1.1.К .•..'.. И 1я73
Босс В.
Лекции по математике. Т. 11: Уравнения математической физики:
Учебное пособие. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — 224 с.
Излагается обычная для уравнений математической физики тематика:
распространение волн, теплопроводность, вопросы разрешимости, корректности.
Акцент делается на линейных уравнениях с частными производными, но
рассматриваются и нелинейные процессы. Определенное внимание уделяется
нестандартным для рассматриваемой области направлениям. В первую очередь это
теоретико-групповые методы изучения уравнений с частными производными,
автомодельные решения и другие плоды исследования свойств симметрии. Несколько
особняком стоит разъяснение теории дифференциальных форм, от которых не
зависит остальное содержание. Но сама эта теория тесно примыкает к уравнениям
математической физики и нуждается в простом и ясном описании.
Изложение отличается краткостью и прозрачностью.
Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников.
Издательство «Книжный дом "ЛИБРОКОМ"».
117312, г. Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, д. 9.
Формат 60x90/16. Псч. л. 14. Зак. № 1752.
Отпечатано в ООО «ЛЕПЛ11Д».
117312,г. Москва, ир-т Шестидесятилетия Октября, д. ПА, стр. 11.
I8ВN 978-5-397-00020-8 © Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2008
6215 Ю 77731
IIII НИШ
9 785397 000208"
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то
электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельца.
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Е-таН' 11Р!33(д>ир!35.ги
Каталог изданий в Интернете:
ЬНр://11К55.ги
Тел./факс 7 (499) 135-12-16
11Н55 Тел./факс 7(499)135-42-46

Оглавление
Предисловие к «Лекциям» 6
Предисловие к одиннадцатому тому 8
Глава 1. Предварительные сведения 9
1.1. ЧП как лекарство и как головная боль 9
1.2. Рост, циркуляция, расхождение 14
Глава 2. Уравнения математической физики 23
2.1. Преамбула 23
2.2. Диффузия частиц и тепла 24
2.3. Распространение волн 28
2.4. Стационарные режимы 31
2.5. О метаморфозах инвариантности 32
2.6. Динамика жидкости и газа 36
2.7. Электродинамика Максвелла 38
2.8. Уравнение Шрёдингера 39
Глава 3. Общие вопросы 43
3.1. Проблемы разрешимости 43
3.2. Теорема Коши—Ковалевской 46
3.3. Корректность постановки 49
3.4. Замена переменных и классификация 50
3.5. Характеристические поверхности 54
3.6. Краевые задачи 57
3.7. Принцип суперпозиции 59
3.8. Переход к интегральным уравнениям 60
3.9. Вид сверху 62
3.10. О нелокальной продолжимости 64

4 Оглавление
Глава 4. Уравнения первого порядка 67
4.1. Линейные уравнения и характеристики 67
4.2. Квазилинейные уравнения 71
4.3. Уравнения Пфаффа 73
4.4. Первые интегралы 76
4.5. Уравнение Гамильтона—Якоби 81
4.6. Шаг в сторону — и другая картина 83
Глава 5. Группы Ли и ЧП-симметрия 87
5.1. Методы подобия и размерности 87
5.2. Автомодельные решения 90
5.3. Непрерывные группы 92
5.4. Инвариантность и генераторы группы 93
5.5. Многопараметрическая симметрия 96
5.6. Инфинитезимальные продолжения 99
5.7. Допускаемые группы 101
5.8. Алгебры Ли 103
5.9. Прикладные аспекты 107
Глава 6. Обобщенные решения 111
6.1. Обобщенные функции 111
6.2. Многомерная ситуации 117
6.3. Преобразование Фурье 119
6.4. Обыкновенные лнфуры 122
6.5. О слабых и обобщенных решениях 123
6.6. Фундаментальные решения 125
6.7. Задача Коши 129
Глава 7. Волновые процессы 131
7.1. Свободные колебания 131
7.2. Разделение переменных и метод Фурье 133
7.3. О роли спектрального разложения 136
7.4. Фронт и диффузия волн 137
7.5. Бегущая волна 139
7.6. Соли гоны и КдФ-уравнение 140
7.7. Фазовая скорость и дисперсия 143

Оглавление 5
Глава 8. Диффузия 145
8.1. Парадокс бесконечной скорости 145
8.2. Нелинейная теплопроводность 147
8.3. Уравнения Хопфа и Бюргерса 148
Глава 9. Эллиптические задачи 152
9.1. Эллиптические операторы 152
9.2. Принцип максимума 153
9.3. Гармонические функции 156
9.4. Ньютоновы потенциалы 158
9.5. Функция Грина 161
9.6. Ненулевые граничные условия 165
9.7. Спектральные свойства 167
9.8. Комментарии 168
Глава 10. Дифференциальные формы 171
10.1. Внешние формы 171
10.2. Внешнее умножение 172
10.3. Дифференциальные формы 174
10.4. Внешние производные 176
10.5. Наглядная интерпретация 179
10.6. Техническое дополнение 181
10.7. Интегрирование и теорема Стокса 185
10.8. Топологические мотивы .• 186
Глава 11. Справочная информация 192
11.1. Криволинейные координаты 192
11.2. Аналитические функции 194
11.3. Спектральный анализ 197
11.4. Теория Фредгольма 199
11.5. Пространства Соболева 201
11.6. Список задач и решений 203
Сокращения и обозначения 211
Литература 213
Предметный указатель 215

Предисловие к «Лекциям»
Сначала человек делает математику.
Потом математика — человека.
Для нормального изучения любого математического предмета
необходимы, по крайней мере, 4 ингредиента:
1) живой учитель:
2) обыкновенный подробный учебник;
3) рядовой задачник;
4) учебник, освобожденный от рутины, но дающий обиую картину, мотивы, связи,
«что зачем».
До четвертого пункта у системы образования руки не
доходили. Конечно, подобная задача иногда ставилась и решалась,
но в большинстве случаев — при параллельном исполнении
функций обыкновенного учебника. Акценты из-за перегрузки менялись,
и намерения со второй-третьей главы начинали дрейфовать, не
достигая результата. В виртуальном пространстве так бывает. Аналог
объединения гантели с теннисной ракеткой перестает решать обе
задачи, хотя это не сразу бросается в глаза.
«Лекции» ставят 4-й пункт своей главной целью.
Сопутствующая идея — экономия слов и средств. Правда, на фоне деклараций
о краткости и ясности изложения предполагаемое издание около
20 томов может показаться тяжеловесным, но это связано с
обширностью математики, а не с перегрузкой деталями.
Необходимо сказать, на кого рассчитано. Ответ «на всех»
выглядит наивно, но он в какой-то мере отражает суть дела.
Обозримый вид, обнаженные конструкции доказательств, — такого
сорта книги удобно иметь под рукой. Не секрет, что специалисты
самой высокой категории тратят массу сил и времени на освоение

Предисловие к «Лекциям»
7
математических секторов, лежащих за рамками собственной
специализации. Здесь же ко многим проблемам предлагается короткая
дорога, позволяющая быстро освоить новые области и освежить
старые. Для начинающих «короткие дороги» тем более полезны,
поскольку облегчают движение любыми другими путями.
В вопросе «на кого рассчитано», — есть и другой аспект.
На сильных или слабых? На средний вуз или физтех? Опять-таки
ныходит «на всех». Звучит странно, но речь не идет о регламентации
кругозора. Простым языком, коротко и прозрачно описывается
предмет. Из этого каждый извлечет свое и двинется дальше.
Наконец, последнее. В условиях информационного наводнения
инструменты вчерашнего дня перестают работать. Не потому, что
изучаемые дисциплины чересчур разрослись, а потому, что новых
секторов жизни стало слишком много. И в этих условиях мало
кто готов уделять много времени чему-то одному. Поэтому учить
всему — надо как-то иначе. «Лекции» дают пример. Плохой ли,
хороший — покажет время. Но в любом случае, это продукт нового
поколения. Те же «колеса», тот же «руль», та же математическая
суть, — но по-другому.

Предисловие к одиннадцатому тому
Инстинкт не дает ходу скороспелым
умозаключениям. Иначе голова окажется полна
обобщениями, которые цитрамоном не лечатся.
«Уравнения математической физики» постепенно
выталкиваются из сферы общего образования, проникая частями в курсы
анализа и обыкновенных дифуров. Процесс закономерный.
Дисциплина распухла и стала похожа на собрание задач с решениями.
Сначала распределение температур ищется на прямой, потом в
круге, потом н квадрате и еще бог знает где. С ужасающими
подробностями, — что имеет право на существование, но не в широкой
аудитории. Тем не менее акценты и подробности сохраняются с
восемнадцатого века. Объем дисциплины так вырос, что места более
не остается, вплоть до альтернативы «или жениться, или Урматы '».
Поэтому главная задача сейчас убрать «лишнее», оставив
компактный минимум, который бы давал общее представление и удобную
стартовую позицию для дальнейшего движения, куда бы оно потом
ни было направлено.
Урматы — жаргонное название «Уравнений математической физики».

Глава 1
Предварительные сведения
Вся жизнь уходит на приготовления.
1'счьобазах и об элементах векторного анализа, причем в К3. Потому что начинать
ршумно с наглядного случая, к тому же п-мерный вариант для урматов не так
интересен. Приводимые ниже факты не так чтобы очень нужны для последующих
I пин, но они важны как снаряжение , помогающее ориентироваться в области,
не обязательно в книге.
1.1. ЧП как лекарство и как головная боль
Напомним, частная производная — это обыкновенная производная
по выбранной переменной, когда другие переменные фиксированы.
Например, ЧП по а; функции и = /(х, у) в точке (х, у) есть предел
0/(2,2/) ,. {{х + 6х,у)- {{х,у)
—о — ',т ; ■
ах <5г-+о дх
д! 2)
Вместо — используются также эквивалентные обозначения '
дх
Терапевтическая роль частных производных выявляется, когда
речь заходит о полном приращении
*/ = /0е + 6х,у + 6у) - /(х, у).
' Идти на охоту без ружья глупо, хотя оно может и не понадобиться.
' Соответственно, = }ху = вху}.

10 Глава 1. Предварительные сведения
В общем случае функции /(ж), имеющей непрерывные частные
производные ' в окрестности точки ж = {х\,... ,хп},
п
«/ = $^/*,(*)«*<+о(№*||), (1-1)
1=1
что принято записывать в форме
<5/ = У/(ж)-<5ж + 0(||«5ж||) (1.2)
с помощью градиента V/ = {/г,, • • •, /х„}-
Функцию /(ж), полное приращение которой представимо в
виде (1.1), называют дифференцируемой в точке х, а линейную часть
приращения именуют полным дифференциалом и записывают как
п
Й/ = ]Р /хДж) <1Хг = У/(ж) • ЙЖ.
«=1
Частные производные можно снова дифференцировать,
получая частные производные все более высокого порядка. Если
функция /(жь ... ,ж„) имеет в некоторой окрестности точки ж
непрерывные производные до т-го порядка включительно, то
любая т-я смешанная производная
а*г...а*?" ш = Ш1+-- + т"'
не зависит от порядка дифференцирования '.
При рассмотрении функций п переменных ж = {хи ... ,хп}
удобны различные стенографические трюки:
, д 8 ,
Я= -—,...,-— , а! = а|!...а;
0Ж1 ^Жп
*п- >
Для справедливости (1.1) требование непрерывности частных производных не
обязательно, но просто наличия производных, как в одномерном случае, уже недостаточно.
Что следует из теорем о равенстве повторных пределов [3, т. 1].

1.1. ЧП как лекарство и как головная боль
11
X -X, ...ХП , / (X)- дха^^дхаь >
с помощью которых даже ряд Тэйлора для функции п переменных
шписывается в привычном на вещественной прямой виде,
1{х + г) = V /(а)(ж)--, \а\ = а, + ... + а„.
|а|=0
Агрегат а называют мулыпииндексом.
На #г естественно смотреть как на оператор, а на произведение
М*Му ~~ как на композицию:
дхду? = дх(ду/),
|.с. дхду = дху, откуда ясна перестановочность: дхду = дудх.
На такой платформе удобно использовать всевозможные разло-
жсния. Например, волновое уравнение иц — с ихх = 0 можно записать
кик (дц — с дхх)и = 0, а оператор дц — с дхх разложить в
произвело; (ие
ди-с2дхх = (д1-сдх)(д1 + сдх),
после чего исходное уравнение сводится к двум уравнениям пер-
иого порядка (9< - сдх)иу = О и (дг + сдх)и2 = О, решая которые,
получаем5' и = и{ + Иг- Уравнение Лапласа ихх + иуу = 0 в записи
(0ТХ + дуУ)и = О — поддается той же технологии, но уже с
привлечением мнимой единицы:
дхх + дуу = (дх - гду)(дх + гду).
Удобства, само собой, компенсируются аномалиями. Функции нескольких
переменных нередко страдают патологическими отклонениями. Вот стандартный
пример. Рядовая функция
ху
| X2
, , , если х, у Ф 0;
/(*,»)=< х +у (1.3)
если х = у = 0,
4 Ибо (ди - с2дхх)(и[ + и2) = (д1 + сдх)[(дг - сдх)и{] + (0, - сдх)[(в, + сдх)и2].

12
Глава 1. Предварительные сведения
имеет разрыв в нуле, причем довольно замысловатый:
• Предела у /(•) при (х,у) -> 0 нет, но при стремлении (х, у) к нулю вдоль
любой прямой х = ку значение /(•) имеет предел к/(\ + к ). Поэтому
разрывная функция /(•) всюду непрерывна по каждой переменной в
отдельности.
• Несмотря на разрыв, функция }(х,у) при любом фиксированном у —
непрерывна как функция х. Кроме того, /(■) имеет частные производные
всюду, в том числе в нуле. т. е. и точке разрыва.
Модификация (1.3)
ху1
если х.у^О;
д(х,у)= { хг+у* " "■ (|.4)
О, если х = у = О,
являет собой пример функции опять-таки разрывной в нуле, и потому недиффе-
ренцируемой, но имеюшей всюду частные производные. В дополнение к ситуации
(1.3) функция (1.4) при стремлении х к нулю вдоль любой прямой х = ку имеет
имеет один и тот же нулевой предел.
В сердцевине неприятностей, присущих функциям нескольких переменных,
лежит обычно бремя несовпадающих повторных пределов, типа
ах + су а ах + су с
Пт Пт — = - Пт Пт = -.
1-*оу-*о ох + ау о у-»о*-»о ох + ау а
У функции /(х, у) = х 51п (1/у) при (х, у) -у О существует двойной предел,
но только один из повторных. А у функции (1.3) в нуле существуют и равны оба
повторных предела, но двойного — вообще нет.
Несмотря на возможные отклонения от нормы, бдительность
расходовать можно экономно. Характерный признак выхода
повторных пределов из-под контроля — наличие у функции тех или
иных особенностей. В ситуациях «общего положения»
предосторожности чаще всего излишни. Ключом к положительному решению
вопроса о совпадении повторных пределов является, как правило,
та или иная разновидность равномерной сходимости.
1.1.1. Пусть Нт /(ж, у) = <р(х) прилюбом достаточно малом помо-
у-+о
дулю х, и при каждом у из некоторой окрестности нуля существует
предел Пт /(х,у) — ^>{у)- Если при этом /(х,у) стремится к <р(х)
равномерно по х, то оба повторных предела существуют и равны друг
другу.

1.1. ЧП как лекарство и как головная боль
13
Дли успешного манипулирования частными производными достаточно
помним. 1)0 условиях справедливости тех положений, которые по забывчивости начи-
1М1Ю1 иосприниматься как безусловные истины. Функция
!х2 - у7
— тху , если х, « ^ 0;
Х1+У1
0, если х = у = 0,
имеет и нуле частные производные /ту(0, 0) = I, /^(0,0) = -I, что противоре-
•1И1 рисхожему представлению о равенстве смешанных производных независимо
1Н порядка дифференцирования. Но в данном случае «не хватает» непрерывности
/<» " /»/ в окрестности нуля.
Существенный интерес представляют условия,
обеспечивающие смену порядка манипуляций с участием интегрирования. Так
кик интегрирование обладает улучшающими свойствами , многие
Испания с д{у),
ь
9{У) = I !{х,у)Ах,
Можно переносить на подынтегральную функцию при довольно
(.'мободных предположениях относительно /(х, у).
1.1.2. Если
}{х, у) -► <р(х) при у-+0
равномерно по х, то
ь ь
Ит I /(ж, у)Лх= I Нт /(х, у) их.
2/->0,/ ^ »->0
а а
1.1.3. Пусть функция }{х,у) и частная производная д/(х,у)/ду
непрерывны в прямоугольнике [а, Ь] х [с, б?|. Тогда
а а
при любом у Е [с, Л\.
И) интегрируемой функции делает непрерывную, из непрерывной — дифференцируемую.

14
Глава 1. Предварительные сведения
1.1.4. Если функция /(х, у) непрерывна в прямоугольнике \а, Ь] х [с, ё,\,
то
а и и и
аУ !{х,у)йх= Ах {{х,у)йу.
с а ас
Таким образом, интегрирование для стандартных операций
анализа не воздвигает больших префад. Предельные переходы могут
свободно проникать сквозь интеграл снаружи внутрь, и наоборот,
но это не должно убаюкивать.
1.2. Рост, циркуляция, расхождение
Спектр дифференциальных явлений в Е" гораздо шире, чем на
прямой. В Е и К — это градиент, дивергенция, ротор '. И если,
скажем, равенство сПу§гас1 <р — О изучать в форме
д2<р д2<р д2<р
дх2 ду2 дг2
либо г; • §гас! ц> = 0 — в облике
д<р д<р д(р
Ъ\-^~ +г>2— +*>з— = 0,
ох ду ох
— многое теряется. Укрупненные закономерности смазываются, как
будто вместо фотографии целиком мелькают отдельные пиксели.
И наоборот, если ЧП-уравнение имеет толкование в категориях
г векторного анализа, переход от детального описания
к ^ -^ на более высокий уровень абстракции обнажает скры-
( х тые пружины и помогает ориентироваться. Помимо
оптимального уровня обзора важны также привычные
условия. По этой причине далее отдается предпочтение
рассмотрению уравнений в Е или Е , где геометрическая наглядность
служит дополнительной опорой. Векторы г Е 1 представляются
в виде линейных комбинаций
г = х\ + у'] + гк,
В пространствах большей размерности ассортимент дифференциальных форм богаче.

1.2. Рост, циркуляция, расхождение
15
1/и« !,],к — единичные орты осей координат ' х,у,г. Наряду
I' г {ж, у, г} Е К вК" используется более привычное
X = |Ж[, . . . , Хп\.
Имлиент. Производная функции и = }{х,у) вдоль направления
единичного вектора 8 = {зх, зу} равна
Щ = -^Лх + Щх,У + 'П8у) = ~^8х + ~я~8У О-5)
Вектор
»»"=<& ^Н/..г,>
пи илчакут градиентом функции /, и для его обозначения используют
1икже V/. Из (1.5) следует, что производную по направлению а
можно записать как скалярное произведение
и8 = з-%гад/= (8,%тай/). (1.6)
Максимум (1.6) в силу
8 • §гас! / = Нвгас! /|| • соз а
лпсгигается при а = 0, и равен ||У/||. Поэтому фадиент V/ — это
вектор скорости максимального роста функции /. Следовательно,
и киждой точке поверхности постоянного уровня ' /(ж, у) градиент
V/ направлен по нормали и касательная плоскость ' к линии
постоянного уровня функции и = }(х,у) в точке {хо, уо} — опи-
смннется уравнением
/; • (х - х0) + !'у-{у- Уо) = 0.
Если интерес представляет касательная плоскость к
поверхности фафика функции и = }(х,у), то это сводится к предыдущему
Система координат Охуг считается правой, если для наблюдателя, расположенного
в нуле, обход концов I,}, к в указанном порядке происходит по часовой стрелке. В противном
олучис тройка 1,3, к — левая.
13 К — линии постоянного уровня.
" На рис. 1.1 это пунктирная прямая.

16
Глава 1. Предварительные сведения
Рис. 1.1
случаю рассмотрением функции V = и — /(ж, у) трех переменных.
Ее градиент
Поэтому касательная плоскость к поверхности и = /(х, у) в точке
{ио,Ж(ъ2/о} определяется уравнением
« - «о = /х • (х - х0) + 1у-{У~ Уо)-
Отталкиваясь от двумерного случая, легко записать касательные
плоскости в общем случае и = /(ж), жЕ1". Уравнение
касательной плоскости в!" к поверхности постоянного уровня в точке х^:
У/(ж) • (ж - а?о) = О,
а касательную плоскость в К к поверхности фафика и = /(ж)
в точке {щ = /(«о), Жо} дает уравнение:
и - щ = У/(ж) • (ж - ж0).
Дивергенция, или расхождение векторного поля '
а(г) = {ах(г), ау(г), а2(г)} (1.7)
В (1.7) аТ — это иксовая координата вектора о.

1.2. Рост, циркуляция, расхождение
17
И ючкс г определяется как предел
12)
сНу а
1
Нт —
ай5
(1.8)
Потока вектора а через замкнутую поверхность 5, которая ограни-
ЧИИиет бесконечно малый объем V, окружающий точку г.
Мри интерпретации (1.7) как поля скоростей потока
несжимаемой жидкости о дивергенции естественно говорить как о плотности
Мигом пиков/стоков. В этом случае в пределах объема V,
ограниченного поверхностью 5, возникает или поглощается жидкость
И количестве / АпабУ. При этом, очевидно, сколько
возникло/исчезло в V, столько должно вытечь/втечь через 5,
(1.9)
чю называют теоремой Гаусса—Остроградского.
Обратим внимание, определение (1.8) бескоординатно. В
декартовой системе переход к пределу в (1.8) дает [3, т. 1]:
дах дау дах
дх ду дг
Векторное поле с нулевой дивергенцией, д\\ а = 0, называют
^течоидальным, или трубчатым.
Векторными линиями поля (1.7) являются интегральные кри-
ИМе системы дифференциальных уравнений
1десь а (15 — скалярное произведение вектора а на вектор-дифференциал площадки
АН, обычно записываемое как
о ■ Л5 = ах йу 61 + ау 6х 6.1 + а2 их йу.
ми шчнес
о • (15 = ах 6у Л 6г + ау 6г Л их + аг Лх Л 6у,
| М I :11ШУ 10.

18 Глава 1. Предварительные сведения
часто записываемой в виде
Ах &у Ах
Оператором Гамильтона называется дифференциальный оператор
«набла» V = \дх + \ду + кд2
V-' — •— —
дх ду дг
При записи дифференциальных операций с ним можно
манипулировать, как с вектором. Градиент <р получается «умножением»
вектора V на скаляр <р,
,д<р .дцз д<р
дх ду дх'
а дивергенция оказывается равной «скалярному произведению»
дах даь да-
Уа = —- Н н -,
дх ду дг
что обычно записывают без точки, д\\ а = Уа.
Удобства на этом не заканчиваются. С помощью V компактно
записываются и другие дифференциальные операции — например,
гот = V х а.
• Скалярное произведение УУ называют оператором Лапласа,
г_д2_ №_ д^_
7 ~ дх2 + ду2 + дг2,
который представляет собой последовательное взятие от скалярной
функции <р градиента, а потом — дивергенции:
д2ю д2<р д2ц>
6*^= — + — + -^.
Переписав (1.8) в виде
д\\а = \\т — <р ап (15, (1-Ю)

1.2. Рост, циркуляция, расхождение
19
те п - текущая нормаль, и подставляя в (1.10) а = §,тай<р, т.е.
ц„ 1)1р/дп, получаем
Др = V ю = Нт — ф ^- (18,
у-ю V 3 дп
8
-Ф—Л8. (1.11)
иI кули легко следует нечто «типа Гаусса—Остроградского»
(1.12)
В этой нише находится широко применяемая формула Грина
[ппюрая)
У^Д^ - ^Ду>) Ы = § {^ - ^ } <*5,
(1.13)
ПС1 ко получаемая из первой формулы Грина
С Г дгр
/ (/рАчр + §гас! </? • §гас! ■ф) (IV = <р <р— (18.
V 8
4 Подставляя
сПу а = 6\\((рЧ11>) = Ч(<рЧ11>) = У<р ■ Уф + /рАф
И (1,4), имеем
/ (V? ■ ^ + рД^) (IV = Ф <рЧг1) ■ п 45,
(1.14)
0п'
I г. (1.14), поскольку 48 = пй5, Уф ■ п =
Меняя теперь в (1.14) <р и гр местами и вычитая симметричные равенства
одно и) другого, получаем (1.13). ►
• Обычно оператор V воспринимается и работает как удобный
мнемонический прием символического характера, но можно до-
Пшься большего [9], определяя Х(У) для линейного относительно

20
Глава 1. Предварительные сведения
а выражения ' ' Ь{а) как
Ш= \ш -ф Ып)йЗ,
(1.15)
где п — текущая нормаль поверхности 5, ограничивающей объем
V. Из (1.15) возникает обобщенная формула Гаусса—Остроградского:
[' Ь{Ч)АУ = I Цп)Л8,
откуда, в частности
V
14)
Ф <рп<13 = / У^йУ,
(1.16)
что не так популярно как (1.9), но существенно для понимания
ряда гидродинамических закономерностей. Например, если <р —
постоянное давление газа в объеме V, т. е. градиент У</? = 0, то
из (1.16) следует Ф п(18 — 0,
что означает
Рис. 1.2
равенство нулю результирующей сил давления
на оболочку (рис. 1.2), иначе можно было бы
сделать вечный двигатель.
Если же нормали п(г) сделать по длине
равными потенциалу </?(г), то из (1.16) следует
независимость интеграла / У</? йУ от способа
V
продолжения ц> с 5 на V.
Ротор, или циркуляция векторного поля (1.7) в точке г, определяется
как вектор гот, имеющий проекцию на любое направление /г,
|3) 1(Ао + цЬ) = ХЦа) + рЦЪ).
14) Не надо путать с / Дуз (IV = Ф — (18.
V 5

1.2. Рост, циркуляция, расхождение
21
нирглслиемую по формуле
а = Мгп —фа
5^0 5/
йг,
(1.17)
|ле контур С, ограничивающий площадь 5, стягивается в точку,
При лом вектор площади 5 стремится по величине к нулю ,
щ но направлению к Н.
11есложное вычисление ротора поля скоростей вращающегося тела,
ю = г = ю0 + и;хг,
П|||1|«1лиг к показательному результату го1 V = 2ш, свидетельствующему о связи
рн|п|||| с крашением.
Н рамках определения (1.17) более-менее очевидна теорема
(такса:
(1.18)
С! помощью «наблы» ротор записывается как векторное
произведение
го1 а = V х а,
(И куда сразу получается
да, даь
..__,, - -у ,(дах да2\ I дау дах
ду дг ) \ дг дх ) \ дх ду
д_ д_ д_
дх ду дг
X V 2
И плоском случае, когда а(г) не зависит от г, например,
а(г) = {Р(г),С?(г),0},
Утчнения насчет предельного перехода см. в [9].

22
Глава 1. Предварительные сведения
формула Сшокса (1.18) переходит в формулу Грина
$Р4х + Я4у = 1{^-д^}а:х4у.
(1.19)
• Всякое векторное поле а может быть представлено с
помощью трех скалярных функций <р, гр, ш — в виде
а = §гас1 >р + ш §гаё гр. (?)
• В случае скалярного поля <р(т,1) имеем, по правилу
дифференцирования сложной функции,
йю дю дю ду дю
а1 о1 дх ду ог
(1.20)
+ г • §гас1 <р.
(1.21;
что можно записать как
йю дю
и ~ ~ы
И хотя (1.21) к пониманию (1.20) мало что добавляет, именно (1.21)
позволяет оставаться в колее более общих манипуляций векторного
анализа.
Аналогичный трюк используется в случае векторного поля
а{г,1):
йа да да да да
а1 д1 дх ду дг
что записывают как
йа да , т
— = -г- + (г ■ V а.
(1.22)
Формулы (1.21), (1.22) часто используются в задачах,
связанных с описанием движения сплошной среды. Величину (V ■ V)*»
называют градиентом вектора а по V. В случае поля скоростей
»(г, 2) — (1.22) приобретает вид
(IV ду
= — -(- (17 • V)».
(1.23)

р
!
: Уршшнения математической физики
Линейные задачи важны потому,
что хорошо решаются.
1.1. Преамбула
Урмнты — это, главным образом, линейные уравнения с частными
Н|М)И(водными ', типа щ = ихх, описывающие, как принято ду-
МйН>, физические явления. Нелинейные уравнения служат той же
Шли, и постепенно пробивают себе дорогу, но с трудом. Аппа-
Щ\ и целом естественный — поскольку голова мыслит локально,
Щв\\ шодными, а глобальному большей частью удивляется.
Поэтому лифуры исследовательская мысль добывает непосредственно,
ЛВТйДЬНОе выводит косвенно. Правда, абстрактных математиков
вИое различие не волнует — они шаг за шагом удаляются от пер-
ДО'ШШНОго, не всегда понимая в результате, откуда в зеркале —
Изображения. В таких ситуациях знакомство с физическими моде-
! ЛЙМИ иногда производит целебный эффект.
Чтобы дисциплина не вела к сумятице воображения, имеет
1ММСЛ дать ориентиры, хотя бы тезисно и умеренно правдиво, —
Айвы настроиться в резонанс.
I. Уравнения с частными производными не так часто решаются,
как обыкновенные дифуры, и урматы — это, по существу,
фарватер.
Дли краткости, ЧП-уравнения.

24
Глава 2. Уравнения математической физики
2. Речь, так или иначе, идет об уравнениях, описывающих
динамику «сплошной среды». Поэтому есть временные и
пространственные переменные, и несколько типов процессов:
• Диффузия, или теплопроводность, — когда «одно проникает в другое».
Образец Л1Я подражания — уравнение диффузии щ = Хи„. Задачи
гиперболические. Скорость распространения — бесконечная. (!)
• «Колебания», — когда распространяются импульсы, возмущения -
с конечной скоростью. Представитель класса — волновое уравнение
ии = с и„, и(х, I) - отклонение. Задачи — параболические.
• Стационарные процессы, когда динамика предыдущих пунктов приходит
в равновесие. Уравнения Лапласа, Пуассона. Задачи — эллиптические.
• Движение среды, гидродинамика. Уравнения Навье—Стокса.
3. Традиционно изучаются уравнения второго порядка, но это
погоды не делает. Общность в смысле п-мерности также
малосущественна. Водораздел, скажем, между гиперболическими
и параболическими уравнениями в достаточной мере
характеризуют различия одномерных задач щ = ихх и иц = ихх, где
пространственная переменная х всего одна.
Разумеется, любое изложение урматов состоит из того, что
никогда не понадобится. Напрямую. Но это не значит, что учить
нет смысла. Аналогичная песня с историей, географией, поэзией.
Анатомические познания даже терапевту не всякому нужны, но без
них как-будто чего-то не хватает. Так что фундамент, категории
мышления, «привязка к местности», чувство уверенности,
ахиллесовы зоны неполноценности, — все это сказывается так далеко от
источников, что учиться целесообразно впрок и широким фронтом.
Акценты правильно расставить заранее — тоже трудно, однако
понимание, нее же, на первое место необходимо ставить, поскольку
из каши в голове ничего путного не вырастает. А всякие
аппаратные штучки, чем урматы несколько злоупотребляют, хороши для
просвещения враждебных сил.
2.2. Диффузия частиц и тепла
Уравнение диффузии подразумевает описание диффузионных
потоков, пропорциональных градиенту концентрации частиц. Распро-
Где и — концентрация диффундирующих частиц или температура.

2.2. Диффузия частиц и тепла
25
|*|1НМ1*мис гепла подчиняется тем же законам. Физика процессов
,|№1Уйош11СТ внимания, потому что для математики важнее всего
|н, чм1 к математике не относится. Диалектическая польза беспо-
*)ешош, гак сказать.
Пут. и(г,1) — температура тела в точке г в момент I, с — теплоемкость,
Ш плотность. Для нагревания элемента объема ЛУ массой рйУ за время И
Пи
Щ» ш |ридусов необходимо количество тепла
т
ди
<*<2 = ср<*У — Л,
от
ИН>*1|>11ронание которого по объему V дает количество тепла
Г ди
Я = ] срЛУ—М,
НйННИ' на нагревание/охлаждение этого объема в целом.
!п же самое С} можно подсчитать другим способом:
д = -Фд-й5(Й = - I сНу 9 АУ
М,
\т Щ{гЛ) — удельный поток тепла.
И роультате, по законам двойной бухгалтерии,
][ср-^+&ЬЧ
от
) ЛУ = О,
1И1, в силу произвольности V, приводит к
ди
ср—+сИуд = 0,
И При естественном предположении д = -к &гад и получается стандартное урав-
1&НЦ? теплопроводности
ди
ср—— сИу(а ёгас1 и) = О,
от
Принимающее форму щ = а Ди, т.е.
ди 2/
дги дги 02ич
~дх2~ + ~ду2~ + ЪТ2',
а = —.
ср
(2.1)
Н I <1У'1нг распространения тепла либо диффундирующего вещества на прямой или
ни (Носкости — (2.1) переходит в
щ = а ихх или щ = а (ихх + иуу).
(2.2)

26 Глава 2. Уравнения математической физики
Если процесс сопровождается действием тепловых источников, распределен
ных с плотностью /(г, I), то к правой части (2.1) надо добавить /(г, I), поскольк\
в объеме V возникает дополнительное количество тепла
/
/(г,<)<*К<Й.
В задачах диффузии иногда из правой части (2.1) вычитают Хи, имея в вил\
поглощение частиц средой пропорционально их концентрации и(г, I).
Классическая математика предпочитает не тратить силы в
территориальных водах физики, и берется за уравнение
щ = а2Аи- \и + }(г,1), (2.3)
выписанное на чистом холсте. Поэтому интуитивных
представлений о возможном решении — никаких. И хотя искусственные
трудности имеют спортивную цену, тут физическая модель
приходится весьма кстати. Понятно, например, какого сорта влияние
могут оказывать поглощение \и и нагревание /(г,1), не говоря
вообще о качественном поведении и(г, I) в зависимости от началь
ных и граничных условий.
Роль последних опять-таки достаточно очевидна в
контексте физического толкования. Начальное распределение температур,
ясное дело, необходимо — иначе откуда стартовать, — но этого
не хватает для выделения конкретного решения (2.3). Нужны ешс
краевые условия, регламентирующие процессы на границе.
Если тело занимает область & с границей Г, естественными
краевыми условиями могут быть:
• поддержание на Г заданного распределения температур щ(г),
и|г = и0; (2.4)
• поддержание на Г заданного потока тепла
ди
кдп
= »о, (2-5)
г
Точнее говоря, плотности потока тепла. Обратим также внимание, что производная и
по направлению п, разумеется, вектор, но поскольку я все же нормаль к Г — информация
избыточна. Поэтому вектор-функцию »о часто считают и обозначают как скалярную «о

2.2. Диффузия частиц и тепла
27
I лс Ои/дп обозначает производную по нормали п к поверхно-
С1И Г;
• 1Рплообмен на Г, пропорциональный разности температур,
ди ,
&— + 1(и - щ) г = 0, (2.6)
тс Щ) — температура окружающей среды.
(смерь о пользе физических представлений легко судить, рас-
ЦМйфииая ТРИ краевых задачи: уравнение (2.3) в совокупности с
фмьемшей начального распределения температур и одним из гра-
ИНММЫХ условий (2.4)-(2.6). Допустим, нас интересует существо-
Мни? стационарного распределения температур иж(г), т.е. суще-
(Жмжпиие предела и(г,1) при I ->• оо. Стерильный разбор полетов
М# 1йк прост. А в рамках физической модели ситуация довольно
Щнмрична. В случае (2.4), когда стационарные температуры на гра-
НИк№ обеспечиваются за счет достаточно быстрого охлаждения или
Шренания, существование их(г) во всей области П более-менее
ММО, В случае (2.5), когда на границе поддерживается
определимый поток энергии, вопрос упирается в соотношение притока
И штока тепла — и для существования ^(г) необходим баланс, ма-
Л#Ншсе нарушение которого ведет к неограниченному нарастанию
\и{г,1)-и00{г)\
| ?#мением времени ', что указывает на возможные проблемы с
^Тййчивостью.
Наконец, в третьей краевой задаче с теплообменом (2.6)
нужному коэффициенту I отвечает энергетически непроницаемая
оболочка. Это влечет за собой рост или убывание средней темпера-
, ди
ЧММ'мнис особенно существенно, когда —— интегрируется но поверхности Г, — и вместо
ста
ди
|<|Н|1Н|11111т произведения —— а<г под интегралом не вполне корректно (но прагматично)
ста
"и ,
ПИШУI - а<т, игнорируя векторную природу сомножителей.
пп
Пошму что энергия в П постоянно либо растет, либо убывает.

28 Глава 2. Уравнения математической физики
туры в зависимости от знака интеграла
(1
характеризующего общее поступление энергии. По мере
увеличения I возможности саморегулирования возрастают. При нарастании
температуры увеличивается отток тепла, пропорционально
1{и - щ),
при убывании — приток, что при определенных значениях I дает
надежду на асимптотически устойчивое решение ^(г).
Еще одна важная постановка задачи — распространение тепла,
созданного единичным импульсом, сосредоточенным в нуле (х = О,
I = 0). Температура, как потом выяснится, оказывается строго
положительной при любом х и любом I > 0, что свидетельствует
о бесконечной скорости распространения тепла. Разумеется, не
физического тепла, а «математического». Но это вынуждает задуматься
о корректности «описания и решения». Точность аппроксимации
реальных процессов получается высокой, но идеологический
прокол настраивает на философский лад.
2.3. Распространение волн
Одинаковость механизмов распространения тепла и вещества —
подталкивает к более широким выводам. Не так ли
распространяется и возбуждение в сплошной среде? Не так.
На фоне «молниеносной»
диффузии, правда, первым делом возникает
вопрос о скорости волнового
процесса. Вот стандартное рассуждение
насчет скорости с распространения импульса сжатия вдоль стержня
с сечением 5 (рис. 2.1). Пусть в импульсе давление увеличено
на 6Р, а плотность — на 6 р. За время 61 через 5 пройдет масса
вещества бтп = 6р- 8с • 61.

2.3. Распространение волн
29
Сила, действующая на площадку 5, очевидно, Р = 6Р • 8.
Изменение количества движения равно импульсу силы, т.е.
•ГИула
бтп- с — Р-61,
6р-8с2-б1 = 6Р-8- 61,
%№> мосле сокращения на 861 и перехода к пределу (6Р, 6р ->• 0)
мет
с =
(2.7)
Для твердого стержня (2.7) приводит к с = у/Е/р, где Е —
ИОДуль Юнга. В случае газа вопрос упирается в уравнение
состоянии. Если отталкиваться от привычного
КТ
тп
РУ = — КТ,
т.е.
Р = р-
V
(2.8)
йР
КТ Р
^0 —— = = —, что приводит к заниженному результату
ар \1 р
с =
Но при звуковых колебаниях температура не успевает выравни-
(нпъся, поэтому вместо (2.8) надо рассматривать адиабатический
Процесс
Р//97 = СОП51,
откуда
С= у/уР/р,
что уже правильно определяет скорость звука.
Если к рассмотренной модели присмотреться внимательнее,
ТО это выносит в другие воды. Пусть стержень расположен вдоль
оси х, и и(х,1) обозначает степень
вжатия в сечении стержня на уровне х
И момент I. Рассмотрим два сечения
на уровне х и х + 6х (рис. 2.2), а
также заключенный между ними объем
Ж
/////
X X + 6х
Рис. 2.2

30
Глава 2. Уравнения математической физики
ди
6У — 8 дх. Сила, действующая на сечение х, равна &5-— , где к
ох „
х
определяется физикой задачи (газ, твердый стержень).
Результирующей силой, действующей на объем 6У, будет
, ди I ди
""Уши-*
дЧ
= &5—тдх,
дх2 '
(2.9)
и тогда закон Ньютона дает волновое уравнение
(2.10)
где с — ук/р — скорость волны, д и/д1 — ускорение.
При распространении сжатия в пространстве (2.10) переходит и
(2.11)
дЧ г(дЧ дЧ дЧ\
~Ы2~ = С \дх^ + ду1 + д^)'
что с помощью оператора Д'Л/шмбера
1 №
записывают в виде Оси = 0 .
Между прочим, если в предыдущем рассуждении закон
Ньютона «ускорение пропорционально силе» заменить другой нормой
«скорость пропорциональна силе» ', — волновое уравнение (2.11)
трансформируется в уравнение диффузии (2.1). Импульсы станут
распространяться как диффундирующие частицы.
При которой движение по инерции становится невозможным. Тело движется — пока
на него действует сила.

2.4. Стационарные режимы
31
, Рассмотрим в качестве еще одного
^ИМера — колебание струны, не сопро-
ЦйИКшейся изгибу. Пусть и(х, <) — сме-
[■ИИе струны в точке х в момент време-
■ I (рис. 2.3). Натяжение струны Т(х,1)
и(х, <)
Рис. 2.3
нно по величине и направлено по касательной к графику и(х, I). Сила,
ГСиуюшая на участок струны от х до х + их, равна
Т(х + их, I) - Т(х, I)
ип.
| МК легко убедиться, пропорциональна ихх. Ускорение того же участка
■Цтому второй закон Ньютона снова дает (2.10).
г Что касается сопутствующих обстоятельств, то конкретизация задачи связана
щием начальных и граничных условий. Если коней х = 0 струны закреплен,
етствующее краевое условие имеет вид и\ _. = 0, если — свободен, то
= 0. Начальные условия, в отличие от задачи теплопроводности, помимо
1,0) = щ(х) требуют задания также производной щ(х,0) = и{(х), ибо здесь
|)ур по времени» второго порядка.
Уравнение (2.11) имеет в некотором роде универсальный ха-
;тер, описывая распространение колебаний различной природы:
\НЫ Рэлея , крутильные колебания, распространение звука, элек-
агнитные волны. Однако этот универсализм носит ограничен-
1Й характер. Например, при описании колебаний упругой струны
авнение вклиниваются частные производные четвертого поряд-
[12]. Кроме того, многие волновые процессы не поддаются опи-
ию без учета нелинейных эффектов. Во-первых, редко обходится
13 дисперсии. Во-вторых, по мере увеличения амплитуды
практики всегда колебания начинают зависеть от амплитуды ', и волна
ловится нелинейной со всеми вытекающими последствиями.
^4. Стационарные режимы
©Смотря на сходство записи уравнений (2.1) и (2.11), поведение
решений существенно различается. В то же время стационарные
шения (в которых производные по времени обнуляются) в том
§ ' ' Поверхностные волны, не проникающие вглубь вещества (экспоненциально затухаю-
Шие по мере углубления).
За исключением электромагнитных колебаний в вакууме.

32
Глава 2. Уравнения математической физики
и другом случае описываются одним и тем же уравнением Лапласа
Ди = 0. (2.12)
При стационарном внешнем воздействии /(г) стационарные
решения описываются уравнением Пуассона
Аи = /(г).
(2.13)
«Выключение времени» происходит и в других ситуациях. Если,
например, в задаче распространения волн
ии-Дч = / (2.14)
внешнее воздействие / периодично по времени,
/(г,*) = /0(г)е,'ы<,
то поиск решения той же частоты после подстановки
и(г,Ь) = щ(г)е*ы1
ния н
амплитуды щ(г),
в (2.14) и сокращения на еш приводит к уравнению Гельмгольца для
и2 /0(г)
Ди()+-г-и,) = у-- (2-'5)
2.5. О метаморфозах инвариантности
Физические модели нельзя, и невозможно, доводить до
совершенства. Состоять из ляпсусов, выводить истины из тьмы
неточностей — такова великая роль физики. Ибо кому еше по силам
обращение правды в ложь — при согласовании малого с большим,
быстрого с медленным, дискретного с непрерывным. Но в плену
отпущения грехов иногда ускользает фундаментальное. При
выводе волнового уравнения, например, внимание лениво скользит
по мелким огрехам, не замечая катастрофы. В результате чисто
Напомним, Д — д /дх +д /ду +д /дг называют оператором Лапласа.

2.5. О метаморфозах инвариантности
33
<У,
Рис. 2.4
Рис. 2.5
Мимического перехода к (2.10) получаются уравнения, которые I
ИННариантны к преобразованиям Галилея. ^
Прежде чем обсуждать этот вопрос, остановимся на возникновении волно-
*• урнкнения в рамках другой модели струны, состоящей из множества шариков
1А), соединенных невесомыми пружинками. Масса каждого шарика — т,
ИНН пружинки — а, натяжение — /. Гравитации нет. Соседние шарики под
ЧИЧительным стеклом выглядят как на рис. 2.5, откуда ясно, что вертикальная
ВГанлнющая силы, действующей на к-й шарик со стороны (к - 1)-го, равна
-/Чта = -/
(щ -Щ-\)
+ о(а).
Юму при малых отклонениях второй закон Ньютона для к-го шарика9':
т \
ик+1 - щ щ - ик.
т \
а а
-2щ +«*_/
О-
а*
(2.16)
Исли теперь ввести функцию и(х, I), определенную в точках х
и(ка,1) = щ(1).
ка.
ргинизовать предельный переход, увеличивая до бесконечности число шариков
всмечивая предельную плотность т/а -> р, система (2.16) перейдет в волновое
НФние
ии =сиХ1,
г Л.
(2.17)
Так уравнение (2.17) выводил Д'Аламбер (1780). Рассуждение
|Шс более» механическое, но итог — с той же самой
червоточинкой. Нарушается принцип относительности Галилея. Причина,
|||условно, кроется в предельном переходе. Сам по себе переход
' Пибералыю не замечая крайних из-за малости вклада в общую копилку.

34 Глава 2. Уравнения математической физики
«хорош», ибо дает адекватное описание процесса, но в то же
время _ приводит к странной «бифуркации». Обычные механические
качества улетучиваются, однако появляются новые удивительные
свойства.
Суть дела в следующем. Если система координат К' движется,
не вращаясь, относительно системы К с постоянной скоростью V,
то |0)
г = г + VI, г = г + V, г = г'.
Поэтому при переходе к равномерно движущейся системе —
уравнения движения «г = .Г1» сохраняют форму: «г' = 1Г», — ибо силы
зависят от разностей координат и разностей скоростей, и потому
не меняются '. Это, собственно, и есть принцип относительности
Галилея '.
Аналогичная попытка подвергнуть преобразованиям Галилея
уравнение (2.17) терпит крах. Форма уравнения разрушается при
замене х = х +У1. Но оператор Д'Аламбера
помимо инвариантности к сдвигам координат, времени, и
трехмерным вращениям, обнаруживает инвариантность по отношению
к груП пе псевдоортогональных преобразовании
{
X = X СП Ф + С1' 5П ф,
, , (2.1«)
с1 = х 5п Ф + с1 сп Ф,
аналогично по (у, с1), (г,с1).
Гиперболический поворот (2.18), сохраняющий «расстояние» '
„2+2 2
С I — X ,
10) Здесь штрихи не означают дифференцирования.
'"Чистый математик в этом месте иногда испытывает затруднения, производя замену
в *"(г, г), вместо, скажем, ^(г - Го, ? - **о)-
|2' Не говоря о возможности смены точек отсчета.
13)Так называемый интервал в теории относительности.

я
2.5. О метаморфозах инвариантности 35
^Отличается от обычного заменой синуса и косинуса их гиперболи-
1ескими антиподами. Полагая в (2.18) х = 0, имеем
х = сЬ' 5Ь ф, (± = (±' сЬ 1р,
гкуда 111^ = х/с1. Но х/1 есть скорость V движения начала
^Е = 0) системы координат К' относительно К (ось х движется
ноль х). Следовательно,
V
С
что позволяет записать (2.18) в виде
н^У '
х' + У1' г + 71х
Д= , , *= г-^ » (2Л9)
V2
известном как преобразования Лоренца.
Все как в теории относительности, кстати. Разве что с — не обя-
ательно скорость света. Это может быть скорость звука, например.
|И если в движущейся системе координат (V ^ с) переходить к
новому измерению длин и времени по формулам (2.19), то скорость
|звука во всех инерциальных системах отсчета будет одинакова.
Юстается сверхзвуковое движение объявить ересью и .разрешить ча-
|сы только на звукоулавливающей основе.
Естественно, внедрять преобразования Лоренца в акустику нико-
\ Шму в голову не приходит, потому что здесь за новыми принципами
1змерения длины и времени нет логики \ Конечно, манипуляция
? Щ2.19) сохраняет форму волны1 ' и может быть полезной, но она
выглядит подтасовкой и не дотягивает до уровня Космического
жона. До «кругов на воде» — может быть. С чем-то глубинным
Йререкл и кается, но — ускользает.
Самое интересное во всей этой истории — не инвариантность
а-ля теория относительности, а сам факт метаморфозы. Прин-
Впрочем, ее нет и вне акустики. Но необходимость рассечь гордиев узел — вынуждает.
В инерциально движущейся системе координат.

36
Глава 2. Уравнения математической физики
цип относительности Галилея как ветром сдуло — стоило перейти
от «материально-точечной механики» к сплошной среде. Можно
сослаться на предельный переход как на виновника бифуркации,
но интересен сам механизм перерождения. Более-менее понятно
в чем дело, когда рассуждение изначально строится на
непрерывной модели \ Там есть два типа производных ди/д1 и йи/сИ.
Причем, если пользоваться механикой Ньютона, то следить надо
не за местом (сечением), а за частицей, и тогда скорость — это
йи/И. Но рассуждение принудительно фиксируется на сечениях,
и осуществляется подмена
йи ди
каковая аналитически законна, ибо в йи/й1 — ди/д1 + г • Ум —
см. (1.21) — добавка г-У и имеет второй порядок малости в случае
малых колебаний. Поэтому с точки зрения матанализа — все в
порядке, но принцип относительности Галилея из-за пренебрежения
безделицей г • Уи — все-таки гибнет.
В другом ракурсе обращает на себя внимание игнорирование
процессов внутри объема ЗУ между сечениями на уровне х и х+дх.
И в каждую черную дыру х «схлопнувшихся» сечений
устремляется бесконечное число дискретных степеней свободы, поведение
которых дает специфический агрегированный эффект. При этом,
несмотря на плавность численного перехода к пределу,
противоречивость дискретного и непрерывного — рождает качественный
скачок, который аукается в другом месте.
2.6. Динамика жидкости и газа
Течение в сплошной среде принято характеризовать полем скоростей
ь(г,1), плотностью р(г) и давлением р(г). Второй закон Ньютона,
отнесенный к единице объема вещества, принимает в данном случае
облик уравнения Эйлера
р— = -Ур. (2.20)
Типа распространения продольных колебаний в стержне, п. 2.3.

2.6. Динамика жидкости и газа
37
Более солидное рассуждение отталкивается от
движения массы жидкости то, заключенной в объеме V (рис. 2.6),
И тогда, поскольку
тп = I рЛУ и тп(2е/(й = Г,
Причем
5 V
|силу (1.16), то
/(р|+УР)^ = 0,
Рис. 2.6
ЧТО приводит к (2.20) из-за произвольности объема V.
Опора на (1.23), т.е. (IV/М — 8у/8Ь + (V■ У)«, позволяет (2.20)
Записать в виде
(2.21)
(*о этого, конечно, не хватает для полноты описания. К (2.21)
рбычно добавляют уравнение неразрывности
й»>
~ы
+ (»
• У)« +
1
-Ур =
Р
= 0,
до
-^ + <Н\(ру) = О
оъ
(2.22)
' Уравнение (2.22) легко выводится из закона сохранения массы. Масса в любом выде-
Мнном объеме меняется со скоростью
/>" = /
йУ,
V V
вОвладающей со скоростью вытекания через фаницу V':
* рьйЗ = - / Ч(рь)<1У.
(Х'тается приравнять интегралы и сослаться на произвольность объема.

38
Глава 2. Уравнения математической физики
и уравнение состояния, связывающее давление и плотность' \ При
наличии внешних сил Р(г,1), отнесенных к единице объема, нуль
в (2.21) меняется на Г, а в присутствии источников нуль в (2.22)
заменяется их (источников) интенсивностью /(г,1).
• В силу (1.21) уравнение неразрывности (2.22) можно записать
в другой форме
йр
— + рд\\/ V = 0.
а1
(2.23)
• В случае несжимаемой жидкости, ёр/сН = 0 •-=> ш'ую = 0.
А если при этом существует еще и потенциал скорости <р,
V = §гас1 <р,
то
Ду> = 0 , в силу Ду> = сНу §гас! (р = 0.
Речь пока идет об идеальной жидкости, в которой, по
определению, отсутствуют силы вязкого трения. Иными словами —
о жидкости или газе, которые не сопротивляются изменению своей
формы. При выделении любого объема V в такой жидкости —
силы, действующие со стороны окружения V, направлены по
нормали к границе выделенного объема.
2.7. Электродинамика Максвелла
Электродинамика Максвелла в вакууме при отсутствии токов
смещения опирается на систему уравнений
\дЕ \дН
Г°1Н = -С-т< Ю1Е = -С-»Г' (2.24)
Например, р/р1 = сопя в случае адиабатического течения газа. Либо р = сопя для
несжимаемой жидкости.

2.8. Уравнение Шрёдингера
39
где Е и Н — напряженности электрического и магнитного поля. При
19)
наличии электрических зарядов ', распределенных с плотностью р,
уравнение сИу Е = 0 заменяется на сИу Е — 4жр.
Здесь не место обсуждать физическую
сторону проблематики. Однако хотелось бы
обратить внимание на аксиоматическую
природу уравнений. Рассуждения в пользу (2.24),
часто позиционируемые как вывод, таковым
на самом деле не являются. Поэтому на
уравнения Максвелла целесообразно смотреть как на постулат,
достаточно хорошо работающий, хотя и не безупречно.
Из первых двух уравнений (2.24) легко выводится
1 д2Е . ._ 1 д2Н
АЕ =
АН
с2 д12 ' с2 Ы2
Так что векторы Е и Н удовлетворяют волновому уравнению.
Интересно, что наводящие соображения в пользу (2.24)
отталкиваются от классических представлений о пространстве и времени,
но итоговые уравнения, как и в п. 2.5, оказываются инвариантны
к преобразованиям Лоренца.
2.8. Уравнение Шрёдингера
Д'Аламбер, как принято думать, нашел волновое уравнение, а потом
его решил. Скорей всего, было наоборот, потому что — так проще.
Легче придумать уравнение под заготовленное решение.
В данном случае на роль «колебания» годится синусоида
и(х,1) = 51П (х - сЬ), (2.25)
подобрать дифур для которой довольно просто:
Чхх = 51П (Х - СЬ), Щ( = С 81П (Х - С1),
откуда сразу получается (2.10). После этого можно подыскивать
другие объяснения.
' Асимметрия электродинамики заключается, в том числе, в отсутствии магнитных
зарядов. Монополи Дирака так и не найдены.

40
Глава 2. Уравнения математической физики
В пределах такого сценария возникает характерное явление.
Исследование начинается с частного решения (2.25), под которое придумывается
уравнение (2.10), после чего выясняется, что (2.10) имеет массу других решений. Затем
в анализ вовлекаются краевые условия, и вообще — другие ручейки и реки,
о существовании которых можно было только догадываться.
В подобном русле родилась и квантовая механика '. Луи
де Бройль, предположивший (1923) волновую природу электрона,
инспирировал в научных кругах весьма радикальный образ
мыслей. Колоброжение насчет волн материи происходило вокруг
естественных ассоциаций с известными колебательными процессами.
Шрёдингер первым подобрал (1924) уравнение колебаний.
Ситуация не так далека от интерпретации, данной в |2|. «Что колеблется,
было неясно, поэтому сие деяние никто, включая самого Шрёдингера, всерьез
не воспринимал. Потом попробовали и втянулись. Что колеблется, до сих пор
неясно, но фокус работает. Вопрос о природе колебаний закрыт „волнами
вероятности". Кстати, авторитет теории уже так велик, что эти „волны вероятности"
можно вполне заменить эквивалентной формулировкой „колеблется непонятно
что". Короче говоря, процесс завершился по Планку, который говорил, что
научная истина торжествует по мере того, как вымирают ее противники».
Естественный путь вывода уравнения Шрёдингера выглядит так.
Напряженность электрического поля вдали от гармонического
излучателя меняется по закону
Ё = Е{)ег{и1кг\ (2.26)
где ш — круговая частота (ш = 2жи), к — гак называемый волновой
вектор, г — радиус-вектор.
Поскольку де Бройль приписал частицам длины волн по
аналогии с фотонами, то в качестве волновой функции было естественно
взять нечто вроде (2.26) с заменой параметров на более подходящие.
Так возникла волновая функция
^(г, I) = ^о е!//^-рг) (2.27)
с общеизвестными параметрами: е = Ь,ш — энергия частицы, К —
постоянная Планка, деленная на 27г, р = Ь,к — импульс, или
количество движения.
Но если кто предпочитает другую мифологизацию, — как говорится, вольному воля.

2.8. Уравнение Шрёдингера
41
Дифференцирование (2.27) дает
д\1> г
д71р д21р д21р _р1+р1+р1
дх> + ~ду> + ~дх> ~ Н1 У'
С учетом
р1+р1+р)
2т
= е получается
дФ _ гй
Ж ~ 2тп
Д^,
(2.28)
что и представляет собой один из возможных вариантов записи уравнения
Шрёдингера.
В пространственно-одномерном случае (2.28) имеет вид
Иг
(2.29)
Решений оказывается, конечно, больше, чем задумывалось. Например, (2.29)
удовлетворяют функции с переменной амплитудой
1р(х,1) = ф(х) е
-|Е</Л
(2.30)
Подставляя (2.30) в (2.29) и сокращая на е~1Е(/*, получаем уравнение для амплитуды
ф(х)
ФХ1 + ~Ф(х) = 0. . (2.31)
Дискретные спектры возникают, как при игре на гитаре. Решение (2.31):
/2те
■ф — а 81П (кх + Ь), к
II
Если частица зажата на отрезке21' [0,/] краевыми условиями ^(0) = 1р(1) = 0, то
этим условиям можно удовлетворить, требуя
к1 = П7г; п = 1,2,...,
что дает дискретный набор возможных энергий
, 7Г2Й2
а значит, и частот в силу е = Нш.
В этом случае говорят, что частица находится в потенциальной яме.

42
Глава 2. Уравнения математической физики
Поскольку с интерпретацией ^-функции с самого начала не все ладилось,
вывод подходящего уравнения был оставлен на полдороге, в положении (2.28), где
мнимая единица удачно ретуширует смысл. Физическая интерпретация колебаний
отсутствует, и чтобы не было лишних вопросов, волновая функция изначально
определяется как комплексная. Если бы речь шла только о поиске дискретных
спектров, то все можно было бы оставить в таком положении, считая ^-функцию
удобной фикцией для промежуточных действий. Но в квантовой механике есть
масса задач, где «фикцию» приходится извлекать и приспосабливать, например,
для изучения интерференции электронов. Вопрос об интерпретации ^-функции
становится острее. Поиски логики останавливаются на волнах вероятности, что,
надо признать, является оптимальным выходом из положения. Колеблется по-
прежнему «непонятно что», но внешняя сторона дела именно поройIпостна —
и язык расплывчато-адекватен. В целом квантовая механика совершенно
уникальная научная дисциплина, научившаяся справляться с обширным кругом
явлений в отсутствие их понимания. Физики насчет понимания могу| спорить,
но это вопрос терминологии.
Перезапись (2.29) в форме '
(гдь + дххЩх, 1) = 0
и сопоставление с уравнением теплопроводности
{дь - дхх)и = О (2.33)
указывает на замаскированную связь этих уравнений. По крайней
мере, (2.33) из (2.32) можно получить заменой I на И, что
свидетельствует об определенном сходстве свойств симметрии этих
уравнений.
(2.32)
Коэффициенты можно поменять изменением масипабов.

Глава 3
Общие вопросы
Знание общих принципов возмещает
незнание отдельных фактов.
К. Гельвеций
При изучении ЧП-уравнений важно отдавать себе отчет, что ситуация в
корне отличается от обыкновенных дифуров. Если последние практически всегда
описывают семейства траекторий, то нзятое наугад уравнение с частными
производными — ничего не описывает. Не решается, попросту говоря. Исключений,
разумеется, хватает, одно из них — урматы.
3.1. Проблемы разрешимости
Так же как обыкновенный дифур г/п' = 1р(у \ ••■ >у\уЛ)
заменой Ж] = у, х-1 = у', ..., хп = 2ГП~1' переводится в систему
±1=ж2, ж2 = ж3, •••, хп=1р(хп,...,Х2,х[,1),
любая система уравнений с частными производными за счет
объявления производных новыми неизвестными функциями — сводится
к системе уравнений первого порядка по образцу:
{щ = ь,
их = гю,
VI - гух.
И наоборот, такого рода системы иногда консолидируются
естественным образом в одно уравнение более высокого порядка, что
происходит в урматах время от времени.

44
Глава 3. Общие вопросы
Элементарным примером неразрешимого ЧП-уравнении может
служить Уи(ж) = а(х), т.е.
ё,тади(х) = а(х), (3.1)
при условии что поле а(х) не потенциально, дщ/дх^ ф да}/дХг.
Другой образчик'* Ухи(ж) = Ь(х), т.е.
го1 и(х) = Ь(х), (3.2)
в случае когда поле Ь(х) не соленоидально, д'пЬ(х) Ф 0. И таким
примерам нет числа. Причем неприятности могут быть вплетены
в задачу самым невинным образом.
Ситуация (3.1)"1 вполне прозрачна. Поскольку направление I радиста задает
ортогональную плоскость, — уравнение Уш'ж) = а(х) определяем иоле
касательных плоскостей — в отличие от обыкновенного дифура. определяющего поле
касательных направлений. Вписать траектории в непрерывное поле направлений
всегда можно, а нот подобрать поверхности под заданное поле касшельных
плоскостей — задача, как правило, нерешаемая, что ясно даже интушппно
Если в (3.1) добавить интегрирующий множитель, как шорую компоненту
искомой функции, — задача в чистом виде будет воспроизводить попек решения
уравнения Пфаффа (п. 4.3).
Что касается одного линейного уравнения
аЛх)дх-Г°'
г
то оно допускает любые градиенты
Г ди ди \
ортогональные а(х), оставляя свободу выбора касательных
плоскостей, которой почти всегда хватает для существования решения.
Такого сорта исключения удобно выставлять напоказ, ретушируя
лишь некоторые шероховатости.
1 Здесь уже искомая функция и векторная.
21 Случай (3.2) менее нагляден, и требует больше слов. Но тут интересны не отельные
ситуации, а сам факт изобилия в векторном анализе дифференциальных свойств, каковые
накладывают многочисленные условия, необходимые для разрешимости ЧП-уравнений.

3.1. Проблемы разрешимости 45
Таким образом, интуитивная потребность во всеохватывающих
теоремах в рассматриваемой области неправомерна, ибо за
редкими исключениями ЧП-уравнения не решаются, и большая их
часть остается за бортом теории. Однако то, что остается, вполне
податливо и постижимо. Во-первых, многое решается фактически,
в результате чего разрешимость выясняется сама собой. Во-вторых,
масса задач переводится в интегральные уравнения, и тут спасают
методы функционального анализа '.
Принципиальный момент также — что считать решением. Для
уравнений второго порядка, например, инерция мышления
подталкивает к дважды непрерывно дифференцируемым функциям. Хуже,
как говорится, не придумаешь. Прокрустово ложе С слишком
узко. Но брать производные обычным образом вовсе не
обязательно. ЧП-уравнения в матфизике — всего лишь один из вариантов
реализации миропонимания. Выдуманная модель. Бог интегрирует
эмпирически, как говорил Эйнштейн, а мы описываем как умеем.
На дифуры можно смотреть как на эскиз, намек, — не
зацикливаясь на форме. Один из вариантов выхода из-под юрисдикции
классического анализа — обобщенные решения (глава 6), где
проблема дифференцируемости исчезает и беспокойство о разрешимости
частично нейтрализуется.
В предположении непрерывной дифференцируемости
плотности распределения зарядов р(г) — решением уравнения Пуассона
Аи = р(г) служит
4тг } ||г-$||
Но (3.3) вполне приличная формула и без предположения
непрерывной дифференцируемости р(г). Почему бы ее не считать решением
исходной задачи, скажем, в случае непрерывного распределения
р(г)? Для этого надо осознать, насколько Аи — р(г)
соответствует тому, чего мы хотим. Может быть, дело только в локальном
Такие как принцип сжимающих отображений и топологические теоремы о
неподвижных точках (3, т. 5].

46
Глава 3. Общие вопросы
мышлении ', а глобальная зависимость (3.3) даже
предпочтительнее локального описания. Тогда, если от ЧП-языка отказываться
неудобно, надо навести определенный порядок"', не пуская
толкование на самотек. Потому что в рассуждениях, где нечто понимается
то так то эдак, можно доказать что угодно.
Другая сторона медали — опора на физику явления. Если
решается всего-то дюжина задач — волны, теплопроводность,
гидродинамика и еще какая-то «мелочевка» — то существование решений
вытекает вроде бы из презумпции разрешимости. Уравнение
обязано решаться, если описывает реальный процесс. Но уравнение —
это модель, в той или иной степени неточная. «Приблизительность»
можно игнорировать в случае устойчивости, и то с оговорками,
но если округления и допущения попадают в область бифуркаций,
то физика уже не помогает '. А уж когда тепло распространяется
с бесконечной скоростью (п. 2.2), то уж какая тут презумпция.
3.2. Теорема Коши—Ковалевской
Попытка строить ЧП-теорию по образу и подобию обыкновенных
диф-уравнений изначально сталкивается с принципиальными
затруднениями. Не говоря об опасениях насчет разрешимости задач
целиком, очевидны препятствия и для существования локальных
решений, каковые присутствуют в том же уравнении (3.1) в
случае непотенциального поля а(х). Поэтому абстрактная ЧП-теория
выращивает картошку на минном поле, что требует определенной
деликатности.
На первый план традиционно выдвигается аналог «утверждения
Пеано—Пикара» для системы уравнений
д*Щ = /•(*, а?,и,...), ъ=\,...,т, (3.4)
4| Определяющем выбор дифференциального языка.
'' Как это делается, например, при переходе к обобщенным решениям.
' Хороший пример — уравнения Навъе—Стокса, за решение которых, не вполне
адекватно выражаясь, институт Клея (Кембридж, Масспчусетс, США) назначил премию в миллион
'лолларов.

3.2. Теорема Коши—Ковалевской
47
где многоточие под знаком /г подразумевает частные производные
щ по I, Х\,... ,хп, — но не более высокого порядка чем П{,
и не содержит 0"'и,, т. е. каждое уравнение разрешимо относительно
старшей производной, и «старшая» — всегда по одной и той же
переменной, здесь по I. Для (3.4) рассматривается задана Коши, т.е.
решение, принимающее при 1 = 0 начальные значения
д1щ(х,0) = ьц((х), г=\,...,т, й=1,...,п*. (3.5)
3.2.1. Теорема Ковалевской '. Задана Коши (3.4), (3.5) в
оговоренных предположениях и при дополнительном требовании аналитин-
ности всех функции /^, ь^ — имеет единственное аналитическое
решение в некоторой окрестности тонки {хц, 0}.
Вопрос олокальной разрешимости ЧП-уравнений —
закономерен, и неизбежно возникает в самом начале развития теории. Другое
дело, что даже положительный ответ на него не приносит
полного облегчения, и «лекарство» приходится искать в другом месте,
смиряясь с неоперабельными ситуациями. Кроме того,
возможная неприятность могла бы лежать непосредственно в локальной
неразрешимости. Да она, собственно, и лежит, потому что
благополучный вывод 3.2.1 не так силен как у Пеано. К тому же, дело
не в выводах, а в истоках. Для существования локальных решений
действительно нужны особые условия.
Контрпример Ковалевской. Предположение об аналитичности в 3.2.1 нельзя сказать
что необходимо, но оно дает выход из положения. Требование теоремы 3.2.1
о разрешимости относительно старшей производной также нелишне. < Если речь
идет об аналитических решениях уравнения теплопроводности и, = и„, то и(х,1)
обязано представляться рядом
подстановка которого в щ = и„ дает соотношения между коэффициентами щ3,
а фиксация начального условия уже точно определяет щ. В случае начального
условия
' Результат называют также теоремой Коши— Ковалевской, ибо Коши получил несколько
менее общий результат раньше.

48
Глава 3. Общие вопросы
соответствующие манипуляции приводят к гипотетическому решению
»! I"
.А (2п)! I"
и(1,<)=> — -г--, (3.6)
/1=0
но ряд (3.6) расходится в любой окрестности нуля при I ф 0. Так что исходная
задача Коши аналитического решения не имеет. ►
Разумеется, и, = и,-,, можно считать разрешенным относительно старшей
13водной игг — дело ведь не в
и дти\ , а это совсем другая задача.
производной и„ — дело ведь не в букве, — но тогда надо задана!ь и]
Если требование аналитичности снять, то си гуация с щ = ихх
нормализуется. Теорема Хёрмандера (п. 6.6) фактически гарантирует
существование обобщенного решения у любого ЧП-ураинении
ЦО)и = 1(х)
при условии что оператор Ь{Б) = ^ааХ>° имеет постоянные
коэффициенты, а — мультииндекс, Б = (д/дх\ <)/()х„). Если
говорить точнее, теорема Хёрмандера фактически гарантирует,
существование фундаментального решения, остальное «вытекает» —
подробности в разделе 6.6. Дополнительно ситуацию с щ - ихх
нормализуют теоремы единственности для параболических
уравнений (см. п. 9.2).
Интересно заметить, что ЧП-уравнения можно мыслить как
обыкновенные дифуры в подходящих функциональных
пространствах. Дело в том, что системы уравнений с частными
производными за счет объявления производных новыми неизвестными
функциями обычно могут быть представлены в виде
дщ: = /,■(*. *, «1,-••,»*). ;'= 1,...,лг, (3.7)
где /^ — дифференциальные операторы '.
Систему (3.7) в подходящем функциональном пространстве
можно рассматривать как
Ь = Р(уЛ). (3.8)
«Функции», включающие диф(|х:ренш1рование своих аргументов.

3.3. Корректность постановки
49
Но задача Коши для (3.8) не попадает в сферу влияния теоремы
Пеано. В бесконечномерных пространствах, оказывается, локальная
разрешимость задач вида
* = /(*,*), ж(0) = Жо (3.9)
с непрерывной правой частью /(х,1) — не гарантирована '.
3.3. Корректность постановки
Линейное уравнение в К"
Ах = у (3.10)
разрешимо при любом у в томм случае, когда однородное уравнение
Ах = 0 имеет только тривиальное решение х = 0. Более общий
результат: совокупность у, при которых (3.10) разрешимо,
образует линейное подпространство Кп, являющееся ортогональным
дополнением к подпространству решений однородного
транспонированного уравнения А гу = 0. В случае А : Мп -> Мт, п Ф т,
картина несколько усложняется, но остается в наглядных
геометрических рамках.
Если же А действует из одного бесконечномерного банахова
пространства в другое, — вокруг уравнения (3.10) возникают
принципиально новые явления. Пусть Д4 обозначает область определения
оператора А, На — область значений А, наконец, Л/^ — ядро,
нуль-пространство, т.е. множество решений Ах = 0.
Если Л/д = 0, т.е. Ах = 0 имеет лишь нулевое решение,
уравнение (3.10) однозначно разрешимо на На, что означает существование
обратного оператора
Но в отличие от конечномерного случая оператор А~ может быть
неограничен по норме. Это и есть возможная, хотя и не обязательная
Тему в целих экономии времени лучше не ворошить. Но важно заметить, чтов
бесконечномерном пространстве точка — это функция, заданная на неограниченной в К" кривой.
Поэтому локальная разрешимость (3.9) локальна по (, но глобальна по остальным переменным.

50
Глава 3. Общие вопросы
«бесконечномерная неприятность». В случае ограниченного по
норме оператора А~ говорят, что задача (3.10) корректно разрешима,
при неограниченном А~ задачу (3.10) называю! некорректной.
На более привычном языке некорректность заключается в
отсутствии непрерывной зависимости решения х(е),
Ах{е) = у + е,
от параметра е. Проще говоря, малые возмущения условий могут
скачкообразно менять решение.
Первый пример некорректной задачи на поле урматов указан
Адам аром:
и„ + ихх = 0, и\(=0 = 0, щ\(:0 = 0. (3.11)
Нулевое решение (3.11) единственно, нопоследовательностьрешений
ии{х, I) = —-~2— 51П кх
краевой параметрической задачи
Щ\ + и-хх = 0, «|4=() = 0, щ\ы0 = т 51 п кх,
несмотря на (\/к)$\пкх -> 0 при к -> оо, к нулю не сходится
ни в каком разумном смысле. Таким образом, малейшее возмущение
= 0 ощутимо выбивает решение (3.11)
начального условия —
дъ
из нуля.
3.4. Замена переменных и классификация
Рассмотрим линейное ЧП-уравнение второго порядка
п
'^2а^)(x)иX|X^ + ... = 0, (3.12)
«л
где многоточие подразумевает члены, содержащие саму функцию и
и ее производные первого порядка.

3.4. Замена переменных и классификация
51
Невырожденная замена переменных у{х) позволяет перевести
матрицу коэффициентов а^ в диагональную форму, на основе
которой далее строится классификация.
Сначала о самом механизме замены. В силу с!е1 [дур/дхд\ Ф О
отображение у — у(х) обратимо в окрестности рассматриваемой
точки, х = х(у). Считая
и(аг(у)) = «(у), ь(у{х)) = и{х),
имеем
^ дь ду3
«..., = Е^й;+^ д^}"*-- (114)
Подстановка (3.13), (3.14) в (3.12) приводит к новому ЧП-
уравнению, у которого при ьу у стоят коэффициенты
г,} г }
что соответствует преобразованию квадратичной формы
п
^афП) (3.16)
1.3= I
с помощью матрицы Якоби у'{х). При этом известно [3, т. 3], что
квадратичная форма (3.16) всегда может быть приведена
невырожденным преобразованием к «сумме» квадратов
Е<±Л
»=1
где т ^ п, а число положительных и отрицательных членов
определяется исходной квадратичной формой, а не преобразованием —
пресловутый закон инерции.

52
Глава 3. Общие вопросы
Соответственно, уравнение (3.12) может быть приведено к виду
(без смешанных производных)
где многоточие обозначает слагаемые, не содержащие производных
выше первого порядка. Если т — п и все коэффициенты при
вторых производных в (3.17) одного знака, то исходное уравнение
(3.12) — считается уравнением эллиптического типа; при разных
знаках ' ' — гиперболического. Параболические уравнения
характеризуются неравенством т < п.
При большей разрешающей способности определений понятия
расщепляются: параболические в широком смысле, в узком смысле и т. п. Детали на поприше
обшего образования малоинтересны. Достаточно ассоциировать систематизацию
с типологией поверхностей второго порядка, где за терминами стоят наглядные
образы: эллипсоид, гиперболоид, параболоид.
К эллиптическому типу относятся уравнения Лапласа,
Пуассона, Гельмгольца. Волновое уравнение — гиперболического типа,
уравнение теплопроводности — параболического.
• Сказанного достаточно для устремлений шаблонного толка.
Но для «понимания места» необходимо иметь представление об
окружении. Например, о том факте ', что эллиптичность, гипер- и
параболичность не обязательно связаны с операторами
(уравнениями) второго порядка. Скажем, оператор
а — мультииндекс, считается эллиптическим, если форма
\а\=к
Как правило, все знаки одинаковы, кроме одного.
Причем именно о факте, а не о подробностях.

3.4. Замена переменных и классификация
53
положительно (либо отрицательно) определена, т.е. не обращается
в нуль при ^ ф 0. В случае к — 2 поверхности уровня
положительно/отрицательно определенной квадратичной формы ф(х, ^) —
эллипсоиды, что и объясняет происхождение термина. Но дело,
конечно, не в самих эллипсоидах. Определенность формы ф(ж, О
приводит к отсутствию характеристических поверхностей у
эллиптических уравнений, что служит главным источником сходства
и делает осмысленными практически любые краевые задачи
эллиптического типа (см. следующий раздел). В результате свойства
определяют не детали, а сам факт эллиптичности.
3.4.1. Если коэффициенты эллиптического оператора Ь и функция
/ — аполитичны, то и все решения уравнения Ьи = / аполитичны '.
Отсюда кстати следует, что всякое решение однородного
уравнения Ьи = 0, в предположениях п. 3.4.1, равное нулю на открытом
множестве, тождественно равно нулю всюду. Это влечет за собой
с необходимостью единственность решения Ьи — /.
3.4.2. Если коэффициенты эллиптического оператора Ь аполитичны
и / суммируема с квадратом, то любое обобщенное решение
уравнения Ьи = / является обычной функцией из Ь^_, т. е. слабым решением.
• Гиперболическими в общем случае называют уравнения, для
которых корректна задача Коши. Менее размыто определение
гиперболичности оператора (3.18) в направлении оси времени Х\ = I,
требующее вещественной разрешимости характеристического
уравнения
^МхКТ---йп = 0 (ЗЛ9)
|о|=*
относительно ^| при условии {^2, • • •, 6Л Ф 0.
• Исчерпывающую характеристику параболическим уравнениям
дать сложнее. Таковыми иногда называют уравнения, для которых
существует корректно поставленная смешанная задача (с
начальными и краевыми условиями), а возмущения распространяются
А уравнение с постоянными коэффициентами, имеющее только аналитические решения,
непременно является эллиптическим.

54
Глава 3. Общие вопросы
с бесконечной скоростью. Операторы вида (3.18) называют
параболическими, если уравнение, похожее на (3.19), имеет решения
с отрицательной действительной частью — подробности в [15].
Все это, конечно, малопривлекательно для прагматического образа
мыслей, но нет-нетда и срабатывает. Вот пример параболического
уравнения четвертого порядка
84 ( д2 д2 \2 , ч
^+и?+Ы"=о' ,з-2о)
описывающего поперечные колебания тонкой пластины. Глядя
на (3.20), так, сразу не скажешь, что здесь кроется что-то
родственное уравнению теплопроводности. Колебания колебаниями,
а природа диффузионная.
Таким образом, естественная классификация задач на основе
физической природы в данном случае отступает на второй план.
Параболический характер задачи проистекает здесь из абстрактных
свойств формализованной постановки.
Из перечисленного видно, что классификация уравнений
привязана к точке. Поэтому уравнение, рассматриваемое в той или
иной области, может менять свое лицо. Стандартный пример —
уравнение Трикоми
имеющее при у > 0 эллиптический тип, при у < 0 —
гиперболический, а при у = 0 — параболический.
3.5. Характеристические поверхности
Задавшись целью упростить уравнение (3.12), обнулив один из
коэффициентов арр, определяемый формулой (3.15), замену
переменных у(х) необходимо подобрать так, чтобы
г,] г 3
Другими словами, компонента ур{х\,..., хп) должна удовлетворять
ЧП-уравнению (3.21). Поверхности постоянного уровня функции

3.5. Характеристические поверхности
55
ур(х\,..., х„), в дополнительном предположении %гайур(х) Ф О,
называются характеристическими поверхностями
{характеристиками) уравнения (3.12).
Понятно, о замене переменных говорить необязательно, тем
более что от выбора р «ничего» не зависит. Уравнение (3.21)
переписывают в форме
Е
дХг дХ)
<чЛх)-^ппг = °> (3-22)
и считают ы(х) = 0 (равносильно ш(х) = С)
характеристической поверхностью уравнения (3.12). Последняя, как видно, не
зависит от содержания многоточия в (3.12), и полностью определяется
коэффициентами ац при старших производных, причем, как легко
убедиться, инвариантна к невырожденным заменам координат '.
О геометрической интерпретации будет сказано чуть позже. Пока
остановимся на примерах.
• Уравнение теплопроводности щ - а Аи = О имеет
характеристические поверхности I = С, описываемые уравнением
дш\2 2^/ди\2
вид
Для волнового уравнения и« - с Аи = 0 — (3.22) приобретает
вш\2 11Г^/дш^2
г
-ЕЕ =»■ **>
Решением (3.23) служат характеристические поверхности '
\х - я0||2 - с2(1 - *0)2 = О,
131 -г
Iо есть невырожденные замены переменных переводят характеристические
поверхности в характеристические.
Характеристическими в данном случае являются также гиперплоскости с(+{а, х) ~ С,
Цв||= 1.

56 Глава 3. Общие вопросы
с вершинами в точках (ж(), 1ц), выделяющие в теории
относительности конус «абсолютно будущих», по отношению к (жо, Ьо); событий
А-+(а?0,«о) = {(а?,*) : с(* - *„) > ||ж — ж0||>
и конус «абсолютно прошедших» событий "'
К.{х0, *,,) = {(ж, *) : с(*„ - *) > ||ж - ж(1||}.
• Уравнение Лапласа Аи = 0 характеристик не имеет, поскольку
при условии §гас!и;(ж) ^ 0 — не решается.
Характеристические уравнения служат в основном не для того,
чтобы их решать. Это, скорее, катеюрия мышления, позволяющая
кое-что видеть в ЧП-проблематике. Например, задача Коши для
(3.12) в совокупности с условиями
и\ =щ(х), —
" дп
= и1(х), (3.24)
требует осторожности, фактически не допуская, чтобы поверхность
Г была характеристической. Точнее говоря, на характеристической
поверхности Г данные (3.24) нельзя задавать произвольно, ибо в этом
случае (3.12) оказывается соотношением между данными (3.24).
•^ Действительно, условия (3.24) определяют на Г саму функцию и(х) и все
ее первые производные |6). Если Г — характеристическая поверхность ур{х) = О,
пусть будет р = 1, то в переменных у{х) вторые производные дги/(ду,ду}) на Г,
за исключением д и(ду\, вычисляются дифференцированием первых
производных по касательным к Г направлениям, т.е. по уг,--,уп- А коэффициент при
происходят после,
а из К- — до события (го, 1ц).
Задание и|г = щ(х) определяет все производные по касательным направлениям к Г,
ди
а -— = и\(х) дает градиент и на Г. чего в совокупносчи достаточно для фиксации всех
дп г
первых производных. Сказанное заодно поясняет, почему в (3.24) вместо нормали можно
брать любое трансверсальное к Г направление.

3.6. Краевые задачи
57
дги/ду] равен нулю в силу характеристичности Г. Поэтому (3.12) оказывается
соотношением между данными (3.24). ►
Например, для задачи Коши |7)
дп
= «,(ж).
2 I ®и
и, - о Аи = 0, «|/=0 = щ(х), —
1=0
обязано выполняться соотношение ди^дЬ = Ащ при 1 = 0.
Наиболее выразительно подобный эффект проявляется в
линейных уравнениях первого порядка, где на характеристических
поверхностях функция и(х) постоянна, и для задания фаничных
условий совсем нет свободы маневра — см. п. 4.1.
Инструмент типа (3.22) работает и в более общих ситуациях,
скажем \
^2 Аа{х)Оаи = 0. (3.25)
Те же манипуляции с невырожденной заменой переменных у(х)
приводят в конечном итоге к характеристическим поверхностям
ш(х) = С, где Цж) удовлетворяет уравнению
\а\=к
3.6. Краевые задачи
На ЧП-проблематику полезно взглянуть с другого конца. Не от
уравнения к решению, а наоборот. Дифференцируя, например,
и(х,у) = ф2 + у2), (3.26)
имеем
их = 2х<р'(х2 + у2), иу = 2у<р'(х2 + у2),
откуда
х • иу - у ■ их = 0. (3.27)
' Здесь 1=0 — характеристическая поверхность.
18)
По поводу обозначений см. п. 1.1.

58 Глава 3. Общие вопросы
__4^--\ Таким образом, (3.26) при более-менее любой
( п Л функции <р является решением сконструированного
I ч)# уравнения (3.27). Как из семейства (3.26) выделить
\^_^/ конкретное решение? Понятно, надо задать <р. Но <р
Рис. 3.1 в постановку задачи не входит, если смотреть со
стартовой площадки (3.27). Поэтому танцевать надо от
«решения» и, задав значения и(х,у) на какой-нибудь кривой Г,
которая должна быть трансверсальна (не касательна)' ' окружностям
2 2 2
х +у =г .
Годится, в частности, ось х = 0 в качестве Г. Кривая Г не должна
2 2 2
также пересекать каждую окружность х + у = г более одного
раза. Например, в ситуации, изображенной на рис. 3.1, функцию
и\г нельзя задать так, чтобы она в точках А и В принимала разные
значения, ибо и(х,у) постоянна на окружностях.
Решением задачи Коши
х ■ иу - у ■ их = 0, и\
нту
очевидно, является и(х, у) = хт (х + у ). Такое же решение получается в случае
краевого условия и\ =г2 = $т (х т х ).
На формальном уровне краевые задачи распадаются на
несколько естественных категорий.
• Краевые задачи для уравнений эллиптического типа, Лапласа
Аи = О, Пуассона Аи — /, — решаемых с одним из следующих
граничных условий:
ди
дп
Щ
= «1
ди
д~п
+ аи
— условие I рода, задача Дирихле,
— условие II рода, задана Неймана,
= О — третья краевая задана.
19)
Собственно, касание само по себе не страшно, если точка касания изолированна.
Важно, чтобы Г не сливалась с какой-либо окружностью на континуальном участке.

3.7. Принцип суперпозиции
59
• Задана Коши для гиперболического и параболического
уравнений. Решения рассматриваются на всем пространстве. В случае
волнового уравнения начальные условия задаются в форме
Ч=+о = м°(ж)> -Щ
«=+о
Для уравнения теплопроводности начальное условие ограничивается
требованием и|{=+0 = щ{х).
• В смешанной задаче для гиперболического и параболического
уравнений задаются как начальные, так и фаничные условия. Речь
идет о решениях и(х, I) на области Г2 С Шп.
3.7. Принцип суперпозиции
Говорить о важности принципа суперпозиции сложно, потому что это
очень простая вещь. Если Ь — линейный оператор, то
Ьщ = /,, Ьи2 = /2 => 1(аи{ + /Зи2) = а/, + /3/2. (3.28)
Это и есть принцип суперпозиции К Заострить внимание,
казалось бы, не на чем. Да и трудностей в понимании не видно.
Трудности случаются в использовании — широта возможностей не всегда
заметна, не говоря о бесконечномерности функциональных
пространств и привходящих обстоятельствах типа краевых условий.
Из принципа суперпозиции следуют, в том числе, банальные
истины. Если Ьх = 0, Ьу = 0, то и Ь(ах + (5у) = 0. Иными
словами, сумма решений уравнения Ьг = 0 — тоже решение.
В случае линейного неоднородного уравнения
Ьи = /, (3.29)
в силу (3.28) возможно решать уравнения Ьи = /(<) на основе
разложения правой части, например, в ряд Фурье: если щ(Ь) —
' На словесном уровне это звучит более интригуюше: система удовлетворяет принципу
суперпозиции, если результирующий эффект от независимых воздействий представляет собой
сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности.

60 Глава 3. Общие вопросы
решение Ьи = $т Ы и
00
/(I) = ^2 ак 5'п **'
00
то и(Ц = 2_]ак'ик{1) ~ решение Ьи = /(I). Аналогичный прием
работает и в «предельном исполнении» ]\ когда /(^)
представляется, скажем, интегралом Фурье либо интегральной суммой единичных
импульсов:
ДО = ( Н*)Щ - я) (15. (3.30)
-ОС'
В случае (3.30) принцип суперпозиции ведет к решению
ос
и(1)= I 6(1,8)/(з)й5, (3.31)
-ос
где ядро 0(1, з), называемое функцией Грина, — обозначает решение
уравнения Ьи = 6(1 — з), но это требует некоторых уточнений,
см. главы 6 и 9.
3.8. Переход к интегральным уравнениям
Взгляд на дифференциальные выражения
Едки
к дх*' ... дх„п
как на линейные операторы Ь, действующие в том или ином
функциональном пространстве, является выдающимся трюком,
который подключает к ЧП-уравнениям всю мощь функционального
анализа. На первый взгляд, конечно, маневр выглядит
бесполезной затеей, сулящей разве что головную боль. Насчет последней
опасения оправданны, но выгоды превосходят издержки. Помимо
Но при этом необходима расстановка точек над 1, поскольку линейный оператор
в функциональном пространстве не всегда непрерывен [3, т. 5].

3.8. Переход к интегральным уравнениям
61
аппаратного выигрыша преимущества заключены в геометрическом
взгляде на проблематику, стимулирующем образную ориентацию.
Интерпретация функций как векторов хотя и бесконечномерного
пространства — включает ассоциации с линейной алгеброй,
подсказывая выводы и указывая причины.
Напомним конечномерный срез, служащий образцом для подражания в
бесконечномерном случае. При переходе к новой системе координат с помощью
невырожденной матрицы Т — соотношение и = Аь после подстановки и = Ти,
V = Т» превращается в Ти = АТь, что в результате умножения слева на Т~
переходит в и = Т~]АТь, на основании чего можно утверждать, что в новой
системе координат линейному оператору А соответствует матрица А = Т~ АТ.
В достаточно свободных предположениях Т можно выбрать так, что
преобразованная матрица Т~' АТ будет диагональной. Для реализации замысла решается
уравнение Ах = Хх. Собственные значения X^ попадают на диагональ, а
собственные векторы будут вектор-столбцами матрицы Т. После этого любую задачу,
где фигурирует матрица А, целесообразно записывать в системе координат,
ортами которой служат собственные векторы. Действие оператора А на векторы х
будет сводиться тогда к умножению координат х на собственные значения А;.
Вот как это работает, например. Замена переменных х = Ту приводит задачу
Кош и
х = Ах, х{0) = х0
к виду
у = Т~'АТу, у(0) = Т~]хо.
Если Т~[АТ = (Иаё{А|,..., Ап}, то это развязывает исходную задачу. В новых
координатах система у = Т АТу распадается на независимые друг от друга
скалярные уравнения ук = А;»/*, интегрирование которых по отдельности дает
Подстановка у = Т~ х приводит к решению в исходных переменных:
х(1) = Т
еА''... О
еК>
Т"х(0).
Нельзя сказать, что схема без изменений переносится в
функциональные пространства. «Бесконечномерные неудобства» кратко
напоминаются в разделе 11.3. Есть также и ЧП-специфика. Чисто
дифференциальные операторы Ь всегда вырождены '. Поэтому
1 Ибо и - V = соп51 => (и - V)' = 0.

62
Глава 3. Общие вопросы
приходится выделять подходяшие подпространства, на которых
можно говорить об обратном операторе Ь~ . Фактически обычно
рассматривают операторы Ь на подмножествах функций, выделяе-
23)
мых теми или иными краевыми условиями .
И ногда есть резон в обращении лишь части дифференциального
оператора, — чаше всего в варианте ' Ьи = и. И тогда вместо (3.31)
получается интегральное уравнение
и(1) = I С{1, з)и(з) (18, (3.32)
-00
что переводит исходную задачу в другую плоскость. Встречаются
также нелинейные задачи Ьи = /, в которых / зависит от и.
В этом случае вместо (3.31) получается интегральное уравнение
Гаммерштейна
и(1) = I С{1, я)/(и, 5) Л8. (3.33)
3.9. Вид сверху
«За деревьями леса не видно» — это как раз про урматы. Чем
пристальнее всматриваешься в конкретику, тем менее заметно единство
решаемых задач. Разнообразие ошеломляет и не дает видеть за
мозаикой постановок общий стержень.
Если же смотреть с высоты функционального анализа, то все
линейные задачи с частными производными имеют вид
Ьи = /, (3.34)
где все, вообще говоря, векторное,
Ь = {Ь\,...,Ьт}, и = {щ,... ,ик],
Для выделения из семейства линейного оператора допустимы только «линейные
краевые условия».
Получаемом из Ьи = 0 прибавлением и к левой и правой части.

3.9. Вид сверху
63
причем Ь] —линейные операторы, хотя Ь^ и = /^ — необязательно
ЧП-уравнения. Это могут быть начальные или граничные условия,
типа м|г = /,(ж).
Среди уравнений Ь^и=/^ могут попадаться однородные Ь^и = 0,
которые выгодны принципом суперпозиции в форме
Ьп1=0, Хи2 = 0 =» Ь(щ+и2) = 0, (3.35)
тогда как в неоднородных уравнениях принцип суперпозиции
действует в другом облике:
Ьщ = !\,Ьи2 = /2 => Ь(щ + и2) = /| + /г- (3.36)
Разумеется, (3.35) — частный случай (3.36).
Таким образом, вопрос о разрешимости (3.34) с высоты
птичьего полета совсем прост. Если Ь определен на функциональном
пространстве Е, и Кь — его область значений, то исходная задача
имеет решение в томм случае, когда / 6 Я/,.
Соответственно, проблема сводится к удобному описанию В.1,
с учетом пожеланий насчет корректности, т.е. насчет
непрерывности обратного оператора Ь~ : Кь —» Е. Но это в принципе. Так
сказать, в условиях философской безответственности. Конкретно
решить проблему бывает очень трудно.
Во-первых, надо выбрать пространство Е, что с точки
зрения ЧП-операторов Ь^ — не самое трудное, хотя Ь^ имеют люфт
определения в отношении допустимых коэффициентов. Во-вторых,
необходимо договориться, какие поверхности Г допустимы , и это
уже сложнее, так как потребовав, чтобы сужение и(х) на «слишком
угловатую» поверхность Г давало гладкую функцию, можно
остаться у разбитого корыта. В третьих, и это самое сложное, следует
учесть взаимодействие операторов 2^, когда их много.
Функции, удовлетворяющие однородному граничному условию, образуют линейное
пространство, потому что если две функции удовлетворяют однородному условию, то их
линейная комбинация удовлетворяет тому же условию.
Если в задаче присутствуют граничные условия. Обычно Г считаются поверхностями
Ляпунова, определение которых (см. любой учебник) весьма громоико, что свидетельствует
как раз об изъянах в природе задачи.

64 Глава 3. Общие вопросы
Чтобы взглянуть неприятностям в лицо, достаточно взять конкретный
пример. Пусть (3.34) означает (3.1), г. е.
ёгас1 и(х) = а(х).
Здесь Ь1 = д/дх1, и компоненты (3.34) суть Ь1и — а1(х). Допустим, все Ь1
действуют из Е в Е, где Е — пространство непрерывно дифференцируемых
(желательно дважды) функций '. Как выяснится через несколько строчек, в записи
Ь1 : Е —► Е второе Е надо считать у-м экземпляром Е, писать
Ь} : Е -»Е;,
и оператор Ь — {Ьь ..., Ьт] полагать действующим из Е в
Ё = \ЕХ х...хЕ,„}.
Областью значений Д; в данном случае, как известно, являются вектор-функции
а(х), удовлетворяющие условию
#а, да,)
щ = а1- (3-37)
Легко видеть, что В.1 есть линейное подпространство Е, но нельзя сказать,
какая часть Е; вырезается, К^ «вырезает» каждое Е3 целиком (рис. 3.2).
Условие (3.37), выделяющее В.1 С Е, выясняется
достаточно просто. Исходное уравнение Х?и(х) — а(х) непосредственно
решается:
Рис. 3.2
/•
и(х) — / а(х) ■ 6.x,
но криволинейный интеграл не должен зависеть от пути интегрирования, что
и ведет к необходимости (3.37). Для более сложных задач проблема описания К^
может быть муторной и даже безнадежной. Поэтому идеологическая прозрачность
уравнений вида (3.34) — еще не гарантия возможности выразить условия на
«рабоче-крестьянском» языке.
3.10. О нелокальной продолжимости
Идея о том, что касательные плоскости, определяемые ЧП-уравне-
ниями, не укладываются на общие поверхности, — часто мыслится
как нестыкуемость локальных решений. В принципе, дело обстоит
именно так, хотя дисгармония иногда проявляется уже в локальном
' Мы избегаем специфически функциональных дебрей, полагая «из Е в Е» и Е = С
,Ы1я простоты.

3.10. О нелокальной продолжимости
65
масштабе '. Но если в каждой точке локально все хорошо, то
в целом необязательно все нормально, — в отличие от одномерного
случая, о котором стоит упомянуть в качестве отправной точки.
В обыкновенных дифурах тема продолжимости решений х(1),
упирающаяся в оценки роста правой части х = /(ж, I) на
бесконечности, — не особенно популярна.
3.10.1. Теорема [3, т. 2]. Пусть при любых х € К" и I ^ 0
выполняется неравенство (х, /(ж, I)) < Ь{х ), причем
/
Ь-1(()<Ц = оо.
Тогда решение х(1) задачи Коши (3.9) с непрерывной функцией /(ж, I)
при любом Жо € К" определено при всех 1^0.
Формулировки такого типа результатов маскируют феномен
продолжимости траекторий независимо ни от каких условий. Для
продолжимости решения х{1) нужны предположения, для
продолжимости траектории, как следа движения изображающей точки, —
предположения не требуются \ Пока траектория (изображающая
точка) находится в допустимой области ', решение х(1) может
быть продолжено. Единственное препятствие для продолжения —
уход х(1) за конечное время в бесконечность либо выход на границу
допустимой области.
Стандартный пример: решения х(^) = щ(1 + с)
уравнения х = 1 + х .С этой аномалией (хотя как
смотреть) перекликается «двумерная ситуация»
Рис. 3.3
28)
29)
Уравнение (3.1) в случае дщ/дХ) Ф да^/дхх не решается в том числе локально.
Не считая автоматически подразумеваемого: правая часть дифура непрерывна, через
каждую точку проходит единственная траектория.
30)
Где в каждой точке обеспечены условия существования локальных решений. В Е по
теореме Пеано достаточно непрерывности /(г, I).

66
Глава 3. Общие вопросы
Рис. 3.4
в которой из-за быстрого ухода траектории в
бесконечность угол </? успевает повернуться лишь в пределах
промежутка длиной л-, и вместо спирали (рис. 3.3),
соответствующей движению вида
Г г= 1,
получаются траектории типа изображенных на рис. 3.4.
В случае х = х общее решение х(1) = (с-1)~] уходит в
бесконечность за конечное время, если в начальном положении х(^о) > О,
и бесконечно долго стремится к нулю при условии х(1ц) < О,
но оказывается непродолжимым влево при движении по I к
минус бесконечности. А все решения х = -х продолжимы вправо,
но не влево. Но все это касается решений, а не траекторий.
Как только размерность увеличивается,
возникают другие препятствия для продолжения
решений. Представим, что решение и(х) некой краевой
задачи определено в е-окрестности Ге границы Г.
Далее граничные точки области Ге окружаются е\-
окрестностями, и решение и(х) снова локально
продолжается внутрь П (рис. 3.5). На пути такого
процесса препятствием может оказаться переход
к пределу. Когда «внутренний берег» стягивается
в точку, функция и(х) и ее производные «на берегу» должны
стремиться к константам, чтобы «сшивание» произошло гладко. Кстати,
именно это во многих практически интересных задачах является
камнем преткновения. И тогда в П выкалывают какой-нибудь «нуль»
6 И, и неразрешимая в П задача становится разрешимой в П\0.
Продолжать функции (решения) можно не только с помощью
процедуры е-раздутия, но и вдоль путей — рецепт популярен
в ТФКП. Методика подсказывает другую возможную неприятность.
Если путь возвращается в исходную точку, значение
продолжения может не совпадать с первоначальным. Тогда
действуют либо хирургически, посредством разрезов, либо
задействуют римановы поверхности — см. [3, т. 9).
Рис. 3.5

Глава 4
Уравнения первого порядка
Роль высокой науки несомненна,
но путь к решению обнаруживается
«на пальцах».
Уравнение щ = и„ с помошью V = их приводится к системе
их = V.
V; = и».
Аналогичным образом любое ЧП-уравнение сводится к системе первого порядка.
Как говорится, все во всем. Поэтому при желании максимально сузить поле зрения
целесообразно для начала браться за одно уравнение.
4.1. Линейные уравнения и характеристики
Однородное уравнение '
1 = 1 ° г
обычно рассматривают в паре с уравнением характеристик
2)
х = а(х),
(4.1) можно записать в виде
V-, д
X = У.аг(х)~^— — см. главу 5.
Х{и) = О
(4.1)
(4.2)
с помошью инфинитезимального оператора
'дх(
Траектории (4.2) называют характеристиками уравнения (4.1).

68 Глава 4. Уравнения первого порядка
которое часто записываю! и форме
(4.3)
имея в виду перезапись всех йХг/йт = щ в виде йх,/а, = йт.
Важно обратить внимание, что (4.1) есть (а(х), Уи(х)) = О, а
поскольку векторное поле и градиент — явления бескоординатные, то
(4.1) при замене переменных сохраняет форму.
Производная по времени функции и(х) вдоль траекторий (4.2),
3)
т.е. вдоль характеристик, равна
и = ;> -—а,-(х) = (Ум, а(х)) = Ьаи,
г г
откуда ясно й(х) = 0, если и(х) — решение (4.1). Таким
образом, характеристики целиком располагаются на поверхностях
постоянною уровня и(х) = С. В этом случае говорят, что и(х)
является первым интегралом системы х = а(х). Можно сказать
и по-другому. Любое нетривиальное решение и(х) ^ соп$1 линейного
уравнения с частными производными (4.1) является первым
интегралом системы х = а(х).
Феномен очень простой, но его необходимо, особенно в начале
пути, хорошо уложить в подсознании5'. Функцию и(х) многих
переменных можно определить двумя способами. Задав градиент
Уи = /(х), (4.4)
т.е. все частные производные, — и тогда (4.4) легко интегрируется.
Другой способ, до некоторой степени садистский, — это как раз
' Величину Ь(цх\и называют сше проимодной Ми. а также производной и(х) по направлению
векторного пол и а(х).
О соотношениях и(х) — С гоже творит как о первых интегралах.
"' Тоыа как принято концентрироваться на вторичных фактах, каковые все равно не
запомнишь, да и не нужно. Ибо каркас любой теории состоит из элементарных кирпичиков.
Но они «почему-то» ускользают.

4.1. Линейные уравнения и характеристики
69
уравнение (4.1). Предъявляется не сам градиент, а условие,
которому он удовлетворяет. Иносказательно выражаясь, квадрат требуется
построить не по вершинам, а по четырем точкам на сторонах.
Функцию и(х) требуется найти, имея не Уи, а всего лишь
гиперплоскости, в которых лежит градиент.
Каждый первый интеграл позволяет понизить порядок уравнения
характеристик на единицу. Скажем, если и(х) — первый интеграл
системы х = о(ж),то, выражая хп из уравнения и(х) = С, получим
хп = <р(х\,..., хп-[, С). Далее остается решить систему
Х! = сц(х1,... ,хп-\,(р(х1,--- ,хп-\,С)), г = 1,...,п- 1,
что отражает суть идеи.
/Г7^ • Стандартная иллюстрация — уравнение движения точки массы т
^^ в потенциальном поле [/(х),
тх ~ -(/'(х),
эквивалентное системе
х = у,
ту = -{/'(х),
служащей уравнением характеристик для
ди {/'(г) ди
у • • — = О
дх т ду
(4.5)
Система (4.5) равносильна
(.2
й (тх1 \
:0,
что после интегрирования дает первый интеграл (энергии)
и далее
х = ±^-(Е-Щх)),
V г"
т
а это уже понижает порядок системы указанным выше образом.
• Для щ + сих = 0 уравнение характеристик: Л/1 = йх/с. Первый интеграл:
х - с1 = С. Решение: и = /(ж - <А).

70 Глава 4. Уравнения первого порядка
Уравнением характеристик для
( » \
(10у - 10х)Иг + (28х - у - хг)и9 + I ху - -г )и: — 0
служит система
х — \0у - 10х,
у = 28х - у - хг.
г = ху- -г,
описывающая странный аттрактор Лоренца |3, т. 2]
• Для
(г - х)иг -I (г - у)иц - 2ги: = 0
интегрирование системы уравнений характеристик (4.3) дает два первых интеграла:
(х + г): (У-г)2
=С| и — — Ст. Общее решение имеет вид.
и - <р
(х-^г)2 (у + г)2
/х+1\2
«и = п
в рамках которого задаче Кош и с условием
/ х + % \
функция и = ( I . Прямую у + г = 0 пришлось бы вырезать.
ри г = 1» отвечала бы
Последний пример иллюстрирует общее правило. Если
<р{(х),...,(рт{х)
суть первые интегралы (4.1), или вообще какого-либо линейного
ЧП-уравнения Ьи = 0, то и
и = Ф{(р](х),...,ч>т(х))

4.2. Квазилинейные уравнения
71
является первым интегралом (4.1) для более-менее произвольной '
функции Ф, ибо
т
] = \
Решения уравнений вида (4.1) существуют в достаточно свободных
предположениях, а в К" с вырезанными аномальными участками — всегда (п. 4.4).
Формулируют обычно локальный вариант разрешимости.
4.1.1. В достаточно малой окрестности нехарактеристической
точки х 6 Г задача Коши — (4.1) плюс краевое условие и | г = щ — имеет
единственное решение '.
4.2. Квазилинейные уравнения
Решение квазилинейного уравнения
п „
1=1 '
сводится к поиску первых интегралов системы
' х, = а,(ж,и),
<
%п — йп(ж, и),
к й = Ь(х,и),
называемой, как и в случае (4.3), — характеристической.
•^ В случае неявного задания (р(х,и(х)) = 0 решения (4.6), имеем
д<р ди д<р
ди дх< д%{'
(4.7)
Требования к гладкости Ф зависят от того, что подразумевается под решением.
Точка на Г называется нехарактеристическои, если характеристика, проходящая через
эту точку, трансверсальна к Г. В принципе, касание Г и характеристики не критично, если
не происходит слияния.

72
Глава 4. Уравнения первого порядка
что преобразует (4.6) в однородное уравнение относительно <р,
М*,и)— +Ь(*. и)^=0,
9ж,
0и
(4.8)
характеристическим для которого служит как раз (4.7). ►
Так что линейные однородные уравнения (п. 4.1) покрывают даже
нелинейные уравнения вида (4.6) — линейные только по частным
производным '. Что касается характеристической системы (4.7), то
ее по аналогии с (4.3) нередко записывают в форме
(4.9)
(1и
допуская —, если о = 0, что надо понимать как и = 0.
• Для уравнения Хопфа и, +- и ■ иг = 0 характеристическая система
й1 их Ли
7 ~ ~й ~ "(Г
дает два первых интеграла и — С| и х — и1 — С2, определяющих неявно решение:
р(и, х-и*) = 0 (4.10)
с более-менее произвольной функцией <р. Если устраивает (р, разрешимая
относительно и, уравнение (4.10) упрощается: и = 1р(х - и1). «Устраивает» — значит,
задача Коши решается в классе функций и — чр(х - и1).
• У неоднородного ЧП-уравнения
х ■ и, + у ■ щ = ху
характеристическая система
их йу йи
х у ху
имеет два первых интеграла х/у = С\ ий- \/2ху = Сг- В результате общее
решение можно записать в неявном виде: <р(х/у, и - \/2ху) = 0. Или в упрощенном
варианте:
1
«= ^ху + 1р
(;)■
ди
о* ^-^ ои
И уж тем более линейные неоднородные уравнения у. "м*) й— = Ь(х)
дХ{

4.3. Уравнения Пфаффа
73
И если в задаче Коши требуется и = -х + 1п \х\ при у = 1, то решением будет
1 х
и = -ху + 1п — — пусть для простоты х, у > 0.
2 У
4.3. Уравнения Пфаффа
Уравнениями Пфаффа называют соотношения вида
Р{х,у)(1х + С?{х,у)(1у = 0, (4.11)
с чем без уточнения неясно, что делать. Записать (4.11) в форме
йу = Р(х,у)
их <?(х, у)
и проинтегрировать можно почти всегда. Поэтому на (4.11)
позволительно смотреть как на эквивалент обыкновенного дифура
йу/йх — /(х), ибо (4.11) в самом деле задает отношение их к йу,
выделяя тем самым допустимые кривые (траектории). Но
подразумевается все же другое. Существует ли такая функция и(х,у),
что траектории (4.11) служат ее линиями постоянного уровня,
и(х,у) = С. Иначе говоря, при условии и(х,у) = С
(1и — их их + иу йу = 0,
и это с точностью до умножения на ненулевой множитель 1л(х,у)
должно совпадать с (4.11), т. е.
Уи = {их, иу} = /х(х, у){Р(х, у), д(х, у)}.
Таким образом, задача состоит в поиске функции и(х, у), градиент
которой совпадает по направлению с векторным полем
Р(х,у) = {Р(х,у),д(х,у)}, (4.12)
а значит, линии постоянного уровня, и(х,у) — С, ортогональны
полю (4.12), что, кстати, равносильно решению ЧП-уравнения ' '
Я{х,у)их-Р{х,у)иу = 0. (4.13)
9)
(!) Но это не уравнение характеристик.
Ибо поля {Р, (?} и {(?, —Р) ортогональны друг другу.

74
Глава 4. Уравнения первого порядка
Если поле (4.12) само градиентное, т. е. (1и = Р их + (? (1у,
их = Р(х, у), иу = <?(х, у), (4.14)
то это сразу определяет функцию и(х, у) = / Р их + ф (1у.
В силу равенства перекрестных производных, иху = и^, из (4.14)
следует:
/>» = <?*, (4-15)
что является достаточным условием существования потенциала
и(х,у).
Поскольку умножение (4.11) на ненулевой множитель ц{х,у)
не меняет уравнения но сути, — потенциал и существует и в том
случае, когда условию типа (4.15) удовлетворяет уравнение
ц(х, у)Р(х, у) (1х + ц(х, ?/)(?(х, у) (1у - 0.
Тогда ц(х, у) называют интегрирующим множителем, и и
определяют, интегрируя йи = цР их + цЯ йу, а ц предварительно
находят, решая уравнение с частными производными '
(цР)у = (цЯ)х,
что в общем случае не менее сложно, чем решение исходного
уравнения, — но при удаче проливает дополнительный свет на
ситуацию.
Проблема интегрирующего множителя обычно возникает в связи с
изучением приращения некоторой величины (функции) </,
8^ = Р ^x + ^ йу.
Если условие (4.15) не выполняется, то й</ не дифференциал, и ц
не определяется значениями х и у. Если же существует
интегрирующий множитель ц, то йщ = цР их + ц(2 йу становится полным
дифференциа/юм, и ситуация меняется. Параметры {х,у,^} теперь
однозначно определяют состояние системы. Классический пример —
дифференциал энтропии й8 = &ц/Т. Интегрирующий множитель \/Т
(Т — абсолютная температура) обращает приращение тепла <5д
в полный дифференциал функции 3.
Аналог (4.15).

4.3. Уравнения Пфаффа
75
Рассмотренная задача с двумя переменными в некотором роде
вырождена. Уравнение
Р(х, у, г) (1х + <?(х, у, г) йу Л- К(х, у, г) (1г = 0 (4.16)
дает пример идеологически более общей задачи, благодаря тому
что перестает мешаться естественное интегрирование исходного
уравнения, как в случае (4.11). Но практически без изменений
остается интерпретация в связи с поиском функции и(х,у, г),
градиент которой совпадает по направлению с векторным полем
Р = {Р,<Э,К}, (4.17)
а поверхности постоянного уровня, и(х, у, г) = С, соответственно,
ортогональны полю (4.17).
Таким образом, разница (4.16) с уравнением
ди ди ди
заключается в том, что в случае (4.16) ищется функция и(х,у,г),
градиент которой совпадает по направлению с векторным полем
(4.17), а в случае (4.18) — функция и(х,у,г), градиент которой
ортогонален полю (4.17).
4.3.1. Теорема Фробениуса. Условием существования у (4.16)
интегрирующего множителя ц(х, у, г), такого что
»{Р,Я,Щ
есть градиент некоторой функции и(х,у,г), — является равенство
{Р, го1 Р) = 0, где Р = {Р, <?, К}.
В случае (Р, го1 Р) = 0 говорят об интегрируемости уравнения Пфаффа (4.16)
одним соотношением' '. Например, интегрирование
у г их + 2хг йу + Ъху йг = 0 (4.19)
' Можно искать линии, ортогональные полю (4.17), и тогда говорят об интегрировании
(4.16) двумя соотношениями.

76
Глава 4. Уравнения первого порядка
после небольшой возни ' ' приводит к и(х, у, г) — ху г . То есть на поверхностях
ху г' = соп81 в касательных плоскостях дифференциалы их, йу, &г связаны
соотношением (4.19).
Двойственность. Факт соответствия уравнений (4.11) и (4.13)
вызывает ожидание чего-то подобного и в пространствах более высокой
размерности. И действительно, при п > 2 всякому уравнению
Пфаффа равносильна некоторая система п - 1 однородных линейных
уравнений. В К , например, функция и(х,у,г), градиент которой
совпадает по направлению с векторным полем Р = {Р,Я, Д}, —
т.е. и решает (4.16), — может быть найдена в результате решения
системы уравнений
{С, У«> = О, {Н, У«> = 0, (4.20)
где поля С и Н ортогональны полю Р и линейно независимы '.
И наоборот, любая система п— 1 линейно независимых однородных
линейных уравнений в К", определяя в каждой точке гиперплос-
15) .. г,
кость ' и ортогональное к ней направление Р, задают тем самым
уравнение Пфаффа (Р(х),Лх) = 0.
4.4. Первые интегралы
Первым интегралом уравнения
х — а(х)
называют любую функцию и(ж), имеющую нулевую производную
вдоль траекторий, т. е. Ьа(х)и = 0- Вследствие этого
поверхности и(х) = С постоянного уровня состоят из траекторий х(1).
' Если {.Р, го1 Р) = 0, но го1 Р ф 0, как в данном случае, то интегрирующий множитель
ишегся из условия го1 /хР = 0. для чего приравниваются смешанные производные и решается
получаемая система ЧП-уравнений относительно ^.
Подбор С и Я — епархия линейной алгебры [3, т. 2]. Сначала можно решить более
простую задачу выбора произвольной линейно независимой тройки {Ь,М,Р}, положив
затем С = I х Р, Н = М х Р.
Гиперплоскостями в К" называют (п - 1)-мерные плоскости. Но гиперплоскостями
называют также плоскости, не проходяшие через нуль. Гибкость терминологии, как
говорится, не знает границ.

4.4. Первые интегралы
77
В условиях единственности решения задачи Коши ', что далее
подразумевается, различные поверхности и(х) = С не пересекаются
и не соприкасаются, а любое индивидуальное решение х(1) либо
не пересекается с и(х) — С, либо целиком лежит «на».
Первыми интегралами и(х,1) неавтономных систем х = а(х,1) называют
функции и(х,1), являющиеся первыми интегралами расширенной автономной
системы:
Г х = а(х,1),
{ 1=1.
Основанием утверждать в некоторых предположениях существование п
функционально независимых первых интегралов
служит обычно следующее рассуждение. ■< Если х = х(ха,1) — решение системы
х = а(а;,<). то разрешение х = х(с, I) относительно вектора с дает п первых
интегралов и{(х,1) = с,. ► Вопрос, таким образом, упирается в разрешимость
х = х(с, I) относительно с.
Что касается общей проблемы существования первых
интегралов, т.е. нетривиальных решений ЧП-уравнения, то ответ зависит
от контекста. Если от и(х) требуется определенность при любом
х е К", то это бывает не часто. Препятствия более-менее очевидны.
Скажем, решением уравнения
ди
^Х'дх~г
Г^ = ° (4-21)
является любая однородная функция и(х) нулевой степени.
Справка: однородные функции характеризуются тождеством
и(тжь ... ,тхп) = тЛи(Ж|,... ,хп), т > О, (4.22)
Л — степень однородности. Производная (4.22) по т в точке т = 1 дает формулу
Эйлера
1:ди(Х"дх;'ХпК< = Хи(Х1,...,Хп), (4.23)
переходящую в (4.21) при Л = 0.
Например, в предположении липшицевости правой части дифура.

78
Глава 4. Уравнения первого порядка
Рис. 4.1
Однородная функция и(х) нулевой степени постоянна на
лучах, каковые все сходятся в нуле, рис. 4.1, — и потому непрерывная
в нуле функция и(х) может быть только константой.
Соответственно, (4.21) нетривиальных решений в Ж." не имеет , хотя решается
в!"с выколотым началом координат. Лучи, как правило,
объединяют в поверхности хг/х^ = С, получая п— 1 независимых первых
интегралов и общее решение вида
(%\ %п-\\
и = <р\ —,..., 1,
которое можно доопределить на плоскости х„ = 0, переходя к
сферическим координатам и произвольно (с учетом гладкости)
определяя и на лучах независимо от г > 0. Неодолимым остается начало
координат. Дело, конечно, не в «нуле», а в равновесии, создающем
препятствия для разрешимости уравнения
(а(ж), Уи> = 0.
Причем фазовый портрет не обязан выглядеть как на рис. 4.1.
Пилюля остается горькой и в других случаях (рис. 4.2, 4.3), когда
Рис. 4.2
Строго говоря, надо было бы еше исключить возможность неоднородных решений,
но отвлекаться обременительно — благо стиль лекций позволяет.

4.4. Первые интегралы
79
Рис. 4.3
Рис. 4.4
к равновесию сходятся разные траектории (при любом
направлении времени) К Проблема исчезает в вырожденной ситуации
на плоскости, когда в некоторой окрестности равновесия
траектории замкнуты (рис. 4.4).
В случае К , когда и(х) = С — это сами
траектории уравнения х = а(х), ситуация в целом
19)
достаточно наглядна '. Если фазовый портрет
может представлять собой совокупность линий
уровня некоторой функции и(х), то и(х) и есть
первый интеграл. Если не может, — то
определенный всюду первый интеграл не существует,
но это не исключает решений на подобластях.
Построение и(х) удобно мыслить как задание значений и
на траекториях. Для этого достаточно провести кривую Г; транс-
версально пересекающую все траектории в рассматриваемой
области '; задать на Г монотонную непрерывную функцию ^(т),
где г параметризует Г, и значение С = и(х) полагать равным 7(г)
в точке пересечения траектории с Г.
В ситуациях типа изображенной на рис. 4.4
метода работает без проблем. Но если траектории
втекают или вытекают из точки х*, то первый
интеграл в районе х* не существует по
указанным выше причинам. По тем же причинам
существованию мешают и периодические
режимы (рис. 4.5) — неважно устойчивые или нет.
Различные решения наматываются на предель-
Рис.4.5
В этом случае непрерывная в равновесии функция и(х) вынуждена быть константой,
что уже отмечалось при обсуждении уравнения (4.21).
В случае трех измерений поверхности и(х) = С разбивают К на слои.
Напоминаем, что пока имеется в виду К .

80
Глава 4. Уравнения первого порядка
мое периодическое, и по соображениям непрерывности функция
и(х) обязана быть константой на всех этих траекториях, ибо она
(функция) постоянна на самом цикле.
Вне равновесия первые интегралы локально существуют всегда, поскольку
в малой окрестности любой точки х0, в которой а(х0) 7^ 0. траектории х = а(х)
почти параллельны, и их можно локальной заменой переменных —
диффеоморфизмом — перевести в систему "
2/1 = 1, 2/2-0 г/„ = 0, (4.24)
имеющую п - I интегралов движения: у2 = с2, ..., у„ = с„.
Расширять локальный фрагмент и(х) на большую область
определения можно до тех пор, пока в эту область не попадают
предельные точки траекторий. Точки покоя, циклы, аттракторы —
будут помехами. В отсутствие аномалий и{х) можно
распространить на все пространство. Более точно: если выполнены локальные
условия единственной разрешимости х = а(х), а все траектории
х = а(х) продолжимы на всю ось I и концами уходят в
бесконечность, то существуют определенные на всем К" первые интегралы
и(х), а значит, и решения (4.1).
Интегрируемость в квадратурах. Вопросы существования первых
интегралов можно обсуждать до умопомрачения ', ибо тематика
идеологически прозрачна, но неудобна для формулировки общих
выводов. Ситуацию усугубляет терминологическая путаница с
другой проблематикой, возникшей в незапамятные времена из
простодушных грез о решении дифуров в квадратурах от элементарных
функций.
Алгебраические уравнения всегда решаются, но не всегда — в радикалах.
Аналогично уравнения х = а(х) обычно имеют первые интегралы и(х), но те
редко выражаются подходящим образом через исходные данные — например,
интегралами от «опосредованных» правых частей.
'' Возможность локального преобразования движения х = а(х) в параллельное (4.24)
называют теоремой о выпрямлении векторного ноля [18].
' Чего лучше не делать, поскольку изнеможение достигается ироше.

4.5. Уравнение Гамильтона—Якоби
81
Безусловно, формульный вариант упрощает исследование. Скажем,
х = -х, х
=> х = Се => и(х, I) — —;
или
х + \/х2 + I2
К*-*)
х ± \/х2 + I2
/ =^ т — - I (:Г - — 1 =±> 11.1Т. Г.\ =
- -'
и первые интегралы можно «потрогать». Однако х = х — {, — и кончен бал '.
Вопрос о разрешимости дифуравнений в квадратурах довольно сложен [3, т. 8].
Квадратуры ищутся регулярными средствами, когда дифур инвариантен
относительно той или иной группы преобразований. Но такая инвариантность не
исчерпывает интегрируемость в квадратурах.
Близкий ракурс связан с возможностью выразить общее
решение через конечное число частных — в этом случае говорят
о фундаментальной системе решений дифура х — Ф(х,1). За
пределами линейного случая, в котором фундаментальная система
решений существует всегда, вопрос решается следующей теоремой.
4.4.1. Теорема Ли. Система х = Ф(х,1) имеет фундаментальную
систему решений, если она представима в виде
ж, = Р\(1)(,ц(х) + ... + иг{1)(,гГ(х), г = 1,...,п,
и операторы
П п
.•=1 ОХ{
образуют алгебру Ли. При этом т ^ г/п.
4.5. Уравнение Гамильтона—Якоби
Нелинейное уравнение Н(х, У5(ж)) = 0, т.е.
(я я я с \
х,,...,х„,-—,...,-—)=0 (4.25)
дх] дхп;
Неразрешимость в квадратурах х — х — (, сводимого подстановкой х = г/г к
линейному г + 1г = 0, вытекает из теоремы Лиувилля [3, т. 2].

82
Глава 4. Уравнения первого порядка
принято записывать в виде Н(х,р) = 0, где р, = 88/8x1.
Ассоциации с аналитической механикой — не случайны.
Пусть р(х) — решение Н(х,р) = 0. Дифференцируя Н{х,р(х)) = 0 по х,,
имеем
дН ^ дН_ др1 _
дх, 4^ др} дх{
что с
учетом
дает квазилинейное
ура
дх,
_ 9р,
дХ]
ибо
внение относительно р,
^дН
др{
дх1
д25
дХ)дх!
■
дН
' дх,'
для которого уравнением характеристик (4.7) служит система
дН
''1 = я~~ •
ОР\
дрп
_дН_
дх,'
(4.26)
(4.27)
(4.28)
Объединяя системы (4.28) по всем г, имеем
(4.29)
Наконец, вспоминая 5х(х) = р(х) и дифференцируя 5(х) по (,
.А д5 .А дН ,
получаем (2п + 1)-е уравнение, дополняющее уравнения Гамильтона (4.29) до
характеристической системы уравнения (4.25):
5 = (р. Яр).
(4.30)

4.6. Шаг в сторону — и другая картина
83
Если уравнение (4.25) зависит еще и от 5, то дифференцируя
Н(х,р(х),8) е 0 по ж,-, будем иметь в (4.26) дополнительное
слагаемое дН/дЗрх, что приведет к замене в (4.29), (4.30) уравнения
р = ~НХ на
р= -Нх ~{р,Нр).
Частным случаем (4.25) является уравнение эйконала
[5х(х)}2 = с~\ (4.31)
описывающее распространение света в однородной изотропной
среде со скоростью с. Характеристическая система (4.30) здесь:
х = 2р, р = 0, 5 = 2с"2. (4.32)
Проекции характеристик
х = ж0 + 2р(0)1, р = р(0)
на пространство ж-ов, т. е. лучи, в силу (4.32) удовлетворяют системе
уравнений х = 0.
4.6. Шаг в сторону — и другая картина
Стоит вместо одного уравнения взять два, как ситуация меняется
кардинальным образом. Скажем, система
их — Ну,
Ух ~~ 11>у
(4.33)
представляет собой условия Коши—Римана [3, т. 9], которые среди
функций / = и{х, у) + гу(х, у) выделяют аналитические, т. е.
дифференцируемые. В результате пара уравнений описывает все, чем
занимается ТФКП. Другими словами, теория аналитических
функций сводится к изучению системы (4.33), каковая удобна в качестве
примера еще и потому, что и и у здесь удовлетворяют уравнению
Лапласа .
Аи = 0, Ау = 0, (4.34)
Чтобы получить (4.34), достаточно продифференцировать (4.33) и исключить одну из
функций и или V.

84
Глава 4. Уравнения первого порядка
и являются таким образом гармоническими функциями ',
известными благодаря различным источникам происхождения.
Дифференцируемое™ в ТФК11 определяется как возможность записи
приращения функции в виде
6/(2) = }(г + 6г) - /(г) = Абг + о(\6г\), (4.35)
где А — комплексное число. Если бы речь шла просто об отображениях плоскости,
то определение дифферениируемости (аналитичности) / совпадало бы по записи
с (4.35), но А было бы матрицей. Требование, чтобы А было комплексным числом,
сильно ограничивает класс рассматриваемых функций, и сводится (с небольшими
оговорками) к условиям Коши—Римана.
• Аналитические функции, дифференцируемые по определению один раз,
оказываются бесконечно дифференцируемы. Феномен не имеет аналогов в классическом
анализе и в значительной мере определяет лицо ТФКП.
• Функции и(х, у), 1}(х, у) называют взаимно сопряженными. Задание одной
из них с точностью до константы определяет вторую.
• В силу условий Коши — Римана
Уи • VI* = и^г + иууу = -щщ + иуих = 0, (4.36)
т. е. градиенты функции и(х, у) и ь(х,у) ортогональны друг другу в любой точке г,
а значит, ортогональны линии и(х, у) = С, у(х, у) = С постоянного уровня, как
меридианы и параллели на сфере.
Самое удивительное — «голографическое устройство»
аналитических функций. Целое отражается в любом маленьком фрагменте.
Задание функции в малой окрестности и даже на кусочке дуги
определяет ' функцию целиком, в том числе — вместе с областью
определения. Это до некоторой степени не вяжется со стереотипами
Удовлетворяющими, по определению, уравнению Лапласа.
В результате аналитического продолжения.

4.6. Шаг в сторону — и другая картина
85
изучения ЧП-уравнений. Чтобы выделить из семейства функций,
удовлетворяющих (4.34), одну — в урматах задают краевые условия
и решают задачу, например,
Ды = 0, и|г = и0. (4.37)
Однако есть другой рецепт, практически нереализуемый, но
проливающий свет на природу самого уравнения Аы = 0. Будь решение
(4.37) известно в любой сколь угодно малой окрестности, то по
этому кусочку можно было бы восстановить решение целиком, сшивая
фрагменты '. Таким образом, непрерывная функция продолжается
«как угодно», гармоническая — только одним способом, и ее
достаточно задать «на пятачке», остальное разворачивается само собой.
В описанной идиллии есть свои осложнения.
Аналитическое продолжение вдоль разных путей может
приводить к разным результатам, т.е. быть
многозначным. Однако любая функция, аналитическая в односвяз-
ной области, однозначна. Проблемы возникают в случае
многосвязных областей (рис. 4.6), и там есть свои
достижения, касающиеся не только ТФКП, но и
гармонических функций вообще. Все это непосредственно
причастно к задачам вида (4.37), и более-менее связно Рис.4.6
излагается в [3, т. 9].
Еще один контекстуально важный ингредиент ТФКП —
конформная тематика ', концентрирующаяся вокруг проблемы
преобразования одних областей в другие. Причина интереса заключена
в естественном соблазне использовать решение задачи (4.37) с
граничными условиями на области В для решения аналогичной
задачи, но с другой областью В . Этому, собственно, и служит выбор
подходящего конформного преобразования XV = /(г), дающего
замену переменных г >-> ю, которая переводит В в В и не разрушает
уравнения Лапласа.
' Краевые условия удовлетворились бы автоматически.
' Конформным называют непрерывное отображение, сохраняющее подобие бесконечно
малых фигур. Аналитическая функция /(г) яаляется конформным преобразованием в точке
го в томм случае, когда /'(го) Ф 0.

86 Глава 4. Уравнения первого порядка
Связь гармонических функций с аналитическими порождает
серию «параллельных» результатов.
4.6.1. Теорема о среднем. Если функция и(г) гармонична в круге
радиуса г с центром в точке С,, то ее значение в центре равно среднему
значению на граничной окружности:
«(0 = ^ /'иЦ + ге^Фр.
о
4.6.2. Принцип максимума '. Если гармоническая в области В
функция достигает локального максимума или минимума внутри Б,
то она — постоянна.
4.6.3. Пусть функция и(х, у) Ф соп$1 определена и гармонична в К .
Тогда область ее значении совпадает с К = (—оо, оо).
Вот еще два инструментальных средства {теоремы Гарнака).
4.6.4. Если последовательность функций {и„(х, у)}, гармонических в области I)
и непрерывных в Б, равномерно сходится на границе области, то она равномерно
сходится в Х>, и„ -> и, и предельная функция и(х, у) — гармонична в В.
4.6.5. Если неотрицательные функции и„(х,у), п = 1,2,..., гармоничны в обла-
00
сти В и ряд \^ ип(х, у) сходится хотя бы в одной точке (ж, у) Е В, то он (ряд)
равномерно сходится в любой замкнутой подобласти В. а его сумма — гармоническая
функция.
«Гармонический».

Глава 5
Группы Ли и ЧП-симметрия
Вселенная, ускользая,
укладывается в любую теорию.
Групповая идеология относительно подробно рассматривается в [3, т. 8]. Там же
есть глава по группам Ли с приложениями к дифурам, которая пересекается с
нижеследующим текстом. Здесь кое-что опушено, кое-что добавлено, и больший
упор делается на ЧП-уравнения, но главное — используется несколько иной
строительный материал. А «другое слово» — добавленное или убранное — иногда
открывает глаза.
5.1. Методы подобия и размерности
Разговор об использовании групповых методов в урматах
естественно начинать с простейшего варианта — групп растяжений, каковые
обычно ассоциируются с методами подобия и размерности,
играющими выдающуюся роль в физике, если оценивать по критерию
«эффективность/простота».
Закулисная сторона впечатляет загадочной легкостью. Высота, на которую
взлетает тело, брошенное вертикально вверх со скоростью V, пропорциональна
V1 /§, потому что из г; и ускорения свободного падения § образуется единственная
величина подходящей размерности (длины) V /%. Задача решена с точностью
до безразмерной константы, зато без всяких хлопот.
А период колебаний маятника т ~ у//#, потому что \А/# — единственная
комбинация размерности времени, которую можно образовать из § и длины
маятника Г К списку параметров, потенциально влияющих на решение задачи, можно
добавить вес стержня, но в компании {1,8, Р} даже вес наблюдателя Р не создает
новых комбинаций — решение остается прежним. Другое дело, если к перечню
{1,%} причислить размах колебаний а, — тогда получится т = к(1/а)у1/!>, где
к(-) — неизвестная функция.

88 Глава 5. Группы Ли и ЧП-симметрия
Методика базируется на простом соображении: взаимосвязь
физических переменных
1р(ги..-,гц) = 0 (5.1)
не может зависеть от используемой системы единиц измерения.
Скажем, т — 2л--«/'/я или *' - 7пг1т2/'' ■ Взаимосвязи справедливы влюбой
системе единиц измерения. Сами значения переменных при переходе к другой
системе меняются, но формула взаимосвязи (5.1) остается прежней. То же самое
можно сказать про любую формулу правильного решения любой физической задачи.
За кадром подразумевается, что во всякой задаче имеются
независимые переменные ' д = {д\,... ,^-}, меняющиеся при
увеличении/уменьшении д в А = {А[,..., А^} раз по формулам '
4у = Ь)Чу (5-2)
Остальные переменные {(?(,..., (?„} при этом трансформируются
согласно «однородным преобразованиям»
<#=АГ"'...А2"ф. (5.3)
Если отправным пунктом служит ситуация (5.1), то
г = {г,,... ,гн)
удобно разделить на две части, г — {?,(?}, независимых и
зависимых переменных, преобразующихся по формулам (5.2), (5.3).
Замена в (5.1)
Яз »-»• Мл Яз ^ А?1' ■ ■ ■ Кк3Яз
лает тождество по А, выбор в котором А; = 1/^ приводит к
соотношению
У>(1,...,1,111,...,ПЯ) = 0, (5.4)
' Имеющие независимые размерности, 1ипа массы М, длины Ь, времени Т.
Размерности длины X, скорости Ь/Т и силы МЬ/Т2 — также независимы: длины Ь, скорости
Ь/Т и ускорения Ь/Т — зависимы.
Штрих констатирует новое значение переменной.

5.1. Методы подобия и размерности
89
где
— новые безразмерные переменные. Возможность перехода от (5.1)
к (5.4) называют П-теоремой, означающей, что любое соотношение
между физическими величинами равносшгьно некоторому соотношению
между их безразмерными комбинациями.
Практический рецепт прост. Сначала определяется набор переменных г, от
которых зависит решение стоящей задачи ', и далее находится полный комплект
их безразмерных комбинаций П|,..., П„, между которыми утверждается наличие
функциональной связи. Если безразмерная комбинация только одна, произвол
решения минимальный — с точностью до скалярного множителя. Показательные
примеры имеются в (3, т. 8) — вплоть до оценки массы камней, необходимой для
перекрытия реки, см. также [I, 16].
Методика оставляет в решении, как минимум,
неопределенные константы, а то и функции. Однако в названии не случайно
фигурирует еще и подобие. Решения с неопределенными
факторами дают ориентиры для проведения экспериментов на упрошенных
моделях, позволяющих делать в итоге однозначные умозаключения.
На дешевом макете перекрывается малюсенький ручеек, а вывод
делается — для Ангары! Ключевую роль при этом играет, конечно,
понимание характера функциональных зависимостей. Последнее
имеет существенное значение и в теоретических исследованиях.
Одно дело искать решение щ = ихх как и(х, I), другое дело —
в виде и(х, Ь) — \ /\Д<р(х/VI), подстановка чего в уравнение сразу
приводит к обыкновенному дифуру.
Два замечания
• О преобразованиях (5.2) говорят обычно по отношению к единицам
измерения, базовым переменным — типа массы, длины, времени — тогда как г}
в (5.1) — это переменные задачи, которые все преобразуются по формулам (5.3),
но среди них можно выделить независимые и назначить их базовыми. Проще
Иногда это непосредственно определяется дифференциальными и другими уравнениями,
описывающими статику и динамику задачи. Но уравнения, вообще говоря, не нужны. Их
может заменять понимание физики задачи, что иной раз ставит исследование на скользкий путь.

90
Глава 5. Группы Ли и ЧП-симметрия
говоря, задача состоит в том, чтобы среди {гь...,г^} выделить независимые
величины и выразить через них остальные г,.
• Соотношение размерностей означает инвариантность изучаемого объекта
по отношению к той или иной группе растяжений. А потому уравнения матфи-
зики, будучи соотношениями между физическими величинами, всегда допускают
некоторую группу растяжений.
5.2. Автомодельные решения
Об автомодельных решениях и(х, I) говорят, когда согласованное
растяжение переменных и функции не меняет и(х,1). Таким
образом, речь идет опять-таки об инвариантности к определенным
группам преобразований. Но перед общим разговором имеет смысл
посмотреть, как это работает в миниатюре.
Замена
I »-> а1, х *-> (Зх. иь>7« (5.5)
не меняет задачи Коши
Щ = Хихх, и(х,0) = б(х) (5.6)
/3 , что следует 1
вытекает из и(х,0) = д(х). Поэтому
при условии Ха — /3 , что следует из щ = Хихх; и 7 = /3 ', что
•"•') = 7ГШ- (5'7)
подстановка чего вв( = ихх, для простоты далее полагаем Л = 1,
приводит к обыкновенному дифуру
й2(р 1% I х
решение которого обязано вместе со своей производной стремиться
к нулю при г -> оо (I -> +0, 1/0), в силу чего интегрирование
(5.8) дает й<р/<1т + \/2т<р — 0. Следующее интегрирование с учетом
нормировки 6-функции приводит к окончательному результату
2+^ЗГ + лУ = 0' Т = —' (5-8)
{4}
ехР<-77Г- (5-9)

5.2. Автомодельные решения
91
Обратим внимание, что (5.7) можно было бы выводить из
соображений размерности, ибо из комплекта {I, ж, А, и} — образуются
только две безразмерные комбинации х/\М и и\М, откуда,
собственно, и следует (5.7). А дальнейшее уже не имеет отношения
ни к размерностям, ни к теории групп. И может показаться, что
здесь изобретается велосипед. Это не совсем так. Вместо (5.6)
можно было бы рассматривать просто уравнение щ — \ихх, и тогда
в (5.5) значение 7 осталось бы произвольным — и его тот или
иной выбор 7 = /3" приводил бы к автомодельным решениям вида
(\1)~^(р(х/уМ). Интересно, что любая попытка логичного выбора
значения ^ приводит к ^ = 1/2. Это следует, например, из постоян-
ел.»™*»» / «,.О *, »ыражаЮшего«»„^„е™»^™Г
Физики определяют автомодельность как симметрию задачи,
позволяющую масштабирование переменных компенсировать
растяжением самого решения. Проше и точнее говоря, автомодельная
функция и(х,1), по определению, инвариантна к некоторой
группе растяжений. Но это не очень хорошая дефиниция, ибо —
не инвариантна к преобразованиям переменных. Например, замена
хг; н-> 1пЖг, I ь4 1п I — переводит операторы растяжения в
операторы переноса (сдвига). Поэтому автомодельными лучше называть
функции, инвариантные относительно абелевых групп. Тогда
охватываются бегущие волны (п. 7.5)
и(х, Ь) = /(ж - сЬ),
которые после замены х — 1п^, I = 1пг переходят в исконно
автомодельную форму /(1п {(,/т0)) = ф{(,/тс).
Эффективность автомодельных подстановок, сводящих ЧП-
уравнения к обыкновенным дифурам, побуждает задуматься,
нельзя ли добиться тех или иных выгод заменами переменных иного
типа? Можно, в некоторых случаях. Но такие подстановки должны
опираться на групповые свойства изучаемых уравнений.
Если подразумевается диффузия, и и(х,1) — плотность диффундирующего вещества.

92
Глава 5. Группы Ли и ЧП-симметрия
5.3. Непрерывные группы
Семейство преобразований С = {С} образует группу с композицией
в качестве группового умножения, если выполняются обычные
5)
аксиомы группы :
1. с,, с2 ес=>с,с2 ее.
2. Тождественное отображение 1(х) = х входит в С.
3. Любое отображение С € С имеет обратное О € С.
Группа называется параметрической, если элементы
совокупности {С} «континуально пересчитаны» с помощью некоторого
параметра а. Далее: х € К", а Е Кг, и {Са} — семейство
непрерывных функций Са(х) = С(х,а), преобразующих точки х в точки
х = С(х, а) того же пространства К" (штрих не обозначает
дифференцирования) .
Перечисленные выше требования к С теперь звучат так:
!. Групповая операция не должна выводить из {Са}, т.е.
х' = С(х,а), х" = С(х',Ь) =*• х" = С(х,с)
при некотором с — <р(а, Ь). Иными словами,
СьСа — <?(,(„,»)•
2. 0(х, е) = х при некотором а — е, что гарантирует существование
единичного элемента группы. Обычно полагают С(х,0) = X.
3. Уравнение х' = О(х.а) обязано решаться: х = 1р(х',а), причем функция
гр(х\ а) после подходящей перепараметризации должна попадать в то же
семейство, т. е.
1/>(х',а) = С(х',Ь), Ь=Ь(а),
что обеспечивает существование обратных элементов, С~а = Оы,ху
Группы Ли из параметрических выделяются, упрощенно говоря,
определенной гладкостью (?(ж, а), Ъ(а) и </?(а, Ъ). Если бы не это —
можно было бы рассматривать только однопараметрические группы
(г = 1), ибо конечномерный куб взаимно однозначно отображается
на свою сторону [3, т. 1].
'Требуемая в определении труппы ассоциативность умножения, Р(ОН) = (РС)Н,
к случае композиции — выполняется автоматически.

5.4. Инвариантность и генераторы группы
93
Примером группы Ли может служить семейство операторов
сдвига {С{} по траекториям дифференциального уравнения
х = ${х). (5.10)
В некотором роде пример исчерпывает однопараметрические группы
Ли. По крайней мере, в ситуации (р(а, Ь) = а + Ъ, Ь(а) = -а, т.е.
ОьОа = Оа+ь, Са =С-а, (5-11)
существование подходящего дифура (5.10) очевидно — достаточно
положить
дв(х,1)
Цх) =
Ы
(5.12)
потому что оператор сдвига С^ж = С(х, I) выражается через
композицию
С(х,1) = СныХ + о(АЬ),
откуда ясно, что С< задается операторами Сд< при малых А1,
6мх = х + %(х)А1 + о(А1),
т.е. вся группа определяется производными в нуле (5.12).
Независимо от условия (5.11) ' — однопараметрические группы
Ли исчерпываются операторами сдвига по траекториям систем вида
х = а{1)1(х), (5.13)
фазовые траектории которых совпадают с траекториями
автономных дифференциальных уравнений (5.10). Отличие заключено
в скорости движения по этим траекториям. Замена «времени»
преобразует (5.13) к форме (5.10).
5.4. Инвариантность и генераторы группы
Инвариантность функции и(х) под действием группы {С(х, а)}
означает
и[С(х,а)\ = и(х), (5.14)
6' В однопараметрической группе заменой переменных всегда можно добиться (р(а,Ь) = а+Ь.

94
Глава 5. Группы Ли и ЧП-симметрия
что в силу (5.12) и свойств первых интегралов (п. 4.1) влечет за собой
касание в точке х векторов ^(ж) поверхности и(х) = соп$1 — иначе
говоря, ($(х), Уи) = 0, т.е.
2
а это представляет собой знакомое ЧП-уравнение типа (4.1), кото-
с помощью оператора
рое можно записать в виде
Хи = 0
д
'' = У*Ыш-
г
(5.15)
где под знак частного дифференцирования автоматически
попадает функция и(х) при воздействии на нее оператором X. Если
танцевать от Хи — О, то группа {С(х,а)} оказывается набором
характеристик уравнения (5.14).
д6г{х,а)
В случае (5.12), т.е. &(ж) =
да
, (5.15) называется
а=0
инфинитезимальным оператором группы {С{х, а)}, или генератором
группы, с касательным векторным полем %(х).
• В группе {х' — ах, у' = (\/а)у} единичному элементу отвечает значение
а = 1. Поэтому
В результате
дах
да
ду/а
о=1 Яа
д
-X = я— -у-
дх с
а-
9
У
• Для группы вращении
X — X СОЧ <р - у 3111 (р,
у' — х йп <р + у соя <р
(5.16)
имеем
дх'
~ду
-у,
д<р
?=о
'Если единичным элементом группы является С(х,ао), то формула (5.12) для &(х)
дО{(х,а)
меняется на &(х) =
да

5.4. Инвариантность и генераторы группы
95
енератор группы :
д д
X = -у— +х—.
ах ау
В случае гиперболических вращении (группа Лоренца),
х = хсН ф + у яН ф,
у = ххН ф + у сН ф,
юлучается:
д д
X = у— +х—.
ах ау
• Для растяжении \х = хе , у = уе }:
0 „ #
Проективным преобразованиям
^х = , у = У
^ I - ох I - ох ^
(5.17)
отвечает X = х ——г ху—.
ох ау
Здесь стоит обратить внимание, что преобразования (5.17) не
определены при всех значениях а. Но при малых а на пути анализа
не возникает препятствий — в частности, при рассмотрении X.
Такого сорта группы называют локальными. Взаимоотношения X
с {0(х, а)} перекликаются с вопросами продолжимости
решений ЧП-уравнений первого порядка (глава 4), ибо эксплуатация
феномена X означает переход на описание операторов сдвига
{С(х,а)} диф-уравнениями (5.10) или (5.12). И если переключение
с {0(х, а)} на X фактически тривиально, то для обратной
трансформации дифур надо еще, дай бог, решить.
Функцию и(х), инвариантную в смысле (5.14), т.е.
удовлетворяющую условию Хи = 0, называют инвариантом группы {С(х, а)}
и говорят, что и(х) допускает группу {С(х,а)}.
В полярных координатах X = д/д<р, группа {г' = г, <р' = <р + а}.

96
Глава 5. Группы Ли и ЧП-Симметрия
5.4.1. Однопараметрическая регулярная группа имеет п- I
глобальных функционально независимых инвариантов
3\{х),... ,.7П_|(ж),
через которые выражается любой другой инвариант.
Разумеется, можно говорить об инвариантности отдельных
поверхностей, вектор-функций и(х) и уравнений, с очевидными
оговорками '. При этом, если 1и{х) — О, неважно что за оператор Ь,
имеет множество решений {и(х,С)} и под действием группы
{х = С(ж, а)}
переходит точно в такое же уравнение Ьи(х ) = 0 — разве что
с другим обозначением переменных, штрихованным, — то новое
уравнение будет иметь идентичное множество решений {и(х',С')}.
Соответствие «нумерующих констант» С и С' при действии
преобразования Са на решения извлекается из
и(С(х,а), С') = и(х, С).
Результат не меняется по сути, если преобразования группы
действуют еще и на и. В описанной ситуации говорят, что уравнение
Ьи(х) = О допускает группу {С(х, а)}.
5.5. Многопараметрическая симметрия
Многопараметрическая ситуация, а — \а,\ аг}, меняет
декорации. Функция и(х) под действием преобразования С(х,ёа),
'Однозначная разрешимость х' = С(х,а) относительно х при любом х' называется
регулярностью действия группы, чго равносильно единственности и нелокальной
продолжимости решений соответствующею дифура.
Уравнение х + ах -/31~ =0 инвариантно к фуппе преобразований
<1 = к1', х = -х'\ {к >0)
не поюму, что не меняет формы, а потому, что переходит в эквивалентное уравнение
-^(х + ах2 -0Г7)=О.

5.5. Многопараметрическая симметрия
97
шеющего п компонент
6г(хи... ,хп,6аи.--,8аг),
юлучает приращение' '
г , п Я \
] = 1 ч!=1
Г
= ]Г)<ЦХ>и + о(||<М1), (5.18)
где
и дх*
инфинишезимальные операторы фуппы, которых теперь г штук
вместо одного, а «касательные поля* определяются элементами
двг(х,а)
дау
(5.20)
а=0
Таким образом, для инвариантности и(х) относительно группы
преобразований {С(х, а)} теперь требуется больше, чем прежде.
Равенство нулю приращения би в первом приближении — влечет
за собой необходимость обращения в нуль г скалярных
произведений градиента Чи на г касательных векторов:
(5.21)
т.е.
Х,-« = 0, ] = \,...,г. (5.22)
Технические детали в (3, т. 8].

98 Глава 5. Группы Ли и ЧП-симметрия
Аналогом (5.13) в данном случае является система
дифференциальных уравнений в частных производных вида
дх.
(5.23)
решения которой г = С(х,а).
• Группа невырожденных преобразований
х — Ах
«II 0|2
.121 в22.
имеет единичный элемент при А
д
I О
1о и
э
X, - х>^~, хг = Хг
ах\ ах\
Генераторы группы:
д
X; — X,
дх2
Х4 = х2-—.
дхг
• При вращении твердого тела вокруг оси х^ с единичной скоростью точка
х — {Х|,х2,х?} имеет скорость у — {0,-х3,х2}. Скорость изменения любой
ди ди
функции и(х) в этой точке равна -ж?— 1-х2-—. Поэтому инфинитезимальные
дхг 0X1
операторы вращения в К :
д д
X, = х7- ж.,——,
ОХ] ОХг
дх.
дху'
— - —
дхг дх1 '
(5.24)
что характеризует врашение твердого тела, закрепленного в точке. При
освобождении поступательных степеней свободы к (5.24) надо добавить еще три оператора:
X,
д
X,
д
X,
дх{' дхг '
Соответствующие касательные поля скоростей:
^(х) = (0,-х.,,х2), Ь(х) = (ж3.0,-X,),
е,(х)- (1,0,0), ^(а:) = (0,1,0),
д_
дх}
^з(х) = (-х2,х,,0),
их) = (0,0,1).
• Уравнение теплопроводности
Щ = и1х
допускает группы, сведенные в следующую таблицу:

5.6. Инфинитезимальные продолжения
99
группа
{х,1,и + ац(х,
«)},
1Н =
№хх
{х + а, 1, и}
{х, 1 + а, и}
{х,1,иеа}
{хе\Ье2\и}
{х + 2а1,1, ие~
Г х 1
\ 1 - а1' 1 - а1
-ах-а
,«\/1
Ч)
-а1
ехр^
-4ах2 \ \
1 - а1 } }
генератор
Хх = ц(х, 1)ди
Х\ = дх
х2 = д(
Ху = иди
Х4 = хдх + 21д(
Х$ = 21дх - ихди
Хь = 1хдх +12д( ~-(х2 + 21)иди
Первые пять групп очевидны , чего не скажешь о последних двух, но подыс-
■сивать объяснения нет необходимости, поскольку такие задачи решаются на регу-
1ярной основе с помощью конкретных уравнений, которые позволяют определить
зсе допускаемые группы преобразований.
Да и проблема не только в том, откуда взялись Х5 иХ^.а все ли
виды симметрии уравнения щ — ихх выяснены? Совокупности
генераторов группы часто оставляют за кадром принципиальный вопрос:
не объединение ли это отдельных представителей однопараметриче-
ских групп, которые не могут быть консолидированы в.одну группу,
многопараметрическую? На этом пути возникают задачи
пополнения «совокупностей» до полноценных комплектов — так, чтобы
охватить все преобразования, относительно которых инвариантно
изучаемое уравнение. Решению проблем такого сорта помогают
алгебры Ли.
5.6. Инфинитезимальные продолжения
Попытка записать условие инвариантности типа Хи — О для диф-
уравнения, скажем /(х,х,1) = 0 либо щ — ихх, связана с опреде-
Первая, фактически бесконечномерная, ибо /х(х, I) — произвольное решение
уравнения теплопроводности, отражает принцип суперпозиции.

100 Глава 5. Группы Ли и ЧП-симметрия
ленными неудобствами технического характера. Действие
генератора X на производные приводит к довольно громоздким формулам.
Однако, как выясняется, подобную черновую работу нет
необходимости проделывать для каждого дифура отдельно, потому что
действие X, например на /(х,х,1), равносильно действию некого
I
расширенного генератора группы X на функцию /(р, х, I), где р —
I
независимая переменная. Причем расширение X —
продолжение X — не зависит от /, а только от X. Выходит, все дифуры
первого порядка можно обслужить единообразно. Для второго порядка
2
вычисляется продолжение X и т. д. В результате инвариантность
дифуров проверяется как инвариантность обыкновенных функций,
только по отношению к продолженным операторам,
*/ = 0 (5.25)
г(к)
вместо Х/(х[ ,...,х,х) = 0. Переменных в (5.25) больше, зато
к
оператор X действует стандартным образом (5.15).
Затевать здесь описание технической стороны дела, безусловно, нет резона —
можно обратиться к более обстоятельным руководствам Ибрагимова, Овсянникова,
Олвера . Однако получить представление можно и на простых примерах.
Пусть элементы группы 6 — {Оа} действуют по правилу
у = Щх,1, а), т = Ф(х,4,а). (5.26)
Тогда в новых переменных
йу Ф, + ±ФГ
У = -Г = -Г ^Г = е<*. х'«). (5-27)
йт Ф, + хФт
что в совокупности с (5.26) дает описание продолженной группы 6, действующей
в расширенном пространстве переменных {х,х,1}, где х обозначает просто
независимую переменную.
Группу можно продолжать на производные более высоких порядков,
.. йу е,+хв2+хе>
у = — — , (5.28)
г
что, будучи добавлено к (5.26) и (5.27), дает продолженную группу С, действующую
в пространстве переменных {х, х, х, 1}.
Ссылки есть в [3, т. 8), но рассчитывать на легкую экскурсию не стоит.

5.7. Допускаемые группы
101
Для инфинитезимальных операторов декорации усложняются, и «удобства»
гановятся принципиальны. Пусть X — $д/д1 + т)д/дх. Замеияя уравнения (5.26)
а у = х-*г щ-\~ о{а), т = I + а$ + о(а) и переходя к формулам типа (5.27), (5.28)
точностью до о-малых, получаем
у = х + оыь у = х+ао)1,
де
ш, = 2>(9) - 42)((), ы2 = Л(и,) - *2>(С)
иписанос помошью оператора полного дифференцирования
д . д д
О = 1Г +Х-— + X— ....
04 дх дх
В результате инфинитезимальный оператор первого продолжения14):
1 „ д д д д
х=х+ш>Тх=*м+Т>Тх+ш'Тх
Компонента и>|, как можно проследить, зависит только от ^,»?, и содержит первые
производные (,т). Принцип устройства генератора группы (5.15) сохраняется.
Оператор второго продолжения:
2 I д
Х=Х +ш2-—. Комментарии те же.
ах
В случае оператора X для уравнения щ = ихх необходимое продолжение
имело бы вид1''
2 „ 9 д
Х= X +Ши —- + ШП- •
ащ оихх
• Для оператора X = —у-—(- х — группы вращений:
ох ду
Х=-у1Г + х— + (\+у1)—-.
ох ду дух
5.7. Допускаемые группы
Напомним, функция и(х) допускает фуппу {С(х,а)}, если она
инвариантна по отношению к преобразованиям С(х,а), иначе
говоря, если Хи — 0, где X — генератор группы.
Уравнение Хи = 0 можно решать как относительно и, так и
относительно X, определяя в первом случае инварианты данной
Чтобы не плодить обозначения, независимая переменная, отвечающая производной
х, обозначается тем же символом х. Трюк общепринят.
И) 2
Действие X по переменным и«, щх отсутствует, поскольку таковых в «| = и1Х нет.

102 Глава 5. Группы Ли и ЧП-симметрия
группы, во втором — виды симметрии данной функции. Скажем,
Хи = 0 при заданной функции и{х,1) есть
(их + т}щ = 0,
где их, щ — суть данные функции, как и сама и(х,1). А потому,
не считая проблем с обращением знаменателя в нуль, (/т) = -щ/их,
что порождает массу генераторов ' X.
Проблема допускаемых групп чаще возникает в отношении диф-
уравнений /(...) = 0. С точки зрения инфинитезимальных
продолжений (п. 5.6) это не отличается от только что сказанного, поскольку
к
сводится к решению (5.25) относительно X. Но требуется-то X.
Поэтому уравнение (5.25) решается относительно направляющих ^
оператора X. А поскольку компоненты ш касательного поля опе-
ратора X выражаются через ^ с помощью частных производных,
то определяющее уравнение
к
Х/ = 0
оказывается линейным ЧП-уравнением первого порядка
относительно ^. Конечно, ЧП-уравнения не так легко решаются, но
в принципе методология позволяет выявить все виды симметрии
изучаемого уравнения. А если еще учесть, что реально
представляют интерес стержневые уравнения достаточно простого типа, то
вскрытие допускаемых групп действительно происходит.
Примером служит полный комплект симметрии для уравнения щ = ихх,
сведенный в таблицу в п. 5.5 и добытый как раз указанным способом. Неочевидные
генераторы группы Х$, Х6 получены решением определяющего уравнения
2
X (и( - и„) = 0.
Полнота здесь подразумевается в смысле базиса. Поскольку все операторы Х}
линейны, то их линейные комбинации тоже являются генераторами группы, которые
исчерпывают все допускаемые симметрии. Вопрос лишь в том, как удостовериться
в полноте найденного набора.
' В этом смысле «большинство» функций обладают симметрией, хотя та и не
воспринимается неподготовленным воображением.

5.8. Алгебры Ли
103
>.8. Алгебры Ли
Территория алгебр Ли из быстро идущего транспорта выглядит
приблизительно так '. Факт представимости любой группы Ли своим
«инфинитезимальным ядром» {X}, несущим на себе всю
информацию о группе, в контексте вышесказанного более-менее очевиден.
Неожиданно другое. Оказывается, {X} может быть превращено в
алгебраическую структуру с помощью операции коммутирования,
и эта структура может эффективно работать.
Дело в том, что композиция операторов
г=1 1=1 '
(5.29)
является дифференциальным оператором второго порядка,
поскольку
дху
Но коммутатор
дХ1
дХ] дХг
дХ]дх{
\Х\, Хг\ — Х\Хг - Х2Х\,
(5.30)
называемый скобкой Ли, является дифференциальным оператором
первого порядка, ибо смешанные производные взаимно
уничтожаются, в силу их независимости от порядка дифференцирования.
Скобка Ли в результате:
[хих2\ = ^2
дх
Ъдх*
д_
дХг
Коммутатор векторных полей Цх), Т)(х) полагается равным
"•"={Ё[^-»1;]--Ё
«я 'Чп „
охп охп
}•
I?)
Беда математического образования в черно-белой пристальности внимания. Либо
досконально, либо никак. Дескать, если в Париж, так на полгода. Очень неудобно, и как теперь
говорят, контрпродуктивно.

104 Глава 5. Группы Ли и ЧП-симметрия
Коммутатор (5.30) служит билинейной операцией, лежащей в
основе определения алгебры Ли, каковой называют векторное
пространство Ь, замкнутое относительно операции [•,•[, которая
удовлетворяет следующим аксиомам:
• Билинейность:
а\Х1,Хг] ^\аХ[,Х2] = [Х1,аХ2], а € К,
\х1,х2 + х}\ = 1х^х2\ + \х1,х}\,
|Х|+Х2,Х3|-[Х„Х3] + |Х2,^з|.
• Антисимметричность:
[ХиХг) = -1Х2,Х1].
• Тождество Якоби:
[X,, [Хг. Хг]\ + [Хг, [Х>, Х,\\ + \Х3, (ХиХ2\\ = 0. (5.31)
Если функции ^(х) гладкие, то множество операторов {X} с
умножением (5.30) — образует алгебру Ли. При этом набор инфини-
тезимальных операторов (5.19) составляет базис конечномерной
алгебры Ли Ьг, причем Хх, Х^ (Е ЬТ влечет за собой [Х\, Х^\ 6 Ьг, т. е.
г
|*д, *„] = 5>л,Д.» А,/*=!,..., г, (5.32)
где Сд^ € К — структурные константы алгебры Ьг. Условие
(5.32) необходимо и достаточно, чтобы совокупность
генераторов {X],..., Х^} была алгеброй Ли '.
Все это, безусловно, требует здравой оценки. Если «далеко
не ходить», то ни алгебры Ли, ни даже инфинитезимальные
операторы, — не так уж нужны. Конечно, «поблизости» тоже есть
выгоды. Проверка инвариантности и(х) по индикатору Хи = 0
бывает проще, чем выяснение справедливости
и(Сах) = и(х).
Алгебра Ли коммутативна в томм случае, когда все [Ад, Хц\ = 0.

5.8. Алгебры Ли
105
И размножение интегралов движения в механике с помощью
скобки Пуассона' ' хорошо известно. Да и стрельба из пушек по
воробьям — дает эффект, какой-никакой. Однако сила артиллерии
выявляется при решении иных прикладных задач, а роль алгебр
Ли — при постановке более сложных вопросов, которые с первого
взгляда иногда даже не ясно, как решить, и можно ли вообще.
Не говоря о том, что пушки приносят больше пользы не как
инструмент, а как аргумент.
По контексту нужна, конечно, иллюстрация. Вот несколько замусоленный, но
показательный пример. На вещественной прямой К генераторами группы С(ж,а)
могут быть операторы &(х)дх с линейно независимыми функциями ^,(ж) — и их
линейные комбинации. Разложение функций ((х) в ряд по {1, х,..., ж",...}
и поиск конечной алгебры с базисом
Х{ = дх, Х~1 = хдх, ■ ■ •, Хг+1 = х дх
показывает, что г не может быть больше двух, поскольку
[Хг, Хг+1\ = X Ох=Х2г-],
что противоречит требованию (5.32) в случае г > 2.
Таким образом, на вещественной прямой К возможны лишь три
конечномерные алгебры Ли (с точностью до диффеоморфизма):
• алгебра с единственным инфинитезимальным оператором дх, порождающая
группу сдвигов 0(х, а) = х + а;
• алгебра с двумя генераторами,
X, = дх, Х2 = хдх,
порождающая двухпараметрическую группу 0(х, а) = а\Х + аг;
• алгебра с тремя генераторами,
Х| = дх, Х2 = хдх, Ху = х дх,
порождающая трехпараметрическую группу, эквивалентную проективной
й\Х + а2
группе С(х, а) = .
Обратим внимание, что в каждом из перечисленных случаев
указана многопараметрическая группа. Это принципиальный
момент, который характеризует совокупности генераторов
{Хи...,Хг}, (5.33)
Стреляющей в том же направлении, что и скобка Ли.

106 Глава 5. Группы Ли и ЧП-симметрия
образующие (в качестве базиса) алгебру Ли. Если комплект (5.33)
не образует алгебру Ли, ситуация малопрозрачна. Каждый
оператор X] генерирует одиоиараметрическую группу, однако не ясно,
можно ли эти группы свести воедино (в многопараметрическую),
и нет ли других необнаруженных у системы симметрии.
Разумеется, картина может быть доработана за счет взятия скобок Ли и
доукомплектования (5.33) до «алгебраического набора» со всеми
вытекающими последствиями.
Усилия и подобном направлении бывают оправданны, когда
случайно найденного «не хватает». Дело ведь в том, что по
наитию всегда обнаруживаются исключительно однопараметрические
группы преобразований, каковых не всякий раз достаточно для
получения желаемых решений. Иногда, и даже часто, везет. Скажем,
автомодельное решение уравнения щ = ихх (п. 5.2) — это наиболее
важная иголка в стоге сена. Другие решения в том стоге большей
частью пребывают в роли пустой породы, но время от времени
требуются все же аномальные экземпляры, легче всего
извлекаемые из общего решения, которое, в свою очередь, выплавляется
из многопараметрической группы преобразований, отражающей все
свойства симметрии уравнения щ = ихх.
Еще один существенный аспект — разрешимые алгебры Ли,
устроенные по принципу разрешимых групп [3, т. 8]. Этакая мат-
решечная структура, представляющая собой цепочку вложенных
подалгебр, с которой необходимо согласовывать анализ изучаемых
уравнений. Дело в том, что неосторожное частичное использование
комплекта симметрии (5.33) — скажем, в виде замен переменных, —
может разрушать групповые свойства преобразованного уравнения,
если из (5.33) «расходовалась» часть, не соответствующая
вложенной подалгебре вышеупомянутой цепочки. В результате на втором
этапе от исходной групповой инвариантности ничего не остается,
хотя не все было исчерпано.
Наконец, самая важная ремарка насчет алгебр Ли заключается
в том, что эта штука не для повседневного пользования '. Для напи-
Не об отдельных лабораториях речь.

5.9. Прикладные аспекты
107
сания диссертации, может быть. Но главное — это один из столбов,
подпирающих свод математических небес, каковым естественно
пользоваться в его неподвижной ипостаси.
5.9. Прикладные аспекты
Общая теория, как правило, ветвится частностями. Скажем,
уравнение Лапласа
( д2 д2 \
инвариантно к группе вращений. Инварианты группы: и и г =
ух] + ... + х\. Поиск решения в виде и(г) после
дифференцирования,
ди I,- д2 , ч/ЧУ «'ИЛ /ЧЛ2\
и подстановки в (5.34) приводит к
Ди = и" + —-и' = 0, (5.35)
г
что равносильно -\ги + (п - 2)и\' = 0, и дает решение '
г
и=^-2+С2. (5.36)
В случае п = 2 до (5.35) выкладки идентичны, после чего
интегрирование и + -и = 0 приводит к
г
С
и = 1п —.
г
• Волновое уравнение чц = ихх инвариантно к группе
растяжений
{1,х,и} »-> {а1, ах, и} (I > 0).
1 В (5.36) при подходящем выборе констант входит фундаментальное решение уравнения
Лапласа.

108 Глава 5. Группы Ли и ЧП-симметрия
Инварианты: и и г = х/1. Поиск решения в виде и(х, I) = <р(г)
после дифференцирования,
ии = Г2(22<р" + 2гч>%
их = I <р ,
и
- *~2т"
хх — ь У >
и подстановки в и» = ихх приводит к обыкновенному диф-уравне-
нию
2 II
Решение:
<р = С\ 1п
2 + 1
г <р + 2г(р -р = 0.
+ С2 => и = С, 1п
ж - I
х + 1
+ С7
• Тепловое уравнение щ = ихх инвариантно к группе переносов
{1,х,и} ь-> {1 + а,х + са,и} (1>0). (5.37)
Инварианты: и и г — х - с1. Поиск решения в виде и(х, I) = <р(г)
после дифференцирования,
щ = -ар', их = р, ихх - (р",
и подстановки в щ = ихх приводит к <р" + с<р' = 0. Решением
оказывается своеобразный солитон
и(х, I) = ке~"~с 1 + С,
(5.38)
движущийся со скоростью с.
• Но (5.37) не исчерпывает симметрию уравнения щ = ихх.
Еще есть, например, группа растяжений
{I, х, и} »-> {аЬ, у/ах, а^и} (I > 0)
с неопределенным «до поры до времени» параметром /3.
Инварианты: 1~Ру, и г = х/у/1. Инвариантное решение имеет вид
и = 19<р{г).

5.9. Прикладные аспекты
109
Далее закулисная логика (п. 5.2) приводит к значению /? = -1/2
и решению (5.9). Но на этом пути получаются решения,
выражаемые через специальные функции, и для произвольных значений /?.
В частности,
Р = 0 => и(х, I) = С,егГ( ~ ) + С2.
В рассмотренных примерах речь шла о так называемых
инвариантных решениях — особых решениях, инвариантных к той же
группе преобразований что и само уравнение. Такие решения,
безусловно, не исчерпывают всех решений, ибо есть еще другие
симметрии, и решения не обязаны быть инвариантны к допускаемым
уравнениями группам. Напомним кое-что на примере
обыкновенных дифуров, где «лучше видно».
Инвариантность дифференциального уравнения к той или иной группе
преобразований влечет за собой инвариантность к той же группе — совокупности
22)
решений. Именно, не отдельных решений, а всей совокупности ', что позволяет
весьма эффективно размножать решения. Например, инвариантный к группе
растяжений {Сх, С1} дифур
их
I—- = х+ у/х1 + 12,
ш.
имеет частное решение х = \/2{1 — 1), в котором замена х 1-» Сх, I >-> С1
приводит к общему решению исходного уравнения:
-к«ч>
Из одного решения получаются сразу все. Но трюк не всегда работает.
Скажем, уравнение Риккати,
х + х2 = |, (5.39)
инвариантное относительно группы растяжений С = {Сх, \/С1}, имеет обшее
решение
3<2 1
х =
13 + С I'
Инвариантность алгебраического уравнения Р(х) = 0 к тем или иным
преобразованиям — сохраняет корни, но может менять их местами. На этом пути возникают группы
Галуа [3, т. 8].

110 Глава 5. Группы Ли и ЧП-симметрия
которое не может быть получено групповым воздействием ни из частного решения
х — - \/1, ни из х = 2/1, но получается из решения
М2 1
1 3
подстановкой х >-> Сх, I >-> — I с последующей заменой константы С (-> С.
Причина вскрывается при рассмотрении первых интегралов. Инвариантами
группы С служат кривые х1 = к. среди которых лишь две, х1 = 2 и х1 = -1
переводятся группой С сами в себя, что проверяется подстановкой х1 = к
о (5.39). Это и есть инвариантные решения — именно они не подходят для целей
«размножения». В любом другом частном решении действие группы х >-> Сх,
1
11-> — I сдвигает константу, и механизм работает.
Аналогичная картина возникает в ЧП-задачах. Если уравнение
инвариантно к группе преобразований
{1,х,и}^{С](1,С),62(х,С),и},
то из любого решения и(х,1) = <р{х,1) может быть получено
семейство решений
и(х,1) = ч>(С2(х,С),С1(1,С)).

Глава 6
Обобщенные решения
Вовочка, не бей мальчика по
голове лопатой, а то вспотеешь.
Мысль, пушенная в обход, приводит иногда к интересным результатам. Думать
необязательно в русле «как доказать существование». Почему бы искомое не
определить так, чтобы и доказывать нечего было?
6.1. Обобщенные функции
Обычное понятие функции у = /(ж), ставящей в соответствие
значениям аргумента х значения у, настолько плотно обосновывается
в голове, что другие взгляды в этой нише пробивают себе дорогу
с большим трудом. Хотя, строго говоря, ничто в этом мире нельзя
описать точечным соответствием «х »-> у» — ибо что такое
температура в точке, как не результат усреднения кинетической энергии
молекул в некоторой окрестности.
Источником возникновения теории обобщенных функций
послужила дельта-функция Дирака, которая эффективно
использовалась в физических исследованиях задолго до обоснования
подходящей идеологии. Да и сейчас <5-функция остается весомой частью
в приложениях общей теории [3, т. 2,5]. Тем не менее разговор
приходится начинать каждый раз заново, потому что трудно
рассчитывать пока на взаимопонимание в деталях.
Изначально 8(х) определялась как предел единичных импульсов '* 8е{х),
прямоугольной либо колоколообразной формы (рис.6.1), — при стремлении к нулю
Характеризуемых условием / 9е(х)4х=1.

112 Глава 6. Обобщенные решения
Рис. 6.1
«ширины» импульса, е —> 0. Трудность заключалась в том, что
при е -> 0 никакого разумного предела вроде бы нет. Получается
функция, равная бесконечности в нуле и нулю — в остальных
точках.
Однако ситуации, в которых возникала потребность в чем-
то подобном, всегда характеризовались тем, что д(х) стояла
под интегралом. То есть д(х) нужна была не как функция,
а как нечто, обеспечиваюшее при интегрировании
определенный эффект. Но тогда и обыкновенный предел не нужен был.
Достаточно было сходимости интеграла
ос
/
6Р(х)<р{х) Лх -> <р(0) при е -> 0,
что позволяло определить дельта-функцию как предел в смысле
/ 6е(х)<р(х) их -» / 5{х)<р{х) их.
(6.1
Л поскольку правую часть (6.1) можно рассматривать как скалярное
произведение в подходящем функциональном пространстве, дельта-функция оказывается
функционалом, действующим на другие функции <р по правилу (д, <р) = ^(0).
Это приводит к мысли рассматривать обобщенные функции / не как механизм
соответствия, а как функционалы
(/•<Р) = / 1(хЩх)Лх
(6.2)
на некотором подходящем пространстве В вспомогательных функций <р(х),
которые принято называть основными .
Пространство 35 обычно определяется как совокупность
финитных функцийг\ непрерывно дифференцируемых любое число
' При достаточном ассоршменте элементов (р(х) для обычных функций / ф д находится
элемент р/д а В, позволяющий отличить / от д:
</.^/9> Ф <5.У/Э>-
Смешения, таким образом, не происходит. Старые возможности сохраняются, появляются —
новые.
' Измеримая функция >р(х) финитна, если имеет ограниченный носитель — наименьшее
замкнутое множество ьирру?, вне которого <р{х) = 0 почти всюду.

6.1. Обобщенные функции
113
раз. В В вводится специатьная сходимость ', в результате чего Ю)
оказывается линейным топологическим пространством |3, т. 5).
6.1.1. Всякий линейный непрерывный функционал (/,</?) на В
называют обобщенной функцией. Совокупность таких функционалов
обозначают через Я> .
В результате возникает несколько неприятная разноголосица. Хорошо
было бы говорить о функционалах, но вектор /(х), с момошью которого записывается
функционал (6.2), классифицируется как обобщенная функция. В итоге теория
развивается с помошью функционалов /, аргументами которых служат <р (Е В,
но в уме держатся функции / с аргументами х € К. То и другое имеет свой резон,
как две стороны одной медали.
Не всякий функционат на Ю) может быть представлен в виде
(6.2). Если это возможно, — функцию называют регулярной.
Регулярными являются обычные функции. Интегрирование в (6.2) —
фактически по ограниченной области, в силу финитности (р, —
упрощает ситуацию, понижая требования к /(ж) до локальной
суммируемости. Для кусочно-непрерывных /(ж) достаточно
интегрировать по Риману, для измеримых — по Лебегу',
Определение (6, (р) = (р(0) в рамки (6.2) не укладывается, но для
достижения единообразия чисто условно пишут
то
(д, <р) = д(х)1р(х) их.
-л:
6.1.2. Последовательность {/„} обобщенных функций называют
сходящейся к обобщенной функции /, если (/п,^) ~* (/'V7) для любой
функции ц> € О.
' Последовательность у, СС сходится к <р. если объединение всех носителей.
Л - У $ирру?„.
ограничено и производные у)п (г) любого фиксированного порядка к сходятся к <р (х)
равномерно на П..
Функции, интегрируемые по любому ограниченному множеству, принято называть
локально интегрируемыми (суммируемыми).

114 Глава 6. Обобщенные решения
Таким образом, сходимость обобщенных функций — есть
поточечная сходимость функционалов (но не поточечная сходимость
самих обобщенных функций).
Дифференцирование. В случае регулярной функции интефирование
по частям приводит к
00 00
/ /'{х)^р(х) йх = /(х)(р(х) - /(х)(р'(х)Лх,
-оо -оо
ос
а поскольку /(х)(р(х) = О в силу финитности <р, возникает
-00
простое правило переброски производной
</'^> = -</У>- (6-3)
Если / не регулярна, но /„->/, и все /„ регулярны, то
что позволяет считать формулу (6.3) определением производной обобщенной функции
независимо от способа представления функционала.
Последовательное применение (6.3) к раз дает формулу для к-й
производной:
(г\*>> = нгиЛ-
(6.4)
В соответствии с (6.4) к-я производная дельта-функции
определяется функционалом
(*(*),^> = (-1)*<*,Л = (-1)У*)(0),
а производная функции Хэвисайда в(х) (единичного скачка)
оказывается равной 6(х). Действительно,
00
(в', у>> = -(0, Ч>') = ~ [ 4>\х) йх = ^р(0) = (6, р),
, о
откуда в = 6.
При этом дифференцируемыми в обобщенном смысле оказываются разрывные и
вообще измеримые функции. Тяжесть операции перекладывается на плечи <р(х).

6.1. Обобщенные функции
115
Дифференцируемость без всяких ограничений — одно и! главных
достижении теории обобщенных функции. Обобщенная функция
дифференцируется сколько угодно раз.
Свертка обычных функций определяется как
ОС'
1*9= I /(ж - УЫУ) йУ- (6-5)
-ОС'
Аналогично (с некоторыми оговорками) определяется свертка
обобщенных функций '. В частности,
00 ОС
8*!= I 8(х- у)!(у) 4у= I д(г)/(х -г)Лг = /(ж),
-00 -ОС
а поскольку в данном случае дифференцирование по параметру
перестановочно с интегрированием, то
±„.Л *.,_,.*
ах ах ах
Общее правило дифференцирования свертки:
Поэтому, если Ь — линейный дифференциальный оператор, то
И! *9) = {И* 9) = и*1>9),
что определяет успех применения обобщенных функций в теории
дифференциальных уравнений.
С точки зрения более широкого осознания роли обобщенных
функций полезно задуматься о «сходимости расходящихся рядов».
Если /„ —► /, то /п —► / , и если на /п смотреть как на
частичные суммы некоторого ряда, получается удивительная вешь.
Сходящийся ряд можно сколько угодно раз дифференцировать, он
будет сходиться. Разумеется, в обобщенном смысле.
Свертка обобщенных функций существует далеко не всегда. Достаточное условие:
ограниченность носителя одной из функций.

116 Глава 6. Обобщенные решения
Например, ряд Фурье
Е00 $\пкх
-г- (6.6)
сходится к разрывной периодической функции /(ж), принимающей значения
(я- - х)/2 на внутренности промежутка [0, 2я] и /(0) = {(1к) — 0.
Обобщенная производная
00
/'(ж) = -1/2 + я-^й(ж-2я-).
-оо
С другой стороны, почленное дифференцирование (6.6) дает расходящийся в обыч-
00
ном смысле ряд \~^со<;А;ж. Но оба результата как обобщенные функции равны
друг другу — поэтому
ОО , ОО
к=\ -оо
Конечно, ряд ^~^со5&х сходится и расходится одновременно.
Вопрос в том, для чего он используется. Если фигурирует только
в промежуточных выкладках, но в итоге попадает под гусеницы
интегрирования, — его можно считать сходящимся как обобщенную
функцию. Это хороший пример на тему необходимости понимания
обстоятельств за кадром.
«Дельта-тематика» не исчерпывает приложений обобщенных
функций. Пример — функция & — , определяемая функционалом
х
';•*)-*/
^>-,<р>=Ур / ^-йх = Пт
г-И-0
При этом
(I 1 д, 1 1
~\п\х\ = 3?-, —&>- = -З»-^.
ах х ах х х1
В квантовой механике используются также обобщенные функ-
1 ™* I
ции —, определяемые как пределы в О функций — при
х±гО х±ге

6.2. Многомерная ситуация
117
е -> +0. Легко проверяются формулы Сохоцкого
- = -ш6{х) + ■?>-,
8).
х + г'О х
х-гО к ' х
6.2. Многомерная ситуация
Сказанное выше легко переносится с вещественной прямой на
случай К™. Пространство В определяется также, как совокупность
финитных функций у?(ж), с той разницей, что теперь аргумент
ж 6 К™. Не меняется и определение 6.1.1 обобщенных функций как
линейных функционачов (/, <р) на В. В регулярном случае
функционалы записываются в форме
= / !(х)(р{х)
(/. V) = / !(х)(р{х)дх,
где по сравнению с (6.2) интегрирование идет по К".
Что касается дифференцирования, в действие вступают частные
производные, но особой новизны при этом не возникает. Формула
(6.3) меняется на
&*> = -('• й;> <">
Аналогично определяется и дельта-функция д(х),
(д,<р) = 1р(0).
Однако дополнительные степени свободы позволяют старыми
инструментами достигать новых эффектов. Как правило, — за счет
композиции, что эффективно работает даже на прямой.
Комбинация замен
(6(х - и), <р(х)) = <р(и), (6(ух). <р(х)) ■= М"1^0)
' Всякое равенство обобщенных функций доказывается скалярным умножением обеих
частей на произвольную функцию у> из П> с последующей проверкой совпадения результатов.

118
Глава 6. Обобщенные решения
приводит к
(6{ах-Р),р{х)) = \а\-,ч>(^У
что позволяет говорить о равенстве 6(ах - /3) = |а|"'($(ж - /?/<*)• В более общем
случае функции /(ж) из С00 с простыми нулями — аналогично получается
формула
Г1г,Л = Г\ '' *
/<*> = » "'(1*)1
В частности,
й(ж -1)= , д(х -1)= +■ .
В К™ аналогом (6.8) оказывается
г
где Г — поверхность /(ж) = 0. Необходимые оговорки очевидны.
Наличие модуля градиента в (6.9) бывает нежелательно. В этих
случаях вместо <5-функции используют обобщенную функцию <^г%
действующую по правилу
{8рг,<р)= ц(х)<р(х)<1(т (6.10)
г
и называемую простым слоем на поверхности Г.
Простой слой <^г является в некотором роде обобщением
обычной дельта-функции. Обобщением производной -б'{х) служит так
называемый двойной слой - — (<7„г) на поверхности Г с нормалью
дп
п, действие которого характеризуется функционалом '
~(^г), ^ = 1^)^^. (6.11)
Обобщенная функиия —-г-{Ьит) описывает распределение диполей на поверхности Г,
дп
ориентированных вдольтекушей нормали п и распределенных с плотностью моментов 1/(х).

6.3. Преобразование Фурье
119
6.3. Преобразование Фурье
Преобразование Фурье Ф(/) обобщенных функций / строится
на той же идее переброски преобразования в ска!ярном
произведении с / на (р, т.е. Ф(/) = / определяется равенством
<7,Р> = </,0>- (6-12)
Для этого, разумеется, должно быть определено преобразование
основных функций. Обычная дефиниция
<р(0 = ФМ = [ ф)ег{^ х} их (6.13)
порождает некоторое неудобство, преобразуя финитные функции
в нефинитные. Поэтому преобразование Фурье (6.13) обычно
рассматривается не на О, а на пространстве Ю^, бесконечно
дифференцируемых функций, убывающих на бесконечности вместе со всеми
производными быстрее любой степени ||ж|| '.
Соответствующая точка зрения принята в [5. 19]. Преимущество В,*,
заключено в том, что преобразование Фурье не выводит за пределы О^, и это позволяет
свободно пользоваться обратным преобразованием
Тем не менее значительная часть выгод преобразования Фурье может быть
сохранена и в В [6], наряду с плюсами финитности.
Главный трюк, который позволяет делать преобразование
Фурье, — это замена дифференцирования умножением:
Ф[ДЛИ = Н$)ЛФ[Н (6.14)
и наоборот,
ОаФ\<р] = Ф[(гж)»,
где а — мультииндекс.
Область интегрирования К" подразумевается.

120 Глава 6. Обобщенные решения
В случае однократного дифференцирования на К фокус
заключается в использовании интегрирования по частям:
ОС' ЭС
[ у\х)е*х их = у»(х)е<{1|°° -(гО ! у(х)е*х их,
-00 -00
с учетом быстрого убывания ц> на бесконечности (что обнуляет
первое слагаемое справа). В силу у> 6 Вое операцию
дифференцирования можно повторять сколько угодно раз.
Что касается определения (6.12) преобразования Фурье
обобщенных функций, то здесь необходимо отметить два обстоятельства.
При ориентации на В^ приходится предполагать, что / не
слишком быстро растут на бесконечности ' — например, не быстрее
чем полиномиально, «безобразничая как угодно» в ограниченных
областях '. Второй момент стандартный. В случае интегрируемых
функций / равенство (6.12) вытекает из теоремы Фубини о перемене
порядка интегрирования:
00 00 ■- ОС
-оо "--оо
00 00
Ч>{()<% =
= У /(ж) I <рЦ)е*х <% их = I !{хЩх) их,
а в общем случае может быть принято в качестве определения за
счет опоры на сходящиеся к линейным функционалам регулярные
последовательности ' '.
Следствием переброски (6.12) и замены дифференцирования
умножением (6.14) в И)-» — является аналогичный факт для обоб-
Принято говорить о функциях медленного (умеренного) роста.
п)
Ограничений роста на бесконечности можно избежать, полагая изначально <р 6 В,
но за это приходится платить другой монетой.
За всеми такими замечаниями стоят определенные технические подробности, каковых
набирается солидный ворох. Это к тому, что функциональный анализ в значительной
степени представляет собой совокупность предельных переходов, завораживающих поначалу
многообразием форм. На «зрелой стадии» все это сливается в скучную рутину.

6.3. Преобразование Фурье
121
щенных функций:
Моа Л = НОлф[/1.
(6.15)
К (6.15) можно добавить свойства, характерные для
преобразования Фурье обычных функций,
. ЯЛФ[/] = Ф[{гх)а/\,
• ф"'[/1 = щ^фШ-х)] => ф Чф[/]] = /, ф[ф-'[/]] = /,
. Ф[/(аг-*)1 = е^>Ф[/|,
. Ф[/(х)-д(у)] = Ф|/](0-ФЫ(»|).
а также соотношения с участием дельта-функции ',
• Ф[6(х)}=\, Ф\д(х - г)\ = ец*'х),
А=оо
&=эс
. ЕЛ(*-2**) = ^Ев"х'
А=-<х>
2тг
А=-оо
Принципиально для дальнейшего Фурье-преобразование
свертки обобщенных функций, одна из которых финитна (имеет
компактный носитель) ',
ф[/*$1 = ф1/1-фЫ-
(6.16)
14)
1-4
Ф[й(х)] = I следует из (6, <р) = (6, !р) = у?(0) = / <р(х) их.
Финитность одной из функций «нужна», собственно, для существования самой свертки.
/•

122 Глава 6. Обобщенные решения
6.4. Обыкновенные дифуры
Прежде чем переходить к ЧП-уравнениям, напомним, как дельта-
функция работает на территории обыкновенных дифуров.
Решение линейных дифференциальных уравнений
Ьх(1) = 1(1), (6.17)
где Ьх = х + а\Х ' + ... + а„_|ж' + апх, основывается на
фундаментальном решении х(1), удовлетворяющем уравнению
Ьх(1) = 6(1),
описывающем реакцию системы на импульсное внешнее
воздействие 6(1).
Решение (6.17) получается сверткой х(1) с правой частью $(1),
х(1) = х * /,
что легко проверяется:
Ь(х * /) = (Ьх */) = (<* */) = /.
В неавтономном случае,
Ьх = х(п) + а,(г)х("-1) + ... + а„_,(0ж' + ап(1)х,
получается такой же результат. Пусть С(1, з)
обозначает фундаментальное решение
уравнения Ьх = 6(1 - з). Умножая
Рис. 6.2
ЬС(1, з) = 6(1 - з)
на /(з) и интефируя по «,с учетом принципа суперпозиции и
равенства
00
/(О = [ /(з)6(1 - з) <18,
-00
получаем Ьх(1) = }(1), т.е.
00
х(1)= [ С(1,з);(з)А8, (6.18)
-00

6.5. О слабых и обобщенных решениях
123
где ядро С(1, з) называют также функцией Грина '.
В автономном случае 0(1, з) является функцией разности
т — I — з,
и вместо (6.18) получается
ос
х(1) = IС(т)}(Ь~т)Лт,
-ос
что называют также интегралом Дюамеля.
6.5. О слабых и обобщенных решениях
Главный фокус, производимый обобщенными функциями в ур-
матах, выглядит при поверхностном взгляде следующим образом.
Например,
Д« = /(ж) (6.19)
умножается на «произвольную до некоторой степени» функцию
(р(х) и интегрируется,
\/у>: / Аи-1рЛх= / /(ж)^>йж, (6.20)
что дает равносильное уравнение, ибо если (6.19) нарушается в точке
а?о, то ненулевая в малой окрестности Жо функция у?(ж), равная
нулю в остальных точках, привела бы к нарушению (6.20).
Пусть теперь и(х) — дважды непрерывно дифференцируемая
функция, а (р(х) достаточно быстро убывают на бесконечности
вместе с первыми производными. Интегрируя тогда слева (6.20)
дважды по частям, получим уравнение
V <р : I и-А<р(1х= / /(ж)^>йж, (6.21)
1 ' В теории автоматического регулирования С(1, з) называют импульсной переходной
функцией, и на систему Ьх = /(2) смотрят как на преобразование входа /(I) в выходной
сигнал х(1) (рис. 6.2). О решениях типа (6.18) уже говорилось в гг. 3.7, но это заслуживает
многократного упоминания. В учебниках, правда, заведено вытаскивать на свет всякую тему
не более одного раза, что с успехом нивелирует акценты.

124
Глава 6. Обобщенные решения
в котором дифференцирование с искомой функции и(х) вообще
снято. Такие решения и(х) называются слабыми, и они могут быть
вообще недифференцируемы в обычном смысле, хотя их вполне
естественно принимать за решения (6.19).
Подстерегающая за кадром неприятность заключена здесь в том,
что для непрерывных функций и(х) левая часть (6.21) не всегда
представляется в виде
М(х)(рЛх
— функция / может не существовать. В результате кое-что трещит
по швам, и теория слабых решений, каковая изначально
выдвигалась в качестве альтернативы, не спасает. Теория обобщенных
функций (теория распределений) идет в этом отношении дальше,
принимая к рассмотрению выражения типа
/ и • А<р<1х,
даже если они не представимы в виде
М(х)(рЛх.
Внешняя эскизная часть остается похожей, но «под микроскопом»
это уже другая теория.
Расхождение начинается с определения пространства Р,
каковое в финитном случае не банахово. Поэтому нет прямой
возможности говорить о слабой сходимости функционалов, о сопряженном
пространстве Р* и обо всей совокупности стандартных фактов,
облегчающих изучение банаховых пространств. Более того, Ю> —
не нормированное и даже не метрическое пространство. Тем не
менее это «хорошее» топологическое пространство, но оно требует
специального внимания и соблюдения стандартных
предосторожностей, что влечет за собой некоторую возню, естественную для
монографий, но не очень подходящую для учебной литературы.

6.6. Фундаментальные решения
125
6.6. Фундаментальные решения
Обобщенным решением уравнения
ЫР)и = /(ж) (6.22)
считается всякая обобщенная функция и Е 1)', удовлетворяющая
(6.22) в смысле
<1(Л)«, ?) = </(*),?), (6.23)
или равносильно, из-за переброски дифференцирования,
(и, Ц-0)<р) = (/(ж), <р). (6.24)
Если обобщенное решение имеет достаточную степень
гладкости, то оно одновременно является классическим.
В случае «импульсного внешнего воздействия», /(ж) = 6(х),
решение 8,(х) уравнения (6.22), т.е.
Ь(Б)е. = б(х), (6.25)
называется фундаментальным.
Роль фундаментальных решении заключена в элементарно
проверяемом соотношении '
и = Е, * /,
(6.26)
порождающем решения (6.22) с помощью свертки & и /, при условии
что такая свертка существует.
Смысл (6.26) заключается в представлении
Где О = I -— -— ), ЦБ) = > ааО". Для простоты рассматриваются урав-
\дх1 дхп/ *—'
нения с постоянными коэффициентами. Обший случай связан с рассмотрением
дифференциального оператора Ь(х,й) = У^ а0(х)Р°.
18) Цй)(Е * /) = Цй)Е * / = 6{х) * / = /.

126
Глава 6. Обобщенные решения
в виде суммы точечных источников 1{$)б{х — $), порождающих
реакции системы /(^)8(ж - $), с последующим представлением
решения в виде суперпозиции этих реакций,
« = е*/ = у/(ое(«-€)й€.
Как фундаментальные, так и обобщенные решения
неоднородных уравнений (6.22) в силу принципа суперпозиции определены
с точностью до решения однородных уравнений Ь(0)и = 0. Иначе
говоря, общее решение (6.22) есть Е. * / + щ, где & * / — частное
решение, а щ — решение однородного уравнения Ь(Б)и = 0. Од-
нако роль щ тут практически никакая ', ибо:
(!) в классе функций и € ГО>*, свертка которых с 8, существует,
решение (6.26) единственно. Действительно, •* в этом классе однородное
уравнение Ь(Ю)и = 0 имеет только нулевое решение, поскольку
и = и * 6 = и * Ь(0)& = Ь{Б)и *г = 0*г = 0. ►
Существование свертки здесь в некотором роде связано с чем-
то типа принципа причинности [3, т. 2], в силу которого реакция
системы не возникает до начала воздействия.
Применяя к (6.25) преобразование Фурье и опираясь на (6.14)
и Ф[ д ] = 1, получаем необходимое и достаточное условие
Ь(-1$-Ф[Е.\ = 1, (6.27)
чтобы 8. было фундаментальным решением оператора Ь(Ю).
Таким образом, рецепт поиска 8. заключается в решении (6.27)
и последующем применении преобразования Ф . Вопрос только
в том, существует ли решение (6.27), потому что Ф[8] = Ь~ (-1%)
«хорошо выглядит» вне множества нулей полинома Ь. Тем не
менее в случае Ь{Б) с постоянными коэффициентами решение (6.27)
существует всегда — теорема Хёрмандера '.
Она неизмеримо вырастает при рассмотрении функций Грина, п. 9.5.
' Решений, как правило, мною. Например, ^Ф(-) = I имеет решение ~ 1/^ с вариациями
I 1
поведения в нуле: />*-, .

6.6. Фундаментальные решения
127
В [5,6,19] действие соответствующего механизма в конкретных
ситуациях расписано достаточно подробно. Вот как это выглядит
при беглом взгляде.
• Применяя к уравнению теплопроводности
гг - а2Дг = б(х,1)
Фурье-преобразование по ж, имеем
Фх|^1-а2Фх|Де1 = Фх[*(ж,*)1-
С учетом
ф*[г*1 = ^ф*[г], фг[де] = -|К||Ч[г],
ы
ФхЩх,1)} = Фх\6(х) ■ 6(1)\ = 6(1),
получаем фактически обыкновенное диф-уравнение:
^ + «211€112ф,1г1 = *(«),
решением которого служит
ФХ[Ц = в(1)е~а'шЧ. (6.28)
Применяя к (6.28) обратное преобразование Ф^ , имеем
окончательно:
П А *<*> / И*!!2! «ПСИ
(2алЛг«)я
• Действуя в том же ключе в отношении волнового уравнения
□сг = 6(х, I),
Фундаментальным решением обыкновенного лифура Ьг=6(1) является Ц1) = в{1)г(1),
где г(1) — решение задачи Коши
Ьг = гш +Ь[(1)г{т-,) 4 ... ■+ Ьт(()г = О,
г(0) = г'(0) = ... = г<т"2)(0) = 0, г(т"|)(0)= 1.

128 Глава 6. Обобщенные решения
в итоге получаем
В частности22',
Е(х,1) = в(Щ
-I
с|1€И
Е1(х,1) = —в(с1-\х\
Е.г{х,1) =
в(с1 - \\х\
2жсу/сЧ2-\\х\\2%
Е3(х,1) = в^6(сЧ2-\\х\\2).
• Фундаментальные решения оператора Лапласа
1
е2 = —1п||ж||,
и в общем случае п ^ 3:
сп —
X
-п+2
(п - 2)<тп'
(6.30)
(6.31)
(6.32)
(6.33)
(6.34)
(6.35)
где <тп площадь единичной сферы вМ",- фактически (с точностью
до нормировки) были найдены в разделе 5.9.
В русле (6.27), т.е. в данном случае
-Ш2-ф[г] = 1,
(6.36)
задача также легко решается. Для п = 2 соотношению (6.36)
удовлетворяет функция —&,. Го- Действительно,
Применение обратного Фурье-преобразования дает (6.34).
Аналогично выводится (6.35).
' Решение вида (6.26), Уп = €,„ * /, в данном случае называют запаздывающим
потенциалом с плотностью /.

6.7. Задача Коши
129
6.7. Задача Коши
Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения
□си = Гд - ^ ^2) « = Я*. 0, (6-37)
= щ{х). (6.38)
м1/-+о = "о(ж). ^
1-=П)
В классе функций и(х,1) и /(х,1), равных нулю при I < О,
задача (6.37)—(6.38) равносильна волновому уравнению
□си = /(ж, 4) + «0(ж)*'(<) + «1 (»)*(*)■ (6-39)
Переход к (6.39) от (6.37)—(6.38) легче всего осознается на более простой
задаче Коши для обыкновенного дифура:
«" = /(0. и|,..+0-«о. «'|,=+0^«1- (6-4°)
Если и(1) =0 и /(() = 0 при ( < 0, то. в связи со скачком в нуле, к первой
производной добавляется скачок 0 >-> и + щ6(1), а ко второй производной -
0«->и"+и0<5'(<) +•!*,($(«). (6.41)
В силу (6.41) задача (6.40) переходит в уравнение23'
«" = /(<) +«о*'(0+-«1<5(*)- (6.42)
Благодаря замене (6.37)—(6.38) => (6.39) задача попадает под
юрисдикцию механизма (6.26), и решение (6.37)—(6.38)
получается с помощью свертки фундаментального решения оператора
Д'Аламбера (6.30) с правой частью уравнения (6.39),
и = г * [/(ж, 0 + щ(х)ё'(1) + «, (ж)*(0], (6.43)
откуда видна корректность исходной задачи (непрерывная
зависимость решения от начальных данных). Конкретные реализации
(6.43) — формулы Д'Аламбера (п = 1), Пуассона (п = 2), Кирхгофа
(п = 3) — довольно громоздки, и при избытке свободного
времени могут обеспечить каким-никаким занятием. Не таким уж
При обязательном условии обнуления и{1) и /(<) при I < 0.

130 Глава 6. Обобщенные решения
особо значимым, но вполне осмысленным, и представляющим
безусловный интерес в области распространения волн. Тем более что
в подноготной простой с виду формулы (6.43) имеются тонкости [5].
Задача Коши для уравнения теплопроводности,
ди 1
— = с2Аи + /(ж, I), (6.44)
«|«=+о = щ(х), (6.45)
так же как и (6.37)—(6.38) сводится, в классе функций и(х,1) и
/(ж, I), равных нулю при I < 0, к уравнению теплопроводности
— =с2Аи + 1(х,1) + щ(х)д(1), (6.46)
оъ
решение которого определяется сверткой вида (6.26)
фундаментального решения (6.29) с правой частью уравнения (6.46).

Глава 7
Волновые процессы
Понимание дороже отдельно решенной задачи.
Распространение волн — «один из двух» возможных процессов распространения
возбуждения в сплошной среде. Разнообразие вариантов здесь весьма велико,
но есть и обший стержень, за который полезно держаться, чтобы тематика
не расползлась по закоулкам. «Пребывать в резонансе», конечно, не так легко,
потому что, скажем, нелинейные явления тут просто-таки опровергают привычные
воззрения, выросшие из линейной идеологии. А размерность среды так сильно
влияет на характер колебаний, что соответствующие феномены дробят предмет
на «несовместимые» части, как поначалу кажется. Например, при переходе от К
к К возникает явление диффузии волн, в результате чего теряет силу принцип
Гюйгенса, и плоскую Вселенную приходится рисовать другими красками. Тем
не менее, хотя в подноготной уравнения ин — с Д« в каждом К" есть свой скелет
в шкафу, уравнение на прямой ии = с иХТ концентрирует в себе 90 % общей
теории «(( = с Аи, — и это некоторым образом цементирует дисциплину.
7.1. Свободные колебания
Уравнение распространения волны вдоль прямой,
ии = с2ихх, (7.1)
заменой переменных
( = х - с1, г) = х + сЛ
приводится к
Щг, = 0,
что в силу и^ = («(),, элементарно интегрируется:

132
Глава 7. Волновые процессы
с \
//(х — с1)\ х
Рис. 7.1
где / и д произвольные функции, однократно (!)
дифференцируемые \ Стало быть, общее решение в исходных переменных:
и(х, I) = /(ж - с1) + д(х + Ы). (7.2)
Слагаемое /(ж — с1) в (7.2) описывает движение начального
возмущения /(х) при I = 0 со скоростью с вправо (рис. 7.1).
При этом возмущение движется, не меняя формы, что позволяет
говорить о скорости распространения сигнала . Слагаемое д(х-\-с1)
в (7.2) описывает движение начального возмущения д(х) с той же
скоростью с влево.
В случае колебания неограниченной струны решение задачи
Коши
Щ( = с2ихх, и(х, 0) = >р(х), щ(х, 0) = ф(х), (7.3)
дается формулой Д'Аламбера
х+Ы
„(*,*) = ^-^^'Ч!/^. (7.4,
х-с1
что элементарно проверяется.
Колебание струны с закрепленными концами:
м(0,1) = 0, и(1,1) = 0, (7.5)
Однако возврат к исходным переменным требует в (7.2) дважды непрерывной
дифференцируемое™ функций / и д. Для решения парадокса необходимо задуматься о требованиях
к гладкости замены координат.
Если протяженное во времени возмушение движется, меняя форму, понятие скорости,
строго говоря, теряет смысл.

7.2. Разделение переменных и метод Фурье 133
также можно описать с помощью (7.4), но для этого функции <р(х),
ф(х), задающие начальные условия (7.3) на |0, /|, надо специальным
образом продолжить на всю ось:
(р(-х) = <р(х), (р(х + 21) = <р(х), (7.6)
ф(-х) = -ф{х), ф(х + 21)=ф(х). (7.7)
Легко убедиться, что колебание (7.4) бесконечной струны с такими
начальными условиями обеспечивает (7.5) при любом I.
Периодичность решения возникает из периодичности
продолжения начальных условий (7.6), (7.7). Полученному решению
можно было дать и другое толкование, не выхоля за пределы [0, /]
и считая, что в точках 0 и / происходит отражение движущихся
импульсов.
7.2. Разделение переменных и метод Фурье
Волновое уравнение представляет собой частный случай уравнения
вида
«и - Ьи = 0, (7.8)
где Ь — эллиптический оператор, действующий только на
пространственные переменные х. Решение (7.8) ищется обычно в
прокрустовом ложе краевых условий типа (2.6). Благодаря линейности
задачи и разделенности переменных х и I в (7.8), решение и(х,1)
разыскивают в виде
и(х,1) = с(1)-'ф(х), (7.9)
что после подстановки в (7.8) приводит к с-ф = сЬгр, т.е.
- = -^ = А. 7.10)
с ф
В (7.10) дифур с — Хс решается при любых А, а вот уравнение
Ьф = Хф в паре с (2.6) — только при исключительных. Поэтому
в центре внимания оказывается поиск собственных значений А^- и

134
Глава 7. Волновые процессы
собственных функций чрк оператора Ь на границе Г
рассматриваемой области,
дп
Ьгрк = \ктрк, а^+/%.],, = 0. (7.11)
В стандартных ситуациях, например
-&1рк = \к'фк, ^*1г = 0'
собственные значения являются вещественными,
положительными, имеют конечную кратность, и Хк -> оо при к -> со, причем
существует полная ортонормированная система собственных
функций {грк}.
В силу линейности исходного уравнения (7.8) решение и(хЛ)
имеет вид
и(хЛ) = ^2скЦ)-грк(х). (7.12)
Подстановка (7.12) в (7.8) ведет к ск = Хкск и, соответственно,
к решению
ск(1) = Ак со$шк1 + Вк %\п ик1, ш\ = \к.
Коэффициенты Ак, В), определяются из начальных условий
и(х,0) = и0(х), и{(х,0) = щ(х),
приводящих к разложениям
^ Акчрк = щ(х), ^2 шкВкчрк = щ(х).
к к
Это, конечно, схема, реализация которой способна испортить
немало крови. В «подневольном варианте», когда учить приходится,
что скажут, — выбора нет. В условиях какой-никакой свободы кое-
что, самое простое, имеет смысл посмотреть, чтобы заткнуть пустоту
абстракции даже ненужной вещью '.
Из ненужных кирпичей неплохие лома получаются.

7.2. Разделение переменных и метод Фурье 135
Рассмотрим задачу о колебаниях струны,
«« = с ихх,
с закрепленными концами,
«I „ = О, «I , = О,
и при начальных условиях
и(х, 0) = щ(х), щ(х, 0) = и\(х).
В качестве (7.11) в данном случае имеем
■ф" + \гр = 0, гр{0) = гр(1) = 0. (7.13)
При А > 0 общее решение (7.13):
гр(х) = С\ соъшх + С~1хтс^ж, ш — А,
и краевые условия условия удовлетворяются при С{ = 0, С^ Ф 0
в случае $1п о;/ = 0, откуда
//ел-42
ш1 = ктт => Хк = - I —
с ортогональными на |0,/] собственными функциями
. кттх'
грк(х) = $т
I
Заключительный этап с разложением ио(х), М|(х)
идеологически ясен. Результирующее колебание имеет вид
. \-^ / кпс1 ккс1\ кттх
П{Х, 1) = 2_^\Ак 8111 — \- Вк СОХ —— 1 5111 —-.
Равносильно
. . ^"^ /кпс1 \ кжх
и(Х,1) = 2^^8111 I —— +(рк \ 5111 —. (7.14)
Слагаемые (7.14),
. кжх (кжс1 \
Щ(Х, I) = Бк 81П — 81П I —— +<рк),

136
Глава 7. Волновые процессы
представляют собой собственные колебания струны. При данном к
все точки х € [О, I] совершают гармонические колебания
переменной амплитуды Бк $т (кжх/1) с одинаковой частотой кжс/1 и
фазой <рк, одновременно достигая максимума и синхронно проходя
через положение равновесия. Такие колебания «в унисон» называют
стоячими волнами.
Сказанного, само собой, не всегда достаточно. Потребность в
дополнительной информации зависит от генотипа читателя,
наличия свободного времени и дальнейших планов. Но в любом случае
надо иметь в виду, что расширение поля зрения производит
определенный эффект. Решения задачи о струне при разных ио(х), и\(х),
и даже о колебаниях мембраны, — казалось бы, не дают ничего
принципиального нового. Тем не менее абстрактная схема
наполняется материей, и понимание поднимается на стадию ощущений.
Разумеется, диалектика оставляет вопрос о пути познания без
ответа, и каждый выбирает тропу на свой вкус.
7.3. О роли спектрального разложения
Изложение метода разделения переменных (п. 7.2)
воспроизводит общепринятую схему, каковая, несмотря на свою простоту,
при внимательном рассмотрении вызывает ощущение
дискомфорта. С какой стати решение (7.8) ищется в виде произведения (7.9)?
Ведь из иц = Ьи, где Ь действует только по х, вовсе не следует
и(х, I) — с(1) • 1р(х). Тем более что в итоге оказывается
и(ж,<) = Х)с*(*)-^*(*)- (7.15)
Шаг за шагом, конечно, картина проясняется. Однако акценты
все же целесообразно расставить иначе, выстраивая факты в
другой последовательности. Итак, гипотетическое решение и(х, I) при
любом фиксированном I разложим по какому-нибудь ортонор-
мированному базису {^(х)}, имея в результате (7.15), что после
подстановки в иц = Ьи дает
^Ск-Фк = ^ск-Ь'фк. (7.16)
* к

7.4. Фронт и диффузия волн
137
Из (7.16) в общем случае ничего хорошего не получается. Но если
Ьгрк = \кгрк, (7.17)
т.е. 1р)1 собственные функции оператора Ь, — ситуация кардинально
меняется. Равенство (7.16) превращается в
]Сг*"^ = ]СА*с*-^. (7-18)
к к
для справедливости чего достаточно
с* = А*с*. (7.19)
Вот, собственно, и весь сюжет. Становится ясно, что
сначала надо найти собственные значения и собственные функции
оператора Ь, т.е. решить (7.17) — разумеется, с учетом краевых
условий, — затем наступает очередь (7.19) . Требования к Ь
(самосопряженность и кое-что еще) необходимы для полноты системы
собственных функций {^.(ж)}, иначе невозможно было бы
утверждать представимость решения в виде (7.15).
7.4. Фронт и диффузия волн
Перечисленные в п. 6.6 фундаментальные решения (6.31)—(6.33)
волнового уравнения проскальзывают мимо сознания, тогда как их
принципиальные различия заслуживают внимания. В. К
Е3(*,*) = ^(Л2-||*||2),
и это означает распространение возмущения &з{х, I) от точечного
источника 6(х) • <5(<) в виде сферической волны \\х\\ = с1, т.е.
возмущение в момент I > 0 сконцентрировано на сфере радиуса с1
с центром в х = 0.
Если исходное возмущение мгновенно, но не точечно по ж,
скажем щ(х) -6(1),/го из каждой точки носителя Мо(ж)
распространяется своя сферическая волна. Эти волны движутся со скоростью с
Об этом и шла речь в п. 7.2, где предлагалось начинать с (7.10) без всех этих хлопот,
но и без достаточного понимания обстоятельств.

'38
Глава 7. Волновые процессы
I складываются в силу принципа суперпозиции, — в результате чего
образуются передний и задний фронт волны, как внешняя и
внутренняя огибающая сферических волн. Область между фронтами
юзбуждена, ее дополнение находится в покое. В этом случае
принято говорить о действии принципа Гюйгенса '.
На прямой
Е{(х,1) = -в{с1-\х\),
1С
II картина уже другая. Возмущение 8.\(х, I) от точечного источника
|(х) • д{1) в момент I > О целиком заполняет отрезок '
—с1 ^ х ^ с1,
ц, в отличие от К , за фронтом волны покой не наступает. При
этом говорят, что на прямой имеет место диффузия волн. Задние
фронты не возникают, и авторитет принципа Гюйгенса терпит
существенный урон.
Похожая картина имеет место на плоскости
0(с*-|М|)
г2(<М) =
2ъсу/сЧ2-\\х\\г
где возмущение ^(ж, I) от точечного источника д(х)-6(Ь) в момент
I > О целиком заполняет круг радиуса с1. Аналогично предыдущему
говорят о нарушении принципа Гюйгенса и о диффузии волн.
Сопоставление фундаментальных решений с общим решением
(7.2) волнового уравнения иногда вызывает недоумение из-за
«нестыковки». Разногласия заключены в отличии однородного Пс& = О
"' Если носитель щ(х) компактен.
Принципом Гюйгенса называют представление о том, что каждая точка среды, до которой
дошло возмущение, становится источником вторичных волн. Представления о следствиях
несколько расплывчаты. Одни говорят, что вторичные волны взаимодействуют по законам
интерференции, другие, во избежание противоречий (см. далее), просто постулируют, что
волны гасятся в «нежеланных» направлениях, оставляя на прицеле только движение
переднего фронта.
При постоянной амплитуде I/{2с) возмущения.

7.5. Бегущая волна
139
и неоднородного уравнения Пс& = д(х, I). Форма сигнала м(ж, I) =
/(х - с1) + д(х + с1) не меняется при движении по I как вправо,
так и влево. Сигнал же &(х,1) обязан аннигилировать при I < 0.
Иначе говоря, решение Е(х, I) при попятном движении как бы
«схлопывается» при I = 0.
7.5. Бегущая волна
Решение и(х, I) = /(ж - с1) называют бегущей волной. В
общественном сознании такие решения приписываются волновому
уравнению, но они распространены гораздо шире. Каким бы ни было
автономное ' ЧП-уравнение относительно и(х, I), подстановка в него
и(х,1) — $(х-с1) приводит к обыкновенному дифференциальному
уравнению для функции /, поскольку
щ = -с/ , их = / , ии=с / , ихх = / ,
Щх = -с/ ,
и присутствие в исходном уравнении частных производных сколь
угодно высокого порядка тут ничему не мешает.
Волновое уравнение (7.2) в этом отношении выделяется тем,
что возникающий обыкновенный дифур допускает бегущую
волну любой формы. Действительно, подстановка и(х,1) = /(ж — Н)
в и» = с ихх приводит к
(С2 - С2)/" =: 0,
что в случае с = с выполняется для любой функции ' /. Но (7.2) —
не единственное исключение. Тем же свойством обладает, например,
уравнение
щ + сих = 0.
В общем случае ЧП-уравнения допускают бегущие волны
только специальной формы. Диапазон возможностей довольно широк.
Коэффициенты которого не зависят явно от х и I.
А при с Ф с — для любой линейной функции / = от + /3. т = х -с1.

140
Глава 7. Волновые процессы
От малоинтересных ситуаций типа уравнения Хопфа (п. 8.3)
щ + и ■ их = 0, (7.20)
допускающего в качестве бегущей волны только
константу ', до экзотических солитонных решений.
Знаменитое уравнение Кортвега—де Фриза (КдФ-уравнение)
(7.21)
щ + аиих + р иххх = 0
для бегущих импульсов /(ж - с1) переходит в
Рис. 7.2
-с/'+ <*/•/'+/?/"
0.
Уравнение синус-Гордона
«И _ ихх + 5Ш М = 0
(7.22)
для и(х, I) = <р(х - с1) переходит в уравнение
(С - \)<р" + 5111 (р — 0,
описывающее колебание нелинейного маятника (рис. 7.2).
7.6. Солитоны и КдФ-уравнение
Коэффициенты а, (3 в (7.21) заменой переменных можно сделать
II)
любыми . Один из стандартных вариантов уравнения Кортвега—
(7.23)
де Фриза :
щ + 6м • их + иххх = 0,
что в случае и(х, I) = /(ж — с1) переходит в
-с/' + 6/-/' + /" = 0.
Интегрирование (7.24) приводит к уравнению второго порядка
(7.24)
' Подстановка /(х - с1) в (7.20) приводит к (/ - с)/' = 0 => / = сопя.
Включая изменение знаков.
1 Наряду с (7.23) встречается И; - (т ■ ит + иххх = 0.

7.6. Солитоны и КдФ-уравнение
141
умножение которого на 2/' и повторное интегрирование дает
(/')2--2/Чс/2+С,/^С:,
что после очередного интегрирования описывает семейство решений /, среди
которых находятся и солитоны,
'Я.
и(х, I) = - • сп
(ж - с1)
(7.25)
каковыми называют импульсы, или волны, устойчивые к возмущениям и
движущиеся без изменения формы . Решения (7.25) получаются в результате обнуления
констант интегрирования, необходимость чего вытекает из естественных
предположений /, /', /" -* О на бесконечности, и выбора подходящего начала отсчета.
Заметим, когда эпопея интегрирования дифура типа (7.24)
завершается без констант, — создается впечатление о магической
изобретательности математики. Однако находчивое
манипулирование краевыми условиями, поведением на бесконечности и прочими
«хитростями» — никакого отношения к математике не имеет. Это
физика, выделяющая осмысленные ограничения. Формально же общее
решение (7.24) с балластом всех положенных констант удовлетворяет
исходному уравнению.
Решения (7.25) были получены Кортвегом
и де Фризом еще в 1895 году несложным
интегрированием дифура (7.24), что схематично
воспроизведено выше. В этой части — никаких
сложностей. Да и результат поначалу не производит
впечатления. Бегут какие-то шапочки (7.25) —
рис. 7.3, ну и что? Под крышей
Рис. 7.3
Щ{
с иТ
что попало — бегущая волна. Тут, правда, эксклюзивные решения.
Но есть ли основания бить в колокола?
Как ни странно — есть. И дело не в особой форме или
зависимости скорости от амплитуды1 ', а в устойчивости и «не-
Отсев происходит по той причине, что «бежать» могут не только импульсы
ограниченной амплитуды и мошности, но и разные фантастические образования, не имеющие
физического смысла. Например, уравнение теплопроводности тоже обладает бегущей волной
в виде бесконечно большой экспоненты (5.38), (8.4).
14)
Скорость с движения солитона (7.25) пропорциональна амплитуде с/2.

142
Глава 7. Волновые процессы
уничтожимости». Возмущения (7.25) не затухают и не разбегаются
подобно обычным волнам, сохраняя размеры и форму как угодно
долго. Они подобны локализованным сгусткам энергии. Движутся,
но не рассеиваются. Проходят друг через друга и выходят из
области столкновения не изменившись. Встреча волны с «антиволной»
заканчивается аннигиляцией.
Вот первое документальное описание солитона, сделанное корабельным
инженером Расселом (1834): «Я следил за движением баржи, которую быстро
тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась;
но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась; вместо
этого она собралась около носа судна в состоянии безудержного движения, затем
неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая
форму возвышения, гладкого и четко выраженного водяного холма, который
продолжал свой путь вдоль канала, не меняя своей формы и не снижая скорости».
Конечно, солитоны превратились в открытие — относительно
недавно. Бум начался с работы Забуски и Крускала , описавших
численные эксперименты с многосолитонными решениями и
обнаруживших частицеподобное поведение. Выяснилось, что в природе
существуют немыслимые по старым понятиям феномены.
Линейному мировоззрению был нанесен серьезный удар.
В существование уединенной волны долгое время даже не
верили, почему, собственно, КдФ-уравнение и пребывало в
забвении. Сомнения опирались на «линейный опыт», в котором из-за
дисперсии возмущения затухают, распадаясь на гармоники. Для
нелинейных волн было естественно ожидать того же эффекта —
может быть, в другом оформлении. Однако выяснилось и
постепенно устоялось понимание того, что энергия может распространяться
устойчиво в локализованном виде без рассеяния. Нелинейный
импульс возмущения оказывается неустраним как узел на замкнутом
контуре. Солитоны начинают играть роль гармоник. Если один
солитон догоняет другой, то на какое-то время они складываются,
!5) 2аЬизку N. ^., Кгизка/ М. О. 1птегаспоп оГзоШопз ш а соШзюп1е55р1а5та апй |Не гесиггепсе
оПпШа1 з!а1ез// РНуз. Кеу ЬеИ. 1965. 15. Р 240-243.
Теоретические выводы часто сильнее фактов. «Пока астрономические наблюдения не
подтверждаются теорией, верить им нельзя» — Эддингтон.

7.7. Фазовая скорость и дисперсия
143
но «сумма» не удовлетворяет КдФ-уравнению и вынуждена
раздвоиться на те же слагаемые. В результате один солитон проходит
сквозь другой почти не меняя формы.
Устойчивость распространения сигналов в нелинейной среде
широко используется ныне для существенного повышения
эффективности передачи информации в оптических линиях связи
(скорость повышается в разы). Это рукотворное использование
механизма. Эксплуатация того же феномена при Сотворении дала
более грандиозные результаты.
В нелинейных волнах эмоциональная сторона — самая важная.
Для познающей аудитории. Ибо литература посолитонам обширна,
но изобилует подробностями, каковые не добавляют к
общеобразовательному ядру чего-то существенного.
7.7. Фазовая скорость и дисперсия
Бегущую волну и(х, I) = /(ж - с1) в случае гармонического сигнала
(когда бежит синусоида) принято записывать в форме
и(х,1) = $\п (ш1 - кх),
где ш = 2пи — круговая частота, V — обычная, к — волновой
вектор .При этом скорость
с = ъ (7-26)
называется фазовой '.
Понятие скорости волны весьма туманно из-за возможного
изменения формы сигнала с течением времени, рис. 7.4, — в
результате чего не ясно, за движением какой точки надо следить.
За передним фронтом, положением максимума импульса или
В пространстве кх заменяется скалярным произведением (к, х).
Фаза <р — ш1 - кх = соп$1 для наблюдателя, движущегося со скоростью (7.26) влоль
оси х.
Скорость движения максимума называют групповой. Тут часто вклинивается
упоминание максимума огибающей волнового пакета — и понятие групповой скорости несколько
расползается.

144
Глава 7. Волновые процессы
Рис. 7.4
«центром тяжести». Однако при распространении
электромагнитных волн в плотной среде каждая гармоника распространяется
со своей постоянной фазовой скоростью, и в случае их различия
говорят о дисперсии. Если ощутимая дисперсия отсутствует, то сигнал
(световой в вакууме, звуковой в чистом поле) доходит до адресата
в неискаженном виде — модель
ии = с2ихх, с = соп51, (7.27)
оказывается вполне точна. В других ситуациях дисперсия играет
весомую роль, белый свет разлагается в красивый спектр, и (7.27)
требует корректировки.

Глава 8
Диффузия
Симпатичная ложь превыше заумной правды.
Вопрос в том, что изучать. Диффузию как физический процесс '' или как решение
уравнения- теплопроводности? Возня с щ = «„ напоминает судебную власть,
находящуюся в зависимости от юридических норм и вынужденную игнорировать
понятия внеправовых ценностей. Сосредоточение на и, = и1Х тоже уводит от
реальности. И дело не в малых погрешностях, а в идеологическом несоответствии.
8.1. Парадокс бесконечной скорости
Фундаментальное решение (6.29) уравнения теплопроводности
Е.1-а2АЕ. = д(х,Ь),
как реакция системы на импульсное воздействие д(х)д(1), имеет
внешне безобидный вид
Е(х,1) = =— ехр < --—.г- >. (8.1)
Но обнаруживается странная вешь. Мгновенная тепловая вспышка
(либо впрыск диффундирующего вещества) приводит фактически
сразу ' к повышению температуры (концентрации)
Цх,1) >0
в любой точке пространства х, сколь бы далеко она (точка) ни была
3)
от местоположения первичного воздействия .
' Не говоря о миграции населения либо о распространении слухов.
1 При любом I > 0.
Обратим внимание, что фундаментальные решения (6.31)—(6.33) волнового
уравнения — такой нелепости не допускают. Возмущение распространяется строго со скоростью с.

146
Глава 8. Диффузия
Выходит, тепло (математическое) распространяется с
бесконечной скоростью, что физически, конечно, чушь. Разумеется, (8.1)
служит хорошим приближением реального процесса, но это спасает
положение только в прагматическом отношении. Остается
болезненный вопрос идеологического толка. Как «вывод» уравнения мог
породить противоречие с устройством поднебесной? И как при
таких катастрофических оплошностях можно доверять инструментам?
Скажем, если и(х, I) — плотность диффундирующего вещества,
то физически ясен закон сохранения массы
VI: I и{х,1)(1х = М, (8.2)
а также момента 1 -го порядка
VI: I х-и{х,1)<1х = М\. (8.3)
Но теперь непонятно, можно ли надеяться на точное соблюдение
(8.2)—(8.3), если иметь в виду не реальный процесс, а
математическую модель щ = Хихх. Хорошо, что формальное доказательство
занимает одну строчку:
а Г , Г ди Г ди
- и{хЛ)йх= -йх = \ иххйх = \-
= 0,
в естественном предположении о затухании производной ди/дх
на бесконечности .
Аналогично устанавливается (8.3):
а
|00 /. а. п га. п оо
/ хи(х, I) их = I х— их = А / хихх Лх = А / х йих —
Г диГ Г ди 1 Г ди I00
Что касается «доверия к инструментам», то вывод уравнения
диффузии (п. 2.2) был по сути чисто квазистатическим и не
опирался ни на какие представления о динамике процесса. Действительно,
Без предположений все-таки не обходится, потому что щ = иХТ вмешает много всякой
«ерунды» типа многочленов теплопроводности: х, х +21, х + 6x1, ...

8.2. Нелинейная теплопроводность
147
,5)
были использованы только балансовые закономерности', а это и
есть квазистатика. Поэтому надеяться на адекватные оценки
скорости было бы опрометчиво.
Возвращаясь к «парадоксу», интересно обратить внимание на
решения и(х,1) типа бегущей волны (п. 7.5). Подстановка и(х,1) =
/(ж - с1) в уравнение щ = Хихх быстро приводит к решениям
Н(1-Ч
и{х,1) = ехр<--{х-с1)У (8.4)
Экспоненты (8.4) бегут вправо, каждая со скоростью с — с
любой наперед заданной. Это лишний раз напоминает, что модель
щ = Хихх не улавливает реального поведения системы на
микроуровне, выдавая любые скорости, получаемые в результате подгонки
решений под балансовые соотношения.
8.2. Нелинейная теплопроводность
Определим реакцию одной из нелинейных моделей теплопровод-
6)
ности на импульсное воздействие ':
щ = (и-их)х, и(х,0) = 6(х). (8.5)
Задачу Коши (8.5) проще всего решать на основе групповых
соображений (глава 5). Из переменных {и,х,1} можно образовать
только две независимых безразмерных комбинации ' (см. п. 5.1):
3/7 X
и</1 и -г—.
Поэтому и\Д = $(х/\Д), где функция / пока неизвестна.
Подставляя
' Сколько втекло — настолько нагрелось, поток тепла пропорционален градиенту
температуры.
Поток тепла в (8.5) тем больше, чем выше температура.
Заметим, размерность дельта-функции, а значит и функции и в силу и(х,0) — д(х).
обратно пропорциональна размерности х.

148
Глава 8. Диффузия
в уравнение щ = (и • их)х, получаем обыкновенный дифур
О (8.6)
(/'/')'+ 5
з./' + /
X
для нахождения /. Решая (8.6) в предположении /,/'-> 0 на
бесконечности, получаем в итоге
и(ж,г) = Г1/30(С-ж2Г2/3), (8.7)
где константа С определяется нормировкой.
Процесс (8.7) принципиально отличается от (8.1), поскольку в
данном случае к моменту I > 0 тепло распространяется
исключительно в пределах области
|ж| < у/С11/\
не достигая точек за ее пределами. Количество тепла (масса
частиц), как и в линейной модели щ = Хихх, здесь сохраняется.
Обратим внимание еще раз, что манипулирование краевыми
условиями, поведением на бесконечности, нормированием и прочими
«хитростями» — проистекает из представлений о физической природе
изучаемых процессов. Формально же общее решение (8.6) с
комплектом всех положенных констант удовлетворяет исходному уравнению.
8.3. Уравнения Хопфа и Бюргерса
Явления диффузии и колебаний, хотя и разнесены в разные
категории, имеют между собой кое-что общее, и переходят друг в друга
иногда при изменении параметров, а иногда и — точки зрения.
В том и другом случае речь идет о распространении возмущений
в среде. В случае диффузии — о проникновении одного
ингредиента в другой, а в случае волнового процесса — о движении
возбуждения, оставляющем частицы колебаться возле положения
равновесия. Но это достаточно условно, ибо что осуществляет
теплопередача? Дрейфуют не молекулы, а средняя скорость, — однако
процесс диффузионный. Не говоря об ударных волнах при
движении жидкости. Так что присутствие некоторых уравнений уместно
в разных областях.

8.3. Уравнения Хопфа и Бюргерса
149
Рис. 8.1
Рис. 8.2
Ситуация в связи с уравнением Хопфа (7.20),
щ + и-их = 0, (8.8)
малоинтересна (п. 7.5) с точки зрения существования бегущей
волны в ее обычном понимании, но здесь имеется волна, бегущая
с переменной скоростью :
и(х,1) = хр{х-и1). (8.9)
Изюминка (8.9) заключена в том, что скорость частиц
пропорциональна высоте и(х,1) их положения на профиле волны.
На гребне скорость максимальна. Поэтому процесс развивается
примерно как на рис. 8.1, 8.2. Гребень движется быстрее основания,
и в какой-то момент «голова обгоняет туловище» и происходит
опрокидывание волны. Момент опрокидывания связан с появлением
разрывного решения ', называемого ударной волной.
Об ударной волне говорят, когда в довольно узкой зоне происходит смена
характеристик потока, теплопередачи, диффузии, горения, — что принято
интерпретировать как «разрыв» параметров среды.
См. (4.10) с комментариями. Уравнение Хопфа — один из нелинейных вариантов
щ + с(и) • ит = 0. в которых скорость с зависит от амплитуды и. К таким волнам относятся
возмущения в потоке невзаимодействующих частии, движущихся вдоль оси х. Под и(х, I)
можно подразумевать отклонения от инерциальных траекторий либо плотность частии
в точке (х,1).
Функция и(х, I) = ф(х - и1) становится неоднозначной

150
Глава 8. Диффузия
Учет вязкости ' с коэффициентом /х превращает (8.8) в
уравнение Бюргерса
щ + и-их = цихх, (8.10)
уже имеющее решение в виде бегущей волны. В данном случае —
в виде бегущей ступеньки
-1
(8.П)
которая при \1 —> 0 переходит в решение с вертикальным фронтом
, но опрокидывания волны не происходит.
•^ Решение (8.11) получается для «краевых условий»
и -> 1 при х -> -ос, и -> 0 при х -> +ос (8.12)
и иг -+ 0 при х -> ±ос.
Начинается все с подстановки м(х, I) = /(х - с<) в (8.10), приводящей
к дифференциальному уравнению
^/"-/•/' + с/'=0,
интегрирование которого с учетом поведения / на бесконечности приводит
к (8.11), давая по ходу дела значение скорости с = 1/2. ►
Если пределы в (8.12) вместо «один, ноль», соответственно,
и" > и+, — скорость получается с = (и~ +и+)/2. Зависимость
(8.11) меняет асимптоты, но качественно остается прежней.
Процесс может служить моделью течения жидкости по трубопроводу
после резкого увеличения давления, а также свободного течения
воды при образовании большого перепада высот.
Коул и Хопф обнаружили, что (8.10) заменой
2ц
и = У)х
ю
сводится к уравнению теплопроводности и^ = цюхх.
Обусловленной жидким трением друг о друга слоев жидкости.
и(х, Ь) =
1 +ехр
(х- 1/2-П
I 2^ /
ги

8.3. Уравнения Хопфа и Бюргерса
151
Это примечательный факт сводимости нелинейного уравнения к
линейному. Причина нелинейности ведь может заключаться в каверзном
преобразовании переменных. И тогда обнаружение «линейного ядра»
становится предметом открытия.
Идея заманчива, но толку от нее бывает мало. Решение
и = а(Ь)и + Ь(1)у,
V = с(1)и - а(1)у
при условии у(1) Ф О — дает решение х(1) = и(1)/у{1) нелинейного
уравнения Риккати
х - 2а{1)х - Ь{1) + с{1)х2 = О,
но оба «не решаются» [3, т. 2].

Глава 9
Эллиптические задачи
Всякое понимание — суть иллюзия,
вырастающая из осознанных частностей и не подозревающая
о пропастях между опорными точками.
Об эллиптических задачах целесообразно думать как о задачах статики, в которых
исчезает роль времени и возникают стационарные режимы. При этом объект
может «не стоять на месте». Среда колеблется, но распределение амплитуды
стоячих волн «неподвижно». Вода течет, но потенциал скорости «парализован».
Тепло приходит и уходит, а температура постоянна. Все это обычно укладывается
в рамки эллиптических уравнений, как правило, Лапласа, Пуассона, Гельмгольца,
о фундаментальном характере которых свидетельствует хотя бы охват ими законов
гравитационного притяжения, не говоря о массе малозначительных задач, где
в фокус внимания настойчиво проникает одна и та же «эллиптическая идея».
9.1. Эллиптические операторы
Напомним (п. 3.4), дифференциальный ЧП-оператор
Ь=^Аа{х)Оа, (9.1)
а — мультииндекс, считается эллиптическим, если форма к-й степени
\а\=к
положительно (либо отрицательно) определена, т.е. не обращается
в нуль при $ ф 0. В случае к = 2 поверхности уровня ($(х, $) —
эллипсоиды, что объясняет происхождение термина. Определенность
формы (?(х, $) приводит к отсутствию характеристических
поверхностей у эллиптических уравнений, и это делает осмысленными
практически любые краевые задачи эллиптического типа (см. п. 3.5).

9.2. Принцип максимума
153
Формально сопряженным оператором к (9.1) является
который эллиптичен как и (9.1), причем Ь** — Ь, если тому не
препятствует недостаточная гладкость коэффициентов.
Здесь мы рассматриваем эллиптические операторы второго
порядка1',
^-^ д2и у-^ ди
что специфику только усиливает, и не выходит, если разобраться,
за рамки свойств оператора Лапласа. Более того, принято считать,
что всякое свойство уравнения Лапласа или Пуассона справедливо
(в пределах здравого смысла) и для общего эллиптического
уравнения. Поэтому без особых потерь далее можно считать Ь = -Д.
Замечание. При изучении некоторых вопросов можно пользоваться
определением, с точки зрения которого, «если Ь эллиптичен, то и минус Ь —
того же сорта». Но иногда, например при рассмотрении спектральных
свойств, удобна большая конкретность. И тогда в (9.2) обязательно
фигурирует минус, а матрица \а^\ предполагается положительно определенной.
9.2. Принцип максимума
Эллиптические операторы обладают выдающимися свойствами ',
среди которых видное место занимает принцип максимума,
формулируемый обычно для гармонических функции, удовлетворяющих
по определению уравнению Лапласа Дм = 0. Вот пока слабая
формулировка принципа, вскрывающая причины.
9.2.1. Гармоническая функция не может иметь строгий локальный
максимум внутри области своего определения.
Характеризуемые положительной определенностью матрицы \а,}) и действующие на
некоторой области Г! с достаточно гладкой границей Г (поверхность Г, как правило,
считается ляпуновскои) Коэффициенты в (9.2) также предполагаются достаточно гладкими.
' См. п. 3.4.1 и далее.

154
Глава 9. Эллиптические задачи
■* Допустим противное. Пусть и(х) имеет строгий локальный максимум в
нуле . Тогда при достаточно малом е > 0 функция
V = и + е(х] + ... + х2„), (9.3)
с одной стороны, тоже имеет локальный максимум в нуле, и потому матрица
34 1
отрицательно определена, что влечет за собой
дХ{дХ)
дЧ дЧ
с другой стороны, дифференцируя (9.3), имеем
Д« = Ди + 1пг > 0. ►
Строгий локальный минимум внутри области определения тоже
не достигается, ибо функция «минус и» равным образом
гармоническая. Вокруг формулировки 9.2.1 легко накручиваются различные
вариации, касающиеся в основном снятия предположения о
строгости максимума.
9.2.2. Принцип максимума. Пусть функция и(х) гармонична в
области П. Тогда:
1. Если Г2 ограничена, максимум и минимум и(х) на замыкании П
достигаются на границе Г.
2. Если максимум и минимум на Г совпадают, то и(х) константа;
в частности, и|г = 0 => и = 0 на П.
3. Если и{х) достигает максимума или минимума внутри области,
то и(х) постоянна на П.
4. Пусть и(х) достигает положительного максимума в точке Ха € Г,
тогда либо и(х) постоянна в П, либо производная по внешней
дЩщ)
нормали — > 0.
оп
5. В случае Г2=ЖП область значений и(х) совпадает с К=(—оо,оо).
Факт 9.2.2 с виду на микрон выше 9.2.1, но этого микрона
часто как раз не хватает. Однако инструмент обоснования 9.2.1
в ситуации 9.2.2 напрямик не работает — замена есть в п. 9.3.
Если в другой точке, то ее можно переместить в нуль сдвигом координат.

9.2. Принцип максимума
155
Принцип максимума интересен главным образом с точки
зрения теорем единственности, каковые возникают по следующей
схеме. Краевая задача Дирихле Ди = /(ж), и\ = ио(х) не может
иметь двух решений и\ и и2, потому что разность и\ — и-, является
решением краевой задачи с нулевым граничным условием,
Д(«,-и2) = 0, (и,-и2)|г = 0,
которая в силу 9.2.2 имеет только нулевое решение.
Более того, такая схема с естественными оговорками работает
при рассмотрении параболических уравнений
ди
-— + /,« = О, (9.4)
где эллиптический оператор Ь не содержит производных по
времени, причем а — О в записи (9.2). С некоторой натяжкой (9.4)
попадает в разряд «эллиптических уравнений». Натяжка
заключается в том, что матрица \о.ц\ положительно определена нестрого —
одна строка у нее (у матрицы) целиком нулевая . Тем не менее,
с подобающими реверансами и в различных вариациях, — можно
гарантировать единственность решения уравнения
теплопроводности. Разнообразие предположений и выводов здесь несколько шире,
чем у стерильно эллиптических задач.
Схема работает и в задаче Неймана
= и]{х).
ди
Идея состоит в следующем. В предположении существования двух
решений «1 и «2, разность и = и\ - «2 является решением
однородной задачи Неймана
„ ~ ди
А« = 0, —
дп
= 0,
г
Из-за этой специфики о принципе максимума для параболических уравнений обычно
говорят отдельно.

156 Глава 9. Эллиптические задачи
которой удовлетворяет только и = сопзг. Действительно,
гармоническая функция и вынуждена принимать максимальное значение
на границе Г в некоторой точке Жо € Г, причем максимум
можно считать положительным, иначе полагаем и = «2 - М|. Условие
ди
дп
ди(хо)
= 0 исключает возможность — > 0. Но тогда 4-й пункт
г дп
принципа максимума гарантирует и = соп$1.
9.3. Гармонические функции
Решениям уравнения Лапласа присуще многое, что характерно для аналитических
функций / = и + IV в ТФКП и гармонических функций и и я на плоскости.
В размерности п > 2 удобно опираться на формулы Грина (1.13), (1.14). Перепишем
их с более привычными здесь обозначениями:
(ьАи + У«- VI;) йя = Ф V— й<т, (9.5)
а г
Г Г ( дь ЗиЛ
/ (иД« - уАи) д,х = Ф < и- V— > йа, (9.6)
п г
где Ах — дифференциал объема, йа — плошади на 5.
Обоснование (9.5), (9.6) в п. 1.2 подразумевало п = 3, но в обшем случае
ничего не меняется. Тем не менее далее будем считать п = 3, поскольку именно
шаг из Ж2 в Ж показывает, что специфика ТФКП для гармоничности не играет
принципиальной роли.
Формулы Грина содержат в замаскированной форме различные
свойства гармонических функций. Вот один из принципиальных
фактов.
9.3.1. Гармоническая функция и(х) на ограниченной области ОСЕ
с кусочно-гладкой границей Г имеет представление
■' Интегрирование происходит в пространстве переменных ^, переменная х под
интегралом играет роль параметра. Формула для К" получается заменой в (9.7) фундаментального
решения Ет, на Еп.

9.3. Гармонические функции
157
т. е. значения и(х) внутри П выражаются через ее значения на границе
сти '.
■< Подстановка V — \/\\х - ^|| в (9.6) приводит к равенству
области '
\ Г/ \ ди д 1 \ \ Г Д«(0 ,
(9.8)
7)
справедливому для любой достаточно гладкой функции и(х). Конечно, легко
сказка сказывается. Равенство (9.8) возникает в результате преодоления некоторых
технических осложнений, связанных с обращением знаменателем в ноль. Поэтому
точка $ — х окружается малым шаром В,, формула (9.6) переписывается для
области П\1}г, после чего (9.8) получается устремлением к нулю радиуса шара
ВТ. Соотношение (9.7) вытекает из (9.8), поскольку функция и(х) гармоническая,
а значит Ди = 0. ►
9.3.2. Теорема о среднем. Среднее значение гармонической функции
и(х) на границе Зг шара Вг равно значению функции в центре шара ,
5,
■4 Полагая V — 1 в (9.5), имеем"
Г ди
йо- =т- 0. (9.10)
г
Применяя (9.7) к 5Г и полагая х — 0, с учетом (9.9) получаем (9.10). ►
Теорема 9.3.2 обобщает хорошо известный в ТФКП результат.
Последствия аналогичные. Легко получается, например,
полноценное обоснование принципа максимума 9.2.2.
' Что является аналогом интегральной формулы Коиш.
Не обязательно гармонической.
Формула (9.9) записана для п = 3. В случае п > 3 знаменатель 4лт надо заменить
площадью сферы в 8" .
Строго говоря, поя интегралом в (9.10) стоит, в обшем-го, скалярное произведение
и($) ■ й<т, но оба векторных сомножителя одинаково направлены... Факт (9.10) полезен сам
ди |
по себе. Из него следует, например, неразрешимость задачи Неймана Ди = 0, —- = 1.
оп |г
Подразумевается, конечно. Ди = 0 в любой точке П.
' Мы допускаем некоторую вольность. Функция и(х) должна быть гармонична в Вг =
{х : ||х|| < г} и непрерывна на ВГ. Тогда при обосновании надо взять г < г. а потом
перейти к пределу г —» г.

158
Глава 9. Эллиптические задачи
•4 Допустим, и(х) принимает максимальное значение М на П во внутренней
точке Ео € П. Из теоремы 9.3.2 легко следует и(х) = М на любом шареП)
Вг(х0) С П с центром в х0.
Далее выбираем максимальное г при условии Вг(х0)С$1, и точку Х\ &дВт(х0),
лежащую в П. Получаем и(а;) = М на любом шаре Вг(х^) с П и т. п. Продолжая
в том же духе, исчерпываем всю область 12. ►
9.4. Ньютоновы потенциалы
Проникновение в суть вещей нуждается в осознании взаимосвязей.
Пока всемирное тяготение с уравнением Лапласа лежат на разных
полках — консолидации нет. Тогда как силы, обратно
пропорциональные квадрату расстояния, Р ~ 1/г , и направленные «по
линии соединяющей», можно вычислять как антиградиент потенциала
■ф(г) ~ 1/г, хотя и мифического, но продуктивного идеологически.
Физики мистифицируют друг друга, делая вид будто
потенциалы не математический фокус, а материалистическая реальность.
Возможно, они правы, но если электрон создает потенциал 1р(г),
неважно электрический или гравитационный, то это он сам? —
лично присутствующий Везде, или напряжение в среде — тогда какой?
Как бы там ни было, подобные вопросы неудобны и безответны.
Конечно, легко сказать, что электрон занимает всю Вселенную,
но мы еще не дотягиваем до такой истины.
Однако независимо от первичности сил
или потенциалов — инструмент получается
удобный. К материальным точкам
подсоединяются потенциалы, заполняющие все
пространство, которые рождают поля сил
и тривиально складываются. Ощущение надуманности быстро
проходит при первых же попытках решения элементарных задач. С
какой силой действует на материальную точку М массивный шар В?
Или шаровое кольцо? Разумеется, принципиально все ясно.
Гравитационную массу надо разбить на мелкие ячейки, и считая те
приближенно материальными точками, найти результирующую их
Непосредственно из 9.3.2 следует и(х) = М на любой сфере 8г(ха) С П, а значит и
на шаре.

9.4. Ньютоновы потенциалы
159
воздействия. Окончательный результат достигается предельным
измельчением разбиения. Рецепт уже выглядит громоздко, а если чего
доброго М и В движутся относительно друг друга — без конца
пересчитывать? Тут умение вычислять потенциал, создаваемый
шаровым слоем, сильно бы помогло.
Удобный подход к задаче дает уравнение Пуассона ' '
Д^ = -47Г/1(г). (9.11)
Путь к (9.11) довольно прост. Исходный потенциал гр(г) = 1/г, как
легко проверить, например с помощью (11.1), — вне особой точки
удовлетворяет уравнению Лапласа '' Агр = 0, а потенциал &
точечного гравитационного источника в положении ^ — уравнению
Дё = д(г-{),см. п.6.6.
Пусть теперь гравитационные заряды распределены с
плотностью р{г). Далее остается воспользоваться принципом
суперпозиции. Представляя р(г) в виде суммы
■/
№) = ] рИЩг-1)(Ц
точечных источников рЦ)д(г — {), порождающих реакции системы
Р(&)&(г~&)< с последующим представлением решения гр уравнения
(9.11) в виде суперпозиции этих реакций,
V = е * / = I Ращг - о ^.
Коэффициент 4л- общепринят. Равен плошали единичной сферы в К' . Упрошасг
вид решения, поскольку у потенциала (6.35) исчезает множитель 1/(4л-) (при п = 3),
и его не мало таскать за собой, производя выкладки. Знак минус в (9.11) гоже выдумка
условная — связана с желанием иметьрастуший или убываюший потенциал (отталкивающий
или притягиваюший).
Подыскать уравнение для тр(г) = 1/г легко и без «криволинейных премудростей».
Прямолинейное дифференцирование лае г
I Зя2 I Зг/2 1 Зг2
г- г- "■ г' г г- г-
что после сложения приводит к Д^ — 0.
Так называемое фундаментальное решение.

160
Глава 9. Эллиптические задачи
С учетом (6.35) для
^ получается универсальная формула1
гр
I
р{1)
сЦ,
(9.12)
решающая сразу как бы «все задачи» '. Несмотря на это, о
происхождении общей формулы из уравнения (9.11) не стоит забывать.
Если потенциалы — это механизм, порождающий силы, то уравнение
Пуассона — это механизм, порождающий потенциалы '. И о
свойствах решения иногда удобнее судить по свойствам уравнения.
В случае шарового кольца (рис. 9.1) из
соображений сферической симметрии уравнения
(9.11) ясно, что на внутренней сфере 5
потенциал гр постоянен. Но тогда из принципа
максимума 9.2.2 следует гр = соп$1 на внутренней
области П, что в свою очередь влечет за собой
§гас!^ = 0 в П. Таким образом, внутри
шарового слоя гравитационные силы не действуют.
Факт не такой уж очевидный, если
обосновывать его исходя из Р = 'утМ/г .
Рис. 9.1
В (9.12) подразумевается, вообще говоря, плотность р(г)
непрерывной, с компактным носителем М. В этом случае потенциал 1р
непрерывно дифференцируем в М, бесконечно дифференцируем
в Я \ М, и 1р —► 0 на бесконечности.
Допустимы также сингулярные плотности, характеризующие
распределение масс (электрических зарядов) на поверхностях Г.
Тут идея (9.12) остается внешне без изменения, но привлекается
функция дцг простого слоя, см. (6.10), что в итоге дает потенциал
простого слоя
1>
-I
йа,
(9.13)
Г'
' Аналогичная формула в плоскости, с учетом (6.34).
/»«)1п(1|г-Ш<14.
■!•
О сингулярном распределении источников поля см. далее.
Неплохо бы иметь механизм, порождающий уравнения.

9.5. Функция Грина
161
с заменой объемного интегрирования (9.12) поверхностным. При
этом /х(^) в (9.13) уже не объемная, а поверхностная плотность.
В электростатике, где существуют положительные и
отрицательные заряды, на поверхности Г могут быть сконцентрированы
диполи, и тогда в действие вступает идеология двойного слоя.
Комбинация схемы (9.12) с функционалом (6.11) дает потенциал двойного
слоя
^=/"(€)—^—Аг, (9-14)
I"
с аналогичным приведенному выше уточнением, г/(^) в (9.14) —
поверхностная плотность диполей.
Потенциалы (9.13), (9.14) удовлетворяют, соответственно,
уравнениям Пуассона:
д
Агр = -4ттд„г, А-ф = 4п—-(д^).
дп
9.5. Функция Грина
Обобщенные решения уравнения
Ьи = /(х) (9.15)
определены с точностью до решения соответствующего
однородного уравнения Ьи = 0. В п. 6.6 за основу брались фундаментальные
решения Е(ж), единственность которых, как решений уравнения
ЬЕ. = д(х), проистекала из предположения о существовании свертки
« = г * / = у/(€)г(в - о <*€,
каковое и обеспечивало единственность 2 в К".
При «заходе с другой стороны» можно было бы сказать по-
10 V
другому. Фундаментальные решения й(ж) единственны, если
Напомним, в 1лаве речь илет об эллиптических операторах.

162
Глава 9. Эллиптические задачи
из решений ЬЕ = 6(х) выделяются определенные в К" и
стремящиеся к нулю на бесконечности. Тогда, мол, и = Е*/ из Ьи = /(ж)
получается однозначным образом.
Если же, как это часто бывает, (9.15) фигурирует в паре с гра-
ничными условиями, например, речь идет о задаче Дирихле
Ьи = }(х), «|г = 0, (9.16)
то здесь самое время вспомнить о неиспользованной свободе при
определении Е. Всевозможные реакции системы Ьи = д(х - $)
на воздействие д(х - $) в точке | — есть не Е(х - $), а
С{х,1) = Цх-1)+11>{х,1), (9.17)
где гр — любое решение Ьгр = 0, и если выбором гр распорядиться
так, чтобы С(ж,|)|г = 0, — не заботясь о поведении С на
бесконечности, ибо игровое поле теперь О, — то С(х, $) будет реакцией
системы на импульсное воздействие 6(х - $),
ЬС(х,0 = 6(х-0, (9.18)
которая обнуляется на Г и именуется функцией Грина '.
Далее сценарий развивается подобно п. 6.6. Решение (9.16),
в предположении достаточной гладкости / и Г, получается типа
свертки:
(9.19)
< что удовлетворяет (9.16), ибо С\г = 0 => и|г = 0, поскольку суперпозиция
решений С(х, О, обнуляющихся на границе, дает такую же «сумму». Кроме того,
Ьи = 11С{х, 0/(0 ЛС = У б(* ~ 0/(0 « = /(*)• ►
я я
На компактной области П с границей Г. Обычно мы имеем в виду внутреннюю
задачу, предполагающую поиск функции в П, внутри Г. Внешняя задача предполагает поиск
функции вне П.
Добавка 1р(х) в (9.17) называется компенсирующей функцией. Она удовлетворяет
граничному условию 0(х, ()\г = ~^(х - {)|р-
1с(х,от)^,
п

9.5. Функция Грина
163
Таким образом, функция Грина — тоже «фундаментальное
решение», только не в К", а в области П.
Некоторая чехарда возникает иногда относительно определяющего уравнения
(9.18), которое временами записывают с минусом,
ЬС(х, С) = -Цх - С). (9.20)
что ведет к перестройке знаков в решениях и является вопросом удобства. В
гравитации принят знак +6, и тогда потенциал (6.35) отрицателен. В электростатике
заряды бывают разных знаков, и там удобнее «то так, то эдак».
Важную роль с точки зрения благоприятных последствий играет
знакоопределенность функции Грина.
9.5.1. В случае определения функции Грина для х,% 6 О, исходя
из (9.20), имеем С(х, $) > 0 на П \ 0.
■4 В случае (9.20) С{х,$) -> оо при х -> $. Поэтому,
если начало отсчета перенести в точку $, то на достаточно
малых сферах 5 с центром в нуле функция С будет строго
положительна, и будучи нулевой на Г, будет в силу принципа
максимума строго положительной на П \ 0. ►
Функция Грина С(х, |) вне диагонали (при х Ф |) непрерывна
по совокупности переменных. Имеют место оценки:
0<С(ж,$)<7о1|я-$1ПП42, п>2,
0<С(я,0<Со|1п||я-*|Ц. п = 2,
из которых, а также из теорем Соболева об операторах типа
потенциала следует, что интефальный оператор (9.19) действует из каждого
Ьр (р > га/2) в пространство непрерывных функций СнаОи
вполне непрерывен .
Все это играет существенную роль при изучении интегральных
уравнений Гаммерштеина,
= У С(я,0/(«. *)<**, (9.21
и
п
21)
А также вполне непрерывен, как оператор из С в С.
Задачи Дирихле (9.16).

164
Глава 9. Эллиптические задачи
которые служат обращением задач вида
Ьи = /(и, х), и|г — О,
где правая часть дифференциального уравнения нелинейным
образом зависит от искомой функции и(х) '. Знакоопределенность
функции Грина позволяет здесь использовать обширный арсенал
24)
теории нелинейных операторов в пространствах с конусом '.
В случае /(и, х) = Хи (9.21) становится линейным интегральным
уравнением
и = Х [ С{х,С)иёС (9.22)
Г!
обратным к задаче Ьи = Хи, и\г = 0.
Построение функции Грина — отдельная, часто далеко не
простая задача. Там, где интересующая область О является
пересечением шаров и полупространств, результата добиваются подходящим
размещением точечных зарядов (положительных и отрицательных),
если мыслить электростатическими категориями. Вот пример
построения С(х, |) для шара, О = Вг. Точке | ставится в соответствие
инверсно-сопряженная точка
€' = €
Г2
,КН2'
и функция Грина ищется в виде
1
С(х,С) =
\*-1\\ II*-П
т.е. для обеспечения условия
С(х,О\8т=0 (9.23)
при любом | Е Вт — используется всего один параметр, заряд
«минус д», расположенный в точке ' $*. Как ни странно, решение
Плотность от потенциала, внешнее воздействие от амплитуды и т. п.
' См. Опойцев В. И. Обобщение теории монотонных и вогнутых операторов // Тр. Моск.
матем. об-ва. 1978. 36. С. 237-273.
В предположении ^ ф 0, которое в итоге снимается.
' Другой (единичный) заряд располагается в точке {.

9.6. Ненулевые граничные условия
165
существует. Граничное условие (9.23) обеспечивается при д = г/||^||.
Пример сам по себе интересный, но это другая тематика,
геометрическая. Стандартный комплект иллюстраций имеется практически
в любом учебнике.
9.6. Ненулевые граничные условия
Задача Дирихле с ненулевыми граничными условиями,
Ди = -/(ж), и|г = и0(ж), (9.24)
автоматически решается с помощью функции Грина:
0(х, 0/(0 й1-$ -^М*) <Ь. (9.25)
п г
■4 Подстановка у — С(х,$) в (9.6), с учетом (9.24), приводит к равенству
С(х, 0/(0 <Ч + $ (С— - и—^ Лт.
п г
Технические манипуляции аналогичны выводу (9.8).
Далее остается учесть и = % и С = 0 на Г. ►
Теперь, располагая, например, функцией Грина для шара Вг,
с помощью (9.25) после несложных выкладок получаем формулу
Пуассона
1 Гг2-\\х\\2
и(х) = ф гттгИоЮ й<7,
^ ; 4тгг/ ||ж-^||3 у*'
которая решает задачу Дирихле для шара:
Ди = 0, и|с = «о(ж)-
Задачу Дирихле на плоскости (для единичного круга) решает интеграл
Пуассона [3, т. 9]:
и(г, <р) = — 11ю«)Р(г. 4 - V) <*«, -Р(г, в) = I + 2 53 г* а» *6>.

166
Глава 9. Эллиптические задачи
Что касается задачи Неймана в К ,
ди
Д и = 0,
трап
= и,{х), (9.26)
«г
то, в силу обобщенных условий Коши—Римана
ди ду
имеем
I
|<*0.
«и=-/«■(*><
Поэтому, если задача (9.26) решается, то она может быть решена в два этапа.
Сначала ищется гармоническая функция у, удовлетворяющая условию
-1 щ{в)
д.9
(т. е. решается задача Дирихле), после чего решение (9.26) определяется как
сопряженная функция
Зу ду
«= / 7— &х - "Г- Лу + С0П51.
Задача Неймана часто замалчивается, поскольку для
разрешимости (9.26) требуется, в силу (9.10),
ф и{(х) й<т = 0,
г
что является довольно жестким условием.
В случае неоднородной задачи
ди
д« = /(«), дп
= «,(«), (9.27)
5Г
условием разрешимости является не менее жесткое требование
/ /(ж) их + I иI (ж) й<т = 0, (9.28)
п г
вытекающее из формулы Грина (9.6) при V = 1 и учета (9.27).

9.7. Спектральные свойства
167
Приведенный выше трюк из ТФКП для решения задачи (9.26).
на плоскости обобщается на любые п ^ 3, но это не меняет
аномальной природы задачи Неймана. Малейшие возмущения
граничных условий могут нарушать баланс (9.28), трансформируя
разрешимые задачи в неразрешимые.
Замечание о корректности27'. Правая часть (9.25) представляет собой
непрерывный оператор, и потому задача Дирихле (9.24) корректно
поставлена. С задачей Неймана (9.26) так легко разделаться не удается,
поскольку решение определено с точностью до константы, и в таких
обстоятельствах разговор о корректности невозможен. Однако можно
договориться выбирать константу из условия
ид,а = О,
г
тогда решение будет единственным, и если допускать возмущения только
не нарушающие ограничения (9.28), задача становится корректной.
9.7. Спектральные свойства
Необходимость поиска собственных значений А и собственных
функций гр оператора Ь при определенных краевых условиях,
28)
например '
1ф = Хф, ф\Г = О, (9.29)
возникает в различных ситуациях. Во-первых, описание (9.29)
может иметь исходная содержательная задача. Скажем, диффузия при
поглощении частиц средой пропорционально их концентрации,
~ Хгр. Либо описание стационарных амплитуд колебаний, в
зависимости от частот, что в квантовой механике, кстати, равносильно
выяснению распределения энергетических состояний. Во-вторых,
но это даже более важно, решение (9.29) во всей полноте, т. е.
определение всех собственных значений и функций, позволяет изучать
Хотя мы более-менее избегаем уточнять, в каких пространствах действуют
рассматриваемые операторы, о корректности можно говорить, поскольку «диапазон» приблизительно
ясен.
Или с более обшим граничным условием а д'ф/дп + 0гр\г = 0.
/

168 Глава 9. Эллиптические задачи
оператор Ь (граничные условия подразумеваются) на основе его
спектральных свойств (п. 11.3).
В разделе 7.3 описан сценарий, в рамках которого возникает
необходимость спектрального разложения эллиптического оператора Ь
при анализе волнового уравнения иц = Ьи. То же самое происходит
в случае уравнения теплопроводности щ = Ьи. Подстановка
потенциального решения
ос
и{х,1) = ^2ск(1)-грк(х),
к
разложенного по некоторому базису {грк}, приводит к
ОС 00
^ск-г1>к = ^ск-Щк, (9.30)
к к
что в общем случае не сулит каких-либо выгод. Однако в случае,
когда грк — собственные функции оператора Ь,
Ьгрк = Хк-фк, (9.31)
ситуация меняется, (9.30) переходит в
к к
для справедливости чего достаточно
Ск = \Ск-
Вместо двух точек над ск теперь одна — вот и вся разница с иц —
Ьи. А в сердцевине в том и другом случае задача (9.31) о собственных
значениях и функциях эллиптического оператора Ь — в частности,
Ь = -А.
9.8. Комментарии
• Эллиптические операторы вида (9.2) часто записывают в самосопряженной форме:
Ьв = -Ей;(в«^)+в«-

9.8. Комментарии
169
Матрица [а,;(г)| положительно определена, причем ее собственные значения
ограничены снизу некоторым е > 0 равномерно на О.
Интегрирование по частям дает Ь-формулу Грина:
Г Г Г Г дь ди)
/ Ьчу их = I иЬу их + ф < и V-— > шт,
У У I I дт) дт))
п п г
д
где — — дифференцирование по конормали:
ОТ)
= ^а,]{х)Со,(Х],п) —
п внешняя нормаль к Г.
• Замена Д эллиптическим оператором (9.2) иногда не требует мер
безопасности, но в ряде случаев необходимы уточнения. Вот пример обобщения 9.2.1:
«Функция и(х), удовлетворяющая уравнению Ьи = 0 на области Л, при условии
а = 0 в (9.2), не может иметь строгий локальный максимум внутри Л». Здесь
потребовалась ликвидация в Ь свободного члена аи.
< Схема доказательства та же самая, что и в п. 9.2.1, с заменой Д => Ь.
Необходимо заметить также, что первые производные в максимуме равны нулю и сам
максимум без ограничения общности можно считать нулевым. Далее надо доба-
вить, что из отрицательной определенности
вытекает ' отрицательная
определенность матрицы
д2ь
а,
4 дх{дх]
дx^дx^
, при условии что [а,, | положительно оире
делена. Это влечет за собой10' Ьу < 0, что дает противоречие при сопоставлении
с Ьу = Ьи 4- 2пе > 0. ►
• Принцип максимума 9.2.2 при замене Д => Ь остается без изменений, если
а = 0 в (9.2). Если а ^ 0, Ьи 5= 0 и функция и(х) достигает своего максимума
во внутренней точке, причем «максимум» положителен, то и(х) постоянна.
• Если а ^ 0, то решение и(х) задачи Дирихле Ьи = /(ж), и\Г = щ(х)
удовлетворяет неравенству
||и|Ктах||ио||+7тах||/||, (9.32)
' По теореме Шура |3. т. 3, стр. 1011
' Потомучгоуотрииательноопреде
Достаточно в 2_] <Ч]хгх] < 0 положить все Хд-
' Потому ч го у отрицательно определен ной матрицы сумма всех элементов отрицательно.

170
Глава 9. Эллиптические задачи
где 7 зависит от диаметра области, размерности задачи и диапазона, в который
укладываются все ^^ и о,. Получается, оценка (9.32) не зависит ни от формы
области О, ни от величины а.
• При беглом изложении предмета не обходится без потерь, в том числе —
эмоциональных. Над задачей Дирихле Аи = /(я), и\г = щ(х) ломали голову
многие соискатели. Брешь пробил Пуассон, нашедший решение в случае сферы.
Общее решение для произвольной гладкой поверхности Г дал Фредгольм. Поэтому
легкость, с которой предмет излагается задним числом, обманчива.
• Задана Штурма—Лиувилля является одномерным примером краевой задачи
с эллиптическим оператором . Обыкновенное дифференциальное уравнение
-(аи)' + /3и = Ли, а(х),р(х) > 0,
рассматривается в комбинации с теми или иными граничными условиями на
отрезке (а, Ь\. Пример показателен, но он «везде есть». К тому же, если уж пытаться
извлекать пользу, то задачу важно не осмотреть, а повозиться самостоятельно.
• При изучении спектра эллиптического оператора фокус внимания
приходится на разные стороны задачи. Какие-то спектральные свойства гарантируют
полноту системы собственных функций, и там целесообразность усилий не
вызывает сомнений. Но какие-то характеристики спектра выглядят бесполезными.
Вот один из таких результатов, на самом деле весьма важный. Рассмотрим задачу
— Аи = Аи, «| = 0,
и пусть А(\) обозначает число собственных значений меньших Л. Лоренц (1908)
выдвинул предположение об асимптотическом поведении
Л(А)~^А2/3 при А->эс, (9.33)
обоснованное впоследствии Вейлем (1911). Факт (9.33) кажется бесплодным, но тут
надо вспомнить физику. Собственные значения в квантовых системах, да и в
классических, характеризуют энергетические уровни, распределение которых играет
ключевую роль при описании изучаемых объектов, — достаточно вспомнить
распределение Максвелла молекул по скоростям.
Хотя обычно эллиптический оператор предполагают (по некоторым причинам)
действующим в размерности п ^ 2.

Глава 10
Дифференциальные формы
Изучение К" в координатной нотации —
это рытье котлована зубочисткой.
Дифференциальные формы изначально возникли в рамках замыслов о
многомерных обобщениях дивергенции, ротора, теоремы Стокса, — а затем превратились
в инструмент гораздо более широкого назначения. Для чтения предыдущих глав
«инструмент» не требуется, но в рассматриваемой области иногда применяется.
Поэтому есть резон иметь общее представление, чтобы развеять ощущение
тарабарщины.
10.1. Внешние формы
Жирным шрифтом, как и прежде, обозначаются векторы из
некоторого евклидова конечномерного пространства.
10.1.1. Внешней формой степени к, или к-формой, называется
знакопеременная ' полилинейная ' функция ш(%\,... ,&)> принимающая
и
вещественные значения. Вместо ш иногда пишут ш .
• 1-формы — это линейные функционалы, т.е. скалярные
произведения Щ) — (а, %). Если в К" выбрана система координат
II,..., х„, то любая координата Х{(%) вектора | является 1-формой.
Более того, систему координат в Шп всегда можно выбрать так, что
данная 1 -форма ш ((,) будет, например, первой координатой .
Меняюшая знак при перестановке любых двух аргументов, что влечет за собой
перемену знака при любой нечетной перестановке аргументов, и нечувствительность к четным
перестановкам.
То есть линейная по каждой отдельной переменной.
Тривиальные формы и = 0 мы оставляем за бортом.

172 Глава 10. Дифференциальные формы
Примером Л-формы может служить определитель
Си ••• Ы
(10.1)
Ь\ ■■■ Ьк
где & = {&!,.■•,&*}• Если А : Кп -> Кп — невырожденная
матрица, то ф(т]\,..., щ) = ш(Ат]\,..., Ащ) — также &-форма.
Шаблон (10.1) является, вообще говоря, исчерпывающим,
поскольку выбором подходящей системы координат для данной к -формы всегда
можно добиться записи ш в виде (10.1) '.
• Формы одной степени можно обычным образом складывать
и умножать на число, — поэтому ш сами образуют линейное
пространство.
• Значение ш на линейно зависимых векторах $!,...,& равно
нулю. Вследствие этого ш =0вМп при условии к > п.
Если не считать некоторых неудобств в связи с оговорками
насчет линейных замен координат, — получается, что Л-формы
есть определители, и какая-то часть их теории — не что иное как
теория ориентированных объемов параллелепипедов. Поэтому многое,
что уже перемалывалось в линейной алгебре, здесь повторяется
на другом языке. Заметим также, что внешние формы, по существу,
являются дифференциальными формами. Разница лишь в том, что
последние определяются на касательных пространствах, каковые —
суть те же Кт.
10.2. Внешнее умножение
Операция внешнего умножения играет в дифференциальных
формах стержневую роль, но не очень хорошо укладывается в голове.
Поэтому некоторые усилия на обдумывание тут не помешают.
Полилинейность и знакопеременность детерминанта известна из курса линейной
алгебры [3, т. 3].
'Но часто приходится работать в заданной системе координат, и тогда каноническая
форма записи и другая — см. (10.4).

10.2. Внешнее умножение
173
10.2.1. Внешнее произведение Ш\ А ... Ашк 1-форм определяется как
(ш\ Л...Лшк)(&,•■-,&)
иЛЬк) ■■■ШкШ
(10.2)
,6)
и представляет собой к-форму , принимающую значение
ориентированного объема параллелепипеда, построенного на векторах Ш\,... , шк,
гдеШг = {ШгЦ\),...,ШгЦк)}.
• Если каждая 1-форма ш,((,) есть г-я координата ж,(^) вектора ^, то (10.2)
переходит в
Си ••• Си-
и''=И|Л...Лц.= : •■ : , (10.3)
С; = {&ь ■ ■ ■ > &*.•)■ Вариант (10.3) в некотором роде канонический, поскольку
«".«) = *. (О
можно обеспечить выбором подходящей системы координат.
• В системе координат жь...,ж„ произведение ж,, Л... Л I,, есть
ориентированный объем проекции параллелепипеда {^| ^„} на подпространство
ж> ж,,, параллельно остальным координатам.
• Внешние формы вида ж>, Л... Л ж,,., 1\ < ... < гк, линейно независимы
и образуют базис линейного пространства й-форм в К", при этом всякая й-форма
в К" представляется в виде
53 °'1 •••-■»
ж,. Л ... Л ж,
н--
(10.4)
||<. ..<Ц.
10.2.2. Внешним произведением ыЛш к-формы на I-форму в Шп
называется (к + I) -форма в Еп, значение которой равно
(""лш'М 6г+|) = X) ±"*(^ й»)"1!^, €>,). (Ю-5)
где знак плюс перед слагаемым выбирается, если перестановка г \,..., гк,
]\,. ■ ■ , ]1 из 1,... , к + I — четная, и знак минус, если — нечетная;
а суммирование в (10.5) происходит по всем возрастающим
нумерациям, гх < ... < гк, 3\ < ... < 3{.
Называемую также внешним одночленом.

174 Глава 10. Дифференциальные формы
Внешнее умножение:
• кососимметрично: ш /\ш -
• ассоциативно: (шкЛш')Лш"
{-\)к,ш' Ашк,
= шк Л(ш' Лшт), благодаря чему в произведениях
/ Л д Л ... Л Л можно не заботиться о расстановке скобок.
дистрибутивно: (Хш + цш ) Л ш"
\шк Л шт + цшк Л ш"
Перезапись (10.5) в варианте (10.1) превращает равенство (10.5)
в теорему Лапласа о разложении определителя (к + Я)-го порядка
в сумму произведений миноров к-го порядка по избранным
столбцам на их алгебраические дополнения '. Поэтому об определении
*хЕ*
внешнего произведения ш Аш можно сказать так: в К =^
к I к . I
существует система координат, в которой все ш , ш и ш Лш вы
ражаются определителями вида (10.1).
Для примера, пусть 1-форма ш'(^) дает первую координату аргумента $,
а 2-форма ш (ц, V) — равна с!е(
Тогда (10.5) есть
ц2 "г
и*з "з.1
И пусть
и'лш! =
ах
ЬТ
сх
0„
Ьу
Су
С:
= ах
Ьу
Су
ъ>
Сг
~ау
Ьх
Сг
Ьг
Сг
+ аг
Ьх Ьу
10.3. Дифференциальные формы
С точностью до обозначений 1-форма
ЦО = (а, О = «1^ + • • • + ап{п
и дифференциал
й/ = —- ЙЖ] + ... + ^— (1хп,
ОХ] ОХп
(10.6)
(10.7)
Ббльшая общность (10.5) яаляется результатом допуска к рассмотрению теоремы
Лапласа в комбинации с преобразованием переменных.

10.3. Дифференциальные формы \7[>
при условии щ = д//дхг, — одно и то же, ибо д,Х{ в (Ю.7)
любые числа, а не «малые приращения», см. комментарии в (3. т. 11.
Поэтому дифференциал в точке естественно воспринимать как
внешнюю 1-форму. Если же (10.7) рассматривать как функцию
точки ж € К", то это уже называют дифференциальной {-формой.
При этом возникает потребность говорить о двух пространствах
К" — одно для векторов ж, другое — для дифференциалов
их = {йх\,... ,Ахп). (10.8)
А поскольку функции /(ж) и другие конструкции часто
рассматривают на гладких многообразиях М С 1", - удобнее более общая
точка зрения. Каждой точке ж € М сопоставлено касательное
пространство МТХ векторов (10.8).
10.3.1. Дифференциальной формой (ДФ) степени к в точке ж Е М.
называется внешняя к-форма и)(%],... , ^) на касательном
пространстве МТХ.
Логичнее обозначение ш(х, ^,,..., &.). Кроме того, векторы ^ € МТХ
в п. 10.3.1 нередко обозначают как их € МТХ. Особой разницы нет, поскольку
буква Л в записи дифференциала ничего не значит, кроме напоминания, что
в подоплеке речь идет о линейных прирашеннях. Поэтому дифференциальную
форму ш(х,^,..., &.) записывают также в виде ш(х. йх\ Лхк), а чаше всего
и просто как ш.
10.3.2. Если ш в п. Ю.З. I определена в каждой точке ж € М и
дифференцируема по ж, то об ш говорят как о дифференциальной к -форме
на многообразии М.
Универсальное представление (Ю.4) к -формы в заданной
системе координат работает и в данном случае. Теперь только
коэффициенты в (Ю.4) будут зависеть от ж. Таким образом,
дифференциальная к-форма на многообразии М при заданной системе координат
записывается в каноническом виде
шк = ^ а*. • • ••* (ж) Лхг\ л • • • л йжи. (10-9)
>1 <...<«'*
0-формой называют просто функцию /(я).
И даже просто как о А:-форме, опираясь на конгекст.

176 Глава 10. Дифференциальные формы
где х 6 М, д,х 6 МТХ.
Стало быть, задание ш равносильно заданию набора
коэффициентов {аг|...гк(ж)}. В случае и> каноническое описание (10.9)
имеет вид (10.6) с точностью до ^ о ёх, и на специальном
подклассе 1-форм (см. далее) а(х) совпадает с градиентом У/(ж)
некоторой функции /. А в случае шп сумма (10.9) содержит всего
одно слагаемое, коэффициент а(х) — тоже всего один, и
опять-таки на специальном подклассе п-форм он совпадает с дивергенцией
некоторого поля (п. 10.4).
Что касается внешних произведений йж,, Л ... Л д,Х{к в (10.9),
то при ортогональной системе координат в МТХ они отличаются
от обычных произведений (1х^] ... йж^ только знаком ' \
10.4. Внешние производные
10.4.1. Внешняя производная (1ш дифференциальной формы (10.9)
определяется как (к + 1) -форма
Лик = ^2 |йа,-,...,-Ла!)]лйх{1Л...Лйх^, (10.10)
!|<...<Ц
где дифференциал йа вычисляется по формуле (10.7).
Правило дифференцирования (10.10) в употреблении совсем просто.
Раскрытие дифференциала йа в квадратной скобке даст выражение
I- X—^ X—* ООц. 1Ь
бы = 2_^ 2.^1 я АХ) 1\<1х{1 Л ... Л йх^,
ОХ у
1=\ |,<...<ц '
после чего остается учесть, что все произведения йх^ Л йх^ Л ... Л Лхн, в которых
встречаются одинаковые сомножители, обращаются в нуль.
10.4.2. Повторное внешнее дифференцирование всегда дает пулевой
результат,
<12ш = й(йы) = 0. (10.11)
При условии, что объемы параллелепипедов единообразно нормированы.

10.4. Внешние производные
177
•< Действительно,
поскольку Ах) Л Ах, = 0 и Ах, Л Ах) = -Ах) Л их,, а перекрестные производные
равны "'. ►
Важную роль играют следующие два понятия.
10.4.3. Форма ш с нулевой производной, (1ш=0, называется замкнутой.
10.4.4. Форма ш, возникшая в результате внешнего
дифференцирования другой формы, ш = йф, называется точной.
В силу (10.11) точная форма всегда замкнута, но не наоборот.
Однако, если форма точна на односвязной области, то она замкнута
(лемма Пуанкаре).
• Форму
ш = (а, их) = ах 6.x + ау йу + аг д,г
можно рассматривать как работу силового поля а = {ах,ау,а:}
на перемещении их = {йхх, йху, д,хг}. Внешний дифференциал
равен '
,, /5а; даи\ / даТ да. \ , , /да„ дат\ ,
Аш] = —^ - —^ )Ау Л Аг ± [-^- - —- )Аг Л Ах + —^ - —- \ их Л Ау.
V ду дг ) \ дг дх ) \ дх ду ) *
т.е.
(1ш = гогг а • д,у Л д,г + го^ а ■ д,г Л их + гогг а ■ их Л Ау.
Другими словами, внешний дифференциал формы ш ,
определяемой векторным полем а, является 2-формой д,ш , определяемой
полем ротора гоЮ. Поэтому гога = 0 =>• йи>' = 0 со всеми
вытекающими последствиями.
• Формула Гаусса—Остроградского (1.9) вычисляет поток
векторного поля а = {ах,ау,аг} через поверхность 5, для чего
На уточнение степени гладкости мы не отвлекаемся.
Часть слагаемых пропадает из-за обнулений типа йгЛйуЛйг = 0. а минусы появляются
'вследствие их Л йу = -йу Л их.

178 Глава 10. Дифференциальные формы
элементам поверхности (13 приписывается направление
нормали, и под интегралом оказывается скалярное произведение (а, (18),
представляющее собой дифференциальную 2-форму, имеющую ка-
13)
ионический вид ':
ш = ах <1у Л Аг + ау Аг Л Ах + аг 6.x 1\Ау. (10.12)
Использование внешних произведений типа Ах Л Ау здесь
обеспечивает правильный знак скалярного произведения {а, 6,8) под
интегралом.
В результате внешнего дифференцирования (10.12) возникает
3-форма
2 /дах дау даг\
Аш = — 1- —- + —— Ах Л Ау Л Аг = д\\ а Ах /\Ау Л Аг,
\дх ду дг )
откуда следует сНу а = 0 =>■ Аш = 0.
• Равенства <Иу го1 а = 0, го1 §гас! (р = 0 следуют из А(Аш) = 0.
• В К" аналогично (10.12) поток векторного поля а(х) через
границу параллелепипеда выражается (п - 1)-формой
шп~\ ==^(_1)г+1а. йж, /\...лА~Хг/\...ЛАхп, (10.13)
крышечка говорит об отсутствии Ах{ в произведении.
Внешнее дифференцирование (10.13) порождает п-форму
где
Опять-таки д\\ а — 0 =ф- Ашп ' = 0.
Ашп-] =
д\\а
- д\\ а
дх\
Ах\
■ + .
Л
+
. ЛАхп,
дап
дхп
Обратим внимание на порядок сомножителей во втором слагаемом в (10.12). Если
вместо <1г Л их взять их Л йг, то перед а,, Ах Л <2г надо поставить минус. Манипулирование
знаками — тут едва ли не главная проблема, потому что согласование ориентации, особенно
в пространствах больших размерностей, хуже китайской грамоты. По счастью,
дифференциальные формы хорошо с этим справляются.

10.5. Наглядная интерпретация
179
10.5. Наглядная интерпретация
Надо признать, что определение 10.4.1 внешнего дифференцирования
с интуитивной точки зрения слабо мотивировано. Примеры из Е
свидетельствуют о «попадании», но логики индуктивного характера
все-таки не видно. Истоки обнажаются при взгляде с другой
стороны, с точки зрения интегрирования.
Напомним сначала, как в К возникает
дивергенция в интуитивно геометрическом сценарии.
Для этого вычислим поток векторного поля
а(г) = {о7(г),ов(г),о;(г)}
через границу кубика со сторонами |4)
Ах, Ау. Аг, (10.14)
параллельными осям координат (рис. 10.1). При
этом (10.14) — естественно считать векторами, раз
уж оговорена параллельность осям, и под
произведениями типа Дж ■ Ау, Ах ■ Ау ■ Аг, — понимать плошади и объемы
соответствующих параллелограммов и параллелепипедов с точностью до таков (пока).
Через грани, параллельные плоскости Оуг, течет лишь составляющая а,.
Разность значений аТ на этих гранях равна
Рис. 10.1
дат дау да.
ах(г + Аг) - а,(г) = -^^х + у^Ду + "^Г Дг + о(\\Аг\\
Умножение (10.15) на АуАг, в силу15'
АуАуАг = АгАуАг = 0,
оставляет только
Г Да. 1
АуАг,
10.15)
да1.
—— Ах + о(Ах)
ах
что является разностью потоков вектора а через грани, параллельные Оуг.
Аналогично по другим граням, — и после суммирования имеем
дах дау да:
1)х~ + ~ду~ + ~Ь~г
АУ + о(АУ), АУ -= Ах- Ау- Аг.
Поэтому с точностью до о-малого искомый поток равен сЛу а ■ АУ.
14)
Здесь Д — не оператор Лапласа.
Объем кубика на векторах, два из которых совпадают, равен нулю.

180 Глава 10. Дифференциальные формы
Слабое звено этого сюжета — неопределенность знака
умножения векторов (10.14). В случае ортогональной системы координат
и при фиксированном масштабе длины, — неопределенность в
знаке только и остается. Да и в неортогональной системе координат,
собственно, проблем нет — достаточно опереться на смешанное
произведение векторов, но порядок умножения (определяющий знак)
требует уточнения. Однако все это в ситуации К" не так
трудно преодолеть1 ', и можно убедиться, что операция Л в качестве
умножения сводит концы с концами. Таким образом, внешнее
дифференцирование 2-формы (10.12), выражающей поток через
границу параллелепипеда Р, позволяет получить тот же результат
умножением интенсивности потока 6\\ а на объем Р. Иначе
говоря, для достаточно малого Р
ахс1уА(1г+ауйг/\(1х+аг:с1,хА(1у= I д\\ а АхЛс1уЛиг, (10.16)
дР
-I
где дР, как это принято, обозначает границу Р.
Рис. 10.2
Справедливость (10.16) для
более-менее произвольной области О вместо Р
устанавливает простое соображение.
Разбив О на маленькие параллелепипеды Я,-
(рис. 10.2), имеем '
дп { дР{
ш
(10.17)
потому что потоки через грани, находящиеся внутри О, в сумме
(10.17) взаимно уничтожают друг друга — вытекающий поток из Рг
втекает в соседний по внутренней грани параллелепипед Р,-. Вклад
в сумму дают лишь потоки через внешние грани. Аддитивность
объемного интеграла не требует доказательства. В итоге (10.16)
Долго только писать, еше дольше читать.
От приграничных «осколков» можно избавиться стандартным образом.

10.6. Техническое дополнение
181
обобщается на область О,
ш2 = I 0ш\ (10.18)
до п
что является теоремой Гаусса—Остроградского.
Выдавить из вышесказанного более обшие результаты тем
труднее, чем большего мы хотим добиться. Достаточно легко обобшить
(10.18) на случай (га - 1)-форм в К™ — схема и рассуждения почти
не меняются. Но вот универсальность правила
I дик (10.19)
да п
для любых к ^ га- 1, именуемого теоремой Стокса, устанавливается
несколько сложнее.
10.6. Техническое дополнение
Справка по ориентации. В К упорядоченная тройка
некомпланарных векторов а,Ь,с называется правой, если для наблюдателя,
расположенного в нуле, обход концов а, Ь, с в указанном порядке
происходит по часовой стрелке. В противном случае тройка а,Ь,с —
левая. Соответственно классифицируются базисы. В общем случае
К" понятий «правого» и «левого» не существует, но дихотомия
остается. Два базиса {е\,... ,еп) и {е\,... ,е'п) в К™ считаются
одинаково ориентированными, если
{е,,... ,е'п} = А{ех,... ,е„} и де1А>0.
В случае <3е1 А < 0 говорят, что базисы противоположно
ориентированы '. В результате все базисы распадаются на два класса
эквивалентных.
Для положительной ориентации двусторонней (п — 1)-мерной
поверхности Г Е К" достаточно задать ориентацию локально [3, т. 1 ]
/
/
Очевидно. А — {е\ е'„}{е| е„}

182 Глава 10. Дифференциальные формы
в любой точке ж € Г, ради чего базис {еь...,е'п} в х
выбирается так, чтобы вектор е\ был внешней нормалью Г, а репер
{е2,..., е'п}, ориентирующий Г, лежал в касательном
пространстве к Г в точке х. Обращение к понятию внешней нормали
показывает, что вопрос однозначно решается лишь в том случае,
когда речь идет о Г как о границе некоторой области.
Итак, еще раз, но с другими акцентами. Вопрос об ориентации
М™ сам по себе ответа не имеет. Ориентацию М™ определяет выбор
базиса {в|,..., е„} с обязательным указанием порядка следования
векторов е<, после чего про любой другой базис можно сказать,
задает ли он ту же самую ориентацию.
Задание базиса в К™ не определяет ориентацию поверхностей
Г С К" до тех пор, пока не выделена одна сторона Г.
Естественным образом это происходит, когда Г — граница области. Затем
базис {е'2,..., е'п} на Г в точке х выбирается так, чтобы репер
{п, е2, • - • , е'п}, где п — внешняя нормаль, был одинаково
ориентирован с базисом Кп.
Интегрирование дифференциальных форм по поверхностям
требует уточнения. Остановимся сначала на интегрировании (п — 1)-
формы (10.13) по (п — 1)-мерной поверхности Г вЕп, что в силу
19)
аддитивности интеграла сводится к интегрированию слагаемых
Ф щ йх\ Л ... Л йж; Л ... Л д,хп. (10.20)
г
Как отмечалось выше, здесь нельзя сказать, с каким знаком надо
брать элемент поверхности й8 ~ йх\ Л ... Л йх{ Л ... Л йхп. Если Г
это грань параллелепипеда, ортогональная е*, а {в\,... ,еп} —
базис Кп, то на грани Г надо взять внешнюю нормаль п = е\ или
п = -е,, и ориентацию Г считать положительной (отрицательной),
если репер
\П, С], ... ,6-1, ... ,вп|
Напомним, крышечка означает отсутствие йц в произведении.

10.6. Техническое дополнение
183
ориентирован одинаково (противоположно) с {в\,... ,еп}.
Соответственно, перед (18 будет знак плюс (минус) .
Ничего особенно не меняется, если Г-не грань
параллелепипеда, а гладкая граница дП более-менее произвольной области Г&.
Исчезает разве что специфика ортогональности, и задача
помещается в рамки общей схемы ориентации, см. выше. Кроме того,
процесс согласования ориентации М™ с ориентацией (п— 1)-мерных
многообразий можно индуктивно продолжить, определяя
ориентации многообразий меньших размерностей.
Индуцированные отображения. Несмотря на вышесказанное, с
многообразиями малых размерностей обращаются проще, параметризуя
их введением локальных координат и переводя задачу из М С М™
к
в II С М . При этом, например, интегрирование ДФ сводится к к-
кратным интегралам вида
/ шк = / а{х)д,хх Л...Л(1хк. (10.21)
п п
Редукция осуществляется параметризующими отображениями
/:М-»1Л
которые устанавливают соответствие дифференциальных к -форм ш
на М и индуцированных к -форм (/*ш) на II:
(/*ы)«|. •••.&) = "(/'■*■ /'•&), ' (Ю.22)
, Г я/ я/ 1
где / = < -—, • • •, т;— г в точке х Е М.
У дх\ дхк)
При этом интегрирование по М заменяется интегрированием
по 17, если М и II какие-нибудь «приличные» компакты,
/"=//>
М V
что работает как определение интеграла по М.
Данный комментарий вскрывает причины некоторой чехарды со знаками либо
порядком сомножителей в записи ДФ, см. сноску к (10.12).

184 Глава 10. Дифференциальные формы
Прямолинейная методика. Использование рецептуры типа (10.22)
имеет свои минусы. Иногда удобнее действовать «в лоб».
Рассмотрим, например, обоснование (10.19) в случае, когда Г& — маленький
(к + 1)-мерный кубик Р в К". Если к + 1 < п — потоковая
интерпретация теряет смысл '. Однако интеграл
Ф шк = Ф ]Р 0^,.,.,-Дж) йх^ Л ... Л йх^ (10.23)
дР дР «!<•••<«'»
по границе дР определен. Собственно даже, знак интеграла можно
убрать из-за малости Р — тогда равенство будет с точностью до о-
малого.
Чтобы поддержать далее параллель с рассуждениями начала
п. 10.5 насчет дивергенции, можно иметь в виду соответствие
обозначений й о А.
Для оценки вклада слагаемых йг,...^(ж) йх^А.. .Айх1к на гранях,
параллельных плоскости Ох^ ... йх\к, надо взять разности типа
(10.15), которые в данном случае будут иметь вид
с1щ,.Лк(х) = ]Г -^А йх]+о{...), (10.24)
з '
и умножить их внешним образом на с1х{{А...Ас1х^к. Останутся лишь
слагаемые, содержащие йх^ Л йж,, Л ... Л йх^, где у не совпадает
ни с одним из г|,...,**. Но об этом можно даже не упоминать,
поскольку при записи
д,а^..Лк(х) Лйж,-, Л...ЛЙЖ,-,.
все происходит (обнуляется) автоматически. В итоге поверхностный
интеграл (10.23) превращается в сумму
У1 йа^..лк{х) лйя,-, л ...Ас1хгк,
что с учетом малости Р означает справедливость (10.19) в случае
0 = Ри дает геометрическую интерпретацию внешнего
дифференцирования йш как операции, позволяющей переходить от вектор-
До некоторой степени. Потоки текут «вбок».

10.7. Интегрирование и теорема Стокса 185
ного поля к его «векторной плотности». Это, в свою очередь, дает
возможность «векторный поток» через границу вычислять
интегрированием «плотности» по объему. В случае шп~ в М™ «плотность»
получается скалярная, сЛуо. «Потоковые определения» векторного
анализа (1.8), (1.11), (1.17) как раз из этой оперы.
10.7. Интегрирование и теорема Стокса
Интегрирование дифференциальной формы ш относительно легко
в! . В этом случае (10.21) есть обычный ^-кратный интеграл.
Неудобства начинаются, когда ДФ ш определена на Л;-мерном
многообразии М СШп п пространстве большей размерности, п > Л:.
Тогда надо быть готовым к разбиению М на криволинейные
параллелепипеды Р, и согласованию ориентации касательных
пространств МТХ как между собой, так и с ориентацией объемлющего
пространства К™. В принципе — все это преодолимо, но обычно
предпочитают другой путь.
Многообразие М С К™ разбивается на какие-нибудь
«приличные» фрагменты, например, на симплексы ', и каждому ^-мерному
симплексу 5 С К" ставится в соответствие многогранник, например
куб, или снова симплекс <т, но уже в К', после чего интеграл по 5
определяется как
/. = />.,
где / : 5 —► а осуществляет параметризацию 5.
Это позволяет теорему Стокса, утверждающую справедливость
равенства (10.19) для любых к ^ п — 1, свести к единственному
варианту к = п - 1, который относительно просто устанавливается
рассуждениями из п. 10.5.
Если в
шк = IАик
дП П
В этом случае говорят: триангулируется.

186 Глава 10. Дифференциальные формы
переход от области Г& к границе <Ю считать результатом применения
граничного оператора д, то двукратное применение д дает:
ф ш — I йш = I ййш = 0,
ддП дП
в силу й{йш) = 0 (п. 10.4.2). Другими словами, граница границы
не имеет границы ', ддО, = 0.
10.8. Топологические мотивы
Истратив немало времени на дифференциальные формы, было бы
жалко ограничиться теоремой Стокса, поскольку не так далеко
расположены и другие прикладные области. В частности,
топология, о которой речь пойдет в отдельном томе, но кое-что уместно
сказать впрок. Многие наслышаны о комбинаторной
топологической ветви, где в центре внимания находятся, в том числе, вопросы
согласования ориентации. При этом одной из основных задач
является классификация многообразий с точностью до гомеоморфных
преобразований. Инструменты базируются, как правило, на
встраивании в изучаемые объекты каркасов из элементарных кирпичиков,
например, симплексов. Последние удобны тем, что имеют не так
много вершин, п+1 в М™, тогда как у куба их (вершин) 2™.
Симплексы и комплексы. Симплекс представляет собой
обобщение понятия отрезка, треугольника, тетраэдра. Общее определение:
к-мерным симплексом {к-симплексом) 8 = (ао...а&) называется
множество точек х Е М™, таких что
к к
х = 2_2 Х]Л], 2_^ А; = I, все А_, > 0,
.7=0 ]=0
в предположении линейной независимости векторов
а\ - а0, ..., ак - а0,
См. следующий раздел о цепях и границах.

10.8. Топологические мо тивы
187
где точки а,] Е К™ представляют собой вершины симплекса, А^ —
барицентрические координаты. О гомеоморфных образах
симплексов говорят как о криволинейных симплексах. Очевидно, симплекс
5 представляет собой выпуклую оболочку своих вершин. Выпуклая
оболочка любого подмножества вершин называется гранью симплекса.
Симплициальным комплексом К С М™ называют конечное семей-
к
ство симплексов з,, расположение которых характеризуется тем,
что пересечение любых двух з?, з' или пусто, или является гранью
как зР:, так и з\. Множество всех точек из К™, принадлежащих
симплексам комплекса К, с топологией, индуцированной из К",
называют полиэдром комплекса К и обозначают \К\, а комплекс К
именуют триангуляцией полиэдра \К\. Геометрически очевидно, что
любой полиэдр можно сколь угодно мелко триангулировать, делая
максимальный диаметр составляющих симплексов сколь угодно
малым.
Ориентация симплекса
зп = (щ...ап) (10.25)
положительна (отрицательна), если базис
е\ = О] - ао, ..., еп = ап - а0
одинаково (противоположно) ориентирован с избранным базисом К™.
Симплекс (а,0...агп), построенный на тех же вершинах, что
и (10.25), но взятых в другом порядке, будет совпадать ' либо с зп,
либо с —зп. Четное (нечетное) число перестановок двух вершин
симплекса не меняет (меняет) его ориентацию. Неориентированный
симплекс обозначается |з™|.
Коэффициенты инцидентности и граничный оператор д. Пусть
крышечка над вершиной симплекса исключает эту вершину, т.е.
(а0...а{...ап) = (а0 ...а^\а^\ ...ап).
В результате от зп остается (п - 1)-мерная грань зп~].
По ориентации.

188 Глава 10. Дифференциальные формы
Рассмотрим теперь ориентированный симплекс з™ и его ори-
п-1
ентированную фань в , не содержащую, например, вершину сц
симплекса 5™. Допустим, порядок вершин а^,..., а^п_, определяет
выбранную ориентацию грани |в™~ |. При этом порядок
вершин симплекса |з™| определяет либо исходную ориентацию 5 ,
либо ориентацию —в". В первом случае коэффициент
инцидентности (з™ : зп_|) считается равным +1, во втором — (з™ : в"-1) = -1.
Если же з — не грань з , то (з : з ) = 0.
Граница симплекса определяется как «сумма граней»:
1=0
Оператор д называется граничным.
Ориентации граней выбираются в соответствии с правилом
зп = (а0...ап), з™~ = (а0...2г ...а„).
При этом
|'=0
Граница симплекса — частный случай общего понятия цепи:
г-мерная цепь сг комплекса К определяется как формальная сумма
где щ — целочисленные коэффициенты. При этом граница цепи,
дсг = ^2аМ,
является (г- 1)-мерной цепью.
Если в множестве всех цепей комплекса К ввести операцию
сложения цепей, то это множество становится группой и
обозначается ЬГ{К). Граничный оператор, таким образом, действует из Ьг
в 1,г_,.

10.8. Топологические мотивы
189
Циклы. Любая цепь сг с нулевой границей (дсг = 0) называется
циклом. Множество г-мерных циклов 2Г(К) является подгруппой
группы ЬГ(К). Другими словами, 2Г — это ядро гомоморфизма
д : Ьг —► Ьг-\.
В группе циклов 2Г(К) можно выделить подгруппу ВГ(К) т-
мерных границ, т.е. множество г-мерных цепей, являющихся
границами некоторых (г + 1)-мерных цепей.
< Чтобы проверить, что ВГ(К) — действительно подгруппа 2Г(К), доста-
26)
точно установить '
ддст=0, (10.26)
поскольку ядро любого гомоморфизма <р :С -» Я — подгруппа С.
Поскольку оператор д линеен, (10.26) достаточно проверить в случае, когда
сг — симплекс:
ддзг = д
^(-1)'(а0...о,...аг)
= Ц)(-')' Ц^-ОЧао ...а]...а1...аг) + ^(- 1)>_1(ао ...а,...а} ...ат)
■ )<% ]><
Легко видеть, что грань (а0... а,;... а,... аг) входит в сумму дважды: один
раз с коэффициентом (-1)'+-', другой раз с коэффициентом (- \)'+3~1, что в сумме
дает нуль. Поэтому ддзг = 0. ►
Фактор-группа Нг = 2Г/ВГ группы циклов 2Г по подгруппе
границ Вг называется г -и группой гомологии комплекса К.
Главный интерес, разумеется, представляет сам полиэдр \К\, а
не комплекс К, для которого введены группы Нг, 2Г, Вг.
Взаимосвязь обеспечивается приближением полиэдра комплексом за счет
измельчения триангуляции. При этом группы 2Г, ВГ разрастаются,
но фактор-группа Нг = 2Г/ВГ не меняется. И это общее правило.
Группа гомологии НГ(К) не зависит от триангуляции, а
определяется самим полиэдром. Гомеоморфные полиэдры имеют одинаковые
(изоморфные) группы гомологии. Соответственно, вычислять группы
По поводу групповых понятий см. [3, т. 8].
То есть граница границы сама по себе не имеет границы.

190 Глава 10. Дифференциальные формы
гомологии можно на основе произвольной триангуляции —
наиболее простой и удобной.
Если в качестве криволинейного полиэдра взять тор Т, то
одномерные циклы с1 на Т — не что иное как замкнутые
ориентированные (с заданным направлением обхода) кривые. Такие кривые
(циклы) подразделяются на те, которые ограничивают некоторую
область, и те, которые никакой области не
ограничивают, т.е. не принадлежат группе границ (меридиан
и параллель тора). Обратим внимание, что цикл,
изображенный на рис. 10.3 (равный сумме циклов),
ограничивает «область» А + 2В + С, в которую «территория»
В входит дважды. Поэтому, если говорить точнее, то
ис. о.з над0 сказатЬ) чт0 все циклы подразделяются на те,
которые являются границами некоторых двумерных цепей , и те,
которые границами не являются.
Будем все ограничивающие циклы считать несущественными,
а «существенные» — разобьем на гомологичные циклы. Циклы С\ и с-1
называются гомологичными, если их разность С\ — с-± —
ограничивающий цикл {гомологичный нулю) '. Эти классы гомологии и есть
элементы группы гомологии Н\. На торе все такие классы гомологии
выражаются через класс меридианов ст и класс параллелей ср.
Если цикл с обходит тор а раз по меридиану и Р раз по параллели, то
с = аст + @ср,
и потому ст и ср — образующие группы Н\, а сама группа Н\
представляет собой прямую сумму ' Ъ ф Ъ.
На двумерной сфере 5 группа гомологии Н\ тривиальна —
состоит из единственного, нулевого, класса гомологии — поскольку
все одномерные циклы на 5 гомологичны между собой. Группа
гомологии #2 на 5 изоморфна Ъ.
А не областей в обычном понимании этого слова.
Например, два различных меридиана тора с одинаковой ориентацией — гомологичны
друг другу.
Точнее говоря, изоморфна прямой сумме.

10.8. Топологические мотивы
191
Классификация многообразий — одна из главных задач
топологии — базируется на «непрерывной преобразуемое™». Сначала
определяются симплициальные отображения, преобразующие
комплексы в комплексы. После этого непрерывные отображения
приближаются (сколь угодно точно за счет измельчения
триангуляции) — симплициальными, что индуцирует гомоморфизмы <р* группы
ЬГ(Ка) в группу Ьг{Кр). В итоге группы гомологии {Нг}
многообразия оказываются топологическими инвариантами
преобразований <р*, благодаря чему играют роль индикаторов классификации.
Классификации способствует также наблюдение за
поведением г-форм на многообразии, каковые являются группами по
сложению. Фактор-группа замкнутых форм по точным формам
называется г-й группой когомологии комплекса К (многообразия М).

Глава 11
Справочная информация
11.1. Криволинейные координаты
Время от времени выгоднее вместо обычных декартовых координат
{ж, у, г} использовать те или иные криволинейные координаты
{<7ь 42, <7зЬ более приспособленные к специфике рассматриваемой
задачи. Текущий радиус-вектор г при этом может записываться как
г(х,у,г) и как г(д|,д2,9з)-
Относительно часто используются
цилиндрические координаты ', ^^ = р,
(рис. 11.1), формулы перехода:
Я2 = <Р, 9з = г
г = г,
Рис. 11.1
Рис.11.2
и сферические координаты , Ц\ = г, Ц2 = <р,
^^> = в (рис. 11.2) с формулами перехода:
X = Г $1П в СОВ у, у = Г $1П 0 &1П <^>, 2 = ГС08#.
В общем случае криволинейных координат
{<7ь <?2> <7з} в каждой точке г вводятся единичные
векторы {е!,е2,ез}, направленные по
касательным к координатным линиям, и числа Н^ в
дг
1Г = Я'е»
Фактически цилиндрические координаты — это полярные координаты в плоскости Оху
плюс декартова координата по ортогональной оси Ог.
Здесь г — расстояние до начала координат, <р — долгота, в — «широта». В
географической практике широту принято исчислять от экватора. Этому соответствует выбор
в качестве в угла, составляемого вектором г не с осью Ог, а с плоскостью Оху. Формулы
перехода тогда принимают вид:
х = г со5 0 С08^э, у = г со&в $\тр, г = г 5Ш в.

11.1. Криволинейные координаты
193
называются коэффициентами Ламэ. Дифференциальные операции
производятся по формулам:
\ д<р 1 д<р I йи
Я, 5^1 #2 <^2 Я3 5?з
6[уа = и и и \ ^~(а^2Н3) + — (Я,о2Яз) + — (Я,Я2а3) I,
Н1Н2Щ{дд1 дд2 дд3 \
1 Г 9 /Я2Я3с
| д /я,я3 а? |
0д2 V Н2 дд2) дд3
д (н^н2 д?
+
I
тока =
Я)Я2Яз
I Г д
я3 дЯз
Н\в\ Н2е2 Я3е3
А А А
591 дд2 дяз
Н\й\ Н2а2 ЯзйзО
9
Н2Нг [дд2 ддг
—— |—(а,Я,)-—(о3Я3:
Я|Яз 1^3 <^1
)>е2 +
#9|
^{^-(а2Я2)--^(а,Я,)}>ез.
_0_
#92
В цилиндрических координатах Н\ = I, Я2 = р, Яз = I,
#и I #и ди
&гади = —ер + - —е^ + —ег,
др ро<р ог
I д
1 даю да?
+
рдр ^ р д(р дг
\ д ( ди\ I д2и д2и
Аи=-—[р—) + ——+
рдр\ др) р2 ду2 дг2'
реч
юга =
д_ д д_
др д(р дг

194 Глава 11. Справочная информация
В сферических координатах Н\ — I, #2 = г, Я3 = г &т в,
ди \ди I ди
дг г дв г 8ш в др *
й'и а =
I д(г2аг) I 0(а*ап0) I да
г2 дг г $\п в дв
I д
)ди\
I
д
ДИ = I Г^ I -I
г2 дг V дг) г2 яп в 00
го1а =
Г2 51П |
ег гед гер мп I
1_ д д
дг дв др
йг Г 0,0 Гйр 81П
+
51П
Г МП в др '
ди\ 1
+
д2и
дв) г2 &ш2 в дф2'
(11.1)
11.2. Аналитические функции
При изучении ЧП-уравмемны определенный интерес представляют
аналитические функции, проливающие свет на более обширные
территории.
Среди функций комплексного переменного г = х + гу в ТФКП
[3, т. 9] выделяются дифференцируемые функции
?(г) = и(х,у) +Щх,у),
каковые, по определению, удовлетворяют условию
д{{г) = /(г + дг) - /(г) = А ■ дг + о(\6г\), (I1.2)
где А — комплексное число, зависящее отточки г, которое
называют производной /(г) в точке г и обозначают / (г) либо й//йг.
Определение производной записывают также в виде
/'(г) = Нт
02->0
/(г + Дг)-/(г)
(11.3)
но в (11.3) требуется дополнительно независимость предела от пути
стремления дг к нулю, что приводит к необходимости выполнения

11.2. Аналитические функции
195
для / = и + IV условий Коши—Римана,
ди ду дь ди
дх ду' дх ду'
которые в случае непрерывности частных производных в некоторой
области О. также достаточны для дифференцируемости / в Г2.
Функции, дифференцируемые в П, называются аналитическими
в П.
Нагромождение терминов поначалу кажется странным, ибо для
дифференцируемой функции выдумывается еше одно имя. Но
аналитические функции обладают совершенно неожиданным свойством.
Если обыкновенный анализ приучает к мысли, что функция может
быть дифференцируема только п раз, то аналитическая функция,
дифференцируемая по определению всего один раз, оказывается
бесконечно дифференцируемой.
Отметим некоторые свойства.
• Задание частных производных определяет функцию с
точностью до константы. Поэтому задание одной из функций и(х,у),
ь(х,у), в силу условий Коши—Римана, с точностью до константы
определяет вторую.
• Если аналитическая в области О. функция / не константа,
то ее модуль |/(г)| не может принимать максимальное значение
внутри О. — так называемый принцип максимума модуля.
• Дифференцируя условия Коши—Римана и исключая одну
из функций и или «, легко убедиться, что обе удовлетворяют
уравнению Лапласа,
д2и д2и
^ + й? = 0> <П4)
и являются таким образом гармоническими функциями, хорошо
известными благодаря другим источникам происхождения. Поскольку
задание краевых условий (значений на границе) определяет
решение (11.4) внутри области, возникает как бы «неловкость», ибо

196 Глава 11. Справочная информация
выходит: все, чем занимается ТФКП, — это изучение решений
одного дифференциального уравнения (11.4). Другая часть аудитории
удивляется противоположным образом: «Неужели теория одного
дифура — это целая ТФКП?»
При рассмотрении интегрирования аналитических функций
одной из опорных точек является формула Грина преобразования
криволинейного интеграла по контуру С, ограничивающему
область ЙС1 ,-в двойной интеграл по П:
С п
11.2.1. Теорема Коши. Пусть функция /(г) аполитична в одно-
связной области О.. Тогда интеграл от /(г) по любому замкнутому
контуру С, лежащему в О., равен нулю .
Если функция /(г) аналитична внутри контура С, содержащего
внутри точку г, и на самом контуре С, то
-Ш-Ао, (И.6)
V) - г
с
что называют интегральной формулой Коши, каковая напоминает
змею, кусающую себя за хвост, и позволяет раскрутить бесконечную
карусель. Дифференцируя (11.6) по параметру г, имеем
^^Ы
^ А», (1,7)
{ш - г)2
с
снова дифференцируем (11.7) по 2, получаем формулу для второй
производной, и так далее:
/<»>(*) ^/^Ь-. (11.8)
1 К ' 2тгг 7 (и - г)в+1
Результат верен и в обратном направлении (теорема Морера), что важно для
проблематики аналитического продолжения функций.

11.3. Спектральный анализ
197
В результате выявляется удивительный феномен. Аналитическая
функция оказывается бесконечно дифференцируемой сама по себе, без
каких бы то ни было дополнительных требований. Интеграл Коши
дает простой ключ к пониманию этого факта.
11.3. Спектральный анализ
Анализ спектральных свойств линейных операторов в
функциональных пространствах приводит к необходимости комплекси-
фикации функциональных пространств. Ситуация в этом
аспекте не отличается от линейной алгебры. Комплексным расширением
вещественного пространства Е' называют комплексное
пространство Е с элементами г = х + гу (х,у Е Е1), линейные операции
над которыми (сложение, умножение) определяются естественным
образом. Норма в Е определяется как
||ас + гу\\ = шах ||ж 5\пт + у сокг||,
г
а операторы Ь : Е' -» Е1 продолжаются на Е по правилу
Ь(х + гу) = Ьх + Ну,
что, в том числе, сохраняет норму \\Ь\\е = ||^||в'-
11.3.1. Комплексное число А называется регулярным значением
непрерывного линейного оператора Ь : Е —> Е, если оператор Ь — XI
имеет определенный на Е ограниченный обратный. Спектр о~(Ь)
оператора Ь определяется как дополнение к множеству его регулярных
значений.
Иными словами, спектр а(Ь) — это совокупность Л, для
которых оператор Ь — XI необратим, что может быть по двум причинам:
оператор I - XI или не иньективен (не взаимно однозначен), или
инъективен, но не сюръективен (не является отображением «на»).
В К™ встречается только первая причина. В случае «неинъективно-
сти» уравнение
Ьх = Хх

198 Глава 11. Справочная информация
имеет ненулевое решение, называемое собственным вектором, а
соответствующее Л — собственным значением оператора Ь.
Совокупность всех собственных векторов, отвечающих
собственному значению Л, вместе с нулевым элементом, — называется
собственным подпространством Ы\ оператора Ь. В общем
случае множество собственных значений не исчерпывает весь спектр
(как в К")4). В контексте собственных значений общая ситуация
имеет прямые аналогии с линейной алгеброй.
11.3.2. Если оператор Ь имеет попарно различные собственные
значения Л),..., Л„,..., и каждому Л^ отвечает свои собственный
вектор X], то множество {х^} линейно независимо.
Спектральный радиус р(Ь) — это радиус минимального круга,
содержащего весь спектр а(Ь).
Обращение дифференциального оператора представляет
собой, как правило, вполне непрерывный (компактный) интегральный
оператор С = Ь~\ Последние обладают полезными свойствами,
сближающими их с линейными операторами в К" — подробности
в[3,т.5].
11.3.3. Собственное подпространство вполне непрерывного
оператора, отвечающее ненулевому собственному значению, — конечномерно.
11.3.4. Ненулевые точки спектра Хп вполне непрерывного оператора
изолированны '.
11.3.5. Ненулевая часть спектра вполне непрерывного оператора
состоит только из собственных значений.
Стандартная иллюстрация — оператор умножения Ьх(1) = 1х(1), действующий в
С[0, 1). Поскольку уравнение (Ь - Х1)х(1) = (I - Х)х(1) = 0 ненулевых решений х(1)
в С[0, I] не имеет, — собственных значений у Ь нет. Но спектр не пуст, а(Ь) = [О, I],
поскольку обратный оператор,
I х(1)
(Ь-Х1)-[х(1)=Т^,
при А € [0, 1] неограничен, и определен не на всем С|0, 1|.
Отсюда вытекает, что число собственных значений, удовлетворяющих неравенству
1 Ад.| > г > 0, — конечно. Накопление может происходить только в нуле.

11.4. Теория Фредгольма
199
11.3.6. Спектр о~(С) вполне непрерывного оператора — счетное
множество, не имеющее предельных точек, отличных от нуля. Ненулевые
А 6 о~(С) являются собственными значениями конечной кратности.
Если пространство гильбертово, а оператор С самосопряжен, —
ситуация улучшается известным образом. Компактный
самосопряженный оператор обязательно имеет ненулевое собственное значение.
Все собственные значения самосопряженного оператора вещественны,
а собственные векторы, отвечающие различным собственным
значениям, — ортогональны.
11.3.7. Теорема Гильберта—Шмидта. Пусть С — компактный
самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н с нулевым
ядром (кег С — О, т. е. Сх ф О при х ф 0). Тогда в Н существует ор-
тонормированный базис {Нп} из собственных векторов оператора С,
в котором оператор имеет диагональный вид
Ох = у ^ лпхппп,
п
где хп — координаты вектора
х = у ^ хппп,
п
а Л„ — собственные значения, отвечающие векторам Нп.
11.4. Теория Фредгольма
Интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода '
ь
х(1) = Г С(1,з)х(з)(18 + у{1)
а
является частным случаем уравнения Ах = у в банаховом
пространстве с линейным оператором А = / - Т, где Т — вполне
ь
Уравнение Фредгольма \-го рода: I С(1, в)х($) й8 = у(1).

200 Глава 11. Справочная информация
непрерывен. И на таком уровне это имеет непосредственное
отношение к ЧП-уравнениям эллиптического,типа. Теория имеет
«непредсказуемые повороты». Особенно это касается
«существования решения из единственности» — п. 11.4.4.
11.4.1. Теорема '. Пусть Т действует и вполне непрерывен в
банаховом пространстве Е. Тогда уравнения
х-Тх = у, /-Т*/ = д
либо оба разрешимы при любых правых частях, что соответствует
исключительно нулевой разрешимости однородных уравнений х — Тх =
0 и /-Г*/ =0, либо однородные уравнения имеют конечное число
-9)
линейно независимых решении '
Х\, . . . , Хп\ /1, . . . , /п,
и тогда для разрешимости х — Тх — у (/ — Т*/ = д) необходимо
и достаточно, чтобы при всех 3 от 1 до п:
(//» У) = 0 (соответственно, (д, х^) = 0).
Общие решения уравнений х — Тх = у и { — Т*/ = д в этом
случае имеют вид линейных комбинаций
п п
X = Х0 + ]Р А;Х;, / = /о + ^2 ^'
3 = \ .7=1
где жо и /о — какие-либо частные решения исходных уравнении.
Разделение теоремы 11.4 на ингредиенты позволяет расставить
акценты и подчеркнуть принципиальные моменты.
11.4.2. Для разрешимости х—Тх = у при любом данном у необходимо
и достаточно (/, у) = 0 для любого функционала ^удовлетворяющего
сопряженному однородному уравнению / - Т*/ = 0.
Утверждению 11.4.2 двойствен следующий результат.
Подробности содержания раздела см. в |3, т. 5|.
Г* — сопряженный оператор.
Число которых совпадает. (!)

11.5. Пространства Соболева
201
11.4.3. Для разрешимости /-Т*/=# при любом данном дЕЕ*
необходимо и достаточно {д,х)=0 для любого х, удовлетворяющего
однородному уравнению х-Тх=0.
Из приведенных утверждений ясно, что при отсутствии
ненулевых решений у / - Т*/ = 0 уравнение х - Тх = у разрешимо
при любом у. Аналогично: из «х - Тх = 0 =>• х = 0» вытекает
разрешимость / - Т*/ — д при любом д. Более того:
11.4.4. Теорема об альтернативах Фредгольма. Для
разрешимости неоднородного уравнения х — Тх = у либо / — Т* / = д при любой
правой части необходимо и достаточно, чтобы однородное уравнение
(любое из х - Тх = 0, / - Т*/ = 0) имело только тривиальное
решение.
По ходу дела выясняются следующие факты.
11.4.5. Однородные уравнения х - Тх = 0 и / — I'*/ = 0 имеют
одинаковое число линейно независимых решений.
11.4.6. Нуль-пространство оператора I — Т, т.е. множество
решений однородного уравнения х — Тх = 0, — конечномерно.
11.5. Пространства Соболева
ЧП-уравнения естественно изучать в их взаимодействии с
функциональным анализом, получая дополнительную пользу в понимании
роли функциональных пространств. Но это несколько иной ракурс,
который на определенных этапах изучения дисциплины становится
главенствующим, тогда как для первого знакомства
малопригоден. А попытка охватить сразу все целиком — не проходит, ибо
при всестороннем рассмотрении «ничего не видно». Тем не менее
отдаленное представление о пространствах, используемых при
рассмотрении уравнений с частными производными, иметь полезно.
По крайней мере, чтобы декорации не раздражали.
Пространства Соболева Шр при целом / и р Е (I, со) состоят
из функций и(х), I Е О, суммируемых с р-й степенью вместе

202 Глава 11. Справочная информация
со ^оими производными до /-го порядка включительно. Норма
в И"' вводится как '
1/Р
*\\щ = (Е няац*)1иР)
'|а|<«
(Определение \Ур с помощью несколько громоздкой
конструкции расширяется на все значения I ■€ (-сю, сю). Пространством
0%-лева называют также Шр, представляющее собой
подпространств^ \№р, полученное замыканием в \№р множества всех бесконечно
дифференцируемых функций.
взаимоотношения пространств Соболева при различных / и р
дет^дьно изучены, соответствующие результаты называются
теорема/^ вложения. Например, если р^д и
--*>--*, (11.9)
р д
то ^я вложено в \№р. Если неравенство (11.9) строгое, вложение
компактно.
Целееообразность использования всей этой кухни поначалу, ко-
не^й)*,'#е усматривается. Но с увеличением широты замаха — с
разрастанием совокупности решаемых вопросов — выясняется, что
инструмент полезный. Потребности вытекают из необходимости
своди^ концы с концами в смысле согласования разных сторон задачи.
Скажем, эллиптический оператор I» (глава 9), действующий
в функциональном пространстве Е, при рассмотрении обобщенных
ре^ний приходится считать определенным на таком
максимально^ подмножестве Ш>1 С Ю>, которое включено в Е и на котором
зн^:ения Ь также принадлежат Е. Но сия конструкция
приводи^ к доопределенному оператору, каковой малоудобен и даже
не шмкнут. Доопределение Ь на \№р дает продуктивный выход
''Напомним, пространство Хр(Г!) состоит из измеримых по Лебегу функций и(х),
х &(!, суммируемых с р-й степенью, 1 ^р < со. Норма в ХР(П):
Н*11ь, = (/ 1«(*)1Р и*) ■

11.6. Список задач и решений
203
из положения. Внешняя форма записи сохраняется, но Х>а в (9.1)
теперь обозначает обобщенное дифференцирование в смысле
Соболева1- , а оператор считается определенным на \Ур , вместо Ш^.
11.6. Список задач и решений
Уравнение диффузии, или теплопроводности,
ди
ср— д\\(к §гас1 и) = 0,
оъ
есть щ ■=■ а Ди, а = к/(ср). В И3 выглядит как
ди _ 7/д2и д2и д2и\
на прямой: щ — а ихх.
Тип гиперболический, скорость распространения —
бесконечная . Имеет характеристики I = С, описываемые уравнением
,' дш
0
У-Ч^У-*
91 ) ^—' V дхг )
/ , \ г/
Начальное условие ограничивается требованием «|<=+0 = щ(х).
Фундаментальное решение, как решение уравнения ' '
Ег-а2АЕ = 6(х,1),
стремящееся к нулю на бесконечности, есть
Е(х1)- Щ ехр(-Щ
' Обобщенная производная Соболева «(ж) = Г>°и(ж) определяется равенством
I и(х)Оа <р(х) их = (-1)° А«(ж)^(ж)йж,
где </> 6 В. п п
С некоторыми оговорками, см. п. 8.1.
То есть как реакция на импульсный «впрыск» 6(х, I).

204 Глава 11. Справочная информация
Задача Коши
— -с2Аи = /{х,1), и\1=+0 = щ{х)
в классе функций и(х,1) и /(х,1), равных нулю при I < 0,
равносильна уравнению
ди ->
— -с2Аи = /(х,1) + щ(х)6(1),
решение которого получается с помощью свертки правой части
с фундаментальным решением,
и = г*\/{х,1) + щ(х)д(1)}.
Задача корректна '.
Волновое уравнение
д2и _ 2/д2и д2и
дЬ2 ~° \дЦ + '" + д^п
с помошью оператора Д'Аламбера
т л 1 д2
записывают в виде Пси = 0.
Тип параболический, скорость распространения — с. Решением
характеристического уравнения
дсо\2 2 /ди\2 п
ж) "с ^Ы =°
служат характеристики
\\х - х0\\2 - с2(1 - 10)2 = 0,
Понятно, все рассматриваемые задачи корректны, иначе они бы не имели смысла.
Другое дело, какого сорта возмущения считать допустимыми в том или ином случае.

11.6. Список задач и решений
205
с вершинами в точках (жо, ^о), выделяющие в теории
относительности конус «абсолютно будуших», по отношению к (жо, 1о), событий
К+(х0, 10) = {(ж, I) : с(Ь - к) > ||ж - ж0||}
и конус «абсолютно прошедших» событий ' '
К_{хо,1о) = {(х,1) -.0(10-1) > ||ж-ж0||}.
Начальные условия задаются в форме
I ^ ди
= щ{х).
1=+0
Фундаментальное решение, как решение уравнения
ПсЕ = д(х,1),
зависит от размерности. В частности,
Е\(х,1) = -в(с1-\х\),
1С
е.2(х,1) =
в(с1
х
2псл/сЧг
п = 1,
п = 2,
х
Е.,(х,1) = ^-б{с212-\\х\\2), п = Ъ.
О принципиальных различиях распространения волн в
пространствах разной размерности см. раздел 7.4. В И есть передний
и задний фронт волны. При меньшей размерности задний фронт
отсутствует, из-за чего говорят о нарушении принципа Гюйгенса.
Задача Коши
, ди
□см = /(х,<), и\1= = щ{х), —
81
= М|(Х)
«=+0
в классе функций и(х,1) и /(х,1), равных нулю при I < 0,
равносильна уравнению
Пси = /(ж, I) + щ(х)б'{1) + щ(х)б(1),
'В том смысле, что в любой системе отсчета события из К+ происходят после,
а из К- — до события (Жо, <о)-

206 Глава 11. Справочная информация
решение которого получается с помощью свертки правой части
с фундаментальным решением волнового уравнения,
и = Е* [/(ж,I) + щ(х)б'(Ь) + щ(х)д(1)].
Задача корректна.
Уравнение Лапласа Аи = 0, т. е.
д2и д2и
+ ... + — = о,
'1
дх\ дх\
либо неоднородный вариант, уравнение Пуассона: Аи = /(г).
Последнее в!3ч
чание к (9.11).
следнее в К часто записывают в виде Аи = —4жр(г) — см. заме-
Характеристик не имеет. Все краевые задачи корректны '.
Функции, удовлетворяющие уравнению Аи = 0, называются
гармоническими.
Фундаментальным решением уравнения
дг = б{х)
является
||ж||-п+2
^п = ~7 ^— ПРИ п^3
(п - 2)ап
8г = т— 1п ||ж|| в случае п = 2.
27Г
Гармоническая функция и(х) на ограниченной области О, С К
с кусочно-гладкой границей Г имеет представление
г
Другими словами, значения и(х) внутри О, выражаются через ее
значения на границе области.
Для корректности задачи Неймана необходимы уточнения, см. п. 9.6.

11.6. Список задач и решений
207
Функцией Грина С(х, ^) оператора Д на области О, с границей Г
называется решение уравнения
АС(х,0 = 6(х-0,
обнуляющееся на Г. Иначе говоря, С(х,%) представляет собой
потенциал заряда, расположенного в точке ^, подобранный так,
что
\/х€Г:С(х,$) = 0.
Очевидно,
С(х,*) = Цх-1) + г1>(х,Я,
где гр — гармоническая в О функция, и если выбором гр
распорядиться, решая задачу
д^ = о, ^|г = -г(х,о|Р
то С(х,&) будет искомой реакцией на импульсное воздействие
б(х-я.
Общее решение задачи Дирихле Аи = /(ж), «|г = 0 в случае
непрерывной функции / дает формула типа свертки
« = У"с(х,о/(0^-
п
Задачу Дирихле с ненулевыми граничными условиями,
Ди=-/(ж), и\Г-щ(х),
решает
/л О/'"*
п г
По поводу задачи Неймана см. п. 9.6, а в случае сингулярного
характера /(ж) задействуются потенциалы простого и двойного слоя
(п. 9.4).

208 Глава 11. Справочная информация
Уравнения Максвелла в вакууме при отсутствии токов смещения
образуют систему уравнений
\8Е \дН
тоШ = --—, го1.Е = —,
с 81 с 81 (11.10)
сНу.Е = 0, Л\Н = 0,
где Е и Н — напряженности электрического и магнитного полей.
При наличии электрических зарядов, распределенных с
плотностью р, уравнение й\ч Е = 0 заменяется на й\чЕ = 4пр.
Из первых двух уравнений (11.10) следует:
1 82Е 1 82Н
Так что векторы Е и Н удовлетворяют волновому уравнению.
Уравнение Шрёдннгера
дф гП
81 2т *
в пространственно-одномерном случае переходит в
Фг = -г- Фхх,
2т
и при поиске периодических решений с переменной амплитудой
1р(х, I) = гр(х) е~ш/п
приводит к уравнению для амплитуды чр{х):
2те
которое также называют уравнением Шрёдингера. В абстрактной
классификации это уравнение Гельмгольца.
Гидро- и газодинамика в случае ламинарных потоков описывается
полем скоростей у(г,1), плотностью р(г) и давлением р(г), взаи-

11.6. Список задач и решений
209
моотношение которых регулируется уравнением Эйлера '
р- + УР = 0,
в силу йг/М = дь/д1 + (г> • У)г, обычно записываемого в виде
— + (V • У)г> + -Ур = 0.
оъ р
Уравнение Эйлера решается в комплексе с уравнением неразрывно-
сти{&)
др , ч
~ + сМр») = 0,
и уравнением состояния, связывающим давление и плотность.
Например, р/р'1 = соп51 в случае адиабатического течения газа. Либо
р = соп51 для несжимаемой жидкости.
йр
В случае несжимаемой жидкости —- = 0 => й\ч V = 0. А если
6,1
при этом существует еще и потенциал скорости <р,
V = §гас! <р,
то
Дуз = 0 , в силу А(р = 6\\ ё,гад у = 0.
Нелинейные уравнения
щ +и ■ их — 0 (Хопфа), п. 8.3;
щ + а и их + (3 иххх = 0 (Кортвега—де Фриза), п. 7.6;
«^ + и • их = цихх (Бюргерса), п. 8.3;
Щ1 - ихх + 51П и = 0 (синус-Гордона), п. 7.5.
Бегущая волна (п. 7.5) представляет собой решение вида и(х,1) =
/(ж - с1), характерное для многих уравнений с частными
производными, не только для волнового уравнения, поскольку подстановка
Являющимся непрерывным аналогом второго закона Ньютона. При наличии внешних
сил Ж(г, I) нуль справа меняется на Р.
18)
Следствие закона сохранения массы. Если, конечно, нет источников. В противном
случае нуль справа заменяется интенсивностью источников /(г, 2). Эквивалентная форма
уравнения неразрывности: йр/М + рё'му = 0.

210 Глава 11. Справочная информация
и(х, I) = /(ж - с1) в ЧП-задачу приводит к обыкновенному
дифференциальному уравнению для функции /, в силу
, их = / , «« = с / , ихх = / , щх = -с/ , ...
О связи этой идеи с общими принципами симметрии см. главу 5.

Сокращения и обозначения
■4 и ► — начало и конец рассуждения, темы, доказательства
(?) — предлагает проверить или доказать утверждение в качестве упражнения,
либо довести рассуждение до «логической точки», — но не является вопросом
«правильно или неправильно?»
(!) — предлагает обратить внимание
«в томм случае» — «в том и только том случае»
ЧП приставка, указываюшая на принадлежность к области уравнений с
частными производными
ДФ — дифференциальная форма
А => В — из А следует В
х € X — х принадлежит X
ХНУ, X ПУ, Х\У — объединение, пересечение, разность множеств
X С У — X подмножество У, в том числе имеется в виду возможность X СУ,
т. е. между X С У и X С У различия не делается
X — замыкание X
дР — граница множества Р
0 — пустое множество
К = (-оо, оо) — вещественная прямая
К" — п-мерное евклидово пространство
х = {х{,..., х„) — вектор, X; — его координаты; в К3 векторы часто
обозначаются как г = {х, у, г}

212
Сокращения и обозначения
а• Ь = аЬ = (а,Ь) — скалярное произведение векторов а и Ь
2 = х + гу — комплексное число, г = г(со$ <р + г ып (р) — его тригонометрическая
запись, х = Ке г — действительная часть, у = 1т г — мнимая; 1 = г* = х - гу —
комплексно сопряженное число
, их
х — в зависимости от контекста может обозначать производную — либо новую
(II
координату
V1(х) = ёга<1 / = < -—,..., -— > — градиент функции Нх)
{ дх1 дх„ )
дх] "' дх\
Д = —2 + • • • + -^т — оператор Лапласа
1
42
□г = Д г — — оператор Д'Аламбера
с2 о12
<Ц\1) = V» — дивергенция, или расхождение, векторного поля ю(ж)
го1 V = V х V — ротор, или циркуляция, векторного поля ю(ж)
в(х) — функция Хэвисаида, единичный скачок, в(х ^ 0) = 1, в(х < 0) = 0
0=(±,....±)
\дх, дхп)
° ~ \ я-"7'"'' я-5^ )'где а ~ мУльтииндекс
ЫР) = 2_^ ааБа — дифференциальный оператор

Литература
1. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: ИЛ, 1963.
2. Босс В. Интуиция и математика. Изд. 3-е. М.: Издательство
ЛКИ/1Ж55, 2008.
3. Босс В. Лекции по математике. Т. 1: Анализ; Т. 2: Дифференциальные
уравнения; Т. 3: Линейная алгебра; Т. 4: Вероятность, информация,
статистика; Т. 5: Функциональный анализ; Т. 6: От Диофанта до
Тьюринга; Т. 7: Оптимизация; Т. 8: Теория групп; Т. 9: ТФКП; Т. 10: Перебор
и эффективные алгоритмы. М.: 1Ж55, 2004-2008.
4. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Математический
анализ в задачах и упражнениях. М.: Изд-во МГУ, 1988.
5. Владимиров В. С Обобщенные функции в математической физике. М.:
Наука, 1979.
6. Гельфанд И. Л/., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Вып. 1-3. М.:
Физматгиз, 1958.
7. Заславский Г. Л/., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику: От
маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.
8. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные
формы. М.: 1Ж55, 2004.
9. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.
М.: Изд-во АН СССР, 1951.
10. КрейнС. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука,
1971.
11. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного
переменного. М.: Наука, 1973.
12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 7: Теория
упругости. М.: Наука, 1965.
13. Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов. М.: Меркурий-ПРЕСС,
2000.
14. МихлинС Г. Курс математической физики. М.: Лань, 2002.
15. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях в частных производных. М.:
Наука, 1961.

214
Литература
16. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука,
1967.
17. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: 1Ж55,
2001.
18. Федорюк, М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:
Наука, 2003.
19. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с
частными производными. Т. 1: Теория распределений и анализ Фурье. М.:
Мир, 1986.

Предметный указатель
Автомодельность 91
алгебра Ли 104
Бегущая волна 139
Векторное поле 16
внешний одночлен 173
внешняя производная 176
волновой вектор 143
волны Рэлея 31
— стоячие 136
вязкое трение 38
Гармоническая функция 84, 195
генератор группы 94
гиперболический поворот 34
гиперплоскость 76
гомологичные циклы 190
градиент 15
— одного вектора по другому 22
граница симплекса 188
— цепи 188
граничный оператор 188
грань симплекса 187
группа гомологии 189
— когомологий 191
-Ли 92
— параметрическая 92
Двойной слой 118
дивергенция 16
дисперсия 144
диффузия волн 138
допускаемая группа 101
допускать группу 95
Задача внешняя 162
— внутренняя 162
— Дирихле 58
— корректно разрешимая 50
— Коши 129
— Неймана 58
— третья краевая 58
— Штурма—Л иувилля 170
замена Коула—Хопфа 150
запаздывающий потенциал 128
Идеальная жидкость 38
импульсная переходная функция
123
инвариант группы 95
инвариантное решение 109
интеграл Дюамеля 123
интегральная формула Коши 196
интегрирующий множитель 74
инфинитезимальный оператор
94,97
Касательное векторное поле 94
— пространство 175
КдФ-уравнение 140
коммутатор векторных полей 103
комплексное расширение 197
конормаль 169
контрпример Ковалевской 47
коэффициент инцидентности 188
коэффициенты Ламэ 193
краевые условия 26
круговая частота 143
Лемма Пуанкаре 177

216
Предметный указатель
Многочлены теплопроводности
146
мультииндекс 11
Носитель функции 112
Обобщенная производная
Соболева 203
— функция 113
регулярная 113
обобщенное решение 125
однородные функции 77
оператор Гамильтона 18
— Д'Аламбера 30
— Лапласа 18, 32
— «набла» 18
— сопряженный 153
— эллиптический 152
опрокидывание волны 149
ориентация 181
отображение конформное 85
Первый интеграл 68, 76
поверхность Ляпунова 63
поле скоростей 36
— соленоидальное 17
полиэдр 187
полный дифференциал 10
постоянная Планка 40
потенциал двойного слоя 161
— простого слоя 160
— скорости 38
правило переброски производной
114
преобразование Фурье 119
преобразования Лоренца 35
принцип Гюйгенса 138
— максимума 154
модуля 195
— суперпозиции 59
продолженная группа 100
производная Ли 68
— обобщенной функции 114
— по направлению векторном*
поля 68
простой слой 118
пространства Соболева 201
пространство О 112
Расхождение 16
регулярное значение 197
ротор 20
Симплекс 186
симплициальный комплекс 187
система характеристическая 71
скобка Ли 103
скорость групповая 143
— фазовая 143
собственное значение 198
— подпространство 198
собственный вектор 198
солитон 141
спектр 197
спектральный радиус 198
структурные константы 104
сферическая волна 137
сферические координаты 192
сходимость обобщенных
функций 113
Теорема Гаусса—Остроградского
17
— Гильберта—Шмидта 199
— Ковалевской 47
-Ли 81
— Лиувилля 81
— Морера 196
— о выпрямлении 80
— о среднем 157

Предме
Сгокса 21, 181, 185
— Фробениуса 75
<■ Хёрмандера 126
Т§оремы вложения 202
Теория распределений 124
Тождество Якоби 104
Точка нехарактеристическая 71
Триангуляция 187
Ударная волна 149
уравнение Бюргерса 150
— волновое 30, 204
— Гамильтона 82
— Гамильтона—Якоби 81
*- Гаммерштейна 62
— Гельмгольца 32
— гиперболического типа 52
— диффузии 24, 203
— квазилинейное 71
— Кортвега—де Фриза 140
Лапласа 32, 206
— неоднородное 72
— неразрывности 37
— однородное 67
■ параболического типа 52
— Пуассона 32
— Пфаффа 73
— синус-Гордона 140
»- теплопроводности 25, 203
— Трикоми 54
— Фредгольма 199
— характеристик 67
— Хопфа 72, 140, 149
— эйконала 83
эллиптического типа 52
уравнения Максвелла 39
условия Коши—Римана 83, 195
указатель 2 I/
Финитная функция 112
форма замкнутая 177
— точная 177
формула Грина 19, 22, 196
— Д'Аламбера 132
— Пуассона 165
— Эйлера 77
формулы Сохоикого 117
фронт волны 138
фундаментальная система
решений 81
фундаментальное решение 122,
125
функция гармоническая 153
— Грина 123, 162
— компенсирующая 162
— Хэвисайда 114
Характеристическая поверхность
55
Цепь г-мерная 188
циклы «топологические» 189
цилиндрические координаты 192
циркуляция 20
Частная производная 9
ЧП-уравнения 23
П-теорема 89
А;-форма 171
А;-форма дифференциальная 175
0-форма 175