Автор: Федорова В.Н. Степанова Л.А.
Теги: действия явлений, эффекты биологические науки в целом физика медицина электроника теория вероятностей биофизика метрология учебное пособие математическая статистика лекции и семинары
ISBN: 5-9221-0568-Х
Год: 2005
Текст
УДК 53.047:57@75.8)
ББК 22.3
ФЗЗ
Федорова В. Н., Степанова Л. А. Краткий курс меди-
медицинской и биологической физики с элементами реабилитологии.
Лекции и семинары: Учебное пособие. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. —
624 с. - ISBN 5-9221-0568-Х.
Учебное пособие написано в соответствии с официальной програм-
программой по медицинской и биологической физике. Наряду с вопросами
физики и биофизики пособие содержит вопросы теории вероятностей,
математической статистики, корреляционного и регрессионного анали-
анализа. В основу пособия положен материал лекций и семинаров по курсу
«Медицинская и биологическая физика». Отличительная особенность
пособия — многие лекции имеют раздел, посвященный вопросам меди-
медицинской реабилитации.
Предназначается для студентов, преподавателей и аспирантов ме-
медицинских вузов, а также институтов физической культуры.
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
© В. Н. Федорова, Л. А. Степанова,
ISBN 5-9221-0568-Х 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
План лекций 6
I. Лекции
1. Элементы теории вероятностей 14
2. Распределение случайных величин 23
3. Элементы математической статистики 33
4. Проверка статистических гипотез 43
5. Корреляционный и регрессионный анализ 56
6. Механические колебания 64
7. Механические волны 83
8. Акустика. Звук 97
9. Некоторые вопросы физики слуха 111
10. Ультразвук и инфразвук 124
11. Уравнение Бернулли и его следствия 138
12. Вязкость жидкости 146
13. Механические свойства тканей 163
14. Физические основы гемодинамики 187
15. Электричество и магнетизм 199
16. Физические процессы в мембранах 208
17. Биоэлектрические потенциалы 223
18. Диполь. Физические основы электрографии 231
19. Электромагнитные колебания 247
20. Переменный ток 256
21. Электромагнитные волны 267
22. Физические процессы, происходящие в тканях организма
под воздействием токов и электромагнитных полей 274
23. Некоторые вопросы медицинской электроники 290
24. Усилители. Генераторы 302
25. Интерференция света 310
26. Дифракция света 319
27. Поляризация света 329
28. Геометрическая оптика 340
29. Микроскопия 360
Оглавление
30. Тепловое излучение 370
31. Рентгеновское излучение 392
32. Радиоактивность 402
33. Дозиметрия 417
34. Элементы квантовой механики 436
35. Взаимодействие света с веществом 452
36. Люминесценция 461
37. Фотобиологические процессы 471
38. Лазеры. Лазерное излучение 483
39. Магнитные свойства вещества 509
II. Семинары
1. Производная функции 526
2. Неопределенный интеграл 533
3. Определенный интеграл 537
4. Дифференциальные уравнения 544
5. Элементы теории вероятностей 550
6. Случайные величины 554
7. Элементы математической статистики 560
8. Проверка статистических гипотез 567
9. Корреляционный и регрессионный анализ 575
10. Механические колебания и волны. Звук 581
11. Свойства жидкостей 589
12. Механические свойства тел и биотканей 592
13. Интерференция. Дифракция. Поляризация света 595
14. Оптическая система глаза. Микроскопия 599
15. Тепловое излучение 602
16. Рентгеновское излучение 605
17. Дозиметрия ионизирующего излучения 607
Литература 611
Приложения 613
Предметный указатель 616
Предисловие
Успешное проведение педагогического процесса возможно
при наличии у студентов разнообразной учебной литературы.
В этом отношении следует приветствовать инициативу, когда
в дополнение к официально утвержденной литературе издаются
новые учебные пособия. Такие пособия дополняют содержание
учебника, предлагают свои методические подходы, отражают
специализацию вузов.
К подобным изданиям относится и настоящее пособие «Крат-
«Краткий курс медицинской и биологической физики с элементами
реабилитологии». Пособие содержит достаточно компактное из-
изложение теоретического лекционного материала и задачи по выс-
высшей математике, математической статистике, биофизике, физи-
физике.
Отличительной особенностью является то, что в пособии
впервые представлена медико-реабилитационная направлен-
направленность медицинской и биологической физики — во многих лек-
лекциях содержится раздел: элементы реабилитологии. Это делает
пособие очень своевременным. Министерством здравоохранения
Российской Федерации в 2003 году принято «Положение об
организации деятельности врача восстановительной медицины».
Восстановительная, то есть реабилитационная, медицина, та-
таким образом, заняла важное место в системе медицинских
специальностей. Пособие несомненно полезно будущим врачам,
специализирующимся в области восстановительной и реабили-
реабилитационной медицины.
Пособие предназначается для студентов и преподавателей
медицинских вузов, однако оно представляет интерес и для сту-
студентов сельскохозяйственных и биологических вузов, а также
для студентов факультетов физической культуры и спортивных
врачей.
Профессор А.Н. Ремизов
План лекций
Лекция 1. Элементы теории вероятностей. Случайное собы-
событие. Объединение и пересечение событий. Классическое определение
вероятности, аксиомы теории вероятностей. Умножение и сложение
вероятностей. Полная группа событий. Относительная частота собы-
события, закон больших чисел.
Лекция 2. Распределение случайных величин. Случайные ве-
величины, их виды. Ряд распределения, плотность вероятностей, функ-
функция распределения. Числовые характеристики случайных величин.
Законы распределения. Нормальный закон распределения. Экспонен-
Экспоненциальный закон распределения. Распределение Больцмана.
Лекция 3. Элементы математической статистики. Основные
понятия. Числовые характеристики статистического ряда. Оценка па-
параметров генеральной совокупности по ее выборке: точечная оценка,
интервальная оценка. Интервальная оценка генеральной средней для
нормального закона распределения.
Лекция 4. Проверка статистических гипотез. Общие понятия.
Нулевая и альтернативная гипотезы. Задача проверки гипотез. Ошиб-
Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости. Проверка гипотез
относительно средних. Критерий Стьюдента. Проверка гипотез для
дисперсий, F-критерий Фишера. Ранговый непараметрический U-кри-
терий Вилкоксона [Wilcoxon].
Лекция 5. Корреляционный и регрессионный анализ. Функ-
Функциональная и корреляционная зависимости. Коэффициент линейной
корреляции и его свойства. Уравнение линейной регрессии. Метод
наименьших квадратов.
Лекция 6. Механические колебания. Свободные колебания:
гармонические и затухающие колебания. Вынужденные колебания. Ре-
Резонанс. Автоколебания. Сложение гармонических колебаний, направ-
направленных по одной прямой. Сложное колебание. Разложение сложного
колебания на простые. Гармонический спектр. Элементы реабилито-
логии. Колебательные движения тела при ходьбе, при вертикальном
План лекций
положении. Механические колебания сердца. Вибрация. Механотера-
Механотерапия.
Лекция 7. Механические волны. Механические волны и их
виды. Частота волны. Уравнение плоской волны. Длина волны. Энер-
Энергетические характеристики волны. Некоторые специальные разновид-
разновидности волн: ударные, поверхностные. Эффект Доплера и его исполь-
использование в медицине. Элементы реабилитологии. Анизотропия при
распространении поверхностных волн. Действие ударных волн на био-
биологические ткани.
Лекция 8. Акустика. Звук. Виды звука. Физические характе-
характеристики звука: скорость, интенсивность, звуковое давление, волно-
волновое сопротивление, уровень интенсивности. Характеристики слухового
ощущения: высота, тембр, громкость, закон Вебера-Фехнера, кривые
равной громкости. Звуковые измерения. Звуковые методы исследова-
исследования: аускультация, фонокардиография, перкуссия. Элементы реабили-
реабилитологии. Факторы, определяющие реабилитационную профилактику
шума. Защита от шума.
Лекция 9. Некоторые вопросы физики слуха. Звукопроводя-
Звукопроводящая и звуковоспринимающая части слухового аппарата. Роль наруж-
наружного уха. Роль среднего уха. Роль внутреннего уха. Определение лока-
локализации источника звука в горизонтальной плоскости — бинауральный
эффект. Определение локализации источника звука в вертикальной
плоскости. Элементы реабилитологии. Слуховые аппараты и протезы.
Лекция 10. Ультразвук и инфразвук. Излучатели и прием-
приемники ультразвука. Особенности распространения УЗ волны: малая
длина волны, направленность, поглощение, глубина полупоглощения,
преломление и отражение. Взаимодействие ультразвука с веществом:
деформация, кавитация, выделение тепла, химические реакции. Био-
Биофизическое действие УЗ. Использование УЗ в медицине: терапии,
хирургии, диагностике. Инфразвук и его воздействие на человека.
Элементы реабилитологии.
Лекция 11. Уравнение Вернул л и и его следствия. Условие
неразрывности струи. Уравнение Бернулли. Следствия уравнения Бер-
нулли: горизонтальная трубка тока переменного сечения, наклонная
трубка тока постоянного сечения, истечение жидкости из отверстия со-
сосуда, измерение скорости жидкости. Элементы реабилитологии. Прин-
Принцип работы инжектора, ингалятора.
Лекция 12. Вязкость жидкости. Внутреннее трение (вязкость)
жидкости. Уравнение Ньютона. Ньютоновские и неньютоновские жид-
жидкости. Ламинарное и турбулентное течение, число Рейнольдса. Форму-
Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление. Распределение давления
План лекций
при течении реальной жидкости по трубам различного сечения. Мето-
Методы определения вязкости жидкостей. Элементы реабилитологии. Ла-
минарность и турбулентность газового потока при наркозе. Введение
жидкостей через капельницу и шприц. Риноманометрия. Фотогемоте-
Фотогемотерапия.
Лекция 13. Механические свойства тканей. Способы дефор-
деформирования тел: растяжение, сжатие, сдвиг, изгиб, кручение. Виды
деформации. Механические свойства материалов и методы их исследо-
исследования. Механические модели: Максвелла, Кельвина—Фойгта, Зинера.
Механические свойства биологических тканей. Элементы реабилито-
реабилитологии. Повреждение трубчатых костей. Травма лица. Акустическая
анизотропия кожи — диагностический параметр.
Лекция 14. Физические основы гемодинамики. Гидродинами-
Гидродинамическая модель кровообращения. Сердце как насос. Пульсовая волна.
Скорость пульсовой волны. Физические основы клинического метода
измерения давления крови. Элементы реабилитологии. Значение дав-
давления крови и эластичности сосудов.
Лекция 15. Электричество и магнетизм. Электрический заряд.
Закон Кулона, электростатическое поле, напряженность. Потенциал,
разность потенциалов. Проводники и диэлектрики, относительная ди-
диэлектрическая проницаемость. Магнитное поле, магнитная индукция.
Магнитное поле в веществе, относительная магнитная проницаемость.
Электромагнитная индукция. Токи Фуко.
Лекция 16. Физические процессы в мембранах. Функции мем-
мембран. Структура и модели мембраны. Физические свойства мембран:
прочность, деформируемость, вязкость, электроемкость, жидкокри-
жидкокристаллическое состояние. Перенос молекул (атомов) через мембраны,
уравнение Фика. Перенос заряженных частиц, электродиффузионное
уравнение Нернста-Планка. Виды транспорта через мембраны: пас-
пассивный и активный.
Лекция 17. Биоэлектрические потенциалы. Ионные потоки
в мембране. Потенциал покоя. Уравнение Гольдмана-Ходжкина-Кат-
ца. Потенциал действия и его распространение. Волна возбуждения.
Лекция 18. Электрический диполь. Физические основы
электрографии. Электрический диполь. Диполь во внешнем элек-
электрическом поле. Электрическое поле диполя. Диполь в равносторон-
равностороннем треугольнике. Токовый диполь. Физические основы электрогра-
электрографии. Теория отведений Эйнтховена, три стандартных отведения. По-
Поле диполя-сердца, анализ электрокардиограмм. Векторкардиография.
Элементы реабилитологии. Физические факторы, определяющие ЭКГ.
План лекций 9
Лекция 19. Электромагнитные колебания. Свободные элек-
электромагнитные колебания. Апериодический разряд конденсатора. По-
Постоянная времени. Зарядка конденсатора. Электрический импульс
и импульсный ток. Элементы реабилитологии. Импульсная электро-
электротерапия.
Лекция 20. Переменный ток. Переменный ток и переменное на-
напряжение. Протекание переменного тока по резистору. Сопротивление
резистора, действующие значение тока и напряжения. Конденсатор
в цени переменного тока, емкостное сопротивление. Протекание пе-
переменного тока по идеальной катушке индуктивности, индуктивное
сопротивление. Протекание переменного тока по RLC-цепочке, им-
импеданс. Импеданс тканей организма. Эквивалентная электрическая
схема тканей. Реография.
Лекция 21. Электромагнитные волны. Уравнения электромаг-
электромагнитной волны. Свойства электромагнитных волн. Объемная плот-
плотность энергии электромагнитного поля. Шкала электромагнитных
волн. Классификация частотных интервалов, принятая в медицине.
Элементы реабилитологии. Влияние электромагнитных волн разного
диапазона на человека.
Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях
организма под воздействием токов и электромагнитных по-
полей. Действие постоянного тока. Действие переменного и импульсного
токов (НЧ, 34, УЗЧ). Пороговые значения тока: порог ощутимого
тока, порог неотпускающего тока. Действие высокочастотного тока.
Действие магнитного поля: постоянного, импульсного, гармоническо-
гармонического. Действие постоянного электрического поля. Действие переменного
электрического поля (УВЧ). Действие электромагнитных волн (СВЧ).
Лекция 23. Некоторые вопросы медицинской электроники.
Основные группы медицинских электронных приборов и аппаратов.
Электропроводимость тела человека. Электробезопасность медицин-
медицинской аппаратуры. Надежность медицинской аппаратуры, вероятность
безотказной работы, интенсивность отказов. Структурная схема съе-
съема, передачи и регистрации медико-биологической информации. Элек-
Электроды. Датчики медико-биологической информации, их характеристи-
характеристики. Элементы реабилитологии. Устройство электродов.
Лекция 24. Усилители. Генераторы. Характеристики усилите-
усилителей: амплитудная, частотная, коэффициент усиления. Особенности
усиления биоэлектрических сигналов. Генераторы, их классификация
и использование в медицине.
10 План лекций
Лекция 25. Интерференция света. Сложение волн от обычных
источников света. Сложение волн от когерентных источников. Интер-
Интерференция света. Условия интерференционных максимума и миниму-
минимума. Интерферометры, интерференционный микроскоп. Интерферен-
Интерференция в тонких пленках.
Лекция 26. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Ди-
Дифракция на щели в параллельных лучах. Дифракционная решетка.
Дифракционный спектр. Характеристики дифракционной решетки
как спектрального прибора. Рентгеноструктурный анализ.
Лекция 27. Поляризация света. Свет естественный и поляри-
поляризованный. Прохождение естественного света через поляризатор. Си-
Система «полязитор-анализатор». Закон Малюса. Способы получения
поляризованного света: поляризация при отражении и преломлении на
границе двух диэлектриков, поляризация при двойном лучепреломле-
лучепреломлении, призма Николя, дихроизм, поляроиды. Фотоупругость. Вращение
плоскости поляризации оптически активными веществами. Поляри-
метрия.
Лекция 28. Геометрическая оптика. Законы отражения и пре-
преломления света. Явление полного внутреннего отражения. Волоконная
оптика. Линзы. Оптическая сила линзы. Аберрация линз. Оптическая
система глаза. Недостатки оптической системы глаза. Элементы реа-
билитологии. Акустическая биомеханика глаз.
Лекция 29. Микроскопия. Лупа, увеличение лупы. Оптическая
система микроскопа. Ход лучей в микроскопе. Увеличение микроско-
микроскопа. Предел разрешения. Разрешающая способность. Полезное увели-
увеличение. Специальные приемы и методы микроскопии. Электронный
микроскоп.
Лекция 30. Тепловое излучение. Характеристики теплового из-
излучения: поток излучения, энергетическая светимость, спектральная
плотность энергетической светимости, коэффициент поглощения. Чер-
Черное тело и спектр его излучения. Закон Кирхгофа. Законы излучения
черного тела: формула Планка, закон Стефана-Больцмана, закон Ви-
Вина. Излучение Солнца. Физические основы термографии. Теплообмен
человека и среды. Элементы реабилитологии. Светолечение. Лечебное
применение ультрафиолета.
Лекция 31. Рентгеновское излучение. Природа рентгеновского
излучения. Тормозное рентгеновское излучение, его спектр, корот-
коротковолновая граница. Характеристическое рентгеновское излучение.
Взаимодействие рентгеновского излучения с веществом: когерентное
рассеяние, фотоэффект, некогерентное рассеяние. Физические основы
использования рентгеновского излучения в медицине.
План лекций 11
Лекция 32. Радиоактивность. Естественная и искусственная ра-
радиоактивность. Основной закон радиоактивного распада. Активность.
Основные типы радиоактивного распада. Количественные характери-
характеристики взаимодействия ионизирующего излучения с веществом: линей-
линейная плотность ионизации, линейная тормозная способность, средний
линейный пробег. Биофизические основы действия ионизирующего
излучения. Элементы реабилитологии. Радиофармацевтические пре-
препараты.
Лекция 33. Дозиметрия. Детекторы ионизирующего излучения.
Использование радионуклидов в медицине. Ускорители заряженных
частиц и их использование в медицине. Дозиметрия ионизирующего
излучения. Поглощенная, экспозиционная, эквивалентная и эффек-
эффективная эквивалентные дозы. Соотношения между различными доза-
дозами. Мощность дозы. Дозиметрические приборы. Способы защиты от
ионизирующего излучения. Элементы реабилитологии. Газ родон.
Лекция 34. Элементы квантовой механики. Волновая функ-
функция, ее физический смысл. Соотношения неопределенностей. Уравне-
Уравнение Шредингера. Решение уравнения Шредингера для частицы в «по-
«потенциальной яме». Электронные энергетические уровни атомов. Энер-
Энергетические уровни молекул. Электронные, колебательные, вращатель-
вращательные движения молекулы. Излучение и поглощение энергии атомами
и молекулами.
Лекция 35. Взаимодействие света с веществом. Поглоще-
Поглощение света. Закон Бугера. Поглощение света растворами. Закон Бу-
гера—Ламберта—Бера. Коэффициент пропускания, оптическая плот-
плотность, концентрационная колориметрия. Спектры поглощения. Рассея-
Рассеяние света. Рассеяние в мутных средах — явление Тиндаля. Молекуляр-
Молекулярное рассеяние на оптических неоднородностях. Зависимость рассеяния
от длины волны, закон Рэлея. Ослабление при совместном действии
поглощения и рассеяния. Элементы реабилитологии. Факторы, влия-
влияющие на рассеяние света в атмосфере. Оптические параметры кожи
в области видимого света.
Лекция 36. Люминесценция. Виды люминесценции. Некоторые
характеристики люминесценции. Фотолюминесценция: флуоресцен-
флуоресценция, фосфоресценция. Основные законы люминесценции: закон Сток-
са, закон Вавилова. Хемилюминесценция. Использование люминесцен-
люминесценции в биологии и медицине.
Лекция 37. Фотобиологические процессы. Фотобиологические
процессы, их основные стадии. Квантовый выход и поперечное сечение
фотохимических превращений молекул. Спектры поглощения и спек-
спектры фотобиологического действия. Действие УФ-излучения на биоло-
биологические объекты как пример фотобиологического процесса. Элемен-
Элементы реабилитологии. Действие света на человека.
12 План лекций
Лекция 38. Лазеры. Лазерное излучение. Квантовые перехо-
переходы. Распределение по энергетическим уровням. Активная среда. Об-
Общий принцип действия лазера. Работа рубинового и гелий-неонового
лазеров. Особенности лазерного излучения. Характеристики лазерно-
лазерного излучения, применяемого в медицине. Взаимодействие лазерного
излучения с биообъектами. Динамика изменения свойств ткани и ее
температуры при действии непрерывного мощного лазерного излу-
излучения. Использование лазерного излучения в диагностике, терапии
и хирургии. Меры безопасности при работе с лазерами.
Лекция 39. Магнитные свойства вещества. Магнетики. Маг-
Магнитные моменты электрона. Намагниченность. Парамагнетики. Диа-
магнетики. Ферромагнетики. Понятие о магнитобиологии. Понятие
о биомагнетизме. Магнитный резонанс. Электронный парамагнитный
резонанс (ЭПР). Ядерный магнитный резонанс (ЯМР). ЯМР-томогра-
фия (магниторезонансная томография) как диагностический метод.
Часть I
ЛЕКЦИИ
Лекция 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. Случайное событие. Объединение и пересечение событий.
2. Классическое определение вероятности, аксиомы теории вероят-
вероятностей.
3. Сложение и умножение вероятностей. Полная группа событий.
4. Относительная частота события, закон больших чисел.
§ 1.1. Случайное событие.
Объединение и пересечение событий
Теория вероятностей изучает закономерности, присущие слу-
случайным событиям массового характера, и оперирует такими по-
понятиями, как опыт (эксперимент), исход опыта, событие.
Опыт проводится при соблюдении некоторого комплекса
условий, которые создаются искусственно или осуществляются
независимо от воли экспериментатора. То, что непосредственно
получается в результате опыта, есть его элементарный
исход, и каждый опыт заканчивается только одним исходом,
обозначим его uoi. Совокупность всех возможных исходов
опыта (o;i, с^2, • • • , un) определяется его сутью и условиями,
в которых он проводится.
Совокупность всех исходов опыта называется мно-
эюеством элементарных исходов и обозначается
буквой п.
Понятия теории вероятностей удобно иллюстрировать на
примерах азартных игр. Так, при игре в кости бросаются не-
несколько кубиков, грани которых помечены числами от 1 до 6.
Множество элементарных исходов при броске одного кубика со-
состоит из всех этих чисел: ?1 = A, 2, ...,6). При игре в рулетку
шарик попадает в одну из 37 лунок, помеченных числами от О
до 36. Поэтому ft = (О, 1, . . . , 36). Лунки имеют и дополнитель-
дополнительные метки: 18 лунок покрашены в красный цвет, 18 — в черный,
лунка 0 — желтого цвета.
§1.1. Случайное событие. Объединение и пересечение событий 15
1.1.1. Случайное событие. В теории вероятностей рассматри-
рассматриваются ситуации, когда
• все возможные исходы опыта известны, иначе говоря, мно-
множество О = (cji, с<;2, • • • , ^n) известно, но
• конкретный исход опыта заранее предсказать нельзя.
Например, при бросании игральной кости исходом является вы-
выпадение одной из шести граней, а при игре в рулетку — попадание
шарика в одну из 37 лунок.
При проведении опыта, как правило, важны не только кон-
конкретные исходы, но и их совокупности. Например, если при игре
в рулетку мы делаем ставку на «красное», то мы выигрываем
при попадании шарика в любую лунку красного цвета и проиг-
проигрываем в противном случае. Таким образом, нас интересует не
конкретное выпавшее значения, а только его цвет.
Случайным событием или просто событием на-
называется любая совокупность исходов опыта.
В последнем примере событиями являются выигрыш — попада-
попадание шарика в красную лунку, и проигрыш — попадание в лунку
другого цвета.
Случайные события будем обозначать заглавными латински-
латинскими буквами (Л, В, С, . . .).
Исход опыта, при котором наступает данное собы-
событие, называется благоприятствующим или благо-
благоприятным.
Событие считается наступившим, если имеет место один из бла-
благоприятствующих исходов.
1.1.2. Объединение и пересечение событий.
Объединением {суммой) двух событий А, В назы-
называется событие, состоящее в наступлении хотя бы
одного из них.
Объединение событий обозначается А + В или A U В (читается:
А или В).
Событие А + В представляет собой совокупность исходов, ка-
каждый из которых принадлежит хотя бы одному из событий Л, В.
Произведением {пересечением) двух событий А,
В называется событие, состоящее в наступлении
их обоих.
16
Лекция 1. Элементы теории вероятностей
Произведение событий обозначается А • В, или А В, или А Г) В
(читается: А и В).
Событие А - В представляет собой совокупность исходов,
принадлежащих каждому из событий А, В.
Действия над событиями удобно изображать графически
с помощью диаграмм Эйлера-Венна (см. рис. 1.1).
О
О
Рис. 1.1. Объединение и пересечение событий
Важное место в теории вероятности занимают несовместные
события.
Несовместными называются события, которые
не могут произойти одновременно.
У несовместных событий нет общих исходов, поэтому они изоб-
изображаются непересекающимися фигурами (см. рис. 1.2).
Рис. 1.2. Несовместные события не пересекаются
§ 1.2. Классическое определение вероятности,
аксиомы теории вероятностей
Наблюдая случайные события, мы видим, что одни происхо-
происходят чаще, другие — реже. Для того чтобы сравнивать случай-
случайные события по степени возможности их наступления, следует
с каждым из них связать какое-то число, которое тем больше,
чем более возможно это событие. Одним из вариантов является
введение вероятности события.
§ 1.2. Классическое определение вероятности 17
Вероятность — это количественная характери-
характеристика возможности появления случайного собы-
события.
Вероятность обозначается буквой «Р»: например, вероятность
события А обозначается как Р(Л).
Свое первоначальное развитие теория вероятностей получила
на материале азартных игр и применялась к опытам, все исходы
которых равновозможны.
Равновозмоэюными называются исходы, возмож-
возможности наступления которых в силу объективных
причин до л лены быть одинаковы.
Например, если игральный кубик однороден и симметричен, то
возможности выпадения всех его граней одинаковы.
Разберем, каким образом вводится понятие вероятности для
опыта с равновозможными исходами.
1.2.1. Классическое определение вероятности. Пусть выпол-
выполняется опыт, в результате которого обязательно появляется
один из N равновозможных несовместных исходов: ft =
= (с*Л, ^2, • • • , un)- Рассмотрим некоторое событие Л, яв-
являющееся подмножеством множества ft. Обозначим Мд —
количество элементарных исходов, входящих в А В этом случае
используют следующее определение вероятности:
Вероятность случайного события А — это отно-
отношение числа исходов Мд, благоприятствующих со-
событию Л, к общему числу равновозможных несов-
несовместных исходов N:
РА = MA/N. A.1)
Исторически за этой формулой закрепилось название «Клас-
«Классическое определение вероятности». Это был первый количе-
количественный результат формирующейся теории. Он позволил строго
определять шансы на успех в различного рода азартных играх.
Рассмотрим применение этого определения к игре в кости.
Задача. Игроки А и В играют, бросая по 2 кости. Игрок А
выигрывает в том случае, когда сумма выпавших очков равна 7.
Игрок В выигрывает в том случае, когда сумма выпавших очков
равна 8. Кому выгодна эта игра?
18
Лекция 1. Элементы теории вероятностей
Решение. Выпадения различных граней одной игральной
кости (однородного куба) — это события очевидно равновозмож-
ные и несовместные, так как две грани одновременно выпасть не
могут.
Построим множество ft для задачи одновременного броса-
бросания двух костей. Мы имеем ft± = A, 2, 3, 4, 5, 6) и О2 =
= A, 2, 3, 4, 5, 6). Множество ft формируется из всех возмож-
возможных комбинаций выпавших граней и состоит из 36 элементов,
записанных в таблице.
1
2
3
4
5
6
1
1Д
2,1
3,1
4,1
5,1
6,1
2
1,2
2,2
3,2
4,2
5,2
6,2
3
1,3
2,3
3,3
4,3
5,3
6,3
4
1,4
2,4
3,4
4,4
5,4
6,4
5
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
6
1,6
2,6
3,6
4,6
5,6
6,6
Игроку А (событие А) благоприятствуют 6 исходов A,6; 6,1;
2,5; 5,2; 3,4; 4,3), а игроку В (событие В) — только 5 исходов
B,6; 6,2; 5,3; 3,5; 4,4). Общее число исходов — 36. Используя
классическую формулу, найдем: P(v4) = 6/36, Р(В) = 5/36.
Таким образом, игроку А игра выгоднее.
1.2.2. Аксиомы теории вероятностей. В соответствии с «клас-
«классическим определением» вероятность любого события заключена
между нулем и единицей. Эти граничные значения установлены
по отношению к двум специальным событиям.
1. Достоверным называется событие, которое в результате
эксперимента должно произойти обязательно. Такое событие
представляет собой множество всех элементарных исходов и бы-
было обозначено выше буквой ft.
2. Невозможным называется событие, которое в данном опы-
опыте произойти не может. Например, при игре в рулетку не может
выпасть число 38 — его просто нет на колесе. Невозможное
событие обозначают символом 0.
§ 1.3. Умножение и сложение вероятностей 19
Вероятность достоверного события принимают
за единицу:
Р(П) = 1.
Вероятность невозмоснсного события принимают
за ноль:
Р@) = 0.
К этим свойствам вероятности добавляют еще две аксиомы:
1. Вероятность любого события А лежит между нулем и еди-
единицей:
0< Ра < 1.
2. Для несовместных событий:
Р(А + В) = Р{А) + Р(В). A.2)
Эту аксиому иногда называют 1-й теоремой сложения вероят-
вероятностей: вероятность объединения несовместных событий равна
сумме вероятностей этих событий.
§ 1.3. Умножение и сложение вероятностей.
Полная группа событий
Перечисленные свойства и аксиомы сделали теорию веро-
вероятностей строгой наукой и позволили получить ряд важных
для практики результатов. Один из них используют для рас-
расчета вероятности пересечения независимых событий. Понятие
независимости занимает в теории вероятностей важное место
и определяется следующим образом.
События А и В называются независимыми, если
факт наступления одного из них не меняет веро-
вероятности наступления другого.
Для независимых событий теорема умножения вероятностей
имеет следующий вид: вероятность события, которое является
произведением независимых событий Аи В, равна произведению
их вероятностей:
Р(А-В) = Р(А)-Р(В). A.3)
Замечание. Соотношение A.3) используют в теории ве-
вероятностей для проверки независимости событий А и В: если
выполнено равенство A.3), то события А и В — независимы.
20 Лекция 1. Элементы теории вероятностей
Пример. Пусть в одной урне находятся 5 черных и 10 белых
шаров, а в другой урне — 3 черных и 17 белых. Найти вероят-
вероятность того, что при извлечении по одному шару из каждой урны
оба шара окажутся черными.
Событие А — извлечение черного шара из первой урны:
Р(Л) = 5/15 = 1/3.
Событие В — извлечение черного шара из второй урны:
Р(Б) = 3/20.
Событие А - В — оба шара имеют черный цвет:
Р(Л . В) = Р(А) • Р(В) = 1/3 • 3/20 = 1/20.
Следующий результат обобщает аксиому сложения вероятно-
вероятностей для объединения двух произвольных событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А • В). A.4)
Пример. Пусть в одной урне находятся 5 черных и 10 белых
шаров, а в другой урне — 3 черных и 17 белых. Найти вероят-
вероятность того, что при извлечении по одному шару из каждой урны
хотя бы один шар окажется черным. Используя значения Р(А),
Р(В) и Р(Л • В), полученные в предыдущем примере, найдем
Р(Л + В) = 1/3 + 3/20 - 1/20 = 22/60.
1.3.1. Полная группа событий.
В некоторых случаях при решении задач множество элемен-
элементарных исходов разбивают на несколько несовместных (непере-
(непересекающихся) событий.
Полная группа событий — это несколько несов-
несовместных событий Ai, A2, ..., Ад., объединение ко-
которых дает всё множество элементарных исходов:
Из аксиомы сложения вероятностей вытекает, что для полной
группы событий сумма всех вероятностей равна единице (условие
нормировки):
ЕР(Л) = 1. A.5)
1 = 1
§ 1.4. Относительная частота события, закон больших чисел 21
Простейшим примером полной группы событий являются два
противоположных события.
Противоположные события Am A — такие два со-
события, из которых одно и только одно обязательно
произойдет.
Вероятности таких событий дополняют друг друга до единицы:
§ 1.4. Относительная частота события,
закон больших чисел
Условия, в которых допустимо использовать классическое
определение вероятности, встречаются чрезвычайно редко, по-
поскольку опыты с равновозможными исходами скорее исключе-
исключение, чем правило. Например, при стрельбе по мишени возможны
два исхода — попадание и промах. Очевидно, что ни о какой
равновозможности этих исходов говорить не приходится.
Если же исходы не являются равновозможными, то вероят-
вероятность события нельзя вычислять по формуле 1.1. В этом случае
ее оценивают экспериментально. Проводят серию одинаковых
опытов и подсчитывают, в скольких из них данное событие имело
место. Пусть была проведена серия из п опытов и событие А
произошло в гпа из них.
Относительной частотой некоторого события
в данной серии опытов называют отношение числа
опытов, в которых событие произошло, к общему
числу проведенных опытов:
Р* = тА/п. A.6)
При небольшом п относительная частота события носит в зна-
значительной степени случайный характер. Однако по мере уве-
увеличения числа проведенных опытов частота все больше теряет
свой случайный характер: она проявляет тенденцию стабилизи-
стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к неко-
некоторой постоянной величине. Ниже приводится таблица, в кото-
которую для серии из 600 опытов бросания симметричной монеты
занесены частоты выпадения герба.
22
Лекция 1. Элементы теории вероятностей
Число опытов п
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
р*
0,650
0,575
0,550
0,512
0,490
0,492
0,500
0,475
0,472
0,465
Число опытов п
220
240
260
280
300
320
340
360
380
400
р*
0,472
0,479
0,477
0,482
0,497
0,503
0,506
0,497
0,492
0,498
Число опытов п
420
440
460
480
500
520
540
560
580
600
Р*
0,502
0,507
0,504
0,504
0,500
0,494
0,496
0,500
0,495
0,499
При большом числе испытаний относительная частота собы-
событий стабилизируется; увеличение числа испытаний уменьшает
колебание частоты события около постоянной величины. Поэто-
Поэтому справедливо следующее утверждение, называемое законом
больших чисел:
при неограниченном увеличении числа испытаний
частота события стремится к его вероятности:
ГПА
> Р(А) при п -> ос.
A.7)
Это соотношение иногда называют статистическим опреде-
определением вероятности. В соответствии с законом больших чисел,
за вероятность события можно принять его относительную ча-
частоту при большом числе испытаний.
Лекция 2
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1. Случайные величины, их виды.
2. Ряд распределения, плотность вероятности, функция распреде-
распределения.
3. Числовые характеристики случайных величин.
4. Законы распределения. Нормальный закон распределения.
5. Экспоненциальный закон распределения. Распределение Больц-
мана.
§ 2.1. Случайные величины, их виды
Часто со случайными событиями связывают числовые зна-
значения. Например, на гранях кубика написаны числа, поэтому
выпадение какой-либо грани есть выпадение соответствующего
числа. При повторных бросаниях кубика выпадающие числа
будут меняться случайным образом. В этом случае говорят о слу-
случайной величине.
Под случайной величиной понимается величина,
значения которой зависят от результатов опытов
со случайными исходами.
Случайные величины обозначают большими буквами (X,
У, . . .), а их значения — малыми буквами (ж, ?/, . . .).
Из множества всех случайных величин выделяют два наибо-
наиболее часто встречающихся вида: дискретные и непрерывные.
Дискретная случайная величина — такая случай-
случайная величина, которая может принимать только
конечное или счетное множество значений.
Эти значения нумеруются х\, x<i, Ж3, . . ., а вероятности их
появления обозначаются pi, р^ Рз?
Непрерывная, случайная величина — такая случай-
случайная величина, которая может принимать любое
значение в некотором определенном интервале.
24
Лекция 2. Распределение случайных величин
§ 2.2. Ряд распределения, функция распределения,
плотность вероятности
2.2.1. Ряд распределения. Дискретная случайная величина
считается заданной, если известны ее возможные значения х\,
Ж2, . . ., хп и соответствующие им вероятности pi, p2, • • • Рп-
Совокупность X и Р, заданная в виде таблицы, называется рядом
распределения, или распределением дискретной случайной вели-
величины:
X
р
Pi
Р2
хз
Рз
хп
Рп
Так как совокупность всех возможных значений дискретной
случайной величины образует полную группу событий, то сумма
их вероятностей равна единице:
B.1)
1 = 1
2.2.2. Функция распределения. Непрерывную случайную ве-
величину нельзя задать рядом распределения, так как для нее
вероятность каждого отдельного значения равна нулю. Поэтому
для непрерывной величины сначала вводят функцию распределе-
распределения F(x), значение которой в каждой точке х равно вероятности
того, что случайная величина X примет значение, не превосхо-
превосходящее х:
F(x) = Р(Х < х). B.2)
Укажем основные свойства этой функции:
1. F(x) — неубывающая функция;
2. F(—оо) = 0 (х ^ —оо — невозможное событие);
3. F(+oo) = 1 (х ^ +оо — достоверное событие);
4. Р(ж1 < X < Х2) = F(x2) — F(xi) для х\ < х^.
2.2.3. Плотность распределения. В силу первых трех свойств
графики функций распределения вероятностей для всех случай-
случайных величин обладают общим свойством: возрастают от 0 до 1.
Для дифференцируемых функций на практике помимо функции
распределения используют ее производную.
§ 2.2. Ряд распределения, функция распределения 25
Плотностью распределения (или плотностью
вероятности) f(x) непрерывной случайной
величины называется производная от функции
распределения:
f(x) = F'(x) или f(x) = dF/dx. B.3)
Плотность распределения имеет следующее вероятностное
истолкование: вероятность того, что непрерывная случайная
величина X принимает значения из малого интервала
(ж, х + dx), равна произведению плотности вероятности на
ширину интервала:
f{x)-dx. B.4)
по опре-
определению
Вероятность попадания случайной величины в некоторый
интервал (а, Ь) определяется выражением
6
?{а < х < b) = I f(x) dx = F(b) - F(a). B.5)
a
Плотность вероятности случайной величины удовлетворяет
условию нормировки:
+ ОО
f(x)dx = 1. B.6)
—оо
Со случайной величиной связаны различные характеристи-
характеристики; приведем две из них.
Если плотность распределения f(x) непрерывной
случайной величины имеет максимум, то точка
максимума называется модой (Mod). Распределе-
Распределение случайной величины с единственным макси-
максимумом называется одномодальным.
Можно сказать, что мода — это наиболее вероятное значение
случайной величины.
Медианой непрерывной случайной величины на-
называется такое ее значение Med, для которого вы-
выполняется условие:
Р(Х < Med) = Р(Х > Med) = 0,5.
26 Лекция 2. Распределение случайных величин
Вероятности того, что значение случайной величины окажется
левее или правее медианы, одинаковы.
§ 2.3. Числовые характеристики случайных
величин
Ряд распределений и плотность распределения вероятностей
несут полную информацию о соответствующей случайной вели-
величине, однако при решении многих практических вопросов наибо-
наиболее часто используются две числовые характеристики случайной
величины: математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание дискретной случай-
случайной величины есть число, равное сумме произве-
произведений всех возможных значений случайной вели-
величины на вероятность этих значений:
г=1
Для непрерывной случайной величины суммирование заме-
заменяется интегрированием.
Математическое ожидание непрерывной случай-
случайной величины — это число, равное определенному
интегралу от произведения случайной величины
на ее плотность распределения:
+ ОО
М(Х) = I* x-f{x)dx. B.7)
Возможные значения случайной величины рассеяны вокруг
ее математического ожидания М(Х): часть из них превышает
М(Х), часть — меньше М(Х). Рассеяние значений случайной
величины вокруг ее математического ожидания оценивают с по-
помощью дисперсии.
Дисперсия — это математическое ожидание квад-
квадрата отклонения случайной величины от ее мате-
математического ожидания:
D(X) = N\[X -ЩХ)}2. B.8)
§ 2.3. Числовые характеристики случайных величин 27
Формулы для расчета дисперсии дискретной и непрерывной слу-
случайных величин имеют следующий вид:
"«Р», B-9)
г=1
+оо
D(X)= [ [х-ЩХ)]2- f{x)dx. B.10)
—оо
Другое выражение для вычисления дисперсии имеет вид:
D(X) = ЩХ2) - [ЩХ)}2. B.11)
Оно означает, что дисперсия равна разности между математиче-
математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее
математического ожидания.
Как следует из формул для D(X), эта величина имеет раз-
размерность квадрата случайной величины. Оценивать разброс зна-
значений случайной величины в квадратных единицах неудобно.
Поэтому для этой цели используют среднее квадратическое от-
отклонение.
Среднее квадратическое отклонение (СКО) — это
квадратный корень из дисперсии:
ах = л/Щх) B.12)
(иногда употребляют термин «стандартное откло-
отклонение»).
При обработке данных над случайными величинами выпол-
выполняют математические действия, в результате которых получают-
получаются новые случайные величины. Покажем, как меняются при этом
математические ожидания и дисперсии.
1. При сложении случайной величины с константой (с) кон-
константа добавляется к математическому ожиданию, а дисперсия
и СКО не меняются:
М(Х + с) = М(Х) + с; D(X + с) = D(X).
2. При умножении (делении, к ф 0) случайной величины на
константу (к) математическое ожидание умножается (делится)
на эту константу, а дисперсия — на ее квадрат:
= к • М(Х); D(k • X) = к2 • D(X); акх = к • ах\
28
Лекция 2. Распределение случайных величин
ЩХ/к) = ЩХ)/к; D(X/k) = D(X)/k2; ax/k = ах/к.
3. При сложении случайных величин (как независимых, так
и зависимых) их математические ожидания складываются:
M(Xi + Х2) = ЩХг) + М(Х2).
4. При сложении независимых случайных величин их диспер-
дисперсии складываются:
§ 2.4. Законы распределения непрерывных
случайных величин
Рассмотрим некоторые важные для практического использо-
использования законы распределения вероятностей случайных величин.
2.4.1. Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Слу-
Случайная величина X распределена по нормальному закону, если
она определена на всей числовой оси и ее плотность вероятности
определяется формулой:
{х-аJ'
1
а
• ехр -
2а2
B.13)
где а = М(Х) — математическое ожидание случайной величины,
а — ее среднее квадратическое отклонение.
На рис. 2.1 показаны графики функции распределения
и плотности вероятности для этого закона распределения.
F(x)\
1
0,5
0 а х 0 а х
Рис. 2.1. Вид функции распределения F(x) и плотности вероятности
f(x) для нормального закона распределения
§ 2.4. Законы распределения непрерывных случайных величин
29
Отметим некоторые свойства графика плотности вероятно-
вероятностей нормального закона распределения, показанного на рис. 2.1.
1. График плотности распределения вероятностей нормаль-
нормального закона имеет симметричный колоколообразный вид; линия
симметрии проходит через математическое ожидание случайной
величины (х = а).
2. В точке х = а функция достигает максимума: /тах =
3. При изменении параметра а и неизменном а график будет
перемещаться вдоль оси ОХ, сохраняя свою форму.
4. Параметр а характеризует форму кривой распределения:
чем меньше а, тем «уже» и «выше» график.
Важность нормального закона распределения состоит в том,
что этому закону обычно подчиняются случайные погрешности
прямых измерений.
Случайными величинами являются многие характеристики
технических или биологических систем. При изменении состоя-
состояния системы — например, при заболевании — меняются и ха-
характеристики соответствующих случайных величин. На рис. 2.2
показаны различия в плотностях распределений вероятностей
для температуры тела в норме и при патологии.
f(t)
Норма
Л а = 36,5
...
°с
°с
Патология
а =
38
= 2
°С
°с
1,5-
1-
0,5™
0
35 36 37 38 39 40 t
Рис. 2.2. Функция распределения температуры тела человека в норме
и при патологии
30 Лекция 2. Распределение случайных величин
Вероятность того, что нормально распределенная случайная
величина примет значение из некоторого интервала {х\, х2)^
вычисляется с помощью функции распределения вероятностей
нормального закона с математическим ожиданием 0 и дисперси-
дисперсией 1 (говорят «нормальной, 7V@, 1)»):
х
Ф(х) = -^= I ехр (-ж2/2) • dx, B.14)
таблицы которой представлены в учебниках по теории вероятно-
вероятностей. Как правило, значения этой функции приводятся только
для неотрицательных значений аргумента. Чтобы получить ее
значения для отрицательных значений, используют следующее
правило:
Ф(-х) = 1-Ф(ж). B.15)
Расчет вероятности производится по формуле:
X < х2) = Ф[(х2 - а)/а] - Ф[(Х1 - а)/а]. B.16)
Приведем вывод этой формулы. Пусть X ~ TV (а; а2) нор-
нормальна с математическим ожиданием а и дисперсией а2. Тогда
Y = rsj N@] 1) нормальна с математическим ожидани-
(j
ем 0 и дисперсией 1. Следовательно, если понадобится вычислить
Р{х\ ^ X ^ Х2\ для X rsj N(a; а2), делаем этот так:
X ^ Х2) = Р(ж1 — а ^ X — а ^ Х2 — а) =
= р (х^~а < Х ~а < х2-а\ = ф
В качестве иллюстрации применения формулы B.16) вы-
вычислим вероятность того, что отклонение нормально распреде-
распределенной случайной величины от математического ожидания не
превысит значения к • а. В этом случае х\ = а — к • а, х2 = а +
+ к - a; (xi — а)/а = —/с, (х2 — а)/а = к. По формулам B.15),
B.16) получим:
Р(-к -а^Х-а^к-а) = Ф(к) - Ф(-к) = 2Ф(к) - 1. B.17)
По таблицам найдем: ФA) = 0,8413; ФB) = 0,9772; ФC) =
= 0,9987.
§2.5. Экспоненциальный закон распределения
31
Подставив эти значения в формулу B.17), получим:
Р(-сг <Х-а< сг) = 0,6826,
Р(-2сг < X - а < 2а) = 0,9544, B.18)
Р(-За <С X - а < За) = 0,9974.
Последнее число показывает, что вероятность отклонения
нормально распределенной случайной величины от среднего бо-
более, чем на За, составляет всего 0,26%. Соотношения B.18)
наглядно можно показать на графике, рис. 2.3.
± Зет, 99,7%
± 2ст, 95,4%
± а, 68,3%
-Зет —2сг -а а +а +2cj +3cr
Рис. 2.3. Вероятности отклонения нормально распределенной случай-
случайной величины от математического ожидания
§ 2.5. Экспоненциальный закон распределения.
Распределение Больцмана
Непрерывная случайная величина с положительными значе-
значениями, плотность вероятностей которой задана формулой
f(x) =
,-А-ж
B.19)
называется распределенной по экспоненциальному закону.
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратиче-
ское отклонение равны, соответственно:
М(Х) = I/A, D(X) = 1/А2, а(Х) = 1/А.
B.20)
Распределение частиц по потенциальным энергиям в силовых
полях называют распределением Больцмана.
Применительно к гравитационному полю это распределение
может быть записано в виде зависимости концентрации п мо-
молекул от высоты h над уровнем Земли или от потенциальной
32
Лекция 2. Распределение случайных величин
энергии mgh:
п = п0 • exp(-mghfkT), B.21)
где по — концентрация молекул у поверхности Земли, т —
масса молекулы, к — постоянная Больцмана, Т — абсолютная
температура.
Графически эта зависимость изображена на рис. 2.4.
щ
О h
Рис. 2.4. Распределение Больцмана
Лекция 3
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ
1. Основные понятия.
2. Числовые характеристики статистического ряда.
3. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке:
точечная оценка, интервальная оценка.
4. Интервальная оценка генерального среднего для нормального
закона распределения.
Законы теории вероятностей — это математическое выра-
выражение реальных закономерностей, фактически существующих
в массовых случайных явлениях. Существует специальный раз-
раздел математики, задачей которого является разработка практи-
практических методов регистрации, описания и анализа эксперимен-
экспериментальных данных, получаемых в опытах с массовыми случайными
явлениями.
Математическая статистика — раздел матема-
математики, посвященный математическим методам об-
обработки, систематизации и использования стати-
статистических данных для научных и практических
выводов.
Основными «кирпичиками» здания математической стати-
статистики являются понятия генеральной совокупности и выборки.
§ 3.1. Основные понятия
Генеральная совокупность — подлежащая изуче-
изучению совокупность однородных элементов, харак-
характеризуемых некоторыми признаками.
Например, если нас интересует распространенность в регионе
какого-либо заболевания, то генеральная совокупность — все
население региона. Если же мы хотим выяснить подверженность
этому заболеванию мужчин и женщин по отдельности, то следует
2 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
34 Лекция 3. Элементы математической статистики
рассматривать две генеральные совокупности. Обычно генераль-
генеральная совокупность имеет очень большой объем. Поэтому для изу-
изучения свойств генеральной совокупности отбирают некоторую
часть ее элементов.
Выборка — часть генеральной совокупности, вы-
выбираемая для статистической обработки.
Свойства объектов выборки должно соответствовать свойствам
объектов генеральной совокупности.
Результаты исследования некоторого признака генеральной
совокупности будут более надежны, если выборку формировать
случайным образом, т. е. элементы берутся наугад и каждый из
них может попасть в нее с одинаковой вероятностью. Кроме
того, выборка должна иметь достаточно большой объем и быть
репрезентативной (представительной).
Вопрос о том, как сформировать выборку, которая доста-
достаточно хорошо представляет генеральную совокупность, и как
определить объем выборки, необходимый для получения досто-
достоверных результатов, является одним из главных вопросов стати-
статистического оценивания.
Рассмотрим подробнее вопрос об исследованиях распределе-
распределения количественного признака. Для статистической обработки
используют значения исследуемого признака, полученные для
данной выборки. Каждое такое значение называют вариантой.
Нередко значения вариант записывают в виде таблиц.
Простой статистический ряд — значения иссле-
исследуемого признака, записанные для всех элементов
выборки в том порядке, в котором они были полу-
получены.
Пример простого статистического ряда для выборки из
20 элементов приведен в табл. 3.1 (X — скорость поверхностной
волны в коже, м/с; п — номер наблюдения).
п
X
1
35
2
32
3
38
4
34
5
42
Простой (
6
36
7
39
8
33
статистический ряд
9
28
10
47
11
39
12
33
13
39
14
41
15
40
г
Габлица
16
46
17
28
18
37
19
36
3.1
20
38
§3.1. Основные понятия
35
Из данных табл. 3.1 видно, что некоторые значения варианты
в данной выборке повторяются. Для сокращения записи полу-
полученные данные располагают в упорядоченном (ранжированном)
виде и указывают относительные частоты (р*) этих значений.
Вариационный статистический ряд — значения
полученных признаков, записанные в упорядочен-
упорядоченном виде с указанием их относительных частот.
Вариационный статистический ряд для примера, рассмотренного
выше, представлен в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Вариационный статистический ряд
X
28
0,1
32
0,05
33
0,1
34
0,05
35
0,05
36
0,1
37
0,05
38
0,1
39
0,15
40
0,05
41
0,05
42
0,05
46
0,05
47
0,05
Вариационный статистический ряд можно изобразить графи-
графически. Для этого берут систему координат, в которой по оси
абсцисс отложены варианты, а по оси ординат — относитель-
относительные частоты. Построив точки вариационного ряда и соединив
их ломаной линией, получают полигон относительных частот,
приведенный на рис. 3.1.
0,2-
o,i-
0
27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47
Рис. 3.1. Полигон относительных частот
49
Если относительные частоты всех значений ряда малы, то
полигон относительных частот выглядит «неубедительно» и не
дает наглядного представления о статистических закономерно-
закономерностях распределения значений признака. В практических иссле-
исследованиях интервал изменения признака разбивают на несколь-
несколько интервалов равной ширины и подсчитывают относительные
частоты попадания признака в эти интервалы. Если область
изменения разбита на к интервалов, то ширина интервала равна:
Ах = (Хтах - Хт[п)/к.
36
Лекция 3. Элементы математической статистики
Поскольку каждая точка является границей двух интервалов,
то во избежание недоразумений придерживаются следующего
соглашения: к интервалу (а, Ь) относят значения варианты, удо-
удовлетворяющие неравенству:
а < X < Ъ.
Интервальный статистический ряд образуют
интервалы значений вариант и относительные
частоты их попадания в эти интервалы.
В нашем случае можно образовать, например, такой интерваль-
интервальный статистический ряд (к = 5, Ах = 4), табл. 3.3:
Таблица 3.3
Интервальный статистический ряд
ж, х + Ах
Р*
28-32
0,10
32-36
0,25
36-40
0,40
40-44
0,15
44-48
0,10
Здесь к интервалу 28-32 отнесены два значения варианты,
равные 28 (табл. 3.2), а к интервалу 32-36 — варианты 32, 33, 34
и 35.
Интервальный статистический ряд можно изобразить графи-
графически. Для этого по оси абсцисс откладывают интервалы зна-
значений вариант и на каждом из них, как на основании, строят
прямоугольник с высотой, равной его относительной частоте,
деленной на ширину интервала (р* /Ах). Полученная столбчатая
диаграмма называется гистограммой.
0,1"
0,075 -
0,05 -
0,025 -
0 -I
28-32 32-36 36-40 40-44 44-48 я
Рис. 3.2. Гистограмма
На гистограмме статистические закономерности распределе-
распределения признака просматриваются достаточно отчетливо. Площадь
гистограммы относительных частот равна единице.
§3.2. Числовые характеристики статистического ряда 37
Если объем выборки неограниченно увеличивать и умень-
уменьшать ширину интервала, то гистограмма будет «приближаться»
к плотности вероятности данного признака.
§ 3.2. Числовые характеристики
статистического ряда
Корректно построенная гистограмма дает достаточно пол-
полное представление о распределении рассматриваемого признака.
Однако во многих случаях для этого бывает достаточно знать
несколько числовых характеристик выборки.
Выборочное среднее X, полученное по выборке объ-
объемом п, есть среднее арифметическое значение
всех вариант статистического ряда:
C.1)
Для нашего примера X = 37,05 м/с.
Выборочная дисперсия D, полученная по выбор-
выборке объемом п, равна сумме квадратов отклоне-
отклонений вариант от выборочного среднего, поделенной
на 71 — 1:
В нашем примере D = 25,2 (м/сJ.
Обратите внимание, что при вычислении выборочной диспер-
дисперсии в знаменателе формулы стоит не объем выборки гг, а п — 1.
Выборочное среднее квадратическое отклоне-
отклонение — это квадратный корень из выборочной
дисперсии:
а = л/б. C.3)
Для нашего примера <т = 5,02 м/с.
Мода (Mod) есть варианта, которая чаще всего
встречается в исследуемой выборке, т. е. имеет
наибольшую относительную частоту.
38 Лекция 3. Элементы математической статистики
В нашем случае мода Mod = 39 м/с.
Если две или более несмежных вариант ряда имеют разные
наибольшие частоты, то вариационный ряд является полимо-
полимодальным. Полимодальность указывает на качественную неодно-
неоднородность совокупности по исследуемому признаку.
Медиана (Med) есть варианта, которая расположе-
расположена в середине распределения. Она делит ряд на
две равные части.
Для ряда с нечетным числом вариант медианой будет централь-
центральная варианта. При четном числе вариант медиана равна полу-
полусумме двух соседних вариант, расположенных в центре ранжи-
ранжированного ряда.
Отметим, что все эти характеристики являются случайными
величинами, поскольку получены по случайной выборке. Это
означает, что для другой выборки того же объема значения
выборочных характеристик получатся другими. Таким образом,
выборочные характеристики являются лишь оценками соответ-
соответствующих характеристик генеральной совокупности. Рассмот-
Рассмотрим вопрос о том, как определить точность этих оценок.
§ 3.3. Оценка параметров
генеральной совокупности по ее выборке
Как указано выше, при изучении генеральной совокупности
исходят из того, что рассматриваемый признак имеет непрерыв-
непрерывное распределение с некоторой плотностью вероятности f(x).
Математическое ожидание и дисперсия, соответствующие этой
плотности распределения, называются генеральным средним Хг
и генеральной дисперсией Dr. Эти характеристики непрерывной
случайной величины рассмотрены в лекции 2.
3.3.1. Точечная оценка. Как правило, значения генерально-
генерального среднего и генеральной дисперсии неизвестны. Выборочные
значения, полученные по формулам C.1)-C.3), являются стати-
статистическими оценками соответствующих генеральных значений.
Эти оценки называют точечными. Например, выборочное сред-
среднее C.1) является точечной оценкой генерального среднего, вы-
выборочная дисперсия C.2) является точечной оценкой генераль-
генеральной дисперсии и т. д.
§ 3.3. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке 39
Достоинство точечных оценок C.1)-C.3) состоит в том, что
они являются в некотором смысле наилучшими и не зависят
от вида плотности распределения. Недостаток точечных оценок
состоит в том, что неизвестно, насколько сильно они отличают-
отличаются от значений генеральных параметров. Однако справедливо
утверждение, являющееся следствием закона больших чисел.
При неограниченном увеличении объема выборки
точечные оценки стремятся к истинным значениям
соответствующих генеральных характеристик:
Х^ХГ,
D —» Dr, при п —> оо. C-4)
3.3.2. Интервальная оценка. Недостатки точечного оценива-
оценивания компенсирует интервальная оценка, представляющая интер-
интервал возможных значений и вероятность того, что он «накрывает»
оцениваемую величину.
Пусть Z — оцениваемый параметр генеральной совокупности
(генеральное среднее, генеральная дисперсия и т.д.), a Z — его
точечная оценка, полученная по выборке.
Интервальной оценкой параметра Z называется
оценка вида
P(Z-s < Z < ~Z + e) = Pa. C.5)
При этом интервал (Z — е, Z + е) называется доверительным
интервалом.
Величина е характеризует точность оценки, а величина Ра
равна вероятности того, что параметр Z лежит в указанных
пределах.
Доверительная вероятность Ра — вероятность
того, что истинное значение оцениваемой величи-
величины находится внутри доверительного интервала.
Задача интервального оценивания состоит в том, чтобы по
заданной вероятности Ра найти «точность» оценки е.
Часто вместо доверительной вероятности используют связан-
связанную с ней величину а = 1 — Ра, которая называется уровнем
значимости.
40 Лекция 3. Элементы математической статистики
Уровень значимости — это вероятность того, что
истинное значение оцениваемой величины нахо-
находится за пределами указанного интервала, т. е. ве-
вероятность того, что наша оценка ошибочна.
Иногда а иРа выражают в процентах, например, 5 % вместо 0,05
и 95 % вместо 0,95.
При интервальной оценке сначала выбирают соответствую-
соответствующую доверительную вероятность (обычно 0,95 или 0,99), а за-
затем находят соответствующий интервал значений оцениваемого
параметра.
Отметим некоторые общие свойства интервальных оценок.
1. Чем ниже уровень значимости (чем больше Ра), тем
«шире» интервальная оценка. Так, если при уровне значи-
значимости 0,05 интервальная оценка генерального среднего есть
34,7 < Z < 39,4, то для уровня 0,01 она будет гораздо шире:
33,85 < Z < 40,25 (см. табл. 3.1).
2. Чем больше объем выборки п, тем «уже» (следовательно,
точнее) интервальная оценка с выбранным уровнем значимости.
Пусть, например, 5-процентная оценка генеральной средней
(<^ = 0,05), полученная по выборке из 20 элементов, есть
34,7 < Z < 39,4. Увеличив объем выборки до 80, мы при
том же уровне значимости получим более точную оценку:
35,5 < Z < 38,6.
В общем случае построение надежных доверительных оценок
требует знания закона, по которому оцениваемый случайный
признак распределен в генеральной совокупности. Рассмотрим,
как строится интервальная оценка генерального среднего призна-
признака, который распределен в генеральной совокупности по нор-
нормальному закону.
§ 3.4. Интервальная оценка генерального среднего
для нормального закона распределения
Пусть рассматриваемый признак распределен в генеральной
совокупности по нормальному закону с неизвестными значения-
значениями генерального среднего и дисперсии. Для того чтобы получить
интервальную оценку генерального среднего Хг, поступают сле-
следующим образом.
§ 3.4. Интервальная оценка генерального среднего
41
1. Из генеральной совокупности извлекают выборку некото-
некоторого объема п и составляют простой статистический ряд: х\,
X2i • • . j %n-
Для этого статистического ряда вычисляют выборочное сред-
среднее X и выборочное среднее квадратическое отклонение ~а по
формулам C.1)-C.3).
2. Выбирают доверительную вероятность Ра (обычно 0,95 или
0,99) и для нее по таблице распределения Стьюдента находят
параметр t.
3. Рассчитывают полуширину доверительного интервала е:
C.6)
е =
ура '
4. Получают интервальную оценку генеральной средней с вы-
выбранной доверительной вероятностью:
Х-е <ХГ<Х
Кратко это записывается так:
Р(Х-е <ХГ <Х +
= Ра.
C.7)
C.8)
Поясним, как пользоваться таблицей распределения Стью-
Стьюдента. Эта таблица имеет два «входа»: левый столбец, называе-
называемый числом степеней свободы, / = п — 1, и верхняя строка —
уровень значимости а. На пересечении соответствующей строки
и столбца находят коэффициент Стьюдента t.
Применим этот метод к нашей выборке. Фрагмент таблицы
распределения Стьюдента представлен ниже.
Таблица 3.4. Фрагмент таблицы распределения Стьюдента
/
1
10
19
Уровень значимости а
0,5
1,00
0,70
0,69
0,4
1,38
0,88
0,86
0,3
2,00
1,10
1,09
0,2
3,08
1,37
1,33
0,1
6,31
1,81
1,73
0,05
12,71
2,23
2,09
0,01
63,66
3,17
2,86
Простой статистический ряд для выборки из 20 человек (п =
= 20, / = 19) представлен в табл. 3.1. Для этого ряда расчеты
по формулам C.1)-C.3) дают:
Х = 37,05; а = 5,02.
42 Лекция 3. Элементы математической статистики
Выберем а = 0,05 (Ра = 0,95). На пересечении строки «19»
и столбца «0,05» найдем t = 2,09.
Вычислим точность оценки по формуле C.6): ? = 2,09 х
х 5,02/у/20 = 2,34.
По формуле C.7) построим интервальную оценку: с вероят-
вероятностью 0,95 (или в 95 % случаев) искомая генеральная средняя
удовлетворяет неравенству 37,05 — 2,34 < Хг < 37,05 + 2,34, или
34,71 <ХГ < 39,39 (м/с).
Таким образом, кроме самой точечной оценки X мы указали
уровень 95-процентной погрешности — 2,34 м/с.
При большой выборке (п > 30) величину е определяют по
соотношению
е = г •
где г находят по соответствующим таблицам.
Лекция 4
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
1. Общие понятия.
2. Нулевая и альтернативная гипотезы. Задача проверки гипотез.
Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости.
3. Проверка гипотез относительно средних, ^-критерий Стьюдента.
4. Проверка гипотез для дисперсий, F-критерий Фишера.
5. Ранговый непараметрический {/-критерий Уилкоксона.
6. Проверка гипотезы о нормальности закона распределения —
критерий хи-квадрат.
§ 4.1. Общие понятия
4.1.1. Статистические гипотезы. Прежде чем сформулиро-
сформулировать, что такое статистическая гипотеза, рассмотрим следующий
пример. Пусть требуется сравнить две методики лечения одного
и того же заболевания. Для этого были составлены две группы
пациентов по 36 человек каждая, лечение которых проводилось
по этим методикам. Для каждого пациента фиксировалось ко-
количество процедур до получения положительного эффекта. Ре-
Результаты представлены в табл. 4.1.
В первой строке указано количество процедур. Во второй
и третьей строках указано, у скольких пациентов каждой группы
положительный эффект достигнут после соответствующего ко-
количества процедур. Среднее количество процедур до получения
положительного эффекта (выборочное среднее) указано в пред-
предпоследнем столбце. В последнем столбце приведены выборочные
дисперсии.
Число процедур
Количество пациентов
1-й группы (X)
Количество пациентов
2-й группы (У)
1
1
2
6
2
3
2
4
6
4
5
8
7
6
5
5
7
4
4
8
3
6
9
1
7
Таблица
10
1
X
Y
4,8
6,5
4.1
4,08
4,24
44 Лекция 4. Проверка статистических гипотез
Количество процедур, необходимое для получения положи-
положительного эффекта — случайная величина, вся информация о ко-
которой на данный момент содержится в приведенных выборках.
Из табл. 4.1 видно, что выборочное среднее в первой группе
меньше, чем во второй: X < Y. Но значит ли это, что и для ге-
генеральных средних имеет место такое же соотношение: Хг < Yr?
Достаточно ли статистических данных для такого вывода? От-
Ответы на эти вопросы и дает статистическая проверка гипотез.
Статистическая гипотеза — это предположе-
предположения, которые относятся к виду распределения или
отдельным параметрам случайных величин.
Статистическая гипотеза может относиться к одной выборке или
к нескольким. Например:
1) данная выборка извлечена из генеральной совокупности
с нормальным законом распределения;
2) две выборки относятся к одной генеральной совокупности,
т. е. имеют одинаковые генеральные средние и дисперсии.
Гипотезы о типах распределения и о значениях
параметров распределения называют параметри-
параметрическими.
Гипотезы, в которых о типе распределения ника-
никаких предположений не делается, называются непа-
непараметрическими.
Первая из приведенных выше гипотез — непараметрическая,
а вторая — параметрическая.
§ 4.2. Нулевая и альтернативная гипотезы. Задача
проверки гипотез. Ошибки первого и второго рода.
Уровень значимости
4.2.1. Нулевая и альтернативная гипотезы. Вернемся к при-
примеру, представленному в табл. 4.1. В процессе проверки гипотез
всегда имеются две стороны: «скептик» и «оптимист». «Скеп-
«Скептик» считает, что первая методика не лучше второй, а лучший
показатель числа необходимых процедур получился случайно,
из-за малого объема выборок. Он говорит п\Т = П2Г (гипотеза
скептика). «Оптимист» считает, что п\г < П2Г (гипотеза оптими-
оптимиста). Арбитром между «скептиком» и «оптимистом» выступает
статистика.
§ 4.2. Нулевая и альтернативная гипотезы
45
Познакомимся с терминологией, применяемой при проверке
гипотез.
1. Hq — нулевая гипотеза — гипотеза об отсутствии различий
между сравниваемыми выборками.
2. Hi — альтернативная гипотеза — гипотеза о наличии раз-
различий между сравниваемыми выборками.
Гипотеза
Нулевая — Но:
Альтернативная — Hi:
Позиция выдвигающего гипотезу
Наблюдаемые различия случайны
Наблюдаемые различия достоверны
и вызваны объективными
причинами
4.2.2. Задача проверки гипотез. Задача проверки гипотез за-
заключается в том, чтобы на основании анализа выборочных дан-
данных принять решение о справедливости одной из них.
4.2.3. Ошибки первого и второго рода. При проверке гипотез
могут быть допущены ошибки двух видов:
1. Принимается Hi, когда верна Но — ошибка первого рода.
2. Принимается Но, когда верна Hi — ошибка второго рода.
Результат, получен-
полученный при проверке
Принята гипотеза Но
Принята гипотеза Hi
На самом деле
Верна гипотеза Но
Правильное
решение
Ошибка
первого рода, а
Верна гипотеза Hi
Ошибка
второго рода, C
Правильное
решение
Вероятность совершить ошибку первого рода должна быть
достаточно мала, так как нужны веские основания для призна-
признания того, что один метод лечения лучше другого. Эта вероят-
вероятность называется уровнем значимости (а).
При проверке статистических гипотез уровнем
значимости (а) называется вероятность откло-
отклонения (неприятия) нулевой гипотезы, когда она
верна.
В медицинских исследованиях обычно используют а = 0,05 или
а = 0,01.
46 Лекция 4. Проверка статистических гипотез
Как правило, для большинства случаев пятипроцентный
уровень значимости является вполне достаточным. И только
при рассмотрении вопросов, в которых ошибочное отклонение
нулевой гипотезы может повлечь тяжелые последствия (напри-
(например, увеличение частоты летальных исходов), используют мень-
меньший уровень значимости.
4.2.4. Процедура проверки гипотез. Критерий. Критическая
область.
Процедура проверки гипотез представляет собой
правило, руководствуясь которым принимается
статистически обоснованное решение о справед-
справедливости одной из них.
Построение таких правил и является задачей раздела матема-
математической статистики, называемого статистической проверкой
гипотез. От исследователя, использующего статистическую про-
проверку гипотез в прикладных задачах, требуется научиться поль-
пользоваться существующими критериями.
Проверка гипотез обычно проходит следующие этапы.
1. Исследователь набирает первичный статистический ма-
материал в виде выборок из одной или нескольких генеральных
совокупностей.
2. Исследователь формулирует основную (Hq) и альтернатив-
альтернативную (Hi) гипотезы, а также выбирает уровень значимости а @,01
или 0,05), соответствующие целям исследования.
3. Выбирают метод проверки, который подходит в данной
ситуации, и по соответствующим формулам вычисляют значение
статистического критерия для имеющихся данных (выборок).
4. По таблицам, соответствующим выбранному методу, нахо-
находят границу критической области для принятого уровня значи-
значимости.
5. Принимается решение о справедливости гипотезы Но или
Hi. Если значение критерия, вычисленного в п. 3, принадлежит
критической области (п. 4), то основная гипотеза Но отвергается
и не отвергается альтернативная гипотеза Hi. Если значения
критерия не попадает в критическую область, то гипотеза Hq
не отвергается.
Перейдем к рассмотрению некоторых статистических гипо-
гипотез, используемых в медицинских исследованиях.
§4.3. Проверка гипотез относительно средних, t-критерий Стьюдента47
§ 4.3. Проверка гипотез относительно средних.
t-критерий Стьюдента
Сравнение генеральных средних двух случайных величин по
результатам независимых выборок, зависит от закона их распре-
распределения и объемов выборок. Рассмотрим решение этой задачи
в следующем случае.
4.3.1. Постановка задачи. Для случайных величин X и У,
распределенных по нормальному закону с одинаковыми диспер-
дисперсиями, получены выборки, объемы которых пх и пу соот-
соответственно. Требуется сравнить между собой математические
ожидания соответствующих генеральных совокупностей (срав-
(сравнить генеральные средние).
Рассмотрим последовательность действий при решении этой
задачи в соответствии с установленным выше порядком. Будем
использовать данные из табл. 4.1.
1. Первичная статистическая информация получена в виде
двух выборок из пх = 36 и пу = 36 элементов, соответственно.
В последних столбцах таблицы приведены вычисленные значе-
значения выборочных средних X, Y и выборочных дисперсий Dx, Dy-
2. Проверяемые гипотезы:
Но =/* Yr = Хг (генеральные средние одинаковы);
Hi =Ф Yr > Хг, так как для выборочных средних Y > X, то
и для генеральных дисперсий проверяется та-
такое же соотношение.
3. Для проверки гипотез о равенстве генеральных средних
при одинаковых генеральных дисперсиях применяется t-крите-
t-критерий Стьюдента, рассчитываемый по формуле
X-Y
пх + пу - 2
Для наших данных t = —3,54.
4. По таблице ^-распределения находим пяти-процентную
критическую область. Для этого предварительно определяем
число степеней свободы:
/ = ГЦ + 712 - 2. D.2)
48
Лекция 4. Проверка статистических гипотез
В нашем случае / = 70. По таблицам ^-распределения в строке
f = 70 находим границу критической области для двух уровней
значимости:
а
0,05
1,99
0,01
2,65
Сама критическая область (область отвержения нулевой ги-
гипотезы, Но) определяется условием
|«| > *кР. D.3)
5. Проверяется попадание критерия в критическую область.
5%
2,65
3,54
Из рисунка видно, что значение критерия принадлежит од-
однопроцентной области. Поэтому нулевая гипотеза отвергается
и признается более высокая эффективность второго метода ле-
лечения.
4.3.2. Применение t-критерия Стьюдента (см. семинар 8).
t-критерий Стьюдента применяется для оценки
различия средних величин двух выборок, которые
распределены по нормальному закону с одинако-
одинаковой дисперсией.
Для случая неравных дисперсий применяется модифицирован-
модифицированный критерий.
Отметим, что процедуры проверки многих параметрических
гипотез включены в состав программы EXCEL'97.
§ 4.4. Проверка гипотез для дисперсий.
F-критерий Фишера
Во многих клинических исследованиях важной является про-
проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух нор-
нормальных выборок. Эта задача может быть решена с помощью
критерия Фишера.
§4.4. Проверка гипотез для дисперсий. F-критерий Фишера
49
4.4.1. Постановка задачи. Для случайных величин X и У,
распределенных по нормальному закону, получены выборки,
объемы которых пх и пу соответственно. Требуется сравнить
между собой дисперсии соответствующих генеральных совокуп-
совокупностей.
Рассмотрим последовательность действий при решении этой
задачи в соответствии с установленным выше порядком.
1. Первичная статистическая информация получена в виде
двух выборок из пх = 16 и пу = 11 элементов, соответственно
(табл. 4.2). В последней строке таблицы приведены вычисленные
значения выборочных дисперсий Dx и Dy.
Таблица 4.2
Выборка 1
0,80
-4,18
0,22
-1,63
1,25
-0,65
5,78
-0,40
~их =
ох--
5,13
-3,53
-1,47
-0,98
1,02
-0,67
-0,96
0,80
= 2,83
= 8,01
Выборка 2
1,97
-1,73
4,05
-3,91
2,56
-4,57
2,68
2,62
(Уу =
DY =
4,39
-4,75
2,15
:3,35
11,22
2. Проверяемые гипотезы:
Но => Drу = Drx (генеральные дисперсии одинаковы);
Но =^ Dry > Drx так как для выборочных дисперсий Dy >
> Dx, то и для генеральных дисперсий
проверяется такое же соотношение.
3. Для проверки гипотез о равенстве дисперсий широко при-
применяется F-критерий Фишера, рассчитываемый по формуле:
D.4)
При вычислении отношения по формуле D.4) большая дисперсия
делится на меньшую.
Для наших выборок F = 11,22/8,01 = 1,4.
50
Лекция 4. Проверка статистических гипотез
4. По таблице .F-распределения найдем 5 %-ную и 1 %-ную
критические области. Для этого предварительно определим чи-
число степеней свободы для каждой выборки:
/i = (пу - 1), h = (пх - 1), D.5)
где /i и /2 — число степеней свободы числителя и знаменателя,
соответственно.
В нашем случае /i = 10, /2 = 15. В таблице ^-распределения
находим границу критической области для двух уровней значи-
значимости:
а
0,05
2,54
0,01
3,80
Сама критическая область определяется условием
F > FKP. D.6)
5. Полученное в п. 3 значение критерия (F = 1,4) не по-
попадает в пятипроцентную критическую область. Поэтому при-
принимается нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий:
Dry = DrX.
5%
1,4
2,54
§ 4.5. Ранговый непараметрический [/-критерий
Вилкоксона (Wilcoxon)
Для представления медицинских и биологических данных
нередко используется порядковая или ранговая шкала. Измерен-
Измеренные признаки располагаются на этой шкале в порядке возраста-
возрастания (обычно) или в порядке убывания (реже). Значение имеет не
сама величина признака, а лишь порядковое место, который она
занимает среди других величин.
4.5.1. Постановка задачи. Для случайных величин X и Y
с неизвестными законами распределения получены выборки,
объемы которых пх и пу, соответственно. Значения элементов
представлены в порядковой шкале. Требуется проверить гипотезу
§4.5. Ранговый непараметрический U-критерий Вилкоксона
51
о принадлежности сравниваемых независимых выборок к одной
и той же генеральной совокупности.
Рассмотрим последовательность действий при решении этой
задачи в соответствии с установленным выше порядком. Будем
использовать данные из табл. 4.3.
X
Y
39
46
38
18
47
50
16
45
28
25
30
41
Таблиц
43
31
25
55
а 4.3
37
1. Первичная статистическая информация получена в виде
двух выборок из пх = 8 и пу = 9 элементов соответственно.
Используется порядковая шкала измерений. Ни каких предпо-
предположений о законах распределений не делается.
2. Проверяемые гипотезы: Но — выборки принадлежат к од-
одной генеральной совокупности, Hi — выборки принадлежат
к различным генеральным совокупностям.
3. Для проверки таких гипотез широко применяется [/-кри-
[/-критерий Вилкоксона, применению которого предшествует подгото-
подготовительная работа.
• Сначала из исходных выборок составляется одна объеди-
объединенная выборка, и ее элементы упорядочиваются. В результате
получается табл. 4.4. Сами значения элементов расположены во
второй строке. В первой строке указана принадлежность элемен-
элемента к исходным выборкам. В третьей строке стоят порядковые
номера элементов упорядоченного ряда.
Таблица 4.4
Принадл.
Знач.
Ранг
X
16
1
У
18
2
X
25
3
У
25
4
X
28
5
X
30
6
У
31
7
У
37
8
X
38
9
X
39
10
У
41
11
X
43
12
У
45
13
У
46
14
X
47
15
У
50
16
У
55
17
• По правилам ранжирования одинаковым значениям при-
присваиваются одинаковые ранги. Поэтому в третью строку следует
внести изменения: двум значениям 25 приписывается усреднен-
усредненный ранг C + 4)/2 = 3,5. После этих исправлений табл. 4.4
принимает следующий вид:
Принадл.
Знач.
Ранг
X
16
1
У
18
2
X
25
3,5
У
25
3,5
X
28
5
X
30
6
У
31
7
У
37
8
X
38
9
X
39
10
У
41
11
X
43
12
У
45
13
У
46
14
X
47
15
У
50
16
У
55
17
52
Лекция 4. Проверка статистических гипотез
• Теперь необходимо просуммировать полученные ранги по
элементам отдельных выборок X и Y. Для этого удобнее сделать
перестановку столбцов.
• Итоговая таблица для /7-критерия:
Принадл.
Знач.
Ранг
Rx
Ry
X
16
1
X
25
3,5
X
28
5
X
30
6
Rx =
X
38
9
61,
X
39
10
5
X
43
12
X
47
15
У
18
2
У
25
3,5
31
7
У
37
8
У
41
11
45
13
= 91,5
У
46
14
У
50
16
55
17
Все описанные действия легко выполняются в среде Windows
с помощью приложения ЕхсеГ97.
По итоговой таблице среди значений Rx и Ry выбирается
максимальное: Ятах = 91,5. Затем рассчитывают значение кри-
критерия по формуле
U = пх - пу -
п
(п
D.7)
где птах — число членов в выборке с максимальным значением
суммы рангов.
Для нашего случая птах = 9 и U = 72 — 91,5 + 45 = 25,5.
4. По таблице /7-распределения найдем пятипроцентную и од-
однопроцентную критические области:
а
0,05
18
0,01
11
Сама критическая область определяется условием
и <ик
'кр-
D.8)
5. Полученное в п. 3 значение критерия (U = 25,5) не попа-
попадает в пятипроцентную критическую область. Поэтому нулевая
гипотеза принимается.
5%
U
11
18
25,5
§ 4.6. Проверка гипотезы о нормальности закона распределения 53
§ 4.6. Проверка гипотезы о нормальности закона
распределения — критерий хи-квадрат
Критерий х2 (хи-квадрат) используется для проверки гипоте-
гипотезы об определенном виде закона распределения случайной вели-
величины, наблюдения которой мы имеем в виде выборки. Нас будет
интересовать принадлежность выборки к нормальному закону
распределения.
4.6.1. Постановка задачи. Для случайной величины X полу-
получена выборка объема N. Требуется проверить гипотезу о нор-
нормальности закона распределения.
Рассмотрим последовательность действий при решении этой
задачи на следующем примере.
1. Пусть проведены измерения роста у 267 человек с точно-
точностью до 0,1 см. Первичная статистическая информация представ-
представляет собой соответствующую выборку.
2. Проверяемые гипотезы:
Но — выборка принадлежит к генеральной совокупности
с нормальным законом распределения,
Hi — закон распределения не является нормальным.
3. Для проверки таких гипотез широко используется крите-
критерий хи-квадрат, применению которого предшествует подготови-
подготовительная работа.
• Сначала для исходной выборки находят выборочное среднее
X и выборочное среднее квадратическое отклонение ~д'. Затем
весь диапазон полученных значений разбивается на несколь-
несколько (п) одинаковых интервалов одинаковой ширины (h) и под-
подсчитывают количество элементов, попавших в каждый интер-
интервал {mi).
Центры интервалов xi и т^ — количество наблюдений, по-
попавших в интервал с центром ж^, заносят в таблицу. Для нашего
случая это табл. 4.5 представлена ниже.
Затем рассчитываются нормированные уклонения центров
интервалов от выборочного среднего:
. D.9)
Полученные значения заносят в третий столбец таблицы.
54
Лекция 4. Проверка статистических гипотез
Затем по таблице «Ординаты нормальной кривой» находят
значения плотности нормального распределения для г-го интер-
интервала:
и заносят их в четвертый столбец таблицы.
D.10)
Таблица 4.5
Центры
интервалов
Xi
п = 9
159
161
164
167
170
173
176
179
182
2
9
31
71
82
46
19
5
1
X = 166,22
а = 4,06
А{ = (х{-Х)/а
-2,77
-2,03
-1,29
-0,55
+0,19
+0,93
+1,67
+2,41
+3,15
0,0086
0,0508
0,1736
0,3429
0,3918
0,2589
0,0989
0,0219
0,0028
Mi
1,6
10,0
34,3
67,8
77,6
51,2
19,5
4,4
0,6
Значение критерия
X?
1,23
0,10
0,32
0,15
0,25
0,53
0,01
0,08
0,27
X2 = 2,93
Далее, в пятый столбец заносят ожидаемые значения для
величин М^:
„ h DИ)
а
В шестой столбец таблицы заносят значения %?:
Складывая эти величины, находят значение критерия:
4. Число степеней свободы
/ = п-3.
D.12)
D.13)
D.14)
5. По таблице ^-распределения найдем пятипроцентную
и однопроцентную критические области:
а
у2
Акр
0,05
12,6
0,01
16,8
§ 4.6. Проверка гипотезы о нормальности закона распределения 55
Сама критическая область определяется условием
X2 > Хкр- D-15)
6. Полученное в п. 3 значение критерия (%2 = 2,93) не попа-
попадает в пятипроцентную критическую область. Поэтому нулевая
гипотеза принимается: можно считать, что выборка взята из
нормальной генеральной совокупности.
5%
2,9
12,6
Лекция 5
КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ
АНАЛИЗ
1. Функциональная зависимость. Корреляция и регрессия.
2. Коэффициент корреляции.
3. Проверка статистической значимости выборочного коэффициен-
коэффициента корреляции.
4. Регрессионный анализ. Линейная регрессия.
Выявление статистических связей между случайными вели-
величинами широко используется в медицинской практике. Этим
методом решаются задачи установления обоснованного диагно-
диагноза, оценки эффективности лечения. Установление зависимости
между различными показателями состояния больного и влияние
их изменений на жизнедеятельность организма является важ-
важной задачей лабораторных и клинических исследований. Более
того, все системы, органы, ткани, клетки целостного организма
находятся в связи друг с другом; эту связь можно измерить, на-
например, с помощью коэффициента корреляции. Благодаря раз-
различным формам корреляции организм проявляется как единая
сложная целостная система.
§ 5.1. Функциональная зависимость.
Корреляция и регрессия
Функциональная зависимость между двумя переменными су-
существует в том случае, когда каждому допустимому значению
одной из них соответствует одно вполне определенное значение
другой. Функциональные зависимости можно выразить анали-
аналитически. Так, например, объем шара зависит от его радиуса
(у = 4/Зтг • г3), площадь квадрата от его стороны (S = а2). В об-
общем случае функциональная зависимость выражаются форму-
формулой у = f(x). Функциональная связь свойственна неслучайным
(детерминированным) переменным.
Между случайными величинами X, Y может существовать
и статистическая (вероятностная) связь. При этом каждому
§ 5.2. Коэффициент корреляции Пирсона 57
значению одной величины соответствует не единственное значе-
значение другой величины, а некоторое множество значений с опре-
определенным законом распределения. Например, между возрастом
и ростом детей связь выражается в том, что каждому значению
возраста соответствует определенное распределение роста (а не
одно единственное значение). При этом с увеличением возраста
(до определенных пределов) возрастает и среднее значение роста.
Корреляцией называется статистическая (вероят-
(вероятностная) зависимость между величинами, не име-
имеющая, вообще говоря, строгого функционального
характера.
При наличии корреляции между случайными величинами закон
распределения величины Y зависит от значения, принятого слу-
случайной величиной X.
Простейший вид статистической связи возникает, когда на
функциональную зависимость накладываются случайные возму-
возмущения. Например, если случайные величины Y и X связаны
соотношением:
Y = f(X) + a, E.1)
где а — не зависящая от X случайная величина, с нулевым
математическим ожиданием. В этом случае одному и тому же
значению X будут соответствовать различные значения У, обу-
обусловленные различными значениями а. Если значение X извест-
известно, то среднее значение Y равно f(X) — т.е. зависит от X.
Зависимость среднего значения одной случайной
величины от другой величины называется регрес-
регрессией, а уравнение, отражающее эту зависимость,
называется уравнением регрессии.
Для равенства E.1) можно записать Уср = f(X). Поэтому урав-
уравнение регрессии отражает функциональную часть корреляции.
§ 5.2. Коэффициент корреляции Пирсона
Количественно величину статистической связи между слу-
случайными величинами выражают с помощью коэффициентов
корреляции, в частности, коэффициента линейной корреляции
58 Лекция 5. Корреляционный и регрессионный анализ
Пирсона (г), который определяется следующей формулой:
E-2)
ОX ' &Y
где ах и а у — среднеквадратические отклонения; М — знак
математического ожидания.
5.2.1. Свойства коэффициента корреляции.
1. Величина коэффициента корреляции не зависит от выбора
единиц измерения случайных величин X и У.
2. Величина коэффициента корреляции заключена в преде-
пределах — 1 ^ г ^ 1.
3. Если г < 0, то с увеличением X соответствующие им
значения Y в среднем уменьшаются, т. е. существует обратная
связь.
4. Если г > 0, то с увеличением X соответствующие им
значения У в среднем растут, то есть существует прямая связь.
5. Если г = 0, то между параметрами нет линейной корреля-
корреляционной связи (но может существовать нелинейная корреляци-
корреляционная зависимость).
6. Значение г = 1 появляется обычно тогда, когда между
величинами X и У существует линейная функциональная связь
(крайне редкая в медико-биологических исследованиях).
Если закон совместного распределения случайных величин
X и У известен, то проведя вычисления по формуле E.2),
можно найти значение коэффициента корреляции и тем самым
установить наличие или отсутствие статистической зависимости
между величинами X и У. Но что делать в таком распространен-
распространенном случае, когда закон совместного распределения неизвестен?
В этом случае статистическую связь между величинами можно
оценить с помощью выборочного коэффициента корреляции.
5.2.2. Выборочный коэффициент корреляции. Пусть прове-
проведено N опытов, в каждом из которых измерены значения слу-
случайных величин X и У. Полученные пары значений (ж^, yi)
образуют связные выборки, которые записывают в виде табл. 5.1.
В последние две колонки заносят вычисленные значения выбо-
выборочных средних и выборочных среднеквадратических отклоне-
отклонений (лекция 3).
§ 5.2. Коэффициент корреляции Пирсона
59
Таблица
Номер опыта
Значения X
Значения Y
1
У\
5.1. Представление связных выборок
2
У2
3
Уз
N
xN
Ум
Выборочные значения
X
Y
(Ух
ау
Для наглядности полученные пары значений можно нанести
на координатную плоскость. Для этого по оси абсцисс откла-
откладывают значения ж^, а по оси ординат — yi (г = 1, 2, ... N).
Нанесенные точки займут определенную область, называемую
корреляционным полем. По расположению точек корреляцион-
корреляционного поля можно сделать некоторые предварительные суждения
о характере связи между величинами. Как правило, если между
случайными величинами X и Y существует линейная статисти-
статистическая связь, то корреляционное поле имеет вид эллипса со сгу-
сгущением точек вокруг главной оси и с малым числом их на пери-
периферии, рис. 5.1, а. Если связь выражена слабо или отсутствует, то
разброс точек велик. При этом длинная ось эллипса параллельна
одной из координатных осей или же корреляционное поле похоже
на круг (рис. 5.1, б).
Если связь между X и Y носит нелинейный характер, то
корреляционное поле имеет более сложный вид, рис. 5.1, в.
Данные, представленные в табл. 5.1, используют для вычис-
вычисления выборочного коэффициента линейной корреляции по сле-
следующей формуле:
N
г =
(N -
E.3)
где X и Y — выборочные средние; а\ и cry — выборочные
среднеквадратические отклонения.
Если N —» ос, то выборочный коэффициент стремится к ис-
истинному значению коэффициента корреляции. Однако эта схо-
сходимость настолько медленная, что требуются очень большие
объемы выборок, чтобы выборочное значение оказалось близким
к истинному. Практически считается, что при |г| < 0,4 связь
отсутствует, при 0,4 < |г| < 0,7 имеется слабая связь. Тесная
связь между случайными величинами или процессами имеется
при 0,7 < |г| < 1.
60
Лекция 5. Корреляционный и регрессионный анализ
Корреляция
а) Наличие
корреляционной
зависимости
б) Отсутствие
корреляционной
зависимости
в) Нелинейная
корреляционная
зависимость
Вид зависимости
У i
У ,
У t
,¦<¦¦¦>•
> X
. т . •
• • • • •
• •
• • •
• •
*
*
т • •
• • •
• • • *
Рис. 5.1. Различные виды корреляционной зависимости
§ 5.3. Проверка статистической значимости
выборочного коэффициента линейной корреляции
Очень часто задачей исследования является не определение
значения коэффициента корреляции, а выяснение вопроса о на-
наличии или отсутствии статистической связи между случайными
величинами X и Y. В качестве нулевой принимается гипотеза об
отсутствии связи:
Hq — линейной корреляции между X и Y нет,
Hi — между X и Y присутствует линейная корреляция.
Критерием для проверки этих гипотез является значение
выборочного коэффициента корреляции E.3), которое сравни-
сравнивается с критическим значением гкр, найденным по специальной
таблице (табл. 5.2). Число степеней свободы / = N — 2.
§ 5.3. Проверка статистической значимости
61
Таблица 5.2. Критические значения коэффициента линейной
корреляции Пирсона
/
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
а = 0,05
0,950
0,878
0,811
0,754
0,707
0,666
0,632
0,602
0,576
0,553
0,532
0,514
0,497
0,482
0,468
0,456
0,444
0,433
0,423
0,413
0,404
а = 0,01
0,990
0,959
0,917
0,874
0,834
0,798
0,765
0,735
0,708
0,684
0,661
0,641
0,623
0,606
0,590
0,575
0,561
0,549
0,537
0,523
0,515
/
23
24
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
125
150
200
250
300
400
500
1000
а = 0,05
0,396
0,388
0,381
0,349
0,325
0,304
0,288
0,273
0,250
0,232
0,217
0,205
0,195
0,175
0,163
0,138
0,142
0,113
0,098
0,088
0,062
а = 0,01
0,505
0,496
0,487
0,449
0,418
0,393
0,372
0,354
0,325
0,302
0,283
0,267
0,254
0,230
0,210
0,182
0,163
0,148
0,128
0,115
0,081
Если значения выборочного коэффициента линейной корре-
корреляции больше критического значения
> г
кр,
E.4)
то нулевая гипотеза отклоняется и принимается гипотеза о на-
наличии статистической связи. В этом случае исследование стати-
статистической связи следует продолжить и попытаться выделить ее
функциональную составляющую. Это делается методами регрес-
регрессионного анализа.
62 Лекция 5. Корреляционный и регрессионный анализ
§ 5.4. Регрессионный анализ. Линейная регрессия
Как уже отмечалось выше (§ 5.1), регрессией называется
зависимость среднего значения одной случайной величины от
другой величины:
Ycp = f(X). E.5)
Для нахождения уравнения регрессии по экспериментальным
данным используют регрессионный анализ.
Регрессионный анализ — это метод подбора детер-
детерминированных функций У = f(X) или X = (p(Y),
которые наилучшим образом соответствуют всей
совокупности выборочных пар {а^, yi}.
Какая из этих двух зависимостей подлежит отысканию, опре-
определяется сутью проводимых исследований. Если X считают
независимой переменной, то отысканию подлежит зависимость
Y = f(X). При дальнейшем изложении материала мы будем счи-
считать, что X — независимая переменная и рассматривать только
функцию У = f(X).
Рассмотрим простейший случай, когда у нас есть основания
предполагать наличие линейной зависимости между величина-
величинами X и У. Тогда функция f(X) является линейной:
У = а0 + ах - X. E.6)
График этой функции называют линией регрессии.
Для подбора наилучшего приближения в статистике исполь-
используют метод максимума правдоподобия, в соответствии с которым
значения коэффициентов а\ и ао выбирают так, чтобы сумма
квадратов отклонений расчетных значений Y{ = а$ + а\ • Х{ от
выборочных значений yi, была минимальной.
Можно показать, что удовлетворяющие этому требованию
коэффициенты регрессии ао и а\ определяются следующими
формулами:
а0 = Y- r-X-ax/oY, а1 = г-ах/оГу. E.7)
При этом уравнение регрессии принимает вид
7.^.Х, E.8)
§5.4. Регрессионный анализ. Линейная регрессия
63
Часто для записи уравнение регрессии записывают в более
простом виде:
Y =
E.9)
Из формул E.9) видно, что линия регрессии проходят через
точку X, Y.
Yi
f
A
0
^
X
В
X
Рис. 5.2. Линия регрессии, построенная по методу наименьших
квадратов
Лекция 6
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
1. Свободные колебания: гармонические и затухающие колебания.
2. Вынужденные колебания. Резонанс.
3. Автоколебания.
4. Сложение гармонических колебаний, направленных по одной
прямой.
5. Сложное колебание. Разложение сложного колебания на про-
простые. Гармонический спектр.
6. Элементы реабилитологии. Колебательные движения тела при
ходьбе, при вертикальном положении. Механические колебания
сердца. Вибрация. Механотерапия.
Колебания это движения или изменения состоя-
состояния, обладающие той или иной степенью повторя-
повторяемости.
Колебания могут быть разной природы: механические, тепловые,
электрические и т. п. Внутри любого живого организма непре-
непрерывно происходят разнообразные повторяющиеся процессы, на-
например, работа сердца. Все эти явления подчиняются общим
закономерностям и подразделяются на три основных типа: сво-
свободные, вынужденные и автоколебания. Рассмотрим каждый из
них.
§ 6.1. Свободные колебания: гармонические
и затухающие колебания
Свободными собственными механическими ко-
колебаниями называют колебания, которые проис-
происходят без переменных внешних воздействий на
колебательную систему и возникают вследствие
начального смещения из положения равновесия
или сообщения системе начальной скорости.
Такие колебания совершаются за счет первоначально получен-
полученной энергии.
§6.1. Свободные колебания: гармонические и затухающие колебания 65
6.1.1. Гармонические колебания. Колебания называются пе-
периодическими, если значения всех изменяющихся величин, ха-
характеризующих систему, повторяются через равные промежутки
времени. Наименьший промежуток времени, удовлетворяющий
этому условию называется периодом колебаний Т.
В качестве примера рассмотрим идеальный пружинный ма-
маятник (рис. 6.1), который представляет собой небольшое тело
массой т, подвешенное на невесомой пружине с жесткостью к.
Первоначально тело находится в состоянии равновесия @), и сум-
сумма всех действующих на него сил равна нулю.
Если пружину оттянуть
(сжать) на расстояние х от
положения равновесия, то сила
упругости, с которой деформи-
деформированная пружина действует
на внешнее тело, определяется
законом Гука:
F = -кх.
F.1)
Рис. 6.1. Пружинный маятник
Постоянный множитель к назы-
называется жесткостью пружины и зависит от ее размеров и ма-
материала; знак « —» показывает, что сила упругости всегда на-
направлена в сторону, противоположную направлению смещения,
то есть к положению равновесия.
Предположим, что силы сопротивления отсутствуют. Тогда,
подставив выражение F.1) в формулу второго закона Ньютона
(ma = F), получим дифференциальное уравнение свободных ко-
колебаний при отсутствии трения:
d2x
F.2)
т
dt2
= —kx.
Преобразуем выражение F.2) следующим образом:
d2x
Отношение к/т положительно, поэтому его можно заменить
квадратом некоторой величины (в данном случае это оказыва-
оказывается целесообразным):
ul = к/т. F.3)
3 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
66 Лекция 6. Механические колебания
Получили дифференциальное уравнение второго порядка:
— + ш1х = О, F.4)
общее решение которого представляет периодическую функцию
и может быть записано в одном из двух видов:
х = Acos(ojQt + V?o)? или х = As'm(ojot + (ро). F.5)
В математике функции этого вида называют гармонически-
гармоническими, поэтому колебания, описываемые такими функциями, тоже
называют гармоническими.
Гармонические колебания — такие, при которых
наблюдаемая величина изменяется во времени
с определенной частотой по закону синуса или
косинуса.
Таким образом, идеальный пружинный маятник совершает гар-
гармонические колебания.
Величины, входящие в формулу F.5), имеют следующий
смысл:
х — смещение точки от положения равновесия в момент
времени t;
А — амплитуда колебаний (максимальное смещение от по-
положения равновесия);
cuq — собственная круговая (циклическая) частота колебаний
(число колебаний, совершаемых за 2тг секунд);
ip = (с^о^ + V?o) — фаза колебаний (в момент времени ?);
(ро — начальная фаза колебаний (при t = 0).
Собственная круговая частота является основной характе-
характеристикой свободных гармонических колебаний. Эта величина
зависит только от свойств колебательной системы. В рассматри-
рассматриваемом случае — от массы маятника и жесткости пружины F.3).
Амплитуда колебаний определяются, как свойствами коле-
колебательной системы, так и начальными условиями (положением
и скоростью тела в момент времени t = 0).
Начальная фаза зависит только от начальных условий. Со-
Соответствующим выбором момента начала отсчета времени она
может быть сделана равной нулю (<^о = 0). Наиболее распро-
распространены следующие формы записи гармонических колебаний,
в которых начальная фаза равна нулю:
§6.1. Свободные колебания: гармонические и затухающие колебания 67
х = Acos(u)ot) — в момент t = О отклонение максимально
(х = Л), а скорость тела равна нулю;
х = Asm(cuot) — в момент t = О тело проходит через поло-
положение равновесия (х = 0), а его скорость максимальна.
Для случая (ро = 0 зависимость смещения от времени при
гармонических колебаниях представлена на рис. 6.2.
Наряду с круговой частотой
(jJq используют и другие характе-
характеристики колебательного движе-
движения.
Частота колебаний v (число
колебаний, совершаемых за еди-
единицу времени) равна
v = сио/2тг = A/2тг)
Рис. 6.2. Зависимость смеще-
смещения от времени для гармониче-
гармонических колебаний х = t4c
F.6)
Период колебаний Т — это время, в течение которого совер-
совершается одно полное колебание:
Т = 2тг/сс;о, Т = 27r^/m/k.
F.7)
Связь между указанными характеристиками определяется фор-
формулами:
Т = l/i/, си0 = 2ttz/ = 2тг/Т.
Зная закон движения, можно определить скорость и ускорение
колеблющегося тела в любой момент времени: v = dx/dt, a =
= dv/dt. Для случая (ро = 0 получим:
v = -
следовательно,
V = ^max COs(cUQt + 7г/2), F.8)
где г>тах — максимальная скорость (амплитуда скорости);
а = — Aojq cos(ojot) = — amax cos(d;o^),
следовательно,
а = amax cos^ot + тг), F.9)
где amax — максимальное ускорение (амплитуда ускорения).
68
Лекция 6. Механические колебания
Из сравнения выражений F.5), F.8), F.9) видно, что ско-
скорость опережает по фазе смещение на тг/2, а ускорение — на тг
(то есть смещение и ускорение изменяются в противофазе).
Колеблющееся тело в любой момент времени обладает кине-
кинетической энергией собственного движения — Ек и потенциальной
энергией Еп, связанной с деформацией пружины.
Полная энергия колеблющегося тела складывается из его
кинетической и потенциальной энергий:
Ек = mv2 /2 = тА
2, ,2 gjn2
+
Еп = kx2/2 = kA2
Е = ЕК + Еп = к А1/2 = тА2и?/2.
F.10)
F.11)
F.12)
Как видно из F.12), в этом случае полная механическая энергия
системы не изменяется.
Свободные гармонические колебания могут возникать в си-
системе, в которой нет потерь или притока механической энергии.
При отсутствии трения свободные колебания, близкие к гармо-
гармоническим, реализуются также и в других системах: математиче-
математический и физический маятники (теория этих вопросов не рассмат-
рассматривается), рис. 6.3.
I
Рис. 6.3. Математический маятник (а), физический маятник (б)
§6.1. Свободные колебания: гармонические и затухающие колебания 69
Математический маятник — небольшое тело (материальная
точка), подвешенное на невесомой нити, рис. 6.3а. Если нить
отклонить от положения равновесия на небольшой угол а и от-
отпустить, то тело будет совершать колебания с периодом, опреде-
определяемым по формуле
Т = 2ttv/V^, F.13)
где L — длина нити, g — ускорение свободного падения.
Физический маятник — твердое тело, совершающее колеба-
колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизон-
горизонтальной оси. На рис. б.Зб' схематически изображен физический
маятник в виде тела произвольной формы, отклоненный от по-
положения равновесия на угол а. Период колебаний физического
маятника описывается формулой:
Т = 2ny/l/(mgh), F.14)
где / — момент инерции тела относительно оси, га — масса, h —
расстояние между центром тяжести (точка С) и осью подвеса
(точка О).
6.1.2. Затухающие колебания. Силы трения и сопротивления
в реальных системах существенно изменяют характер движения:
энергия движения постоянно убывает, и колебания либо стано-
становятся затухающими, либо вообще не возникают.
При наличии сил сопротивления среды (сил трения) второй
закон Ньютона можно записать так:
d2x
га —-j = — kx + FTp. F.15)
Сила сопротивления направлена в сторону противоположную
движению тела и при не очень больших амплитудах и частотах
колебаний пропорциональна его скорости:
dx
FTp = -tv = -г — , F.16)
где г — коэффициент сопротивления, зависящий от свойств сре-
среды, формы и размеров тела. Подставив F.15) в F.16), получим:
d2x dx
ТП-—Г = -kx - г — .
dt2 dt
70 Лекция 6. Механические колебания
Поделив обе части уравнения на массу тела и перенеся все слагае-
слагаемые в левую часть, получим уравнение, описывающее свободные
колебания при наличии сил сопротивления:
$ ^ 0, F.17,
где 2/3 = r/ra; oJq = к/т; /3 — коэффициент затухания; с^о — КРУ~
говая частота собственных колебаний системы при отсутствии
трения.
Вид общего решение полученного дифференциального урав-
уравнения зависит от соотношения между величинами C и cuq.
1. Пусть cuq — /З2 > 0. В этом случае решение уравнения F.17)
имеет вид
х = Aq exp(—/3t) cos(ojt + <?o), F.18)
где со = дД^о — /З2) — круговая частота затухающих колебаний.
График таких колебаний представлен на рис. 6.4.
В этом случае колеба-
колебательный характер движения
сохраняется, но амплитуда ко-
колебаний уменьшается со вре-
временем по экспоненциальному
закону А = Aq - ехр(—/3 • t).
Круговая частота затухаю-
затухающих колебаний и меньше, чем
_ _ , _ при отсутствии силы трения,
гис. D.4. Зависимость смещения от
времени при затухающих колеба- а пеРиоД' соответственно -
ниях (<р0 = 0) больше:
-/?2), Т = 2ж/у/(ш*-р). F.19)
Быстрота убывания амплитуды колебаний зависит от коэф-
коэффициента затухания: чем больше /3, тем сильнее тормозящее
действие среды, и тем быстрее уменьшается амплитуда.
В качестве характеристики степени затухания используют
безразмерную величину, называемую логарифмическим декре-
декрементом затухания А:
X = \n[A(t)/A(t
§6.2. Вынужденные колебания, резонанс 71
2. Если cuq < /З2 (сильное затухание), то в этом случае
к моменту возвращения тела в положение равновесия запас его
механической энергии практически полностью расходуется на
преодоление сил трения, тело останавливается и колебания не
возникают. Такое движение называется апериодическим.
Следует отметить, что рассмотренный пример является лишь
частным случаем затухающих колебаний. При других видах сил
характер затухающих колебаний может быть иным.
§ 6.2. Вынужденные колебания, резонанс
Свободные колебания, как правило, являются затухающими
вследствие наличия сил трения. Незатухающие колебания можно
создать с помощью периодического внешнего воздействия.
Вынужденные колебания — такие, которые возни-
возникают в системе при воздействии внешней силы,
изменяющейся по периодическому закону.
Рассмотрим случай, когда на тело, помимо упругой силы F и си-
силы трения FTp, действует еще и вынуждающая гармоническая
сила FB = Fo-cos((jjB-t), где Fq — амплитуда силы; сив — круговая
частота ее колебаний.
Запишем дифференциальное уравнение движения, вытекаю-
вытекающее из второго закона Ньютона:
d x dx
т-—г = -kx - г— + Fq cos(ujBt),
dtA dt
или
d x dx
+ 2/3 — + ф = /o cos(o;Bt), F.20)
где /о =
Можно показать, что для больших значений t решение этого
уравнения определяется формулой
х = Acos(ojBt + (pB), F.21)
где (рв — разность фаз между силой FB и смещением х.
График вынужденных колебаний представлен на рис. 6.5.
Таким образом, установившиеся вынужденные колебания,
происходящие под воздействием внешней гармонически изменя-
изменяющейся силы, являются тоже гармоническими. Их частота равна
частоте вынуждающей силы.
72
Лекция 6. Механические колебания
х | ^ Собственные Вынуждающая Вынужденные
колебания / сила / колебания
д*
Время установления^
Рис. 6.5. Зависимость смещения от времени при вынужденных коле-
колебаниях
Амплитуда А установившихся вынужденных колебаний за-
зависит от собственной частоты колебаний, массы материальной
точки, амплитуды и частоты вынуждающей силы и коэффици-
коэффициента затухания:
А =
/о
F.22)
6.2.1. Резонанс. Если ujq и /3 для системы заданы, то ампли-
амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при
некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называ-
называемой резонансной. Само явление — достижение максимальной
амплитуды вынужденных колебаний при определенном значении
частоты вынуждающей силы называется резонансом.
Зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от кру-
круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэф-
коэффициента затухания показана на рис. 6.6.
О
шрез1 шрез2шрез3
Рис. 6.6. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круго-
круговой частоты вынуждающей силы
§6.3. Автоколебания
73
При больших потерях на трение кривая резонанса не подни-
поднимается до больших значений.
Резонансную круговую частоту можно найти, если опреде-
определить условие минимума знаменателя в F.22):
^-2/32. F.23)
При этой частоте имеет место максимум амплитуды вынужден-
вынужденных колебаний, определяемый формулой
/о
F.24)
В некоторых случаях сильное возрастание амплитуды коле-
колебаний при резонансе является опасным для прочности системы.
6.2.2. Сопоставление колебательных процессов. В табл. 6.1
представлено сопоставление характеристик для рассмотренных
выше различных колебаний.
Таблица 6.1. Характеристики различных колебаний
Вид
колебаний
Свободные
гармониче-
гармонические
колебания
Свободные
затухающие
колебания
Вынужден-
Вынужденные
колебания
Уравнение для
смещения
х = Acos(ujot)
х = Ае~@ь cos(ujt)
2/3 = г/т
х = Acos(ojBt)
Условия
возникновения
F = -kx
FTp = 0
FB = 0
F = -kx
Ftp = -tv
FB = 0
F = -kx
FtP = —rv
FB = Fo cos(ouBt)
Частота
uo = y/k/m
UJ = y/ujQ - C2
uB
§ 6.3. Автоколебания
Существуют такие системы, которые сами регулируют пе-
периодическое восполнение потерянной энергии и поэтому могут
колебаться длительное время.
74
Лекция 6. Механические колебания
Автоколебания — незатухающие колебания,
поддерживаемые внешним источником энергии,
поступление которой регулируется самой колеба-
колебательной системой.
Системы, в которых возникают такие колебания, называются ав-
автоколебательными. Амплитуда и частота автоколебаний зависят
от свойств самой автоколебательной системы. Автоколебатель-
Автоколебательную систему можно представить следующей схемой
Источник энергии
¦*- Регулятор энергии
*»- Колебательная система
Обратная связь
В данном случае сама колебательная система каналом обрат-
обратной связи воздействует на регулятор энергии, информируя его
о состоянии этой системы.
Обратной связью называется воздействие резуль-
результатов какого-либо процесса на его протекание.
Если такое воздействие приводит к возрастанию интенсивности
процесса, то обратная связь называется положительной. Если
воздействие приводит к уменьшению интенсивности процесса, то
обратная связь называется отрицательной.
В автоколебательной системе может присутствовать как по-
положительная, так и отрицательная обратная связь.
Примером механической автоколебательной системы
являются часы. Примером биологических автоколебательных
систем являются такие органы как сердце, легкие.
Положительная обратная связь проявляется в процессе гене-
генерации потенциала действия в мембранах. При этом деполяриза-
деполяризация мембраны приводит к увеличению проницаемости для ионов
натрия, а это ведет к еще большему изменению мембранного
потенциала.
Отрицательная обратная связь имеет место в аппарате регу-
регулирования ширины зрачка (чем больше попадает в глаз через
зрачок квантов света, тем уже становится диаметр зрачка), в си-
системе регуляции уровня сахара в крови, в системе терморегуля-
терморегуляции в организме человека.
§ 6.4. Сложение гармонических колебаний
75
§ 6.4. Сложение гармонических колебаний,
направленных по одной прямой
Рассмотрим тело, которое участвует в двух колебательных
движениях, происходящих вдоль одной прямой линии. Требуется
записать закон, по которому изменяется смещение тела в этом
случае. Приведем без вывода решение этой задачи для случая,
когда частоты обоих колебаний одинаковы.
Полное смещение тела (х) равно сумме двух смещений:
= А\
= А2 cos(ojt
F.25)
Можно показать, что при этом получается гармоническое
колебание с такой же частотой:
X =
амплитуда и начальная фаза которого определяются формулами
А = ^А\ + А\ + 2АгА2 cos(^0i - Р02), F.26)
А\ sin (poi + A2 sin (p02
^^0 = -; —A • F-27)
A\ COS (^01 + A2 COS у?02
При слож:ении двух гармонических колебаний с одинаковыми
амплитудами и близкими частотами получается результирующее
колебание, с периодически медленно меняющейся амплитудой.
Такие колебания называются биениями (рис. 6.7).
Рис. 6.7. Биения, Т — период биений
76
Лекция 6. Механические колебания
§ 6.5. Сложное колебание, разложение сложного
колебания на простые, гармонический спектр
Сложное периодическое движение — сложное колебание —
можно представить в виде суммы гармонических колебаний.
Существуют математические методы обработки сложных коле-
колебаний. Фурье предложил метод разложения любой периодиче-
периодической функции в ряд гармонических функций, периоды которых
кратны периоду сложного колебания. Разложение периодическо-
периодического сложного колебания на гармонические колебания называется
гармоническим анализом.
Совокупность гармонических колебаний, на которые разло-
разложено сложное колебание, называется гармоническим спектром
сложного колебания. Пример периодической функции и ее спек-
спектра представлен на рис. 6.8. На этом рисунке показана перио-
периодическая функция ж(?), которая раскладывается на сумму двух
гармонических функций (asinc^t, bsm2ut), и ее спектр.
b sin 2ujt
У
x(t) = a sin ujt + b sin 2ujt Спектр функции x(t)
Рис. 6.8. Сложное колебание и его спектр
§ 6.6. Элементы реабилитологии
Анализ колебаний, создаваемых телом человека или его от-
отдельными частями, широко используется в медицинской реаби-
реабилитологии.
6.6.1. Колебательные движения тела человека при ходьбе.
Анализ процесса ходьбы дает много диагностических признаков.
Ходьба — это сложный периодический локомоторный процесс,
§ 6.6. Элементы реабилитологии 77
возникающий в результате сложной координированной деятель-
деятельности скелетных мышц туловища и конечностей. Характерной
особенностью ходьбы является периодичность опорного положе-
положения одной ногой (период одиночной опоры) или двух ног (период
двойной опоры). В норме соотношение этих периодов равно 4:1.
При ходьбе происходит периодическое смещение Ау центра масс
(ЦМ) по вертикальной оси (в норме до 5 см) и отклонение
в сторону (в норме на 2,5 см). При этом ЦМ совершает движение
по кривой, которую приближенно можно представить гармони-
гармонической функцией, рис. 6.9.
Рис. 6.9. Смещение ЦМ тела человека по вертикальной оси во время
ходьбы
При ходьбе колебательные движения совершают различные
части тела и отдельные органы.
6.6.2. Сложные колебательные движения при поддержании
вертикального положения тела. У человека, стоящего вертикаль-
вертикально, происходят сложные колебания ЦМ. На анализе этих колеба-
колебаний основана статокинезиметрия — метод оценки способности
человека сохранять вертикальную позу. В эту группу методов
входит и стабилография — метод оценки способности человека
удерживать проекцию центра масс в пределах координат грани-
границы площади опоры. Данный метод реализуется с помощью ста-
билографа, основной частью которого является стабилоплатфор-
ма, на которой находится испытуемый. Колебания, совершаемые
центром масс испытуемого при поддержании вертикальной позы,
передаются стабилоплатформе и регистрируются специальными
тензодатчиками. Сигналы тензодатчиков передаются на реги-
регистрирующее устройство. При этом записывается стабилограм-
78 Лекция 6. Механические колебания
ма — траектория перемещения центра масс испытуемого в го-
горизонтальной плоскости. По гармоническому спектру стабило-
граммы можно судить об особенностях вертикализации в норме
и при отклонениях от нее. Данный метод эффективен при оцен-
оценке результатов соответствующих спортивных реабилитационных
тренировочных методик (для спортсменов, для больных после
травмы и инсультов, для больных с церебральным параличом
и т.д.)
6.6.3. Механические колебания сердца. Существует различ-
различные методы исследования сердца, в основе которых лежат меха-
механические периодические процессы.
Баллистокардиография (БКГ) — метод исследования меха-
механических проявлений сердечной деятельности, основанный на
регистрации пульсовых микроперемещений тела, обусловленных
выбрасыванием толчком крови из желудочков сердца в крупные
сосуды. При этом возникает явление отдачи. Тело человека по-
помещают на специальную подвижную платформу, находящуюся
на массивном неподвижном столе. Платформа в результате от-
отдачи приходит в сложное колебательное движение. Зависимость
смещения платформы с телом от времени называется балли-
стокардиограммой (рис. 6.10), анализ которой позволяет судить
о движении крови и состоянии сердечной деятельности.
Рис. 6.10. Запись баллистокардиограммы
Апекскарбиография (АКГ) — метод графической регистрации
низкочастотных колебаний грудной клетки в области верхушеч-
верхушечного толчка, вызванных работой сердца. Регистрация апекскар-
диограммы производится, как правило, на многоканальном элек-
электрокардиографе при помощи пьезокристаллического датчика,
являющегося преобразователем механических колебаний в элек-
электрические. Перед записью на передней стенке грудной клетки
пальпаторно определяют точку максимальной пульсации (верху-
(верхушечный толчок), в которой и фиксируют датчик. По сигналам
датчика автоматически строится апекскардиограмма. Проводят
амплитудный анализ АКГ — сравнивают амплитуды кривой при
§ 6.6. Элементы реабилитологии
79
разных фазах работы сердца с максимальным отклонением от
нулевой линии — отрезок ЕО, принимаемый за 100 %. На рис. 6.11
представлена апекскардиограмма.
0 Нулевая линия
Рис. 6.11. Запись апекскардиограммы
Кинетокардиография (ККГ) — метод регистрации низко-
низкочастотных вибраций стенки грудной клетки, обусловленных
сердечной деятельностью. Кинетокардиограмма отличается
от апекскардиограммы: первая фиксирует запись абсолютных
движений грудной стенки в пространстве; вторая регистрирует
колебания межреберий относительно ребер. В данном методе
определяются перемещение (ККГЖ), скорость перемещения
(ККГ^), а также ускорение (ККГа) для колебаний грудной
клетки. На рис. 6.12 представлено сопоставление различных
кинетокардиограмм.
ККГ.
Рис. 6.12. Запись кинетокардиограмм перемещения (ж), скорости (v),
ускорения (а)
Динамокардиография (ДКГ) — метод оценки перемещения
центра тяжести грудной клетки. Динамокардиограф позволяет
регистрировать силы, действующие со стороны грудной клетки
80 Лекция 6. Механические колебания
человека. Для записи динамокардиограммы пациент располага-
располагается на столе лежа на спине. Под грудной клеткой находится
воспринимающее устройство, которое состоит из двух жестких
металлических пластин размером 30 х 30 см, между которыми
расположены упругие элементы с укрепленными на них тен-
зодатчиками. Периодически меняющаяся по величине и месту
приложения нагрузка, действующая на воспринимающее устрой-
устройство, слагается из трех компонент: 1) постоянная составляю-
составляющая — масса грудной клетки; 2) переменная — механический
эффект дыхательных движений; 3) переменная — механические
процессы, сопровождающие сердечное сокращение.
Запись динамокардиограммы осуществляют при задержке
дыхания исследуеммым в двух направлениях: относительно про-
продольной и поперечной оси воспринимающего устройства. Срав-
Сравнение различных динамокардиограмм показано на рис. 6.13.
Рис. 6.13. Запись нормальной продольной (а) и поперечной (б) дина-
динамокардиограмм
Сейсмокардиография основана на регистрации механических
колебаний тела человека, вызванных работой сердца. В этом
методе с помощью датчиков, установленных в области основа-
основания мечевидного отростка, регистрируется сердечный толчок,
обусловленный механической активностью сердца в период со-
сокращения. При этом происходят процессы, связанные с деятель-
деятельностью тканевых механорецепторов сосудистого русла, активи-
активирующихся при снижении объема циркулирующей крови. Сейсмо-
кардиосигнал формирует форма колебаний грудины.
6.6.4. Вибрация. Широкое внедрение различных машин и ме-
механизмов в жизнь человека повышает производительность труда.
Однако работа многих механизмов связана с возникновением
§ 6.6. Элементы реабилитологии 81
вибраций, которые передаются человеку и оказывают на него
вредное влияние.
Вибрация — вынужденные колебания тела, при
которых либо все тело колеблется как единое це-
целое, либо колеблются его отдельные части с раз-
различными амплитудами и частотами.
Колебания, возникшие в каком-либо месте тела (например руки
рабочего, держащего отбойный молоток), распространяются по
всему телу в виде упругих волн. Эти волны вызывают в тка-
тканях организма переменные деформации различных видов (сжа-
(сжатие, растяжение, сдвиг, изгиб). Действие вибраций на человека
обусловлено многими факторами, характеризующими вибрации:
частота (спектр частот, основная частота), амплитуда, скорость
и ускорение колеблющейся точки, энергия колебательных про-
процессов.
Продолжительное воздействие вибраций вызывает в организ-
организме стойкие нарушения нормальных физиологических функций.
Может возникнуть «вибрационная болезнь». Эта болезнь приво-
приводит к ряду серьезных нарушений в организме человека.
Вредное воздействие оказывают даже кратковременные виб-
вибрации, если в их спектре содержатся частоты, совпадающие
с частотами собственных колебаний каких либо частей тела.
Например, при запуске пилотируемых космических кораблей
возникают вибрации корпуса с частотой около 4,5 Гц. После
отделения двигателей первой ступени частота возрастает до 6 Гц,
а после отделения третьей ступени — до 9 Гц. Человеческое тело
и его отдельные органы имеют собственные частоты колебаний
в диапазоне от 3 до 12 Гц. Когда корабль вибрирует на какой-
нибудь из этих частот, вибрация органов человека, вследствие ре-
резонанса, увеличивается, эти органы деформируются, смещаются
или теряют фиксацию, то есть может произойти их механическое
повреждение. Для смягчения вибрации в космических кораблях
имеются специальные устройства.
Вибрация, как проявление вынужденных колебаний, исполь-
используется при массаже. При ручном массаже массируемые ткани
приводятся в колебательное движение при помощи рук масса-
массажиста. При аппаратном массаже используются вибраторы, в ко-
которых для передачи телу колебательных движений служат нако-
наконечники различной формы. Вибрационные аппараты подразде-
82 Лекция 6. Механические колебания
ляются на аппараты для общей вибрации, вызывающие сотрясе-
сотрясение для всего тела (вибрационные «стул», «кровать», «платфор-
«платформа» и др.) и аппараты местного вибрационного воздействия на
отдельные участки тела.
6.6.5. Механотерапия. В лечебной физкультуре (ЛФК) ис-
используются тренажеры, на которых осуществляются колебатель-
колебательные движения различных частей тела человека. Они использу-
используются в механотерапии — форме ЛФК, одной из задач которой
является осуществление дозированных, ритмически повторяю-
повторяющихся физических упражнений с целью тренировки или вос-
восстановления подвижности в суставах на аппаратах маятнико-
маятникового типа. Основу этих аппаратов составляет балансирующий
(фр. balancer — качать, уравновешивать) маятник, который пред-
представляет собой двуплечный рычаг, совершающий колебательные
(качательные) движения около неподвижной оси.
Анализ колебательных процессов и движений различных ор-
органов позволяет получать взаимодополняющую информацию.
Поэтому при разработке способов медицинского контроля, тре-
тренировочно-реабилитационных медицинских методик, для обос-
обоснования их допустимых параметров необходимо учитывать ха-
характеристики колебательных процессов.
Лекция 7
МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
1. Механические волны и их виды.
2. Частота волны. Уравнение плоской волны.
3. Длина волны.
4. Энергетические характеристики волны.
5. Некоторые специальные разновидности волн.
6. Эффект Доплера и его использование в медицине.
7. Элементы реабилитологии. Анизотропия при распространении
поверхностных волн. Действие ударных волн на биологические
ткани.
§ 7.1. Механические волны и их виды
Пусть тело, совершающее колебания, находится в среде, ча-
частицы которой связаны между собой упругими силами (такие
среды называют упругими). В этом случае колебательное движе-
движение тела передается прилегающим к нему частицам среды. Они,
в свою очередь, вовлекают в колебательное движение соседние
частицы и так далее. При этом все точки среды совершают ко-
колебания с одинаковой частотой, равной частоте колебания тела.
Процесс распространения механических колеба-
колебаний в упругой среде называется упругой, или ме-
механической, волной.
С волной связан перенос энергии колебаний от источника ко-
колебаний к периферийным участкам среды. При этом в среде
возникают периодические деформации сжатия и сдвига, которые
переносятся волной из одной точки среды в другую. Нужно
заметить, что при распространении механической волны сами
частицы среды не перемещаются вместе с ней, а колеблются
около своих положений равновесия. Поэтому распространение
волны не сопровождается переносом вещества.
84 Лекция 7. Механические волны
Механические волны различаются по тому, как колебания
частиц среды ориентированы относительно направления распро-
распространения волны. Простейшие типы волн в этом случае следую-
следующие.
Продольные волны — такие, в которых частицы
среды колеблются вдоль направления распростра-
распространения колебаний. При этом в среде чередуются
области сжатия и разряжения.
Продольные механические волны могут возникать во всех средах
(твердых, жидких и газообразных).
Поперечные волны — такие, в которых частицы
колеблются перпендикулярно к направлению рас-
распространения колебаний. При этом в среде возни-
возникают периодические деформации сдвига.
В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии
и не возникают при сдвиге, поэтому поперечные волны в этих
средах не возникают. Исключение составляют волны на поверх-
поверхности жид кости.
В природе не существует процессов, распространяющихся
с бесконечно большой скоростью, поэтому возмущение, создан-
созданное внешним воздействием в одной точке среды, достигнет дру-
другой точки не мгновенно, а спустя некоторое время. При этом
среда делится на две области: область, точки которой уже вовле-
вовлечены в колебательное движение, и область, точки которой еще
находятся в равновесии. Поверхность, разделяющая эти области,
называется фронтом волны.
Фронт волны — геометрическое место точек (по-
(поверхность), в которых фаза колебаний имеет одно
и то же значение. Для всех точек фронта время,
за которое до них дошло возмущение, одинаково.
При распространении волны ее фронт перемещается, двигаясь
с некоторой скоростью, которую называют скоростью волны.
Скоростью волны v называется скорость переме-
перемещения ее фронта.
Скорость волны зависит от свойств среды и типа волны: попе-
поперечные и продольные волны в твердом теле распространяются
с различными скоростями.
§ 7.2. Частота волны. Уравнение плоской волны 85
Скорость волны в среде не следует путать со скоростью
движения частиц среды, вовлеченных в волновой процесс. На-
Например, при распространении звуковой волны в воздухе средняя
скорость колебаний его молекул порядка 10 см/с, а скорость
звуковой волны при нормальных условиях около 330 м/с.
Форма волнового фронта определяет геометрический тип
волны. Простейшие типы волн по этому признаку — плоские
и сферические.
Плоской называется волна, у которой фронтом яв-
является плоскость, перпендикулярная направлению
распространения.
Плоские волны возникают, например, в закрытом поршнем ци-
цилиндре с газом, когда поршень совершает колебания.
Сферической называется волна, у которой фронт
имеет форму сферы.
Такой, например, является волна, вызываемая в однородной сре-
среде точечным источником.
§ 7.2. Частота волны. Уравнение плоской волны
Волна возникает в результате периодических внешних воз-
воздействий на среду. Если источник, создающий волну, колеблется
по гармоническому закону с некоторой частотой v, то точки сре-
среды вовлекаются в колебательное движение с такой же частотой.
Эта частота называется частотой волны.
В соответствии с частотой механические волны разделены на
различные диапазоны, которые указаны в табл. 7.1.
Голос человека имеет разные частотные параметры, которые
приведены ниже в табл. 7.2.
Для волны, созданной гармоническими колебаниями источ-
источника колебания точек среды также являются гармоническими.
Такая волна называется гармонической. Колебания каждой точ-
точки среды описываются уравнением
х — A cos(ojt + <?о),
где А — амплитуда колебаний данной точки, си — круговая ча-
частота колебаний, определяемая частотой внешнего воздействия
(и = 2тти) и потому одинаковая для всех точек, (р$ — фаза
колебаний данной точки в момент времени t = 0.
Лекция 7. Механические волны
Таблица 7.1. Шкала механических волн
Частота, Гц
0,5-20
20-2 • 104
2•104-105
105-107
107-109
109-1013
Наименование
диапазона
Инфразвуковой
Звуковой
Низкочастотный
ультра-звуковой
Среднечастотный
ультра-звуковой
Высокочастотный
ультразвуковой
Гиперзвуковой
Примеры
Цунами, тоны сердца
Голос,
фонокардиограмма
Звуки, издаваемые
дельфинами, летучими
мышами
Колебания
магнитострикционных
излучателей
Тепловые колебания
молекул
Таблица 7.2. Частотные звуковые параметры голоса человека
Действующий звук
Разговор у мужчин
Разговор у женщин
Наибольшая чувствительность уха
Пение
Бас (длина голосовых связок « 2,5 см)
Баритон
Тенор (длина связок 1,7-2,0 см)
Сопрано (длина связок ~ 1,5 см)
Детский голос
Колоратурное сопрано
Рекордная высота женского голоса
Частота, Гц
85-200
160-340
1500-4000
80-350
110-400
130-520
260-1050
260-1050
350-1400
2350
Рассмотрим распространение плоской волны, созданной гар-
гармоническими колебаниями источника: xu = Acos(ut). Если неко-
некоторая точка среды удалена от источника на расстояние s, а ско-
скорость волны — г?, то возмущение, созданное источником, достиг-
достигнет этой точки через время г = s/v. Поэтому фаза колебаний
в рассматриваемой точке в момент времени t будет такой же, как
фаза колебаний источника в момент времени (t — s/v). В резуль-
результате колебания данной точки будут определяться уравнением:
х = Acos[uj(t — s/v)].
G.1)
Уравнение G.1), определяющее смещение любой точки среды
в любой момент времени, называется уравнением плоской волны.
§ 7.3. Длина волны
87
Аргумент при косинусе — величина (р = uj(t — s/v) называется
фазой волны.
Обычно вместо круговой частоты колебаний uj указывают
частоту v или период колебаний точек среды Т. Связь между
этими величинами была приведена в лекции «Механические ко-
колебания»: ио = 2тти = 2тг/Т.
§ 7.3. Длина волны
Для описания волновых явлений, например интерференции
и дифракции, используют характеристику, называемую длиной
волны.
Длиной волны называется расстояние, на которое
перемещается ее фронт за время равное периоду
колебаний частиц среды:
Л = vT. G.2)
Обычно в качестве характеристики волны используют не период
колебаний (Т), а их частоту {у = 1/Т) и формулу для длины
волны записывают в виде
Л = v/v. G.3)
Так как скорость распространения волны зависит от свойств
среды, то длина волны Л при переходе из одной среды в другую
изменяется, в то время как частота v остается прежней.
Данное определение длины волны имеет важную геометриче-
геометрическую интерпретацию. Рассмотрим рис. 7.1а, на котором показаны
смещения точек среды в некоторый момент времени. Положение
фронта волны отмечено точками А и В.
Возмущение среды
в некоторый момент t
Возмущение среды
в момент t + Т
f X I
Рис. 7.1. Иллюстрация к определению длины волны
Лекция 7. Механические волны
Через время, равное одному периоду колебаний, фронт волны
переместится. Его положения показаны на рис. 7.16 точками Ai
и Bi. Из рисунка видно, что длина волны равна расстоянию
между соседними точками, колеблющимися в одинаковой фазе.
Например, это — расстояние между двумя соседними максиму-
максимумами или минимумами возмущения (рис. 7.1 б').
§ 7.4. Энергетические характеристики волны
При волновом движении происходит перенос энергии Е, ко-
которая складывается из кинетической энергии колеблющихся ча-
частиц среды и потенциальной энергии, обусловленной деформа-
деформацией среды при взаимном смещении частиц.
Для количественного описания переноса энергии вводят сле-
следующие величины.
Поток энергии (Ф) — величина, равная средней
энергии, проходящей за единицу времени через
данную поверхность:
<$> = dE/dt [Вт]. G.4)
Объемная плотность энергии (wp) — средняя
энергия колебательного движения, приходящаяся
на единицу объема среды:
wp = рА2и2/2 [Дж/м3], G.5)
где р — плотность среды.
Интенсивность волны (плотность потока энергии
волны) (/) — величина, равная потоку энергии вол-
волны, проходящей через единичную площадь, пер-
перпендикулярную к направлению распространения
волны:
/ = ф/5 [Вт/м2]. G.6)
Можно показать, что интенсивность волны определяется соотно-
соотношением
/ = vpA2u2/2. G.7)
§ 7.5. Некоторые специальные разновидности волн 89
§ 7.5. Некоторые специальные разновидности волн
7.5.1. Ударные волны. При звуковых волнах скорость коле-
колебания отдельной молекулы воздуха не превышает нескольких
см/с, то есть она в сотни раз меньше скорости волны. При
больших возмущениях (взрыв, движение тел со сверхзвуковой
скоростью) скорость колеблющихся частиц среды может стать
сравнимой со скоростью звука. При этом возникает эффект,
называемый ударной волной.
При взрыве сильно нагретые продукты, обладающие большой
плотностью, расширяются и сжимают тонкий слой окружающего
воздуха.
Ударная волна — это распространяющаяся со
сверхзвуковой скоростью тонкая переходная
область, в которой происходит резкое возрастание
плотности вещества и скорости движения частиц
среды; это распространение скачка уплотнения со
сверхзвуковой скоростью.
Ударная волна может обладать значительной энергией. Так, при
ядерном взрыве на образование ударной волны в окружающей
среде затрачивается около 50% всей энергии взрыва. Ударная
волна, достигая объектов, способна вызвать разрушения.
7.5.2. Поверхностные волны. Наряду с объемными волнами
в сплошных средах при наличии протяженных границ могут
существовать волны, локализованные вблизи границ, которые
играют роль волноводов. Таковы, в частности, поверхностные
волны в жидкости и упругой среде, открытые английским физи-
физиком В. Стреттом (лордом Рэлеем) в 90-х годах 19 века. В идеаль-
идеальном случае волны Рэлея распространяются вдоль границы по-
полупространства, экспоненциально затухая в поперечном направ-
направлении. В результате поверхностные волны локализуют энергию
возмущений, созданных на поверхности, в сравнительно узком
приповерхностном слое.
Поверхностные волны — такие волны, которые
распространяются вдоль свободной поверхности
тела или вдоль границы тела с другими средами
и затухают при удалении от границы.
90 Лекция 7. Механические волны
Примером таких волн являются волны в земной коре (сейсми-
(сейсмические волны). Глубина проникновения поверхностных волн со-
составляет несколько длин волн. На глубине, равной длине вол-
волны Л, объемная плотность энергии волны wp составляет при-
приблизительно 0,05 плотности на поверхности. Амплитуда смеще-
смещения быстро убывает при удалении от поверхности и на глубине
нескольких длин волн практически исчезает.
7.5.3. Волны возбуждения в активных средах. Активно воз-
возбудимая среда, или активная среда, — непрерывная среда, состо-
состоящая из большого числа элементов, каждый из которых обладает
запасом энергии.
При этом каждый элемент может находиться в одном из
трех состояний: 1 — возбуждение, 2 — рефрактерность (невозбу-
(невозбудимость в течение определенного времени после возбуждения),
3 — покой. В возбуждение могут перейти элементы только из
состояния покоя.
Волны возбуждения в активных средах называют автоволна-
автоволнами.
Автоволны — это самоподдерживающиеся волны
в активной среде, сохраняющие свои характери-
характеристики постоянными за счет распределенных в сре-
среде источников энергии.
Характеристики автоволны — период, длина волны, скорость
распространения, амплитуда и форма — в установившемся режи-
режиме зависят только от локальных свойств среды и не зависят от
начальных условий. В табл. 7.3 представлено сходство и различие
автоволн и обычных механических волн.
Автоволны можно сопоставить с распространением пожара
в степи. Пламя распространяется по области с распределенны-
распределенными запасами энергии (по сухой траве). Каждый последующий
элемент (сухая травинка) зажигается от предыдущего. И таким
образом распространяется фронт волны возбуждения (пламя) по
активной среде (сухой траве). При встрече двух очагов пожара
пламя исчезает, так как исчерпаны запасы энергии — вся трава
выгорела.
Описание процессов распространения автоволн в активных
средах используется в описании распространения потенциалов
действия по нервным и мышечным волокнам.
§ 7.6. Эффект Доплера и его использование в медицине
91
Таблица 7.3. Сравнение автоволн и обычных механических волн
Свойства
и характеристики
Источник энергии
Интенсивность
Перенос энергии
Взаимодействие
с препятствием
Сложение волн
Обычные волны
Энергия подводится от
источника возмущения
Интенсивность
уменьшается — есть
затухание
Переносится энергия
Волна отражается от
препятствия
Проявляется
интерференция
Автоволны
Энергия
запасена в среде
Затухания нет
Потребляется
энергия среды
Волна исчезает
Волны гасятся
§ 7.6. Эффект Доплера и его использование
в медицине
Христиан Доплер A803-1853 г.) — австрийский физик, мате-
математик, астроном, директор первого в мире физического инсти-
института.
Эффект Доплера состоит в том, что воспринимае-
воспринимаемая приемником частота v отличается от излучае-
излучаемой источником частоты г/0 вследствие движения
источника волн и приемника.
Эффект может наблюдаться в акустике и оптике.
Пусть гармонические колебания источника волн определя-
определяются уравнением
где v§ — частота, a Tq — период колебаний источника.
На рис. 7.2 сплошной линией выделено одно полное колебание
источника.
о
в
Тп ,
Рис. 7.2. Колебания источника волны
92
Лекция 7. Механические волны
Возмущения, созданные началом (т. А) и концом (т. В) полно-
полного колебания, распространяются в среде со скоростью V и дости-
достигают приемника в моменты времени t\ и ^2, соответственно. При
этом приемник фиксирует колебания с периодом и частотой:
G.8)
Найдем моменты t\ и t<i для следующего случая. Пусть источник
и приемник волн движутся в направлении оси X со скоростями
К, и Vn, соответственно. В начальный момент времен (t = 0)
расстояние между ними — S (рис. 7.3).
Положения
источника и приемника
в момент
t= 0
Положение
приемника
в момент
V» — S К —
Рис. 7.3. Испускание и прием начала полного колебания
Возмущение, созданное в среде началом полного колебания,
«догонит» приемник через промежуток времени т\ = S/(V — Vn)
и достигнет его в момент времени
= S/(V-Vn).
G.9)
Полное колебание источника завершается в момент времени
t = To, когда источник и приемник занимают новые положения
и расстояние между ними — Si (рис. 7.4).
Положения
источника и приемника
в момент
Положение
приемника
в момент
Рис. 7.4. Испускание и прием конца полного колебания
§ 7.6. Эффект Доплера и его использование в медицине 93
Возмущение, созданное в среде завершением полного коле-
колебания, «догонит» приемник через промежуток времени t<i =
= S\/(V — Vn) и достигнет его в момент
«2 = Т0 + т2 = To + St/iV-Vn) = To + [S+(Vn-Vu)-To]/(V-Vn).
G.10)
Используя формулы G.8)-G.10), найдем период колебаний,
фиксируемых приемником: Т = t<i — t\ — Tq + [S + (Vn — VH) x
x Tq]/(V — Vn) — S/(V — Vn). После преобразований получим
Эта формула получена для случая, когда Vu и Vn направлены
в сторону оси х (от источника к приемнику). Для произвольных
направлений вдоль оси х формула принимает вид
УтУ, УтУп , ,
T = V^V-T°> У=у-^ущ- GЛ1)
Верхний знак берется, если соответствующая скорость на-
направлена в сторону оси х (от источника к приемнику), а нижний
знак — для обратного направления.
Рассмотрим один частный случай использования эффекта
Доплера в медицине. Пусть генератор ультразвука совмещен
с приемником в виде некоторой технической системы, которая
неподвижна относительно среды. Генератор излучает ультразвук
с частотой щ, который распространяется в среде со скоростью V.
Навстречу системе со скоростью Vq движется некоторый объект.
В данном случае система выполняет роль источника (Vu = 0),
а объект — роль приемника (Vn = Vq). По формуле G.11) найдем
частоту, воспринимаемую объектом:
'-ЦР-Ъ. G.12)
Ультразвуковая волна с частотой v1 отражается объектом
в сторону технической системы. Теперь система выполняет роль
приемника (Vn = 0), а объект — роль источника (Vu = — Vb).
В этом случае приемник воспринимает частоту
94 Лекция 7. Механические волны
Таким образом, возникает разница между принятой и ис-
испущенной частотами, которую называют доплеровским сдвигом
частоты:
У + Уо 2УЬ
vR = u -vQ = -—.vQ-UQ = -—.UQ. G.14)
В медицинских приложениях скорость ультразвука значи-
значительно больше скорости движения объекта (V ^> Vo). В этом
случае V — Vo « V или:
^Д = ^^о- G.15)
При приближении объекта к датчику частота отраженного
сигнала увеличивается, а при удалении - уменьшается.
Эффект Доплера используется для определения скорости
кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (допле-
ровская эхокардиография) и других органов. Большими возмож-
возможностями и преимуществами обладает эффект Доплера, использу-
используемый в УЗ диагностике. Схема соответствующей установки для
измерения скорости крови показана на рис. 7.5.
Кожа
Q «< Кровь )
Рис. 7.5. Схема установки для измерения скорости крови: 1 — источник
ультразвука, 2 — приемник ультразвука
Она состоит из двух пьезокристаллических кристаллов, один
из которых (основан на обратном пьезоэффекте) служит для
генерации ультразвуковых колебаний, а второй (основан на пря-
прямом пьезоэффекте) — для приема ультразвука, рассеянного
кровью.
Пример. Определить скорость кровотока в артерии, если
при отражении ультразвука (щ = 100 кГц = 100 000 Гц, V =
= 1500 м/с) от эритроцитов возникает доплеровский сдвиг ча-
частоты 1УД = 40 Гц.
§ 7.7. Элементы реабилитологии 95
Решение. Из формулы G.15) найдем: Vq = vA • V/2 • щ =
40-1500/B-100 000) = 0,3 м/с.
§ 7.7. Элементы реабилитологии
7.7.1. Анизотропия распространения поверхностных волн.
При исследовании механических свойств кожи с помощью по-
поверхностных волн на частоте 5-6 кГц (не путать с УЗ) прояв-
проявляется акустическая анизотропия кожи. Это проявляется в том,
что скорость распространения поверхностной волны во взаимно
перпендикулярных направлениях — вдоль вертикальной оси (У)
и горизонтальной (X) осей тела, различаются.
Для количественной оценки степени выраженности акусти-
акустической анизотропии используется коэффициент механической
анизотропии, который вычисляется по формуле
К = (vy/vx) - 1,
где vy — скорость вдоль вертикальной оси, vx — вдоль горизон-
горизонтальной оси.
Коэффициент анизотропии положительный (/^+), если
vy > vx] при vy < vx коэффициент отрицательный (К-).
Численные значения скорости поверхностных волн в коже
и выраженность анизотропии являются объективными кри-
критериями для оценки различных воздействий, в том числе
и реабилитационно-восстановительных, на кожу (см. лекцию 11).
7.7.2. Действие ударных волн на биологические ткани. Во
многих случаях воздействия на биологические ткани (органы)
необходимо учитывать возникающие при этом ударные волны.
При попадании пули в голову внутри возникают ударные
волны, которые легко распространяются через жидкие среды
внутри черепной коробки и вызывают огромные разрушения
(подобно тому, когда попав в броню, снаряд не пробивает ее, но от
внутренней поверхности броневой плиты отлетает рваный кусок
металла; скорость и энергия этого осколка будут огромными,
и разрушения тоже огромные).
Аналогичный эффект может вызвать тупой удар в лоб. По-
Поэтому при проектировании защитных касок заботятся о том,
чтобы погасить ударную волну и предохранить затылок при
Лекция 7. Механические волны
лобовом ударе. Этой цели и служит внутренняя лента в каске,
которая на первый взгляд кажется необходимой для вентиляции.
Ударные волны возникают в тканях при воздействии на них
высокоинтенсивным лазерным излучением (см. лекцию 34). Ча-
Часто после этого в коже начинают развиваться рубцовые (или
иные) изменения. Например, это имеет место в реабилитацинных
косметических процедурах. Поэтому для того, чтобы снизить
вредное воздействие ударных волн, необходимо заранее рассчи-
рассчитывать дозирование воздействия с учетом физических свойств,
как излучения, так и самой кожи.
Лекция 8
АКУСТИКА. ЗВУК
1. Звук, виды звука.
2. Физические характеристики звука.
3. Характеристики слухового ощущения, звуковые измерения.
4. Звуковые методы исследования.
5. Элементы реабилитологии. Факторы, определяющие реабилита-
реабилитационную профилактику шума. Защита от шума.
Акустика — область физики, изучающая упругие
колебания и волны, методы получения и регистра-
регистрации колебаний и волн, их взаимодействие с веще-
веществом. Звуковые явления, изучаемые в акустике,
чрезвычайно валены для медицины, особенно для
оценки слуховых ощущений.
§ 8.1. Звук, виды звука
Звук в широком смысле — упругие колебания и волны, рас-
распространяющиеся в газообразных, жидких и твердых веществах;
в узком смысле — явление, субъективно воспринимаемое органом
слуха человека и животных. В норме ухо человека слышит звук
в диапазоне частот от 16 Гц до 20 кГц. Однако с возрастом
верхняя граница этого диапазона уменьшается:
Возраст
Маленькие дети
До 20 лет
35 лет
50 лет
Верхняя граница частоты, Гц
22000
20000
примерно 15000
примерно 12000
Звук с частотой ниже 16 Гц называется инфразвуком, выше
20 кГц — ультразвуком, а самые высокочастотные упругие вол-
волны в диапазоне от 109 до 1012 Гц — гиперзвуком.
Существующие в природе звуки разделяют на несколько ви-
видов.
4 Федорова В.Н., Степанова Л. А.
Лекция 8. Акустика. Звук
Звуковой удар - это кратковременное звуковое воздействие
(хлопок, взрыв, удар, гром).
Тон — это звук, представляющий собой периодический
процесс. Основной характеристикой тона является частота.
Тон может быть простым, характеризующимся одной частотой
(например, издаваемый камертоном, звуковым генератором),
и сложным (издаваемым, например, аппаратом речи, музыкаль-
музыкальным инструментом).
Акустический спектр. Сложный тон можно представить
в виде суммы простых тонов (разложить на составляющие тона).
Наименьшая частота такого разложения соответствует основно-
основному тону, а остальные — обертонам, или гармоникам. Обертоны
имеют частоты, кратные основной частоте.
Акустический спектр тона — это совокупность всех его ча-
частот с указанием их относительных интенсивностей или ампли-
амплитуд.
Обычно наибольшая амплитуда спектра соответствует основ-
основному тону. Именно он воспринимается ухом как высота звука
(см. ниже). Обертона создают «окраску» звука. Звуки одной
и той же высоты созданные разными инструментами восприни-
воспринимаются ухом по-разному именно из-за различного соотношения
между амплитудами обертонов. Сложные тоны имеют дискрет-
дискретный спектр.
Шум — это звук, имеющий сложную, неповторяющуюся вре-
временную зависимость, и представляет собой сочетание беспоря-
беспорядочно изменяющихся сложных тонов. Акустический спектр шу-
шума — сплошной (шорох, скрип).
§ 8.2. Физические характеристики звука
а) Скорость (v). Звук распространяется в любой среде, кроме
вакуума. Скорость его распространения зависит от упругости,
плотности и температуры среды, но не зависит от частоты коле-
колебаний. Скорость звука в воздухе при нормальных условиях равна
примерно 330 м/с (« 1200 км/ч). Скорость звука в воде равна
1500 м/с; близкое значение имеет скорость звука и в мягких тка-
тканях организма. (Это очень большая скорость — 5400 км/ч. Кроме
ракет, ни один аппарат, созданный человеком для движения, не
может развивать такой скорости).
§ 8.2. Физические характеристики звука 99
б) Интенсивность (/). Это энергетическая характеристика
звука. По определению — это плотность потока энергии звуковой
волны. Для уха человека важны два значения интенсивности (на
частоте 1 кГц):
порог слышимости — /0 = 10~12 Вт/м2, такой порог вы-
выбран на основе объективных показателей — это минимальный
порог восприятия звука нормальным человеческим ухом; встре-
встречаются люди у которых интенсивность может быть 10~13 или
Ю-9 Вт/м2;
порог болевого ощущения — /max — Ю Вт/м2, звук такой
интенсивности человек перестает слышать и воспринимает его
как ощущение давления или боли.
Органы слуха человека невероятно чувствительны: Imax/Io =
= 1013, то есть воспринимаемая максимальная интенсивность
превышает минимальную интенсивность в 10 000 000 000 000 раз!
Громкому разговору (на частоте 1 кГц) соответствует интен-
интенсивность звука, равная 10~6 Вт/м2, то есть одной миллионной
доле ватта на 1 м2.
в) Звуковое давление (Р). Распространение звуковой волны
сопровождается изменением давления.
Звуковое давление (Р) — это давление, дополни-
дополнительно возникающее при прохождении звуковой
волны в среде; оно является избыточным над сред-
средним давлением среды.
Физиологически звуковое давление проявляется как давление на
барабанную перепонку. Для человека важны два значения этого
параметра:
звуковое давление на пороге слышимости — Pq = 2 • 10~5 Па;
звуковое давление на пороге болевого ощущения — Ртах =
= 60 Па.
Между интенсивностью (/) и звуковым давлением (Р) суще-
существует связь:
/ = P2/2pv, (8.1)
где р — плотность среды, v — скорость звука в среде.
г) Волновое сопротивление среды (Ra). При падении звуковой
волны на границу раздела между двумя средами возникают
явления отражения и преломления звука (как плоской волны).
Интенсивности отраженной и преломленной волн зависят от вол-
волновых сопротивлений сред.
100
Лекция 8. Акустика. Звук
Волновым сопротивлением среды (Да) называет-
называется произведение плотности среды (р) на скорость
распространения звука (v):
Ra = pv.
(8.2)
В табл. 8.1 приведены скорости и волновые сопротивления
некоторых веществ при 20 °С.
Таблица 8.1. Скорость звука и акустическое сопротивление для
некоторых веществ и тканей человека при t = 25°С
Вещество
Воздух
Вода
Сталь углеродистая
Гладкие мышцы
Жировая ткань
Мозг
Кости черепа
Печень
Хрусталик
Стекловидное тело
v, м/с
331
1497
5100
1550
1460
1520
3660
1570
1650
1530
Да, Ю6 КГ/(М2С)
0,00043
1,49
40,0
1,54
1,32
1,6
6,22
1,7
1,73
1,54
Интенсивность отраженной волны зависит от коэффициента
отражения.
Коэффициент отраснсения (г) — величина, равная
отношению интенсивностей отраженной и падаю-
падающей волн:
г = WW (8.3)
При нормальном падении коэффициент г рассчитывается по
формуле:
г = [(Д^ - Rai)/(Ra2 + Яа1)]2- (8.4)
Интенсивность преломленной волны зависит от коэффициента
пропускания.
Коэффициент пропускания (/3)- величина, равная
отношению интенсивностей прошедшей (прелом-
(преломленной) и падающей волн:
Р — ^прош/^пад*
§ 8.2. Физические характеристики звука
101
При нормальном падении коэффициент /3 рассчитывается по
формуле
/3 = 4(Яа1/Яа2)/(Яа1/Яа2 + IJ. (8.5)
Коэффициент /3, выраженный в процентах, на границе возду-
воздуха с водой и бетоном равен, соответственно: /ЗВОДа = 0,122%,
/5бетон = 0,037%.
Из соотношений (8.4) и (8.5) видно, что чем меньше различа-
различаются волновые сопротивления сред, тем меньшая доля энергии
отражается на границе раздела. В частности, если сопротивле-
сопротивления равны, то при нормальном падении волны отражения вообще
не происходит.
Отметим, что сумма коэффициентов отражения и преломле-
преломления равна единице, а их значения не зависят от того порядка,
в котором звук проходит данные среды. Например, для перехода
звука из воздуха в воду значения коэффициентов такие же, как
для перехода в обратном направлении.
д) Уровень интенсивности. При сравнении интенсивности
звука удобно пользоваться логарифмической шкалой, то есть
сравнивать не сами величины, а их логарифмы. Для этого ис-
используется специальная величина— уровень интенсивности (L):
= 21g(P/Po).
(8.6)
Единицей измерения уровня интенсивности является — бел, [Б].
Логарифмический характер зависимости уровня интенсивно-
интенсивности от самой интенсивности означает, что при увеличении ин-
интенсивности в 10 раз уровень интенсивности возрастает на 1 Б.
Интенсивность, Вт/м2
Уровень интенсивности, Б
/о
0
Ю-/о
1
Ю2 • /о
2
Ю3 • /о
3
Один бел большая величина, поэтому на практике использу-
используют более мелкую единицу уровня интенсивности — децибел [дБ]:
1 дБ = 0,1 Б. Уровень интенсивности в децибелах выражается
по следующим формулам:
LflB = lOlg(///o); LAB = 20lg(P/P0).
Если в данную точку приходят звуковые волны от нескольких
некогерентных источников, то интенсивность звука равна сумме
102 Лекция 8. Акустика. Звук
интенсивностей всех волн:
/ = /х + /2 + ... (8.7)
Для нахождения уровня интенсивности результирующего сигна-
сигнала используется следующая формула:
L = lgA0Ll+10L2+ ...)• (8.8)
Здесь интенсивности должны быть выражены в белах. Фор-
Формула для перехода имеет вид
L = 0,l-LflB. (8.9)
Высокий уровень интенсивности звука приводит к необратимым
изменениям в слуховом аппарате. Так, шум в 160 дБ может
вызвать разрыв барабанной перепонки и смещение слуховых
косточек в среднем ухе, что приводит к необратимой глухоте.
При 140 дБ человек ощущает сильную боль, а продолжительное
действие шума в 90-120 дБ приводит к поражению слухового
нерва.
§ 8.3. Характеристики слухового ощущения,
звуковые измерения
Звук является объектом слухового ощущения. Он оценива-
оценивается человеком субъективно. Все субъективные характеристики
слухового ощущения связаны с объективными характеристиками
звуковой волны.
8.3.1. Высота, тембр, громкость. Воспринимая звуки, чело-
человек различает их по высоте, тембру, громкости.
Высота тона обусловлена, прежде всего, частотой основного
тона (чем больше частота, тем более высоким воспринимается
звук). В меньшей степени высота зависит от интенсивности вол-
волны (звук большей интенсивности воспринимается более низким).
Тембр звука определяется его гармоническим спектром. Раз-
Различные акустические спектры соответствуют разному тембру,
даже в том случае, когда основной тон у них одинаков. Тембр —
это качественная характеристика звука.
Громкость звука — это субъективная оценка уровня его ин-
интенсивности.
§ 8.3. Характеристики слухового ощущения 103
8.3.2. Закон Вебера-Фехнера. Использование логарифмиче-
логарифмической шкалы для оценки уровня интенсивности звука хорошо
согласуется с психофизическим законом Вебера-Фехнера:
Если увеличивать раздражение в геометрической
прогрессии (то есть в одинаковое число раз), то
ощущение этого раздражения возрастает в ариф-
арифметической прогрессии (то есть на одинаковую ве-
величину).
Этот закон не может быть назван физическим, так как характе-
характеризует свойство субъективных ощущений. Поэтому его называ-
называют психофизическим (подобный закон справедлив и при оценке
зрительной чувствительности яркости, тактильной чувствитель-
чувствительности для кожи и т. д.).
На первый взгляд кажется, что громкость звука следует из-
измерять в белах или децибелах. Действительно, при таком подходе
увеличение интенсивности (раздражителя) в 10 раз вызовет уве-
увеличение громкости (ощущения звукового раздражения) на 1 Б.
Однако субъективное восприятие интенсивности звука связано
не только с уровнем интенсивности, но и с частотой звука. Так,
например, ухо человека не воспринимает ультразвук даже при
большом уровне интенсивности. По этой причине при построе-
построении шкалы громкости следует учитывать восприимчивость уха
«среднего» человека к различным частотам.
Поступают следующим образом.
Для звука с частотой 1 кГц вводят единицу уровня громко-
громкости — фон, которая соответствует уровню интенсивности 1 дБ.
Для других частот уровень громкости также выражают в фо-
фонах по следующему правилу:
громкость звука равна уровню интенсивности
звука (дБ) на частоте 1 кГц, вызывающего
у «среднего», человека такое лее ощущение
громкости, что и данный звук.
Уровень громкости обозначают буквой Е, например, Е =
= 30 фон. Ниже приводится пример зависимости уровня гром-
громкости от частоты.
Зависимость громкости от частоты при уровне интенсивности 60 дБ
Частота, Гц
Громкость, фон
50
10
100
30
200
47
500
57
1000
60
2000
64
5000
59
10000
49
104
Лекция 8. Акустика. Звук
8.3.3. Кривые равной громкости. Зависимость громкости от
частоты колебаний в системе звуковых измерений определяется
на основании экспериментальных данных при помощи графиков,
которые называются кривыми равной громкости (рис. 8.1). Эти
кривые дают зависимость уровня интенсивности L от частоты v
звука при постоянном уровне громкости. Нижняя кривая соот-
соответствует порогу слышимости. Она дает зависимость пороговой
интенсивности Lq от частоты: Lq = f(v).
120
100
80
60
40
20
0
20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 у,Гц
Рис. 8.1. Кривые равной громкости
У человека с нормальным слухом колебания с частотой ниже
16 Гц или выше 20000 Гц слухового ощущения не вызывают.
При увеличении частоты, начиная с 16 Гц, чувствительность
уха растет, и порог слышимости снижается; в области частот
1000-5000 Гц чувствительность наибольшая, то есть порог мини-
минимален. При дальнейшем увеличении частоты чувствительность
падает до нуля при 20 000 Гц.
Верхняя кривая показывает верхний предел чувствительно-
чувствительности уха, когда слуховое ощущение переходит в ощущение боли
(Е = 120 фон).
Каждая кривая соответствует одинаковой громкости, но раз-
разной интенсивности для разных частот. По отдельной кривой
равной громкости можно найти интенсивности, которые при
определенных частотах вызывают ощущение этой громкости.
§ 8.3. Характеристики слухового ощущения
105
8.3.4. Звуковые измерения. Различные звуки окружают че-
человека. Характеристики часто встречающихся звуков приведены
в табл. 8.2.
Таблица 8.2. Характеристики встречающихся звуков
Действующий звук
Порог слышимости
Тихий шепот
Негромкая музыка
Разговорная речь на
расстоянии 1 м
Шумная улица
Шум мотора грузового
автомобиля
Крик
Шум в поезде метро
Пневматический молот
Реактивный двигатель,
удар грома
Порог болевого
ощущения
Интенсивность
звука, Вт/м2
10-ю
ю-9
ю-8
ю-7
ю-5
1(Г5
10~4
ю-3
ю-1
10°
101
Уровень
интенсивности,
ДБ
0
30
40
50
70
70
80
90
ПО
120
130
Звуковое
давление,
Па
0,00002
0,0002
0,002
0,0064
0,064
0,0645
0,2
0,64
645
20
64
Для субъективной оценки слуха применяется метод тональ-
тональной пороговой аудиометрии (воздушное и костное проведение).
Аудиометрия — метод измерения остроты слуха. На спе-
специальном приборе (аудиометре) определяется порог слухового
ощущения или порог восприятия ЬП на разных частотах :
Ln = 101g(/n//min),
где /п — пороговая интенсивность звука, которая приводит к воз-
возникновению слухового ощущения у испытуемого.
Получают кривые — аудиограммы, которые отражают зави-
зависимость порога восприятия от частоты тона, то есть это спек-
спектральная характеристика уха на пороге слышимости. При по-
построении аудиограмм ось 0Ln направлена вниз, рис. 8.2, в этом
случае отклонение кривых от нулевого уровня наглядно харак-
характеризует снижение слуха у испытуемых.
106
Лекция 8. Акустика. Звук
Сравнивая аудиограмму больного пациента (рис. 8.2в) с нор-
нормальной кривой порога слухового ощущения (рис. 8.2а), ставят
диагноз. Аудиограмма в зависимости от характера заболевания
имеет специфический вид, отличный от аудиограммы здорового
уха.
250
600 1000 2000 4000 8000 у, Гц
Рис. 8.2. Аудиограммы: а — воздушное проведение, б — костное про-
проведение, в — воздушное проведение при заболевании
Аудиометр оснащен костным вибратором для исследования
костного звукопроведения, (рис. 8.25). Отклонение тональных
порогов в среднем на ±10 дБ на каждой частоте считается нор-
нормальным, если воздушная и костная проводимость совпадают.
Нарушение функции звуковоспринимающего аппарата
может привести к тугоухости — стойкому снижению чув-
чувствительности к различным тонам и шепотной речи.
Международная классификация степеней тугоухости, осно-
основанная на усредненных значениях порогов восприятия на рече-
речевых частотах, приведена в табл. 8.3.
Таблица 8.3. Международная классификация тугоухости
Степень тугоухости
I
II
III
IV
Глухота
Среднее значение порогов слышимости, дБ
26-40
41-55
56-70
71-90
§ 8.4. Звуковые методы исследования 107
Шумомеры — приборы для измерения уровня громкости.
Шумомер снабжен микрофоном, который превращает акустиче-
акустический сигнал в электрический. Уровень громкости (дБ) регистри-
регистрируется стрелочным измерительным прибором.
§ 8.4. Звуковые методы исследования
Звук может быть источником информации о состоянии орга-
органов человека.
а) Лускультация — непосредственное выслушивание звуков,
возникающих внутри организма. По характеру таких звуков
можно определить, какие именно процессы протекают в данной
области тела и в некоторых случая установить диагноз. Прибо-
Приборы, применяемые для выслушивания: стетоскоп, фонендоскоп.
Фонендоскоп состоит из полой капсулы с передающей мем-
мембраной, которая прикладывается к телу, от нее идут резиновые
трубки к уху врача. В полой капсуле возникает резонанс стол-
столба воздуха, вызывающий усиление звучания и, следовательно,
улучшение выслушивания. Выслушиваются дыхательные шумы,
хрипы, тоны сердца, шумы в сердце.
В клинике используются установки, в которых выслушивание
осуществляется при помощи микрофона и динамика. Широко
применяется запись звуков с помощью магнитофона на магнит-
магнитную ленту, что дает возможность их воспроизведения.
б) Фонокардиография — графическая регистрация тонов и шу-
шумов сердца и их диагностическая интерпретация. Запись осу-
осуществляется с помощью фонокардиографа, который состоит из
микрофона, усилителя, частотных фильтров, регистрирующего
устройства.
в) Перкуссия — исследование внутренних органов посред-
посредством постукивания по поверхности тела и анализа возникающих
при этом звуков. Постукивание осуществляется либо с помощью
специальных молоточков, либо при помощи пальцев.
Если в замкнутой полости вызвать звуковые колебания, то
при определенной частоте звука воздух в полости начнет ре-
резонировать, усиливая тот тон, который соответствует разме-
размеру полости и ее положению. Схематично тело человека можно
представить суммой разных объемов: газонаполненных (легкие),
жидких (внутренние органы), твердых (кости). При ударе по
поверхности тела возникают колебания с разными частотами.
108 Лекция 8. Акустика. Звук
Часть из них погаснет. Другие совпадут с собственными часто-
частотами пустот, следовательно, усилятся и из-за резонанса будут
слышны. По тону перкуторных звуков определяют состояние
и топографию органа.
§ 8.5. Элементы реабилитологии
8.5.1. Факторы, определяющие реабилитационную профи-
профилактику шума. Для реабилитационной профилактики шума
необходимо знать основные факторы, определяющие его
воздействие на организм человека: близость источника шума,
интенсивность шума, длительность воздействия, ограниченность
пространства, в котором действует шум.
Длительное воздействие шума вызывает сложный симптома-
симптоматический комплекс функциональных и органических изменений
в организме (и не только органа слуха).
Воздействие длительного шума на ЦНС проявляется в за-
замедлении всех нервных реакций, сокращении времени активного
внимания, снижении работоспособности.
После длительного действия шума изменяется ритм дыха-
дыхания, ритм сердечных сокращений, возникает усиление тонуса
сосудистой системы, что приводит к повышению систолическо-
систолического и диастолического уровня кровяного давления. Изменяется
двигательная и секреторная деятельность желудочно-кишечного
тракта, гиперсекреция отдельных желез внутренней секреции.
Имеет место повышение потливости. Отмечается подавление
психических функций, особенно памяти.
Специфическое действие оказывает шум на функции органа
слуха. Ухо, как и все органы чувств, способно адаптироваться
к шуму. При этом под действием шума порог слышимости по-
повышается на 10-15 дБ. После прекращения шумового воздей-
воздействия нормальное значение порога слышимости восстанавлива-
восстанавливается только через 3-5 минут. При высоком уровне интенсивности
шума (80-90 дБ) его утомляющее действие резко возрастает.
Одной из форм расстройства функции органа слуха, связанной
с длительным воздействием шума, является тугоухость.
Сильное воздействие как на физическое, так и на психологи-
психологическое состояние человека оказывает рок-музыка. Современная
рок-музыка создает шум в диапазонах от 10 Гц до 80 кГц.
§ 8.5. Элементы реабилитологии
109
Экспериментально установлено, что если основной ритм, зада-
задаваемый ударными инструментами, имеет частоту 1,5 Гц и имеет
мощное музыкальное сопровождением на частотах 15-30 Гц, то
у человека наступает сильное возбуждение. При ритме 2 Гц при
таком же сопровождении человек впадает в состояние, близкое
наркотическому. На рок-концертах интенсивность звука может
превышать 120 дБ, хотя человеческое ухо настроено наиболее
благоприятно на среднюю интенсивность 55 дБ. При этом могут
возникать контузии звуком, звуковые «ожоги», потеря слуха
и памяти.
Шум оказывает вредное воздействие и на орган зрения. Так,
длительное воздействие производственного шума на человека,
находящегося в затемненном помещении, приводит к заметному
снижению активности сетчатки глаза, от которой зависит работа
глазного нерва, а, следовательно, и острота зрения.
Защита от шума достаточно сложна. Это связано с тем, что
вследствие сравнительно большой длины волны звук огибает
препятствия (дифракция) и звуковая тень не образуется, рис. 8.3.
Рис. 8.3. Дифракция звуковых волн
Кроме того, многие материалы, применяемые в строитель-
строительстве и технике, имеют не достаточно высокий коэффициент по-
поглощения звука.
Эти особенности требуют специальных средств борьбы с шу-
шумами: подавление шумов, возникающих в самом источнике, ис-
использование глушителей, применение упругих подвесов, приме-
применение звукоизолирующих материалов, устранение щелей и т. п.
Для борьбы с шумами, проникающими в жилые помещения,
большое значение имеют правильное планирование расположе-
расположения зданий, учет розы ветров, создание защитных зон, в том
110 Лекция 8. Акустика. Звук
числе и растительных. Растения — хороший гаситель шума.
Деревья и кустарники могут снижать уровень интенсивности на
5-20 дБ. Эффективны зеленые полосы между тротуаром и мо-
мостовой. Лучше всего шум гасят липы и ели. Дома, находящиеся
позади высокого хвойного заслона, могут быть избавлены от
шумов улицы почти полностью.
Борьба с шумом не предполагает создание абсолютной ти-
тишины, так как при длительном отсутствии слуховых ощущений
у человека могут возникнуть расстройства психики. Абсолютная
тишина и длительный повышенный шум одинаково противоесте-
противоестественны для человека.
Лекция 9
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ФИЗИКИ СЛУХА
1. Звукопроводящая и звуковоспринимающая части слухового ап-
аппарата.
2. Роль наружного уха.
3. Роль среднего уха.
4. Роль внутреннего уха.
5. Определение локализации источника звука в горизонтальной
плоскости — бинауральный эффект.
6. Определение локализации источника звука в вертикальной плос-
плоскости.
7. Элементы реабилитологии. Слуховые аппараты и протезы. Тим-
панометрия.
Слух — восприятие звуковых колебаний, которое
осуществляется органами слуха.
§ 9.1. Звукопроводящая и звуковоспринимающая
части слухового аппарата
Орган слуха человека представляет собой сложную систему,
элементы которой представлены на рис. 9.1.
Среднее ухо ^
Полукружные каналы
Внутреннее ухо
s: Улитка
Наружное Барабанная Евстахиева
¦^ перепонка труба
Рис. 9.1. Строение слухового аппарата (а) и элементы органа слу-
слуха (б): 1 — ушная раковина, 2 — наружный слуховой проход, 3 —
барабанная перепонка, 4 — молоточек, 5 — наковальня, 6 — стремечко,
7 — овальное окно, 8 — вестибулярная лестница, 9 — круглое окно,
10 — барабанная лестница, 11 — улитковый канал, 12 — основная
(базилярная) мембрана
112
Лекция 9. Некоторые вопросы физики слуха
По выполняемым функциям в слуховом аппарате человека
можно выделить звукопроводящую и звуковоспринимающую ча-
части, основные элементы которых представлены на рис. 9.2.
Наружное ухо
Среднее ухо
Внутреннее ухо
Г У
1 о "»
1 2 j
л
4
j
f
и
V А
V
7 С
/ О
J
Звукопроводящая часть
Звуковоспринимающая часть
Распространение механических
колебаний
Распространение
биопотенциала
Рис. 9.2. Схематическое представление основных элементов слухового
аппарата человека: 1 — ушная раковина, 2 — наружный слуховой
проход, 3 — барабанная перепонка, 5 — улитка, 4 — система косточек,
6 — основная мембрана, 7 — рецепторы, 8 — разветвление слухового
нерва
Слуховая система связывает приемник звука с мозгом.
§ 9.2. Роль наружного уха
9.2.1. Функционирование наружного уха. Наружное ухо со-
состоит из ушной раковины, слухового прохода (в виде узкой труб-
трубки), барабанной перепонки. Ушная раковина играет роль звуко-
звукоулавливателя, концентрирующего звуковые волны на слуховом
проходе, в результате чего звуковое давление на барабанную
перепонку увеличивается по сравнению со звуковым давлением
в падающей волне примерно в 3 раза. Наружный слуховой про-
проход вместе с ушной раковиной можно сравнить с резонатором
типа трубы. Барабанная перепонка отделяет наружное ухо от
среднего уха и представляет собой пластинку, состоящую из
двух слоев коллагеновых волокон, ориентированных по-разному.
Толщина перепонки около 0,1 мм.
9.2.2. Причина наибольшей чувствительности уха в области
3 кГц. Звук поступает в систему через наружный слуховой канал,
§9.3. Роль среднего уха 113
который является закрытой с одной стороны акустической тру-
трубой длиной L = 2,5 см. Звуковая волна проходит через слуховой
проход и частично отражается от барабанной перепонки. В ре-
результате интерференции падающей и отраженной волны образу-
образуется стоячая волна. Возникает акустический резонанс. Условия
его появления: длина волны в 4 раза больше длины воздушного
столба в слуховом проходе. При этом столб воздуха внутри кана-
канала будет резонировать на звук с длиной волны, равной четырем
его длинам: Л = 4L = 4 • 0,025 = 0,1 м. Частота, на которой
возникает акустический резонанс, определяется так: v = V/X =
= 300/D • 0,025) = 3 кГц. Этот резонансный эффект объяс-
объясняет тот факт, что человеческое ухо наиболее чувствительно
в диапазоне приблизительно 3 кГц (см. кривые равной громкости
в лекции 8).
§ 9.3. Роль среднего уха
9.3.1. Строение среднего уха. Среднее ухо является устрой-
устройством, предназначенным для передачи звуковых колебаний из
воздушной среды наружного уха в жидкою среду внутреннего
уха. Среднее ухо (см. рис. 9.2) содержит барабанную перепонку,
овальное и круглое окна, а также слуховые косточки (молоточек,
наковальня, стремечко). Оно представляет собой своеобразный
барабан (объемом 0,8 см3), который отделяется от наружного
уха барабанной перепонкой, а от внутреннего уха овальным
и круглым окнами. Среднее ухо заполнено воздухом. Любая
разность давлений между наружным и средним ухом приводит
к деформации барабанной перепонки. Барабанная перепонка —
это воронкообразная мембрана, вдавленная внутрь среднего уха.
От нее звуковая информация передается косточкам среднего уха
(форма барабанной перепонки обеспечивает отсутствие собствен-
собственных колебаний, что весьма существенно, так как собственные
колебания перепонки создавали бы шумовой фон).
9.3.2. Проникновение звуковой волны через границу
«воздух-жидкость». Для того, чтобы понять назначение среднего
уха, рассмотрим непосредственный переход звука из воздушной
среды в жидкую. На границе раздела двух сред одна часть
падающей волны отражается, а другая часть проходит во вторую
среду (см. лекцию 8). Доля энергии, проходящей из одной среды
114 Лекция 9. Некоторые вопросы физики слуха
в другую, зависит от коэффициента пропускания /3:
Р = ^прошуМпад* V^'-^J
При нормальном падении волны коэффициент /3 зависит от
соотношения между волновыми сопротивлениями 7?а обеих сред
(напомним, что волновое сопротивление среды равно произведе-
произведению скорости звука на плотность среды, 7?а = vp)\
/3 = 4(Яа1/Яа2)/(Яа1/Яа2 + IJ. (9.2)
Оценим коэффициент пропускания на границе воздух-вода.
Волновое сопротивление воздуха (Rai) составляет 440 кг/(м2с).
Волновое сопротивление среды внутреннего уха (Ra2) близко
к сопротивлению воды — 1440 000 (кг/м2с). Подставив эти значе-
значения в (9.2), получим для перехода из воздуха в воду /3 = 0,00122.
Это означает, что /прОш ~ 0,001 /пад? т-е только тысячная доля
интенсивности попадает в воду. В логарифмическом масштабе
потери интенсивности составляют:
ЬдВ = 1018(/пад//прош) = 101g(l/0,00122) = 29 дБ.
То есть при переходе из воздуха в воду уровень интенсивности
звука уменьшается на 29 дБ. С энергетической точки зрения
такой переход абсолютно не эффективен. По этой причине эволю-
эволюция и создала специальный передаточный механизм — систему
слуховых косточек, которые выполняют функцию согласования
волновых сопротивлений воздушной и жидкой среды для умень-
уменьшения энергетических потерь.
9.3.3. Физические основы функционирования системы слу-
слуховых косточек. Система косточек представляет собой последо-
последовательное звено, начало которого (молоточек) связано с бара-
барабанной перепонкой внешнего уха, а конец (стремечко) — с оваль-
овальным окном внутреннего уха (рис. 9.3).
Площадь барабанной перепонки равна Squ = 64 мм2, а пло-
площадь овального окна Soo = 3 мм2. Схематически их взаимное
расположение представлено на рис. 9.4.
§ 9.3. Роль среднего уха
115
7 89
Рис. 9.3. Схема распространения звуковой волны от наружного уха
через среднее ухо во внутреннее ухо: 1 — барабанная перепонка, 2 —
молоточек, 3 — наковальня, 4 — стремечко, 5 — овальное окно, 6 —
круглое окно, 7 — барабанная лестница, 8 — улитка, 9 — лестница
преддверия
Рис. 9.4. Схематическое представление расположения барабанной пе-
перепонки и овального окна: S^n — площадь барабанной перепонки;
Soo — площадь овального окна
На барабанную перепонку действует звуковое давление Pi,
следовательно сила равна
Система косточек работает как рычаг с соотношением плеч
L\/L2 = 1,3, который дает выигрыш в силе со стороны внут-
внутреннего уха в 1,3 раза (рис. 9.5).
116
Лекция 9. Некоторые вопросы физики слуха
Рис. 9.5. Схематическое представление работы системы косточек как
рычага
Поэтому на овальное окно действует сила F<i = l,3Fi, со-
создающая в жидкой среде внутреннего уха звуковое давление Р2,
которое равно
Р2 = F2/SOo = l,3Fi/5oo = l,3Pi • (S6n/Soo). (9.4)
Из соотношений (9.3) и (9.4) следует, что
P2/Pi = l,3-E6n/5Oo). (9.5)
Отношение S^n/Soo « 20. Таким образом, различие площадей
барабанной перепонки и овального окна совместно с системой
косточек обеспечивают усиление звукового давления в 26 раз.
В логарифмических единицах этот выигрыш составляет
Выполненные расчеты показывают, что при прохождении
звука через среднее ухо происходит увеличение уровня его ин-
интенсивности на 28 дБ. Потери уровня интенсивности звука при
переходи из воздушной среды в жидкую составляют 29 дБ. Об-
Общая потеря интенсивности составляет лишь 1 дБ вместо 29 дБ,
которая имела бы место при отсутствии среднего уха.
Еще одна функция среднего уха — ослабление передачи коле-
колебаний в случае звука большой интенсивности. С помощью мышц
рефлекторно может быть ослаблена связь между косточками при
слишком больших интенсивностях звука.
Сильное изменение давления в окружающей среде (напри-
(например, связанное с изменением высоты) может вызвать растяжение
§9.4. Роль внутреннего уха 117
барабанной перепонки, сопровождающееся болевыми ощущения-
ощущениями, или даже ее разрыв. Для избавления от таких перепадов дав-
давления служит небольшая евстахиева труба, которая соединяет
полость среднего уха с верхней частью глотки (с атмосферой).
§ 9.4. Роль внутреннего уха
Звуковоспринимающей системой слухового аппарата являют-
являются внутреннее ухо и входящая в него улитка.
Внутреннее ухо представляет собой замкнутую полость. Эта
полость, называемая лабиринтом, имеет сложную форму и за-
заполнена жидкостью — перилимфой. Лабиринт состоит из двух
основных частей: улитки, преобразующей механические колеба-
колебания в электрический сигнал, и полукружия вестибулярного ап-
аппарата, обеспечивающего равновесие тела в поле силы тяжести.
9.4.1. Строение улитки. Улитка является полым костным об-
образованием длиной 35 мм и имеет форму конусообразной спира-
спирали, содержащей 2,5 завитка. Улитку схематично можно предста-
представить в вытянутом виде. Вдоль улитки проходят три канала, их
можно представить и в сечении улитки (рис. 9.6).
Рис. 9.6. Схематическое строение улитки, содержащей каналы: 1 —
вестибулярный, 2 — барабанный, 3 — улитковый; 4 — основная (ба-
зилярная) мембрана, 5 — слуховой нерв
Вестибулярный и барабанный каналы соединены между со-
собой, это единая система, наполненная перилимфой. Колебания
стремечка передаются мембране овального окна, от нее пери-
лимфе и выпячивают мембрану круглого окна, а затем рассеи-
рассеиваются через носоглотку. Пространство между вестибулярным
и барабанным каналами (улитковый канал) заполнен эндолим-
фой. Между улитковым и барабанным каналом вдоль улитки
проходит основная (базилярная) мембрана. На основной мем-
мембране находится кортиев орган, содержащий рецепторные (во-
лосковые) клетки (около 24 000), в которых возникают электри-
118 Лекция 9. Некоторые вопросы физики слуха
ческие потенциалы, передаваемые по слуховому нерву в мозг.
Кортиев орган является преобразователем механических коле-
колебаний в электрический сигнал.
Длина основной мембраны приблизительна равна 32 мм. Она
очень неоднородна по своей форме: расширяется и утончается
в направлении от овального окна к верхушке улитки. Вследствие
этого модуль упругости основной мембраны вблизи стремечка
примерно в 100 раз большее, чем у вершины.
9.4.2. Частотно-избирательные свойства основной мембраны
улитки. Основная мембрана является неоднородной линией пере-
передачи механического возбуждения. При действии акустического
раздражителя по основной мембране распространяется волна,
степень затухания которой зависит от частоты: чем меньше
частота раздражения, тем дальше от овального окна распро-
распространится волна по основной мембране. Так, например, волна
с частотой 300 Гц до затухания распространится приблизительно
на 25 мм от овального окна, а волна с частотой 100 Гц распро-
распространяется приблизительно на 30 мм.
В настоящее время считается, что восприятие высоты тона
определяется положением максимума колебаний основной мем-
мембраны.
Колебания основной мембраны стимулируют рецепторные
клетки, расположенные в кортиевом органе, в результате чего
возникают потенциалы действия, передаваемые слуховым нер-
нервом в кору головного мозга.
§ 9.5. Определение локализации источника звука
в горизонтальной плоскости — бинауральный
эффект
Бинауральный эффект — способность устанавливать направ-
направление на источник звука в горизонтальной плоскости. Суть эф-
эффекта поясняется на рис. 9.7.
Пусть источник звука поочередно располагают в точках А,
В и С. Из точки А, находящейся прямо перед лицом, звуковая
волна попадает одинаково в оба уха, при этом путь звуковой
волны до ушных раковин один и тот же, то есть для обоих ушей
разность хода д и разность фаз А(р звуковых волн равны нулю:
§ 9.5. Определение локализации источника звука
119
8 = О, А(р = О. Поэтому приходящие волны имеют одинаковую
фазу и интенсивность.
Из точки В звуковая волна приходит в левую и правую ушные
раковины в разных фазах и с отличающимися интенсивностями,
так как проходят до ушей разное расстояние.
В
С
Рис. 9.7. Различная локализация источника звука (А, В, С) в горизон-
горизонтальной плоскости, L — расстояние между ушными раковинами
Если источник расположен в точке С против одной из ушных
раковин, то в этом случае разность хода S можно принять равной
расстоянию между ушными раковинами 5 ~ L ~ 17 см =
= 0,17 м. При этом разность фаз А(р = Bтг/АM. Для частоты
v = 1000 Гц и v « 340 м/с длина волны Л = v/v = 0,34 м.
Отсюда получим: Аср = Bтг/\M = Bтг/0,340H,17 = тг. В данном
примере волны приходят в противофазе.
Всем реальным направлениям на источник звука в горизон-
горизонтальной плоскости будут соответствовать разности фаз от 0 до тг
(от 0° до 180°).
Таким образом, разность фаз и неодинаковость интенсив-
ностей звуковых волн, попадающих в разные уши, обеспечи-
обеспечивают бинауральный эффект. Человек с нормальным слухом
может фиксировать направление на источник звука при разности
фаз 6°, что соответствует фиксированию направления на источ-
источник звука с точностью до 3°.
120 Лекция 9. Некоторые вопросы физики слуха
§ 9.6. Определение локализации источника звука
в вертикальной плоскости
Рассмотрим теперь случай, когда источник звука расположен
в вертикальной плоскости, проходящей перпендикулярно пря-
прямой, соединяющей оба уха. В этом случае он одинаково удален
от обоих ушей и разности фаз не возникает. Не отличаются при
этом и интенсивности звука, попадающего в правое и левое ухо.
На рис. 9.8 показаны два таких источника (А и С). Различит ли
слуховой аппарат эти источники? Да. В данном случае это про-
произойдет благодаря особой форме ушной раковины, которая (фор-
(форма) способствует определению локализации источника звука.
А •
С
Рис. 9.8. Различная локализация источника звука в вертикальной
плоскости
Звук, исходящий от этих источников, падает на ушные рако-
раковины под различными углами. Это приводит к тому, что дифрак-
дифракция звуковых волн на ушных раковинах происходит по-разному.
В результате на спектр звукового сигнала, попадающего в на-
наружный слуховой проход, накладываются дифракционные мак-
максимумы и минимумы, зависящие от положения источника звука.
Эти различия и позволяют определять положение источника
звука в вертикальной плоскости. По всей видимости, в результате
огромного опыта слушания люди научились ассоциировать раз-
различные спектральные характеристики с соответствующими на-
направлениями. Это подтверждается опытными данными. В част-
частности, установлено, что специальным подбором спектрального
состава звука ухо можно «обмануть». Так, человек воспринимает
звуковые волны, содержащие основную часть энергии в области
1 кГц, локализованными «сзади» независимо от действительного
направления. Звуковая волна с частотами ниже 500 Гц и в обла-
области 3 кГц воспринимается локализованной «спереди». Звуковые
§ 9.7. Элементы реабилитологии 121
источники, содержащие большую часть энергии в области 8 кГц,
распознаются локализованными «сверху».
§ 9.7. Элементы реабилитологии
9.7.1. Слуховые аппараты и протезы. Потеря слуха в резуль-
результате нарушения проведения звука или частичного поражения
звуковосприятия может быть компенсирована с помощью слу-
слуховых аппаратов-усилителей. В последние годы в этой области
наблюдается большой прогресс, связанный с развитием аудио-
логии и быстрым внедрением достижений электроакустической
аппаратуры на основе микроэлектроники. Созданы миниатюр-
миниатюрные слуховые аппараты, работающие в широком частотном диа-
диапазоне.
Однако при некоторых тяжелых формах тугоухости и глухо-
глухоты слуховые аппараты не помогают больным. Это имеет место,
например, когда глухота связана с поражением рецепторного
аппарата улитки. В этом случае улитка не генерирует элек-
электрические сигналы при воздействии механических колебаний.
Такие поражения могут быть вызванные неправильной дози-
дозировкой лекарственных препаратов, применяемых для лечения
заболеваний, совсем не связанных с лор-болезнями. В настоящее
время возможна частичная реабилитация слуха и у таких боль-
больных. Для этого необходимо имплантировать электроды в улитку
и подавать на них электрические сигналы, соответствующие тем,
которые возникают при воздействии механического стимула. Та-
Такое протезирование основной функции улитки осуществляется
с помощью кохлеарных протезов.
9.7.2. Тимпанометрия. Тимпанометрия — метод измерения
податливости звукопроводящего аппарата слуховой системы под
влиянием аппаратного изменения воздушного давления в слухо-
слуховом проходе.
Данный метод позволяет оценить функциональное состояние
барабанной перепонки, подвижность цепи слуховых косточек,
давление в среднем ухе и функцию слуховой трубы.
Исследование начинается с установки зонда с надетым на
него ушным вкладышем в начале наружного слухового прохода,
который герметично перекрывает слуховой проход. Через зонд
122
Лекция 9. Некоторые вопросы физики слуха
в слуховом проходе создается избыточное (+) или недостаточ-
недостаточное (—) давление, а затем подается звуковая волна определенной
интенсивности. Дойдя до барабанной перепонки, волна частично
отражается и возвращается к зонду, рис. 9.9.
Подаваемые звуковые волны
_ _ _ _ Звуковые волны, отражающиеся от барабанной
перепонки и возвращающиеся к зонду
еШИ Жидкость
Рис. 9.9. Определение податливости звукопроводящего аппарата мето-
методом тимпанометрии
Примечание. Здесь и далее значение давления со зна-
знаком «+» показывает, насколько давление выше атмосферного,
а со знаком « —» — насколько давление ниже атмосферного.
Измерение интенсивности отраженной волны позволяет су-
судить о звукопроводящих возможностях среднего уха. Чем боль-
больше интенсивность отраженной звуковой волны, тем меньше по-
подвижность звукопроводящей системы. Мерой механической по-
податливости среднего уха является параметр подвижности, из-
измеряемый в условных единицах.
В процессе исследования давление в среднем ухе изменяют
от +200 до —200 дПа. При каждом значении давления определя-
определяется параметр подвижности. Результатом исследования является
тимпанограмма, отражающая зависимость параметра подвиж-
подвижности от величины избыточного давления в слуховом проходе.
При отсутствии патологии среднего уха максимум подвижно-
подвижности наблюдается при отсутствии избыточного давления (Р = 0),
рис. 9.10.
§ 9.7. Элементы реабилитологии
123
Избыточная подвижность
-400 -200 0 +200 дПа
Давление, при котором наблюдается пиковая подвижность
Рис. 9.10. Тимпанограммы при различной степени подвижности
системы
Повышенная подвижность свидетельствует о недостаточной
упругости барабанной перепонки или о вывихе слуховых косто-
косточек. Пониженная подвижность указывает на избыточную жест-
жесткость среднего уха, связанную, например, с наличием жидкости.
При патологии среднего уха вид тимпанограммы изменяется,
рис. 9.11.
0 +
Давление
0
Давление
0
Давление
0
Давление
0
Давление
Рис. 9.11. Основные типы тимпанограмм при патологиях среднего уха:
а — отсутствие патологии; б — экссудативный средний отит; в — на-
нарушение проходимости слуховой трубы; г — атрофические изменения
барабанной перепонки; д — разрыв слуховых косточек
Лекция 10
УЛЬТРАЗВУК И ИНФРАЗВУК
1. Излучатели и приемники ультразвука.
2. Особенности распространения УЗ волны.
3. Взаимодействие ультразвука с веществом.
4. Биофизическое действие УЗ.
5. Использование УЗ в медицине: терапии, хирургии, диагностике.
6. Инфразвук и его воздействие на человека.
7. Элементы реабилитологии.
Ультразвук — это упругие механические колебания и волны,
частоты которых лежат в интервале 2 • 104-1010~12 Гц. Верхняя
граница частот обусловлена физической природой упругих волн,
которые могут распространяться в среде при условии, что длина
волны не меньше расстояния между элементами среды, переда-
передающими взаимодействие друг другу.
§ 10.1. Излучатели и приемники ультразвука
Так как ультразвуковые исследования широко применяются
в медицине, рассмотрим физические принципы, используемые
для излучения и приема ультразвуковых волн.
Электромеханические УЗ излучатели используют явление
обратного пьезоэлектрического эффекта, сущность которого за-
заключается в механической деформации тел под действием элек-
электрического поля. Хорошо выраженными пьезоэлектрическими
свойствами обладают кристаллические диэлектрики такие, как
кварц, сегнетова соль и др.
УЗ излучатель состоит из следующих элементов (рис. 10.1):
1. пластина из вещества с пьезоэлектрическими свойствами;
2. электроды, нанесенные на нее в виде проводящих слоев;
3. генератор, от которого к электродам приложено перемен-
переменное электрическое напряжение.
При подаче на электроды B) переменного напряжения от ге-
генератора C) пластина A) начинает деформироваться. Величина
§ 10.1. Излучатели и приемники ультразвука 125
деформации пропорциональна напряжению. Поэтому возника-
возникают вынужденные колебания пластины (сжатия и растяжения),
частота которых зависит от частоты изменения напряжения.
Пластина начнет вибрировать, излучая механическую волну с со-
соответствующей частотой.
Рис. 10.1. Ультразвуковой излучатель
УЗ приемник (рис. 10.2) действует на основе прямого пьезо-
эффекта. В этом случае под действием механической УЗ волны
возникает деформация кристаллической пластины A), которая
приводит к генерации переменного электрического поля и по-
появлению переменного напряжения на электродах B). Это элек-
электрическое напряжение может быть измерено регистрирующей
системой C).
УЗ волна
Рис. 10.2. Ультразвуковой приемник
В медицинских приборах генератор ультразвуковых волн
одновременно используется и как их приемник. Используются
генераторы УЗ колебаний, работающие как в непрерывном, так
и в импульсном режимах (например, при эхокардиографии).
При непрерывном излучении информацию об исследуемом
объекте несет стоячая волна, возникающая при интерференции
падающей волны и волны, отраженной от поверхности объекта.
При импульсном режиме работы УЗ излучается короткими
импульсами. Интервал между ними используется для приема
отраженного импульса и определения времени распространения
УЗ до исследуемого объекта и обратно. Зная скорость распро-
распространения ультразвука V, можно определить глубину Н залега-
залегания исследуемого объекта, так как путь S, проходимый волной,
равен S = Vt. При определении глубины залегания отражающей
поверхности путь, проходимый УЗ, делят пополам: Н = (Vt)/2.
126 Лекция 10. Ультразвук и инфразвук
§ 10.2. Особенности распространения УЗ волны
По физической сущности УЗ не отличается от звука и пред-
представляет собой механическую волну. При ее распространении
образуются чередующиеся участки сгущения и разряжения ча-
частиц среды. Скорость распространения УЗ и звука в средах
одинаковы: в воздухе — 330 м/с, в жидкости — 1500 м/с. Однако
существуют особенности.
а) Малая длина волны. Направленность. Длина волны УЗ су-
существенно меньше длины звуковой волны. Учитывая, что длина
волны Л = v/v, найдем: для звука с частотой 1 кГц длина волны
Лзв = 1500/1000 = 1,5 м; для ультразвука с частотой 1 МГц
длина волны Луз = 1500/1 000 000 = 1,5 • 10 м = 1,5 мм.
Благодаря малой длине волны отражение и дифракция УЗ
происходит на объектах меньших размеров, чем для слышимого
звука. Например, тело размером 10 см не будет препятствием для
звуковой волны с Л = 1,5 м, но станет преградой для УЗ волны
с Л = 1,5 мм. При этом возникает УЗ тень, поэтому в некоторых
случаях распространение УЗ волн можно изображать с помощью
лучей и применять к ним законы отражения и преломления.
То есть при определенных условиях УЗ волна распространяется
направленным потоком, к которому применимы законы геомет-
геометрической оптики.
б) Поглощение, глубина полупоглощения. При прохождении
УЗ через вещество происходит его ослабление вследствие погло-
поглощения:
/ = /02-/1/я, A0.1)
где /о, / — интенсивности УЗ волны у поверхности вещества
и на глубине /г, соответственно; Н — глубина полупоглощения,
зависящая от частоты УЗ волны, а также от вязкости и плотно-
плотности среды. Поглощение УЗ в веществе весьма значительно, что
обусловлено его малой длиной волны.
Глубина полупоглощения — это глубина, на которой интен-
интенсивность УЗ волны уменьшается вдвое.
Глубина полупоглощения для разных тканей имеет различное
значение. Поэтому в медицинских целях используют УЗ вол-
волны различных интенсивностей: малая — 1,5 Вт/м2, средняя —
A,5-3) Вт/м2 и большая — C-10) Вт/м2.
§ 10.2. Особенности распространения УЗ волны
127
Значения глубины полупоглощения для некоторых тканей
(на частоте 1 МГц) даны в таблице.
Ткань
Мышечная
Жировая
Костная
Кровь
Глубина полу поглощения, см
2,10
3,30
0,23
35,00
Видно, что поглощение в жидкой среде значительно меньше,
чем в мягких тканях и тем более в костной ткани.
в) Преломление и отражение. Как и всем видам волн, уль-
ультразвуку присущи явления отражения и преломления. Законы,
которым подчиняются эти явления полностью аналогичны зако-
законам преломления и отражения света. Поэтому во многих случаях
распространение УЗ волн изображают с помощью лучей.
При прохождении УЗ через границу раздела сред с различ-
различными волновыми сопротивлениями происходит его преломление
и отражение. Преломление состоит в изменении направления
ультразвукового луча. На рис. 10.3 показано преломление, когда
скорость волны в среде 2 меньше, чем в среде 1.
Среда 1
Среда 2
sin(a1)/sin(a2)= VJ V.2
Рис. 10.3. Преломление волн на границе раздела двух сред
Энергия падающей УЗ волны распределяется между пре-
преломленной и отраженной волнами. Энергии отраженной (VKqtp)
и преломленной (И^рел) волн рассчитываются через безразмер-
безразмерный коэффициент отражения г @ ^ г ^ 1):
WOTP = rW; Wnpejl = A - r)W,
128 Лекция 10. Ультразвук и инфразвук
где W — энергия падающей волны.
Коэффициент отражения зависит от угла падения и волно-
волновых сопротивлений (Vр) обеих сред. Обозначим через х отноше-
отношение меньшего значения волнового сопротивления к большему:
х= (^)меньшее, 0<я<1. A0.2)
(Ур)болынее
Тогда при нормальном падении УЗ волны на границу раздела
между средами коэффициент отражения рассчитывается по сле-
следующей формуле:
Видно, что чем сильнее различаются волновые сопротивле-
сопротивления сред (малые значения ж), тем больше доля отраженной энер-
энергии и меньше доля энергии, переходящей через границу раздела.
Волновое сопротивление биологических сред примерно
в 3000 раз больше волнового сопротивления воздуха (х =
= 1/3000), поэтому отражение на границе воздух-кожа состав-
составляет 99,99 %. Если УЗ излучатель приложить непосредственно
к коже человека, то УЗ не проникнет внутрь, а будет отражаться
от тонкого слоя воздуха между излучателем и кожей. Чтобы
исключить воздушный слой, поверхность кожи покрывают
слоем соответствующей смазки (водным желе), которая играет
роль переходной среды, уменьшающей отражение.
Смазка должна удовлетворять соответствующим требовани-
требованиям: иметь акустическое сопротивление, близкое к акустическому
сопротивлению кожи, обладать малым коэффициентом поглоще-
поглощения УЗ, иметь значительную вязкость, хорошо смачивать кожу,
быть нетоксичной (вазелиновое масло, глицерин и др.)
Кроме эффектов отражения и преломления, имеет место по-
поглощение ультразвука средой, в которой он распространяется.
Поглощение УЗ волны приводит к тому, что эхосигнал, отра-
отраженный от структуры, расположенной в глубине, значительно
слабее того, который образовался при отражении от подобной
структуры, расположенной недалеко от поверхности.
§ 10.3. Взаимодействие ультразвука с веществом 129
§ 10.3. Взаимодействие ультразвука с веществом
Интенсивность УЗ волны, определяемая по аналогии со зву-
звуком по формуле / = puj2vA2/2, пропорциональна квадрату
круговой частоты. При этом ускорение частиц, колеблющихся
в УЗ волне, может быть большим. Так, например, в воде для УЗ
волны с частотой 1 МГц при интенсивности / = 105 Вт/м2 ам-
амплитуда смещения частиц воды мала и составляет А = 0,4 мкм.
Амплитудное значение ускорения велико — ам = 4-106 м/с2. При
этом амплитудное значение избыточного акустического давления
также высоко — 5,5 • 105 Па E,5 атм).
Приведенные параметры свидетельствуют о наличии суще-
существенных сил, действующих на частицы воды (а, следовательно,
и биологических тканей) при облучении УЗ.
а) Деформация, кавитация. При распространении УЗ волны
в веществе развиваются деформации, связанные с поочередным
сгущением и разряжением его частиц (так как УЗ волна является
продольной). В зависимости от интенсивности УЗ волны эти
деформации могут вызывать либо незначительные изменения
структуры, либо ее разрушение. Это используется при измельче-
измельчении или диспергировании сред.
При распространении УЗ в жидкости в областях разряже-
разряжения возникают растягивающие силы, которые могут привести
к разрыву в сплошной жидкости в данном месте и образованию
пузырьков, заполненных парами этой жидкости. Это явление
называется кавитацией (кавитация — пустота, лат).
Кавитационные пузырьки образуются, когда растягивающее
напряжение в жидкости становится больше некоторого крити-
критического значения, называемого порогом кавитации Рк. Для чи-
чистой воды Рк = 1,5 • 108 Па. Кавитация существует недолго.
Пузырьки быстро захлопываются, что сопровождается сильным
разогревом их содержимого. При этом также выделяются газы,
содержащие атомарные и ионизированные компоненты. В ре-
результате вещество в кавитационной области подвергается интен-
интенсивным воздействиям: в небольших объемах выделяется значи-
значительная энергия, происходит разогрев вещества, а также иониза-
ионизация и диссоциация молекул. При интенсивностях меньших, чем
0,8 • 104 Вт/м2, кавитация не возникает.
5 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
130 Лекция 10. Ультразвук и инфразвук
УЗ вызывает и другие эффекты: возникают акустические
потоки (звуковой ветер), скорость которых достигает 10 м/с.
Эти потоки перемешивают облучаемые жидкости, изменяя их
физические свойства.
б) Выделение тепла. Поглощение ультразвука веществом со-
сопровождается переходом механической энергии во внутреннюю
энергию вещества, что ведет к его нагреванию. Наиболее интен-
интенсивное нагревание происходит в областях, примыкающих к гра-
границам раздела сред с различными волновыми сопротивлениями.
Это связано с тем, что при отражении интенсивность волны
вблизи границы увеличивается, и соответственно возрастает ко-
количество поглощенной энергии. В этом можно убедиться экспе-
экспериментально. Надо приложить к влажной руке излучатель УЗ.
Вскоре на противоположной стороне ладони возникает ощуще-
ощущение, (похожее на боль от ожога) вызванное УЗ, отраженным на
границе «кожа-воздух».
в) Химические реакции. Под воздействием УЗ в веществе мо-
могут происходить изменения в окислительно-восстановительных
реакциях. При этом могут протекать даже такие реакции, кото-
которые в обычных условиях неосуществимы.
§ 10.4. Биофизическое действие УЗ
Комплексное действие УЗ на биологические объекты основа-
основано на механических, тепловых, химических факторах. Эффек-
Эффективность этих факторов зависит от частоты и интенсивности УЗ.
10.4.1. Механическое действие на клетки. Ультразвуковые
механические колебания частиц вещества в тканях могут вызы-
вызывать благоприятные структурные перестройки вследствие мик-
микровибрации на клеточном и субклеточном уровне, микромассажа
тканевых структур.
10.4.2. Действие на мембраны. УЗ оказывает воздействие на
клеточные мембраны. Акустические течения приводят к перено-
переносу вещества и перемешиванию жидкости. Внутри клетки мик-
микропотоки могут менять взаимное расположение клеточных ор-
ганелл, перемешивать цитоплазму и изменять ее вязкость. Они
могут отрывать от клеточных мембран биологические макромо-
макромолекулы (ферменты, гормоны, антигены), изменять поверхност-
§ 10.5. Использование УЗ в медицине 131
ный заряд мембран и их проницаемость, оказывая этим влияние
на жизнедеятельность клетки.
При достаточно большой интенсивности УЗ происходит раз-
разрушение мембран. Однако разные клетки обладают различной
резистентностью: одни клетки разрушаются при интенсивности
ОД • 104 Вт/м2, другие — при 25 • 104 Вт/м2.
Изменение проницаемости клеточных мембран является уни-
универсальной реакцией на УЗ воздействие, независимо от того,
какой из факторов УЗ, действующих на клетку, превалирует
в том или ином случае.
10.4.3. Разрушение микроорганизмов. Облучение ультразву-
ультразвуком с интенсивностью, превышающей порог кавитации, исполь-
используют для разрушения имеющихся в жидкости бактерий и виру-
вирусов.
10.4.4. Химическое действие. Химическое действие УЗ про-
проявляется, в частности, в реакции расщепления молекулы воды
на радикалы Н+и ОН~ с последующим образованием перекиси
водорода Н2О2.
10.4.5. Тепловое действие. При облучении УЗ происходит на-
нагревание тканей. Теплота выделяется в основном не в объеме
ткани, а на границах раздела тканей с разными акустическими
сопротивлениями или в одной и той же ткани на неоднородностях
ее структуры. Ткани со сложной структурой (легкие) более чув-
чувствительны к УЗ, чем однородные ткани (печень). Сравнительно
много тепла выделяется на границе мягких тканей и кости.
Локальный нагрев тканей на доли градусов способствует
жизнедеятельности биологических объектов, повышает интен-
интенсивность процессов обмена. Однако длительное воздействие
может привести к перегреву.
§ 10.5. Использование УЗ в медицине: терапии,
хирургии, диагностике
Деформации под воздействием УЗ используются при измель-
измельчении или диспергировании сред.
Явление кавитации используется для получения эмульсий
несмешивающихся жидкостей, для очистки металлов от окалины
и жировых пленок.
132 Лекция 10. Ультразвук и инфразвук
10.5.1. УЗ терапия. Терапевтическое действие УЗ обусловле-
обусловлено механическим, тепловым, химическим факторами. Их сов-
совместное действие улучшает проницаемость мембран, расширяет
кровеносные сосуды, улучшает обмен веществ, что способствует
восстановлению равновесного состояния организма. Дозирован-
Дозированным пучком УЗ можно провести мягкий массаж сердца, легких
и других органов и тканей.
В отоларингологии УЗ воздействует на барабанную пере-
перепонку, слизистую оболочку носа. Таким способом осуществляют
реабилитацию хронического насморка, болезней гайморовых по-
полостей.
Фонофорез — введение с помощью УЗ в ткани через поры
кожи лекарственных веществ. Этот метод аналогичен электро-
электрофорезу, однако, в отличие от электрического поля, УЗ поле
перемещает не только ионы, но и незаряженные частицы. Под
действием УЗ увеличивается проницаемость клеточных мем-
мембран, что способствует проникновению лекарственных веществ
в клетку, тогда как при электрофорезе лекарственные вещества
концентрируются в основном между клетками.
Аутогемотерапия — внутримышечное введение человеку
собственной крови, взятой из вены. Эта процедура оказывается
более эффективной, если взятую кровь перед вливанием
облучить УЗ.
УЗ облучение повышает чувствительность клетки к воздей-
воздействию химических веществ. Это позволяет создавать более без-
безвредные вакцины, так как при их изготовлении можно исполь-
использовать химические реактивы меньшей концентрации.
Предварительное воздействие УЗ усиливает действие 7~
и СВЧ облучения на опухоли.
В фармацевтической промышленности ультразвук применя-
применяется для получения эмульсий и аэрозолей некоторых лекарствен-
лекарственных веществ.
10.5.2. Хирургия. Для разрушения тканей с помощью УЗ
в хирургии есть два метода. Первый основан на действии самого
УЗ, второй — на ультразвуковых колебаниях хирургического
инструмента.
Первый метод. Разрушение опухолей. Несколько излуча-
излучателей, укрепленных на голове пациента, испускают пучки УЗ,
§ 10.5. Использование УЗ в медицине 133
фокусирующиеся на опухоли. Интенсивность каждого пучка та-
такова, что он не приводит к повреждению здоровой ткани, но
в том месте, где все пучки сходятся, интенсивность возрастает
и опухоль разрушается под действием кавитации и тепла.
В урологии с помощью механического действия УЗ дробят
камни в мочевых путях и этим спасают больных от операций.
Сваривание мягких тканей. Если сложить два разрезанных
кровеносных сосуда и прижать их друг к другу, то после облу-
облучения образуется сварной шов.
Сваривание костей (ультразвуковой остеосинтез). Область
перелома заполняют измельченной костной тканью, смешанной
с жидким полимером (циакрин), которые под действием УЗ
быстро полимеризуются, образуя прочный сварной шов, который
постепенно рассасывается и заменяется костной тканью.
Стерилизация. Губительное действие УЗ на микроорганизмы
используется для стерилизации.
Второй метод. УЗ можно рассекать ткань, для чего хи-
хирургические инструменты (скальпели, пилки, иглы) соединяют
с источником ультразвуковых колебаний. Амплитуда колеба-
колебаний режущего инструмента при частоте 20-50 кГц составляет
10-50 мкм. Преимущества этого метода: снижение усилия ре-
резания, уменьшение болевого ощущения, кровоостанавливающий
и стерилизующий эффекты. УЗ скальпели позволяют проводить
операции без вскрытия грудной клетки в дыхательных органах,
пищеводе, на кровеносных сосудах. Вводя длинный и тонкий УЗ
скальпель в вену, можно разрушить холестериновые утолщения
в этих сосудах.
10.5.3. УЗ диагностика. Существуют различные методы,
в которых УЗ используется в диагностических целях.
Эхоэнцефалография — определение опухолей и отека головно-
головного мозга.
Ультразвуковая кардиография — измерение размеров сердца
в динамике.
Эходоплерография — измерение скорости движения кровото-
кровотока, клапанов сердца.
Ультразвуковая локация — определение размеров глазных
сред, применение УЗ для ориентации слепых в пространстве.
Отражение УЗ волн {эхо-метод) на границе раздела различ-
различных сред используется в УЗ диагностике. Этим методом можно
134 Лекция 10. Ультразвук и инфразвук
обследовать состояние внутренних органов. Направляемые на те-
тело исследуемого больного ультразвуковые импульсы отражаются
от поверхностей раздела, например, передней и задней границ
расположенной неоднородности, — «эхо» звука на экране прибо-
прибора сравнивается с посланным импульсом, что дает возможность
не только обнаружить эту неоднородность, но и определить ее
размеры. Обнаруживаются внутренние дефекты, отражающие
3-5 % падающей звуковой энергии.
С помощью ультразвука можно регистрировать изменение
объема сердца, размеры полости желудочка, амплитуду сокра-
сокращений и толщину сердечной мышцы.
§ 10.6. Инфразвук и его воздействие на человека
Инфразвук — это механические колебания и волны с частотой
менее 16 Гц. Эти волны не создают слуховых ощущений. Из-
за большой длины волны инфразвуковые волны дифрагируют
и огибают большие препятствия; могут распространяться на
большие расстояния. Инфразвук воспринимают некоторые жи-
животные.
Природные источники инфразвука — землетрясения, штор-
штормы, цунами (L = 120 дБ, v ~ 11 Гц). Искусственные источни-
источники — взрывы, работающие автомашины, станки. Например, лег-
легковые автомобили на скорости 100 км/час создают инфразвук
с уровнем интенсивности 100 дБ (частично он обусловлен срывом
встречного потока воздуха позади автомобиля); в моторном отде-
отделении крупных судов зарегистрированы инфразвуковые колеба-
колебания, создаваемые работающими двигателями, на частоте 7-13 Гц
с уровнем интенсивности 118-113 дБ.
На человека инфразвук оказывает, как правило, отрицатель-
отрицательное действие: вызывает угнетающее настроение, усталость, го-
головную боль, раздражение. При небольших интенсивностях воз-
возникают расстройство органов зрения, общая слабость. При сред-
средней интенсивности A40-155 дБ) могут проявляться обмороки,
временная потеря зрения. При больших интенсивностях (поряд-
(порядка 180 дБ) может наступить паралич со смертельным исходом.
Предполагают, что негативное влияние инфразвука связано
с тем, что в инфразвуковой области лежат частоты собственных
§ 10.7. Элементы реабилитологии 135
колебаний некоторых органов и частей тела человека. Это вызы-
вызывает нежелательные резонансные явления. Укажем некоторые
частоты собственных колебаний для человека:
• центр тяжести человека в положении лежа — C-4) Гц,
• грудная клетка - E-8) Гц,
• брюшная полость - C-4) Гц.
Особенно вредно воздействие инфразвука на сердце. При
достаточной мощности возникают вынужденные колебания сер-
сердечной мышцы. При резонансе F-7 Гц) их амплитуда возрастает,
что может привести к кровоизлиянию.
Так как инфразвук оказывает неблагоприятное действие на
организм, то одной из задач является снижение уровня его ин-
интенсивности в жилых и производственных помещениях, в транс-
транспортных средствах.
§ 10.7. Элементы реабилитологии
10.7.1. Ультразвук. Биологическое действие УЗ зависит от
его интенсивности.
10.7.2. Ультразвук низкой и средней интенсивности. Ультра-
Ультразвуковые волны малой (до 1,5 Вт/см2) и средней A,5-3 Вт/см2)
интенсивности вызывают в живых тканях положительные био-
биологические эффекты, стимулирующие протекание нормальных
физиологических процессов.
Успешное применение УЗ указанных интенсивностей находит
в неврологии при реабилитации таких заболеваний как хрони-
хронический радикулит, полиартрит, неврит, невралгия. Ультразвук
используется при лечении болезней, позвоночника, суставов (раз-
(разрушение солевых наслоений в суставах и полостях); при реабили-
реабилитационном лечении различных осложнений после повреждения
суставов, связок, сухожилий и т. д. УЗ используется часто сов-
совместно с другими физическими воздействиями, например, соче-
танное крио-ультразвуковое воздействие при лечении гемангиом
и различных рубцов.
10.7.3. Ультразвук большой интенсивности. УЗ большой ин-
интенсивности C-10 Вт/см2) оказывает вредное воздействие на
отдельные органы и человеческий организм в целом. Например,
136 Лекция 10. Ультразвук и инфразвук
при длительном воздействии УЗ частотой 20-30 кГц, возника-
возникающих в некоторых производственных условиях, у человека по-
появляются расстройства нервной системы, повышается утомляе-
утомляемость, существенно поднимается температура.
Очень интенсивный УЗ для человека смертелен. Так в Ис-
Испании 80 добровольцев были подвергнуты действию УЗ тур-
турбулентных двигателей. Результаты этого варварского экспери-
эксперимента оказались плачевными: 28 человек погибли, остальные
оказались полностью или частично парализованы.
Тепловой эффект, производимый УЗ, может быть весьма
значительным: при ультразвуковом облучении мощностью 4 •
• 104 Вт/м2 в течение 20 с температура тканей организма на
глубине 2-5 см повышается на 5-6°С.
В целях реабилитации профессиональных заболеваний у лиц,
работающих на ультразвуковых установках, когда возможен кон-
контакт с частями, в которых возбуждаются ультразвуковые коле-
колебания, для защиты рук обязательно необходимо применение 2-х
пар перчаток: наружных — резиновых и внутренних — хлопча-
хлопчатобумажных.
10.7.4. Сопоставление ультразвукового и рентгеновско-
рентгеновского «просвечивания». В некоторых случаях ультразвуковое
просвечивание имеет преимущество перед с рентгеновским.
Это связано с тем, что рентгеновские лучи дают четкое
изображение «твердых» тканей на фоне «мягких». Так
например, на фоне мягких тканей хороши видны кости. Для
получения рентгеновского изображения мягких тканей на
фоне других мягких тканей (например, кровеносный сосуд
на фоне мышц) сосуд нужно заполнить веществом, хорошо
поглощающим рентгеновское излучение (контрастное вещество).
Ультразвуковое просвечивание, благодаря уже указанным
особенностям, дает в этом случае изображение без применения
контрастных веществ.
10.7.5. Инфразвук. У человека, подвергнутого воздействию
инфразвука низкой интенсивности, появляются симптомы «мор-
«морской болезни», тошнота, головокружение. Появляется головная
боль, повышается утомляемость, слабеет зрение.
§ 10.7. Элементы реабилитологии 137
Шум на частоте 2-15 Гц при уровне интенсивности 95 дБ при-
приводит к возрастанию ошибки слежения за стрелочными индика-
индикаторами. Проявляется судорожное подергивание глазного яблока,
нарушение функции органов равновесия.
Летчики и космонавты, подвергнутые на тренировках воздей-
воздействию инфразвука, медленнее решали даже простые арифмети-
арифметические задачи.
Существует предположение, что различные аномалии в со-
состоянии людей при плохой погоде, объясняемые климатически-
климатическими условиями, являются на самом деле следствием воздействия
инфразвуковых волн.
Инфразвук с уровнем интенсивности 160 дБ на частоте 7 Гц
смертелен для человека.
Лекция 11
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ
1. Условие неразрывности струи.
2. Уравнение Бернулли.
3. Следствия уравнения Бернулли.
4. Элементы реабилитологии. Принцип работы инжектора, инга-
ингалятора.
Гидроаэродинамика — раздел физики, в котором
изучают законы движения жидкостей и газов и их
взаимодействие с твердыми телами.
Различия между жидкостью и газом заключается только в ха-
характере зависимости их плотности от давления, т. е. в практиче-
практической несжимаемости жидкостей и заметной сжимаемости газов.
§ 11.1. Условие неразрывности струи
Течение жидкости изображается линиями тока — линиями,
касательные к которым в каждой точке совпадают с направ-
направлением вектора скорости частиц. Течение жидкости называется
установившемся, стационарным, если скорости частиц в каждой
точке потока со временем не изменяются (при этом условии
линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости).
При ламинарном течении (лек. 12) часть потока жидкости,
ограниченная линиями тока, образует трубку тока. Частицы
жидкости не выходят за пределы трубки тока, поэтому через
любое ее сечение проходит одно и то же количество жидкости.
Объем жидкости V, протекающей за единицу времени через лю-
любое сечение S, перпендикулярное оси трубки тока, определяется
формулой
V = ?.*; = const, A1.1)
где v — скорость движения частиц жидкости в данном сечении.
Для идеальной жидкости, не подверженной действию сил
трения, скорости движения частиц во всех точках поперечного
сечения трубы одинаковы. Эта общая скорость и входит в урав-
уравнение A1.1).
111.1. Условие неразрывности струи
139
На частицы реальной жидкости действуют силы трения со
стороны стенок трубы и со стороны соседних частиц. Внутренняя
поверхность твердой трубы затормаживает прилегающий слой
жидкости фактически до полной остановки (v = 0). Частицы
этого слоя затормаживают следующий слой и так далее. Поэтому
скорость частиц жидкости в одном сечении трубы различна: она
максимальна в центре трубы и уменьшается до нуля у ее стенок
(здесь речь идет о реальной трубе, а не о воображаемой трубке
тока). В этом случае в формуле A1.1) v — это средняя скорость
течения жидкости в данном сечении.
Условие неразрывности струи: при стационарном
течении несжимаемой жидкости через любые се-
сечения трубки тока, каждую секунду протекают
одинаковые объемы жидкости, равные произведе-
произведению площади сечения на среднюю скорость дви-
движения ее частиц.
Уравнение A1.1) выражает условие неразрывности струи.
Оно устанавливает соотношение между скоростями течения
жидкости в различных сечениях трубки тока:
v\/v2 = S2I S\. A1.2)
Если жидкость движется по системе последовательно соединен-
соединенных трубок различного сечения, то скорость ее движения обрат-
обратно пропорциональна площади сечения трубок, рис. 11.1.
о
с
Рис. 11.1. Движение жидкости в трубе с разными сечениями. Длина
стрелок изображает среднюю скорость течения жидкости
Площадь сечения пропорциональна квадрату диаметра труб-
трубки (S = тго!2/4), поэтому если диаметр трубки в сечении С вдвое
меньше, чем в сечении А, то площадь поперечного сечения С
в четыре раза меньше, чем площадь сечения А. Следовательно
и скорость потока в сечении С будет в четыре раза больше, чем
в сечении А.
140
Лекция 11. Уравнение Бернулли и его следствия
11.1.1. Уравнение неразрывности струи при протекании кро-
крови в сосудах. Кровеносная система человека — это сложная за-
замкнутая система эластичных трубок разного диаметра. В нее
входят: аорта, артерии, артериолы, капилляры, венулы, вены.
Из сердца кровь поступает в аорту, а оттуда распределяется по
главным артериям, затем по более мелким и в конце концов
расходится по миллионам мелких капилляров. По венам кровь
возвращается в сердце. (Один цикл движения крови длится
в среднем 20 с. За сутки сердце перегоняет по всем сосудам
до 10 000 л крови!) Скорость кровотока в разных сосудах раз-
различна. Ориентировочные значения этой скорости представлены
в табл. 11.1.
Таблица 11.1. Скорость и давление крови в различных сосудах
Сосуды
Аорта
Артерии
Артериолы
Капилляры
Венулы
Вены
Диаметр, мм
20
10-5
0,1-0,5
0,5-0,01
0,1-0,2
10-30
Скорость, 10 2 м/с
30-50
20-50
1-20
0,01-0,05
0,1-1,0
10-20
Давление, мм рт. ст.
50-150
80-20
50-20
20-10
10-5
(-5М+5)
На первый взгляд кажется, что приведенные значения проти-
противоречат уравнению неразрывности — в тонких капиллярах ско-
скорость кровотока меньше чем в артериях. Однако это несоответ-
несоответствие кажущееся. Дело в том, что в табл. 11.1 приведен диаметр
одного сосуда, но ведь по мере разветвления сосудов площадь ка-
каждого из них уменьшается, а суммарная площадь разветвления
возрастает. Так, суммарная площадь всех капилляров (примерно
2000 см2) в сотни раз превышает площадь аорты — этим и объ-
объясняется такая малая скорость крови в капиллярах.
§ 11.2. Уравнение Бернулли
Для идеальной жидкости (сила трения полностью отсутству-
отсутствует) справедливо уравнение, которое было получено швейцарским
математиком и физиком Даниилом Бернулли A700-1782). Рас-
Рассмотрим тонкую трубку тока и выделим в ней два произвольных
сечения (рис. 11.2).
§ 11.3. Следствия уравнения Бернулли
141
В общем случае эти сечения находятся на различных высо-
высотах (h\ и /12), и их площади различны (Si и S2)- Вследствие
уравнения неразрывности, различны будут и скорости течения
жидкости в этих сечениях (vi и ^2). Обозначим давления жид-
жидкости в этих сечениях Pi и Р2, соответственно.
Рис. 11.2. Параметры сечений в трубке тока
Можно доказать, что для этих сечений выполняется следую-
следующее соотношение:
Pi + pvl/2 + pghi = Р2 + pvl/2 + pgh2,
A1.3)
где р — плотность жидкости.
Так как выбор сечений трубки произволен, то соотношение
A1.3) можно записать в общем виде:
Р + pv2/2 + pgh = const,
A1.4)
где Р — статическое давление, pv2 /2 — динамическое давление,
обусловленное движением жидкости, a pgh — гидростатическое
давление.
Уравнение Бернулли формулируется так: при стационарном
течении идеальной жидкости полное давление, равное сумме
статического, динамического и гидростатического давлений, оди-
одинаково во всех поперечных сечениях трубки тока.
§ 11.3. Следствия уравнения Бернулли
11.3.1. Горизонтальная трубка тока переменного сечения.
При этом hi = h2 и уравнение A1.3) принимает вид
Pi + pvl/2 = P2 + pvl/2.
A1.5)
142
Лекция 11. Уравнение Бернулли и его следствия
Отсюда следует, что статическое давление идеальной жидкости
при течении по горизонтальной трубке возрастает там, где ско-
скорость ее уменьшается, и наоборот. Это можно продемонстри-
продемонстрировать с помощью манометрических трубок, уровень поднятия
жидкости в которых пропорционален статическому давлению
(рис. 11.3). Видно, что в широком сечении (а), где скорость те-
течения меньше, статическое давление больше, чем в узком сече-
сечении (б).
а) б)
Рис. 11.3. Горизонтальная трубка переменного сечения
11.3.2. Наклонная трубка тока постоянного сечения. В такой
трубке скорость жидкости везде одинакова (г; = const), и урав-
уравнение A1.3) принимает вид
Рг
pgh2,
A1.6)
или
A1.7)
В этом случае разность давлений обусловлена разностью вы-
высот на которых находятся рассматриваемые сечения (рис. 11.4).
Рис. 11.4. Наклонная трубка постоянного сечения
11.3.3. Истечение жидкости из отверстия сосуда. Жидкость
истекает из широкого сосуда площадью Si через небольшое от-
отверстие площадью 5*2 (рис. 11.5).
§ 11.3. Следствия уравнения Бернулли
143
Рис. 11.5. Линия тока при истечении жидкости из небольшого отвер-
отверстия широкого сосуда
В данном случае h\ = /г, h<i = О, а давления Р\ и P<i
одинаковы и равны атмосферному давлению Ра. Кроме того,
в соответствии с A1.2) v\ <С г>2, поскольку Si ^> S2- Поэтому
можно принять, что vi ~ 0. С учетом этих условий получаем
Pa + 0 + pgh = Ра + pvl/2 + 0,
откуда
A1.8)
A1.9)
Следовательно, скорость истечения струи равна скорости тела
при свободном падении с высоты h. Соотношение A1.9) — это
формула Торричелли.
11.3.4. Измерение скорости жидкости. Установим в разных
местах горизонтальной цилиндрической трубы (струи жидкости)
одного сечения две трубки: 1) манометрическую трубку, плос-
плоскость отверстия которой расположена параллельно движению
жидкости; 2) трубку, изогнутую под прямым углом навстречу
движению жидкости (трубку Пито) (рис. 11.6).
1
*
_^« =
Рис. 11.6. Измерение скорости жидкости
Манометрическая трубка позволяет измерить статическое
давление Pi. Трубка Пито позволяет измерить полное давление
144
Лекция 11. Уравнение Бернулли и его следствия
Р2, равное в данном случае сумме статического и динамического
давлений. Так как труба горизонтальна, а v2 = 0, то имеем
откуда
- Рг)/р.
A1.10)
A1.11)
Имея систему двух таких трубок, вычисляют скорость потока
жидкости по формуле A1.11).
§ 11.4. Элементы реабилитологи
В медицине широкое применение имеют приборы, действие
которых основано на использовании законов гидроаэродинами-
гидроаэродинамики. Рассмотрим два таких прибора.
11.4.1. Инжектор. Этот прибор используют для дозирован-
дозированной подачи пациенту газообразного препарата. Например, закиси
азота или кислорода. Препарат из баллона поступает в смеси-
смесительную камеру через узкое сопло (рис. 11.7). При этом скорость
движения препарата возрастает, а его давление, в соответствии
с уравнением Бернулли, падает.
g
Он
§-
Сопло
Отверстие для
всасывания ГЛ
воздуха ^=^
Поворотный
диск
ч К дыхательному
\ мешку
Рис. 11.7. Подача кислорода при кислородной терапии
§ 11.4. Элементы реабилитологи
145
В смесительной камере возникает разряжение и в нее засасы-
засасывается атмосферный воздух. Всасывание происходит через одно
из отверстий поворотного диска. Отверстия имеют различные
диаметры. Выбирая соответствующее отверстие, регулируют со-
состав смеси, подаваемой пациенту.
11.4.2. Ингалятор. Этот прибор используют для введения
в область носоглотки лекарственных средств в распыленном ви-
виде, рис. 11.8.
2
8
А
Рис. 11.8. Схема ингалятора
Он состоит из двух трубок, расположенных под прямым уг-
углом. Горизонтально расположенная трубка A) имеет на конце
сужение. Чуть ниже этого конца располагается верхний конец
вертикальной трубки B), нижний конец которой опущен в сосуд
с жидким препаратом. В горизонтальную трубку подается пар.
При прохождении суженного конца скорость пара возрастает,
а давление падает. В область пониженного давления засасыва-
засасывается препарат, который распыляется струей пара. В результате
образуется смесь пара, воздуха и капелек препарата, которая
через патрубок D) поступает к пациенту.
Лекция 12
ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТИ
1. Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Уравнение Ньютона.
2. Ньютоновские и неньютоновские жидкости.
3. Ламинарное и турбулентное течение, число Рейнольдса.
4. Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление.
5. Распределение давления при течении реальной жидкости по
трубам различного сечения.
6. Методы определения вязкости жидкостей.
7. Элементы реабилитологии. Ламинарность и турбулентность га-
газового потока при наркозе. Введение жидкостей через капельни-
капельницу и шприц. Риноманометрия. Фотогемотерапия.
§ 12.1. Внутреннее трение (вязкость) жидкости.
Уравнение Ньютона
В реальной жидкости вследствие взаимного притяжения
и теплового движения молекул имеет место внутреннее трение,
или вязкость. Рассмотрим это явление на следующем опыте
(рис. 12.1).
Рис. 12.1. Течение вязкой жидкости между пластинами
Поместим слой жидкости между двумя параллельными твер-
твердыми пластинами. «Нижняя» пластина закреплена. Если дви-
двигать «верхнюю» пластину с постоянной скоростью Vi, то с такой
же скоростью будет двигаться самый «верхний» 1-й слой жид-
жидкости, который считаем «прилипшим» к верхней пластине. Этот
слой влияет на нижележащий непосредственно под ним 2-й слой,
заставляя его двигаться со скоростью V2, причем V2 < У\- Каж-
Каждый слой (выделим п слоев) передает движение нижележащему
§ 12.2. Ньютоновские и неньютоновские жидкости 147
слою с меньшей скоростью. Слой, непосредственно «прилипший»
к «нижней» пластине, остается неподвижным.
Слои взаимодействуют друг с другом: п-й слой ускоряет
(п + 1)-й слой, но замедляет {п — 1)-й слой. Силы, действующие
между слоями, направленные по касательной к поверхности сло-
слоев, называются силами внутреннего трения, или вязкости. Эти
силы пропорциональны площади взаимодействующих слоев S
и тем больше, чем больше их относительная скорость. Силы
внутреннего трения подчиняются уравнению Ньютона:
FTp = ri(dV/dx)S, A2.1)
где ось х перпендикулярна направлению движения слоев жид-
жидкости; г/ — коэффициент внутреннего трения, или динамическая
вязкость (размерность г\ в СИ — [Па • с]); dV/dx — градиент
скорости (grad V), показывающий изменение скорости, в направ-
направлении х (если слой с координатой х имеет скорость V, а другой
слой с координатой х + dx имеет скорость V + dV, то grad V =
= dV/dx).
Коэффициент внутреннего трения зависит от состояния и мо-
молекулярных свойств жидкости (от сил межмолекулярного вза-
взаимодействия). Вязкость определяется с помощью специальных
приборов — вискозиметров. Значения коэффициента вязкости
для некоторых веществ представлены в таблице.
Вязкость некоторых веществ
Вещество
Температура [°С]
Вязкость [Па • с]
Воздух
20
1,8 -Ю-5
Вода
20
1•10~8
Глицерин
20
1,5-Ю-3
Кровь
36
4-10~8
Плазма
36
1,5-ИГ3
Вязкость крови увеличивается при тяжелой физической ра-
работе. При некоторых заболеваниях увеличивается вязкость кро-
крови до 23• 10~3 Па-с (сахарный диабет), при других уменьшается
до 1-10~3 Па-с (туберкулез). Вязкость сказывается на таком кли-
клиническом параметре, как скорость оседания эритроцитов (СОЭ).
§ 12.2. Ньютоновские и неньютоновские жидкости
Ньютоновские жидкости — такие, для которых вязкость
не зависит от градиента скорости, они подчиняются уравнению
Ньютона. К ним относят воду, водные растворы, низкомолеку-
низкомолекулярные органические жидкости (этиловый спирт, ацетон).
148
Лекция 12. Вязкость жидкости
Неньютоновские жидкости — такие, для которых вязкость
зависит от режима течения и градиента скорости. К ним от-
относят высокомолекулярные органические соединения, суспензии,
эмульсии. Это жидкости состоят из сложных и крупных молекул.
Благодаря сцеплению молекул или частиц в них образуются
пространственные структуры. При прочих равных условиях этот
вид вязкости много больше, чем у ньютоновсих жидкостей. Это
связано с тем, что при течении таких жидкостей работа внеш-
внешней силы затрачивается не только на преодоление ньютоновской
вязкости, но и на разрушение структурных образований.
Цельная кровь (суспензия элементов в белковом растворе —
плазме) является неньютоновской жидкостью. Ее вязкость тем
выше, чем медленнее она течет. В основном это обусловлено агре-
агрегацией эритроцитов. В неподвижной крови эритроциты агреги-
агрегируют, образуя так называемые «монетные столбики», при быст-
быстром течении крови агрегаты эритроцитов распадаются, и вяз-
вязкость уменьшается. На рис. 12.2 показана агрегация эритроцитов
при патологии крови.
Рис. 12.2. Агрегация эритроцитов при патологии крови
§ 12.3. Ламинарное и турбулентное течение, число
Рейнольдса
В жидкости течение может быть ламинарным или турбу-
турбулентным. На рис. 12.3 это показано для одной окрашенной струи
жидкости, текущей в другой.
§ 12.3. Ламинарное и турбулентное течение, число Рейнольдса 149
Рис. 12.3. Ламинарное (а) и турбулентное (б) течение струи жидкости
При течении однородной жидкости по сосуду в ней можно
выделить несколько слоев.
Ламинарное (слоистое) течение — такое, при котором слои
жидкости текут, не перемешиваясь, скользя друг относительно
друга. Ламинарное течение — это плавное, медленное, упорядо-
упорядоченное, регулярное течение жидкости. При этом течении ско-
скорость разных частиц жидкости, попадающих поочередно в неко-
некоторую точку пространства, одинакова. Такое движение возмож-
возможно при небольших скоростях, в трубах с гладкими стенками,
в трубах без резких изгибов, при одинаковом давлении по се-
сечению трубы.
Течение крови в артериях в норме является ламинарным.
Вследствие симметрии ясно, что в трубе, при ламинарном те-
течении, частицы жидкости, равноудаленные от оси, имеют одина-
одинаковую скорость.
Рассмотрим ламинарное течение ньютоновской жидкости
в трубе радиусом R и длиной L. Для сохранения постоянного ре-
режима течения требуется перепад давлений Р\-Р2- Выделим про-
произвольный цилиндрический слой радиусом г. Течение жидкости
в нем тормозится под действием силы трения, пропорциональной
вязкости жидкости ту, площади боковой поверхности (S = 2тггЬ)
и градиенту скорости — dVjdr. Так как полная разность сил
150
Лекция 12. Вязкость жидкости
давления равна произведению перепада давления на площадь
поперечного сечения выделенного цилиндра, то имеем
- Р2) = -27rrLr]dV/dr.
A2.2)
Знак « —» в правой части уравнения обусловлен тем, что скорость
уменьшается с увеличением радиуса г, то есть dV/dr < 0.
Разделим переменные в уравнении A2.2):
dV = -
или в интегральном виде,
- P2)/{2Lri)]rdr,
V
dV =
Р1-Р2
2Lr]
rdr.
R
Интегрируя, получим:
A2.3)
A2.4)
В соответствии с приведенным выражением имеет место парабо-
параболическая зависимость скорости V слоев жидкости от расстояния
их до оси трубы г (огибающая всех векторов скорости есть
парабола), рис. 12.4.
R
V
Рис. 12.4. Скорости слоев текущей через трубку жидкости распреде-
распределены по параболе. На частицы действует сила F, которая толкает ее
к центру трубки
Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы
(г = 0); слой, «прилипший» к стенке (г = Я), неподвижен.
§ 12.3. Ламинарное и турбулентное течение, число Рейнольдса 151
Низкая скорость течения около стенки означает, что давление
здесь высокое (в соответствии с уравнением Бернулли). В центре
трубы давление минимальное. Следовательно, давление Р воз-
возрастает с удалением от центра трубы. Это означает, что частица
(например, клетка крови) будет испытывать разность давлений
по сечению. Эта разность давлений создаст силу F (рис. 12.4),
которая толкает частицу к центру трубы. По этой же причине
клетки крови скапливаются вдоль оси потока, а плазма (малой
вязкости) — по его периферии.
Толщина плазмы составляет 0,004-0,040 мм. В этот слой
эритроциты попадают сравнительно редко. Пристеночный слой
плазмы играет роль смазки, благодаря которой сопротивление
движению эритроцитов по сосуду меньше, чем было бы в том же
сосуде при равномерном распределении эритроцитов по всему
сечению. Причем, чем тоньше сосуд, тем эффект снижения со-
сопротивления более выражен. Этот факт, а также преимуществен-
преимущественная концентрация эритроцитов в слоях, движущихся с большей
скоростью, приводят к тому, что в своем движении по кровенос-
кровеносной системе они всегда имеют немного большую скорость, чем
средняя скорость плазмы.
Турбулентное {вихревое) течение — такое течение, при ко-
котором скорости частиц жидкости в каждой точке непрерывно
меняются, приходят в колебательное движение, которое сопро-
сопровождается появлением звука. Турбулентное течение — это хао-
хаотическое, крайне нерегулярное, неупорядоченное течение жид-
жидкости. Элементы жидкости совершают движение по сложным
неупорядоченным траекториям, что приводит к перемешиванию
между слоями жидкости и к образованию местных завихрений.
При этом говорить о течении в ту или иную сторону можно толь-
только в среднем за какой-то промежуток времени. При турбулент-
турбулентном течении крови эритроциты, которые обычно ориентированы
своей длинной осью по направлению потока, переориентируются
и располагаются хаотически. При этом движении местное из-
изменение давления вызывает колебательное движение жидкости,
которое сопровождается шумом.
Турбулентное течение связано с дополнительной затратой
энергии при движении жидкости: часть энергии расходуется на
беспорядочное движение, направление которого отличается от
основного направления потока, что в случае крови приводит
152 Лекция 12. Вязкость жидкости
к дополнительной работе сердца. Шум, возникающий при тур-
турбулентном течении крови, может быть использован для диагно-
диагностирования заболевания. Этот шум прослушивается на плечевой
артерии при измерении давления крови.
Течение воздуха в носовой полости в норме ламинарное.
Однако при воспалении или каких-либо других отклонениях от
нормы оно может стать турбулентным, что повлечет дополни-
дополнительную работу дыхательных мышц.
При патологии, когда вязкость бывает меньше нормы, тече-
течение крови в артериях становится турбулентным.
Турбулентное движением крови может возникнуть вслед-
вследствие неравномерного сужения просвета сосуда (или локального
выпирания). Турбулентное течение создает условия для оседа-
оседания тромбоцитов и образования агрегатов. Этот процесс часто
является пусковым в формировании тромба. Кроме того, если
тромб слабо связан со стенкой сосуда, то под действием резкого
перепада давления вдоль него, вследствие турбулентности, он
может начать двигаться.
12.3.1. Число Рейнольдса. Характер течения жид кости по
трубе зависит от свойств жидкости, скорости ее течения, раз-
размеров трубы. Английский физик и инженер Осборн Рейнольде
A842-1912) изучал переход от ламинарной формы течения к тур-
турбулентной. Он экспериментально показал, что турбулентность
возникает, когда определенная комбинация величин, характери-
характеризующих движение, превосходит некоторое критическое значение.
Им было введено безразмерное число, позднее названное в его
честь числом Рейнольдса, которое характеризует течение жид-
жидкости по трубе (каналу).
Число Рейнольдса определяется по формуле
Re = (PVD)/V, A2.5)
где р — плотность жидкости, г] — ее вязкость, V — скорость те-
течения, D — диаметр трубы. Это число является критерием вида
течения. Существует критическое значение числа Рейнольдса:
для гладких цилиндрических труб ReKp = 2300. Если число
Рейнольдса больше критического, то движение жидкости тур-
турбулентное, если меньше, то ламинарное.
Удобно использовать величину, называемую кинематической
вязкостью: v = r\jр (размерность — м2/с). Тогда число Рей-
Рейнольдса можно записать в виде Re = VD/и.
§ 12.4. Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление 153
Число Рейнольдса является критерием подобия. При модели-
моделировании гидро- и аэродинамических систем, в частности крове-
кровеносной системы, модель должна иметь такое же число Рейнольд-
Рейнольдса, как и сам объект, в противном случае не будет соответствия
между ними.
Переход от ламинарной формы к турбулентной происходит
не только при течении в трубе (канале). Он характерен почти
для всех течений вязкой жидкости. В частности, обтекание жид-
жидкостью профиля корабля или подводной лодки, тела рыбы или
крыла самолета или птицы также характеризуется ламинарно-
турбулентным переходом, при этом в формулу нужно подставить
характерный размер обтекаемого тела и константу, зависящую от
формы тела.
Важным свойством турбулентного течения (в сравнении
с ламинарным) является высокое сопротивление потоку. Если
бы удалось «погасить» турбулентность, то удалось бы достичь
огромной экономии мощности двигателей кораблей, подводных
лодок, самолетов.
§ 12.4. Формула Пуазейля, гидравлическое
сопротивление
Рассмотрим, от каких факторов зависит объем жидкости,
протекающей по горизонтальной трубе.
12.4.1. Формула Пуазейля. При ламинарном течении жидко-
жидкости по трубе радиусом R и длиной L объем Q жидкости, про-
протекающей через горизонтальную трубу за одну секунду, можно
вычислить следующим образом. Выделим тонкий цилиндриче-
цилиндрический слой радиусом г и толщиной dr (рис. 12.5).
dS=2icrdr
Рис. 12.5. Сечение трубы с выделенным слоем
154 Лекция 12. Вязкость жидкости
Площадь поперечного сечения его равна dS = 2тгг dr. Так
как выделен тонкий слой, жидкость в нем перемещается с оди-
одинаковой скоростью — V. За одну секунду слой перенесет объем
жидкости
dQ = VdS = V2nrdr. A2.6)
Подставляя в A2.6) формулу для скорости A2.4), получаем
dQ = tt[(Pi - P2)/BLr])}(R2 - r2)rdr.
Интегрируя по всему сечению трубы,
Я
Q = tt[(Pi - P2)/BL*7)] \(R2 - r2)rdr,
о
получаем формулу Пуазейля:
Q = [7rR4/8r]L]{P1-P2). A2.7)
Это соотношение справедливо для ньютоновских жидкостей.
Формулу Пуазейля можно записать в виде, справедливом для
труб переменного сечения. Заменим отношение (Pi — Р2)/ L на
градиент давления dP/dl, тогда получим
Q = GrR4/8r])dP/dL A2.8)
Как видно из A2.7), при заданных внешних условиях объем жид-
жидкости, протекающей по трубе, пропорционален четвертой степе-
степени ее радиуса. Это очень сильная зависимость. Если по какой-
то причине радиус трубы уменьшается, то для поддержания
прежнего потока необходимо значительное увеличение перепада
давлений. Так, например, если при атеросклерозе радиус сосудов
уменьшится в 2 раза, то перепад давлений нужно увеличить
в 16 раз. При этом сердце будет работать с перегрузкой.
В организме путем изменения радиуса сосудов (сужение или
расширение) за счет изменения объемной скорости кровотока
регулируется кровоснабжение тканей, теплообмен с окружающей
средой.
Объемная скорость Q жидкости обратно пропорциональна
ее вязкости: Q ~ 1/?7- Следовательно, изменяя вязкость крови,
можно влиять на объемную скорость кровотока. Известно, что
вязкость жидкости обратно пропорциональна ее температуре Т:
г/ rsj \/T. Следовательно, имеет место зависимость объемной
§ 12.4. Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление 155
скорости кровотока от температуры: с повышением температуры
увеличивается объемная скорость кровотока.
12.4.2. Гидравлическое сопротивление. Проведем аналогию
между формулой Пуазейля и формулой закона Ома для участка
цепи без источника тока: / = AU/R. Для этого перепишем
формулу A2.7) в следующем виде: Q = (Р± — Р2)/[8r]L//(тгR4)].
Если сравнить эту формулу с законом Ома для электрического
тока, то объем жидкости, протекающей через сечение трубы за
одну секунду, соответствует силе тока; разность давлений на
концах трубы соответствует разности потенциалов; а величина
8т7Ь/(тг7?4) соответствует электрическому сопротивлению. Эта
величина называется гидравлическим сопротивлением:
X = 8r]L/GrR4). A2.9)
Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость
и длина трубы и чем меньше площадь поперечного сечения.
Если в сосуде появляется препятствие (при остром атеро-
слерозе нарушается эластичность сосуда, и изменяется просвет
за счет образующихся бляшек, вследствие чего наступает недо-
недостаток кислорода в тканях — ишемия), то производят операции
шунтирования. Шунтирование — это способ обхода препятствия
в русле посредством присоединения обводного русла выше и ни-
ниже препятствия. При этом кровоток частично восстанавливает-
восстанавливается.
Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротив-
сопротивлениями позволяет в некоторых случаях использовать правило
нахождения электрического сопротивления последовательного
и параллельного соединений проводника для определения гид-
гидравлического сопротивления системы последовательно или па-
параллельно соединенных труб, рис. 12.6.
Рис. 12.6. Трубы, соединенные последовательно (а) и параллельно (б)
156
Лекция 12. Вязкость жидкости
Так, например, общее гидравлическое сопротивление трех
труб, соединенных последовательно (рис. 12.6а) и параллельно
(рис. 12.6^), вычисляется по формулам, соответственно:
X = Х1 + Х2 + Х3, A2.10)
Л = [L/ Л\ + 1/А2 + I/A3J • (Iz.llj
В заключение следует отметить, что формулу Пуазейля мож-
можно применять и к газам при условии ламинарного течения
и несжимаемости (малой сжимаемости).
§ 12.5. Распределение давления при течении
реальной жидкости по трубам различного сечения
При течении по горизонтальной трубе реальной жидкости
ее энергия расходуется на работу по преодолению внутреннего
трения, и статическое давление вдоль трубы постепенно падает.
Поэтому в начале течения жидкости надо создать давление,
не меньшее величины, на которую падает статическое давление
вдоль всей трубы.
Установим в разных местах горизонтальной трубы, по кото-
которой течет вязкая жидкость, манометрические трубки, рис. 12.7.
Рис. 12.7. Течение жидкости по трубе переменного сечения
Из рисунка видно, что:
а) в трубе постоянного сечения давление падает пропорцио-
пропорционально длине L, поэтому dP/dL = const;
б) в трубе с переменным сечением давление падает «быстрее»
в узкой части.
§ 12.6. Методы определения вязкости жидкостей 157
Из формулы Пуазейля следует, что при фиксированном объ-
объеме Q протекающей жидкости падение давления зависит от гид-
гидравлического сопротивления:
Р±- Р2 = QX. A2.12)
По мере разветвления сосудов (артерии-артериолы-капилляры)
кровеносной системы полное сечение кровотока увеличивается,
но гидравлическое сопротивление при этом высокое (благодаря
уменьшению радиусов сосудов). Поэтому значительное падение
давления (до 70 %) приходится на мелкие сосуды.
§ 12.6. Методы определения вязкости жидкостей
Совокупность методов измерения вязкости жидкости называ-
называется вискозиметрией. Прибор для измерения вязкости называ-
называется вискозиметром. В зависимости метода измерения вязкости
используют следующие типы вискозиметров.
а) Капиллярный вискозиметр Оствальда основан на исполь-
использовании формулы Пуазейля. Вязкость определяется по резуль-
результату измерения времени протекания через капилляр жидкости
известной массы под действием силы тяжести при определенном
перепаде давлений.
б) Медицинский вискозиметр Гесса с двумя капиллярами,
в которых движутся две жидкости (например, дистиллирован-
дистиллированная вода и кровь). Вязкость одной жидкости должна быть из-
известна. Учитывая, что перемещение жидкостей за одно и то же
время обратно пропорционально их вязкости вычисляют вяз-
вязкость второй жид кости.
в) Вискозиметр, основанный на методе Стокса, согласно ко-
которому при движении шарика в вязкой жидкости с небольшой
скоростью сила сопротивления пропорциональна вязкости этой
жидкости.
г) Вискозиметр ротационный, в котором вязкость измеряет-
измеряется по угловой скорости ротора, подвижного цилиндра в системе
двух соосных цилиндров, в зазоре между которыми находится
жидкость. Данный вискозиметр позволяет измерять вязкость
при разных угловых скоростях вращения ротора. Данный метод
позволяет установить зависимость между вязкостью и градиен-
градиентом скорости, что важно для неньютоновских жидкостей.
158
Лекция 12. Вязкость жидкости
§ 12.7. Элементы реабилитологии
В некоторых медико-реабилитационных мероприятиях ис-
используется наркоз. При этом необходимо по возможности умень-
уменьшить усилия, затрачиваемые больным на дыхание через эндотра-
хеальные и другие дыхательные трубки, посредством которых
подается дыхательная смесь из аппаратов для наркоза, рис. 12.8.
Эндотрахиальная
трубка
Из аппарата
для наркоза
—15 мм рт. ст.
Рис. 12.8. Дыхание больного через эндотрахиальную трубку
Для обеспечения плавного газового потока используются
плавно изогнутые соединительные трубки. Неровности внутрен-
внутренних стенок трубки, резкие изгибы и изменения внутреннего диа-
диаметра трубок и соединений часто (рис. 12.9) являются причинами
перехода ламинарного потока в турбулентный, что затрудняет
процесс дыхания у больного.
Рис. 12.9. Возникновение турбулентности газового потока в трубке
с резкими неоднородностями по сечению
j12.7. Элементы реабилитологии
159
На рис. 12.10 приведен рентгеновский снимок головы боль-
больного. Эндотрахеальная трубка перегнулась в глотке. У больного
обязательно возникнут затруднения дыхания.
:.Г ;
Рис. 12.10. Рентгеновский снимок, на котором виден перегиб дыхатель-
дыхательной трубки
12.7.1. Введение жидкостей через капельницу и шприц. За-
Закон Пуазейля используется при введении жидкостей с лечебной
целью. Капельница (стандартный набор для внутривенного вли-
вливания) позволяет вводить жидкость самотеком за счет разности
давлений, создаваемой при подъеме камеры с препаратом на
определенную высоту. Объемная скорость, с которой препарат
поступает в вену, зависит от условий введения. Согласно фор-
формуле Пуазейля, скорость введения препарата можно увеличить
за счет установки камеры на большую высоту или за счет ис-
использования иглы большего диаметра. При подъеме камеры на
высоту вдвое больше стандартной A20 см вместо 60 см) расход
жидкости примерно удваивается, так как поток жидкости через
иглу прямо пропорционален разности давлений, рис. 12.11а. При
удвоении диаметра иглы (рис. 12.116'), поток жидкости должен
увеличиться в 16 раз.
160
Лекция 12. Вязкость жидкости
120 см
И 00
Рис. 12.11. Разные способы введения жидкости самотеком: увеличена
высота подъема банки с жидкостью (а), увеличен диаметр иглы (б)
Формула Пуазейля предполагает медленное течение жидко-
жидкости, при котором изменением ее кинетической энергии можно
пренебречь. При существенном повышении скорости течения
имеют место значительные отклонения от формулы Пуазейля.
Так, при переходе от иглы с диаметром 0,36 мм к игле такой же
длины C см) с диаметром 0,93 мм расход жидкости повышается
только в 17 раз вместо 45-кратного увеличения, которое дает
формула Пуазейля @,93/0,36 = 2,58; 2,584 = 45). Это связано
j12.7. Элементы реабилитологии
161
с тем, что в большой игле на сообщение жидкости кинетической
энергии расходуется более 50 % работы сил давления. В малой иг-
игле скорость течения мала и кинетическая энергия незначительна.
Другим устройством для введения лекарственных препара-
препаратов является шприц. Введение препарата происходит за счет раз-
разности давлений, создаваемой нажатием на подвижный поршень
(рис. 12.12).
Рис. 12.12. Работа шприца
Скорость введения препарата так же определяется форму-
формулой Пуазейля. При неизменном усилии удвоение диаметра иглы
приводит к 16-ти кратному увеличению скорости инъекции. Для
того, чтобы добиться такого увеличения при неизменном диамет-
диаметре иглы, потребовалось бы 16-ти кратное увеличение силы.
12.7.2. Риноманометрия. Полноценное носовое дыхание яв-
является необходимой предпосылкой для нормальной функции
слуховой трубы, которая во многом зависит от степени аэра-
аэрации носоглотки и правильного прохождения воздушных потоков
в полости носа. Причиной нарушения носового дыхания часто
являются некоторые врожденные патологии, например, расще-
расщелина верхней губы и неба. Часто при реабилитации этой патоло-
патологи используются хирургические методы, например реконструк-
реконструктивная ринохейлопластика [ринопластика — операции восста-
восстановления носа). Для объективной характеристики результатов
оперативного вмешательства используется риноманометрия —
метод определения объема носового дыхания и сопротивления.
6 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
162 Лекция 12. Вязкость жидкости
Скорость воздушного потока характеризуется формулой Пуазей-
ля; при этом учитывается градиент давления в носоглоточном
пространстве, диаметр и длина носовой полости, характеристи-
характеристики воздушного потока в носоглотке (ламинарность или турбу-
турбулентность). Данный метод реализуется с помощью прибора —
риноманометра, который позволяет регистрировать давление
в одной половине носа, пока пациент дышит через другую. Это
осуществляется с помощью катетера, который крепится в носу.
Компьютерная схема риноманометра позволяет автоматически
измерить общий объем и сопротивление воздуха на вдохе и выдо-
выдохе, раздельно проанализировать поток и сопротивление воздуха
в каждой половине носа и рассчитать их соотношение. Это позво-
позволяет определить носовое дыхание до и после операции и оценить
степень восстановления носового дыхания.
12.7.3. Фотогемотерапия. При заболеваниях, сопровождаю-
сопровождающихся повышением вязкости крови, для уменьшения вязкости
крови применяется метод фотогемотерапии. Он заключается
в том, что у больного берут небольшое количество крови (при-
(примерно 2 мл/кг веса), подвергают ее УФ-облучению и вводят
обратно в кровеносное русло. Примерно через 5 мин после
введения больным 100-200 мл облученной крови наблюдается
значительное снижение вязкости во всем объеме (около 5 л)
циркулирующей крови. Исследования зависимости вязкости от
скорости движения крови показали, что при фотогемотерапии
вязкость сильнее всего снижается (примерно на 30 %) в медленно
движущейся крови и совсем не меняется в быстро движущейся
крови. УФ-облучение вызывает снижение способности эритроци-
эритроцитов к агрегации и увеличивает деформируемость эритроцитов.
Помимо этого происходит снижение образования тромбов. Все
эти явления приводят к значительному улучшению как макро-,
так и микроциркуляции крови.
Лекция 13
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТКАНЕЙ
1. Способы деформирования тел и виды деформации.
2. Механические свойства материалов и методы их исследования.
3. Механические модели.
4. Прочность.
5. Разрушение.
6. Механические свойства биологических тканей.
7. Элементы реабилитологии. Повреждения трубчатых костей.
Травма лица. Акустическая анизотропии кожи — диагностиче-
диагностический параметр
§ 13.1. Способы деформирования тел
Механическое воздействие на тело изменяет взаимное распо-
расположение его частиц.
Деформация — изменение взаимного расположе-
расположения точек тела, которое приводит к изменению его
формы и размеров.
При действии на тело внешней деформирующей силы рас-
расстояние между частицами меняется. Это приводит к возник-
возникновению внутренних сил, стремящихся вернуть атомы (ионы)
в первоначальное положение. Действие этих сил характеризуется
механическим напряжением. Непосредственно напряжение не
измеряется. В ряде случаев его можно вычислить через внеш-
внешние силы, действующие на тело. Косвенный способ выявления
механического напряжения в деформируемом образце основан
на явлении фотоупругости (см. лекцию «Поляризация света»).
В зависимости от условий внешнего воздействия различают
несколько способов деформирования, которые рассматриваются
ниже.
13.1.1. Растяжение (сжатие). Деформация возникает, когда
к стержню (бруску) с закрепленным основанием прикладывается
164
Лекция 13. Механические свойства тканей
сила F, направленная вдоль его оси (рис. 13.1 а, б). Под дей-
действием этой силы длина стержня увеличивается на некоторую
величину А/ (/ — первоначальная длина).
Рис. 13.1. Деформация растяжения (а), сжатия (б) и сдвига (в)
Действие растягивающей силы характеризуется механиче-
механическим напряжением <т, которое в данном случае равно отношению
силы к площади поперечного сечения стержня (малое изменение
площади поперечного сечения не учитывается):
а = F/S.
A3.1)
В СИ механическое напряжение измеряется в паскалях (Па).
Абсолютная деформация (А/) зависит от первоначальной
длины стержня, поэтому степень деформации выражают через
отношение абсолютной деформации к первоначальной длине.
Это отношение называется относительной деформацией (е):
Относительная деформация — величина безразмерная. Ино-
Иногда ее выражают в процентах: е = (Д///I00%.
При небольшой величине относительной деформации связь
между деформацией и механическим напряжением выражается
законом Гука:
а = Ее, A3.2)
где Е — модуль Юнга (модуль продольной упругости, Па). При
упругой деформации напряжение прямо пропорционально вели-
величине деформации.
Модуль Юнга численно равен напряжению, увеличивающему
длину образца в два раза (практически разрушение образцов
наступает при значительно меньших напряжениях). В табл. 13.1
§ 13.1. Способы деформирования тел
165
представлены значения модулей упругости некоторых материа-
материалов.
Таблица 13.1. Модуль упругости (модуль Юнга) некоторых
материалов
Материал
Эластин
Коллаген
Мембрана эритроцита
Клетки гладких мышц
Мышца в покое
Кость
Сухожилие
Нерв
Вена
Артерия
Древесина
Резина
Сталь
Модуль Юнга Е, Па
105-10б
107-10*
4-Ю7
104
9-Ю5
2-Ю9
1,6 • 108
18,5 • 10б
8,5 • 105
5-Ю4
12 • 109
5-106
2 • 1011
В большинстве случаев при растяжении или сжатии степень
деформации в различных сечениях стержня — различна. Это
можно увидеть, если на поверхность тела нанести квадратную
сетку. После деформирования сетка исказится. По характеру
и величине этого искажения можно судить о распределении на-
напряжения вдоль образца (рис. 13.2).
Рис. 13.2. Искажение квадратной сетки при растяжении стержня
Видно, что изменения формы ячеек сетки максимальны
в средней части стержня и почти отсутствуют на его краях.
166 Лекция 13. Механические свойства тканей
13.1.2. Сдвиг. Деформация сдвига возникает, если на тело
действует касательная сила, приложенная параллельно закреп-
закрепленному основанию (рис. 13.1 в). В этом случае направление сме-
смещения свободного основания параллельно приложенной силе
и перпендикулярно боковой грани. В результате деформации
сдвига прямоугольный параллелепипед превращается в косо-
косоугольный. При этом боковые грани смещаются на некоторый
угол 7 •> называемый углом сдвига.
Абсолютная деформация сдвига измеряется величиной сме-
смещения свободного основания (А/). Относительная деформация
сдвига определяется через тангенс угла сдвига tg7, называемый
относительным сдвигом. Так как угол 7 обычно мал, то можно
считать tgG) ~ 7-
При сдвиге в образце возникает напряжение сдвига г (каса-
(касательное напряжение), которое равно отношению силы (F) к пло-
площади основания E), параллельно которому действует сила:
т = F/S. A3.3)
При небольшой величине относительной деформации сдвига
связь между деформацией и механическим напряжением выра-
выражается эмпирическим соотношением:
т = G7, A3.4)
где G — модуль сдвига.
13.1.3. Изгиб. Деформация изгиба характеризуется искрив-
искривлением оси или срединной поверхности деформируемого объекта
(балка, стержень) под действием внешних сил (рис. 13.3).
fF
Рис. 13.3. Деформация изгиба
При изгибе один наружный слой стержня сжимается, а дру-
другой наружный слой растягивается. Средний слой (называемый
§ 13.1. Способы деформирования тел 167
нейтральный) изменяет лишь свою форму, сохраняя длину. Сте-
Степень деформирования бруска, имеющего две точки опоры, опре-
определяется по перемещению Л, которое получает середина стерж-
стержня. Величина Л называется стрелой прогиба.
Материал, находящийся в нейтральном слое, не работает,
а лишь утяжеляет конструкцию, как правило в форме балки.
Поэтому часть материала около этого нейтрального слоя можно
удалить без большого ущерба для прочности балки, работающей
в таких условиях. Это одно из решений задачи минимальной
массы конструкции при сохранении заданной прочности. Такой
способ в природе используется для уменьшения массы человека
и животных при сохранении прочности их скелета. Во многих
костях скелета частично отсутствует «сердцевина», так как ци-
цилиндрический слой около оси кости не претерпевает существен-
существенных деформаций при ее изгибе.
Применительно к прямому брусу в зависимости от направ-
направления действующих сил изгиб называют продольным или попе-
поперечным. Продольный изгиб возникает под действием сил, направ-
направленных вдоль бруса и приложенных к его концам навстречу друг
другу (рис. 13.4а). Поперечный изгиб возникает под действием
сил, направленных перпендикулярно брусу и приложенных как
к его концам, так и в средней части (рис. 13.46^). Встречается
также и смешанный продольно-поперечный изгиб (рис. 13.4в)
Рис. 13.4. Различные виды изгиба: а) продольный, б) поперечный,
в) продольно-поперечный
13.1.4. Кручение. Этот способ деформирования характери-
характеризуется взаимным поворотом поперечных сечений стержня под
влиянием моментов (пар сил), действующих в плоскости этих
сечений. Кручение возникает, например, когда нижнее основание
стержня закреплено, а верхнее основание поворачивают вокруг
продольной оси, рис. 13.5.
При этом расстояние между различными слоями остается
практически неизменным, но точки слоев, лежащих на одной
вертикали, сдвинуты относительно друг друга. Этот сдвиг в раз-
168
Лекция 13. Механические свойства тканей
ных местах будет различен. Например в центре сдвига совсем не
будет, по краям он будет максимальный.
Рис. 13.5. Деформация кручения
Таким образом, деформация кручения сводится к деформа-
деформации сдвига, различным в различных частях, то есть к неодно-
неоднородному сдвигу.
Абсолютная деформация при кручении характеризуется уг-
углом поворота ((р) одного основания относительно другого. От-
Относительная деформация (в) равна отношению угла ср к длине
стержня:
Сравнивания различные способы деформирования однородных
тел, можно увидеть, что все они сводятся к комбинации растя-
растяжения (сжатия) и сдвига.
§ 13.2. Виды деформации
Зависимость механического напряжения от относительной
деформации для твердых тел при растяжении представлена на
рис. 13.6.
пр
м
О ё
Рис. 13.6. Зависимость напряжения от деформации — диаграмма рас-
растяжения
§ 13.3. Механические свойства материалов и методы их исследования 169
Участок О В соответствует упругой деформации, которая ис-
исчезает сразу после снятия нагрузки.
Точка В — предел упругости <тупр — напряжение, ниже кото-
которого деформация сохраняет упругий характер (то есть справед-
справедлив закон Гука).
Участок ВМ соответствует пластической деформации, кото-
которая не исчезает после снятия нагрузки.
Участок MN соответствует деформации текучести, которая
возрастает без увеличения напряжения. Напряжение, начиная
с которого деформация становится текучей, называется пределом
текучести.
Точка С — предел прочности апр — механическое напряже-
напряжение, при котором происходит разрушение образца. Предел проч-
прочности зависит от способа деформирования и свойств материала.
В области упругих деформаций (линейная область) связь
между механическим напряжением и деформацией описывается
законом Гука A3.2).
§ 13.3. Механические свойства материалов
и методы их исследования
13.3.1. Ползучесть. Практически все материалы под действи-
действием постоянной нагрузки деформируются, то есть обладают пол-
ползучестью.
Ползучесть — процесс изменения во времени раз-
размеров образца под действием постоянной нагруз-
нагрузки.
Исследование этого свойства материалов осуществляется по-
посредством метода, в котором к образцу (как правило, в форме
стержня) подвешивается груз, под действием которого длина
образца увеличивается. Процесс установления размеров образца
может продолжаться очень долго. Механическое напряжение а
при этом считается постоянным. Изменение деформации со вре-
временем при этом представлено на рис. 13.7.
На кривой ползучести можно выделить различные участки:
участок О А — мгновенная упругая деформация; участок АВ —
участок неустановившейся ползучести; ВС — участок установив-
установившейся ползучести, где скорость деформации постоянна; CD —
170
Лекция 13. Механические свойства тканей
участок ускоренной ползучести, где скорость ползучести возрас-
возрастает; в точке D происходит разрушение.
По кривой ползучести определяется модуль упругости.
В
0 t
Рис. 13.7. Кривая ползучести: а = const, e = f(t)
13.3.2. Релаксация напряжения. Если растянуть образец до
некоторой длины (то есть создать деформацию) и закрепить
его в этом положении с помощью динамометров, то показания
динамометров (пропорциональные механическому напряжению)
будут уменьшаться. Происходит явление релаксации (уменьше-
(уменьшения, расслабления) напряжения.
Релаксация напряэюения — процесс изменения ме-
механического напряжения в образце при условии
постоянной относительной деформации.
Изменение напряжения в образце со временем показано на
рис. 13.8.
0 t
Рис. 13.8. Релаксация напряжения: е = const, a = f(t)
Вследствие происходящего распрямления и взаимного пере-
перемещения макромолекул напряжение будет уменьшаться. Через
некоторое время оно может упасть до нуля. По данным этого
метода определяется время релаксации.
§ 13.4. Механические модели 171
§ 13.4. Механические модели
Вязкоупругие свойства тел (сочетание вязкого течения и вы-
высокой эластичности) моделируются системами, состоящими из
различных комбинаций двух простых моделей: пружины (упру-
(упругий элемент) и поршня (вязкий элемент). Эти элементы и «кон-
«конструируемые» с их помощью модели показаны на рис. 13.9 слева.
Справа показаны зависимости деформаций (е) от времени при
импульсном воздействии внешней силы: в момент времени t = О
к телу, поведение которого моделируется, прикладывается посто-
постоянная сила F; в момент времени t\ действие силы прекращается.
Моделью упругого тела является пружина (рис. 13.9а), подчи-
подчиняющаяся закону Гука. Деформация (е) мгновенно появляется
в момент t = О и мгновенно исчезает в момент t\.
Моделью вязкого тела является поршень с отверстиями, дви-
движущийся в цилиндре с вязкой жидкостью (рис. 13.9^). Связь
между скоростью деформации вязкой среды (скорость переме-
перемещения поршня) и напряжением имеет вид
а = rj(de/dt), a = F/S, A3.5)
где г\ — коэффициент вязкости среды; S — площадь поршня.
Деформация нарастает линейно до некоторого значения, а после
прекращения действия силы (момент t\) перестает меняться.
13.4.1. Модель Максвелла. В модели Максвелла упругий
и вязкий элементы соединены последовательно (рис. 13.9в).
Напряжение в каждом элементе является одинаковым. В любой
момент времени для деформации выполняется условие
^общ = ^упр ~г ?вяз*
Скорость общей деформации равна: Aео^щ/dt = deynp/dt +
+ deBH3/dt. Используя формулу A3.2) для упругого элемента
и A3.5) для вязкого, получаем:
^общМ = (l/E)da/dt + а/г]. A3.6)
Решение этого уравнения приводит к следующему характеру
развития деформации. В момент t = 0 пружина мгновенно
растягивается, а затем начинается линейное нарастание дефор-
деформации, связанное с движением поршня. В момент t\ пружина
172
Лекция 13. Механические свойства тканей
сокращается до начального размера, а поршень останавливает-
останавливается — имеет место остаточная деформация.
а) Упругий элемент (пружина)
б) Вязкий элемент (поршень)
в) Модель Максвелла
г) Модель Кельвина — Фойгта
д) Модель Зинера
Рис. 13.9. Механические модели вязкоупругих тел и динамика разви-
развития деформации
§ 13.4. Механические модели 173
С помощью модели Максвелла можно моделировать следую-
следующие механические процессы.
Релаксация напряжения в материале: е = const, de/dt = О,
то есть поддерживается постоянная деформация. В этом случае
из A3.6) следует:
A/ E)da/dt = -сг/г], или da/a = —{E/r])dt.
Интегрируя последнее выражение от начального момента вре-
времени и начального напряжения его до текущих значений t и сг,
получаем выражение, описывающее изменение напряжения со
временем, то есть релаксацию напряжения:
а = сгоехр ( ) , A3.7)
V т7
где т = т\/Е — время релаксации, за которое величина а умень-
уменьшается в е раз.
Ползучесть: а = const. В этом случае da/dt = 0, и из
уравнения A3.6) следует, что de/ dt = а /г/, или de = (a/r])dt.
Интегрируя последнее выражение от начального момента време-
времени и нулевой деформации до текущих значений t и ?, получаем
выражение, описывающее изменение деформации со временем
(ползучесть):
е = (a/r])t, A3.8)
то есть под действием постоянной приложенной силы происходит
вязкое течение (поршень движется с постоянной скоростью).
13.4.2. Модель Кельвина-Фойгта. Модель Максвелла не учи-
учитывает упругости, отличной от той, которая подчиняется за-
закону Гука, то есть упругости, возникающей за счет раскручи-
раскручивания макромолекул (высокоэластичности). Основной особенно-
особенностью этого вида упругости является необходимость известного
промежутка времени для ее развития (аналогия — деформа-
деформация пружины в вязкой среде). Такая «запаздывающая» упругая
реакция представляется моделью Кельвина-Фойгта, в которой
пружина и поршень соединены параллельно (рис. 13.9г). Удли-
Удлинение одинаково для обоих элементов. При воздействии внешней
силы общее напряжение равно сумме напряжений на каждом
174 Лекция 13. Механические свойства тканей
элементе: аовщ = сгупр + сгвяз. Подставляя выражения для ка-
каждого элемента, получаем:
сгобщ = Ее + rjde/dt. A3.9)
Деформация системы в момент t\ (вывод опускаем) определяет-
определяется формулой
ei = (а/Е)[1 - exp(-tiE/»7)]. A3.10)
(При больших t\ экспонента в формуле A3.10) стремится
к 0. Поэтому деформация стремится к постоянному значению
После прекращения действия силы деформация будет убы-
убывать постепенно до полного исчезновения по закону
r = t-ti. A3.11)
13.4.3. Модель Зинера. В материалах реализуются разные
виды деформаций: упругая обратимая (модель — пружина), вяз-
коупругая обратимая (модель Кельвина-Фойгта) и необратимая
(модель — поршень). Сочетание трех моделей, рассмотренных
выше, позволяет создавать модели, наиболее полно отражающие
механические свойства тел и, в частности, биологических объек-
объектов.
Примером такой модели является модель Зинера (рис. 13.9д),
которая состоит из последовательно соединенных упругого эле-
элемента и модели Кельвина-Фойгта. Временная зависимость отно-
относительной деформации (без вывода) показана на рис. 13.9д. При
действии постоянной нагрузки мгновенно растягивается пружи-
пружина 1, затем вытягивается поршень, и растягивается пружина 2,
после прекращения нагрузки происходит быстрое сжатие пру-
пружины 1, а пружина 2 втягивает поршень в прежнее положение;
остаточная деформация отсутствует.
§ 13.5. Прочность
Прочность — способность тел выдерживать без
разрушения приложенную к ним нагрузку.
Прочность обычно характеризуют величиной предельного на-
напряжения, вызывающего разрушение тела при данном способе
деформирования.
§ 13.6. Разрушение
17'5
Предел прочности — это предельное напряжение,
при котором образец разрушается.
При различных способах деформирования значения предела
прочности отличаются. Ниже (табл. 13.2) это показано на при-
примере бедренной кости человека и лошади.
Таблица 13.2. Пределы прочности бедренной кости
Предел прочности, МПа
Сжатие
Растяжение
Человек
170
124
Лошадь
145
121
Предел прочности в одном органе существенно различен в его
различных тканях. В табл. 13.3. приведены характеристики тка-
тканей различных органов.
Таблица 13.3. Прочностные характеристики различных тканей
Вид ткани
Сплошная кость
Минеральный компонент
Белковый компонент
Эмаль
Дентин
Ребро
Позвонок
Компактное вещество бедренной кости
Губчатое вещество бедренной кости
Связки крупных суставов
Кожа (живот)
Предел прочности
на сжатие, МПа
147
44
0,1
34-45
20
1-4
7
1470-2940
68
10-16
17-36
§ 13.6. Разрушение
Разрушение — макроскопическое нарушение
сплошности тела (материала) в результате
механических или каких либо иных воздействий.
В процессе разрушения тела можно выделить две стадии:
начальную — развитие пор, трещин и конечную — разделение
тела на две и более частей.
В зависимости от того, как протекают эти стадии, различают
хрупкое и пластическое (вязкое) разрушения.
176 Лекция 13. Механические свойства тканей
Рассмотрим, как происходит разрушение однородного стерж-
стержня при его растяжении. Пусть один конец стержня закреплен,
а к другому приложена продольная растягивающая сила, кото-
которую постепенно увеличивают. Эта сила вызывает относительное
удлинение стержня (ё), в результате которого в материале возни-
возникает механическое напряжение (а). На рис. 13.10 показано, как
изменяется величина механического напряжения в зависимости
от величины относительного удлинения при вязком A) и хруп-
хрупком B) разрушениях.
У11?
Рис. 13.10. Зависимость напряжения от относительной деформации
при одноосном растяжении для пластичного A) и хрупкого B) ма-
материалов (О — точка разрушения)
Вязкое разрушение. Прямолинейный участок на диаграмме
соответствует упругой деформации, при которой напряжение
в материале возрастает пропорционально величине относи-
относительного удлинения. Затем начинается область необратимых
изменений размеров и формы тела, обусловленная зарождением
и развитием трещин в наиболее слабом месте. Скорость
протекания процесса вязкого разрушения обычно невелика, а сам
процесс можно замедлить (остановить), снизив приложенную
нагрузку. Когда относительное растяжение достигает некоторого
критического значения, происходит разрушение (разрыв)
стержня (точка О).
Хрупкое разрушение. Это разрушение начинается прак-
практически сразу после завершения упругой деформации (пря-
(прямолинейный участок) и характеризуется высокой скоростью
протекания процесса. Зародившаяся трещина довольно быстро
достигает критического размера, после чего происходит ее стре-
стремительное самопроизвольное распространение, завершающееся
разрушением.
§ 13.7. Механические свойства биологических тканей 177
Основными факторами, определяющими характер процесса
разрушения, являются:
свойства материала и состояние вещества (структура веще-
вещества, температура, влажность и т.п.);
свойства объекта (конструкционные особенности, размеры,
форма, качество поверхности);
динамика силового воздействия (скорость нагружения).
§ 13.7. Механические свойства биологических
тканей
Структура материала являются главным фактором, опреде-
определяющим его механические свойства и характер процесса разру-
разрушения. Большинство биологических тканей являются анизотроп-
анизотропными композитными материалами, образованными объемным
сочетанием химически разнородных компонентов. Состав каж-
каждого типа ткани сформировался в процессе эволюции и зависит
от функций, которые она выполняет.
13.7.1. Костная ткань. Кость — основной материал опорно-
двигательного аппарата. Так, в скелете человека более 200 ко-
костей. Скелет является опорой тела и способствует передвижению
(отсюда и произошел термин «опорно-двигательный аппарат»).
У взрослого человека скелет весит около 12 кг A8 % общего веса).
В компактной костной ткани половину объема составляет
неорганический материал — минеральное вещество кости — гид-
роксилапатит. Это вещество представлено в форме микроско-
микроскопических кристалликов. Другая часть объема состоит из орга-
органического материала, главным образом коллагена (высокомоле-
(высокомолекулярное соединение, волокнистый белок, обладающий высокой
эластичностью). Способность кости к упругой деформации реа-
реализуется за счет минерального вещества, а ползучесть — за счет
коллагена.
Кость является армированным композиционным материа-
материалом. Например, кости нижних конечностей армированы высо-
высокопрочными волокнами в окружных и спиральных перекрещи-
перекрещивающихся направлениях.
Механические свойства костной ткани зависят от многих
факторов: возраста, заболевания, индивидуальных условий ро-
роста. В норме плотность костной ткани равна 2400 кг/м3. Модуль
178 Лекция 13. Механические свойства тканей
Юнга Е = 1010 Па, предел прочности при растяжении апр =
= 100 МПа, относительная деформация достигает 1 %.
При различных способах деформирования (нагружения)
кость ведет себя по-разному. Прочность на сжатие выше, чем
на растяжение или изгиб. Так, бедренная кость в продольном
направлении выдерживает нагрузку 45 000 Н, а при изгибе —
2500 Н.
Запас механической прочности кости весьма значителен и за-
заметно превышает нагрузки, с которыми она встречается в обыч-
обычных жизненных условиях. Бедренная и берцовая кости выдержи-
выдерживают нагрузку в 25-30 раз больше веса нормального человека.
Механическое поведение костной ткани в первом приближе-
приближении описывается моделью Зинера.
13.7.2. Кожа. Кожа представляет собой не только совершен-
совершенный покров тела, но является сложным органом, выполняющим
важные функции: поддержание гомеостаза; участие в процессе
терморегуляции, регуляция общего обмена веществ в организме,
секреторная функция (работа сальных и потовых желез), защита
от повреждающего действия механических, физических, химиче-
химических; инфекционных агентов. Она представляет собой обширное
рецепторное поле, воспринимающее извне и передающее в ЦНС
целый ряд ощущений. Кожа — граница раздела между телом
и окружающей средой, поэтому она обладает значительной ме-
механической прочностью.
Кожа — самый крупный орган тела. Она важная анатомо-
физиологическая часть целостного организма. Функции кожи
зависят от состояния всего организма. При различных заболе-
заболеваниях, в том числе и внутренних органов, в коже происходят те
или иные изменения.
Кожу часто рассматривают как гетерогенную ткань, состо-
состоящую из 3-х наложенных друг на друга слоев, которые тесно
связаны между собой, но четко различаются по природе, струк-
структуре, свойствам: эпидермиса, дермы, подкожной клетчатки. Эпи-
Эпидермис покрыт сверху роговым слоем.
Функции каждого слоя, в том числе и механические, отража-
отражают биомеханическую природу ее компонентов и их структурную
организацию.
§ 13.7. Механические свойства биологических тканей 179
В общий состав кожи входят волокна коллагена, эластина
и основной ткани — матрицы. Коллаген составляет 75% сухой
массы, а эластин — около 4%. Плотность кожи в норме (область
руки, груди) составляет 1100 кг/м3. Эластин растягивается очень
сильно (до 200-300%). Коллаген может растягиваться до 10%.
Механические характеристики компонентов кожи:
• коллаген — Е = 10-100 МПа, апр = 100 МПа;
• эластин - Е — 0,5 МПа, апр = 5 МПа.
Кожа является вязкоупругим материалом с высокоэластич-
высокоэластичными свойствами, она хорошо растягивается и удлиняется.
При исследовании механических свойств кожи с помощью
акустического анализатора тканей, позволяющего оценивать ско-
скорость распространения акустических возмущений звукового диа-
диапазона E-6 кГц) была выявлена акустическая анизотропия ко-
эюи. Это проявляется в том, что скорость распространения по-
поверхностной волны во взаимно перпендикулярных направлени-
направлениях — вдоль вертикальной оси (У) и горизонтальной (X) осей
тела, различаются. Для количественной оценки степени выра-
выраженности акустической анизотропии был использован коэффи-
коэффициент анизотропии К (см. лекцию 5).
Проявление акустической анизотропии находится в соответ-
соответствии с ориентацией линий естественного натяжения кожи, так
называемых линий Лангера. Ориентация линий Лангера на коже
лица и ладони представлена на рис. 13.11.
Рис. 13.11. Ориентация линий Лангера на коже лица и ладони
Сопоставление ориентации линий Лангера и акустической
анизотропии показано на рис. 13.12.
180
Лекция 13. Механические свойства тканей
11
12
Рис. 13.12. Проявление акустической анизотропии и ориентация линий
Лангера на различных участках кожи
13.7.3. Мышечная ткань. Мышечная активность — это одно
из общих свойств высокоорганизованных живых организмов. Вся
жизнедеятельность человека связана с мышечной активностью.
Она обеспечивает работу отдельных органов и целых систем:
работу опорно-двигательного аппарата, легких, сосудистую ак-
активность, желудочно-кишечного тракта, сократительную способ-
способность сердца и т. д. Нарушение работы мышц может приводить
§ 13.7. Механические свойства биологических тканей 181
к патологии, а ее прекращение — даже к летальному исходу
(например, смерть при электротравме от удушья в результате
парализации дыхательных мышц).
Мышцы разнообразны по форме, размерам, особенностям
прикрепления, величине максимально развиваемого усилия. Ко-
Количество мышц превышает число звеньев тела. Каждая мышца
состоит из большого числа двигательных единиц, каждая из ко-
которых управляется через собственный мотонейрон. Таким обра-
образом, количество управляющих воздействий в мышечной (нервно-
мышечной) системе огромно. Тем не менее эта система обла-
обладает удивительной надежностью и широкими компенсаторными
возможностями, способностью не только многократно повторять
одни и те же стандартные комплексы движений, но и выполнять
нестандартные произвольные движения.
Деятельность мышц отражается в структурах движения.
Благодаря этому становится возможным, наблюдая движение,
получать информацию о мышечной регуляции движения и ее
нарушениях. Такой возможностью широко пользуются при ди-
диагностике заболеваний, при разработке специальных тестов для
контроля двигательных навыков у спортсменов.
Независимо от назначения, особенности строения и способов
регуляции принцип работы различных мышц организма одина-
одинаков.
В состав мышц входит совокупность мышечных клеток (во-
(волокон), внеклеточное вещество (соединительная ткань), состоя-
состоящее из коллагена и эластина. Поэтому механические свойства
мышц подобны механическим свойствам полимеров. Мышцы по
строению разделяются на два вида: гладкие мышцы (кишечник,
стенки сосудов, желудка, мочевого пузыря) и скелетные (мышцы
сердца, мышцы, крепящиеся к костям и обеспечивающие движе-
движение головы, туловища, конечностей).
Среднее значение плотности мышечной ткани равно
1050 кг/м3. Модуль Юнга Е = 105 Па. Поведение гладких
мышц во многих случаях описывается моделью Максвелла. Они
могут значительно растягиваться без особого напряжения, что
способствует увеличению объема полых органов, например
мочевого пузыря. Мышцы способны деформироваться на
десятки процентов, чему способствует распрямление молекул
коллагена.
182 Лекция 13. Механические свойства тканей
Механизм поведения скелетной мышцы соответствует модели
Зинера с соответствующими параметрами упругостей и вязко-
вязкости.
Для исследования характеристик сокращения мышц реали-
реализуют два искусственных режима.
Изометрический режим — когда напряжение мышцы про-
происходит в искусственных условиях сохранения ее длины, что до-
достигается с помощью фиксатора. Изотонический режим — когда
искусственно поддерживается постоянство напряжения мышцы.
Например, мышца поднимает постоянный груз Р = const, а ре-
регистрируется изменение ее длины при сокращении.
В процессе жизнедеятельности мышцы непрерывно подстра-
подстраиваются под внешнюю нагрузку. Но сохранение напряжения
в мышечной ткани требует непрерывного подвода энергии. Рас-
Расход энергии приводит к усталости мышц. Только обморок или
смерть прерывают мышечные процессы.
13.7.4. Сосудистая ткань. Механические свойства кровенос-
кровеносных сосудов определяются главным образом свойствами колла-
коллагена, эластина и гладких мышечных волокон. Содержание этих
составляющих сосудистой ткани изменяется по ходу кровеносной
системы. С удалением от сердца увеличивается доля гладких
мышечных волокон, в артериолах они уже являются основной
составляющей сосудистой ткани.
Так как стенки кровеносных сосудов построены из высоко-
высокоэластичного материала, то они способны к значительным обрати-
обратимым изменениям размера при действии на них деформирующей
силы. Деформирующая сила создается избыточным внутренним
давлением.
Рассмотрим деформацию сосуда как результат действия дав-
давления изнутри на упругий цилиндр. Имеется часть цилиндри-
цилиндрического кровеносного сосуда длиной L, с толщиной стенок h
и внутренним радиусом г. Сечение вдоль и поперек оси цилиндра
показаны на рис. 13.13.
Две половинки сосуда взаимодействуют между собой по сече-
сечениям стенок цилиндра (заштрихованные области на рис. 13.13а).
Общая площадь этого сечения, вдоль которого взаимодействуют
обе половинки сосуда, равна 2hL. Если в сосудистой стенке
существует механическое напряжение <т, то сила взаимодействия
j13.8. Элементы реабилитологии
183
двух половинок равна
F = a2hL. A3.12)
Эта сила уравновешивается силами избыточного давления на
цилиндр изнутри (они показаны стрелками на рис. 13.13а). Си-
Силы направлены под разными углами к горизонтальной плос-
плоскости. Для того чтобы найти их равнодействующую, следует
просуммировать горизонтальные проекции. Однако проще найти
равнодействующую силу, если умножить давление на проекцию
площади полуцилиндра на вертикальную плоскость О(У. Эта
проекция равна 2rL. Тогда выражение для силы через избыточ-
избыточное давление имеет вид
F = P2rL. A3.13)
Приравнивая A3.12) и A3.13), получим <j2hL = P2rL, откуда
а = Pr/h. A3.14)
Это соотношение называется уравнением Ламе.
а 6
Рис. 13.13. Сечения цилиндрического сосуда вдоль оси (а) и поперек
оси (б)
§ 13.8. Элементы реабилитологии
Представления о механических свойствах биологических тка-
тканей важны для различных медико-реабилитационных направле-
направлений.
13.8.1. Повреждения трубчатых костей. Ниже для примера
рассмотрены повреждения, характерные для длинных трубча-
трубчатых костей. Разрушения таких костей можно рассматривать, как
184
Лекция 13. Механические свойства тканей
разрушения стержня при воздействии нагрузок в продольном
или поперечном направлениях.
Продольные нагрузки (сжатие) возникают, например, при
падении на кисть вытянутой руки, на руку, согнутую в локтевом
суставе или на согнутое колено (рис. 13.14).
Р
Рис. 13.14. Повреждение нижнего эпифаза бедренной кости вследствие
разрывных или сдвиговых деформаций возможно при падении на со-
согнутое колено
В спортивной практике часто имеет место повреждение ко-
костей вследствие их изгиба под влиянием внешнего воздействия.
Зона начала разрушения диафиза длинной трубчатой кости при
изгибе располагается на выпуклой стороне (рис. 13.15) дуги, где
сосредотачиваются наибольшие значения растягивающих напря-
напряжений.
Рис. 13.15. Схема разрушения диафиза длинной трубчатой кости
вследствие изгиба: а, б — векторы внешних усилий, в — сжимающие,
г — растягивающие усилия
Другой вид повреждений больших трубчатых костей, сопро-
сопровождающийся множественными переломами, возникает при уда-
ударе тупым предметом (рис. 13.16).
j13.8. Элементы реабилитологии
185
¦ч
Рис. 13.16. Схема механизма образования фрагментарного перелома
диафиза с равномерным (а) и с неравномерным сечением (б) при
воздействии тупым предметом
13.8.2. Травма лица. Часто при повреждениях мягких тка-
тканей, особенно на открытых участках тела, в посттравматическом
периоде применяют простые методы с использованием подручно-
подручного материала. Так, для устранения асимметрии лица после трав-
травмы проводится лейкопластырное натяжение со здоровой стороны
на больную, рис. 13.17.
Лейкопластырное натяжение направлено против тяги мышц
здоровой кожи и осуществляется прочной фиксацией другого
свободного конца пластыря к специальному шлему — маске,
изготовленному индивидуально.
Рис. 13.17. Устранение асимметрии лица с помощью лейкопластыря
13.8.3. Акустическая анизотропии кожи — диагностический
параметр. Проявление акустической анизотропии в различных
участках кожи представлено в табл. 13.5, где указаны преимуще-
преимущественные соотношения скоростей и коэффициенты акустической
анизотропии (данные указаны для лиц 18-30 лет). Доля прояв-
проявления соответствующей акустической анизотропии указана для
лиц нормального телосложения.
186
Лекция 13. Механические свойства тканей
Таблица 13.4. Проявление акустической анизотропии в коже
Область измерений
Лоб (середина)
Лоб (края)
Веко верхнее
Щека (середина)
Предплечье
Запястье
Пальцы
Ладонь
Лопатка
Молочная железа
Грудь
Поясница
Живот (средн. лин.)
Подколенный сгиб
Голень
Соотношение
скоростей
vy>vx
УУ<УХ
УУ<УХ
УУ<УХ
УУ>УХ
УУ<УХ
УУ>УХ
УУ<УХ
УУ<УХ
УУ<УХ
УУ<УХ
УУ<УХ
УУ<УХ
УУ<УХ
У у > Ух
Коэффициент
анизотропии
к_
к_
к_
к+
к_
к_
к_
К-
К-
К-
к_
к_
к+
Доля
проявления
90%
90%
95%
70%
83%
85%
80%
90%
87%
88%
93%
85%
79%
75%
94%
Степень анизотропии кожи при некоторых патологиях силь-
сильно изменяется: например, при псориазе, при атопических дер-
дерматитах (особенно в областях сгибательных поверхностей) или
в коже верхнего века при прогрессирующей близорукости. Ани-
Анизотропия кожи лица, особенно в области лба позволяет оценивать
возрастные изменения. Многочисленные исследования в самых
различных областях медицины показали, что анизотропия кожи
является объективным диагностическим критерием.
В спортивной и космической медицине следует знать устойчи-
устойчивость различных биологических структур по отношению к раз-
различным деформациям. В челюстно-лицевой хирургии, пласти-
пластической хирургии и косметологии механические свойства тканей
определяют объем воздействия и служат объективным критери-
критерием для оценки эффективности лечения. В травматологии и орто-
ортопедии вопросы механического воздействия на организм являются
определяющими.
Лекция 14
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЕМОДИНАМИКИ
1. Гидродинамическая модель кровообращения.
2. Сердце как насос.
3. Пульсовая волна.
4. Физические основы клинического метода измерения давления
крови.
5. Элементы реабилитологии. Значение давления крови и эластич-
эластичности сосудов.
Гемодинамика — раздел биомеханики, в котором
исследуется движение крови по сосудистой си-
системе. Физической основой гемодинамики явля-
является гидродинамика. Течение крови зависит как
от свойств крови, так и от свойств кровеносных
сосудов.
§ 14.1. Гидродинамическая модель
кровообращения
Модель Франка — это гидродинамическая модель (с сосре-
сосредоточенными параметрами) кровеносной системы. В ней реша-
решается задача: установить связь между ударным объемом крови,
гидравлическим сопротивлением периферической части системы
кровообращения и изменением давления в артериях.
Схематическое представление модели изображено на рис. 14.1.
Рис. 14.1. Модель Франка
Элементы модели:
• УР — упругий резервуар, артериальная часть системы
кровообращения;
• Q — объемная скорость кровотока, с которой кровь из
сердца поступает в упругий резервуар;
188 Лекция 14. Физические основы гемодинамики
• Qo — объемная скорость кровотока, с которой кровь от-
оттекает от УР в периферическую систему;
• Xq — гидравлическое сопротивление периферической си-
системы (артериолы, капилляры). Оно постоянно и моделируется
жесткой трубкой на выходе из УР.
В данной модели предполагается:
а) упругость материала стенок является линейной (справед-
(справедлив закон Гука);
б) толщина стенок не меняется.
Объем крови в УР в любой момент времени определяется
следующим соотношением:
V = Vo + kP, A4.1)
где Vo — объем УР при отсутствии давления (Р = 0), к —
коэффициент эластичности.
Продифференцировав соотношение A4.1), получим:
dV/dt = kdP/dt. A4.2)
Далее из очевидных соображений имеем следующее уравнение:
Q = dV/dt + Qo, A4.3)
показывающее, что объемная скорость кровотока из сердца рав-
равна скорости возрастания объема dV/dt для упругого резервуара
и скорости оттока Qo крови из упругого резервуара в перифери-
периферическую систему.
Для периферической части системы Qq имеем по формуле
Пуазейля:
Qo = {P- Ро)/Хо, A4.4)
где Р — давление в упругом резервуаре (в начале трубы); Р$ —
давление в конце трубы, то есть в конце периферической систе-
системы.
В месте впадения полых вен в сердце Р$ = 0, поэтому имеем:
Qo = Р/Хо. A4.5)
Окончательно для объемной скорости кровотока получаем:
Q = dV/dt + Р/Хо, или Q = kdP/dt + P/Xo. A4.6)
114.1. Гидродинамическая модель кровообращения
189
Из последнего выражения можно получить важные соотноше-
соотношения, описывающие рассматриваемую модель. Для этого перепи-
перепишем A4.6) в виде
Qdt = kdP + (P/X0)dt, A4.7)
а затем проинтегрируем. Выберем для времени следующие пре-
пределы интегрирования: нижний предел равен 0; верхний предел
равен периоду пульса Тп (периоду сокращения сердца).
Этим временным пределам соответствуют одинаковые давле-
давления, равные, например, диастолическому давлению Рд. Запишем
интегралы с указанием пределов интегрирования:
Qdt = I kdP + 4- [ Pdt.
A4.8)
У первого интеграла верхний и нижний пределы одинаковы,
поэтому он равен 0. Окончательно получим:
тп
тп
Qdt =
Pdt.
A4.9)
о о
Теперь воспользуемся экспериментальной кривой (рис. 14.2),
показывающей зависимость давления в сонной артерии от вре-
времени.
Р, кПа
Р1=16
Рис. 14.2. Зависимость давления от времени за период сокращения
На рис. 14.2 показаны: Тс — длительность систолы, Тд —
длительность диастолы, Рс — максимальное систолическое дав-
давление, Рд — минимальное диастолическое давление.
Проанализируем соотношение A4.9). Левая часть равна объе-
объему крови, который выталкивается из сердца за одно сокращение,
то есть это ударный объем крови. Он может быть найден экспе-
экспериментально.
190 Лекция 14. Физические основы гемодинамики
Ударный объем крови — объем крови, выбрасыва-
выбрасываемый желудочком сердца за одну систолу.
тп
Интеграл Pdt соответствует площади фигуры, ограниченной
о
кривой давления и осью времени. Его также можно найти экс-
экспериментально.
Во время систолы (сокращения сердца) происходит расшире-
расширение упругого резервуара. Во время диастолы происходит отток
крови к периферии. Для этого периода имеем Q = 0, и уравне-
уравнение A4.7) принимает вид
dP/P = -dt/(kX0). A4.10)
Проинтегрировав полученное выражение, получим зависимость
давления в резервуаре после систолы от времени (учитывая, что
t = 0 соответствует началу диастолы):
Р = Pcexp(-t/kX0). A4.11)
Эта теоретическая формула приближенно описывает спад дав-
давления на рис. 14.2.
Подставив A4.11) в A4.5), получим приближенную формулу
для скорости оттока крови во время диастолы:
Qo = Qcexp(-t/kXo), A4.12)
где Qc = Рс/ Xq — объемная скорость кровотока из УР в конце
систолы.
Таким образом, хотя модель Франка лишь приближенно опи-
описывает реальное явление, она проста и качественно верно отра-
отражает процесс к концу диастолы. Вместе с тем изменения давле-
давления в начале диастолы с помощью этой модели не описываются.
В более точных моделях используется большее количество эла-
эластичных резервуаров (модели с распределенными параметрами).
§ 14.2. Сердце как насос
Для поддержания электрического тока в замкнутой цепи
требуется источник тока, который создает разность потенци-
потенциалов, необходимую для существования тока при наличии со-
сопротивления в цепи. Аналогично, для поддержания движения
§ 14.2. Сердце как насос
191
жидкости в замкнутой гидродинамической системе требуется
«насос», который создает разность давлений, необходимую для
поддержания движения жидкости при наличии гидравлического
сопротивления. В системе кровообращения роль такого насоса
играет сердце.
При сокращениях сердца стенки желудочков воздействуют
на находящуюся в них кровь. Полная сила F, действующая на
содержащуюся в полости желудочка кровь, определяется фор-
формулой F = PS, где Р — давление, S — площадь внутренних
стенок полости желудочка. Оценим силу, развиваемую сердцем
с помощью упрощенной модели, в которой желудочек принима-
принимается за сферу. При нормальной работе сердца человека объем
желудочка меняется от 85 см3 (85 • 10~6 м3) в начале систолы
до 25 см3 B5 • 10~6 м3) в конце ее. Используя геометрические
формулы для площади сферы и объема шара, можно рассчитать,
что поверхности стенок при этих объемах равны, соответственно,
93,7 см2 (93,7 • Ю-4 м2) и 41,2 см2 D1,2 • 1(Г4 м2). Тогда пол-
полная сила, развиваемая сердцем в начале систолического выброса
(Р = 70 мм рт. ст. = 9300 Па), равна 87 Н; в конце систолы
(Р = 120 мм рт.ст. = 16 000 Па) развиваемая сердцем сила
равна 66 Н. Это означает, что в результате сокращения объема
желудочка и площади его стенок сердце развивает меньшую силу
при наибольшем давлении.
Работу сердца как насоса можно представить следующими
фазами.
НАСОС
РАБОЧАЯ ФАЗА
сокращение мышц
tc = 0,3 с
Рс = 16 кПа
ХОЛОСТАЯ ФАЗА
расслабление мышц
?д = 0,7 с
Рд = 10 кПа
Вследствие эластичности стенок крупные артерии за время
систолы воспринимают больше крови, чем ее отток к периферии.
Схема явлений, происходящих в большом круге кровообраще-
кровообращения, такова.
192 Лекция 14. Физические основы гемодинамики
При каждом сокращении левого желудочка в аорту, уже
заполненную кровью, при некотором давлении выталкивается
ударный объем крови, равный приблизительно VyA = 60-70 см3.
Затем клапан аорты закрывается, поэтому кровь не течет в об-
обратном направлении.
В аорте происходит следующее: дополнительный объем крови
повышает давление в ней и вызывает растяжение ее стенок, что
приводит к увеличению ее объема. Сосудам при этом сообщается
потенциальная энергия, переданная им сердцем через ток крови.
При этом возникает систолическое давление крови Рс. Во время
расслабления сердца (диастолы) растянутые кровеносные сосуды
(стенки аорты) спадают до исходного состояния. Их потенциаль-
потенциальная энергия Еп переходит в кинетическую энергию тока кро-
крови Ек. При этом поддерживается диастолическое давление Рд.
Происходит проталкивание поступившего объема крови в при-
прилегающие крупные артерии. Стенки последних, в свою очередь,
растягиваются и затем сокращаются, проталкивая кровь в по-
последующие звенья сосудистой системы. В результате ток крови
принимает непрерывный характер.
При таком механизме продвижения крови происходит следу-
следующее расходование энергии, высвобождаемой при сокращении
сердечной мышцы.
Высвобождаемая энергия
Энергия, расходуемая на сообщение
крови кинетической энергии
и на преодоление сил сопротивления
Энергия, переходящая в потенциальную
энергию растяжения эластичных стенок
крупных сосудов (аорты)
Энергия, передаваемая массе крови
в период расслабления сердечной мышцы
по мере возвращения растянутых
стенок в исходное состояние
§ 14.3. Пульсовая волна
Возникшая в кровеносном сосуде деформация распространя-
распространяется в виде пульсовой волны.
Пульсовая волна — распространяющаяся по аорте
и артериям волна повышенного (над атмосфер-
атмосферным) давления, вызванная выбросом крови из ле-
левого желудочка в период систолы.
§ 14.3. Пульсовая волна
193
Пульсовая волна распространяется со скоростью Vn =
= 5-10 м/с. За время систолы она пройдет путь, равный
S = Vntc = 1,5-3 м, что больше расстояния от сердца до ко-
конечностей. Это означает, что фронт пульсовой волны достигнет
конечностей раньше, чем начнется спад давления в аорте.
Профиль артерии в различные фазы волны схематически
показан на рис. 14.3.
Перед прохождением
пульсовой волны
Чсрез артсрию начинает
проходить пульсовая волна
В артерии
пульсовая волна
Спал, пульсового давления,
кровь проталкивается сокращением стенок
Рис. 14.3. Профиль артерии при прохождении пульсовой волны
П р охож д ев: и е п ул ь с о в о й
волны закончено
Пульсовой волне будет соответствовать пульсирование ско-
скорости кровотока в крупных артериях, однако скорость крови су-
существенно меньше скорости распространения пульсовой волны.
Скорость кровотока составляет 0,3-0,5 м/с.
Сокращение сердца имеет периодический характер, что при-
приводит к периодическим изменениям давления.
Характер распределения давления в различных участках со-
сосудистого русла представлен на рис. 14.4. Здесь показано превы-
превышение давления над атмосферным.
1 — давление в аорте
2 — давление в крупных
артериях
3 — давление в мелких артериях
4 — давление в артермолах
5 — давление в капиллярах
12 3 4 5
Рис. 14.4. Распределение давления в различных участках сосудистого
русла (вертикальные отрезки показывают амплитуду изменения дав-
давления)
7 Федорова В.Н., Степанова Л. А.
194
Лекция 14. Физические основы гемодинамики
Из рис. 14.4 видно, что при переходе к более мелким сосудам
амплитуда колебаний давления уменьшается и в капиллярах
спадает до нуля. Это показано на рис. 14.5, на котором показаны
временные зависимости давления для артерии и артериолы.
Рис. 14.5. Колебания давления в артерии (а) и артериоле (б)
Вязкость крови и упруговязкие свойства кровеносных сосу-
сосудов обусловливают затухание пульсовой волны. Можно считать,
что затухание экспоненциально. То есть для амплитуды пульсо-
пульсовой волны (АР = Pmax — ^min) можно записать:
АР = АРоехр(-/^ж),
A4.13)
где АРо — амплитуда давления в начале сосуда, АР — амплиту-
амплитуда давления на расстоянии х от начала; к — коэффициент зату-
затухания волны, увеличивающийся с уменьшением сечения сосуда.
Скорость пульсовой волны в крупных сосудах (для тонко-
тонкостенной упругорастяжимой трубы) равна
Vn =
A4.14)
где Е — модуль упругости, h — толщина стенки сосуда, р —
плотность вещества сосуда, d — диаметр сосуда.
§ 14.4. Физические основы клинического метода
измерения давления крови
В медицине широко используется метод измерения давления
крови, предложенный Н.С. Коротковым A905), который состоит
в следующем.
Вокруг руки между плечом и локтем накладывают манжету,
в которую накачивают воздух. Как только давление в манжете
§ 14.4. Физические основы метода измерения давления крови 195
превысит давление крови в плечевой артерии, кровоток прекра-
прекращается. При стравливании воздуха из манжеты кровоток возоб-
возобновляется сначала частично, а потом полностью. По манометру
фиксируют давления, при кото-
которых начинается и заканчивается
восстановление кровотока.
Манжету накладывают все-
всегда в области плечевой артерии,
рис. 14.6.
Такой выбор места для нало-
наложения манжеты позволяет стан-
стандартизовать результаты, так как
плечевая артерия в опущенной
Рис. 14.6. Манжета всегда на-
руке находится на уровне сердца,
^J ^ J ^ ^^ ' кладывается на уровне сердца
и измеряемое давление совпада-
совпадает с давлением крови в ближайшей к сердцу части аорты. Если
бы давление измерялось, например, на щиколотке, то результат
измерения зависел бы от роста человека и его положения (вер-
(вертикальное, горизонтальное, сидя).
Рассмотрим физические основы этого метода. Схема процес-
процессов, последовательно проявляющихся при измерении давления,
представлена на рис. 14.7.
а) Сначала избыточное давление Ри воздуха в манжете от-
отсутствует и кровоток не прерывается.
б) По мере закачивания воздуха в манжету последняя сдав-
сдавливает плечевую артерию. Когда давление в манжете превысит
систолическое давление (Рс), кровоток прекращается.
в) Выпуская воздух, уменьшают давление в манжете. Ког-
Когда давление на артерию станет равным систолическому, кровь
начнет проталкиваться через сдавленную артерию. В ней со-
создается поток, сопровождающийся шумами. Эти шумы обуслов-
обусловлены вибрацией стенок артерии непосредственно за манжетой
под действием толчков от порций крови, которые прорываются
сквозь сжатый манжетой участок сосуда. Эти шумы хорошо
прослушиваются через фонендоскоп. В момент появления шумов
по манометру регистрируется систолическое давление («верхнее
давление»).
г) Когда давление в манжете станет меньше диастолического
давления Рд, манжета перестанет пережимать артерию. Кро-
196
Лекция 14. Физические основы гемодинамики
воток прерываться перестанет, и шумы, связанные с вихрями,
прекращаются. В момент прекращения шумов по манометру
регистрируется диастолическое давление («нижнее давление»).
а) Ри=0
артерия
мягкие ткани
в)
ш
„<Рс
-:-:-:-:-:l-.-.-.-.-.-.-.-.-J:-:-:-»:-:-:-:-»:-:-:-:-»:-:-:-:-:-:
г) РД>РИ
Рис. 14.7. Схема измерения давления крови
Описанный метод имеет тенденцию занижать «верхнее дав-
давление» и завышать «нижнее давление» Причина этого понятна
из рис. 14.8. Прямой линией показано изменение давление в ман-
манжете. «Синусоида» показывает характер изменения артериаль-
артериального давления. «Верхнее» и «нижнее» давления, фиксируемые
по показаниям манометра, отмечены жирными точками. Видно,
что при быстром «стравливании» давления в манжете погреш-
погрешности становятся больше.
р k
рг
t б t
Рис. 14.8. Погрешности, возникающие при измерении артериального
давления при медленном (а) и быстром (б) «стравливании» давления
в манжете
§ 14.5. Элементы реабилитологии 197
§ 14.5. Элементы реабилитологии
14.5.1. Значение давления крови и эластичности сосудов.
Артериальное давление необходимо контролировать при всех
медико-реабилитологических мероприятиях. В норме в течение
каждого сердечного цикла артериальное давление меняется от
16 кПа A20 мм рт. ст.) до 10 кПа (80 мм рт. ст.). Эти числа пока-
показывают, насколько давление крови в артерии выше атмосферного
давления.
Величина артериального давления определяется в основном
следующими факторами:
• силой, с которой кровь во время систолы выталкивается
в сосудистое русло;
• эластичностью стенок сосудов;
• сопротивлением сосудистого русла, зависящим от величи-
величины просвета сосудов и вязкости крови.
Уровень артериального давления изменяется при мышечной
нагрузке, при эмоциональных напряжениях, при изменениях
функционального состояния, при воздействии ряда физических
факторов (звук высокой интенсивности, ультразвук, инфразвук,
вибрация, перегрузки и т.д.). Повышением артериального дав-
давления сопровождаются некоторые заболевания почек (почечная
гипертензия). Величина кровяного давления также изменяется
при заболеваниях, связанных с нарушением нервной регуляции
просвета сосудов. В одних случаях имеет место увеличение дав-
давления до 220/120 мм рт. ст. (гипертония), в других давление
снижается ниже нормы до величины 90/60 мм рт. ст.
Чрезмерное снижение внешнего давления представляет се-
серьезную опасность для организма. Длительному нахождению
при пониженном давлении подвергаются, например, альпинисты.
Опасности попасть в условия с сильно пониженным давлением
подвергаются летчики и космонавты.
Исследования показали, что снижение внешнего давления
ниже 267 мм рт. ст. (что соответствует высоте 8 км) может приве-
привести к развитию «декомпрессионных расстройств». Если внешнее
давление падает до 40 мм рт. ст., то такие нарушения стано-
становятся необратимыми. Снижение внешнего давления до опасных
уровней предотвращается использованием систем герметизации
кабин, специальных скафандров, гермошлемов и т. д.
198 Лекция 14. Физические основы гемодинамики
Установлено, что нормальная жизнедеятельность космонавта
обеспечивается и при снижении давления до 500 мм рт. ст. Оп-
Оптимальное парциальное давление кислорода в кабине не должно
превышать 420 мм рт. ст. — большие концентрации оказываются
вредными. Соотношение между общим давлением и парциаль-
парциальным давлением кислорода регулируется химическим путем —
с помощью регенерации.
С возрастом, в связи с развитием склеротических изменений,
сосуды теряют эластичность, становятся жесткими, поэтому их
положительное влияние на деятельность сердечно-сосудистой си-
системы резко снижается. Пульсовые колебания кровотока возрас-
возрастают, эффективность работы сердца снижается, а нагрузка на
него растет. Кроме того, наличие склеротических изменений в со-
сосудах, в соответствии с формулой Пуазейля, значительно меняет
скорость кровотока, и, следовательно, питание тканей. При этом
существенно меняются различные регуляторные воздействия.
Так, вместо расширения сосуды часто надолго суживаются, что
ведет к нарушению кровоснабжения (ведь объем кровотока про-
пропорционален четвертой степени ширины просвета сосуда). Это
приводит к ухудшению функции мозга, сердца и других органов.
В области склеротических изменений имеет место не только
сужение просвета сосуда, но и возникновение турбулентности,
что приводит к образованию внутрисосудистых тромбов. При
резких перепадах давления они могут оторваться и, попадая в со-
сосуды мозга или сердца, перекрыть кровоток (тромбоэмболия),
что приводит к развитию тяжелых осложнений.
Лекция 15
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
1. Электрический заряд.
2. Закон Кулона, электростатическое поле, напряженность.
3. Потенциал, разность потенциалов.
4. Проводники и диэлектрики, относительная диэлектрическая
проницаемость.
5. Магнитное поле, магнитная индукция.
6. Магнитное поле в веществе, относительная магнитная проница-
проницаемость.
7. Электромагнитная индукция. Токи Фуко.
Характеристики электрического и магнитного полей, кото-
которые создаются биологическими системами или действуют на них,
являются источником информации о состоянии организма.
§ 15.1. Электрический заряд
Все тела состоят из атомов, которые, в свою очередь, состо-
состоят из элементарных частиц. Важнейшей характеристикой этих
частиц является электрический заряд, который обусловливает
электромагнитное взаимодействие между ними. По признаку
электрического заряда различают три класса элементарных ча-
частиц:
а) отрицательно заряженные частицы (например, электрон);
б) положительно заряженные частицы (например, протон);
в) электронейтральные частицы (например, нейтрон).
Одноименные частицы отталкиваются, а разноименные —
притягиваются.
Электроны и протоны имеют одинаковые по модулю и проти-
противоположные по знаку заряды. Самая минимальная порция элек-
электрического заряда — это заряд электрона, абсолютная величина
которого в международной системе единиц (СИ) равна е = 1,67 х
х Ю-19 Кл.
Тела, в которых количество электронов и протонов одинако-
одинаково, называются незаряженными.
200 Лекция 15. Электричество и магнетизм
Если по какой-то причине равенство между числом электро-
электронов и протонов нарушено, тело называется заряженным и его
электрический заряд определяется формулой:
q = e(np - гсе), A5.1)
где пр — число протонов, а пе — число электронов.
§ 15.2. Закон Кулона, электростатическое поле,
напряженность
Наиболее простой вид электромагнитное взаимодействие
имеет для неподвижных зарядов. Такое взаимодействие
называется кулоновским, или электростатическим.
Закон Кулона. В вакууме сила взаимодействия
двух неподвижных точечных зарядов прямо про-
пропорциональна произведению их модулей и обратно
пропорциональна квадрату расстояния между ни-
ними:
4тгб:0 г2
где <7ъ 42 — модули зарядов, г — расстояние между
ними, во — константа, называемая электрической
постоянной. Ее значение в международной системе
(СИ) равно ?0 = 8,85 • 1(Г12 Ф/м.
Кулоновское взаимодействие представлено на рис. 15.1.
Рис. 15.1. Кулоновское взаимодействие одноименных зарядов
Электрическое поле есть разновидность материи,
посредством которой осуществляется силовое воз-
воздействие на электрические заряды, находящиеся
в этом поле. Электрическое поле есть одна из
форм проявления электромагнитного поля.
То есть электрическое поле создается зарядами, основное свойс-
свойство электрического поля — действие на заряды. Силовой харак-
характеристикой электрического поля является векторная величина,
называемая напряженностью поля.
§ 15.3. Потенциал, разность потенциалов 201
Напряженность электрического поля (Е) равна
отношению силы, действующей в данной точке
поля на точечный заряд, к величине этого заряда:
E = F/<7, [В/м]. A5.3)
Напряженность — вектор, направление которого совпадает с на-
направлением силы, действующей в данной точке поля на положи-
положительный точечный заряд.
Напряженность электрического поля, созданная точечным
зарядом Q на расстоянии г от него, равна
E = Q/{47re0r2). A5.4)
Электрическое поле графически представляется силовыми лини-
линиями, касательные к которым совпадают с направлением вектора
напряженности в соответствующих точках поля. Обычно эти
линии проводят с такой густотой, чтобы число линий, прохо-
проходящих через единичную площадку, перпендикулярную им, было
пропорционально значению напряженности электрического поля
в месте расположения площадки. На рис. 15.2 изображены сило-
силовые линии однородного и неоднородного полей.
+ Е -
Силовые линии однородного поля. Силовые линии неоднородного поля.
Рис. 15.2. Графическое изображение электрического поля
§ 15.3. Потенциал, разность потенциалов
При перемещении заряда из одной точки поля в другую силы
поля совершают работу, которая не зависит от формы пути.
Отношение работы к заряду не зависит от заряда и являет-
является энергетической характеристикой поля, относящейся к двум
конкретным точкам. Эта характеристика называется разностью
потенциалов:
Ult2 = <Pi-<P2 = A/q, [В]. A5.5)
Потенциал ((р) точки электрического поля чис-
численно равен работе, совершаемой силами поля, по
202 Лекция 15. Электричество и магнетизм
перемещению единичного полоэюителъного заря-
заряда из данной точки в бесконечно удаленную точку
пространства:
Ч> = A/q. A5.6)
Для потенциала поля точечного заряда Q в вакууме (на рассто-
расстоянии г от него) справедлива формула
<?т.з = Q/4:7T?0r. A5.7)
Потенциал и разность потенциалов — скалярные величины.
В однородном поле существует связь между напряженностью
и разностью потенциалов:
<рг - <р2 = Ed, A5.8)
где d — расстояние вдоль силовой линии между точками с по-
потенциалами (fi И (f2-
§ 15.4. Проводники и диэлектрики, относительная
диэлектрическая проницаемость
Свободные молекулы имеют одинаковое число электронов
и протонов, и поэтому их заряд равен нулю. Однако в веществе
молекула может либо потерять часть своих электронов, либо
распасться на ионы. В этом случае в веществе появятся заряды,
способные к самостоятельному перемещению.
Заряды, находящиеся внутри вещества и способ-
способные перемещаться на макроскопические расстоя-
расстояния, называются свободными.
Вещества, в которых имеются свободные заряды,
называются проводниками, а вещества, в которых
их нет — диэлектриками.
Если в электрическое поле с напряженностью Ео поместить про-
проводник, то свободные заряды перераспределятся таким образом,
что созданное ими электрическое поле Еи скомпенсирует внеш-
внешнее поле и результирующая напряженность внутри проводника
станет равной нулю (рис. 15.3). Это явление называется электри-
электрической индукцией.
j 15.5. Магнитное поле, магнитная индукция
203
Рис. 15.3. Компенсация внешнего электрического поля в проводнике
Если в электрическое поле (Ео) поместить диэлектрик, то его
полярные молекулы будут «стремиться» расположиться вдоль
поля и на поверхности диэлектрика появятся связанные заряды.
Напряженность созданного ими электрического поля Еп направ-
направлена против Eg, но (в отличие от проводников) компенсирует
внешнее поле не полностью. Поэтому поле внутри диэлектрика
уменьшается не до нуля (рис. 15.4). Это явление называется по-
поляризацией диэлектрика.
Рис. 15.4. Ослабление внешнего электрического поля в диэлектрике
Относительная диэлектрическая проницае-
проницаемость (е) (часто называемая просто диэлектриче-
диэлектрической проницаемостью) — безразмерная, скалярная
величина, показывающая, во сколько раз напря-
напряженность электрического поля в диэлектрике
уменьшается по сравнению с полем в вакууме:
е = Eq/ Е (для вакуума е = 1).
A5.9)
§ 15.5. Магнитное поле, магнитная индукция
Магнитное поле есть разновидность материи, по-
посредством которой осуществляется силовое воз-
воздействие на движущиеся электрические заряды,
помещенные в поле, и другие тела, обладающие
магнитным моментом. Магнитное поле есть одна
из форм проявления электромагнитного поля.
204
Лекция 15. Электричество и магнетизм
То есть магнитное поле порождается током, магнитами и движу-
движущимися зарядами. Оно обнаруживается по действию на внесен-
внесенные в него токи, магниты, движущиеся заряды.
Силовой характеристикой магнитного поля является вектор
магнитной индукции В. Его удобно определять по ориентиру-
ориентирующему действию магнитного поля на маленький контур с то-
током / и площадью 5, внесенный в данную точку поля. Харак-
Характеристикой контура является величина рт = IS — магнитный
момент контура с током. Для плоского контура с током вектор
рт расположен перпендикулярно плоскости контура и связан
с направлением тока / правилом правого винта.
По противоположным сторонам контура токи текут в про-
противоположных направлениях. Поэтому на них действуют проти-
противоположные силы, которые создают вращательный момент М.
Величина вращательного момента зависит от ориентации плос-
плоскости рамки (рис. 15.5).
• Существует положение, в котором вращающий момент
равен 0 (положение равновесия).
• Если плоскость рамки расположена перпендикулярно по-
положению равновесия, то вращающий момент максимален —
Мтях.
©
В
IV
Положение равновесия рамки
Рис. 15.5. Контур с током в магнитном поле
Величину Мтах используют при выборе характеристики маг-
магнитного поля — магнитной индукции.
Магнитная индукция (В) в некоторой точке по-
поля равна отношению максимального вращающего
момента, действующего на контур с током в од-
однородном магнитном поле, к магнитному моменту
этого контура:
В = Mmax/pn
A5.10)
j 15.5. Магнитное поле, магнитная индукция
205
Вектор В совпадает по направлению с вектором рт в положении
устойчивого равновесия контура. Единицей магнитной индукции
является тесла [Тл].
Магнитное поле графически изображается с помощью линий
магнитной индукции (магнитные силовые линии). Касательные
к силовым линиям показывают направление вектора В в соот-
соответствующих точках. Густота линий пропорциональна модулю
вектора В. В отличие от силовых линий электростатического
поля, линии магнитной индукции замкнуты (рис. 15.6).
N
S
Прямой провод Виток Постоянный магнит
Рис. 15.6. Линии магнитной индукции
Магнитная индукция в центре кругового витка радиусом R
с током / равна
В =fjL0I/2R. A5.11)
Магнитная индукция В на расстоянии г от прямолинейного
бесконечного проводника с током / равна
В = цо1/2тгг. A5.12)
Величина /iq = 4тг10~7 Гн/м есть магнитная постоянная.
Зная значение магнитной индукции (В) в данном месте, мож-
можно вычислить силу, действующую со стороны магнитного поля
на проводник с током или движущийся заряд.
15.5.1. Сила Ампера, действующая на прямолинейный уча-
участок проводника с током, перпендикулярна как направлению В,
так и проводнику с током:
F = BLIs'ma,
A5.13)
где / — сила тока, L — длина проводника, а — угол между
направлением тока и вектором В.
206 Лекция 15. Электричество и магнетизм
15.5.2. Сила Лоренца, действующая на движущийся заряд,
перпендикулярна как направлению В, так и направлению ско-
скорости заряда:
F = BVqs'ma, A5.14)
где q — заряд, V — его скорость, а — угол между направлени-
направлением V и В.
Характеристикой магнитного поля является также магнит-
магнитный поток Ф, определяемый числом магнитных силовых линий,
пронизывающих какую-либо площадку. Магнитный поток через
площадку S вычисляется по формуле
Ф = BScosa, A5.15)
где а — угол между вектором В и вектором нормали п к площад-
площадке S. Магнитный поток измеряется в веберах [Вб]. Магнитный
поток — это скалярная величина.
§ 15.6. Магнитное поле в веществе, магнитная
проницаемость
Вещество, создающее собственное магнитное поле, называет-
называется намагниченным. Намагниченность возникает при помещении
вещества во внешнее магнитное поле. Магнитная индукция в ве-
веществе В выражается через магнитную индукцию внешнего поля
Во (в той же точке пространства) по формуле:
В = //Во, A5.16)
где ц — относительная магнитная проницаемость вещества.
Относительная магнитная проницаемость ве-
вещества (/i) — это безразмерная, скалярная ве-
величина, показывающая, во сколько раз индукция
магнитного поля в веществе изменяется по сравне-
сравнению с магнитной индукцией поля в вакууме.
Для вакуума \± — 1. Остальные вещества по своим магнитным
свойствам делятся на три группы:
а) диамагнетики, у которых /i < 1;
б) парамагнетики, у которых \i > 1;
в) ферромагнетики, у которых \i >> 1, ц = f(B).
§ 15.7. Электромагнитная индукция. Токи Фуко 207
§ 15.7. Электромагнитная индукция. Токи Фуко
По закону Фарадея при всяком изменении магнитного потока,
пронизывающего контур, в нем возникает ЭДС (<J) электромаг-
электромагнитной индукции, которая равна скорости изменения магнитного
потока, пронизывающего контур:
& = -АФ/At. A5.17)
Явление электромагнитной индукции используется, например,
для производства электроэнергии. В некоторых случаях это
явление проявляется и при отсутствии специально созданного
контура. Пусть в переменном магнитном поле находится прово-
проводящее вещество. Любой сплошной проводник можно рассматри-
рассматривать как «набор» вложенных друг в друга замкнутых контуров.
Изменение магнитного поля приводит к изменению магнитного
потока, поэтому в каждом контуре возникнет электрический ток,
протекание которого вызовет выделение теплоты. Такие токи
называются токами Фуко. В технике с токами Фуко приходится
бороться (потери энергии). Однако в медицине эти токи находят
применение в физиотерапии.
Лекция 16
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В МЕМБРАНАХ
1. Функции мембран.
2. Структура и модели мембран.
3. Физические свойства мембран.
4. Перенос молекул (атомов) через мембраны, уравнение Фика.
5. Перенос заряженных частиц, электродиффузионное уравнение
Нернста-Планка.
6. Виды транспорта через мембраны: пассивный и активный.
Изучение структуры и функционирования биологических
мембран имеет важное значение для медицины, так как мно-
многие патологические процессы в клетке связаны с нарушением
функций мембран. Общая площадь мембран в органах и тканях
достигает огромных размеров. Благодаря этому клетки распола-
располагают достаточной площадью для обеспечения многочисленных
процессов, протекающих на мембранах, обеспечивающих жизне-
жизнеспособность человека.
§ 16.1. Функции мембран
Мембрана выполняет в жизнедеятельности живых клеток
самые различные функции.
Механическое разделение. Клетка — элементарная живая си-
система. Каждая клетка окружена наружной клеточной мембра-
мембраной (плазматической), которая заключает внутри себя содержи-
содержимое клетки. С другой стороны, тонкая регуляция внутриклеточ-
внутриклеточных процессов осуществляется на основе пространственного раз-
разделения органоидов клетки (внутриклеточные мембраны). Мем-
Мембрана является поверхностью раздела (диэлектрической грани-
границей).
Транспортная функция. Через мембрану происходит перенос
(транспорт) различных веществ, то есть она принимает активное
участие в жизнедеятельности клетки.
Селективный барьер. Мембрана защищает клетку от проник-
проникновения нежелательных частиц и веществ.
§ 16.2. Структура и модели мембран 209
Рецепция. Через мембрану происходит распознавание других
клеток, веществ.
Распространение нервного импульса. В мембране локализова-
локализованы основные биоэлектрические процессы. Реализуется генерация
электрического потенциала. Посредством мембраны происходит
распространение нервного импульса.
Матрица. Мембрана является матрицей (основой) для удер-
удержания белков, ферментов.
Таким образом, мембрана — важнейший орган клетки, ре-
регулирующий каждое взаимодействие клетки как внутри ее, так
и с окружающей средой. Если функции мембраны нарушаются,
то происходит изменение нормального функционирования кле-
клеток и, как следствие, заболевание организма.
§ 16.2. Структура и модели мембран
Структурную основу любой мембраны составляет двойной
фосфолипидный слой (рис. 16.1). Липиды (вещества на основе
жирных кислот) построены из полярной головки (содержащей
атомы водорода, углерода, азота, фосфора) и двух длинных
неполярных углеводородных «хвостов». Полярные головки гид-
гидрофильны, то есть могут притягивать к себе дипольные молекулы
воды. «Хвосты» обладают гидрофобными свойствами, то есть не
любят взаимодействовать с водой.
В мембране молекулы фосфолипидов ориентированы так, что
их гидрофильные головки выходят наружу и образуют внешнюю
и внутреннюю поверхности мембраны, а гидрофобные «хвосты»
обращены к середине бимолекулярного слоя, то есть внутрь
мембраны. Гидрофильные головки взаимодействуют с внешними
белковыми слоями и молекулами воды вне и внутри клетки
и образуют с ними водородные связи.
Двойной фосфолипидный слой выполняет функцию барьера
и матрицы для различных белков. Липиды и белки в бислое мо-
могут перемещаться: достаточно быстро внутри слоя вдоль плоско-
плоскости мембраны (латеральная диффузия) и очень медленно между
двумя монослоями поперек мембраны (флип-флоп-переходы).
16.2.1. Расположение белков в мембране. В липидную матри-
матрицу встроены белки (на одну молекулу белка приходится 75-90 мо-
молекул липидов) и функциональные белковые комплексы. Белки
210 Лекция 16. Физические процессы в мембранах
как бы плавают в липидном слое. Схематично строение мембра-
мембраны показано на рис. 16.1.
полярная
>=- -, г~~ ~~л Г*" 7-—~~\ С*" "г 1 • гидрофильная
г С^в С пб ] С пб J I пб ) / ^l v
f ^-—iiiLy ^- ' ———/г—О ' / головка
'|уу«Ниуууууу0ууу\—-:,„
сю ?~^о ^s ^э <<хвост>>
Рис. 16.1. Схематичное строение мембраны: L — толщина мембраны;
пб — поверхностные белки; иб — интегральные белки; к - белки,
формирующие ионный канал (пору)
Поверхностные белки (пб). Эти белки могут находиться либо
на внешнем, либо на внутреннем липидном монослое, удержива-
удерживаясь преимущественно электростатическими силами. Такие белки
занимают 75-80 % поверхности. Белковые молекулы покрывают
мембрану с обеих сторон и придают ей эластичность и устойчи-
устойчивость к механическим повреждениям.
Часть этих включенных в мембрану молекул составляют гли-
копротеиды, которые одной из пептидных цепей с присоединен-
присоединенными к ней разветвленными углеводами выступают во внешнее
примембранное пространство. Таким образом, образуется рых-
рыхлый поверхностный слой (выполняющий роль носителя электро-
электростатического заряда).
Интегральные белки (иб). Эти белки могут пронизывать
двойной слой липидов насквозь. Такие белки являются главным
компонентом, ответственным за избирательную проницаемость
клеточной мембраны. Некоторые из них (к) образуют систему
селективных каналов (пор) или функционируют как ионные
насосы и регулируют, например, электрохимическую систему
возбуждения клетки. Диаметр каналов составляет 0,35-0,8 нм.
Количество их относительно невелико (например, в эритроцитах
вся площадь каналов составляет 0,06% от площади поверхно-
поверхности). Полярные группы молекул белков в каналах направлены
в сторону отверстия каналов, а неполярные вступают во вза-
взаимодействие с молекулами липидов. Стенки каналов обладают
электрическими зарядами.
§ 16.2. Структура и модели мембран 211
16.2.2. Модели мембран. Уточнение строения биомембран
и изучение их свойств осуществляется с использованием физико-
химических моделей мембраны.
Первая модель — монослой. Молекулы фосфолипидов, бу-
будучи помещенными на границу раздела вода-воздух (вода-мас-
(вода-масло), выстраиваются в один слой так, что гидрофильные (по-
(полярные) головки погружаются в воду, а гидрофобные «хвосты»
в контакт с водой не вступают, остаются в воздухе (масле). Мо-
Молекулы фосфолипидов как бы «отслаиваются» от воды. Пока мо-
молекул немного, они располагаются на поверхности, «прильнув»
к воде головками и выставив наружу хвосты, рис. 16.2а.
Воздух
ШИШ
a 6 в
Рис. 16.2. Поведение молекул фосфолипидов в воде
Вторая модель - плоский бислой. Если в водном растворе
липидных молекул становится больше, то эти молекулы собира-
собираются вместе так, что гидрофобные углеводородные цепи закры-
закрыты от воды, а полярные головки, наоборот, выставлены в воду,
рис. 16.25. Такая модель позволяет изучать ионную проницае-
проницаемость, генерацию электрического потенциала на мембране.
Третья модель — липосомы. Липидные бислой, если они име-
имеют большую протяженность, стремятся замкнуться сами на себя,
чтобы спрятать гидрофобные «хвосты» от воды. При этом обра-
образуются фосфолипидные везикулы — липосомы, рис. 16.2в. Они
представляют собой мельчайшие пузырьки (везикулы), состоя-
состоящие из билипидной мембраны. Липосомы фактически являются
биологической мембраной, полностью лишенной белковых моле-
молекул. На липосомах часто проводят эксперименты по изучению
влияния различных факторов на свойства мембраны, или, на-
наоборот влияния мембранного окружения на свойства встраивае-
встраиваемых белков. В медицине липосомы используются для доставки
212 Лекция 16. Физические процессы в мембранах
лекарственных веществ, приготавливая их в среде, содержащей
нужное вещество, в определенные органы и ткани. Таким спосо-
способом готовятся липосомные кремы и мази в дерматологии и кос-
косметологии. Сами липосомы не токсичны, полностью усваиваются
в организме и являются надежной липидной микрокапсулой для
направленной доставки лекарства.
§ 16.3. Физические свойства мембран
Плотность липидного бислоя составляет 800 кг/м3, что
меньше, чем у воды.
Размеры. По данным электронной микроскопии, толщина
мембраны (L) меняется от 4 до 13 нм, причем различным кле-
клеточным мембранам присуща разная толщина.
Прочность. Предел прочности на разрыв для мембраны ни-
низок. В условиях организма средние деформации составляют око-
около 0,01 %. Чтобы довести мембрану до разрыва, достаточно внут-
внутреннего давления 100 Па. Живая клетка может осуществлять
осморегуляцию только за счет изменения своей формы, но не за
счет растяжения мембраны.
Деформируемость. Клеточная мембрана легко подвергается
деформации сдвига. Например, в потоке эритроцитов с градиен-
градиентом скорости происходит вращение мембраны вокруг содержи-
содержимого клетки. Это явление получило название «феномен гусеницы
танка». Мембрана обладает высокой гибкостью. При оценке ме-
механических свойств мембраны эффективный модуль упругости
принимается равным 0,45 Па.
Вязкость. Липидный слой мембраны имеет вязкость г] =
= 30-100 мПа • с (что соответствует вязкости растительного
масла).
Поверхностное натяжение равно 0,03-3 мН • м, что на
2-3 порядка ниже, чем у воды G3 тН • м).
Коэффициент проницаемости мембранного вещества для во-
воды равен 25-33 • 10~4 см/с.
Мембрана — конденсатор. Двойной фосфолипидный слой
уподобляет мембрану плоскому конденсатору, обкладки кото-
которого образованы поверхностными белками, а роль диэлектрика
выполняет липидный бислой. Электроемкость 1 см2 мембраны
составляет 0,5-1,3 мкФ. Напряженность электрического поля
в мембране составляет приблизительно 20 • 106 В/м (расчет
§ 16.4. Перенос молекул (атомов) через мембраны, уравнение Фика 213
проведен для мембран митохондрий, имеющих на своих поверх-
поверхностях разность потенциалов U = 0,2 В, при толщине d = 10 нм;
Е = U/d = 20- 106 В/м).
Диэлектрическая проницаемость мембраны составляет: для
фосфолипидной области е = 2,0-2,2; для гидрофильной области
е = 10-20.
Электросопротивление 1 см2 поверхности мембраны состав-
составляет 102-105 Ом (что в десятки миллионов раз больше сопротив-
сопротивления внеклеточной жидкости или цитоплазмы). Электроизоля-
Электроизоляционные свойства мембраны значительно превосходят свойства
технических изоляторов.
Жидкокристаллическое состояние. Для мембраны характер-
характерно жидкокристаллическое состояние, при котором вещество об-
обладает текучестью, но сохраняет определенную упорядоченность
в расположении молекул и анизотропию свойств. Измерение по-
подвижности молекул мембран и диффузии частиц через них сви-
свидетельствуют о том, что билипидный слой ведет себя как жид-
жидкость, в тоже время мембрана является упорядоченной структу-
структурой.
При изменении температуры в мембране можно наблюдать
фазовые переходы: плавление липидов при нагревании и кри-
кристаллизацию при охлаждении — липиды превращаются в гель.
При фазовых переходах меняется толщина двойного слоя. В бис-
лое при фазовых переходах могут образовываться каналы, по
которым через мембрану способны проходить различные ионы
и низкомолекулярные соединения.
Показатель преломления вещества мембраны равен 1,55 (для
сравнения приведен показатель преломления глицерина — 1,47).
§ 16.4. Перенос молекул (атомов) через мембраны,
уравнение Фика
Явления переноса - это самопроизвольные необратимые про-
процессы, в которых благодаря молекулярному движению из одной
части системы в другую переносится какая-либо физическая
величина.
К явлениям переноса относятся:
диффузия (перенос массы);
вязкость (перенос импульса из слоя в слой);
теплопроводность (перенос энергии);
214 Лекция 16. Физические процессы в мембранах
электропроводность (перенос электрического заряда).
Как синоним переноса частиц в биофизике используется тер-
термин транспорт частиц.
16.4.1. Уравнение диффузии в однородной среде. Рассмот-
Рассмотрим ситуацию, когда в однородную жидкую (газообразную) сре-
среду введено некоторое количество инородного вещества. В на-
начале распределение этого вещества по объему жидкости будет
неравномерным. Однако с течением времени вследствие явлений
переноса концентрации этого вещества в различных областях
жидкости будут выравниваться.
Диффузия — явление самопроизвольного переноса
массы вещества из области с большей концентра-
концентрацией в область с меньшей. Диффузия приводит
к равномерному распределению вещества по всему
объему.
Количественно диффузия описывается специальными парамет-
параметрами.
1. Поток вещества через некоторую поверхность
В пространстве, заполненном частицами диффундирующего
вещества, выделим некоторое направление ОХ, вдоль которого
изменяется концентрация частиц, и небольшой элемент поверх-
поверхности, перпендикулярный этому направлению.
Потоком вещества (Ф) через элемент поверхно-
поверхности, который перпендикулярен направлению диф-
диффузии, называется количество этого вещества, пе-
переносимого через данный элемент за единицу вре-
времени.
Количество переносимого вещества можно измерять в килограм-
килограммах или молях [у). В зависимости от этого поток определяется
формулами:
ф = m/t [кг/с] или Ф = v/t [моль/с]. A6.1)
Очевидно, что поток пропорционален площади S выделенного
элемента. Кроме того, можно показать, что поток пропорцио-
пропорционален градиенту концентрации (dc/dx) диффундирующего ве-
вещества в направлении ОХ. Поэтому имеет место следующая
формула для расчета потока:
ф = -D(dc/dx)S. A6.2)
§ 16.4. Перенос молекул (атомов) через мембраны, уравнение Фика 215
Коэффициент пропорциональности D называется коэффициен-
коэффициентом диффузии. Знак « —» означает, что поток направлен в сто-
сторону убывания концентрации (плотности) вещества (то есть пе-
перенос происходит из области с большей концентрацией в область
с меньшей концентрацией).
В формуле A6.2) и далее термин концентрация с использу-
используется для обозначения как массовой плотности, так и молярной
плотности. Этим и определяется единица измерения потока (кг/с
или моль/с). Независимо от единиц плотности размерность ко-
коэффициента диффузии одинакова: [D] = м2/с.
Коэффициент D зависит от свойств жидкости, свойств диф-
диффундирующих частиц, температуры. Его численное значение вы-
выражается формулой D = сг2/Cт), где а — среднее перемещение
молекул (среднее расстояние между молекулами), т — среднее
время «оседлой жизни» молекулы.
2. Плотность потока вещества
Плотностью потока вещества (J) называется от-
отношение потока вещества (Ф) через элемент по-
поверхности к площади этого элемента (S): J = Ф/S.
Единица плотности потока — [кг/(м2 • с)] или [моль/(м2 • с)].
В соответствии с определением и формулой A6.2) плотность
потока выражается уравнением диффузии (уравнение Фика):
J = -D(dc/dx). A6.3)
Знак « —» показывает, что суммарная плотность потока веще-
вещества при диффузии направлена в сторону, противоположную
градиенту концентрации. Соотношение A6.3) справедливо для
плотности потока в общем случае.
16.4.2. Уравнение Фика для мембраны. Уравнение Фика опи-
описывает диффузию в однородной среде. Модифицируем его для
случая диффузии через мембрану. Обратим внимание на следу-
следующий известный факт: на границе раздела двух сред (например,
воды и масла) обязательно имеет место скачкообразное изменение
концентрации частиц диффундирующего вещества. Например,
если в сосуд, в котором поверх воды налито масло, бросить соль,
то ее концентрации в этих средах будут различны.
216
Лекция 16. Физические процессы в мембранах
Коэффициент распределения вещества (К) — это
величина, равная отношению концентраций ча-
частиц в граничащих средах:
К = Середа l/Ссреда 2- A6.4)
Коэффициент распределения вещества — величина безразмер-
безразмерная.
Рассмотрим диффузию незаряженных частиц (молекул или
атомов) через мембрану (на рис. 16.3 обозначены: «о» — харак-
характеристики снаружи мембраны, «i» — характеристики внутри
клетки).
I
м!
МО
Внутри
клетки
В мембране
L
,J!S,
Снаружи
клетки
а) б) в)
Рис. 16.3. Распределение концентрации частиц, проходящих через мем-
мембрану
Вещество, диффундирующее через мембрану, преодолевает
три барьера (рис. 16.3):
а) примембранный слой,
б) саму мембрану,
в) противоположный примембранный слой.
Концентрации частиц внутри и вне клетки соответственно
равны с\ и со. Концентрация частиц в мембране у ее внутренней
и внешней поверхностей обозначены см\ и смо.
Коэффициент распределения вещества между мембраной
и окружающей средой равен коэффициенту распределения ве-
вещества между мембраной и клеткой:
К = смо/со = cMi/ci. A6.5)
Из A6.5) следует:
A6.6)
§ 16.5. Перенос заряженных частиц 217
причем, величины со и с\ можно измерить.
Учитывая малую толщину мембраны, можно считать, что
концентрация молекул диффундирующего вещества изменяется
в ней линейно. Поэтому градиент концентрации диффундирую-
диффундирующего вещества постоянен:
dc/dx = (смо - см[)/Ь. A6.7)
Теперь запишем выражение для плотности потока. С учетом
A6.3), A6.6), A6.7) запишем:
J = -D{cMO - cMi)/L = DK{c{ - co)/L. A6.8)
Введем коэффициент проницаемости мембраны (м/с):
Р = DK/L, A6.9)
который зависит от коэффициента диффузии, а также от толщи-
толщины биомембраны и коэффициента распределения вещества меж-
между мембраной и окружающей средой (между липидной и водной
фазами). Под проницаемостью понимают способность мембраны
пропускать сквозь себя определенные вещества.
Окончательно имеем уравнение Фика для диффузии в мем-
мембранах:
J = P(ci-co). A6.10)
Это уравнение Фика определяет плотность потока вещества при
диффузии через мембрану, то есть описывает пассивный транс-
транспорт в мембранах. В уравнении фигурирует измеряемая вели-
величина Р, которая хорошо характеризует способность мембраны
пропускать вещества.
§ 16.5. Перенос заряженных частиц,
электродиффузионное уравнение Нернста—Планка
Рассмотрим перенос ионов. При отсутствии внешнего воз-
воздействия между поверхностями мембраны существует разность
потенциалов, то есть в мембране постоянно есть электрическое
поле. При отсутствии градиента концентрации главная движу-
движущая сила при переносе ионов - это электрическое поле.
На отдельный ион в электрическом поле действует сила /о =
= qE, где Е — напряженность электрического поля, в котором
находится ион, a q = Ze — заряд иона (Z — валентность иона).
218 Лекция 16. Физические процессы в мембранах
Напряженность поля выражается через градиент электрического
потенциала известной формулой: Е = — grad ip = —d(f/dx.
Поэтому можно записать:
/0 = -Ze(d(p/dx). A6.11)
В дальнейшем мы будем рассматривать силу /, действующую
на один моль ионов: / = /оА/д- С учетом A6.11) она определя-
определяется формулой
/ = -ZeNA(dcp/dx) = - Z F (dtp / dx), A6.12)
где А/д — постоянная Авогадро, F = eNA — постоянная Фара-
дея, которая традиционно используется в электрохимии (этим
и объясняется переход от /о к /).
Помимо электрической силы, на ионы действуют различные
силы сопротивления. Поэтому в среднем их движение является
равномерным и характеризуется средней скоростью v. Между
средней скоростью движения ионов и силой, действующей на
один моль, существует прямо пропорциональная зависимость:
v = Umf. A6.13)
Коэффициент пропорциональности Um называется подвижно-
подвижностью ионов.
В общем случае, подвижностью диффундирующей частицы
(молекулы, атома, иона, электрона) Um называется коэффициент
пропорциональности между скоростью v частицы и силой /,
двигающей частицу, в том случае, когда на частицу не действуют
другие силы (например, трение или соударения с другими части-
частицами).
Выражение A6.13) с учетом A6.12) можно переписать в виде
v = -UmZF(d(p/dx). A6.14)
Чтобы найти поток вещества, переносимый ионами через эле-
элемент поверхности S, выделим цилиндрический объем электроли-
электролита, ограниченный двумя такими элементами. Длину цилиндра /
выразим через скорость и время:
I = vt. A6.15)
§ 16.6. Виды транспорта через мембрану 219
Объем цилиндра: V= Sl= Svt
За время t все ионы, находившиеся в цилиндре, пройдут через
левую площадку S. Количество перенесенного при этом веще-
вещества равно произведению концентрации на объем: т = cV =
= cSvt (кг) или v = cSvt (моль). Применив формулу A6.1),
найдем поток Ф:
Ф = cSv. A6.16)
Плотность потока найдем по определению J = Ф/S = cv.
Используя A6.14), получим:
J = -cUmZF(d(p/dx). A6.17)
В общем случае перенос частиц определяется как градиентом их
концентрации, так и воздействием электрического поля:
J = -Ddc/dx - cUmZF(d(p/dx). A6.18)
Это — уравнение Нернста-Планка (электродиффузионное
уравнение). Оно устанавливает зависимость плотности диффу-
диффузионного потока от концентрации ионов и от напряженности
электрического поля.
§ 16.6. Виды транспорта через мембрану
16.6.1. Пассивный транспорт — перенос молекул и ионов че-
через мембрану, который осуществляется в направлении меньшей
их концентрации. Пассивный транспорт не связан с затратой
химической энергии. Он стремится выровнять концентрации ча-
частиц по разные стороны от мембраны, то есть свести к нулю их
градиенты. Если бы в клетках существовал бы только пассив-
пассивный транспорт, то значения физической величины внутри и вне
клетки сравнялись бы, но этого не происходит.
Различают несколько типов пассивного транспорта, рис. 16.4.
220
Лекция 16. Физические процессы в мембранах
т
а б в г
Рис. 16.4. Виды пассивного транспорта: простая диффузия (а), транс-
транспорт через каналы F"), облегченная диффузия (в), эстафетная пере-
передача (г)
Простая диффузия через липидный слой. Она подчиняется
уравнению Фика для молекул или в более общем случае для ней-
нейтральных и заряженных частиц — уравнению Нернста-Планка.
В живой клетке такая диффузия обеспечивает прохождение кис-
кислорода и углекислого газа, ряда лекарственных веществ. Однако
простая диффузия протекает достаточно медленно и не может
снабдить клетку в нужном количестве питательными вещества-
веществами.
Транспорт через каналы (поры). Канал — участок мембраны,
включающий белковые молекулы и липиды, который образует
в мембране проход. Этот проход допускает проникновение через
мембрану молекул воды, крупных ионов. Наличие каналов уве-
увеличивает проницаемость Р. Проницаемость Р зависит от числа
каналов и от их радиуса. Каналы могут проявлять селективность
по отношению к разным ионам, это проявляется в различии
проницаемости для разных ионов.
Облегченная диффузия — перенос ионов специальными мо-
молекулами-переносчиками за счет диффузии переносчика вме-
вместе с веществом. Наиболее подробно это явление изучено для
случая переноса ионов некоторыми антибиотиками, например
валиномицином. Установлено, что валиномицин резко повышает
проницаемость мембраны для ионов К+ благодаря специфике
своей структуры. В нем формируется полость, в которую точ-
точно и прочно вписывается ион К+ (ион Na слишком велик для
отверстия в молекуле валиномицина). Молекула валиномицина,
«захватив» ион К+, образует растворимый в липидах комплекс
§ 16.6. Виды транспорта через мембрану
221
и проходит через мембрану, затем ион К+ остается, а переносчик
уходит обратно.
Эстафетная передача. В этом случае молекулы-переносчики
образуют временную цепочку поперек мембраны и передают
ДРУГ Другу диффундирующую молекулу.
16.6.2. Активный транспорт — перенос молекул и ионов, ко-
который происходит при затрате химической энергии в направле-
направлении от меньших значений величин к большим. При этом ней-
нейтральные молекулы переносятся в область большей концентра-
концентрации, а ионы переносятся против сил, действующих на них со
стороны электрического поля. Таким образом, активным транс-
транспортом осуществляется перенос веществ в направлении, про-
противоположном транспорту, который должен был бы происхо-
происходить под действием градиентов (прежде всего концентрацион-
концентрационного и электрического). Энергия получается за счет гидролиза
молекул особого химического соединения — аденозинтрифосфор-
ной кислоты (АТФ). Экспериментально установлено, что энергии
распада одной молекулы АТФ достаточно для выведения наружу
трех ионов натрия и введения внутрь клетки двух ионов калия.
Одна из схем активного транспорта представлена системой на
рис. 16.5.
Наружная' ~-Ж к+ Л\г J?O? J?^? 77 J? J^7?? J? 1 f J=" J="
Рис. 16.5. Схема активного транспорта (калий—натриевый насос)
Захватив одним активным центром ион калия из наружной
среды, а другим ион натрия — из внутренней, система, потребляя
АТФ, поворачивается внутри мембраны на 180°. Ион натрия
оказывается вне клетки и там отделяется, а ион калия попадает
внутрь и тоже освобождается, после чего молекула белка прини-
принимает исходное положение и все начинается сначала.
222 Лекция 16. Физические процессы в мембранах
За счет активного транспорта клетка поддерживает внутри
себя высокую концентрацию калия и низкую концентрацию на-
натрия. При этом ионы могут перемещаться против градиента их
концентрации (аналогия с газом: это все равно, что перекачивать
газ из сосуда с низким давлением в сосуд с высоким).
Активный транспорт обеспечивает механизм селективной
проницаемости клеточных мембран. Активный транспорт —
важнейшая особенность жизненных процессов.
Лекция 17
БИОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
1. Ионные потоки в мембране.
2. Потенциал покоя. Уравнение Гольдмана-Ходжкина-Катца.
3. Потенциал действия и его распространение.
В живых организмах происходят разнообразные электриче-
электрические процессы. Функционирование живых тканей сопровожда-
сопровождается электрическими явлениями. Генерация и распространение
электрических потенциалов — это важнейшее физическое явле-
явление в живых клетках и тканях.
Биоэлектрический потенциал — это разность по-
потенциалов между двумя точками живой ткани,
определяющая ее биоэлектрическую активность.
Биопотенциал имеет мембранную природу.
§ 17.1. Ионные потоки в мембране
Сквозь мембрану проходят потоки ионов, для которых спра-
справедливо уравнение Нернста-Планка:
J = -D(dc/dx) - cUmZF(d(p/dx).
Подвижность ионов Um можно выразить через коэффициент
диффузии и температуру (формула Эйнштейна): Um = D/(RT),
тогда уравнение принимает вид
J = -D(dc/dx + (cZF/RT)d(p/dx). A7.1)
В первом приближении можно считать, что поле внутри мем-
мембраны однородно. В этом случае dip/dx = cpM/L, где (рм — раз-
разность потенциалов между стенками мембраны, a L — ее толщина.
Теперь уравнение Нернста-Планка будет иметь вид
J = -D[dc/dx + c(ZF(pM/RT)/L]. A7.2)
Введем величину ф, которую называют безразмерным потенци-
потенциалом:
ф = ZFtpJ(RT). A7.3)
224 Лекция 17. Биоэлектрические потенциалы
Тогда уравнение A7.2) будет иметь вид
J = -D(dc/dx + сф/L). A7.4)
Это уравнение решается методом разделения переменных (реше-
(решение не рассматривается).
Решая A7.4) получаем следующее выражение для потока
ионов через мембрану:
J = P^(Ci-coe^)/(e^-l). A7.5)
Уравнение A7.5) устанавливает количественную связь между
плотностью потока какого-либо иона и следующими величинами,
характеризующими мембрану: безразмерный потенциал ф A7.3);
проницаемость мембраны для данного иона Р; концентрации
иона в водной среде по обе стороны мембраны (с\ и со).
Проанализируем частные случаи полученного уравнения.
а) Пусть ф = 0, что означает либо Z = О (нейтральные
частицы, то есть поле есть, а переносить нечего), либо отсутствие
электрического поля в мембране ((рм = О, даже при наличии
ионов ничего переноситься не будет), либо и то и другое. Урав-
Уравнение приобретает вид
J = P(ci-co). A7.6)
При этом вся диффузия будет обусловлена нейтральными моле-
молекулами.
б) Если с\ = со = с — одинаковая концентрация ионов по
разные стороны от мембраны при наличии электрического поля,
то
J = -фРс. A7.7)
Это соответствует электропроводности в электролите.
в) Р = 0, мембрана непроницаема для частиц, плотность
потока равна нулю.
§ 17.2. Потенциал покоя. Уравнение
Гольдмана—Ходжкина—Катца
Внутри клетки поддерживается наиболее благоприятный со-
состав ионов. Концентрация каких-либо определенных ионов раз-
различна по разные стороны мембраны. Это приводит к появлению
разности потенциалов в нормально функционирующей клетке.
§ 17.2. Потенциал покоя. Уравнение Голъдмана-Ходжкина-Катца 225
Потенциал покоя — разность потенциалов между
цитоплазмой и окружающей средой в нормально
функционирующей клетке.
Получим уравнение, позволяющее вычислить потенциал по-
покоя. Через мембрану проходят потоки разных ионов. Основной
вклад в суммарный поток, а следовательно, в создание и поддер-
поддержание потенциала покоя вносят ионы Na+, K+, С1~. Суммарная
плотность потока этих ионов с учетом их знаков равна
В стационарном состоянии (когда параметры системы не изме-
изменяются) суммарная плотность потока равна нулю, то есть число
различных ионов, проходящих в единицу времени через мембра-
мембрану внутрь клетки, равно числу ионов, выходящих из клетки через
мембрану: J = 0.
Для потока различных ионов электрический мембранный по-
потенциал равен
RT , / PK[K+]i + PNa[Na+]i + PCi[Cr]
¦In
F '"V^K[K+]o + PNa[Na+1 ' n r^1 '' A?'9)
Здесь квадратными скобками [ \\ и [ ]o обозначены концентрации
ионов, соответственно, внутри и вне клетки.
Полученное выражение называется уравнением Гольдма-
на-Ходжкина-Катца, оно отражает состояние системы в том
случае, когда через мембрану непрерывно идут встречные
потоки ионов. Мембранный потенциал (потенциал покоя)
зависит от различия концентрации ионов и от проницаемости.
В качестве примера использования уравнения A7.9) рассчи-
рассчитаем потенциал покоя для гигантского аксона кальмара. Значе-
Значения концентраций приведены ниже.
Ион
К+
Na+
с\-
Концентрация (ммоль на 1 кг Н2О)
Внутри (i)
340
49
114
Вне (о)
10,4
463
392
В состоянии покоя при физиологических условиях соотноше-
соотношение коэффициентов проницаемости равно:
Рк : Рт : Pel = 1 = 0,04 : 0,45.
8 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
226 Лекция 17. Биоэлектрические потенциалы
Проницаемость мембраны для ионов калия самая высокая.
Диффузия калия и хлора идет в обе стороны. Натрий идет
через мембрану за счет простой диффузии лишь в одну сторо-
сторону — снаружи вовнутрь. Однако АТФаза интенсивно выводит
ионы натрия из клетки, а калий — в клетку.
Следовательно, основной вклад в потенциал покоя вносят
только ионы К+ и С1~. Согласно уравнению A7.9) при 30° С
имеем:
8,3 • 303 , / 340 + 0,45 • 392
^ = 1П V 10,4 + 0,45- 114
Из уравнения A7.9) можно получить уравнение для равновес-
равновесного состояния. При этом следует пренебречь проницаемостями
всех ионов, кроме ионов одного вида. Тогда имеем уравнение
Нернста:
<рм = -(RT/FZ) ln([c]i/[c]o). A7.10)
Эту разность потенциалов называют равновесным мембранным
потенциалом.
§ 17.3. Потенциал действия и его распространение
Все живые клетки при действии различных раздражителей
переходят в возбужденное состояние. При возбуждении разность
потенциалов между клеткой и окружающей средой изменяется,
появляется электрический импульс, возникает потенциал дей-
действия. Общее изменение разности потенциалов на мембране,
происходящее при возбуждении клеток, определяет потенциал
действия.
Потенциал действия — разность потенциалов
между цитоплазмой и окружающей средой при
возбуждении.
Механизм распространения потенциала действия по нервно-
нервному волокну рассматривается в курсе нормальной физиологии.
В данном курсе рассмотрим некоторые физические аспекты это-
этого процесса, которые иллюстрирует рис. 17.1.
Распространение импульса определяется изменением состоя-
состояния мембраны. В состоянии покоя (рис. 17.1а) в результате ак-
активного транспорта концентрация ионов К+ значительно выше
§ 17.3. Потенциал действия и его распространение
227
в мембране, чем во внешней среде. Для ионов Na+ все наоборот.
При этом на внутренней поверхности мембраны находится отри-
отрицательный заряд (в рассмотренном выше примере для потенци-
потенциала покоя мы получили значение —59,7 мВ). При возбуждении
будет происходить следующее.
Ф, мВ
+ 30, мВ
о
- 60, мВ
Na+ Na+
а) б) в) г)
Рис. 17.1. Возникновение потенциала действия и деполяризация мем-
мембраны
1. В начале увеличивается проницаемость мембраны для
ионов Na+.
Натриевые каналы открываются лишь при возбуждении. Ио-
Ионы Na+ входят в мембрану, в результате чего внутренняя поверх-
поверхность мембраны изменяет свой заряд с « —» на «+», то есть про-
происходит деполяризация мембраны (рис. 17.16). Натриевый канал
открыт малое время @,5-1 мс). В течение этого времени проис-
происходит изменение мембранного потенциала от —60 до +30 мВ.
2. Во время генерации импульса натриевый канал закрыва-
закрывается и открывается калиевый канал. Ионы К+ выходят нару-
наружу, что приводит к восстановлению отрицательного заряда на
внутренней стороне мембраны (рис. 17.1в). Во время импульса
проводимость мембраны увеличивается в 103 раз.
3. Наступает рефрактерный период. Мембрана не воспри-
воспринимает импульс, а возвращается в основное физиологическое
состояние (рис. 17.1г).
17.3.1. Сравнение потенциала покоя и потенциала действия.
При возбуждении мембрана меняет избирательную проницае-
проницаемость: из проницаемой главным образом для К+ мембрана стано-
228
Лекция 17. Биоэлектрические потенциалы
вится проницаемой главным образом для Na+. А так как натрия
снаружи больше, то он стремится внутрь и перезаряжает мем-
мембрану.
В табл. 17.1 приведено сравнение по некоторым факторам
обоих потенциалов.
Таблица 17.1. Сравнение потенциала покоя и потенциала действия
Сравниваемые
параметры
Заряд на
поверхности
мембраны
Концентрация
ионов
Проницаемость
мембраны
Ионные токи
Потенциал покоя
снаружи «+»
внутри « —»
ионов (К+) внутри
больше, снаружи
меньше
мембрана проницаема
для ионов калия (К+)
калиевый и натриевый
токи уравновешивают
друг друга (состояние
устойчивого равновесия)
Потенциал действия
снаружи « —»
внутри «+»
ионов (Na+) снаружи
больше, внутри меньше
мембрана проницаема для
ионов (Na+)
калиевый и натриевый
токи не уравновешивают
друг друга (состояние
неустойчивого равновесия)
17.3.2. Распространение потенциала действия. При деполя-
деполяризации мембраны возникают токи, замыкающиеся через наруж-
наружную проводящую среду. Между возбужденным и невозбужден-
невозбужденным участками нервного волокна потечет электрический ток,
так как у возбужденного участка внутренняя поверхность имеет
положительный заряд, а у невозбужденного — отрицательный
и между ними возникает разность потенциалов. Этот локальный
ток служит раздражителем для невозбужденных участков нерв-
нервного волокна, непосредственно примыкающих к месту деполяри-
деполяризации. В них также возникает возбуждение, то есть потенциал
действия (или деполяризация), и так далее. По поверхности
клетки локальный ток течет от невозбужденного участка к воз-
возбужденному; внутри клетки он течет в обратном направлении.
Локальный ток, как и любой электрический ток, раздражает
соседние невозбужденные участки и вызывает увеличение про-
проницаемости мембраны. Это приводит к возникновению потен-
потенциалов действия в соседних участках. В то же время в ранее
возбужденном участке происходит восстановительные процессы
реполяризации. Вновь возбужденный участок в свою очередь
§ 17.3. Потенциал действия и его распространение
229
становится электроотрицательным и возникающий локальный
ток раздражает следующий за ним участок. Этот процесс много-
многократно повторяется и обусловливает распространение импульсов
возбуждения по всей длине клетки в обоих направлениях
Процесс распространения потенциала действия происходит
гораздо медленнее, чем течет локальный электрический ток.
У позвоночных животных повышение скорости распростра-
распространения возбуждения достигается миелинизацией волокон (мякот-
ные волокна). Волокно покрыто миелиновой оболочкой. Тол-
Толщина оболочки составляет единицы мкм. Миелин — изолятор.
Диффузия ионов через миелиновую оболочку невозможна. По-
Поэтому в волокнах генерация потенциала действия сосредоточена
только там, где миелиновая оболочка отсутствует. Эти места
в мембране называются перехватами Ранвье (или активными уз-
узлами). В области перехвата мембрана контактирует с внеклеточ-
внеклеточным раствором. Длина перехвата составляет 2 мкм. От перехвата
к перехвату (скачкообразно) нервные импульсы передаются че-
через движение локальных токов. На долю перехватов приходится
0,02 % от общей длины нервного волокна.
На рис. 17.2 показана схема распространения возбуждения по
нервному волокну с перехватами Ранвье.
Рис. 17.2. Схема распространения возбуждения по нервному волокну
с перехватами Ранвье
Миелиновая изоляция имеет большое сопротивление — в сот-
сотни раз выше, чем сопротивление мембраны аксона кальмара,
а емкость — в сотни раз меньшую. В результате получается
довольно хороший «кабель», а перехваты с каналами и насосами
играют роль источника тока. Если возбудить один перехват, то
генерируемый им ток почти без потерь достигнет следующего пе-
перехвата. Ток, подошедший к другому перехвату, возбуждает его,
вызывает появление в этом месте потенциала действия, и процесс
распространяется по всему волокну. Такое проведение возбуж-
возбуждения называют «прыгающим». Импульс быстро перепрыгивает
от одного перехвата до другого, затрачивая на распространение
230 Лекция 17. Биоэлектрические потенциалы
между перехватами только несколько сотых долей миллисекун-
миллисекунды E0-70 мкс). Затраты энергии при таком распространении сиг-
сигнала значительно меньше, чем по немиелинизированному волок-
волокну, так как общее количество ионов натрия, проходящих через
мембрану в области перехватов, значительно меньше, чем если
бы они проходили через всю поверхность мембраны.
Нарушение миелиновой оболочки ведет к нарушению распро-
распространения потенциала действия по нервному волокну (тяжелые
нервные заболевания). Особенности распространения биопотен-
биопотенциала безусловно важны во многих направленияю медицинской
реаби л ито л огии.
Скорость распространения возбуждения по гладким немие-
лизированным нервным волокнам пропорциональна квадратно-
квадратному корню из их радиуса, v ~ y/R. Поэтому головоногие моллюс-
моллюски пошли по пути увеличения радиуса нервного волокна, создав
гигантские аксоны.
У беспозвоночных скорость распространения потенциала
действия составляет 20-30 м/с.
Распространение потенциала действия по нервному волокну
называется волной возбуждения. Эта волна не затухает, так как
получает энергию из среды — от заряженной мембраны. Волна
возбуждения является автоволной в активной среде возбудимых
клеток.
Лекция 18
ДИПОЛЬ. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОГРАФИИ
1. Электрический диполь.
2. Диполь во внешнем электрическом поле.
3. Электрическое поле диполя.
4. Диполь в равностороннем треугольнике.
5. Токовый диполь.
6. Физические основы электрографии.
7. Теория отведений Эйнтховена, три стандартных отведения. По-
Поле диполя - сердца, анализ электрокардиограмм.
8. Векторкардиография.
9. Элементы реабилитологии. Физические факторы, определяю-
определяющие ЭКГ.
§ 18.1. Электрический диполь
Электрический диполь — система из двух равных
по абсолютной величине, но противоположных по
знаку точечных электрических зарядов, расстоя-
расстояние / между которыми мало по сравнению с рас-
расстоянием до рассматриваемых точек поля.
Основной характеристикой диполя является векторная вели-
величина, называемая электрическим моментом диполя — р. Век-
Вектор р равен произведению заряда на плечо диполя 1. Плечо
диполя — вектор, который направлен от « —» к «+»:
р = </-1. A8.1)
Вокруг диполя, расположенного в диэлектрике, образуется
электрическое поле, изображенное на рис. 18.1. Штрихом изоб-
изображены эквипотенциальные поверхности, т.е. поверхности, все
точки которых имеют одинаковый потенциал (в плоскости ри-
рисунка эквипотенциальные поверхности изображаются линиями).
Центральная поверхность представляет собой плоскость, прохо-
проходящую перпендикулярно плечу диполя через его середину. Все
232
Лекция 18. Диполь. Физические основы электрографии
ее точки имеют нулевой потенциал (ср = 0). Она делит элек-
электрическое поле диполя на две половины, точки которых имеют
соответственно положительные ((/? > 0) и отрицательные ((/? < 0)
потенциалы.
Ф>0 ф=
ф<0
Силовая линия
Эквипотенциальная
поверхность
Рис. 18.1. Диполь и образуемое им электрическое поле
Величина потенциала возрастает по мере приближения по-
поверхности к одному из полюсов диполя и убывает при прибли-
приближении к центральной поверхности или при удалении на беско-
бесконечность.
Диполь не только сам является источником электрического
поля, но также может определенным образом взаимодействовать
с внешним электрическим полем, созданным другими источни-
источниками.
§ 18.2. Жесткий диполь во внешнем
электрическом поле
18.2.1. Жесткий диполь (р = const) в однородном элек-
электрическом поле. В однородном электрическом поле напряжен-
напряженностью Е на полюса диполя действуют равные по величине
и противоположные по направлению силы (рис. 18.2). Поскольку
сумма таких сил равна нулю, то поступательного движения они
не вызывают. Однако они создают вращательный момент, кото-
который можно записать в скалярной A8.2) или в векторной A8.3)
форме (р — электрический момент диполя, Е — напряженность
внешнего поля):
М = р- Е -sina, A8.2)
М = р х Е. A8.3)
§ 18.2. Жесткий диполь во внешнем электрическом поле
233
Этот момент «стремится» расположить диполь параллельно
линиям поля, то есть перевести его из некоторого положения а)
в положение б).
а)
б)
Рис. 18.2. Диполь в однородном электрическом поле
18.2.2. Диполь в неоднородном электрическом поле. В неод-
неоднородном электрическом поле вращающее действие тоже имеет
место, и диполь ориентируется вдоль соответствующей линии
поля. Однако в этом случае значения сил, действующих на по-
полюса диполя (силы F+ и F~ на рис. 18.3), не одинаковы, и их
сумма не равна нулю. Поэтому возникает результирующая сила,
втягивающая диполь в область более сильного поля.
-F= F+~F = p-dE/dx
ОсьХ
Рис. 18.3. Диполь в неоднородном электрическом поле
Результирующая сила зависит от изменения напряженности
приходящегося на единицу длины диполя. Обозначим Е^ и Е~
модули напряженности поля у положительного и отрицательного
полюсов. Тогда
F+ =
F~ =
F = F+ - F~ = q(E+ - E~) =
= ql(E+ -
- E~)/L
234 Лекция 18. Диполь. Физические основы электрографии
Так как плечо диполя мало, то приближенно можно считать,
что
(Е+ - Е~)/1 = dE/dl, A8.4)
где dE/dl — градиент поля.
Таким образом, на диполь, который ориентирован вдоль си-
силовой линии и имеет момент р, действует сила, втягивающая его
в область поля с большей напряженностью:
F = pdE/d/, или F = grad(p-E). A8.5)
§ 18.3. Электрическое поле диполя
Сам диполь является источником электрического поля, на-
напряженность которого зависит от дипольного момента р, от ди-
диэлектрической проницаемости среды е и геометрических пара-
параметров. Пусть диполь находится в непроводящей бесконечной
среде и некоторая точка А удалена от его центра на расстояние
г ^> I. Обозначим через а угол между вектором р и направ-
направлением на эту точку. Тогда потенциал, создаваемый диполем
в точке Л, определяется следующей формулой (рис. 18.4):
р cos a
V 18'6
/'А
У а ^
Рис. 18.4. Потенциал электрического поля, созданного диполем
§ 18.4. Диполь в равностороннем треугольнике
Если диполь поместить в центр равностороннего треугольни-
треугольника, то он будет равноудален ото всех его вершин (на рис. 18.5
диполь изображен вектором дипольного момента — р).
Можно показать, что в этом случае разность потенциалов
(напряжение) между двумя любыми вершинами прямо пропор-
пропорциональна проекции дипольного момента на соответствующую
сторону (U л в ~ РА в)- Поэтому отношение напряжений между
§ 18.5. Токовый диполь 235
вершинами треугольника равно отношению проекций дипольно-
го момента на соответствующие стороны:
РАС : РЛВ : Рев = Uас : UАВ • UCb- A8.7)
Сопоставляя величины проекций, можно судить о величине са-
самого вектора и его расположении внутри треугольника.
РА
А1
в
с
Рис. 18.5. Диполь в равностороннем треугольнике
§ 18.5. Токовый диполь
В вакууме или в идеальном диэлектрике электрический ди-
диполь может сохраняться сколь угодно долго. Но в проводящей
среде под действием электрического поля диполя возникает дви-
движение свободных зарядов и диполь экранируется (рис. 18.6).
-©- +о+
Рис. 18.6. Экранирование диполя в проводящей среде
Для сохранения «диполя» в проводящей среде можно исполь-
использовать источник тока. Пусть в проводящую среду (например,
в сосуд с раствором электролита) введены два электрода, под-
подключенные к источнику напряжения (рис. 18.7).
Заряды, индуцированные источником на электродах, будут
играть роль полюсов обычного диполя (то есть клеммы «К»
источника напряжения можно представить как диполь). В этом
случае в среде возникнет электрический ток /, который будет
препятствовать эффекту экранирования «диполя». Обозначим
сопротивление среды между электродами через R. Тогда сила
236
Лекция 18. Диполь. Физические основы электрографии
тока определяется законом Ома:
I = g/(R + r). A8.8)
Если сопротивление среды между электродами значительно
меньше, чем внутреннее сопротивление источника г, то / = 8*/г.
Рис. 18.7. Токовый диполь: R — эквивалент сопротивления прово-
проводящей среды, г — внутреннее сопротивление источника, $ — ЭДС
источника; электроды: 1 — исток тока, 2 — сток тока
Для того чтобы сделать картину более наглядной, предста-
представим себе, что в сосуд с электролитом опущены не два электрода,
а обычный элемент питания. Линии электрического тока, воз-
возникшего в сосуде в этом случае, показаны на рис. 18.8.
Рис. 18.8. Токовый диполь и созданные им линии тока
Ток движется в среде от положительного электрода к отри-
отрицательному. Эти электроды называют истоком тока и стоком
тока соответственно.
Двухполюсная система в проводящей среде, состо-
состоящая из истока и стока тока, называется диполъ-
ным электрическим генератором, или токовым
диполем.
Характеристикой токового диполя является величина, называе-
называемая дипольным моментом. Дипольный момент электрического
§ 18.6. Физические основы электрографии 237
генератора определяется формулой
рт = IL, A8.9)
где / — сила тока через генератор, L — расстояние между
истоком и стоком тока.
Между дипольным электрическим генератором и электриче-
электрическим диполем есть аналогия:
- при одинаковой форме электродов линии тока совпадают
с линиями напряженности электростатического поля;
- формулы, характеризующие электрическое поле токового
диполя, очень похожи на формулы электростатического поля
обычного диполя.
Потенциал, создаваемый токовым диполем в точке А, удален-
удаленной от него на расстояние г ^> L, равен
Рт cos a /iQirvt
(Рт = -Л о~. A8.10)
Эта формула аналогична формуле A8.6). Если для электриче-
электрического диполя величина е характеризовала диэлектрические свой-
свойства среды, то для токового диполя величина 7 характеризует
проводящие свойства среды и называется удельной электропро-
электропроводностью G = 1/р, где р — удельное электрическое сопротив-
сопротивление).
Теория токового диполя применяется для модельного объяс-
объяснения возникновения потенциалов, регистрируемых при снятии
электрокардиограмм.
§ 18.6. Физические основы электрографии
Живые ткани являются источником электрических потенци-
потенциалов. Регистрация биопотенциалов тканей и органов называется
электрографией.
Существуют следующие диагностические методы.
ЭКГ — электрокардиография — регистрация биопотенциалов,
возникающих в сердечной мышце при ее возбуждении.
ЭРГ — электроретинография — регистрация биопотенциалов
сетчатки глаза, возникающих в результате воздействия на глаз.
ЭЭГ — электроэнцефалография — регистрация биоэлектриче-
биоэлектрической активности головного мозга.
238 Лекция 18. Диполь. Физические основы электрографии
ЭМГ — электромиография — регистрация биоэлектрической
активности мышц.
Примерная характеристика регистрируемых при этом биопо-
биопотенциалов указана в табл. 18.1.
Таблица 18.1. Характеристики биопотенциалов
Биопотенциалы
ЭКГ
ЭМГ
ээг
Интервал частот, Гц
0,2-120
3-600
1-300
Амплитуда, мкВ
максимальная
1500-2000
1000-1500
200-300
минимальная
100-300
30-40
5-10
При изучении электрограмм решаются 2 задачи:
а) прямая — выяснение механизма возникновения электро-
электрограммы или расчет потенциала в области измерения по задан-
заданным характеристикам электрической модели органа;
б) обратная (диагностическая) — выявление состояния органа
по характеру его электрограммы.
Почти во всех существующих моделях электрическую ак-
активность органов и тканей сводят к действию определенной со-
совокупности токовых электрических генераторов, находящихся
в объемной электропроводящей среде.
Для токовых генераторов выполняется правило суперпози-
суперпозиции электрических полей:
if = (fi + <p2 + • • • + <Рп- A8.11)
Потенциал поля генераторов равен алгебраической сумме потен-
потенциалов полей, создаваемых генераторами.
Дальнейшие конкретные рассмотрения физических вопросов
электрографии показаны на примере электрокардиографии.
§ 18.7. Теория отведений Эйнтховена, три
стандартных отведения. Поле диполя сердца,
анализ электрокардиограмм
Сердце человека — мощная мышца. При синхронном возбуж-
возбуждении множества волокон сердечной мышцы, в среде, окружаю-
окружающей сердце, течет ток, который даже на поверхности тела созда-
создает разности потенциалов порядка нескольких мВ. Эта разность
потенциалов регистрируется при записи электрокардиограммы.
§ 18.7. Теория отведений Эйнтховена
239
Моделировать электрическую активность сердца можно с ис-
использованием дипольного эквивалентного электрического гене-
генератора.
Дипольное представление о сердце лежит в основе теории
отведений Эйнтховена, согласно которой
сердце есть токовый диполь с дипольным момен-
моментом рс, который поворачивается, изменяет свое по-
положение и точку приложения за время сердечного
цикла.
(В биологической литературе часто вместо термина «дипольный
момент сердца» используются термины: «вектор электродвижу-
электродвижущей силы сердца», «электрический вектор сердца»).
По Эйнтховену, сердце располагается в центре равносторон-
равностороннего треугольника, вершинами которого являются: правая ру-
рука — левая рука — левая нога. (Вершины треугольника рав-
равноудалены как друг от друга, так и от центра треугольника.)
Поэтому разности потенциалов, снятые между этими точками,
суть проекции дипольного момента сердца на стороны этого
треугольника. Эти разности потенциалов со времен Эйнтховена
в физиологии принято называть «отведениями».
Таким образом, теория Эйнтховена устанавливает связь меж-
между разностью биопотенциалов сердца и разностями потенциалов,
регистрируемых в соответствующих отведениях.
18.7.1. Три стандартных отведения. На рис. 18.9 представле-
представлены три стандартных отведения.
Правая
рука
Левая
рука
YOL
ill
Левая нога
Рис. 18.9. Схематическое изображение трех стандартных отведений
ЭКГ
240 Лекция 18. Диполь. Физические основы электрографии
Отведение I (правая рука -левая рука), отведение II (пра-
(правая рука-левая нога), отведение III (левая рука-левая нога).
Им соответствуют разности потенциалов f/i, ?/ц, U\\\. Направ-
Направление вектора рс определяет электрическую ось сердца. Линия
электрической оси сердца при пересечении с направлением 1-го
отведения образует угол а, который определяет направление
электрической оси сердца.
Соотношения между разностью потенциалов на сторонах тре-
треугольника (отведениях) могут быть получены в соответствии
с формулой A8.7) как соотношения проекций вектора рс на
стороны треугольника:
U\ : Uu : f/iii = Pel : Pdi • Pdib A8.12)
Так как электрический момент диполя-сердца изменяется со вре-
временем, то в отведениях будут получены временные зависимости
напряжения, которые и называют электрокардиограммами.
18.7.2. Допущения теории Эйнтховена. Электрическое поле
сердца на больших расстояниях от него подобно полю токово-
токового диполя; дипольный момент — интегральный электрический
вектор сердца (суммарный электрический вектор возбужденных
в данный момент клеток).
Все ткани и органы, весь организм — однородная проводящая
среда (с одинаковым удельным сопротивлением).
Электрический вектор сердца изменяется по величине и на-
направлению за время сердечного цикла, однако начало вектора
остается неподвижным.
Точки стандартных отведений образуют равносторонний тре-
треугольник (треугольник Эйнтховена), в центре которого нахо-
находится сердце — токовый диполь. Проекции дипольного момента
сердца — отведения Эйнтховена.
Сердце и конечности находятся в одной и той же фронталь-
фронтальной плоскости.
В 1937-46 гг. появились работы Катца, посвященные кон-
концепциям генеза кардиограмм. В них анализировалось положение
эквипотенциальных линий на теле человека, создаваемых элек-
электрическим полем дипольного эквивалентного электрического ге-
генератора сердца.
§ 18.7. Теория отведений Эйнтховена
241
18.7.3. Поле диполя сердца. В каждый данный момент де-
деятельности сердца его дипольный электрический генератор со-
создает вокруг электрическое поле, которое распространяется по
проводящим тканям тела и создает потенциалы в его различ-
различных точках. Если представить, что основание сердца заряжено
отрицательно (имеет отрицательный потенциал), а верхушка по-
положительно, то распределение эквипотенциальных линий вокруг
сердца при максимальном значении дипольного момента рс будет
таким, как на рис. 18.10.
Рис. 18.10. Распределение эквипотенциальных (прерывистые) линий
на поверхности тела
Потенциалы указаны в некоторых относительных единицах.
Вследствие асимметричного положения сердца в грудной клет-
клетке его электрическое поле распространяется преимущественно
в сторону правой руки и левой ноги и наиболее высокая разность
потенциалов может быть зафиксирована в том случае, если элек-
электроды разместить на правой руке и левой ноге.
В табл. 18.2 приведены значения максимального дипольного
момента сердца в сопоставлении с массой сердца и тела.
Таблица 18.2. Значения дипольного момента рс
Объект
Лягушка
Крыса
Собака
Человек
Лошадь
Масса сердца, г
0,16
1,10
108
300
3060
Масса тела, кг
0,036
0,277
14,2
71,5
419
рс, мА • см
0,005
0,107
1,63
2,32
13,0
242
Лекция 18. Диполь. Физические основы электрографии
18.7.4. Анализ электрокардиограмм. Теоретический анализ
электрокардиограмм сложен. Развитие кардиографии шло в ос-
основном эмпирическим путем. Катц указывал, что расшифровка
электрокардиограмм производится на основе опыта, опирающе-
опирающегося лишь на самое элементарное понимание теории возникнове-
возникновения биопотенциалов.
Данные ЭКГ обычно дополняют клиническую картину забо-
заболевания.
На рис. 18.11 представлена нормальная электрокардиограм-
электрокардиограмма человека (обозначения зубцов были даны Эйнтховеном
и представляют взятые подряд буквы латинского алфавита).
8 10
20 у, Гц
Рис. 18.11. Электрокардиограмма здорового человека (а) и ее
спектр (б), р — деполяризация предсердия, QRS — деполяризация
желудочков, Т - реполяризация; частота пульса 60 ударов в минуту
(период сокращения — 1 с)
Она представляет собой зависимость от времени разности
потенциалов, снимаемой двумя электродами соответствующего
отведения за цикл работы сердца. Горизонтальная ось является
не только осью времени, но и осью нулевого потенциала. ЭКГ
представляет собой кривую, состоящую из трех характерных зуб-
зубцов, обозначениями Р, QSR, Т, разделенных интервалом нулево-
нулевого потенциала. Высоты зубцов в различных отведениях обуслов-
обусловлены направлением электрической оси сердца, то есть углом а
(рис. 18.9). Электрокардиограмма, записанная при норме в стан-
стандартных отведениях, характеризуется тем, что ее зубцы в разных
отведениях будут неодинаковы по амплитуде, рис. 18.12.
Зубцы ЭКГ будут наиболее высокими во II отведении и наи-
наиболее низкими в III отведении (при нормальном положении элек-
электрической оси).
Сопоставляя кривые, зарегистрированные в трех отведениях,
можно судить о характере изменения рс за цикл работы сердца,
§ 18.8. Векторкардиография
243
на основании чего и составляется представление о состоянии
нервно-мышечного аппарата сердца.
Для анализа ЭКГ используют также ее гармонический
спектр (рис. 18.11, б).
III
Рис. 18.12. Нормальная ЭКГ в трех стандартных отведениях
§ 18.8. Векторкардиография
Обычные электрокардиограммы являются одномерными.
В 1957 г. немецкий врач физиолог Шмитт разработал метод
объемных кривых (векторкардиография).
Напряжение от двух взаимно перпендикулярных отведений
подают на взаимно перпендикулярные пластины осциллографа.
При этом на экране получаются изображение, состоящее из двух
петель — большой и малой. Малая петля заключена в большой
и сдвинута к одному из полюсов.
Вторая аналогичная картина может быть получена на втором
осциллографе, где одно из двух уже использованных отведений
244 Лекция 18. Диполь. Физические основы электрографии
сопоставляется с третьим. Картины на обоих осциллографах
можно рассматривать через стереоскопическую систему линз
или фотографировать одновременно, чтобы в дальнейшем по-
построить пространственную (трехмерную) модель.
Для расшифровки электрокардиограмм нужен большой
опыт. С появлением ЭВМ стало возможным автоматизировать
процесс «чтения» кривых. ЭВМ сравнивает кривую данного
больного с образцами, хранящимися в ее памяти, и выдает
врачу предположительный диагноз.
Иной подход используется при проведении электрокардиото-
пографического исследования. При этом на грудную клетку на-
накладывают около 200 электродов, строят картину электрическо-
электрического поля по 200 кривым, которые анализируются одновременно.
§ 18.9. Элементы реабилитологии. Физические
факторы, определяющие особенности ЭКГ
Для точной реабилитационной диагностики работы сердца
важно знать от чего зависит ЭКГ у разных здоровых людей.
ЭКГ у разных людей и даже у одного и того же человека харак-
характеризуется большой вариабельностью. Это зависит от индиви-
индивидуальных анатомических особенностей проводниковой системы
сердца, от различий в соотношении мышечных масс анатомиче-
анатомических фрагментов сердца, от электропроводности окружающих
сердце тканей, от индивидуальной реакции нервной системы на
воздействие внешних и внутренних факторов.
18.9.1. Физические факторы, определяющие особенности
ЭКГ. Факторы, определяющие особенности ЭКГ у отдельного
человека следующие:
1) положение сердца в грудной клетке,
2) положение тела,
3) дыхание,
5) действие физических раздражителей, в первую очередь
физических нагрузок.
Положение сердца в грудной клетке. Оно может оказывать
существенное влияние на форму ЭКГ. При этом надо знать, что
направление электрической оси сердца совпадает с анатомиче-
анатомической осью сердца. Если угол а имеет значение:
§ 18.9. Элементы реабилитологии 245
а) в пределах от 40° до 70°, то такое положение электри-
электрической оси сердца считается нормальным; в этих случаях ЭКГ
будет иметь обычные соотношения зубцов в I, II, III стандартных
отведениях;
б) близкое к 0°, то есть электрическая ось сердца параллельна
линии первого отведения, то такое положение электрической оси
сердца обозначается как горизонтальное, и ЭКГ характеризуется
высокими амплитудами зубцов в I отведении;
в) близкое к 90°, то положение обозначается как вертикаль-
вертикальное; зубцы ЭКГ будут наименьшими в I отведении.
В основном положение анатомической и электрической осей
сердца совпадают. Но в отдельных случаях может быть расхож-
расхождение: рентгенограмма свидетельствует о нормальном положе-
положении сердца, а ЭКГ показывает отклонение электрической оси
в ту или другую стороны. Такие расхождения имеют важное ди-
диагностическое значение (клинически это означает одностороннее
поражение миокарда).
Изменение положения тела всегда вызывает некоторые из-
изменения положения сердца в грудной клетке. Это сопровожда-
сопровождается изменением электропроводности окружающих сердце сред.
ЭКГ у человека с вертикальным положением сердца будет от-
отличаться от нормальной. Если ЭКГ не изменяет своей формы
при перемещении тела, то этот факт тоже имеет диагностиче-
диагностическое значение; характеристики зубцов изменяются при любом
отклонении электрической оси.
Дыхание. Амплитуда и направленность зубцов ЭКГ изменя-
изменяются при любом отклонении электрической оси, меняясь при
вдохе и выдохе. При вдохе электрическая ось сердца отклоняется
примерно на 15°, при глубоком вдохе это отклонение может
достигнуть 30°. Нарушения или изменения дыхания (при тре-
тренировках, при реабилитационных упражнениях и гимнастике)
могут быть диагностированы по изменению ЭКГ.
Физическая нагрузка. В медицинской реабилитологии роль
физических нагрузок чрезвычайно велика. Физическая нагрузка
всегда вызывает существенное изменение в ЭКГ. У здоровых
людей эти изменения состоят главным образом в учащении рит-
ритма, форма зубцов тоже изменяется в определенной закономер-
закономерности. При функциональных пробах с физической нагрузкой
могут иметь место такие изменения, которые явно указывают
246 Лекция 18. Диполь. Физические основы электрографии
на патологические изменения в работе сердца (тахикардия, экс-
трасистолия, мерцательная аритмия и т.д.).
Искажения при записи ЭКГ. При записи ЭКГ всегда нужно
иметь в виду, что существуют причины, которые могут исказить
ее форму: неисправности в усилителе электрокардиографа, пе-
переменный ток городской сети может наводить ЭДС вследствие
электромагнитной индукции в рядом расположенных усилитель-
усилительных цепях и даже биологических объектах, нестабильность блока
питания и т. д. Расшифровка искаженной ЭКГ приводит к поста-
постановке неправильного диагноза.
Диагностическая значимость метода электрокариографии
несомненно велика. Этот метод совместно с другими методами
оценки деятельности сердца (методы регистрации механических
колебаний сердца, рентгеновский метод) позволяет получать
важную клиническую информацию о работе сердца.
Лекция 19
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
1. Свободные электромагнитные колебания.
2. Апериодический разряд конденсатора. Постоянная времени. За-
Зарядка конденсатора.
3. Электрический импульс и импульсный ток.
4. Элементы реабилитологии. Импульсная электротерапия.
§ 19.1. Свободные электромагнитные колебания
Электромагнитные (электрические) колеба-
колебания — это периодические изменения различных
электрических и магнитных характеристик: токов,
напряжений, напряженности электрического поля
и др.
Свободные электромагнитные колебания совершаются без
внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энер-
энергии.
Электромагнитные колебания можно создать в колебатель-
колебательном контуре, который представляет собой соединение конденса-
конденсатора (С) и катушки индуктивности (L).
19.1.1. Незатухающие колебания. Рассмотрим идеальный ко-
колебательный контур, который не обладает активным сопротив-
сопротивлением.
Если зарядить конденсатор такого колебательного контура
(рис. 19.1) от источника <J, установив ключ К в положение «1»,
а затем ключ К перевести в положение «2», то конденсатор
начнет разряжаться через катушку.
1К2
Рис. 19.1. Цепь идеального колебательного контура
248
Лекция 19. Электромагнитные колебания
При этом в контуре возникает ЭДС самоиндукции Щ = —
— Ldl/dt, которая будет равна напряжению на обкладках кон-
конденсатора U = q/C, то есть
-Ldi - §• A9Л»
где / — ток в цепи контура, q — заряд на обкладках конденсато-
конденсатора.
Учитывая, что / = dq/dt, получаем: —L(d2q/dt2) = q/C,
или
d 9 ¦ -.2.
A9.2)
где
и2 = 1/(LC). A9.3)
Решение уравнения A9.2) по аналогии с механическими колеба-
колебаниями приводит к гармоническому закону:
q = <7max COs(u0t + ?>о), A9.4)
где ^max — начальный (максимальный) заряд на обкладках кон-
конденсатора, с^о — собственная круговая частота колебаний в кон-
контуре, сро — начальная фаза.
По гармоническому закону изменяются также напряжение
(U = q/C) и сила тока (/ = dq/dt) в контуре (рис. 19.2):
U = f/щах COS^ot + <?>0), A9.5)
[/max = <7max/C,
I = "/max Sm(cUOt + <?0), A9.6)
/max = gmax^O-
U П
Рис. 19.2. Зависимость заряда, напряжения и тока от времени в иде-
идеальном колебательном контуре (незатухающие колебания)
Период собственных колебаний равен (формула Томсона):
A9.7)
Т = — =
§ 19.1. Свободные электромагнитные колебания 249
Энергия электрического поля конденсатора W3Jl и энергия
магнитного поля катушки WM периодически изменяются со вре-
временем:
W3J1 = (CC/Lx/2) cos2 (wot + <po), A9.8)
WM = (L/Lx/2) sm2(u0t + <p0). A9.9)
В идеальном контуре не происходит выделения теплоты. По-
Поэтому суммарная энергия электрического и магнитного полей
сохраняется, и колебания являются незатухающими.
19.1.2. Затухающие колебания. Реальный колебательный
контур обладает активным сопротивлением (в цепь включен
резистор /?, рис. 19.3), поэтому колебания в нем затухают.
К,
Рис. 19.3. Цепь реального колебательного контура
Возникающая в контуре ЭДС самоиндукции равна напряже-
напряжению на сопротивлении и обкладках конденсатора:
-L(dl/dt) = IR + q/C. A9.10)
Преобразовав это равенство,
d2q/dt2 + (R/L)dq/dt + (l/LC)q = 0, A9.11)
и сделав замену
2/5 = R/L, ш1 = 1/(LC), A9.12)
получим дифференциальное уравнение:
d2q/dt2 + 2f3(dq/dt) + u^q = 0. A9.13)
Это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением
механических колебаний. Его решение зависит от соотношения
между параметрами:
250 Лекция 19. Электромагнитные колебания
Если cuq > /3, то уравнение A9.13) описывает затухающие коле-
колебания (рис. 19.4):
(-/3t) cos(ut + <p0), A9.14)
где и = л
Я.
Рис. 19.4. Зависимость заряда от времени в реальном колебательном
контуре (затухающие колебания)
Амплитуда колебаний А = gmaxexp(—/3t) уменьшается с те-
течением времени по экспоненциальному закону. Характеристикой
затухания является логарифмический декремент затухания X =
^//
Следует отметить, что полученное решение подобно решению
для механических затухающих колебаний (лекция 6) с вязким
трением. Это дает основание представлять движение зарядов
в проводниках подобно движению жидкости по трубам
Если с^о < /3, то колебаний не возникает, и конденсатор
просто разряжается. Такой разряд называется апериодическим.
§ 19.2. Апериодический разряд конденсатора.
Постоянная времени. Зарядка конденсатора
Апериодические процессы возникают и в более простых слу-
случаях. Если, например, заряженный конденсатор соединить с ре-
резистором (рис. 19.5) или незаряженный конденсатор подключить
к источнику постоянного напряжения (рис. 19.6), то после замы-
замыкания ключей колебания не возникнут.
Разрядка конденсатора с начальным зарядом между пласти-
пластинами gmax происходит по экспоненциальному закону:
Ч = gmaXexp(-t/r), A9.15)
где т = RC называется постоянной времени.
j19.3. Электрический импульс и импульсный ток
251
1К2
J?
Рис. 19.5. Разряд конденсатора через резистор
По такому же закону изменяется и напряжение на обкладках
конденсатора:
U = Umaxexp{-t/r). A9.16)
Изменение напряжения при зарядке конденсатора от источ-
источника с э.д.с. Е и внутренним сопротивлением г показано на
рис. 19.6.
1К2
(9 ~™^
^г с
Рис. 19.6. Зарядка конденсатора от источника постоянного тока
Напряжение на обкладках конденсатора нарастает по закону:
U = ?[1-ехр(-*/т)], A9.17)
где г = г С также называется постоянной времени.
§ 19.3. Электрический импульс и импульсный ток
Электрический импульс — кратковременное из-
изменение электрического напряжения или силы то-
тока на фоне некоторого постоянного значения.
Импульсы подразделяются на две группы:
Видеоимпульсы — электрические импульсы постоянного тока
или напряжения.
Радиоимпульсы — модулированные электромагнитные коле-
колебания.
Видеоимпульсы различной формы (а) и пример радиоим-
радиоимпульса (б) показаны на рис. 19.7.
252
Лекция 19. Электромагнитные колебания
В физиологии термином «электрический импульс» обознача-
обозначают именно видеоимпульсы, характеристики которых имеют важ-
важное экспериментальное значение. Для уменьшения возможной
погрешности при измерениях условились выделять моменты вре-
времени, при которых параметры имеют значение 0,1?/тах и 0,9?/тах
@,l/max и 0,9/max). Через эти моменты времени выражают ха-
характеристики импульсов.
П /1 П к А
Видеоимпульсы Радиоимпульс
Рис. 19.7. Электрические импульсы
Импульсный ток — повторяющиеся импульсы.
Характеристики импульса и импульсного тока указаны на
рис. 19.8.
0,9 К.
од иш
Рис. 19.8. Характеристики импульса (а) и импульсного тока (б)
На рис. 19.8 указаны:
?Апах — максимальное значение напряжения (тока) импульса;
Тф — длительность фронта импульса;
Тер — длительность среза (заднего фронта) импульса;
ти — длительность импульса;
Т — период импульсного тока.
Кроме характеристик, указанных на чертеже, используются
следующие понятия.
К рис. (а): крутизна фронта, равная отношению 0,8?/тах/тф;
к рис. (б): скважность следования импульсов Q = Т/тИ;
§ 19.4. Элементы реабилитологии. Импульсная электротерапия 253
коэффициент заполнения К = 1/Q;
частота повторения импульсов (величина, обратная перио-
ду) v = 1/Т.
§ 19.4. Элементы реабилитологии. Импульсная
электротерапия
Прямоугольные импульсы используются в следующих мето-
методах.
Электросонтерапия — метод лечебного воздействия на
структуры головного мозга. Для этой процедуры применяют
прямоугольные импульсы с частотой 5-160 имп/с и длительно-
длительностью 0,2-0,5 мс. Сила импульсного тока составляет 1-8 мА.
Транскраниальная электроанальгезия — метод лечебного воз-
воздействия на кожные покровы головы импульсными токами, вы-
вызывающими обезболивание или снижение интенсивности боле-
болевых ощущений. Для этого метода используются следующие ре-
режимы воздействия (рис. 19.9):
JLJUUUU
JLJL
jULJLJL
в
1
Рис. 19.9. Основные виды импульсных токов, используемых при транс-
транскраниальной электроанальгезии
а) прямоугольные импульсы напряжением до 10 В, частотой
60-100 имп/с, длительностью 3,5-4 мс, следующие пучками по
20-50 импульсов;
б), в) прямоугольные импульсы постоянной и переменной
скважности продолжительностью 0,15-0,5 мс, напряжением до
20 В, следующие с частотой 150-2000 имп/с. Сила импульсного
тока при этом не превышает 1 мА.
254
Лекция 19. Электромагнитные колебания
Выбор параметров (частоты, длительности, скважности, ам-
амплитуды) осуществляется индивидуально для каждого больного.
Полусинусоидальные импульсы используются в диадинамоте-
рапии. Основные виды таких токов представлены на рис. 19.10:
IAAAAA
1,5 с
1,5 с
У
3 с
1,5 с 1,5 с
Зс
Рис. 19.10. Основные виды диадинамических токов
а) однополупериодный непрерывный с частотой 50 Гц;
б) двухполупериодный непрерывный с частотой 100 Гц;
в) однополупериодный ритмический — это прерывистый од-
однополупериодный ток, посылки которого чередуются с паузами
равной длительности A—1,5 с);
г) модулированный разными по длительности периодами.
Токи Бернара представляют собой диадинамические токи —
импульсы с задним фронтом, имеющим форму экспоненты, ча-
частота этих токов 50-100 Гц. Возбудимые ткани организма быстро
адаптируются к таким токам.
Электростимуляция — метод лечебного применения
импульсных токов для восстановления деятельности органов
и тканей, утративших нормальную функцию. Основные виды
импульсных токов, используемых в этом методе показан на
рис. 19.11:
Рис. 19.11. Основные виды импульсных токов, используемых для элек-
электростимуляции
§ 19.4. Элементы реабилитологии. Импульсная электротерапия 255
а) постоянный ток с прерыванием,
б) импульсный ток прямоугольной формы,
в) импульсный ток экспоненциальной формы,
г) импульсный ток треугольной остроконечной формы.
Электропунктура — лечебное воздействие импульсных и пе-
переменных токов на биологически активные точки (БAT). По
современным представле-
представлениям такие точки являют-
являются морфо-функционально
обособленными участками
тканей, расположенными
в подкожной жировой
клетчатке. Они имеют
повышенную электро-
проводность по отноше-
нию к окружающим их
участкам кожи. На этом
Нейтральный
электрод Г Электрод-щуп
Рис. 19.12. Прибор для электропунк-
туры
свойстве созданы приборы для поиска БАТ и воздействия на
них, рис. 19.12.
Рабочее напряжение измерительных приборов не превышает
2 В. Измерения проводятся следующим образом: нейтральный
электрод пациент держит в руке, а оператор прикладывает
к исследуемой БАТ измерительный
электрод-щуп малой площади (точеч-
(точечные электроды).
Экспериментально показано, сила
тока, протекающего в измерительной
цепи, зависит от давления электрода-
щупа на поверхность кожи, рис. 19.13.
Поэтому всегда имеется разброс
в измеряемой величине. Кроме того,
упругость, толщина, влажность кожи
в различных участках тела и у различ-
различных людей разная, поэтому нельзя ввести единую норму. Следу-
Следует особо отметить, что механизмы электрического раздражения
БАТ нуждаются в строгом научном обосновании. Необходимо
корректное сравнение с концепциями нейрофизиологии.
Рис. 19.13. Зависимость
силы тока от давления
щупа на кожу
Лекция 20
ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
1. Переменный ток и переменное напряжение.
2. Протекание переменного тока по резистору. Сопротивление ре-
резистора, действующие значения тока и напряжения.
3. Конденсатор в цепи переменного тока, емкостное сопротивление
4. Протекание переменного тока по идеальной катушке индуктив-
индуктивности, индуктивное сопротивление.
5. Протекание переменного тока по RLC-цепочке, импеданс.
6. Импеданс тканей организма. Эквивалентная электрическая схе-
схема тканей. Реография.
§ 20.1. Переменный ток и переменное напряжение
В широком смысле «переменным» называют любой ток, ко-
который изменяется с течением времени по величине и направле-
направлению. В технике переменным называют ток, который изменяется
со временем по гармоническому закону. Такой ток мы и будем
рассматривать:
B0.1)
Переменный ток представляет собой вынужденные электромаг-
электромагнитные колебания, которые возникают при подключении какого
либо прибора в сеть переменного напряжения:
U = Umaxcos(u>t). B0.2)
Обычно начало отсчета времени выбирают так, чтобы для
напряжения электрической сети начальная фаза равнялась ну-
нулю. Поэтому в формуле B0.2) нет слагаемого (р$.
Как указано выше, при включении в сеть B0.2) какого-либо
прибора в цепи возникает переменный ток B0.1). Его максималь-
максимальное значение /тах и начальная фаза (р$ зависят от свойств эле-
элементов, входящих в электрическую схему прибора. Рассмотрим
протекание переменного тока по таким элементам.
§ 20.2. Протекание переменного тока по резистору 257
§ 20.2. Протекание переменного тока по резистору.
Сопротивление резистора, действующие значения
тока и напряжения
Резистором называется проводник, в котором при
протекании переменного тока не возникает элек-
электродвижущая сила.
При протекании переменного тока через резистор выполняет-
выполняется закон Ома для участка цепи. Поэтому отношение напряжения
к силе тока остается постоянным и называется сопротивлением
резистора (R):
U{t)/I(t) = R. B0.3)
Таким образом, сопротивление резистора не зависит от частоты
тока и совпадает с его сопротивлением в сети постоянного тока.
Из формул B0.2) и B0.3) вытекает формула, выражающая
закон изменения переменного тока, текущего через резистор:
/ = /maxCOsM), /max = Umax/R. B0.4)
При протекании по резистору сила тока изменяет-
изменяется в одинаковой фазе с приложенным напряжени-
напряжением.
Для цепи переменного тока сопротивлением участка цепи при-
принято называть отношение амплитуды напряжения к амплитуде
силы тока.
Сопротивление резистора в сети переменного то-
тока равно отношению амплитудного значения пере-
переменного напряжения на резисторе к амплитудному
значению силы тока в нем:
R = Ушах я//тах. B0.5)
Цепь с резистором R и соответствующая ей векторная диаграм-
диаграмма представлены на рис. 20.1.
R
UmaiL Лпах Ось ТОКОВ
и
Рис. 20.1. Цепь переменного тока с резистором и ее векторная диа-
диаграмма
9 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
258 Лекция 20. Переменный ток
Поскольку ток и напряжение изменяются в одинаковой фазе,
вектора ?/тах и /тах отложены по одной прямой в одном направ-
направлении.
В принципе, любому переменному току сопутствует элек-
электромагнитное излучение. Однако для частот переменного тока,
используемых в промышленности, интенсивность такого излу-
излучения ничтожно мала и потерями энергии на электромагнит-
электромагнитное излучение пренебрегают. Поэтому работа переменного тока
протекающего через резистор полностью превращается в его
внутреннюю энергию. В связи с этим, сопротивление резистора
называют активным.
Расчеты показывают, что средняя мощность выделяемая
в резисторе при протекании переменного (гармонического) тока
вычисляется по формулам
Р = I2maxR/2 = U2maJBR).
Если ввести обозначения
/д = W/V2, ид = Umax/V2, B0.6)
то формулы для мощности переменного тока примут такой же
вид, как и для постоянного тока:
Р = /2д = t/2/я. B0.7)
Значения переменного тока и напряжения, определяемые
формулой B0.6), называется действующими. Существует дого-
договоренность о том, что по умолчанию для цепи переменного тока
указывают именно действующие значения. Например, напряже-
напряжение в бытовой сети переменного тока равно 220 В. Указанное
значение 220 В является действующим значением напряжения.
§ 20.3. Конденсатор в цепи переменного тока,
емкостное сопротивление
Включим в цепь переменного напряжения B0.2) конденса-
конденсатор емкостью С. Вместе с изменением напряжения будет менять-
меняться заряд конденсатора, а в подводящих проводах возникнет ток.
Тогда заряд конденсатора связан с текущим напряжением в цепи
соотношением
q = CU = CUmaxcos(ut). B0.8)
§ 20.4. Протекание переменного тока 259
Учитывая, что / = dq/dt, получим
/ = — CUm3>xcusm(ujt).
Используя формулы тригонометрии, найдем
/ = /maxCos(o;t + 7r/2), B0.9)
где
Эта формула показывает, что
ток в цепи с конденсатором опереэюает напряже-
напряжение по фазе на тг/2.
Иногда удобнее говорить, что напряжение отстает по фазе
от тока на тг/2.
Цепь с конденсатором характеризуется емкостным сопро-
сопротивлением.
Емкостное сопротивление равно отношению ам-
амплитудного значения переменного напряжения на
пластинах конденсатора к амплитудному значе-
значению силы тока в цепи:
ХС = t/max с/Лпах = l/(Cu>). B0.10)
Цепь с конденсатором С и соответствующая ей векторная диа-
диаграмма представлены на рис. 20.2.
С I
1 1 -'max
~S Ось токов
U Цтах
Рис. 20.2. Цепь переменного тока с конденсатором и ее векторная
диаграмма
Поскольку напряжение отстает по фазе от тока на тг/2,
вектор /Утах повернут относительно оси токов по часовой стрелке
(в математике это направление считают отрицательным).
§ 20.4. Протекание переменного тока по идеальной
катушке индуктивности, индуктивное
сопротивление
Включим в цепь переменного напряжения B0.2) катушку
с индуктивностью L, активным сопротивлением которой можно
260 Лекция 20. Переменный ток
пренебречь. Такую катушку называют идеальной. Вследствие
явления самоиндукции в ней возникнет ЭДС, препятствующая
изменению тока в цепи.
Поскольку активным сопротивлением катушки мы пренебре-
пренебрегаем, ЭДС и напряжение одинаковы: & = U. Используя закон
электромагнитной индукции, получаем дифференциальное урав-
уравнение для тока в цепи:
— Ldl/dt = t/maxcos(cj?).
Интегрируя это уравнение, получаем:
-Ы = -(Umax/(j) Sm(cut) = -(?/max/w) COs(t^ - 7г/2).
Таким образом, сила тока в катушке изменяется по следующему
закону:
/ = /maxCos(o;t-7r/2), B0.11)
где
Это соотношение показывает, что
сила тока в идеальной катушке индуктивности
отстает по фазе от приложенного напряжения
на тг/2.
Иногда удобнее говорить, что напряжение опережает по фазе
ток на тг/2.
Цепь с катушкой характеризуется индуктивным сопротивле-
сопротивлением.
Индуктивное сопротивление равно отношению
амплитудного значения переменного напряжения
на катушке индуктивности к амплитудному зна-
значению силы тока в ней:
ХЬ = f/max L//max = Lw. B0.12)
Цепь с катушкой L и соответствующая ей векторная диаграмма
представлены на рис. 20.3.
Поскольку напряжение опережает по фазе ток на тг/2, то
вектор f/max повернут относительно оси токов против часовой
стрелки (в математике это направление считают положитель-
положительным).
§ 20.5. Протекание переменного тока по RLC'-цепочке 261
При протекании переменного тока по конденсатору и идеаль-
идеальной катушке индуктивности не происходит потерь энергии. Эти
элементы половину периода забирают энергию из сети и преоб-
преобразуют ее в энергию электрического и магнитного поля. Вторую
половину периода энергия поля возвращается в сеть, поддер-
поддерживая ток. В связи с отсутствием потерь энергии, емкостное
и индуктивное сопротивления называют реактивными и вместо
обозначения R используют обозначение X.
U /щах ОСЬ ТОКОВ
Рис. 20.3. Цепь переменного тока с катушкой и ее векторная диаграмма
§ 20.5. Протекание переменного тока по
RLC-цепочке, импеданс. Резонанс напряжений
Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединен-
соединенных резистора /?, катушки индуктивности L и конденсатора С.
Если на нее подать переменное напряжение B0.2), то ток в цепи
будет изменяться по закону
/ = /maxCos(o;t-^), B0.13)
где (р — разность фаз напряжения и силы тока.
Такая цепь имеет как активное, так и реактивное сопротив-
сопротивления. Поэтому ее сопротивление называют импедансом и обо-
обозначают Z.
Импеданс равен отношению амплитудного значе-
значения переменного напряжения на концах цепи к ам-
амплитудному значению силы тока в ней:
Z = [/max//max. B0.14)
RLC-цепь и соответствующая ей векторная диаграмма пред-
представлены на рис. 20.4.
Элементы (Я, L, С) полной цепи переменного тока на
рис. 20.4 соединены последовательно. Поэтому по ним про-
протекает одинаковый ток, а напряжение U(t) = f/maxcos(cjt)
262
Лекция 20. Переменный ток
складывается из напряжений на отдельных участках цепи:
U(t) = UR(t) + Uc(t) + UL(t). B0.15)
Для сложения напряжений используется следующий графи-
графический прием. На векторной диаграмме откладываются как век-
векторы все 3 амплитуды напряжений (f/max я, t^max С, t^max l).
При этом направления векторов согласуются с рис. 20.1, 20.2,
20.3. Тогда сумма этих векторов дает вектор напряжения в цепи.
Величина и направление вектора ?/тах дают амплитуду напря-
напряжения в сети и фазовый угол (р между током и напряжением.
R
-^maxl/
иТ
max С'
ОСЬ ТОКОВ
Рис. 20.4. RLC-цепъ в сети переменного тока и соответствующая ей
векторная диаграмма
На основании рис. 20.4 по теореме Пифагора имеем
"max = ^
max Я
+
L ~ C/max с)'-
B0.16)
Подставляя в B0.16) выражения этих амплитуд из B0.7), B0.10),
B0.12) и учитывая закон Ома, находим:
)]2. B0.17)
Из B0.17) получаем выражение для определения импеданса:
B0.18)
Z = V& + (Хь
Из рис.20 46 найдем значение разности фаз ср:
t (U L - Umax C)/Umax r = (Xl- Xc)/R. B0.19)
20.5.1. Резонанс напряжений. Если величины L, С, и и по-
подобраны таким образом, что Xq = ^l5 TO полное сопротив-
сопротивление Z (формула 20.18) имеет минимально возможное значе-
значение, равное R (Z = R). При этом сила тока и приложенное
напряжение изменяются в одной фазе ((р = 0) так, как будто
в цепи имеется только активное сопротивление; напряжения на
катушке индуктивности и конденсаторе одинаковы по ампли-
амплитуде, но противоположны по фазе. В этом случае амплитуда
§ 20.6. Импеданс тканей организма
263
силы тока максимальна. Данное явление называется резонансом
напряжений. Так как f/max ь = Umaxc, то Ьирез = 1/Сирез.
Следовательно, резонансная частота равна
¦фез
B0.20)
§ 20.6. Импеданс тканей организма. Эквивалентная
электрическая схема тканей. Дисперсия импеданса.
Реография
20.6.1. Импеданс тканей организма. По своим электрическим
свойствам ткани организма представляют собой разнородную
среду. Органические вещества (белки, жиры, углеводы) являют-
являются диэлектриками. В состав тканевых жидкостей входят элек-
электролиты.
Ткани состоят из клеток, важной частью которых являются
мембраны. Двойной фосфолипидный слой мембраны обладает
емкостным сопротивлением, т. е. она подобна конденсатору.
В организме нет таких систем, которые были бы подобны
катушкам индуктивности, поэтому индуктивность его тканей
близка к нулю.
Таким образом, импеданс тканей определяется только актив-
активным и емкостным сопротивлениями. Наличие в биологических
системах емкостных элементов подтверждается тем, что сила
тока опережает по фазе приложенное напряжение. Ниже приве-
приведены значения углов сдвига фаз, полученные при частоте 1 кГц
для разных биологических объектов.
Биологический объект
Кожа человека, лягушки
Нерв лягушки
Мышцы кролика
Десна
Эмаль зуба
Угол сдвига фаз (р, град
55
64
65
42
25
20.6.2. Эквивалентная электрическая схема тканей. Актив-
Активные и емкостные свойства биологических тканей можно предста-
представить электрической схемой, приведенной на рис. 20.5. Она состо-
состоит из резисторов, которые обладают активным сопротивлением,
и конденсатора, обладающего емкостным сопротивлением.
264
Лекция 20. Переменный ток
С
Z
R2
R
-1 - живая ткань
\
2 - мертвая ткань
In (у)
Рис. 20.5. Эквивалентная электрическая схема ткани и частотная за-
зависимость ее импеданса
Кривая 1 описывает зависимость сопротивления от частоты
согласно эквивалентной схеме для живой ткани. Частотная зави-
зависимость (дисперсия) импеданса такой системы наиболее близка
к частотной зависимости импеданса биологической ткани, ко-
которая имеет место в реальных экспериментах. В этой эквива-
эквивалентной схеме электроемкость и диэлектрическая проницаемость
остаются постоянными.
Кривая 2 соответствует мертвой ткани. В мертвой ткани
разрушены мембраны, и она не обладает емкостным сопротивле-
сопротивлением, поэтому нет частотной зависимости импеданса. Величину
сопротивления схемы для этого случая можно найти по пра-
правилу параллельного соединения сопротивлений (учитывая, что
Хс = 0):
R = R1R2/(R1 + R2). B0.21)
20.6.3. Дисперсия импеданса. В реальных биологических
тканях имеются отличия в частотной зависимости импеданса по
сравнению с рис. 20.56.
На рис. 20.6 представлена
частотная зависимость импе-
импеданса мышечной ткани (по-
(построена в логарифмическом
масштабе ради компактно-
компактности).
Общих ход зависимости
свидетельствует о плавном
уменьшении импеданса с уве-
g z
1
10° 103 106 *ЛГц
Рис. 20.6. Частотная зависимость
импеданса биологической ткани
личением частоты. При этом четко проявляются три интервала
частот, в которых величина Z медленнее меняется с частотой по
сравнению с общим ходом кривой. Они названы, соответственно,
областями а-, /3- и 7-Дисперсии.
§ 20.6. Импеданс тканей организма
265
При воздействии переменным (гармоническим) электриче-
электрическим полем проявляется частотная зависимость диэлектриче-
диэлектрической проницаемости: е = f(v). Изменение диэлектрической про-
проницаемости с изменением частоты электрического поля приво-
приводит к изменению электроемкости, а следовательно, к изменению
импеданса (теоретическое доказательство этого здесь не приво-
приводится)
На рис. 20.7 показана частотная зависимость диэлектриче-
диэлектрической проницаемости, в которой также выделяются области а-,
/3- и 7"ДиспеРсии-
е
105
103
101
О 101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 1011 1012 i/, Гц
Рис. 20.7. Частотная зависимость диэлектрической проницаемости
Наличие областей дисперсии указывает на различные ме-
механизмы поляризации тканей в разных частотных диапазонах
действующего внешнего электромагнитного поля. Каждый из
механизмов поляризации характеризуется своей частотой, вбли-
вблизи которой запаздывание смещения (поворота) различных эле-
элементов биологических тканей относительно изменения действу-
действующего переменного электромагнитного поля минимально.
Механизмы возникновения областей дисперсии следующие:
а-дисперсия обусловлена поляризацией целых клеток (_/, 2)
в результате диффузии ионов, что требует относительно большо-
большого времени, поэтому данный механизм проявляется при действии
электрического поля низкой частоты @,1-10 кГц); в этой области
емкостное сопротивление мембран очень большое и преобладают
токи, протекающие через растворы электролитов, окружающие
фрагменты мембран.
266 Лекция 20. Переменный ток
/3- дисперсия обусловлена структурной поляризацией клеточ-
клеточных мембран C), в которой участвуют белковые макромолеку-
макромолекулы (^), а на их верхней границе — глобулярные водораствори-
водорастворимые белки E), фосфолипиды (#, 7) и мельчайшие субклеточные
структуры (#); данный механизм проявляется при действии пе-
переменного электрического поля с частотой 1-10 МГц;
7- дисперсии обусловлена процессами ориентационной поля-
поляризации молекул E, 10) свободной и связанной воды (частота
около 20 ГГц), а также низкомолекулярных веществ типа Саха-
Сахаров и аминокислот (частотный интервал 1-10 ГГц).
По частотной зависимости импеданса можно оценивать жиз-
жизнеспособность ткани, что важно при пересадке органов. Раз-
Различия в частотных зависимостях импеданса имеют место при
сравнении здоровой и больной ткани.
20.6.4. Реография. Импеданс тканей и органов зависит от
их физиологического состояния, от степени наполнения крове-
кровеносных сосудов, проходящих в этих тканях. При наполнении
ткани кровью во время систолы полное сопротивление ткани
уменьшается, а при диастоле увеличивается. Это используется
в диагностических целях.
Реография — диагностический метод, основанный
на регистрации изменения импеданса тканей
в процессе сердечной деятельности.
Для реографии применяют переменный ток с частотой
20-30 кГц и измеряют полное сопротивление определенного
участка тканей в течение цикла сердечной деятельности.
Реограмма — зависимость Z = f(t) при v = const.
С помощью этого метода получают реограммы головного
мозга (реоэнцефалограмма), сердца (реокардиограмма), маги-
магистральных сосудов, легких, печени, конечностей. Исследование
реограмм применяют в диагностике заболеваний перифериче-
периферических кровеносных сосудов, сопровождающихся изменением их
эластичности, сужением артерий и т. д.
Лекция 21
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
1. Уравнения электромагнитной волны. Свойства электромагнит-
электромагнитных волн.
2. Объемная плотность энергии электромагнитного поля
3. Шкала электромагнитных волн. Классификация частотных ин-
интервалов, принятая в медицине.
4. Элементы реабилитологии. Влияние электромагнитных волн
разного диапазона на человека.
Переменные электрические и магнитные поля не могут суще-
существовать независимо друг от друга. Нельзя создать переменное
магнитное поле без того, чтобы одновременно не возникло и пе-
переменное электрическое поле, и наоборот.
Электромагнитное поле представляет собой взаимосвязанные
колебания электрического (Е) и магнитного полей (В). Рас-
Распространение единого электромагнитного поля в пространстве
осуществляется посредством электромагнитных волн.
§ 21.1. Уравнения электромагнитной волны.
Свойства электромагнитных волн
Электромагнитная волна — электромагнитные
колебания, распространяющиеся в пространстве
с конечной скоростью и переносящие энергию.
Особенности электромагнитных волн, законы их возбужде-
возбуждения и распространения описываются уравнениями Максвелла
(которые в данном курсе не рассматриваются). Если в какой-то
области пространства существуют электрические заряды и токи,
то изменение их со временем приводит к излучению электромаг-
электромагнитных волн. Описание их распространения аналогично описа-
описанию механических волн.
Если среда однородна, и волна распространяется вдоль оси X
со скоростью г>, то электрическая (Е) и магнитная (В) состав-
составляющие поля в каждой точке среды изменяются по гармониче-
гармоническому закону с одинаковой частотой (со) и в одинаковой фазе
268
Лекция 21. Электромагнитные волны
(уравнение плоской волны):
Е = Ет cos[u(t — ж/г;)],
В = Bmcos[u(t — ж/г;)],
B1.1)
B1.2)
где х — координата точки, at — время.
Векторы Е и В взаимно перпендикулярны, и каждый из
них перпендикулярен направлению распространения волны, то
есть вектору скорости, рис. 21.1. Поэтому электромагнитные вол-
волны являются поперечными.
Рис. 21.1. Взаимное расположение векторов Е, В, v в электромагнит-
электромагнитной волне
Модули векторов Е и В в плоской электромагнитной волне
связаны соотношением г$еЕ2 = В2//ioM-
Скорость распространения электромагнитной волны зависит
от относительной диэлектрической (е) и магнитной (/i) проница-
емостей среды и определяется по формуле:
v =
где ?о и /io — электрическая и магнитная постоянные, с — ско-
скорость электромагнитных волн в вакууме, равная с = 1/д/^оМо —
= 3 • 108 м/с.
В вакууме скорость распространения электромагнитных волн
равна скорости распространения света (это послужило основани-
основанием для создания Максвеллом электромагнитной теории света).
Учитывая, что абсолютный показатель преломления среды
равен п = c/v, можно установить связь между п, г, fi:
п = y/eJI. B1.4)
Свойства электромагнитных волн:
1) частичное поглощение волн диэлектриком;
2) практически полное отражение волн от металлов;
§21.3. Шкала электромагнитных волн 269
3) преломление волн на границе диэлектриков;
4) интерференция, дифракция волн.
§ 21.2. Объемная плотность энергии
электромагнитного поля
Объемная плотность энергии электромагнитного поля w3M
складывается из объемных плотностей электрического w3 и маг-
магнитного wM полей:
Е2 В2
- + ^~Мо- B1.5)
Электрическая и магнитная составляющие электромагнитно-
электромагнитного поля в диэлектрике равноправны:
es0E2/2 = B2/2fifi0, B1.6)
поэтому для объемной плотности энергии можно записать не-
несколько выражений:
гиэм = ?SOE2 = B2/fifi0 = EB/vfiofi. B1.7)
Плотность потока энергии волны, или интенсивность вол-
волны (усредненную величину), получим из общего соотношения:
I = wv, где w — объемная плотность энергии, v — скорость
распространения волны в среде:
/ = w3mV = vEB/vfiofi = EB/^fi [Вт/м2]. B1.8)
На границе атмосферы Земли среднегодовое значение / сол-
солнечного света составляет 1,5 кВт/м2 (солнечная постоянная). Эта
интенсивность обеспечивает все процессы, которые протекают за
счет солнечной энергии.
§ 21.3. Шкала электромагнитных волн.
Классификация частотных интервалов, принятая
в медицине
21.3.1. Шкала электромагнитных волн. Из теории Максвел-
Максвелла вытекает, что радиоволны, свет, рентгеновское излучение
и гамма-излучение представляют собой электромагнитные вол-
волны с различной длиной волны (частотой). В физике принята сле-
следующая классификация электромагнитных волн. Вся шкала раз-
разделена на несколько диапазонов длин волн (см. табл. 21.1). Элек-
Электромагнитные волны различных диапазонов по-разному взаимо-
взаимодействуют с веществом.
270
Лекция 21. Электромагнитные волны
Таблица 21.1. Интервалы электромагнитных волн
Длина волны, м
104_10-4
ю-4-ю-6
8 • 10-7-4 • Ю-7
4 • 10-7-5 • Ю-9
5 • 10~9-4 • Ю-12
4 • 10-12-10-13
Название диапазона
Радиоволны
(длинные, средние,
короткие)
Инфракрасное
излучение
Видимый свет
(А = 400-760 нм)
Ультрафиолетовое
излучение
Рентгеновское
излучение
7-излучение
Источники
Переменные токи
в проводниках
Излучение
атомов
и молекул
Внутриатомные
процессы
Ядерные процессы,
радиоактивный распад,
космические процессы
Часто все электромагнитные волны изображают на единой
шкале, рис. 21.2.
Радиоисточники
и радиогалактики
I I
Звезды
I
I l
I Область |
I реликтового I
ь^с щачеж.жж.м.41. л. ЧыГ ж^<-%*р м. щ*г •
' излучения j
Ост^ичфкое излучение
X 106 1 104 102
•*— Радиоизлучение
10°
Х = 21,1 см
Линия
Юпитер 2f излучения
Венера
Рис. 21.2. Шкала электромагнитных волн
$21.4. Элементы реабилитологии
271
Весь диапазон электромагнитных волн весьма широк: по
длине волны от 10~12 м 1013 м; по частоте от 10~5 Гц до 1020 Гц.
Некоторые диапазоны перекрываются, так как волны одной
и той же длины могут образовываться в разных процессах. Так,
например, наиболее коротковолновое ультрафиолетовое излу-
излучение перекрывается длинноволновым рентгеновским, коротко-
коротковолновое рентгеновское излучение перекрывается 7-излучением.
21.3.2. Классификация частотных интервалов. В медицине
принято следующее разделение электромагнитных колебаний на
частотные диапазоны:
Название интервала
Низкие (НЧ)
Звуковые C4)
Ультразвуковые (УЗЧ)
Высокие (ВЧ)
Ультравысокие (УВЧ)
Сверхвысокие (СВЧ)
Крайне высокие (КВЧ)
Частоты
До 20 Гц
20 Гц-20 кГц
20 кГц-200 кГц
200 кГц-30 МГц
30-300 МГц
300 МГц-300 ГГц
Свыше 300 ГГц
§ 21.4. Элементы реабилитологии
21.4.1. Влияние волн радиодиапазона на человека. Радиовол-
Радиоволны, генерируемые с помощью электронных устройств, по длине
охватывают диапазон от миллиметров до нескольких километ-
километров.
Длинные и средние радиоволны (Л > 100 м) практически не
взаимодействуют с биологическими объектами. В медицинских
целях они не используются.
С уменьшением длины волны биологическая активность ра-
радиоволн возрастает. Волны ВЧ-диапазона заметно поглощаются
биологическими тканями, а для УВЧ и СВЧ-диапазонов это
поглощение становится очень значительным. УВЧ-диапазон ис-
используется в медицине для глубокого прогревания тканей.
Особенно эффективно поглощают такие волны ткани со зна-
значительным содержанием воды, что приводит к их сильному на-
нагреванию. Большое выделение тепла опасно для органов и тка-
тканей, имеющих плохую систему кровоснабжения, например, для
хрусталика. Так, радиоизлучение с длиной волны 10-12 см может
272
Лекция 21. Электромагнитные волны
повысить температуру в задней части хрусталика на 20°. Подоб-
Подобное воздействие способно вызвать катаракту, которая развивает-
развивается не сразу, а через несколько недель после облучения и прогрес-
прогрессирует даже при отсутствии дополнительного облучения.
21.4.2. Инфракрасное излучение. Низкочастотный край этой
области не имеет резкой границы, которая отделяла бы ее от
микроволновой области. Верхний предел инфракрасного излуче-
излучения определяется началом области видимого света. На высокоча-
высокочастотной границе инфракрасной области фотоны имеют энергию
(W «1,8 эВ), достаточную для возбуждения молекул некото-
некоторых типов. Это используется для изучения строения вещества
(ИК-спектроскопия).
Источником инфракрасного излучения являются все тела.
При повышении температуры интенсивность излучения растет.
Это излучение является основным переносчиком тепла от Солн-
Солнца. Молекулы, входящие в состав кожного покрова человека,
«резонируют» на инфракрасных частотах; поэтому именно это
излучение преимущественно поглощается и тем самым согревает
человека.
21.4.3. Видимый свет. Видимая область спектра электромаг-
электромагнитного излучения очень узка и имеет весьма резкие границы,
определяемые свойствами органа зрения человека. Длины волн
(нм), соответствующие основным цветам видимого света, приве-
приведены в табл. 21.2.
Таблица 21.2. Длины волн основных цветов видимого света
Красный
Оранжевый
Желтый
Зеленый
Голубой
Синий
Фиолетовый
760-620 нм
620-590 нм
590-560 нм
560-500 нм
500-480 нм
480-450 нм
450-400 нм
Энергия высокочастотной границы этого диапазона составля-
составляет 3 эВ. Поскольку энергия связи атомов порядка 1 эВ, видимый
свет может вызывать химические превращения (фотосинтез, фо-
фотография, фотобиологические реакции, отбеливание).
§21.4. Элементы реабилитологии 273
Видимый свет может генерироваться в большом числе раз-
различных процессов, которые происходит в связанных атомных
или молекулярных системах — за счет их возбуждения вслед-
вследствие нагревания или иного воздействия, например, электронно-
электронного удара.
21.4.4. Ультрафиолетовое излучение испускается атомами
при воздействии ускоренных заряженных частиц. Область уль-
ультрафиолетового излучения начинается у фиолетовой границы
видимого света и сливается с длинноволновым рентгеновским
излучением (подробнее см. лекцию 37).
21.4.5. Рентгеновское и 7"излУчение» Рентгеновское излуче-
излучение испускается при резком торможении электронов, движу-
движущихся с большой скоростью, при попадании на металлическую
мишень. Точно также, как не существует четкой границы между
ультрафиолетовым излучением и мягким рентгеновским излуче-
излучением, так и отсутствует четкая граница с 7-излучением.
Лекция 22
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ,
ПРОИСХОДЯЩИЕ В ТКАНЯХ ОРГАНИЗМА
ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ТОКОВ
И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
1. Действие постоянного тока.
2. Действие переменного и импульсного токов (НЧ, 34, УЗЧ).
3. Действие высокочастотного тока.
4. Действие магнитного поля: постоянного, импульсного, гармони-
гармонического.
5. Действие постоянного электрического поля.
6. Действие переменного электрического поля (УВЧ).
7. Действие электромагнитных волн (СВЧ).
Биологические ткани и органы обладают различными элек-
электрическими свойствами. Например, одни из них являются ди-
диэлектриками, а другие — проводниками. Значительную часть ор-
организма составляют биологические жидкости (электролиты), со-
содержащие большое количество ионов, которые участвуют в раз-
различных обменных процессах. Свойства биологических тканей су-
существенно зависят от действия на них токов и электромагнитных
полей.
§ 22.1. Действие постоянного тока
Под воздействием постоянного электрического поля ионы,
содержащиеся в биологических тканях, совершают направленное
движение. При этом происходит их разделение и изменение их
концентрации в различных элементах ткани. Как и при всяком
протекании тока через электролит, на электродах происходит
выделение веществ. Продукты электролиза являются химиче-
химически активными веществами и в достаточной концентрации мо-
могут вызвать химический ожог подлежащих тканей (поэтому под
электроды кладут влажные прокладки). Для предотвращения
ионного дисбаланса тканей продолжительность процедур с по-
постоянным током не превышает 20-30 минут.
§22.1. Действие постоянного тока 275
Аппараты для проведения лечебных процедур постоянным
током питаются от сети переменного тока с напряжением 220 В.
Для получения постоянного тока осуществляется:
• трансформаторное снижение переменного напряжения до
требуемой величины;
• преобразование переменного тока в пульсирующий с по-
помощью полупроводникового двухполупериодного выпрямителя;
• сглаживание пульсации фильтром;
• величина постоянного тока, используемого в процедурах,
регулируется потенциометром.
Гальванизация — физиотерапевтический метод, основан на
пропускании через ткани организма постоянного тока напряже-
напряжением 60-80 В.
При гальванизации различных участков тела используют
следующие различные токи:
конечности — 20-30 мА,
туловище — 15-20 мА
части лица — 3-5 мА
слизистые — 2-3 мА.
При проведении гальванизации в подлежащих тканях ак-
активизируются системы регуляции локального кровотока. Про-
Происходит расширение просвета дермальных сосудов и возникает
гиперемия кожных покровов. Расширение капилляров и повы-
повышение проницаемости их стенок происходит не только в месте
приложения электродов, но и в глубоко расположенных тканях,
через которые проходит постоянный электрический ток.
Электрофорез — метод, основанный на введении лекарствен-
лекарственного вещества через кожу или слизистые оболочки под дей-
действием постоянного тока. При этой процедуре осуществляет-
осуществляется сочетанное воздействие на организм постоянного электри-
электрического тока и вводимого с его помощью лекарственного ве-
вещества. При использовании данного метода к перечисленным
выше (см. гальванизацию) механизмам биологического действия
постоянного тока добавляются лечебные эффекты конкретного
лекарственного вещества (способ его введения, количество, об-
область введения).
Для проведения электрофореза под электроды на кожу
кладут прокладки, смоченные соответствующим лекарственным
препаратом. Лекарство вводят с того полюса, зарядом которого
276 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма
оно обладает. Через катод вводят анионы (йод, гепарин, бром),
а через анод — катионы (Na, Ca, новокаин).
§ 22.2. Действие переменного и импульсного токов
(НЧ, 34, УЗЧ)
Действие, которое оказывают на организм переменный или
импульсный ток, зависит от частоты, максимальной силы то-
тока и формы его импульсов. Первичное действие переменного
тока низкой (НЧ), звуковой C4) или ультразвуковой (УЗЧ)
частот связано с периодическими процессами смещения ионов
в растворах электролитов, их разделением, перераспределением
и изменением концентрации. Как и постоянный ток, переменный
ток оказывает на ткани организма раздражающее действие.
22.2.1. Пороговые значения тока. Действие, которое оказы-
оказывает на организм переменный синусоидальный ток, характери-
характеризуют двумя пороговыми значениями: порогом ощутимого тока
и порогом неотпуекающего тока. Эти значения зависят от ин-
индивидуальных особенностей организма и являются случайными
величинами. Их средние значения и называют пороговыми зна-
значениями переменного тока.
Порог ощутимого тока — минимальная сила то-
тока, раздражающее действие которого ощущает че-
человек.
Эта величина зависит как от индивидуальных особенностей че-
человека, так и от частоты тока, места и площади контакта.
У мужчин для участка «предплечье-кисть» на частоте 50 Гц эта
величина составляет приблизительно 1 мА. У детей и женщин
пороговые значения обычно меньше.
Порог неотпускающего тока — минимальная си-
сила тока, вызывающая такое сгибание сустава, при
котором человек не может самостоятельно освобо-
освободиться от проводника.
Для мужчин эта величина составляет 10-15 мА. Превышение по-
порога неотпускающего тока может быть губительны для человека
(паралич дыхательных мышц, фибрилляция сердца).
§ 22.3. Действие высокочастотного тока
277
/, мА-
100
10
Пороговые значения тока зависят от частоты. На рис. 22.1
показана зависимость среднего значения порогов тока (для муж-
мужчин).
При использовании импульсного тока раздражающее дей-
действие зависит от формы, амплитуды и длительности импульсов
(см. лекцию 18). Особенно силь-
сильно влияет на характер воздей-
воздействия крутизна фронта импуль-
импульса. При увеличении крутизны
фронта уменьшается пороговая
сила тока, который вызывает
раздражение. Наибольшей кру-
крутизной переднего фронта обла-
обладают прямоугольные импульсы
поэтому пороговая сила тока,
который вызывает раздражение,
для них минимальна. Вместе
с тем, пороговое значение зави-
зависит и от длительности импульса. Кривая, отображающая эту за-
зависимость, называется характеристикой возбуждения и показана
на рис. 22.2.
¦1-m.cQ
0,01 ОД 1 10 у, кГц
Рис. 22.1. Зависимость средне-
среднего значения порога ощутимого
тока A) и порога неотпускаю-
щего тока B) от частоты
0
Рис. 22.2. Характеристика возбуждения
§ 22.3. Действие высокочастотного тока
При частотах более 500 кГц смещение ионов, вызванное
переменным током, становится соизмеримым с их смещением
в результате молекулярно-теплового движения, поэтому ток или
электромагнитная волна не будет вызывать раздражающего дей-
действия, характерного для низких частот. Основным первичным
эффектом в этом случае является тепловое воздействие. (Посто-
(Постоянный ток, токи НЧ и 34 для нагревания тканей не пригодны,
278 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма
так как их использование при больших значениях может приве-
привести к электролизу и разрушению).
Преимущества лечебного прогревания ВЧ электромагнитны-
электромагнитными колебаниями перед грелкой:
• образование теплоты во внутренних частях организма;
• подбирая соответствующую частоту, можно осуществлять
термоселективное воздействие;
• можно дозировать нагревание, регулируя мощность гене-
генератора;
• возникновение внутримолекулярных процессов, которые
приводят к специфическим эффектам.
Вычислим тепловую мощность д, выделяющуюся в единице
объема.
Мощность тока, расходуемая на нагревание тканей, определя-
определяется по формуле Р = I2R. Преобразуем ее, считая, что образец
биологической ткани длиной L контактирует с двумя плоскими
электродами площадью S (рис. 22.3).
¦) !
I кань !
и
1 ")
Рис. 22.3. Схема расположение биологической ткани между электро-
электродами
Пусть плотность тока j одинакова во всех точках ткани и рав-
равна плотности тока на электродах. Учитывая, что R = pL/S,
получаем:
P = I2R = j2S2PL/S = j2pV, B2.1)
где V = SL — объем ткани. Разделив полученное выражение
на объем, получим количество теплоты д, выделяющееся за 1 с
в 1 м3:
Я = J2P- B2.2)
Тепловая мощность q, выделяющаяся в единице
объема ткани при протекании тока, пропорцио-
пропорциональна квадрату плотности тока j, умноженному
на удельное электросопротивление ткани р.
§ 22.3. Действие высокочастотного тока
279
Пропускание тока высокой частоты через ткань используют
в следующих физиотерапевтических процедурах.
Диатермия (сквозное прогревание) — получение теплового
эффекта в глубоколежащих тканях. При диатермии применя-
применяют ток частотой 1-2 МГц, напряжением 100-150 В, сила тока
1-1,5 А. При этом сильно нагреваются кожа, жир, кости, мышцы
(так как у них наибольшее удельное сопротивление). Меньше на-
нагреваются органы, богатые кровью или лимфой: легкие, печень,
лимфоузлы.
Недостаток диатермии — непродуктивное выделение теплоты
в слое кожи и подкожной клетчатке.
Местная дарсонвализация — лечебное воздействие на отдель-
отдельные участки тела больного слабым импульсным переменным
током высокого напряжения, рис. 22.4. При этом применяют ток
частотой 100-400 кГц, силой / = 10-15 мА и напряжением —
десятки кВ.
Рис. 22.4. Дарсонвализация лица (а), десен {б)
При значительном увеличении амплитуды импульсного тока
и некотором удалении от тела между электродом и кожей возни-
возникают разветвленные каналы, заполненные ионизированным воз-
воздухом. Здесь формируется искровой разряд, который сопровож-
сопровождается характерным треском. Кроме физиологического действия
переменного тока, возникающий искровой разряд вызывает де-
деструкцию оболочек микроорганизмов и их гибель.
Токи высокой частоты используются и для хирургических
целей.
Диатермокоагуляция — прижигание, «сваривание» ткани.
При этом применяется плотность тока 6-10 мА/мм2, в результате
чего температура ткани повышается и ткань коагулирует.
280 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма
Диатермотомия — рассечение тканей при помощи электрода
в форме лезвия. При этом плотность тока составляет 40 мА/мм2.
Электрохирургическое воздействие сопровождается меньши-
меньшими кровопотерями.
§ 22.4. Действие магнитного поля: постоянного,
импульсного, гармонического
Действие магнитного поля на биологические объекты
обусловлено электродинамическими изменениями биологиче-
биологических структур в виде соответствующей ориентации доменов
поляризации и жидкокристаллических образований, наведения
электродвижущей силы. Эти изменения вызывают опреде-
определенные конформационные перестройки структур тканей, что
мягко модифицирует те или иные биохимические реакции
и биологические процессы.
22.4.1. Постоянное магнитное поле. Постоянная магнитоте-
рапия — лечебное использование постоянного магнитного поля.
В настоящее время с лечебной целью используют устройства
разных типов.
1. Магнитоэласты, изготовленные из смеси полимерного
вещества с порошкообразным ферромагнитным наполнителем
(имеет множество локальных магнитных полюсов). Наборы
эластичных магнитов в корсете создают основу всевозможных
радикулитных поясов, рис. 22.5. Магнитная индукция 8-16 мТл.
Рис. 22.5. Пояс противорадикулитный
§ 22.4. Действие магнитного поля
281
2. Магниты кольцевые, пластинчатые, дисковые. Магнитная
индукция 60-130 мТл.
3. Микромагниты — намагниченные иглы, шарики, клипсы
(для магнитопунктуры). Магнитная индукция — 60-100 мТл.
4. Пластинчатые магниты используют в виде браслетов, но-
носимых на запястье пациента. Магнитная индукция 20-70 мТл.
22.4.2. Импульсное магнитное поле. Импульсная магнито-
терапия — лечебное применение импульсов магнитного поля
низкой частоты. Используются импульсные магнитные поля
с частотами 0,125-1000 имп/с, магнитная индукция которых не
превышает 100 мТл. Действующим фактором в данном методе
являются вихревые электрические поля, индуцируемые в тка-
тканях импульсным магнитным полем высокой амплитуды. За счет
быстрого нарастания вектора магнитной индукции (скорость ко-
которого достигает 104 мТл/с) возникающие вихревые электри-
электрические поля вызывают круговые движения зарядов. Высокая
эффективность данного метода обусловлена максимальной поро-
пороговой чувствительностью организма к импульсным магнитным
полям, составляющей 0,1 Тл, в то время как для постоянных
магнитных полей она равна 8 мТл, а для переменных — 3 мТл.
Применяются различные способы расположения индукторов.
Например, при воздействии на конечности, их помещают внутрь
блока соленоидов, рис. 22.6.
Рис. 22.6. Расположение индуктора при низкочастотной магнитотера-
пии нижней конечности
282 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма
22.4.3. Гармоническое магнитное поле. Высокочастотная
магнитотерапия — лечебное применение магнитной со-
составляющей электромагнитного поля высокой частоты. Для
формирования переменного магнитного поля в данном случае
используют индукторы-соленоиды. В результате явления
электромагнитной индукции (как и в случае импульсного
магнитного поля) в проводящих тканях образуются вихревые
токи Фуко, нагревающие объект.
Оценим тепловой эффект при действии переменного магнит-
магнитного поля. По закону электромагнитной индукции в контуре при
изменении магнитного потока возникает ЭДС, равная
е{ = -dO/dt = -S(dB/dt), B2.3)
где Ф — магнитный поток, пронизывающий контур, S — площадь
контура, В — магнитная индукция, пронизывающая поверхность
(предполагается, что вектор индукции перпендикулярен поверх-
поверхности). Из B2.3) на основании закона Ома можно записать вы-
выражение для силы тока в контуре:
/ = -(S/R)dB/dt.
Используя формулу R = pl/S для сопротивления, получим
/ = -(ki/p)dB/dt, B2.4)
где к\ — некоторый коэффициент, учитывающий размеры образ-
образца. В нашем конкретном случае магнитная индукция меняется
по гармоническому закону В = Bmcosojt, тогда
dB/dt = -Bmusinut. B2.5)
Подставляя в B2.2) вместо плотности тока силу тока из B2.4)
и учитывая B2.5), находим
q = (кI р2)В2^2р sin2 ujt = (kcu2/p)Blluj2sm2ojt = (kuj2/p)B2.
Таким образом для 1 м3 за 1 с имеем:
q = kuj2B2/p. B2.6)
Тепловая мощность q, выделяемая в единице объ-
объема ткани под воздействием переменного магнит-
магнитного поля, прямо пропорциональна квадрату маг-
магнитной индукции В, квадрату частоты и обрат-
обратно пропорциональна удельному электросопротив-
электросопротивлению р.
§22.5. Действие постоянного электрического поля
283
При высокочастотной магнитотерапии больше теплоты выде-
выделяется в тканях с меньшим удельным сопротивлением. Поэтому
сильнее нагреваются ткани, богатые сосудами, например мыш-
мышцы. В меньшей степени нагреваются такие ткани, как жир.
Нагревание области тела при действии высокочастотного
магнитного поля осуществляется на частотах 10-15 МГц. Воз-
Воздействие на биологический объект осуществляется с использо-
использованием кабельных индукторов, которые располагаются в трех
положениях (рис. 22.7):
Рис. 22.7. Способы наложения индуктора кабеля при различных мето-
методиках высокочастотной магнитотерапии
а) плоская продольная петля (чаще на спине);
б) плоская круглая спираль (на туловище);
в) цилиндрическая спираль (на конечностях).
В результате выделения тепла происходит равномерный ло-
локальный нагрев облучаемой ткани на 2-4 градуса на глубину
8-12 см, а также повышение температуры тела пациента на
0,3-0,9 градуса. Для этого вида магнитотерапии используется
старое название — индуктотермия — наведение тепла.
В процессе высокочастотной магнитотерапии проявляется
и нетепловой эффект: вихревые токи вызывают изменение ха-
характера взаимодействия собственных магнитных полей заряжен-
заряженных частиц в ткани, но подробно этот механизм здесь на разби-
разбирается.
§ 22.5. Действие постоянного электрического поля
Постоянный электрический ток является основой старейших
методов электролечения.
Франклинизация — лечебное воздействие постоянным элек-
электрическим полем высокой напряженности. В аппаратах для
франклинизации имеются электроды разной формы с иглами
284 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма
на концах. Постоянное напряжение, создаваемое на концах элек-
электродов при общей франклинизации (электростатический душ)
(рис. 22.8а) достигает 40-50 кВ, при местной (рис. 22.85) состав-
составляет 10-20 кВ. Во всех случаях сила тока не превышает 1 мА.
При этой процедуре в проводящих тканях человека, помещенно-
помещенного в постоянное электрическое поле, возникают токи проводимо-
проводимости, плотность которых не превышает 5 мА/м2.
Рис. 22.8. Общая (а) и местная (б) франклинизация
Используется разновидность этого метода — акупунктурная
франклинизация, в котором для усиления эффекта воздействия
электрическое поле действует на иглы, введенные в биологически
активные точки. При этом происходит «стекание» зарядов по
иглам, вызывающее раздражение тканей.
Для групповых процедур применяют высоковольтный гене-
генератор, электроэффлювиальную лампу Чижевского (аэроиониза-
(аэроионизатор).
Эта система предназначена для получения ионизированного
воздуха, в частности ионов кислорода (озона), оказывающих био-
биологическое действие. Аэроионизатор системы А.Л. Чижевского
(рис. 22.9) подает высокое постоянное напряжение на «электро-
«электроэффлювиальную люстру», снабженную большим количеством
острых окончаний — игл. Вследствие высокой неоднородности
электрического поля вокруг игл возникает тихий разряд, явля-
являющийся источником ионов.
При высоком напряжении постоянного электрического поля
в воздушном пространстве между электродом с малым радиусом
§22.6. Действие переменного электрического поля (УВЧ)
285
кривизны и телом человека возникает коронный разряд. В этом
случае вокруг электродов возникает ионизация молекул возду-
воздуха, формируется поток аэронов и озона (электроэффлювия).
Воздействию аэроионами подвергаются лицо, Воротникова зона,
верхние дыхательные пути
Рис. 22.9. Аэроионизатор системы А.Л. Чижевского с головным элек-
электродом (а), электрод для общей аэроионизации (б)
§ 22.6. Действие переменного электрического поля
(УВЧ)
Одним из распространенных методов высокочастотной тера-
терапии является воздействие высокочастотным электрическим по-
полем УВЧ.
Ультравысокочастотная (УВЧ) терапия — лечебное исполь-
использование электрической составляющей переменного электромаг-
электромагнитного поля ультравысокой частоты.
При этом биологическая система помещается между плоски-
плоскими электродами, которые не касаются тела (рис. 22.10).
Ткань
¦о ^ о-
Э
и
Рис. 22.10. Схема воздействия полем УВЧ
286 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма
Электроды могут накладываться различными способами,
рис. 22.11.
При УВЧ терапии колебания имеют частоту 40-50 МГц.
В России в аппаратах УВЧ, в основном, используется частота
40,58 МГц, длина волны
7,37 м. Также использу-
используются аппараты с часто-
частотой 27,12 МГц (длина вол-
волны 11,05 м), которая явля-
является между народной. Воз-
Воздействие оказывается на
значительную поверхность
тела пациента, который на-
находится в ближней зоне ис-
источника электромагнитно-
электромагнитного поля.
Механизм воздействия
Рис. 22.11. Способы наложения элек-
электродов: а — поперечное, б — продоль-
продольное, в — тангенциальное
УВЧ на проводящие и ди-
диэлектрические среды раз-
различен.
22.6.1. Воздействие поля УВЧ на проводник. Пусть провод-
проводник (например, электролит) находится в переменном электриче-
электрическом поле. Высокочастотное поле вызывает колебательное дви-
движение ионов, то есть ток проводимости, сопровождающийся теп-
тепловым эффектом.
Количество теплоты выразим через напряженность Е элек-
электрического поля в проводящем теле, сопротивление которого
R = pL/S. Для этого выполним следующие преобразования:
Р = U2/R = {ELJ/R = E2L2S/{pL) = E2SL/p. Разделив
это равенство на объем тела (SL), получим количество теплоты,
выделяющееся за 1 с в 1 м3 ткани:
= P/(SL) =
где Е =
B2.7)
Тепловая мощность q, выделяемая в единице объ-
объема проводника в электрическом поле УВЧ, пря-
прямо пропорциональна квадрату напряженности Е
электрического поля и обратно пропорциональна
удельному электросопротивлению р.
§22.7. Действие электромагнитных волн (СВЧ) 287
22.6.2. Воздействие поля УВЧ на диэлектрик. Пусть в пере-
переменном электрическом поле находится диэлектрик с относитель-
относительной диэлектрической проницаемостью е. Под действием перемен-
переменного электрического поля происходят ориентационная и струк-
структурная поляризации молекул. При этом возникает колебательное
движение молекул, сопровождающееся выделением теплоты (ди-
(диэлектрические потери). Количество выделившейся теплоты зави-
зависит от угла #, на который колебания молекул отстают по фазе
от колебаний напряженности поля, то есть это фазовый сдвиг
между вектором напряженности электрического поля и плечом
диполя полярных молекул в среде (угол S называется углом
диэлектрических потерь).
Количество теплоты, выделяющееся за 1 с в 1 м3 вещества,
определяется соотношением
q = e0eu>E2tg5. B2.8)
Тепловая мощность q, выделяемая в единице объ-
объема диэлектрика в электрическом поле УВЧ, пря-
прямо пропорциональна относительной диэлектриче-
диэлектрической проницаемости е, круговой частоте о;, квад-
квадрату напряженности электрического поля Е и тан-
тангенсу угла диэлектрических потерь tg д.
При УВЧ терапии диэлектрические ткани организма нагре-
нагреваются интенсивнее проводящих (на частоте около 40 МГц, ко-
которая используется на практике).
Тепловой эффект не всегда является главной целью УВЧ
процедуры. Во многих случаях важным является действие на
физиологическое состояние клетки, которое может изменяться
под влиянием колебаний полярных молекул или отдельных ча-
частей органических молекул в переменном УВЧ электрическом
поле.
§ 22.7. Действие электромагнитных волн (СВЧ)
Существуют физиотерапевтические методы, основанные на
использовании электромагнитных волн СВЧ диапазона (радио-
(радиоволны).
Дециметровая терапия (ДЦВ-терапия) — лечебное исполь-
использование электромагнитных волн дециметрового диапазона (ча-
(частота — 460 МГц, длина волны — 65,2 см). Под действием таких
288 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма
волн в тканях организма возникают ориентационные колебания
дипольных молекул связанной воды.
Микроволновая (сантиметровая) терапия — лечебное ис-
использование электромагнитных волн сантиметрового диапазона
(частота — 2375 МГц, длина волны — 12,6 см). В первичном
действии дециметровых и сантиметровых волн принципиальных
различий нет.
Электромагнитные волны СВЧ диапазона вызывают тепло-
тепловой эффект вследствие реализации следующих механизмов.
1. Поляризация молекул вещества и ориентационные колеба-
колебания дипольных молекул, в первую очередь дипольных молекул
связанной воды. Частоты воздействующего электромагнитного
поля как раз и лежат в диапазоне 7-Дисперсии диэлектрической
проницаемости биологических тканей (лекция 18).
2. Электромагнитная волна воздействует на ионы биологиче-
биологических тканей и вызывает переменный ток проводимости.
Тепловой эффект определяется соотношением
q = keu2l2, B2.9)
где / — интенсивность волны, а к — некоторый коэффициент,
зависящий от свойств ткани.
Тепловая мощность q, выделяемая в единице
объема ткани при микроволновой терапии, прямо
пропорциональна относительной диэлектрической
проницаемости ткани е, квадрату частоты v
и квадрату интенсивности электромагнитной
волны /.
Максимальное поглощение энергии СВЧ-волн, а следователь-
следовательно и большее выделение тепла, происходит в органах и тканях,
богатых водой (кровь, лимфа, мышечная ткань, паренхиматоз-
паренхиматозные органы). В костной и жировой ткани воды меньше, они
нагреваются меньше.
Следует иметь в виду, что на границе раздела сред с разным
содержанием воды (с разными коэффициентами поглощения)
может возникнуть перегрев тканей. Сильнее перегреваются тка-
ткани с недостаточным кровоснабжением и плохой терморегуляцией
(хрусталик глаза, стекловидное тело).
Процедуры СВЧ-терапии осуществляются по двум основным
методикам.
\ 22.7. Действие электромагнитных волн (СВЧ)
289
Дистанционная методика — облучение электромагнитны-
электромагнитными волнами осуществляется дистанционно, при этом расстояние
между излучателем и биологическим объектом не превышает
5 см. В этом случае от поверхности будет отражаться энергия
волны (в некоторых случаях до 70-80%).
Контактная методика — излучатель волн размещается
непосредственно на теле больного или вводится внутрь.
При любом методе лечения необходимо строго дозировать
воздействие по выходной мощности, генерируемой излучателем.
Глубина проникновения электромагнитных волн в биологи-
биологические ткани зависит от способности этих тканей поглощать
энергию волны. Сантиметровые волны проникают в мышцы,
кожу на глубину до 2 см, в жировую ткань, кости — около 10 см.
Дециметровые волны проникают на глубину в 2 раза большую.
Сравнение воздействий низкочастотного и высокочастотного
полей (токов) представлены ниже в таблице.
Низкочастотное поле (ток)
v < 105 Гц
Возбуждение нервной
и мышечной ткани
Длина волны многократно
превосходит размеры тела,
весь организм подвергается
воздействию
Отсутствует заметное
нагревание тканей
Возможно возникновение
электротравмы
Применение:
электродиагностика,
электростимуляция,
электрофорез
Высокочастотное поле (ток)
v = 1-300 МГц
Отсутствует возбуждение
нервной и мышечной ткани
Длина волны соизмерима или
меньше размеров тела;
воздействие как общее, так
и локальное
Нагревание тканей, тепловой
эффект усиливается при
возрастании частоты
Невозможно возникновение
электротравмы
Применение: диатермия,
индуктотермия, УВЧ терапия,
микроволновая терапия
10 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
Лекция 23
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МЕДИЦИНСКОЙ
ЭЛЕКТРОНИКИ
1. Основные группы медицинских электронных приборов и аппа-
аппаратов.
2. Электропроводность тела человека.
3. Электробезопасность медицинской аппаратуры.
4. Надежность медицинской аппаратуры.
5. Структурная схема съема, передачи и регистрации медико-
биологической информации.
6. Принцип действия электродов.
7. Датчики медико-биологической информации.
8. Элементы реабилитологии. Устройство электродов.
Разделы электроники, в которых рассматриваются особенно-
особенности применения электронных устройств в медико-биологических
целях, получили название медицинской электроники.
§ 23.1. Основные группы медицинских
электронных приборов и аппаратов
Медицинскую электронную аппаратуру можно разделить на
два класса: медицинские приборы и медицинские аппараты.
Медицинский прибор — техническое устройство, предназна-
предназначенное для диагностических или лечебных измерений (медицин-
(медицинский термометр, электрокардиограф и др.).
Медицинский аппарат — техническое устройство, позволяю-
позволяющее создавать энергетическое воздействие (часто дозированное)
терапевтического, хирургического или бактерицидного свойства
(аппарат УВЧ терапии, аппарат искусственной почки и др.),
а также обеспечить сохранение определенного состава некоторых
субстанций.
Выделены следующие основные группы приборов и аппара-
аппаратов, используемые для медико-биологических целей.
— Устройство для получения (съема), передачи и реги-
регистрации медико-биологической информации. Большинство этих
§ 23.2. Электропроводность тела человека 291
устройств содержит в своей схеме усилитель электрических
сигналов.
— Устройство, обеспечивающее дозирующее воздействие на
организм различными физическими факторами с целью лечения.
С физической точки зрения эти устройства являются генерато-
генераторами различных электрических сигналов.
— Кибернетические электронные устройства.
В ряде случаев электронное устройство может совмещать
в себе различные группы приборов и аппаратов.
§ 23.2. Электропроводность тела человека
В электрической сети действие на организм или органы ока-
оказывает электрический ток, то есть заряд, протекающий через
биологический объект в единицу времени.
Сопротивление тела человека между двумя касаниями
(электродами) складывается из сопротивления внутренних
тканей и органов и сопротивления кожи. Электросопротивление
можно смоделировать электрической цепью, представленной
на рис. 23.1, состоящей из резисторов и конденсаторов,
отображающих омические (R) и емкостные (С) свойства
биологических тканей.
Рис. 23.1. Эквивалентная электрическая схема тела между двумя ка-
касаниями (электродами)
Сопротивление RBH внутренних частей организма слабо за-
зависит от общего состояния человека, в расчетах принимают
RBH = 1 кОм (для пути «ладонь-ступня»). Сопротивление ко-
кожи RK при прохождении тока от ее поверхности к внутренним
тканям в десятки раз больше RBH. Поэтому для постоянного
и низкочастотного тока E0-60 Гц) сопротивление кожи при то-
точечном контакте является определяющим фактором, который
определяет ток. (При высоких частотах более существенным
фактором является внутреннее сопротивление тела). Электро-
Электропроводность кожи зависит от ее толщины, состояния ее слоев
ю*
292 Лекция 23. Некоторые вопросы медицинской электроники
и содержания воды. Толщина эпидермиса большинства участ-
участков тела составляет 0,07-0,12 мм, а на ладонных поверхностях
кистей и подошвенных поверхностях стоп достигает 0,8-1,4 мм.
Содержание воды в поверхностном слое составляет всего 10 % от
массы клеток, тогда как в нижележащих слоях достигает 70 %.
Площадь потовых и сальных желез, волосяных фолликулов на
разных участках тела неодинакова и составляет 0,5% поверх-
поверхности кожных покровов. С учетом этих особенностей удельная
электропроводность отдельных участков кожи существенно раз-
различается и составляет 10~3-2 • 10~2 Ом~ м. Следовательно,
в большинстве ситуаций ток, протекающий через тело, в основ-
основном зависит от состояния тела в точке контакта. Сухая кожа
имеет высокое сопротивление, а влажная или мокрая кожа будет
обладать низким сопротивлением, так как ионы, находящиеся
во влаге, обеспечат прохождение тока в тело. При сухой коже
сопротивление между крайними точками тела (ладонь-ступня)
может быть равным 105 Ом, а при мокрой коже может составить
1 % этого значения. Полное сопротивление тела между потными
руками принимают равным 1500 Ом.
Максимальные токи, которые возникнут при контакте с бы-
бытовой электросетью с напряжением 220 В, будут равны:
/ = 220 В/105 Ом = 2,2 мА (сухая кожа),
/ = 220 В/1500 Ом = 146 мА ( мокрая кожа).
Ток 1 мА при прохождении через тело будет едва заметен, но
ток 146 мА будет смертелен даже при кратковременном воздей-
воздействии.
Сопротивление кожи RK существенно зависит от внутренних
и внешних причин (потливость, влажность, наличие раневого
повреждения). Кроме того, на разных участках тела кожа имеет
разную толщину и, следовательно, различное сопротивление. По-
Поэтому, учитывая изменчивость сопротивления кожи, принимают
RK = 0. Ток, протекающий через тело, рассчитывают по формуле
/ = U/RBH = /7/1000 Ом.
При действии электрического тока на человека может иметь
место электротравма. Наиболее чувствительными к электриче-
электрическому току частями организма являются мозг, грудные мышцы
и нервные центры, которые контролируют дыхание и сердце. По-
Поэтому последствия электротравмы зависят от того, какая часть
§ 23.3. Электробезопасность медицинской аппаратуры
293
тела оказалась включенной в электрическую цепь. Очень опасно,
если электрический ток идет через сердце. Опасно и действие то-
тока на кожу лица, где слабо развит роговой слой, обеспечивающий
высокое сопротивление кожных покровов. Низким сопротивле-
сопротивлением обладают слизистые оболочки.
Удельная электропроводность
высокая
@,6-2,0 Ом^см-1)
Кровь, лимфа, желчь,
спинномозговая жидкость,
моча, мышечная ткань, ткань
головного мозга
Удельная электропроводность
низкая
(ПГ3-10-6 Ом^см-1)
Ткань костная, жировая,
нервная, грубоволокнистая
соединительная, зубная эмаль
Характер электротравмы зависит и от силы тока. Так, при
включении в цепь обеих рук с органами грудной клетки, распо-
расположенными между ними, происходит следующее:
ток 10 мА вызывает сокращение мышц обеих рук;
ток 20 мА вызывает расстройства дыхания, связанные с те-
таническим сокращением дыхательных мышц;
ток 80 мА вызывает нарушение сердечной деятельности;
ток 100-400 мА вызывает необратимые расстройства в функ-
функционировании возбудимых тканей сердца (одна из причин гибели
при электротравме).
§ 23.3. Электробезопасность медицинской
аппаратуры
Главное требование при обеспечении безопасности аппарату-
аппаратуры — сделать невозможным случайное касание ее частей, нахо-
находящихся под напряжением.
Для этого прежде всего изолируют друг от друга и от корпуса
части приборов и аппаратов, находящихся под напряжением.
Однако это еще не обеспечивает полной безопасности по двум
причинам.
а) Сопротивление приборов и аппаратов переменному току
не бесконечно. Не бесконечно и сопротивление между проводами
электросети и землей. Поэтому при касании человеком корпуса
аппаратуры через тело человека пройдет некоторый ток, назы-
называемый током утечки.
294 Лекция 23. Некоторые вопросы медицинской электроники
При конструировании аппаратуры учитывают допустимую
силу тока утечки, которая различна в разных типах электро-
электромедицинских приборов и аппаратов.
Допустимая сила тока утечки — безопасная для
человека сила тока, который может проходить че-
через его тело в результате касания корпуса и других
частей аппарата.
В зависимости от типов электромедицинских изделий эта вели-
величина изменяется в пределах 0,05-0,25 мА.
б) Из-за порчи рабочей изоляции возникнет электрическое
замыкание внутренних частей аппаратуры с корпусом («пробой
на корпус»). При этом доступная для касания часть аппарату-
аппаратуры — корпус окажется под напряжением.
В обоих случаях должны быть приняты меры, которые ис-
исключали бы поражение током лиц при касании корпуса аппара-
аппаратуры.
Одним из основных способов защиты от поражения элек-
электрическим током при работе с аппаратурой является заземле-
заземление. Термин «заземление» означает электрическое соединение
элементов электрической аппаратуры с землей или техническое
устройство, обеспечивающее такое соединение.
Однако не всякая электромедицинская аппаратура надежно
защищена заземлением. Существуют дополнительные способы
защиты, которые не рассматриваются в данном курсе.
§ 23.4. Надежность медицинской аппаратуры
Для медицинской аппаратуры проблема надежности особен-
особенно актуальна, так как выход приборов и аппаратов из строя
может привести не только к экономическим потерям, но и к ги-
гибели пациентов.
Надеэюность — способность изделия не отказы-
отказывать в работе в заданных условиях эксплуатации
и сохранять свою работоспособность в течение за-
заданного интервала времени.
Способность аппаратуры к безотказной работе зависит от многих
причин, учесть которые практически невозможно, поэтому ко-
количественная характеристика надежности имеет вероятностный
характер.
§ 23.4. Надежность медицинской аппаратуры 295
Вероятность безотказной работы оценивается
экспериментально отношением числа N исправ-
исправных на данный момент t изделий к общему чис-
числу No изделий, взятых для испытаний:
P(t) = N(t)/N0. B3.1)
Эта характеристика оценивает возможность сохранения издели-
изделием работоспособности в заданном интервале времени.
Количественным показателем надежности является также
Интенсивность отказов — отношение числа от-
отказов в единицу времени dN/dt к общему числу N
работающих изделий:
Знак « —» взят потому, что dN < О, так как число работающих
изделий убывает со временем. Наиболее характерный вид функ-
функции X(t) представлен на рис. 23.2.
1 \ 2
t
Рис. 23.2. График зависимости интенсивности отказов от времени
На графике выделены три области: 1 — период приработки,
интенсивность отказов высока; 2 — период нормальной эксплуа-
эксплуатации, интенсивность отказов сохраняет постоянное значение;
3 — период старения, интенсивность отказов возрастает.
Между вероятностью безотказной работы Р и интенсивно-
интенсивностью отказов Л существует связь. Установим ее для 2-го периода,
Л = const. Запишем дифференциальное уравнение, вытекающее
из формулы B3.2):
dN/N = -\dt. B3.3)
Интегрируя и подставляя нижние пределы (начальное число Nq
испытывавшихся изделий в момент t = 0) и верхние пределы
296
Лекция 23. Некоторые вопросы медицинской электроники
(число Nq безотказно работающих изделий в момент времени
получаем
N t
— = -A j dt => In — = -Xt
No 0
N
— = exp(-At). B3.4)
Так как N/Nq = P, то имеем:
P(t) =exp(-At).
B3.5)
Таким образом, при постоянной интенсивности отказа ве-
вероятность безотказной работы убывает с течением времени по
экспоненциальному закону.
В зависимости от возможных последствий отказа в процессе
эксплуатации медицинские изделия подразделяются на 4 класса.
А — изделия, отказ которых представляет непосредственную
опасность для жизни пациента или персонала. Вероятность без-
безотказной работы при этом должна быть не менее 0,99.
Б — изделия, отказ которых вызывает искажение инфор-
информации о состоянии организма. Вероятность безотказной работы
должна быть не менее 0,8.
В — изделия, отказ которых снижает эффективность
лечебно-диагностического процесса.
Г — изделия, не содержащие частей, отказ которых возможен.
§ 23.5. Структурная схема съема, передачи
и регистрации медико-биологической информации
Для того чтобы получить и зафиксировать информацию
о медико-биологической системе, необходимо иметь целую со-
совокупность устройств. Структурная схема измерительной цепи
представлена на рис. 23.3.
X
Устройство
съема
(электрод
или датчик)
Усили-
Усилитель
Пере-
Передатчик
Г
1
Прием-
Приемник
Канал
связи
Измерительный
(регистрирующий)
прибор
Рис. 23.3. Структурная схема измерительной цепи для получения ин-
информации
§ 23.6. Принцип действия электродов 297
Здесь X — измеряемый параметр биологической системы,
Y — величина, регистрируемая на выходе измерительным прибо-
прибором (для вычисления по измеренному значению Y параметра X
должна быть известна зависимость Y = f(X)).
§ 23.6. Принцип действия электродов
В некоторых случаях первичным элементом структурной схе-
схемы съема медико-биологической информации являются электро-
электроды.
Электроды — это проводники специальной фор-
формы, соединяющие измерительную цепь с биологи-
биологической системой.
При диагностике электроды используются не только для снятия
электрического сигнала, но и для подведения внешнего электро-
электромагнитного воздействия. К электродам предъявляются опреде-
определенные требования: они должны быстро фиксироваться и сни-
сниматься, иметь высокую стабильность электрических параметров,
быть прочными, не раздражать биологическую ткань и т. п.
Важная физическая проблема, относящаяся к электродам
для снятия биоэлектрического сигнала, заключается в минима-
лизации потерь полезной информации, особенно на переходном
сопротивлении «электрод-кожа». Эквивалентная электрическая
схема контура, включающего в себя биологическую систему
и электроды, изображена на рис. 23.4.
8бп — ЭДС источника биопотенциалов;
г — сопротивление внутренних органов;
R — сопротивление кожи и электродов;
RBX — входное сопротивление усилителя.
Рис. 23.4. Эквивалентная схема снятия биопотенциалов
Из закона Ома (без учета разветвления цепи) следует, что
»бп = /г + /Д + /Двх. B3.6)
Падение напряжения на входе усилителя полезное, так как
усилитель увеличивает именно эту часть ЭДС источника. Паде-
Падение напряжения /г и IR внутри биологической системы и на
298 Лекция 23. Некоторые вопросы медицинской электроники
контакте кожи с электродом бесполезное. Поскольку <?бп зада-
задана, а повлиять на уменьшение /г невозможно, то увеличивать
/7?вх можно лишь уменьшением R и прежде всего уменьшением
сопротивления контакта «электрод-кожа».
Это можно сделать разными способами:
• используя салфетки, смоченные физраствором;
• увеличивая площадь электрода (истинная картина в этом
случае может искажаться, так как электрод будет захватывать
сразу несколько эквипотенциальных поверхностей).
При работе с электродами возникают две проблемы. Пер-
Первая — возникновение гальванической ЭДС в месте контакта элек-
электрода с биологической системой. Вторая — электролитическая
поляризация электродов, что приводит к выделению на элек-
электродах продуктов реакции при прохождении тока. В результате
возникает встречная (по отношению к основной) ЭДС.
В обоих случаях возникновение ЭДС искажает снимаемый
электродами полезный биоэлектрический сигнал. Существуют
способы, позволяющие снизить или устранить эти отрицатель-
отрицательные явления, которые здесь не рассматриваются.
§ 23.7. Датчики медико-биологической
информации
Многие медико-биологические характеристики являются
неэлектрическими (давление крови, температура, пульс).
В этом случае применяются методы измерения неэлектрических
величин и используются датчики. В медицинской электронике
рассматриваются только такие датчики, которые преобразуют
измеряемую неэлектрическую величину в электрический сигнал,
так как электрические сигналы с помощью электронных
устройств можно сравнительно легко усиливать, передавать
и регистрировать.
Датчик — устройство, преобразующее измеря-
измеряемую или контролируемую величину в сигнал,
удобный для передачи и регистрации.
Преобразуемая величина X называется входной, а измеряемый
сигнал а — выходной величиной.
§ 23.8. Элементы реабилитологии 299
Характеристика датчика — функциональная зависимость
выходной величины а от входной X (описывается аналитически
или графически).
Обычно стремятся иметь датчик с линейной характеристикой
а = kX, где к — постоянный коэффициент.
Чувствительность датчика S — отношение изменения вы-
выходной величины к соответствующему изменению входной вели-
величины:
S = Аа/АХ. B3.7)
Предел датчика — максимальное значение входной величины,
которое может быть воспринято датчиком без искажения и без
повреждения датчика.
Порог датчика — минимальное изменение входной величины,
которое можно обнаружить датчиком.
Датчики делятся на два класса: генераторные и параметри-
параметрические.
Генераторные датчики — такие, которые под воздействием
входного сигнала генерируют напряжение или ток (индукцион-
(индукционные, пьезоэлектрические, фотоэлектрические и т.п.).
Параметрические датчики — такие, в которых под воздей-
воздействием входного сигнала изменяется какой-либо параметр (тен-
зометрические, емкостные, индуктивные, реостатные и т.п.).
В зависимости от энергии, являющейся носителем инфор-
информации, различают механические, акустические, температурные,
оптические и другие датчики.
§ 23.8. Элементы реабилитологии
В медицинской реабилитологии большое применение имеют
различные методы физиотерапии, в том числе и электромагнито-
терапии. Рассмотрим устройство некоторых электродов, исполь-
используемых при этом.
Плоские электроды. Такие электроды используются при галь-
гальванизации, электрофорезе. К телу больного подводят постоян-
постоянный ток с помощью двух электродов, каждый из которых состоит
из свинцовой пластинки (или токопроводящей углеграфитовой
ткани) и гидрофильной прокладки.
Гидрофильные прокладки толщиной 1-1,5 см смачивают во-
водой и размещают на соответствующем участке поверхности тела.
300
Лекция 23. Некоторые вопросы медицинской электроники
При помощи прокладок, как уже указывалось выше, создают
хороший контакт электрода с телом больного, и его кожа (или
слизистые) предохраняются от воздействия продуктов электро-
электролиза (кислоты и щелочи). Форма гидрофильной прокладки дол-
должна соответствовать форме металлической пластины электрода.
Для предотвращения контакта металлической части электрода
с кожей больного, гидрофильная прокладка должна выступать
со всех сторон за края пластины на 1-2 см. Используют электро-
электроды различной формы, площадью от 8-15 см2 до 50 см2. Наряду
с электродами прямоугольной формы для местной процедуры
применяют электроды в виде полумаски (для лица), воротника
(для верхней части спины и надплечий), в виде круга (для век)
или специальные полостные электроды. На рис. 23.5 показаны
разные способы наложения электродов.
Рис. 23.5. Расположение электродов при гальванизации в области ли-
лица (а) и век глаз (б)
При продольном расположении электродов (на одной стороне
тела) воздействию подвергаются поверхностно расположенные
ткани. При поперечном расположении электродов (на проти-
противоположных участках тела) воздействию подвергаются глубоко
расположенные органы и ткани.
Вакуумные электроды. Такие электроды используются в дар-
дарсонвализации. Стандартные аппараты для этого метода име-
имеют наборы вакуумных электродов для разного применения,
рис. 23.6а. Воздух внутри стеклянных электродов баллонов име-
имеет низкое давление F,7-13,5 Па). Систему электрод-человек
в этом случае можно представить как некоторый конденсатор:
одной обкладкой служит помещенный в разряженное простран-
пространство стеклянного баллона металлический проводник, соединен-
5 23.8. Элементы реабилитологии
301
ный с прибором; второй обкладкой служит участок тела боль-
больного, который подвергается лечению. При контактной мето-
методике (непрерывный контакт электрода с кожей) действующим
фактором является среднечастотный электрический ток. При
дистанционной методике (электрод удален от кожи) действую-
действующим фактором является искровой разряд. При обеих методиках
вакуумные электроды перемещаются относительно кожи. Для
улучшения контакта электрода с кожей перед процедурой его
тщательно протирают, кожу присыпают тальком. При лечении
волосистой части головы (рис. 23.6/9) обязательно из волос уда-
удаляют металлические заколки.
Рис. 23.6. Стеклянные вакуумные электроды (а), использование элек-
электродов при лечении волосистой части головы {б)
Лекция 24
УСИЛИТЕЛИ. ГЕНЕРАТОРЫ
1. Усилители.
2. Характеристики усилителя.
3. Особенности усиления биоэлектрических сигналов.
4. Генераторы, их классификация и использование в медицине.
§ 24.1. Усилители
В схемы медицинских электронных приборов и аппаратов
входят усилители. Их применяют для усиления слабых биопо-
биопотенциалов в системах, регистрирующих медико-биологическую
информацию.
Усилитель электрических сигналов (электрон-
(электронный усилитель) — устройство, увеличивающее
эти сигналы без изменения их формы.
Усилители могут создаваться на основе различных элементов
(транзисторы, триоды и др.), однако в общих чертах их можно
представить одинаково. Они имеют вход, на который подается
усиливаемый электрический сигнал, и выход, с которого снима-
снимается усиленный сигнал. Усиление происходит за счет источника
электрической энергии (рис. 24.1).
Входной
сигнал
Усилитель
Выходной
сигнал
Источник электрической
энергии
Рис. 24.1. Схема усиления сигнала
В зависимости от целей различаются усилители по напряже-
напряжению, силе тока, мощности.
§ 24.2. Характеристики усилителя 303
§ 24.2. Характеристики усилителя
Все характеристики и параметры ниже будем рассматривать
для усилителя по напряжению. Будем рассматривать усиление
синусоидального сигнала.
а) Входное сопротивление. Важным параметром усилителя
является его входное сопротивление 7?вх — сопротивление между
его входными клеммами, которое можно найти по формуле
Явх = /7ВХ//ВХ. B4.1)
б) Коэффициент усиления. Степень усиления усилителем по-
подаваемого на его вход сигнала количественно оценивается коэф-
коэффициентом усиления.
Коэффициент усиления усилителя равен отноше-
отношению сигнала на выходе усилителя к значению сиг-
сигнала на входе:
К = UBbKX/Um. B4.2)
Если К имеет значения, не достаточные для получения на
выходе сигнала нужного напряжения, то соединяют несколько
усилителей. Каждый отдельный усилитель называется при этом
усилительным каскадом. Коэффициент усиления усилителя из
нескольких каскадов равен произведению коэффициентов уси-
усиления усилителей всех используемых каскадов:
Ко6щ = КгК2К3... B4.3)
в) Амплитудная характеристика усилителя. Она выражает
степень его усиления, от этой характеристики зависит также,
насколько сильно искажается форма выходного сигнала.
Амплитудная характеристика усилителя — это
зависимость максимального значения выходного
сигнала от максимального значения входного.
Для рассматриваемого усилителя по напряжению амплитуд-
амплитудная характеристика представляется зависимостью ?/тах вых =
= /(t/maxBx).
Для неизменности формы сигнала коэффициент усиления
должен быть одинаков в пределах изменения входного сигнала.
304 Лекция 24. Усилители. Генераторы
Для этого необходимо использовать усилитель с линейной ам-
амплитудной зависимостью: ?/тахвых = Кишз>^ вх. В действитель-
действительности у реального усилителя линейная зависимость выполняется
в ограниченной области изменения входного сигнала (линейный
участок на рис. 24.2). При выходе за пределы этой области линей-
линейность зависимости нарушается (штриховая линия на рис. 24.2).
Если входной гармонический сигнал выйдет за пределы ли-
линейной части амплитудной характеристики, то выходной сигнал
уже не будет гармоническим. Возникнут нелинейные (ампли-
(амплитудные) искажения.
__Линейная
область
Рис. 24.2. Амплитудная характеристика усилителя
При линейной амплитудной характеристике выходной сигнал
такой же по форме, как и входной. При нелинейной характе-
характеристике выходной сигнал не адекватен входному. Нелинейные
искажения можно рассматривать как появление новых гармо-
гармоник в сигнале при его усилении. Нелинейные искажения в этом
случае оцениваются коэффициентом нелинейных искажений:
7 = л/([/^ах 2 + f/^ax з + • • О/^тах 1' B4'4)
где ?/тах 1 — амплитуда напряжения основной гармоники, ?/тах 2,
tAnax з? • • • — амплитуды новых гармоник. Чем меньше коэффи-
коэффициент 7, тем ближе по форме выходной сигнал ко входному.
г) Частотная характеристика. В том случае, когда уси-
усиливаемый сигнал несинусоидальный, его можно разложить на
отдельные гармоники, характеризующиеся соответствующей ча-
частотой. Коэффициент усиления для каждой гармоники может
оказаться разным. Поэтому необходимо учитывать частотную
характеристику усилителя.
Частотная характеристика усилителя — это за-
зависимость коэффициента усиления от частоты сиг-
сигнала: К = f(v).
§ 24.3. Особенности усиления биоэлектрических сигналов 305
Для того чтобы несинусоидальный сигнал был усилен без ис-
искажения, нужно, чтобы коэффициент усиления не зависел от
частоты, то есть К {и) = const. В общем случае это условие
не выполняется, что приводит к искажениям формы сигнала,
которые называются частотными. Частотная характеристика
усилителя представлена на рис. 24.3.
В интервале ^2~^з коэффициент усиления примерно постоя-
постоянен и форма сигнала при усилении не искажается.
К,
¦"max
Рис. 24.3. Частотная характеристика усилителя
В радиотехнике принято считать, что и в области, где К ^
^ 0,7/Cmax @,7/^max ~ ^тах/л/2), искажения не существенны.
Поэтому диапазон частот v\-v/± называют полосой пропускания
усилителя.
Полосой пропускания усилителя называется ин-
интервал частот, в котором коэффициент усиления
постоянен.
Полоса пропускания усилителя определяется задачами усиления.
Поэтому, например, не всегда усилитель, предназначенный для
записи одних биопотенциалов, может быть использован для за-
записи других.
§ 24.3. Особенности усиления биоэлектрических
сигналов
Биоэлектрические сигналы обычно весьма малы, поэтому для
их регистрации необходимо использовать усилитель. Рассмотрим
усиление сигнала, который снимается электродами с биологиче-
биологического объекта.
Специфика усилителей биопотенциалов определяется особен-
особенностями биопотенциалов:
• выходное сопротивление биологической системы совмест-
совместно с сопротивлением электродов, как правило, высокое;
• биопотенциалы — медленно изменяющиеся сигналы;
306 Лекция 24. Усилители. Генераторы
• биопотенциалы — слабые сигналы.
При усилении необходимо согласовывать сопротивление вход-
входной цепи /?вх усилителя и выходное сопротивление биологиче-
биологической системы. Выходное сопротивление биологической системы
Ri может быть равно сумме сопротивлений внутренних органов
и кожи.
При снятии биоэлектрического сигнала с помощью электро-
электродов можно считать (см. лекцию 23), что ЭДС источника биопо-
биопотенциала определяется как Йбп = I{R\ + Явх). Следовательно,
сила тока равна / = ($6n/{Ri + RB*)- Тогда входное напряжение
усилителя равно U = //?вх = RB*(%6n/{Ri + ^вхM или
U = ?бп/A + #i/#bx). B4.5)
Рассмотрим предельные случаи.
1. Входное сопротивление мало: 7?вх ~ 0. При этом ?/вх « 0,
то есть на входе усилителя не будет сигнала.
2. Входное сопротивление велико: 7?вх —> ос. При этом ?/вх =
= Вбш то есть входное напряжение максимально возможное.
В этом случае во входной цепи нет тока, следовательно, энергия
сигнала не достаточна для функционирования усилителя, от
источника сигнала не будет передаваться мощность.
В реальной ситуации на входе усилителя окажется часть
напряжения, генерируемого биологической системой, зависящая
от отношения R\/RB*. В электрофизиологии считают, что /?вх
должно в 10-20 раз превышать наибольшее возможное значе-
значение R[.
Из радиотехники известно, что наибольшее усиление сигнала
получается при равенстве выходного сопротивления предыдуще-
предыдущего каскада входному сопротивлению последующего.
Низкая частота биоэлектрических сигналов приводит к тому,
что для их усиления используются специальные усилители по-
постоянного тока.
§ 24.4. Генераторы, их классификация
и использование в медицине
Большая группа медицинских аппаратов в физиотерапии,
стимуляции, диагностике является по существу генераторами
разнообразных электромагнитных колебаний.
§ 24.4. Генераторы, их классификация и использование в медицине 307
Генераторы — устройства, которые преобразуют
энергию источников постоянного напряжения
в энергию электромагнитных колебаний различ-
различной формы.
Классификация генераторов:
• по форме сигнала: генератор гармонических колебаний
и генератор колебаний специальной формы (импульсные коле-
колебания);
• по частоте сигналов;
• по мощности;
• по принципу работы: генератор с самовозбуждением и ге-
генератор с внешним возбуждением.
Генераторы гармонических колебаний работают на транзи-
транзисторах или трех электродных лампах. Общие принципы функ-
функционирования их основаны на принципах работы автоколеба-
автоколебательных систем. Типичная схема с автоколебаниями содержит:
колебательный контур, цепь положительной обратной связи, ре-
регулятор поступления энергии в колебательный контур, источник
питания.
В некоторых случаях используются генераторы импульсных
(релаксационных) колебаний.
Релаксационные колебания — электромагнитные
колебания несинусоидальной формы.
Рассмотрим принцип действия генератора релаксационных
колебаний на примере генератора с использованием газоразряд-
газоразрядной (неоновой) лампы.
Возьмем газоразрядную лампу (Л), у которой напряжение
«зажигания» U3 и напряжение «гашения» Ur меньше ЭДС ис-
источника (?и: Ur < U3 < <JH.
Рассмотрим схему, показанную на рис. 24.4.
t
Рис. 24.4. Схема генератора релаксационных колебаний (а) и график
изменения напряжения в цепи (б)
308 Лекция 24. Усилители. Генераторы
После замыкания ключа К начнется зарядка конденсатора
с постоянной времени г = (R + г)С по закону:
В тот момент, когда напряжение на нем достигнет [/3, в лампе
начнется разряд (она загорается) и ее сопротивление упадет
почти до 0. Пластины конденсатора окажутся замкнутыми этим
малым сопротивлением, и конденсатор начнет разряжаться с ма-
малой постоянной времени. Когда напряжение на нем снизится до
?/г, разряд погаснет, и лампа перейдет в непроводящее состоя-
состояние, ее сопротивление значительно возрастет. После этого снова
начнется зарядка и т. д. В системе возникнут релаксационные ко-
колебания напряжения на конденсаторе без изменения полярности
пластин.
Период таких колебаний зависит от величин Я, г, С, ?/3,
Ur. Скорость возрастания напряжения в такой схеме можно
изменять, изменяя параметры R и С. Так, увеличение сопро-
сопротивления R приведет к увеличению времени 7\, участок С А
станет более пологим. Уменьшение напряжения на участке АВ
происходит при разрядке лампы и зависит, следовательно, от ее
характеристик.
Подбирая параметры схемы, можно график изменения на-
напряжения (рис. 24.4) приблизить к «идеальному» виду, когда
участки СА и АВ практически прямые. Напряжение с импуль-
импульсами такой формы называется пилообразным. Такое напряжение
используется в развертке электронного осциллографа.
Генераторы релаксационных колебаний используют для по-
получения импульсных токов разной формы. Укажем некоторые
примеры.
Амплипулъстерапия — генератор соответствующего аппара-
аппарата создает синусоидальные токи на частоте 5000 Гц, модули-
модулированные по амплитуде низкой частотой в пределах 10-150 Гц
(аппараты «Стимул»). Выбор основной частоты 5000 Гц связан
с тем, что на этой частоте сопротивление кожи очень мало. Это
обеспечивает хорошее проникновение тока в глубь тканей.
Флюктуоризация — генератор соответствующего аппарата
создает синусоидальный ток малой силы и небольшого напряже-
напряжения, беспорядочно меняющегося по амплитуде и частоте в пре-
пределах 100-2000 Гц. Использование таких токов уменьшает веро-
§ 24.4. Генераторы, их классификация и использование в медицине 309
ятность привыкания тканей к раздражителю (аппараты снятия
боли — АСБ).
Электросон — генератор соответствующего аппарата создает
импульсный ток низкой частоты и малой силы с импульсами
прямоугольной формы (аппараты «Электросон»).
Диадинамотерапия — генератор соответствующего аппарата
создает ток с импульсами полусинусоидальной формы (аппарат
«Тонус»).
Электростимуляция — генератор соответствующего прибора
создает импульсные токи (в частности, импульсы экспоненци-
экспоненциальной формы) для восстановления функции нервно-мышечного
аппарата человека (аппараты АСМ).
Лекция 25
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
1. Сложение волн от обычных источников света.
2. Сложение волн от когерентных источников. Интерференция све-
света.
3. Условия интерференционного максимума и минимума.
4. Интерферометры, интерференционный микроскоп.
5. Интерференция в тонких пленках.
Свет является электромагнитной волной. Сложение волн,
распространяющихся в среде, определяется сложением соответ-
соответствующих колебаний. Рассмотрим наиболее простой случай сло-
сложения электромагнитных волн (колебаний):
1) частоты их одинаковы,
2) направления электрических векторов совпадают.
В этом случае для каждой точки среды, в которой происходит
сложение волн, амплитуда результирующей волны для напря-
напряженности электрического поля равна
Е2 = Ef + Ei + 2E1E2cosA(p, B5.1)
где А(р — разность фаз слагаемых волн (колебаний).
Результат сложения волн зависит от особенностей источников
света и может быть различен.
§ 25.1. Сложение волн от обычных источников
света
Обычные источники (лампа, пламя, Солнце и т. п.) представ-
представляют собой совокупность огромного числа излучающих атомов.
Излучение света атомом происходит при его переходе с одного
энергетического уровня на другой. Длительность излучения ка-
каждого атома очень мала (~ 10~8 с), а момент излучения есть
событие случайное. Излучение атомов в таких источниках не
согласовано друг с другом. При этих условиях среднее значение
cos A(p равно нулю и мы получаем следующее равенство:
EcP = Efcp + Elp. B5.2)
§ 25.2. Сложение волн от когерентных источников
311
Так как интенсивность волны / пропорциональна квадрату ам-
амплитуды, то
/ = /i + /2. B5.3)
Для обычных источников света интенсивность суммарного
излучения равна сумме интенсивностей слагаемых волн.
§ 25.2. Сложение волн от когерентных источников.
Интерференция света
Результат сложения будет иным, если разность фаз будет
иметь некоторое постоянное значение, что реализуется при ис-
использовании когерентных источников.
Когерентные источники — такие источники, ко-
которые обеспечивают постоянную во времени раз-
разность фаз слагаемых волн в различных точках.
Когерентные источники являются источниками когерентных
волн. Когерентные волны — волны с постоянной во времени
и пространстве разностью фаз.
Они излучаются лазерами или получаются специальными
способами. Часто практически используется метод, который за-
заключается в том, что исходящий из источника пучок (он должен
быть достаточно малым) делится на два, происходит «расщепле-
«расщепление» волны. Рассмотрим реализацию этого метода, рис. 25.1.
Рис. 25.1. Получение когерентных волн методом Юнга: а) непрозрач-
непрозрачная преграда с двумя щелями, б) интерференция на щелях
Метод Юнга (рис. 25.1). На пути волны, идущей от источни-
источника S, установлена непрозрачная преграда с двумя щелями (а).
Роль когерентных источников S\ и $2 играют две узкие щели,
312 Лекция 25. Интерференция света
освещаемые источником. Так как волны, исходящие из Si и S2
получены разбиением одного и того же волнового фронта, то они
являются когерентными. В области перекрытия этих световых
пучков наблюдается интерференция (на рис. 25.16' эта область
закрашена).
Зеркало Ллойда (рис. 25.2). Точечный источник S находит-
находится на близком расстоянии к поверхности плоского зеркала М,
поэтому свет отражается зеркалом под некоторым углом. Коге-
Когерентными источниками являются первичный источник S и его
мнимое изображение Si в зеркале. В области перекрытия этих
световых пучков наблюдается интерференция.
Рис. 25.2. Получение когерентных волн с использованием
зеркала Ллойда
При сложении двух когерентных волн интенсивность резуль-
результирующей волны принимает в различных точках пространства
значения от минимального (когда cosAip = — 1) до некоторого
максимального (когда cosA(/? = +1). При этом наблюдается
явление интерференции.
Интерференция света — такое сложение световых
волн, в результате которого происходит простран-
пространственное перераспределение энергии, приводящее
к образованию устойчивой картины их усиления
или ослабления.
§ 25.3. Условия интерференционного максимума
и минимума
Условия максимумов и минимумов интенсивностей удобнее
выражать не через разность фаз, а через разность хода, так как
пути, проходимые когерентными волнами при интерференции,
обычно известны.
§ 25.3. Условия интерференционного максимума и минимума 313
Рассмотрим пример сложения 2-х плоских волн, распростра-
распространяющихся в направлениях, указанных стрелками (рис. 25.3). Ко-
Колебания вектора Е этих волн в некоторой точке В происходят по
гармоническому закону:
E2 = Emax2cos[u(t - x2/v2)].
B5.4)
В точке В происходит сложение двух колеблющихся векторов
Е\ и Е2 с одинаковой частотой со. Возникает колебание той же
самой частоты.
щ
хг
1-я волна
В
2-я волна
Рис. 25.3. Интерференция двух плоских волн
Амплитуда Ет этого колебания определяется по формуле:
El = Е2ш1 + Е2ш2 + 2Ет1Ет2 cosAip. B5.5)
Для большей общности предположим, что волны распространя-
распространяются в разных средах с показателями преломления п\ и п2. Ско-
Скорости распространения волн соответственно равны v\ = с/п\,
v2 = с/п2, где с — скорость света в вакууме.
Найдем выражение для разности фаз:
= <р2 — <pi= uj{t — x2/v2) —
- x2/v2)
или после деления и умножения на скорость света в вакууме — с:
— - х2—
B5.6)
Учитывая формулы: си = 2тг/Т (связь циклической частоты
и периода колебаний света), Тс = Л, (связь длины волны в ваку-
вакууме с периодом колебаний и скоростью света), c/v = п, получим:
А(р =
Л
— х2п2) .
B5.7)
314 Лекция 25. Интерференция света
Произведение геометрического пути волны на показатель
преломления среды (хп) называется оптической длиной пути.
Разность оптических длин \х\П\ — x<in<i\ = S называется опти-
оптической разностью хода.
Окончательно получим связь между разностью фаз и опти-
оптической разностью хода интерферирующих волн:
А(р = (УBтг/Л), или 6 = Д<р(А/2тг). B5.8)
25.3.1. Условия интерференционного максимума. Максимум
получается, когда cos Аср = 1, (Аср = 2ктг). В этом случае
5 = к\, (fc = 0, 1, 2, ...)• B5.9)
Максимум интенсивности при интерференции
наблюдается тогда, когда оптическая разность хо-
хода равна целому числу длин волн (четному числу
полуволн).
25.3.2. Условия интерференционного минимума. Минимум
получается, когда cos Аср = — 1, (Aip = B& + 1)тг). В этом случае
S = Bfc + l)A/2. B5.10)
Минимум интенсивности при интерференции
наблюдается тогда, когда оптическая разность
хода равна нечетному числу полуволн.
25.3.3. Перераспределение энергии при интерференции. Ин-
Интенсивность волны пропорциональна амплитуде / « Е^. Учиты-
Учитывая это, соотношение B5.5) можно записать в виде:
/ = /х + /2 + 2v/7i/2 cos Aip. B5.11)
Для максимума (cos A(f = 1) имеем:
Для минимума (cos A(p = —1) имеем:
/ I < (h + h).
Действительно при интерференции происходит перераспределе-
перераспределение энергии.
§ 25.4. Интерферометры, интерференционный микроскоп
315
§ 25.4. Интерферометры, интерференционный
микроскоп
Для исследований применяются измерительные и контроль-
контрольные приборы, основанные на интерференции света.
25.4.1. Интерферометр. Принцип действия интерферометра
показан на рис. 25.4.
д
к,
S — источник, узкая щель, освещенная
монохроматическим светом
L — линза, в фокусе которой источник
К — одинаковые кюветы длиной /
Д — диафрагма с двумя щелями
Э — экран
Рис. 25.4. Ход лучей в интерферометре
На пути лучей устанавливаются кюветы Ki и К2, заполнен-
заполненные веществами с показателями преломления, соответственно,
П1 и П2, один из которых заранее известен. Оптическая разность
хода этих лучей равна S = 1п\ — 1п2 = 1{п\ — П2). Если вследствие
этой разности хода интерференционная картина сместится на N
полос (по сравнению с картиной при одинаковых веществах), то
S = NX. Тогда связь между показателями преломления имеет
вид: т = П2 + NX/1.
Назначение интерферометров: измерение с высокой степенью
точности длин волн, показателей преломления (биологических
объектов, газов), измерение эталонов длины. С помощью интер-
интерферометров легко и быстро обнаруживается содержание состава
газа, появление примесей. Это используется в санитарной прак-
практике для контроля чистоты воздуха в помещениях, шахтах. По
интерференционной картине, определяемой интерферометром,
определяют величину отступлений от плоскости и форму мик-
микронеровностей различных поверхностей.
25.4.2. Интерференционный микроскоп представляет собой
сочетание оптического микроскопа и интерферометра (рис. 25.5).
В связи с разницей показателей преломления объекта М
и среды лучи приобретают разность хода. В результате между
316
Лекция 25. Интерференция света
объектом и средой образуется световой контраст (при монохро-
монохроматическом свете) или объект станет окрашенным (при белом
свете).
L Д
Ш)
; d \
М — прозрачный объект
v О Д — диафрагма
^^1 | О — окуляр микроскопа
/ для наблюдения
интерферирующих лучей
d — толщина объекта
Рис. 25.5. Ход лучей в интерференционном микроскопе
Этот прибор применяется для измерения концентрации сухо-
сухого вещества, размеров прозрачных неокрашенных микрообъек-
микрообъектов, которые не контрастны в проходящем свете.
Разность хода определяется толщиной d объекта. Оптиче-
Оптическую разность хода можно измерить с точностью до сотых долей
длины волны, что дает возможность количественно исследовать
структуру живой клетки.
§ 25.5. Интерференция в тонких пленках
Рассмотрим прохождение света через тонкую пленку,
рис. 25.6.
Рис. 25.6. Прохождение лучей через тонкую пленку (отражение)
Малая толщина пленки L необходима для уменьшения по-
поглощения света. Свет (луч 1) падает от источника S из воздуха
на пленку с показателем преломления п под углом падения г.
Свет будет частично отражаться от поверхности пленки (луч 2).
При отражении от более плотной среды фаза отраженной волны
изменится на противоположную. Это равносильно изменению
оптической длины пути луча 2 на величину Л/2. Вторая часть
луча 1 преломится в пленке, отразится от ее нижней поверхности
и выйдет из пленки (луч 3), параллельно лучу 2. Лучи 2 и 3
§ 25.5. Интерференция в тонких пленках 317
когерентны, так как они образованы от одного источника. При
их сложении при помощи линзы (или глаза) будет происходить
интерференция в отраженном свете. Между лучами 2 и 3 воз-
возникнет разность хода, определяемая соотношением (без вывода)
S =
При освещении пленки монохроматическим светом в отражен-
отраженных лучах будет происходить интерференция. Условия для мак-
максимумов интерференции:
2L\/n2-sin2z = Bk + 1)(Л/2), B5.12)
условия для минимумов:
2bVn2-sm2i = k\, k = О, 1, 2, . . . B5.13)
В проходящих лучах максимум интерференции в отраженном
свете соответствует минимуму в проходящем, и наоборот. Из
выражений B5.12) и B5.13) следует, что интерференционная
картина в тонких пленках определяется значениями Л, L, п, г.
Для данных Л, L, п каждому углу падения г лучей соответствует
своя интерференционная картина.
Если на тонкую пленку (пластинку) под некоторым углом
падает белый свет, то условия максимума и минимума выполня-
выполняются для отдельных длин волн. Пленка при этом станет окра-
окрашенной.
Явление интерференция в тонких пленках используется
в оптических устройствах, уменьшающих долю световой
энергии, отраженной оптическими системами, и увеличивающих
(вследствие закона сохранения энергии), следовательно, энергию
поступающую к регистрирующим системам — фотопластинке,
глазу.
Это явление обусловливает разную окраску мыльных пузы-
пузырей, бензиновых пленок на воде, цвет на закаленном металле,
окрас крыльев птиц.
25.5.1. Применение интерференции в тонких пленках. Про-
Просветление оптики. В современных оптических системах, исполь-
использующих большое число отражающих поверхностей, прохождение
света сопровождается значительными потерями (например, даже
на границе стекло-воздух при нормальном падении отражается
318 Лекция 25. Интерференция света
до 4 % падающего света). В результате интенсивность прошедше-
прошедшего света ослабляется, потери светового потока могут составлять
50-80 %. Кроме того, отражение ухудшает формируемое оптиче-
оптической системой изображение (например, создается фон, уменьша-
уменьшающий контраст изображений).
Поверхности объективов оптических приборов покрывают
пленками. Толщину и вещество, из которого сделаны пленки,
подбирают таким образом, чтобы получать максимум интерфе-
интерференции в проходящем свете в соответствующей области света.
Это позволяет снизить потери интенсивности света при его от-
отражении.
Бестеневые лампы — поверхности хирургических бестеневых
ламп покрывают пленкой, дающей минимум отраженного света
в инфракрасной области излучения. Этим самым понижают теп-
тепловую отдачу ламп и, следовательно, нагревание операционного
поля.
Лекция 26
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
1. Дифракция света. Принцип Гюйгенса—Френеля.
2. Дифракция на щели в параллельных лучах.
3. Дифракционная решетка.
4. Дифракционный спектр.
5. Характеристики дифракционной решетки как спектрального
прибора.
6. Рентгеноструктурный анализ.
В природе существуют явления, при которых имеет место
отклонение от законов распространения света, описываемых гео-
геометрической оптикой: распространение света сквозь малые от-
отверстия, вблизи границ непрозрачных тел и т. д. Под дифракцией
света обычно понимают отклонения от законов распространения
света, описываемых геометрической оптикой. Дифракция наибо-
наиболее отчетливо проявляется в том случае, когда размеры препят-
препятствия соизмеримы (одного порядка) с длиной волны падающего
света.
§ 26.1. Дифракция света. Принцип
Гюйгенса—Френеля
Дифракцией называется комплекс явлений, кото-
которые обусловлены волновой природой света и на-
наблюдаются при распространении света в среде
с резкими оптическими неоднородностями.
Дифракция, например, приводит к огибанию световыми волнами
препятствий и их проникновению в область геометрической тени,
т. е. наблюдается отклонение от законов геометрической оптики.
Качественное объяснение явления дифракции дает принцип
Гюйгенса, который устанавливает способ построения фронта
волны в момент времени t + At, если известно его положение
в момент времени t.
320 Лекция 26. Дифракция света
а) По принципу Гюйгенса, каждая точка волнового фронта
является центром вторичных волн. Огибающая этих волн дает
положение фронта волны в следующий момент времени.
Поясним применение принципа Гюйгенса на следующем при-
примере. Пусть на плоскую преграду с отверстием падает плоская
волна, фронт которой параллелен преграде (рис. 26.1).
-| ФрОНТ ВОЛНЫ
т в момент t - At
^ Г^ХХХ,Х Ч^ Фронт волны
/! I Г Г Г 1 1 !^ в момент t
\ Фронт волны \
в момент t + At
Рис. 26.1. Пояснение принципа Гюйгенса
Согласно Гюйгенсу, каждая точка волнового фронта, выде-
выделяемого отверстием, служит центром вторичных сферических
волн. Из рис. 26.1 видно, что огибающая этих волн проника-
проникает в область геометрической тени, границы которой помечены
штриховой линией.
Принцип Гюйгенса ничего не говорит об интенсивности вто-
вторичных волн. Этот недостаток был устранен Френелем, который
дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции
вторичных волн и их амплитудах. Дополненный таким образом
принцип Гюйгенса получил название принципа Гюйгенса-Фре-
Гюйгенса-Френеля.
б) По принципу Гюйгенса-Френеля каждый малый элемент
волновой поверхности S служит источником вторичной световой
волны, амплитуда которой пропорциональна площади элемен-
элемента dS. Волны излучаемые различными элементами волновой
поверхности когерентны.
Интенсивность световых колебаний в произвольной точке О
есть результат интерференции в этой точке вторичных волн, ис-
испускаемых всеми элементами волновой поверхности (рис. 26.2).
Амплитуда каждой приходящей в точку О волны зависит от
расстояния г и угла а между нормалью п и направлением излу-
излучения.
5 26.2. Дифракция на щели в параллельных лучах
321
Рис. 26.2. Испускание вторичных волн элементами волновой
поверхности
§ 26.2. Дифракция на щели в параллельных лучах
Вычисления, связанные с применением принципа Гюйген-
Гюйгенса-Френеля, в общем случае представляют собой очень трудную
в математическом плане задачу. Однако в ряде случаев, обла-
обладающих высокой степенью симметрии, нахождение амплитуды
результирующих колебаний может быть выполнено алгебраиче-
алгебраическим или геометрическим суммированием. Продемонстрируем
это путем расчета дифракции света на щели.
На узкую щель (АВ) шириной а в непрозрачной преграде,
падает плоская монохроматическая световая волна длиной Л.
Направление распространения волны перпендикулярно поверх-
поверхности щели (рис. 26.3а). Поместим за щелью собирающую лин-
линзу L, а в ее фокальной плоскости расположим экран Э. В этом
случае вторичные волны, испущенные под одним и тем же
углом к оптической оси линзы, соберутся в одной точке экрана
(О').
I i
О' О sin a
Рис. 26.3. Дифракция на одной щели: а) ход лучей, б) распределение
интенсивности света
11 Федорова В. Н., Степанова Л.А.
322 Лекция 26. Дифракция света
Можно показать, что разность хода (А) лучей, идущих от
краев щели, вычисляется по формуле
А = asm а. B6.1)
Рассмотрим только те направления распространения вторич-
вторичных волн, для которых выполняется условие
Д = п(А/2),
где п — целое число.
При п = О получим А = 0 и а = 0. Это соответствует
вторичным волнам, испущенным параллельно оси линзы. Они
приходят в центр экрана (О) в одинаковой фазе (А = 0), поэтому
в центре экрана получается максимум интенсивности для волн
любой длины.
При п = 2к щель можно разбить на 2fc равных полос (зон
Френеля). При этом разность хода соответствующих лучей, иду-
идущих от соседних щелей, равна А/2. Такие лучи приходят в точ-
точку О1 в противофазе и гасят друг друга.
Минимум интенсивности при дифракции на щели
будет наблюдаться для направлений лучей вторич-
вторичных волн, удовлетворяющих условию
a sin а = ±2к\/2 = ±к\, к = 1, 2, 3, ... B6.2)
Между соседними минимумами располагаются максимумы ин-
интенсивности.
При п = 2к + 1 щель можно разбить на 2к + 1 равных
полос. При этом разность хода соответствующих лучей, идущих
от соседних зон Френеля, также равна Л/2. В результате ин-
интерференции излучение 2к зон будет полностью погашено, но
излучение одной зоны останется. В данной точке экрана будет
наблюдаться локальный максимум интенсивности.
Максимум интенсивности при дифракции на ще-
щели будет наблюдаться для направлений лучей вто-
вторичных волн, соответствующих условию
as'ma = ±Bk + 1)А/2, к = 1, 2, 3, ... B6.3)
На рис. 26.36 показан график распределения интенсивности в за-
зависимости от направления отклоненного луча (sinа). Основная
§ 26.3. Дифракционная решетка. Дифракционный спектр 323
часть световой энергии сосредоточена в центральном максиму-
максимуме. С увеличением угла дифракции интенсивность побочных
максимумов резко уменьшается (относительная интенсивность
максимумов: /0 : h : h = 1 : 0,047 : 0,017).
Если щель освещена белым светом, то на экране центральный
максимум будет белым (он общий для всех длин волн); побочные
максимумы будут содержать системы цветных полос.
§ 26.3. Дифракционная решетка. Дифракционный
спектр
Интенсивности максимумов, возникающих при дифракции на
щели столь незначительны, что не могут быть использованы для
решения практических задач. В качестве спектрального прибора
используется оптическое устройство — дифракционная решетка,
которая представляет собой систему параллельных равноотсто-
равноотстоящих щелей. Дифракционную решетку можно получить нанесе-
нанесением непрозрачных царапин (через которые свет не проходит) на
стеклянную пластину рис. 26.4. Непроцарапанные места (щели)
будут пропускать свет.
а Ь
a MVVVVVVV1
Рис. 26.4. Сечение дифракционной решетки (а) и ее схематическое
изображение {б)
Сумму ширины щели а и промежутка между щелями b назы-
называют постоянной [периодом) дифракционной решетки: d = a + b.
Дифракционная картина на решетке определяется как ре-
результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей.
Ход лучей в дифракционной решетке представлен на
рис. 26.5.
На решетку нормально падает плоская монохроматическая
световая волна. Выберем направление вторичных волн под уг-
углом а относительно нормали к решетке. Лучи, идущие в этом
направлении от крайних точек двух соседних щелей, имеют раз-
разность хода, которая равна d sin а. Такая же разность хода будет
11*
324
Лекция 26. Дифракция света
для всех вторичных волн, идущих от соответственно располо-
расположенных пар точек соседних щелей. Экран располагают в фокаль-
фокальной плоскости линзы. Поэтому все параллельные лучи соберутся
в одной точке (О7), и между ними возникнет интерференция.
II!! \ \
\ \
*¦ Линза
Оптическая ось
" линзы
О' О
Рис. 26.5. Дифракция света на дифракционной решетке
1. При интерференции возникнут главные максимумы, когда
разность хода между лучами от соседних щелей кратна целому
числу длин волн (основная формула дифракционной решетки):
d sin a =
B6.4)
где к = О, 1, 2 — порядок главных максимумов.
2. В том направлении, где одна щель дает минимум, каждая
щель даст минимум, поэтому минимум для одной щели сохра-
сохранится и для всей решетки:
a sin a =
B6.5)
3. Если для некоторого направления будут одновременно вы-
выполняться условия минимума для одной щели (a sin a = к±Х)
и максимума для всей решетки (ds'ma = &2A), то соответствую-
соответствующие главные максимумы не появятся.
4. Для характеристики решетки часто используется пара-
параметр N — число щелей дифракционной решетки. Между любыми
двумя соседними главными максимумами имеется (N — 1) доба-
добавочных минимумов. При большом числе щелей все пространство
между главными максимумами выглядит темным.
Чем больше число щелей в дифракционной решетке, тем
большее количество световой энергии проходит через решетку,
тем более интенсивными и более острыми будут максимумы.
§ 26.4. Дифракционный спектр
325
На рис. 26.6 представлены графики распределения интенсивно-
стей, полученные от решеток с разным числом N щелей.
/V
А
N=5
/\/\/\/\/\/\/\/\1 1/\/\/\/\/\/\/\/\1 1/\/\/\/\/\/\/\/\
л JV=10
ПллллллллЛ „
N=15
1ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛАЛЛ1 1ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛ111ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛ1 1ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛ/
q sin a
Рис. 26.6. Распределение интенсивностей при разных значениях N
§ 26.4. Дифракционный спектр
Из основной формулы дифракционной решетки B6.4) вид-
видно, что угол дифракции а, под которым образуются главные
максимумы, зависит от длины волны падающего света. Поэтому
максимумы интенсивности, соответствующие различным длинам
волн, получаются в различных местах экрана. Это и позволяет
использовать решетку как спектральный прибор.
Дифракционный спектр — это спектр, получен-
полученный с помощью дифракционной решетки,
При падении на дифракционную решетку белого света все мак-
максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр. При этом
положение максимума порядка к определяется условием
sin a = ±k\/d.
Чем больше длина волны (Л), тем дальше от центра отстоит
к-й максимум. Поэтому фиолетовая область главного максимума
326 Лекция 26. Дифракция света
каждого порядка будет обращена к центру дифракционной кар-
картины, красная — наружу. Заметим, что при разложении белого
света призмой, сильнее отклоняются фиолетовые лучи.
§ 26.5. Характеристики дифракционной решетки
как спектрального прибора
Основное соотношение для дифракционной решетки B6.4),
позволяет определить длину волны света измеряя угол а,
соответствующий положению k-го максимума. Таким образом
дифракционная решетка позволяет получать и анализировать
спектры сложного света.
26.5.1. Спектральные характеристики решетки.
• Угловая дисперсия — величина, определяющая угловую
ширину спектра и численно равная угловому расстоянию da
между двумя линиями спектра, длины волн которых различа-
различаются на единицу (d\ = 1):
D = da/d\, D = k/(dcosa). B6.6)
Угловая дисперсия тем выше, чем больше порядок к спектра
и чем меньше период решетки (d). Для анализа выгоднее исполь-
использовать спектры больших порядков, период решетки уменьшать.
• Разрешающая способность — величина, равная отноше-
отношению длины волны к наименьшему интервалу длин волн, которые
еще могут быть разрешены:
R = Л/АЛ, R = kN. B6.7)
Из формулы видно, что разрешающая способность дифрак-
дифракционной решетки тем больше, чем больше порядок к спектра
и число N щелей. Но практически это не используется, так как
спектры больших порядков могут перекрываться, кроме того, их
интенсивность мала.
Необходимо отметить, что явление дифракции может играть
отрицательную роль: ограничивает использование оптических
приборов в создании четкого изображения объектов наблюдения.
§ 26.6. Рентгеноструктурный анализ 327
§ 26.6. Рентгеноструктурный анализ
Основная формула дифракционной решетки может быть ис-
использована не только для определения длины волны, но и для
решения обратной задачи — нахождения постоянной дифракци-
дифракционной решетки по известной длине волны.
В качестве дифракционной решетки можно взять структур-
структурную решетку кристалла. Если на простую кристаллическую
решетку направить поток рентгеновских лучей под углом в
(рис. 26.7), то они будут дифрагировать, так как расстояние меж-
между рассеивающими центрами (атомами) в кристалле соответству-
соответствует длине волны рентгеновского излучения. Если на некотором
расстоянии от кристалла поместить фотопластинку, то она за-
зарегистрирует интерференцию отраженных лучей. Разность хода
между отраженными лучами равна 2dsm6. Максимумы будут
наблюдаться при условии
2dsin(9 = /cA, к = 1, 2, 3, ... B6.8)
где d — межплоскостное расстояние в кристалле, в — угол между
плоскостью кристалла и падающим рентгеновским лучом (угол
скольжения), Л — длина волны рентгеновского излучения. Соот-
Соотношение B6.8) называется условием Брэгга-Вульфа.
d\
Ш Ш Ш Ш Ш
Рис. 26.7. Дифракция рентгеновских лучей на простой кристалличе-
кристаллической решетке, точками указано расположение атомов
Если известна длина волны рентгеновского излучения и из-
измерен угол #, отвечающий условию B6.8), то можно определить
межплоскостное (межатомное) расстояние d. На этом основан
рентгеноструктурный анализ.
Рентгеноструктурный анализ — метод определе-
определения структуры вещества по исследованию законо-
328
Лекция 26. Дифракция света
мерностей дифракции рентгеновского излучения
на изучаемых образцах.
Рентгеновские дифракционные картины очень сложны, так
как кристалл представляет собой трехмерный объект, и рент-
рентгеновские лучи могут дифрагировать на различных плоскостях
под разными углами. Если вещество представляет собой моно-
монокристалл, то дифракционная картина представляет собой че-
чередование темных (засвеченных) и светлых (не засвеченных)
пятен, рис. 26.8а.
\ •
• •¦¦; --.'•¦¦
Рис. 26.8. Рентгенограмма для монокристалла (а), рентгенограмма
для поликристалла (б)
В том случае, когда вещество представляет собой смесь боль-
большого числа очень маленьких кристалликов (как в металле или
порошке), возникает серия колец (рис. 26.85). Каждое кольцо со-
соответствует дифракционному максимуму определенного поряд-
порядка &, при этом рентгенограмма образуется в виде окружностей,
рис. 26.85.
Рентгеноструктурный анализ используют для исследования
структур биологических систем. Например, этим методом была
установлена структура ДНК.
Лекция 27
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
1. Свет естественный и поляризованный.
2. Прохождение естественного света через поляризатор.
3. Система «поляризатор-анализатор». Закон Малюса.
4. Способы получения поляризованного света.
5. Фотоупругость.
6. Вращение плоскости поляризации оптически активными веще-
веществами.
7. Поляриметрия.
8. Элементы реабилитологии. Использование поляризованного
света.
§ 27.1. Свет естественный и поляризованный
Максвелл показал, что свет имеет электромагнитную приро-
природу, то есть представляет собой электромагнитные волны. Есте-
Естественный свет, испускаемый солнцем, лампами и т.д., представ-
представляет собой совокупность огромного количества электромагнит-
электромагнитных волн с различной частотой, испущенных различными атома-
атомами вещества. Электромагнитная волна, испущенная отдельным
атомом, характеризуется взаимно перпендикулярными вектора-
векторами напряженностей электрического (Е) и магнитного (Н) по-
полей, лежащих в плоскости, перпендикулярной направлению рас-
распространения волны. При этом направления этих векторов при
распространении волны остаются неизменными. В дальнейшем
нас будет интересовать только вектор напряженности электри-
электрического поля — Е, который называют световым вектором. На-
Направления световых векторов, "испущенных"различными атома-
атомами, различны. Поэтому в естественном свете имеются волны со
всевозможными направлениями ориентации световых векторов,
и все направления равноправны.
Естественный свет — это совокупность электро-
электромагнитных волн со всевозможными направления-
направлениями световых векторов (Е), и все направления рав-
равноправны.
330
Лекция 27. Поляризация света
Существуют устройства, позволяющие выделить из есте-
естественного света совокупность электромагнитных волн, у кото-
которых направления колебаний всех световых векторов одинаковы.
Такой свет называется плоскополяризованным.
Плоскополяризованный свет — это совокупность
электромагнитных волн с одинаковой ориентацией
всех световых векторов.
Плоскость, в которой лежат световой вектор (Е)
и направление распространения света, называется
плоскостью поляризации.
Свет, в котором имеется преимущественное направление ко-
колебаний вектора Е (то есть имеются естественные и поляри-
поляризованные составляющие) называют частично поляризованным
светом.
На рис. 27.1 представлен свет: естественный, частично
поляризованный, плоскополяризованный. Направление света
(луч О) — перпендикулярно плоскости рисунка.
Е
естественный
свет
Е
О
плоско-поляризо-
плоско-поляризованный свет
Е
частично-поляри-
зеванный свет
Е
Е
плоско-поляризо-
плоско-поляризованный свет
частично-поляри-
зованный свет
естественный
свет
Рис. 27.1. Колебания вектора Е (а) и схематическое изображение (б)
естественного и поляризованного света
§ 27.2. Прохождение естественного света через
поляризатор
Процесс выделения из естественного света поляризованного
называется поляризацией. Этот процесс может быть осуществлен
посредством специальных устройств — поляризаторов.
Поляризатор — устройство, пропускающее
составляющую светового вектора, лежащую
в определенной плоскости, которую называют
главной плоскостью поляризатора.
§ 27.3. Система «поляризатор-анализатор». Закон Малюса
331
Схематично действие поляризатора можно представить следую-
следующим образом. Пусть на него падает световая волна, в которой
световой вектор лежит в плоскости, образующей с главной плос-
плоскостью поляризатора некоторый угол (р. Такой световой вектор
можно разложить на 2 компоненты, одна из которых (Епроп)
лежит в главной плоскости, а другая (Еперп) перпендикулярна
ей. Первую составляющую поляризатор пропустит, а вторую —
нет. Это иллюстрирует рис. 27.2, где показаны световые вектора
падающего (Епад) и пропущенного поляризатором (Епроп) света.
Здесь же показано изменение интенсивности света, для которого
вектор Е образует с главной плоскостью угол ср.
Выходит из
поляризатора
Не выходит из
поляризатора
1ч\Главная плоскость
поляризатора
Рис. 27.2. Действие поляризатора на отдельную волну в составе есте-
естественного света
Описанная операция будет «проделана» для каждой волны,
входящей в состав естественного света. В результате все световые
волны на выходе поляризатора будут иметь световые вектора,
лежащие в одной плоскости.
При этом интенсивность естественного света после прохожде-
прохождения поляризатора уменьшается в два раза. Действительно, для
естественного света все направления световых векторов равно-
равновероятны и средний угол между световым вектором и главной
плоскостью поляризатора составляет 45° (cos2 45° = 1/2). Отсю-
Отсюда получаем
-'проп = ^пад COS </?ср = ^пад(-^/^)*
§ 27.3. Система «поляризатор—анализатор». Закон
Малюса
Для изучения свойств предварительно поляризованного (пол-
(полностью или частично) света используют второй поляризатор,
который в данном случае называют анализатором.
332 Лекция 27. Поляризация света
Анализатор — это поляризатор, используемый
для анализа предварительно поляризованного
света.
Пусть, например, на анализатор падает свет, прошедший через
поляризатор и, вследствие этого, являющийся плоскополяризо-
ванным. Плоскость его поляризации совпадает с главной плоско-
плоскостью поляризатора. Анализатор пропустит только ту составляю-
составляющую светового вектора, которая параллельна его (анализатора)
главной плоскости. Если угол между главными плоскостями по-
поляризатора и анализатора равен (/?, то Епроп = Enaflcos((^). Ин-
Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды свето-
светового вектора. Поэтому
Iupou = /пад COS2 if. B7.1)
Это уравнение выражает закон Малюса.
При падении на анализатор плоскополяризованно-
го света интенсивность пропущенного пучка (/прОп)
равна произведению интенсивности падающего
света (/Пад)? умноженной на квадрат косинуса
угла между плоскостью поляризации и главной
плоскостью анализатора.
Из выражения B7.1) следует, что интенсивность света, про-
прошедшего последовательно через поляризатор и анализатор, про-
пропорциональна квадрату косинуса угла между их главными плос-
плоскостями. Как видно из закона Малюса, при повороте анализа-
анализатора вокруг луча падающего плоскополяризованного света ин-
интенсивность вышедшего света изменяется от 0, при ip = 90°
(плоскость поляризатора и анализатора перпендикулярны друг
другу) до /пад? ПРИ V? = 0 (плоскость поляризатора и анализатора
параллельны друг другу).
Если же на анализатор падает частично поляризованный
свет, то при повороте анализатора интенсивность прошедшего
света не будет спадать до нуля. В частности, если на анализатор
падает естественный свет, то интенсивность вышедшего света
при повороте анализатора вообще не изменяется.
§ 27.4. Способы получения поляризованного света
Рассмотрим несколько способов получения поляризованного
света из естественного.
§ 27.4. Способы получения поляризованного света
333
27.4.1. Поляризация при отражении и преломлении. При па-
падении светового луча на границу раздела двух изотропных ди-
диэлектриков (например, воздух и стекло) он частично отражается,
а частично проникает во вторую среду. При этом в общем случае
оба луча оказываются частично поляризованными. В отражен-
отраженном луче преобладают направления вектора Е, перпендикуляр-
перпендикулярные плоскости падения, а в преломленном — параллельные ей.
Степень поляризации лучей зависит от угла падения. При неко-
некотором угле падения отраженный луч оказывается полностью
плоскополяризован (рис. 26.3). Этот угол называется углом Брю-
стера (г в) и определяется условием
tgiB = n, B7.2)
где п = П2/п\ — показатель преломления второй среды относи-
относительно первой.
Отметим, что поляризация преломленного луча в этом случае
является максимальной, хотя и далеко не полной.
Рис. 27.3. Поляризация света при отражении и преломлении на грани-
границе раздела диэлектриков
Степень поляризации преломленного луча может быть зна-
значительно повышена путем многократного преломления при усло-
условии падения света каждый раз на границу раздела под углом
Брюстера. Если, например, для стекла (п = 1,53) степень по-
поляризации преломленного света луча составляет примерно 15 %,
то после преломления на 8-10 наложенных друг на друга стек-
стеклянных пластин вышедший из такой системы свет будет пол-
полностью поляризованным. Такая совокупность пластинок назы-
называется стопой Столетова. При этом интенсивность света будет
незначительной.
334
Лекция 27. Поляризация света
27.4.2. Поляризация при двойном лучепреломлении. При пе-
переходе луча света из одной изотропной среды в другую вы-
выполняется закон преломления, и во второй среде распространя-
распространяется один преломленный луч. Явление осложняется, если вто-
вторая среда является анизотропной. Анизотропия — зависимость
физических свойств от направления. Многие кристаллы анизо-
анизотропны из-за асимметрии кристаллических решеток. Вследствие
этого показатель преломления зависит от направления падаю-
падающего луча и от ориентации электрического вектора Е световой
волны. В некоторых кристаллах наблюдается двойное лучепре-
лучепреломление: преломленный луч раздваивается. Это явление имеет
место, например, в кристаллах кварца и исландского шпата.
Один луч подчиняется законам преломления и называется обык-
обыкновенным (о). Для другого луча эти законы не выполняются,
и его называют необыкновенным (е). На рис. 27.4 двойное луче-
лучепреломление показано при нормальном падении луча на границу
раздела.
Рис. 27.4. Двойное лучепреломление
Объяснение механизма двойного лучепреломления выходит
за рамки данной лекции. Отметим лишь следующее.
Обыкновенный и необыкновенный лучи плоскополяризованы
во взаимно перпендикулярных направлениях (луч «о» поляризо-
поляризован перпендикулярно главной плоскости кристалла, а луч «е» —
параллельно ей).
Показатели преломления (по, пе) среды для этих лучей и ско-
скорости (г>о, ve) их распространения различны.
После выхода из среды с двойным лучепреломлением оба
луча идут параллельно друг другу.
Таким образом, двойное лучепреломление — способность ани-
анизотропных веществ разделять (расщеплять) падающий световой
§ 27.4. Способы получения поляризованного света
335
луч на два, распространяющихся в разных направлениях с раз-
разной скоростью и поляризованных во взаимно перпендикулярных
направлениях.
На использовании двойного лучепреломления основано дей-
действие некоторых поляризаторов. Поскольку при двойном лу-
лучепреломлении задача получения полностью поляризованного
света решается автоматически, остается лишь из двух лучей
выделить один. Рассмотрим два способа.
а) Призма Николя. Этот поляризатор изготавливается из
исландского шпата, для которого показатели преломления
обыкновенного и необыкновенного лучей различны: по = 1,65,
пе = 1,48. Призма разрезана по диагонали и склеена канадским
бальзамом с «промежуточным» показателем преломления
^к.б. = 1,55 (гае < гак.б. < гао).
При соответствующих углах падения на грань призмы обык-
обыкновенный луч «о» претерпевает полное внутреннее отражение
на прослойке канадского бальзама (не проходит через границу)
и поглощается зачерненной нижней гранью. Необыкновенный
луч «е» проходит через границу и выходит из призмы парал-
параллельно нижней грани.
\
Рис. 27.5. Ход лучей в призме Николя
б) Дихроизм, поляроиды. В некоторых кристаллах с двойным
лучепреломлением обыкновенный луч «о» поглощается значи-
значительно сильнее, чем необыкновенный «е». Такое явление на-
называется дихроизмом. Дихроизмом в диапазоне видимого света
обладает, например, турмалин. В толстой пластине из турмалина
при падающем видимом свете луч «о» практически целиком
поглощается. Выходит только луч «е».
Поляроид представляет собой пленку очень сильно дихроич-
ного кристалла — герапатита. Слой герапатита толщиною всего
0,1 мм практически полностью поглощает один из лучей, являясь
336 Лекция 27. Поляризация света
уже в таком слое совершенным поляризатором. В настоящее
время научились изготавливать покрытия из герапатита с боль-
большой площадью, что дает возможность получать широкие пучки
поляризованного света.
Подобные пленки широко применяются в дисплеях кальку-
калькуляторов и жидкокристаллических экранах мониторов компью-
компьютеров.
Листовые поляроидные покрытия из соответствующих мате-
материалов применяются для автомобильных фар, чтобы не слепить
водителей встречных машин.
Поляроидные очки с поляризационными стеклами уменьша-
уменьшают солнечные блики. При отражении от какой-либо поверхности
свет поляризуется в плоскости, параллельной поверхности. По-
Поляроидные очки пропускают только вертикально поляризован-
поляризованный свет, а отраженный от дороги горизонтально поляризован-
поляризованный свет поглощается стеклом очков.
§ 27.5. Фотоупругость
Под влиянием механических воздействий (различных спосо-
способов деформирования) изотропные тела могут становиться ани-
анизотропными, а анизотропные изменять свою анизотропию.
Фотоупругость — явление возникновения опти-
оптической анизотропии в первоначально изотропных
телах (или изменение анизотропии) под действием
механических нагрузок.
Например, при одноосном растяжении (сжатии) изотропное тело
приобретает свойства оптически одноосного кристалла с оптиче-
оптической осью, параллельной оси растяжения (сжатия). В теле возни-
возникает двойное лучепреломление. Разность показателей преломле-
преломления вещества для лучей с разной поляризацией, служащая мерой
анизотропии, пропорциональна механическому напряжению а:
An = Kg, B7.3)
где An — разность показателей преломления вещества для обык-
обыкновенного и необыкновенного лучей; К — упругооптическая кон-
константа.
§ 27.6. Вращение плоскости поляризации 337
При рассматривании в белом свете таких прозрачных объек-
объектов, точки с одинаковым внутренним напряжением будут соеди-
соединяться линиями одинаковой окраски. Для анализа распределе-
распределения внутренних напряжений в непрозрачных телах изготавлива-
изготавливают их копии из прозрачных материалов.
§ 27.6. Вращение плоскости поляризации
оптически активными веществами
Явление вращение плоскости поляризации заключается в по-
повороте плоскости поляризации плоскополяризованного света при
прохождении через вещество.
Оптически активные вещества — вещества, поворачиваю-
поворачивающие плоскость поляризации поляризованного света при прохож-
прохождении через них. Угол поворота а плоскости поляризации про-
пропорционален толщине слоя L вещества:
а = aoL, B7.4)
где ао — постоянная вращения (вращательная способность),
размерность — [град/мм].
Оптически активными веществами являются также растворы
оптически активных веществ. Для них угол поворота зависит
еще и от концентрации:
а = aocL, B7.5)
где с — концентрация, ао — удельное вращение, (численно равное
углу поворота плоскости поляризации света слоем оптически
активного вещества единичной толщины с единичной концентра-
концентрацией).
Примеры оптически активных веществ: твердые вещества —
кварц, сахар, киноварь; жидкие вещества — водный раствор
сахара, скипидар, винная кислота.
Вещество, которое поворачивает плоскость поляризации вле-
влево, называется левовращающим, и величину а считают отри-
отрицательной. Антипод данного вещества поворачивает плоскость
поляризации на столько же вправо, величина а для него такая
же по абсолютной величине, но положительная. Оптические ан-
антиподы, взятые по отдельности, не отличаются друг от друга
по физическим свойствам (температура кипения или плавления,
плотность, ИК-спектр). Столь же неотличима от них по этим
338 Лекция 27. Поляризация света
признакам невращающаяся, рацемическая смесь, в которую ан-
антиподы входят в равных количествах.
Дисперсия оптической активности — явление, заключающе-
заключающееся в том, что существует зависимость удельного вращения ао от
длины волны: ао = /(А). Существует вращательная дисперсия,
которая приводит к тому, что при пропускании белого света
составляющие с разной длиной волны поворачиваются на разные
углы.
§ 27.7. Поляриметрия
Исследования, основанные на измерении величины вращения
плоскости поляризации при прохождении поляризованного света
через оптически активное вещество, используются в медицине
для определения концентрации сахара в моче, в биофизических
исследованиях, а также в пищевой промышленности. Соответ-
Соответствующие измерительные приборы называются поляриметрами,
или сахариметрами (если они специально приспособлены для
измерения концентрации сахара).
Поляриметрия — метод, применяемый при качественном
и количественном анализе веществ с помощью поляриметров.
Поляризационный микроскоп, который отличается от обыч-
обычного оптического микроскопа тем, что перед объективом поме-
помещен поляризатор, а в тубусе — анализатор. Он используется для
исследования биологических систем, обладающих оптической
анизотропией. В нем видны только те фрагменты биологического
объекта, анизотропия которых изменяет поляризованный свет.
§ 27.8. Элементы реабилитологии. Использование
поляризованного света
Поляризованный свет используется в травматологии для
определения механического напряжение, возникающего в кост-
костных тканях. Этот метод основан на явлении фотоупругости.
Из прозрачного материала (часто плексиглаза) создают модель
кости. В ненагруженном состоянии в скрещенных поляроидах
эта модель однородна и выглядит темной. Под действием ме-
механической нагрузки, подобной той, которой кость подвергается
в реальных условиях, возникает анизотропия модели. При этом
появляется характерная картина полос и пятен. По этой картине,
§ 27.8. Элементы реабилитологии 339
а также по тем ее изменениям, которые возникают при увеличе-
увеличении или уменьшении нагрузки, можно делать выводы о механи-
механических напряжениях, возникающих в модели, а следовательно,
и в натуре.
Поляроидные очки. При падении света на горизонтальную
поверхность, например на воду, отраженный луч оказывается ча-
частично поляризованным параллельно этой поверхности. Исполь-
Используя поляроидные очки, ось которых перпендикулярна поверхно-
поверхности, можно ослабить отраженный свет попадающий в глаза. Это
позволяет снизить слепящее действие света при отражении от
воды, снежного покрова, льда и т. п.
Лекция 28
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
1. Законы отражения и преломления света.
2. Явление полного внутреннего отражения. Волоконная оптика.
3. Линзы. Оптическая сила линзы.
4. Аберрации линз.
5. Оптическая система глаза.
6. Недостатки оптической системы глаза.
7. Элементы реабилитологии. Акустическая биомеханика глаз.
При решении многих задач, связанных с распространением
света, можно использовать законы геометрической оптики, ко-
которые совпадают с законами волновой оптики при стремлении
длины волны света к нулю. Геометрическую оптику можно рас-
рассматривать как предельный случай волновой оптики при стрем-
стремлении длины волны к нулю (Л —> 0).
Геометрическая оптика — раздел, в котором изу-
изучают законы распространения света на основании
представления о световом луче как линии, вдоль
которой распространяется энергия световой вол-
волны.
§ 28.1. Законы отражения и преломления света
28.1.1. Законы отражения. Отражение волн — явление, про-
происходящее на границе раздела двух сред, в результате которого
волна изменяет направление своего распространения, оставаясь
в первой среде. Отражение света бывает:
1) диффузное (рассеянное), при котором отраженные от ше-
шероховатой поверхности лучи распространяются в этой же среде
по различным направлениям;
2) зеркальное, при котором отраженные от гладкой поверхно-
поверхности лучи распространяются по одному направлению. В дальней-
дальнейшем будет рассматриваться зеркальное отражение (рис. 28.1).
§28.1. Законы отражения и преломления света
341
Угол падения а — угол между падающим лучом и перпен-
перпендикуляром к границе раздела сред, восстановленным в точке
падения луча.
Угол отражения /3 — угол между отраженным лучом и пер-
перпендикуляром к границе раздела сред, восстановленным в точке
падения луча.
Рис. 28.1. Ход лучей при отражении
При отражении выполняются следующие законы отраже-
отражения:
Падающий луч, отраженный луч и перпендику-
перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный
в точке падения луча, лежат в одной плоскости.
Угол отражения равен углу падения: а = /3.
Эти два закона справедливы для всех видов электромагнитных
волн.
28.1.2. Законы преломления. Когда световой луч падает на
прозрачное вещество, то на границе раздела двух сред он делится
на два луча: отраженный (рассмотренный выше) и преломлен-
преломленный. Каждая среда характеризуется абсолютным показателем
преломления, который равен отношению скорости света в ваку-
вакууме к скорости света в этой среде:
п = c/v. B8.1)
На рис. 28.2 показаны лучи на границе раздела двух сред с по-
показателями преломления п\ и П2-
Рис. 28.2. Ход лучей при преломлении
342
Лекция 28. Геометрическая оптика
Преломление волн — явление, происходящее на границе раз-
раздела двух сред, в результате которого волна изменяет направле-
направление своего распространения, переходя из одной среды в другую.
Угол преломления г — угол между преломленным лучом
и перпендикуляром к границе раздела сред, восстановленным
в точке падения луча.
При преломлении выполняются следующие законы:
Падающий луч, преломленный луч и перпендику-
перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный
в точке падения луча, лежат в одной плоскости.
Отношение синуса угла падения к синусу угла
преломления есть величина постоянная, равная
отношению абсолютных показателей преломления
второй и первой сред:
sin a/ sin г = n<ijn\.
B8.2)
Величина П2/П1 = n<i\ называется относительным показателем
преломления второй среды относительно первой.
§ 28.2. Явление полного внутреннего отражения.
Волоконная оптика
28.2.1. Явление полного внутреннего отражения. Рассмот-
Рассмотрим переход света из среды с большим показателем преломле-
преломления п\ (оптически более плотной) в среду с меньшим показа-
показателем преломления П2 (оптически менее плотную). На рис. 28.3
показаны лучи, падающие на границу стекло-воздух. Для стекла
показатель преломления п\ = 1,520; для воздуха n<i = 1,000.
Стекло
7^=1,520
а б в г
Рис. 28.3. Ход лучей на границе раздела стекло-воздух
§ 28.2. Явление полного внутреннего отражения 343
Увеличение угла падения приводит к увеличению угла пре-
преломления до тех пор, пока угол преломления не станет равным
90°, рис. 28.Зв. При дальнейшем увеличении угла падения пада-
падающий луч не преломляется, а полностью отражается от границы
раздела, рис. 28.Зг (поверхность раздела в этом случае выступает
как зеркало). Это явление называется полным внутренним от-
отражением. Оно наблюдается при падении света из более плотной
среды на границу с менее плотной средой и состоит в следующем.
Если угол падения превышает предельный для
данных сред угол, то преломления на границе раз-
раздела не происходит, и падающий свет отражается
полностью.
Предельным углом полного отражения является угол паде-
падения апред, при котором угол преломления равен 90°. Для этого
случая выражение B8.2) будет иметь вид
sinanpefl/ sin 90° = П2/П1.
Следовательно, предельный угол определяется соотношением
sinanpefl = П2/П1. B8.3)
28.2.2. Волоконная оптика. Явление полного внутреннего от-
отражения используется в гибких световодах. Если свет направить
на конец тонкого стеклянного стержня (волокна), то углы, под
которыми лучи падают на стенки стержня, превысят предельный
угол. Следовательно, претерпевая полное отражение, лучи будут
распространяться в стержне даже в том случае, если он изогнут
(рис. 28.4). При этом имеют место потери энергии, обусловленные
Источник света
Рис. 28.4. Луч света распространяется по световоду
поглощением света веществом внутри стержня. Такие стержни
(каналы) называются световодами (светопроводами).
Устройства, в которых осуществляется передача света по
световодам называют общим термином — волоконная оптика.
344
Лекция 28. Геометрическая оптика
Волоконная оптика широко используется в медицине. Напри-
Например, для визуального исследования внутренних полых органов
используются гибкие гастроскопы, эндоскопы.
С помощью световодов осуществляется передача лазерного
излучения во внутренние ткани и органы с целью лечебного
воздействия. На рис. 28.5 показаны различные способы подве-
подведения лазерного излучения к ткани: 1 — лазерный луч нацелен
на ткань через систему диафрагм и линз; 2 — луч подводится
через систему подвижных зеркал; 3 — луч проводится по гибкому
пустотелому световоду с внутренней зеркальной поверхностью;
4 — луч проводится через гибкий кварцевый световод и дистан-
дистанционно нацелен на ткань.
П
2 ^8
Рис. 28.5. Способы подведения лазерного излучения к ткани
Примером природной волоконнооптической системы явля-
является сетчатка человеческого глаза. Попадая на сетчатку, свет
воспринимается светочувствительными элементами (волокнами
двух типов: палочками и колбочками). Этот слой подобен воло-
коннооптическому устройству.
У травянистых растений стебель играет роль световода, под-
подводящего свет в подземную часть растения. Клетки стебля об-
образуют параллельные колонки, напоминая этим конструкцию
промышленных световодов. Если освещать такую колонку, рас-
рассматривая ее через микроскоп, то видно, что ее стенки при этом
остаются темными, а внутренность каждой клетки ярко освеще-
освещена. Глубина, на которую доставляется таким способом свет, не
превышает 4-5 см. Но и такого короткого световода достаточно,
чтобы обеспечить светом подземную часть травянистого расте-
растения.
§ 28.3. Линзы. Оптическая сила линзы 345
§ 28.3. Линзы. Оптическая сила линзы
Линза — прозрачное тело, ограниченное обычно двумя сфе-
сферическими поверхностями, каждая из которых может быть вы-
выпуклой или вогнутой. Прямая, проходящая через центры этих
сфер, называется главной оптической осью линзы.
Линза, максимальная толщина которой значительно меньше
радиусов обеих сферических поверхностей, называется тонкой.
Проходя через линзу, световой луч изменяет направление —
отклоняется. Если отклонение происходит в сторону оптической
оси, то линза называется собирающей, в противном случае линза
называется рассеивающей.
Любой луч, падающий на собирающую линзу параллельно
оптической оси, после преломления проходит через точку опти-
оптической оси (F), называемую главным фокусом (рис. 28.6а). Для
рассеивающей линзы через фокус проходит продолжение пре-
преломленного луча (рис. 28.65).
Оптическая ось
F
Рис. 28.6. Фокус собирающей (а) и рассеивающей (б) линз
У каждой линзы имеются два фокуса, расположенные по
обе стороны от линзы. Расстояние от фокуса до центра линзы
называется главным фокусным расстоянием (/).
В расчетных формулах / берется со знаком «+» для собира-
собирающей линзы и со знаком « —» для рассеивающей линзы.
Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оп-
оптической силой линзы: D = 1//. Единица оптической силы —
диоптрия (дптр). 1 дптр — это оптическая сила линзы с фокус-
фокусным расстоянием 1 м.
Оптическая сила тонкой линзы и ее фокусное расстояние
зависят от радиусов сфер и показателя преломления вещества
линзы относительно окружающей среды:
D = (n- l)(±l/fli ± 1/Я2), / = 1/Я, B8.4)
где Ri, R,2 — радиусы кривизны ограничивающих сферических
поверхностей; п — показатель преломления для вещества линзы
346
Лекция 28. Геометрическая оптика
относительно окружающей среды; знак «+» берется для выпук-
выпуклой поверхности, а « —» — для вогнутой.
Линзы используются для получения изображений. Рассмот-
Рассмотрим предмет, расположенный перпендикулярно оптической оси
линзы, и построим изображение его верхней точки (А). Изобра-
Изображение всего предмета будет так же перпендикулярно оси линзы.
В зависимости от положения предмета по отношению к лин-
линзе возможны два случая преломления лучей, показанные на
рис. 28.7.
А
>.
а
\F I F
предметч
Мнимое
изображение
^\\ Действительное
\/ ^^4 изображение
А'
Рис. 28.7. Действительное и мнимое изображения
В случае (а) лучи, испущенные точкой А после прохождения
линзы, пересекаются в одной точке (А'). Эта точка называется
действительным изображением.
В случае (б) лучи, испущенные точкой А после прохождения
линзы расходятся, и в точке (А') пересекаются их продолжения.
Эта точка называется мнимым изображением.
Рассеивающая линза дает мнимое изображение предмета при
всех его положениях.
Для расчета изображения используется формула линзы, ко-
которая устанавливает связь между положениями точки и ее изоб-
изображения:
1/ai ±1/а2 = ±1//, B8.5)
где / — фокусное расстояние, а\ — расстояние от предмета до
линзы; п2 — расстояние от изображения до линзы. (Знак «+» или
« —» ставятся перед а^ или / в зависимости от того, являются
ли изображение или фокус действительными или мнимыми).
предмет
оптическая ось
- изображение
§ 28.4. Аберрации линз 347
Линза (даже тонкая) будет давать «правильное» изобра-
изображение, подчиняющееся формуле линзы, только при выполнении
следующих условий:
• пучки падающего света можно считать приосевыми (па-
(параксиальными) ;
• все лучи (как входящие, так и выходящие) идут под ма-
малыми углами к главной оптической оси линзы;
• показатель преломления линзы не зависит от длины вол-
волны света или свет достаточно монохроматичен.
При получении с помощью линз изображений реальных пред-
предметов эти ограничения, как правило, не выполняются: имеет
место дисперсия; некоторые точки предмета лежат в стороне от
оптической оси; падающие световые пучки не являются парак-
параксиальными, линза не является тонкой. Все это приводит к иска-
искажению изображений.
§ 28.4. Аберрации линз
Аберрации — общее название для погрешностей изображения,
возникающих при использовании линз. Аберрации (от лат. «абер-
рацио» — отклонение), которые проявляются только в немоно-
немонохроматическом свете, называются хроматическими. Все осталь-
остальные виды аберраций являются монохроматическими, так как
их проявление не связано со сложным спектральным составом
реального света.
а) Сферическая аберрация — монохроматическая аберрация,
обусловленная тем, что крайние (периферические) части линзы
сильнее отклоняют лучи, идущие от точки на оси, чем ее цен-
центральная часть. В результате этого изображение точки на экране
получается в виде светлого пятна, рис. 28.8.
Рис. 28.8. Сферическая аберрация
Этот вид аберрации устраняется путем использования си-
систем, состоящих из вогнутой и выпуклой линз.
348
Лекция 28. Геометрическая оптика
б) Астигматизм — монохроматическая аберрация, состоя-
состоящая в том, что изображение точки имеет вид пятна эллипти-
эллиптической формы, которое при некоторых положениях плоскости
изображения вырождается в отрезок.
Астигматизм косых пучков проявляется тогда, когда пучок
лучей, исходящих из точки, падает на оптическую систему и со-
составляет некоторый угол с ее оптической осью. На рис. 28.9а
точечный источник расположен на побочной оптической оси.
При этом возникают два изображения в виде отрезков прямых
линий, расположенных перпендикулярно друг другу в плоско-
плоскостях I и П. Изображение источника можно получить лишь в виде
расплывчатого пятна между плоскостями I и П.
Астигматизм, обусловленный асимметрией оптической си-
системы. Этот вид астигматизма возникает, когда симметрия оп-
оптической системы по отношению к пучку света нарушена в силу
устройства самой системы. При такой аберрации линзы созда-
создают изображение, в котором контуры и линии, ориентированные
в разных направлениях, имеют разную резкость. Это наблюда-
наблюдается в цилиндрических линзах, рис. 28.95.
Изображение
(линия)
Объект
(точка)
II
а б
Рис. 28.9. Астигматизм: косых лучей (а); обусловленный цилиндриче-
цилиндрической линзой {б)
Цилиндрическая линза образует линейное изображение то-
точечного объекта.
В глазу астигматизм образуется при асимметрии в кривизне
систем хрусталика и роговицы. Для исправления астигматизма
служат очки, которые имеют различную кривизну в разных
направлениях.
в) Дисторсия (искажение). Когда лучи, посылаемые пред-
предметом, составляют большой угол с оптической осью, то обнару-
обнаруживается еще один вид аберрации — дисторсия. В этом случае
нарушается геометрическое подобие между объектом и изобра-
изображением. Причина состоит в том, что в действительности ли-
§ 28.5. Оптическая система глаза
349
нейное увеличение, даваемое линзой, зависит от угла падения
лучей. В результате изображение квадратной сетки принимает
либо подушко-, либо бочкообразный вид, рис. 28.10.
Рис. 28.10. Дисторсия: а) подушкообразная, б) бочкообразная
Для борьбы с дисторсией подбирают систему линз с проти-
противоположной дисторсией.
г) Хроматическая аберрация заключается в том, что пучок
белого света, исходящий из точки, дает ее изображение в виде
радужного круга, фиолетовые лучи располагаются ближе к лин-
линзе, чем красные, рис. 28.11.
&
Рис. 28.11. Хроматическая аберрация
Причина этого явления состоит в имеющей место зависимо-
зависимости показателя преломления вещества от длины волны падаю-
падающего света.
Для исправления этой аберрации в оптике используют линзы,
изготовляемые из стекол с разной дисперсией: ахроматы, апохро-
апохроматы.
§ 28.5. Оптическая система глаза
28.5.1. Строение глаза. Глаз как оптическая система состоит
из следующих элементов, см. рис. 28.12.
1. Склера — достаточно прочная внешняя белковая оболочка
белого цвета, защищающая глаз и придающая ему постоянную
форму.
350
Лекция 28. Геометрическая оптика
2. Роговица — передняя часть склеры, более выпуклая и про-
прозрачная; действующая как собирающая линз, оптическая сила
которой — примерно 40 дптр; роговица — наиболее сильно пре-
преломляющая часть (обеспечивает до 75 % фокусирующей способ-
способности глаза), толщина которой 0,6-1 мм, п = 1,38.
15
11
12
18
Ц
Рис. 28.12. Оптическая система глаза
3. Сосудистая оболочка — с внутренней стороны склера вы-
выстлана сосудистой оболочкой (темные пигментные клетки, пре-
препятствующие рассеиванию света в глазу).
4. Радужная оболочка — в передней части сосудистая оболоч-
оболочка переходит в радужную.
5. Зрачок — круглое отверстие в радужной оболочке, диаметр
которого может изменяться в пределах от 2 до 8 мм (радуж-
(радужная оболочка и зрачок выполняют роль диафрагмы, регулирую-
регулирующей доступ света внутрь глаза), площадь отверстия изменяется
в 16 раз.
6. Хрусталик — природная прозрачная двояковыпуклая лин-
линза диаметром 8-10 мм, имеющая слоистую структуру, наиболь-
наибольший показатель преломления в слоях хрусталика п = 1,41; хру-
§ 28.5. Оптическая система глаза 351
сталик находится за радужной оболочкой, примыкает к зрачку,
оптическая сила его равна 20-30 дптр.
7. Кольцевая мышца — она охватывает хрусталик и может
изменять кривизну поверхностей хрусталика.
8. Передняя камера — камера с водянистой массой (п =
— ^воды), которая находится в передней части глаза за рогови-
роговицей, оптическая сила 2-4 дптр.
9. Зрительный нерв — подходя к глазу, разветвляется, обра-
образуя на задней стенке сосудистой оболочки светочувствительный
слой — сетчатку.
10. Сетчатка — светочувствительный слой, она представ-
представляет собой разветвление зрительного нерва с нервными окон-
окончаниями в виде палочек и колбочек, из них колбочки (их при-
примерно 10 млн. клеток) служат для различения мелких деталей
предмета и восприятия цветов. Палочки же A20 млн. клеток)
не дают возможности различать цвета и мелкие предметы, но
они высокочувствительны к слабому свету. С помощью пало-
палочек человек различает предметы в сумерки и ночью. Палочки
и колбочки очень малы. Диаметр палочки 2 • 10~3 мм, длина
6 • 10~3 мм, диаметр же колбочки 7 • 10~3 мм, а длина около
35 • 10~3 мм. Палочки и колбочки распределены неравномерно:
в средней части сетчатки преобладают колбочки, а по краям —
палочки.
11. Стекловидное тело — объем части глаза (задняя глазная
камера) между хрусталиком и сетчаткой, заполненный прозрач-
прозрачным стекловидным веществом, (п = пводы), имеет оптическую
силу до 6 дптр.
12. Желтое пятно — самое чувствительное место на сет-
сетчатке, то есть человек видит ясно те предметы, изображение
которых проектируется на желтое пятно.
13. Центральная ямка — наиболее чувствительная часть жел-
желтого пятна; это узкая область, в которой сетчатка углублена,
здесь палочки совсем отсутствуют, а колбочки расположены
очень плотно; особенно хорошо различимы детали, проектиру-
проектируемые на центральную ямку (глаз различает те детали объекта,
угловое расстояние между которыми не меньше углового рассто-
расстояния между соседними колбочками или палочками, в централь-
центральной ямке плотность палочек наибольшая, поэтому и различие
деталей здесь оказывается наилучшим).
352 Лекция 28. Геометрическая оптика
14. В том месте, где зрительный нерв входит в глаз, нет ни
палочек, ни колбочек, и лучи, попадающие на эту область, не
вызывают ощущения света, отсюда и название «слепое пятно».
15. Конъюнктива — наружная оболочка глаза, выполняет
барьерную и защитную роль.
Свет, действующий на колбочки и палочки, вызывает в них
химические превращения. Благодаря этому в нервном волокне,
соединяющем светочувствительные клетки глаза с мозгом, воз-
возникают электрические импульсы, которые все время передаются
в мозг, пока свет действует на глаз.
Рассматривание предмета целиком происходит следующим
образом. Изображение отдельных деталей предмета фиксируют-
фиксируются на желтое пятно и даже на центральную ямку. Поле зрения
этих предметов не велико. Так, на желтое пятно одновременно
может проектироваться картина, занимающая по горизонталь-
горизонтальному направлению около 8°, а по вертикальному — около 6°.
Поле зрения центральной ямки еще меньше и равно 1-1,5° по
горизонтальному и вертикальному направлениям. Таким обра-
образом, из всей фигуры человека, стоящего на расстоянии 1 м, глаз
может фиксировать на желтое пятно, например, только его лицо,
а на центральную ямку — поверхность, немного большую глаза.
Все остальные части фигуры проектируются на периферическую
часть сетчатки и рисуются в виде смутных деталей. Однако глаз
обладает способностью быстро перемещаться (поворачиваться)
в своей орбите, так что за короткий промежуток времени глаз
может последовательно (сканируя объект) фиксировать боль-
большую поверхность. Все изображение регистрируется за счет по-
последовательного просматривания (яркий пример — чтение тек-
текста на странице — глаз последовательно просматривает каждую
букву). Благодаря этой особенности глаза человек не замечает
ограниченности поля ясного зрения. Общее поле зрения у глаза
человека по вертикальному и горизонтальному направлениям
составляет 120-150°, то есть больше чем у хороших оптических
инструментов.
Светопроводящая часть глаза образована роговицей, жид-
жидкостью передней камеры, хрусталиком, стекловидным телом.
Спереди она ограничена воздухом, сзади — стекловидным те-
телом. Главная оптическая ось проходит через центры роговицы,
зрачка, хрусталика (глаз — центрированная оптическая систе-
§ 28.5. Оптическая система глаза 353
ма). Световоспринимающая часть (рецепторный аппарат) —
сетчатка, в которой находятся светочувствительные зрительные
клетки.
Направление наибольшей чувствительности глаза определяет
его зрительная ось, которая проходит через центры роговицы
и желтого пятна. В направлении этой оси глаз имеет наилучшую
разрешающую способность. Угол между оптической и зритель-
зрительной осью составляет 5°.
Оптическая сила глаза представляет собой алгебраическую
сумму оптических сил всех основных преломляющих сред: рого-
роговица (D = 42-43 дптр), хрусталик (D = 19-33 дптр), передняя
камера (D = 2-4 дптр), стекловидное тело (D = 5-6 дптр).
Первые три среды подобны собирающим линзам, последняя —
рассеивающей. В покое оптическая сила всего глаза — около
60 дптр, при напряжении (рассматривании близких предметов)
D > 70 дптр.
28.5.2. Аккомодация. Из формулы линзы следует, что изоб-
изображения предметов, удаленных от линзы на различные рас-
расстояния, получаются также на различных расстояниях от нее.
Однако мы знаем, что для «нормального» глаза изображения
различно удаленных предметов дают на сетчатке одинаково рез-
резкие изображения. Это означает, что существует механизм, поз-
позволяющий глазу приспосабливаться к изменению расстояния до
наблюдаемых предметов. Этот механизм называется аккомода-
аккомодацией.
Аккомодация — приспособление глаза к четкому
видению различно удаленных предметов («навод-
(«наводка на резкость»).
Аккомодацию можно осуществить двумя способами:
• первый — изменяя расстояние от хрусталика до сетчатки
(по аналогии с фотоаппаратом);
• второй — изменяя кривизну хрусталика и, следовательно,
меняя фокусное расстояние глаза.
Для глаза реализуется второй способ, который обеспечивает
четкое изображение предметов, удаленных от глаза на расстоя-
расстояния от 12 см до ос. Ближний предел аккомодации связан с мак-
максимальным напряжением кольцевой мышцы.
12 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
354
Лекция 28. Геометрическая оптика
В норме при приближении предмета к глазу на расстояние
до 25 см аккомодация совершается без существенного напряже-
напряжения. Это расстояние называется расстоянием наилучшего зре-
зрения — clq.
Светочувствительность глаза изменяется в широких преде-
пределах благодаря зрительной адаптации — способности глаза при-
приспосабливаться к различным яркостям.
28.5.3. Угол зрения. Размер изображения на сетчатке зави-
зависит от размера предмета и его удаления от глаза, то есть от угла,
под которым виден предмет (рис. 28.13). Этот угол называют
углом зрения.
Угол зрения — это угол между лучами, идущими
от крайних точек предмета через узловую точку
(оптический центр глаза).
При построении изображения, даваемого глазом, используют уз-
узловую точку TV, которая аналогична оптическому центру тонкой
линзы.
В В'
О
Изображение
на сетчатке
(размер - Ь)
Рис. 28.13. Изображение, даваемое глазом, и угол зрения /3
Разным телам (В и В1) может соответствовать один и тот же
угол зрения.
Из рис. 28.13 следует, что = B/L = b/l. Учитывая эти со-
соотношения, можно записать следующую формулу для размера
изображения:
b = Bl/L. B8.6)
Для малых углов зрения (/3 < 0,1 рад) справедлива приближен-
приближенная формула: tg/З « /3. Принимается, что / « 17 мм.
28.5.4. Разрешающая способность. Разрешающая способ-
способность — это способность глаза различать две близкие точки
предмета раздельно.
§ 28.6. Недостатки оптической системы глаза 355
Для количественной характеристики разрешающей способно-
способности глаза используют величину — наименьший угол зрения (/3Г).
Наименьший угол зрения — такой угол зрения,
при котором человеческий глаз еще различает две
точки предмета по раздельности.
Принято считать, что для нормального глаза наименьший
угол зрения глаза равен V C • 10~4 рад). Поясним это значение.
Две точки предмета будут восприниматься раздельно, если их
изображения попадают в соседние колбочки сетчатки. В этом
случае размер изображения F) на сетчатке равен расстоянию
между соседними колбочками, которое составляет около 5 мкм
E • 10~6 м). Используя рис. 28.13 и приближенное соотношение
tg/З « /3, находим:
/3 = Ь/1 = 5- 1(Г6/17 • КГ3 « 3 • КГ4 рад. « 1 угловая минута.
Если изображение двух точек на сетчатке займет линию короче
5 мкм, то эти точки не будут разрешаться, то есть глаз их не
различит.
Наряду с наименьшим углом зрения используют и другую
характеристику разрешающей способности глаза — предел разре-
разрешения.
Предел разрешения (Z) глаза — это наименьшее
расстояние между двумя точками предмета, рас-
рассматриваемого с расстояния наилучшего зрения,
при котором они различимы как отдельные объ-
объекты.
Предел разрешения глаза связан с наименьшим углом зрения
простым соотношением:
Z = аоР, B8.7)
/3 подставляют в радианах.
Для нормального глаза взрослого человека а$ = 0,25 м, /3 =
= 3 • Ю-4 рад., Z = 75- 1(Г6 м. = 75 мкм.
§ 28.6. Недостатки оптической системы глаза
Глаз почти не имеет аберраций, свойственных линзам.
Сферическая аберрация обычно отсутствует, так как зрачок
ограничивает приосевой пучок света. Сферическая аберрация
12*
356
Лекция 28. Геометрическая оптика
в хрусталике не проявляется, так как он плотнее в середине, чем
во внешних слоях). Этот вид аберрации может проявляться лишь
в сумерках, когда зрачок расширен.
Хроматическая аберрация не проявляется по ряду причин,
в том числе и из-за малости размера зрачка.
Астигматизма косых лучей нет, так как глаз всегда устанав-
устанавливается в направлении наблюдаемого объекта.
Астигматизм может быть из-за асимметрии оптической си-
системы глаза. Это обусловлено несферической формой роговицы,
хрусталика. При этом глаз не способен видеть одинаково резко
взаимно перпендикулярные линии. Компенсация — использова-
использование цилиндрических линз.
В норме в глазу при отсутствии аккомодации задний фокус
совпадает с сетчаткой. Такой глаз называется эмметропическим.
Глаз, в котором это условие не выполняется, называется аметро-
пическим. Видами аметропии являются близорукость (миопия)
и дальнозоркость (гиперметропия), рис. 28.14.
а) Близорукий глаз
б) Дальнозоркий глаз
Рис. 28.14. Близорукий глаз (а) и дальнозоркий глаз F"), способы их
исправления
Близорукий глаз не может видеть четко далекие объекты.
В спокойном состоянии задний фокус лежит внутри глаза перед
сетчаткой, рис. 28.14а. Диаметр глазного яблока больше фокус-
фокусного расстояния хрусталика (глаз вытянут). Для такого глаза
расстояние наилучшего зрения меньше 25 см.
§ 28.7. Элементы реабилитологии 357
Исправление: нужно уменьшить оптическую силу преломля-
преломляющей системы глаза, используют рассеивающие линзы.
Дальнозоркий глаз — не может видеть четко близкие объек-
объекты. В спокойном состоянии задний фокус лежит за сетчаткой,
рис. 28.146. Диаметр глазного яблока так мал, что лучи фокуси-
фокусируются за сетчаткой (глаз сжат). Для такого глаза расстояние
наилучшего зрения больше 25 см.
Исправление: нужно усилить оптическую силу преломляю-
преломляющей системы глаза, используют собирающую линзу.
Причиной близорукости и дальнозоркости может являться
также изменение свойств хрусталика.
28.6.1. Острота зрения. Недостатки оптической системы зре-
зрения приводят к тому, что наименьший угол зрения оказывается
больше 1 угловой минуты. Это связано с тем, что изображение
точки на сетчатке получается в виде размытого пятна. Поэтому
для раздельного восприятия двух точек предмета необходимо,
чтобы соответствующие им пятна не перекрывались.
В медицине разрешающую способность глаза оценивают
остротой зрения (V).
Остротой зрения называют величину, обратную
наименьшему углу зрения (в угловых минутах):
V = 1//3. Для нормального глаза острота зрения
равна единице.
Величина остроты зрения (V) для нескольких значений наимень-
наименьшего угла зрения (/3) приведена ниже.
V
1
1
2
0,5
4
0,25
10
0,1
На практике остроту зрения определяют по специальной таб-
таблице.
§ 28.7. Элементы реабилитологии. Акустическая
биомеханика глаза
Для успешного проведения медицинской реабилитации боль-
больных с различными недостатками оптической системы глаза важ-
важны неинвазивные методы оценки механических свойств тканей
глаза.
358
Лекция 28. Геометрическая оптика
28.7.1. Акустическая биомеханика глаза. Скорость распро-
распространения поверхностных волн в тканях глаза обусловлена
существующим в них механическим напряжением, которое
в свою очередь связано с особенностями структуры тканей. Ме-
Методы оценки скорости поверхностных волн с целью диагностики
и оценки лечения разработаны и осуществлены в Российском
государственном медицинском университете.
Оценка биомеханических свойств кожи верхних и нижних век
(в тарзальной и орбитальной топографических зонах) посред-
посредством измерения скорости распространения поверхностных волн
(рис. 28.15) позволяет диагностировать степень близорукости.
а б
Рис. 28.15. Различные топографические зоны век: 1 — орбитальная,
2 — тарзальная (а); щупы измерительного прибора для измерения
скорости поверхностной волны (б)
Одним из факторов, влияющих на биомеханические свойства
склеры, является кровообращение. Для улучшения последнего
используется инфразвуковой пневмомассаж, реализуемый с по-
помощью офтальмологического аппарата вакуумного массажа со
специальными глазными камерами, рис. 28.16.
Рис. 28.16. Камеры для инфразвукового массажа глаза
Камеры позволяют создавать дозированное механическое
воздействие на глазное яблоко. Воздействие осуществляется пу-
путем подачи на глазное яблоко импульсов раздражения с частотой
4 Гц и соответствующим уровнем интенсивности. Эффектив-
Эффективность данной процедуры оценивается по скорости распростране-
§ 28.7. Элементы реабилитологии 359
ния поверхностных волн в различных участках склеры. Диагно-
Диагностическим критерием при этом является степень выраженности
акустической анизотропии в склере. Степень выраженности аку-
акустической анизотропии в тарзальной области верхних век учиты-
учитывается при хирургических методах коррекции прогрессирующей
близорукости (при коллагенопластике).
При коррекции аметропии в настоящее время широко при-
применяется операции фоторефракционной кератэктомии при эк-
симерлазерном вмешательстве. Принцип воздействия эксимер-
ного лезера заключается в срезании (абляции) поверхностных
слоев роговицы, то есть изменение ее оптической силы (коррек-
(коррекция близорукости, дальнозоркости осуществляется в пределах от
—20 дптр до +20 дптр). При этом предоперационое обследова-
обследование и послеоперационный реабилитологический мониторинг осу-
осуществляются по оценке механических свойств роговицы глаза.
Лекция 29
МИКРОСКОПИЯ
1. Лупа.
2. Оптическая система микроскопа.
3. Увеличение микроскопа.
4. Предел разрешения. Разрешающая способность.
5. Полезное увеличение.
6. Специальные приемы микроскопии.
7. Электронный микроскоп.
Способность глаза различать мелкие детали предмета зави-
зависит от размеров его изображения на сетчатке или от угла зрения.
Для увеличения угла зрения используют различные оптические
приборы.
§ 29.1. Лупа
Рассмотрим действие простейшего оптического прибора -
лупы.
Лупа — это оптическая система (одна или несколь-
несколько линз) с небольшим фокусным расстоянием (от 1
до 10 см), располагаемая между предметом и гла-
глазом.
Рассматриваемый предмет помещают между лупой и ее пе-
передним фокусом с таким расчетом, чтобы его мнимое изображе-
изображение находилось в бесконечности. Для этого предмет помещают
в фокальной плоскости лупы. Другой способ состоит в том,
что мнимое изображение получается на расстоянии наилучшего
зрения для данного глаза. Хотя второй способ дает чуть большее
увеличение, первый способ удобнее, так как в этом случае глаз
не утомляется.
Сравним углы зрения, под которыми виден предмет, рассмат-
рассматриваемый «невооруженным» глазом и с помощью лупы (первый
способ).
При рассматривании предмета невооруженным глазом
(рис. 29.1а) для получения максимального угла зрения предмет
§29.1. Лупа
361
нужно поместить на расстояние наилучшего зрения а$. Угол
зрения, под которым при этом виден предмет, равен: /3 =
(В — размер предмета).
Изображение
на сетчатке
Изображение,
даваемое лупой
Изображение
на сетчатке
Рис. 29.1. Формирование изображения невооруженным глазом (а);
с помощью лупы (б^); N — узловая точка оптической системы глаза;
/ — фокусное расстояние
При рассматривании предмета с помощью лупы (рис. 29.16')
его помещают вблизи передней фокальной плоскости лупы. Глаз
рассматривает не сам предмет, а его мнимое изображение В'',
которое значительно удалено от лупы и глаза (при приближении
предмета к фокальной плоскости его изображение отодвигается
в «бесконечность»). Угол зрения, под которым видно изображе-
изображение, равен: /3' « В/ /'.
Увеличение лупы — отношение угла зрения /3', под
которым видно изображение предмета в лупе, к уг-
углу зрения /3, под которым предмет виден «невоору-
«невооруженным» глазом с расстояния наилучшего зрения:
Г = /3'//3 = о0//. B9.1)
Увеличения лупы для близорукого и дальнозоркого глаза раз-
разные, так как у них различны расстояния наилучшего зрения.
362
Лекция 29. Микроскопия
Из B9.1) видно, что увеличение можно сделать очень боль-
большим, применяя короткофокусные линзы. Однако в этом случае
появляются значительные аберрации. Для их устранения лупы
с большим увеличением (до 50) делают из двух или трех линз.
Однолинзовые лупы обычно делают с 2-4-кратным увеличением.
§ 29.2. Оптическая система микроскопа
Большее увеличение можно осуществить, рассматривая при
помощи лупы действительное изображение предмета, создавае-
создаваемое другой линзой или системой линз. Такое оптическое устрой-
устройство реализовано в микроскопе. Лупу в этом случае называют
окуляром, а другую линзу — объективом. Ход лучей в мик-
микроскопе показан на рис. 29.2 (представлен один из возможных
случаев).
Предмет В помещается несколько дальше переднего главного
фокуса объектива, который дает его увеличенное действительное
изображение В1', рассматриваемое через окуляр.
Окуляр располагается так, чтобы изображение В' находилось
между ним и его передним фокусом, а формируемое мнимое уве-
увеличенное изображение В" получалось на расстоянии наилучшего
зрения или на бесконечности. Это изображение и рассматрива-
рассматривается глазом.
Объектив
Окуляр
Рис. 29.2. Ход лучей в микроскопе
§ 29.3. Увеличение микроскопа
Важной характеристикой микроскопа является увеличение,
определение которого аналогично тому, которое было дано для
лупы.
§ 29.4. Предел разрешения. Разрешающая способность 363
Увеличение микроскопа — отношение угла зре-
зрения /3', под которым видно изображение предмета
в окуляре, к углу зрения /3, под которым предмет
виден «невооруженным» глазом с расстояния наи-
наилучшего зрения.
Поскольку микроскоп состоит из объектива и окуляра, то
его увеличение зависит как от их фокусных расстояний, так
и от их взаимного расположения. Основной характеристикой
взаимного положения окуляра и объектива является оптическая
длина тубуса А — расстояние между задним фокусом объектива
и передним фокусом окуляра (на рис. 29.2 соответствующий от-
отрезок оптической оси между точками Fo§ и FOK выделен жирной
линией).
Без вывода приведем формулу, определяющую увеличение
микроскопа:
Г = а0Д/(/Ок/об). B9.2)
Для типичного случая, а$ = 250 мм, А = 160 мм, /ок = 15 мм,
foft = 2 мм, получим Г = 1330.
§ 29.4. Предел разрешения. Разрешающая
способность
Может сложиться впечатление, что, уменьшая фокусные рас-
расстояния и увеличивая оптическую длину тубуса, можно добиться
сколь угодно большого увеличения и, следовательно, рассмот-
рассмотреть самые мелкие детали предмета. Однако учет волновых
свойств света показывает, что на размеры мелких деталей, раз-
различимых с помощью микроскопа, накладываются ограничения,
связанные с дифракцией света, проходящего через отверстие объ-
объектива. Вследствие дифракции изображением освещенной точки
оказывается не точка, а небольшой светлый кружок. Если рас-
рассматриваемые детали (точки) предмета расположены достаточно
далеко, то объектив даст их изображения в виде двух отдельных
кружков и их можно различить (рис. 29.3а). Наименьшему рас-
расстоянию между различимыми точками соответствует «касание»
кружков (рис. 29.3/9). Если точки расположены очень близко, то
соответствующие им «кружки» перекрываются и воспринимают-
воспринимаются как один объект (рис. 29.Зв).
364 Лекция 29. Микроскопия
точки изображения объектив дает раздеЛЬНОе
а в в О О изображение «удаленных»
точек;
^ Z ^
^П Г~~ предельный случай
б о о ¦ раздельного восприятия точек
(Z— предел разрешения);
«близкие» точки
e ° ° воспринимаются как один
объект
Рис. 29.3. Разрешающая способность
Основной характеристикой, показывающей возможности
микроскопа в этом отношении, является предел разрешения.
Предел разрешения Z микроскопа — это наимень-
наименьшее расстояние между двумя точками предмета,
при котором они различимы как отдельные объ-
объекты (то есть воспринимаются в микроскопе как
две точки).
Величина, обратная пределу разрешения, называется разрешаю-
разрешающей способностью. Чем меньше предел разрешения, тем больше
разрешающая способность.
Теоретический предел разрешения микроскопа зависит: от
длины волны света, используемого для освещения и от апер-
турного угла, связанного с объективом. Окуляр в отличие от
объектива не влияет на разрешающую способность микроскопа.
Апертурный угол и — угол между крайними луча-
лучами светового пучка, входящего в линзу объектива
от предмета.
объектив
предмет
Укажем без вывода формулу для предела разрешения мик-
микроскопа в воздушной среде:
Z = 0,5A/sin(u/2), B9.3)
где А — длина волны света, которым освещается объект. Учиты-
Учитывая, что А = Ао/п, (где Aq — длина волны в вакууме), можно
§ 29.5. Полезное увеличение 365
записать, что
Z = \0/2nsm(u/2), B9.4)
где величина ns'm(u/2) называется числовой апертурой А:
A = nsm(u/2). B9.5)
С учетом выражения B9.5) формулу для предела разрешения
можно записать, как
Z = А0/2А B9.6)
В воздушной среде у современных микроскопов апертурный угол
достигает 140°, числовая апертура А = 0,94. Если принять
Л = 0,555 мкм, то получим для предела разрешения значение
Z = 0,3 мкм.
§ 29.5. Полезное увеличение
Выясним, на сколько большим должно быть увеличение мик-
микроскопа при заданном пределе разрешения его объектива. При-
Примем во внимание, что у глаза имеется собственный предел разре-
разрешения, обусловленный строением сетчатки. В разделе «Оптиче-
«Оптическая система глаза» мы показали, что наименьший угол зрения
для глаза приблизительно равен 1 угловой минуте (/3 « 1'). Сле-
Следовательно, если предмет рассматривать невооруженным глазом
с расстояния наилучшего зрения ао, то глаз может раздель-
раздельно воспринимать точки, расстояние между которыми не менее
Zvn = uq/3. На самом деле практика показала, что удобная раз-
различимость должна соответствовать углу зрения в интервале от 21
до 4' (/3 = 2/-4/). Поэтому предел разрешения для нормального
глаза лежит в интервале ZrjI = 73-146 мкм (при вычислениях /3
берут в радианах, ао — в метрах).
Теперь можно сопоставить пределы разрешения глаза и мик-
микроскопа. Минимальное расстояние между рассматриваемыми
«точками» предмета при пользовании микроскопом определяют
по формуле B9.3). Для того чтобы рассмотреть эти же точки
глазом, нужно, чтобы расстояние между их изображениями ле-
лежало в пределах 73-146 мкм (ZrjI). Таким образом, увеличение
микроскопа должно определяться формулой
Гп = Zrjl/ZM = ^глЛ/@,5Л0). B9.7)
366 Лекция 29. Микроскопия
Подставив в нее полученные выше значения для ZrjI и произ-
произведя расчеты при длине волны 0,555 мкм и числовой апертуре
А = 0,94, получим интервал значений увеличения микроскопа:
500 < Гп < 1000 (округленно).
Эти увеличения называются полезными, так как при них глаз
различает все элементы структуры объекта, которые разрешимы
микроскопом. Добиваться большего значение для увеличения
микроскопа не имеет смысла, так как никаких дополнительных
деталей увидеть все равно не удастся.
Полезное увеличение микроскопа — такое увели-
увеличение, при котором предмет, имеющий размер,
равный пределу разрешения микроскопа, имеет
изображение, размер которого равен пределу раз-
разрешения глаза.
Полезное увеличение микроскопа — такое увеличение, кото-
которое можно считать разумным с учетом разрешающей способно-
способности микроскопа и свойств глаза.
Отметим, что если микроскоп используют для фотографиро-
фотографирования объекта, то в формуле B9.7) вместо Zrjl следует использо-
использовать предел разрешения пленки ZnjI.
§ 29.6. Специальные приемы микроскопии
Специальные приемы микроскопии используются для увели-
увеличения разрешающей способности (уменьшения предела разреше-
разрешения) микроскопа.
а) Иммерсия. В некоторых микроскопах для уменьшения
предела разрешения пространство между объективом и предме-
предметом можно заполнить какой-либо жидкостью. Такая жидкость
называется иммерсией, а микроскоп — иммерсионным. Если п —
показатель преломления иммерсии, то предел разрешения опре-
определяется следующей формулой:
Z = \0/2n-sin(u/2). B9.8)
Предел разрешения при использовании некоторых иммерсион-
иммерсионных сред имеет значения: ZBO3A = 0,30 мкм, ZBOASi = 0,22 мкм,
^масло = 0,19 МКМ.
б) УФ микроскопия. Для уменьшения предела разрешения
используют коротковолновое ультрафиолетовое излучение, не
§ 29.7. Электронный микроскоп 367
видимое глазом. В ультрафиолетовых микроскопах микрообъект
исследуется в УФ лучах (в этом случае линзы выполняются из
кварцевого стекла, а регистрация ведется на фотопленке или на
специальном люминесцентном экране).
в) Измерение размеров микроскопических объектов. С помо-
помощью микроскопа можно определить размеры наблюдаемого объ-
объекта. Для этого применяют окулярный микрометр. Простейший
окулярный микрометр представляет собой круглую стеклянную
пластинку, на которой нанесена шкала с делениями. Микрометр
устанавливают в плоскости изображения, получаемого от объек-
объектива. При рассматривании в окуляр изображения объекта и шка-
шкалы совмещаются, можно отсчитать, какое расстояние по шкале
соответствует измеряемой величине. Предварительно определя-
определяют по известному объекту цену деления окулярного микрометра.
г) Микропроекция и микрофотография. С помощью микроско-
микроскопа можно не только наблюдать объект через окуляр но и сфо-
сфотографировать его или спроецировать на экран. В этом случае
применяют специальные окуляры, которые и проецируют проме-
промежуточное изображение А'В' на пленку или на экран.
д) Ультрамикроскопия. Микроскоп позволяет обнаружить
частицы, размеры которых лежат за пределами его разрешения.
Этот метод использует косое освещение, благодаря чему микро-
микрочастицы видны как светлые точки на темном фоне, при этом
строение частиц увидеть нельзя, можно только установить факт
их наличия.
§ 29.7. Электронный микроскоп
В 1924 г. Луи де Бройль высказал гипотезу о волновых свой-
свойствах частиц, длина волны движущейся частицы определяется
соотношением
Л = h/mv. B9.9)
Позже эта гипотеза подтвердилась экспериментально в опы-
опытах по дифракции электронов. Исходя из этих представлений
движущийся электрон обладает волновыми свойствами, это как
бы электронная волна. Эта электронная волна может дифра-
дифрагировать, ее можно фокусировать (с помощью электрических
и магнитных полей) и получать с ее помощью изображение
предметов. На этом основан принцип действия электронного
микроскопа.
368
Лекция 29. Микроскопия
Если электрон ускоряется электрическим полем с напряже-
напряжением /У, то ему соответствует длина волны
Л = h/V2emU. B9.10)
На основании формул B9.8) и B9.10) можно получить формулу
для предела разрешения электронного микроскопа, в котором
изображение предмета формируется электронными пучками:
Z = 0, 5h/(V2emU -2nsinu/2).
B9.11)
U = 100 кВ и угловой апертуре порядка 10 2
шения равен Z = 0,1 нм = 10~10
Видно, что изменяя величину ускоряющего напряжения, мож-
можно получить меньшее значение предела разрешения по сравне-
сравнению с оптическим микроскопом. При ускоряющем напряжении
рад, предел разре-
м, что в сотни раз меньше пре-
предела разрешения оптического микроскопа. Для биологических
объектов предел разрешения составляет примерно 2 мкм (это
обусловлено особенностями приготовления образцов и защитой
их от радиационного поражения). Увеличение, даваемое элек-
электронным микроскопом, достигает величины Г = 106.
Элементы электронного микроскопа по своему назначению
соответствуют оптическому. Сопоставление их представлено
ниже.
Система
Опти-
Оптический
микро-
микроскоп
Элек-
Электронный
микро-
микроскоп
Носитель
информации
Свет
Электроны
Источник
Лампа
накали-
накаливания
Нагре-
Нагреваемый
катод
Управляю-
Управляющая
система
Оптические
линзы
Электричес-
Электрическое
и магнитное
поле (элек-
(электронные
линзы)
Получение
изображения
Глаз и
фотопластинка,
чувствительная
к свету
Люминесци-
рующий экран
и фотопластинка,
чувствительные
к электронам
Образцы для электронного микроскопа требуют специальной
подготовки. Это связано с тем, что поток электронов сильно
поглощается (что приводит к разогреванию) и рассеивается ве-
веществом, поэтому готовят тонкие срезы (порядка 0,1 мкм). Ча-
§ 29.7. Электронный микроскоп 369
сто делают оттиск исследуемой поверхности объекта на тонком
слое полимерного материала. Такие тонкие копии поверхности
предмета называются реплики. В электронном микроскопе в этом
случае рассматривают не сам объект, а его реплику.
Фокусировка электронного пучка осуществляется в вакууме,
чтобы исключить рассеяние пучка на молекулах воздуха. По-
Поэтому необходимо учитывать, что вакуум искажает собственные
свойства биологического объекта (например, за счет испарения
воды с поверхности).
Использование электронного микроскопа позволило увидеть
отдельные молекулы, в том числе и молекулы многих биологи-
биологических систем.
Лекция 30
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
1. Характеристики теплового излучения.
2. Закон Кирхгофа.
3. Законы излучения черного тела.
4. Излучение Солнца.
5. Физические основы термографии.
6. Теплообмен человека и среды.
7. Элементы реабилитологии. Светолечение. Лечебное применение
УФ излучения.
Из всего многообразия электромагнитных излучений, види-
видимых или невидимых человеческим глазом, можно выделить одно,
которое присуще всем телам - это тепловое излучение.
Тепловое излучение — электромагнитное излуче-
излучение, испускаемое веществом и возникающее за
счет его внутренней энергии.
Тепловое излучение обусловливается возбуждением частиц
вещества при соударениях в процессе теплового движения или
ускоренным движением зарядов (колебания ионов кристалличе-
кристаллической решетки, тепловое движение свободных электронов и т.д.).
Оно возникает при любых температурах выше О К, поэтому оно
присуще всем телам.
Интенсивность излучения и спектральный состав зависят от
температуры тела, поэтому не всегда тепловое излучение вос-
воспринимается глазом как свечение. Например, тела, нагретые до
высокой температуры, значительную часть энергии испускают
в видимом диапазоне, а при комнатной температуре почти вся
энергия испускается в инфракрасной части спектра.
§ 30.1. Характеристики теплового излучения
Процессы испускания и поглощения теплового излучения ко-
количественно характеризуются следующими величинами.
Поток излучения (Ф) — энергия, которую излуча-
излучает все тело за единицу времени.
§30.1. Характеристики теплового излучения 371
Размерность этой характеристики — [Дж/с = Вт].
Энергетическая светимость (Re) — энергия теп-
теплового излучения, испускаемая с единичной по-
поверхности нагретого тела за единицу времени:
Re = Ф/S. C0.1)
Размерность этой характеристики — [Вт/м2].
И поток излучения, и энергетическая светимость зависят от
строения вещества и его температуры: Ф = Ф(Т), Re = Re(T).
Энергетическая светимость 7?е, определенная выше, охваты-
охватывает весь диапазон длин испускаемых волн (теоретически — от
нуля до бесконечности). Однако часто требуется определить,
какой вклад в энергетическую светимость вносят волны опреде-
определенного диапазона (например, от Ai до А2). Для ответа на этот
вопрос используют специальную функцию.
Обозначим энергию теплового излучения, испускаемую при
данной температуре единичной поверхностью за 1 с в узком ин-
интервале длин волн от А до А + dА (рис. 30.1), через dRe.
d\
X \+ dk
Рис. 30.1. Интервал длин волн шириной dX
Спектральной плотностью энергетической све-
светимости г (испускательной способностью) назы-
называется отношение энергетической светимости в уз-
узком участке спектра (dRe) к ширине этого участ-
участка (d\):
rx = dReX/dX. C0.2)
Поясним физический смысл этой величины. Пусть dX = 1 м.
Тогда выполняется численное равенство г (А) = сШе, поэтому
спектральная плотность показывает величину энергии, излуча-
излучаемой за единицу времени с единичной поверхности в интервале
длин волн шириной 1 м (от А до А + 1 м). Размерность г —
[Вт/м3].
Зависимость спектральной плотности энергетической зависи-
зависимости от длины волны называют спектром излучения тела.
372 Лекция 30. Тепловое излучение
Зная спектральную плотность энергетической светимости те-
тела, можно рассчитать энергетическую светимость тела в любом
диапазоне. Например, энергетическая светимость, приходящаяся
на диапазон длин волн (Ai, A2), определяется следующим инте-
интегралом:
А2
Яе(Аь А2) = \rd\.
Ai
В частности, полная энергетическая светимость тела равна
Re= lrd\. C0.3)
о
Как уже указывалось, тела не только испускают, но и погло-
поглощают тепловое излучение. Способность тела поглощать энергию
характеризуется коэффициентом поглощения а.
Коэффициент поглощения а равен отношению
потока излучения, поглощенного данным телом,
к потоку излучения, упавшего на него:
OL = Фпогл/Фпад. C0.4)
Если на тело падает поток монохроматического излучения
Фпад с длиной волны А, то в общем случае тело поглощает только
часть этого потока — ФПОгл- Безразмерная величина, показыва-
показывающая, какая часть излучения данной длины волны поглощается
телом, называется монохроматическим коэффициентом погло-
поглощения: а(Х) = ФПогл(А)/ФПад(А). Из определения следует, что
0< а < 1.
Коэффициент поглощения зависит не только от длины вол-
волны, но и от температуры тела. Если рассчитать его значения
для всех длин волн и при всех температурах, то мы получим
функцию а = а(А, Т). В общем случае характер этой зависимо-
зависимости может быть весьма сложным. Ниже приводятся некоторые
простейшие типы поглощения.
Абсолютно черное тело — такое тело, коэффициент погло-
поглощения которого равен единице для всех длин волн: а = 1. Оно
поглощает все падающее на него излучение.
§30.2. Закон Кирхгофа 373
Хотя тел, которые являются абсолютно черными, в при-
природе нет, нетрудно построить достаточно хорошую модель
абсолютно черного тела — маленькое отверстие в замкнутой
непрозрачной полости со стенками, по-
покрытыми сажей, рис. 30.2. Луч, попав-
попавший в это отверстие, после многократ-
многократных отражений от стенок, будет погло-
поглощен практически полностью. Кроме то-
того, к абсолютно черному телу близки
поглощательные свойства сажи, черного
бархата, платиновой черни и т. п. Рис. 30.2. Модель абсо-
Спектральная плотность энергетиче- лютно черного тела
ской светимости абсолютно черного тела
обозначается символом е. Ее зависимость от длины волны опре-
определяет спектр излучения черного тела, который играет особую
роль. С ним связаны спектры других тел.
Абсолютно белое тело — такое тело, коэффициент поглоще-
поглощения которого равен нулю для всех длин волн: а = 0.
Истинно белых тел в природе нет, однако существуют тела,
близкие к ним по свойствам в достаточно широком диапазоне.
Например, зеркало в оптической части спектра отражает почти
весь падающий свет.
Серое тело — такое тело, для которого коэффициент
поглощения меньше единицы и не зависит от длины волны:
а = const < 1.
Некоторые реальные тела обладают этим свойством в опре-
определенном интервале длин волн. Например, «серой» (а = 0,9)
можно считать кожу человека в инфракрасной области.
§ 30.2. Закон Кирхгофа
Количественная связь между излучением и поглощением
установлена Г.Кирхгофом A859).
Закон Кирхгофа — при одинаковой температу-
температуре отношение спектральной плотности энергетиче-
энергетической светимости к монохроматическому коэффи-
коэффициенту поглощения одинаково для всех тел и равно
374 Лекция 30. Тепловое излучение
спектральной плотности энергетической светимо-
светимости абсолютно черного тела:
= (гх/ахJ = ... = (ел/1), C0.5)
гх/ах = ех, C0.6)
или
гх = <*х-ех. C0.7)
Отметим некоторые следствия этого закона.
1. Если тело не поглощает какое-либо излучение, то оно его
и не испускает. Действительно, если для некоторой длины волны
коэффициент поглощения а = 0, то и г = ае(Л, Т) = 0.
2. При одинаковой температуре черное тело излучает больше,
чем любое другое. Действительно, для всех тел, кроме абсолютно
черного, а < 1, поэтому для них г = ае(\, T) < е.
3. Если экспериментально определить спектр черного тела
е = е(Х) и зависимость монохроматического коэффициента по-
поглощения от длины волны а = а(Х) для другого тела, то можно
рассчитать и спектр излучения этого тела:
г = /(Л) = ае. C0.8)
На основании C0.8) спектр излучения серого тела может
быть определен как г = а • е, где а — коэффициент поглощения
серого тела.
§ 30.3. Законы излучения черного тела
Закон Кирхгофа ставит в центр внимания теории теплового
излучения функцию е(Л, Т) — испускательную способность аб-
абсолютно черного тела. Вид этой функции был найден не сразу.
В 1879 г. Й. Стефан экспериментально, а в 1884 г.
Л. Больцман теоретически определили энергетическую све-
светимость абсолютно черного тела.
Закон Стефана—Больцмана — энергетическая све-
светимость абсолютно черного тела пропорциональна
четвертой степени его абсолютной температуры:
Re = а • Т4, а = 5,66 • 10~8 Вт/м2К4. C0.9)
§ 30.3. Законы излучения черного тела
375
Для серого тела формула C0.9) принимает вид
Re = STA,
где S = а а — приведенный коэффициент поглощения.
Видно, что имеет место сильная температурная зависимость.
Так, при возрастании абсолютной температуры в 2 раза энер-
энергетическая светимость возрастет в 16 раз.
В табл. 30.1 приведены параметры поглощения для некото-
некоторых материалов.
Таблица 30.1. Характеристики поглощения
Материал
Хлопчато-
Хлопчатобумажная
ткань
Шерсть,
шелк
Кожа
человека
Коэффициент
поглощения, а
0,73
0,76
0,90
Приведенный коэффициент
поглощения 5, 10~8 Вт/(м2К4)
4,2
4,3
5,1
Немецкий физик В. Вин определил длину волны, соответ-
соответствующую максимуму испускательной способности A893). Со-
Соотношение, которое он получил, было названо его именем.
Закон смещения Вина — длина волны, на которую
приходится максимум спектра излучения черного
тела (Лтах), обратно пропорциональна абсолютной
температуре:
Атах = Ь/Т, b = 2,89 • ПГ3мК. C0.10)
Закон Вина называют законом смещения, так как он показывает,
как смещается длина волны, на которую приходится максимум
энергии излучения черного тела, при повышением температуры.
Это показано на рис. 30.3.
На основе законов Стефана-Больцмана и Вина можно из-
измерить температуру тел посредством измерения излучения этих
тел. Например, так определяют температуру поверхности Солн-
Солнца (~ 6000 К), температуру в эпицентре взрыва (~ 106 К) и т.д.
Общее название этих методов — пирометрия.
Многочисленные попытки определить вид функции ?(А, Т),
опираясь на законы классической физики, не привели к успеху.
376
Лекция 30. Тепловое излучение
6\ А
Рис. 30.3. Спектр излучения черного тела при разных температурах
Одна из таких попыток принадлежала Вину, другая — Рэлею.
Зависимость Вина расходилась с опытом в длинноволновой об-
области, а зависимость Рэлея — в коротковолновой.
Наконец, в 1900 г. М. Планк получил для испускательной спо-
способности абсолютно черного тела формулу, которая полностью
совпадала с экспериментальными данными для всех длин волн.
Для этого ему пришлось отказаться от классических представ-
представлений о непрерывности процесса излучения электромагнитных
волн.
По представлениям Планка, излучающее тело есть совокуп-
совокупность осцилляторов (объектов, совершающих колебания), энер-
энергия которых может изменяться лишь порциями, или квантами.
Энергия кванта равна
Е = hv, C0.11)
где v — частота, h — коэффициент пропорциональности, назы-
называемый постоянной Планка, h = 6,6 • 10~34 Дж • с.
Поскольку постоянная Планка очень мала, каждый квант
несет ничтожно малую энергию. Поэтому при больших потоках
излучения его дискретная природа незаметна.
Формула Планка, описывающая спектр излучения черного
тела, записывают через частоту света и:
ф, Т) = ™"* >
ehu/kT _
C0.12)
или через длину волны Л:
е(Х, Т) =
2tt/ic2
C0.13)
5 ehc/kT\ _ j'
где с — скорость света в вакууме, к — постоянная Больцмана.
5 30.4. Излучение Солнца
377
Из формул C0.12), C0.13) можно вывести законы излуче-
излучения, которые были установлены еще до Планка (Законы Сте-
фана-Больцмана и Вина).
§ 30.4. Излучение Солнца
Солнце — наиболее мощный источник теплового излучения,
обусловливающий жизнь на Земле. Солнечное излучение обла-
обладает лечебными свойствами (гелиотерапия), используется как
средство закаливания. Оно же может оказывать негативное воз-
воздействие на организм (ожог, тепловой удар).
Спектры солнечного излучения на границе земной атмосфе-
атмосферы и на поверхности Земли различны, рис. 30.4.
?\ к
400
800 1200 1600 2000 X, нм
! 555 нм
470 нм
Рис. 30.4. Спектр солнечного излучения: 1) на границе атмосферы,
2) на поверхности Земли
На границе атмосферы спектр близок к спектру черного тела.
При этом максимум спектра излучения приходится на Aimax =
= 470 нм. Используя закон Вина, по этому значению можно
оценить температуру поверхности Солнца. Она примерно равна
6100 К.
У поверхности Земли спектр солнечного излучения имеет
более сложную форму, что связано с поглощением в атмосфере.
Максимуму этого спектра соответствует длина волны А2тах —
= 555 нм, что соответствует наилучшей чувствительности глаза.
378
Лекция 30. Тепловое излучение
В спектре излучения Солнца, достигающего земной поверхности,
отсутствуют самые коротковолновые ультрафиолетовые лучи,
практически полностью поглощаемые озоновым слоем атмосфе-
атмосферы (поэтому Солнце при наблюдении из космоса немного «зеле-
«зеленее», чем при взгляде на него с поверхности Земли). В области
длин волн ниже 200 нм ультрафиолетовое излучение сильно
поглощается всеми телами. Непоглощенную часть ультрафиоле-
ультрафиолетового спектра условно делят на три области:
A. 400-315 нм — длинноволновая область;
B. 315-280 нм — средневолновая область;
C. 280-200 нм — коротковолновая область.
Солнечная постоянная I — характеризует мощность солнеч-
солнечного излучения, приходящегося на 1 м2 площади.
На границе земной атмосферы / = 1350 Вт/м2, на экваторе
вблизи поверхности земли — 1120 Вт/м2, в Москве — 930 Вт/м2.
Для биологических систем, существующих на земной поверх-
поверхности, важным является то, как распределена энергия в спектре
солнечного излучения. Это распределение резко меняется в зави-
зависимости от положения Солнца на небесном своде. При различной
высоте над горизонтом солнечным лучам приходится проходить
разные толщи атмосферы, которая рассеивает и поглощает эти
лучи различным образом для разных длин волн (см. лекцию 35).
На рис. 30.5 приведены сглаженные кривые распределения энер-
энергии солнечного света: I — за пределами атмосферы; II — при
положении Солнца в зените; III — при высоте 30° над горизон-
горизонтом; IV — при условиях, близких к восходу и закату, A0° над
горизонтом).
W i
300 500 700 900 1100 X, нм
Рис. 30.5. Распределение энергии в спектре Солнца при различных
высотах над горизонтом
§ 30.5. Физические основы термографии 379
§ 30.5. Физические основы термографии
У человека тепловое излучение составляет наибольшую долю
теплопотерь (около 50%). Максимум излучения приходится на
длину волны Л = 9,5 мкм.
Мощность, теряемая телом человека при взаимодействии
с окружающей средой посредством излучения, рассчитывается
по формуле
P = Saa(T?-T$), C0.14)
где S — площадь поверхности, а — коэффициент поглощения,
Т\ — температура поверхности тела или одежды, То — темпера-
температура окружающей среды.
Для одетого человека под температурой 7\ следует понимать
температуру поверхности одежды. Рассмотрим следующий при-
пример.
Пример. Для раздетого человека, температура поверхности
кожи которого 33°С C06 К), а площадь поверхности 1,5 м2,
мощность потерь за счет теплового излучения при температуре
окружающей среды 18 °С B91 К) равна (см. табл. 30.1)
Р = 1,5 • 5,1 • 10~8 • C064 - 2914) « 122 Вт.
При той же температуре окружающей среды в хлопчатобумаж-
хлопчатобумажной одежде, температура поверхности которой 24°С B97 К),
мощность потерь в несколько раз меньше:
Род = 1,5 • 4,2 • 10~8 • B974 - 2914) и 37 Вт.
Тепловое излучение человека может быть использовано как ди-
диагностический параметр.
Термография — диагностический метод, основан-
основанный на измерении и регистрации теплового излу-
излучения поверхности тела человека или его отдель-
отдельных участков.
Определение различия температуры Т поверхности тела осу-
осуществляется двумя способами.
1. Использование жидких кристаллов, физические свойства
которых чувствительны к небольшому изменению температу-
температуры. По изменению цвета жидких кристаллов можно определить
местное изменение температуры.
380 Лекция 30. Тепловое излучение
2. Использование приборов ночного видения, тепловизоров.
В технической системе тепловизора используются электронно-
оптические преобразователи, предназначенные для преобразова-
преобразования изображения из одной области спектра в другую. На входной
элемент системы подается сигнал в области И К излучения, а вос-
воспроизводится на экране телевизора в области видимого света.
Части тела с разной температурой различаются на экране либо
цветом, либо интенсивностью (тепловой портрет). Современные
методы измерения позволяют отличать участки тела, разность
температур которых составляет 0,2°.
Исследование распределения температуры кожи важно для
функциональной диагностики. При патологических состояниях
внутренних органов могут образовываться стойко существующие
кожные зоны с измененной температурой. Различные патоло-
патологические состояния характеризуются термоасимметрией и нали-
наличием температурного градиента между зоной повышенного или
пониженного излучения и симметричным участком тела, что от-
отражается на термографической картине и имеет диагностическое
и прогностическое значение. Термографический метод облегчает
дифференциальный диагноз между доброкачественными и зло-
злокачественными опухолями. Этот метод является объективным
средством контроля за эффективностью терапевтических мето-
методов лечения. Так, при термографическом обследовании больных
псориазом было установлено, что отдельные папулы, а также
псориатические бляшки не всегда обладают повышенной теп-
теплопродукцией по сравнению с окружающим кожным покровом.
При наличии выраженной инфильтрации и гиперемии в бляш-
бляшках отмечается повышение температуры. Постепенное снижение
температуры до уровня окружающих участков в большинстве
случаев коррелирует с клинической картиной заболевания, сви-
свидетельствующей о регрессии процесса на коже.
§ 30.6. Теплообмен человека и среды
Во многих медико-реабилитационных мероприятиях необхо-
необходимо учитывать теплообмен человека и среды. Организм чело-
человека поддерживает постоянную температуру тела, которая отли-
отличается от температуры внешней среды. Вследствие этого между
телом человека и окружающей средой возникает теплообмен.
§ 30.6. Теплообмен человека и среды 381
Задача организма состоит в обеспечении равенства между тепло-
теплотой, выделяющейся в организме (фВыд) и теплотой, отдаваемой
в окружающую среду (QOTA). Если по каким либо причинам
поддержка баланса между выделяемой и отдаваемой теплотами
становится невозможной, организм погибает от переохлаждения
или от перегрева. Выделение теплоты в организме происходит
за счет энергии метаболических процессов и характеризуется
удельной теплопродукцией — количеством теплоты, выделяемой
единицей массы тела за 1 с. Передача теплоты в окружающую
среду осуществляется за счет процессов теплообмена, указанных
ниже.
Тепловое воздействие на организм человека могут оказывать
внешняя среда и процессы, протекающие в самом организме.
30.6.1. Теплообмен за счет теплопроводности. Теплопровод-
Теплопроводность — процесс передачи теплоты от более нагретых частей
системы к менее нагретым, происходящий без переноса массы
вещества и без излучения электромагнитных волн. Теплопро-
Теплопроводность обусловлена тем, что частицы вещества, обладающие
большей кинетической энергией, передают ее менее быстрым ча-
частицам. Передача теплоты путем теплопроводности может про-
происходить между любыми телами при непосредственном контакте
или через промежуточную среду (кроме вакуума).
Передачу теплоты путем теплопроводности в однородной сре-
среде описывают законом Фурье:
Тепловой поток (Р), переносимый через поверх-
поверхность 5, перпендикулярно направлению оси X,
вдоль которой убывает температура, пропорцио-
пропорционален площади этой поверхности и градиенту тем-
температуры AT/АХ:
AT
PK = -akS — . C0.15)
При расчете по этой формуле теплообмена между телом и окру-
окружающей средой, осуществляемого посредством теплопроводно-
теплопроводности через одежду, величины, входящие в C0.15), имеют следую-
следующий смысл:
S — площадь поверхности одежды (м2);
AT — разность температур между внутренней и внешней
сторонами одежды;
382
Лекция 30. Тепловое излучение
АХ — толщина одежды (м);
ak — коэффициент теплопроводности материала одежды.
Знак минус указывает на то, что энергия переносится в на-
направлении убывания температуры.
Значения коэффициента теплопроводности для некоторых
веществ приведены в табл. 30.2.
Таблица 30.2. Коэффициент теплопроводности
Вещество
Сухой воздух
Ткань шерстяная сухая
Вода
Жировая клетчатка
Эпидермис человека
Мышечная ткань
Кость черепа
Серое вещество мозга
Ангиома (сосудистая
опухоль)
Кровь
Кожа при слабом
кровотоке
Кожа при сильном
кровотоке
Снег свежевыпавший
уплотненный
тающий
Глицерин
Парафин
Спирт метиловый
этиловый
Бумага
Вата хлопковая
Лед (-5°С)
Коэффициент
теплопроводности а&, Вт/м2К
0,024
0,025
0,585
0,17-0,21
0,25
0,58
0,38
0,56
0,56
0,70
0,314
1,456
0,105
0,35
0,640
0,286
0,127
0,223
0,189
0,006
0,003
0,22
Отметим, что коэффициент теплопроводности воздуха срав-
сравнительно мал, поэтому потери тепла тела за счет теплопровод-
теплопроводности воздуха невелики. Коэффициент теплопроводности воды
превышает коэффициент теплопроводности воздуха более чем
в 20 раз, поэтому в холодной воде человек начинает мерзнуть
довольно быстро.
§ 30.6. Теплообмен человека и среды 383
В живом организме ткани имеют различные теплопровод-
теплопроводности, и это различие весьма существенно для поддержания
теплового режима организма. Значительная теплопроводность
мышечной ткани, в которой находится много кровеносных сосу-
сосудов, позволяет быстро переносить тепло от внутренних органов
к внешним, предохраняя внутренние органы от перегрева. На-
Напротив, при низких температурах внешней среды слой жировой
ткани препятствует быстрой утечке тепла. Аналогичную роль
играет волосяной покров и слой воздуха между волосами.
30.6.2. Теплообмен за счет конвекции. В тех случаях, когда
в теплообмене участвуют жидкости или газы, обычно возникают
явления конвекции: одновременно с потоком тепла возникают
потоки вещества — более нагретые слои всплывают кверху, а ме-
менее нагретые опускаются. Такое перемешивание в громадной
степени ускоряет процесс теплообмена. В случае, когда твердое
тело находится в обтекающем его потоке жидкости или газа,
теплообмен также носит конвекционный характер и происходит
значительно быстрее, чем в покоящейся среде. Поэтому даже
небольшой ветер (сквозняк) приводит к увеличению потерь теп-
тепла с поверхности тела.
Теплообмен посредством конвекции описывается законом
Ньютона
Pc = acS-(Tn-TB), C0.16)
где Рс — тепловой поток от организма к среде; S — площадь
поверхности тела; Тп и Тв — соответственно, температуры по-
поверхности тела (внешней стороны одежды) и воздуха; ас —
коэффициент теплопередачи конвекцией.
Для открытых участков конвекционные процессы значитель-
значительно интенсивнее теплопередачи путем теплопроводности и в воз-
воздухе играют основную роль. Напротив, для участков тела, укры-
укрытых одеждой, конвекционные процессы могут быть сведены к ну-
нулю. Например, температура верхней поверхности зимней одеж-
одежды обычно равна температуре окружающего воздуха: Тп = Тв
и в соответствие с C0.16) Рс = 0.
Тепловой удар. Теплопередача путем теплопроводности и кон-
конвекции происходит в направлении уменьшения температуры. Ес-
Если температура окружающей среды выше температуры тела, то
384 Лекция 30. Тепловое излучение
теплопроводность и конвекция создают тепловой поток, направ-
направленный внутрь тела, что при определенной длительности приво-
приводит к перегреву (тепловой удар). Живой организм не в состоянии
функционировать без отдачи тепла наружу.
30.6.3. Теплообмен за счет испарения. Еще один механизм,
посредством которого организм отдает теплоту в окружающую
среду, связан с испарением жидкости. Количество теплоты, рас-
расходуемой на парообразование, определяется формулой
Q = гт, C0.17)
где т — масса испарившейся жидкости, г — удельная теплота
парообразования.
При комнатной температуре и нормальной влажности чело-
человек выводит из организма около 0,35 кг влаги в сутки вместе
с выдыхаемым воздухом и примерно 0,5 кг влаги в виде пота.
Удельная теплота парообразования воды велика и равна 2,52 х
х 106 Дж/кг. Поэтому тепловые потери организма на испарение
могут достигать 0,85-2,52-106 « 2-Ю6 Дж в сутки, что составляет
25-30 % всей теплопродукции организма.
Потоотделение зависит как от температуры внешней среды,
так и от ее относительной влажности, так как она в значительной
мере обусловливает скорость испарения влаги с поверхности ор-
организма. Нормальная относительная влажность среды составля-
составляет 40-60%. При высокой влажности процесс испарения с поверх-
поверхности тела замедляется, а при 100% прекращается полностью.
При высокой температуре окружающей среды это ведет к пере-
перегреву организма. По этой причине человеку трудно выполнять
физическую работу при повышенной влажности. Влажность ме-
менее 40% приводит к усилению потери влаги организмом, к его
обезвоживанию. Это также затрудняет выполнение работы.
Для протекания некоторых процессов важна не относитель-
относительная, а абсолютная влажность. Так, испарение воды с поверхно-
поверхности альвеол в легких зависит от абсолютной влажности воздуха,
так как из легких выдыхается воздух почти полностью насы-
насыщенный паром при температуре примерно 30°С. Количество
пара, которым воздух насыщается в легких, очевидно, зависит
от абсолютной влажности вдыхаемого воздуха.
§ 30.6. Теплообмен человека и среды
385
30.6.4. Особенности теплового излучения человека. Доля
теплового излучения в теплообмене человека с окружающей
средой достигает 45%. Инфракрасное излучение различных
участков поверхности тела определяется тремя факторами:
1) особенностями васкуляризации (плотности снабжения ор-
органов и тканей ссудами) поверхностей тканей;
2) уровнем метаболических процессов (обмена веществ) в них;
3) различиями в теплопроводности (связанными с развитием
жировой клетчатки).
При соблюдении стандартных условий регистрируемая топо-
топография излучения характерна для данного человека. Изменения
топографии излучения могут наблюдаться в следующих случа-
случаях.
Нарушения
Нарушение структурных
соотношений сосудистой
сети
Изменения тонуса
сосудов
Местные расстройства
кровообращения
Нарушение венозного
кровотока
Локальные изменения
теплопродукции
Изменения
теплопроводности
тканей
Механизм нарушения
Врожденные аномалии, сосудистые
опухоли (например, различные
гемангиомы)
Нарушение вегетативной
иннервации, рефлекторное
изменение тонуса
Травмы, тромбоз, склероз сосудов
Застой, обратный ток крови при
недостаточности клапанов вен
Воспалительные очаги, опухоли,
ревматические артриты
Отек, уплотнение тканей, изменение
содержания жира
Вследствие сильной температурной зависимости мощности
излучения (четвертая степень термодинамической температуры)
даже небольшое повышение температуры поверхности может
вызвать сильное изменение излучаемой мощности. Так, если,
температура поверхности тела человека изменится на 3 К, то есть
приблизительно на 1%, то мощность изменится на 4%. Такое
изменение надежно фиксируется соответствующими приборами
(тепловизорами, датчиками на жидких кристаллах и т. п.). У здо-
здоровых людей распределение температуры по различным точкам
13 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
386 Лекция 30. Тепловое излучение
поверхности тела достаточно характерно. Различные процессы
(воспаление; изменение кровообращения в венах, например, при
охлаждении или нагревании; опухоль) могут изменять местную
температуру. Таким образом, регистрация излучения разных
участков поверхности тела человека и определение их темпера-
температуры является надежным неинвазивным диагностическим мето-
методом.
30.6.5. Воздействие низких температур. Холод — лечебное
средство. Под воздействием холода (лед, снег) происходит спазм
мелких сосудов, понижается нервная возбудимость, замедляется
кровоток, снижается проницаемость мелких сосудов, предотвра-
предотвращается возникновение отеков. Криокомпресс, (гр. kryos — холод,
мороз, лед) уменьшает боль при ушибах мягких тканей, суставов,
растяжениях связок и других травм. С лечебной целью на кожу
воздействуют процедурой криомассажа, которая осуществляет-
осуществляется с использованием жидкого азота. Воздействие на кожу осу-
осуществляется при этом с помощью заполненного жидким азотом
криодеструктора, на котором имеется тефлоновая насадка с тем-
температурой (—50 — —60) °С. Для криогенных методов создают
специальную криогенную аппаратуру.
30.6.6. Защита от тепловых воздействий. Важным вопросом,
связанным с работой человека в экстремальных температурных
условиях, является организация защиты организма от тепло-
тепловых воздействий. Защита от воздействия высоких температур —
сложная задача, требующая комплексного решения. Кроме теп-
теплоизоляционных материалов для такой защиты используются
металлизированные пленки, хорошо отражающие тепловое из-
излучение, а в ряде случаев и специальный обдув тела охла-
охлажденным воздухом. Эффективность использования металлизи-
металлизированных покрытий (например, мелинекса) демонстрирует сле-
следующий пример. Испытуемые выполняли работу в помещении
с t = 50 °С. При этом интенсивность облучения составляла
1487 Вт/м2. У одетых в хлопчатобумажный комбинезон темпера-
температура тела повышалась в среднем до 39°С, а при использовании
одежды с покрытием из мелинекса — до 38 °С. При этом приме-
применение одежды с покрытием увеличивало время переносимости
данных условий на 50-70%.
§ 30.7. Элементы реабилитологии. Светолечение 387
Для защиты от радиационного нагрева космонавтов, выхо-
выходивших на поверхность Луны, применялся специальный комби-
комбинезон, надеваемый на скафандр. Он состоял из нескольких слоев
ткани с блестящей металлической поверхностью (до 14 слоев).
Внутри скафандра располагались трубки, по которым цирку-
циркулировала охлаждающая жидкость. При разработки конструк-
конструкции скафандра пришлось учитывать, что теплопродукция раз-
различных частей организма неодинакова. Поэтому охлаждающие
трубки в защитном костюме располагают так, чтобы 50% их
приходилось на ноги, 23 % — на руки, 19 % — на туловище, 8 % —
на голову и шею.
Одежда, предназначенная для защиты от низких температур
окружающей среды, должна обеспечивать адекватную венти-
вентиляцию, чтобы под одеждой не конденсировалась влага, созда-
создавать изолирующую прослойку неподвижного воздуха вокруг те-
тела. Теплоизоляционные свойства одежды снижаются при ветре
и при движении. Для защиты от переохлаждения применяют,
в частности, одежду с локальным подогревом (на спине, пояс-
пояснице, стопах, предплечье, шее, лице) до 46-51 °С и суммарной
мощностью энергопитания 100 Вт. Электрообогреваемая одежда
должна не нагревать поверхность тела человека, а лишь спо-
способствовать уменьшению теплопотерь и поддерживать нормаль-
нормальную температуру тела независимо от изменений температуры
и скорости движения окружающего воздуха, а также интенсив-
интенсивности физической работы. Используют и комбинезоны с водяным
подогревом, в которых по системе трубок движется нагретая
жидкость, как в отдельных элементах защитного костюма кос-
космонавта.
§ 30.7. Элементы реабилитологии. Светолечение.
Лечебное применение УФ излучения
30.7.1. Светолечение. Широкое лечебно-реабилитационное
применение имеет светолечение — использование инфракрасно-
инфракрасного и видимого излучения в лечебных целях.
Источником инфракрасного излучения является любое на-
нагретое тело. Интенсивность и спектральный состав такого из-
излучения определяется температурой нагретого тела. Проникая
в ткани, инфракрасные лучи (как и видимые) на месте своего
13*
388
Лекция 30. Тепловое излучение
поглощения вызывают образование тепла. Различные слои ко-
кожи неодинаково поглощают оптическое излучение разной длины
волны (см. рис. 30.6).
у 0,3 мкм 0,76 мкм 10 мкм 1 мм
0,2 мкм 0,4 мкм 0,95 мкм 100 мкм
i ( ( ( f ПТП
Рис. 30.6. Зависимость проникающей способности кожи от длины вол-
волны оптического излучения
В реабилитационно-лечебной практике в качестве искусствен-
искусственных источников инфракрасного излучения используются раз-
различные облучатели, рис. 30.7.
Рис. 30.7. Источники для светолечения: лампа Минина (а), светотеп-
ловая ванна F"), лампа Соллюкс (в)
§ 30.7. Элементы реабилитологии. Светолечение 389
Лампа Минина представляет собой обычную лампу накали-
накаливания (в которой также сочетаются видимое и инфракрасное
излучение) с рефлектором, локализующим излучение в необхо-
необходимом направлении (рис. 30.7а). Источником излучения служат
лампа накаливания мощностью 20-60 Вт из бесцветного или
синего стекла.
Светотепловые ванны представляет собой непроводящий по-
полуцилиндрический каркас, состоящий из двух половин, соеди-
соединенных подвижно между собой (рис. 30.7/9). На внутренней по-
поверхности каркаса, обращенной к пациенту, укреплены лампы
накаливания мощностью 40 Вт (количество их и включение
различно). В таких ваннах на биологический объект действует
инфракрасное и видимое излучение, а также нагретый воздух,
температура которого может достигать 70°С.
Лампа Соллюкс представляет собой мощную лампу накалива-
накаливания в которой сочетаются видимое и инфракрасное излучение),
помещенную в специальный рефлектор на штативе (рис. 30.7в).
Источником излучения служит лампа накаливания мощностью
более 500 Вт (температура вольфрамовой нити 2800°С, макси-
максимум излучения приходится на 2 мкм).
30.7.2. Лечебное применение УФ излучения. В реабилита-
реабилитационных физиотерапевтических методах широко применяется
ультрафиолетовое излучение длинноволнового (А), средневол-
средневолнового (В), коротковолнового (С) диапазонов. При поглощении
квантов ультрафиолетового излучения в тканях (в коже) проис-
происходят различные фотохимические и фотобиологические реакции
(см. лекцию 37).
Облучение создается искусственными источниками: лампы
высокого давления (дуговые ртутные трубчатые), люминесцент-
люминесцентные лампы, газоразрядные лампы низкого давления, одной из
разновидностей которых являются бактерицидные лампы. Ис-
Источники подразделяются на интегральные, которые излучают
все области спектра, и селективные, которые создают излучение
преимущественно одной области.
Длинноволновое облучение (преимущественное эритемное
и загарное действие). Оно используется при лечение многих
дерматологических заболеваний. Некоторые химические соеди-
соединения фурокумаринового ряда (например, псорален) способны
сенсибилизировать кожу этих больных к длинноволновому
390
Лекция 30. Тепловое излучение
ультрафиолетовому излучению и стимулировать образование
в меланоцитах пигмента меланина Совместное применение
данных препаратов и последующего облучения длинноволновым
ультрафиолетовым облучением является основой метода
лечения, называемого фотохимиотерапией или ПУВА-терапией
(PUVA: Р — псорален, UVA — ультрафиолетовое излучение
зоны А). При этом подвергают облучению часть или все тело.
Средневолновое облучение (преимущественно витаминообра-
зующее, антирахитное действие).
Коротковолновое облучение (преимущественно бактерицид-
бактерицидное действие). Под его воздействием происходит разрушение
структуры микроорганизмов и грибов. Оно создается с исполь-
использованием ртутно-кварцевых бактерицидных ламп, рис. 30.8а. Ис-
Используются облучатели (рис. 30.8/9) при местном облучении сли-
слизистой оболочки носа, миндалин.
Рис. 30.8. Бактерицидный облучатель (а), облучатель для носоглот-
носоглотки (б)
При некоторых методиках коротковолновое излучение ис-
используется для облучения крови (см. лекцию 37).
Ультрафиолотовое голодание. Многие люди находятся в усло-
условиях недостаточного облучения. Это жители крайнего Севера,
Заполярья, рабочие горнорудной промышленности, метрополи-
метрополитена, безоконных производств, жители крупных городов. В го-
городах недостаток солнечного света связан с загрязнением ат-
атмосферного воздуха пылью, дымом, газами, задерживающими
в основном УФ часть солнечного спектра. В помещении оконное
стекло не пропускает УФ лучи с длиной волны Л < 310 нм.
Резко снижают УФ поток загрязненные стекла, занавеси (тю-
(тюлевые занавески снижают УФ излучение на 20%). Поэтому на
многих производствах и в быту наблюдается так называемая
«биологическая полутьма». В первую очередь страдают дети
§ 30.7. Элементы реабилитологии. Светолечение 391
(возрастает вероятность заболевания рахитом). Поэтому для ор-
организации освещения всегда необходимо проводить санитарно-
реабилитологические мероприятия.
30.7.3. Вредность ультрафиолетового облучения. Наряду
с положительными биологическим воздействиями на организм
этого излучения следует отметить и отрицательные стороны
облучения. В первую очередь это относится к последствиям бес-
бесконтрольного загорания: ожоги, пигментные пятна, повреждение
глаз — развитие фотоофтальмии. Действие ультрафиолета
на глаз подобно эритеме, так как оно связано с разложением
протеинов в клетках роговой и слизистой оболочек глаза. Живые
клетки кожи человека защищены от деструктивного действия
УФ лучей «мертвыми» клетками рогового слоя кожи. Глаза
лишены этой защиты, поэтому при значительной дозе облучения
глаз после скрытого периода развивается воспаление роговой
оболочки (кератит) и слизистой оболочки глаза (конъюнктивит).
Этот эффект обусловлен излучением с длиной волны короче
310 нм. Особенно рассмотрения заслуживает бластомогенное
действие УФ радиации, приводящее к развитию рака кожи. Рак
кожи распространен у всех народов земного шара, живущих
в разных климатических условиях.
Лекция 31
РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
1. Природа рентгеновского излучения.
2. Тормозное рентгеновское излучение.
3. Характеристическое рентгеновское излучение.
4. Взаимодействие рентгеновского излучения с веществом.
5. Физические основы использования рентгеновского излучения
в медицине.
Рентгеновское излучение (Х-лучи) открыты К. Рентгеном
в 1895 г., который в 1901 г. стал первым Нобелевским лауреатом
по физике.
§ 31.1. Природа рентгеновского излучения
Рентгеновское излучение — электромагнитные волны с дли-
длиной волны от 80 до 10~5 нм. Длинноволновое рентгеновское излу-
излучение перекрывается коротковолновым УФ излучением, корот-
коротковолновое — длинноволновым 7~излУчением (см- шкалу элек-
электромагнитных волн).
Рентгеновское излучение получают в рентгеновских трубках
(рис. 31.1).
К - катод
А — анод
Пучок / ^^ Рентгеновское
электронов 1Ш^^^ излучение
Рис. 31.1. Устройство рентгеновской трубки
Трубка представляет собой стеклянную колбу (с возможно
высоким вакуумом; давление в ней порядка 10~6 мм рт. ст.) с дву-
двумя электродами: анодом А и катодом К, к которым приложено
высокое напряжение U (несколько тысяч вольт). Катод являет-
является источником электронов (за счет явления термоэлектронной
эмиссии). Анод — металлический стержень, имеет наклонную
§31.1. Природа рентгеновского излучения
393
поверхность для того, чтобы направлять возникающее рентге-
рентгеновское излучение под углом к оси трубки. Он изготовляется из
хорошо теплопроводящего материала для отвода теплоты, выде-
выделяющейся при ударах электронов. На скошенном торце имеется
пластинка из тугоплавкого металла (например, вольфрама).
Под действием высокого напряжения электроны, испущен-
испущенные катодом, ускоряются до больших энергий. Кинетическая
энергия, приобретенная электроном, равна работе электрических
сил и пропорциональна напряжению между катодом и анодом:
Ек = eU,
C1.1)
где е — заряд электрона, U — ускоряющее напряжение.
Рентгеновское излучение возникает вследствие интенсивного
торможения быстрых электронов в веществе анода при столк-
столкновениях с его атомами (взаимодействие с электрическим полем
атомного ядра и электронов).
Механизм возникновения можно представить следующим об-
образом. Движущиеся электроны — это некоторый ток, образую-
образующий свое магнитное поле. Замедление электронов при столкно-
столкновении с анодом ведет к снижению силы тока и соответственно
магнитного поля. В соответствии с теорией Максвелла изме-
изменение магнитной индукции вызовет возникновение переменного
электрического поля, то есть появление электромагнитной вол-
волны. Схематическое представление данного процесса показано на
рис. 31.2.
V
^
В
в
Поток электронов
тормозится анодом
Рис. 31.2. Схематическое представление механизма образования рент-
рентгеновского излучения
394
Лекция 31. Рентгеновское излучение
Таким образом, когда заряженная частица влетает в веще-
вещество, она тормозится, теряет свою энергию и излучает электро-
электромагнитные волны.
§ 31.2. Тормозное рентгеновское излучение
Излучение, возникающее при торможении электрона в веще-
веществе анода, называют тормозным рентгеновским излучением.
Спектр тормозного рентгеновского излучения является
сплошным. Причина этого в следующем. Разные электроны,
взаимодействуя с отдельными атомами — мишенями анода,
теряют разное количество энергии. При торможении электронов
у каждого из них часть энергии идет на нагрев анода W\ = Q,
другая часть — на создание фотона рентгеновского излучения
И^2 = hv. Соотношение между этими частями случайное.
Таким образом, непрерывный спектр тормозного рентгенов-
рентгеновского излучения образуется благодаря излучению множества
электронов, каждый из которых испускает квант рентгеновского
излучения hv. Величина этого кванта связана с сохранившейся
к моменту излучения энергией W<i, которая различна для разных
электронов.
Зависимость потока рентгеновского излучения от длины вол-
волны Л, то есть спектр рентгеновского излучения, представлена на
рис. 31.3.
Коротковолновое (жесткое) излучение обладает большей про-
проникающей способностью, чем длинноволновое (мягкое). Мягкое
излучение сильнее поглощается веществом.
Ф
о
\' \ А
Лшт3 Л , -
Т2>Тг
ф
Zz>Z2>Zl
X
\nin
X
X
а б в
Рис. 31.3. Спектр тормозного рентгеновского излучения: а) при раз-
различном напряжении U в трубке, б) при различной температуре Т ка-
катода, в) при различных веществах анода, отличающихся параметром Z
§31.3. Характеристическое рентгеновское излучение
395
Со стороны коротких длин волн спектр резко обрывается на
определенной длине волны Amin. Такое коротковолновое тормоз-
тормозное излучение возникает тогда, когда энергия, приобретенная
электроном в ускоряющем поле, полностью переходит в энергию
фотона: eU = hvmax = /ic/Amin,
in = hc/(eU).
C1.2)
Спектральный состав излучения зависит от значения напряже-
напряжения на рентгеновской трубке, с увеличением напряжения значе-
значение Amin смещается в сторону коротких длин волн (рис. 31.3а).
При изменении температуры Т накала катода возрастает
эмиссия электронов. Следовательно увеличивается ток / в труб-
трубке, но спектральный состав излучения не изменяется (рис. 31.3/9).
Поток энергии Ф тормозного излучения прямо пропорцио-
пропорционален квадрату напряжения U между анодом и катодом, силе
тока / в трубке и атомному номеру Z вещества анода:
Ф = kZU2I,
C1.3)
где к = 10"9 Вт/(В2А).
§ 31.3. Характеристическое рентгеновское
излучение
Увеличение напряжения на рентгеновской трубке приводит
к тому, что на фоне сплошного спектра появляется линейчатый,
который определяется материалом анода и называется поэтому
характеристическим рентгеновским излучением, рис. 31.4.
ФА
О X
Рис. 31.4. Спектр характеристического рентгеновского излучения
396 Лекция 31. Рентгеновское излучение
Механизм его возникновения таков. Ускоренные большим на-
напряжением электроны проникают вглубь атома и выбивают из
его внутренних слоев электроны. На свободные места переходят
электроны с верхних уровней, в результате чего высвечиваются
фотоны характеристического излучения.
Спектры характеристического рентгеновского излучения от-
отличаются от оптических спектров и имеют следующие особенно-
особенности.
31.3.1. Однотипность. Однотипность характеристических
спектров обусловлена тем, что внутренние электронные слои
у разных атомов одинаковы и отличаются только энергетически
из-за силового воздействия со стороны ядер, которое увеличи-
увеличивается с возрастанием порядкового номера элемента. Поэтому
характеристические спектры сдвигаются в сторону больших ча-
частот при увеличении заряда ядра. Опытным путем это было уста-
установлено сотрудником К. Рентгена — Г. Мозли, который, измерив
и проанализировав рентгеновские спектры для 33 химических
элементов, установил следующий закон.
Закон Мозли — корень квадратный из часто-
частоты характеристического излучения есть линейная
функция порядкового номера элемента:
yfi=A(Z-B), C1.4)
где v — частота спектральной линии, Z — атомный
номер испускающего элемента, Л, В — константы.
Важность закона Мозли заключается в том, что по этой
зависимости можно по измеренной частоте рентгеновской линии
точно узнать атомный номер исследуемого элемента. Это сыг-
сыграло большую роль в размещении элементов в периодической
системе.
31.3.2. Независимость от химического соединения. Характе-
Характеристические рентгеновские спектры атома не зависят от хими-
химического соединения, в которое входит атом элемента. Например,
рентгеновский спектр атома кислорода одинаков для О2 и Н2О,
в то время как оптические спектры этих соединений отличаются.
Эта особенность рентгеновского спектра атома послужила осно-
основанием и для названия «характеристическое».
§31.4. Взаимодействие рентгеновского излучения с веществом 397
§ 31.4. Взаимодействие рентгеновского излучения
с веществом
Воздействие рентгеновского излучения на объекты опреде-
определяется первичными процессами взаимодействия рентгеновского
фотона с электронами атомов и молекул вещества.
Рентгеновское излучение в веществе рассеивается или погло-
поглощается. При этом могут происходить различные процессы, кото-
которые определяются соотношением энергии рентгеновского фотона
hv и работой ионизации АИ (работа ионизации АИ — энергия,
необходимая для отрыва электронов от атома или молекулы).
31.4.1. Когерентное рассеяние (преимущественно длинно-
длинноволнового излучения) происходит тогда, когда выполняется
соотношение hv < АИ. У фотонов вследствие взаимодействия
с электронами внутренних оболочек, крепко связанных с ядром,
изменяется только направление движения, но энергия hv
и длина волны не меняются (поэтому это рассеяние называется
когерентным).
ядро
Рис. 31.5. Схема когерентного рассеяния
Так как энергии фотона и атома не изменяются, то когерент-
когерентное рассеяние само по себе не влияет на биологические объек-
объекты. Однако при создании защиты от рентгеновского излучения
следует учитывать возможность изменения первичного направ-
направления пучка.
31.4.2. Некогерентное рассеяние (эффект Комптона, 1922)
происходит тогда, когда энергия фотона намного больше энергии
ионизации:
hv > АИ.
При этом электрон отрывается от атома (такие электроны назы-
называются электронами отдачи) и приобретает некоторую кинети-
кинетическую энергию Ек. Энергия самого фотона уменьшается:
hv = hv1 + Ли + Ек. C1.5)
398 Лекция 31. Рентгеновское излучение
Образующееся таким образом излучение с измененной частотой
(длиной) называется вторичным, оно рассеивается по всем на-
направлениям.
Электроны отдачи, если они имеют достаточную кинетиче-
кинетическую энергию, могут ионизировать соседние атомы путем соуда-
соударения. Таким образом, в результате некогерентного рассеяния
образуется вторичное рассеянное излучение и происходит иони-
ионизация атомов вещества.
ядро
hv
Рис. 31.6. Схема некогерентного рассеяния
В отличие от процессов рассеивания при фотоэффекте квант
падающего излучения поглощается.
31.4.3. Фотоэффект происходит тогда, когда энергия фотона
hv достаточна для совершения работы Ли по отрыву электрона
или ее превышает: hv ^ АИ.
При этом рентгеновский квант поглощается, а электрон отры-
отрывается от атома. Происходит ионизация. Оторвавшийся электрон
приобретает кинетическую энергию: Ек = hv — АИ.
ядро
\
Рис. 31.7. Схема фотоэффекта
Если кинетическая энергия велика, то электрон может иони-
ионизировать соседние атомы путем соударения, образуя новые вто-
вторичные электроны.
31.4.4. Рентгенолюминесценция происходит тогда, когда
энергии поглощенного кванта недостаточно для ионизации
атома и происходит возбуждение атома или молекулы. При
возвращении в основное состояние атом излучает несколько
фотонов в области видимого излучения.
§31.5. Физические основы использования рентгеновского излучения 399
В тканях неионизирующее поглощение может приводить
к активации молекул и фотохимическим реакциям.
ядро
hv ,
W
Рис. 31.8. Схема рентгенолюминесценции
Рассмотренные процессы могут вызвать вторичные явления.
Например, если при фотоэффекте происходит выбивание элек-
электрона с внутренней оболочки атома, то на его место могут пере-
переходить электроны с более высоких оболочек, что сопровождается
вторичным характеристическим излучением данного вещества.
Фотоны вторичного излучения, взаимодействуя с электронами
соседних атомов, могут в свою очередь вызывать вторичные
явления.
31.4.5. Закон ослабления. Поток рентгеновского излучения
ослабляется в веществе по закону
ф = ф0 .ехр(-//ж), C1.6)
где /i — линейный коэффициент ослабления, который существен-
существенно зависит от плотности вещества. Он равен сумме трех слагае-
слагаемых, соответствующих когерентному рассеянию /ii, некогерент-
некогерентному fi2 и фотоэффекту /1%:
11 = 111 + 112 + Мз- C1.7)
§ 31.5. Физические основы использования
рентгеновского излучения в медицине
Рентгеновское излучение при падении на тело незначительно
отражается от его поверхности, а в основном проходит вглубь,
при этом частично поглощается и рассеивается, частично прохо-
проходит насквозь.
Пользуются массовым коэффициентом ослабления, который
не зависит от плотности вещества р:
C1.8)
400
Лекция 31. Рентгеновское излучение
Массовый коэффициент ослабления зависит от энергии фотона
и от атомного номера вещества-поглотителя:
цт = k\3Z3. C1.9)
Массовые коэффициенты ослабления кости и мягкой ткани
(воды) отличаются:
кости/Mm воды
= t)O.
Если на пути рентгеновских лучей поместить неоднородное
тело и за ним поставить флуоресцирующий экран, то это тело,
поглощая или ослабляя излучение, образует на экране тень.
По характеру этой тени можно судить о форме, плотности,
структуре, а во многих случаях и о природе тел. То есть суще-
существенное различие поглощения рентгеновского излучения разны-
разными тканями позволяет в теневой проекции видеть изображение
внутренних органов.
Если исследуемый орган и окружающие ткани одинаково
ослабляют рентгеновское излучение, то применяют рентгено-
контрастные вещества. Так, например, наполнив желудок и ки-
кишечник кашеобразной массой сульфата бария (BaSO4), можно
видеть их теневое изображение (соотношение коэффициентов
ослабления в этом случае равно 354).
31.5.1. Использование в медицине. В медицине исполь-
используется рентгеновское излучение с энергией фотонов от 60
до 100-120 кэВ — при диагностике и 150-200 кэВ — при терапии.
Рентгенодиагностика — распознавание заболева-
заболеваний при помощи просвечивания тела рентгенов-
рентгеновским излучением.
Рентгенодиагностику используют в различных вариантах, кото-
которые приведены ниже.
Рентгенодиагностика
Рентгеноскопия
(про свечивание)
Рентгенография
(снимок)
Флюорография
§31.5. Физические основы использования рентгеновского излучения 401
При рентгеноскопии рентгеновская трубка расположена по-
позади пациента. Перед ним располагается флуоресцирующий
экран. На экране наблюдается теневое изображение. В каждом
отдельном случае подбирается соответствующая жесткость из-
излучения, так чтобы оно проходило через мягкие ткани, но доста-
достаточно поглощалось плотными. В противном случае получается
однородная тень. На экране сердце, ребра видны темными, лег-
легкие — светлыми.
При рентгенографии объект помещается на кассете, в кото-
которую вложена пленка со специальной фотоэмульсией. Рентгенов-
Рентгеновская трубка располагается над объектом. Получаемая рентгено-
рентгенограмма дает негативное изображение, то есть обратное по кон-
контрасту с картиной, наблюдаемой при просвечивании. В данном
методе имеется возможность наблюдать детали, которые трудно
рассмотреть при просвечивании. Преимуществом этого метода
является малое время облучения (меньшая доза), а недостат-
недостатком — объект нельзя проследить в динамике.
При флюорографии на чувствительной малоформатной плен-
пленке фиксируется изображение с большого экрана. Снимки рас-
рассматриваются на специальном увеличителе.
Рентгенотерапия — использование рентгеновско-
рентгеновского излучения для уничтожения злокачественных
образований.
Биологическое действие излучения заключается в нарушении
жизнедеятельности особенно быстро размножающихся клеток.
Лекция 32
РАДИОАКТИВНОСТЬ
1. Радиоактивность.
2. Основной закон радиоактивного распада.
3. Активность.
4. Основные типы радиоактивного распада.
5. Количественные характеристики взаимодействия ионизирующе-
ионизирующего излучения с веществом.
6. Биофизические основы действия ионизирующего излучения.
7. Элементы реабилитологии. Радиофармацевтические препараты.
§ 32.1. Радиоактивность
Явление радиоактивности было открыто в 1896 г.
А. Беккерелем.
Радиоактивность — способность некоторых атом-
атомных ядер самопроизвольно (спонтанно) превра-
превращаться в другие ядра с испусканием частиц.
Характерным признаком радиоактивности является спон-
спонтанность распада, который представляет собой вероятностный
процесс. Нет возможности предсказать, сколько времени просу-
просуществует тот или иной атом, но можно определить вероятность
распада в течение заданного промежутка времени.
Существуют два вида радиоактивности:
1) естественная, которая встречается у природных неустой-
неустойчивых ядер;
2) искусственная, которая встречается у радиоактивных
ядер, образованных в результате различных ядерных реакций;
источником искусственной радиоактивности могут являться
и радиоактивные осадки.
Оба вида радиоактивности имеют общие закономерности.
32.1.1. Естественная радиоактивность. Особо необходимо
сказать об естественной радиоактивности, иногда называемой
природной атомной радиацией. Живой организм подвержен
§32.1. Радиоактивность 403
этому облучению все время своего существования. Источники
этой радиации могут находиться вне живых организмов,
и тогда говорят о естественном внешнем облучении. Некоторые
источники входят в химический состав живых организмов,
облучая его клетки и ткани как бы изнутри, они определяют
естественное внутреннее облучение организма.
Известно пять основных источников природной атомной ра-
радиации, табл. 32.1.
Таблица 32.1. Относительный вклад основных источников атомной
радиации в природный радиоактивный фон
1
2
3
4
5
Доля
49,5 %
15%
15,3%
12,2%
8%
Источник природного радиоактивного фона
Газ радон 222Rn и радиоактивные продукты его распада
Радиоизотоп 4иК
Космическое излучение
Радиевый ряд урана
Ториевый ряд урана
Рассмотрим особенности каждого источника в формировании
природного радиоактивного фона.
Газ радон образуется из рассеянного в породах земной ко-
коры, непрерывно распадающегося радия B36Ra). Радон, являясь
инертным газом, сравнительно хорошо растворим в воде. Из
почвы он поступает в приземный слой атмосферы и воды под-
подземных источников, непрерывно облучая высокоэнергетичными
E,40 МэВ) альфа-частицами и гамма-излучением @,51 МэВ)
почву, корни растений и наземную флору и фауну. Радон, рас-
распадаясь, в свою очередь, дает ряд дочерних продуктов, часть из
которых также является радиоактивными.
Концентрация радона подвержена значительным колебани-
колебаниям. Содержание радона в водах различного происхождения (пи-
(питьевая вода и вода в буровых скважинах) отличается более чем
в 1000 раз. Велико его содержание в водах природных источников
многих курортов мира. Вода является одним из источников, по-
поставляющих радон в жилые помещения. Другими источниками
радона в воздухе жилых помещений являются поступления из
почвы (подвалы, первые этажи) и из строительных материалов.
Радиоизотоп 40К. Природный калий состоит из трех изото-
изотопов один из которых 40К @,0119%) является радиоактивным.
Так как в природных условиях изотопный состав элементов не
404
Лекция 32. Радиоактивность
меняется, то всюду, где бы не находился калий, он всегда сопро-
сопровождается своим радиоактивным изотопом 40К.
Калий-40 является основным радионуклидом, обусловливаю-
обусловливающим постоянное внутреннее облучение живых тел. Из почвы этот
элемент поступает через корневую систему растений и с расти-
растительной пищей (зерновые, свежие овощи и фрукты, грибы) —
в организм. Его распределение по тканям человеческого орга-
организма представлено в табл. 32.2.
Таблица 32.2. Содержание калия-40 в тканях человеческого
организма
Ткань
Тимус
Кожа
Щитовидная железа
Кишечник
Кровь
Легкие
Семенники
Сердце
Печень
ЦНС
Головной мозг
Мыщцы скелета
Селезенка
Эритроциты
Красный костный мозг
Средняя
концентрация
(г/кг)
0,6
0,8
1,2
1,2
1,6
1,9
2,0
2Д
25
2,9
3,0
3,0
3,1
3,4
4,0
Активность 1 кг
ткани
(Бк/кг)
18
24
36
36
48
57
60
63
75
87
90
90
93
102
121
Космическое излучение. Из космического пространства исхо-
исходит поток радиации, постоянно облучающей нашу планету. Во
время солнечных вспышек этот поток существенно возрастает.
Первичное космическое излучение состоит из протонов высоких
энергий, ионов гелия, ядер других атомов, электронов, фотонов
и нейтронов. Магнитное поле Земли отклоняет низкоэнергетиче-
низкоэнергетические заряженные частицы. Высокоэнергетические частицы про-
проникают в верхние слои атмосферы, где они, воздействуя на ядра
атомов атмосферы, вызывают ядерные реакции с образованием
ряда радиоактивных нуклидов. При этих реакциях возникают
высокоэнергетические протоны, нейтроны, в свою очередь вы-
§32.1. Радиоактивность 405
зывающие ядерные реакции. Образуются так называемые косми-
космические ливни, составляющие вторичное космическое излучение,
уже проникающее в низкие слои атмосферы облучающие все на
Земле.
В атмосфере, в результате реакции космических нейтронов
с ядрами азота и кислорода, возникает радиоактивный изотоп
водорода — тритий CН), который частично превращается в три-
тиевую воду. Эта вода, участвуя в общем круговороте воды
в природе, попадает в организм и является источником бета-
лучей @,01795 МэВ). Этому облучению подвержены все ткани
организма.
Под действием космических нейтронов в атмосфере посто-
постоянно образуется радиоактивный изотоп углерода A4С). При со-
соединении с кислородом этот изотоп дает углекислоту 14СО2- Та-
Таким образом, углекислота атмосферы всегда содержит примесь
14СС>2. Участвуя в фотосинтезе, она несет радиоактивный 14С
всем органическим веществам (углероды, белки, жиры и др.),
образующим живой организм, что обеспечивает постоянное внут-
внутреннее облучение.
Урановый ряд. Уран в диффузно-распыленном состоянии яв-
является широко распространенным элементом в породах земной
коры. Природный уран состоит из трех радиоактивных изотопов:
уран-234, уран-235, уран-238. Основной вклад в естественную ра-
радиоактивность вносит уран-238, на который приходится основная
масса природного урана. В местах с повышенным содержанием
урана в земных породах повышается его концентрация в почве
и воде, откуда он попадает в растения, организмы животных
и человека.
При среднем содержании урана в окружающей среде за сутки
в организм человека поступает 3,045 • 10~4 г, а выводится есте-
естественным путем 4,3 • 10~5 г.
Ряд тория. Вторым после урана широко распространенным
естественным радионуклидом является торий-232 B32Th). То-
Торий, как и уран, встречается в окружающем нас мире в виде
крупных месторождений, образующих обширные области с вы-
высоким его содержанием, и в мелкодисперсном состоянии во всех
земных породах и водах. Помимо самого тория, некоторый вклад
в естественую радиоактивность вносит и продукт его распада —
радий 228 B28Ra). В приземном воздухе концентрация тория
406 Лекция 32. Радиоактивность
сильно меняется в зависимости от его запыленности. При ды-
дыхании торий попадает в легкие.
Ввиду схожести физических характеристик пяти различных
источников природной радиации космического и земного проис-
происхождения рассматривают их общий суммарный уровень.
§ 32.2. Основной закон радиоактивного распада
Радиоактивный распад — явление статистическое. Можно
установить вероятность распада одного ядра за определенный
промежуток времени. За равные промежутки времени распада-
распадаются одинаковые доли наличных (то есть еще не распавшихся
к началу данного промежутка) ядер данного элемента.
Пусть за время (малое) dt распадается dN ядер. Это число
пропорционально интервалу времени dt и общему числу радио-
радиоактивных ядер N:
dN = -XNdt, C2.1)
где Л — постоянная распада, характеризующая вероятности рас-
распада данного ядра; знак « —» указывает на убывание со временем
количества радиоактивных ядер (dN < 0).
Решим уравнение C2.1) методом разделения переменных:
dN/N = -Xdt.
Интегрируя это равенство, получаем:
No 0
^ ln(N) | jy0 = -Xt |o => In N - In 7V0 = In — = -At.
Перейдя от логарифма к степени, получим
Таким образом, решением дифференциального уравнения C2.1)
является экспоненциальная функция:
N = Noexp(-Xt), C2.2)
§32.2. Основной закон радиоактивного распада
407
где Nq — исходное число радиоактивных ядер, N их число,
оставшееся к моменту времени ?, А — постоянная распада, об-
обратная времени, в течение которого число радиоактивных ядер
уменьшается в «е» раз; ее размерность [с].
Формула C2.2) выражает закон радиоактивного распада:
Число радиоактивных ядер убывает со временем
по экспоненциальному закону.
На практике вместо постоянной распада Л часто используют
другую величину, называемую периодом полураспада.
Период полураспада (Т) — это время, в течение ко-
которого распадается половина радиоактивных ядер.
Закон радиоактивного распада с использованием периода полу-
полураспада записывается так:
N = АГ0-2-*/т. C2.3)
Характеристики распада Т и Л связаны соотношением
Т = 1п2/А = 0,693/А.
Период полураспада может быть как очень большим, так и очень
маленьким (от долей секунды до многих миллиардов лет).
В табл. 32.3 представлены периоды полураспада для некоторых
элементов.
Таблица 32.3. Периоды полураспада для некоторых элементов
Изотоп
Уран-234
Уран-235
Уран-238
Калий-40
Иод-131
Иод-132
Литий-8
Торий-232
Радон-222
Углерод-14
Доля в природном элементе
0,006 %
0,71%
99,28%
0,012%
-
-
-
100%
-
-
Период полураспада (Т)
2,48 • 105 лет
7,13 • 10* лет
4,50 • 109 лет
1,3 • 109 лет
8 дней
2,26 часа
0,84 с
1,4 • 10iU лет
3,8 дня
5570 лет
Уран-234 имеет значительно меньший период полураспада,
поэтому в альфа-облучение среды он вносит почти такой же
408
Лекция 32. Радиоактивность
вклад, что и уран-238, несмотря на его малое процентное содер-
содержание.
На рис. 32.1 изображены процессы радиоактивного распада
для двух веществ с различными периодами полураспада.
N
ЛЬ/2
>\2)
тг т2 t
Рис. 32.1. Убывание количества ядер исходного вещества при радио-
радиоактивном распаде
§ 32.3. Активность
При работе с радиоактивным источником важно знать общее
число частиц, вылетающих из препарата за единицу времени.
Эта величина зависит от того, сколько частиц (включая 7-фото-
ны) образуется при распаде одного ядра, и от числа распадов за
t = 1 с. Скорость радиоактивного распада называется активно-
активностью.
Активность — число ядер радиоактивного препа-
препарата, распадающихся за единицу времени:
А = -dN/dt.
C2.4)
Единица измерения активности в СИ — беккерель (Бк), что
соответствует одному акту распада в секунду.
На практике более употребительна внесистемная единица ак-
активности — кюри (Ки):
1Ки = 3,77 • 1010Бк = 3,77 • 1010 с.
Используя закон C2.2), C2.3), получаем формулу для расчета
активности:
А =
= (In2
C2.5)
§32.4. Основные типы радиоактивного распада 409
Приведем еще одну полезную формулу. Пусть в некоторый мо-
момент времени активность равна Aq, тогда через время t актив-
активность определяется соотношением
А = Л0-2-*/т. C2.6)
Зная активность препарата и продукты, образующиеся при рас-
распаде одного ядра, можно вычислить, сколько частиц каждого
вида испускает препарат за 1 с. Например, если при делении
одного ядра образуется п частиц, то за одну секунду препарат
испускает поток частиц N = пА.
§ 32.4. Основные типы радиоактивного распада
В процессе изучения явления радиоактивности были обнару-
обнаружены 3 вида лучей, испускаемых радиоактивными ядрами, ко-
которые получили названия а-, /3- и 7-лучей. Позже было установ-
установлено, что а-частицы — это ядра гелия, /3-частицы — электроны
(позитроны), а 7"частицы — кванты электромагнитного излуче-
излучения. Альфа- и 7-частицы образуются при распаде, получившем
название а-распад, а /3-частицы возникают при /3-распаде.
32.4.1. Альфа-распад.
Альфа-распад состоит в самопроизвольном пре-
превращении ядра с испусканием а-частиц (ядра ге-
гелия).
Схема а-распада записывается в виде
где X, Y — символы материнского и дочернего ядер, соответ-
соответственно. Напомним, что а-частица — ядро гелия. Поэтому при
записи а-распада вместо «а» можно писать «Не».
При этом распаде порядковый номер Z элемента уменьшает-
уменьшается на 2, а массовое число А — на 4.
При альфа-распаде дочернее ядро может образоваться в воз-
возбужденном состоянии. В этом случае энергия возбужденного
ядра чаще всего выделяется в виде 7-кванта. Поэтому альфа-рас-
альфа-распад сопровождается 7-излучением.
Альфа-излучение отклоняется электрическим и магнитным
полями, обладает высокой ионизирующей способностью и ма-
малой проникающей способностью. Энергия испускаемых а-частиц
410
Лекция 32. Радиоактивность
практически для всех а-активных изотопов лежит в пределах
4-9 МэВ. Энергетический спектр а-частиц, испускаемых дан-
данным радиоактивным элементом, обладает «тонкой структурой»:
испускается несколько групп а-частиц, и в пределах каждой
группы их энергия практически постоянна. Поэтому наблюда-
наблюдается дискретный спектр, рис. 32.2а.
Энергия
Рис. 32.2. Спектры а-частиц (а) и /3-частиц (б)
32.4.2. Бета-распад.
Бета-распад состоит в самопроизвольном превра-
превращении ядра с испусканием электронов (или пози-
позитронов).
Это излучение отклоняется электрическим и магнитными
полями; его ионизирующая способность значительно меньше,
а проникающая способность гораздо больше, чем у а-частиц;
оно сильно рассеивается веществом. Различают следующие виды
/3-распада.
а) Электронный. Схема электронного /3-распада записывает-
записывается в виде
ЙХ ^+1Y+ _?/? + */, C2.8)
где v — обозначение частицы антинейтрино. Электрон образует-
образуется вследствие внутриядерного превращения нейтрона в протон:
При этом протон остается в ядре. При электронном /3-распаде
порядковый номер Z элемента увеличивается на 1, массовое
число А не изменяется.
§32.4. Основные типы радиоактивного распада 411
В каждом акте /3-распада испускаются две частицы (элек-
(электрон и антинейтрино). Высвобождающаяся энергия распределя-
распределяется между ними случайным образом, поэтому спектр /3-излуче-
/3-излучения является сплошным, рис. 32.26
Один из наиболее известных бета-распадов происходит
у встречающегося в природе изотопа углерода-14. Удельная
активность этого изотопа в тканях растений и человека
составляет 22,7 Бк/кг углерода.
б) Позитронный. Схема позитронного /3-распада записывает-
записывается в виде
^X-^Y + S/J + i/, C2.9)
где и' — обозначение частицы нейтрино. Позитрон — частица
с такой же массой как у электрона и положительным зарядом.
Позитрон образуется вследствие внутриядерного превращения
протона в нейтрон:
}р -> Jn + +ЧР + и.
При этом нейтрон остается в ядре. При позитронном /3+-распаде
порядковый номер Z элемента уменьшается на 1, массовое чис-
число А не изменяется.
Как и у /3~-распада спектр /3+-распада — сплошной.
Нейтрино и антинейтрино — электрически нейтральные ча-
частицы, слабо взаимодействующие с веществом. Их проникаю-
проникающая способность столь огромна, что пробег нейтрино с энергией
1 МэВ в свинце составляет 1018 км.
Кроме процессов /3-распада имеет место электронный за-
захват. При этом ядро захватывает электрон с одной из внутрен-
внутренних оболочек атома. Схема электронного захвата записывается
в виде
§Х + 0_гр -+ z-iY + V- C2.10)
При захвате электрона в ядре протон превращается в нейтрон
и испускается нейтрино:
}р + %0-> Jn + I/.
Электронный захват обнаруживается по сопровождающему его
характеристическому рентгеновскому излучению.
Сравнительные характеристики альфа- и бета-излучения
приведены ниже.
412
Лекция 32. Радиоактивность
Характеристики
Скорость, см/с
Энергия, МэВ
Пробег (воздух)
Пробег (ткань)
Плотность ионизации (пар ионов/см)
а-излучение
2 • 10у
7
2-9 см
0,1 мм
50 • 10*
/3-излучение
2 • 10iU
0,01-3
10-1000 см
10—15 мм
40-50
32.4.3. Гамма-излучение.
Гамма-излучение имеет электромагнитную приро-
природу и представляет собой фотоны с длиной волны
Л < Ю-10 м.
Гамма-излучение не является самостоятельным видом радиоак-
радиоактивного распада. Излучение этого типа почти всегда сопровож-
сопровождает не только а-распад и /3-распад, но и более сложные ядерные
реакции. Оно не отклоняется электрическим и магнитным поля-
полями. Оно обладает относительно слабой ионизирующей способ-
способностью и очень большой проникающей способностью. Для него
характерна малая длина волны A-10 нм). Спектр 7-излучения
линейчатый.
§ 32.5. Количественные характеристики
взаимодействия ионизирующего излучения
с веществом
Заряженная частица при прохождении через вещество теряет
свою энергию вследствие ионизационного торможения.
Ионизационное тормоэюение — это механизм по-
потерь энергии заряженной частицы вследствие воз-
возбуждения и ионизации атомов среды, в которой
она пролетает.
Для количественной характеристики взаимодействия заряжен-
заряженной частицы с веществом используется несколько величин:
а) линейная плотность ионизации (г) — число пар ионов,
образующихся на единице пути пробега частицы: г = dn/dl]
б) линейная тормозная способность вещества (S) — энергия,
теряемая заряженной частицей на единице пути пробега: S =
= dE/dl;
в) средний линейный пробег заряженной ионизирующей ча-
частицы (R) — расстояние между началом и концом пробега ча-
частицы в данном веществе.
§32.5. Количественные характеристики взаимодействия
413
Рассмотрим некоторые характерные особенности взаимодей-
взаимодействия различных видов излучения с веществом.
32.5.1. Альфа-излучение. По мере продвижения а-частицы
в среде вызываемая ею линейная плотность ионизации изменя-
изменяется (рис. 32.3). Плотность ионизации сначала возрастает, а при
завершении пробега (х = R) резко убывает. Эти изменения
связаны с уменьшением скорости движения частицы. Первона-
Первоначальное возрастание плотности ионизации г обусловлено тем, что
при уменьшении скорости а-частицы возрастает время, которое
она проводит вблизи молекулы (атома) среды. Вероятность иони-
ионизации при этом увеличивается. Когда энергия а-частицы стано-
становится меньше энергии, необходимой для ионизации, образование
ионов прекращается. Этим объясняется резкий спад плотности
ионизации (рис. 32.3). После того как энергия а-частицы ста-
станет сравнимой с энергией молекулярно-теплового движения, она
захватывает два электрона в веществе и превращается в атом
гелия.
R х
Рис. 32.3. Зависимость линейной плотности ионизации от пути, прой-
пройденного а-частицей в среде
Кроме первичных процессов ионизации и возбуждения ато-
атомов, могут проявляться вторичные процессы, представленные на
следующей схеме.
Вторичные процессы
Увеличение
скорости
молекулярно-
теплового
движения
Характе-
Характеристическое
рентгеновское
излучение
Радиолюми-
Радиолюминесценция
Специфи-
Специфические
химические
процессы
414
Лекция 32. Радиоактивность
32.5.2. Бета-излучение. Кроме ионизации и возбуждения
атомов, это излучение вызывает и другие процессы. При
торможении электронов возникает тормозное рентгеновское
излучение. Бета-частицы рассеиваются на электронах вещества,
поэтому их траектории сильно искривлены. Может возникнуть
характерное черепковское излучение, когда скорость движения
электрона в среде превышает скорость распространения света
в этой среде.
32.5.3. Гамма-излучение. При попадании в вещество это из-
излучение вызывает процессы, которые можно представить следу-
следующей схемой.
Процессы, возникающие при взаимодействии гамма-излучения с веществом
Незначительная
первичная
ионизация
Когерентное и
некогерентное
рассеяние;
ионизирующий
фотоэффект
Образование
электронно-
позитронных
пар
Фотоядерные
реакции,
обусловленные
взаимодействием
кванта с ядром
Указанные процессы приводят к тому, что полный ионизаци-
ионизационный эффект от гамма-излучения является значительным.
Закон ослабления потока гамма-излучения Г:
Г = Гоехр(-/хж),
C2.11)
где х — расстояние, пройденное в веществе; /i — коэффициент
ослабления, который складывается из коэффициентов ослабле-
ослабления, соответствующих перечисленным выше процессам
М = Мнк + Мф + Мпара- C2.12)
§ 32.6. Биофизические основы действия
ионизирующего излучения
Под воздействием ионизирующего излучения в тканях орга-
организма возникают следующие процессы:
- при воздействии излучения на молекулы воды, содержащей-
содержащейся в тканях, происходят различные реакции, названые радиоли-
зом воды]
§ 32.7. Элементы реабилитологии 415
— воздействие излучения на молекулы органических соеди-
соединений приводит к образованию возбужденных молекул, ионов,
радикалов, перекисей. Эти высокоактивные в химическом отно-
отношении соединения будут взаимодействовать с остальными моле-
молекулами биологической системы, что, в свою очередь, приведет
к нарушениям мембран, клеток, а следовательно, и функций
всего организма.
Отметим общие закономерности биологического действия
ионизирующего излучения:
1) большие нарушения при малой поглощенной энергии;
2) действие на последующие поколения через наследственный
аппарат клетки;
3) характерен скрытый, латентный период;
4) разные части клеток обладают различной чувствительно-
чувствительностью к излучению;
5) прежде всего поражаются делящиеся клетки, что особенно
опасно для детского организма;
6) губительное действие на ткани взрослого организма, в ко-
которых есть деление.
§ 32.7. Элементы реабилитологии.
Радиофармацевтические препараты
Радиофармпрепараты (РФП) широко применяются в реаби-
реабилитационной медицине. При выборе используемого радиоактив-
радиоактивного нуклида руководствуются следующими критериями.
1. Оптимальным нуклидом для РФП является тот, который
позволяет получить максимум диагностической информации при
минимальной радиационной нагрузке на больного. Выбирает-
Выбирается такой РФП, который быстро вводится в исследуемый орган
и быстро выводится из организма.
2. РФП должен обладать коротким периодом полураспада.
3. Нуклид должен быть источником гамма-излучения, кото-
которое удобно для наружной регистрации.
4. Пригодность РФП определяется биологической характе-
характеристикой отражения функций организма или отдельного органа
(например, избирательное поглощение изотопа йода 1311 щито-
щитовидной железой).
5. РФП, вводимые внутрь организма, не должны содержать
токсических примесей или радиоактивных веществ, которые
416
Лекция 32. Радиоактивность
в результате распада образуют долгоживущие дочерние нукли-
нуклиды.
В настоящее время используется огромное количество изото-
изотопов для различных областей медицины. Характеристики некото-
некоторых часто используемых изотопов приведены в табл. 32.4.
Таблица 32.4. Характеристики изотопов
Изотоп
Йод
131 j
Йод
125j
Йод
132j
Технеций
"Тс
Фосфор
32р
Период
полурас-
полураспада
(Т)
8,1 дня
60 дней
2,3
часа
6 часов
14,2
дня
Вид
излучения
/з-
излучение
7"
излучение
7"
излучение
7"
излучение
7"
излучение
/з-
излучение
Механизм действия
Участвует в обменных
процессах в организме, в т.ч.
в щитовидной железе
Для метки гормонов,
определяемых в сыворотке
крови больного in vitro
Короткий период полураспада
и отсутствие /3-излучения
уменьшает радиационную
нагрузку на щитовидную
железу примерно в 200 раз по
сравнению с 1311, что
позволяет применять его
у детей
Используются стандартные
наборы реагентов,
связывающиеся с этим
изотопом и поставляющие его
в определенный орган (печень,
желчный пузырь, кишечник)
Используется для диагностики
злокачественных
новообразований глаз, кожи
слизистых оболочек, молочной
железы, головного мозга.
Лекция 33
ДОЗИМЕТРИЯ
1. Детекторы ионизирующего излучения.
2. Использование радионуклидов в медицине.
3. Ускорители заряженных частиц и их использование в медицине.
4. Дозиметрия ионизирующего излучения.
5. Соотношения между различными дозами.
6. Мощность дозы.
7. Дозиметрические приборы.
8. Способы защиты от ионизирующего излучения.
9. Элементы реабилитологии. Газ радон.
§ 33.1. Детекторы ионизирующего излучения
Детекторы — устройства, регистрирующие различные виды
ионизирующего излучения. Работа детекторов основана на ис-
использовании тех процессов, которые вызывают регистрируемые
частицы. Различают 3 группы детекторов:
1) трековые детекторы,
2) интегральные детекторы,
3) счетчики.
33.1.1. Трековые (следовые) детекторы. Детекторы этой
группы предназначены для того, чтобы сделать видимым след
(трек), оставляемый частицей в веществе.
а) Камера Вильсона. Наблюдаемая частица ионизирует ато-
атомы или молекулы вещества на своем пути в объеме камеры.
В данном случае ионизируется газ (водяной пар). На образовав-
образовавшихся ионах начинается конденсация пересыщенного пара. Об-
Образуются капельки тумана. След частицы становится виден, его
можно фотографировать. Иногда камеру помещают в магнитное
поле и по отклонению в нем более точно судят о частице.
б) Пузырьковая камера. Наблюдаемая частица ионизирует
атомы или молекулы жидкости. При этом образуются ионы,
которые являются центрами парообразования перегретой жид-
жидкости. Образуется след в виде маленьких пузырьков пара. В от-
14 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
418
Лекция 33. Дозиметрия
личии от (а) образуется больше ионов. Частица заканчивает свой
пробег в камере.
в) Метод толстослойных фотопластинок. Наблюдаемая ча-
частица ионизирует слой фотопластинки, вследствие чего идет
химическая реакция. След частицы будет виден при проявлении.
33.1.2. Интегральные детекторы. Эти устройства дают ин-
информацию о полном потоке ионизирующего излучения.
а) Ионизационная камера. Камера заполнена газом. Внутри
находятся вмонтированные электроды, соединенные с источни-
источником напряжения и с амперметром. При попадании ионизирующе-
ионизирующего излучения в газ происходит ионизация его молекул, и в цепи
возникнет ток, который измеряется амперметром. Сила тока
пропорциональна числу ионов и, следовательно, потоку энергии
проходящих через камеру ионизирующих частиц.
б) Фотопленки. При этом фиксируется степень почернения
после проявления пленки. На степень потемнения пленки влияет
величина потока ионизирующих частиц.
33.1.3. Счетчики. Эти устройства предназначены для подсче-
подсчета количества частиц ионизирующего излучения. Принцип их
действия основан на образовании электрического импульсного
разряда в газонаполненной камере при попадании отдельной
ионизирующей частицы. Подсчитывая количество импульсов,
определяют количество частиц, попавших в счетчик.
а) Счетчик Гейгера-Мюллера. Схема счетчика приведена на
рис. 33.1.
Анод
Катод"
Счетчик
импульсов
Рис. 33.1. Схема счетчика Гейгера-Мюллера
Счетчик представляет собой стеклянную трубку с напылен-
напыленным на ее боковую поверхность слоем металла (катод). Внутри
трубки пропущена тонкая проволока (анод). Давление газа внут-
внутри трубки составляет 100-200 мм рт. ст. Между катодом и ано-
§ 33.2. Использование радионуклидов в медицине 419
дом создается высокое напряжение порядка сотен вольт. При
попадании в счетчик ионизирующей частицы в газе образуются
свободные электроны, которые движутся к аноду. Вблизи тонкой
нити анода напряженность поля велика. Электроны вблизи нити
ускоряются настолько, что начинают ионизировать газ. В ре-
результате возникает разряд, и по цепи протекает ток. Самостоя-
Самостоятельный разряд надо погасить, иначе счетчик не прореагирует
на следующую частицу. На включенном в цепь высокоомном
сопротивлении R происходит значительное падение напряжения.
Напряжение на счетчике уменьшается, и разряд прекращается.
Также в состав газа вводится вещество, соответствующее быст-
быстрейшему гашению разряда.
б) Счетчики сцинтилляционные. Под действием ионизирую-
ионизирующего излучения в некоторых веществах происходят сцинтилля-
сцинтилляции, то есть вспышки. Их можно зафиксировать визуально или
автоматически с помощью фотоэлектронного умножителя.
Работоспособность счетчиков характеризуют следующие па-
параметры:
эффективность — отношение числа зарегистрированных ча-
частиц к общему числу пролетевших через счетчик частиц;
мертвое время — минимальное время, которое должно раз-
разделять следующие друг за другом частицы, чтобы они не были
сосчитаны как одна.
§ 33.2. Использование радионуклидов в медицине
При введении в организм многие элементы избирательно со-
сосредоточиваются в определенных органах или участках ткани.
Йод, например, концентрируется в щитовидной железе, а каль-
кальций — в костях. Применение радиоизотопов этих элементов поз-
позволяет обнаруживать их по радиоактивному излучению и по-
получать таким образом важную диагностическую информацию.
С другой стороны, накопление радиоактивного элемента в неко-
некоторых тканях позволяет осуществлять их избирательное облуче-
облучение. Это обуславливает 2 главных направления использовании
радионуклидов (радиоактивных атомов) в медицине: диагности-
диагностическое и терапевтическое.
14*
420 Лекция 33. Дозиметрия
33.2.1. Радиодиагностика — метод меченых атомов. Для осу-
осуществления радиодиагностики в организм вводят радионуклиды
и определяют:
1) их расположение;
2) скорость их накопления;
3) активность в органах и тканях.
Типичным примером является обследование щитовидной же-
железы: по показателям поглощения 1321 (период полураспада
2,26 часа) щитовидной железой оценивается ее функциональное
состояние.
Для обнаружения распределения радионуклидов в разных
органах используют гамма-топограф — прибор, который автома-
автоматически фиксирует распределение интенсивности радиоактивно-
радиоактивного препарата. Это сканирующий счетчик. Он последовательно
проходит большие участки над телом пациента. Регистрация
излучения фиксируется штриховой отметкой на бумаге.
Более точным является метод авторадиографии. При этом
в объект вводятся радионуклиды. Затем на исследуемый объект
наносится слой фотоэмульсии. Содержащиеся в объекте радио-
радионуклиды оставляют след в соответствующем месте эмульсии, как
бы фотографируя себя. Полученный снимок называется радиоав-
радиоавтографом.
Широко используется метод радиоизотопная ангиография —
исследование кровеносных и лимфатических сосудов после вве-
введения в них контрастного вещества в форме радиофармацевти-
радиофармацевтических препаратов.
Во всех диагностических методиках радионуклиды вводятся
в малом количестве и с малым периодом полураспада; ни они,
ни продукты их распада не оказывают вредного действия.
33.2.2. Терапевтическое воздействие. Использование радио-
радионуклидов в терапевтических целях основано на разрушающем
действии ионизирующего излучения на клетки опухолей.
а) Гамма-терапия — использование 7"излУчения высокой
энергии (источник 60Со) для разрушения глубоко расположен-
расположенных опухолей. Чтобы поверхностно расположенные ткани и орга-
органы не подвергались губительному действию, воздействие ионизи-
ионизирующего излучения осуществляется в разные сеансы по разным
направлениям.
§ 33.3. Ускорители заряженных частиц 421
б) Альфа-терапия — лечебное использование а-частиц. Эти
частицы обладают значительной линейной плотностью иониза-
ионизации, поэтому поглощаются даже небольшим слоем воздуха. Ис-
Использование альфа-частиц возможно при контакте с организмом
или при введении внутрь (с помощью иглы). Применяется ра-
радоновая терапия с использованием 222Rn: воздействие на кожу
(ванны), органы пищеварения (питье), органы дыхания (ингаля-
(ингаляции).
В некоторых случаях лечебное применение а-частиц связан-
связанно с использованием потока нейтронов. При этом методе в ткань
(опухоль) предварительно вводят элементы, ядра которых под
действием нейтронов вступают в ядерную реакцию с образо-
образованием а-частиц. Облучая после этого больной орган потоком
нейтронов, вызывают ядерную реакцию и, следовательно, обра-
образование а-частиц. Таким способом а-частицы образуются прямо
внутри органа, на который они должны оказать разрушительное
воздействие. Радиоактивный препарат можно ввести в больной
орган на острие иглы.
§ 33.3. Ускорители заряженных частиц и их
использование в медицине
Ускоритель — установка, в которой под действием
электрических и магнитных полей получаются на-
направленные пучки заряженных частиц с высокой
энергией (от сотен кэВ до сотен ГэВ).
В ускорителях заряженные частицы увеличивают свою энер-
энергию, двигаясь в электрическом поле. В зависимости от формы
траектории частиц в процессе ускорения различают:
линейные ускорители, в которых траектория частицы близка
к прямой линии;
циклические ускорители, в которых траектория частицы
близка к окружности (или спирали).
Наибольшее распространение получили циклические ускори-
ускорители. Рассмотрим принцип их действия на примере циклотрона.
33.3.1. Устройство циклотрона. Первый циклотрон был скон-
сконструирован в 1930 г. Э.О. Лоуренсом и М.С. Ливингстоном. Ос-
Основной принцип действия циклотрона заключается в изменении
422 Лекция 33. Дозиметрия
кинетической энергии заряженных частиц с помощью электри-
электрического поля при одновременном удержании их на круговой
(спиральной) орбите магнитным полем, индукция которого пер-
перпендикулярна траектории (скорости) частиц.
Схема устройства циклотрона показана на рис. 33.2.
^Дуант
i I Т
в
Рис. 33.2. Схема устройства циклотрона
Основными элементами циклотрона являются:
полость цилиндрической формы, рассеченная вдоль диаметра
так, что образуются две части, называемые дуантами;
электромагнит (он не показан на рисунке), который создает
магнитное поле, индукция которого В перпендикулярна плоско-
плоскости дуантов;
высоковольтный источник питания, создающий разность по-
потенциалов U между дуантами (внутри дуантов электрическое
поле отсутствует); напряжение всегда должно иметь такую по-
полярность, которая обеспечивает ускорение частиц, а не их тор-
торможение;
источник частиц S, расположенный рядом с центром дуан-
дуантов;
устройство А для вывода пучка частиц.
Принцип действия
Полученные в результате ионизации заряженные
частицы попадают в левый дуант. Под воздействием
магнитного поля В заряженные частицы движутся по
круговой орбите (под действием силы Лоренца) до
тех пор, пока они не выйдут из левого дуанта.
I
5 33.3. Ускорители заряженных частиц 423
Далее частицы попадают в зазор между дуантами,
где ускоряются электрическим полем. При этом
энергия каждой частицы возрастет на величину
W = qU, (q — заряд частицы).
Пройдя зазор, частицы попадают в правый дуант, где
вновь движутся по круговой орбите, но теперь уже
большего радиуса, соответствующего их более
высокой энергии.
Пройдя правый дуант, частицы опять попадают
в зазор и их кинетическая энергия снова возрастает
(полярность напряжения, создаваемого
высоковольтным источником, изменяется). Процесс
4. ускорения продолжается в течение многих переходов
заряженных частиц через зазор. При каждом
прохождении энергия частиц возрастает на
величину qU. Поэтому частицы движутся по спирали
все возрастающего радиуса.
Частицы приближаются к внешней стенке
конструкции дуанта и выходят через устройство
вывода А, который формирует пучок частиц высокой
энергии.
33.3.2. Теоретическое описание движения частицы в цикло-
циклотроне. На частицу в циклотроне действует сила Лоренца:
Fj, = qvB. C3.1)
Движение частицы по окружности происходит под действием
центростремительной силы, роль которой выполняет сила Ло-
Лоренца, поэтому B-й закон Ньютона)
^цс = ^л -+ mv2/R = qvB, C3.2)
где R — радиус окружности, v — скорость движения частицы.
Из уравнения C3.2) можно найти скорость частицы:
v = qBR/m. C3.3)
424 Лекция 33. Дозиметрия
Найдем период обращения частицы в циклотроне:
Т = 2ttR/v = 27rm/(qB). C3.4)
При этом не учитывается релятивистская зависимость импуль-
импульса (количества движения) частицы от скорости. Из соотноше-
соотношения C3.4) следует, что период вращения Т не зависит от скоро-
скорости частицы и радиуса траектории.
Время прохождения частицей любой полуокружности в каж-
каждом дуанте одинаково. Оно соответствует половине периода ко-
колебаний электрического поля. Следовательно, на каждые пол-
полоборота в дуантах частицы затрачивают одно и то же время
и попадают в зазор строго в фазе с частицами, движущимися
по орбитам других радиусов. Таким образом, магнитное поле
обеспечивает вращение частицы по окружности, а электрическое
поле — изменение ее кинетической энергии.
Циклотрон ускоряет протоны до энергии 20-25 МэВ. В цик-
циклотроне нельзя ускорять электроны до значительных энергий,
так как они быстро достигают релятивистских скоростей.
Используются иные типы циклических ускорителей (принцип
действия которых не рассматривается), ускоряющих различные
частицы до разных энергий.
33.3.3. Использование ускорителей в медицине. Ускорители
применяются в медицине как средства лучевой терапии и диа-
диагностики. Области применения показаны ниже.
Т
Е
Р
А
П
И
Я
Л
У
ч
Е
В
Лучевая терапия глубинных опухолей. Используется
прямое действие ускоренных частиц: электронов
Использование тормозного рентгеновского
излучения, возникающего при торможении
электронов, ускоренных бетатроном, что более
эффективно, чем гамма-терапия, из-за большей энергии
фотонов рентгеновского излучения (энергия 10 МэВ).
и протонов. При этом наибольшее воздействие узкого
пучка частиц оказывается не на поверхностные слои,
а на опухолевые ткани, расположенные в глубине
организма, так как наибольшая ионизация
производится частицей непосредственно перед
остановкой. Для лучевой терапии применяется
и синхротронное излучение.
§ 33.4. Дозиметрия ионизирующего излучения
425
д
и
А
Г
Н
О
С
Т
И
К
А
Получение сведений о средней плотности вещества
посредством сравнения потока частиц до и после
прохождения ткани, так как пробег тяжелых частиц
зависит от плотности вещества (метод — ионная
медицинская радиография). Преимущества перед
рентгенографией в том, что он позволяет лучше
различать структуру мягких тканей.
Ранняя диагностика злокачественных опухолей
с помощью синхротронного излучения, которое
может поглощаться преимущественно некоторыми
элементами (например, йодом, который может иметь
повышенную концентрацию в тканях). Поэтому
возможна ранняя диагностика злокачественных
опухолей.
§ 33.4. Дозиметрия ионизирующего излучения
Необходимость количественной оценки действия ионизирую-
ионизирующего излучения на различные вещества живой и неживой при-
природы привела к появлению дозиметрии.
Дозиметрия — раздел ядерной физики и измерительной тех-
техники, в котором изучают величины, характеризующие действие
ионизирующего излучения на вещества, а также методы и при-
приборы для их измерения.
Количественно действие ионизирующего излучения (незави-
(независимо от его природы) оценивается по энергии, переданной ве-
веществу. Для этого вводится величина — доза излучения (доза —
порция).
а) Поглощенная доза (доза излучения) (D) — величина, рав-
равная отношению энергии АЕ, переданной элементу облучаемого
вещества, к массе Дга этого элемента:
D = АЕ/Ат. C3.5)
В СИ единицей поглощенной дозы является грей [Гр].
1 Гр соответствует дозе излучения, при которой
облученному веществу массой 1 кг передается
энергия ионизирующего излучения 1 Дж.
Иногда пользуются внесистемной единицей поглощенной дозы —
рад:
1 рад = 10~2 Гр.
426 Лекция 33. Дозиметрия
Экспериментально измерить дозу излучения трудно, так как
тело неоднородно, энергия рассеивается по различным направ-
направлениям и т. п. Можно оценить поглощенную телом дозу по иони-
ионизирующему действию излучения в воздухе, окружающем объект.
б) Экспозиционная доза (X) характеризует ионизирующее
действие рентгеновского и 7-излучения в воздухе, окружающем
облучаемое тело.
В СИ единицей экспозиционной дозы является кулон на ки-
килограмм.
1 Кл/кг соответствует экспозиционной дозе фо-
фотонного излучения, при которой в результате иони-
ионизации в 1 кг сухого воздуха (при нормальных усло-
условиях) образуются ионы, несущие заряд, равный
1 Кл каждого знака.
На практике пользуются единицей, которая называется рент-
рентген [Р].
1 р = 2,58 • 10 Кл/кг.
При экспозиционной дозе 1 Р в результате ионизации в 1 см3
сухого воздуха при нормальных условиях образуется 2 • 109 пар
ионов. Связь между поглощенной и экспозиционной дозами:
D = fX, C3.6)
где / — некоторый коэффициент, зависящий от облучаемого
вещества и энергии фотонов. Для костной ткани / = 1-4,5,
для воды и мягких тканей / « 1. Поэтому для воды и мягких
тканей поглощенная доза излучения в радах численно равна
соответствующей экспозиционной дозе в рентгенах A рад =
= 1 Р). Это обуславливает удобство использования внесистемных
единиц рад и Р.
в) Эквивалентная доза (Н) используется для оценки дей-
действия ионизирующего излучения на биологические объекты; она
имеет ту же размерность, что и поглощенная доза излучения, но
название другое.
В СИ единицей эквивалентной дозы является зиверт [Зв]:
1 Зв = 1 Дж/кг.
Внесистемная единица эквивалентной дозы - бэр:
1 бэр = 10~2 Зв.
§ 33.4. Дозиметрия ионизирующего излучения 427
(Бер — аббревиатура слов «биологический эквивалент рентге-
рентгена»).
Следует учитывать различие в биологическом действии раз-
разных видов ионизирующего излучения при одинаковой погло-
поглощенной дозе излучения. Между экспозиционной и поглощенной
дозами есть связь:
Я = KD, C3.7)
где К — коэффициент качества.
В дозиметрии принято сравнивать биологические эффекты
различных излучений с соответствующими эффектами, вызван-
вызванными фотонным излучением: рентгеновским и 7-излучением.
Коэффициент качества (К) показывает, во сколь-
сколько раз эффективность биологического действия
данного вида излучения больше, чем фотонного,
при одинаковой дозе излучения в тканях.
Коэффициент К — безразмерная величина, поэтому размерно-
размерности поглощенной и эквивалентной доз одинаковы (хотя названия
разные).
Коэффициент качества устанавливается на основании опыт-
опытных данных. Он зависит не только от вида частицы, но и от ее
энергии. В табл. 33.1 представлены приближенные значения К
для некоторых излучений.
Таблица 33.1. Значения коэффициента
Вид излучения
1. Рентгеновское (энергия кванта > 150 кэВ), 7-?
2. Рентгеновское (энергия кванта до 150 кэВ)
3. Тепловые нейтроны @,01 эВ)
4. Нейтроны E МэВ)
5. Нейтроны @,5 МэВ), протоны
6. а-излучение
качества
/3-излучения
излучение
К
1
2
3
7
10
20
33.4.1. Биологическое действие. Биологическое действие из-
излучения с различной эквивалентной дозой показано в табл. 33.2.
428
Лекция 33. Дозиметрия
Таблица 33.2. Биологическое действие
Эквивалентная
доза, бэр
0-0,1
0,1-0,2
0,2-5
5-10
10-25
25-50
50-100
100-200
200-400
400-500
600-1000
1000-10 000
Я > 10 000
Биологический эффект
Угнетение жизнедеятельности (замедленное
деление, ухудшение развития)
Оптимум жизнедеятельности
Стимуляция жизнедеятельности (стимулирование
и развитие, повышение сопротивления
неблагоприятным условиям среды)
Регистрация мутаций
Для взрослого человека видимых нарушений нет,
для эмбриона могут быть поражения мозга
Временная мужская стерилизация. Возможны
изменения в крови
Обязательно есть изменения в крови, нарушение
иммунитета
Иммунодефицитное состояние
Потеря трудоспособности, инвалидизация
Тяжелое поражение костного мозга,
50% смертность
Тяжелое поражение слизистой кишок,
100% смертность 3-12 дн.
Коматозное состояние, смерть через 1-2 часа
Смерть под лучом
Экспозиционная доза облучения при медицинских обследова-
обследованиях представлена в табл. 33.3.
Таблица 33.3
Ткани органа
Легкие
Желудок
Пищевод
Метод обследования
Рентгеноскопия
3,5 Р
25 Р
8,5 Р
Рентгенография
0,15 Р
0,46 Р
0,27 Р
Флюорография
1,1 Р
-
-
г) Эффективная эквивалентная доза (Яэф). Важно учиты-
учитывать, что биологический эффект воздействия даже одного и того
же вида излучения на разные органы различен. Если некоторый
коэффициент риска F) при облучении всего организма принять
за единицу, то для отдельных органов этот коэффициент будет
иметь следующие значения:
§ 33.6. Мощность дозы
429
0,12 — красный костный мозг,
0,03 — костная ткань,
0,03 — щитовидная железа,
0,15 — молочная железа,
0,12 — легкие,
0,25 — яичники или семенники,
0,30 — другие ткани.
В связи с этим вводится эффективная эквивалентная доза
C3.8)
#эф = Ъ • Я,
где b — коэффициент риска для данного органа.
§ 33.5. Соотношения между различными дозами
Таблица 33.4. Соотношения между различными дозами
Поглощенная
доза излучения
D
D = f X
СИ: Гр = Дж/кг
Практ.:
1рад = 1(Г2 Гр
Экспозицион-
Экспозиционная доза
X
СИ: Кл/кг
1 Р = 2,58 х
х 1(Г4 Кл/кг
Эквивалентная
доза Н
Н = К • D
СИ: Зв = Дж/кг
1 бэр = Ю-2 Зв
Эффективная
эквивалентная
доза (#эф)
#эф = Ь - Н
§ 33.6. Мощность дозы
Доза облучения пропорциональна времени действия ионизи-
ионизирующего облучения. Вводят количественную характеристику —
мощность дозы.
Мощность дозы (N) — величина, определяющая
дозу, полученную объектом за единицу времени.
При равномерном действии излучения мощность поглощенной
дозы No численно равна отношению дозы D ко времени ?,
в течение которого действовало ионизирующее излучение:
ND = D/t.
Мощность экспозиционной дозы
Nx = X/t.
C3.9)
430
Лекция 33. Дозиметрия
Мощность экспозиционной дозы связана с активностью А радио-
радиоактивного препарата (для точечного источника):
X/t =
C3.10)
где г — расстояние от источника, kj — гамма-постоянная, харак-
характерная для данного радиоактивного препарата.
Мощность эквивалентной дозы
NH = H/t. C3.11)
Соотношения между единицами доз приведены в табл. 33.5.
Таблица 33.5
Доза
Поглощенная
доза
Мощность
поглощенной
дозы
Экспозиционная
доза
Мощность
экспозиционной
дозы
Эквивалентная
доза
Мощность
эквивалентной
дозы
Единицы в СИ
Дж/кг = Гр (грей)
1 Гр = 100 рад
Вт/кг = Гр/с
Кл/кг
Кл/кг = 3876 Р
Кл/(кг • с) = А/кг
(ампер на кг)
Дж/кг = Зв (зиверт)
1 Зв = 100 бэр
Зв/с = Дж/(кг • с)
Внесистемные
единицы
рад
1 рад = Ю-2 Гр
рад/с
Р (рентген)
1 Р = 2,5810-4 Кл/кг
Р/с
бэр
1 бэр = Ю-2 Зв
бэр/с
Нормы радиационной безопасности определяется предельно
допустимой эквивалентной дозой за год (ПДД):
ПДД для взрослого населения — 0,5 бэр/год = 5 мЗв/год;
ПДД для детей, беременных женщин — 0,17 бэр/год =
= 1,7 мЗв/год;
ПДД для профессионалов — 5,0 бэр/год = 50 мЗв/год.
Предельно допустимые мощности экспозиционной дозы:
норма — 0,02 мР/ч = 20 мкР/ч;
профессиональная норма — 0,57 мР/ч = 570 мкР/ч.
Летальные дозы (ЛД) для облучения всего организма:
ЛД50 - 400 Р; ЛД90 - 800 Р,
§ 33.7. Дозиметрические приборы 431
где цифры 50, 90 означают 50%, 90% летальных исходов.
Формы лучевой болезни представлены в табл. 33.6.
Таблица 33.6. Влияние поглощенной дозы на патологические
процессы
Поглощенная
доза при од-
однократном
облучении
1-4 Гр
4-6 Гр
6-10 Гр
10-100 Гр
Патологический процесс
Развитие иммунодефицита, опухоль кожи,
уменьшение количества клеток в тимусе
ЛД50, костномозговая форма
Кишечная форма (менее 2 недель)
ЛД90, церебральная форма (несколько часов)
Естественный (природный) радиационный фон создается
естественными радиоактивными источниками: космические
лучи @,25 мЗв/год); радиоактивность недр @,52 мЗв/год);
радиоактивность пищи @,2 мЗв/год).
Это соответствует общей мощности A-2) мЗв/год, или
A0-20) мкР/ч.
Мощность эквивалентной дозы, соответствующая нормаль-
нормальному радиационному фону, равна 1,25 мЗв/год A25 мбэр/год).
Предельно допустимый фон составляет 5 мЗв/год.
На земном шаре есть места, где нормальный фон равен
13 мЗв/год.
§ 33.7. Дозиметрические приборы
Дозиметры — устройства для измерения доз ионизирующего
излучения или величин, связанных с дозами. Дозиметр содержит
в себе детектор излучения и измерительное устройство, которое
градуировано в единицах дозы или мощности. Иногда они имеют
сигнализацию.
На практике часто используются:
радиометр — прибор для измерения активности или концен-
концентрации радиоактивных изотопов;
рентгенометр — прибор для измерения экспозиционной дозы
рентгеновского и гамма-излучения; детектором является иониза-
ионизационная камера; заряд, протекающий в цепи камеры, пропорци-
пропорционален экспозиционной дозе, а сила тока — ее мощности.
432 Лекция 33. Дозиметрия
§ 33.8. Способы защиты от ионизирующего
излучения
На организм оказывают воздействие ионизирующие излуче-
излучения разного происхождения:
радиационный фон:
• космические лучи — излучение, приходящее на Землю
извне;
• естественная радиоактивность (недра, почва, вода, воз-
• радиоактивность ядер, входящих в состав тела человека
(внутреннее облучение);
техническое излучение:
• радиоактивность пищи;
• радионуклиды и фотонное облучение, используемые в ме-
медицине;
• технические установки, а особенно аварийные ситуации
на них;
• военные системы, а также аварийные ситуации на них;
• атомные взрывы.
Защита от негативных последствий излучения и некоторые
способы уменьшения дозы облучения указаны ниже. Различают
три вида защиты: защита временем, расстоянием и материалом.
33.8.1. Защита временем и расстоянием. Для точечного
источника экспозиционная доза определяется полученным
из C3.10) следующим соотношением:
X = k7At/r2- C3.12)
из которого видно, что она прямо пропорциональна времени
и обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника.
Отсюда следует естественный вывод: для минимизации по-
поражающего радиационного действия необходимо находиться как
можно дальше от источника излучения и по возможности мень-
меньшее время.
33.8.2. Защита материалом. Если расстояние до источника
радиации и время облучения не возможно выдержать в безопас-
безопасных пределах, то необходимо обеспечить защиту организма ма-
материалом. Этот способ защиты основывается на том, что разные
§ 33.9. Элементы реабилитологии 433
вещества по-разному поглощают попадающие на них всевозмож-
всевозможные ионизирующие излучения. В зависимости от вида излучения
применяют защитные экраны из различных материалов:
альфа-частицы — бумага, слой воздуха толщиной несколько
сантиметров, стеклянный кожух;
бета-частицы — стекло толщиной несколько сантиметров,
пластины из алюминия (следует иметь в виду, что при взаимо-
взаимодействии бета-частиц с веществом могут появиться рентгенов-
рентгеновское и гамма-излучения);
рентгеновское и гамма-излучения — бетон толщиной 1,5-2 м,
свинец (эти излучения ослабляются в веществе по экспоненци-
экспоненциальному закону; нужна большая толщина экранирующего слоя;
в рентгеновских кабинетах часто используют резиновый про-
свинцованный фартук);
поток нейтронов — замедляется в водородосодеожащих ве-
веществах, например, воде, а затем поглощается в кадмиевых
стержнях — поглотителях.
Для индивидуальной защиты используются респираторы,
оснащенные высокоэффективной фильтрующей тканью, которая
защищает от внутреннего облучения.
В экстренных ситуациях можно воспользоваться защитными
свойствами жилых домов. Так, в подвалах деревянных домов
доза внешнего облучения снижается в 2-7 раз, а в подвалах
каменных домов — в 40-100 раз.
При радиоактивном заражении местности контролируется
активность одного квадратного километра, а при заражении
продуктов питания — их удельная активность. В качестве
примера можно указать, что при заражении местности более
чем 40 Ки/км2 производят полное отселение жителей. Молоко
с удельной активностью 2 • 1011 Ки/л и более не подлежит упо-
употреблению.
§ 33.9. Элементы реабилитологии. Методы
радиографии. Радиационная гигиена
33.9.1. Методы радиографии. Для реабилитационной меди-
медицины всегда важным является оценка функционального состо-
состояния тех или иных органов, Для этого используются (наравне
с другими методами) радионуклидные методы.
434
Лекция 33. Дозиметрия
Радиометрия — измерение уровня накопления изотопов (ра-
(радиофармакологических препаратов (РФП)) в исследуемом ор-
органе или биологических пробах в разные интервалы времени.
Радиография — непрерывная регистрация скорости прохож-
прохождения изотопа через орган. Результаты измерений изображаются
в виде кривых — радиограмм, которые подвергаются анализу
и сравниваются с нормой. Методики радиографии в зависимости
от цели исследования имеют соответствующие названия.
Название
метода
Радио-
Радиокардиография
Радио-
гепатография
Радио-
ренография
Радио-
церебрография
Радио-
пульмонография
Цель исследования
Регистрация скорости прохождения РФП через
камеры сердца для определения минутного
объема
Регистрация скорости прохождения РФП через
паренхиму печени для оценки поглотительной
и выделительной функции
Регистрация скорости прохождения РФП через
почки с целью диагностики нарушений
секреторной и выделительной функции каждой
почки
Регистрация скорости прохождения РФП через
полушария мозга для определения нарушений
мозгового кровотока
Регистрация скорости прохождения РФП через
легкие (их отдельные сегменты) для определения
параметров функции каждого легкого
и сегментов
Методы изучения распределения в органах и тканях введен-
введенного РФП с получением их изображения на бумаге, фотографиях
или экране дисплея носят название сканирование и сцинтигра-
фия. При этом врач получает объективные данные о размерах,
форме, топографии органа и наличии в нем диффузных или
очаговых патологических изменений.
33.9.2. Радиационная гигиена газа радона. Существенным
среди естественных источников радиации является невидимый,
не имеющий вкуса и запаха тяжелый газ радон (лекция 32).
Поступление радона в помещение складывается из следую-
следующих источников.
§ 33.9. Элементы реабилитологии 435
Таблица 33.7. Поступление радона в помещения
Источники
Природный газ
Вода из водоемов
(Вода из артезианских скважин содержит
радона во много раз больше)
Наружный воздух
Стройматериалы и грунт под зданием
Радиоактивность
(кБк)
3
4
10
60
Эмиссия радона уменьшается при облицовке стен некоторы-
некоторыми материалами. Даже при оклейке стен обоями эмиссия радона
уменьшается примерно на 30%.
Герметизация помещений с целью утепления затрудняет вы-
выход радиоактивного газа из помещения, что ведет к увеличению
его концентрации. Поэтому чрезвычайно важно регулярно про-
проветривать помещения.
Особо следует обратить внимание на содержание радона в во-
воде. При кипячении воды и приготовлении горячих блюд радон
в значительной степени улетучивается. Основное поступление
в организм с пищей связано с употреблением не кипяченой воды.
Радон поступает в организм и другим путем: попадание паров
воды с высоким содержанием радона в легкие вместе с вдыха-
вдыхаемым воздухом, что чаще всего происходит в ванной комнате.
При включении теплого душа концентрация радона и его до-
дочерних продуктов в ванной возрастает в десятки раз. Снижение
их концентрации до исходного уровня происходит достаточно
медленно.
Лекция 34
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
1. Волновая функция, ее физический смысл.
2. Соотношения неопределенностей.
3. Уравнение Шредингера.
4. Решение уравнения Шредингера для частицы в «потенциальной
яме».
5. Электронные энергетические уровни атомов.
6. Энергетические уровни молекул.
7. Излучение и поглощение энергии атомами и молекулами.
Квантовая механика — раздел физики, в котором рассмат-
рассматриваются законы и уравнения, описывающие движения микро-
микрочастиц. Микрочастицами называют элементарные частицы, а
таксисе атомы, молекулы и ионы.
После того как физики научились получать потоки одинако-
одинаковых микрочастиц и наблюдать их, оказалось, что поведение мик-
микрочастиц очень сильно отличается от поведения тел в макромире.
Так, например, было установлено, что если поток электронов
направить на узкую щель, за которой расположена фотопла-
фотопластинка, то после проявления на ней обнаружится дифракцион-
дифракционная картина, полностью аналогичная картине, возникающей при
дифракции света на щели (см. дифракция света на щели). За-
Зависимость интенсивности потока электронов /е, в данном месте
фотопластинки, от синуса угла, под которым это место видно из
центра щели, показана на рис. 34.1.
Электроны,
падающие
на щель
Рис. 34.1. Дифракция электронов на щели
§34.1. Волновая функция, ее физический смысл 437
Дифракция присуща волновым процессам, поэтому была вы-
выдвинута гипотеза о том, что микрочастицы обладают волновыми
свойствами.
§ 34.1. Волновая функция, ее физический смысл
34.1.1. Волновая функция. Гипотеза о том, что микрочасти-
микрочастицы обладают волновыми свойствами, была высказана француз-
французским физиком-теоретиком Луи де Бройлем, за что он получил
Нобелевскую премию A929). Согласно этой гипотезе, движение
микрочастиц с массой т и скоростью v подобно волновому про-
процессу, длина волны которого определяется по формуле
Л = h/mv, C4.1)
где h — постоянная Планка (h = 6,6 • 10~34 Дж-с).
Для описания состояний микрочастиц в квантовой механике
используют волновую функцию Ф(ж, у, ?, ?), зависящую от коор-
координат и времени. Эта функция аналогична функции для меха-
механической волны (см. лекцию 7). Далее мы будем рассматривать
только стационарное состояние, в котором энергия частицы име-
имеет определенное (и не меняющееся со временем) значение. Для
стационарного состояния волновую функцию можно представить
в виде произведения двух сомножителей,
V(x,y,z,t) = i/>(x,y,z)-f(t), C4.2)
один из которых зависит только от координат, а другой только
от времени.
Для стационарного состояния зависимость от времени не
существенна, и для описания используется только функция
ф(х, у, z).
34.1.2. Физический смысл волновой функции. Выделим
в пространстве достаточно малый объем dV = dxdydz,
в пределах которого значения волновой функции можно считать
одинаковыми. Вероятность dW того, что частица находится
в выделенном объеме, пропорциональна его величине и зависит
от квадрата модуля ф-функции:
dW = \ip\2dV. C4.3)
438 Лекция 34. Элементы квантовой механики
Отсюда следует физический смысл волновой функции:
\ф\2 = dW/dV. C4.4)
Квадрат модуля волновой функции равен вероят-
вероятности нахождения частицы в единичном объеме,
то есть плотности вероятности.
Интегрирование выражения C4.3) по некоторому объему V поз-
позволяет определить вероятность нахождения частицы в этом объ-
объеме:
W = \\ip2\dV. C4.5)
v
§ 34.2. Соотношения неопределенностей
В классической физике предполагается, что, располагая «хо-
«хорошими» измерительными приборами, можно с любой степенью
точности определить все величины, характеризующие состоя-
состояние тела в данный момент времени, например, координату ма-
материальной точки и проекцию ее импульса на соответствующую
ось.
В квантовой механике считается, что: существуют такие пары
величин, характеризующих состояние микрочастицы, которые не
могут в один и тот же момент времени быть точно измерены
(иметь точные значения). Мы рассмотрим две такие пары: «ко-
«координата-проекция импульса» и «энергия-время».
Немецкий физик-теоретик В. Гейзенберг A927) выдвинул
идею о принципиальной невозможности измерения определен-
определенных пар связанных между собой характеристик так, чтобы
они одновременно имели точные значения. Он предложил
соотношения неопределенностей.
34.2.1. Соотношение неопределенностей для координаты
и проекции импульса. Пусть известно, что координата частицы
лежит в интервале (ж, х + Аж), а проекция импульса на
ось X лежит в интервале (рж, рх + Арх). Величины Ах
и Арх называются неопределенностями соответствующих
параметров. Между ними имеет место следующее соотношение
неопределенностей:
Ах- Арх > Л/Bтг). C4.6)
§ 34.2. Соотношения неопределенностей 439
Из соотношения C4.6) следует, что чем точнее определена коор-
координата (х) частицы, тем более неопределенной будет проекция ее
импульса (р) на эту ось: если Ах —> О, то Арх —^ ос и наоборот.
Это приводит к тому, что если мы достаточно точно определили
импульс частицы (а значит и ее скорость), то мы очень плохо
знаем ее положение (то есть траекторию).
Для других координатных осей выполняются аналогичные
соотношения:
Ау • Ару > /i/Btt), &z * APz > Ь,/Bж). C4.7)
Невозможность одновременного точного определения коор-
координаты и соответствующей составляющей импульса не связана
с несовершенством методов измерения или измерительных при-
приборов, а является следствием специфики микрообъектов, отра-
отражающей особенности их объективных свойств, а именно двой-
двойственную корпускулярно-волновую природу.
34.2.2. Соотношение неопределенностей для энергии и вре-
времени. Пусть известно, что частица находится в некотором со-
состоянии в течение временного интервала (?, t + At) и обладает
в этом состоянии энергией из интервала (Е, Е + АЕ). Величины
At и АЕ также называются неопределенностями. Между ними
имеет место аналогичное C4.7) соотношение неопределенностей:
АЕ- At^ /г/Bтг). C4.8)
Из соотношения C4.7) следует, что чем меньше интервал вре-
времени, в течение которого частица может находиться на некото-
некотором энергетическом уровне, тем более неопределенной является
энергия, которой она обладает: если At —>• 0, то Ai? —>> оо и на-
наоборот. Это приводит к тому, что энергия фотона, испускаемого
микрочастицей при переходе с одного энергетического уровня на
другой, становится также неопределенной. Соотношение C4.8)
имеет физический смысл и в том, что из-за конечности времени
жизни атомов в возбужденном состоянии энергия возбужденных
состояний атомов не является точно определенной, а потому
соответствующий уровень характеризуется конечной шириной,
рис. 34.2.
Поэтому и частота испускаемого фотона имеет некоторый
разброс: АЕ = A(hv) = hAv.
440 Лекция 34. Элементы квантовой механики
Это явление действительно наблюдается и называется уши-
рением (размытостью) энергетических уровней.
Е.Л — АЕ
Е, —
Рис. 34.2. Соответствующий энергетический уровень характеризуется
конечной шириной
§ 34.3. Уравнение Шредингера
Уравнение, определяющее волновую функцию (волновое
уравнение), было составлено Э. Шредингером, австрийским
физиком-теоретиком A887-1961).
По своему значению это уравнение квантовой механики ана-
аналогично 2-му закону Ньютона в классической механике, но на-
нахождение его решений — задача во много раз более сложная.
Поэтому мы рассмотрим только простейшую ситуацию, которая
демонстрирует особенности стационарных состояний микроча-
микрочастицы.
Применительно к любому стационарному состоянию уравне-
уравнение Шредингера записывается в следующем виде:
d2ip/dx2 + d2ip/dy2 + d2ip/dz2 + (87r2m/h2)(E -Еп)"ф = 0,
C4.9)
где т — масса частицы, Е и Еп — ее полная и потенциальная
энергии.
Рассмотрим одномерный случай, когда частица перемещает-
перемещается только вдоль оси ОХ. В этом случае уравнение C4.9) упро-
упрощается:
d2^/dx2 + (87r2m/h2) - (Е - Еп)-ф = 0. C4.10)
Потенциальная энергия Еп определяется воздействием силового
поля, в котором находится частица.
§ 34.4. Решение уравнения Шредингера 441
§ 34.4. Решение уравнения Шредингера для
частицы в «потенциальной яме»
Термин «потенциальная яма» принадлежит физическому
жаргону. Поясним его следующим примером. Пусть небольшое
тело, масса которого т, находится на дне обычной ямы глуби-
глубиной Н. Если тело поднять на уровень, соответствующий краям
ямы, то его потенциальная энергия увеличится на mgH. Для то-
того чтобы тело смогло «выскочить» из ямы, оно должно обладать
такой же (или большей) кинетической энергией.
Таким образом, термин «потенциальная яма» применяется
к состоянию частицы, для выхода из которого ей необходима
определенная энергия (в нашем примере Ек ^ mgH). Если
частица принципиально не может выйти из данного состояния,
то говорят, что у ямы бесконечно высокие стенки (или что яма
бесконечно глубокая). Именно этот случай мы и рассмотрим:
частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной
яме с бесконечно высокими стенками, рис.34 .3.
Е=0
О L X
Рис. 34.3. Одномерная прямоугольная потенциальная яма с бесконечно
высокими стенками
Пусть частица может перемещаться только вдоль оси X, и ее
движение ограничено непроницаемыми стенками: х = О и х = L.
Между стенками движение частицы является свободным, то есть
на нее не действуют внешние силы. В этом случае вероятность
обнаружить частицу за пределами интервала (О, L) равна нулю.
Учитывая смысл волновой функции, запишем:
ф(х) = 0, при ж<0 и х ^ L. C4.11)
Поскольку движение частицы происходит без воздействия внеш-
внешних сил, можно принять, что ее потенциальная энергия равна
442 Лекция 34. Элементы квантовой механики
нулю (Еп = 0). Поэтому уравнение Шредингера C4.10) записы-
записывается в упрощенном виде:
d2ip/dx2 + (87r2m/h2) -Е"ф = 0. C4.12)
Введя обозначение
8тг2тЕ/к2 = и2, C4.13)
получим
22 + и;2ф = 0. C4.14)
Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению ме-
механических гармонических колебаний (см. лекцию 6). Его реше-
решение имеет вид
ф = ф0 cos(t<;x + <?o), C4.15)
где фо — амплитуда волновой функции, сро — ее начальная фаза.
Отметим, что ^о 7^ 05 так как в этом случае волновая функция
была бы равна нулю на всей оси (это означало бы, что в яме нет
частицы).
Уравнение C4.15) показывает, как меняется волновая функ-
функция в зависимости от координаты х. В это уравнение входят
постоянные ф$ и (р$, а также параметр си (связанный с Е). Чтобы
найти их физический смысл, используем граничные условия
C4.11).
а) х = 0 (левая граница потенциальной ямы). При этом
ф = 0; тогда выражение C4.15) приобретет вид 0 = фо • cos@ +
+ (fo) = фо - cos((fo) = 0. Поскольку ф$ ф 0, нулю равняется
второй сомножитель cos((/?o) — 0. Отсюда получаем:
(fo = тг /2. C4.16)
б) х = L (правая граница потенциальной ямы). При этом
ф = 0 и выражение C4.15) приобретет вид 0 = ф^соъ^иоЬ +
+ тг/2) = — ^osiri^^) = 0. Второй сомножитель обращается в 0,
когда ujL = тгп, где п = 1, 2, 3, . . .
Отсюда получаем набор возможных значений о;, который
называют спектром волновой функции:
си = тг • rc/L, п = 1, 2, 3, ... C4.17)
§ 34.4. Решение уравнения Шредингера 443
С учетом выражений C4.13) и C4.17) находим полную энергию
частицы:
Е = (и2к2)/(8тт2т) = Gг2п2к2)/(Ь28тг2т) = (h2/8mL2)n2,
Еп = [h2/(8mL2)]n2. C4.18)
Подставив найденные значения C4.16) и C4.17) в уравнение
волновой функции C4.15), получим следующее выражение:
Амплитуда волновой функции находится из условия нормиров-
нормировки: вероятность того, что частица находится в пределах О < х <
< L, равна 1. Используя C4.5), запишем:
L
/9 9 fniTX 7Г
^s2 [ +
Отсюда получается, что фо = л/2/L (вычисления не приводят-
приводятся).
Таким образом, окончательное выражение для волновой
функции частицы, находящейся в потенциальной яме, принимает
следующий вид:
</> = У271со8рр + |). C4.19)
Если возвести C4.19) в квадрат, то получим выражение для
плотности вероятности \ф\2 нахождения электрона в разных точ-
точках потенциальной ямы.
На рис.34.4 изображены уровни энергии частицы в одномер-
одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими
«стенками». Здесь же представлены для п = 1, 2, 3 собственные
функции C4.19) (рис. 34.4а) и плотности вероятности (рис. МЛб)
обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок»
ямы. Из рисунка следует, что, например, в состоянии с п = 2
частица не может находиться в центре «ямы», в то время как оди-
одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое
поведение частицы указывает на непригодность представлений
о траектории частиц в квантовой механике. Классическая ча-
частица с равной вероятностью может быть в любой точке «ямы»,
рис. 34.4в.
444
Лекция 34. Элементы квантовой механики
Рассмотренный пример позволил выявить отличия квантовой
механики от классической механики. Они заключаются в том,
что микрочастица может принимать состояния только из неко-
некоторого дискретного ряда значений. Эти состояния характеризу-
характеризуются набором целых чисел, которые называются квантовыми
числами. Мы нашли только одно квантовое число — п, кото-
которое характеризует энергию микрочастицы и называется главным
квантовым числом. Другие характеристики микрочастицы (мо-
(момент импульса, проекция момента импульса на координатную
ось, спин) также принимают дискретные значения и характери-
характеризуются своими квантовыми числами.
X X О L X
а б в
Рис. 34.4. Частица в потенциальной яме: а) волновая функция для
микрочастицы, б) плотность вероятности для микрочастицы частицы,
в) плотность вероятности для классической частицы
§ 34.5. Электронные энергетические уровни атомов
Уравнение Шредингера можно применить и к более сложным
системам, например, к электрону в атоме. Это приведет также
к дискретности энергетических уровней. Электронных энерге-
энергетических уровней в атоме больше, чем электронов. Электроны
в невозбужденном состоянии заполняют нижние энергетические
уровни, а верхние уровни остаются свободными (рис. 34.5). Ес-
Если атом получает энергию из окружающей среды в результате
столкновения с другими атомами или поглощая квант света,
то он переходит в возбужденное состояние. При этом какой-
либо электрон атома переходит с нижнего уровня на один из
верхних. Через небольшой промежуток времени он возвращает-
возвращается на нижний уровень, испуская квант света соответствующей
§34.5. Электронные энергетические уровни атомов
445
частоты. Этим объясняется дискретность спектров испускания
и поглощения у газов.
Свободные
уровни
Заполненные
уровни
Рис. 34.5. Электронные энергетические уровни атомов
Состояние электронов в изолированном атоме и состояние
электронов плотных веществ различаются. Рассмотрим, как вы-
выполняются основные положения квантовой теории в этом случае
на примере твердого тела.
В твердом теле (кристалле) соседние атомы расположены
настолько близко друг к другу, что между ними происходит
взаимодействие. При этом на электроны влияет не только ядро
собственного атома. Они подвергаются влиянию ядер и элек-
электронов соседних атомов, вследствие чего состояния электронов
изменяются. Воздействие на электрон многих атомов вызывает
смещение и расщепление его энергетических уровней. Замет-
Заметное расщепление уровней наблюдается в основном у валентных
электронов. При этом спектр возможных значений их энергии
распадается на ряд чередующихся разрешенных и запрещенных
зон (рис. 34.6).
Е
Запрещенные
зоны
Разрешенные
зоны
Рис. 34.6. Разрешенные и запрещенные зоны в кристалле
Значения энергии, лежащие в запрещенных зонах, реализо-
реализоваться не могут. В разрешенных зонах энергетические уровни
расположены настолько «густо», что изменение энергии можно
446 Лекция 34. Элементы квантовой механики
считать непрерывным. Не вдаваясь в детали, отметим, что зон-
зонная структура энергетических уровней получается из решения
уравнения Шредингера для электрона, который движется в пе-
периодическом силовом поле кристаллов.
Рассмотрим два типа разрешенных зон, которые объясняют
проводящие и диэлектрические свойства веществ:
• валентная зона — совокупность энергетических уровней
валентных электронов;
• свободная зона — разрешенные уровни энергии, которые
остаются незанятыми при температуре абсолютного нуля;
• зона проводимости — незаполненная при абсолютном ну-
нуле часть валентной зоны или свободная зона, лежащая над ва-
валентной зоной.
При температуре абсолютного нуля валентные электроны за-
занимают нижние уровни валентной зоны и отделяться от атомов
не могут — в веществе нет свободных электронов. Над валентной
зоной располагается запрещенная зона, за которой следует раз-
разрешенная зона. При абсолютном нуле она не заполнена и потому
называется свободной (рис. 34.7).
„. Свободные..
зоны
_ Запрещенная
Не заполненная Заполненная Заполненная
валентная зона валентная зона валентная зона
а) металл б) полупроводник в) диэлектрик
Рис. 34.7. Расположение зон у различных веществ
У металлов валентная зона заполнена не полностью.
Поэтому достаточно сообщить электрону небольшую энергию
A0~23-10~22 эВ), чтобы перевести его на один из свободных
уровней валентной зоны и сделать его свободным электроном
(его даже не нужно переводить в свободную зону). Для этого
достаточно энергии теплового движения, которая уже при
температуре 1 К составляет 10~4 эВ. Поэтому металлы остаются
проводниками при самых низких температурах.
§ 34.6. Энергетические уровни молекул 447
У полупроводников и диэлектриков валентные зоны запол-
заполнены полностью. Поэтому чтобы сделать электрон свободным,
его нужно переместить через запрещенную зону в ближайшую
свободную зону.
У полупроводников ширина запрещенной зоны невелика (не-
(несколько десятых эВ). Поэтому энергии теплового движения до-
достаточно, для того чтобы преодолеть запрещенную зону и переве-
перевести часть электронов в свободную зону. Чем выше температура,
тем больше доля таких электронов. Этим и объясняется умень-
уменьшение сопротивления полупроводников при нагревании.
У диэлектриков ширина запрещенной зоны составляет не-
несколько эВ, и энергии теплового движения недостаточно, для то-
того чтобы сколько-нибудь заметное количество электронов смог-
смогло преодолеть запрещенную зону. Диэлектрики практически не
проводят электрический ток.
Таким образом, квантовая теория оказалась способной сде-
сделать то, чего не могла сделать классическая физика: объяснить
проводящие свойства веществ.
§ 34.6. Энергетические уровни молекул
Молекулы состоят из взаимодействующих атомов. Вслед-
Вследствие этого внутримолекулярное движение сложнее внутриатом-
внутриатомного. В молекуле проявляются различные типы движения:
а) движения электронов относительно ядер;
б) колебательное движение атомов около центра тяжести
молекулы;
в) вращательное движение молекулы как целого вокруг
каких-либо осей.
На рис. 34.8. представлены схематично типы движения двух-
двухатомной молекулы.
а б в
Рис. 34.8. Различные формы движения в двухатомной молекуле: а)
движение электронов относительно ядер, б) колебательное движение
атомов около их положения равновесия, в) вращательное движение
молекулы как целого вокруг оси
448
Лекция 34. Элементы квантовой механики
Электронному, колебательному и вращательному движениям
молекулы соответствуют три типа уровней энергии: Еэл, Екол,
Евр. Полная энергия молекулы равна
= Еэ
Ек
Е
вр.
Согласно квантовой механике, колебательная и вращательная
энергии молекул, так же как и электронная энергия, имеют кван-
квантовый характер, то есть изменяются дискретно. Расстояния меж-
между колебательными уровнями энергии молекулы гораздо меньше,
чем расстояния между электронными уровнями. Поэтому каж-
каждый электронный уровень молекулы распадается на ряд коле-
колебательных уровней (или подуровней). В свою очередь каждому
колебательному уровню молекулы соответствует ряд вращатель-
вращательных подуровней, расстояние между которыми еще меньше, чем
между колебательными уровнями. На рис. 34.9 дана схема отно-
относительного расположения уровней этих трех основных составля-
составляющих полной энергии для простейшей двухатомной молекулы:
электронной Еэл, колебательной Екол и вращательной Евр.
Е
В3
к.
Ко
К-1
Рис. 34.9. Общая схема энергетических уровней молекул: Э — элек-
электронные, К — колебательные, В — вращательные уровни
§ 34.7. Излучение и поглощение энергии атомами и молекулами 449
На схеме показаны только два электронных уровня. Рассто-
Расстояние между однотипными соседними уровнями различны:
• между электронными уровнями — несколько эВ; переходы
между этими уровнями соответствуют видимому и ультрафиоле-
ультрафиолетовому излучению;
• между колебательными уровнями — 10~1-10~2 эВ; пе-
переходы между этими уровнями соответствуют инфракрасному
излучению;
• между вращательными уровнями — 10~5-10~3 эВ; пере-
переходы между этими уровнями соответствуют далекой инфракрас-
инфракрасной области и микроволновому диапазону (СВЧ).
У многоатомных молекул эти наборы сильно усложняются
по сравнению с приведенной схемой, но общая закономерность
состоит в том, что Еэл > Екол > Евр. Различия в энергиях меж-
между электронными состояниями также наибольшие; относительно
ближе друг к другу расположены колебательные уровни и еще
теснее сгруппированы вращательные уровни энергии.
§ 34.7. Излучение и поглощение энергии атомами
и молекулами
Атом и молекула могут находиться в стационарных энер-
энергетических состояниях с энергией C4.18). В этих состояниях
они не излучают и не поглощают энергии. При квантовых пе-
переходах атомы и молекулы скачкообразно переходят из одного
стационарного состояния в другое. Излучаемая при переходах
энергия определяет спектр испускания, а поглощаемая — спектр
поглощения вещества.
34.7.1. Переход в атомах. Изменение состояния атома свя-
связано с энергетическими переходами электронов. При переходе
электрона выделяется или поглощается энергия в виде кванта
электромагнитного излучения. Если начальная энергия атома
была Ei, а конечная — после перехода электрона с одной орбиты
на другую — Ek, то энергия АЕ, выделяемая или поглощаемая
при переходе, будет в точности равна разности энергий началь-
начального и конечного стационарных состояний:
АЕ = Ei - Ek = hi/, C4.20)
15 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
450 Лекция 34. Элементы квантовой механики
где h — постоянная Планка, v — частота излучаемого или погло-
поглощаемого кванта.
Соотношение C4.20) выражает закон сохранения энергии при
квантовых переходах между каким-либо свободным и каким-
либо заполненным уровнями.
Таким образом, энергии излучения и поглощения имеют
квантовых характер: они могут принимать не любые значения,
а только определенный ряд дискретных значений.
На практике это проявляется в том, что атомные спектры
излучения и поглощения состоят из отдельных узких линий,
то есть являются линейчатыми. Чем больше энергетический
зазор между уровнями, тем выше частота спектральной линии
(энергия поглощаемых или испускаемых квантов).
34.7.2. Переход в молекулах. В результате того, что элек-
электронные уровни молекул распадаются на колебательные и вра-
вращательные подуровни, количество возможных энергетических
переходов молекул значительно возрастает по сравнению с ато-
атомами. Полное изменение энергии молекулы имеет квантовый
характер:
hv = AE = АЕЭЛ + АЕКОЛ + А?вр. C4.21)
Это приводит к значительному усложнению молекулярных спек-
спектров, которые в отличие от атомных спектров имеют не линейча-
линейчатый, а сплошной характер. Спектральные полосы имеют форму,
напоминающую кривые гауссова распределения, их полуширина
(ширина на половине высоты) варьирует в пределах 30-70 нм.
34.7.3. Спектры — источники информации. Спектр испуска-
испускания формируется энергией, испускаемой атомом или молекулой.
Спектр поглощения формируется энергией, поглощаемой атомом
или молекулой.
По виду спектра можно идентифицировать атомы и молеку-
молекулы, что лежит в основе качественного спектрального анализа.
По интенсивности спектральных линий можно определить ко-
количество излучающих (поглощающих) атомов, что составляет
основу количественного спектрального анализа. Таким методом
определяют наличие примесей в концентрациях до 10~6 %; уста-
устанавливают состав образцов очень малой массы — до 10~6 г.
§ 34.7. Излучение и поглощение энергии атомами и молекулами 451
Спектры являются источниками информации о строении ато-
атома или молекулы, структуре их энергетических уровней, подвиж-
подвижности отдельных частей больших молекул. Спектры являются
важным источниками информации о биологически функцио-
функциональных атомах и молекулах и широко используются в совре-
современных биохимии и биофизике.
15*
Лекция 35
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ
1. Поглощение света. Закон Бугера.
2. Поглощения света растворами. Закон Бугера-Ламберта-Бера.
3. Коэффициент пропускания, оптическая плотность.
4. Спектры поглощения.
5. Рассеяние света.
6. Зависимость рассеяния от длины волны.
7. Ослабление при совместном действии поглощения и рассеяния.
8. Элементы реабилитологии. Факторы, влияющие на рассеяние
света в атмосфере. Оптические параметры кожи в области ви-
видимого света.
При распространении света в веществе его интенсивность
может уменьшаться вследствие поглощения и рассеяния света
частицами вещества.
§ 35.1. Поглощение света. Закон Бугера
При прохождении света через вещество часть энергии рас-
расходуется на возбуждение атомов или молекул. Некоторая доля
этой энергии возвращается излучению в виде вторичных волн.
Однако другая доля переходит во внутреннюю энергию веще-
вещества. В результате световая энергия уменьшается. Этот процесс
называют поглощением света.
Поглощение света — ослабление интенсивности
света при прохождении через вещество вслед-
вследствие превращения световой энергии в другие ви-
виды энергии.
Рассмотрим закономерности ослабления интенсивности света
при прохождении его через вещество вследствие поглощения.
Сначала рассмотрим прохождение монохромотического света че-
через тонкий слой вещества толщиной dx. Изменение интенсивно-
интенсивности света dl будет пропорционально толщине этого слоя и ин-
интенсивности падающего света /:
dl = -kx- I -dx. C5.1)
§35.1. Поглощение света. Закон Бугера
453
Коэффициент пропорциональности k\ характеризует поглоща-
поглощающую способность данной среды и называется натуральным
показателем поглощения. Его величина зависит от длины волны
света (Л), но не зависит от его интенсивности. Знак « —» означает,
что интенсивность света уменьшается.
Рассмотрим теперь ослабление света при его прохождении
через слой вещества с произвольной толщиной / (рис. 35.1).
I ]
^--
\ \
\ \
\'
\
dx
1
1
1
\
\
\
\
-—
О X
Рис. 35.1. Поглощение света веществом
Изменение интенсивности при прохождении выделенного
слоя dx описывается дифференциальным уравнением C5.1),
которое решается методом разделения переменных:
dl j I = —k\dx.
При изменении х от 0 до / интенсивность изменяется от /о до /.
Интегрируя в этих пределах, получаем:
dl
= —k\ dx
0) = -kxl
0 = ехр(-ЛА/).
/о
В результате мы получили закон поглощения, который на-
называется законом поглощения света Бугера (по имени одного
из основоположников фотометрии французского ученого Пьера
Бугера, получившего его ещё в 18-м веке):
454 Лекция 35. Взаимодействие света с веществом
Интенсивность света при поглощении в веществе
убывает экспоненциально в зависимости от прой-
пройденного пути:
/ = /оехр(-/сл/). C5.2)
Из уравнения C5.2) выясним физический смысл натурального
показателя поглощения: пусть свет проходит путь L = 1/к\.
Из C5.2) получим: / = /0 • е = /о/е « /о/2,8. Таким обра-
образом, натуральный показатель поглощения k\ есть величина, об-
обратная толщине такого слоя, который ослабляет интенсивность
света в «е» раз.
Зависимость интенсивности света от толщины поглощающего
слоя показана на рис. 35.2.
О I
Рис. 35.2. Изменение интенсивности света при прохождении через ве-
вещество
§ 35.2. Поглощение света растворами. Закон
Бугера—Ламберта—Бера
Закон Бугера используется для определения концентраций
растворов, в которых основным поглотителем являются молеку-
молекулы растворенного вещества, а сам растворитель практически не
поглощает свет. В этом случае натуральный показатель погло-
поглощения прямо пропорционален концентрации молекул растворен-
растворенного вещества:
кх = ахп. C5.3)
Концентрация молекул п равна отношению их количества к объ-
объему раствора:
п = N/V; V = S-l^kx = <r\N/(S • Z),
где N — число молекул в растворе, V — его объем, S — площадь
поперечного сечения кюветы, / — ее длина, а\ — коэффициент
пропорциональности, имеющий размерность площади (м2).
§35.3. Коэффициент пропускания 455
Для того, чтобы выяснить смысл коэффициента сгд, подста-
подставим выражение для показателя поглощения в показатель экспо-
экспоненты в формуле C5.2):
kxl = ax/(S/N).
Выражение S/N есть средняя площадь сечения кюветы, при-
приходящаяся на одну молекулу раствора. Поэтому величина ад,
имеющая размерность площади, является геометрической харак-
характеристикой молекулы при взаимодействии с фотоном. Эту вели-
величину называют эффективным сечением поглощения. Она играет
важную роль в фотобиологии.
Обычно в лабораторных исследованиях используют моляр-
молярную концентрацию раствора С — моль/м3. В этом случае пока-
показатель поглощения записывают в следующем виде:
кх = Х\С, C5.4)
где х\ — натуральный молярный показатель поглощения, зави-
зависящий от вида растворенного вещества и длины волны света.
Подстановка этого выражения в C5.2) приводит к закону
Бугера-Ламберта-Бера:
/ = /оехр(-ХАО- C5-5)
Иногда бывает удобнее перейти к степени с основанием 10.
В этом случае уравнение C5.2) записывают в следующем виде:
/ = /O1(T?CL, C5.6)
где е = х/2,3. Величина е зависит от длины волны и называется
молярным показателем поглощения.
Закон Бугера-Ламберта-Бера описывает поглощение моно-
монохроматического света в однородных растворах, когда молекулы
растворенного вещества практически не взаимодействуют между
собой. Этот закон перестает выполнятся, когда интенсивность
падающего света очень высока (лазерное излучение).
§ 35.3. Коэффициент пропускания, оптическая
плотность, концентрационная колориметрия
Прохождение света через весь слой вещества характеризуют
коэффициентом пропускания (прозрачностью).
Коэффициент пропускания (Т) равен отношению
интенсивности света, прошедшего через данный
456 Лекция 35. Взаимодействие света с веществом
слой вещества (/), к интенсивности падающего све-
света (/о):
Т /// C5.7)
Коэффициент пропускания зависит от длины волны. Зависи-
Зависимость Т = /(А) называется спектром пропускания.
В соответствии с законом Бугера-Ламберта-Бера C5.6)
Т = 1(Г?С/.
Зависимость выражаемая этой формулой является нелинейной.
Поэтому в лабораторных исследованиях используют ее десятич-
десятичный логарифм.
Оптической плотностью раствора (D) называет-
называется десятичный логарифм отношения интенсивно-
интенсивности света, падающего на слой жидкости, к интен-
интенсивности выходящего света:
D = lg(/0//). C5.8)
В соответствии с формулой C5.7),
D = lg(/0//) = - lg(T) = eCl, C5.9)
то есть оптическая плотность пропорциональна концентрации
растворенного вещества С, длине пути луча в растворе (толщине
слоя) /, молярному показателю поглощения (е).
В англоязычной научной литературе оптическую плотность
называют поглощающей способностью (absorbance) и обознача-
обозначают буквой А.
На использовании формул C5.8), C5.9) основан фотометри-
фотометрический метод определения концентраций веществ в растворах,
получивший название «концентрационная колориметрия». Для
определения концентрации растворённого вещества на кювету
с раствором направляют луч света и измеряют его интенсивность
на входе в кювету (/q) и на выходе из нее (/). По формуле C5.8)
вычисляют оптическую плотность D, а затем по формуле C5.9)
находят концентрацию раствора (лабораторная работа № 34 [5],
которая так и называется «концентрационная колориметрия»).
§ 35.4. Спектры поглощения
Зависимости сг, ?, Z), \ от длины волны (Л) характеризуют
спектр поглощения вещества.
§ 35.5. Рассеяние света 457
Наибольшей простотой отличаются спектры одноатомных
разреженных газов или паров металлов. Они состоят из отдель-
отдельных узких линий и называются линейчатыми, (рис. 35.3а). Это
обусловлено тем, что отдельный атом может поглотить квант
света только при условии, что его энергия в точности равна раз-
разности энергий между определенными свободным и заполненным
электронными уровнями.
1
О X О X
а б
Рис. 35.3. Спектры линейчатые (а) и непрерывные (б)
Спектры газов, состоящих из многоатомных молекул (мо-
(молекулярные спектры), значительно сложнее атомных, что обу-
обусловлено большим разнообразием движений и, следовательно,
энергетических переходов в молекуле. Это приводит к тому,
что спектры поглощения молекул состоят из широких полос,
разделенных широкими же промежутками. Такие спектры на-
называются полосатыми. У плотных газов, жидких и твердых тел
спектры имеют непрерывный характер с наличием характерных
максимумов и минимумов (рис. 35.3^).
Спектры поглощения являются важным источником инфор-
информации о строении вещества и широко используются в совре-
современных биохимических и биофизических исследованиях. В свою
очередь, знание структурной формулы соединения достаточно
для того, чтобы определить, способно оно поглощать свет, и даже
предсказать положение области (полосы) поглощения.
§ 35.5. Рассеяние света
При прохождении света через неоднородную среду световые
волны дифрагируют на имеющихся неоднородностях и дают ди-
дифракционную картину с довольно равномерным распределением
интенсивности по всем направлениям. Такую дифракцию назы-
называют рассеянием.
Рассеяние света — явление, при котором свет,
распространяющийся в среде, отклоняется по все-
всевозможным направлениям.
458 Лекция 35. Взаимодействие света с веществом
Теорию рассеяния света разработал английский физик
Дж.Рэлей A842-1919).
Различают два вида рассеяния.
35.5.1. Рассеяние в мутных средах — явление Тиндаля. Мут-
Мутной называют среду с явно выраженными оптическими неодно-
родностями. Примеры мутных сред: туман (капельки жидкости
в газе), дым (мельчайшие твердые частицы в газе), эмульсия
(дисперсная система, состоящая из мельчайших капелек двух не
растворяющихся друг в друге жидкостей), взвесь или суспензия
(дисперсная система, состоящая из взвешенных в жидкости мел-
мелких твердых частиц), аэрозоль (дисперсная система, состоящая
из мелких частиц, взвешенных в воздухе или другом газе). Рас-
Рассеяние света в мутных средах называют явлением Тиндаля.
35.5.2. Молекулярное рассеяние на оптических неоднородно-
стях. Рассеяние имеет место и при отсутствии в среде инородных
частиц. Оно обусловлено тем, что даже в «чистой» среде име-
имеются микроскопические флуктуации плотности — отклонения
плотности от ее среднего значения, наблюдаемые в пределах
малых объемов. Соответствующие флуктуации имеет и пока-
показатель преломления света. Эти флуктуации вызваны беспоря-
беспорядочным движением молекул вещества; поэтому обусловленное
ими рассеяние света называется молекулярным. Молекулярным,
например, является рассеяние света в атмосфере (при отсутствии
тумана или дыма).
Если неоднородности распределены в среде достаточно рав-
равномерно, то уменьшение интенсивности проходящего света для
рассеяния обоих типов описывается функцией:
/ = /oe-mL, C5.10)
где т — натуральный показатель рассеяния.
§ 35.6. Зависимость рассеяния от длины волны
Интенсивность рассеянного света зависит от длины световой
волны. При молекулярном рассеянии, а также при рассеянии
в мутной среде с неоднородностями, размеры которых малы по
сравнению с длиной волны (меньших 0,2А), выполняется закон
Рэлея:
§35.7. Ослабление при совместном действии поглощения и рассеяния 459
Интенсивность рассеянного света (/р) обратно про-
пропорциональна четвертой степени длины волны (Л):
/р~1/А4. C5.11)
Закон Рэлея объясняет некоторые явления, наблюдаемые в при-
природе. Например, голубой цвет неба связан с тем, что в солнечном
(белом) свете, рассеянном атмосферой, преобладают коротковол-
коротковолновые синие лучи.
Высота стояния Солнца над горизонтом зависит от времени
суток, рис. 35.4. Максимальное различие составляет 30 раз. По-
Поэтому можно объяснить красный цвет солнца на закате. В это
время суток солнечные лучи про-
проходят более толстый слой воздуха
(чем днем, когда солнце в зените),
и короткие волны рассеиваются по-
почти полностью. Поэтому в прошед-
прошедшем свет остаются длинноволновые
красные лучи, что мы и наблюда-
наблюдаем при прямом взгляде на Солнце.
Из-за меньшего рассеяния красного
света его используют в сигнальных
огнях.
Направление рассеянного света,
Атмосфера
Земли
Рис. 35.4. Высота стояния
Солнца над горизонтом
степень его поляризации, спектральный состав дают информа-
информацию о параметрах, характеризующих растворы (в том числе
и коллоидные), эмульсии, аэрозоли. Методы измерения рассе-
рассеянного света с целью получения информации о рассеивающей
системе называются нефелометрией.
§ 35.7. Ослабление при совместном действии
поглощения и рассеяния
При прохождении света через вещество уменьшение его
интенсивности обусловлено совместным действием поглощения
и рассеивания. Ослабление интенсивности описывается следую-
следующей функцией:
/ = /Oe-^L, C5.12)
где \i — натуральный показатель ослабления, который равен
сумме натуральных показателей поглощения и рассеяния:
ц = k + т. Эти показатели введены в формулах C5.2) и C5.10).
460 Лекция 35. Взаимодействие света с веществом
§ 35.8. Факторы, влияющие на рассеивание света
в атмосфере
Наличие солнечного света необходимо для нормального
функционирования всего человеческого организма. Недостаток
света приводит к нарушению физиологического равновесия
в организме.
Поток солнечного излучения, попадающего на поверхность
Земли за сутки, зависит от состояния атмосферы, времени го-
года и широты места. Высота стояния Солнца над горизонтом
определяет угол падения солнечных лучей на поверхность Земли
и путь, пройденный лучами в атмосфере, рис. 35.4.
Чем ниже высота стояния, тем больший путь проходят в ат-
атмосфере солнечные лучи и тем сильнее они рассеиваются.
Другим фактором, влияющим на поглощение и рассеяние
солнечного света является прозрачность атмосферы. Лучи с раз-
разной длиной волны по разному проходят через атмосферу при
наличии облаков, загрязнений в виде пыли, дыма. В городах
прозрачность атмосферы на 10-30 % (а в зимние месяцы на 60 %)
ниже, чем в прилегающих сельских районах.
После прохождения атмосферы свет падает на поверхность
Земли и отражается от нее. Поэтому фауна и флора получают
часть света в виде отраженных лучей. Доля таких лучей может
быть весьма значительна (например при отражении от снега).
Способность поверхности какого либо тела отражать (рассеи-
(рассеивать) падающий на нее свет характеризуют специальной вели-
величиной, называемой альбедо (лат. белизна). Альбедо показывает,
какую часть падающей энергии отражает данная поверхность.
Альбедо свежего снега — 81%, воды 20%, черной земли — 3%.
Все перечисленные факторы необходимо учитывать при ор-
организации профилактических мероприятий, связанных с исполь-
использованием естественного света.
Лекция 36
ЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ
1. Люминесценция, виды люминесценции.
2. Некоторые характеристики люминесценции.
3. Фотолюминесценция: флуоресценция, фосфоресценция.
4. Основные законы люминесценции.
5. Хемилюминесценция.
6. Использование люминесценции в биологии и медицине.
§ 36.1. Люминесценция, виды люминесценции
Рассмотрим особенности поглощения и излучения энергии
атомами и молекулами при люминесценции (лат. luminus — свет,
escent — суффикс, означающий слабое действие).
Люминесценция — излучение, избыточное над
тепловым излучением тела при данной темпе-
температуре, характеризующееся длительностью воз-
возникновения, значительно превышающей период
световых колебаний A0~15 с).
Люминесценция отличается от свечения нагретых тел. Люми-
несцирующие вещества (люминофоры) светятся без нагревания
(холодное свечение). Световое излучение люминофора возника-
возникает за счет энергии возбуждения, поступающей от специальных
«источников». После прекращения возбуждения люминесцент-
люминесцентное свечение не прекращается тотчас же, а продолжается еще
некоторое время. Именно это позволяет отличить люминесцен-
люминесценцию от свечения тел при других явлениях вторичного свечения,
например, при отражении и рассеянии света.
Люминесценция обычно наблюдается в видимой или ультра-
ультрафиолетовой областях спектра.
Вещества, способные превращать поглощаемую ими энергию
в люминесцентное свечение (люминесцировать), называются лю-
люминофорами.
Энергия возбуждения, обеспечивающая процесс люминесцен-
люминесценции, может поступать от внешних источников или выделяться
внутри люминофора, например, в ходе химических реакций.
462 Лекция 36. Люминесценция
Различают следующие типы люминесценции, обусловленной
внешним возбуждением:
• ионолюминесценция — возникает при возбуждении атомов
ионами;
• катодолюминесценция — возникает при возбуждении ато-
атомов электронами (кинескоп телевизора, свечение экранов оцил-
лографов, мониторов);
• радиолюминесценция — возникает при возбуждении ато-
атомов продуктами радиоактивного распада атомных ядер;
• рентгенолюминесценция — возникает при возбуждении
атомов рентгеновским и 7"излучением (экраны рентгеновских
аппаратов, индикаторы радиации);
• фотолюминесценция — возникает при возбуждении ато-
атомов светом (ультрафиолетовые лучи и коротковолновая часть
видимого света);
• электролюминесценция — возникает при возбуждении
атомов под действием электрического поля (возникает в газах
при электрическом разряде, наблюдается в газоразрядных лам-
лампах, при северном сиянии)
• хемилюминесценция — возникает при возбуждении ато-
атомов под действием энергии, выделяющейся при химических ре-
реакциях;
• биолюминесценция — возникает в биологических объек-
объектах.
Воздействие перечисленных источников приводит к возбуж-
возбуждению атомов, молекул или ионов люминофора. Люминесцент-
Люминесцентное излучение возникает в результате квантовых переходов ча-
частиц вещества из возбужденных состояний в основное (или менее
возбужденное состояние). При этом переходы частиц из возбуж-
возбужденных состояний в иные являются спонтанными, что и обеспе-
обеспечивает последействие: продолжение люминесценции после пре-
прекращения внешнего воздействия.
§ 36.2. Некоторые характеристики люминесценции
Каждый люминофор характеризуется своими, только ему
присущими, спектрами люминесценции и возбуждения.
— Спектр люминесценции — зависимость интенсивности лю-
люминесценции /л от длины волны Ал люминесценции: /л = /(Ал).
При этом длина волны возбуждения Авоз остается постоянной.
§ 36.3. Фотолюминесценция: флуоресценция, фосфоресценция 463
Форма спектра люминесценции не зависит от длины волны воз-
возбуждающего света.
— Спектр возбуждения люминесценции — зависимость ин-
интенсивности люминесценции /л от длины волны Авоз возбуждаю-
возбуждающего света: /л = /(Авоз). Спектр возбуждения во многих случаях
по форме соответствует спектру поглощения люминесцирующего
вещества.
§ 36.3. Фотолюминесценция: флуоресценция,
фосфоресценция
Фотолюминесценция (иногда называемая просто люминес-
люминесценция) начинается с возбуждения фотоном атома или молеку-
молекулы. Фотолюминесценция подразделяется на два вида:
• флуоресценция (кратковременное послесвечение) — фо-
фотолюминесценция, для которой длительность послесвечения со-
составляет т = 10~9-10~8 с;
• фосфоресценция (длительное послесвечение) — для кото-
которой длительность послесвечения составляет т = 10~4-104 с.
36.3.1. Флуоресценция. Рассмотрим один из механизмов
флуоресценции — резонансную флуоресценцию. Этот механизм
часто реализуется в одноатомных парах и газах (вещество
состоит из практически невзаимодействующих атомов). Фотон
с энергией hv возбуждает атом, который затем возвращается
в основное состояние, излучая при этом фотон света с той
же частотой: ил = иъоз (рис. 36.1а). Термин «резонансная
люминесценция» использован потому, что частоты падающего
и испускаемого света одинаковы.
В многоатомных молекулах более вероятна другая ситуация,
которая обусловлена тем, что для молекулы характерны не от-
отдельные энергетические уровни, а полосы, в каждой из которых
расположены близко лежащие подуровни (за счет колебатель-
колебательного и вращательного движения в молекуле). При возбуждении
фотоном молекула переходит на один из верхних подуровней.
Переход в исходное состояние начинается с безызлучательного
перехода на один из низших возбужденных подуровней (выделя-
(выделяется энергия Efes), a затем на основной уровень (рис. 36.16). При
464
Лекция 36. Люминесценция
этом излучается фотон с энергией, меньшей энергии возбужда-
возбуждающего фотона:
следовательно,
<
, Ал > Ав
/\
hv
\/
hv
Рис. 36.1. Энергетические переходы при люминесценции: а) резонанс-
резонансная флуоресценция (г/л = isBO3, Ал = Авоз); б) стоксова флуоресценция
(^л < г/воз, Ал > Авоз); в) стоксова фосфоресценция (г/л < г/воз,
Ал > Авоз); г) антистоксова люминесценция (г/л > г/воз, Ал < Авоз);
жирные стрелки — поглощательные переходы; пунктирные стрелки —
безызлунательные переходы; обычные стрелки — излучательные пере-
переходы
36.3.2. Фосфоресценция. Один из механизмов фосфоресцен-
фосфоресценции реализуется в сложных органических молекулах. После
облучения молекула переходит в возбужденное состояние 3
(рис. 36.1в). Затем молекула из возбужденного состояния 3
переходит безызлучательно в некоторое метастабильное
состояние 2?, переход из которого в основное состояние
маловероятен. Из состояния 2' возможен переход в возбужденное
состояние 2 (за счет кинетической энергии окружающих
частиц). Наконец, из состояния 2 молекула переходит в основное
состояние 7, испуская фотон с энергией, меньшей, чем энергия
возбуждающего фотона. При этом выполняются соотношения:
^Л < ^ВО3 5 Ал > Авоз-
§ 36.4. Основные законы люминесценции
36.4.1. Закон Стокса.
Спектр люминесценции сдвинут в длинноволно-
длинноволновую область относительно спектра поглощения то-
того лее соединения.
Энергия фотонов при люминесценции не превышает энергию
возбуждающих фотонов. Это свидетельствует о том, что длина
§ 36.4. Основные законы люминесценции 465
волны света, испускаемого при люминесценции, больше длины
волны возбуждающего света.
Свет, испускаемый при люминесценции, имеет не одну ча-
частоту, а сложный спектр, так как совершаются переходы между
подуровнями. Поскольку такие спектры могут перекрываться со
спектром возбуждающего света, то закон Стокса имеет более
общую формулировку.
Максимум спектра люминесценции сдвинут по от-
отношению к максимуму спектра поглощения в сто-
сторону более длинных волн.
Например, в соответствии с законом Стокса ультрафиолетовое
облучение может дать люминесценцию в видимой части спек-
спектра. Обычно расположение спектра люминесценции и спектра
возбуждения соответствует расположению, изображенному на
рис. 36.2.
X
Рис. 36.2. Схема, поясняющая закон Стокса: 1 — спектр поглощения,
2 — спектр люминесценции
Антистоксова люминесценция. При возбуждении отдельны-
отдельными монохроматическими излучениями можно наблюдать случаи
отступления от закона Стокса — антистоксова люминесценция.
При антистоксовой люминесценции длина волны испускаемого
света короче длины волны возбуждающего света, рис. 36.3.
X
л
Рис. 36.3. Нарушение закона Стокса — заштрихованная область
Одна из причин этого в том, что молекулы, переходя на
возбужденные уровни, могут получить извне дополнительную
энергию и перейти на вышел ежащий подуровень, с которого
и переходят на основной уровень, испуская фотон с большей
энергией (рис. 36.1 г).
466 Лекция 36. Люминесценция
36.4.2. Закон Вавилова. Способность люминофора испускать
кванты люминесценции при поглощении света можно оценивать
квантовым выходом.
Квантовый выход (р) люминесценции равен отно-
отношению числа квантов, высвеченных в виде люми-
люминесценции, к числу поглощенных квантов.
Подсчитать число квантов очень сложно. Однако для оценки
квантового выхода можно использовать интегральную энергети-
энергетическую характеристику — интенсивность света:
<р = /л/(/воз - /в),
где /л — интенсивность люминесценции, /воз — интенсивность
возбуждающего света, /в — интенсивность вышедшего света.
Обычно говорят о квантовом выходе для определенной длины
ВОЛНЫ (f\.
Для органических молекул характерно то, что даже при
очень высоком уровне возбуждения люминесценция может на-
начаться только с некоторого определенного уровня, а переходы
с возбужденного уровня на него будут осуществляться только
безызлучательно. Следовательно, независимо от длины волны
поглощенного света квантовый выход будет одинаковым.
Закон Вавилова утверждает, что квантовый выход
люминесценции не зависит от длины волны воз-
возбуждающего света.
§ 36.5. Хемилюминесценция
Люминесценция, возникающая в химических реакциях, при
которых происходит выделение энергии, называется хемилюми-
несценцией. При этом происходит превращение химической энер-
энергии в световую.
Хемилюминесценция испускается либо непосредственно про-
продуктами реакции, либо другими компонентами, на которые пе-
передается возбуждение. Яркость хемилюминесценции зависит от
числа квантов люминесцентного излучения, испускаемых за еди-
единицу времени. Яркость тем больше, чем выше скорость реак-
реакции. По хемилюминесценции можно определять состав вещества
(см. люминесцентный анализ).
§ 36.6. Использование люминесценции в биологии и медицине 467
Хемилюминесценция, которая возникает в биологических
объектах, называется биохемилюминесценцией. Биохемилюми-
несценция присуща самым разнообразным видам живых существ
(всего около 250 видов).
Механизм биохемилюминесценции определяется реакциями
окисления. Например, если поместить кусок светящейся гнилуш-
гнилушки под колпак воздушного насоса и откачать воздух, то свече-
свечение прекратится. Если после этого под колпак подать воздух,
то свечение возобновится. Было показано, что в биологических
системах хемилюминесценция возникает при рекомбинации пере-
кисных свободных радикалов липидов. Свечение при биохемилю-
биохемилюминесценции бывает весьма интенсивным — до 0,02 кд (известен
случай, когда хирурги оперировали в полевых условиях по ночам
при свете банок, наполненных тропическими светляками).
Малоинтенсивная биохемилюминесценция проявляется в ви-
виде сверхслабого свечения. Для растительных и животных тканей
оно составляет 10-100 фотонов на 1 см2 поверхности, поэтому его
можно регистрировать лишь фотоэлектронными умножителями,
имеющими коэффициент усиления 105 -109. Максимумы его ин-
интенсивности приходятся на видимый и инфракрасный участок
спектра.
§ 36.6. Использование люминесценции в биологии
и медицине
36.6.1. Люминесцентный качественный и количественный
анализы.
Люминесцентный анализ — совокупность методов для опре-
определения природы и состава вещества по спектру его люминес-
люминесценции.
Качественный анализ — определение наличия (или отсут-
отсутствия) каких-либо веществ (молекул) по форме спектра люми-
люминесценции. При этом можно изучать структуру молекул веще-
вещества; межмолекулярное взаимодействие; химические превраще-
превращения.
Количественный анализ — определение количества вещества
по интенсивности спектра люминесценции (можно обнаружить
массу вещества т = 10~10 г).
468
Лекция 36. Люминесценция
По методике исследования люминесцентный анализ можно
представить следующей схемой.
Люминесцентный анализ
Макроанализ
Микроанализ
Флоуресцирующие
молекулы
Макроанализ — наблюдение невооруженным глазом люминес-
люминесценции объектов, облученных УФ излучением.
— Проверка качества и сортировка пищевых продуктов.
— Сортировка фармакологических средств.
— Свечение волос, чешуек, ногтей при диагностике их пора-
поражения грибком и лишаем.
Микроанализ — исследование люминесцирующих микрообъ-
микрообъектов при помощи специальных люминесцентных микроскопов,
в которых есть специальный осветитель, содержащий ртутную
лампу со светофильтром, пропускающим УФ излучение.
36.6.2. Люминесцентные зонды и метки. Флуоресцентные
зонды. В медицине используется применение специальных
флуоресцирующих молекул, добавляемых к исследуемым
биологическим системам извне, в которых они распределяются
в соответствии со своими свойствами. Такие молекулы получили
название флуоресцентных зондов. Примером использования
флуоресцентных зондов является метод флюоресцентной
ангиографии — контрастирование сосудов флуоресцеином и их
последующее фотографирование. Этот краситель вводится
внутривенно пациентам. Этот краситель не токсичен, обладает
очень высоким квантовым выходом флуоресценции. Он
разносится с током крови по всему организму и диффундирует
в дерму и эпидермис. Флуоресцеин возбуждается невидимым
длинноволновым ультрафиолетовым излучением. Люминес-
Люминесценция его наблюдается в видимом свете. Диагностическая
значимость этого метода заключается в том, что по скорости
появления флуоресценции (люминесценции) в поверхностных
тканях судят об участках тела с пониженным кровообращением,
в них флуоресцеин появляется позже, чем в участках тела
с нормальным кровообращением.
\ 36.6. Использование люминесценции в биологии и медицине
469
Флуоресцентные метки. Флуоресцирующие молекулы можно
ковалентно связывать с определенными молекулами и затем эту
систему ввести в исследуемый объект. Такие молекулы называ-
называются флуоресцентными метками. Примером является исполь-
использование флуоресцентно-меченых антител. Если добавить такие
антитела к суспензии смеси клеток, то они связываются только
с теми из них, на поверхности которых находятся специфические
к данному антителу антигены. Возникает яркая люминесценция
определенных клонов клеток, наблюдаемая в люминесцентном
микроскопе. Данная методика используется в иммунологических
исследованиях крови.
36.6.3. Источники света. Для производственных и санитарно-
гигиенических целей важны источники света, которые по своему
спектру больше соответствуют видимому свету. Таким источни-
источником являются созданные на основе фотолюминесценции люми-
люминесцентные лампы. В этом источнике ультрафиолетовое излуче-
излучение преобразуется с помощью люминофора в видимое излучение.
Лампа представляет собой стеклянную колбу (длинный ци-
цилиндр) с нанесенным на внутренней поверхности слоем люмино-
люминофора, рис. 36.4.
Видимый
свет
Рис. 36.4. Люминесцентная лампа: а) внешний вид; б) схематическое
изображение люминесцентной лампы: 1 — слой люминофора; 2 —
ультрафиолетовое излучение; 3 — атомы ртути; 4 — электрон; 5 —
электрод
470
Лекция 36. Люминесценция
В торцах колбы укреплены вольфрамовые спиральные элек-
электроды. В лампу вводят каплю ртути, которая испаряется при за-
зажигании разряда, и некоторое количество инертного газа (аргон,
неон), который способствует увеличению срока службы лампы
и улучшению условий возбуждения атомов ртути. При подклю-
подключении лампы к источнику возникает электрический разряд, воз-
возбуждающий излучение паров ртути. Тонкий слой люминофора
фотолюминесцирует под воздействием излучения паров ртути.
Спектр люминесценции можно менять, подбирая подходящий
спектр фотолюминесценции. На
рис. 36.5 показан спектр, резкие
максимумы которого соответству-
соответствуют спектру паров ртути, излуче-
излучение которых проходит через лю-
люминофор.
Среди люминесцентных ламп
широко используется лампа днев-
дневного света с голубоватым свече-
свечением, применяемая для освеще-
освещения помещений общественных и жилых зданий, промышлен-
промышленных предприятий. Люминесцентные лампы имеют мощность
4-200 Вт, световая отдача до 85 лм/Вт, срок службы до 15 000 ча-
часов (для сравнения приведены параметры лампы накаливания:
мощность до десятков кВт, световая отдача: 10-35 лм/Вт, срок
службы от 5 до 1000 часов).
400 500 600 700 X, нм
Рис. 36.5. Спектр, резкие мак-
максимумы которого соответст-
соответствуют спектру паров ртути
Лекция 37
ФОТОБИОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
1. Фотобиологические процессы, их основные стадии.
2. Квантовый выход и поперечное сечение фотохимических пре-
превращений молекул.
3. Спектры поглощения и спектры фотобиологического действия.
4. Действие УФ излучения на биологические объекты как пример
фотобиологического процесса.
5. Элементы реабилитологии. Действие света на человека.
§ 37.1. Фотобиологические процессы,
их основные стадии
37.1.1. Фотобиологические процессы.
Фотобиологические процессы — процессы, кото-
которые начинаются с поглощения квантов света био-
биологически функциональными молекулами и за-
заканчиваются соответствующей физиологической
реакцией в организме или тканях.
Результат таких процессов может быть как позитивным, так
и негативным.
К фотобиологическим процессам относятся:
фотосинтез — синтез органических молекул за счет энергии
солнечного света;
фототаксис - движение организмов (например, бактерий)
к свету или от света;
фототропизм - поворот листьев (стеблей) растений к свету
или от него;
фотопериодизм - регуляция суточных и годовых циклов жи-
животных путем циклических воздействий «свет-темнота»;
зрение - восприятие света глазом, сопровождающееся пре-
превращением световой энергии в энергию нервного импульса в сет-
сетчатке глаза или в аналогичных фоторецепторах; помутнение
хрусталика;
472 Лекция 37. Фотобиологические процессы
световые воздействия на кожу — эритема, эдема, загар, пиг-
пигментация, ожог, рак кожи.
37.1.2. Стадии фотобиологических процессов. Все разнооб-
разнообразие фотобиологических процессов условно можно свести к ре-
реализации нескольких последовательных стадий:
1) поглощение кванта света;
2) фотофизические процессы — внутримолекулярные процес-
процессы обмена энергией;
3) межмолекулярные процессы переноса энергии возбужден-
возбужденного состояния;
4) первичный фотохимический акт; причем варианты таких
актов могут быть многообразными; общим для них является то,
что получающиеся продукты, как правило, свободные радикалы;
5) темновые реакции, заканчивающиеся образованием ста-
стабильных продуктов;
6) биохимические реакции с участием фотопродуктов;
7) физиологический отклик на свет ткани или организма.
§ 37.2. Квантовый выход и поперечное сечение
фотохимических превращений молекул
Рассмотрим количественно начальные этапы фотобиологиче-
фотобиологических процессов.
При поглощении света веществом (см. лекцию 35) выполня-
выполняется закон Бугера:
/ = /oe"*L, C7.1)
где /, /о — интенсивность прошедшего и падающего света, к —
натуральный показатель поглощения (зависящий от длины вол-
волны), L — толщина слоя вещества.
Для растворов выполняется закон:
/ = /oexp(-crnL), C7.2)
где п — концентрация молекул, поглощающих кванты света,
а — эффективное сечение поглощения молекулы (зависящее от
длины волны).
37.2.1. Квантовый выход фотохимической реакции. Введем
еще одну характеристику — квантовый выход фотохимической
реакции (рх, показывающий, какая часть молекул, поглотивших
§ 37.2. Квантовый выход 473
фотоны, вступила в фотохимическую реакцию (число прореаги-
прореагировавших молекул):
<px = (N/NnI00%, C7.3)
где N — число молекул, которые после поглощения фотона всту-
вступили в фотохимическую реакцию; Nn — общее число молекул,
поглотивших фотоны.
Если бы каждый поглощенный фотон вызывал реакцию, то
квантовый выход равнялся бы 100%. Однако обычно срх не пре-
превышает нескольких процентов или долей процента.
37.2.2. Изменение концентрации (п) молекул под воздей-
воздействием света. В процессе облучения число не прореагировавших
молекул уменьшается с течением времени. Получим закон, ко-
которому подчиняется это уменьшение. Пусть поглощение света
происходит в достаточно тонком слое разбавленного раствора,
что позволяет считать интенсивность света Iq постоянной и оди-
одинаковой во всех точках. Тогда можно записать выражение для
элементарного уменьшения концентрации dn молекул под дей-
действием света:
dn = —(fxloandt, C7.4)
где dt — время облучения светом (знак « —» означает уменьшение
числа молекул со временем). Разделим переменные и проинте-
проинтегрируем:
nt t
Г
dn/n = —(pxla dt, C7.5)
no 0
где no — начальная концентрация молекул, щ — их концентра-
концентрация в момент времени t.
Получаем
ln(nt/n0) = -(pxlocrt,
или
nt = noexp(-(pxloat), C7.6)
где nt — фактически число молекул в единице объема, не всту-
вступивших в реакцию через время t. Таким образом, изменение
концентрации молекул со временем происходит по экспоненци-
экспоненциальному закону,
474
Лекция 37. Фотобиологические процессы
37.2.3. Поперечное сечение фотохимических превращений
молекул. Введем обозначения:
• lot = Do — доза облучения;
• <jipx = <jx — площадь поперечного сечения молекулы для
фотохимического превращения, или поперечное сечение фотохи-
фотохимических превращений молекул.
Теперь формулу C7.6) можно записать в виде
ln(no/nt) =
C7.7)
или
nt =
Величина ах — эффективное сечение молекулы для фотохими-
фотохимического превращения. Оно пропорциональна вероятности тако-
такого взаимодействия фотона с молекулой, в результате которого
произойдет фотохимическая реакция. Для ее нахождения строят
зависимость \n(no/nt) = f(Do) и по наклону получившейся
прямой определяют эту величину (рис. 37.1).
In (щ/щ) h
Do
Рис. 37.1. Зависимость \п(по/щ) = f(Do)
Поперечное сечение фотохимических превращений молекул
есть величина, равная тангенсу угла наклона прямой, отражаю-
отражающей зависимость \п(по/щ) = Do<Jx = f(Do)-
§ 37.3. Спектры поглощения и спектры
фотобиологического действия
Спектр поглощения (см. лекцию 35) — кривая зависимости
параметра а от длины волны поглощаемого света, то есть а =
§ 37.3. Спектры поглощения и спектры фотобиологического действия 475
Спектром фотохимического действия называют зависи-
зависимость параметра ах от длины волны поглощаемого света, то
есть ах = /д(Л).
В общем случае спектром фотобиологического действия
(спектром действия фотобиологических процессов) называется
зависимость фотобиологического эффекта от длины волны
действующего света.
Например, можно снять спектр действия эритемы (эритема —
покраснение, обусловленное расширением кровеносных сосудов
и повышением концентрации гемоглобина в коже). Для этого
нужно на выбранном участке кожи выделить одинаковые сег-
сегменты (квадраты определенного размера) и облучить каждый из
них УФ излучением одинаковой дозы (минимальной), но разной
длины волны. Затем регистрировать степень покраснения на
различных участках. В результате получится зависимость, пред-
представленная на рис. 37.2, которая и представляет собой спектр
действия эритемы.
250
200
150
100
50
0
Эритемная эффективность, отн. ед.
v 8 ч после облучения
24 ч \
240 260 280 300 X, нм
Рис. 37.2. Спектры фотобиологического действия эритемы, зареги-
зарегистрированные через разное время после УФ-облучения кожи
Изучение спектров действия эритемы показало, что они пред-
представляют собой сумму по крайней мере двух кривых, соответ-
соответствующих индукции УФ-В- и УФ-С-эритемы. Выявить этот факт
476 Лекция 37. Фотобиологические процессы
удалось, регистрируя эритемную эффективность через разное
время после облучения. Дело в том, что УФ-С-эритема проходит
быстрее чем, чем УФ-В-эритема. Если регистрацию проводить
через 8 ч после облучения, то основной вклад дает УФ-С-эри-
УФ-С-эритема. Через сутки вклад обоих процессов примерно одинаков.
Через несколько суток регистрируемый спектр соответствует
спектру действия только УФ-В-эритемы. Таким образом, анализ
спектров действия эритемы подтверждает качественные отличия
в действии различных диапазонов ультрафиолета.
Одна из задач при изучении фотобиологических процессов
состоит в определение вещества, которое поглощает действую-
действующее излучение и тем самым участвует в первичных стадиях фо-
фотобиологического процесса. Для этого изучают спектр фотобио-
фотобиологического действия и сравнивают его со спектрами поглощения
предполагаемых участников реакции.
При изучении действия света на белковые системы было
установлено, что в растворах квантовый выход фотохимических
реакций (рх не зависит от длины волны действующего света.
Отсюда следует, что спектр фотохимического действия ах =
= /(А) и спектр поглощения а = /(А) имеют одинаковый вид,
так как различаются только постоянным членом ipx (ах = а-(рх).
Таким образом, спектр фотохимического действия для каждого
вещества по форме соответствует спектру его поглощения. Из-
Измерив (в разбавленных растворах) по дозовым кривым спектр
действия, можно определить спектр поглощения участвующего
в процессе вещества, не проводя никаких спектрофотометриче-
ских измерений. Именно это и обусловливает интерес к регистра-
регистрации спектров фотохимического действия в фотобиологии.
Путем сопоставления спектра фотобиологического действия
со спектром поглощения разных биохимических соединений
можно определить механизм воздействия света.
§ 37.4. Действие УФ излучения на биологические
объекты как пример фотобиологического процесса
УФ излучение — это электромагнитное излучение с длинами
волн от 400 до 10 нм, находящееся между видимым фиолетовым
и мягким рентгеновским излучением (см. шкалу электромагнит-
электромагнитных волн, лекция 21). Однако УФ излучение с длиной волны
§ 37.4. Действие УФ излучения на биологические объекты 477
менее 200 нм не представляет медицинского интереса из-за силь-
сильного поглощения даже в тонком слое воздуха. Используемый
диапазон УФ излучения условно делят (см. лекцию 30) на три
области: А D00-315 нм), В C15-280 нм), С B80-200 нм).
37.4.1. Определение механизма воздействия УФ излучения
на биосистемы. Рассмотрим на некоторых примерах, как по спек-
спектру фотобиологического действия определяют механизм воздей-
воздействия УФ излучения.
При исследовании процесса гибели бактерий под действием
УФ излучения определялось число бактерий до облучения и чи-
число бактерий через некоторое время после облучения. Процесс
изучался при различных длинах волн в области 200-300 нм.
В результате исследования была получена кривая гибели бакте-
бактерий под действием УФ излучения (спектр фотобиологического
действия). Оказалось, что форма этой кривой похожа на фор-
форму спектра поглощения только одного вещества в клетке —
нуклеиновой кислоты. Кроме того обе кривые имели максимум
в одной и той же области — 265 нм. На этом основании был сделан
вывод, что гибель бактерий под действием УФ излучения связана
с повреждением именно нуклеиновых кислот. На этом основа-
основано использование в медицине для обеззараживания помещений
ртутных бактерицидных ламп, излучающих монохроматический
свет с длиной волны 254 нм, что соответствует максимуму спек-
спектра действия бактерицидного эффекта.
Аналогичный вывод был сделан при изучении мутагенного
действия ультрафиолета: спектр действия — зависимость возник-
возникновения мутаций от длины волны УФ излучения — у кукурузы
оказался идентичным спектру поглощения нуклеиновых кислот.
Однако такая простая аналогия имеет место не всегда. На-
Например, известно, что УФ излучение, действуя на кожу, в неко-
некоторых случаях вызывает эритему (покраснение). Но в этом слу-
случае спектр действия не совпадает ни с одним из содержащихся
в коже веществ. Кроме того, спектр действия зависит от времени
после облучения. До сих пор нет четкого ответа на вопрос, какое
вещество является хромофором в коже.
37.4.2. Фотосенсибилизированные реакции. В некоторых
случаях наблюдается резкое повышение светочувствительности
биологических систем. Чаще всего это происходит при попадании
478 Лекция 37. Фотобиологические процессы
в объект экзогенных хромофоров, поглощающих видимый или
УФ свет.
Фотосенсибилизатор — вещество, повышающее
чувствительность биообъектов к свету.
Фотосенсибилизированные реакции используют в медицине.
Некоторые химические соединения фурокумаринового ряда,
например псоралены, способны сенсибилизировать кожу
больных к длинноволновому УФ излучению области А (УФ-А
излучение) и стимулировать образование в меланоцитах пигмен-
пигмента меланина. При предварительном пероральном приеме таких
препаратов с последующим УФ-А облучением они соединяется
с тимидиновыми основаниями ДНК клеток дермы. Продукты
такой реакции подавляют частоту митозов быстроделящихся
клеток дермы и дифференцировку базальных слоев эпидермиса.
В результате в процессе лечения происходит восстановление
структуры кожи и ее пигментации. Совместное действие
псораленов и УФ-А-излучения называют ПУФА-терапией (см.
лекцию 30).
При применении фотосенсибилизаторов необходимо соблю-
соблюдать правила безопасности, чтобы избежать побочных негатив-
негативных последствий. Так, например, часть сенсибилизаторов прони-
проникает в структуру глаза. Поэтому УФ-А облучение сенсибилизи-
сенсибилизированных пациентов может привести к повреждениям роговицы,
вещества внутренней камеры глаза, хрусталика (фотоповрежде-
(фотоповреждения хрусталика необратимы, так как поврежденные молекулы из
него никогда не выводятся). Во избежание этого больные, полу-
получающие ПУФА-терапию, во время УФ-А облучения обязательно
надевают светозащитные очки.
Больным, принимающим таблетки фурокумаринов, исполь-
используемые при лечении кожи, запрещено в течение нескольких часов
после приема находиться на прямом солнечном свету, поскольку
он содержит значительное количество УФ-А-излучения.
§ 37.5. Элементы реабилитологии. Действие света
на человека
Свет — важнейший экологический фактор, к которому че-
человек приспособился в процессе эволюции. Какие-либо измене-
изменения спектрального состава света или светового режима могут
§ 37.5. Элементы реабилитологии. Действие света на человека 479
вызвать патологические реакции. Биологически активен весь
диапазон оптического излучения B00-800 нм), рис. 37.3.
УФ излучение Видимый свет Инфракрасное
излучение
О В А Длины
200 280 320 400 600 750 Вшш,нм
Эритема, загар, Терапевтические
рак кожи, Терапия желтухи эффекты красного
иммуносупрессия новорожденных света
Фотогемотерапия Зрение, фотопериодизм
Фототерапия
псориаза и
нейродермита
Синтез
витамина D
Рис. 37.3. Избирательное действие света при индукции фотобиологи-
фотобиологических процессов
Рассмотрим эффекты, вызываемые действием света на чело-
человека.
37.5.1. Видимый свет. Важная регуляторная роль принадле-
принадлежит видимому свету. Известно, что в пасмурные осенние дни
у многих людей возникает синдром «осенней грусти», сопровож-
сопровождающийся психической депрессией и даже приводящей к само-
самоубийствам. Экспериментально доказано, что подобную депрес-
депрессию можно снять, если человека помещать на несколько часов
в течение ряда дней в ярко освещенную комнату.
37.5.2. Оптические параметры кожи в области видимого све-
света. На использовании законов взаимодействия света с веществом
основаны некоторые диагностические методы в медицине. Так,
например, по характеру взаимодействия видимого света с кожей
можно оценить ее состояние. В процессе такого исследования ре-
регистрируются значения коэффициентов отражения, поглощения,
рассеяния. Эти оптические параметры зависят от топических,
возрастных и половых особенностей. По отклонению оптических
параметров измененной кожи от нормы разработаны критерии
для диагностики некоторых заболеваний кожи. Так, у больных
с базальноклеточным и плоскоклеточным раком кожи в очагах
480 Лекция 37. Фотобиологические процессы
поражения имеет место большая клеточная плотность опухоле-
опухолевых пролифератов. Это приводит к возрастанию коэффициента
поглощения патологически измененной кожей. Данный метод
позволяет объективизировать диагностику многих злокачествен-
злокачественных новообразований кожного покрова.
37.5.3. Красный свет. Используются терапевтические эффек-
эффекты красного света. Так, установлено, что красный свет ускоряет
заживление ран. Издавна замечено, что лечение «рожи» улуч-
улучшается, если на очаг воспаления наложить повязку из красной
ткани.
37.5.4. Синий свет. Синий свет используется в родильных до-
домах для лечения желтухи новорожденных. Это заболевание яв-
является следствием резкого повышения в организме концентрации
билирубина, придающего коже желтоватый оттенок. Билирубин
образуется из геминовой группы гемоглобина постоянно у всех
людей, из крови он выводится при участии печени. У ново-
новорожденных содержание билирубина в крови примерно в 20 раз
больше, чем у взрослых. Билирубин плохо растворяется в воде
и хорошо — в жире. Поэтому он в больших количествах откла-
откладывается в тканях мозга. Это при желтухе новорожденных при-
приводит к необратимым изменениям в ЦНС, делающим человека
умственно отсталым. Билирубин имеет максимум поглощения
в синей области спектра. Он очень легко фотоизомеризуется,
и продукты его изомеризации не токсичны. Если новорожденных
детей освещать синим светом, то фотоизомеризация билируби-
билирубина с образованием водорастворимых фотопродуктов происходит
прямо в кровеносных сосудах.
37.5.5. УФ-излучение. При УФ-облучении даже в момент по-
получения опасной дозы человек ничего не чувствует. В коже от-
отсутствуют специализированные УФ рецепторы. Глазом это излу-
излучение не воспринимается, тепловой эффект так мал, что человек
его практически не ощущает.
Установлено, что действие УФ-излучения является главным
фактором, вызывающим рак кожи, а также катаракту (помут-
(помутнение хрусталика). Для полярников, альпинистов УФ-излучение
опасно тем, что из-за большой интенсивности этого излучения
появляются солнечные ожоги кожи и глаз.
§ 37.5. Элементы реабилитологии. Действие света на человека 481
Недостаток УФ может привести к D-авитаминозу.
УФ способен вызывать положительные эффекты. Так,
у больных с дерматозами кожи, (например, псориаз) заболевания
обостряются зимой, а летом наступает улучшение. Причина —
терапевтическое действие УФ, которого летом в спектре
солнечного света значительно больше, чем зимой.
Загар часто рекомендуется как реабилитационный метод при
многих заболеваниях. Действие УФ-излучения вызывает гипер-
гиперпигментацию кожи, которая и обусловливает загар. Загар яв-
является «замедленным» фотобиологическим процессом. Он начи-
начинается развиваться через 2-3 суток после облучения, достигает
максимума на 13-21 день и затем угасает в течение нескольких
месяцев. Спектр действия загара похож: на спектр действия эри-
эритемы. Ультрафиолет запускает сложную цепь биосинтеза пиг-
пигмента кожи меланина в специализированных клетках — мелано-
цитах. Появление меланина является защитной реакцией орга-
организма.
Загаром нельзя злоупотреблять. Попав на пляж весной, чело-
человек не должен забывать, что наша кожа за зиму утратила мела-
ниновую защиту. Минимальная доза ультрафиолета, запускаю-
запускающая меланогенез, примерно вдвое ниже минимальной эритемной
дозы. Поэтому в первые дни следует загорать очень недолго, так,
чтобы эритема еще не возникла, а образование пигмента уже
инициировалось. И только через несколько дней, накопив в коже
меланин, можно постепенно увеличивать время пребывания под
солнцем. После появления загара не следует злоупотреблять пре-
пребыванием на солнечном свету. Ультрафиолет (особенно УФ-В)
вызывает ряд нежелательных эффектов: происходит преждевре-
преждевременное старение кожи, появление морщин на открытых участках
тела, может развиться рак кожи.
УФ-излучением инициируется подавление клеточно-
опосредованного иммунитета — иммуносупрессия.
В медицине УФ широко используется в методе фотогемотера-
фотогемотерапии, применяемом при заболеваниях, связанных с повышением
вязкости крови.
Большие дозы УФ (особенно УФ-В), которые может получать
человек, связаны с состоянием атмосферы, в частности, с озоно-
озоновыми дырами в атмосфере. Стратосферный озон определяет ко-
коротковолновую границу солнечного ультрафиолета. Разрушение
16 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
482
Лекция 37. Фотобиологические процессы
озона происходит, в частности, при выбросе в атмосферу фторуг-
леродистых соединений, широко используемых в промышленных
и бытовых холодильниках, а также при изготовлении аэрозолей.
Схема защитного действия озонового слоя и процесс его разру-
разрушения оксидом азота N0 показаны на рис. 37.4.
УФ
УФ
?* S*
Рис. 37.4. Схема защитного действия озонового слоя (а) и процесс
его разрушения оксидом азота N0 (б); темные стрелки — тепловое
излучение, светлые — УФ-излучение
Разрушение озона происходит из-за того, что атомы азота
в молекулах загрязняющих газов сильно взаимодействуют с од-
одним из атомов кислорода в молекуле озона и отрывают его от
нее. В результате образуется кислород, через который беспре-
беспрепятственно проходит УФ-излучение.
Лекция 38
ЛАЗЕРЫ. ЛАЗЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
1. Квантовые переходы.
2. Распределение по энергетическим уровням. Активная среда.
3. Общий принцип действия лазера.
4. Работа рубинового и гелий-неонового лазеров.
5. Особенности лазерного излучения.
6. Характеристики лазерного излучения, применяемого в меди-
медицине.
7. Взаимодействие лазерного излучения с биообъектами.
8. Динамика изменения свойств ткани и ее температуры при дей-
действии непрерывного мощного лазерного излучения.
9. Использование лазерного излучения в диагностике.
10. Использование лазерного излучения в терапии.
11. Использование лазерного излучения в хирургии.
12. Меры безопасности при работе с лазерами
Вопросы, связанные с лазерами, рассматриваются в кванто-
квантовой электронике.
Квантовая электроника — область физики, изучающая про-
проблемы генерации, усиления, преобразования электромагнитных
колебаний на основе использования явления вынужденного из-
излучения квантовых (атомарных, молекулярных) систем.
Оптический квантовый генератор — лазер (аббревиатура от
английского названия Light Amplification by Stimulated Emission
of Radiation — усиление света с помощью вынужденного излуче-
излучения).
§ 38.1. Квантовые переходы
Согласно положениям квантовой механики, атомы и молеку-
молекулы вещества (далее — частицы) могут иметь не любые, а строго
определенные значения энергии (лекция 34), которые опреде-
определяются строением вещества. «Разрешенные» значения энергии
нумеруют в порядке возрастания: Е$, Е\, Е<х, ...В состоянии
с наименьшей энергией Eq (такое состояние называется основ-
основным, или невозбужденным) частица может находиться неогра-
16*
484 Лекция 38. Лазеры. Лазерное излучение
ниченно долго — до тех пор, пока внешнее воздействие не переве-
переведет ее на более высокий энергетический уровень. Время жизни
частицы на остальных уровнях (в «возбужденном» состоянии)
ограничено. Даже при отсутствии внешнего воздействия частица
самопроизвольно (спонтанно) возвращается в основное состояние
за один или несколько этапов. Так, например, из состояния Е<х
в состояние Е$ можно вернуться сразу: E<i —^ Е$ или через
промежуточное состояние: Е<х —> Е\ —> Eq.
При переходе с более высоких энергетических уровней на
нижние атом или молекула отдают энергию, при обратных пере-
переходах — поглощают.
Рассмотрим эти процессы подробнее.
38.1.1. Переход с нижнего уровня на верхний (возбуждение).
Частица может перейти в возбужденное состояние при столкно-
столкновении с другими частицами (тепловое возбуждение) или в ре-
результате ее взаимодействия с фотоном, энергия которого равна
разности энергий верхнего и нижнего уровней. Например, для
перехода из состояния Eq в состояние E<i частица должна по-
поглотить фотон, частота которого определяется соотношением:
hv = E2 — Eq. Другие фотоны для этого не годятся.
38.1.2. Переход с верхнего уровня на нижний (релаксация).
Механизмы такого перехода — различны.
а) Спонтанное излучение — самопроизвольный переход ча-
частицы из возбужденного состояния на нижний энергетический
уровень. При этом в переходах участвует огромное количество
частиц; переходы реализуются в случайные моменты времени;
переходы происходят между различными уровнями. Поэтому
фотоны, испущенные отдельными частицами, имеют различные
направления движения, различные частоты, фазы и плоскости
поляризации. Так излучают обычные источники света.
б) Индуцированное излучение — вынужденный переход воз-
возбужденной частицы на нижний уровень. Пусть частица находит-
находится в возбужденном состоянии и в нее попадает фотон, энергия
которого равна разности между энергиями данного и одного из
нижних уровней.
В этом случае частица переходит на соответствующий ниж-
нижний уровень, испуская фотон, тождественный попавшему. Так,
если частица находится в возбужденном состоянии Е<± и в нее
§ 38.2. Распределение по энергетическим уровням. Активная среда 485
попадает фотон hv = E<i — Е$, то она перейдет в состояние
Eq, испустив аналогичный фотон. Фотоны с другими частотами
способствовать излучению не будут.
Из рассмотрения переходов между верхним и нижним уров-
уровнями видно, что воздействие на вещество внешним излучением
«подходящей» частоты вызывает два противоположных процес-
процесса:
• поглощение фотона невозбужденной частицей и ее пере-
переход в возбужденное состояние (при этом первоначальный фотон
исчезает);
• вынужденное излучение фотона, имеющее место при по-
попадании «подходящего» по частоте фотона в возбужденную ча-
частицу. В этом случае первоначальный фотон сохраняется, а ча-
частица переходит на более низкий энергетический уровень, ис-
испуская фотон, тождественный первоначальному («удвоение»,
«дублирование» фотона).
Какой из этих процессов доминирует, определяется соотноше-
соотношением между числом возбужденных и невозбужденных частиц.
§ 38.2. Распределение по энергетическим уровням.
Активная среда
В состоянии термодинамического равновесия распределение
частиц по энергетическим уровням за счет тепловой энергии
определяется распределением Больцмана:
Ni = No exp(-Ei/kT), C8.1)
где Ni — число частиц на г-м уровне, Е\ — энергия этого уровня,
к — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура, Nq —
число частиц на основном уровне.
Схематично данное распределение представлено на рис. 38.1.
J^o 1 2 з~энергия частицы
' ' '
на соответствующем уровне.
-^ | Длина «черты» для каждого
' уровня пропорциональная
Е-„
числу частиц на нем
N
Рис. 38.1. Распределение частиц по энергетическим уровням
486 Лекция 38. Лазеры. Лазерное излучение
Видно, что в этом случае число частиц, находящихся в ос-
основном состоянии, больше, чем на любом возбужденном уровне.
Поэтому при прохождении света соответствующей частоты через
такую среду поглощение будет доминировать. Усиление электро-
электромагнитной волны в такой системе невозможно.
Для того чтобы доминировал процесс дублирования фотонов,
и имело место усиление электромагнитной волны, необходимо
создать такое состояние среды, при котором число частиц на
одном из верхних уровней было бы больше, чем на нижнем.
Такое состояние среды называют инверсной населенностью (от
inversio — переворачивание).
Инверсная населенность — такое состояние сре-
среды, при котором число частиц на одном из верхних
уровней больше, чем на нижнем.
Состояние с инверсной населенностью можно создать, используя
разные методы накачки (см. ниже).
Активная среда — среда, приведенная в состояние
с инверсной населенностью.
§ 38.3. Общий принцип действия лазера
Явление вынужденного излучения используется в лазерах.
На рис. 38.2 представлено схематическое устройство лазера.
Зеркало 2 Зеркало 1
I— 1 Лазерный
I Рабочее тело I *- ^^
i 1 луч
Система
накачки
Рис. 38.2. Схематическое устройство лазера
Любой лазер содержит 3 компонента:
1) рабочее тело,
2) система накачки,
3) оптический резонатор.
Рассмотрим назначение каждого из них.
1. Рабочее тело — некоторая среда, которая внешним воздей-
воздействием переводится в активное состояние. В зависимости от типа
§ 38.3. Общий принцип действия лазера 487
рабочего тела лазеры делятся на газовые, твердотельные, жид-
жидкостные, полупроводниковые. В качестве активной среды могут
применяться все материалы, у которых можно обеспечивать ин-
инверсную населенность. (В качестве курьеза следует отметить, что
человеческое дыхание, состоящее из двуокиси углерода, азота
и водяных паров, является подходящей активной средой для
слабого СО2-лазера). В твердотельных лазерах активный эле-
элемент обычно изготавливается в виде цилиндра, длина которого
много больше его диаметра. Газовые и жидкие активные среды
помещают в цилиндрическую кювету.
Активные среды некоторых газовых лазеров составляют
на основе эксимеров. Эксимеры — вещества, состоящие из
двухатомных молекул и существующие только в электронно-
возбужденном состоянии. Переход из возбужденного состояния
в невозбужденное (снятие возбуждения) сопровождается лазер-
лазерным излучением. (Наименование данного лазера происходит от
двух слов Excited dimer — возбужденный димер).
2. Система накачки — устройство для приведения рабочего
тела в активное состояние (создание инверсной населенности).
Накачка может быть непрерывной или импульсной. Используют
следующие методы накачки
• «Оптическая» накачка — возбуждение интенсивным све-
светом. Для этого используются очень интенсивные лампы-вспыш-
лампы-вспышки, непрерывно излучающие лампы высокого давления, а также
другие лазеры.
• Возбуждение газовой среды электрическим разрядом. Ио-
Ионы и электроны, которые в небольшом количестве всегда при-
присутствуют в газе, ускоряются сильным электрическим полем.
Быстрые электроны сталкиваются с атомами и передают им
свою кинетическую энергию. Эта энергия и используется для
заселения верхнего энергетического уровня.
• Иногда используется электрический ток (полупроводни-
(полупроводниковые лазеры) или химические реакции (химические лазеры).
3. Оптический резонатор — это устройство, обеспечивающее
положительную обратную связь и формирующее когерентный
луч с очень малой степенью расходимости. В простейшем случае
оптический резонатор представляет собой два плоскопараллель-
плоскопараллельных зеркала (обращенными друг к другу) установленные на
одной оси, между которыми помещается рабочее тело. Одно из
488 Лекция 38. Лазеры. Лазерное излучение
зеркал полупрозрачно. Ось резонатора указывает направление
формирования луча.
38.3.1. Процесс генерации излучения. Рассмотрим, как про-
происходит процесс генерации. Система накачки создает в рабочем
теле инверсную населенность. После этого начинается процесс
спонтанного возвращения частиц в невозбужденное состояние.
При этом частицы испускают фотоны. Те из них, которые ис-
испущены под углом к оси резонатора, выходят через боковую
поверхность и в процессе генерации не участвуют. Их поток
быстро иссякает.
Те фотоны, которые после спонтанного излучения движут-
движутся вдоль оси резонатора, многократно проходят через рабочее
тело, отражаясь от зеркал. За счет этого возрастает число их
взаимодействий с возбужденными атомами и происходит «лави-
«лавинообразное» нарастание индуцированных фотонов, движущихся
в том же направлении. Многократно усиленный поток фотонов
выходит через полупрозрачное зеркало, создавая мощный пучок
почти параллельных когерентных лучей.
Таким образом, лазер преобразует энергию источника накач-
накачки в энергию монохроматического, когерентного света. Эффек-
Эффективность такого преобразования, то есть КПД, зависит от типа
лазера и лежит в диапазоне от долей процента до нескольких
десятков процентов. У большинства лазеров КПД составляет
0,1-1%.
§ 38.4. Работа рубинового и гелий-неонового лазера
38.4.1. Рубиновый лазер. Рассмотрим создание инверсной на-
населенности на примере трехуровневой системы, используемой
в рубиновых лазерах.
Рубин — это кристаллическая окись алюминия AI2O3, явля-
являющаяся прозрачным и бесцветным веществом. В это вещество
(в матрицу) внедрены атомы хрома в количестве около 0,05%.
Именно хром придает рубину розовый цвет и именно он обеспе-
обеспечивает лазерную генерацию.
Из всего множества энергетических уровней атома хрома в (в
рубиновом лазере используются три: основной, первый (метаста-
бильный с время жизни около 3 мс) и второй уровень с малым
временем жизни (рис. 38.3).
§ 38.4. Работа рубинового и гелий-неонового лазера 489
Для создания инверсной населенности рубин облучают мощ-
мощным импульсом света. При этом поглощаются фотоны с частотой
z/Q2, соответствующей переходу частиц — атомов хрома — между
уровнями 0 и 2 (hiyQ2 = Е<х — Eq). Фотоны внешнего облучения
с частотой isq2 не могут создать инверсную населенность между
уровнями 2 и 0, так как при выравнивании их населенностей
вероятность поглощения фотона сравняется с вероятностью его
вынужденного испускания. Для создания инверсной населенно-
населенности используют метастабильный уровень 1. Попавшие на уро-
уровень 2 частицы быстро, спонтанно и безызлучательно переходят
на метастабильный уровень 1.
Короткоживущий уровень
Метастабильный уровень
Лазерный ^1()VW^
переход ^
—- Основной уровень
Рис. 38.3. Трехуровневая лазерная система (рубиновый лазер)
Фотоны внешнего облучения ^02 не могут вызвать индуци-
индуцированное излучение с уровня 1, так как для этого требуются
фотоны с другой частотой (^oi). Поэтому на уровне 1 посте-
постепенно накапливаются частицы и в конце концов их количество
превысит количество частиц на нулевом уровне. Таким образом,
между уровнями 0 и 1 будет создана инверсная населенность.
В обычных условиях переход с уровня 1 на уровень 0 проис-
происходит спонтанно и сопровождается излучением с длиной волны
Л = 694,3 нм.
38.4.2. Гелий-неоновый лазер. Широкое распространение
в реабилитационной медицине получил гелий-неоновый лазер.
В нем используется четырехуровневая система создания
инверсной населенности. Активной средой в данном случае
является смесь газов гелия и неона в соотношении 10:1,
содержащаяся в стеклянной трубке под низким давлением.
Парциальные давления гелия и неона равны, соответственно,
1 мм рт. ст. и 0,1 мм рт. ст. Собственно лазерный переход
происходит в неоне, то есть атомы неона являются излучающими
(рабочими), атомы гелия — вспомогательными, необходимыми
для создания инверсной населенности атомов неона. На рис. 38.4
показаны энергетические уровни атомов гелия и неона.
490 Лекция 38. Лазеры. Лазерное излучение
Подача энергии при возбуждении (накачка) осуществляется
через электрический разряд. При электрическом разряде часть
атомов неона переходит с основного уровня 0 на возбужденный
уровень 2. Для чистого неона время жизни на этом уровне мало,
и атомы переходят на уровни 1 или 0. Для создания инверсной
населенности атомов неона, то есть для увеличения населенно-
населенности уровня 2 и уменьшения населенности уровня 1, используют
вспомогательные атомы гелия.
Перенос энергии
при соударениях
% излучение
el
Возбуждение
электрическим разрядом
Лазерное
Рис. 38.4. Схема энергетических уровней для гелий-неонового лазера
Первый возбужденный уровень атома гелия совпадает с уров-
уровнем 2 для атома неона. Поэтому при соударении возбужденных
атомов гелия с невозбужденными атомами неона происходят
передача энергии последним и перевод их в возбужденное состо-
состояние 2. Таким образом, атомы гелия способствуют увеличению
населенности уровня 2 атомов неона. Разгрузке уровня 1 у ато-
атомов неона способствуют их столкновения со стенками трубки,
в результате которых они отдают энергию и переходят с уровня 1
на уровень 0. Наиболее эффективно этот механизм разгрузки
действует при диаметре трубки около 7 мм. В трубке созда-
создается активная среда, состоящая из атомов неона с инверсной
населенностью уровней 2 и 1. Спонтанный переход отдельных
атомов неона с энергетического уровня 2 на уровень 1 вызывает
появление фотонов. При дальнейшем взаимодействии этих фо-
фотонов с возбужденным атомами неона возникает индуцирован-
индуцированное когерентное излучение последних. Чаще всего используются
гелий-неоновые лазеры с длиной волны Л = 632,8 нм, мощностью
100 мВт.
§ 38.5. Особенности лазерного излучения
Устройство лазера и свойства вынужденного излучения обу-
обуславливают отличие лазерного излучения от излучения обычных
источников света. Лазерное излучение (ЛИ) характеризуется
следующими важнейшими свойствами.
§ 38.5. Особенности лазерного излучения
491
1. Высококогерентность. Излучение является высококоге-
высококогерентным, что обусловлено свойствами вынужденного индуциро-
индуцированного излучения. При этом имеет место не только временная,
но и пространственная когерентность: разность фаз в двух точ-
точках плоскости, перпендикулярной направлению распростране-
распространения, сохраняется постоянной (рис. 38.5а) (в следствии простран-
пространственной когерентности излучение может быть сфокусировано
в очень малом объеме).
а) Когерентность
Лазер
Пространственная
когерентность
Временная
когерентность
Лазер
I
б) Коллимированность
в) Монохроматичность
л Лазерный
луч
Длина волны
Рис. 38.5. Когерентность (а), коллимированность
ность (в) лазерного излучения
монохроматич-
2. Монохроматичность. Лазерное излучение является в высо-
высокой степени монохроматическим, то есть содержит волны прак-
практически одинаковой частоты (фотоны имеют одинаковую энер-
492 Лекция 38. Лазеры. Лазерное излучение
гию). Это обусловлено тем, что вынужденное излучение связано
с дублированием фотонов (каждый индуцированный фотон пол-
полностью подобен первоначальному). При этом формируется элек-
электромагнитная волна постоянной частоты. Ширина спектральной
линии составляет АЛ « 0,01 нм. На рис. 38.5в приведено схемати-
схематическое сравнение ширины линии лазерного луча и луча обычного
света.
До появления лазеров излучение с некоторой степенью мо-
монохроматичности удавалось получить с помощью приборов —
монохроматоров, выделяющих из сплошного спектра узкие спек-
спектральные интервалы (узкие полосы длин волн), однако мощность
света в таких полосах мала.
3. Высокая мощность. С помощью лазера можно обеспечить
очень высокую мощность монохроматического излучения — до
105 Вт в непрерывном режиме. Мощность импульсных лазеров
на несколько порядков выше. Так неодимовый лазер генери-
генерирует импульс с энергией Е = 75 Дж, длительность которого
t = 3 • 10~12 с. Мощность в импульсе равна Р = E/t = 2,5 х
х 1013 Вт (для сравнения: мощность ГЭС Р ~ 109 Вт).
4. Высокая интенсивность. В импульсных лазерах интен-
интенсивность лазерного излучения очень высока и может достигать
/ = 1014-1016 Вт/см2 (ср. интенсивность солнечного света вблизи
земной поверхности / = 0,1 Вт/см2).
5. Высокая яркость. У лазеров, работающих в видимом
диапазоне, яркость лазерного излучения (сила света с еди-
единицы поверхности) очень велика. Даже самые слабые лазеры
имеют яркость 1015 кд/м2 (для сравнения: яркость Солнца
L ~ 109 кд/м2).
6. Давление. Лазерный луч при падении на поверхность ока-
оказывает давление (р). При полном поглощении лазерного излуче-
излучения, падающего перпендикулярно поверхности, величина созда-
создается давление р = I/с, где / — интенсивность излучения, с —
скорость света в вакууме. При полном отражении величина дав-
давления в два раза больше. При интенсивности / = 1014 Вт/см2 =
= 1018 Вт/м2, р = 3,3 • 109 Па = 33 000 атм.
7. Малый угол расходимости в пучке. Коллимированность.
Излучение является коллимированным, то есть все лучи в пучке
почти параллельны друг другу (рис. 38.55). На большом рассто-
расстоянии лазерный пучок лишь незначительно увеличивается в диа-
§ 38.6. Характеристики лазерного излучения в медицине 493
метре (для большинства лазеров угол расходимости составляет
1 угловую минуту или меньше). Так как угол расходимости мал,
то интенсивность лазерного пучка слабо убывает с расстоянием.
Остронаправленность позволяет передавать сигналы на огром-
огромные расстояния при малом ослаблении их интенсивности.
8. Поляризованность. Лазерное излучение полностью поляри-
поляризовано.
§ 38.6. Характеристики лазерного излучения,
применяемого в медицине
38.6.1. Длина волны излучения. Длины волн излучения (Л)
медицинских лазеров лежат в диапазоне 0,2-10 мкм, то есть
от ультрафиолетовой до дальней инфракрасной области. Интен-
Интенсивно ведутся исследования по разработке лазеров, работающих
в рентгеновском диапазоне длин волн.
38.6.2. Мощность излучения. Мощность излучения (Р) ме-
медицинских лазеров варьируется в широких пределах, определя-
определяемых целями применения. Для непрерывных медицинских ла-
лазеров Р = 0,01-100 Вт. Импульсные лазеры характеризуются
мощностью в импульсе Ри и длительностью импульса ти . Для
хирургических лазеров Ри = 103-108 Вт, а длительность импуль-
импульса ти = 10"9-10 с.
38.6.3. Энергия в импульсе излучения. Энергия одного им-
импульса лазерного излучения (ЕИ) определяется соотношением
Еи = Рц-Тщ где ти — длительность импульса излучения (обычно
ти = 10~9-10~3 с). Для хирургических лазеров ЕИ = 0,1-10 Дж.
38.6.4. Частота следования импульсов. Эта характеристика
(/) импульсных лазеров показывает количество импульсов из-
излучения, генерируемых лазером за 1 с. Для терапевтических
лазеров / = 10-3000 Гц, для хирургических / = 1-100 Гц.
38.6.5. Средняя мощность излучения. Эта характеристика
(Рср) импульсно-периодических лазеров показывает, какую энер-
энергию лазер излучает за 1 с, и определяется следующим соотноше-
соотношением:
Рср = #и/ = РиТ„/.
494 Лекция 38. Лазеры. Лазерное излучение
Для терапевтических лазеров Рср = Ю^-Ю Вт, для хирурги-
хирургических 1-100 Вт.
38.6.6. Интенсивность (плотность мощности). Эта характе-
характеристика (/) определяется как отношение мощности лазерного
излучения к площади поперечного сечения пучка. Для непре-
непрерывных лазеров I = P/S. Для импульсных лазеров различают
интенсивность в импульсе /и = РИ/ S и среднюю интенсивность
Интенсивность хирургических лазеров и давление, создавае-
создаваемое их излучением, имеют следующие значения:
для непрерывных лазеров / ~ 103 Вт/см2, р = 0,033 Па,
для импульсных лазеров /и ~ 105-1011 Вт/см2, р = 3,3 х
х 106 Па.
38.6.7. Доза облучения. Обычно с помощью этой величины
(Z), Дж/см2) характеризуют энергию, которая приходится на
единицу площади облучаемой поверхности за весь сеанс. Для
непрерывных лазеров D = It, где t — время облучения в се-
секундах. Для импульсно-периодических лазеров D = Icpt.
38.6.8. Плотность энергии в импульсе. Эта величина (W) ха-
характеризует энергию, которая приходится на единицу площади
облучаемой поверхности за один импульс, и определяется соотно-
соотношением W = ЕИ/S, где S (см2) — площадь светового пятна (то
есть поперечного сечения лазерного луча) на поверхности био-
биоткани. У лазеров, используемых в хирургии, W ~ 100 Дж/см2.
Параметр W можно рассматривать как дозу облучения D за
1 импульс.
38.6.9. Угол расходимости (расходимость лазерного пучка).
Минимальный возможный угол расходимости ср (рад) определя-
определяется дифракцией на зеркальной поверхности резонатора и может
быть вычислен по формуле: ср « A\/d3, где d3 — диаметр
активного элемента, А « 1. Минимальный угол расходимости
составляет 10~4-10~5 рад.
38.6.10. Фокусное расстояние фокусирующего элемента. При
использовании лазера в качестве скальпеля необходимо его луч
сфокусировать на биоткани в виде малого светового пятна (иначе
вместо тонкого разреза получится широкий ожог). Для этого
§ 38.7. Взаимодействие лазерного излучения с биообъектами 495
обычно используются линзы. Характеристикой фокусирующего
элемента является его фокусное расстояние F (см. лекцию 28).
38.6.11. Диаметр фокального пятна. Если лазерный пучок
с однородным распределением интенсивности и фазы по сечению
фокусируется линзой с фокусным расстоянием F, то минималь-
минимальный достижимый диаметр пучка (d) в фокусе линзы определя-
определяется явлением дифракции и задается формулой: d = 1,22XF/D,
где D — диаметр лазерного пучка на входе в линзу.
В реальных линзах аберрации не сказываются вплоть до
D « F, то есть практически достижимый минимальный диа-
диаметр фокального пятна соизмерим с длиной волны лазерного
излучения: dm-m ~ Л. При D > F аберрации линз препятствуют
дальнейшему уменьшению d.
Для приблизительных оценок диаметра фокального пят-
пятна можно пользоваться формулой: d = Ftp. На практике
d& 10-100 dmin.
§ 38.7. Взаимодействие лазерного излучения
с биообъектами
Процессы, характеризующие виды взаимодействия ЛИ с био-
биообъектами, можно разделить на 3 группы:
• невозмущающее воздействие (не оказывающее заметного
действия на биообъект);
• фотохимическое действие (возбужденная лазером части-
частица либо сама принимает участие в соответствующих химиче-
химических реакциях, либо передает свое возбуждение другой частице,
участвующей в химической реакции);
• фоторазрушение (за счет выделения тепла или ударных
волн).
38.7.1. Отражение, поглощение, пропускание в случае одно-
однородной среды. При попадании ЛИ на ткань могут наблюдаться
три процесса:
отражение, которое характеризует отраженная часть потока
(Фотр),
поглощение, которое характеризует поглощенная часть пото-
потока (Фпогл),
496
Лекция 38. Лазеры. Лазерное излучение
пропускание, которое характеризует пропущенная часть по-
потока (ФПроп)-
По закону сохранения энергии сумма этих потоков равна
потоку падающего излучения:
Фотр + Фпогл + Фпроп = Фпад.
C8.2)
На рис. 38.6 схематически показано распределение этих пото-
потоков.
отр
Фдроп
Рис. 38.6. Прохождение лазерного излучения через однородную среду
Соотношение между потоками зависит от длины волны
и свойств среды. Для оценки поглощения излучения в ткани
используется коэффициент поглощения а = ФПогл/Фпад-
38.7.2. Отражение и поглощение в коже. Взаимодействие ла-
лазерного излучения чаще всего начинается с контакта с кожей.
Перераспределение лазерного луча на коже показано на рис. 38.7.
Отражение
Эпидермальное
рассеяние
Дермалъное
рассеяние
Эпидермалъное
поглощение
Рис. 38.7. Перераспределение энергии лазерного луча при прохожде-
прохождении через кожу: 1 — роговой слой, 2 — эпидермис, 3 — дерма
§ 38.7. Взаимодействие лазерного излучения с биообъектами 497
Из-за отражения от нескольких слоев кожи суммарное отра-
отражение может достигать 60%.
38.7.3. Изменения, происходящие в ткани при воздействии
мощного лазерного излучения. Действие лазера в хирургии, будь
то в качестве режущего инструмента или коагулятора, базиру-
базируется на превращении электромагнитной энергии лазерного луча
в тепловую энергию. В облучаемом объекте возникает источник
теплоты с мощностью q (Вт/м3). Поглощенное лазерное излуче-
излучение приводит к проявлению различных процессов (рис. 38.8).
Лазерное излучение
. а - удаляемая ткань
- б — коагуляция
- в - нагревание
Рис. 38.8. Действие лазерного излучения на ткань
Излучение удаляет нагретую до нескольких сотен градусов
ткань (зона а) и проникает далее в ткань. Поглощенное там
излучение недостаточно для удаления ткани, но приводит к ко-
коагуляции (иногда совместно с обугливанием — черная жирная
линия) в слое, соответствующем глубине проникновения света
(зона б). В дополнение к непосредственному нагреванию излу-
излучением окружающая ткань нагревается вследствие теплопровод-
теплопроводности (зона в). На внешней границе этой зоны имеют место
обратимые изменения ткани.
Если излучение исходит от высокоинтенсивного сфокусиро-
сфокусированного лазера, то термические повреждения сопровождаются
механической травмой ткани за счет ударных волн (см. ниже).
Протяженности отдельных зон (ширина разреза, граница
обугливания, граница коагуляции, зона обратимого изменения
ткани, зона механического повреждения) зависят от характери-
характеристик ЛИ (длина волны, мощность, непрерывное или импульсное
излучение, частота повторения импульсов), от свойств окружаю-
окружающей среды (воздух, вода, кровь) и свойств самой ткани (в первую
очередь от коэффициента поглощения и теплопроводности).
498 Лекция 38. Лазеры. Лазерное излучение
§ 38.8. Динамика изменения свойств ткани и ее
температуры при действии непрерывного мощного
лазерного излучения
38.8.1. Динамика изменения свойств. Воздействие лазерного
излучения приводит к повышению температуры тканей. По мере
роста температуры в тканях протекают следующие процессы:
при 40-60 °С имеют место активация ферментов, образование
отеков, изменение и, в зависимости от времени действия, гибель
клеток, денатурация протеина, начало коагуляции и некрозы;
при 60-80 °С — денатурация коллагена, дефекты мембраны;
при 100 °С — обезвоживание, выпаривание тканевой воды;
свыше 150 °С — обугливание;
свыше 300° С — выпаривание обезвоженной обугленной тка-
ткани, газообразование.
38.8.2. Динамика изменения температуры. Превращенная
в тепло энергия излучения вызывает в облученной ткани
локальное повышение температуры. Рассмотрим динамику
этого процесса для случая, когда нагревание осуществляется
непрерывным лазером с постоянной интенсивностью излучения.
При этом скорость выделения тепла в облучаемом объеме
биоткани определяется ее коэффициентом поглощения а
и интенсивностью излучения:
q = а/, Вт/см3.
В общем случае можно выделить несколько фаз, которые схема-
схематически показаны на рис. 38.9.
1 фаза. Сначала температура ткани повышается от 37 до
100 °С. В этом диапазоне температур термодинамические свой-
свойства ткани остаются практически неизменными и происходит
линейный рост температуры со временем (а = const и / = const).
2 фаза. При температуре 100° С начинается выпаривание тка-
тканевой воды, и до окончания этого процесса температура остается
постоянной.
3 фаза. После выпаривания воды температура вновь начинает
расти, но медленнее, чем на участке 1, так как обезвоженная
ткань поглощает энергию слабее нормальной.
4 фаза. При достижении температуры Т « 150 °С начинается
процесс обугливания и, следовательно, «почернения» биоткани.
§ 38.8. Динамика изменения свойств ткани
499
При этом коэффициент поглощения а начинает расти. Поэтому
наблюдается нелинейный, ускоряющийся со временем рост тем-
температуры.
5 фаза. При достижении температуры Т « 300° С начинается
процесс испарения обезвоженной обугленной биоткани и рост
температуры вновь прекращается. Именно в этот момент лазер-
лазерный луч рассекает (удаляет) ткань, то есть становится скальпе-
скальпелем.
300
150
100
0
Г, °С
Время
воздействия
т т т
Нагре- Выпари- Нагревание и Испарение
вание вание обугливание
Рис. 38.9. Динамика изменения температуры ткани под воздействием
лазера
38.8.3. Абляция ткани под воздействием мощного импульс-
импульсного лазерного излучения. При достаточно больших интенсив-
ностях ЛИ и коротких длительностях импульса может реали-
реализоваться другой механизм рассечения или удаления биоткани.
В этом случае мощность объемного теплового источника q = al
столь велика, что происходит очень быстрый нагрев тканевой
жидкости до температуры Т > Ткип. При этом возможно получе-
получение перегретого метастабильного состояния тканевой жидкости,
когда она какое-то время не закипает даже при температуре,
превышающей 100 °С. Этот перегрев будет тем выше, чем больше
интенсивность / (то есть мощность источника q). Затем про-
происходит быстрое взрывное вскипание тканевой жидкости. При
этом давление ее паров поднимается. Это приводит к тому, что
выбрасывается «клеточный каркас» ткани, происходит явление
абляции — быстрого взрывного удаления вещества. Обычно при
реализации процесса абляции не происходит обугливания ткани.
«Взрывное» удаление биоткани при абляции приводит к ге-
генерации механических ударных волн.
500 Лекция 38. Лазеры. Лазерное излучение
При большой мощности коротких лазерных импульсов этот
процесс может приводить к механическому повреждению био-
биотканей в окрестностях зоны лазерного воздействия. Этот факт
необходимо учитывать при выборе параметров импульсного ла-
лазерного излучения, например, при шлифовке кожи, сверлении
зубов или при лазерной коррекции остроты зрения.
§ 38.9. Использование лазерного излучения
в диагностике
Лазерная диагностика представляет собой невозмущающее
воздействие на биообъект, использующее когерентность лазер-
лазерного излучения. Перечислим основные методы диагностики.
Интерферометрия. При отражении лазерного излучения от
шероховатой поверхности образуются вторичные волны, которые
интерферируют между собой. В результате образуется картина
темных и светлых пятен (спеклов), расположение которых дает
информацию о поверхности биообъекта (метод спеклоинтерфе-
рометрии).
Голография. С помощью лазерного излучения получают
3-мерное изображение объекта. В медицине этот метод позволяет
получать объемные изображения внутренних полостей желудка,
глаза и т. д. На основе гелий-неонового лазера с использова-
использованием волоконной оптики разработаны гастроскопы, которые
позволяют голографически формировать объемное изображение
внутренней полости желудка.
Рассеяние света. При прохождении остронаправленного ла-
лазерного пучка через прозрачный объект рассеивание света изме-
изменяет пространственное распределение интенсивности. Регистра-
Регистрация угловой зависимости интенсивности рассеянного света (ме-
(метод нефелометрии) позволяет определять размеры частиц среды
(от 0,02 до 300 мкм) и степень их деформации.
При рассеянии может изменяться поляризация света, что так-
также используется в диагностике (метод поляризационной нефело-
нефелометрии).
Эффект Доплера. Этот метод основан на измерении допле-
ровского сдвига частоты ЛИ, который возникает при отражении
даже от медленно движущихся частиц (метод анемометрии).
Таким способом измеряется скорость кровотока в сосудах, по-
подвижность бактерий и т. д.
§38.10. Использование лазерного излучения в терапии 501
Квазиупругое рассеяние. При таком рассеянии происходит
незначительное изменение длины волны зондирующего ЛИ. При-
Причина этого — изменение в процессе измерения рассеивающих
свойств (конфигурации, конформации частиц). Временные изме-
изменения параметров рассеивающей поверхности проявляются в из-
изменении спектра рассеяния по сравнению со спектром подаю-
подающего излучения (спектр рассеяния либо уширяется, либо в нем
появляются дополнительные максимумы). Изменения в спектре
незначительны, поэтому они не различимы традиционными ме-
методами спектрометрии. Данный метод позволяет получать ин-
информацию о меняющихся характеристиках рассеивателей: коэф-
коэффициент диффузии, скорость направленного транспорта, разме-
размеры. Так осуществляется диагностика макромолекул белков.
Лазерная масс-спектроскопия. Этот метод используют для
исследования химического состава объекта. Мощные пучки ла-
лазерного излучения испаряют вещество с поверхности биообъекта.
Микропробы испаренного вещества подвергают масс-спектраль-
ному анализу, по результатам которого судят о составе вещества.
Лазерный анализ крови. Лазерный луч, пропускаемый через
узкий кварцевый капилляр, по которому прокачивается спе-
специально обработанная кровь, вызывает флуоресценцию клеток
крови. Флуоресцентное свечение затем улавливается чувстви-
чувствительным датчиком. Это свечение специфично для каждого типа
клеток, проходящих поодиночке через сечение лазерного луча.
Подсчитывается общее число клеток в заданном объеме крови.
Определяются точные количественные показатели по каждому
типу клеток
Метод фоторазрушения. Его используют для исследования
поверхностного состава объекта. Мощные пучки ЛИ позволяют
брать микропробы с поверхности биообъектов путем испарения
вещества и последующего масс-спектрального анализа этого
пара.
§ 38.10. Использование лазерного излучения
в терапии
В терапии используются низкоинтенсивные лазеры (интен-
(интенсивность 0,1-10 Вт/см2). Низкоинтенсивные лазеры не вызывают
заметного деструктивного действия на ткани непосредственно
во время облучения. В видимой и ультрафиолетовой областях
502 Лекция 38. Лазеры. Лазерное излучение
спектра их эффекты обусловлены фотохимическими реакциями
и не отличаются от эффектов, вызываемых монохроматическим
светом, полученным от обычных, некогерентнных источников.
В этих случаях лазеры являются просто удобными монохрома-
монохроматическими источниками света, обеспечивающими точную лока-
локализацию и дозированность воздействия. Ниже указаны наиболее
распространенные методы лазеротерапии.
Терапия с помощью красного света. Излучение He-Ne лазера
с длиной волны 632,8 нм используется с противовоспалитель-
противовоспалительной целью для лечения ран, язв, ишемической болезни сердца.
Лечебный эффект связан с влиянием света этой длины волны
на пролиферативную активность клетки. Свет выступает в роли
регулятора клеточного метаболизма.
Терапия с помощью синего света. Лазерное излучение с дли-
длиной волны в синей области видимого света используется, напри-
например, для лечения желтухи новорожденных. Это заболевание —
следствие резкого возрастания в организме концентрации били-
билирубина, который имеет максимум поглощения в синей области.
Если облучать детей лазерным излучением такого диапазона, то
билирубин распадается, образуя водорастворимые продукты.
Фотодинамическая терапия опухолей. Фотодинамическая те-
терапия (ФДТ) используется при удаления опухолей, доступных
для облучения светом. ФДТ основана на применении локализую-
локализующихся в опухолях фотосенсибилизаторов, повышающих чувстви-
чувствительность тканей при их последующем облучении видимым све-
светом. Часто в качестве фотосенсибилизаторов при ФДТ исполь-
используют производные гематопорфирина, которые поглощают свет
в красной области спектра и обладают свойством избирательно
накапливаться в злокачественных образованиях. При освещении
фотосенсибилизаторы продуцируют активные формы кислорода
(наиболее эффективно синглетный кислород), способные повре-
повреждать биосубстрат вблизи места локализации фотосенсибили-
фотосенсибилизатора без нарушения нормальной ткани. Разрушение опухолей
при ФДТ основано на трех эффектах:
1) прямое фотохимическое уничтожение клеток опухоли;
2) повреждение кровеносных сосудов опухоли, приводящее
к ишемии и гибели опухоли;
3) возникновение воспалительной реакции, мобилизирующей
противоопухолевую иммунную защиту тканей организма.
§38.11. Использование лазерного излучения в хирургии 503
Под действием света фотосенсибилизаторы вызывают про-
противоопухолевые эффекты. Практически облучение опухолей, со-
содержащих фотосенсибилизаторы, проводится чаще всего крас-
красным светом лазеров в области 600-850 нм. В этой области спектра
глубина проникновения света в биологические ткани максималь-
максимальна. Иногда при воздействии на опухоли кишечника используют
зеленый свет лазеров, который сильно ослабляется биологиче-
биологическими тканями и проникает неглубоко. Это делается для того,
чтобы не вызвать перфорацию стенок кишечника.
Фотодинамическая терапия применяется при лечении опу-
опухолей кожи, внутренних органов: легких, пищевода (при этом
к внутренним органам лазерное излучение доставляется с помо-
помощью световодов).
Различают однофотонные и многофотонные возбуждения.
Однофотонные возбуждения наблюдаются при малых интенсив-
ностях лазерного излучения, многофотонные — при больших
интенсивностях.
При большой интенсивности лазерного излучения (при вы-
высокой пиковой мощности), реализуемой, как правило, в корот-
коротких лазерных импульсах, возможно многофотонное возбужде-
возбуждение. При многофотонном поглощении в одном элементарном
акте молекулой поглощается одновременно несколько фотонов.
В результате этого вещество, прозрачное для излучения опреде-
определенной длины волны при малых интенсивностях, может стать
непрозрачным для него при больших интенсивностях. Поэтому
могут идти фотохимические реакции, невозможные при малых
интенсивностях. Лазерная терапия, использующая многофотон-
многофотонное поглощение, получила название нелинейной фототерапии.
§ 38.11. Использование лазерного излучения
в хирургии
В хирургии используются высокоинтенсивные лазеры. Ла-
Лазерный луч используется в качестве универсального светового
скальпеля. При воздействии на биоткань лазерного излучения
большой интенсивности происходит ее нагрев, коагуляция, испа-
испарение или же абляция. Эти явления используются в лазерной
хирургии для рассечения тканей, удаления ее патологических
504 Лекция 38. Лазеры. Лазерное излучение
участков, остановки кровотечения, сваривания биотканей. Вы-
Выбирая должным образом длину волны излучения, его интенсив-
интенсивность и длительность воздействия, можно получать различные
хирургические эффекты. Так, для разрезания биологических
тканей часто используется сфокусированный луч непрерывного
СС>2-лазера, имеющий длину волны Л = 10,6 мкм, мощность
2- 103 Вт/см2.
Применение лазерного луча в хирургии обеспечивает изби-
избирательное и контролируемое воздействие. Лазерная хирургия
имеет ряд преимуществ:
• бесконтактность, дающую абсолютную стерильность;
• селективность, позволяющую выбором длины волны излу-
излучения дозированно разрушать патологические ткани, не затра-
затрагивая окружающие здоровые ткани;
• бескровность (за счет коагуляции белков);
• микрохирургию тканей и клеток, позволяющую, благода-
благодаря высокой степени фокусировки луча;
• незначительное механическое травмирование прилегаю-
прилегающих областей;
• точно определенная глубина проникновения в ткань.
Укажем некоторые области хирургического применения ла-
лазеров.
38.11.1. Лазерная сварка тканей. Соединение рассеченных
тканей представляет собой необходимый этап многих операций.
Лазер могут с успехом использоваться для решения этой за-
задачи. Для сварки тканей используется различные лазеры. Для
большинства тканей при сварке целесообразно, чтобы нагре-
нагревание, ведущее к оплавлению и последующей сварке, проис-
происходило по возможности главным образом в наружном, самом
прочном слое будущего анастомоза (соустье между сосудами).
Защиту от обширного по объему и чрезмерного по температуре
нагрева свариваемых структур осуществляют либо с помощью
специально подбираемого режима работы или путем нанесения
на поверхность будущего шва специального припоя, интенсивно
поглощающегося свет в области излучения данного лазера. На
рис. 38.10 показано сваривание одного из стволов крупного нерва,
осуществляемого в контактном режиме с использованием при-
припоя, который каплями из пипетки подается по месту сваривания.
§38.11. Использование лазерного излучения в хирургии
505
Рис. 38.10. Сваривание нерва при помощи лазерного луча
38.11.2. Разрушение пигментированных участков. Лазеры,
работающие в импульсном режиме, используются для разру-
разрушения пигментированных участков. Необходимыми условиями
для этого являются: поглощение объектом излучения данной
длины волны и достаточно короткая продолжительность
импульсов. Используемая при этом малая энергия снижает
опасность повреждения соседних тканей. В некоторых случаях
используется малая глубина проникновения луча в ткань,
что позволяет осуществить послойное испарение (абляцию).
Данный метод (фототермолиз) используется для лечения
ангиом, татуировок, склеротических бляшек в кровеносных
сосудах и т. п.
38.11.3. Лазерная эндоскопия. Внедрение эндоскопии произ-
произвело коренной переворот в оперативной медицине. Чтобы избе-
избежать больших открытых операций, лазерное излучение достав-
доставляется к месту воздействия с помощью волоконно-оптических
световодов. Световод изготавливается из кварцевого или стек-
стеклянного волокна в зависимости от диапазона длин волн, в ко-
котором он используется. Гибкие световоды позволяют подводить
лазерное излучение к биотканям внутренних полых органов. При
этом значительно снижается риск возникновения и передачи
инфекций, опасность послеоперационных осложнений (спайки,
перерождение нормальной ткани в рубцово-измененную). Опе-
Операционная нагрузка на организм значительно снижается. Опера-
Оперативное вмешательство может быть осуществлено амбулаторно.
506 Лекция 38. Лазеры. Лазерное излучение
38.11.4. Лазерный пробой. Короткоимпульсные лазеры в со-
сочетании со световодами применяют для удаления бляшек в со-
сосудах, камней в желчном пузыре и почках. Например, при уда-
удалении камней лазерное излучение подводят по световоду и фо-
фокусируют около мишени. При генерации лазерного импульса
(длительностью 10~12-10~9 с) интенсивность излучения столь
велика, что происходит так называемый лазерный пробой, ана-
аналогичный обычному электрическому пробою. То есть происхо-
происходит процесс электронной ударной ионизации атомов мишени
в высокочастотном [у — 1014-1015 Гц) электромагнитном поле,
приводящий к лавинообразному росту концентрации свободных
электронов и образованию облака электронной плазмы.
Это облако плазмы интенсивно поглощает оставшиеся фо-
фотоны лазерного излучения. В результате этого температура ми-
мишени в фокальной области резко возрастает до десятков тысяч
градусов. Затем плазма быстро расширяется, порождая ударную
волну, распространяющуюся во всех направлениях. Ударная вол-
волна разрушает мишень.
Оптическое волокно должно иметь соответствующую проч-
прочность. В противном случае оно разрушится, и его обломки могут
нанести вред пациенту.
38.11.5. Лазеры в офтальмологии. Лазеры широко применя-
применяются при хирургических операциях в офтальмологии. Их при-
применение позволяет выполнять бескровные, не требующие нару-
нарушения целостности глазного яблока, оперативные вмешатель-
вмешательства, связанные с коагуляцией и фотодеструкцией тканей глаза.
Это операции на стекловидном теле; приваривание отслоившейся
сетчатки и заваривание ее сосудов (офтальмокоагуляция); ле-
лечение глаукомы путем «прокалывания» лазерным лучом отвер-
отверстий (диаметром 50-100 мкм) для оттока внутриглазной жид-
жидкости. Применяется послойная абляция тканей роговицы для
коррекции зрения. При использовании эксимерного лазера (дли-
(длина волны — 193 нм, продолжительность импульса — 10-25 не)
осуществляется холодное выпаривание (абляция) поверхностных
слоев роговицы на глубину до 120 мк. При этом изменяется ее
оптическая сила (фоторефракционная кератотомия). Эксимер-
ные лазеры под компьютерным контролем способны произво-
производить коррекцию нарушений рефракции (от —20 до +20 дптр).
Подбирается оптимальный режим работы лазерной установки,
§38.13. Элементы реабилитологии 507
в результате чего температура роговой оболочки повышается не
более чем на 5-6°С. Благодаря этому роговица в послеопера-
послеоперационном периоде остается прозрачной. Время лазерного вмеша-
вмешательства не превышает одной минуты.
§ 38.12. Меры безопасности при работе с лазерами
Потенциальную опасность для организма человека при рабо-
работе с лазерами представляет прямое и рассеянное лазерное излу-
излучение. В наибольшей степени ему подвержены глаза и открытые
участки кожи. Во избежание этого необходимо выполнение сле-
следующих требований.
• Интенсивность лазерного излучения не должна превы-
превышать предельно допустимый уровень (ПДУ), установленный
ГОСТом.
• Вблизи направления (трассы) прохождения лазерного лу-
луча не должно быть предметов с зеркальными поверхностями.
• Должна быть исключена возможность неконтролируемых
перемещений лазерного луча.
• Зеркальные поверхности оборудования должны быть по-
покрыты неотражающими материалами.
• Необходимо использовать специальные защитные очки
(изготовленные из из специального сине-зеленого стекла) — при
работе с лазерами разного диапазона:
— при красном излучении — для профилактики цистранс-
изомеризации ретинала колбочек и палочек сетчатки;
— при инфракрасном излучении — для профилактики рети-
нопатического действия;
— при ультрафиолетовом излучении — для профилактики
поражения хрусталика и сетчатки.
• Следует помнить, что и при работе в защитных очках
запрещается попадание луча на глаза.
§ 38.13. Элементы реабилитологии
Лазеротерапия — лечебное использование оптического излу-
излучения, источником которого является лазер.
В клинической-реабилитационной практике в настоящее вре-
время нашли применение лазеры различных конструкций и модифи-
модификаций. Наиболее часто используются низкоинтенсивные гелий-
неоновые и полупроводниковые лазеры. Они излучают в красном
508 Лекция 38. Лазеры. Лазерное излучение
и инфракрасном диапазонах и работают как в непрерывном, так
и в импульсном режимах.
Некоторые лазеры имеют магнитные насадки для сочетанно-
го действия лазерного излучения и магнитного поля — магнито-
лазеротерапии. К ним относится магнито-инфракрасный лазер-
лазерный терапевтический аппарат «Мильта».
Для фотодинамической физиотерапии применяют лазеры ви-
видимого излучения с волоконными световодами и рассеивателями
на конце. В качестве фотосенсибилизаторов используют соот-
соответствующие препараты, которые вводят больному внутривенно
за несколько дней до облучения. Чаще всего используют из-
излучение с длиной волны 632 нм (красный свет) и 800-1200 нм
(инфракрасное излучение). Максимальная мощность излучения
не превышает 60 мВт. Воздействие на ткани осуществляют как
сфокусированным лучом (при непосредственном контакте), так
и расфокусированным лучом (при дистанционной методике на
расстоянии 25-30 мм).
Лазерофорез. Эффективность лазеротерапии увеличивается
при сочетанном воздействии с лекарственными веществами,
предварительно нанесенными на облучаемую зону.
Лазерное излучение используется при сочетании с другими
методами электрофизиотерапии. Дозирование лазерофизиотера-
певтических воздействий оценивают при помощи специальных
измерителей мощности лазерного излучения.
Лекция 39
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
1. Магнетики.
2. Магнитные моменты электрона.
3. Намагниченность.
4. Парамагнетики.
5. Диамагнетики.
6. Ферромагнетики.
7. Понятие о магнитобиологии.
8. Понятие о биомагнетизме.
9. Магнитный резонанс.
10. Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР).
11. Ядерный магнитный резонанс (ЯМР).
12. ЯМР-томография (магниторезонансная томография) как диа-
диагностический метод.
§ 39.1. Магнетики
В лекции «Электричество и магнетизм» мы уже отмечали,
что все вещества при помещении их во внешнее магнитное по-
поле (Во) становятся источниками собственного магнитного по-
поля (Вс). В этом смысле все вещества являются магнетиками, то
есть намагничиваются. Полное магнитное поле в веществе (В)
складывается из двух полей: В = Bq + Вс.
Причина возникновения намагниченности кроется в строении
вещества. Атомы, входящие в состав вещества, состоят из движу-
движущихся электронов и ядер. Движение этих частиц создает магнит-
магнитные поля внутри вещества. При отсутствии внешнего магнитного
поля у большинства веществ эти поля ориентированы хаотически
и среднее магнитное поле, создаваемое движением частиц, равно
нулю. Когда вещество помещают во внешнее магнитное поле,
в движении частиц появляется некоторая упорядоченность, кото-
которая и создает собственное магнитное поле вещества Вс. Модуль
и направление вектора Вс зависят от модуля и направления
вектора индукции внешнего поля Bq и от внутреннего строения
вещества.
510 Лекция 39. Магнитные свойства вещества
Магнитное поле ядра значительно меньше магнитного поля
электронов, поэтому при рассмотрении многих вопросов его мож-
можно не учитывать. Случаи, когда такой учет необходим, будут
рассмотрены отдельно, а сейчас разберем вопрос о том, как
возникают и чем характеризуются магнитные поля электронов.
§ 39.2. Магнитные моменты электрона
Будем рассматривать движение электрона в атоме как рав-
равномерное вращение вокруг ядра с некоторой скоростью v. Такое
движение можно уподобить круговому току и применить к нему
используемые в этом случае характеристики (см. лекцию «Элек-
«Электричество и магнетизм»).
39.2.1. Магнитный момент контура с током. Пусть по конту-
контуру с площадью S течет ток /. Величина рт = I • S называется
магнитным моментом контура с током. Магнитный момент кон-
контура с током — это вектор, который направлен перпендикулярно
плоскости контура и связан с направлением тока правилом пра-
правого буравчика (рис. 39.1).
Pm = IS
I
Рис. 39.1. Направление магнитного момента контура с током
Контур с током создает собственное магнитное поле. Расчеты
показывают, что индукция этого поля прямо пропорциональна
величине магнитного момента контура (именно по этой причине
магнитный момент и выбран для описания магнитного поля
контура).
39.2.2. Орбитальный магнитный момент электрона. Исполь-
Используя аналогию с контуром, вычислим магнитный момент, соот-
соответствующий орбитальному движению электрона (рОрбт)- Сила
тока, соответствующая вращению электрона по круговой орбите,
определяется формулой
/ = е/Т, C9.1)
§39.2. Магнитные моменты электрона 511
где е — заряд электрона, Т - период его обращения.
Так как период Т = 2тгг/у (г — радиус орбиты, v — скорость
электрона), то сила тока равна
I = ev/Birr). C9.2)
Площадь контура в данном случае — это площадь круга S =
= 7ГГ2.
Теперь можно рассчитать орбитальный магнитный момент
электрона:
= IS = [еу/Bтгг)]тгг2.
Выполнив очевидные сокращения, получим формулу для расче-
расчета орбитального магнитного момента:
Рорбт = evr/2. C9.3)
39.2.3. Орбитальный момент импульса электрона. В физи-
физических экспериментах обычно измеряют не сам орбитальный
магнитный момент, а его отношение к другой характеристике
орбитального движения — моменту импульса.
Моментом импульса материальной точки отно-
относительно оси называют величину, равную произ-
произведению импульса точки на расстояние ее до оси
вращения.
В соответствии с этим момент импульса электрона, вращающе-
вращающегося по круговой орбите, выражается следующей формулой:
^оРб = mvr, C9.4)
где т — масса электрона.
Направления векторов Lop6 и рорбт показаны на рис. 39.2.
f Рорб 1
Поскольку электрон — отрицательная
частица, то его вращению по часовой
стрелке соответствует «ток», текущий
против часовой стрелки.
Рис. 39.2. Момент импульса и магнитный момент электрона, связан-
связанные с его орбитальным движением
512 Лекция 39. Магнитные свойства вещества
39.2.4. Орбитальное магнитомеханическое отношение для
электрона. С помощью формул C9.3) и C9.4) можно вычислить
упомянутое выше отношение магнитного момента к моменту
импульса для орбитального движения электрона. Это отношение
называют магнитомеханическим отношением (б?Орб):
Gope = Рорбт/Крб = е/2т. C9.5)
Мы видим, что это отношение является постоянной величиной,
то есть магнитный момент и момент импульса жестко связаны
друг с другом.
39.2.5. Спин. Спиновый магнитный момент электрона. Об-
Обнаружилось, что электрон, помимо орбитального момента им-
импульса, обладает и собственным моментом импульса, который
называется спином. Первоначально это связывали с вращением
электрона вокруг собственной оси (отсюда и название спин —
волчок). Позже выяснилось, что эта наглядная аналогия явля-
является очень грубой. Поэтому физики от нее отказались и считают
спин неотъемлемой характеристикой элементарных частиц, при-
присущей их природе. Спин обозначают Lcn (формулу для расчета
спина мы не рассматриваем).
Со спином электрона (и других частиц) связан еще один
магнитный момент, который называется спиновым магнитным
моментом (рСп)-
Таким образом, полный магнитный момент электрона скла-
складывается из двух частей: орбитальной (рОрб) и спиновой (рСп)-
Расчеты, которые мы не приводим, показывают, что для
электрона отношение собственного магнитного момента к соб-
собственному моменту импульса (спину) вдвое больше, чем для
орбитального движения:
Gcn = Pcu/Lcn = e/m. C9.6)
Это отношение называют спиновым магнитомеханическим от-
отношением.
39.2.6. Множитель Ланде (gr-фактор). Формулы C9.5)
и C9.6) можно записать в обобщенном виде:
= g(e/2m). C9.7)
§ 39.4. Парамагнетики 513
Коэффициент g называют множителем Лайде. Для орбиталь-
орбитального движения электрона он равен 1 (#Орб = 1), для спина
электрона он равен 2 (gcn = 2).
Специальные физические эксперименты позволяют опреде-
определять магнитомеханические отношения для конкретных веществ
и на основании этого делать выводы о роли орбитальных или
спиновых магнитных моментов в процессах намагничивания.
§ 39.3. Намагниченность
Мы уже отмечали, что магнитные свойства веществ связаны
в основном с их электронами (магнитные моменты ядер малы).
Поэтому
Магнитный момент атома или молекулы равен
сумме магнитных моментов всех электронов.
Магнитное поле воздействует на ориентацию частиц вещества,
имеющих магнитные моменты. В результате этого вещество на-
намагничивается. Степень намагничивания вещества характеризу-
характеризуется специальной величиной — намагниченностью (J).
Намагниченность некоторой области вещества
равна отношению суммарного магнитного момента
всех ее частиц к объему этой области:
j = $>™/v- C9-8)
Таким образом, намагниченность является средним магнитным
моментом единицы объема магнетика. Единицей намагниченно-
намагниченности является ампер на метр (А/м).
По своим свойствам магнетики делятся на три основных
класса: парамагнетики, диамагнетики, ферромагнетики.
§ 39.4. Парамагнетики
К парамагнетикам относятся вещества, молекулы которых
и в отсутствии магнитного поля имеют отличный от нуля магнит-
магнитный момент (алюминий, кислород, цинк). Если внешнее магнит-
магнитное поле отсутствует, то вследствие теплового движения молекул
магнитные моменты ориентированы хаотически. Поэтому намаг-
намагниченность равна нулю. При внесении парамагнитного образца
17 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
514
Лекция 39. Магнитные свойства вещества
во внешнее магнитное поле магнитные моменты молекул ориен-
ориентируются предпочтительно по направлению вектора индукции
В (полной ориентации мешает все то же тепловое движение
молекул). В результате возникает намагниченность, J ф 0. На
рис. 39.3 схематично показаны магнитные моменты молекулы
парамагнетика при отсутствии внешнего магнитного поля (а)
и во внешнем магнитном поле (б).
Парамагнетики усиливают внешнее магнитное поле, но их
собственное поле, обусловленное намагниченностью, во много
раз меньше внешнего поля (Вп <С Bq). Это означает, что от-
относительная магнитная проницаемость парамагнетиков немного
больше единицы (/хп > 1), /in = (Вп + Во)/Во = В jВо.
Отметим еще одно свойство парамагнетиков: в неоднородном
магнитном поле частицы парамагнитного вещества перемещают-
перемещаются в сторону большего значения магнитной индукции, «втягива-
«втягиваются в поле».
Рис. 39.3. Ориентация магнитных моментов молекулы парамагнетика
§ 39.5. Диамагнетики
К диамагнетикам относятся вещества, молекулы которых при
отсутствии магнитного поля не имеют магнитного момента, то
есть J = 0 (вода, водород, медь, графит).
Если такое вещество поместить в магнитное поле, то оно бу-
будет воздействовать на орбитальное движение каждого электро-
электрона, создавая вращательный момент. Согласно законам механики
в этом случае возникнет прецессия электронной орбиты.
Прецессия — движение оси вращения тела, при
котором эта ось описывает круговую коническую
поверхность. Прецессия возникает тогда, когда
§39.5. Диамагнетики
515
на вращающееся тело действует опрокидывающий
момент.
Это явление знакомо каждому, кто хоть раз запускал детский
волчок.
Можно показать, что прецессия всех электронных орбит про-
происходит вокруг направления внешнего магнитного поля с одина-
одинаковой частотой. За счет прецессионного движения у всех элек-
электронов появляется добавочный магнитный момент рдоб? направ-
направленный против внешнего поля. В результате вещество приобре-
приобретает намагниченность, направленную в сторону, противополож-
противоположную магнитной индукции внешнего поля, и величина магнитной
индукции в диамагнетике оказывается меньше магнитной ин-
индукции внешнего поля (Вд < Во). Следовательно, относитель-
относительная магнитная проницаемость диамагнетика меньше единицы
({1Д < 1), хотя отличие от единицы очень незначительно (тысяч-
(тысячные доли).
Явление прецессии электронной орбиты пояснено схемой,
приведенной на рис. 39.4.
Линия
прецессии
АВ0
Орбитальный
момент электрона
Электрон
и его орбита
Рис. 39.4. Прецессия электронной орбиты
На рис. 39.5 схематично показаны молекулы диамагнетика
при отсутствии внешнего магнитного поля и во внешнем маг-
магнитном поле.
Отметим еще одно свойство диамагнетиков: в неоднородном
магнитном поле частицы диамагнитного вещества перемещаются
17*
516
Лекция 39. Магнитные свойства вещества
в сторону меньшего значения магнитной индукции, «выталкива-
«выталкиваются из поля».
о
о
о
J = 0
О
о
о
о
о
о
J
-о
-о
-о
-о
-о
-о
-о
-о
-о
q Молекула не имеет Молекула приобрела
магнитного момента ^0 магнитный момент
вследствие прецессии
электронов
Рис. 39.5. Состояние молекул диамагнетика при отсутствии магнитно-
магнитного поля и во внешнем магнитном поле
§ 39.6. Ферромагнетики
Особый класс магнетиков образуют вещества, способные об-
обладать намагниченностью даже в отсутствии внешнего магнит-
магнитного поля. По своему наиболее распространенному представите-
представителю — железу они называются ферромагнетиками.
Ферромагнитные свойства присущи не отдельным атомам
или молекулам, а некоторым веществам, находящимся в кри-
кристаллическом состоянии (железо, никель, кобальт). Установ-
Установлено, что за ферромагнитные свойства отвечают собственные
(спиновые) магнитные моменты электронов. При определенных
условиях в кристаллах некоторых веществ образуются области,
в которых магнитные моменты всех атомов (молекул), обуслов-
обусловленные спином электронов, выстраиваются параллельно друг
другу. Такие области обладают максимально возможной намаг-
намагниченностью и называются доменами. Вектора намагниченности
различных доменов могут быть ориентированы хаотически —
в этом случае намагниченность всего образца равна нулю. Од-
Однако если такой образец поместить в магнитное поле, то домены,
намагниченность которых направлена параллельно полю, начнут
расти за счет других доменов. Увеличивая магнитное поле мож-
можно добиться того, что во всем веществе останется только один до-
домен с намагниченностью, направленной вдоль поля. Все осталь-
остальные домены будут им поглощены. Получится образец, в котором
§ 39.7. Понятие о магнитобиологии 517
магнитные спиновые моменты всех атомов направлены в одну
сторону (магнитное насыщение). В этом случае магнитное поле
может возрасти в 1000 и более раз (/i ^ 1000).
Если после того, как ферромагнетик намагничен (даже не
до насыщения), внешнее магнитное поле устранить, начнется
распад крупных доменов на более мелкие. Однако полного хаоса
при этом не возникнет и достигнутая намагниченность частично
сохранится. Это используют при изготовлении постоянных маг-
магнитов.
Отметим еще одно свойство ферромагнетиков. Для каждого
ферромагнитного вещества существует температура (точка Кю-
Кюри), выше которой ферромагнитные свойства полностью исчеза-
исчезают и вещество становится парамагнетиком.
В медицине ферромагнетики находят разнообразное приме-
применение: исправление грудной клетки у детей, магнитные заглушки
для предотвращения выделений из искусственного наружного
свища ободочной кишки, для удаления железных частичек из
глаз и др.
§ 39.7. Понятие о магнитобиологии
Магнитобиология занимается изучением воздей-
воздействия магнитного поля на биообъекты.
Магнитное поле оказывает воздействие на биологические систе-
системы, которые в нем находятся. Так, например, имеются сведения:
• о гибели дрозофилы в неоднородном магнитном поле;
• об угнетении роста бактерий в магнитном поле;
• о морфологических изменениях у животных и растений
после пребывания в постоянном магнитном поле;
• об ориентации растений в магнитном поле;
• о влиянии магнитного поля на нервную систему и измене-
изменении характеристик крови;
• об эффективности процессов регенерации при действии
низкочастотного магнитного поля.
Первичными процессами во всех случаях являются физиче-
физические или физико-химические процессы. Такими процессами мо-
могут быть: ориентация молекул; изменение концентрации молекул
или ионов в неоднородном магнитном поле; силовое воздействие
(сила Лоренца) на ионы и др.
518 Лекция 39. Магнитные свойства вещества
§ 39.8. Понятие о биомагнетизме
Биомагнетизм занимается проблемами, которые
связаны с магнитными свойствами и магнитными
полями, создаваемыми биологическими объекта-
объектами.
Магнитное поле человека создается токами, генерируемыми
клетками сердца и коры головного мозга. Оно очень мало: ин-
индукция магнитного поля составляет для сердца — 101, для
мозга 10~13 Тл. (ср. с магнитным полем Земли — 10~5 Тл). Для
измерения магнитного поля тела человека используют специаль-
специальный магнитометр (сокращенное его название СКВИД), который
регистрирует сверхмалые магнитные поля до 10~18 Тл. Метод
основан на измерении не самого магнитного поля тела, а его
изменения в пространстве.
Биотоки, возникающие в организме в результате сердечной
деятельности, являются источником слабых магнитных полей.
В некоторых случаях индукцию таких полей можно измерить.
Так, например, на основании регистрации магнитной составля-
составляющей электромагнитного поля сердца создан бесконтактный
диагностический метод — магнитокардиография (МКГ). Магни-
токардиограмма внешне похожа на электрокардиограмму (ЭКГ),
и ее элементы имеют те же обозначения. Метод МКГ используют,
например, для раздельной записи магнитокардиограмм сердца
матери и сердца плода. При исследованиях мозга использует-
используется магнитоэнцефалография (МЭГ), основанная на регистрации
характеристик магнитных полей, обусловленных биоэлектриче-
биоэлектрической активностью мозга.
§ 39.9. Магнитный резонанс
Атом, обладающий магнитным моментом р, приобретает в по-
постоянном магнитном поле дополнительную энергию
АЕ = -рвВ,
где рв — проекция магнитного момента на направление поля.
Согласно законам квантовой механики, эта проекция может
принимать ряд дискретных значений. Следовательно, энергети-
энергетические уровни атома в магнитном поле расщепляются на ряд
§39.10. Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР)
519
равноотстоящих подуровней, лежащих выше и ниже того уровня,
из которого они получены. Это явление называется эффектом
Зеемана. Расщепление энергетических уровней приводит к рас-
расщеплению спектральных линий.
Спонтанные переходы между подуровнями одного и того же
уровня маловероятны. Однако, если помимо постоянного маг-
магнитного поля, которым обусловлен эффект Зеемана, на вещество
воздействует переменное электромагнитное поле, такие перехо-
переходы могут осуществляться индуцирование. Для этого необходимо,
чтобы частота переменного электромагнитного поля совпадала
с частотой фотона, соответствующего разности энергий между
расщепленными подуровнями. При этом наблюдается поглоще-
поглощение энергии электромагнитного поля, которое называется маг-
магнитным резонансом.
§ 39.10. Электронный парамагнитный резонанс
(ЭПР)
Рассмотрим случай, когда под влиянием магнитного по-
поля энергетический уровень Eq расщепляется на 2 подуровня
(рис. 39.6).
Е-
Ео
0
АЕ = gfiBBpe3
вг в
Рис. 39.6. Расщепление энергетического уровня на два подуровня
В этом случае энергия одного подуровня оказывается боль-
больше Eq, а энергия другого — меньше Eq. Разница энергии состав-
составляет
AE = gfiBB, C9.9)
где fiB = eh/Акт — магнетон Бора (единица магнитного мо-
момента электрона).
520 Лекция 39. Магнитные свойства вещества
Как уже отмечалось выше, спонтанные переходы между эти-
этими подуровнями маловероятны. Однако, если на вещество (атом,
молекулу) воздействовать электромагнитной волной, частота ко-
которой удовлетворяет условию:
hv = АЕ = gfj,BB, C9.10)
то возникнет резонансное поглощение энергии. Это явление при-
применительно к молекулам, ионам, радикалам называется элек-
электронным парамагнитным резонансом (ЭПР).
Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР) —
это резонансное поглощение электромагнитной
волны за счет переходов между двумя подуровня-
подуровнями, возникшими в результате явления Зеемана.
Магнитный резонанс наблюдается, если на частицу одновре-
одновременно действуют постоянное поле с индукцией В и электромаг-
электромагнитное поле с частотой z/, удовлетворяющей C9.10). Понятно,
что обнаружить резонансное поглощение можно двумя путями:
• либо при неизменной частоте (около 10 ГГц) плавно из-
изменять магнитную индукцию поля, вызывающего расщепление
уровней;
• либо при неизменной магнитной индукции плавно изме-
изменять частоту электромагнитной волны.
Технически более удобным является первый вариант, реали-
реализуемый по следующей схеме. Исследуемое вещество помещают
в область, где можно создавать однородное магнитное поле,
и направляют на него поток электромагнитного излучения с по-
постоянной частотой v. С помощью специального прибора фикси-
фиксируют мощность излучения, прошедшего через вещество. Затем
начинают плавно увеличивать индукцию магнитного поля (от
нуля). До тех пор, пока условие резонанса C9.10) не выполнено,
поглощение волны отсутствует. При выполнении условия C9.10)
начинается интенсивное поглощение электромагнитной волны.
Индукция магнитного поля, при которой происходит резонансное
поглощение, обозначается Врез. При дальнейшем увеличении ин-
индукции условие C9.10) нарушается и поглощение прекращается.
На рис. 39.7 показано (а) расщепление энергетического уровня
электрона в магнитном поле и изменение мощности Р элек-
электромагнитной волны, прошедшей образец (б), в зависимости от
индукции магнитного поля.
§39.10. Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР)
521
АЕ = g/iBBpe3
Рис. 39.7. Расщепление энергетического уровня электрона (а) и резо-
резонансное поглощение волны в образце (б)
Прибор, используемый для исследования данного явления,
называется ЭПР-спектрометром.
39.10.1. Использование ЭПР в медицине.
1. Метод ЭПР применяется для обнаружения и исследования
собственных свободных радикалов в веществе. Так, спектры ЭПР
облученных белков позволили объяснить механизм образования
свободных радикалов и в связи с этим проследить изменение
продуктов радиационного поражения. ЭПР используется для
изучения фотохимических превращений, изучения канцероген-
канцерогенной активности некоторых веществ, определения концентрации
радикалов в воздушной среде.
2. Метод спин-меток. Сущность метода состоит в том, что
с молекулой исследуемого объекта ковалентно связывается па-
парамагнитное соединение с хорошо известной структурой. По
спектрам ЭПР находят положение этой спин-метки в молекуле.
Вводя метки в различные части молекул, можно установить
расположение различных групп атомов, их взаимодействие, осо-
особенности молекулярной подвижности.
522 Лекция 39. Магнитные свойства вещества
3. Метод спиновых зондов. Суть метода состоит в том, что
в исследуемую систему вводятся спиновые зонды — парамаг-
парамагнитные частицы, которые нековалентно связаны с молекулами
системы. Изменение ЭПР спектра зонда дает информацию о со-
состоянии окружающих его молекул, о микровязкости (вязкость
ближайшего окружения спинового зонда). Такой метод широко
используется для изучения биологических мембран, полимерных
систем, используемых в медицине.
§ 39.11. Ядерный магнитный резонанс (ЯМР)
Ядра атомов имеют магнитные моменты, которые складыва-
складываются из магнитных моментов нуклонов. Если ядро находится
в магнитном поле, то также возникает расщепление ядерных
энергетических уровней, расстояние между которыми зависит
от индукции магнитного поля. При пропускании через вещество
электромагнитной волны соответствующей частоты возникает
резонансное поглощение. Условие ядерного магнитного резонан-
резонанса аналогично условию C9.10) для ЭПР:
hv = g*\i*B, C9.11)
где gn — ядерный множитель Ланде, /хя — ядерный магнетон.
Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) — избира-
избирательное поглощение электромагнитных волн опре-
определенной частоты в постоянном магнитном по-
поле, обусловленное переориентацией магнитных мо-
моментов ядер.
При наблюдении ЯМР обычно фиксируют индукцию магнит-
магнитного поля В, а частоту электромагнитного излучения меняют
(в отличие от ЭПР). В реализации этого метода используют
радиочастотный диапазон.
ЯМР можно наблюдать при выполнении условия C9.11)
лишь для свободных атомных ядер. Для спектров ЯМР харак-
характерно различие линий. Кроме внешнего магнитного поля, на
данный сорт ядер действует локальное магнитное поле. Отсюда
следует, что для одних и тех же ядер, находящихся в различном
окружении (разные молекулы или различные места одной и той
же молекулы), резонанс наблюдается на различных частотах.
Это определяет «химический сдвиг», то есть смещение резонанс-
резонансной линии от стандарта. Он зависит от природы химической
§39.12. ЯМР-томография как диагностический метод 523
связи, электронного строения молекул, концентрации данного
вещества, температуры и т. д. Если ядра в молекуле занимают
химически не эквивалентные положения, то они имеют различ-
различный химический сдвиг. Спектр ЯМР такой молекулы содержит
столько резонансных линий, сколько химически не эквивалент-
эквивалентных групп ядер данного типа в ней имеется. Интенсивность
каждой линии пропорциональна числу ядер в данной группе.
Для химических соединений, в которых наблюдается ЯМР ядер,
занимающих химически эквивалентные места в молекуле, на-
наблюдается одиночная линия. Соединения более сложного строе-
строения дают спектры из многих линий.
По химическому сдвигу, числу и положению спектральных
линий можно установить структуру молекул.
ЯМР широко используется для исследования структуры как
простейших молекул неорганических веществ, так и сложнейших
молекул живых объектов; для изучения особенностей протека-
протекания химических реакций. Важным преимуществом данного ме-
метода является то, что он не разрушает объектов исследования.
Энергии ядерных переходов очень малы, и соответствующие
им кванты находятся в радиоволновом диапазоне (частоты от
нескольких кГц до сотен Мгц). Поэтому ЯМР относится к группе
методов, которые получили общее название спектроскопия в ра-
радиодиапазоне.
§ 39.12. ЯМР-томография как диагностический
метод
Для медицины важным является то, что можно получить
параметры спектров ЯМР во многих точках образца. Посте-
Постепенно, послойно проходя весь образец (сканируя), можно полу-
получить полное представление о пространственном распределении
молекул, содержащих различные атомы. Исследования можно
осуществлять на живых объектах. Метод позволяет различать
кости, сосуды, нормальные ткани и ткани со злокачественными
процессами. При этом минимальные размеры патологических
образований могут составлять доли миллиметра.
В современных установках дифференцируются органы
брюшной полости, костные стенки спинномозгового канала,
корешки спинномозговых нервов, структура межпозвонковых
дисков. В ЯМР-изображении сердца дифференцируются стенки
524 Лекция 39. Магнитные свойства вещества
и перегородки камер сердца, можно определить толщину стенок
и объем камер.
В офтальмологии ЯМР-методом внутри глазницы дифферен-
дифференцируются глазное яблоко, зрительный нерв, мышцы глазного
яблока, ретробульбарная клетчатка.
Белое и серое вещества мозга содержат различное количество
воды и отчетливо дифференцируются на ЯМР-томограммах.
У детей удается проследить процесс нормальной миелинизации.
Можно исследовать внутреннее строение ствола мозга, мозжеч-
мозжечка, спинной мозг, извилины мозга, ножки мозжечка, тройничный
нерв, его ганглии. При исследовании тканей головного мозга
получается отчетливое изображение различных участков мозга
как в норме, так и при различных патологиях.
ЯМР-исследование позволяет установить наличие и объ-
объем опухолей (магниторезонансная томография). Несомненными
возможностями обладает данный метод и в диагностике вос-
воспалительных процессов: удается непосредственно увидеть зоны
воспаления, так как эти очаги по содержанию свободной воды
отличаются от нормальных тканей.
Данным методом контролируется качество пищевых продук-
продуктов, измеряется магнитное поле Земли.
Использование ЯМР-метода в медицине чрезвычайно пер-
перспективно. Этот метод неинвазивен и очень чувствителен.
Часть II
СЕМИНАРЫ
С еминар 1
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Вопросы для подготовки
1. Задачи, приводящие к понятию производной.
2. Производная и дифференциал.
3. Правила нахождения производных и дифференциалов.
4. Таблица производных.
5. Производная сложной функции.
6. Производные высших порядков.
§ 1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
1.1.1. Задача о скорости движения тела (материальной точ-
точки). Тело движется прямолинейно, и зависимость его координа-
координаты от времени задана функцией х = f(t). Определить скорость
двиэюения тела в некоторый момент времени.
Пусть х\ — координата тела в интересующий нас момент вре-
времени t\. Спустя некоторое время At оно изменит свое положение
и будет иметь координату x<i = f(t\ + At). Перемещение тела за
время At найдем как разность его координат: Ах = Х2 — х\.
Отношение Ах /At называется средней скоростью движения на
интервале (?i, ?2).
При неограниченном уменьшении величины At перемещение
тела (Ах) также будет неограниченно уменьшатся, а средняя
скорость тела на интервале (?i, ?2) будет стремиться к некото-
некоторому пределу, который и называется мгновенной скоростью тела
в данный момент времени (t\):
v = lim (Дж/Д<) = I™ [/(*i + At) - f(h)]/At. A.1)
Таким образом, для нахождения мгновенной скорости движе-
движения тела необходимо научиться вычислять предел отношения
приращения функции Ах к приращению ее аргумента At, если
приращение аргумента стремится к нулю.
§ 1.2. Производная и дифференциал
527
1.1.2. Задача о касательной к кривой. На рис. 1.1 представлен
график некоторой функции у = f(x). Какой наклон относи-
относительно оси абсцисс имеет касательная, проведенная к кривой
в точке Mi?
Для ответа на этот вопрос выберем на кривой другую точ-
точку М<х и проведем секущую М\М2. Тангенс угла наклона се-
секущей (ас) относительно оси ОХ найдем из прямоугольного
треугольника М\М2А\
tg(ac) = М2А/М1А = Ау/Ах. A.2)
2/1
м9
С Ay = АМ2 = АС + СМ2
Ах
Х1 Щ
Рис. 1.1. График функции у = f(x)
Если точку М± фиксировать, а точку М2 приближать к Mi,
то секущая М\М2 будет поворачиваться вокруг точки Mi, при-
приближаясь к касательной. При этом угол наклона секущей ас бу-
будет стремиться к углу наклона касательной ак. Математически
это может быть записано так:
tgaK= lim(tgac)=
Дж-^О
{Ay/Ax).
A.3)
При решении этой задачи также необходимо уметь находить пре-
предел отношения приращения функции к приращению аргумента,
если приращение аргумента стремится к нулю.
§ 1.2. Производная и дифференциал
В приведенных примерах показано, что в ряде задач нужно
уметь находить предел отношения приращения функции к при-
приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к ну-
нулю. Это привело к тому, что в математике появилось понятие
производной.
528 Семинар 1. Производная функции
Производной функции f(x) в некоторой точке х0
называется предел отношения приращения функ-
функции Ay = f(xo+Ax) — f(xo) к приращению аргумента
Ах при стремлении Ах к нулю:
^ A.4)
y = Hm ^.
у Да^о Ах
Процесс нахождения производной функции называется диффе-
дифференцированием.
Рассмотрим вспомогательную величину е = Ay/Ах — у1.
Из определения производной следует, что при неограниченном
уменьшении приращения аргумента Ах величина е также умень-
уменьшается, стремясь к нулю. Выразив приращение функции через
величину ?, получим:
Ау = у' - Ах + е - Ах.
Если у1 ф О, то приращение, получаемое функцией при изме-
изменении аргумента, можно представить как сумму двух слагаемых
(на чертеже Ау = АС -\-СМ^). Сравним их величины. Для этого
поделим второе слагаемое на первое: (е • Ах)/(у1 • Ах) = е/у'.
Пока Ах велико, е также имеет значительную величину.
Однако при уменьшении Ах величина е (а вместе с ним и все
отношение) также стремится к 0. Отсюда вытекает, что в слу-
случае «малых» приращений аргумента второе слагаемое (е • Ах)
значительно меньше первого {у1 • Ах) и им во многих случаях
можно пренебречь: Ау « у1 • Ах. Эта формула используется
в приближенных вычислениях.
Дифференциал функции равен произведению зна-
значения производной на приращение аргумента, он
обозначается символом dy:
dy = yf -Ax. A.5)
Поскольку отношение Аж/Аж всегда равно 1, то производная
аргумента равна 1: х1 = 1. Применяя определение дифференци-
дифференциала к аргументу ж, получим dx = х' • Ах = Ах. Следовательно,
дифференциал аргумента равен его приращению: dx = Ах.
Исходя из этого свойства, принято вместо dy = у1 • Ах
писать dy = у' • dx. Отсюда получается еще одно обозначение
производной: у' = dy/dx.
§ 1.3. Правила нахождения производных и дифференциала
529
§ 1.3. Правила нахождения производных
и дифференциала
Производная суммы (разности) функций:
у = и ± г?, у' = и' ± г/.
Постоянный множитель можно выносить за знак производ-
производной:
у = С • и, у' = С - и'.
Производная произведения двух функций:
у = и • г>, у' = и' - v + и - v1.
Производная частного двух функций:
у = u/v, у' = (v! - v — и • v')/v2.
Дифференциал функции находят по общей формуле:
dy = y'dx.
Таблица 1.1. Таблица производных
Тип функции
Постоянная величина
Линейная функция
Степенная функция (х > 0)
Показательная функция
(а > 0, а ф 1)
Логарифмическая функция
(а > 0, а ф 1)
Тригонометрические
функции
Обратные
тригонометрические
функции
Обозначение
У = С
у = а - х + b
у = хп
у = ех
у = ах
у = In х
у = loga х
у = sin х
у = cos х
у = tg х
у = ctg х
у = arcsin х
у = arccos х
у = arctg х
у = arcctg х
Производная
у' = 0
у' = а
у' = п • хп~1
У' = ех
у' = ах • In a
У' = 1/х
у' = 1/(х • In а)
у' = cos х
у' = — sin ж
у' = 1/cos2 х
у' = —1/ sin х
у' = 1/Vl-x2
у' = -l/Vl-ж2
у' = 1/A + Ж2)
у' = -1/A + Ж2)
530 Семинар 1. Производная функции
§ 1.4. Производная сложной функции
Если функция независимой переменной ж может быть запи-
записана в виде: у = f(u(x)), то она называется сложной. Ее вычис-
вычисление проводится в два этапа: сначала при заданном значении
основного аргумента х вычисляется значение и(х), а затем уже
вычисляется сама функция f(u). Здесь и называется вспомога-
вспомогательным, или промежуточным, аргументом.
Например, у = sin2 ж = (sin жJ. Здесь и = sin ж, а у (и) = и2.
Вычисление производной сложной функции производится по
формуле:
dy_ _ dy_
dx~ du dx
, _ y_ _ y_ ^ _
Ух~ dx~ du' dx ~
Например, у = sin2 ж; у'х = (и2)'и • (sin x)'x = 2и • cos ж = 2 sin ж х
х cos ж.
§ 1.5. Производные высших порядков
Производной второго порядка называется производная
от производной функции. Вторая производная обозначается
d2y/dx2, или у". Ее физический смысл — ускорение процесса.
Например: ускорение тела a(t) = d2x/dt2, где ж — координата
движущегося тела, t — время движения.
Производная третьего и более старшего порядка определяет-
определяется аналогично и обозначается dny/dxn, где п — порядок произ-
производной.
§ 1.6. Задания
I. Найти производные следующих функций:
2 ж Л ж3 1
3. у = ж4 — 2ж3 — In ж + ех. 4. у = ех • cos ж. 5. у = ж • In ж.
Ж о _ -L ~г Ж Ж
6. у = . 7. у = cos ж . 8. у = . 9. у =
In ж " " 1-х а 1-х
10.y = exsmx2. 11. у = . 12. у — cos2ж.
1 - sin ж
13. у = 1п(ж2 + 1). 14. у = Vh^. 15. у = (х2- ЗM.
§1.6. Задания 531
D 17. у =
- 4)
18. у = ^
In ж
II. Найти производные второго порядка:
1. у = 5 cos ж + 4ж. 2. у = 1пA — ж). 3. у = sin2 ж.
4. у = tgB# + 3). 5. у = A-sin(fe-# + c). 6. у = A-cos(fe-
III. Найти дифференциалы функций:
1. у = 2ж2 + ж. 2. у = ж • sin ж2. 3. у = ^.
* * У 2 +ж2
2ж
4. у = . 5. у = ж • cos ж + 1. 6. у = ln(sin ж) + Зж.
ж + 5ж
И
10. у = sin2 ж.
IV. Решить задачи.
1. В результате значительной потери крови содержание же-
железа в крови уменьшилось на 210 мг. Недостаток железа Y вслед-
вследствие его восстановления с течением времени t уменьшается
по закону у = 210 • е~1^ (t — в сутках). Найти зависимость
скорости восстановления железа в крови от времени. Вычислить
эту скорость в момент t = 0 и через 7 суток.
2. Заводская труба выбрасывает за единицу времени Р г
вредного вещества, которое в результате диффузии распростра-
распространяется в окружающем воздухе. Концентрация этого вещества на
расстоянии г от трубы определяется формулой: С = P/(A.itDr),
где D — коэффициент диффузии. Найти убывание концентрации
на каждую единицу расстояния (градиент концентрации).
3. Путь s (м), пройденный телом за промежуток време-
времени t (с), определяется формулой: s = 2?3 — 0,5?. Найти скорость
и ускорение тела через секунду после начала движения.
4. Смещение колеблющегося тела (см) определяется форму-
формулой: s = 2sinGrt + тг/2). Определить скорость тела в момент
времени t = 1/6 с.
5. При ламинарном течении жидкости по цилиндрической
трубе ее скорость зависит от расстояния ж до оси трубы: v(x) =
= AP(R2 — x2)/4rjl, где АР — разность давлений на участке
трубы длиной I, R — радиус трубы, г\ — коэффициент вязкости.
532 Семинар 1. Производная функции
Найти выражение для градиента скорости в поперечном сечении
трубы (по определению grad?; = v'x) .
6. Зависимость атмосферного давления от высоты над Зем-
Землей дается формулой: Р = Р$ • e-Meh/RT? где р0 — давление
на поверхности Земли (h = 0), М — молярная масса воздуха,
R — универсальная газовая постоянная, Т — абсолютная темпе-
температура, g — ускорение свободного падения. Получить выражение
для определения градиента давления (изменения давления на
единицу изменения высоты).
7. Концентрация некоторого раствора изменяется во времени
по формуле: С = А - t/(l + В - t), где А и В — постоянные для
данного процесса. Найти скорость растворения.
8. Центр тяжести кисти человека при ходьбе совершает ко-
колебания по закону: s = 20sin(l,57rt). Определить максимальные
скорость и ускорение центра тяжести кисти, а также период
колебаний. Смещение s задано в сантиметрах.
С еминар 2
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вопросы для подготовки
1. Первообразная функция.
2. Неопределенный интеграл.
3. Основные свойства неопределенного интеграла.
4. Таблица интегралов.
5. Метод замены переменных.
§ 2.1. Первообразная функция
Математическая операция нахождения по функции ее произ-
производной называется дифференцированием. Однако нередко возни-
возникает и обратная задача: зная производную, найти саму функцию.
Например, зная закон, по которому изменяется скорость движе-
движения тела, определить его координату (скорость есть производная
от координаты по времени) или по известному закону изменения
силы тока в цепи найти прошедший заряд.
Функция F{x), удовлетворяющая условию F'(x) =
= /(ж), называется первообразной для функ-
функции f(x).
Если найдена одна первообразная F(x), то после добавления
к ней любой константы (С) мы снова получим первообраз-
первообразную, поскольку производная постоянной величины равна нулю:
§ 2.2. Неопределенный интеграл
Операция нахождения совокупности первообразных называ-
называется интегрированием.
Неопределенным интегралом называется совокуп-
совокупность всех первообразных для данной функции.
534 Семинар 2. Неопределенный интеграл
Для обозначения неопределенного интеграла функции исполь-
используют специальное обозначение: f(x)dx, которое читается так:
интеграл от f(x) no dx.
Если какая-нибудь первообразная (F(x)) функции известна,
то в соответствии с определением можно записать:
f(x)dx = F(x) + C. B.1)
§ 2.3. Основные свойства неопределенного
интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подынте-
подынтегральной функции:
Q/(x)dx) =f(x). B.2)
Дифференциал неопределенного интеграла равен подынте-
подынтегральному выражению:
d(\f(x)dx] = f(x)dx. B.3)
2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции ра-
равен этой функции, сложенной с константой:
) = F(x) + C. B.4)
3. Постоянный множитель выносится за знак интеграла:
Г Г
а • f(x)dx = a • f(x)dx. B.5)
4. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической
сумме интегралов:
Г Г Г
[и(х) + v(x)]dx = u{x)dx + v(x)dx. B.6)
§ 2.4. Таблица интегралов
dx = х + С; | xndx = Ь С, п ф -1;
it "T" -L
§2.6. Задания 535
Г rlr Г Г пх
— = 1пж + С; exdx = ex + C] axdx = + С;
х In a
sin x dx = — cos x + C; cos x dx = sin ж + С;
—^— = tg ж + С; . о = - ctg ж + С
' ж
§ 2.5. Метод замены переменных
Практически, чтобы найти неопределенный интеграл, надо
стараться свести его к табличному виду. Метод замены пере-
переменных позволяет решить задачу, обозначив некоторую часть
подынтегрального выражения какой-либо буквой, которая и яв-
является новой переменной.
Последовательность действий ясна из следующего примера.
Г
Найти cos(l + Зж) dx.
а) Введем новую переменную: z = A + Зж);
б) найдем ее дифференциал: dz = z'dx = 3dx]
в) выразим dx через dz: dx = A/3) dz\
г) подставим новые значения в исходный интеграл:
Г Г 1 If
cos(l + Зж) dx = \ - cos z dz = - cos z dz.
J J " " J
Интеграл — табличный. Используя соответствующую формулу,
запишем:
1 Г 1
cos(l + Зж) dx = - \ cos z dz = - sin z + С.
о J о
д) Вернемся к старой переменной и запишем ответ:
Г 1
cos(l + Зж) dx = - sin(l + Зж) + С.
J 3
§ 2.6. Задания
I. Докажите формулы, входящие в таблицу интегралов, ис-
используя свойства интеграла и таблицу производных.
II. Найти интегралы, используя свойства интегралов и таб-
таблицу:
Г Г Г Г
J J J J
536
Семинар 2. Неопределенный интеграл
5.
7.
9.
11.
13.
е2ж+1
4-х
-dx.
cos2 x sin2 ж
cos2 xsmxdx.
6.
8.
10.
с/ж. 12.
dx.
x
2
2 ~т i— ~T~ oX ) (IX
X y/X
sin x — 3
sin2 x
xdx
14.
dx.
cos ж
—о—
sin ж
dx.
15.
-dx.
С еминар 3
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вопросы для подготовки
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
2. Интегральная сумма. Определенный интеграл.
3. Вычисление определенного интеграла.
§ 3.1. Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла
Рассмотрим 2 задачи:
1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у = С, осью X и двумя вертикальными прямыми, проходящими
через точки а и Ь.
2. Найти работу, совершенную постоянной силой Fq на пути
между точками а и Ь.
Решения этих задач очевидны. Площадь прямоугольника
S = С - (Ь — а) (рис. 3.1). Работа постоянной силы равна ее про-
произведению на пройденный путь: А = Fq-L = Fo'(b-a) (рис. 3.2).
С
а Ь
Рис. 3.1. Площадь прямоугольника
X
а Ь
Рис. 3.2. Работа постоянной силы
538
Семинар 3. Определенный интеграл
Однако эти задачи значительно усложняются, если функция
не является постоянной, или сила, действующая на тело, изменя-
изменяется в процессе движения. Эти случаи представлены на рис. 3.3
и рис. 3.4.
Xi= a X2 ж*з х± ж5 b
Рис. 3.3. Площадь криволинейной трапеции
7
Ху — CL Хо Xq Хл Хк О
Рис. 3.4. Работа переменной силы
Разобьем отрезок (а, Ь) на несколько равных интервалов ши-
шириной Аж и обозначим х\ = а, Ж2 = х\ + Аж, жз = Ж2 + Аж,
#4 = жз + Аж, Ж5 = Ж4 + Аж. Значения функции в этих точках
обозначим, соответственно, yi, ?/2, Уъ-> У4•> Уъ- Тогда суммарная
площадь всех прямоугольников приблизительно равна площади
между графиком, осью X и двумя вертикальными прямыми,
проведенными через точки а и Ь. Такая фигура называется
криволинейной трапецией.
В введенных обозначениях площадь трапеции
5
работа постоянной силы
А « F1'Ax+F2'Ax+FS'Ax+FrAx+F5'Ax
. C.2)
Если ширину каждого интервала уменьшать, то, как видно из
рис. 3.5 и 3.6, их число (п) будет увеличиваться, а точность
приближенных равенств C.1) и C.2) будет возрастать.
§3.2. Интегральная сумма. Определенный интеграл
539
У
а Ь
Рис. 3.5. Площадь криволинейной трапеции (п
оо)
а Ь
Рис. 3.6. Работа переменной силы (п —>• оо)
Если число п устремить к бесконечности, то в пределе мы
получим точные равенства:
S= lim
г=1
А = lim
п—>-оо
C.3)
г=1
§ 3.2. Интегральная сумма.
Определенный интеграл
Из равенства C.3) видно, что разные по смыслу задачи имеют
один и тот же метод решения — вычисление предела некоторой
суммы.
Если отрезок (а, Ь) из области определения функ-
функции у = f(x) разбит на п равных интервалов ши-
шириной Ах точками a?i, х^ ..., жп, то интегральной
суммой называется сумма вида:
C.4)
где yi = f(xi).
Предел интегральной суммы, вычисленный при
неограниченном увеличении числа интервалов, на
которые разбивается отрезок (а, 6), называется
определенным интегралом функции на этом
540
Семинар 3. Определенный интеграл
ь
отрезке и обозначается: f(x)dx, т.е.
b
I"
x)dx = lim Sn.
C.5)
Величины а и b называются нижним и верхним
пределами интегрирования.
Отметим, что в отличие от неопределенного интеграла, который
представляет собой совокупность первообразных, определенный
интеграл — это число.
Теперь мы можем записать решение задачи о нахождении
площади криволинейной трапеции:
ь
г
S = f(x) - dx
а Ь
Рис. 3.7. Площадь криволинейной трапеции S > 0, если f(x) > 0;
S < 0, если f(x) < 0
§ 3.3. Вычисление определенного интеграла
Для нахождения определенного интеграла пользуются фор-
формулой Ньютона-Лейбница:
Ь
f(x)-dx = F(b)-F(a), C.6)
а
где F{x) — любая первообразная функции f(x).
Согласно этой формуле для вычисления определенного инте-
интеграла нужно:
§ 3.4. Примеры решения 541
а) Найти соответствующий неопределенный интеграл (кон-
(константу С в этом случае записывать не нужно, поскольку при
вычитании она сокращается);
б) В полученное выражение подставить вместо «ж» верхний
и нижний пределы, а затем из первого результата вычесть вто-
второй.
Из формулы Ньютона-Лейбница вытекают два свойства
определенного интеграла:
Ъ а
\f{x)-dx = - lf(x)-dx, C.7)
а Ь
а
f(x)-dx = 0. C.8)
§ 3.4. Примеры решения
1. Вычислить площадь между участком синусоиды и осью X
для интервалов: @, тг); (тг, 2тг); @, 2тг).
Решение.
-J-
F{x) = sin x • dx = — cos ж.
?i = F(tt) - F@) = -(costt - cosO) = 2;
S2 = FBtt) - F(tt) = -(cos2tt - costt) = -2;
Ss = FBtt) - F@) = -(cos2tt - cosO) = 0.
2. Скорость выброса крови из сердца за время систолы описы-
описывается некоторой функцией: v = v(t). Период сердечного сокра-
сокращения То = 1 с, время систолы Т = 0,4 с. Определить минутный
объем выбрасываемой крови VMllH (объемную скорость) для двух
случаев:
а) скорость выброса постоянна и составляет xq = 200 мл/с
(например, при работе искусственного клапана);
б) скорость выброса изменяется во времени по параболи-
параболическому закону (что в некотором приближении соответствует
542 Семинар 3. Определенный интеграл
реальной ситуации):
Решение.
а). Поскольку v = vq = const, то объем, выбрасываемый
за одну систолу, равен vq • Т. За минуту происходит 60 систол
(Tq = 1 с), следовательно, Умин = 60 • vo • Т = 4800 (мл).
б). Выброс крови за одну систолу определяется интегралом:
т т
V = \ v - dt = 4г>о • ( 2 ) ' dt =
о о
'Т Т
о
Выброс крови за минуту Умин = 60У = 3200 (мл).
§ 3.5. Задания
I. Вычислить интегралы:
9 тг In 2
Г Г Г
1. {л/xdx. 2. sinxofx. 3. e~xdx.
4 0 0
тг/2 In 2 1
Г С С
/I I G1TI HP • ГП^1 Т* flip ^\ I Р flip \\ I
J J J3 + ^
0 0 0
e тг/4 2
7.f—^. 8. f -*?-. 9.
a? ^' w' J cos2^' J B^+ 1J'
1 0 -1
7Г/6 0 1
10. I sin 6ж da. 11. | ж5A - xQOdx. 12. |
0-1 0
тг/2 1
13. cos2 ж • sin x dx. 14.
о о
§3.5. Задания 543
тг/4
1 к . - -~ - л . COS Ж
sin3 x
о
2 тг/2
. А ГУ»
17 \(тА - 2т 4- SWr 18 ' "*""(Xi?/
1 — cos х
1 О
II. Решить задачи.
1. Через участок тела животного проходит импульс тока,
который изменяется со временем по закону: г = 20е~* мА.
Длительность импульса 0,1 с. Определить работу, совершенную
током за это время, если сопротивление участка равно 20 кОм.
2. Сжатие пружины пропорционально приложенной силе.
Вычислить работу, произведенную при увеличении сжатия пру-
пружины с 2 до 2,5 см, если для сжатия не деформированной пру-
пружины на 1 см требуется сила 30 Н.
3. Какая работа совершается при растяжении мышцы на
L мм, если известно, что при нагрузке Р$ мышца растягивается
на Iq mm? Считать, что сила, необходимая для растяжения мышц,
пропорциональна ее удлинению.
4. Через тело животного проходит импульс тока, который
изменяется со временем по закону: г = 20е~* мА. Длительность
импульса равна 0,1 с. Определить заряд, протекающий через
тело животного.
С еминар 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Вопросы для подготовки
1. Дифференциальное уравнение и его решение.
2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
3. Дифференциальные уравнения 2-го порядка.
§ 4.1. Дифференциальное уравнение и его решение
Дифференциальным уравнением называется урав-
уравнение, содержащее неизвестную функцию у, неза-
независимую переменную х и производные 1-го, 2-го
и т. д. порядков:
F(j/, я, у', у", ...,г/п) = 0. D.1)
Порядком дифференциального уравнения называется наи-
наибольший порядок входящей в него производной.
Решить дифференциальное уравнение — значит, найти функ-
функцию у = /(ж), которая удовлетворяет данному уравнению. При
подстановке этой функции и ее производных в данное уравнение
получается тождество.
Общее решение дифференциального уравнения порядка п
содержит п произвольных величин Ci, C2, • • ., Сп, которые
называются постоянными интегрирования:
у =/(ж, Ci, С2, ...,СП). D.2)
§ 4.2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Дифференциальное уравнение 1-го порядка в общем случае
имеет вид
F(x, у, у') = 0, D.3)
а его общее решение содержит одну постоянную интегрирования:
У = f(x, С). D.4)
§ 4.3. Примеры решения 545
Частное решение находят с учетом дополнительных условий (ко-
(которые иногда называют начальными).
Например, найти решение уравнения: у' = 2ху, если извест-
известно, что у = 2 при х = 0.
Решение. Перепишем исходное уравнение в следующем ви-
виде: dy/dx = 2ху и разделим переменные: dy/у = 2xdx.
Г Г
Проинтегрируем полученное равенство: dy /у = 2xdx
и найдем интегралы от обеих частей: In у = х2 + С. Потенцируя
это равенство, получим: у = ех +с = ес • ех
Приняв ес за новую константу С, запишем окончательный
2
вид общего решения: у = С • ех .
Проверка. Найдем производную от полученной функции:
Подставим производную и функцию в данное уравнение:
(С -ех2)' = 2-х-С-ех2 = 2 • х • у.
Полученное тождество подтверждает, что найденная функ-
функция действительно есть решение данного дифференциального
уравнения.
Частное решение. Для нахождения постоянной С используем
начальные условия: у@) = 2. Подставив эти значения в общее
решение, получим:
2 = С • е° = С,
следовательно, С = 2.
Таким образом, указанным начальным условиям соответству-
2
ет следующее частное решение: у = 2 • ех
Одинаковые дифференциальные уравнения могут описывать
самые различные процессы в физике, биологии, химии и вообще
в природе.
§ 4.3. Примеры решения
4.3.1. Изменение численности популяции организмов.
а). Рассмотрим процесс деления клеток в благоприятных
условиях. Пусть начальный объем популяции равен щ и за
время dt прирост составляет dn. Очевидно, что для каждого
18 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
546 Семинар 4. Дифференциальные уравнения
момента времени прирост пропорционален тому количеству кле-
клеток п, которые существуют в настоящий момент, и времени dt:
dn = к - ndt.
Отсюда получим уравнение:
dn
— = /саг,
п
интегрируя, получим
Inn = к -t + С,
откуда, потенцируя,
Его решением является следующая функция:
п = по • ехр(& • t).
б). Рассмотрим процесс гибели популяции клеток, если про-
процесс деления подавлен. В данном случае имеет место соотноше-
соотношение dn = — к - ndt (коэффициент пропорциональности взят со
знаком « —», поскольку популяция уменьшается).
В результате получим уравнение: dn/dt = —к • п, решением
которого является функция: п = щ • ехр(—к • t).
4.3.2. Изменение количества вещества в процессе радиоак-
радиоактивного распада. Имеется начальное число ридиоактивных ядер
Nq. Пусть за достаточно малый интервал времени dt распадает-
распадается dN ядер. Это число пропорционально интервалу времени dt,
а также числу оставшихся радиоактивных ядер:
= -\-N-dt
или
dN/dt = -XN.
Решением этого уравнения является функция
N = Noexp(-\-t).
Здесь Л — постоянная распада, зависящая от вероятности де-
деления радиоактивного ядра и различная для разных веществ.
Знак « —» поставлен в связи с тем, что число нераспавшихся
радиоактивных ядер убывает со временем (см. лекцию 32).
§ 4.4. Дифференциальные уравнения 2-го порядка 547
4.3.3. Поглощение потока рентгеновского излучения. На ве-
вещество падает поток рентгеновского излучения Фд. При прохож-
прохождении излучения через вещество происходит его частичное погло-
поглощение. Обозначим через с1Ф величину потока, поглощенного при
прохождении слоя толщиной dx. Как и в предыдущем случае,
имеет место прямо пропорциональная зависимость:
^Ф = -/i • Ф • dx,
которая приводит к аналогичному уравнению:
Решение уравнения дает закон, в соответствии с которым про-
происходит поглощение потока рентгеновского излучения при про-
прохождении через вещество:
Ф = Фоехр(-/л • х).
Здесь \i — некий коэффициент ослабления, зависящий от приро-
природы вещества. Например, для костных тканей он в 68 раз больше,
чем для мягких (см. лекцию 31).
Во всех рассмотренных случаях мы приходили к дифферен-
дифференциальным уравнениям одного и того же вида: у1 = ку с положи-
положительным или отрицательным коэффициентом.
§ 4.4. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
Дифференциальное уравнение 2-го порядка в общем случае
имеет вид
F(x, у, у', у") = 0, D.5)
а его общее решение содержит две постоянных интегрирования:
y = f(x,CuC2).
Большое значение имеют уравнения вида
у" + а - у = О
или
у" = -а-у,
где а — постоянный множитель.
Общее решение этого уравнения имеет вид
у = А - sin(c<; • t + <ро); и = л/&- D-6)
18*
548 Семинар 4. Дифференциальные уравнения
Постоянные интегрирования обозначены здесь А и (р$. Для их
нахождения необходимо задать начальные условия типа:
У(О) = Уо, у'@) = Уо-
Пример. Пусть тело массой т прикреплено к пружине
жесткостью к.
В начальный момент времени пружину растягивают на xq
и отпускают. Определить закон движения тела в отсутствии
трения.
На тело со стороны пружины действует сила упругости, кото-
которая пропорциональна величине текущей деформации пружины
и направлена в обратную сторону: F = —кх. Эта сила вызывает
ускорение а, определяемое вторым законом Ньютона: а = F/т.
Учитывая, что ускорение есть вторая производная по времени от
координаты тела ж, получим уравнение его движения:
х" + (к/т)х = 0.
Это уравнение вида D.5) и его общее решение определяется
формулой D.6):
х = А - cos(lj • t + (fo);
где из = у/к j'm.
Найдем значения постоянных (ро и А. Как следует из началь-
начальных условий, в момент времени t = 0 х = х$, a, xf = 0 (тело
отпустили, не сообщив ему скорости). Для того, чтобы восполь-
воспользоваться вторым условием, запишем производную по времени от
координаты х и подставим t = 0, х' = 0:
х' = —А - и - sin(t<; • t + ipo) —> 0 = —А • си • sin(ipo).
Отсюда получим, что sin(<po) — 0. Следовательно, (р$ = 0.
Подставив это значение в первое условие, получим: xq = А х
х cos(O) = А. Следовательно, А = xq.
Запишем закон движения: х = х$ • sm[^/k/m t].
§ 4.5. Задания
I. Найти частные решения следующих дифференциальных
уравнений:
1. у1 = 2у3. 2. у' = 2х3 + 1. 3. ydy = xdx. 4. у1 = Ту.
5. 3xdy = Aydx.
§4.5. Задания 549
II. Найти частные решения следующих дифференциальных
уравнений:
1. у' = 2ж2 + 3, если при ж = О, у = 1.
2. у1 = sin х + cos ж, если при ж = 0, у = — 1.
3. у' = 2у2, если при ж = 1, у = —1.
4. у' = 2у~2, если при ж = 1, у = 2.
5. у1 = 5у, если при ж = 0, у = 2.
6. (ж + l)dx = 2жу с/г/, если при ж = 1, у = 1.
III. Решить задачи.
1. Скорость уменьшения концентрации лекарственного веще-
вещества пропорциональна концентрации вещества в данный момент.
Определить зависимость концентрации данного вещества в кро-
крови от времени, если в начальный момент времени она была равна
0,2 мг/л, а через 28 ч уменьшилась вдвое.
2. Скорость роста числа микроорганизмов пропорциональна
их количеству в данный момент. В начальный момент имелось
100 микроорганизмов, и их число удвоилось за 6 ч. Найти: а) за-
зависимость количества микроорганизмов от времени; б) количе-
количество микроорганизмов через сутки.
3. Закон распада лекарственного вещества в организме со-
состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному
количеству лекарства. Какая часть введенного в организм лекар-
лекарства распадается через t часов, если половина его распадается за
время То?
4. Закон распада радиоактивного вещества состоит в том, что
скорость распада пропорциональна наличному количеству веще-
вещества. Известно, что период полураспада изотопа йода Лш равен
8 суток. Какая часть начального количества йода останется через
82 дня?
5. Тело, имеющее массу га, подвешено на невесомой нити.
Расстояние от центра тела до точки подвеса равно L. Найти за-
зависимость между величиной смещения S центра тела (по дуге) от
положения равновесия и временем ?, если в начальный момент:
а) смещение тела равно So и оно покоится; б) смещение тела
равно So, но ему сообщена скорость Vb- Считать углы отклонения
нити малыми. Сопротивлением движению пренебречь.
С еминар 5
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вопросы для подготовки
1. Опыт, исход опыта, случайное событие.
2. Вероятность случайного события и ее свойства.
3. Классическое определение вероятности.
4. Относительная частота события и закон больших чисел.
5. Теорема сложения вероятностей, полная группа событий.
6. Теорема умножения вероятностей.
§ 5.1. Основные формулы
Вероятность случайного события А
где Ма — число исходов, благоприятствующих событию Л, TV —
общее число равновозможных несовместных исходов.
Относительная частота события:
Р* = т/щ E.2)
где т — число опытов, в которых данное событие произошло,
п — общее число произведенных опытов.
Теорема сложения вероятностей для несовместных событий:
Р(А UB) = Р(А или В) = Р(А) + Р(Б). E.3)
Теорема умножения вероятностей для независимых собы-
событий:
Р(А ПВ) = Р{А иВ) = Р{А) • Р(В). E.4)
§ 5.2. Примеры решения
1. Опыт состоит в том, что бросаются три монеты. Обозначая
через О выпадение «орла», а через R — выпадение «решки»,
записать обозначения исходов и событий.
§ 5.2. Примеры решения
551
а). Все элементарные исходы опыта:
ООО, OOR, ORO, ROO, ORR, ROR, RRO, RRR.
б). Событие, состоящее в выпадении двух «орлов»:
OOR + ORO + ROO.
в). Событие, состоящее в том, что число выпавших «орлов»
больше числа «решек»:
000 + OOR + ORO + R00.
2. Опыт состоит в том, что бросаются две игральные кости.
Записать обозначения исходов и событий.
а). Все исходы опыта:
1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6
5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6
6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6
б). Событие, состоящее в том, что сумма очков больше их
произведения:
«1-1» + «1-2» + «1-3» + «1-4»+
+ «1-5» + «1-6» + «2-1» + «3-1» + «4-1» + «5-1» + «6-1».
в). Событие, состоящее в том, что выпал «дупель»:
«1-1» + «2-2» + «3-3» + «4-4» + «5-5» + «6-6».
3. Структура занятых рабочих мест в крупной больнице
имеет вид:
Структура
Администрация
Врачи
Женщины
25
35
Мужчины
15
25
Если один из служащих выбран случайным образом, то ка-
какова вероятность, что он:
а) мужчина-администратор;
б) женщина-врач;
в) мужчина;
г) врач?
552 Семинар 5. Элементы теории вероятностей
Решение.
а) В больнице работает п = 100 человек. Из них мужчин-
администраторов та = 15. Следовательно Ра = гаа/п =
= 15/100 = 0,15.
б) В больнице работает женщин-врачей т^ = 35. Следова-
Следовательно, Рб = т6/п = 35/100 = 0,35.
в) В больнице работает мужчин тв = 40. Следовательно,
Рв = тв/п = 40/100 = 0,40.
г) В больнице работает врачей тг = 60. Следовательно, Рг =
= тг/п = 60/100 = 0,60.
4. При бросании игральной кости определить: а) вероят-
вероятность события А, представляющего собой выпадение числа оч-
очков, кратного трем; б) вероятность события В, представляющего
собой выпадение четного числа очков.
Решение. Общее число исходов п = 6.
а). Событие А наблюдается при выпадении очков: 3, 6, т.е.
та = 2. Следовательно, Р(А) = гаа/п = 2/6.
б). Событие В наблюдается при выпадении очков: 2, 4, 6, т.е.
тв = 3. Следовательно, Р(В) = тв/п = 3/6.
§ 5.3. Задания
1. Найти вероятности всех событий, рассмотренных выше.
2. Центр тяжести игрального кубика смещен к «6», вслед-
вследствие чего вероятность выпадения «1» равна 1/2, а вероятности
выпадения остальных граней — по 1/8. Может ли такое быть?
3. Центр тяжести игрального кубика смещен к «6», вслед-
вследствие чего вероятность выпадения «1» равна 3/8, а вероятности
выпадения остальных граней — по 1/8. Определить вероятность
того, что выпавшее число: а) меньше 4; б) больше 3.
4. Бросаются два кубика. Определить, на сколько процентов
вероятность выпадения семи очков больше, чем вероятность вы-
выпадения десяти.
5. Двое играют в кости с двумя кубиками. При выпадении
7 очков выигрывает первый, при выпадении 8 очков — второй,
в остальных случаях — ничья. Сыграно 1440 партий. Оценить
число выигрышей для каждого из участников.
§5.3. Задания 553
6. Пусть А, В, С — три произвольных события. Найти выра-
выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С: а) произо-
произошло только А; б) произошли А и В, но С не произошло; в) все
три события произошли, г) произошло по крайней мере одно их
этих событий; д) произошло одно и только одно событие; е) ни
одно событие не произошло.
7. Из слова НАУГАД выбирается наугад одна буква. Какова
вероятность того, что это буква А?
8. При стрельбе была получена относительная частота по-
попадания 0,6. Сколько было сделано выстрелов, если получено
12 промахов?
9. Брошены две игральные кости. Какова вероятность выпа-
выпадения на двух костях в сумме 9 очков? 7 очков?
10. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом —
10 белых и 5 красных шаров. Из каждого ящика вынуто по
одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы один из них
красного цвета.
11. В шкатулке 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются
наудачу две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы
будут одноцветными?
12. Бросают 4 игральные кости. Найти вероятность того, что
на них выпадет по одинаковому числу очков.
13. Имеются две урны, в каждой из которых содержится по
2 черных и 3 белых шара. Из каждой урны вынуто по одному
шару. Какова вероятность того, что оба шара черные? белые?
С еминар 6
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Вопросы для подготовки
1. Случайные величины, их виды: дискретная и непрерывная.
2. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
3. Плотность вероятности, функция распределения.
4. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
§ 6.1. Основные формулы
Пусть дискретная случайная величина X задана таблицей
X
р
Xi
Pi
Р2
Хп
Рп
где
Р\ +Р2 + • • • +Рп = 1.
F.1)
Математическое ожидание дискретной случайной величи-
величины X:
п
F-2)
г=1
(математическое ожидание имеет ту же размерность, что и слу-
случайная величина).
Дисперсия дискретной случайной величины X:
F.3)
1 = 1
(дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины).
Непрерывная случайная величина X может быть задана сво-
своей функцией распределения вероятностей или плотностью рас-
распределения вероятностей.
Плотность распределения вероятностей случайной величи-
величины X:
F.4)
§6.1. Основные формулы 555
Функция распределения вероятностей случайной величи-
случайной величины X:
Fx(x) = F(x) = P(X < х), F.5)
P(a;i <X <x2) = F(x2)-F(xi). F.6)
Связь функции распределения и плотности вероятностей:
f(x) = F{x)' = dF(x)/dx, F.7)
X
F(x) = | f(x) ¦ dx. F.8)
— OO
Условие нормировки для непрерывной случайной величи-
величины X:
+ ОО
Г
f(x)-dx = l.
F.9)
Математическое ожидание непрерывной случайной величи-
величины X:
+ ОО
М(Х) = [ x-f(x)-dx. F.10)
Дисперсия непрерывной случайной величины X:
+ ОО
D(X)= [ [x-M(x)]2- f(x)-dx. F.11)
— оо
Общие соотношения:
D{X) = М{[Х - М(Х)]2} F.12)
или
D(X) = ЩХ2) - [ЩХ)]2. F.13)
Среднее квадратическое отклонение случайной величины:
<г(Х) =
556 Семинар 6. Случайные величины
§ 6.2. Некоторые законы распределения
Плотность распределения вероятностей для нормального за-
закона распределения (закона Гаусса):
где а — математическое ожидание случайной величины, а —
среднее квадратическое отклонение.
Функция распределения вероятностей для нормального зако-
закона:
F(x) = Ф(*), F.15)
где t = (х — а)/а, значения функции Ф(?) даны в соответствую-
соответствующих таблицах.
Плотность распределения вероятностей для равномерного
распределения на интервале [а, Ь]:
f{x) = О вне отрезка [а, 6], ( ,
f(x) = 1/F - а) при а < х < Ъ. 1° Ь)
Плотность вероятности для экспоненциального закона рас-
распределения:
f(x) = Лехр(-Лж), х ^ 0. F.17)
Распределение Больцмана:
п = noexp(—mgh/kT), F.18)
где п — концентрация молекул, h — высота над уровнем Земли,
т — масса молекулы, к — постоянная Больцмана, g — ускорение
свободного падения.
§ 6.3. Задания
1. Дискретная случайная величина X A, 2, 3, 4, 5, 6) — число
очков, выпавших при бросании игральной кости. Записать ряд
распределения этой случайной величины. Проверить выполнение
условия нормировки. Найти математическое ожидание, диспер-
дисперсию, среднее квадратическое отклонение для этой случайной
величины.
§ 6.3. Задания
557
2. Дано распределение случайной величины X:
X
р
-2
0,1
-1
0,2
0
0,2
1
0,4
2
0,1
Требуется:
а) найти М(Х), D(X) (двумя способами), а(Х)]
б) найти вероятность того, что случайная величина X примет
значения, не превышающие по абсолютной величине 1.
3. Дано распределение случайной величины X:
X
р
1
0,1
4
0,2
6
0,2
7
0,5
Найти М(Х), D(X) (двумя способами), сг(Х).
4. Дано распределение случайной величины X:
X
р
1
0,2
2
0,1
3
0,1
4
0,4
5
0,2
Найти М(Х), D(X) (двумя способами), а(Х).
5. Случайная величина X задана функцией распределения:
{О, если х < 2,
(х - 2J, если 2 < х < 3,
1, если х > 3.
Найти: а) плотность вероятности /(ж); б) вероятность попа-
попадания величины ж в интервал A;2,5).
6. Случайная величина X задана функцией распределения
{О, если ж < 3,
Bж-6)/4, если 3 < ж < 5,
1, если ж > 5.
Найти: а) плотность вероятности /(ж); б) вероятность попа-
попадания величины X в интервалы: @; 2); C,5; 4,5).
7. В ряде случаев о состоянии кожи можно судить по вели-
величине скорости распространения в ней механических волн. При
измерении в контрольной группе детей (норма) были получены
558
Семинар 6. Случайные величины
следующие значения скорости V (м/с):
29, 18, 19, 23, 26, 24, 24, 20, 21, 16,
18, 23, 24, 23, 22, 25, 24, 26, 19, 25.
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квад-
ратическое отклонение.
8. Кожа верхнего века обладает механической анизотропи-
анизотропией. При обследовании группы из 10 пациентов были получены
следующие значения скорости распространения механической
волны в веке во взаимно перпендикулярных направлениях:
вдоль вертикальной оси Vy:
41, 43, 48, 50, 49, 50, 51, 44, 49, 48;
вдоль горизонтальной оси Vx:
36, 38, 39, 40, 41, 39, 43, 41, 42, 40.
Определить числовые характеристики полученных случай-
случайных величин в различных направлениях. Скорость указана в м/с.
9. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Из урны извлекается
один шар. Случайная величина X — число вынутых белых шаров
@ или 1). Построить ее распределение.
10. В некотором опыте число а-частиц, регистрируемых счет-
счетчиком за 1 с, является случайной величиной, распределенной по
следующему закону:
X
р
0
0,021
10
0,081
20
0,156
30
0,201
40
0,195
50
0,151
60
0,097
70
0,054
80
0,026
90
0,011
100
0,007
Найти: а) математическое ожидание и дисперсию числа ча-
частиц, регистрируемых счетчиком; б) вероятность того, что счет-
счетчик зарегистрирует не менее 40 частиц за секунду.
11. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной
величины, которая имеет равномерное распределение на интер-
интервале [0, 2].
12. Случайная величина изменяется в пределах от 0 до 2.
Функция плотности вероятности в указанном интервале имеет
вид f(x) = к-х (к определить самостоятельно, используя условие
нормировки). Найти математическое ожидание и дисперсию этой
случайной величины.
§6.3. Задания 559
13. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной
величины, распределенной по экспоненциальному закону: f(x) =
= Л • ехр(—Аж), х ^ 0.
14. На какой высоте концентрация молекул кислорода вдвое
меньше его концентрации на уровне моря? Температура равна
27°С. Принять поле Земли однородным. (Использовать распре-
распределение Больцмана).
15. Случайная величина распределена по нормальному за-
закону с нулевым математическим ожиданием (а = 0) и средним
квадратическим отклонением а. Найти вероятность того, что эта
случайная величина принимает значения в интервалах:
а) - сг < X < сг; б) - 2сг < X < 2сг; в) - Зсг < X < Зсг.
Пример решения для интервала шириной а.
Согласно F.6) и F.15) запишем:
Р(-<т < X < +<т) = F(a)-F(-a) = Ф[(а-а)/а]-Ф[(-а-а)/а],
Ф[(сг - О)/сг] = ФA) = 0,8413 (из таблицы),
Ф[(-сг - О)/сг] = Ф(-1) = 1 - ФA) = 1 - 0,8413 = 0,1587,
Р = фA) - ф(-1) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826.
Иллюстрация правила трех сигм.
Среди 10 000 значений нормальной случайной величины
в среднем только 27 выйдут за пределы интервала (а —
— За, а + За). Это означает, что среди небольшого числа
значений X практически нет таких, которые выходят за пределы
указанного интервала.
16. Случайная величина принимает значения только на ин-
интервале [0, тг/2] с плотностью вероятности f(x) = С • sin ж.
Найти коэффициент С и математическое ожидание случайной
величины X.
17. Случайная величина X распределена по нормальному
закону с математическим ожиданием 3 и дисперсией 4. Найти
вероятность того, что 1 < X < 7.
Решение. а = 3, а = л/4 = 2 найдем искомую вероятность
(без вывода):
X < 7) = [Ф{G - 3)/2} -
= [ФB) - Ф(-1)] = @,9772 - 0,1587) = 0,8185.
С еминар 7
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ
Вопросы для подготовки
1. Основные понятия: генеральная совокупность, выборка, простой
статистический ряд, вариационный ряд, интервальный ряд. По-
Полигон распределений, гистограмма.
2. Числовые характеристики статистического ряда.
3. Оценка параметров генеральной совокупности (точечная и ин-
интервальная).
§ 7.1. Основные формулы
Выборочное среднее X, полученное по выборке объемом п:
G.1)
Выборочная дисперсия D, полученная по выборке объемом п:
г=1
1 = 1
Выборочное среднее квадратическое отклонение
а = VB. G.3)
Точность интервальной оценки по малой выборке
е = Ь-а/л/п, G.4)
где коэффициент Стьюдента t находится в соответствующих
таблицах по числу степеней свободы / = п — 1 и доверительной
вероятности Ра.
§ 7.2. Основные понятия
Поясним основные понятия на следующем примере. Рассмот-
Рассмотрим значения случайной величины — скорости V (м/с) распро-
распространения механических волн в коже, измеренной у 20-летних
§ 7.2. Основные понятия
561
молодых людей в области предплечья (табл. 7.1). Эта величина
часто используется для оценки эффективности лечения и при
диагностике.
Выборка — группа обследованных молодых людей; признак —
значение скорости распространения механических волн.
Простой статистический ряд — последовательность значе-
значений случайной величины (скорости V), записанных в порядке
получения. Такой ряд представлен в табл. 7.1.
Таблица 7.1
п
V
п
V
1
35
11
39
2
32
12
33
3
38
13
39
4
34
14
41
5
42
15
40
6
36
16
46
7
39
17
28
8
33
18
37
9
28
19
36
10
47
20
38
Вариационный статистический ряд — таблица значений ва-
вариант, расположенных в упорядоченном виде с указанием их
относительных частот. Такой ряд приведен в табл. 7.2.
Таблица 7.2
V
р*
28
0,10
32
0,05
33
0,10
34
0,05
35
0,05
36
0,10
37
0,05
38
0,10
39
0,15
40
0,05
41
0,05
42
0,05
46
0,05
47
0,05
Полигон частот. Представим вариационный статистический
ряд в графическом виде. Для этого на оси абсцисс отложим
варианты, а на оси ординат — соответствующие им частоты. На-
Нанеся точки вариационного ряда и соединив их ломаной линией,
получим полигон частот (рис. 7.1).
Интервальный статистический ряд — таблица интервалов
с указанием частот. Для построения разобьем диапазон измене-
изменения скорости на равные интервалы. Число интервалов выбирает-
выбирается по усмотрению экспериментатора. Процесс разбиения можно
проводить в следующем порядке.
а) Выберем число интервалов разбиения, например, 5.
б) Определим ширину интервала, разделив ширину диапазо-
диапазона на число интервалов: А = D7 — 28)/5 = 3,8.
в) Округлим полученное значение в большую сторону для то-
того, чтобы суммарная ширина интервалов была несколько больше
ширины диапазона (в нашем случае примем А = 4).
562
Семинар 7. Элементы математической статистики
г) Двигаясь от левой границы диапазона вправо, найдем
координаты точек, разбивающих диапазон на интервалы: х\ —
= 28 + А = 32, х2 = 32 + А = 36, х3 = 36 + А = 40 и т. д.
д) Определим число точек, относимых к каждому из интер-
интервалов, и найдем соответствующие частоты (к интервалу (а, Ь)
относят точки, удовлетворяющие неравенству (а ^ X < Ь): р\ =
= 2/20 = ОД; р*2 = 5/20 = 0,25 и т. д.
е) Сформируем интервальный статистический ряд:
Таблица 7.3
х-(х+Ах)
Р*
28-32
0,10
32-36
0,25
36-40
0,40
40-44
0,15
44-48
0,10
Гистограмма — графическое изображение интервального
статистического ряда с учетом нормировки. Для построения на
оси абсцисс отложим интервалы значений вариант и на каж-
каждом из них, как на основании, построим прямоугольник с вы-
высотой, равной его частоте, деленной на ширину интервала:
hx = 0,1/4 = 0,025, h2 = 0,25/4 = 0,0625 и т.д. При этом пло-
площадь каждого прямоугольника равна частоте попадания слу-
случайной величины в данный интервал, а сумма всех площадей
равна 1 (рис. 7.2).
0,1-
¦ ¦
ф ¦
25 27 29 31 33 35 37 39 41
Рис. 7.1. Полигон частот
43 45 47 49
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
X
28 32 36 40
Рис. 7.2. Гистограмма
44
48
§ 7.4. Задания
563
§ 7.3. Оценка параметров
Найдем интервальную оценку генерального среднего Хг
для случайной величины, имеющей нормальное распределение
(табл. 7.1). Объем выборки — 20. По формулам G.1), G.2), G.3)
найдем X = 37,05, а = 5,02.
Зададим доверительную вероятность 0,95. По таблице ко-
коэффициентов Стьюдента найдем t = 2,08. Вычислим точность
оценки: e = t- а/л/п = 2,09 • 5,02/л/20 = 2,34 (м/с).
Получим интервальную оценку
РC7,05 - 2,34 < Хг < 37,05 + 2,34) = 0,95.
§ 7.4. Задания
1. Записать выборку 5, 6, 7, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4 в виде:
а) вариационного статистического ряда, б) интервального
статистического ряда.
2. В приведенной ниже таблице указаны значения случайной
величины и число случаев, в которых они наблюдалось (га).
Построить полигон частот.
X
т
1
20
4
10
5
14
7
6
3. В приведенной ниже таблице представлено распределение
25 кроликов по массе. Построить гистограмму.
Масса (кг)
3,0-3,5
3,5-4,0
4,0-4,5
4,5-5,0
5,0-5,5
Число п
1
1
3
3
7
Масса (кг)
5,5-6,0
6,0-6,5
6,5-7,0
7,0-7,5
Число п
5
3
1
1
4. Построить гистограмму выборки, представленной в виде
следующей таблицы.
Границы интервала
0-2
2-4
4-6
Число вариант в интервале
20
30
50
564 Семинар 7. Элементы математической статистики
7.4.1. Числовые характеристики статистического ряда.
Пример 1. Найти медиану выборки 9, 3, 5, 8, 4, 11, 13.
Решение. Упорядочим выборку: 3, 4, 5, 8, 9, 11, 13.
Поскольку в выборке семь вариант, четвертая по порядку
варианта будет иметь значение большее, чем первые три, и мень-
меньшее, чем последние три. Таким образом, медианой будет четвер-
четвертая варианта Med = 8.
Пример 2. Найти медиану выборки: 20, 9, 13, 1, 4, 11.
Решение. Упорядочим выборку: 1, 4, 9, 11, 13, 20. По-
Поскольку здесь имеется четное число вариант, то существует две
«середины» — 9 и 11. В этом случае медиана равна среднему
арифметическому этих значений:
Med = (9 + ll)/2 = 10.
1. Для выборки 2, 4, 6, 8, 10 определить: выборочное сред-
среднее X, выборочную дисперсию D, среднее квадратическое откло-
отклонение <т.
2. Для выборки, представленной в табл. 7.1, определить: вы-
выборочное среднее X, выборочную дисперсию D, среднее квадра-
квадратическое отклонение <т.
3. Используя вариационный статистический ряд, представ-
представленный в табл. 7.2, найти моду Mod, медиану Med.
7.4.2. Оценка параметров генеральной совокупности.
1. Произвести интервальную оценку генерального средне-
среднего Хг для признака, имеющего нормальное распределение. Вы-
Выборка представлена в табл. 7.1. Задать Ра = 0,99. Сравнить
с результатами, полученными при Ра = 0,95.
2. Произвести точечную оценку генеральной совокупности по
выборке, представленной в табл. 7.1.
3. При измерениях получены следующие значения некоторых
величин:
а) 19, 20, 21; б) 37, 38, 37, 39, 40; в) 3, 2, 3; г) 4, 5, 6, 4.
Дать интервальную оценку истинного значения измеряемой ве-
величины, рассматривая полученные значения как малую выборку.
Доверительную вероятность Ра принять равной 0,95 и 0,99.
4. Произведено 5 независимых измерений толщины пласти-
пластины. Получены следующие результаты: 2,15; 2,18; 2,14; 2,16; 2,17.
§7.4. Задания 565
Оценить истинное значение толщины пластины с помощью до-
доверительного интервала, принимая доверительную вероятность
Ра = 0,95.
5. Случайной величиной является скорость распространения
механической волны V (м/с), измеренная на пораженных участ-
участках кожи у больных псориазом в различных стадиях. Получен
простой статистический ряд для разных стадий.
Регрессирующая стадия:
38, 39, 41, 41, 38, 43, 40, 40, 42, 38, 38, 39, 41, 42, 41,
42, 41, 39, 43, 38, 42, 43, 40, 39, 40, 38, 43, 42, 39, 42.
Стационарная стадия:
49, 46, 54, 49, 50, 50, 46, 56, 49, 46, 54, 50, 56, 49, 46,
53, 52, 52, 51, 51, 53, 53, 50, 47, 47, 55, 55, 50, 54, 56.
Прогрессирующая стадия:
65, 58, 58, 62, 64, 65, 64, 68, 68, 67, 59, 66, 66, 68, 70,
72, 69, 67, 65, 68, 71, 71, 70, 67, 72, 69, 68, 68, 62, 60.
Построить и сравнить гистограммы. Найти и сравнить чис-
числовые характеристики статистических рядов.
6. При измерении скорости распространения механических
волн в коже щеки после процедуры криомассажа у пациенток
с разным типом кожи получены значения V (м/с), представлен-
представленные простым статистическим рядом.
Сухая кожа:
38, 58, 46, 39, 49, 62, 62, 49, 43, 44, 68, 41, 54, 64, 64.
Жирная кожа:
41, 54, 54, 41, 64, 42, 56, 56, 42, 56, 56, 65, 65, 39, 54.
Построить и сравнить гистограммы. Найти и сравнить чис-
числовые характеристики рядов.
7. Случайной величиной является значение скорости V (м/с)
распространения механической волны в рубцово-измененных
тканях разного типа. Получен простой статистический ряд для
разных рубцов.
566
Семинар 7. Элементы математической статистики
Неосложненный рубец:
40, 39, 42, 42, 43, 40, 41, 45, 42, 40, 44, 39, 40, 40, 41,
41, 43, 42, 45, 42, 39, 38, 40, 45, 43, 42, 39, 38, 41, 42.
Гипертрофический рубец:
60, 64, 65, 63, 66, 59, 58, 67, 71, 72, 72, 68, 67, 70, 69,
69, 68, 67, 70, 67, 66, 67, 70, 69, 71, 67, 70.
Келлоидный рубец:
80, 85, 88, 89, 90, 95, 98, 99, 95, 100, 92, 96, 97, 99, 98,
89, 89, 100, 102, 105, 99, 98, 82, 84, 83, 101, 99, 98, 97, 100.
Построить и сравнить гистограммы для трех типов рубцов.
Найти и сравнить числовые характеристики рядов.
Таблица 7.3. Критические значения распределения Стьюдента,
/ 1
/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Ра
а = 0,95
12,71
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
2,20
а = 0,99
63,66
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,35
3,25
3,17
3,11
/
12
13
14
15
16
17
18
19
20
25
30
Ра
а = 0,95
2,18
2,16
2,14
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
2,09
2,06
2,04
а = 0,99
3,05
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
2,86
2,84
2,79
2,75
С еминар 8
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Вопросы для подготовки
1. Статистическая проверка гипотез.
2. Проверка гипотез относительно средних — критерий Стьюдента.
3. Проверка гипотез относительно дисперсий — критерий Фишера.
4. Непараметрические критерии — критерий Вилкоксона.
§ 8.1. Основные формулы
8.1.1. t-критерий Стьюдента. t-критерий Стьюдента приме-
применяется для оценки различий величин средних двух выборок,
которые распределены по нормальному закону с одинаковой дис-
дисперсией.
Первичная статистическая информация представляет собой
две выборки X = {х{} и Y = {у^}, содержащие пх и пу
элементов соответственно.
Значение критерия t находят по формуле:
X-Y
пх + пу — 2
где X, Y — выборочные средние значения выборок, <тх, ~&у —
выборочные средние квадратичные отклонения.
Число степеней свободы:
/ = пх + пу - 2, (8.2)
Критическая область для отклонения Hq:
|t| > *кР. (8.3)
Критическое значение tKp находят по таблице ^-распределения.
8.1.2. F-критерий Фишера. F-критерий Фишера используют
для проверки гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух
нормальных выборок.
568
Семинар 8. Проверка статистических гипотез
Первичная статистическая информация представляет собой
две выборки X = {х{} и Y = {у^}, содержащие пх и пу
элементов соответственно.
Значение критерия F находят по формуле:
, (8.4)
где Dy — большая выборочная дисперсия, a D\ — меньшая.
Число степеней свободы для каждой выборки:
/i = (пу - 1), h = (пх - 1), (8.5)
где /i и /2 число степеней свободы числителя и знаменателя,
соответственно.
Критическая область для отклонения Hq:
F > FKp. (8.6)
Критическое значение FKp находят по таблице F-распреде-
ления.
8.1.3. Критерий Вилкоксона. Критерий Вилкоксона приме-
применяется для проверки гипотезы о принадлежности сравниваемых
независимых выборок, к одной и той же генеральной совокуп-
совокупности, когда данные представлены в порядковой или ранговой
шкале.
Первичная статистическая информация представляет собой
две выборки содержащие пх и пу элементов, значения которых
представлены в порядковой шкале.
Подготовительная работа. Составляется объединенная вы-
выборка, элементы которой упорядочиваются. В результате получа-
получается таблица, в первой строке которой указана принадлежность
элемента, во второй строке указаны значения элементов, а в тре-
третьей строке стоят порядковые номера элементов упорядоченного
ряда от 1 до пх + пу.
Принадлежность
Значения элементов
Ранг (порядковый номер)
X
1
У
2
X
3
У
4
У
5
X
6
У
ПХ + Пу
Если в таблице встречаются одинаковые значения, то им
следует присвоить одинаковые ранги, равные среднеарифмети-
среднеарифметическому значению рангов одинаковых элементов. После этого
находят суммы рангов для каждой выборки Rx и Ry.
§8.2. Примеры использования статистических критериев 569
Значение критерия U находят по формуле:
U = пх • пу - Rm + пт • (пт + 1)/2, (8.7)
где пт — число членов в выборке с максимальным значением
суммы рангов.
Критическая область для отклонения Но:
U<UKP. (8.8)
Критическое значение ?/кр находят по таблице [/-распределения.
§ 8.2. Примеры использования статистических
критериев
8.2.1. Критерий Стьюдента.
Пример 1. Даны две выборки, взятые из нормально рас-
распределенных генеральных совокупностей X и У, для которых
известно:
Объем п\ = 42, выборочное среднее X = 119, выборочная
дисперсия D\ = 126,9;
Объем пу = 35, выборочное среднее Y = 107, выборочная
дисперсия Dy = 136,1.
Проверить гипотезу о равенстве средних при уровне значи-
значимости 0,05.
Решение. Выборочные дисперсии близки, поэтому обос-
обоснованным является предположение о равенстве генеральных
дисперсий. В этом случае можно воспользоваться ^-критерием
Стьюдента.
Нулевая гипотеза Но: генеральные средние двух совокупно-
совокупностей равны;
Альтернативная гипотеза Hi: генеральные средние двух со-
совокупностей различны.
Значение критерия находим по формуле (8.1):
Числитель равен
A19 - 107)/д/42-35/D2+ 35) = 52,4.
Знаменатель равен
д/D1 • 127 - 34 • 107)/D2 + 35-2) = 11,4.
Значение критерия равно t = 4,58.
570
Семинар 8. Проверка статистических гипотез
Критические значения находим по таблицам t-распределе-
ния:
а
^кр
0,05
1,99
0,01
2,65
Значение критерия принадлежит однопроцентной области.
Поэтому нулевая гипотеза отвергается и признается различие
между выборками.
5%
2,65
4,58
Пример 2. Длительность сердечного цикла (в секундах)
в кардиограммах у здоровых и больных детей представлена сле-
следующими выборками по 60 элементов:
а) здоровые дети — выборка X:
0,91; 0,71; 0,73; 0,82; 0,67; 0,89; 0,90; 1,00; 0,77; 0,78; 0,90; 0,68;
0,52; 0,58; 0,59; 0,66; 0,74; 0,54; 0,72; 0,74; 0,74; 0,79; 0,66; 0,84;
0,85; 0,81; 1,00; 0,77; 0,84; 0,74; 0,65; 0,83; 0,78; 0,93; 0,62; 0,69;
0,57; 0,82; 0,65; 0,74; 0,69; 0,80; 0,78; 0,66; 0,74; 0,68; 0,57; 0,75;
0,69; 0,97; 0,83; 0,78; 0,89; 0,75; 0,68; 0,62; 0,68; 0,85; 0,79; 0,75;
б) больные дети — выборка Y:
0,91; 0,86; 0,74; 1,07; 0,79; 0,89; 0,98; 1,16; 0,77; 0,88; 0,84; 0,68;
0,73; 0,91; 1,12; 0,72; 1,23; 0,64; 0,98; 1,37; 0,77; 0,79; 0,66; 0,85;
0,85; 0,81; 1,00; 1,05; 0,94; 0,86; 0,75; 1,17; 0,78; 0,93; 0,69; 0,99;
1,07; 0,82; 0,95; 0,74; 0,69; 0,80; 0,78; 0,66; 0,74; 1,08; 0,77; 0,75;
0,69; 0,97; 0,83; 0,78; 1,18; 0,75; 0,63; 0,82; 0,89; 0,85; 0,77; 0,75.
Оценить достоверность различий этой характеристики
в представленных выборках. Исследовать влияние объема
выборки на результат проверки гипотез. Для этого выполнить
процедуру проверки при п равном: а) 10; б) 20; в) 60. Сделать
вывод о влиянии объема выборки и доверительной вероятности
на оценку достоверности различий.
Решение:
Выборочные дисперсии близки поэтому можно воспользо-
воспользоваться ^-критерием Стьюдента.
Нулевая гипотеза Hq: генеральные средние совокупностей
равны.
Альтернативная гипотеза Hi: генеральные средние совокуп-
совокупностей различны.
§8.2. Примеры использования статистических критериев
571
Промежуточные и конечные результаты, полученные при об-
обработке первичной информации, представлены в таблице.
N
60
20
10
X
0,752
0,74
0,818
Y
0,865
0,92
0,905
0,012
0,017
0,011
0,026
0,038
0,018
t
4,49
3,25
1,62
Ра
0,95
0,99
0,999
0,95
0,99
0,999
0,95
0,99
0,999
^гр
1,98
2,62
3,34
2,02
2,70
3,55
2,10
2,88
3,92
Соотнош.
Z ^> ?рр
t>trp
Z s"* Срр
Z ^> ?рр
t>trp
Z \ tpp
t < trp
t < Up
Z \ tpp
Разл.
да
да
да
да
да
нет
нет
нет
нет
8.2.2. ^-критерий Фишера.
Пример 3. По исходным данным примера 2 проверить ги-
гипотезу о равенстве дисперсий.
Решение. Для проверки воспользуемся 7^-критерием Фи-
Фишера.
Нулевая гипотеза Hq: генеральные дисперсии совокупностей
равны;
Альтернативная гипотеза Hi: генеральные средние совокуп-
совокупностей различны.
Значение критерия находим по формуле (8.4). Промежуточ-
Промежуточные и конечные результаты, полученные при обработке первич-
первичной информации, представлены в таблице.
N
60
20
10
0,012
0,017
0,011
0,026
0,038
0,018
F
2,17
2,23
1,64
/i
59
19
9
/2
59
19
9
Ра
0,95
0,99
0,999
0,95
0,99
0,999
0,95
0,99
0,999
^гр
1,58
1,84
2,30
2,17
3,03
4,45
3,18
5,35
10,01
Соотнош.
F> Frp
F> Frp
F < Frp
F> Frp
F <Frp
F < Frp
F <Frp
F <Frp
F < Frp
Разл.
да
да
нет
да
нет
нет
нет
нет
нет
8.2.3. Критерий Вилкоксона.
Пример 4. Получены две независимые выборки, значения
элементов которых представлены в порядковой шкале.
572
Семинар 8. Проверка статистических гипотез
Требуется проверить гипотезу о принадлежности выборок
к одной и той же генеральной совокупности. Решим задачу с по-
помощью непараметрического критерия Вилкоксона.
Выборка X
8
8
9
10
7
Выборка У
8
9
9
11
12
Выборка X
7
9
9
11
6
Выборка У
12
13
13
12
11
Проверяемые гипотезы:
Нулевая гипотеза Но: выборки принадлежат к одной гене-
генеральной совокупности;
Альтернативная гипотеза Hi: выборки принадлежат к раз-
различным генеральным совокупностям.
Подготовительная работа выполнена в таблице.
Таблица 1. Объединенная Таблица 2. Данные табл. 1,
выборка по возрастанию разнесенные по выборкам с ука-
значений наблюдений занием исправленных рангов
X
или
У
X
X
X
X
X
У
X
X
X
У
У
X
X
У
У
У
У
У
У
У
Значе-
Значения
6
7
7
8
8
8
9
9
9
9
9
10
11
11
11
12
12
12
13
13
R =
Ранги
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
210
Исправ-
Исправленные
ранги
1
2,5
2,5
5
5
5
9
9
9
9
9
12
14
14
14
17
17
17
19,5
19,5
210
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Rx
1
2,5
2,5
5
5
9
9
9
12
14
Rx = 69
У
У
У
У
У
У
У
У
У
У
У
Ry
5
9
9
14
14
17
17
17
19,5
19,5
RY = 141
§8.3. Задания 573
Дтах = 141, птах = 10. Граничные значения для 1% и 5%
областей равны 19 и 27.
По формуле (8.7) вычисляем значение критерия:
f/опыт = 10 • 10 - 141 + 10 • 11/2 = 14.
Значение критерия (U = 14) попадает в однопроцентную крити-
критическую область. Поэтому нулевая гипотеза отвергается и раз-
различия между выборками являются значимыми.
5%
19 27
§ 8.3. Задания
1. При исследовании влияния кофеина на величину систоли-
систолического давления (мм рт. ст.) у мужчин в возрасте от 25 до 30 лет
измеряли кровяное давление после приема кофеина (группа А)
и ложной пилюли (группа Б) в двух группах пациентов (по
16 человек в каждой). Получены следующие значения:
А: 126, 145, 137, 116, 137, 157, 126, 139, 143, 129, 143, 145, 153,
135, 163, 133;
Б: 119, 133, 115, 106, 125, 134, 117, 120, 125, 123, 131, 138, 127,
129, 140, 123.
Оценить достоверность различий представленных выборок
с доверительной вероятностью Ра = 0,95.
2. Исследовали эффективность действия нового диуретика.
При этом измеряли суточный диурез у пациентов (в мл) в двух
группах: в группе А пациентам давали препарат, в группе Б —
плацебо. Получены следующие результаты:
А: 1000, 1400, 1600, 1000, 1100, 1200, 1700, 1600, 1800, 1100,
1500, 1300, 1600;
Б: 1200, 1000, 1000, 1100, 1200, 1400, 1450, 1600, 1300, 1250.
1100, 1400, 980.
Оценить достоверность различий представленных выборок
с доверительной вероятностью Ра = 0,95.
3. Частота пульса (уд/мин) у детей с тяжелыми отравлени-
отравлениями при поступлении в больницу (группа А) и при вливании
кровезаменителя (группа Б) представлена ниже:
574 Семинар 8. Проверка статистических гипотез
А: 98, 120, 100, 62, 60, 62, 46, 74, 65, 48, 52, 46, 43, 60;
Б: 115, 100, 130, 80, 75, 102, 56, 69, 58, 66, 80, 96, 56, 49.
Оценить достоверность различий представленных выборок
с доверительной вероятностью Ра = 0,95.
4. Показатели СОЭ у 20 больных детей (группа А) и у 16
здоровых (группа Б) представлены ниже:
А: 11, 10, 12, 10, 10, 13, 9, 12, 13, 10, 10, 11, 9, 9, 12, 14, 11, 12,
13;
Б: 8, 10, 9, 7, 10, 12, 14, 13, 10, 8, 10, 13, 11, 12, 9, 8.
Оценить достоверность различий представленных выборок
с доверительной вероятностью Ра = 0,95.
5. Производители нового типа аспирина утверждают, что он
снимает головную боль за 30 мин. Случайная выборка 100 чело-
человек, показала, что новый тип аспирина снимает головную боль
за 28,6 мин при среднем квадратическом отклонении 4,2 мин.
Проверить на уровне значимости 0,05 справедливость утвержде-
утверждения производителей аспирина о том, что лекарство излечивает
головную боль за 30 мин.
С еминар 9
КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ
АНАЛИЗ
Вопросы для подготовки
1. Коэффициент линейной корреляции и его свойства.
2. Проверка статистической значимости выборочного коэффициен-
коэффициента корреляции.
3. Уравнение линейной регрессии.
4. Коэффициент регрессии.
§ 9.1. Коэффициент корреляции Пирсона
Коэффициент линейной корреляции Пирсона вычисляется по
формуле
Е
(N - 1) • ах • cry
Здесь TV — объем выборок; X и Y — выборочные средние; ~ах
и ~ау — выборочные среднеквадратические отклонения.
Если N —> ос, то выборочный коэффициент стремится
к истинному значению коэффициента корреляции. Практически
считается, что при |г| < 0,4 линейная связь отсутствует, при
0,4 < |г| < 0,7 имеется слабая связь. Тесная связь между случай-
случайными величинами или процессами имеется при 0,7 < |г| < 1.
§ 9.2. Проверка статистической значимости
выборочного коэффициента корреляции
Для проверки статистической значимости выборочного коэф-
коэффициента корреляции проверяются следующие гипотезы:
Нулевая гипотеза Но — корреляции между X и Y нет.
Альтернативная гипотеза Hi — между X и Y присутствует
корреляция.
576 Семинар 9. Корреляционный и регрессионный анализ
Критерием для проверки этих гипотез является значение
выборочного коэффициента корреляции (9.1), которое сравнива-
сравнивается с критическим значением, найденным по таблице «Крити-
«Критические значения коэффициента корреляции Пирсона» с числом
степеней свободы / = N — 2.
Если значения выборочного коэффициента корреляции боль-
больше граничного значения
|г| > ггр, (9.1)
то нулевая гипотеза отклоняется и принимается гипотеза о на-
наличии статистической связи.
Если |г| < ггр, то вывод о независимости между X и У
можно сделать только в том случае, если выборка произведе-
произведена из нормальной совокупности. В противном случае требуется
применение других коэффициентов корреляции.
§ 9.3. Уравнение линейной регрессии,
метод наименьших квадратов
Регрессионный анализ — это метод подбора детер-
детерминированной функции Y = /(X), которая наи-
наилучшим образом соответствуют всей совокупности
выборочных пар {xi, Уг}*
Для подбора наилучшего приближения в статистике используют
метод максимума правдоподобия.
Простейшим является случай, когда функция f(X) является
линейной:
У = а0 + ах • X. (9.2)
График этой функции называют линией регрессии. Коэффи-
Коэффициенты а$ и а\ определяются формулами:
а0 = Y- г -Х- ау/ах, а\ = г • ау/~аХ- (9.3)
Коэффициент а\ называют коэффициентом регрессии.
Часто для записи уравнения регрессии вместо уравнения (9.2)
с коэффициентами (9.3) используют более простую форму:
У = Y+r-^-(X-X). (9.4)
§ 9.4. Примеры нахождения коэффициента корреляции
577
§ 9.4. Примеры нахождения коэффициента
корреляции и уравнения регрессии
Пример 1. Для выборок, представленных в таблице, найти
коэффициент корреляции и уравнение линейной регрессии У
на X. Проверить статистическую значимость.
X
Y
1,0
2Д
1,5
2,2
2,0
2,7
2,5
2,8
3,0
2,85
Решение. По соответствующим формулам вычисляем: X =
= 2,00; Y = 2,53; ах = 0,79; ау = 0,35; г = 0,94; аг = 0,42;
/ = п - 2 = 3.
а
0,05
0,878
0,01
0,959
Гипотеза о наличии статистической связи принимается на
уровне значимости 0,05.
5%
0,878
0,94 0,959
Уравнение регрессии:
У = 1,69 + 0,42 X или У = 2,53 + 0, 42 (Х- 2).
П р и м е р 2. Сравниваются два признака одной совокупности,
представленные двумя выборками:
X
У
8
2
8
3
10
4
10
5
14
5
16
4
18
3
18
4
Найти уравнение регрессии У на X.
Решение выполним с помощью электронной таблицы
EXCEL.
19 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
578
Семинар 9. Корреляционный и регрессионный анализ
Величины
X
У
Значения
8
2
8
3
10
4
10
5
14
5
16
4
18
3
18
4
Ср. зн.
12,75
3,75
СКО
4,27
1,04
г
0,24
0,06
У = 3,51 + 0,06 X
Проверим статистическую значимость коэффициента корре-
корреляции:
/ = га-2 = 6.
а
0,05
0,707
0,01
0,834
Видно, что условие (9.2) не выполняется. Поэтому гипотеза
о статистической зависимости величин X и У не принимается.
И хотя мы записали уравнение регрессии, доверять ему нельзя.
§ 9.5. Задания
1. У студентов были измерены рост Н (см) и вес т (кг),
значения которых представлено в таблице:
Я (см)
т (кг)
165
56
176
74
174
69
169
61
167
61
171
63
174
72
181
81
Найти уравнение линейной регрессии и коэффициент корре-
корреляции.
2. При измерении показателя преломления (п) для растворов
с разной концентрацией (С) получены данные, представленные
в таблице:
С (г/см3)
п
0,000
1,333
0,025
1,338
0,050
1,340
0,10
1,350
0,20
1,362
0,40
1,377
0,80
1,389
Найти уравнение линейной регрессии и коэффициент корре-
корреляции.
3. Средние оценки случайно выбранных 10 студентов за 1-й
и 4-й курс представлены ниже:
§ 9.5. Задания
579
Оценки на 1-м
курсе (X)
Оценки на 2-м
курсе (Y)
3,5
4,2
4,0
3,9
3,8
3,8
4,6
4,5
3,9
4,2
3,0
3,4
3,5
3,8
3,9
3,9
4,5
4,6
4Д
3,0
Построить график исходных данных и определить по нему
характер зависимости. Рассчитать коэффициент линейной кор-
корреляции Пирсона, проверить его значимость при уровне значи-
значимости 0,05. Составить уравнение регрессии.
4. Общий вес некоторого растения (X) и вес его семян (Y)
представлены ниже (в граммах):
X
У
40
20
50
25
60
28
70
30
80
35
90
40
100
45
Построить график исходных данных и определить по нему
характер зависимости. Рассчитать коэффициент линейной кор-
корреляции Пирсона, проверить его значимость при уровне значи-
значимости 0,05. Составить уравнение регрессии.
5. Даны две выборки:
X
Y
0,1
92
0,1
95
0,2
96
0,3
90
0,4
89
0,4
86
0,5
90
0,6
83
0,7
85
0,7
80
0,8
78
0,8
76
0,9
72
0,9
75
Построить график исходных данных и определить по нему
характер зависимости. Рассчитать коэффициент линейной кор-
корреляции Пирсона, проверить его значимость при уровне значи-
значимости 0,05. Составить уравнение регрессии.
6. Исследуется зависимость площади пораженной части лег-
легких у людей, заболевших эмфиземой легких, от числа лет куре-
курения. Получены следующие данные:
Число лет курения
Площадь пораженной
части, %
25
55
36
60
22
50
25
30
48
75
39
70
42
70
31
55
28
30
33
35
Построить график исходных данных и определить по нему
характер зависимости. Рассчитать коэффициент линейной кор-
корреляции Пирсона, проверить его значимость при уровне значи-
значимости 0,05. Составить уравнение регрессии.
19*
580
Семинар 9. Корреляционный и регрессионный анализ
7. Ответы случайно выбранных 10 студентов о среднем балле
по результатам сессии и о количестве часов, затраченных на
самостоятельную подготовку, представлены ниже.
Средний
балл
Число часов
4,6
25
4,3
22
3,8
9
3,8
15
4,2
15
4,3
30
3,8
20
4,0
30
3,1
10
3,9
17
Построить график исходных данных и определить по нему
характер зависимости. Рассчитать коэффициент линейной кор-
корреляции Пирсона, проверить его значимость при уровне значи-
значимости 0,05. Составить уравнение регрессии.
Семинар 10
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.
ЗВУК
Вопросы для подготовки
1. Свободные колебания, гармонические и затухающие.
2. Вынужденные колебания.
3. Механические волны, характеристики волны.
4. Эффект Доплера.
5. Звук, его физические и физиологические характеристики.
6. Ультразвук.
§ 10.1. Колебания
Дифференциальное уравнение свободных незату-
незатухающих колебаний имеет вид
dPx/dt2 + u2x = 0, A0.1)
где х — смещение, t — время, ojq = л/kjm —
круговая частота, к — коэффициент (жесткости)
упругости, т — масса тела.
Решение уравнения A0.1):
х = Acos(uot + <?о),
где А — амплитуда колебаний, (а^ + ^о) — <у
сро — начальная фаза.
Период колебаний для систем:
Т = 2тг/о;о
— общая формула;
Т = 2тг • у/т/к
— пружинный маятник;
Т = 2тг • \/L/g
A0.2)
о — фаза колебаний,
A0.3)
A0.4)
A0.5)
582 Семинар 10. Механические колебания и волны. Звук
— математический маятник, где L — длина математического
маятника, g - ускорение свободного падения;
Т = 27r^/l/mgh, A0.6)
— физический маятник, где / — момент инерции тела относи-
относительно оси, m — масса, h — расстояние между центром тяжести
и осью вращения.
Дифференциальное уравнение свободных затуха-
затухающих колебаний:
d2x/dt2 + 2Cdx/dt + w$x = 0, A0.7)
где C = г/Bга) — коэффициент затухания, г —
коэффициент сопротивления среды (для силы тре-
трения F = -г - v).
Решение уравнения A0.7) при ио2 = ио2 — /З2 > 0:
х = Л • e~pt • cos(cj • t + <ро), (Ю.8)
где со — круговая частота затухающих колебаний, со о — круговая
частота собственных колебаний системы.
Период колебаний:
Т = 2tt/lu. A0.9)
Логарифмический декремент затухания:
Л = \n[A(t)/A(t + Т)], Л = рт. A0.10)
Дифференциальное уравнение вынужденных ко-
колебаний:
d2x/dt2 + 2/3 • dx/dt + и2 • х = /0 • cos cot, A0.11)
где /о = F0/m; и и Fo — круговая частота и ампли-
амплитуда вынуждающей силы.
Смещение при вынужденных колебаниях:
х = A cos(u;t + <ро), A0.12)
где
А= , ^ =. A0.13)
^{и2 - uj2J + Af52uj2
§ 10.3. Звук 583
§ 10.2. Волны
Уравнение плоской механической волны:
х = Лcos[u(t - s/v)], A0.14)
где х — смещение колеблющейся точки в волне,
s — координата колеблющейся точки, v — скорость
распространения волны.
Плотность потока энергии волны, или интенсивность волны:
I = Ф/S. A0.15)
Объемная плотность энергии:
ujp = pA2uj2/2, A0.16)
где р — плотность вещества.
Частота колебаний, воспринимаемая наблюдателем (эффект
Доплера):
и' = v(v±vh)/{vtv11), A0.17)
где vH и уИ — скорости наблюдателя и источника волн относи-
относительно среды, v — скорость волны, v — частота испускаемых
колебаний.
Доплеровский сдвиг частоты:
i/д = iyBvo/v), A0.18)
где vq — скорость движущегося тела, v — скорость волны.
§ 10.3. Звук
Связь интенсивности звука и звукового давления:
/ = P2/Bpv)) A0.19)
где р — плотность среды, pv — волновое сопротивление.
Уровень интенсивности звука, выраженный в белах (Б):
LB = lg(///0), / = /о • 10L, A0.20)
или в децибелах (дБ),
. A0.21)
584 Семинар 10. Механические колебания и волны. Звук
Пример 1. Рассматривая ногу как физический маятник,
определить период колебаний:
а) непосредственным измерением для собственной ноги;
б) пользуясь формулой для физического маятника Т =
= 2iry/I/mgH.
Ногу считать длинным стержнем длиной 0,8 м с шарниром на
конце, центр тяжести находится на расстоянии 0,5 м от ступни.
Масса ноги 12 кг.
Решение.
/ = mL2/3,
Т = 27rv/(mL2)/3m#@,8-0,5) = 6,28 • ^0,64/C,08 • 9,8) =
= 1,7 с.
§ 10.4. Задания
1. Когда к пружине подвешивают тело массой 0,3 кг, она
удлиняется на 0,15 м. Пружину затем растягивают еще на 0,1 м
от положения равновесия и отпускают. Рассчитать: а) жесткость
пружины, б) амплитуду возникших колебаний, в) период и часто-
частоту колебаний, г) максимальную скорость тела, д) его максималь-
максимальное ускорение, е) полную энергию, ж) скорость при t = 0,15 с.
Записать зависимость смещения от времени.
2. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
имеет вид
0 2 —
' dt2 + ' Х ~
Найти период и частоту этих колебаний.
3. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний име-
имеет вид
dt
Определить коэффициент затухания и круговую частоту этих
колебаний.
4. Тело массой 1 кг совершает колебания по закону х =
= 0,42cos7,40?, где t — измеряется в секундах, а х — в метрах.
Найти: а) амплитуду; б) частоту; в) полную энергию; г) кинети-
кинетическую и потенциальную энергии при х = 0,16 м.
§ 10.4. Задания 585
5. Амплитуда затухающих колебаний убывает за 10 коле-
колебаний на 1/10 часть своей первоначальной величины. Период
колебаний Т = 0,4 с. Определить логарифмический декремент
и коэффициент затухания. Написать дифференциальное уравне-
уравнение этих колебаний.
6. За время 10 с амплитуда колебаний уменьшилась в «е» раз.
Найти коэффициент затухания этих колебаний.
7. Вынужденные колебания описываются дифференциаль-
дифференциальным уравнением
d x dx
0,4—^ + 0,48— + lfix = 0,8 • sin3t.
dt2 dt
Найти: а) частоту этих вынужденных колебаний, б) частоту
собственных колебаний системы, в) частоту внешней силы, при
которой будет наблюдаться резонанс.
8. Чему равна разность фаз ip между вынуждающей силой
и смещением при резонансе (и = cuq)? б) Каково при этом
смещение в момент времени, когда вынуждающая сила имеет
максимальное значение? в) Каково смещение в момент времени,
когда вынуждающая сила равно нулю?
9. Две точки находятся на расстоянии 6 м и 12 м от источ-
источника колебаний. Найти разность фаз колебаний этих точек, если
период колебаний Т = 0,04 с, а скорость их распространения v =
= 300 м/с.
10. Сердце периодически сокращается. У эмбриона оно де-
делает 1 сокращение в каждую секунду. У новорожденных —
140 сокращений в минуту. У взрослого человека 70 сокращений
в минуту. Определить: а) частоту сокращений в разные сроки; б)
посчитать сколько сокращений делает сердце за 50 лет жизни.
11. Определить разность фаз в пульсовой волне между двумя
точками артерии, расположенными на расстоянии 20 см друг от
друга. Скорость пульсовой волны 10 м/с, а колебания сердца
считать гармоническими с частотой, равной 1,2 Гц.
12. Определить длину звуковой волны в воздухе при часто-
частотах: 20 Гц, 100 Гц, 20000 Гц.
13. Определить частоты волн, имеющих в воде (v\ =
= 1500 м/с) и в воздухе (г?2 = 330 м/с) одинаковую длину
2 см.
586 Семинар 10. Механические колебания и волны. Звук
14. Определить скорость волны в некоторой среде, если ча-
частота равна 5 Гц, а длина волны равна 5 м.
15. Две плоские звуковые волны имеют одинаковые амплиту-
амплитуды, но длина одной волны в 2 раза больше, чем другой. Которая
из них переносит большую энергию? Во сколько раз?
16. Найти скорость распространения звука в стали, если мо-
модуль Юнга Е = 21,6 • 1010 Н/м2, плотность р = 7,8 • 103 кг/м3.
17. Во сколько раз отличаются скорости распространения
продольной и поперечной волн в костной ткани? Модуль Юнга
Е = 15- 109 кг/м2, модуль сдвига G = 6 • 109 Н/м2.
18. Звуковая волна проходит по стальному рельсу расстояние
1 км за 0,2 с. Определить скорость распространения звуковой
волны и модуль Юнга стали.
19. Известно, что на границе раздела двух сред угол паде-
падения Qi и угол преломления Qi связаны со скоростями распро-
распространения волны в них (vi и г>2, соответственно) соотношени-
соотношением: sin Q\j sin Q2 = V2/v\. При прохождении границы между
породами скорость сейсмической волны увеличивается с 6,5 до
8,0 км/с. Чему равен угол преломления, если волна падает на
границу раздела под углом 30°?
20. Звук, которому на улице соответствует уровень интенсив-
интенсивности L\ = 50 дБ, слышен в комнате так, как звук с уровнем
интенсивности Li = 30 дБ. Найти отношение интенсивностей
звука на улице и в комнате.
21. Уровень громкости звука частотой 5000 Гц равен Е =
= 50 фон. Найти интенсивность этого звука, воспользовавшись
кривыми равной громкости.
22. Вентилятор создает звук, уровень интенсивности кото-
которого L = 90 дБ. Найти уровень интенсивности звука от двух
вентиляторов.
23. Нормальный разговор человека оценивается уровнем
громкости звука Е = 50 фон (для частоты 1 кГц). Определить
уровень громкости звука, соответствующего трем одновременно
говорящим людям.
24. Разность хода звуковых волн, приходящих в левое и пра-
правое ухо человека, составляет 1 см. Определить сдвиг фаз между
обоими звуковыми ощущениями для тона с частотой 1000 Гц.
§ 10.4. Задания 587
25. Интенсивность плоской волны в воздухе равна / =
= 10~10 Вт/м2. Найти амплитуду колебаний частиц (молекул)
воздуха при нормальных условиях и объемную плотность
энергии колебательного движения для частот: 20, 1000, 20000 Гц.
Скорость звука в воздухе v = 330 м/с.
26. Скорость колебания участков барабанной перепонки од-
одного порядка со скоростью смещения молекул воздуха при рас-
распространении плоской волны. Определить амплитуду колебания
участков барабанной перепонки при пороге слышимости и пороге
болевого ощущения. Частота равна 1000 Гц.
27. Определить максимальную силу, действующую на бара-
барабанную перепонку уха человека (S = 66 мм2), для двух случаев:
а) порог слышимости, б) порог болевого ощущения.
28. Известно, что система косточек среднего уха (молоточек,
наковальня, стремечко) обеспечивает выигрыш в силе при пере-
передаче звукового давления в 1,3 раза. Площадь барабанной пере-
перепонки, находящейся в контакте с молоточком, равна 0,55 см2.
Площадь контакта стремечка с овальным окном равна 0,032 см2.
Каково усиление давления звуковой волны при передаче ее по-
посредством системы косточек среднего уха?
29. Уровень громкости звука от реактивного самолета на рас-
расстоянии 30 м от него равен 140 дБ. Каков уровень громкости на
расстоянии 300 м? Отражением от земли пренебречь.
30. Источник создает звук частотой 400 Гц, когда он нахо-
находится в покое. Затем он начинает двигаться к наблюдателю,
стоящему на месте, со скоростью 30 м/с. Какую частоту звука
будет воспринимать наблюдатель?
31. Звуковая волна с частотой 5000 Гц отражается от тела,
которое приближается к источнику звука со скоростью 3,30 м/с.
Чему равна частота отраженной волны?
32. Две машины движутся навстречу друг другу со скоро-
скоростями v\ = 20 м/с и V2 = 10 м/с. Первая машина дает сигнал
с частотой 800 Гц. Какой частоты сигнал услышит водитель
второй машины: а) до встречи машин, б) после встречи машин?
33. Скорость движения эритроцита в артерии равна 0,3 м/с.
Скорость ультразвука — 1500 м/с, частота — 100 кГц. Найти до-
плеровский сдвиг частоты, если эритроцит движется навстречу
технической системе.
588 Семинар 10. Механические колебания и волны. Звук
34. Определить длину волны ультразвука в воздухе при ча-
частоте 1010 Гц и в воде при частоте 1013 Гц. Принять скорость
в воде v = 330 м/с, в жидкости v = 1500 м/с.
35. Оценить верхнюю границу (частоту) ультразвука в воз-
воздухе, если известна его скорость распространения v = 330 м/с.
Считать, что молекулы воздуха имеют размер порядка d =
= Ю-10 м.
36. В физиотерапии используется ультразвук частотой v =
= 800 кГц и интенсивностью 1 = 1 Вт/см2. Найти: амплитуду
колебания молекул; амплитудное значение ускорения молекул;
амплитудное значение избыточного звукового давления при воз-
воздействии ультразвука.
37. Даны плотности соответственно для масла, воздуха, воды:
рх = 800 кг/м3, р2 = 1,3 кг/м3, рз — Ю00 кг/м3 и скорости
ультразвука в них: v\ = v% = 1500 м/с, V2 = 330 м/с. Найти
коэффициент отражения на границе воздух-вода, масло-вода.
38. Плотность здоровой мышечной ткани р = 1060 кг/м3.
Ее волновое сопротивление равно Ra = 1,63 • 106 кг/(м2с). При
диагностировании патологических изменений ультразвуковым
методом отраженный сигнал был принят через t = 2 • 10~5 с
после излучения. На какой глубине L в мышечной ткани была
обнаружена неоднородность?
С еминар 11
СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ
Вопросы для подготовки
1. Уравнение неразрывности струи.
2. Уравнение Бернулли.
3. Уравнение Ньютона.
4. Формула Стокса.
5. Формула Пуазейля.
6. Число Рейнольдса.
§ 11.1. Основные формулы
Уравнение неразрывности струи:
s1v1 = s2v2- (ii.i)
Уравнение Бернулли:
pi + pV?/2 + pghx =р2 + pVi/2 + pgh2, A1.2)
где pi и р2 — статические давления жидкости в двух сечениях
трубки тока, V\ и V2 — скорости течения жидкости в этих сече-
сечениях, h\ и h2 — высоты сечения над некоторым уровнем, р —
плотность жид кости.
Уравнение Ньютона внутреннего трения в жидкости:
F = -r]S(dV/dx), A1.3)
где S — площадь соприкосновения слоев, dV/dx — градиент
скорости, г\ — коэффициент внутреннего трения (вязкость).
Сила сопротивления, испытываемая шариком небольшого
радиуса г при падении в вязкой жидкости (формула Стокса):
F = бтггУг], A1.4)
где V — скорость движения шарика.
Объем жидкости, протекающей за время t = 1 с через сече-
сечение цилиндрической трубы (формула Пуазейля):
A1.5)
590 Семинар 11. Свойства жидкостей
где L — длина участка трубы, на концах которого поддержива-
поддерживается разность давлений {р\ — Р2)-
Число Рейнольдса:
Re = DVp/r] = DV/v, A1.6)
где D — диаметр трубы, г\ — динамическая вязкость, v = т\/р —
кинематическая вязкость.
§ 11.2. Задания
1. В дне сосуда цилиндрической формы имеется круглое от-
отверстие диаметром 1 см. Диаметр сосуда 0,5 м. Найти зависи-
зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты этого
уровня. Определить значение этой скорости для высоты 0,2 м.
2. В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом
2 см вставлен капилляр с внутренним радиусом 1 мм и длиной
2 см. В сосуд налито касторовое масло, вязкость которого г] =
= 1,2 Пас Найти зависимость скорости понижения уровня ка-
касторового масла в сосуде от высоты этого уровня над капилля-
капилляром. Найти численное значение этой скорости при высоте 26 см.
Плотность масла считать приблизительно равной р = 103 кг/м3.
3. На какую высоту поднимается вода в трубке, впаянной
в узкую часть горизонтальной трубки диаметром d = 2 см, если
в широкой части трубы диаметром D = 6 см скорость воздуха
равна 80 см/с при давлении 1 атм? Плотность воздуха р =
= 1,32 кг/м3, плотность воды р = 1000 кг/м3.
4. Определить работу при однократном сокращении левого
желудочка, если при этом в аорту со скоростью 0,5 м/с нагне-
нагнетается 60 мл крови против давления 13 кПа. Плотность крови
р = 1050 кг/м3.
5. Гидростатическое давление крови обусловлено собствен-
собственным весом крови. Давление крови (систолическое) на уровне
сердца человека равно 16 кПа. Определить полное давление на
уровне головы, расположенной на 0,4 м выше сердца, и на уровне
ступни, расположенной на 1,5 м ниже сердца. Плотность крови
р = 1050 кг/м3.
6. Человек в вертикальном положении движется вверх с уско-
ускорением Ag. Определить полное давление в сосудах головного
мозга и в сосудах на уровне ступни (см. задачу 5).
§11.2. Задания 591
7. Вывести формулу для распределения скорости жидкости
по сечению трубы.
8. При атеросклерозе число Рейнольдса в некоторых сосудах
становится равным 1160. Определить скорость, при которой воз-
возможен переход ламинарного течения крови в турбулентное в со-
сосуде диаметром 2,5 мм. Плотность крови равна р = 1050 кг/м3,
вязкость крови равна г\ = 5 • 10~3 Пас
9. Определить характер течения крови по сосудам разного
сечения: D = 2 мм, D = 2 см. (Использовать данные задачи 8).
10. Для воздуха, в котором взвешены частицы пыли, вязкость
равна г] = 0,000175 Па-с. Плотность вещества частиц пыли равна
р = 2,5 г/см3. Считая пылинки шариками с радиусом 5 мкм,
определить скорость падения пылинок при условии полной непо-
неподвижности воздуха. Плотность воздуха р = 1,29 кг/м3.
11. Определить скорость оседания эритроцитов в плазме кро-
крови (в мм/ч), исходя из предположения, что они имеют форму
шариков диаметром 7 мкм (не склеивающихся между собой).
Плотность крови ро — Ю50 кг/м3, плотность эритроцитов р =
= 1092 кг/м3, вязкость крови г] = 5 • 10~3 Па-с.
12. Во сколько раз меняется скорость оседания эритроцитов
у людей, больных сфероцитозом, по сравнению с нормой, если
средний радиус эритроцита при этом увеличивается в 1,5 раза?
13. При инъекции возникает необходимость быстрого введе-
введения лекарственного вещества. В каком случае процедура пройдет
быстрее: при увеличении давления в 2 раза или при увеличении
диаметра иглы в 2 раза (длины игл одинаковы)?
14. Внутренние диаметры двух игл равной длины, присоеди-
присоединенных к одинаковым шприцам, относятся как 1 : 2. В каком
отношении будут находиться объемы жидкостей, выбрасывае-
выбрасываемых в единицу времени через иглы, если на поршни шприцов
действуют с одинаковой силой?
С еминар 12
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТЕЛ
И БИОТКАНЕЙ
Вопросы для подготовки
1. Способы деформирования тел.
2. Виды деформации.
3. Закон Гука.
4. Диаграмма растяжения.
5. Механические модели.
§ 12.1. Основные формулы
Механическое напряжение:
а = F/S, A2.1)
где F — сила, S — площадь поперечного сечения.
Относительная деформация сжатия (растяжения):
е = Аж/ж0, A2.2)
где Ах — удлинение (абсолютная деформация), xq — первона-
первоначальная длина образца.
Закон Гука:
а = Е-е, A2.3)
где Е — модуль Юнга.
Скорость продольной волны:
V = VWp- A2.4)
Скорость поперечной волны:
V = ^СГр, A2.5)
где G — модуль сдвига.
§ 12.2. Задания
593
Механические характеристики некоторых материалов
Материал
Сталь
Дерево
Бетон
Кость
Сухожилия
Мышцы
Модуль Юнга (Н/м2)
2 • 1011
МО7
3 • Ю1^
3-Ю9
МО9
8-106
Предел прочности (Па)
^пр (растяжение)
5-Ю8
4-Ю7
2-106
13 • 107
6-Ю7
МО7
<тпр (сжатие)
5- 108
3-Ю7
2 • 107
17-Ю7
—
—
§ 12.2. Задания
1. Сухожилие длиной 0,12 м и площадью поперечного сечения
2 • 10~6 м2 при нагрузке 68,8 Н удлинилось на 2,9 • 10~3 м.
Определить модуль Юнга.
2. Определить силу тяги трехглавой мышцы голени при удер-
удерживании человека на носках, если в этот момент времени сила
тяжести тела Р = 500 Н проходит относительно оси голеностоп-
голеностопного сустава спереди на расстоянии 0,1 м (п), а плечо мышечной
тяги равно 0,04 м (гг).
3. Вычислить запас прочности бедренной кости штангиста
массой 80 кг, при поднятии им штанги весом 160 кг, если диа-
диаметр d бедренной кости 30 мм. Допустимое напряжение равно
15 • 107 Н/м2.
4. Нагрузка на бедренную кость, равная 1800 Н, при сжа-
сжатии вызывает относительную деформацию 3 • 10~4. Определить
эффективную площадь поперечного сечения кости, если модуль
упругости ее равен 2 • 109 Па.
5. Определить удлинение сухожилия длиной 5 см и диамет-
диаметром 4 мм под действием силы 31,4 Н. Модуль упругости сухожи-
сухожилия равен 109 Па.
6. Какая сила необходима для разрушения путем сжатия бед-
бедренной кости диаметром 30 мм и толщиной стенок 3 мм, если
предел прочности кости равен 1,4 • 108 Па?
7. Определить эффективный модуль упругости портняжной
мышцы лягушки, если при возрастании приложенного к мышце
напряжения от 10 до 40 кПа ее длина увеличилась от 0,032
до 0,34 м.
594 Семинар 12. Механические свойства тел и биотканей
8. Рояльная проволока имеет диаметр 0,20 см и длину 1,6 м.
Какое натяжение испытывает проволока, когда при закреплении
в инструменте ее удлиняют на 0,30 см?
9. Определить относительное удлинение скелетной мышцы,
моделируемой телом Кельвина-Фойгта, за 3 мин, если модуль
упругости мышцы 1,2 МПа, площадь поперечного сечения
0,8 • 10~8 м2, а нагрузка на мышцу равна 6,3 Н. Вязкость
вещества мышцы равна 1,25 г/(см-с).
10. Рассчитать относительное удлинение скелетной мышцы,
предполагая, что ее механические свойства можно описать моде-
моделью чисто вязкого элемента. Условия взять из задачи 9.
11. Скорость распространения поверхностной сдвиговой вол-
волны в нормальной коже равна 50 м/с. Определить модуль сдвига
кожи.
12. Скорость распространения поверхностной сдвиговой вол-
волны в рубцовой ткани (келоид) равна 130 м/с. Определить модуль
сдвига для рубцовой ткани.
13. Скорость распространения поверхностной волны в коже
ладони равна 60 м/с. Определить длину волны, если частота
равна 6 кГц.
С еминар 13
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ. ДИФРАКЦИЯ.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Вопросы для подготовки
1. Интерференция света. Явление интерференции в тонких плен-
пленках. Интерферометрия.
2. Дифракция света. Дифракционная решетка.
3. Поляризация света. Оптическая активность.
§ 13.1. Интерференция света
Оптическая длина пути:
L = x-n, A3.1)
где х — геометрическая длина пути, п — показатель преломления
среды.
Соотношение между разностью фаз Аср и оптической разно-
разностью хода ё:
A3.2)
где Л — длина волны в вакууме.
Условие интерференционного максимума:
S = k\, k = О, 1, 2, ... A3.3)
Условие интерференционного минимума:
6 = Bfc + l)A/2. A3.4)
Условие интерференционного максимума в тонкой пленке
(отражение):
2bVn2-sm2i = Bk + 1)Л/2, A3.5)
где L — толщина пленки, i — угол падения. В формуле учтена
«потеря» полуволны при отражении от оптически более плотной
среды.
596 Семинар 13. Интерференция. Дифракция. Поляризация света
Условие интерференционного минимума в тонкой пленке
(отражение):
2bVn2-sm2i = k\. A3.6)
Для интерференции в проходящем свете условия обратные.
§ 13.2. Дифракция света
Условие максимума:
asma = ±Bk + l)\/2. A3.7)
Условие минимума: при дифракции на щели (нормальное
падение):
a -sina = ±/сА, A3.8)
где а — ширина щели, а — угол отклонения.
Основная формула дифракционной решетки (главный мак-
максимум):
d-sma = ±k\, A3.9)
где d — постоянная решетки.
Угловая дисперсия:
D = da/dX. A3.10)
Угловая дисперсия дифракционной решетки (расчетная фор-
формула) :
D = k/(dcosa). A3.11)
Разрешающая способность дифракционной решетки:
R = \/A\ = kN. A3.12)
§ 13.3. Поляризация света
Закон Малюса:
I = I0cos2 ср. A3.13)
Закон Брюстера:
tgiB = п. A3.14)
Угол поворота плоскости поляризации
• в оптически активном веществе:
а = а0/; A3.15)
• в растворе оптически активного вещества:
а = аос1, A3.16)
где с — концентрация в относительных единицах.
§ 13.4. Задания 597
§ 13.4. Задания
1. Разность хода волн от двух интерферирующих источников
равна 0,2А. Чему равна при этом разность фаз? Каков результат
интерференции?
2. Разность хода волн от двух когерентных источников света
в некоторой точке экрана равна 4,36 мкм. Каков результат ин-
интерференции, если длина волны равна: 670, 438, 536 нм?
3. На мыльную пленку (п = 1,36) падает белый свет под
углом 45°. При какой наименьшей толщине пленки, при рассмат-
рассматривании ее в отраженном свете, пленка будет представляться
окрашенной в желтый цвет (Л = 600 нм)? Как изменится окраска
пленки, если она будет набухать? усыхать (без изменения пока-
показателя преломления)?
4. Мыльная пленка толщиной 0,3 мкм освещается белым све-
светом под углом падения г = 0 и рассматривается в отраженном
свете. Какого цвета будет при этом представляться пленка, если
показатель преломления мыльного раствора равен 1,33? Что
будет при изменении толщины пленки? Где это имеет место
в природе? Что будет, если изменить угол падения?
5. Интерферометр освещается монохроматическим светом
с А = 589 нм. Длина кюветы / = 10 см. Когда воздух в одной
кювете заменили на аммиак, интерференционная картина на
экране сместилась на 17 полос. Показатель преломления воздуха
п = 1,000277. Определить показатель преломления аммиака.
Как изменится картина, если систему освещать белым светом?
6. Два громкоговорителя расположены на расстоянии 1 м
друг от друга. В 4 м от одного из них находится человек. Гром-
Громкоговорители воспроизводят звук на частоте 1150 Гц. На каком
минимальном расстоянии от второго громкоговорителя должен
находиться человек, чтобы почувствовать интерференцию с уси-
усилением?
7. Оранжевый свет с длиной волны 610 нм, и зеленый свет
с длиной волны 540 нм проходят через дифракционную решетку,
имеющую 4000 штрихов на сантиметр. Чему равно угловое рас-
расстояние между оранжевым и зеленым максимумами: а) первого
порядка, б) третьего порядка?
598 Семинар 13. Интерференция. Дифракция. Поляризация света
8. В спектре, полученном от дифракционной решетки с чис-
числом щелей N = 100 000, имеются две линии вблизи длины волны
600 нм. Могут ли в спектре 3-го порядка эти линии соответство-
соответствовать длинам волн 600,00 и 600,01 нм?
9. Найти наибольший порядок спектра для желтой линии
натрия 589 нм, если постоянная решетки равна 2 мкм.
10. Чему равна постоянная дифракционной решетки, если
в спектре 2-го порядка красная линия G00 нм) видна под уг-
углом 30°?
11. Длина волны света, падающего на щель перпендикуляр-
перпендикулярно, укладывается в ширине щели 6 раз. Под каким углом будет
видеться 3-й дифракционный минимум?
12. Чему равен угол между главными плоскостями поляриза-
поляризатора и анализатора, если интенсивность естественного света, про-
прошедшего через поляризатор и анализатор, уменьшилась в 4 раза?
13. Плоскости поляризации двух призм Николя, поставлен-
поставленных на пути луча, образуют между собой угол в 30°. Как изме-
изменится интенсивность света, прошедшего через эти призмы, если
угол между их плоскостями поляризации станет 60°?
14. Параллельный пучок света падает нормально на пластин-
пластинку исландского шпата, вырезанную параллельно оптической оси
кристалла. Толщина пластинки равна 0,03 нм. Показатели пре-
преломления вещества для обыкновенного и необыкновенного лучей
равны 1,659 и 1,486, соответственно. Определить разность хода
лучей по выходе из пластинки.
15. Определить удельное вращение для раствора сахара, кон-
концентрация которого равна 0,33 г/см3, если при прохождении
света через трубку с раствором угол поворота плоскости поля-
поляризации равен 22°. Длина трубки равна 10 см.
16. Определить толщину кварцевой пластинки, для которой
угол поворота плоскости поляризации света с длиной волны
509 нм равен 180°. Постоянная вращения в кварце для этой
длины волны равна 29,7 град/мм.
Семинар 14
ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ГЛАЗА.
МИКРОСКОПИЯ
Вопросы для подготовки
1. Линзы. Оптическая сила линзы. Аберрации линз.
2. Понятие о центрированной оптической системе.
3. Глаз как центрированная оптическая система. Аккомодация.
4. Угол зрения. Разрешающая способность глаза. Наименьший
угол зрения. Острота зрения.
5. Микроскоп. Ход лучей в микроскопе. Увеличение микроскопа.
6. Разрешающая способность микроскопа. Предел разрешения.
§ 14.1. Основные формулы
Оптическая сила линзы:
D = 1//, A4.1)
где / — фокусное расстояние линзы.
Оптическая сила системы линз, расположенных вплотную:
?>общ = #1 + D2 + . . . + Dn. A4.2)
Связь между размерами предмета (В) и размерами его изоб-
изображения F) на сетчатке:
A4.3)
где I и L — расстояния от узловой точки до изображения и до
предмета, соответственно.
Связь между остротой зрения (V) и наименьшим углом
зрения (/3):
V = 1//3. A4.4)
Предел разрешения микроскопа:
Z = 0,5А0/[п • sin(tz/2)], A4.5)
где Ао — длина волны в вакууме, п — показатель преломления
среды, и — апертурный угол.
600 Семинар 14. Оптическая система глаза. Микроскопия
Разрешающая способность а отверстия с диаметром d огра-
ограничена дифракцией и равна:
а = (l,22A)/d. A4.6)
§ 14.2. Задания
1. Оптическая сила линзы составляет 3 дптр. Чему равно
фокусное расстояние линзы?
2. Фокусные расстояния у двух линз равны, соответственно:
F\ = +0,4 м, F2 = —0,4 м. Чему равна оптическая сила каждой
линзы?
3. Определить оптическую силу для двух систем линз:
а) собирающая линза D\ = 1 дптр и рассеивающая линза
F2 = 40 см;
б) собирающая линза F\ = 1 м и собирающая линза D2 =
= 1,5 дптр.
4. Суммарная преломляющая сила аппарата глаза представ-
представляет собой алгебраическую сумму рефракций (оптических сил)
всех основных преломляющих сред: роговица Dp = 42-43, хру-
хрусталик Z)xp = 19-33, передняя камера Dn/K = 2-4, стекловид-
стекловидное тело DCT/T = 5-6 дптр. Рассчитать оптическую силу глаза
в состоянии покоя и при напряжении (рассматривание близких
предметов).
5. Рассчитать оптическую силу системы линз глаза при пол-
полной аккомодации, принимая расстояние от роговицы до предмета
а\ = 25 см, расстояние от роговицы до изображения на сетчатке
CL2 = 23 ММ.
6. Человек, страдающий дальнозоркостью, способен сфоку-
сфокусировать зрение на предмете, если предмет находится на рассто-
расстоянии 60 см. Какие очки нужны для исправления этого дефекта?
7. Абсолютная световая чувствительность зрительных кле-
клеток определяется величиной биопотенциала, возникающего при
световом раздражении. Сравнить светочувствительности зри-
зрительных клеток, если для палочек световая чувствительность
составляет 13 мВ, а для колбочек — 0,12 мВ.
8. Сравнить максимумы чувствительности зрительного вос-
восприятия, если при восприятии палочками максимум приходится
§ 14.2. Задания 601
на длину волны Л = 510 нм, при восприятии колбочками — на
Л = 554 нм.
9. Сравнить время достижения амплитудного значения био-
биопотенциала: для колбочек это время составляет 100 мс, для
палочек — 300 мс.
10. Угловой предел разрешения составляет 5 угловых минут.
Во сколько раз ниже острота зрения по сравнению с нормой?
11. Нормальный глаз человека на расстоянии наилучшего
зрения различает две точки, удаленные одна от другой на
70 мкм. Размер изображения на сетчатке в этом случае равен
среднему расстоянию между двумя колбочками. Оценить предел
разрешения глаза, принимая диаметр зрачка d = 2 мм, а длину
волны Л = 555 нм. (Формулу для предела разрешения микроско-
микроскопа можно использовать и для глаза).
12. В каком случае большую роль играет дифракция в гла-
глазу: при большей или меньшей яркости света? Чем объясняется
нерезкость изображения в сумерках?
13. Сравнить изображение на сетчатке глаза при рассматри-
рассматривании предмета: а) невооруженным глазом, б) лупой.
14. Чему равно разрешаемое (различаемое) с помощью лупы
расстояние между двумя точками при 10-кратном увеличении?
15. Линза с фокусным расстоянием 0,8 см используется в ка-
качестве объектива микроскопа с фокусным расстоянием окуляра,
равным 0,2 см. Оптическая длина тубуса равна 18 см. Какое
увеличение у этого микроскопа?
16. Определить предел разрешения для сухого и иммерсион-
иммерсионного объектива (п = 1,55), для апертурного угла и = 140°.
17. Определить предел разрешения иммерсионного микро-
микроскопа, если пространство между предметом и линзой объектива
заполнено маслом с показателем преломления п = 1,55.
18. Чему равен предел разрешения, если числовая апертура
равна: Аг = 0,25, А2 = 0,65?
19. На каком угловом расстоянии должны располагаться
2 точечных источника света, которые может различить отверстие
диаметром 6 мм при свете с длиной волны 600 нм?
С еминар 15
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Вопросы для подготовки
1. Природа теплового излучения.
2. Характеристики теплового излучения.
3. Законы теплового излучения.
4. Излучение Солнца.
5. Использование теплового излучения в медицине.
§ 15.1. Основные формулы
Спектральная плотность энергетической светимости:
r = dR/d\. A5.1)
Энергетическая светимость тела:
оо
Re = I rd\. A5.2)
о
Коэффициент поглощения:
OL = Фпогл/Фпад, A5.3)
где Фпогл — поток излучения, поглощенного данным телом,
Фпад — поток излучения, падающего на тело.
Закон Кирхгофа:
(r/a)i = (r/aJ = ... = г, A5.4)
где е — спектральная плотность энергетической светимости чер-
черного тела.
Формула Планка:
е = 2tt/ic2/A5 • {l/[exp(hc/kTX) - 1]}, A5.5)
где h = 6,63 • 10~34 Дж-с — постоянная Планка.
Закон Стефана-Больцмана:
Re = аТ4, A5.6)
§ 15.2. Задания 603
где а = 5,66 • ИГ8 Вт/(м2К4).
Закон Вина:
Атах = Ь/Т, A5.7)
где b = 0,289 • 10 м-К.
Энергия фотона:
Е = hi/. A5.8)
Мощность, теряемая телом при взаимодействии с окружа-
окружающей средой посредством излучения:
P = Saa(Tt-T*), A5.9)
где S — площадь поверхности, Т\ — температура поверхности,
То — температура окружающей среды.
§ 15.2. Задания
1. Найти температуру печи, если известно, что из отверстия
в ней размером 6,1 см2 излучается 34,8 Дж в секунду. Излучение
считать близким к излучению абсолютно черного тела.
2. Поверхность тела нагрета до температуры 1000 К. Затем
одна половина этой поверхности нагревается на 200 К, другая
охлаждается на 200 К. Во сколько раз изменится суммарная
энергетическая светимость поверхности этого тела?
3. Определить количество энергии, излучаемой ежесекундно
1 см2 поверхности стальной болванки, имеющей температуру
Т = 1000 К, если коэффициент поглощения стали при этой
температуре равен 0,7.
4. Кусок железа при температуре 800° С светится ярким
красным светом. Кусок кварца при этой же температуре не
светится. Объяснить причину этого явления.
5. В каких областях спектра лежат длины волн, соответству-
соответствующие максимуму излучательной способности, если в качестве
источника света взяты:
а) спираль электрической лампочки при Т = 3000 К,
б) поверхность Солнца при Т = 6000 К,
в) атомная бомба, имеющая в момент взрыва Т = 107 К?
Излучение считать близким к излучению абсолютно черного
тела.
604 Семинар 15. Тепловое излучение
6. На какую длину волны приходится максимум излучатель-
ной способности абсолютно черного тела, имеющего температу-
температуру, равную температуре человеческого тела t = 37 °С?
7. Вследствие изменения температуры абсолютно черного
тела, максимум излучательной способности сместился с 2400 нм
на 800 нм. Как и во сколько раз изменится энергетическая све-
светимость тела?
8. Исследование спектра испускания Солнца, которое прини-
принимается за абсолютно черное тело, показывает, что максимум ис-
пускательной способности соответствует длине волны 4,7-10~7 м.
Определить солнечную постоянную. Радиус Солнца 6,95 • 108 м,
расстояние от Земли до Солнца составляет 1,5 • 1011 м.
9. Нить накала в электролампе имеет площадь поверхности
1 см2 и нагревается до Т = 3000 К. При этом коэффициент
поглощения а = 0,34. Найти энергетическую светимость лампы.
10. Температура черного тела Т = 1000 К. На сколько про-
процентов изменится его энергетическая светимость при повышении
температуры на AT = 1 К?
11. Температура поверхности кожи раздетого человека рав-
равна 33°С, температура окружающей среды равна 18 °С. Опре-
Определить мощность, теряемую человеком с единицы поверхности
тела при взаимодействии с окружающей средой посредством
излучения.
12. Человек одет в хлопчатобумажную одежду, температу-
температура поверхности которой равна 24°С. Температура окружающей
среды равна 18 °С. Определить мощность, теряемую человеком
с единицы поверхности при взаимодействии с окружающей сре-
средой посредством излучения.
13. Найти максимальную спектральную плотность энергети-
энергетической светимости при заданной температуре.
С еминар 16
РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Вопросы для подготовки
1. Природа рентгеновского излучения.
2. Тормозное и характеристическое рентгеновское излучение.
3. Взаимодействие рентгеновского излучения с веществом.
4. Ослабление потока рентгеновского излучения в веществе.
5. Использование рентгеновского излучения в медицине.
§ 16.1. Основные формулы
Граница спектра тормозного рентгеновского излучения:
а) в единицах СИ (длина волны — в метрах, напряжение —
в вольтах):
Amin = hc/eU, A6.1)
б) в «практических» единицах (длина волны — в нм, напря-
напряжение в кВ):
Amin = 1,23/U, A6.2)
где U — напряжение в рентгеновской трубке.
Поток тормозного рентгеновского излучения:
Ф = kIU2Z, A6.3)
где / — сила тока в рентгеновской трубке, Z — порядковый номер
элемента вещества анода, к = 10~9 В.
Закон ослабления потока рентгеновского излучения в веще-
веществе:
ф = ф0 . ехр(-//ж), A6.4)
где \i — линейный коэффициент ослабления.
Массовый коэффициент ослабления:
/im = &A3Z3, A6.5)
где р — плотность вещества.
606 Семинар 16. Рентгеновское излучение
Соотношения единиц энергии:
1 эВ = 1,6 • 109 Дж. A6.6)
§ 16.2. Задания
1. Найти границу тормозного рентгеновского излучения (ча-
(частоту и длину волны) для напряжений U = 2 кВ и U = 20 кВ.
2. Найти поток рентгеновского излучения при U = 10 кВ,
1 = 1 мА. Анод изготовлен из вольфрама (Z = 74). Скольким
фотонам в секунду соответствует этот поток, если допустить, что
излучается электромагнитная волна, длина которой равна 1/2
от длины волны, соответствующей границе спектра тормозного
рентгеновского излучения?
3. Считая, что поглощение рентгеновского излучения не за-
зависит от того, в каком соединении атом представлен в веществе,
определить, во сколько раз массовый коэффициент ослабления
кости [Саз(РС>4J] больше массового коэффициента ослабления
воды.
4. Для рентгенодиагностики мягких тканей применяют кон-
контрастные вещества. Например, желудок и кишечник заполняют
массой сульфата бария BaSO4- Сравнить массовые коэффициен-
коэффициенты ослабления сульфата бария и мягких тканей (воды).
5. Определить граничную длину волны тормозного излуче-
излучения, полученного при попадании в мишень пучка электронов
с энергией 80 кВ.
6. Вольфрамовая мишень бомбардируется электронами
с энергией 65 кэВ, 75 кэВ. Описать получаемые излучения.
7. Электроны, ускоренные разностью потенциалов
U\ = 15 кВ и U2 = 25 кВ, бомбардируют молибденовую
мишень. Определить граничные длины волн генерируемого
рентгеновского излучения.
С еминар 17
ДОЗИМЕТРИЯ ИОНИЗИРУЮЩЕГО
ИЗЛУЧЕНИЯ
Вопросы для подготовки
1. Основной закон радиоактивного распада. Активность.
2. Виды радиоактивного распада.
3. Поглощенная доза, мощность поглощенной дозы.
4. Экспозиционная доза, мощность экспозиционной дозы.
5. Эквивалентная доза, мощность эквивалентной дозы. Соотноше-
Соотношения между дозами.
6. Эффективная эквивалентная доза.
7. Предельно допустимая доза.
8. Летальные дозы облучения.
9. Способы защиты от ионизирующего излучения.
10. Биофизические основы действия ионизирующего излучения.
§ 17.1. Основные формулы
Основной закон радиоактивного распада:
N = Noexp(-\t) = N02^t/T\ A7.1)
где Л — постоянная распада, Т — период полураспада.
Связь Т и А:
Т = 1п2/Л. A7.2)
Активность:
А = -dN/dt, A = In 2 • N/T = N • Л. A7.3)
Поглощенная доза:
D = Е/т. A7.4)
Мощность поглощенной дозы:
Р = D/t. A7.5)
Связь между поглощенной дозой и экспозиционной дозами:
D = /X, A7.6)
608
Семинар 17. Дозиметрия ионизирующего излучения
где / — коэффициент эквивалентности (энергетический эк-
эквивалент рентгена).
Связь между эквивалентной и поглощенной дозами:
Н =
где к — коэффициент качества.
Мощность экспозиционной дозы:
X/t = kA/r2,
A7.7)
A7.8)
где к — постоянная, А — активность, г — расстояние.
Соотношения между единицами доз приведены в табл. 17.1.
Таблица 17.1
Доза
Поглощенная
доза
Мощность
поглощенной
дозы
Экспозиционная
доза
Мощность
экспозиционной
дозы
Эквивалентная
доза
Мощность
эквивалентной
дозы
Единицы в СИ
Дж/кг = Гр (Грей)
1 Гр = 100 рад
Вт/кг = Гр/с
Кл/кг
Кл/кг = 3876 Р
Кл/(кг • с) = А/кг
(ампер на кг)
Дж/кг = Зв (Зиверт)
1 Зв = 100 бэр
Зв/с = Дж/(кг • с)
Внесистемные
единицы
рад
1 рад = 10 Гр
рад/с
Р (рентген)
1 Р = 2,5810~4 Кл/кг
Р/с
бэр
1 бэр = 10~2 Зв
бэр/с
Нормы радиационной безопасности (предельно допустимая
эквивалентная доза за год):
ПДД для взрослого населения 0,5 бэр/год
ПДД для детей и беременных женщин 0,17 бэр/год
ПДД для профессионалов 5,0 бэр/год
Дозы облучения при медицинских обследованиях представле-
представлены в табл. 17.2.
§ 17.2. Задания
609
Таблица 17.2
Ткани органа
Легкие
Желудок
Пищевод
Метод обследования
Рентгеноскопия
3,5 Р
25 Р
8,5 Р
Рентгенография
0,15 Р
0,46 Р
0,27 Р
Флюорография
1,1 Р
-
-
Предельно допустимые мощности экспозиционной дозы:
норма — 0,02 мР/ч;
профессиональная норма — 0,57 мР/ч.
Летальные дозы (ЛД) для облучения всего организма:
ЛД50 - 400 Р; ЛД90 - 800 Р.
Формы лучевой болезни представлены в табл. 17.3.
Таблица 17.3
Поглощенная доза
при однократном
облучении
1-4 Гр
4-6 Гр
6-10 Гр
10-100 Гр
Патологический процесс
Развитие иммунодефицита, опухоль кожи,
уменьшение количества клеток в тимусе
ЛД50, костномозговая форма
Кишечная форма (менее 2 недель)
ЛД90, церебральная форма (несколько
часов)
§ 17.2. Задания
1. Телом массой т = 60 кг в течение 6 ч была поглощена
энергия Е = 1 Дж. Найти поглощенную дозу и мощность погло-
поглощенной дозы в единицах СИ и во внесистемных единицах.
2. В ткани массой 10 г поглощается 109 а-частиц с энерги-
энергией Е = 5 Мэв. Найти поглощенную дозу. Коэффициент качества
для а-частиц К = 20.
3. Мощность экспозиционной дозы 7"излучения на расстоя-
расстоянии 1 м от точечного источника составляет Рэкс = 2-10~7 Кл/(кг-
•с). Определить минимальное расстояние от источника, на кото-
котором можно ежедневно работать по 6 ч без защиты, ПДДЭКС = 5 •
•10~2 Дж/кг (в течение года). Поглощение 7-излучения воздухом
не учитывать.
20 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
610 Семинар 17. Дозиметрия ионизирующего излучения
4. Средняя мощность экспозиционной дозы в рентгеновском
кабинете равна 6 • 10~12 Кл/(кг • с). Врач находится в кабинете
в течение 5 ч. Какова его доза облучения за 6 рабочих дней?
5. На сколько градусов увеличится температура фантома
(модели человеческого тела) массой 80 кг, если его теплоемкость
4,2 • 103 Дж/кг при дозе облучения 600 рад?
6. Какова ПД мощность экспозиционной дозы при посто-
постоянном облучении всего тела, если за 1 год норма составляет
0,17 бэр?
7. Какой толщины нужно взять материал, чтобы ослабить
дозу рентгеновского или 7-излучения в 2 раза?
8. Определить предельно допустимые мощности дозы
для обычного человека и профессионала, если соответственно
ПДДэкв! = 0,5 бэр, ПДДэкв2 = 5 бэр.
Литература
1. Антонов В.Ф., Черныш A.M., Пасечник В.И., Вознесенский С.А.,
Козлова Е.К. Биофизика. — М.: Владос, 2000.
2. Баврин И. И. Краткий курс высшей математики для химико-
биологических и медицинских специальностей. — М.: Физматлит,
2003.
3. Белановский А.С. Основы биофизики в ветеринарии. — М.: ВО
Агропромиздат, 1989.
4. Березовский В.А., Колотилов П.П. Биофизические характеристи-
характеристики тканей человека. Справочник. — Киев: Наукова думка, 1990.
5. Блохина М.Е., Эссаулова И.А., Макарова Г.В. Руководство к лабо-
лабораторным работам по медицинской и биологической физике. — М.:
Дрофа, 2001.
6. Боголюбов В.М., Пономаренко Г.П. Общая физиотерапия. — М.,
СПб. 1998.
7. Богомильский М.Р., Ремизов А.Н. Кохлеарная имплантация. — М.:
Медицина, 1986.
8. Бранков Г. Основы биомеханики. — М.: Мир, 1981.
9. Владимиров Ю.А., Рощупкин Д.И., Потапенко А.Я., Деев А.И.
Биофизика. — М.: Медицина, 1983.
10. Газенко О.Г., Кальвин М. Основы космической биологии и меди-
медицины. — М.: Наука, 1975.
11. Глазер Р. Очерки основ биомеханики. — М.: Мир, 1988.
12. Губанов Н.И., Утепбергенов А.А. Медицинская биофизика. — М.:
Медицина, 1978.
20*
612 Литература
13. Джанколи Д. Физика (в 2-х томах). — М.: Мир, 1989.
14. Дубровский В. И. Спортивная медицина. — М.: Владос, 1999.
15. Корту ков Е.В., Воеводский В. А., Павлов Ю.К. Основы материа-
материаловедения. — М.: Высшая школа, 1988.
16. Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. — М.: Физматлит,
2003.
17. Медицинская биофизика / под ред. Самойлова В.О. — Л.: из-во
Военно-медицинской академии, 1986.
18. Мухарлямов Н.М. Клиническая ультразвуковая диагностика. —
М.: Медицина, 1987.
19. Обрубов С.А., Сидоренко Е.И., Федорова В.Н., Дубовая Т.К., Дре-
валь А.А. Акустическая биомеханика глаза и ее значение для
клиники. — М.: из-во РГМУ, 2001.
20. Пивоваров Ю.П. Гигиена и экология человека. — М.: изд-во РГМУ,
1999.
21. Политехнический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1989.
22. Пономаренко Г.Н. Электромагнитотерапия и светолечение. — СПб:
Мир и семья, 1995.
23. Радиация, дозы, эффекты, риск. — М.: Мир, 1988.
24. Ремизов А.П. Медицинская и биологическая физика. — М.: Выс-
Высшая школа, 1987.
25. Справочник по элементарной математике, механике и физике. —
М.: Акалис, 1995.
26. Ремизов А.П., Исакова Н.Х., Максина А.Г. Сборник задач по ме-
медицинской и биологической физике. — М.: Высшая школа, 1987.
27. Ремизов А.Н., А.Г. Максина, А.Я. Потапенко Медицинская и био-
биологическая физика. — М.: Дрофа, 2003.
28. Ремизов А.П., Потапенко А.Я. Курс физики. — М.: Дрофа, 2002.
29. Роуэлл Л, Герберт С. Физика. — М.: Просвещение, 1994.
30. Словарь физиологических терминов. — М.: Наука, 1987.
31. Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энцик-
энциклопедия, 1983.
32. Lehrvaterial Physik/Biophysik, Teil 1/ Bereich Medizin der Humbold
Universitat, Institut fur medizinische Physik und Biophysik. 1986.
33. Ristanoyic D., Simonovic J., Vukovic J., Radavanovic R. Biofizika.
Beograd. — Zagreb: Medicinska Knjiga, 1981. 354.
Приложения
Фундаментальные физические константы
Константа
Скорость света в вакууме
Магнитная постоянная
Электрическая постоянная
Гравитационная постоянная
Постоянная Планка
в электрон-вольтах h/{e}
h/2ir
в электрон-вольтах fr{e}
Планковская масса (hc/GI^2
Элементарный заряд
Магнетон Бора eh/2me
Боровский радиус а/DтгЯоо)
Масса покоя электрона
Отношение заряда электрона
к его массе
Классический радиус
2
электрона а ао
Масса покоя протона
Отношение массы протона
к массе электрона
Масса покоя нейтрона
Масса покоя дейтрона
Постоянная Авогадро
Атомная единица массы
1 а.е.м. = — гаA2С)= ma.e.M.
Постоянная Фарадея
Универсальная газовая
постоянная
Постоянная Больцмана R/NA
Обоз-
наче-
начение
с
МО
G
h
п
тР
е
Мв
а0
те
е
те
ге
тр
тр
ТПе
ГПп
rrid
NA
а.е.м.
F
R
к
Числовое значение
299 792 458
4тг • 10 =
= 12,566 370 614...
(Мое2) =
= 8,854 187 817...
6,672 59(85)
6,626 075 5D0)
4,135 669 2A2)
1,054 572 66F3)
6,582 1220B0)
2,176 71A4)
1,602 177 33D9)
9,274 0154C1)
0,529 177 249B4)
9,109 389 7E4)
-1,758 819 62E3)
2,817 940 92C8)
1,672 6231A0)
1836,152 701C7)
1,674 9286A0)
3,343 5860B0)
6,022 1367C6)
1,660 5420A0)
96 485,309B9)
8,314 510G0)
1,380 658A2)
Размерность
и единица
физической
величины
м/с
Ю-7 Н/А2
10~12 Ф/м
ю-11
м3/(кг-с2)
10~34 Дж-с
Ю-15 эВ-с
Ю-34 Дж-с
10~16 эВ-с
10~8 кг
Ю-19 Кл
Ю-24 Дж/Тл
Ю-10 м
Ю-31 кг
1011 Кл/кг
10~15 м
10~27 кг
107 кг
Ю-27 кг
1023 моль
Ю-27 кг
Кл/моль
Дж/(моль-К)
10~23 Дж/К
614
Приложения
Основные единицы физических величин
и их размерности в СИ
Внесистемные единицы, допустимые к применению наравне с единицами
СИ, отмечены кружком
Величина
Наимено-
Наименование
Длина
Время
Масса
Темпера-
Температура
(термоди-
намиче-
намическая)
Количес-
Количество
вещества
i
Раз-
мер-
мерность
L
Т
М
0
N
Единица
Наименование
метр
° астрономичес-
астрономическая единица
длины
° световой год
°парсек
секунда
°минута
о
час
° сутки
килограмм
°тонна
° атомная еди-
единица массы
кельвин
° градус Цель-
Цельсия
моль
Обоз-
наче-
начение
м
а.е.
св.
год
ПК
с
мин
ч
сут
кг
т
а. е. м.
К
°с
моль
Определение
Метр равен длине пути, про-
проходимого светом в вакууме
за 1/299 792 458 секунды
1 а. е. = 1,49598 • 1011 м
1 св. год = 9,4605 • 101Б м
1 пк = 3,0857 • 1016 м
Секунда равна 9192 631770
периодов излучения, соот-
соответствующего переходу
между двумя сверхтонкими
уровнями основного сос-
состояния атома цезия-133
1 мин = 60 с
1 ч = 3600 с
1 сут = 86 400 с
Килограмм равен массе
международного прототипа
килограмма
1 т = 103 кг
1 а. е. м. = 1,6605655 •
• Ю-27 кг
Кельвин равен 1/273,16
части термодинамической
температуры тройной точки
воды
t/°C = Т/К -273,15
Моль равен количеству
вещества системы, содер-
содержащей столько же струк-
структурных элементов, сколь-
сколько содержится атомов в
углероде-12 массой 0,012 кг
Приложения
615
Продолжение
Величина
Наимено-
Наименование
Сила
электри-
электрического
тока
Сила све-
света
Раз-
мер-
мерность
/
J
Единица
Наименование
ампер
кандела
Обоз-
наче-
начение
А
кд
Определение
Ампер равен силе неизме-
неизменяющегося тока, который
при прохождении по двум
параллельным проводникам
бесконечной длины и ни-
ничтожно малой площади кру-
кругового поперечного сечения,
расположенным в вакууме
на расстоянии 1 м один
от другого, вызвал бы на
каждом участке проводника
длиной 1 м силу взаимодей-
взаимодействия, равную 2•10~7 Н
Кандела равна силе света
в заданном направлении ис-
источника, испускающего мо-
монохроматическое излучение
частотой 540 • 1012 Гц, энер-
энергетическая сила света кото-
которого в этом направлении со-
составляет 1/683 Вт/ср
Множители и приставки для образования десятичных кратных
и дольных единиц и их наименований
Множитель
ю18
ю15
ю12
ю9
106
103
ю2
ю1
Приставка
наимено-
наименование
эксо
пета
тера
гига
мега
кило
гекто
дека
обозна-
обозначение
Э
П
т
г
м
к
г
да
Множитель
Ю
ю-2
10
10"в
ю-9
ю-12
ю-15
10-18
Приставка
наимено-
наименование
деци
санти
МИЛЛИ
микро
нано
пико
фемто
атто
обозна-
обозначение
Д
с
м
мк
н
п
ф
а
Предметный указатель
Аберрация сферическая 347
— хроматическая 349
Абляция 499
Автоколебания 74
Автоволны 90
Аккомодация 353
Акустика 97
Анализатор 332
Анизотропия кожи 179
Альфа-распад 409
Апекскардиография 78
Апертура 365
Аппарат медицинский 290
Аппарат слуховой 121
Астигматизм 348
Апериодический разряд конден-
конденсатора 250
Аудиометрия 105
Аускультация 107
Баллистокардиография 78
Бета-распад 410
Биения 75
Биомагнетизм 518
Биомеханика глаза акустиче-
акустическая 358
Биопотенциал 223
Величина случайная 23
Вероятность случайного собы-
события 17
— безотказной работы 295
— доверительная 39
Вещества оптически активные
337
Вибрация 81
Видеоимпульсы 251
Вискозиметрия 157
Волновая функция 437
Волны когерентные 311
— механические 83
— поверхностные 89
— поперечные 84
— продольные 84
— пульсовые 192
— ударные 89
— электромагнитные 267
Волоконная оптика 343
Выборка 34
Предметный указатель
617
Высота тона 102
Вязкость динамическая 147
— кинематическая 152
— крови 147
Гальванизация 275
Гамма-излучение 412
Гемодинамика 187
Генератор 307
Гипотеза альтернативная 45
— нулевая 45
— статистическая 44
Гистограмма 36
Глаз близорукий 356
— дальнозоркий 357
—, строение 349
Глубина полупоглощения 126
Громкость звука 102
Группа событий полная 20
Давление звуковое 99
Датчик 298
—, чувствительность 299
Дарсонвализация 300
Декремент затухания логариф-
логарифмический 70
Детекторы ионизирующего из-
излучения 417
Деформация 163
—, тела, способы, изгиб 166
кручение 167
растяжение 163
сдвиг 166
Диамагнетики 514
Диатермия 279
Диатермокоагуляция 279
Динамокардиография 79
Диполь токовый 236
— электрический 231
Дисперсия случайной величины
26
— выборочная 37
— угловая дифракционной ре-
решетки 326
— импеданса 264
Дисторсия 348
Дифракция света 319
Дифракционная решетка 323
Диффузия 213, 214
Диэлектрики 202
Диэлектрическая проницае-
проницаемость 203
Длина волны 87
Доза излучения (поглощенная)
425
эквивалентная 426
экспозиционная 426
эффективная эквивалент-
эквивалентная 428
Дозиметрия 425
Доплеровский сдвиг частоты 94
^Кидкость ньютоновская 147
— неньютоновская 148
Жидкокристаллическое состоя-
состояние 213
Закон Бугера 453
— Бугера-Ламберта-Бера 455
— Вавилова 466
— Вебера-Фехнера 103
— Вина 375
— Гука 164
— Кулона 200
— Кирхгофа 373
— Малюса 332
— Мозли 396
— преломления 341
— ослабления рентгеновского
излучения 399
— отражения света 340
— радиоактивного распада 407
— Рэлея 459
— Стефана-Больцмана 374
— Стокса 464
618
Предметный указатель
Заряд электрона 199
Звук 97
—, скорость 98
—, уровень интенсивности 101
Излучение индуцированное 484
— спонтанное 484
— космическое 404
— рентгеновское 392
— рентгеновское тормозное 394
— рентгеновское характеристи-
характеристическое 395
— тепловое 370
— Солнца 377
Иммерсия 366
Импеданс 261
— тканей организма 263
Импульс электрический 251
Индуктотермия 283
Инжектор 144
Ингалятор 145
Инверсная населенность 486
Интенсивность волны 88
Интенсивность отказов 295
Интерференция света 312
в тонких пленках 316
Интерферометр 315
Инфразвук 134
Испускательная способность 371
Источники когерентные 311
Кавитация 129
Капельница 159
Кинетокардиография 79
Колебания механические 64
— вынужденные 71
— гармонические 66
— затухающие 69
— свободные 64
— сложные 76
Колебания электромагнитные
247
— затухающие 249
Коэффициент корреляции 57
Коэффициент диффузии 215
— заполнения 253
— затухания 70
— качества 427
— ослабления массовый 399
— ослабления линейный 399
— отражения 100
— поглощения 372
— проницаемости мембраны 217
— пропускания 100
— распределения вещества 216
— усиления усилителя 303
Кривые равной громкости 104
Критерий хи-квадрат 53
— Вилкоксона 50
— Стьюдента 47
— Фишера 48
Лазера принцип действия 486
Лазер рубиновый 488
Лазер гелий-неоновый 489
Лазерного излучения характе-
характеристики 493
Линза 345
Лампа Минина 388
— Соллюкс 389
Лупа 360
Люминесценция 461
Люминесценции типы 462
Люминесцентный анализ 467
Магнетики 509
Магнитная индукция 204
Магнитная проницаемость 206
Магнитное поле 203
Магнитобиология 517
Магнитотерапия 280
Медиана 38
Мембраны биологические 208
—, функции 208
—, модели 211
—, структура 209
Предметный указатель
619
—, физические свойства 212
Метод измерения давления кро-
крови 194
Механические свойства тканей
кожи 178
костной ткани 177
мышечной ткани 180, 181
сосудистой ткани 182
Механотерапия 82
Микропроекция 367
Микроскоп
— интерференционный 315
— ультрафиолетовый 366
— электронный 367
—, оптическая система 362
—, увеличение 363
— полезное 366
Микрофотография 367
Мода 37
Модели механические 171
— кровообращения Франка 187
Модель черного тела 373
Модуль Юнга 164
— сдвига 166
Мощность дозы 429
Надежность медицинской аппа-
аппаратуры 294
Намагниченность 513
Напряжение механическое 163
Напряженность поля электриче-
электрического 201
Ожидание математическое 26
Оптика волоконная 343
— геометрическая 340
Острота зрения 357
Оценка интервальная 39
Отражение полное внутреннее
342
Ошибки первого рода 45
— второго рода 45
Парамагнетики 513
Переноса явления 213
Перехват Ранвье 229
Период колебаний маятника ма-
математического 69
пружинного 67
физического 69
Период полураспада 407
Перкуссия 107
Плоскость поляризации 330
Плотность ионизации линейная
412
Плотность энергии механиче-
механической волны 88
— энергии электромагнитной
волны 269
— объемная энергии 269
Плотность оптическая 456
Поглощение света 452
Ползучесть 169
Полигон 35
Поляризатор 330
Поляризация света
— при отражении и преломле-
преломлении 333
— при двойном лучепреломле-
лучепреломлении 334
Плоскополяризованный свет 330
Поляриметрия 338
Полоса пропускания усилителя
305
Порог датчика 299
Порог тока неотпускающего 276
ощутимого 276
Порог слышимости 99
— болевого ощущения 99
Постоянная Планка 376
— распада 406
— солнечная 378
Потенциал действия 226
— покоя 225
Потенциал электрического поля
201
620
Предметный указатель
Предел датчика 299
Предел разрешения глаза 355
Предел разрешения микроскопа
364
— электронного 368
Прецессия 514
Призма Николя 335
Принцип Гюйгенса-Френеля 320
Проводники 202
Протезы кохлеарные 121
Процессы фотобиологические
471
Прочность 174
Прочности предел 175
Радиоактивность 402
Радиоимпульсы 251
Радиофармпрепараты 415
Радон газ 403
Разность хода волн оптическая
314
Разрешающая способность ре-
решетки 326
Разрушение 175
Распределение Больцмана 31
— нормальное 28
— экспоненциальное 31
— дискретных случайных вели-
величин 24
Рассеяние света 457
молекулярное 458
Регрессионный анализ 62
Резонанс 72
— электронный парамагнитный
520
— ядерный магнитный 522
Релаксация напряжения 170
Рентгенодиагностика 400
Рентгенолюминесценция 462
Рентгеноструктурный анализ
327
Рентгенотерапия 401
Реография 266
Ряд вариационный простой 34
— вариационный статистиче-
статистический 35
— интервальный статистиче-
статистический 36
Свет естественный 329
Светимость энергетическая 371
Световоды 343
Светолечение 387
Световоспринимающая часть
глаза 353
Светопроводящая часть глаза
352
Связь обратная 74
Сейсмокардиография 80
Сердце-насос 191
Силовые линии 201
Скважность следования им-
импульсов 252
Скорость волны 84
Событие достоверное 18
— невозможное 18
— случайное 15
События независимые 19
— несовместные 16
— противоположные 21
— равновозможные 17
Соотношения неопределенно-
неопределенностей 438
Сопротивление волновое 99
— гидравлическое 155
— емкостное 259
— индуктивное 260
— резистора 257
Спектр гармонический 76
— дифракционный 325
— поглощения 474
— фотобиологического действия
475
Среда активная 486
Среднее выборочное 37
Предметный указатель
621
Среднее квадратическое откло-
отклонение 27
Стабилография 77
Статистика математическая 33
Счетчик Гейгера-Мюллера 418
Тело абсолютно черное 372
— серое 373
Тембр звука 102
Теплообмен человека 380
— за счет теплопроводности 381
— за счет конвекции 383
— за счет испарения 384
— за счет теплового излучения
385
Термография 379
Течение жидкости ламинарное
149
— турбулентное 151
Тимпанометрия 121
Ток импульсный 252
— переменный 256
— утечки 293
Тон 98
Транспорт активный 221
— пассивный 219
Торможение ионизационное 412
УВЧ-терапия 285
Угол зрения 354
— наименьший 355
— потерь диэлектрических 287
Удар звуковой 98
Ударный объем крови 190
Удельное вращение 337
Ультразвук 124
—, излучатели 124
—, приемники 125
Ультрамикроскопия 367
Уравнение волны плоской 86
— Бернулли 141
— Гольдмана-Ходжкина-Катца
225
— Ламе 183
— Нернста-Планка 219
— Ньютона 147
— Фика 217
— Шредингера 440
Уровень значимости 40
Уровень интенсивности 101
Усилитель 302
Условие нормировки 20
Угол Брюстера 333
Ухо наружное 112
— среднее 113
— внутреннее 117
Ферромагнетики 516
Флуоресценция 463
Фонокардиография 107
Фонофорез 132
Фосфоресценция 464
Фотогемотерапия 162
Фотоупругость 336
Формула (условие)
Брэгга-Вульфа 327
— Планка 376
— Пуазейля 154
— Томсона 248
— тонкой линзы 346
Франклинизация 283
Фронт волны 84
Функция распределения 24
Характеристика амплитудная
усилителя 303
— частотная усилителя 304
Хемилюминесценция 466
Холод 386
Частота события 21
Число Рейнольдса 152
Шкала электромагнитных волн
269
Шприц 161
622 Предметный указатель
Шум 98 Электропроводность тела чело-
человека 291
Электрофорез 275
Эйнтховена теория отведений Электропунктура 255
239 Электростимуляция 254
Эквипотенциальные поверхно- Эффект бинауральный 118
сти 231 Эффект Доплера 91
Электрическое поле 200
Электробезопасность аппарату- Явление Тиндаля 458
ры 293 Ядерный магнитный резонанс
Электроды 297 523
Электрография 237 Яма потенциальная 441
Федорова Валентина Николаевна
Профессор, доктор биологических наук, заведующая кафедрой медицинской
и биологической физики Московского института медико-социальной реаби-
литологии, профессор Российского государственного медицинского универ-
университета. Имеет тридцатилетний опыт преподавания физики в медицинском
вузе. Область научных интересов: механические свойства кожи, разработка
методов дифференциальной диагностики и оценки эффективности лечения
по механическим свойствам кожи и других мягких тканей.
Степанова Людмила Анатольевна
Профессор, декан Московского института медико-социальной реабилитоло-
гии. Имеет большой опыт в организации учебно-методического процесса при
подготовке специалистов в области восстановительной медицины. Область
научных интересов: объективизация методов оценки состояния здоровья
человека при медицинской реабилитации.
Учебное издание
ФЕДОРОВА Валентина Николаевна
СТЕПАНОВА Людмила Анатольевна
КРАТКИЙ КУРС МЕДИЦИНСКОЙ И БИОЛОГИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ С ЭЛЕМЕНТАМИ РЕАБИЛИТОЛОГИИ.
ЛЕКЦИИ И СЕМИНАРЫ
Редактор М.Б. Козинцова, И.Л. Легостаева
Оригинал-макет: М.В. Башевой, A.M. Садовский
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 28.01.05.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 39. Уч.-изд. л. 39,0. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс: (8172) 72-60-72
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0568-Х
9 785922' 105682