Ли с алгеброй Ли $, и пусть U — максималь-
ная компактная {вещественная) подгруппа группы G
с алгеброй Ли и.
(а)	Алгебра и есть вещественная форма алгебры
Й, т. е. д = и + ги.
(б)	Экспоненциальное отображение определяет
изоморфизм (как вещественных аналитических мно-
гообразий) пространства in на замкнутое подмного-
образие N cr G.
(в)	Отображение (и, п)>—>и-п определяет изо-
морфизм {как вещественных аналитических многооб-
разий) U X N на G.
24 Ж.-П. Серр.

362	Ч. III. Комплексные полупростые алгебры Ли	§ 7
(г) Любая компактная подгруппа в G сопряжена
некоторой подгруппе в U.
Следствие 1. Группы гомологии (соответствен-
но гомотопий) многообразий G и U одинаковы. В
частности, nl(G) = nl(U).
Это вытекает из (б) и (в).
Следствие 2. Если G' — комплексная группа
Ли, то отображение ограничения
г: Homc(C, G/)-*HomR(t/, G')
биективно.
Это вытекает из (а) и из равенства щ (G) — п{ (К).
Следствие 3. Группа Ли G определяется под-
группой U однозначно с точностью до изоморфизма.
Обратно, имеет место
Теорема 13. Пусть U — вещественная связная
полупростая компактная группа Ли. Тогда сущест-
вует комплексная полупростая группа Ли G, содер-
жащая группу U в качестве максимальной компакт-
ной подгруппы.
(Такая группа G, как мы видели, определяется
однозначно; она называется комплексификациеи груп-
пы U.)
Нетрудно описать аффинную алгебру Ао группы
G. Она состоит из всех непрерывных (комплексных)
функций f на U, таких, что всевозможные сдвиги
функции / (на элементы из U) порождают конечно-
мерное (комплексное) векторное пространство. Ал-
гебра Ао, разумеется, наделяется естественной ве-
щественной структурой, поэтому она определяет не-
которую алгебраическую группу L над R. Вещест-
венные точки этой группы образуют группу U, а
комплексные — группу G.

Ли те р а тур а1)
Боревич 3. И. и Шафаревич И. Р.
1*. Теория чисел, «Наука», 1964.
Б о р е л ь (В о г е 1 А.)
1. Groupes lineaires algebriques, Ann. Math., 64 A956),
20—82.
Бурбаки (Bourbaki N.)
1. Groupes et Algebres de Lie, Paris, Hermann, 1960.
2*. Commutative algebra, Paris, Hermann, 1962.
3*. Алгебра, «Наука», 1966.
4*. Общая топология, Физматгиз, 1958.
5*. Integration, Livre VI, Paris, Hermann.
ВейльА. (W e i 1 A.)
1*. Введение в теорию кэлеровых многообразий, ИЛ, 1961.
Вей ль Г. (Weyl H.)
1. Selecta, Birkhauser Verlag, Basel, 1956
2*. Классические группы, их инварианты и представления,
ИЛ, 1947.
Витт (Witt E.)
1. Die Unterrings der ireien Lieschen Ringe, Math. Z., 64
A956), № 2, 195—216.
Демазюр и Гротендик (Demazure M, G ro then-
die ck A.)
1. Schemas en groupes, Seminaire 1HES, 1963—64.
Джекобсон (Jacobson N.)
1. Алгебры Ли, ИЛ, 1954.
Дынкин Е .Б. и Онищик А. Л.
1. Компактные группы Ли в целом, УМН, 10 A955), вып.
4, 3—74.
Дьёдонне (DieudonneJ.)
1. Lie groupes and Lie hyperalgebras over a field of cha-
racteristic p. I—VI; I, Comment. Math. Helv., 28 A954),
87—118; II, Am. 1. Math., 77 A955), 218—244; III, Math.
') Звездочкой отмечены работы, добавленные при перево-
де. — Прим. ред,
24*

364	Литература
Z., 62 A955), 53—75; IV, Am. J. Math., 77 A955), 429—
452; V, Bull. Soc. Math. France, 84 A956), 207—239; VI.
Am. J. Math., 79 A957), 331—388.
К а р т а н (С а г t a n E.)
1. Oeuvres completes, Paris, Gauthier-Villars, 1952.
Картер (Carter R.)
1. Simple groupes and simple Lie algebras, J. London Math.
Soc, 40 A965), 193—240.
Костант (Kostant B.)
On the conjugycy
Acad. Sci. U.S.A., 41 A955), № 11, "967—970.
1. On the conjugycy of real Cartan subalgebras, Proc. Nat.
' ' ~ U.S..	—	— —
Лазар (Lazard M.)
1.	Sur les groupes de Lie formels a un parametre, Bull.
Soc. Math. France, 83 A955), 251—274.
2.	Lois de groupes et analyseurs, Ann. Ec. Norm. Sup., 72
A955), 299—400.
3*. Groupes analytiques p-adiques, Publ. Math., Paris, 1965,
№ 26, 389—594.
Мания Ю. И.
1. Теория коммутативных формальных групп над полем
конечной характеристики, УМН, 18 A963), вып. 3—91.
М и л нор (М i 1 п о г J.)
1*. Теория Морса, «Мир», 1965.
Понтрягин Л. С.
1. Непрерывные группы, ГИТТЛ, 1954.
Семинар «Софус Л и».
1. Теория алгебр Ли. Топология групп Ли, ИЛ, 1962.
Серр (Serre J.-P.)
1*. Classification des varietes analytiques p-adiques com-
pactes, Topology, 3 A965), № 4, 409—412.
2*. Когомологии Галуа, «Мир», 1968.
Хелгасон (HelgasonS.)
1. Дифференциальная геометрия и симметрические про-
странства, ИЛ, 1954.
X о л л (Н а 11 М., Jr.)
1*. Теория групп, ИЛ, 1962.
Хохшильд (Hochschild G.)
1. The structure of Lie groupes, Holden-Day, San Francisco,
1965.
Шевалле (Сhev a 1 Геу С.)
1.	Теория групп Ли, ИЛ, т. 1, 1948, т. 2, 3, 1958.
2.	Sur certaines groupes simples, Tdhoku. Math. J., 7 A955),
14—64. (Русский перевод; Математика 2 : 1 A958), 3—
53.)

Литература	365
3.	Classification des groupes rfes Lie algebriques, Seminaire
Cbevalley, v. 1—2 A956—1958), Ecole Norm, Sup.
4.	Algebraic Lie Algebras, Ann. Math., 48 A947), 91—100.
Эст и Кортхаген (van Est W., Korthagen Th.)
1. Non-enlargible Lie algebras, Proc. koninkl. Nederl, Acad.
Wet., Ser. A, 67 A964), № 1, 15—31.
Якоби (Jacoby R.)
1. Some theorems on the structure of locally compact local
groups, Ann. of Math., Ser. 2, 66 A957), № 1, 36—39.

Указатель обозначении
k — основное кольцо (или поле)
®—тензорное произведение
Л — внешнее произведение
® — прямая сумма
lim — индуктивный предел
lim — проективный предел
М(п, k) — кольцо матриц я-го порядка над k
R—поле вещественных чисел
С — поле комплексных чисел
Q — поле рациональных чисел
Z — кольцо целых чисел
N — множество натуральных чисел
Fq — конечное поле из q элементов
Qp — полэ р-адических чисел
Zp — кольцо целых р-адических чисел
или L(M,, M2) — множество fe-линейных гомоморфизмов
fe-модуля Mi в fe-модуль М2
—	множество k-линейных эндоморфизмов
fe-модуля М
—	ранг /fe-модуля М
Тг ф — след линейного преобразования qp
detф— определитель линейного преобразова-
ния ф
L (G) — алгебра Ли группы Ли О
Мог (X, Y) — множество морфизмов аналитического
многообразия X в аналитическое много-
образие Y

Предметный указатель
абсолютное значение 113
—	— неархимедово 113
—	— нетривиальное 113
—	— ультраметрическое 113
алгебра 9
алгебра аффинная 361
—	градуированная 26
—	Ли 9
—	— абсолютно простая 96
—	— ассоциированная с фор-
мальной группой 220
	группы Ли 221
—	— коммутативная 10
—	— нильпотентная 56
—	— полупростая 76
	 простая 77
—	— разрешимая 62
	 свободная 37
—	свободная ассоциативная 38
—	симметрическая 24
—	тензорная 22
—	универсальная обертываю-
щая 22
аналитическая функция 120
аналитический изоморфизм 137
аналитическое действие 206
—	многообразие 132, 133
—	— вещественное 133
¦	комплексное 133
	«-мерное 133
—	— р-адическое 133
—	отображение 122, 136
атлас 132
—	полный 132
база 191
базис 300
— Вейля 327
биалгебра, ассоциированная с
формальной группой 244
вес 100, 319, 339
—	старший 104
—	фундаментальный 348
вложение 148
возведение в т-ю степень 197
главное расслоение 192
	 левое 192
градуированная алгебра 26
граф Кокстера 309
группа алгебраическая 11
—	аналитическая 177
	 стандартная 200
—	Вейля 296
—	диэдральная 297
—	комплексная полупростая 355
—	Ли 177
—	ортогональная 229
—	ортонормальная 11
—	полная линейная 180, 181
—	присоединенная 17
—	разрешимая 65
—	симплектическая 229
—	специальная линейная 226
—	строго локальная 183
—	топологическая локальная
183
—	формальная 195
—	Шевалле 332
групповое кольцо 350
группы когомологий алгебры
Ли 83

368
Предметный указатель
действие 188
—	тривиальное 58
—	диагональное 54
диагональное отображение 32,
240
дифференциал 143
дифференцирование 10
значение ростка в точке 139
инвариантная билейная форма
54
индуцированная структура 153
камера Вейля 307
каноническая подалгебра 284
	Бореля 99
карта 131
касательное пространство 140
—	отображение 144
кокасательное пространство 140
кольцо нормирования 115
коммутатор 15
комплексный тор 92
координатное кольцо 361
корень 99, 294
—	двойственный 295
•— обратный 295
—	положительный 99, 303
—	простой 99, 300
кратность веса 101
—	формы 339
критерий Картана 73
лемма Абеля 119
линейное представление 53
	группы 224
локальная аналитичность 136
—	подгруппа 184
—	функция 138
локальное кольцо 139
•— подмногообразие 154
—	подобие 145
локальный гомоморфизм 183
матрица Картана 307
метод мажорант Коши 128
модуль вполне приводимый 79
—	неприводимый 79
—	полупростой 79
—	простой 79
—	фундаментальный 348
моноид 35
—	свободный 35
морфизм 136
—	корегулярный 148
—	локально линейный 148
—	максимального ранга 148
—	регулярный 147
—	трансверсальный над 158
мультипликативный тор 355
накрытие 182
наложение 145
неассоциативное слово 35
неприводимое представление 66
неразложимый элемент 301
несвязное объединение много-
образий 138
нильпотентный элемент 92
ниль-пространство 275
нормализатор 58, 273
нормирование 114
— р-адическое 115
однородный многочлен 232
открытое подмногообразие 135
отображение Фробениуса 208
отражение 293
подалгебра Бореля 325
—	Картана 273
подгруппа Бореля 359
—	Картана 355
—	Ли 183
подмногообразие 154
покрытие 132
поле вычетов 115
полицилиндр 118
—	замкнутый 118
—	открытый 118
полное тензорное произведение
48
полупростой элемент 69, 91
полупрямое произведение 13

Предметный указатель
369
пополнение алгебры Ли 47
	Ass* 45
порожденность 186
представление вполне приводи-
мое 79
—	неприводимое 79
—	полупростое 79
—	присоединенное 231
—	простое 79
примитивный элемент 32, 101
	 веса ю 340
принцип единственности 151
—	подъема инвариантов 81
присоединенное представление
231
произведение многообразия 138
производная 125
—	по направлению 143
—	частная 125, 144
производный ряд 61
пространство представления 53
—	расслоения 191
радикал 76
разбиение Брюа 359
разложимый элемент 301
размерность многообразия 133
ранг алгебры Ли 274
—	системы корней 294
распределение 238
—	Дирака 240
—	точечное 238, 239
расслоение 191
расслоенное произведение 157
—	пространство 191
регулярный элемент алгебры
Ли 274
реплика 73
решетка 208
росток аналитической функции
139
ряд Тейлора 120
свободная алгебра 36
	Ли 37
— ассоциативная алгебра 38
свободный моноид 35
семейство Холла 42
симметрическая алгебра 24
система комплексных корней
317
—	координат 144
—	корней 294
	 дуальная 299
	 комплексная 317
	неприводимая 810
	 обратная 299
	 приведенная 296
—	простых корней 300
слой 191
собственный вектор алгебры
100
—	элемент 66
согласованные атласы 132
—	карты 131
спаривание 142
—	невырожденное 142
старший вектор 340
стационарная подгруппа 226
структура прообраза 153
структурная константа 232
сумма многообразий 138
схема Дынкина 312
сходимость в открытом поли-
цилиндре 118
	полицилиндре 118
сходящийся ряд 119
тензорная алгебра 22
теорема Адо 256
—	Бореля — Морозова 326
—	Г. Вейля 79
—	Годемана 159
—	Колчина 60
—	Кэмпбелла — Хаусдорфа 49
—	Лазара 197
—	Леви 84
—	Ли 62
	 третья 256
—	об обратной функции 126,
144
—	Островского 114
—	Пуанкаре — Биркгофа —
Витта 27
—	Шевалле 331
—	Энгеля 57
тождество Якоби 9, 196
траневерсальные морфизмы 157.
158

J70
Предметный указатель
трансверсальные подмногооб-
разия 156, 157
третья теорема Ли 256
убывающий центральный ряд
19
универсальная обертывающая
алгебра 22
унипотентность 60
унитарный прием 79
условие Aга) 152
фактормногообразие 159
фильтрация 16
флаг 56
форма Киллинга 56
формальный групповой закон
193
формула Вейля 352, 353
— Кэмпбелла — Хаусдорфа
	 явная 52
фундаментальное представле-
ние 348
фундаментальный вес 348
— модуль 348
функция Мёбиуса 39
характер модуля 350
— подалгебры Картана 357
частная производная 125, 144
шар 133
элемент Кязимира 80
ff-инвариантность 54
fe-алгебра 9
р-адичеекое число 115
	 целое 115

О г лав ление
Отиздательства 		5
ЧАСТЬ I. АЛГЕБРЫ ЛИ
Глава I. Алгебры Ли. Определения и примеры		9
Глава II. Фильтрованные группы и алгебры Ли		15
§ 1. Тождества с коммутаторами		15
§ 2. Фильтрация на группе		16
§ 3. Дискретные фильтрации группы		18
§ 4. Фильтрации группы GL (я)		20
Упражнения		21
Глава III. Универсальная обертывающая алгебра		22
§ 1. Определение и построение универсальной обер-
тывающей алгебры		22
§ 2. Функториальные свойства		23
§ 3. Симметрическая алгебра модуля		24
§ 4. Фильтрация алгебры (]ц		25
§ 5. Диагональное отображение		32
Упражнения		34
Глава IV. Свободные алгебры Ли		35
§ 1. Свободные моноиды		35
§ 2. Свободная алгебра на X		36
§ 3. Свободная алгебра Ли над X		37
§ 4. Связь со свободной ассоциативной алгеброй надХ	38
§ 5. Семейства Холла		42
§ 6. Свободные группы		44
§ 7. Формула Кэмпбелла — Хаусдорфа		47
§ 8. Явная формула		50
Упражнения		52
Глава V. Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли ...	53
§ 1. Дополнительные сведения о g-модулях ....	53
§ 2. Нильпотентные алгебры Ли		55
§ 3. Основные теоремы		57
§ 3*. Теоретико-групповой аналог георемы Энгеля . .	60

372	Оглавление
§ 4. Разрешимые алгебры		61
§ 5. Основная теорема 		62
§ 5*. Теоретико-групповой аналог теоремы Ля ...	65
§ 6. Леммы об эндоморфизмах 		69
§ 7. Критерий Картана		73
Упражнения		75
Глава VI. Полупростые алгебры Ли		76
§ 1. Радикал		76
§ 2. Полупростые алгебры Ли		76
§ 3. Полная проводимость		79
§ 4. Теорема Леви		84
§ 5. Полная проводимость (продолжение) ......	87
§ 6. Связь с компактными группами Ли над полями
R и С		92
Упражнения..		95
Глава VII. Представления алгебры si (м)		98
§ 1. Обозначения		98
§ 2. Веса и примитивные элементы	 .	100
§ 3. Неприводимые (J-модули		192
§ 4. Нахождение старших весов		104
Упражнения		107
ЧАСТЬ II. ГРУППЫ ЛИ
Глава I. Полные поля		113
Глава II. Аналитические функции		117
Глава III. Аналитические многообразия		131
§ 1. Карты и атласы		131
§ 2. Определение аналитического многообразия . . .	132
§ 3. Топологические свойства многообразий		133
§ 4. Простейшие примеры многообразий		134
§ 5. Морфизмы		136
§ 6. Произведения и сумма		137
§ 7. Ростки аналитических функций		138
§ 8. Касательное и кокасательное пространства . . .	140
§ 9. Теорема об обратной функции		144
§ 10. Регулярные, корегулярные и локально линейные
отображения	 .	145
§ И. Конструирование многообразий. Прообразы . .	151
§ 12. Конструирование многообразий. Фактормного-
образия		158
Упражнения		164

Оглавление	373
Добавление 1. Пример хаусдорфова многообра-
зия над неархимедовым полем k,
обладающего точкой, не имеющей
фундаментальной системы окре-
стностей, открытых и замкнутых
одновременно 		166
Добавление 2. Строение р-адических многообра-
зий 	,		168
Добавление 3. Трансфинитная р-адическая пря-
мая 		174
Глава IV. Аналитические группы		177
§ 1. Определение аналитической группы		177
§ 2. Простейшие примеры аналитических групп . . .	180
§ 3. Локальные группы		183
§ 4. Продолжение локальных подгрупп		184
§ 5. Однородные пространства и орбиты		187
§ 6. Формальные группы. Определения и простейшие
примеры		193
§ 7. Формальные группы. Формулы		195
§ 8. Формальные группы над кольцом полного нор-
мирования 		199
§ 9. Фильтрация в стандартных группах		201
Упражнения		206
Добавление 1. Максимальные компактные под-
группы в QL (/г, k)		208
Добавление 2. Некоторые леммы о сходимости	210
Добавление 3. Применения § 9. Фильтрация в
стандартных группах ......	212
Глава V. Теория Ли		220
§ 1. Алгебра Ли локальной аналитической группы . .	220
§ 2. Простейшие примеры и свойства		221
§ 3. Линейные представления	 .	224
§ 4. Сходимость формулы Кэмпбелла—Хаусдорфа . .	231
§ 5. Точечные распределения		238
§ 6. Биалгебра, ассоциированная с формальной груп-
пой 		241
§ 7. Сходимость формальных гомоморфизмов ....	250
§ 8. Третья теорема Ли		255
§ 9. Теоремы Картана		260
Упражнения		264
Добавление. Теорема существования для обык-
новенных дифференциальных урав-
нений 		266

374	Оглавление
ЧАСТЬ III. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Глава III. Подалгебры Картана		273
§ 1. Определение подалгебр Картана		273
§ 2. Регулярные элементы. Ранг		273
§ 3. Подалгебра Картана, ассоциированная с регу-
лярным элементом		275
§ 4. Сопряженность подалгебр Картана		277
§ 5. Случай полупростой алгебры		281
§ 6. Вещественные алгебры Ли		282
Глава IV. Алгебра si B) и ее представления		284
§ 1. Алгебра Ли si B)		284
§ 2. Модули, веса, примитивные элементы .....	285
§ 3. Строение подмодуля, порожденного примитив-
ным элементом		286
§ 4. Модули Wm		288
§ 5. Строение конечномерных <?-модулей		289
§ 6. Топологические свойства группы		290
§ 7. Приложения		292
Глава V. Системы корней		293
§ I. Отражения		293
§ 2. Определение системы корней		294
§ 3. Первые примеры		295
§ 4. Группа Вейля		296
§ 5. Инвариантные квадратичные формы		297
§ 6. Дуальная система		298
§ 7. Относительное расположение двух корней . . .	299
§ 8. Базисы		300
§ 9. Некоторые свойства базисов		303
§ 10. Связь с группой Вейля		305
§ 11. Матрица Картана		307
§ 12. Графы Кокстера		309
§ 13. Неприводимые системы корней		310
§ 14. Классификация связных графов Кокстера ...	311
§ 15. Схема Дынкина		312
§ 16. Конструкция неприводимых систем корней . . .	314
§ 17. Комплексные системы корней		316
Глава VI. Строение полупростых алгебр Ли		319
§ 1. Разложение алгебры g		319
§ 2 Доказательство теоремы 2		321
§ 3. Подалгебры Бореля		325
§ 4. Базис Вейля		327
§ 5. Теоремы существования и единственности . . .	329
§ 6. Нормализация Шевалле		330
Добавление. Построение полупростых алгебр Ли
по образующим и соотношениям . .	332

Оглавление	375
Глава VII. Линейные представления полупростых алгебр Ли	339
§ 1. Веса	• .	339
§ 2. Примитивные элементы		340
§ 3. Неприводимые модули, соответствующие стар-
шим весам		342
§ 4. Модули конечной размерности		345
§ 5. Приложение к группе Вейля		348
§ 6. Пример: sl(n+l)		349
§ 7. Характеры		350
§ 8. Формула Вейля		352
Глава VIII. Комплексные группы и компактные группы . .	355
§ 1. Подгруппы Картана		355
§ 2. Характеры		357
§ 3. Связь с представлениями		358
§ 4. Подгруппы Бореля		358
§ 5. Построение неприводимых представлений при
помощи подгрупп Бореля 		359
§ 6. Связь с алгебраическими группами		360
§ 7. Связь с компактными группами		361
Литература		363
Указатель обозначений		366
Предметный указатель		367

Ж.-П. Серр
АЛГЕБРЫ ЛИ
И
ГРУППЫ ЛИ
Редактор В. И. Авербух
Художник С. А. Бычков
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Я. С. Потапенкова
Сдано в производство 10/Ш 1969 г.
Подписано к печати 9/VI 1969 г.
Бумага № 3 84X108'/32, 5,88 бум. л.
19,74 усл. печ. л. 15,43 уч.-изд. л.
Изд. № 1/4772. Цена 1 р. 06 к. Зак. Л» 14.