МАТЕМАТИКА
НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУИЕ
РЕДАКТОРЫ СЕРИИ: А.Н. КОЛМОГОРОВ, СП.НОВИКОВ
АЛГЕБРА
И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
(С ПРИЛОЖЕНИЯМИ)
Избранные доклады семинара Н. Бурбаки
Сборник статей
Перевод о английского
и французского
под редакцией
А. И. КОСТРИКИНА и А. Н. ПАРШИНА
МОСКВА „МИР"
1987

СОДЕРЖАНИЕ
М. Демазюр. Тождества Макдональда. Перевод с французского.
А. Н. Кириллова 7
Ж.-Л. Вердье. Алгебры Ли, гамильтоновы системы и алгебраические
кривые [по М. Адлеру и П. ван Мёрбеке]. Перевод с француз-
французского Н. И. Плужниковой . 18
Ж. Тите. Группы полиномиального роста [по М. Громову и др.1 Пере-
Перевод с французского А. И. Скопина 30
X. Ленстра мл. Алгоритмы проверки на простоту [по Эдлману, Ру-
мли и Уильямсу]. Перевод с английского В. И. Логинова . . 47
И. Дж. Макдональд. Аффинные алгебры Ли и модулярные формы. Пе-
Перевод с английского А. И. Скопина 67
Ж--Л. Вердье. Представления аффинных алгебр Ли: Приложения к не-
некоторым проблемам физики [по Е. Дейту, М. Дзимбе, М. Каши-
варе, Т. Миве]. Перевод с французского А. И. Скопина .... 84
П. Делинь. Доказательство гипотез Тейта и Щафаревича. Перевод с
французского Г. М. Цукерман 100
Л. Шпиро. Гипотеза Морделла [по Г. Фальтингсу]. Перевод с фран-
французского А. Н. Кириллова 125,
Ж- Тите. Монстр [по Р. Гриссу, Б. Фишеру и др.]. Перевод с француз-
французского А. И. Скопина 151
П. Картье. Циклические гомологии: обзор недавних работ Конна, Ка-
руби, Лодье, Квиллена... . Перевод с французского А. И. Скопина 175
Ж. Остерле. Кривые на абелевом многообразии (по Рейно). Перевод
с французского А. И. Скопина 204
Ж. Остерле. Числа классов мнимых квадратичных полей. Перевод с
французского А. И. Скопина 219
Дж. Коутс. Работа Б Гросса и Д. Загира о точках Хегнера и произ-
производных L-рядов. Перевод с английского А. Н. Кириллова . . . 239
Ж-М. Дезуйер. Теорема Ферма: вклад Фуври. Перевод с француз-
французского Н. И. Плужниковой 257
Научное издание.
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (С ПРИЛОЖЕНИЯМИ)
Избранные доклады семинара Н. Бурбаки
Сборник статей
Заведующий редакцией профессор | Б. В. Шабат|
Зам. зав. редакцией А. С. Попов
Ст. научный редактор А. А. Бряндннская. Мл. научный редактор И. В. Ге-
Герасимова. Художник А. В. Шипов. Художественный редактор В. И. Ша-
Шаповалов. Технический редактор Л. В. Козлова. Корректор А. Ф. Рыбаль-
ченко
ИБ № 6249
Сдано в набор 05.03.87. Подписано К печати 24.09.87. Формат 60X90 1/16. Бумага ки.-жури.
сыкт. Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 8,50 бум. л. Усл. печ. л. 17,00.
Усл. кр.-отт. 17,26. Уч.-изд. л. 15,31. Иад. № 1/5479. Тираж 4800 экз. Зак. № 506.
Цена 2 р. 10 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР> 129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский
пер., 2
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга>
им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комите-
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052,
г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

г
ББК 22.14 + 22.13
А 45
УДК 512.81 + 511.7
А 45 Алгебра и теория чисел (с приложениями): Избранные
доклады семинара Н. Бурбаки: Сб. статей 1976— 1985 гг.
Пер. с англ. и франц. — М.: Мир, 1987. — 272с, ил.
Читателям хорошо знакомы книги Н. Бурбаки из серии «Элементы ма-
математики»», выпущенные в переводах в издательствах «Наука» и «Мир» в
разные годы. Теперь представляется возможность поаиакомиться с трудами
семинара Н. Бурбаки — широко известного международного научного семина-
семинара, иа котором в обзорном виде излагаются важнейшие достижения послед-
последних лет из различных областей математики.
Настоящий сборник составлен из докладов, посвященных результатам
по алгебре и теории чисел с их приложениями. Среди авторов — известные
математики: М. Демазюр, П. Делииь, П. Картье, Ж. Тите (Франция), И. Мак-
дональд (Великобритания), X. Ленстра (Нидерланды).
Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов уни-
университетов.
1702030000—486
041@1)—87
14—87, ч. 1
ББК 22.14 + 22.13
Редакция литературы по математическим наукам
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
Многолетняя деятельность знаменитого французского ма-
математика Никола Бурбаки') складывается из двух суще-
существенных компонент: написания капитального труда «Эле-
«Элементы математики», большинство томов которого уже опуб-
опубликовано на русском языке, и организации семинара, изве-
известного во всем мире как «семинар Бурбаки».
Вот уже почти сорок лет, начиная с осени 1948 г., три
раза в год, в феврале, июне и ноябре, собирается шумная
толпа французских математиков в амфитеатре Института
Анри Пуанкаре на улице Пьера и Марии Кюри в Париже.
Появляется первый докладчик, но все ждут того момента,
когда будут вынесены картонные коробки с тонкими белыми
тетрадками, содержащими тексты докладов. Их обычно на
каждой сессии шесть. Темы докладов охватывают почти все
разделы современной математики, в них рассказывается
о самых последних, зачастую еще неопубликованных резуль-
результатах.
К сожалению, эта сторона деятельности Бурбаки почти
никак не была отражена на русском языке. Издательство
«Мир» проявило ценную инициативу по изданию сборников
избранных докладов семинара Бурбаки. Вслед за настоящим
сборником,' посвященным алгебре и теории чисел, ожидается
появление сборника докладов по геометрии и топологии.
Отбор докладов для настоящего сборника вызвал извест-
известные трудности. Впрочем, одно решение представлялось бес-
бесспорным — исключить доклады, посвященные работам совет-
советских математиков, хорошо знакомым нашему читателю. Соста-
Составители старались выбрать наиболее интересные доклады по-
последних десятилетий. К сожалению, объем издания не позво-
позволил включить все, что хотелось. Среди докладов, включенных
в сборник, — доклады Жака Титса о росте конечно порожден-
порожденных групп и о монстре — самой большой спорадической конеч-
© состав, перевод иа русский язык, дополнения, «Мир», 1987
') Посвященные уже давно знают, что за этим именем скрываются
многие выдающиеся представители французского математического мира.

в Предисловие редакторов перевода
ной простой группе, доклад Мишеля Демазюра о тождествах
Макдональда, доклад Пьера Картье о циклических гомоло-
гиях, доклады Жозефа Остерле о числах классов мнимых
квадратичных полей и точках кручения на подмногообразиях
абелевых многообразий. Мы включили также доклады, даю-
дающие представление о самых ярких достижениях теории чисел
последнего времени — гипотезе Морделла, доказанной Фаль-
тингсом, работе Гросса и Загира об L-функциях эллиптиче-
эллиптических кривых, последних сдвигах в теореме Ферма.
Мы надеемся, что эта книга будет с интересом встречена
еоветскими читателями и послужит началом для регулярного
перевода трудов семинара Бурбаки на русский язык.
Февраль 1987 г.
А. И. Кострикин
А. Н. Паршин
ТОЖДЕСТВА МАКДОНАЛЬДА1)
Мишель Демазюр
Политехническая школа, Лиыур, Франция
Обозначим через ц(Х) формальный ряд
Заметим, что т\ (е2Шг) есть классическая функция Дедекинда2)
1. МАКДОНАЛЬД: ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ФУНКЦИИ tj
(ПЕРВАЯ ШОРМА) [5]
Пусть О —компактная, полупростая, односвязная группа
Ли, Г — максимальный тор в G; положим g = Lie(G)<S)C,
Ij = Lie (Г) ® С Каждый непрерывный гомоморфизм тора Г
в мультипликативную группу jCj* может быть записан в виде
ех: exp(je)>—s»eb(exp(jc))= ех^х), х e Lie(T), где X eft* — не-
некоторая линейная комплекснозначная форма на ft; в часности,
корни группы G относительно максимального тора Т имеют
вид еа, где а пробегает систему корней R алгебры Ли g отно-
относительно подалгебры ft; непрерывные гомоморфизмы тора Г
со значениями в JC/ имеют вид ех, где X пробегает решетку
Р a ft*, которая называется решеткой весов.
Выберем некоторую систему положительных корней и
обозначим через р их полусумму; для каждого корня oeJ)
обозначим через Waef двойственный корень. Пусть Р++ —
множество доминантных весов, т. е. множество таких ^еР,
что <\, На) ^ 0 для всех а ^ 0. Для каждого X е Р++ через
(Уь.тя,) будем обозначать неприводимое представление груп-
') Demazure Michel. Identites de Macdonald. Semlnaire Bourbaki, 28-e
annee, 1975/76, № 483 1—11.
г) Хотя обозначение и не совпадает о классическим обозначением
Дедекинда: см. стр. 77. — Прим. ред.
© Revue Asterisque, 1976

б Предисловие редакторов перевода
ной простой группе, доклад Мишеля Демазюра о тождествах
Макдональда, доклад Пьера Картье о циклических гомоло-
гиях, доклады Жозефа Остерле о числах классов мнимых
квадратичных полей и точках кручения на подмногообразиях
абелевых многообразий. Мы включили также доклады, даю-
дающие представление о самых ярких достижениях теории чисел
последнего времени — гипотезе Морделла, доказанной Фаль-
тингсом, работе Гросса и Загира об L-функциях эллиптиче-
эллиптических кривых, последних сдвигах в теореме Ферма.
Мы надеемся, что эта книга будет с интересом встречена
советскими читателями и послужит началом для регулярного
перевода трудов семинара Бурбаки на русский язык.
Февраль 1987 г.
А. И. Кострикин
А. Н. Паршин
ТОЖДЕСТВА МАКДОНАЛЬДА1)
Мишель Демазюр
Политехническая школа, Лимур, Франция
Обозначим через ц(Х) формальный ряд
Заметим, что ц (е2я!г) есть классическая функция Дедекинда2)
1. МАКДОНАЛЬД: ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ФУНКЦИИ г\
(ПЕРВАЯ ШОРМА) [5]
Пусть Q — компактная, полупростая, односвязная группа
Ли, Т — максимальный тор в О; положим g — Lie (G) ® С,
\ = Lie (Г)E?) С. Каждый непрерывный гомоморфизм тора Г
в мультипликативную группу !С* может быть записан в виде
е*: exp(je)b-s.eMexp(je))=aew*>, x<=Lie(T), где Л,еф* —не-
—некоторая линейная комплекснозначная форма на %\ в часности,
корни группы G относительно максимального тора Т имеют
вид еа, где а пробегает систему корней R алгебры Ли g отно-
относительно подалгебры %; непрерывные гомоморфизмы тора Т
со значениями в JC.,* имеют вид е\ где К пробегает решетку
Р с: \*, которая называется решеткой весов.
Выберем некоторую систему положительных корней и
обозначим через р их полусумму; для каждого корня aeJ)
обозначим через На^Ь* двойственный корень. Пусть Р++ —
множество доминантных весов, т. е. множество таких >,еР,
что <\, На} ^ 0 для всех а ^ 0. Для каждого X е Р++ через
(Vx,%x) будем обозначать неприводимое представление груп-
') Demazure Michel. Identites de Macdonald. S&ninaire Bourbaki, 28-e
annee, 1975/76, № 483 1—11.
г) Хотя обозначение и не совпадает о классическим обозначением
Дедекинда: см. стр. 77. •— Прим. ред.
© Revue Asterisque, 1976

8 М. Демазюр
пы G со старшим весом ех . Как показал Герман Вейль,
¦<¦- П
а>0
B)
""~ z
где W — группа Вейля системы корней R. Для произволь-
произвольного веса ieP через dim V\ и р. будем обозначать правые
части равенств A) и B).
Далее, пусть ф — форма Киллинга и «•—*• Tr (adg (и)J на
%, а || ||2 — соответствующая двойственная форма на ft*. Ис-
Используя указанные обозначения, приведем формулировку
первого тождества Макдональда ([5], 8.9):
(о) т] (А) =
где MS— подрешетка в Р, порожденная весами ? (°. ^я)а,
а>0 р
pej? [Mv — это образ решетки кокорней ? Z#a с Ij относи-
относительно отображения #н-> ? (а, #)а]. Отметим мимоходом,
что из тождества C) следует «странная формула» Фрей-
денталя
D) ||p||2 = dimG/24.
С учетом D) тождество C) можно записать также в виде
(В) П A - Xmfm в - ? dim Vk ¦ Х1Х+»Г~М\
>1 #
Очевидно, что формула C) мультипликативна относительно
G, и, следовательно, можно считать, что группа G является
«почти простой» (т. е. система корней R является непри-
неприводимой), что и будет в дальнейшем предполагаться. Приве-
Приведем три примера.
a) G = SUB, С); тогда решетка весов Р отождествляется
с Z, множество доминантных весов Р++ — с N, корнями бу-
будут а = 2, а = —2; имеем Mv = 4Z, и для любого пеР
выполняется равенство dim ]/п*= п-{- 1. Далее, || п + р ||2 =»
«=||п+ 1II2 —-g-(«+ 1J- Следовательно,
IOJ П А.) —¦ /_1
Тождества Макдональда
Это тождество принадлежит Якоби. Оно более известно в
следующей эквивалентной форме:
G)
П A-JTK= Z (-
l
b) G = St/E, С); тогда ц (Z)dlm ° == ц (ZJ4 совпадает
с функцией Л (X) = Yi т (п)
лз 1
тождества Макдональда
C) вытекает следующее выражение для функции Рамануд-
жана х(п), впервые найденное Дайсоном:
суммирование ведется по всевозможным наборам целых
чисел (щ, ..., ы5), таким что щ = I E), Z «/ — °> И «' — 1Оп-
с) G = .ЁУ. в этом случае мы получаем формулу для
ц(ХJАЬ, которую, ввиду громоздкости, не будем здесь приво-
приводить (см. [5], с. 140).
Прежде чем переходить к дальнейшим рассмотрениям,
отметим, что имеется «прямое» доказательство тождества
C), принадлежащее Ван Эшу [7].
Обозначим через h число Кокстера системы корней R,
и пусть В — множество простых корней. Второе тождество
Макдональда (см. [5], 8.13) имеет следующий вид:
(9)
П ri
I
где М — подрешетка в Р, порожденная векторами ha, ae#.
Если все корни из R имеют одинаковую длину (в этом
случае Костант говорит, что группа G является одностроч-
однострочной (simply-laced)), тогда j|ct||2 = -^- для всех корней ае/?,
Af = Afv, dimG = (A+l)rgG, и, следовательно, тождества
C) и (9) совпадают. Первый случай, когда эти тождества
различны, это случай группы G = SpinE). Тождество C)
дает разложение для ц(ХI0, в то время как (9) дает разло-
разложение для (т] {X) ц {X2))I5.
2. МАКДОНАЛЬД: ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ХАРАКТЕРОВ
(ПЕРВАЯ ШОРМА) [5]
На самом деле тождества C) и (9) получаются специа-
специализацией соответствующих тождеств для характеров, к рас-
рассмотрению которых мы и переходим.

10
М. Демазюр
Обозначим через р(Х) характеристический полином ав-
автоморфизма Adg(/), /еГ:
p(Z) = det(l -ZAd, W)-(l -^Г8°аП A ~^)-
Тогда ([5], 8.7) справедливо следующее тождество:
(Ю) П
Тождество E), а следовательно, и C), получаются из A0)
после специализации /=1.
Далее, положим
П (l-Xh№) П A - Xh ""Н • еа).
В s«
Тогда ([5], 8.11)
A1) П
Тождество (9) следует из A1) после специализации t=\
с учетом второй «странной формулы» ([5], 8.12):
A2)
Приведем пример тождества A0). Пусть G —S?/B, С).
Тогда p(X) = {l-X)(l-ZX){l-Z-lX), где Z = ea, и %п =
24+1 ?—4
= -_ ;—. После небольших вычислений приходим к из-
известному тождеству Якоби для тета-функции:
A3) П (l-X)m(l-ZXm){l-Z-lXm-l)=*
n(n-I)
= Z (-ifz~nx 2 .
Отметим, что из тождества A0) следует равенство
A4) U Ц det A - Zm Ad (g)A rfjf - 1.
Ц
m>l
Это равенство принадлежит Макдональду (не опубликовано^1.
3. КОСТАНТ: ВТОРАЯ ФОРМА ТОЖДЕСТВ [4]
Пусть aV (соответственно а) — точка тора Г такая, что
^ (av) = е*ч»а »г (соответственно еа (с) = 2"'")
Тождества Макдональда
И
для asB. Тогда для любого веса А <= Mv имеем ("[4], 3.5.2
и 3.6):
если Хх (aV) = °> то Хх = 0 (т. е. вес Я + Р сингулярный);
если Хх (aV)= ± 1, то существует такой единственный
элемент да<= И?, что Я + Р s да (Р++ + р); кроме того
Аналогичное утверждение справедливо для М я а. [От-
[Отметим, между прочим, что элемент а является главным
в смысле Костанта, т. е. это такой регулярный элемент g,
что автоморфизм Ad(g) имеет минимальный порядок (из-
(известно, что этот порядок совпадает с числом Кокстера к).]
Из этих утверждений, а также очевидного свойства антисим-
антисимметричности отображений Я,ь-*dim V%-0 и %\*-^%х-р, выво-
выводится новая форма для предыдущих тождеств:
A5)
A6)
A7)
A8)
Пр(Г) =
1еР,
Например, для G = SUB,:C.) A5) совпадает с тождеством
Якоби G).
4. МАКДОНАЛЬД: АШШИННЫЕ СИСТЕМЫ КОРНЕЙ [5]
Мы не будем в данной статье давать точное определение
приведенной аффинной системы корней {[5J, п. 2). Скажем
только, что речь идет о множестве S аффинных линейных
форм на аффинном пространстве, причем каждой форме
OgS соответствует отражение г в, множество неподвижных
точек которого есть Кег9, и re(S) = S. Отражения re, 6е5,
порождают группу Вейля W(S) аффинной системы корней 5.
Приведем два примера.
а) Сохраним прежние обозначения: G, Т и т. д.; рассмот-
рассмотрим постоянную аффинную функцию 8о со значением 2га
на \. Тогда векторы a + ибо, aeJ?, гае Z, образуют приве-
приведенную аффинную систему корней S; она состоит из таких
аффинных линейных форм 8 на %, что в9(д:) = еа(ехря) для
некоторого ае/? и для xeLie(T). Группа W(S) есть аф-
аффинная группа Вейля Wa группы G, порожденная группой W

12
М. Демазюр
и сдвигами на элементы из ядра экспоненциального отобра-
отображения Lie(r)->-7\
b) Аналогично, векторы -гАя- + п%, as/?, nsZ, обра-
образуют приведенную аффинную систему корней S' (8^ — про-
произвольная, отличная от нуля постоянная функция на ф).
В действительности любая приведенная аффинная система
корней изоморфна прямой сумме систем корней вида S, си-
систем корней вида S' и так называемых исключительных си-
систем корней типа BCi, которые получаются модификацией
предыдущих конструкций, примененных к группе G типа С<.
В данном параграфе ради простоты мы ограничимся рас-
рассмотрением случая а).
Рассмотрим максимальный корень бе/? и аффинный
корень Ро = 80— asS. Пусть А — тльковъ в %, задаваемый
неравенствами Im(p,)^0, I = 0, 1, ..., /, fr, ..., р\ —
множество простых корней. Назовем аффинную линейную
форму 8 (строго) положительной (8>0), если 1т(в|Л)>0;
каждый аффинный корень является либо положительным,
либо отрицательным. Для каждого w^W(S) обозначим че-
через s(w) конечную сумму элементов множества {9eS|9>»0,
ау-1(8)<0}. Рассмотрим далее группу P®Z9o и в ней под-
моноид (P©Z8o)_, состоящий из отрицательных элементов.
Определим алгебру Z [[(РФ Z8o)-]], состоящую из фор-
формальных рядов от е-", ы s Р Ф Z8o, и > 0.
В этой алгебре выполняется следующее формальное тож-
тождество ([5], 8.1):
A9)
8>0
где Q = ПA
TT (l-e-a)= S det(w)e-<P>-'»
a e « ш s W
Эта формула с точностью до корректирующего множителя Q
является прямым аналогом формулы Г. Вейля
B0)
а>6"
(заметим, что р — w (р) есть сумма таких корней а > 0, что
да-!(а)<0).
Покажем кратко, как из тождества A9) следует A0)'.
Левую часть A9) можно представить в виде
~ A _ е-тв0I П П A - е-»-9») П A - е~а),
а>0
Тождества Макдональда
13
откуда, используя формулу Г. Вейля B0) и полагая X = е~\
получаем
Пр(Л' Е
in5s I we W
Это выражение очень близко к левой части A0); для вычис-
вычисления правой части A9) представим группу Вейля W(S)
в виде полупрямого произведения конечной группы Вейля W
и группы сдвигов, а также используем формулу для харак-
характеров B) (детали можно найти в [5]).
Для аффинной системы корней типа Ь) корректирующий
множитель Q слегка отличается от того, который входит в
формулу A9), и может быть найден из A1).
Доказательство тождества A9), данное в работе [5], яв-
является достаточно сложным, хотя, как говорит Макдональд,
является «чисто формальным упражнением». Аналогия
между формулами A9) и B0) не объясняет наличия коррек-
корректирующего множителя Q. Муди [6] первым заметил, что
формула A9) будет совпадать с формулой Г. Вейля B0),
если предположить существование «дополнительных» корней
у евклидовых алгебр Ли. Однако Муди не смог строго обос-
обосновать это предположение. В. Кац первым придал точный
смысл понятию дополнительный корень и доказал аналог
формул B) и B0) для алгебр Ли, соответствующих обоб-
обобщенным матрицам Картана.
5. МУДИ-КАЦ: АЛГЕБРЫ ЛИ, ПОСТРОЕННЫЕ
ПО МАТРИЦЕ КАРТАНА
Эта конструкция по существу содержится у Муди [6], од-
однако впервые во всей общности была дана Кацем, а затем
Гарландом и Леповским (см. [2]). Мы ограничимся рас-
рассмотрением лишь симметризуемых матриц Картана.
Пусть (а;/)кг, i<f — квадратная матрица, удовлетворяю-
удовлетворяющая следующим условиям:
1) а,7<= Z, ац = 2,
2) а,-/ <; 0, если i ф /,
3) существуют такие qu ..., qi e N*, что 7«а'7 = Я)ап-
Примеры, а) Матрицы Картана полупростых алгебр Ли
удовлетворяют этим условиям.
Ь) Матрицы Картана, соответствующие аффинным систе-
системам корней, также удовлетворяют этим условиям.

14 М. Демазюр
Обозначим через g Q-алгебру Ли, заданную образующими
хи yi, hi, i = 1, ...,/, и соотношениями
[А„ А,]=»0, 1Ф\;
[**> yj\ = Й/Д;
Iй/. Xj] = ai;*,, [А,, г/;] == — at,y,;
Уi ==z ^» ^ ^= '*
Если матрица (a,/) соответствует примеру а), то, как пока-
показали Хариш-Чандра, Шевалле и Серр, алгебра g изоморфна
расщепимой полупростой алгебре Ли.
Обозначим через f) коммутативную подалгебру в д, по-
порожденную образующими ht\ алгебра g имеет градуировку
типа Z'(rfledeg(xi) = -deg(y/)==(O, ..., 0,1,0, ...,0)eZ',
deg ht = 0).
Обозначим через д полупрямое произведение gXQ', где
для элемента geg степени (пх «<) его действие на Q
определяется так: ad(tx, ..., /,) = ? ^«г;_ обозначим также
через Ij (прямое) произведение fi X QL с: g. Определим как
обычно корни алгебры g относительно ti и собственные под-
подпространства да. Имеем I простых корней р,, .... рь для
которых q^1—QX[, g~ l — Qyi и которые порождают под-
подпространство размерности / в $*. Группа Вейля W есть группа
автоморфизмов ij*, порожденная фундаментальными отраже-
отражениями, которые задаются формулой S* (<р)=ф —<р (А/) Р*.
В частности, 5f О/) = 0, — а^/.
Действие элементов группы Вейля на у сохраняет мно-
множество корней. Корни вида ш(Р,), w e W, называются глав-
главными корнями; вообще говоря, могут существовать и другие
корни, которые будем называть дополнительными1). Если
корень а является главным, то весовое пространство да имеет
размерность 1; для дополнительного корня а пространство
да может иметь размерность >1.
Определим доминантные веса как элементы %^У, такие,
что X(hi)^ N для i — 1, ...,/. Можно теперь дать обобщение
классической теории старшего веса.
Назовем g-модуль ? стандартным, если:
1) Е обладает старшим весом X и dim Ех — 1.
2) Е порождается ?4
') Главные корни теперь принято называть вещественными, а допол-
дополнительные — мнимыми — Прим. ред.
Тождества Макдональда
15
3) Существует neN такое, что f"?* = 0 для всех i.
Такой g-модуль является неприводимым, его старший вес —
доминантный; обратно, любому доминантному весу отвечает
стандартный g-модуль, для которого этот доминантный вес яв-
является старшим. (Эти результаты Кац получил как итог всей
теории, основываясь на формуле для характеров B2),
см. [2].)
6. КАЦ: ФОРМУЛА ХАРАКТЕРОВ [3]
Мы приведем только формулировку результатов, отсылая
к [2] за доказательствами.
Обозначим через р такой элемент из У, что p(hi)= 1 для
г=1, ...,/.
Тогда
a) для любого даей? каждый положительный корень
а > 0, для которого w~l (а) < 0, является главным, и сумма
всех таких корней равна р — а>(р).
b) Имеем формальное тождество
B1) П A — e~«)dim"?-" = Z det(a>)eeteH>,
о>0 Kis W
c) Пусть Е — стандартный g-модуль со старшим весом X;
тогда определен его характер ch(E) и имеет место формула
B2)
det (ш)
w<=-W
Покажем, как из формулы B1) следует A9).
Возьмем в качестве матрицы (аг/) матрицу Картана рас-
рассматриваемой аффинной системы корней. Тогда, согласно а),
правая часть равенства B1) совпадает с правой частью A9).
Левую часть B1) запишем в следующем виде:
П A - е-")**" а" • П A-е-«),
а дополнительный а главный
а>0 а>0
и остается лишь отождествить корректирующий множитель
Q== П A— e~a)dim9a,
а дополнительный
a>0
как это сделано в [6].
Что касается формулы B2) и ее следствий, в частности
формулы типа Костанта для функции разбиения, то это

16
М. Демазюр
увело бы нас слишком далеко от предмета нашего исследо-
исследования, и мы отсылаем интересующегося читателя к ра-
работе [2].
7. ЭЙЛЕР: СУММА ПУСТОГО МНОЖЕСТВА
Теория В. Каца хорошо объясняет происхождение формул
типа A9), а также ее вариантов A0) и A1), однако появле-
появление т|-функции Дедекинда в этих формулах остается совер-
совершенно загадочным. Рассмотрим, например классическое тож-
тождество Эйлера
Зп'+п
B3) П A-Хт)= ? (-1)пХ 2
m>l i>eZ
(его можно получить из A3), полагая Z
же можно записать в следующем виде:
Х1/3), которое так-
такB4)
л Ю
Эта формула целиком укладывается в рамки формулы A5):
надо взять группу G = U(l); все ее неприводимые представ-
представления Vx имеют размерность 1, параметризуются целыми
числами ),eZ, а элемент а = —leG можно назвать
главным: он отличен от нуля и имеет минимальный порядок.
Следовательно, формулу B4) можно записать в виде
B5)
. dim
в полном соответствии с A5). Таким образом, мы приходим
к следующим двум выводам:
B6) каноническая форма на Z = G задается
з 2
п *-*¦ j га2,
B7) полусумма пустого множества корней равна 1/6.
Если B6) еще как-то терпимо, то B7), по-видимому, бу-
будет иметь неожиданные следствия (в частности, для препо-
преподавания математики в детских садах).
Добавление: Я недавно получил «препринт» Лойенги под
названием «Системы корней и эллиптические кривые», в ко-
котором тождество A9), а потом и A0) трактуется в духе до-
доказательства тождества C), данного Ван Эшем (см. [7]).
Тождества Макдональда
17
ЛИТЕРАТУРА *)
К работам, процитированным в тексте, добавлены работы [1]. и [8], чтение
которых представляется важным. Объединение работ [2], [4] н [5] охва-
охватывает содержание статьи.
[1] Dyson F. J. Missed oportunities, Bull. Amer. Math. Soc, 78(972), 635—
652. [Имеется русский перевод: Дайсон Ф Успехи матем. наук, 35,
№ 1, 1980, 171—191.]
[2] Garland H., Lepowsky J. Lie algebras homology and the Macdo-
nald — Kac formulas. Invent. Math., 34, 976, 37—76.
[3] Кац В. Г. Бесконечномерные алгебры Ли и Ti-функция Дедекинда,
Функц. анализ и его прнлож., 8, № 1, 1974, 77—78
[4] Kostant В. On Macdonald's ri-function formula, the laplacian, and ge-
generalized exponents. Advances in Math., 20, 1976, 79—212.
[5] Macdonald I. G. Affine root systems and Dedekind's ri -function. In-
Invent. Math., 5A972), 91—143. [Имеется русский перевод: Макдо-
нальд И. Г. Аффинные системы корней и ^-функция Дедекинда. Сб.
пер. «Математика», т. 16, № 4, 1972, 3—49.
[6] Moody R. V. Macdonald identities and euclidean Lie algebras, Proc.
Amer. Math. Soc, 48(975), 43—52.
[71 Van Asch B. Des identites pour certaines puissances de r\, C. R. Acad.
Sc. Paris, t. 277 E dec. 1973), p. 1087—1090.
[8] Verma D. N. Revue de [5], Math. Reviews, Vol. 50, n° 5, Revue 9996,
nov. 1975.
[9*] Kac V. G. Infinite-dimensional Lie algebras., Boston ed., Birkhauser,
1973, p. 1—245.
[10*] Kac V. G. Infinite-dimensional algebras, Dedekind's ri-funktion classi-
classical Mobious function and the strange formula, Advances in Math., 30,
1978, 85—136.
[11*] Lepowsky J. Generalized Verma modules, loop space cohomology and
Macdonald-type identities, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 12, 1979, 169—
234.
[12*] Lepowsky J., Milne S. Lie algebraic approaches to classical partition
identities, Advances in Math., 29, 1978, 15—59.
[13*] Lepowsky J., Wilson R. L. A Lie theoretic interpretation and proof of
the Rogers — Ramanujan identities, Advances in Math., 45, 1982, 21—
72.
[14*] Looijenga E. Root systems and elliptic curves. Invent. Math., 38, 1976,
17—32.
*) Звездочкой отмечена литература, добавленная редактором перевода.

АЛГЕБРЫ ЛИ, ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
[по М. Адлеру и П. ван Мёрбеке]1)
Жан-Луи Вердье
Высшая Нормальная школа, Париж, Франция
В последние годы физики [3], [8] и математики [5], [6],
[9] исследовали механические системы, связанные с полу-
полупростыми алгебрами Ли. Речь идет о системах материальных
точек на прямой с потенциалами весьма частного вида. Си-
Систематически используя некоторые бесконечномерные ал- •
гебры Ли, Адлер и ван Мёрбеке [2] предложили другой под-
подход к этим системам, позволяющий применять к ним не
только технику алгебр Ли, но и описание гамильтоновых
потоков при помощи якобианов алгебраических кривых, вве-
введенных в [4]. Этот подход позволил им рассмотреть также
некоторые классические задачи, такие, как задача фон Ней-
Неймана, проблема геодезического потока на эллипсоиде и за-
задача о вращении волчка в случае Эйлера — Пуансо и в слу-
случае Лагранжа. Напомним, что именно с помощью бесконеч-
бесконечномерной алгебры Ли Адлер [1] интерпретировал функцио-
функционалы, возникающие при изучении уравнения Кортевега —
де Фриза.
В качестве введения в эти работы и их иллюстрации по-
покажем, как применяются эти исследования в классическом
и сравнительно простом случае вращения волчка. Полное
и последовательное изложение читатель найдет в указанных
выше работах.
1. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
Пусть 5 — тело, вращающееся вокруг закрепленной точ-
точки О, G — его центр тяжести, ц — полная масса. Пусть тело
расположено в поле тяготения с единичным вектором у и
ускорением g. Обозначим через / матрицу инерции тела S.
Она задает невырожденный положительный симметрический
автоморфизм связанного с этим телом пространства V по-
') Verdier Jean-Louis. Algebres de Lie, systemes Hamiltoniens, courbes
algebriques (d'apres M. Adler et P. van Moerbeke). Seminaire Bourbaki, 33-e
annee, 1980/81, № 566, 1—10.
<g) Revue Asterisque, 1980.
Алгебры Ли, гамильтоновы системы
19
движной системы координат. Положим / = \xg.OG. Это не-
неподвижный вектор пространства V. Вектор / и автоморфизм
/ — это данные, позволяющие написать уравнения движения
тела S.
Чтобы написать эти уравнения, введем вектор Q мгно-
мгновенного вращения тела S и момент количества движения М.
Рассмотрим Q и М как переменные векторы пространства V
подвижной системы координат. Имеем
A.1) M = /(Q).
Уравнения Ньютона для материальных точек тела S, запи-
записанные с учетом момента относительно точки 0, и после-
последующее интегрирование по элементу массы djx дадут нам
первое из уравнений Эйлера
A.2)
М —
Второе уравнение выражает обращение в нуль абсолютной
производной вектора у. Чтобы описать движение тела 5,
нужно решить систему уравнений A.1), A.2).
Обозначим через д алгебру Ли размерности 6 — полупря-
полупрямое произведение V IX so (V). Сопоставляя вектору у его
мгновенное вращение, которое мы обозначим тоже через у,
можно интерпретировать пару (М, у) как элемент алгебры д,
который мы обозначим у -j- eiW (е2 = 0). Тогда уравнения
A.1) и A.2) примут вид
A.3)
М = / (Q).
Из A.3) следует, что вектор скорости у-\-гМ есть каса-
касательный вектор к орбите элемента у + еМ при присоединен-
присоединенном действии д, так что траектории уравнений A.3) содер-
содержатся в орбитах g при присоединенном действии.
Поскольку у =?=¦ О, орбиты элемента у + гМ под действием
g являются подмногообразиями размерности 4, которые за-
задаются уравнениями
Y, М) = с = const.
Отображение (у + еМ)>—>(у,М — су) отождествляет ор-
орбиту Ос с тотальным пространством r(S2) касательного рас-
расслоения к S2 <= V, снабженным каноническим действием д.
Как мы видели, функции (у + еМ)>->(у, у} и (у~\-еМ)>—»
>—><-у,Л1> постоянны на траекториях. Это первые интегралы.

20 Ж.-Л. Вердье
Легко проверить, что функция
A.4) Hl(y,M) = ±{Q,M) + <y,t)
постоянна на траекториях. В следующем параграфе мы да-
дадим интерпретацию этого первого интеграла.
2. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА КОСТАНТА - КИРИЛЛОВА
Пусть g — вещественная алгебра Ли, f, g— две функции
класса С1, определенные в области U двойственного к g ли-
линейного пространства д*; обозначим через df/дх, dg/dx:
i/->-g их производные. Далее положим
B.1) if,g){x) = <x,[df/dx,dg/dx]), xs=U.
Можно показать, что отображение (/, g)*~> {/, g} удовлетво-
удовлетворяет тождеству Якоби и что образование скобки перестано-
перестановочно с операциями на д.
Пусть О — орбита д при коприсоединенном представлении,
х^.0, Тх — касательное пространство к О в х, П*: д->Гх —
каноническая сюръекция. На О существует дифференциальная
2-форма сое, невырожденная в каждой точке, замкнутая,
устойчивая относительно g и такая, что при всех леG
и всех X, У е g
B.2) «о (Ш (X), Щ (У)) = (х, [X, У]).
Симплектическая структура <оо на О называется сим-
плектической структурой Костанта — Кириллова. Она свя-
связана со скобкой (f, g)i—> {f, g) следующим образом. Сначала
определим гамильтонов поток, задаваемый функцией f на U:
B.3) Ham {f) (х) = — Со Ad (dfjdx) (x), х<=0.
Тогда для всякого «еГх
B.4) d (f\o) (и) = <оо (Ham (f), и),
B.5) {f, g} b = co3 (Ham (f), Ham (g)).
Иначе говоря, ограничение скобки {f, g} на каждую орбиту
О есть скобка Пуассона от f \0 = g \0 относительно симплекти-
ческой структуры Костанта — Кириллова.
Далее, пусть Н — функция класса С1 на U. Дифферен-
Дифференциальное уравнение
B.6) * = Нат(Я)
называется ассоциированным с Я уравнением Гамильтона.
В силу B.3) это уравнение можно записать еще в виде
B.7) X = - Со Ad (дН/дх) (X).
Алгебры Ли, гамильтоновы системы
21
Поскольку поток Ham (Я) касателен к пространствам Н =
= const, функция Я постоянна на траекториях уравнения
B.6). Это первый интеграл.
В случае волчка билинейная форма на g
B.8) (и + во, и' + ev')^(u, v') + (и', v)
невырожденна и инвариантна относительно д. Следовательно,
она отождествляет д* с д. При таком отождествлении df/dx
есть градиент функции f относительно B.8). Имеем (см.
A.4))
B.9) dHJdx =
и, таким образом, записывая дифференциальное уравнение
B.7) в виде X = [X, дНг/дх], мы приходим к уравнению
A.3). В частности, показано, что Hi — первый интеграл.
3. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
Пусть W — симплектическое многообразие размерности
2п. Вполне интегрируемая гамильтонова система опреде-
определяется п функциями Я,-, 1 ^ i ^ п, находящимися в «инво-
«инволюции», т. е. такими, что
C.1) {Н„ Я/} = 0 VU
и вдобавок ассоциированные гамильтоновы потоки линейно
независимы во всех точках некоторого всюду плотного от-
открытого множества. В нашем случае это система п диффе-
дифференциальных уравнений
C.2) Х, = Нат(Я,), 1<г<п.
Функции Hi, I ^ i ^. п, являются первыми интегралами каж-
каждого из этих дифференциальных уравнений.
Гамильтоново уравнение называется вполне интегрируе-
интегрируемым, если оно составляет часть вполне интегрируемой си-
системы.
Из классической теории известно, что уравнение волчка
A.3) вполне интегрируемо на орбитах Ос в следующих трех
случаях:
1) когда центр вращения совпадает с центром тяжести (Эй-
(Эйлер— Пуансо, 1750). В этом случае можно взять Я2G,М) =
= {М,М) (тривиальный случай / = Л,Idv отбрасывается).
2) Тело обладает осью поворотной симметрии, проходящей
через центр вращения (Лагранж, 1788). В этом случае можно
взять Я2 = <М, />.
3) Случай С. В. Ковалевской A881) [7]. Это случай, когда
в V существует ортонормированный репер, относительно ко-

22
Ж.-Л. Вердье
торого / = diag BХ, 2Х, X), I = (х0, О, 0). В этом случае можно
взять #2 (v, М) = | (mi + im2f — АХх0 (y, + iy2) I2-
Показано, что если существует полином Н2{М,у), для
которого {H\,Hi}=0 и Ham(//i), Ham(tf2) линейно неза-
независимы хотя бы в одной точке, то имеет место один из пе-
перечисленных трех случаев.
4. ТЕОРЕМА АДЛЕРА - КОСТАНТА - СИМСА
Речь идет об общей теореме, позволяющей строить вполне
интегрируемые системы на коприсоединенных орбитах ал-
алгебры Ли.
Пусть L — вещественная алгебра Ли (конечной размер-
размерности), прямая сумма двух подалгебр К и N, снабженная
Аё^-инвариантной невырожденной симметричной билинейной
формой {X, Y)y-+{X, Y). Пусть К1 и JV1—ортогональные
дополнения соответственно к К и N. Поскольку NL устой-
устойчиво относительно Adx.(W), проекция L->/Cx наделяет Кх
структурой N-модуля, которая есть не что иное, как копри-
соединенная структура для N. Пусть Г cz %L — орбита под
действием N, снабженная своей структурой Костанта — Ки-
Кириллова. Обозначим через s?(T) множество ростков Adt-им-
вариантных числовых функций класса С1 в окрестности TczL.
Для всякой функции f класса С1, определенной в окрестно-
окрестности Г, можно записать df{u, v) для {и, v)^KL®NL в виде
(df/dk-1, u) + (dfjdn-i, v). Частные градиенты xt-^-df/dk1 и
df/d принимают значения соответственно в N и К.
и хеГ. Тогда
= - [х, df/dn±y
Теорема. 1) Пусть f
D.1) Ham (f |г) (х) = [*,
2) Пусть f, g <= зФ (Г). Тогда
D.2) {f!r. ?1г} = 0-
Сначала проверяем (простыми выкладками со скобками)'
что если /е^(Г), то при всяком л:еГ
D.3) [х, дЦдЩ = - [х, df/дпЦ,
причем эти два вектора принадлежат /С1- В силу B.3),
Ham (Лг) (*) = [*, df/dk],
откуда следует 1). Согласно B.1),
Алгебры Ли, гамильтоновы системы 23
Используя D.3) и инвариантность спаривания, заключаем, что
Так как df/дп-1, dgjdnL принадлежат К, имеем
е/С, откуда вытекает 2), поскольку #<=/Сх.
б. АЛГЕБРЫ КАЦА-МУДИ
Идея, систематически проведенная Адлером и ван Мёр-
беке, состояла в том, чтобы, приняв некотррые меры предо-
предосторожности, применить теорему Адлера — Костанта — Сим-
са к некоторым алгебрам Ли бесконечной размерности. Вер-
Вернемся к уравнению для волчка A.3)
E.1)
у + еМ =
, Q
дифференциальному уравнению в алгебре so(V)<8> R(e),
е2 = 0. Можно задаться вопросом, не является ли это урав-
уравнение редукцией по модулю h2 некоторого дифференциаль-
дифференциального уравнения в so(V)<8> R [Л], где h — формальная пере-
переменная. Например, можно спросить, допускает ли всякое
решение уравнения E.1) продолжение до решения некото-
некоторой системы вида
m r
о L
h2
aft, Q+ hi I.
Тем самым, кроме уравнения E.1), мы получаем систему
E.2) } а, = [alt Q] + [а,_„ 1], i ф О,
и констатируем, что, коль скоро / ф 0, эта система имеет ре-
решение при всяком М лишь в том случае, если проекции Q
и М на плоскость, ортогональную к /, коллинеарны, т. е.
если прямая, порожденная /, является осью поворотной сим-
симметрии рассматриваемого тела. В этом случае система E.1)
эквивалентна системе
E.3)
+ h2a = [у + hM + tfa, Q + hi),
откуда a = const = W, где X — гомотетия, индуцированная /
на плоскости, ортогональной к /„

24
Ж.-Л. Вердье
Предположим, что отныне речь идет о случае Лангранжа,
и введем алгебру Ли
E.4)
ру
( т
= so (V) [[h~\ h\] = \ ? Ath* \А,
(V),
т произвольно >,
снабженную скобкой
[2 4*'. zVj = Z( Z и„ в,Ги'.
Li / J р ч*+/=р /
Алгебра L называется алгеброй Кща — Муди, ассоцииро-
ассоциированной с so(V) ')•
Положим
= so{V) [h] — \ Yj Aft* I At s so (V), m произвольно [»
Имеем
Положим
E.6)
Таким образом, мы получили Ас^-инвариантную невырож-
невырожденную симметричную билинейную форму. Для этой формы
К = К±, N^N-1 и двойственная к К подалгебра отождест-
отождествляется'с N. Обозначим через Х>-^Х+ проекцию на К па-
параллельно N. Подалгебра N действует на KL = K следую-
следующим образом:
E.7)
в КХ =
Подпространство Е = < X Athl > размерности 9
устойчиво относительно этого действия. Подалгебра N3 =
= | X Aih1 > тривиально действует на Е. Следовательно,
действие N на К пропускается через нильпотентную алгебру
Ли N/N3 размерности 6. Пусть Г — орбита N/N3 в К.. Отме-
Отметим, что А2 есть орбитальный инвариант. Мы предполагаем,
что он отличен от нуля. Тогда Г— четырехмерное подмно-
подмногообразие в Е. Чтобы найти функции f^^(T), поступим
') Точнее, профакторизованной по одномерному центру аффинной ал-
алгеброй Ли типа 1, отвечающей алгебре so(V), — Прим. ред.
Алгебры Ли, гамильтоновы системы
25
так. Вложим L = so(V)[[h-\ h]] в End(F) [[/Г1, А]].
Для всякого целого п и всякого А е L положим
F.8) An=ZCn.k(A)hk,
—оо
где Cn,k{A)^End(V). Функции Ан->/„,к(А) = Тг(С„,
как легко убедиться, являются AdL-инвариантами.
Нас интересуют орбиты А под дейстнем N, такие, что
А2 = Х1. Для A = y + Mh + Xl^E имеем
А2 = y2 + (AIy + yM)h + (M2 + Xyl + Xly) h2 +
+ {XMl + XIM) № + X42h\
Таким образом, в качестве первых интегралов получаем
( '
Сг. 1 И),= MY + yM, f2,, (А) = - 4 (М, у),
С2.2 (А) = М2 + Xyl + Xly, f2,2 (А) = - 2 (М, М>-4^ <Y, />,
Сг, з (А) = Ма + аМ, f2.3 И) = - 4^ (М, Г).
Первые два уже известны, четвертый свойствен случаю
Лагранжа. Подходящая линейная комбинация f2,2 и /2,з дает
снова j(M, Q) + <Y, 0- Заметим, что А2(М, I) и у(М, Q) +
+ (y. /) являются в этом случае орбитальными инвариантами
действия N на Е и что (y, y) и (Л1> Y) непостоянны на этих
орбитах. Гамильтонов поток, отвечающий (М, у), — это поток,
порожденный вращениями с осью R/. Чтобы получить поток
E.3)
(Y + Mh + Xlh2) ь-> [Y + Mh + Xlh2, Q + hi],
нужно взять подходящую линейную комбинацию потоков, со-
соответствующих <у, y> и <М, 7>-
Метод алгебр Каца — Муди можно использовать в случае
Эйлера — Пуансо (/ = 0). Насколько нам известно, приме-
применить этот метод в случае Ковалевской пока не удалось.
б. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
Теперь речь пойдет об интегрировании системы диффе-
дифференциальных уравнений движения волчка в случае, когда
она вполне интегрируема. В классической теории движение
выражается через эллиптические функции. Точнее, в случаях
Эйлера — Пуансо и Лагранжа это абелевы функции, связан-
связанные с некоторой эллиптической кривой, а в случае Ковалев-
Ковалевской— тета-функции двух переменных. Мы ограничимся слу-

26
Ж--Л. Вердье
чаем Лагранжа. Случай Эйлера — Пуансо может быть рас-
рассмотрен аналогично. В случае Ковалевской пока еще не уда-
удалось воспользоваться методами, которые мы собираемся
описать.
Формализм гамильтоновых систем Каца — Муди — это не
только «машина для производства» первых интегралов. Он
позволяет также линеаризовать дифференциальные системы,
т. е. описать пространства, определяемые постоянством пер-
первых интегралов, и потоки, которыми они снабжены, при по-
помощи якобианов алгебраических кривых.
В § 5 нам уже пришлось заниматься дифференциальными
уравнениями типа
F.1)
= [А, О (А)],
где А — полином от ft с коэффициентом в алгебре g (в нашем
случае so(V)). Пусть р — представление g в некотором ком-
комплексном векторном пространстве (в нашем случае можно
взять каноническое представление в V®j?). Положим
Проективная комплексная алгебраическая кривая с аффин-
аффинным уравнением
Qa.p(z, A) = 0
называется спектром оператора р(Л) или просто А, если не-
невозможны недоразумения. Спектр А является инвариантом
траектории А под действием потока F.1): на самом деле из
F.1) выводится, что Тг(р(Л")) = 0 при всяком п. Иначе
говоря, дифференциальное уравнение F.1) описывает изо-
спектральные деформации.
В случае Лагранжа в силу E.9) имеем
F.2) s2 (А) = - -i Тг (ЛJ = (у, Y> + 2сА + Я, (М, Y)
где мы положили
f c = (M,y>,-
F.3) \ Я, (М, у) = (М, М) + 2Х (у, [),
{ Н2{М, у) = 2Х(М, t).
Поскольку Тг {А) = Тг (Л3) = 0, получаем
F.4)
Алгебры Ли, гамильтоновы системы
27
так что спектр Л состоит из прямой (г = 0) и эллиптической
кривой с уравнением
F.5)
которую мы будем, допуская неточность, называть спектром Л.
Пусть У — орбита подалгебры JV в Е с орбитальными
инвариантами Л2 = XI, Н2 (М, у), Я, (М, у). Пусть X — неосо-
неособая эллиптическая кривая с уравнением
F.6) 0 = г2 + 1+ 2ch + Я, (М, у) h2 + Я2 (М, у) А3 + X2(l, /) h\
Обозначим через *&{Х, У) множество операторных полино-
полиномов А в У, имеющих X своим спектром. Пусть fR — группа
вращений пространства V вокруг оси R/. Эта группа дейст-
действует на Е и оставляет У и V{X, У) инвариантными. Поток,
который она порождает, есть гамильтонов поток, задаваемый
отображением (М, y)i—>-(M, у).
Всякое Ле?(Х, У) можно интерпретировать как поли-
полиномиальное семейство степени 2 эндоморфизмов простран-
пространства V. Следовательно, такое Л является морфизмом рас-
расслоений на Р1:
Л:
Ядро морфизма Л есть подрасслоение ранга 1 в V <8>rCp<,
изоморфное Gpi(—2). Полагая F=V ®i?CWKer(Л), получаем
коммутативную диаграмму:
F.7)
0
-V ®rOp. {2)-*FB)->0
Интерпретируем h как морфизм X в Р1. В каждой точке
yePi—{00} отображение и имеет два собственных значе-
значения, которые являются значениями функции z на X в двух
точках из X, лежащих над у. Сопоставляя точке х^Х соб-
собственное подпространство для Uh(x), отвечающее собствен-
собственному значению z(x), получим расслоение на X, которое обо-
обозначим 9?(Л). Тогда
F.8) F = h.{2{A)), и = й.(г), с1е§^(Л) = 4.
Пусть Jac4(X)—многообразие обратимых расслоений сте-
степени 4 на X. Так как X — вещественная кривая, то Jac4(.X)
тоже вещественная кривая. Инволюция а кривой X, сохра-
сохраняющая h, действует на Jac4(X). Положим
F.9) Y = {2 €

¦ У. Тем самым оп-
28 Ж.-Л. Вердье
Поскольку А вещественно, имеем % (Л)
ределено отображение
F.10) SB: V(X, У)-»-У.
Многообразие У вещественной размерности 1 является
главным однородным пространством относительно действия
множества вещественных точек вещественной эллиптической
кривой.
Мы ограничимся тем, что сформулируем теорему линеа-
линеаризации.
Теорема. 1) 2? инвариантно относительно действия 91 и
определяет посредством факторизации изоморфизм %'(Х,У) /91
на замкнутую область в У.
2) Поток E.3) переходит при факторизации в 2? и задает
на У поток, инвариантный относительно сдвига.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Adler A. On a Trace Functional for Formal Pseudo Differential Opera-
Operators and the symplectic structure of the Korteweg — de Vries Type Equa-
Equations. — Invent. Math., 50 A979), 219—248.
[2] Adler M., van.Moerbeke P. Linearization of Hamiltonian systems, Jacobi
Varieties and representation theory. Advances in Math. 1980, 38, № 3,
318—379.
[3] Calogero F. Exactly Solvable One-Dimensional Many Body Problems.—
Letters al Nuovo Cimento, vol. 13, n° 11 A975), 411—416.
[4] Van Moerbeke P. The spectrum of Jacobi Matrices. — Invent. Math., 37
A976), 45—81.
[5] Kazhdan D., Kostant В., Sternberg S. Hamiltonian Group Action and Dy-
Dynamical Systems of Calogero Type. — Comm. in Pure and Appl. Math.,
vol. XXXI A978), 481—507.
[61 Kostant B. The solution to a Generalized Toda Lattice and Representa-
Representation Theory.— Adv. in Math., vol. 34, n" 3 A979), 195—338.
[71 Kowalevska S. Sur le probleme de la rotation d'un corps solide autour
d'un point fixe. —Acta Math., 12 A888), 177—232.
[8] Olshanetsky M. A., Perelomoy A. M. Completely Integrable Hamiltonian
Systems Connected with Semi Simple Lie Algebras. — Invent. Math., 37
A976), 9a—108.
[9] Symes W. W. System oi Toda Type, Inverse Spectral Problems, and Re-
Representation Theory. — Invent. Math. 59 A980), 13—51.
Алгебры Ли, гамильтоновы системы
29
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Примечание редактора. По затронутым в этом
стоящее время имеется богатая литература, потов
^ НнРже доминаются
в которых можно найти многочис
Ж* У^ ^КТПЖ^" И- Математические аспек-
[1*1 Арнольд В..К .КозловВ В ^ Современные проблемы нате-
м™ Фундаментальные направления. Динамические системы-3.
Т ВИНИТИ, 1985, с. 1-303.
[2*] Дринфельд В. Г., Соколов В. В. Алгебры Ли и уравнения типа Кор-
тевега де Фриза. — Современные проблемы математики. Новейшие
достижения, т. 24. М.: ВИНИТИ, 1984, с. 81—180.
[3*] Дубровии Б. А. Матричные конечнозониые операторы. — Современ-
Современные проблемы математики, т. 23, М.: ВИНИТИ, 1983, 33—78.
[4*] Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П, Питаевский Л. П.
Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980,
с. 1—319.
[5*] Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теори со-
солитонов. — М.: Наука, 1986, с. 1—527.
[6*] Lepowsky J. et al., ed. Vertex Operators in Mathematics and Physics.
Proc. of a Conference, New York, Springer-Verlag, 1985, p. 1—482.
[7*] Kac V., ed. Infinite dimensional groups with applications. Proc. of a
Conference. New York, Springer-Verlag, 1985, p. 1—379.
[8*] Kac V., Infinite dimensional Lie algebras. Boston ea., BIR Birkhauser,
1983, p. 1—245.
[9*] Benkart G. A. Kac.— Moody bibliography and some related references.
Canadian Math. Soc. Conference Proceedings. Providence, Rhodesis-
land, 1986, 111—135.
[10*] Bogoyavlensky O. I. New Integrable Problem of classical Mechanics.
Commun Math: Phys., 1984, 94, 255—269.
[11*] Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия и топология. Допол-
Дополнительные главы. — М.: Издательство МГУ, 1983, с, 1—217.

ГРУППЫ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА1)
[по М. Громову и др.]
Жак Тите
Коллеж де Фраис, Париж, Франция
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Пусть Г — группа конечного типа и Е — ее конечная си-
система образующих. Для §еГ через /г,e(g) = Mg)= Чё)
обозначим «длину» элемента g, т. е. наименьшее целое число
п, такое что g равняется произведению п элементов из
Е U ?-'. Для г е R+ мы положим сг, е{г) — c(r)= Card {g s
е F|/(g) ^ г}. Непосредственно ясно, что если Е' — другая
конечная система образующих группы Г, то существуют та-
такие постоянные а, Ъ е R+, для которых
A) сг, в(аг)<сг, ?'(г)<сг. е{Ьг).
Говорят, что Г — группа полиномиального роста, если суще-
существуют такие с, d e R+, что
B) cr,B(r)<crd+\ (reR'+).
Назовем тогда степенью роста нижнюю грань таких й,
для которых неравенство B) верно при подходящем выборе,
числа с. Эти определения законны благодаря A). Приведен-
Приведенные понятия, навеянные проблемами из топологии и диф-
дифференциальной геометрии, введены Дж. Милнором [5].
Легко видеть, что свободная группа, порожденная конеч-
конечным множеством мощности >2 и, более общо, любая группа
конечного типа, имеющая свободную неабелеву подгруппу,
является группой экспоненциального роста (т. е. существует
такое число 6gR, b > 1, что с(г) ^ Ь' для любого г ^ 1).
Напротив, любая абелева группа конечного типа является
группой полиномиального роста. Целью статьи является
Теорема. Группа конечного типа тогда и только тогда
является группой полиномиального роста, когда она обладает
нильпотентной подгруппой конечного индекса.
Утверждение «тогда» получено Дж. Вольфом [10], а
«только тогда» (значительно более трудное) — М. Громовым
11 Tits Jacques. Groupes a croissance polynomiale (d'apres M. Gromov
et Al.), Seminaire Bourbaki, 33-e annee, 1980/81, № 572, 1—13.
© Revue Asterisque, 1981
Группы полиномиального роста
31
[3]. Частный случай разрешимых групп был получен перед
этим Дж. Вольфом [10] и Дж. Милнором [6], а случай ли-
линейных групп отсюда выводился в работе [9] (см. далее
п. 3.3). Для разрешимых или линейных групп цитируемые
источники устанавливают, кроме того, что если группа не
является группой полиномиального роста, то она является
группой экспоненциального роста; мы оставляем в стороне
вопрос о том, будет ли это верно вообще ¦).
Приведенная теорема имеет интересные геометрические
приложения. Например, из нее вытекает, благодаря резуль-
результатам М. Шуба (см. например, [8]), что если М — компакт-
компактное риманово многообразие и если а: М-+М — отображение,
локально увеличивающее расстояния, то тогда существуют
связная нильпотентная группа Ли N, дискретная подгруппа Г
«голоморфа» Aut N К N группы N, действующая на N без
неподвижных точек, и автоморфизм |3 группы N, преобразую-
преобразующий N в себя, такие что пары (М, а) и (N/Г, Р) (где |3 дей-
действует на N/Г очевидным образом) топологически изоморфны
(см. [3])V
§ 2. РОСТ НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЫ
2.1. f-рост
Пусть Г — группа, снабженная фильтрацией (Гг)гем«, та-
такой что Г = Tj, [Гг, Г|]с:Гг+/ и Г6 = {1) для почти всех k.
Под конечной f-системой образующих понимается конечное
подмножество Е группы Г, такое, что для любого i множе-
множество Ei = EQTi порождает Г,. Положим Е\ — Е — ?г+1 и на-
назовем f-длиной слова из элементов множества Е \j E~l воз-
возрастающую последовательность (пь п2, ...), где п* — длина
(обычная) вклада множества ?* (J ЕГ1 в рассматриваемое
слово. Мы скажем, что элемент из Г является элементом
длины <;(гь Г2, ...), где rfeR+, если он может быть запи-
записан в виде слова длины (пи п2, ...) при п,- <; п для всех и
Пусть fc(ru г2, • •.) — число таких элементов. Если fc' —
функция, аналогично определенная для другой конечной /-си-
/-системы образующих, то существуют такие постоянные a, te
е R+, что
fc(aru агъ ...
1, гъ
х, Ътъ ...).
Это придает смысл следующему определению: мы говорим,
что Г — группа полиномиального f-роста степени ^d, если
1> См. дополнение в конце статьи. — Прим. ред.

32
Ж. Тите
существует такое число с е R+, что для любых г имеет место
fc(r, г2, ...)<crd+ 1.
2.2. Предложение. Если dt обозначает ранг абелевой группы
TjTi+i, то Г—группа полиномиального f-роста степени
Применяем индукцию, спускаясь по а = sup {/|Г = Гг},
а для заданного о — индукцию (обычную) по минимуму m
мощностей систем образующих группы Га/Га+i- Выберем
f-систему образующих Е группы Г таким образом, чтобы
Card?^ = m, [E\]E~l, E\JE~l]cz E, и если элемент х е Еа
содержит степень с ненулевым показателем в Га+ь то сте-
степень с наименьшим строго положительным показателем та-
такого свойства принадлежала бы Е. Пусть у е Еа,- Следую-
Следующее утверждение легко доказывается при помощи «чехарды»
и индукции по целому q:
Если w — слово f-длины (щ, «2, • • •) относительно эле-
элементов из Е[}Е~Х и если (уи у2, .. •, уР)~ вклад пары {у, у~1}
в это слово (так что yi = у или у~1 и р ^ па), тогда для
О ^ q ^ p существует слово, представляющее тот же элемент
группы Г, что и до, имеющее тот же вклад пары {у,у~1}, на-
начинающееся отрезком у:у2 ... уч и имеющее f-длину
{п[, п2, ...), где
„'<Г„4-Я„ 4-Г^я 4-
П1 5^ П[ -\- qni—a ~Г I о I ''/—2а ~Г" • • • •
Предполагая п,-<г' (для заданного reR+), беря q = p^.ra,
ограничивая сверху ( . ) числом q1 (^rat) и обозначая через
в наименьший индекс /, для которого Г/ = {1}, мы отсюда
выводим, что
(*) любой элемент geT f-длины <(г, г2, ...) может быть
записан в виде g = {fg', где |s|<ra, а g' —элемент
f-длины <(er — \s\, er2 — \s\, ...), принадлежащий под-
подгруппе Г' группы Г, порожденной множеством Е — {у}.
Если Г/Г' бесконечного порядка, то предположение ин-
индукции, примененное к Г', приводит к существованию такой
постоянной с е R+, что количество возможных g' ограничи-
ограничивается сверху числом
Группы полиномиального роста
83
Поскольку число допустимых значений для s мажорируется
значением 2га -\- 1, то предложение выполняется. Если же
Г/Г' — конечная группа порядка t, то мы перепишем g в
виде g = ys'gi, где O^.si<t, g[ — элемент из Г' f-длины
^(er, er2, ...), и мы опять применим предположение ин.-
дукции.
2.3. Лемма. Пусть Г — нильпотентная группа конечного типа
и класса е, Z — последний нетривиальный член ее убываю-
убывающего центрального ряда, Е — конечное подмножество обра-
образующих группы V и z — элемент из Z. Тогда существует та-
такая постоянная с е R+, что для bgN мы имеем /г, e()
Доказательство проводится индукцией по е.
Очевидно, что достаточно доказать утверждение для ком-
коммутатора 2 = [х, у] элемента х из Е и элемента у, принад-
принадлежащего предпоследнему нетривиальному члену убываю-
убывающего центрального ряда. Пусть п е N*, «i — наименьшее из
целых чисел, строго превосходящих число д/^> » 1ц <h —
положительные целые числа, определенные условиями
п = ахп\~х + а2> а\ < пи аг^я^'-По предположению индук-
индукции существуют постоянная с е R+ (не зависящая от п) и
элементы у\ и уъ длины ^с'п\, сравнимые соответственно
в—1
с у и у по модулю Z. Наше утверждение вытекает те-
теперь из того, что элемент
[х, уа>] - [*••, У1] • [х, у2]
имеет длину ^2а, + Ас'щ + 2.
2.4. Предложение. (Басе — Вольф). Пусть Г — нильпотентная
группа конечного типа и dt — ранг i-го фактора Г,/Гг+, ее
убывающего центрального ряда (Г<). Положим d = ? idt.
Тогда для любой конечной системы образующих Е группы Г
существуют такие постоянные си с2 е R+, что
с/ < сг. е (г) < c2rd +1 (г е R+).
В частности, Г — группа полиномиального роста степени d.
Существование постоянной с2 сразу вытекает из предложе-
предложения 2.2, примененного к (Гг). Докажем существование по-
постоянной сх индукцией по классу е группы Г. Положим
d' — d — ede. Предположение индукции включает в себя су-
2 Зак. 506

34
Ж. Тите
ществование такой постоянной с\ е R+, что существует по
крайней мере c\rd элементов длины ^-^-, попарно не срав-
сравнимых по модулю Гв, а лемма 2.3 влечет за собой сущест-
существование такой постоянной с" <= R+, что Ге содержит по
крайней мере c"red<1 различных элементов длины <-?г, от-
откуда и следует утверждение.
(NB. Приведенное здесь доказательство существования
постоянной С\ является, с точностью до изложения, доказа-
доказательством Дж. Вольфа [10], который для cTtE(n) также
дает верхнюю границу, весьма громоздкую, но достаточную
для установления полиномиальности роста. Сформулирован-
Сформулированная нами точная граница получена X. Бассом [1], который
для нее дает доказательство, отличное от доказательства,
приведенного здесь.)
2.5. Подгруппы конечного индекса
Непосредственно ясно, что если Г — группа конечного
типа, 1\— подгруппа конечного индекса, а Е, Е1 — конечные
системы образующих групп Г, Г^ то тогда существуют
такие постоянные а, Ъ, Ь gR+, что
ег„ в, (аг) < сг> е (г) < b'cVu в, Fr) (r e= R+).
Поэтому мы имеем
Следствие. Группа конечного типа, обладающая нильпо-
тентной подгруппой конечного индекса, является группой по-
полиномиального роста.
Теорема Громова [3] содержит обратное утверждение.
§ 3. НАБРОСОК ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ГРОМОВА
3.1. Отныне через Г обозначается бесконечная группа конеч-
конечного типа полиномиального роста, а через Е — конечная си-
система образующих группы Г.
Для е s R+ мы обозначим (допуская некоторую воль-
вольность) через еГ метрическое пространство, наделяя группу Г
инвариантным слева расстоянием {х, у)-+г1Е(х-ху) (если
е = 1, то еГ обозначается также через Г). Громов показывает,
что при подходящем выборе стремящейся к 0 последователь-
последовательности ()
Группы полиномиального роста
35
(i) можно естественным образом определить метрическое
пространство Y = lim в^Г; это пространство локально ком-
?-»оо
пактно, связно, локально связно, однородно и конечно-
конечномерно. . -
Пространство У некоторым образом описывает «поведение на
бесконечности» группы Г (или, скорее, системы (Г,Е)).
Группа Г действует на еГ (левыми сдвигами), и из этого
выводится переходом к пределу действие группы Г на Y,
т. е. строится гомоморфизм Г -*¦ Isom У (группа изометрий
пространства У). Теперь напомним два следующих резуль-
результата.
3*2. Предложение.(Следствие «пятой проблемы Гильберта»).
Группа изометрий метрического пространства, являющегося
локально компактным, связным, локальным связным, одно-
однородным и конечномерным, есть группа Ли, обладающая лишь
конечным числом связных компонент, (См. [7], гл. VI.)
3.3. Предложение. Любая подгруппа связной группы Ли обла-
обладает разрешимой подгруппой конечного индекса или содер-
содержит неабелеву свободную группу.
Если группа Ли является линейной, то это — частный слу-
случай основной теоремы из [9], и мы обращаемся непосред-
непосредственно к этому случаю, переходя к сопряженному представ-
представлению.
3.4. Мы видели в § 1, что Г (являющаяся, напомним это,
группой полиномиального роста) не может обладать неабе-
левой свободной подгруппой. С учетом этого, при помощи
предложений 3.2 и 3.3 доказательство теоремы свелось к слу-
случаю — уже изученному — разрешимой группы, если бы мы
только были уверены, что гомоморфизм F -> Isom У из 3.1
инъективен. Но случай абелевых групп (когда Г «шевелит
вГ все меньше и меньше» по мере того как е-»-0, и поэтому
тривиально действует на У) показывает, что это не так.
Однако если Г не имеет коммутативной подгруппы конечного
индекса, то Громов показывает, что, объединяя действие
группы Г на еГ при помощи внутренних автоморфизмов «воз-
«возрастающей амплитуды», можно всегда получить в пределе
нетривиальное действие группы Г на У. Более точно:
(п) Если Г не является конечной, то она обладает подгруп-
подгруппой конечного индекса, имеющей гомоморфные образы
в Isom У произвольно больших порядков (т. е. имеет либо
бесконечный образ, либо бесконечно много образов не-
неограниченных порядков\.
2*

зв
Ж- Тита
Наконец, Громов доказывает, что
(iii) предыдущего утверждения достаточно, чтобы вывести
теорему из предложений 3.2 и 3.3 ').
Три оставшихся параграфа относятся соответственно к
утверждениям (i), (ii) и (iii).
§ 4. ПРЕДЕЛЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
Функция расстояния в метрическом пространстве X обо-
обозначается через distx или просто dist.
4.1. Лемма. Пусть заданы вещественное положительное число
R, последовательность (s^sn* строго положительных чисел,
стремящаяся к нулю, и последовательность (N^i&n* целых
натуральных чисел. Тогда существует компактное метриче-
метрическое пространство X со следующим свойством: если компакт-
компактное метрическое пространство К диаметра <;./? может быть
для любого ieN* покрыто Nt замкнутыми шарами радиуса
е„ то К изометрически вложимо в X.
Пусть А — множество конечных последовательностей п =
= (щ, ..., ns) целых натуральных чисел, таких что 1 ^
^ m <; Nt для всех и Тогда требуемое условие окажется
выполненным, если в качестве X мы возьмем пространство
функций f: A -> R+, таких что
f ((«.))< Я,
с метрикой из L°°:
disttf,
ns))|<2es для
sup|f(n)-g(n)|.
Действительно, пусть К такое, как в формулировке. Индук-
Индуктивно построим отображение q>: А-*-К, обладающее следую-
следующими свойствами:
Чтобы N{ точек ф((Л])) образовывали егсеть в К,\
чтобы Ns точек <p((tti, ..., ns)) при s^2 образовывали
2е5-сеть в шаре с центром <${(пх ns-i)) и радиуса
2e
') На самом деле «алгебраическая лемма», используемая Громовым,
имеет более сильную формулировку, чем (ii); Гопал Прасад заметил мне,
что при изложении (которое слегка отличается от изложения в [3]), при-
принятом здесь для доказательства теоремы, можно было бы ограничиться
и (И).
Группы полиномиального роста
Тогда немедленно проверяется, что отображение
k н-> (п ь-> diet* (k, ф (n)) (k e К, п е А)
является изометрией пространства К в X.
87
4.2. Расстояния
В метрическом пространстве (X, б) мы назовем хаусдор-
фовым расстоянием между двумя подмножествами А, В (и
будем обозначать его через dist.Hausd.e(i4, В)) нижнюю
грань положительных вещественных чисел г, таких что А
(соответственно В) содержится в r-окрестности множества В
(соответственно Л).
Пока не оговорено противное, все «пространства», о кото-
которых пойдет речь на протяжении этого параграфа, будут соб-
собственными метрическими пространствами с отмеченной точ-
точкой, а значит и локально компактными (метрическое про-
пространство называется «собственным», если замкнутые шары
конечного радиуса компактны, иначе говоря, если функция
dist собственная). Говоря о пространстве (X,х) с отмеченной
точкой, часто опускают упоминание о том, что точка отлична
от х. Шар радиуса г и с центром в х пространства (X, х)
обозначается через Вг(Х,х), ВС(Х) или Вг.
Пусть (X, х), (Х',х')—компактные пространства. Расстоя-
Расстояние на X JJ X' называется допустимым, если оно совпадает
с diet* (соответственно с dist^') на X (соответственно на X').
Назовем хаусдорфовым расстоянием пространств (X, х) и
{X', х') (и обозначим его через h (X, X')) нижнюю грань мно-
множества
{dist. Hausd.6 (X, Х')}{\{Ь(х, *')},
где б пробегает множество допустимых расстояний яаХ Ц X'',
Теперь пусть (X, х), (Х',х') — какие-нибудь (собственные)
пространства. Полагаем
h((X, x), (Г, x')) =
')=Z 2-nh(Bn(X), Bn(X'))
и говорим, что последовательность пространств (Xi, xt) схо-
сходится к пространству (X, х), если lira h (X, Xt) = 0. Легко
видеть, что сходимость последовательности (Xi) равносильна
сходимости последовательности (Bn(Xi)) для любого п.
Существование пространства У из п. 3.1 вытекает из еле-
дующего предложения.
4.3. Критерий сходимости. Пусть ((Xi,xi))— последователь-
последовательность пространств (метрических, с отмеченной точкой, соб-

38
Ж- Тите
ственных). Предположим, что для г, е е R+ существует та-
такое целое число Nr,e, что для любого i шар Br(Xi) может
быть покрыт Nr, 8 замкнутыми шарами радиуса е («равномер-
(«равномерная компактность» шаров радиуса г). Тогда из последователь-
последовательности (Xi) можно извлечь сходящуюся последовательность.
Достаточно установить это свойство для каждой из после-
последовательностей (Bn(Xi)), т. е. мы можем предположить про-
пространства Xi компактами ограниченных диаметров. Тем самым
утверждение сводится к случаю, являющемуся легким след-
следствием из 4.1.
4.4. Пространство У
Напомним, что Г обозначает группу конечного типа поли-
полиномиального роста, а с(г) — число точек из Г, содержащихся
в шаре с центром в 1 и радиуса г (если метрику определить
исходя из конечной системы образующих Е). Пусть d— сте-
степень роста и d'— вещественное число, строго большее, чем d.
Мы обратимся к [3], § 3, чтобы доказать (совсем легко)
следующее утверждение, интуитивно вполне правдоподобное:
A) Существует расходящаяся последовательность (r()iSM, та-
такая что для /eN и /е{1 /} мы имеем
для такой последовательности числа с B'гг) с (гг)~ ограни-
ограничены сверху числом^ зависящим только от j и d'.
Нетрудно видеть, что нам требуется именно это свойство,
чтобы мы смогли применить критерий 4.3 к последователь-
последовательности метрических пространств с отмеченными точками
(гГ'Г, l) (в соответствии с обозначением еГ из 3.1). Путем
замены последовательности (ri) на подпоследовательность
мы можем заключить, что
для надлежащим образом выбранной расходящейся после-
последовательности (ri) последовательность (/"'Г, l) стремится
к пространству с отмеченной точкой (Y,y0), где У—метри-
У—метрическое собственное пространство (и значит, локально ком-
компактное) .
Если g, g' е Г и если расстояние l(g~lg') равно /, то,
очевидно, существует последовательность g = g0, g\, ...
• ••»?z==5/> такая что l(gTlgi) = \ j — i!; «умножая на е и
заставляя е стремиться к нулю», мы отсюда выводим, что
Группы полиномиального роста
39
для у, у'еУ (находящихся друг от друга на расстоянии г)
существует изометрическое вложение f: [О, г] -у У, такое что
В частности,
пространство У связно и локально связно.
Следующее утверждение также легко вытекает из A):
Для любого е е R+ существует счетное покрытие простран-
пространства У подмножествами (в действительности шарами) Yi диа-
диаметров ^8, такими что
Z(diamlr«)'<oo.
Иначе говоря, «хаусдорфова размерность» пространства У
(см. [4], VII, 4) есть наименьшее из d'\ следовательно (см.
то же),
размерность (топологическая) пространства У самое большее
равна d.
4.5. Пример
Предположим, что Г — нильпотентная группа, порожден-
порожденная множеством Е = {ei, e%, вз) и определенная соотноше-
соотношениями [ей е2] = е3, [е\, вз] = [е2, е3] = 1. Предлагается опи-
описать соответствующее пространство У. Его носителем будет
«группа Гейзенберга», т. е. К8, снабженное произведением
(х, у, г), (х', у', г') = (х + *', у + /, г + / + ху').
Обозначим через 5, г\, ? три проекции R8—»-R и положим
я = A, r\): R3->R2. Плоскость R? = n(R8) снабжается метри-
метрикой Минковского
Произвольному пути (непрерывному) /: [0, r]->-Re мы по-
поставим в соответствие длину
tf) - sup
m
«_,), f(xt))
и площадь a(f), а именно площадь, образуемую замкнутым
путем, который получается дополнением пути f отрезком, па-
параллельным оси х, затем отрезком оси у и снова отрезком,
параллельным оси х [см. рисунок на с. 40). Пусть А: [0, г)-*-
-»-к3 называется горизонтальным, если для каждого х&[0,г]:
имеет место

40
Ж. Тите
таким образом, А является единственным горизонтальным
«подъемом» n-°h начала /i@). Наконец, У — пространство R8,
снабженное метрикой б следующего вида: 8(p,q) есть мини-
минимум длин X(n^h), где h пробегает множество горизонтальных
путей, соединяющих р и q. Легко дать явную формулу для 6:
для х>(/>0иг^0 имеет место
6(@, 0, 0), (х, у, г)) = :
2г
А-у/г—х — у,
если
если
если х2
а расстояние между двумя произвольными точками выво-
выводится отсюда с использованием инвариантности функции б
относительно левых сдвигов группы Гейзенберга, относи-
относительно автоморфизмов
(дс, у, г)*-*-{у, —х, z — xy)*-^{~x, —у, г)*-*¦(—у, х, z — xy),
{х, у, z)*-+{y, х, xy — z)
и относительно инверсии (х, у, г)*—*(—х,—у, ху — г). «Гео-
«Геодезические линии» на У могут быть охарактеризованы сле-
следующим образом: путь h: [O,r]-*-Y тогда и только тогда
является изометрическим вложением отрезка [0, г] в У, когда
он горизонтален, когда он «параметризуется длиной проек-
проекции я.» Л» (т. е. % (ns h | [о, х]) = х) и когда выполнено одно из
двух следующих условий:
чтобы h был «монотонным» (т. е. такими были функции
| о h и г\ о п);
чтобы h пробегал без повторений, кроме возможного со-
совпадения концов, подмножество квадрата, параллельного
осям.
Заметим, наконец, что хаусдорфова размерность простран-
пространства У равна 4.
Группы полиномиального роста
41
4.6. Замечание
Изящное определение пространства НтеГ, навеянное ме-
в->0
тодами нестандартного анализа и допустимое для произволь-
произвольной группы конечного типа, было дано Л. П. Д. ван ден Дри-
сом и А. Дж. Уилки.
§ О. ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ Г НА Y. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
УТВЕРЖДЕНИЯ 3.4 (II)
5.1. В этом параграфе через (e()/eN обозначается последова-
последовательность, стремящаяся к 0 и такая, что пространства (е.Г, 1)
сходятся к (У, г/о). Для каждого i задается допустимое рас-
расстояние 6i на егГ XIY (см. 4.2), при этом функции б, вы-
выбраны таким образом, чтобы
lim dist. Hausd.a^e,-!1, У) = Птб,A, yo) = Q-
Тогда говорят, что последовательность {pt), где р, е etF,
стремится к точке р из Y, если lim б, (р,, p) = 0, и что по-
последовательность изометрий at: е^Г-^Г стремится к изо-
изометрий а из Y, если для (pt) и р, указанных выше, а, (р{)
стремится к а(р).
5.2. Предложение. Если (а,: 8;Г-> 82Г)гs n — последователь,
норть изометрий и если при /->оо расстояние distg^r A, агA))
остается ограниченным, то существует бесконечное множество
N с: N, такое что (а,); s n стремится к изометрий пространст-
пространства У.
Доказательство легко вытекает из компактности.
5.3. Следствие. Пространство У однородно.
Действительно, каждое из пространств е/Г является таким.
5.4. Доказательство утверждения 3.4 (ii)
Для цеГиге R+ положим
Л (g, г) = sup {/ (x~lgx) [х е Вг (Г)};
это — амплитуда «передвижения шара ВГ(Т) при помощи g-».
Для ieN и §еГ мы через h(g) обозначим левый сдвиг
пространства е,Т при помощи g. Заменяя последовательность
(ег) на подпоследовательность, а также перенумеровав чле-
члены, мы можем благодаря п. 5.2 предположить, что для g^E—
и, следовательно, для любого gef — изометрий %i(g) стре-

42
Ж. Тите
мятся к изометрии %*,(g) пространства У, откуда мы полу-
получаем гомоморфизм кос: Г-»-Isom У.
Если образ гомоморфизма tao бесконечен, то 3.4(ii) до-
доказано. Поэтому предположим, что tao(F) конечен и заменим
Kertao на Г. Иначе говоря, предположив, что если Яоо(Г) =
= {1}, то это означает, что для §еГ имеет место
A)
Г->со
, г)-0.
Если классы сопряженных элементов с представителями
из Е все конечны, то централизаторы этих элементов имеют
конечный индекс в Г, поэтому центр группы Г имеет конеч-
конечный индекс и 3.4 (ii) сразу же получается (поскольку
dim isom У :> 1). Поэтому предположим, что по крайней мере
один из элементов в Е имеет бесконечный класс сопряжен-'
ных элементов. Из этого следует, что
B) для г, /}sR+ существуют ge? и аеГ, такие что
', r)>R.
Группы полиномиального роста
43
Используя одновременно A) и B), тот факт, что а.явля-
а.является произведением элементов из ? и что для хеГ н ее?
имеет место
|Д(х, г)-&{ехе-1, г)|<2,
мы тотчас убеждаемся в том, что для любого t\ e R+ суще-
существует последовательность (а*) элементов из Г, такая что
C)
lim et sup A (atgat \ Si l) = r\.
Снова заменяя последовательность (e,-) на подпоследователь-
подпоследовательность и изменяя индексацию членов, мы можем предполо-
предположить, что для gsE, а значит, и для любого §еГ последо-
последовательность изометрии K'i{8)m=h(oi8aTl) сходится к изомет-
изометрии *L(g), откуда получается новый гомоморфизм Кос-. Г-*
->1зотУ.Из соотношения C) вытекает, что для подходящего
элемента §е?мы имеем
sup disty (у, К'со (g) {у)) = г\.
VSB, (V)
Если г\ «очень мало», то это означает, что порядок элемента
Л.» (g) «очень велик» (поскольку группа Ли Isom У не имеет
произвольно малых подгрупп), откуда и следует 3,4(ii).
§ 6. КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ:
ВЫВОД УТВЕРЖДЕНИЯ 3.4 (III)
Проведем индукцию по степени d полиномиального роста
группы Г; более точно, мы предполагаем, что теорема уста-
установлена для любой группы полиномиального роста степени
<d—1.
6.1. Лемма. Группа Г обладает подгруппой конечного индек-
индекса, имеющей фактор, изоморфный группе Z.
Если Г обладает гомоморфным образом бесконечного ин-
индекса в Isom У, то этот образ не может содержать неабелеву
свободную подгруппу (в противном случае группа Г также
имела бы такую подгруппу и являлась бы группой экспонен-
экспоненциального роста), поэтому он содержит разрешимую под-
подгруппу конечного индекса (см. 3.3), и утверждение выпол-
выполняется, поскольку Г — группа конечного типа.
Поэтому предположим, что Г не обладает гомоморфным
образом бесконечного индекса в Isom У. На основании 3.4(ii)
(и по § 5) существуют гомоморфизмы а,: Г-*-Isom У, такие
что числа {Cardа,-(Г)} неограниченны. Из хорошо известной
теоремы К. Жордана (см., например, [2], 36.13) вытекает
существование такого целого числа N, что любая конечная
подгруппа группы Isom У обладает абелевой подгруппой ин-
индекса, делящего N (теорема Жордана относится к линейным
группам; к ней сведется дело, если вспомнить, например, что
максимальные компактные подгруппы группы Isom У линей-
линейны и сопряжены между собой). Пусть Т\ — пересечение всех
подгрупп группы Г конечного индекса, делящего N; число
этих подгрупп конечно (поскольку Г — группа конечного ти-
типа), поэтому [r:Fi]<oo. Пусть Т[ — производная группа
для Гь Из определений числа N и группы Ti вытекает, что
для любого / ct((Fi) = {1}. Поскольку числа {Carda,(ri)}
неограничены, фактор Tjv'i бесконечен, и лемма доказана.
6.2. Лемма. Пусть А — свободная абелева группа и а: Л-»-Л—
автоморфизм.
(i) Если автоморфизм а полупростой и если вое его соб-
собственные значения по модулю равны I, то а имеет кбнвчный
порядок.
(ii) Если а обладает собственным значением по абсолют-
абсолютной величине ^-g-, то существует % э Л, такое что элементы
= О или 1, и =0 почти для
() е2а2(%)-{- ...
всех i) попарно различны.

44 Ж. Тип
(i) Достаточно убедиться в том, что любая орбита в
Л® С группы {az|zsZ} имеет компактное замыкание, и,
стало быть, ее орбиты в Л компактны.
(И) Пусть {$: Л-*¦ С —линейная форма, такая что
р о а= рр, где | р|^2. Тогда утверждение справедливо для лю-
любого ХеЛ, такого что P(A,)=j*=O; действительно, р* ( ? 8га'(Л,)^=
жв ( 2 8*P*V Р М» и ввиду предположения, наложенного на
\i-0 )
р, числа ? вгр* попарно различны.
1-0
6.8. В дальнейшем мы предполагаем, что Г есть полупрямое
произведение ZXI\, где Zss 2: это разрешает нам лемма 6.1.
Отметим, что ввиду полиномиальности роста группы Г
(*) Бели zsZi/gsT, то элементы g80. (zgz)8'- (z2gz~2)*\..
(et те же, что и в 6.2) не могут быть попарно различны.
В частности, существует такое целое число m > 0, что транс-
трансформация zmgz~m принадлежит группе, порожденной элемен-
элементами zlgz~l, где i *?^ m — 1. Это означает, что для любого
g e Fi (а значит, также и для любого §еГ) пересечение
группы Г! с группой <ZU {g}>, порожденной Z и g, есть
группа конечного типа. Отсюда следует, что сама Fi — группа
конечного типа. Тогда непосредственно ясно, что Fi — группа
полиномиального роста степени ^d— 1 (в качестве Е взять
объединение конечных систем образующих групп Z и Г^:
На основании предположения индукции Fi обладает нильпо-
тентной подгруппой конечного индекса. Мы предположим,
не умаляя общности, что она сама нильпотентна.
Пусть 20 — образующий элемент группы Z, Г^Гг^ ...
... :зГ„—{1}—центральный ряд группы Гь устойчивый от-
относительно Z, и пусть a,i—автоморфизм фактора Г,/Г1+1,
индуцируемый элементом z0. Предположим, что последова-
последовательность (Г,-) выбрана так, что всякий бесконечный фактор
Г;/Г(+1 является свободным Z-модулем конечного типа с по-
полупростым автоморфизмом а,-.
На основании 6.3(И) и (*) в применении к степеням эле-
элемента 2о любое собственное значение любой степени каждого
из рассматриваемых а* по модулю ^у иными словами,
любое собственное значение автоморфизма at (по-прежнему
при бесконечном факторе Ti/Ti+i) имеет модуль 1. На осно-
основании 6.2 (i) отсюда вытекает, что а< имеет конечный поря-
порядок. Поскольку это справедливо для любого i, существует
такое MeN*, что af =1 для любого i, и группа
Группы полиномиального роста
45
имеющая в Г конечный индекс, является тогда нильпотент-
ной, что и требовалось доказать.
6.4. Замечание. Вопреки тому, что было предусмотрено в схе-
схеме доказательства из § 3, нам не понадобился частный слу-
случай теоремы для разрешимых групп (или скорее, небольшая-
часть этого результата, которая оказалась необходимой, была
предсказана в 6.3) Л
ЛИТЕРАТУРА
[1] Bass H. The degree fo polynomial growth of fineteiy generated nilpo-
tent groups, Proc. Lond. Math. Soc. C) 25A972), 603—614.
[2] Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассо-
ассоциативных алгебр, М., 1969.
[3] Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps, Publ.
Math. I. H. E. S. 53A981).
[4] Hurewicz W., Wallman H. Dimension theory, Princeton Univ. Press,
1948.
[5] Milnor J. A note on curvature and fundamental group, J. Differential
Geometry 2A968), 1—7.
[6] Milnor J. Growth of finitely generated solvable groups, J. Differential
Geometry 2A968), 447—448.
[7] Montgomery D., Zippin L. Topological transformation groups, Inter-
science, 1955.
[8] Shub M. Expanding maps, Proc. Symp. Pure Math. XIV, A. M. S., 1970,
273—277.
[91 Tits J. Free subgroups in linear groups, J. Algebra 20A972), 250—270.
[10] Wolf J. Growth of finitely generated solvable groups and curvature of
Riemannian manifolds, J. Differential Geometry 2A968), 421—446.
ДОПОЛНЕНИЕ РЕДАКТОРА
(подготовленное с участием Р. И. Григорчука)
Теория степеней роста групп, полугрупп и других алгебраических объ-
объектов имеет приложения в различных разделах математики, что стимули-
стимулирует значительный интерес к ней как алгебраистов, так и специалистов
иных профилей. После работы М. Громова были получены новые важные
результаты в этой области.
Большой резонанс, вызванный работой Громова, повлек серию публи-
публикаций, в которых приводились различные модификации доказательства тео-
теоремы Громова. В этой связи следует отметить работу ван ден Драйса и
Уилки [1*], в которой методами нестандартного анализа доказан несколько
более сильный вариант теоремы Громова. Предпринимались попытки обоб-
обобщения этой теоремы на различные классы полугрупп. В работе [2*] теоре-
теорема Громова обобщена на класс полугрупп с сокращениями; при этом
использовано понятие л-степенио нильпотентной полугруппы, введенное
А. И. Мальцевым в работе [3*].
Теорема Громова дала положительный ответ на первую часть проб-
проблемы, поставленной Дж. Милнором [4*] в 1968 году. Вторая часть вопроса
Милнора:
«Будет ли функция роста всякой конечно порожденной группы экви-
эквивалентна либо некоторой степенной функции п", либо показательной функ-
функции 2"?» оставалась без ответа до 1983 года, когда появился аноис [б*]

46
Ж- Тите
с отрицательным решением проблемы Милнора Оказалось, что группы
промежуточного роста между степенным и экспоненциальным существуют,
что множество степеней роста групп имеет мощность континуума, а также
что группы промежуточного роста существуют как в классе р-групп (р —
простое число) так ч в классе групп без кручения [6*], [7*].
Решение проблемы Милнора поззолило ответить на многие вопросы
анализа и других разделов математики. В частности, оно дало ответ на
вопрос Дэя [8*] об аменабельных группах.
Несмотря на некоторое затишье в теории степеней роста групп, кото-
которое наблюдается в настоящий момент, многие важные вопросы этой тео-
теории и ее приложений ждут своего решения. Один из наиболее интересных
и трудных вопросов: что можно сказать о функциях роста конечно опре
деленных групп?
ЛИТЕРАТУРА
[1*] van den Dries L, Wilkie A. J. On Gromov's Theorem concerning groups
of polynomial growth and elementary logic. J. Algebra, 1984, 89, № 2,
349—374.
[2*] Григорчук Р. И. О полутруппах с сокращениями степенного роста.
Математич. заметки, 1987.
[3*1 Мальцев А. И. Нильпотентные полугруппы. Учен зап. Ивановск. пед.
ин-та, 1953, 4, 107—111.
[4*1 Milnor J. Problem 5603. Amer. Math. Monthly, v. 75, № 6 A968)
685-686.
Г5*1 Григорчук Р. И. К проблеме Милнора о групповом росте. Докл. АН
СССР, т. 271, № 1, A983) с. 31—33.
[6*] Григорчук Р. И. Степени роста конечно-порожденных групп и теория
инвариантных средних. Изв. АН СССР, Сер матем. т. 48, № 5, с. 939—
985.
[7*} "Григорчук Р. И. О степенях роста /з-rpynn и групп без кручения. Ма-
темат. сборник, 1985, т. 126 № 2, с. 194—214.
[8*] Day M. Amenable semigroups. 111. J. Math., vol. 1A957), 509—544,
АЛГОРИТМЫ ПРОВЕРКИ НА ПРОСТОТУ
по работам Здлмана, Румли и Уильямса1)
X. У. Ленстра, мл.
Математический институт, Амстердамский университет,
Амстердам, Нидерланды
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Большинство методов, используемых для выяснения, яв-
является ли данное целое число п > 1 простым или составным,
значительно легче работают с составными числами, нежели
с простыми. В частности, это справедливо для методов, осно-
основанных на теореме Ферма, утверждающей, что а" = a mod n
для всех простых чисел п и всех целых чисел а. Достаточно
единственного числа а, не удовлетворяющего указанному
сравнению, чтобы доказать непростоту га, хотя и без явного
разложения п. на множители. Однако таким способом не для
всякого составного числа п можно доказать, что оно дей-
действительно является составным: составные числа n = 561 =
= 3-11-17, 1105 = 5-13-17, 1729 = 7-13-19 и, возможно, бес-
бесконечно много других обладают тем свойством, что ап а=
ss a mod n для всех целых чисел а. Более сильная версия
теоремы Ферма, свободная от этого дефекта, утверждает, что
A.1)
of
¦(-г)
i ± I mod n
для всех нечетных простых чисел л и всех целых чисел а Ф
^0 mod га. Здесь (~) обозначает символ Якоби для aeZi
и нечетного положительного целого числа га. Можно дока-
доказать, что для нечетного составного п не более половины, и
обычно значительно меньше, всех а г{1,2, ..., п—1} удов-
удовлетворяют A.1). Для любого а из этого интервала значения
a(n-i)/2mod/i и (—) могут быть эффективно вычислены: пер-
первое— повторным возведением в квадрат и умножение^ по
модулю п, используя двоичное представление (га—1)/2,
а второе — посредством закона взаимности для символов
Якоби. Эти вычисления можно проделать за время-
') Lenstra H. W. Jr. Primality testing algorithms after Adleman, Ru-
mely and Williams. Seminaire Bourbaki, 34-e annee, 1980/1981, № 576,1—
15.
(g) Revue Asterisque, 1981

46
Ж. Тите
с отрицательным решением проблемы Милнора Оказалось, что группы
промежуточного роста между степенным и экспоненциальным существуют,
что множество степеней роста групп имеет мощность континуума, а также
что. группы промежуточного роста существуют как в классе р-групп (р —
простое число) так ч в классе групп без кручения [6*], [7*].
Решение проблемы Милнора поззолило ответить на многие вопросы
анализа и других разделов математики. В частности, оно дало ответ на
вопрос Дэя [8*] об аменабельных группах.
Несмотря иа некоторое затишье в теории степеней роста групп, кото-
которое наблюдается в настоящий момент, многие важные вопросы этой тео-
теории и ее приложений ждут своего решения. Один из наиболее интересных
и трудных вопросов: что можно сказать о функциях роста конечно опре
деленных групп?
ЛИТЕРАТУРА
[1*] van den Dries L., Wilkie A. J. On Gromov's Theorem concerning groups
of polynomial growth and elementary logic. J. Algebra, 1984, 89, № 2,
349—374.
[2*] Григорчук Р. И. О полутруппах с сокращениями степенного роста.
Математич. заметки, 1987.
[3*1 Мальцев А. И. Нильпотентные полугруппы. Учен зап. Ивановск. пед.
ин-та, 1953, 4, 107—111.
[4*1 Mihior J. Problem 5603. Amer. Math. Monthly, v. 75, № 6 A968)
685-686.
[5*1 Григорчук Р. И. К проблеме Милнора о групповом росте. Докл. АН
СССР, т. 271, № 1, A983) с. 31—33.
[6*] Григорчук Р. И. Степени роста конечно-порожденных групп и теория
инвариантных средних. Изв. АН СССР, Сер матем. т. 48, № 5, с. 939—
985.
[7*] "Григорчук Р. И. О степенях роста /з-групп и групп без кручения. Ма-
темат. сборник, 1985, т 126. № 2, с. 194—214.
[8*] Day M. Amenable semigroups. 111. J. Math., vol. 1A957), 509—544,
АЛГОРИТМЫ ПРОВЕРКИ HA^ ПРОСТОТУ
no работам Эдлмана, Румли и'Уильямса1)
X. У. Ленстра, мл.
Математический институт, Амстердамский университет,
Амстердам, Нидерланды
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Большинство методов, используемых для выяснения, яв-
является ли данное целое число п > 1 простым или составным,
значительно легче работают с составными числами, нежели
с простыми. В частности, это справедливо для методов, осно-
основанных на теореме Ферма, утверждающей, что art=amodn
для всех простых чисел п и всех целых чисел а. Достаточно
единственного числа а, не удовлетворяющего указанному
сравнению, чтобы доказать непростоту п, хотя и без явного
разложения п на множители. Однако таким способом не для
всякого составного числа п можно доказать, что оно дей-
действительно является составным: составные числа п = 561 =
= 3-1Ы7, 1105 = 5-13-17, 1729 = 7-13-19 и, возможно, бес-
бесконечно много других обладают тем свойством, что ап =
= amodn для всех целых чисел а. Более сильная версия
теоремы Ферма, свободная от этого дефекта, утверждает, что
~] = ± 1 mod n
A.1) ауп-4":
для всех нечетных простых чисел п и всех целых чисел а =?=¦
*& 0 mod п. Здесь (—-) обозначает символ Якоби для aeZi
и нечетного положительного целого числа п. Можно дока-
доказать, что для нечетного составного п не более половины, и
обычно значительно меньше, всех as{1,2, ..., п—1} удов-
удовлетворяют A.1). Для любого а из этого интервала значения
a(n-i)/2modn и Г-jjr) могут быть эффективно вычислены: пер-
первое— повторным возведением в квадрат и умножением по
модулю п, используя двоичное представление (п—1)/2,
а второе — посредством закона взаимности для символов
Якоби. Эти вычисления можно проделать за время-
') Lenstra H. W. Jr. Primality testing algorithms after Adleman, Ru-
mely and Williams. Seminaire Bourbaki, 34-е аппёе, 1980/1981, № 576,1—
15.
(g) Revue Asterisque, 1981

48
X. Ленстра
0((lognJ+e) для любого 8 > 0. Отсюда мы приходим к про-
простому практическому методу распознавания непростоты чи-
чисел: выбираем случайным образом целые числа а из множе-
множества {1,2, ..., п—1} до тех пор, пока не встретится такое,
которое не удовлетворяет A.1). Если было испробовано не-
несколько сотен значений для а, и все они удовлетворяют A.1),
то можно без риска держать пари, что п. — простое число,
или использовать п в качестве простого числа для коммерче-
коммерческих целей; однако это не дает математически строгого до-
доказательства простоты п.
Только что описанный алгоритм принадлежит Соловэю
и Штрассену [12]. Он является примером вероятностного те-
теста на непростоту, то есть алгоритма, который в случае за-
завершения работы по входному числу п говорит нам, является
п простым или составным, и который имеет большую вероят-
вероятность останова в случае составного п; мы не заботимся о за-
завершении работы в случае простого п. Понятие вероятност-
вероятностного теста на простоту определяется аналогично с заменой
непростоты на простоту. В свою очередь, детерминированный
тест на простоту (или непростоту) обязательно завершает
свою работу и говорит нам, является п простым или со-
составным.
Настоящая статья посвящена главным образом алгоритму
проверки на простоту Эдлмана и Румли [1, 2]. В этом ал-
алгоритме число п подвергается большому числу тестов, анало-
аналогичных A.1). Если п не проходит все эти тесты, то оно яв-
является составным. Если п прошло все эти тесты, то можно
определить небольшое множество чисел, которое содержит
все делители п, не превосходящие п1/2. Индивидуальная про-
проверка последних позволяет сделать вывод о простоте или
непростоте п.
Имеются две версии этого алгоритма: вероятностная, ко-
которая обсуждается в § 4, и несколько более сложная детер-
детерминированная, которая обсуждается в § 5. Варианты и рас-
расширения указанных тестов описываются в §§ 6 и 7. Наконец,
§ 8 посвящен связи нового теста с более старыми алгорит-
алгоритмами проверки на простоту. Имеется надежда, что заключи-
заключительные параграфы внесут вклад в практическую реализацию
теста для чисел, записываемых сотнями десятичных цифр.
Анализ времени работы приводит к одной задаче из ана-
аналитической теории простых чисел, которую решили Померанц
и Одлыжко. Они доказали, что существует эффективно вычис-
вычислимая константа с\, такая, что время работы детерминиро-
детерминированного алгоритма и ожидаемое время работы вероятност-
вероятностного алгоритма для простого п ограничено величиной
(logrt)Clloelogloe'1 для п>ее. Это значительно быстрее, чем
Алгоритмы проверки на простоту
49
для детерминированного алгоритма Полларда [9], который
срабатывает за время
О (/гA/8)+в) для любого е > 0.
Если допустить некоторые обобщенные гипотезы Римана,
то существует еще более быстрый детерминированный алго-
алгоритм проверки на простоту. Он заключается в проверке A.1)
для всех положительных целых чисел а < 70(log/гJ, кото-
которые не делятся на п. Если п проходит все эти тесты, то можно
показать, используя гипотезы Римана, что п — простое число.
Время работы этого алгоритма
О ((log пL+г) для любого 8 > 0.
Отметим превосходную обзорную статью Уильямса [13],
в которой содержится дополнительная информация о провер-
проверках на простоту и, в частности, принадлежащее Миллеру и
Рабину улучшение тестов, основанных на A.1). В [5, 11]
обсуждается близкая по смыслу, но сильно отличающаяся по
методам задача разложения числа на простые множители.
Эффективные алгоритмы выполнения арифметических опера-
операций можно найти в [6].
На протяжении всего изложения мы зафиксируем целое
число п> 1. Следует рассматривать п как целое число, ко-
которое «по всей видимости является простым» в том смысле,
что тест на непростоту, аналогичный описанному выше, не
дает возможности показать, что п — составное число. Задача
состоит в том, как доказать простоту п.
Другие обозначения: t,m — примитивный корень степени m
из единицы, А* — группа единиц кольца Л с 1, и <а> — под-
подгруппа, порожденная а; а\Ь означает, что а положительно
и делит b; vp(m) — число сомножителей р в разложении m
для простого р; Zp — кольцо целых р-адических чисел и
tq — конечное поле из q элементов.
§ 2. ГАУССОВЫ СУММЫ
В этом параграфе мы зафиксируем два простых числа р
и q с p\(q — 1). Предположим, что НОД(р<7, /г)=1. Пусть
/? = Z[?p, ?„] и % —характер порядка р и кондуктора q, т. е.
гомоморфизм групп
Гауссовой суммой т(%) является элемент из R, определен-
определенный равенством

50
X Ленстра мл.
г"~1
где %(x) = %(xmodq). Стандартное вычисление дает нам
B.1) т(х)" = х(п)~п • х(хп)modnR, если п простое. .
Обратно, изучим, что можно сказать относительно п, если
выполняется следующее несколько более слабое сравнение:
B.2) х(%)п^ц(х)~п-х{хп) mod nR,
для некоторого г\{%)е=(?р).
Сделаем следующее предположение.
B.3) Условие на р. Для любого простого р\п справедливо
неравенство vp(rp~[ — l)^vp(np~l — l).
Это неравенство можно также сформулировать как г"
=з 1 mod(np"~l — l)Zp; если оно выполнено для всех простых
г\п, то понятно, что оно справедливо для всех г\п. Если
выполнено B.3), то мы пишем
lP(r) = {(rp-1 - 1)/(«"-' - l)modp) для г\п,
что рассматривается как элемент из Zp/pZp = Z/pZ. Имеем
B.4) 1Р {п') = 1р (г) + 1р(г'), если п'\пу
B.5) 1р(п)=1.
B.6) Предложение. Предположим, что выполнены B.2) и B.3).
Тогда r\{x) — X(n) и x(r) — x(n)lp{n для каждого г\п.
Доказательство приводится ниже. В B.9) мы увидим, что
условие B.3) не может быть опущено. Чтобы иметь возмож-
возможность применять B.6), нам необходим метод для проверки
B.3). С этой целью мы часто можем применить следующее
предложение, доказательство которого также приводится
ниже.
B.7) Предложение. Если B.2) выполнено с ц{%)ф 1, то по-
порядок р характера % удовлетворяет B.3).
Тривиальным образом мы получаем
B.8) если пр~1 Ф lmodp2, то выполнено B.3).
B.9) Пример. Пусть р = 2. Тогда х задается равенством
%{х) = (—\ Положим а = х(—1)9 = ± q, причем знак вы-
выбран так, что а 5=1 mod 4. Хорошо известно, что т(хJ = а,
поэтому B.1) равносильно
4-") mod п, если п простое, НОДB<^, п)=1.
Алгоритмы проверки на простоту
51
Это приводит к квадратичному закону взаимности: (—) =
= (—)• Аналогично, B.2) эквивалентно
Пусть теперь п — число Рамануджана: п= 1729 = 7- 13- 19.
Тогда a(fl~0/2=l modп для всех aeZ с НОД(а, п)=1,
поэтому B.2) выполнено для всех q с л (%) == 1 - Выбирая q
таким, чтобы х(я)=— 1 (например, <7=П), мы получаем
пример, в котором х\ {%) Ф %(п). Это показывает, что условие
B.3) не может быть опущено из B.6).
Доказательство B.6) и B.7). Предположим, что выполнено
B.2). Применяя автоморфизм R, отображающий ?р в ?р и ?,
в себя, мы находим, что
для всех i e Z>0, а индукция по i дает отсюда
х(х/^г\(х)~и-Лх") mod nR
для всех i e Z>0. Для i = р — 1 мы имеем т (х" ) = т (х), и
этот элемент представляет единицу в R/nR, поскольку
т(х) ¦ т (х) = q- Поэтому мы получаем
-/..члР-1-! /.
B.10)
Пусть теперь г\п и г является простым. Тогда выполнено
B.2), в котором п заменено на г, а "л (х) — на хМ> так что
по тем же соображениям мы имеем
B.11)
т(х)г" ' ^ % (г) mod nR.
Следовательно, если ш обозначает порядок элемента
(T(x)modrR) в (R/rR)\ то <й\р{гр~[ - l).
Для доказательства B.7) предположим, что г\(%) ф 1. Из
B.10) мы видим, что
поэтому ш делит р(пр~1 — l), но не делит пр~ —1. Следо-
Следовательно, ур(со) = vp(p (пр~[ — l)). Так как ^(соХ
^vp(p (У — l)), то это доказывает справедливость B.3),
что и требовалось.

52
X. Ленстра мл.
Для доказательства B.6) предположим, что выполнено
B.3). Мы можем записать (г" — \I{пр~х — 1) — а/Ь, где
a, 6sZ>o, b ФОгпойр, причем мы даже можем добиться
того, что ft ==1 mod р. Тогда /p(r) = (amodp); согласно B.10)
и B.11) мы теперь имеем
= т,(ЗС)''<г) mod rR,
и поэтому
Это мы доказали для простого г\п. Используя B.4), мы ви-
видим, что то же самое равенство справедливо для произволь-
произвольного г\п. Для г = я мы находим согласно B.5), что %{п) =
(). Это доказывает B.6).
§ 3. ОДИН РЕЗУЛЬТАТ ИЗ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Померанц и Одлыжко показали, что существует эффек-
эффективно вычислимая константа с2, такая, что для любого це-
целого числа п > ее существует t@Z>0, удовлетворяющее сле-
следующим условиям:
C.1)
C.2)
C.3)
t свободно от квадратов,
*<(logn)c'-logloglog'l)
s> /г для s= Ц q.
а —простое
Доказательство использует одну идею, принадлежащую Пра-
хару [10], и приведено в [2]. Оно не дает реального построе-
построения t. В частности, остается недоказанной гипотеза Эдлмана
о том, что можно взять t== Ц р для некоторого х. Эври-
р~ простое
стические аргументы и числовые соображения в поддержку
этой гипотезы можно найти в [1,2]. Если мы возьмем х= 19,
то C.3) выполняется для п < 10350.
Результат Померанца и Одлыжко является наилучшим из
возможных в том смысле, что существует положительная
константа с3, такая, что / >(logrt)Cs"log 1о81о8Л для любого по-
положительного целого числа t, удовлетворяющего C.3), ср.
[2].
Алгоритмы проверки на простоту
53
§ 4. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ТЕСТ НА ПРОСТОТУ
Тест проходит следующим образом. Найдем положитель-
положительное целое число t, удовлетворяющее C.1) и C.3), например,
испытывая последовательно ?=1,2,3, ... . Пусть s — та-
такое же, как в C.3). Проверяем, что п не делится ни на одно
из простых чисел, делящих s или t. Для каждой пары про-
простых чисел р, q с p\(q— 1) п q\s (так что p\t) выберем ха-
характер х порядка р и кондуктора q, а также проверим B.2)
для этого х- Далее доказываем, что любое простое р деля-
делящее t, удовлетворяет B.3). Обычно для каждого р будет по
крайней мере один х с 1ц{%)ф1, после чего B.7) достаточно
для доказательства B.3). Если это не так и, кроме того, не
применимо B.8), проверяем B.2) для характеров % поряд-
порядка р, имеющих другие кондукторы, до тех пор, пока не будет
найден пример с г\(%)Ф1. Если B.3) доказано для всех
простых р, делящих t, определим risZ посредством
«' зз rt mod s, 0^.rt < s,
для i = 0, 1, ..., t—1, и проверим, что ни одночиз п не яв-
является нетривиальным делителем п. Если п проходит все эти
тесты, то объявляем п простым. Тем самым завершается
описание алгоритма.
Для обоснования алгоритма предположим, что п прошло
все тесты, но не является простым числом. Пусть г — нетри-
нетривиальный делитель п, удовлетворяющий неравенству г ^ п1/2.
Определим /, используя китайскую теорему об остатках, как
/еа{0, 1 t—\),
I ss lp (r) mod p для любого простого р \ t,
где 1р(г) — как в § 2. Согласно B.6) мы имеем х(г) = х(п1)
для всех тех характеров зс, которые были проверены. По-
Поскольку эти характеры порождают группу всех характеров
<п sari mods. Теперь из
группы (Z/«Z)*&< ф Fq, то
q простое
0 ^ г < /г1/2 <s н 0^гг<5 следует, что г ¦¦ rj, поэтому гг —
нетривиальный делитель /г, что дает противоречие.
Единственная недетерминированная часть алгоритма со-
состоит в проверке условия B.3). Для простого п эта проверка
может в самом худшем случае поглотить очень много вре-
времени, а для составного п указанная часть алгоритма не обя-
обязана даже завершаться, поскольку вполне возможно, что B.3)
не выполняется. Если допустить некоторые обобщенные ги-
гипотезы Римана, то этот недетерминированный аспект можно
устранить так же, как в случае Соловэя — Штрассена из вве-

54
X. Ленстра ли.
дения. Другое решение, не использующее недоказанные гипо-
гипотезы, приведено в § 5.
Анализ времени работы получается непосредственно, если
мы применим результат из § 3. Находим, что для любого е
с 0 < е < 1 алгоритм завершает работу с вероятностью
^1-еза время <| loge | • (lognH1'108'08'08" для всех про-
простых п > ее; здесь с4 обозначает абсолютную эффективно
вычислимую константу.
Отметим одно улучшение, представляющее практический
интерес. Положим h(p) = vp(n"~l — I) и s' = s • Ц ph{p\ где
произведение берется по всем простым числам р, делящим
НОД(«, 0- Тогда условие C.3) может быть ослаблено до
s' > nlf2, и в алгоритме можно s заменить на s'. Обоснова-
Обоснование такого изменения использует то, что по определению
1р(г) мы имеем Х(г) = %(пIр{г) для любого г\п и любого ха-
характера %> порядок которого равен степени р, а кондуктор
делит рад+1.
§ О. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ТЕСТ НА ПРОСТОТУ
Прежде всего, пусть р, q, R, % и т(%)—такие же, как
в § 2. Мы заменим B.2) на несколько более сложное мно-
множество условий.
Запишем пр~1 — I = ph ¦ и с u^Omodp. Рассмотрим по-
последовательность т(%Уи, т(%У", ..., т(%)р " по модулю nR.
Заметим, что эти элементы принадлежат подкольцу Z [?].
в R. Наше первое условие совпадает с B.10):
E.1) т(%)р и&зх\(%) mod nR для некоторого rj(%) <= (?р>.
Мы знаем, что E.1) выполнено, если п — простое число, при-
причем г\ (х) = х(я) •
Предположим, что справедливо E.1), и пусть а» (х) — наи-
наименьшее целое число is {1,2, ..., Щ со свойством, что
т (хУ " сравнимо с некоторым элементом из (t,p) по модулю
nR. Нашим следующим условием является:
E.2) если w (х) !> 2 и т (х)р " = I mod nR, то для любого
/в{0, 1, .... р-\) элемент т(х)рШ(Х)"'" -Й из Z%\
имеет после разложения-по базису 1, ?р, .... t,pp~2 мо-
модуля Z [?р] над Z некоторый коэффициент, который
взаимно прост с п.
Алгоритмы проверки на простоту
55
По определению w(y) каждый элемент х(%)" " — & име-
имеет коэффициент Ф0 mod га, поэтому вычисляя наибольший
общий делитель, мы можем проверить E.2), либо найти не-
нетривиальный делитель числа п.
E.3) Предложение. Если выполнены E.1) и E.2), то гр~"' в 1
modp°"<x> для любого простого г\п.
Доказательство. Утверждение тривиально при о»(х)=1-
Если т(х)р°" Х" Ф 1 mod я/?, то мы можем имитировать дока-
доказательство B.7) с рш(х)м вместо пр~1 — 1. Поэтому предполо-
предположим, что а»(х)>2 и x(%)pW *"= 1 mod/г/?. Предположим, что
г>>-уф\ mod pw{%). Тогда мы можем записать рМх)~1и/(гр~'—1)= ч
= а/Ь, где a, &eZ>0, b^lmodp. Комбинируя сравнение
з 1 modr/? с B.11), мы находим, что
х {%Г ¦ х (хГ "J = т (х)^1 а - X (гГ - й mod ri?
для некоторого /е{0, 1 р— 1}. Следовательно, все
коэффициенты элемента т (х) — SJ» делятся на г, что
противоречит E.2) и доказывает E.3).
Предположим справедливость E.1), и пусть зафиксирова-
зафиксировано такое целое число w, что w(%)^w<^u и rp~i^lmodpw
для любого простого г \п. Положим
(р(г) = ((г" - \)l{pwu) modp) e= Zp/pZp = Z/pZ
для каждого г|/г, и пусть V(x) <=(?„> определено равенством
E.4) Предложение. В указанных условиях и обозначениях мы
имеем
для любого г\п, причем %(п) = г\(%).
Доказательство почти идентично доказательству B.6) и
оставляется читателю.
После сделанных приготовлений мы представим детерми-
детерминированный тест на простоту. Берем t, s как в § 4, прове-
проверяем, что НОД($/, п)—1, и выбираем характер х порядка р
и кондуктора q для каждой пары простых чисел р, q с
p\(q— 1) и q\s. Проверяем E.1) и определяем w(%) для
каждого х,. Далее для любого простого p\t делаем следую-

56
X. Ленстра мл.
щее. Полагаем w = m&xw(%), где максимум берется повеем
характерам х выбранного порядка р (если таковых нет, то
игнорируем р). Проверяем E.2) для единственного х поряд-
порядка р с до —ш(х)- Проделывая это для каждого р, вычисляем
все л'(х); последние определены корректно, так как ш удов-
удовлетворяет указанным выше условиям. Повторным примене-
применением китайской теоремы об остатках находим единственный
класс вычетов (vmods), для которого xCv) —л'(х) Для
всех %. Пусть л е Z удовлетворяют сравнениям
для i = 0, I, ..., t—1, и проверяем, что ни одно из г* не
является нетривиальным делителем п. Если п проходит все
эти тесты, то объявляем п простым числом, что завершает
описание алгоритма.
Корректность алгоритма доказывается так же, как в § 4,
только B.6) следует заменить на E.4). Время работы ограни-
ограничено величиной (log п)с* ¦ log '°slog n для всех п > ее, где с5
обозначает абсолютную эффективно вычислимую константу.
§ 6. СУММЫ ЯКОБИ
Пусть р, q, R, % и т(х) — такие же, как в § 2. В этом пара-
параграфе мы увидим, что условие B.2) может быть заменено
на условие, в котором упоминаются лишь элементы из под-
кольца Z [tp] в R.
Обозначим через А группу Галуа Q(?p) над Q, а через
Z[A]— ее групповое кольцо над Z. Имеем FP^A относите-
относительно изоморфизма, отображающего (ymodp) во,, где о/(?р) =
= ?{,. Пусть А действует на <Q(?p, ??) так, что <*/ (?,) = 5,
для всех /. Действие А индуцирует структуры естественного
ZlAl-модуля на мультипликативных группах Q(?p, ?«,)*, Q(?p)*,
{R/nRY, (Z [t,p]/nZ [?p])*; поэтому для х в любой из этих
групп и а е= Z [А] мы можем вполне осмысленно говорить
о ха.
Определим гомоморфизм колец if : Z [А] -* Тр равенством
¦ф (©у) = (/ mod p) и пусть 9* — ядро if. Это простой идеал в
Z[А] ере?, порожденный множеством {оу — /: /gZ — pZ}.
Он является аннулятором Z [А]-модуля (?р).
Зафиксируем элемент я из 9*. Рассматривая действие
группы Галуа <Q(?р, ?,) над Q(gp), мы находим, что т(х)"е
)*, и похожим образом, что
Алгоритмы проверки на простоту
57
принадлежит подгруппе (Z[?p]/rtZ [?„])* из (R/nR)". Мы пыта-
пытаемся заменить B.2) условием на v(x), а не на т(х).
Используя структуру Z [А]-модуля, мы можем сформу-
сформулировать B.2) в виде
F.1) (т (х) mod nR)n-a* = (t| (хГ* mod nR)'
для некоторого л(х)^(СрХ
Предположим теперь, что a, peZ[А] удовлетворяют
F.2) ая = р(п-сгп), $ф&.
Тогда мы находим, возводя F.1) в степень р:
F.3) v (xf = (л («Г*<Р> mod nZ [у) для некоторого л (х) е= <?„>
F.4) Предложение. Предложения B.6) и B.7) остаются
справедливыми, если B.2) заменить на F.3), где а, ре
е= Z [А] .удовлетворяют F.2).
В доказательстве используется, что B.2) остается спра-
справедливым после возведения в степень р, где if (P)=7^@modp),
и в остальном аналогично доказательству, приведенному
в § 2. Оно оставляется читателю.
Элементы а, р из F.2) существуют тогда и только тогда,
когда п — (т„ принадлежит идеалу, порожденному я, в ло-
локальном кольце Z [А]^>. Используя стандартные методы ком-
коммутативной алгебры, показывается, что это локальное коль-
кольцо является кольцом с дискретным нормированием, причем
замыкание изоморфно Zp, а соответствующее отображение
Z[A]-*ZP задается о, ь-> lim у> . Следовательно, а, р дей-
ствйтельно существуют тогда, когда
F.5) я отображается в образующий идеала pZp.
Если гомоморфизм колец if': Z [А] -> Z/^Z определен ра-
равенством if' (Оу) = (/р mod p2), то F.5) равносильно тому, что
F.6) Ч> (я) = @ mod p),
ф' (Я) Ф @ mod p2).
F.7) Пример: п = р. В этом случае мы можем взять
' (c4>(P) = (-lmod/>)),
р-1
Z

58
X. Ленстра мл.
Алгоритмы проверки на простоту
59
где [л:] обозначает наибольшее целое число ^ х. Если р = 2,
то v (%) = (т (хJ mod «./?) просто задается с помощью v (%) =
= (%(-I)qmodnR), ср. B.9).
F.8) Пример: я = сг0 + вь — ва+ь, где a, 6sZ удовлетво-
удовлетворяют условию аЬ (а + Ь) Ф О mod р (поэтому р = 2 исключено)
ъ ар 4-Ьр Ф {а + b)p mod р2 (ср. F.6)); например, а = 6 = 1
для р<3-109, р ф. {1093, 3511}. В этом случае мы можем
взять
/-1
p-1
а :
р-л
где i|> (fJ) ф @ mod р) является следствием я. ? /от/ = р|3.
/-1
Согласно [7, гл. I, § 1] элемент v(x) задается суммой Якоби
- ?
Jtsif7-{o,
Этот элемент может быть вычислен в кольце Z
F.9) Замечание.. Представляет интерес задача нахождения
метода вычисления v(x), более эффективного, чем прямое
использование его определения или, в частном случае, чем
формула, заданная в F.8). Для р = 2 это тривиально. В об-
общем случае может оказаться необходимым для этих целей
использовать арифметическую характеризацию гауссовых
сумм [7, гл. I]. Это действительно может быть сделано для
р^П с использованием алгоритма Евклида в Z [?р] (ср.
[8]); здесь мы предполагаем, что известен элемент х е ?\
$ 7. ХАРАКТЕРЫ ПРИМАРНОГО ПОРЯДКА
В этом параграфе мы обобщаем результаты предыдущих
параграфов, указывая, как могут быть использованы харак-
характеры примерного порядка. По сравнению с приведенными
ранее доказательства несколько более сложны, и мы опус-
опускаем их.
Начнем с двух простых чисел р и q, не делящих п, и
целого числа fe>l с pk\(q — 1). Положим /? = Z[?pft) ?,]
и пусть %: F*-»¦/?* —характер порядка pk и кондуктора q.
Гауссова сумма т(х) = — ? х(*К? s R вновь удовлетворяет
B.1). Рассмотрим аналог B.2):
G.1) т(хГ_ л(ХГ"- т(хп)modnR
для некоторого ц (%) е (Spa).
G.2) Условие на р. Для любого простого г \ п существует
lp(r)<=Zp, такое что г?-1 = (пр-!)'"(г> е грг/ппе 1 + pZp.
Это условие эквивалентно B.3) для р>1, г также для
р = 2 при п = 1 mod 4. Определяя lp (г) е Zp для всех г | п
равенством rp~l = (np~1)lpir\ мы теперь имеем следующие
аналоги B.6) и B.7).
G.3) Предложение. Допустим, что справедливы G.1) и G.2).
Тогда ¦п(х) = )С(«) " %(r) = %{n)lp{r) для всех г\п.
G.4) Предложение. Допустим, что выполнено G.1), причем
л(х)—примитивный корень степени р* из единицы, и спра-
справедливо одно из следующих утверждений:
(a) p нечетно;
(b)p = 2, fe=l и rt=slmod4;
(с)
2,
— -lmodrti?.
выполнено G.2).
Если р=2 и n = 3mod8, то G.2) выполнено при
2(n-i)/2 ^—lmodn. Другой путь проверки G.2) указан
в (8.6).
Используя G.1), G.2), G.3) и G.4) вместо B.2), B.3),
B.6 ) и B.7) в § 4 мы получаем вероятностный тест на про-
простоту, в котором может быть устранено ограничение C.1)
о том, что t свободно от квадратов. Это улучшение имеет
практический интерес. Коль скоро рассматривается время ра-
работы, упомянутое улучшение влияет самое большее на кон-
константу в экспоненте (см. заключительный абзац § 3). Как
и в заключительном абзаце § 4 мы можем заменить s на
s' = s- П рт{р\ где m(p) = vp{nf— 1)— 1.
р простое
р|НОД(«Л) . . .-
Те результаты из § 6, которые важны для практических
целей, были обобщены на рассматриваемую ситуацию,Х. Коэ-
ном. Для р ф 2 он нашел формулы, аналогичные формулам
из F.8), однако случай р = 2 требует значительно более де-
деликатного обращения. Заключение состоит в том,, что все
вычисления могут выполняться в кольце Z [g *]//tZ [? ftl.

во
X. Ленстра мл.
Обобщение детерминированного теста из § 5 имеет сле-
следующий вид. Пусть р, k, q, R, х. т(х) —те же, что и выше,
и обозначим через G группу Галуа Q(?pft) над Q. Для
/<=Z*p пусть Ст/ —элемент из G с ст/(?рА) = ^А. Пусть G
действует на R как at (?,) = t,q для всех /. Выберем aeZ-
—- pZ таким, чтобы pmu e Z [G] • (п — ап) для некоторого
meZxi; например, возьмем в качестве и наибольший де-
делитель числа я'р-Ор* — 1, который не делится на р. Опре-
Определим X (%) = (т (х) mod nR)u, и предположим, что выполнено
G.1). Тогда Х(%) принадлежит р-примарной части группы
(R/nR)'. Эта р-примарная часть может рассматриваться как
модуль над Zp [G]. Пусть Нх — множество всех а е ZP, для
которых существует ц(%, а) ^ (?рк) с
например, яейц причем tj (х, rt) == tj (ос)- Легко проверяется,
что Н% —подгруппа в Z* и что отображение х: ^х-"*"(? Д
^(а) = т](х, а), является гомоморфизмом групп. Рассмотрим
для а е Zj - Ял следующее условие:
G.5) для любого ;е {0, 1, .... р* — 1}
коэффициенты элемента МхI"^0^ ~~ ?pfc
из Z [gpfe]/nZ [?pft] при разложении по базису над
Z/rtZ порождают единичный идеал Z/riZ.
Для заданного а легко проверить это условие, либо найти
нетривиальный делитель п, ср. E.2).
Нас будет интересовать лишь про-р-примарная подгруппа
/x = //xn(l + pZ,) вНх.
G.6) Предложение. Пусть % удовлетворяет G.1), и предпо-
предположим, что любая подгруппа J а 1 + pZP, для которой /хс=/
и Jx имеет в J индекс р, содержит элемент а, удовлетворяю-
удовлетворяющий G.5). Тогда для любого г\п мы имеем
Заметим, что необходимо рассмотреть не более трех
подгрупп /, а для р > 2 не более одной.
Детерминированный тест, основанный на G.6), проходит
следующим образом. Пусть s, / — те же, что в C.3), и про-
проверим, что HOR(st, п) = \. Для каждой пары простых чисел
р, q с p\(q— 1) и <?|s выбираем характер % порядка р* и
кондуктора q, где k = vp(q— 1). Проверим G.1) и опреде-
определим Jx для каждого х- Далее, для любого простого числа
Алгоритмы проверки на простоту 61
p\i делаем следующее. Положим /р= f] J%> гДе пересечение
х
берется по всем выбранным характерам х. порядок которых
равен степени р. Проверяем G.5) для небольшого числа пар
(а, х)> выбранных таким образом, что согласно G.6) мы знаем,
что г"-1 е ]р для каждого г | п. Если — 1 е /р (так что
р = 2), то выбираем ур^]р так, чтобы Jp = уррU (— yZp).
В противном случае выбираем у е / так, чтобы / = yzp.
Проделывая это для каждого р, определим единственный
класс вычетов (vmods) с x(v) = x(Yp) Для всех Х- Пусть
v' = rj mods, причем 0^r,-<s, для i==0, I t—\, и
проверяем, что ни один из rt не является нетривиальным де-
делителем п. Если —1е/2, то определим (nmods) посредством
ХО-О —х(~ 1)> если X имеет 2-примарный порядок,
Х(ц)==1 для других х,
определим г, с помощью р\' =s r\ mod s, 0 «^ /^ < s, для
t = 0, I, ...,/— 1, и проверим, что ни один из, г[ не
является нетривиальным делителем л. Если п проходит все
эти тесты, то оно является простым числом.
§ 8. ТЕСТЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ТЕОРИЮ ГАЛУА
Вероятностные тесты на простоту, которые обсуждались
в §§ 4 и 7, пытаются показать простоту п, доказывая, что
любой делитель г числа п является степенью п в различных
смыслах: в группе 1 -f pZp, как в G.2); в группе значений
характера %, как в G.3); и в группе (Z/sZ)*, как в § 4.
Оказывается, похожим образом можно сформулировать не-
несколько более старых тестов на простоту. В частности, по-
последнее применимо к тестам, использованным Уильямсом
которые опираются на функции Люка и обобщения послед-
последних, ссылки см. в [13]. В настоящем параграфе мы дадим
обзор этих методов с рассматриваемой точки зрения, а так-
также обсудим, как они связаны с тестами Эдлмана. Вместо
функций Люка мы воспользуемся языком конечных колец.
Под кольцом мы будем понимать коммутативное кольцо с 1,
а также будем предполагать, что подкольца имеют тот же
самый единичный элемент.
(8.1) Теорема. Пусть seZ>0. Пусть А —кольцо, содержа-
содержащее Z/rtZ в качестве подкольца. Предположим, что суще-

X. Ленстра мл.
1, удовлетворяющий следующим условиям:
62
ствует
asiq _ i s а* для любого простого q\s,
t-i
полином Ц (X — ап ) имеет коэффициенты в ZlnZ для
некоторого t e Z> 0.
Тогда каждый делитель г числа п сравним с некоторой сте-
степенью п по модулю s.
Доказательство. Мы можем предполагать, что г — простое
число. Поскольку г является делителем нуля (или нулем)
в Л, то существует максимальный идеал шсЛ с г em. Пусть
Л—поле Л/m и a = (amodm)e А. Из первых двух условий
на а следует, что а имеет порядок s в Л*. Полином
t-i ¦•
Ц (X — dra<)' Для которого а является корнем, имеет коэф-
(=0
фициенты в простом поле Fr из А. Поэтому а' также явля-
является корнем этого полинома, так что существует ie
е{0, 1, ..., t—1} с аг = аге'. т. е. г == nlmods. Это доказы-
доказывает (8.1).
(8.2) Для получения теста на простоту применяют (8.1)
к кольцу Л, которое в случае простого п было бы полем fnU где
t — некоторое положительное целое число. В качестве s бе-
берется наибольший делитель числа п'—\, который возможно
разложить на простые множители. В качестве а выбирается
элемент из А* порядка s. Если п действительно является
простым, то такой а на практике легко построить, манипу-
манипулируя элементами вида p(n'-O/s, ре Л*, и он удовлетворяет
условиям (8.1). Обратно, из этих условий следует, что лю-
любой г\п по модулю s сравним с некоторой степенью п, по-
поэтому если s > я1/2, то мы можем проверить простоту л
так же, как в алгоритме из § 4.
. Классические тесты получаются для небольших значе-
значений t. Тест с t= 1 и Л = Z/nZ дает результат, что каждый
г\п равен (lmods), где s — та часть п—1, которая пол^
ностью разложена на множители; поэтому п — простое чис-
число, если s > я1/2. Для ( = 2 и нечетного п можно взять Л =
= (Z/nZ) [X]/(X2 — uX + v), где и, t>eZ/nZ обладают
тем свойством, что Г — J = — 1 для d = u2 — 4v. В результи-
результирующем тесте, который обычно формулируется в терминах
последовательностей Люка, мы можем использовать из-
известные простые множители числа п -f- 1 в дополнение к та-
Алгоритмы проверки на простоту
63
ким множителям для п — 1. Если п = 2т — 1 — число Мер-
сенна, то п + 1 легко разлагается на множители, и в этом
случае (8.1) приводит к хорошо известному тесту Люка —
Лехмера для чисел Мерсенна [13, с. 152].
Две важные особенности тестов, описанных в [13J, не
переносятся на описанный выше тест. Первая состоит в воз-
возможности использования нижних границ для неизвестных
простых делителей числа п1— 1. Необходимы дальнейшие
исследования, чтобы выяснить, будут ли они столь же по-
полезными для больших значений t, которые представляют для
нас интерес. Вторая особенность состоит в возможности ком-
комбинировать информацию, полученную в результате рассмот-
рассмотрения различных значений а и даже t. Чтобы наш тест полу-
получил такие же возможности, снабдим Л дополнительной струк-
структурой.
Пусть Л — кольцо, содержащее Z/nZ в качестве подколь-
ца, и пусть <о> — циклическая группа автоморфизмов коль-
кольца Л с образующим о. Скажем, что Л — расширение Галуа
•Z/nZ с группой <о>, если существуют fsZ>0 и zi, z2, ...
..., zt&A, такие, что
zx, 22, ..., zt- базис Л над Z/nZ
(поэтому Л содержит п* элементов). Мы называем t рангом
расширения. Если Л — расширение Галуа Z/nZ с группой
<о>, то Z/nZ ={х&А :о(х) = х} согласно [4, гл. III, пред-
предложение 1.2].
(8.3) Лемма. Пусть п — простое число, и пусть А — расшире-
расширение алуа f п с группой <сг>. Тогд любой гомоморфизм колец т:
А-*-А с тA)= 1 и та = от принадлежит <а>.
Доказательство. Пусть / обозначает ранг. Соглаено [3,
теорема 3.1] (примененной к f = id^, g = т) найдется единст-
единственная система (е/)*Г0 попарно ортогональных идемпотентов
<-i (-1
в Л, такая что ? е/= Ги т(х)= ? о'(х)е/ для всех х е А.
/=0 /-0
Единственность и тот факт, что ото ' = т, дают нам, что
ст(е;)= ej, так что еу<= fn, для 0 sg / < t. Поскольку Fn не
имеет нетривиальных идемпотентов, то et = 1 для некоторого i
е. = 0 для всех / ф ,-. Следовательно, т = о', что и требова-
требовалось.
Иначе, мы можем воспользоваться теорией Гротендика
этальных накрывающих для сведения (8.3) к следующему
легко доказываемому факту: если G — абелева транзитивная

64
X. Ленстра мл.
группа перестановок множества X, то любое отображение
Х-^>-Х, коммутирующее со всеми элементами из G, принад-
принадлежит G.
Если z,, г2 2f —базис А над Z/nZ, то элемент
х — X aizi из Л с а, е ZjnZ называется примитивным, если
а,, а2 at порождают единичный идеал в Z/nZ.
(8.4) Теорема. Пусть seZ>0, и пусть А— расширение Га-
луа Z/nZ ранга t с группой <о>. Предположим, что для лю-
любого простого q\s существует ае/1 со следующими свой-
свойствами:
а(а)==а".
Тогда п* = 1 mod s и для любого г | п мы имеем, что (г mod s)
е (га mods) в группе (Z/sZ)*.
Доказательство. Для любого простого q\ s соответствующий
а имеет порядок qm(q) в А* и а = о'(а) = ап', поэтому п' =
= 1 mod qm iq). Следовательно, п* = 1 mod s. Пусть теперь г | п
является простым числом. Тогда А = А/г А — расширение
Галуа ?_г с группой (а), где а индуцировано а. Отображение
т'. А-* А, т(х) — хг, является гомоморфизмом колец с тA) =
= 1 и та = ат, поэтому из (8.3) следует, что т = ст( для
некоторого /. Докажем, что r = n' mods. Пусть q \s — простое
число и a — то же, что и в теореме. Тогда a = (a mod rA)
имеет порядок qm<-i) в А' и аг = т (а) = а' (а) = ant, поэтому
' modqm{i\ что доказывает (8.4).
(8.5) Следующий метод построения расширений Галуа по-
полезен для тестирования на простоту. Берем A=(Z/nZ) [X\ /(/),
где fe(Z/rtZ)[Z] имеет единичный дискриминант, причем
f(Y) = R(Y-t) в A[Y],
1-0
где t — степень f и | = (X mod (f)) е А. Тогда мы получим
расширение Галуа Z/nZ с группой <сг>, где or(|) = tn. Если п
действительно является простым числом, то на практике та-
такое f нетрудно найти.
Другой метод построения расширений Галуа состоит
в том, чтобы брать тензорные произведения над Z/nZ рас-
расширений Галуа взаимно простых рангов. Этот метод позво-
Алгоритмы проверка на простоту
65
ляет комбинировать информацию, идущую от различных ко-
колец А.
Использование (8.4) для проверки на простоту аналогич-
аналогично использованию (8.1). Одна из основных трудностей —
найти относительно небольшое / е Z>0, и полностью разло-
разложенный на простые множители делитель s числа п'— 1 для
которого s > п1/2. Если s = Ц q\ то по теореме Ферма
q простое I
«7-1) U /
s делит п'— 1 (кроме случая, когда НОД(п, s) > 1), поэтому
результат из § 3 показывает, что можно найти подходящее
t < (logrc)C!-log !og log n. Это приводит к вероятностному тесту
на простоту, скорость которого сравнима со скоростью об-
обсуждавшихся ранее вероятностных тестов (§§ 4 и 7).
Преимуществом нового теста над предыдущими является
то, что могут быть также использованы известные простые
числа q\(n'—1), для которых q—1 не делит /; однако По-
меранц написал мне, что здесь не следует ожидать слишком
большого выигрыша. С другой стороны, предыдущие тесты
имеют то преимущество, что необходимые вычисления могут
быть выполнены в кольцах, ранги которых над Z/nZ значи-
значительно меньше t.
Естественно задать вопрос, до какой степени могут быть
скомбинированы оба типа тестов. Используя тесты Эдлмана
вместе со специальным случаем A = Z/nZ из (8.4), полу-
получаем тест, в котором то число, которое должно превосходить
п1/2, является наименьшим общим кратным Ц q и той
Я простое
(9-1) \t
части числа п— 1, которая полностью разложена на простые
множители. Следующая теорема является примером резуль-
результата, применимого в большей общности.
(8.6) Теорема. Пусть выполнены все условия (8.4). Пусть
p\t — простое число, и предположим, что vp (s) = ир(п1 — 1) > 0.
Тогда р удовлетворяет условию G.2), и если r\n, r = n* mod s,
то i = lp(r)modtZp, где 1р{г) — то же, что в § 7.
Доказательство является простым упражнением из эле-
элементарной теории чисел.
(8.7) Замечание. Все тесты на простоту в этой статье исполь-
используют вспомогательное число s, от которого требуется, чтобы
оно было больше чем nilz. Ценой некоторой дополнительной
работы с алгоритмами можно заменить нижнюю границу п1/2
на п1/3. Это делается с помощью рассмотрения возможного
разложения п по модулю s2 и применения редукционных ме-
методов для двумерных решеток.
3 Зак. 506

66 X. Ленстра мл.
ЛИТЕРАТУРА
1. Adleman L. M. On distinguishing prime numbers from composite num-
numbers (abstract), Proc. 21st Annual IEEE Symposium on Foundations of
Science A980), 387—406.
2. Adleman L. M., Pomerance C, Rumely R. S. On distinguishing prime
numbers from composite numbers, Ann. of Math. 117 A983), 173—206.
3. Chase S. U., Harrison D. K., Rosenberg A. Galois theory and Galois co-
homology of commutative rings, Memoirs Amer. Math. Soc. 52 A965),
15—33.
4. Demeyer F., Ingraham E. Separable algebras over commutative rings,
Lecture Notes in Mathematics 181, Springer, Berlin 1971.
5. Guy R. K. How to factor a number, Proc. Fifth Manitoba Conf. Numer.
Math., Utilitas, Winnipeg A975), 49—89.
6. Knuth D. E. The art fo computer programming, vol. 2, Seminumerical
algorithms, second edition, Addison — Wesley, Reading 1981. [Русский
перевод: Кнут. Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. Полу-
Получисленные алгоритмы. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.]
7. Lang S Cyclotomic fields, Springer, Berlin 1978.
8. Lenstra H. W. Jr. Euclid's algorithm in cyclotomic fields, J. London
Math. Soc. B) 10 A975), 457—465.
9. Pollard J. M. Theorems on factorization and primality testing, Proc.
Cambridge Philos. Soc. 76 A974), 521—528.
10. Prachar K. Uber die Anzahl der Teiler einer naturlichen Zahl, welche
die Form p — 1 haben, Monatsh. Math. 59 A955), 91—97.
11. Schnorr С. Р. Refined analysis and improvements on some factoring al-
algorithms, J. Algorithms 3 A982), 101—127.
12. Solovay R., Strassen V. A fast Monte-Carlo test for primality, SIAM J.
Comput. 6 A977), 84—85; erratum, 7 A978), 118.
13. Williams H. С Primality testing on a computer, Ars Combin. 5 A978),
127—185.
АФФИННЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ И МОДУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ1)
И. Дж. Макдональд
Колледж Куин Мэри, Лондонский университет.
Отделение теоретической математики
Лондон, Великобритания
ВВЕДЕНИЕ
Эта статья является в некотором смысле продолжением
лекции Демазюра [4], хотя и имеются некоторые различия
точек зрения.
Аффинные алгебры Ли являются частными примерами
алгебр Ли, определенных матрицами Картана, т. е. лиевых
алгебр Каца — Муди. Это бесконечномерные комплексные
алгебры Ли, определенные образующими и соотношениями,
для которых существует удовлетворительная структурная
теория и теория представлений, точно отражающая (и вклю-
включающая) классическую теорию конечномерных комплексных
полупростых алгебр Ли и доведенная до аналога формулы
Вейля для характера и до формулы знаменателя. В случае
аффинных алгебр Ли эти формулы могут быть сделаны со-
совсем явными, по крайней мере для некоторых модулей, и при-
приводят к формальным тождествам для тета-функций и к мо-
модулярным формам. Простейший пример — это пример три-
тривиальных представлений, приводящих к так называемой фор-
формуле знаменателя; она представляет собой тождество между
формальными степенными рядами от нескольких переменных
и при специализации может дать большое число тождеств
для Ti-функций Дедекинда.
Помимо таких связей с арифметикой и модулярными
формами, которые составляют предмет этой лекции, в самое
последнее время стало совершенно ясно, что аффинные ал-
алгебры Ли тесно связаны и с многими другими областями
математики: комбинаторикой (разбиения, тождества Род-
Роджерса— Рамануджана) [5, 21]; топологией (пространства
петель, группы петель) [8, 9, 20]; линейной алгеброй (пред-
(представления колчанов) [14]; разрешением особенностей [26];
вполне интегрируемыми системами [1,2] и структурами ме-
механики, а также физики элементарных частиц [6, 7]. По-ви-
По-видимому, также имеется дразнящая, но еще мало осмыслен-
') Macdonald I. G. Affine Lie algebras and modular forms. Seminaire
Bourbaki, 33-e annee, 1980/81, № 577, 1—19.
© Revue Asterisque, 1981
3»

66 X. Ленстра мл.
ЛИТЕРАТУРА
1. Adleman L. M. On distinguishing prime numbers from composite num-
numbers (abstract), Proc. 21st Annual IEEE Symposium on Foundations of
Science A980), 387—406.
2. Adleman L. M., Pomerance C, Rumely R. S. On distinguishing prime
numbers from composite numbers, Ann. of Math. 117 A983), 173—206.
3. Chase S. U., Harrison D. K., Rosenberg A. Galois theory and Galois co-
homology of commutative rings, Memoirs Amer. Math. Soc. 52 A965),
15—33.
4. Demeyer F., Ingraham E. Separable algebras over commutative rings,
Lecture Notes in Mathematics 181, Springer, Berlin 1971.
5. Guy R. K. How to factor a number, Proc. Fifth Manitoba Conf. Numer.
Math., Utilitas, Winnipeg A975), 49—89.
6. Knuth D. E. The art fo computer programming, vol. 2, Seminumerical
algorithms, second edition, Addison — Wesley, Reading 1981. [Русский
перевод: Кнут. Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. Полу-
Получисленные алгоритмы. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.]
7. Lang S. Cyclotomic fields, Springer, Berlin 1978.
8. Lenstra H. W. Jr. Euclid's algorithm in cyclotomic fields, J. London
Math. Soc. B) 10 A975), 457—465.
9. Pollard J. M. Theorems on factorization and primality testing, Proc.
Cambridge Philos. Soc. 76 A974), 521—528.
10. Prachar K. Uber die Anzahl der Teiler einer natfirlichen Zahl, welche
die Form p — 1 haben, Monatsh. Math. 59 A955), 91—97.
11. Schnorr С. Р. Refined analysis and improvements on some factoring al-
algorithms, J. Algorithms 3 A982), 101—127.
12. Solovay R., Strassen V. A fast Monte-Carlo test for primality, SIAM J.
Comput. 6 A977), 84—85; erratum, 7 A978), 118.
13. Williams H. C. Primality testing on a computer, Ars Combin. 5 A978),
127—185.
АФФИННЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ И МОДУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ1)
И. Дж. Макдональд
Колледж Куин Мэри, Лондонский университет.
Отделение теоретической математики
Лондон, Великобритания
ВВЕДЕНИЕ
Эта статья является в некотором смысле продолжением
лекции Демазюра [4], хотя и имеются некоторые различия
точек зрения. "
Аффинные алгебры Ли являются частными примерами
алгебр Ли, определенных матрицами Картана, т. е. лиевых
алгебр Каца — Муди. Это бесконечномерные комплексные
алгебры Ли, определенные образующими и соотношениями,
для которых существует удовлетворительная структурная
теория и теория представлений, точно отражающая (и вклю-
включающая) классическую теорию конечномерных комплексных
полупростых алгебр Ли и доведенная до аналога формулы
Вейля для характера и до формулы знаменателя. В случае
аффинных алгебр Ли эти формулы могут быть сделаны со-
совсем явными, по крайней мере для некоторых модулей, и при-
приводят к формальным тождествам для тета-функций и к мо-
модулярным формам. Простейший пример — это пример три-
тривиальных представлений, приводящих к так называемой фор-
формуле знаменателя; она представляет собой тождество между
формальными степенными рядами от нескольких переменных
и при специализации может дать большое число тождеств
для Ti-функций Дедекинда.
Помимо таких связей с арифметикой и модулярными
формами, которые составляют предмет этой лекции, в самое
последнее время стало совершенно ясно, что аффинные ал-
алгебры Ли тесно связаны и с многими другими областями
математики: комбинаторикой (разбиения, тождества Род-
Роджерса — Рамануджана) [5, 21]; топологией (пространства
петель, группы петель) [8, 9, 20]; линейной алгеброй (пред-
(представления колчанов) [14]; разрешением особенностей [26];
вполне интегрируемыми системами [1,2] и структурами ме-
механики, а также физики элементарных частиц [6, 7]. По-ви-
По-видимому, также имеется дразнящая, но еще мало осмыслен-
') Macdonald I. G. Affine Lie algebras and modular forms. Seminaire
Bourbaki, 33-e annee, 1980/81, № 577, 1—19.
© Revue Asterisque, 1981
3*

68
И. Дж. Макдональд
ная связь с простой группой «монстром» [3, 15]1). Область
всех этих приложений, каждое из которых находится в ста-
стадии активного развития, продолжает с впечатляющей стреми-
стремительностью расширяться.
1. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Чтобы подготовить почву для дальнейшего, мы проведем
краткий обзор наиболее значительных положений, относя-
относящихся к конечномерной комплексной простой алгебре Ли д.
Пусть |) — подалгебра Картана алгебры g (т. е. максималь-
максимальная абелева диагонализируемая подалгебра); пусть \* — ал-
алгебра, двойственная к I), и пусть / — размерность алгебры
1). Существует невырожденная симметричная билинейная
форма {х,у) на д, которая инвариантна, т. е. ([х, z],y) =
= (х, [z, у]) для всех х, у, z <= д, например форма Киллинга
tr(ad(x)ad(z/)). Ограничение этой формы на I) невырождено
и поэтому определяет симметричную билинейную форму
(X, ц) на |)*.
Система корней. Пусть да обозначает для произвольного
oel' множество таких хед, что [h,x] = a(h)x для всех
fte|. Тогда д0 = \, а такие ненулевые a (= у, для которых
8<х Ф О» являются корнями алгебры g относительно подал-
подалгебры |). Они образуют конечное подмножество /? в у, назы-
называемое системой корней для (g, J)). Мы имеем
A.1) д = $ + X да,
а <= R
и каждое да является одномерным. Для каждого oei? един-
единственными корнями, пропорциональными корню а, являются
±а. Билинейная форма на g может быть выбрана так, чтобы
число |а|2 = (а,а) было вещественным и положительным
для каждого а е /?.
Можно так выбрать корни а\, ..., щ е R, чтобы каждый
корень aei? имел вид а = ? пга.{ с целыми коэффициентами
/it, которые либо все ^0 (положительные корни), либо все
^0 (отрицательные корни). Такие а,- образуют множество
простых корней, или базис для /?, и мы будем предполагать,
что они выбраны раз и навсегда. Тогда имеется единствен-
единственный старший корень, для которого сумма X ni максимальна.
Группа Вейля. Пусть wa обозначает для произвольного
<х е R отражение от гиперплоскости, ортогональной к а в 1)*.
1) См. по этому поводу замечания в докладе Ж. Титса «Монстр»,
разд. 7, стр. 168 настоящего сборника. — Прим. ред.
Аффинные алгебры Ли и модулярные формы
69
Мы имеем
где cjV = 2сс/(а, а) — корень, дуальный к а. Отражения wat,
соответствующие простым корням, порождают конечную
группу изометрий алгебры Y, называемую группой Вейля W
алгебры g относительно \. Каждое отражение wa принадле-
принадлежит группе W; система корней R устойчива относительно W,
и каждый корень имеет вид wai для некоторого ше^и не-
некоторого простого корня аи
Матрица Картана. Числа а?/ = (аУ, а;) целые, и ZX /-мат-
/-матрица А==(ац) называется матрицей Картана алгебры д. Она
удовлетворяет следующим условиям:
(С1) аи = 2 для всех i; ац ^ 0, если i =?*= /; ац = 0 каждый
раз, когда с/, = 0.
(С2) Все главные миноры матрицы А должны быть >0.
Образующие и соотношения. Матрица Картана А опре-
определяет алгебру g с точностью до изоморфизма. Выберем
так образующие et в qai, ft вд_аД1 <' ^1), и такие элементы
Лге$, чтобы (et, f,) = l, (hit h) = a) (h), так что аДА,) =
==(ау, at) = air Тогда 3/ элементов е., ft, ht порождают g
и удовлетворяют следующим соотношениям:
A.2)
[ht, в/] = аИе,, [hit f,] = - а,^-,
(ad etf-v-e, = (ad f,)'-a" f, = 0 (i
j).
Модули со старшим весом. Пусть Q (соответственно Q+)
обозначает множество всех сумм X ntai ПРИ "jeZ (соот-
(соответственно N), и пусть Р (соответственно Р+) обозначает
множество всех таких Я <=!)*, что A(Ai)eZ (соответственно
N) для 1 <; i ^ /. Мы имеем Qa Р (но Q+ ф Р+).
Если V есть g-модуль и X е У, то через V\ мы обозначим
множество таких сеУ, что h.v = X{h)v для всех /ге|).
Если V\ ф 0, то А, называется еесол модуля V кратности
dim(V,J. Если модуль У конечномерный, то V является пря-
прямой суммой своих весовых пространств, и все веса модуля V
лежат в решетке Р.
Для каждого Я е Р+ существует единственный конечно-
конечномерный простой g-модуль V(X), порожденный таким элемен-
элементом ^еУ^!, что ei.vK = 0 (I <i^/). Множество весов
из V(X) устойчиво относительно W и содержится в Я — Q+,
а X (старший вес) имеет кратность 1.
В частности, V@) — тривиальный одномерный g-модуль.

70
И. Дж. Макдональд
Формула характера. Пусть в групповом кольце Z [Р]
свободной абелевой группы Р через ек обозначен элемент,
соответствующий весу X, так что ех.е^ = ех+^. Определим
характер конечномерного д-модуля V следующим равенством:
где суммирование ведется по весам модуля Ух..
Пусть элемент ре|* определен условиями р(/г;)=1
A <; i ^ /). Тогда для 1еР+ имеет место формула харак-
характера (Г. Вейля)
A.3) ch У (X) = ( X det (да) ё" »+р>\/е<> П A - е~а).
\a>s W )' о>0
Если X = 0, то сЬУ(Я)=1, и поэтому из A.3) вытекает
формула знаменателя
A 4) П A —е~а)= X det (w) ешр~р.
' а>0 ше V
Используя A.4), мы можем равенство A.3) переписать
так:
A.5) chV(Jl) =
det (ш) е» <л+р) Vf X det (да)
J' \we=W
2. ЛИЕВЫ АЛГЕБРЫ КАЦА-МУДИ [10, 11 ,12, 13, 24]
Пусть А — (atj)i t s j — произвольная (конечная) матрица
с целыми элементами, удовлетворяющая условию (С1), и
пусть й' = й'(^) обозначает комплексную алгебру Ли, по-
порожденную элементами ei, ft, ht (i'e/), подчиненными усло-
условиям A.2). Алгебра д'(Л) будет бесконечномерной, кроме
того случая, когда А — матрица конечного типа (т. е. удов-
удовлетворяются условия (С2)). Элементы hi линейно независимы
в д' и порождают подалгебру Картана |)' алгебры д'. По
образцу конечномерного случая мы определим простые корни
а, <= У соотношениями cx/(ft«)=a,7 (i, /s/). Однако может
случиться так, что det(A) = O, и в этом случае так опреде-
определенные корни а/ были бы линейно зависимыми. Этой неприят-
неприятности можно избежать, расширив алгебру д' следующим об-
образом. Пусть через Ьо обозначается пространство дифферен-
дифференцирований алгебры д', порожденное элементами di (ig/),
где di(e,) = 6,/e/, di(f,-)= —8nfi; определим вложение q>: ^'—*-bo
равенствами ф(А4) = ad ht = X o-ijdj, и пусть Ь — некоторое
подпространство в Ьо, дополнительное к cp(tj') (так что
dimb = corankА). С точностью до изоморфизма полупря-
полупрямое произведение g = g' Ф Ь не зависит от выбора подпро-
Аффинные алгебры Ли и модулярные формы
71
странства b и является лиевой алгеброй Каца — Муди, опре-
определенной матрицей Картана А. Подпространство & = |)'ФЬ
является подалгеброй Картана алгебры д, и центр с состоит
из всех таких элементов /s=XflAeVi что
для всех j е /, так что dime = corank A.
Матрица А называется неразложимой, если не существует
такого разбиения множества / на непустые непересекаю-
непересекающиеся подмножества /, К, что ац, = 0 для всех (j, k) s JX.K,
и симметризуемой, если существует такая невырожденная
диагональная матрица D, что DA симметрична. Симметри-
зуемость является необходимым и достаточным условием
существования невырожденной инвариантной симметричной
билинейной формы (х, у) на д. Отныне будем предполагать,
что эти условия выполняются и что билинейная форма вы-
выбрана так, что значение (Ы, hi) вещественно и >0 для всех
i e /. Точно так же, как и в конечномерном случае, ограниче-
ограничение формы {х, у) на |) невырождено, и, следовательно, она
определяет симметричную форму (Я, \х.) на |>*.
После этих предварительных сведений заметим, что все
детали конечномерного случая, отмеченные в § 1, сохранят
свои аналоги и в данной более общей ситуации.
Система корней. Система корней /? алгебры g (относи-
(относительно Ь) определяется точно так же, как и в § 1, но оказы-
оказывается здесь бесконечным подмножеством алгебры !)* (если
А не является матрицей конечного типа). Разложение A.1)
алгебры g сохраняет силу, и каждое да конечномерно, но уже
не остается обязательно одномерным, и, таким образом, каж-
каждый корень aeJ? имеет кратность пг(а)= dim да ^ 1. Про-
Простые корни at (i i= /) определяются соотношениями [h, ei] =
= ai{h)ei для всех AeJ, так что ое/(А*)=а,/; они линейно
независимы, имеют кратность 1 и образуют базис в R в том
же смысле, что и в § 1. Стало быть, мы имеем понятия по-
положительных корней и отрицательных корней (но не стар-
старшего корня).
Для каждого корня а число (а, а) вещественно, а для
каждого простого корня а; оно >0. Однако больше уже
нельзя утверждать, что (а, а) > 0 для всех корней а (когда
А не является матрицей конечного типа). Корни а е /?, для
которых (а, а) > 0, называются вещественными корнями и
имеют кратность 1; те корни, для которых (а, а)^0, назы-
называются мнимыми корнями, и они могут иметь кратность >1.
Если а вещественный, то единственными ему пропорциональ-
пропорциональными корнями являются ±а; если а — мнимый корень, то
па является корнем для каждого ненулевого целого п.

72
И. Дж. Макдональд
Группа Вейля. Как и раньше, группа Вейля W по опре-
определению есть группа изометрий алгебры &*. Она порождена
отражениями wat (i s /) и содержит элемент wa для каж-
каждого вещественного корня а. Множество вещественных кор-
корней, множество положительных мнимых корней и множество
отрицательных мнимых корней — каждое из этих множеств
устойчиво относительно W. Корень aei? тогда и только
тогда веществен, когда имеет вид шаг для некоторых дае W
ui<=l.
Модули со старшим весом. Определим Р, Р+, Q, Q+, как
и в § 1. Для каждого 1еР+ существует единственный про-
простой (вообще говоря, бесконечномерный) g-модуль V{%), по-
порожденный элементом vx^V{X)% и такой, что е,а,-= О
(iel). Все весовые пространства У(Я)ц конечномерны, и
V(X) есть их прямая сумма; множество весов модуля V(X)
устойчиво относительно W и содержится в X — Q+. Старший
вес Я имеет кратность 1. Характер
где суммирование ведется по весам модуля У (А,), теперь
представляет собой бесконечную сумму формальных экспо-
экспонент, такую, что . e~*ch V(X) лежит в кольце формальных
степенных рядов, порожденных экспонентами е~а' (i e /).
Определим ре|* условиями p(ft,-)=l (ig/), p|b = O.
Тогда формула для характера (В. Каца) устанавливает, что
для всех X <= Р+
B.1) chV(a.)= Z det(a;)e"<fc+p>/e<» П A-е-Т(в>-
да еV а>0
Когда Я = 0, то chV(A,)=l, и мы имеем формулу знамена-
знаменателя:
B.2)
П A-e-a)m(a)== X det(t»)e"P-P,
a>0 we=W
а, значит, также и
B.3) chV(A,) =
3. АФФИННЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ [7, 11, 13, 25]
Система корней лиевой алгебры Каца — Муди, вообще
говоря, является довольно неуловимым объектом, и в настоя-
настоящее время неизвестно никаких методов систематического
перебора корней и их кратностей. Однако имеется один класс
Аффинные алгебры Ли и модулярные формы
73
бесконечномерных алгебр Каца — Муди, аффинных лиевых
алгебр, для которых система корней может быть описана
явным образом, и, следовательно, формула B.1) для харак-
характера и формула B.2) для знаменателя могут быть исполь-
использованы, чтобы получить явные тождества.
Аффинные алгебры Ли могут быть охарактеризованы раз-
различными способами: как бесконечномерные алгебры Каца —
Муди, все корни а которых удовлетворяют условию (а, а):=*0,
или равносильным образом как такие же алгебры, но опреде-
определенные аффинными матрицами Картана, т. е. матрицами А,
которые удовлетворяют условию (С1) и условию
(С2') det (Л) = 0, и все собственные главные миноры
матрицы А больше 0.
Пусть R — неприводимая конечная система корней, ось ...
..., а;—ее базис, и пусть —ао — старший относительно этого
базиса корень. Пусть а*/ = (аУ, а/). Тогда А = (а*/)о <», / < i
является аффинной матрицей Картана, и, значит, такой же
оказывается и ее транспонированная матрица 'Л; и такими
матрицами исчерпываются все аффинные матрицы Картана.
Для описанной матрицы А, где R — система корней конеч-
конечномерной простой алгебры Ли д, как и в § 1, аффинная
алгебра Ли g (А) может быть сконструирована следующим
образом. Пусть L — С [t, t~l] — кольцо Лорана многочленов
от одной переменной. Образуем L(g) = L®cg. Это —беско-
—бесконечномерная алгебра Ли, которая может быть отождествлена
с алгеброй Ли полиномиальных отображений С* -f- g (при
этом элементу X *' ® xi из ^ C) соответствует отображение
г-* X zi*i)- Для *=Z^®*i» У=И1'®У/ определим
(х, y)t = Y. tl+i {х,, у,) el, и пусть (х, у) обозначает свобод-
i,i
ный член в (х, y)t. Тогда (х, у) — инвариантная билинейная
форма на L(g).
Эта алгебра L(g) на самом деле изоморфна алгебре
д'(Л) по модулю своего A-мерного) центра с. Чтобы по-
построить д'(Л) из L(g), мы должны, следовательно, построить
одномерное центральное расширение, что осуществляется
следующим образом. Как можно убедиться, функция
ty(x,y)=Rest{dx/dt,y)t на L(g) является 2-коциклом со
значениями в С. и, следовательно, определяет центральное
расширение Z(g) алгебры L(g), и ?(д) изоморфно алгебре
й'(Л). Ясно, что ?(д) = 2,(д)ф с, где с= С с, и что умножение
задается равенством [х -f- Хс, у + \ic] = [х, у] -f- if (x, у) с
; Я, |is:C).

74 И. Дяе. Макдональд
Аффинная алгебра <8 = д(А) после этого получается до-
добавлением к ?(д) дифференцирования d, которое действует
на L(g) как на td/dt и которое убивает с. Иначе говоря,
© = ?(g)®b, где b = <C.d, а умножение задается равенством
[х + Ы,у + уА\ = [х, у] + Ыу — цйх (х, у е L(g); X, ц е= С.).
Не все аффинные алгебры Ли построены этим способом
(получено около половины их). Остальные получаются раз-
разновидностью изложенной конструкции, в которой, как и
раньше, исходят из простой алгебры Ли д, но уже с учетом
автоморфизма о графа алгебры д, имеющего, скажем, по-
порядок k (так что k— 1, 2 или 3). Пусть со — первообразный
корень &-й степени из единицы, и для произвольного fieZ
пусть через д„ обозначено множество таких х <= д, что а(х) =
= фпх (таким образом, д„ зависит только от вычета п по
модулю k). Вместо L(g) мы образуем L(g, а)= ф /* ® д„;
заключительная часть построения остается неизменной. Если
д — алгебра типа X, где X является одним из символов Ап,
Вп, ..., С/2, то так сконструированная аффинная алгебра Ли
называется алгеброй типа Х(*>.
Чтобы упростить изложение, мы сосредоточимся на аф-
аффинной алгебре Ли ® = д(А), для которой &.= 1 (т. е.
?()L(a))
.°)=L(a)).
Система корней. Нам будет удобно так нормализовать
билинейную форму (х, у) на 9, чтобы | Oq I2 = 2 (где —oq —
старший корень). Для этого мы определим стандартную ин-
инвариантную билинейную форму {X, Y) на © = L(g)®c©b
следующим образом: если X = х + Хс + yd, Y = y + X'c +
4- \n'd (x, y<~L (g); X, \i, %', \i' г С), то
(X, Y) = (x, у) + Хц'+ Х'ц.
Мы отождествим алгебру g с подалгеброй 1®9 алгебры ©.
Тогда ф = 1}фс©Ь — подалгебра Картана алгебры ©. Огра-
Ограничение формы (X, Y) на § невырождено, поэтому оно оп-
определяет изоморфизм ш: ¦§->§* и билинейную форму (К, \i)
на ф*. Каждое Я,е^* мы рассматриваем как линейную форму
на Ф, полагая X(с) = X(d) = 0. Пусть •у = (о(с0> 6 = ©(с).
Тогда Y(c) = 6(d)=l, y(cQ = 6(c) = 0, и Г = ^*фС\фСб.
Мы имеем
п,
где neZ и Я,е/?и {0}, причем пара @, 0) исключается.
Так как d действует на /"®9я, умножением на п, то, сле-
следовательно, корнями алгебры © относительно подалгебры &
являются пб + a (aeZ, aefi) и «6(«eZ, n ф 0). Мы
Аффинные алгебры Ли и модулярные формы
75
имеем (пб + а, пб + а) = (а, а) > 0, поэтому корень пд + а
вещественный, а корень пб (п Ф 0) мнимый (поскольку
(б, 6) = 0) и кратность каждого из них равна I.
Пусть S обозначает систему корней алгебры © относи-
относительно §. Простые корни суть а{, = щ A ^ i ^ /) и а0 = б + ар.
Так как | cto |2 = 2, то аУ = 6 + оУ. Мы имеем ht = ©-' (aY)
(l^.i^.1) и полагаем Ло = ©-'(ао/) е ф. Положительными
корнями aeS+ являются
C.1) (я— 1)б + а, яб —а, пб (я> 1, a s /?+).
Группа Вейля. Пусть Й? обозначает группу Вейля алгеб-
алгебры ®, порожденную отражениями wai @ ^ г ^ /) из ^*. Так
как (а,, б)= 0 для всех i, то мы видим, что Й? оставляет на
месте б. Мы можем следующим образом реализовать W как
«аффинную группу Вейля». Во-первых, посредством автомор-
автоморфизма со действие группы W на ф* может быть перенесено на
,§; группа не меняет с, и поэтому она действует на веществен-
вещественном векторном пространстве V = §r/Rc, где ?>r порождается
элементами hi, ..., hi, с, d. Так как 6(с) = 0, элемент б
может рассматриваться как вещественная линейная форма
на V, и легко проверить, что каждая аффинная гиперпло-
гиперплоскость вида б = const из V устойчива относительно W. В ча-
частности, пусть через Е обозначена гиперплоскость б = 1 из
V; корни а е S могут рассматриваться как линейные функ-
функции на V, а значит, как аффинно-линейные функции на Е;
и на самом деле W действует на Е как аффинная группа
Вейля, порожденная отражениями от гиперплоскостей
а,-(*)= 0 @<;< I) из Е, как и в [23].
Для каждого вещественного корня а = пб -f- a элемент
доа_в°доа есть композиция отражений от двух параллельных
гиперплоскостей из Е, и значит, является переносом, а именно
х -*¦ х + со (aV). Подгруппа группы W, оставляющая на
месте точку хо е Е, определенную системой a,(xo) = O A^
^i^/), может быть отождествлена с (конечной) группой
Вейля W алгебры д, а Й? является полупрямым произведе-
произведением группы W и группы переносов Т, изоморфной решетке
M=2Za/. Для каждого цеМ пусть через /цеГ обо-
значается соответствующий перенос, так чтобы г^(х)= х -{•
+ со-' (ц) на Е. Действие отображения t^ на ^* задается
следующей формулой:
C.2) tv.(v) = v0 + nVL + nv + -±r(\vf-\v° + n\i\2)&,
где п = (о, 6)^=0, а о0 есть проекция элемента о = ф* на ^*.

76
И. Дж. Макдональд
Модули со старшим весом. Пусть Р (соответственно P+J
обозначает множество таких Хеф*, что X.(ft,)eZ (соответ-
(соответственно N) для 0 ^ i <: /, и пусть для каждого he P+ через
V(A.) обозначен простой ©-модуль со старшим весом X, как
и в § 2. Множество весов модуля V(K) есть ^-инвариантное
подмножество в Р, а конгруентные относительно Й? веса
имеют одинаковую кратность. Если ц есть вес, то весам будет
и ц — пб для любого целого я ^ 0, так что веса распреде-
распределяются по «цепочкам».
Будем говорить, что вес ;х модуля V(\) максимален, если
ц + б не является весом. Например, X — максимальный вес.
Множество Мах (Я,) максимальных весов устойчиво относи-
относительно Й? (поскольку ^ не изменяет б) и является объеди-
объединением конечного числа Й?-орбит. Для каждого веса ;х су-
существует единственное целое п ^ О, такое, что \i-\-n8 мак-
максимален.
Центральный элемент с действует на V(X) как умноже-
умножение на целое положительное число m = Х(с) = (Л., б), назы-
называемое уровнем веса Л.. Мы имеем ц,(с) = /и для всех весов
модуля V{X), и /и = 0 в том и только том случае, когда
А, = 0.
Формула для характера. В § 2 мы рассматривали выра-
выражения е% как формальные экспоненты. Теперь мы будем
с ними обращаться как с функциями на ф, определенными
равенством е%\К) = ехр —2niX(h).
Пусть ф+ обозначает множество таких йеф, что б (Л)
лежит в верхней полуплоскости Ж = {х -\- iy е С.: у > 0}.
Поскольку каждый вес Л. е Р+, характер модуля V{X) и ряды
абсолютно сходятся для всех h e §± и определяют голоморф-
голоморфные функции на этом полупространстве. Определим ре§'
посредством условий (р, а,) = 1 (O^i^/), p(d) = (p,7) = О,
Формула для характера B.3) принимает вид тождества
C.3) ch V (X) = J (к + р)// (р),
связывающего голоморфные функции на §+. Формула зна-
знаменателя B.2) принимает вид
C.4) / (р) =¦ еР П A - qnY П A - qn~le~a) A - ? V),
n-l a>0
где <?=е~~в, с учетом описания C.1) положительных корней.
Аффинные алгебры Ли и модулярные формы
4. СПЕЦИАЛИЗАЦИИ ФОРМУЛЫ
ЗНАМЕНАТЕЛЯ [13, 16, 19, 20, 23]
Напоминаем, что т]-функция Дедекинда — это функция
77
где q = ехр 2шт итеЖ
Пусть а—автоморфизм конечного порядка m простой ал-
алгебры Ли д. Предположим, что характеристический полином
det(X — а) имеет целые коэффициенты; тогда он является
произведением круговых полиномов и поэтому может быть
однозначно представлен в виде
где каждое ег равно ± 1, все т1 делят т и ? е?/иг = dim g.
Каждый такой автоморфизм а приводит к двум тождествам
для т]-функций (которые могут совпадать): первое дает раз-
разложение в степенной ряд для Ц ц (т^), а второе — разло-
разложение в степенной ряд для Дт] (mjlx\et.
В частном случае, когда а — внутренний автоморфизм
Ad (ехр 2ш7г), где Ае^, первое тождество получается путем
оценивания обеих частей формулы знаменателя C.4) при
h + xd, а второе — оцениванием при т/г -f- xd.
Простейший случай тот, в котором о — тождественный ав-
автоморфизм. Тогда оба тождества совпадают и выражают
T](T)dim9 в виде степенного ряда от q. Когда д = з1B, С), это
оо
формула Гаусса и Якоби для ,ЦA —qnK-
Другой пример получается, если взять в качестве h эле-
элемент из I, определяемый равенствами а,-(/г)= 1 (l^i^/).
Тогда характеристический полином автоморфизма а=
= Ad (ехр 2ш7г) есть {Хт—1)' (где т = 1 + число Кокстерз
для д); здесь опять оба тождества совпадают и представляют
ц(х)' в виде степенного ряда от q. Когда д = з1B,С), это
разложение Эйлера для ЦA—qn) («теорема пятиугольных
чисел»).
б. ТЕТА-ШУНКЦИИ И СТРУННЫЕ ФУНКЦИИ
Числитель и знаменатель формулы для характера C.3)
могут быть представлены как знакочередующиеся суммы тета-
функций путем суммирования сначала по подгруппе перено-

78
И. Дж. Макдональд
сов Т группы ffi, а затем по конечной группе Вейля W. Для
каждого veP через v°eP пусть обозначается проекция на
I)* веса v. Если вес veP таков, что (v,б) = п > О, то из C.2)
следует, что
E.1)
где для любого ji
имеет место
E.2) %.m
Ряды E.1) и E.2) абсолютно сходятся на ф+, а в^т — клас-
классическая тета-функция, зависящая только от (х по моду-
модулю тМ. Используя E.1), мы вычисляем, что для Х,еР+
имеет место
P и любого положительного целого
= ехр
где /тг = \(с)—уровень веса К (являющийся неотрицатель-
неотрицательным целым) и g = p(c). Следовательно, мы получаем
E.3)
где
E det(a»)e,
w<=W
[Я + рР [Pi2
2(m + g) 2g '
(Здесь, кстати, I p |2/2g = l/p~ (с) равно величине -^
на основании «странной формулы».) Формула E.3) напоми-
напоминает формулу для характера Вейля A.5), за исключением
того, что экспоненты здесь заменены на тета-функции.
Теперь мы выведем другое представление для характера
chV(A,). Если число тц(|л) = dim VCk)» — кратность веса ц,
то имеем
S
це=Мах(Х)
-п6)е
limodr
E
п>0
Аффинные алгебры Ли и модулярные формы
79
поскольку веса \i — nd и / (\i — пб) = t {ц) — п& имеют оди-
одинаковую кратность. Используя E.1), мы получаем
E.4) в""'** ch V (; ~
М.^Мах(Я.)
- ц mod Г
", т>
где величина
E.5)
зависит только от
Я, и |i°, a
v_ I?- + Pl2
l|j|a
2т
Величины с?„ называются струнными функциями: они яв-
являются функциями от т = б(Л), голоморфными на верхней
полуплоскости Ж. Если vsP не является проекцией на %*
никакого веса модуля V (Я.), то полагаем с^ = 0. Значит,
с? определено для всех veP, н с? = с^(„, Для дое WlXmAf.
Из E.3) и E.4) следует, что
= у
v e PlmM
Стоящие в правой части формулы E.6) тета-функции 8V, m
линейно независимы, и поэтому струнные функции с* опре-
определяются соотношением E.5) однозначно. Закон преобразо-
преобразования для тета-функций приводит, значит, к закону преоб-
преобразования для струнных функций, выражающему величину
t'/2Cv(—1/т)в виде линейной комбинации значений сч>(%), где X'
пробегает в Р+ элементы уровня tn, a v' пробегает Р mod шМ.
Отсюда следует, что г\ (т)Шш9 с*(т) есть параболическая форма
веса j\R\ для группы V (Nm)f\T {M {m +g)), где N — наи-
наименьшее целое положительное число, такое, что y
для всех цеЯ Эти факты позволяют в принципе вычис-
вычислить струнные функции для любого модуля V (Я) со старшим
весом.
6. ПРИМЕРЫ
(а) Базисное представление [7, 16, 17, 18]. Кац и Петер-
сон в [18] дают много примеров, в которых струнные функ-
функции определены явно (как линейные комбинации произведе-
произведений т)-функций). Здесь мы рассмотрим только простейший

80
И. Дж. Макдональд
случай. Предположим, что все корни осе/? имеют одинако-
одинаковую длину (так что R — система типа A, D или Е). Опреде-
Определим фундаментальные веса \t условиями К (Л,) = б</, Xi(d)=O
(так что Хо = у). Тогда все веса leF+ уровня Х(с)= 1 со-
сопряжены с у при помощи автоморфизмов системы S+ поло-
положительных корней алгебры @. Максимальные веса «базис-
«базисного представления» V—V{y) заполняют отдельную ор-
орбиту ty-y, значит, все струнные функции с* для X, уровня 1
равны. Этой общей струнной функцией с(т) является функ-
функция вида
где q = e2nix и ао = 1. Следовательно, функция ц(хIс(х) яв-
является SL2(Z)-инвариантной, голоморфной и равной 1 при
i°°; а значит, она есть тождественная единица, т. е. с(т) —
= г)(т)-'. Поэтому характер модуля V есть
F.1)
м.—;r I
где ф(Х) = Ц A — Хп). Простота этой формулы подсказы-
1
я1
вает, что должно найтись простое явное построение ©-мо-
©-модуля V; такая конструкция недавно найдена Френкелем и
Кацем, и она вскрывает замечательную связь с некоторыми
понятиями (вершинные операторы, дуальные резонансные
модели) из физики элементарных частиц.
(Ь) Фантазии на тему монстра [3, 15]. Как ив (а), пусть
g — алгебра типа A, D или Е, и пусть через V обозначено
базисное представление алгебры ®. Для каждого целого п^О
пусть через Vn обозначено подпространство в V, на котором
d действует как умножение на —п, так что V'„ является сум-
суммой весовых пространств VV» для которых \i(d) =—п. Каж-
Каждое Vn является конечномерным g-модулем, и, таким обра-
образом, V = ф Vn может рассматриваться как градуированный
g-модуль. Из F.1) следует, что ряд Пуанкаре для V как
градуированного g-модуля есть
? ', q),
где q = e2nix, a Q(M, q)= E <711Л —тета-ряд решетки М
(в качестве которой здесь взята решетка Q корней, поскольку
а = av для всех ае^). В случае, когда g — алгебра типа ?8,
мы получаем
Аффинные алгебры Ли и модулярные формы
8!
где / (q) = q~l + 744 + 196884? + . •. — модулярный инвари-
инвариант на основании известных его свойств.
В [3] Конвей и Нортон высказывают предположение, что
должен существовать такой градуированный модуль Н =
==z Е Нп. Для простой группы М (монстра), что
Я-1 Е dim (Hn)qn = j(q),
>0
а в более общей форме такой, что для каждого элемента
аеМ «ряд Томпсона»
Te = q-1 E trace (a, Hn)qn
>0
является нормализованной образующей функционального
поля рода нуль, возникающего из некоторой подгруппы груп-
группы SL2{Z). Они при этом предполагают следующую взаимо-
взаимосвязь между решеткой Лича L и монстром М. Пусть для
каждого автоморфизма а решетки L через L° обозначается
подрешетка неподвижных относительно а точек из L, а через
Q(LC, q)—ее тета-ряд. Тогда должен существовать такой эле-
элемент оеМ, что
F.2) Г„ = <7
В [15] Кац показывает, что в действительности верен
аналог формулы F.2), в котором решетка Лича L заменена
решеткой корней М, а группа Конвея — группой Вейля W.
Пусть G — односвязная комплексная группа Ли с g в каче-
качестве алгебры Ли. Тогда действие алгебры g на каждом Vn
может быть «проинтегрировано» до G-действия. Каждый эле-
элемент oef порядка m может быть поднят до элемента
ое G порядка 2т, и Кац показывает, что
оо
Е trace (a, VJqn*=e(M°, q) 1Л det(l - qaa),
i.0 / n = l
в полной аналогии с предположением F.2).
(с) Роджерс — Рамануджан [21]. Пусть г = ©-1
)
и пусть т <
мы имеем
у у
(верхняя полуплоскость). Для любого

82
И. Дж. Макдональд
Аффинные алгебры Ли и модулярные формы
83
что по формуле для знаменателя (8.2) раскладывается на
множители
/ (X + р) (тг) = <г(р> *+р> П A — фа- Х+Р>)т(а),
a<sS+
где q = e2nH. Следовательно,
F.3) ch V (А.) (тг) = ,/-<».» П+( ^^.р) ) •
Применим эту формулу, когда g = з!B, С), а X имеет уро-
уровень 3, так что (с точностью до изоморфизма) Х = ЗХ0 или
2Я,о + Я,1. Поскольку р = Хо + ^i» произведение в F.2) легко
вычисляется; мы находим
F.4) е-
когда Я = ЗЯ,0, и
F.5) е-хсЫ
П (I - 42") A - т5"-1) A - 95"-4
га=1
когда \ = 2Х0-\-\1. Теперь, если игнорировать множитель
JJ A —<72п~1)~ , правые части в равенствах F.4) и F.5) яв-
ляются тем, что входит в тождества Роджерса — Раману-
джана:
F.6)
F.7)
1
— h A -</)... (l~qm) '
по -
В различных обобщениях этих тождеств произведения в од-
одной из сторон могут быть приведены к такому же виду за
счет надлежащего выбора старшего веса X. Это наводит на
мысль, что должна найтись возможность доказательства фор-
формул F.6) и F.7) (и их обобщений) путем построения и изу-
изучения модулей V(k); и вот недавно такое доказательство
было найдено Деповским и Вилсоном [21].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Adler M., van Moerbeke P. Completely integrable systems, Kac —
Moody Lie algebras and curves, Adv. in Math. 36A980), 1—44.
[2] Adler M., van Moerbeke P. Linearisation of Hamiltonian sistems, Ja-
cobi varieties and representation theory, Adv. in Math. 38A980), 318—
379.
[3] Conway J. H., Norton S. P. Monstrous moonshine, Bull. LMS 11A979),
308—339.
[4] Demazure M. Identites de Macdonald, Sem. Bourbaki 483 A976). [Рус-
[Русский перев. см. наст. сб. стр. 7—17.]
[5] Feingold A., Lepowsky J. The Weyl — Kac character formula and po-
power series identities, Adv. in Math. 29A978), 271—309.
[6] Frenkel I. B. Orbital theory for affine Lie algebras, Inv. Math, 77
A984), 301—352.
[7] Frenkel I. В., Kac V. G. Basic representations of affine Lie algebras
and dual resonance models, Inv. Math. 62A980), 23—66.
[8] Garland H. Dedekind's Tj-function and the cohomology of infinitedlmen-
sional Lie algebras, PNAS 72A975), 2493—2495.
[9] Garland H. The arithmetic theory of loop groups, preprint.
[10] Garland H., Lepowsky J. Lie algebra homology and the Macdonald —
Kac formulas, Inv. Math. 34A976), 37—76.
[11] Кац В Г. Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конеч-
конечного роста, Изв. АН СССР, Серия матем., т. 32, № 6A968), 1323—
1367.
[12] Кац В. Г. Бесконечномерные алгебры Ли и г\ -функция Дедекинда,
Функцион. анализ и его прил., т. 8, вып. 1 A974), 77—78.
[13] Kac V. G. Infinite-dimensional Lie algebras, Dedekind's T|-function,
classical Mobius formula and the very strange formula, Adv. in Math.
30A978), 85—136.
[14] Kac V. G. Infinite root systems, reprensentations of graphs and inva-
invariant theory, Inv. Math. 56A980), 57—92.
[15] Kac V. G. An elucidation of «Infinite-dimensional algebras ... and the
very strange formula» EeA) and the cube root of the modular invariant
j. Adv. in Math. 35A980), 264—273.
[16] Kac V. G., Peterson D. Affine Lie algebras and Hecke modular forms,
Bull. AMS (New Series) 3A980), 1057—1061.
[17] Kac V. G., Peterson D. Infinite-dimensional Lie algebras, theta func-
functions and modular forms. Advances in Math., 1984, 53, 125—264.
[18] Kac V. G., Kazhdan D. A., Lepowsky J., Wilson R. L. Realisation of
the basic representations of the Euclidean Lie algebras, Adv. in Math.
42A981), 83—112.
[19] Lepowsky J. Macdonald-type identities, Adv. in Math. 27A978), 230—
234.
[20] Lepowsky J. Generalised Verma modules, loop space cohomology and
Macdonald-type identities, Ann. Scient. ENS De serie) 12A979), 169—
234.
[21] Lepowsky J., Wilson R. L. A Lie-theoretic interpretati n and proof of
the Rogers — Ramanujan identities, preprint.
[22] Looijenga E. Root systems and elliptic curves, Inv. Math. 38A976),
17—32.
[23] Макдональд И. Г. Аффинные системы корней и г|-функция Дедекинда,
Математика, т. 16, № 4A972), 3—49.
[241 Moody R. V. A new class of Lie algebras, J. Alg. 10A968), 211—230.
[251 Moody R. V. Euclidean Lie algebras, Can. J. Math. 21A969), 1432—
1454.
[26] Slodowy P. Cheyalley groups over C((t)) and deformations of simply
elliptic singularities, RIMS Kyoto University, Japan, 1981.

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АФФИННЫХ АЛГЕБР ЛИ:
ПРИЛОЖЕНИЯ К НЕКОТОРЫМ ПРОБЛЕМАМ ФИЗИКИ1)
[по Е. Дейту, М. Дзимбе, М. Кашиваре, Т. Миве]
Жан-Луи Вердье
Высшая Нормальная Школа,
Математический центр, Париж, Франция
1. ВВЕДЕНИЕ
Недавние работы позволили установить связи между тео-
теорией алгебр Каца — Муди и их обобщений [6], теорией ду-
дуальных моделей взаимодействий между полями или части-
частицами [9], теорией эволюционных нелинейных уравнений, та-
таких, как уравнения Кадомцева — Петвиашвили (К. П.) или
Кортевега —де Фриза (КдФ) [2].
В теории дуальных моделей естественным образом воз-
возникают дифференциальные операторы бесконечного поряд-
порядка, действующие на функциях, интерпретируемых как сред-
средние значения по вакууму. Алгебры Ли, порожденные этими
операторами, являются бесконечномерными, и, таким обра-
образом, мы получаем, например, представления алгебр Ли век-
векторных полей на S1. В [7] на основании других предше-
предшествующих работ [8] показывается, что с помощью таких
операторов можно реализовать фундаментальное представ-
представление аффинных алгебр Ли.
Существуют другие способы реализации этих представле-
представлений, а именно в случае алгебр типа А(п эти представления
можно реализовать в пространстве Фока операторами Клиф-
Клиффорда. Эта реализация имеет то преимущество, что она легко
поднимается до подходящей группы G. Когда мы распола-
располагаем сплетающими операторами, мы можем описать действие
группы G на алгебре полиномов или на подходящем попол-
пополнении этой алгебры. Функции %g = g-\ для g^G обладают
замечательными свойствами. Они позволяют решить уравне-
уравнения К- П. или КдФ и описать солитонные решения этих урав-
уравнений [2]. Эти функции являются формальными аналогами
функций 9 на якобианах кривых [1].
Таким образом, речь идет о разделе формальной теории
некоторых систем нелинейных дифференциальных уравнений
Представления аффинных алгебр Ли
85
') Verdier Jean-Louis. Les representations des algebres de Lie affines:
applications a quelques problemes de physique [d'apres E. Date, M. Jimbo,
M. Kashiwara, T. Miwaj. Seminaire Bourbaki, 34-e annee, 1981/82, № 596,
1—13.
© Revue Asterisque, 1982
в частных производных. Необходимо лучше понять порази-
поразительный факт появления (скрытых) симметрии, порождаю-
порождающих группу Каца — Муди.
Наконец, отметим, что алгебры Каца — Муди возникают
и в других разделах физики, в частности в теории гравита-
гравитации или супергравитации [5] и в теории калибровочных по-
полей [10].
При подготовке этого обзора обсуждения с А. Дуади,
Ж--Л. Жерве, П. Лошаком, А. Неве, М. А. Семеновым-Тян-
Шанским помогли мне выяснить некоторые моменты.
2. АЛГЕБРА gl(oo)~
Обозначим через gt(oo) множество матриц (ак, i)k
с коэффициентами из С, и через
B.1) eM = F(fc, i).6(l, /)),,,
элементарные матрицы. Положим
B.2) gt(oo) ={(afc,,)€=gt(oo)|3r, такое что ak,t = 0
для | k — 11 > г},
B.3) gl (оо), =, {(aA, ,) е= (jf(o7) | (к, I) ь-* {ак,,) с конеч-
конечным носителем}.
Элементами в f)t(oo) являются, таким образом, бесконечные
матрицы с носителем, лежащим в диагональной полосе.
Произведение матрицы X = (ak. /)е jjl(oo) на У = F4л)е
е gl(oo) определяется обычным способом:
B.4)
Г XY = (ck,d,
\ Ck, I — S ак, рЬр, и
причем gt(oo) есть С-алгебра, а 9И°°) есть дЧ°°)-модуль.
Для i e Z полагаем
B.5)
B.6)
hi = Z1 е„, n+i,
ne=Z
f J= E e(t)e<.i, где
I iZ
— 1, если /^ О,
+ 1, если i < О.
Подпространство ^ является коммутативной подалгеброй
алгебры gl(oo). Если X е gl (оо), Х = {акл1) и УедЦоо),

86 Ж.-Л. Вердье
Y = (&fc./)> то матрица J[X, Y] обладает следом. Положим
B.7) В (X, Y) = i- Tr (/ [X, П) = Т Z (е (&) - е
<- *'
*.
В этих условиях мы определим расширение алгебры Ли
gl(oo) и д!(оо)-модуля gl(°°)i полагая
B 8) Г 9Ч°°Г = ^М©Сс,
I вН~Г = вЧ~) Ф Сс
и определяя скобку [ ]~ следующим способом:
B.9)
с — центральный элемент;
[X, УГ = [Х, Y]®B(X, Y)c_
для Ieg((oo) и У <=gl(
Алгебра gt (oo)"" является центральным расширением алгебры
gt(oo), и можно показать, что это расширение нетривиально.
Подалгебра gt(oo)f~ = g((oo)f®Cc есть центральное триви-
тривиальное расширение алгебры gl(°o)f. Положим
B.10) ?=$фСс.
Это — подалгебра Ли алгебры gt(oo)~", называемая подал-
подалгеброй Гейзенберга. Мы имеем
B.11) [ht, h,r=i6(i, ~j)c.
Теперь мы определим формальный ряд от (р, р~\ q, q~l)
с коэффициентами из д((оо)~, полагая
B.12)
Имеем
B.13)
е(р, q)=
k, m
pkq-m(pq-1 - \))-
[Alf e(p, q)\~ = {pi-qi)e{p, q).
c
3. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АЛГЕБРЫ дЧ°°)~
Пусть С [Хи Х2, ..., Хп, ...] — алгебра полиномов от бес-
бесконечного множества переменных №),-eN. и С [[Xlt Х2, ¦ ¦ •]] —
пространство соответствующих формальных рядов. Для
/еС [[Хи Х2, ...]] положим
(ЗЛ)
J = (-n)X_J, n<0,
V =0.
Представления аффинных алгебр Ли
87
Имеем
C.2) [Л„, AJ = j
таким образом, что, полагая
C.3)
, т)Ы,
мы определим представление р алгебры f в С\Х\,Х2, ...]'
(см. 2.11). Непосредственно заключаем, что это представле-
представление неприводимо.
Лемма 3.4. Пусть А: С[Хи Х2, ...]-> С [[Хи Х2, ...]]- та-
такое С-линейное отображение, что
[Ап, А] = КА для п>0,
[ЛП) Л] = ц_„Л для п<0.
Тогда
C.5)
C.6) . А= Аое ' е ' ' ""', ЛоеС.
Обратно, оператор C.6) обладает свойствами C.5).
Элементарное доказательство предоставляется читателю.
Теперь определим формальный ряд от р, p~l, q, q-\ коэффи-
коэффициенты которого являются операторами, полагая
C.7)
С д 1 д 1 д \
— КдХГ' 2 дХг п дХп ' ¦¦•)'
я)о-
Z.
Тогда на основании 3.4 мы имеем
C.8) [А„ X (р, q)] = {р1 - ql) X (р, q), i
Оператор Х(р, q) переписывается так:
C.9) X (p, q) = S Z*. г (X, 3) pV' A - qp~l) + Id.
ft. г
Простая проверка позволяет доказать следующую лемму.
Лемма 3.10. 1) Операторы Zk,i{X,d) суть дифференци-
дифференциальные операторы бесконечного порядка с полиномиальными
коэффициентами. В частности, они переводят полином в по-
полином.
2) Пусть Р^ С [Xi,X2, ...]—полином. Существуют два
таких целых числа k{P)^0 и 1(Р)^0, что гк.1(Х,Ъ)(Р)=0
для k<k(P) или />/(Р).

88
Ж. -Л. Вердье
Представления аффинных алгебр Ли
89-
Мы будем говорить, что представление р алгебры gt(oo)~
или 9И°°)Г в векторном пространстве V допустимо, если
для любого oeF существуют два таких целых числа k(v)
и l(v), что для любой матрицы (aft,;) е gt(oo), носитель ко-
которой содержится в области {(/г, l)\k<k(v) или l>l(v)},
имеет место равенство р ({aki ;)) а = 0. Ограничение на g((oo)f
допустимого представления алгебры д((оо)~" допустимо.
Любое допустимое представление алгебры gf (oo)f~ допускает
единственное допустимое продолжение на д((оо)~.
Предложение 3.11. Существует одно и только одно допу-
допустимое представление р алгебры д((оо)~" на С [Xlt Хъ ...],
такое что
Положим У+ =
C.12)
Положим
C.13)
р(с) = Id,
д).
iX.(q) = »
0 в противном случае.
далее для любой пары (k, /) E Z X Z положим
C.14) Zk. t (X, д) = Zk, i (X, В) + Y_ (k) 6 (k, I) Id,
где
C.15) Y_(k) =
Тогда имеем
C.16) Х+ (р) Х_ (q) = S Zk, г (X, д) pkq~l.
Далее с помощью вычислений можно показать, что
[Zk,h Zm,J = 6(/, m)Zk.n-6(n, k)~ZmA.
Используя C.14) и B.9), мы обнаруживаем теперь, что со-
соответствие е*. ;b-»Zft, / определяет представление алгебры
gt(oo)f, которое на основании 3.10 допустимо и которое, стало
быть, продолжается на gt(oo)~. А тогда выполняется и C.12).
Представление, описанное в предложении 3.11, называется
фундаментальным представлением алгебры gl(<x>)~.
4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ШОКА
Пусть V= фСф„ и V* = фСфл — два векторных про-
странства, двойственных относительно формы
n<0
;, V
n<0
Снабдим пространство F=VQ)V* квадратичной формой
D.2) Q((x, «)) = (*, и).
Обозначим через р симметричную билинейную форму на Fr
такую что Q(ш) = р {w, w), !»eF; имеем
D.3)
,0), @, ^))=|
Обозначим через А алгебру Клиффорда пары (F, Q) (ал-
(алгебра свободных фермионов). Билинейное отображение
VXV*—»-А, которое ставит в соответствие элементу (v,v*)
произведение в А: (о, 0) • @, v*), отождествляет V ® V* со-
своим образом, обозначаемым через g(V, V*), который явля-
является подалгеброй Ли в А.
Положим
D.4) q(V, V')~ = C
это — подалгебра Ли в А.
Группа G(V, V')~~ обратимых элементов geA, таких
что gVg~1 = V и gV*g~l = V*, есть группа, соответствующая
алгебре Ли g {V, V*)~. Группа G(V,V*)'~ действует посред-
посредством внутренних автоморфизмов на Vcz А. Группа авто-
автоморфизмов пространства V, к которой мы обращаемся, обо-
обозначаемая через G{V, V*), есть группа GL{V)(](ld-\- V*<S> V).
Значит, имеется точная последовательность
D.5) 1 -> С* -> G (V, VT -*- G {V, V*) -> 1.
Положим
Таким образом, мы получаем два взаимно дополнительных
изотропных подпространства в F, которые двойственны отно-
относительно формы р. Положим далее
D.7) #- = Л№сге, T' = KWm.
Таким образом, мы получаем два пространства, двойствен-
двойственные относительно формы f$: если веГ и 6е^", то чере»
<а|Ь> мы обозначаем их скалярное произведение. Вектор.
1еС=Л°№сге, равно как и leC. = A°Wan, обозначается-
через vac и называется вектором вакуумного состояния. Эле-
Элементы а и Ь из ЗГ* и ЯГ соответственно чаще обозначаются»
через <а| и |6>.

90
Ж.-Л. Вердьв
Представления аффинных алгебр Ли
91
Пусть для aef через аСГе и аап обозначаются его состав-
составляющие из l^cre и Wan соответственно. Для произвольного
ie^" положим
где внутреннее произведение определяется при помощи р.
Эти операции распространяются на алгебру Клиффорда
А, и, таким образом, мы определяем на У структуру левого
А-модуля. Таким же способом мы определяем на ЗГ* струк-
структуру правого А-модуля, которая является присоединенной
к предыдущей. Для а е &г*, Ь е SF и geA комплексное
число
D.9)
(a\g\b),
таким образом, вполне корректно определяется как резуль-
результат спаривания элемента (a\g с |6>, или, что совершенно
то же, спаривания элемента <а| с g\b}. В частности, число
D.10)
(vac\g\ vac)
называется средним значением элемента g no вакууму.
А-модули @~ и &~* просты. А-модуль #" называется про-
пространством Фока. Векторы <vac| и |vac> являются образую-
образующими этих модулей.
Предложение 4.11. Единственное линейное отображение
¦ г: вИ«»)Г-*А.
такое что
D.12)
r(c) =
)
для (ш, n)<=ZXZ,
есть изоморфизм лиевых алгебр алгебры gJ (oo)f на g(V, V*)".
Представление р алгебры gl(oo)^ на вГ, которое отсюда
выводится, допустимо.
Предложение является непосредственным следствием того
факта, что имеет место равенство
D.13)
(vac | фтг|з* | vac) = б (т, п) Y_ (m),
где У-(т) определено в C.15).
Представление р допускает единственное допустимое рас-
расширение на %\ (°°)"\ которое по-прежнему обозначается че-
через р и которое называется представлением Фока алгебры,
В частности, для любого / р (Л») (см. B.5)) есть эндомор-
эндоморфизм модуля вГ и для i, / > 0 эндоморфизмы р (А,-) и р (Л/)
коммутируют.
0 р(Л()—локально ниль-
такое го, что
Лемма 4.14. 1) Для любого i
потентный оператор.
2) Для любого | и> е SF существует
p(hi) j u> = 0 для i> i0.
Утверждение 2) вытекает из допустимости представления
р, а утверждение 1) проверяется прямым вычислением ис-
исходя из определения представления р.
Пусть tief. Тогда мы рассмотрим формальный ряд
D.15)
Из леммы 4.14 следует, что этот ряд является полиномом
от переменных Xt с коэффициентами из SF. Следовательно,
выражение
D.16) *V(X) =
есть полином.
Теорема 4.17. Линейное отображение v*-*.%0(X) модуля У
в С[ХиХ2, ...] изоморфно отображает представление Фока
алгебры gt(°°)~ на базисное представление алгебры gt(oo)~.
Для /¦ > 0 имеем
p(A,)I v) = тр(А/)„(X).
Аналогично для / > 0 имеем
jX!xv(X) = (wac\-[h4, e^ ]\v),
а так как (vac|A_/ = 0, то
jX,xv (X) = (vac \el p (h_,) | v > = тр (ft_;) 0 (X).
Значит, отображение v*—*-%v(X) коммутирует с операторам»
алгебры Гейзенберга, и, поскольку модули просты, оно дей-
действительно является изоморфизмом. Чтобы показать, что этот
изоморфизм коммутирует с операторами алгебры gt(oo)~, до-
достаточно, опираясь на формулы C.14), C.15), C.16) и D.12),.

92 Ж.-Л. Вердье
установить, что оператору X+(p)Y-(q) соответствует опера-
оператор 2 ¦фтг1СРт<7""п. Поскольку мы имеем
q-n = Ф (р) Ф* (Ф,
где ^(p)=
D.18)
достаточно доказать равенства
,А 1QN ( ^+ (Р) XV (X) = Тф(рH (X),
Так как при feZ имеет место [Л;, ф (р) ] =р'г|з (р) и [hi, г|з* (<7) j =
= q-'hi, то из 3.4 получается, что ty{p) соответствует опера-
оператору а(р)Х+(р), где а(р) — формальный ряд от р, р-1. Ис-
Используя вектор u=|vac>, мы убеждаемся, что а(р)=1.
Это же справедливо и для ф* (q).
Д. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПОДАЛГЕБРЫ АЛГЕБРЫ gl (<x>)~
Пусть п>0— целое число. Говорят, что элемент g={at,])
из gl(oo) периодический периода п, если имеет место
Множество периодических элементов периода п есть подал-
подалгебра Ли алгебры gl(°o).
Пусть A=(ai,j)—периодическая матрица. Для fteZ по-
положим
Мы получаем, таким образом, последовательность с конеч-
конечным носителем-матриц Лйед1(п). Поставим в соответствие
матрице А полином Лорана
(О.О) /_, Лъ,1 ,
являющийся элементом из gl(n) [T,T~l]. Тем самым устанав-
устанавливается биекция множества периодических матриц перио-
периода п на gl(n) [Т, Г-']. Структура алгебры Ли на gl(n) [Г, Г-1],
индуцированная перенесением структуры, определяется сле-
следующим образом:
@.4) \_L>Akl , 2-iBd J = 2j 2j И*, Й/J j i ,
где через [Ak, Bj] обозначается обычная скобка в gl(n).
Представления аффинных алгебр Ли
93
Теперь мы отождествим алгебру gl(n) [Г, Т~1] с подалге-
подалгеброй периодических матриц периода п из gl(°o). При этом мы
будем рассматривать подалгебру
<5.5) gt (п) [Т, Г"Г = 9* («) [Т, T~l] ® Сс
алгебры gt(oo)~\ Для А и Begt(n)[7\ Г] мы имеем
[А, ВГ = [А, B]
Таким образом, мы получаем аффинную алгебру типа Ж^ [7].
Ограничивая фундаментальное представление алгебры gt(oo)~
на алгебру gt(n)[7\ Г] , мы по существу подбираемся
к фундаментальному представлению алгебры gt(n)[f, Г] :
из ограничения выводится представление в С [Хи Х2, ...
..., X], ...] [ФО (mod я), которое и является фундамен-
фундаментальным представлением алгебры gl(n)[r, Г] [7].
6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Речь идет о бесконечной последовательности уравнений
в частных производных, нелинейных, связывающих бесконеч-
бесконечное число функций U{, ы2 «л, • • • от бесконечного числа
переменных ХиХ2, ..., Хп, ... . Это система уравнений, на-
называемая иерархией Кадомцева — Петвиашвили, или короче
иерархией К. П. [1]. Рассмотрим формальный псевдодиффе-
псевдодифференциальный оператор
<6.1) L(X, д) = д + щд-1 + и2д-2+ .... «5 = -^-
Условимся, что д-1 — обращение дифференцирования д, и,
следовательно, оно переставляется с умножениями на функ-
функции согласно правилам
<6.2)
Значит, для любого п можно подсчитать кратный опера-
оператор Ln(X, д). Это — оператор вида
F.3) Г (X, д) = дп + Рп, 2 (и) дп~2 + ...
где через Pn,m(u) обозначаются полиномиальные выражения
от щ и их производных по Х\.

94
Ж.-Л. Вердье
Обозначим теперь через L+(X, д) дифференциальную
часть в Ln(X,д). Таким образом, в соответствии с обозначе-
обозначениями в F.3) имеем
п
+ ^ п. т
Таким образом, мы имеем L\(X, д) = д, L2+(X, д) = д2-\-2и2
?з+ (х, д) = д3 + Зи2д + 3 (и3 + ди2)
Сформулируем условие, чтобы линейная система уравне-
уравнений относительно функции хю{Хь Х2, ...)
F.5)
дХп
/г=1, 2
обладала бы решением. Для любой пары т, /г!>1 мы по-
получаем равенство между дифференциальными операторами
д .
от
дХ,
F.6)
дХ
¦ 1Л (X, д) - д|- IX (X, д) = [L% (X, д), La+ (X, <?)].
Сравнивая коэффициенты при д? в F.6), мы получаем
нелинейные уравнения в частных производных, связывающие
функции и,-. Эти уравнения образуют иерархию К. П. Так,
например, в случае т = 2, /г = 3 мы получаем два соотно-
соотношения, связывающих м2 и ы3. Исключая и3 и полагая v = «2,
мы получаем уравнение К. П.:
F.7)
3
2 дХ\
дХ1
dv „ dv I dzv \
Частные решения этого уравнения задаются решениями си-
системы
F.8)
дХ2
2Jv_
дХ,
= о,
Второе из уравнений в F.8) есть не что иное, как уравнение
Кортевега — де Фриза (КдФ).
Можно показать [2], что уравнения F.6) эквивалентны
уравнениям
Уравнения F.9) являются эволюционными уравнениями
псевдодифференциального оператора L.
Представления аффинных алгебр Ли
95
Уравнения F.6) или F.9) влекут за собой существование
псевдодифференциального оператора степени 0
F.10) P=l + l 2
такого что
F.11)
F.12)
дХп
где
t = Ln-Ln+.
Существование оператора Р, подтверждающего свойства
F.11) и F.12), равносильно соотношению F.9) или F.6).
Рассмотрим теперь функцию фазы
F.13)
ЦХ, k)=Z
и введем волновую функцию
F.14) w(X, k) =
Имеем
F.15) w(X, k) = (l + Wl(X)k'
Формально сопряженный к Р оператор записывается сле-
следующим образом:
F.16) Р* = 1 + (- д)'1 да,
Теперь положим
F.17)
w'(X,
Знание функции w влечет за собой знание оператора Р
(F.15) и F.10)), а значит, функции w* F.17) и оператора L
F.11).
Предложение 6.18. Функция w(X,k) вида F.15) является
волновой функцией для иерархии К. П. в том и только том
случае, когда для любых X, X' имеет место
F.19) ReSfc^MX, k)w'(X', k)dk) = 0.
За доказательством мы отсылаем к [2].
Вернемся к уравнению К. П. F.7). Известно, что если
сделать функциональную замену
то получится уравнение
F.20)

96
Ж. -Л. Вердье
где P(D) — дифференциальный полином
F.21)
Речь идет об общем явлении. При помощи F.19) показы-
показывается [2], что волновая функция w(X,k) может быть пред-
представлена в виде
1
k
F.22)
¦('-
tffl
где т с точностью до множителя однозначно определено функ-
функцией w(X,k). Соотношениям F.19) тогда можно придать
вид билинейных дифференциальных уравнений относительно
функции т, которые называются билинейными уравнениями
Хироты.
Теперь предположим, что х—полином. Тогда соотноше-
соотношение F.22) с использованием C.13) перепишется в виде
Х^ (k) х (X)
F.23) w(X,k) = +У^Х)К ,
а отсюда выводится
F.24) иГ(Х,к)-Х-{$™.
и соотношение F.19) переписывается в следующем виде:
F.25) Res*»,» (Х+ (ft) х (X) - Х_ (k) х (Г) dk) = 0.
Назовем полиномом типа К. П. любой полином, который
удовлетворяет условию F.25).
Теорема 6.26. Множество полиномов типа К. П. устойчиво
относительно действия алгебры gt (°°)~ в базисном пред-
представлении.
Речь идет о доказательстве того, что для всякого эле-
элемента /negf(oo)~ имеет место
F.27) Res (X+ (k) р (от) т (X) • Х_ (А) т (X') dk) +
+ Res (X+ {ft) х (X) ¦ Х_ (k) p (m) т (Г) dk) = 0.
На основании допустимости представления р C.11) доста-
достаточно доказать F.27), когда me gt(oo)~ либо же когда m
является элементарной матрицей. На основании C.13) и
C.16) достаточно доказать тождество для формальных ря-
рядов относительно р я q:
F.28) Res (Х+ (k) Х+ (р) Х_ (q) х (X) ¦ Х_ (k) т (Г) dk) +
+ Res (X+ (k) x (X), X. (k) X+ (p) X_ (q) х (Г) dk) = 0.
Представления аффинных алгебр Ли
97
Простой подсчет показывает, что первое слагаемое в F.28)
равно
F.29) (9 - р) Х+ (р) х (X) ¦ Х_ (q) x (Г)
и что второе слагаемое противоположно к F.29).
Следствие 6.30. Для любого g<^G(V, V*)~ (п.4) полином
)
glvac)
является полиномом типа К,. П.
Это результат теоремы 4.17 благодаря тому, что 1 есть
полином типа К. П., а любой элемент geG(V, V*)~ лежит
в группе, порожденной матрицами ехрр(/и), где me GI{оо)~
В качестве примера положим для r0^
и возьмем в качестве g элемент вида
Соответствующая функция х(Х, g) по существу является ха-
характером линейной группы [2].
Также и формальный ряд относительно р,-, qi с полиноми-
полиномиальными коэффициентами
х(Х; аи ри qy; ...; aN, pN, qN) = el .1
является полиномом типа К. П. и называется N-солитонным
решением.
Чтобы изучить решения иерархии КдФ, нужно наложить
добавочные связи на общую систему К- П. Таким образом,
если потребовать для целого п выполнение равенства
F.31)
Ll — 0,
т. е. чтобы оператор Ln был бы дифференциальным опера-
оператором, то это влечет за собой
= 0, р = 0 (mod л),
dxt
и соответствующая функция зависит только от переменных
Хь Х2, ..., X/, ... j Ф O(modn). В случае л = 2 мы полу-
получаем иерархию КдФ. В случае п = 3 получается иерархия
Буссинеска.
4 Зак. 506

98
Ж.-Л. Вердье
Представления аффинных алгебр Ли
99
Алгебра Ли д1(л) [7\ Г-1] действует на функциях т, опи-
описывающих решения этих систем. Эти действия поднимаются
до соответствующих групп.
7. ДРУГИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Мы ограничимся их цитированием. С самого начала од-
одной из проблем теории дуальных моделей является доказа-
доказательство того, что все конструируемые состояния имеют фи-
физический смысл (например, масса ^0). Это — проблема от-
отсутствия духов (фантомов). Использование алгебр Ли по-
позволяет упростить эти доказательства.
Иерархия К. П. связана с алгеброй gl(°°)~. Можно по-
построить аналогичные алгебры, используя ортогональную или
симплектическую группу, и определить и решить новые иерар-
иерархии [4], которые в свою очередь связаны, при наложении
ограничений, с классическими аффинными алгебрами.
Можно также заменить присутствующие здесь скалярные
операторы матричными операторами [3].
Наконец, 0-функции якобианов алгебраических кривых
позволяют выразить решения систем К. П. [1]. Точно так же
и для систем, связанных с ортогональной группой, нужно
лишь использовать 0-функции многообразий Прима [2].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Чередник И. В. Дифференциальные уравнения для функций Бейкера —
Ахиезера алгебраических кривых, Функцион. анализ и его прил., т. 12,
вып. 1 A-9781, 45—54.
[2] Date E., Jimbo M., Miwa Т., Kashiwara M. Transformation Groups for
Soliton Equation, R. I. M. S. 394, Kyoto, Feb. 1982.
[3] Date E., Jimbo M., Miwa T. Operator approach to the Kadomstev —
Petviashvili Equation — Transformation groups for Soliton Equation
III, J. of Physical Soc. of Japan, vol. 50, n° 11, november 1981, 3806—
3812.
[4] Date E., Jimbo M., Miwa T. Hierarchies of Orthogonal and Symplectic
Type — Transformation groups for Soliton Equation VI, J. of physical
Soc. of Japan, vol. 50, n° 11, november 1981, 3813—3818.
[5] Julia B. Infinite Lie Algebra in Physics, preprint, L. P. T. E. N. S..
juin 1981.
[6] Kac V. Q. Highest Representations of Infinite-Dimensional Lie Alge-
Algebras, Proceedings of the I. С. М. Helsinki, 1978.
[7] Kac V. Q., Kazhdan D. A., Lepowsky J., Wilson R. L. Realization of
the Basic Representations of the Euclidean Lie Algebras, Adv. in Math,
42A981), 83—112.
[8] Lepowsky J., Wilson R. L. Construction of the affine Lie algebra Ai'^
Comm. Math. Phys., 62A978), 43—53.
[9] Mandelstam S. Dual Resonance Models, Phys., 13A974), 259—353.
[10] Ueno J. K., Nakamura Y. Transformation Theory for Anti-Self-Dual
Equations in Four-Dimensional Euclidean Space and Riemann — Hilbert
Problem, R. I. M. S. 375, Kyoto, July 1981,
ДОПОЛНЕНИЕ РЕДАКТОРА
Конструкции пп. 2 и 5 этого доклада дают представление для вычета
дифференциальной формы с коэффициентами из поля степенных рядов от
одной переменной в виде следа некоторого оператора из йЦоо). Задолго
до исследований, обсуждаемых в докладе, это представление было открыто
и детально изучено Дж. Тейтом [1*]. В дальнейшем эта конструкция (на-
(называемая иногда «японским» коциклом) неоднократно переоткрывалась и
обобщалась [2*], [3*], [4*], [5*]. Обобщение на случай я-мерных локальных
полей (и частности, полей степенных рядов от п переменных) было дано в
[6*], [7*] (работа [6*] содержит определение вычета в /г-мериом случае и
приложения к теоремам двойственности,, а работа [7*] дает интерпретацию
этого определения с помощью коциклов бесконечномерных матричных ал-
алгебр Ли). Вопрос о связи этих конструкций при h > 1 с какими-либо
классами нелинейных эволюционных уравнений совершенно не исследован.
[1*] Tate J. Residues of differentials on curves, Ann. ENS, t. 1, f. 1, 1968,
p. 149—159.
[2*] Фейгин Б. Л., Цыган Б. Л. Когомологии алгебр Ли обобщенно-якобие-
вых матриц, Функц. анал. и его прил.— 1983, т. 17, п°2, с. 86—87.
[3*1 Фукс Д. Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. — М.: Наука
1984.
[4*1 Кае V., Peterson D. Spin and wedge representations of infinitedimen-
sional Lie algebras and groups, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 78 A981)
n°6, 3308—3312.
[5*] Segal G., Wilson G. Loop groups and equations of KdV type, Public.
Math. PHES, 1985, n°63, p. 5—65.
[6*1 Паршии А. Н. Абелевы накрытия арифметических схем. — ДАН, 1978,
т. 243, п°6.
[7*1 Бейлинсон А. А. Вычеты и адели. — Функц. анал. и его прил., 1980,
т. 14, п° 1, с. 44—45.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗ ТЕЙТА И
ШАФАРЕВИЧА1»
П. Делинь
Институт высших научных исследований, Бюр-сюр-Иветт
1. Высоты
2. Изогении
3. Гипотеза Шафаревича
В этой статье мы расскажем как Г. Фальтингс доказал
гипотезу Тейта B.7) и гипотезу И. Р. Шафаревича C.3, 3.4).
Мы подробно обсудим свойства высоты абелева многообра-
многообразия, введенной Фальтингсом. Это более техничная и более
длинная часть доказательства. Читатель, который, прочтя
определения из пп. 1.1 и 1.2, готов воспринять предложе-
предложение 1.3, может переходить к § 2 и З2).
Обозначения и терминология
Некоторые термины мы будем использовать в их более
узком значении:
Числовое поле := конечное расширение поля Q.
Схема := нётерова отделимая схема.
Групповая схема над 5 всегда будет схемой конечного
типа над 5. Обычно она будет плоской над 5 и коммута-
коммутативной.
Через ? мы будем обозначать алгебраическое замыкание
поля к. Если А— абелево многообразие над k, а / — простое
число, не равное характеристике поля k, то через Г/(А) обо-
обозначается модуль Тейта многообразия А, т. е. 7*,(Л): =
= lim proj Af (k). На нем действует группа Галуа Gal (?/?),
и он наделен структурой модуля над кольцом End (Л) 6-эн-
доморфизмов многообразия А. Положим У2 (A) = Tt (A) ®zzQ/.
1. ВЫСОТЫ
1.1. Пусть k—числовое поле и L — векторное простран-
пространство размерности 1 над k, снабженное для каждой точки о
') Deligne Pierre. Preuve des conjectures de Tate et de Shafarevitch
(d'apres G. Faltings). Seminaire Bourbaki, 36 e annee, 1983/84, № 616,
1—17.
2) Полное изложение доказательства содержится в [7*]. См. также [5*1
[6*], [8*]. — Прим. ред,
<§) Revue Asterisque, 1983
Доказательство гипотез Тейта и Шафаревича
101
поля k w-адическим абсолютным значением || ||о; оно удов-
удовлетворяет условию \\U\\v = ||A,||D||/|U Для 'k^k, /eL. Пусть
L* := L—{0}. Предположим, что для IeL* равенство
||Л|„ = 1 выполняется для всех точек и, за исключением ко-
конечного их числа. Согласно формуле произведения
П||А.||0 = 1, где Xefc', произведение П||Л10 не зависит от
выбора I с: L*. Назовем степенью пространства L логарифм
обратного к этому произведению:
degL:=-logIIlia.
V
Пусть О — кольцо целых элементов поля k. Если о — точка
поля k, то с помощью буквы v в нижнем индексе мы обоз-
обозначаем пополнение относительно о. Далее, О-форма Lg про-
пространства L, т. е. проективный С-модуль ранга 1, такой,
что Lg%gk^>L, снабжает L о-адическим абсолютным зна-
значением для любой неархимедовой точки v поля k; перене-
перенесем на Lv абсолютное значение на kv с помощью изомор-
изоморфизма векторных ^„-пространств &„:=>?„, который отобра-
отображает С„ на Lev Если /si', то ||/||„ = 1 для почти всех v.
Если / е Lo, то
о неархи-
неархимедова
Зададим, кроме того, для каждого вложения в поле ком-
комплексных чисел i: k^~C эрмитову структуру (т. е. положи-
положительно определенную эрмитову форму) < , \ на комплекс-
комплексном векторном пространстве Lt := L<S>k, i JCj. Два сопряжен-
сопряженных вложения в поле комплексных чисел дают два комплес-
но-сопряженных векторых пространства Llt и будем предпо-
предполагать, что </,/\ = <Z, 7>г, для любого /eL,,. Если для ар-
архимедовой точки v, индуцированной вложением i в поле
комплексных чисел, положить
НЛ1„ —0. ^}J/2. когда v вещественна,
И
lUllo—(Л 0t» когда v комплексна,
то получится система абсолютных значений желаемого типа,
и degL определена.
Пример. Пусть k = Q; тогда О = Z, и если е — один из
двух образующих d^e модуля Lz, то
degL = — 4-log(e, e).

102
П. Делинь
1.2. Пусть А — абелево многообразие над полем k. Обо-
Обозначим через о (Л) следующее векторное пространство раз-
размерности 1 над k: если Л имеет размерность g, то
Если k — числовое поле, то для каждой точки о поля k
имеется естественное и-адическое абсолютное значение на
)
(а) Пусть О — кольцо целых поля k и Ад— модель Не-
Нерона многообразия А над Spec (С?). Тогда проективный
С-модуль ранга 1
будет С?-формой пространства со (Л). Она задает искомые аб-
абсолютные значения для неархимедовых точек.
(Ь) Пусть i: k^-Ci— вложение в поле комплексных чи-
чисел и \А — абелево многообразие над С, полученное из Л
расширением поля скаляров. Комплексное векторное про-
пространство (а(А),, := оэ(Л)®/г, i Ci является пространством го-
голоморфных дифференциальных g-форм на и4. Его наделяют
эрмитовой структурой, для которой
Это задает || ||„ для архимедовых точек о. Фальтингс ис-
использует -— | а Л а |, что несущественно.
В терминах этих абсолютных значений высота А (Л) мно-
многообразия Л определяется так '):
h(Л):= ,k.Q] deg<a(Л).
Пример. Если A = Q и а —один из двух образующих ± а
модуля й>(ЛJ {дифференциал Нерона), то
Обобщение. Если a: G-*¦ S — плоская групповая схема
относительной размерности строго g над базой S с единич-
единичным сечением е, то обозначим через <a(G) обратимый пучок
над S, относительно дуализирующий пучок которого яв*
') Другой подход к определению высоты h{A) см, в [8*, § 2]. — Прим*
Доказательство гипотез Тейта и Шафаревича 103
ляется обратным образом: Ra10$ =a*<a(G) [g], <в(<5)==
=е* Ra1 Os. Если G гладка над S, то снова получаем
Пусть k — числовое поле с кольцом целых О и 5 =
= Spec (С?). Если общий слой схемы G является собственным
над k (т. е. это расширение конечной группы с помощью
абелева многообразия), то интегрирование по G(C.) задает
снова для каждого вложения i: k ^* С в поле комплексных
чисел эрмитову структуру на <a(G)®u,v :С:. Таким образом,
определена степень degсо (G). Случай, когда схема G квази-
конечна, будет использован в § 2.
Замечание. Плоская коммутативная групповая схема над
базой S называется полуабелевой, если ее слои являются
расширениями абелевых многообразий с помощью торов. Го-
Говорят, что А имеет полустабильную редукцию, если его связ-
связная модель Нерона А°о (где в каждом слое оставлена лишь
компонента единицы модели Нерона) полуабелева. Это то
же самое, что потребовать, чтобы Л было общим слоем не-
некоторой полуабелевой схемы над Spec (С?), причем эта послед-
последняя единственна. Если Л — многообразие с полустабильной
редукцией, то переход к Аав, а значит, и к <а(Л)а = <»(Л^)
перестановочен с расширением поля скаляров k<=~k' и ко-
коэффициент 1/[&:Q] в определении высоты h(A) обеспечи-
обеспечивает ее инвариантность относительно расширения поля ска-
скаляров. Если абелево многообразие А над k обладает полу-
полустабильной редукцией над некоторым расширением k' поля
k, то геометрическая высота этого многообразия определяется
формулой
Ageom (Л) 1= h (Ak').
Из того факта, что (Ав)^ отображается в (Л^)^. следует,
что Л (Л) ^ Ageom (Л), причем равенство выполняется тогда и
только тогда, когда Л имеет полустабильную редукцию над k.
Напомним, что поляризация многообразия Л — это класс
алгебраической эквивалентности (определенный над k) об-
обратимых обильных пучков на Л. Его степень — это целое
число ci(9?)s/g\ = %(&). Главной поляризацией называется
поляризация степени 1.
Предложение 1.3. Каковы бы ни были числовое поле k
и целые числа g, n и h, существует лишь конечное число
классов изоморфизма поляризованных абелевых многообра-
многообразий (Л, 0) над k размерности g, степени поляризации п и
высоты h(A)s^ h.

104
П. Делинь
Доказательство гипотез Тейта и Шафаревша
105
Пример 1.4. Случай k = Q, g= 1. Пусть Е — эллиптиче-
эллиптическая кривая над Q и <а — дифференциал Нерона. Кривая Е
задается таким уравнением
у2 + щху + а3у — х3 — с^х2 — аАх — а6 — 0
с целыми коэффициентами, что если обозначить через F(x,y)
левую часть, то форма о приобретает вид dx/Fy = -dy/Fx.
Пусть Л cz lG — такая решетка, что группа (Е, со) изоморфна
(?Х/Л, dz) над С. Пусть (u>i,©2)—положительный базис ре-
решетки Л, т = ©2/<»i Aт(т) > 0) И(/= ехрBшт). Тогда надиО
Числа
(Е, ш) с* (С/Л, dz) ~ (C7?z • -Sr ir) •
и Д = (с* — с|)/1728 не зависят от выбора базиса (соьоэг)'
решетки Л. Это полиномы с целыми коэффициентами от ai
(см., например, таблицу Тейта, введенную в обращение
П. Делинем, в IV томе трудов конференции в Антверпене
(Springer Lecture Notes 476)). Они являются, таким образом,
целыми числами. Кривая Е задается уравнением Вейер-
штрасса
12 216 "
Положим Я(?)=ехрй(?) и Я*(?)= sup(|c4|1/4, |с6||/6).
Чтобы показать, что существует лишь конечное число эллип-
эллиптических кривых над Q с заданной высотой h(E), достаточно
получить для Н*(Е) оценку, зависящую только от Н(Е).
Выберем в Л базис (со,, оэ2) с минимальным | <»[ |. Тогда
Im(x)>V3/2 и
/ 1 \ -'/2 1 , ,„
# (?) == (JL| с», |. | о», Im (т) |J = j~j ¦ | Im (~SI~ ]~w
Я'(?)<С0.Я(?)-1т(тI/2.
Если 1т(т)>а, где а > 0, то из соотношения /==i
= <7~'-т-744+ ... между т и модулярным инвариантом /
следует, что Im (т) ~ sup A, log | /1 )/2л. Поскольку А — целое
число, то, кроме того, | /1 ^ Я* (Е) , откуда вытекает, что
Я* (Е) < С, • Я (Е) • sup A, log Я* (Е)I12
и, значит,
Я(Я).$ирA,и^Я(?)I/2.
Замечание 1.5. Пусть т лежит в полуплоскости Пуанкаре,
y=lm(i), <7 = ехрBшт) и Л(т)—решетка Z + Z • т,?(т) —
эллиптическая кривая ?)./Л(т), снабженная дифференциаль-
дифференциальной формой dz, a — дифференциальная форма A(?(t),
dz)un-dz (выбор корня двенадцатой степени не существен) и
Е(х)
Эта функция от т инвариантна относительно действия груп-
группы 5LB, Z), а значит, получается из функции V(j) от мо-
модулярного инварианта /. Если Е—эллиптическая кривая
над k с модулярным инвариантом /ей, то положим Н(Е) =
= ехр([& :Q]k(E)) (соответственно tfgeom(?) = ехр ([Л : Q] •
•Ageom(?)). Тогда
?)= П v(i})-m- П suP(i, или1
\1/12
о неархи-
неархимедова
Логарифмический дифференциал dtlogV(t) — это, с точ-
точностью до умножения на скаляр, неголоморфный ряд Эйзен-
Эйзенштейна Е2\ Массер показал, что он может обращаться в нуль
лишь при / = 0 или } = 1728 (Springer Lecture Notes 437,
лемма 3.2). Отсюда вытекает, что максимум функции V(j)
достигается при / = 0, а минимум функции hSiQm{E)—для
эллиптических кривых Е с модулярным инвариантом 0. Это
дает минимум функции h(E).
Пусть Е — эллиптическая кривая с комплексным умноже-
умножением на элементы кольца целых О мнимого квадратичного
поля с дискриминантом —D; тогда формула Човлы — Сель-
берга (J. Crelle, 227 A967), 86—110) дает значения высоты
/tgeom(?): если е — квадратичный характер Дирихле кондук-
кондуктора D, то
A.5.1) ( /2Л
Д
0<a<D
= 3 дает
(хю = ФО*, h — число классов). Частный случай
минимальное значение для h(E):
/*mm = ~\ {log -i=- (Г A/3)/Г B/3)K] = - 0,748752 ')•
Прежде всего, докажем следующую лемму, которой будет
достаточно для приложений.
') В оригинале — 0,746. Ю. Г. Зархин вычислил значения высоты для
всех простых D з= 3mod4, не превосходящих 1700 (см, ниже на с. 123—
124). — Прим. ред.

106
Я. Двлинь
Докавательство гипотез Тейта и Шафаревича
107
Лемма 1.6. Пусть m — целое число, которое делится на
два простых числа ^3. Существует лишь конечное число
классов изоморфизма главно поляризованных g-мерных абе-
левых многообразий (Л, в) над k, снабженных структурой е:
((Z/(m)f8 ^> Am уровня т, таких, что h (Л) ^ п.
Так как пг ^ 3, тройка (Л, в, е) не имеет нетривиальных
автоморфизмов. Классы изоморфизма над k этих троек
отождествляются с ^-точками подходящего пространства мо-
модулей М. Мы докажем лемму 1.6, сравнивая ft (Л) с высотой
(в более классическом смысле) точки пространства М, соот-
соответствующей тройке (Л, в, е). Предположение относительно
m гарантирует, что А имеет полустабильную редукцию, так
что эта высота инвариантна относительно расширения поля
скаляров.
1.7. Пусть X — проективное многообразие над Q. Обра-
Обратимый пучок 2 на X определяет класс по модулю 0A)
функций высоты h<e на X (Q). Такую функцию можно по-
построить следующим образом:
(a) Выбирается проективное многообразие Xz над Spec(Z)
и обратимый пучок 2z на Хг так, чтобы (X, 2) получалось
из (Хг, 2г) расширением кольца скаляров Z до Q.
(b) Выбирается эрмитова структура на 2, т. е. на ли-
линейном расслоении 2с над Х(С), полученном из 2. Для
упрощения предполагается, что она инвариантна относи-
относительно комплексного сопряжения в (Х{С), 2с)-
Пусть теперь k — числовое поле с кольцом целых О и
х е X (k). Поскольку Хг является собственным над Spec(Z),
х продолжается до хо е Хг {О) = Нот (Spec (О), Xz), Пусть
2Х — слой пучка 2 над х, т. е. векторное ^-пространство
размерности 1. Выбор (а) задает С-форму х*02ъ слоя 2х.
Выбор (Ь) задает для каждого вложения i поля k в поле
комплексных чисел эрмитову форму 2х®к,\Ю- Положим
M*)e-EET5rdega?**
Благодаря коэффициенту l/[k : Q] в этом определении для
kck' функция h<e на X(k) является ограничением на X(k)
функции h<e на X(k'); переходом к пределу получаем функ-
функцию Л# на X(Q).
Приведем один нетривиальный вариант того факта, что
существует лишь конечное число целых чисел п, удовлетво-
удовлетворяющих неравенству |п|^Л.
Напоминание 1.8. Если 2 — обильный пучок, существует
лишь конечное число точек x^X(k\, таких, что Н*'^^ h
Пусть U — открытое подмножество в X и Y — его допол-
дополнение. Назовем логарифмическим расстоянием до Y функцию
р > 0 на U(С), которая вблизи Y асимптотически ведет
себя как — log J] | ft f, если Y локально определяется урав-
уравнениями ft = 0. Этот класс функций на U(C) зависит лишь
от структуры комплексного алгебраического многообразия
на U(&), но не зависит, от компактификации ^(С) много-
многообразия U (С).
Пусть s — эрмитова структура на линейном расслоении 2,
ограниченном на U. Предполагается, что она инвариантна
относительно комплексного сопряжения. Приведенная выше
конструкция высоты h<e позволяет, кроме того, связать_ с
B, s) класс по модулю 0A) функций высоты hs,s на ?/((*>)•
Говорят, что s имеет логарифмические особенности вдоль Y,
если
sup (s/sQ, Sq/s) < О (рг),
где р — логарифмическое расстояние до У, so — эрмитова
структура на 2 и г достаточно велико.
Предложение 1.9. Если пучок 2 обилен и эрмитова струк-
структура s на нем имеет логарифмические особенности вдоль
Y — X — U, то для любого числового поля k существует лишь
конечное число точек хе. U(k), таких, что h?tS(x)^.k.
Доказательство. Зафиксируем проективное вложение
Х<=~Р, и пусть D — гиперповерхность в Р, содержащая У.
Пусть г > 0 и s(D, r) — эрмитова структура на 2?с\(Х — С)(С)
которая вдоль D асимптотически ведет себя как s<r|/|~2'')
где So — эрмитова структура на 2 и / — локальное уравнение
гиперповерхности D. Тогда s ^.s(D, г), а значит, с точностью
до 0A), hx,s^hs,S(D,r) на (X — D)(Q). С другой стороны,
с точностью до 0A)
kg, S(D, l/n)^— tl?® n(_D) ¦
Если п достаточно велико, то пучок S7® "(—?)) обилен и, со-
согласно 1.8, существует лишь конечное число точек из
(U — D)(k) с ограниченной высотой А^.®п(_О). Для заверше-
завершения доказательства У надо представить в виде пересечения
дивизоров D.
1.10. Доказательство леммы 1.6. Рассмотрим абелеву
схему А [М] над пространством модулей М и обратимый
пучок со := ю(Л [М]). Последний снабжен следующей эрми-
эрмитовой структурой s: слой &х пучка со над xeiW(?L)— это

108
П. Делим
(й(Ах), где Ах — слой схемы А [М] над х, и
1
(a, <x)s
а Л а|,
где а s <ax.
Аналитическое описание тройки (М, со, s). Пусть V — ве-
вещественное векторное пространство размерности 2g, снаб-
снабженное симплектической формой ¦$. Соответствующее про-
пространство Зигеля 91 — это пространство вещественных струк-
структур Ходжа типа {(—1, 0), @, —1)} на V, поляризованное
формой т|> (т. е. многообразие таких максимальных_изотроп-
ных подпространств F°c: Vc:= V ®rC, что F° © F°^> Vc и
i-ф (x, x)>0 при xgF°, x Ф 0). На ^ действует группа Sp (V).
Выбор симплектического базиса (eh /*I<(<d пространства V
отождествляет & с пространством таких симметрических
матриц Ъц, что \xa{Ztfi положительно определена: надо на-
наложить условие fi — ? Ъиег e Я.
Зафиксируем целочисленную решетку Vz, порожденную
симплектическим базисом (eit f{)[ ^(.<d, и e^. (Z/(m)J Pi Kz/wiFz.
Факторпространство пространства S? по конгруэнц-подгруппе
Г := Aut(Fz, Ф, ео) уровня m отождествляется со связной
компонентой пространства М(С); абелево многообразие, со-
соответствующее F0 е ^ — это Лх := F°\Fc/Fz, его поляриза-
поляризация получается из т|>, а структура уровня m — из е0. Меняя е„,
мы получаем все связные компоненты.
На ^ пространства Д ((Vc/F°)v) являются слоями Sp(V)-
эквивариантного линейного расслоения <а. Мы тривиализи-
руем <а на 91 с помощью его базиса е, полученного из ба-
базиса ех, ..., eg пространства Vc/F°. Эрмитова метрика s
на <а, в которой (е, e) = n~edetIm(Z), 5р(У)-инвариантна,
и эта инвариантность характеризует ее с точностью до умно-
умножения на скаляр. При факторизации по Г <а и s на 9> за-
задают <а и s на М(С).
Если g > 1, то Я0 (М, <а® ") — конечномерные пространства
и компактификация Бейли—Бореля М{С)~ многообразия
М(С) является для достаточно большого п замыканием
M(lG) в проективном вложении, определенном глобальными
сечениями пучка со®". Это описание показывает, что М(С)~
получается из компактифнкации М~ пространства М (опре-
(определенного над Q) и определяет продолжение пучка ш на М~
(используйте также статью: Borel A. J. diff. geom. 6 A972),
543—560).
Доказательство гипотез Тейта и Шафаревича
109
Предложение 1.9 сводит лемму 1.6 к следующим предло-
предложениям 1.11 и 1.12.
Предложение 1.11. Эрмитова структура s на <а имеет ло-
логарифмические особенности вдоль М~ — М.
В области Зигеля базис е пучка <а асимптотически
эквивалентен обратным образам на 9* локальных обрати-
обратимых сечений пучка <а на М~; это проверяется с помощью ря-
рядов Эйзенштейна; обратные образы функций логарифмиче-
логарифмического расстояния до М- — М" асимптотически эквивалентны
функциям l{lmZ), где I — линейная форма l(Y)= Tr{FY),
причем F — симметрическая положительно определенная
форма; это можно проверить, используя тороидальные ком-
пактификации из [1] вместо компактификации Бэйли — Бо-
Бореля М~ пространства М. Отсюда вытекает доказываемое
предложение.
Паре (со, s) соответствует класс по модулю 0A) функций
высоты ha>,s на M(Q). Отождествим тройку 04,0, е), как
в лемме 1.6, с соответствующей точкой из M(k)aM(Q).
Предложение 1.12. С точностью до 0A) (равномерно
по k)
Если бы мы располагали над Z хорошей теорией ком-
компактификации пространств модулей абелевых многообразий,
можно было бы дать следующее доказательство леммы 1.6.
Имеется схема Мъ над Spec(Z) и над Mz «универсальная»
абелева схема A [Mz], продолжающая универсальную абе-
леву схему А [М] над М.
Хочется верить, что
(a) Каждая тороидальная компактификация многообра-
многообразия М(С) типа, введенного в [1], если она определена над
Q, имеет аналог над Spec(Z). Выберем одну из них,
М(С)~, и пусть М? — соответствующая компактификация
схемы Mz.
(b) Указанная универсальная абелева схема над Mz вкла-
вкладывается в полуабелеву схему /4[Mz"] над Mz-
(c) Над Q компактификация М~ пространства М доми-
доминирует над М~\ имеется морфизм и: М~->М~. Продолже-
Продолжением и*в> пучка <а на М~ будет <а(л[тИ~]).
Из пп. (а) и (Ь) следует, что если (А, в, в) над k соот-
соответствует точке леМ (k), продолжающейся до хо'. Spec (О)—>М,
то связная модель Нерона А% многообразия А — это х'дА [M]

no
Л. Делим
Значит, функция высоты h(A) соответствует функции
высоты ka,, s на М (Q), связанной с обратимым пучком
<а := <а (A [Mz]) на М~ гэ М, структуре s и целочисленной
структуре {Mz , <о [a[Mz]))- С точностью до 0A) высо-
высоты ha,s не зависят от выбора целочисленных структур,
и предложение 1.12 вытекает из того, что пучок со на М~
есть обратный образ пучка © на М~.
Но, к несчастью, мы не располагаем утверждениями
(а) — (с), и для того, чтобы доказать 1.12, мы будем вынуж-
вынуждены вернуться к теории компактификаций пространств мо-
модулей кривых.
Лемма 1.13. Если схема X— полустабильная кривая над
S, то Pic°(X/S) является полуабелевой схемой над S.
Лемма 1.14. Пусть А — полуабелева схема над нормаль-
нормальной схемой S. Любое разложение А = А' X А" над откры-
открытым плотным подмножеством из S продолжается до разло-
разложения над всем S с полуабелевыми сомножителями.
Лемма 1.15. Пусть А — полуабелева схема над схемой S,
и пусть Н — плоская конечная групповая подсхема схемы А
над некоторым открытым плотным подмножеством U из S.
После некоторой собственной сюръективной замены базы
S'-*~S схема Н' вкладывается в замкнутую в А плоскую
групповую подсхему над всей схемой S и А/Н' полуабелева. .
В этих леммах, чтобы избежать тонких и ненужных воп-
вопросов представимости, удобно всегда работать с алгебраиче-
алгебраическими пространствами.
Предложение 1.16 (О. Габбер). Пусть схема X неприво-
дима и конечного типа над S и А — абелева схема над X.
Имеет место коммутативная диаграмма
A.16.1)
где и — сюръективный собственный морфизм, а-собствен-
а-собственный морфизм и и*А вкладывается в полуабелеву схему
над Y-.
Доказательство гипотез Тейта и Шафаревича
111
Доказательство (набросок) '). Используя тот факт, что
общий слой схемы А/Х является фактором некоторого яко-
якобиана, теорему о полной приводимости Пуанкаре и собствен-
собственность модулярного стека стабильных кривых, находим та-
такие У, У~, открытое плотное подмножество К в У, абелеву
схему А' над V и стабильную кривую С над У~, что над V
абелева схема A Xv^' является факторсхемой схемы Пикара
Pic^(C) по конечной плоской групповой схеме. Доказатель-
Доказательство завершается применением лемм 1.13—1.15.
1.17. Доказательство предложения 1.12. Применим пред-
предложение 1.16 к неприводимым компонентам схемы Mz—>
-* Spec(Z). Можно предположить (и мы будем предпола-
предполагать), что в полученной диаграмме A.16.1) схема У- нор-
нормальна, что У плотна в У~ и что Yq доминирует над компак-
тификацией Mq схемы MQ.
ir
Spec(S)
Spec(dO
Ввиду инвариантности высоты h(A) относительно расши-
расширения поля скаляров метод доказательства, намеченный по-
после предложения 1.12, годился бы, если только можно было
бы показать, что ы-*(оэ) — это пучок <а, построенный по полу-
полуабелевой схеме A [Yq] над Уд, который продолжает
и*A [Mq]. Достаточно проверить это после расширения поля
скаляров до .С.
Отметим, что если 2 — линейное расслоение над откры-
открытым плотным подмножеством Y нормального многообра-
многообразия У~, то (а) его продолжение с У на У- однозначно опре-
определяется его обратными образами на таких гладких кри-
кривых v: C~*-Y~, что множество v~l(Y) плотно в С, причем
эти обратные образы рассматриваются над С как продолже-
продолжение обратного образа расслоения 2 над v~l(Y); (b) если s —
эрмитова структура на 2, то 2 допускает не более одного
продолжения на У~, относительно которого s имеет лога-
логарифмические особенности вдоль У~— У.
Объединяя эти замечания и ссылаясь на предложение 1.11,
мы сводим доказательство к проверке следующей леммы.
') Подробное доказательство см. [7*, expose V]. — Прим. ред.

112
П. Делинь
Доказательство гипотез Тейта и Шафаревича
ИЗ
Лемма 1.18. Пусть С — гладкая алгебраическая кривая
над С и А — полуабелева схема над С, которая является
абелевой над дополнением U — С — S некоторого конечного
множества точек S. Эрмитова метрика на <a(A)\U, заданная
в точке i/e ?/ формулой (о, а)— \|ала|, имеет логариф-
А«
мические особенности вдоль S.
Пусть se5, и отождествим малую окрестность точки s
(не содержащую других точек из 5) с единичным кругом D
с помощью локальной координаты z с началом s. Рассмотрим
обратный образ Ad схемы А над D. Пусть L — векторное рас-
расслоение Lie(Ao) и Л —ядро экспоненциального отображения
Lie(Ao)-*-Ад. Это ядро замкнуто в L, этально над D и, за
исключением того, что лежит над нулем, является расслое-
расслоением на решетки. Пусть А0 с А— несвязное объединение се-
сечений, проходящих через точки слоя ядра Л над 0. Если
выбрать базис в L, то Л2 cz Lz ~ С/ оказывается переменной
решеткой в С8 (гФО); подрешетка Л° продолжается на 2 = 0
и Лг — Л° стремится к бесконечности (так как Л замкну-
замкнуто). Поскольку А — связная модель Нерона, сечения AD над
D*, принадлежащие подгруппе конечного индекса группы
всех сечений конечного порядка, продолжаются на D. Это
влечет за собой совпадение Л° с подгруппой всех инвари-
инвариантов локальной монодромии в Лг. Поскольку слой схемы Ао
над 0 полустабилен, Lo порождено подрешеткой Ло- Тогда
(*) L — единственное векторное расслоение, продолжаю-
продолжающее L\D*, локальные сечения которого являются линейными
комбинациями с голоморфными коэффициентами локальных
сечений Л°.
Известно (см., например, с. 175—177 работы: Griffiths P.
Periods of integrals on algebraic manifolds III, Publ. Math.
IHES 38), что вне 2 = 0 схема Ad допускает аналитическое
описание следующего типа: для подходящего базиса расслое-
расслоения L над D* имеет место равенство Az — C8/A(z), где пе-
переменная решетка Л (г) удовлетворяет таким условиям: она
содержит Zg; если A°(z)—подрешетка, неподвижная отно-
относительно действия локальной монодромии, то A°(z) стре-
стремится к пределу при г->-0 (здесь под пределом понимается
предел в пространстве дискретных Z-подмодулей ранга г =
= rgA°(z) из С/); A(z)—A°(z) стремится к бесконечности.
Асимптотические формулы из цитированной выше работы
показывают, кроме того, что объем факторпространства
C8/A(z) растет как |log|z| \2g~r. Согласно (*), базис рас-
расслоения L\D* продолжается до базиса расслоения L над D;
отсюда вытекает лемма 1.18.
1.19. Приведенное доказательство леммы 1.6 годится
к тому же для случая, когда 0 — поляризация фиксирован-
фиксированной степени п, а не только степени 1. Аналитическое описа-
описание соответствующего пространства модулей М = Mgt „, m
несколько сложнее. Группа G := GLBg, Z/{tn)) действует
на М (заменой уровневой структуры) и M/G— грубое про-
пространство модулей Mg, „ поляризованных абелевых многооб-
многообразий (Л, в) размерности g и степени поляризации п. Рас-
Расслоение со над М с его эрмитовой структурой G-эквивариант-
но. Его (# б)-я тензорная степень спускается, таким обра-
образом, до M/G. Пусть h — соответствующая функция высоты
на Mg, n = M/G, деленная на фE. Из аналога предложе-
предложения 1Л2 для абелевых многообразий, наделенных поляриза-
поляризацией степени п (а не только степени 1), вытекает следующая
лемма:
Лемма 1.20. Если (А, в) над k соответствует некоторой
точке а из Mg, n(k) a Mgi „(Q), то
Доказательство предложения 1.9 показывает, что, так как
мы имеем дело с обычными высотами, h(a) ограничена снизу
HaMg,n(Q):
Лемма 1.21. Для любых gun существует число Cg, n, та-
такое, что для каждого абелева многообразия А над числовым
полем, допускающего поляризацию степени п, выполняются
неравенства
h(A)>hg&om(A)>Cg,n.
Замечание 1.22. Можно показать, что если А — абелево
многообразие с полустабильной редукцией над числовым по-
полем k и А* — двойственное к нему многообразие, то h(A) =
= h(A*). Если А — абелево многообразие над произвольным
полем k, то многообразие Л4Х<4*4 всегда допускает главную
поляризацию (результат Ю. Г. Зархина). Поскольку ft (АХ
XB) = h(A)-{-h(B), то отсюда следует, что в лемме 1.21
можно взять Cg,n, не зависящее от п (заменить Cg „ на
U/8)C8g,,).
Лемма 1.23. Зафиксируем поле k и числа g, n и h. Суще-
Существует такое конечное множество S точек поля k, что g-мер-
ное поляризованное абелево многообразие (А, в) над k с по-

114
П. Делинь
ляризацией степени п и высотой Л(Л) ^ h имеет полустабиль-
полустабильную редукцию вне S.
Пусть задана пара (А, в). Найдется конечное расшире-
расширение к' поля k степени, не превосходящей порядка группы
GLB, Z/A5)), такое, что абелево многообразие А'' := Аи
имеет полустабильную редукцию. Дифференциал естествен-
естественного морфизма AQ® О'~> A'q, становится необратимым при
редукции в каждой точке поля k', лежащей над точкой поля k,
в которой А имеет неполустабильную редукцию. Если харак-
характеристика поля вычетов в точке неполустабильной редукции
равна р, то ее вклад в разность h(А)— h(A') не меньше
log pi [к': Q]. Отсюда следует, что \ogp[k': k\ ^ h(A)—Cgi „,
а это дает ограничения на р.
1.24. Доказательство предложения 1.3. Из леммы 1.20 вы-
вытекает, что пары (Л, в), удовлетворяющие условиям пред-
предложения 1.3, образуют лишь конечное число классов изомор-
изоморфизма над алгебраическим замыканием поля k. Для каж-
каждого из этих классов все точки плохой редукции лежат в объ-
объединении множества S (из леммы 1.23) и фиксированного
множества всех точек потенциально плохой редукции;--кроме
того, на абелевом многообразии А существует структура
уровня m = 15, определенная над расширением k' поля k,
с контролируемыми степенью и ветвлением.
Имеется лишь конечное число таких расширений k' (Эр-
мит) и конечное число возможностей для спуска (поляризо-
(поляризованного абелева многообразия) с k' до k.
Покажем, что можно усилить предложение 1.3, опустив
упоминание о 9.
Напоминание 1.25. Пусть Е—порядок в полупростой Q-ал-
гебре S.
(i) Группа единиц Е*, действующая внутренними автомор-
автоморфизмами на множестве всех идемпотентов из Е, имеет лишь
конечное число орбит.
(ii) Если S является алгеброй с инволюцией, то груп-
группа Е", действующая (по формуле (х, h)\->xhx*) на множе-
множестве всех эрмитовых элементов (Й = А*) из Е с фиксирован-
фиксированной нормой, имеет лишь конечное число орбит.
Применяя 1.25 к кольцу ^-эндоморфизмов абелева много-
многообразия А, получаем
Напоминание 1.26. ([)Абелевы многообразия, являющиеся
прямыми сомножителями абелева многообразия А, образуют
конечное число классов k-изоморфизма.
Доказательство гипотез Тейта и Шафаревша
115
"(ii) Поляризации 0 степени п на А дают лишь конечное
число классов изоморфизма поляризованных абелевых мно-
многообразий (А, в).
Утверждение 1.26(i) позволяет вывести из предложе-
предложения 1.3, примененного к Л4Х'4*4 (с помощью замечания 1.22),
Вариант 1.27. Зафиксируем k, g и h. Множество классов
изоморфизма g-мерных абелевых многообразий А над k вы-
высоты h(A)^.h конечно.
Отметим, что, согласно 1.26(ii), это утверждение явля-
является усилением предложения 1.3.
2. ИЗОГЕНИИ
В этом параграфе мы изучим поведение высоты п(А) при
изогениях абелева многообразия А с полустабильной редук-
редукцией и выведем из полученных результатов гипотезу Тейта.
2.1. Для всех точных последовательностей 0-*¦ A'-vA -*¦
-*-А"~*-0 коммутативных плоских групповых схем над S име-
имеется естественный изоморфизм
оа (А) ~ оа (А') ® оа (А").
В случае когда S = Spec (О) — спектр кольца О целых число-
числового поля k, а общий слой схемы А (а следовательно, схем
А' и А") собственный над k, этот изоморфизм согласован
с эрмитовыми структурами, определенными для левой и пра-
правой части. Эта согласованность переписывается как равен-
равенство
$- И-
Л (С) Л" (С) Л'(С)
Таким образом,
deg оа (А) = deg и (А') + deg оа (А").
Пусть и: А-*-В — изогения абелевых многообразий над k
с ядром Я, и пусть Но — схемное замыкание группы Я
в связной модели Нерона А°д многообразия А. Предположим,
что А имеет полустабильную редукцию. Тогда последователь-
последовательность
•О
¦В%-
точна. Она дает нам равенство
B.1.1)
h (В) = h (А) -

116
П. Делинь
Доказательство гипотез Тейта и Шафаревича
117
2.2. Вычислим со (Я) для коммутативной плоской квази-
квазиконечной групповой схемы Я над S = Spec (С?). Общий слой
схемы Я над k этален, Lie Я —0 и пространство (о(Я)®<?&
канонически изоморфно k. Благодаря этому изоморфизму
С?-структура со (Я) пространства a(H)<S>ok совпадает со
стандартной ^-структурой О поля k на той открытой части S,
над которой схема Я этальна, но вместе с тем их эрмитовы
структуры различны.
(a) Эрмитова структура на пространстве ю(Я)®<?С
равна стандартной эрмитовой структуре, умноженной на чи-
число #Я.
(b) Предположим вначале, что Я — конечная групповая
схема над S с аффинной алгеброй 0{Н). Эта схема является
полным пересечением. Пусть &)~х — модуль, обратный к диф-
дифференте, т. е. наибольший 0 (Я)-подмодуль в 0(H)®gk, на
котором отображение следа TrH/s принимает значения в О.
Отображение следа отождествляет
«,-i
с модулем, СЧдвой-
ственным к О{Н). Имеем 0(Н)с@)~ . Поскольку Я —груп-
—групповая схема, существует такой С-модуль
что 2D~ =0о" <8>д0 (Н). Тогда
\ О сг iZ5
-1
:k.
(с) На общий случай определение 0О распространяется
с помощью локализации в этальной топологии на S: ло-
локально Я является расширением этальной групповой схе-
схемы Я" с помощью конечной групповой схемы Я' и
0Г1 Для Я по определению равен 0о"' для Я'. Опять
ю(Я)—0о~'- В частности, определенный выше изоморфизм
= k „продолжается" до естественного вложения
Определение степени дает
B.2.1) deg о, (Я) - log [(# ЯL*:Q1/2 # (со (Н)/0)).
Из предложения 9 дополнения из работы [3] вытекает,
что группа а(Н)/(У аннулируется умножением на число # Я,
откуда вытекает оценка
B.2.2) 1А:<г1
Мы будем использовать следующее условие, автоматиче-
автоматически выполненное для схем Я, являющихся замкнутыми груп-
групповыми подсхемами в полуабелевых схемах А над S.
B.2.3) Для каждой неархимедовой точки и поля k пусть
Я:, — групповая схема над Sv :=Spec@>0), полученная из Я.
Она является расширением открытой групповой подсхемы
Хо (Я)
Н" некоторой конечной этальной групповой схемы н"~ над
Sv с помощью конечной групповой схемыЯ'о над So.
Пусть / — простое число, и предположим, что Я аннули-
аннулируется умножением на /. Пусть k—алгебраическое замыка-
замыкание поля k. На группе Я(й), являющейся векторным про-
пространством над полем fi конечной размерности г, действует
группа Галуа Gal (?/&). Пусть гомоморфизм %[Я]: Gal(?/?)->
-*• F* — определитель этого представления и отображение
%а[Н]: Gal(&/Q)-*¦ F'i — композиция гомоморфизма %[Н] и
отображения переноса Gal(?/Q)ab->-Gal(?/&)ab.
Если е: Gal(fe/Q)->{± 1} — знак перестановки, отвечаю-
отвечающей действию группы Gal(?/Q) на Gal (fe/Q)/Gal (k/k), то
- det ( Ind ^3| f^ (Я (k) - П) ) = det Ind Я (k) • ег.
\ Gal (r/й) /
Предположение B.2.3) дает нам неразветвленность вне
/ характера ^(Я): Gal (fe/Q)->F*, являющегося, таким обра-
образом, степенью характера т, задающего действие группы Га-
Галуа Gal(?/Q) на корнях степени / из 1.
Пусть v — точка поля k, делящая /. В предположении, что
абсолютный индекс ветвления е в точке v меньше /— 1,
М. Рейно ([3], теорема 4.1.1) связал ограничение характера
/[Я] на группу инерции точки v с длиной и-компоненты
G-модуля (о(Н)/С Он рассматривал случай конечной груп-
групповой схемы над Sv, однако предположение B.2.3) позволяет
свести все к его ситуации. Из результата Рейно вытекает
Предложение 2.3. Пусть Я — групповая схема, аннулируе-
аннулируемая умножением на I и удовлетворяющая предположению
B.2.3). Если для всех точек v поля k, делящих I, абсолютный
индекс ветвления меньше I—1, то, полагая ф(ю(Я)/С?) = /",
имеем
Из этого утверждения мы выведем следующую теорему.
Теорема 2.4. Пусть А — абелево многообразие над k с по-
полустабильной редукцией. Существует конечное множество F
простых чисел, такое, что для изогенш и: А-+В степени, не
делящейся ни на одно простое число I' e F, выполнено ра-
равенство
А (А)-А (В).
Мы докажем, что можно выбрать F зависящим лишь от
класса изогенности абелева многообразия А. Достаточно рас-

118
П. Делинь
смотреть изогению с ядром Н, аннулируемую умножением
на простое число /. Пусть Fi — множество таких простых чи-
чисел /', что в некоторой точке поля k, делящей /', абсолютный
индекс ветвления ^ V—1. Пусть р— простое число, такое,
что А имеет хорошую редукцию во всех точках поля k, де-
делящих р. Наше F содержит Fi U {/?}.
Для каждой точки v поля k, делящей р, обозначим через
qv число элементов ее поля вычетов, через е„ — ее абсолют-
абсолютный индекс ветвления, через Pv — характеристический поли-
полином арифметического автоморфизма Фробениуса <ро, дей-
действующего на Ti(A). Это приведенный полином с целыми
коэффициентами, не зависящими от /, зависящий лишь от
класса изогенности абелева многообразия А. Пусть а*, ...
•'•>ald—комплексные корни полинома Pv с их кратностями.
. Согласно А. Вейлю, все они по модулю равны q]/2.
Пусть R — кольцо целых числового поля, достаточно боль-
большого для того, чтобы содержать все av{ (о | р). Пусть группа
H(k) имеет размерность г как векторное пространство над
ft. Существует гомоморфизм R-+Fta с ядром % и для каж-
каждого v\p подмножество /0 из г элементов множества [l,2d],
такое, что характеристический полином автоморфизма Фро-
Фробениуса ф0, действующего на H{k), является редукцией
mod % произведения полиномов (Г — a.vA, i s /0. Тогда
П off
ie=Jv )
» mod*.
Если #(о)(Я)/С) =/", то отсюда с помощью предложе-
предложения 2.3 вытекает, что
B.4.1)
t^'v )
Комплексное абсолютное значение левой части этого ра-
равенства равно p[ft:Qir/2 Наше сравнение, таким образом, не
может превратиться в равенство, если не выполнено условие
n—[k:Q] -rII, при выполнении которого deg(o(#)=0 B.2.1).
Пусть F2 — множество всех простых /, которые делят хотя бы
одно из чисел вида N „7 (Ц ( Ц a?Y° — p*Y где для под-
' \v\p \lef(v) ) )
ходящего целого г с 1 ^ г ^ Id множество J(v) является
подмножеством в [l,2d] из г элементов и где 1^6^
<[ft:Q]-r, b?-[k:Q]-r/2. Тогда множество F=F1U{p}U^2
удовлетворяет заключению теоремы 2.4. сравнение B.4.1)
влечет за собой соответствующее равенство, deg(o(#) = 0,
и доказательство завершается применением B.1.1).
Доказательство гипотез. Тейта и Шафаревича
119
2.5. Зафиксируем простое число /. Пусть Az°°(&) — группа
всех точек кручения из A(k), порядок каждой из которых
есть некоторая степень числа /, и пусть W есть /-делимая
подгруппа в Лг« (?), инвариантная относительно действия
группы Галуа Ga\(k/k). Она отвечает Галуа-инвариантному
подмодулю Ti (W) cr Ti (А), такому, что факторгруппа
Ti(A)/ti(W) не имеет /-кручения. Для каждого целого п
обозначим через В(п) фактормногообразие A/Wf абелева
многообразия А.
Теорема 2.6. Для достаточно больших п высота h(B(n))
не зависит от п.
Доказательство похоже на доказательство теоремы 2.4;
ссылка [3], 4.1.1, заменяется на следующее утверждение
([3], 4.2.1): если W есть /-делимая группа над So = Spec(Co)
(v — точка поля k, делящая /) с d-мерной алгеброй Ли и
если %[W]: Gal(kv/kv)->Z*i^- определитель действия (ло-
(локальной) группы Галуа Ga\(kv/kv) на Ti(W), то ограничение
характера %[Щ на группу инерции /0 с: Gal(kv/kv) равно xd,
где т—характер этой группы Галуа, задающий ее действие
на всех корнях из единицы, степень которых есть степень /.
Вместе с тем длина С?0-модуля (a(Wi)/O равна d-ev
Появляются две проблемы:
(а) Пусть W (п) — схемное замыкание группы Wу в А°д и
W {n)v — его обратный образ над Sv. Пусть W (я)° — наиболь-
наибольшая групповая подсхема в W (n)v, конечная над Sv. Тогда
может не быть /-делимой группой.
(Ь) Даже если трудность (а) не возникает, аналогичная
проблема имеется для групповых схем W {п)°, которые могут
не образовывать /-делимую группу над Sv; а именно, будучи
точными в общей точке, последовательности
О -> W
W (п + m)° -U W (m)° -+ О
могут не быть точными.
Эти трудности устраняются заменой абелева многообра-
многообразия А на A/Wf для достаточно большого п (по поводу слу-
случая (Ь) см. [4], предложение 12), что и дает утверждение
теоремы 2.6.
Если абелево многообразие А главно поляризовано и
W—максимальное изотропное подпространство, то. на фак-

il
J
1
120
П. Re линь
тормногообразии A/W n также имеется главная поляризация.
Согласно 1.3 и 2.6, эти фактормногообразия лежат лишь
в конечном числе классов изоморфизма абелевых многооб-
многообразий. Как объяснено в докладе Шпиро1), отсюда вытекает
гипотеза Тейта. Дополнительная информация, доставляемая
теоремой 2.4, позволяет теми же методами получить следую-
следующее более точное утверждение.
Теорема 2.7. Пусть А — абелево многообразие над число-
числовым полем k с алгебраическим замыканием k. Группа Галуа
Qn\(k/k) действует на Z-модуле Тейта Т {А) :== П Г, (А), и
пусть р: Z [Gal (&/&)]-> End*? (Т (А)) — соответствующий гомо-
гомоморфизм ее группового кольца. Подалгебра p(Z[Gal(fe/&)])
алгебры Endg (Tt (А)) имеет конечный индекс в централизаторе
End (А) в Endf (Г, (Л)).
Помимо гипотезы Тейта и полупростоты действия группы
Галуа Gal (k/k) на Vi (А) эта теорема утверждает, что для
почти всех / централизатор End (Л) в Endz, (Tt (А)) состоит
из Zj-линейных комбинаций элементов группы Gal (k/k).
Следствие 2.8. Над числовым полем k каждый класс изо-
генности абелевых многообразий состоит из конечного числа
классов изоморфизма.
Пусть Л — абелево многообразие над k. Задать абелево
многообразие Л', изогенное Л, — это то же самое, что за-
задать для каждого / Галуа-инвариантную решетку Т\ cz Vi (Л),
совпадающую с Tt (Л) для почти всех /. Для того чтобы А'
было изоморфно А, необходимо и достаточно существование
элемента b e End (A) ® Q, такого, что Ъ • Ti (Л) = Т\ для
всех /.
Для каждого простого / тот факт, что образ алгебры
Qi [Gal (k/k)] в End (Vt (А)) совпадает с централизатором
алгебры End(A)<8>Qt в End (Vt (Л)), влечет за собой конеч-
конечность числа орбит при действии группы (End (Л) ® Q*)* на
множестве всех Галуа-инвариантных решеток Пс Vi(A).
Для таких/, что End (Л)® Zt — максимальный порядок в полу-
полупростой алгебре End (A) ® Q/ и образ кольца Zj [Gal (kjk)]
в End(Tt(A)) совпадает с централизатором кольца End (Л)
в End (Tt (А)), имеется ровно одна орбита.
См. настоящий сборник, стр. 125—150. — Прим. ред.
Доказательство гипотез Тейта и Шафаревича
121
Пусть G — алгебраическая Q-группа, отвечающая мульти-
мультипликативной группе Q-алгебры End^)®Q. Эта группа ре-
дуктивна. Адельная группа G(A') действует на системы ре-
решеток (Ti), и, как было установлено выше, множество орбит
этого действия конечно. Для каждой такой орбиты множе-
множество входящих в нее классов изоморфизма абелевых много-
многообразий может быть отождествлено с множеством
G(Q)\G(Af)/K двойных классов смежности, где К — неко-
некоторая открытая подгруппа группы G(Af)- Но это множество
конечно, что и доказывает следствие.
Следствие 2.9. Поляризованные абелевы многообразия
(Л, 9) с поляризацией степени п, определенные над числовым
полем k и такие, что А изогенно фиксированному абелеву
многообразию В, образуют конечное число классов изомор-
изоморфизма.
Доказательство. Применить 1.26(ii).
3. ГИПОТЕЗА ШАФАРЕВИЧА
Теорема 3.1. Пусть k—числовое поле, k~ — его алгебраиче-
алгебраическое замыкание, S — конечное множество неархимедовых то-
точек поля k, I — простое число и d — целое число. Существует
такое конечное множество Т неархимедовых точек поля k,
не пересекающееся с S, что любое полупростое d-мерное
l-адическое представление р: Ga/(?/&)-> GL(d, Qt), неразветв-
ленное вне S, однозначно (с точностью до изоморфизма пред-
представлений) определяется следами Тг(р(<р0)), где v пробегает
множество Т.
Известно (Эрмит), что существует лишь конечное число
расширений Галуа к' поля k ограниченной степени, нераз-
ветвленных вне S. Согласно теореме плотности Чеботарева,
тогда существует конечное множество Т точек поля k, не пе-
пересекающееся с S, такое, что классы сопряженности авто-
автоморфизмов Фробениуса <ро (и е Г) заполняют все группы
Галуа Gal (?'/&) для всех расширений Галуа k' поля k сте-
степени <1/м>, неразветвленных вне S. Покажем, что множе-
множество Т удовлетворяет заключению теоремы 3.1.
Пусть pi, р2 — два представления указанного выше типа,
такие, что Trpi(<po) = Trp2(<po) для всех oef. Мы хотим
доказать, что pi и р2 имеют один и тот же характер, что в
силу полупростоты представлений даст нам их изоморфизм.
Пусть М — образ алгебры Zг [Gal (?/&)] при гомоморфизме
р, X Р2: Z, [Gal (k/k)] -* Md (Q,) X Md (Qt).

122
П. Делинь
Надо убедиться в том, что линейная форма б(тьт2):=
:=Tr(mi) — Тг(т2) тождественно равна нулю на М.
Алгебра М является 2гмодулем ранга ^.2d2. Образ груп-
группы Галуа Gal(?/&) в факторгруппе (М/1М)* состоит, таким
образом, из менее чем l2d' элементов и по предположению
каждый из этих элементов имеет вид (pi X Рг) (фо), и е Г.
Согласно лемме Накаямы, М совпадает с множеством Zi-ли-
нейных комбинаций элементов (pi X Рг) (фо) (оеГ). А на
них форма б обращается в нуль по предположению, что дает
нам равенство 6 = 0 на М.
Замечание. Более слабое утверждение было получено
Ж.-П. Серром по модулю обобщенной гипотезы Римана1).
Следствие 3.2. Пусть k — числовое поле и S — конечное
множество точек поля k. Множество классов изогенности
g-мерных абелевых многообразий над k, имеющих хорошую
редукцию вне S, конечно.
Зафиксируем простое число / и применим теорему 3.1
к множеству 5 U {точки, делящие /} и d = 2g. Для каждого
абелева многообразия А рассматриваемого типа /-адическое
представление Vi (A) :=7"j(/l)®Q/ полупросто B.7) и име-
имеется лишь конечное число возможностей для следа <ро (уеГ):
согласно А. Вейлю, этот след является целым числом, по
модулю не превосходящим 2g -у'qv . Следовательно, имеется
лишь конечное число возможностей для классов изоморфиз-
изоморфизма модулей Галуа Vi{A), и остается применить гипотезу
Тейта.
Приведенные ниже следствия получаются из этого след-
следствия с помощью следствий 2.8 и 2.9.
Следствие 3.3. Пусть k — числовое поле и S — конечное
множество точек поля k. Множество классов изоморфизма
g-мерных абелевых многообразий над k с хорошей редукцией
вне S конечно2).
Следствие 3.4. Пусть k — числовое поле и S — конечное
множество точек поля k. Множество классов изоморфизма
g-мерных поляризованных абелевых многообразий (А, в)
с поляризацией степени п над k с хорошей редукцией вне S
конечно.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ash A., Mamford D., Rapoport M., Tai Y. Smooth compactification of
locally symmetric varieties, Math. Sci. Press, Brookline, 1975.
!) Cm. [9*]. — Прим. ред.
2) Этот результат был получен Ю. Г. Зархииым в 1983 г. и опублико-
опубликован в [10*]. — Прим. ред.
Доказательство гипотез Тейта и Шафаревича
123
[2] Faltings G. Eindlichkeitssatze fur abelsche Varietaten fiber Zahlkor-
pern, Inv. Math., 73 A983), 349—366.
[3] Raynaud M. Schemas en groupes de type (p, ..., p), Bull. Soc. Math.
France, 102 A974), 241—280.
[4] Tate J. p-divisible groups, Proc. of a conf. on local fields (Driebergen
1966), Springer-Verlag, New York, 1967, pp. 158—183. [Имеется пере-
перевод: Тэйт Дж. р-делимые группы. — Математика, т. 13, № 2, с. 3—25.]
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
[5*] Arithmetic geometry, Springer, N. Y., 1986.
[6*1 Faltings G., Wustholz G. et al. Rational points, Braunschveig, 1984.
[7*] Szpiro L., Seminaire sur les pinceaux arithmetiques: La conjecture de
Mordell, Asterisque, 1985, n° 127
[8*]3архин Ю. Г., Паршин А. Н. Проблемы конечности в диофантовой
геометрии. — В кн : Ленг С Основы диофантовой геометрии. — М.:
Мир, 1986, с. 369—438.
[9*] Serre J.-P. Quelques applications de theoreme de densite de Chebota-
rev, Publ. Math. IHES, 54 A981), 123—201.
[10*] Zarhin Yu. A finiteness theorem for unpolarized abelian varieties over
number fields with prescribed places of bad reduction, Inven. Math.,
79 A985), 309—321,
Дополнение редактора
Таблица канонических высот эллиптических кривых СМ-типа, поле ком-
комплексного умножения которых имеет простой дискриминант — р, р =? 3 D)
и число классов h (составлена Ю. Г. Зархиным)
р
3
7
11
19
23
31
43
47
59
67
71
79
83
103
107
127
131
139
151
163
167 -
179
191
199
211
223
227
239
851
h
1
1
1
1
3
3
1
5
3
1
7
5
3
5
3
5
5
3
7
1
И
5
13
9
3
7
5
15
7
высота
—0,74875
-0,71325
—0,65018
—0,51389
—0,63473
—0,57463
-0,14251
—0,56559
—0,45473
0,17281
—0,53316
—0,43142
—0,33234
—0,33344
—0,21644
—0,23885
—0,35779
—0,17502
—0,31360
1,50065
—0,40477
—0,22627
—0,40988
-0,30937
0,05420
—0,13922
-0,12665
—0,38221
-0,24119
р
263
271
283
307
311
331
347
359
367
379
383
419
431
439
443
463
467
479
487
491
499
503
523
547
563
571
587
599
607
h
13
11
3
3
19
3
5
19
9
3
17
9
21
15
5
7
7
25
7
9
3
21
5
3
9
5
7
25
13
высота
—0,29853
—0,27255
0,20539
0,26435
—0,37328
0,38975
0,11932
—0,32250
—0,02555
0,51162
—0,25853
—0,13439
—0,29244
—0,21607
0,29839
0,35371
0,51148
—0,32082
0,39778
-0,06487
0,79353
—0,24252
0,14171
0,71656
—0,02675
0,27564
0,20658
—0,23509
0,00251

124
P
619
631
643
647
659
683
691
719
727
739
743
751
787
811
823
827
839
859
863
883
887
907
911
919
947
967
971
983
991
1019
1031
1039
1051
1063
1087
1091
1103
1123
1151
ft
5
13
3
23
U
5
5
31
13
5
21
15
5
7
9
7
33
7
21
3
29
3
31
19
5
11
15
27
17
13
35
23
5
19
9
17
23
5
41
П. Делинь
высота
0,38108
0,06304
0,95827
-0,17489
—0,04143
0,69342
0,47778
-0,25239
0,11295
0,48295
—0,05714
0,05960
0,43828
0,24605
0,57350
0,44228
-0,21607
0,28304
0,02945
1,23330
-0,15263
1,26547
—0,15484
0,00304
1,07045
0,47258
—0,02122
-0,05678
0,13627
0,08764
-0,16205
—0,04367
0,82820
0,04429
0,86137
—0,03822
0,11462
0,74213
-0,18398
P
1163
1171
1187
1223
1231
1259
1279
1283
1291
1303
1307
1319
1327
1367
1399
1423
1427
1439
1447
1451
1459
1483
1487
1499
1511
1523
1531
1559
1567
1571
1579
1583
1607
1619
1627
1663
1667
1699
h
7
7
9
35
27
15
23
11
9
11
11
45
15
25
27
9
15
39
23
13
11
7
37
13
49
7
11
51
15
17
9
33
27
15
7
17
13
11
высота
0,77083
0,45455
0,45843
—0,10474
—0,05630
0,13542
0,07809
0,29722
0,33136
0,75311
0,35076
-0,17150
0,38106
0,18885
0,01349
1,19091
0,13267
—0,06034
0,07815
0,33926
0,23441
0,54752
—0,03851
0,35674
—0,15686
1,05028
0,27134
—0,16098
0,56654
0,17134
0,41274
0,05870
0,23400
0,27549
0,64611
0,42089
0,31837
0,32687
Здесь использовалась формула A.5.1) для «геометрической» высоты.
Отметим, что в случае h — 1 соответствующие кривые имеют модель, оп-
определенную над Q. Таблица показывает важное отличне числовой ситуа-
ситуации от случая семейства кривых над полной кривой. В последнем случае
высота всегда неотрицательна (теорема С. Ю. Аракелова) и равна нулю
для изотривиальных семейств. Было высказано предположение (Л. Шпиро,
Ф. Оорт, Ф. А. Богомолов), что в числовом случае аналогами нзотривиаль-
ных семейств являются кривые СМ-типа. Однако, как видно из таблицы,
нх нельзя характеризовать условием, например, неположительности высоты.
Впрочем, можно было бы надеяться, что это будет верно, если изменить
определение высоты, выбрав другую нормировку интегралов, входящих
в архимедовы компоненты. Во всяком случае дальнейшие вычисления ЛкеОт
для р ^ 4000 по?азывают, что разброс значений высоты на этом интерва-
интервале невелик. Наибольшее значение равно 1,655 и достигается при р = 2683.
Последнее р, где hteom < 0, это р = 3671 и высота равна—0,014.
ГИПОТЕЗА МОРДЕЛЛА»
по Г. Фальтингсу
Люсьен Шпиро
Высшая Нормальная Школа, Париж, Франция
0. План статьи
1. Введение: диофантовы уравнения
2. Проблема Шафаревича
1.1. Множество Ш(В, F)
2.2. Два метода ограничивать множество Ш
2.2.1. Высоты, степень
2.2.2. Представление фундаментальной группы или груп-
группы Галуа
3. Переход к абелевым многообразиям
4. Проблема Тейта
4.1. Формулировка гипотезы Тейта
4.2. Сведение гипотезы Тейта к некоторому утверждению
конечности
б. Стратегия, примененная Фальтингсом
5.1. Теорема Фальтингса
5.2. Конструкция Коданры — Паршина
5.3. Как получать теоремы конечности
6. Таблица результатов
7. А что теперь?
Литература
1. ВВЕДЕНИЕ: ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ2>
Диофантовыми уравнениями называются конечные систе-
системы уравнений
FX(XU .... Хп) = 0,
F2(Xl *п) = 0 FN(Xl *„)«=<),
где Fi — многочлены от переменных Хи ..., Хп с рациональ-
рациональными коэффициентами или (переходя к расширению), с ко-
коэффициентами в числовом поле. Нас интересуют рациональ-
рациональные решения (или после перехода к расширению—решения
в числовом поле) этих уравнений.
') Szpiro Lucien. La conjecture de Mordell (d'apres G. Faltigns). Se-
minaire Bourbaki, 36-е аппёе, 1983/84, № 619, 1—21,
2) Более подробное изложение результатов этого доклада см. [1*],
[2*1 [3*], [4*]. История вопроса изложена в [4*. § 1]. — Прим. ред.
© Revue Asterisque, 1983

124
P
619
631
643
647
659
683
691
719
727
739
743
751
787
811
823
827
839
859
863
883
887
907
911
919
947
967
971
983
991
1019
1031
1039
1051
1 1063
1087
1091
1103
! 1123
1151
ft
5
13
3
23
11
5
5
31
13
5
21
15
5
7
9
7
33
7
21
3
29
3
31
19
5
11
15
27
17
13
35
23
5
19
9
17
23
' 5
41
П. Делинь
высота
0,38108
0,06304
0,95827
-0,17489
—0,04143
0,69342
0,47778
—0,25239
0,11295
0,48295
—0,05714
0,05960
0,43828
0,24605
0,57350
0,44228
-0,21607
0,28304
0,02945
1,23330
-0,15263
1,26547
-0,15484
0,00304
1,07045
0,47258
—0,02122
-0,05678
0,13627
0,08764
—0,16205
—0,04367
0,82820
0,04429
0,86137
-0,03822
0,11462
0,74213
—0,18398
Р
1163
1171
1187
1223
1231
1259
1279
1283
1291
1303
1307
1319
1327
1367
1399
1423
1427
1439
1447
1451
1459
1483
1487
1499
1511
1523
1531
1559
1567
1571
1579
1583
1607
1619
1627
1663
1667
1699
h
7
7
9
35
27
15
23
11
9
И
11
45
15
25
27
9
15
39
23
13
11
7
37
13
49
7
11
51
15
17
9
33
27
15
7
17
13
11
высота
0,77083
0,45455
0,45843
—0,10474
-0,05630
0,13542
0,07809
0,29722
0,33136
0,75311
0,35076
—0,17150
0,38106
0,18885
0,01349
1,19091
0,13267
—0,06034
0,07815
0,33926
0,23441
0,54752
-0,03851
0,35674
-0,15686
1,05028
0,27134
—0,16098
0,56654
0,17134
0,41274
0,05870
0,23400
0,27549
0,64611
0,42089
0,31837
0,32687
Здесь использовалась формула A.5.1) для «геометрической» высоты.
Отметим, что в случае h = 1 соответствующие кривые имеют модель, оп-
определенную над Q. Таблица показывает важное отлнчие числовой ситуа-
ситуации от случая семейства кривых над полной кривой. В последнем случае
высота всегда неотрицательна (теорема С. Ю. Аракелова) и равна нулю
для изотривиальных семейств. Было высказано предположение (Л. Шпиро,
Ф. Оорт, Ф. А. Богомолов), что в числовом случае аналогами нзотривиаль-
ных семейств являются кривые СМ-типа. Однако, как видно из таблицы,
их нельзя характеризовать условием, например, неположительности высоты.
Впрочем, можно было бы надеяться, что это будет верно, если изменить
определение высоты, выбрав другую нормировку интегралов, входящих
в архимедовы компоненты. Во всяком случае дальнейшие вычисления /tgeom
для р ^ 4000 показывают, что разброс значений высоты на этом интерва-
интервале невелик. Наибольшее значение равно 1,655 и достигается при р = 2683.
Последнее р, где hgeom < 0, это р = 3671 и высота равна—0,014,
ГИПОТЕЗА МОРДЕЛЛА»
по Г. Фальтингсу
Люсьен Шпиро
Высшая Нормальная Школа, Париж, Франция
0. План статьи
1. Введение: диофантовы уравнения
2. Проблема Шафаревича
1.1. Множество Ш(В, F)
2.2. Два метода ограничивать множество Ш
2.2.1. Высоты, степень
2.2.2. Представление фундаментальной группы или груп-
группы Галуа
3. Переход к абелевым многообразиям
4. Проблема Тейта
4.1. Формулировка гипотезы Тейта
4.2. Сведение гипотезы Тейта к некоторому утверждению
конечности
б. Стратегия, примененная Фальтиигсом
5.1. Теорема Фальтингса
5.2. Конструкция Коданры — Паршина
5.3. Как получать теоремы конечности
6. Таблица результатов
7. А что теперь?
Литература
1. ВВЕДЕНИЕ: ДИОШАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ2)
Диофантовыми уравнениями называются конечные систе-
системы уравнений
#W *„) = 0,
F2(Xl Хя) = 0 FN{Xl JTJ-O,
где Ft— многочлены от переменных Х\, .... Хп с рациональ-
рациональными коэффициентами или (переходя к расширению), с ко-
коэффициентами в числовом поле. Нас интересуют рациональ-
рациональные решения (или после перехода к расширению —решения
в числовом поле) этих уравнений.
') Szpiro Lucien. La conjecture de Mordell (d'apres G. Faltigns). Se-
minaire Bourbaki, 36-е аппёе, 1983/84, № 619, 1—21,
2) Более подробное изложение результатов этого доклада см. [1*],
[2*], [3*], [4*]. История вопроса изложена в [4*, § 1]. — Прим. ред.
© Revue Asterisque, 1983

126
Л. Шпиро
Пусть К — числовое поле, содержащее все коэффициенты
многочленов F,-, и пусть а: К-*-С;—вложение К в поле ?п
комплексных чисел. Естественно рассматривать замкнутое
многообразие V в аффинном пространстве Ас, определенное
многочленами Ft. (Если F, — однородные многочлены, то
предпочтительнее будет рассматривать замкнутое подмного-
подмногообразие в Рс» определенное многочленами Ft). Первый инте-
интересный случай это тот, при котором многообразие V имеет
размерность 1 над С. Он и будет, по существу, единственным
случаем, изученным в этом докладе. Пусть V= С—алге-
С—алгебраическая кривая над полем комплексных чисел .С. Кри-
Кривой С сопоставляется целое число g, называемое ее родом,
и определяемое следующим образом: пусть С—проективное
замыкание кривой С, а С — нормализация (и, значит, неосо-
неособая модель) для С. Известно, что С как дифференцируемое
многообразие является компактной римановой поверхностью
без края. Число ручек этой поверхности С и есть ее род g.
(Я1 (с, Z)~ Z2g.) Множество решений системы уравнений
(F; = 0) в поле К взаимно однозначно соответствует множе-
множеству рациональных точек кривой С над К, обозначаемому че-
через С (К).
Возьмем в качестве примера одно однородное уравнение
F(X, Y, Z) = 0 степени п с целыми коэффициентами. Уравне-
Уравнение F{X, У, Z) = 0 определяет плоскую кривую С в Р2. Пред-
Предположим, что кривая С имеет над полем С в качестве осо-
особенностей только двойные точки с разделенными касатель-
касательными, и пусть г — число этих двойных точек. Тогда род кри-
кривой С равен
A)B)
Если (а,Ь,с)—рациональные числа, такие что F(a, b, c) = 0
и если JieQ, то ввиду того, что F — однородный многочлен,
имеем также и F(%a, Xb,Xc) = O. Поэтому мы будем интере-
интересоваться только целыми решениями (а, Ь, с) без общего мно-
множителя. Множество таких решений находится во взаимно
однозначном соответствии с C(Q).
Важность этого примера объясняется тем, что, как можно
показать, любая гладкая проективная кривая над полем К
имеет модель Р2, особые точки которой только точки опи-
описанного выше типа. Важность понятия рода состоит в том,
что оно позволяет выделить три случая (g = 0, g = 1, g > 2),
в которых множество решений имеет разную природу.
Теорема 1. Пусть К—числовое поле и С — гладкая, гео-
геометрически связная, проективная кривая рода g, определен*
ная над полем К. Тогда для любого числового поля К! имеем
Гипотеза Морделла
127
(бесконечное мно-
a) Если g = 0 и С(К')Ф 0, то С~
-\ к'
жест во решении).
b) Если g=\, то либо С(К') пусто, либо С(К') является
главным однородным пространством над некоторой комму-
коммутативной группой конечного типа (теорема Морделла [Мо]).
c) Если g~^2, то С(К')—конечное множество (гипотеза
Морделла [Мо], доказанная Фальтингсом [F2]).
Утверждение Ь) было обобщено в диссертации А. Вейля:
Пусть А— абелево многообразие, определенное над чис-
числовым полем К. Тогда А (К)—коммутативная группа конеч-
конечного типа (теорема Морделла — Вейля).
Сразу же отметим, что за исключением некоторых част-
частных случаев, описание множества решений при g^ 1 не яв-
является эффективным. Например, если кривая С лежит в про-
проективном пространстве Р%, то точки C(Q) находятся во вза-
взаимно однозначном соответствии с теми точками с однород-
однородными координатами (х0, ..., хп), j.-eZ, H. О. R.(xi) — 'l, ко-
которые лежат на С. Эффективный результат говорил бы «кое-
что» о sup|^| (и, следовательно, о числе точек в С (К) при
g ^ 2) '). Но это не так для теоремы Фальтингса.
За исключением результатов Морделла и Вейля, цитиро-
цитированных выше, до работы Фальтингса имелись следующие ре-
результаты Зигеля о целых точках.
Определение. Пусть К—числовое поле, S — конечное мно-
множество точек поля К2) и X — гладкая аффинная кривая
над/С.S-целой точкой кривой X над К называется рациональ-
рациональная точка кривой X над К, все координаты которой имеют
знаменатели с носителем в S.
Можно взять в качестве примера K = Q, S = 0, X — пло-
плоская кривая в А/о определенная уравнением F(X, У) = 0; при
этом целая точка — это целочисленное решение данного урав-
уравнения. Это определение не зависит от выбранной системы
аффинных координат. Действительно, если Х-*- Spec О (О —
кольцо целых чисел поля К) является минимальной регуляр-
') Здесь говорится о двух разных задачах. Эффективная оценка вы-
высоты рациональных точек для g ^ 2 до сих пор не получена (в случае
излагаемой ниже теоремы Зигеля о целых точках такая оценка имеется
лишь для кривых частного вида) н представляет собой весьма трудную
задачу (см. замечания в [4*] и [5*] и дополнение редактора на стр. 268).
Вопрос об оценке числа точек гораздо проще и был в принципе решен
А. Н. Паршиным (см. изложение в [1*]). — Прим. ред.
2) В оригинале «place»; мы переводим одним словом «точка» фран-
французские слова «point» и «place». Это, как мы надеемся, не должно приве-
привести к недоразумениям. — Прим. перев.

128
Л. Шпиро
и
ной моделью компактификации Я для X, и если D — схемное
замыкание для X — X, то S — целая точка кривой X над К
есть не что иное как сечение морфизма X — D-* Spec О \S.
Теорема [Si]. Пусть К—числовое поле, S — конечное
множество точек поля К, X — неособая аффинная кривая
над К, гладкая компактификация которой имеет род g. Тогда
множество S-целых точек кривой X над полем К конечно
в следующих двух случаях:
a) g~
b) g> .. ,
Эта теорема также не дает эффективной границы для
высоты целых точек. Однако работа Бейкера о так называе-
называемых уравнениях Туэ
F(X, У) — const,
где F — однородный полином, имеющий три различных кор-
корня, дают некоторую эффективную границу для целых реше-
решений. Мы не будем обсуждать больше вопрос об этой эффек-
эффективной границе для координат целых точек.
Скажем еще несколько слов по поводу аналогичных проб-
проблем, где поле К заменяется на поле рациональных функций
К на кривой С, определенной над полем к:
a) если g = 0, то С— Pk (теорема Тзена),
b) если g — 1, то С (К) либо пусто, либо является груп-
группой конечного типа (Нерон — Севери),
c) если g ^ 2, то С(К) конечно (k = С—Манин [Ма],
char k = p > 0 — Самюэль [Sa]).
Заметим, что Грауэрт дал другое доказательство теоремы
Манина в [Gr] и именно это доказательство Зыло перенесено
Самюэлем на случай полей положительной характеристики.
Доказательство для этого последнего ел} ;ая, приводимое
в настоящем докладе, заимствовано из [S].
2. ПРОБЛЕМА ШАФАРЕВИЧА
2.1. МНОЖЕСТВО Ш(В, F)
Пусть В (В— от слова «base» — база) — регулярная схе-
схема. Здесь это будет чаще всего либо открытое множество
в кольце целых алгебраических чисел, либо открытое под-
подмножество на проективной и гладкой кривой, определенной
над полем k. Пусть F (F— от слова «fibre», слой)—какое-
') Заметим, что эти условия (как и условие j^2 в теореме Фаль-
тингса) эквивалентны тому, что Х~Х — гиперболическая риманова по-
поверхность. — Прим. ред.
Гипотеза Морделла
129
нибудь условие на алгебраические многообразия и возмож-
возможные его вырождения (например, F — гладкая проективная
кривая рода g с полустабильным вырождением, или F —
абелево многообразие размерности g, снабженное поляриза-
поляризацией степени га). Будем называть множеством Шафаревича,
определенным по В и F, и обозначать его III (В, F), множе-
множество классов с точностью до В-изоморфизмов схем /; Х-+В,
слои которых изоморфны F.
Пример 1.1. Конечные морфизмы, арифметический случай.
Пусть О — кольцо целых алгебраических чисел, S —ко-
—конечное множество точек в О, В — Spec О — 5 и га — положи-
положительное целое число. Один вариант классической теоремы
Эрмита позволяет утверждать, что Ш(В, п точек) — конечное
множество. Мы вернемся к этому утверждению в п. 2.2.
Пример 1.2. Конечные морфизмы кривых (в характерис-
характеристике 0).
Пусть С — гладкая проективная кривая над полем k, S —
конечное множество точек на С и га — целое число. Можно
доказать (существенно используя теорему единственности
Римана), что Ш(С — S, га точек) — конечное множество.
Пример 1.3. Группа Тейта — Шафаревича
Пусть К — числовое поле и А — абелево многообразие
над К. Тогда множество классов с точностью до /С-изомор-
физмов многообразий, которые становятся изоморфными А
над полем R для каждого пополнения R поля К, является
группой, называемой группой Тейта — Шафаревича. Эта
группа обозначается Ш(К, А, Я-изом. А для всех R), что
согласуется с привычным обозначением Ш(Л). В настоящее
время недоказанной гипотезой является утверждение о трм,
что Ш(К, А, Д'-изом. А для всех R) — конечная группа1).
Пример 1.4.
Над выбранными нами базами Spec О — S, или С — S,
случай, когда множество S пусто, тоже представляет интерес.
Например, утверждение о том, что #UI(SpecZ, га точек) =
= 1 при га ^ 2, это одна из теорем Мннковского, которая
обычно формулируется в следующем виде: абсолютная ве-
величина дискриминанта числового поля степени не меньшей
двух (над Q) больше или равна двум.
!) Осенью 1986 г. К. Рубин построил первые примеры эллиптических
кривых AIQ с конечной группой Ш(А). В частности, Ш = @) для кривой
у* = х3 — х. См. также дополнение на стр. 256. — Прим. ред.
5 Зак. 603

130
Л. Шпиро
Пример 1.5.
А. Гротендик доказал в работе [Gro 2] следующую тео-
теорему:
Пусть В — открытое множество на алгебраической кри-
кривой над [С] и Ре В; пусть А-*- В— поляризованная абелева
схема. Тогда, если фиксировать слой морфизма / над точ-
точкой Р, то морфизм / является жестким (другое доказатель-
доказательство этого утверждения можно найти в работе [D2]). С дру-
другой стороны, Г. Фальтингс в работе [F2] показал, что мно-
множество таких А образует ограниченное семейство (мы наме-
наметим далее доказательство этого утверждения, данное
Ф. Гриффитсом в [Gri]).
Пример 1.6. Гипотеза Шафаревича [Sh 1]
В своем докладе на Международном математическом кон-
конгрессе в Стокгольме И. Р. Шафаревич поставил следующую
проблему:
Пусть К — числовое поле, S — конечное множество точек
поля К, g— целое число, большее или равное двум. Пока-
Показать, что множество классов с точностью до /*С-изоморфиз-
мов гладких проективных кривых рода g над К, имеющих
хорошую редукцию вне S, конечно.
Если О — кольцо целых чисел поля К и В — Spec ?T\S,
то проблема Шафаревича может быть сформулирована так:
показать, что # Ш (В, гладкие проективные кривые
рода g)< оо.
Напомним, что гладкая проективная кривая С рода g^t1
над К обладает единственной минимальной моделью, регу-
регулярной над О. Это означает, что существует регулярная схе-
схема X и проективный морфизм X —*¦ Spec О, общий слой
которого есть С, и такой, что среди его') слоев нет слоя,
изоморфного Р1 с индексом самопересечения равным —1
(про регулярные модели см. у Абъянкара [АЬ] или у Лип-
мана [Li], а про минимальные — см. работу Шафаревича
[Sh2]). Говорят, что кривая С имеет хорошую редукцию в
точке peSpecC, если схема Х(у) является гладкой.
Разумеется, можно выдвинуть геометрический аналог ги-
гипотезы Шафаревича:
фШ(С\5, гладкие проективные кривые рода g) < оо.
Гипотева Морделла 131
2.2. ДВА МЕТОДА ОГРАНИЧИВАТЬ МНОЖЕСТВО III
2.2.1. Высоты, степень
2.2.1.1. Геометрический случай: кривая С над полем k. Тех-
Технику, используемую в геометрическом случае, можно условно
подразделить на две:
a) ограниченные семейства,
b) жесткость.
а) Для семейств абелевых многообразий или кривыхХ—*С
удается в терминах 5 и g ограничить величину —d, равную
степени над С алгебры Ли абелева многообразия или яко-
якобиана кривой (S — множество точек плохой редукции, кото-
которая предполагается полустабильной). Например, если
f: X-+ С — семейство кривых рода ^>2 с ненулевым клас-
классом Кодаиры — Спенсера, то \2d^Sg(g—1) (q—l-\-s/2),
где q — род кривой С и s = #S (см. [S]). Если основное
поле — поле комплексных чисел jGj, то Аракелов в работе
[А1] дает более точную оценку
l /2)
•) Геометрических. — Прим. ред.
d<(ggo)(q + /)
где go — размерность неподвижной части якобиана. Для се-
семейств абелевых многообразий Гриффите в [Gri] показал,
что d^.8ng(q—l + s/2). Последнее неравенство над С1
при S — 0 доказано также в работах [М — В, S] для се-
семейств абелевых многообразий. Одна менее точная оценка
дается в [F2]. Семейство 1еШ(С — S, ...) соответствует
морфизму С в Mg (или Ag). Графики Г этих морфизмов
являются подмногообразиями в C~XMS (или в CX^g).
Получение оценки для d позволяет более или менее просто
показать, что существует обильный пучок L над С X Mg (или
СХ^в). степень которого над Г ограничена. Следовательно,
мы получаем многообразие Чжоу W конечного типа над
основным полем k, которое параметризует множество X е
Ь) В случае непостоянных семейств кривых (что почти
равнозначно отличию от нуля класса Кодаиры — Спенсера)
можно показать, что полустабильный морфизм f: Х-*-С с
фиксированным множеством вырождения 5 является жест-
жестким [А1], [S]. Для этого заметим, следуя Аракелову [А1],
что инфинитезимальные деформации морфизма / парамет-
параметризуются элементами группы когомологийЯ1 (X, oaj^). В слу-
случае нулевой характеристики Аракелов показал предвари-
предварительно, что пучок (ох/с численно положителен (т. е. почти
обилен), затем закончил доказательство, применив «теорему
об обращении в нуль» Кодаиры — Рамануджана, В случае

132
Л. Шпиро
положительной характеристики в работе [S] показано, что
справедливы те-же самые утверждения. Но при этом тре-
требуются более тонкие рассуждения, так как утверждение
«теоремы об обращении в нуль» Кодаиры не верно в поло-
положительной характеристике (см. [Mu], [R3], [S]). После
этого проверяется, что Ш(С — S, полустабильные кривые
рода g) — конечное множество, так как в каждой связной
компоненте W имеется единственный элемент из Ш. Мы не
располагаем, однако, какой-либо информацией о числе этих
связных компонент.
В случае нулевой характеристики с помощью примера 1.2
из п. 2.1 и теоремы Гротендика из § 3 (о полустабильной
редукции) выводим, что #Ш(С-S, кривые рода g)< oo.
В случае положительной характеристики утверждение
примера 1.2 п. 2.1 не верно, и фактически нельзя избавиться
от предположения о полустабильности, как это видно из
контрпримера, приводимого в [S].
2.2.1.2. Арифметический случай числового поля К и его
кольца целых и
a) Наивная высота
Пусть Р — точка проективного пространства Р". Пусть
*о, • • •, Хп — однородные координаты Р, которые предпола-
предполагаются лежащими в Z и взаимно простыми. Положим
Н (Р) = sup | xt |. Очевидно, что множество точек PeP"(Q),
таких что Н(Р) ограничено, является конечным.
Рассмотрим теперь проективное пространство над число-
числовым полем К, и пусть Р — его точка с координатами (*о, ...
.... *nJ. Положим Н(Р)= П sup| xtta/N(Zxi0), где Ф —
аеФ i '
множество архимедовых точек поля К; еа — 1 (соответ-
(соответственно 2), если а вещественно (соответственно комплексно).
Н(Р) не зависит от выбора координат, что следует из фор-
формулы произведения: Ц | / |*а = N (/), где /е/С. Множество
а
точек Р из Р"(/С) таких, что Н(Р) ограничено, является ко-
конечным. Ясно, что мы получим то же самое утверждение
о конечности, если в определении наивной высоты заменим
sup| x{ | на VX \xif • В этом случае выражение
п
деФ
также задает высоту, с которой, однако, труднее работать.
b) Аракеловская высота ([W2], [А1])
Гипотеза Морделла
133
Желательно иметь понятие «высоты», свойства которой
были бы близки к свойствам степени в геометрическом слу-
случае. Мы кратко изложим основные этапы — йогу — ее по-
построения.
Пусть К — числовое поле, О — его кольцо целых, п =
(f(K/Q), D — абсолютное значение дискриминанта К-^ Пусть
j_ — обратимый пучок над О, снабженный для каждой архи-
архимедовой точки а некоторой эрмитовой формой
L. Положим
Пусть
Это выражение не зависит от выбора s (в силу формулы
произведения). Классы обратимых эрмитовых пучков (с точ-
точностью до изометрий) образуют группу, которую будем обо-
обозначать через PiCc(<7). Имеем точную последовательность
О -> Rri+r7log (Г -> Pice (О) -> С1 (О) -> О,
где п _ число вещественных, а г2 — число комплексных то-
точек, О* —группа единиц в О. Легко видеть, что d°: Pice(<?)->
-*¦ R — аддитивная функция.
Введем «характеристику Эйлера — Пуанкаре» пучка
L: X(L) = —logvolR"/b, где L->-Rn определяется из разло-
разложения R" = ©(L©#<A, в котором /Co=R (соответственно
К.о = &), если о — вещественная (соответственно комплекс-
комплексная) точка, и где объем измеряется с помощью евклидовой
метрики, ассоциированной с эрмитовой формой < , V
Введем модифицированную характеристику: %' (L) =
— _ log 2"voUR7f) f определение которой оправдывается
нижеследующей леммой3. Например, %'@)=r2logj — ^
Введем теперь понятие сечений
Н° (О) = 0 + Ц (О), где ц — корни из единицы
снабжается метрикой, такой что || 11|„= 1, V^
Например
в0 @$
\ а
Геометрически характеристика xr (L) интерпретируется сле-
следующим образом:

134
Л. Шпиро
где Li получается из L умножением метрик на /-'.
Чтобы показать, что мы приблизились к теории степени
на алгебраических кривых, приведем четыре леммы, из ко-
которых три первых доказываются немедленно, а четвертая
есть переформулировка леммы Минковского о точках ре-
решетки в компактном центрально-симметричном выпуклом
теле.
Лемма 0 (Риман — Рох!). %' (L) = deg L + %' (О).
Лемма 1. Если d°(L)<0, то H°(L) = 0.
Лемма 2. Если d°(L) = 0 и Н°(Ь)фО, тогда L^O (как
метризованные пучки), О — тривиальный метризованный
пучок.
Лемма 3. (Минковский). Если deg (L) ^ — %' (О), тогда
(Ь)ФО
Можно заново передоказать элементарные теоремы теории
чисел (дискриминант больше единицы, теорема о единицах,
конечность группы классов С1(О) и пример 1.1 из § 2, ...\
исходя из этих четырех лемм.
Пусть X — алгебраическое многообразие над О: X —>¦ О.
Предположим, что X проективно, т. е. задано замкнутое вло-
вложение
Х->Рд.
Пусть Р^Х(К)—рациональная точка. Ей соответствует се-
сечение Е<=*Х морфизма f. Имеем ?c^Spec<?. Предположим,
что обратимый пучок Ох(\) снабжен эрмитовыми метриками
в точках на бесконечности. Тогда, как и выше, Ох(\)/Е —
метризованный обратимый пучок над О. У него, следова-
следовательно, имеется степень; положим da@x(\)/E) = h(P).
Предложение. Множество точек РеХ(К), имеющих огра-
ограниченную высоту h(P), конечно.
Чтобы доказать это предложение, заметим сначала, что
утверждение не зависит от выбранных эрмитовых метрик,
так как ^с — компакт. Возьмем теперь на 0х(\) метрику
Фубини — Штуди и заметим к нашему удовольствию, что
ехрЛ(Р)= П
* (Е
так же, как и ц конце п.
Гипотеза Морделла
135
2.2.2. Представление фундаментальной труппы или
группы Галуа
2.2.2.1. Геометрический случай: С — кривая, S — конечное
множество точек на ней. Фундаментальная группа дополне-
дополнения п\(С — S) хорошо известна. Можно, следовательно, ис-
исходя из ее представлений, получить информацию о множе-
множествах Ш(С —S, ...).
Пример 2.1. Конечные морфизмы (характеристика нуль)
Из теоремы единственности Римана следует, что фактор-
факторгруппа порядка п группы n\(C\S) взаимно однозначно со-
соответствует накрытию С — С этальному над C\S, которое
является накрытием Галуа степени d°n. Можно, переходя к
замыканию Галуа, заменить элемент из III(C\S, n точек) на
накрытие Галуа степени п!. Отсюда заключаем, что множе-
множество III(C\S, n точек) конечно, так как множество фактор-
факторгрупп порядка п! группы n\(C\S) есть конечное множество
(пример 1.2 из п. 2.1).
Заметим, что оценка, полученная Гриффитсом в работе
[Gri], также использует эту технику.
2.2.2.2. Арифметический случай: группа Галуа алгебраиче-
алгебраического замыкания К/К играет роль фундаментальной группы.
Пример 2.2. Набросок доказательства примера 1.1 из § 2.
Помимо того, что этот пример постоянно используется в
настоящей статье, это доказательство имеет то преимущество,
что оно использует оба метода ограничения множества Ш.
Речь здесь пойдет о III(Spec<?\S, n точек).
а) Эрмит показал, что множество расширений К' поля К
с заданным дискриминантом D конечно. Используя обозначе-
обозначения 2.2.1.2Ь), зададим на обратимом пучке О метрики || Ц^,
относительно которых он будет иметь степень, равную
—l' [О) (—%' (О) = Уг log D' — г'г log я/2). Это можно сделать
следующим образом (мы предполагаем для простоты, что от-
отсутствуют комплексные точки):
В силу леммы 3 существует элемент х<&0, такой что
где | 1аг — обычная метрика. Такой элемент х является при-
примитивным элементом для К' над К (фактически над Q); дей-

136
Л. Шпиро
ствительно, п
имеем |<Ti(лг)
() j
at{x)\2 =
> 1
1, так как хеС. Но тогда
{)\ {) д
> 1 и а\(х) не может равняться никакому
1 М б
|() \() р у
Oj(x) при j Ф 1. Мы показали таким образом, что для за-
заданного дискриминанта существует примитивный элемент
ограниченной высоты.
Ь) Остается показать, что для фиксированной степени
n=deg/('//( и фиксированного S = Supp?>K'/K дискрими-
дискриминант ограничен. Можно предположить (заменяя если необ-
необходимо п на п\), что К'/К — расширение Галуа. Используем
теперь второй метод: исследуем группу Галуа. Это было про-
проделано в работе Серра [Se 1] с помощью групп высшего
ветвления. Все сводится при этом к локальной ситуации:
L/K—расширение Галуа степени п с группой G, полное
относительно дискретного нормирования, и с абсолютным
индексом ветвления е. Пусть р — идеал нормирования в L.
Обозначим через Gi подгруппы в G, которые действуют три-
тривиально на 0ь/У1+х.
Пусть D — дискриминант L над К- Имеем
подгруппа в pl/pl+l,
если i>e/p—l.
8. ПЕРЕХОД К АБЕЛЕВЫМ МНОГООБРАЗИЯМ
Если С — гладкая проективная кривая над !С, то ее яко-
якобиан /(С) — это абелево многообразие с главной поляриза-
поляризацией, множество комплексных точек которого отождеств-
отождествляется с комплексным тором
оо
,(С, Z)
мы сопоставляем петле у линейный функционал
на пространстве дифференциальных форм, что задает ото-
отображение у V—»¦ { ш 1—> \ ©\].
Якобиан параметризует дивизоры нулевой степени на
кривой С с точностью до рациональной эквивалентности. Это
последнее определение обобщается на случай положительной
характеристики: 7(С)= Pic°(C). Для семейства проективных
кривых, у которого пространство параметров есть, например,
кольцо целых алгебраических чисел или гладкая проектив-
проективная кривая над полем, X—»- В, имеется также понятие от-
Гипотеза Морделла
137
носительного якобиана: J(X)= Pic°(X/B), который яв-
является компонентой связности единицы относительной схемы
Пикара Rlf *{(J*x)- J(X) является групповой схемой над В:
J(X)->-B. Говорят, что групповая схема такого типа имеет
хорошую редукцию в точке Р базы В, если слой J(X)/P
есть абелево многообразие.
Лемма. Пусть С — геометрически связная гладкая проек-
проективная кривая над полем К. Пусть В — схема размерности 1,
для которой К является полем функций и Р — точка на В.
Тогда, если С имеет хорошую редукцию в Р, то и якобиан
J(C) имеет хорошую редукцию в точке Р.
Мы видим, таким образом, что взяв кривую над число-
числовым полем С/К, мы построили главно-поляризованное абе-
абелево многообразие А — J(C)/K, удовлетворяющее трем сле-
следующим условиям:
1) Размерность А фиксирована (равна роду g кривой С).
2) А — абелево многообразие, определенное над К.
3) Множество точек хорошей редукции для А содержит
множество точек хорошей редукции для С.
В действительности теорема Торелли позволяет восстано-
восстановить кривую по ее якобиану. Современное изложение этой
теоремы содержится, например, в работе Оорта [О]. Мы
сформулируем эту теорему в форме, наиболее удобной для
наших рассмотрений. Мы должны сначала ввести соответ-
соответствующие пространства модулей:
Mg,n — пространство модулей гладких связных кривых
рода g над полем k, снабженных Z/nZ-базисом в группе то-
точек порядка п (п ^ 3) на своем якобиане (выбор жестко-
жесткости). Известно, что Mg,n — гладкое алгебраическое многооб-
многообразие размерности 3g — 3 над k, обладающее универсальной
кривой.
Ag,n — пространство модулей главно-поляризованных абе-
левых многообразий размерности g над полем k, снабженных
Z/nZ-базисом в группе точек порядка п (п^З).
Ag, п — алгебраическое многообразие размерности g(g-{-
[+ 1)/2, определенное над полем k, обладающее универсаль-
универсальным главно-поляризованным абелевым многообразием.
Теорема (Торелли). Для п ^ 3 взаимно простого с ха-
характеристикой отображение периодов
которое кривой сопоставляет ее якобиан, является инъектив-
ным морфизмом.

138
Л. Шпиро
«Гипотеза Шафаревича для абелевых многообразий» фор-
формулируется следующим образом:
Пусть К—числовое поле, S — конечное множество точек
поля К, g и п — положительные целые числа. Показать, что
множество абелевых многообразий над К размерности g,
снабженных поляризацией степени п, и имеющих хорошую
редукцию вне S, конечно.
Кратко эту гипотезу можно сформулировать так:
Ф Ш (Spec О — S, абелевы многообразия dim g,
имеющие поляризацию степени п) < оо.
Напомним, что абелево многообразие Л над К обладает
единственной моделью Нерона [N], Х->Speed", которая яв-
является гладкой коммутативной групповой схемой, и которая
характеризуется следующим универсальным свойством: ка-
каноническое отображение A(RK)+-X(R) является биекцией
для любой схемы R, гладкой над О- Говорят, что абелево
многообразие А/К имеет хорошую редукцию вне S, если ее
модель Нерона имеет хорошую редукцию вне S.
Благодаря примеру 1.1 из § 2 и теореме Торелли, мы
видим, что «гипотеза Шафаревича для абелевых многообра-
многообразий» влечет за собой «гипотезу Шафаревича для кривых».
Действительно, зафиксируем n ^ 3. Расширение К' поля К,
в котором все точки порядка п рациональны, имеет степень,
не превосходящую n2s, и разветвлено только в S[j {n}.
Фактически, когда к основному полю присоединяются
точки порядка п ^ 3 на абелевом многообразии, то его пло-
плохая редукция «не такая уж и плохая»: она становится «по-
«полустабильной».
Определение. Пусть V — кольцо дискретного нормирова-
нормирования с полем частных К и полем вычетов k. Пусть А (соответ-
(соответственно С) — групповая схема со связными слоями (соответ-
(соответственно кривая) над Spec V. Предположим, что Ак (соот-
(соответственно С к) — абелево многообразие (соответственно
геометрически связная гладкая проективная кривая). Гово-
Говорят, что А (соответственно С) имеет полустабильную редук-
редукцию, если специальный слой Ak (соответственно Ck) яв-
является расширением абелева многообразия при помощи
группы мультипликативного типа (соответственно является
приведенной кривой, у которой особенности — только обык-
обыкновенные двойные точки и которая не содержит кривой,
изоморфной Р1 и стягиваемой в С). Это определение равно-
равносильно требованию унипотентности оператора монодромии.
Гипотеза Морделла
139
Теорема (А. Гротендик [G2]). Пусть V—кольцо дискрет-
дискретного нормирования с полем частных К и пусть Ак — абелево
многообразие над /С. Тогда, если для некоторого п~^Ъ, вза-
взаимно простого с характеристикой поля вычетов, точки по-
порядка п на многообразии А рациональны над К, то модель
Нерона для А к имеет полу стабильную редукцию.
А. Гротендик первый показал, что произвольное абелево
многообразие «потенциально» имеет полустабильную ре-
редукцию (т. е. становится таковым после некоторой конечной
замены базы). Совместные усилия Серра, Тейта и Рейно
позволили сформулировать теорему о полустабильной редук-
редукции в этой простой форме.
Замечание. Выше мы упоминали о вложении кривой в
свой якобиан. Один из возможных методов доказательства
теоремы Морделла — Фальтингса мог бы быть основан на
следующем утверждении:
Пусть А — абелево многообразие над [Q и L — свободный
^-модуль конечного типа в А. Пусть С — кривая в А. Тогда
множество U (СПя~'?) конечно.
л
В случае, когда rang(L) = 0, эта гипотеза была доказана
М. Рейно [R2] (точки кручения). В той же работе Рейно
показал, что теорема Морделла — Фальтингса (имевшая в
момент появления [R2] статус гипотезы) влечет за собой
справедливость вышеупомянутого утверждения1).
4. ПРОБЛЕМА ТЕЙТА
4.1. ФОРМУЛИРОВКА ГИПОТЕЗЫ ТЕИТА
Мы видели в предыдущем параграфе важность абелевых
многообразий и точек конечного порядка на них. В этом па-
параграфе мы вводим «модуль Тейта». Это фактически /-ади-
ческая группа гомологии абелева многообразия, и гипотеза
Тейта говорит, что можно надеяться многое узнать об абе-
абелевом многообразии А, когда «известна» группа гомологии
Hx{A,Zi).
Определение. Пусть А — абелево многообразие, опреде-
определенное над полем К, и пусть / — простое число. Модулем
Тейта для А, который обозначается через Т/ (А), называется
проективный предел по п ядер умножения на /" в Л^ (если
обозначить гпЛ = Кег(Л—*¦ А), то имеем 1П+\А—*¦ tnA). Если
') См. доклад Ж. Остерле о работе Рейно на стр. 204. — Прим. ред.

140
Л. Шпиро
6 — группа Галуа алгебраического замыкания К поля К,
то Т/(А) является Zj (О)-модулем.
Гипотеза Тейта для гомоморфизмов абелевых многообра-
многообразий является одним частным случаем его гипотезы об алгеб-
алгебраических циклах, которая «заменяет» в /-адических кого-
мологиях гипотезу Ходжа.
Гипотеза Тейта. Пусть К — поле конечного типа над
своим простым подполем, G — группа Галуа над К алгебраи-
алгебраического замыкания К, пусть А и В — два абелевых много-
многообразия, определенных над К, а I — простое число (отлич-
(отличное от характеристики поля К). Тогда канонический гомо-
гомоморфизм
Нот* (А, В) ® Z, -> HomG (Jt (A), T, (В))
является изоморфизмом. Кроме того, G-модуль Tj(A)®Qj
является полупростым.
Эта гипотеза в настоящее время доказана:
a) для поля К положительной характеристики Зархиным
\[Z] (С. Мори для р = 2);
b) для поля К нулевой характеристики Фальтингсом
[Fl], [F2], [F3].
Доказательство Ь) (когда К — числовое поле)" содержится
в статье Делиня [D] на этом семинаре. Мы объясним далее
принадлежащую Тейту и Зархину [Т], [Z] редукцию этой
гипотезы к некоторому утверждению конечности, которое яв-
является частным случаем «гипотезы Шафаревича для абеле-
абелевых многообразий».
Надо заметить, что для эллиптических кривых полупро-
полупростота G-модуля Тейта ?/04)®Q/ доказана Серром в [Se2].
В той же книге Серр приводит доказательство') гипотезы
Шафаревича для эллиптических кривых. Идея этого дока-
доказательства принадлежит самому И. Р. Шафаревичу и исполь-
использует теорему Зигеля, цитированную в § 1.
4.2. СВЕДЕНИЕ ГИПОТЕЗЫ ТЕИТА
К НЕКОТОРОМУ УТВЕРЖДЕНИЮ КОНЕЧНОСТИ
Сразу же заметим (переходя к произведению А X б н
графику гомоморфизма), что достаточно показать, что
End* (A) ® Q, с? EndG (T, (A) ® Q,).
Пусть L — обильный пучок на А (поляризация). Мы можем,
') Полученное И. Р. Шафаревнчем в начале 60-х гг. См. [Sh 1]. —
Прим. ред.
Гипотеза Морделм
141
следуя А. Вейлю (см., например, Д. Мамфорд [Ми]I, со-
сопоставить пучку L билинейную антисимметричную форму,
называемую формой Римана
EL: T,(i4)XT,(A)-*.Z,(l) = limii,«,
которая невырождена, так как L — обильный. Пусть W —
максимальный изотропный G-подмодуль в T/(A)®Q/, и
пусть Кя - образ Т, (А) П W в
Т, (А)/1ЯТ1 (А) = {пА := Ker (A -U А).
Имеем коммутативную диаграмму
Предложение 1 (Тейт, Зархин). Если среди абелевых
многообразий Ап имеется бесконечное множество К-изоморф-
ных между собой, то существует такой и sEnd^ (A) ®Qj, что
Tt(u)(Tt(A)®Qt) = W.
Пусть Пд — такое, что имеется бесконечное число абеле-
абелевых многообразий An, /С-изоморфных An,:
vn: An^An,.
Возьмем un = Xnl°vnoXno^EndK(A)<8>Qt и и = \\тип в
Endx(A)®Q/. Легко проверить, что Т/(ы) удовлетворяет
требованиям предложения 1.
Предложение 2 (Зархин). Предположим, что условие пред-
предложения 1 выполнено для каждого максимального изотроп-
изотропного G-подмодуля в EndG(Tj(A8))®Q/. Тогда:
1) Для каждого G-подмодуля W в EndG(T/(A)®Q/) суще-
существует такой и <= Endfr (A) ® Qt, что и2 = и и и (Jt (A) ® Qt) = W.
2) EndG (Tt (A)) ® Qt — полупростой G-модуль.
Ясно, что предложение 2 выводится из предложения 1
построением максимальной изотропной подгруппы, соответ-
соответствующей W. Укажем эту конструкцию.
8 4
Пусть L — обильный пучок на А и М == (??) p\L; N = ® p*L,
где ре. А8-> А — проекции. Пусть а, Ь, с, d принадлежат Qj
и удовлетворяют соотношению a2-\-b2-\- c2-\-.d2 = — 1. По-

142
ЛОЖИМ
Л. Шпиро
Проверяется, что /'/ = —1. Мы рассмотрим / как элемент
в Enda(~fl\(A4))®Q/ и положим
Wi = {x, Ix\x<=W4},
W2 = {x, -Ixlx^iW1L}.
Здесь (WxL определяется по коммутаторной форме, ассо-
ассоциированной с N на А4. Имеем
W\ и W2 ортогональны относительно Ем,
W\ + W2 — максимальный изотропный G-подмодуль отно-
относительно Ем.
Из предложения 1 следует, что существуют такие
щ, ..., «8 е End0 (A) ® Qt, что ? Щ (Ji (A) ® Qj) = wx + a»2-
1
Правый идеал, порожденный щ в EndK (A) ® Q/, поро-
порождается идемпотентом и, так как это кольцо — полупростое.
Легко видеть, что идемпотент и удовлетворяет требуемым
условиям.
Нам осталось, следовательно, проанализировать условия
предложения 2. Легко видеть, что если поляризация абелева
многообразия А имеет степень d, то каждое абелево много-
многообразие Ап также снабжается поляризацией степени d (так
как W—максимальный изотропный G-подмодуль). Посколь-
Поскольку все Ап изогенны А, причем степень соответствующей изо-
гении есть некоторая степень числа / и все эти многообразия
также определены над К, то мы видим, что условие предло-
предложения 2 является частным случаем «гипотезы Шафаревича».
0. СТРАТЕГИЯ, ПРИМЕНЕННАЯ ШАЛЬТИНГСОМ [F2]
5.1. ТЕОРЕМА ФАЛЬТИНГСА
Фальтингс доказал в работе [F2] «гипотезу Шафаревича
для абелевых многообразий».
Пусть Ак — абелево многообразие размерности g над
числовым полем и А—> Spec О — его модель Нерона над
кольцом целых О поля К. Следуя одной идее Аракелова,
143
Гипотеза Морделла
Фальтингс снабжает слои обратимого пучка ©л hf.QA/o
эрмитовыми метриками для каждой точки на бесконечности
следующим образом:
А(са)
Метризованный обратимый пучок «м имеет, следовательно,
степень d в смысле 2.2.1.2Ь). Мы определим модулярную вы-
высоту абелева многообразия Ак по формуле
h(A) d%/[K:Q]
h(AK) A/[KQ]
Преимущество h перед d состоит в том, что h (Ак) = h(Ак),
когда Ак полустабильно и К' — конечное решение поля К-
Доказательство теоремы Фальтингса разбивается на
4 пункта:
1) Показать, что если ограничить степень d обратимого
пучка (На (в вышеупомянутом смысле), то имеется только
конечное число абелевых многообразий А над К размерности
g, снабженных поляризацией степени п. Это, вероятно, наи-
наименее ясная (хотя и не неожиданная) часть цитированной
статьи Фальтингса. Ее краткий, но строгий разбор содер-
содержится в работе [D].
2) Показать, что для абелевых многообразий Ап, введен-
введенных в предложении 1 из § 4, степень dn пучка в>Ап ограничена
(что влечет за собой гипотезу Тейта). Заметим, что у нас
написано «ограничена», а не «постоянна».
3) Показать, что множество изогенных классов абелевых
многообразий с фиксированным множеством точек плохой
редукции является конечным.
Этот результат подвергся строжайшей критике и выдер-
выдержал ее.
4) Показать, что в каждом изогенном классе степень об-
обратимого пучка ®а ограничена.
В настоящей статье я показываю, что эти четыре пункта
влекут за собой гипотезы Тейта и Шафаревича.
«Стратегическая» новизна работы Фальтингса состоит в
доказательстве импликации 2)=^3), которое является чрез-
чрезвычайно красивым. В остальном при доказательстве исполь-
используются геометрические методы, существовавшие ранее.
Техника, применяемая для «ограничения» d в 2) и 4), су-
существенно использует работу Рейно [R1] и «гипотезы Вейля»
для абелевых многообразий [W2] для изучения поведения
степени d (или модулярной высоты) относительно изо-
гении.
В статье Делиня [D] можно найти доказательства этих
четырех пунктов.

144 л. Шпиро
2. КОНСТРУКЦИЯ КОДАИРЫ - ПАРШИНА
Эта конструкция позволяет вывести гипотезу Морделла
из гипотезы Шафаревича для кривых.
Мы используем обозначения п. 2.1.6. Пусть К — числовое
поле и С — кривая над К, имеющая хорошую редукцию
вне 2. Мы построим сейчас отображение с конечными слоями
где <?' —кольцо целых поля К' — конечного расширения
поля К, S' — прообраз 5= ? U(UP) в О' и g' определяется
1? |2
из равенства 2g — 2 = 22« Dg — 3).
Конструкция кривой СР
Отобразим кривую С в ее якобиан /, сопоставляя точке Q
обратимый пучок OC(Q — Р). Мы определим теперь кривую
Си как расслоенное произведение («pull-back»), используя
эндоморфизм умножения на два в якобиане /:
* '2 W
С, С
Кривая С, гладкая и ее род g^ вычисляется по формуле
2gx—-2 = 2 Bg —2). Кривая С\ определена также над JC.
Прообраз D точки Р является дивизором степени 22*. Ci
имеет хорошую редукцию в точках Spec<7 —S.
Рассмотрим конечное расширение Ki поля К степени 22«',
неразветвленное вне S, и такое, что OCl(D)caL®2 для не-
некоторого обратимого пучка L на Ci (определенного над Ki).
Возьмем теперь в качестве СР-^->-С1 накрытие кривой Сх
с индексом ветвления, равным двум над дивизором D и
этальным над Сх— D, которое характеризуется тем, что
<Уср(а '(D)ted) = a*L. Для некоторого неразветвленного рас-
расширения К'ъ поля К[ кривая Ср—>-С будет иметь хорошую
редукцию вне прообраза S. Множество таких полей Ki
конечно (пример 1.1 из § 2). Выбираем теперь в качестве
поля К' наименьшее поле, содержащее объединение всех Kz.
Д. Мамфорд предложил вариант предыдущей конструкции
кривой Ср, позволяющий более экономно выбирать базис-
базисное поле К' (но не род g').
Кривую С\ построим так же как и ранее, и рассмотрим
особую кривую С, которая получается из Ct стягиванием
Гипотеза Морделла
145
дивизора ?>\@, Р) в одну точку Р' на кривой С. Вклады-
Вкладываем затем кривую С'\Р' в ее якобиан /' (при этом
(О, Р)->-0), и построим кривую С", с помощью следующей
коммутативной диаграммы:
«/ —' ^«/
t D f
Берем теперь в качестве кривой СР нормализацию проектив-
проективного замыкания кривой С".
Легко видеть, что отображение С(/С)-> Ш(Spec CSS',g'\
имеет конечные слои. В самом деле:
a) Накрытие Ср-*-С разветвлено только в точке Р.
b) Существует только конечное число морфизмов между
двумя алгебраическими кривыми рода, не меньшего двух.
5.3. КАК ПОЛУЧАТЬ ТЕОРЕМЫ КОНЕЧНОСТИ
Можно иначе интерпретировать конструкцию Кодаиры —
Паршина, замечая, что мы построили этальное накрытие
С-*-С и конечный морфизм C-^Ag,n (пространство модулей
абелевых многообразий размерности g со структурой уровня
п ^ 3) для любой гладкой кривой С рода g над полем, ха-
характеристика которого не делится на 2. Из этальности на-
накрытия С-*-С следует, что конечность С (К) эквивалентна
конечности С (К). Но в силу теоремы Фальтингса множество
Ag, n (К, S) конечно для любого поля К, следовательно, мно-
множество С (К) также является конечным.
Делинь сделал следующее замечание: пусть X — компакт-
компактный фактор некоторой области Зигеля по действию дис-
дискретной группы без кручения. Из теоремы Маргулиса сле-
следует, что наша дискретная группа является арифметической
и, следовательно, существует конечный морфизм этального
накрытия К для X в некоторое многообразие модулей Ag,n.
Таким образом, #Х(/С)<оо для любого числового поля.
Например, множество абелевых многообразий заданной раз-
размерности, определенных над числовым полем К, со структу-
структурой уровня п ^ 3, алгебра эндоморфизмов которых яв-
является вполне вещественной алгеброй кватернионов, конечно
с точностью до /(-изоморфизмов.
6. ТАБЛИЦА РЕЗУЛЬТАТОВ
Мы приводим в виде таблицы полученные к настоящему
времени результаты о С — S, или о Spec О — S. Мы также
указываем то, что известно о семействах, имеющих всюду
хорошую редукцию E = 0).

146
Л. Шпиро
в
'«< R
as
к о
si
I I 01
«CO tt) US
I!
il
_ 4
1 «
u<S~
###
JLv
8 I
a a
###
: 3!
it
' 8
V
N
ь а
a #
#
I
Й 8
Г
-1° "t
X J « д,<
il §Л §
II 8 ^^
1" V8^
3 «
О
8 |a.
s Is
1 ч
a g
ад
##
3'
^„ •*
i
Kffl К
5 ij«
>< Sea»
« *
I
il
ass*
11
g§-
#5
e
g
Is
I?
.11
a"
II S-s
Si
О f-
¦1 B - !3<
¦a 2
о
n
i ^
Гипотеза Морделла
147
В действительности имеется следующее обобщение ре-
результатов Фальтингса, которое заметили независимо сам
Фальтингс, Делинь и Паршин с Зархиным ').
Теорема 2 (Фальтингс). Пусть X — регулярная схема, це-
целая и конечного типа над Q, с полем частных К, алгебраи-
алгебраическое замыкание которого обозначается К. Пусть G — груп-
группа Галуа R над К- Тогда
a) Если А и В — абелевы многообразия над полем К, то
ai) представление группы G в Еп<1к(Тг(Л)® Qj) полу-
полупросто для любого простого I,
аг) для любого I имеется канонический изоморфизм
HomK(A, J3)®Z,4fHomo(T,(i4), T,(B)).
b) Множество классов с точностью до К-изоморфизмов
абелевых многообразий над К размерности g, имеющих хо-
хорошую редукцию над схемой X, является конечным.
Заметим, что в п. b уже ничего не говорится о фиксиро-
фиксировании степени поляризации. От предположения о степени
поляризации можно избавиться при помощи следующей
леммы, доказательство которой сообщил мне Делинь.
Лемма (Зархин). Пусть А — абелево многообразие над
полем k. На абелевом многообразии А4Х(^*L всегда су-
существует главная поляризация.
В приводимой ниже таблице расположенное на пересече-
пересечении строки «абелево многообразие» и столбца «/(-числовое
поле В = Spec О — S» обозначение Ш(В, g, n) означает:
множество Шафаревича абелевых многообразий над В раз-
размерности g, снабженных поляризацией степени п (см. табл.
на стр. 146.
7. А ЧТО ТЕПЕРЬ?
Доказательство Фальтингса гипотезы Морделла не дает
эффективной границы для высот рациональных точек на кри-
кривой потому, что не известна модулярная высота d для от-
отдельного представителя из изогенного класса абелевых мно-
многообразий.
Единственный известный мне эффективный подход со-
состоит в следующем2).
Аракелов в работе [А2] развил теорию пересечений на
арифметической поверхности X—>-Spec(?, где хорошей ме-
') Это обобщение принадлежит Ю. Г. Зархину. — Прим. ред.
2) Другой подход к этой задаче см. [5*] и дополнение на стр. 268.—
Прим. ред-

n
148
Л. Шпиро
рой высоты точки является взятый с обратным знаком индекс
самопересечения соответствующего сечения: — Е2. Мне бы
хотелось выдвинуть следующую гипотезу:
Гипотеза о «малых» точках. Пусть К — числовое поле,
С — гладкая полу стабильная кривая над К рода g~^2, имею-
имеющая хорошую редукцию вне некоторого множества точек S.
Тогда существует рациональная точка Р на кривой С, опре-
определенная над некоторым расширением К' степени п поля К,
такая что соответствующее ей. сечение обладает следующим
свойством}
^D + \N)
где D — абсолютная величина дискриминанта поля К, си с2 —
две константы, Nc = N ( П р"Л ищ — число компонент в слое
над точкой р.
С помощью конструкции Кодаиры— Паршина и теоремы
об индексе для арифметических поверхностей (Фальтингс
[F3] и Хриляк [Н]) я могу показать, что эта гипотеза вле-
влечет за собой «эффективную гипотезу Морделла». Я показал
в [S], что класс Кодаиры—Спенсера в геометрическом слу-
случае позволяет построить «малую» точку Р, для которой со-
соответствующее сечение Е морфизма X —>¦ С удовлетворяет
следующему неравенству:
где s = # S и q — род кривой С.
ЛИТЕРАТУРА
[АЬ]
[АП]
[Art]
[D1]
И
[F2]
[F3]
[Gra]
1 V * **
Abhyancar S. Resolution of singularities of arithmetical surfaces,
Proc. Conf. on Arithm. Alg. Geometry, Purdue, 1963.
Аракелов С. Ю. Семейства алгебраических кривых с фиксирован-
фиксированными вырождениями. — Изв. АН СССР, т. 15 A971) № 6.
Аракелов С. Ю. Теория пересечения на арифметических поверхно-
поверхностях.—Изв. АН СССР, т. 8 A974) № 6.
Deligne P. Preuve des conjectures de Tate et Shafarevltch d'apres
Q. Faltings. [Русский перевод см. настоящий сб. стр. 100—124.]
Deligne P. Hodge II, Public. Math. IHES № 40.
Faltings G, Arakelov's theorem for abelian varieties, Inventiones
Math. vol. 73, fasc. 3 A983).
Faltings Q. Eindlichkeitssatze fur abelsche Varietaten fiber Zahl-
korpern, Inventiones Math. vol. 73, fasc. 3 A983).
Faltings G. Calculus on arithmetic surfaces, Annals of Math.,
1984, 119, №2.
Grauert H. Mordell's Vermutung uber rationale Punkte auf al-
gebraischen Kurven..., Publ. Math, IHES, 1965,
Гипотеза Мордвлла
149
Gri] Griffiths P. Lettre a l'auteur, 18 mars 1983.
Groll Grothendieck A. S. G. A. 7. I, exp. 9, Springer-Verlag, Lecture No-
Notes in Math. vol. 288, 1972.
[Gro2] Grothendieck A. Un theoreme sur les homomorphismes de schemas
abeliens, Inventiones Math. 2 A966), p. 59.
[H] Hriljac P. These, MIT 1982, American Journal of Math., 1985, 107,
№ 1.
[K] Kodaira K. A certain type of irregula algebraic surface, Journal
d'Analyse Mathematique vol. 19 A967).
[L] Lipman J. Desingularisation of two dimensional shemes, Annals
of Math. 107 A978), 151—207.
[Ma] Манин Ю. И Рациональные точки алгебраических кривых над
функциональными полями. — Изв. АН СССР, сер. математ., 27 : 6
A963), 1395—1440.
[M-Bl] Moret-Bailly L. Families de courbes et de varietes abeliennes I et
II, Asterisque № 86.
[M-B2] Moret-Bailly L. These, Orsay, Asterisque, 1985, № 129.
[M-B&S] Moret-Bailly L., Szpiro L. Pinceaux de varietee abeliennes ayant
bonne reduction, a paraitre.
[Mo] Mordell L. J. On the rational solutions of the indeterminate equa-
equation of the third and fourth degree, Proc. Cambridge Phil. Soc. t.
21 A922), p. 179.
Mull Mumford D. Abelian varieties, Oxford Univ. Press, Bombay, 1970.
!] Mumford D. Pathologies III, American Journal of Math. 89 A967).
Neron A. Modeles tninitnaux des varietes abeliennes sur les corps
locaux et globaux, Publ. Math. IHES № 21.
[O—S] Oort F., Steenbrink J. The local Torelli problem for algebric curves,
Geom. Alg. a Angers, Sigthoff — Noordhoff Alpen, 1980.
[P] Паршин А. Н. Алгебраические кривые над функциональными по-
полями.—Изв АН СССР 32 A968).
[Rl] Raynaud M. Schemes en groupes de type p. p. p ,.., Bull. SMF
t. 102 A974), 241—280.
[R2] Raynaud M. Courbes sur une vartete abelienne et points de tor-
torsion, Invent. Math. 71 A983) 207—233.
[R3] Raynaud M. Contrexemples au «vanishing de Kodaira», Volume
Ramanujan, Oxford Univ. Press, Bombay, 1980.
[Sa] Samuel P. Complement a un article de H. Grauert sur la con-
conjecture de Mordell, Publ. Math. IHES № 29 A966).
[Sel] Serre J.-P. Corps locaux, Publ. Inst. Math. Univ. Nancago VIII,
Hermann, 1962.
[Se2] Serre J.-P. Abelian J-adic representations and elliptic curves, Ben-
Benjamin, 1968.
[Shi] Shafarevitch I. R. Algebraic number fields, Proc. Int. Cong. Stok-
holnj, 1962.
[Sh2] Shafarevitch I. R. Minimal models ... of two dimensional schemes,
TIFR, Bombay, Mb 37.
[Si] Siegel С L. Oeuvres completes, vol. 1, Springer-Verlag, 1966,
p. 209.
[S] Seminaire sur les pinceaux de courbes de genre au moins deux
(L. Szpiro), Asterisque № 86 A981).
[Tl] Tate J. Algebraic cycles and poles of zeta functions, Arithm. Alg.
Geom., Purdue, 1963.
[T2] Tate J. Endomorphisms of abelian varieties over finite fields, In-
Invent. Math. 2 A966) 134—144.
[Wl] Weil A. Sur Г analogie entre les corps de nombres et les corps
de fonctions, Revue Scient. N 77 A939), dans Oeuvres completes
t, Springer — Verlag.

150 Л. Шпиро
[W2] Weil A. Courbes algebriques et varietes abeliennes, Hermann 2e
edition, Paris, 1971.
[Z] Зархин Ю. Г. Эндоморфизмы абелевых многообразий над полями
конечной характеристики. — Изв. АН СССР т. 9 A975) Ха 2.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1*] Szpiro L. Seminaire sur les pinceaux arlthtnetiques: La conjecture de
Mordell, Asterisque, 1985, n° 127.
[2*] Falltings G., Wustholz G. et al. Rational points, Braunschveig, 1984.
[3*j Arithmethic geometry, Springer, N. Y., 1986.
[4*] Зархин Ю. Г., Паршин А. Н. Проблемы конечности в диофантовой гео-
геометрии.— В кн.: Ленг С. Основы диофантовой геометрии. — М.: Мир,
1986, с. 369—438.
[б*] Parshin А. N. The Bogomolov — Miyaoka — Yau inequality on the arith-
arithmetical surfaces and it applications. In Seminaire de Theorie des
Nombres, Paris, 1986—1987, Birckhauser, 1987.
МОНСТР1»
по Р. Гриссу, Б. Фишеру и др.
Жак Тите
Коллеж де Франс, Париж, Франция
Существует одна и, вероятнее всего, единственная, с точ-
точностью до изоморфизма, конечная простая группа порядка
N = 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005
754 368 000 000 000 =
= 246 • З20 • 59 • 76 • 112 • 133 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 71.
Ее называют (довольно несправедливо) монстром, или дру-
дружественным гигантом [Gr2], или, наконец, спорадической
группой Грисса—Фишера или Фишера — Грисса; она часто
обозначается через F\ или, как и здесь, через F. В соответ-
соответствии с классификацией конечных простых групп, считаю-
считающейся завершенной (может быть, с точностью до единствен-
единственности группы F: бытующие на этот счет суждения расхо-
расходятся), это наибольшая из спорадических групп. «Большин-
«Большинство» из 26 спорадических групп (см., например, [Goj, с. 134)
вплетены в F (т. е. изоморфны факторам подгрупп): един-
единственные исключения составляют группы Рудвалиса, О'Нана,
Лайенса, группы Янко /3 и /4 и, быть может, «злой карлик» —
группа J\, порядок которой 23.3.5.7.11.19х). Это обстоятель-
обстоятельство, даже только оно одно, может объяснить тот интерес,
который снискала группа F. Однако в значительной мере этот
интерес был обусловлен появлением «Фантазии на тему мон-
монстра», о которых мы вспомним в § 6.
Предположение о существовании обсуждаемой группы
было почти одновременно выдвинуто в ноябре 1973 г. Фи-
Фишером и Гриссом. Их отправными точками были «локаль-
«локальные» условия на строение централизаторов некоторых эле-
элементов порядка 2 и 3. Мощные технические средства, разви-
развитые на протяжении последних 25 лет, позволили на основа-
основании гипотез такого рода получать целую кучу сведений — из
') Tits Jacques. Le Monstre [d'apres R. Griess, B. Fischer et al.], Semi-
Seminaire Bourbaki, 36-e annee, 1983/84, Ks 620, 1—18.
2) В настоящее время известно, что группа Л не вплетена в F (Wil-
(Wilson R. A. Is Л a subgroup of the monster? Bull. London Math. Soc, 18,
1986, 349—350). — Прим. ред.
<g) Revue Asterisque, 1983

150 Л. Шпиро
[W2] Weil A. Courbes algebriques et varietes abeliennes, Hermann 2e
edition, Paris, 1971.
[Z] Зархин Ю. Г. Эндоморфизмы абелевых многообразий над полями
конечной характеристики. — Изв. АН СССР т. 9 A975) № 2.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1*] Szpiro L. Seminaire sur les pinceaux arithmetiques: La conjecture de
Mordell, Asterisque, 1985, n° 127.
[2*] Falltings G., WOstholz Q. et al. Rational points, Braunschveig, 1984.
[3*] Arithmethic geometry, Springer, N. Y., 1986.
[4*] Зархин Ю. Г., Паршнн А. Н. Проблемы конечности в днофантовой гео-
геометрий. — В кн.: Ленг С. Основы диофантовой геометрии. — М.: Мир,
1986, с. 369—438.
[5*] Parshin А. N. The Bogomolov — Miyaoka — Yau inequality on the arith-
arithmetical surfaces and it applications. In Seminaire de Theorie des
Nombres, Paris, 1986—1987, Birckhauser, 1987.
МОНСТР')
по Р. Гриссу, Б. Фишеру и др.
Жак Тите
Коллеж де Франс, Париж, Франция
Существует одна и, вероятнее всего, единственная, с точ-
точностью до изоморфизма, конечная простая группа порядка
N = 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005
754 368 000 000 000 =
= 2«5-32°.59-76- Ц2. 13з. 17. 19. 23- 29 -31 -41 -47-59-71.
Ее называют (довольно несправедливо) монстром, или дру-
дружественным гигантом [Gr2], или, наконец, спорадической
группой Грисса —Фишера или Фишера — Грисса; она часто
обозначается через F\ или, как и здесь, через F. В соответ-
соответствии с классификацией конечных простых групп, считаю-
считающейся завершенной (может быть, с точностью до единствен-
единственности группы F: бытующие на этот счет суждения расхо-
расходятся), это наибольшая из спорадических групп. «Большин-
«Большинство» из 26 спорадических групп (см., например, [Go], с. 134)
вплетены в F (т. е. изоморфны факторам подгрупп): един-
единственные исключения составляют группы Рудвалиса, О'Нана,
Лайенса, группы Янко /з и /4 и, быть может, «злой карлик» —
группа /ь порядок которой 23.3.5.7.11.191). Это обстоятель-
обстоятельство, даже только оно одно, может объяснить тот интерес,
который снискала группа F. Однако в значительной мере этот
интерес был обусловлен появлением «Фантазии на тему мон-
монстра», о которых мы вспомним в § 6.
Предположение о существовании обсуждаемой группы
было почти одновременно выдвинуто в ноябре 1973 г. Фи-
Фишером и Гриссом. Их отправными точками были «локаль-
«локальные» условия на строение централизаторов некоторых эле-
элементов порядка 2 и 3. Мощные технические средства, разви-
развитые на протяжении последних 25 лет, позволили на основа-
основании гипотез такого рода получать целую кучу сведений — из
') Tits Jacques. Le Monstre [d'apres R. Griess, B. Fischer et al.], Semi-
Seminaire Bourbaki, 36-е аппёе, 1983/84, № 620, 1—18.
2) В настоящее время известно, что группа J\ не вплетена в F (Wil-
(Wilson R. A. Is /i a subgroup of the monster? Bull. London Math. Soc, 18,
1986, 349—350). — Прим. ред,
<§) Revue Asterisque, 1983

152
Ж. Тите
которых порядок группы часто бывает одним из самых до-
доступных — и, так сказать, «обложить» описываемую группу,
после чего остается «только» доказать существование. Для
10 из 26 спорадических групп этот последний этап — всегда
трудный и, во всяком случае в первое время, связан с исполь-
использованием ЭВМ, а также хорошо разработанной техники про-
программирования, области, где особенно преуспел Ч. Симе. Что
касается монстра, то замечательный успех Грисса состоит
в том, что он доказывает его существование непосредственно,
без обращения к ЭВМ; одновременно он освобождает от
этого «первородного греха» и многие другие спорадические
группы, вплетенные в F. Первая часть настоящего обзора
дает крупными мазками доказательство существования мон-
монстра, восходящее к доказательству Р. Грисса, но отличаю-
отличающееся от него некоторыми существенными моментами; в част-
частности, здесь доказательство элементарно, поскольку оно не
заставляет обращаться ни к какому трудному результату
теории конечных групп (такому как результат Д. Голдшмидта
о 2-слиянии, используемый в [Gr2]).
Обсуждается, кроме того, основная роль как в доказа-
доказательстве существования, так и в возникновении «Фантазии
на тему монстра» некоторого неприводимого представления р
размерности 196883. При первых поисках монстра было сде-
сделано предположение о существовании такого представления,
в частности мысль о нем была подсказана результатами ра-
работы [Gr 1]. Задолго до того, как было доказано существо-
существование группы F, Б. Фишеру, Д. Ливингстону и М. П. Торну
удались усилия по полному вычислению таблицы характеров
этой группы при единственном предположении существова-
существования представления р. При тех же условиях, с добавлением
некоторых других, Дж. Томпсон [Th] установил теорему
единственности, принципы которой лягут в основу и нашего
доказательства теоремы существования.
1. СУЩЕСТВОВАНИЕ
1. ГРУППА С. ГРУППА ТИПА М
Напомним, что в пространстве R24, снабженном евклидо-
евклидовым скалярным произведением ( , ), существует такая и
с точностью до изоморфизма единственная решетка Л объ-
объема 1, что (A,A)c:Z и {(%,%) |Я,е=Л}.= 2N— {2}; это — ре-
решетка Лича. Следуя Конвею, обозначим через .0 группу изо-
метрий решетки Л и через .1 простую группу, полученную
факторизацией группы .0 по {±1}. Положим М = Л/2Л.
Это — векторное пространство размерности 24 над р2, снаб-
снабженное квадратичной формой ц (редукция формы X
 (*¦»
Монстр 153
которая применяется для определения расши-
рения
при помощи соотношения q2 = \i{n(q)) (e Z/2Z), где ijsQ.
Мы будем обозначать через zo нетривиальный элемент из
центра расширения Q. Имеем очевидную точную последова-
последовательность
М
Действие группы .0 на Л индуцирует вложение .1 =
и мы обозначим через С прообраз группы .1 в AutQ.
Известно, что экстраспециальная группа Q обладает един-
единственным неприводимым точным линейным Q-представле-
нием; это представление абсолютно неприводимо, имеет раз-
размерность 212 и будет обозначаться через Q-+GL (V) (dimQ V =
— 2 ). Отсюда мы получаем проективное представление
AutQ<=*PGL(V), и прообраз группы AutQ в GL(V) имеет
в качестве производной группы расширение А группы Aut Q
при помощи группы порядка 2. Пусть С — прообраз груп-
группы С в Л; это — расширение группы С при помощи Z/2Z.
Грисс показывает (без труда), что центральное универсаль-
универсальное расширение С группы С является скрещенным произве-
произведением групп .0 и С над Л. Его центр — элементарная абе-
лева группа порядка 4, а группа С, играющая здесь основ-
основную роль, определяется как факторгруппа группы С по под-
подгруппе порядка 2 — по «диагонали» центра. Иными словами,
в группе расширений группы С при помощи группы Z/2Z)
группа С является суммой расширений .ОХлС и С. Прооб-
Прообраз группы М(аС) в С канонически изоморфен группе Q
и будет с ней отождествляться.
Будем говорить, что конечная простая группа есть группа
типа М («типа монстра»), если она обладает инволюцией,
централизатор которой изоморфен группе С. Не совсем оче-
очевидно, что существует единственный класс изоморфизма та-
таких групп. Эта единственность доказана Томпсоном [Th] по-
посредством использования нескольких дополнительных пред-
предположений, от которых С. Нортон, как будто, смог избавить-
избавиться, по крайней мере от наиболее существенных из них, таких
как существование точного линейного представления размер-
размерности 196883 (см. введение и § 2). Что бы там ни было, но
мы знаем следующее:

154
Ж. Тите
Предложение 1. Порядок конечной простой группы типа М
есть число N, написанное в начале введения.
Это есть следствие теоремы C(ii) из статьи [Sm] (резуль-
(результат, вобравший в себя труд многих авторов), в которой пред-
предположение простоты заменено гораздо менее ограничитель-
ограничительными, но довольно неудобными для формулирования усло-
условиями. О доказательстве предложения 1, очень техничном
(и неэлементарном в смысле, упомянутом во введении), здесь
не идет речи; впрочем, оно и не используется в доказатель-
доказательстве (а оно-то будет элементарным) главного результата
Грисса — установления существования конечной простой
группы типа М (см. § 5), набросок которого мы дадим.
2. С-МОДУЛЬ В
Положим L = A®Q и обозначим через ( , )L скалярное
произведение на L, равное умноженному на восемь естествен-
естественному скалярному произведению (т. е. превращающему Л
в решетку, обладающую свойствами, указанными в § 1).
Линейная форма на S2L, соответствующая ( , )L, имеет ядро
В» размерности 299, которое можно при помощи формы ( , )l
отождествить с пространством самосопряженных эндомор-
эндоморфизмов с нулевым следом на L.
Известно ([Col]), что решетка Л обладает 196560 век-
векторами со скалярным квадратом 4 (относительно естествен-
естественной формы); пусть Л2 = {X е Л | (X, X) L = 32} — множество
этих векторов, и пусть Q2—прообраз в Q множества (Лг +
+ 2Л)/2Л (подмножество в М). Назовем двойным базисом
векторного пространства объединение векторов базиса и про-
противоположных им векторов. Пусть В2— векторное Q-npo-
странство размерности 98280, снабженное двойным базисом
(а((/)|(/е(?2), занумерованным таким образом элементами
из Q2, чтобы v(zoq) ——v(q). (Если угодно, В2 можно полу-
получить факторизацией произведения JJ Qq по ПОДПрОСТраН-
ству, натянутому на q + Zoq.)
Наконец, положим В\= L®V. Это — пространство раз-
размерности 98304.
Группа С действует на ВЛ посредством своего сечения .1
и на В2 посредством «сопряжения» (для csCagEQ имеем
c.v(q) = v(cq)). С другой стороны, группа .0 действует на L,
а С'—на V; таким образом, C = .0X.iC действует на В\,
и это действие пропускается через С, превращая В\ также
в С-модуль, который является точным С-модулем наимень-
наименьшей размерности. Положим В = Б»© #2® В\. Это — С-мо-
С-модуль размерности 196883.
Монстр
155.
В самом начале своих исследований монстра Грисс [Gr 1]
показал, что если бы существовала группа F, обладающая
свойствами, которые он сформулировал, то наименьшей воз-
возможной размерностью точного F-модуля было бы число
196883; и что если F обладало бы точным представлением
такой размерности, то его ограничением на С могло бы быть
только описанное здесь представление С-> GL(B). С другой
стороны, как легко видеть, С является максимальной под-
подгруппой в F, поэтому для восстановления F «достаточно»
найти такой элемент g из GL(B), принадлежащий дополне-
дополнению F—С, чтобы оказалось /? = <С, g>. В [Gr2] Грисс ру-
руководствовался мыслью воспользоваться обстоятельством,
установленным значительно раньше С. Нортоном, что (по-
прежнему в предположении существования представления
F<=+~GL(B)) группа F оставляет инвариантной на В ненуле-
ненулевую симметричную билинейную форму р и ненулевой алге-
алгебраический закон т: В® В-*-В. Его метод состоял в одно-
одновременном поиске форм Рит, устойчивых относительно С,
и автоморфизма g из В, не принадлежащего С и стабилизи-
стабилизирующего эти же формы; после этого остается показать, что
группа F = (C,g} конечна и CF(z0) — C. В изложении Грис-
Грисса [Gr 2] в исследовании т и g он довольно часто прибегал
к методу «нащупывания», но, как мы увидим, этого можно
избежать.
3. ГРУППА D И ЕЕ ДЕЙСТВИЕ НА В
Часто вместо того чтобы отыскивать элемент из F, не при-
принадлежащий С, оказывается более удобным строить другую
подгруппу в F, не содержащуюся в С (и которая, как мы это
увидим в конце § 5, порождает совместно с С всю группу F,
что, впрочем, совсем несущественно). Это и есть группа D,
о которой сейчас пойдет речь.
Пусть Е — такой двойной ортонормированный (относи-
(относительно формы ( , )i) базис пространства L, что 8?с:Л;
пусть S—множество пар {±е|ее?}, и пусть a: E-*~S—¦
каноническая проекция. Из описания решетки Лича, данного
Конвеем [Col], следует, что S является носителем системы
Штейнера 5B4,8,5). Группа G «перемен знаков», содержа-
содержащихся в .0 = AutA, т. е. элементов из .0, представляющихся
в выделенном базисе Е диагональными матрицами с коэф-
коэффициентами ±1, канонически изоморфна коду Голея
(^(Z/2ZI2), а стабилизатор Stab? множества ? в .0 явля-
является полупрямым произведением группы Матье М2* на G.
Обозначим через б' и D' прообразы при отображении С-*-Л
образов групп Stab Я и G в Л. Мы видим, что D' — группа

156
Ж- Гиге
порядка 236, являющаяся расширением группы G/{±1) при
помощи Q. Образ множества 8?вМ = Л/2Л состоит из един-
единственного элемента, прообраз которого в Q (обозначаемый
через {2i, 22}) очевидным образом нормализуется группой б'.
Пусть б° и D0 — подгруппы индекса 2 в группах б' и D',
являющиеся централизаторами в соответствующих группах
пары {2i,22}. Группа /5° является также централизатором
в С, а стало быть, и в монстре F, если он существует, эле-
элементарной абелевой группы Z ={1, 20, гь22}. Даже и До по-
появления работы [Gr 2] специалисты знали, что индекс груп-
группы б° в нормализаторе б группы Z в F «должен» быть ра-
равен 6, при этом факторгруппа б/б° симметрическим образом
переставляет zi сопряжениями. Группа б, которая лишь
вскользь упоминается в [Gr 2], играет здесь первостепенную
роль. Фактически мы интересуемся скорее нормальной под-
подгруппой D группы D, порожденной группой Q и ее сопряжен-
сопряженными: это такое расширение группы @з ПРИ помощи 2-груп-
пы D0, что факторгруппа D/D0 симметрическим образом пе-
переставляет г, сопряжениями. Ставятся две задачи:
(i) доказать существование такого расширения D;
(ii) описать его действие на В.
Скоро мы увидим, что их удобно решать совместно.
Пусть R (соответственно Хо; соответственно Yo) — множе-
множество таких элементов q из Q2, образ которых в М представим
в виде 4б[ — 4е2 (соответственно 2ei + 2e2+ ••• + 2ез; соот-
соответственно —3ei + ?2 + ••• +?24), где е< принадлежат ба-
базису Е; для такого элемента q мы полагаем: supp^ (носитель
элемента <7) = a({ei,e2}) (соответственно supp q = a({eu ...
.... е8})—блок системы Штейнера; соответственно фо(<7) =
= a(ei)). Мы знаем ([Col]), что Q2 = RUX0UY0. Множе-
Множества Хо и Yo являются классами сопряженности группы D'.
Подгруппа R, порожденная в Q множеством R, является эле-
элементарной абелевой группой порядка 213, содержащей Z.
Пусть Xi (i = 0, 1,2)—множество из 210 характеров группы/?,
принимающих значение —1 на г/ при \Ф1,ипустьфо: Хо-*-Х0—
отображение, определенное правилом: tyo(q) (r)=l или —1
в зависимости от значения коммутатора (q,r)= 1 или го для
re/?. Напомним, что в § 2 было определено отображение о:
Q->-52) и обозначим через ф0: у(Х0)->-5 и ф0: у(Хо)-*-Хо ото-
отображения, являющиеся композициями отображения о~ь.
и(ХО;)-»-Хо с отображениями ф0 и i|>o. Отображение (ф0, ф0):
v(Xo)-*-S'X.X0 сюръективно, а его слоями являются пары
противоположных элементов из у(Х0),
Известно, что представление группы Q в V индуцируется
каким угодно характером группы R, принимающим значение
Монстр
157
— 1 на Zo; иначе говоря, У обладает двойным базисом W,
инвариантным относительно Q и состоящим из собственных
относительно R векторов, а отображение %. W-*Xl\JX2, пе-
переводящее каждый элемент из W в соответствующий харак-
характер, сюръективно и имеет в качестве слоев пары противопо-
противоположных элементов из W. Множество Е ® W — двойной базис
пространства В\. Обозначим через (ф, ij>): ?®U?-kSX№U^2)
отображение е ® до->-(а(е),%(до)); оно сюръективно и в ка-
качестве слоев имеет пары противоположных элементов из
Е® W.
' Чтобы обосновать определения, которые будут далее даны,
мы на время предположим, что задачи (i) и (и) решены.
Можно считать, что R устойчиво относительно внутренних
автоморфизмов из D. Пусть для i = 1, 2 через X* обозначено
трансформирование множества Хо каким угодно элементом
из D, переводящим при сопряжении 20 в г*. Обозначим также
через v: Х,->-В трансформирование отображения о |Х|>: Хо->В
таким элементом. Изложенное наводит на мысль — и мы это
на самом деле показываем, — что o(XiUX2) не может быть
не чем иным, как Е ® W, что мы должны иметь о(Х*)==
= $-l{Xi) и если положить Р = v(X0)\J(E® W)= \J v(X{),
а (ф, ajfi) продолжить на все Р при помощи (ф0, $0), то ото-
отображение (ф. -ф): P->SX(U ^() также будет определено
и устойчиво на D (при этом на S оно будет действовать три-
тривиально, а на U Xt —¦ посредством внутренних автомор-
автоморфизмов).
3 / 3 \
Пусть (ф, ф): U X(->SXI U Х{) — отображение, являю-
i-o \г=о /
щееся композицией отображения о и (ф, ф). Прообраз
элемента из S X Xt при отображении (ф, г|>) является смеж-
смежным классом подгруппы (z{) в Хг. Если (i, j, k) обозначает
перестановку тройки @, 1,2) и если isX,, x' с=Ху и
ф(д;) = ф(д;'), то легко показать, что мы должны иметь
VsX», x'xe=Xk, <9{*хЪ = ч(*'х)=*<р{х) и ф(ххг) = ф (*х) =
= 'Ф(х) + 'Ф(х'), откуда (xx'f — хх' -х'х=\ или гк. Точно
так же, {xx'f = {xx''xf — \ или 27. Отсюда следует, что
*) если i ф j, х е Х{, /еХу и ф (х) = ф (х'),
то хх' = *'х и {xx'f=\.
Всякой паре b = v (х), Ъ' = v {x') таких элементов из о (Хо),
что фF) Ф ф(&') и ^ (Ь) = Ир (&'), естественным образом отве-
отвечает элемент из RflKer^F) с носителем (фF), ф(Ь')),

158
Ж- Тите
а именно произведение хх'; мы его обозначим через Ь • Ь'.
Аналогично, паре b — e®w, 6' = е'®ш таких элементов
из v (X, U Х2), что ф (Ь) = а (е) Ф ф (Ь') = а (е') (и ф (Ь) = ф F') =
= Х(ш')). отвечает элемент из RnKeraJK^) с носителем
(ф(Ь), ф (&'))> а именно единственный элемент из ЯПКег^(б),
образ которого в М представлен в Л элементом 4е — 4е'.
Мы его также обозначим через Ъ - Ь'. Снова угадывается,
и это без труда доказывается, что два таким образом опре-
определенных произведения соответствуют друг другу при дей-
действии группы D.
Напомним, что код Голея G можно рассматривать как
группу подмножеств в S мощностей 0, 8, 12, 16 или 24. Су-
Существует канонический изоморфизм между группой G/<5>
и группой, двойственной к R/Z, определенный следующим
образом: характер г группы R, тривиальный на Z и отвечаю-
отвечающий паре Si, S — 5i из G дополняющих друг друга подмно-
подмножеств множества 5, принимает на произвольном reR зна-
значение (_i)c«">«»«№'»ns,)# в этих 0б0значениях положим е(/>)=
= (—l)CardSl/\ Следующее утверждение для i = 0 проверяется
непосредственно, а следовательно, должно доказываться для
любого i:
A) пусть х, ji'gXj таковы, что у(х) = у(х'), и положим
Ь = v {х), b' = v (*'); тогда ХЬ' = V или - Ь' (т. е. хх' = х'
или x'z{) в зависимости от значения г (ф (Ь) ф (&')) =; 1
или —1.
Для isXj иге/? полагаем 0(*V = V. Иными словами,
утверждается:
B) для 6ео(Х() и reR, br = r или rzt, смотря по тому,
будет ли ¦§ (Ь) (г) = 1 или — 1.
В заключение этого анализа мы покажем, что для иеХ(
действие элемента х на множестве P = v (Xo) (j(E®W) моокет
быть полностью описано при помощи v (х), действия группы Q
на Р, и функций ф, if. Для t' = 0 это ясно. Предположим
теперь, что / = 1 (для определенности), и пусть Ь <= ф (X,)
(=у(Х/)). Сначала рассмотрим случай, когда ф F) = ф (v (x))
(=<р(л?)). Если / = 1, то ХЬ определяется условием A). Если
у = 0, то существует такое /sXj, что b = v(x'), и мы имеем
ХЬ = x'v {x) (на основании (*)). Наконец, случай / = 2 сво-
сводится к предыдущему, поскольку {x(xb)) = b. Теперь предпо-
предположим, что ф (Ь) ф ф («(*)), и пусть элемент 6'sijT1 (Х^
Монстр
159
таков, что ф(Ь') = ф(Ь) и ty(b') = Op(v (x)), тогда значение xb'
уже известно из предыдущего, а ХЬ характеризуется соот-
соотношениями ф(хЬ) = ф(Ь), $ {ХЬ) = ^ (ХЬ') и xb-xb' = x(b-b/) =
= v(x)(b-b') (см. B)).
Теперь забудем, что мы предположили группу D извест-
известной. Предшествующее изложение произвольному элементу р
(=v(x)) из Р ставит в соответствие подстановку бР множе-
множества Р. При этом достаточно легко устанавливается следую-
следующий результат (подробнее см. [Ti 2], IV) :
если определить D как группу, порожденную подстанов-
подстановками бР для р^.Р, то группа D', отождествляемая очевид-
очевидным образом с некоторой группой подстановок множества Р,
является подгруппой индекса три группы D, и для реф-'(ЛГ/)
внутренний автоморфизм группы D, соответствующий подста-
подстановке 8Р, не меняет z» и переставляет два других z/.
Естественным образом полагаем Х{ = {б„ | р е ij
иFй) = р.
Заметим, что мы уже знаем действие группы D на под-
подпространстве пространства В, имеющем размерность 72.211 =
= 147 456. Ее действие на «остальной части» пространства В
определяется эвристическими рассуждениями такого же по-
порядка трудности, что и предыдущие. Ограничимся формули-
формулировкой результатов.
Пусть Y,- ((== 1, 2)—класс сопряженности группы D, по-
полученный из Yo трансформированием произвольным элемен-
элементом из Хз-г; определим отображение supp: Y,->PE) перене-
перенесением структуры (при этом Хз-i действует на S тривиально).
Для у е Y; полагаем v (у) = 2~3 • 2 v (у'), где у' пробегает
пересечение YoflY3_^ (показывается, что последнее множе-
множество состоит из 26 элементов, при этом каждая пара проти-
противоположных элементов из Yo имеет такой же носитель, что
и у). Пусть U,- — множество смежных классов подгруппы <2,->
в R. Для « = r'(z,-)sUi определим v(u) следующим обра-
образом: если i = 1 или 2, то v (и) = v (г) + v {rzt) s Вг; если i = 0,
то образ элемента г в М = Л/2Л представлен в Л вектором
4е — 4V, где е, е' е Е, и мы тогда полагаем v (и) =ее' е ?»
(c:S*L).
Наконец, доказывается, что единственное возможное дей-
действие группы D на В {совместимое с существованием груп-
группы F) — это следующее (через е2 — -^т обозначается канони-

160
Ж. Тита
ческая проекция элемента е2 (^S2L) в вЛ:
з
для d<=D, ееЯ и As U (UiUY,UX?) имеет место
4. АЛГЕБРА (В, т)
Мы видели, какую роль (прежде всего эвристическую)
в построении Грисса сыграл некоторый закон алгебры г:
В<8>В-+В, инвариантный относительно F. Здесть для нахож-
нахождения группы D нам этот закон не потребовался. Напротив,
мы определим группу F как группу автоморфизмов алгебры
(В, х). Поэтому важно определить отображение т, о котором
мы знаем, что оно должно быть инвариантным относительно
С uD.
Снабдим пространство В таким скалярным произведением
( , )а, для которого множество v(Q2)[} v (Xi U X2) = v(Q2){]
\J(E<S>W) является двойным ортонормированным базисом
пространства B2 + Bi, имеет место (В*, В2 + В\)в= {0},
а для 6, &'е В„ имеет место (Ь, &/)в = 4Тг ЬЬ' (напомним,
что В» было отождествлено с подпространством в EndL).
Легко доказывается, что это скалярное произведение инва-
инвариантно относительно С и D.
Пусть т,: 5.®5,-»-В„ т2: В,®В2-*ВЪ т3: ?2®В2->?2,
т4: 5,®51-*В„ т5: В2®В1->В1 и т6: В2®Вх->Вх — отобра-
отображения, определяемые приводимыми далее соотношениями,
в которых i,fi'eB,c End L, q, q'<=Q2<=. End V, ee=E, v e V
(откуда e^fsBi), аб, — элемент из В», получаемый сле-
следующим образом: рассмотрим элемент из Л, проекция кото-
которого в М = Л/2Л совпадает с проекцией элемента q; квадрат
этого элемента есть элемент kq из пространства S2L, отожде-
отождествляемого с помощью ( , )i с пространством самосопряжен-
самосопряженных эндоморфизмов пространства L, и мы полагаем bq =
= ?,—5гТг&<7. Тогда объявленные нами соотношения имеют
вот такой вид:
т, (Ь ® &') =4 (Ы/ + Ь'Ь) - 4т Tr bb';
о (^'), если ^' е Q2,
0 в противном случае;
о)) = & (е) ® у;
е®о)) = е®^(о);
тв (о (<?) ® (е ® о)) = 6, (в) ® <7 (о).
Монстр
161
Отождествляя каждое из пространств В*, В2, В] со своим
двойственным при помощи ограничения скалярного произве-
произведения ( , )s на это подпространство, мы получаем из каж-
каждого %t линейную форму на одном из 27 составляющих про-
произведения В <8> В ® В, которая, как мы убеждаемся, симмет-
симметрична в случае равенства этих составляющих сомножителей.
Продолжая эту форму по симметрии симметричными из рас-
рассматриваемых составляющих и нулем в остальных случаях,
мы получаем симметричную линейную форму на В ® В <8> В,
которая посредством отождествления пространства В с по-
помощью ( , )в со своим двойственным обеспечивает в свою
очередь элемент из Нот (В ® В ® В), продолжающий отобра-
отображение xi и который мы также обозначим через т*. Обратим
внимание на пространство Homs(B®B, В) отображений
В ® В-*-В, получаемых через ( , )в из симметричных форм
Предложение 2. Отображения т,- A^г^6) составляют
базис пространства неподвижных точек из CeHoms(B®B, В).
6
Функция х1 = X с,х{ инвариантна относительно D, если и
только если она пропорциональна отображению
х = 22т, + 2~3т2 + 2-'т3 + т4 + 24-'т5 - 2~6т6.
Первое утверждение (лемма 5.4) из [Gr 2]) не является
необходимым для доказательства существования монстра, но
оно придает уверенность в методе получения т. На самом
деле далее используется только инвариантность отображе-
отображения т относительно D, т. е. утверждение «если» во второй
части формулировки. Для установления этого подсчитаем т
на тензорном произведении элементов вида е2 — -^ или о (А),
2
где е<=Е и Л <= |J (U,U Y, 11Хг) (см. последнее утверж-
дение из § 3), и используем то, что вид результата инвариан-
инвариантен относительно произвольной подстановки индексов 0, 1, 2.
Это выражается в виде свойств подмножеств R, Xi, Y; мно-
множества D, которые, будучи сформулированными, уже дока-
доказываются без труда. Вычисления в основных чертах соответ-
соответствуют вычислениям из § 11 работы [Gr 2], но короче и при-
приводят к более простым формулам: это происходит по той
причине, что систематическое использование двойных бази-
базисов как бы исключает путаницу в знаках.
Это доказательство (утверждения «если»), хотя и эле-
элементарно и достаточно легко, все же слишком длинно, чтобы
быть приведенным здесь. Вместо этого мы дадим доказатель-
6 Зак. 506

162
Ж. Тите
2 1_\ .ч _
е 24 ) » и W J -
ство утверждения «только если», основанное на том же прин-
принципе, но более короткое; таким образом, мы увидим, откуда
берутся коэффициенты для т. Пусть элементы еб?, rsR
и *еХ« таковы, что ф(х) = <т(е) и глгеХ,-, откуда ф(л:)с
с supp г. Тогда из определений непосредственно вытекает,
что имеет место
A1/24) c}-v(r (z,)), если i = 0,
D4/3) с2- v(r (г,)), если i = 1 или 2;
Г B3/3) с2 • о (jc), если / = 0,
| B3/24) с4 ¦ у (*), если г = 1 или 2;
—Зс2 • v (x), если i — j = 0,
c3 • о (rx), если i = 0 и / = 1 или 2,
A/2) c4 • о (гх), если / = 0 и t=l или 2,
2 (ce + D4/3) c6) ¦»(*), если * = / e= {1, 2},
—31c6- о(гдг), если i, /е'{1, 2} и г ^= /.
Инвариантность же отображения т' относительно D требует,
чтобы A1/24) с, = D4/3) с2, B3/3) с2 = B3/24) с4) Сз = A/2)с4 =
= —32с6 и —Зс2 = 2(с5 + D4/3)с6), откуда т' = с4-т.
Замечание. Алгебраический закон, задаваемый табл. 6.1
из [Gr 2] (с очевидным соответствием обозначений) есть
—72т. Отметим также, что используемые здесь обозначения
несколько отличаются от обозначений в [Ti 1J и [Ti2J;
в частности, объекты, обозначаемые там через D, D, т2, т4,
те, те, т и у, в обозначениях данной статьи представляют со-
собой соответственно б°, б, 4т2) 2-10т4, 3-1-2г1Ч&, 2-10тв> 25т и
кубическую форму, ассоциированную с 25т.
5. ГРУППА АВТОМОРФИЗМОВ АЛГЕБРЫ (В, т)
Теорема. Группа Aut(B,x) °.сть конечная простая группа
типа М.
Сразу же заметим, что так как никакая из трех простых
составляющих ?»®О, ?2®С-, 6i®C С-модуля В®С не
устойчива относительно D, то
(*) (С, п)-модуль В®С прост.
Монстр
163
Результат, который нам надлежит установить, можно рас-
расщепить следующим образом:
(i) CFB0) = C;
(ii) F — конечная простая группа.
Начнем с доказательства того, что
(п') любая инвариантная абелева подгруппа А группы F
тривиальна.
Из (*) вытекает, что А-модуль В <8> G является прямой сум-
суммой своих простых подмодулей, т. е. полупрост, к тому же
все его изотипные компоненты имеют одинаковые размерно-
размерности. Однако легко видеть, что модуль В <8> С не может быть
разложимым в прямую сумму подпространств одинаковой
размерности, переставляемых группой С (используется то,
что dim В = 47.59.71 и что ни один из этих множителей не
делит \С\). Поэтому А — группа скалярных матриц. Будучи,
с другой стороны, группой, содержащейся в Aut(B,x), она
сводится к одному нейтральному элементу, откуда и получа-
получается (И').
Предположим, что утверждение (i) доказано, и покажем,
что из него выводится (ii,).
Поскольку группа CF(z0) = C конечна, отображение Ad\z0,
действующее в алгебре Ли группы F, не имеет никакой непо-
неподвижной точки, кроме 0; значит, Adzo =—1. Отсюда следует,
что компонента связности нейтрального элемента группы F
коммутативна, а значит, она равна {1} (благодаря (ii'));
таким образом, группа F конечна (поскольку это алгебраиче-
алгебраическая группа).
Пусть F\ — инвариантная подгруппа в F, не сводящаяся
к одному нейтральному элементу. Мы имеем F\()C^ {1},
поскольку в противном случае отображение x^~^¦(zo, х) груп-
группы Fi в саму себя было бы инъективным, являясь при этом
и сюръективным, любой элемент из F\ =(zo,F\) был бы об-
обратим с помощью 20 и группа .Fi была бы коммутативной,
вопреки утверждению (ii') (это рассуждение мне указал
М. Бруэ). Легко видеть, что единственными инвариантными
подгруппами группы С являются {1}, <гь>, Q и С и что наи-
наименьшей инвариантной подгруппой группы D, содержащей Q,
является сама D. Отсюда следует, что F\ содержит г0, а зна-
значит, и 2i (поскольку этот элемент сопряжен с zq в D), а зна-
значит, и Q, а значит, и D, а значит, также и С. Пусть S2(C)—
силовская 2-подгруппа группы С. Убеждаемся в том, что ее
центр порожден элементом zq, отсюда следует, что нормали-
нормализатор группы S2{C) в силовской 2-подгруппе S2(Fi) груп-
группы F\, который ее содержит, централизует z0, а значит, со-
содержится в С (из-за (i)). Таким образом, S2(C)—свой соб-
собственный нормализатор в S%(Fi)[ это влечет за собой равен-
S*

164
Ж. Тите
ство S2(C)—S2(Fi), откуда Z(S2(F1))==<20>. Воспользовав-
Воспользовавшись «рассуждением Фраттини», заключаем: для / е F суще-
существует такой элемент /' е= Ри что % (F,) = Г52 (/?,), откуда
Z(,= z0 H/sf.Ccfi. Таким образом, F\ = F, и имплика-
импликация (i)=s»(H) доказана.
Осталось показать, что если аеС;(г0), то asC.
Пусть для 6еВ через t6gGI(В) обозначается «трансля-
«трансляция» х к-* т F® ж). Мы имеем ха D = ат6. Пусть я,: В-+Вл
обозначает естественную проекцию (с ядром Bw-\-B2), и пусть
Р: BXB->Q, р': (В, -f В2) X (В, + В2) -> Q обозначают симмет-
симметричные билинейные формы, ^ определенные равенствами
Р (Ь, Ь ) = Тг (Тб • Tft') И Р'F, 6') = Тг ((Я1 о Tj, | в,) ' (ill о %ь' |В,)).
Поскольку форма р' инвариантна относительно С, она
является линейной комбинацией ограничений формы (,)в
(см. § 4) на В, X В, и на В2 X В2, и мы обозначим эти ограни-
ограничения через ( , )в< и ( , )Вг. Чтобы определить коэффициенты,
достаточно вычислить Р'F, 6) для элемента 6 <= В. — {0}
(например, 6 = ее' при е, е' е= Е и е' Ф ± е; см. § 3) и для
элемента 6еВ2-{0} (например, b = v(q) при ^ е= Q2).
Находим
Аналогично, р инвариантна относительно <С, D>, и, стало
быть, пропорциональна форме ( , )в (ввиду (*)), и, вычис-
вычисляя, например, значение р (ее', ее'), мы получаем
B) р = 3-1.132.4Ь( , )в.
В частности, мы видим, что
C)
форма ( , )в инвариантна относительно F
(что, впрочем, очевидно и без этого). Автоморфизм а алгеб-
алгебры (В, х) оставляет инвариантными собственные простран-
пространства В» + В2 и Bi элемента г0, а значит, и формы р и р'; на
основании соотношений A) и B) отсюда вытекает, что
4) а устойчив на В„ В2 и Вх, а значит, таковы же
отображения ть т2, т3, т4 и 24~'т5 — 2~6т6.
Пусть для AsA2 через В? обозначается правый сдвиг
пространства В2, порожденный элементом v(q), где (/gQ2
имеет тот же образ, что и X в М = Л/2Л. Из определения
отображения тг следует, что Bi; есть «правое собственное
пространство» множества В», действующего на В2 путем
b<r—>ть, и что соответствующим «весом» (собственным значе-
значением) является линейная форма а»,. Ь>-*-Тг{Х2-Ь) (где, как
Монстр
165
и раньше, мы отождествляем S2L с подпространством в
EndL при помощи ( , )l). Следовательно,
E) а переставляет между собой пространства В\ и
формы со*,.
Легко видеть (после небольшого размышления или обра-
тясь к [Ja], с. 184), что любой автоморфизм йордановой ал-
алгебры самосопряженных эндоморфизмов пространства L ин-
индуцирован ортогональным преобразованием в L. Отсюда
сразу выводится, что само а|в также индуцировано таким
преобразованием, скажем, преобразованием а*,. Из второй
части утверждения E) получается, что at устойчиво на Л2)
а значит, и на Л, т. е. что аь s .0. Прибегнув, возможно,
к умножению а на подходящий элемент, выбранный из С,
мы можем предположить, что а тождественно на В» и, зна-
значит, устойчиво на В\ при любом isA2. Пусть г\ — соответ-
соответствующее собственное значение. Мы имеем ej, = ±l, посколь-
поскольку а оставляет инвариантной форму ( , )в- Из инвариантно-
инвариантности отображения т3 относительно а вытекает, что если X, К',
К + X' е Л2, то e^+v = е*, • sv. Отсюда вытекает существова-
существование такого Хо е Л, что для isAj имеет место е*, =
= (— 1)(Яо' WzA это легко увидеть, используя базис решет-
решетки Л, содержащийся в Л2 (существование такого базиса до-
доказывается так же, как ив случае систем корней),и восполь-
воспользовавшись тем фактом, что если два элемента из Л2 имеют
скалярное произведение >0, то их разность также принад-
принадлежит Лг- Умножая а на элемент из Q, оТэраз которого в М
есть Л,0п1ос12Л, мы придем к случаю, когда а тождественно
на В2; в дальнейшем считаем, что это так.
Каждая прямая К в L есть образ самого L под действием
некоторой суммы элементов из В„ (cEndL). Инвариантность
преобразования Т4 относительно а означает поэтому, что
К® V (см. § 2) устойчиво относительно а, откуда тотчас же
вытекает, что a |Bi является тензорным произведением ото-
отображения Idi и автоморфизма ay пространства V. Для q^ Q2
отображение xV(q) индуцирует на V умножение на q (напоми-
(напоминаем, что V—абсолютно простой Q-модуль), которое, сле-
следовательно, коммутирует с ay. Поскольку Q2 порождает Q,
«у является автоморфизмом Q-модуля, и поэтому оно явля-
является умножением на скаляр, который может быть только ±1
вследствие инвариантности скалярного произведения ( , )в
относительно а. Таким образом, a = 1 или г0, и теорема до-
доказана.

lee
Ж. Тите
Замечания. 1) В [Gr 2] Грисс действовал совсем иначе.
Заметив, что 2 и 3 суть единственные простые числа, появ-
появляющиеся в знаменателе формул, задающих его группу
F=(C,g} и закон умножения т (в обозначениях § 2), он ре-
редуцирует рассуждения по модулю р ^ 5. Затем он опирается
на глубокие результаты теории конечных групп (и на суще-
существование закона т), чтобы доказать, что централизатор эле-
элемента 2о по модулю р в редуцированной группе Fp есть образ
группы С в Fp. Результаты работы [Sm] (частным случаем
которой, напоминаем это, является наше предложение 1) по-
позволили ему заключить, что Fp при любом р ^ 5 — конечная
простая группа порядка N, значит такого же порядка и
сама F. Этот метод не дает сведений относительно AutE,x).
2) Можно также вывести теорему из следующих предло-
предложений:
(A) Если неприводимая, бесконечная и замкнутая по Зарис-
скому подгруппа группы GL(B) содержит С, то она является
расширением конечной группы при помощи группы всех ска-
скалярных матриц, или же она содержит связную компоненту
нейтрального элемента ортогональной группы, отвечающей
квадратичной форме в В (см. [Ti 1] и [Ti 2], 1).
(B) Всякая конечная подгруппа группы GL(Bi), содержа-
содержащая С в качестве собственной подгруппы, является тензор-
тензорным произведением подгруппы группы GL(L) и подгруппы
группы GL(V).
Доказательство утверждения (А), данное в ([Ti 2J, 1)
использует классификацию полупростых групп Ли. Утвержде-
Утверждение (В) можно доказать почти тем же способом, что и лем-
лемму 12.3 из [Gr 2], но было бы приятно получить ее более
элементарное доказательство (см. [Ti 1], § 6).
3) Наше доказательство приведенной выше теоремы без
изменений остается верным, если мы заменим F == Aut(B,т)
на (C,D}. Принимая во внимание предложение 1, мы отсюда
выводим
Предложение 5. Группа F = Aut(B,-c) порождается под-
подгруппами С и D.
II. СУЩНОСТЬ
в. „ФАНТАЗИИ НА ТЕМУ МОНСТРА" ("MOONSHINE") ([CN)J
(Moonshine = Вздор, чепуха, пустая болтовня, выдумка
или фантазия [определение из краткого Оксфордского сло-
словаря! .)
Монстр
167
Обозначим через Н полуплоскость Пуанкаре, и пусть
-целое >2. Tn(N) — rovnna \\ , )e=SL2(Z)|c=0(modMk
N — целое ^2, T0(N) — группа ¦¦ . ,<_^^^^л^—^v.i,^UJ.;.,
T0(N)+ — подгруппа группы GL2(Q), порожденная группой F0(N)
Г О N\
и элементом I _. . I.
«Фантазии на тему монстра» неотделимы от истории от-
открытия монстра; воспроизведем основные этапы.
В январе 1975 г. А. Огг заметил, что простое число р
тогда и только тогда делит порядок монстра, когда рима-
нова поверхносаь Н/То(р)+ (компактифицированная) есть
поверхность рода нуль. Это замечание, сделанное скорее в
шутку, оказалось пророческим.
Еще более удивительно «совпадение», подмеченное
Дж. Маккеем A977 г.): размерность dim В =196883 (см.
§ 2) есть не что иное, как коэффициент Ci модулярного
инварианта }(z) — q-{ + 744+ Ш, С1Я( (гДе q — e2niz),
уменьшенный на единицу. Несколько позже Дж. Томпсон
заметил, что имеет место более общий факт: первые коэффи-
коэффициенты ряда / (кроме 744) являются «простыми» целочис-
целочисленными комбинациями (й = fi + fa c2 = fi + /г + fa сз =
= 2fi + 2/г + h + fi, ¦¦ •) степеней fi неприводимых пред-
представлений монстра F; иначе говоря, эти числа являются
значениями на нейтральном элементе некоторых «неприво-
«неприводимых» характеров группы F. Следуя подсказке Дж. Томп-
Томпсона, Дж. Конвей и С. Нортон заменили числа с{ значениями
этих же самых характеров на других элементах группы и от-
отметили, что таким образом получаются начала разложений
в ряды других замечательных модулярных функций. Гипо-
Гипотеза, венчающая это удивительное открытие, была в конце
концов доказана (объединенными усилиями А. Аткина,
Дж. Конвея, П. Фонга, С. Нортона, С. Смита и Дж. Томп-
Томпсона) в виде следующей теоремы, которая здесь цитируется
по отличному обзору [Br] M. Бруэ.
Теорема. Существует формальный pxdJ(X)=X~]+Yl CkXk
с коэффициентами из множества «эффективных» характеров
монстра, а также для любого g^F порядка o(g) сущв'
ствуют целое число h{g), делящее 24 и o(g), и такая под-
подгруппа Vg группы GL2(Q), содержащая и нормализующая
группу To(h(g).o(g)), что (компактифицированная) поверх-
поверхность H/Tg является поверхностью рода нуль, а функция
jg (z) = q-i + ? Ck(g) qk (где q = в2™'г) порождает поле функ-
функций этой поверхности.

168
Ж- Тите
В частности, с необходимостью имеет место Ti = SL2(Z)
(с точностью до скаляров), откуда /i = / — 744.
Главными составными частями доказательства этой тео-
теоремы являются соотношения в виде сравнений между коэф-
коэффициентами модулярных форм и теорема Брауэра, описы-
описывающая характеры по их ограничениям на элементарные
подгруппы.
Замечание Огга в настоящее время принимает следующий
более строгий вид: для любого р, такого что Н/То(р) + — по-
поверхность рода нуль, существует такой элемент g(p)(=F,
что функция /g(P) порождает поле функций этой поверхности.
Еще одно «чудо1»: для любого простого числа р, такого
что (р— 1)| 24, и поэтому 24 = 2d(p — 1) при de=N, Конвей
предъявляет такие элементы g' (р) <= F (или, точнее, класс
сопряженности) порядка р и автоморфизм а(р) порядка р
решетки Лича Л, что CP{gr(p)) оказывается расширением
группы С.0(а(р)) при помощи экстраспециальной группы
порядкар2^1, причем }g'(p){z) = (л(z)/r\{pz)fd + 2d, где r\(z) =
= <71/24П A — <7Й) — функция Дедекинда, a /в'<р, порождает
ft ^S I
поле мероморфных функций поверхности Я/Г0(р) (см. [CN]
и [Вг], с. 107). Элемент g' B) есть не что иное, как наше z0 (§ 2).
В случае когда g^C = CF(z0), мы располагаем явными
формулами (см. [CN], [Ка2] и [Вг], 4.2), выражающими js
при помощи тета-функций.
7. МОДУЛИ И АЛГЕБРЫ БЕСКОНЕЧНОЙ РАЗМЕРНОСТИ
«Фантазии на тему монстра» подсказали существование
естественного градуированного /^-модуля М = (Мг),>_ь с по-
полиномом Пуанкаре ][] (dim M,) <^ вида j(z) — 744. Есть на-
надежда, что простое и прямое определение этого модуля
обеспечит «одновременно» и расшифровку фантазий на тему
монстра и более осознанное построение монстра.
Дж. Маккей открыл явление, аналогичное «фантазиям на
тему монстра», связав последовательность представлений
алгебры Ли ?8 с функцией {q.f(z)I'3. Разъяснения этого
были даны В. Кацем [Kal] и Дж. Леповским [Le]. Отправ-
Отправляясь от алгебры Каца —Муди типа ?у>, которая, напомним,
является центральным расширением при помощи JCi алгебры
Е8 ® С[Т, Т-1], рассматривают градуированный модуль фун-
фундаментального «базисного» представления, доминантный вес
которого определяется диаграммой
-О
1
0 0
0 0
Монстр
169
Его полином Пуанкаре есть в точности (q.j(z))l/z, и Еа, под-
подалгебра алгебры Е{^\ действует естественным образом на
каждой однородной компоненте.
Мы располагаем явными конструкциями модуля фунда-
фундаментального базисного представления алгебр Каца — Муди
аффинного типа помощи «вершинных операторов» (см. глав-
главным образом [FK] и [KKLW]), а многие авторы пытались
этим руководствоваться, чтобы аналогичным образом по-
построить «модуль фантазий на тему монстра».
Любой целой четной решетке Л нечетного объема В. Кац
[Ка2] ставит в соответствие градуированный модуль, кото-
который мы обозначим через М&- Когда Л —решетка Лича, Кац
замечает, что Мл —градуированный С-модуль (где С —
группа из § 2), ряд Пуанкаре которого есть q- (j(z) + cte);
предполагается, что представление группы С в факторе
M&J{Mx)\ продолжается до градуированного представления
группы F, характер которого задается рядом X-J(X)
(см. §6).
Теперь о других результатах, полученных в этом направ-
направлении И. Френкелем, Дж. Леповским и А. Мерманом. Нач-
Начнем с формулировки наиболее свежего из них, который, как
мы увидим, приближается к цели, описанной в начале этого
параграфа. Вспомним понятия из § 4 и рассмотрим простран-
пространство В = В + Q-1. снабженное скалярным произведением
( , )й", равным прямой сумме скалярного произведения
2а7-( , )в и трижды повторенного естественного скалярного
произведения над Q. Для элементов Б = b -\- q.l и Б' = Ь' +
+ <7'-1 из В положим ЬХЬ' =^%{b®b') + qb' + q'b + у X
Х(?. Ь')%Л. Затем образуем пространство В = В[Т, T~l] + Q.e
(полагая В[Т, Г-1] = В <8> Q[T, T~l]), которое в свою оче-
очередь снабдим скалярным произведением ( , )g и алгебраи-
алгебраическим законом X, определенным следующими формулами,
где и, и' е В [Т, Т~1], а записи ( , )т и Хг обозначают есте-
естественные продолжения обозначений ( , )§ и X на В[Т, Т-1]:
(u + ke, и' + k'e)g — постоянный член в (и, и')т;
(и + ke) X ("' + k'e) = и Хт и' + у {{j -^\и), u')g .e.
Группа F действует на В очевидным образом, сохраняя про-
произведение X и скалярное произведение ( , )g. Результат,
объявленный в [FLM2], имеет следующий вид:
Существуют градуированный F-модуль М= XI Мп и
«представление» л: B->EndM, согласованное с действиями

170
Ж. Тите
группы F на В и М, такое что к (е) = Id.
A) (Х5 {l)\ [{T
для «,оеВ[Г, Г],
модуль я (ЬТп) однороден степени п для Ъ е В, M\ — Q,
Mft = 0, M_( изоморфен модулю В (как F-модуль) и
X (dim М„).q~n = j (г) — 744, где, как обычно, о = е2лгг.
Монстр
171
X ( „
»<i
Авторы предполагают очевидным образом, что характер
градуированного F-модуля М задается рядом /(X) (см.
§ 6).
В [FLM2] не дано никакого указания относительно спо-
способа доказательства этого результата, но сопоставление с
[FLM1] позволяет в общих чертах вообразить себе то, что
происходит. Любой целой решетке Л, четной и унимодуляр-
ной, [FLM1] ставит в соответствие градуированное вектор-
векторное пространство; снова назовем его Мл, хотя на этот раз
степени пробегают множество — yN. Для любого neyZ
и любого >,еЛ определяется при помощи «вершинного опе-
оператора» оператор х\(п) степени п в Л4Л. В случае когда Л —
решетка корней алгебры ?8. авторы показывают, что алгебра
Ли, порожденная операторами х\(п) при ne^Z и (Х,Д)=2
(т. е. когда % пробегает множество корней из ?8), изоморфна
алгебре Е^ и что Мк — модуль базисного представления,
новое построение которого, таким образом, дается в работе
[FLM1]. Построение же алгебры В (взамен алгебры ?у>)
и «модуля» М (соответствующего модулю базисного пред-
представления) отчасти похоже, но, безусловно, значительно слож-
сложнее. Теперь вернемся к решетке Лича Л и заново определим
операторы х\(п) (где на этот раз «eZ, X, <= Л2, (^Д) = 4),
опираясь на «вершинный оператор». Однако, помимо того что
алгебра В уже не является алгеброй Ли, существенное отли-
отличие от случая алгебры Е^ состоит и в том, что операторов
Xj,{n) больше не достаточно, чтобы ее «породить» (в смысле,
который можно уточнить): нужно к ним присоединить их
трансформации при помощи некоторой «тройки», чтобы
установить взаимоотношение с нашей группой D (§3).
[В первоначальном тексте, распространенном при устном
сообщении, конец этого абзаца, опирающийся на отрывочные
сведения, был достаточно смутным и неточным. Вместо того
чтобы пытаться уточнять смысл, мы отсылаем читателя к по-
появившейся за это время статье И. Френкеля, Дж. Леповского
и А. Меермана «Естественное представление монстра Фи-
Фишера — Грисса с модулярной функцией / в качестве харак-
характера», Proc. Natl. Acad. Sci., USA 81 A984), 3256—3260.]
* *
Отклоняясь несколько от затронутых здесь вопросов, кос-
коснемся алгебры Ли бесконечной размерности, построенной
Дж. Конвеем, Л. Кин и Н. Слоном [CQS], связь которой
с монстром эти авторы надеются установить. В пространстве
R26, снабженном системой координат (х0, xi, ..., Jt24, *7о)
24
и квадратичной формой X*? —-*7о> рассмотрим решетку S,
состоящую из точек, все координаты которых принадлежат
либо Z, либо Z + y. и скалярное произведение которых на
вектор Гу у,у)целое и четное. Положим до =@,1,...
..., 24, 70) (вектор длины нуль!) и Ф = {ге 2| (г, г) = 2,
(г, до) = —1}. Множество Ф имеет замечательные свойства:
оно изометрично решетке Лича ([CS]) и имеет место равен-
равенство Aut S =(Isom®X {±1} X ТС'ф, где Ьотф есть группа
изометрий множества Ф (изоморфная, таким образом, группе .0,
расширенной при помощи переносов решетки Лича), &W<t,—
группа Кокстера, порожденная отражениями относительно эле-
элементов из Ф. Рассматриваемая алгебра Ли является алгеброй
Каца — Муди, построенной исходя из «фундаментальной си-
системы корней» Ф, т. е. из обобщенной матрицы Картана
8. СИСТЕМЫ ОБРАЗУЮЩИХ И ПОДГРУППЫ
Назовем множеством Фишера любое подмножество груп-
группы, состоящее из инволюций, попарные произведения кото-
которых имеют порядок 2 или 3. В течение длительного времени
Б. Фишер интересовался системами образующих группы F,
обладающими этим свойством, т. е. заданиями группы F
в виде факторгруппы группы Кокстера, граф которой имеет
только простые ребра. Из-за отсутствия до последнего вре-
времени истинного описания такого рода задания позволяют по
крайней мере ориентироваться среди некоторых замечатель-
замечательных подгрупп в F. Следующее изящное утверждение, полу-
полученное Конвеем, снова дает в качестве частных случаев си-
системы образующих, открытые Фишером.

172
Ж. Тите
Сплетение (FXF) X (Z/2Z) является факторгруппой
группы. Кокстера Сох Г, ассоциированной с графом инци-
инцидентности Г проективной плоскости П над §.
Пусть П' — дуаль к плоскости П. Выберем эпимор-
эпиморфизм ф: Сох Г -+ {F X F) X (Z/2Z), пусть sx для жеПиП'
обозначает образ при этом эпиморфизме соответствующей
«образующей» группы Сох Г, и пусть я—проекция про-
произведения FXF на один из его сомножителей. Ни один
из элементов sx не принадлежит группе FX. F, ибо иначе они
все принадлежали бы ей (что видно путем последовательного
присоединения), а тогда для х, г/еПиП' выражение
n(y(sxsy)) имеет смысл и представляет собой элемент из F.
Теперь зафиксируем прямую d e IT, принятую за «бесконеч-
«бесконечную прямую». Пусть П<* = П — d — соответствующая аффин-
аффинная плоскость, и пусть U'd = П' — {d} — множество ее пря-
прямых. Для ^еПиП' положим rx = n(q>(SdSx)). Мы видим,что
{гх | х е Ud UIQ является множеством Фишера в F такого
типа, что любой «аффинной конфигурации» Р cz Ud U Ud со-
соответствует группа FP — </\|xeP>, снабженная системой
образующих Фишера. Рассмотрим несколько примеров.
Пусть Аи А2, As<=Ud суть три точки, образующие тре-
треугольник, и для t=l, 2, 3 обозначим через А\ третью точку
прямой, соединяющей точки А/ (/ Ф i), через а{ — прямую,
соединяющую точки A't (j Ф i), через а\ — прямую, парал-
параллельную этой последней и проходящую через Ар через
а" — прямую, соединяющую At и А\ (секущую треугольника),
и через Ded — точку на бесконечности, общую прямым
ах, а[ и А2А3. Положим P0 = {At, A\, a(, a[, a"\i=\, 2, 3} и
Pi = Ро — {av a'v а'3}. Мы имеем FP, = Fpx = F. Читателю пред-
предлагается изобразить графы Ро и Р^ н убедиться в том, что
это, соответственно, шестиугольник с тремя хвостами длины 3
и дерево с тремя ветвями длин 3, 4, 4. Фишер еще до 1976 г.
открыл в F системы образующих, представленные этими
графами.
Следующие результаты, как и много других такого же
типа, были также получены Фишером. Для X cz Р, полагаем
F (X) = Fpy-x. Тогда F (А2) — центральное расширение бэби-
монстра ВМ при помощи группы /г Д порядка 2; F (а') (соот-
\ а2/ ч '
ветственно ее производная) — нецентральное расширение
(соответственно центральное) группы Фишера Fi2i (соответ-
(соответственно Fi'2i) при помощи группы <VD) порядка 3; F (Л2, Л3) —
центральное расширение группы 2?6(F2) при помощи элемен-
Монстр
173
тарной абелевой группы /г г, т Д порядка 4; имеет место
\ а2 аЗ/
F(Л2, а'ъ) ^Fi2S; F (Л2, Аъ, а'2') — центральное расширение
группы F/22 при помощи /гЛ- Заметим, что графы Кок-
Кокстера этих групп являются деревьями с тремя ветвями длин
C, 3, 4), B, 4, 4), C, 3, 3), B, 3, 4) и B, 3, 3) соответственно.
На приведенных примерах видно, как в недрах монстра
можно выявить существование некоторых «экзотических»
центральных расширений.
В заключение укажем еще, что работа [CN] содержит
множество сведений о сопряженных классах группы F, о цент-
централизаторах элементов малых порядков и т. д.
ЛИТЕРАТУРА
ГВг] Broue M. Groupes finis, series formelles et fonctions modulaires,
Sem. Groupes finis, tome I, Publ. Math. Univ. Paris VII, 1982,
105—127.
[Col] Conway J. H A group of order 8 315 553 613 086 720 000, Bull.
Lond. Math Soc: 1 A969), 79—88.
[Co2] Conway J. H. The automorphism group of the 26-diraensional even
unimodular Lorentzian Lattice, preprint (non date).
[CN] Conway J. H., Norton S. P. Monstrous Moonshine, Bull. Lond.
Math. Soc. 11 A979), 308—339.
[CQS] Conway J. H., Queen L., Sloane N. J. A. A Monster Lie algebra?,
preprint (non date).
[CS] Conway J. H., Sloane N. J. A. Lorentzian forms of the Leech lat-
lattice, Bull. Amer. Math. Soc. 6 A982), 215—217.
[FK] Frenkel I. В., Kac V. G. Basic representatitons of affine Lie al-
algebras and dual resonance models, Inventiones Math. 62 A980),
23—66.
[FLM1] Frenkel I. В., Lepowsky J., Meurman A. An E8-approach to Fi, a
paraltre dans les Proceedings of the 1982 Montreal conference on
Finite group theory.
[FLM2] Frenkel I. В., Lepowsky J., Meurman A. Communication personnel-
le, octobre 1983.
[Го] Гореистайн Д. Конечные простые группы. Введение в их класси-
классификацию. — М.: Мир, 1985.
fGrl] Griess R. L. Jr. The structure of the «Monster» simple group, Proc.
Conf. Finite Groups, W. Scott and F. Gross eds., Academic Press,
1976, 113—118.
fGr21 Griss R L. Jr The Friendly Giant, Inventiones Math. 62 A982),
1-102.
[Ja] Jacobson N. Structure and representations of Jordan algebras,
Amer. Math. Soc. Colloquium Publ., vol. 39, 1968.
[Kal] Kac V. G. An elucidation of «Infinite dimensional algebras ... and
the very strange formula», EeA) and the cube root of the modular
invariant j, Adv. in Math. 35 A980), 264—273.
[Ka21 Kac V. G. A remark on the Conway — Norton conjecture about the
«Monster» simple group, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 77 A980),
5048—5049.
[KKLW] Kac V. G., Kazhdan D. A., Lepowsky J., Wilson R. L. Realization
of the basic representation of the Euclidean Lie algebras, Adv in
Math. 42 A981), 83-112.

174 Ж. Тите
[Le] Lepowsky J. Euclidean Lie algebras and the modular function j,
Proc. Symp. Pure Math. 37 A980) (Santa Cruz Conference on
Groups), 567—570.
[Sm] Smith S. Large extraspecial subgroups of widths 4 and 6, Journal
of Algebra 58 A979), 251-281.
[Th] Thompson J. G. Uniqueness of the Fischer — Griess Monster, Bull.
Lond. Math. Soc. 11 A979), 340—346.
[Til] Tits J. Resume de cours, Annuaire du College de France 1982—
1983.
[T12] Tits J. Remarks on Griess' construction of the Griess — Fischer
sporadic group, I, II, III, IV lettres polycopiees 1983.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1*1 Tits J. On Griess' «Friendly giant». Invent, math., 1984, 78, 491—499.
|2*| Conway J. H. A simple construction for the Fischer—Griess monster
group. Invent, math., 1985, 79, 513—540.
Griess R. L. The monster and its nonassociative algebra. Proc. of the
Conf. «Finite Groups: Coming of Age», Montreal 1982; Contemporary
Mathematics, 1985, 45, 121—157.
[4*] Frenkel I. В., Lepowsky J., Meurman A. A moonshine module for the
Monster. Verteh Operators in Mathematics and Physics, Ed. by Le-
Lepowsky. Springer-Verlag, New York al., 1985, 231—274.
[3*]
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГОМОЛОГИИ:
ОБЗОР НЕДАВНИХ РАБОТ
КОННА, КАРУБИ, ЛОДЕЯ, КВИЛЛЕНА ')...
Пьер Картье
Политехническая школа, Отделение теоретической математики, Париж,
Франция
ВВЕДЕНИЕ
Циклические гомологии возникли из двух различных ис-
источников. Конн [4] ввел циклические когомологии в своем
исследовании инвариантов пространства слоев слоения, где
они сыграли решающую роль в его некоммутативной диф-
дифференциальной геометрии. Цыган [23] ввел циклические го-
гомологии, дающие возможность вычислить гомологии некото-
некоторых алгебр Ли; та же проблема получила близкое решение
в работе Лодея и Квиллена [22]. Обе точки зрения были
объединены Конном введением в [5] циклических объектов.
Оба подхода столь тесно связаны с К-теорией, что Фей-
гин и Цыган окрестили циклические гомологии «аддитивной
/(-теорией». Впрочем, возможно, каждой коммутативной фор-
формальной группе можно поставить в соответствие /(-теорию;
усилия в этом направлении были предприняты Моравой
к 1970 г. Следует, однако, уточнить: Конн работает в анали-
аналитической ситуации с гильбертовыми пространствами, где
имеется периодичность Ботта; здесь важны лишь Ко и Кь
Впрочем, определением групп Kt{A) для всех целых положи-
положительных i мы обязаны Квиллену. В основе лежит характер
Чженя, с помощью которого связываются /(-теория и гомо-
гомологии; построения, предпринятые Конном, были продолжены
Каруби в контексте теории Квиллена [18], [19], [20].
Вездесущность циклических гомологии поразительна.
Лишь только они возникли, как сразу были опознаны среди,
казалось бы, очень отдаленных объектов: псевдоизотопии
топологических пространств и пространства А(Х) Вальдхау-
зена, алгебры Каца — Муди, гиперболическая геометрия раз-
размерности 3 и дилогарифм, ручной символ (symbole modere)
и промежуточные якобианы, теорема об индексе. После того,
как мы определим циклические гомологии и опишем основные
их свойства, будет дано описание существенных моментов
') Cartier Pierre. Homologie cycliques: rapport sur des travaux recents
de Connes, Karoubi, Loday Quillen... , Seminaire Bourbaki, 36-e annee,
1983—84, № 621, 1—24.
© Revue Asterisque, 1984

174 Ж. Тите
[Le] Lepowsky J. Euclidean Lie algebras and the modular function j
Proc. Symp. Pure Math. 37 A980) (Santa Cruz Conference on
Groups), 567—570.
[Sm] Smith S. Large extraspecial subgroups of widths 4 and 6, Journal
of Algebra 58 A979), 251—281.
[Th] Thompson J. G. Uniqueness of the Fischer — Griess Monster Bull.
Lond. Math. Soc. 11 A979), 340—346.
[Til] Tits J. Resume de cours, Annuaire du College de France 1982—
1983.
[Ti2] Tits J. Remarks on Griess' construction of the Griess — Fischer
sporadic group, I, II, HI, IV lettres polycopiees 1983.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1*1 Tits J. On Griess' «Friendly giant». Invent, math., 1984, 78, 491—499.
[2*] Conway J. H. A simple construction for the Fischer—Griess monster
group. Invent, math., 1985, 79, 513—540.
[3*] Griess R. L. The monster and its nonassociative algebra. Proc. of the
Conf. «Finite Groups: Coming of Age», Montreal 1982; Contemporary
Mathematics, 1985, 45, 121—157.
[4*] Frenkel I. В., Lepowsky J., Meurman A. A moonshine module for the
Monster. Verteh Operators in Mathematics and Physics, Ed. by Le-
Lepowsky. Springer-Verlag, New York al., 1985, 231—274.
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГОМОЛОГИИ:
ОБЗОР НЕДАВНИХ РАБОТ
КОННА, КАРУБИ, ЛОДЕЯ, КВИЛЛЕНА ')...
Пьер Картье
Политехническая школа, Отделение теоретической математики, Париж,
Франция
ВВЕДЕНИЕ
Циклические гомологии возникли из двух различных ис-
источников. Конн [4] ввел циклические когомологии в своем
исследовании инвариантов пространства слоев слоения, где
они сыграли решающую роль в его некоммутативной диф-
дифференциальной геометрии. Цыган [23] ввел циклические го-
гомологии, дающие возможность вычислить гомологии некото-
некоторых алгебр Ли; та же проблема получила близкое решение
в работе Лодея и Квиллена [22]. Обе точки зрения были
объединены Конном введением в [5] циклических объектов.
Оба подхода столь тесно связаны с /(-теорией, что Фей-
гин и Цыган окрестили циклические гомологии «аддитивной
К-теорией». Впрочем, возможно, каждой коммутативной фор-
формальной группе можно поставить в соответствие К-теорию;
усилия в этом направлении были предприняты Моравой
к 1970 г. Следует, однако, уточнить: Коин работает в анали-
аналитической ситуации с гильбертовыми пространствами, где
имеется периодичность Ботта; здесь важны лишь Ко и К\.
Впрочем, определением групп Ki(A) для всех целых положи-
положительных i мы обязаны Квиллену. В основе лежит характер
Чженя, с помощью которого связываются /(-теория и гомо-
гомологии; построения, предпринятые Конном, были продолжены
Каруби в контексте теории Квиллена [18], [19], [20].
Вездесущность циклических гомологии поразительна.
Лишь только они возникли, как сразу были опознаны среди,
казалось бы, очень отдаленных объектов: псевдоизотопии
топологических пространств и пространства А{Х) Вальдхау-
зена, алгебры Каца— Муди, гиперболическая геометрия раз-
размерности 3 и дилогарифм, ручной символ (symbole modere)
и промежуточные якобианы, теорема об индексе. После того,
как мы определим циклические гомологии и опишем основные
их свойства, будет дано описание существенных моментов
') Cartier Pierre. Homologie cycllques: rapport sur des travaux recents
de Connes, Karoubi, Loday, Quillen... , Seminaire Bourbaki, 36-e annee,
1983—84, № 621, 1—24.
© Revue Asterisque, 1984

176
П. Картье
этих приложений. Тематика быстро развивается, и данный
обзор рискует быстро устареть1).
Я приношу искреннюю благодарность Конну, Делиню, Кд-
руби и Лодею за многочисленные обсуждения, которые я
имел с ними по этим вопросам, и за щедрые сведения — в
большей части неопубликованные, — которые они мне сооб-
сообщили. Я также благодарю Дуади за его благожелательное
внимание во время подготовки этого обзора.
§ 1. ПОСТРОЕНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГОМОЛОГИИ
1.1. КРАТКАЯ СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ К-ТЕОРИИ
Пусть X — компактное пространство. Обозначим через
(Х) аддитивную категорию векторных (комплексных) рас-
расслоений иа X и через Ф (X) множество классов изоморфизма
объектов из &{Х). Относительно действия взятия прямой
суммы Ф(Х) является коммутативным моноидом; ассоции-
ассоциированная с ним симметризованная группа обозначается че-
через К°{Х). Для произвольного векторного расслоения Е с ба-
базой X через [Е] обозначается соответствующий элемент из
К°(Х); по определению имеем [Е] -f- [F] = 1-Е Ф F], если Е
и F— два векторных расслоения с базой X и любой элемент
из К°{Х) представим в виде [Е] — [F]. На К°{Х) существует
структура коммутативного кольца, задаваемая формулой
[Е] • [F] = [?® F]. Помимо тензорного произведения можно
рассматривать внешние степени, определяющие операции %п
в К°(Х). При помощи рекуррентных соотношений вводятся
операции Адамса:
(для п&*2). Примечательно, что г|з« — эндоморфизмы кольца
К°(Х); более того, имеет место г|зт о1фп = г|зтл и г|з« (х) = хп,
если х—класс векторного расслоения ранга 1.
Пусть 01 (X) — коммутативная группа, образованная клас-
классами векторных расслоений ранга 1 на X относительно тен-
тензорного умножения в качестве действия. Эта группа изо-
изоморфна группе H2(X,Z) (под когомологиями понимаются
когомологии Чеха) относительно изоморфизма [L]i—>ci(L)
(первый класс Чженя). Характер Чженя определяется сле-
следующими свойствами:
') Новейшие исследования отражены в дополнительной литературе в
конце доклада, см., в частности, доклад А Коина на Международном мате-
математическом конгрессе в Беркли (август 1986 г.) [41]. — Прим. ред.
Циклические гомологии
177
a) для компактного пространства X отображение сЬл
является изоморфизмом колец /C°(X)®Q и Н+{Х; Q) =
= Zo^2l(X; Q);
b) ch* функториален относительно X;
c) для L из Ф\(Х) имеет место ch*(L) = expci(L).
Кроме того, имеет место
если chf (x) — компонента элемента ch (x) в H2i (X; Q). Заман-
Заманчиво поэтому определить рациональные когомологии четной
размерности, скажем, Н+{Х; Q), посредством изоморфизма
chx; при этом можно с некоторыми оговорками определить
операции Стинрода (см. [11]). Можно также определить
классы Чженя Ct(E) векторного расслоения на X; они при-
принадлежат группе Нп(Х; Z), и сп*(?) вычисляется при по-
помощи универсальной полиномиальной формулы (с рацио-
рациональными коэффициентами) от классов с,(Е). Гротендик по-
показал, как определить /(-классы Чженя, не выходя за пре-
пределы К°(Х) (см. [14], с. 194—196).
Для получения нечетных когомологии используется изве-
известный изоморфизм между Н'(Х) и Hi+l(SlX), где SlX обо-
обозначает надстройку пространства X. Это ведет к определе-
определению группы K~l(X)— K°(S{X) или, более общо, групп
К~п (X) = К0 (SnX) (где SnX — п-я надстройка пространства
X). Это приводит к ненужной роскоши, поскольку теорема
периодичности Ботта утверждает, что К~п(Х) канонически
изоморфна группе К~п~2(Х). Можно также определить отно-
относительные группы К~п(Х, У), где У —замкнутое подпростран-
подпространство в X; эта группа в действительности зависит только от
локально компактного пространства X\Y, откуда получается
определение групп К~"(Х), когда X локально компактно.
Теорема периодичности Ботта в этом случае утверждает:
«/C°(JQ изоморфна группе
и мы имеем точный шестиугольник
k°(x,y) —
/
\
К'1 (X,Z) ^-if QCJ)
в предположении, что XzzY Z3 Z.

178
П. Картье
1.2. ПОЯВЛЕНИЕ С*-АЛГЕБР
Если А — кольцо, не обязательно коммутативное, то. обо-
обозначим через &>(А) аддитивную категорию левых проектив-
проективных Л-модулей конечного типа. Изложенное в начале п. 1.1
применимо к любой аддитивной категории Я? и позволяет
определить группу Гротендика /СС<Р). Мы полагаем, Ко(А) =
К(Р(А)):
Для любого целого п ^ 1 мы обозначаем через GLn(A)
группу матриц пХ«, имеющих коэффициенты в Л и обра-
обратимых. Дополним каждую такую матрицу до бесконечной
матрицы по следующему правилу:
\а Ъ 0 0 '
с d О О
0 0 10
0 0 0 1
Тогда группы GLn(A) образуют возрастающую последова-
последовательность, объединение которой обозначается через GL(A).
Мы определим Ki(A) как факторгруппу группы GL(A) no ее
коммутанту, обозначаемому через Е(А).
Предположим теперь, что А — полная нормированная ал-
алгебра (с единицей). Группа GLn(A) является тогда тополо-
топологической группой, и GL(A) можно снабдить топологией ин-
индуктивного предела. В частности, определены гомотопические
группы Ui(GL(A)). Разновидность теоремы периодичности
Ботта (см. Вуд [17]) устанавливает существование для /^ 0
изоморфизмов (мы полагаем K~l(A) = ito(GL(A)))
К~Х{А)-
¦nn{GL{A)).
Отметим частный случай А = .С: имеем Ko(C)=Z и
/(->(С) = 0, и мы возвращаемся к найденным Боттом гомо-
гомотопическим группам n,(GL(C)).
Одно из наиболее ярких достижений теории Гельфанда
нормированных алгебр состоит в следующем: если локально
компактному пространству X поставить в соответствие ал-
алгебру Со(Х;С) непрерывных функций на X со значениями
в lC. и обращающихся в нуль на бесконечности, то устанавли-
устанавливается эквивалентность категории локально компактных про-
пространств и категории коммутативных С*-алгебр; компактные
пространства при этом соответствуют алгебрам с единицей.
Кроме того, если X компактно и если положить А — С(Х; С),
то категория <?(Х\ эквивалентна категории &{А\ («теорема
Циклические гомологии
179
Серра — Суона»); при этом эквивалентность устанавливается
соотнесением расслоению <S над X пространства его непре-
непрерывных сечений. Мы располагаем, таким образом, словарем,
позволяющим переводить задачи о компактных простран-
пространствах в задачи о коммутативных С*-алгебрах. В частности,
эквивалентность между &{Х) и &{А) влечет за собой изо-
изоморфизм между К°(Х) и Ко(А); также имеется изоморфизм
между /С-1 (X) а К-1 (ЛI).
Одной из главных забот Конна было изучение факторпро-
странств вида Х/Т или V/&~, где Г — дискретная группа,
действующая на локально компактном пространстве X, а
&~ — слоение на многообразии V. В обоих случаях мы можем
поставить в соответствие геометрическим объектам (^-ал-
(^-алгебру, обозначаемую через Со (X) X Г в первом случае и че-
через C*{V,&~) во втором. Когда существует осмысленный
фактор, эта С*-алгебра эквивалентна в смысле Мориты ал-
алгебре непрерывных функций, на факторпространстве, обра-
обращающихся в нуль на бесконечности. Однако, две алгебры, эк-
эквивалентные в смысле Мориты,. имеют изоморфные группы
Ki (для i = 0, 1). Таким образом, разумно определить груп-
группы /(-теории равенствами
(для /, равного 0 или 1). Эта /(-теория имеет разумные свой-
свойства, и теперь речь пойдет о том, чтобы построить теорию
гомологии и характер Чженя.
1.3. СЛЕДЫ В ЦИКЛИЧЕСКИХ КОГОМОЛОГИЯХ
Пусть k — поле характеристики О2). Рассмотрим градуи-
градуированную дифференциальную алгебру Q (с единичным эле-
элементом) ; обозначим через Q" однородную компоненту (для
п ^ 0) и через d: Q"->Qrt+I дифференциал. Цикл степени п
на Q (называемый еще «замкнутым градуированным сле-
следом»)— это линейная форма т на Q", которая удовлетворяет
') Это получается, например, из теоремы 4.8 ([14], с. 84) и опреде-
определения группы К~1(Х), данного на с. 75, если рассмотреть множество клас-
классов гомотопий непрерывных отображений пространства X в GL{C).
2) Значительная часть определений и результатов этого пункта сохра-
сохраняется в предположении, что k — лишь коммутативное кольцо; однако цик-
циклические когомологии не были бы «хорошими» в этой ситуации и тре-
требуется дождаться п. 1.6 для окончательного определения.

180
П. Картье
для (о <
двум следующим свойствам:
A) Т((О.(О') = (-1)Р<?Т((О'(О)
B) т (d<i>) = 0
Вот несколько примеров:
a) Если Л— алгебра над полем k, то мы положим Q°=A,
Q" = 0 для п > 0 и d = 0; тогда цикл степени 0 — это ли-
линейная форма х на А, такая, что т(аЬ) — т(Ьа) для а, Ь из Л.
Такую форму часто называют следом (или центральной ли-
линейной формой).
b) Пусть X — ориентированное многообразие класса С°°
размерности п. Рассмотрим алгебру Q внешних дифферен-
дифференциальных форм на X и положим т (со) = \ со для ю е Q".
х
Формула B) следует из теоремы Стокса, а формула A)
обеспечивается тем, что в этом случае мы имеем ю'со =
= (—1)p<?<uco' для oeQp, со' е Q'; чтобы выразить это свой-
свойство, говорят, что Q коммутативна (в смысле градуировки).
c) В обозначениях из Ь) рассмотрим градуированную ал-
алгебру Mr(Q) квадратных матриц порядка г с коэффициен-
коэффициентами из Q. Если <о = (со,/)—такая матрица, то мы положим
da, = (dan) ¦ Тогда дифференциальная градуированная ал-
алгебра M,(Q) уже не является коммутативной, но если поло-
положить х (о) = \ ^Г (оп для со = (а,/) из Q", то этим опять бу-
X I
дет определен цикл степени п на Mr{Q).
Пусть теперь А — алгебра над полем k; мы не будем
предполагать ни того, что А коммутативна, ни того, что она
обладает единичным элементом. Обозначим через К алгебру,
получаемую из А добавлением единичного элемента, так что
A = k.l®A. Частный случай А = k существен; обозначим
через Р алгебру й. Она имеет базис A,е) над k с таблицей
умножения 1.1 = 1, 1.е= е.1 = е.е = е. Введем также уни-
универсальную градуированную дифференциальную алгебру
Q (А), построенную из Л. Имеем Q0 = А, а для п ^ 1 ото-
отображение а0 ® а\ ® ... ® ап ь—> а0 dax ... dan является изомор-
изоморфизмом векторных пространств А ® Л®" и Qn{A); если ао =
= 00 + ^.1, ТО
C) а0 dax ... dan = aoda1 ... dan + d (Xav da2 ... dan).
Отсюда вытекает, что, используя соотношение
D) т„(оо, а„ ..., ап) = хfadax ... dan),
можно отождествить циклы степени п на п(А) и п-следы
на А. т. е. полилинейные формы т„, удовлетворяющие соот-
Циклические гомологии
181
ношениям
E) т„(а„ а2 ап, а^) = (— 1)"т„ fa, au ..., ап),
и Ъхп = 0, где полилинейная форма Ъхп определяется при по-
помощи
F) bxnfa, ..., а„+1) =
+ {—l)n~rixn{an+la0, au ..., an).
Эти определения можно переформулировать следующим
образом. Пусть Л* — пространство, двойственное векторному
пространству Л, рассматриваемое как бимодуль над Л по
правилу {a.f.b) (c)= f(bca) для а, Ь, с из А и f из Л*.
Рассмотрим комплекс коцепей Хохшильда алгебры Л в би-
модуле Л*, обозначаемый через С* (Л).
Компонента n-степени, обозначаемая через Сп(А), представ-
представляет собой множество полилинейных форм от п+1 переменных
на Л, а кограничныйоператор Ь: Сп(А)-+Сп+х(Л.)определяется
формулой F). Значит, когомологии комплекса (С*(А),Ь)
являются когомологиями Хохшильда Н*(А,А*) алгебры Л со
значениями в Л*. Заметим, что элементы хп из Сп(А), кото-
которые удовлетворяют соотношению E), образуют векторное
подпространство С\(Л) в Сп(А). Некоторым чудом выглядит
то, что b отображает Cl(A) в C\+l (А); таким образом, можно
рассмотреть подкомплекс (СЦА), Ь) в (С*(А),Ь) и опреде-
определить его когомологии1). Эти когомологии обозначены Кон-
Конном через Яд,(Л), а Лодеем и Квилленом через НС*(А); по-
последние обозначения мы и примем и будем говорить о цик-
циклических когомологиях алгебры Л.
1.4. СВОЙСТВА ЦИКЛИЧЕСКИХ КОГОМОЛОГИИ
Сначала дадим определение ^-произведения. Если Л и
В—две алгебры над полем k, то свойство универсальности
алгебры О(Л ® В) позволяет построить гомоморфизм градуи-
градуированных дифференциальных алгебр
с: Q (Л®й) -> Q (Л) «8> Q (В).
Если х — цикл степени п на Q (А) и я — цикл степени р на
Q E), то х U я = (х ® я) .с — цикл степени п + р на Q (Л ® В).
') Коциклами комплекса (С^(Л), bj являются, значит, «-следы; мы
обозначаем через Z\ (А) множество этих «-следов.

182
П. Картье
Значит, можно определить спаривание Zl(A)X.Zl(B) в
Zi+P(A<8> В), и проверяется, что оно переходит на когомологии
и определяет спаривание НСп(А)ХНСр(В) в НСп+р{А®В).
Применим сначала это к случаю, когда А = В = k; здесь
мы располагаем умножением в HC*(k), и можно доказать,
что HC*(k)—алгебра многочленов k[a] от 2-следа а, опре-
определяемого условием a(edede)—l (предупреждение: Конн
использует отличную от нашей нормировку с 2л/!). Далее
рассмотрим случай, когда алгебра- А произвольна, а В равна
k\ мы имеем A<S>k = A, в частности «^-произведение с эле-
элементом а определяет оператор S: НС*(А)-*-НС*(А), назы-
называемый надстроечным. Подобно n-следам, он имеет следую-
следующее явное определение:
G) Sx (ад dax ... dan+2) =
n+\
= Z t (a0 dax ... da,_x (a^i/
dal+2 ... dan+2).
Оператор S имеет степень 2 и отображает Z\{A) в Z"+2(A).
Кроме того, определен оператор степени —1 В: С"(Л)-*
С1 (А). Сначала при помощи равенства
(8)
0 ая_,)
определяется оператор t: С"(А)-*-С"(А), так, чтобы под-
подгруппа С\(А) характеризовалась соотношением tx = х. Затем
соотношением
(9) Вох(ао, ..., а„) =
о, ..., а„) + (-1
определяется оператор Во: С"+1(Л)-»-С"(Л). Наконец, положим
A0) M=l + t+ ... + tn, B
По построению В отображает Cn+l(А) в С\(А), и прямое
вычисление дает соотношение ВЬ = —ЬВ. Следовательно,
В переходит на когомологии и определяет оператор, обозна-
обозначаемый снова через В, из Н*(А,А *) в НС*(А) (степени —1).
Отметим, что, поскольку С\(А) является подкомплексом в
С*(А), мы имеем естественный гомоморфизм /: НС*(А)-*-
-+Н*(А,А*).
Основной результат Конна состоит в том, что треугольник
(Т)
ЯС*(А)
ЯС*(А)
Циклические гомологии
183
точен. Доказательство сводится к проверке двух формул:
A1) SZl(A) = bCn+l(A), Zl(AHB0Zn+1(A) = BZn+l(A),
где Z"(А) — ядро отображения b: Cn(A)->Cn+1 (А). На самом
деле доказывается, что В определяет при переходе к фак-
факторам квазиизоморфизм комплекса С*(А)/СК(А) на комплекс
С*Х(А)[— 1]; иначе говоря, В индуцирует изоморфизм В'
комплекса Я" (С\A)/Cl(A)) на НС"'1 (А), а S о В' есть не что
иное, как кограница в точной последовательности комплексов
о -> q (А) -* с (А) -> с { а )/с; (л) -* о.
Упомянутая точная пара (Т) приводит к спектральной
последовательности, которую можно описать следующим
образом. Положим Dm'n — Cm~n (А), с условием С'(Л) = 0,
если / < 0; рассмотрим два дифференциала: dx: Dm'n -> Dm+U n
vi d2: ?)m-n^E)m'n+\ задаваемые, один при помощи b: Cm~n{A)-+
->Ст~п+1(Л), а ВТорой при помощи в. Cm~n(A)->Cm~n~l(A);
поскольку мы имеем ВЬ = — ЬВ, у нас тем самым получается
бикомплекс D. Фильтруем D по 2-й координате, что дает
(FqD)m = 2 Dm'n. Член Е1 спектральной последовательности
тогда равен Н*(А, Л*) с дифференциалом /ой. Для окон-
окончательного описания введем коядро H*DH(A) эндоморфизма
S —1 комплекса НС* {А); поскольку S степени 2, комп-
комплекс H*DR(A) имеет градуировку по модулю 2. Кроме того,
определяем фильтрацию на Hdr{A), полагая F4H*dh.(A) рав-
равным каноническому образу члена НС4(А) в H*Dr{A). Член .?°°
спектральной последовательности получает градуировку, ассо-
ассоциированную градуировке алгебры H*DR{A) относительно
этой фильтрации.
1.5. ПОЯСНЯЮЩИЕ ПРИМЕРЫ
В дальнейшем мы предполагаем, что k — поле комплекс-
комплексных чисел, а Л—топологическая локально выпуклая алгебра
с непрерывным умножением. Будем без оговорок заменять
комплекс (С*(А),Ь) подкомплексом, образованным полили-
полилинейными формами, непрерывными на Л. Все алгебраические
построения п. 1.3 и 1.4 сохраняют смысл, и теория перено-
переносится, таким образом, в топологическую ситуацию.
Пусть, далее, X — компактное многообразие класса С00,
и пусть Л —алгебра С°°(X; .С). Обозначим также через Q"
пространство внешних дифференциальных форм степени п

184
П. Картье
и класса С°° на X; поток де Рама размерности п — это не-
непрерывная линейная форма на Й". Сначала докажем, что
любой элемент т из Сп(А), для которого Ъх = 0, ассоцииро-
ассоциирован с потоком С размерности п на X, характеризуемым фор-
формулой
A2) {С, /о rf/, Л ... Л dfn) =
sgn (a) х (/„, /,{1), .... /„<„)).
Кроме того, соотношение т»—*С определяет изоморфизм
группы когомологий Хохшильда Я"(Л,Л*) с пространством
потоков размерности п на X. Граница потока С есть поток
ВС размерности п—1, определенный равенством <Вс, со> =
= <С, da} для со е Q"-1. Далее проверяется, что указанный
изоморфизм переводит оператор 1^В на Н*{А,А*) в границу
потоков. В спектральной последовательности из конца п. 1.4
член Е2 есть в точности гомология де Рама Н„(Х;;С). Таким
образом, спектральная последовательность вырождается, и
мы отсюда заключаем, что существует изоморфизм между
H*DR(A) и Я.(X; С); градуировка по модулю 2 выводится из
обычной градуировки, например Я+ (X; С) = 2 Я2г (J; С),
а фильтрация определяется так: F9Ht(X; С)= 2 й,№ С).
Напомним также, что двойственность Пуанкаре дает изомор-
изоморфизм между Нп(Х;С.) и Hd-"(X;C), если X размерности d.
Этот пример, как мне кажется, оправдывает в общем слу-
случае обозначение H'DR{A), являющееся напоминанием о де
Раме.
Второй пример — пример тора T2=R2/Z2, снабженного
расслоением 9Г, слои которого удовлетворяют уравнению
Пфаффа dy — Mx, с иррациональным 0 (см. [4], II, п. 5).
Алгебра Ае, описывающая это расслоение, состоит из рядов
вида
где коэффициенты (атп) быстро убывают, a U, V не комму-
коммутируют, но удовлетворяют соотношению VU = XUV с Я =
_ е2я»е Канонический след на Ле сопоставляет указанному
элементу х постоянный член а0, о- Наконец, через ди (соот-
(соответственно через dv) обозначим единственное непрерывное
дифференцирование на Ае, удовлетворяющее условиям
du(U)=l,du(V)=O (соответственно dv(U) = Q, dv(V)= 1).
Чтобы подсчитать (непрерывные) когомологий Хохшильда
алгебры Aq в ее двойственной алгебре А\, обратимся, ис-
используя резольвенту для бимодулей, к вычислению гомоло-
Циклические гомологии
185
гий следующего комплекса:
- d
О-
^е
а X
*6
л;-
•0.
Имеем d(q>) = (?/q> — фГ/, Уф —фУ) и d'(q>u ф2) (ф1 ф^)
— (ЯУф2 —Ф2У). Тогда НС0 (Ав) = Ker d имеет размерность 1
и порождается каноническим следом т. Отсюда выводим,
что НС2{А9) порождается надстройкой Sx следа т, задавае-
задаваемой равенством Sx(x0, хх, х2) == х (x0XiX2), и 2-следом *ф, зада-
задаваемым равенством ф(*0. хи х2) = т:(х0дих1дуХ2 — х0dvxxдцх2).
Оказывается, что надстройка S дает изоморфизмы ЯС2"(Л9)^
~НС2п+2(А9) для n>L, откуда Я^(Л9) = НС2(А9). Дока-
Доказывается также, что нечетная часть Hdr{A9) имеет размер-
размерность 2. Это и неудивительно, поскольку слои слоения 8Г
стягиваемы и естественно ожидать, что когомологий фак-
фактора Т2/^" изоморфны когомологиям самого Т2 (напомним,
что мы имеем Я0(Р) = Я2 (Т2) = С и что Я^Т2) размер-
размерности 2).
1.6. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
Обозначим, как обычно, через Л категорию, имеющую
в качестве объектов конечные множества [п] = {О, 1, ..., п)
(для п ^ 0) ив качестве морфизмов возрастающие (в ши-
широком смысле) отображения. Если <& — какая-либо катего-
категория, то симплициальными (соответственно косимплициаль-
ными) объектами в W называются контравариантные (соот-
(соответственно ковариантные) функторы из Л в W. Явно такой
симплициальный объект Е определяется последователь-
последовательностью объектов Еп из W n морфизмов
- dt:En^En_u st:En-*En+l (для
удовлетворяющих соотношениям
A3) did}==dj^di для /</,
A4) sisl = sl+isl для /</,
{s,.id,, если i<j,
1, если / равно / или /+1,
S/di^i, если i > /+ 1.
Когда W — категория модулей над коммутативным кольцом
k, то говорят также вместо «симплициальных й-модулей»
о «М-модулях».
Конн в [5] определил категорию Л, содержащую Л в ка-
качестве подкатегории с такими же объектами. Мы назовем
циклическим объектом в W любой контравариантный функтор

186
П. Картье
из Л в Я2 (наша терминология больше сходна с терминоло-
терминологией Каруби из [19]). В наиболее явном виде такой цикли-
циклический объект является симплициальным объектом (Еп, di,
s{), снабженным операторами /„: ?„-»-?„, удовлетворяющими
следующим правилам:
A6) dttn = /„_, dt_u s,/n = /„+,«,_, для 1 < i < п,
A7) /Г1 = ЫЕп.
Рассмотрим теперь циклический ^-модуль ? (и потому
йЛ-модуль). Определим линейные операторы b и Ь' из Е„
в ?п-1 равенствами
b—d0 — с?! + ••• + (—\)пdn, b' = d0 — cf[ +•••+(—l)"^-!
затем оператор t — (—l)ntn на ?„ и
N = 1 -I- / -I- -4- ta нгч F n F
и, наконец, оператор
S = (—1)"A _/)SniV из ?„ в ?„+1.
Исходя из этих определений и соотношений от A3) до A7),
мы получаем следующие тождества:
A9)
В частности, прямая сумма ?„ слагаемых Еп, снабженная
оператором Ь, есть комплекс; гомологии этого комплекса мы
обозначим просто через #»(?)• Это —гомологии Е, рассмат-
рассматриваемого как симплициальный й-модуль; на основании клас-
классической теоремы Мура имеем изоморфизм
B0) Я„(?) = я„(|?|),
где |?| — геометрическая реализация комплекса Е.
Кроме того, принимая во внимание соотношения A8) и
9), можно определить бикомплекс 'S'(E)
_ п i j-t
I . i-t 2 n 2 i-
Циклические гомологии
187
Гомологии ассоциированного полного комплекса будут обо-
обозначаться через НС*(Е) и называться циклическими гомоло-
гиями комплекса Е (это построение принадлежит Цыгану
[23]). Предположим, что k содержит в качестве подкольца
поле рациональных чисел. Тогда каждая линия предыдущей
диаграммы точна; на основании соотношения 6A—/) =
==A — t)b' образом оператора 1 — t является подкомплекс
в (?», Ъ) и потому имеем
B1)
= H,(EJ(l-t)E,,
где р возникает из b при факторизации. Кроме того, застав-
заставляя tn действовать циклической перестановкой вершин сим-
симплекса, мы получаем из операторов tn в Е„ автоморфизм Г
геометрической реализации |?| комплекса ?. Обозначим че-
через |?|цикл множество орбит автоморфизма Т в |?| («гео-
(«геометрическая реализация циклического множества ?»). Тогда
все еще в предположении Q a k мы имеем изоморфизм
B2) НС (Е)сап (|?|цикл).
Возвратимся к общему случаю. Определим другой би-
комплекс ЗВ{Е), принимая во внимание соотношение ВЬ =
= — ЬВ:
- * П в \
В
ь\ \
Ее
\ \
Имеем V(?)„„==?„ и ^(?)т„ = ?„_„ (считая, что ?/ = 0,
если /<0). Определим гомоморфизм и из $ (?) = 0 $ (?)тге
nit я
в <S'(E) = (&<&'(E)mn, который переводит х<=&{Е)тп в эле-
т, п
мент x + (-l)nsnNx из ^(^„-«.©^(V-»^' Легко
видеть, что и является морфизмом полных комплексов и
определяет изоморфизм гомологии. Иначе говоря, можно
определить HCt(E) как гомологШ'полного комплекса Ш(Е),
ассоциированного с 3$(Е). ;
Наконец, построение комплекса MS{E) тотчас же дает
точную последовательность комплексов
0 -> (?„ Ь) -* Ш (?) -+ Ш (?) [-2] -> О,

188
П. Картье
Переходя к гомологиям, выводим отсюда точный треугольник
ВС*(А) 1—^шощШ
К /в
(заметим, что / сохраняет степени, 5 уменьшает их на 2,
а В увеличивает их на 1).
Наконец, пусть bt — циклический /г-модуль, все компо-
компоненты которого равны k и все операторы s,-, dt и tn являются
тождественными. Мы можем интерпретировать й-модули как
модули над подходящим кольцом kA. Тогда можно опреде-
определить изоморфизмы
НСп (Е) ~
1.7. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГОМОЛОГИИ АЛГЕБР
Пусть Л — /г-алгебра. Поставим ей в соответствие цикли-
циклический /г-модуль Л* следующим образом:
Ag есть тензорное произведение А ® ... ® А, взятое над к
(п -f 1 множителей), и положим
... ®ап)
... <8> а„)
i < п,
®а.
для
... ® ап
Циклические гомологии циклического объекта Л^ будут
называться циклическими гомологиями алгебры А и обозна-
обозначаться через НС„(А). На основании п. 1.6 имеем, таким об-
образом, изоморфизм
Аналогичным образом мы назовем циклическими когомо-
логиями алгебры А и обозначим их через НС*(А), когомоло-
гии полного комплекса, ассоциированного комплексу, двой-
двойственному бикомплексу '©'(Л^). Без труда устанавливается
изоморфизм
Когда k является полем характеристики 0, мы возвращаемся
к циклическим когомологиям, определенным в п. 1.3. Более
того, общие рассуждения о циклических объектах позволяют
устранить довольно сложные явные вычисления Конна,
Циклические гомологии
189
в частности при построении точного треугольника (Т) из
п. 1.4.
Можно использовать произведение Йонеды в модулях Ext,
чтобы определить умножение в группе HC*(k), изоморфной
ExtftA^, k^). Без труда устанавливается, что мы получаем
алгебру многочленов k(а) с образующим ue HC2(k). В [5J
Конн выводит отсюда, что классифицирующее пространство
3SA, ассоциированное с категорией А, имеет гомотопический
тип пространства BS1.
Выясним связь между циклическими гомологиями и гомо-
гомологиями Хохшильда. Рассмотрим Л как бимодуль на самом
себе, задавая действие посредством умножений слева и спра-
справа. Комплекс Хохшильда этого Л-бимодуля будет обозна-
обозначаться через С„(А); это не что иное, как комплекс (Л^, b),
а гомологии Н. (Л^) комплекса А", рассматриваемого как
симплициальная группа, не что иное, как гомологии Хох-
Хохшильда Н„(А,А). Для любого целого га ^ 0 обозначим че-
через Сп{А) фактор модуля Сп(.А) по ядру оператора 1 — t,
порожденный как /г-модуль элементами
В предположении Qci циклические гомологии НС*(Л) яв-
являются гомологиями комплекса (С^(Л), р), где р получается
из Ъ при переходе к фактору. Канонический гомоморфизм из
Съ{А) на С\(А) определяет гомоморфизм /, который вклю-
включается в точный треугольник
Установим теперь связь с гомологиями де Рама. Вернемся
к дифференциальной градуированной алгебре О(Л)изп. 1.3.
Пусть [Й(Л), Q(A)] — /г-подмодуль, порожденный коммута-
коммутаторами am' — (— [)рч ®'®, где © степени р, а ©' степени q;
он инвариантен относительно дифференциала d, и мы можем
поэтому определить факторкомплекс ЛЙ(Л)=О (Л)ДО(Л), Й(Л)].
Когда Л коммутативна, [Q(A), Q(Л)] —идеал в Q(A), и
АВ (А) — обычный комплекс (по Келеру — де Раму) внешних
дифференциальных форм на Л. Тогда определяется гомо-
гомоморфизм
^Л

190
П. Картье
который ставит в соответствие элементу (Oq -f- k\) dax ... dan
образ элемента а0® ... ®ап в С„(Л) (а, е Л для 0^/^и,
Я е /г). Переходя к факторам, выводим отсюда гомомор-
гомоморфизм 8 из Ht(AQ(A)) в НС„(А). Когда k содержите, имеем
точную последовательность
Сделаем теперь предположение, что k — поле характерис-
характеристики 0 и что А — алгебра полиномиальных функций на ал-
алгебраическом многообразии X, аффинном и гладком над по-
полем k. Возвращаясь к комплексу $(?), введенному в п. 1.6,
видим, что гомологии НС#(А) вычисляются как гомологии
полного комплекса, ассоциированного бикомплексу &А)
\
С2(А)
В
В
По определению имеем Сп(А) = А® ... <8>Л (п-\-\ множи-
множителей), и можно определить гомоморфизм ц: Сп(А)-*-АпО.(А)
соотношением
B3) ц (а0 <g> а{ ® ... ® ап) = — а0 dax /\ ... A dan.
Далее, ц приводит к гомоморфизму \xt бикомплекса
в следующий бикомплекс:
А затем показывается, что \х„ индуцирует изоморфизм гомо-
гомологии, откуда мы получаем изоморфизм между НСп(А) и
A"Q (A)JdAn~ 'Q (А) ф НЪ~н {А) 8 Hit (А) ф ...,
Циклические гомологии
191
Мы обозначим через H*DR{A) гомологии комплекса (AQ(A),
d). Наконец, отсюда выводится, что фактор гомологии
НСЛ{А) по ядру оператора S—1 отождествляется с когомо-
логиями де Рама H*DR(A) алгебры А; отметим аналогию
с результатом Конна относительно циклических когомологий
алгебры C^iX) (см. п. 1.5).
Проблема. Существует ли связь между циклическими го-
мологиями и комплексом де Рама — Витта в характери-
характеристике р?
1.8. ХАРАКТЕР ЧЖЕНЯ
В [4], II, Конн определяет для любой алгебры Л спарива-
спаривания между Ко{А) и НС2п(А), совместимые с гомоморфизмами
надстройки S: ЯС2л(Л)->ЯС2п+2(Л). При помощи перехода
к индуктивному пределу отсюда выводится спаривание между
Ко(А) и #dr (А). Следуя Каруби [19], I, можно привести
следующую версию этого для циклических гомологии.
Пусть А — /г-алгебра с единичным элементом. Обозначим
через Мг(А) алгебру квадратных матриц порядка г с коэф-
коэффициентами из А. Пусть имеются проективный Л-модуль ко-
конечного типа Е и целое число п ^ 1; существуют целое число
г>1 и такой идемпотент р в Mr(A)= End (Лг), что Е изо-
изоморфно образу рАг эндоморфизма р. Поставим в соответствие
эндоморфизму р образ произведения р <8> ... ® р в группе
С\п (Мг (Л)). Это — цикл, класс гомологии которого есть эле-
элемент [р] из НС2п(Мг(А)). Это дает инвариантность гомоло-
гомологии Хохшильда и циклических гомологии относительно экви-
эквивалентности Мориты; более точно, обозначим для любого
целого i через Тг, линейное отображение из Ci(Mr(A)) в
С{(А), которое отображает (хо®ао)® ... <8>(х, <8> а«) на
Тг(*0 ... xi).a0® ... ® at (мы отождествляем МГ(А) с
Mr(k)® А и предполагаем, что все Xj содержатся в Mr(k),
а все а/ — в Л). Так вот, если перейти к гомологиям, то Тг*
определяет изоморфизмы
), МГ(А))~Н((А, А},
Тг,-:
Возвращаясь к введенным выше обозначениям, устанавли-
устанавливаем, что существует гомоморфизм Cho из /Со(Л) в НС2п(А),
который ставит в соответствие модулю Е образ элемента
[р]е НС2п(Мг(А)) под действием Тг?п. Кроме того, имеем

192
П. Картье
коммутативную диаграмму:
BC2n(A)
НС2п-2(А)
Конн также строит аналогичные гомоморфизмы и для
К\(А). Мы опять последуем за Каруби, распространяя это
построение на группы К>(А) Квиллена [16], напомнив сна-
сначала их определение. Рассмотрим (как и в п. 1.2) дискрет-
дискретную группу G = GL(A), объединение групп GLr(A) для
г — 1, 2, .... Введем классифицирующее пространство BG;
это—пространство, фундаментальная группа которого изо-
изоморфна группе G и универсальная накрывающая которого
стягиваема. Следовательно, для всех целых i ^ 0 имеем
Hi(BG, Z) = Hi(G, Z). В качестве BG можно взять геомет-
геометрическую реализацию некоторого симплициального множе-
множества; применяя ^-конструкцию Квиллена, состоящую в при-
присоединении симплексов размерностей 2 и 3, получаем про-
пространство BG+ и- непрерывное отображение 9: BG-+BG+.
Тогда 9 индуцирует изоморфизмы групп Hi(BG,Z) на
Hi(BG+,Z) и сюръективный гомоморфизм группы n\(BG) =
= G на щ (BG+), ядро которого есть коммутант группы G.
Следуя Квиллену, положим
Гомоморфизм Гуревича из m(BG+) в Hl(BG+) есть, таким
образом, гомоморфизм
ht: Kt(A)->Ht{G, Z).
В то же время для любого г^ 1 группа GLr(A) состоит из
обратимых элементов алгебры МГ(А). Поэтому мы имеем
гомоморфизм алгебры k[GLr(A)] в МГ(А); взяв индуциро-
индуцированный гомоморфизм циклических гомологии, а затем вос-
воспользовавшись инвариантностью Мориты циклических гомо-
гомологии и переходя к индуктивному пределу, получаем гомо-
гомоморфизмы
q>m:HCm(k[G))-+HCm(A).
Чтобы завершить определение характера Чженя, достаточно
построить гомоморфизмы
9ltn: Ht(G, Z)-*HCi+2n{k[G\)
и взять композицию
Ht(G, Z)+X HC,+2n(k[G])
i+2n
(A).
Циклические гомологии
193
Симплициальная модель пространства BG имеет в качестве
симплексов в размерности п системы [go, gi gn] со сле-
следующим отношением эквивалентности:
B4) [gg0, ggu ..., ggn] = [g0, gb ..., gn].
Операторы граней задаются, например, соотношением
B5) di [g0, ..., gn] = [g0, .... g,_,, gt+b .... gn],
но имеются также циклические операторы
B6) t [g0, ..., gn] = [gn, g0, .... &,_,].
Взяв комплекс цепей с коэффициентами из k, получаем цик-
циклический /г-модуль, циклические гомологии которого обозна-
обозначим через HC*(G,k). Таким образом, устанавливается изо-
изоморфизм между HCn(G,k) и прямой суммой групп
Hn-2i(G,k), откуда получаем гомоморфизм
Л|>я: Hl(G,k)-*HCl+2n(G,k).
Чтобы определить 9i>n, достаточно взять композицию
Ht(G, Z)-*Ht{0, k) -4- HCl+2n(G, k)
Mn
{кШ,
HCp(k[G]) индуцировано отображением
где ар; HCp(G, k)
[So' • • •' ?P]"-»" §p So ® go Si
Теперь, как можно было ожидать, имеется коммутатив-
коммутативная диаграмма
o1
Когда k содержит Q, образ гомоморфизма 5 равен образу
гомоморфизма 9 (см. п. 1.7) и, следовательно, характер-
Чженя получает свои значения в гомологиях комплекса
AQ(A). Беря совсем частный случай, когда алгебра А ком-
коммутативна, получаем характер Чженя со значениями в го-
гомологиях де Рама алгебры А.
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГОМОЛОГИИ
2.1. ГОМОЛОГИИ АЛГЕБР ЛИ
Рассмотрим поле k характеристики 0. Если д —алгебра
Ли над полем k, то определим группы гомологии следующими
образом:
Яя (в) =
7 Зак. 506

194
П. Картье
где ?/(д)—обертывающая алгебра для д, и g тривиально
действует на k. Эти группы вычисляются через комплекс
(Лд, d), где d следующим образом действует во внешней ал-
алгебре алгебры д: - г
B7) d (х, Л •. • Л хп) = ? (~1)'+/ [Jfi, */I Л *i Л ...
... Л ^ Л ... Л ^ Л ... Л хп.
(мы используем обычную условность: знак обозначает
пропуск соответствующего члена). Классическая теория уста-
устанавливает, что #»(д) — биалгебра; она является, стало быть,
антикоммутативной универсальной алгеброй над простран-
пространством Prim Я»(д) примитивных элементов (теорема Хопфа).
Сейчас, следуя Лодею и Квиллену [22], а также Цыгану
[23], мы произведем отождествление пространства Prim Я»(д)
в одном важном случае. Пусть А — алгебра над полем k,
и пусть М(А)—ассоциативная алгебра бесконечных матриц
(a*A>i. />р имеющих конечное число ненулевых членов;
относительно обычной скобки [a,b]=ab — ba эта алгебра
Ли, которую мы обозначаем через д1(Л); она является объ-
объединением возрастающей последовательности алгебр Ли
дЦЛ), образованных г X''-матрицами. Возьмем целое число
r^sl; определим линейное отображение Я из ®п-{$\,г(А) в
Сп(Мг(А)), которое ставит в соответствие произведению
дго <8> ... ® хп элемент
(—1)" ?
Составим композицию Я со следом Тг„ из Сп(Мг(А)) в
Сп(А), а затем с каноническим отображением из Сп(А) на
Сп(А). Переходя к индуктивному пределу по г, получим окон-
окончательно гомоморфизм комплексов
Л:(ЛвЮ4), d)[+l]-+CUA).
Основной результат состоит в том, что Я индуцирует изо-
изоморфизмы
Л„: Prim Яя+,(в1 (А)) -* НСп (А).
Кроме того, для любого целого числа m ^ n канонические
отображения
Нп (д!„ (А)) -> Нп (в1я (А)) -> Нп «jl (А))
являются изоморфизмами (стабильность гомологии). Нако-
Наконец, если алгебра А коммутативна, то имеем точную последо-
Циклические гомологии
195
вательность
, п-2г
Нп fol«-i (А)) -> Нп (в1„ (А)) -* An~lQ (A)JdЛ"-"О (Л) -> 0.
Доказательство проводится в три этапа:
а) Классическая теория инвариантов Г. Вейля и И. Шура
дает в наше распоряжение изоморфизм модуля коинва-
риантов
п множителей
с алгеброй k[®n] симметрической группы ©„, каждый раз,
когда г^ п.
b) Алгебра Ли glr(^) отождествляется с д1г(/г)®Л; по-
поскольку алгебра Ли д1г(Л) редуктивна, то мы можем, чтобы
подсчитать гомологии алгебры Ли Qlr{A), заменить комплекс
(Л(д1г(/г)<8> A), d) множеством его , коинвариантов относи-
относительно действия алгебры glr(/j)').
c) Учитывая а), можно вывести, что примитивная часть
(в смысле копроизведения) этого последнего комплекса ко-
коинвариантов естественным образом изоморфна циклическому
комплексу ^)
2.2. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ АЛГЕБР ЛИ
В порядке сравнения сначала напомним некоторые свой-
свойства центральных расширений групп. Пусть G — группа, рав-
равная своему коммутанту; тогда существует точная последова-
последовательность
0->Я2(О; Z)-+E-^G->\
со следующими свойствами:
a) ядро гомоморфизма я содержится в центре группы Я;
b) если я': E'-*-G является сюръективным групповым
гомоморфизмом и если его ядро содержится в центре группы
Е', то тогда существует единственный гомоморфизм и: Е-*-Е\
для которого я = я' ° и.
Возвратимся к группе GL(A), соответствующей некото-
некоторому кольцу А. Коммутант группы GL(A) обозначается че-
через Е{А); это подгруппа, порожденная элементарными мат-
матрицами (с 1 на диагонали и единственным ненулевым эле-
элементом вне диагонали). Группа Е(А) равна своему комму-
коммутанту, и
GL (А)/Е (А) = Ki (А), Я2 (Е (A); Z) = К2 (А).
') Случай, когда k = А, хорошо известен и восходит по существу к
Э. Картану A936 г.). Он был рассмотрен явно Шевалле и Эйленбергом
в 1948 г.

196
П. Картье
Имеем, таким образом, универсальное центральное расши-
расширение
О -* К2 (А) -* St {А) -* GE {А) -* 1,
где группа St{A) называется группой Стейнберга. Также
имеем
H3(St(A); Z) =
Перейдем к алгебрам Ли. Если g — алгебра Ли над ком-
коммутативным кольцом k, то #i (g) = g/ [g, д]. Предположим,
что линейное отображение 9: Л2д->д, переводящее х/\у
в [х, у], допускает линейное сечение; из этого предположения
вытекает, что [д, д] = д, и, наоборот, оно выполняется, если
[fl> 9] — 9 и ПРИ этом д— проективный модуль над k. Тогда су-
существует центральное расширение алгебр Ли
0->Я2(д)->а->д->0,
универсальное в том же смысле, что и раньше.
Прежде чем продолжать, сделаем несколько замечаний
о группах циклических гомологии НС0(А) и HCi(A). Пусть
[Л, Л] является /г-подмодулем в А, порожденным коммутато-
коммутаторами [a,b]=*ab— Ьа\ тогда ЯСо(Л) изоморфна фактору
Л/[Л,Л]. Введем также коядро Г(Л) дифференциала
|J: C%(A)-+C\(A); как /г-модуль, оно порождено символами
<а, by, где а и Ъ пробегают Л, билинейными относительно
а, Ъ и удовлетворяющими условиям
<28) (a, b) + (b, а)=0, <а, be) + (b, ca) + (c, а6> = 0.
По определению группы HCi(A) имеем точную последова-
последовательность
0-*ЯС,(Л)-*Г(Л)-^>[Л, Л]-*0
с у{а, b} = ab — ba.
Возьмем целое число г ^э= 1. Определим линейное отобра-
отображение Т из д1г(Л) в А/[А,А], которое ставит в соответствие
матрице (хц) образ следа ]Г] хн по модулю [Л, Л]. Обозна-
чим через з1г(Л) ядро отображения Т. Тогда з1г(Л) — алгебра
Ли дифференцирований алгебры д1г(Л), откуда получаем изо-
изоморфизм
Я, (gtr (Л)) ~ ЯС0 (Л) (для г > 1).
Обозначим теперь через д!г(Л) /г-модуль д1г(Л)ХГ(Л), снаб-
снабженный следующим билинейным законом композиции:
<29)
[(х, у), (х', у')] = ([х, х%
Е
Циклические гомологии
197
Алгебра дМЛ) чуть-чуть не оказывается алгеброй Ли над k:
мы действительно имеем [и, v] = — [v, и] и тождество Якоби
[и, [v, w]]-\-[v, [w, u]] + [w, [и, и]] = 0,
однако нельзя утверждать, что [и, и] = 0 (за исключением,
разумеется, случая, когда 2 обратимо в /г). Обозначим через
slr(A) ядро гомоморфизма (Тг, у) из $г(А) в А; относительно
предшествующей операции это — алгебра Ли, т. е. для и из
sir (А) мы уже имеем [и, и] = 0. Эти построения можно поды-
подытожить в следующей коммутативной диаграмме с точными
строками и столбцами:
0
t
slr (A)
о
Лодей и Кассел доказали в [28] следующий результат:
a) Если г ^ 3, то алгебра Ли з!г(Л) порождена образую-
образующими иц{а) {при 1 <; i ^ г, 1 < / < г, 1ф /, а<=А), линей-
линейными относительно а и подчиняющимися условиям
C0) [Щ,(а), ukl{b)] = blkuu{ab).
b) Когда г~^Ь, алгебра Ли slr{A) является центральным
универсальным расширением алгебры sir (Л).
В качестве следствия предположим, что либо г ^ 2 и
число 2 обратимо в /г, либо г>5и алгебра [А, А] является
проективным /г-модулем. Тогда имеем изоморфизм
Я2(ё1г(Л))~ЯС,(Л).
Когда Л коммутативна, имеем [Л,Л] = 0, откуда ЯС1(Л) =
= Г(Л), и отображение a.db\—>{a.,by определяет изомор-
изоморфизм алгебры uA/k/dA на Г (Л) (через QA/k мы обозначаем
модуль кэлеровых дифференциалов алгебры Л). Предполо-
Предположим, помимо этого, что число 2 обратимо в к. Тогда преды-
предыдущий результат дает изоморфизм

198 П. Картье
Он выводится переходом к факторам из гомоморфизма
y)
алгебры Л2з1г(Л) в UA/k- Этот частный случай получен Бло-
хом [24]. В еще более частном случае предположим, что
А — алгебра k[t,t~l] полиномов от t и t~l; тогда вычет диф-
дифференциальных форм определяет изоморфизм алгебры
QA/k/dA с полем к. В этом случае мы, таким образом, имеем
центральное универсальное расширение
О-*й-*ё!г(>[;, Г1] )-*!,(*[/, Г'])-*0;
и можно показать, что это — известное расширение алгебр
Каца — Муди (см. Гарланд [25]).
Замечание. При менее ограничительных предположениях
Кассел недавно установил в [27] изоморфизмы
где 9 — одна из определенных Шевалле целочисленных форм
полупростых комплексных алгебр Ли, а А — коммутативная
fe-алгебра; здесь g <8>z А рассматривается как алгебра Ли
над k. Частный случай A =k[t,t-1] был ранее изучен Гар-
ландом [25].
2.3. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ /С-ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВ
Начнем с нескольких напоминаний о рациональной гомо-
гомотопической теории. Пусть сначала М — компактное многооб-
многообразие класса Сю, псевдоизотопия такого М — это диффеомор-
диффеоморфизм / многообразия MX/ (где / = [0,1]), такой, что
f(x,0) = (х,0) для любого *еМ. Обозначим через Р(М) про-
пространство псевдоизотопий. Легко определяется надстройка
2: Р(М)^-Р(МУ,1), а она позволяет определить индуктив-
индуктивный предел !Р{М) пространств Р(МУ,1к). Важно иметь воз-
возможность вычислять группы стабильныхгомотопийщ(&>(М)).
Вальдхаузен [33] строит пространство А(М) и изоморфизм
групп л9(А(М)) группам nf_2{3>{M))Hi{M; Q) (полагаем
я9 (X) = л{ (X) <g> Q для любого топологического пространства
X). Значит, тем самым наша задача сводится к вычислению
рациональных гомотопий пространства А(М).
Определение пространства А(Х) зависит, вообще говоря,
от пространства петель. Начнем с простого случая, когда
X — пространство Эйленберга — Маклейна К(л, I); иначе го-
говоря, мы имеем Я](Х) = я и я,(^)=0 при 1ф\. Тогда
А (X) есть не что иное, как пространство BG+, уже рассмот-
рассмотренное выше, где G = GL(Z[n]); группы гомотопий Жг(Х.) =
Циклические гомологии
199
= щ(А(Х)) являются не чем иным, как группами Квиллена
Ki{Z[n\), и, в частности, Ж,• (X) = /С,(Z), если X сводится
к точке (откуда я={1}). Известно, что группы /С0B[л])
и /(i(Z [я]) сыграли важную роль в возникновении алгебраи-
алгебраической /(-теории и что они связаны с теорией Уайтхеда про-
простого гомотопического типа.
Перейдем к другому случаю, к случаю односвязного про-
пространства X с отмеченной точкой х0. Рассмотрим простран-
пространство ?1Х петель на X из точки х0; оно не является топологи-
топологической группой, но Кан построил симплициальную группу
GX, которая имеет тот же гомотопический тип, что и QX.
Тогда A = Q[GX] — симплициальное кольцо; затем вводится
в рассмотрение симплициальная группа GL(A), что приводит
к симплициальной версии классифицирующего пространства
BGL(A); к нему можно применить +-конструкцию Квиллена.
Тогда А (X) имеет гомотопический тип геометрической реа-
реализации пространства BGL(A)+; положим Ж({Х) = щ(А(X))
и обозначим через Xi{X) факторгруппу Xi(X)/Xi(x0).
Речь идет о том, чтобы дать средства вычисления этих
групп, не повторяющие их определение. Для этого рассмот-
рассмотрим группу C»(QX;Q) цепей с рациональными коэффициен-
коэффициентами пространства петель QX. Поскольку QX является Я-про-
странством, мы можем определить произведение (понтрягин-
ское) петель из ?1Х и получить градуированную дифферен-
дифференциальную Q-алгебру (Внимание! В этом пункте дифферен-
дифференциал имеет градуировку —1). Рациональная модель для QX
является связной градуированной дифференциальной Q-ал-
геброй, снабженной гомоморфизмом К -*• С* (QX; Q), согла-
согласованным со всеми структурами и индуцирующим изомор-
изоморфизм на группах гомологии (иначе говоря, это то, что обычно
называется квазиизоморфизмом). И действительно, как это
следует из работ Квиллена1), имеет место эквивалентность
категории связных градуированных дифференциальных Q-ал-
гебр, с точностью до квазиизоморфизма, с категорией пунк-
пунктированных односвязных топологических пространств, с точ-
точностью до рационально-гомотопической эквивалентности.
Итак, выберем К, как это сделано выше, и обозначим
через К идеал элементов степени >0. Если в качестве К
взять минимальную модель, то можно предположить, что
К — тензорная алгебра некоторого пространства V над Q со
«скрученным» дифференциалом. Поскольку К — ассоциатив-
ассоциативная алгебра (вообще говоря, без единичного элемента),
можно рассмотреть алгебру Ли йЦК), которая унаследует
') См. его статью о рациональной гомотопий в Annals of Mathema-
Mathematics, 90 A969), p. 205—295.

200
П. Картье
дифференциал от К- Можно видоизменить определение гомо-
гомологии алгебр Ли, чтобы определить гипергомологии
hHAHK))
AuH))
Первый важный результат принадлежит Двайеру, Сяну
и Стаффельдту [30]:
Пусть К — рациональная модель алгебры сингулярных
цепей на QX. Тогда Xi (X) <8> Q изоморфно примитивной части
(в смысле биалгебр) модуля коинвариантов алгебры gl(Q),
действующей с помощью присоединенного представления на
гипергомологиях АЯ»(д1(?)).
Следующий щаг принадлежит Сяну и Стаффельдту [31]:
В предшествующих обозначениях предположим, что К
изоморфна, как алгебра, тензорной алгебре T(V), где V —
векторное пространство над Q. Пусть
Т: %1(К)-*К/[К, К]
— след, определенный так же, как и в п. 2.2. Тогда Т инду-
индуцирует изоморфизм коинвариантов модуля ЛЯ»(д1(/^) отно-
относительно алгебры gl(Q) с гипергомологиями_пНг(К/[К, К])
градуированной коммутативной алгебры Ли К/[К, К].
Последний акт сыграли недавно независимо друг от друга
Бургелеа и Стаффельдт, Речь идет о том, чтобы ввести в бой
циклические гомологии. С самого начала дело касается рас-
распространения понятия циклических гомологии на случай
градуированной дифференциальной алгебры А над комму-
коммутативным кольцом k. Заметим для этого, что ясно, как опре-
определить тензорное произведение градуированных дифферен-
дифференциальных алгебр. Следовательно, А^ — циклический объект
категории градуированных дифференциальных алгебр. Зна-
Значит, два бикомплекса ^{А^) и 0$ (А*), определенных в п. 1.7.
наследуют третий дифференциал, и мы должны взять полный
комплекс, дифференциал которого является суммой трех чле-
членов. Получаемые таким образом гомологии обозначаются
через 1гНСл(А),
Теперь приведем следующий основной результат, который
сформулировал Бургелеа в письме Конну:
a) Пусть /: А-*-В — квазиизоморфизм градуированных
дифференциальных алгебр. Индуцированный гомоморфизм
является изоморфизмом гомологии пНС^А) и hHC^B)
{основное кольцо k произвольно).
b) Пусть X — пунктированное односвязное пространство*
и f: A-*-C,(QX;Q)— квазиизоморфизм градуированных диф-
дифференциальных Q-алгебр. Тогда f индуцирует изоморфизм
группы Ж'i(X)®Q с hHCt-\(A) при любом i ^ 1.
Циклические гомологии
201
Принимая во внимание уже отмеченные результаты Сяна
и Стаффельдта, доказательство сводится лишь к унылому
переложению результатов Конна, а также Лодея—Квиллена
в применении к случаю дифференциальных алгебр.
2.4. ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГОМОЛОГИИ
a) В [4], I Конн показал, как определить характер Чженя
в /(-гомологиях (последние — в смысле Каспарова ')). Это —
гомоморфизм из К°(А) в Н'рц(А), где А — плотная подал-
подалгебра С*-алгебры; Используя спаривание Каспарова между
Ко{А) и К°{А), Конн выводит отсюда теорему об индексе,
обобщающую результаты Пимснера и Войкулеску.
b) В [6] Конн показал, как определить класс «-следов
на С*-алгебре, которая неограниченна, в смысле неограни-
неограниченности операторов гильбертова пространства. Отсюда он
выводит геометрическое описание, в терминах кобордизмов,
важной части группы K*{V/&~) в /(-теории многообразия V,
снабженного слоением ST. Он интерпретирует также в своей
теории класс Годбийона — Вея.
c) Пусть .X — алгебраическое многообразие над полем k.
Если X не является аффинным, то циклические гомологии
кольца регулярных функций не очень интересны. С другой
стороны, можно определить пучок комплексов вида ?/н->
¦—»С^ (Г {U, (Ух)), где U пробегает множество открытых под-
подмножеств в X (в топологии Зарисского). Когда k имеет ха-
характеристику 0, а X гладкое, этот пучок комплексов (или
комплекс пучков) является прямой суммой усеченных ком-
комплексов де Рама
Такие комплексы были использованы Делинем [36], Блохом
|[35] и Бейлинсоном [34] для определения высших регуля-
регуляторов. В этом плане Жилле [38] развивал теорию .классов
Чженя. Оставалось только полностью подключить цикличе-
циклические гомологии.
d) Уже и в предыдущей ситуации дилогарифм играет, не-
неожиданную роль. За связями между такими достаточно да-
далекими объектами, как дилогарифм, проблема равносостав-
равносоставленности многогранников2), непрерывные когомологии груп-
группы 51з(?;,), а также группа Кг поля, мы можем отослать
к статье Дюпона и Заха [37].
') См. недавнее сообщение Факка на семинаре Бурбаки (за 1982—
83 г., expose № 605).
2) Ей посвящен отдельный доклад П. Картье на семинаре Бурбаки, см.
[45]. — Прим. ред.

202
П. Картье
ЛИТЕРАТУРА
А. Всему свое место. А вот и ссылки на Конна:
[1] Connes A. Feuilletages et algebres d'operateurs, Sem. Bourbaki 1979—
80, expose n° 551, Springer-Verlag, Lect. Notes in Math. 842 A981),
139—155.
[2] Connes A. C-algebres et geometrie differentielle, С R. Acad. Sci. Paris,
serie A, vol. 290 A980), 599—604.
[2] Connes A. C-algebres et geometrie differentielle, С R. Acad. Sci. Paris,
Pure Math. 38 A982), part 1, 521—628, Amer. Math. Soc, Providence.
[4] Connes A. Non commutative differential geometry. Chapter I:-The Chern
character in /C-homology; Chapter II: De Rham homology and non com-
commutative algebra, prepublications I. H. E. S., Bures-sur-Yvstte, oct. 1982
et mars 1983; Public. Mathem. IHES, 62 A986), 41—144.
[5] Connes A. Cohomologie cyclique et foncteurs Ext", С R. Acad. Sci. Pa-
Paris, serie I, vol. 296 A983), 953—958.
[6] Connes A. Cyclic cohomology and the transverse fundamental class of
a foliation, prepublication I. H. E. S., Bure-sur Yvette, dec. 1983.
[7] Connes A., Skandalis C. The longitudinal index theorem for foliations,
prepublication I. H. E. S., Bures-sur-Yvette, 1982.
[8] Baum P., Connes A. Geometric K-theory for Lie groups and foliations,
prepublication I. H. E S., Bures-sur-Yvette, nov. 1982.
[9] Baum P., Connes A. Leafwise homotopy equivalence and rational Pontr-
jagin classes, prepublication I. H. E. S., Bures-sur-Yvette, sept. 1983.
В. Справочники по К-теории:
[10] Atiyah M. K-theory, Benjamin, New York, 1967. (См. также перевод:
Атья М. Лекции по К-теории, М., 1967.)
[11] Atiyah M. Power operations in K-theory, Quart. J. Math. Oxford B) 17
A966), 165—193 (reproduit comme appendice dans [10]).
12] Басе X. Алгебраическая /С-теория, М., 1973.
ЛЗ] Ботт P. Lectures on K(X), Benjamin, New York, 1969.
[141 Karoubi M. /C-theory, an introduction, Springer-Verlag, 1978. (См. так-
также перевод: Каруби М. /С-теория, М., 1981.)
[151 Милнор Дж. Введение в алгебраическую /С-теорию, М., 1974.
[16] Quillen D. Higher algebraic /С-theory, Springer-Verlag, Lect. Notes in
Math. 341 A973), 85—147.
[171 Wood P. Banach algebras and Bott periodicity, Topology 4 A966),
371—389.
С. Некоторые источники по циклическим гомологиям:
[18] Karoubi M, Homologie cyclique des groupes et des algebres, C. R. Acad.
Sci. Paris, serie I, vol. 297 A983), 381—384.
[19] Karoubi M. Homologie cyclique et /C-theorie algebrique, I et II, C. R.
Acad. Sci. Paris, serie I, vol. 297 A983), 447—450 et 513—516.
[20] Karoubi M. Homologie cyclique et regulateurs en K-theorie algebrique,
С R. Acad. Sci. Paris, serie I, vol. 297 A983), 557—560.
[21] Karoubi M. Connexions, courbures et classes caracteristiques en K-theo-
rie algebrique, Canadian Math. Soc. Proc, vol. 2, part I A982), 19—27.
[22] Loday J. L., Quillen D. Cyclic homology and Lie algebra of matrices
Comm. Math. Helv., 59 A984), 565—591 (см. также С. R. Acad. Sci
Paris, ser. I, vol. 296 A983), 295—297).
[23] Цыган Б. Л. Гомологии матричных алгебр Ли над кольцами и гомо-
гомологии Хохшильда, УМН, т. 38, вып. 2 A983), 217—218.
D. Гомологии и алгебры Ли:
[24] Bloch S. The dilogarithm and extensions of Lie algebras, in Algebraic
/C-theory, Evanston 1980, Springer-Verlag, Lect. Notes in Math 854
A981), 1—23.
[25] Garland H. The arithmetic theory of loop groups, Publ. Math. I. H. E.
S. 52 A980), 5—136,
f
Циклические гомологии
203
[26] Kassel С. Calcul algebrique de l'homologie de certains groupes de mat-
matrices, J. Alg. 80 A983), 235—260.
[27] Kassel С Kahler differentials and coverings of complex simple Lie al-
algebras extended over a commutative algebra, a paraftre.
[28] Kassel C, Loday J.-L. Extensions centrales d'algebres de Lie, Ann. Inst.
Fourier 32 A982), 119—142.
E. Алгебраическая К-теория пространств:
[29] Bourghelea P. Cyclic homology and the K-theory of spaces I, a paraitre.
[30] Dwyer W. G., Hsiang W. C, Staffeldt R. E. Pseudo-isotopy and inva-
invariant ШеогуЛ, Topology 19 A980), 367—385.
[31] Hsiang W. C, Staffeldt R. E. A model for computing rational algebraic
K-theory of simply connected spaces, Inv. Math. 68 A982), 227—239.
[32] Staffeldt R. E. Rational algebraic K-theory of topological spaces and
cyclic homology, a paraftre.
[33] Waldhausen F. Algebraic K-theory of topological spaces I, Proc. Symp.
Pure Math. 32 A978), 35—60.
F. Различные приложения:
[34] Бейлинсон А. А. Высшие регуляторы и значения L-функций. Итоги
науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие до-
достижения, т. 24, М., 1984.
[35] Bloch S., Ramakrishnan D. Heisenberg group bundles and the regulator
map for curves, д paraitre.
[36] Deligne P. Le symbole modere, note manuscrite de 25/07/79.
[371 Dupont J. L., Sah С H. Scissor congruences II, J.' Pure Appl. Algebra
25 A982), 159—195.
[38] Gillet H. Riemann — Roch theorems for higher algebraic /C-theory, Adv.
in Math. 40 A981), 203—289.
[39] Milnor J. W. Hyperbolic geometry: the first 150 years, Bull. Amer. Math.
Soc. 6 A982), 9—24.
[40] Milnor J. W. On polylogarithms, Hurwitz zeta functions and the Ku-
bert identities, Ens. Math. 29 A983), 281—322.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
[41] Connes A. Cyclic cohomology and non-commutative differential geomet-
geometry, preprint IHES, septembre 1986.
[42] Connes A., Moscovici H. Transgression of the Chern character for fami-
families and cyclic cohomology, preprint IHES, juin 1986.
[43] Connes A., Caroubi M. Caractere multiplicatif d'un module de Fred-
holm, С R. Acad. Sci. Paris, t. 299, 1984, p. 963—968.
[44] Connes A., Rieffe! M. A. Yang — Mills for non-commutative two-tori,
preprint IHES, decembre 1985.
[45] Cartier P. Decomposition des polyedres: le point sur le troisierne prob-
leme de Hilbert, Seminaire Bourbaki, vol. 1984—85, expose 646.

КРИВЫЕ НА АБЕЛЕВОМ МНОГООБРАЗИИ1)
[по М. Рейно]
Жозеф Остерле
Высшая Нормальная Школа, Париж, Франция
Введение
Пусть А — абелево многообразие, определенное над по-
полем К характеристики О, X— собственная, абсолютно непри-
неприводимая кривая на А, определенная над К. и не являющаяся
эллиптической, Г — подгруппа конечного типа группы А (К).
Мы опишем, как в результате работ М. Рейно и Г. Фал-
тингса было доказано следующее утверждение, высказанное
в качестве гипотезы С. Ленгом в 1965 г. ([Lai]).
Теорема 1. Множество элементов х из Х(К), кратность
пх (при ненулевом целом п) которых принадлежит Г, ко-
конечно.
М. Рейно начинает с частного случая этой теоремы, когда
Г={0}.
Теорема 2 (М. Рейно). Множество элементов из Х(К),
имеющих конечный порядок в А (К), конечно.
Он доказывает также, что теорема 1 вытекает из форму-
формулируемой далее более слабой теоремы 3. Формулировка тео-
теоремы 3 эквивалентна знаменитой гипотезе Морделла, утверж-
утверждающей, что абсолютно неприводимая кривая Y, определен-
определенная над расширением Е конечного типа поля Q, имеет лишь
конечное число рациональных точек над Е, если ее норма-
нормализация имеет род ^2. Эта гипотеза недавно была доказана
Г. Фалтингсом, поэтому имеет место
Теорема 3 (Г. Фалтингс). Множество Х(К)(]Г конечно.
Это и завершает доказательство теоремы 1. Работы Г. Фал-
тингса были помещены в предыдущем выпуске «Семинара
Бурбаки». Данная статья посвящена доказательству М. Рейно
теоремы 2 и импликации теорема 3 =>¦ теорема 1 (см. п. 4).
В н. 1 мы дадим принадлежащее Ф. А. Богомолову дока-
доказательство аналога теоремы 2, получаемого заменой «круче-
')Oesterle Joseph. Courbes sur une variete Abelienne (d'apres M. Ray-
naud). Seminaire Bourbaki, 36-е аппёе, 1983—84, № 625. 1—12.
© Revue Asterisque, 1983
Кривые на абелевом многообразии
205
ния» на «/-примарное кручение», п. 2 и 3 посвящены резуль-
результатам, носящим чисто р-адический характер; используемый
т?м технический результат доказывается; в п. 5 и 6. Пункт 7
описывает различные обобщения приведенных выше теорем.
В заключение отметим, что можно дать «комплексно-ана-
«комплексно-аналитические» формулировки, эквивалентные предыдущим. Так,
замечая, что любая риманова поверхность S (компактная
связная) алгебраизируема и что аналитическое отображение
поверхности 5 в комплексный тор факторизуется через ее
отображение в якобиан, мы легко убеждаемся в эквивалент-
эквивалентности утверждений теоремы 2 и следующей теоремы 2'.
Теорема 2'. Пусть L — решетка (ранга 2g) в [С/, ср —
аналитическое отображение компактной связной римановой
поверхности S в LC//L. Если фE) не содержится в образе
никакой комплексной аффинной прямой на „С/, то его пе-
пересечение с QL/L конечно.
Было бы очень интересно получить чисто трансцендентное
доказательство указанной теоремы.
Обозначения
Если заданы абелево многообразие А, определенное над
полем К, целое число п>1 и простое число /, то положим
л,«= и л.г,
^tors == U ™ffti
>1
Tt (A) = lim Atr
г
(при этом отображение A(r—> Ats для r^s^l есть умноже-
умножение на lr~s). Для любой подгруппы Г группы А (К) через
Div(F) мы обозначаем множество «точек деления группы IX
т. е. таких х^А(К), кратность пх (при ненулевом целом п)
которых принадлежит группе Г.
1. /-ПРИМАРНОЕ КРУЧЕНИЕ ПО БОГОМОЛОВУ
1.1. Теорема (Ф. А. Богомолов). Пусть А — ненулевое абе-
абелево многообразие, определенное над расширением конечного
типа К _п@ля Q и I — простое число. Группа Галуа Gk =
= Gal(K//C) действует на Zi-модуле Ti(A). Ее образ в

206 Ж. Остерле
Aut(Ti(A)) содержит открытую подгруппу группы гомотетий
За доказательством этого результата мы рекомендуем
обратиться к [Во]1): на самом деле доказательство там
дано только для случая, когда К — конечное расширение
поля Q, а общий случай легко сводится к нему при помощи
специализации. Отметим лишь, что Богомолов доказывает,
используя свойства модулей Ходжа — Тейта, что образ груп-
группы Gk в Aut(T[(A) ®ZjQz) содержит открытую подгруппу
своей алгебраической оболочки, и, как заметил Делинь, ал-
алгебра Ли этой алгебраической оболочки содержит гомотетии.
Следствие. Существуют целое число п > 1 и элемент а
из Gk, такие, что имеет место равенство а(х)= пх для лю-
любого X е Л,оо.
1.2. Следующее утверждение является частным случаем тео-
теоремы 2, к которому мы приходим, ограничившись Z-примар-
ной частью кручения.
Теорема. Пусть А — абелево многообразие, определенное
над полем К характеристики 0, X — замкнутая абсолютно
неприводимая кривая на А, определенная над К и не являю-
являющаяся эллиптической, I — простое число. Множество Х(К)п
{\А°° конечно.
Заменяя в случае надобности К на подходящее подполе,
над которым А а X определены, мы можем предполагать, что
К имеет конечный тип над Q. Выберем тогда а и и такими,
как в следствии из теоремы 1.1. Для любого х е X(К) П At<*>
мы имеем пх = а(х)^Х(К). Если бы Х(К)(]А1о» было бес-
бесконечным, то кривая X была бы инвариантна относительно
эндоморфизма пА — умножения на л в Л. Рассуждение за-
завершается благодаря следующей лемме:
Лемма. Если кривая X инвариантна относительно па {при
п ^ 2), то она является эллиптической.
Обозначим через и морфизм из X в X, индуцированный
эндоморфизмом па- Его степень равна п2: действительно,
если вложить поле К в С и выбрать инвариантную голо-
голоморфную дифференциальную 1-форму со на А (С), ограниче-
ограничение которой на множестве Х'(С) гладких точек кривой
') См. также [41*]. Там же содержатся доказательства других резуль-
результатов этого раздела. — Прим. ред.
Кривые на абелевом многообразии
Х(С) не обращается тождественно в нуль, то
(u) \ (алй)= \ (Пд© л «до») = п2 [ ил©.
Х'(С) Х'(С) Х'(С)
207
Х'(С) Х'(С) Х'(С)
Поскольку морфизм па' А-*-А является накрытием Галуа
с группой Ап, то множество тех а е Ап, для которых X + а
равно X, содержит п2 элементов. Применение этого рассуж-
рассуждения к степеням того же п показывает, что кривая X инва-
инвариантна относительно бесконечного числа сдвигов из А,
а значит, является эллиптической.
1.3. Можно уточнить теорему 1.2, приведя оценку сверху,
«равномерную относительно сдвигов».
Теорема. В предположениях теоремы 1.2 существует та-
такое целое число гп, что для любого расширения L поля К
и любого a<^A{L) мощность пересечения (X + a) (L) П At<x>
ограничена сверху числом т.
Как и в предыдущем случае, можно предположить, что К
является расширением конечного типа поля Q. Из доказа-
доказательства теоремы 1.2 видно, что если обозначить через а'
автоморфизм поля L, продолжающий а, то мощность пере-
пересечения (X + a) (L) П At°° ограничена сверху числом таких
элементов х из (X + a)(L), что пх<=(Х + а'(а)) (?), или,
другими словами, если обозначить через b такой элемент из
Л(?), что {п—\)Ь — па — о'(а), то вышеуказанная мощ-
мощность ограничена числом таких элементов у из (X-\-b)(L)>
что пу^(Х + Ь) (?). Тогда теорема вытекает из следую-
следующего факта: пусть У — замкнутое алгебраическое подмного-
подмногообразие {(Ь,у)/у — 6е1, пу — SeX} многообразия АУ^А;
проекция на первую компоненту индуцирует собственный
морфизм многообразия У в Л, слои которого, согласно лемме
из 1.2, конечны и поэтому их мощности ограничены сверху.
Замечание. Как уже отмечалось С. Ленгом (см. [Lai]),
рассуждение, аналогичное предыдущему, позволило бы полу-
получить теорему 2, если бы мы знали, в предположениях тео-
теоремы 1.1, что образ группы GK в IlAut(Tj(^)) содержит
открытую подгруппу группы Zx = HZi< (эта гипотеза была
высказана Ж--П. Серром в [Se]1).
1) И доказана им же в предположении, что End(A)= Z и dim Л не-
нечетна. В общем случае известно, что образ группы GK содержит подгруппу
вида (Zx)m для некоторого т ^ 1. См. [3*]. — Прим. ред.

208
Ж. Остерле
2. АБЕЛЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ НАД р-АДИЧЕСКИМ ПОЛЕМ
2.0. В этом пункте К обозначает поле характеристики 0,
полное относительно дискретного нормирования v, R— коль-
кольцо нормирования и, m — максимальный идеал кольца R.
Предположим, что поле вычетов k кольца R алгебраически
замкнуто и имеет характеристику р > 0, что группа значе-
значений нормирования v есть Z, и обозначим через е абсолютный
индекс ветвления v(p) в R.
Обозначим через К алгебраическое замыкание поля К,
через v — его нормирование, которое продолжает v, через
R — кольцо нормирования v, через nt — максимальный идеал
кольца R.
2.1. Пусть А — абелево многообразие, определенное над К
и имеющее хорошую редукцию относительно и; это означает,
что существует абелева #-схема М-, для которой Л является
общим слоем (и такая зФ единственна с точностью до един-
единственного изоморфизма). Специальный слой До схемы $Ф
является абелевым многообразием, определенным над k.
2.2. Мы имеем отображение специализации из А(К) = s?(R)
в Ao(k). При этом оно продолжается до отображения специа-
специализации из A{K) = s6(R) в Ao{k). Если задано конечное
расширение К' а К поля К, то множество элементов из
А (К'), которые специализируются в 0, отождествляется
с множеством точек формальной группы, определенной над R,
координаты которых лежат в ш A К'- Это множество является
стандартной группой над К' в смысле ([Lie], III, § 7, п. 3).
Для любого ),eR+ мы обозначим через А^(К') множество
точек этой стандартной группы, значение нормирования от
координат которых строго превосходит К. Положим Лш (К) —
1МЮ
1
к'
2.3. Предложение, а) Ограничение отображения специализа-
специализации на множестве точек кручения из А (К) имеет конечное
ядро, порядок которого есть степень числа р; оно инъективно,
если е < р— 1.
Ь) Пусть М — подмножество множества Div(А(К)).Если
степени [К{х):К] ограничены, когда х пробегает М, то су-
существует такое целое число г ^ 0, что р'М содержится
в А (К).
Положим к =
г.
р— 1
Из свойств экспоненциального ото-
р
бражения следует ([Lie], III, § 7, п. 6, предл. 14), что
не имеет кручения и что Л&) {К) П Div (Л {К)) = Ам (-Ю- С дру-
Кривые на абемвом многообразии
209
гой стороны, для любого це]0, X] Л(ц> {КI Л(>,) (Ю аннули-
аннулируется степенью числа р (см. там же п. 4).
Утверждение а) вытекает из предыдущего, поскольку ядро
отображения специализации Л {К)-+- Aq (k) содержится в
АШ{К) для всех ц> 1.
Докажем Ь). Допуская сдвиги элементов из М на эле-
элементы из А{К), мы сводим рассмотрение к случаю, когда
они специализируются в 0. Степени расширений К(х)
поля К, когда х пробегает М, ограничены, а значит, то же
самое можно сказать и об индексах ветвления; это влечет
за собой, что М содержится в AW{R) для подходящего
jx > 0 и Ь) устанавливается на основании замечаний, сделан-
сделанных в начале доказательства.
3. р-АДИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
3.0. В этом пункте мы сохраняем обозначения из предыду-
предыдущего пункта. Кроме того, мы предполагаем, что абсолютный
индекс ветвления е поля R равен 1.
3.1. Зададим, сверх того, кривую X на Л, абсолютно непри-
неприводимую и определенную над К. Предположим, что X явля-
является общим слоем собственной и плоской /^-кривой S6 на s?,
удовлетворяющей следующим техническим предположениям:
(i) Специальный слой Хо кривой 8В неприводим, норма-
нормализация М; кривой SB является гладкой над R,_co слоями
рода 5*2. В частности, специальный слой кривой §6 есть нор-
нормализация кривой Хо.
(И) Пусть / — якобиан кривой §ё и а: /->- si- —^орфизм
Албанезе, соответствующий сквозному морфизму $в-*¦$€-*¦
-»- s4>. Предположим, что а сюръективен, что его ядро Jf —
гладкое и что группа связных компонент ядра Jf имеет по-
порядок, взаимно простой с р.
3.2. Предыдущие предположения влекут за собой следую-
следующие результаты:
a) Если а —элемент из А(К) — А{К), то существует эле-
элемент а е Gal (Я/К), такой что Х — афХ — а (а) {в действи-
действительности мы имеем также X — а-фХ — от (а) для любого
о е Gal (К/К), такого что а{а)Фа).
Это — легкое следствие из того факта, что кривая ^о не
имеет нетривиальных инфинитезимальных автоморфизмов,
поскольку она рода ^2 (см. [Ra 1], доказательство предло-
предложения 6.4.2).
b) Множество 8?{R/p2R)()psl(R/p2R) конечно.

210
Ж. Остерле
Это утверждение является критическим моментом в до-
доказательстве М. Рейно. Мы докажем его в п. 5 и 6: точнее,
на основании предположений 3.1 гипотеза (Н) из п. 5.4 вы-
выполняется для неприводимой кривой Хо на Ао и нормализа-
нормализация Яо кривой Хо имеет род ^2. Это позволяет применить
предположение 5.5 к Хо. Результат, который мы пытаемся
доказать, оказывается тогда следствием предложения 6.5,
примененного к абелевой R/p2R-cxeue s4-~X.RR/p2R и к кри-
кривой SBY,rRIp2R: условия этого предложения выполняются
благодаря утверждению (С1) из 5.4.
3.3. Предложение. Существует такое целое число r^sQ, что
имеет место включение ргх^А(К) для всех ^
(]Di(A(K))
Пусть * —элемент из X(K)f\E>iv(A(K)). Существует, на
основании предложения 2.3, Ь), такое целое число г(х)^0,
что рг^х принадлежит Л (К). Поэтому для всех не
eGal(/C//C) мы имеем
а (х) — х <
¦ (Х-х)(К)Г\Ароо.
Принимая во внимание теорему 1.3, мы видим, что число
сопряженных а(х) элемента х, а значит, и степень \К(х): К]<
ограничены сверху независимо от х. Предложение 2.3, Ь) по-
позволяет завершить рассуждение.
3.4. Предложение. Пусть Q — объединение конечного числа
классов смежности многообразия А(К) по подгруппе рА(К).
Подгруппа кручения группы, порожденной множеством
Х(К)Г\&, конечна.
Существует такое конечное расширение К' поля К, что Q
содержится в А (К'). На основании предложения 2.3, а) и Ь)
ограничение отображения специализации Л(Я)->-Л0(/г) на
множестве точек кручения многообразия А(К') имеет ко-
конечное ядро. Поэтому для доказательства предложения 3.4
достаточно показать, что образ множества X(K)f\Q в Л0(/г)
при отображении специализации конечен, а для этого можно
предположить, что Q сводится к классу а+рА(К) с аеЛ(Я).
a) Предположим, что а принадлежит А (К). Образ мно-
множества X{R)(]Q = %(R)(\(a + pst(R)) в AQ(k) при отобра-
отображении специализации тогда конечен на основании утверж-
утверждения 3.2, Ь), примененного к кривой X — а, получаемой
сдвигом кривой X.
b) Предположим, что а не принадлежит А(К). В силу
3.2, а) существует такой элемент а е Gal (Я/К), что кривая
X — а отличается от кривой X — от (а). Итак, если х =
Кривые на абемвом многообразии
211
элемент из X(R)f\(a + рА(К)), то элемент \i = x—а =
= а(х) — а(а) принадлежит пересечению (X — a)(F)f\(X —
— а(а))(К). Это показывает, что X(R)[)Q конечно и завер-
завершает доказательство.
3.5. Предложение. Пусть Г — подгруппа конечного типа
группы А (К). Подгруппа кручения группы, порожденной
множеством X(K)f\DW(T), конечна.
На основании предложения 3.3 существует такое целое
число г ~$z 0, что имеет место включение prx e А (К) для лю-
любого *e=X(^)nDiv(r). Положим r' = Div(r)fl^(K). Для
доказательства предложения достаточно, на основании 3.4,
показать, что множество классов по модулю рА(К), которые
пересекают X(K)DDiv(r), конечно. Применяя отображение
х>—>ргх, получаем отображение с конечными слоями этого
множества в Т'/рг+1Т', и остается применить следующий ре-
результат.
Лемма. Группа Т'/рг+хТ' конечна.
Действительно, мы имеем точную последовательность
l-*A(i<Otors-*r'-*r-*l.
где W отождествляется с подгруппой векторного Q-простран-
ства конечной размерности Г ®zQ. Значит, факторгруппа
M/pr+iM -конечна для любой подгруппы М группы Г ®zQ
или группы Л (Я) tors- Лемма доказана.
4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2
И ВЫВОД ТЕОРЕМЫ 1 ИЗ ТЕОРЕМЫ 3
4.0. Мы находимся в положении, описанном во введении:
у нас имеются абелево многообразие Л, определенное над
полем К характеристики 0, абсолютно неприводимая соб-
собственная кривая X на Л, определенная над К и не являю-
являющаяся эллиптической, и подгруппа Г группы А(К), имеющая
конечный тип.
4.1. Предложение (М. Рейно). Подгруппа группы А{К), по-
порожденная множеством X(R){\Div(T). есть группа конечного
типа.
Пользуясь возможностью заменять Л абелевым подмного-
подмногообразием, мы сводим рассмотрение к случаю, когда А по-
порождено разностями точек из X. Элементарные рассуждения
из алгебраической геометрии, за деталями которых мы от-
отсылаем к [Ra 1], показывают, что существуют:

212
Ж. Остерле
(i) подполе Е конечного типа над Q, над которым А а X
определены, и такое, что Г содержится в А (Е);
(и) простое число р и такое расширение К' поля Е, что
предположения из 2.0, 2.1, 3.0, 3.1 выполняются для поля К',
абелева многообразия АХеК' и кривой ХУ,ЕК\
На основании предложения 3.5 подгруппа кручения Т
группы, порожденной множеством X(R)f\Div(T) = X(K')(]
(IDiv(r), конечна. Пусть п — ее порядок. Для любого *е
eX(K)f|Div(r) и любого o^Ga\(E/E) мы имеем а(х) —
— ^ёГ, откуда а(пх) = пх и пх^А(Е). Таким образом,
А(Е)—группа конечного типа на основании теоремы Мор-
делла — Вейля. Из этого вытекает доказываемое предло-
предложение.
4.2. Теорема 2 вытекает из предложения 4.1, примененного
к случаю, когда Г={0}, а теорема 1 вытекает из предло-
предложения 4.1, когда известно, что пересечение кривой Х(К) и
подгруппы конечного типа многообразия А(К) конечно, а это
и является утверждением теоремы 3.
В. ОТОБРАЖЕНИЯ ГАУССА
В этом пункте k обозначает алгебраически замкнутое
поле.
5.1. Пусть X — собственная неприводимая кривая, опреде-
определенная над k, V — векторное fe-пространство конечной раз-
размерности и 7 — морфизм непустого открытого подмножества
из X в проективное пространство Р(У) прямых из У; такой
морфизм канонически продолжается до морфизма у норма-
нормализации X кривой X в Р(У). Назовем степенью рациональ-
рационального отображения v (и обозначим ее через deg(Y)) степень
класса дивизоров на X прообраза при отображении 7 класса
дивизоров, являющихся гиперплоскостями в Р(У). Анало-
Аналогично, если и: У-»-Х— рациональное, отличное от постоян-
постоянного отображение собственной неприводимой кривой У в X,
то назовем степенью этого отображения (и обозначим ее че*
рез deg(u)) степень конечного морфизма й: ?-+Х, опреде-
определенного отображением и.
5.2. В этих обозначениях имеем:
(i) deg(Y°u) = deg(Y)deg(u);
(ii) для любого векторного пространства W, содержа-
содержащего У, степень сквозного рационального отображения X -*¦
-^¦P(V)-*-P(W) равна степени 7;
(ш) для любого векторного подпространства V про-
пространства У, такого что Р(У') не содержит образа отобра*
Кривые на абелевом многообразии
213
жения v. степень сквозного рационального отображения Х-*
-**P(V)-*-P (V/V') не превосходит степени отображения 7:
она ей равна, когда Р(У') не пересекает 7(-?) •
5.3. Пусть X — неприводимая кривая на абелевом многооб-
многообразии А, определенная над k. С помощью сдвига отожде-
отождествим касательное пространство в некоторой точке многооб-
многообразия А с касательным пространством Ые(Л) в начале.
Ставя в соответствие произвольной гладкой точке х на X
точку из Р(ЫеЛ), определенную касательной к X в х, мы.
получаем рациональное отображение ух: X-»-Р (Lie Л), на-
называемое «отображением Гаусса», ассоциированным с X.
5.4. Дальше мы будем предполагать, что алгебраически за-
замкнутое поле k имеет характеристику р > 0. Пусть X — соб-
собственная неприводимая кривая на абелевом многообразии А,.
определенная над k.
Пусть А—>• В -^> А — разложение эндоморфизма рл:
А-*-А умножения на р, в котором v этально, а и радикально.
Обозначим через У и Z приведенные прообразы кривой X
при отображениях рл и и соответственно. Пусть г — такое-
наименьшее неотрицательное целое число, что ядро ото-
отображения и аннулируется г-й степенью автоморфизма Фро-
бениуса, Fr: В-*-В(г» (где В(г) — абелево многообразие, полу-
получаемое из В заменой базы относительно автоморфизма
ai—>аРг поля k): изогения F<r> допускает разложение
В—>А—>В(Г\ при этом w индуцирует морфизм из X в Z(r>.
Допустим, что для X выполняется следующая гипотеза,
в которой через J обозначается якобиан нормализации X
кривой X:
(Н) Морфизм Альбанезе а: J-*-A, соответствующий
сквозному морфизму Х-*-Х-*-А, сюръективен, его ядро ЛГ
гладкое, а группа связных компонент ядра N имеет поря-
порядок, взаимно простой с р.
Тогда отсюда легко выводятся такие следствия ([Ral]):.
(С1) Кривые У и Z неприводимы.
(С2) Морфизм w\x- X-*-Z^ бирационален.
(СЗ) Если X рода ^2, то отображение Гаусса, ассоции-»
рованное с X, не является постоянным.
Поскольку отображение рл не этально, имеем г^.1, а то-
тогда из (С2) вытекает, что deg(«|z) = pr > 1, откуда полу-
получаем
(С4) deg (о |г) < deg (рл |у).
5.5. Предложение. Предположим, что для X выполняется

214
Ж. Остерле
условие (Н) и что X рода ~^2. Обозначим через ух и уг
отображения Гаусса E.3), ассоциированные с X и Y. Рацио-
Рациональные отображения yY и ух ° (рЛ | у) не совпадают.
Поскольку отображение v этально, имеем коммутатив-
коммутативную диаграмму
О|у
I 1
где правая стрелка есть изоморфизм, получаемый из диффе-
дифференциала отображения v в нулевой точке. Отсюда выводится
равенство
<1) deg(vy) = deg (yz °v\Y) = deg (yz) deg (v |y).
Поскольку w\x бирационально ((С2)), отсюда же имеем
коммутативную диаграмму сквозных рациональных отобра-
отображений:
X
w\x\
Z
-¦РAлеЛ)-»-Р(AЛеЛ)/Л1)
« —Ш >P(LieB(r>)
где М — ядро дифференциала отображения w: /1->-В(г> в ну-
нулевой точке.
Отсюда на основании 5.2 выводим, что
B) deg (yx) ^ deg (yzin ° w \x) = deg (yz(r)).
Перенесением структуры убеждаемся, что степень отображе-
отображения yz равна степени отображения Yz(r>> и из О) и B) полу-
получаем неравенство
deg (yk) < deg (ух) deg (о |у).
Отображение ух на основании (СЗ) отлично от константы,
а значит, оно имеет ненулевую степень; с другой стороны,
мы знаем из (С4), что степень отображения v\y строго мень-
меньше степени отображения рл \ у- Таким образом, степень ото-
отображения yY строго меньше, чем deg (y*) deg (рд | к) =
= deg{y x°pA\Y).
6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПО МОДУЛЮ рг
В этом пункте k обозначает алгебраически замкнутое
поле характеристики р > 0, a R — локальное кольцо с полем
вычетов k, максимальный идеал которого ненулевой, порож-
Кривые на аб елее ом многообразии
215
ден числом рис нулевым квадратом: иначе говоря, R изо-
изоморфно кольцу векторов Витта длины 2 над k.'
6.1. Пусть S есть /?-алгебра. Обозначим через у*—* [г/]" и
г/1—»р[г/] отображения из S/pS в S, получаемые факториза-
факторизацией из отображений ху—^хр и х>—>рх из S в S (мы будем
использовать аналогичные обозначения для пучков ^-ал-
^-алгебр). В случае, когда алгебра S — плоская над R, а кольцо
S/pS приведено, отображение (у, г/'I—*[у\р + Р[у'] из
(S/pSJ в S инъективно, а его образ равен Sp + pS.
6.2. Пусть А=(А,ОА) — абелева R-схема. Ее редукция по
модулю р, Л0 = (А, Оап), является абелевым многообразием
над k. Обозначим через рл=(р, и) эндоморфизм умножения
на р в А. Его редукция рДо по модулю р имеет нулевой диф-
дифференциал. Следовательно, р-морфизм и пучков из О а в О а
индуцирует р-морфизм из пучка 0А в Ора + pQa- Поскольку
кольцо А плоско над R, а Ао приведено, и записывается
в виде (см. 6.1)
и = [иГ + р[и"Ъ
где «' и «" являются р-морфизмами пучков множеств 0А
в О а,.
6.3. Пусть S есть Я-алгебра. Каноническая сюръекция S-*-
-+Sa = S/pS определяет групповой гомоморфизм ns: A(S)-*-
->-A(So) = Ao(So)', этот гомоморфизм сюръективен, посколь-
поскольку схема А является гладкой над R.
Лемма. Существует единственное отображение as:
Aa(So)-+A(S), делающее коммутативной диаграмму
^0(^0)
Единственность as вытекает из сюръективности отобра-
отображения Яэ- Для доказательства существования отображения
as достаточно показать, что при отображении pAMS) образ
элемента х из A(S) зависит только от ns(x). Элемент х из
A{S) есть пара (х, v), где х—непрерывное отображение
Spec (S)-»-А, а v есть х-морфизм из О а в Os- Тогда ns{x)
равняется паре (х, v0), где v0 — х-морфизм из Са, в Os»,
получаемый из v редукцией по модулю р. Что же касается
образа элемента х при отображении p.l/,(s), то он равен на
основании 6.2 паре (у, ш), где у = р°х, а w есть у-морфизм

216 Ж. Остерле
из О а в Os, задаваемый формулой
Это и доказывает лемму.
6.4. Сохраним предыдущие обозначения. Пусть еще X сг Л —
кривая, собственная и плоская над R; обозначим через Хо
кривую на Ло, получаемую из X редукцией по модулю р;
предположим, что Хо и ее прообраз Уо, получаемый при ото-
отображении рАа, неприводимы.
Изучим диаграмму A) в случае, когда S — алгебра ду-
дуальных чисел R[&\. В этом случае группа Л0E0) = Л0(?[е])
есть группа точек касательного пространства к Ло со значе*
ниями в k. Она канонически отождествляется с произведе-
произведением групп Л0(?)ХЬле(Л0). Аналогичным образом A(S) =
= Л(#[е]) отождествляется с A(R)~X Lie(A); ^-модуль
Lie Л свободен и конечного ранга, и Ые(Л0) отождествляется
с Lie^)/pLie^). Переходя к факторам, получаем обозна-
обозначаемый через ?>—»p[g] изоморфизм группы Lie(^0) на
pLie^). Он индуцирован умножением на р в Lie (Л).
Сделав указанные отождествления, обозначим через уо
гладкую точку на YQ(k) и через ? — элемент из Lie^0).
Для того, чтобы элемент {у0, |) из Ло(?[е]) принадлежал
кривой Уо(?[е]), необходимо и достаточно, чтобы | принад-
принадлежал прямой Yy, (Уо)> где Yy0 — отображение Гаусса, ассо-»
циированное с Уо (см. 5.3). Благодаря коммутативности диа-
диаграммы A) образ пары (у0, |) при отображении aR[. есть
пара (х, р[?]), где x = aR(y0), и точка х из A(R) является
подъемом элемента хо = руо из XQ(k). Предположим теперь
сверх того, что х0 есть гладкая точка из Xo(k). Тогда, если
Л — элемент из Lie Л, то для того, чтобы элемент (х, г\) из
A{R[e\) принадлежал кривой X(R[e]), необходимо и доста^
точно, чтобы х принадлежал кривой X(R) и чтобы г\ при-
яадлежал касательному пространству к X вдоль сечения х
(которое отождествляется при помощи переноса со свобод-
свободным прямым множителем ух(х) R-иодуля Lie^), имеющим
ранг 1). Прямая из Lie^o), получаемая из ух(х) редукцией
по модулю р, есть УХо(хо); в частности, если г\ принадлежит
пересечению pLie^)flYxM. то она имеет вид p[ri0], где
Из подсчета размерностей мы можем сделать следующее
заключение: если при отображении aR[e] образ кривой У0(/г[е])
содержится в X(R [г]), то рациональные отображения yYt
и У^в°Рд0|у, "з Уо в P(Lie(X0)) совпадают.
Кривые на абелевом многообразии
217
6.5. Предложение. В предположениях из 6.4 выполняется
одно из следующих условий:
a) Множество pA(R)f\X(R) конечно.
b) Рациональные отображения Yy0 « Vx,°Pa»\yo из Yo
в P(LieЛo) совпадают.
Обозначим через 9 (соответственно f0) пучок идеалов
пучка О а (соответственно О а,), который определяет X (соот-
(соответственно Yo) и через /о — пучок идеалов из ОА„ порожден-
порожденных пучком /о и образами 9 относительно р-морфизмов
пучков и' и и" (см. 6.2). Обозначим через У6 замкнутую
подсхему в Уо> определяемую пучком f'Q. Будем различать
два случая:
a) Имеет место /05ё/о- в этом случае множество Y'o(kJ
конечно, поскольку Уо по предположению есть неприводимая
кривая. Таким образом, из диаграммы A) вытекает, что
pA(R)f\X(R) равняется пересечению aR(YQ(k)) (I X(R). На осно-
основании формулы B) это множество равно aR(Y'Q(k)). Условие
а) предложения, таким образом, выполнено.
b) Имеет место fo = f'o. В этом случае из формулы B>
вытекает, что as(Y0(S0))c:X(S) для любой tf-алгебры S-
Взяв S = i?[8], мы видим, на основании 6.4, что условие Ь)
выполняется.
7. ОБОБЩЕНИЯ
7.1. Следующая гипотеза, сформулированная С. Ленгом
([La 2], с. 221), естественным образом обобщает утвержден
ние теоремы 1.
Гипотеза. Пусть А — коммутативная алгебраическая груп-
группа— расширение абелева многообразия при помощи тора,
определенная над алгебраически замкнутым полем К харак-
характеристики 0. Пусть X — замкнутое алгебраическое подмного-
подмногообразие в Л и Г — подгруппа конечного типа группы А(К).
Множество элементов из Х(К), кратность пх (при ненуле-
ненулевом целом п) которых принадлежит Г, содержится в объеди-
объединении конечного семейства подмногообразий многообразия X,
которые являются сдвигами алгебраических подгрупп груп-
группы Л.
Известны следующие частные результаты:
а) Случай, когда А есть тор: гипотеза была доказана
П. Лиарде ([Li]), когда X — кривая, а затем М. Лораном
([Lt]) в общем случае.
Ъ)жСлучай, когда Г={0} («точки кручения на X»), а Л—
абелево многообразие: гипотеза была доказана М. Рейн»
([Ra2}). Когда мы ограничиваемся /-примарным кручением.

218
Ж. Остерле
то доказательства Богомолова, представленные в п. 2, могут
быть также обобщены ([Во] и [Ra2]).
с) Случай, когда А — абелево многообразие и когда X не
содержит никакого сдвига ненулевого абелева подмногооб-
подмногообразия многообразия А: М. Рейно показывает в ([Ra3J),
что тогда пересечение X(K)f\Div(T) порождает подгруппу
конечного типа группы А (К) ').
7.2. Перенесемся в условия теоремы 2. Для любого расши-
расширения L поля К и любого a^A(L) множество точек из
(Х+а)(Е), имеющих конечных порядок в Л (Г), конечно.
Можно поставить вопрос, существует ли верхняя граница
числа этих точек, независимая от а: М. Рейно выводит из
7.1, Ь), что дело обстоит именно так, когда X не содержится
в абелевой поверхности на А.
ЛИТЕРАТУРА
{Во] Bogomolov F. A. Sur l'algebricite des representations 1-adiques, С.
R. Acad. Sci. Paris, t. 290 A980), 701—704.
[Lai] Lang S. Division points on curves, Annali di Matematica Рига ed
Applicata, serie quarta, tomo LXX A965), 229—234.
[La2] Lang S. Fundamentals of Diophantine Geometry, Springer-Verlag,
New York, 1983. [Русский перевод: Ленг С. Основы диофантовой
геометрии.—М.: Мнр, 1986.
[Li] Liardet P. Sur line conjecture de S. Lang, Soc. Math. Fr., Asteris-
que 24—25 A975), 187—209.
[Lie] Bourbaki N. Groupes et algebres de Lie, С. С. L. S. Diffusion, Paris,
1982. [Русский перевод в: Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли.—
Перев. с фраиц. — М.: Мир, 19-76, гл. I—IV.]
[Lt] Laurent M. Equations diophantiennes exponentielles, С. R. Acad Sci
Paris, t. 296 A983), 945—947.
[Ral] Raynaud M. Courbes sur une variete abelienne et points de torsion,
Invent. Math. 71 A983), 207—233.
[Ra2] Raynaud M. Sous-variete d'une variete abelienne et points de tor-
torsion, Arithmetic and Geometry, Papers dedicated to I. R. Shafare-
vich, Birkhauser A983).
[Ra3] Raynaud M. Around the Mordell conjecture for function fields and a
conjecture of Serge Lang, Springer-Verlag, Lect. Notes in Math.
№ 1016 A982), 1—19.
fSe] Serre J.-P. Representations 1-adiques, Kyoto Symposium on Algebraic
Number Theory A977), 177—193. '
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1*] Богомолов Ф. А. Точки конечного порядка на абелевом многообра-
многообразии. Известия АН СССР, сер. матем., т. 44, № 4, 1980.
[2*] Parshin A. N. Finiteness theorems and hyperbolic marifolds, preprint
IHES, 1986, Bures-sur-Yvette.
[3*] Serre J.-P. Resume des cours de 1985—86, Annuaire du College de
France, 1986.
') И выводит отсюда теорему конечности рациональных точек на мно-
многообразии Xv Другое доказательство этого результата в случае, когда
•основное поле является полем функций над С, даио в [2*] с помощью
гиперболической метрики Кабояши. — Прим. ред.
ЧИСЛА КЛАССОВ МНИМЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЕЙ1)
Жозеф Остерле
Высшая Нормальная школа, Париж, Франция
В 1934 г. Хейльброн доказал, что для любого целого
числа h ^ 1 существует лишь конечное число мнимых квад-
квадратичных полей, число классов которых равно h ([HeiJ).
Это утверждение было уточнено в 1936 г. Зигелем, который
показал, что если h(—d) обозначает число классов мнимого
квадратичного поля дискриминанта —d, то величина
log ft (—d) эквивалентна величине logV^ когда d стре-
стремится к +оо ([Si]). Эти результаты отвечают на вопросы,
четко сформулированные Гауссом на языке квадратичных
форм ([Ga] 302 и 303).
Теорема Зигеля неэффективна и, в частности, для дан-
данного числа h ~$z 1 она не позволяет ограничить дискриминан-
дискриминанты —d, для которых h{—d) равно h. Однако для любого
h ^ 1 известно ([Та]), что если h(—d) равно h, то все зна-
значения d, кроме, быть может, одного, удовлетворяют нера-
неравенству d ^ 21 OO/i2 log2 A3/г) (имеется предположение, что
его не существует: это было бы следствием расширенной ги-
гипотезы Римана).
Таблицы, дающие числа классов мнимых квадратичных
полей дискриминанта —d для d<4-106, были составлены
Бьюэлом ([Ви]). В пределах этих таблиц число полей с чис-
числом классов h равным 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 соответ-
соответственно равно 9, 18, 16, 54, 25, 51, 31, 131, 34, 87, а наиболь-
наибольшее соответствующее каждому случаю d равно 163, 427,
907, 1555, 2683, 3763, 5923, 6307, 10 627, 13 843 (возможно,
что все мнимые квадратичные поля с числом классов h ^ 10-
находятся в этой таблице).
Тот факт, что h(—d)>l для d > 163, был установлен
независимо Хегнером, Старком и Бейкером (см. [Не], [StlJ,
|[St2] и [Ва]); двое последних из этих авторов впослед-
впоследствии дали эффективную, очень высокую границу d < Ю1030
для таких d, что h{—d) — 2; наконец, тот факт, что нет таких
') Oesterle Joseph. Nombres de classes des corps quadratiques imaginai-
res. Seminaire Bourbaki,36-e annee, 1983/1984, № 631, 1—14.
. © Revue Asterisque, 1984-

218
Ж. Остерле
то доказательства Богомолова, представленные в п. 2, могут
быть также обобщены ([Во] и [Ra2]).
с) Случай, когда А — абелево многообразие и когда X не
содержит никакого сдвига ненулевого абелева подмногооб-
подмногообразия многообразия А: М. Рейно показывает в ([Ra3j),
что тогда пересечение X(K)f\Diy(T) порождает подгруппу
конечного типа группы А (К) ').
7.2. Перенесемся в условия теоремы 2. Для любого расши-
расширения L поля К и любого a^A(L) множество точек из
(Х+а)(Е), имеющих конечных порядок в A(L), конечно.
Можно поставить вопрос, существует ли верхняя граница
числа этих точек, независимая от а: М. Рейно выводит из
7.1,Ь), что дело обстоит именно так, когда X не содержится
в абелевой поверхности на А.
ЛИТЕРАТУРА
{Во] Bogomolov F. A. Sur I'algebrfcite des representations 1-adiques, С.
R. Acad. Sci. Paris, t. 290 A980), 701—704.
P_al] Lang S. Division points on curves, Annali di Matematica Рига ed
Applicata, serie quarta, tomo LXX A965), 229—234.
JLa2] Lang S. Fundamentals of Diophantine Geometry, Springer-Verlag,
New York, 1983. [Русский перевод: Ленг С. Основы диофантовой
геометрии. — М.: Мир, 1986.
{Li] Liardet P. Sur une conjecture de S. Lang, Soc. Math. Fr., Asteris-
que 24—25 A975), 187—209.
{Lie] Bourbaki N. Groupes et algebres de Lie, С. С. L. S. Diffusion, Paris,
1982. [Русский перевод в: Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. —
Перев. с франц. — М.: Мир, 1976, гл. 1—IV.]
JTLt] Laurent M. Equations diophantiennes exponentielles, С. R. Acad. Sci.
Paris, t. 296 A983), 945—947.
[Ral] Raynaud M. Courbes sur une variete abelienne et points de torsion,
Invent. Math. 71 A983), 207—233.
[Ra2] Raynaud M. Sous-variete d'une variete abelienne et points de tor-
torsion, Arithmetic and Geometry, Papers dedicated to I. R. Shafare-
vich, Birkhauser A983).
{Ra3] Raynaud M. Around the Mordell conjecture for function fields and a
conjecture of Serge Lang, Springer-Verlag, Lect. Notes in Math.
№ 1016 A982), 1—19.
fSe] Serre J.-P. Representations 1-adiques, Kyoto Symposium on Algebraic
Number Theory A977), 177—193. '
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
{1*] Богомолов Ф. А. Точки конечного порядка на абелевом многообра-
многообразии. Известия АН СССР, сер. матем., т. 44, № 4, 1980.
[2*] Parshin A. N. Finiteness theorems and hyperbolic marifolds, preprint
IHES, 1986, Bures-sur-Yvette.
13*] Serre J.-P. Resume des cours de 1985—86, Annuaire du College de
France, 1986.
') И выводит отсюда теорему конечности рациональных точек на мно-
многообразии X. Другое доказательство этого результата в случае, когда
•основное поле является полем функций над С, дано в [2*] с помощью
гиперболической метрики Кабояши. — Прим. ред.
ЧИСЛА КЛАССОВ МНИМЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЕЙ1)
Жозеф Остерле
Высшая Нормальная школа, Париж, Франция
В 1934 г. Хейльброн доказал, что для любого целого
числа h ^ 1 существует лишь конечное число мнимых квад-
квадратичных полей, число классов которых равно h ([HeiJ).
Это утверждение было уточнено в 1936 г. Зигелем, который
показал, что если h(—d) обозначает число классов мнимого
квадратичного поля дискриминанта —d, то величина
log/i(—d) эквивалентна величине log -yjd когда d стре-
стремится к +оо ([Si]). Эти результаты отвечают на вопросы,
четко сформулированные Гауссом на языке квадратичных
форм ([Ga] 302 и 303).
Теорема Зигеля неэффективна и, в частности, для дан-
данного числа h~^\ она не позволяет ограничить дискриминан-
дискриминанты —d, для которых h(—d) равно h. Однако для любого
/i^s 1 известно ([Та]), что если h{—d) равно h, то все зна-
значения d, кроме, быть может, одного, удовлетворяют нера-
неравенству d ^ 2100/i2log2A3/i) (имеется предположение, что
его не существует: это было бы следствием расширенной ги-
гипотезы Римана).
Таблицы, дающие числа классов мнимых квадратичных
полей дискриминанта —d для d<4-106, были составлены
Бьюэлом ([Ви]). В пределах этих таблиц число полей с чис-
числом классов h равным 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 соответ-
соответственно равно 9, 18, 16, 54, 25, 51, 31, 131, 34, 87, а наиболь-
шее соответствующее каждому случаю d равно 163, 427,
907, 1555, 2683, 3763, 5923, 6307, 10 627, 13 843 (возможно,
что все мнимые квадратичные поля с числом классов h ^ 10
находятся в этой таблице).
Тот факт, что h(—d)>\ для d > 163, был установлен
независимо Хегнером, Старком и Бейкером (см. [Не], [Stl],
|[St2] и [Ва]); двое последних из этих авторов впослед-
впоследствии дали эффективную, очень высокую границу d< 101030
для таких d, что h(—d) = 2; наконец, тот факт, что нет таких
') Oesterle Joseph. Nombres de classes des corps quadratiques imaginai-
res. Seminaire Bourbaki,36-e annee, 1983/1984, № 631, 1—14.
. © Revue Asterisque, 1984-

¦220
Ж. Остерле
d, для которых h{—d) = 2 и 427 < d < 101030, был незави«
симо установлен Старком, с одной стороны, ([St 3]), и Монт-
Монтгомери и Вайнбергером, с другой ([М — W]).
В 1977 г. Голдфилд доказал, что если имеется параболи-
оо
ческая модуляторная форма /=? anqn веса k для Y0(N),
собственная для операторов Гекке, и такая, что ai = l, и
оо
¦если ассоциированный ряд Дирихле /.(/, s) = V ann~s
обладает в s = -j (центр критической полосы) нулем доста-
достаточно большого (не меньшего 3 или 4, в зависимости от си-
ситуации) порядка, то можно для любого h~^\ предъявить
эффективную границу для таких d, что Л(—d) = h (см.
Go]).
С нормализованной новой формой / веса 2, являющейся
собственной функцией операторов Гекке и имеющей рацио-
рациональные коэффициенты, мы можем ассоциировать эллипти-
эллиптическую кривую Е, определенную над Q (единственную с точ-
точностью до Q-изогении), /.-функция которой, обозначаемая
через L(E,s), равна ряду L(f,s). Гипотеза Вейля1) утверж-
утверждает, что любая кривая Е, определенная над Q, может быть
получена таким способом, а для заданной кривой Е к этому
можно подбираться алгорифмическими вычислениями на
компьютере. С другой стороны, гипотеза Берча и Суиннерто-
на-Дайера утверждает, что L(E,s) имеет в s = 2 нуль по-
порядка р, равного рангу г кривой E(Q), и известны кривые,
для которых этот ранг достаточно велик (практический ре-
рекорд достигается для кривой, полученной Местром, ранг кото-
которой г^ 14). Принимая это во внимание, мы в состоянии по-
построить формы веса 2, для которых имеются все основания
считать, что L(f,s) имеет в s= 1 нуль достаточно большого
порядка; к несчастью, в то время как необращение в нуль про-
производной высшего порядка функции /.(/, s) в s ~ 1 можно, во-
вообще говоря, проверить вычислениями на компьютере, выяс-
выяснить обращение в нуль этой производной таким способом не-
невозможно. Это объясняет то, что в момент своего появления
теорема Голдфельда могла использоваться только по мо-
модулю гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера.
И вот в 1983 г. Гросс и Загир получили очень красивую
формулу, позволяющую для некоторых квадратичных харак-
характеров % представить значение при s=l производной от
') Называемая теперь более справедливо гицотезой Таниямы — Вей-
Вейля. — Прим. ред.
Числа классов мнимых квадратичных полей
221
L(f,s)L(f®%,s) в виде произведения ненулевого выраже-
выражения (по существу, произведения периодов) на высоту Неро-
Нерона — Тейта точки, получаемой из точек Хегнера, лежащей
на абелевом многообразии (см. [G — Z]). Когда эта точка
имеет конечный порядок и когда L(f®%, 1) отлично от нуля,
то мы имеем L'(f, l) = 0. Если помимо этого функция
Л (/, s) = Bл) ~?Т (s) Nsl2L (/, s) удовлетворяет функциональ-
функциональному уравнению Л(/, 1—s) = —Л(/, s), то из этого выво-
выводится, что L(f,s) имеет при s=l нуль порядка р ^ 3.
Гросс и Загир явно построили модулярную форму /
веса 2, обладающую указанными свойствами, и показали,
что для этой формы / существование нуля порядка р ^S= 3
достаточно для использования результатов Голдфилда.
Укажем оценки, которые были получены.
Теорема,Л. Для любого г>0 существует такая эффек-
эффективно получаемая постоянная с(г)>0, что имеет место
()()(ldI
По поводу более точных, но гораздо более техничных ут-
утверждений, мы отсылаем читателя к дальнейшему содержа-
содержанию статьи. Сообщим только следующий результат:
Теорема 2. Для любого целого числа Т ^ \ существует
такая эффективно получаемая постоянная 5(Г)> 0, что если
d обладает по крайней мере Т простыми делителями, то имеет
место h (—d) ^B(T) log d.
Пункты 1 и 2 посвящены напоминаниям относительно
мнимых квадратичных полей и модулярных форм. В п. 3
приводится в очень упрощенном виде доказательство теоре-
теоремы Голдфилда. Построение нужной нам модулярной формы f
изложено в п. 4.
1. МНИМЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ПОЛЯ И БИНАРНЫЕ
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ (СМ. [Б.-Ш.] )
1.1. Пусть /СсС, — мнимое квадратичное поле. Обозначим
через —d его дискриминант, через О — кольцо его целых чи-
чисел, через % = (~d) — ассоциированный квадратичный харак-
характер (условимся, что %(п) = 0, когда п не взаимно просто
с d). Простое число р является разложимым, разветвленным
и неразложимым в О, когда соответственно %(р) принимает
значения 1, 0 или —1. Дзета-функция поля К есть 5k(s) =
= i,(s)L(s,%), где 5 — дзета-функция Римана, a L(s,%) есть
L-ряд Дирихле, ассоциированный с характером %. Группа
классов идеалоз кольца О — это конечная группа, порядок

222
Ж- Остерле
которой, обозначаемый через Л (или через h(—d), является
числом классов поля К.
1.2. Обозначим через Qa множество бинарных квадратичных
форм ах2 + Ьху + су2 с целыми рациональными коэффициен-
коэффициентами, положительно определенных с дискриминантом
4ас — Ь2, равным d. Можно построить биекцию группы клас-
классов идеалов кольца О на множество классов квадратичных
форм из Qd (по модулю линейных замен координат с целыми
коэффициентами и детерминантом 1): если задан класс идеа-
идеалов Я&, то выберем идеал ае?, возьмем в нем базис (щ,сог)
над Z и проверим, что квадратичная форма q(x, у) —
= -jf • N (хщ + уа>2) принадлежит множеству Qd и что ее
класс зависит только от Я&; этот класс и ставится в соответ-
соответствие классу ??.
При введенных обозначениях частичная дзета-функция
2 У
, s)=
равна w
~x
У.
q (m, n)~s, где w
«еУ " (m, n)e~Z<-{0, 0}
обозначает порядок группы единиц кольца О (равный 6, 4
или 2, в соответствии с тем, когда d = 3, d = A или d>4).
Функция %к есть сумма частичных дзета-функций, ассоцииро-
ассоциированных с различными классами идеалов кольца О.
1.3. Каждый класс квадратичных форм из Qa содержит един-
единственную форму q(x, г/)= ах2-\- Ьху + су2, которая приведе-
приведена, т. е. для нее выполнены условия
(i) I b l^a^c,
(ii) &2&0, если а равно числу \Ь\ или числу с.
„ . . IT d ^ ^ -Jl ( <Jd
Для такой формы а<1 Д/'з' • ~га*^с*^ 2~~ I и Даже с >J2~.
если d ф 4j; более того, устанавливается, что число Nq(x)
пар (tn^ n) s ZXN*, таких что q(m, n)^x, равно нулю для
х <-^— (и даже для х < с) и что имеет место неравенство
Vd"/2
ДЛЯ
Исходя из предшествующего, множество Qd квадратич-
квадратичных форм из Qd, являющихся приведенными, имеет мощ-
мощность, равную п, и если обозначить через a(q) первый коэф-
коэффициент такой формы q, то дзета-функция поля К при
записывается в виде
„ = otid V (m, n)mZXH*
Числа классов мнимых квадратичных полей
223
откуда выводится тождество
A.3.2)
SBs)
• - x (p) .
- I
?(m, n)"
n, n)sZXN*
ЮД. (m, n)=l
1
1.4. To обстоятельство, что число классов h мало для неко-
некоторого поля К большого дискриминанта, выражается в том
явлении, что «много небольших простых чисел остаются не-
неразложимыми в О». Вводя такую мультипликативную функ-
функцию X: N*-»-{—1,1}, что А,(р) = —1 для любого простого
числа р, это можно выразить, сказав, что «для большого
числа небольших целых чисел п имеет место Х(п) = %(п)у>.
Вот два количественных выражения предыдущих качествен-
качественных утверждений:
а) Если простое число р разложимо в К, то имеет место
рл>-^ действительно, тогда существует простой идеал р
кольца О, нормы р; идеал рл главный, порожденный элемент
вида
_ а2 + db2
— 4
Ьл/d
v
d
4
b) положим
где ceZ и 6eN*, и мы имеем рЛ =
-= V vnn~s. Имеет место V
n<(Vd/2)
это вытекает из равенства A.3.2) и из элементарных свойств
квадратичных форм, которые мы вкратце напомнили в 1.3.
2. МОДУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ ВЕСА 2
2.1. Ассоциированный ряд Дирихле (см. [S—D, В])
Для краткости будем называть нормализованной новой
формой веса 2 и уровня N новую форму (в смысле, исполь-
используемом в loc. cit.) / = 2 anqn (где q = e2aix) веса 2 для
группы ГО(АО, являющуюся собственной функцией операто-
операторов Гекке Тр (р % N) и первый коэффициент которой а\ ра-
оо
вен 1. Тогда ассоциированный ряд Дирихле L(f, s)= X ann~s
имеет разложение в эйлеровское произведение
B.1.1) L(f, s)= П A -а„р-Г' П A -арр-' + р'-*).
Р | N р\ Ы

224
Ж- Остерле
Имеем | ар | ^ 2 л/р для любого простого числа р. Когда р2
делит N, ар есть нуль; когда N кратно р, но не р2, ар
равно 1 или —1.
Существует такое ее{-1, 1}, что / (-^-) = — s.Nx2f (т).
Функция s*-*-Ns/2Bn)~sT (s)L(f, s) продолжается до целой
функции Л(/, s) на С, быстро убывающей на бесконечности
в любой вертикальной полосе и удовлетворяющей функцио-
функциональному уравнению Л(/, 1—s) = eA(/, s). Когда N не
делится на квадрат, то имеем е = — Ц (— а„).
2.2. Скручивание квадратичным характером (см. [Vi])
Пусть / — нормализованная новая форма веса 2 и уров-
уровня N (см. 2.1) и % — квадратичный (примитивный) характер
Дирихле кондуктора d. Тогда существуют целое число
Nx ^ 1 и такая нормализованная новая форма / ® % веса 2
и уровня Nx, что ap(f<8>%) равняется ap(f)%(p) почти для
всех простых чисел р (здесь an(f) обозначает /г-й коэффи-,
циент Фурье функции /). При этом данные условия опреде-
определяют Nx и /®х единственным образом; /®х называется
скрученной формой формы / при помощи характера %.
Когда наибольший общий делитель чисел N и d2 свобо-
свободен от квадратов, Nx есть наименьшее общее кратное чи-
чисел N и d2 и мы имеем а„(/®%)= an(f)x(n) для любого
целого п~^\, а постоянная е(/®х)> участвующая в функ-
функциональном уравнении для A(f®%,s), задается формулой
е(/®х)=-х(-1) П (-а„х(<0);
эта формула записывается еще проще, как е(/®%) =
= %(—^V)«(/)t если d взаимно просто с N.
2.3. Ряд Дирихле L (Sym2f, s)
оо
Пусть /=2-ап^п — нормализованная новая форма веса 2
и уровня N (см. 2.1). По аналогии с 2.2 обозначим через
оо
L(f<8>k, s) ряд Дирихле ? а„Х (п) n~s, где X: N*->{—1, 1}
является мультипликативной функцией, введенной в 1.4.
Положим
B.3.1) L(Sym2f, s)= П (l-
Pi N
f, s/2)
, s/2).
Числа классов мнимых квадратичных полей
225
Имеем (см. [Sh])
B.3.2) ^(Sym2/, s)= П A+р'-5Г'Е a2«"s. '
pfJV n=l
Функция A(Sym2/, s) = NsBn)~sГ(s)n~sl2Y(s/2)L{Sym2f, *¦)
продолжается, до целой функции (см. [Sh] и [G — J]). На
основании результата Огга ([Ogg], с. 304)
B.3.3) A(Sym2/, 2) = Л
Д-WO " .";.
где DQ(N) обозначает фундаментальную область группы
Го (А/) на полуплоскости Пуанкаре.
Когда N свободно от квадратов, функция A(Sym2/,.s)
удовлетворяет функциональному уравнению ([Ogg], тео-
теорема 6)
B.3.4) A(Sym2f, 3-s) = A(Sym2f, s). _
(Это можно распространить на случай, когда N имеет дели-
делителями квадраты, если подходящим образом усовершенство-
усовершенствовать. эйлеровские сомножители для простых, делящих N;
ем. [G — J].)
3. ПРИНЦИП ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
В этом пункте К обозначает мнимое квадратичное поле,
—d — его дискриминант, Х=( )—ассоциированный
квадратичный характер. Предположим, что d > 4. Если
оо оо
А— 2 апп~* и В=Е bnn~s суть два ряда Дирихле, то
л=1 п-1
обозначение А^В означает, что |а„|^&„ для всех n~&z\.
Предположим, нам известны ряды Дирихле Ч! и G
и вещественное число М > 0, удовлетворяющие следующим
условиям::
-lf и
в частности, Ч* (соответственно G) абсолютно сходится для
Re(s)> 1 (соответственно для Re(s)>.3/2).
(С2) Ряд Дирихле G обладает эйлеровским произведением
ЦОР, где для каждого простого числа р множители Gp(s)
'"-" -йй^+»й-где - "'¦ *¦ *'суть комп"
лексные числа абсолютной величины ^-VP-
8 Зак. 506

226
Ж. Остерле
СЗ) Функция dsy(s)W(s)G(s), где y{s) = MsT(sJ, про-
продолжается до целой функции на С, быстро убывающей на
бесконечности в каждой вертикальной полосе, инвариантной
относительно подстановки s-»-2 — s и обладающей при s = 1
нулем порядка ^3 (а значит, порядка ^4, принимая во
внимание функциональное уравнение).
(С4) Функция W обладает голоморфным продолжением
на окрестность полуплоскости {s|Re(s)^l}, имеет простой
нуль при s = l, а функция yW быстро убывает на бесконеч-
бесконечности в любой вертикальной полосе упомянутой полупло-
полуплоскости.
Мы собираемся в этом пункте показать, что в таком слу-
случае можно эффективным способом мажорировать d как
функцию от h = h(—d), W и М. Мы увидим в п. 4, как моду-
модулярные формы веса 2 позволяют построить описанные выше
W, G и М и выведем из оценок, полученных в этом пункте,
теорему Голдфилда.
Э.1. Основное равенство
а
В качестве отправного пункта заметим, что для а > -^
имеет место равенство
О+/ОО
C.1.1)
5
or-ioo
Действительно, если со обозначает подынтегральную диффе-
0+ < оо 1 + ( та
ренциальную форму, то \ со = \ со на основании тео-
0-1 оо 1-! оо
ремы о вычетах, и этот последний интеграл есть нуль, ввиду
того, что со удовлетворяет функциональному уравнению.
Для произвольного вещественного U ^ 1 положим
C.1.2)
C.1.3).
G(U, s)= П Gp{s),
П
Обозначим через J(U) интеграл \ ds~ly(s)xP(s)G(s, U)(s—
— 1)~3 -тЛ" и определим аналогичным образом /(?/*)> так что
C.1.1) примет вид
C.1.4) /(?/) = -
Числа классов мнимых квадратичных полей 227
3.2. Исследование интеграла J (U)
Рассмотрим ориентированный путь Д, изображенный на
чертеже, при этом ц ^ 1/4 и ц' выбраны достаточно малыми
так, чтобы f и G были голоморфными в области, содержа-,
щейся между Д и прямой {s|Re(s) = а}.
1—п
1+iT)'
Принимая во внимание теорему о вычетах, мы имеем
(см. (С.4))
C.2.1) J(U) = ClG(U, 'ffii}
где С\ (соответственно Сг) обозначает значение при s = 1
функции (соответственно логарифмической производной
функции) sи->^-^—р^- и где Ji(U) есть интеграл, анало-
о ~™
гичный интегралу J(U), но подсчитанному по пути Д. Суще-
Существует такая постоянная с3 > 0, зависящая только от W
и от М, например с3= \ |v(s)^f (s){s — 1)~3|-^^
что имеем
C.2.2)
/, s)\.
3.3. О некоторых интегралах
Лемма 1. Пусть пг — целое число >2, а < б — веществен-
a+i оо
ные числа. Тогда х ь-> / (х) = \ x~s (s — a)~m ~r — положи-
положительная функция на R+. Она является убывающей и выпуклой,
если а > 0.
Действительно, I (х) равняется выражению х~
для х ^ 1 и числу 0 для
8*
, _...

228
Ж. Остерлв
В предположениях леммы 1 пусть щ, ..., \хг — положитель-
положительные меры на R+, для которых функция /¦—*f интегрируема.
Положим
"V/ (!</<>•, Re(s)«e) и
а+1
0—1 оо
Благодаря теореме Фубини из леммы 1 получаем, что верна
Лемма 2. Интеграл J есть положительная функция на R+
Она выпуклая и убывающая, если а ^ 0.
В отображениях, которые мы рассматривали, меры \х,
являются либо образами при гомеоморфизме /н->/"' мер
вида e~*t~u~l с и<а в случае чего мы имеем fi/(s) = r(s—и),
оо
либо имеют вид ? а/»5п, где б„ есть мера Дирака в точке п,
a (an)nsN, —семейство таких положительных вещественных
чисел, что семейство (апп~а) суммируемо; в этом случае \it(s)
равна сумме
ann~s.
Лемма 3. Пусть ^ A ^ j^r) — положительные меры на R*,
удовлетворяющие тем же условиям, что и \it, мы определим
Г по (i/ тем же способом, что и J. Предположим, что для
X X
любого дс>0 верно неравенство \\1,([0, /])Л< \ (i/([0, t])dt,
о о
и пусть а > 0. Тогда интеграл J мажорируется интегралом /'.
Достаточно разобрать случай, когда щ отличается от [^
только для одного индекса /. Тогда, ввиду теоремы Фубини,
мы приходим к случаю, когда г равно 1. Но в этом случае
мы имеем /(дс) = ^ l{xt)\iv J' (x) = \ / (xt) \i'p и функция t*~*
h-^I(xt) является положительной, убывающей и выпуклой
на R+ (лемма 1). Отсюда вытекает лемма, если принять во
внимание условия, наложенные на \х{ и \i\.
Примеры. 1) Пусть q — приведенная квадратичная форма
дискриминанта d (см. 1.3). Если ц — сумма мер Дирака
Ь . n) ((w, n) e Z X N*)? а ^' — мера, являющаяся суммой
Числа классов мнимых квадратичных полей
229
меры — *V3/2 и меры плотности -Ц= по отношению к мере
Лебега на Ig-' + °°J' то для любого х > 0 имеет место
И.). Для l
(Г- о
имеем (x(s)= -^ q(m, n)~s и d'(s) = | -^
(m. n) s Z X N*
ow
2) Пусть v —мера ? б„, а v'— сумма меры Дирака б,
л-1
в точке 1 и меры Лебега на [1, + °°[, и пусть ц и ц' —
образы мер v и v' при отображении / •—»^. Для любого
/>0 справедливо неравенство v([0, /])^v'([0, /]), откуда
И([0, Ф<М.'([О, 0) Для всех / > 0. Для Re(s) = o>l имеем
= CBs) и d'(s) = - s
3.4. Оценка величины \J(U')\
Для оценки величины \J(U*)\ будем исходить из следую-
следующего выражения интеграла /(?/*) (получаемого из опреде-
определения при помощи замены переменной ( ))
любого о > 1
C.4.1)
'j))* Ддя
5
О—(
На основании леммы 2 из 3.3 интеграл
Т
в—2оо
положителен для любого х > 0, так что мы имеем
C.4.2)
_3
A.
а—< оо
для любого ряда Дирихле ф, абсолю.ио сходящегося по s
при R2 (s) > 1 и такого, что ? (s + ¦{¦) О (и\ s + ~j <f(s).
На основании условия (С1) и формул C.1.3) и A.3.2) это нера-
неравенство можно использовать, в частности, если в качестве ф

230
Ж. Остерле
взять ряд Дирихле, полученный возведением в квадрат ряда
2 (а (<l)~s ? Bs) + X q(fn, n)~s\ с последующим
ored V (т. n)sZXN* /
исключением в результате членов, имеющих вид a (q)~s X
'2
Принимая во внимание лемму 3 и примеры 1 и 2 из 3.3,
мы увеличиваем член в правой части неравенства C.4.2),
когда в выражении ряда ф заменяем
на
a{q)-sa(qTs на U~s (при a(q)a(qr)>U),
X q(m, n)~s на
(m, n)e=ZXN*
j -—f-tfcT''2 (для каждой формы q e= Qrded).
Таким образом, получается следующая оценка:
C.4.3) W)l</i + /i + /a.
где мы положили, обозначая через h число классов поля #,
o+i оо
C.4.4) /,-*' J
\
0-ioo
0+1 оо
C.4.5) /2 =
C.4.6) и-±»,
r a-ioo
Предложение 1. а) Имеем
^е с*= 96"-
Ь) Имеем ,
~
—y=^Hlog-— + 3 J ,
a(</)"', гае с5 = -^
A2
с) Яжеел* У3<с6-?=-> sde c6 = 4л2еМ3/2 sup B, logDAf)).
Числа классов мнимых квадратичных полей
231
Легко проверить, используя теорему о вычетах и [Zi],
с. 371, что для любого х > 0 и любого е > 0 (при а>1)
имеют место следующие неравенства:
0+1 оа
Л- (. -i
C.4.7) \
0-too
a+!oo _3
C.4.8) J •-i. (,_¦?.)-.*.< 8*.
al
a+iao
C.4.9, j
a—loo
O—ioa
o+a—i
+( oo
) X (s - 1 - e) (e -
1 +
1
S 2
_o
—
„1+е
Используя теорему Фубини
а) заключаем из C.4.7), что /[ мажорируется произведе-
произведением величины
—=¦ на значение при s = — выражения
1 «Л,/- , uV^V
?W (s+т) (тг)
1 V/'dAIV
и элементарная выкладка показывает, что это выражение
записывается в виде -^g- Р flog Г7~ J у ' где Р~УнитаРныи
многочлен 4-й степени, и что член 1-й степени этого много-
многочлена @ ^ / ^ 3) мажорируется числом с&~ , откуда и выте-
вытекает а);
Ь) заключаем из C.4.8), что /2 мажорируется величиной
cbh
a(q)-\ где с5=
--2JLA!*;
с) заключаем из C.4.9), что J3 мажорируется при любом
;>0 величиной 4^M3/T(f+8Y^. Взяв в каче-
(
V2
стве е число, обратное к sup B, log DЛ0), получаем, что
^е, откуда и вытекает с).

232 Ж. Остерлв
3.5. Выбор числа U и вспомогательная теорема
Возьмем в качестве и число I —^—I , где т есть такое
наименьшее целое число, что пг2 + пг
у, если h Ф 4,
и т=у, если Л = 4. При таком выборе имеет место
Лемма 1. Существует не более одного простого числа
разложимого в К', если такое р существует, то
^\ . Наибольший простой делитель числа 4 строго
больше числа U.
Если р и р' меньше числа U и разложимы в К, то
,_s ^ Zk (s) и рУ ^ ^— Для любой такой пары
1 — р 1 — р 2
(/, /') еN2, что l + 1'^m' — [m]. На основании 1.4, Ь), отсюда
выводится неравенство 1 + 2т' + 2т' + 4 т т0 ~
которое противоречит определению числа т. Второе утвер-
утверждение было доказано в 1.4, а). Наконец, если Т — число
простых делителей числа d, то известно (см. [Б — Щ], III § 8),
что 2Т~1 делит ft, откуда заключаем, что Т^2т. Поскольку
либо d, либо -у свободно от квадратов и по крайней мере
один из простых делителей числа d ограничен сверху выра-
жением [-г) . а значит, и числом и, и легко проверяется,
что равенство никогда не имеет места.
Обозначим через P(d) множество простых делителей
числа d, за исключением наибольшего из них, и положим
l/=f— J . На основании леммы 1, формулы A.3.2) и
условий (С1) и (С2) из начала п. 3, имеем:
C.5.1) 1< ^ aO7)~'<<Xi Д A+у)'где
C.5.2) G(U, \)>аг Д
psP(d)
GP(\)
— 03, где аз =
Числа классов мнимых квадратичных полей
и в обозначениях из 3.2
t<«- П «'-p-"''-
233
Теорема 3. Предположим, что d^e50 (и, значит,
и | log M К 47. Тогда
-с П О-р")'
ps.PKd.~i
С^ = С1 — Ъ' 10" ,
Элементарные выкладки показывают, что в предполо-
предположениях теоремы имеют место следующие оценки: U^50
у а и l^i
h(log_d)< ^J_, Тогда из 3.2 и неравенств C.5.2), C.5.3),
¦у U 340
C.5.4) мы заключаем, что
C.5.5) |/(?/•)!< а,А Д (l + ~) (с5 + -gfc + e~^c6) .
Из 3.2 и неравенств C.5.2), C.5.3), C.5.4) выводим, что
C.5.6)
psPW)
+ Е
-тсг- П о-^
Первое неравенство теоремы получается из равенства /(?/*) =
== —/(С/) (см. 3.1) и оценок C.5.5) и C.5.6), если принять
0"
во внимание, что — < 1 + 10 , а3 < 3 • 10" ,
+ 1,5- 10.

234
Ж. Остерле
Второе получается, если заметить, что для каждого про-
простого числа р, делящего d, Gp(s) имеет вид A — ctp"s) X
X(l + Pp~~s), где а, р являются комплексными числами
абсолютной величины ^Vp (см- (С1) и (С2)).
3.6. Заключение. Пусть Ж — семейство мнимых квадра-
квадратичных полей и S) — множество таких d, что — d является
дискриминантом поля КеХ. Предположим, что известны
вещественное число М > 0, ряд Дирихле W и, для каждого
поля К^Ж, ряд Дирихле GK удовлетворяющие условиям
(С1) — (С4) из начала этого пункта (относительно поля К).
Поскольку постоянные С; A :%: i sg 9), введенные в этом пунк-
пункте, зависят только от М и f, но не от Gk и, стало быть, не
от К, то теорема 3 позволяет для любого h ^ 1 мажориро-
мажорировать эффективным образом те d^.2D, для которых h(—d)=h.
В частности, мы имеем:
a) Для любого г > 0 существует такая эффективно на-
находимая постоянная С(в)>0, что для любого deO имеем
h{—d)^ С (г) (log d) '-e.
Действительно, из теории родов квадратичных форм
([Б — Ш, III, § 8) известно, что если Т обозначает число
простых делителей числа d, a CI — группу классов идеалов
поля Q(-\/—&)> т0 2-группа GI/2CI имеет порядок 2Т~1.
В частности, Card (Р (d)) = Т — 1 < ^|^ • а это позволяет
вывести только что приведенное утверждение из теоремы 3.
b) Для любого целого числа Т ^ 1 существует такая эф-
эффективно находимая постоянная В(Г)>0, что h(—d)^
^B{T)\ogd для любого ds2), имеющего не более Т про-
простых делителей.
c) Если de2) простое (а это, когда d > 8, равносильно
нечетности числа h(—of)), то
50
l?i
Cl
(log d + c8 - c9)).
4. ПОСТРОЕНИЕ ХОРОШЕЙ МОДУЛЯРНОЙ ШОРМЫ
4.1. Пусть f — нормализованная новая форма веса 2
и уровня N (см. 2.1). Полагаем М = -т-? и ^E) =
= L(f, s)L{f<8X, s) (см. 2.3). Обозначим через Ж~й множе-
множество мнимых квадратичных полей, дискриминант которых
взаимно прост ciif и ассоциированный квадратичный харак-
характер % которых удовлетворяет условию х(— Л^) = 1, или, что
одно и то же, х {Щ = — 1. Для такого поля К положим
k, s)~l (см. 2.2).
Числа классов мнимых квадратичных полей
235
Предложение 2. Условия (С1) — (С4) из начала п. 3 вы-
выполняются для М, W, GK, если функция L(f,s) имеет при
s = 1 нуль порядка 3
Это тотчас же выводится из свойств модулярных форм,
упомянутых в п. 2. В частности, тот факт, что знак в функ-
функциональном уравнении функции dsy(s)W(s)GK(s) = A(f, s)X
XA(/®x>s) равен +1, вытекает из того факта, что значе-
значение %(—N) равно 1 (см. 2.2).
Предложение позволяет применить результаты п. 3.6
к семейству квадратичных полей Жп- В полученных таким
образом оценках снизу наиболее важной постоянной явля-
является -1у-!-(см. теорему 3); она, вообще говоря, очень близка к
-*-^-, и полученные нижние границы окажутся тем лучше,
чем больше будет эта постоянная. На основании B.3.3),
B.3.1) и определения постоянных С\ (см. 3.2) и с5(см. 3.4,
предложение 1,Ь)) имеем
с,~2л ДA-p-V \\ f(r)fjxj\dr Ad~r\, c5 = ^-N3l\
р\ы о, W)
4.2. Представленные выше результаты распространяются
на мнимые квадратичные поля, дискриминант которых не
взаимно прост с N, но ассоциированный характер х таков,
что е(/<8>х) = 8(/) (обозначения из 2.2). Для выполнения
условий (С1) — (С4) из пункта 3 необходимы следующие не-
небольшие усовершенствования; возьмем в качестве W ряд Ди-
Дирихле, имеющий такие же эйлеровы сомножители, как и
L(f, s)L(f®X,s) для тех простых чисел р, для которых р2Ч"
-Г НОД (N, d2), и такие же эйлеровы сомножители, как и
L{f,s)Hj®%,s), для остальных простых чисел. Положим
NN
GK(s) = L(f,s)L(f®%,s)W(s)-i иМ = -/. где Nx обозна-
обозначает уровень формы /®х (когда К меняется, М пробегает
конечное множество).
4.3. Способ, которым работы Гросса и Загира позволяют
проверить, что для конкретных форм / веса 2 ряд L(f,s)
имеет при s= 1 нуль порядка ^3, был описан во введении.
Детали можно узнать в [G — Z]. Здесь мы довольствуемся
описанием такой ситуации: эллиптическая кривая Ео с урав-
уравнением у2 + у = х3 + х2 — 23л: — 50 есть кривая Вейля кон-
кондуктора 37 и ранга нуль (см. [Ма]), и ассоциированная
модулярная форма /0 является единственной новой формой
веса 2 и уровня 37, для которой fo(—З7т") = — ^т2/0(т).

236
Ж. Остерле
Кривая Еи получаемая из Ео «скручиванием при- помощи
—139», есть кривая Вейля кондуктора 37.1392 и ранга 3,
а ассоциированная модулярная форма есть f\ = fo&%o, где
/ — 139 \
5Со = I )• Гросс и Загир проверили, что L(fi,s) имеет
при s=l нуль порядка 3. Постоянные в(/о) и e(/i) соот-
соответственно равны 1 и хо(—37) =1. Пусть х— квадратичный
характер, ассоциированный с мнимым квадратичным полем
дискриминанта — d. Если %(—37) отлично от нуля, то
e(/i®x) = 8(/o®XoX) = XoX(-37) = -x(-37).. Если х(~37)
есть нуль, то мы имеем e(/t <8> х) = е(/о® ХоХ) = — ХоХ(—1)==
= — 1 (см. 2.2). Стало быть, всегда e(/i <8>x) = s(/i)> кроме
случая, когда %{—37) равно —1, т. е. случай, когда
^C7)= 1. Но в этом случае log -г ^ h log 37 на основа-
основании 1.4, а). Когда хC7) равняется —1 или 0, то применима
теория, изложенная в 4.1 или в 4.2. В качестве Ч' надлежит
взять функцию
4?(s) = L(fu s)L(f{®X,s),
что дает нам
(f0 <g> XoX. «).
1 ±4139~s+ 13918, если 139 jd
и (ХоХ)A39)=±1,
1, если 139-Г of,
а в качестве М можно взять число
1, если 37-Г d,
4я2
где
Р
если 139 -Г d,
1/2, если 37 \d n H~ll, если 139 \d.
Это доказывает теоремы 1 и 2 во всех случаях.
( 2,
1 1,
0. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
5.1. В [М —W] Монтгомери и Вайнбергер показали, что
число классов мнимого квадратичного поля дискриминанта
—d отлично от 3, если 907 < d < 102500. Можно поставить
вопрос, будут ли числовые константы, появляющиеся в тео-
теореме Голдфельда, достаточно малы, чтобы показать, что
/i(—d)^=3 для of>102500. Вычисления позволяют с самого
начала предвидеть, что такой результат нельзя будет полу-
получить, если использовать модулярную форму fit введенную
в 4.3, но, наоборот, этот результат можно было бы получить,
воспользовавшись функцией L эллиптической кривой, опре-
определенной над Q кондуктора 5077 и ранга 3, найденной Ме-
Числа классов мнимых квадратичных полей
237
строи. Тогда осталось бы проверить, что эта кривая есть
кривая Вейля, а это как раз не просто... ')
5.2. Знание перечня мнимых квадратичных полей, имеющих
число классов, равное 1, 2 или 4, позволило бы составить
таблицу (конечную) чисел neN', которые допускают ровно
одно представление в виде п = х2 + у2 + г2, где. х^у.^
^ z ^ 0. Это выводится из формулы Гаусса — Эрмита, дают
щей число таких представлений числа п.
5.3. Знание перечня мнимых квадратичных полей, имеющих
число классов ^ft (h —^заданное целое число), позволяет
составить таблицу (конечную) немаксимальных порядков в
мнимых квадратичных полях, группа классов обратимых мо-
модулей в которых имеет порядок, меньший, чем h (см.
[Б-Ш], с. 278, упр. 20).
5.4. Теорема 3 слишком слаба, чтобы дать возможность
определить дискриминанты, для которых каждый род квад-
квадратичных форм (с целыми коэффициентами и положительно
определенных) содержит единственный класс, и, в частности,
составить таблицу (конечную, на основании теоремы Зи-
геля) «удобных чисел» Эйлера (см. 1ос. ей., с. 273).
ЛИТЕРАТУРА
[Bal Baker A. A remark on the class number of quadratic fields Bull
London Math. Soc. 1 A969), 98—102.
Б-Ш1 Боревич 3 И, Шафаревич И. Р Теория чисел, М, 1985.
Bui Buell D. A. Small class numbers and extreme values of L-function
of quadratic fields, Math, of Сотр. 31 A977), 786—796.
[Ga] Gauss С F. Disquisitiones arithmeticae, Leipzig, 1801. (Имеется пе-
перевод: Гаусс Карл Фридрих. Труды по теории чисел, М., 1959.)
[G-J] Gelbart S., Jaquet H A relation between automorphic representations
of GLB) and GLC), Ann. Sci. E. N. S. D) 11 A978), 471—542.
[G-Z] Gross В., Zagier D Points de Heegner et derivees de fonctions L
С R. Acad. Sci. Paris 297 A983), 85—87.
[Hel Heegner K. Diophantische Analysis und Modulfunktionen, Math Z
56 A952), 227—253.
fHeil Heilbronn H. On the class-number in imaginary quadratic fields
Quarterly J. of Math. (Oxford) 5 A934), 150—160.
[Go] Goldfeld D. M. The conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and
the class numbers of quadratic fields, Journees Arithmetiques de
Caen, Asterisque 41—42 A977), 219-227.
FM-W1 Montgomery H. L., Weinberger P. J. Notes on small class numbers
Acta Arithmetica 24 A973), 529-542.
fOggl Ogg A. P. On a convolution of L-series, Invent. Math. 7 A969)
297-312.
') Но тем не менее было доказано Местром в [1*]. В [2*] он указы-
указывает на оценки числа классов h(—d), позволяющие решить вопрос о полях
q h = 3. В частности, для простых rflog 4< 55Л(—d). — Прим. ред.

238
Ж- Остерле
[Sh] Shimura G. On the holomorphy of certain Dirichlet series, Proc. of
the London Math. Soc. 31 A975), 79—98.
[Si] Siegel C. L. Ober die Classenzahl quadratischer Zahlkorper, Acta
Arithmetica 1 A936), 83—86.
[S-D, B] Swinnerton-Dyer H. P. F., Birch B. J. Elliptic curves and modular
function, in: Modular Functions of One Variable IV, Lect. Notes in
Math. 476, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York, 1972.
[Stl] Stark H. M. There is no tenth complex quadratic field with class-
number one, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 57 A967), 216—221.
[St2J Stark H. M. On the «gap» in a theorem of Heegner, J. Number Theo-
Theory 1 A969), 16—27.
[St3] Stark H. M. On complex quadratic fields with class number two,
Math. Сотр. 29 A975), 289—302.
[Та] Tatuzawa Т. On a theorem of Siegel, J. of Math. 21 A951), 163—
178.
[Vi] Vigneras M.-F. Valeur au cetre de symetrie des fonctions L associees
aux formes modulaires, Seminaire Delange—Pisot — Poitou 1979—
80, Birkhauser.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1*] Mestre J.-F. Courbes de Weil de conducteur 5077, C. R. Acad. Sci. Pa-
Paris, 1985, t. 300, № 15.
[2*] Mestre J.-F. Courbes de Weil et courbes supersingulieres, Seminaire de
Theorie des Nombres de Bordeaux, Annees 1984—1985, ex. № 23.
РАБОТА Б. ГРОССА И Д. ЗАГИРА1) О ТОЧКАХ
ХЕГНЕРА
И ПРОИЗВОДНЫХ L-РЯДОВ2)
Джон Коутс
Университет Париж — Юг, О рее
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Задача нахождения группы рациональных точек на эл-
эллиптической кривой, определенной над полем Q, является
одной из старейших и труднейших в математике. В общем
случае она остается нерешенной и по сей день,хотя имеется
обширная литература, посвященная ее решению для боль-
большого числа конкретных кривых. Наиболее трудная часть за-
задачи состоит в явном построении рациональных точек на
кривой, когда имеются экспериментальные или теоретиче-
теоретические основания предполагать, что такие точки должны су-
существовать. Типичный пример, восходящий к временам гре-
греков и арабов, это вопрос о том, когда данное целое положи-
положительное число В является площадью прямоугольного тре-
треугольника с рациональными сторонами. Легко показать, что
ответ иа этот вопрос положительный, если и только если на
эллиптической кривой
A) у2 = х3-В2х
существует рациональная точка бесконечного порядка (или,
эквивалентно, рациональная точка (х, у), для которой уфО).
Имеются веские основания предполагать, что на кривой A)
всегда существует рациональная точка бесконечного порядка
в случае, когда В — целое положительное число, сравнимое
с 5, 6 или 7 (mod 8). Действительно, если число В свободно
от квадратов, то гипотеза Бёрча и Суиннертон-Дайера пред-
предсказывает, что ранг группы рациональных точек на кри-
кривой A) нечетен, если В сравнимо с 5, 6 или 7 (mod 8), и
только в этом случае. Ответ даже на этот частный вопрос
о построении рациональных точек бесконечного порядка на
эллиптической кривой 1) лежит, по всей видимости, за пре-
пределами возможностей современной математики.
') В ряде переведенных на русский язык книг и статей использова-
использовалась неправильная транскрипция — Д. Цагир. — Прим. ред.
2) Coates John. The vork of Gross and Zagier on Heegner points and
the derivatives of L-series, Seminaire Bourbaki, 37-e annee, 1984/85, № 635,
1—16.
© Revue Asterisque, 1983

238 Ж. Остерле
[Sh] Shimura G. On the holomorphy of certain Dirichlet series, Proc. of
the London Math. Soc. 31 A975), 79—98.
[Si] Siegel С L. Ober die Classenzahl quadratischer Zahlkorper, Acta
Arithmetica 1 A936), 83—86.
[S-D, B] Swinnerton-Dyer H. P. F., Birch B. J. Elliptic curves and modular
function, in: Modular Functions of One Variable IV, Lect. Notes in
Math. 476, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York, 1972.
[Stl] Stark H. M. There is no tenth complex quadratic field with class-
number one, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 57 A967), 216—221.
[St2J Stark H. M. On the «gap» in a theorem of Heegner, J. Number Theo-
Theory 1 A969), 16—27.
[St31 Stark H. M. On complex quadratic fields with class number two,
Math. Сотр. 29 A975), 289—302.
[Та] Tatuzawa Т. On a theorem of Siegel, J. of Math. 21 A951), 163—
178.
[Vi] Vigneras M.-F. Valeur au cetre de symetrie des fonctions L associees
aux formes modulaires, Seminaire Delange — Pisot — Poitou 1979—
80, Birkhauser.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1*] Mestre J.-F. Courbes de Weil de conducteur 5077, С R. Acad Sci Pa-
Paris, 1985, t. 300, № 15.
[2*] Mestre J.-F. Courbes de Weil et courbes supersingulieres, Seminaire de
Theorie des Nombres de Bordeaux, Annees 1984—1985, ex. № 23.
РАБОТА Б. ГРОССА И Д. ЗАГИРА1) О ТОЧКАХ
ХЕГНЕРА
И ПРОИЗВОДНЫХ L-РЯДОВ2)
Джон Коутс
Университет Париж — Юг, О рее
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Задача нахождения группы рациональных точек на эл-
эллиптической кривой, определенной над полем Q, является
одной из старейших и труднейших в математике. В общем
случае она остается нерешенной и по сей день,хотя имеется
обширная литература, посвященная ее решению для боль-
большого числа конкретных кривых. Наиболее трудная часть за-
задачи состоит в явном построении рациональных точек на
кривой, когда имеются экспериментальные или теоретиче-
теоретические основания предполагать, что такие точки должны су-
существовать. Типичный пример, восходящий к временам гре-
греков и арабов, это вопрос о том, когда данное целое положи-
положительное число В является площадью прямоугольного тре-
треугольника с рациональными сторонами. Легко показать, что
ответ иа этот вопрос положительный, если и только если на
эллиптической кривой
A) у2 = х3-В2х
существует рациональная точка бесконечного порядка (или,
эквивалентно, рациональная точка (х,у), для которой уфО).
Имеются веские основания предполагать, что на кривой A)
всегда существует рациональная точка бесконечного порядка
в случае, когда В — целое положительное число, сравнимое
с 5, 6 или 7 (mod 8). Действительно, если число В свободно
от квадратов, то гипотеза Бёрча и Суиннертон-Дайера пред-
предсказывает, что ранг группы рациональных точек на кри-
кривой A) нечетен, если В сравнимо с 5, 6 или 7 (mod 8), и
только в этом случае. Ответ даже на этот частный вопрос
о построении рациональных точек бесконечного порядка на
эллиптической кривой 1) лежит, по всей видимости, за пре-
пределами возможностей современной математики.
') В ряде переведенных на русский язык книг и статей использова-
использовалась неправильная транскрипция — Д. Цагир. — Прим. ред.
2) Coates John. The vork of Gross ard Zagier on Heegner points and
the derivatives of L-series, Seminaire Bourbaki, 37-e annee, 1984/85, № 635,
1-16.
© Revue Asterisque, 1983

240
Дж. Коутс
Еще в 19 в. было известно, что можно строить решения
уравнения Пелля, используя значения либо круговых функ-
функций, либо значения ^-функции Дедекинда. Хегнер в работе
[11] впервые успешно использовал значения эллиптических
модулярных функций для построения рациональных точек
на эллиптических кривых. В той же работе Хегнер впервые
эффективно нашел все мнимо квадратичные поля с числом
классов 1. После периода непонимания и забвения идеи Хег-
Хегнера привлекли внимание Бёрча [1], [2|, 13}, который су-
существенно прояснил и дополнил их. Важность этих работ
Хегнера и Бёрча состоит в том, что в них впервые устанав-
устанавливается существование рациональных точек, бесконечного
порядка на некоторых эллиптических кривых над полем Q
без явного выписывания координат этих точек и проверки
того, что они в действительности удовлетворяют уравнению
кривой. Рациональные точки, которые строятся при помощи
метода Хегнера — Бёрча, называются точками Хегнера на
эллиптической кривой (точное определение будет дано позд-
позднее). К сожалению, и это уже было ясно в пионерских ра-
работах Хегнера — Бёрча, точки Хегнера не всегда имеют бес-
бесконечный порядок. В попытке преодолеть эту трудность Беря
и Стефенс провели обширные вычисления (результаты кото-
которых с большим опозданием и лишь частично были опубли-
опубликованы в [4]) и пришли к следующим поразительным гипо-
гипотезам:
(i) Точки Хегнера на эллиптической кривой над Q имеют
бесконечный порядок, если и только если ранг группы ра-
рациональных точек на кривой равен 1.
(и) Если L-ряд Хассе — Вейля эллиптической кривой об-
обращается в нуль в точке s = l, то существует замкнутая
формула для значения в точке s = 1 его первой производ-
производной, в которую входит произведение стандартного сомножи-
сомножителя, отвечающего ненулевому периоду, и сомножителя, от-
отвечающего канонической высоте Нерона — Тейта точек
Хегнера эллиптической кривой1).
§ 2. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ
Перейдем теперь к рассмотрению работ Гросса и Загира
[8], [9], которые содержат существенное продвижение в до-
доказательстве гипотез Бёрча и Стефенса и в некотором смы-
смысле идут дальше. На самом деле как конструкция точек
Хегнера, так и основной результат Гросса — Загира, в дей-
действительности являются утверждениями о модулярных фор-
') Имеется в виду, что 1'A) не равняется нулю. — Прим. ред,
Работа Б. Гросса и Д. Загира о точках Хегнера
241
мах (следовательно, они применимы только к тем эллипти-
эллиптическим кривым над Q, которые входят в качестве изогенных
факторов в якобиево многообразие модулярной кривой
Xo(N)). Фиксируем некоторое целое число N > 1. Напом-
Напомним, что X0(N)— это кривая над Q, параметризующая
классы эквивалентности пар (?, -^U. Е2) обобщенных эллип-
эллиптических кривых Ei и Еч, связанных изогенией а, ядро ко-
которой является циклической группой порядка N. Следуя
Бёрчу [3], определим точку Хегнера на X0(N) как класс
эквивалентности, содержащий пару (?, -^> Е2), такую что
кольцо эндоморфизмов как Е\, так и Е2 изоморфно одному
и тому же порядку О в мнимом квадратичном поле К. Что-
Чтобы иметь большой запас точек Хегнера на кривой X0(N),
мы должны варьировать как мнимое квадратичное поле К,
так и порядок (У в К- Однако для простоты изложения
в настоящем докладе мы рассмотрим только те точки Хег-
Хегнера, которые удовлетворяют следующим предположениям.
Предположение A. (i) О есть максимальный порядок К,
(ii) дискриминант D поля К взаимно прост с N,
(ш) каждый простой делитель числа N расщепляется
в К.
Из условия (iii) следует, что существует 2Г целых идеа-
идеалов п в поле К, таких что факторкольцо (У/п является цик-
циклической группой порядка N; здесь г обозначает число раз-
различных простых делителей N. В этом случае легко видеть,
что точки Хегнера кривой X0(N) соответствуют парам вида
(С/а->- С/ап"). гДе п — такой целый идеал, что 0/n^+Z/NZ,
а а — произвольный целый идеал поля К. В действитель-
действительности такая точка зависит только от выбора /С, л и образа
идеала а в группе классов идеалов поля К. Точки Хегнера
кривой Xq(N) рациональны над полем Н = КЦ(О)), где / —
классический /-инвариант решетки в комплексной плоскости.
Согласно теории комплексного умножения, Н есть гильбер-
гильбертово поле классов для К (т. е. максимальное неразветвлен-
ное абелево расширение К), и гомоморфизм Артина опреде-
определяет изоморфизм между группой классов С1К поля К и груп-
группой Галуа G поля Н над К- Действие группы G на точках
Хегнера может быть явно описано; в частности, G действует
просто и транзитивно на тех точках Хегнера, которые соот-
соответствуют фиксированному целому идеалу п со свойством
0/nczZ/NZ.
Основной результат Гросса и Загира дает замкнутое вы-
выражение для значения в точке s = 1 первой производной от
L-ряда, являющегося сверткой Ранкина двух модулярных
9 Зак. 506

242
Дж. Коутс
форм. В качестве одной модулярной формы берется любая
со
модулярная форма /= ? o.nqll(q = eisliz), принадлежащая
векторному пространству, порожденному над С примитив-
примитивными параболическими формами (т. е. новыми формами в
терминологии [16]) веса 2 относительно подгруппы Tq(N)ci
cSL2(Z) (напомним, что T0(N) состоит из всех матриц
(а Ь\
I I e SL2 (Z), р = 0 (mod N)). В качестве другой моду-
модулярной формы возьмем 8-ряд, соответствующий мнимому
квадратичному полю К и произвольному элементу о из
группы Галуа G = Ga\(H/K). Этот 8-ряд строится следую-
следующим образом. Пусть С (а) —класс идеалов поля К, соответ-
соответствующий а при изоморфизме Артина. Выберем целый
идеал а в классе С(а) и Z-базис (Ь, (fe идеала а. Тогда квад-
квадратичная форма
О (х и)-
Ча (X, У) —
Ш1±ЛЫ.
является целочисленной и имеет дискриминант D, равный
дискриминанту поля К. Кроме того, класс эквивалентности
этой квадратичной формы относительно действия группы
SL2(Z) зависит только от выбора автоморфизма а. Пусть
w — число корней из 1 в поле К и в— характер Дирихле
по модулю D квадратичного расширения K/Q. Как показал
Гекке [10], 8-ряд
-Qa(m,n)
(m, n) e Z!
является модулярной формой веса 1 с характером в относи-
относительно ro(D), т. е. она голоморфна во всех точках компак-
компактифицированной верхней полуплоскости и удовлетворяет со-
соотношению
B)
для всех
¦CD
: Го (D). Для каждого целого п.
обозначим через га(п) число целых идеалов с нормой, рав-
равной п, в классе с(о), и положим га@) = аг"'. Так как
га(п) = га-[ (п) (потому что комплексное сопряжение пере-
переводит класс идеалов в обратный к нему в группе С1К), то
%(z)=Z ra(n)qn.
n-l
Работа Б. Гросса и Д. Загира о точках Хегнера
243
L-ряд, детально изученный Гроссом и Загиром, в полу-
полуплоскости 7?(s)>3/2 определяется следующей формулой:
C)
La(f,
&, 2s-
л-1
anra(n)n->,
где L/f (e, s) по определению получается после выкидывания
из эйлеровского произведения для L-ряда Дирихле, отвечаю-
отвечающего характеру е, сомножителей Эйлера, соответствующих
всем простым делителям числа N. Как мы объясним позд-
позднее, метод Ранкина показывает, что функция La(f,s) допу-
допускает голоморфное продолжение на всю комплексную пло-
плоскость и обращается в нуль в точке s=l. Существенно но-
новый результат, содержащийся в работе Гросса и Загира, —
это доказательство замечательной замкнутой формулы для
первой производной в точке s=l от La(f,s) в терминах
точек Хегнера на кривой Xo(N), соответствующих полю К.
Точки Хегнера входят в эту формулу через их каноническую
высоту, фундаментальное арифметическое понятие, принад-
принадлежащее Нерону и Тейту. Напомним кратко определение
канонической высоты. Предположим, что N таково, что кри-
кривая Xo(N) имеет род g ^ 1, и пусть / — абелево многообра-
многообразие, определенное над Q, которое является якобианом кри-
кривой X0(N). Таким образом, группа /(Q) Q-рациональных
точек многообразия / отождествляется с группой Q-рацио-
Q-рациональных дивизоров степени 0 на кривой X0(N) по модулю
линейной эквивалентности. Построим вложение
D)
Ф:
определенное над полем Q, в проективное пространство раз-
размерности 2е— 1. Для этого напомним, что тэта-характери-
тэта-характеристика О на кривой Xo(N) есть класс дивизоров степени
g — 1, определенный над Q, такой что 2?) есть канонический
класс на X0(N). Пусть W обозначает образ (g—1)-й сим-
симметрической степени кривой Xo(N) в группе классов диви-
дивизоров степени g—1 на X0(N). Тогда Q = W — Сесть обиль-
обильный и симметричный дивизор на /, и класс дивизора 2G
в группе Пикара многообразия / не зависит от выбора D
и определен над полем Q. Линейное пространство Я°(У, 2в)
имеет размерность I = 28, и выбор базиса х\, .... xt в этом
пространстве задает вложение D). Для каждого конечного
расширения F поля Q обозначим через МР множество всех
нормирований поля F, нормализованных условием
П | а |0 = 1 для всех «еР, Каноническая высота точки
ее Мр

244 ч Дж. Коуте
Р <= J(F) определяется как предел
fiP(P)= ton Л У max {log\х,(пР) |„}.
*->- "„is, ¦<'<*
Можно показать, что этот предел существует и определяет
положительно определенную квадратичную форму HF:
J(F)®R-+R. Пусть < , )Р: J(F)X J(F)-+R — симметриче-
симметрическая билинейная форма, соответствующая НР, т. е.
Существование билинейной формы < , >F позволяет строить
параболические формы веса 2 относительно Го(ЛО при по-
помощи следующей элементарной леммы. Для каждого целого
m ^ 1 обозначим через Tm m-e соответствие Гекке на кри-
кривой Xo(N), которое определяется по формуле
.с
где х = (?i-^>Е2), сумма справа берется по всевозможным
подгруппам С порядка т в Еи которые пересекаются с
Кега только по нулевому элементу, и хс = (Е1/С -^ Ез/а(С)).
Это соответствие индуцирует Q-эндоморфизм абелева мно-
многообразия /, который будет обозначаться также через Тт.
Пусть Т — коммутативная Q-подалгебра в Endp (Jo (N)) <g>Q,
которая порождена Тт для всех m ^ 1.
Лемма 1. Пусть задано Q-линейное отображение
ф: Т —> С. Тогда существует параболическая форма ?ф
веса 2 относительно V0{N), разложение Фурье которой имеет
вид ?ф = 2j Ф (Тп) Ят- Кроме того, для каждого I'
m—l
I имеем
E)
Доказательство леммы будет приведено в § 3. Обозначим
через (оо) рациональную точку на кривой X0(N), соответ-
соответствующую параболической вершине на бесконечности (на-
(напомним, что комплексные точки кривой Xo(N) отождествля-
отождествляются с фактором компактифицированной верхней полупло-
полуплоскости по действию группы T0(N)). Через х будем обозна-
обозначать некоторую точку Хегнера на кривой Xq{N), соответ-
соответствующую полю К, а через | — точку в У (Я), определяемую
классом дивизора (х) — (оо). Для каждого аеE из леммы 1
Работа Б. Гросса и Д. Загира о точках Хегнера
245
следует, что
B)- S (l,Tmla)Hqn
m-l
является параболической формой веса 2 относительно Го(ЛО-
Нетрудно показать, что с точностью до прибавления старой
формы веса 2 относительно ГО(ЛО Ra(z) зависит только от
N, D и а, а не от выбора точки Хегнера х. Нормируем ска-
скалярное произведение Петерсона для ro(iV) следующим об-
образом:
xdy,
S SiB
Го(ЛО-ф
интеграл берется по фундаментальной области группы Го(ЛО.
действующей на верхней полуплоскости ф. Мы, наконец, мо-
можем сформулировать основной результат Гросса и Загира.
Теорема 2. Пусть f принадлежит векторному простран-
пространству, порожденному над .Q примитивными параболическими
формами веса 2 относительно Го(ЛО. Тогда для всех веб
справедливо равенство
где 2u = w равняется числу корней из 1 в поле /С.
Доказательство теоремы 2, принадлежащее Гроссу и За-
гиру, является длинным и трудным. Оно основано на удиви-
удивительно красивых и тонких вычислениях в духе лучших мате-
математических традиций 19 в. В оставшейся части этой статьи
мы дадим лишь набросок основных идей, лежащих в основе
этих вычислений.
Хотя техника, развитая для доказательства теоремы 2,
представляет, несомненно, самостоятельный интерес, ее ос-
основное значение заключается в многочисленных арифмети-
арифметических приложениях, относящихся к L-функциям с эйлеров-
ским произведением. Пусть
V = J(H)®C.
Согласно теореме Морделла — Вейля, пространство V явля-
является конечномерным над С. Спаривание < , >я, задаваемое
канонической высотой, определяет эрмитово скалярное про-
произведение на V:
(p®a,Q®b)H = ab(P,Q)H (e,isC).
Кроме того, пространство V снабжено естественными дей-
действиями как группы Галуа G, так и алгебры Гекке Т. Обо-

246
Дж. Коутв
значим через G (соответственно Т) группу всех комплекс-
комплексных характеров G (соответственно Т). Действие алгебры Т
самосопряжено относительно введенного выше скалярного
произведения и коммутирует с действием группы G. Следо-
Следовательно, имеются разложения
'= © Vх,
Vх =
vx.
X. Р
на изотипичные компоненты. Важное подмножество в Т за-
задается примитивными нормализованными параболическими
формами веса 2 относительно To(N) (т. е. новыми формами
веса 2 относительно Го(Л^), первый коэффициент Фурье ко-
торых равен 1). Если /= ? anqn — такая форма, то соот-
ветствующий характер алгебры Т переводит Тт в ат для
всех т~^\. До конца этого параграфа будем предполагать,
что f — примитивная нормализованная параболическая фор-
форма веса 2 относительно To(N). Для каждого характера %<=G
положим
L(f,X,s)= Z X(o)Lg(f, s).
de a
Этот L-ряд всегда представляется в виде эйлеровского про-
произведения (эйлеровское произведение соответствует тензор-
тензорному произведению двух /-адических представлений группы
Галуа поля Q над Q: одно, связанное с модулярной формой
/, а другое — с представлением индуцированным характером
%). Кроме того, хорошо известно (см. [6]), что выполняется
следующее функциональное уравнение:
где A(f,%,s) = (ND)sBn)-2sr(sJL(f,x,s). В частности,
L(f,%,s) имеет нуль нечетного порядка в точке s=l. На-
Напомним, что х обозначает точку Хегнера на кривой X0(N),
и | — точка /(Я), задаваемая классом дивизора (х) — (оо).
Положим
так что lx e Vх-
Теорема 3. Пусть f — примитивная нормализованная па-
параболическая форма веса 2 относительно To(N).
Тогда
Работа Б. Гросса и Д. Загира о точках Хегнера
247
Ь,к — проекция ?fc на f-изотипичную компоненту про-
пространства V = /(Я)®С:, и h обозначает число классов ди-
дивизоров поля К.
Заметим, что 8n2(f,f)N равняется периоду интеграла
|| (о/ II = ^ (of л «Of, где (Of = 2nif B) dz.
Пусть Ш = п 2 %(o)Ro- Чтобы вывести теорему 3 из тео-
сте G
ремы 2, мы должны показать, что (},Ш)М= (f,f)N<.lf, кЬ, О»-
Это равенство является формальным следствием леммы 1
и G-инвариантности спаривания, задаваемого канонической
высотой (напомним, что G = Gal(H/K)). Мы опускаем
детали.
Хотя теорема 3 носит общий характер и может быть при-
применена к простому фактору якобиана 71), соответствующему
произвольной примитивной параболической форме, ее наибо-
наиболее интересные приложения связаны с эллиптическими кри-
кривыми над Q, которые встречаются в разложении J. Пусть
Е — эллиптическая кривая, определенная над Q. Для каж-
каждого простого р (независимо от того, является ли редукция
кривой Е хорошей или плохой) обозначим через Np число
точек на редукции Е кривой Emodp, которые рациональны
над Z/pZ,. Положим
Напомним, что L-ряд Хассе — Вейля кривой Е над Q опре-
определяется через эйлеровское произведение
где N
L{E, s)
) Д A -
(p,N)-l
обозначает кондуктор кривой Е (см. [13]). Пусть
оо
== X ann~s • Назовем Е модулярной эллиптической
1
кривой над Q, если / (г) — Л anqn является примитивной
параболической формой веса 2 относительно Го(Щ. Если
кривая Е модулярна, тогда функция
0
Л (Е, s) = BяГ Г E) L (E, s) = \ f (iy) y'
-f-
l) J изогенно над Q произведению Q -простых абелевых многообра-
многообразий. — Прим. ред.

248
Дж. Коутс
является целой и удовлетворяет функциональному урав-
уравнению
F)
Л (Е, s) = wENl-*A (?, 2-s), mE = ± 1.
Важной нерешенной проблемой остается вопрос: какие эл-
эллиптические кривые над Q являются модулярными? А. Вейль
и Танияма выдвинули гипотезу, что любая эллиптическая
кривая над Q является модулярной. В настоящее время эта
гипотеза проверена для большого числа кривых с кондукто-
кондуктором N ^ 500. Теоретически всегда возможно за конечное
число шагов решить, является ли данная эллиптическая кри-
кривая модулярной, однако для кривых с достаточно большим
кондуктором вычисления становятся практически неосуще-
неосуществимыми. Единственный общий класс эллиптических кри-
кривых над Q, про который известно, что он состоит из моду-
модулярных кривых, — это кривые с комплексным умножением
(например, кривая A) для всех BeQ*). Приведем теперь
наиболее важные следствия теоремы 3 для модулярных эл-
эллиптических кривых над Q. Если Е— такая кривая, то обо-
обозначим через Е{К) группу /С-рациональных точек на Е, а че-
через L(E/K,s) — L-ряд Хассе — Вейля для кривой Е над К.
Теорема 4. Пусть Е — модулярная эллиптическая кривая
над Q с кондуктором N. Пусть К — мнимое квадратичное
поле с дискриминантом D, причем (D, N) = 1 и каждый про-
простой делитель числа N расщепляется в поле К. Тогда
L {Е/К, s) обращается в нуль в точке s — 1 и, если этот нуль
является простым, группа Е(К) содержит точку бесконеч-
бесконечного порядка.
Чтобы вывести теорему 4 из теоремы 3, положим L(E, s) =
оо оо
¦= ? ann~s> так что f B) = Ш anQn является примитивной
параболической формой веса 2 относительно Г0(Л0. Возьмем
в качестве х тривиальный характер Хо группы Галуа G.
Пусть L(E{e), s) = ? an&(n)n~s, где е обозначает характер
KIQ. Тогда
G)
L(E/K,
, s)L{&*\ s) =
0, s).
Следовательно, если L(E/K,s) имеет простой нуль в точке
s = 1, то из теоремы 2 вытекает, что ?f.Xo— ненулевой эле-
элемент в J(K)® !?. Таким образом, выбирая ненулевой гомо-
гомоморфизм из / в Е, мы получаем, что образ if, Хо в Я (/С)® С*
является ненулевым, что и требовалось показать.
Работа Б. Гросса и Д. Загира о точках Хегнера
249
Если Е — эллиптическая кривая над Q, то обозначим
через
(,)BiQ: E(Q)XE(Q)-*R
спаривание на Е, задаваемое канонической высотой (опре-
(определение которой совершенно аналогично определению высоты
для /; аналогом вложения D) служит я-координата в урав-
уравнении Вейерштрасса над Q для кривой Е).
Теорема 5. Пусть Е — модулярная эллиптическая кривая
над Q, такая что L(E,s) обращается в нуль в точке s = 1.
Тогда существует такая рациональная точка Ре?(Q), что
(8)
>, P)E.
Q,
где a — некоторое ненулевое рациональное число, QE — ве-
вещественный период определенного над Q ненулевого диффе-
дифференциала первого рода на Е. В частности, если L(E,s) имеет
простой нуль в точке s = 1, то группа ?(Q) содержит точку
бесконечного порядка.
Чтобы вывести равенство (8) из теоремы 3, мы сначала
заметим, что в глубокой теореме Вальдспургера [14] дока-
доказывается существование (бесконечного числа) полей К, удов-
удовлетворяющих условиям теоремы 4 и таких, что L(?(8>, \)ф 0.
Так как мы можем считать, что L(E,s) имеет простой нуль
в s = 1 (иначе возьмем Р = 0 в (8)), то для таких полей К
мы получаем, что L(f,%0,s) имеет простой нуль в s = 1, где
Хо — тривиальный характер группы классов идеалов поля К-
Из теоремы 3 следует тогда, что if, ъ является ненулевым
элементом в J(K)<S>C С другой стороны, gf,Xo лежит на
самом деле в /(Q)<8>C. Это легко следует из того факта, что
f\ja>N = ft где 10^B) = —-щ-, который в свою очередь сле-
следует из того, что L(E, s) имеет простой нуль в s = 1. Ра-
Равенство (8) устанавливается теперь выбором ненулевого го-
гомоморфизма из У в ? и функториальных свойств канонических
высот, а также из хорошо известных свойств алгебраичности
!(?<•>, 1).
Излишне говорить, что равенство (8) согласуется со свой-
свойствами алгебраичности, предсказанными гипотезой Бёрча —
Суиннертон-Дайера. Однако действительная важность тео-
теоремы 5 состоит в том, что она дает первый существенный
сдвиг в положительном решении проблемы построения ра-
рациональных точек на эллиптической кривой, определенной
над Q. Даже для функциональных полей результаты такого
сорта были прежде неизвестны. Следует также подчеркнуть,

250
Дж. Коутс
что теорема 5 очень полезна для практических вычислений,
так как значение производной Lf(E, 1) (если оно =^0) может
быть легко вычислено с использованием стандартных быстро
сходящихся рядов.
С другой стороны, ясны и ограниченные возможности при-
применения теоремы 5. Когда L{E,s) имеет нуль в точке s= 1
кратности >1, то теорема 5 не дает никакой информации
о существовании рациональных точек бесконечного порядка
на Е. Даже когда L(E,s) имеет простой нуль в точке s= 1,
остается недоказанным, что ранг кривой ?(Q) равен 1. На-
Наконец, совсем не легко доказать теоретически, что L (E, s)
имеет простой нуль в s= 1, когда это предсказывается стан-
стандартными гипотезами. Например, для каждого простого
числа р == 5mod 8 стандартные гипотезы предсказывают, что
L-ряд кривой
(9) у* = х* + рх
должен обращаться в нуль в точке s = 1 с кратностью, рав-
равной в точности 1. Было бы интересно доказать это, так как
не всегда легко найти рациональную точку бесконечного по-
порядка на этой кривой при помощи элементарной теории
спуска. Когда р = 877, то как показано в [5], образующая
(по модулю кручения) группы рациональных точек на кривой
(9) имеет .«-координату
„_ 375494528\27162193105504069942092792346201
6215987776871505425463220780697238044100
которая дает некоторое представление о трудностях «наив-
«наивного» подхода для нахождения рациональных точек беско-
бесконечного порядка на эллиптических кривых.
Теорема 6. Существует модулярная эллиптическая кривая
Е над Q, такая что L (E, s) имеет нуль в точке s = 1 крат-
кратности 3.
Пусть Е — модулярная эллиптическая кривая над Q, для
которой знак в функциональном уравнении для L(E,s) ра-
равен — 1. Если точка Р, построенная в теореме 5, окажется
равной нулю в группе ?(Q)®Q, то, как следует из (8),
L-ряд L(E,s) будет иметь нуль в точке s = 1 кратности ^3.
На самом деле, Гросс и Загир доказали, что точка Р равна
нулю для кривой
— Шу2 = х3 + Юх2 — 20*+ 8,
которая, как известно, имеет ранг 3. Из результатов Голд-
фельда (доказательство которых было значительно упрощено
Работа Б. Гросса и Д. Загира о точках Хегнера
251
Остерле в [17]) следует, что теорема 6 дает решение клас-
классической проблемы эффективного нахождения всех мнимых
квадратичных полей с заданным числом классов1).
§ 3. НАБРОСОК ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 2
Сначала скажем несколько слов о доказательстве лем-
леммы 1. Пусть 5 — векторное пространство, порожденное над Q
параболическими формами веса 2 относительно To(N) с ра-
рациональными коэффициентами Фурье. Действие алгебры
Гекке Т на 5 является точным, так как пространство 5
отождествляется с кокасательным пространством в нулевой
точке якобиана J/Q. Утверждение леммы 1 есть почти не-
немедленное следствие следующего факта. Спаривание TXS-+-
-»-Q, которое сопоставляет каждой паре (t, g) первый коэф-
коэффициент Фурье функции t(g), является невырожденным спа-
спариванием Q-векторных пространств (использовать определе-
определение спаривания и точность действия алгебры Гекке на 5).
Доказательство теоремы 2 основано, во-первых, на методе
Ранкина аналитического продолжения L-рядов Lq(f,s) и, во-
вторых, на теории Нерона [12], дающей разложение гло-
глобальной высоты на якобиане J/H в сумму локальных ком-
компонент. Доказательство весьма непрямое, по существу тео-
теорема 2 оказывается справедливой, поскольку никакое другое
утверждение не может выполняться. Оно получается после
сравнения результатов двух удивительно красивых и далеко
не тривиальных вычислений, одно из которых имеет арифме-
арифметическую природу и связано с вычислениями локальных высот
на Xo(N), а другое, чисто аналитическое, связано с методом
Ранкина. Как показали Гросс и Загир, в результате вычис-
вычислений оказывается, что обе части равенства в теореме 2
сводятся к одному и тому же очень сложному и загадочному
выражению. Мы не имеем возможности подробно изложить
эти замечательные вычисления, и поэтому ограничимся лишь
их кратким описанием. Чтобы упростить следующие далее
формулы, мы сделаем
Предположение
D = — р, где р > 3 — простое число, р = 3 mod 4.
Теория Нерона (см. также [7]) доказывает существова-
существование для каждого нормирования v поля Я единственного
локального символа <а, Ь>0 со значениями в R. Этот символ
определен для пары взаимно простых дивизоров а, Б степени
нуль на кривой X0(N) над локальным полем Я». Локальный
1) По этому вопросу см. доклад Остерле (с. 219—238) в настоящем
сборнике. — Прим. ред.

252
Дж. Коутс
символ характеризуется биаддитивностью, симметричностью,
непрерывностью, и когда один из дивизоров является глав-
главным, задается формулой
<«, Ь)о = Zmp log \g(P)\0,
р
где л=^тр(Р) и Ъ является дивизором функции g. В ра-
р
боте [7] определение локальных символов распространяется
на пары а, Ь не обязательно взаимно простых дивизоров сте-
степени 0 и объясняется, по крайней мере теоретически, как эти
символы можно вычислять. Связь между локальными сим-
символами и спариванием, соответствующим глобальной высоте,
задается простой формулой:
(Ю) <а, р>я= ? <а,Ь>в,
где а, Ь — произвольные дивизоры степени нуль на кривой
Xo(N) над полем Я, а а, Р — соответствующие точки яко-
якобиана /(Я). Пусть теперь х — точка Хегнера на кривой
X0(N), соответствующая полю К, и положим а = (х) — (оо),
Ь = (л) — @). Поскольку класс дивизора @) — (оо), как изве-
известно, имеет конечный порядок в /(Я), то для всех целых
т ^ 1 выполняется равенство
(t,Tmi)H= ? <«, tjX
IE Mjj
где, как и прежде, % обозначает класс а в /(Я). К сожале-
сожалению, у нас нет возможности изложить подробно чрезвычайно
интересные вычисления локальных символов <а, ТпЪауо, про-
проведенные в работе [9] (отметим только, что дивизоры а и
ТтЪа взаимно просты тогда и только тогда, когда га(т) = 0).
Окончательный результат формулируется следующим образом.
Напомним (см. [15], гл. 15), что функция Лежандра вто-
второго рода
- 'Г' dt (R (s) > -
-1
удовлетворяет дифференциальному уравнению
A - г2) у" - 2zyr + s (s + 1) у = 0.
12 = Y1 'eg?
Положим % = ¦
где ^ пробегает все простые делители числа W. Пусть
где С — постоянная Эйлера. Обозначим через 8{т) функцию,
Работа Б. Гросса и Д. Загира о точках Хегнера
253
которая принимает значение 1 или 2 в зависимости от того,
делится ли на р число m или нет. Обозначим через р(т)
сумму р(т) = Z с, а через t(s) — дзета-функцию Римана.
Теорема 7. Для каждого m ^ 1 значение <1, Тт%аУн за-
задается формулой
if" log d.
Перейдем теперь к краткому описанию аналитического
подхода, используемого при вычислении L'a{f, 1) методом
Ранкина. Ряды Эйзенштейна
(m, n)
(m, п)
допускают как функция s голоморфное продолжение на всю
комплексную плоскость и как функция г Ge(z,s) является
неголоморфной модулярной формой веса 1 с характером е
относительно Т0(р). Классическими рассуждениями получаем
следующее интегральное представление для функции:
Z(s) = {4nrsT(s)La(f, s).
Предложение 8. Пусть Ф(г, s) = Qa(z)Ge(Nz, s) и M = Np.
Тогда
Uf, Ф(г,3-1))м = т
Г
Hz)<l>{z,s-l)dxdy.
Г0()ф
Напомним, что для каждой (возможно, неголоморфной)
модулярной формы g веса 2 для Г0(ЛГ) след g относительно
ro(N) определяется по формуле

254
Дж. Коуто
где W обозначает множество представителей правых клас-
классов смежности группы ro(iV) по подгруппе Го(М).
Предположим теперь, что s вещественное, и положим
A2) O(z, s) = Tr(O(z, s-1)).
Из предложения 8 следует, что
Поскольку La(f, s) обращается в нуль в точке s=l, то
A3) L'a(f, 1) = 2я(/, Ъ(г))„, где Ч>B) = ^-Q(z, s)U-i-
Важный этап при доказательстве теоремы 2 — это вычисле-
вычисление ряда Фурье функции i|)(z), хотя технически это очень
трудная задача. Определим функцию
Y(u)=\ е-ихх~Ых.
Предложение 9. Имеем "ф(г) = ? bm(y)qm, где
m«=Z
Ьт (У) = hra (m) (log (Npy) + 2Ле - С) -
mp/N
ra-l
(«p + nN) 6 (n) Y
d\n
Обозначим через 9Л (соответственно 91) пространство не-
неголоморфных модулярных форм (соответственно простран-
пространство голоморфных параболических форм) веса 2 относи-
относительно Го (АО- Напомним, что оператор голоморфного проек-
проектирования— это единственное линейное отображение П: Зй-»-
-*¦&, удовлетворяющее условию
iw, ё)н = (а». п{g))N для всех tue^.
Для того, чтобы дать аналитическую формулу для дей-
действия оператора П на коэффициенты Фурье модулярной
формы, мы введем подмножество SlcrSW, состоящее из всех
таких форм ge9Jt, что для каждого y^SL2{Z) существует
е > 0, для которого
A4) (g\tf)(z) = O(y-*) для г-* too.
Лемма 10. Предположим, что g= ? cm(y)qm принад-
m<=Z
Работа Б. Гросса и Д. Загара о точках Хегнера
255
лежит множеству Ш. Тогда U{g)= ? cmqm, где
l
m=-l
cm = 4ят X'lim \ e-4jtm''yscm (г/) dy.
Другая техническая трудность состоит в том, что форма
if>(z)e9Jt не принадлежит подпространству 91. Весьма изобре-
изобретательное рассуждение, используемое для преодоления этой
трудности, состоит в следующем.
Для каждого делителя е > 0 числа N введем функцию
Е.(г, s) =
(cz + dy | cz ¦
|2s
где XT' обозначает суммирование по всем парам целых чи-
чисел (с,<i)mod± 1, удовлетворяющих условиям (с, d)= I, e\c
и (c/e,N/e)= 1. Эти ряды Эйзенштейна допускают продол-
продолжение на всю s-плоскость. Положим
Ее (г) = Ее (z, 0), Fe{z) = 4sE° <2> s> l-o-
Предложение 11. Пусть
Тогда фе31и п (ф) = П (-ф).
В силу A3) и того факта, что f принадлежит простран-
пространству, порожденному примитивными формами веса 2 относи-
относительно Го (АО, для завершения доказательства теоремы 2
остается вычислить коэффициенты Фурье функции Щф).
В результате технически трудных вычислений имеем
ОО
Предложение 12. Предположим, что П(ф)= ? cmqm.
m=-l
Тогда для каждого целого m~^\, (m, N) = 1 имеем: коэф-
коэффициент -j^- cm задается формулой A1) из теоремы 7.
Я благодарен Б. Гроссу, Д. Загиру и Р. Колмецу за их
помощь при подготовке этого доклада.
ЛИТЕРАТУРА
[11 Birch В. Diophantine analysis and modular functions, Proceedings of
Bombay Colloquium on Algebraic Geometry 1968, 35—42.
[21 Birch B. Elliptic curves and modular functions, Symposia Mathematica
1970, 27—32.
[3] Birch B. Heegner points of ellyptic curves, Symposia Mathematica
A975), 441—445.

256
Дж. Коутс
[4] Birch В., Stephens N. Heegner's construction of points on the curve
y* = x3— 1728e2, Progress in Mathematics Vol. 38 A983), 119.
[5] Cassels J., Bremmer A. On the equation y2 = x(x2 + p). Math, of Com-
Computation vol. 42 A984), 257—264.
[6] Gross B. Heegner points on Xo(M), to appear in Proceedings of the
Durham conference on Modular Forms 1983.
[7] Gross B. Local Heights on Curves. Arithmetic Geometry, Berlin, Sprin-
Springer, 1986, p. 327—340.
[8] Gross В., Zagier D. Points de Heegner et derivees de fonctions L, CRAS
297 A983), 85—87.
[9] Gross В., Zagier D. The heights of Heegner points and the derivatives
of L-series. Invent. Mathem., N 84, 1986, 225—320.
[10] Hecke E. Zur Theorie der elliptischen Modulfunctionen, Math. Werke,
428—460.
[11] Heegner K. Diophantische Analysis und Modulfunctionen, Math. Zeits-
chrift 56 A952), 227-253.
[12] Neron A. Quasi-functions et hauteurs sur les varietes abelien nes, Ann.
of Math. 82 A965), 249—331.
[13] Tate J. The arithmetic of elliptic curves. Invent. Math. 23 A974), 179—
296.
[14] Waldspurger J.-L. Correspondance de Shimura et Quaternions, to ap-
appear.
[15] Уиттекер Э. Т., Ватсои Г. Н. Курс современного анализа. Перев. с
англ. Ч. 1. —М.: ГОНТИ, 1933; Ч. 2. —М: ГОНТИ, 1934.
[16] Atkin A., Lehner J. Hecke operators on Г0(т). Math. Ann., vol. 185
A970), 134—160.
ДОПОЛНЕНИЕ РЕДАКТОРА
Карл Рубин [1*] получил недавно следующие поразительные резуль-
результаты, существенно дополняющие работу Гросса и Загира. Пусть К — мни-
мнимое квадратичное поле с числом классов 1 и Е — эллиптическая кривая
над Е, имеющая комплексное умножение из поля /(. Кривой Е отвечает
характер Гекке ф поля К так что Л-функция L(E, s) кривой Е равна
Z-(iJ), s)L$, s). Если ЙеС*- подходящий период кривой Е, то Z.(tJ>,
1)/Q e К. Обозначим через Ш группу Шафаревича—Тейта кривой Е над К
и через Ок кольцо целых поля д.
Теорема I. Если L(E, 1) Ф 0, то группа Ш конечна. Более того, если
простой идеал j поля К не делит #Од и если #?(/()torsion L(V, 1)/Q Ф 0
(mod ))), то ^-компонента группы, Ш тривиальна.
Теорема 2. Если Е — эллиптическая кривая СМ-типа над Q -«
rk?(Q) > 2, то ord._, ЦЕ, s) > 2.
Комбинируя" этот результат с теоремами Коутса — Вайлиса и Грос-
Гросса — Загира получаем для кривых СМ-типа, определенных над Q, что
ords=.iL(E, s) s^ 1 влечет за собой равенство rk E(Q) = ords—iL(E, s).
Методы автора позволяют эффективно находить группу Ш. В частности,
имеем у2 = х3 — х, Ш = @); у2 = х3 + 17*. Ш = Z/2® Z/2; уг=хг — 283*52,
III=Z/3®Z/3. В этих трех случаях также проверяется полная гипотеза
Бёрча — Суиниертон-Дайера для значения L(E, 1).
[1*] Rubin К. Tate—Shafarevich groups and L-functions, of elliptic curves
with complex multiplication, Inv. Math., 1987.
ТЕОРЕМА ФЕРМА: ВКЛАД ФУВРИ')
Жан-Марк Дезуйер
Университет Бордо I, Отделение математики и информатики
1. ВВЕДЕНИЕ
В «теореме» — или проблеме — Ферма утверждается не-
невозможность решения в целых положительных числах урав-
уравнения хп + у" = zn при п ^ 3. Благодаря простоте формули-
формулировки и тому, что Ферма сам разрушил «психологический
барьер», заявив, что располагает доказательством, эта проб-
проблема околдовала многих — как «арифмоманов», так и про-
профессионалов — и стала плодотворным стимулом в развитии
математики (теории алгебраических чисел и особенно поня-
понятия идеала). И наоборот, разные области математики внесли
свой вклад в изучение этой проблемы. Из недавних достиже-
достижений назовем результат о конечности множества примитивных
решений уравнения хп + Уп = zn при фиксированном п ^ 3,
доказанный Фальтингсом средствами алгебраической геомет-
геометрии, и результат о бесконечности множеств простых чисел
I2), таких, что
(l.l) V(x, у, 2)ей х' + у1 + 2' = 0=^хуг = 0(той1),
полученный Эдлманом, Хис-Брауном и Фуври методами,
которые опираются в конечном счете на алгебру, геометрию
и анализ3). Соотношение A.1), имеющее самое прямое от-
отношение к изучению проблемы Ферма, известно под назва-
названием «первый случай теоремы Ферма» для показателя /.
Как установили Эдлман и Хис-Браун A985L), из пред-
') Deshouillers Jean-Marc. Theoreme de Fermat: la contribution de
Fouvry. — Seminaire Bourbaki, 37-e annee, 1984—85, № 648, 01—10.
2) Буквами l и р здесь обозначаются только простые числа.
3) Совсем другой подход к теореме Ферма с помощью алгебро-геоме-
трических методов обнаружил Г. Фрей A986). Ои сопоставил каждому не-
нетривиальному решению уравнения Ферма эллиптическую кривую над Q
обладающую весьма специальными свойствами. К. Рибе A986) показал,
что из гипотезы Хассе — Вейля о дзета-функциях эллиптических кривых
вытекает несуществование кривых с этими свойствами. Это же следует из
арифметического аналога неравенства Богомолова — Мняоки — Яо (см.
Партии А. Н. A987)). См. также дополнение редактора на стр. 268.—
Прим. ред.
*) Дата в скобках следом за фамилией отсылает к работе, указанной
в литературе, и обозначает год ее выхода.
© Revue Asterisque, 1985

256
Дж. Коутс
[4] Birch В., Stephens N. Heegner's construction of points on the curve
y2 = x3— 1728Й2, Progress in Mathematics Vol. 38 A983), 119.
[5] Cassels J., Bremmer A. On the equation y2 = x(x2 + p). Math, of Com-
Computation vol. 42 A984), 257—264.
[6] Gross B. Heegner points on Xo(M), to appear in Proceedings of the
Durham conference on Modular Forms 1983.
[7] Gross B. Local Heights on Curves. Arithmetic Geometry, Berlin, Sprin-
Springer, 1986, p. 327—340.
[8] Gross В., Zagier D. Points de Heegner et derivees de fonctions L, CRAS
297 A983), 85—87.
[9] Gross В., Zagier D. The heights of Heegner points and the derivatives
of L-series. Invent. Mathem., N 84, 1986, 225—320.
[10] Hecke E. Zur Theorie der elliptischen Modulfunctionen, Math. Werke,
428—460.
[11] Heegner K. Diophantische Analysis und Modulfunctionen, Math. Zeits-
chrift 56 A952), 227—253.
[12] Neron A. Quasi-functions et hauteurs sur les varietes abelien nes, Ann.
of Math. 82 A965), 249—331.
[13] Tate J. The arithmetic of elliptic curves. Invent. Math. 23 A974), 179—
296.
[14] Waldspurger J.-L. Correspondence de Shimura et Quaternions, to ap-
appear.
[15] Уиттекер Э. Т., Ватсон Г. Н. Курс современного анализа. Перев. с
англ. Ч. 1. — М.: ГОНТИ, 1933; Ч. 2. — М: ГОНТИ, 1934.
[16] Atkin A., Lehner J. Hecke operators on Г0(т). Math. Ann., vol. 185
A970), 134—160.
ДОПОЛНЕНИЕ РЕДАКТОРА
Карл Рубин [1*] получил недавно следующие поразительные резуль-
результаты, существенно дополняющие работу Гросса и Загира. Пусть К — мни-
мнимое квадратичное поле с числом классов 1 и ? — эллиптическая кривая
над Е, имеющая комплексное умножение из поля К- Кривой Е отвечает
характер Гекке ф поля К так что Л-функция L(E, s) кривой Е равна
Z-(iJ), s)L($, s). Если QeC*- подходящий период кривой Е, то Z.(iJ>,
1)/Q е К. Обозначим через Ш группу Шафаревича—Тейта кривой Е над К
и через Ок кольцо целых поля л.
Теорема I. Если L(E, 1) ф 0, го группа Ш конечна. Более того, если
простой идеал $ поля К не делит #Од и если #?(/() torsion L(V, 1)/Q ф о
(mod у), то ^-компонента группы Ш тривиальна.
Теорема 2. Если Е — эллиптическая кривая СМ-типа над Q -«
rk?(Q) > 2, то ord._t L(E, s) > 2.
Комбинируя" этот результат с теоремами Коутса — Вайлиса и Грос-
Гросса — Загира получаем для кривых СМ-типа, определенных над Q, что
OTds—iL(E, s) ^ 1 влечет за собой равенство rk E(Q) = ords*.iL(E, s).
Методы автора позволяют эффективно находить группу Ш. В частности,
имеем у* = х3 — х, Ш = @); у2 = х? + 17*, II] = Z/2®Z/2; у2=хя — 28г*52,
UI=Z/3®Z/3. В этих трех случаях также проверяется полная гипотеза
Бёрча — Суиннертон-Дайера для значения L(E, 1).
[1*] Rubin К. Tate—Shafarevich groups and L-functions, of elliptic curves
with complex multiplication, Inv. Math., 1987.
ТЕОРЕМА ФЕРМА: ВКЛАД ФУВРИ1)
Жан-Марк Дезуйер
Университет Бордо I, Отделение математики и информатики
1. ВВЕДЕНИЕ
В «теореме» — или проблеме — Ферма утверждается не-
невозможность решения в целых положительных числах урав-
уравнения хп + уп = zn при п ^ 3. Благодаря простоте формули-
формулировки и тому, что Ферма сам разрушил «психологический
барьер», заявив, что располагает доказательством, эта проб-
проблема околдовала многих — как «арифмоманов», так и про-
профессионалов — и стала плодотворным стимулом в развитии
математики (теории алгебраических чисел и особенно поня-
понятия идеала). И наоборот, разные области математики внесли
свой вклад в изучение этой проблемы. Из недавних достиже-
достижений назовем результат о конечности множества примитивных
решений уравнения хп + Уп = zn при фиксированном п ^ 3,
доказанный Фальтингсом средствами алгебраической геомет-
геометрии, и результат о бесконечности множеств простых чисел
I2), таких, что
A.1) V(x, у, z)e=Z3: х! + у1 + z' = 0=^xyz = 0(mout),
полученный Эдлманом, Хис-Брауном и Фуври методами,
которые опираются в конечном счете на алгебру, геометрию
и анализ3). Соотношение A.1), имеющее самое прямое от-
отношение к изучению проблемы Ферма, известно под назва-
названием «первый случай теоремы Ферма» для показателя /.
Как установили Эдлман и Хис-Браун A985L), из пред-
') Deshouillers Jean-Marc. Theoreme de Fermat: la contribution de
Fouvry. — Seminaire Bourbaki, 37-e annee, 1984—85, № 648, 01—10.
2) Буквами l к р здесь обозначаются только простые числа.
3) Совсем другой подход к теореме Ферма с помощью алгебро-геоме-
трических методов обнаружил Г. Фрей A986). Ои сопоставил каждому не-
нетривиальному решению уравнения Ферма эллиптическую кривую над Q
обладающую весьма специальными свойствами. К. Рибе A986) показал,
что из гипотезы Хассе — Вейля о дзета-функциях эллиптических кривых
вытекает несуществование кривых с этими свойствами. Это же следует из
арифметического аналога неравенства Богомолова — Мияоки — Яо (см.
Паршии А. Н. A987)). См. также дополнение редактора иа стр. 268.—
Прим. ред.
*) Дата в скобках следом за фамилией отсылает к работе, указанной
в литературе, и обозначает год ее выхода.
© Revue Asterisque, I985

258
Ж--М. Дезуйер
положения
A.2) Н*о, Нб > 2/3, Яс0 > О, V* > х0: # {р < х \р = 2 [3],
(где Р(я) обозначает наибольший простой делитель числа п)
следует, что соотношение A.1) имеет место для бесконечного
множества простых чисел I. Этот критерий обобщает тео-
теорему Софи Жермен (простое 21+ 1 =*-A.1)); в приложении 1
объяснено, как он выводится из теоремы Вендта. Справедли-
Справедливость гипотезы A.2) установлена Фуври A985).
Неравенство A.2) изучалось и само по себе, независимо
от применения к проблеме Ферма; значение допустимых б
позволяет делать некоторые выводы о распределении про-
простых чисел в арифметических прогрессиях.
Мы начнем с краткого описания успехов в нахождении
значения допустимых б, подчеркивая на каждом этапе вве-
введенное новшество, а затем поясним, в рамках общей теоремы
Бомбьери — Виноградова, каким образом Фуври «перешел»
значение 2/3. Попутно выяснится важная качественная и
количественная роль некоторых идей Иванца. В приложе-
приложении 2 мы совершим небольшую прогулку по залитым солнцем
каменистым тропинкам модулярных форм, с которых время
от времени открывается прекрасный вид на Геометрию и
Анализ.
2. НЕМНОГО ИСТОРИИ, ИЛИ ТЕОРЕМА БРУНА -
ТИТЧМАРША В СРЕДНЕМ
В этом параграфе мы займемся нахождением веществен-
вещественного б > 0, такого, что
B.1) lim # {р ^ z | наибольший простой делитель
числа р — 1 больше *fi} = + °°-
Заметим, что решение этой задачи по уровню трудности ана-
аналогично доказательству гипотезы A.2) Эдлмана и Хис-
Брауна для того же б.
С подобной задачей столкнулся Чебышев при изучении
целых п, для которых п2 + 1 имеет большой простой дели-
делитель. Чебышев свел поставленную задачу оценки снизу к по-
поискам оценок сверху, и той же идеей воспользовался Мото-
хаси A970) для первого определения б, удовлетворяющего
условию B.1).
2.1. Преобразование задачи. Рассмотрим произведение
Д (р — 1)и оценим, с одной стороны, порядок его величины
Теорема Ферма: вклад Фуври
259
и, с другой стороны, вклад простых множителей, не превос-
превосходящих хв.
По теореме о простых числах
я
= #
И х
имеем
откуда
log*
log П(р-1)= Z ?
Р<х Р<х l\p-l
= ? \ogl-n(x; I, 1
n(x; q,a) = -
о(дс),
Таким образом, чтобы доказать B.1), достаточно установить
существование такого вещественного ц > 0, что при доста-
достаточно большом х
? log I • п(х; I, 1)^A — T])x.
2.2. Теорема Бруна — Титчмарша. Для изучения суммы
? d(p— 1) Титчмарш A930) воспользовался решетом Бруна
и доказал, что
B.2) Ve>0, ЯСе, Я*о(е), Yx \
п(х; q, а) ^ С. , ., -г™ .
V Ч> 1^. е f(9)]Og^/9
Решето Сельберга или решето Россера приводят к выпол-
выполнению B.2) с Се = 2 + е. Отсюда следует, что B.1) имеет
место для всех б < 1 — е-°-5 = 0,393 ....
2.3. Теорема Бомбьери — Виноградова. Из расширенной гипо-
гипотезы Римана об L-функциях Дирихле следует, что п(х; q, a)<
< qS'gtiog** РавномеРно ™ q<x^-*, откуда
B.3)
0(е), Yq<xl~e, Va:
х i\
? log/-*(jc;M)<jc/2.
1/2
Каков бы ни был сейчас статус расширенной гипотезы Ри-
Римана, некоторые из ее следствий о распределении простых
') Обратите внимание иа идиосинкразию некоторых специалистов
по теории чисел! Предложение B.2) часто формулируют так: „найдется
такое Се, что п (х; q, a) < С,
и даже так:
8 ф (?) log xjq
равномерно по q < xl~e и а
пп(х; q, a) = Oe
равномерно по q
: *'~Е и а".

260
Ж.-М. Дезуйер
чисел в среднем в арифметических прогрессиях можно дока-
доказать непосредственно. Так же н соотношение B.3) есть след-
следствие знаменитой теоремы Бомбьери — Виноградова A965)
(см. § 3). Объединяя B.3) и B.2), получаем B.1) для всех
б < 1 — уе-°>25 = 0,61059 ...; этот результат принадлежит
Мотохаси A970).
2.4. Теорема Бруна — Титчмарша в среднем. Из теоремы
Бомбьери — Виноградова следует, кроме того, что константа
1/2 в B.3) оптимальна; случай модулей q < ^1/2~e, таким об-
образом, полностью решен. Следующее новшество принадлежит
Хули A973), который указал на возможность улучшить дей-
действие решета путем введения в решето Сельберга суммиро-
суммирования по модулю q. Он показал также, что оценка
имеет место для почти всех q из интервала [jc1/2, jc3'4] в не-
некотором смысле, который мы здесь не уточняем, но который
достаточен, чтобы показать, что B.1) справедливо для всех
б < 5/8 = 0,625. Это нетривиальное исследование остаточ-
остаточного члена решета пустил в ход Мотохаси A974) для оценки
сверху отдельных выражений функции п{х; q, а) в случае,
когда q достаточно велико по сравнению с х; кульминацией
этого подхода стало
2.5. Решето Россера — Иванца A980). Оно описано в до-
докладе 520, обратиться к которому мы просим читателя. Под-
Подчеркнем, что замечательная гибкость этого решета основана
на представлении остаточного члена в виде билинейной фор-
формы, коэффициенты которой допускают теоретико-числовую
интерпретацию (ср. с теоремой 2 на с. 520-09); в § 4 мы приве-
приведем пример применения этого факта, показывающий, каким
образом метод просеивания позволяет свести оценку остаточ-
остаточного члена к оценке тригонометрических сумм, в данном слу-
случае сумм Клостермана
B.4)
5 (т, я; с) =
exp
х, у mod с
ху— l(mode)
Используя свое решето и оценку А. Вейля сумм Клостермана,
Иванец A982) доказал справедливость B.1)) для всех б<
< 0,63810... .
2.6. Суммы Клостермана в среднем. Поскольку суммы Кло-
Клостермана сами входят в среднем (по модулю с и коэффи-
коэффициентам т и п), можно ожидать, что они частично компен-
Георема Ферма: вклад Фуври
261
сируют друг друга. Обходный маневр — обращение к моду-
модулярным формам — позволил Кузнецову A980) и Брюгге-
ману A978) найти такие компенсации, возникающие благо-
благодаря взятию среднего по модулю; Дезуйер и Иванец A982)
обобщили эти результаты (см. приложение 2) и показали
A984), что B.1) имеет место для всех б < 1 — — g-3/8=
= 0,65635... .
Теперь мы подходим к вкладу Фуври, который увеличил
оценку для б, удовлетворяющих B.1), до 0,65785 и, наконец
A985), движимый проблемой Ферма, до 0,6687 > 2/3.
3. ПОКАЗАТЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ФЕНОМЕН ЧЕТНОСТИ
8.1. Определение. Пусть а = {а\, ..., ап, •¦•}—последова-
•¦•}—последовательность вещественных чисел, такая, что |ая| = 0е(п8) при
всяком е > 0. Говорят, что ос есть показатель распределения
для последовательности а, если Ve > 0, УЛ > 0, Va e N:
C.1) ^ ^ - а
Из теоремы Бомбьери— Виноградова
VA > 0, НВ, ЯС, V*
Z I
sup max
Сх
(log*/
следует, что для функции — индикатрисы простых чисел 1/2
является показателем распределения. Заметим, что гипотеза
Римана не дает ничего большего, а гипотеза Монтгомери
^ Ux+O (q~
я(х; q, a) =
показывает, что допустим показатель 1 (гипотеза Эллиотта
и Хальберштама). Значение 1/2 является критическим и за-
зависит непосредственно от участия в доказательстве большого
решета; зато оно является весьма общим: как установил
Мотохаси A976), если две последовательности а и b допус-
допускают 1/2 в качестве показателя распределения, то этим свой-
свойством обладает и их свертка а * b = 1.,., X ad>u •..]¦•
3.2. Фуври и Иванец A980) получили первый существенный
результат с показателем распределения, большим 1/2. Речь
идет о последовательности целых чисел, не имеющих малых
простых делителей (р | п => р ~> л1/883), аналогичной по своей

262
Ж-М. Дезупер
структуре последовательности простых чисел. В своей диссер-
диссертации Фуври значительно развил этот метод. Он показал, что
если последовательности dk(dk(n) — Е П имеют при
V n,...nk-n )
3 <: k <: .12 показатель распределения больше 1/2, то это так
не только для любой последовательности dk, но и для^ после-
последовательности простых чисел. Это многообещающий путь,
так как задачу о последовательностях dk можно свести к
оценке тригонометрических сумм в среднем по модулю.
3.3. Исходная идея состоит в том, чтобы рассматривать по-
последовательность а, свернутую из двух последовательностей
а и р, и свести оценку левой части C.1) к исследованию вы-
выражений вида
Е=
<[<?]
(ml, q) -1
где
fe обозначает E •
Такого рода «билинейные» выражения встречаются в ис-
использованном Иванцом варианте решета Россера, в тожде-
тождестве Бона A977) и комбинаторных тождествах типа Линника,
приведенных у Хис-Брауна [1982].
Один из возможных подходов состоит в применении к
C.2) неравенства Коши — Шварца
<QAf sup | о. | 2, Z, f E,
(q, a)~l (m, q)~\ Mm—a
и прямой оценке каждого из трех членов, которые получатся
после раскрытия квадрата; три главных члена компенси-
компенсируются (метод просеивания). Рассмотрим требующий самого
тонкого обращения член
Ее
Ел Pi, Ег, Pi, Em I
lu q)"l /i—l,[q] m—of, [</]
(где /7 ss 1 (mod 9)). Поскольку ищется наибольшее возмож-
возможное q, мы не оцениваем сразу по модулю остаточный член
Em I - M/q,
а разлагаем его в ряд Фурье. Тогда сумма по h интерпре-
интерпретируется как сумма Клостермана, оценка Вейля которой
Теорема Ферма: вклад Фуври
263
и приводит к указанному выше «историческому» результату;
итак, теперь можно прибегнуть к «клостермании» и учесть
суммирование по модулю q.
3.4. Изложить последнюю составную часть доказательства
Фуври нам поможет «феномен четности». Как заметил Сель-
берг, множество целых чисел, допускающих четное число про-
простых делителей, имеет показатель распределения, равный 1.
Отсюда следует, с одной стороны, что решето не может про-
произвести простые числа, даже если оно снабжено последова-
последовательностью с показателями распределения 1, и, с другой
стороны, что неравенство
ч .. СХ
недостижимо — посредством этого решета — ни для какого
С < 2. Но Фуври установил, что можно взять С= 1,73 для
q, близкого к х1/2. Откуда такой выигрыш? От использования
членов, которые в общем решете оказываются тривиальными,
но в некоторых случаях допускают оценку другими методами,
не связанными с решетом, а взятыми из классической анали-
аналитической теории, например при помощи рядов Дирихле или
комбинаторики. Эту идею предложили Иванец и Ютила
A979) в работе о разностях между последовательными про-
простыми числами.
3.5. В заключение отметим, что Бомбьери, Фуври, Фрид-
лендер и Иванец в настоящее время развивают свои методы,
чтобы получить удобные для применения «заменители» гипо-
гипотезы Эллиота и Хальберштама, в которых вместо абсолют-
абсолютного значения фигурирует некоторая «хорошо факторизуе-
мая» функция, а вместо показателя 1/2 вещественное число,
строго большее, чем 1/2; эти методы они применяют, напри-
например, к изучению простых чисел — близнецов.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
КРИТЕРИЙ ЭДЛМАНА И ХИС-БРАУНА
В книге Рибенбойма A979) указан следующий результат.
Теорема (Вендт). Пусть k — четное целое число, не деля-
делящееся на 3, и Wk — произведение П(A + S)* — 1), взятое по
корням степени k из единицы. Если числа I и kl-\- 1 простые
и Ы-\-\ не делит (kk— \)Wk, то A.1) имеет место.
Мы покажем, как вывести из этой теоремы один критерий
для первого случая «теоремы» Ферма.

264
Ж.-М. Дезупер
Теорема (Эдлман — Хис-Браун). Из справедливости ги-
гипотезы. A.2) следует существование бесконечного множества
простых чисел I, для которых имеет место A.1).
Доказательство. Если б > 2/3, то для достаточно боль-
больших х
Рассмотрим какое-нибудь такое х. Для четного k, не деля-
делящегося на 3, положим
\(р — l)/k есть простое 1Р, большее или равное х6}
Ek==
Заметим, что Fk попарно не пересекаются, а при k > хх~
пусты. .Следовательно, в силу A.2),
(А1.2)
1-е
k<x
21 ft. 3-Г ft
log*
Целое число (kk — l)Wk строго положительно и меньше
kk ¦ k ¦ 2fe; значит, оно имеет не более чем k + (k +
+ 1) Iog2 k (^ 3/г2) простых делителей, откуда
Из неравенств (А1.1) — (А1.3) и из того, что E'k попарно
не пересекаются, следует, что
1-в1 2\k, 3{k, I простое,
и далее по критерию Вендта получаем, что
удовлетворяет A.1)} ^-^
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
СУММЫ КЛОСТЕРМАНА И МОДУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ
А2.1. Суммы S(m,n;c) (см. B.4)) были введены Клостер-
маном, который получил нетривиальные оценки сверху. Ему
удалось также оценить коэффициенты Фурье параболиче-
параболических модулярных форм (например, коэффициенты %{п) функ-
функции Рамануджана, определяемые параболической формой
Теорема Ферма: вклад Фуври
265
веса 12: ? x(n)qn =
A -
В 1932 г. Петерсон
предложил удобное явное представление коэффициентов
Фурье параболических форм веса k в терминах сумм
2-is(«, l;C)/ftM
Именно при помощи этих соотношений выводятся оценки
Вейля для сумм Клостермана, а именно соотношение т(л) =
= Ое(п11/2+1/4+е). Гипотеза Рамануджана (ныне теорема Де-
линя) утверждает, что %(п)= Ое(л11/2+8), и наводит на мысль
о компенсациях при суммировании сумм Клостермана. Лин-
ник и Сельберг высказали гипотезу, что имеет место макси-
максимальная компенсация:
у S (пг, п; с) = О., я, п (С5) при (пг, п) Ф @, 0).
с<С
А2.2. Брюггеман и Кузнецов независимо установили соотно-
соотношения между коэффициентами Фурье р,(п) параболических
модулярных форм Маасса (вещественно аналитических функ-
функций, определенных на PSL2 (Z) \ Я и собственных относи-
относительно лапласиана Д; индекс / указывает на соответствующее
собственное значение К,) и суммами сумм Клостермана,
уравновешенных бесселевыми функциями чисто мнимого по-
порядка. Обратив это соотношение, Кузнецов вывел из него
формулы суммирования типа
, n; с)=
с \j—собств.
знач. А
где i — результат преобразования функции g с помощью
бесселевых функций (чисто мнимого порядка). В частности,
он установил соотношение
4"S<m« п' *) = °е, *,. (С1/6+е) при (т, п) Ф @, 0).
е<С
А2.3. Наши знания о р/(л) подобны тем, которыми мы рас-
располагали о коэффициентах %{п) до того, как была доказана
теорема Делиня, а именно у нас есть довольно плохие оцен-
оценки для отдельных Pi{n), но хорошая среднеквадратичная
оценка (по Ранкину). Иванец A979) дал применимые (т. е.
явные) оценки сумм типа

266
Ж.-М. Дезуйер
А2.4. Побуждаемые различными вопросами теории чисел, осо-
особенно теоремой Бруна — Титчмарша, Дезуйер и Иванец
A982) расширили эти оценки на случай, когда суммирование
по с ведется лишь по некоторым арифметическим прогрес-
прогрессиям (скажем, по модулю q). Это потребовало рассмотрения
конгруэнц-групп Го(<7)- Главная трудность здесь в том, что
неизвестно, верно ли утверждение, что положительные соб-
собственные значения лапласиана не меньше 1/4 (гипотеза Сель-
берга); меньшие 1/4 собственные значения привели бы к пре-
преобладающему вкладу членов ?(Я). В названной выше статье
объясняется, как можно частично обойти это препятствие,
приняв во внимание среднее по модулю, которое естествен-
естественным образом участвует в теоретико-числовых приложениях.
А2.5. Чтобы понять природу форм Маасса, о которых, кроме
их существования, известно мало, Филлипс и Сарнак иссле-
исследовали недавно устойчивость этих собственных функций при
деформациях поверхности PSL2(Z)\H. Ожидавшаяся аль-
альтернатива такова:
1) либо эти собственные функции в общем устойчивы, и
тогда они «аналитической» природы и могут быть построены;
2) либо эти собственные функции в общем неустойчивы,
и тогда они «теоретико-числовой» природы.
Пусть щ — функция Маасса, отвечающая собственному
значению А,/. Филлипс и Сарнак построили некую функцию
L (щ, s) и связали ее обращение в нуль в точке — + / *j\t — 1/4
с устойчивостью собственной функции. Используя (А2.1),
Дезуйер и Иванец нашли эквивалент среднего квадратич-
квадратичного для значений этих функций L в некоторых специальных
точках. Это подтвердило теоретико-числовую природу форм
Маасса, уже подсказанную формулой суммирования (А2.1).
ЛИТЕРАТУРА
Adleman L. M. and Неаф-Вюздп D. R. The first case of Fermat's last theo-
theorem.—Invent. Math. 79 A985), 409—416.
Bombieri E. On the large sieve. — Mathematika 12 A965), 201—225.
Bruggeman R. W. Fourier coefficients of cusp forms. — Invent. Math. 70
A982), 1—18.
Deshouillers J.-M. Progres recents des petits cribles arithmetiques, Seminai-
re Bourbaki, 1977/78, exp. 520, Lectures Notes in Mathematics, № 710,
Berlin, 1979.
Deshouillers J.-M., Iwaniec H. Kloosterman sums and Fourier coefficients of
cusp forms. — Invent. Math. 70 A982), 219—288.
Deshouillers J.-M., Iwaniec H. On the Brun — Titchmarsh theorem on ave-
average. —Coll. Math. Soc. J. Boyai 34 A984), 319—333.
Deshouillers J.-M., Iwaniec H., Phillips R., Sarnak P. On Maass cusp forms
(to appear).
Теорема Ферма: вклад Фуври
267
Fouvry E. These de Doctorat d'Etat Bordeaux A981).
Fouvry E. Theoreme de Brun — Titchmarsch; application au theoreme de Fer-
mat. —Invent. Math. 79 A985), 383—407.
Fouvry E., Iwaniec H. On a theorem of Bombieri — Vinogradov type. — Ma-
Mathematika 27 A980), 135—152.
Heath-Brown D. R. Sieve identities and gaps between primes. — Asterisque
94 A982), 61—65.
Hooley С On the largest prime factor of p + a. — Mathematika 20 A973),
135—143.
Iwaniec H. Fourier coefficients of cusp forms and the Riemann zeta-func-
tion. — Sem. th. Nb. Bordeaux A979—1980), expose n° 18, 36 pages.
Iwaniec H. A new form of the error term in the linear sieve. — Acta Arith.
37 A980), 307—321.
Iwaniec H. On the Brun — Titchmarsh theorem. — J. Math. Soc. Japan 34
A982), 95—123.
Iwaniec H., Jutila M. Primes in short intervals. — Ark. Mat. 17 A979),
167-176.
Кузнецов Н. В. Гипотеза Петерсона для параболических форм веса нуль и
гипотеза Линника. Суммы сумм Клостермана. — Матем. сб. 111 A980),
334—383.
Motohashi Y. A note on the least prime in an arithmetic progression with
a prime difference. — Acta Arith. 17 A970), 283—285.
Motohashi Y. On some improvements of the Brun — Titchmarsh theorem, I
and II. —J. Math. Soc. Japan 26 A974), 306—323 and 27 A975), 444—
453.
Motohashi Y. An induction principle for the generalization of Bombieri's pri-
prime number theorem. — Proc. Japan Acad. Sci. 52 A976), 273—275.
Ribenboim P. Thirteen lectures on Fermat's last theorem. — Springer-Verlag,
Berlin A979).
Titchmarsh E. С A divisor problem. — Rend. Circ. Mat. Palermo, 54 A930),
414—429.
Vaughan R. C. Sommes trigonometriques sur les nombres premiers. — С R.
Acad. Sci., Paris, Ser A. 285 A977), 981—983.
Виноградов А. И. О плотностной гипотезе для L-рядов Дирихле. — Изв.
АН СССР, сер. матем. 29 A965), 903—934. Поправка: там же 30 A966),
719—720.
ДОПОЛНЕНИЕ РЕДАКТОРА
.1. Эллиптические кривые Фрея строятся следующим образом. Пусть
А и В взаимно простые целые числа. ABC # 0, 321 А, В = 1 mod 4 и
С ~ А — В. Обозначим через Б эллиптическую кривую
</2 = х3 + (А + В) х2 + АВх (=*(* + А) (х + В)).
Фрей A986) доказал, что
1) Кривая Б имеет стабильную редукцию над Q и ее кондуктор равен
"= П е
1\АВС
2) Минимальное уравнение кривой Б над Z имеет вид
ху
| (Л + в _ !) Х2 + _1_ АВх
и минимальный дискриминант равен /?mtn = 2~*(АВС)г. Пусть те-
теперь р^5 — простое число, аР — Ь* = С, 2|а, 6=1 mod4 и
abc # 0. Положим А = аР, В = Ьр- Тогда
3)

268
Теорема Ферма: вклад Фуври
4) Пусть К(р) — расширение поля Q, получаемое присоединением ко-
координат точек р-го порядка. Расширение К(р) неразветвлено вне 2
и р и для любой точки Р поля К(р), лежащей над р, локальное
поле К(р)р имеет вид QpV.?, VT/ где " = 1 — первообразный ко-
корень из 1 и p\vp(J) (прн этом /—абсолютный инвариант кри-
кривой Б).
2. Пусть Fp, Q — алгебраические замыкания соответственно полей Fp
и Q, Z — кольцо целых поля Q. Выберем вложение Qc:C и точку поля Q,
лежащую над р. Последняя дает гомоморфизм i: Z -*¦ Fp.
Представление
p:Gal(Q/Q)->GlB, Fp)
называется модулярным уровня М и веса 2, если р неприводимо н су-
существует такая параболическая форма / (q) = ? а^1 относительно груп-
пы Го(ЛГ), что
1) а1 = 1, at е= Z.
2) / — собственная форма относительно алгебры Гекке
3) Если / — простое число, / -f pM, at e Gal (Q/Q) — автоморфизм
Фробениуса, то
Trace р (<тг) = * (at)
в поле Fp.
Пусть L/Q — расширение Галуа, неподвижное относительно группы Кегр.
р называется неразветвленным в простом /, если поле L неразветвлено
в точке / поля Q. В случае / = р говорят, что р конечно в р, если его
ограничение на подгруппу разложения в р отвечает представлению ко-
конечной и плоской групповой схемы над Zp типа (р,р). Если Я —точка
поля L, лежащая над р, и Lp — пополнение L относительно Р, то пред-
ставление р конечно в р, если LP имеет вид Lp = Qpv?, у а ), где р | вр (а),
?Р=1. Как мы_видели выше, это условие выполнено для представле-
представления группы Gal(Q/Q), действующего в группе (^ Fp ф Fp) точек р-го
порядка кривой Фрея.
Серр сформулировал, а Рибе A986) доказал следующие гипотезы
о модулярных представлениях.
1) Пусть р — модулярное представление уровня pM, p ¦f M и веса 2.
Если р конечно в р, то оно является модулярным представлением уровня
М и веса 2.
2) Пусть р — модулярное представление уровня MiM% и веса 2.
Предположим, что числа Mt и рМ2 взаимно просты, и что р неразветвлено
во всех делителях М\. Тогда р — модулярное представление уровня М2
и веса 2. _
Пусть теперь р — представление группы Галуа Gal(Q/Q) на точках
р-го порядка кривой Фрея Б, отвечающей нетривиальному решению урав-
уравнения Ферма. Согласно гипотезе Таниямы — Вейля (см. например,
Modular Functions of One Variable IV, Lecture Notes in Mathematics,
№ 476, Berlin, 1975) существует нетривиальное отображение X0(N)-*-Б
модулярной кривой X0(N)=H/r0(N). Как показал Фрей A986) (см. так-
также Серр A987)) отсюда и из приведенных выше двух утверждений о
модулярных представлений вытекает, что р — модулярное представление
Теорема Ферма: вклад Фуври
269
уровня 2 и веса 2. И поскольку модулярная кривая ХаB) имеет род О
таких представлений не существует.
Отметим также, что гипотеза Таниямы — Вейля о модулярной пара-
параметризации может быть выведена из старой (начала 30-х гг.) гипотезы
Хассе о функциональном уравнении для дзета-функции эллиптических
кривых. Необходимые для этого рассуждения содержатся в (loc. cit., с. 20)
и к ним нужно лишь добавить гипотезу Тейта о гомоморфизмах эллип-
эллиптических кривых, доказанную теперь (для любых абелевых многообразий)
Фалтингсом (см. доклады Делиня и Шпиро в этом сборнике).
3. Другой подход к доказательству несуществования эллиптических
кривых Фрея, возникающих из нетривиальных точек кривых Ферма со-
состоит в использовании неравенства 3) (для больших р). Шпиро предпо-
предположил, что для всех эллиптических кривых Б над Q, имеющих стабиль-
стабильную редукцию, выполнено неравенство
A) Dmin (Б) < .V (Е)с
с некоторой универсальной константой с. Эта гипотеза возникла из изу-
изучения соответствующей геометрической ситуации.
Пусть f: V -*¦ В — стабильное семейство эллиптических кривых с ие-
особым общим слоем. Тогда
B)
с, (# S) + с2 Bg (S) - 2),
где S с. В — множество точек плохой редукции и б» — число компонент
слоя, g(B) — род базы. Связь A) и B) становится очевидной, если
учесть, что Уй (Dmin) = бй и #S является (логарифмическим) аналогом
кондуктора N. Шпиро показал, что в B) можно взять ct, 2 = 6. Теория
Ходжа на поверхности V дает ctl 2 = 12, а формула Хирцебруха для сиг-
сигнатуры поверхности x(V) совместно с неравенством т(У)^ b2(V) (второе
число Бетти) приводит к ct = 9, с2 = 6.
В числовом случае среди кривых над Q, имеющих стабильную ре-
редукцию и кондуктор N ^ 200, имеется несколько с константой с =
= In .Dmtn/ln N большей 6. Наибольшее значение равно 7,87 (наблюдение
Ж. П Серра). Вычисляя константу с для кривых Фрея (вычисления про-
проводились для нескольких тысяч значений параметров А и В) можно за-
заметить, что с довольно быстро стремится к 2. Так что выглядит правдо-
правдоподобным, что кривых Фрея
Ve>0
с (e)
(идея вводить е > 0 в числовые аналоги точных геометрических нера-
неравенств принадлежит Шпиро). Отметим еще, что если на кривой Б все
точки п-го порядка рациональны над основным полем, то с ^ п. . По-
Поскольку модулярные кривые Хц = H/T(N) для главных конгруенцпод-
групп уровня N <; 6 имеют род s?l, то отсюда вытекает, что имеется
бесконечное множество эллиптических кривых с с>6 (по крайней мере,
над расширением поля Q). Можно ли построить такое множество над Q
неизвестно.
4. В статье (Паршин A987)) показано, что неравенство Шпиро тесно
связано с арифметическим аналогом неравенства Богомолова — Мняоки —
Яо. В алгебраической геометрии это неравенство было получено для не-
неособых проективных поверхностей общего типа над алгебраически замкну-
замкнутым полем характеристики 0. Оно утверждает, что c,(VJ ^ 3cs(V), где
4i, t(V)—классы Чженя поверхности V. В дальнейшем было получено
обобщение на случай поверхностей с простейшими особенностями — ра-
рациональными двойными точками. Приведем теперь формулировку арифме-

270
Теорема Ферма: вклад Фуери
Теорема Ферма: вклад Фуври
тического аналога неравенства Богомолова — Мияоки — Яо, учитывающую
упомянутое обобщение.
Пусть V — регулярная схема размерности 2, В = Spec Л*, где Л* —
кольцо целых числового поля К, f: V -*¦ В — собственный морфизм с гео-
геометрически неприводимым неособым общим слоем рода g 3* 1. Обозна-
Обозначим через В«> множество всех архимедовых точек поля Л и введем на
каждой римановой поверхности Хо = V ®о С, у еВ» метрику Аракелова
цо (она индуцирована плоской метрикой якобиева многообразия). Весь
набор данных (V, f, В», Х„, ц0) называется арифметической поверх-
поверхностью V.
Группа Пнкара Pic(V) схемы V может быть расширена до группы
Pic(V) дивизоров Аракелова на V, являющихся формальными линейными
комбинациями С + ?] а„Х„, С е Pic (V), av s R. С. Ю. Аракелов (Из-
(Известия АН СССР, сер. матем., 38 A974), 1179—1192) ввел на Pic(P) били-
билинейную форму — индекс пересечения C-D с вещественными значениями и
определил относительный канонический класс wvib e Pic(P). Г. Фальтингс
определил аналоги чисел 6v для архимедовых слоев Xv — V®» С (Ann.
Math., 119 A984), 387—424). Как показал Ж. Б. Бост (Seminaire Bour-
baki, 1986/87, exp. 676)
где ц = Hv(Xv) — площадь римановой поверхности Xv, А — оператор Ла-
Лапласа на пространстве функянй, Д' — его регулярнзованный детерминант
и С (g) — константа, зависящая только от g.
В свете классической аналогии между геометрической и числовой
ситуацией неравенство Богомолова — Мияоки — Яо для арифметической
поверхности выглядит следующим образом:
C) wv/B ¦ mV/B < с, ? ev6'0 + c2Bg-2)\n\DK/q\+c3.
Здесь 5 — множество точек плохой редукции и архимедовых точек, е0 =
= log#?(y) для неархимедовых v, sv — 1 для вещественных v, ео = 2
для комплексных у, 6? = 60 для архимедовых о, 6? есть число особых то-
точек, остающихся на слое V», если стянуть все (—2) -кривые, Я%ю —
дискриминант поля К над Q, ct, 2,2 — абсолютные константы. Мы пред-
предполагаем для простоты, что все слои морфизма / суть стабильные кривые
и все особые точки рациональны над k(v).
Теорема. Предположим, что неравенство C) выполняется для всех
арифметических поверхностей со стабильными слоями и родом общего слоя
g > 1. Тогда
1) Для любой арифметической поверхности V существует такая эф-
эффективно вычислимая константа с~~, что для всех сечений /': В -*¦ V спра-
справедливо неравенство i (В) • ш ^ с^, в котором i(B) рассматривается
как дивизор Аракелова на V (с тривиальными архимедовыми компонен-
компонентами) .
2) Существуют такие эффективно вычислимые абсолютные константы
6, 2, что для всех эллиптических кривых Е, определенных над фиксиро-
фиксированным числовым полем К и имеющих стабильную редукцию,
D)
271
2, а из не-
ненальных точек на любых алгебраических кривых рода g ,
равенства D) без труда вытекает неравенство A).
Что касается основного неравенства C), то можно предположить,
что оно справедливо для всех стабильных арифметических поверхностей
с родом общего слоя ^1 и подходящими константами си 2. з- В геометри-
геометрическом случае можно взять с\ = 3, сг = 1, сз = 0 в качестве оптималь-
оптимальных значений. Используя упомянутые выше соображения с сигнатурой
поверхности V над С можно дать простое доказательство C) с d — 5,
C'i = 9, сз = 18. Весьма интересной представляется задача определения
сигнатуры для арифметической поверхности.
Frey G. Links between stable elliptic curves and certain diaphantine equa-
equations, Annales Universitatis Saraviensis, 1986, v. 1, № 1, 1—40.
Parshin A. N. The Bogomolov — Miyaoka—Yau inequality on the arithme-
arithmetical surfaces and its applications. In Seminaire de Theorie des Nombres,
Paris, 1986—1987, Birckhauser, 1987.
Ribet K. A. Lectures on Serre's conjectures: preliminary notes, preprint
MSRI, Fall 1986, Berkeley. _
Serre J.-P. Sur les representations modulaires de degre 2 de Gal (Q/Q)'
Duke Math. J., 1987.