Автор: Биргер И.А.
Теги: разведение моллюсков машиностроение механика механика деформируемых тел
Год: 1963
Текст
ИА БИРГЕР
ОСТАТОЧНЫЕ
НАПРЯЖЕНИЯ
И. А. БИРГЕР
ОСТАТОЧНЫЕ
НАПРЯЖЕНИЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1963
УДК 1 4 Л 3
В кпиге рассмотрены вопросы, касающиеся обра-
зования остаточных напряжений в металлах и влия-
ния их на прочность при статических и псрсмепных
нагрузках; описаны методы определения и расчета
остаточных напряжений в стержнях, пластинках,
трубах, дисках, цилиндрах, а также в поверхностных
слоях деталей произвольной формы.
Книга предназначена для инженеров-конструк-
торов и научных работников машиностроительных
специальностей.
Рецензент инж. М. А. Колосов
Редактор инж, В, В. Быстрицкая
Редакция общетехнической литературы,
Зав, редакцией инж. А. П. КОЗЛОВ
ПРЕДИСЛОВИЕ
В Программе Коммунистической партии Советского Союза, при-
нятой XXII съездом, сказано, что «Первостепенное значение для
технического перевооружения всего народного хозяйства имеет
развитие машиностроения, . . . Быстрое развитие получат такие
конструкции машин, которые, обеспечивая высокие технические свой-
ства, приведут к сокращению расходов сырья и энергии, повыше-
нию производительности труда.»1
В этой связи возрастет значение надежности и долговечности
машин, где проблема остаточных напряжений является одной из
важнейших.
Остаточные напряжения возникают в деталях в большинстве
технологических операций (при литье, ковке, термической и механи-
ческой обработке) и по своей величине могут превосходить напряже-
ния от внешних нагрузок.
Например, в поверхностных слоях деталей машин после шлифо-
вания остаточные напряжения иногда достигают 60—80 кГ/мм^.
Во многих случаях разрушение конструкций из высокопрочных
материалов при переменных нагрузках связано с действием растяги-
вающих остаточных напряжений (рабочие лопатки турбин и компрес-
соров, коленчатые валы, плунжеры и т. д.).
Наблюдаются случаи коробления деталей, вызванные релакса-
цией остаточных напряжений.
Для уменьшения остаточных напряжений применяется специаль-
ная термическая обработка, однако ее использование не всегда
возможно.
В ряде случаев остаточные напряжения являются полезными,
особенно для поверхностных слоев. В машиностроении используются
технологические процессы (обдувка дробью, обкатка роликами
и др.), создающие сжимающие остаточные напряжения в поверхност-
ных слоях.
За последние десятилетия выполнено большое число исследований
по различным проблемам остаточных напряжений. Отдельные во-
просы этой проблемы (механические и рентгенографические методы
определения остаточных напряжений, влияние остаточных напряже-
1 Программа Коммунистической партии Советского Союза, Изд-во
«Правда», 1961.
3
ний на прочность, остаточные напряжения при различных технологи-
ческих процессах и т. д.) могут составить предметы специальных
монографий.
Естественно, что в небольшом объеме предлагаемой книги оказа-
лось невозможным дать достаточно полный обзор современного состоя-
ния различных проблем остаточных напряжений. Основное внимание
было уделено теоретическим вопросам и, в первую очередь, обосно-
ваниям механических методов измерения остаточных напряжений.
Однако книга знакомит читателя и с принципиальной стороной
большинства других проблем остаточных напряжений.
В первой главе рассматривается образование остаточных напряже-
ний после пластических деформаций и после интенсивного нагрева
или охлаждения.
Вторая глава посвящена влиянию остаточных напряжений на
прочность при статических и переменных нагрузках.
В следующих главах приводится теория механических методов,
причем подробно рассматриваются классические методы Г. Закса
и Н. Н. Давиденкова.
В десятой главе излагаются основы рентгеновского метода изме-
рения остаточных напряжений.
В двух последних главах рассматривается расчет остаточных
напряжений по заданной величине первоначальной деформации.
Такая деформация может быть вызвана структурными и фазовыми
превращениями в материале, действием облучения и другими фак-
торами.
ГЛАВА 1
ОБРАЗОВАНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Как известно, остаточными напряжениями1 называются напря-
жения, существующие в деталях при отсутствии внешних воздей-
ствий (силовых и температурных). Обычно эти напряжения остаются
в деталях после процесса их изготовления.
Остаточные напряжения можно условно разделить на макро-
напряжения и микронапряжения. Их отличие состоит в скорости
изменения напряжений по пространственной координате. Если
в пределах размера зерна материала напряжения изменяются не-
существенно, то они могут быть отнесены к числу макронапряжений.
Для таких напряжений вполне допустимо представление об изотроп-
ном материале. Обычные напряжения от внешних нагрузок относятся
к макронапряжениям.
Микронапряжения претерпевают резкие изменения в пределах
зерна (кристаллического агрегата). Они связаны с анизотропией
кристаллов, ориентацией кристаллографических плоскостей, нали-
чием различных фаз и т. д.
При оценке влияния остаточных напряжений на прочность
и деформации деталей учитывается действие макроскопических
напряжений. Влияние микронапряжений не исследовано, так как
неизвестен нормальный уровень этих напряжений и его изменение
в связи с технологическими факторами; само распределение микро-
напряжепий подчиняется статистическим закономерностям.
В дальнейшем рассматриваются обычные остаточные напряжения
(макроиапряжения).
Образование остаточных напряжений при различных технологи-
ческих процессах происходит различным образом. В основе их
возникновения обычно лежат необратимые объемные изменения
в материале.
Одним из наиболее типичных процессов является возникновение
остаточных напряжений в результате предварительной пласти-
ческой деформации. Часто эта деформация получается при нагрева-
нии или охлаждении тела.
1 Другие названия этих напряжений: внутренние, собственные, первона-
чальные.
5
о.оог
Фиг. 1. Кривая деформирова-
ния для конструкционных ма-
териалов.
i. ОБРАЗОВАНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ПОСЛЕ ПЛАСТИЧЕСКОЙ
ДЕФОРМАЦИИ
А. Основные механические свойства конструкционных материалов
определяются испытанием образцов на растяжение. В процессе
таких испытаний устанавливается зависимость между напряжениями
растяжения о и деформацией е. Типич-
ная кривая деформирования показана
на фиг. 1. Первый участок кривой
обычно соответствует линейной зависи-
мости, причем
‘8°“4г.'=£' (!)
где Е — модуль упругости материала.
Далее образуются не только упру-
гие, но и пластические (остаточные)
деформации, которые при напряжении,
равном пределу текучести материала
от, составляют 0,2%.
Уравнение кривой деформирования можно записать в следующем
виде:
мп
е= ^ + 0,002/^-) , (2)
где п определяется из условия, что кривая проходит через точку,
соответствующую пределу прочности материала &в.
Фиг. 2. Схематизированные кривые деформирования:
а — кривая без упрочнения; б — кривая с линейным упрочнением.
Обычно значения п лежат в пределах 4 п 15.
Для расчетов используются схематизированные кривые дефор-
мирования, показанные на фиг. 2.
Кривая без упрочнения (фиг. 2, а) пригодна для описания срав-
нительно небольших пластических деформаций материалов, имеющих
площадку текучести (например, для малоуглеродистых сталей).
Кривая с линейным упрочнением дает лучшее приближение
к действительной кривой деформирования.
6
На втором участке этой кривой
4т=fcg а1=Е'
(3)
Модуль упрочнения Е’ значительно меньше модуля упругости
[обычно Е' (0,01 4- 0,05) Е]. Для многих конструктивных мате-
риалов (например, для сталей) кривые деформирования при растяже-
нии и сжатии имеют одинаковый вид (в области пластических дефор-
маций е<< 5%).
Важное свойство процесса деформации состоит в следующем.
Если нагрузить образец выше предела текучести (точка А на фиг. 3)
Фиг. 3. Кривая деформирования
при наличии разгрузки.
Фиг. 4. Кривая деформирования
при изменении направления нагрузки.
и затем снять нагрузку, то разгрузка будет происходить по кривой
АВ, близкой к прямой, параллельной начальному участку. Зависи-
мость между изменением напряжения и изменением деформации
соответствует материалу, находящемуся в упругом состоянии.
Процесс разгрузки можно представить как приложение напряже-
ния Qi с обратным знаком. Тогда возникшая деформация
eiv) = ->. (4)
После разгрузки в материале сохранится остаточная деформация
=». - (5)
Если снова провести процесс нагружения, то он пойдет по кривой
ВАС*, новые пластические деформации будут возникать при о >* Qi.
Для механизма образования остаточных напряжений существенно
поведение материала при последовательном нагружении различных
знаков (фиг. 4).
7
Кривая ОАС представляет собой обычную кривую деформирова-
ния. В точке А начинается разгрузка (участок АВ), а затем прово-
дится нагружение другого знака (сжатие, участок BCi). Кривая
BCi идет несколько выше кривой ВЛХС\, повторяющей ветвь ВАС,
что объясняется эффектом Баушингера.
Б. В основе определения остаточных напряжений после пласти-
ческих деформаций лежит известная в теории пластичности теорема
о разгрузке. В соответствии с этой теоремой, впервые указанной
Генки (1924 г.), остаточные напря-
жения равны разности между истин-
ными напряжениями в упруго-пласти-
ческом теле и теми напряжениями,
которые создавались бы в нем при
предположении об идеальной упруго-
сти материала.
Поясним теорему на примере из-
гиба стержня (фиг. 5). Для расчета
принимается схематизированная кри-
вая деформирования без упрочнения
(см. фиг. 2, а). Если величина изги-
бающего момента такова, что наибольшее напряжение изгиба о от,
то стержень работает в области ynpyroii деформации
Quiax “ ~b№
(6)
При условии
М > Г аТ №
' и 1
в крайних волокнах стержня возникает пластическая деформация.
Пусть при данном значении М область пластической деформации
11 1
будет от — hi до h (фиг. 6). В этой области о = от. При у << — hi
напряжения изменяются по линейному закону
в ~ о
2у
т hl ’
Из условия равновесия
h
2
J a ybdy = ^-aTb(h* — h\) + от bh\ = М,
h
“ 2
откуда
±-<jTbh2-M.
4 1
(7)
\/ &т Ь
8
Эпюра распределения напряжений в стержне показана на фиг. 6, а.
Напряжение определяется следующим равенством:
а
о =
|у । <
1 , . 1 ,
< и < "2 h-
(8)
Если материал стержня был бы идеально упругим, то распределе-
ние напряжений соответствовало бы линейному закону
изгиба стержня.
, причем наибольшее напряжение
* _ 6М
Пщзх — •
В соответствии с теоремой о разгрузке остаточные напряжения
в стержне (после снятия момента М) будут равны
Пост И СТ*.
Например, при у = — h
Zj
rt _ _ _ 6М .
ост °Т Ъ№ ’
при у = hi
а ___
ост ~ аТ ^2' * h •
Эпюра остаточных напряжений приведена на фиг. 6, б. Эта
эпюра является самоуравновешенной, т. е. равнодействующие усилия
и момент равны нулю.
9
После снятия момента ось стержня будет иметь остаточный
прогиб, который также может быть определен по теореме о разгрузке.
1
При действии момента М деформация слоя на расстоянии hi
от оси стержня
я — — °т
2R “ Е ’
где R — радиус кривизны оси стержня.
Наибольший прогиб оси стержня
£2 _ ! ат L2
7 SR 4 ’ Ehr *
При идеально упругом материале
R* = —
2Gmax
и наибольший прогиб
- = 1 атак 7/2 3 М£2
1 4 ’ Eh 2 ’ ЕЪЮ *
Остаточный прогиб
j- __ у у* 1 L2 ( «Т ^тах
/ост — / 7 ~ 4 ’ £ \ h
(9)
Этот прогиб направлен в сторону прогиба стержня при действии
внешнего момента М, так как / > /*.
В. Теорема о разгрузке основана на следующих соображениях.
Пусть к телу приложена система внешних сил и в нем возникли
упруго-пластические деформации в процессе простого нагружения
(напряжения в дайной точке возрастают пропорционально одному
параметру). Процесс разгрузки можно представить как процесс
нагружения усилиями противоположного направления. При этом
нагружении (см. фиг. 3 и 4) тело ведет себя как упругое. Остаточные
напряжения (после двух процессов нагружения — в прямом и обрат-
ном направлениях) будут равны разности между напряжениями
в упруго-пластическом теле и в упругом теле при одних и тех же
нагрузках.
Теорема справедлива в том случае, если в процессе разгрузки
не наступают повторные пластические деформации (отклонение
линии ABCi от прямой на фиг. 4).
Из теоремы о разгрузке вытекает, что эпюра остаточных напряже-
ний (для произвольного сечения) всегда является самоуравновешен-
ной, т. е. равнодействующие силы и моменты равны нулю.
Заметим также, что если распределение напряжений в упруго-
пластическом теле и в упругом одинаково (что имеет место в стати-
чески определимых системах), то остаточные напряжения после
10
пластической деформации не возникают. В качестве примеров можно
привести растяжение стержня осевой силой или растяжение тонко-
стенного цилиндра под действием внутреннего давления.
Г. Рассмотрим остаточные напряжения после пластического
кручения вала (фиг. 7).
Если на внешнем радиусе касательное напряжение при кручении
16 МКр
где тт — предел текучести материала при сдвиге, то вал работает
Фиг. 7. Остаточные напряжения после пластического
кручения круглого вала.
При кривой деформирования т — / (у) без упрочнения (у —
' деформация сдвига) распределение напряжений показано на фиг. 7, а.
Величина радиуса и, ограничивающего область упругих деформаций,
г1=у/4гЗ-^'. (10)
На фиг. 7, а приведено распределение напряжений т* в идеально
упругом материале, соответствующее тому же значению крутящего
момента. Остаточные напряжения после пластического кручения
равны
Тост == Т Т*.
Эпюра остаточных напряжений дана на фиг. 7, б.
В дисках турбомашин иногда создают остаточные напряжения
с помощью вращения с большой скоростью.
На фиг. 8, а показано распределение окружных напряжений
в диске постоянной толщины с центральным отверстием. Остаточные
напряжения представляют собой разность напряжений в упруго-
пластическом и упругом телах (см. фиг. 7, б).
Д. С физической точки зрения образование остаточных напряже-
ний после пластической деформации связано с необратимыми (оста-
11
точными) изменениями объема. Эти изменения объема, остающиеся
после снятия нагрузки, и вызывают остаточные напряжения.
Например, в диске (фиг. 8, а) при вращении с большой угловой
скоростью возле отверстия напряжения превышают предел теку-
чести, и возникает остаточная деформация растяжения. После
остановки все частицы диска стремятся вернуться на первоначальные
окружности (свойства упругости материала), и в области отверстия
возникают сжимающие остаточные напряжения (фиг. 8, б).
Образование остаточных напряжений в результате неоднородной
пластической деформации встречается в различных технологических
процессах (ковке, штамповке, прокатке, волочении, механической
обработке).
а) б)
Фиг. 8. Окружные остаточные напряжения после пласти-
ческой деформации диска.
В некоторых процессах (обкатке роликами, обдувке дробью)
преднамеренно создается неоднородная пластическая деформация
для образования благоприятных остаточных напряжений.
Наконец, пластическая деформация возникает при значительных
температурных напряжениях в случае интенсивного нагрева или
охлаждения деталей.
2. ОБРАЗОВАНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ПОСЛЕ НАГРЕВА
ИЛИ ОХЛАЖДЕНИЯ
А. Основные особенности образования остаточных напряжений
при нагревании или охлаждении выявляются на простом примере
стержня, заделанного своими концами в абсолютно жесткие плос-
кости (фиг. 9).
Расстояние между плоскостями остается неизменным. Эти плос-
кости (в идеализированном виде) отражают ^асти конструкции,
не подвергающиеся температурному воздействию.
Если нагреть стержень на температуру t, то в нем возникнут
температурные напряжения
а = — Ее/,
(И)
12
где 8/ — температурная деформация;
8t = Ja*(G)dZv (12)
О
В последнем равенстве a* (й,) — истинный коэффициент линей-
ного расширения при температуре ti (ft— текущая температура,
О h t).
а) $
Фиг. 9. Образование остаточных напряжений при нагреве
стержня (механические свойства материала остаются посто-
янными в рассматриваемом интервале температуры):
а —остаточные напряжения образуются при упругих деформациях;
б — остаточные напряжения образуются при наличии вторичных
пластических деформаций.
По определению
а*(г1) = 4г<г1)-
(13)
В большинстве справочных руководств кается среднее значение
коэффициента линейного расширения a (t) при нагреве от 0 до ft
так что
t
&t = J a* (tj dtx = a (t)t. (14)
о
Из этого равенства вытекает соотношение между истинным и
средним значениями коэффициента линейного расширения при
температуре t:
a*(z) = a(/)+i^. (15)
Для вычислений по формуле (15) надо знать средние значения
коэффициента линейного расширения при различных t.
Если a (t) в пределах интересующего интервала температур
изменяется незначительно, то
a* (Z) a(Z).
Учитывая формулы (11) и (14), запишем
а == — Е a(01.
13
Для стали
Е&2-106 кГ/см9-, а (г) И • 10~6 4г,
и тогда при t = 100°С
а = —220Э кГ/см2.
Из этого примера видно, что температурные напряжения, возни-
кающие даже при небольшой разности температур, оказываются
напряжений в процессе нагрева
с учетом изменения механических
свойств материала.
весьма значительными.
Если температурные напряже-
ния в процессе нагрева будут выше
предела текучести1 материала, то
после снятия нагрева в стержне
останутся остаточные напряжения.
На фиг. 9 дан графический ме-
тод определения остаточных на-
пряжений после нагрева при усло-
вии, что механические свойства
в процессе нагрева остаются прак-
тически постоянными (для угле-
родистых сталей нагрев до 250°,
для жаропрочных сплавов — до
450° С). По оси абсцисс отклады-
вается значение температурной
деформации, с обратным знаком
точка А характеризует напряже-
ние в стержне в конце нагрева.
При снятии нагрева деформации
и напряжения изменяются по прямой ААг, отрезок CMi выражает
остаточные напряжения. При больших значениях 8/ (фиг. 9, б) в про-
цессе разгрузки образуются повторные пластические деформации.
Б. Представляет интерес определение остаточных напряжений
после значительного нагрева, когда в процессе нагрева и охлаждения
механические свойства материала изменяются. Пусть нагрев осу-
ществляется от температуры ti до tK. На фиг. 10 даны кривые дефор-
мирования для указанных температур и двух промежуточных.
Вначале рост температурных напряжений идет вдоль кривой
01, при дальнейшем повышении температуры осуществляется «пе-
рескок» на кривую 02 (для простоты предполагается, что свойства
материала изменяются скачкообразно). Температурное напряжение
после нагрева численно равно ординате точки А.
Для аналитического решения задачи должно быть известно
уравнение семейства кривых деформирования при различных темпе-
ратурах
а = /(е; /). (16)
1 Точнее — выше предела упругости. Для ряда выводов качественного ха-
рактера различие предела текучести и предела упругости несущественно.
14
Тогда
i =
(e; t) a*
(17)
В этом равенстве деформация равна температурной деформации
t
6= J a* (г) Л.
h
(18)
В общем случае под a* (t) следует понимать относительное
изменение линейных размеров, вызванное не только температурным
расширением, но и фазовыми, структурными и другими процес-
сами, связанными с температурой.
Рассмотрим процесс охлаждения.
При уменьшении температуры от tK до
t3 температурные напряжения будут
уменьшаться по прямой ЛЗ*, парал-
лельной начальному участку кривой
О А. При понижении температуры от t%
до tz напряжение изменяется по пря-
мой 3* 2*, параллельной начальному
участку кривой ОЗ. В точке А' остаточ-
ные напряжения достигают предела фиг> Определение остаточ_
текучести и дальнейший рост остаточ- ных напряжений при затверде-
ных напряжений становится небольшим. вании.
В изложенном методе определения
остаточных напряжений (графическом и аналитическом) используется
простейшее предположение о том, что для каждого этапа нагрева или
охлаждения справедлива зависимость о = f (в), свойственная дан-
ной температуре, причем переход от одной кривой деформирования
к другой осуществляется при постоянстве общей деформации.
В. Отметим важную особенность в образовании остаточных
напряжений после интенсивного нагрева. В процессе нагрева соз-
даются температурные напряжения сжатия, превосходящие предел
текучести материала (температурная деформация, превышающая
упругую). В результате в материале образуется остаточная пласти-
ческая деформация сжатия. После снятия нагрева размеры детали
возвращаются к прежним, но наличие остаточной деформации сжатия
вызывает появление остаточных напряжений растяжения.
Г. Перейдем к рассмотрению остаточных напряжений, возникаю-
щих в процессе затвердевания расплавленного металла.
Для выявления качественных особенностей ограничимся простей-
шей схемой (фиг. 11), когда металлический стержень, закрепленный
двумя абсолютно жесткими, несмещающимися плоскостями, на-
ходится при температуре tm, соответствующей началу затвердевания.
В качестве tm можно принять температуру, при которой металл
имеет некоторую жесткость при растяжении.
15
Общая температурная деформация при охлаждении
h
(19)
где ti — температура стержня после охлаждения, а* (t) — коэф-
фициент линейного расширения при температуре t
Величина а* (t) характеризует относительное изменение линейных
размеров при процессах, происходящих при изменении температуры.
На первом этапе происходит охлаждение от температуры tm
к £з (фиг. 11)Л напряжения возрастают по кривой деформирования,
Фиг. 12. Распределе-
ние температур в пла-
стинке при нагреве
с боковых сторон сре-
дой с температурой tc
(по [мере увеличения
времени).
соответствующей температуре й. На втором
этапе стержень охлаждается до температуры /а
и возрастание напряжений протекает в соответ-
ствии с кривой деформирования при темпера-
туре t2. Подобным образом происходит возра-
стание остаточных напряжений на последнем
этапе охлаждения. При практическом расчете
интервалы охлаждения должны быть выбраны
настолько малыми, чтобы отличие в кривых
деформирования для начальной и конечной
температуры было незначительным.
Отметим, что интенсивный рост остаточных
напряжений происходит при более низких темпе-
ратурах, когда модуль упругости материала и
предел текучести возрастают.
Рассмотренная схема образования остаточ-
ных напряжений при затвердевании объясняет
появление остаточных напряжений после свар-
ки, при охлаждении слитков и в ряде других
процессов.
Д. Выше при рассмотрении вопроса об остаточных напряжениях
после нагрева или охлаждения учитывалась только обобщенная
«температурная» деформация.
Во многих случаях оказывается необходимым учесть специфи-
ческие объемные изменения в материале, связанные с фазовыми
и структурными превращениями, которые определяются не только
температурой, но и другими параметрами процесса, например,
временем. При расчете реальных процессов нагрева или охлаждения
следует также иметь в виду, что распределение температур (и темпера-
турных напряжений) сильно изменяется во времени.
На фиг. 12 показано распределение температур в пластинке при
нагреве (с боковых сторон) средой с температурой £с. В наружных
волокнах напряжения сжатия увеличиваются при возрастании
температуры до tz, далее происходит процесс разгрузки (температур-
ный градиент уменьшается).
В некоторых случаях нагрева (или охлаждения) процессы нагру-
жения и разгрузки (в данной точке) могут повторяться. Следует
16
также учитывать изменение кривых деформирования в связи с изме-
нением температуры. С подобными вопросами приходится сталки-
ваться при определении остаточных напряжений, вызванных терми-
ческой обработкой металлов.
3. ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПОСЛЕ НЕКОТОРЫХ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
В предыдущем параграфе были рассмотрены две основные схемы
образования остаточных напряжений. В действительных технологи-
ческих процессах явления протекают значительно сложнее, так как
одновременно действуют механические, тепловые и физико-хими-
ческие факторы.
Вопросу определения остаточных напряжений после основных
технологических процессов (литья, сварки, термической и меха-
нической обработки) посвящено большое количество исследо-
ваний.
А. Рассмотрим сначала остаточные напряжения, возникающие
в процессе литья.
Из практики известно, что в литых деталях и слитках часто
имеются значительные остаточные напряжения. В процессе отливки
иногда возникают «горячие» и «холодные» трещины, в других случаях
трещины образуются при небольших эксплуатационных нагрузках.
Горячие трещины проявляются в температурном интервале 1450—
1250° С [84].
Характерным признаком горячих трещин является окисленная
поверхность излома, имеющая черный или темно-бурый цвет.
Следует учесть, что при температуре 1300—1400° С сталь обладает
очень низкими прочностными и пластическими свойствами. Например,
сталь при нормальной температуре имеет предел прочности об
50 4~ 60 кГ/мм* и сужение ф = 35 4- 45%; при температуре
1300—1400° С сгб 1 кГ1мм2 и ф = 1%*. Высокую прочность
и пластичность сталь приобретает при температурах ниже 400° С.
Образованию горячих трещин способствует сопротивление свобод-
ной усадке отливки со стороны формы. Увеличение податливости
формы, особенно стержней и других элементов, препятствующих
усадке, является одним из основных методов устранения горячих
трещин.
Горячие трещины могут возникать вследствие неодинаковой
температуры отливки даже при пластическом состоянии мате-
риала, особенно при наличии объемного напряженного состоя-
ния [62].
Холодные трещины образуются в процессе остывания отливки
при сравнительно невысоких температурах.
* Интересно отметить, что этим объясняется наблюдаемое в повседневной
практике отделение литников больших сечений с помощью легких ударов мо-
лотка или ломика.
2 Заказ 288.
17
Как горячие, так и холодные трещины возникают в том случае,
когда внутренние напряжения в процессе отливки превышают предел
прочности материала.
В большинстве случаев условия прочности в процессе отливки
не нарушаются, но после отливки в детали остаются значительные
Фиг. 13. К расчету литейных остаточных
напряжений:
а — отливка конструкции; б — силовая схема
конструкции.
остаточные напряжения.
Б. Рассмотрим схему обра-
зования литейных остаточных
напряжений.
В качестве простейшей
конструкции можно принять
толстое кольцо с различными
условиями охлаждения на
внутренней и внешней по-
верхностях.
Будем считать, что в коль-
це есть две области (два
кольца с толщинами Si и 62)>
в которых наблюдаются раз-
личные температуры в про-
цессе охлаждения отливки.
На фиг. 13 дана силовая схема конструкции, которая является
типичной и для ряда других случаев. Эта классическая схема,
применявшаяся в работах Гейна и последующих авторов 120], [84],
[109], [110], будет принята для
дальнейшего анализа. Отметим,
что в любой момент времени
деформации обоих стержней
(внешнего трубчатого и вну-
треннего) одинаковы:
8i — е2. (20)
Из условия равновесия сле-
дует, что сумма усилий, дейст-
вующих на стержни,
^4-^ = 0. (21)
Фиг. 14. Зависимость напряжения от
деформации (кривые деформирования)
при различных температурах (точки
соответствуют разрушению материала).
В основе расчета лежат за-
висимости напряжения от де-
формации. Кривые деформиро-
вания о = f (ес) при различных
температурах материала (в про-
цессе охлаждения) даны на
фиг. 14.
В зависимости о = f (ес) под 8С понимается деформация мате-
риала, связанная с действием напряжения (силовая деформация).
Нижние кривые соответствуют очень высоким температурам, когда
материал обладает только пластическими свойствами.
18
В общем случае полная деформация е включает температурную
деформацию 8/ и предшествующую пластическую деформацию ер:
8 — 8р -f- + 8с» (22)
Отметим, что под 8/ понимается обобщенная температурная
деформация, учитывающая изменение линейных размеров в процессе
усадки. Зависимость между напряжением и полной деформацией
показана на фиг. 15, а.
Обычная кривая деформирования сдвигается по оси абсцисс
на величину 8Р + 8^. Это соответствует упрощенному учету пласти-
ческой деформации, когда пренебрегают упрочнением (при повтор-
Фиг. 15. Зависимость напряжения и
усилия в стержне от полной дефор-
мации.
ной деформации того же знака) или
эффектом Баушингера (при повтор-
ной деформации другого знака).
Фиг. 16. Определение усилий в системе
двух стержней.
Для расчета усилий и напряжений в системе двух стержней
(фиг. 13, б) следует построить зависимость усилия, действующего
на стержень, от величины полной деформации. Для этого ординаты
кривой на фиг. 15, а умножают на величину площади поперечного
сечения стержня (фиг. 15, б).
В пределах упругих деформаций
tg р = EF, (23)
где EF — жесткость сечения стержня на растяжение.
Укажем простой графический метод определения усилий в си-
стеме двух стержней, возникающих при разности их температур.
На фиг. 16 построены зависимости усилий в наружном Ni и
внутреннем N2 стержнях от полной деформации 8. Предполагается,
что наружный стержень остывает быстрее (^<£2; 8it << 82t)’>
предварительная пластическая деформация отсутствует.
2*
19
(25)
(26)
(27)
Из равенства полных деформаций стержней [условие (20)] выте-
кает, что точки, характеризующие усилия в стержнях, должны
соответствовать одной и той же абсциссе. Из условия (21) следует,
что
(24)
Для удовлетворения этого равенства достаточно найти точку
пересечения кривой —TVs, показанной на фиг. 16 пунктиром, с кри-
вой TVi.
В рассматриваемом случае во внутреннем стержне возникает
пластическая деформация сжатия 8(2Р).
Если разность 82/ — 8к невелика, то система работает в области
упругих деформаций. В этом случае, как легко установить из соответ-
ствующего построения,
ту __ ту __ 82*~ I77l/S2/? 2
1 2 tgpr + tgp2 ~ /ЧЛ-НЛ/'Ч
и напряжения
_ ЛЧ____(82* ~elt) ^1^2^2
1 Fi “ + ’
__ _ (82i~8l<)
В этих формулах Ei, Fi и £2, £2 — модули упругости и площади
поперечных сечений стержней. Модули упругости стержней могут
отличаться вследствие влияния температуры.
Рассмотрим более подробно температурную деформацию &i.
Она представляет собой деформацию стержня от нагрева до темпера-
туры t.
t
&t — f a* (l)dt, (28)
b
где a* (t) — коэффициент линейного расширения, учитывающий
общее изменение линейных размеров при изменении температуры.
Если в данный момент времени температура наружного
стержня /1, а внутреннего стержня t2, то
h
ев = f a* (29)
о
*2
82t = J a*(t)dt. (30)
0
Отметим, что температурная деформация относится к длине
стержня без нагрева (температура после охлаждения принята равной
нулю); и е2/ характеризуют увеличение длины стержня при дан-
ной температуре (в процессе охлаждения) по сравнению с его длиной
при нулевой температуре. Начало отсчета длины безразлично, те же
20
(32).
. 17. Изменение линейной дефор-
ии стержней в процессе охлажде-
ния отливки.
результаты получаются при рассмотрении деформации укорочения
в процессе охлаждения отливки.
Если принять, как обычно, что коэффициент a* (Z) зависит только
от температуры £, то
h
f (31>
h
С достаточной точностью можно считать, что
&2t — = a*GcP
где а* (tCp) — среднее значение
рения.
Из равенств (26) и (27) следует,
что напряжения в стержнях уве-
личиваются при возрастании раз-
ности температур.
В формулы (26) и (27) входят
модули упругости материала при
температуре ti и h (соответ-
ственно Ei и Е2).
Если модуль упругости мате-
риала увеличивается, то увеличи-
ваются и напряжения, вызванные
разностью температур. При нор-
мальной температуре модуль упру-
гости стали Е = 2,1 • 106 кГ/см2,
серого чугуна Е 0,8 • 106 кПсм2\
следовательно, в стальных отлив-
ках остаточные напряжения будут
больше, чем в чугунных (при подобных условиях охлаждения).
При наличии пластической деформации хотя бы в одном стержне*
равенство (25) теряет силу, и следует воспользоваться изложенным
ранее графическим методом (фиг. 16). Рассмотрим образование ли-
тейных остаточных напряжений на примере системы из двух стерж-
ней (см. фиг. 13). Для наглядности примем, что площади сечений
стержней одинаковы, тогда условие (24) можно представить в виде-
Hi = О2
и графическое построение относить непосредственно к величине*
напряжений, используя без изменения зависимости о = / (ес) (см.
фиг. 14). Для определения остаточных напряжений необходимо про-
следить напряженное состояние в стержнях в процессе охлаждения
отливки (см. фиг. 13).
На фиг. 17 показано примерное изменение линейной деформации
стержней при остывании отливки от момента затвердевания до
полного охлаждения.
Изменение линейных деформаций (усадка) связано с различными
физико-химическими процессами, из которых главнейшими явля-
21
ются термическое сокращение и фазовые превращения (например, из-
менение удельных объемов при мартенситнойиперлитной структурах).
При очень высокой температуре металл находится в пластиче-
ском состоянии.
Пусть в момент времени Ti (фиг. 17) температура наружного
стержня £(!), внутреннего fy2). Кривые деформирования для этих
температур показаны на фиг. 14. Используя изложенный ранее ме-
тод, находим напряжения в стержнях в момент времени Ti (фиг. 18).
Напряженное состояние характеризуют точка Ai (наружный стер-
жень) и точка А2 (внутренний стержень).
Отметим, что более холодный стержень «предписывает» деформа-
цию более нагретому; вся пластическая деформация сжатия полу-
чается во внутреннем стержне.
Кривые деформирования приняты для расчета в виде кривых
для жестко-пластического тела. Результаты изменятся незначи-
тельно, если приписать кривым начальный упругий участок.
В следующий момент времени т2 температура наружного стержня
упала до ^5), внутреннего стержня — до Для расчета исполь-
зуются кривые деформирования при соответствующих температурах
(см. фиг. 14).
Если бы внутренний стержень не получил пластической дефор-
мации на предыдущем этапе нагружения, то расчетная кривая
деформирования пересекала бы ось абсцисс на расстоянии 82t от
начала координат; при наличии предварительной пластической де-
формации эта точка сдвинута на величину ер (tl). Известным построе-
нием определяются точки Ai и Л2, ординаты которых равны дей-
ствующим в стержнях напряжениям. К имевшейся ранее пластиче-
ской деформации £P(T1> добавилась новая часть, так как точка Л2
лежит в пластической области кривой.
В момент времени тз разность температурных и фазовых дефор-
маций е2/ — уменьшилась. Расчетная кривая деформирования
для внутреннего стержня оказалась левее кривой для наружного
стержня, и в системе произошло изменение знака напряжений.
Теперь наружный стержень оказался сжатым, а внутренний —
растянутым.
Изменение знака напряжений (с течением времени) является прин-
ципиальной особенностью (временных) внутренних напряжений
в процессе интенсивного охлаждения, когда большая разность тем-
пературных и фазовых деформаций вызывает пластическую дефор-
мацию в материале.
В начале и в конце процесса охлаждения температура деталей
одинакова, и поэтому наибольшая разность деформаций возникает
в промежуточные моменты времени. Если в эти моменты напряжения
настолько велики, что появляется пластическая деформация, то это
приводит впоследствии к изменению знака напряжений1.
1 В более сложных случаях изменение знака напряжений может происхо-
дить несколько раз,
22
23,
Возвращаясь к анализу напряжений в момент времени тз, отме-
тим, что дополнительная пластическая деформация во внутреннем
*Фиг. 19. Остаточные на-
пряжения в слитках из
алюминиевого сплава Д-16
(в литом состоянии
(Уб 24 кГ/мм2;
(Ут 16 кГ/мм2).
стержне является растягивающей и его
общая пластическая деформация умень-
шается.
Остаточные напряжения представляют
собой внутренние напряжения, оставшиеся
в конце процесса охлаждения (время
Т4 = Оо).
В наружном стержне действует оста-
точное сжимающее напряжение од, во внут-
реннем стержне — растягивающее напря-
жение (Т2.
При исследовании остаточных напря-
жений в слитках [76] также получилось,
что на внешнем радиусе имелись сжимаю-
щие напряжения, а в центре диска — рас-
тягивающие. Данные об остаточных на-
пряжениях в слитках из алюминиевых
сплавов приведены на фиг. 19.
При увеличении диаметра слитка оста-
точные напряжения увеличивались.
Выше рассматривалась простейшая си-
ловая схема с тем, чтобы более отчетливо
выявить физическую картину явления.
Можно построить расчет остаточных на-
пряжений в более сложных конструкциях,
воспользовавшись общей теорией стерж-
ней (см. гл. 11). Вопрос о литейных оста-
точных напряжениях рассматривается в ра-
ботах [1], [20], [62], [84], [109], [110].
В. Перейдем к рассмотрению остаточных на-
пряжений после сварки.
Основными процессами, ответственными за
появление остаточных напряжений при сварке,
являются процесс интенсивного разогрева до рас-
плавления и последующее остывание материала.
Механизм возникновения остаточных напря-
жений можно выяснить на примере простейшей
чзхемы, когда суммарная деформация материала
полностью стеснена (фиг. 20).
Из условия отсутствия суммарной деформа-
ции следует, что обычная деформация материала
е = — 8f. (33)
Фиг. 20. Нагрев, рас-
плавление и охлажде-
ние материала между
двумя неподвижными
плоскостями.
На фиг. 21 указан графический метод определения [остаточ-
ных напряжений в сварном шве при полном стеснении дефор-
мации.
24
В основе расчета лежат кривые деформирования при различных
температурах. Для малоуглеродистых сталей при температуре
600° С предел текучести составляет 5 ~ 7 кг/мм2, а при тем-
пературе больше 700° С сопротивлением деформации можно пре-
небречь.
Температурная деформация при нагреве до 700° С составляет
приблизительно
8 = at-« = 14-700-10~6 = 1%,
Фиг. 21. Образование остаточных напряжений в процессе сварки
(при полном стеснении деформаций).
Деформация материала, соответствующая достижению предела
текучести (при нормальной температуре),
8т=ЧГ = 2Т^-=0’12%-
При стеснении общей деформации температурное напряжение*
равное пределу текучести, достигается уже при нагреве приблизи-
тельно на 100° С.
При нагреве материала (между двумя абсолютно жесткими
неподвижными плоскостями) в нем возникают сжимающие темпера-
турные напряжения (кривая ОА1А2А3А4).
При увеличении температуры свыше 300° С температурные на-
пряжения уменьшаются из-за уменьшения сопротивления материала
пластическим деформациям.
Нагрев от 700° С до температуры плавления малоуглеродистых
сталей (~1500° С) происходит при очень малых температурных
напряжениях.
При охлаждении рост напряжений в материале начинается при
температурах меньше 700° С (кривая BJ.B2B3B4). Напряжения ока-
25
Фиг. 22. Направление действия
основных остаточных напряжений
в сварочном шве.
•зываются растягивающими и увеличиваются по мере увеличения
предела текучести и модуля упругости материала.
После охлаждения, когда температурная деформация исчезает,
в конструкции остаются остаточные напряжения.
Как видно из фиг. 21, остаточные напряжения являются растя-
гивающими и достигают предела текучести материала.
В реальных условиях стеснение деформации происходит в основ-
ном в направлении длины шва (фиг. 22). Поэтому растягивающие
остаточные напряжения, близкие
к пределу текучести, действуют
именно в этом направлении.
В поперечном направлении оста-
точные напряжения обычно в 3—4
раза меньше, чем в продольном.
Для определения напряжений
в полосе при наварке валика исполь-
зуется обычная теория стержней,
основанная на гипотезе плоских сече-
ний, причем вычисляются напряже-
ния, возникающие в стержне (полосе)
вследствие сильного неравномерного
нагрева при сварке, [91]—[93].
Следует иметь в виду, что подробный расчет является условным,
так как предполагает одновременный нагрев кромки по всей длине.
Температурные напряжения в полосе с учетом переменного модуля
упругости могут
(см. главу 11):
быть вычислены по следующей формуле
h
2
J' E a tzdz
h
2__________
h
2
f Ez2dz
_h_
2
— a t
Qt = E
(34)
h
2
У Evtdz
h
_2_____
h
2
f Edz
_h_
2
где a t — температурная деформация в слое z.
В рассматриваемом случае распределение температуры можно
считать таким, как показано на фиг. 23. Принимая для простоты
величину Е постоянной, получим из равенства (34)
Р ( ci tK 6 . 6a tK d (h 6)
Ot = E \—h~ + z-----д®-----aZJ ’
где tK — температура слоев материала возле наваренной кромки.
Температурное напряжение при z = h
ot = -EatJl-^ + ±.^\.
\ tjtv 0 ftf 1
(35)
26
В середине полосы z = О
Е ex б
at==—h^
Распределение температурных напряжений показано на фиг. 23.
В общем случае формула (34) позволяет вычислить температурные
напряжения 1 при произвольном рас-
Фиг. 23. Напряжения вПюлосс
при п авар ко валика и остаточ-
ные напряжения.
пределении температуры и модуля упру-
гости, причем интегралы находятся
численным методом по правилу трапе-
ций. Для расчета в области пластических
деформаций используется метод пере-
менных параметров упругости [10 k
Фиг. 24. Остаточные напряжения в полке-
сварного двутавра.
Так как в процессе нагрева возникают пластические деформации, та
после охлаждения в полосе остаются остаточные напряжения. Пример-
ное распределение остаточных
напряжений показано на фиг.23.
Остаточные напряжения в
полке сварного двутавра приве-
дены на фиг. 24 [86]. Оста-
точные напряжения вызывают
также коробление конструк-
ции после сварки.
Если площадь сечения ва-
Фиг. 25. Коробление полосы после
наварки валика.
лика (фиг. 25) принять равной Ъ • S, то можно считать, что
деформация полосы вызывается изгибающим моментом
М = <JTbb-j-h.
(36).
1 Рассматриваемая задача обычно решалась графическим методом, решения
имели только качественный, иллюстративный характер.
27
Тогда прогиб балки
, Ml2 Ч О'т’ I2
Из этой формулы видно, что коробление увеличивается при уве-
личении площади сечения шва и уменьшении высоты балки; предпо-
лагается, что во всех случаях остаточные напряжения в поперечном
печении шва равны от, что несколько завышено для балок малой
высоты.
Вопросу о сварочных напряжениях и деформациях посвящен
ряд работ [21], [85], [86], [91], [92], [93], [124]. В них рассматри-
вается влияние режима и условий сварки на величину остаточных на-
пряжений, а также методы устранения остаточных напряжений. Наи-
более часто для этой цели применяется специальный отжиг или
-отпуск. Отметим, что понижение прочности сварных соединений,
особенно при переменных нагруз-
ках, связано не только с влиянием
остаточных напряжений, но и с
концентрацией напряжений возле
сварного шва и сварочных трещин.
Г. Остаточные напряжения воз-
никают после процесса прокатки.
Одной из главных причин их
появления является неравномерное
охлаждение в процессе прокатки.
Тонкая стенка балки (фиг. 26)
охлаждается быстрее, и в пей
возникают температурные напря-
Фиг. 26. Прокатка двутавровой балки жения растяжения, превосходящие
в валках. предел текучести. Возникшая оста-
точная деформация растяжения
приводит после охлаждения к остаточным напряжениям сжатия
в стенке и растягивающим остаточным напряжением в полках.
На фиг. 27 даны остаточные напряжения в двутавровых балках
№22 [64].
На фиг. 28 показан случай разрушения двутавровой балки [95]
из стали высокой прочности (пв = 58 4- 65 кГ/мм2}. Балка длиной
12 м разрушалась на заводе-изготовителе самопроизвольно, без
всякой нагрузки через 24 ч после проведения огневой резки у концов.
Излом произошел при нормальной температуре, поверхность излома
имела крупнозернистую структуру. Части балки получили прогиб,
достигавший в середине 7—8 см; направление прогиба (см. фиг. 28)
свидетельствует о том, что в полках имелись растягивающие остаточ-
ные напряжения.
Д. Остаточные напряжения возникают и после термической
обработки. Две основные причины вызывают их появление: терми-
ческие напряжения при неоднородном температурном поле и струк-
турные превращения. Обе эти причины главным образом связаны со
скоростью охлаждения в процессе термической обработки. Из раз-
28
личных видов термической обработки наибольшие остаточные на-
пряжения получаются при закалке.
Как известно, закалка стали состоит из нагрева, обеспечиваю-
щего аустенитное состояние, и последующего быстрого охлаждения;
при этом в стали происходят структурные превращения, резко
изменяющие ее механические свойства. Нагрев в зависимости от
химического состава стали изменяется от
750 до 950° С; скорость охлаждения со-
ставляет обычно 100—500° С в секунду.
Скорость охлаждения зависит от состава
и температуры охлаждающей среды (за-
калка в воду, масло и т. и.) и размера
детали.
В результате закалки механические
свойства стали резко изменяются: увели-
чивается прочность и твердость, умень-
шается пластичность. Последнее является
нежелательным и для увеличения пластич-
ности (при некотором снижении твердо-
сти), а также для стабилизации структуры
применяется специальная термическая
обработка — отпуск.
Структурные превращения в процессе
закалки происходят при температурах
200—650° С и заключаются в образовании
трех характерных структур: троостита,
сорбита и мартенсита.
Наиболее существенным, с точки зре-
ния влияния на остаточные напряже-
Фиг. 28. Разрушение дву-
тавровой балки вследствие
остаточных напряжений.
ния, является превращение аустенита в мартенсит, сопровождаю-
щееся значительным увеличением удельного объема.
29
На фиг. 29 дано изменение относительной длины (линейная де-
формация) в процессе охлаждения при закалке. Образование мар-
тенсита при быстром охлаждении (кривая 2) приводит к увеличению
общей деформации даже при уменьшении температуры детали [55].
При расчете остаточных напряжений после закалки (и вре-
менных напряжений в процессе самой закалки) следует учи-
тывать суммарную деформацию при температурном сжатии и
структурных превращениях. Эта деформация достигает значитель-
ной
(Т гр
величины (5—10)
и при неоднородном распределении вы-
Фиг. 29. Литейная деформация
в процессе закалки:
1 —охлаждение в печи; 2 —охлаждение
в воде; 3 —охлаждение в масле.
Фиг. 30. Остаточные напряжения после
закалки:
1—радиальные; 2—окружные (сплошными
линиями показаны расчетные значения оста-
точных напряжений, пунктирными линиями —
экспериментально определенные).
зывает пластическую деформацию. Широкий интервал изменения
температуры (охлаждение ^900° С) приводит к необходимости
учета изменения механических свойств в процессе охлаждения
(см. фиг. 14).
Следует отметить, что сочетание закономерностей изменения
объемной деформации и механических свойств может вызывать
(в данной точке детали) неоднократное чередование процессов на-
гружения и разгружения, что, естественно, затрудняет теоретиче-
ский анализ.
Однако в некоторых случаях (например, в случае осесимметрич-
ного состояния в длинном цилиндре) такой анализ может быть про-
веден.
На фиг. 30 даны остаточные напряжения в цилиндре диаметром
50 мм из среднеуглеродистой стали при закалке с 850° С и охлажде-
нии в воде. Теоретическое решение [77 ] хорошо объясняет получен-
ные экспериментальные результаты. Определение остаточных напря-
жений, связанных с наличием объемной деформации, в некоторых
простейших случаях приводится в гл. 11 и 12. Расчет остаточных
30
напряжений после термической обработки рассматривается в рабо-
тах [7], [61], [77].
В некоторых случаях проводится специальная термическая об-
работка для создания благоприятных остаточных напряжений
в поверхностных слоях детали. Она заключается в нагреве до невы-
сокой температуры (300—600° С) с последующим быстрым охлажде-
нием. В процессе охлаждения в поверхностных слоях возникает
пластическая деформация растяжения, и после выравнивания тем-
пературного поля появляются остаточные напряжения сжатия
(фиг. 31) [95]. Исследованию вопроса посвящены работы [99], [114].
Интересно отметить, что термическая обработка для создания
остаточных напряжений сжатия в поверхностных слоях является
основным методом повышения механической прочности стекла [123].
О 20 00 60 60
Фиг. 31. Остаточные напряжения после нагрева и охлаждения.
При закалке т. в. ч. в поверхностных слоях обычно получаются
сжимающие остаточные напряжения, что повышает прочность де-
тален при действии переменных напряжений.
Следует отметить, что на границе закаленного слоя (например,
возле галтелей) наблюдается понижение прочности.
Е. Значительные остаточные напряжения могут возникать
после механической обработки (точения, фрезерования, шлифо-
вания и др.).
Особенность этих остаточных напряжений состоит в том, что они
действуют практически только в поверхностных слоях глубиной
в несколько десятых миллиметра. Однако, как показывает опыт
эксплуатации, остаточные напряжения в поверхностном слое могут
повлиять на прочность всей детали, особенно при действии пере-
менных напряжений.
Два основных фактора вызывают возникновение остаточных на-
пряжений — пластическая деформация при силовом воздействии
п нагревание поверхностных слоев.
На фиг. 32 показана пластическая деформация поверхностного
слоя при резании (по данным П. Д. Беспахотного). Возле вершины
резца при силовом воздействии возникает пластическая деформация
растяжения, и после снятия усилия в поверхностном слое обра-
зуются остаточные напряжения сжатия.
31
Наличие пластической деформации в поверхностном слое при
резании подтверждается измерением микротвердости [45], [46].
Выделение тепла в процессе резания (вследствие работы дефор-
мации и трения) приводит к большим температурным градиентам
и температурным напряжениям, превосходящим предел текучести
материала. Возникшая пластическая деформация сжатия после уста-
новления нормальной температуры в детали вызывает появление
растягивающих остаточных напряжений. В некоторых случаях,
кроме чисто температурных деформаций, следует учесть структурные
изменения и вызванные ими изменения объема.
Фиг. 32. Пластическая деформация поверхностного слоя
при резании.
Таким образом, два основных фактора при резании — силовой
и температурный — действуют в противоположные стороны, что
и объясняет существенную зависимость величины и знака оста-
точных напряжений от технологического режима обработки.
Остаточные напряжения при точении зависят от скорости реза-
ния и подачи, величины переднего угла резца, затупления резца,
условий охлаждения; они зависят, конечно, и от механических
свойств обрабатываемого материала [44] — [46], [50], [137], [149].
Остаточные напряжения достигают величины 20—80 кг/мм2, (как
сжимающие, так и растягивающие) и залегают на глубине 50—
100 мк. Характер распределения остаточных напряжений показан
на фиг. 33 [45].
При точении углеродистой стали с положительным передним
углом резца на высоких скоростях резания в поверхностных слоях
образуются остаточные напряжения растяжения. При тех же усло-
виях резания в стали 18ХНМА образуются напряжения сжатия.
Созданию остаточных напряжений растяжения в поверхностных
слоях способствует затупление резца.
32
При отрицательном переднем угле и больших скоростях реза-
ния (v 300 м/мин) получаются сжимающие остаточные напряже-
ния у поверхности. При некоторых условиях скоростного резания
(с большими отрицательными углами) у сталей, хорошо восприни-
мающих закалку, в поверхностном слое наблюдается переход аусте-
нита в мартенсит. Такой переход, сопровождающийся увеличением
объема, способствует образованию сжимающих остаточных напря-
жений и компенсирует влияние теплового фактора.
Интересный опыт был проведен при точении жаропрочного сплава
ЭИ437А, применяемого для лопаток газовых турбин [57]. Были
определены остаточные напряжения после обычного точения и
Фиг. 33. Остаточные напряжения после
точения.
Фиг. 34. Распределение тем-
пературы при шлифовании.
точения с электроподогревом (при одном и том же режиме точения).
Подогрев детали уменьшил температурные напряжения, что привело
к переходу растягивающих остаточных напряжений в сжимающие.
В процессе шлифования решающее влияние на образование остаточ-
ных напряжений оказывает тепловой фактор [23], [24], [97].
На фиг. 34 показано примерное распределение температуры при
шлифовании. В поверхностном слое в процессе шлифования возни-
кают сжимающие температурные напряжения. Указанные напря-
жения превосходят предел текучести материала и вызывают пласти-
ческую деформацию сжатия. После окончания процесса шлифования
и установления нормальной температуры эта деформация сохра-
няется, что приводит к растяжению поверхностного слоя со стороны
внутренних слоев, т. е. к образованию в нем растягивающих остаточ-
ных напряжений.
Следует отметить, что для ряда марок сталей, особенно высоко-
легированных, при охлаждении образуется поверхностный мартен-
ситный слой1 * 3 (белый слой толщиной 0,01— 0,3 мм),
1 Для некоторых материалов, например жаропрочных сплавов, структурные
превращения в поверхностном слое почти не наблюдаются.
3 Заказ 288.
33
Как уже отмечалось, мартенситное превращение происходит
при увеличении объема, что может компенсировать уменьшение
объема при пластической деформации сжатия. Указанное обстоя-
тельство может привести к образованию остаточных напряжений
сжатия. Однако в практических случаях влияние температурных
деформаций сказывается больше, и после шлифования в поверх-
Фиг. 36. Остаточные напряжения
после шлифования жаропрочного
сплава ЭИ437А:
1— круглое шлифование, vU3q = 12 м/мин,
t = 0,01 мм’, 2 — плоское шлифование,
vU3q = 7 м!мин, t = 0,01 мм.
ностном слое наблюдаются растя-
гивающие остаточные напряжения.
Силовая пластическая деформа-
ция, связанная с усилием резания,
при шлифовании имеет второсте-
пенное значение.
На фиг. 35 показаны остаточ-
ные напряжения после шлифова-
ния стали Х17Н2 (по данным
М. С. Рахмаровой). Кривые соот-
ветствуют’различным шлифоваль-
ным кругам и режимам шлифо-
вания.
На фиг. 36 приведены типич-
ные данные по распределению
остаточных напряжений после
шлифования жаропрочного сплава
ЭИ437 («Нимоник-80»).
На основании ряда экспериментальных исследований можно
считать, что после шлифования в поверхностных слоях возникают
растягивающие остаточные напряжения 40—80 кГ/мм* (на глу-
бине 20—50 мк).
34
При ленточном шлифовании жаропрочных сплавов в поверхност-
ных слоях создаются сжимающие остаточные напряжения порядка
40—50 kFImm71. при ручном полировании 40—60 кГ!мм2.
Для снятия остаточных напряжений в жаропрочных сплавах
применяется специальный отжиг.
В последнее время, особенно для жаропрочных сплавов, при
окончательной обработке электрополированием все шире приме-
няется электроэрозионная и электрогидравлическая обработка.
В лопатках газовых турбин, изготовленных указанным способом,
остаточные напряжения оказались незначительными.
Ж. Как уже указывалось, в различных областях техники исполь-
зуются специальные технологические процессы, направленные на
создание благоприятного распределения остаточных напряжений
(например, сжимающих остаточных напряжений в поверхностных
слоях). К числу таких процессов могут быть отнесены 'обдувка
дробью, накатка роликами, чеканка. Определение остаточных напря-
жений при поверхностном наклепе рассмотрено в работах [67],
[111].
Отметим, что в основе широкораспространенных конструкций
с предварительно напряженным железобетоном лежит идея создания
сжимающих остаточных напряжений в бетоне, что повышает несущую
способность конструкции.
4. О НАИБОЛЬШЕЙ ВЕЛИЧИНЕ И РЕЛАКСАЦИИ
ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
А. Рассмотрим вопрос о предельно]! величине остаточных напря-
жений. Примем для простоты, что кривая деформирования не имеет
упрочнения (см. фиг. 2, а).
Будем исходить из того, что остаточные напряжения воз-
никают в результате необратимых объемных изменений в детали.
Если имеется одноосное напряженное состояние, то наибольшее
остаточное напряжение
аоет^°Т’ (38)
так как любая деформация не может вызвать напряжения больше
предела текучести.
Следует отметить, что значение ат в равенстве (38) соответствует
окончательной температуре детали. Если материал детали подвер-
гался значительной пластической деформации (нагартовке), то ве-
личина от может быть значительно выше исходной.
При двухосном напряженном состоянии условие для главных
остаточных напряжений имеет следующий вид:
у О'] ост О'] ост&2 ост “Ь ^2 ост О'^,.
3*
(40)
Из этого условия следует, что остаточные напряжения не мо!’ут
превышать 1,15 ат, т. е.
аюст <
°2 ост < Ы5 <УТ.
В поверхностном слое детали, где в общем случае напряженное
состояние может быть двухосным, наибольшие остаточные напря-
жения ограничены условиями (40). Это важно отметить, так как
в некоторых работах вычисляются остаточные напряжения, превы-
шающие даже предел прочности материала ь, такие значения следует
отнести к погрешностям эксперимента или метода вычисления.
При трехосном напряженном состоянии (общий случай напряжен-
ного состояния) условие ограничения остаточных напряжений та-
ково:
1 <———-------------------------------------------
у-— у (^1 ост &2 ост)1 2 "Ь (&2 ост ^3 ост)2 (<?3 ост & 1 ост)2 Ор
Теоретически возможен случай, когда все три остаточных напря-
жения одинаковы (например, в центре закаленного шарнира).
В этом случае условие пластичности не ограничивает величину
остаточных напряжений и ограничение связано с условием прочности.
Случаи всестороннего растяжения (или сжатия) встречаются
крайне редко, но в деталях больших размеров (крупногабаритных
слитках и поковках) приходится считаться с трехосным напряжен-
ным состоянием.
Рассмотренные ограничения [условия (38) — (40)] относились
к материалу с кривой деформирования без упрочнения. Они остаются
приближенно справедливыми при наличии упрочнения, так как за-
метное превышение ординаты кривой деформирования над пределом
текучести наблюдается только при больших деформациях (>3%).
Б. Обычно наибольшие остаточные напряжения лежат в поверх-
ностных слоях, где напряженное состояние близко к двухосному.
Тогда можно считать, что наибольшие остаточные напряжения
^ст<1Д5ат. (41)
Во многих случаях для увеличения надежности и долговечности
детали необходимо уменьшить остаточные напряжения в ней. Тогда
условие (41) может служить одним из обоснований для широко
распространенной технологической операции для снятия остаточных
напряжений — операции отжига 2 (равномерный нагрев и выдержка
1 Следует, однако, учесть, что в поверхностных слоях в результате наклепа,
закалки и других процессов предел прочности может значительно превышать
его значение для основного материала.
2 Для снятия остаточных напряжений применяется также специальный
отпуск, причем режимы термообработки при отжиге и отпуске в этом случае
почти не различаются.
Вопрос о выборе температуры и длительности отжига (для снятия остаточ-
ных напряжений) рассматривается в ряде работ [28], [30], [55], [120 |.
36
при повышенной температуре). Если, например, для детали из угле-
родистой стали марки 15 необходимо уменьшить остаточные напря-
жения до 5 кГ/мм*, то достаточно нагреть ее до 700° С, когда предел
текучести о*т 4 кГ!мм2. При этом предполагается, что охлаждение
будет настолько равномерным, что вторичные остаточные напряже-
ния не возникают.
Однако выбор температуры отжига или отпуска для снятия оста-
точных напряжений по пределу текучести является условным, так
как не учитывается происходящий в материале процесс ползу-
чести.
Более правильно считать, что величина остаточных напряжений
ограничивается пределом ползучести (за время выдержки т)
(42)
В этом равенстве предел ползучести о0>2/т представляет собой
напряжение, вызывающее остаточную деформацию 0,2% за время
т (при задацной температуре выдержки).
Величина предела ползучести уменьшается при увеличении тем-
пературы и времени выдержки, причем увеличение температуры
сказывается более резко.
Например, для хромомолибденовой стали ЭИ454 одно и то же
значение предела ползучести (сг0,2/г = 2,5 кГ/мм?) достигается при
температуре выдержки 575° С за 50 ч, а при температуре 600° С
за 10 ч [75].
В условии (42) указан предел ползучести, соответствующий
остаточной деформации 0,2%. Предварительные деформации, вы-
зывающие остаточные напряжения обычно меньше этой величины.
Для некоторого «запаса» при выборе температуры и времени отжига
целесообразно ориентироваться на пределы ползучести, соответ-
ствующие деформации 1%. Следует отметить, что условие (42)
является достаточным, но ие необходимым. В ряде случаев остаточ-
ные напряжения могут быть снижены за счет объемных изменений
при структурных превращениях в процессе отжига.
Б. Рассмотрим вопрос о релаксации остаточных напряжений.
Релаксацией называется уменьшение напряжений, вызванное пол-
зучестью материала.
Свойство ползучести, проявляющееся в материалах при сравни-
тельно высоких относительных температурах -— (1пл — температура
*пл
плавления), заключается в непрерывном росте пластической дефор-
мации с течением времени прих постоянных напряжениях.
Скорость деформации ползучести (в установившейся стадии)
может быть выражена равенством
V = Bom, (43)
где коэффициенты В и m зависят от материала и температуры. Зна-
чения указанных коэффициентов приведены в работах [90], [100].
37
Для выяснения основных особенностей процесса релаксации
остаточных напряжений рассмотрим простой пример, относящийся
к деталям стержневой формы (фиг. 37). Пусть во внешних слоях
(с площадью сечения F±) действует остаточное растягивающее на-
пряжение Ох, а во внутренней области — сжимающее напряже-
ние 02.
На основании гипотезы плоских сечений приращение деформа-
ции обеих областей стержня будет одинаковым:
d ех = d 82;
одинаковыми будут
и скорости деформаций:
Фиг. 37. К расчету
релаксации остаточ-
ных напряжений.
Учитывая упругую и пластическую дефор-
мацию, [можно записать
b<+’t-4v=-(s<+t-4^). («>
где 02 — абсолютная величина напряжений
сжатия;
Е — модуль упругости.
Из равенства (45) вытекает, что
5«+«Г)+4(4т + т?-)=0- <4е>
Используя очевидное соотношение
^2 = <*1 7^ ’
запишем равенство (46) в следующем виде:
Fm
1+ —
^- = -ВЕ---------^dx. (48)
< 1+4
^2
Интегрируя обе части равенства от начального момента времени
(т = 0), найдем
14-Л.
Л Fm
— (49)
1 1+4^
где oi (0) — остаточное напряжение во внешнем слое в начальный
момент времени (т = 0).
38
Представим равенство (49) в такой форме:
1
т— 1
17 Pi (?)
IX (о)
(50)
где т* — безразмерное время;
[(51)
Снижение остаточных напряжений в зависимости от времени
(безразмерного) показано на фиг. 38. Для конструкционных мате-
риалов величина т обычно нахо-
дится в пределах 2<т<6.
Уменьшение напряжения в пер-
вый период происходит более
резко.
Уравнение (50), при несколько
ином выражении для безразмер-
ного времени, совпадает с извест-
ным уравнением релаксации [53],
[100].
В. Из предыдущего рассмотре-
ния следует, что в результате
ползучести происходит процесс
релаксации (уменьшения) остаточ-
ных напряжений. Этот процесс
Фиг. 38. Релаксация остаточных на-
пряжений при возрастании времени
(безразмерного).
протекает интенсивно при повышенных температурах, но в неко-
торых случаях он происходит и при нормальной температуре.
Отметим следующее важное обстоятельство. Изменение напряжен-
ного состояния тела (например, вследствие релаксации остаточных
напряжений) приводит к появлению деформаций и перемещений.
С этим связано возможное коробление деталей в процессе отжига,
в процессе эксплуатации или даже хранения.
Иногда релаксация напряжений приводит к неблагоприятному
перераспределению остаточных напряжений, что при некоторых
условиях может вызвать внезапное хрупкое разрушение. Известны
случаи разрушения или появления трещин в процессе хранения
деталей.
Изменение остаточных напряжений со временем может быть
связано не только с процессом ползучести, но и с действием внешних
нагрузок на деталь, особенно переменных. Эти вопросы рассматри-
ваются в следующей главе.
ГЛАВА 2
ВЛИЯНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ НА ПРОЧНОСТЬ
ПРИ СТАТИЧЕСКИХ И ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ
На основании практического опыта в различных областях тех-
ники выявилось сильное влияние остаточных напряжений на надеж-
ность и долговечность конструкций. Разрушения при низком уровне
действующих напряжений в первые часы эксплуатации часто ока-
зывались связанными с неблагоприятным распределением остаточных
напряжений.
Основная задача последующего изложения — выявить главным
образом принципиальный характер закономерностей влияния оста-
точных напряжений на прочность.
5. ВЛИЯНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ НА ПРОЧНОСТЬ
ПРИ СТАТИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ
А. В рабочих условиях на деталь действуют остаточные напряже-
ния и напряжения от внешних нагрузок.
Если материал работает в области упругих деформаций, то сум-
марные напряжения получаются сложением остаточных напряжений
и напряжений от внешних нагрузок.
Один из основных вопросов статической прочности — опреде-
ление разрушающего усилия. Статическому разрушению детали
обычно предшествует пластическая деформация, и принцип сложе-
ния оказывается непригодным.
Рассмотрим определение разрушающего усилия при наличии
остаточных напряжений.
На фиг. 39 показан простой пример конструкции с остаточными
напряжениями. Пусть внешняя деталь имеет первоначальный зазор
д, который выбирается с помощью монтажной сжимающей силы, и
стык заваривается. Конструкция получит остаточные напряжения,
компенсирующие первоначальную деформацию
А = 4-
На фиг. 40 дан графический метод определения остаточных уси-
лий во внешнем и внутреннем стержне (для упрощения принято,
40
что стержни выполнены из одного материала и имеют одинаковую
площадь сечения Fi = F2 = F).
Кривая О А 2В2 представляет собой кривую деформирования,
ординаты которой умножены на величину F (зависимости усилия,
действующего на наруж-
ный стержень N2, от дефор-
мации Nz = / (е). Кривая
также представляет
собой зависимость JVi —
= f (е), но сдвинутую впра-
во на величину А. Если
сложить эти кривые (при
одинаковом значении де-
формации е), то получится
кривая ординаты
которой
n = n. + n2. (1)
Величина N продета в-
Фиг. 39. Пример конструкции с остаточными
напряжениями (стержни между двумя абсо-
лютно жесткими плитами).
ляет собой внешнее усилие,
действующее на конструкцию. При внешнем усилии N = 0 точки
Нт и Н2 характеризуют первоначальное состояние конструкции.
Фиг. 40. Определение разрушающего уси-
лия (пластичный материал).
Остаточные усилия N ост
и N% ост равны по величи-
не, ио противоположны по
знаку.
Если прилагается внешнее
усилие 7V, то проводя на рас-
стоянии N прямую, парал-
лельную оси абсцисс, нахо-
дим усилия Ni и JV2, дей-
ствующие на стержни; дефор-
мация во внешнем стержне
составляет при этом вели-
чину 62.
Разрушение конструкции
наступит при усилии Npa3p,
при котором деформация
внешнего стержня
&2 ==
где 8б — деформация, соот-
ветствующая началу разру-
шения материала.
Если конструкция не имела бы остаточных напряжений, то кривая
общего деформирования характеризовалась бы кривой ОАоВо и
разрушающее усилие
1 v ра.эр 1 ’ разр-
(2)
41
Для пластичных материалов, когда разрушающая деформация
8в значительно больше Д, можно считать
^разр №разр' (3)
Вел ичина разности
N^p-Npa3p = &E'F,
где Е' — модуль упрочнения материала в области пластических
деформаций.
Для материала, не обладающего упрочнением (Е' = 0), прибли-
женное равенство (3) становится точным. Эти выводы, полученные
в частном примере, оказываются справедливыми для более общих
случаев.
Итак, для пластичных материалов остаточные напряжения
практически не влияют на величину разрушающего усилия.
Остается уточнить, какой материал следует считать пластич-
ным.
Из фиг. 40 вытекает, что условие (3) будет выполнено, если кри-
вая для внутреннего стержня успеет выйти на участок пластического
деформирования. Это произойдет, если
О' гр
ев > -Е- + Д. (4)
Если предварительная деформация Д не приводит к пластиче-
ской деформации, то
О* гр
А < 2 -J- , (5)
и тогда
От
ев>3—(6)
Обычно величина Д «С 3% и разрушающее усилие не зависит
от первоначальных остаточных напряжений, если
еб>4%. (7)
Под величиной 8в в этом равенстве можно понимать значение
деформации, соответствующей пределу прочности материала об.
Следует иметь в виду, что условие (7) установлено для одно-
осного напряженного состояния (например, растяжения, изгиба
или кручения стержня). При плоском и объемном напряженном
состояниях разрушение материала наступает при меньших дефор-
мациях (&разр<2 и влияние остаточных напряжений может
оказаться более значительным.
В. Для того чтобы подчеркнуть, что предыдущие выводы имеют
достаточно общий характер, рассмотрим растяжение стержня,
имеющего остаточные напряжения (фиг. 41).
42
Пусть кривая деформирования в пластической области не имеет
упрочнения.
При возрастании растягивающего усилия к остаточным напря-
жениям (фиг. 41, а) добавляются внешние растягивающие напря-
жения. При некотором значении N (фиг. 41, б) напряжения во внеш-
них волокнах достигнут предела текучести. При дальнейшем воз-
рас1ании нагрузки напряжения в этих волокнах не будут увеличи-
ваться, хотя деформация стержня продолжает расти. Наконец, при’
разрушающей предельной нагрузке NT напряжения будут распре-
делены равномерно (фиг. 41, в). Величина предельной нагрузки
Фиг. 41. Растяжение стержня при наличии остаточных
напряжений.
не зависит от остаточных напряжений. После снятия нагрузки
NT остаточные напряжения в стержне отсутствуют.
В качестве другого примера рассмотрим напряжения во вращаю-
щемся диске (фиг. 42).
В начальный момент в диске имелись остаточные напряжения
(фиг. 42, а). При возрастании угловой скорости окружное напряже-
ние на внутреннем радиусе достигает величины предела текучести
(фиг. 42, б). При некотором предельном значении угловой скорости
окружные напряжения оказываются равными (во всех точках ди-
ска) величине предела текучести (фиг. 42, в). Значение предельной
угловой скорости (для пластичного материала) не зависит от вели-
чины и распределения остаточных напряжений в диске.
Г. Рассмотрим теперь влияние пластических деформаций (от
внешних усилий) на величину остаточных напряжений в конструк-
ции. Начнем с простого примера, изображенного на фиг. 39. Пред-
положим, что внешнее усилие достигло величины N* (фиг. 40) и затем
снимается. Тогда остаточное напряженное состояние будет характери-
зоваться точками Ki и Кч. Остаточные усилия (КгК и ККъ) малы
43
по сравнению с первоначальными. При отсутствии упрочнения в пла-
стической области остаточные напряжения после пластической дефор-
мации исчезают совсем.
Эти выводы справедливы при достаточно большой пластической
деформации, когда пластическая деформация растяжения возникает
/ вт \
в первоначально сжатом стержне I ei Л . Обычно остаточ-
ные напряжения исчезают, если пластическая деформация (от внеш-
них нагрузок) 8n > 1 %.
При растяжении стержня (фиг. 41), если снять нагрузку NT,
остаточных напряжений в стержне пе будет.
6
Фиг 42. Напряжения во вращающемся диске при возрастании угловой
скорости вращения.
Итак, пластическая деформация от внешних нагрузок приводит*
к уменьшению или даже полному исчезновению первоначальных оста-
точных напряжений.
Однако пластическая деформация при неоднородном напряжен-
ном состоянии вызывает новые остаточные напряжения (в соответ-
ствии с теорией о разгрузке) (см. гл. 1).
Например, для диска остаточные напряжения после достижения
предельного числа оборотов и его остановки показаны на фиг. 42, г.
Они отличаются от первоначальных остаточных напряжений не
только величиной, по и знаком.
Д. Рассмотрим влияние остаточных напряжений на статическую
прочность хрупких материалов.
В этом случае остаточные напряжения могут существенно сни-
зить разрушающую статическую нагрузку.
На фиг. 43 дано определение разрушающей нагрузки для про-
стейшей конструкции (см. фиг. 39) с остаточными напряжениями.
Величина разрушающей нагрузки Npa3p гораздо ниже значения
этой же нагрузки N^p при отсутствии остаточных напряжений.
44
Для хрупких материалов при расчете на прочность следует
учитывать суммарные напряжения (остаточные и внешние). Малая
величина пластической деформации перед разрушением не позво-
ляет «нейтрализовать» влияние остаточных напряжений.
При склонности материала или детали к хрупкому разрушению
(низкие характеристики пластичности и ударной вязкости, объем-
ное напряженное состояние, работа в температурном интервале
хладноломкости) влияние остаточных напряжений может быть
весьма значительным.
Для прочности хрупких материалов
прочность поверхностных слоев. В этих
поверхностные дефекты, становящиеся
очагами образования трещин.
В связи с этим создание в поверхност-
ных слоях сжимающих напряжений по-
вышает прочность деталей из хрупких
материалов.
Е. Выше были изложены некоторые
соображения о влиянии остаточных напря-
жений на статическую прочность.
Было установлено, что разрушающая
(однократная) нагрузка для пластичных
материалов не зависит от величины и рас-
пределения остаточных напряжений. Это
справедливо в том случае, когда разру-
шению предшествует заметная пластиче-
ская деформация (обычно достаточно
иметь деформацию до разрушения 6—8/6).
Практический опыт и проведенные экспе-
риментальные исследования подтверждают
большое значение имеет
слоях сосредоточиваются
Фиг. 43. Определение раз-
рушающего усилия (хруп-
кий материал).
эти выводы.
В условиях хрупкого разрушения влияние остаточных напря-
жений может быть значительным. Отметим также неблагоприятное
влияние растягивающих остаточных напряжений и наклепа на дли-
тельную прочность жаропрочных сплавов (растрескивание лопаток
газовых турбин при наличии остаточных напряжений).
В настоящее время еще не вполне выяснены закономерности
хрупкого разрушения.
Известно, что в конструкционных сталях и сплавах оно связано
с низкими значениями механических характеристик пластичности
(удлинение при разрыве S5 8%, поперечное сужение ф < 10%
и ударная вязкость ак<С 3 кГм/см2).
Хрупкому разрушению способствует объемное напряженное со-
стояние, чувствительность материала к надрезу, высокая скорость
нагружения [101]. Часто причиной хрупкого разрушения мало-
пластичных материалов является недостаточный радиус закругле-
ния в местах концентрации напряжений (в шпоночных пазах,
галтелях и т. п.).
45
Существенное влияние на склонность к хрупкому разрушению
оказывает анизотропия механических свойств в поковках и штам-
повках. При работе высокопрочного1 материала «поперек волокна»
часто наблюдаются хрупкие разрушения. Остаточные напряжения
в сварных швах при недостаточной пластичности материала швов
также являются источниками хрупкого разрушения.
Важное значение для проявления хрупкого разрушения имеет
состояние поверхностных слоев (наводороживание при гальвани-
ческих покрытиях, контакт с жидкими металлами и др.).
Хрупкое разрушение может происходить в сталях и сплавах
с высокими характеристиками пластичности, если они работают
ниже критической температуры хладноломкости [101], [131].
Выше было показано, что при хрупком разрушении остаточные
напряжения могут существенно снизить несущую способность детали.
Однако экспериментальные работы в этой области еще недоста-
точны для достоверных количественных оценок.
6. ВЛИЯНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ НА ПРОЧНОСТЬ
ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ
А. Детали машин часто подвергаются воздействию переменных
напряжений. Эти напряжения создаются внешними нагрузками
(изменяющимися во времени) в процессе вибрации. При вращении
детали переменные напряжения могут возникнуть при постоянных
внешних силах (например, напряжения изгиба в вагонных осях
от веса вагона).
В общем случае напряжения изменяются по асимметричному
циклу, имеющему постоянную и переменную составляющие:
О = СГт + ^/ (т), (8)
где / (т) — периодическая функция времени, изменяющаяся в пре-
делах — 1 / (т) 1;
(50 — амплитуда переменных напряжений цикла или просто
переменное напряжение;
вт — постоянное напряжение.
При от = 0 напряжение изменяется по симметричному циклу и
разрушение наступает при
(yv==a^i, (9)
где — предел выносливости материала при симметричном цикле
или просто предел выносливости.
При отсутствии переменных напряжений (оу = 0) разрушение
(статического характера) наступает при
От = Ов, (Ю)
где ов — предел прочности материала.
46
Вопросы прочности при действии переменных напряжений из-
ложены в работах [100], [118], [126].
Остаточные напряжения изменяют постоянное напряжение
цикла. Для того чтобы выяснить влияние остаточных напряжений
на условия усталостного разрушения, следует проследить сначала
влияние постоянного напряжения цикла.
Экспериментальные исследования в этой области показали, что
с увеличением постоянных растягивающих напряжений предел
выносливости уменьшается; постоянные сжимающие напряжения,
наоборот, сказываются благоприятно. Зависимость амплитуды пере-
менных напряжений, вызывающих усталостное разрушение, от
величины постоянных напряжений цикла показана на фиг. 44.
Эта зависимость выражается
следующим уравнением:
(«)
где и вт — переменное и по-
стоянное напряжения при уста-
лостном разрушении. Фиг. 44. Кривая усталостного разруше-
Зависимость (И), получен- ния при асимметричных циклах изме-
ная из теоретических со- нения напряжений.
обращений [8], удовлетвори-
тельно описывает большинство экспериментальных данных.
Усталостное разрушение представляет собой прогрессивное раз-
витие трещины; естественно, что образование трещины, и особенно
ее дальнейшее развитие, затрудняется ври действии сжимающих
напряжений.
Следует отметить, что влияние постоянных напряжений па
усталостную прочность зависит от механических свойств материала
и для менее пластичных материалов оказывается сильнее. Оно
зависит также от вида напряженного состояния при действии пере-
менных напряжений и, например, для кручения проявляется в мепь-
шей степени, чем для изгиба. Обзор некоторых работ по влиянию
постоянных напряжений имеется в статье Л. А. Гликмана [28].
Интересные экспериментальные результаты были получены
Б. Ф. Балашовым [5]. Однако вопрос о влиянии постоянных на-
пряжений на усталостную прочность в области постоянных напря-
жений сжатия нуждается в дальнейших исследованиях.
Б. Выше рассматривались постоянные напряжения, создаваемые
в испытательных машинах с помощью внешних нагрузок. Остаточ-
ные напряжения возникают в результате упругости материала при
«компенсации» неоднородных объемных изменений.
В отличие от внешних постоянных напряжений остаточные на-
пряжения могут сами изменяться под воздействием циклических
нагрузок.
Если
вост + > CFy,
(12)
47
где ву — предел упругости материала, то в процессе циклического
нагружения возникнут пластические деформации, которые изменят
первоначальное значение остаточных напряжений.
Отметим, что предел упругости при циклических нагрузках ниже,
чем при статической (эффект Берстоу).
Условие (12) относится в равной мере к растягивающим и сжи-
мающим напряжениям (в последнем случае рассматриваются абсо-
лютные величины напряжений; следует также учесть, что предел
упругости при сжатии несколько выше, чем при растяжении).
Из условия (12) следует, что пластическая деформация проте-
кает при одноименных знаках остаточных напряжений и на пряже-
'0
Фиг. 45. Уменьшение остаточных напряжений при воз-
действии переменных напряжений:
а — исходная эпюра остаточных напряжений в цилиндриче-
ском образце; б —то же после 0,97 • 106 циклов напряжений
±34 кГ/мм2.
ний от внешней нагрузки. В результате появления пластической
деформации (см. стр. 43) происходит уменьшение остаточных на
пряжений. В случаях, когда пластическая деформация, вызванная
переменными напряжениями, превышает первоначальную остаточ-
ную деформацию, в детали может наблюдаться даже изменение
знака остаточных напряжений.
Уменьшение остаточных напряжений при действии переменных
напряжений было обнаружено рядом экспериментальных исследова-
ний [28], [133], [143], [161].
На фиг. 45 дано изменение остаточных напряжений в образцах
из среднеуглеродистой стали при воздействии переменных напря-
жений [1431.
Следует полагать, что уменьшение остаточных напряжений осо-
бенно интенсивно происходит при первых циклах нагружений,
а затем стабилизируется1. Это подтверждается экспериментальными
1 Релаксация остаточных напряжений была рассмотрена в разделе 4.
48
исследованиями. В работе [161] отмечается, что интенсивное падение
остаточных напряжений наблюдается до 3 4- 5 • 103 циклов. В ра-
боте [143] указывается, что остаточные напряжения при 1,35 •
• 106 и 2,37 • 106 циклов не изменились.
В соответствии с условием (12) снижение наблюдается в большей
степени для материалов с относительно низкими значениями предела
текучести (например, для малоуглеродистых сталей)^ При объем-
ном характере остаточных напряжений и напряжений от внешних
(переменных) нагрузок снижение остаточных напряжений будет
небольшим, так как пластическая
деформация в указанных усло-
виях стеснена.
Фиг. 46. Типичная эпюра распределения остаточных напряжений
после обдувки дробью или накатки.
Далее замечено, что снижение остаточных напряжений в боль-
шей степени проявляется в поверхностных слоях, которые по своей
физической природе являются ослабленными.
Если суммарные напряжения (остаточные и переменные) не
превосходят предел упругости материала, то остаточные напряже-
ния мало изменяются при действии переменных напряжений. На-
клеп поверхностных слоев при обкатке или обдувке дробью способ-
ствует сохранению остаточных напряжений [64], [111].
В. При обработке поверхности накаткой или обдувке дробью
в поверхностных слоях возникают сжимающие остаточные напряже-
ния. «Расплющивание» поверхностного слоя приводит к увеличе-
нию линейных размеров элементов поверхности, и в поверхностном
слое образуется однородное поле сжимающих остаточных напря-
жений. Типичная эпюра остаточных напряжений (см. гл. 12) пока-
зана на фиг. 46.
В поверхностных слоях (обычно на глубине 1—2 мм) создаются
большие сжимающие напряжения (близкие к пределу текучести
материала). Эти напряжения уравновешиваются небольшими по
величине растягивающими напряжениями.
Практический опыт и экспериментальные исследования [58],
[64], [111], [117], [126], [133] показали, что в результате наклепа
поверхностных слоев усталостная прочность деталей возрастает.
Для гладких образцов при изгибе и при кручении предел вынос-
ливости после накатки или обдувки дробью может быть увеличен
на 10—30%. Для сталей повышенной твердости и деталей больших
размеров это увеличение может быть более значительным.
4 Заказ 288.
49
На фиг. 47 даны значения пределов выносливости торсионных
валов при кручении по пульсирующему циклу для обычных валов
и валов, подвергнутых обдувке дробью [135].
Значительное повышение прочности при переменных нагруз-
ках получается в результате наклепа поверхности при наличии
прессовых посадок, приводящих к концентрации напряжений
и появлению контактной коррозии (фиг. 48). Здесь повышение
предела выносливости при накатке может составить 100—150%
[58], [64].
Фиг. 47. Повышение предела выносливости
при кручении (пульсирующий цикл) в резуль-
тате обдувки дробью торсионных валов:
1—валы обдутые дробью; 2—обычные валы.
Фиг. 48. Прочность при нали-
чии прессовой посадки.
Обкатка роликами и обдувка дробью особенно эффективны при
наличии концентрации напряжений (галтели, отверстия, канавки
и т. п.). В этом случае повышение усталостной прочности при опти-
мально выбранной технологии наклепа может доходить до 50—
150%. Замечено существенное увеличение прочности деталей с на-
клепанной поверхностью при работе в условиях коррозии, в том
числе при коррозии трением. Экспериментально установлено, что
эффект наклепа поверхности сказывается в наибольшей степени
для сталей с повышенной твердостью (при одной и той же глубине
наклепа).
Повышение усталостной прочности при наклепе поверхности
объясняется двумя основными причинами: благоприятным влиянием
сжимающих остаточных напряжений и улучшением механических
свойств поверхностного слоя в результате наклепа.
Начиная с 30-х годов ведется дискуссия об относительной важ-
ности этих двух причин. Фоппль придавал главное значение упроч-
нению поверхности. Тум, а впоследствии Алмен, считали в качестве
основной причины влияние сжимающих напряжений. В работе
Тума и Баутца [163] исследовалась усталостная прочность образ-
цов из мягкой стали с круговым надрезом при накатке надреза ро-
ликом.
Для того чтобы отделить влияние сжимающих напряжений
и наклепа, испытывались сплошные и полые образцы, причем свер-
ление проводилось после накатки (толщина стенки в месте надреза
50
составляла 0,75 мм). В полых образцах в значительной мере сни-
мались остаточные напряжения.
Подобная методика использовалась и в более поздних исследо-
ваниях [64], [135]. Тум и Баутц пришли к выводу, что при изгибе
главное значение, имеют остаточные снимающие напряжения, тогда
как при кручении основное влияние оказывает упрочнение.
В работах И. В. Кудрявцева [64], М. М. Саверина [111] и дру-
гих авторов [133] указывается на существенное влияние обоих
факторов: остаточных сжимающих напряжений и упрочнения по-
верхностного слоя.
......... предельные напряжения для материала
--------- напряжения от внешних нагрузок
Фиг. 49. Влияние сжимающих остаточных напряжений па
усталостную прочность при изгибе гладких деталей и
деталей с концентрацией напряжений:
а —детали без наклепа; б —детали с наклепом.
Рассмотрим некоторые общие соображения о влиянии на уста-
лостную прочность остаточных напряжений и упрочнения поверх-
ностного слоя (фиг. 49). Будем считать, что разрушение наступает,
когда переменные напряжения от внешних нагрузок оказываются
равными пределу усталости материала.
После наклепа поверхности предел усталости поверхностных
слоев возрастает (crli >>0—!), так как остаточные сжимающие на-
пряжения и наклеп материала повышают предел усталости.
В результате разрушение будет происходить при более высоком
уровне внешних напряжений, причем приращение этих напряжений
ДсГу при наличии концентрации напряжений будет существенно
больше, чем для гладких образцов. Последнее объясняется тем,
что зона упрочнения материала при наклепе и зона концентрации
напряжений мало отличаются друг от друга. Однако ряд экспери-
ментальных фактов (например, наблюдающееся в некоторых слу-
чаях значительное возрастание прочности гладких образцов при
обдувке дробью, см. фиг. 47) не объясняется приведенной схемой.
4*
51
Здесь следует учесть, что поверхностный слой детали обычно
ослаблен из-за наличия микроконцентраторов напряжений, струк-
турных и фазовых изменений, отклонений по химическому составу.
Ослабление поверхностного слоя может быть связано с нали-
чием остаточных напряжений от механической или термической
обработки.
В этих случаях обкатка или обдувка дробью поверхности дает
существенное возрастание усталостной прочности даже для глад-
ких образцов. Упрочнение поверхностного слоя происходит за счет
создания сжимающих остаточных напряжений, повышения предела
текучести (и, следовательно, предела усталости) после пластической
деформации и устранения «геометрических» источников концентра-
ции в виде рисок и т. п.
Г. При термической обработке в детали, особенно в поверхност-
ных слоях, создаются остаточные напряжения.
Экспериментальные исследования показали, что сжимающие
остаточные напряжения после термообработки повышают предел
выносливости детали (образца). Для гладких образцов это повышение
составляет 10—30%, для образцов с надрезом 50—80%.
Сжимающие остаточные напряжения могут быть созданы путем
быстрого охлаждения после нагрева до температуры ниже крити-
ческой (например, при нагреве конструкционных сталей до темпе-
ратуры 600° и охлаждения в воде).
При правильном использовании поверхностной закалки с нагре-
вом т. в. ч. в поверхностных слоях создаются сжимающие остаточные
напряжения. Их благоприятный эффект особенно сильно сказы-
вается для деталей с концентрацией напряжений и для деталей
с прессовой посадкой (предел выносливости повышается на 70—
200%).
В зонах, где наблюдается обрыв закаленного слоя (например,
в галтелях шеек коленчатых валов), возникают остаточные напря-
жения, растяжения, и усталостная прочность этих мест падает
на 20—30%. Указанные зоны при поверхностной закалке для
деталей с высоким уровнем переменных напряжений следует
упрочнять.
Остаточные сжимающие напряжения образуются при цемента-
ции и азотировании. Эти процессы обычно повышают усталостную
прочность1, особенно деталей с концентрацией напряжения [63],
[115], [117], что объясняется также и повышением предела уста-
лости поверхностного слоя при увеличении его твердости.
Процесс цементации часто используется для повышения вынос-
ливости и износостойкости зубьев ответственных шестерен при
контактных напряжениях.
1 Этот вывод следует применять с известной осторожностью, так как после
химико-термической обработки детали обычно проходят окончательную меха-
ническую обработку (шлифование, полирование, притирку), которая вносит
свои остаточные напряжения.
52
Следует, однако, иметь в виду, что при цементации и азотирова-
нии получается очень твердый и хрупкий поверхностный слой, кото-
рый может получить растрескивание при действии значительных
статических нагрузок. В этом случае усталостная прочность детали
резко снижается.
Эксперименты показывают 164], что дробеструйная обработка
после цементации при азотировании не дает дальнейшего повышения
прочности при переменных на-
пряжениях. Однако такая обра-
ботка в некоторых случаях
может быть полезна для устра-
нения растягивающих остаточ-
ных напряжений и некоторых
дефектов после шлифования.
Отметим, что такие дефекты,
как сетка трещин и прижоги
при шлифовании, не могут быть
устранены наклепом.
Остаточные напряжения в
поверхностных слоях образу-
ются также при гальванических
покрытиях.
При никелировании возни-
кают растягивающие остаточные
напряжения и пределы выно- ф11Г 50 устал0Стпая прочность образ-
сливости деталей уменьшаются цов с приваренными втулками,
обычно на 10—30%, причем
большие значения относятся к сталям повышенной прочности [64].
Несколько меньшие снижения пределов выносливости полу-
чаются при хромировании и омеднении. При цинковании усталост-
ная прочность не изменяется, при кадмировании несколько возра-
стает. Отметим, что для силовых деталей, работающих при темпера-
туре больше 200° С, кадмирование применять нельзя, так как на-
блюдается резкое понижение прочности из-за эффекта Ребиндера.
Д. Остановимся на вопросе о влиянии остаточных напряжений
при сварке на усталостную прочность конструкции.
Известно, что сварное соединение при достаточной пластичности
основного металла и шва не понижает статической прочности кон-
струкции, однако оказывает отрицательное влияние на выносливость.
В качестве примера рассмотрим экспериментальное исследова-
ние усталостной прочности гладких образцов и образцов с прива-
ренными втулками (фиг. 50) [64].
Для исследования была взята малоуглеродистая сталь (0,11% С;
0,58% Мп; 0,32% Si) с пределом прочности сгв = 41 кГ/мм2. К ра-
бочей части образца были приварены два полукольца с наружным
диаметром 35 мм. В опытах выявлено существенное понижение уста-
лостной прочности. После снятия остаточных напряжений путем
отпуска предел выносливости увеличился.
53.
Растягивающие остаточные напряжения после сварки (и концен-
трация напряжений, вносимая сварным соединением) существенно
понижают усталостную прочность. Это затрудняет использование
обычных методов сварки для ответственных соединений, подвер-
гающихся действию высоких переменных напряжений. При действии
статических напряжений или небольших переменных условия для
применения сварных соединений более благоприятны.
Е. На основании экспериментальных исследований и практи-
ческого опыта устанавливается, что сжимающие остаточные напря-
жения повышают усталостную прочность, тогда как растягиваю-
щие остаточные напряжения действуют неблагоприятно.
Влияние остаточных напряжений па выносливость зависит от
механических свойств материала и характера напряженного состоя-
ния. При значительных сжимающих напряжениях в поверхностном
слое увеличение усталостной прочности проявляется в большей
степени для менее пластичных материалов и при концентрации на-
пряжений.
При резком изменении величины и знака остаточных напряжений
в поверхностных слоях, что свойственно некоторым видам механи-
ческой обработки, фактором, определяющим обычно усталостную
прочность детали, являются остаточные напряжения в поверхно-
стном слое глубиной 10—20 мк.
Следует также иметь в виду, что влияние остаточных напряже-
ний па выносливость может не проявиться, если в процессе нагру-
жения имелось хотя бы несколько циклов повышения напряжений,
при которых возникают пластические деформации, снимающие оста-
точные напряжения.
ГЛАВА 3
ОБЩИЕ ОСНОВАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
При всем многообразии механических методов определения оста-
точных напряжений, используемых на практике, существуют не-
которые общие принципы, лежащие в их основе.
7. ОСНОВНОЙ ПРИНЦИП И ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть имеется тело, в котором существуют остаточные напряже-
ния. На фиг. 51 показаны напряжения в площадках, лежащих в пло-
скости I (для простоты касательные напряжения опущены).
Фиг. 51. Иллюстрация основного принципа опреде-
ления остаточных напряжений:
1 —остаточные напряжения; 2— остаточные напряжения
«эквивалентные» разрезу.
В соответствии с принципами механики сплошной среды можно
отбросить часть тела Б и приложить по поверхности сечения дей-
ствующие в теле напряжения. Тогда оставшаяся часть тела (часть А)
окажется в прежних условиях, так как величина усилий, существо-
вавших на поверхности /, не изменилась.
Если проводится действительное сечение (например, часть Б
сфрезеровывается), то поверхность I полностью освобождается от
напряжений.
Тогда можно считать, что к поверхности сечения прикладываются
внешние напряжения, равные по величине, но противоположные по
знаку тем (остаточным) напряжениям, которые существовали па этой
поверхности до сечения. Итак, разрез и обнажение поверхности экви-
валентны (для оставшейся части тела) приложению к поверхности
сечения остаточных напряжений обратного знака. В этом и состоит
сущность основного принципа определения остаточпых напряжений
в механических методах.
Рассмотрим в качестве примера следующий простой случай
(фиг. 52). Пусть стержень с первоначальной длиной h поставлен
между двумя абсолютно жесткими плоско-
стями на расстоянии I (I < Zi, стержень
можно завести, например, с помощью пер-
воначального охлаждения). Вынужденная
деформация
д = Z± — Z,
6ост
вост
Фиг. 52. Определение оста-
точных напряжений
стержне.
величина которой предполагается малой,
вызовет остаточные напряжения сжатия
_ 6 г
вост — . Jh,
(1)
Если срезать одну из заделок, то,
очевидно, стержень приобретает первона-
результат получится также и в том случае,
чальную длину /1. Этот
если приложить к поверхности среза напряжения
в
О' - О'оС7П.
Тогда длина стержня после деформации окажется равной
Z* = I (1 + е) = Z = I (1 + А) = zr
Таким образом, деформацию стержня после среза заделки (уве-
личение длины от Z до Zi) можно представить как результат прило-
жения к поверхности среза напряжений, равных по величине и про-
тивоположных по знаку остаточным напряжениям. Для краткости
эти напряжения будем называть обратными остаточными напря-
жениями.
Рассмотрим общую постановку задачи в механических методах
определения остаточных напряжений.
При срезе некоторых частей тела в оставшейся части возникают
деформации (и перемещения).
В соответствии с основным принципом эти деформации проис-
ходят от приложения по поверхностям среза обратных остаточных
напряжений.
Задача состоит в следующем: по известной совокупности значе-
ний перемещений (или деформаций) определить вызвавшие их на-
пряжения на поверхности среза. Не останавливаясь на математи-
ческой стороне вопроса, укажем, что такая задача для упругого
56
и для упруго-пластического тела принципиально может быть
решена.
Приведем пример решения в одном из простых случаев. Пусть
в круглой пластинке остаточные напряжения распределены симмет-
рично относительно оси вращения и постоянны по толщине (фиг. 53).
Если удалить (или отрезать) внешнюю часть пластинки при г > с,
то поверхность среза будет представлять собой цилиндрическую
поверхность радиуса с. Сделаем кольцевую риску, расположенную
вблизи поверхности (на радиусе ci), и проследим за изменением ее
радиуса. Пусть в результате отрезки радиус кольцевой риски
Фиг. 53. Определение остаточных напряжений
в диске.
увеличился на величину А, тогда напряжение растяжения на поверх-
ности радиуса с, которое могло бы вызвать указанное перемещение
Это равенство устанавливается следующим образом.
Если на внешнем радиусе пластинки приложено напряжение о,
то оно вызывает во всех точках пластинки радиальные и окружные*
напряжения
О'? — Of) — О.
В связи с этим
Д 1 / ч 1—и _
— = (<*9 — Н<Тг) = —-jf- О,
где ц — коэффициент Пуассона.
Тогда остаточное напряжение на радиусе с
Пост — И — —— — . (3)
1 р с1
Если после отрезки внешней части пластинки радиус кольцевой
риски увеличивается, то в целой пластинке на поверхности среза
существовали сжимающие напряжения.
57
При выводе формулы (3) предполагалось, что остаточные напря-
жения, как обычно, не превышают предела текучести (предела упру-
гости). Приведенный пример относится к числу простейших, так
как были заранее сделаны некоторые предположения о характере
распределения остаточных напряжений.
В практических задачах прямое решение (определение напряже-
ний на всей поверхности среза по измеренным перемещениям) часто
оказывается затруднительным. Тогда проводится постепенное уве-
личение поверхности среза и наблюдение за изменением переме-
щений при «обнажении» небольшого участка поверхности. Очевидно,
что решение рассматриваемой задачи, вообще говоря, более просто,
так как «сигналы» (в виде изменения перемещений) поступают с опре-
деленных участков поверхности.
В дальнейшем будут рассмотрены примеры определения оста-
точных напряжений с помощью последовательных срезов.
8. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Выше был указан основной принцип определения остаточных
напряжений. Существуют и другие общие положения, которые часто
используются при определении остаточных напряжений
Независимость результата от порядка проведения срезов
Допустим, что определяются остаточные напряжения в площад-
ках, лежащих в плоскости среза (фиг. 54).
Соответствующее сечение можно получить путем последователь-
ного среза объемов 1, 2 и 3. При каждом из таких срезов изменяются
лФиг. 54. Последовательные
срезы.
напряжения и перемещения в оставшейся
части тела А. Можно и сразу удалить всю
часть тела, лежащую выше плоскости
сечения (часть Б).
При определении остаточных напряже-
ний принимается, что перемещения (и де-
формация') оставшейся части тела не за-
висят от порядка проведения срезов.
Такое предположение оправдано, если
изменение остаточных напряжений в про-
цессе срезов имеет упругий характер.
3 этом случае история нагружения или
разгрузки не сказывается на окончатель-
ном результате.
Далее следует считать, что само проведение срезов осуществляется
чаким образом, что дополнительных остаточных напряжений не
вносится.
1 Здесь не приводятся общие принципы механики твердого тела (непрерыв-
ность и изотропность среды, ограниченность напряжений и деформаций и т. п.\
выполнение которых подразумевается*
58
Статическая уравновешенность усилий на полной поверхности
среза
Так как остаточные напряжения существуют в теле независимо
от внешних сил, то они образуют статически уравновешенную си-
стему усилий и моментов (на полной поверхности среза). Особо от-
метим, что если при срезе образуются две поверхности, то главный
вектор и главный момент остаточных
поверхностей могут быть отлич-
ными от нуля (фиг. 55)., тогда как
напряжений на каждой из»
Фиг. 56. Силовые факторы в
плоскости разреза кольца.
Фиг. 55. Статическая уравновешенность
усилий па полной поверхности среза.
для полной поверхности среза равнодействующие усилия и моменты
обращаются в нуль.
Сказанное иллюстрируется также на примере разрезки кольца
(фиг. 56), где при разрезке образуются две поверхности среза.
Принцип Сеп-Вепана
Этот общий принцип теории упругости часто используется для
обоснования методов определения остаточных напряжений. Он со-
стоит в следующем.
Если к некоторой (небольшой) части поверхности тела прило-
жена самоуравно вешенная система сил, то напряжения и деформа-
ции, вызванные этой системой, становятся пренебрежимо малыми
на расстояниях, соизмеримых с линейными размерами нагруженного
участка поверхности. Принцип Сен-Венана не доказан в общем
виде, однако он хорошо подтверждается на примере ряда задач,
для которых получено точное решение.
Принцип Сен-Венана излагается в большинстве современных ру-
ководств по теории упругости, более подробное изложение можнск
найти в работе [41].
ГЛАВА 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕРЖНЯХ
При определении остаточных’напряжений используется обычная
теория стержней, основанная на гипотезе плоских сечепий. Остаточ-
ное напряженное состояние предполагается одноосным.
9. СТЕРЖНИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
(МЕТОД ЗАМЕРА ПРОГИБОВ)
А. Стержни прямоугольного сечения (фиг. 57) часто применяют
как образцы, которые вырезаются из деталей более сложной конфи-
гурации.
Остаточные напряжения в таких образцах действуют вдоль оси
стержня. После вырезки снимаются остаточные напряжения по бо-
ковым поверхностям, и остаточное напряженное состояние становится
одноосным. Поэтому остаточные напряжения в образце часто не
характеризуют первоначальные напряжения, но их исследование
необходимо для полного определения остаточных напряжений.
Рассмотрим остаточные напряжения в стержне. Будем предпо-
лагать, что за исключением небольших областей у концов остаточ-
ные напряжения постоянны по длине стержня.
В концевых областях (области II на фиг. 58) остаточные напряже-
ния постепенно уменьшаются, и на торцах стержня они становятся
равными нулю. В концевых областях возникает сложное напряжен-
ное состояние. На фиг. 58 показано распределение касательных и
нормальных напряжений в продольном сечении, отстоящем на не-
котором расстоянии от верхней грани. Обычно протяженность зоны
краевого эффекта не превышает высоты сечения h.
Для определения остаточных напряжений будем постепенно уда-
лять слой материала ABCD (фиг. 59), причем этот слой должен на-
ходиться в зоне постоянных (по длине) напряжений. Неизвестные
напряжения будем предполагать положительными (растягивающими).
Они действовали по граням А В и CD, и потому удаление области
эквивалентно приложению к этим граням равных по величине, но
противоположно направленных напряжений. Предполагается, что
остаточные напряжения действуют в площадках, перпендикуляр-
ных к оси стержня, и потому поверхность ВС не должна быть за-
60
Фиг. 57. Стержень пря-
моугольного сечения.
Фиг. 59. Сечение для выявления остаточных
напряжений.
Фиг. 60. Практически применяемая форма среза.
61
гружена обратными остаточными напряжениями. Отметим, что на
практике чаще применяется удаление всего слоя (фиг. 60), и тогда
силовые факторы действуют в концевых областях. Из условия рав-
новесия элемента А1В1ВА вытекает, что два указанных сечения
(фиг. 59 и фиг. 60) приводят к одним и тем же значениям силовых
факторов для основной зоны стержня. Более простая расчетная
Фиг. 61. Изменение остаточных напряжений в про-
цессе снятия слоя.
схема свойственна сечению, показанному на фиг. 59. Эта схема уда-
ления слоев будет применяться в дальнейшем для расчета остаточ-
ных напряжений.
Определим остаточные напряжения о (а), действующие в стержне
на расстоянии а от верхней грани стержня (фиг. 61). В результате
Фиг. 62. Остаточные напряжения в слое после снятия
материала.
удаления полосы толщиной а в рассматриваемой площадке возник-
нут дополнительные напряжения Оа (&) (при выводе эти напряжения
предполагаются положительными), и напряжение в слое, отстоящем
на расстоянии а, окажется равным
а* (а) = о («) + g() (а). (1)
Напряжение о* («), существующее в слое а после удаления всех
предыдущих слоев, может быть найдено из следующих соображений.
Проведем дополнительный срез бесконечно тонкого слоя толщиной
da (фиг. 62). Это эквивалентно приложению к стержню длиной I
изгибающего момента
dM = ~ о* (a) b (h - a) da, (2)
где Ъ — ширина стержня (см. фиг. 57).
62
Если к стер7кню приложен изгибающий момент М (фиг. 63), то
фогиб в середине длины стержня 1
MZ2
где J — момент инерции поперечного сечения.
Фиг. 63. Прогиб стержня под действием изгибающих моментов.
В рассматриваемом случае
/ = (4)
кА
При действии изгибающего момента dM приращение прогиба
Учитывая равенства (2) и (5), найдем
dt== ww=^°4a}da
или
Полученная формула показывает, что напряжение, действующее
в слое перед его удалением, пропорционально отношению прираще-
ния прогиба df к толщине снятого слоя da.
Для определения истинного остаточного напряжения в слое а
(существовавшего в этом слое в исходном состоянии образца до среза
предыдущих слоев) надо вычислить дополнительное напряжение
Од (а), возникшее в результате удаления слоев.
Пусть в данный момент удаляется слой d £ на расстоянии £ от
верхней грани стержня (фиг. 64). В результате на стержень с высо-
той сечения (7г — |) начинают действовать растягивающее усилие
dN = а* (£) bd £ и момент dM = и* (£) Ъ (7г—£) d В слое а,
отстоящем от нейтральной плоскости изгиба на расстоянии
[h-а) - A g) = (М. g _ 2а)>
1 Влиянием осевых сил иа изгиб стержня пренебрегаем, что не вносит су-
щгственпой погрешности.
63
возникнут напряжения
7 / \ dM • 12 1 /7 । с. г) \ । dN
d во (а) — • -у (^ + I — 2а) + =
= з °* (?)d t + -(^1г °* ®d <7>
Напряжение О'* (£) в слое £ при снятии всех предыдущих слоев
можно определить точно таким же образом, как и в слое а. Заменяя
в равенстве (6) величину а на £, можно записать
(8)
Фиг. 64. Определение дополнительных напряжений в слое а,
возникающих при постепенном снятии слоев.
Теперь из соотношения (7) вытекает
doa(a) = -|g-(4fe-6a + 2£)^-^. (9)
Суммируя приращения напряжений от снятия всех предыдущих
слоев, получим дополнительное напряжение в слое а
(уэ(а) = fdod= ~[(4fe-6a)/(a) + 2 j (Ю)
о и
В этом равенстве учтено, что в начальный момент прогиб стержня
отсутствует: / (0) = 0.
Учитывая тождество
а а
f^d^ = af(a)-Jfa)d^
о о
запишем зависимость (10) в следующем виде:
Оа(а) = ^-[4(Л-а)/(а)-2//(g)dg] . (11)
о
64
Злая величины а* (а) и во (а), получим из равенства (1) основную
расчетную формулу
о (а) =
4Я
З^2
(h-aY-^(a)-4(h-a)f(a) + 2 / / (В) d d . (12)
О J
Напомним правило знаков при вычислениях по этой формуле-
Если величина о (а), полученная в расчете, является положительной,
то остаточные напряжения в слое глубиной а — растягивающие.
Прогиб / считается положительным, если он направлен в сторону
снятого слоя. На фиг. 65 дана иллюстрация к этому правилу.
Фиг. 65. Прогибы стержня при снятиихверхнего слоя:
а —растягивающие напряжения в слое; б —сжимающие напряжения
в слое.
Для определения остаточных напряжений надо знать не только
величину прогиба в данный момент, но и проследить за измене-
нием прогиба при увеличении толщины снятого слоя.
Можно показать непосредственным интегрированием, что оста-
точные напряжения, вычисленные но формуле (12), всегда удовле-
творяют общим условиям равновесия
h
J o' (a) da = 0;
о
h
о (я) -----a) da = 0.
о
(13)
Выполнение этих условий контролирует в данном случае только
правильность произведенных вычислений.
Б. Использованная схема вывода (рассмотрения напряжений
при снятии самого слоя и при снятии предыдущих слоев) приме-
няется во всех работах по определению остаточных напряжений,
начиная с работ Г. Закса [157] и Н. Н. Давиденкова [32].
Приведем теперь принципиально другой вывод формулы для
остаточных напряжений в стержне. Пусть в стержне удалена по-
лоса материала толщиной а (фиг. 66). Деформация оставшейся части
возникает от приложения обратных остаточных напряжений по пло-
скостям АВ и DC.
5 Заказ 288.
65
На расстоянии g от верхней грани действуют напряжения о (£),
направление которых соответствует предположению, что неизвест-
ные остаточные напряжения являются положительными (растяги-
вающими).
Изгибающий момент, создаваемый приложенными на поверх-
ности АВ силами, относительно середины высоты стержня (точки 0)
будет равен
М
= f аШ [_|_(Л+а)_ф^.
о
Фиг. 66. Другой вывод формулы для остаточных напря-
жений в стержне.
Учитывая равенства (3) и (4), найдем
а
/а (£) [-Х (h + a)_$ dl
} ~ ~2Ё (h—a)s '
В этом уравнении неизвестная функция о (£) входит под знак
интеграла, и с математической точки зрения соотношение (14) пред-
ставляет собой интегральное уравнение Вольтерра первого рода.
Уравнение (14) имеет, однако, вполне элементарное решение. Пере-
нося величину (h—d)s в левую часть равенства и продифференци-
ровав по а, получим *
(h-a)^(a)-3(h-ayf(a)==
а
= f <ra)d^+-Lo(a)(h-a)]. (15)
о
Отметим важное следствие равенства (15) при а = 0. Из урав-
нения (15) вытекает формула для остаточного напряжения в наруж-
ном слое (а = 0)
<16>
* Напомним правило дифференцирования интеграла по верхнему пределу:
а а
о о
66
(18)
До снятия слоев прогиб стержня, естественно, отсутствует:
Г(0) = 0. (17)
Если снова продифференцировать равенство (15), то будем иметь
(Л - а)2 («) - 6 (Л - а) {а) + 6/ (а) =
3Z2 do t ч
=-i&-d^-
Левую часть равенства можно представить- т^к:
L о J
3Z2 do , ч
= -4^'-dT^’
d
откуда *
(Л - a)2T (a) - 4 - a)+ 2 J f ® dI - Л? -g- (°) =
= -g- (a(«) — a(0)).
Учитывая соотношение (16), приходим к уже известной формуле
(12) для остаточного напряжения на расстоянии а от верхней грани
o(a) = ^hh-ay^(a)-^{h-a)f(a)+2f
L о J
В. При выводе основной расчетной формулы (12) предполага-
лось, что длина деформирующегося участка стержня равна I и про-
гиб / измеряется относительно концевых сечений этого участка.
Участок длиной I соответствует зоне постоянных (по длине) остаточ-
ных напряжений. Концевые участки, соответствующие «зоне вклю-
чения» (см. фиг. 58), деформируются неполностью.
Если принять, что участки длиной 1Х (фиг. 67) остаются прямо-
линейными, то зависимость между прогибом и изгибающим момен-
том имеет следующий вид:
<19>
Да \ О & /
эту формулу можно применять и в том случае, если на участках
длиной 1Х снятия слоев не происходит.
Более точная зависимость получается, если предположить линей-
ное изменение изгибающего момента от 0 до М в пределах концевого
участка.
* Этот же результат получается после интегрирования обеих частей равен-
ства (18) с помощью интегрирования по частям.
5*
67
Тогда
Mil* । Zii . lj\
EJ \ 8 2 3 / ‘
(20)
Если происходит, как обычно, снятие слоя на всей длине стержня
L и прогиб замеряется относительно торцов стержня, то в точных
расчетах должна быть учтена «длина включения» lL. Принимая
получим
М / Л2 № \
EJ 8 6 /
Фиг. 67. Определение прогиба при наличии
неизгибающихся концевых участков.
Если величина h < 0,1 L, то поправкой на зоны включения
можно пренебречь и считать
l^L.
Г. Во многих практических задачах (например, при исследова-
нии остаточных напряжений после механической обработки) оста-
точные напряжения резко изменяются в пределах поверхностных
слоев (при толщине порядка 0,1 мм). В этом случае для получения
надлежащей точности требуется последовательное удаление очень
тонких слоев. Весьма важным является также точное вычисление
величин, входящих в формулу (12). Непосредственно из эксперимента
получается ряд значений прогибов /х, /2, /з---» соответствующих
различным толщинам снимаемого слоя ах, а2, и требуется
определить значения функции / (а), ее производной и интеграла
в расчетных сечениях. С математической точки зрения это предста-
вляет собой известную задачу теории приближенных вычислений.
Один из простых приемов состоит в применении параболической
аппроксимации — на рассматриваемом участке неизвестная функ-
ция заменяется параболой, проходящей через три заданные точки.
Остановимся сначала на вычислении остаточных напряжений
в поверхностном слое.
По формуле (12) при а = 0 или по равенству (16)
’ (О) = '^ <-«»
(22)
68
Для расчета необходимо' определить значение производной про-
гиба по глубине снимаемого слоя в начальный момент. Простая
приближенная формула
4^(0)« — - (23)
da 4 ' х '
не всегда обеспечивает необходимую точность, в особенности если
в пределах первого снятого слоя происходит существенное изменение
остаточного напряжения.
Для более точного вычисления производной заменим кривую
/ (а) параболой, проходящей через начало координат (фиг. 68) и
точки а1? Д и а2, /2-
Уравнение этой параболы
будет таким:
а (а — а2)
«1 (а1 —«г)
е а (а — аг)
а2 (а2~fli)
(24)
Легко видеть, что при а =а1
и а = а2 кривая имеет в соот-
ветствующих точках ординаты
/1 и /г.
Из уравнения (24)
Фиг. 68. Приближенное вычисление про-
изводной в начале координат.
<“> = (2° - + -«.'4- (2“ -
При а = 0 будем иметь
/0\ __ fla2
da ' ' а± (а2 — ах)
fzai
а2 (а2— fll)
(25)
4
В этом равенстве при определении производной используются
результаты не только первого, но и второго измерения.
В соответствии с формулой (22)
_4№_ / /га2____________/2а1 \
3Z2 а1(а2 — а1) а2(а2 — а1) I
(26)
Рассмотрим иллюстративный пример. Пусть в стальном бруске (h = 10 мм,
/ = 110 мм) после снятия первого слоя толщиной Ai =0,2 м,м замерен прогиб
fi = 0,05 мм, после снятия второго слоя толщиной А2 = 0,28 мм величина
прогиба /2 = 0,08 мм.
Требуется определить остаточные напряжения у поверхности.
В рассматриваемом примере = Ai = 0,2 мм; а2 = ai + А2 = 0,48 мм.
По формуле (26) находим
стЯП-4’2’104 ( 10 W0’05*0’48
1 ' 3 I 110 И 0,2-0,28
0,08 • 0,2
0,48 • 0,28
= 68 кГ/мм2.
Если использовать приближенное равенство (23), то получим
о (G) = 55 кГ/мм2.
69
Перейдем к определению производных при других значе-
ниях а.
Уравнение параболы, проходящей через 3 заданные точки
(fli—Ь /i—i), (ai? Д) и (ai+i, /i+f),
будет таким (фиг. 69):
= /. (a~aj )(a-aj+1)
1 (ai—(ai—1 —
. / (fl~aj—j) (a~ai+1)
* (ai ai— {) (a< ai+l)
, (a~ ai_i)(a-~aj)
l+1 (ai + l~ai—-1) (ai+l~ a|)
Если положить в этом равенстве i = 1, = a0 = О,
= /0 = 0, то получим соотношение (24).
(27)
/1—1 3=1
Фиг. 69. Приближенное вычисление производной.
Значение производной
df z к __ , 2a~ai~ai+i
da } Л 1 {ai_i—ai){ai_i~ai+i)
2^ CL •_> Дл । j
_1_ у_______in!___*±1_____|_
। у. 2a-ai_i~ai .
1+1 (ai+l~ai—1) (ai+l~ai)
(28)
Эту формулу целесообразно применять для средних точек интервала
На практике производные часто определяют непосредственно по
кривой / (а), как тангенс угла наклона касательной. Сама кривая
строится от руки в виде плавной кривой, проходящей через задан-
ные точки. Для точек наружной поверхности, где встречаются зна-
чительные градиенты напряжений, такой способ может привести
70
к различным результатам, что делает расчет неопределенным и не-
сопоставимым.
На фиг. 70 показаны две кривые, проходящие через эксперимен-
тальные точкщ с различными значениями производных. Аналити-
ческое определение производных, особенно для начальной точки
а = 0, обладает, как правило, большей точностью и вносит необ-
ходимое единообразие.
Остановимся на вычислении интеграла
о
(29)
входящего в формулу (12).
Эти вычисления не требуют особой точности, и допустимо исполь-
зовать обычное правило тра-
пеций.
Если интеграл вычисляет-
ся для значения а = ап, то
ап п
о i==1
+ /i), (30)
где Д< = ai—fli—t — толщина
Фиг. 70. Различные приближения для
действительной кривой / (а).
слоя между сечениями (Ц— t
и (величина /0 = 0).
Например,
f /(№=-%- AJx + 4-Д2 (А + А) + 4 Дз(А + /з).
В практических расчетах интеграл (29) часто вычисляют как
площадь, ограниченную кривой / (а) до данного сечения а. Такое
определение дает в большинстве случаев достаточную точность, но
более громоздко, чем расчет по равенству (30).
Д. В практических задачах часто наибольший интерес предста-
вляют остаточные напряжения в поверхностных слоях. Для поверх-
ностного слоя справедлива формула (22). Для других значений а
приходится использовать общую формулу (12). Однако можно
показать, что если суммарная толщина снятых слоев а мала по срав-
нению с Л, то расчет упрощается. Для приближенной оценки порядка
величин слагаемых в формуле (12) примем
0.
тогда
*(«) = + (31)
71
Из этого равенства видно, что основное значение при малых а
имеет первый член.
Если
> 40,
а ’
то второй член составляет приблизительно 10% от первого, а тре-
тий менее 0,1%. Анализ показывает, что при > 15 можно пре-
небречь последним слагаемым в формуле (12) и определять остаточ-
ные напряжения в поверхностных слоях по равенству
При > 50 достаточно при вычислениях сохранить только
первый член
*(«) = -^г(й-а)2^-(а). (33)
Е. Формула для определения остаточных напряжений в стержне
прямоугольного сечения была впервые установлена Н. Н. Дави-
денковым [39] в следующем виде:
. а — Да
[(h-аУ А/ К-1 У
СТ(а' /2 (3 Да d h~l
О
а — Да ч
_(Л + Да-2а)/о_Да- £ gA/J , (34)
где
(35)
Для вывода рассматривались слои конечной толщины Ла. В пре-
делах снимаемого слоя напряжения предполагались постоянными.
Использование суммирования вместо интегрирования было свя-
зано, ио-видимому, с желанием получить результат в форме, при-
годной для непосредственных числовых расчетов.
Если применить интегрирование, что представляется более оправ-
данным для вывода теоретической формулы, и отбросить члены бо-
лее высокого порядка малости, то формула Н. Н. Давиденкова при-
обретает следующий вид:
п(«)= 4?-{—з“-^-(«)--|- f
о
а
о
72
или
^(«) = 4§-[(fe-a)2^(a)-(4fe-6a)/(a)-2 f g d/1. (36)
L о J
Учитывая равенство
f ^df — af (a) — f f (^) dS,,
0 0
находим, что формулы (36) и (12) совпадают.
В работе М. А. Бабичева [4] с целью уточнения расчета предла-
гаются формулы, которые с математической точки зрения следует
считать некорректными (например, формулы содержат слагаемые
вида х + dx}.
Представляется более целесообразным применять точные теоре-
тические формулы, а для уменьшения погрешности при вычисле-
ниях воспользоваться общими приемами приближенных вычисле-
ний, как это было изложено ранее.
Точность определения остаточных напряжений возрастает при
уменьшении толщины снимаемых слоев.
Основные погрешности связаны с измерением прогибов и толщин
слоев, а также с получением достаточной однородности снимаемого
слоя.
Например, при определении напряжений в поверхностном слое
приращение прогиба
Л , 3 о (0) / I \2 Л
Д/ = —• —(т) Да-
Если остаточное напряжение о (0) = 10 кГ/мм\ = 10, Е =
— 2 • 104 кПмм\ то
А/ = 0,04 А«.
При А а = 0,1 мм приращение прогиба А/ = 0,004 мм, что
измеряется со значительной погрешностью. Для повышения точности
1
метода следует применять большие отношения .
Пример расчета остаточных напряжений в стержне прямоуголь-
ного сечения приведен в § 10.
Ж. Расчет остаточных напряжений остается прежним, если ис-
пользовать в качестве характеристики деформации изгиба взаим-
ный угол поворота концевых сечений.
Возможная схема замеров показана на фиг. 71. К торцам стержня
припаиваются или приклеиваются удлинители, которые защищаются
от стравливания; расстояние между перекрестиями I + S измеряется
микроскопом. Угол поворота сечения
73
в
соответствии с этим
6 = 2рЯ =
М1Н
EJ *
(37)
Вывод расчетной зависимости остается прежним, если заменить
соотношение (3) равенством (37).
В результате получим следующую формулу для определения
остаточных напряжений:
Фиг. 71. Замер прогибов с помощью удлинителей.
При Н — I точность расчета по формуле (38) выше, чем по соот-
ношению (12) в — 8 раз (при одинаковой точности измерения
величин би/).
10. НЕКОТОРЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕР РАСЧЕТА
А. Остановимся на некоторых практических вопросах опреде-
ления остаточных напряжений по методу, изложенному в предыду-
щем параграфе. Обычно стержни прямоугольного сечения предста-
вляют собой образцы из деталей более сложной геометрической
формы. При вырезке образцов следует обращать внимание на то,
чтобы сама операция вырезки не внесла дополнительных остаточных
напряжений.
Для вырезки образцов часто применяется электроискровой ме-
тод или резка шлифовальным кругом с малой подачей и обильным
охлаждением эмульсией. Снятие слоев материала обычно осущест-
вляется с помощью электролитического травления, что обеспечивает
более гладкую поверхность, чем обычное травление. Схема установки
для электролитического травления показана нафиг. 72. Для лучшего
перемешивания иногда используется мешалка, приводимая во враще-
ние электромотором небольшой мощности. Напряжение на электродах
в зависимости от состава электролита и других факторов колеблется
в пределах 2—30 в, плотность тока 1 10—30 а1дм2, температура элек-
1 Плотность тока относится к 1 дм2, стравливаемой поверхности.
74
тролита 20—60° С. Электролит обычно содержит фосфорную и сер-
ную кислоту с небольшой добавкой хромового ангидрида.
Например, для сталей 45 и 18ХНВА применялся состав [45],
содержащий 850 см3 Н3РО4 с удельным весом 1,56, 150 см3 H2SO4
с удельным весом 1,89 и 50 а хромового ангидрида.
Для жаропрочных сплавов на никелевой основе используется
электролит, содержащий 45% Н3РО4, 45% H2SO4 и 10% воды. Со-
став электролита и параметры процесса (напряжение, плотность тока,
температура) подбираются из условия равномерного снятия металла
и недопущения точечного разрушения поверхности и растравливания
границ зерен. Применяется также простое травление 30%-ным
Фиг. 72. Схема установки для электропо-
лирования:
1 — анод (исследуемый образец); 2 — катод (свин-
цовая пластинка или пластинка из материала
образца); 3 — ванна из кислотоупорного мате-
риала; 4 —электролит; 5 — трансформатор; 6 —
селеновый выпрямитель; 7 —реостат; 8 —вольт-
метр; 9 — амперметр.
Фиг. 73. Риски на боковой по-
верхности образца для измерений
прогибов на универсальном ми-
кроскопе.
раствором азотной кислоты или «царской водкой» (3 объемные части
HG1 и 1 часть HNO3). Следует обратить внимание на меры предо-
сторожности при работе с электролитом и кислотами (вытяжной
шкаф, защитные очки, резиновые перчатки и т. д.).
Поверхности образца, которые не должны подвергаться травле-
нию, защищаются специальными лаками или воском. Температура
плавления воска —56° С, и потому при его применении температура
электролита не должна превышать 30°.
Б.. Для точного измерения прогибов используется универсаль-
ный микроскоп. Для проведения измерений боковая поверхность
образца полируется и на ней наносятся риски алмазным или побе-
дитовым наконечником (фиг. 73).
Риски должны быть тонкими и располагаться на линии, парал-
.лельной оси стержня, ближе к защищенной поверхности.
Точность измерения прогибов (смещения перекрестья В относи-
тельно прямой, соединяющей перекрестья А и С) составляет на уни-
версальном микроскопе 1—2 мк.
Более просто измерение прогибов осуществляется на индикатор-
ных приборах, имеющих цену деления 2 мк (фиг. 74). Прогиб
75
определяется по разности показаний прибора при измерении в трех
точках А, В и С, (фиг. 73), расположенных теперь на стороне образца,
противоположной стороне стравливания (прогиб равен разности по-
казаний в точке В и полусумме по-
казаний в точках А и С).
Напомним, что прогиб считается
положительным, если он направлен
в сторону снятого слоя.
Скорость травления
у_______________а
где а — толщина слоя, снятого за
время т, зависит от состава электро-
лита и параметров процесса.
Обычно величина скорости тра-
вления
V m (1 4- 5) мк/мин.
Толщина снятого слоя может быть
определена с помощью взвешивания
на аналитических весах.
В. При массовых измерениях оста-
точных напряжений для проверки
стабильности технологии целесооб-
разно использовать специальные при-
боры. На фиг. 75 дана схема прибора
(авторы Марков, Кузнецов, Мирер,
Пестрова), которым осуществляется
непрерывная запись прогиба с по-
мощью индукционного датчика 1. Эта
Фиг. 74. Измерение прогибов на
индикаторном измерительном при-
боре.
запись передается на самописец 5, где фиксируется зависимость про-
гиба / от времени. Если считать, что скорость травления в каждый
момент времени известна1 (в практических измерениях она предпо-
лагается постоянной), то известна и толщина снятого слоя (зависи-
мость / (а)). Образец 3 прикрепляется к держателю; прогиб образца
через наконечник 2 передается на рычаг 6 и индуктивный датчик.
Необходимо предусмотреть, чтобы закрепление образца не препят-
ствовало повороту его концевых сечений. Электромотор 4 вращает
мешалку для большей равномерности травления. Методом травле-
ния обычно проводится снятие слоев общей глубиной не более 1 мм.
Г. Снятие слоев может быть проведено не только с помощью
травления, но и механическим путем (точением, строжкой и другими
способами). Эти способы применяются при исследовании остаточных
напряжений в стержнях больших размеров (например, в сварных
балках) и не позволяют определять остаточные напряжения в поверх-
ностных слоях. Толщина снятого слоя (между двумя измерениями
1 Средняя скорость травления определяется с помощью взвешивания образца после
окончания процесса травления.
76
Фиг. 75. Прибор для определения остаточных напряжений
при непрерывной записи прогиба.
Фиг. 76. Эпюра остаточных напряжений
в стержне прямоугольного сечения.
Определение остаточных напряжений в стержне прямоугольного сечения (методом замера прогибов)
а
3“
3
3
1 [О (<Ч> в кГ/ммЬ 1 <t< •гЧ Г^> ИО оо СО 05 04 ^о о ог ^ч о оогаососооооосо иг^со ||||
—4 (h~a) х X / (а$) в мм2 со аг со со со иг со сг со со со со аг о оо но со оо о о 04 ю ооооооо 1 1 1 1 1 1 1
X 2ч £ 2 1^» ~ X С4 СО to Г- СО СО со иг ооч^ч^ооюагсо 04 04 ИО 04 Ю О о о ^^СОтнОООО 1 1 1
В 1— COsfsfl СО ИО Г- Г" О vtf со иг иг 04 о аг со со 0404040404^^^
П—а^ в мм о тЧ Г- ^-ч СО 04 СО аг оо оо оо со COU0kQ^><fJtC0O4'r4
ai 0 в мм2 О> Иг О СО со 00 оо^со^соагог О О О 04 О О о ОООО000
00 иг оо г- СО 04 04 00 04 00 00 СО г^сосо^^о4иоо4 со со иг 04 о^о о ^Нч-Чччнооооо 1 1 1
К(3) в г;мм оо оо аг со со Г" иг аг о ю со оооогса сасооТигсосасоса 1
81 л СО СО 00 СО 00 CQ 04 иг 1'^<агГ'’чнсосО'5Ноо со 04 04 1 1
В 1 / ММ ио со иг sf со со аг 1 аг аг со со о иг иг 1TPTTI1
f<ai) в мм иг г- аг Г' Г' из <0000000
ai в мм со со аг г- оо ^,О04гНС0С4^чС0 000’^H'T-i04C04<t< о о о о" о о о
л <м СО СО 00 со О 00 СО ^00400^000^-4 ° о о О О О О о о о о о о о
О -Г-н 04 СО иг СО г-
прогибов) зависит от размера по-
перечного сечения и обычно соста-
вляет несколько миллиметров.
Механические способы снятия
слоев применяются для исследова-
ния остаточных напряжений в сече-
нии стержня при достаточно плав-
ном их изменении.
Д. Рассмотрим пример расчета
остаточных напряжений1 *. Для ис-
следования был взят образец пря-
моугольного сечения с высотой се-
чения h = 1,6 мм и расчетной дли-
ной I — 50 мм. В табл. 1 даны
в первых столбцах: Д< — толщина
снятого слоя на рассматриваемом
этапе травления, аг — суммарная
толщина снятого слоя и прогиб
/ (л<), соответствующий этой тол-
щине. Величина Аг = аг — а^.
Для вычисления производной
(аг) использовалась формула
(28) предыдущего параграфа, кото-
рая записывалась в следующей
форме:
(ai) = Л-1 /Д Д1 г'] +
аа \ ^г г Аг4-р /
1 / / ^г4-1 Af \ I
Мш Г '
1 /. /______А*______\ _
Ai+1<Ai+Ai+lJ
= + fiK^ + fi+lK(i3\
Эта формула справедлива для
всех значений кроме двух край-
них. Для начального значения
i = 0, а0 = 0, Л = 0 по формуле
(25) предыдущего параграфа
I 4 (_
Д2(Дх+Да)
Л1 Ч~~
Д1Д2
1 Исходные данные взяты из работы
Г. П. Мещаниновой. Расчеты в этом
примере и дальнейших проведены
Р. М. Пипко.
78
Для последнего снятия слоев I = п, и. применяя формулу (28)
для крайней абсциссы, получим
(йп) = /п-2(’Дп-Г(А^1 + Ап)) + fn~l Х
/ — (Ап—1 + Ап) \ . г / Ап+(АП_1 + Лп) \ _
*n-i А„ )^Тп[ An(An-4 + An) ) ~
— f п—+ fn—iKn^ + fnKn^ .
В столбцах 5, 6 и 7 даны значения коэффициентов К^\ и
Значение производной -~£- (af) указано в столбце 8. Далее
идет вычисление интеграла по формуле (30) (столбец 9). Остаточные
напряжения а (а$) получаются как сумма значений в столбцах 12,
13 и 9, умноженная на величину
4£ _ 4-2,2- 104 ~ л
3Z2 — 3 • 502
Из таблицы видно, что до аз = 0,117 мм основное значение имеет
только первый член формулы (12). Эпюра остаточных напряжений
приведена на фиг. 76.
11. СТЕРЖНИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
(МЕТОД ЗАМЕРА ДЕФОРМАЦИЙ)
А. В современной измерительной технике широкое применение
получили проволочные тензометры. Они используются также для
исследования остаточных напряжений.
Фиг. 77. Замер деформаций с помощью проволочного
тензометра.
Рассмотрим определение остаточных напряжений в стержнях
при замере деформаций проволочными тензометрами. Пусть тензо-
метр наклеен па нижней грани стержня (фиг. 77) и защищен от стра-
вливания.
Последовательность вывода расчетной зависимости остается та-
кой же, как и при замере прогибов. .Напряжение о* (а), существую-
щее в слое а после удаления всех предыдущих слоев, может быть
найдено, если известно изменение деформации d & при снятии слоя
da (фиг. 78).
79
Так как снятие этого слоя эквивалентно приложению усилия
о* (aybda, то в крайнем нижнем волокне возникнут напряжения
изгиба
Q* (a) bda -i- (h — а)
d (У и = 7
-^(h — a^b
За* (а)
и напряжение растяжения
d бр — а* (а)
р х ' h — а
Приращение деформации в крайнем волокне
с/<7гЛ . d бр _____ Зег* (a) da о* (а) da ____________ 2в* (a) da
Е + ~~Е~ ~~ E(h — a) " + ~E(h — a) “ ~E(h — a) *
Фиг. 78. Определение напряжений о* (а)
при измерении деформации.
Из этого равенства выте-
кает
<у*(а) = -АЕ(Л-а)^.(40)
Для вычисления истинных
(первоначальных) остаточных
напряжений в слое а необхо-
димо знать, какие дополни-
тельные напряжения воз-
никли в этом слое.
Если в данный момент (см. фиг. 64) снимается слой £ (что экви-
валентно приложению усилия о* (5) bd £, то в слое а возникают
напряжения изгиба и растяжения, которые могут быть определены
по равенству (7)
Напряжение о* (£) в самом слое | после снятия предыдущих
слоев можно найти из формулы, подобной равенству (40)
Теперь из соотношений (41) и (42) получим
daa = _—E—— ;(43)
Дополнительное напряжение в слое н, возникшее в результате
снятия предыдущих слоев, равно
Г 1 1 ту» (* 4Л — Qa -|- 2£ d в ?
a9 = Jda9=_—Я] ---_^.— dl.
о о
80
С помощью интегрирования по частям находим
а
О0 = -2Ее(а) + ЗЕ(Ь-а)Г-£^£. (44)
О
Остаточное напряжение в слое а
о (а) = о* (а) — Од (а).
Учитывая равенства (44) и (42), получим следующую расчетную
формулу:
а
a(a) = -±E(h-a)^-(a) + 2EB (а) - ЗЕ (h - a) f--^%2d1-.(45)
Zu J
О
Эта формула была указана (без вывода) в работе Д. Розенталя
1106], однако с ошибочным знаком.
В равенстве (45) величина 8 (а) представляет собой деформацию
на нижней поверхности стержня после снятия слоя глубиной а.
Как обычно, деформация растяжения считается положительной.
Если при расчете по формуле (45) величина о* (а) оказывается поло-
жительной, то остаточные напряжения — растягивающие.
Б. Другой вывод формулы для остаточных напряжений основан
на рассмотрении стержня после удаления слоя глубиной а (фиг. 79).
Фиг. 79. Определение остаточных напряжений при измерении
деформаций.
Прикладывая обратные остаточные напряжения о (g), получим сле-
дующую формулу для деформации в месте наклейки тензометра:
а
«(*) = - Д(/"а)г р(Е) [4~(^ + «)-фё +
о
а
+ E(h—a (46>
о
Если продифференцировать обе части этого уравнения по а, то
после преобразований найдем
а(а) = -(47>
где о
тп(а) = (Л-а)2-^-(а)-2(Л-а)8(а). (48)
6 Заказ 288.
81
Уравнение (47) представляет собой нормальное интегральное
уравнение. Оно имеет замкнутое решение, которое можно получить,
переходя к дифференциальному уравнению первого порядка. В ре-
зультате получается решение, которое после некоторых преобра-
зований совпадает с равенством (45).
В. Остаточное напряжение в поверхностном слое (а = 0) опре-
деляется из формулы (45)
о(0) = -4-^4^-(0). (49)
Если требуется найти остаточные напряжения в неглубоком
слое, то в формуле (45) достаточно сохранить лишь первые два
члена, и тогда
a(a)^-^-E(h-a)^(a) + 2Ee(a). (50)
Для вычисления производных можно использовать методы ап-
проксимации, указанные в связи с расчетом остаточных напряжений
по измерению прогибов.
Если ex и 62 — деформации после снятия слоя глубиной ах и
соответственно, то
d & 81^2 82^1
da ' ' ^1(^2 — ai) a2 (a2—ai) ’
и формула для остаточных напряжений в поверхностном слое
ст (0) = - 4-Eh ( - *ia* ----.82at 4. (51)
' ' 2 \«1(«2 —ai) Л2(а2— «1); 4 '
Г. Для оценки возможных погрешностей приведем вычисление
приращения деформации при снятии поверхностного слоя толщи-
ной Да.
Из равенства (49)
де = _2^)_.^.
При остаточном напряжении а (0) = 10 кПмм\ модуле упру-
гости Е = 2 • 104 кПмм^
л8 _____L.
Л “ 103 h *
Если Да = 0,1 мм к h = 5 мм, то изменение деформации
Де = - 2-Ю-5.
Точность измерения при использовании проволочных датчиков
составляет (1 4- 3) • 10“”6. В рассматриваемом примере точность из-
мерения остаточных напряжений составляет 0,5—2кГ/мм2. Инте-
ресно отметить, что точность метода не зависит от длины образца
и повышается (при одинаковой величине Да) с уменьшением тол-
щины образца.
82
Таблица 2
Определение остаточных напряжении в стержне прямоугольного
сечения методом замера деформаций
г 1 п < w s I'D со о «Г-4 СО If(l) К<2) К<3) d 8 -г— (аП-103 в 1 мм da * (h—а-) в мм е* 1 л
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 +114,0 -12,03 -0,4435 2,5 6,25
1 0,013 0,013 -0,005 -51,9 +39,85 +12,03 —0,3258 2,487 6,185
2 0,027 0,040 —0,0105 -22,55 +13,22 +9,31 -0,3054 2,46 6,052
3 0,042 0,082 -0,030 -17,43 + 15,12 +2,328 -0,4238 2,418 5,847
4 0,115 0,197 -0,066 -4,88 +1,89 +2,985 -0,3279 2,303 5,304
। 5 0,147 0,344 -0,117 -4,36 +2,985 + 1,371 -0,3015 2,156 4,648
6 0,262 0,606 —0,175 -1,67 -1,085 +2,756 -0,1939 1,894 3,587
7 0,204 0,810 -0,210 —2,15 -1,348 +3,501 -0,1470 1,69 2,856
8 0,160 0,970 -0,230 -3.56 +1,533 +2,030 —0,1045 1,53 2,341
9 0,212 1,182 -0,246 -2,78 +1,416 . +1,358 —0,0598 1,318 1,737
10 0,303 1,485 —0,258 -1,25 -2,105 +3,357 —0,0190 1,015 1,030
И 0,185 1,670 —0,259 + 1,25 -8,7 +7,45 +0,0155 0,83 0,689
g|<N CO о X
i со ® < Я +(11)] i с 'Х 3 3 м । X со (8)-(6) сГ
е 1 с 1 Г с? со 1 ь i °? СО
1 СО гС -01 -Г-4 , 1 + 2 I м
СО сГ >О । X ! х 4- о
и 12 13 14 15 16 17
0 9 0 1 9 0 11,087 0 11,1
1 —0,00081 —0,0000052 -0,0000052 0,00077 8,103 -0,2 7,90
2 —0,001735 —0,0000344 -0,00000396 0,005845 7,513 -0,42 7,10
3 -0,00513 -0,000141 —0,0001806 0,02620 10,247 -1,2 9,07
4 -0,01246 -0,00101 —0,00119 0,1644 7,552 -2,64 5,08
5 -0,0252 -0,00277 -0,00396 0,5123 6,500 -4,68 2,33
6 -0,0488 —0,00839 —0,01235 1,403 3,672 -7,00 -1,92
7 —0,0735 -0,01213 -0,02448 2,482 2,484 -8,40 -3,33.
8 —0,0982 -0,01374 -0,03822 3,509 1,599 -9,20 -4,09
9 —0,1417 -0,02548 -0,06370 5,037 0,788 -9,84 -4,01
10 —0,2505 " -0,05945 —0,12315 7,500 0,1928 -10,32 -2,63
11 —0,376 -0,058 -0,18115 9,021 —0,1287 —10,36 -1,21
6*
83
Д. Приведем пример расчета остаточных напряжений в стерж-
нях методом замера деформаций. Исследованию подвергался стер-
жень прямоугольного сечения высотой h = 2,5 мм, модуль упру-
гости материала Е = 2 • 104 кПмм2.
Расчет проведен в табл. 2 и основан на формуле 45. В столб-
цах 2, 3 и 4 занесены толщина снимаемого слоя Дъ общая толщина
всех снятых слоев а{, деформация, замеренная тензометром е (а^ — 8|.
б’(а)
Фиг. 80. Остаточные напряжения в образце.
Для вычисления производных принималась параболическая ап-
проксимация (см. стр. 78)
d 8 — ₽ ( А1 + л- ₽ ( ~ Д1 — с /г(2)
(°) - 81j_A;A2 ) + 82 ^(Д^Д^ “ 8^° + 82jKo >
/ —Дг+1 \ о / Лг+1“ Ai |
тг (»<> - '>-• 37(л,+л,+ 1 ) + »* _) +
+ ei+i ("д--/д Д-----r) “ + е.^(2) + Бг+1Л^3);
\ Аг+1 Д{+1) /
Дп__________I / (^п—14~ Дп) \
п—1 + Ап) у Ап—1 А'Л У
-'j = en-2-Kn + e?i—
d в / \
= 6п~2 дп_! (Д
[ о ( Дп“Ь (Ап—14" Ан)
+ П1 д^д^ + д,,)
84
Значения коэффициентов К^\ и указаны в столбцах 5„
6 и 7.
В столбце (11) приведено подынтегральное выражение, далее
указываются полусуммы и значение интеграла
Величина остаточного напряжения о (сумма значений в по-
следних трех столбцах) приведена в столбце 17.
Из таблицы видно, что последний член в формуле (45) не играет
роли при определении остаточных напряжений в поверхностных
слоях. На фиг. 80 дано распределение остаточных напряжений по
толщине образца.
[12. СТЕРЖНИ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
А. Рассмотрим определение остаточных напряжений в стержне
произвольного сечения (фиг. 81). Такие задачи встречаются при
исследовании остаточных напряжений в сварных стержнях и дру-
гих конструкциях. Для некоторого упрощения предположим, что
Фиг. 81. Остаточные напряжения в слое а в стержне произвольного
сечения.
сечение стержня обладает плоскостью симметрии и снимаемые слои
перпендикулярны к этой плоскости. Найдем сначала остаточное
напряжение в слое а после среза предыдущих слоев. Снятие слоя da
эквивалентно приложению усилий о* (a) Ъ (a)da, вызывающих из-
гибающий момент
dM = о* (a) b(a)[h — а — е (а)],
где е (а) — расстояние центра тяжести сечения (после среза слоя
а) до нижней поверхности.
Приращение прогиба для стержня постоянного сечения при дей-
ствии концевых моментов [равенство (5)]
d!--^dM- <52>
где J (а) — момент инерции сечения стержня после удаления слоя
глубиной а.
1 Для простоты, переменная интегрирования обозначается не £, как в фор-
муле (45), а той же буквой а, что не должно вызвать недоразумения.
85
Из приведенных соотношений вытекает
а* (а) =
8EJ (а)
12Ъ (а)
1
[h— а — е (а)]
da
(53)
Перейдем к определению дополнительных напряжений в слое а
после снятия предыдущих слоев (фиг. 82).
Если снимается слой d В, то приращение дополнительного на-
пряжения в слое а
, (54)
где J (В) и F (В) — момент инерции и площадь сечения стержня
после удаления слоя глубиной В-
Фиг. 82. Остаточные напряжения в слое 5 в стержне произволь-
ного сечения.
Напряжение о* (В), существующее в слое В после удаления пре-
дыдущих слоев, находится по равенству, вполне аналогичному ра-
венству (53). Так как снимаемый слой d В находится на расстоянии В»
то
z2&(g) [h-В~е(В)] dl •
Теперь из соотношения (54) вытекает
7 8Е Г7 /«.к , 7(B) "I df . r
(Тэ — h — a — e (g) + F d g.
Дополнительное напряжение в слое а после снятия предыдущих
слоев
Па (а) — /2 J а е (В) + р d %d (56)
о
Остаточное напряжение в слое а определяется из равенства
о (а) = о* [а) — вд (а).
86
С помощью зависимостей (53) и (56) находим
o' (а) = \ • ~ir (а) ~ f \h — а — е (?) +
4 7 Z2 ( (h — а — е (a)) b (a) da v 7 JI v>/ ।
О
j_______J (Q_____"I z? t) . (57Y
эта зависимость представляет собой основную расчетную фор-
мулу для стержня произвольного сечения.
В частном случае для стержня прямоугольного сечения
3Z2
F (а) = (h—а) Ь\
уравнение (57) приводит к уже известному соотношению (12)
о
(Л-а)а-^-(а)-4(Л-а)/(а) + 2
о
При расчете по формуле (57) в процессе экспериментального ис-
следования определяется прогиб / (а) и вычисляется производная
прогиба
ф («) = <(«)
при различных значениях а. При вычислении интеграла для каждого
значения переменной интегрирования 0 << £ <?а находится
ч>а)=-^(Е)
и вычисляется подынтегральное выражение. Само интегрирование
может быть проведено приближенно по правилу трапеций.
Остаточное напряжение в поверхностном слое
= <58>
где J (0) — момент инерции всего сечения стержня; е (0) — расстоя-
ние центра тяжести сечения от нижней точки сечения;
b (0) — ширина поверхностного слоя.
При определении остаточных напряжений на небольшом расстоя-
нии от поверхности в формуле (57) можно пренебречь вторым
87
членом подынтегрального выражения и использовать следующую
приближенную формулу:
а (а) = х • # (а) - (h-а-е (а)) / (а)!; (59)
' ' I2 {(h — a — e (а)) b (a) da v v v п 1 4 '/ 4 '
для стержня прямоугольного сечения она совпадает с равен-
ством (32).
Б. Рассмотрим теперь расчетные зависимости при определении
остаточных напряжений с помощью замера деформаций проволоч-
ными тензометрами (фиг. 83). Изменение деформации (в нижних
волокнах стержня) при снятии слоя da находится из следующих
соображений.
Фиг. 83. Определение остаточных напряжений с помощью
измерения деформаций.
Усилие о* (a) b (a) da вызывает в нижнем волокне напряжения
изгиба
, _ O*(a)b(a)d(a)(h—а — е(а)) , .
d °и “------------Па) в
и напряжение растяжения
Л „ _ О* (a) b (a) da
a<Jp~ F(a)
Приращение деформации в крайнем нижнем волокне
Лр_Г (h —а — е (а)) е (a) 1 ] Ь (а) * , . ,
или
а*(а) = _---------< п гч 4—1-----------4£- (60)
[ J (a) F(a) J k '
Если в данный момент снимается слой £, то в слое а возникают
напряжения изгиба и растяжения
о* (£) Ъ (fc) d
а вд = -------------Гг€\---------------1-----’ V01/
88
Учитывая, что
Г (fe-g-e(D)e(g)____1_
[ J (?) F (?)
получим из равенства (61)
dad =
е
6(g)
где
fo-g-e(B)
/(g)(g)(fe а g(g))+F(g)
771) е(5)~'77вг
Дополнительное напряжение в слое а
(62)
О
Остаточное напряжение в рассматриваемом слое
1 de , х
T7T'^{a}~
Ь(а)
а (а) = — Е
(h— а—е (а)) е (а) 1
J (a) F (а)
(63)
о
Для стержня прямоугольного сечения
е(а) = -~(h — а);
7(а) = ±^;
F (а) = Ъ (h - а);
, /П _ 1 4fe + 2g-6a
и тогда
а
/ \ г? Г h—a de , ч 1 f4A + 2£ —6а d е 7 «О
ст(а) = _Е|__. _(a)__J_----------~^d^ =
О
а
= _^.£;(/1_a)AL(a) + 2E8(a)-3E(fe-a)J^|?7g,
О
что совпадает с равенством (45).
89
При определении остаточных напряжений в поверхностных слоях
в формуле (63) можно сохранить только первый член
<з(а)^-Е—. .v- А-------——=-----------4Ца). (64)
х ' Г (Л — а~ е (а)) е (а) 1 ] da ' ' 4 '
[ Т(а) ]Ь W
Достаточная точность (при малых а) получается и в том случае,
«ели геометрические характеристики относить ко всему сечению, тогда
а (а) & - Е -г—г—-------------#-(«),
v ' !(h—e) е___da
I J F j
(65)
до нижнего волокна;
где е — расстояние центра тяжести сечения
J и F — момент инерции и площадь сечения стержня; Ъ (0) — ширина
Фиг. 84. Стержень таврового се-
чения.
верхней части сечения (где сни-
мается слой).
Приведем пример расчета остаточ-
ных напряжений в стержне таврового
сечения (фиг. 84).
На нижнем основании наклеен
тензометр и снимаются слои стенки
тавра. Расчет проводится по фор-
муле (63).
Площадь сечения F (а) и расстоя-
ние центра тяжести сечения до ниж-
ней грани е (а) определяются сле-
дующими формулами:
F (а) = b±h + (b2 — bj) б — аЬг;
bA (h-ay + lbz-bjb*
2F(a)
Таблица 3
Определение остаточных напряжений в стержне таврового сечения
(метод замера деформаций)
г в см а; в см Ю о ёГ* со К(1) К (2) к(3) 8' (ар« 10б в 1 см ёГ е (ар J (ар в см& а (ар в кГ1см%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 0 0 0 29,78 -12,44 87,8 4 0,750 1,084 2854
2 0,095 0,095 6,3 —3,72 —8,71 -12,44 44,8 3,905 0,720 0,942 1707
3 0,052 0,147 8,0 -12,14 8,01 4,14 45,6 3,853 0,704 0,872 1804
4 0,089 0,236 14,0 —7,47 5,55 1,91 58,6 3,764 0,678 0,761 2320
5 0,176 0,412 21,3 —3,75 2,75 1,00 35,2 3,588 0,630 0,576 1851
6 0,341 0,753 29,1 3,75 -8,62 4,87 10,7 3,247 0,547 0,340 1188
90
Момент инерции относительно оси, проходящей через точку
/(а) = 4[(Л — а - е(а))3 + te3 (а)] + (62 - bj д Г(е(а) -
Размеры сечения: h = 2 см; 6 = 1 см; bi = 1 см; Ь2 = 3 см.
d е
Расчет приведен в табл. 3. Производная (а$ (столбец 8) опре-
делялась по формулам параболической интерполяции, приведенным
в предыдущем примере.
На фиг. 85 дано распределение остаточных напряжений по тол-
щине образца.
В. Если происходит снятие неплоских слоев, то предыдущие
расчетные зависимости оказываются неприменимыми и следует
видоизменить расчетные формулы.
Пусть, например, требуется определить остаточные напряжения
в поверхностных слоях цилиндрического стержня (фиг. 86) при сня-
тии путем травления полуцилиндрической поверхности. Остаточные
напряжения предпола-
гаются одинаковыми во
всем
слое.
Фиг. 85. Распределение остаточных напряжений
в стержне таврового сечения.
поверхностном
Фиг. 86. Определение оста-
точных напряжений в по-
верхностном слое.
Изгибающий момент относительно главной оси сечения, возни-
кающий после снятия поверхностного слоя толщиной da,
л
dM = f г sin 0о (a) dard 0 = 2г2 о da.
о
При измерении прогибов
df ~ 8EJ dM ~ 4EJ da
91
или
\EJ df __ л /Гб/2 df
l2r2 ' da ~~ 4 * I2 'da lj
(66)
Этой формулой можно воспользоваться для определения остаточ-
ных напряжений в поверхностных слоях. При измерении деформаций
в нижнем волокне проволочным тензометром величина деформации
7 __ dMr 2г3 o' da
а&~ EJ~ ~ EJ '
Из последнего соотношения вытекает
о ^-2LEd.~-, (67)
16 da ’ v '
это равенство также справедливо только для поверхностных слоев.
Стержни с переменным модулем упругости
А. В практических задачах встречается необходимость опреде-
ления остаточных напряжений в биметаллических стержнях. Рас-
смотрим более общий случай, когда модуль упругости изменяется
в различных точках сечения, но остается постоянным по длине стерж-
Фиг. 87. Стержень с переменным
модулем упругости.
ня. Будем считать для простоты,
что в пределах слоя модуль упру-
гости также остается постоянным1.
Рассмотрим сечение стержня
после снятия слоя глубиной а
(фиг. 87).
Приведенный центр тяжести се-
чения лежит в точке О на расстоя-
нии е (а) от нижней стороны.
Этот центр находится из усло-
вия
h — a — e (а)
f EydF = J Е (у) yb (у) dy =
F — е (а)
= о. (68)
Величина в (а) может быть определена по уравнению
f У1Е (yj b (i/i) dyt
е(«) = -Ь-------------------------------
f Е (з/i) Ъ (У1) dyr
0
(69)
в этом случае удовлетворяется условие (68).
1 Рассмотрение общего случая возможно на основе теории стержпей с пере-
менным модулем упругости [9].
«2
Напряжение изгиба в стержне с переменным модулем упругости
Е (у) y2dF
F
Величина
h — а — е (а)
$E(y)y*dF = f Е (у) у2Ь (у) dy = В (а) (71)
F — e(a)
представляет собой жесткость сечения стержня на изгиб после сня-
тия слоя а.
Фиг. 88. Сечение биметаллического стержня.
Прогиб середины стержня под действием концевых изгибающих
моментов будет равен
, __ Ml2 /72)
J ~~ 8В(а) *
Если стержень с переменными параметрами упругости растяги-
вается силой 2V, проходящей через приведенный центр тяжести, то
напряжения растяжения
а = , (73)
где ,
А = fE (у) dF = 1 “J* а Е (у) b (у) dy (74)
F — е(а)
— жесткость стержня на растяжение.
Для расчета остаточных напряжений будем использовать ре-
зультаты предыдущего параграфа.
При измерении прогибов расчетная формула для определения
напряжений имеет следующий вид:
о (а) = А ( ----ВЮ .^f(a)_E(a) f |л-а-е(В) +
х ' I2 [(/г— e(a)—-a)b(a) da ' ' ' 'J L ' '
I______В (S)_____ л /7 ел
dl “Др
93
В частном случае Е = const равенство (75) совпадает с равен-
ством (57).
Б. Вопрос об остаточных напряжениях в биметаллических стерж-
нях прямоугольного сечения был впервые рассмотрен М. А. Баби-
чевым [4] в связи с исследованием вкладышей подшипников сколь-
жения. Однако при выводе расчетных зависимостей в работе допу-
щены неточности.
Биметаллический стержень прямоугольного сечения (фиг. 88)
автор отождествляет с однородным стержнем таврового сечения с
одинаковой жесткостью на изгиб.
В действительности такая замена возможна только при определе-
нии жесткости. Усилие, эквивалентное снятию слоя da, будет равно
о bda, а не da, как это считается в работе [4].
ГЛАВА 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ПЛАСТИНКАХ
13. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
А. При определении остаточных напряжений используется обыч-
ная теория тонких пластинок. Она основана на гипотезе о прямо-
линейности нормалей в процессе деформации.
При изгибе пластинки (фиг. 89)
ее срединная поверхность (пло-
скость) искривляется. Если радиусы
кривизны серединной поверхности Rx
и Ry (фиг. 90), то относительные
деформации на расстоянии z от сере-
динной поверхности, как и при обыч-
ном изгибе стержней,
(1)
Фиг. 89. Изгиб тонкой пластинки.
8
Z
У ~~R
Эти деформации связаны с напряжениями (фиг. 91), действую-
щими в слое z, соотношениями упругости
£х — (#х Н^у); (3)
(Оу — рлх). (4)
Из соотношений (3) и (4) получаем
= + <5)
1 н
= 7^772 (8у + !1е*)- (6)
1
Учитывая равенства (1) и (2), найдем
+ Р)
95
Из этих зависимостей вытекает, что напряжения от внешних
нагрузок распределяются по толщине пластинки по линейному
закону. Изгибающие моменты на единицу длины сечения
h
Фиг. 90. Искривление срединной по-
верхности пластинки после дефор-
мадии.
Фиг. 91. Напряжения в элементе пла-
стинки.
Последние равенства позволяют выразить радиусы кривизны через
изгибающие моменты
<12>
Если пластинка загружена распределенными моментами по краям
(чистый изгиб пластинки, см. фиг. 89), то величины Мх и Му по-
стоянны и соответственно равны приложенным моментам. В этом
случае, как следует из формул (11) и (12), радиусы кривизны одина-
ковы во всех точках пластинки (срединная поверхность пластинки
становится сферической).
Прогиб пластинки в результате кривизны в сечении, параллель-
ном оси х, будет равен (фиг. 92)
96
величина fx предполагается малой относительно 7?х. Прогиб в ре-
зультате кривизны в сечении, параллельном оси у,
Общий наибольший прогиб пластинки (превышение над плоско-
стью z = 0)
«’ = /» + /у (15)
Б. Перейдем к характеристике остаточного напряженного со-
стояния. Остаточные напряжения в пластинке ах и параллельны
срединной плоскости пластинки.
Напряжение az, отсутствующее на
внешних поверхностях пластинки,
считается малым для всех внутренних
точек. Предполагается, что остаточ-
ные напряжения в данном слое мате-
риала (и = const) одинаковы для всех
точек пластинки. Это допущение,
очевидно, нарушается возле краев
Фиг. 93. Остаточные напряжения
в пластинке.
пластинки, но в соответствии с
принципом Сен-Вепана краевые
зоны имеют небольшую протяжен-
ность.
Подобное допущение использовалось и при определении остаточ-
ных напряжений в стержнях (см. § 3). Принимается, что главные
7 Заказ 288.
97
направления соответствуют направлениям х и у, и потому на гранях
выделенного элемента (фиг. 93) касательные напряжения отсутствуют.
Перейдем к изложению методов определения остаточных напряже-
ний в пластинках.
14. МЕТОД ПОЛОСОК
А. В соответствии с этим методом из пластинки вырезаются по-
лоски вдоль главных направлений (фиг. 94). Ширина полоски Ъ
должна быть небольшой, с тем, чтобы напряженное состояние в по-
лоске после вырезки было одноосным.
Далее проводится последовательное снятие слоев по высоте
сечения полоски h и определяются изложенными ранее способами
Фиг. 94. Метод полосок.
Фиг. 95. Приложение обратных оста-
точных напряжений по боковым граням
полоски.
остаточные напряжения в полоске. Результаты измерения в двух
полосках позволяют провести расчет остаточных напряжений в пла-
стинках вх и оу. Предполагается, что разрезка полосок осуществляется
таким образом, что дополнительные остаточные напряжения не
вносятся. Перейдем к изложению теории метода.
Б. Рассмотрим сначала полоску, ось которой параллельна оси х.
Вырезание полоски эквивалентно приложению на боковых гранях
остаточных напряжений оу с обратным знаком (обратных остаточ-
ных напряжений) (фиг. 95).
В результате приложения этой нагрузки в поперечных сечениях
полоски возникнут дополнительные напряжения оХд и дополнитель-
ные деформации 8*#. Первая часть задачи состоит, таким образом,
в определении напряжений и деформаций в узкой полоске, загру-
женной по боковым граням, распределенным давлением — оу. Де-
формация в осевом направлении
е»д = (вхд — цоуд) • (16)
Так как ширина пластинки мала, то
о«д — а у. (17)
98
Подобное допущение используется в плоской задаче теории упру-
гости. В двух близких точках равенство (17) является точным (фиг. 96);
вследствие малости расстояния Ъ и непрерывности изменения функ-
ции соотношение (17) следует признать справедливым и для всех
внутренних точек.
Из уравнения (16) получаем
8хд = —jjr (Охд 4- ЦПу). (18)
Запишем это равенство в такой форме:
&хд — —jjrGxd 4" (19)
где условная температурная деформация
at =
Соотношение (19) является основным при рас-
чете температурных напряжений в стержнях. Итак,
дополнительные напряжения и деформации в по-
лоске такие же, как при температурной деформа-
ции, определяемой равенством (20).
На основании известных результатов теории
стержней можно написать следующую
(см. главу 11):
/ J Е a tdF
(20)
зависимость
Фиг. 96. Обосно-
вание приближен-
ного равенства
СГуа —Оу.
О xd — E\ -------------
J* Ez a tdF
+ z F
f Ez2dF
ail, (21)
где интегралы распространяются
чения.
С учетом зависимости (20)
/ f l^ydF
на
всю площадь
поперечного се-
&хд — Е
fzpay dp
F P
E
(22)
f Ez2dF
F
Из условий равновесия части пластинки (при сечении плоскостью
т/ = const) следует
f ву dFt == 0; f z оу dFx = 0,
Fi Fi
где Fr = hl — площадь боковой поверхности стержня.
(23)
$EdF
Оу I.
Если напряжения oy одинаковы по всей длине Z, то
JdydF^-^- J<3ydF = &,
Fi F
Jz<jvdF1 = JzOydF = 0.
Fl F J
(24)
7*
99
При постоянном значении коэффициента Пуассона р, в различ-
ных точках сечения, как это принимается обычно, из соотношений
(22) и (24) вытекает
оХд = у- (25)
Следует отметить, что полученный результат применим на неко-
тором (небольшом) удалении от торцов стержня, так как формула
(21) не учитывает краевой эффект.
Остаточные напряжения, существующие в полоске после вы-
резки,
вхп = Ox &х0 — Ох — ЦСГу. (26)
Фиг. 97. Последовательное
снятие слоев полоски.
Напряжение вхп определяется с по-
мощью последовательного снятия слоев
(фиг. 97). Например, при измерении про-
гиба, будем иметь
Oxn (а) —
-4(h-a)f(a) + 2f
о
(27)
В. Во многих случаях можно предпо-
ложить, что остаточные напряжения
в пластинке в двух направлениях одина-
ковы:
Ох — Оу.
(28)
Такое предположение является обоснованным, если остаточные
напряжения возникают в результате объемной деформации (при азо-
тировании, цементации, наклепе поверхностных слоев) или пере-
грева (при шлифовании и т. п.).
Отметим, что из условия равенства нормальных напряжений
в двух взаимно-перпендикулярных направлениях следует их равен-
ство в любых других направлениях, лежащих в плоскости пла-
стинки.
Из уравнений (26) и (28) получаем важный вывод 1:
(29)
Истинные остаточные напряжения в пластинке больше, чем
остаточные напряжения в вырезанной полоске, в ——- = 1,43 раза
(ц = 0,3).
Этот результат относится и к тому случаю, когда прямоугольный
образец вырезается из пластинки криволинейного очертания, на-
пример, из профильной части лопатки газовой турбины (фиг. 98).
1 Этот результат был установлен М. М. Савериным [111], однако без до-
статочно строгих обоснований.
.100
Г. Соотношение (29) справедливо при равенстве остаточных
напряжений в двух направлениях. В общем случае, кроме полосок
вдоль оси х, должны быть исследованы и полоски, оси которых па-
раллельны оси у.
Для таких полосок в результате вырезки создается дополнитель-
ное напряжение
= (30)
и остаточное напряжение в полоске
<Ууп = Оу + Суд — оу — р,ах. (31)
Величина оуп определяется при последовательном снятии слоев
полоски.
Фиг. 98. Вырезание образцов из лопасти газовой
турбины.
Для вычисления остаточных напряжений в пластинке имеются
два соотношения (26) и (31), из которых следует
(ст*п + ноуп); (32)
j
Оу ~ |Л2 + Htfxn)- (33)
В этих равенствах, как и раньше, ахп и (УУп — остаточные напря-
жения в полосках (образцах прямоугольного сечения), вырезанных
из пластинки вдоль осей х и у соответственно.
Д. Вернемся к вопросу о деформации полосок после их вырезки
из пластинки. По теории стержней [9] (см. также главу 11) при дей-
ствии давления ву по боковым граням деформация растяжения оси
стержня с г
J EatdF р J (Уу dF
^0 — Г — Т 9
J EdF J EdF
F F
и изменение угла поворота сечения по длине стержня (упругая кри-
визна стержня) равно
f Ez a tdF р J z Су dF
d ф 1 f __ F
dx Rx f Ez*dF f Ez2dF
F 'F
101
В соответствии с равенствами (24)
».=°. 44 - о- <з4>
Таким образом, после вырезки полоски из плоской пластинки
поперечные сечения не поворачиваются и расстояние между ними
не изменяется, прогиб полоски отсутствует. Возникающая дефор-
мация в различных точках стержня
е = - (35)
не дает, следовательно, прогиба оси стержня. В действительности
полоска может иметь после вырезки небольшой прогиб, что связано
с внесением остаточных напряжений в процессе вырезки. Указан-
ный прогиб может возникнуть, если поле остаточных напряже-
ний не было однородными (см. стр. 96).
15. МЕТОД ПЛОСКИХ СРЕЗОВ
А. По методу плоских срезов проводится последовательное сня-
тие слоев пластинки. Здесь устраняется один из возможных недо-
статков метода полосок — внесение дополнительных остаточных
напряжений при вырезке полосок.
Фиг. 99. Силовая схема среза слоя пластинки.
Снятие слоя пластинки толщиной а эквивалентно приложению
силовых факторов по краям пластинки (фиг. 99, а). Для расчета
более удобно считать, что срез проводится по схеме, показанной на
фиг. 99,6. Подобная расчетная схема использовалась при опреде-
лении остаточных напряжений в стержнях.
Для определения остаточных напряжений по методу плоских
срезов необходимо проводить измерение кривизны поверхности
пластинки в двух главных направлениях. Принципиальная схема
таких замеров показана на фиг. 100. Если измерение ведется вдоль
оси х, то кривизна поверхности [см. формулу (13)]
1 _ 8/х
Rx I2
(36),
102
Повернув измерительную скобу 1 в направлении оси г/, найдем
1 _ 8/у
Ry ~
(37)
Предположим, что снят плоский слой толщиной а и требуется
найти остаточные напряжения (а) и (а). Если снять еще
слой толщиной da, то на единицу
длины пластинки будут действо-
вать изгибающие моменты
dMx = ах (а) • 1 • da-'
h-a (38>
dMy = Gy (а) • 1 • da.
Учитывая равенства (И), (12),
(36) и (37), запишем
Фиг. 100. Принципиальная схема
измерения радиуса кривизны пла-
стинки.
/х= 2£-(^-нМу);'
(39)
Изменение изгибающих моментов для пластинки толщиной (А—а
вызовет приращение прогибов
(dMx-^dMy)-}
3/2 ' (4°)
Если учесть зависимости (38), то
~~da~ = (/г —а)2 ~
~Г~ = Пт if1 —<Г (°У (а) — («))•
da 4E(h~a)2 \ v \ \ п )
В том случае, когда остаточные напряжения в двух главных на
правлениях одинаковы:
Gx(a} = Gy(a), (42)
поверхность пластинки является сферической
fx = fy = f*
Из соотношений (41) вытекает
*z х 4E(h-a)2 1 df
----3Г2---Т=^Г"жГ- (43)
1 При практических измерениях часто скоба с точным индикатором соста-
вляет измерительное приспособлопие, а пластинка накладывается сверху.
103
Сравнивая эту формулу с равенством (6) (глава 4), приходим
к выводу, что при одинаковых значениях прогиба после снятия
слоя, при одинаковых толщинах и расчетной длине остаточные
напряжения в пластинке (двухосное напряженное состояние) в —-
раз больше, чем в стержне (одноосное напряженное состояние).
Б. В общем случае из уравнений (41) получаем
вх (а) =
4Е (h — a)*
312 (1-р)
/ dfx । dfy \
da da j
ву (а) =
iE(h~ay / dfy dfx \
3Z2(1 —р.2) \ da da )
(44)
Далее следует определить дополнительные напряжения охо (cl)
и Суд (а), возникающие в слое а от снятия предыдущих слоев.
Ход рассуждений остается таким же, как и при определении
остаточных напряжений в стержне прямоугольного сечения.
Опуская вывод, приведем окончательные формулы для оста-
точных напряжений в пластинке
(«) = тАт (а) + и F« («));
1 р-
= гЛ2" (Fy и Fx
1
где
---4 (Л-а)/Да)+
+ 2//xUHll ;
О J
Ру («) = [(* - «)2 - 4 - «) fy +
+ 2 Jfy^dl .
О J
(45)
(46)
(47)
(48)
Интересно отметить, что формулы (45) и (46) по существу совпа-
дают с равенствами (32) и (33). Разница состоит в том, что вХп и вуп
представляют собой остаточные напряжения в вырезанных полосках,
тогда как Fx (а) и Fy (а) численно равны напряжениям в полосках,
имеющих прогибы, совпадающие с прогибами пластинки. Формулы,
подобные равенствам (45) и (46), были из других соображений уста-
новлены в работе [162].
ГЛАВА 6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
В ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБАХ
А. В тонкостенном цилиндре (трубе) толщина стенки h мала по
сравнению со средним радиусом R (фиг. 101). В технических рас-
четах в качестве тонкостенных можно считать трубы, для которых
Предполагается, что остаточные напряжения имеют осесиммет-
ричное распределение и постоянны по длине трубы. В связи с этим
в поперечном и меридиональном сечениях касательные напряжения
отсутствуют.
В общем случае имеется трехосное напряженное состояние (фиг.
102), оо — окружное напряжение; oz — осевое напряжение; ог —
радиальное напряжение.
Величина ог для тонкостенных труб мала по сравнению с напря-
жениями по и о2, что становится попятным, если учесть равен-
ство нулю радиальных напряжений на внешней и внутренней
цилиндрических поверхностях трубы. Однако при рассмотрении
условий равновесия роль напряжений вг может оказаться суще-
ственной.
Б. Определение остаточных напряжений можно провести с по-
мощью последовательного снятия цилиндрических слоев, замеряя
радиальную и осевую деформации. Этот метод, предложенный в 1924 г.
Г. Заксом [157], требует очень большой точности линейных изме-
рений, так как деформации трубы при снятии тонких слоев явля-
ются малыми. Значительно более эффективным оказался метод
Л. Н. Давиденкова (1931 г.), при котором проводится предварительная
разрезка трубы вдоль образующей, что позволяет при снятии
(стравливании) цилиндрических слоев получить деформацию изгиба
[32]. Перемещения при изгибной деформации оказываются, есте-
ственно, значительно больше, чем при деформации растяжения
или сжатия в методе Г. Закса, поэтому для тонкостенных труб
метод Н. Н. Давиденкова имеет преимущества Ч
1 Следует отметить, что измерение деформаций проволочными тензометрами
делает во многих случаях целесообразным использование метода Г. Закса.
105
По методу Н. Н. Давиденкова вырезается достаточно длинный
участок трубы, проводится разрезка трубы по образующей и после-
довательное снятие цилиндрических слоев; для определения осевых
напряжений вырезаются полоски вдоль трубы.
Прежде чем изложить расчетные зависимости метода Н. Н. Дави-
денкова, рассмотрим близкий метод, в котором вместо участка трубы
Фиг. 101. Тонкостенная труба. Фиг. 102. Напряженное состояние
элемента тонкостенной трубы.
вырезаются кольца и полоски. Расчетные схемы в методе колец и поло-
сок в теоретическом отношении более просты, чем в методе Н. Н. Дави-
денкова.
16. МЕТОД КОЛЕЦ И ПОЛОСОК
По этому методу из тонкостенной трубы вырезаются узкие кольца
и полоски (фиг. 103). Далее проводится разрезка кольца в радиаль-
ном направлении и последовательное снятие слоев. В процессе раз-
резки и снятия слоев измеряется измене-
ние диаметра кольца. В полоске прово-
дится последовательное снятие слоев и
измерение прогибов. Эти исследования
с помощью специальных расчетных формул
Фиг. 103. Кольцо ги полоска, вырезанные из тон-
костенной трубы.
позволяют определить окружные и осевые напряжения в трубе.
Перейдем^к выводу основных расчетных зависимостей.
106
Исследование кольца
А. Пусть кольцо разрезано и снят наружный слой толщиной а
(фиг. 104). Снимая далее слой da. можно определить окружные на-
пряжения (а), которые были в слое непосредственно перед его
удалением. Однако они не будут равны первоначальным (истинным)
остаточным напряжениям Об (а), потому что в процессе вырезки
кольца, разрезки и снятия слоев к ним добавились дополнительные
напряжения. Можно записать
о0* (а) = о9 (а) + Об1 (а) + о02 (а) + о03 (а), (1)
где о01 (а) — дополнительное1 напряжение в слое а от вырезки
кольца;
о02 (а) — дополнительное напряжение в слое а от разрезки
кольца вдоль радиуса;
о03 (а) — дополнительное напряжение в слое а от снятия всех
предыдущих слоев.
Здесь необходимо подчеркнуть, что после каждой разрезки или
снятия слоя в рассматриваемой точке тела изменяются остаточные
напряжения. Эти изменения связаны с тем, что на обнажаемых по -
верхностях как бы прикладываются обратные остаточные напряже-
ния, вызывающие изменения напряженного состояния во всех точках
оставшейся части тела. Иногда дополнительные напряжения называ-
ются снимаемыми напряжениями,так как обычно они противоположны
по знаку существовавшим до разрезки остаточным напряжениям.
Рассмотрим определение дополнительных напряжений в кольце
в слое на расстоянии а от наружной поверхности.
Б. Дополнительное напряжение Об i (а), возникающее в резуль-
тате вырезки кольца (первое дополнительное напряжение), опре-
деляется как напряжение в тонком диске (фиг. 105) при действии
на торцах остаточного напряжения oz с обратным знаком. Отметим,
что из условия равновесия всей трубы вытекает t
RH
2л f razdr = 0. (2)
В тонком кольце (диске) возникает объемное напряженное со-
стояние, компоненты которого о01 , orl, azl. Так как кольцо тонкое,
то с достаточной точностью можно принять
Qz £ == (Jz. (3)
Уравнения упругости
ее* = 4" (<*>1 — ИСГп)-'
1 иа
еН = 4- (СТП —
1 Индекс д. характеризующий дополнительные напряжения, для упроще-
ния записи опущен.
107
можно записать в такой форме:
eoi =^(<7ei — p.<Jri) + ai; '
1 (5>
6Г1 = (<7г 1 — ЦС01) + a t, .
где условная температурная деформация
(6)
Итак, определение первых дополнительных напряжений сво-
дится к расчету «температурных» напряжений в диске. Воспользо-
Фиг. 104. Кольцо после разрезки и снятия
кольцевого слоя толщиной а.
Фиг. 105. Определение дополни-
тельных напряжений в результате
вырезки кольца.
вавшись известными формулами для температурных напряжений
в диске [15], получим
г '
<701 («) = J rozdr— (а),
«в
Параметры упругости Е и ц считаются постоянными. В боль-
шинстве практических задач допустимо пренебречь интегралом,
входящим в равенства (7), и тогда
ао1(а)^ — иегДа);
i 0;
эти соотношения являются вполне точными при г — Re и г = Rn.
108
Переход от равенств (7) к приближенным соотношениям (8) суще-
ственно облегчает дальнейший расчет.
Отметим, что в соответствии с теорией дисков при условии (2)
изменения внутреннего и внешнего диаметра кольца в результате
его вырезки из трубы не должно происходить.
Если же в действительности наблюдается такое изменение диа-
метра, то оно может быть связано с появлением дополнитель-
ных остаточных напряжений во время технологической операции
отрезки кольца.
В. Дополнительное напряжение ое2 (а), возникающее в резуль^
тате разрезки по одному из
жениё), определяется по
изменению диаметра после
разрезки (фиг. 106).
До разрезки по радиусу
окружные напряжения
в кольце равны сумме
Ое + ЭД1- Эти напряжения
в силу условий равнове-
сия приводятся только
к равнодействующему мо-
менту, так как равнодей-
ствующее усилие равно
нулю.
Независимо от особен-
ностей распределения на-
пряжений по плоскости
радиусов {второе дополнительное напря-
Фиг. 106. Измерение диаметра кольца при
разрезке.
разреза для сечений, несколько отдаленных от краев, важен лишь
момент, создаваемый этими напряжениями.
Если увеличение диаметра (расстояния между точками А и В
или Ai и Bi) после разрезки составляет др, то это перемещение выз-
вано изгибающим моментом 1 *
мр = Sp, (9)
^ср
Т bh3
где J = ---момент инерции сечения кольца;
Dcp = 2Rcp = Re + Rh — средний диаметр кольца.
Дополнительное напряжение, создаваемое моментом МР в слое
кольца, на расстоянии а от наружной поверхности
= (10)
1 Равенство (9) основано на известной зависимости теорйи стержней с малой
начальной кривизной
1 1 М
R R + \R EJ *
109
Учитывая равенство (9), найдем
г \ л Е I h \
092 (а) = -2—Ьг — а .
Dcp \ /
(И)
Правило знаков при расчете по формуле (11) таково: положи-
тельное значение оо 2 (а) соответствует растягивающим напряже-
ниям, величина бр положительна при увеличении диаметра кольца.
Интересно отметить, что не зная распределения остаточных напря-
жений в кольце, можно по изменению диаметра после разрезки бр
однозначно определить величину момента обратных остаточных
напряжений в сечении разреза Мр и дополнительные напряжения
Фиг. 107. Статически урав-
новешенная эпюра остаточ-
ных напряжений в кольце.
Фиг. 108. Распределение остаточных напряжений
в кольце:
а —до разрезки; б —после разрезки.
09 2, им вызванные. Остановимся на некоторых подробностях. Если
после разрезки кольца не происходит изменения его диаметра (6Р =
= 0), то это означает, что эпюра распределения остаточных напря-
жений в кольце до разрезки была самоуравноветенной. Равенство
нулю равнодействующей вытекает из условия осевой симметрии,
но при рассматриваемом распределении остаточных напряжений
(фиг. 107) и равнодействующий момент равен нулю.
Пусть до разрезки в кольце существуют некоторые остаточные .
напряжения (oq 4- tfoi). Пунктиром на фиг. 108, а показано линей-
ное распределение напряжений, создающих тот же изгибающий
момент.
Дополнительные напряжения oq 2 соответствуют моменту, созда-
ваемому обратными остаточными напряжениями (эквивалентность
разреза приложению обратных остаточных напряжений). Эпюра
представляет собой зеркальное отображение пунктирной прямой.
Распределение остаточных напряжений после разрезки приведено
на фиг. 108,6. Как ясно из предыдущего, эпюра остаточных напря-
жений в кольце после его вырезки и разрезки является самоуравно-
вешенной. Отметим, что если остаточные напряжения в кольце рас-
пределяются по линейному закону, то после разрезки в нем будут
110
отсутствовать остаточные напряжения, и дальнейшее снятие слоев
не приведет к деформации кольца.
Г. Дополнительное напряжение 09 3 (а) возникает в результате
снятия кольцевого слоя толщиной а (третье дополнительное напря-
жение).
Пусть в данный момент уже снят слой толщиной £ (фиг. 109)
и проводится снятие слоя d
При удалении этого слоя на плоскость Т будет действовать уси-
лие, численно равное 09 (&)d (где (Те (?) — окружное напряже-
ние в слое g непосредственно перед
удалением этого слоя). Неизвест-
ное напряжение 09 (£) предпола-
гается положительным (растяги-
вающим), направление усилия на
торец соответствует приложению
обратных напряжений.
Особенность снятия кольцевого
слоя состоит в том, что к поверхно-
сти среза ^радиуса R (|)+у (h— g)j
должно быть приложено радиаль-
ное напряжение do* (£). Из усло-
вия равновесия элемента снимае-
мой полоски следует
d <тг‘ (Ю =---. (12)
Фиг. 109. Определение дополнитель-
ных напряжений в слое а при снятии
наружных слоев.
Справедливость этого равенства
можно установить другим путем,
проводя срез половины кольцевого слоя d % (0 0 л). Изгибаю-
щий момент в сечении 0 относительно оси, проходящей через центр
тяжести сечения, будет равен (положительный момент уменьшает
кривизну стержня)
dM = -ul(l)dlb В +
е L
Л-(Й _£)_/? COS0J +
(й — g) В sin (0 — <р) d <р =
о
= -ое (|)<^&|я+_|-(й-В)_/?со80]4-
+ da,r^)b\R 4--£(й_£)1.Д(1--соз0),
в этом равенстве b — ширина кольца. В силу соотношения (12)
dM = -oe’d) ±(h-l)bdl. (13)
111
Изгибающий момент, создаваемый системой сил на поверхности
среза, оказывается одинаковым во всех сечениях кольца. Увели-
чение диаметра, вызванное действием этого момента, будет равно
<14>
где
D (g) = 2R (g) = 2Re + h - g - 2RH - h - g (15)
— диаметр окружности центров тяжести сечений кольца (после
снятия слоя g);
= (16)
момент инерции сечения кольца.
С учетом соотношения (13) получим
(17)
Отсюда следует
*/tx_ 4/Г/ (g) dd
Q° £)з (g) (h — g) b ' d g
ИЛИ
(5) 3 • £}2(g) rfg ’
Эта важная формула будет использована в дальнейшем. Перей-
дем к непосредственному определению дополнительных напряжений
в слое на расстоянии а от наружной поверхности, возникших в ре-
зультате снятия слоя d g. В сечении 0 будет действовать момент
dM [формула (13)] и растягивающее усилие
е
dN = Oo. (g) d g b cos 0 -H $d a* (g) b x
о
x[jR + 4“ £)]sin (0~ <P)^<P = rfcr* (&) b\R + 1)1 •
I 4< | I Z-i I
Если учесть зависимость (12), то
dN == as (g) bd g. (20)
Растягивающие усилия dN, как и момент dM, оказываются оди-
наковыми во всех сечениях кольца.
Формулы (13) и (20) использовались во всех прежних исследо-
ваниях, начиная с работы Н. Н. Давиденкова [32], но они не были
обоснованы с помощью метода сечений (в частности, существенные
для вывода радиальные напряжения не рассматривались). Напря-
жения в слое а при действии момента dM и усилия dN будут равны
„ т ✓ \ dM A+g — 2а . dN
da93 (а) — 2 (h-£)b'
И2
Принимая во внимание зависимости (13) и (20), получим
da93(a) = • (fe~^yy-2a) a? * а9* (£)<Ц.
къ/ rb S
Внося значение a9(g) из равенства (18), найдем
лЛо (п\ - _ Г[^ + £~2а] , 4EJ (g) 1 Ц j₽
аовз(а) — р2(^ + p2(^^_g)26J <*£,
или
da93(«) =-з^-(2Л-За + ^) 4|dg. (21)
Дополнительное напряжение в слое а в результате снятия всех
предыдущих слоев
/ \ 2Е С* 2h За + g «. /99\
О9з(а) = J -------------(22)
о
Д. Формула (22) неудобна для вычислений, так как содержит
производную изменения диаметра по толщине слоя. Установим при-
ближенную формулу, основываясь на следующих соображениях.
По известной теореме о среднем можно записать
а
Ъ 3 («) = - з^Г)/ (2Л - За + g) d g, (23)
о
где — некоторое среднее значение величины £,
0 а.
Вычисление интеграла, входящего в равенство (23), уже прово-
дилось ранее:
J(2^-3a + g)4|d| = 2(A-a)S(a)- S(g)dg.
0 ' о
Таким образом,
9/7 a
<*) з («) = ~ зД2 ^t) [2 (Л — а) б (а) - / 6 (£) d g]. (24)
Для практических расчетов можно принять одну из следующих
формул:
а(>з(«) = -Т7§-[2(Л-а)а(а)- fs(g)dg] (25)
d£/cp о
или
9 F a
ff8Ha) = - 3П2(а) [2 (Л a) 6 (a) - /б (I) d g], (26)
v 2 о
8 Заказ 288. 113
где Dcp и D (а) — диаметры осевой линии кольца полного сечения
и кольца с удаленным слоем толщиной а:
Dcp = De + h = DH — h\ D(a) = De + h— a = DH — h — a,
где De и DH — внутренний и наружный диаметры.
6 — увеличение диаметра, вызванное снятием слоев
(т е. из полного увеличения диаметра следует вы-
честь бр).
Равенство (25) дает абсолютную величину 003 (а) несколько ниже
истинной, тогда как равенство (26)-— выше истинной. Обычно значение
(Те з (а) невелико и указанные различия несущественны. Формулы
Фиг. 110. Зависимости б =*• ср (а)
и а == фх (б).
(25) и (26) позволяют оценить воз-
можную погрешность, и при зна-
чительной ее величине необходимо
воспользоваться точной форму-
лой (22).
Укажем еще один способ вычи-
сления <те з (а) по формуле (22).
Для этого примем в качестве
основной переменной величину б
(фиг. 110).
Если построить график зависи-
мости прогиба б от толщины сня-
того слоя а б == ср (а), то можно
выразить и обратную зависимость
я = (б). Эти зависимости, разумеется, остаются такими же и для
какого-либо промежуточного значения толщины слоя £ (б = ср (£);
I = Ф1 (б)).
Формулу (22) можно представить теперь в таком виде:
(а)
. 2Е f 2Ь-За-Н(б)
^3(«) = --g-J --------
о
При вычислении интеграла величины £ и D рассматриваются
как функции текущего значения увеличения диаметра б. Такой метод
вычисления ае3 (а) был использован в работе Н. Н. Давиденкова
[32].
Е. Теперь, когда определены все дополнительные напряжения,
можно записать основное уравнение (1) в развернутой форме. Пред-
варительно приведем формулу для определения сто (а) — напря-
жения, существующего в слое а после вырезки и разрезки кольца
и снятия предыдущих слоев.
Подобная формула была выведена ранее для слоя g [равенство
(19)], и в ней теперь следует считать £ = а. Тогда получим
О0* (а) = _ _L .
E(h—a)* , db
D2 (a) da
(27)
114
Внося значения напряжений ore i (а); ого 2 (а)‘, аоз (а) и
в равенство (1), находим
1 Е (h— a)2
3 * D2{a)
-g-= ae (а) - цаДа) - 2
Е др
D2
ср
f 2h — За + В dd
dl'ai
at) (a)
(28)
J D* (£)
о
ИЛИ
Сто (а) — (а) = 2 № — а
иср \
—a)2 dd
D2 {a) da
___1
3
। 2Е р 2h dd <on\
+ TJ—W)—"rfF ’ (29)
0
Если сделать предположения, что
остаточные напряжения в окружном
и осевом направлениях одинаковы:
его (а) = <Уг(а), (30)
то получаем следующую зависимость
для определения окружного напря-
жения:
/ \ 1 (Е др / h
Ив (а) = ~----) 2 ——---------а
4 I — !1 I D2 \ 2
\ ср ' 1
d6r
Фиг. 111. Определение допол-
нительных напряжений при
снятии внутренних слоев.
1 Е (h— a)2 dd
3 ’ D2 (a) da
(31)
2Е С 2h~3a-\-l
Ф 3 J P2(g)
о
эта формула, как будет ясно из дальнейшего, отличается от расчет-
ной формулы в методе Н. Н. Давиденкова множителем 1 + ц. Не-
которые авторы, применяя метод колец, отождествляют его с мето-
дом Н. Н. Давиденкова (устраняя в расчетных формулах Н. Н. Да-
виденкова множитель ------см., например, [4]). Такое отождествле-
1 [X
ние приводит к погрешности (в сторону занижения истинных напря-
жений) на 30—40%.
Ж. Выше были получены расчетные зависимости при снятии
наружных слоев.
Рассмотрим случай (фиг. 111), когда последовательно удаляются
внутренние слои. Проследив за сделанным выводом, можно устано-
вить, что, сохраняя прежнее правило для величины изменения диа-
метра (б >>0 при увеличении диаметра), расчетная зависимость
(31) должна получить другой знак. При этом величина а пред-
8* 115
ставляет собой расстояния от внутренней поверхности до рассма-
триваемого слоя. Изменяются также выражения для диаметра осевой
окружности кольца при снятом слое а и g:
2? (я) — Du — h сь — De 4"
D (g) - Dn - h + g - De + h + g.
3. В общем случае основное соотношение (29) запишем
дующей форме:
Об (а) — рл2 (а) = Ft (а),
где
Е6 (а) = +• Ь ~6р- (—__________— -Е ^h~a^ . д.
_ z 2 I 2 а 3 р2(а) da
( ср \ '
, 2Е р 2Л-За + ? dt> z7t] .
+ 3J 2>2(g) ‘ dl “Sp
о ’
в сле-
(32)
(33)
в этом равенстве знак плюс используется при снятии наружных
слоев, знак минус — при снятии внутренних слоев. Для удобства
расчета поясним еще раз входящие в равенство (33) величины:
д — увеличение диаметра кольца в процессе снятия (стравли-
вания) слоев. Это увеличение может измеряться на любом
диаметре кольца (внешнем, внутреннем и т. д.), так как
изменением толщины кольца из-за упругой деформации
пренебрегается;
др — увеличение диаметра кольца после разрезки вдоль обра-
зующей (полное изменение диаметра кольца после разрезки
и снятия слоя д0 = др + д);
а — толщина снятого слоя;
D (а) —диаметр окружности центров тяжести сечений кольца (осе-
вой окружности кольца) после снятия слоя а]
D (g) — то же после снятия слоя g (0< g< а);
DCp — диаметр осевой окружности кольца (трубы) — средний
диаметр трубы;
h — радиальная толщина трубы.
Последний член в равенстве (33) можно вычислять по прибли-
женным формулам (25) или (26). При выводе расчетных зависимостей
предполагался следующий порядок разрезов: сначала вырезка
кольца, затем разрезка вдоль образующей. Можно показать, что»
окончательные расчетные зависимости остаются такими же при изме-
нении порядка разрезов (сначала разрез трубы вдоль образующей^
а затем вырезка кольца). Это вполне согласуется с общим принципом
независимости деформированного и напряженного состояния от
порядка проведения срезов.
Если окружные и осевые напряжения равны, то соотношение
(32) позволяет вычислить их величину. В общем случае необходима
получить второе соотношение между ними, исследуя деформацию
полосок.
116
Исследование полосок
А. Полоска длиной I и шириной Ъ вырезается из трубы и затем
проводится последовательное снятие слоев, параллельных плоскости
xoz (фиг. 112). Сечение полоски считается прямоугольным, что при
> 3 не вносит существенных погрешностей.
Рассмотрим деформацию пол секи в результате вырезки из трубы.
По освобожденным боковым rj аням стержня и торцам приклады-
Фиг. 112. Деформация полоски после
вырезки из тонкостенной трубы.
Фиг. ИЗ. Прогиб полоски в резуль-
тате вырезки.
ваются обратные остаточные напряжения. Эти напряжения на торце
стержня создают момент
h
2
м 1в = — J <jzybdy. (34>
2
Неизвестные остаточные напряжения crz предполагаются поло-
жительными (растягивающими). К полоске bdy приложены обрат-
ные остаточные напряжения, создающие отрицательный момент
(положительное направление момента показано на фиг. 112). В ре-
зультате действия момента Mie возникает прогиб полоски (фиг. 113}
где J — ---момент инерции сечения.
Вторая часть прогиба полоски после ее вырезки связана с дей-
ствием обратных остаточных напряжений сге.
Вводя условную температурную деформацию (см. раздел 14)
az = —’
111
получим следующую зависимость для изменения кривизны стержня:
f У Щ dF
= <37>
!М соответствующий прогиб
р Z2 J y<s$dF
= r^j — ' <38>
Суммарный прогиб полоски после вырезки
h h
2 ~2~
А = -8Жг{— f °zybdy + ii f Cfeybdy] . (39)
h h
~ T “T
Эта величина измеряется и в дальнейшем считается известной.
Перейдем к определению дополнительных напряжений в попереч-
ном сечении полоски, возникающих в результате вырезки. Момент
-обратных, осевых, остаточных напряжений создает дополнительные
напряжения
h
2
о2в1 = у ~~ = — -J- J у Oz bdy. (40)
2
Дополнительные напряжения в поперечном сечении в результате
действия напряжений — о0 по боковым граням
h
2
f СГ0 bdy
Г
Oz t 2 =-----р-------F J bdy — рщ.
— 2L
2
Так как
h
2
J* Не bdy = 0
— Л
2
® силу общих условий равновесия и симметрии, то
h
2
Qz в 2 = -J- Н j У ы bdy — |1Щ. (41)
— Л
2
118
Дополнительное напряжение, возникающее в полоске после вы-
резки,
h h
( т т
<Tz« = <Tzei + o’ze2 = -7-{— f yazbdy + ii f у <те bdy j — цоо.
2 2
Учитывая равенство (39), найдем
оу?
<rZe= fey—ltO9.
Определяя напряжение на рас-
стоянии а от наружной поверхности
h
у = -^-а,
окончательно получим
^2 в = ~J2 ( ’ 2 • (4:2)
Фиг. 114. Определение остаточных
напряжений в полоске.
Б. Дальнейший этап исследова-
ния заключается в определении оста-
точных напряжений в самой полоске, сохранившихся там после
вырезки (фиг. 114).
Обозначая эти напряжения ог, запишем
СТz — O*z &z в9
(43)
где oz — осевые остаточные напряжения в тонкостенном цилиндре
(в полоске до вырезки);
о2« — дополнительные напряжения, образовавшиеся в полоске
в результате вырезки.
Учитывая соотношение (42), находим
az = oz — цсго + — /в н----аI ; (44)
напряжения о* определяются обычным способом — с помощью после-
довательного снятия слоев.
Используя общую формулу для остаточных напряжений в стерж-
не прямоугольного сечения (см. § 3), будем иметь
оДа) = -^-[(Л-«)2-^-(«)-4(/г-а)/(а) +
а
+ 2p(g)dg ;
о J
(45)
119
в этом равенстве / (а) — прогиб полоски, возникший в результате
'Снятия слоя толщиной а.
На основании равенств (44) и (45) находим
/ \ / \ %Е , [ h \ . Г,, df / ч
(а) — пае (а) = fe --------------------«) + I (й - а)2 (а) —
-4(Л-а)/(а) + 2 f
О
(46)
При выводе этой формулы предполагалось, что снимаются слои
'С наружной поверхности и расстояние а отсчитывается от наруж-
Фиг. 115. Два различных способа вырезки
полоски из тонкостенного цилиндра.
ного слоя.
Если сохранить преж-
нее правило знаков — по-
ложительный прогиб f на-
правлен в сторону внешней
поверхности трубы, то при
снятии внутренних слоев и
отсчете а от внутренней
поверхности следует изме-
нить знаки в правой части
формулы (46).
Запишем эту формулу
в таком виде:
crz (а) — цо9 (а) = Fz (а),
(47)
где
F. (<) - ± {- f. (4 - «) + [(* - («) -
- 4 (4 - о) / (») + 2/ / (0 dl 1) . (48)
О
В последнем равенстве знак плюс применяется при снятии на-
ружных слоев и знак минус — при снятии внутренних. Можно
было бы не вводить разные знаки и условиться считать прогиб /
положительным, если он направлен в сторону снимаемых слоев.
Так было принято при расчете остаточных напряжений в стержнях.
Однако для лучшего соотношения с расчетом остаточных напряже-
ний в кольце положительное направление прогиба принято одина-
ковым при снятии внешних или внутренних слоев.
В. Рассмотренная силовая схема (приложение обратных оста-
точных напряжений по торцам полоски и боковым граням) пред-
усматривала непосредственную вырезку полоски из тонкостенного
цилиндра (фиг. 115, а).
Расчет остаточных напряжений не зависит от порядка проведе-
ния срезов, и те же результаты должны получиться и для случая,
когда сначала вырезается участок трубы, а затем полоска (фиг. 115,6).
120
Расчетная схема, однако, получается значительно сложнее. Сначала
рассматривается цилиндрическая оболочка при действии распре-
деленных моментов по торцам, затем изгиб полоски вследствие дей-
ствия обратных окружных напряжений. Во втором этапе следует
учесть наличие угла ДО (см. фиг. 112), вследствие которого
равнодействующие окружных напряжений влияют на изгиб по-
лоски.
В предыдущем рассмотрении это обстоятельство было несущест-
венно, так как равнодействующие окружных напряжений обра-
щались в нуль.
Г. Приведем расчетные формулы для определения остаточных
напряжений по методу колец и полосок.
На основании исследования узких колец определяется функ-
ция Fq (а), причем
09 (а) — |L1OZ (а) = Fo (а),
где а — расстояние рассматриваемого слоя от наружной или вну-
тренней поверхности.
Значение Fq (а) вычисляется по формуле (33).
На основании исследования полосок становится известной вели-
чина Fz(a) [формула (48)], причем
az (а) — ца0 (а) = Fz (а).
Из последних двух уравнений вытекают основные расчетные
зависимости
Сто = + V-Fz (“)); (49)
1 [А
(а) = ТТТБТ («) + Н А (а)); (50)
эти формулы и служат для полного определения остаточных напря-
жений в тонкостенных цилиндрах (трубах).
Если требуется определить остаточные напряжения только в по-
верхностных слоях, то расчетные формулы упрощаются.
Пренебрегая изменением величины среднего диаметра кольца
в процессе удаления слоев, можно считать
D (&) = Dcp.
Из формулы (33), используя преобразование соотношения (22),
получим
Fo (а) = ± (б (4 - а) бр - (h - а)2 -g- («) +
+ 4(Л —а)б(а) —2 /бйЙ . (51)
о ‘
121
Равенство (48) представим в подобной форме:
Рг (а) = ± -g- {- 6 (4- - а) л + (h - а)1 2 -g- (а) -
а
— 4 (й—а) / (а) + 2 J/dg) . (52)
о '
В приведенных равенствах знак плюс применяется при снятии
наружных слоев и знак минус — при снятии внутренних.
h
При — >>15 последними слагаемыми в формулах для Fe (а) и
Fz (а) можно пренебречь.
Д. Рассмотрим в качестве примера определение остаточных на-
пряжений в плунжере топливного насоса.
Плунжер представляет собой полый цилиндр с наружным диа-
метром DH = 15,02 мм и толщиной стенки h = hK = 1,71 мм.
Плунжер выполнен из стали ХВГ, модуль упругости Е = 2,31 X
Х104 кГ1мм\ коэффициент Пуассона ц = 0,3.
Исследование проводилось с целью определения остаточных на-
пряжений в поверхностных слоях, возникших после термической
и механической обработок.
Из плунжера было вырезано кольцо шириной 5,75 мм. После
шлифовки и полировки торцов и нанесения перекрестий на средней
окружности кольцо было разрезано по радиусу. Изменение диаметра
в результате разрезки составило бр = —0,006 мм (диаметр кольца
уменьшился).
Далее проводилось стравливание цилиндрических слоев с наруж-
ной поверхностью, толщина снимаемого слоя определялась взвеши-
ванием.
Изменение диаметра измерялось на универсальном микроскопе.
В табл. 4 даны значения толщин снимаемых слоев общей
толщины снятого слоя увеличение диаметра кольца S после
снятия слоя Производная (а*) вычислялась по формулам пара-
болической интерполяции (см. стр. 78), ее значения указаны в
столбце 8. Расчет проводится по формуле (51). В столбце 14 дается
окончательное значение функции Fe (а).
Далее определяются остаточные напряжения в полоске. Полоска
вырезалась шириной 4 мм, нижняя грань полоски сошлифовалась
для образования плоскости \ в результате толщина полоски была
Лп =1,43 мм (вместо 1,71 мм).
После полировки боковой грани на ней намечались три пере-
крестия для измерения на универсальном микроскопе, расчетная
база (расстояние между крайними перекрестиями) составляла I —
= 40 мм. Прогиб полоски после вырезки /б = 0. Далее проводи-
лось стравливание наружных слоев, взвешивание и измерения. Для
расчета используется формула (52).
1 Эта операция не обязательна.
122
В табл. 5 указаны значения толщин снимаемых слоев общей
толщины снятого слоя ai и прогиба полоски / (а^ (положительный
прогиб направлен в сторону внешней поверхности трубы).
В столбце 8 даны значения производной, вычисленные по фор-
муле параболической интерполяции. В результате расчета опреде-
ляется функция Fz (aj (столбец 14).
Таблица 4
Определение функции F$ (а) (исследование кольца)
Dcp —13,31 мм] 6n = —0,006 мм] Е = 2,31-104 кГ/мм2,
Е
---о- =43,46; н = 0,3; 1,71 мм
М>сР
i Аг в мм <4 в мм 6 (аг ) в мм к(1) К(2) к(3) («1) da
1 2 3 ь 5 6 7 8
0 1 2 3 4 0 0,025 0,036 0,026 0,023 0 0,025 0,061 0,087 0,110 0 0,0135 0,0100 0,0115 0,0115 0 0 —11,65 —18,05 18,05 67,78 12,22 -10,68 —5,02 -81,90 —11,38 11,38 22,32 23,07 63,90 0,8012 0,2788 —0,0074 0,0271 -0,0265
i 6бР (-у-— —^.(сц)х da г ' х (hK — ai )2 46 (а| ) X X (hK ар — 2 J 6d £ 0 (9) + (10) + + (11) + (12) (<Ч)
9 10 И 12 13 14
0 1 2 3 4 -0,03080 —0,02988 —0,02859 —0,02765 —0,02682 —2,34 —0,791 0,0201 —0,0713 0,0678 0 0,091 0,066 0,07468 0,0736 0 0,0003375 -0,001183 —0,001742 -0,002271 -2,3708 —0,7302 0,05633 -0,02601 0,11231 —105,1 —31,73 2,45 -1,13 4,88
Остаточные напряжения определяются по формулам (49) и (50).
Так как значения а при исследовании колец и полосок различны,
то для расчета использовались значения функций Fq (а) и Fz (а),
снятые с графика (фиг. 116), возможно также применение парабо-
лической интерполяции для промежуточных значений, что требует
дополнительных вычислений.
В столбцах 3 и 4 (табл. 6) указаны значения функций F§ (а) и
Fz (а), в столбцах 7 и 8 даны остаточные напряжения в поверхно-
стных слоях тонкостенной трубы (плунжера).
123
Фиг. 116. Распределение остаточных напряжений
в трубе.
124
Таблица 5
Определение функции Fz (а) (исследование полоски) —1,43 мм;
A.F
Е = 2,31 • 104 кГ/мм2; =19,25; I = 40 мм; ц = 0,3
о4
i Aj в мм аг в мм /(ч) в мм к(1) к(2) к(3) f (а* > da X 1 ST 05 1 X - (a, ) X da г) *Оп~ °i>2 -4/(at)X X (hji'—) ai 2j 0 (9) + (10)+ + (U)+(i2) F z (ai )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 0 0 0 0 115,5 -18,73 0,2155 0 0,44 0 0 0,4400 9,43
1 0,0145 0,0145 0,003 0 22,5 18,73 0,1985 0 0,398 —0,01699 0,0000435 0,38105 7,34
2 0,0215 0,036 0,007 -30,25 21,5 8,74 0,0860 0 0,167 -0,039 0,0002585 0,1283 2,47
3 0,040 0,076 0,003 -9,12 -18,5 27,6 0,0187 0 0,03425 -0,01625 0,0006585 0,0187 0,36
4 0,023 0,099 0,005 9,12 -68,4 59,3 0,1551 0 0,2742 -0,02662 0,0008425 0,2484 4,78
Таблица 6
Определение остаточных напряжений в тонкостенной трубе
i в мм fq (<4) Fz (ai ) Fq +uFz Fz +MF0 oq (a^ )в кГ/мм* oz (aj ) в кГ/мм%
1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 —105,1 9,43 -112,17 —25,07 -123,3 -27,6
1 0,0145 —60,72 7,34 —58,52 -10,88 -64,3 -11,95
2 0,025 —31,73 5,22 -30,16 -4,3 -33,15 -4,72
3 0,036 -10,55 2,47 -9,81 —0,695 -10,78 —0,76
4 0,061 2,45 -0,307 2,36 0,428 2,59 0,47
5 0,076 -0,958 0,36 -0,85 0,072 —0,93 0,08
6 0,087 —1,13 1,962 -0,54 1,623 -0,6 1,78
7 0,099 0,931 4,78 2,36 5,059 2,6 5,56
8 0,110 4,88 8,348 7,39 9,808 8,12 10,78
17. МЕТОД Н. Н. ДАВИДЕНКОВА
А. Как уже указывалось, в методе Н. Н. Давиденкова [32] про-
водится отрезка участка трубы и его последующая разрезка вдоль
образующей. С помощью постепенного снятия (стравливания) слоев
трубы определяются окружные напряжения.
Вырезка участка трубы эквивалентна приложению в торцовых
сечениях распределенных моментов, создаваемых обратными осе-
выми напряжениями (фиг. 117).
Фиг. 117. Участок тонкостенной Фиг. 118. Определение дополнительных
трубы, вырезанный для исследования напряжений при разрезке трубы вдоль
по методу Давиденкова. образующей.
Дополнительные напряжения (в том числе и окружные), возни-
кающие от моментов М2, затухают по мере удаления от торцов обо-
лочки. Уменьшение дополнительных напряжений, как это следует
из теории цилиндрических оболочек, приблизительно пропорцио-
_________________R с
нально величине е 1 , где $ — расстояние рассматриваемого сече-
ния от края оболочки, а параметр
Р 4/з7Г^Г _ 1,285
Vncph VRcph '
Можно считать, что зона распространения краевого эффекта
имеет длину Zi:
В конце зоны дополнительные окружные напряжения ое q со-
ставят е~3^5% от их наибольшего значения у торцов; величина
наибольших дополнительных напряжений приблизительно равна
(Юг. Принимая общую длину отрезка трубы
Z>5ZX,
получим
р I > 15
или
/>12УЛ^Л; (53)
126
например, при h = 0,25ЯСр Z > 3 Dcp\ при h = 0,10 Rcp I
>2Z)Cp- При условии (53) будем пренебрегать дополнительными окруж-
ными напряжениями О01? возникшими в результате отрезки трубы.
Б. Следующая операция при определении окружных остаточных
напряжений — разрезка трубы вдоль образующей (фиг. 118). Вели-
чина момента Л/р, создаваемого обратными остаточными напряже-
ниями, связана с увеличением диаметра следующим соотноше-
нием:
= (54)
(1-Н ) Dcp
отличие этой формулы от формулы (9) заключается в множителе
1
1 — р2 ’
что связано с тем, что в трубе происходит плоская деформа-
ция (осевые удлинения отсутствуют). Дополнительные окружные
напряжения пег, возникающие на расстоянии а от наружной поверх-
ности, определяются соотношением, по-
добным равенству (11),
•<ге2(а) = -2---Elv -i-(Л--а\. (55)
(1-Н1 2)<Л2 ! ’
Отметим, что кроме напряжений о^ ,
в трубе возникают дополнительные на-
пряжения
пг2(а) = Н<*02(а), (56)
что непосредственно следует из условия
равенства нулю осевых деформаций.
В. После разрезки трубы проводится
последовательное снятие слоев. При
снятии слоя (фиг. 119) к оставшейся
части должны быть приложены обрат-
ные остаточные напряжения Go (g) и
действовавшие в слое g уже после
разрезки трубы. Будем пренебрегать
ний на изменение диаметра трубы Ч
Фиг. 119. Напряжения при
снятии цилиндрических слоев.
влиянием осевых напряже-
В рассматриваемом случае при достаточно большой длине I на-
пряжения изгиба, вызванные о* (g), в средней части трубы неве-
лики.
С качественной стороны такой вывод можно сделать, если
учесть, что жесткость разрезанной трубы на изгиб в осевом напра-
влении значительно больше, чем в окружном. Если труба разрезается
вдоль образующих в нескольких местах и исследуются цилиндри-
ческие пластинки, то пренебрежение величинами о2 (£) может при-
1 Для плоской пластинки, как это отмечалось ранее, необходимо было учи-
тывать влияние обоих напряжений.
127
вести к существенным погрешностям. Осевые напряжения вызы-
вают растяжение трубы и при р, =# О поперечную деформацию. Изме-
нением диаметра вследствие указанной деформации можно прене-
бречь, так как они малы по сравнению с изгибными деформа-
циями.
Если не учитывать влияния осевых напряжений на изменение
диаметра трубы, то дополнительное напряжение при снятии слоя
толщиной а определяется прежним равенством (22) с заменой модуля
упругости Е на —2 .
Тогда будем иметь
\ 2Е Г 2k Зл-j-В 1 с. zt:r7v
СТ°3 ( } — — 3(i_p2) J d% d
О
Напряжение в самом слое а после удаления всех предыдущих
слоев [см. равенство (27)]
* __ 1 E(h—a)* dd
° 9 3 (1 — р.2)£>2(а) ’ da '
Г. Напряжение, существующее в слое а после вырезки кольца,
разрезки и снятия предыдущих слоев,
ое (а) = Go (а) + Oei (а) + сг02 (а) + (а)- (59)
Учитывая, что
а91 (а) О,
и внося значения
ао2(а); Поз (а) и щ(а),
получим
zv / \ _ » (о Ebp / h 1 E(h~a)2 d& {
Оо(«)-±(2 (1_И2)Р2Д2 3 • (1_И2) D2{a) • da +
। 2 К f 2h 3a + ^ d& j /RO1
+ 3(1-H2) J -----------dVd4’ (60>
0
где знак плюс используется при снятии наружных слоев и знак ми-
нус — при снятии внутренних.
Подробное пояснение входящих в это равенство величин дано
на стр. 116.
Особенность формулы (60) заключается в том, что она позволяет
сразу определить значение окружных остаточных напряжений, не
проводя исследование осевых напряжений.
Эта особенность связана с формой образца в виде длинного
участка трубы, при которой локализуется действие осевых напря-
жений.
128
Если провести интегрирование по величине б, то равенство (<»<>)
принимает следующий вид:
/ \ . (л Е бт> / h \
ао (а) = ± 2 —-------Н- — а
I (1-Р ) Dcp \ 2 /
1 E(h-a)* ,/Л
3 ’ (1 —Ц2)Д2(а) ‘ <1а
6 (а)
2Е [' 27г—За+ £ (б)
3(1 —р2) J Z?2 (6)
о
(61)
в этом равенстве величины g и D рассматриваются как функции
текущего значения д.
Д. Для определения осевых остаточных напряжений проводится
вырезание полосок. Оно осуществляется таким же образом, как
и в описанном ранее методе (фиг. 114). В связи с этим остаются спра-
ведливыми и полученные в предыдущем разделе расчетные зависи-
мости [формула (48)]
аг (а) = рло (а)± {-f* — а) + (h~
а
-4(fe-a)/(a) + 2j/(^)^ ) (62)
о J'
(знак плюс используется при снятии наружных слоев и минус —
при снятии внутренних),
где /в — прогиб полоски (наибольший) после вырезки полоски из
трубы;
f (а) — дополнительный прогиб полоски в результате снятия слоя
толщиной а.
Прогибы fe и / (а) считаются положительными, если они напра-
влены в сторону наружной поверхности трубы.
I — длина полоски (или расстояние между двумя точками на
оси полоски, относительно которых определяется прогиб). Отметим,
что при определении осевых ос!аточных напряжений должны быть
известны остаточные напряжения в окружном направлении.
Е. Укажем теперь приближенные формулы для определения
остаточных напряжений в тонкостенных цилиндрах (трубах). Если
предположить, что распределение остаточных напряжений по тол-
щине трубы близко к линейному, то можно ограничиться разрезкой
трубы и вырезкой полоски.
Тогда
ао («) = ± 2 — - - (4- ~ •’ (63)
(1 —ц ) DCP\ )
(а) = (ЛЩ (а) + fg №----aj ; (64)
в этих равенствах верхний знак используется при снятии наружных
слоев, нижний знак — при снятии внутренних.
9 Заказ 288. 129
Если требуется определить остаточные напряжения только в по-
верхностных слоях, то в расчетных зависимостях сохраняются
только первые два члена:
(Те (а) = ± (2-Е^р 2 - (4- - «1 -
I (1-Н2)^Рк2 /
_ 1 E(h-aV df> | .
3 ’ (1-Р2) £>2(а) da J ’
ст2 (а) = цао (а) ± {-fe (А ~ «) +
+ (ее)
в этих равенствах а — толщина снятого слоя; верхний знак (знак
плюс) используется при снятии наружных слоев, нижний — при
снятии внутренних.
В приближенных расчетах можно применять эти равенства при
а 1
h < 40 ’
Ж. Изложенный метод определения остаточных напряжений
в тонкостенных трубах принадлежит Н. Н. Давиденкову [32], [40].
В работе Н. Н. Давиденкова [32] расчетные зависимости имеют
несколько иной вид и установлены для более общего случая, когда
толщина стенки не является малой по сравнению со средним радиу-
сом.
Автор применял зависимости приближенной теории стержней
большой кривизны, в которой используется гиперболическое рас-
пределение напряжений по сечению. При 4 вполне доста-
точную точность дает применение теории стержней малой кривизны,
в которой распределение напряжений по сечению считается линей-
ным.
В работе Н. Н. Давиденкова для определения жесткости сечения
на изгиб используется приближенная формула, совпадающая с ре-
зультатами теории стержней малой кривизны, но при определении
напряжений учитывается гиперболический закон теории стержней
большой кривизны.
Для тонкостенных цилиндров (труб) целесообразно последова-
тельно использовать линейный закон изменения напряжений, что
и было принято в настоящем изложении.
В работе Н. II. Давиденкова формула для определения окруж-
ных остаточных напряжений совпадает с равенством (61). Отличие
состоит в несколько иных обозначениях. Н. Н. Давиденков обозна-
чает толщину оставшейся части стенки величиной а, что приводит
к отрицательным значениям da при снятии слоев. Это обстоятель-
ство неудобно для вывода расчетных зависимостей, что послужило
причиной отказа от обозначений Н. Н. Давиденкова в предыдущем
130
изложении. Кроме того, текущее значение расстояния снимаемого
слоя характеризуется величиной а не х, поскольку переменная х
используется как обычная пространственная координата.
Формула (62) для определения осевых остаточных напряжений
отличается от соответствующей формулы Н. Н. Давиденкова не
только обозначениями и иной формой записи, но и наличием члена
роо. Это слагаемое в формуле Н. Н. Давиденкова (и в последующих
работах) оказалось пропущенным.
Последовательное использование линейного закона распределе-
ния напряжений встречалось в работе Закса и Эспи [158]. Резуль-
таты их исследования приведены и в нашей отечественной литера-
туре [4], [31], [131].
В работе Закса и Эспи использовались основные идеи метода
Ы. Н. Давиденкова, но вывод величины дополнительных напряже-
ний при стравливании слоев был проведен другим путем.
В результате расчетные зависимости получились в виде инте-
гральных уравнений (неизвестное остаточное напряжение входит
в правую часть уравнения под знаком интеграла), что существенно
затрудняет расчет.
В работе Закса и Эспи имеются и другие недостатки (неточное
определение среднего диаметра кольца при вычислении дополни-
тельных напряжений и др.).
В книге М. А. Бабичева [4] проведено четкое разграничение при
использовании теории стержней малой и большой кривизны. Для
тонкостенных колец, естественно, применяется теория стержней
малой кривизны (линейное распределение напряжений). Следует,
однако, иметь в виду, что выводы М. А. Бабичева относятся
только к исследованию изолированных колец, так как он пренебре-
гает дополнительными напряжениями при вырезке.
В работе [4] не указываются принципиальные отличия в опре-
делении остаточных напряжений в тонкостенных трубах по методу
колец и полосок и по методу Н. Н. Давиденкова.
9*
ГЛАВА 7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ДИСКАХ
18. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
А. Определение остаточных напряжений в дисках часто встре-
чается в технических задачах. Для расчета следует различать диски
постоянной толщины (фиг. 120) и диски переменной толщины (фиг.
121). Диски постоянной толщины часто представляют собой образцы
(темплеты), вырезанные из цилиндров. Толщина диска Н предпола-
гается малой относительно внешнего радиуса R% (Н 0,4 R2).
В этом случае можно пренебречь осевыми остаточными напряжени-
ями, рассматривая только окружные сто и радиальные ог напряжения
Фиг. 120. Диски постоянной тол-
щины.
(фиг. 122). Если диск вырезается из цилиндра, то в самом диске
осевые остаточные напряжения отсутствуют, но не следует считать,
как полагают обычно, что вырезка диска означает простое снятие
осевых напряжений. Эти напряжения «перешли» в дополнительные
радиальные и окружные напряжения.
При расчете остаточных напряжений в дисках делаются следую-
щие предположения:
1) распределение остаточных напряжений является осесим-
метричным;
2) остаточные напряжения распределяются равномерно по тол-
щине диска;
132
3) осевые остаточные напряжения отсутствуют.
В действительности напряжения по толщине диска могут рас-
пределяться неравномерно (фиг. 123), и тогда ог и щ представляют
собой средние значения соответствующих напряжений.
При неравномерном распределении напряжений по толщине
при цилиндрических срезах возникают радиальная и изгибная
деформации.
В большинстве практических задач1 эти деформации являются
независимыми.
Ниже рассматривается определение средних по толщине остаточ-
ных напряжений с помощью измерения деформаций в плоскости
диска. Сначала дается изложение основных методов применительно
к дискам постоянной толщины, а затем указываются дополнения,
позволяющие учесть переменную толщину диска.
Б. Напомним основные уравнения теории дисков постоянной
толщины.
Если и (г) — радиальное перемещение на радиусе г, то радиаль-
ная и окружная деформации равны
du /л\
^=47 > (1)
ее=~. (2)
На основании закона упругости
ег = -^-(Ог — (3)
= (<*« — Нстг). (4)
1 Исключения могут составить очень тонкие диски.
133
Из этих равенств вытекает
= Т^-^ (е, +[Х8о); (5)
1 р
°о = Г=^ (ее + ц8г). (6)
1 fA,
Уравнение равновесия элемента диска (фиг. 122) при отсутствии
массовых сил имеет вид
^+4(^-^)=°> (7>
или в другой форме
^ = -^г(гстг). (8)
Если внести значения ог и по из соотношений (5) и (6) в уравнение
равновесия, то получится дифференциальное уравнение относительно
функции и (г), решение которого позволяет найти напряжения и
деформации в диске.
Краевые условия для диска при отсутствии контурной нагрузки:
на внешнем радиусе г — R2
dr(T?2) = 0; (9)
на внутреннем радиусе г = Rr (диск с отверстием)
вг Ш - 0. (10)
Для диска без отверстия в центре диска (г — 0) из условия сим-
метрии
а0(О) = ог(О). (И)
Если на контурах диска приложена радиальная нагрузка, то
краевые условия будут такими:
ог (Д2) = ог 2; 1
ог(Д1) = ог1, / ( '
где величины ог1 и (Уг2 являются заданными. Условие (11) остается
без изменений.
В дальнейшем окажутся необходимыми формулы для напряжений
в диске постоянной толщины при действии контурных нагрузок
/ 7?2 \ 7?2 / /?2 \
(Тг (г) = Стг 2 (1 — 7^-) — д2 2д2 (1 — 5 (13)
<те (г) = <зг2 Д* И -|А - Л 2- ( 1 + ) • (14)
л2-л! \ / R2~Ri ' >
Для диска без центрального отверстия
аг(г) = о«(г) = сгг2. (15)
134
Перемещения в диске определяются следующим соотношением,
вытекающим из равенств (4) и (2):
д/
R\-R\
R\r '
RX L
На внешнем радиусе диска перемещение
/пх ^1^2
W2 — и (^2) — Е I 2 _ r2 И 1 Е
' 2 1 '
° г 1
Е
1 — И + yr (1 + и)
JR^
1 — Ц + —г~ (1 + И) •
2R*
Радиальное перемещение на внутреннем радиусе г = R
ar2Rt 2R\ ar i Д1 ( R\ + R\ \
М1 — и (7?1) - -р • ZT Е I „2 д2 "Ь I
Д Д2 - Д! V Д2 ~ Й1 /
(16)
(17)
(18)
Формулы для перемещений справедливы и для диска без централь-
ного отверстия, если положить в них Rr = 0. Рассмотрим основные
методы определения остаточных напряжений
в дисках.
19. МЕТОД РАСТАЧИВАНИЯ
А. Метод состоит в том, что па некотором
фиксированном радиусе измеряется радиальное
перемещение (или окружная деформация) в про-
цессе обтачивания или растачивания диска.
Рассмотрим сначала случай, когда проводится
растачивание диска и измерение перемещения
(или деформации) на внешнем радиусе (фиг. 124).
Пусть проведена расточка до радиуса г.
Освобождение цилиндрической поверхности ра-
диуса г эквивалентно приложению к этой по-
верхности обратных остаточных напряжений.
Сохраняя обычное правило знаков для оста-
Фиг. 124. Определе-
ние остаточных на-
пряжений по переме-
щениям на внешнем
радиусе (метод раста-
чивания).
точных напряжений (растягивающие напряже-
ния — положительные), будем считать, что на
внутреннем контуре диска приложено напря-
жение
Стг1 = — (Гг(г). (19)
Воспользовавшись равенством (17) (вГ2 = 0), находим радиальное
перемещение на внешнем радиусе, вызванное этой нагрузкой:
и 2 (г) = <7Г (г) • —г-- ,
Я -- Г2
2
135
откуда
Е [ R*-r* \ R2 — r2
аг и* = Е 8б* (20>
где
802 (г)
= (Г)
Пг
окружная деформация на внешнем радиусе при расточке диска
до радиуса; она измеряется проволочными тензометрами.
Таким образом, зная перемещение или окружную деформацию
на внешнем радиусе в результате расточки отверстия до радиуса г,
можно определить радиальное остаточное напряжение на радиусе г
в исходном состоянии диска. Окружное остаточное напряжение на
радиусе г легко найти из уравнения равновесия (8)
d(yr .
Не = г + бт-
ар
Внося значения сгг (г) из равенства (20), находим
R*-r*
2____
2г
du2 (г) Е
dr ТЦ
я2 + г2
<г>-
(21)
(22)
Б. Полученные формулы для о> (г) и о о (г) являются частным
случаем формул Закса [1581, установленных другим путем для
толстостенных цилиндров (см. главу 8).
Для дисков формулы Закса при растачивании изнутри имеют
следующий вид:
= 80 2; (23)
(24)
где FH = л R* — площадь сечения, соответствующая наружному
радиусу цилиндра;
р = л г2 — площадь сечения, соответствующая радиусу г;
е0 2 = — относительное изменение наружного радиуса (ок-
^2
ружная деформация) при расточке до радиуса г.
Если учесть, что
2 __ 1 ^89 2 _ 1 1 du2
dF 2л г dr R2 2л г dr ’
то формулы (20) и (22) совпадают, с равенствами (22) и (23) соответ-
ственно.
Условное введение площади в качестве основной переменной
не дает каких-либо преимуществ, и в дальнейшем оно не исполь-
зуется.
136
В. Укажем расчетные формулы для случая, когда проводится
обтачивание наружных слоев (фиг. 125). Замер перемещений осу-
ществляется на радиусе Rr (радиусе центрального отверстия).
На внешнем радиусе г приложено обратное остаточное напря-
жение
аг2 = — о, (г).
Из равенства (18) (or t = 0) находим увеличение радиуса окруж-
ности с первоначальным радиусом R±:
/ \ \ Ri
М1(г)=_аг(Г)^._—
откуда
,, г2 _ fl2 г2 _ #2
°г = “ ТГ,-----2^~ U1 (r) = - Е 8»1 (г)- (25)
В соответствии с уравнением (21)
<Т9 (г) =
Е г2 — R* dux (г)
2r dr
R*+r*
x -Ла----- “1 (O’
(26)
Величина (г) представляет собой произ-
водную величину иг (г) по радиусу. Для ее
определения необходимо знать значение ut (г)
при различных значениях радиуса обточки г.
Если, например, при наружном стачивании
слоя толщиной \dr\ (dr<ity произошло умень-
шение радиального перемещения на радиусе Rv
^иг<^ 0), то производная >0.
Для сплошного диска прй измерении дефор-
мации проволочным тензометром, наклеенным
в центре, будем иметь следующие зависимости:
Фиг. 125. Определе-
ние остаточных на-
пряжений по переме-
щениям на внутрен-
нем радиусе (метод
обтачивания).
Or (г) = — Е80(г)(1 —|Х);
ae(r) = -E^- (1-Н)г-E^r) (1-Н),
где е0(г) — деформация в центре при обточке
до радиуса г.
Вследствие осевой симметрии ориентировка тензометра может
быть произвольной.
Г. Особенность формул для остаточных напряжений в диске
при растачивании или обтачивании состоит в том, что они дают
значения напряжений только в снятых слоях (радиус г представляет
собой текущий радиус обточки или расточки).
137
Измерения перемещений или деформаций проводятся на внеш-
нем радиусе (при расточке) или на внутреннем радиусе (при обточке).
Часто оказывается необходимым определить остаточные напряже-
ния возле внешнего и внутреннего контуров диска.
В этом случае на одном и том же диске проводится обтачивание
и растачивание.
Измерение радиальных перемещений или окружных деформаций
осуществляется на некотором радиусе 7?з (фиг. 126).
Рассмотрим первый этап — обточку диска, имеющего центральное
отверстие радиуса R± (фиг. 126, а).
Фиг. 126. Определение остаточных напряжений при обточке-
на первом этапе и расточке на втором.
Перемещение и3 на радиусе R3 находим из формулы (16). Полагая
оГ2 = — (r), ari = О, заменяя R2 на г и г на 7?3, находим
Г R2
= l-H + -d-d + H) • (27)
-- ll £1
1 L 3 J
Отсюда
p 1 r2 — R2
°r(r) = -^-----------±----------7-^-u3(rV (28)
1-И + -7г(1+И>
R
138
Окружные напряжения определяются из равенства (21):
По (г) =
________1_______
я2
1—^ + —2-(1+Н)
XI
3
г2+7С
Н-----“з W
г——-4г (п +
(29)
Е
R3 ‘
Если осуществляются измерения на внутреннем радиусе (2?3 =
= то формулы (28) и (29) соответственно совпадают с равенствами
(25) и (26).
Обточка проводится до некоторого радиуса г = /?4, и зависимости
(28) и (29) позволяют вычислить напряжения в снятых слоях /?4 <]
< г < Т?2.
На втором этапе диск растачивается изнутри. Следует учесть,
что остаточные напряжения, существующие в диске после обточки
до радиуса Т?4,
О'* = О г + <5гд\ (30)
(То = 0*0 -р О0д, (31)
где ог и (Те — истинные остаточные напряжения (в первоначальном
диске);
<угэ и сгоэ — дополнительные напряжения, вызванные обточкой.
Эти дополнительные напряжения могут быть вычислены как
напряжения в диске при действии па радиусе /?4 обратных (радиаль-
ных) остаточных напряжений.
Из уравнений (13) и (14) находим
(Уrd (г) = (Уг 4 2 4 „2 ( 1 рг" / ’ (32)
21 — it \ ' /
4 1 Х '
( R2 \
аеа(г) =-аг4-5-4-5- 1+тг- • (33)
21 — 22 \ 1 /
Л 1 ' /
Величина ог4 вычисляется по формуле (28) при г = /?4. Расточка
до радиуса г (фиг. 126, б) эквивалентна приложению на этом радиусе
обратных остаточных напряжений — qr (г). Если на радиусе
измерения 7?3 в результате расточки до радиуса г возникло дополни-
тельное перемещение w3 (г), то по формуле (16) находим
“>)=+4^-1й4-н+45-(‘+^ •
4 L 3 J
Из этого равенства вытекает
° г W = ------Мз (Г)- (34)
1-н+—
R
139<-
Напряжение 09 (г) определяем из условия равновесия
Я2-г2
(21):
J_________
R2
3
du’ Я2 4-г2
в* (г) .
Теперь, в силу равенств (30) и (31), будем иметь
D2 2
(35)
_ E 1
Яз ’ Л2
i-h+-d- (i+н)
п
+а'‘
Е 1
~ Яз ‘ Я2
1-н+-d- (1+н)
3
„2 । 2
д4+г
Я2 \
-f-1—
(36)
Мз(г) +СГг4
(37)
•
Г
эти формулы дают значения напряжений в снятых слоях при расточке.
Д. Остановимся на способах измерения радиального перемещения
и. Обычно проводятся измерения диаметра цилиндрической поверх-
ности или точной кольцевой риски с помощью различных измеритель-
ных устройств (оптических или механических). Погрешность измере-
ния диаметра AZ) может вызвать погрешность в измерении остаточ-
ных напряжений
Л 77 &D
До Е —у— .
Так, например, при измеряемом диаметре D = 100 мм и погреш-
ности измерения ДО = 0,01 мм для стального диска (Е =
= 2 • 104 кГ/мм2)
Дет = 2 • 104 = 2 кГ/мм2.
В связи с большим влиянием погрешностей измерения должны
проводиться весьма точно (в частности, при соблюдении постоянного
температурного режима).
Более точные результаты получаются при измерении деформации
проволочными тензометрами. Этот метод должен быть освоен во
всех лабораториях, занимающихся остаточными напряжениями.
Наклеивая датчик в окружном направлении, получают значения
ее = . (38)
140
Легко видеть, что в приведенные расчетные зависимости для
определения остаточных напряжений входит величина деформации
в окружном направлении.
Например, формулы (20) и (22) можно записать так:
2 2
ат (г) = Е~г2Г е02 (г);
Я2-г2 <?е9„ Л2 + г2
ао (г) = Е ---------(г) - Е г2г2 892 (г),
где 80 2 (г) = -Цр^- — относительная деформация (в окружном
направлении) на радиусе /?2. Подобным образом можно записать
и все другие формулы.
Отметим, что проволочные тензометры наклеиваются в различ-»
ных точках окружности, и результаты замеров осредняются.
Е. Вычисления остаточных напряжений в дисках без централь-
ного отверстия можно вести по ранее установленным формулам,
положив в них = 0. Исключение составляет случай обточки
при замере перемещений на внутреннем контуре [формулы (25) и
(26)]. В этом случае следует воспользоваться равенствами (28) и
(29) при = 0 и измерение проводить на выбранном радиусе 7?3.
Ж. Как уже отмечалось, в рассматриваемом методе определяются
остаточные напряжения в снятых слоях. Это не дает возможности
построить полную эпюру напряжений, так как при расточке или
обточке должен остаться некоторый участок (кольцо).
Обычно напряжения на таких участках находят с помощью
экстраполяции. Для более точного построения полной эпюры следует
заранее наметить кольцо, которое останется после расточки или
обточки. По осевой линии кольца следует провести кольцевую риску
и измерить измерение диаметра в результате расточки или обточки.
После определения окружного остаточного напряжения в кольце1
(которое можно рассматривать, как вырезанное из диска) имеется
возможность более точно построить полную эпюру напряжений.
20. МЕТОД КОЛЕЦ
А. Идея этого метода принадлежит Н. В. Калакуцкому ([51],
[31]) — одному из первых исследователей проблемы остаточных
напряжений. Для определения остаточных напряжений из диска
вырезаются кольца и измеряется изменение диаметра кольца в ре-
зультате вырезки (фиг. 127). Предварительно для удобства измерения
торцы диска шлифуются, на середине толщины кольца наносится
кольцевая риска. Далее по трем диаметрам, расположенным под
углом 120° друг к другу, наносятся радиальные риски. Образовав-
шиеся перекрестия используются для измерений на оптических
измерительных приборах. Более точные измерения могут бытр
1 Определение остаточных напряжений в кольце излагается в следующем
параграфе.
141
осуществлены с помощью проволочных тензометров, которые на-
клеиваются до вырезки колец.
Пусть средний радиус кольца равен г и радиальная толщина h.
Напряжения в диске па радиусе г равны о> (г) и оо (г). Вырезка
кольца эквивалентна приложению обратных остаточных напряжений
на радиусах Rr и Я2-
Если h мало (по сравнению с радиусом), то
= - pr(r) + -L/i_gr.(r)j ;
г . л (39)
<т, 1 = - [or (г) - — h-^(г)] .
Радиусы кольца
(40)
Внося равенства (39) и (40) в формулу (16) и пренебрегая членами,
/г2 /O/i\
содержащими , получим, учитывая условие равновесия (21).
ее (г) = ~ [а9 (г) — (г)]. (41)
Это равенство вытекает также из
следующих простых соображений.
Остаточные напряжения в кольце
после вырезки показаны на фиг. 128.
Фиг. 128. Остаточные напряжения в кольце.
Равнодействующая окружных остаточных напряжений в кольце
в силу условий симметрии равна нулю.
Радиальные напряжения в кольце отсутствуют на радиусах
и Т?2, и ими можно пренебречь на всех других радиусах. Таким
образом, приближенно можно считать, что вырезка кольца соответ-
ствует полному освобождению элемента, расположенному на оси
кольца. Условие (41) и выражает деформацию элемента (в окружном
направлении) при полном его освобождении. Величина ее (г) может
142
быть измерена проволочными тензометрами или вычислена по за-
меренному значению радиального перемещения оси кольца и (г).
Так как возможные погрешности связаны с отношением , то
с уменьшением радиуса кольца следует уменьшать и его тол шипу.
Отметим, что если используются проволочные тензометры и
высота кольца h достаточна для размещения их в радиальном напра-
влении, то целесообразно измерить изменение радиальной деформации:
е, (г) = — -Ь [<jr (г) — нФ (г)];
в этом случае метод колец превращается в метод полного освобожде-
ния (см. метод кубиков, § 22).
Если же проводится измерение диаметров или кольца имеют
небольшую высоту, то с помощью излагаемого ниже метода можно
определить остаточные напряжения аналитическим путем, зная
только величины ее (г).
Второе уравнение между неизвестными величинами остаточных
напряжений в диске вытекает из условия равновесия
= JL [ffe(r)-ar (г)]. (42)
Б. На основании уравнений (41) и (42) можно определить оста-
точные напряжения в диске*.
Обычно для этого проводят расчет по участкам, начиная с наруж-
ного или внутреннего кольца (см. например, [131]). С математической
точки зрения этот метод представляет собой метод конечных раз-
ностей.
Однако можно сразу установить расчетные формулы для остаточ-
ных напряжений в диске, если величина Ее (г) известна. Из уравне-
ний (41) и (42) получается следующее дифференциальное уравнение:
f ч . 1 — а . \ ^8е(г) //ох
(г) + —(5г (г) =-----— . (43)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее краевому условию
сгг (Z?2) = О, (44)
будет таким:
<Уг(г) = J —-—dri, (45)
г 1
где г± — переменная интегрирования** (г т\ Ь).
В справедливости равенства (45) можно убедиться простой под-,
стаиовкой в исходное уравнение (43).
* Считается, что функция (г) с помощью вырезки колец определена в до-
статочно большом числе точек.
** Следует избегать обозначения переменной интегрирования и перемен-
ного предела интеграла одной буквой, как это часто применяется в технической
литературе.
143'
Окружное остаточное напряжение находится из соотношения
(41):
п0 (г) = |ХСГг (г) — Е е0 (г); (46)
это равенство вытекает также из уравнения (21) или (42).
В. Для диска с отверстием радиуса Rr должно выполняться
условие
о, (Я,) = 0. (47)
Тогда из равенства (46) вытекает
о9(Я1) = -7?е9(Я1);
(48)
Фиг. 129. Определение остаточных
напряжений в наружных слоях
с помощью разрезки и снятия
слоев.
подобное соотношение, учитывая
зависимость (44), справедливо и для
наружного радиуса
пб(Д2) = -£89(7?2). (49)
При вычислениях по формуле (45)
условие (47) может служить в каче-
стве контрольного.
Для диска без отверстия остаточ-
ные напряжения в центре должны
быть одинаковыми
аг(0) = ао(0), (50)
при предположении об осевой сим-
метрии остаточных напряжений.
С достаточной точностью можно счи-
тать, что равенство (50) остается
справедливым и при малом радиусе
[приблизительно 7?х (0,1 ~ 0,2) /?2]:
^(7?,) = сто (/?,). (51)
Для сплошного диска из условия (46) вытекает
Ее0 (Л )
аг(Д1) = а9(Я1) = -_^1. (52)
На наружном радиусе остается в силе зависимость (49). Расчет
по формуле (45) для сплошного диска следует доводить только до
некоторого малого радиуса [7?х (0,1 4-0,2) /?21 и пользоваться
условием (52) как контрольным1.
Для радиусов 0 < г < Rr следует считать
(Jr (г) = Ое (г) = const =--—. (53)
1 [X
1 При малых радиусах расчет по формуле (45) требует раскрытия неопре-
деленностей из-за наличия г в знаменателе.
144
Г. Иногда требуется более точно определить остаточные напряже-
ния в поверхностных слоях.
Для определенности рассмотрим наружные слои диска (г ^Л2).
Для исследования из диска вырезается кольцо, примыкающее к на-
ружной поверхности. В результате вырезки в кольце снимается
окружное напряжение (на осевой линии кольца)
По (#2*) = —
(54)
где R2* — радиус осевой линии кольца.
Далее производится разрезка кольца (фиг. 129) и снятие цилин-
дрических слоев с замером изменения диаметра кольца (определение
остаточных напряжений в кольце было рассмотрено в главе 4).
Для вычисления полных остаточных напряжений следует к оста-
точным напряжениям в кольце добавить напряжения, определяемые
по формуле (54).
Д. Разрезка кольца и замер изменения диаметра после разрезки
позволяют, как это будет показано в следующем разделе, определять
величину
что дает другой независимый способ определения напряжений
в диске. Таким образом, вырезка колец из диска позволяет опреде-
лить остаточные напряжения двумя независимыми способами и при
необходимости, с помощью стравливания слоев, определить остаточ-
ные напряжения в области их резкого изменения вдоль радиуса.
21. МЕТОД РАЗРЕЗКИ КОЛЕЦ
А. Этот метод предложен Н. Н. Давиденковым [34]. Он заклю-
чается в вырезке кольца, разрезке вдоль образующей и в замере
изменения диаметра в
результате разрезки.
После вырезки коль-
ца, как уже отмечалось,
в нем исчезают средние
Фиг. 130. Распределение Фиг. 131. Определение среднего значения по
окружных остаточных на- методу разрезки колец.
пряжений.
10 Заказ 288- 145
окружные напряжения 005 = —аоСр(фиг. 130). Если Ое—истинные
остаточные напряжения, то
СТО = Оо ср + CF0 , (55).
где Оо — остаточные напряжения в кольце после его вырезки.
Последующая разрезка кольца по образующей (фиг. 131) эквива-
лентна приложению к поверхности разреза обратных остаточных
напряжений ое. Эти напряжения создают изгибающий момент
ь2
м = Н J Оо (г) (г - r0) drlf (56)
bl
причем направление момента показано на фиг. 131;
Здесь Н — толщина диска; г0 — средний радиус кольца.
Увеличение диаметра кольца в результате действия момента
(см. главу 4)
где EJ — жесткость сечения кольца на изгиб; dQ = 2г0 — диаметр
осевой окружности кольца. Основное допущение в методе разрезки
колец заключается в том, что напряжения ое (г) заменяются ли-
нейно-распределенными по толщине кольца
<j0‘(r)^(r-ro); (58)
коэффициент к выбирается таким образом, чтобы величина изгибаю-
щего момента осталась без изменения.
Внося значение ое (г) в равенство (56), получим
М = кН f (г - г0)2 dr = kJ. (59)
bi
где J — момент инерции сечения кольца.
Теперь из соотношения (57) следует
Л=^-. (60)
о
Дифференцируя приближенное равенство (58), получим
(61)
(62)
На основании зависимости (60)
о'Ое (г) ~ .
dr d2 ’
О
это соотношение носит приближенный характер и определяет
некоторое среднее значение производной.
Точность равенства (62) повышается, если действительное распре-
деление напряжений мало отличается от линейного.
146
Как всякая линейная аппроксимация, она становится более
точной при уменьшении участка интерполяции, т. е. при уменьшении
толщины кольца. Из условия (55) следует
7 *
иСГл иСГп
(63)
и, следовательно,
dr a2 2ra V ’
О о
В рассматриваемом методе это приближенное равенство (64)
считается точным. Так как правая часть соотношения (64) известна,
то
• С?О"д
-^Г-(г) = /(г), (65)
где / (г) = —2----известная функция (для значении радиусов,
го
соответствующих средним радиусам вырезанных колец).
Б. Равенство (65) позволяет определить остаточные напряжения
в диске. Интегрируя обе части в пределах от Rr до г (Rr — радиус
внутреннего контура), найдем
СГ0 (г) = J / (гi) drt + сто (Rj), (66)
R1
где Fj (/?i < Fi < г) — переменная интегрирования.
Это равенство представим так:
ао(/) = /’(г) + а0 (7?^, (67)
где
(68)
Bl
Окружное остаточное напряжение на внутреннем контуре Ge (Ri)
будет определено в дальнейшем. Теперь следует учесть условие
равновесия элемента дпска, которому должны удовлетворять оста-
точные напряжения. Запишем это условие [равенство (8)1 в форме
-А-[гаг(г)] = ай(г). (69)
Интегрируя обе части равенства в пределах от Rr до г, находим
г
От (г) = -у-{ + (Rx)} , (70)
Bl
где ог (2?i) — радиальное напряжение на внутреннем контуре г — R^
Внося значение Од (г) из соотношения (67), получим
г
(г) = ~ { J F (rx) drt + а9 (RJ (г - RJ + В, <rr (Rx)} . (71)
Bl
10*
147
Для диска с центральным отверстием
(Ri) — О*
Используя равенство нулю радиальных напряжений на внешнем
контуре, найдем
J F (г,) dr,
«(»)= <72>
Таким образом, получаем следующие расчетные формулы для
диска с центральным отверстием:
Й2
ae(r) = F(r)- f F(rr)dr^ (73)
2 1 Ri
Г Й2 х
аг(г) = -^{ J F(Г1)dr*/• (74)
Bl R1
Для диска без центрального отверстия расчет проводится начиная
с некоторого малого радиуса
7?! (0,1 Н-0,2)Я2
(75)
Принимая на малом радиусе
^(RJ = (RJ,
найдем из условия (71) при г = R2
Вг
Go(7?i) = __L J F(ri)drv
Я1
Расчетные формулы для
равенствам (73) и (74):
сплошного диска вполне аналогичны
Й2
or (г) = 4-{ J F (о) fF (о) dri} •
Ri Ri
(76)
(77)
В. Как уже указывалось, метод разрезки колец был предложен
Н. Н. Давиденковым. В работе [33] Н. Н. Давиденков считает
целесообразным дополнить метод колец Н. В. Калакуцкого после-
дующей разрезкой, что позволяет проконтролировать опору оо (г),
так как с помощью разрезки колец можно определить значения
. Метод разрезки колец, как самостоятельный метод определе-
ния остаточных напряжений в дисках, был предложен Н. Н. Дави-
денковым в 1950 г. [34]. Равенство (60) он получает из других со-
ображений, связывая величину в процессе изгиба кольца с изме-
148
Таблица 7
Определение остаточных напряжении в диске
г г в мм А г в мм 6 (г) в мм / (г) = — 6<г) “ 2г2 + .1 lO X СО F(r) = = J fdr Bi + 1 X го CN fFdr Ri (r-Hi) X x O0 (Bl) r ar (r) (9) + (10) crr(r) в кГ/мм^ (И) : (2) <70 (г) в кГ/мм2 (7) + (10)
1 2 3 к 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 38,5 0 —0,398 -2,69 0 0 0 1 0 0 0 0 10,02
2 45 6,5 —0,454 -2,24 -16,02 -16,02 —52,08 -52,08 65,13 13,05 0,29 -6,0
3 55 10 -0,433 -1,432 —18,36 —34,38 —252,0 -304,08 165,33 —138,75 -2,52 -24,36
4 65 10 -0,325 —0,769 -11,0 —45,38 -398,8 —702,88 265,53 -437,35 —6,73 -35,36
5 75 10 -0,143 -0,255 —5,12 —50,5 -479,4 -1182,28 365,73 -816,55 —10,90 -40,48
6 85 10 0,110 0,1532 —0,51 —51,01 -507,5 -1689,78 465,93 —1223,85 -14,40 -40,99
7 95 10 0,383 0,425 2,89 -48,12 —495,65 -2185,43 566,13 -1619,3 -17,05 -38,1
8 105 10 0,634 0,575 5,0 —43,12 -456,2 -2641,63 666,33 -1975,3 -18,80 -33,1
9 115 10 0,826 0,625 6,0 -37,12 -401,2 -3042,83 766,53 —2276,3 —19,80 —27,1
10 125 10 0,984 0,630 6,27 -30,85 -339,85 -3382,68 866,73 —2515,95 -20,10 -20,83
И 135 10 1,253 0,688 6,59 -24,26 -275,55 -3658,23 966,93 —2691,3 -19,95 -14,24
12 145 10 1,72 0,819 7,53 -16,73 -204,95 —3863,18 1067,13 —2796,05 -19,28 -6,71
13 155 10 2,375 0,989 9,04 —7,69 -122,1 —3985,28 1167,33 —2817,95 —18,18 2,33
14 165 10 3,475 1,276 11,33 3,64 —20,25 -4005,53 1267,53 -2738,0 —16,58 13,66
15 175 10 4,33 1,414 13,45 17,09 103,65 —3901,88 1367,73 -2534,15 -14,48 27,11
16 185 10 4,365 1,275 13,45 30,54 238,15 -3663,73 1467,93 —2195,8 —11,87 40,56
17 195 10 4,0 1,052 11,63 42,17 363,55 —3300,18 1568,13 -1732,05 —8,88 52,19
18 205 10 3,326 0,792 9,22 51,39 467,8 -2832,38 1668,33 —1164,05 -5,54 61,41
19 215 10 2,2 0,476 6,34 57,73 545,6 -2286,78 1768,53 —518,25 -2,41 67,75
20 222,5 7,5 1,192 0,2406 2,69 60,42 443,0 -1843,78 1845,0 1,22 0,005 70,44
непием деформации по высоте сечения. В работе [34] не приводятся
расчетные формулы для остаточных напряжений; величину аг (г)
предлагается определять методом конечных разностей, начиная
с наружного или внутреннего контура. В дальнейших работах
Н Н. Давиденкова [35], [36] приведены расчетные формулы и при-
меры их использования. Однако в этих исследованиях содержится
Фиг. 132. Распределение остаточных напряжений в диске.
произвольное допущение, что изменение деформаций в кольце в
результате разрезки совпадает с изменением окружных деформа-
ций, возникающих в материале при полном освобождении. В дей-
ствительности же связь между исходным состоянием и состоянием
после разрезки возникает только вследствие действия обратных
остаточных напряжений.
Вместо условия (64) в работе [35] используется равенство
_ dar _ Eb
dr dr 2r2
150
Естественно, что расчетные формулы в работах [35], [36] будут
давать правильный результат только при ц = 0. В этом случае
формулы Н. Н. Давиденкова после ряда преобразований могут
быть приведены к более простым формулам (73) — (77).
Приведем пример определения остаточных напряжений в диске
по методу разрезки колец. Исходные данные для расчета взяты
из статьи Н. Н. Давиденкова [36]. Диск имеет центральное отверстие
радиуса Rx = 37 мм. наружный радиус диска = 225 мм.
Расчет приведен в табл. 7. В основе расчета лежат формулы
(73) и (74).
В столбце 2 занесены средние радиусы колец. При расчете можна
пренебречь отличием внутреннего радиуса Rx — 37 мм от среднего
радиуса первого кольца гг = 38,5 мм. полагая Rr = 38,5 мм.
Модуль упругости принят Е — 2 • 106 иПсм2. Интегрирование
проводится по правилу трапеций. Интеграл в столбце 7 содержит
сумму значений в столбце 6, взятую с нарастающим итогом.
На фиг. 132 даны эпюры остаточных напряжений, а также зна-
чения напряжения oQ, вычисленные в работе Н. Н. Давиденкова (линия
с крестикамик В данном случае расхождение вычислений невелико.
Д. Остановимся на одном обстоятельстве, которое может встре-
титься при исследовании дисков без центрального отверстия (сплош-
ных дисков).
Возможно, что радиус первого кольца не будет достаточно малым
и функция / (г) станет известной с некоторого радиуса Rr >>0,2 R%
[см. условие (75)]. Тогда можно провести расчет, начиная с этого
радиуса R±. положив для центральной части диска 0 г Rv
(г) = ог (г) = oq (77J = Or (Rj);
это, конечно, приближенные соотношения, которые являются точ-
ными только для центра диска.
Более точные результаты можно получить, если расчет по форму-
лам (76) и (77) начать с некоторого малого радиуса по усло-
вию (75).
Неизвестные значения функции / (г) на малых радиусах сле-
дует определить с помощью экстраполяции экспериментальных зна-
чений f (г). При экстраполяции необходимо учесть, что в центре
диска
/(°) = >(0) = 0.
22. МЕТОД КУБИКОВ И СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ
А. В соответствии с этим методом из диска вырезаются кубики.-
На торцах кубиков предварительно наклеиваются проволочные
тензометры и снимается показание тензометров (их сопротивление)
до и после вырезки (фиг. 133).
151
Если тензометр, наклеенный в окружном направлении, обнару-
жил после вырезки кубика деформацию 89, а тензометр радиального
направления 8Г, то остаточные напряжения будут равны
—1 — ц^' (8r "I" (78)
= — л 2 (80 + |Л8г); (79)
1 р
эти равенства определяют средние напряжения, действующие по
вырезанным граням.
В точности они справедливы только для бесконечно малого
элемента. Метод кубиков представляет собой, в сущности, метод
полного освобождения материала от действия остаточных напряже-
ний. Так как обычная база проволочных тензометров составляет
5—10 мм, то трудно применить кубики со стороной меньшей 15 мм.
Это ограничивает использование метода для малых размеров диска.
•Однако во многих случаях метод кубиков представляет собой один
из наиболее эффективных методов.
Б. Проведем сравнение различных методов. Выбор метода опре-
деления остаточных напряжений во многом зависит от задач исследо-
вания, имеющихся средств измерения, размеров диска и других
обстоятельств. Метод растачивания позволяет провести измерения
в большом числе точек по радиусу и построить точные эпюры оста-
точных напряжений. Недостатком метода являются небольшие ве-
личины измеряемых перемещений,
что требует весьма точных опти-
ческих измерений. Рекомендуется
использование проволочных тензо-
метров.
Метод колец обеспечивает боль-
шую точность измерения по срав-
нению с методом растачивания, но
число точек по радиусу ограни-
чено из-за радиальной толщины
колец и канавок.
Метод позволяет построить пол-
ную эпюру остаточных напряже-
Фиг. 133. Вырезка кубиков:
а—вырезка кубиков; б—одна из воз-
можных схем расположения проволочных
тензометров.
больше, чем в двух предыдущих
ний в диске. При измерении де-
формаций целесообразно исполь-
зование проволочных тензометров.
В методе разрезки колец изме-
ряемые перемещения обычно
методах. С помощью этого метода,
дополнив его стравливанием слоев, можно определить остаточные
напряжения с большим градиентом изменения:
До-
Дг
304-80 кГ/мм\
152
К числу недостатков метода следует отнести ограниченное число
точек измерения по радиусу и невозможность использования тензо-
метров вследствие малых деформаций (а не перемещений) в кольце.
Метод полного освобождения позволяет определить остаточные
напряжения в данной точке диска и не требует проведения специаль-
ных расчетов. Он может быть применен и при отсутствии осевой
симметрии остаточных напряжений. Метод непригоден для опреде-
ления остаточных напряжений при значительном изменении напря-
жений вдоль радиуса. Число измеряемых точек по радиусу ограни-
чено, особенно для дисков малых размеров, что снижает точность.
Условие контроля правильности полученных значений остаточ-
ных напряжений состоит в проверке выполнения условий равно-
весия.
Из условия равновесия половины диска следует
н2
j oedr = 0. (80)
Hl
В диске постоянной толщины суммарная площадь эпюры окруж-
ных остаточных напряжений обращается в нуль.
Далее полезно отметить на основании уравнения (7), что на
/d (Ур л\
радиусе, где оу имеет максимальное значение = 01 , величина
ог = оо. Следующая возможная проверка имеет более сложный вид.
Из условия равновесия [см. уравнение (70)] радиальные и окруж-
ные остаточные напряжения связаны следующим соотношением:
г
(r) = { j (г1) drl + R1 °Г («1)j • (81)
R1
Обычно достаточно использовать лишь условие (80). Следует
иметь в виду, что в большинстве методов (исключение составляет
метод полного освобождения) при выводе расчетных зависимостей
использовалось условие равновесия. Поэтому условие контроля
проверяет только правильность математического расчета и не дает
возможность судить о погрешностях, допущенных при измерении.
23. ДИСКИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
Рассмотрим определение остаточных напряжений в дисках пере-
менной толщины (см. фиг. 121).
Условие равновесия элемента диска относительно остаточных
усилий (на единицу длины) имеет следующий вид (фиг. 134):
^ + 4-(^-^)=0, (82>
где Nr — вгН — радиальное усилие;
= oqН — окружное усилие.
153
Радиальное усилие изменяется непрерывно по радиусу диска,
тогда как (средние) радиальные напряжения могут претерпевать
резкие изменения в местах резкого изменения толщины диска.
Соотношения упругости для дисков переменной толщины будут
такими: |
= ; (83)
= (84)
в этих уравнениях ег и 89 представляют собой деформации при дей-
ствии усилий (внешних) Nr и Ад.
Изложенные ранее методы определения остаточных напряжений
могут быть применены и для дисков переменной толщины. Так как
сущность методов уже подробно разобрана, остановимся лишь на
некоторых отличиях расчетных зависимостей.
А. Для метода растачивания расчетные уравнения существенно
усложняются, так как для диска переменной толщины отсутствует
решение в замкнутой форме. При получении расчетных зависимостей
приходится использовать какой-либо из методов расчета диска [10].
Фиг. 134. Условия равнове-
сия элемента диска перемен-
ной толщины.
Ввиду сложности расчетных зависимостей
в настоящей работе они не приводятся.
Б. В методе колец основное уравнение
для деформаций [уравнение (41)1 будет
таким:
мп = -^ [ад-падь (85)
/ \ и (г)
где 8о (г) = ---замеренная окружная
деформация после вырезки кольца. Так
как система уравнений (85) и (82) почти
полностью соответствует уравнениям (41)
и (42), то расчетные зависимости можно
получить из соотношений (45) и (46).
Будем иметь
Nr(r) =
1
г1-н
в2
г
№ (Г!) е0 (г,)
(86)
Ne (г) = И Nr (г) - ЕН (г) е0 (г). (87)
Остаются в силе краевые условия:
на внешнем радиусе Nr(R2)=0; (88)
на внутреннем радиусе Nr(R1)=0- (89)
Для сплошного диска на некотором малом радиусе (0,1 4-
0,2) Т?2
Nr(R1) = N9(r1).
(90)
154
В. Основные уравнения в методе разрезки колец остаются почти
без изменений. Предполагается, что окружное усилие TV's (г)
распределяется линейно по толщине кольца:
М(г)~Л(г-г0). (91)
Величина к подбирается из условия равенства изгибающего мо-
мента ь2 ь2
М = J щ (г) Н (г) (г — r0) dr. = к j (г — r0)2 dr.
bl bl
Принимая приближенно
У Я (г) (r-r0)*rfr
н (Го) - ------------- > (92)
У (r — ro^dr
Ъ1
получим вместо соотношения (64) следующее:
2ГЯ(г0)5 .
dr х ' ' '
о
Если обозначить
/(г) = —^о)6 , (94)
то расчетные уравнения приобретают следующий вид (диск с отвер-
стием):
М (г) = F (г) - J F (rx) dr,- (95)
R1
Nr (г) = A { J F (Г1) dr. ~ J F (rj dr.\ . (96)
ri Ri
Отличие от формул (73) и (74) состоит в том, что функция F (г)
имеет другое значение, так как содержит величину И (г).
Подобные равенства справедливы для диска без центрального
отверстия.
Г. Расчетные уравнения в методе кубиков [формулы (78) и (79)J
остаются без изменения для дисков переменной толщины.
ГЛАВА 8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ПОЛЫХ
И СПЛОШНЫХ ^ЦИЛИНДРАХ
Во многих случаях при определении остаточных напряжений
детали машин (или их отдельные части) могут рассматриваться
как полые или сплошные цилиндры (валы, роторы, прокатные валки
И т. п.). Основная особенность цилиндрических деталей состоит
Фиг. 135. Элемент цилиндра:
од — окружные напряжения; ог —
радиальные напряжения; crz — осе-
вые напряжения.
в том, что, кроме окружных и радиаль-
ных остаточных напряжений, в них
могут существовать осевые остаточные
напряжения (фиг. 135). Окружные и
радиальные напряжения в цилиндре
Фиг. 136. Напряжения и деформации в ци-
линдре.
(фиг. 136) под действием постоянных нагрузок па цилиндрических
поверхностях (напряжений or t и ог 2) определяются такими же соот-
ношениями, как и для диска.
При действии осевой силы N возникают еще осевые напряжения
— N •
л (Я2-Я2)’
(1)
это равенство является точным, когда усилие N прикладывается
в виде равномерно распределенных по торцам напряжений. В общем
156
случае, когда N представляет собой равнодействующую неравно-
мерно распределенных напряжений, равенство (1) оказывается спра-
ведливым на некотором удалении от торцов (в условиях плоской
деформации).
22. МЕТОД ЗАКСА
А.*Для определения остаточных напряжений из детали выре-
зается цилиндрический образец длиной L (фиг. 137). В результате
вырезки осевые напряжения па торцах цилиндра обращаются в нуль.
но на некотором расстоянии 1к они
сохраняют прежнее значение. Это
соответствует известному принципу
Сен-Венана. Расстояния 1к зависят
от характера распределения осевых
напряжений. При определении оста-
Фиг. 138. Касательные напряже-
ния на концевых участках.
ных напряжений в данном цилиндрическом
образце.
точных напряжений (эпюра осевых напряжений самоуравповешена)
в большинстве случаев можно считать
1к R%.
В пределах концевых участков на цилиндрических поверхностях
действуют касательные напряжения, параллельные оси цилиндра.
Если рассмотреть часть цилиндра с наружных радиусом г
(фиг. 138), то из условия равновесия вытекает, что равнодействую-
щая касательных напряжений равна
az rxtZrlt
(2)
В1
Б. В соответствии с методом Закса проводится последовательная
расточка цилиндра с измерением окружной и осевой деформации
на внешнем радиусе.
157
Для этого делаются замеры изменения наружного диаметра
d2 = 27? 2 и длины I с помощью оптических приборов. Более эффектив-
ным является использование проволочных тензометров. Пусть
в данный момент проведена расточка до радиуса г (фиг. 139). Обна-
жение поверхности среза эквивалентно приложению к этой поверх-
ности обратных остаточных напряжений. В результате этого в цилин-
дре возникнут дополнительные напряжения и деформации. Допол-
нительное окружное напряжение в наружном слое при действии
напряжений па внутренней поверхности радиуса г могут быть
найдены по формуле (14)
в гл. 7, если положить в ней
О>2 = 1 —Оу (г):
?г2
aoa(Z?2) = <тг (г)—j--
R —г2
2
(3)
Дополнительное ради-
альное напряжение, естест-
венно,
Or д (Т?2) 0- (4)
Фиг. 139. Силовые факторы при расточке.
Дополнительное осевое
напряжение
$z д (Т?2) —
л (Я® - г2)
где (/?х < т\ «< г) — переменная интегрирования.
Дополнительные деформации (т. е. деформации, возникшие в ре-
зультате расточки) определяются следующими равенствами:
S0 2 (О = 4" {°0 6 (Д2) — И а (Я2) + Or д (Я2)]);
82 2 (0 = 4" д (#2) — И [ffoe (Я2) + Or д (Я2)]} .
(6)
В этих равенствах ео2 (г) и (г) — деформации в окружном
и осевом направлениях на внешнем радиусе, возникшие в резуль-
тате расточки до цилиндрической поверхности радиуса г. Учитывая
равенство (4), получим из соотношений (6)
006 (я2) = т-^772 [«о 2 (^) ч-Р-е2 2 (г)1; (7)
Oz д (Я2) = [ег 2 (г) + пев 2 (г)]. (8)
1 н
158
Внося сюда соотношения (3) и (5), находим
Е Л2 — г2
(r) = 1ТТ7-2 • — [ее 2 (г) 4- fie2 2 (г)];
Г Е R* —г2
J (n) ----[е2 2 (г) 4- цев 2 (г)].
Ri
Дифференцируя последнее равенство по г, получим
(9)
(Ю)
7?2 —г2 /rfe7,
-Л----- —р-(г)4-Н
2г \ dr ' 7 ’ г
rfe92
dr
— е2 2 (г) — цее 2 (г)
(Н)
Окружное остаточное напряжение может быть определено из
условия равновесия
= -^гГ<Гг(г)1,
что дает
„ . ч Е Г / dsn 2 de22 \
09 (г) — -----5 --------— ----р— (Г) 4“ Ц ---V— (Г) —
' ' 1 — р.2 2г \ dr ' ' 1 г dr ' ')
1?-\-г*
— ----(89 2 (И 4- И8г 2 W) •
(12)
Формулы (9), (11) и (12) (с несущественными отличиями) были
впервые установлены Г. Заксом [157]. Они справедливы и для
полых, и для сплошных цилиндров.
В. Рассмотрим частный случай, когда длина цилиндра мала
и дополнительные осевые напряжения отсутствуют (случай диска).
Из условия (8) при oz (/?2) = 0 находим
Ez2 (г) = — (180 2 (г).
Внося это значение в равенства (9), (11) и (12), получим
09 (г) = Е
E? — г*
-V“e02^;
2r
^2 , х < +
dr ' > 2r2
ее 2 (г) ;
(13)
<Mr) = i^
о2 (rj = 0;
эти формулы совпадают с соответствующими равенствами, выведен-
ными для дисков в разделе 19.
Г. Как уже отмечалось, при рассмотрении аналогичного метода
для дисков, остаточные напряжения по формулам (9), (И) и (12)
определяются в сточенных слоях. Если требуется найти (рассматри-
ваемым методом) остаточные напряжения во внешних областях, то
необходимо вести обточку с наружного диаметра и измерение дефор-
маций на внутреннем.
159
В этом случае на внутренней поверхности наклеиваются прово-
лочные тензометры. Для наклейки тензометров иногда используется
специальное приспособление, содержащее резиновый шланг, который
после наполнения воздухом прижимает тензометр к поверхности.
Отметим, что обычные линейные измерения на внутренней поверх-
ности затруднены и не обеспечивают необходимой точности.
Для определения остаточных напряжений необходимо составить
расчетные формулы при измерении деформаций на внутреннем ра-
диусе (фиг. 140).
Дополнительные напряжения для точек внутренней поверхности
будут такими:
?г2
сг0 a (7?i) = — Or (г) ——-а- ;
Г2 — /?1
Or д (Вг) = 0; (14)
в2
ъ д (#i) = ttzv I
1 г
Используя равенства
ооэ (7?i) = [ео i (г) + i (г)];
1
Gz a (R1) = [ег 1 (г) + р.ео 1 (г)],
1 р,
(15)
получим следующие расчетные формулы при наружной обточке
цилиндра и измерении деформации на внутреннем радиусе:
Е г2 — В2
р ----2г2~~ (80 1 + № 1
r2-^ 7
2r \ dr
(Г) = - ;i —
E
1 -p2
(г) = —
Из уравнения
<* (г) = —
dr
+ е2! (г) + цео t (г) .
равновесия находим
Е Г г2 - R2 ( d&o . <
—о—— "" ,i (г) + Н -
2r \ dr х
.2
— (89 1 (Г) + 1 (И) •
2г2
(16)
(17)
Лгг 1
dr
(18)
1 —р
Формулы (16), (17) и (18) служат для расчета остаточных напря-
жений в наружных слоях полого цилиндра.
Для сплошного цилиндра (В1 0) измерения на внутреннем
радиусе невозможныг, и предварительно проводится расточка. Опре-
деление остаточных напряжений в этом случае рассматривается ниже.
1 Измерение деформации при = 0 возможно только с помощью прово-
лочного тензометра на торце цилиндра, что вносит погрешности вследствие крае-
вого эффекта.
160
Д. В том случае, когда наибольший интерес представляют оста-
точные напряжения во внешних и внутренних слоях, расточку
и обточку следует проводить па одном п том же цилиндре (образце).
Этот способ, предложенный Л. А. Гликманом и А. И. Бабаевым
[27], позволяет также более точно построить полную эпюру остаточ-
ных напряжений по сечению.
Сначала проводится расточка (фиг. 141) до радиуса /?3, и остаточ-
ные напряжения вычисляются по формулам (9), (11) и (12). В резуль-
тате расточки в оставшейся части цилиндра возникают дополни-
тельные напряжения. Они определяются, как напряжения, созда-
Фиг. 140. Силовые факторы при об-
точке.
Фиг. 141. Определение остаточных на-
пряжений с помощью расточки и об-
точки.
ваемые приложением на поверхности радиуса R3 обратных остаточ-
ных напряжений —в13 и обратного осевого усилия N3.
В соответствии с равенствами (9) и (10)
г B—R
СГг3 = Or (7?3) = м2----29Р2 3' [89 2 (#3) + 2 СО ’
3
ат г8 е —
N3 = 2л сгг (rj = 2 л ;—~г • 2 3 X
I 1 р л
X [ег 2 (й3) + [Х86 2 (^з)]«
(19)
Дополнительные напряжения в оставшейся части цилиндра
будут равны
2 3 4
л* / R*
<Jf)d = Сгз 2—' 7,2~ ( 1 + ~рг
. {20)
<тг а —
11 Заказ 288.
161
Если учесть соотношения (19), то получим
у? R2 — г2
Огд — — |-_~2 *-----^2г2--- ^8б 2 ^8z 2 ^з)П (21)
/7 7?2-]-г2
• --^- |> 2 (Я3) + № 2 (7?з)]; . (22)
°zd fTZ"jj2 t8z 2 (#3) + Не0 2 (ВД (23)
На втором этапе цилиндр обтачивается (фиг. 141). Измерение
деформаций проводится на внутренней поверхности радиуса В3
(например, вновь наклеенными тензометрами). Остаточные напря-
жения при наружной обточке вычисляются по формулам (16), (17)
и (18), в которых величина /?1 заменена на 7?3.
Вычисленные напряжения представляют собой суммы истинных
и дополнительных напряжений.
В соответствии с этим получим окончательные формулы для
остаточных (истинных) напряжений в области В3 г 7?2
(')" - гДг°
д2
4 ------------- ।
' 1 — |х2 2г2 1
Е I г2 -
1 — (х2 ( 2г
г2 + Дз
2г2
г2 — R2
----2г2~^~ Iе» 3 (г) 4- Не2 3 (г)1
— г2
[80 2 (7?3) + и8? 2 (^3)1‘>
d&z3
dr 1
j5±
2г2
£еаз_
dr
Ог (Г) = -
[е03(г) 4- ре2з (г)]!- jrfp
X [е0 2 (7?3) 4- р.е2 2 (7?3)];
rfS23
dr
Е (г2 — Я2
__Ь J________3
1 — р2 I 2г
d вл о
(г) + +
8z 3 (г) + Не9 3 (г) — 2 (#з) + Не0 2 №)].
) 1 г
В этих равенствах, как и раньше, eq2 (7?3) и ez2 (7?3) — окруж-
ные и осевые деформации, замеренные на внешнем радиусе В2
при радиусе (наибольшем) расточки Ь3; ео 3 (г) и 823 (г) — окруж-
ные и осевые деформации, замеренные па внутреннем радиусе В3
при обточке до радиуса г (отсчет этих деформаций начинается с мо-
мента начала обточки).
В некоторых случаях возникает необходимость определять оста-
точные напряжения в топких поверхностных слоях.
Тогда можно провести расточку по методу Закса до радиуса В3,
близкого к наружному радиусу В2, а дальнейшее исследование
тонкостенной трубы (с толщиной стенки h — В2 — В3) выполнить
по методам исследования тонкостенных труб (см. гл. 6).
162
Пусть остаточные напряжения, определенные в тонкостенной
трубе, равны а®, а* и a*z (радиальное остаточное напряжение
в трубе о* ^0).
Они будут равны
О»о — (J8 -j- О»9 0‘, Зг — О»г -|- &тд\ ®z — &Z + O'z 0,
где оо, Qг и vz — истинные остаточные напряжения в цилиндре;
о'е о °г дч Qz д — дополнительные напряжения, вычисленные по
формулам (21)—(23).
Например, для поверхностного слоя трубы (г = /?2)
<тга = 0; «теа [е02(^3) + ^2(^з)К
Э = pzTjp [е2 2 (7?з) + Не0 2 №)Г>
в этих формулах, как и раньше, 892 С^з) и М С^з) — деформации
на внешнем радиусе при расточке трубы до радиуса /?3.
Интересно отметить, что для определения дополнительных напря-
жений не требуется проводить постепенную расточку цилиндра,
достаточно расточить его сразу до радиуса 7?3 и измерить (тензо-
метром) возникшую деформацию внешней поверхности.
Е. Расчетные зависимости в методе Закса [формулы (9), (12),
(11)] для удобства расчета можно записать в более кратком виде:
где
Mr) =г^/(г)^(г);
1 [Л
(г) = г/ (г) 4г (г) - + f (г)) (г)] ;
°’ (г) = [г/ (г) Х <г)] ’
,, Ч 1 / Л2 .
/('•) = —(—-4 ’
(г) = 85 2 (г) + M-ez 2 (г);
h(r) = 8z2 (г) + це02 (г).
(24)
(25)
Ж. Остановимся еще на одном обстоятельстве, которое может
оказаться существенным при исследовании сплошных цилиндров
сравнительно небольшого радиуса.
В этом случае уже первый радиус расточки гг может составить
значительную часть внешнего радиуса н возникает вопрос о на-
пряжениях при г< (например, на оси цилиндра).
Будем исходить из условия, что при г —> 0 ог (0) = еге(О). Из
приведенных уравнений следует, что при г —> О
/ (г) 0 (г) = г/ (г) 4^- (г) - (1 + / (г)) & (г),
11*
163
или, если пренебречь малыми величинами, то
d$ ( ч 2 а / \
—- (г) — — 'О’ (г);
dr 4 ' г v '
этому уравнению удовлетворяет следующее значение О’ (г):
О (г) = аг2. (26)
Отметим, что при г->0 О (г)—>0.
При г — г± значение О (rj известно, и тогда можно принять
для г <С г±
•о (г) = о (rj) .
Г
1
Пользуясь этой зависимостью, можно приближенно определить
значение радиального и окружного остаточного напряжений в цен-
тральной части цилиндра.
3. Приведем пример расчета остаточных напряжений в сплошном
цилиндре по методу Г. Закса Е Наружный радиус цилиндра /?2 =
= 19,05 мм, материал — сталь 18ХНВА, Е = 2,1 • 106 кТЧсм2,
ц = 0,3.
В табл. 8 указаны радиусы расточек, которые одновременно
приняты в качестве расчетных радиусов. Радиус первой расточки
составляет = 8 мм.
В столбцах 3 и 4 указываются значения деформации на наруж-
ном радиусе цилиндра. Далее вычисляются величины й (г) и % (г).
Для расчета по формулам (24) требуется вычислить производные
и . Для этого можно применить графический способ [построе-
ние графиков функций й (г) и % (г) и определение углов наклона
касательных]. Большую точность дают аналитические методы, при-
меняемые в настоящем расчете. Если имеется значение функции й (г)
для трех соседних радиусов п__ь и ri+1, то приближенно можно
положить
d® ч 1 / й(г1+1)-й(г.) \
dr \ + >4+1“ ri )
или
dr V” 2 Ar. ‘ )
Значения и приведены в столбцах 8 и 10. Эти величины
являются приближенными значениями производных, но для более
точных расчетов необходимо брать их полусуммы, что и делается для
всех радиусов, кроме последнего. Для первого радиуса принимается
Дг = г и учитывается, что при г = 0 й (0) — 0.
1 Экспериментальные данные взяты из работы Г. П. Мещаниновой.
164
Расчет остаточных напряжений в цилиндре по методу Закса
Таблица 8
г в мм Дг в мм £92 (Г)Х X 105 eZ2(r) X х 105 fl(r)-105 X (г)-105 Afl(r)-105 (r)-106 А T AA,(r)-105 4^-(r)-105 Ar 4Д (r)-10S dr
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
8,0 11,1 13,2 14,7 15,7 17,1 17,5 17,7 17,775 * 8,0 3,1 2,1 1,5 1,0 1,4 0,4 0,2 0,075 17,9 39,0 63,2 91,0 118,4 151,6 156,0 156,0 154,0 18 41,3 69 101,7 135,6 205 231 254 254,8 [3]-i-0,3[4] 23,30 51,39 83,90 121,51 159,08 213,10 225,30 232,20 230,44 [4]+0,3[3] 23,57 53 87,96 129 171,12 250,48 277,8 300.8 301,0 23,3 28,09 32,51 37,61 37,57 54,02 12,2 6,9 -1,76 [7]: [2] 2,91 9,06 15,5 25,1 37,57 38,6 30,5 34,5 -23,5 23,37 29,63 34,96 41,04 42,12 79,36 27,32 23 0,2 [9]: [2] 2,92 9,56 16,66 27,4 42,12 56,7 68,3 115,0 2,67 [8]{ +[8]i + 1 2 5,98 12,28 20,3 31,33 38,08 34,55 32,5 5,5
(И -105 аг . / R2 \ Л’-) = у(7/ -1] d fl rf (Г) ~dr~ (r)‘105 -[/ (r) + -4-1J 0 (г)-105 rf (г)^Г(г)‘105 Gr (г) [кГ/см*] ae (r) в к Г / см2 cr2 (r) в кГ/смЯ
12 13 14 i 15 16 17 18 19
[Ю]{ +[10]i + 1 2 6,24 13,11 22,03 34,7 49,41 62,5 91,65 58,83 * Снятие послед 2,33 0,97 0,541 0,338 0,236 0,121 0,092 0,079 0,074 него слоя осуществи [1] •[11] ’[13] 111,5 132,2 145 155,7 141 71,5 52,3 7,7 пялось травлением. - ([13]+D • [5] —77,6 — 101,19 129 2 -162,61 -196,58 —238,77 —246,02 -250,75 [1] - [12] • [13] 116,4 141 157,3 172,8 182,9 129,4 147,6 82,3 1254 1150 1045 949 866 592 478 428 394 782 716 365 -159 -1283 —3862 -4473 —5605 2149 2030 1600 1010 272 —2795 —3005 —5044
Расчет напряжений в центральной части цилиндра
Таблица 9
т в мм # (г)- 105 d ft t ч —Г- (г) X dr X 105 / (г) = 2 ' г2 1) г / (г) X dr - \f (г) + + 1] X ХЦ(П- 105 о'г (г) В КГ / СЛ12 <70 (Г) В КГ/СЛ12
1 2 3 ь 5 6 7 8
0,1 0,00364 0,0728 18144,6 132,093 -66,05 1525 1525
0,5 0,091 0,364 725,305 132 -66,1 1524 1521
2 1,456 1,456 44,863 130,6 —66,8 1508 1473
4 5,824 2,912 10,841 126,2 —68,95 1457 1322
6 13,104 4,368 4,54 119 -72,60 1373 1070
Приближенное вычисление остаточных напряжений дано в
табл. 9. В эту таблицу заносятся значения
Фиг. 142. Распределение остаточных напряжений в цилиндре.
Расчет проводится также по формулам (24). Эпюра остаточных
напряжений дана на фиг. 142. Значения осевых остаточных напря-
жений при r<Z т\ рассмотренным приближенным методом не опре-
деляются.
25. ПЕРВЫЙ МЕТОД ДИСКОВ
А. В соответствии с рассматриваемым методом из цилиндра
вырезаются плоские диски (фиг. 143). Дополнительное исследование
проводится с помощью вырезания полосок в осевом направлении.
Идея этого метода принадлежит Н. Н. Давиденкову [33].
Так как исследование остаточных напряжений в диске значи-
тельно проще, чем в цилиндре, то метод получил практическое
166
распространение, особенно в тех случаях, когда для сравнительных
исследований достаточно было ограничиться определением окруж-
ных и радиальных напряжений. В работе [33] предполагалось, что
окружные и остаточные напряжения в диске остаются такими же,
как и в цилиндре. Однако допущение о тождественности окружных
и радиальных напряжений в диске и цилиндре справедливо только
при отсутствии осевых напряжений, что встречается в практических
случаях весьма редко. В дальнейшем указываются зависимости,
позволяющие учесть влияние осевых напряжений и получить
необходимые расчетные формулы.
Б. Вырезка диска из цилиндра эквивалентна приложению на
торцах обратных осевых напряжений oz (г) (фиг. 143).
Дополнительные напряжения, возникающие в диске, могут быть
определены как температурные напряжения от условной темпера-
турной деформации:
a t = .
В соответствии с равенствами (7)
в гл. 6
= rozdr —цаг(г); (27)
В1
Фиг. 143. Первый метод дисков.
О,- д (г) = — Р Г az dr.
(28)
Далее проводится определение остаточных напряжений в диске
одним из методов, указанных в предыдущей главе.
Если обозначить эти напряжения по и о*, то будем иметь
о9* (г) = о0(г) 4- Оод(г);
о* (г) = ог (г) + оГд(г),
(29)
(30)
где о0 (г) и ог (г) — первоначальные (истинные) остаточные напря-
жения в цилиндре.
Учитывая равенства (27) и (28), найдем
г
ОО (г) = Со (г) — цо2 (г) + -£ j г <jz dr;
Ri
Г
(31)
(32)
Ri
Итак, исследование остаточных напряжений в диске устанавли-
вает только зависимости между остаточными напряжениями в цилип-
167
дре, но не позволяет еще определить эти напряжения. Для их опре-
деления проводится исследование полосок (фиг. 144).
Для этого па хороню обработанных торцах цилиндра1 разме-
чают точки и измеряют высоту цилиндра в этих точках. Далее выре-
зают осевые бруски, содержащие указанные метки, и измеряют их
длину после вырезки. Осевая деформация
где I и — длина бруска до и после вырезки.
Более точно величину ez следует вычислять по формуле
где 1Э < I. Для наружного бруска величину 1Э можно найти, на-
клеив тензометр; такую же величину 1Э можно принять для ос-
тальных брусков.
Так как в изолированном бруске остаточные напряжения счита-
ются отсутствующими, то
8г= — -^г[СТ2— р.(^0 + <Тг)]. (33)
Фиг. 144. Вырезка полоски
в первом методе дисков.
Уравнения (31) — (33) представляют
собой систему трех уравнений, содержа-
щих три неизвестные функции оо, ог и о>2.
Можно указать вполне элементарное
решение этой системы.
После сложения уравнений (31) и
(32) получаем
по (г) + вг (г) — цогг (г) = оо (г) 4- о * (г). (34)
Учитывая зависимость (33), на-
ходим
°2 W = — ГПГ2 О Е — н (°о (0 +
Ч-аЦг))]. (35)
В правой части этого равенства содержатся известные величины.
После определения о2 (г) значения остаточных напряжений в цилин-
дре вычисляются по формулам (31) и (32):
г
Со (г) = Сто (г) + po-z О — тг J r °z dr’ (36)
R1
г
О,- (?) = ст; (г) + .А [ г ст2 (г) dr. (37)
К1
1 Длина цилиндра I должна быть достаточно большой (I > 47?2) с тем, чтобы
не исчезали осевые напряжения о2.
168
Эти равенства справедливы и для сплошного цилиндра, если
положить в них RT — 0. При вычислении напряжений в центре
диска приходится раскрывать неопределенность
г
limi ( г стг (г) dr = ^-цаДО). (38)
г—0 r J z
о
Таким образом, в центре сплошного диска
Со (0) = о,. (0) = оо* (0) + 4 (0) = <Уг (0) + 4 (0). (39)
Преимущество рассматриваемого метода состоит в том, что здесь
не требуется проводить расточки длинных цилиндров.
Кроме того, измерение осевых деформаций может быть прове-
дено только в области, где определение остаточных напряжений
представляет особый интерес (например, у наружной поверхности
цилиндра).
Отметим, что для измерения осевых деформаций могут быть
использованы проволочные тензометры, что особенно просто для
наружной поверхности цилиндра.
26. ВТОРОЙ МЕТОД ДИСКОВ
Недостатком метода Закса и первого метода дисков является
необходимость исследования цилиндров большой длины I (4 Ч-
Ч- 8) /?2. Этот недостаток можно избежать с помощью следующего
метода [14]. На первом этапе
исследования по рассматривае-
мому методу проводится симме-
тричная вырезка тонкого диска
(фиг. 145), причем в процессе
вырезки измеряется окружная
деформация па внешнем ра-
диусе. Измерение может быть
осуществлено проволочными
тензометрами, наклеенными в
окружном направлении на внеш-
ней (цилиндрической) поверх-
ности диска.
Возможно также измерение
Фиг. 145. Второй метод вырезки диска.
внешнего диаметра диска с помощью прецизионных микрометров
или оптических измерительных приборов, что обычно дает меньшую
точность.
Вырезка диска (фиг. 145) эквивалентна приложению к торцам
обратных осевых остаточных напряжений.
Как уже указывалось ранее (см. гл. 6 и 7), в плоскости диска
169
возникают окружные и радиальные напряжения, соответствующие
условной температурной деформации
Исключение составит область на радиусе г, где имеется зона
краевого эффекта. Влиянием этой области на деформацию возле
наружного радиуса диска будем пренебрегать.
При определении напряжений и деформаций в диске следует
учесть радиальное напряжение ог на контуре радиуса г. В общем
случае можно считать
= (41)
где X (г) — коэффициент податливости.
Величина Х(г) определяется податливостью упругого тела, с кото-
рым связан диск на внутреннем контуре.
Перемещение па внутреннем контуре диска может быть опреде-
лено по следующей формуле (см. [15] стр. 225):
U (г) = - Or (г) ~~ • --Д3— X
R — г
2R2r
+ 0(Я2)-ННг
R — г
2
где
К 2 Й2
0(7?2) = -^2-J г a Idr = J rozdr.
2 г " т
(42)
(43)
Учитывая соотношение (41), найдем
Если пренебречь податливостью цилиндра радиуса г (по сравне-
нию с диском), т. е. положить X (г) = 0, то
2ER2
= ° ' • <45>
' (1 — н)+Я.2(1 + н)
Перемещение на внешнем радиусе диска
«2 = - £ Я2 -22- Г2 2- + 0 (Я2) 2Д2
П R — Г 2 ’
2 R — Г
2
(46)
170
Внося значение ог из уравнения (45), находим зависимость
U2 от oz. В дальнейшем для упрощения рассмотрим случай Л (г) = 0.
Это допущение можно принять в практических расчетах при h Н,
и оно более точно для цилиндров без центрального отверстия Ч В дру-
гих случаях значение Л (г) может быть установлено на основании
решения соответствующих задач теории упругости (действие кольце-
вого давления па цилиндр конечной длины при стеснении деформа-
ции на торцах). В настоящее время имеется решение (с помощью
функций Бесселя) для цилиндра достаточно большой длины (Zi
> /?2)> когда влиянием закрепления торцов можно пренебречь.
Считая выточки узкими (h Н) используем соотношение (45).
Тогда из равенства (46) находим
„ 2^(1+И)
^2 — \^2)--о---------2-----
(47)
Окружная деформация на внешнем радиусе диска при выточке
до радиуса г
6в2 <48)
или
ее2 (г) = 9 (Я2) —- 2Д' (1+^ . (49)
г2(1-ц)-|-Л2(Ц-н)
Последнее равенство удобно представить так:
—-е92(г)/(г) = 0(7?2), (50)
где
/(г) = г2(1_и) + ^(1 + и). (51)
Дифференцируя равенство (50) по г, находим
А [ев2 (Г) / (Г)] = _ 2^(1+!^) г (г)
или
Gz (г) = - • А [602 (г) / (г)]; (52)
' 7 2а (1 + jx) г dr L 4 7 J v /J’ v 7
это равенство позволяет определить осевые остаточные напряжения
в цилиндре, если известна окружная дефорхмация на внешнем радиусе
при различной глубине выточек (симметричных).
Вычисляем для различных г функцию
F (г) = 802 (г) f (г); (53)
1 При наличии центрального отверстия допущение X (г) =0 можно признать
Г — 7?1 .
справедливым при -----> 2.
171
значения производной этой функции находятся с помощью параболи-
ческой интерполяции.
Если для радиусов и Г|+1 вычислены значения ь
Fi и /ч+1, то
(54)
П-i г п+1;
это равенство рекомендуется использовать для середины интервала
(г =- п).
Величина г2ц(т) измеряется с помощью проволочного тензо-
метра, наклеенного в окружном направлении.
На втором этапе исследования определяются остаточные напря-
жения о о (г) и ог (г), существующие в вырезанном диске. Эти
напряжения представляют собой суммы
по (г) = оо (г) + егод (г);
Or (г) = о Г (г) + <Тг5(г),
(55)
(56)
где ое (г) и ог (г) — остаточные напряжения в цилиндре;
сге^ (г) и Огд (г) — дополнительные напряжения в результате
вырез! и диска, вычисляемые по формулам
(27) и (28).
Для определения остаточных напряжений получаем следующие
зависимости:
ао (г) = оо (г) + цст2 W — тг j r (r) dr; (57)
Bi
<Уг (г) = 07 (г) + уг j ГОг (г) dr. (58)
Bl
Напряжения oz (г) были вычислены на первом этапе исследова-
ния, величины оо (г) и ог (г) находятся с помощью известных
методов определения остаточных напряжений в дисках (см. гла-
ву 7).
Если проводить исследование методом расточки, то могут быть
использованы ранее наклеенные тензометры на внешнем радиусе
диска.
172
Недостатком метода является небольшая точность определения
осевых остаточных напряжений.
Если толщина диска Н позволяет наклеить тензометр в осевом
направлении, то можно непосредственно определить осевое остаточ-
ное напряжение на внешнем радиусе.
Деформация тензометра в результате вырезки диска
8Z (^2) ~ "~р" [^20 С^г) - (-^2)] “ р ^2 (-^2)»
Lh IJJ
откуда
0z(T?2) = - (59)
При выводе учтены равенства
Ozд (#2) = — (#2); 09д (#2) = — Н02 (Я2).
ГЛАВА 9
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
В ПОВЕРХНОСТНЫХ СЛОЯХ ДЕТАЛЕЙ
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
В предыдущих главах рассматривались методы, позволяющие
определить остаточные напряжения в деталях простой геометриче-
ской конфигурации (типа стержней, пластинок, цилиндров). Суще-
ственным было предположение, что остаточные напряжения обладают
осевой симметрией или распределяются равномерно по длине. Ниже
рассматриваются механические методы, свободные от указанных
ограничений, по позволяющие определить остаточные напряжения
только в поверхностном слое деталей. В этих методах широко
используются проволочные тензометры [96], [108], [130].
27. МЕТОД ОСВОБОЖДЕНИЯ
А. В основе метода лежит следующая идея (фиг. 146). Наклеим
в точке А два проволочных тензометра в направлениях 1 и 2 и запи-
шем их показания. Затем вырежем пластинку толщиной h (не внося
дополнительных остаточных напряжений) и снова снимем показания
тензометров. Разность показаний тензометров позволяет вычислить
деформации 8Х и 82, возникшие в результате вырезки пластинки.
Так как после вырезки остаточные напряжения в пластинке
отсутствуют1 (происходит освобождение пластинки от действия
остаточных напряжений), то
(81 + Н82); (1)
JL [Л
= —7^7^(82 + 1x81); (2)
JL [Л
в этих равенствах и 02 — нормальные остаточные напряжения,
действовавшие вдоль соответствующих направлений.
Получим теперь равенства (1) и (2), исходя из общего принципа
определения остаточных напряжений.
1 Когда пластинка находится «внутри тела», то напряжения в ней (остаточ-
ные напряжения) создаются за счет давления по ее граням других элементов тела.
174
Остаточные напряжения в пластинке после вырезки
сч — ^19 — 0;
0*2 — G2 + 0*29 = 0;
(3)
где о19 и о29 — дополнительные напряжения, возникающие в резуль-
тате вырезки. Наблюдаемые деформации элемента являются резуль-
татом действия дополнительных напряжений
Фиг. 146. Метод освобождения.
8i — (^19 — р о'гз);
е2 == ~ц~ (^29 .
Фиг. 147. Определение остаточных
напряжений в тонкостенных де-
талях:
1 —трубчатая фреза; 2 — проволочный
тензометр.
Из последних равенств вытекает
Е . ч
Q19 “ 1--(1 * * * * * * 81 “Ь ^е2/’
1 р-
,i2 (82 + Н81)-
Учитывая соотношения (3), приходим к формулам (1) и (2).
Б. При использовании расчетных зависимостей (1) и (2) пред-
полагается, что напряжения Oj и сг2 распределены равномерно по
толщине вырезанной пластинки.
Так как толщину пластинки практически не удается получить
меньше 0,2—0,3 мм, то рассматриваемый метод не дает удовлетвори-
тельных результатов при очень резком изменении напряжений
в поверхностных слоях, что свойственно, например, остаточным
напряжениям механической обработки.
В тонкостенных деталях часто можно ожидать равномерное
распределение остаточных напряжений по толщине.
В этом случае высверливание с помощью трубчатой фрезы шайбы
с наклеенными тензометрами (фиг. 147) позволяет определить оста-
точные напряжения.
175
Если требуется определить остаточные напряжения в более тон-
ком слое, то перед вырезкой шайбы может быть проведена подтор-
цовка (фиг. 148).
В. Формулы (1) и (2) определяют нормальные остаточные напря-
жения в двух взаимно-перпендикулярных направлениях (не обяза-
Фиг. 148. Определение оста-
точных напряжений в тон-
ком поверхностном слое
с помощью предваритель-
ной подторцовки:
тслыю главных). Для определения вели-
чины и направления главных напряжении
требуется замерить деформации (линей-
ные) в трех направлениях. Для этого на-
клеивается розетка проволочных датчиков
(тензометров). На фиг. 149 показаны ро-
зетки датчиков с углами 45° и 60°. Иногда
для сокращения габаритных размеров про-
волочные датчики наклеиваются один по-
верх другого. В этом случае требуется
1 —тензометр.
Приведем расчетные
остаточных напряжений
проводить тарировку всей розетки (а не
отдельных датчиков).
зависимости для определения главных
при использовании розетки датчиков.
Фиг. 149. Розетки датчиков
с углами 45° и 60е.
Если обозначить измеренные тензометрами деформации (возникшие
в результате вырезки) в направлении 7, 2 и 3 (соответственно 81,
82 и ез), то будем иметь следующие зависимости для главных остаточ-
ных напряжений.
176
Розетка 45°
°. = - 4 (r^ir+тЬ у<2'" ~ ~ ;
/б. 8о 1 1 7q w \
Отт —--7Г ----------- 1 (2^2 — Si — е«)2 ,
и 2 (1—р Ц-р г ' - 1 3/ I '
(4)
(5)
Угол а между главным направлением I и направлением датчика
1 определяется из соотношения
tg2a = ^-
81 — 83
(6)
Фиг. 150. Метод столбиков:
1 — тензометр.
Фиг. 151. Резкое изменение остаточных на-
пряжений ио высоте столбика.
Розетка 60°
п - A'f 81+Вг + еч , V2
I \ 3(1 — Ц) j(l + p)
х ]4(81 82)2 + (82 - 8з)2 + (83 81)2^ >
_ __ р [ ei-l е2-|-е3______LJ—_ у
11 ’Л 3(1 - и) 3(1 + |-1)
X 1/ (61 — е2)2 + (е2 — 63)2 + (е3 — бх)2) ;
tg2a = .
281 — 82 — 83
(7)
(8)
(9)
Если известны величины и направления главных напряжений, то
по обычным зависимостям можно определить нормальные и касатель-
ные напряжения в косых площадках.
Г. Одним из наиболее важных вариантов метода освобождения
является метод столбиков (фиг. 150).
В соответствии с методом столбиков [25], [134] проводится
высверливание столбика, па торце которого предварительно наклеи-
вается проволочный тензометр. При достаточной длине столбика I
и при постоянстве остаточных напряжений но длине можно считать,
что происходит полное освобождение поверхностного слоя.
По некоторым экспериментальным данным глубина сверления
должна быть
I > (0,7 4- 1,5) d.
12 Заказ 288.
177
Метод столбиков применяется для определения остаточных напря-
жений в крупных поковках и отливках. Трубчатое сверление диаме-
тром 10—15 мм при глубине 15—20 мм проводится для таких деталей
в пределах обычных припусков на механическую обработку.
Метод непригоден при резком изменении остаточных напряжений
по длине столбика (фиг. 151).
В этом случае не существует определенной связи между замерен-
ной деформацией в результате высверливания и величиной напряже-
ний в поверхностном слое. Эта связь зависит от изме1 еьия напряже-
ний вдоль образующей цилиндра.
Указанное обстоятельство вносит существенное ограничение при
использовании метода столбиков.
Следует обратить особое внимание на то обстоятельство, чтобы
при вырезании столбика не были внесены дополнительные остаточ-
ные напряжения.
28. МЕТОД ОТВЕРСТИЙ
А. Идея метода отверстий была предложена Матаром (1932 г.).
Опа состоит в том, что в результате сверления отверстия в детали
возникают относительные перемещения и деформации, зависящие от
величины напряжений, действовавших в месте сверления.
Фиг. 152. Метод отверстий:
а — полоса до сверления отверстия; б — полоса за отверстием.
Пусть полоса подвергается растяжению с напряжением о
(фиг. 152). Имея в виду просверлить отверстие диаметра d, наметим
точки А и В возле краев отверстия и точки и В± на достаточном
удалении от пего.
После сверления произойдет изменение расстояния АВ, которое
удобно определить с помощью измерения отрезков ААг и ВВг меха-
ническими тензометрами типа Гугенбергера или струнным методом.
Зная изменение расстояния АВ, можно с помощью специальной
тарировки на полосе или расчетным путем определить напряже-
ние о.
178
В последнее время вместо измерения перемещений используется
измерение деформаций проволочными тензометрами, что более удобно
и обеспечивает большую точность.
Если остаточное напряженное состояние является плоским, то
для его исследования необходимо использовать не менее трех про-
волочных тензометров (фиг. 153).
Б. Теория метода отверстий исходит из предположения, что
деформации, возникшие в детали после сверления, являются упру-
гими.
Так как коэффициент концентрации напряжений возле малого
отверстия к =3 для одноосного напряженного состояния (для равно-
Фиг. 153. Применение метода от-
верстий для общего случая пло-
ского напряженного состояния.
мерного двухосного расширения к = 2), то остаточные напряжения
не должны превышать (0,3 ~ 0,5) ат.
В основе теории метода отверстий лежит известное решение
Кирша [125]. Если пластинка растягивается в двух главных напра-
влениях напряжениями и а2 (фиг. 154), то при наличии малого
отверстия радиуса а напряжения в произвольной точке пластинки,
характеризуемой расстоянием до центра отверстия г и углом 0,
определяются следующими равенствами:
Ог=О - Я+- ^)“s2e,
= ^+^/1 + 4\ ^)cos20;
\ г2 / z \ г )
^1 + ^2/а За4 . 2а2 \ .
гг в = — 2 И - тг + sin 20.
Радиальная деформация
ег = ~ (Пг — МЛ0 ) = (1 — Н) — уг (1 + н) ] +
+ —[(* + -7?-) U + Н) ~ cos 20.
(Ю)
(И)
(12)
(13)
12*
179
В пластинке без отверстия первоначальные напряжения опреде-
ляются формулами (10)—(12), если считать в них а = 0. Радиальная
деформация в пластинке без отверстия
40) = £^а2 (1 _ ц) (1 + и) cos 20 (14)
В. Перейдем к выводу основных расчетных зависимостей. В соот-
ветствии с общим принципом определения остаточных напряжений
(см. § 1) сверление отверстия и освобождение цилиндрической
поверхности радиуса а (фиг. 155) эквивалентно приложению к этой
поверхности обратных остаточных напряжений. Эти напряжения
Фиг. 155. Напряжения па поверхности
отверстия, «эквивалентные» сверлению
пластинками.
Фиг. 156. Определение главных на-
пряжений в пластинке с помощью
измерения радиальной деформации
в трех направлениях.
равны по величине, но противоположны по направлению тем напря-
жениям, которые действовали на цилиндрической поверхности до
сверления.
Задача состоит в определении этих напряжений с помощью изме-
рения перемещений или деформаций, возникших в пластинке в ре-
зультате сверления.
Зная напряжения па поверхности отверстия, можно определить
напряжения в пластинке О'. Однако в рассматриваемом случае
можно избрать более простой способ, воспользовавшись уже извест-
ным решением для пластинки с отверстием. Если, например, изме-
ряется радиальная деформация ег (с помощью проволочного тензо-
метра) до и после сверления отверстия, то эта деформация будет
равна разности соответствующих деформаций в пластинке с отвер-
стием и в пластинке без отверстия.
Составляя разность выражений (13) и (14), получим
&г = - С1 + И) -S- + Лтг [(1 + и) ~ - 4^1cos 20- <15>
После измерения величины ег в трех различных направлениях
(фиг. 156) можно вычислить значения главных напряжений в пла-
стинке (Qjl и 0*2) и определить их направление.
180
Расчет осложняется тем, что тензометры измеряют среднюю
деформацию по длине.
Если начальный радиус расположения тензометра (фиг, 157),
а конечный радиус г2, то средняя деформация
7
ег = j ^rdr. (16)
1’1
Внося значения ег из соотношения (15), находим
+^2 А
2Е л
где безразмерные величины
л = (1 + н) ~ ; (18)
' Г 2
п2 Г
В = ~ 4-а2(1 + Ю
’1'2
(19)
Пусть тензометры расположены
на одинаковых расстояниях от
центра отверстия и измеренные
деформации в результате образо-
вания отверстия равны erl, гг2 и
Фиг. 157. К выводу расчетных зави-
симостей для метода отверстий.
егз. Так как тензометры обнару-
живают среднюю деформацию, то
по равенству (17) будем иметь
ег! = - А - В cos 20j; (20)
/А!,
Sr 2 = - Л - В cos 2 (0X + Ф1); (21)
er3 = -2^ Л-^^5 0082 (0!+ <Pi + <p2); (22)
в этих уравнениях неизвестными являются величины о^, а2 и 0 v
В результате несложных преобразований получаем из соотноше-
ний (20) —(22)
9А = £r 3~£r 2~К 3~£Г 1) COS 2(Р1 + (£Г 2 ~ £Г 1) C0S 2 (Т1 + ф2)
g 1 (ег 2 - ег 1) sin 2 (ф1 + ф2)~-(ег3-ег t) sin 2фх ’ '
После определения угла 0Х главные напряжения о1 и ст2 могут
быть найдены из следующих равенств:
Е er j cos 2 (0х +ф]) — 8Г 2 cos 2°i
<T1 A cos 201 —cos 2 (Oj-j-фО
_l ________—Ila________. (24)
В CCS 20! — cos 2 (0г+ ф1) ’ v 7
_ Е er t cos 2 (61 + ф!) ~ 8Г 2 cos2°i Е 8r2~8ri
A cos 201~ cos 2 (Oi ф1) В cos 20j — cos 2 (О1 + Ф1) ’
12*
181
Подобные формулы1 были получены О. Н. Михайловым [79].
Напомним, что в соотношениях (23) — (25):
01 — угол между направлением главного напряжения в
пластине 04 и осью первого тензометра;
ср1 и ср2 — углы между осевыми линиями тензометров, наклеен-
ных в радиальных направлениях;
А и В — безразмерные коэффициенты, определяемые форму-
лами (18) и (19);
вг1, ег2? и егз — деформации в радиальном направлении, замеренные
тензометрами в результате сверления отверстия.
Г. Так как напряжения возле отверстия носят местный характер
(резко убывают с увеличением г), то радиус отверстия не должен
быть малым по сравнению с базой тензометра А = г2 — ri- Обычно
можно считать допустимыми значения а >1,5 А. Для повышения
точности измерений могут быть использованы 5—6 датчиков и расчет
проведен по любым из трех датчиков.
Эксперименты показали, что метод отверстия может быть использо-
ван и для определения остаточных напряжений в сплошных крупных
деталях (типа роторов больших турбомашин, прокатных валков
и т. п.). В этом случае достаточно засверлить отверстие глубиной
(1,5 4- 2)d, что при плавном изменении напряжений по толщине
обеспечивает свободное деформирование поверхностного слоя.
При использовании метода отверстий отмечено влияние допол-
нительных остаточных напряжений, образующихся при сверлении
[79]. Соответствующая поправка может быть внесена по эксперимен-
там с отожженными пластинками.
Д. Выше рассматривался метод отверстий при использовании
проволочных тензометров. Так как метод отверстий был предложен
еще в 30-х годах, когда проволочные тензометры не были известны,
то для исследования применялось измерение перемещений (тензоме-
трами Гугенбергера или струнным методом). Расчетные зависимости
при измерении перемещений содержатся в работе Д. Г. Курносова
и М. В. Якутовича [73]. Однако в настоящее время более удобно
применять тензометрический метод.
1 В работе [79] имеется опечатка в выражении для С.
ГЛАВА 10
РЕНТГЕНОВСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСТАТОЧНЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ
Рентгеновский метод дает возможность непосредственно измерять
деформацию кристаллической решетки при воздействии напряжений.
Основное преимущество рентгеновского метода состоит в том, что
остаточные напряжения определяются без разрушения детали.
Метод может быть использован не только для исследования, но и
для контроля технологического процесса. Изучение остаточных
напряжений можно провести в небольшой области, в том числе
и в местах концентрации напряжений.
Рентгеновский метод не лишен недостатков. Напряжения опре-
деляются только в поверхностном слое, точность определения сравни-
тельно невысока [в практических исследованиях ± (5 4- 20) кГ/мм2].
В рентгеновском методе возникают трудности при разделении макро-
и микронапряжепий, при исследовании слоев, получивших пласти-
ческую деформацию.
Однако возможность определения остаточных напряжений без
нарушения работоспособности детали делает рентгеновский метод
чрезвычайно перспективным.
Ниже излагаются общие основы рентгеновского метода. Более
полные сведения содержатся в специальной литературе [47], [107],
[130], [146], [153].
29. ОБЩИЕ ОСНОВЫ РЕНТГЕНОВСКОГО МЕТОДА
А. Рентгеновские лучи образуются при резком торможении
быстро летящих электронов. Для их получения в потоке электронов
ставится препятствие в виде металлической пластинки.
Схема генератора рентгеновских лучей (рентгеновской трубки),
показана на фиг. 158.
Источником свободных электронов на катоде является вольфра-
мовая нить, нагретая до температуры ~ 2000°. Нагрев осуществ-
ляется низковольтным трасформатором накала с напряжением 4—9 в.
Для ускорения электронов подводится высокое напряжение
(порядка 50—200 kV) с помощью главного трансформатора и выпря-
мительного устройства (кенотрона). В качестве зеркала анода
183.
используются пластинки из кобальта, никеля, молибдена, меди и
других металлов.
Рентгеновские лучи, так же как и световые лучи, представляют
собой электромагнитные волны. Длина волны рентгеновских лучей
меньше 100 А (А — 10” 8 см), тогда как лучи видимого света имеют
длины волн 4000—7500 А. Электроны, попадая па рабочий металл
анода, возбуждают рентгеновские лучи с различными длинами волн
(спектр рентгеновских лучей).
Часть излучения, связанная непосредственно с процессом торможе-
ния, имеет сплошной спектр с непрерывным изменением длины волны1 2.
•Фиг. 158. Схема генера-
тора рентгеновских лу-
чей:
1 — катод; 2 — зеркало
анода; 3 — лучи Рентгена;
4 — анод.
На фотографической пластинке этот спектр ха-
рактеризуется широкой полосой зачернения.
Если напряжение в трубке превышает
определенную величину (потенциал возбу-
ждения), то появляются рентгеновские лучи
со строго определенными длинами волн, обра-
зующие линейчатый (дискретный) спектр.
Эти лучи, называемые характеристическими,
связаны с проникновением катодных лучей
в оболочки атомов рабочего металла анода.
В результате электроны металла анода
с ближних орбит переходят па орбиты
с более высокой энергией — происходит про-
цесс возбуждения атома. В дальнейшем
электронная оболочка атома стремится
к равновесному состоянию за счет замеще-
ния «выбитых» электронов электронами более
дальних орбит 2. При этом излучаются
кванты энергии с определенной частотой
излучения.
Орбиты электронов обозначаются (по мере удаления от ядра)
буквами К, L, М, N и т. д.
Наибольшая энергия получается при переходе электронов па
орбиту К — так называемую К — серию рентгеновского излучения.
Так как на орбиту К электроны могут попасть с различных
орбит, то в серии К имеется несколько излучений (линий) со строго
определенной длиной волны (7Га, К$ и т. д.). Линия Ка связана
с переходом электронов с соседней орбиты L.
Однако электроны па орбите L могут иметь одно из двух значе-
ний энергии, близких по величине. Этим объясняется расщепление
линии Ка па две близкие линии и Ка2 (дублетное строение не-
которых линий спектра). Если, например, в качестве рабочего ме-
талла анода используется кобальт, то линия Ка1 имеет длину волны
1,7853 А, линия Ка2 соответственно 1,7892 А.
1 С резким ограничением по минимально и длине волны.
2 Здесь излагается упрощенная модель явления.
184
Для рентгеиоапалпза обычно применяется излучение Я-серин,
для которой основное значение имеет дублет Kai и КП2.
Б. Определение остаточных напряжений рентгеновским методом
основано на рассеянии монохроматических рентгеновских лучен
при прохождении кристаллической решетки регулярного строения.
При таком рассеянии происходит интерференция лучей, в ре-
зультате которой только в определенных направлениях интенсив-
ность лучей увеличивается, тогда как в других направлениях осла-
бляется. При отсутствии кристаллической структуры, например
в стекле и пластмассах, рентгеновский метод не может быть приме-
нен.
Многие твердые тела, и прежде
всего металлы, обладают кристалли-
ческим строением. Образование кри-
сталлов из расплава начинается из
очень большого числа центров.
При увеличении под микроскопом
можно наблюдать зернистое строение
металла. Каждое зерно — это кри-
сталл, принявший неправильную слу-
чайную форму, так как его дальней-
шему росту помешали соседние кри-
сталлы.
Кристалл имеет регулярное трех-
мерное строение с периодическим
распределением вещества и электрон-
ной плотности.
В кристалле можно различать
Фиг. 159. Интерференция рентге-
новских лучей, падающих па кри-
сталлическую решетку.
периодически повторяющиеся плоскости определенной ориентации,
в которых размещены но npai ильной структуре атомы вещества
(кристаллографические плоскости).
Рассмотрим отражение рентгеновских лучей от поверхностного
слоя металла (фиг. 159). Пусть плоскопараллельный монохромати-
ческий пучок рентгеновских лучей падает под некоторым углом й
на кристаллическую решетку. Попадая на атомы вещества, рент-
геновские лучи рассеиваются, причем наибольшей интенсивностью
будут обладать лучи, отраженные под углом й. Но эти лучи, попа-
дающие на различные атомы решетки, также взаимодействуют между
собой, причем усиление будет иметь место, если колебания находятся
в одной фазе.
Как видно из фиг. 159, это условие будет выполнено, если раз-
ность длины лучей (от плоскости А до плоскости В) равна целому
числу волн.
Если d — расстояние между кристаллографическими плоскостями, то
2d sin й = п %,
(1)
где X — длина волны рентгеновского луча;
п — целое число (п = 1, 2, 3................) — порядок отражения.
185’
Все остальные рентгеновские лучи, не удовлетворяющие усло-
вию (1), взаимно погашаются.
Из предыдущего рассмотрения вытекает, что угол между падаю-
щим и отраженным рентгеновскими лучами (а = 180—2'&) является
строго определенным, зависящим от расстояния между плоско-
стями кристаллической решетки, длины волны и порядка отра-
жения.
Условие (1), установленное впервые Бреггами (отцом и сыном),
лежит в основе определения остаточных напряжений. Оно дает
возможность, зная угол между падающим и отраженным рентгеиов-
Фиг. 160. Отражение рентгенов-
ских лучей от поверхностного
слоя металла.
скими лучами, вычислить межпло-
скостпое расстояние решетки при
напряженном состоянии металла \
В. Рассмотрим особенности отра-
жения рентгеновских лучей от по-
верхностных слоев металла.
Пусть по нормали к поверхности
направлен плоскопарллельный моно-
хроматический пучок лучей диаме-
тром а (фиг. 160). Кристаллы поверх-
ностного слоя имеют различную
ориентацию кристаллографических
плоскостей.
Рентгеновские лучи будут отра-
жаться только от тех кристаллов,
плоскости которых составляют брег-
говский угол с направлением лучей.
Таких кристаллов на фиг. 160 оказа-
лось три (два у поверхности, один
на некоторой глубине).
Рентгеновские лучи проникают в металл па глубину 5—20 мк,
и кристаллы поверхностного слоя указанной толщины участвуют
в отражении.
Обычно диаметр пучка лучей составляет 0,5 —1,5 мм и
кристаллов с брегговскими углами оказывается достаточно много
для почти непрерывного отражения от конической поверх-
ности 1 2.
Следует особо отметить, что в отражении участвуют кристаллы
только, определенной ориентации и в дальнейшем определяется
деформация именно этих кристаллов. Это затрудняет пере-
ход к макроскопической деформации металла, представляющей
собой некоторое осреднение для кристаллов различной ориен-
тации.
1 Длина волны рентгеновского луча известна, соотношение между длиной
волны излучения и расстоянием обычно таково, что возможно отражение только
первого порядка (п = 1).
2 Это относится к металлам с мелкозернистой структурой.
186
30. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
А. Рентгеновские методы основаны на определении расстояния
между кристаллографическими плоскостями с помощью измерения
угла отражения луча.
Как известно, кристаллы обладают регулярной трехмерной струк-
турой, через узлы которой могут быть проведены различные кри-
сталлографические плоскости. Эти плоскости, параллельные друг
другу, характеризуются системой индексов (числами /г, к и /),
определяющих пространственную ориентацию кристаллографиче-
ских плоскостей. Для данного рентгеновского излучения известны
отражающие кристаллографические плоскости материала.
Если измерено расстояние между кристаллографичеш ими пло-
скостями d, то, зная его величину при отсутствии напряжений d0,
можно вычислить деформацию кристаллической решетки
эту деформацию при -некотором выборе значений упругих постоян-
ных материала можно отождествить с обычной (макроскопической)
деформацией.
Пусть угол $ близок к 90°. Тогда рассматриваемая деформация
относится к направлению, приблизительно нормальному к поверх-
ности, и опа определенным образом связана с действующими в по-
верхностном слое напряжениями.
Принимая для простоты обычные значения упругих постоянных,
получим
е =----7Г(П1 + о2),
где и 0'2 — нормальные напряжения в поверхностном слое в двух
взаимно-перпендпкулярных направлениях.
Б. Одна из возможных схем для определения величины d, ис-
пользуемая на практике, показана на фиг. 161.
Монохроматический рентгеновский луч направляется узким пуч-
ком на исследуемую поверхность металла; отраженные лучи фикси-
руются на рентгеновской пленке в виде кольцевого затемненного
следа.
Из фиг. 161 легко установить
tg а = tg (180 — 2'й) =
или
tg2$ = 4; (3)
из этого равенства можно вычислить й и с помощью соотношения
(1) — величину d.
187
Можно указать непосредственную формулу для величины d,
•если воспользоваться следующим равенством | ft :
sin & = —Г=- У1 — cos 2& = —U- У1 + cos а =
]/2 |/2
Фиг. 161. Принципиальная схема прибора для определения
остаточных напряжений рентгеновским методом.
Теперь из условия (1) вытекает
7 А/ 11 Л
а = п —- = ——
2sm-0' у 2
J/7Z2-|- /2
Остановимся на определении порядка отражения п (п = 1, 2, 3...).
Из соотношения (1) вытекает
Это условие накладывает определенное ограничение па выбор
длины волны рентгеновского лупа, выбор рабочего металла анода
и величину п. Например, при облучении с кобальтовым анодом (дли-
на волны равна Kai = 1,78 А) расстояние между отражающими
плоскостями кристалла железа d — 0,90 А. Условие (5) показывает,
что в этом случае возможен только первый порядок отражения п = 1.
Практически применяется именно первый порядок отражения, и
только для очень жестких лучей возможно использование других
порядков.
188
Для первого порядка отражения формула (4) приобретает сле-
дующий вид:
d = -4----1 • (6)
У2 1/ ^+-7^
В. Расстояние d должно быть вычислено с большой точностью,
лак как деформация е представляет собой величину порядка ,
где о — напряжения в металле.
Если, например, точность измерения остаточных напряжений
составляет ±10 кПмм2, то для стали (Е = 2 • 104 кГ/мм2) погреш-
ность измерения не должна превышать
< ТЛ(Й = °’5 •10’4-
Методика определения остаточных напряжений в рассматривае-
мом методе во многом зависит от необходимой точности измерений
величин I и R [в связи с условиями, подобными условию (7) J.
Для анализа возможных погрешностей измерения указанных
величин удобно использовать непосредственно зависимость (1):
2c?sin$ = 2i. (8)
Дифференцируя это равенство, находим
= —ctg'O’Afl*. (9)
Из уравнения (3) вытекает
2ДЙ __ Д7? ЯД I _ В / \В М \
cos2 2й ~ I + I2 ~ I \ В I ]
ИЛИ
ДО'= Д-sin 2^ cos 2f)’—-7—V (10)
2 \ li L j ' '
Теперь из соотношений (9) и (10) получаем
= /(о(4£--4г)’ ее
где
/ (й) = cos2 й cos 2й.
График функции / (й) показан на фиг. 162. Если угол падения
й = 0, то / (й) 1 и погрешности измерения величин Z, R и d
должны быть одного порядка. Например, при условии (7) величины I
и R (при I — 50 мм и R = 50 мм) должны быть измерены с точ-
ностью до 2 мк, что практически невозможно. Для получения не-
обходимой точности целесообразно использовать углы падения й,
близкие к 45 или к 90°.
189
Из этих двух оптимальных (с точки зрения погрешности измере-
ний) углов следует применять ft, близкие к 90°, так как это дает
одновременно значительно большую точность при круговом осредне-
Фиг. 162. График функции /($).
нии деформаций, что свойственно
рассматриваемому методу.
Следует отметить, что применение
G. Л>
угла v = — принципиально невоз-
можно, так как падающий и отра-
женный лучи при этом совпадают.
Практически выбирают угол $ =
= 78-4- 85°. Например, при О =
= 80° f (О) = —0,03 и точность из-
мерения величии I и R может
быть порядка 0,08 мм, что осуще-
ствимо.
Г. Непосредственное измерение
расстояния I от поверхности иссле-
дуемого металла до поверхности
пленки (см. фиг. 161) трудно про-
вести с необходимой точностью: пленка находится внутри кассеты,
поверхности пленки отличается от плоской.
В связи с этим расстояние I измеряется косвенным путем: на по-
верхность исследуемого металла наносят частички другого вещества
(обычно золота или серебра) и получают па той же пленке дополни-
Фиг. 163. Рентгенограмма остаточных напряжений.
тельный кольцевой след. Так как величина угла $ для этих металлов
в ненапряженном состоянии известна, то из уравнения (3) можно
вычислить I по известному радиусу кольцевого следа I.
Остановимся теперь на обработке рентгеновской пленки. Для
получения отчетливого отпечатка длительность экспозиции соста-
вляет 2—6 ч.
На фиг. 163 дано схематичное изображение типичной рентгено-
граммы измерения остаточных напряжений.
190
В центре снимка имеется затемненная область, связанная
с излучением торможения; отчетливо видны два кольца, соот-
ветствующие дублету Ка1 и Ка2, При ограниченных требова-
ниях к точности измерений диаметр окружности линий 1 Ка1
измеряется с помощью стеклянной масштабной линейки с мелкими
делениями.
Более точные измерения производятся измерительными микро-
скопами. Иногда используются специальные измерительные при-
боры, включающие фотометр для выявления максимума почернения.
Точность измерения диаметра окружности должна быть не ниже
0,1 мм.
Генератор
рентгеновских
лучей
Исследуемый,
металл
Интенсивность
отраженных
лучей
Счетчик
излучения
Фиг. 164. Принципиальная схема измерения угла
опережения с помощью счетчика излучения.
При определении остаточных напряжений используются также
приборы, в которых осуществляется вращение кассеты для более
четкого осреднения по углу (камеры Закса). Это приходится делать
для металла с крупнозернистым строением.
В некоторых случаях такое вращение, однако, может исказить
результаты, так как довольно сильные «пятна» отдельных кристал-
лов более глубокого залегания часто находятся в стороне от основ-
ного кольцевого следа.
Для получения более отчетливого отпечатка иногда применяется
колебательное движение образца или кассеты.
Д. Изложенный метод определения остаточных напряжений
с помощью рентгенограммы (фотографирования на рентгеновскую
пленку) не является единственным.
На фиг. 164 показана принципиальная схема измерения угла
отражения с помощью счетчика излучения. Рентгеновский луч
1 Линия #а1 имеет несколько больший диаметр и более интенсивное почер-
нение.
191
отражается от поверхности металла, камера счетчика совершает
периодическое колебательное движение, фиксируя интенсивность
излучения для данного угла.
По максимуму излучения определяют угол отражения луча.
Эта схема (рентгеновский дифрактометр) получает в последнее время
все большее практическое применение.
31. РАСЧЕТ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Фиг. 165. Измерение деформа-
ции кристаллической решетки
в заданном направлении.
А. Выше рассматривались методы, позволяющие определить
расстояние между кристаллографическими плоскостями и найти
деформацию решетки в заданном направлении.
Пусть рентгеновский луч (фиг. 165)
падает под углом ф к нормали иссле-
дуемой поверхности металла.
Если угол отражения О (угол Брег-
гов) близок к 90°, то с достаточной точ-
ностью можно считать, что измеряется
расстояние вдоль падающего луча.
Деформация кристаллической ре-
шетки в этом направлении
о ^0 / 1 9 \
Как уже указывалось, измеряемое
расстояние d представляет собой неко-
торое осреднение для кристаллов данной
ориентации, находящихся в пучке лу-
чей, диаметром 1—2 мм в слое глубиной
до 20 мк, Величина е^, вообще говоря, отличается от обычной (ма-
кроскопической) деформации материала в заданном направлении.
Деформация кристаллической решетки определенным образом свя-
зана с действующими па нее механическими напряжениями. Эта
связь основана на уравнениях деформации монокристаллов, учи-
тывающих их упругую анизотропию.
На основании некоторых гипотез о совместной деформации кри-
сталлического агрегата (гипотез Фойгта или Рейсса) удается перейти
от микродеформаций и микронапряжений и обычным деформациям
и напражеииям.
В практических расчетах, однако, применяется приближенный
способ, в котором деформация кристаллической решетки отожде-
ствляется с обычной деформацией, а напряжения вычисляются по
формулам теории упругости. Существенно, что при таких вычисле-
ниях используются обычные значения постоянных упругости (Е
и ц), свойственные изотропному телу.
Б. Рассмотрим расчет остаточных напряжений по указанному
приближенному методу.
192
нормаль-
Наиболее просто определяется сумма главных напряжений в по-
верхностном слое. Направляя луч нормально к поверхности металла,
находим из формулы (2)
d , — d.
G1 + G2 = _ (13)
в этой формуле dj_ представляет собой расстояние между кристалло-
графическими плоскостями при направлении рентгеновского луча
перпендикулярно к поверхности.
Первоначальное расстояние между соответствующими плоско-
стями d0 можно найти, проводя такое же измерение для ненапряжен-
ного слоя (например, для материала
в отожженном состоянии).
В большинстве случаев более важно
найти не сумму главных напряжений,
а напряжение в заданном направлении.
Это достигается с помощью съемки
(облучения) под углом ф к нормали
поверхности.
Для использования результатов
косой съемки необходимо знать .некото-
рые зависимости теории упругости. Они
необходимы также и для расчета оста-
точных напряжений в общем случае.
В. При любом напряженном состоя-
нии можно найти три главных напра-
вления (фиг. 166), обладающих тем
свойством, что в площадках, перпенди-
кулярных к указанным направлениям,
ные напряжения, а касательные напряжения отсутствуют.
Для поверхностного слоя детали (свободной от внешних нагрузок)
одно из главных направлений (ему приписывается индекс 3) нор-
мально к поверхности (о3 = 0). Два других главных напряжения
создают двухосное напряженное состояние в поверхностном слое.
Из уравнений упругости (для равномерно нагретого тела) дефор-
мации в главных направлениях выражаются следующими равен-
ствами (о3 = 0):
действуют только
61 = 4r(ai — нсЫ-
е2 = -£Г (П2 —
ез ——4На1+сГ2)-
(14)
(15)
(16)
Пусть падающий рентгеновский луч (фиг. 167) составляет угол 1
ф с нормалью к поверхности и лежит в плоскости, образующей
угол ср с координатной плоскостью 1, 3.
г Углы ф и ф представляют собой сферические координаты направления
('угол ф — широта, и угол ср — азимут).
13 Заказ 288.
193
Деформация в этом направлении
6<Р, Ч> — е1^ + e2m2 + 83re2>
(17>
где Z, т, п — косинусы углов, составленных рассматриваемым на-
правлением с осями координат соответственно. Легко видеть, что
п = cos ф.
Величины I и т устанавливаются из фиг. 168, где некоторые
прямые углы зачернены:
I = cos а = cos ср sin ф; т = cos (J — sin ср sin ф.
Фиг. 167. Ориентация падающего
рентгеновского луча.
Фиг. 168. К определению направляю-
щих косинусов.
Таким образом,
8ф? cos2 ср sin2 ф + е2 sin2 ср sin2 ф + е3 cos2 ф. (18)
Если внести в это равенство соотношения (14) — (16), то получим
следующую важную формулу:
е<₽, Ф = [— н + (1 + ц) cos2 <р sin2 ф] +
+ И + (1 + ц) sin2 (р sin2 ф]. (19)
В дальнейшем окажутся необходимыми некоторые соотношения
для плоского напряженного состояния.
В площадке, нормаль которой составляет угол ср с направлением
1, действуют нормальное и касательное напряжения (фиг. 169)
сгф = cos2 ср + cr2 sin2 ср; (20)
тф = (<т2 — <*1) sin ср cos ср. (21)
194
Если угол с направлением 1 равен ср + ~ , то нормальное на-
правление
а я 1 sin2 ср + сг2 cos2 ср; (22)
<Р + v
Т л = “ Т(Р; (23)
cp+Y
последнее равенство выражает свойство парности касательных на-
пряжений.
Фиг. 169. Напряжения в различных пло-
щадках при плоском направленном со-
стоянии.
Фиг. 170. Определение нормального
направления в поверхностном слое
в произвольном направлении.
Уравнения (22) и (23) получаются из соотношений (20) и (21),
осли применить их для угла ср + . Отметим, что из уравнений (20)
и (22) вытекает
° л — ai + (24)
т. е. сумма нормальных напряжений в двух взаимно-перпендикуляр-
ных площадках постоянна.
Равенство (20) удобно представить в следующем виде:
= 4" + °а) + 4" ~ C0S
Нормальное напряжение в площадке, нормаль к которой соста-
вляет угол ср + а с направлением 1, будет равно
<Тф+а = 4Н<*1 + <Ы + 4’(СТ1—ff2)COS2(*P+ <26>
В. Рассмотрим сначала определение нормальных напряжений
(в поверхностном слое) в произвольном направлении (фиг. 170).
Этому произвольному направлению соответствует угол ср (см. фиг.
167).
13*
195
Как будет показано в дальнейшем, для решения задачи вычи-
сления ср не требуется, т. е. направление главных напряжений не
устанавливается.
Для определения остаточного напряжения в произвольном на-
правлении ф необходимо провести две съемки: одну по нормали
к поверхности и вторую под углом ф к нормали и так, чтобы па-
дающий луч лежал в плоскости, содержащей нормаль и направле-
ние ф (фиг. 170 и 171). Образец должен быть повернут относительно
оси аа (фиг. 170).
Расстояние между кристаллографическими плоскостями при
первой съемке (нормально к поверхности) обозначается d±, соответ-
Фиг. 171. Схема косой съемки (под углом ф к нормали
поверхности).
ствующее расстояние при второй съемке Установим расчетные
зависимости для определения оф.
Уравнение (19) запишем в следующем виде:
е<р, ф =----- (04 + а2) + sin2 г|> (ст, cos2 ср + о2 sin2 ср). (27)
11/ 11
Если учесть, что
____ ^ф ^0
8Ф,Ф — •
«о
и использовать соотношение (20), то найдем
= -ГН* sin2(29)
(?0 Zi
Величина do мало отличается от d±, так как упругие деформации
в материале малы. С погрешностью, меньшей 0,1%, можно положить
^Ф
^0 |
196
и тогда
Фиг. 172. Определение величины и
направления главных напряжений.
h а-ф — aj_
(1-|-pi) sin2 яр ’ (’^
Это и есть расчетная формула для определения нормального напря-
жения в произвольном направлении. Угол ф выбирают обычно в пре-
делах от 45° до 60°.
Г. В большинстве практических задач можно ограничиться оп-
ределением остаточного напряжения в заданном направлении.
В некоторых случаях требуется найти величину и направление
главных напряжений. Для этого необходимо сделать четыре съемки —
одну нормально к поверхности и
три другие при различных углах ср,
но при постоянном угле ф (фиг.
172).
Выбрав произвольно направле-
ние первого косого снимка, целе-
сообразно провести второй под
ЭТ о **
углом — , а третий — по биссек-
трисе угла между ними.
По формуле (30) могут быть вы-
числены напряжения оф, б п ,
Ф + -У-
б л . Задача заключается, в сущ-
ф + —
ности, в определении главных на-
пряжений по известным значениям
нормальных напряжений в трех
направлениях.
Из соотношения (26) для а = 0; и будем иметь
^ф — ~2 (°* + а2) ~2 — °2) cos (3 0
а Л = 4 (а1 + °2) — V — °2) cos 2<Р; (32)
ф + т 2 2
° л = i + а2) — 4 ~ G2) Sin 2(Р- (33>
Из этих уравнений получаем
Q(f а 4.Л = а2) C0S 2СР’ (34)
ф + 2
л — 4^+°2)=—4 (ai ~ °2)sin 2<р- <35>
4
Учитывая равенство
+ а2 = о<₽ + о , я, (36)
ф-f-—-
197
находим из соотношений (34) и (35)
ф + у- Ф + -7-
-------------------------= tg 2ср.
(37)
аФ а л
Ф + у
определяет два главных направления х, составляю-
л
угол — .
при
(38)
(39)
(40)
Равенство (37)
щих между собой
Отметим, что
&(р & Л О
(P+Y
определение главных направлений лишено смысла, так, в этом слу-
чае нормальные напряжения по всем направлениям одинаковы,
и потому любое направление может быть признано главным.
После вычисления угла ср можно найти разность главных напря-
жений CF1 — п2.
Из уравнения (34)
&(р $ л
а1 6 2 cos 2<р
Учитывая соотношение (36), окончательно находим
°'1 2 [(cos2q? a<₽ (cos2<p + ’
~~ 2 [(cos2q) (cos 2<р a<p] ’
Проиллюстрируем предыдущий расчет следующим числовым
Пусть определены в результате съемки следующие значения напряжений:
о = 42 кГ/мм2; о л = — 35 кГ/мм2',
ф ф + Т
О' п = 20 кГ/мм2.
ф+Т
Из формулы (37) находим
Угол 2<р = —23° 10'; ср = —11° 35'; cos 2ф == 0,91.
Из соотношений (39) и (40) получаем
°*=4- 42+351=45-8 к/1/мм2'
o2 = — f — (-1--1- 0 35 — (—--0 421 = — 38,8 кЩммР.
2 [ \0,91 Г j V>,91 j j
1 Следует иметь в виду, что тангенс есть периодическая функция, имеющая
йериод, равный л.
198
Д. Вернемся к вопросу об оценке точности определения остаточ-
ных напряжений рентгеновским методом. Выше указывались по-
грешности, связанные с необходимостью точного измерения угла
отражения рентгеновского луча. Указанные погрешности можно
сделать достаточно малыми.
Однако это не дает уверенности, что полученные результаты
могут быть использованы для достаточно точного определения обыч-
ных напряжений и деформаций. В практических задачах предста-
вляет интерес определение именно макронапряжений, так как только
с их помощью в настоящий момент может быть проведена оценка
влияния остаточных напряжений на прочность.
Два основных вопроса нуждаются в дальнейшем исследовании:
определение действительных значений упругих постоянных при
осреднении деформации различных кристаллов и учет пластических
деформаций. Это последнее обстоятельство весьма существенно,
так как оно связано с большой неоднородностью в условиях дефор-
мации отдельных кристаллов и кристаллитов.
В практических случаях довольно часто наблюдается пластиче-
ская деформация в поверхностном слое. Это приводит к размытию
дублетов линий Ка1 и Ка2.
Как уже указывалось, погрешности при определении остаточных
напряжений рентгеновским методом могут достигать больших ве-
личин: 5—20 кГ/мм*. Осреднение напряжений по глубине поверх-
ностного слоя в 10—20 мк, которое получается в рентгеновском
методе, также является в отдельных случаях дополнительным источ-
ником погрешностей.
Следует, однако, полагать, что возможность определения оста-
точных напряжений без разрушения детали является таким значи-
тельным преимуществом рентгеновского метода, что указанные его
недостатки будут преодолены.
ГЛАВА 11
РАСЧЕТ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕРЖНЯХ
И КОЛЬЦАХ ПО ПЕРВОНАЧАЛЬНЫМ ДЕФОРМАЦИЯМ
32. ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСТАТОЧНЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕРЖНЯХ
А. Рассмотрим стержень произвольного сечения (фиг. 173),
в материале которого возникли необратимые изменения линейных
размеров. Эти изменения могли произойти вследствие фазовых пре-
вращений, пластической деформации или других причин. Если
линейные изменения во всех напра-
Фиг. 173. Расчет остаточных на-
пряжений в стержне произволь-
ного сечения.
влениях одинаковы, то возникает
объемная деформация, имеющая
много общего с обычной темпера-
турной деформацией.
Рассматриваемые деформации, ко-
торые называются первоначальными,
вызывают появление напряжений и
деформаций в детали. Это и есть
обычные остаточные напряжения и
соответствующие им деформации, ко-
торые обнаруживаются с помощью
механических или других методов.
Основная задача в этой и после-
дующей главах — определить остаточ-
ные напряжения в детали, если за-
даны первоначальные деформации.
При расчете стержней предпола-
гается, что напряженное состояние является одноосным: напряже-
ния возникают в поперечном сечении стержня и направлены
вдоль оси стержня. Так как размеры поперечного сечения малы
по сравнению с длиной, то напряжениями в других площадках
пренебрегаем.
Тогда деформация, возникшая в стержне,
е = i + ео’
(1)
200
где о — остаточные напряжения в стержне;
ео — первоначальная деформация в осевом направлении.
Предполагается, что остаточные напряжения не превосходят
предел текучести материала и вызванная ими деформация являет-
ся упругой.
Используя обычную гипотезу плоских сечений, можно записать
следующее равенство для величины смещения точки стержня вдоль
оси:
W ~ WK~\- У — ф Я,
(2)
где ср и ф — углы поворота сечения;
Wk — перемещение начала координат вдоль оси стержня.
Относительная деформация
dw , с? ф б?гЬ
= (3)
В соответствии с равенством (1) будем иметь
а=£^+_^__^_£8о. (4)
Неизвестные параметры деформации ев, и могут быть
определены из условий равновесия
JorfF^O; jo?/dF = 0; J о xdF = Q. (5)
F F F
Внося в эти соотношения равенство (4), получим
f EydF - (ExdF- dz J J EzQdF = 0;
F F F F
J ' Ey2dF — 2 f kxydF CL4 J - J Ey e0 dF = 0. (6)
F F F F
ек J ExdF ф- 4^ j EyxdF — 4Л f Ex4F — dz 1 J Ex 80 dF = 0.
F F F F
В общем случае модуль упругости предполагается различным
в различных точках сечения (например, биметаллический стержень).
Все предыдущие результаты справедливы для произвольных осей
координат х, у.
Уравнения (6) можно существенно упростить, если выбрать на-
чало координат в такой точке сечения, что
f ExdF = 0; fEydF^O. (7)
Е F
201
Последние равенства определяют приведенный центр тяжести се-
чения стержня. Если модуль упругости Е во всех точках сечения
одинаков, то приведенный центр тяжести сечения совпадает с обыч-
ным.
Далее можно повернуть оси (в плоскости сечения) таким образом,
что
$ExydF = Q. (8)
F
В этом случае оси координат являются главными осями сечения.
Подчинив выбор осей координат условиям (7) и (8), получим из
уравнений (6)
J Е е0 dF
J EdF
F
f Ey e0 dF
; (9)
dz f Ey*dF
F
f Ex s^dF
d±=__F__________
dz f Ex^dF
F f
Теперь из соотношения (4) вытекает основная расчетная формула
/ J Е е0 dF f Ey е0 dF J* Ex s0 dF \
o = E[F ...... + yJ~---------+ --------J. (io)
\ f EdF f Ey^dF f Ex2dF J
F F F
Для стержней из однородного материала (Е = const)
о = е[±- JeodF + -j-Ji/eodF + -~- ж 80 - е0) , (И)
F F F
где F — площадь поперечного сечения; Jx = f y2dF и Jy =
F
= У x2dF — главные моменты инерции сечения.
F
Формулы (10) и (И) позволяют определить остаточные напря-
жения по заданным первоначальным деформациям.
Они являются приближенными, так как основаны на гипотезе
плоских сечений. Краевые условия на торце стержня удовлетво-
ряются в смысле Сен-Венана: главный вектор и главный момент
системы напряжений равны нулю.
202
В действительности на свободном торце стержня остаточные на-
пряжения отсутствуют. Формулы (10) и (11) дают правильный резуль-
тат на некотором удалении от торцов стержня (обычно на расстоянии,
приблизительно равном размеру поперечного сечения в плоскости
изгиба).
Отметим, что равенства (10) и (И) совпадают с формулами для
температурных напряжений [9] при температурной деформации
a t — со.
Б. Полученное решение позволяет определить прогибы оси стер-
жня в результате остаточных деформаций.
Пусть и и v — смещения центра тяжести сечения вдоль осей х
и у соответственно.
Углы поворота сечения
dv , du
Ф = —у- ; ф — -3- •
т dz ’ Y dz
С помощью равенств (9) находим составляющие кривизны упру-
гой линии стержня J Ex 80 dF = • (12) f Ex2dF ’ { ' F f Ey e0 dF (13) “ $Ey2dF ’ U } F
Интегрируя эти соотношения, можно определить величины и (z)
и v (z).
Например, считая сечение z = 0 заделанным (или определяя
прогиб относительно прямой, проходящей через центр тяжести
сечения z = 0 нормально к плоскости сечения), будем иметь
= 1J . <14) 0 0 v (z~) = f f dzldz- (15) b 0
В. Рассмотрим в качестве примера расчет остаточных напря-
жений в гальванических покрытиях (фиг. 174).
Пусть в результате кристаллизации в слое покрытия возникает
остаточное изменение линейных размеров, характеризуемое остаточ-
ной деформацией ео. В рассматриваемый момент времени на катоде
осажден слой покрытия толщиной й2. Расстояние приведенного центра
тяжести от нижней стороны определяется из условия
$EydF = 0.
F
203
Заменяя величину у из равенства
У = У1 —
находим
^ЕУ1аР I
е = £______ = Z 2______1 Z 1 /4
§ EdF Е^ + Е^ '
F
где Ei и hi — модуль упругости и толщина материала катода; Еъ
и 7^2 — соответствующие значения для слоя покрытия.
Фиг. 174. К определению остаточных напряжений
при гальванических покрытиях.
При Ei = Еъ получаем вполне очевидный результат
e = 4(^i + M = 4 h.
Для величин, входящих в формулу (10), будем иметь следующие
равенства:
f EdF = E-Ji^b 4- E2h2b\ (17)
F
f EeodF = E2h2 80 b\ (18)
F
f Ey 80dF = E2h2 — e + ; (19)
F \ 2 /
f Ey2dF = E, f \fbdy + E1hf‘ y^bdy =
F hi — e —e
= 1 E2b[(h - e)3 - - e)3] + A E.b [(^ - e)3 + e3]. (20)
О о
При выводе этих соотношений учитывалось, что первоначальная
остаточная деформация 80 возникает только в слое покрытия. Из
204
формулы (10) получаем значение остаточных напряжений в слое
покрытия (hi—в <2 у <Z h—е)
— J? \ ^2^2 S0 I
- 2 I ’Г
/ 1 \ \
/?2^2 80 I 4“ *7)” ^2 j \
+ У —-----------------------7------------------eo | (21)
-^E2 [(h—e)3 —(h,-e)3] +-LE1 [(*!-e)® + e3] /
и в материале детали (катода) (—y<Z hi—e)
/ 1 \ \
/ 77 й е ^2^2 80 ( ^1”е + “й" \
О=Е1[ У1---------------------Г~^-----------I * (22)
I LA + b2«2 _b?2[(7i_e)3_(fei_e)3H_ 1 ^[(^-^з+е»] /
\ «5 О /
Рассмотрим частный случай, когда толщина слоя покрытия hz
мала по сравнению с толщиной стержня катода hi, а величины Ei
и Ez имеют один порядок.
Пренебрегая в формулах (21) и (22) величиной hz и учитывая,
1 7
что в рассматриваемом случае е = hi, находим для слоя покры-
тия у = -т- hi
\ ^ /
СТ ~ £2 80 (23)
и для самой детали
ст 0.
Полученный результат легко объясняется, так как в условиях
полного стеснения очень тонкий слой покрытия получает остаточ-
ную деформацию 8о; силы, возникающие в слое покрытия, малы и
не могут вызвать заметных напряжений в самом стержне.
Найдем связь между упругой деформацией катода и величиной
остаточной деформации 8о.
Из формул (13) и (15) находим значение наибольшего прогиба
при z = I
^2^28о(^1—е+“^2/ 72
^(0 = --i----------------------------------------4-. (24)
± Е2 [ (h-е)з- (Л, _ е)з] + ‘ [ (Л1 _е)з + ез]
о и
Знак минус означает, что прогиб направлен в отрицательном
направлении оси у (для положительных значений 8о, т. е. при уве-
личении линейных размеров при кристаллизации). Зная v(l) и h2,
можно найти 80 и по формулам (21) и (22) определить остаточ-
205
ные напряжения. Остаточные напряжения при гальванических по-
крытиях рассматриваются в работах [74], [104].
В качестве второго примера рассмотрим однородный стержень
(Е = const) с первоначальной остаточной деформацией поверхност-
ного слоя толщиной б.
Фиг. 175. Распределение остаточных напряжений в стержне с перво-
начальной остаточной деформацией верхнего поверхностного слоя на
глубине б.
Пусть, например, в результате наклепа этот слой получил пер-
воначальную остаточную деформацию (в осевом направлении), рав-
ную 8о. Величина 8о предполагается одинаковой для всего поверх-
Фиг. 176. К определению остаточ-
ных напряжений с учетом пласти-
ческих деформаций.
ностного слоя.
Из формулы (11) находим сле-
дующие значения для остаточных
напряжений.
В наклепанном слое, если при-
нять толщину слоя малой (у
Л/2), то
__ р ( еоб । Зеоб \
° “ Л [IT + ~h-------8°/ “
= (25)
В остальном стержне
а = (26)
Эпюра распределения остаточных напряжений показана на
фиг. 175. Приведенное решение справедливо в том случае, если оста-
точные напряжения меньше предела текучести материала от. При
О гр
значении 8о > в поверхностном слое возникает пластическая
деформация противоположного направления (по сравнению с перво-
начальной).
Если известна кривая деформирования а = / (е) (фиг. 176),
которая предполагается одинаковой для растяжения и сжатия, и
206
не учитывать эффекта Баушингера, то остаточные напряжения при-
ближенно могут быть определены по формулам (25) и (26) после
замены Е со на / (со).
В поверхностном слое
а = -/(80)(1-4|). (27)
Из фиг. 176 видно, что пластичность материала снижает вели-
чину остаточных напряжений. Если упрочнение материала неве-
лико (£' < £), то остаточные напряжения (при первоначальной
остаточной деформации растяжения)
О' — (7Т. (28)
Г. Рассмотрим еще случай, когда первоначальная остаточная
деформация со имеется в верхнем и нижнем поверхностных слоях
стержня (фиг. 177).
Фиг. 177. Распределение остаточных напряжений в стержне
с первоначальной остаточной деформацией в верхнем и ниж-
нем поверхностных слоях.
Из формулы (11) получаем:
для поверхностных слоев
<7=-£80[1-4); (29)
для остального стержня
о = £Б0^. (30)
Эпюра распределения остаточных напряжений в стержне пока-
зана на фиг. 175.
При больших первоначальных остаточных деформациях (е0 >
О \
>•-£-1 равенства (29) и (30) заменяются следующими:
для поверхностных слоев
_ ( \ I л 2d \
О = — f (ео) (1 — -Г р
207
для остального стержня
, , ч 25
= / (ео) •
Отметим, что для рассмотренных примеров при малой величине
6 остаточные напряжения практически создаются только в поверх-
ностном слое.
33. РАСЧЕТ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В КОЛЬЦАХ
А. Рассмотрим определение остаточных напряжений в кольцах
по заданной величине первоначальных остаточных деформаций.
В результате возникновения этих деформаций кольцо получит
«о
Фиг. 178. Расчет остаточных напря-
жений в кольцах.
смещение в радиальном направле-
нии ио и угол поворота ср (фиг. 178).
Общая деформация в кольце
(в окружном направлении)
е = -|+е0, (31)
где ео — первоначальная (оста-
точная) деформация.
Так как
ь = ^- + у^, (32)
то напряжения в кольце (остаточные напряжения)
+ (33)
Из условий равновесия
J о dF = 0; Jo ydF = 0.
F F
Внося в эти соотношения зависимость (33), получим
и0 [-^dF + <f^ E^dF-Е eodF = °; (34)
F F F
E ydF + q>[E^dF - JE soydF = 0. (35)
F F F
Размеры поперечного сечения кольца будем считать малыми по
сравнению с радиусом, и тогда
г г0. (36)
Определим положение оси х таким образом, чтобы
f EydF = 0. (37)
208
Расстояние оси х от верхней точки сечения (фиг. 179) в соответ-
ствии с этим равенством будет равно
f EV1dF
с = Л--------. (38)
J EdF
F
Для кольца из однородного материала (Е = const) ось х прохо-
дит через центр тяжести сечения.
Учитывая соотношения (36) и (37), найдем из уравнений (34)
и (35)
f Е е0 dF
ц0 __ _F________.
r° f EdF
F
f E 80 ydF
Ф __ F___________
Г° f Ey2dF ’
F
Фиг. 179. Определение
приведенного центра
тяжести сечения.
Теперь из равенства (33) вытекает
о =Е
f Е s^dF
_F_______
f EdF
F
f E e0 ydF
£_________
f Ey2dF
F
1
(40)
Отметим, что выбор значения го не отражается на величине напря-
жений, но для более точного соблюдения условия (36) его следует
принять равным радиусу окружности центров тяжести сечений.
Для однородного кольца (Е = const)
/ f е0 dF f е0
а = Е \ -----+ у ----------------е0
\ г Jx
(41)
где F = f dF и Jx = f y*dF — площадь сечения кольца и момент
F F
инерции сечения относительно оси х.
Формулы (40) и (41) позволяют определить остаточные напряже-
ния в кольце, если заданы первоначальные остаточные деформации.
14 Заказ 288.
ГЛАВА 12
РАСЧЕТ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
В КРУГЛЫХ ПЛАСТИНКАХ И ЦИЛИНДРАХ
ПО ПЕРВОНАЧАЛЬНЫМ ДЕФОРМАЦИЯМ
В этой главе рассматривается определение остаточных напряже-
ний в круглой пластинке и в цилиндре при заданных первоначаль-
ных деформациях. Постановка задачи остается такой же, как и
в предыдущей главе: в материале детали возникли изменения линей-
ных размеров, связанные со структурными или иными превраще-
ниями; требуется определить возникающие при этом остаточные на-
пряжения.
34. РАСЧЕТ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В КРУГЛЫХ ПЛАСТИНКАХ
(ДИСКАХ)
А. В общем случае первоначальная остаточная деформация
в радиальном, окружном и осевом направлениях еог, е0 9 и 80z мо-
жет быть произвольной в каждой точке пластинки. В дальнейшем
рассматривается более простой случай, когда распределение остаточ-
ных деформаций является осесимметричным. Таким образом, ве-
личины 80Г, 80 9 и eoz зависят только от радиуса точки г и коорди-
наты z (фиг. 180).
Наибольшее практическое значение имеет случай, когда перво-
начальные остаточные деформации в радиальном и окружном напра-
влениях одинаковы г: еог = е0 9 = 80. Это имеет место при дробе-
струйном наклепе, при объемных остаточных изменениях и т. д.
Пусть в результате возникновения .первоначальных остаточных
деформаций точки срединной плоскости получат радиальное сме-
щение uQ (г); угол поворота нормали в результате деформации обо-
значен <р (г) (фиг. 181).
Применяя гипотезу Кирхгофа о «жесткой нормали», получим
следующее выражение для радиального смещения в произвольной
точке диска:
u(r, z) = M0(r) + z<p(r). (1)
1 Остаточная деформация в направлении оси z не вызывает в тонком диске
осевых остаточных напряжений.
210
Относительные деформации в радиальном и окружном напра-
влениях
dun , d ф
е’- = ^г + 2^;
ео = ^ + г^_
(2)
(3)
Предполагая, что деформации пластинки (диска), вызванные
первоначальной остаточной деформацией, являются упругими, можно
записать
Фиг, 180. Круглая пластинка (диск).
Фиг. 181. Деформация круг-
лой пластинки в результате
возникновения первона-
чальных деформаций.
где о г и о'е — радиальное и окружное нормальные напряжения.
Силовые факторы на единицу длины сечения показаны на фиг. 182.
Воспользовавшись аналогией между определением температурных
напряжений в пластинке и напряжений от первоначальной остаточ-
ной деформации, будем иметь следующие выражения для силовых
факторов [10]:
для круглой пластинки (диска) с центральным отверстием
Nr (Г) = е (Ь) (1 - 21) - 9 (Г); (6)
= + +0(г)-(1-ц)71(г); (7)
Мг (г) = - (Ь) (1 - 2L) + (г); (8)
Мв(г) = -1р(Ь)-5^-(1 + -^-)--ф(г) + (1-ц)5(г). (9)
14*
211
В этих формулах
0(r)= <10>
а
h
2
7’W = T^r Esodz- (И)
Фиг. 182. Силовые факторы на еди-
ницу длины сечения.
2
г
'l’(r) = -1^EJr11y(r1)<Zr1; (12)
а
h
2
^(0 = 7^ / E^zdz. (13)
h
"“T
В равенствах (10) и (12) пере-
менная интегрирования обозна-
чена гх.
Для круглой пластинки
(диска) без центрального отверстия
(г) =-0 (/>) — 0 (г); (14)
М(г) - 0 (6) + 0 (г) — (1 — И) Т (г); (15)
Мг(г) = -ф(0 + ф(г); (16)
Me (г) = - ф (0 - ф (г) + (1 - р) 5 (г), (17)
где функции 0 (г), Т (г), ф (г) и S (г) определяются равенствами
(10)—(13) при а = 0.
Отметим, что л ..
9 (0) = lim 9 (г) = -ЦИ. т (Qi)-,
-ф (0) = lim ф (г) = S (0),
г-0
Остаточные напряжения в круглой пластинке выражаются сле-
дующими формулами:
h
2
^Vr 12Mr , 1
h
2
12 f Е е0 zdz
— Л.
2
Л3
h
2
(18)
Е е0
212
12M9
°9“ h Z h3
+
Следует иметь в виду, что эти формулы являются приближенными
и они справедливы на некотором удалении от краев пластинки (на
цилиндрических поверхностях г = а и г — Ъ напряжения отсут-
ствуют). Обычно это удаление не
превышает толщины пластинки.
Б. Рассмотрим в качестве
примера пластинку (фиг. 183),
на торцовой поверхности кото-
рой имеется первоначальная
остаточная деформация 8о. Эта
деформация постоянна в преде-
лах слоя толщиной б.
Из равенств (10)—(17) на-
ходим
Фиг. 183. Круглая пластинка с перво-
начальными деформациями в поверх-
ностном слое.
h
2
т (г) = -т^— f Е e.odz = ;
' ' 1 — ц J 0 1—И
__ 2L
2
0 0 = yr J г, Е e.dr. = [ = 4Е е06;
о
h
2
's(r> = T4T J = ’
h
г
(Г) = Де°62^~6)- f r.dr. = ~Е 806 (Л - 6).
о
Из соотношений (14) и (17) вытекает
7Vr = 0; = 0; Mr = 0 и Mt = 0.
С помощью формул (18) и (19) получаем:
для слоя толщиной б
1 Г Е* ®об । 6^2? 8q6 (h— б) 77 1
= а. = +----------------L - Е 80]; (20)
213
для остальной пластинки
ог = ое = 1
(21)
Eqq 6 . Gaffepd (/i —д)
1 — р [ Л ’ Л3
При малой толщине поверхностного слоя (6 « А) в нем возни-
кают напряжения
CTr — (Уб
ge0
1—р. ’
а в остальной пластинке
о г = по 0.
Сравнивая результаты с решением для стержней, отмечаем, что
при одной и той же величине первоначальной пластической деформа-
ции во напряжения в пластине в -раз больше, чем в стержне.
В. Формулы (18) и (19) установлены для остаточных напряжений
в упругой области.
Если интенсивность остаточных напряжений
К 2 . 2
Or + По — OrOe > Ow?
то первоначальная остаточная деформация вызовет вторичную пла-
стическую деформацию. Для приближенного определения остаточ-
ных напряжений в этом случае в формулах (18) и (19) величину Е 8о
следует заменить на f (so) (см. фиг. 176).
35. РАСЧЕТ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ЦИЛИНДРАХ
А. Рассмотрим определение остаточных напряжений в цилиндре
(фиг. 184), возникших в результате первоначальной остаточной
деформации. Эту деформацию будем считать осесимметричной и по-
стоянной по длине цилиндра.
Длина цилиндра предполагается настолько большой, что усло-
вия на его торцах не влияют на напряженное состояние в средней
части.
В пределах упругих деформаций будем иметь следующие урав-
нения упругости:
ег = [аг — Н (о'о + <Jz)] 4~ бог» (22)
80 = 4? + 8°е’
8г = Н(^г + О»)] + 8°2, (24)
где Or, (Ув и (Уг — радиальные, окружные и осевые остаточные
напряжения;
е09 и 80z — радиальные, окружные и осевые первоначаль-
ные остаточные деформации.
214
Осесимметричное распределение первоначальных остаточных де-
формаций вызывает осесимметричное распределение остаточных
напряжений и деформаций в цилиндре.
Если и (г) — радиальное перемещение точки цилиндра, то де-
формации
(г) = $; (25)
8»(г)=у. (26)
Так как величины 80г, 80е и 80z постоянны по длине цилиндра,
то можно удовлетворить всем уравнениям теории упругости, пред-
полагая постоянство осевой дефор-
мации для всех точек цилиндра
82(г) = е. (27)
Из уравнений (22)—(24) следует
____ ц Е (du
Сг~~ (I+Ц) (1 —2ц) \ dr
. Е du____________(1 — ц) £* __
1 + ц ’ dr (1-j-ц) (1 — 2ц) 8ог
(8<>* + М; (28)
_ Ц/?
а9~ (1+п)(1-2ц)
и
Фиг.
184. Остаточные напряжения
в цилиндре.
+ у + е) +
(1 + ц)(1-2ц) 00
ц Е I du ,
(1 + ц) (1-2ц) V
(1-Н)Е
(1 + p) (1- 2ц) 02
Внося значения о> и ое в
d (г 0г)
dr
(1+н) (1—2ц) (еог+8<>2);
и \ Е
г+/~^1 + це
- (1 + |1) (1-2ц) (8°г 8°
уравнение равновесия
— — О,
(29)
(30)
(31)
Е
80г + Т—ц (80q + 8ог)
получим
d*u 1 du и 1 — 2ц 1 . ч
+ - -TZJT’VV50’-"- 806' +
+ —
dr
или в другой форме
г dr ' 7
, d
+ d? 80r
d
dr
1 — 2ц 1 , > .
— ‘ ~ (еог ~ ео е) +
Н т „ (8о в + е0 г)1.
1 Ц J
(32)
215
Интегрируя обе части уравнения от а до г (где а — внутренний
радиус полого цилиндра; для сплошного цилиндра а = 0), полу-
чаем
i (ги) = г ф (г) +(г) + V. (зз)
г
ф(г) = J-^-(eOr —8oe)dri; (34)
а
f (г) — 80г -|- - (80 о + 80z)- (35)
1
Еще раз интегрируя в тех же пределах, находим
г г
’V/Г1 ф(г1)+ т Jri/(ri)dri + ciy+ v ’ (36>
а а
где Cj и с2 — постоянные интегрирования.
Из уравнения (36)
г
4 = [ф (r) Г1Ф (ri)dri + Нг) —
а
г
r1f(r1)dr1 + ^-^. (37)
а
Внося значения и и в уравнения (28)—(30), получим
т г
<*т = т4т[ф(г) “-ТЯГ’ТГ/Г1Ф(Г1)^1--^/ (г1) drx] +
а а
+ с‘1-±с;-, (38)
г
°9 = 7Т1Г [т^Г ф (г) + • 7Г J Гх Ф (Гх) dr, - / (г) +
а
а
+ Сх + -^ £*2;
^ = 1^[Т^ГФ(г)-/(г) + 80
— ео z + 2jx
(39)
(40)
где С* и С* — новые произвольные постоянные, которые опреде-
ляются из краевых условий при г — а и г = Ъ\ величина е может
быть установлена из условий равновесия всего цилиндра.
Б. Сплошной цилиндр. Так как напряжения в центре диска не
могут равняться бесконечности, то следует положить С2 = 0.
216
Величина С* находится из условия
о> (&) = 0,
(41)
где Ъ — наружный радиус цилиндра.
Внося значение С* в равенства (38)—(40), найдем
Е
Ог
4 |_ F (b) - F (г) +
1 +н L 7 47 1 — м»
(Ф (5) — Ф (г)) + ф (г) — ф (5) ; (42)
= таг [F + F W ~ f (r> + (ф W + ф (г>) +
1тгL 1 г
+ Ф (г) — Ф (Ъ) + е0т — е0е ; (43)
= таг кF (&) - / w + 2ц11~2ц)-ф (*) +
+ 7~Г ф (г) — 2НФ (b) + eOr — е0z] + Ее. (Ц)
В этих равенствах
^’W = ^-Jr1/(r1)dr1; (45)
о
ф (г) = гг J ri Ф (ri) dri- (46)
о
Для оси цилиндра (г — 0)
F(0) = “^/r№) *•.=?'(°);
о
ф (°) V™ ^/Г1<р dri 4ф (°)-
о
Постоянная е определяется из условия равновесия
ъ
2л f Qzr1dr1~0. (47)
о
Внося значение е в соотношение (44), находим
е) = таг [2F <2Ф w ~ф w +
Ь
+ 80г— 6oz— (80r— 80z) (48)
6
217
Формулы (42), (43) и (48) определяют остаточные напряжения
в сплошном цилиндре, возникшие в результате первоначальной
деформации.
Если эта деформация изотропна (объемная остаточная деформа-
ция)
8ог — 80 6 ~ 80 Z “ 80» (49)
то, в силу равенств (34) и (35),
ср (г) = О,
и тогда получаем следующие формулы для напряжений:
<*• = (fe) - F (r)i; <51>
<*> = 7^7 (b) + F (О - / MJ; (52)
= -T^-[2JF(&) —/(г)]. (53)
1 "г И
На внешнем радиусе цилиндра г = Ъ
ог (ft) = 0; (То (b) = (b) = - JL- [2F (Ь) - / (ft)].
1 "Г г
В центре цилиндра (г = 0)
Ог (0) = (То (0) = -j-JL- [f (ft) - | / (0)] ; (TZ (0) - 2(Tr (0) = 2(То (0).
В. Полый цилиндр (труба). Постоянные С* и С* определяются
из краевых условий
сгг(а) = О; <тг (&) = 0,
где а и Ъ — внутренний и внешний радиусы трубы.
Внося значения постоянных в равенства (38)—(40), найдем
(Т, = (1 - (ft) + 4=2^ ф (ft) - ф (ft)) _
1 + р, [ М —а2 \ г2 /\ ' ' 1 1 —|i 7 4 '/
- лн -ф(0+ ?('•) ;
Не = Е [ 62 f 1 I —(f (b\ 4- 1 —
Q0 U2—+ r2/v + 1—н
(54)
Ф(5)-Ф(&)) +
+ /г’(г) + 1г^ф(г) + 74тФ(г)-/(г)+еОг-еое ; (55)
1 {Л 1
” - ТТКIM (<4> + ф (6> “ f(i) ) -
— / (г) + -4— ф (г) 4- еог _ 8ог 4- Ее, (56)
218
где
Р (г) = 4" J rlf (rl) drV
а
т
ф(г) = TtJ
а
(57)
(58)
Внося в соотношение (56) значение в, определяемое из условия
ь
2л f о2 dr1 = О,
а
получим
ст2 = -т4-\т^-?(р(Ъ)- -т-^-Ф(&)')-
1+p Н2—а2 \ ' ' 1—н ' ')
ь
— ь*-а* f r(8or — sOz)dr — /(r) +J-?(r) + 80r —eozj. (59)
а
Формулы (54), (55) и (59) выражают остаточные напряжения
в полом цилиндре при заданной величине первоначальной дефор-
мации.
Для изотропной остаточной деформации, в соответствии с равен-
ствами (50), будем иметь
ffr= ^-)^(6)-F(r)l; (60)
1 + ц L fr2 — a2\ z’2/ ' 1 V,J '
”• = ТПГ [»^(‘ + ^)F^ + -/«]; (61>
<62>
На внешнем радиусе цилиндра (г = b)
or = 0; a8 (6) = az(&) = I^-[^L-F (&)-/(&)
На внутреннем радиусе (г = a)
or = 0;
O9 (a) = Gz (a) = F (b) - / (a)
Г. Рассмотрим в качестве примера сплошной цилиндр с перво-
начальной объемной остаточной деформацией в поверхностном слое
(фиг. 185).
Пусть в кольцевом слое (с г Ь) имеется остаточная дефор-
мация
8gr = 8о9 = 8;oz== 80,
219
постоянная по величине, а в остальном цилиндре она отсутствует:
|0 г <с
8° ~ (80 С Г 6,
В соответствии с равенством (45)
. 2(1-р) 0 \ г2 /
Фиг. 185. Распределение остаточных напряжений в сплошном
цилиндре при объемной первоначальной деформации в поверх-
ностном слое.
Значение функции F (г) на внешнем радиусе
Р(Ь) =
1 + р.
2(1- р.)
Из формул (51)—(53)
линдре. При О г<С с
находим остаточные напряжения в ци-
Е т-t п \ Е е0 I . сИ
°' = т F и “ (1 -
О
z
ЕЦ /л с2 \
1 —|Л 1 № ) ‘
В пределах внутренней области (г с) напряжения постоянны.
В поверхностном слое (с г Ь)
__ Е е0 с2 /1 1 \
“ 2(1-р) 62 ) ;
Z?e0c2 /1,1).
6 2(1 —р) \ г2 + *2 / ’
Е е0 с2
^ = -т^=7--к-
220
Эпюры распределения остаточных напряжений показаны на
фиг. 173.
Д. Рассмотрим другой пример, когда первоначальная объемная
остаточная деформация в поверхностном слое постепенно нарастает.
Пусть при г< с
е0 = О,
а в кольцевой области (с г Ъ)
Таким образом,
8
с г Ъ.
г < с
Функция F (г) определяется следующим равенством:
Значение функции F (г) на внешнем радиусе:
^(г) =
1+Н о (л С \( 1 I 1 С \
Т^Г8 отМ1 ЬД5Ф2О’Т/
Остаточные напряжения определяются по формулам (51)—(53}
для внутренней области (0 г с):
п — rr« — Е е° тах ( 1 С W 1 Д_ 1
Gr - ™ 1 - ТДУ + 20 • ~ь ) '
о2 = 2ог = 2ов;
для наружного слоя г = Ъ
аг ~ 0;
п9 = о2 = -
1 —р
Е. Рассмотрим остаточные напряжения после наклепа поверх-
ностного слоя. Если этот наклеп создавался в результате пластиче-
ской деформации радиально направленной силой, то можно считать
^0г “ Е()? 8о9 “ е0 2 = 8g, (63)
где 8о — абсолютная величина остаточной деформации.
Предполагается, что первоначальная пластическая деформация
(1 \
[1 = "J-) •
221
Примем, что первоначальная деформация (63), постоянная по
величине, содержится в кольцевом слое с г < 6.
Из формул (34) и (36) находим
О
Г
< с
<р(г) =
In-L
2 с
1 —2ц
1-ц
с г Ъ.
О г < с
В соответствии с равенствами (45) и (46) получим
F(r) =
1 — 2ц / л 6'2 \
________!__ р I 4 ____ ___
2 (1 —ц) °\ г2 )
Г < с
с г 6;
О
Ф (г) =
О
1 г 1 . с2
п с 2 + 2г2
С помощью равенств (42), (43) и (48) могут быть найдены формулы
для напряжений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамов В. В. Новый расчетный метод вычисления термических
напряжений, Труды Горьковского политехнического ип-ia, т. XIV, вып. 3.
1958.
2. Агеев В. А. Определение остаточных напряжений при помощи рент-
геновских лучей, Журнал техн, физики, 1958, вып. 28, № 11.
3. Александров В. П., Логинов В. Е., Никитин А. II.
Исследование остаточных напряжений в поверхностном слое при обработке
жаропрочных и титановых сплавов, Изв. высш, учебн. заведений, «Авиационная
техника». 1961, № 2.
4. Бабичев М. А. Методы определения внутренних напряжений в де-
талях машин. Изд. АН СССР, 1956.
5. Б а л а ш о в Б. Ф. Повышение сопротивления усталости деталей на-
клепыванием. Сб. «Повышение износостойкости и срока службы машин», Изд.
АН УССР, 1960.
6. Баррет. Структура металлов, Металлургиздат, 1948.
7. Б е л е н о в Ф. С. О приближенном определении остаточных зака-
лочных напряжений. Журнал техн, физики, т. 23, вып. 11, 1953.
8. Б и р г е р И. А. Сравнение условий усталостной прочности. «Вест-
пик машиностроения», 1954, № 9.
9. Биргер И. А. Неравномерно нагретые стержни с переменными па-
раметрами упругости, Сб. «Расчеты на прочность», вып. 7. Машгиз, 1961.
10. Б и р г е р И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения, Оборон-
гиз, 1961.
11. Биргер И. А. Методы определения остаточных напряжений в стер-
жнях и пластинках, «Заводская лаборатория», 1962, Л1» 5.
12. Б и р г е р И. А. Методы определения остаточных напряжений в дис-
ках, «Заводская лаборатория», 1962, № 7.
13, Б и р г е р И. А. Методы определения остаточных напряжений в тон-
костенных трубах, «Заводская лаборатория», 1962, № 9.
14. Б и р г е р И. А. Методы определения остаточных напряжений в тол-
стостенных цилиндрах, «Заводская лаборатория», 1962, № 12.
15. Биргер И. А., III о р р Б. Ф., Шнейдерович Р. М.
Расчет на прочность деталей машин, Машгиз, 1959.
16. Богатырев 10. М., Ватурова Т. А., К л и м о ч к и н М. М.
Остаточные напряжения в стали поверхностно закаленной при различных
температурах нагрева, Сб. «Индукционный нагрев и прочностные свойства
стали», Машгиз, 1953.
223
17. Браславский В. М. Упрочнение чеканкой галтелей цилиндров
крупных прессов, «Кузнечно-штамповочное производство», 1961, № 5.
18. Бюлер Г., Шрейбер В. Внутренние напряжения при прессо-
вых посадках, «Машиностроение за рубежом», И. Л., № 11 (65), 1958.
19. Витман Ф. Ф. Остаточные напряжения, Гостехиздат, 1933.
20. Г и р ш о в и ч Н. Г. Чугунное литье, Металлургиздат, 1949.
21. Гликман Л. А., Греков Д. И. Остаточные напряжения
в сварных таврах, Госстройиздат, 1934.
22. Г л и к м а п Л. А., Гончаров С. П. Влияние объемных изме-
нений при дисперсионном твердении па снятие остаточных напряжений при
отпуске, Журнал техн, физики, т. XVI, вып. 7, 1946.
23. Гликман Л. А., Степанов В. А. О возникновении остаточ-
ных напряжений при шлифовании, Журнал техн, физики, т. XVI, вып. 6, 1946.
24. Г л и к м а н Л. А., Сапфирова Т. П., Степанов В. А*
Возникновение остаточных напряжений при шлифовании высоко хромистой
нержавеющей стали, Журнал техн, физики, т. XIX, № 4, 1949.
25. Гликман Л. А., Писаревский М. М. Измерение остаточ-
ных напряжений в поверхностном слое крупных изделий с помощью тензометри-
рования, «Заводская лаборатория», 1951, № 1.
26. Г л и к м а н Л. А. Коррозионно-механическая прочность металлов,
Машгиз, 1955.
27. Г л и к м а н Л. А., Бабаев А. Н. Рациональное применение
способа Закса при определении остаточных напряжений в полых и сплошных
цилиндрах. «Заводская лаборатория», 1956, № 4.
28. Г л и к м а н Л. А. Устойчивость остаточных напряжений и их влия-
ние на механические свойства металла и прочность изделий, Труды Ленинград,
пнж. эконом, ин-та, вып. 13, 1956.
29. Гликман Л. А. Методы определения остаточных напряжений,
Труды Ленингр. инж.-эконом, ин-та, вып. 30, 1960.
30. Г о л ь д е н б е р г А. А. Влияние внутренних превращений на ре-
лаксацию напряжений при отпуске, «Металловедение и термическая обработка
металлов», 1958, № 10.
31. Г у р а П. М. Методы определения остаточных напряжений. Энци-
клопед. справ. «Машиностроение», т. III, 1947.
32. Давиденков Н. Н. Измерение остаточных напряжений в тру-
бах. Журнал техн, физики, вып. 1, т. 1, 1931.
33. Д а в и д е н к о в Н. Н. Об измерении остаточных напряжений,
«Заводская лаборатория», 1937, № 8.
34. Д а в и д е и к о в Н. Н. Об измерении остаточных напряжений,
«Заводская лаборатория», 1950, № 2.
35. Д а в и д е н к о в Н. Н. Об измерении остаточных напряжений,
«Заводская лаборатория», 1950, № 12.
36. Д а в и д е п к о в Н. Н. Измерение остаточных напряжений в дисках,
«Заводская лаборатория», 1957,.№ 3.
37. Д а в и д е п к о в Н. Н. К вопросу о классификации и проявлении
остаточных напряжений, «Заводская лаборатория», 1958, № 3.
38. Д а в и д е н к о в Н. Н. Новый метод рентгенографического решения
плоской задачи теории упругости, Журнал техн, физики, 1941, № 5.
224
39. Д авиденков Н. Н., Шевапдин Е. М. Исследование
остаточных напряжений, создаваемых изгибом, Журнал техн, физики, 1939,
№ 12.
40. Давиденков Н. И., Якутович М. В. Опыт измерения
остаточных напряжений в трубах, Журнал техн, физики, вып. 2, том 1,
1931.
41. Джанелидзе Г. 10. Принцип Сен-Венана, Труды Ленингр.
Политехи, ин-та, вып. 192, 1958.
42. Дрозд М. С. Аналитическое исследование остаточных напряжений,
вызванных поверхностным наклепом, Изв. высш, учебы, завед., «Машинострое-
ние», 1958, № 5.
43. Дьяченко П. Е. Исследование зависимости микро геометрии
поверхности от условий механической обработки. Изд. АН СССР, 1949.
44. Дьяченко П. Е. Качество поверхности деталей машин, Машгиз,
1953.
45. Дьяченко П. Е., До бычин а А. П. Остаточные напряжения
при скоростном резании, «Вестник машиностроения», 1951, № 10.
46. Дьяченко П. Е., Якобсон М. О. Качество поверхности
при обработке металлов резанием, Машгиз, 1951.
47. Ж д а н о в Г. С., Уманский Я. С. Рентгенография металлов,
ч. II, ГОНТИ, 1938.
48. 3 и г в а р т Г. Влияние остаточных напряжений на предел выносли-
вости, Сб. «Усталость металлов», Изд. иностр, лит., 1961.
49. И н д е н б о м В. П. Некоторые наблюдения за разрушением тел
под воздействием внутренних напряжений, Сб. «Некоторые проблемы прочности
твердого тела», Изд. АН СССР, 1959.
50. И с а е в А. И. Влияние технологических факторов на остаточные
напряжения в поверхностном слое при точении конструкционных сталей, Изд.
Всесоюзн. ии-т научи, и техн, информации М-57-166/30, 1957.
51. Калакуцкий Н. В. Внутренние напряжения в чугуне и стали,
С. П. Б. 1887.
52. Качанов Л. М. Основы теории пластичности, Гостехиздат, 1956.
53. Качанов Л. М. Теория ползучести, Физматгиз, 1960.
54. К а ч а н о в Н. Н., Миркин Л. И. Рентгепоструктурный ана-
лиз, Машгиз, 1960.
55. Кащенко Г. А. Основы металловедения, Машгиз, 1959.
56. Кишкин С. Т. Исследования качества поверхностного слоя ло-
паток газовой турбины. Труды МАИ, № 123, Оборонгиз, 1960.
57. Кишкин С. Т., Сулима А. М., Строганов В. П. Ис-
следование влияния наклепа на механические свойства и структуру сплава
ЭИ-437 А. Труды МАИ, вып. 71, Оборонгиз, 1956.
58. Кобрин М. М. Прочность прессовых соединений при повторно-пе-
ременной нагрузке, Машгиз, 1954.
59. К о б р и н М. М., Дехтярь Л. И. Методика определения
внутренних напряжений в прессовых соединениях методом Закса, «Заводская
лаборатория», 1961, № 12.
60. Кобрин М. М., Дехтярь Л. И. Деформационная поправка
и уточнение методики Бюлера, «Заводская лаборатория», 1960, № 12.
15 Заказ 288.
225
61. Ко мп ан е ец Д. С. Остаточные напряжения в закаленных образ-
цах цилиндрической формы, Журнал техн, физики, т. 9, вып. 4, 1939.
62. Константинов Л. С. Внутренние напряжения в отливках
в области пластического состояния металла. «Литейное производство». 1956,
№ 1.
• 63. Ко нто ро вич И. Е., Лившиц Л. С. Остаточные напряже-
ния в стали, Оборонгиз, 1943.
64. К у д р я в ц е в И. В. Внутренние напряжения как резерв прочно-
сти в машиностроении, Машгиз, 1951.
65. Кудрявцев И. В. О влиянии остаточных напряжений на уста-
лостную прочность стали, Об. «Повышение прочности элементов конструкций
и деталей машин», ЦНИИТМАШ, кн. 91, 1959.
66. Кудрявцев И. В., С а в в и н а В. М. Роль остаточных напря-
жений в усталостной прочности валов с неподвижными посадками, «Металло-
ведение и термообработка металлов», 1955, № 5.
67. Кудрявцев И. В., Саверин М. М., Рябченков А. В.
Методы поверхностного упрочнения деталей машин, Машгиз, 1943.
68. Кудрявцев И. В., Александров В. И. Влияние наклепа
на выносливость жаропрочных и теплоустойчивых сталей при высоких темпе-
ратурах, Сб. «Обработка жаропрочных сплавов», АН СССР, 1960.
69. Кудрявцев И. В., Розенман Л. М. О снятии остаточных
напряжений при осевых нагружениях поверхностно-наклепанных образ-
цов, Сб. «Вопросы прочности материалов и конструкций», Изд. АН СССР,
1959.
70. Кудрявцев И. В., Розенман Л. М. Выносливость поверх-
ностно-наклепанных валиков с надрезами, «Металловедение и термообработка
металлов», 1961, № 3.
71. Куликов О. О. О влиянии упрочняющего обкатывания роликами,
Сб. «Повышение прочности элементов конструкций и деталей машин»,
ЦНИИТМАШ, кн. 91, 1959.
72. К у р и л е х Д. Г. Влияние внешней нагрузки на величину и харак-
тер распределения остаточных напряжений, Научные записки Днепропетров-
ского ун-та, 1956, вып. 45.
73. К у р н о с о в Д. Г., Я ку то ви ч М. Б. Измерение остаточных
напряжений методом высверливания отверстий, «Заводская лаборатория»,
1946, № 11-12.
74. К ы о Я. П. Расчет собственных напряжений в гальванических по-
крытиях по деформации катодной пластинки, Сб. научных трудов Эст. с.-х.
акад., 1959, вып. 13.
75. Л и б е р м а н Л. Я., П е й с и х и с М. И. Справочник по свой-
ствам сталей, применяемых в котлотурбостроепии, Машгиз, 1955.
76. Л о к т и о н о в а Н. Д. Об остаточных напряжениях в слитках из
алюминиевых сплавов, Сб. Усадочные процессы в металле, Изд. АН СССР, 1960.
77. Л о м а к и н В. В. Теоретическое определение остаточных напряже-
ний при термической обработке металлов, Сб. «Проблемы прочности в машино-
строении», вып. 2, Изд. АН СССР, 195^.
78. М а т а л и н А. А. Качество поверхности и эксплуатационные свой-
ства машин, Машгиз, 1956.
226
79. Михайлов О. Н. Измерение остаточных напряжений методом
отверстий с помощью проволочных датчиков, «Заводская лаборатория», 1953. № 2.
80. Моно с зо и А. И. О работах И. В. Калакуцкого по исследованию
внутренних напряжений, «Заводская лаборатория», 1950, № 4.
81. Мороз Л. С., Ш у р а ко в С. С. Проблемы прочности цементо
ванной стали, Ленингр. М-во транспорт, машин о стр., 1947.
82. Мэтсон Р. Усталость, остаточные напряжения и упрочнение по-
верхностного слоя наклепом, Сб. «Усталость металлов», Изд. иностр, лиг., 1901
83. Навроцкий Д. И. Прочность сварных соединений при наличии в и их
остаточных напряжений, Сб. «Прочность сварных конструкций», Машгиз, 1958.
84. Нехендзи Ю. А. Стальное литье, Мегаллургпздат, 1948.
85. Николаев Г. А. Сварные конструкции, Машгиз, 1953.
86. Николаев Г. А., Рыка л ин Н. Н. Напряжения в процессе
сварки. Изд. АН СССР, 1948.
87. Новик А. А., Бабич А. С. Повышение усталостной прочности
сварных узлов дизеля поверхностным наклепом, «Вестник машиностроения»,
1961, № 5.
88. Новик А. А., Б л а н т е р М. А. Обкатка поликами как эффек-
тивный метод повышения усталостной прочности шестерен, «Вестник машино-
строения», 1957, № 10.
89. Одинг И. А. Остаточные напряжения и сопротивление усталости
стали, закаленной токами высокой частоты, «Вестник машиностроения», 1942,
№ 4—5.
90. О д и н г И. А. Основы прочности металлов паровых котлов, турбин
и турбогенераторов, Госэнергоиздат, 1949.
91. О к е р б л о м Н. О. Сварочные деформации и напряжения, Маш-
гиз, 1948.
92. Окерблом Н. О. Сварочные напряжения в металлоконструкциях,
Машгиз, 1950.
93. Окерблом Н. О. Расчет деформаций конструкций при сварке,
Машгиз, 1955.
94. Осипов В. О. Результаты исследования релаксации остаточных
напряжений и их суммирования с напряжениями от нагрузки. Труды Моск,
ин-та инж. ж.-д. тр., 1960, вып. 126.
95. Остаточные напряжения, Сб. статей под ред. Осгуда, Изд. иностр,
лит., 1957.
96. Перри К., Лисснер Г. Основы тензометрированпя, Изд.
иностр, лит., 1957.
97. Подзей А. В. Исследование остаточных напряжений в деталях,
подвергнутых шлифованию, Труды МАИ, 129, Оборонгпз, 1960.
98. Подзей А. В., Логинов В. Е., Новиков Н. Н. Тензо-
метрирование остаточных напряжений, «Станки и инструмент», 1958, № 6.
99. Подзей А. В., Серебренников Г. 3. Регулирование
остаточных напряжений сквозным нагревом деталей с последующим быстрым
охлаждением, Труды МАИ, № 140, Оборонгиз, 1960.
100. Пономарев С. Д., Бидерман В. Л., Лихарев К. К.,
Макушин В. М., Малинин Н. Н., Фео досье в В. И.
«Расчеты на прочность в машиностроении», т» III, 1959.
15*
227
101. По та к Я. М. Хрупкие разрушения стали и стальных деталей,
‘Оборопгиз, 1955.
102. Прохоров И. И. Прочность металлов при сварке, Сб. «Усадоч-
ные процессы в металлах», АН СССР, 1960.
103. П р у ж а и с к и й Л. Ю. Метод определения внутренних напряже-
ний в тонкостенных биметаллических образцах, Сб., «Трение и износ в машинах»,
вып. 14. АН СССР, 1960.
104. Поперека М. Я. Исследование электро кристаллизационных на-
пряжений в гальванических покрытиях, «Заводская лаборатория», 1961, № 9.
105. Ратнер С. И. Разрушение при повторных нагрузках, Оборон-
гиз, 1959.
106. Розенталь Д. Измерение остаточных напряжений, Сб. «Оста-
точные напряжения», Изд. Иностр, лиг., 1957.
107. Ровинский Б. М., Макеева В. И. Физика металлов и ме-
талловедение, т. 5, вып. 2, Металлургиздат, 1957.
108. Р у з г а 3. Электрические тензометры сопротивления, Госэнерго-
издат, 1961.
109. Рыжиков А. А. Теоретические основы литейного производства,
Машгиз, 1954.
110. Рыжиков А. А. Технологические основы литейного производ-
ства, Машгиз, 1962.
И Г; С а в е р и н М. М. Дробеструйный наклеп, Машгиз, 1955.
112. С а н ж а р о в с к и й А. Т. Внутренние напряжения в покрытиях.
«Высокомолекулярные соединения, 1960, вып. 2, № 11.
ИЗ. С е р е б р е н н и к о в Г. 3. Определение остаточных напряжений
при ускоренном нагреве, «Станки и инструмент, 1959, № 9.
114. С е р е б р е н и и к о в Г. 3. Инженерная методика расчета терми-
ческих напряжений при сквозпых нагревах и охлаждениях, Изд. вузов МВО
СССР, «Машиностроение», 1959, № 8.
115. С е р е н с е н С. В. Сопротивление усталости в связи с упрочнением
и конструктивными факторами, Сб. «Повышение усталостной прочности дета-
лей машин поверхностной обработкой», Машгиз, 1952.
116. Серенсен С. В. Механическая обработка поверхности и проч-
ность деталей машин, Сб. «Прогрессивная технология машиностроения», ч. II,
Машгиз, 1952.
117. Серенсен С. В. Качество поверхности стальных деталей и их
•сопротивление усталости, Сб. «Вопросы машиноведения», Изд. АН СССР, 1950.
118. Серенсен С. В., К о г а е в В. П., Козлов Л. А., Шней-
дер о в и ч Р. М. Несущая способность и расчет на прочность деталей машин,
Машгиз, 1954.
119. Серенсен С. В., Мещанинова Г. П. Тензометрическое
определение остаточных напряжений в диске переменной толщины, Журнал
техн, физики, 1954, т. 24, вып. 3.
120. С Клюев Н. В., Ларионов Н. В.. Сапрыгин И. С.
Уменьшение напряжений в деталях при отпуске. «Вестник машиностроения»,
1959, № 2.
121. Смолян и цкий Я. А. Методика определения напряжений в
.литых конструкциях», «Заводская лаборатория», 1949, № 5.
228
122. С мо л ян и ц ки й Я. А. Снятие напряжений в литых конструк-
циях местным индукционным нагревом, «Вестник машиностроения», 1951,
№ 10.
123. Степанов В. А., Ходакова Л. Г. Измерение остаточных
напряжений в закаленных стеклах механическим методом, Сб. «Некоторые про»
блемы прочности твердого тела», Изд. АН СССР, 1959.
124. Талыпов Г. Б. Приближенная теория сварочных деформаций
и напряжений. Сб. «Усадочные процессы в металлах», Изд. АН СССР, 1960.
125. Тимошенко С. П. Теория упругости, ОНТИ, 1934.
126. Усталость металлов, Сб. статей под ред. Г. В. Ужика, Изд. иностр,
лит., 1961.
127. Федоров В. Б. Остаточные напряжения и усталостная прочность
при центробежно-шариковом наклепе, Труды Уральского политехи, ин-та,
1961, сб, 112.
128. Фео досье в В. И. Сопротивление материалов, Физматгиз, 1961 •
129. Феппль А., ФеппльЛ. Сила и деформация, ч. 1, ОНТИ, 1932.
130. Финк К., Рорбах X. Измерение напряжений и деформаций,
Машгиз, 1961.
131. Фридман Я. Б. Механические свойства металлов, Оборонгиз,
1952.
132. Фукс Г. Влияние дробеструйной обработки на сопротивление
усталости, Сб. «Усталость металлов», Изд. иностр, лит., 1961.
133. Хоргер О., Нейферт Г. Влияние остаточных напряжений
на усталостную прочность деталей машин, Сб. «Остаточные напряжения», изд,
иностр, лит., 1957.
134. Ц о б к а л о С. О., Васильев Д. М. Измерение остаточных
напряжений путем вырезания столбика, «Заводская лаборатория», 1949, № 2.
135. Шаши н М. Я. О механизме повышения циклической прочности
при обработке деталей дробью, Сб. «Повышение износостойкости и срока службы
машин», т. 2, изд. АН УССР, 1960.
136. Шнеерсон Л. М., Е л е н е в с к и й Д. С. О полюсных раз-
рушениях зубьев шестерен, Сб. «Повышение износостойкости и срока службы
машин», т. 2, Изд. АН УССР, 1960.
137. Штейнберг И. С. Влияние режимов резания, геометрии резца
и состояния обрабатываемого металла на качество обработанной поверхности,
Сб. Качество поверхности деталей машин», ч. II, Машгиз, 1950.
138. Ш т е й н б е р г И. С. Применение упрочняющей чеканки для по-
вышения усталостной прочности деталей машин, Сб. «Качество поверхности де-
талей машин», т. 4, Изд. АН СССР, 1959.
139. Шур Д. М. Силовой метод определения остаточных напряжений,
«Заводская лаборатория», 1959, № 5.
140. Яновский И. И., Теней баум М. М., Романен-
ко Н. К. О снижении внутренних напряжений при напайке пластинок твердого
сплава, «Вестник машиностроения», 1960, № 5.
141. А 1 m е n I. Fatique weakness of surfaces Product Engineering, vol 21,
1950, N 11.
142. Barker A., Hardy E. Measurement of residual stresses in alloy
steel forgings., Proc. Inst. Meeh. Engrs., 1957, 171, N 17.
229
143. Buhler H., Buchholtz H. Uber die Wirkung von Eigens-
pannungen auf die Schwindungsfestigkeit, Stahl und Eisen, 3, December 1933.
144. Dugdall D. Effect of residual stress of fatigue strength, Weld. I.,
1959, 38, N 1.
145. Fuchs H. Hutchinson E. Shot peening, Mach., Design. r
1958, 30, N 3.
146. Gio eke r R., Materialpriifung mit Rontgenstrahlen, Springer-Ver-
lag, 1949.
147. Halverstadt R. Analysis of residual stress in ground surface
of hightemperature alloys, Trans. ASME, 1958, 80, N 4.
148. Heindelhofer K. Evaluation of Residual Stresses, New York,.
1948.
149. Heriksen E. Residual stresses in Machined Surfaces., Trans of
ASME, 73, 1951.
150. Houdremont E., Scholl H. Die Bewertung innercr Span-
nungen fur die Praxis, z. Mettallkunde, 1959 50 N 9.
151. Laurent, Beitrag zur liickenlosen Bestimmung des Eigenspannungzus-
tandes in metallischen Hohezylindern, Forsch Geb. Ingenierwesens, 1959, 25,
N 2.
152. L e t n e r H. Residual Grinding Stresses in Hardened Steel, Trans.
ASME, vol. 77, 1955, N 7, 1089—1098.
153. M a s i n g B. Lehrbuch der allgemeinen Metallkunde, Springer — Ver-
lag, 1950.
154. Rassweiler G., Crube W. Internal stresses and fatigue in
metalls, London, 1959.
155. Reed E., V i e n s I. The influence of surface residual stress on fa-
tigue limit of titanium, Paper Amer. Soc. Meeh. Engrs, 1959, N PROD-L
156. Richards D. Relief and Redistribution of Residual Stresses in
Metals, Residual stress Measurements, Am. Soc. Metals, 1952, 129—204,
157. Sachs G. Der Nachweis inneres Spannungen in Stangen und Rohren,
Zeitschr., fur, Metallkunde Bd 19, 1927, s. 352.
158. Sachs G., Espey G. A new method for determination of stress
distribution in thin Walled tubing, Trans., Inst, of Metals Division ASME, Vol. 147,
1942, p. 348.
159. Taira, Murakami, On the changes in residual stresses due to
repeated stressing, Trans. Japan Soc. Meeh. Engrs, 1959, N 70, 155.
160. Taira, Murakami, On the residual stresses due to alternating
stressing of amvealed steels, Bull. ASME, 1961, 4, N 13.
161. T h u m A, В a u t z W. Ursachen der Steigerung der Dauerhaltbarkeit
Forschung Gebiete Ing. Wes. 1935, N 6, s. 121.
162. Treuting R, Read W. Mechanical determination of Biaxial
Residual stress.in Sheet materials, Journal of Appl. Phys., 22, 130, 1951.
Оглавление
Предисловие ........................................................ 3
Глава 1. Образование остаточных напряжений ..................... 5
1. Образование остаточных напряжений после пластической
деформации................................................. 6
2. Образование остаточных напряжений после нагрева или
охлаждения ............................................... 12
3. Остаточные напряжения после некоторых технологических
процессов................................................. 17
4. О наибольшей величине и релаксации остаточных напря-
жений .................................................... 35
Глава 2. Влияние остаточных напряжений на прочность при стати-
ческих и переменных нагрузках ...................................... 40
5. Влияние остаточных напряжений на прочность при стати-
ческих нагрузках ......................................... 40
6. Влияние остаточных напряжений на прочность при пере-
менных нагрузках ......................................... 46
Глава 3. Общие основания механических методов определения оста-
точных напряжений . 55
7. Основной принцип и общая постановка задачи........... 55
8. Некоторые общие положения.............................. 58
Глава 4. Определение остаточных напряжений в стержнях.......... 60
9. Стержни прямоугольного сечения (метод замера прогибов) 60
10. Некоторые практические указания и пример расчета ... 74
11. Стержни прямоугольного сечения (метод замера деформа-
ций) ..................................................... 79
12. Стержни произвольного сечения......................... 85
Глава 5. Определение остаточных напряжений в пластинках .... 95
13 Предварительные замечания ............................. 95
14. Метод полосок......................................... 98
15. Метод плоских срезов................................. 102
Глава 6. Определение остаточных напряжений в тонкостенных трубах 105
16. Метод колец и полосок ............................... 106
17. Метод И. Н. Давиденкова.............................. 126
Глава 7. Определение остаточных напряжений в дисках........... 132
18. Предварительные замечания ............................ 132
19. Метод растачивания ... -.............................. 135
20. Метод колец.......................................... 141
21. Метод разрезки колец................................. 145
22. Метод кубиков и сравнение различных методов........... 151
23. Диски переменной толщины . . . - 153
231
Глава 8. Определение остаточных напряжений в полых и сплошных
цилиндрах ....................................................... 15с,
24. Метод Закса ............................................ 157
25. Первый метод дисков ................................... 16(>
26. Второй метод дисков .................................... 169
Глава 9. Определение остаточных напряжений в поверхностных
слоях деталей произвольной формы ........................... 174
27. Метод освобождения ..................................... 174
28. Метод отверстий ........................................ 178
Г л а в а 10. Рентгеновский метод определения остаточных напряжений 183
29. Общие основы рентгеновского метода............... 183
30. Определение деформации кристаллической решетки ... 187
31. Расчет остаточных напряжений ........................... 192
Г л а в а 11. Расчет остаточных напряжений в стержнях и кольцах по пер-
воначальным деформациям .......................................... 200
32. Общая формула для определения остаточных напряжений
в стержнях ............................................... 200
33. Расчет остаточных напряжений в кольцах........... 208
Г л а в а 12. Расчет остаточных напряжений в круглых пластинках и ци-
линдрах по первоначальным деформациям 210
34. Расчет остаточных напряжений в круглых пластинках (дис-
ках) ..................................................... 210
35. Расчет остаточных напряжений в цилиндрах .............. 214
Литература ........................................................ 223
Технический редактор Н. Ф. Дёмкина Корректор А. М. Усачева
Переплет художника А. Г. Сорензон
Сдано в производство 21/11 1963 г. Подписано к печати 27/VII 1963 г.
Т-10516. Тираж 4000 экз. Печ. л. 14,5 Бум. л. 7,25.
Уч.-изд. л. 13,6. Цена 78 коп. Формат 60Х901/!*. Зак. 288.
Типография «Красный Печатник». Ленинград, Московский проспект, 91.