Текст
ВЫХОДИТ РАЗ В ДВЕ НЕДЕЛИ
занимательные головоломки
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D^GOSTINI
1
Четыре в ряд. Крестики-нолики в кубе
занимательные
«ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ» Издание выходит раз в две недели Выпуск №1,2012 РОССИЯ
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D4AGOSTINI
В этом выпуске:
ИЗДАТЕЛЬ, УЧРЕДИТЕЛЬ, РЕДАКЦИЯ: ООО «Де Агостини», Россия ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС: 105 066, г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д.З, стр.1 Письма читателей по данному адресу не принимаются.
ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Николаос Скилакис ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР: Анастасия Жаркова ФИНАНСОВЫЙ ДИРЕКТОР: Наталия Василенко КОММЕРЧЕСКИЙ ДИРЕКТОР: Александр Якутов МЕНЕДЖЕР ПО МАРКЕТИНГУ: Михаил Ткачук МЛАДШИЙ МЕНЕДЖЕР ПО ПРОДУКТУ: Любовь Мартынова
Свидетельство о регистрации средства массовой информации в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) ПИ № ФС77-43310 от 28.12.2010 г.
Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru
по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной «горячей линии» в России:
С 8-800-200-02-01
Телефон «горячей линии» для читателей Москвы: С 8-495-660-02-02
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ: Россия, 170100, г. Тверь, Почтамт, а/я 245, «Де Агостини», «Занимательные головоломки»
РАСПРОСТРАНЕНИЕ: ЗАО «ИД Бурда»
УКРАИНА
ИЗДАТЕЛЬ И УЧРЕДИТЕЛЬ: ООО «Де Агостини Паблишинг», Украина ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС: 01032, Украина, г. Киев, ул. Саксаганского, д. 119 ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Екатерина Клименко
Свидетельство о государственной регистрации печатного СМИ Министерства юстиции Украины КВ № 17502-6252Р от 01.03.2011
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини», «Занимательные головоломки»
Украина, 01033, м. КиТв, а/с «Де ArocriHi»
Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua
по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной «горячей линии» в Украине:
С 0-800-500-8-40
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ ООО «РЭМ-ИНФО», г. Минск, пер. Козлова, д. 7г, тел.: (017) 297-92-75 АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ:
Республика Беларусь, 220037, г. Минск, а/я 221, ООО «РЭМ-ИНФО», «Де Агостини», «Занимательные головоломки»
КАЗАХСТАН
РАСПРОСТРАНЕНИЕ: ТОО «КГП «Бурда-Алатау-Пресс»
РЕКОМЕНДУЕМАЯ РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА ПЕРВОГО ВЫПУСКА: 129 руб.
РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА: 24,90 грн, 490тенге
ОТПЕЧАТАНО В ТИПОГРАФИИ: G. Canale & С. S.p.A. Sos. Cernica 47, Bucuresti, Pantelimon - llfov, Romania.
ТИРАЖ: 500 000 экз.
Издатель оставляет за собой право изменять последовательность номеров и их содержание.
Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую цену выпусков.
Неотъемлемой частью каждого выпуска является приложение.
© ООО «Де Агостини», 2012
© RBA Coleccionables, 2011 ISBN 978-5-9774-0462-4
ДАТА ВЫХОДА В РОССИИ: 07.02.2012
Математическая вселенная
В этом разделе приводятся основные математические понятия, о которых нам рассказывали еще в школе, но здесь они представлены в занимательной и понятной форме и вовсю демонстрируют возможности практического применения. На протяжении всей истории человечества, со времен Древней Греции до наших дней, человеческий разум совершил множество открытий, — числовых, геометрических, алгебраических, символических, — составивших математическую вселенную. В ней существуют, например, волшебные квадраты, миры, где нет понятий «право» и «лево», искусство счета, совершившее революцию в торговле, и множество других тем, о которых рассказывается в простой и доступной форме.
Блистательные умы
На этих страницах вы познакомитесь с жизнью и деятельностью ярких личностей, которые в разные периоды человеческой истории погружались в математическую вселенную и исследовали самые тайные ее уголки. Вы узнаете много нового и интересного про Архимеда, который был способен вообразить самые большие числовые значения, и Джона Ван Ньюманна, придумавшего компьютер, чтобы их вычислять; про Ньютона, которого знали во всех уголках Земли, и Николя Бурбаки — математика, которого никогда не существовало.
Математика на
Математическое алогическое мышление и его применение на практике стали темой этого раздела. Мы узнаем о том, как применять математику в повседневной жизни в разных ситуациях — от самых простых до самых сложных. Мы увидим, что математике подчиняется и движение небесных тел, и строение снежинок, и система нумерации штрих-кодов, и удивительные линии смелой архитектуры Гауди.
Математические задач!
В этом разделе собраны задач! для испытания вашего интеллекта. В нем предлагается множество игр и загадок, порожденных воображением великих мастеров математического досуга. Тем, кто захочет себя испытать, потребуются находчивость и терпение, но взамен они
получат истинно интеллектуальное наслаждение на долгие часы.
Головоломки
В каждом выпуске этой серии есть свой герой — головоломка. Вы узнаете все о ее структуре, истории и возможных решениях. Каждая головоломка развивает одну из областей мыслительной деятельности: в одних случаях — воображение, в других — логическое мышление; для разгадки некоторых потребуется раскрыть некий математический «фокус», который спрятан в решении, в то время как другие требуют от нас хорошей памяти или, просто-напросто, догадливости.
Концепция числа лежит в основе познания окружающего мира Мы оперируем числами ЕЖЕДНЕВНО, НЕ СЛИШКОМ ЗАДУМЫВАЯСЬ О ТОМ, ЧТО ОНИ ИЗ СЕБЯ ИЗНАЧАЛЬНО ПРЕДСТАВЛЯЮТ. Того ЖЕ, КТО ПОПЫТАЕТСЯ ПРОНИКНУТЬ В СУТЬ ЧИСЛА, ЖДУТ НЕВЕРОЯТНЫЕ ОТКРЫТИЯ.
Системы счисления
◄ «Башня Ханоя» —
логическая игра, решение которой ос-
новывается на знании
Как люди учились считать
ОБРАЗНЫЕ СИМВОЛЫ
СЛОВЕСНЫЕ СИМВОЛЫ
Пальцы
Слова, имеющие визуальный
Слова, не имеющие визуального
Конкретные предметы (камни, палки,
Отметки на роге Узелки
различных систем счисления. Придуманная в конце XIX в., эта игра до сих пор пользуется огромной популярностью.
Первые предки числа появились, когда древний человек захотел как-то обозначить различные «количества». Затем предметы, которые требовалось пересчитать, стали объединять в группы — для этого понадобились новые символы. С прогрессом древних обществ, оформлением экономических отношений, зарождением и развитием науки (особенно астрономии) воз-
Символы, имеющие визуальный эквивалент
Буквы алфавита, имеющие количественное значение
Буквы алфавита, несущие порядковую информацию
Символы, не имеющие визуального эквивалента
ПИСЬМЕННЫЕ СИМВОЛЫ
никли различные системы счета. Наиболее популярными среди них всегда были так называемые позиционные системы, использующие для записи чисел ограниченное число знаков, каждый из которых интерпретируется в зависимости от его места в записи числа (такова, например, всем нам знакомая десятичная система счисления). Постепенно «арифметические» задачи усложнялись, и, чтобы быстрее их решать, человек придумал примитивную машину — счеты. Дальше дело пошло быстрее — в сущности, от счетов до современных компьютеров путь (в историческом масштабе) оказался не слишком долгим.
Первый счет
Прямое восприятие числа (речь идет о «физическом» умении человека с первого взгляда определить, сколько он видит объектов) ограничено количеством предметов — в любом случае их насчитывается не больше четырех. Самый простой способ счета заключается в сравнении предметов из двух разных групп. Если пасгуху необходимо подсчитать количество овец, то он
может сложить в сумку столько камней, сколько овец содержится в его стаде. Когда животные будут возвращаться с пастбища, он без труда «пересчитает» их, вынимая по одному из сумки камни — по мере того как овцы станут входить в загон. О пропаже овец просигнализируют
▲ На схеме показаны все доступные способы представления «количественной» информации о пяти лосях. Они различаются по принципу соотнесения с внешним видом животных. Если такого соотнесения не происходит, то система счета приобретает абстрактный характер — такие системы появлялись в более развитых обществах.
◄ Один из самых наглядных методов счета — «на пальцах». На протяжении веков он был наиболее популярен в странах Средиземноморья и Ближнего Востока. На рисунке — способ, предложенный Лукой Пачоли (ок. 1445 — позже 1509 гг.).
оставшиеся невостребованными камни. Заменителями камней могут выступить палки, ракушки, зарубки на поленьях, узелки на веревках, отметины на песке. Так вели счет древние люди. Но эффективной эта система счета была до тех пор, пока речь не заходила о больших числах. При этом древний человек совершенно не понимал сущности числа — для того чтобы люди задумались об этом, общество должно было измениться.
Количество и порядок
В палках, камнях, зарубках, образных рисунках, служивших первобытным людям в качестве «знаков» счета, уже можно рассмотреть зарождение важнейшей концепции количественного числительного.
13
21 20
Она базируется на понимании того, что природа вещей, помогающих подсчету других предметов не играет в этом процессе ник псой роли. Число превращается, таким образом, в нечто абстрактное.
6 Папуасы и счет
Чтобы назвать то или иное число, папуасы, живущие в Новой Гвинее, дотрагиваются до различных частей тела.
Мизинец правой руки означает единицу, далее цифры (до числа 22) по окружности описывают все тело.
▲ Дры>ние египтяне, занимаясь «бухгалтерией», в качестве «счетной машины» использовали пальцы. На представленной иллюстрации, относящейся к концу V в. до н. з., главный писарь диктует «финансовый отчет^ своим подчиненным
)Т0 И41ЮТ0
Представители народности дамара (Южная Африка) не умеют считать больше пяти, потому что ведут счет, указывая одной рукой на пальцы другой руки (коих, как известно, всего пять). При этом они слывут рачительными хозяевами — скот у них никогда не теряется. Почему? Потому что всех своих животных они знают «в лицо»
В Азии раньше вели счет с помощью пальцевых фаланг. Суммируя все фаланги, мы получим 28 — это и было предельное число в такой системе подсчета. Китайским женщинам, впрочем, этого вполне хватало — они контролировали менструальный цикл, повязывая веревочку на соответствующую фалангу.
Римляне давали имена своим детям только до четвертого ребенка. Далее их просто нумеровали: пятый, шестой, восьмой, десятыи. В многодетных семьях встречались дети, чьи имена переводятся как «Многочисленный».
Считать умеет не только человек — в животном мире мы обнаружим немало видов, представители которых делают это не намного хуже нас. Осы-одиночки, например, способны оце нить количество живых гусениц, предназначенных в пищу. Оно всегда равно 5,12 или 24.
◄ Золотая монета эпохи эллинизма стоимостью К (= 20) драхм, отчеканенная в Египте. В древнегреческой, древнееврейской и некоторых других культурах числа обозначали с помощью алфавита, в котором каждой букве присваивалось определенное числовое значение. Это было не слишком удобно, так как иногда приводило к путанице букв и цифр.
▲ Шумерская глиняная табличка, датируемая 2400г. до н. э. В Вавилоне с числами окончательно «разобрались» примерно к 2000 г. до н.э. — в те времена вавилонская система была, пожалуй, самой прогрессивной. Основывалась она на двух числовых символах — вертикальном и горизонтальном клинышках. Первый «гвоздик» соответствовал единице, а второй — десяти.
числа от тысячи и выше записывались с помощью «картинок-.
Так, сидящий мужчина с поднятыми к солнцу руками обозначал миллион.
▲ Древние египтяне без труда считали до миллиона и больше. Первые девять цифр они обозначали линиями; десятки — вытянутой «подковой», а сотни — «спиралью». Большие «рубежные»
Следующим шагом на пути создания числа стало введение порядка числительных: (первый, второй, третий и т. д.). Расставляя несколько предметов в ряд (или один против другого), мы уже как бы присваиваем им порядковый номер. Впрочем, в процессе счета этот «порядок» не столь уж и важен — главную роль тут играет лишь последний посчитанный элемент, дающий информацию об общем количестве интересующих нас предметов.
Объединение чисел
Пока счет шел на единицы и десятки, можно было обходиться камнями и палками. Но их оказалось мало, когда стали актуальными сотни и тысячи (это касается тех же попыток описания звездного неба). Даже если попробовать каждому большому числу присвоить свое собственное слово (из известных), то их в какой-то момент не хватит — по той простой причине, что количество слов в любом языке ограничено. Перед человеком встала задача объединения чисел. Элементарнейшее объединение — это выделение, скажем, каких-нибудь двух предметов. Некоторые объединения возникли естественным путем — такие, например, как пять пальцев на руке или десять на двух руках (так появилась современная десятичная система счисления). Подобные операции послужили основной базой для создания различных систем счисления.
Греческая система
1 А 2 В 3 Г 4 А 5 Е 6 Е 7 Z 8 Н 9 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90
I К Л М N 0 П
100 200 300 400 500
р Е т Y Ф
600 700 800 900
X 4х (Т)
Привычка считать яйца дюжинами (популярность в древности числа 12, скорее всего, объясняется астрономическими увлечениями — именно столько насчитывается зодиакальных знаков) прекрасно иллюстрирует те пути, по которым шел человеческий разум. Во французском языке до сих пор слышны отголоски системы счисления, основанной на числе 20 (по количеству пальцев рук и ног). Так, число 83 у французов звучит как «quarre-vinght-crois», то есть «четыре раза по двадцать плюс три». Такой же отголосок — привычка подсчета времени и углов на базе числа 60 взятого из древневавилонской системы), когда мы принимаем за минуту промежу ток времени, равный 60 секундам, а за час — рав ный 60 минутам.
Другие подходы
В древнейшей цивилизации майя (Северная и Центральная Америка) для написания цифр было принято группировать точки и черточки по пяти позициям, Ноль при этом обозначался значком в форме ракушки
Система народа майя 0 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19
I 1 Римская система
V 5
X 10
L 50
С loo
D 500
М юоо
[ II III IV V VI VII VIII IX X
1 2 3 4 5 61 7 8 9 10
XX XXX XL L LX LXX LXXX XC c
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Число 1968 пишется как MCMLXVIh, а 2003 — как I' Will.
▲ Плита с записями хозяина древнеримского кабачка. Несмотря на то, что римская система счета не была позиционной, она получила широкое распространение в Европе. Пользуются ею и
сейчас — в частности, римскими цифрами обозначают века и нумеруют события, представляющие особую важность (оспимним названия Олимпийских игр, мировых войн и т. п.).
Китайцы и сегодня продолжают использовать числовую систему, созданную более 6000 лет назад. Она основана на 13 фундаментальных символах, соответствующих знакам китайской письменности.
Африканские пигмеи в своей системе счета отталкиваются от числа 3: для первых трех чисел они выбрали звуки «а» (1), «оа» (2) и «уа» (3) и, достаточно примитивным способом варьируя их, создают новые числительные: «оа-оа» (4), «оа-уа» (5), «уа-уа» (6).
► Тринадцать «иероглифов», лежащих в основе китайской числовой системы
4 Майя цифры изображали с помощью точек и черточек. Ноль у них имел форму ракушки.
Большие числа
В древности счет заканчивался на нескольких тысячах. В обозначении слишком больших чисел долгое время не было необходимости, так как считать с их помощью было попросту нечего. Говоря о подобных множествах, обычно восклицали: «Больше, чем звезд на небе!» — и всем становилось ясно, о чем идет речь. Число «миллион» появилось только в конце Средневековья. Само это слово переводится с латыни как «большая тысяча» (или «тысяча раз тысяча»). Лишь с развитием астрономии и ростом объемов торговли возникла потребность модернизации системы чисел в сторону ее расширения.
тачной системе он бы указывал на 5 единиц), и в числе XVI (в десятичной системе — 5 десятков), и в числе VII (в десятичной системе — 5 сотен).
Достаточно трудным при оформлении той же десятичной системы счисления (а она представляет собой показательный пример позиционной системы счисления) был поиск «отсутствия». Вопрос формулировался так: что делать, например, с числом 405, в котором десятки отсутствуют? Древнеиндийские мудрецы нашли выход из этого положения, введя в оборот новое слово «sunya», то есть «пустота».
Позиционная система
Мы привыкли говорить «четыреста» для обозначения «четверки» в числе 2461, «сорок» — в числе 1648; «четыре тысячи» — в числе 4892. Та легкость, с которой мы меняем словесное выражение одной и той же «четверки», — результат одного из важнейших в истории человечества изобретений. А именно — позиционной системы счисления.
В непозиционной системе счисления символ, соотносящийся с каким-либо числом, постоянен и, где бы в числе он «ни находился», обозначает всегда одно и то же. В хорошо знакомой каждому римской системе счисления символ V соотносится с числом 5 и в числе XV (в деся-
▲ Прежде чем цифры обрели современный облик, их символы и их расположение на листе (табличке, папирусе, пергаменте и пр.) многократно менялись. В виде, приближенном к нынешнему, они оформились в эпоху крестовых походов. Дальнейшие реформы написания знаков касались только частностей.
Десятичная система счисления
Используемая нами сегодня десятичная система счисления и основные правила счета, ей соответствующие, появилась на севере Индии в V в. до н. э. Для того чтобы это случилось, потребовались три вещи: а) разработанная концепция цифр от 1 до 9, обозначаемых отдельными абстрактными символами; б) утверждение полноправного положения нуля; в) формулировка позиционных принципов размещения цифр при написании больших чисел. Согласно этой системе, совершившей революцию не только в науке, но, вообще говоря, перевернувшей весь мир, написание «1704» означает: «четыре единицы, ни одного десятка, семь сотен и одна тысяча».
История числовых изображений
Большинство великих цивилизаций, оставивших яркий след в истории человечества, имели свои собственные системы счета. Вот основные вехи
герме-
ИЯ
этого пути.
Цивилизация (До 1500 г. до н.э.) Майя, будучи соверш тичной культурой, вне каких-либо
влияний создали уникальную позиционную систему
Европа
Арабские цифры стали использоваться в Европе, начиная с X в., — при этом современный вид ^та система обрела лишь после Великой фоанцу_1скай реголюции.
Индия
‘До V в. цо н.э.)
Современная система счи^енця (точнее, ее прообраз) возникла 2500 /|ет назад на севере Индии..
О
О
Вавилон
(До 1500 г. до н.э.) Ш'.стидесятеричная озиционная система
^числения, включающая ноль, в древнейшие времена появилась в Вавилоне.
Китай
Древние китайцы польврвались системой счисления, базирующейся на 13 основных знаках Ноль был введен в середине II тысяче! ie-тия до н. э. *
Арабе к л мир Арабы, заимствовав индийскую систему Числения, уже к IX в. имеят собственную арифме^к)
1сления.
)Т0 И41ТМ110
Первая в истории портативная счетная машина была изобретена в I в. до н. э. в Древнем Риме. Она представляла собой маленькую металлическую пластинку с параллельными канавками, по которым передвигались шарики одинакового размера.
Камушки и счеты
Латинское слово «calculus» переводится как «маленький камушек». Такие камушки издавна помогали обучать детей счету. Для того чтобы считать было легче, в камушках просверливались дырки, через которые пропускали нитки. Этот принцип хорошо знаком завсегдатаям бильярдных. Он используется и в четках — сих помощью верующие ведут счет собственным молитвам.
Описанная схема легла в основу устройства счетов — первой «вычислительной машины».
Когда кто-то считает на пальцах (пусть даже он этого не показывает другим) и говорит: «36 и 2 в уме», — это те же счеты, где пальцы заменяют косточки.
Самые совершенные счеты изобрели древние китайцы. Они имеют хождение до сих пор. Такие счеты представляют собой деревянную рамку с несколькими поперечными параллельными рейками, на каждую из
которых нанизано по семь шариков. Расположен
ная перпендикулярно к ним палочка делит счеты на две части таким образом, что с одной стороны остается 2 шарика, а с другой — пять. Счет основан на десятичной системе — каждая рейка обозначает следующий порядок счета. Это простейшее устройство предназначено для складывания, вычитания, умножения, деления и даже таких от
носительно сложных операций, как извлечение квадратного или кубического корня.
▲ Счетовод заработай.
В Европе зпохи Возрождения многие тогдашние «бизнесмены», подсчитывая собственные доходы и расходы, прибегали к услугам профессиональных счетоводов.
▼ И сегодня древние счеты используются для обучения школьников в некоторых
Во Франции в XIII в. обозвать кого-то <нулем» считалось более оскорбительным, чем «дураком».
В конце 1946 г. в Токио состоялось двухдневное соревнование по счету между бухгалтером Кийошу Мацукаи и дальним «предком» современных компьютеров. Со счетом 4:1 победил бухгалтер, который лишь один раз ошибся при умножении.
восточных странах.
Удивительный ноль
Средневековые арабские математики первоначально переводили санскритское слово «sunya» как «sirf», что значит «пустота».
К XII в. этот термин латинизировался и стал звучать как «sifra», «cifra» или «tzyphra». В христианском мире его долгое время именовали «неверным числом». Сегодня в большинстве западных языков письменные знаки счета называются «цифрами». В испанском языке аналог этого термина — слово «сего», образовавшееся от итальянского «zero»
(то есть «ноль»).
б
Спустя почти сто лет после смерти Исаака Ньютона выдающийся французский ученый Жозе Луи Лагранж с некоторой завистью сказал: «Он самый большой счастливчик на свете — СИСТЕМУ мироздания можно открыть лишь однажды».
ц о N Р 1 д
И»
Ученый, объяснивший мир
Исаак Ньютон
PHILOSOPHISE
МАгГНЕМАгГ1СЛ
--------------’ " 7 MatbcCcos
С р Е Р Y S, 5- ,бМ-
◄ ◄ Исаак Ньютон (1643—1727гг.).
Если верно, что природа говорит языком математики, то Исаак Ньютон, пожалуй, был одним из >амых понятливых ее собеседников.
◄ 28 апреля 1686г. Ньютон представил Королевскому обществу рукопись под названием «Математичс ские начала натуральной философии». Этому труду, более известному как просто «Начала», предстояло обозначить важнейший «водораздел» в истории мировой науки.
Исаак Ньютон родился 4 января 1643 г. в Вулсторпе (Англия). Его отец, простой фермер, умер незадолго до появления на свет будущего ученого, семья еле сводила концы с концами, и Исаак уже с 15 лет помогал матери вести фермерское хозяйство. Дядя, увидевший однажды племянника с книгой, уговорил его мать позволить сыну продолжать учение, и в 1661 г. Ньютон поступил в Тринити-колледж Кембриджского университета, а в 1667 г. — ив сам Кембриджский университет. Успехи его были столь велики, что уже спустя два года, в 1669 г., его учитель, знаменитый математик И. Барроу, передал Ньютону свою кафедру в университете, которую тот занимал до 1701 г.г Впрочем, его лекции по оптике студенты посещали плохо — скорее всего, из-за сложности вполне революционных теорий ученого, которые он предлагал своим слушателям. В 1672 г. Ньютон стал членом Лондонского королевского общества (аналога Академии наук), а в 1703 г. возглавил его.
Его научное наследие универсально. Ньютон разработал основы дифференциального и инте-
грального исчисления, сформулировал основные законы классической механики, сделал несколько важнейших открытий в области оптики.
Все свои гениальные идеи Ньютон высказал в молодости — после 40 лет он лишь оттачивал, шлифовал и уточнял выдвинутые теории. Удивляя современников своим необычным характером, ученый никогда не покидал Англию, не
▼ Почтовая марка, на которой изображено знаменитое ньютоново яблоко.
Год выпуска —1987.
Легенда о яблоке
Самая знаменитая научная легенда повествует о том, как однажды Ньютон сидел под яблоней и размышлял о природе всемирного тяготения. И вдруг увидел, как
с дерева упало яблоко. В этот момент, будто бы, его и посетила гениальная идея, позволившая дать красивейшее объяснение существующему мироустройству. Сейчас нам уже не выяснить, быль это или очередной миф, коих мы найдем множество в истории науки. Известно одно — историю эту пустил в оборот Вольтер, один из преданнейших исповедников ньютоновской теории тяготения.
был женат и не имел близких друзей. Работал он неустанно, без перерывов и передышек, — ежедневно вставая в шесть часов утра и ложась спать в три ночи. Обычные человеческие радости были ему непонятны — он никогда не увлекался спортом и не играл в карты. Его секретарь утверждал, что зачастую его патрон забывал поесть и что лишь однажды он видел его смеющимся. В начале 1690-х гг. вспыхнувший в кабинете Ньютона пожар уничтожил несколько неопубликованных рукописей, вместе с которыми, возможно, погибли так и оставшиеся неизвестными человечеству математические и физические знания. Это был один из худших периодов в жизни Ньютона — именно в эти годы он страдал помрачением рассудка. Окончил свои дни 84-летний ученый дворянином и весьма богатым человеком (еще в 1699 г. он получил пожизненное звание директора Монетного двора).
«Начала»
Вершина ньютоновской мысли — его книга «Математические начала натуральной философии». В этой работе впервые определяются понятия массы, силы и количества движения. Исаак Ньютон, введя в научный оборот гравитационную постоянную (известную всем со школьных времен постоянную g), математически описал свободное падение тел и движение планет вокруг Солнца. Тем самым была создана классическая механика, на протяжении последующих двух столетий считавшаяся абсолютно точной универсальной теорией. Лишь в начале XX в. Эйн-
штейн доказал, что это не так. Новым шагом на пути постижения устройства мира стала теория относительности — классическая механика вошла в нее в качестве составной части (как предельный случай).
Спектральное разложение света
Экспериментируя со стеклянными призмами, Ньютон сумел разложить солнечный свет на составляющие его цвета, которые, смешиваясь, вновь превращались в солнечный свет.
◄ Телескоп Ньютона, изготовленный в 1671 г., хранится в Лондонском королевском обществе.
▲ Этот рисунок телескопа был собственноручно выполнен Ньютоном.
ЛО Ш1КМО10
Ньютон, подобно многим великим ученым был очень рассеянным человеком. Однажды в обществе он «воспользовался» пальцем сидевшей с ним по соседству дамы, чтобы примять табак в своей трубке. Трубка при этом еще не успела погаснуть.
Бином Ньютона
6accdae 13eff7i 31
9n4o4qrr4s9t12vx
(а + b)4 = а4 + 4a3b + 6a2b2 + 4аЬ3 + Ь4
Одной из популярнейших в математике алгебраических формул является бином Ньютона, представляющий собой сумму двух элементов, возведенную в какую-либо степень. Вообще говоря, эта формула была известна еще в Древнем Китае и средневековой Средней Азии. В Европе до Ньютона с ней работал Паскаль. Но Ньютон обобщил ее для любых (в том числе нецелых) показателей степени. Выше представлена формула для степени 4.
Этот буквенно-цифровой ряд (так называемый логогриф) Ньютон придумал для ссылок на собственную теорию исчисления бесконечно малых величин —дабы Лейбниц не смог узнать результаты его научной работы. Специалисты утверждают, что последнему было бы легче заново вывести законы, открытые Ньютоном, нежели разгадать этот логогриф.
Если БЫ ДЕМОКРАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ ПОНАДОБИЛОСЬ ДАТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СВОИМ ПРАВИЛАМ ИГРЫ, ПРОЦЕСС МОЖНО БЫЛО БЫ НАЗВАТЬ «ПОДСЧЕТ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ». ИНАЧЕ ГОВОРЯ, ТО, ЧТО ОТНОСИТСЯ К СФЕРЕ МАТЕМАТИКИ.
Демократия, выборы и математика
Справедливое распределение
▲ Различные системы вы-
пардаментской демократии множество граждан страны выбирают ограниченное количество представителей, на которых возлагают законодательные функции. Очевидно, что это делается не наобум: непременным атрибутом и благом выборной систе-Я мы является «справедливое» Я в приемлемом смысле этого сло-. X ва распределение мест в представительских органах. Наибольшим доверием пользуется система пропорционального распределения, при которой различным кандидатам, или спискам кандидатов, отводится определенное количество мест согласно количеству набранных голосов.
Но может ли распределение быть стро-W го пропорциональным? После краткого размышления становится ясно, что за исключением абсолютно чудесных случайностей голоса и места не совпадают. Чтобы найти выход из этой ситуации, необходимо в очеред-
Задача на пропорции
Предположим, у нас есть четыре списка кандидатов — А, В, С и D, за которые избиратели отдали конкретное количество голосов, достаточное для получения 14 мест в парламенте.
Кандидат Место
А 92.314
В 58.310
С 21.830
D 14.970
Первое, что приходит в голову, чтобы распределить места, — разделить количество голосов за данных кандидатов на общее количество голосов, в случае со списком А это 92314/187424 = = 0,49, и умножить результат на количество мест. При этом список А получает 6,90 мест. Тем же способом подсчитывается количество мест для остальных списков кандидатов:
боров и соответствующие критерии — предмет пристального внимания математиков, пользующихся таким случаем, чтобы про-
ной раз призвать на помощь здравый смысл и выбрать разумные критерии, которые позволят распределить спорные места. И хотя математики не в состоянии предложить подобные критерии, они могли бы помочь уточнить формулиров-
верить самые замысловатые математические теории.
ки и перевести их на язык конкретных методов вычислений.
А 6,90 мест
4,35 мест
1,63 мест
1,12 мест
Демократы (267) Эл Гор
Республиканцы (271)
ДжорджУ Буш
Вашингтон (11)
► Распределение мест по штатам или округам страны согласно количеству жителей создает такую же проблему пропорциональностей, как и распределение мест согласно голосам, набранным конкурирующими списками. Здесь представлена ситуация в США во время президентских выборов 2000 г.
Орегон (7)
Невада (4)
Калифорния (54)
Аляска
(3) .
Монтана
I3J
Северная
Дакота (3)
Айдахо
(4)
Вайомин (3)
Южная
Дакота (3)
Небраска (5)
Юта
(5)
Аризона (8)
Гавайи (4)
Колорадо (8)
Нью-Мексико (5)
Миннесота (10)
Висконсин
(11)
Канзас (6 )
Айова (7)
Миссур.1
(11)
Оклахома (8)
Арканзас (6)
Техас (32)
Луизиана (9'
Нью-Гемпшир (4)
Вермонт (3)
Мичиган (18)
Пенсильвания
Индиана Огайо 1231 (21)
. (12 Иллиноис
(22)
Кентукки® ) геннесси (11) Алабама Джорджи (13)
Мэн (4)
Нью-Йорк (33)
Массачусетс (12)
Род-Айленд (4)
Коннектикут (8)
Нью-Джерси (15)
Делавэр (3)
Мэриленд (10)
Западная Виргиния (5)
Виргиния (13)
Северная Каролина (14) Южная Каролина (8)
Флорида (25)
Миссисипи (7)
Ясно, что неплохо было бы распределить име-
вил проведения выборов и методов распределе-
ющиеся места в зависимости от полученных голосов, но делить места на доли невозможно, поэтому придется искать другой способ распределения. Если бы мы могли покупать места за день- / ги, чтобы знать, сколько стоит каждое из них, мы разделили бы сумму, уплаченную за количество полученных мест, но поскольку речь идет о выборах, деньги заменены голосами. Предположим, что списку кандидатов А мы отвели 7 мест. Количество голосов,
А 41 %
В 30%
Пропорциональное распределение
ния мест. В одном из таких методов внимание сосредоточено на стоимости, уплаченной < списком, который находится в наиболее благоприятном положении, — стоимости, которая минимальна и которую предлагается поднять до максимума. Словом, это распределение в пользу кандидатов, находящихся в наиболее благоприятном положении. Этот метод получил название метода д’Ондта и был предложен в 1879 г. бельгийским юристом и математиком Виктором
С 21%
D8%
деленное на количество мест 92314/7 =13187,71 дает нам «стоимость» места, выраженную в голосах. Или, говоря иначе, каждое место обошлось кандидатам из списка А в 13187,71 голоса.
д’Ондта, но изобретен ранее Томасом Джефферсоном. Другой метод, наоборот, предлагает максимально снизить стоимость, уплаченную кандидатом, за которого «платят» больше, чем
Распределение по методу д'Ондта (10 мест)
Распределение по методу д'Ондта (20 мест)
Если теперь мы разделим общее количество голосов на общее количество мест, то получим «среднюю стоимость» места, то есть стоимость, которую заплатили бы гипотетические кандидаты, если бы за них проголосовали все. В нашем случае получается 187424/14 = 13387,42. Ясно, что есть кандидаты, заплатившие меньше средней стоимости, значит, есть и другие, заплатившие больше. Предположим, к примеру, что список D получил одно место, стоимость которого составила 14970.
Другие решения
Несправедливость налицо. Можно ли что-нибудь предпринять? И да, и нет. Нет — если признать, что достичь идеальной пропорциональности невозможно. Да — если стремиться к тому, чтобы свести несправедливость к минимуму, по возможности сделав стандартной стоимость места, «уплаченную» разными кандидатами.
Однако в этой стандартизации ключевым фактором будут этические представления. Все они приводят к предложению конкретных пра-
▲ Если бы страна могла позволить себе роскошь резко увеличить численность членов парламента, распределение мест между партиями больше соответствовало бы строгой пропорциональности. Эта тенденция к достижению пропорциональности за счет увеличения количества мест видна на схеме применения метода д’Ондта к двум возможным составам парламента: с 10 и с 20 местами.
за других. Этим методом — методом Адамса — в настоящее время пользуются очень редко.
Промежуточное положение занимает метод заключающийся в сужении диапазона уплаченной стоимости, что достигается сведением до минимума математической функции, в целом описывающей разброс уплаченных стоимостей по сравнению со средней стоимостью. Он называется методом Сент-Лагьё, в США известен как метод Уэбстера.
И наконец, упомянем о методе наибольших остатков, который заключается просто в округлении в большую сторону величин мест, выраженных десятичными дробями, начиная с партии, имеющей наибольшую десятичную долю. Процесс длится, пока не будут заняты все места.
Все эти методы решают сходную математическую задачу, которая заключается в максимизации или минимизации величины определенной функции, которую называют «целевой функцией». Эта задача принадлежит к классу задач линейного программирования, которые в целом чрезвычайно сложны.
Справедливое распределение
Следующий шаг — переходим к списку с наибольшим количеством голосов (из тех, которые не помечены звездочкой), это будет список А с 46157 голосами. Даем ему одно место и переводим в третий столбец. Здесь надо действовать внимательно: в третий столбец следует вписать число, которое получается при делении начального количества голосов на три, то есть 92314/3 = 30771.
Метод д'Ондта
Рассмотрим подробно, как метод д’Ондта преобразуется в конкретные предложения по распределению мест.
Составим таблицу, в первом столбце которой
▲ Томас Джефферсон (1743—1826гг..), третий президент США. Будучи госсекретарем, изобрел метод распределения мест
V V/2 V/3
А 92314* 46.157» 30.771
В 58310* 29.155
С 21.830
D 14.970
укажем кандидатов или их списки, а во втором — количество голосов, которое каждый из них получил на выборах. Списку, который набрал наибольшее количество голосов, достается первое место, на что указывает звездочка рядом с количеством голосов.
между представителями штатов — метод, который известен нам под именем д’Ондта.
То есть всякий раз, когда одному из списков достается место, в следующий столбец вписывается набранное им количество голосов, деленное на номер этого столбца: на два для второго столбца, на три для третьего и т.п. Процесс повторяется (см. стр. 4) до распределения 14 мест.
V
92.314*
58.310
21.830
14.970
Затем это количество голосов разделим на два и поместим в следующий столбец
V V/2
А В С D 92.314* 58.310 21.830 14.970 46.157
Затем, среди набранных голосов, не отмеченных звездочкой, выбираем наибольшее количество, соответствующее списку В, даем ему одно место (*) и вписываем в следующий столбец это количество голосов, разделенное на два.
V V/2
А 92.314* 46.157
В 58.310* 29.155
С 21.830
D 14.970
Мажоритарные и смешанные системы
Система пропорционального распределения—далеко не единственная существующая в мире Есть также мажоритарная система, которая заключается в разделении электората на такое количество избирательных округов, сколько мест в парламенте, и в выборе кандидата, набравшего наибольшее количество голосов в каждом из них. Например, во Франции сложилась система из двух туров, во время первого из которых отбирают кандидатов, имеющих лучшие позиции, а во время второго выбирают победителя абсолютным большинством голосов. Преимущество этой системы — в возможности голосовать за кого-либо персонально, а неудобство — в почти полном отсутствии возможностей для представительства у миноритарных партий. Некоторые страны отдали предпочтение смешанным системам, сочетающим преимущества нескольких. Например, в Германии принятую систему называют «пропорциональной персонализированной». В Бундестаг (на снимке) входит 656 депутатов. Избиратели отдают голоса дважды: первый раз — чтобы выбрать партийный список, второй — чтобы выбрать депутата в своем округе. Партии осуществляют пропорциональное представительство благодаря депутатам, выбранным из первого списка, а потом — благодаря кандидатам из закрытых списков. Избиратель может распределить свой голос между крупной партией, которая ему не нравится, во время голосования за мажоритариев, и миноритарной партией, которую он поддерживает, во время пропорционального голосования.
Демократия, выборы и математик г
3
V V/2 V/3 V/4 V/5 V/6 V/7 Esc.
А 92314* 46.157* 30.771* 23.079* 18.463* 15.386* 13.188* 7
В 58310* 29.155* 19.437* 14.578* 11.662* 5
С 21.830* 10.915 1
D 14.970* 7.485 1
Метод Адамса очень похож на предыдущий: сначала одно место отдается каждому кандидату или списку, а затем, как по методу д’Ондта, распределяются остальные места:
Следовательно, возникает вопрос о том, как узнать, можно ли сформулировать требования рациональности, подобные приведенным выше, изложить таким образом, чтобы из их совокупности складывалась единая избирательная система, которая была бы наилучшей и позволяла отказаться от всех прочих. Наиболее примечательны в этой сфере результаты исследований американского экономиста Кеннета Джозефа Эрроу. Теорема Эрроу, сформулированная в 1951 г. и принесшая автору Нобелевскую премию по экономике в 1972 г., гласила, что при некоторых самых общих
V V/2 V/3 V/4 V/5 М
А 92314* 92314* 46.157* 30.771* 23.079* 18.463* 6
В 58310* 58310* 29.155* 19.437* 14.578 4
С 21.830* 21.830* 10.915 2
D 14.970* 14.970* 7.485 2
условиях эта задача не имеет решения.
Согласно условиям, для которых сформулирована теорема Эрроу, существует коллектив избирателей, и у каждого из них есть упорядоченный список имеющихся альтернатив, обозначенных А, В и С. Имея три варианта перестановок альтернатив, получим следующую таблицу с указанием количества граждан, выбравших каждый из них:
АВС 40
ВСА 35
Метод Сент-Лагьё тоже представляет собой деление, но в данном случае количество голосов делится на 1,3,5,7 и т.д.:
V V/3 V/5 V/7 V/9 V/11 V/13 V/15 М
А 92314* 30.771* 18.463* 13.173* 10.246* 8383* 7.093* 6.147 7
В 58310* 19.437* 11.662* 8330* 6.478 4
С 21.830* 7276* 4336 2
D 14.970* 4.990 1
▼ Лауреат Нобелевской премии по экономике американец Кеннет Джозеф Эрроу (р. 1921 г.) доказал теорему, которая отнюдь не прибавила оптимизма тем, кто считал достижение справедливости на выборах возможным.
И наконец, по методу наибольших остатков места распределяются так:
Голоса Квота Места
А 92314 6,90 7
В 58310 435 4
С 21.830 1,63 2
D 14.970 1,12 1
Парадоксы избирательной юстиции
В1881 г. Конгресс США увеличил количество депутатов с 299 до 300 человек. Когда метод наибольших остатков применили при распределении мест между штатами, Алабаме вместо 8 мест досталось 7. Этот факт, известный под названием «парадокс Алабамы», указывает, что некоторые формы избирательных методов могут идти вразрез с самыми убедительными требованиями справедливости: в данном случае в результате роста общего количества депутатов пострадали те, кого устраивала предшествовавшая ситуация.
САВ 25
Согласно Эрроу, условие, которое должно удовлетворять избирательной системе, состоит в
следующем: если в одном голосовании есть явный победитель и при этом вводится новый кандидат, тогда один из этих двух будет победителем в новом голосовании. Иначе говоря, ни один уже побежденный кандидат не может извлечь выгоду из появления нового.
А теперь предположим, что при том же распределении вариантов, как в верхней таблице, голосование принесло победу А. Посмотрим, что слу-
чится, если устранить В:
АС 40
СА 60
Здесь очевидна победа С. Следовательно, эта система голосования дает победу С над А, а при включении в него В побеждает А, поскольку нарушается предыдущее условие. Легко убедиться, что тот же довод позволяет отбросить те системы голосования, победителями в которых оказываются В и С. Значит, задача не имеет решения.
Классические загадки
Лучшее из Сзма Лойда и Генри Дьюдени
Первые среди равных: Сэм Лойд и Генри Дьюдени
Американец Сэмюэль «Сэм» Лойд (1841—1911 гг.) и британец Генри Эрнест Дьюдени (1857—1930 гг.) в мире развлекательной математики фигуры легендарные. Оба были блестящими шахматистами (Дьюдени вошел в двадцатку лучших в мире), весьма талантливыми математиками-любителями и, в довершение этого, стали авторами сотен — нет, тысяч! — загадок и задачек, отличавшихся оригинальностью. Некоторые из них Лойд и Дьюдени сочинили вместе. Оба сотрудничали в самых серьезных изданиях своего времени, таких как лондонская The Strand или американская Scientific American. У Лойда было свое издание — «Журнал головоломок Сэма Лойда». Нет более воодушевляющих проводников в мир загадок, нежели эти истинные «гении изобретательности».
2. Помощь на равных
Некий щедрый господин шел вечером домой и по дороге встречал одного за другим нищих, которые просили его о помощи. Первому он дал лишь на пенс больше, чем половина имевшихся у него в кармане денег; второму — на два пенса больше, чем половина денег, оставшихся у него в кармане; и третьему — на три пенса больше половины остатка. Придя домой, он обнаружил, что у него остался лишь пенни! Скажите, сколько денег было у господина, когда он направился домой?
(Дьюдени)
3. Пирушка велосипедистов
На днях мне рассказали, что однажды, движения и приключений жаждя, компания друзей отправилась в леса, имея каждый под собой два колеса
1. Новая звезда
Где можно разместить звезду первой величины?
Привал в таверне древней на опушке был превращен в веселую пирушку. «Внесите все расходы в счет!» — кричат.
Эта странная загадка была придумана на основании заявления некоего французского астронома, который уверял, что обнаружил новую звезду первой величины. На иллюстрации изображен ученый-профессор, описывающий свое новое открытие коллегам-астрономам. Он изобразил положение 15 звезд разной величины, и мы видим его в момент, когда он вот-вот покажет положение на небе новой звезды. Можете ли вы нарисовать пятиконечную звезду большего, чем все остальные, размера, но при этом не пересечь линией ни одну из имеющихся? [Лойд)
«Заплатим поровну!» — вещает главный фат. Счет в восемьдесят пенсов принесен, но беспорядок в плату тем внесен, что двое, оседлав велосипеды, увы, не стали ждать конца обеда.
Оставшиеся сэры были благородны: Открыли кошельки, и каждый гордо Два пенса сверх своих долей вручили досконально. Так сколько ж было сэров изначально?
(Дьюдени)
4. Тур на велосипеде
Проложите маршрут из Филадельфии в Эри лишь один раз побывав в каждом городе. На этой карте 23 важных города Пенсильвании, которые соединены велосипедными маршрутами более-менее художественным образом. Задачка проста:
отправляйтесь летом отдохнуть из Филадельфии в Эри, проезжая по разу через каждый город, но следуя разными маршрутами. Города пронумерованы, чтобы участники могли описать маршрут посредством указания последовательности номеров. В этом путешествии не гонитесь за самым коротким маршрутом. Просто пройдите этот путь и не смотрите на счетчики расстояний. (Лойд)
5. Цена яблок
Я заплатил одному господину 12 пенсов за некоторое количество яблок, но они были такими мелкими, что я попросил добавить еще два. И я вдруг понял, что они обошлись мне на пенс дешевле за дюжину, чем если бы мне ничего не добавили. Сколько же яблок я купил на 12 пенсов? (Дьюдени)
6. До и после
Поменяйте местами белые и черные фишки наименьшим числом операций. Мне представляется возможность привлечь внимание к симпатичной загадке, даже в какой-то степени разновидности пасьянса, который был весьма популярен в Европе. Это английское изобретение, поскольку пришло в голову английскому моряку, который 40 лет своей жизни провел в доме для престарелых моряков Снаг Харбор, что на Статен Айленде в Нью-Йорке, и чьей невыразимой гордостью были плавания под началом капитана Рэндалла, основателя сей институции. Старый моряк чуть-чуть подрабатывал на карманные расходы (как он сам говаривал), продавая эти игры посетителям, по мере того как изготавливал их с помощью перочинного ножа. Так игра дошла до Лондона и обрела громкий успех под названием «Английская загадка шестнадцати», однако ее так никто и не стал продавать
по эту сторону Атлантики. Цель игры — поменять местами белые и черные фишки минимальным количеством ходов. Каждая из них может быть передвинута с одного квадрата на соседний, если он пуст, или перепрыгнуть фишку любого цвета, если есть пустое место, куда приземлиться. Действия можно совершать только внутри одного ряда (как у ладьи в шахматах), и никаких движений по диагонали, как в шашках. Один очевидец утверждает, что моряк страшно гордился своей смекалкой и имел обыкновение сообщать покупателям одно правило, позволяющее поменять местами белые и черные фишки минимальным количеством ходов. Однако то правило было ошибочным и может быть занесено в список ненужных уловок. Возможно. с тех далеких времен мир изменился, поскольку правила, которые рекомендуют в английских книгах головоломок, как и в учебниках математики, все сплошь неверные и могут быть улучшены, дабы сократить ходы еще на пару. Лойд)
Ответы
1. Предлагаемая схема показывает, как французские астрономы должны расположить новую поистине гигантскую звезду, затмевающую все прочие.
2. У господина было 42 пенса в кармане, когда он направился домой.
3. На привал приехали 10 велосипедистов. Им бы пришлось заплатить каждому по восемь пенсов, но, так как двое уехали, то оставшиеся заплатили каждый по 10.
4. Единственно возможный маршрут— это: Из Филадельфии на 15,22,18,14,3, 8,4,10,19,16,11,5,9,2,7,13,17,21,20,6, 12 и потом в Эри.
5. Мне предложили 16 яблок на каждые 12 пенсов, что означает 9 пенсов за дюжину. Плюс два дополнительных яблока —18 яблок за 12 пенсов, что означает, что дюжина теперь стоит 8 пенсов, то есть на один пенс меньше, чем вначале.
6. Лойд не дает решение для этой загадки. Он говорит, что большинство книг дают ответ—52 движения, в то время как их может быть 47. Дьюдени, эксперт
в области английских загадок, улучшил этот результат до 46. Красивое симметричное решение Дьюдени мы взяли из книги W. Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays. Буквами обозначают клетки, откуда фишки ходят. Hhg • Ffc • CBHh • GDFfehbag • GABHEFfdg • Hhbc • CFf • GHh).
Интересная стратегическая игра, которая дает возможность игрокам проверить свою геометрическую
ИНТУИЦИЮ И УЗНАТЬ, НАСКОЛЬКО РАЗВИТО ИХ ПРОСТРАНСТВЕННОЕ МЫШЛЕНИЕ. В ПРОЦЕССЕ ИГРЫ
УЧАСТНИКИ СМОГУТ В ПОЛНОЙ МЕРЕ ПРОЯВИТЬ СМЕКАЛКУ И УМЕНИЕ ПРОСЧИТЫВАТЬ ХОДЫ.
Изысканная оригинальная версия классической игры
Четыре в ряд. Крестики-нолики в кубе
вас в руках игра с весьма простыми правилами. Два игрока выбирают
шарики (бусины, фишки) одного цвета и нанизывают их на штырьки до тех пор, пока одному из них не
удастся первым выстроить четыре шарика одного цвета в ряд — по горизонтали, вертикали или диагонали.
ко если он окружил два из них. Выигрывает тот, кто выстроил в ряд пять своих камешков или захватил пять пар камешков противника.
В 1974 г. появилась игра «Четыре в ряд», для которой используют вертикальную доску, разбитую на клетки по семь рядов по горизонтали и шесть — по вертикали. В ней тоже нужно выстроить в ряд четыре фишки, и она является прообразом нашей игры, потому что в ней сила тяжести становится главным элементом.
Тактика
Чтобы выиграть, нужно создать угрозу для противника в более чем одной точке, так что другой игрок не сможет предотвратить ее везде одновременно. Начинающий игрок, возможно, позволит вам создать множественные угрозы, как, например, Агав такой позиции:
Игры с выстраиванием рядов
Настольные игры, в которых нужно выстраивать ряды из фишек, имеют длинную историю. Возможно, самая простая из них, где нужны только карандаш и бумага, — это «Крестики-нолики» и, похоже, она была известна в Египте еще в 1ч00 г. до н.э. Другая — «Мельница» — была популярна в Средние века и состояла из двух этапов: сначала на доску выкладывали все фишки, затем их начинали передвигать на соседние клетки. Если игроку удавалось поставить три свои фишки в ряд, одну фишку противника убирали с доски. В японской игре «Го-моку» («Пять камней») нужно выстроить в ряд пять камешков на доске 15 на 15 клеток. В одном из вариантов этой игры — «Нинуку рендзю» (успешно запущена в продажу в 1978 г. под названием «Пенте») — у игрока появляется возможность захватывать чужие камешки, но толь-
▲ Выстраивание рядов всегда вызывает азарт в играх, где участвуют двое игроков. «Четыре в ряд. Крестики-нолики в кубе» продолжает традиции классической игры «Крестики-нолики», делая ее более изощренной и предлагая новые злементы. Один из них — новое измерение, которое усложняет игру, а другой — сила тяжести, которая заставляет добавлять шарики поверх уже нанизанных и не дает добраться до уже отыгранных шариков.
Черному достаточно сыграть на а, чтобы создать двойную решающую угрозу.
Но если игроки одного уровня, то они постоянно заставляют противника защищаться в разных точках. Например, в такой позиции:
Белые (Б) играют на а и заставляют черных (Ч) ответить на угрозу на Ь. Тогда Б создает двойную угрозу ходом на с. Обратите внимание, что черному не пригодились три своих шарика, поставленные в ряд в верхнем ряду. Извлекаем урок: не имеет смысла создавать угрозу без какой-либо перспективы. В то же время скрытые угрозы — хороший прием, потому что «испорченные» ряды ничего не стоят. Позиция справа часто складывается на боковых плоскостях (сторонах). Игрок Б вынужден ходить на а, чтобы разрушить «четыре в ряд» на горизонтали противника, а это в свою очередь освободит позицию Ь, чтобы игрок Ч выиграл, выстроив ряд по диагонали.
Стратегия
Для того чтобы увеличить количество возможностей выстроить «четыре в ряд», нужно располагать шарики так, чтобы они участвовали в максимальном количестве потенциальных рядов. Давайте разобьем 64 позиции, которые может занять шарик, на угол, ребро, сторону и центр. Мы видим, что шарик на углу может стать частью семи
разных линий (вертикальной, двух горизонтальных и четырех диагональных) и что то же можно сказать о шарике в центре. А шарик на ребре или
на стороне может стать частью четырех линий — одной вертикальной, двух горизонтальных и одной диагональной. Это приводит к тому, что в момент хода мы выбираем более удачные позиции, которые составляют четвертую часть от всех возможных, и начинаем игру с угла, стараясь занять позиции внутри, как только это будет возможно, и мешая противнику сделать то же самое.
Цугцванг
Предположим, что сложилась такая ситуация, как изображено на диаграмме:
Если в ходе партии ни один из противников не выигрывает, то игра придет в такую точку, где игроку придется действовать в левой колонке (хотя бы потому, что остальные уже будут заполнены). Но это не лучший вариант для обоих: если Б ходит на а, то победа достается Ч, а если ход делает Ч, то Б может пойти на Ь и устранить угрозу. На шахматном жаргоне эта ситуация называется «цугцванг», а именно — «вынужденный ход», который наносит ущерб игроку. Чтобы предвидеть такие ситуации, надо иметь в виду, что, когда доска заполнена вся, кроме одной колонки, то тот, кто начинал игру, и будет вынужден начать эту колонку заполнять (если игроки сделали 60 ходов, по 30 каждый). Поэтому первый игрок должен искать угрозы на первой и третьей линиях (если считать снизу), а второй игрок — на второй и четвертой.
В следующем выпуске через 2 недели
Звездчатый многогранник
Автоматизация вычислений
Вычисления и вычислители
Музыка сфер
Пифагор
Золотое сечение
Божественная пропорция
Льюис Кэрролл
Рассказ-головоломка
Спрашивайте в киосках!