Текст
ВЫХОДИТ РАЗ В ДВЕ НЕДЕЛИ
Рекомендуемая розничная цена; 279 руб.
Розничная цена: 49,90 грн, 990 тенге
занихаательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D4AGOSTINI
27
Дьявольский куб
О
D^AGOSTTNI
«ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ»
Издание выходит раз в две недели
Выпуск №27,2013
РОССИЯ
занимательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D^AGOSTINl
В этом выпуске:
ИЗДА.ЕЛЬ, УЧРЕДИТЕЛЬ '>ЕДАКЦИР
ООО я До Атосткнм*. Россия
ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС 105 Мб, г. Москйд
ул. Александра Лукьянова, д 3, стр.1
Письма читателем поданному адресу не принимаются
ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Николаос Скилакис
ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР; Анастасия Юркова
ФИНАНСОВЫЙ ДИРЕКТОР: Наталия Василенко
КОММЕРЧЕСКИЙ ДИРЕКТОР. Александр Якутов
МЕНЕДЖЕР ПО МАРКЕТИНГУ: Михаил Ткачук
МЛАДШИМ МЕНЕДЖЕР ПО ПРОДУКТУ:
Любовь Мартынова
Свидетельство о регистрации средства массовой
информации в Федеральной службе по надзору в
сфере связи,, информационных технологий и массовых
коммуникации (Роскомнадзор} ПИ №ФС77-43310
от 28.12.2010 г.
Для заказа припущенных номеров
и по всем вопросам, касающимся информации
d коллекции, заходите на сайт
www.deagostini.ru
По остальным вопросам обращайтесь по телефону
бесплатной «горячей линии» в России;
£ В-800 2QP 02 01
Телефон «горячей гмнии* для читателей Москвы;
С В-495-660-02-02
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ
Россия, 170100. г Тверь, почтамт, а/я 24$,
Де Агостини*, -^Занимательные головоломки!
РАСПРОСТРАНЕНИЕ:
ООО чБурда Диорибьющен Сервисна
УКРАИНА
ИЗДАТЕЛЬ И УЧРЕДИТЕЛЬ;
ООО Де Агостини Паблишингъ Украина
ЮРИДИЧЕСКИМ АДРЕС 01032, Украина,
г. Киев, уп Саксаганского, д. 119
ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР; Екатерина Клименко
Свидетельство о государственной регистрации
ПечагногоСМИ Министерства юстиции Украины
КВ № 17502 6252Р от 01.03.2011
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ
Украина, 01033, г. Киев, а/я -Де Агостини „
Занимательные головоломки-*
Украина. 01033, м. Кит, а/с*Де ArooiHi™
Для заказа пропущенных номеров
и по всем вопросам, касающимся информации
0 коллекции, заходите на сайт
www.deagostini.ua
По остальным вопросам обращайтесь по телефону
бесплатной «горячей линии*1 в Украине;
С 0-800-500-8-40
БЕЛАРУСЬ
ИМПОРТЕР И ДИСТРИБЬЮТОР В РБ; ООО ^Росчерк,,
220037. г. Минск, ул. Авангардная, д. 48а, литер В/к,
тел./факс: +375 112-999-260.
Телефон «горячей линии в Беларуси:
С +375 17279-87-87 (пи пт,9.00 -21.00)
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ Республика
Беларусь, 220040, г. Минск, а/я 224, 000 ^Росчерк*,
«Де Агостини*. г Занимательные головоломки*
КАЗАХСТАН
РАСПРОСТРАНЕНИЕ: ТОО -КГП Ьурда-Алатау Пресси
РЕКОМЕНДУЕМАЯ РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА: 279 руЪ.
РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА 49.90 Грк 990 тенге
ОТПЕЧАТАНО В ТИПОГРАФИИ <5. Canale ft С. 5 р А
Sos. Сетка 47 Bucuresti, Pantelimon - ilfev. Romania.
ТИРАЖ-68 000 экз.
Издатель оставляет за собой право изменять
последовательность номеров и их содержание
Издатель оставляет за собой право увеличить
рекомендуемую иену выпусков.
Неотъемлемой частью каждого выпуска
является приложение.
ООО - Де Агостинич 2013
REA С decci enables, 2011
ISSN 2225 1782
ДАТА ВЫХОДА В РОССИИ; 12.02 2013
ММ» МлТИКА
Математическая вселенная
^иофлнтокы ураьненчм и Ферма О('ад.1й алюршм рсшtillГм дИО
фан говых уравнений до сих пор не найден. В знаменитом списке пз
23 проблем, который представил Давид Гильберт на Международном
конгрессе математиков в 19(10 году, эта задача указана под номером
10. Решение уравнений такого типа интересно нс только с чисто ма-
тематической точки зрения: явления, описываемые кванз оной меха-
никой, имеют дискретна ю природ],, поэтому часто требу ют решения
хравнений в целых числах.
Геиил, ч,иый чате наших такте, lb Ферма может по праву считаться
создателем теории чисел: именно в этой области он получил множество
важнейших результатов, хоть п не привел доказательств для большин-
ства из них. Также он сформулировал основы аналитической геоме-
трии и расширил ее для трехмерных пространств, не ограничиваясь
геометрией на плоскости. Таинственный метод Ферма по-прежнему
дает поводы для различных спекуляций, но, похоже, он так никогда
и не будет найден.
Математика на каждый день
«Объемные многоу. голышки.» Природа изобилует примерами само-
произвольного формир*-В.И1ИЯ многогранников: например, молекулы
си хикатов выстраиваются в форме тетраэдров и октаэдров. Форму
правильных многоугольников имеют и пче энные соты — благода-
ря этому в них сохраняется максимальное количество меда пр-t мн
нимальмых расходах воска. Аденовирусы имеют форму икосаэдров,
клетки эпителия — форму кубов и призм.
. /, чтее от ( лил loi'ida Выдаем замуж девушек, съевших по 01 ромио
му торту; и. раем в самую справедливую игру на пляже (не что-нибудь,
а сигара с позолоченным кольцом в качестве приза!); считаем количе-
ство слепых 1мсй>окруживших корабль. Ну а в качестве награды за ре-
шенные годиводомки можно посмотреться в зеркало и изобразить пз
себя всевидящего ираглла.
Головоломки
Дьявольский куб — увлекательная трехмерная головоломка из вось-
ми час гей. которую можно сравнить с кубом Конвея, кубиками сома
и другими головоломками с поликубами. Цель всех этих головоло-
мок одинакова - — совмее и гь ча. i п так, ч г - >бы восстановить исходное
расположение. Элсмсн гы г оловоломки ну жно всего лишь приложить
гранями друг к другу. П-> классификации Джерри Слокума дьявол) -
скип ку б относится к разборным 1 оловоломкам.
Поиск ЦЕЛЫХ РЕШЕНИЙ Н КОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ — ОДНА ИЗ ЗАДАЧ, СПОСОБСТВОВАВШИХ РАЗВИТИЮ ТЕОРИИ
ЧИСЕЛ. Этот ВОПРОС ДО СИХ ПОР ОСТАЕТСЯ ОБЪЕКТОМ ПРИСТАЛЬНОГО ВНИМАНИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ.
гория чисел
Диофантовы уравнения и Ферма
Днофангивы уравнения формулвр ются до-
статочно просто. Они требуют лишь базо-
вых знании о том, что такое уравнение, и со-
ответствующих понятии Диофантовы уравнения
описываю! множество задач, начиная от ситуаций
из повседневной жизни и заканчивая задачами
квантовой мсханнг Впервые они бы хи описаны
в «Арифметике» Диофанта. Их решением зани-
мался Ферма, который в ходе работы над одним из
таких уравнении сформулировал свою известную
теорему — самую знаменитую теорем у всех времен.
Уравнения
Уравнение — это математическое равенство с од-
ной или несколькими неизвестными величинами,
значение которых нужно найти Пример:
3v+2v = S.
Это уравнение с двумя неизвестными: д- и у.
Чис ха, на которые умножаются неизвестные, на-
зываются коэффициентами. Неизвестные могут
возводиться вразшчныестепени наибольшая из
которых называется степенью уравнения. Уравне-
ние вида
л~у + Зу1 +S = 25
является у равнением третьей степени, 'равнения,
степень которых равна единице, называются ли-
нейными. Уравнение считается решенным, когда
найдены шачення неизвсс.пых. при которых обе
части уравнения равны между собой. Решением
з равнения
Zv + 1 = 9
является V = 4, так как если вместо д- подставить
в уравнение число 4, получим 2 -4 + J =9. Суще-
ствует множество типов уравнений: с одной пли
несколькими неизвестными, первой степени (ли-
нейные), второй, третьей степени и так далее.
Уравнения, о которых мы поговорим далее, нс от-
носятся к какому-либо из этих типов, а их реше-
ния обладают особыми свойствами.
Пьер t?r Ферчл
(!6tt/—/665}. Его гнюгнеы
о дняфлншово н уравнении
.V + у” = Z* Пыла НЛ.ЧЫНЛ
великой теорешт Ферма —
одной ил известнейших
матечнншчссхих тепре м
№ /ipiAWfH.
ДЮФАМТОТ
AAESANAPE<12
APIOMHTIltQN £•
► Нпчетк-г н i на гях
к.-/риф метики^ Диенрлн
мл, напнваннля /Ьероч
Ферм 1 и оымруЛ&ннля его
СЫНОМ (оОНсдеНЛ крЛНЫМ
цветом}, много woff не
длвллл ш>коя tyvMuv илте-
илтнклм всего мира. Л *я
шсинчяте.tbHtiju доклi.i-
те метил теоремы Фер ил
по тренов i-tot при иерио
четыреста нет.
ЛЪ су
р« Л5? * Кя *
v ^luxry frtp' ieirt» J’
*пмэ cc"“ г •« ‘ <13
4Ш
D1OPHANTI ALEXANDRINI
ARITHM ЕТ1СО R V
LTBER QVJN1
QVatSTIO L
щепа in gcomcm-
ca piopocTU>fuht>-
tx tvt quiuu eoratn
JcrrKto d«o пчгп«п Fuur
cj iZricuca Lfla duuiii- tR
«uiem gtamerna prepartss-
KuJltat . euro namciru (lib ct-
nrrou сснцспсш hibst me-
dium pm lucre q<zulnro.Qu*-
тс pnmuiu quu qiudfliul,dc-
m^hs l bent qmdcaiunijhoc
aurrm faciU Cr & eft 41 i- Po.
tro tqro alicrum Cttftmonwn
41 жкехига « iQcdlUJ
«rit« ? X. Rtllai vt hnven T-
rcnjtn: <1стрШ iu f«j« qoa-
dtatuni. i'roindc 1 Q. - U. »-
quarur cjnadraito 4 N -u_
npattm Epmlrau bertno idi cr-
mllum efti 0^’4 .N-tBenfu*
ratio MciiflJttN- pcriN, <.
*_ Ьмип tnnnxi^lf (cnulbi 10
fc, f«it ’.hwjeqowecmmo
61(tn < ‘ N. - ii fic fit iN. L.
Ad роМгил«- Enr prtmos 41
;, fccwndui' .* cetniu
ff гл С лыжт ill* ।
A_nV pp" *& w»rt*r *
^•я /
rf <*, л 4 Л “
Jew • то
. r.X «
|*/Г. t ‘.« р << J т**
Целые решения
Множество целых чисел, обозначаемое бу квон Z,
определяется ка1 множество натуральных чисел
1, 2,3,к которому добавлен ноль и множество
оtpiщательных чисел. Дробные числа, определя-
емые как pi зультэт деления целого числа на пату
ра хьнос, нс являются целыми числами. Так, целы-
ми нс яв озюгся 1/2, 5/3 и другие дроби. Теория
чисел — сто раздел математики, изучающий це
лыс числа и, помимо прочего, методы решения
диофантовых уравнении.
По определению, диофантово сравнение —
этих равнение е одной пли несколькими неизвест-
ными с целыми ко >ффицпснтами, решения кото-
рого — целые числа.
Например, сравнение 3/2л‘ + у - 2 не является
хиофантовым, гак как коэффнциенз при с нс яв
ляется целым числом У равнение 2г + 3 = 6 имеет
только целые коэффициенты, но Не является дио-
фантовым, так каз ci о решение л =3/2 не являс г-
ся целым числом в этом случае можно говорить
о диофантовом уравнении, которое нс имеет ре-
шений' Многие диофантовы уравнения нс име-
ют решений, некоторые имеют конечное или бес-
конечное число решений.
Например, решениями диофантова уравнения
5лг + 7у = 5?
являются х = 3 + -. у = 6 - 5/, где I — любое це-
лое число. Следовательмо, это уравнение имеет
бесконечно мшжо решений.
Диофантовы у равнения предоавл нот интерес
в зависимости от того, что обозначают их nepi
мснныс. Если переменная обозначает объем жид-
кости, то решением у равнения может быть дроб-
ное число, но если речь идет, например, о гом,
сколько человек пришло на собрание, то будут
иметь смысл лишь целые решения.
Диофантовы задачи
как мы уже увидели, диофантовы уравнения ис-
пользуются в задачах, решениями которых обя-
зательно дол кии быть целые числа. Простейшие
диофантовы уравнения, с которыми мы чаще все-
го сталкиваемся в реальном жизни, можно пред-
ставить в виде
«тх ± by = с.
Пусть, например, у нас есть 50 рублей для по-
купки марок це нон 3 и 5 { ублей. Сколько марок
каждого типа мы сможем купить? Если мы обозна-
чим количество марок ценой 3 рх бхя зах, количе-
ство марок ценой 5 рублей — за у, то, ч гобы уэ-
натьогвет задачи, погрсЬустся решить хравиеннс
Зх + 5у = 50.
Один из возможных способов решения — под
сзавлягь в уравнение целые числа, пока нс будет
найдена подходящая пара решении. Использо-
Л На эяллм аскиле tapimuiia
С.иьвавс’ра, la т -<50,in
страстных картин, ск, ia-
дыеаннцихс.ч на pact тоянни
2.метра е три портрета
Ai нинл в виД китайца,
а < 6 .м< трое преврицающк х
с.ч в тиеры * художник fa
нван.чет пинкштк чилаккоа
Ч‘ арави {иных мновоуеоан-
ников t нронлвольныч чн< ,i>u
(тории, нчнощцх общие
вершины. Это кто шение
}..ил кт ти рлвносилино решг
нн№ дшярянтоан ,равнения
1 xt + 1/х, + ... + / л, =
= (п - 2J/2 при л, “ лг = .Vj =
- л л < - х, ~ 4 и и = 5.
вать этот способ не рекомен \устся, так как по-
добные уравнения нс всегда имеют решение.
К счастью, благодаря результатам, полученным
Евклидом, можно определить, решаемо ли это
.равнение в целых числах. Если коэффициенты
уравнения и и b являются взаимно простыми чис-
лами, это уравнение все гда будет иметь решение.
В противном случае нужно вычис хоть наиболь-
ший общий делитель этих коэффициентов и про-
верить. делится ли i на это число. Fcxu >то так. то
решения существуют,, в противном случае — нет.
► Однажды в 111 веке до н. а.
Архимед ли 1,и Эратосфену
мтгр.очлп. в которой прм ил
его impede штп, < ко и, «е тки
стада Ге шт i. паса ( >чнца.
и. калька в них лихпл й коров
каждого цвг та укахт не-
сколько иеходны* чисеи.Дл.ч
решения мной задачи нужно
решишь невероятное юп.ное
диофантов > уравнение. Под
счеты ш кагываыт, что
решением ладача чвля->т ч
чш ю 59i6Jii~l“S6Sc
Jma ладана и мвет и другие
решенач, ллншь наимень-
шего ил которых содер» ит
2Q6 *45 цифр.
Диофантовы уравнения и Ферма
Наибольший оОщип делитель двух чисел не-
сложно вычислить по алгоритму Евклида. На-
пример, уравнение
3.x + бу = -4
не имеет решений, поскольку наибольшим об-
щим делителем 3 и 6 явшстся 3, а 4 нс делит-
ся на 3.
Относительно простой метод решения урав-
нении этого типа таков. Рассмотрим все тот же
пример с почтовыми марками. Выразим одну нс
известную через др)Т} Ю; 3.V - 50 - 5у.
Затем будем присваивать у значения 0, 1. 2
(меньшие, чем коэффициент при д', которьгп ра-
вен 3):
3.x = 50 - 5 0 = 50.
За = 50 - 5 1 = 45.
3.x = 50-5 2 =+0.
11з трех полученных равенств лишь второе
позволяет найти целое значение л, так как обе
▼ В илветноп ^иофлнтувой
Arat мы
)'н /кч.ыгк л.1 н.митмими
IMWJWA Д' fi имбц 11Ш pOi.tti
kokoi u, мним нюш. клгнрщет
и tHtpniM)HK.t. Bti ь первый день
Mltupm ы «№ирлш кокосы, ив-
В других случаях все решения могут быть ио
ложнтельными, но некоторые из них нс будут
иметь смысла в конкретной задаче. Возможно,
потребуется как-го ограничить множество ре-
шений уравнения. Например, рассмотрим урав-
нение . описывающее следующую задачу: « Допу-
стим, что у нас есть только купюры в 3 условные
гм чего von. t ичсмг.111 сплти
Спустя некоторгж крсчл одн;
uj ч.гтргкт. прогнулся и реши г
ЫПрМЩ, , вою Ок р.1. 40-
ми г «ггхамш w н.г пять кучек
и j,iop.c.i i/Лну кучку себе. ОНан
шнгннй орех он птдм мгршышг
ice. Точно тм же ногтунп.ш
иоетгвшныс, ч.гтро.и Hat irJr-
кпций Пень все пчтери чатрт оь
пртнугиеь. umk тли поровну
гл шляшиееч кокгны и ошЛии
ефин еит,шики< ч орехи ершиш-
ке. Скичкв кокч гоя ним SH.l4d.tcf
единицы, и мы хотим совершить покупку на
19 единиц. Кассир может выдать нам сдачу толь-
ко купюрами по 5 условных единиц. Можно ли
совершить покупку, и если да. то сколько банк-
нот каждого типа потребуется для этого?»
Условие задачи можно представить так: мы
платим л банкнот по 3 условные единицы и по-
лучаем сдачу в , банкнот по 5 условных единиц.
Итоговое уравнение будет выглядеть так:
3.x - 5у =19.
Уравнения такого типа решаются примерно
таким же способом, о котором мы рассказали
выше Нс 6'дем забывать о смене знака:
части этого равенства де-
лятся на 3. Таким образом,
при у = 1 имеем v = 45/3 =
= 15. Следовательно, реше-
ниями сравнения являются
л = 15-5/.
j=l+ 3/.
Коэффициенты при t по-
лучены из исходного урав-
нения следующим образом:
Зл + 5у = 50
х=15-5/ у=1+3/.
Зл = 19 + 5у.
7=0. Зл = 19;
у = 1, З.Х = 14:
7=2. З.х = 29:
7 = 3. Зл = 34;
у = +, Зл = 39.
Только в последнем урав-
нении об< части делятся на 3.
Таким образом, при у = 4,
.х = 13 решения н общем ви-
де ovxy г представлены так:
3.v-5v= 19
Присваивая различные значения переменной
/, получим решения исходного уравнения В сле-
дующей таблице приведены несколько таких
решений:
t V 7
0 15 1
1 10 4
2 -5 7
3 0 10
4 -5 13
Уравнения этого типа имеют бесконечно
много решений — по числу значений параметра
Л Так как отрицательное число марок нс имеет
смысла, то корректными будут лишь следующие
решения:.v= 15.7= 1:л = 10,.т = +;л = 5, у — 7;
л- = 0.7= 10.
A HelV.i ibHUf v/л Ю
кокосов м л7 wo in орехов. од/у-
VfHHOf Каждым M.twpoaw Hptt
tom tedmxt —jftу. При-
делав wc-лвмгарб/г term v,
нтучн w дшнрлнмнмю уравнение
J024x - J5625y = //524 /V
ttiCHHC днофлЮШ№<1 yp.ttiHCHtt.4
должно иышт> целым. на не
адл ытелгмо положите гьным.
/ЯКТ л- = у = - / ЛЛМГГИЙГЛ
решением урлоненич. ( ледуя
методу. хоторын о/1ъ.чен.четея
ни лтой ияриннце, полу-
чим решение в ощцеч виде;
х- --4 + /5625/, у = -/ + 10241.
Нан ыеныиим положите и>ным
решением дудеш х = /5621,
у = /025 кокоы — нлегнолшл
ннршющф!
чему соответствует следующая таблица значе-
ний л\ у 11 пара метра /;
t X* у
0 13 4
1 18 7
2 23 10
э 28 13
Эту таблицу можно продолжать бесконечно.
Именно поэтому мы указали, что в подобных
задачах иногда имеет смысл установить некото-
рые ограничения, например, указать, что число
банкнот в 3 условные единицы нс может превы-
шать 20. В этом случае задача будет иметь всего
два решения.
Теории чисел EZ3
Трудные уравнения
Нс для всех диофантовых уравнений существу-
ет общий метод (алгоритм) решения, подобный
тешу, о ко тором мы расска зали выше. Более то-
го, для большинства диофантовых уравнений та-
ко1 о алгоритма нс сущее гвуст Поиском решении
конкретных уравнений долгое время занимались
крупней дне математики — Эйлер и Лагранж,
позднее — Минковский и Шевадле, Так, неиз-
вестны методы решения диофантовых уравне-
ний вида
(-4 + л, + л,)’ = Л.ЛДЛЧ,
Л"] + Л-2 — 7.
Л"} + .V? + ,vj + .vj = л,
.vj + .V3 + 2i3 = <1,
A-;+.vi+x-^ = 3o,
xj + Л1 ~ = А.
л-| + л? + 6-4 = лф
Загадка о возрасте Диофанта
«Прах Диофанта i робница покоит; дивись ей и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожиг ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругой он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только г огжизни отцовской возлюбленный сын его прожил
Общий алгоритм решения диофантовых урав-
нении до сих пор не найден. В знаменитом списке
из 23 проблем, который представил Давид Гиль-
берт на Международном конгрессе математи-
ков в 1900 году, эта задача указана под номером
10. Решение ’.равнений такого типа интересно
нс только с чисто математической точки зрения.
Так, явления, описываемые квантовой механикой,
имеют дпекретн) и> природу, поэтому часто требу
ют решения уравнении в целых числах.
Диофант Александрийский
Диофантовы уравнения названы в честь грече-
ского математика Диофанта Александрийского,
о жизни которого практически ничего не и лест-
но. 1Is немногочисленных исторических источ-
ников с «.-дуст, что он жил между 150-м и 350 г.
до н.э. Самым известным его трудом является
«Арифметика» — собрание 130 задач в 13 кни-
гах, из которых до нашего времени сохранились
только шесть. Большинство у р. внений, представ-
ленных в этой книге, являются линейными или
квадратными и имеют положительные рацио-
нальные решения. .Может показаться ( гранным.
что Диофант изучал следу ющис ipn типа квадрат-
ных уравнений по огдсльностн;
ах1 + Ьх ~ 1,
х =
ах1 - bx +1,
<гл: + < = Ас.
Д ш нас очевидно, что все они свидятся к од-
ному виду уравнений, но нс будем забывать, что
Отнят он Оыл уотца ранней могилой своей.
Дзаждм дв? года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей». (Пер. С. Н. Боброва)
Эта эпитафия содержится в греческой антологии, составленной Метро-
дором около 500 г. до н. а., которая представляет собой собрание задач-
головоломок. Диофант хотел, чтобы даже рассказ о его жизни и смерти
был сделан в виде арифметической задачи. Обозначим зах количество
лет, которое прожил Диофант Затем внимательно прочитаем его эпитафию
строчка за строчкой и получим следующее уравнение:
X X
— + - -
6 12
X X
+----+5 +----+ 4.
7 2
Его решением является х = 84. Диофант умер в возрасте 84 лет.
во времена Диофанта ноль и отрицательные чис-
ла были неизвестны.
Диофант первым ввс\ обозначения для неиз-
вестных вс уичин и знака равенства, что можно
считать началом современной символьном алге-
Оры. Именно поэтому Диофанта часто нззыгаюг
создателем алгебры.
Ему также приписывается авторство других
важных работ, а именно «Поризмов» (нс со-
хранилось ни одного экземпляра) и «О многоу-
гольных числах», которая, к счаезью, дошла до
наших дней. Однако именно v Арифметика» ока-
зала наибольшее влияние на последующие разви-
тие математики. Среди множества переводов эгон
книги вы леляется перевод Баше 1621 года, так как
на полях этой книги Пьер Ферма записал свею
знаменитую теорему.
Диофантовы уравнения и Ферма
Clay Mathematic* Institute
dedicdted to Increasing and disseminating
mathematical knowledge
THE TORR THEATRE COMPANT
Ч О&южка фtt th-
,чд.ч ss iПоследнее mwo
ферма» — Щ'З&кллыюй
к&чедни. вы» ущенной
J fat тшнутв.» Кол
tjvHrwc, CLUJ J.
раакл чмыгтсч tttmapuv
tipum. л iw w/r наммк. i
fatfyw Ssiit-fuh который
AW«M теорему Ферли>
A Musical Fantasy fasptred
by Andrew Wiles and his encounters
with Fermat's Lost Theorem
"HobckJ gj WhirnaJuil fiiThy L ОииГ The Nwf York T*mn
Великая теорема Ферма
Диофантовы уравнения ни уал~ + у1 — z~ яв.хяют-
ся алгебраическим представлением теоремы Пи-
фагора. Еще в древности были известны таблицы
целых чисел, содержавшие решения этого уравне
нпя. Нужно учитывать, что сели тропка чисел .v,
у, z является решениях. 'того у равнения, го реше-
нием также будет тройка ле, ,iy, лг, где и — целое
число, гак как
(яг)2 + (*гу)2 = #2.v2-hr2y2 =
— д’ (х2 + J'2) = .г2?2 = (<z)2.
Например, этому уравнению удовлетворяют
целые числа 3, ч и 5:
З1 + ч2 - 52; 9 + 16 - 25.
Умножив все три числа на 2. получим тройку
6, 8, 10, которая также удов и гвирястуравнению:
36 + 64 = 100.
Следовательно, найдя хо,я бы одно решение,
мы лс1 ко сможем получить бесконечное число
решений.
Общая формула для получения этих троек, на
зывасмых пифагоровыми, гакова:
.с = 2и + 1,
у = 2и2 + 2щ
г = In1 + 2и + I
при и = 1, 2,3....
Уравнения вида
л-’ч у’=с’
A Эршшу 3^v4pt>v Ауимеру
(i 810- 1893} ярмлнЬем; tw
MMttattee винные miuww-
Htt.4. tm.wwtif Oi ffatwii uK<№-
•fetmc twatv dvKMmti tw mea
теоремы Ферма, поморие
fa 1V HATfdt’HO 6 1году.
В 1 8-l7A>Jy OH HAIftfA yCAOtflif,
Hpli SbiHVAHtHHU которого
tliji простого via. at p урав-
нение x? + yr = не имеет
НАШурА thWrlXpeiin Hurt.
решаются совершенно иначе. Нс стоит терять
время, пытаясь найти тропку целых чисел, ко-
торые У1овлс-творяют этому равенству, — таких
чисел не существует Пьер Ферма так сформули-
ровал невозможность решения подобных уравне-
ний в общем виде:«Нево .можно разложить куб
на два куба, биквадрат на \ва биквадрата и вооб-
ще никакую степень, большую квадрата, на две
степени с тем же показателем. Я нашел этрыу по-
истине чудесное доказательство, но поля книги
слишком узки для него».
Кинга, о которой пишет Ферма. — « Арифме-
тика» Диофанта в переводе Баше. В юмеит оза-
рения Ф ерма сформулировал гипотезу о том, что
нс существует целых положительных решений
диофантова уравнения
для любого и, больше! о двух (я > 2). Со временем
гипотеза Ферма стала известна как великая теоре-
ма Ферма, хотя по не теорема, а гипотеза.
Более трехсот лет многие блестящие мате-
матики безуспешно пытались доказать эту гео-
рему — самую знаменитую за всю историю
математики. В длинном перечне тех. кто зани-
мался ее доказательством, такие известные ма
тематики, как Эйлер (I/O? — J7B3), Дирихле
(1805—1859), Лежандр (Г52—1833). Софи
Жермен (1 "”6— 1831), Ламе ( Г95— 1870). Кум-
мер (1810—1893) и Гер х Фелтинге (р. 195-1), ко-
торый получил Фи хдсовскую премию 1986 юда
за работы в этой области.
► Средн математику
tiHiilUH V dv-
au ii i moo smait шлме-
нитон тсореиы, fihjdt кчешач
Герд Ф.1 /тмл, который
а 1986 году uo.tyvH.1 Фи.,г)-
< oers уя> премию ju рибиты
в этин о&иггтн.
Теория чисел LLU
Доказательство теоремы
«Ни одна другая проблема не бу- В
дет означать для меня так много. В
Великая теорема Ферма была мо- Я
ей детской мечтой. Заменить се
нс сможет ничто. Я доказал ее.
Уверен, что попытаюсь решить
какие-то другие проблемы.
Некоторые из проблем очень
трудны, и если мне удастся ре-
шить какую-нибудь из них, то
эго, несомненно, снова даст
мне ощущение достижения. i
Но нет ни одной проблемы
в ма гс ма гике, котора я могла Ш
бы захвати гь меня так, как
захватила Великая теорема Я
Ферма».
Так выразил свои чув-
ства британский математик Эндрю
Уайлс, который в октябре 1994 года опубликовал
доказательство гипотезы Таниямы — Симуры,
С0В(.рнл1В последний шаг на пути к доказатель-
ству теоремы Ферма. Сама же теорема доказы-
вается приведением к противоречию. Это неве-
роятно сложное доказательство объемом свыше
двухсот страниц, содержащее множество ран, е
полученных результатов, к которым, как к паз-
лам, Уайлс добавил недостающие части и полечил
полную картину Дока тасгельство великой тсорс-
двас голе гия, которые пыли ней тнсстны во време-
на Ферма) заставп \ы усомниться в том, что Фер-
ъ ма действительно нашел «чудесное дока-
В загсльство», которое не поместилось на
Пилях киши. Большинство экспертов схо-
дятся во мнении, что доказательство Ферма
было либо ошибочным, либо вовсе никогда
' нс существовало.
ЭТО №00
at»,, m. С-nfa,
Л Оценкой шео/км Фер-
мл ияажееммо
WV, < MfW f rllfOft if <-
сметной
кннм C.ihuoka Ci/мгхл, где
tiu mrx «о^о£япшлх рМ'-
гкл гмдо jutirA; гше fiwtiV
нетерпл a vorn&ix fhx.ct M-
mcabtmtfd arnoM mtupt мы.
Для многих доказательство теоремы Фер-
ма означало конец эпохи так как был
разрушен математический идеал. Теорема
Ферма — классическая теорема с очень про-
стой формулировкой, и ожидалось, что ее
доказательство также будет классическим.
Однако в доказательстве использовались столь
сложные приемы, что полностью понять его
способны лишь немногие математики.
Любопытно, что в работе над своим доказа-
тельством гипотезы Ферма Уайлс не применял
компьютерные программы и даже калькулятор.
Он работал в духе чистой математики, исполь-
зовав лишь бумагу и карандаш.
•Я ▼ Мяпп метину Эндрю
Уан к у в /99-/ году удалась
ниитп ткпплте, доге до-
ка ытс in, мои и ,«•< •тнейшей
вс ими t теоремы Ферма,
пм.ге того *.,м первая по-
пытка, предпринятая им
же гидо м ранге, твершиаась
мы Ферма пол} чл до широкий резонанс в между-
народной прессе. Никогда раньше математическо-
му открытию ис уделялось столько внимания.
Так была дока тана гипотеза. которую почти
неудачен. Он предстает
свое док акте уъство е ‘да-
ннн fa нориджского универ-
ситета (на и । Im тр.иуин),
перед которым кто-то
напнеас н.1 снегу формули-
ровку той знаменитой
теор< мы.
четыреста лег назад выдвинул математик-люби-
тель, адвокат ио профессии, когда размышлял об
уравнениях, сформулированных за семнадцать ве-
ков до него треческим математиком Диофантом.
Сложность доказательства и применение совре-
менных математических инструменгов I Уайлс ис-
пользовал результаты, полученные за последние
Пьер де Ферма, гасконский адвокат, занимавшийся математикой в часы отдыха,
БЫЛ СТОЛЬ ТАЛАНТЛИВ, ЧТО ПО ПРАВУ ЗАСЛУЖИЛ ТИТУЛ «КОРОЛЬ СРЕДИ ЛЮБИТЕЛЕЙ».
Гениальный математик-любитель
Пьер де Ферма
Пьер де Ферма бы \ «тихим чел
ком», но ему выпало родитьс
в эпох полную политиче-
ских и религиозны х потрясений
(он жнл в первой половине
XVJ1 века). Фь рма родился в ав-
густе 1601 года (точная дата не-
известна; мы знаем лишь, что
сто крестили 20-го числа) в не
большом городке Б >мон-дс-
Ломань бди » Тулузы. Его отец
Доминик Ферма, второй кон-
сул Бомон 1 а, был состоятсль
ным торговцем мехами, а мать,
К хер де Лон1 — дочерью юри-
с га, О первых годах его жизни
мы знаем немногое (возможно,
первые уроки сю прошли в отчем
доме), но достоверно известно, ч
он получи л очень хорошее образование:
в совсршсвс гве знал классические языки (латынь
и древнегреческий) и большинство < вропейских
языков. Он изучал юриспруденцию в Тулузе, где
11 мая 1631 года получил должность члена вер-
ховного суда. В июне того же года он женился на
двоюродной сестре матери Лу изс де Лонг. У них
родилось трое детей: Клеман-Самуэль, который
позднее опубликовал работы отца, и две доче-
ри, ставшие монахинями. Безупречная карьера
Ферма длилась 31 года Последние 17 лет, начи-
ная с 16-18 года, он служи - в парламенте Тулузы.
Чтобы избежать коррупции лицам, занимавшим
подобную должность, предписывалось воздер-
живаться от любой общественной деятельности.
Благодаря этому у Ферма оставалось много сво-
бодного времени, которое он использовал с поль-
зой. В отличие от современников, он бы . равно
душен к путешествиям. Он совершил лишь одну
поездку в Париж где при посре хничестве в лпя-
тельногофрангл зского математика Пьера де Кар-
кави (160(1—16S4) познакомился с монахом Ма-
репом Мереенном (1588—1п-18), который жил
в монастыре ордена минпмов — в то время .это
был один из центров европейской науки.
Тихая и безмятежная жизнь Ферма окончилась
12 января 1665 гола в Кастре. <111; мер в возрасте
65 лет. Его биография не вошла бы в анналы исто-
рии, если бы он не 61 lx охним из самых вы хаю-
щихся математиков всех времен.
Л фурил который учтена
у /> /г» t flat Kina tt поЗ-
Зрм ci tirренн t a у t Pent
[екартом, tfftii огромный
fflLfcul /f Mf Optt/O Vtti'Ll,
обагдшив Л" pa.i.iH4KM uu
теоремами, нов боаыинн-
< шве t еучлев Ht нраве j ar
Jwa г мше: гмw/йт
Его труд
При жизни Ферма опубликовал очень мало ра-
бот. Большине:во из них увидело свет благо ха-
ря усилиям его сына Клск.аиа-Самуэля в 1679 го-
ду и представляет собой собрание обширной
переписки Ферша с другими математиками то-
го времени, в частности с Джоном Валлисом
(1616—ПОЗ), Блезом Паскалем (1623—1662),
с которым он вместе работал над основами теории
вероятностен, Жилем Робервалсм (1602—16'5)
и Мсрсешюм, который создал в своей монастыр-
ской келье в Париже настоящий информацион-
ный центр, объединивший большинство европей-
ских учиных тою времени.
Самая важная работа Ферма посвящена тео-
рии чисел. Ферма мож^г по праву считаться ее
со здателсм; именно в этой области он полу чп л
множество важнейших результатов, хоть и не
привел доказательств для большинства из них.
Также он независимо от Рене Декарта сформули-
ровал основы аналитической геометрии и расши-
р л ее д \я трехмерных пространо в. не ограничи-
ваясь геометрией на плоскости. При работе над
▼ По основном профессии
Пьер Зе Ферма быJ1 уЗьсм.
Эту Зо таены ть он но лу-
ча. г 7)i jy_ir tf 163 J гоЗу,
Фер ма ммк мл t хнуЗар-
етвенныс насты в течение
зМ iemf / Гя? которых (на-
чиная с гоЗа) он был
советником парламента
‘fyiyibL
S1
Фг/ЧМ (1601 — 1665)
VARI A OI’LRA
MATHEMATICA
D PETRI DE FERMAT.
SENATORS TOLOSWl
AcrcH'tnint ГекЛг quidam ijwdcm Epiftolx, vcl
rd !ulic<. de rclni' id Maihcimliui dik'iplmat,
aut Phil i. лга pe.tinci ubui fcrijxjr.
TOI OS
Ar*a IQASSEM ГЕС" f1 > Сисйютя Г м»£™ pen
СЫЦ,ч» РЪ Stum/u jtf*
M VC СЛХЧ
этой темой между математикамн возник ожесто-
ченный спор о построении касательных к кривой.
Ферма поправил Декарта, из-за чего 7от посчитал
Ферма фанфароном и заявил: «Господин Ферма
гасконец, я — нет». Фер: га по обыкновению дер-
жа ься скромно и время доказало его правоту
Стоит отметить, что Ферма также был од-
ним из создателей дифференциального исчисле-
ния- в 1937Е году было найдено письмо, где Исаак
Ньютон подробно цитирует его работу и указы-
вает, что метод построения касательных, создан-
ном Ферма, навел его на мысли о создании диф-
ференциального исч ислен! 1я.
Большинство открытии Ферма и сложил в крат-
ких заметках, письмах пли примечаниях на полях
книг Среди немногочисленных работ, опублико-
ванных Ферма при жизни, стоит выделить следую-
щие" «Введение к теории плоских и простран-
ственных мест», в которой он изложил основы
аналитической геометрии, и «О максимумах
и минимумах», где, помимо прочего, доказыва-
ется так называемый принцип Ферма, который
гласит: «Луч света движется по пути, где время
движения минимально».
Секрет Ферма
Ферма был математиком любителем и занимал-
ся главным образом арифметикой. Fro работы,
подобно книгам Диофанта, кажутся простыми,
но в них изложены фундаментальные результа-
ты в чистой математике, которые ему подсказала
его гениальная интуиция. Большинство его рас-
суждений настолько просты, что их поймет да-
же старшеклассник. Ферма имел привычку за-
Л /? 1650 году Ферма фор-
мулировал принцип, tn
которого г f сдуют законы
отражения и преломления
свежа. Согласно этому прин-
ципу путь луча из точки А
о точку В (выделен на схеме
красным цое том), рассто.ч
мне между которыми равно
Г), при отражении света от
Ч На иллюстрации изи-
бражена б’йшжхл одного ил
собраний сочинений Ферма.
Речь идет о lari a Opera, да-
тируемой 1679годом и опу-
бликованной спустя 14 лет
после смерти Фер на.
ЭТО Ш1ТШ(410
। Еще одна грань таланта Ферма, о которой из-
вестно немно! им, — его увлечение поэзией. Он
обладал изысканным вкусом и в совершенстве
владел иностранными языками, проявив себя
и как филолог, заслужив признание специали-
стов по клав ическим языкам.
। В мире чисел Ферма чувствовал себя со-
вершенна свободно и естественно. Подобно
садовнику, который, неспешно прохаживаясь
по саду, находит всё косые и новые цветы,
Фер:ла выдвигал гипотезы вроде «всякое
простое число вида 4п +1 является суммой
двух квадратов. Он не привел доказательства
этой теоремы; это сделал Эйлер в 1749 году, на
что ему потребовалось семь лет работы Гаусс
считал эту ги< ютезу самой красивой из всех
гипотез Ферма в теории чисел.
писывать свои мысли и результаты логических
рассуждений на полях книг. Некоторые из них,
подобно знаменитой великой теореме Ферма, со-
гласие которой уравнение х” + у” = z” нс имеет
натуральных решений для п, больших 2, удалось
доказать лишь с помощью современных матсма
тичсскях метод, >в. Так родилась легенда о том,
что Ферма знал какой-то очень простой способ
решения задач определенного типа. По словам
историка Либри, « Ферма знал то, что нам неиз-
вестно, и чтобы узнать это, он использовал бо-
лее совершенные методы, чем изобретенные впо-
следствии». С др) гон стороны, Ферма нс скрывал
своих знаний в отличие от множсегьа других ма-
тематиков, которые, боясь, что другие отберут
згрАлад. расположенного на
расстоянии d от обеих то
чек, таков, что время движе-
ния будет наименьший.
► ЛАгры, выпущенная
в Чехии в память
о Пьере де Ферма
и его не некой теореме
и п честь Эндрю
которо муудалось до-
казать теорему Ферма
в 1994 году, подведя итог
многовековым труда ч
многих .математиков.
у них авторство, умышленно излагали свои идеи
неясным и запутанным языком. Таинственный
метод Ферма по-прежнему даст поводы для раз-
личных спекуляций, но, похоже, он так никогда
Сферы, цилиндры, пирамиды, кубы, параллелепипеды... Эти геометрические тепа стали
ЧАСЪЮ НАШЕЙ КУЛЬТУРЫ, и ИХ ВЫБОР НЕ случаен: и ЛЮДИ, и САМА ПР1 ГОДА ВСЕГДА ИСПОЛЬЗУЮ!
НАИБОЛЕЕ ПОДХОДЯЩИЕ ФОРМЫ.
Многогранники
«Объемные многоугольники»
В некотором роде многогранники можно
считать разновидностью многоугольни-
ков, которые расположены нс на плоскости,
а а пространстве. Многоугольник — эту всего
мши. часть плоскости, ограниченная отрезками.
Многоугольники называются правильными, ес-
ли все ограничивающие их отрезки, а также углы
между этими отрезками равны между собой.
Например, следующая фигура является непра-
вильным многоугольником. Напро гив фш ура,
изоОраженная на рисе н-
ке ниже — это правиль-
ный многоугольник с S сто-
ронами (восьмиугольник). Fine
одним критерием клас-
сификации многоугольников яв-
ляется выпуклость Много) голь-
ник называется выпуь дым, если
для люб1 IX дву х точек многоу-
гольника соединяющий их от-
▲ HiiVtHlt
(/775—/5/7/ анмир мцн-
uotteAtit, ri минорен тираны
гогранника расположение ребер оди-
наково. Если мы рассмотрим шести-
угольник, то увидим, что в каждой
его вершине сходятся два ребра под
углом 60'*. В каждой вершине додекаэ-
дра сходя гея три равных правильных
пятиугольника. Подобноп симметри-
ей нс обладает, например, четырех-
угольная пирами да, так как в ее вер-
шине сходятся четыре треугольника,
а в любой вершине при основании
сходится квадрат и два треугольника.
Но за эту «правильность», которой
обладаю I н еког орые м i югоугольн 11 -
ки и многогранники, приходится
платить. Пространственная геоме-
трия накладывает серьезные ограни-
ченпя. Гак, существу юг правильные многоуголь-
ники с 3, 4, 5 и 6 сторонами. I Гсрвые прачильные
многоугольники носят особые названия — треу-
Л резок полностью лежит в нем.
‘ / \ Очевидно, что многоугольник на
\ рисунке выше — выпукмай. Мно-
) гоугольник, изображенным слева,
/____ I является правильным, но, нссмо-
тря на это, не является вы пу клым.
Все приведенные здесь понятия можно легко
обобщить для трех измерений. Многогранник —
это часть пространства, ограниченная много-
угольниками. Многогранник называется правиль-
ным. если все его грани являются правильными
многоугольниками и в каждой вершине сходится
одинаковое число ребер. Определение выпукло-
сти многогранника дается аналогично. Можно
д.иь другое, эквивалентное онрсдс тени с. со. лас
но которому много: ранник является выпуклым,
если он расположен ио одну сюрону от плоско-
сти каждом из его граней.
vfc u<r лнанил
того ормекн, имн»ра mw
на мной Kapmant //кино
Бариарн в округа нкн геомс-
трнчакихтеа, iptifn кото-
рых яыЛллггагл Сверкающий
многогранник.
голыши и квадрат, вес последующие правильные
многомолы।им। называются по числу их сторон —
пятиугольных, шестиугольник и так далее, потому
чю правильных mhoi on ольников бесконечно мно-
го. Если мы захотим построить правильный много-
угольник с 12UO0 сторонами, нужно будет выпол-
ни гь лишь одно условие: все сгл сторонь должны
быть равны между собой. В этим смысле двумерное
Правильность
Возможно, «правильный» —- hi совсем подходя-
щее определение для подобных фигур, гак как су-
ществуют МНОГОМОЛЬНИКИ И MHorerpaHHllf.il, КО-
горыс считаются правильными с обыденной точки
зрения, но не являю 1ся таковыми с точки зрения
математики. Их можно было бы назвать «одина-
ковыми со всех сторон », гак как они обладают раз-
личными видами симметрии Например, во всех
вершинах пр ши льною многох шхьннкл или мно-
▼ В tout'if iHitMtr/NWu»
Ортинг /аннал tew-
р.ч* (WSSJ гениальный
художник Ca,H'&iJt>pAa. m
р.и -поломи. । /Лап 4 Spat та
и агнк пинии внутри дадека-
Который в фн iorotfiftii
// tamun.t я&июнсл образ-
цом (KTJfl iWfrVC.
79
прос гранство, а котором мы строим такие много-
угольники, не накладывает существенных ограни-
ч< нии При переходе от плоскости к простран, тву
промедлят значительные изменения. В трехмер-
ном пространстве существовует всего пять пра
пильных многогранников.
Платоновы тела
В трехмерном пространстве существует всего
пять выпуклых прави льных многогранников: те-
траэдр, образованный четырьмя равносторонни-
ми треугольниками, гексаэдр (куб), образован-
ный шестью квадратами, октаэдр, образованный
восьмью равносторонними треугольниками (он
представляет собой два тетраэдра, соединенных
основаниями), додекаэдр, образованный двенад-
цатью пятиугольниками, и икосаэдр, который
имеет 20 треугольных граней. Все эти многогран-
ники ио задают важными свойствами симметрии.
Например, любой из них можно вписать в сфе-
ру так, что все его вершины л дут касаться сферы.
Также можно вписать сферу в многогранник так,
что она будет касаться всех ei о граней.
Как пзнес гно из исторических источников, уче-
никам Пифагора были известны лишь тетраэдр,
гексаэдр и додекаэур. Октаэур и пкоса.эур Пыли
открыты Теэтетом (ч!~—369 гг. до н.э.), который
первым провел строгое исследование всех пяти
правильных многогранников. ,)ти многогранни-
ки называются Платоновыми телами, так как имен-
Ч Н.1 .ююй и-июлн/иции,
в.тгмой hj ли«с’« Siptmum
СштодглрЬкшм (^Tjnkj
ыира&) I /ослиха Кекмрд.
Н.ЮйрЛЖеМЫ npjtitt
Л Н.: рисунке » шйрлжен
нарн/рет П ..нноил из < >ц1
ринней .ip.ui, кой р, копит.
Питии П ytwnnovu
nrjut ufxi)} np.uut luntuvu
UHlWKpaHHUKUUU U ЧГ.МГН-
тлмива генной; ••e.uteu.
огней uoifiii и uu ’^yxiiv
но Платон водном из своих «Диалогов»» (под на-
званием «Тимей») установил соответствие между
четырьмя правильными многогранниками и че-
тырьмя стихиями — землей, водой, огнем и воз-
духом. отве уя пятому многограннику, додекаауру,
рол г философского камня богов.
I вклид первым классифицировал правильные
многогранники, применив теорему, которая при-
водится в конце книги XIII его «11ачал»>, и сле-
дующл ю формулу:
180е (w - 2)
т =------------< Й6О“
н
Ножницы и бумага
Можно наглядно убедиться, что правильные мно-
гогранники с троятся довольно просто, если по-
пробовать вырезать из бумаги правильные мно-
гоугольники и склеить их между собой. Нужно
учитывать, что, когда мы изображаем вершину на
плоскости, нужно оставлят! место для складыва-
ния и ск леивания (это нельзя изобразить на ри-
сунках ниже). Также следует помнить, что в од-
ной вершине должны сходиться минимум три
правильных многоугольника. Если их будет все-
го два, го получится фигура, по форме напомина-
ющая открытую КНИГУ.
Начнем с равносторонних треугольни-
ков. Можно расположить рядом 3 i или 5
треугольников.
MltmpJjJp, Kytf. UKOtilItfp H tfo-
Л’л.; идр), upedt та л i-iK/ufut
четыре ллементл ешашш;
oosdyx fa), огонь (bk -ieM.ua
(i), oody (И) и кяпюнхеем-
цню — пятый элемент (е).
«Объ ^мные многоугольники»
Эти развертки соответс i иа ют тетраэдр} ок-
таэдру и икосаэдру. Если мы рассмотрим квадра-
ты, то станет очевидно, чго три квадрата образу-
ют часть развертки вокруг одной вершины куба,
и что получить другие фигуры невозможно: четы-
ре квадрата целиком заполнят пространство во-
круг вершины, и их цель 'Я будет сложит!» так. что-
бы получился много!ранннк.
Это же произойдет и в с су час с пятиугольни-
ками:
b' [ёодешЧесЛЯСЙ куНОЛ J.UA'K
л ван j в СШ. f, построенный
г Всемирной выставке
/9й “.’отЪ. прошедшей в к<<-
надсио.м городе Монреалы
leodc fttvmtte купи ы, приду-
манные Клнмииетером Фу,
.ирем мтт и.» множе-
ства многоугольных цидулей
< оединенных между собой.
Единственно возможное расположение счот-
встса вуст додекаэдре
Таким образом, мы ностро, ли все пять воз-
можных правильных много! ранников, пять Пла-
тоновых тел. Если мы попробуем использовать
многоугольники с большим числом сторон, то
они будут целиком заполнять пространство во-
круг вершины, и сложить фигуру будет невоз-
можно, что нетрудно видеть на примере трех
шест! ty гольн I[КОВ:
А Немецкий художник.У «>-
бреет 1юрер(1471—153SJ
внес важный вк шд в мучение
многогранников. и кт жив
геон идеи в книге Пр.сви и
нгмергшч синий, па,секо-
сшей и целых те • при по-
мощи циркуля нугасъннка -
(15S2), в которой привидсап-
г, интере. ное обсуждение
перспективы и других тех-
ник. В стон книге и сложены
представления о штгогран-
никах, которые прав,секли
вни мание художников мюхи
Восрочсдени.ч.
декаэдр, в каждой вершине которого сходятся
пять пентаграмм, и большой звездчатый додека-
эдр, в каждой вершине которого сходятся три
пентаграммы. В 1809 году Аун Пуансо открыл
ацс два прави и ных нсвыпуклых многогранни-
ка — большой додекаэдр и большой икосаэдр
(состоящий из 20 треугольников, пересекающих-
ся между собой). Если срезать углы многогранни-
ков, получатся новые много!ранним:. Если раз-
резать платоновы тела так, чтобы линии разреза
проходилн через середины репер, подучатся два
мнопдранника — кубоокгаэар и икосододска-
>др. Если линии ра зреза будут делить ребра на три
равных части, получатся усеченные много: ран ни-
ки; их всего семь. Такие многогранники называ-
ются архимедовыми телами.
Если соединить ребрами соответствующие
вершины двух равных многоугольников, то по-
лучится призма (антипризма. если вершины со-
единяются равносторонними треугольника-
ми). Существует бесконечное множество призм
и антипризм.
Другие многогранники
Если мы будем строить по этому же принципу
правп 1.ьныс многогранники, которые нс будут
выпуклыми то получим четыре новых много-
гранника. 11срвые два образуются соединением
пентаграмм — пятиугол hiix звезд, получаемых
продолжением сторон прямоугольника до их пе-
ресечения. Кеплер открыл малый звездчатый до-
Природа изобилует примерами самопроиз-
вольного формирования многогранников: напри-
мер, молекулы силикатов выстраиваются и форме
гетра.» \ров и октаэдров. Форму правильных мно-
гоугольников имеют и пчелиные соты — благо-
даря этому в них сохраняется максимальное ко-
личество меда при минимальных расходах воска.
Многпгрлнникн
91
Л Ком»ън>спернис ищбрлже-
нис мЬыншрум. ни ы»»ирим
видно, чти tmpyi имеет
I 1менно поэтому соты имеют форму
шестиугольны? призм. Аденовирусы,
например вирус полиомиелита, имеют фор
mv икосаэдров. Клетки эпителия имеютформу
кубов и призм.
Многогранники в природе
Возможно, самым удивительным приме*
ром многогранника в природе является молекула
v глсроуа Сб() под на 1Ванпсм 6.1кмине герфлллерен
(се открытие принесло троим ученым Нобелев-
скую премию 1996 гида по химии) Эго хпмнче
скал структура, образованная 60 атомами лтле-
рода, расположенных полностью иммс1рично
в форме фигуры, напоминающей ф) тиольный мяч.
1 (сходной фигурой для построения э 1010 мно-
гогранника является икосаэдр (напомним, что он
образован 20 равносторонними треугольниками).
Нужно срезать его вершины глк, чтооы получился
усеченный икосаэдр, гранями которою являются
jpeyu) шеоемдрх — одном HJ
U.4HIH >. штиновых тес.
А Ричлрд Б,1кншнтер
Фу ..!ер, Солдате сь геодеui-
ческнх ьупосав, удттен tf.4
чести быть помещенным
к.1 еб rpjMiwy емерихлнекого
журил 1.1 hme.
12 правильных пяти у юлы in ков и 20 правильных
ШССТНЛТОЛЬШ IKOII:
Кок кристаллизуются некоторые
известные минералы?
Кристаллизация — это процесс, происходящий при
определенной температуре, давлении и концен-
трации вещества Атомы химических соединений
минерала в этом процессе выстраиваются в кри-
сталлическую структуру определенной Формы,
Минерал
Галенит, каменная соль,
платина и алмаз
Флюорит, магнетит, золото и медь
Киноварь, кальцит и висмут
Пирит
Сера
Лазурит
Октаэдр
Ромбоэдр
Додекаэдр
Четырехугольная
призма
Ромбододекаэдр
ЭТО Ш1ТО0 •
> По-видимому, обширные знания о прааиль
ных многогранниках передались Пифагору
по наследству Его отец занимался огранкой
драгоценных камней, поэтому Пифагор по-
знакомился с различными геометрическими
фигурами рще ч юноа возрасте
Современные мячи уже не имеют форму усе-
ченного икосаэдра, гранями которого являются
12 пятиугольников и 20 шестиугольников.
Используется малый рэмбоикосододекаэдр,
ооразуемьи. 20 треугольниками 30 квадратам.,
и 12 пятиугольниками. Такой мяч имеет более
круглую форму чем его предшественник: его
объем составляет 94% от объема описанной
вокруг него сферы.
Представьте структуру, образованную ше-
стиугольниками, которые перемежаются пяти-
угольниками (именио такую форму имеет фут-
больный мяч).
Сложное название этой молекулы происхо-
дит от имени знаменитого архитектора Багинн-
стера Фуллера — изобретателя так называемых
геодезических куполов. Геодезические купола
представляют собой решетку, образуемую тре-
угольными поверхностями. Она получас гея из
усеченною икосаэдра разделением каждой пя-
тил го уьной грани на пять равносторонних тре-
угольников, каждой шестиугольно? грани — на
шесть равносторонних грелtтельников:
Форма при
кристаллизации:
Гексаэдр
К'ЖДЫП II । полученных треугольников
можно снова разделить на три равных треу-
гольника. Таким образом получается геодезиче-
ский купол. Подобное деление можно произво-
дить бесконечно — какого-либо теоретического
предела нс существует. Чем больше фигур бу-
дут образовывать купол, тем ближе он будет по
форме к поле сфере. Такая конструкция облада-
ет множеез вом преимуществ, на постройку рас-
ходуется существенно меньше м исриалов, она
устойчива к непогоде и лучше сохраняет тепло.
Неудивительно, если в недалеким будущем зда
ния в больших юродах будут иметь именно та-
кую форму.
Лучшее от Сэма Лойда
Арифметические и алгебраические задачи
1. Цепочка для часов дяди Сэма
На днях мне показали любопытную цепочку для
часов, сделанную, ио старому обычаю, из монет.
Эта цепочка состояла пз четырех соединенных
между собой монет и фигурки орла. В монпах,
как показано на рисунке, было проделано ия1ь,
четыре, три и ува отверстия соответственно, гак,
что соединяющие их звенья могли располагайся
различными способами.
Эта особенность породила спор о возможном
числе вариантов, которыми можно расположить
четыре монеты и фш урку орла на цепочке, как вы
считаете, сколько таких вариантов?
2. Три невесты
Один старый скупс ц, чтобы привлечь потенци-
альных женихов для трех своих дочерей, объявил,
что даст каждой в приданое столько солога, сколь-
ко она весит. Все свадьбы сыгра >н в одни день,
и перед взвешиванием невесты съели по огром
ному торту, что немало обрадовало их жени.хон.
Л Сходно разных ценечек мвжио ituiiiiiwnib т цчти (ьсньги?
К. tn /мС/ыть potiHo Ksni’iSti чгн ovnott?
Все невесты вместе весили 396 фунтов, Нелли
весила на 10 фх нтов больше, чем Китти, а Мин-
ни — на 10 фунтов больше, чем 11елли. Один из
женихов, Джон Браун, весил столько же, сколько
и его невеста, Уильям Джонс — в полтора раза
бо ibuic своей невесты, а Чарльз Робинсон —
в два раза больше, чем его невеста. Все жени-
хи п невесты в сумме весили 1000 фунтов.
1 сиене фамилии будут носить девушки по-
сле замужества?
3. Самая справедливая
игра на пляже
На днях я с другом соверша \ прогул-
ку по Кони-Айленду. и мы увидели па-
вильон, где, как утверждал его владелец,
находилась самая справедливая игра на
плхжс. Нужно было сбить десять кукол
бейсбольным мячом. Владелец аттракци-
она Сказал: «Бросайте столько раз, сколь-
ко захотите, каждый бросок стоит один цент,
бросать можно с любого расстояния. Сложи-
те числа на сбитых куклах, и. как только сумма
станет равной 50, вы выигрываете сигару с позо-
лоченным кольцом ценой в 25 центов».
У нас закончились деньги, но мы так и не смог-
ли выиграть. Мы заметили, что никто поблизо-
сти не кур . х призовых сигар. Сможете сказать,
как набрать ровно $1) очков в этой игре?
91
4. Множество морских змей
В этом году морских змеи расплоди
лось как никогда много, и на морских
курортах стали замечать змей, которые
зам раньше нс нидились. Моряки pat
сказывали страшные исюрни, кию-
рыебылы весьма optii ннальны, несмо-
тря на старинный сюжет.
С изобретением фотографии, одна-
ко, рассказы о ярых моряков к судовые
журналы, подлинность которых была
подтверждена, перестали удовле тви
рять публику, которая требовала под-
линных кадров.
Один капитан у гверж ц.л,что, пока
его кораиль лежал в дрейфе близ Ко-
ни-Айленда, его окрхжнло множество
морских змей, и большинство из них
Пыли слепыми.
«Три змеи ничего нс- видели по пра-
вому борту, — рассказывал он, — три
ничего не ви дели по левому борту. Три
миг были "рячими на правый глд) три — на ле-
вый, еще три были зрячими наоОа глаза, а еще три
были полностью слепы». Поэтому он записал в су-
довом журнале, что «видел восемнадцать змей».
Однако парочке фотолюоите лей удалось за-
снять этих чудовищ. Когда от ui проявлены не-
гативы, оказалось, что капитан существенно
ошибся. С помощью фотографий удалось точ-
но определить, сколько змей было на самом деле.
Сколько же змей видел капитан?
Л Klh.it w будет Wtf
A.WJ Н VtiCif ?
стьянина, которые просят у оракула совета по
каком у- го незначительному вопросу, и тот власт-
ным жестом повелевает им посмотреть в зеркало.
Чтобы показать важность и достоинство оракула,
либо, чю более вероятно, передать загадочность,
которой он окружал любые мелочи, на рисунке
изоира ксны двое крсс i ьян, которые хотят узнать,
благослошп ли великий Зевс доброй улыбкой по-
купку козы и барашка.
Ора: ул сказал: «Они будут размножаться, по-
5. Головоломка оракула
Древние греки, римляне и египтяне безоговороч-
но верили оракулам — вес, начиная от объявле-
ния войны п заканчивая продажей скота, требо-
вало совета и одобрения оракула. На известной
картине «Зевс в Додоне» изображены два кре-
ка число овец, умноженное на число коз, не ста-
нет равным числу, которое, oiраженное в священ-
ном зеркале, окажется равным общем; числу коз
п овец в стаде».
Слова оракула неоднозначны и загадочны,
но гем нс менее читатель сможет разгадать его
затадк;.
Решения
1. Математики и любители головоло-
мок, которым доставляет удовольствие
решение задач с перестановками,
подсчитали, что можн э составить
92160 разных цепочек из четырех
монет и подвески в форме орла.
Очевидно, что большую монету можно
подвесить за любое ив пяти отверстий,
и повернуть одной из двух сторон.
Следовательно, всего допустимо
10 вариантов. Вторую монету можно
расположить 8 способами, поэтому
только из двух этих монет можно со-
ставить 80 различных сочетаний. Если
умножить это число на 6 возможных
положений третьей монеты, 4 варианта
для последней монеты и 2 варианта,
которыми можно расположить фигурку
орла, получим, что если располагать
все монеты именно в таком порядке,
то общее число вариантов будет равно
3840. Так как число перестановок монет
равно 24, то ответом к задаче будет
3840 вариантов, умноженные на 24, то
есть 92160.
2. После замужества невесты буд;т
носить фамилии Китти Ьраун, Нелли
Джонс и Минни Робинсон. Китти весила
122 фунта, Нелли — 132, Минни — 142.
3. 50 очков можно набрать, если сбить
куклы <а 25,6 и 19 очков.
4. Всего было три полностью слепые
и три полностью зрячие змеи,
5, Многие крестьяне, годобно нашим
читателям, провели немало времени
перед зеркалом, перебирая различные
варианты, пока не нашли верный от-
вет: 9 овец и 9 коз. Произведение этих
чисел, 81, отраженное в зеркале, даст
18 — общую численность стада.
52
ДЬЯВОЛЬСКИЙ КУБ — УВЛЕКАТЕЛЬНАЯ ГОЛОВОЛОМКА, В КОТОРОЙ НУЖНО ПРАВИЛЬНО
РАСПОЛОЖИТЬ ВСЕ ВОСЕМЬ ЧАСТЕЙ ТАК, ЧТОБЫ СОВМЕСТИТЬ СТОРОНАМИ ТРЕУГОЛЬНЫЕ ПРИЗМЫ
НА СОПРИКАСАЮЩИХСЯ ГРАНЯХ И СОБРАТЬ БОЛЬШОЙ КУБ.
Соединяем части в правильном порядке
Дьявольский куб
Дьявольский куб — это увлекательная
трехмерная головоломка пз восьми ча
с ген, которую можно сравнить с кубом
Конвея, кубиками сома и другими голово-
ломками с поликубами. Цель всех jt.iv голо-
воломок одинакова — совместить час nt гак,
чтобы восстановить исходное расположение
Элсмснты 1 оловоломки нс сцеплены гак, как
в головоломке бурр.11х нужно всего лишь при-
шжип гранями друг к друг у. По классификации,
предложенной Дж. Слокумом, дьявольский ьуб
относи гея к ра сборным головоломкам
Описание
На некоторых гранях каждо! о пз восьми кубиков
этой гиливолох mi ыадодягея трсуюльныепризмы
размерим в половину этой грани. Каждую из них
при сборке головоломки нужно совместить с тре-
угольной призмой на Грани другого кубика. Бо-
ковые грани лих призм образуют i ори зонталь-
ные и вертикальные по соски на гранях большого
куба. Так как все эти призмы равны между собой,
можно предположить, что собрать юловоломку
очень просто, но это совсем нс так. Ома лишь ка-
жется простой, так как имеет одну особенность,
которая существенно осложняет панск решения.
Множество комбинаций
Число возможных варпаптоь расположения ку
бпков, из которых состоит головоломка, неизме-
римо. Головоломка интересна тем, что распили
жение составных частей должно удовлетворять
Кроме того, существует еще одно ограни-
чение, вызванное положением призм на со-
прикасающихся гранях друг относительно
друга. 06 этом подробно рассказано ниже.
Части головоломки и логика
их расположения
Чтобы решить головоломку, нуж-
но правильно определить положе-
ние восьми кубиков друг огносп-
тельно дру 1 а. Нужно понять, каковы
возможные варианты расположения
сторон и соединения. Для этого бу-
дет полезно ввести систему обозначений. Будем
считать. что вес восемь кубиков собранной голо
волемки имеют одну общу ю точку, которая нахо-
дится в центре большою куба. В этой точке распо-
ложены вершины маленьких кубиков, отмеченные
красным цветом на рисунке:
А Ги.пнииимкл '“Ab-'ieu.ili.hUlt
дур», имюражетыя нари-
t унке, н&дарнт aim на кольни
увлекательных ‘ьиив. Чтобы
собрать се, nompeaytmta не-
мые терпения.
Таким образом, одна вершина в каждом из
определенным у слои j им.
Изначально каждый кубик может располагать-
ся в одной из восьми возможных позиций. Каж-
дый кубик также может находиться в одном из
24 возможных положений в пространстве, гак как
в каждой пз шести позиций, показанных на ри-
сунке па примере игральных костей, ку би к можно
повернуть четырьмя разными способами.
Если внимательно изучить элементы дьяволь-
ского куба, становится понятно, что каждый ку-
бик имеет три гладкие грани и три грани с высту-
пающими треугольными призмами. При сборке
головоломки гладкие грани кубиков должны рас
полагаться снаружи, крапп с призмами — внутри.
С учетом подобных ограничений чис со возмож-
ных положений кубика в конкретной позиции со-
кращается с 24 до трех.
восьми кубиков окажется помеченной. В Иашей
головоломке помеченными шршинамн можно
считать тс, в которых сходятся грани с треуголь-
ными призмами. На рисунке пока-
зан один из элементов головолом-
ки, повернутый так. что вы можете
видеть все три его Стороны с при-
змами. Нужная вершина помечена
КраСНЫМ UBitUM
Ссединение граней
Сложность головоломки евяз та
с тем что грани ее составных чя
с гей соприкасаются между собой
но-осОоому. Все ip.iHlt ио отдель-
ное Г11 кажу гея < >динак< >вымп: поло-
вину каждой грани занимает треугольная призма.
83
Если ироднлли троили. ИД" положение HHVTpll
большого ку бз, то станет понятно, что они отли-
чаются. Учитывая расположение помеченной вер-
шины (выделенной красным цветом), можно вы-
делить четыре типа граней в зависимости от того,
какую часть грани инимаег призма.
На рисунке справа показан кубик с гранями
типа А, В и С,
Все возможные части
и комбинации
Всего существует четыре типа гранен с треуголь-
ной призмой: А, В, С и D. Кроме того, призмы
находятся на трех гранях каждого кубика. Един-
ственно возможные сочетания четырех элемен-
тов по три гаковы: ABC, АВD, ACD, BCD. Так
как кубики симметричны относительно централь
ной точки большого кеба (см. рисунок), каждое
из этих сочетаний можно сформировать двумя
разными способами. Так получаются восемь ча-
стей дьявольского куба: на рисунке показаны все
части головоломки и нумерация, которая исполь-
зуется в решении
нужно расположить ее части так,
как показано на рисунке в верх-
ней части страницы, при необхо-
димости повернув их, после чего
совместить так, как показано на
схеме. Сначала поместите эле-
мент № 5 в угол коробки, затем
расположите элементы 6,7 и 8,
как показано на рисунке. Нижняя
сторона головоломки собрана.
Теперь установите в нужное
место элемент Н= 1, затем 2,3 и 4.
Рисунок справа поможет
понять, как нужно расположить
кубики друг относительно друга
(внутренние грани выделены
серым цветом).
х
ЕГAGOSTINI ПРЕДСТАВЛЯЕТ
Пропустили выпуск
любимой коллекции?
© Просто закажите ег
на сайт
| www.deagostini.ru
Для украинских читателей — по телефону горячей линии 0-800-500-8-40
В следующем выпуске через 2 недели
Спрашивайте
® в киосках!
«Большой взрыв»
Алгоритмы
Мощный математический
инструмент
Великий арабский математик
Аль-Хорезми
Теория информации
Эпоха коммуникаций
Генри Э. Дьюдени
Задачи на разрезание