Лекции по алгебраической топологии. Теория гомотопий клеточных пространств - Постников М.М.

Автор: Постников М.М.
Теги: математика алгебра лекции издательство наука учебная литература главная редакция физико математической литературы теория гомотопий клеточное пространство
Год: 1985
Похожие
Лекции по алгебраической топологии. Основы теории гомотетий
Семинар по группам Ли и алгебраическим группам
Библиотечка квант 07. Введение в теорию групп
Методы гомологической Алгебры Т.1. Введение в теорию космологий и производные категории
Текст
                    М. М.ПОСТНИКОВ
ЛЕКЦИИ
ПО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ
ТОПОЛОГИИ
теория
гомотопий
клеточных
пространств
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 5

22.15
П63
УДК 513.83
Постников М. М. Лекции по алгебраической топологии.
Теория гомотопий клеточных пространств.—М.: Наука. Главная
редакция физико-математической литературы, 1985.—336 с.
Книга является непосредственным продолжением книги «Лекции
по алгебраической топологии. Основы теории гомотопий» того же
автора, однако вполне доступна читателям и не знакомым с ней
(но владеющим элементами теории гомотопий).
Основное внимание в книге уделено гомотопической теории
клеточных пространств и теории гомотопических групп сфер.
Книга предназначена студентам старших курсов университетов,
аспирантам и научным работникам, специализирующимся в области
топологии и смежных дисциплин.
Ил. 19. Библиогр. 19 назв.
Рецензент
кандидат физико-математических наук Д. Б. Фукс
© Издательство «Наука»
1702040000—033 Главная редакция
п _„ //ч_ тг=—29 85 физико-математической
11 053@2)—85 ™ °° литературы, 1985

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
ЛЕКЦИЯ I 9
Относительные клеточные пространства.—Теорема Бор-
сука.— Клеточные пространства и их клеточные под-
подпространства.— Клеточные отображения.— Склеивание
клеточных пространств.— Конечномерные и связные кле-
клеточные пространства.— Конечные и счетные клеточные
пространства.— Локально конечные клеточные простран-
пространства.— Произведения клеточных пространств.— Клеточ-
Клеточное пространство XXI.— Цилиндр и конус клеточного
отображения .
ДОПОЛНЕНИЕ 33
Произведения счетных клеточных пространств.— Локаль-
Локальная стягиваемость клеточных пространств.—Параком-
пространств.—Паракомпактность клеточных пространств.— Гомотопически пол-
полноценные пространства.
ЛЕКЦИЯ 2 40
Вспомогательная теорема.— Теорема о п-спязности пары
(X, X").— Теорема о клеточной аппроксимации непре-
непрерывных отображений.— Общая теорема Фрейденталя.—
Стационарные и метастационарные гомотопические груп-
группы сфер.— Группы nnSn и группа Яз5а.— Степень отобра-
отображения.— Антиподальное отображение и касательные по-
поля на сферах.
ДОПОЛНЕНИЕ 58
Линейные симплексы.— Симплициальные схемы.— Сим-
плициальные пространства.— Барицентрическое измель-
измельчение симплициальной схемы.— Мелкость барицентри-
барицентрического измельчения триангуляции,—Вспомогательная
теорема в симплициальном варианте.— Теорема о счет-
ности множества [X, Y].— Симплициальные аппроксима-
аппроксимации клеточных пространств.— Триангуляция простран-
пространства |S|x/.— Симплициальный цилиндр симплициаль-
ного отображения.— Конус над симплициальным прост-
пространством.— Доказательство теоремы о симплиниальных
аппроксимациях клеточных пространств.
1*

ЛЕКЦИЯ 3 85
Слабые гомотопические эквивалентности.— Клеточные
эквиваленты топологических пространств.— Пунктиро-
Пунктированные клеточные эквиваленты.— «Экономное» построение
клеточного эквивалента.—Наращивания и вдавливания.—
Теорема Уайтхеда о оо-эквивалентностях.— Ее обобще-
обобщение на случай jV-эквивалентностей.
ДОПОЛНЕНИЕ 102
Представимые функторы и классифицирующие пары.—
Непрерывность представимых функторов.— Обратные
пределы диаграмм.— Амальгамы в гомотопической кате-
категории,— Полуточные функторы.— Теорема Брауна.—
Универсальные пары,— Построение универсальных пар.—
Лемма о надъективности.— Свойства полуточных функ-
функторов.— Завершение доказательства теоремы Брауна.—
Финитно полуточные функторы.— Каноническое распрост-
распространение функторов с категории конечных пространств.—
Финитно гомотопическая категория и представимость
функтора F.— Лемма Йонеды и ее варианты для функ-
функтора F.— Теорема Адамса.—Лемма об обратных пре-
пределах.— Последовательность Майера — Виеториса.— За-
Завершение доказательства теоремы Адамса.— Полуточные
функторы на категории CW.— Последовательность Пуп-
пе непунктированной пары.— Полуточные функторы с
тривиальной группой коэффициентов.— Доказательство
теоремы Хеллера.— Другие категории.
ЛЕКЦИЯ 4 160
Гомотопические операции.— Многоместные гомотопичес-
гомотопические операции.— Гомотопические группы букетов.— Ад-
Аддитивные гомотопические операции.—Умножение Уайт-
Уайтхеда.— Алгебраические свойства умножения Уайтхеда.
ДОПОЛНЕНИЕ 177
Стационарное гомотопическое кольцо сфер.— Смеш-умно-
жение в гомотопических группах.
ЛЕКЦИЯ 5 185
Джойн пространств.— Обобщенное умножение Уайтхеда.—
Конструкция Хопфа.— Джойн отображений и гомотопи-
гомотопических классов.— Альтернативное определение умноже-
умножения Уайтхеда.— Косокоммутативность умножения Уайт-
Уайтхеда.— Билинейность умножения Уайтхеда.— Тождество
Якоби для умножения Уайтхеда.
ДОПОЛНЕНИЕ 206
Пространство SQSX.— Пространство Q (Л ASK).— Прост-
Пространство Q (SXySY).— Группы я„ (SXySY).— Теорема
Хилтона—Милнора.
ЛЕКЦИЯ 6 235
Тип отображения произведения сфер.— Надстройка над
произведением Уайтхеда.— Достаточное условие дистри-

Содержание 5
бутивности слева композиционного умножения.— Инвари-
Инвариант Хопфа—Уайтхеда.—Инвариант Хопфа.— Простей-
Простейшая аддиционная лемма.— Аддиционная лемма Дж. Уайт-
• хеда.— Инвариант Хопфа конструкции Хопфа.— Сущест-
Существование отображений с инвариантом Хопфа, равным еди-
единице.— Обобщенный инвариант Хопфа — Уайтхеда.
ДОПОЛНЕНИЕ 256
Теорема Хилтона.—Инварианты Хопфа — Хилтона.—
Инвариант h0.— Инварианты ftt и А2.— Формула для
(*Р) о а.
ЛПКЦИЯ 7 265
Теорема вырезания для гомотопических групп.— Редук-
Редукция теоремы вырезания к теореме Блейкерса — Масси.—
Доказательство теоремы Блейкерса — Масси.—Оконча-
Масси.—Окончательное упрощение надстроечной последовательности.
ЛЕКЦИЯ 8 276
Вычисление гомоморфизма Р.— «Трудная часть» теоремы
Фрейденталя.—Вычисление групп jiiS и n2S,— Пре-
Преобразование формулы, определяющей инвариант Хопфа— .
Уайтхеда.— Явное вычисление отображений классов Q'a
и Л Q'a.— Доказательство теоремы Дж. Уайтхеда.
ЛЕКЦИЯ 9 293
Заклеивание гомотопических групп и убивающие прост-
пространства.—Пространства типа (Д, /г).— Вычисление фун-
фундаментальной группы произвольного клеточного прост-
пространства.—Теорема Зейферта — ван Кампена для клеточ-
клеточных пространств.—Группа nn+i(X, А) при односвязном
А.— Операторное свойство универсальных накрытий.—
Накрытия клеточных пространств.— Группа jrn+j (X, A)
в общем случае.
ДОПОЛНЕНИЕ 311
Двумерные поверхности.— Эйлерова характеристика и
трехмерные многообразия.— Вычисление фундаменталь-
фундаментальных групп некоторых трехмерных многообразий.— Пере-
Перестройки многообразий.— Фундаментальные группы мно-
многообразий размерности п^4.— Поведение фундаменталь-
фундаментальной группы при перестройках трехмерных многообра-
многообразий.— Торические узлы и их группы.— Многообразие
Дена.
ЛИТЕРАТУРА 331
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 334

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является непосредственным продол-
продолжением книги «Лекции по алгебраической топологии.
Основы теории гомотопий». Напомню, что в указанной
книге была отражена лишь первая часть курса по теории
гомотопий, который я неоднократно читал для студентов
и аспирантов МГУ. Вторая его часть (которая и отражена
в предлагаемой читателю книге) состоит из 9 лекций.
В лекции I (бывшей в курсе лекцией 11) вводится
и изучается категория клеточных пространств. Более
хлопотно доказываемые свойства клеточных пространств
(локальная стягиваемость и паракомпактность) вынесены
в Дополнение.
В лекции 2 на основе обычной техники гладкой ап-
аппроксимации доказывается /г-связность пар (X, Хп) и
теорема о клеточной аппроксимации. В качестве прило-
приложения доказывается теорема Фрейденталя с обычными
следствиями. В заключение рассматриваются свойства
антиподальных отображений. В Дополнении после изло-
изложения основных понятий теории симплициальных прост-
пространств теорема об аппроксимации доказывается в ее сим-
плициальном варианте. В этом же Дополнении на основе
техники симплициальных аппроксимаций пространств до-
доказывается теорема о счетности множества [X, У], анон-
анонсированная в лекции 0 «Основ теории гомотопий».
В лекции 3 категория клеточных пространств срав-
сравнивается с категорией всех пространств (теорема о том,
что любое топологическое пространство слабо гомотопи-
чески эквивалентно клеточному пространству). Здесь же

ПРЕДИСЛОВИЕ 7
доказывается теорема Уайтхеда о гомотопических экви-
валентностях. Дополнение к этой лекции посвящено
теоремам представимости (Брауна, Адамса и Хеллера).
На этом общая теория клеточных пространств вре-
временно прерывается, и со следующей лекции мы обра-
обращаемся к теории гомотопических операций.
В лекции 4 излагаются общие теоремы о гомотопических
операциях (вытекающие из представимости гомотопичес-
гомотопических групп), характеризуются аддитивные операции и
вводится умножение Уайтхеда. В лекции 5 обсуждается
обобщенное умножение Уайтхеда и доказываются его ал-
алгебраические свойства (косокоммутативность, билинейность
II тождество Якоби). В Дополнении к лекции 5 доказы-
доказывается теорема Хилтона—Милнора о гомотопических
группах букетов надстроек.
Геометрические свойства умножения Уайтхеда обсуж-
обсуждаются в лекции 6. Там же вводится инвариант Хопфа
и его обобщения по Уайтхеду. Методом Уайтхеда вычисля-
вычисляется инвариант Хопфа конструкции Хопфа и, в частности,
инвариант Хопфа отображений Хопфа. В Дополнении
вводятся и изучаются инварианты Хопфа, обобщенные
по Хилтону. В частности, обсуждается левый дистрибу-
дистрибутивный закон для композиционного умножения.
В лекции 7 мы, возвращаясь на время к клеточным
пространствам, доказываем теорему Блейкерса и Масси
о вырезании для триад и на ее основе—теорему Фрей-
денталя для любых связных пространств.
В лекции 8 доказывается «трудная часть» теоремы
Фрейденталя и вычисляются группы nn+1Sn и ля+25'1.
В вычислении последней'группы ключевую роль играет
тот факт, что элемент г)пот]п+1 группы. пп+а5" отличен от
нуля. «Современное» доказательство этого факта основы-
основывается на теории когомологических операций. Поскольку
этот путь нам пока недоступен, мы вынуждены изложить
прямое геометрическое доказательство, предложенное в
свое время Дж. Уайтхедом.

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
Материал заключительной лекции 9 концентрируется
вокруг вопроса о влиянии на гомотопические группы я„
приклеивания клеток. При «el мы получаем известное
описание образующих и соотношений фундаментальных
групп клеточных пространств, что, в частности, позволяет
доказать для этих пространств теорему Зейферта—ван
Кампена в ее классической формулировке. При п> 1
вводятся убивающие пространства, строятся пространства
Эйленберга—Маклейна и вычисляется группа пп (Xя,
Xn+1) (на этой основе и будет в следующем семестре
построена теория гомологии). В Дополнении к этой лек-
лекции вкратце рассматриваются трехмерные многообразия
и их фундаментальные группы.
Принципы составления библиографии и указания ав-
авторов теорем сохранены прежними (см. Предисловие к
«Основам теории гомотопий»).
При ссылках на лекции из «Основ теории гомотопий»
их номера сопровождаются римской цифрой I.
М. М. Постников

ЛЕКЦИЯ 1
Относительные клеточные пространства.—Теорема Бор-
сука.— Клеточные пространства и их клеточные подпро-
подпространства.— Клеточные отображения.—Склеивание кле-
клеточных пространств. — Конечномерные и связные клеточ-
клеточные пространства. — Конечные и счетные клеточные про-
пространства.—Локально конечные клеточные пространст-
пространства.— Произведения клеточных пространств. — Клеточное
пространство Xxl-—Цилиндр и конус клеточного ото-
отображения.
В этой лекции мы опишем класс топологических про-
пространств, наиболее приспособленный для построения в нем
теории гомотопий.
Напомним, что при приклеивании к пространству А
пространства Е по непрерывному отображению /: S—+ А,
где ScE, получается пространство Х = Е и fA, являю-
являющееся факторпространством дизъюнктного объединения
E\JA по минимальному отношению эквивалентности, в ко-
котором x~f (х) для любой точки х € S. Отображение факто-
факторизации ЕцА—*-Х является на ?\S и А монеоморфиз-
мом, так что без ограничения общности можно считать,
что E\S<=.X и АаХ. Тогда X=*(E\S)[)A, и множест-
множество РсХ тогда и только тогда замкнуто в X, когда мно-
множество S и ((?\5) П Р) замкнуто в Е, а множество А Л Р
замкнуто в Л. В частности, если 5 замкнуто в Е, то А
замкнуто в X.
В случае пустого S по определению считается, что
Для нас особое значение будет иметь случай, когда
Е представляет собой дизъюнктное объединение замкну-
замкнутых шаров Еа одной и той же размерности n^O, a S
состоит из^их граничных сфер Sa. В этом случае ограни-
ограничение на каждом шаре Еа отображения факторизации
Я|_|Л—*Х представляет собой непрерывное отображение
%<х* Еа. *" X,
являющееся гомеоморфизмом открытого шара Еа на его
образ еа = Ха (Ёа) и эпиоморфизмом замкнутого шара Еа
на множество еа = %а(Еа).

10 ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Заметим, что здесь мы не отождествляем ?\S с его
образом в X. Напротив, в отношении А мы это отожде-
отождествление^ сделаем, т.е. будем считать пространство А под-
подпространством пространства X. Так как S замкнуто в Е,
то А замкнуто в X.
Определение /. Описанное пространство Х = Е (J/А
называется элементарным клеточным расширением про-
пространства А. Число п называется размерностью расши-
расширения.
При п = 0 расширение X является дизъюнктным"объе-
дизъюнктным"объединением пространства А и некоторого дискретного мно-
множества.
Пространство/ получающееся ич пространства А пос-
последовательностью (вообще говоря, бесконечной; см. ниже)
элементарных клеточных расширений возрастающих
размерностей, называется клеточным расширением
пространства А, а пара (X, А) называется клеточным
пространством относительно А.
Таким образом, каждое клеточное расширение X про-
пространства А является объединением возрастающей после-
последовательности
A) . Л =
таких подпространств Х% что для каждого л^О подпро-
подпространство ХА либо совпадает с пространством Х^, ли-
либо является его элементарным клеточным расширением
размерности п. При этом ввиду бесконечности последова-
последовательности A) требуется объяснить, как в объединение X
пространств ХА вводится топология. Как всегда в ана-
аналогичных ситуациях мы будем требовать, чтобы простран-
пространство X было свободным объединением пространств Х^, т. е.
чтобы подмножество СсгХ тогда и только тогда было зам-
замкнуто в X, когда для любого л>0 его пересечение С[\ХпА
с Х^?замкнуто в ХА. Другими словами, мы будем требо-
требовать, чтобы последовательность A) была фильтрацией про-'
странства X.
Члены ХпА фильтрации A ^называются остовами отно-
относительного клеточного пространства" (X, А) и обозначают-
обозначаются также символом Skn(X,i4). Ясно^'что все пары (ХА, А)
также являются клеточными пространствами относитель-
относительно А. Если Х = Х^ и ХфХА~*?то число п"называется
размерностью относительного [клеточного пространства
(X, А) и обозначается символом dim(X, А). Если Х^Х^'
при каком п, то по определению dim(X, Л) = о

ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Ц
\
Подмножество е топологического пространства X на-
называется клеткой в X, если существует такое непрерыв-
непрерывное отображение %: Еп—>¦ X единичного n-мерного шара
Е" в пространство X, что:
а) замыкание е подмножества е является образом % (?")
шара Еп при отображении %, причем отображение %,
рассматриваемое как отображение Е"—*е, представляет
собой эпиоморфизм;
б) при л>0 ограничение i\^n отображения % на вну-
внутренности E"^E"\Sn~1 шара Еп является гомеоморфиз-
гомеоморфизмом открытого шара ?" на е, причем %(Sn~1) = e\e.
Отображение % называется характеристическим для
клетки е, а его ограничение" на 5"—отображением,
приклеивающим клетку е. Число п называется размернос-
размерностью клетки е и обозначается символом dime.
Для элементарного клеточного расширения Е \} t A
введенные выше множества еа в= ха [Еа) являются клетка-
клетками, а отображения %а—характеристическими отображе-
отображениями. Клетки еа, построенные для каждого элементар-
элементарного клеточного расширения Х1^, будут, конечно, и клет-
клетками свободного объединения X = [)Х% пространств Х\,
причем
Г. Подпространство Х\А является дизъюнктным
объединением этих клеток.
Указанные клетки называются клетками относитель-
относительного клеточного пространства {X, А). Для обозначения
того, что клетка е в X является клеткой пространства
(X, А), мы будем пользоваться либо формулой е 6 (X, А),
либо формулой ебХ\Л-
По определению элементарного клеточного расширения
Е \} f А множество СаЕ U/ А тогда и только тогда замк-
замкнуто, когда замкнуты его пересечения с Л и с замыка-
замыканием любой из клеток е?Х\А. Поэтому аналогичное
утверждение имеет место и для любого относительного
клеточного пространства (X, А), т. е.
2°. Подмножество СаХ тогда и только тогда замк-
замкнуто, когда:
i) пересечение А{\С замкнуто в А; _
ii) для любой клетки е?Х\А пересечение А[\е замк-
замкнуто в е.
Отсюда следует, что каждое компактное подмножество
К пространства X пересекается лишь с конечным числом

12 ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
/'
клеток е g X\A (в противном случае, выбрав в каждом
из непустых множеств К Г\е по точке, мы получим в ком-
компактном множестве К бесконечное дискретное подмноже-
подмножество).
В частности, любой путь в X задевает лишь конечное
число клеток е (Е Х\А.
Множество е = е\е называется границей клетки е.
При п>0 оно не пусто (а при п = 0, напротив, пусто)
и, являясь непрерывным образом компактного множества
S", компактно. Следовательно,
3°. Граница е любой клетки е?Х\А пересекается
лишь с конечным числом клеток клеточного пространства
(Х,А).
Кроме того, по построению,
4°. Если е€Х?\Л, то e'cXf1.
Наконец,
5°. Клеточное расширение X нормального пространст-
пространства А нормально.
Это свойство немедленно вытекает из следующих двух
общетопологических лемм:
Лемма I. Пространство X нормально, если оно обла-
обладает фильтрацией
состоящей из нормальных подпространств.
Доказательство. Ясно, что все точки простран-
пространства X замкнуты. Поэтому достаточно доказать, что для
любых двух дизъюнктных замкнутых множеств P,QczX
существует такая непрерывная функция ф: Х—+/, что
Ф = 0 на Я и ф=1 на Q. Для этого в свою очередь доста-
достаточно построить для каждого я^О такую непрерывную
функцию ф„: Х„—»¦/, что Ф„ = 0 на А[]Хп, ф=1 на
ВпХп и ф„ = фп+1и„ (ибо тогда, положив Ф(х) = ф„(х),
если х € Хп, мы корректно определим функцию ф с нуж-
нужными свойствами).
Существование функции ф0 обеспечивается нормально-
нормальностью пространства Хо. Пусть для некоторого п^О функ-
функция ф„ уже построена. Тогда формула
„,
Ф„ (х), если х 6 Хл
Ф»(*)Н °> если «€^ПХж+ь
1, если х

ТЕОРЕМА БОРСУКА 13
корректно определяет непрерывную функцию ф„ на за-
замкнутом подмножестве Хп[]{ЛТ[Хп+1)и(В(]Хп+1) нор-
нормального пространства Хп+1. Произвольно продолжив
(по теореме Титце) эту функцию Ха все пространство
X,,+i, мы и получим функцию фп+1 с^нужными свойства-
свойствами. ?
Лемма 2. Для любых нормальных пространств Е и А,
любого замкнутого подмножества ScE и любого непрерыв-
непрерывного отображения f: S—+A пространство Х — Е[}ГА
нормально.
Доказательство. Снова достаточно доказать, что
для любых дизъюнктных замкнутых множеств P,QcX
существует такая непрерывная функция ф: X—¦+/, что
ср — 0 на Р и ф = 1 на Q.
Так как пространство АсХ нормально, то существует
такая функция а: А —>¦ /, что а = 0 на Р(] А и а = 1 на
РпВ. Ясно, что формула
если x?S,
если x€P()(E\S),
если xeQO{E\S)
(мы считаем, что E\ScX), корректно определяет непре-
непрерывную функцию а на замкнутом подмножестве 5 и (Р и
U(?\S))u (Q П (E\S)) нормального пространства Е.
Пусть р—ее продолжение на все пространство Е (суще-
(существующее по теореме Титце). Тогда формула
О,
1,
Р(*). если
а(х), если х?А
(напомним, что X = (E\S)\JА), будет корректно опреде-
определять функцию ф: X—*/ с нужными свойствами. П-
Замечание 1. Если нормальность мы заменим хаус-
хаусдорфовостью, то лемма 1 сохранится, а лемма 2 окажет-
окажется неверной. Тем не менее свойство 5° после этой заме-
замены все же сохранится. Этот факт нам не понадобится.
Значение относительных клеточных пространств в тео-
теории гомотопий определяется следующим предложением
Предложение 1. Каждое относительное клеточное
пространство (X, А) является замкнутой парой Борсука.
Из этого предложения немедленно вытекает следую-
следующее утверждение:

14
ТЕОРЕМуБОРСУКЛ.
Следствие. Для любого относительного клеточного
пространства (X, А) фильтрация A) является фильтра-
фильтрацией Борсука. П /
Обратно, в силу .леммы 1 лекции 1.10 *) из этого след-
следствия вытекает приложение 1.
Поскольку при выводе следствия предложение 1 при-
применяется только к элементарным клеточным расширениям,
отсюда следует, что предложение 1
нам достаточно доказать лишь для
этого случая. Иными словами (см.
следствие из предложения 1 лекции
1.1), нам достаточно доказать, что
для любого элементарного клеточно-
клеточного расширения X произвольного про-
пространства А подпространство Л=
= (X х 0) и (А х /) произведения X х /
является его ретрактом. Это утвер-
утверждение мы и будем доказывать.
Доказательство предложения 1. В частном
случае, когда (X, А) — (Еп, S") ретракция г: ?"х/—»¦
-^->-Sn~1 = (Enx0)U(Sn~1x 1) задается проектированием
из точки @,2)gR"xR (см. рис. 1), т.е. формулами
Рис. 1.
B) г(лг, 0 —
о
если . 2|лг|<2 — t,
2\х| + *-2), если 2\x\>2-t.
В общем случае элементарное клеточное расширение
Х = Е и / А является факторпространством дизъюнктного
объединения Р пространства А и семейства дизъюнктных
шаров Еа, находящихся в биективном соответствии с клет-
клетками относительного клеточного пространства (X, А),
причем соответствующее отображение факторизации
g: P—+X тождественно на Л и (после отождествления
Еа — Е") является на каждом шаре Е^ характеристичес-
характеристическим отображением для соответствующей клетки (и зна-
значит, границу Sa шара Еа отображает в А).
В частности, мы видим, что подпространство g~1(A)
представляет собой дизъюнктное объединение 5 у А про-
пространства А и дизъюнктного объединения 5 сфер Sa. По-
х) Напомним (см. Предисловие), что «лекция 1Л0»—это лекция
10 из «Основ теории гомотопий».

КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПОДПРОСТРАНСТВА 15
яому отображение gxid: p\l—i-XxI (являющееся в
силу леммы 1 из Дополнения к лекции 1.4 эпиоморфиз-
мом) отображает подпространств
SUA - (Р х 0) и {(SUA) х /) - U ((?« >Ь) U (Se х
а ч
пространства Р х / на подпространство Л — (Хх 0) и (А х /)
пространства Хх/.
Для завершения доказательства остается заметить,
что ретракции B), построенные для каждого шара Еа,
составляют ретракцию Pxl—»S]jA, согласованную
с эпиоморфизмом gxid, и потому индуцирующую некото-
некоторую ретракцию Хх/—"Л. О
Идея предложения 1 и его доказательство в важней-
важнейшем частном случае принадлежит Борсуку. На этом
основании это предложение обычно называется теоре-
теоремой Б о р с'у к а.
Мы сосредоточим основное внимание на относитель-
относительных клеточных пространствах Х = (Х,0) с пустым А.
При А = 0 перечисленные выше свойства 1°—5° от-
относительных клеточных пространств превращаются в'сле-
дующие:
1°. Пространство X представлено в виде дизъюнктно-
дизъюнктного объединения некоторого семейства клеток (принадлеж-
(принадлежность клетки есХ этому семейству мы будем выражать
формулой egX).
2°. Множество СаХ тогда и только тогда замкну-
замкнуто, когда для любой клетки е?Х пересечение С Г) е замк-
замкнуто.
3°. Граница е каждой клетки е?Х содержится в под-
подмножестве, являющемся объединением конечного числа кле-
клеток.
4°. Размерности всех этих клеток меньше размернос-
размерности клетки е.
5°. Пространство X нормально.
Мы заменим свойство 5° следующим более слабым
свойством:
6°. Пространства X хаусдорфово.
Определение 2. Пространство X, обладающее свой-
свойствами Г—4° и 6°, называется клеточным пространст-
пространством.

16 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПОДПРОСТРАНСТВА
Предложение 2. Пространство X тогда и"только
тогда является клетоуным пространством, когда пара
(Х,0) представляет рдбой относительное клеточное про-
пространство. /
Мы предпошлем [доказательству этого предложения
несколько прость!х,*но важных замечаний о клеточных
пространствах.
Подмножество А клеточного пространства X называ-
называется его подпространством (или, более распространен-
распространенно, —клеточным подпространством), если оно замкнуто и
является объединением некоторых клеток е ? X.
Пара (X, Л) называется клеточной парой, если X яв-
является клеточным пространством, а А— его клеточным
подпространством.
Легко видеть, что подмножество АсХ тогда и толь-
только тогда является клеточным подпространством клеточ-
клеточного пространства X, когда либо епЛ = 0, либо еаА
для каждой клетки е$Х. Действительно, если А состоит
из клеток, то из е П Аф0 следует—ввиду взаимной дизъ-
юнктности клеток, — что есЛ и, значит—если А замкну-
замкнуто,— что есА. Обратно, если есА для каждой клетки
е?Х с е[\Аф0, то А является, очевидно, объединением
клеток. Кроме того, в силу условия 3° для любой клет-
клетки е g X существует в А лишь конечное число клеток
еи ¦ ••> es?X, пересекающихся с замыканием е клетки е.
При этом егсА escA, и потому
_
=<(«! П ё) U ... U (в, Пв)сA% П ё) и • ¦. U Я П в).
Следовательно, все включения здесь являются равенства-
равенствами, так что_ А Пе = {ех П е) (J ... \}(es[\e). Поэтому пересе-
пересечение Af]e замкнуто, и, значит, согласно условию 2°
множество А замкнуто. П
Теперь легко показать, что каждое клеточное подпро-
подпространство А клеточного пространства X само является
клеточным пространством (по отношению к клеткам про-
пространства X, из которых оно состоит). Действительно,
условия Г, 3°, 4° и 6° определения 2, очевидно, выпол-
выполнены. Поэтому в доказательстве нуждается лишь условие
2°. Другими словами, нужно доказать, что подмножество
С а А, для которого все пересечения С fie, eg Л, замкну-
замкнуты, само замкнуто. Но, как мы только что видели, если

ICTHa И
КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВ^ И ПОДПРОСТРАНСТВА 17
Cj, ..., es—все клетки из А, пересекающиеся с замыка-
замыканием е некоторой клетки е ? Х,\$о А Г) е = (et ("I e) U ...
.. • U (es П в). Поэтому пересечение
замкнуто для любой клетки е^Х, и, значит, множество
С замкнуто. П
Ясно, что объединение и пересечение любого семейства
клеточных подпространств является клеточным подпрост-
подпространством.
Кроме того, легко видеть, что каждая возрастающая
последовател ьность
клеточных подпространств клеточного пространства X,
объединением которых оно является, представляет собой
фильтрацию этого пространства. Действительно, если
СсХ и пересечение С(]Хп замкнуто для любого п^О,
то, выбрав для каждой клетки е?Х такое п, что е?Хп,
мы получим, что пересечение С П е = (С П Хп) n e замкнуто.
Следовательно, С замкнуто. D
Фильтрации клеточного подпространства, состоящие
из клеточных подпространств, называются клеточными
фильтрациями.
Объединение всех клеток е клеточного пространства X,
размерность которых не превосходит п, обозначается сим-
символом Sk"X или Хп и называется п-м остовом клеточ-
клеточного пространства X. (Это определение согласуется с об-
общим определением остова относительного клеточного про-
пространства, но, поскольку предложение 2 у нас пока еще
не доказано, мы вынуждены дать это определение заново.)
Так как е п X" — 0 тогда и только тогда, когда
dime > п, то eczX", если е(] ХпФ0. Следовательно, каж-
каждый остов X", п ^ 0, клеточного пространства X яв-
является его клеточным подпространством (а потому сам
будет клеточным пространством).
В частности, мы видим, что остовы Хп клеточного
пространства X замкнуты в X и составляют фильтра-
фильтрацию этого пространства.
Наше внимание к фильтрациям объясняется тем фак-
фактом (который мы уже имели поводы неоднократно ис-
использовать в предыдущих лекциях), что, как непосред-
непосредственно вытекает из определения, отображение /: X—+Y

18 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПОДПРОСТРАНСТВА
пространства X с фильтрацией {Хп} в произвольное про-
пространство Y тогда и только тогда непрерывно, когда
непрерывны все отображения /|х„: Xn—+Y.
Отсюда следует, что для построения непрерывного
отображения\Х/-*¦ Y достаточно построить такие непре-
непрерывные отображения /„: Х„ —>-У, что fn = fn+i\xn для
каждого п^О, поскольку тогда формула
= fn(x), если х?Хп,
будет корректно определять непрерывное отображение
/: X—+Y.
Этим—по существу очевидным—принципом ин-
индукции по фильтрации мы будем постоянно поль-
пользоваться (в частности, применительно к фильтрации {X"}
клеточного пространства X).
Аналогично, для каждого клеточного пространства X
и произвольного топологического пространства Y отобра-
отображение /: X —»¦ Y тогда и только тогда непрерывно, когда
для любой клетки е$Х непрерывно отображение f\-\
e—*Y, что позволяет строить непрерывные отображения
/: X —> Y «по клеткам».
В частности, когда мы последовательно строим непре-
непрерывные отображения /": X" —>¦ Y, удовлетворяющие соот-
соотношениям /" = /"+1U"> то непрерывность отображения /"
будет обеспечена, если будет непрерывно отображение
fn~1 и все отображения f"\-, где е—произвольная «-мер-
«-мерная клетка из X.
Эти замечания позволяют доказать, например, следую-
следующее предложение, указывающее простое, но на удивление
часто бывающее полезным, достаточное условие разреши-
разрешимости задачи распространения.
Предложение 3. Пусть (X, А)—такая клеточная
пара, что dim (X, А) ^ п + 1 (т. е. dim е ^ п -(- 1 для каж-
каждой клетки е?Х\А). Тогда для любого п-связного топо-
топологического пространства Y каждое отображение /: A—+Y
может быть распространено на X.
Доказательство. Пусть Х% = ХтиА, т^О. Со-
Согласно сказанному нам достаточно для всех /п = 0, 1, ...
..., /1+1 построить такие отображения fm: X^—+F, что
/»\А = / и fm+1 xm = fm при т <: п. Поскольку множество Х°
дискретно, отображение /° на нульмерных клетках е°?
б Х\А мы можем задать произвольным образом. Пусть
отображение fm, m < п, уже построено. Тогда для любой

КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВУ И ПОДПРОСТРАНСТВА 19
(ш+1)-меРн°й клетки е?Х\А будет определено отобра-
отображение fmo(%\s<«): Sm~-Y, где х—характеристическое для
клетки е отображение Ет+1—>-Х. ВвЦду л-связности про-
пространства Y (и неравенства гт^.п) эточотображение может
быть распространено до некоторого\ отображения g:
Е'"ь1 —*¦ Y, и ясно, что формула
)JfmW' если *«_**•
\8(х), если х?е и х(х) = х,
корректно определяет отображение fm+1 на Х^ие. Сделав
это для всех клеток е?Х\А, мы и получим требуемое
отображение fm+1: X%+1 —>- Y. ?
Замечание 2. Легко видеть, что предложение 3
(имеете с доказательством) остается справедливым для
любого относительного клеточного пространства (X, А)
с dim(X, Л)<я+1.
Лемма 3. Для любой клеточной пары (X, А) и любого
п ;> 0 пространство Хд = X" и А является элементарным
клеточным расширением пространства Х"^1 = Хп~1\] А.
Доказательство. Выбрав для каждой из клеток
еа ? Х^\Х^~Х характеристическое отображение %а: Еа -*¦ X,
рассмотрим элементарное клеточное расширение 'Х^ под-
подпространства Х^, построенное с помощью соответствую-
соответствующих приклеивающих отображений ра: Sa—*-X"~x, где5а —
граница шара Еа. По определению 'Х^ = ?ирХ^~1, где
I< =^ LJ Еа и р = LJ ра. Пусть 'g: EUX^1 -* 'ХпА—соответ-
'ХпА—соответствующее отображение факторизации, и пусть g: EUX'X'1 -*¦
-* X%—отображение (и %a)LJidxn-i. Ясно, что tg(x1)='g(x2)
тогда и только тогда, когда g(^i) = ^(x2). Поэтому тож-
тождественное отображение ЕЦХ1^1—* БЦХ'Х'1 индуцирует
биективное отображение i: 'XnA —>¦ ХА, замыкающее диа-
диаграмму
у
Для доказательства леммы 3 достаточно, очевидно, дока-
доказать, что отображение i является гомеоморфизмом.
Это отображение непрерывно, потому что отображе-
отображение g непрерывно, а отображение 'g эпиоморфно. Кроме
того, оно тождественно на ХА~1 и каждую клетку 'еа'—

КСТЕ
20 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПОДПРОСТРАНСТВА
= 'g(Ea) из 'X'WX'jr/ отображает на соответствующую
клетку еа из Хд\Х%1, а замыкание 'еа клетки 'еа на
замыкание еа_ клетки еа. Но множество 'еа компактно,
а множество еа, будучи подмножеством хаусдорфова про-
пространства X, является_ хаусдорфовым пространством.
Поэтому отображение 'еа—>еа, индуцированное отобра-
отображением I, представляет собой гомеоморфизм. Это озна-
означает, что на замыкании еа каждой клетки еа отображение
I, обратное к отображению /, непрерывно. Поскольку
на Х^~1 отображение г также непрерывно, оно в силу
сделанных выше общих замечаний непрерывно на всем
пространстве Х% Следовательно, отображение i является
гомеоморфизмом. ?
Следствие. Любая клеточная пара (X, А) является
относительным клеточным пространством. ?
В силу предложения 1 этим, в частности, доказано,
что любая клеточная пара (X, А) является парой Борсука.
Следовательно, каждая клеточная фильтрация кле-
клеточного пространства является фильтрацией Борсука.
Теперь мы можем доказать и предложение 2.
Доказательство предложения 2. По опре-
определению для каждого относительного клеточного прост-
пространства вида (X, 0) пространство X является клеточным
пространством. Обратно, так как пустое подпространство 0
является клеточным подпространством, то для любого
клеточного пространства X пара (X, 0) является, со-
согласно следствию, относительным клеточным простран-
пространством. ?
Из предложения 2 вытекает (см. свойство 5° клеточ-
клеточных расширений), что любое клеточное пространство
нормально.
Замечание 3. Подчеркнем, что в структуру клеточ-
клеточного пространства входит его разбиение на клетки и при
другом разбиении получается другое клеточное прост-
пространство. Поэтому клеточные пространства называются
также «клеточными разбиениями». Конечно, следовало бы
отличать клеточное пространство как собрание клеток
от него же как топологического пространства, но чтобы
не загромождать изложения, мы, как правило, этого раз-
различения делать не будем. Однако, когда это будет удобно,
мы позволим себе клеточное пространство X, рассматри-
рассматриваемое как топологическое пространство, называть телом

КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВАЧИ ПОДПРОСТРАНСТВА 21
клеточного пространства X, рассматриваемого как собра-
собрание клеток, и обозначать его символом |Х|. Аналогично,
собрание клеток клеточного пространства X мы будем
иногда называть клеточным разбиеншЫ этого простран-
пространства (или пространства | X |). \
В формуле 'е 6 X клеточное пространство X рассмат-
рассматривается как собрание клеток, а в формуле еаХ—как
топологическое пространство (так что формула есХ яв-
является лишь сокращением формулы ес|Х|).
Замечание о термино л о г и и. В литературе по
топологии на русском языке для клеточных пространств
употребляется также термин «CW-комплекс», являющийся
калькой английского термина CW-complex. Этот термин
весьма неудачен, и не только потому, что он неуклюж,
плохо произносим и использует чуждые русскому языку
аббревиатуры, но главным образом из-за невозможной
перегруженности термина «комплекс» в математике вообще
и в алгебраической топологии в частности. Мы этим тер-
термином пользоваться не будем.
Примеры клеточных пространств.
Пример 1. Любой граф (см. Дополнение к лекции
1.6) является клеточным пространством, клетками кото-
которого служат его вершины и ребра.
Пример 2. Сфера S" является клеточным простран-
пространством с двумя клетками: одной нульмерной е°, являю-
являющейся точкой 50 = A. 0. •••. 0). и другой—я-мерной е",
замыканием е" которой является вся сфера S". Для этого
клеточного пространства
Характеристическое для клетки е" отображение является
не чем иным, как относительным гомеоморфизмом (Еп,
S") —«-(S", s0). Если явно не оговорено противное, мы
всегда будем предполагать, что этим гомеоморфизмом
является гомеоморфизм у}п), описанный в лекции 1.5.
Пример 3. Шар Еп+1 является клеточным прост-
пространством с тремя клетками е°, е", еп+1, причем клетки
е", еп составляют клеточное разбиение граничной сферы 5",
а клетка еп+1 представляет собой внутренность Ёп+1 шара
Еп+Х (так что en+l=^En+1, а тождественное отображение
?+i?+i является характеристическим для клетки

22 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА и ПОДПРОСТРАНСТВА
Пример 4. В вещественном (п+ 1)-мерном проектив-
проективном пространстве IR^"+1 дополнение к подпространству
RP", состоящему иэ'точек (v<;ci: ... :хп+1), для которых
яп+1=*0, является (п+1)-мерной клеткой е"+1. Замыка-
Замыкание е"+1 этой клетки совпадает с RPa+1, а ее характе-
характеристическое отображение E"+1—*RP"+l определяется
формулой xir-*.{xoi...:xn'Vl — \х\2), где *==(*„, ..., х„N
??"+1 и (при п^ 1) является на сфере S" двулистным
накрытием 5" —+• RP". Очевидной индукцией отсюда сле-
следует, что пространство RPn+1 является клеточным про-
пространством с клетками е°, е1, ..., en+1 (по одной в каж-
каждой размерности), причем клетки еа, е1, ...,еп состав-
составляют клеточное разбиение подпространства RP".
Пример 5. Аналогичным образом строится клеточ-
клеточное разбиение комплексного (п+1)-мерного проективного
пространства С/ (являющегося гладким многообразием
размерности 2 (п-\-1)), состоящее из клеток е°, е*, ..., eSn+t
четной размерности. При этом замыкание сая+а клетки
е2л+2 совпадает со всем пространством СР"+1, а соответ-
соответствующее приклеивающее отображение Stn+1~*CPn, где
сфера S%n+1 интерпретируется как граничная сфера еди-
единичного шара пространства С", является расслоением
Хопфа из лекции 1.5.
Конечно, все рассмотренные в примерах 2—5 прост-
пространства обладают и другими, состоящими из большего
числа клеток, клеточными разбиениями. Построенные же
клеточные разбиения этих пространств мы будем называть
их минимальными клеточными разбиениями.
Следующие два примера несколько патологического
характера имеют своей единственной целью продемонст-
продемонстрировать широту понятия клеточного пространства.
Пример 6. Клеточным пространством (состоящим из
клеток е°, е\ е*, е3) является пространство X = E*\J f E*,
получающееся приклеиванием трехмерного шара Е3 к дву-
двумерному диску Е* посредством произвольного непрерыв-
непрерывного отображения/: Sa—>-?а, например композиции про-
проекции S8—»¦[—1, 1] сферы 52 на отрезок [—1, 1] оси
абсцисс и некоторого отображения Пеано [—1, !]—>?'
последнего отрезка на диск Е*.
Пример 7. Объединение единичной сферы S'cR* и
отрезка [0, 2] оси абсцисс является клеточным простран-
пространством с двумя нульмерными клетками ej, el (концами
отрезка [0, 2]), одной одномерной клеткой е1 (внутрен-

КЛЕТОЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 23
постыо отрезка [0, 2]) и одной двумерной клеткой ег =
6'2\{1}. Здесь замыкание е2 клетки еа не является объ-
объединением клеток меньшей размерности.
Противоположной цели служат следующие два при-
примера. В них предполагается, что /г!>0.
Пример 8. Представление сферы S" в виде объеди-
объединения всех ее точек не является клеточным разбиением,
поскольку для него не выполнено условие 2°.
Пример 9. Представление шара ?n+1 в виде объеди-
объединения его внутренности и всех точек границы условию 2°,
напротив, удовлетворяет. Все же оно не будет клеточ-
клеточным разбиением, поскольку для него не выполнено ус-
условие 3°.
Клеточные пространства и их непрерывные отображе-
отображения составляют, очевидно, категорию. Мы будем обозна-
обозначать эту категорию символом CW.
Морфизмы категории CW никак не связаны с клеточ-
клеточной структурой ее объектов. Поэтому во многих вопросах
целесообразно соответствующим образом их ограничить.
Определение 3. Непрерывное отображение f: X—+Y
клеточного пространства X в клеточное пространство1^
называется клеточным отображением, если f(Xn)czYn для
любого п^О.
Клетки положительной размерности клеточное отобра-
отображение может растягивать на несколько клеток.
Ясно, что клеточные пространства и их клеточные ото-
отображения составляют категорию. Мы будем обозначать
эту категорию символом CELL. Изоморфизмы этой кате-
категории мы будем называть клеточными изоморфизмами,
а отображения, являющиеся клеточными изоморфизмами
на свой образ,— клеточными вложениями.
Для любого относительного клеточного пространства
(X, А), любого клеточного пространства Y и любого не-
непрерывного отображения (р: А —+- Y пространство X и ФК=
= (Х\Л)и^ естественным образом представляется в виде
дизъюнктного объединения клеток из Х\А и Y, т. е.
удовлетворяет условию 1° определения 2. Если А нор-
нормально, то в силу леммы 2 это пространство удовлетво-
удовлетворяет также условию 6° (даже условию 5°). Замыкание
(в X U Ф Y) каждой клетки е € Y содержится в У, а замы-
замыкание каждой клетки е$Х\А пересекается сК по ком-
компактному множеству ф(еПЛ), где е—замыкание клетки е

24 СКЛЕИВАНИЕ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
/
в X. Поэтому в обоих7 случаях это замыкание пересе-
пересекается лишь с клеточным числом клеток из X U ф У. Это
означает, что пространство X U ф У удовлетворяет усло-
условию 3°. По определению множество СсХиФУ тогда и
только тогда замкнуто в X U ф Y, когда замкнут его про -
образ в X\_\Y, т.е. замкнуты множества C(]Y(bY) и
q>-1C{j((X\A)[)C) (в X). Но множество C()Y замкнуто
тогда и только тогда, когда для любой клетки е? Y замк-
замкнуто (в Y, а значит, и в X U ф Y) пересечение С Л е, а так
как пересечение [ф-^С и ((Х\Л) П С)] П А = ф-1С замкнуто
в Л, то множество ф~аС U ((Х\А) П С) замкнуто в X тогда
и только тогда, когда для любой клетки е?Х\А замк-
замкнуто пересечение [ф-1Си {(X\A)r\C)]r\f=(q>-1C[)e)\j
U ((Х\Л) ПС)П е), являющееся не чем иным, как прооб-
прообразом в Хи^ пересечения Cf]e, где теперь е—замыка-
е—замыкание клетки е в X и ф У, и потому замкнутое, если замк-
замкнуто это пересечение. Этим доказано, что пространство
XUyY удовлетворяет условию 2° определения 2. Что же
касается последнего условия 4°, то оно заведомо выпол-
выполнено, когда отображение ф: А —>• Y обладает тем свойст-
свойством, что для любой клетки egХ\Л множество ф(еП^)
содержится в У", где п = dim e. Поскольку это условие,
очевидно, выполнено, когда (X, А) является клеточной
парой и отображение ф клеточно, тем самым доказано,
что для любой клеточной пары (X, А) и любого клеточ-
клеточного отображения ц>: А —>Y пространство X U ф Y яв-
является клеточным пространством.
Это условие выполнено и при y=pt. Следовательно,
для любого относительного клеточного пространства (X, А)
пространство Х/А является клеточным пространством.
В частности, для любого клеточного подпространства
А клеточного пространства X пространство Х/А являет-
является клеточным пространством.
Ясно, что каждое непустое клеточное пространство X
обязательно содержит нульмерные клетки (т. е. Х° Ф0).
Нульмерные клетки клеточного пространства назы-
называются также его вершинами. Клеточное пространство
называется одновершинным (или клеточно 0-связным), если
оно содержит только одну вершину. Одновершинное кле-
клеточное пространство (или относительное клеточное про-
пространство (X, А) с А = Х°А), не содержащее клеток раз-
размерностей 1,2, ..., п, называется клеточно п-связным.

КОНЕЧНОМЕРНЫЕ И СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 25
Клеточное пространство называется конечномерным,
(.¦ели размерности его клеток ограничены сверху. Наивыс-
Наивысшая размерность клеток конечномерного клеточного про-
пространства X называется его размерностью и обозначается
символом dimX. По определению dimX"^n и dimX"=n
тогда и только тогда, когда ХпфХп~1. Таким образом,
если dimX = n, то Хт = Х для любого т^п.
Для бесконечномерного клеточного пространства X
мы будем писать dimX = oo. Заметим, что клеточное про-
пространство X тогда и только тогда нульмерно (dimX=0),
когда оно дискретно (Х = Х°).
Одномерные клеточные пространства—это в точности
графы (см. Дополнение к лекции 1.6).
Так как замыкание каждой клетки связно, то любая
компонента клеточного пространства вместе с каждой точ-
точкой содержит и замыкание содержащей эту точку клетки,
т. с. является (клеточным) подпространством. Поэтому
подпространством—и следовательно, замкнутым множест-
множеством—будет и объединение любого семейства компонент,
в частности дополнение произвольной компоненты. Этим
доказано, что компоненты клеточного пространства явля-
являются его открытыми подпространствами, т.е., другими
словами, что любое клеточное пространство является
дизъюнктным объединением своих компонент.
Ясно, что элементарное клеточное расширение размер-
размерности п^2 связного пространства связно, а несвязного
несвязно (ибо непрерывный образ сферы S"'1 при п^2
связен и потому не может задеть две разные компоненты
одновременно).
Очевидной индукцией отсюда следует, что для любого
клеточного пространства X все . остовы X" = Sk" X при
;/>1 одновременно либо связны, либо несвязны.
Но легко видеть, что если все члены некоторой фильтра-
фильтрации пространства связны, то и само пространство связно,
а если все они, начиная с некоторого, несвязны, то и само
пространство несвязно. Следовательно, клеточное прост-
пространство X тогда и только тогда связно, когда связен его
остов X1 (а вместе с ним и все остальные остовы X",
>1)
)
Замечание 4. Все это верно при любом понимании
связности: по Хаусдорфу (пространство связно, если оно
не содержит нетривиального открыто-замкнутого подмно-
подмножества) и в смысле линейной связности (которого мы
придерживаемся). С другой стороны ясно, что оба пони-

26 КОНЕЧНЫЕ И СЧЕТНЫЕ КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
мания связности совпадают для одномерных клеточных
пространств (графов). Поэтому они совпадают и для лю-
любых клеточных пространств.
Клеточное пространство, состоящее из конечного чис-
числа клеток, называется конечным.
Ясно, что клеточное пространство тогда и только
тогда конечно, когда оно компактно.
Хотя, как показывает пример 7, замыкание клетки
клеточного пространства может не быть его (клеточным)
подпространством, но все же каждая клетка е кпеточно-
го пространства X (а значит, и каждая его точка) содер-
содержится в некотором конечном подпространстве. Действи-
Действительно, для нульмерных клеток это так (каждая такая
клетка сама представляет собой подпространство), а лю-
любая клетка е положительной размерности содержится
в подпространстве, являющемся объединением клетки с
и подпространств, содержащих клетки меньшей размер-
размерности, пересекающихся с границей е клетки е. П
Отсюда непосредственно следует, что каждое компакт-
компактное подмножество клеточного пространства содержится
в некотором конечном . подпространстве.
Клеточное пространство, состоящее *из счетного (или
конечного) числа клеток, называется счетным.
Легко видеть, что клеточное пространство тогда
и только тогда счетно, когда оно сепарабельно (содержит
счетное всюду плотное подмножество). Действительно,
в счетном клеточном пространстве счетным всюду плотным
подмножеством будет объединение счетных всюду плотных
подмножеств клеток. Обратно, объединение конечных под-
подпространств, содержащих точки счетного всюду плотного
подмножества сепарабельного клеточного пространства,
будет счетным клеточным подпространством, совпадаю-
совпадающим— ввиду его замкнутости—со всем пространством. D
Очевидная индукция показывает также, что клеточное
пространство X тогда и только тогда счетно, когда в нем
существует фильтрация
состоящая из конечных подпространств.
Топологическое пространство X мы будем называть
счетно компактным, если в нем существует фильтрация,
состоящая из компактных подпространств.

ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫЕ КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 27
Поскольку любое компактное подпространство клеточ-
клеточного пространства содержится в конечном подпространст-
подпространстве, мы видим, следовательно, что клеточное пространст-
пространство тогда и только тогда счетно, когда оно счетно-ком-
счетно-компактно.
Относительное клеточное пространство (X, А) называ-
называется относительной п-мерной клеткой, если дополнение
е. ¦ Х\А является n-мерной клеткой.
Легко видеть, что если в относительной п-мерной
клетке (X, А) подпространство А вкладывается в конечно-
конечномерное евклидово пространство, то пространство X также
обладает этим свойством. Действительно, если i: A —>¦
> \kv—вложение (т.е. монеоморфное отображение), то
формула
( (i(x), О, 0), если х?А,
[ @, х, 1), если х^еи |лгКх/2.
/> ±=l*Lx,2(l-\x\)),
j
\ если х?е и. \х |>V2I
где %: Е"—*Х — характеристическое отображение для
клетки е — Х\А, а х — %~1{х)€Ё" — прообраз точки х?е
при этом отображении, корректно определяет вложение /
пространства X в пространство !RA'+'l+1 = RA'0R'I®R. П
Очевидной индукцией отсюда следует, что любое конеч-
конечное клеточное пространство X вкладывается в конечно-
конечномерное евклидово пространство.
Поэтому, в частности, каждое конечное клеточное про-
странство метризуемо и обладает счетной базой (удов-
(удовлетворяет второй аксиоме счетности).
Напомним, что топологическое пространство X удовлет
воряет первой аксиоме счетности, если любая
его точка обладает счетной локальной базой (счетной фун-
фундаментальной системой окрестностей).
Определение 4. Клеточное пространство X называ-
называется локально конечным, если каждая его точка обладает
окрестностью, пересекающейся лишь с конечным числом
клеток пространства X.
Предложение 4. Для клеточного пространства X
следующие условия равносильны:
(а) пространство X локально конечно;
(б) каждая точка пространства X является внутрен-
внутренней точкой некоторого, конечного подпространства;

28 ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫЕ КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(в; для каждой клетки е?Х существует в X лишь
конечное число клеток, с замыканиями которых клетка е
пересекается;
(г) каждая клетка е?Х обладает окрестностью, пере-
пересекающейся лишь с конечным числом клеток из X;
(г') каждая клетка е?Х обладает окрестностью, для
которой в X существует лишь конечное число клеток, с за-
замыканиями которых эта окрестность пересекается;
(д) каждое компактное множество КсХ обладает
окрестностью, пересекающейся лишь с конечным числом
клеток из X;
(д') каждое компактное множество /(сХ обладает
окрестностью, для которой в X существует лишь конеч-
конечное число клеток, с замыканиями которых эта окрестность
пересекается;
(е) пространство X локально компактно;
(ж) пространство X удовлетворяет первой аксиоме
счетности.
Кроме того:
(з) в любом локально конечном клеточном пространст-
пространстве X объединение замыканий любого семейства клеток
является замкнутым пространством;
(и) клеточное пространство тогда и только тогда об-
обладает счетной базой (удовлетворяет второй аксиоме счет-
счетности), когда оно локально конечно и счетно;
(к) связное локально конечное клеточное пространство
счетно;
(л) связное локально конечное клеточное пространство
обладает счетной базой.
Доказательство. Импликации (г')=Ф(г), (д')=>
=$>(д), (д)=Ф(а), (г')=Ф(в) и (б) =j> (e) очевидны. Имплика-
Импликации (г)=ф(г') и (д)=?(д') непосредственно вытекают из
того, что открытое множество, пересекающее замыкание
некоторого множества, пересекает само это множество,
импликация (а)=Ф(д)—из того, что любое открытое по-
покрытие множества К содержит конечное подпокрытие,
а импликация (а)=Ф(б) — из того, что открытое множест-
множество U пространства X, пересекающееся лишь с конечным
числом клеток е g X, содержится в конечном подпростран-
подпространстве, содержащем эти клетки.
Импликация (е)=Ф(а) вытекает из того, что в клеточ-
клеточном пространстве компактное множество—в данном слу-
случае замыкание достаточно малой окрестности произволь-
произвольной точки — пересекается лишь с конечным числом клеток,

ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫЕ КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 29
а обратная импликация (а)=>(е) — из того, что замыкание
окрестности, пересекающейся лишь с конечным числом
клеток, содержится в объединении замыканий этих кле-
клеток, являющемся компактным множеством.
Импликация (д)=ф(г) вытекает из того, что замыкание
с каждой клетки е?Х компактно, импликация (г)=>(а) —
n:t того, что любая, точка пространства X принадлежит
некоторой клетке, а импликация F)=» (ж) —из того, что
любое конечное клеточное пространство удовлетворяет вто-
второй (а значит, и первой) аксиоме счетности.
Утверждение (з) вытекает из условия (в), поскольку
для любого семейства клеток пространства X, удовлет-
удовлетворяющего условию (в), объединение их замыканий будет
пересекаться с каждой клеткой е?Х по замкнутому мно-
множеству и потому в силу условия слабости топологии будет
замкнутым множеством. В частности, в клеточном прост-
пространстве, удовлетворяющем условию (в); будет замкнуто
объединение всех замыканий клеток, обладающих тем
свойством, что их замыкания не пересекаются с данной
клеткой е ? X. Дополнение U к этому объединению является
поэтому окрестностью клетки е. При этом, если замыкание
некоторой клетки не пересекается с е, то оно не пере-
пересекается ис С/. Следовательно (мы снова используем ус-
условие (в)), окрестность U клетки е пересекается лишь
с конечным числом замыканий других клеток. Это дока-
доказывает импликацию (в)=Ф(г;).
Пусть пространство X удовлетворяет первой аксиоме
счетности, но не локально конечно. Тогда, как легко ви-
видеть, существует такая точка х0 € X и такое счетное мно-
множество D<zX\x0, что xo?.D и все точки из D лежат в раз-
пых клетках. Но в силу последнего условия множество D
пересекается с замыканием каждой клетки из X по конеч-
конечному— и, значит, замкнутому—множеству. Следователь-
Следовательно, ввиду условия слабости топологии множество D замк-
замкнуто, что противоречит включениям DcX\x0 и #„??>.
Это доказывает импликацию (ж)=5>(а).
Очевидно, что равносильность всех условий (а) — (ж)
чтим полностью доказана.
Поэтому, в частности, в формулировке утверждения
(и) условие локальной конечности (условие (а)) можно
заменить требованием, чтобы пространство X удовлетво-
удовлетворяло первой аксиоме счетности (условие (ж)). Так как,
кроме того, условие счетности клеточного пространства

30 ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫЕ КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
равносильно его. сепарабельности, то после такой замены
утверждение (и) переходит в очевидное общетопологичес-
общетопологическое утверждение, что вторая аксиома счетности равносиль-
равносильна первой аксиоме и сепарабельности. Это доказывает (и).
Выбрав теперь в локально конечном клеточном прост-
пространстве X некоторую точку х0, рассмотрим для любого
м^О подмножество Хп пространства X, состоящее из
всех точек, которые можно соединить с точкой х„ путем,
задевающим не более п клеток. Поскольку ввиду компакт-
компактности отрезка каждый путь в X задевает только конечное
число клеток, возрастающая последовательность подмно-
подмножеств Хп исчерпывает все пространство X. С другой сто-
стороны, замыкание каждой клетки из Х„+1 пересекается,
очевидно, с замыканием некоторой клетки из Хп. Посколь-
Поскольку в силу условия (д) любое компактное множество—и,
в частности, замыкание любой клетки — пересекается с за-
замыканиями лишь конечного числа клеток, отсюда посред-
посредством очевидной индукции вытекает, что все множества
Х„ состоят из конечного числа клеток. Следовательно,
число клеток в их объединении X не более чем счетно.
Этим доказано утверждение (к). Утверждение (л) являет-
является непосредственным следствием утверждений (и) и (к). D
Замечание 5. Согласно известной из общей топо-
топологии метризационной теореме Урысона регу-
регулярное пространство со счетной базой метризуемо. По-
Поскольку любое метризуемое пространство удовлетворяет,
очевидно, первой аксиоме счетности, отсюда следует, что
клеточное пространство тогда и только тогда метризуе-
метризуемо, когда оно локально конечно.
Ясно, что если два клеточных пространства X и У
пересекаются по клеточному подпространству (т. е. если
пересечение X П У является клеточным подпространством
каждого из них), то их объединение X U Y также будет
клеточным пространством.
В частности, дизъюнктное объединение клеточных про-
пространств будет клеточным пространством.
Это означает, что категории CW и CELL клеточных
пространств являются категориями с прямыми суммами
(копроизведениями).
Несколько иначе дело обстоит с произведениями.
Ясно, что если подмножество е1сХ является клеткой
в пространстве X (с характеристическим отображением
%1: Еп —> X), а подмножество егаУ — клеткой в простран-

ПРОИЗВЕДЕНИЯ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ • 31
стве У (с характеристическим отображением %2: Ет —> У),
то произведение etx убудет клеткой в пространстве ХхУ
(с характеристическим отображением XiXX2: Еп+т = Е"х
' /.уа _>. X х У). Поэтому для любых клеточных пространств
X и У топологическое пространство ХхУ = |Х|х|У|
представляется в виде объединения клеток егхег, где
г, 6'Х, е2?У, и ясно, что все условия определения 2 будут
выполнены, кроме—возможно—условия 2°.
Пусть Р—дизъюнктное объединение замкнутых шаров,
находящихся в биективном соответствии с клетками Про-
Пространства X, и пусть g—непрерывное отображение Р—>
* X, являющееся на каждом шаре из Р характеристи-
характеристическим отображением для соответствующей клетки. Тогда
условие 2° для пространства X равносильно требованию,
чтобы отображение g было эпиоморфизмом. Поэтому, если
/г. Q —>- У — аналогичное отображение для клеточного про-
пространства У, то произведение ХхУ тогда и только тогда
будет клеточным пространством, когда отображение
gxh: P~xQ —*XxY
является эпиоморфизмом.
Это отображение можно разложить в композицию
ldxft gxid
PxQ— -*PxY—>ХхУ
отображения \dxh: PxQ --*¦ PxY и отображения gxid:
I'xY —*XxY. Так как пространство Р локально ком-
компактно (и хаусдорфово), то, согласно лемме 1 из Допол-
Дополнения к лекции 1.4, первое отображение всегда является
чпиоморфизмом. Что же касается второго отображения,
то в силу той же леммы оно будет эпиоморфизмом, если
пространство У локально компактно, т. е. (предложение 2),
если оно локально конечно. Таким образом, мы видим,
что если клеточное пространство У локально конечно, то
<)ля любого клеточного пространства X произведение XxY
пудет клеточным пространством.
При Х=У очевидная индукция показывает, что для
любого локально конечного клеточного пространства X
и любого п^\ произведение
х»-хх...хх
п раз
является клеточным пространством с клетками вида
сгх ¦.. хеп, где еи ..., еп$Х; при этом
dim(ef х ... хе„) — dimei+ • • • +dimen.

32 КЛЕТОЧНОЕ ПРОСТРАНСТВО XX/
(Не путайте X" с п-м остовом, который —увы—обозна-
—увы—обозначается точно так же!)
Замечание 6. Хотя произведение XxY в общем
случае не будет клеточным пространством (примите за
X и У счетный и несчетный букеты отрезков / с отмеченной
точкой 0), но все же произведения в категориях CW и CELL
существуют (так что эти категории являются фм-катего-
риями). Именно, чтобы построить произведение клеточных
пространств X и Y в категории CW (или, что равносиль-
равносильно, в категории CELL) следует ослабить топологию в X х Y
(уменьшить запас открытых множеств), и считать откры-
открытыми множествами только те множества, прообразы кото-
которых при отображении gxh открыты в PxQ. Мы этой
конструкцией пользоваться не будем.
Представляя отрезок / как клеточное пространство
с клетками 0,1 и @,1), мы получим, в частности, что для
любого клеточного пространства X произведение X х / явля-
является клеточным пространством с клетками вида ехО,
ех\ и ех@, 1), где е?Х.
Поэтому сделанные выше замечания, касающиеся ин-
индуктивного построения непрерывных отображений, мы
можем применить теперь к гомотопиям ft: X—*Y. Таким
образом, во-первых,
i) семейство отображений ft: X —*¦ Y является гомото-
пией, если для любого ri^O является гомотопией семейст-
семейство отображений /? = ft | х» '• X" —¦¦ Y,
и, во-вторых,
Н) семейство отображений ft: X —-> Yявляется гомото-
гомотопией, если гомотопии составляют отображения ft'1:
Xй—*Y и отображения /?|-^: е—>-К, где е—произ-
е—произвольная п-мерная^клетка из X.
Кроме того, для клеточного отображения /: X—-Y
клеточных пространств мы получаем, что его цилиндр
Cyl / представляет собой результат склеивания двух кле-
клеточных пространств Хх/ и Y посредством клеточного
отображения. Поэтому цилиндр Cyl / произвольного клеточ-
клеточного отображения f: X—*Y является клеточным прост-
пространством.
Конус Cf непрерывного отображения /: X—*Y полу-
получается из его цилиндра стягиванием в точку его подпро-
подпространства X:
С, = Су1//Х.

ЦИЛИНДР И КОН УС КЛЕТОЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 33
Поэтому для любого клеточного отображения ./: X—-Y
конус Cf является клеточным пространством.
В частности, для любого клеточного пространства X
конус СX будет клеточным пространством (n6oCX=Cid).
Клетками конуса СХ являются его вершина е° и всевоз-
всевозможные клетки вида Се, е^Х (при этом dimCe = dime+ 1).
Клеточным пространством будет, конечно, и надстрой-
надстройка SX над клеточным пространством X.
s Рассматривая пунктированные клеточные пространст-
пространства" мы раз навсегда условимся, что отмеченной точкой
обязательно является вершина.
В силу этого условия цилиндр СуГ/ и конус C'f пунк-
пунктированного отображения / пунктированных клеточных
пространств будут пунктированными клеточными прост-
пространствами.
В частности, пунктированными клеточными простран-
стнами будут конус СХ и надстройка 6"Х.
ДОПОЛНЕНИЕ
Произведения счетных клеточных пространств.—Локаль-
пространств.—Локальная стягиваемость клеточных пространств.—Параком-
пространств.—Паракомпактность клеточных пространств.—Гомотопически полно-
полноценные пространства.
Доказанное в лекции 1 утверждение сб «-кратном
произведении клеточного пространства на себя имеет место
не только для локально конечных пространств, но, на-
например, и для счетных пространств.
Предложение 1. Произведение XxY счетных кле-
клеточных пространств X и Y является клеточным про-
пространством.
Доказательство. Достаточно, очевидно, доказать,
что если топологические пространства X и Y хаусдор-
фовы и счетно компактны, то для любого эпиоморфизма
<;: Р —уXотображениеgxid: PxY—+XxYявляется эпио-
морфизмом, для!чего в свою очередь достаточно доказать
(см. замечание 1 ?в Дополнении к лекции 1.4), что если
пространства X и Y хаусдорфовы и счетно компактны,
то для них верен экспоненциальный закон, т. е. для лю-
любого пространства В и любого непрерывного отображе-
отображения f:Y—*Bx отображение
? = e-i/: XxY-+B, (х, y)
? М. М. Постников

34 ПРОИЗВЕДЕНИЯ СЧЕТНЫХ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
непрерывно. Но если {Х„} и {У„}~—фильтрации прост-
пространств X и У, состоящие из компактных множеств, то,
как легко видеть,
0 (? кяху„) ¦= / ° Л Уп Для любого п > 1,
где / — отображение Вх -*- 5Х«, индуцированное опера-
операцией ограничения отображений X -*¦ В на Х„. Поэтому
согласно экспоненциальному закону, примененному к
пространствам Хп и Ув, отображение g- \х„х у„ непре-
непрерывно и, значит, достаточно доказать, что множества
Х„хУ„ составляют фильтрацию пространства XxY
(так что пространство X х У также оказывается
счетно компактным), т. е. что множество WczXxY
открыто в X х У, если для любого п ^ 1 множество
^П(Х„хУ„) открыто в Х„хУ„.
Пусть (х0, «/„)?№, и пусть (х0, Уо)€^/»„хУПо. Так
как множество №п(Х„охУ„о) открыто в Х„,,хУп0, а про-
пространство ХпохУп„, будучи компактным и хаусдорфовым,
регулярно, то существуют такие окрестности Una и У„о
точек хоиг/ов пространствах Х„о и У„о соответственно,
что UnoxVn^ciW. Пусть для некоторого п^п0 уже пост-
построены такие окрестности ?/„ и У„ точек х0 и у0 в прост-
пространствах Хп и У„ соответственно, что t/nxyncH7. Так
как множество W [](Xn+1(\Yn+1) по условию открыто
в Х„+1хУп+1, то для любой точки (х, у)сUnxVn суще-
существуют такие окрестности Му (х) и Л^ (у) точек х и у
в пространствах Х„+1 и Уп+1 соответственно, что
Ми (x)xNx(y)<^.W. Так как множество Uп, будучи замк-
замкнутым подмножеством компактного пространства Хп,
компактно, то существуют такие точки хи ..., xsczUn,
что для любой точки y?Vn имеет место включение
ипсМ,п где Ми = Ми (xt) U ... \J My (xs). Пусть iV (у) =
= ^ (У) П • • • П NXt (у). Так как множество Vn также ком-
компактно, то существуют такие точки уи ..., yt ? Vn, что
V3cVn+1, где Vn+1 — N (yj и ... UN(yt). При этом
UncUa+u где ?/n+i = М П ... Г) Mj/,, и, кроме того,
Тем самым множества Uп и Vn построены для всех
п0. Пусть
00 09
= U ?/„, V= U Vn.

Локальная стягиваемость пространств 35
По построению пересечение Um()Xn ПРИ т*
открыто в Х„, а так как
то пересечение U Г)Х„ открыто в Хп. Следовательно, мно-
множество U открыто в X. По аналогичным соображениям
множество V открыто в Y. Поскольку (х0, у0) g UxVcW,
этим доказано, что любая точка (ха, у0) множества W
является его внутренней точкой. Следовательно, множе-
множество W открыто, [j
Замечание 1. Предложение 1 без труда обобщается
па случай локально счетных ( = локально счетно ком-
компактных) клеточных пространств. Однако мне не известны
реальные ситуации, в которых это обобщение было бы
полезно.
Общетопологические свойства клеточных пространств,
как правило, весьма хороши. Например, справедливо
следующее предложение:
Предложение 2. Каждое клеточное пространство
X локально стягиваемо.
Доказательство. Условие локальной стягивае-
стягиваемости будет выполнено, если каждая точка из X обла-
обладает фундаментальной системой окрестностей, каждая из
которых стягивается к этой точке, или — иными словами—
если для любого открытого множества VcX и любой точки
х„?У существует такая окрестность UcV этой точки,
что тождественное отображение id: U —>-U гомотопно
(даже rel {х0}) постоянному отображению const^: ?/—>-?/.
Для построения окрестности V и гомотопии id ~ const
достаточно построить такую последовательность откры-
открытых (в X") множеств UncV, что ?/„ = 0 при л<и0 и
Un^=Un+1f]Xn и xo?Un при rt>n0, где «„ — некоторое
число, и такую последовательность гомотопии /?: V'п—>¦ ?/„,
«>я0, что /" = /?+1|с/„ и /?-id, /? = constXo. Действи-
тельно, тогда множество ?/= U [/„ будет содержащейся
п=0
в V окрестностью точки х0, а формула ft (x) — f" (x) при
х ? Uп будет определять гомотопию /(: U —¦> U, связываю-
связывающую тождественное отображение id: U—> U с постоян-
постоянным отображением const,.o: U—+U.
Мы сделаем это индукцией по п, предполагая выпол-

3G ЛОКАЛЬНАЯ СТЯГИВАЕМОСТЬ ПРОСТРАНСТВ
ненным (что нужно для проведения индукции) даже более
сильное включение UncV.
Опишем предварительно одно общее построение, кото-
которое нам пригодится и в дальнейшем.
Пусть QcS" и 0<е<1. Радиальным е-расширением
множества С мы будем называть множество Се точек
шара Еп+1, имеющих вид %х, где х(ЦС, а ^€A—в, 1].
Ясно, что Cer\Sn--C и множество Се тогда и только
тогда открыто (в Е"+1), когда открыто (в S") множество С.
Кроме того,-СесСе,, если е< е' и (СПD)e = СвП??
для любых множеств С, DcSn. Наконец, если С замк-
замкнуто (= компактно) и CczU, где U открыто в Е"+1, то
существует такое е > 0, что Cec:U.
Пусть теперь е0—такая клетка клеточного простран-
пространства X, что хо?е0. Пусть, далее, no = dimeo, и пусть
хо?Ёп°—прообраз точки х0 при характеристическом для
клетки е0 отображении %0: Еп>—>-Х. Мы примем за Unn
образ в клетке е0 внутренности произвольного замкну-
замкнутого шара с центром в точке х0, целиком содержащегося
в открытом множестве %(Г1A0, а за гомотопию
/"»: и„Л-+и„а—образ радиальной деформации этого шара
к его центру.
Пусть для некоторого п^п0 окрестность Un и ее
деформация /":?/„—>¦ Un уже построены. Рассмотрим
произвольную клетку е?Хп+1\Хп и соответствующее
характеристическое отображение %: Еп+1~+Х. Множество
C = x~1(i/n)c:S'' замкнуто и содержится в открытом
(в Еп+1) множестве %~W'. Поэтому существует такое е > О,
что CeCx^V. Мы примем за окрестность Un+l объеди-
объединение окрестности Un со всеми множествами вида %?е.
е?Хп+1\Хп, где d = %~1Un. Так как для любой клетки
е €_Х"+1\Х'1 пересечение Un+i n е~— (%де) и (Un n ё) открыто
в е, то множество Un+1 открыто в Хп+Х. Кроме того,
Каждая точкам g Un+1\X" имеет вид %(х), где х —
некоторая точка открытого шара Ё"+1, а %—характе-
%—характеристическое отображение для клетки egХ"+1\Х", содер-
содержащей точку х. Для любого / g /, мы положим
если
tn+ux\= I V 1*1 /
((/?ox)(-rjr), если 1-|*|<2*<2,

ПАРАКОМПАКТНОСТЬ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 37
где т — —jprn^i • Вместе с условием ft+1\un = ft это
(как легко видеть, корректно) определяет гомотопию
/7|1; ^я + 1—"-^n+i. Для которой f1+1^= id и f"+1 = const.
Этим наше утверждение полностью доказано. ?
Напомним, что топологическое пространство X назы-
ьлется паракомпактным, если в любое его открытое по-
покрытие {?/„; а?А} можно вписать локально конечное
открытое покрытие {Ур; Р6В}.
Предложение 3. Любое клеточное пространство
пиракомпактно.
Доказательство. Для построения покрытия {Fp}
достаточно для каждого л^О построить такое открытое
покрытие {Vp} остова X", что У,5 = 1/р+1п^ге для любого
С' ? В. Покрытие {Ур} будет при этом определяться фор-
мулой Vp= U V2 и будет вписано в покрытие {Ua}, если
любому индексурбВ сопоставлен такой индекс ос(Р)?А,
что VaW)CUa для каждого /г^О (впрочем, нам будет
удобно требовать, 'чтобы Va(p,c:f/a). Оно будет локально
конечным, если для любого п^О и любой точки xgX"
гуществует такая окрестность W% точки х в X", что
Пт'^лХ"-1= W4'1 при х^Х"-1 и пересечение Wnxn Vg при
.v d X'^X" не пусто лишь для конечного числа индексов
|i, а при х?Х", где т^п—1, не пусто тогда и только
тогда, когда не пусто пересечение W'2(\V$.
Покрытие {Kg} (и окрестности W") мы будем строить
индукцией по п. В частности, индукцией по п мы будем
строить множество В, представляя его в виде объедине-
объединения возрастающей последовательности множеств Вос ..
...сгВ„с.., где В„ состоит из тех индексов р, для
которых У%ф0.
Прия = 0 за множество ВО мы примем остов Х°, за мно-
множество Ур, соответствующее точке Р € Во, мы примем саму
эту точку, индекс аф)?А, отвечающий индексу Р€?о,
мы произвольно выберем среди индексов а, для которых
Г>€^о. и, наконец, за окрестность WI точки х?Х° мы
примем саму эту точку.
Пусть для некоторого п ^ 0 уже построены множе-
множество В„, покрытие {VI, Р€В„}, отображение В„—>Л,
Г» с—>а (р), и окрестности W%, обладающие всеми нужными
свойствами. Тогда для любой клетки е?Х"+1\Х" (слу-

38 ПАРАКОМПАКТНОСТЬ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
чай Х"+1 = Х" тривиален) с характеристическим отображе-
отображением х: Еп+1—*Х множества %~Wp будут составлять
такое замкнутое покрытие сферы S", что х~1Щс%~1иаф
для любого Р €В„. Поскольку множество х~х^а(р) открыто
в Е"+1, -существует такое ер > 0, что для радиального
ер-расширения Ур множества х-1^р имеет место вклю-
включение Vptzx'^acp)- Так как множество
У* = U VI
очевидно, открыто в Еп+1, то множество E"+1\V* замк-
замкнуто (и, значит, компактно). Поэтому в множестве А
существует такое конечное подмножество [<хи ...,as},
что открытые множества х^,» •••. Х-1^а, покрывают
множество ?'"+u\V*. Поскольку шар Е"+1 является нор-
нормальным пространством, по известной теореме общей то-
топологии (см., например, [8], стр. 43) существует такое
открытое покрытие_ {У^, ..., У„5} множества En+1\V*,
что Vaic%~1Ua[ и Уа(.П S" = 0 для каждого i = 1,..., s.
Для любой точки х 6 X" мы обозначим через 1F^ радиаль-
радиальное расширение множества %~^", не пересекающееся с
объединением всех множеств Уа,, • • ¦, У«, (ясно, что такое
расширение существует).
За В„+1 мы примем объединение множества Вп и
(предполагаемого дизъюнктным с В„) множества всех пар
вида (е, а,), е?Х"+1\Х". Отображение |3i—*-аф) мы
доопределим на В„+1\В„ формулой (е, а,-)н-*а;. За мно--
жество Ур+1 мы примем при Р = (е, а^) образ %(V*a^ мно-
множества У* при характеристическом для клетки е отобра-
жёнии х: Еп+1~+Х, а при Р€В„ — объединение мно-
множества Ун и всевозможных множеств вида х^р).
е?Хп+1\Хп. Очевидно, что множества Ур+1 открыты в
Хп+\ причем y^+1nX" = Kg и У|+1сС/а(В) для любого
Р€В„+1. (Напомним, что при Р(?В мы считаем, что
Осталось построить окрестности W"+1, x(zXn+1. Пусть
сначала х?Хп+1\Хп, и потому х = %(х), где %: En+1 -*X—
характеристическое для содержащей точку х клетки
е?Х"+1\Х" отображение, а х — некоторая однозначно
определенная точка из ?"+1. В этом случае мы примем
за W"+1 образ при отображении % произвольной окрест-

ГОМОТОПИЧЕСКИ ПОЛНОЦЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 39
пости точки х в шаре Ёп+1. Пусть х?Х". Тогда, со-
согласно сказанному выше, для любой клетки е g Xn+1\Xn
будет определено некоторое (возможно, пустое) множе-
множество W'ncEn+1, а потому и множество %(Wx)<zXn+1.
В этом случае мы примем за Wx+1 объединение множе-
множества W1 и всех множеств вида %(W*X), e?Xn+1\Xn.
Автоматическая проверка показывает, что так построен-
построенные множества W"+1 обладают всеми нужными свой-
свойствами. ?
Локально стягиваемое пространство, конечно, полу-
полулокально стягиваемо, а если оно паракомпактно, то и
нумерируемо полулокально стягиваемо. Следовательно,
каждое клеточное пространство нумерируемо полулокально
стягиваемо. Поэтому (см. Дополнение к лекции 1.3)
любой связный клеточный Н-моноид является Н-группой.
В предыдущих лекциях на рассматриваемые простран-
пространства довольно часто налагались те или иные общетополо-
шческие ограничения. Мы видим теперь, что для кле-
клеточных пространств все эти ограничения выполнены, так
что все результаты предыдущих лекций справедливы для
клеточных пространств без всяких оговорок.
Клеточные пространства обладают также тем прият-
приятным свойством, что, как мы знаем, их отображения и
гомотопии между их отображениями можно строить «по
клеткам» и индукцией по остовам.
Можно сказать, что клеточные пространства (и, ко-
конечно, пространства, им гомотопически эквивалентные)
наиболее приспособлены к построению в них теории гомо-
топий. На этом основании топологические пространства,
гомотопически эквивалентные клеточным пространствам,
называются гомотопически полноценными пространствами.
Вместе с тем класс гомотопически полноценных про-
пространств неожиданно чрезвычайно широк. Так, в своем
месте мы покажем, что любое топологическое многообра-
многообразие гомотопически полноценно и для любого компакт-
компактного пространства К и любого гомотопически полноцен-
полноценного пространства X пространство Хк гомотопически
полноценно. В частности, пространство петель QX гомо-
гомотопически полноценного пространства X гомотопически
полноценно,

if'i
ЛЕКЦИЯ 2
Вспомогательная теорема. — Теорема о я-связности пары
(X, X").— Теорема о клеточной аппроксимации непре-
непрерывных отображений.—Общая теорема Фрейденталя.—
Стационарные и метастационарные гомотопические группы
сфер. — Группы nnSn и группа n3S".—Степень отобра-
отображения. — Антиподальное отображение и касательные поля
на сферах.
Углубленное изучение клеточных, пространств и их
клеточных отображений требует некоей аппроксимацион-
ной вспомогательной теоремы, являющейся обобщением
и весьма далеким развитием соображений, использован-
использованных в лекции 1.7 для вычисления групп я,л5" при пи^п.
Эта теорема возможна в двух вариантах: «гладком», основы-
основывающемся на теории гладких многообразий (гладкой топо-
топологии) и «симплициальном», основывающемся на теории
симплициальных пространств (кусочно линейной тополо-
топологии). Мы изложим гладкий вариант здесь, а симплици-
альный — в Дополнении.
Пусть /: (X, А)—> (Y, В) — произвольное непрерывное
отображение относительной n-мерной клетки (X, А) в от-
относительную m-мерную клетку (У, В). Так как f(A)czB,
то прообраз G = f~l (ет) клетки е'" — Y\B при этом отобра-
отображении лежит в клетке е" = Х\Л. Поэтому, выбрав для
клеток е" и ет характеристические отображения %г: Е"—+
—+Х иу,: Em—*Y, мы можем рассмотреть непрерывное
отображение f=x~lo/°Xi открытого множества 6 =
—Хх1 (G)czEn в открытый шар Ёт.
Отображение /: (X, А) —* (К, В) мы назовем регуляр-
регулярным, если соответствующее отображение f: G—>¦ Е" имеет
хотя бы одно регулярное значение _Vo» т- е- (см- лек'
цию 1.7), если во всех точках прообраза /"'(Vo) отобра-
отображение / гладко и ни одна из этих точек не является его
критической точкой.
Вспомогательная теорема (гладкий вариант).
Любое отображение f: (X, A)—+(Y, В) гомотопно отно-
относительно А некоторому регулярному отображению.

ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЁОРР.МЛ 41
Доказательство вспомогательной теоремы основыва
г гея на теореме анализа, которую принято называть
теоремой Beиерш трасса о полиномиальных
аппроксимациях (и которую мы уже упоминали
г. лекции 1.7). Для полноты мы начнем с того, что изло-
изложим доказательство этой теоремы, принадлежащее С. Н.
Ьсрпштейну.
Назовем мулыпииндексом произвольную точку a ?R"
о целыми неотрицательными координатами аи ..., ап.
1-д-ли а^т для любого i = \, ..., п, мы будем писать
а ¦¦"', т.
Каждой непрерывной функции ./: /n-->R, заданной
I'. //-мерном кубе /" и каждому целому числу т>0 мы
сопоставим многочлен Вт от переменных хи .... хп,
ппроделенный формулой
(:)-(;)••¦(;)•
а < т
где а (аи ..., а„) пробегает все мультииндексы, удов-
удовлетворяющие соотношению а^.т, а
_?.— (El Eh
т \ in ' ' ' ' ' т
X" = *?'.. .Хпп, (l—x)m-a = (l—x1)m-^...(l—xn)m-a».
Теорема Бернштейна. В кубе 1п многочлены Вт
равномерно сходятся к функции f.
Доказательство. По определению утверждение
теоремы означает, что для любого е > 0 существует такое
Л^ > 0, что при m^N
! Вт (х) —f (x)\ <e для любой точки х € /"•
Но так как
л < т
1ДС
*) = 21 (в)
р
ТО
а < т

ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
С другой стороны, поскольку куб /" компактен, функ-
функция / равномерно непрерывна, т. е. для любого е > О
существует такое б > 0, что \f(y)—/ (х) | < в/2, если
| у —х | < б, где под \у—х | подразумевается max | у,—х{ |.
I
Поэтому, если А—множество всех мультииндексов а •¦
а
т,
для которых
т
X
< б, то
П€ А
об Л
С
а если В —множество всех мультииндексов а^.т, для
которых ——х ^б, то
I
ае В
где M = max
!)-/(*)| (в
а €В
Следовательно,
)-/(*) К !
Осталось поэтому лишь оценить сумму
С этой целью мы, положив
заметим, что при а ? 5 имеет место оценка [а] ^ б*/па
Поэтому
где
а < т

ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 43
Но многочлен Фт(х) без труда вычисляется в явном виде.
Действительно, положив
а=0
мы немедленно получим, что
т. е. что
поскольку, как мы уже знаем, ат(х)=1 для любого
С другой стороны, продифференцировав тождество
а=0
по г и умножив результат на г, мы получим тождество
B)
as I
а применив те же операции к тождеству B), мы полу-
получим тождество
C)
Положив в тождествах A), B), C)
X
умножив результаты соответственно на т*хг{\—х)т,
¦2тх(\—х)т, A—х)т и сложив, мы после очевидных
преобразований получим, что
Ф^ (х) = тхA — х) = -J — т (j—ж)*
м, следовательно, что фт(л;)^т/4 для всех xl^R. По-
чтому Ф„, (д:) ^ mn/4 и, значит,
in /«л f/fM«^- g I 2Af ""» е М

44 ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Для завершения доказательства остается положить N —
_ Мп
* 6% ¦ U
Отображение g": R" —>¦ R™ называется полиномиальным
отображением, если в координатах оно записывается
многочленами.
Теорема Вейерштрасса. Для каждого непрерывного
отображения f: V —> R1", заданного на открытом мно-
множестве UczRn, каждого компактного множества /Ccf/ и
каждого г > О существует такое полиномиальное отобра-
отображение /: Rn — > R'", что
\f(x)—/ (х) | < е для любой точки х g К.
Доказательство. Так как отображение f зада-
задается т функциями IR"—*R,- то эту теорему достаточно
доказать только при т~1, т. е. для случая, когда /
является функцией (a g—многочленом). При этом без
ограничения общности можно, очевидно, считать, что
Uczl". Поскольку пространство R" нормально, сущест-
существует такая непрерывная функция ср: R"—>/, что ф= 1
на К и ф = 0 вне U. Тогда формула
<f(x)f(x), если x?U,
о. если х$и, *6/"'
корректно определяет на /" некоторую непрерывную
функцию ~f. Согласно теореме Бернштейна для достаточно
большого N многочлен BN, построенный для функции J,
обладает тем свойством, что
| f (х)—BN (х) \ < е для любой точки х € I"-
Поскольку / = / на К, этот многочлен и будет искомым
многочленом /. п
Доказательство Вспомогательной тео-
теоремы. Сохраняя введенные выше обозначения (G, /
и т. д.), рассмотрим на открытом множестве д непрерыв-
непрерывную функцию р, значение р (х) которой в произвольной
точке х 6 G равно расстоянию этой точки от границы
множества б:
р(х) = т\п\х—у\, y
у

ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 45
Пусть Ef—концентрический подшар шара Ет радиуса
г :. Так как множество х/'Ч^Пг) = Z (X (^iM) замк-
замкну то и содержится в клетке е", то множество f~1(ET/i)с:
аЁ" компактно, и потому существует такое б > 0, что
()>26 на [-ЦЕТц). Иными словами, ^(Е^с^с/С,
где К и Кх—компактные подмножества множества б, со-
состоящие из всех точек х (Е G, для которых р (х) ^ б или
соответственно р(дс)^2б. Поскольку множество f{K)c
аЕт также компактно, существует такое положитель-
положительное е < 1/4, что е-окрестность этого множества содер-
содержится в Ёт. Согласно теореме Вейерштрасса (применен-
(примененной к К, б и /) существует такое полиномиальное отоб-
отображение J: IR"—>Rm, что |/(дг)—/(дг)[<е для любой
точки х?К. Ясно, что положив
( f(x), если х € б\К,
! (i-tPWf±)r{x)-Lt№=±J{x)t
ft(x)=< v 6 JIK ' fi 'v '*
I если x€K\Klt
! (l-t)f(x)+tT(x), если
мы получим гомотопию /f: G—+Em, для которой fo==/
и |fi(Jf)—7"(дг)!<е для любой точки x?G~, причем
1(х) = Т{х), если jcg/Ci и h{x) = f(x)t если л: 6G\^.
Поскольку ? < 1/4, отсюда следует, что для любой точки
_v€?i/4 имеет место-равенство /ГХ(У) ~f~1(y)> и потому
каждое регулярное значение отображения f, содержащееся
в ET/i, будет регулярным значением и отображения /i-
I !оскольку, согласно теореме Сарда, в шаре ET/i сущест-
i уют регулярные значения отображения /, этим доказано,
что отображение ?i: G—*Em обладает хотя бы одним
регулярным значением.
Но ясно, что, положив для любой точки х?Х
t /x) = / CX.°Tt)(Y.11 (.*))> если X€G,
\ f(x) в противном случае,
мы получим гомотопию ft'- X -->¦ У относительно А, свя-
связывающую отображение /0 = / с таким отображением f^.

46 ТЕОРЕМА О л-СВЯЗНОСТИ ПАРЫ (X, Хп)
(X, А)-*(У, В), что С^/гЧ^и x-Wi°Xi = ?i на 6.
Поскольку, согласно только что сказанному, отображение
}г обладает хотя бы одним регулярным значением, это
означает, что отображение /t регулярно. ?
Следствие. Если размерность п относительной
клетки (X, А) меньше размерности т относительной
клетки (Y, В), то любое отображение (X, А) —»• (Y, В)
гомотопно относительно А такому отображению /: (X,
Л) —(Г, В), что Y\Bc?f(X\A).
Доказательство. Согласно Вспомогательной тео-
теореме мы можем считать отображение / регулярным. Но
при п < т свойство регулярности в точности равносильно
тому, что в клетке em=Y\B существуют точки, не при-
принадлежащие образу отображения /, т. е. тому, что Y\B(?
<?f(X\A). ?
Только это следствие нам пока и понадобится (и пока
только для случая (X, А) = (Е", 5")).
Замечание 1. Вспомогательная теорема непосред-
непосредственно обобщается на случай, когда (Y, В) является
произвольным относительным клеточным пространством
(а пара (X, А)—по-прежнему относительной клеткой),
если под регулярным отображением (X, A)—+(Y, В) пони-
понимать отображение, которое для любой клетки е ? Y\B
является регулярным (в прежнем смысле) отображением
(X, A)—+(Y, Y\e). Для доказательства достаточно за-
заметить, что перестройка произвольного отображения
f: (X, А) —> (Y, В) в регулярное отображение ft осущест-
осуществляется внутри множеств G--f~1(e), которые для различ-
различных клеток u?Y\B попарно не пересекаются.
Это замечание нам понадобится в лекции 7.
Применение Вспомогательной теоремы (или, точнее, —
ее следствия) основывается на следующей простой лемме:
Лемма. 1. Для любой относительной клетки (X, А)
и любой точки хп С Х\Л подпространство А является
строгим деформационным рстрактом пространства Х\дг0.
Доказательство. Пусть, как всегда %: Е"—»¦ X—
характеристическое отображение для клетки е" = Х\А,
и пусть х0 — у,'1 (х0) ? Еп. Пользуясь тем, что каждая
точка х 6 Еп\ха может быть единственным образом пред-
представлена в виде x^~sxo + (\ — s)y, где .у gS" и 0 ^s <
< 1, мы определим дгформацшо gt пространства Х\х0

теорема б л-связности пары (х, хп) 4?
формулой
( х, если л!? А,
gt(*)={ Х(A — 0sjco + A—s(l — 0)^). если
[ х?Х\А n%-4x):s + l
Автоматическая проверка показывает, что тем самым мы
получаем деформацию пространства X\xa относительно А,
концевое отображение которой является отображением
на А. Следовательно, А является строгим деформацион-
деформационным ретрактом пространства Х\х0. ?
Комбинируя эту лемму со следствием Вспомогательной
теоремы, мы можем теперь доказать следующую теорему,
являющуюся ключом ко всей гомотопической теории кле-
клеточных пространств.
Теорема 1. Для любого относительного клеточного
пространства (X, А) и каждого п^О пара (X, Хд)
является п-связной парой.
Доказательство. Утверждение о n-связности нары
(X, Х%) означает, что для каждого г^.п любое отобра-
отображение (Er, Sr~1)—+(X, Х%) гомотопно относительно S1
стянутому на Х\ отображению. Поскольку шар Ег ком-
компактен, его образ f{Er) содержится в некотором остове X'JJ,
причем, конечно, рассмотрения заслуживает лишь слу-
случай, когда туп. Очевидной индукцией отсюда следует,
что для доказательства теоремы нам достаточно доказать,
что если г < т (где т > п), то любое отображение /:
(Er, Sr~l)—-iK"X, X") гомотопно относительно Sr~x
отображению ЕГ —> Х^~ V
Рассмотрим с этой целью произвольную т-мерную
клетку ет пространства (X, А), пересекающуюся cf(Er).
Согласно следствию Вспомогательной теоремы существует
такая точка хо(Ее'л, что f (Ег)с:Хпд\х„. Это означает, что
отображение / мы можем представить в виде композиции
/о/', где С—отображение Ег—+Х'%\х„, a i — вложение
Х"А\ха—>-Хг%. С другой стороны, согласно лемме 1 (при-
(примененной к относительной клетке (Х^, Х^[\ет)) сущест-
существует такая деформация gt пространства Х"\х0 относи-
относительно Х^\ет, что gi(XlX\xi)^:X'?\em. Отсюда следует,
что, положив
мы получим неподвижную на S1 гомотопию ft: Er —»- Х
связывающую отображение / — /„ с таким отображением

48 ТЕОГГ.МЛ О «-СВЯЗНОСТИ ПАРЫ (X, Хп)
что fi (?') П <?и - 0 и f, (Ег) П (Xff\e«) = / (?г) П (Х%\е'я).
(Говорят, что гомотопия ft выметает отображение / из
клетки е'я.)
Поскольку в силу компактности шара Ег множество
/(?') пересекается лишь с конечным числом т-мерных
клеток ет пространства X, то мы можем шаг за шагом
вымести отображение / из всех этих клеток. В результате
мы и получим отображение Ег —*¦ Х"^, гомотопное ото-
отображению / относительно S7". ?
Из теоремы 1 немедленно вытекают, например, сле-
следующие утверждения (которые для простоты мы форму-
формулируем только при А---0):
Следствие 1. Для любого клеточного пространства X
и любого п^О гомоморфизм
i,: nrXn —*- пгХ,
индуцированный вложением i: Хп—*Х, является при г < п
изоморфизмом, а при г*=п эпиморфизмом.
Доказательство. Согласно теореме пг(Х, Хп) = 0
при г^.п. Поэтому следствие 1 вытекает из точности
гомотопической последовательности пары (X, X"). D
Следствие 2. Любое клеточно п-связное клеточное
пространство X является п-связным пространством, т. е.
пгХ — 0 при г^.п.
Доказательство. По условию X" = Х° — pt,
и потому ягХ"-=0 для любого. г^О. С другой стороны,
согласно следствию 1 отображение ягХ" —¦ пгХ при г^п
является эпиморфизмом. Следовательно, лгХ — 0 при
г<п. ?
В частности, мы видим, что сфера Sn,n^\, является
(п—\)-связным пространством:
D) nrSn = 0 при г<л—1.
Этот факт нам уже известен из лекции 1.7.
Аналог следствия 2 справедлив, конечно, и для отно-
относительных пространств:
Следствие 3. Любое клеточно п-связное относитель-
относительное клеточное пространство (X, А) п-связно. ?
Докажем теперь одно общее предложение, содержащее
в себе следствия 2 и 3.

ТГЮММЛ О КЛГТОЧНОЙ ЛППГЧЖСИМЛЦМП 49
Пусть X и У—два клеточных пространства. Напом-
Напомним (см. определение 3 лекции 1), что отображение
g: X—+Y называется клеточным, если g(X")czY" для
каждого п ^ 0.
Предложение 1. Любое отображение /: X -у Y гомо-
гомотопно некоторому клеточному отображению g: X - -* Y.
Цели отображение f клеточно на клеточном подпростран-
подпространстве АсХ, то клеточное отображение g можно считать
совпадающим на А с отображением /, а гомотопию F: f ~ g
неподвижной на А.
Доказательство. Как мы знаем, отображение g
и гомотопию F: / ~ g достаточно последовательно построить
на всех остовах ХпА~Х"[}А относительного клеточного
пространства (X, А).
Пусть п==0, и пусть е" — произвольная вершина кле-
клеточного пространства X, не принадлежащая подпростран-
подпространству А. Рассмотрим наименьшее клеточное подпростран-
подпространство пространства У, содержащее точку /(е°). В силу
минимальности оно связно (напомним, что любая компо-
компонента клеточного пространства является его подпростран-
подпространством) и, являясь клеточным, пространством, содержит
хотя бы одну вершину el пространства У. Пути, соеди-
мяющие точки /(е°) с вершинами el, определяют, очевидно,
неподвижную на А гомотопию /": ХА —> У, связывающую
отображение /|хо с некоторым клеточным отображением
Предположим теперь, что для некоторого п > 0 уже
построены клеточное отображение gn: ХА —* У и непод-
иижная на' А гомотопия /": ХА —*¦ У, связывающая ото-
отображение / \хп с отображением gn. Рассмотрим произволь-
произвольную (n-f- 1)-мерную клетку е"+1? Х\А и соответствующее
характеристическое отображение %: Еп+1—+ X. Поскольку
пара (En+1, Sn) является парой Борсука, существует
такая гомотопия Ft: En+1—>-Y, что ^0 = /°Х и/г(|ап =
~/7°(xUB). a поскольку, согласно теореме 1, пара
(Y, Yn+1) является (л-f- 1)-связной парой, существует такая
неподвижная на S" гомотопия Gt: En+1—*-У, что G0 — Fx
и GL(Е"+1)сУп+1. Для любой точки х6Sn и любых t, s?l
мы положим
если
если —о

БО ТЕОРЕМА О КЛЕТОЧНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
Автоматическая проверка показывает, что эта формула
корректно определяет гомотопию Hf. E"+1 —»¦ Y, для кото-
которой
#о = /°Х. H1(En+1)c:Y't+x и Ht\s» = ft°(%\sn).
Поэтому, положив
%Ht(x), если х?еп+1 и дг^х^).
если
мы корректно определим на е"+1 такую гомотопию /"+I,
итп fn+i f |_ fn+l 7^п + 1\г- у н+1 у, fn+l . f"lv,., Рлр
что /о — / |?п+и /1 l.e ^cz-r И /< с" +1 - It |е»+ '• вде-
вделав это для каждой клетки еп+1 ?Х\А, мы и получим
неподвижную на А гомотопию /"+1: X^+1 —+ Y, которая
совпадает на ХпА с гомотопией )'? и связывает отобра-
отображение /L/iu с некоторым клеточным отображением
ё«+1: ^л+1 —* ^> совпадающим на ХпА с отображением gn. П
Клеточные отображения g0, g^. X —>¦ Y называются
клеточно гомотопными (относительно подпространства Л),
если существует (неподвижная на А) связывающая их гомо-
топия, являющаяся клеточным отображением X х / —> Y.
Легко видеть, что клеточные отображения gt, gt: X —>¦ Y
тогда и только тогда гомотопны, когда они клеточно
гомотопны. Действительно, любая связывающая их гомо-
топия F: X х / —>-Y клеточна на подпространстве (X х 0) U
U(Xxl) (а при Аф 0 —на подпространстве (ХхО)и
U (А х /) U (X х D) и потому гомотопна относительно этого
подпространства некоторому клеточному отображению
G: Хх/—>-Y, которое и будет клеточной гомотопией,
связывающей отображения g0 и gt. ?
Теперь следствия 2 и 3 делаются совершенно три-
тривиальными, поскольку каждое клеточное отображение
Sr —<- X является отображением в Хг, а каждая клеточ-
клеточная гомотопия SrxI—>-X—отображением в Хг+1.
Мы продолжим изучение гомотопических свойств общих
клеточных пространств в лекции 7, а сейчас, чтобы
поскорее прийти к конкретным геометрическим результа-
результатам, займемся исследованием надстроечной последователь-
последовательности связного пространства X в случае, когда это про-
пространство клеточно.
Нам будет удобно предполагать пространство X одно-
одновершинным. (Как мы увидим ниже, это предположение

ОБЩАЯ ТЕОРЕМА ФРЕЙДЕНТАЛЯ 51
общности не ограничивает; см. следствие 1 теоремы 1 лек-
лекции 3). Кроме того, мы предположим—и это уже прин-
принципиально,— что пространство X счетно (например, ло-
локально конечно; см. утверждение (к) предложения 4 лек-
лекции 1).
За отмеченную точку пространства X мы примем его
единственную вершину е°. Тогда пространство X будет
гладко пунктировано и, значит, к нему будет применима
¦георема Джеймса из лекции 1.10. Поэтому (см. лекцию 1.10)
его надстроечная последовательность может быть записана
в виде
ей р
...—»- я„Х —*¦ яп+1 S'X —»- я„ (УХ, X) --*¦ я„_1 X —>- ...
Так как по условию клеточное пространство X счетно,
то для любого п^О его n-кратное произведение X" на
себя будет, согласно предложению 1 из Дополнения к лек-
лекции 1, клеточным пространством с клетками вида
E) exy.et-x....x.en,
где ех, е2, ... е„ — клетки пространства X. Его подпрост-
подпространство X"_j (см. Дополнение к лекции 1.4) будет, оче-
очевидно, клеточным подпространством, и клетка E) тогда
и только тогда будет лежать в Х"\Х"_1 (т. е. будет клет-
клеткой относительного клеточного пространства (X", Х"_х)),
когда все клетки еи ..., еп имеют положительную раз-
размерность (отличны от клетки е°). Но мы знаем, что ото-
отображение факторизации X" —> У„Х является относительным
гомеоморфизмом (X", Х^) —*- (/„X, J п^Х). Поскольку
любой относительный гомеоморфизм каждое относитель-
относительное клеточное пространство переводит, очевидно, в отно-
относительное клеточное пространство, этим доказано, что для
любого /1^1 пара (/„X, У„_гХ) является относительным
клеточным пространством, откуда очевидной индукцией
следует, что универсальный моноид JX одновершинного
счетного клеточного пространства X является клеточным
пространством.
Это клеточное пространство одновершинно, а его клетки
положительной размерности находятся в биективном соот-
соответствии с клетками E), для которых dim e,- > 0 при любом
1 1 п. Допуская определенную вольность, мы будем
клетку пространства JX, отвечающую клетке E), обозна-
обозначать тем же символом егхе2х ... Хеп. Вершину монои-
моноида УХ (его единицу) мы будем обозначать прежним сим-

52 ОБЩАЯ ТЕОРЕМА ФРЕЙДЕНТАЛЯ
Пространства JnX являются, очевидно, клеточными
подпространствами пространства УХ. Клетка ехх...хет
тогда и только тогда принадлежит подпространству У„Х,
когда т^.п.
Так как пространство X счетно, то пространство УХ
также счетно, и потому произведение УХ х УХ является кле-
клеточным пространством. Далее, умножение УХ х УХ —>¦ УХ
непрерывно на каждой клетке этого пространства (по-
(поскольку, как мы знаем, оно непрерывно на каждом под-
подпространстве JnXxJmX). Следовательно, это умножение
непрерывно всюду. Таким образом, для каждого одновер-
одновершинного счетного клеточного пространства X универсаль-
универсальный моноид УХ является топологическим моноидом.
Относительное клеточное пространство (УХ, X)состоит
из клеток егх ¦.. хст с т^2. При этом, если dim е, ^ п,
т. е. если пространство X клеточно (п — 1)-связно, то
dim (ех х ... X ет) ^ тп ^ 2/г. Этим доказано, что для счет-
счетного клеточно (п — \)-связного клеточного пространствах
относительное клеточное пространство (УХ, X) клеточно
Bп—1)-связно.
Поэтому в силу следствия 3 это относительное про-
пространство B/г—1)-связно, т. е.
яг(УХ, Х) = 0 при г<2/г—1,.
и, значит, в силу точности надстроечной последователь-
последовательности будет иметь место следующая теорема, обычно назы-
называемая теоремой Фрейденталя (который первый
опубликовал доказательство этой теоремы для частного
случая X — S"):
Теорема 2. Для любого счетного клеточно (п—^-связ-
(п—^-связного клеточного пространства X надстроечный гомоморфизм
Е\ лгХ —*- nr+tS'X
является при г < 2п — 1 изоморфизмом, а при г~2п—1 —
эпиморфизмом. U
Замечание 2. Ограничение в теореме 2 счетными
клеточными пространствами вызвано не существом дела,
а лишь методом доказательства. Ниже, в лекции 7, мы
докажем теорему Фрейденталя другим методом, пригод-
пригодным для любых клеточных пространств.
Из теоремы 2, в частности, следует, что отображение
Е: nrSn — nr+lSa+t

ГРУППЫ nnSn И ГРУППЫ Я,*1 53
является при г <2л—1 изоморфизмом, а при г —In—1
эпиморфизмом.
Мы видим, таким образом, что в последовательности
все гомоморфизмы Е при k^n-{-2 являются изоморфиз-
изоморфизмами, т. е., как говорят, эта последовательность на
(п-{-2)-м члене n2n+2Sn+a стабилизируется.
Определение I. Группа я2„+а5п+* (или, что равно-
равносильно, группа nn+kS" при любом k^n + 2) называется
п-й стационарной (или стабильной) гомотопической груп-
группой сфер. Мы будем обозначать ее символом nnS.
Замечание 3. Аналогичный эффект стабилизации
наблюдается и для многих других функторов алгебраи-
алгебраической топологии. Можно даже сказать, не впадая в силь-
сильное преувеличение, что современная алгебраическая топо-
топология в основном нацелена на исследование стабилизиро-
стабилизированных функторов. Мы займемся общей теорией таких
функторов в следующих семестрах.
Группа nin+1Sn+1 называется иногда п-й метастацио-
нарной гомотопической группой сфер. Стационарная груп-
группа nnS является ее эпиморфным образом.
Из лекции 1.6 нам уже известна метастационарная
группа я151 = 2 (случай п = 0). Кроме того, мы знаем,
что следующая метастационарная группа naS* изоморфна
группе n9S3 и, значит, изоморфна стационарной группе
n/s* = n0S. Отсюда следует, что группы n0S и ntS яв-
являются циклическими группами (порождаются одним эле-
элементом), но вопрос об их порядке требует дополнитель-
дополнительного специального исследования.
Мы снова воспользуемся построенным в лекции 1.5
расслоением Хопфа A: S8 —*¦ S*. Рассмотрим следующий
отрезок гомотопической последовательности этого раст
слоения:
...—•• naS8 -+¦ ntS* —<- щЭ1'-*- Яц5* —*¦...
I;ik как, согласно формуле D), niS3 = n1S3 = 0, то ввиду
точности этой последовательности гомоморфизм
д: я^-ч-я^1
является изоморфизмом. Поскольку nnSn « я2$* при п ^ 2,
этим заново доказан уже известный нам из лекции 1.7

54 СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ
факт, что
F) jtnS" = Z для любого я> 1,
т. е. что
Более того, поскольку любой эпиморфизм Z—+Z
является изоморфизмом, мы также получаем, что эпи-
эпиморфизм
Е: я^1 —»-яа52
является изоморфизмом. (Таким образом, при п = О мета-
стационарная группа изоморфна стационарной.)
Кроме того, мы теперь видим, что
G) naS* = Z.
Вопрос о группе rc4S3 = ntS более труден, и мы его пока
отложим.
Пусть in g nnS" — гомотопический класс тождественного
отображения id: S" —*¦ S". По построению
(8) in+1 = Ein для любого /г>1
и, как было показано в лекции 1.6, элемент it порождает
группу я^1. Поэтому для каждого п ^ 1 элемент 1„ поро-
порождает бесконечную циклическую группу nnSn.
В частности, элемент и порождает группу nsS3 и,
значит, элемент г\3 = [А] — ft* (i,) порождает группу nsS2.
Кроме того, мы видим, что для любого непрерывного
отображения /: 5" —>¦ S" имеет место равенство вида
/»(in) = &in, где k—целое число, однозначно определенное
отображением / (и даже его гомотопическим классом а).
Это число называется .степенью отображения f (или клас-
класса а) и обозначается символом deg/ (символом dega).
Таким образом, по определению
(9) /.i
Если g—другое отображение 5" -•-»¦ 5", то

ЛМТЙПОДЛЛЬНОЁ ОТОБРАЖЕНИЕ И ПОЛЯ НА СФЕРАХ 55
п, значит,
(I") deg(?o/) = deg/-deg?, /, g: S» -* S".
Так как /*in = /,[id] --= [/ о id] = |/J, то формулу (9)
можно переписать также в виде
откуда следует (поскольку, по определению, изомор-
изоморфизм F) переводит элемент kingnnS" в число k?Z), что
отображение
A1) deg: nnSn—>-Z, cs
совпадает с изоморфизмом F). Таким образом, во-первых,
deg (a + Р) = deg a+ deg p
для любых элементов a, $€nnSn и, во-вторых,
dega = 0 тогда и только тогда, когда а = 0.
В частности, мы видим, что
A2) deg(— a)- — deg a
и
A3) deg?a = dega
для любого элемента a ? яп5".
Замечание 2. Отображение A1) совпадает с ото-
отображением ' deg, построенным совсем другим способом
1! лекции 1.7. Действительно, оба отображения являются
изоморфизмами, принимающими на образующей in?nnS"
одно и то же значение 1.
Степень является неожиданно сильным инструмен-
инструментом для получения конкретных геометрических резуль-
результатов.
Рассмотрим, например, антиподальное отображение
(тл: S"—*S" (центральную симметрию), задаваемую фор-
формулой
а„ (*) = -*, x?Sn.
-При описанном в лекции 1.3 отождествлении над-
надстройки SS" со сферой Sn+1 (при этом отождествлении

56 ЛНТИПОЛЛЛЬИОЕ ОТОВРЛЖР.ИИГ- И ПОЛЯ НЛ C
точке [jc, t](tSS", x?S", <€/, соответствует точка
(sirm(/— V2). cosn(t—V2)•¦*")€S"+1), от9бражению 0n+J:
5"+1—*5"+1 отвечает отображение [л:, f]i—>[—дг, 1—t],
т.е. композиция симметрии р: [х, t]>—>>[x, 1 — (] над-
надстройки относительно экватора и отображения Еап:
[х, (]*-*•[—х, t]. Поскольку по определению сложения
в гомотопических группах (или, более общо, в группах
вида [S'X, Y]) для любого элемента а?[/]' гомотопиче-
гомотопической группы отображение /ор задает противоположный
элемент —«, этим доказано, что в группе nn+lS"+1 имеет
место равенство
(здесь мы позволяем себе обозначать отображение и его
гомотопический класс одним и тем же символом) и, зна-
значит, что
С другой стороны, как мы видели в лекции 1.6 (стр.
262) отображение о^ индуцирует тождественное отобра-
отображение группы щБ1, т.е. cleg ах = 1. Очевидной индукцией
отсюда вытекает, что
т.е. что а„ — (—l)ra+1 in. Таким образом, антиподальное
отображение ап: 5"—<-S" тогда и только тогда гомо-
гомотопно тождественному отображению, когда п нечетно.
[При п = 2т—1 нечетном сферу S11"'1 можно рассматри-
рассматривать как единичную сферу комплексного пространства
О, состоящую из точек г = (zu ..., zn), для которых
2^!+.. .+znzB= 1. Тогда формула z*->eintz, O^/^l,
будет задавать гомотопию id — o'sot-i-]
Антиподальное отображение ог„ не имеет, конечно,
неподвижных точек. Обратно, если отображение /: 5" —> S"
не имеет неподвижных точек, то формула
корректно определяет гомотопию, связывающую отобра-
отображение / с антиподальным отображением. Следовательно,
степень любого отображения /: 5"—*Se3 неподвиж-
неподвижных точек равна (—1)"+1. Иначе гороря, если d/

АМТИПОДАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ И ПОЛЯ НА СФЕРАХ 57
=/•( -l)n+1, mo отображение /: Sn—+ S" имеет неподвиж-
неподвижнее точки.
В частности, если п четно, то любое отображение
f: S" —у S", гомотопное тождественному отображению,
имеет неподвижную точку.
Точка х € S" называется антиподальной точкой ото-
отображения /: S"—> S", если / (х) = —х. Если отображение
/: S"—>¦ S" не имеет антиподальных точек, то отображе-
отображение g = onof: х*-*¦—f(x) не имеет неподвижных точек.
Поэтому deg? = (—1V'+1 и, значит, deg/=l. Следова-
Следовательно, если cleg/ Ф 1, то отображение f: Sn—+S" имеет
антиподальные точки.
В частности, мы видим, что если п четно, то любое
отображение /: 5" —>¦ S" имеет либо неподвижную, либо
шипиподальную точку.
Каждое поле касательных векторов на сфере S" можно
рассматривать как гладкое отображение и: S"—*-R"+1,
обладающее тем свойством, что (х, и(х)) — 0 для любой
точки хk.S". Если и(х)фО, то без ограничения общ-
общности можно считать, что \и(х)\— 1, т.е. что вектор и(х)
единичен. Любое поле единичных касательных векторов
и (х) задает по формуле
(дг,
гомотопию S"x/—+S", связывающую тождественное ото-
отображение с антиподальным. Поэтому при четном п на
сфере Sn не существует поля единичных касательных век-
векторов (или, что равносильно, поля касательных векто-
векторов, нигде не обращающихся в нуль).
[При п =: 2/п— 1 такое поле может быть задано фор-
формулой z*-+iz, или, в вещественных координатах, фор-
формулой (xlf уи ..., хт, «/„)•-»•(—«/!, хи .... —ут, хт).]
В частности, поля единичных касательных векторов
не существует на сфере Sa. Наглядно это означает, что
у ежа, свертывающегося в клубок, все иглы не могут
лежать гладко и некоторые непременно будут торчать.
Другая интерпретация: на голове не может быть ровного
волосяного покрова,— обязательно должна быть макушка.
Поэтому теорему о несуществовании поля единичных ка-
карательных векторов называют также те о ремой об еже
или теоремой о макушке.

ДОПОЛНЕНИЕ
Линейные симплексы.— Симплициальные схемы.—Сим-
шшциальные пространства.— Барицентрическое измель-
измельчение симплициальной схемы.— Мелкость барицентри-
барицентрического измельчения триангуляции.— Вспомогательная
теорема в симплициальном варианте.— Теорема о счет-
ности множества [X, К].— Симплициальные аппроксима-
аппроксимации клеточных пространств.— Триангуляция простран-
пространства |S|X /.— Симплициальный цилиндр симплициального
отображения.— Конус над симплициальным пространст-
пространством.— Доказательство теоремы о симплициальных ап-
аппроксимациях клеточных пространств.
Пусть "У3—произвольное линейное пространство над
полем R (вообще говоря, бесконечномерное). Часто нам
будет удобно рассматривать f3 не как линейное, а как
аффинное пространство над R. В этом случае мы будем
называть его элементы не векторами, а точками.
Система точек {а„, аи ..., а„} пространства "Р назы-
называется независимой, если векторы at—ав, ..., ап—а0
линейно независимы.
Конечно, любая линейно независимая система незави-
независима, но обратное, вообще говоря, не верно.
Выпуклая оболочка произвольной независимой системы
{а0, аи ..., ап) точек пространства "У3 называется линей-
линейным (или евклидовым) симплексом с вершинами а0, аи ...
..., ап и обозначается символом \aoat.. .ап\.
Автоматическая проверка показывает, что точка х 6 "У3
тогда и только тогда принадлежит симплексу \айа1.. ,ап |,
когда
A) *-X0a0 +
где Ь0>0, ..., ^„>0 и 0 1я \
Kt, ..., Хп называются барицентрическими координатами
точки х в симплексе \aoat...an\. Они однозначно опре-
определены этой точкой.
Числоп называется размерностью симплекса |aoa,...an|.
Симплекс \at;al.. .ап\ при га = 0 является точкой, при
п=\—отрезком, при п—2 — треугольником, а при /г=3 —
тетраэдром.
Из (}юрмулы A) следует, что симплекс \ааа1...ап\
лежите гс-мерном подпространстве au+W пространстваФ,
где W—линейное подпространство, порожденное векто-
векторами аг—а0, ..., ап—а0, и, значит, наследует обычную
евклидову топологию этого подпространства (заметим, что
в само пространство "У3—в случае, когда его размер-
размерность бесконечна,— мы никакой топологии не вводим).

ЛИНЕЙНЫЕ СИМПЛЕКСЫ 59
Эта топология на \аоа1...ап\ индуцируется метрикой
где х = Као+ •-¦+ Кап и У = 1М*о4- • • • +!*»«»—произ-
+!*»«»—произвольные точки симплекса \айа^.. .ап\.
Предложение 1. Каждый линейный симплекс | а„...ап \
гимеоморфен п-мерному шару Еп.
Для доказательства предложения 1 нам нужна одна
общая лемма о конусах СХ.
По определению (см. лекцию 1.2) конус СХ над про-
произвольным пространством X получается из произведения
Хх/ стягиванием в точку подпространства ХхО:
СХ=--Хх//ХхО,
11 потому, вообще говоря, пространства СХ и Хх/ не
гомеоморфны (рассмотрите, скажем, случай X = S1). Тем
не менее в одном важном случае эти пространства все
же оказываются гомеоморфными.
Лемма 1. Если пространство X само является кону-
конусом, то пространства СХ и Хх/ гомеоморфны.
Доказательство. Лемма утверждает, что для
любого пространства X существует гомеоморфизм ССХ —>•
- ,СХх/.
Мы определим отображения
Ф-.ССХ—>СХх/ и г|5: СХх/ —ССХ
формулами
(([. т=т]. )• если
Ф [[х, t], s] = |
г|з ([дг, t], s) = [ [x, -уУ, max (s,
где х?Х, t,s?l. Непосредственная проверка показы-
показывает, что отображения ф и -ф корректно определены, не-
непрерывны и удовлетворяют соотношениям фо-ф = id,
¦i|-o(p=id. Следовательно, эти отображения являются вза-
взаимно обратными гомеоморфизмами. D
Лемма 2. Каждый линейный симплекс \ао...ап\,
п > 0, гомеоморфен конусу С\а„...ап\ над симплексом
I а0. ...а„_11. Существует гомеоморфизм
B) С\а0...ап^\-+\а0...ап\,

60 ЛИНЕЙНЫЕ СИМПЛЕКСЫ
тождественный на \а0.. .ап-1\ и переводящий верши-
вершину конуса С |а0. ..(»„_! | в вершину ап симплекса
Ч !
Д
„!
Доказательство. Гомеоморфизм B) может быть
определен формулой
где Jf€|a....ee_il, 0</<l. D
Доказательство предложения 1. При п. — О
ип-1 предложение 1 очевидно. Пусть п^2, и пусть
уже доказано, что любой (п—1)-мерньш линейный симп-
симплекс гомеоморфен шару Е"'1 (или, что равносильно, кубу
I"'1). Согласно лемме 2 произвольный n-мерный симплекс
\ао...а„\ является конусом над симплексом |«o---an-i!'
который в свою очередь является (при п^2) конусом
над симплексом |ао...а„_,|. Поэтому, согласно лемме 1,
симплекс | ао...ап J гомеоморфен произведению la,,...»,,.! | х /
и, значит,— в силу индуктивного предположения — кубу
/п^/л-^х/ (а потому и шару Е"). D
При п > 0 подмножество симплекса \а0.. .ап\, состоя-
состоящее из точек A), для которых 0 < Яо < 1, ..., 0 < Кп < 1,
называется его внутренностью (оно открыто в введенном
выше подпространстве au-\-W). При п — 0 симплекс |а0]
состоит из точки а0 и, по определению, его внутренность
совпадает с ним самим.
Подмножество симплекса \ао...ап\, состоящее из то-
точек, не принадлежащих его внутренности, называется
границей симплекса \а0.. .а„\. Оно состоит из точек, хотя
бы одна барицентрическая координата которых равна
нулю.
Из теоремы об инвариантности области (следствие 3
предложения 3 Дополнения к лекции 1.7) непосредственно
вытекает, что любой гомеоморфизм | а0... ап \ —>- Е" ото-
отображает внутренность симплекса \ао...ап\ на внутрен-
внутренность Е" шара Е" (и, значит, его границу—на границу
S" шара ?"). Впрочем, для гомеоморфизма \ао...ап |—*Еп,
построенного в доказательстве предложения 1, это свой-
свойство очевидно (достаточно заметить, что для любого про-
пространства X гомеоморфизм ср из леммы 1 переводит «край»
двойного конуса ССХ, состоящий из точек [[х, t], s], для
которых либо f — 1, либо s—\, в «край» призмы CXxI,
состоящий из точек ([*, t], s), для которых либо t-~l,
либо s= 0 или 1).

СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ СХЕМЫ 61
Таким образом, граница любого п-мерного линейного
симплекса \ао...а„\ гомеоморфна (п—\\-мерной сфере
S"~l.
Каждый симплекс вида 1а,-0.. .а1/л |, где 0<л„<...
...<im^n, называется гранью симплекса |ао...а„|.
Граница симплекса |а„...л„| является, очевидно, объе-
объединением всех его граней размерности < п.
Наша ближайшая цель будет состоять в аккуратном
описании класса топологических пространств, допускаю-
допускающих разбиение на симплексы, пересекающиеся лишь по
их граням. Каждое такое пространство полностью харак-
характеризуется схемой примыкания его симплексов, и мы
начнем с определения такого рода комбинаторных схем.
Определение 1. Множество 5 называется симпли-
циальной схемой, если в нем отмечены некоторые конеч-
конечные подмножества, называемые симплексами этой схемы,
причем выполнены следующие две аксиомы:
СС1. Любой элемент множества 5 принадлежит хотя
бы одному симплексу.
СС2. Каждое подмножество симплекса является симп-
симплексом.
Тот факт, что 0 является симплексом схемы S, мы
будем выражать формулой cx?S.
Симплексы, содержащиеся в симплексе ст, называются
гранями симплекса а. Пустой симплекс 0 является, таким
образом, гранью любого симплекса схемы.
Точки симплициальной схемы 5 называются ее вер-
вершинами.
Симплекс называется п-мерным, если он состоит из
/?+1 вершин.
Из аксиом СС1 и СС2 непосредственно вытекает, что
и силу обычного отождествления одноэлементных мно-
множеств с их элементами нульмерные симплексы симпли-
симплициальной схемы S отождествляются с ее вершинами, так
что вершины каждого симплекса—это в точности его
нульмерные грани.
Для произвольной симплициальной схемы S мы рас-
рассмотрим линейное пространство Rs всех функций х: S—>-К,
обладающих тем свойством, что множество вершин e?S,
для 'которых х(е)фО, конечно. Схема S естественным
образом вкладывается в пространство R5 (каждой вершине
c^S отвечает функция е: S—»R, равная единице вей
нулю во всех остальных вершинах схемы S) и является

62 СЙМПЛИЦИАЛЬНЫЁ nPOCtPAhCTEA
в Rs базисом. Более абстрактно R5 можно поэтому опре-
определить как линейное пространство, в котором выбран
базис, находящийся в биективном соответствии с множе-
множеством 5. Векторы этого базиса мы будем называть ортами.
Для любого симплекса а= {е,„, ..., еСп} схемы S в про-
пространстве Rs определен линейный симплекс
\a\ = \eio...ein\.
Пусть \S\— объединение всех симплексов |<х|, о ? S.
Мы введем в |5| топологию, считая множество Сс|5|
тогда и только тогда замкнутым, когда для любого симп-
симплекса | от | пересечение С П | or | замкнуто в \в\. Тогда внут-
внутренность а каждого симплекса | ст | будет клеткой прост-
пространства \S\ (с замыканием |ст|) и эти клетки будут, как
легко видеть, составлять клеточное разбиение простран-
пространства \S\.
Определение 2. Клеточное пространство \S\ (с клет-
клетками a, o?S) называется геометрической реализацией
схемы S.
Клеточные пространства, являющиеся геометрическими
реализациями симплициальных схем, называются симпли-
циальными пространствами, а их тела называются поли-
полиэдрами.
Пример 1. Симплициальная схема с вершинами
е0, ..., eN называется полной, если любое ее подмножество
является симплексом. Ясно, что геометрической реали-
реализацией такой схемы является JV-мерный линейный симп-
симплекс | е0.. .eN\.
Пример 2. Пусть 5—симплициальная схема с вер-
вершинами е0, ..., eN+1, симплексами которой являются все
ее подмножества, отличные от 5. Геометрической реали-
реализацией этой схемы является граница (N-\- 1)-мерного ли-
линейного симплекса | еа.. .eN \, гомеоморфная, как мы знаем,
N-мерной сфере SN. На этом основании схема 5 (а также
ее геометрическая реализация) называется иногда симп-
лициальной сферой.
Пример 3. Пусть 5—симплициальная схема с вер-
вершинами ех, ..., eN, e'lt ..., e'N, симплексами которой яв-
являются всевозможные подмножества, не содержащие одно-
одновременно двух вершин е{ и е\ с одним и тем же индек-
индексом i. При Л/" == 2 геометрическая реализация этой схемы
является границей ромба, а при N = 3—поверхностью
октаэдра. Для любого N ^2 эта геометрическая реали-

БАРИЦЕНТРИЧЕСКОЕ ИЗМЕЛЬЧЕНИЕ 63
заиия представляет собой 2лг-гранник, гомеоморфный сфере
5л'~г и являющийся многомерным обобщением октаэдра.
Рассмотренные в примерах 1—3 симплициальные схемы
состояли из конечного числа вершин. Такие симплици-
альные схемы называются конечными. Они характеризу-
характеризуются тем, что их геометрические реализации компактны.
Формула
C) р (*, у) = 1/Г^(х(е)-у(е)У, х,у? Rs,
У ees
определяет в пространстве Rs (а потому и на множестве
\S\<zR5) метрику (обычно называемую евклидовой метри-
метрикой). Следует иметь в виду, что соответствующая топо-
топология пространства | S | (называемая метрической тополо-
топологией) отлична от введенной выше слабой топологии (имеет
меньший запас открытых множеств). Ясно, однако, что
если схема S конечна, то метрическая топология совпадает
со слабой. [Легко видеть (докажите!), что для совпадения
метрической топологии со слабой необходимо и достаточно,
чтобы схема 5 была, в понятном смысле, локально ко-
конечной.]
Замечание 1. В начальный период развития ал-
алгебраической топологии в ней рассматривались исключи-
исключительно полиэдры, которые изучались по их симплициаль-
пым схемам, т. е. чисто комбинаторными методами. На этом
основании алгебраическую топологию называли в то время
«комбинаторной, топологией». В настоящее же время поли-
полиэдры вытеснены на периферию алгебраической топологии,
а их теория—в значительной мере независимая от алгеб-
алгебраической топологии — называется «кусочно линейной то-
топологией». Поэтому употребление термина «комбинаторная
топология» следует признать совершенно устаревшим.
Каждой симплициальной схеме S мы можем сопоставить
новую симплициальную схему baS, вершинами которой
являются симплексы схемы S, а симплексами — произволь-
произвольные их множества, упорядоченные по включению. Схема
baS называется барицентрическим измельчением схемы S.
Пример 4. Для полной симплициальной схемы SN
с iV-fl вершинами еп, еи ..., eN схема baS имеет 2jV+1
вершин и содержит N\ симплексов размерности N, каж-
каждый из которых задается перестановкой е1а, еи, ..., eiN
нершин схемы SN и состоит из симплексов \ela\, {е,-, е{ \, ..,
to e еЬ

64
БАРИЦЕНТРИЧЕСКОЕ ИЗМЕЛЬЧЕНИЕ
Вершины схемы ba SN наглядно можно отождествлять
с барицентрами (центрами тяжести) линейных симплек-
симплексов | а | геометрической реализации 151 схемы 5. См. рис. 2
для случая N = 2.
Чтобы придать этому наглядному представлению точ-
точный смысл, необходимы соответствующие общие опреде-
определения.
Обозначая орт пространства RbaS, отвечающий симп-
симплексу a?S (вершине схемы baS), через еа, мы можем
ег каждую точку х € | ba S \ • един-
единственным образом представить
формулой
.*}
Рис. 2.
Отсюда следует, что точка
где [х„ > 0 и ^J ц„ = 1, причем
На = 0 для всех симплексов а ? 5,
за исключением их конечного
числа сп, ст,, ..., ап, составляю-
составляющих симплекс из baS (т. е.
с.. с а„).
таких, что ого ст
где 6 (а) = -
е0 + . •. -f -
е„—барицентр симплекса
|а| = |<?0.. .еп I, корректно определена и принадлежит ли-
линейному симплексу |(rn|c:|S|. Тем самым мы получаем
некоторое (очевидно, непрерывное) отображение
Предложение 2. Отображение I является гомеомор-
гомеоморфизмом.
Доказательство. По определению каждый сим-
симплекс схемы baS имеет вид т=--{сг0, ст,, ..., ап\, где
а0, О], ..., ог„ —такие симплексы схемы S, что а0 с ах с ...
... ст 0„. Мы будем называть симплекс ап носителем
симплекса т.
Для каждого симплекса а ? 5 мы обозначим через S (а)
множество всех симплексов т схемы baS с носителем ст,
а через !5(ff)| — подпространство пространства |baS|, со-
состоящее из симплексов |т , x?S(a). Ясно, что подпро-

БАРИЦЕНТРИЧЕСКОЕ ИЗМЕЛЬЧЕНИЕ 65
t
п ранства | S (ст) | покрывают пространство | Ьа 51 и что
IS (cj,) I n IS (а2) 1 = | S (^ n а2) 1
для любых симплексов alt at схемы S.
Поэтому для доказательства предложения'2 достаточно
доказать, что для^любого симплекса o?S отображение I
является гомеоморфизмом подпространства \ S (ст) | с | Ьа 51
на симплекс |<г| с |S|.
Пусть ст —{е0, ..., е„\. Тогда каждая перестановка
а :(/„, ..., in) чисел 0, 1, ..., п будет задавать в S(a)
симплекс &* = {а%, ..., а%\ размерности п для которого
а'?~ {е,-о, ..., e!h\, k = 0, I, ..., п (так что, в частности,
ст;* -= о), и любой симплекс из 5 (ст) будет гранью одного
из этих симплексов. (Если множество S (а) естественным
образом трактовать как множество всех симплексов неко-
некоторой симплициальной схемы, то это будет означать, что
эта схема изоморфна описанному в примере 4 барицентри-
барицентрическому измельчению полной, схемы с п-\-\ вершинами.
Это замечание, формально ниже не использующееся, со-
содержательно является ключом ко всему доказательству.)
Соответствующий симплексу аа линейный симплекс
j о" | с | ba S | состоит из точек вида
где
D) h>>0 Ц„ >0 и
а отображение / переводит каждую из этих точек в точку
симплекса \ап | ='| г0... г„ | с \S\, т.е. в точку
/ (х) - Хоео +...+Кпс,,= Х1ое!а +... + \
где
3 М. М. Постников

66 БАРИЦЕНТРИЧЕСКОЕ ИЗМЕЛЬЧЕНИЕ
Из этих равенств непосредственно следует, что условия D)
равносильны условиям
F) 0<Х/я<Х,я_|<...<Х,(( и
Этим доказано, что отображение I является гомеоморфиз-
гомеоморфизмом симплекса \аа\ на часть симплекса |о|, характери-
характеризующуюся соотношениями F).
Но ясно, что для любой точки симплекса |сг| суще-
существует такая перестановка a = (in, ilt ..., in), что для
барицентрических координат Хп, Xj, ...,%„ этой точки
имеют место соотношения E). Следовательно, Отобра-
Отображает объединение \S(a)\ всех симплексов | о" | на сим-
симплекс | ст |.
Пусть х, y?\S{o)\ и x?\e*\,y€:\<fi\, где «=(/„, ...
•••. '„). Р-(/в /»)• Если хфу, но l(x)-l(y),To
аф$, поскольку на каждом симплексе |о™| отображение
/ является гомеоморфизмом. Вместе с тем для барицентри-
барицентрических координат %п, ..., Хп точки l(x) = t(y) наряду
с соотношениями (б) будут иметь место соотношения
G) О <Ь,„<Ь/(|_, <...<*,, и *, + **+...+*„ «1.
Пусть среди чисел Хо, ... Д„ имеется т различных, причем
самое большое из них повторяется рх раз, следующее по ве-
величине pt—рг раз и т. д. Разбив перестановки а и Р на m по-
последовательных блоков, длин, соответственно pit р2—ри ...
и т. д., мы получим, что соотношения F) и G) тогда и
только тогда одновременно выполнены, когда для пере-
перестановок аир эти блоки состоят из одинаковых чисел
(внутри каждого блока, вообще говоря, как угодно'пере-
ставленных).
С другой стороны, так как (см. соотношения E)) \ik**0
при Xlk = ^/ft+1, то точка х принадлежит грани | х | симп-
симплекса | о™ 1, где т—грань {(*?,, а?„ ...,d?m\ симплекса о".
Аналогично показывается, что точка у принадлежит грани
|т'| симплекса |ар|, где т'= {()$,, о^„ ..., Орт}, причем
координаты точки х в грани | т | будут равны барицентри-
барицентрическим координатам точки у в грани | т' |.
Но если блоки, на которые разбиты перестановки а и р,
состоят из одинаковых чисел, то каждый симплекс a"ft
будет совпадать с соответствующим симлексом c$fc (эти
симплексы будут иметь одни и те же вершины, лишь по
разному занумерованные),"так [что точки *х и у будут

МЕЛКОСТЬ БАРИЦЕНТРИЧЕСКОГО ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ 67
иметь в одних и тех же симплексах одни и те же бари-
барицентрические координаты и потому будут совпадать.
Этим доказано, что если 1(х)=*Цу), то х~у. Следо-
Следовательно, отображение / является гомеоморфизмом под-
подпространства | S (ст) | на симплекс \а\. П
Топологическое пространство X называется триангу-
триангулируемым, если оно гомеоморфно геометрической реали-
реализации \S\ некоторой симплициальной схемы S. Каждый
гомеоморфизм t: \ S \ —<- X называется при этом триангу-
триангуляцией пространства X, а схема S называется схемой
триангуляции t.
Триангуляция t: \ S | —>¦ X называется конечной (соот-
(соответственно локально конечной), если схема 5 конечна
(локально конечна). Для того чтобы пространство X обла-
обладало конечной (соответственно локально конечной) триан-
триангуляцией, необходимо, чтобы X было компактно (метри-
(метрику емо).
Каждое симплициальное пространство | S | по определе-
определению триангулируемо и обладает триангуляцией id: |5|—»•
-|S|. Согласно предложению 2 отображение /: |Ьа5|—»¦
r\S\ также является триангуляцией пространства \S\.
Более общим образом, для любой триангуляции t:
S\—fX триангулируемого пространства X композиция
t о I: |baS|—>Х также является триангуляцией этого
пространства. Триангуляция tol обозначается символом
1ы (t) и называется барицентрическим измельчением триан-
триангуляции t.
Барицентрические измельчения можно итерировать. По
определению
ba* (t) - ba (ba* (*)), ba° (t) -1.
Если пространство X обладает непрерывной метрикой р
(не обязательно индуцирующей его топологию), то для
каждой его триангуляции t: |S|—»-X определено число
mesh t am max diam t (| ст |) «* max max p(t{x), t(y)),
OSS OZS x, y?\(J I
называемое мелкостью триангуляции t (по отношению
к метрике р).
В частности, для любого симплициального простран-
пространства | S | имеет смысл говорить о мелкости его тождествен-
тождественной триангуляции id и ее последовательных барицентри-
барицентрических измельчений ^aaba^*), /°«=id, по отношению
к евклидовой метрике C).

68 МЕЛКОСТЬ БАРИЦЕНТРИЧЕСКОГО ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ
Ясно, что mesh id в»К2. Оценим mesh/* для любого
k^O, предполагая, что схема S конечна.
Если а0, ..., а„ —независимые точки евклидова про-
пространства 4^, то для любых точек
симплекса |ao...ian| имеет место оценка
п ¦ п \ | | п
(8) \х-у\= i
п / п
< У, К{ | а, —у К ( 2 h)max I а( — ^ I ¦*•max I ai —У I-
В частности, \а(—y\=*\y—a{\^.ma\\af—ac\, и потому
i
I x —y | ^ max I a,—a, I.
f. /
Следовательно,
diam (| a0... an |) = max | a,- — a^
(диаметр симплекса равен длине его наибольшего ребра).
Рассмотрим теперь произвольный симплекс \bo...bm\,
т^.п, вершины которого являются барицентрами каких-то
граней симплекса \аи.. .йп\, т. е. имеют вид . (а* + • • •
S~\- 1 °
... + ais), где 0 ^s<Crt и 0 <; to<.. .^ is^n. Согласно
общей оценке (8) для каждого ребра bk—bt этого симп-
симплекса имеет место неравенство
\bfr—bi | ^max | bfr~—u/1.
Но если ^^—L- (a/o+ ... +als), то
¦ max \tti —flf/|^—-j-pmaxla/—a.-\,

МЕЛКОСТЬ БАРИЦЕНТРИЧЕСКОГО ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ 69
II, значит,
max \bh-aj \<-^ max | щ-п; \.
Следовательно,
diam |ft0.. .йт K-j^diam |а0.. .а„ |.
Чтобы применить этот результат к итерированным
триангуляциям /*: |ba*S| —»¦ \S |, k^l, мы заметим, что,
как показывает очевидная индукция, каждое множество
/ft(|x|), T?baftS, представляет собой линейный симплекс,
вершинами которого служат барицентры каких-то граней
симплекса lk~l (|ог|), где 0gba*S — носитель симплекса т.
Поэтому, согласно доказанному,
"^!^!), где п «в dim a.
Отсюда следует (если учесть, что " монотонно растет
v ростом я),' что
mesh /*^-^гу mesh I4'1 для любого
где п — наибольшая размерность симплексов конечной
схемы S (а значит, и всех схем Ьа*5). Следовательно,
В частности, мы видим, что
(У) mesh J*-г->-0 при k—<-oo.
Предложение 3. Для любой конечной триангуля-
триангуляции t: \S\—+X компактного метрического простран-
пространства X
mesh ba* (t) —<- 0 при k—«-oo.
Доказательство. Ясно, что ba*(tf) = ba* (id)o^ =
=¦¦¦¦¦ l^ot. Поэтому предложение 2 вытекает из формулы (9),
поскольку триангуляция t, являясь гомеоморфизмом ком-
компактных метрических пространств, представляет собой
эквиоморфизм (равномерно непрерывное биективное ото-
отображение, для которого обратное отображение также
равномерно непрерывно), и потому множества, диаметр

70 ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
которых стремится к нулю, переводит в такие же мно-
множества. D
Замечание 2. Для некомпактных пространств
предложение 2 теряет силу. Впрочем, как мы увидим,
реальный интерес представляет лишь следствие предло-
предложения 2, утверждающее существование сколь угодно мел-
мелких триангуляции, а это следствие может быть доказано —
с использованием измельчений более общих, чем бари-
барицентрические,— и в общем случае.
Теперь мы можем сформулировать и доказать Вспо-
Вспомогательную теорему в симплициальном варианте.
Клеточная пара (X, А) называется симплициальной
парой, если пространство X симплициально, или —что
фактически равносильно—если пространство X триангу-
триангулируемо. (Легко видеть, что клеточное подпространство
А симплициального пространства X само является симп-
лициальным пространством, но этот факт нам не пона-
понадобится.)
Пусть (Y, В)—произвольная m-мерная относительная
клетка и х: Ет—>-У—характеристическое отображение
для клетки em = Y\B. Для любого числа г, 0<г^1,
мы обозначим через Е? концентрический подшар шара Ет,
состоящий из точек х € Ет, для которых | х | ^ г, а через
в?—образ его внутренности Е? при отображении % (явля-
(являющийся клеткой в ет).
Отображение g: (X, А) —¦ (Y, В) симплициальной пары
(X, А) в относительную клетку (У", В) мы назовем регу-
регулярным по отношению к триангуляции t: \S\—«-X про-
пространства X, если для любого симплекса а ?S множе-
множество (g°t)\a\ либо не пересекается с eJ/4, либо целиком
содержится вети композиция х~1о?0^ \о\—+Ет является
аффиным отображением (записывается в барицентрических
координатах линейными функциями).
Вспомогательная теорема (симплициальный ва-
вариант). Пусть (X, А)—симплициальная пара с компакт-
компактным X, a (Y, В)—относительная т-мерная клетка. Тогда
для любого непрерывного отображения f: (X, А) —>¦ (Y, В)
существует такая триангуляция t: \S\—*X простран-
пространства X и такое регулярное по отношению к этой триан-
триангуляции отображение g: (X, Л)—>(К, В), что /~greM.
Доказательство. На множестве /-1 (eST/J отобра-
отображение %~1°f равномерно непрерывно, и потому сущсст-

ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 71
вует такое б > 0, что для любых точек х, y^f~1(ef/t)
из р(х, у)<8 вытекает, что p((x~lof) (*), (x~V) (у))<
< 1/4. Согласно предложению 3 существует такая триан-
триангуляция t: \S\—*X пространства-X, что meshf <б. Для
упрощения формул мы, отождествив \S\ с X посредст-
посредством t, будем считать t тождественным отображением.
Мы определим отображение g: (X, A)—+(Y, В) на
каждой клетке всХ в отдельности. Если /(|а|)с
сК\еГ/г и, в частности, если |а|<гЛ, мы будем считать,
что на о (и даже на |<х|) отображение g совпадает с ото-
отображением f (так что, в частности, g = f на Л). Пусть
/ (| а |) ce'i/i, и пусть | ст) = | аоаг... а„\. Тогда для любой
точки
симплекса \а\ мы положим
где
Ясно, что это корректно определит непрерывное отобра-
отображение g на объединении всех симплексов \а\, для кото-
которых f (\а\)се%. При этом в силу выпуклости шара Е?/2
для любого такого симплекса |<т| будет иметь место вклю-
включение g(\a\)cx%ii.
Осталось построить отображение g на симплексах |ог|,
для которых /(|a|)nef/i#0 и / (| о |) <jt еГ/, (и, значит,
/"(|<т|) П еТ/t Ф 0)- Из условия, которому удовлетворяет
число б, непосредственно следует, что для каждого та-
такого симплекса |<т| множество /(|сг|) содержится в клет-
клетке ет и, более того, множество
conv f (| or |) = x (conv (x'W) (| о I)),
где conv (x~1q/) (Iе* I) — выпуклая оболочка множества
(X~1q/) (I <*|) в шаре Ет, не пересекается с е™4. Мы по-
построим отображение g на симплексе |ст|, так чтобы
ff (| or j)ciconv / (|or j). Тогда множество g (| ст |) не будет пере-
пересекаться с e?/i, откуда следует, что для симплекса S

72 ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
соотношение g(\ a |) n б5% Ф 0 может иметь место только
в рассмотренном выше случае /(|o|)c:ej/a. Поскольку
в этом случае отображение %-1og на симплексе |<г| по
построению аффинно, мы видим, следовательно, что ото-
отображение g будет регулярным отображением.
Воспользуемся индукцией по размерности s = dima
симплекса or. Если s = 0, т. е. симплекс |ог| представляет
собой точку, мы положим g(\o\) = f(\e\). Пусть s > О,
и пусть отображение g уже построено на всех собствен-
собственных гранях |т| симплекса |<т| (т. е. на его границе |сг|).
По условию g (| т |) с conv / (| т |) cconv / (| a |), т. е.
g(|a|)cconv/<|(x|).
Пусть Ьд—произвольная внутренняя точка симплекса \о
(например, его барицентр). Каждая точка лг?|(Т|\б0
единственным образом представляется в виде х = ubo+
+A— и)у, где _у€|ог|, «g/. Мы положим
х("(гW)F0)-НО-")(x-^Mjv))-
если x€|a|\ft0,
f(ba), если x = b0
(это—так называемая «коническая конструкция»; ср. лем-
лемму 2). Ясно, что построенное отображение g: \a\—>-Х
непрерывно и обладает тем свойством, что g" (| ст |) с=
cconv/(| а |).
Тем самым мы построили некоторое регулярное ото-
отображение g: (X, Л)—*(У, В), совпадающее на Л с ото-
отображением /. Непосредственная проверка показывает те-
теперь, что, положив для любой точки х$Х и любого t g /
f{x), если *6М и /(|а|)#
если х?\в\ и /(|а|)<гУ\ёГ/„
мы"^получим гомотопию относительно А, связывающую
отображение / с отображением g. p
Размерностью dim(X, А) симплициальной пары (X, А)
называется наибольшая размерность клеток ааХ\А.
Следствие. Если dim (X, А) < т, где m = dim (Y, В),
то любое отображение (X, А) —> (Y, В) гомотопно отно-
относительно А такому отображению /: (X, А) — ¦> (У, В), что
Y\B(?fXX\A).

ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 73
Доказательство., Согласно Вспомогательной тео-
теореме мы можем считать отображение / регулярным. Пред-
Предположим, что вопреки утверждению К\5с/(Х\А).
Тогда, в частности, eJ/4c/(X\ Л), т. е. ёГ/4 содержится
и объединении множеств вида /(|сг|). Без ограничения
общности мы можем считать, что все эти множества пере-
пересекаются с е™4 и потому имеют вид (х°/') Aа1). гДе /' —
некоторое аффинное отображение \о\— *Ет. При этом
условии шар ?j/t будет содержаться в объединении ко-
конечного числа множеств вида /'(|ст|), каждое из которых
является либо симплексом размерности dimtf, либо неко-
некоторым выпуклым множеством, содержащимся в плоскости
размерности, строго меньшей dim ст, Поэтому существует
такой симплекс а, что dimcr^m, что противоречит усло-
условию dim (X, А) < т. Следовательно, X \ Agt/ (Y \ В), rj
При (X, А) = {Еп, Sn~l) (когда, собственно говоря,
доказанное следствие нам только и нужно) это следствие
совпадает со следствием из Вспомогательной теоремы
в гладком варианте и не несет никаких следов своего
«симплициального» происхождени я.
Замечание 3. Ясно, что отмеченное в замечании 1
лекции 2 обобщение Вспомогательной теоремы полностью
сохраняется (вместе с доказательством) и в симплициаль-
пом варианте.
Замечание 4. По аналогии с триангулируемыми
пространствами можно ввести в рассмотрение простран-
пространства, гомеоморфные кубируемым множествам (которые —
:ta отсутствием лучшего термина—можно называть топо-
топологически кубируемыми пространствами), и получить соот-
соответствующий «кубический» вариант Вспомогательной тео-
теоремы. В принципе это несколько проще, поскольку роль
барицентрических измельчений будет теперь играть три-
ниальная процедура измельчения кубильяжей. Вместе с тем
без особого труда можно показать, что (компактное) то-
топологическое пространство тогда и только тогда триангу-
триангулируемо, когда оно топологически кубируемо. Поэтому
гимплициальный и кубический варианты Вспомогательной
теоремы полностью равносильны. Мы отдали предпочте-
предпочтение симплициальному варианту в основном по традиции.
С помощью симплициальных пространств можно также
доказать одну важную теорему, в формулировке которой
эти пространства не участвуют.

74 ТЕОРЕМА О СЧЕТНОСТИ МНОЖЕСТВА IX. У]
Напомним, что множество мы называем счетным, если
оно конечно или счетно.
Пусть X и Y—клеточные пространства.
^Теорема I. Если пространство X конечно, а про-
пространство Y счетно, то множество гомотопических клас-
классов [X, У] непрерывных отображений X—+Y счетно.
Доказательство теоремы 1 мы вынуждены начать до-
довольно издалека.
Для простоты мы будем отождествлять симплициаль-
ные схемы с нульмерными остовами их геометрических
реализаций. В частности, вместо е{ будем писать просто е(.
Пусть S и Т—симплициальные схемы.
Определение 2. Отображение q>: S—+T называется
симплициальным, если оно переводит симплексы в симп-
симплексы. Геометрической реализацией симплициального ото-
отображения ф: S—>-T называется отображение
на каждом симплексе |о| являющееся аффинным (линей-
(линейным в барицентрических координатах) отображением на
симплекс | (ра| (и, значит, совпадающее на S=|S|° с ото-
отображением ф). Ясно, что отображение |ф| клеточно (и,
в частности, непрерывно).
Для сокращения формулировок геометрические реали-
реализации симплициальных отображений схем принято также
называть симплщиальными отображениями. К недоразу-
недоразумениям это не приводит.
Для любой точки х произвольного симплициального
пространства X = |S| мы будем обозначать символом six
симплекс |cr|?|S|, обладающий тем свойством, что х?°о
(этот симплекс существует и единствен, ибо множества ст,
o$S,, составляют клеточное разбиение пространства |S|).
В частности, для любого непрерывного отображения
симплициальных пространств и любой точки *€|S| опре-
определен симплекс s\ f (х) пространства |Т|.рв»
Определение 3. Симплициальное отображение

СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ 75
называется симплициальной аппроксимацией непрерыв-
непрерывного отображения /: |S|—»-|Т|, если
A0)
для каждой точки x?\S\.
Пусть ft{x)—точка, делящая в отношении /: 1 — /
прямолинейный отрезок, соединяющий в симплексе sif(x)
точку f(х) сточкой |ф|(х). Ясно, что /(: |5|—>|Т|
является гомотопиёй, связывающей отображение /0 = /
с отображением /х = f ф |. Таким образом, любая симпли-
циальная аппроксимация отобраокения f гомотопна f.
Чтобы переформулировать условие A0) в более удоб-
удобной форме, нам понадобится следующее определение:
Определение 4. Звездой stcx симплекса \а\,
называется объединение внутренностей всех симплексов
из \S\, содержащих симплекс J|<x|. Звездой six точки
.v(E|S| называется звезда stsix симплекса si x.
Очевидно, что множества st а (и st а:) открыты, а их
замыкания st а (и st х) являются клеточными подпрост-
подпространствами клеточного пространства \S\.
Пусть а—\е0, ег еп\ — произвольное подмноже-
подмножество схемы 5. Легко видеть, что а тогда и только тогда
является симплексом схемы S, когда пересечение
A1) flste,
- ыо
не пусто. Действительно, ясно, что
" . fa, если а является симплексом схемы S,
П st е, = < '
»=о |0в противном случае, г]
Предложение 4. Симплициальное отображение |<р|:
\S | —> | Т | тогда и только тогда является симплициаль-
симплициальной аппроксимацией непрерывного отображения f: \S \)—+
- *\Т\, когда
A2) f(ste)<=stq>(e)
для любой вершины
Доказательство. Пусть x^ste, т. е. пусть х?о,
где а—некоторый симплекс схемы S с вершиной е. Тогда
191 (х) ? т, где т = ф (а) —образ симплекса а при отобра-
отображении ф. Поэтому, если условие A0) выполнено, то
\t\ = sif(x), и, значит, /(*)€*• С [другой стороны, так

76 СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ
как ф (е) является вершиной симплекса т, то rczst(p(e).
Следовательно, f(x)?st<f>(e), т. е. f(ste)<=stq> (e).
Обратно, если выполнено условие A2), то для любой
точки *€|S| будет иметь место включение
A3) /(*)€/( П ste^c П f(ste)c П stq>(«,) = i,
где е„, ..., еп—вершины симплекса \'a\ = six, а т—симп*
леке ф (ст) с вершинами ф (е0), ..., ф (е„) (возможно, повто-
повторяющимися). Следовательно, si / (х) = j -г |. С другой сто-
стороны, по определению '|ф| (х) ?|т|. Таким образом,
| ф ! (х) ? si / (x) и, значит, ф является симплициальной
аппроксимацией отображения /. ?
Следствие. Непрерывное отображение f: \S\—+\T\
тогда и только тогда обладает хотя бы одной симпли-
симплициальной аппроксимацией |ф[: ]5|—>-|Г|, 'когда для лю-
любой вершины e?S существует такая вершина е'?Т, что
A4) V(ste)<=ste'.
Доказательство. Если аппроксимация |ф| суще-
существует, то свойством A4) обладает вершина е' = ср(е).
Обратно, обозначив е' через^ф (е) мьГвидим, что условие
A4) равносильно существованию такого отображения ф:
S-+T, что
A5) /(ste)cst«p(e)
для любой вершины e$S. Поэтому надо только доказать,
что отображение ф: St—»-T, обладающее свойством A5),
симплициально, т. е. что для любого симплекса ст =
= К, «1 е„\ схемы S вершины ф (е0), ф {ех), ..., ф (еп)
являются (возможно, с повторениями) вершинамиЦнеко-
торого симплекса т схемы Т или, иначе говоря, что пере-
пересечение A1) не пусто. Но уже известное \ нам рассужде-
рассуждение (см. A3)) показывает, что это пересечение содержит
все множество /(ст). Поскольку /(ст)^=0, этим следст-
следствие 1 полностью доказано, р
Теперь мы должны считать схему S конечной.
Теорема 2 (о симплициальной аппроксимации). Если
симплициальная схема S конечна, то для любого непре-
непрерывного отображения f: \ S \ —> | Т \ существует такое число
т > 0, что отображение /, рассматриваемое как отобра-
жение | ba^Sj —»¦ | Т\, обладает симплициальной аппрок-

СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ 77
симацией
Доказательство. Звезды вершин симплициаль-
иого пространства Y =[\ Т | составляют открытое покрытие
этого пространства, и, значит, их прообразы — открытое
покрытие 11 пространства X \S\. Так как простран-
пространство X, будучи конечным клеточным пространством,
метризуемо и компактно, то, выбрав в нем некото-
некоторую метрику, мы можем применить к покрытию И лемму
Лебега (см. Дополнение к лекции 1.1). Согласно этой
лемме существует такое число в > 0, что любое подмно-
подмножество К с: X диаметра < е содержится^ каком-то эле-
элементе покрытия Ч, т. е. в схеме fT существует такая
вершина е', что / (К) с ste'.
Поэтому для доказательства теоремы 2 достаточно в
силу следствия 1 предложения 4 доказать, что при не-
котором'т > 0 звезды вершин схемы ba" S будут иметь
диаметр < е. Но ясно, что диаметры звезд вершин произ-
произвольной триангуляции не превосходят удвоенной мелко-
мелкости этой триангуляции, и потому существование числа m
обеспечивается предложением 3. ?
Следствие (теорема 1 для* симплициальных прост-
пространств). Если симплициальная схема S конечна, а симп-
лициальная схема Т счетна, то множество [|S|, \Т\]
гомотопических классов непрерывных отображений
\S\~*-\T\ счетно.
Доказательст'в'о. Согласно теореме" 2 любое не-
непрерывное отображение | S't\ —* | Т | "гомотопно отображе-
отображению вида | ф |: | ba1* S | —>-'| Т |, а. 'множество последних
отображений, очевидно, счетно. П
В силу этого следствия~для доказательства теоремы 1
достаточно доказать следующее предложение, имеющее,
конечно, и самостоятельный интерес:
Предложение б. Любое' клеточное пространство X
гомотопически 'эквивалентно 'симплициальному простран-
пространству X' той же размерности. Если пространство X ко-
конечно (счетно), то пространство X' также конечно
(счетно).
Рохлин и Фукс называют пространство X' симпли-
циальной аппроксимацией клеточного пространства X.
Для доказательства предложения 5 нам будут нужны
две—интересные jh сами по себе—конструкции над симп-
лициальными схемами.

78
ТРИАНГУЛЯЦИЯ ПРОСТРАНСТВА |S|X/
Для каждой симплициальной схемы S произведение
|S|x/ будет клеточным, но, вообще говоря, не симпли-
циальным пространством. Однако оказывается, что клетки
этого пространства (являющиеся треугольными призмами
вида Дх/, где А—симплекс) можно разбить на симп-
симплексы так, чтобы получилось симплициальное простран-
пространство. Простейший (наиболее экономный) способ такого
Рис. 3.
разбиения (изображенный для .случаев л = 1 и п = 2 на
рис. 3) может быть описан следующим образом.
Симплициальная схема S называется упорядоченной,
если на ней задано частичное отношение порядка (обо-
(обозначаемое символом <) по отношению к которому все
симплексы схемы S линейно упорядочены.
Для любой упорядоченной симплициальной схемы S
введем в. рассмотрение симплициальную схему Sx/, вер-
вершинами которой являются символы е и е, где е—вер-
е—вершины схемы S, а симплексами—произвольные подмно-
подмножества таких множеств вида {е0, ..., ер, ер, ..., еп},
что:
а) множество о-={е0, ..., ер, ..., еп} является симп-
симплексом схемы S;
б) е0 <... <ер <...<<?„ в схеме S.
Линейный симплекс \еа...ерер...еп\ геометрической
реализации |Sx/| схемы Sx/ мы для сокращения
формул будем обозначать символом |<т, р\.
Каждая точка z€|Sx/| принадлежит одному из
симплексов вида |<т, р\, т. е. выражается формулой
A6) * = V#+ • • Л

ТРИАНГУЛЯЦИЯ ПРОСТРАНСТВА \S\Xf 79
где Х0>0 а,,>0, ^0>0, .... |1„„,>0 и
Любой такой точке г мы отнесем точку
К (г) = Vo+ • • • +ViVi + ^ + ^«/ +
симплекса |а| и число
отрезка /. Автоматическая проверка показывает, что
точка
A7) А(г) = (Мг). *.(*))
пространства |S|x/ не зависит от выбора симплекса
I о, Р | .(поскольку мы не требуем, чтобы точка г была
внутренней точкой симплекса \в, р\, таких симплексов
может быть много), и, значит, формула A7) корректно
определяет некоторое непрерывное отображение
к: |Sx/| — \S\xI.
Обратно, пусть (я, ^ — произвольная точка простран-
пространства |5|х/, и пусть х€\о\, где а={ев, ..., е„} — не-
некоторый симплекс схемы S, т. е. пусть
где ао>О, ..., а„>0 и а» +... +а„= 1. Предпола-
Предполагая, что е0 <... < еп в схеме S, рассмотрим наименьший
индекс р — р{х, t), обладающий тем свойством, что
i<ao+...+ap.
Пусть k' (x, t)—точка A6) симплекса \а, р\, для ко-
которой
= ^—ао—••¦—ap-i
Непосредственная проверка показывает, что точка
k'(x, 0€|Sx/| корректно определена и получающееся
отображение
k': |S|x/-4Sx/|
обратно к отображению к. Следовательно, отображения
к и к' являются взаимно обратным гомеоморфизмами.

80 СИМПЛИЦИАЛЬНЫЙ ЦИЛИНДР
В дальнейшем мы будем отождествлять точки г и
k (г). Тогда в категории топологических пространств
будет иметь место равенство
и каждая клетка |(Т|х/ пространства ||S|x/ будет
объединением всех симплексов вида \а, р\.
Перенесем теперь на симплициальные отображения
понятие цилиндра отображения.
Пусть S и Т—симплициальные схемы, причем_схема Т
упорядочена, и пусть <р: S—>¦ Т—симплициальное отоб-
отображение.
0пределение15. Цилиндром^ симплициального'отоб-
ражения ср: 5—<-Т называется симплициальная схема
Cyl ф, множеством вершин которой служит множество
S U Т, а симплексами—такие подмножества ocS\jT, что:
1) пересечение o{)S является симплексом схемы S;
2) множество ф (о n S) U (а п Т) является симплексом
схемы Т;
3) если af]S=^=0i и а[]Т1Ф0, то а[\Т является
образом при отображении ф некоторого симплексг
схемы S;
4) для любых двух вершин e?an<S и е' €<У(]Т в
схеме Т имеет место соотношение
ф (*)<*'•
Геометрическая реализация | Cyl ф | схемы Cyl ф на-
называется симплициальным цилиндром симплициального
отображения / = |ф| и обозначается символом Cyls/.
Ясно, что вложения схем S и Т в схему Су1ф
являются симплициальными отображениями. Это позво-
позволяет считать симплициальные пространства X -- | S | и
Y —\Т\ подпространствами пространства Cyls/.
Рассмотрим теперь (очевидно, симплициальное) отоб-
отображение
ф': е, >-»•?,, е,1->ф(е,))
схемы Sxl в схему Су1ф. Геометрическая реализация
| ф' |: | S х /1 —*¦ Cyls / этого отображения, рассмат-
рассматриваемая как отображение | S (х / —*• CylB f, переводит
любую точку вида (х, 1), где x(tX — \S\, в точку f(х)
подпространства Y — | Т | пространства Cyls f. Поэтому
вместе с вложением Y—»-Cyls/ это отображение инду-

СИМПЛИЦИАЛЬНЫЙ ЦИЛИНДР . 81
пирует некоторое непрерывное отображение
Ф: Cyl/-* Cyl./,
где Cyl /—цилиндр (обращенный) отображения / (см.
лекцию 1.2).
Непосредственное сравнение определений показывает,
что отображение ср надъективно (и, более того, является
ун ном орфизмом). Однако это отображение, вообще говоря,
не инъективно (что и вынуждает различать пространства
Cyl/ и Cyls/). Действительно, по построению цилиндр
Cyl/ является клеточным пространством, состоящим из
клеток вида | т |, где т ? Т (на этих клетках отображение
тождественно), и из клеток, являющихся образами симп-
симплексов | ст, р | пространства
и их граней при отображении факторизации Xxl-•*
>- Cyl /. При этом на клетках второго вида отображе-
отображение ф индуцировано аффинным отображением | <р'|, пере-
нодящим симплекс \а, р\ в симплекс | el<s.. . е^е^.. .e'jq\
пространства Су18/, где е), ..., ё-и—все неповторяю-
неповторяющиеся вершины вида ф^), ..., ццвсп). Поэтому, если
среди вершин ф(<?;р), ..., ф(е;„) есть одинаковые, то
отображение ф заведомо не инъективно. '.'.]
По определению отображение | ф' | (или, точнее, отоб-
отображение | ф' | о k') каждую точку (х, 0 € IS | х / перево-
переводит в точку пространства Су18/, выражающуюся фор-
формулой
где Р^, s—l, ..., q,—сумма всех чисел цк, Os^&<
<п—р, для которых <f>(e!p+k) = e'ls.
Поэтому, в частности, если
I ф' I (xi> ^i) = |ф' I (^2. h),
то t1 = ti и для любого t ?1
Для канонической ретрагирующей деформации Я:
(Cyl /) х / —* Cyl / (см. формулу D) лекции 1.2) отсюда
следует, что эта деформация согласована с эпиоморфиз-
мом~ср: Су1ф —Cyls/ (если фB1) = ф(г|), ги га€Су1/, то

82 КОНУС НАД СИМПЛИЦИАЛЬНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ
(<роЯ)(гх, т) = (фоЯ)(г„ т) для любого т(;/). Следова-
Следовательно, деформация Н определяет некоторую ретрагиру-
ющую деформацию
Н: (Cyl./)x/-CyU
(удовлетворяющую соотношению Н о (ф х id) — ф о Н). Та-
Таким образом, подобно цилиндру Cyl / симплициальный
цилиндр Cyl,/ деформационно ретрагируется на подпро-
подпространство Y = | Т \.
При этом отображение / также, очевидно, будет ком-
композицией rot вложения i: X—»-Су1в/и деформационной
ретракции г = Нх (рассматриваемой как отображение
Cyl./-К).
Таким образом, в^этом отношении цилиндр Cyl,/
ведет себя вполне аналогично цилиндру Cyl /.
Хотя отображение ф является гомеоморфизмом тогда
и только тогда,1» когда отображение ф инъективно, про-
пространства Cyl j Ф | и Cyl, | ф | могут быть гомеоморфны и
для неинъективных ф.
Пусть, например, схема Т состоит из единственной
вершины е' и, значит, отображение | ф | представляет
собой постоянное отображение X—>pt. В „этом случае
множеством вершин схемы Cyl ф является множество
S LJ {е'}, а ее симплексами—всевозможные подмножества
множеств вида о[}{е'}, где а пробегает все симплексы
схемы S. Эта схема называется конусом над схемой S и
обозначается символом CS.
Пусть, как и выше, (х, t)?\S\xI, где х = а0е{о+ ...
...+а„в<п, и пусть [я, t]—соответствующая точка ко-
конуса C\S\ над пространством \S\. Тогда легко видеть,
что формула
[х, t]b+taoelt+...+taae(n + (l-t)e'
корректно определяет гомеоморфное отображение С\ S | —*¦
—*-[CS\, и, ^значит, в этом случае '^цилиндр Су1|ф|=
= C|S| отображения |ф гомеоморфен симплициальному
цилиндру Cyl,|ф| = \CS\. [Однако, скажем, для симпли-
циального отображения |ф| треугольника \euetet| на
отрезок |eo*i|. заданного соответствием eot-+et, el\-^e1,
et •—»- еи цилиндры Cyl | ср | и Cyl, | ф | заведомо не гомео-
гомеоморфны.]
В частности, мы видим, что любая триангуляция t:
\S\—+ S" сферы S" продолжается до некоторой три-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 83
ангуляции шара Е". Действительно, в силу отождествле-
отождествлений C|S| = |CS| и CS"-1 = ?1'1 отображение
Ct: C|S| — CS»~\ [x, x]^[t(x), т],
будет триангуляцией шара ?", продолжающей триангу-
триангуляцию t. П
Теперь мы уже можем^доказать предложение 5.
Доказательство предложения 5. Мы по-
построим последовательность симплициальных пространств
Х'п, последовательность симплициальных вложений in:
Х'п—>-Xrt+i и последовательность клеточных гомотопиче-
гомотопических эквивалентностей
in* л э
обладающих следующими свойствами:
а) для любого п^\ диаграмма
X"-1—с-+х»
/...1
ln-i
коммутативна;
б) dimX; =
в) если пространство Xя конечно (счетно), то и про-
пространство Х'„ (т. е. соответствующая симплициальная
схема) конечно (счетно);
г) если Х" = Х»+1, то Х;-Х;+1 и in = id.
Объединение X' пространств Х'п будет тогда симпли-
циальным пространством, конечным или счетным одно-
одновременно с X, и его размерность dimX' будет равна
размерности dim'X пространства X. Кроме того, отобра-
отображения /„ будут определять клеточное отображение /:
X —> X', являющееся в силу теоремы Милнора гомото-
гомотопической эквивалентностью (см. теорему 1 Дополнения
к лекции 1.10; условия этой теоремы выполнены, по-
поскольку обе фильтрации {X"} и {Х^} являются фильтра-
циями Борсука и потому гомотопически правильны).
Положив XJ = Х° и fo= id, предположим, что для неко-
некоторого п^1 пространства Х^_х и гомотопическая экви-
эквивалентность'1'/я-1: X"—>¦ X'n_x уже построены. По опре-
определению Хл = ?игХп~1, где Е — объединение непересе-
непересекающихся л-мерных шаров, a g—непрерывное отображе-
отображение его края S в остов X". Поэтому (см. лекцию 1.2)
гомотопическая эквивалентность fn_x: Хп~1—+Х'„-1 рас-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ
пространяется до некоторой гомотопической эквивалент-
эквивалентности
/;: X"^E\Jfn_l,gX'n_l,
тождественной на Е.
Но согласно теореме 2, примененной к ограничениям
отображения fn_xog на каждой из сфер, составляющих
S, существует отображение |ф|: S—> Х^,_1, являющееся
симплициальной аппроксимацией отображения fn-i°gno
отношению к некоторой триангуляции пространства S,
и, значит, гомотопное этому отображению. Поэтому
(см. снова лекцию 1.2) существует гомотопическая экви-
эквивалентность
\
тождественная на Х'п_г.
Наконец, так как |q>| = rot, где i: S—¦»¦ Cyl,|<р| —
вложение, а г: Cyls'|"cp| —->- X^_t— каноническая деформа-
деформационная ретракция (и, значит, гомотопическая эквива-
эквивалентность), то существует гомотопическая эквивалент-
эквивалентность
А": ? U i Ф i ХД_г -^ Я U / Cyls | ф |,
совпадающая на Х„_, с вложением i. Снабдив простран-
пространство Е триангуляцией, продолжающей данную триангу-
триангуляцию его края S, мы, очевидно, получим триангуляцию
пространства ?U/Cyls|(p|, т. е. введем в него структуру
симплициального пространства. Это*пространство мы и
примем за пространство Х'п. Ясно, что условия б), в) и
г) будут при этом соблюдены.
Столь же ясно, что, положив /П = /Го h' о f'n, мы удов-
удовлетворим и условию а).
Тем самым предложение 5 полностью доказано. п
Вместе с тем полностью доказана теорема 1. П
Замечание 5. В связи с последним шагом в конст-
конструкции симплициального пространства Х'„ стоит заме-
заметить, что если (X,, А) и (Х2, Л) —две симплициальные
пары с одним и тем же А, то триангуляции пространств
Х1 и Х2 могут и не объединяться в единую триангуля-
триангуляцию пространства Хх (J Х2. Типичный пример получается,
когда Xj и Х2 являются двумя дизъюнктными евклидо-
евклидовыми симплексами (в их стандартной триангуляции из
примера 1), границы которых отождествлены по некото-
некоторому симплициальному гомеоморфизму. Однако при
объединении^триангуляний Пространств Е и Су1,|ср| по-
подобной ситуации, как легко видеть, не возникает.

ЛЕКЦИЯ 3
Слабые гомотопические эквивалентности.— Клеточные
эквиваленты топологических пространств.— Пунктиро-
Пунктированные клеточные эквиваленты.— «Экономное» построение
клеточного эквивалента.— Наращивания и вдавлива-
вдавливания.— Теорема Уайтхеда о оо-эквивалентностях.— Ее
обобщение на случай N-эквивалентностей.
В этой лекции мы введем и изучим важное понятие
слабой гомотопической эквивалентности. Результаты этой
лекции будут широко использоваться в следующих се-
семестрах, но для наших ближайших целей они^по 'суще-
'существу бесполезны.Тем не менее~их изложение здесь'вполне
уместно хотя бы потому, что они проливают новый'и не-
ожиданный~свет на взаимоотношения произвольных топо-
топологических пространств с клеточными пространствами.
Определение 1. Непрерывное отображение ш: X —<- X
называется"слабой гомотопической эквивалентностью, если
для любого клеточного пространства" # отображение
Ч>К:[К,Х]-+[К,Х], [П-*[Ф°Я. f:tf-X
биективно.
Ясно, что любая гомотопическая эквивалентность яв-
является слабой гомотопической эквивалентностью, Г-но об-
обратное, вообще говоря,-неверно. *
Однако можно утверждать, что если X и X являются
клеточными пространствами, то 'любаяг слабая 'гомото-
'гомотопическая эквивалентность <р: X —»- X будет"гомотопичес-
будет"гомотопической эквивалентностью. Действительно, если ср: X —<- X
является слабой гомотопической эквивалентностью, то,-
в частности, отображение ср*: [X, X] —>- [X, X] биектив-
биективно. Следовательно, существует такое отображение ip:
X —>- X, что фх[ф] — [id], т. е. такое, что ф о гр —^ id.
Поэтому ф~ [гр о ф]=[ф о т]зоф]=[ф] — ф_ [id], откуда'ввиду
биективности отображения ф^ следует, что гроф-./id. П
Таким образом, на категории клеточных пространств
слабые гомотопические эквивалентности совпадают с гомо-
гомотопическими эквивалентностями.

86 КЛЕТОЧНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ
Аналогично доказывается, что если для слабых гомо-
гомотопических эквивалентностей tp: Х.—+Х и ф^ Xt —<¦ X
пространства X и Хх являются клеточными простран-
пространствами, то эти пространства гомотопически эквивалентны.
Действительно, поскольку <р является слабой гомотопи-
гомотопической эквивалентностью,' а пространство Хх клеточно,
существует такое отображение %р1: Хх —> X, что ф о ¦ф^ф^
По симметрии существует также отображение \р: X —- X,,
для которого фг о г|з ~ ф. Поэтому ф о (грх о г|;) ~ ф,, о г|)~ф
и, значит, ip! о г|э — id в силу инъективности отображе-
отображения ф~. По аналогичным соображениям \|j о г)^ ~ id. П
Определение 2. Клеточное пространство X назы-
называется клеточным эквивалентом топологического прост-
пространства X, если существует слабая гомотопическая экви-
эквивалентность ф: X—-X.
Согласно сделанным выше замечаниям, если клеточ-
клеточный эквивалент X существует, то с точностью до гомо-
гомотопической эквивалентности он единствен.
Докажем теперь существование клеточных эквива-
эквивалентов:
Теорема 1. Для любого топологического пространст-
пространства X существует его клеточный эквивалент X.
Доказательство. Клеточное пространство X и
слабую гомотопическую эквивалентность ф: X —»- X мы
будем строить индукцией по остовам. За' вершины про-
пространства X мы примем компоненты линейной связности
пространства X (так что для связного пространства X
клеточное пространство X будет одновершинным). Ото-
Отображение ф0: Х° —* X мы построим, сопоставив каждой
компоненте пространства" X ее произвольную—но раз
навсегда выбранную—точку.
Пусть уже построено клеточное пространство X" и
отображение ф„: Хп—>-Х. Рассмотрим множество ^"все-
^"всевозможных отображений /: S" —*¦ X", обладающих тем
свойством, что фпо/~соп51, и выберем в нем такое се-
семейство отображений /«: 5" —•• X", что любое отображе-
отображение из Шп гомотопно некоторому (вообще говоря, не
единственному) отображению /а. Так как фп о fa ~ const,
то для каждого а множество 91% всех отображений g:

КЛЕТОЧНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ 87
?n+i _*. х, для которых g\s" = 4>n°fa, не пусто. Мы вы-
выберем в 91% такое семейство отображений gap: Еп+1—>-Х,
что любое отображение из !ЭТ? гомотопно относительно S"
некоторому отображению gafi.
Обозначив для каждого составного индекса оф через
Яар экземпляр шара Е" (все шары ?ар предполагаются
непересекающимися), а через /«р —отображение Еар —> X",
совпадающее с отображением /а, мы положим
X»+l=?U/X», где e-U^ap и / = и/ар.
а р а
Таким образом, клеточное пространство Яп+1 получается
из клеточного пространства Xя приклеиванием (п+ ^-мер-
^-мерных клеток еар посредством приклеивающих отображе-
отображений /ар. Ясно, что отображение ?LJX'' —*¦ X, совпадаю-
совпадающее на X" с отображением ф„, а на каждом шаре Ea$—<¦
с соответствующим отображением gap, индуцирует неко-
некоторое непрерывное отображение cpn+1: Xn+1 —»¦ X, обла-
обладающее тем свойством, что фп+1 ~п ~%. Положив
мы получим, таким образом, некоторое клеточное прост-
пространство X и отображение ф: X —> X. Остается показать,
что отображение ф является слабой гомотопической эк-
эквивалентностью.
Пусть ^ — произвольное клеточное пространство.
Утверждение, что отображение фк надъективно, означа-
означает, что для любого непрерывного отображения g:K—>-X
существует такое непрерывное отображение f: K.—+X, что
1?~фо/. Мы докажем даже большее:
Лемма /. Пусть для отображения g: K-+X суще-
существует такое клеточное подпространство А простран-
пространства К и такое непрерывное отображение f: A —> X, что
lf°f' — S на А- Тогда существует такое непрерывное
отображение f: К-+Х, что /»=/' на А и g~y° frelA.
Из этой леммы вытекает не только надъективность
отображения ф/< (при А ¦¦¦¦¦¦ 0), но и его инъективность.
Действительно, если для отображений /0, ft: К. —* X су-
существует такая гомотопия gt: К—>-Х, что g0 — фо/0 и
Si = Ф ° fu то, применив к этой гомотопии, рассматривае-
рассматриваемой как отображение Кх! —<¦ X, лемму 1 (приняв за А

88 КЛЕТОЧНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ
подпространство (KxO)(j (Кх 1)), мы получим гомотопию
ft: К—+Х, связывающую отображения /0 и ft. Таким
образом, по модулю леммы 1 мы можем считать теорему 1
доказанной. ?
Доказательство леммы 1. Нам нужно постро-
построить такие непрерывные отображения /„: К," —> X" и такие
неподвижные на А гомотопии hni t: К" —* X, что
/„U«-Г, К, о ё\к«, ЛВ11-фо/я,
Для любой вершины е° 6 /С" мы примем за /0 (е°) вер-
шину клеточного пространства X (т. е. компоненту про-
пространства X), содержащую точку g(e°), а за гомотопию
tt—>ftOi t (e0) — путь в X, соединяющий точку g{e°) с точ-
точкой ф'(/0(.е°)) (лежащей по условию в той же компоненте
пространства X). Если при g(е°) -•-ц>(/0(е0)) мы условимся
за путь 11—»• h0< t (e°) принимать постоянный путь, то все
условия, наложенные на отображение /0 и гомотопию
К, и будут, очевидно, выполнены.
Пусть для некоторого п^О отображение /„ и гомо-
топия ЛП11 уже построены. Рассмотрим произвольную
(п-\- 1)-мерную клетку е"+1 пространства К и ее характе-
характеристическое отображение %: Еп+1—*К. Пусть р = х|*я —
соответствующее приклеивающее отображение. Отображе-
Отображение fn о р: S" —>¦ X" удовлетворяет соотношению
Ф ° (/п ° Р) ~ (ё\к") op=~(go x)\s" ~ const,
т. е. принадлежит Ш", и потому существует такое а, что
/я ° Р ~ /а (мы предполагаем, что e"+1 ^ А, поскольку при
еп+1?А проблемы нет). Пусть at: S"—>¦ Я." — такая гомо-
топия, что аа /„ори ^ — fa. Определим отображение F:
Е"+1—>-Х формулой
если 0<|х|<1/3,
TJ]), если 1/3<|*|<2/3,
-^г), если 2/3<|*|<1,
где х € Е"+1. Так как F | s» - ф ° ах --- ф ° f«, то существует
такое Р, что F ~ ga$rel S". Пусть еаC — соответствующая
клетка пространства X и %ац: Еп+1 —>¦ X—характеристи-
X—характеристическое для клетки еац отображение. Так как аа (x)=(fn°p)(x)

КЛЕТОЧНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ 89
для любой точки x€S",*to формула
( %ав Bх), если 0 < | х |< 1/2,
если 1/2<|дг|<1,
где х?е"+1 и х?Е"+1—такая точка, что х (х) = х, кор-
корректно определяет отображение /п+1 на замыкании еп+1
клетки е"+1. Тем самым—в силу произвольности клетки
,."Ц—отображение /п+1 построено на всем остове Кп+1,
II ЯСНО, ЧТО /п + 1|к» =- /„•
Осталось построить гомотопию /tn+li t. Условия, кото-
которым должна удовлетворять эта гомотопия, означают, что,
рассматриваемая как отображение /Сх/—*Х, гомотопия
/!„д.х, f на замыкании произвольной клетки видаеч+1х@, 1),
с" ~г € К, индуцируется отображением Еп+1 X / —*¦ X, являю-
являющимся распространением отображения Я: (Еп+1х /)'—>¦ X,
определенного на границе (Еп+1 X /)" = (En+1 X 0) и (S" X /) U
и(?л+1х1) произведения Еп+1х1 формулой
Н(х, 0-
( (g ° X) (*), если / - 0,
I (ftfop)(jf), если xeS",
| (j если ^=1 и 1/2<|ДГ|<1,
I (Ф о Хар) Bх), если t=\ и 0 < | х |< 1/2.
Поэтому достаточно доказать, что отображение Н может
Г)ыть распространено на произведение Еп+1х1.
С этой целью мы введем в рассмотрение отображение
о: (Еп+1х1)'~+(Еп+1х1)', определенное формулой
fCx,0), если / = 0 и 0<|дг|< 1/3,
*-, 3|х|—l) , если /==0 и 1/3<|х|<2/3,
1 (D~2|iV)X>1)' 6СЛИ t==° " 2/3<1*1<1'
-f-, 1) , если х € S" или ^ = 1.
Это отображение очевидным образом гомотопно тождест-
тождественному отображению, и потому отображение Я распро-
пранимо тогда и только тогда, когда распространимо
отображение Я о со. Но, сравнив определения, мы

90 КЛЕТОЧНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ
немедленно получим, что
F(x), если * = 0,
(Яосо)(дг,0 = ^(дг)) если дг€5»или/=1
(напомним, что по построению ?ар = Ф ° Х<хр)> и. значит,
поскольку F ~ gafi rel S", отображение Я о со может быть
распространено на Еа+1х1.
Тем самым лемма 1 полностью доказана. С
Построенный клеточный эквивалент X отличается тем,
что для связного пространства X он одновершинен. При
X клеточном мы получаем тем самым следующее утверж-
утверждение:
Следствие, Любое связное клеточное пространство
гомотопически эквивалентно одновершинному клеточному
пространству.
Теорема 1 без труда переносится в категорию пар:
Теорема 2. Для любой топологической пары {X, А)
существует такая клеточная пара (X, А) и такое непре-
непрерывное отображение
Ф: (X, А) — (X, А),
что оба отображения
ср: X —»- X и cpL: А —>- А
являются слабыми гомотопическими эквивалентностями.
При этом, если пара (X, А) является парой Борсука,
то индуцированное отображением ср отображение кослоев
Х/А-+Х/А
также будет слабой гомотопической эквивалентностью. П
Доказательство этой теоремы фактически повторяет
(с соответствующими самоочевидными уточнениями) дока-
доказательство теоремы 1, и поэтому мы оставим его чита-
читателю в качестве очень полезного упражнения.
Замечание I. Отношение «быть связанным слабой
гомотопическойщэквивалентностью» рефлексивно и транзи-
тивно, но, вообще говоря, не симметрично. Будем назы-
называть пространства X и У слабо гомотопически эквивалент-
эквивалентными, если существуют две слабые гомотопические экви-
эквивалентности ф: Р —> X и г|з: Р —>-\Y с одним и тем же
пространством Р (которое в силу теоремы 1 можно, не
теряя общности, считать клеточным). Это отношение оче-

ПУНКТИРОВАННЫЕ КЛЕТОЧНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ 91
видным образом рефлексивно и симметрично. Оказывается,
что оно также и транзитивно, т. е. является отношением
эквивалентности. Действительно, если имеет место диа-
диаграмма
слабых гомотопических эквивалентностей, где Р и Q —
клеточные пространства, то ввиду того, что простран-
пространство Р клеточно, а отображение фх является слабой гомо-
гомотопической эквивалентностью, существует отображение /:
f ~~ Q, Для которого фх о [ ~ я|) и которое поэтому яв-
является слабой гомотопической эквивалентностью. Но тогда
отображение ^ о /: Р -+Z также будет слабой гомотопи
ческой эквивалентностью и, значит, пространства X и 7.
будут слабо гомотопически эквивалентны.
Перейдем теперь в категорию ТОР*. Напомним, что,
рассматривая пунктированное клеточное пространство, мы
всегда предполагаем, что отмеченная точка выбрана среди
его вершин.
Определение 3. Пунктированное отображение ср:
X ^ X пунктированных пространств называется слабой
пунктированной гомотопической эквивалентностью, если
для любого пунктированного клеточного пространства К
отображение
биективно. Пунктированное клеточное пространство X
называется пунктированным клеточным эквивалентом
пунктированного пространства X, если существует пунк-
пунктированная слабая гомотопическая эквивалентность ф:
Х-+Х.
Так же, как для непунктированных пространств, не-
немедленно доказывается, что если пунктированный кле-
клеточный эквивалент существует, то с точностью до пунк-
пунктированной гомотопической эквивалентности он единствен.
Что же касается существования пунктированного
клеточного эквивалента, то здесь имеет место следующее,

92 ПУНКТИРОВАННЫЕ КЛЕТОЧНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ
возможно несколько неожиданное, предложение, сводя-
сводящее этот вопрос к теореме 1.
Предложение 1. Пунктированное клеточное прост-
пространство (X, х0) тогда и только тогда является пункти-
пунктированным клеточным эквивалентом пунктированного то-
топологического пространства (X, х0), когда непунктиро-
ванное клеточное пространство X является клеточным
эквивалентом непунктированного пространства X.
Доказательство. Если отображение ф: (X, х0) —*
—<- (X, х0) является слабой пунктированной гомотопичес-
гомотопической эквивалентностью, то оно, в частности, индуцирует
изоморфизм ф„: ntX —* п^Х фундаментальных групп. По-
Поэтому для любого пунктированного клеточного простран-
пространства К биективное отображение фк: [/(, XJ" —> [/(, Х\'
будет индуцировать биективное отображение множества
[/С, Х]-/яД = [К, X] на множество [К, XJ'/лД = [К, X].
Поскольку последнее отображение является, очевидно,
не чем иным, как отображением фк. этим доказано, что
отображение ф представляет собой слабую гомотопиче-
гомотопическую эквивалентность и, следовательно, что пространство
X является клеточным эквивалентом пространства X.
Обратно, пусть пространство Л является клеточным
эквивалентом пространства X, и пусть ф: X—>-Х—соот-
X—>-Х—соответствующая слабая гомотопическая эквивалентность. Из
определения 1 (примененного к случаю К = pt) непосред-
непосредственно следует, что в клеточном пространстве X суще-
существует такая вершина х0, что точка ф (хл) <лежит в той
же компоненте пространства X, что и точка xQ. Поскольку
пара (X, х0) является парой Борсука, отсюда вытекает,
что без ограничения общности мы можем считать, заме-
заменив, если нужно, отображение ф гомотопным отображе-
отображением, что <р(хо)-=хо, т. е. что!ф: (X, х^-+ (X, х0).
[В предположении, что эквивалент X построен опи-
описанным при доказательстве теоремы 1 способом (это пред-
предположение общности, конечно, не ограничивает), можно
обойтись без ссылки на определение 1: достаточно за
вершину а:0 принять компоненту пространства X, содер-
содержащую точку х0, и при построении отображения ф вы-
выбрать за точку фо(а;о) точку х0.]
Теперь доказательство предложения 1 немедленно за-
завершается уже известными нам двумя ссылками на лем-

«ЭКОНОМНОЕ» ПОСТРОЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТА 93
му 1 (только применять эту лемму надо не к подпрост-
подпространствам А — 0 и А — (/СхО) и (Кх 1), а соответственно
к подпространствам А = {хЛ и А = (К X 0) и (х0 х /) U
U(/Cxl)). D
Замечание 2. Пусть X и,У — пунктированные кле-
клеточные пространства и /: X —¦> Y—пунктированное ото-
отображение, являющеесяЗгомотопической эквивалентностью.
Тогда / будет слабой гомотопической эквивалентностью
и, значит, по только что доказанному, слабой пункти-
пунктированной гомотопической эквивалентностью. Следова-
Следовательно, поскольку оба пространства X и Y клеточны,
отображение / будет пунктированной гомотопической
эквивалентностью. Тем самым мы заново доказали пред-
предложение 1 лекции 1.4 (правда, только для клеточных
пространств).
По построению (или —если хотите —по определению)
компоненты клеточного эквивалента X являются клеточ-
клеточными эквивалентами компонент пространства X. При
этом оказывается, что для пунктированного пространства
(X, х0) компоненту его клеточного эквивалента X, отве-
отвечающую компоненте пространства X, содержащей точку
х0, можно построить экономнее, чем это имплицируется
предложением 1. Именно, для пунктированного и связного
пространства (X, х0) в изложенном выше построении кле-
клеточного эквивалента X мы можем считать, что множество
Ш" состоит лишь из пунктированных отображений
/: E", s0) —*¦ (X, х0), обладающих тем свойством, что
Фло/ ч. const.' Соответственно этому от отображений /а и
gap мы потребуем, чтобы каждое отображение / из Ш"
(каждое отображение g из 91а) было пунктированно гомо-
гомотопно одному и—для экономности—только одному из
отображений fa (отображений gap)- Кроме того, мы, во-
первых, потребуем, чтобы то из отображений /а, которое
гомотопно нулю (обозначим это отображение через /0),
было постоянным отображением и, значит, чтобы соот-
нетствующее множество Ш'1 состояло из отображений g
иида (?"+1, S") —* (X, х„), и, во-вторых, чтобы среди
отображений gofi g 9}'o' находилось постоянное отображе-
отображение const: En+1—i-X (которому мы присвоим обозначе-
обозначение gM). При этом клетки еаР мы будем приклеивать
только при ар ^=00. Просмотрев доказательство леммы 1,
мы немедленно убедимся, что (для отображений катего-

94 НАРАЩИВАНИЯ И ВДАВЛИВАНИЯ
рии ТОР') оно полностью сохранится, если при сф = 00
под Хаэ понимать постоянное отображение. Следовательно,
получающееся пространство будет пунктированным кле-
клеточным эквивалентом пространства (X, х„).
Достигающаяся этим способом экономия в числе кле-
клеток пространства Л совсем не так мала, как это может
показаться с первого взгляда. Например, при X==pt
пространство X получается также одноточечным, тогда
как ранее оно было бесконечномерным клеточным про-
пространством, имеющим в каждой положительной размер-
размерности бесконечно много клеток (но, конечно, гомотопи-
чески эквивалентным пространству pt).
Как правило, мы всегда будем пользоваться этим
«экономным» клеточным эквивалентом даже когда про-
пространство X заранее не пунктировано.
Если пространство X «-связно (n ^ 0), то его экономный
клеточный эквивалент X не будет, очевидно, иметь клеток
положительной размерности меньшей л, т.е. будет клеточно
я-связным клеточным^пространством. Поскольку в случае,
когда пространство X клеточно, оно гомотопически экви-
эквивалентно пространству X, это доказывает следующее
предложение, обобщающее следствие теоремы 1:
Предложение 2. Любое п-связное клеточное про-
пространство X гомотопически эквивалентно клеточно п-
связному клеточному пространству X.
Обратим внимание на то, что клеточная структура
пространства X определяется лишь гомотопическими
свойствами пространства X и никак не связана с клеточ-
клеточной структурой последнего. Это не всегда бывает удобно
(например, без дополнительных рассуждений мы не можем,
скажем, утверждать, что для счетного клеточного про-
пространства X пространство X также счетно), и потому
стоит поискать конструкцию пространства X, лишенную
этого недостатка.
Пусть X—Произвольное топологическое пространство
и р: С"_,—1-Х — непрерывное отображение южной полу-
полусферы С?_, сферы S" в пространство X. Тогда результат
X' = En+1 U РХ приклеивания шара Ен+1 к пространству X
посредством отображения р будет, очевидно, клеточным
расширением пространства X, получающимся приклеива-
приклеиванием двух клеток е" и en+l размерностей п и п-\-\. Ха-

НАРАЩИВАНИЯ И ВДАВЛИВАНИЯ 95
рактеристическим отображением для клетки еп+1 будет
отображение факторизации %: ?"+1^+ X', а для клетки
с" -его ограничение на се-
северной полусфере С|*+) сферы
5". См. рис. 4.
Определение 4. Опера-
Операция перехода к пространству
X' (а также само простран-
пространство X') называется элемен-
элементарным наращиванием про-
пространства X. Обратная опе-
операция перехода от X' к X
(а также само X) называется
элементарным вдавливанием Рис- 4-
пространства X'.
Поскольку полусфера С?_,является строгим деформа-
деформационным ретрактом шара ?в+1, пространство X является
строгим деформационным ретрактом пространства X'.
Это утверждение, очевидно, останется в силе и в случае,
когда X получается из X' произвольной последователь-
последовательностью элементарных вдавливаний. Соответствующую де-
деформационную ретракцию X' —+ X мы будем называть
ретракцией вдавливания, а гомотопически обратное ей
вложение X—»-Х'—отображением наращивания.
Наращивания и вдавливания наиболее интересны, конеч-
конечно, в категории клеточных пространств. Если простран-
пространство X клеточно, то элементарное наращивание X' будет
клеточным пространством при условии, что p^JL^cX".
В дальнейшем, говоря о наращиваниях клеточных про-
пространств, мы всегда будем предполагать это условие вы-
выполненным.
Вдавливание клеточного пространства, конечно, всегда
будет клеточным пространством.
Замечание 2. Наращивания и вдавливания лежат
и основе так называемой теории простого гомото-
гомотопического типа конечных клеточных пространств —
одного из наиболее красивых и геометрически ориенти-
ориентированных разделов алгебраической топологии. Ясно, что
любая композиция отображений наращивания и ретрак-
ретракций вдавливания является гомотопической эквивалентно-
эквивалентностью. Основная задача теории простого гомотопического
типа состоит в характеризации такого рода гомото-
гомотопических эквивалентностей. Данное Уайтхедом решение
этой задачи, основывающееся на глубоком изучении ал-

96 НАРАЩИВАНИЯ И ВДАВЛИВАНИЯ
гебраического строения группового кольца фундаменталь-
фундаментальной группы, явилось одним из основных источников так
называемой алгебраической /С-теории. К сожале-
сожалению, у нас нет времени на все эти интереснейшие во-
вопросы. Превосходное их изложение читатель может найти
в статье Милнора (М и л н о р Дж. Кручение Уайтхеда. —
Сб. пер. «Математика», 1967, 11, № 1, с. 3—42) или в книге
Коэна (С о h e n M. M. Course in, simple homotopy theory.—
rad. Texts Math., 10. —Berlin; Heidelberg; New York:
ipringer-Verlag, 1973).
Предложение 3. Для любого п-связного (п ^ 0) от-
относительного клеточного пространства (X, А) существует
такое кмточно п-связное относительное клеточное про-
пространство (X', Л')г)(Х, А), что X' вдавливается на X,
а А' вдавливается на А.
Доказательство. Очевидная индукция показывает,
что™ это^ предложение достаточно доказать (при п^1)
лишь для случая, когда
пространство (X, А) кле-
точно (п -1)-связно.
Пусть е?—произволь-
ная n-мерная клетка п-
^__ связного и клеточно
рис, 5. (п—1)-связного простран-
пространства (X, А), и пусть
%а: Е" —<- X—характеристическое для этой клетки отобра-
отображение. Поскольку я„ (X, А) — 0, это отображение гомо-
гомотопно относительно S" некоторому отображению вида
гоХа. гДе I—вложение А -»X, а Ха: Е"—>¦ А (при-
(причем без ограничения общности мы можем считать, что
%а(Еп)с:Ап). Соответствующую гомотопию мы можем
представлять себе как отображение ра: ?"+1—•-X шара
Еп+1 в пространство X, совпадающее на северной полу-
полусфере С?+)« Е" его граничной сферы 5" с отображением
Ха, а на южной полусфере С"_,—с отображением io%'a.
Поэтому, отождествив шар Еп+1 с южной полусферой С"!,1
граничной сферы Sn+1 шара ?"+а, мы можемХпроизвести
соответствующее наращивание пространства X (см. рис. 5).
Сделав это для всех клеток e^€.Xn\A, мы получим на-
наращивание X' пространства X, содержащее для любого
а две новые клетки we?+1 и е?+а размерностей л-(-1 и п + 2
соответственно. По ^определению X' вдавливается на X.
Рассмотрим теперь наращивание пространства А, соот-
соответствующее отображению %'а: С^—*-А южной полусфе-

НАРАЩИВАНИЯ И ВДАВЛИВАНИЯ 97
ры С7_, сферы 5" в пространство А. Это наращивание
очевидным образом отождествляется с подпространством
Лие?и4+1 = Лиё"?+1 пространства X'. Поэтому, сделав
эти наращивания для всех а, мы получим подпростран-
подпространство А' — А и Ue?+1 пространства X', вдавливающееся на А.
Для завершения доказательства остается заметить,
что поскольку А' содержит все n-мерные клетки из Х\А,
пара (X1, А') клеточно n-связна. D
Аналогичное утверждение имеет место и для абсолют-
абсолютных клеточных пространств:
Предложение 4. Любое п-связное (п^О) клеточное
пространство X гомотопически эквивалентно клеточно
п-связному клеточному пространству Х#, которое яв-
является кослоем некоторого вложения А'—>¦ X', где А'
стягиваемо, а X' вдавливается на X.
Доказательство. Произвольно выбрав в X вер-
вершину х0 и применив предложение 3 к относительному
клеточному пространству (X, х0), мы получим клеточно
//-связную клеточную пару (X', А'), для которой про-
пространство X' вдавливается на X (и потому гомотопиче-
гомотопически эквивалентно X), а пространство А' вдавливается на
{х„} и (поэтому стягиваемо). При этом, согласно лемме б
лекции 1.4 (применимой к паре (X', А') ввиду предло-
предложения 1 лекции 2), пространство X' (а значит, и про-
пространство X) гомотопически эквивалентно клеточному —
и, очевидно, клеточно /г-связному — пространству X* =
- Х'/А'. ?
В отличие от клеточной структуры пространства X
из предложения 2, клеточная структура пространства Х#
тесно связана с клеточной структурой пространства X
и потому легко контролируется. Например, из конструк-
конструкции пространства X* непосредственно следует, что для
конечного (или счетного) пространства X пространство X*
также конечно (или соответственно счетно).
Вернемся теперь к общей теории слабых гомотопиче*
с ких эквивалентностей.
Оказывается, что слабые гомотопические эквивалент-
эквивалентности (и, значит, для случая клеточных пространств,
гомотопические эквивалентности) допускают важную —
и несколько неожиданную—характеризацию в терминах
индуцированных ими гомоморфизмов гомотопических
групп.
4 М. М. ПостникоР

98 ТЕОРЕМА УАЙТХЕДА О ю-ЭКВИВАЛЕНТНОСТЯХ
Определение 5. Отображение f: (X, хо)~>¦(?, уп)
категории ТОР' называется оо-эквивалентностью, если для
каждого /гГ^О индуцированный им гомоморфизм гомото-
гомотопических групп
0) /.: яп(Х, xo)~+nn(Y, у,)
является изоморфизмом.
Аналогично, отображение /: X —> Y категории ТОР
называется оо -эквивалентностью, если при любом выборе
точки хо?Х гомоморфизм A) (где yn — f(xn)) является для
каждого п^О изоморфизмом.
Ясно, что в категории ТОР" отображение f тогда и
только тогда будет оо-эквивалентностью, когда оо-экви-
валентностью является его ограничение на компоненте
пространства X, содержащей отмеченную точку.
С другой стороны, легко видеть, что еслишространства
X и Y связны, то отображение/: (X, хр)~¦-(г, у0) кате-
категории ТОР' тогда и только тогда является оо-эквивалент-
оо-эквивалентностью, когда оно является оо-эквивалентностью как ото-
отображение категории ТОР.
Ясно, что любая слабая гомотопическая эквивалент-
эквивалентность является оо-эквивалентностью. (В хилу предложе-
предложения 2 это утверждение достаточно доказать лишь для
пунктированных эквивалентностей, когда оно очевидно:
положите К — S" в определении 3.) Замечательно, что это
необходимое условие оказывается также и достаточным:
Теорема 3. Отображение f: X —<- Y тогда и только
тогда является слабой гомотопической эквивалентностью,
когда оно представляет собой оо-эквивалентность.
В этой теореме отображение/ предполагается непункти-
рованным. Для пунктированного отсбражения / нужно
дополнительно требовать, чтобы пространства X и Y были
связны.
Прежде чем доказывать теорему 3 в полной общности,
мы рассмотрим предварительно ее важнейший частный
случай.
Напомним (см. лекцию 1.8), что равенство л„ (X, Л) = ^
для пары (X, А) при « = 0 означает, что каждая компо-
компонента пространства X пересекается с А, а при л^ 1, — что
любое отображение (Е", S") —*¦ (X, А) гомотопно отно-
относительно S"'1 стянутому на А отображению (отображаю-
(отображающему Е" в А).
Предложение 5, Пусть (X, А)— такая клеточная
пара, что пп (X, А) —0 для любого я^О. Тогда X % Л

ТЕОРЕМА УАЙТХЕДА О «-ЭКВИВАЛЕНТНОСТ.ЯХ 99
Доказательство. Деформационную ретракцию
/: Х-+Л и соответствующуюретрагирующуюдеформацию
/(: id~tor, где i: А —*- X—вложение, мы, как всегда, будем
строить индукцией по остовам и клеткам. Другими словами,
для любого п>0 мы построим такую ретракцию
и такую гомотопию
/п, f- ЛА ~* ЛА>
ЧТО #
/«.0=^, fn,l = i°rn И rn=r- rn + l\ хпА-> /л. /~/n + 1. tljf" •
Так как я0 (X, А) = 0, то для любой вершины е° g Х°\Л
и X существует путь t »-»•«(/; е°), соединяющий эту вер-
вершину с некоторой вершиной из А. Положив для любой
точки х€.Х%
г /v\ _ / "(^ е°)> если х-=е°,
Го'1{Х)~\х, еслих^Л,
и г0 (л:) =/о, 1 (¦«). мы корректно определим гомотопию/Oi t
и отображение г„.
Пусть для некоторого п ^ 0 отображение гп и гомо-
топия fni t уже построены. Рассмотрим произвольную
{и + 1)-мерную клетку еп+1 б Х\А и соответствующее
характеристическое отображение %: ?п+1—»-Х. Так как
X (S")czXn, то на S" определена гомотопия /„, top: Sn—>-A,
где p = xU«—отображение, приклеивающее' клетку en+1.
Так как пара (En+1, S") является парой Борсука и/п< 0=id.
то эта гомотопия распространяется до некоторой гомото-
пии F: Еп+1х I —*¦ X, связывающей отображение х с таким
отображением Fx: En+1 — X, 4toFx: (?«+1, S") -^ (X, Л).
Так как по условию nn+l (X, Л)==0, то существует не-
неподвижная на S" гомотопия G: Еп+1х1—* X, связываю-
связывающая отображение /^ с таким отображением Gx: ?"+1 —*¦ X,
что О1(?п+1)с:Л. Для любой точки х?епfl и любого /€/
мы положим
11 rn+i(x)~G(x> Oi- гДе дг —такая точка из ?n+1, что
4*

100 ТЕОРЕМА УАЙТХЕДА О оо-ЭКВИВАЛЕНТНОСТЯХ
X (х) = х. Легко видеть, что эти формулы корректно оп-
определяют на е"+1 гомотопию /,, + 1, ( и отображение /•„.,,,
обладающие всеми требуемыми свойствами. Сделав это
для всех клеток еи+1€Х\Л (и считая, что на Л отобра-
отображение /п+1,( тождественно, а г„+1 = 1), мы определим
гомотопию /п+1 t и ретракцию г„+1 на всем остове
Хп/1. LJ
Заметим, что в силу точности гомотопической после-
последовательности пары (X, А) условие пп(Х, А) = 0, л^О,
равносильно требованию, чтобы отображение вложения
i: А —у X было оо-эквивалентностью.
Теорема 4. Отображение /: X —>- У клеточного прост-
пространства X в клеточное пространство Y тогда и только
тогда является гомотопической эквивалентностью, когда
оно представляет собой оо-эквивалентность.
Доказательство. Согласно предложению 1 лек-
лекции 2 мы без ограничения общности можем считать ото-
отображение / клеточным. Тогда его цилиндр Cyl / будет
клеточным пространством, а пара (Cyl/, X) — клеточной
парой. С другой стороны, как было доказано в лекции 1.2,
отображение / гомотопически эквивалентно вложению
i: X—>-Cyl/, которое, следовательно, будет гомотопи-
гомотопической эквивалентностью или оо-эквивалентностью одно-
одновременно с отображением /. Для завершения доказа-
доказательства остается применить к паре (Cyl /, X) предло-
предложение 5. D
Теорема 4 (так же как и общая теорема 3) из-
известна как теорема Уайтхеда, который впервые ее
доказал.
Теорема 3 вытекает из теоремы 4 легким формальным
рассуждением.
Доказательство теоремы 3. Пусть X и Y—
клеточные эквиваленты пространств X и Y, и пусть ср:
X-~> X игр: Y —»- Y—соответствующие слабые гомотопи-
гомотопические эквивалентности. Так как г|) является слабой гомо-
гомотопической эквивалентностью, а пространство X кле-
точно, то существует такое отображение /: X —»¦ Y, что
г|)о/~/оср, т. е. такое, что диаграмма
X -¦«. Y

ОБОБЩЕНИЕ НЛ СЛУЧАЙ /V-ЭКВИВАЛЕНТНОСТЕЙ \Q\
гомотопически коммутативна. Так как все отображения
пой диаграммы — кроме, быть может, отображения / —
являются оо-эквивалентностями, то отображение / также
будет оо-эквивалентностью и, значит, в силу теоремы 4,
гомотопической эквивалентностью, а потому и слабой
гомотопической эквивалентностью. Таким образом, в диа-
диаграмме B) все отображения—кроме, быть может, отобра-
отображения /—являются слабыми гомотопическими эквива-
лентностями. Поэтому слабой гомотопической эквива-
эквивалентностью будет и отображение f. ?
Теорема 3 допускает полезное обобщение.
Определение 6. Пусть O^iV^oo. Отображение /:
X —* Y (категории ТОР или ТОР') называется N-эквива-
N-эквивалентностью, если гомоморфизм A) (при любом выборе
точки хо?Х для отображения категории ТОР) является
изоморфизмом при п <С N и эпиморфизмом при n = N.
Это отображение называется слабой гомотопической экви-
эквивалентностью до размерности N, если для любого кле-
клеточного пространства К отображение фд- (или у'к)
биективно, когда dim К < N, и надъективно, когда
Aim K=N.
Теорема 5. Отображение f: X —>- У тогда и только
тогда является слабой гомотопической эквивалентностью
по размерности N, когда оно представляет собой N-экви-
валентность.
В частности, для любых клеточных пространств X
и Y размерности < W каждая N-эквивалентность X —*¦ У
является гомотопической эквивалентностью.
Доказательство этой теоремы повторяет с соот-
соответствующими оговорками доказательство теоремы 3, и
мы оставим его читателю. I7J
Так же, как теоремы 3 и 4, теорема 5 относится
к категории ТОР. Для категории ТОР' пространства X
и Y нужно предполагать связными.

ДОПОЛНЕНИЕ
Представимые функторы и классифицирующие пары.—
Непрерывность представимых функторов.— Обратные
пределы диаграмм.—Амальгамы в гомотопической кате-
категории.— Полуточные функторы.— Теорема Брауна.—
Универсальные пары.— Построение универсальных пар.—
Лемма о надъективности. —Свойства полуточных функто-
функторов.— Завершение доказательства теоремы Брауна.— Фи-
Финитно полуточные функторы.— Каноническое распростра-
распространение функторов с категории конечных пространств.— Фи-
Финитно гомотопическая категория и представимость функто-
функтора /¦'.— Лемма Йонеды и ее варианты для функтора F.—
Теорема Адамса.— Лемма об обратных пределах.— После-
Последовательность Майера— Виеториса.— Завершение доказа-
доказательства теоремы Адамса.— Полуточные функторы на
категории CW.— Последовательность Пуппе непунктиро-
ванной пары.— Полуточные функторы с тривиальной
группой коэффициентов.— Доказательство теоремы Хел-
лера.— Другие категории.
Напомним (см. лекцию 1.3), что для произвольной
категории А любой ее объект К определяет контрава-
риантный функтор К*: Аор —+¦ ENS, принимающий зна-
значения в категории множеств ENS (символом Аор мы
обозначаем двойственную категорию, получающуюся из
категории А обращением всех стрелок). Объекту X кате-
категории А функтор К* сопоставляет множество А (X, К)
всех морфизмов X —<¦ К из А, а морфизму /: X -+Y —
отображение А (Y, К) —- А (X, К), состоящее в компони-
ровании морфизмов g ? A (Y, К) с морфизмом f:
Несколько расширяя (и углубляя) терминологию лек-
лекции 1.3, мы введем следующее определение:
Определение 1. Функтор F: Aop—*-ENS называется
представимым, если он изоморфен (в категории функто-
функторов) функтору вида К*, т. е., другими словами, если для
любого X существует естественное биективное отобра-
отображение
о*: K
Для такого функтора в множестве F (К) определен эле-
элемент и = (лк(\йк), по которому естественное отображение
со* однозначно восстанавливается по формуле
<** (/)=/*«. fSK*{X)~A(X,K)
(здесь—как и всюду ниже—мы для- упрощения формул
обозначаем отображение F (/1 символом /*).

ПРЕДСТАВИМЫЕ ФУНКТОРЫ ЮЗ
Говорят, что пара (и, К) (или объект К) классифици-
классифицирует функтор F. Соответствующее биективное отображе-
отображение <ах мы будем, как правило, обозначать символом ы#.
Вообще, для любого функтора F: Аор—»¦ ENS и любой
пары (и, К), где К—объект категории A, a u?F(K),
формула
«#(/) = /*«,
в которой Х-—произвольный объект категории А, а / —
произвольный морфизм X —* К категории А (элемент мно-
множества К* (Х) = А(Х, К))у определяет отображения
составляющие морфизм функтора К* в функтор F.
Пара (и, К) тогда и только тогда классифицирует
функтор F, когда этот морфизм является изоморфизмом.
Заметим, что с точностью до изоморфизма классифи-
цирующая пара (и, К) определена единственным образом,
т. е. для любой другой классифицирующей пары («', К')
существует такой изоморфизм п: К' -+ К категории А,
что h*u — u'. Действительно, по условию существуют
такие морфизмы Л: К'—*К и А': К—*К', что ы# (Л)=ы'
и ы'# (h') = u, т. е. такие, что h*u = u' и h'*u' — и. Пусть
g = hoh': К—+К. Тогда g*u = u, т. е. u#(g) = u. Но
ясно, что ы# (id) =«. Поэтому в силу биективности ото-
отображения ы# должно иметь место равенство g = id, т. е.
равенство h о W = id. Аналогично доказывается, что
/i'oA = id. Следовательно, морфизм h категории А (обла-
(обладающий по построению тем свойством, что h*u = u') яв-
является изоморфизмом. ?
Пусть в категории А существует копроизведение
X = LJ Ха произвольного семейства объектов Ха, и пусть
ос
ia = ine: Ха~-*Х—канонические инъекции. Тогда для
любого функтора F: Аор —*¦ ENS формула
будет определять некоторое отображение множеств
A) , F\X)-~r\F(Xa).
При F = K* это отображение задается формулой

104 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПРЕДСТЛВИМЫХ ФУНКТОРОВ
где /—произвольный морфизм X —>¦ К- Но, так как
Х ||Х то по определению копроизведения (см. лек-
ос
цию 1.3) для любого семейства морфизмов /а: Ха—>-К
существует единственный морфизм /: X —> /С, обладаю-
обладающий тем свойством, что foia*=fa для всех а. Следова-
Следовательно, при F — K* отображение A) биективно. Значит,
отображение A) биективно для любого представимого
функтора F: А°р —ENS.
Пусть, далее, в категории А существует амальгама X
iA cg
произвольной диаграммы вида А 1—С—+ В (см. лекцию
1.1), й пусть Ф—подмножество прямого произведения
F (A)xF (В), состоящее из таких пар (a, b), a?F(A),
b?F(B), что 1л(а) = г'в(&) (коамальгама диаграммы
F (А) -Л F (С) *~ F (В)). Тогда формула
где \А\ А—<-Х, /в: В —*- X—морфизмы, составляющие
инициальный конус над парой (iA, iR) с вершиной X, будет
корректно определять некоторое отображение множеств
B) F (X) — Ф.
В случае, когда F = К*, включение (а, Ь)?Ф означает,
что морфизмы а: А—+К и ft: В—*К удовлетворяют соот-
соотношению iAoa = in°b, т. е. составляют прямой конус
над парой (iA, iB). Значит,—по определению амальгамы —
существует единственный морфизм х: X —* К, обладаю-
обладающий тем свойством, что хо \А--х о /д, т.е. переходящий
при отображении B) в элемент (а, о). Таким образом,
при F — K* отображение B) биективно. Следовательно,
отображение B) биективно для любого представимого
функтора F: A°p-*ENS.
Функтор F: Аор—>ENS, для которого отображения
A) и B) биективны (для любого семейства {Ха} и любой
диаграммы А*—С—>¦ В), называется непрерывным (слева).
Таким образом, мы можем сказать, что любой предста-
вимый функтор непрерывен, т. е. что условие непрерыв-
непрерывности необходимо для представимости функтора.
Целесообразно разъяснить это условие с более общих
позиций. Для этого нам понадобится понятие обратного
предела диаграммы.^двойственное к уже известному нам
понятию прямого предела (см. Дополнение к лекции 1.6).

ОБРАТНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ДИАГРАММ 105
Пусть d: D—»-А—произвольная диаграмма над кате-
категорией А. Обратным конусом над диаграммой d с вер-
вершиной D называется такое семейство морфизмов /„:
D —r d (а), а g D, категории А, что для любой стрелки а:
и —>-Ь из D диаграмма
D
/
d(a) fiSL_». d(b)
коммутативна (ji} — d(a) о ja). Морфизмом конуса {/а: D—>
-*d(a)} в конус {jg. D'—>-d(a)} называется такой мор-
физм ф: D —с D' категории А, что для любой вершины
и ? D диаграмма
4'
коммутативна. Все обратные конусы над диаграммой d
и их морфизмы образуют, очевидно, категорию. Мы будем
обозначать эту категорию символом CON(d).
В случае, когда схема D имеет вид .—>..¦<—., диа-
диаграммами типа D являются пары морфизмов iA\ А —>-С,
in: В —*С категории А, и мы получаем обратные конусы
над парами (iA, iB) в смысле лекции 1.1.
В случае,-когда схема D не имеет стрелок и, значит,
диаграммами типа D являются семейства {Ха, a g D}
объектов категории А, обратными конусами над {Ха, a g D}
являются семейства морфизмов ]а: D —*¦ Ха, а их морфиз-
мами—обычные морфизмы семейств.
Определение 2 (ср. определение 1 из Дополнения
к лекции 1.6). Обратным пределом Wmd диаграммы d:
D —* А называется вершина D терминального объекта
категории CON (d), т. е. такого обратного конуса {/„:
/) •->- d (а)}, что для любого конуса {j'a: D' —+d (a)} ? CON (d)
i-уществует единственный морфизм ср: D' -^ D из {/д} в {/а}.
Ясно, что обратный предел диаграммы (когда он су-
существует) определен с точностью до канонического изо-
изоморфизма однозначно.

Юб ОБРАТНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ДИАГРАММ
Обратным пределом диаграммы А—»С—<-В является
ее коамальгама, а обратным пределом семейства {Ха} —
прямое произведение П Ха.
Категория А называется замкнутой (соответственно
козамкнутой), если любая диаграмма над А обладает
обратным (соответственно прямым) пределом (здесь, как
и всегда, мы игнорируем известные логико-математиче-
логико-математические трудности, связанные с употреблением слова «любой»).
Замечание 1. Замкнутые (козамкнутые) категории
называют также полными (соответственно кополными)
категориями.
Можно показать (сделайте это!), что категория тогда
и только тогда замкнута (козамкнута), когда в ней су-
существует произведение (копроизведение) любого семейства
объектов и коамальгама произвольной диаграммы
А —»С+— В (амальгама произвольной диаграммы А -<—
*— С—>¦?). Поэтому, в частности, к числу замкнутых
категорий принадлежат категории
C) ENS, ENS', GROUPS, TOP, TOP*
(эти категории также и козамкнуты; см. Дополнение
к лекции 1.6). Впрочем, замкнутость категорий C) легко
усматривается и непосредственно. Именно, автоматическая
проверка показывает, что обратным пределом произволь-
произвольной диаграммы d: D —<- ENS над категорией ENS яв-
является подмножество D прямого произведения Пй(а),
состоящее из таких элементов {ха, ха g d (а)}, что d (a) xa=xb
для любой стрелки а: а —*Ь схемы D. Для диаграммы d
над категорией ENS" это подмножество содержит точку
{ли0*}, где х^—отмеченные точки множеств d(a). Отметив
эту точку, мы получим обратный предел категории d
в категории ENS'. Аналогично, для диаграммы над кате-
категориями GROUPS, TOP или ТОР' обратным пределом
будет то же подмножество D, рассматриваемое соответст-
соответственно как группа относительно покомпонентного умноже-
умножения или как топологическое' пространство относительно
топологии, индуцированной топологией прямого произве-
произведения. О
Конечно, каждая категория D является диаграммной
схемой, и, значит, каждый функтор F: D—»-А—диаграм-
D—»-А—диаграммой над категорией А. Предел этой диаграммы назы-
называется пределом функтора F.
Пусть, в частности, А—произвольное предупорядочен-
ное множество (множество с транзитивным отношением^;

ОБРАТНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ДИАГРАММ Ю7
в отличие от частично упорядоченных множеств, в пред
упорядоченном множестве из соотношений а^р и Р^а
еще не вытекает, что а = Р). Считая каждое соотношение
а <: р стрелкой р —> а, мы превратим А в категорию.
Функторы на этой категории, т. е. семейства объектов
Ха, а?А, и морфизмов я?: Хр —> Ха, определенных при
а^р и удовлетворяющих при а^р^у соотношению
л? о я^ = Л&1, называются обратными системами над А.
Поскольку обратные системы являются функторами, имеет
смысл говорить об их пределах. Обратный предел обрат-
обратной системы {Ха; я&} называется -также обратным преде-
пределом объектов Ха относительно морфизмов л| и обозна-
обозначается символом lim {Ха; я?} или просто НтХа.
В частности, обратный предел определен для любой
последовательности вида
» Хо *— Хг 1— ...-»— Хп -<—...
(где Хп—объекты произвольной замкнутой категории;
скажем, одной из категорий C)). Он называется обрат-
обратным пределом объектов Х„ и обозначается символом lim Х„.
Для каждого функтора F: Аор —>-В и любой диаграммы
d: D —> А композиция Pod будет диаграммой Dop —> В,
где Dop—двойственная схема, получающаяся обращением
всех стрелок, и для каждого прямого конуса {/„: d (a) —*¦ D}
над диаграммой d морфизмы j*a: FD —>- Fd (а) составляют
обратный конус над диаграммой F о d. Поэтому (в слу-
случае, когда для диаграммы F о d существует ее предел
lim(Fod)) определен морфизм Fd—+\\m{F о d). В частно-
частности, при D = \imd получается морфизм
D) ' F{limd)->\im(Fod).
В теории категорий функтор F: Аор —»¦ В называется
непрерывным (слева), если для любой диаграммы d над
категорией А морфизм D) является изоморфизмом (кате-
(категорию А мы для простоты считаем козамкнутой, а кате-
категорию В—замкнутой). Можно показать (сделайте это!)
что для непрерывности функтора достаточно, чтобы мор-
морфизм D) был изоморфизмом для диаграмм без стрелок
и для диаграмм вида А*—С -г* В. С другой стороны, в слу-
случае B = ENS морфизм D) для диаграммы без стрелок

108 АМАЛЬГАМЫ В ГОМОТОПИЧЕСКОЙ КАТЕГОРИИ
является не чем иным, как рассмотренным выше отобра-
отображением A), а для диаграмм А*~ С —>¦ В—отображе-
В—отображением B). Это оправдывает нашу терминологию.
Как было объяснено в лекции 1.3, нам интересны
лишь гомотопически инвариантные функторы, т. е. функ-
функторы, определенные на категории [ТОР] (или на некото-
некоторой ее подкатегории, скажем, [CW]). Однако здесь мы
сталкиваемся с той трудностью, что категория [ТОР]
(так же как, кстати сказать, и категория [ТОР1]) не ко-
замкнута.
Разберем этот вопрос подробнее.
Конечно, копроизведения в категориях ТОР и ТОР'
(дизъюнктное объединение и букет) останутся копроизве-
дениями и в категориях [ТОР] и [ТОР']). Поэтому проб-
проблема состоит только в отношении амальгам.
Рассмотрим простейший случай, когда в диаграмме
А ¦<—С —* В над категорией ТОР обе стрелки iA: С—>¦ А
и i,B: С—*¦ В являются вложениями, а пространства А и
В—подпространствами одного и того же пространства X—
их объединения. (Таким образом, фактически речь здесь
идет о триаде (X; А, В) с А[)В = Х и А(]В^С.) Пря-
Прямым конусом над парой (iA, iH) в категории ТОР является
пара отображений jA: A--+D, jB: B—+D, совпадающих
на С и потому корректно определяющих такое отобра-
отображение /: X—+D, что /|,4 =/л и /1я —/в- Это показы-
показывает, что X является амальгамой диаграммы А «—С—+В
над категорией ТОР.
В категории же [ТОР] условие совпадения ограниче-
ограничений отображений \А и /д на С заменяется условием их
гомотопности, что непосредственно не позволяет построить
отображение у: X—>-D. Однако если, скажем, пара (В, С)
является парой Борсука, то гомотопию, связывающую
отображения jA\c и jR\c< можно продолжить до такой
гомотопии ht: B—+D, что ho\c-^ jA\c и ht — jR. Поэтому
будет существовать такое отображение /: X —»D, что
1\а-^}а и /1 я = ло. т-е. такое, что j\A~jA и /1 „ ~ /л.
На первый взгляд кажется, что тем самым доказано,
что пространство X является (при указанных условиях)
амальгамой диаграммы А-^-С—*В и в категории [ТОР].
Однако это не так, поскольку отображение / (даже рас-
рассматриваемое с точностью до гомотопии) зависит от вы-
выбора гомотопии ht и при другом выборе этой гомотопии
может получиться негомотопное отображение. С этой

АМАЛЬГАМЫ В ГОМОТОПИЧЕСКОЙ КАТЕГОРИИ Ю9
неоднозначностью ничего сделать нельзя, и потому при-
приходится с ней мириться.
Определение 3. Слабой амальгамой диаграммы
Л *— С —> В над категорией А называется вершина X
такого прямого конуса {А —»¦ X, В —> X} над парой (iA, iB),
что для любого конуса {jA: A—+D, jB: B—+D] сущест-
существует (вообще говоря, не единственный) морфизм /: X—+D
конуса {А—*Х, B—*X}BKOHyc{jA:A—*D,jB:B—*D}.
В отличие от амальгамы, слабая амальгама (когда она
существует) определена, вообще говоря, не единственным
образом.
Предложение 1. В категории [ТОР] для любой
if, in
диаграммы А+—С—+В существует слабая амальгама X,
функториально зависящая от этой диаграммы.
Доказательство. Если не заботиться о функто-
риальности, то можно рассуждать следующим образом.
Мы знаем (теорема 1 лекции 1.2), что в категории ТОР
любое отображение гомотопически эквивалентно корас-
корасслоению. Поэтому, без ограничения общности, отображе-
отображения iA и iB можно считать вложениями, а пару {В, С) —
нарой Борсука. Но тогда будет применимо изложенное
выше рассуждение и пространство X — А и В будет сла-
слабой амальгамой диаграммы А*—С—*В.
Чтобы получить функториальную амальгаму X, нужно
в этом рассуждении явно раскрыть все ссылки.
Пусть
Х = (Сх/) Ui(AUB),
где t—отображение (СхО) и (Сх 1) —> А Ц5, определен-
определенное формулой
A_i lV(c). если t = 0,
\ 1"я(с), если /=1.
Допуская определенную вольность, мы для наглядности
будем писать
E) Х = Ли^(Сх/)и<дЯ.
Ясно, что пространство X функториально зависит от пары
(iA, iB). Пусть iA: A—>¦ X и iB: B—+X—канонические
нложения. Тогда iAoiA ~ iBoiR, т. е. пара (iA, iB) яв-
.1нется в категории [ТОР] прямым конусом над парой
(iA, ig) с вершиной X.

НО АМАЛЬГАМЫ В ГОМОТОПИЧЕСКОЙ КАТЕГОРИИ
Пусть теперь {fA, jB} — произвольный прямой конус
над парой (iA, iB) в категории [ТОР], т. е. такая пара
отображений ]А: A—»-D и }в: B—>-D, что !а°^а^1в°^п-
Для любой гомотопии Я: CxF—+D, связывающей ото-
отображение jAoiA с отображением jBoiB, формула
[ jA(a), если х = а?А,
j(x) = J H(c, t), если х=(с, 0€Сх/,
( jB(b), если х
корректно определяет отображение /: X—>-D, обладаю-
обладающее тем свойством, что j°iA = jA и j°iB = jB, т. е. яв-
являющееся морфизмом конуса {iA, iB} в конус {jA, jB).
Следовательно, пространство E) является слабой амаль-
гамой диаграммы А*— С—<-В. ?
Слабая амальгама E) называется также гомотопиче-
гомотопической амальгамой (пространств А и В с данными отобра-
отображениями iA: С —>¦ А и iB: С—>¦ В).
Категория А называется слабо козамкнутой, если в ней
существует копроизведение любого семейства морфизмов
и слабая амальгама любой диаграммы вида А -<— С —»- В,
функториально зависящая от этой диаграммы. [Можно —
понятным образом—определить слабый предел (прямой
и обратный) произвольной диаграммы над категорией А
и показать (сделайте это'.), что в слабо козамкнутой ка-
категории существует слабый прямой предел любой диа-
диаграммы, функториально зависящий от этой диаграммы.]
Предложение 1 означает, что категория [ТОР] слабо
козамкнута.
Слабо козамкнута, конечно, и категория [ТОР*]. Сла-
Слабая амальгама в категории [ТОР*] получается из амаль-
амальгамы E) стягиванием в точку отрезка сох/ (т. е. заменой
операции х на операцию х).
В силу теоремы о клеточной аппроксимации (предло-
t, iR
жение 1 лекции 2) в любой диаграмме Л *— С—*-В над
категорией [CW] (категорией [CW]) отображения iA и in
мы можем считать клеточными. Но тогда амальгама E)
будет клеточным пространством и, значит, слабой амаль-
амальгамой в категории [CW] (категории [CW*]). Поэтому ка-
категории [CW] m,[CW] слабо козамкнуты.
Ниже мы будем рассматривать- также подкатегорию
conCW" категории CW, объектами которой являются
пунктированные связные клеточные пространства (а мор-

ПОЛУТОЧНЫЕ ФУНКТОРЫ П1
фишами — их непрерывные отображения), и соответствую-
соответствующую гомотопическую категорию [con CW* |. Поскольку для
шязных пространств А и В амальгама E) также связна
(и букет связных пространств связен), категория [conCW"]
слабо незамкнута.
Пусть А—произвольная слабо козамкнутая категория,
к пусть F— произвольный функтор Аор—«-ENS. Тогда
iA • iB
для любой диаграммы Л->— С->¦ В над категорией А и ее
слабой амальгамы X определено отображение B), гдеФ—
по-прежнему коамальгама диаграммы множеств F (А) — *-
-+F (С)*—F (В), н для любого семейства объектов Ха
категории А определено отображение A).
Определение 4. Функтор F: Аор —> ENS называется
полу точным, если для любого семейства объектов Ха ка-
категории А отображение A) биективно и для любой диа-
диаграммы А -<— С —»- В над категорией А отображение B)
падъективно.
Условие надъективности отображения B) равносильно
тому, что множество F (X) является «слабой коамальга-
мой» диаграммы F(А) —*F'(С) ч— F(В). Поэтому свойство
полуточности функтора F означает, что этот функтор
переводит копроизведения в произведения, а слабые
амальгамы в слабые коамальгамы. Отсюда можно вывести
(сделайте это!), что полуточный функтор слабые прямые
пределы переводит в слабые обратные пределы, т.е. является
в этом смысле" непрерывным функтором. К сожалению,
термин «полуточный функтор» (впервые предложенный,
по-видимому, Дольдом по некоторой—довольно, впрочем,
отдаленной —ассоциации с полуточными функторами из
теории абелевых категорий) не отражает этой стороны
дела. Мы все же будем им пользоваться, за отсутствием
лучшего термина.
Рассуждение, доказывающее, что каждый представи-
мый функтор непрерывен (см. выше) практически дословно
переносится на случай слабых амальгам; Следовательно,.
любой представимый функтор F: Аор —<- ENS полу точен.
Основная цель этого дополнения —рассмотреть вопрос
об обращении этого утверждения для категорий [CW] и
[conCW] (а также для категории [con CWfln] связных ко-
конечных клеточных пространств). При этом, как всегда, мы
перейдем к категориям CW jfconCW* и будем рассмат-

112 ТЕОРЕМА БРАУНА
ривать гомотопически инвариантные функторы, определен-
определенные на этих категориях. Такой функтор мы будем называть
представимым, если он представим как функтор на соот-
соответствующей гомотопической категории.
В первую очередь мы рассмотрим категорию con CW".
Теорема 1. Каждый гомотопически инвариантный
полу точный функтор на категории conCW представим.
Эта теорема известна как теорема Брауна.
Доказательство теоремы 1 мы разобьем в ряд лемм.
Во всем дальнейшем символ F будет означать некото-
некоторый фиксированный гомотопически инвариантный полу-
полуточный функтор conCW'op —> ENS. При этом, для любой
пары (X, А) категории con CW" (т. е. для связной пункти-
пунктированной клеточной пары) мы, предвосхищая—хотя бы
в обозначениях — теорему Брауна, образ произвольного
элемента x(i.F(X) при отображении i*: F'(X)—»-F(A),
индуцированном вложением i: A —*¦ X, будем обозначать
символом х\А.
Пользуясь этим обозначением, сформулируем еще раз
определения полуточных и представимых функторов при-
применительно к категории con CW.
Поскольку копроизведениями в категории conCW
являются букеты, свойство полуточности функтора F по
отношению к копроизведениям (биективность отображения
A)) приобретает для функторов на conCW* следующий
вид:
Б. Для любых пространств Ха и их букета Х=У Ха
а
отображение
F)
заданное формуле
биективно
Требование, чтобы функтор F обладал этим свойством,
называется аксиомой букета (короче, аксиомой Б).
Аналогично, полуточность гомотопически инвариантного
функтора F по отношению к (слабым) амальгамам озна-
означает выполнение следующей аксиомы:
А. Для любых двух клеточных отображений iA: С—> А,
iB: С—+В и любых элементов a?F(A), b?F(B), удов-

ТЕОРЕМА БРАУНА ИЗ
летворяющих соотношению
«а (а) = 1'в Ф),
существует такой элемент x?F(X), где
E) * = А UtA(CxI) UtBB,
что
Эта аксиома называется аксиомой амальгамы (или,
короче, аксиомой А).
В случае, когда отображения iA и jb являются вло-
вложениями, причем С = А{]В, аксиома А приобретает сле-
следующий вид:
MB. Для любых элементов a?F(A), b?F{B), удов-
удовлетворяющих соотношению
а \с --= Ь \с,
существует такой элемент x?F(X), где Х = А[)В, что
х\л = а, х\в = Ь.
[Для доказательства достаточно заметить, что в рассматри-
иаемом случае пространство E) гомотопически эквива-
эквивалентно пространству Ли В.]
Аксиома MB называется аксиомой Майера—Виеториса.
Легко видеть, что для гомотопически инвариантного
функтора F аксиома А вытекает из своего частного слу-
случая MB, т. е. что аксиомы А и MB равносильны. [Доста-
[Достаточно заметить, что пространство E) является объедине-
объединением двух подпространств
Л' = (Сх[0, 1/2]) и ^Л и Я' = (Сх[1/2, 1]) [},ИВ,
которые, во-первых, деформационно ретрагируются на
пространства А и В соответственно и, во-вторых, обла-
обладают тем свойством, что А' Г\В' = Сх{1/2} = С]
Поэтому гомотопически инвариантный функтор
Г: conCW'op —> ENS тогда и только тогда полуточен,
когда он удовлетворяет аксиомам Б и MB. Именно это
определение полуточности обычно принимается в лите-
литературе (см., например [11], гл. 9).
Что же касается представимости, то гомотопически
инвариантный функтор F: con CW"op —»¦ ENS представим,
если для него существует классифицирующая пара (и, К),

114 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ПАРЫ
т. е. такое пространство К категории con CW (пункти-
(пунктированное, связное и клеточное) и такой элемент и € F (/С),
что для любого пространства X категории conCW ото-
отображение
G) их#: [X, K)'-^F(X), :
определенное формулой «#[/]-=/*«, /: X —>¦ К, биективно.
Согласно доказанной выше общекатегорной теореме
единственности классифицирующая пара (и, К) с точностью
до гомотопической эквивалентности определена единст-
единственным образом, т. е. для любой другой классифицирую-
классифицирующей пары (и', К') существует такая гомотопическая экви-
эквивалентность h: К'-*К, что п*(и) = и'.
При X — Sq, q^l, множество [X, К]' является не
чем иным, как гомотопической группой ляК и, значит,
отображение G) (которое мы будем обозначать символом
ы#) — отображением
(8) и%: nqK^F(S<).
Рассмотрим в связи с этим множество F (Si), q^\, под-
подробнее (для произвольного полуточного функтора F:
conCW°P->ENS).
Пусть a, b g F (S«)., Согласно аксиоме Б существует
такой (единственный) элемент x?F (SiyS4), что
Пусть т: Sq —>¦ S4 V S' —стандартное коумножение в сфе-
сфере. S4 (см. формулу A6) лекции 1.3 при X =S").Mbi по-
положим
а-\- Ь = т*х.
Автоматическая проверка показывает, что относительно
этого сложения множество F (Si) является группой. При
этом отображение и% является гомоморфизмом. [Действи-
[Действительно, если a—f*u и b—g*u, где f:Si—+Kug: S'—->-/С,то х=
= (fWg)*u, и потому и«#(Ш+ [?]) = «#([(/Vg)°"i]) =
=m»((/Vg)*«) = ^ = a+6 = f*u + g*v = u% [f] + u% [g].]
Пусть /г^О.
Определение 5. Пара (н, К), u?F(K), называется
универсальной до размерности п (для функтора F), если

ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПАР 115
отображение (8) является изоморфизмом' при q < п и эпи-
эпиморфизмом при q = n. Пара (и, К) называется универсаль-
универсальной, если она универсальна до любой размерности.
Таким образом, согласно этому определению, любая
классифицирующая пара (и, К) универсальна.
Ключом к доказательству теоремы Брауна является
утверждение о справедливости обратного предложения:
Лемма 1. Любая универсальная пара (и, К) класси-
классифицирует функтор F.
Таким образом, в силу этой леммы для доказательства
теоремы 1 достаточно найти для функтора F хотя бы одну
универсальную пару (и, К).
Лемма 2. Для любого пространства Ко категории
con CW и любого элемента uo?F (Ko) существует та-
такая универсальная пара (и, К), что /Со с/С и м|ко = ио.
Лемма 2, обеспечивая существование (даже не одной)
универсальной пары, доказывает в силу леммы 1 теорему 1.
Таким образом, нам нужно лишь доказать леммы 1 и 2.
Мы докажем лемму 2 по индукции, опираясь на сле-
следующую лемму:
Лемма 3, Для любой универсальной до размерности
rtZ^O пары (и, К) существует такая универсальная до
размерности п-\-\ пара (и1, К'), что:
(i) пространство К' является элементарным (п+1)-
мерным клеточным расширением пространства К;
(П) имеет место равенство
и'\к = и.
Каждая ггара (м0, /Со), где Ко—пространство катего-
категории conCW, a uo?F (К„), универсальна, конечно, до
размерности 0. Поэтому, отправляясь от произвольной пары
(и,,, /Со) и повторно применяя лемму 3, мы можем построить
такую бесконечную последовательность пар (м„, Кп), что
для любого п ^ 0
а) пространство Кп+1 является элементарным (п+1)-
морным клеточным расширением пространства Кп;
б) имеет место равенство
Множества F (Кп) составляют диаграмму
. FC/O-HKi) — ... — F(/C)— ....
стрелки которой индуцированы вложениями, а равенства (9)

116 ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПАР
означают, что последовательность {«„} является элемен-
элементом обратного предела lim F (Кп) этой диаграммы.
При этом — как непосредственно следует из формулы
(9)—для любых q и п будет иметь место коммутативная
диаграмма
A0) ^
F(SV
верхняя строчка которой индуцирована вложением
К„—+ Кп+1. Эта диаграмма означает, что гомоморфизмы
(«„)#: пчК„—>¦ F(S4) составляют прямой конус над диа-
диаграммой
и потому индуцируют гомоморфизм
A1) ИтлДп — F(S")
прямого предела Нгая„/С„ групп я7/С„ в группу F(S").
Но так как при п~> q гомоморфизмы («„)# являются
по условию изоморфизмами, то для любого q ^ 1 гомомор-
гомоморфизм A1) представляет собой изоморфизм.
Рассмотрим теперь объединение К последовательности
A2) /Со с Ktc... (=*„<=...
пространств Кп.
По определению оно представляет собой клеточное
расширение пространства Кп и потому является—одно-
является—одновременно с пространством К„—связным пунктированным
клеточным пространством (объектом категории conCW).
При этом последовательность A2) будет клеточной филь-
фильтрацией пространства К.
Вообще, пусть X — произвольное пространство катего-
категории conCW', и пусть
A3) Х.сХ.с.сХ.с...
—некоторая клеточная фильтрация пространства X (со-
(состоящая из связных подпространств). Тогда определено
множество ltm F (Х„) (состоящее из таких последователь-

ЛЕММА О НЛДЪЕКТИВНОСТИ 117
ногтей {лг„}, xn?F(Xn), что хп+1\х„ =~-хп) и отображение
A1)
действующее по формуле
Лемма 4. Отображение A4) надъективно.
С помощью этой леммы лемма 2 доказывается теперь без
особого труда.
Доказательство леммы 2. Согласно лемме 4,
примененной к фильтрации A2), существует такой эле-
элемент и € F (К), что
и\кп = ип для любого
При этом для каждого q~^ 1 имеет место коммутативная
диаграмма
иерхняя стрелка которой индуцирована вложением КпаК,
и, значит, — коммутативная диаграмма
Up rty Kn
\
(
левая стрелка'которой является изоморфизмом A1), а го
ризонтальная стрелка i индуцирована гомоморфизмами
л„Кп—*пяК-
Но ввиду компактности сферы Si каждое отображение
S'i —>- /С (а также каждое отображение S« x / —>¦ К) является
па самом деле отображением в некоторое Кп, откуда не-
непосредственно вытекает, что отображение i представляет
собой изоморфизм.
Поэтому изоморфизмом будет и отображение м#, т. е.
пара (и, К) будет универсальной парой. D
Таким образом, нам лишь осталось доказать леммы 1,
ii и 4. Мы начнем с леммы 4.
Доказательство леммы 4. Воспользуемся раз-
иитой в Дополнении к лекции 1.10 техникой телескопных

118 ЛЕММА О НАДЪЕКТИВНОСТИ
нормализации фильтраций. Ясно, что все резуль-
результаты этого Дополнения непосредственно переносятся на
случай пунктированных пространств; нужно лишь в кон-
конструкции телескопа произвести дополнительное стягива-
стягивание, в точку подпространства {*0}xR + ,t. e. произведение
XxR+ заменить произведением XxR+.
Таким образом, телескопом Г фильтрации A3) будет под-
подмножество (являющееся пунктированным связным клеточ-
клеточным пространством) произведения ХхК+ = (ХхК+)/({л:0}х
XlRf), состоящее из таких точек (а;, г), х?Х, r?IR+, что
х?Х„; когда n^r<n+l.
Будучи клеточной, фильтрация A3) является филь-
фильтрацией Борсука и, значит (предложение 2 Дополнения
к лекции I.10)v гомотопически правильна, т. е. канони-
каноническая проекция р: Т—<¦ X является гомотопической экви-
эквивалентностью.
Подпространства Т„ телескопа Т, состоящие из точек
(х, г), для которых г^п, составляют его клеточную
фильтрацию. Мы вложим Х„ в Тп, отождествив каждую
точку (xt п), х$Хп, с точкой x?Xh. Тогда подпростран-
подпространство Х„ будет строгим деформационным ретрактом про-
пространства Тп, причем соответструющей ретракцией Тп—*Хп
будет ограничение на Тп проекции р: Т—+Х.
Телескоп Т удобно представлять себе в виде объеди-
объединения подпространств
Х'п = [п, п+1]хХ„.
(в Дополнении к лекции 1.10 подпространства Х'п обозна-
обозначались через Сп+1).
Заметим, что
и Г„ = X; U •.. U X;_! U Х„ при и > 1 (тогда как То = X,).
Кроме того, объединение С всех пространств Х„ в Т будет,
очевидно, их букетсм VXn (напсмним, что луч {л:0}хК+
стянут в Т в одну точку).
Мы положим
= U Х'гт, 5= U Х'2т+1.
т=0 т=0
Ясно, что А к В являются клеточными подпростран-
подпространствами-телескопа Т, причем
А[)В = Т и Аг\В = С.

СВОЙСТВА ПОЛУТОЧНЫХ ФУНКТОРОВ 119
Кроме того, так как Х^Х„, то Л^/^ и В%Ви где
г = </ Хш, Б1== V Х!я+1
т=0 т=0
(так что C^^j)
Пусть теперь {л;п}, xn?F(Xn),— произвольный эле-
элемент множества UmF(Xn). В силу аксиомы Б существуют
такие элементы agF(/4t) и &€F(B,), что
а\хш^хш, Ь\Хш+1=хгт+1 для любого т>0.
При этом в силу гомотопической инвариантности функ-
функтора F мы можем считать, что a?F(A), b?F(B).
Согласно формуле A5) для любого т^ 1 имеет место
иключение Хш_1аХ'1т, причем композиция соответствую-
соответствующего вложения Xim_1—*Х'Ш с ретракцией Х'2т—«-Х!я
является, очевидно, не чем иным, как вложением
Х»т-1-*Хш- Поэтому
"" I Хгщ - 1 ¦*!»» IXtm _ 1 Х2т _ i ¦— О | х2т -1 •
Аналогично показывается, что
" \Хгт ¦*2т + 1 \Х,т Xim и \Х,т-
Таким образом, элементы а и Ь обладают тем свойством,
что их ограничения на каждом слагаемом букета C = VXn
совпадают. В силу аксиомы Б отсюда следует, что эти
элементы совпадают на всем букете С, т. е. а\с — Ь\с. Но
тогда, согласно аксиоме MB (примененной к триаде
(Т; А, В)), будет существовать ¦ такой элемент x?F(T),
что х \А — а и х [л = Ь. В силу отождествления F (X) = F (Т)
(индуцированного гомотопической эквивалентностью р)
мы можем считать, что xg/^X), и ясно, что тогда для
любого п^О будет иметь место равенство
т. е. образом элемента х при отображении A0) будет дан-
данный элемент {х„}.
Тем самым надъективность отображения A4) полностью
доказана. Q ¦
Для доказательства леммы 3 мы начнем с нескольких
общих замечаний о полуточном функторе F. '
Пусть X — произвольное пространство (категории
conCW) и пусть р: Х\/Х —»-Х — отображение схлопыва-

120 СВОЙСТВА ПОЛУТОЧНЫХ ФУНКТОРОВ
ния. Так как poin^id и poin2 = id, где in,, in2:
Х-*XVX —канонические вложения, то композиция ото-
отображения р*: F (X)-—>¦ F (Х\/X) с отображением
q:F(X\/X)-^F(X)xF(X), zi-^flnjz, in,*?), z?F(X\/X),
является не чем иным, как диагональным отображением
A: F(X)->F(X)xF(X), х*->{х, х), x?
С другой стороны, если пространство X состоит только
из отмеченной точки х0, то отображение р представляет
собой гомеоморфизм, и, значит, отображение р* биективно.
Поскольку, согласно аксиоме Б, отображение q также
биективно, мы получаем, следовательно, что для одното-
одноточечного пространства X = {х0} диагональное отображение А
биективно, что возможно только тогда, когда множество
F (X) состоит только из одного элемента. Мы будем обо-
обозначать этот элемент символом 0.
Для любого пространства X образ элемента 0 при
отображении const*: F ({х0}) —+F (X), индуцированном
постоянным отображением const: X —+ {#„}, мы также будем
обозначать символом 0. [Отметив элемент 0, мы тем самым
получим из F (X) пунктированное множество и ясно, что
тогда F будет функтором из категории conCW'op в кате-
категорию ENS' пунктированных множеств.]
Заметим, что если отображение f X—+Y гомотопно
постоянному отображению, то /*г/ = 0 для любого эле-
элемента y?F (Y).
Пусть теперь отображение /: X—+Y (категории con CW)
произвольно, и пусть
С (/) = С'Х U ,Y
— конус отображения /, а /: Y—»¦ С" (/) — каноническое
вложение. Рассмотрим трехчленную последовательность
A6) F (С (/)) Л F (Y) Д F (X)
пунктированных множеств, получающуюся применением
функтора F к последовательности пространств
A7) -x-Ly-Lc'w.
Так как /о/ ~ const, то /* (/* (г)) = 0 для любого элемента
z?F(C (/)). Обратно, пусть у—такой элемент множества
F (Y), что /*(/ = 0. Так как конус С" (/) является, оче-
очевидно, не чем иным, как гомотопической амальгамой E)

СВОЙСТВА ПОЛУТОЧНЫХ ФУНКТОРОВ 121
диаграммы
то, согласно аксиоме А (примененной к паре @, у)), су-
существует такой элемент z$F (С (/)), что j*z — y. Таким
образом, /*«/ = 0 тогда и только тогда, когда (/-— j*z, т. е.
последовательность A6) точна в члене F(Y).
[Это свойство и имел в виду Дольд, называя функ-
функторы, удовлетворяющие аксиомам Б и MB, полуточными.]
Теперь мы уже можем доказать лемму 3.
Доказательство леммы 3. Выбрав для любого
элемента а ядра Кег ип# гомоморфизма
представитель /„:¦ S?—*К, где S?— экземпляр сферы S",
рассмотрим элементарное клеточное расширение К* про-
пространства К, получающееся приклеиванием к К клеток
е?+1 посредством отображений /а (при п = 0 мы полагаем
К* = К). Пусть
где X пробегает множество F (Sn+1), a 5jJ+1—экземпляры
сферы Sn+1.
Если существует такой элемент и* ? F (К*), что и* \к = и,
то, согласно аксиоме Б, существует и такой элемент
u'?F(K% что
A8)
= "* и
(в последнем равенстве мы отождествляем F (Sl+1) с
F (S4+1)). Лемма 3 будет, очевидно, доказана, если мы
покажем, что пара (и', К') универсальна до размерности
п -\-1 (и что элемент и* существует).
С этой целью мы в первую очередь заметим (при п > 0),
что так как пара {К', К) по построению клеточно л-связна,
то (см. следствие 3 теоремы 1 лекции 2) она л-связна,
и потому — как непосредственна вытекает из точности
гомотопической последовательности пары (К1, К) — инду-
индуцированный вложением «: К—*К' гомоморфизм
гомотопических групп является при q < n изоморфизмом,
а при q — n эпиморфизмом. Поскольку (в силу первого

122 ' СВОЙСТВА ПОЛУТОЧНЫХ ФУНКТОРОВ
из равенств A8)) имеет место коммутативная диаграмма
'1
отсюда следует, что пара (и', К') одновременно с парой
(и, К) универсальна до размерности п. В частности, ото-
отображение ип# является эпиморфизмом.
Более того, из построения пространства К* немед-
немедленно следует, что каждое отображение /а, а g Ker ип#,
рассматриваемое как отображение в К*, гомотопно нулю
в К* и, следовательно, в К. Значит, ina = 0. Это озна-
означает, что
Пусть теперь а' ?К.еги?. Поскольку отображение in
эпиморфно, существует такой элемент а ? яяК, что ina = а'.
При этом ы#а=ы#а = 0, т. е. а?Кегы#, и, значит,
agKertn. Следовательно, a' = tna = 0, т. е. эпиморфизм
и'? является изоморфизмом (при и = 0 все эти рассуж-
рассуждения бессодержательны и потому верны).
Наконец, если i\—вложение S"+1—>-K', то
и, значит, поскольку элементы К пробегают все множе-
множество F(S"+1), отображение и'# + 1 является эпиморфизмом.
(Это в равной мере справедливо при п = 0.)
Следовательно, пара (и', К') универсальна на самом
деле до размерности л+1.
Таким образом, для завершения доказательства лем-
леммы 3 остается доказать существование элемента и* (заме-
(заметим, что аксиомой MB мы пока нигде не пользовались).
С этой целью мы рассмотрим отображение
совпадающее на каждой сфере S? с отображением /а. Ясно,
что конусом С* (/) этого отображения является как раз
пространство К*. Поэтому отвечающая этому отображению

ЗАВЕРШЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ БРАУНА 123
последовательность A6) имеет вид
и эта последовательность точна в члене F (К). С другой
пороны, так как 9°/* = П/^( где q—отображение F)
(при Xa = S2), и так как по условию
?« = «? («)=-- О,
т
то /*ы = 0. Следовательно, существует такой элемент
m*€F(/C*), что j*u* — u, т. е. такой, что и*\к = и.
Тем самым лемма 3 полностью доказана. ?
Для доказательства леммы 1 нам понадобится еще
одна лемма.
Лемма 5. Пусть:
(X, А)—произвольная пара пространств категории
conCW;
(а, К)—универсальная пара;
g: Л—»-/С—пунктированное клеточное отображение и
х—такой элемент множества F (X), что
Тогда существует такое клеточное отображение п: X —<¦ К,
что
п \а = ё и п*и = х-
Доказательство леммы 1. Нам нужно дока-
доказать, что для любой универсальной пары (и, К) и любого
связного пунктированного клеточного пространства X
отображение
биективно.
Пусть x?F{X). Применив лемму 5 к паре (X, *„),
отображению g: {*„} —+К и элементу х, мы получим такое
отображение h: X—-K, что п*и = х, т. е. такое, что
и#[п] = х. Следовательно, отображение и# надъективно.
Пусть /0: X—>/( и Д: Х—<-К—такие пунктированные
отображения, что ы#[/0]= «#[Л]. В силу теоремы о кле-
клеточной аппроксимации мы без ограничения общности можем
считать отображения /„ и /, клеточными.

124 ЗАВЕРШЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ БРАУНА
Рассмотрим пространство
Xx/=Xx//Wx/,
его подпространство А, являющееся объединением под-
подпространств X х 0 и X х 1 (очевидно, что А представляет
собой букет этих подпространств), отображение g: A—> /(,
определенное формулами
( /„(?), если / = 0,
'!-{ Л®, если UK*:
и элемент х = (/0 ор)* и множества F (Xxf), где р — проек-
проекция Хх/—+Х. Отображение g клеточно и в силу равен-
равенства «# [/o] = M#l/i]> T' е- равенства [*ои = Ци, обладает
Тем свойством, что
g*u \A =¦ х.
Таким образом, к паре (Хх/, А), отображению g и эле-
элементу х применима лемма 5, согласно которой существует
такое отображение h: Хх/ —+К, что h\A = g, т. е., иначе
говоря, такая пунктированная гомотопия ht: X—+/С, что
К —fa и Л1 = /1. Следовательно, [/0] = [/i] Hi значит, ото-
отображение и# инъективно. П
Осталось доказать лемму 5.
Доказательство леммы 5. Пусть
— гомотопическая амальгама диаграммы
где i: А—*Х—вложение. Так как по условию i*x = g*u,
то, согласно аксиоме А, существует такой элемент ы0 ? F(Ku)i
что ио\х=^х, ио\к = и. С другой стороны, согласно лемме 2
существует такая универсальная пара (и, К), u?F(K),
что КцсЖ и и\Ка=ив. В частности, К с К и и\к=и. Сле-
Следовательно, для любого q ^ 1 имеет место коммутатив-
коммутативная диаграмма

ЗАВЕРШЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ БРАУНА 125
горизонтальное отображение jq: nqK ~ * nqK которой инду-
индуцировано вложением /: К.—*К. Поскольку обе пары (и, К)
и (и, К.) универсальны и, значит, отображения и% и w#
являются изоморфизмами, из коммутативности этой диа-
диаграммы следует, что отображение \q также является изо-
изоморфизмом, т. е. что вложение /: К—*К представляет
собой оо-эквивалентность. Следовательно, пд(К, /С)=0
для всех q^ 1, и потому (предложение 5 лекции 2)
(Напомним, что пространства К и К по условию связны.)
При этом, если г: К—>-К—деформационная ретракция,
то г*и = и.
С другой стороны, так как Хс:К0, то ХсК. Пусть
к: Х—>-К—соответствующее вложение. Так как на под-
подпространстве А отображение k гомотопно, очевидно, ото-
отображению jog: А—>¦ К (соответствующая гомотопия
А х / —>¦ К является композицией вложений А х / —> Ко и
Ко—-i-Д), а пара (X, А) является парой Борсука, суще-
существует такое отображение k: X—+К (гомотопное отобра-
отображению k), что
Пусть h = r ok: X-+K. Так как k~k (и, значит,
k* =-=>), то
h*u — k* (r*u) = k*u — и \x = «о \x — x-
Кроме того;
Это доказывает лемму 5 и вместе с ней теорему 1. ?
Замечание 2. Для любого связного пунктирован-
пунктированного пространства X мы можем рассмотреть ограничение
на conCW°p функтора X*: TOP<op-^ENS. Это ограни-
ограничение, являясь очевидно, полуточным функтором, согласно
теореме 1 представимо, т. е. для него существует класси-
классифицирующая пара (и, X). Но ясно, что свойство пары
(«, X) представлять функтор X* в точности означает, что
любое отображение <р: X —>¦ X гомотопического класса
ugX*(X)~ [X, XJ' является слабой гомотопической экви-
эквивалентностью, т. е. что пространство X является клеточ-

126 ФИНИТНО ПОЛУТОЧНЫЕ ФУНКТОРЫ
ным эквивалентом пространства X. Таким образом, тео-
теорема 1 лекции 3 (в части, касающейся связных и пункти-
пунктированных пространств) является весьма частным случаем
теоремы Брауна.
Перейдем теперь к функторам, заданным на категории
CW конечных связных и пунктированных клеточных
пространств.
Для этих функторов мы представимость будем понимать
в обобщенном смысле. Именно, .функтор F: conCWjf,? —»-ENS
мы будем называть представимым, если он является огра-
ограничением некоторого представимого функтора con CW'op—>
—- ENS, т. е. если для любого конечного связного пункти-
пунктированного клеточного пространства X существует естест-
естественное биективное отображение
где К—некоторое (не обязательно конечное) связное
пунктированное клеточное пространство. (Таким образом,
для представимого функтора F: conCWfff -->- ENS множе-
множество F (К), вообще говоря, не определено, и поэтому пред-
представление со* в виде и# невозможно.)
Наша цель состоит в отыскании условий на функтор
F: conCWf?,? —* ENS, обеспечивающих его представимость.
Чтобы применить к этой задаче метод универсальных
пар, мы временно предположим, что данный функтор яв-
является ограничением на conCWiff некоторого функтора
conCW'o? —*¦ ENS. Тогда нашу задачу можно будет сформу-
сформулировать как задачу об условиях на функтор F: con CW'op —<¦
—>ENS, обеспечивающих представимость его ограничения
* 'con CWjfP •
Теперь мы уже можем говорить о парах вида (и, /О, где
u?F(K), а К—произвольное (связное и пунктированное)
клеточное пространство. Мы будем говорить, что пара
(и, К) финитно классифицирует функтор F, если для
любого конечного связного пунктированного клеточного
пространства X отображение
A9) «*: [X, KY-+F(X), [П*-*Ги,
биективно.
В частности, отображение A9) биективно при X = S",
\, т. е. любая финитно классифицирующая пара уни-
универсальна.

ФИНИТНО ПОЛУТОЧНЫЕ ФУНКТОРЫ . 127
Существование для функтора F финитно классифици-
классифицирующей пары обеспечивает, конечно, представимость функ-
функтора/r|conCWop (при этом (?>х = и*). Поэтому нам доста-
достаточно найти условия, обеспечивающие существование
такой пары.
Пусть X—связное пунктированное клеточное про-
пространство, и пусть {Ха} — произвольное семейство его
клеточных подпространств (связных и пунктированных).
Для любого функтора F: conCW'op —<- ENS мы можем
говорить о пределе limF(Xa) множеств F (Ха) по отно-
отношению к отображениям, индуцированным вложениями.
Этот предел состоит из элементов вида {ха}, xa?F(Xa),
обладающих тем свойством, что ха— *р|ха при Ха с Хр,
и потому формула х>~* {х\Ха} определяет некоторое ото-
отображение
B0)
Мы будем говорить, что функтор F удовлетворяет аксио-
аксиоме ЛН (аксиоме линейной непрерывности), если отобра-
отображение B0) биективно всякий раз, когда Х-=1)Ха, и семей-
семейство {Ха} линейно упорядочено по включению (т. е. для
любых индексов а и Р либо Ха с Хр, либо ХрсХа).
Далее, мы будем говорить, что функтор F: conCW'op --*
—»- ENS удовлетворяет аксиоме MB/, если аксиома MB
(или, что равносильно, аксиома А) выполнена всякий раз,
когда клеточное пространство С конечно.
Функтор F: conCW"op—>-ENS, удовлетворяющий аксио-
аксиомам Б, MB/, и ЛН, мы будем называть финитно полу-
полуточным функтором.
Предложение 2. Для любого гомотопически инва-
инвариантного финитно полуточного функтора F: conCW'op —>-
+ ENS существует финитно классифицирующая пара
(и, К) (и, значит, функтор F |со11 cw-op представим).
Принимая за образец доказательство теоремы 1, мы
докажем это предложение в серии аналогичных лемм.
Пусть F: conCW'op—>ENS — произвольный гомотопи-
гомотопически инвариантный финитно полуточный функтор.
Лемма /fln. Любая универсальная пара («, /С) финитно
классифицирует функтор F.
Лемма 2tin. Для любого пространства К„ категории
conCW и любого элемента ы„ ?/•"(/(¦„) существует такая
универсальная пара (и, К), что Кv с К и w|^ = «0.

128 "' ФИНИТНО ПОЛУТОЧНЫЕ ФУНКТОРЫ
Лемма 3fln. Для любой универсальной до размерно-
размерности п пары (и, К) существует такая универсальная до
размерности п+\ пара («', К'), что:
(i) пространство К' является элементарным (л 4-1)-
мерным клеточным расширением пространства К;
(и) имеет место равенство
Предложение 2 является непосредственным следствием
лемм lfin и 2fln. С другой стороны, лемма 2fin выводится
из леммы 3,1п дословно так же, как лемма 2 из леммы 3;
лишь ссылку на лемму 4 надо заменить ссылкой на аксио-
аксиому ЛН. Поэтому нам нужно доказать лишь леммы 1{1п
и 3,in.
Выше мы показали, что значения полуточных функто-
функторов фактически принадлежат категории ENS'. Поскольку
этот вывод остается, очевидно^ в силе и для финитно
полуточных " функторов, мы для любого отображения
/: X—>-Y категории conCW" можем поставить вопрос
о точности (в члене F (Y)), соответствующей последова-
последовательности A6). Доказательство точности этой последова-
последовательности сводится, как мы знаем, к применению аксио-
аксиомы А к диаграмме A7). Следовательно, последователь-
последовательность A6) будет точна в члене F (Y) и для финитно полу-
полуточного функтора F, если пространство X конечно.
Доказательство леммы 3fin. Пространство К'
мы построим так же, как в доказательстве леммы 3, т. е.
по формуле
где К* — элементарное клеточное расширение пространст-
пространства К, получающееся приклеиванием клеток е'^1 посредст-
посредством отображений fa: S%,—*-/С, гомотопические классы
которых пробегают ядро гомоморфизма ип#: nnK—*F(S"),
а 5?,+1—экземпляры сферы Sn+1 с индексами k?F(S"+1)-
Если мы, как и в доказательстве леммы 3, предположим,
что существует элемент u*?F(K*), для которого и*\к=и,
то построение элемента u'^F(K') и доказательство уни-
универсальности до размерности п + 1 пары («', К') полностью
сохранится. Поэтому нам нужно доказать лишь существо-
существование элемента и*. При этом мы, конечно, можем считать,
что п > 0.

КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ФУНКТОРОВ J29
С этой целью мы введем в рассмотрение множество З1
всех пар (a, L), где L—клеточное подпространство (связ-
(связное и пунктированное) пространства К*, содержащее про-
пространство К, a v?F(L)—такой элемент, что v\K~u.
Ясно, что множество 3 не пусто (ибо пара (и, К) при-
принадлежит 3).
Мы введем в 3 отношение (частичного) порядка, счи-
считая, что (и1( Lj) ^ (y2l L2) тогда и только тогда, когда
l4czL2 и v2\l,--=v1. Из аксиомы ЛН непосредственно выте-
вытекает, что относительно этого порядка множество 3 индук-
индуктивно, т. е. для любого его линейно упорядоченного
подмножества (цепи) существует наименьшая верхняя грань.
Следовательно, согласно лемме Цорна в 3 существует
максимальный элемент (у0, Lo). Если ?„ = /(•, то за и* мы
можем принять элемент v0. Таким образом, для заверше-
завершения доказательства леммы 3fln нам осталось лишь пока-
показать, что Lo=К*.
Пусть ЬцфК*, т. е. пусть существует клетка е?+1с
aK*\L0, и пусть Lo = Lo (J e?+1. Пусть, далее, i:K—*L0
и j: La —<- Lo—вложения, и пусть g = i о fa. Тогда L'0=C (g)
и, значит, согласно сделанному выше замечанию, последо-
последовательность
точна в члене F(L0). Но по условию
*Ч=?« = «#[/«] = 0.
и потому существует такой элемент (v'o^F(L'o), что
i*(v'0) = v0, т. е. такой, что v'0\L' = v0. Поскольку L'a яв-
является клеточным подпространством пространства/('(связ-
пространства/('(связным и пунктированным), это означает, что пара (v'9, Ц)
принадлежит 3 и следует за парой (t\,, Lo). Так как это
противоречит максимальности пары (у0, LB), то, следова-
следовательно, La~K*.
Тем самым лемма 3,in полностью доказана. П
Что же касается леммы lfln, то ее доказательство (вместе
с доказательством соответствующего аналога леммы 5)
дословно дублирует доказательство леммы 1; следует
только пространство X предполагать конечным.
Таким образом, предложение 2 мы можем считать
полностью доказанным. О
Чтобы применять предложение 2 к функторам, опре-
определенным лишь на категории conCWftg, нам в первую
~* М. М. Постников

130 КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ФУНКТОРОВ
очередь нужно рассмотреть вопрос о распространении
таких функторов на всю категорию conCWop.
Пусть F—произвольный функтор conCWf°,? —>ENS.
Для любого пространства X категории conCW мы
положим
где Хч пробегает все конечные (связные и пунктирован-
пунктированные) клеточные подпространства пространства X.
Пусть /: X—> У—произвольное отображение катего-
категории conCW", и пусть {Xv} — семейство всех конечных
подпространств пространства X, a {Y6}—семейство всех
конечных подпространств пространства Y. Ясно, что для
любого индекса у существует индекс б, обладающий тем
свойством, что f(Xy)czYb. Раз навсегда выбрав такое fi,
обозначим его через б (у), а отображение Ху—+ Y6(y),
индуцированное отображением /,—через /v.
Пусть фг: limF^e)—>-F(Xy) — композиция канони-
канонического отображения Mm F(Y6)—*-F(Y6(V)) и отображения
/v: F(Y6(V))—+F(Xv). Автоматическая проверка показы-
показывает, что отображения cpv составляют обратный конус над
обратной системой {F (Xv)} и потому индуцируют неко-
некоторое отображение
В явном виде отображение f* представляется формулой
От выбора функции у i—»• б (у) это отображение, очевидно,
не зависит.
Ясно, что соответствия X<~-*F(X) и f*-+f* составляют
функтор
F: conCW'°P — ENS,
совпадающий на conCWnf с функтором F (или, точнее,
ему естественно изоморфный). Мы будем называть функ-
функтор F каноническим распространением функтора F.
Предложение 3. Функтор F тогда и только тогда
представим, когда для функтора F существует финитно
классифицирующая пара (и, К).

ФИНИТНО ГОМОТОПИЧЕСКАЯ КАТЕГОРИЯ 131
Доказательство. Если пара (и, К) существует,
то функтор F представим (так как F |conCW-oP =F). Обратно,
пусть функтор F представим, т. е. для любого конечного
(связного и пунктированного) пространства X существует
естественное биективное отображение
где К—некоторое пространство категории conCW. По
определению F (К) — Hm F {Ку), где /Cv пробегает все конеч-
конечные (связные и пунктированные) подпространства прост-
пространства К. Для любого у мы положим
где iv—вложение КУ—*К. Ясно, что семейство и = {иу}
принадлежит множеству F (К), и, как показывает не-
непосредственная проверка, отвечающее ему отображение и#
для любого конечного X совпадает с отображением ых.
Следовательно, пара (и, К) финитно классифицирует функ-
функтор F. ?
Вообще говоря, пара (и, К), финитно классифицирую-
щая функтор F (когда она существует), определена не
единственным образом. Чтобы применить к проблеме ее
единственности общекатегорные соображения, мы должны
внести категорию, в которой функтор F представим.
Определение 6. Пусть X и Y — произвольные про-
пространства. Отображения /, g: X —с Y мы будем называть
финитно гомотопными, если для любого конечного кле-
клеточного пространства Z и любого отображения h: Z—>-Х
отображения /-о А и go/i гомотопны. Отношение финит-
финитной гомотопности является, очевидно, отношением экви-
эквивалентности. Множество всех классов финитно гомотопных
отображений X —* Y мы будем обозначать символом [X, FJfln.
Аналогичные определения возможны, конечно, и для
пунктированных пространств и их отображений. Множе-
Множество всех классов финитно гомотопных пунктированных
отображений X —* Y мы будем обозначать символом
I*. Him-
Замечание 3. Некоторые авторы (см., например,
1П|) финитно' гомотопные отображения называют слабо

132 ФИНИТНО ГОМОТОПИЧЕСКАЯ КАТЕГОРИЯ
гомотопными отображениями. Эта терминология нахо-
находится в некотором конфликте с терминологией из лек-
лекции 3, и мы ею пользоваться не будем.
Теперь мы можем ввести категорию [con CW']fin, объек-
объектами которой являются связные пунктированные клеточ-
клеточные пространства, а морфизмами—финитно, гомотопи-
гомотопические классы их отображений. Впрочем, в соответствии
с нашим общим обыкновением мы предпочтем функторы,
заданные на этой категории, отождествлять с финитно
гомотопически инвариантными функторами на категории
conCW (т. е. с, функторами, принимающими на финитно
гомотопных отображениях одинаковые значения).
Ясно, что для любого функтора F: conCWfjft—>-ENS
функтор F: conCW'op—>-ENS финитно гомотопически
инвариантен (и, значит, может рассматриваться как функ-
функтор на категории [con СW'jfif,). Поэтому для любой пары
.(«, К), u?F(K), и любого пространства X категории
conCW отображение «#: [/]>-»•/*« будет на самом деле
отображением
B1) i ul\ [X, *];,„ — F(X).
Предложение 4. Пара (и, К) тогда и только тогда
финитно классифицирует функтор F, когда естествен-
естественное отображение B1) биективно (т. е. пара (и, К) клас-
классифицирует функтор F как функтор на кащегории
[oonCWJffi).
Доказательство. Достаточность этого условия
очевидна (ибо, если X конечно, то [X, K]\in = [X, К]')-
Поэтому надо доказать только его необходимость, т. е.
доказать, что для финитно классифицирующей пары (и, К)
отображение B1) биективно.
Пусть пара (и, К) финитно классифицирует функтор
F, и пусть f, g: Х—+К—такие отображения, что f*u=
—g*v в F (X). Тогда для любого конечного (связного и
пунктированного) клеточного пространства Z и любого
отображения h: Z —>¦ X будет иметь место .равенство
(/ о h)* и - Л* (/•«) = h* (g*u) = (go h)" и,
возможное—в силу финитной классифицируемости пары
(и, К) — только при / о h ~ g о h. Следовательно, отображе-
отображения / и g финитно гомотопны, а, значит, отображение B1)
инъективно.

ФИНИТНО ГОМОТОПИЧЕСКАЯ КАТЕГОРИЯ 133
Пусть теперь {ху} — произвольный элемент множества
/¦' (X) = lim F (Xv) (где, как и выше, {Xv}—семейство
iktx конечных подпространств пространства X, а ху?
ег(ху)).
Рассмотрим множество <& всех пар (g, Y), где Y а X,
и g —такое отображение Y—^K (не гомотопический
класс!), что
g*u\xv^--Xy
для любого Xv с Y. Множество S/, очевидно, не пусто
и индуктивно (относительно частичного порядка, в кото-
котором (g, Y)^.(g', Y') тогда и только тогда, когда У ст V"
11 S'\y ~ё)- Поэтому, согласно лемме Цорна, в нем с.уще-%
ствует максимальный элемент (#„, Yo).
Если Y0=?X, то в X существует такое конечное под-
подпространство XVo, что XVl) с? Yo. Так как пара (и, К)
финитно классифицирует функтор F, то существует такое
(с точностью до гомотопии единственное) отображение /Yo:
XVl,—+К, что fytu — xVll. При этом на пересечении K0nXVo
отображение /Vo гомотопно отображению g0. Поэтому
II силу леммы Борсука мы, без ограничения общности,
можем считать, что Д>о = ?о на Х0Г|Х7|). Но тогда формула
} god), если ^€^о.
8l{i)-\ fyo(t), если t?Xy0,
будет определять на подпространстве Y1 = Y0\jXVo ото-
отображение gt: Yj^—t-K, обладающее тем свойством, что
irnpa (gu Yt) принадлежит 2/ и следует за парой (?„, Ко).
Поскольку в силу максимальности пары (g0, YB) это
невозможно, тем самым доказано, что YQ = X. Следова-
Следовательно, для любого у имеет место равенство go (и) |jfv=*v,
по определению, означающее, что и* [?0] = {ху}- Таким
образом, отображение B1) не только инъективно, но и
биективно. ?
Следствие 1. Функтор
F: conCW;?np-^ENS
на категории conCWf?» тогда и только тогда предста-
представим, когда на категории [conCW'jf}?, представим функ-
функтор F. .
Доказательство. См. предложение 3. Q

134 . ЛЕММА ЙОНЕДЫ И ЕЕ ВАРИАНТЫ
Теперь мы можем ответить на вопрос об единствен-
единственности финитно классифицирующей пары (и, К).
Отображение h: Х---К называется финитной гомо-
гомотопической эквивалентностью, если его финитно гомото-
гомотопический класс [Л]„п обратим в категории [conCW']fill
(является изоморфизмом этой категории).
Следствие 2. Любые две пары (и, К) и (и', К'), фи-
финитно классифицирующие функтор F, финитно гомотопи-
чески эквивалентны (т. е. существует такая финитно
гомотопическая эквивалентность И: К' —+К, что п*и=и').
Доказательство. Из общей теории категорий
известно (см. выше), что любые две пары, классифици-
классифицирующие представимый функтор, изоморфны. D
Для любых двух функторов G и F (определенных на
некоторой категории А) множество всех естественных
преобразований G —>¦ F (морфизмов функторов) мы будем
обозначать символом Mor(G, F).
В частности, для любого функтора F: Аор—* ENS и
любого объекта X категории А определено множество
Mor(X*, F) всех естественных пресбразований X*—rF, и
очевидная проверка показывает, что формула
F (X) = Mor(X*, F)
определяет некоторый функтор F: Aop—>ENS. При этом
формула
где ф€F(X) =--Мог (X*. F) (и, значит, ф*: Х*(Х)—>F(X),
т. е. ф*: А (X, X)—>¦ F (X)) определяет отображения wx:
F (X)—>F(X), составляющие — как показывает автомати-
автоматическая проверка —естественное преобразование
B2) w: F-+F.
Следующее важное общекатегорное утверждение яв-
является одной из форм так называемой леммы Йонеды.
Предложение 5. Если функтор F представим, то
преобразование B2) биективно (является изоморфизмом
функторов).
Доказательство. Пусть функтор F классифици-
классифицируется парой (и. К), u?F(K). Тогда для любого объекта
X категории А каждый элемент x?F(X) единственным
образом представляется в виде /*м, где /—некоторый

ЛЕММЛ ЙОНЕДЫ И ЕЕ ВАРИАНТЫ 135
морфизм Х—+К. Для произвольного объекта Y катего-
категории А мы определим отображение множеств
Ф1': X*(Y)-*F(Y),
сопоставив произвольному элементу g?X*(Y), т.е. мор-
физму g: Y—>-Х, элемент (/ о g)*u € F (Y). Автоматиче-
Автоматическая проверка показывает, во-первых, что отображения
q/ составляют естественное преобразование ср: X* —>¦ F,
во-вторых, что возникающие таким образом отображения
F (X) -* Мог (X*, F), х н-> ф,
в свою очередь составляют естественное преобразование
/¦'—>¦ F, и, в-третьих, что это естественное преобразова-
преобразование обратно к преобразованию B2). Следовательно, пре-
преобразование B2) биективно. I7J
Таким образом, согласно предложению 5 для любого
представимого функтора F каждое множество F (X) естест-
естественным образом отождествляется с множеством Mor(X*, F).
В частности, это верно для представимых функторов
па категории ccnCW'op, так что для любого представи-
представимого функтора F: conCW'op—»-ENS и любого связного
пунктированного клеточного пространства X множество
/¦' (X) естественным образом отождествляется с множе-
множеством Мог (X*, F) естественных преобразований X*—->-F:
B3) F(X) = Mor(X*, F).
Аналогично, обозначив через Х*,п функтор
CW'jin—>-ENS, определенный формулой
мы немедленно получим, что для любого представимого
функтора F: conCWf?n—^ENS и любого связного пунк-
тированного клеточного пространства X множество F (X)
естественным образом отождествляется с множеством
Mor(Xfln, F) всех естественных преобразований X*Hn—^F:
B4)
В последнем равенстве функтор F рассматривается,
конечно, как функтор на [conCW'jfft. Однако аналогич-
аналогичный результат можно получить, и оставаясь в рамках
категории conCWun.

136 ЛЕММА ЙОНЕДЫ И ЕЕ ВАРИАНТЫ
С этой целью мы заметим, что для любого простран-
пространства X категории conCW и любого функтора F-.
con CW}°n —- ENS определено множество
всех естественных преобразований X*j ,-,.,-ор—-+ F, где
conCW{1|]
X|conCw.op — ограничение функтора
X*: conCW0'— ENS
|conCw.p
на категории conCWf°n. Допуская определенную воль-
вольность, мы будем это множество обозначать символом
Мог (X*, F) (а егр элементы будем называть естествен-
естественными преобразованиями X*—-+F).
Теперь легко видеть, что для любого функтора F:
conCWfiy—»-ENS и любого пунктированного связного кле-
клеточного пространства X множества Мог (X*, F) и
Мог (Х[|П, F) находятся в естественном биективном соот-
соответствии. Действительно, пусть <р: X*—*F — произволь-
произвольное естественное преобразование функтора X* в функтор
F, и пусть Y—произвольное пространство категории
conCW*. Тогда для каждого отображения g: У—*Х и
каждого конечного подпространства FvcKb множестве
у
F (Vv) будет определен элемент уу — ф v[g"|y ], завися-
зависящий только от финитно гомотопического класса [g]tm
отображения g. Непосредственная проверка показывает
при этом, что семейство {уу} принадлежит множеству
HmF (Yy) — F (Y) и что получающиеся отображения
составляют естественное пресбразование ср: Xf*ln —>¦ F.
Обратно, так как для каждого конечного простран-
пространства Y отображения Y—»-Х гомотопны тогда и только
тогда, когда они финитно гомотопны, то любое естест-
4—
венное преобразование i|>: Х*Пп —>¦ F корректно определяет
естественное преобразование г|)': X*—>F, для которого
где g: Y —>Х и V€conCWf°n . Автоматическая проверка

ЛЕММА ЙОНЕДЫ И Её ВАРИАНТЫ 137
4—
показывает при этом, что соответствия срн-хр и \|7.—»• г|э'
взаимно обратны. L.1
В частности, мы видим, что для любого предапавимого
функтора F: conCW\°n—+ENS и любого связного пунк-
пунктированного клеточного пространства X множество F (X)
естественным образом отождествляется с множеством
Mor(X*, F) естественных преобразований X*—*F:
B5) F(X) = Mor(X*,F).
В явном виде отождествление B5) описывается сле-
следующим образом.
Пусть {ху} — произвольный элемент множества F (Х) =
¦¦-UmF(Ху), где, как и выше, Xv пробегает все конеч-
конечные (связные и пунктированные) подпространства прост-
пространства X, a Xy?F (Ху). Условие представимости функ-
функтора F означает, что для любого пространства Y кате-
категории conCWiin задано естественное биективное отобра-
отображение со1': [Y, K]—>-F(Y), где К—некоторое пространство
категории conCW. Поэтому, в частности, для любого Ху
существует такое (с точностью до гомотопии единствен-
единственное) отображение /v: Ху —<¦ К, что
С другой стороны, для любого пространства Y кате-
категории conCWjjn произвольное отображение g: Y—>• X
может быть для некоторого у записано в виде g = iyo gy,
где gy У—*XV, a iy: Xv—> X — вложение. При этом,
если Xv с: Хв, то в диаграмме
левый треугольник будет коммутативен. Что же касается
правого треугольника, то ввиду соотношения ху\хй =хб1

138 ТЕОРЕМА АДАМСА
он будет гомотопически коммутативен. Это показывает,
что формула
где [g]?[Y, X]'= Х* (Y), корректно определяет некото-
некоторый элемент yy[g] множества F(Y), т. е. что эта фор-
формула задает некоторое отображение
Фк: X*(Y)-^F(Y).
Отображения срк составляют естественное преобразование
ф: X*—+F, которое и отождествляется в силу B5) с эле-
элементами {Ху}.
Рассмотрим теперь вопрос об условиях, обеспечиваю-
обеспечивающих представимость функтора
F: conCWnnp-*ENS
(т. е., что равносильно, существование для функтора. F:
conCW'op—> ENS финитно классифицирующей пары).
Конечно, для представимости функтора F необходимо,
чтобы он был полуточен, т. е. чтобы он удовлетворял
следующим аналогам аксиом Б и MB для категории
conCWfV
Bfin. Для любого конечного семейства {Ха} конечных
(связных и пунктированных) клеточных пространств и
их букета X — VXa отображение
биективно.
MBfin. Пусть X—конечное (связное и пунктированное)
клеточное пространство, а А и В —такие его клеточ-
клеточные подпространства (также связные и пунктированные),
что X — А\}В. Тогда для любых элементов a?F(A),
b?F (В), удовлетворяющих соотношению
а\с = Ь\с, где С = А п В,
существует такой элемент x?F(X), что
Функтор F: con CWfTif—>• GROUPS, принимающий зна-
значения в категории групп, мы будем называть полуточ-
полуточным, если полуточным функтором является его компози-
композиция с функтором игнорирования GROUPS—*¦ ENS.

ГЕОРЕМА АДАМСА J3Q
Аналогично, функтор F: con CWf°n —> GROUPS мы бу-
будем называть представимым, если представима его ком-
композиция с функтором игнорирования, т. е. если для лю-
любого пространства X категории соп СWnn существует ес-
естественное биективное отображение
со*: [X,K]-*F(X),
где К—некоторое связное пунктированное (не обязательно
конечное) клеточное пространство. [Заметим, что прост-
пространство К, вообще говоря, Н-группой не является.]
Теорема 2. Любой гомотопически инвариантный
полуточный функтор
F: con CWiff-* GROUPS
представим.
Эта теорема известна как теорема Адаме а.
В силу предложения 2 для доказательства теоремы 2
достаточно доказать, что функтор F финитно полуто-
полуточен (удовлетворяет аксиомам Б, ЛН и MB/).
Проверка аксиомы Б. Пусть X = VXa, и пусть
{ХУа}— семейство всех конечных (связных и пунктирован-
пунктированных) подпространств пространства Ха (здесь а пробегает
некоторое множество индексов А, а уа—множество индек-
индексов Га). Для каждого конечного подмножества у множе-
множества Г = U Га (мы считаем, что Га П Гр = 0 для различных
индексов а, р б А) букет
х,- v хУа
является конечным подпространством пространства X, и
любое конечное (связное и пунктированное) подпрост-
подпространство пространства X имеет такой вид. Следовательно,
т.е. F (X) состоит из всех семейств {ху}, где Xy?F(Xy)
и лу -— ху | х ,, если Ху- cz Ху. При этом Ху> <= Ху тогда
и только тогда, когда для любого элемента v«€y' суще-
существует такой элемент уа?у, принадлежащий тому же
множеству Го, что Хг с ХУа. Поэтому, положив хУа=
= х{Уа} для люб°го элемента 7а€Га, где {уа} —одноэле-

140 ТЕОРЕМА АДЛМСА
ментное множество, состоящее из элемента уа, мы для
каждого а € А получим элемент ха = {Хуа} множества
F (Ха), и формула q(Xy) — {xa} будет определять некото-
некоторое отображение
q:F(X)-+nF(Xa).
а.
При этом, так как, согласно аксиоме БПп, любой элемент
Ху € F (Ху) однозначно определяется элементами
и любой набор элементов xVa задает некоторый элемент ху,
то отображение q биективно.
Для завершения доказательства остается заметить, что
отображение {%}•—»¦ ха является не чем иным, как ото-
отображением F (X)—*F(Xa), индуцированным вложением
Ха—»-Х, значит, отображение q—не чем иным, как
отображением F) из аксиомы Б.
Тем самым, аксиома Б для функтора F полностью
проверена.
Проверка аксиомы J1H. Пусть X —UXa, где
Ха, agA, линейно упорядочены по включению, и пусть
{Ху, 7 € Г} —семейство всех конечных (связных и пунк-
пунктированных) подпространств пространства X. Пусть,
далее, Г„—подмножество множества Г, состоящее из
таких индексов уа, что ХУа с Ха. Тогда, по определению,
F (X) --= Ит F (Ху), F (Хв) - lira F (XVa),
и отображение B0) (для функтора F) переводит произ-
4—
вольный элемент х = {Ху) gF (X), xy?F (Ху), в элемент
<-
{ха} glim/7 (Xa), определенный формулой
Х«=; {ХУа)> 7а€Га
(рассматриваемый как функция уау-*-хУа, элемент ха яв-
является не чем иным, как ограничением на ГасГ элемента
х, рассматриваемого как функция у>~>ху). Поскольку
для любого убГ существует такое ос?А, что XvcXa,
отсюда непосредственно следует, что отображение B0)
биективно. ?

ЛЕММЛ ОБ ОБРАТНЫХ ПРЕДЕЛАХ 14|
Замечание 1. Элемента, для которого XvcXa,
существует и в более общем случае, когда .предупорядо-
ченное множество А всего лишь направленно (для любых
двух элементов а, р ? А существует такой элемент у,
что а < у, P<v). Поэтому отображение B0) биективно
для любого упорядоченного по включению семейства
{Ха}> множество индексов А которого направленно.
Проверка оставшейся аксиомы MB, более деликатна
и требует довольно большого предварительного труда.
(В частности, в ней впервые используется предположение,
что функтор F принимает значения в категории групп.)
Пусть {За, я?} — обратная система непустых множеств
2а с индексами из направленного множества А.
Мы скажем, что индексы а, р* ? А эквивалентны, если
существует такой индекс у и такое биективное отображение
}: Ва—>-Ер, что а<7, $ <у и диаграмма
<
коммутативна. Ясно, что это' отношение действительно
является отношением эквивалентности и потому опреде-
определено множество А соответствующих классов экви-
эквивалентности.
Лемма 6. Если все отображения л$ надъективны, а
множество А счетно (или конечно), то обратный предел
lim Sa множеств Еа не пуст.
Доказательство. Пусть {yt, i = 0,_l, 2, ...} —
счетная система представителей классов из А. Поскольку
множество А направленно, существует такая возрастаю-
возрастающая последовательность
его элементов, что V/^aJ Для любого i = 0, 1, 2, ..., а
поскольку все отображения я& надъективны, существуют
такие элементы ха.€За, что я*'ха. = л:а. для любых i и
\<^i. Наша цель состоит в том, чтобы доопределить
элементы ха для всех а € А таким образом, чтобы для

142 ЛЕММА ОБ ОБРАТНЫХ ПРЕДЕЛАХ
любых индексов ос, р € А при а ^ р имело место равенство
B6) я&хэ = ха.
(Тогда семейство {ха} будет элементом множества lim Sa
и, значит, это множество будет не пусто.)
С этой целью мы для каждого a g А выберем единст-
единственный индекс -у,-, эквивалентный а, и рассмотрим соот-
соответствующее отображение /: Sv.—>-Sa, удовлетворяющее
для некоторого v^a, у,- соотношению / о п? = я?. (Заме-
тим, что в силу надъективности отображения л?, отобра-
отображение / единственно). Затем мы положим
Тем самым элементы ха будут однозначно определены
для всех а, и нам остается лишь показать, что для них
выполнено соотношение B6).
По определению
где у/ — индекс, эквивалентный E, а g: Hv —> Ер —
такое отображение, что для некоторого 7' ^ Р» У/ имеет
место равенство g о л^' = п%'. При этом, пользуясь тем,
что у' можно неограниченно увеличивать (если годится
у', то годится. и любое у'"^-у'), мы без ограничения
общности, можем считать, что v^Y- Более того, по тем
же соображениям можем считать, что у ^ ait a,.
Пусть сначала t<I/. Тогда имеет место—очевидно,
коммутативная—диаграмма
B7)
все стрелки которой, за исключением стрелок fug,
являются отображениями л. При этом, поскольку ото-
отображение л? надъективно, существует такой элемент

\ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ МАЙЕРА - ВИЕТОРИСА 143
.v:?3Y, что п\х-=ха. (и, значит, л? л;--л;а.). Поэтому
х =
При t ^ / в диаграмме B7) лишь обращается левая
вертикальная стрелка. В этом случае элемент х 6 3V надо
выбрать из условия п1,х = ха. (и тогда для него будет
иметь место равенство л«л; = ха ). В остальном выкладка
полностью сохраняется. ?
Вернемся теперь к полуточному функтору F, прини-
принимающему значения в категории GROUPS. Интересующие
нас сейчас его свойства в принципе не зависят, опреде-
определен ли этот функтор на категории conCWffn или на
категории conCW'op. Поэтому мы одновременно будем
рассматривать обе возможности.
Наша ближайшая цель будет состоять в обобщении и
усилении утверждения о точности последовательности
A6). При этом нам будет удобно пространства X и Y
обозначить через А и X, а отображение /: X —> Y —
через i: А—*Х. Последовательность A6) приобретет вид
где С (t) = С А и (X, и будет концом бесконечной влево
последовательности
B8) ... — F (S»+M) —-F (S'<C (i))—~F (S-X) —-
получающейся применением функтора F к коточной по-
последовательности Пуппе
B9) Л Л X -U С* (О Л SlA — ...
отображения i: A—>-X (см. формулу B6) Дополнения
к лекции 1.5).
Коточность последовательности B9), по определению,
означает, что для любого представимого функтора F

144 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ МЛЙЕРА - ВИЕТОРИСА
последовательность B8) точна. Однако на самом деле
последовательность B8) точна для любого гомотопически
инвариантного функтора F, удовлетворяющего аксиоме
MB (и, в частности, для любого полуточного функтора
F), поскольку по построению любой трехчленный отре-
отрезок последовательности B9) гомотопически изоморфен
некоторой последовательности вида A7) (см. Дополнение
к лекции 1.5) и, значит, отвечающий ему отрезок после-
последовательности B8) изоморфен (в категории ENS') соот-
соответствующей точной последовательности A6). (Естест-
(Естественно, что в случае, когда клеточные пространства А и
X конечны, достаточно требовать, чтобы функтор F удов-
удовлетворял аксиоме MBfin.)
Как уже выше было замечено, для любого полуточ-
полуточного функтора F: conCW'op—> ENS (или F: conCWf?np—<¦
—>¦ ENS) множества F (S4), q^\, являются группами. По
аналогичным соображениям являются группами все мно-
множества вида F (S X) (и вообще,—вида F(K), где К —
произвольная Н-когруппа). При этом, если F принимает
значения в категории групп, то F (S'X) будет группой
категории GROUPS и, значит, согласно общей лемме 3
из Дополнения к лекции 1.4, будет абелевой группой
(а обе групповые структуры на F (S'X) будут совпадать).
Таким образом, мы видим, что для полуточного функ-
функтора F, принимающего значения в категории групп, все
группы последовательности B8), за исключением послед-
последних трех групп, являются абелевыми группами.
В частном случае, когда i является корасслоением
(условие, автоматически выполненное для любой клеточ-
клеточной пары (X, А)), последовательность B9), как мы знаем
(см. Дополнение к лекции 1.5), гомотопически изоморфна
последовательности
где теперь / — отображение факторизации, a k — компози-
композиция гомотопической эквивалентности, обратной к отобра-
отображению факторизации С (()—•• С' (.)/С"Л = Х/Л, и отобра-
отображения k из последовательности B9) (являющегося отобра-
отображением факторизации С" (I)—>C* (j)/X = SM). Поэтому
в этом случае точная последовательность B8) изоморфна

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ МАЙЕРА — ВИЕТОРИСА 145
-последовательности
C0). ... -.FiS'+tA^F (S- (ХМ)) if^F (S"X) ^
которая, следовательно, также точна.
Пусть теперь нам дана клеточная триада (X; А, В),
состоящая из связных пунктированных пространств, для
которой X = А и В. Предполагая пересечение С — А П В
связным, мы наряду с точной последовательностью C0)
для пары (X, А) можем построить аналогичную точную
последовательность для пары (В, С). Во избежание пу-
путаницы отображения i, j, k для пары (X, А) мы обо-
обозначим символами ix, jx, kx, а для пары E, С)—сим-
С)—символами iB, /л, kB. Поскольку символы i, /, /г теперь
освободились, мы используем символ i для обозначения
вложения С—<¦ А, символ k для обозначения вложения
В —> X, а символ / для обозначения естественного ото-
отображения
В/С — XI А.
Кроме того, для упрощения формул мы для произ-
нольного пространства Z вместо F (SnZ) будем писать
F"Z и аналогично для произвольного отображения г вместо
(Snr)* будем писать г". (Таким образом, F° = Fn r° = r*.)
Все эти соглашения позволяют нам написать бесконеч-
бесконечную влево диаграмму
>F"{XlA)-^FnX-^
C1) |"н' ]/• J*"
-vf«E/C)-^F"B Л
Л ft"
It»
•й *в-1 /д
Д/г«С-1^^-1(В/С)—-
каждый квадрат которой коммутативен, а строки точны.
Легко видеть, что отображение /: В/С—+Х/А является
гомеоморфизмом. Поэтому все отображения /" представ-
представляют собой изоморфизмы (и, значит, для них определены
обратные изоморфизмы О""): Fn{B/C)—>Fn{XfA)).

148 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ МАЙЕРА- ВИЕТОРИСА
Считая все группы диаграммы C1) записанными ад-
аддитивно, мы для любого п ^ 0 определим отображения
ср": FttAQ)FnB—-FnC,
г|;п: FnX—*FnA®FaBt
д«: Fn+1C — F"X
формулами
Ф"(я, b)^ina — inBb, a?FnA, b?F"C,
¦tynx=(ixx, k"x), x?FnX,
Д" = #° (/»)-* о *g.
В результате мы получим бесконечную влево последо-
последовательность
C2) ...-+
(где Д —Д°, il)=i[)° и ф = ф°), называемую последователь-
последовательностью Майера — Виеториса триады (X; А, В) (по отно-
отношению к функтору F).
Заметим, что все отображения последовательности C2)
являются гомоморфизмами, за возможным исключением
отображения ф (в случае, когда группа FC неабелева).
Предложение 3. Для любого полуточного гомотопи-
чески инвариантного функтора F, принимающего значе-
значения в категории групп, последовательность Майера —
Виеториса C2) точна.
Доказательство. Точность в члене /'Мф
0f"B. По определению
(ф" о ¦ф") х = (in о /«) x—(i% о kn) х = О
для любого элемента x?FnX. Обратно, если ф" (а, Ь) = О,
т. е. i"a = i$b, то
О'" ° ^х) а = (^а ° '")а = №Г1 ° i%) Ь = О
и, значит, knx~la — 0 (ибо у" — изоморфизм). Поэтому
существует такой элемент х' ?FnX, что a — inxx'. При этом
(i"B о k") х' = (iB о (J) х' = t"a = iBb,
и, значит, существует такой элемент cgF"(B/C), что
jBc = b—knx'.
Мы положим

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ МАЙЕРА—ВИЕТОРИСА Н7
Тогда
inxx = inxx' = a и knx=k"x' + jnBc = b,
т. е. tynx = (a, b).
Точностьвчлен eFnX. По определению^" о Д")с=
- (i^A"c, knb.nc) для любого элемента c?Fn+1C. Но, так
как ix о kn = 0, то i? оД» = 0, а так как &п о /? = j% о /",
то А"оА" = /go?B = 0. Следовательно, г[)"оА" = 0. Обратно,
если г|Ух — 0, т.е. i^x —0 и &"л:—-О, то существует такой
элемент a?Fn (X/A), что Да^О, причем этот элемент
будет удовлетворять соотношению (/в о/") а — 0. Поэтому
существует такой элемент c^F"+1C, что k%c=j"a, т. е.
такой, что
А"с = 01 о (/«) -1 о ftg) с - \\а = л;.
Точность в члене F"+1C. По определению
(А" о ф«+!) (а, Ь) = (А" о i«+!) а - (А" о i"B+1) b
для любых элементов a€.Fn+1A и b?Fn+1B. Но
Д" о 1в+1= /? о (у)-1 о k% о j"+1 = /J о ^ = 0
и
А" О ig+1 = ]\ О (/»)-! OJIJO jg~» = 0.
Следовательно, Дпофп+1 = 0. Обратно, если А"с = 0,
c?Fn+1C, то существует такой элемент a^Fn+1A, что
A;'Jffl= ((Z") о Ад) с, т. е. такой, что
Поэтому существует такой элемент b?Fn+1B, что 1"вхЬ=
-in+1a — c, т.е. такой, что
c = in+la — i%+1b = ^n+1(a, b). [j
Предложение 3 справедливо как для функторов на
категории conCW'op, так и для функторов на категории
n>nCWjpnp (разумеется, в последнем случае пространст-
пространство X надо предполагать конечным).
Заметим, что точность последовательности C2) в члене
/V10F5 равносильна аксиоме MB (или MBfln).
Теперь мы уже можем вернуться к проверке для
функтора F аксиомы МВ^.
Проверка аксиомы МВ^ Пусть (связное и пункти-
пунктированное) клеточное пространство X разложено в объеди-

148 ЗАВЕРШЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ АДАМСА
нение двух (связных и пунктированных) клеточных под-
подпространств А и В, пересечение С = А О В которых конечно
(и связно). Пусть, далее, a?F(A) nb?F(B)—такие
элементы, что t
Нам нужно показать, что существует такой элемент
хф{Х), что
C3) . а = х\А, Ь = х\в.
С этой целью мы в первую очередь заметим, что мно-
множество всех конечных (и связных) подпространств про-
пространства А, содержащих подпространство С, конфиналыю
в множестве всех конечных подпространств этого про-
пространства, т. е. для любого клеточного (связного и пунк-
пунктированного) подпространства A'czA существует такое
конечное (связное и пунктированное) подпространство
A"czA, содержащее подпространство С, что А'сА" (го-
(годится, например, А" = А'[}С). Поэтому, без ограничения
общности, мы можем считать, что
где Аа пробегает все конечные (и связные) подпростран-
подпространства пространства А, содержащие подпространство С.
Аналогично, мы можем считать, что
где Вр пробегает все конечные (и связные) подпростран-
подпространства пространства В, содержащие подпространство С, и
F (X) = lira F (Хвр), где Хар = ЛаиВр.
Пусть, а=|аа}, гдеаа^(Ло), Ь = \Ьц\, где b^^F (Я,,),
и пусть 2ар—множество всех таких элементов хаР ? F (Хар).
что
хар |ла = аа и д;ар |вр = Ьр.
Так как функтор F удовлетворяет по условию аксиоме
МВ|1п, то все множества Еар не пусты.
Если Аа,сАа и 5p,cfip, то Xa,p,cXap, и потому
определено отображение F (Xap) —*¦ F (Xa-p'). Ясно, что
¦это отображение переводит Sap в Еа'р< и потому

ЗАВЕРШЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ АДАМСА 149
индуцирует некоторое отображение
C4) j$p: SaP —SaT.
Обратный предел lim Sap множеств Sap относительно этих
отображений является, очевидно, подмножеством множе-
множества HmF (Xa.p)-=F (X), состоящим из элементов х, удов-
удовлетворяющих соотношениям C3). Поэтому нам нужно
только доказать, что этот обратный предел не пуст.
В силу леммы 6 для этого достаточно доказать сле-
следующие три утверждения:
а. Множество А всех пар ар направленно (имеется
в виду, что оф < а'Р', если ХарсХа'р').
б. Отображения C4) надъективны.
в. Множество А счетно.
Впрочем, утверждение а очевидно (любые два конеч-
конечных подпространства содержатся в некотором конечном
подпространстве, например в их объединении). Поэтому
в доказательстве нуждаются лишь утверждения бив.
Доказательство утверждения б. Пусть, как
и выше, Аа,с:Аа, Бр,с5р. Рассмотрим коммутативную
диаграмму
F(SC)--FXap ^FAa@FBfi
1= д i I
F (Sq -Z FXa.b. -Z FA;. 0 Ffip.
вертикальные стрелки которой индуцированы вложениями,
а строчки являются отрезками последовательностей Майе-
ра — Виеториса триад (Хар; Аа, Яр) и (Ха-р; Аа>, Вр-)
(заметим, что для обеих триад пересечения Ап n Bfi и
Ла'ПрУ совпадают с пространством С — А(]В). По опре-
целению множество Зар состоит из таких элементов х?
€F{Xap), что ¦$СфХ=(аа, Ьр), множество Sa<p<— из таких
элементов х' €Р(Ха'р), что tya'p-x' = (aa'. V)» а отобра-
отображение C4) индуцировано вложением Xa-p» —*-Xap. По-
Поскольку ах[ла, = аа' и 6р1вр, ="&р'1 отсюда следует, что
для любых элементов х 6 Зар и х' € Sa'p- имеет место
равенство

|50 ЗАВЕРШЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ АДАМСА
Поэтому существует такой элемент yf-F (SC), что А
—х'—л%%,х. Но тогда
и, значит, отображение л??р, надъективно. ?
Доказательство утверждения в. Согласно
теореме 1 из Дополнения к лекции 2 для любой триады
(X; А, В) с конечным X и любого я^О множество всех
гомотопических классов отображений S"A —>¦ S"C счетно
(возможно, конечно). Поэтому (см. диаграмму C1)) для
гомоморфизма i": FnC —*¦ F"A имеется только счетное число
возможностей. По аналогичным сосбражениям, счетное
число возможностей имеется и для гомоморфизма i%\ FnB —«-
-+FnC, а потому и для гомоморфизма ф": FnAQ)FnB —>-
—>-FnC. Значит, для подгруппы 1тф" группы FC" также
имеется лишь счетное число возможностей.
Пусть, в частности,
Ф^р: F (SAa) © F EДР) -* F (SC)
— гомоморфизм ф1 из последовательности Майера — Вие-
ториса триады (Хар", Аа, Вр). Тогда для подгрупп 1тф^р
группы F1C = F(SC) будет иметься счетное число воз-
возможностей, т. е. множество этих подгрупп будет счетно.
Поэтому для доказательства утверждения b достаточно
доказать, что элементы сф и а'Р' множества А эквива-
эквивалентны тогда и только тогда, когда Im ф?р= Im ф^р,.
Но, по определению, элементы afi и а'|3' множества А
тогда и только тогда эквивалентны, когда существует
такой элемент уб, что, во-первых, оф^уб, a'P'^yfi
^Т. с. /1аС^/1у, Op1— Oft и /ia'Ci/i'y, ?)p't_Dej И, ВО-BIO-
рых, имеет место коммутативная диаграмма вида
C5)
где /—некоторое биективное отображение. Поэтому нам
нужно только доказать, что равенство Im Фар= 1тф?/р'
является необходимым и достаточным условием сущест-
существования диаграммы вида C5).

v ЗАВЕРШЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ АДАМСА 151
Пусть диаграмма C5) существует. Дополним ее до
диаграммы
F (SAa) 0 F (SB,) -к F (SQ -^ FXap =, SaB
t t- д ! \<
C6) li
д
f EЛа,Hf (SB?) -Z F {SC) -Z
строчки которой являются отрезками последовательностей
Майера — Виеториса соответствующих триад, а вертикаль-
вертикальные стрелки индуцированы вложениями. Для любого эле-
элемента w?F (SAj)(?)F (SBp) в группе F (Xap) имеет место
равенство (ДаРоф^р)а; = 0, а, значит, и равенство
Поэтому для любого элемента х g Sv6 элемент
также «принадлежит множеству Eve. При этом
nl%, (х + (Ду6оФ^) w) = (/оя^) (д;+ (Ау6о<?^) w) =
и, значит, образ (Дув°Ф^р) ^ 1хв,„, элемента
и группе F (Xa,p,) также равен нулю. Следовательно,
и потому существует такой элемент w' € F (SAa') (B (^)
что Фа'р'йУ' = Фар^- Таким образом, 1тфа,р,с:1тфар и по
симметрии Im ф^р, = Im ф„р.
Обратно, пусть 1тфа'р' = 1тфар. Положив Л7=Лаи Ла,
и Be = BpU5p,, снова рассмотрим диаграмму C6) (без
отображения /). Поскольку, как мы уже знаем, отобра-
отображения C4) надъективны, для любого элемента x^Sap
существует такой элемент у ? Н^д, что ril^y — x. Если
у'—другой элемент множества а7в, отображающийся в
элемент х, то отображение
m:i последовательности Майера —Виеториса триады (Х7в;
Av, В6) будет переводить разность у—у' в нуль. Поэтому
будет существовать такой элемент e?F(SC), что Ау&с —
у —у'. Для этого элемента- ДарС = 0 и, значит, eg
? 1тфар= 1шф„^. Следовательно, существует такой

152 ПОЛУТОЧНЫЕ ФУНКТОРЫ НА КАТЕГОРИИ CW
элемент и' ? F (SAa')®F (S5P<)> что ф^р<ы' = с. Таким
образом,
у = у'+ (Ау6оц>1,&,) и'
и, значит,
Поэтому формула
корректно определяет отображение /, замыкающее диа-
диаграмму C6), т. е. удовлетворяющее соотношению /ол?$-^
По симметрии существует и отображение /': Ва,р, — ¦>
—¦ Sap, удовлетворяющее соотношению f'on$p = n$fa. Но
тогда
что ввиду надъективности отображения л2$ возможно
только при /'o/ = id.
Аналогично доказывается, что /o/' = id.
Таким образом, отображение /, замыкающее диаграм-
диаграмму C6), биективно, и, значит, индексы сер и а'р" экви-
эквивалентны.
Тем самым утверждение в полностью доказано, и,
значит, функтор F удовлетворяет условию МВЛ
Доказательство теоремы 2 закончено. ?
Следующей категорией, которую мы хотим рассмот-
рассмотреть, является категория CW всех (непунктированных)
клеточных пространств (или, точнее, соответствующая
гомотопическая категория [CW]).
В этой категории копроизведениями являются дизъюнкт-
дизъюнктные объединения,, и потому для функторов F: CW°P —¦*
—* ENS аксиома букета Б заменяется следующей аксио-
аксиомой дизъюнктного объединения:
ДО. Для любых клеточных 'пространств Ха и их
дизъюнктного объединения X = LJ Xa отображение
а,
F(X)-*UF(Xa),
а
заданное формулой
биективно.

ПОЛУТОЧНЫЕ ФУНКТОРЫ НА КАТЕГОРИИ CW 153
Что же касается аксиомы MB (или А), то ее форму-
формулировка остается прежней (и потому мы ее повторять
не будем).
Таким образом, гомотопически инвариантный функ-
функтор F: CWop—>-ENS полуточен, .если он удовлетворяет
аксиомам ДО и MB (или А).
Как и в предыдущих случаях, гомотопически инва-
инвариантный функтор F: CWop—<-ENS мы будем называть
представимым, если он представим как функтор на кате-
категории [CW].
Оказывается, что в отличие от категории conCW",
на категории CW существуют непредставимые гомото-
гомотопически инвариантные полуточные функторы.
Следующий пример принадлежит Хеллеру.
Пример 1. Для любого связного клеточного •про-
•пространства X и любой его точки хп ? X множество всех
инвариантных подгрупп группы ях (X, хв) не зависит от
точки х0 (точнее, в различных точках эти множества на-
находятся в естественном биективном соответствии). Мы
будем обозначать его символом рХ.
Любому непрерывному отображению /: X—>¦ Y связ-
связных пространств мы отнесем отображение /*: pY —»-рХ,
сопоставляющее инвариантной подгруппе Ясл^У, г/0) ее
полный прообраз f~lH при отображении /»: л1 (X, лг0) —*
-+п1(У, у0), индуцированном отображением / (мы пред-
предполагаем точки х0 и (/„"выбранными так, чтобы f(xa)~y0).
Ясно, что соответствия Xi—>рХ, />—>/* составляют гомо-
гомотопически инвариантный контравариантный функтор р:
conCWop—->- ENS, определенный на категории conCW
связных клеточных пространств. Мы распространим его
на всю категорию CW, полагая для любого несвязного
пространства X
где Ха пробегает все компоненты пространства X, и соот-
соответствующим образом определяя отображения f*.
Если бы функтор р был представим, то для любого
связного пространства. X индексы инвариантных подгрупп
ого фундаментальной группы (и, в частности, мощность
самой фундаментальной группы), были бы ограничены
наибольшей из мощностей фундаментальных групп ком-
компонент соответствующего классифицирующего простран-
пространства К, что, конечно, невозможно (фундаментальной труп-

154 ПОЛУТОЧНЫЕ ФУНКТОРЫ НА КАТЕГОРИИ CW
пой клеточного пространства может быть группа произ-
произвольной— сколь угодно большой — мощности). Поэтому
функтор р непредставим. Вместе с тем можно показать,
что функтор р полуточен. [Прямое доказательство тре-
требует общей формулы, выражающей группу пх (A U В) через
группы л^, пгВ и iti (Л П S) в случае, когда пересечение
А П В не обязательно связно, т. е. в случае, когда тео-
теорема Зейферта—ван Кампена (см. Дополнение к лек-
лекции 1.6 и ниже предложение 4 лекции 9) непосредственно
неприменима. Чтобы обойти эту трудность, Хеллер дока-
доказывает полуточность функтора р другим способом. Имен-
Именно, он показывает, что на любой подкатегории CW,
объекты которой составляют множество (такие подкате-
подкатегории называются малыми), функтор р представим, что,
как легко видеть, обеспечивает его полуточность на всей
категории CW. Доказательство требует теоретико-груп-
теоретико-групповых конструкций, изложение которых увело бы нас
слишком далеко в сторону (кстати сказать, те же кон-
конструкции нужны и для описания группы пг {A U В) при
А П В несвязном)].
Однако оказывается, что (как и в случае категории
conCWf'|n) для функторов, принимающих значения в кате-
категории групп, такой пример невозможен.
Теорема 3. Любой гомотопически инвариантный по-
полуточный функтор
F: CW°p—-GROUPS,
принимающий значения в категории -групп, представим.
Эта теорема также принадлежит Хеллеру. Как и
в аналогичной теореме Адамса, в теореме 3 функтор F:
CWop—+ GROUPS называется полуточным (соответственно
представимым), если, полуточна (соответственно предста-
вима) его композиция с функтором игнорирования
GROUPS— ENS.
Для доказательства теоремы 3 в первую очередь не-
необходимо получить для функторов на категории CWop
аналог точной последовательности C0). При этом, по-
поскольку нам понадобится лишь начальный отрезок этой
последовательности, мы ограничимся лишь им. Построе-
Построение же всей последовательности мы оставим читателю.
(Фактически нужно шаг за шагом повторить построение

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПУППЕ
155
последовательности C0) и убедиться, что переход к не-
пунктированным пространствам никаких новых ослож-
осложнений не вносит.)
Пусть (X, А) — произвольная клеточная пара (факти-
(фактически достаточно требовать, чтобы (X, А) была парой
Ьорсука, но мы не будем сейчас на этом останавливаться).
Поступая по аналогии со случаем пунктированных
пространств, введем в рассмотрение последовательность
вложений
C7\ А —¦¦* X —*¦ С (i) —
С(i)-CA(jX—конус (неприведенный) вложения i,
C(j) — CX U C(i) = CX U С А — конус вложения /,
С (к) = СС (() U С (/) = CCA U СХ — конус вложения k
(см.. рис. 6).
Так как конус СА стягиваем, то (см. лемму 6 лек-
лекции 1.4) отображение факторизации С (i)—*C(i)jCA
является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью. Поэтому гомотопической
эквивалентностью будет и его ком-
композиция C(i)+— X/A с естественным
гомеоморфизмом C(i)/CA —> XI А.
Аналогично, гомотопическими
эквивалентностями будут композиция
C(})—*SA отображения факториза-
факторизации С (/)—>'С (/)/СХ с естественным
гомеоморфизмом C(j)/CX -^SA и
композиция С (к) —* SX отображения
факторизации С {к) —> С (к)/ССА с
естественным монеоморфизмом
C(k)/CCA—>-SX. Поэтому последо-
последовательность ч C7) гомотопически
эквивалентна последовательности
C8)
где /, k и / обозначают композиции отображений /, k и I
из последовательности C7) с соответствующими гомотопи-
гомотопическими эквивалентностями (и с отображениями, им обрат-

156 ТРИВИАЛЬНАЯ ГРУППА КОЭФФИЦИЕНТОВ
ными). При этом легко видеть, что отображение I из
последовательности C8) гомотопно вложению Si: SA—^SX.
Следовательно, применив к последовательностям C7)
и C8) произвольный гомотопически инвариантный функ-
функтор F: CW°p—* GROUPS, мы получим изоморфные по-
последовательности групп.
С другой стороны, применив функтор F к первым трем
членам последовательности C7), мы получим последова-
последовательность
C9) F(C(i))-^FX-^FA,
аналогичную последовательности A6). Так как доказатель-
доказательство точности последовательности A6) опиралось только
на аксиому MB (или, точнее, на равносильную аксиому А)
и так как аксиомы MB для категорий CW и CW иден-
идентичны, то для любого функтора F: CW°p —> GROUPS,
удовлетворяющего аксиоме MB (и, в частности, для лю-
любого полуточного функтора F) последовательность C9)
точна в члене FX. Но каждый трехчленный отрезок по-
последовательности C7) является начальным отрезком ана-
аналогичной последовательности, построенной для соответ-
соответствующего вложения. Поэтому последовательность групп,
получающаяся применением функтора F к последователь-
последовательности C7), точна в каждом члене (кроме, естественно,
первого). Поэтому точна и последовательность
/см* ь* /* /¦
D0) ... — F (SX) --U F (SA) — F (XlA) -U.FX -> FA,
получающаяся применением функтора F к последователь-
последовательности C7).
Тем самым доказано, что для любой клеточной пары
(X, А) и любого полуточного функтора F: CWop—«-GROUPS
имеет место точная последовательность D0).
Группу F(pt), где pt —одноточечное пространство, мы
будем называть группой коэффициентов полуточного функ-
функтора F: CW°p-> GROUPS.
В первую очередь мы рассмотрим случай, когда эта
группа тривиальна (состоит только из единичного эле-
элемента). Так как, согласно аксиоме ДО, для любого дис-
дискретного пространства А группа F (А) является прямым
произведением групп F (pt) (в числе, равном мощности
прЪстранства А), то из равенства /?(pt)=l следует, что
F(A)=\ для любого дискретного пространства А. [Для

ТРИВИАЛЬНАЯ ГРУППА КОЭФФИЦИЕНТОВ 157
групп F(X) мы здесь —и ниже— пользуемся мульти-
мультипликативной записью.]
Пусть F'—функтор conCWop—>- ENS, являющийся
композицией функтора игнорирования отмеченных точек
conCW'op —*-conCWop, функтора вложения conCWop—<¦
—>CWop, полуточного функтора F: CWop—.-GROUPS и
функтора игнорирования GROUPS— > ENS. (Впрочем,
иногда для упрощения формулировок мы будем опускать
последний функтор, т. е. будем считать, что функтор F'
принимает значения в категории GROUPS.)
Лемма 7. Если F(pt)= 1, то функтор F' полу точен.
Доказательство. Поскольку функтор F' очевид-
очевидным образом удовлетворяет аксиоме MB, в проверке нуж-
нуждается лишь аксиома Б.
Пусть {(Ха, ха)} — произвольное семейство связных
пунктированных клеточных пространств, X = \jXa —дизъ-
—дизъюнктное объединение пространств Ха и А—его дискрет-,
пое подпространство, состоящее из вершин ха. Подпро-
Подпространство А является, очевидно, ретрактом (не деформа-
деформационным!) пространства X (чтобы получить ретракцию г:
X—у А, достаточно каждую компоненту Ха простран-
пространства X отобразить в соответствующую точку ха) и, зна-
значит, пространство SA — ретрактом пространства SX (с ре-
трагирующим отображением Sr: SX—+ SA). Поэтому для
гомоморфизма (Si)* из'точной последовательности D0) будет
иметь место равенство (Si)*о(Sr)* = id, показывающее, что
этот гомоморфизм является эпиморфизмом. Следовательно,
и силу точности последовательности D0) гомоморфизм /•
будет мономорфизмом.
С другой стороны, так как F(A) = \, то этот гомо-
гомоморфизм является эпиморфизмом и, значит, изоморфизмом.
Таким образом, F (X) « F (Х/А).
Но X/A = WXa, а в силу аксиомы ДО группа F (X)
изоморфна группе V\F(Xa). Следовательно, группа
F (Х/А) = F' (Х/А) = F' (VXa) также изоморфна группе
П/?(ХС6), т. е. функтор F' удовлетворяет аксиоме Б. ?
Следствие. Если /r(pt) = l, то функтор F предста-
представим.
Доказательство. Так как при F (pt) = 1 функ-
функтор F' полуточен, то, согласно тзореме Брауна, он пред-
представим, т. е. существует такое связное пунктированное
пространство /С, что [X, К]' ~ F' (X) для любого пунк-
пунктированного пространства X. Поскольку множество

158 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ХЕЛЛЕРА
F'(X) = F(X) является группой, пространство К должно
быть при этом Н-группой и, значит (см. лекцию 1.4),
множество [X, К]' пунктированных гомотопических клас-
классов совпадает с множеством [X, К] свободных гомотопи-
гомотопических классов. Таким образом, F(X)&[X, К] для лю-
любого связного клеточного пространства X. Но тогда в силу
аксиомы ДО
[Х, К]
и для любого клеточного пространства X = 1_|Ха (где Ха —
компоненты пространства X). Значит, функтор F пред-
представим. D
Теперь у нас уже все готово для доказательства тео-
теоремы 3.
Доказательство теоремы 3. Пусть л0—функ-
л0—функтор CW —¦* CW, сопоставляющий произвольному клеточ-
клеточному пространству X множество л„Х его компонент, рас-
рассматриваемое как дискретное (= нульмерное) клеточное
пространство. Выбрав в каждой компоненте Ха простран-
пространства X по вершине ха, мы вложим л0Х в X, отождествив
компоненту Ха с ее вершиной ха. Тогда пространство л0Х
окажется дизъюнктным объединением одноточечных про-
пространств ха, и потому, согласно аксиоме ДО, группа
F (п0Х) будет естественно изоморфна произведению FV (ха)
групп F (ха). С другой стороны, это произведение естест-
естественным образом отождествляется с множеством всевоз-
всевозможных отображений X—>G, rfleG = F(pt), т. е. —в пред-
предположении, что группа G снабжена дискретной тополо-
топологией—с множеством гомотопических классов [X, G] =
=G* (X). Это означает, что функтор Fon0: CW°p—>GROUPS
естественно изоморфен функтору G*, т. е. функтор Fол0
представим (группой G).
Введем теперь в рассмотрение функтор Fo: CWop-+
—у GROUPS, сопоставляющий произвольному клеточному
пространству X ядро Fu (X) гомоморфизма i*: F(X)—*
—*F(n0X), индуцированного вложением i: л0Х—*Х.
Автоматическая проверка показывает, что функтор Funo-
луточен и обладает тем свойством, что Fo (pt) = 1. Поэтому,
согласно следствию из леммы 7, функтор Fo представим.
Пусть Ко—соответствующее классифицирующее простран-
пространство (являющееся, конечно, Н-группой).

ДРУГИЕ КАТЕГОРИИ 159
Так как roi=id, где г: X—>-я0Х— ретракция, сопо-
сопоставляющая каждой точке х ? X вершину ха содержащей
эту точку компоненты Ха пространства X, то отображе-
отображение г*: F (я„Х) —>¦ F (X) является мономорфизмом и опре-
определяет разложение группы F (X) в полупрямое произве-
произведение инвариантной подгруппы /*(Х) и подгруппы Imr*,
изоморфной группе F (я0Х) х- G* (X). Таким образом, как
функтор в категорию множеств, функтор F является пря-
прямым произведением представимых функторов Fo и Fon0.
Поэтому функтор F также представим, причем соответ-
соответствующим классифицирующим пространством будет про-
произведение KoxG (но структура Н-группы на KoxG не
будет прямым произведением структур Н-групп на Ко
и G). ?
Заметимте заключение, что для категорий, отличных
от трех рассмотренных (conCW, conCW|in и CW), ника-
никаких теорем представимости, не сводящихся тривиальным
образом к теоремам 1—3, по-видимому, не известно.
В частности, ничего не известно о представимости
функторов на категории CWop (даже принимающих зна-
значения в категории групп). Напротив, легко видеть, что
любой полуточный функтор CWfjft —*- GROUPS представим
(пространством категории CW). [Для доказательства до-
достаточно повторить доказательство теоремы 3, заменив
ссылку на теорему Брауна ссылкой на теорему Адамса.]
Для функторов на категории conCWop из условия полу-
полуточности смысл имеет лишь аксиома MB (в категории
conCW нет копроизведений). Вместе с тем непосредствен-
непосредственная проверка показывает, что любой функтор F: con CWop—*¦
--•-GROUPS, удовлетворяющий аксиоме MB, распростра-
распространяется по формуле
F(X) = riF(Xa) (Xa—компоненты X)
а
до полуточного (и, значит, представимого) функтора F'.
CWop —* GROUPS (ср. выше построение функтора р в при-
примере 1). Поэтому каждый удовлетворяющий аксиоме MB
функтор con CWop —>¦ GROUPS представим (но, вообще
говоря, несвязным пространством).

ЛЕКЦИЯ 4
Гомотопические операции.— Многоместные гомотопиче-
гомотопические операции.— Гомотопические группы букетов.— Адди-
Аддитивные гомотопические операции.— Умножение Уайтхе-
да.— Алгебраические свойства умножения Уайтхеда.
Определение 1. Гомотопической операцией типа (п;г),
где п, г^1, называется произвольный морфизм функто-
функторов (естественное преобразование)
0: л„ — пг,
т. е. правило, сопоставляющее каждому пунктированному
пространству Х- такое отображение 0: п„Х —> лгХ (не
являющееся, вообще говоря, гомоморфизмом), что для
любого пунктированного отображения /: X —> Y имеет
место коммутативная диаграмма
л„Х -* пгХ
Относительно очевидной операции сложения {Q^l-Q^.
Р I—> 0гр + 02Р для любого элемента Р ? л„Х) множество
О (п; г) всех гомотопических операций типа (л; г) является,
очевидно, группой (при г> 1 абелевой).
Так как nrS" — [Sr, S"]' и я„Х = [5", X]', то для любых
элементов a?nrS", р^я„Х определен элемент РоабпгХ,
задающийся отображением gof: Sr —* X, где /: Sr —* 5'
и g: S" —>- X — отображения, задающие элементы а и р1
соответственно. Мы будем называть элемент Роа компо-
композиционным произведением элементов аир. (При г = п и
X = S" это произведение мы фактически уже рассматри-
рассматривали в лекции 2; см. формулу A0) лекции 2).
Для любого фиксированного элемента а^лг5' отобра-
отображение ва: рь->Роа является, очевидно, гомотопической
операцией (коммутативность диаграммы A) вытекает из
ассоциативности операции компонирования отображений).
Так как Роа есть не что иное, как g^(a), то для любых
элементов a^ a,2?nrSn имеет место равенство

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ 161
(правая дистрибутивность композицион-
композиционного умножения), означающее, что 6ai4a> = 6ai + 9a2,
т. е. что отображение
B) nrSn-+O(n; г), ссн->9а,
является гомоморфизмом.
Замечательно, что отображение B) представляет собой
изоморфизм, т. е. что любая гомотопическая операция 6
типа (п; г) единственным образом представляется в виде
0а, где agjtr5". Действительно, при Х = 5" операция 9
переводит группу nnSn в группу nrSn и, значит, элемент
in^jinSa в некоторый элемент Qin?KrS". Тем самым воз-
возникает отображение
C) O(n;r)-+nrS», G^0in,
группы О (я; г) в группу nrSn. Поскольку OaiH = inoa = a,
композиция a i—»¦ 9а *—» 9ain отображений B) и C) является
тождественным отображением. Пусть a = 9in, и пусть
Г> = [#: S"—>Х]"€я„Х. Диаграмма A) для отображения g
имеет вид
nnSn Л яг5"
?,[ о !«•
лпХ —>- лгХ
а так как P = g'*iB, то
вр = в (^1„) = А @1„) = gr, (a) = poa = 0ap,
г. e. 9 = 0a. Это означает, что композиция в*—*• 9inь->9а
отображений-C) и B) также является тождественным ото-
отображением. Следовательно, отображения B) и C) пред-
гтавляют собой'взаимно обратные изоморфизмы. П
Если 9 = 9а, то мы будем говорить, что элемент а ? nrSn
представляет гомотопическую операцию 9gO(n; r).
Замечание 1. Доказанное утверждение имеет на
глмом деле чисто категорный характер. Именно, дословно
то же самое рассуждение показывает, что для любого
функтора G: A—^ ENS из произвольной категории А в ка-
кате горию^множеств ENS и любого объекта А категории А
лорфизмы 9: FA—+G в функтор G функтора FА: Х\—>
1—> А (А, X), представленного объектом А, находятся в би-
биективном соответствии с множеством G(A), причем
н.чаимно обратные биективные отображения
Мог (FA, G)-^G(A) и G (А) — Мог (FA, G),
^ М. М. Постников

162 МНОГОМЕСТНЫЕ ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
где Мог (FA, G)—множество всех морфизмов 0: F A —>-G,
задаются формулами 0<—»-0(id), id: A-+A, и ак-*-Оа1
где Gap = G(P)a для любого Р: А-+Х из FA(X).
Таким образом, описание всех гомотопических опера-
операций сводится к вычислению групп nrSn. Уже это одно
оправдывает наш особый интерес к этим группам.
В частности, мы видим, что при г < п не существует
ненулевых гомотопических операций типа (п; г).
При г — п любое целое число k?Z определяет опера-
операцию Pb-»fep умножения на k. Оказывается, что этими опе-
операциями исчерпываются все гомотопические операции типа
(п\ п). Поскольку любой элемент a^nnSn имеет вид kin,
где in = [id]' — образующая группы nnSn, а k?Z, это
утверждение является лишь иной формулировкой сле-
следующего предложения:
Предложение 1. Для любого элемента р ? япХ имеет
место равенство
Иными словами, элемент kin представляет операцию умно-
умножения на k.
Доказательство. Умножение на k переводит эле-
элемент in в элемент hn и потому совпадает с опера-
операцией 6kln. D
Предложение 1 означает, что если отображение f: S" —>¦
—»¦ Sn имеет степень k, то для любого пунктированного
отображения g: S" —* X составное отображение go f\ Sn ¦—<- X
задает элемент Щ группы я„Х, где р—элемент, задавае-
задаваемый отображением g. Например, если отображение f имеет
степень —1 (скажем, является обращающим ориентацию
диффеоморфизмом), то отображениеgof задает элемент — р.
Можно рассматривать гомотопические операции и от
нескольких аргументов.
Пусть щ, .... п„ л> 1.
Определение 2. Гомотопической операцией типа
(nlt ..., ns; г) называется произвольный морфизм функ-
функторов
0: jtBix...XJtn,->jtr.
Для любого пунктированного пространства X эта опера-
операция относит произвольным элементам р1?лп,^> •••
.... Р, € яя^Х некоторый элемент 0 фг $s) g ягХ, при-
причем для любого пунктированного отображения f: X —*¦ У

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ БУКЁТОЁ 163
имеет место равенство
/.6A3,, .... р,)-е(/.р* Ш-
Каждый элемент а ? nr (Sn> V • • -\/Sns) определяет опе-
операцию 6а, сопоставляющую элементам р\ = [gi: S —+¦ X]' 6
?лЛ1Х, ..., $s = \gs: S"s —>¦ X]'?nnsX гомотопический
класс 9а (p\, ..., р'^^я^Х отображения
fexV...Vff,W: S' — X,
где /: Sr —> S"'V- • .\/Sns—отображение, задающее эле-
элемент a, и уже известное нам рассуждение (или прямая
ссылка на замечание 1) показывает, что любая гомото-
гомотопическая операция 6 типа (пи ..., ns\ r) единственным
образом представляется в виде Ьа,гдеа^пг (Snt V • • • V Sns).
Таким образом, описание многоместных гомотопических
операций сводится к вычислению гомотопических групп
букетов сфер.
Рассмотрим сначала гомотопические группы букетов
в общей ситуации. Для простоты будем считать, что s = 2
(случай s>2 сложнее лишь в обозначениях).
Нам понадобится следующая алгебраическая лемма:
Лемма 1. Если для точной последовательности
A "r R Ьг Г Cr A
абелевых групп существуют такие гомоморфизмы
sr: Cr—с Вг, что &rosr = id, то эта последовательность
распадается в серию коротких точных последовательностей
а каждой из которых группа Вг изоморфна прямой сумме
групп Аг и В/.
D f == /if ^\~y I-*/"
Доказательство. Так как brosr = \d, то отобра-
отображение Ьг является эпиморфизмом. Поэтому сг — 0 и, зна-
значит, отображение аг является мономорфизмом. Это дока-
доказывает первое утверждение. Второе утверждение выте-
вытекает из того, что для короткой точной последовательно-
последовательности D) гомоморфизм sr является расщепляющим гомо-
гомоморфизмом (см. Дополнение к лекции 1.5). D
6*

1G4 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ БУКЕТОВ
Следствие 1. Если пунктированное расслоение
р: (Е, eQ) —>¦ (В, Ьо) обладает сечением s: (В, Ьо) ¦— (?, е0), то
nrE = nrF © пгВ для любого г ^ 1,
где, как всегда, F — р~1 (Ьо) — слой расслоения р.
Доказательство. Достаточно применить лемму 1
к гомотопической последовательности расслоения р, при-
принимая за sr гомоморфизмы я,В —> пгЕ, индуцированные
сечением s. D
Следствие 2. Для любых пунктированных про-
пространств X и Y имеет место изоморфизм
Доказательство. Расслоение prx: XxY—*X,
(х, у) >->х, обладает сечением inx: X —-»¦ X X.Y, х*-+ (х, у0).,.;
Заметим, что в условиях следствия 2 изоморфизм
nr (XxY)—*ягХфлгУ' задается соответствием
Р«->(рг„Р,
где pr^ XxY—>-X и рг2: X х Y —* У — эпиоморфизмы
(х, у)*—*-хи (х, y)t~*-y,a обратный изоморфизм ягХфя, Y—*
—>¦ яг (X х У) — соответствием
(а, у)е-*-inwa + т2,-у. а,?лгХ, y?nrY,
где iiv X—>ХхУ и in.,: У —>¦ XхУ — монеоморфизмы
х\-*-(х, у0) и f/i—>(x0, t/). По определению (см. Дополнение
к лекции 1.5, подстрочное примечание на стр. 232) это
означает, что прямое разложение* пг (X х У) = пгХ ф пгУ
задается инъекциями тш тг, и проекциями рг^, рг2*.
В частности, отсюда следует, что в группе яг(ХхУ)
имеет место соотношение
Замечание 2. Легко видеть, что следствие 2
справедливо и при г=1, хотя группы яхХ и njf, вообще
говоря, и неабелевы.
Предложение 2. Для любых пунктированных прост-
пространств X и У при каждом г ^ 1 имеет место короткая
точная последовательность
а при г ^ 2 — изоморфизм
E) яг(ХуУ)-п,ХфягУ©яг+1(ХхУ, XV У).

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ БУКЕТОВ 165
Доказательство. Рассмотрим отображения
«VX — Xyy, jd-*(x, у,),
it: Y-+XVY, у^(х0, у),
связанные с введенными выше отображениями inx и in2
соотношениями ioij_ = irii, ioi2 — in2, где i: X V У—*Х x F—
нложение, и гомоморфизм
s: n
определенный формулой
Так как
i.os = in^oprj. + in2«opr2« = id,
то гомотопическая последовательность
.. .—яг+1 {XxY, X V Y) — nr (X V У)-^я, (ХхГ)^>
-*nr(XxY, XVY)-+...
пары (XxF, X V Y) удовлетворяет условиям леммы 1
(при ar-r--d, br---=i,, cr-•¦-/» и sr^s). Это, если учесть еще
следствие 2, доказывает предложение 2 при г ^2. Слу-
Случай г --- 1 мы оставим читателю. ?
Замечание 3. Группа ях(Х\/^) является не пря-
прямой суммой, а свободным произведением n1XLJ^1K.групп
л^Х и яхУ\ См. Дополнение к лекции 1.6.
В разложении E) слагаемые вкладываются в группу
зт.г (X V Y) посредством, соответственно, мономорфизмов
/,», г2* и E-. Для упрощения обозначений мы для эле-
элементов а^ЯгХ и a2gnrK положим
Тем самым каждый элемент группы лг (X V Y) будет
однозначно записываться в виде суммы
F) а; +
где аг^пгХ, а2€ягГ и р€лг+1(ХхГ, XV^)-
Если X и К являются клеточными пространствами
(обладающими тем свойством, что их произведение XxY
также является клеточным пространством) и если про-
пространство X клеточно (п — 1)-связно, а пространство Y
клеточно (т — 1)-связно (где п, т>0), то наименьшая
размерность клеток из XxY\X\/Y будет равн п-\-т

166 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ БУКЕТОВ
и, следовательно (см. следствие 3 теоремы 1 лекции 2),
пара (XxY, X\/Y) будет (п + т — 1)-связной парой.
Этим доказано
Следствие, Если клеточные пространства X и У
соответственно клетонно (я—1)-и (т—\)-связны, то
G) пг(Х V У) = я,ХфлгГ при г<п + т— 1. ?
Замечание 4. Разложение G) на самом деле имеет
место для любого гладко пунктированного (л— 1)-
связного пространства X и любого гладко пунктирован-
пунктированного {т— 1)-связного пространства Y.
В случае X-=S" и Y — Sm разложение E) приобре-
приобретает вид
(8) nr (S«VSm)=n,S"©nrS'»©nr+1 (Sax$m,S*\/Sm).
В этом случае сумму F) можно переписать в более удоб-
удобном виде.
Пусть i' ? пп (S" V Sm) — гомотопический класс отобра-
отображения tx: Sn —* Sa V S, x*~*xv. Тогда, по определению,
a'1--—i1^x,1 — i'oct1 для любого элемента а1$лг5л. Анало-
Аналогично, если i" С пт (Sn V Sm) — гомотопический класс ото-
отображения i2: Sm—>-Sn\/Sm, лп-э-лгц, то аа~Гоаа для
любого элемента ос2 gn^S"". Следовательно, при X — S"
я Y—Sm разложение F) произвольного элемента группы
nr (S" V S) имеет вид
(9) i'oo1 + i('o
где a^JtiS", о^я^" и C ?nr+1(S"xSm, S" \/ Sm).
Элементы i' и i" обладают тем важным свойством,
что для любых элементов р\ ? л„Х w Ра ? птХ существует
такое отображение /: S" у Sm—+ X, что /»i' — filt /*t"=P2.
Действительно, если р\ == [Д: S" —> X]* и р„ = [/,: Sm -+ К]',
то годится отображение / — /х V/2- D
Это свойство называется свойством универ-
универсальности элементов i/ и i".
Из него следует, что для любой гомотопической
операции 0 типа («, т; г) имеет место равенство 0 (р^, |32) =
= /i0 (i', i"). Это означает, что операция 9 представляется
элементом Q (i\ i") €я, (S" V 5m).
При n==m оба элемента i' и i" принадлежат одной
группе пп (S" V 5'")> и. следовательно, определена их
сумма i'-fi". Поэтому для любого элемента a?nrS"

АДДИТИВНЫЕ ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ 167
I! группе лг (Sn V S") определен элемент (i'-f-i")oa. Пусть
(i'-fi")oa = i'oa1-|-i,"oa2-f-dp
- его разложение (9). При гомоморфизме рг,„: nr(Sn\/Sa)—+
>nrS", индуцированном проекцией prt: S" V S" —> 5"
па первое слагаемое, это равенство переходит, очевидно,
и равенство iHoa = inoa1? откуда следует, что a,--a.
Диалогично доказывается, что a2 = a. Таким образом,
для любого элемента а ? naSn в группе nr (Sn V S") имеет
место равенство
A0) (i' + i")oa = i'oo + i"oa + ap,
где р g я,+1 (Sn X Sn, Sn V S").
Определение 3. Элемент а ? nrSn называется при'
митивным, если в равенстве A0) р==0.
Согласно следствию 1 предложения 2 (примененному
к случаю X--=F = S"), если г^.2п — \, то любой элемент
группы nrS" примитивен.
Определение 4. Гомотопическая опеоация 0 типа (л; г)
называется аддитивной, если она является гомоморфиз-
гомоморфизмом групп, т. е. если
()(Pi + P2) = 0Pi + 0P2 Аля любых элементов pit $2?п„Х.
Для представляющего элемента a g nrS" это условие рав-
равносильно выполнению соотношения левой дистрибутивно-
дистрибутивности:
Предложение 3. Элемент agnrS" тогда и только
тогда примитивен, когда операция 0а: Pi—*¦& о а аддитивна,
т. е., иначе говоря, когда для элемента а выполнено
цсловие левой дистрибутивности.
Доказательство. Если операция 0а аддитивна,
то, в частности, (i'-f-i")°a = i'oa-J-i"°a» и, значит, в ра-
1зенствеA0) р = 0. Обратно, если (i/-T-i")oa = i'oa-j-i"oa,
то для любого отображения /: S" V S —* X будет иметь
место равенство
и, значит, для элементов P1 = /»i", p2 = /»i" —равенство
(fi1 + P2)oa = PiOa-fPjoa. Следовательно, — в силу уни-
персальности элементов i.', Г — операция 0,. аддитивна. G
Следствие. При г ^ 2/г — 1 каждая гомотопическая
операция типа (я; /¦) аддитивна. U

168 УМНОЖЕНИЕ УАЙТХЕДЛ
В силу теоремы Фрейденталя это следствие вытекает
также из следующего предложения, которое интересно и
само по себе:
Предложение 4. Элемент a?nrSn примитивен,
если он принадлежит образу надстроечного гомомор-
гомоморфизма Е: nr_1Sn~1—>-nrS", т. е. если существует такой
элемент р^яг_15"~1, что а Ер.
Доказательство. Согласно предложению 3 нам
надо доказать, что для любых элементов рх, |32 ? л„Х
имеет место равенство
что сводится к расшифровке определений и непосредст-
непосредственному сравнению левой и правой частей равенства.
Действительно, для любого отображения g: 5г~1- + 5"
отображение Eg: Sr—+Sa задается (в силу отождествле-
отождествлений S' = SS1 и S" -= SS"-1) формулой (Eg) [х, t] = [gx, t],
x^S1^ g/, и значит, для любых отображений gy.
S" —* X и g2: S" —> X отображение gx°Eg + g2oEg задается
формулой
П - i Si\?X,2t], если 0<f<l/2,
, t\-^ g2[gXt2t-l], если 1/2<^<1,
т. е. той же самой формулой, что и отображение
Для любого п ^ 1 каждая одноместная гомотопическая
операция 0 типа (т; г) определяет по формуле
О'(а, Р):=0а, a(tnmX, р<Ея„Х,
двуместную операцию 0' типа (т, п; г). Ясно, что если
0 = 0а, а ? nrSm, то 9' = 0а,, где а' -^ i'oa e nr (Sm V Sn).
Это дает «операционную» интерпретацию первого члена
разложения (9). Второй член интерпретируется анало-
аналогично.
Поскольку, согласно следствию 1 предложения 2 (при-
(примененному к случаю X — Sm, Y==S") в разложении (9)
при г < т-\-п — 1 присутствуют только первые два члена,
мы видим, что при /¦<m + n—1 все двуместные гомо-
гомотопические операции типа (т, п; г) возникают описан-
описанным образом из одноместных операций.
Наименьшее значение г, при котором возможны
«истинно двуместные» операции, равно, jaKHM образом,

умножение уаптхёда 169
ш-\-п -1. Эти операции представляются элементами df>,
'¦Де Р€я,я+/1E'ях5", S-VS").
Согласно определению 1 лекции 1.8 элементами отно-
относительной гомотопической группы пг (X, А) являются
гомотопические классы пунктированных отображений
(Er, Sr~l) —>-(Х, А). С другой стороны, для любой г-
мерной клетки ег произвольного клеточного пространства X
соответствующее характеристическое отображение % мы
можем рассматривать как отображение (Er, S1)—>
- ->-(X, Х1''1). Поэтому отображение % будет определять
некоторый элемент группы пг(Х, X1, х0), где х„ — % (s0).
Предполагая отображение % для клетки сг раз навсегда
выбранным, мы будем обозначать этот элемент симво-
символом [ег].
В общем виде мы рассмотрим эту конструкцию в лек-
лекции 9, а сейчас ограничимся случаем клеточного про-
пространства X - SmXS", где т, п~^\, рассматриваемого
в его минимальном клеточном разбиении, состоящем из
клеток е°, е'п, е'1 и ет+п — е'"хе" размерностей 0, т, п
и т-\-п.
Поскольку Хт+"~1—- S \/ S", элемент [ет+"] принад-
принадлежит в этом случае интересующей нас группе
^m+n.(SmxS", Sm\/S"). По определению он является
гомотопическим классом отображения % — %("";><%1"\ где
уш: ?т_>5'" и ^(м). ?л—+5" — характеристические ото-
Гфажения (напомним —раз навсегда у нас выбранные)
клеток em==S'"\s0 и e"=-Sn\s0. (Отображение %шх%{"\
очевидно, пунктированно; впрочем, это замечание сущест-
иенно только при т— 1 или п— 1.)
Однако нас интересует не столько элемент [ет+п],
сколько его образ д[е'п+п] в группе лт+I_г (Sm V S") при
граничном гомоморфизме
д: Яд,+|,E"х5», S-VS")-*«„+„_! (S"VS«).
Этот образ задается ограничением р отображения % на
границе (ЕтхЕ")' произведения ЕтхЕп, т. е., точнее, ото-
отображением poSCTi „, где
A1) &т,п: Sm+n-1~y{EmxEn)'
-некоторый раз навсегда выбранный пунктированный
гомеоморфизм.
Являясь элементом группы nm+n_x Era V S"), элемент
д\ет+п] представляет некоторую двуместную гомотопи-
гомотопическую операцию типа (т, п; т-\-п—\). Опишем эту
операцию в явном виде.

|?0 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ УЛЙТХЁДА
Ясно,-что
(?" X ?")' = (?'" х S") U (S'" X?"),
причем (?xS"-1)n(S'e~:lx?")-=S'B":lxS''-1. Поэтому
для любых отображений /: (?"», S")—*(Х, х0) и g:
(?», S"-1)-->(X, *0) формула
A2)
_//(*)• если
"b если
корректно определяет некоторое пунктированное отобра-
отображение h: (?mx?")'—>-Х. Автоматическая проверка по-
показывает, что гомотопический класс y=[/ioSOTin]' ^nm+n_1X
отображения /i°Qffli „: Sm+n~1—-X зависит (при выбран-
выбранном гомеоморфизме Э,я,„) только от гомотопических клас-
классов а ? я„Х и pg я„Х отображений / и g, и что соответ-
соответствие (а, р) н->y обладает свойством естественности, т. е.
является гомотопической операцией.
Определение 5. Построенная гомотопическая опера-
операция (или, точнее, целое семейство операций, зависящее
от двух параметров тип) называется умножением
Уайтхеда. Результат [Ao3min]* ее применения к элемен-
элементам а и |5 называется произведением Уайтхеда этих
элементов и обозначается символом [а, 0].
Иногда для упрощения речи мы будем позволять себе
отображение ЛоЭш,„ (или даже отображение К) называть
произведением Уайтхеда отображений / и g (и обозначать
символом Г/, g\).
Если X — S V S", a oc = i' и P = i", то за отображе-
отображения / и g мы можем принять характеристические ото-
отображения %ип) и х'"' (точнее, их композиции с вложе-
вложениями 1Х: Sm—>S'eVS" и ts: S" —* S V S"). Соответ-
Соответствующее отображение h будет тогда не чем иным, как
ограничением на (ЕтхЕп)' отображения % = %ШХ%Ш,
и, значит, будет иметь место равенство[/io3m> п]' = д[ет+п],
т. е. равенство
A3) [i', i'j^ajg"-1-"].
По определению это равенство означает» что операция
(а, Р)^-»[сс, р] представляется элементом д[ет+п].
Алгебраические свойства умножения Уайтхеда описы-
описываются в следующей теореме.
Теорема I. Умножение Уайтхеда

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ УЛЙТХЕДА 171
а) билинейно, т. е.
K, Р].
любых элементов aх, a2, а^я^Х, pit Р2, Р?я„Х,где
/га, п^2;
б) с точностью до знака коммутативно, т. е.
A5) [Р. «Ь±[а, Р]
Зля любых элементов a?nmX, Рбя„Х, где /га, ^;
в) с точностью до знаков удовлетворяет тождеству
Якоби, т.е.
A6) ±[[а, р], у]±[[Р, у], «]±[[у, а], р] = 0
для любых элементов a?ntX, fi?nmX, y?nnX, где I,
in, n^l;
г) перестановочно с операциями из группы ЛХХ, т. е.
A7) ?[«, Р] = [5«. ?Р]
для любых элементов ^лД, а?птХ, р^ллХ, где т,
п^\ (конечно, под ?а при т== 1 зде"сь понимается элемент
I(а) = ^а|~1, а под ^Р при л=1— элемент |(P) = gpg~1);
д) /гры /га = 1 и /г ^ 1 выражается формулой
A3) [5, Р] = ±EР-Р), бб^Х.рбя.Х.
Неопределенность в знаках в формулах A5), A6) и A8)
объясняется тем, что эти знаки зависят от выбора отож-
отождествляющих гомеоморфизмов'A1). Долгое время был по-
пудяреи выбор гомеоморфизмов, при которых формулы
A5), A6) и A8) имеют соответственно вид
A5') [Р, а] = (-1)»»[а, р],
A6') (-1)й[[а, Р], у] + (- 1)"»[[Р, у], а] +
+ (_l)-[[Vt а], Р] = 0,
A8') [I P] =
[I,
Однако в последнее время распространился другой, ока-
лмвшийся более удобным выбор гомеоморфизмов A1), кото-
который в сравнении с классическим выбором сводится к за-
замене [а, Р] на (—1У»[а, Р]. При таком выборе формула
A8') остается прежней, а формулы A5') и A6') приобретают

172 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ УАЙТХЕДА
ВИД
A5") • [Р, <*]¦=-(-1)<«-» <-»[«, р],
A6") (-1)"-" «»-»[[о, р], Т] + (-l)"-1' (-»[[Р, у], «]+
означающий, что после сдвига градуировки на единицу
прямая сумма групп л„_:Х, л^1, является по отношению
к умножению Уайтхеда градуированной алгеб-
алгеброй Ли (над кольцом Z) или в другой терминологии —
су пер алгеброй Ли.
Чтобы описать соответствующие гомеоморфизмы A1),
мы заметим, что точки сферы Sn+n~1c:Rm+" могут быть
представлены в виде (cos — t-x^m-j-t-y), где x^S1"'1^
<=iR.m, y^Sn~1cRn и t?l, причем при'^Э и гф\ это
представление единственно. Сопоставив этой точке при
0<г<1/2 точку (х, 2ty)?Sm-1xEn, а при 1/2<*<1
точку (B—2t) х, y)€E"'xS'1~l, мы, как показывает авто-
автоматическая проверка, получим некоторый гомеоморфизм
5*+/!"'->.(?яхЕ")'. Его мы и примем за гомеоморфизм
Замечание 5. Формулы A4) и A6) можно обобщить
так, чтобы они оказались справедливыми и для исклю-
исключенных значений I, т. и п. Для этого следует для любых
элементов ^gjt^X и а?л„Х при /?>1 условиться пони-
понимать под \ol элемент а. Тогда, скажем, первую формулу
A4) мы можем переписать в виде
[а + Р. ?] = К Py] + [P, У],
и в этом виде, как непосредственно вытекает из формулы
A8), она будет справедлива и при т - 1 и при п — 1 (если,
конечно, при т ¦¦--- \ и п ¦= 1 под Eу понимать, как всегда,
PvP)- Аналогично, формула A6) (или, точнее, формула
A6")) будет верна при 1^1, т^\ и п^=2, если ее за-
записать в виде
(_ l)«-i> <«-«f[а, р], у] + (—!)«-««"-"[[р, у], а]-Ь
где у = Э(ау), и будет верна при 1~^\, т~^\,
если ее записать в виде
(-1)'""+"+" Р[[-Р, а], т1 ¦! (-1)»'+'"-' v[[-Y. P].
4

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ УАЙТХЕДА 173
Это замечание иногда позволяет исключить отдельное
рассмотрение особых случаев.
Замечание 6. Из формулы A5') следует, что при
/н = п справедливо равенство
Ясно, что это равенство сохраняется при любом выборе
гомеоморфизмов A1). То же самое верно и для тождества
Якоби при I -т — п, имеющего в этом случае классичес-
классический вид
[«*, [Р, ?]]+№. [V. *]] + [?.[«, Р]] = °-
Что касается доказательства теоремы 1, то наиболь-
наибольшие затруднения вызывает формула A6), в которой уча-
участвуют шесть причудливо переплетающихся гомеоморфиз-
гомеоморфизмов A1). Справедливость этой формулы была предполо-
предположена Вейлем почти одновременно с открытием в 1941 г.
умножения Уайтхеда, но в течение почти 13 лет все по-
попытки ее доказательства были безуспешными, пока, нако-
наконец, около 1954 г. не было получено разными авторами
сразу несколько доказательств, ни одно из которых не
было простым. Однако впоследствии было предложено но-
новое определение умножения Уайтхеда (трудно сказать, кем
это было впервые сделано), из которого формула A6) вы-
вытекает уже без особого труда. Мы изложим это определе-
определение и выведем из него формулу A6) (в уточненном виде
A6")) в следующей лекции 5. Там же мы весьма просто
докажем и формулы A4) (их непосредственное доказатель-
доказательство также несложно, и читателю будет очень полезно
продумать это доказательство, не дожидаясь лекции 5).
Для доказательства же формулы A5) достаточно заметить,
что гомеоморфизм ЕпхЕт —*¦ ЕтхЕп, (х, у)^(у, х),
перестановки множителей (точнее, его ограничение Т на
(Е"хЕт)') переводит отображение A2) в аналогичное ото-
отображение, построенное для отображений g и f. Уточнен-
Уточненная версия A5') этой формулы требует вычисления степе-
степени отображения S"**" —»- Sm+n~1, возникающего из гомео-
гомеоморфизма Т в силу отождествлений Sm+"~a==(?nx?m)'
и S'""" ¦-(?"• хЕ"У (т.е., более формально, вычисления
степени отображения ада, поТо^т). Мы также сделаем
это в лекции 5.
Пока же ограничимся доказательством формул A7)
и A8).

174 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ УАЙТХЕДа
Доказательство формулы A7). Если
(X, хв)
(X, *„)]'€ я
то (см. лекцию Т. 5) существуют такие отображения F:
?ЯХ/ —X, G: Е»х1-+Х, что
F(x, O) = f(jf), F(x, 1) = /г1(х) для любой точки * €?'",
f (дг, /) = и A — 0 для любой точки х € 5я и любого t € /,
G(y,0) = g(y), G(y, \)=gt(y) для любой точки у?Е
G (у, t) — u A —t) для любой точки у g S" и любого
Мы определим гомотопию
положив
Ht:
G(y,t), если. *<ES*-V*'^€(A: Xfc)>
Ясно, что H0 = h, где А—отображение A2), а Я1— ftt, где
^—отображение A2), построенное для отображений Д
и ^. Поэтому гомотопия t"t = HtoSimt n: S"+"~1
f
p
Рис. 7.
/i -,
Рис. 8.
/
/
будет связывать отображение /юЭд,, „ (класса [а, |3]) с ото-
отображением А1оэш, „ (класса [la, gp]), причем для любого
t?l будет иметь место равенство Ht(s0)~« A—/). По-
Поскольку 5 = [«]*, это доказывает формулу A7). ?
Формула A8) при п=1 имеет вид
[I, Р]=6Р6-»Р"»
и непосредственно очевидна из чертежа (см. рис. 7). При
л > 1 чертеж аналогичен (см. рис. 8), но доказательство
требует некоторых приготовлений.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ УАЙТХЕДА 175
Пусть h—такое отображение (Е1хЕп)' —*¦ X, что
к (у, х)^х0 при xZS"'1 и любом у^Е1, и пусть / (дг) =
¦А(—1, х) и #(дг) :-АA, х). Тогда
f: (?», S«-l)^(X, х0), g: (?», S") — (X, *„),
так что определены элементы а = [/]' и E = [#]" группы
~л„Х. С другой стороны, выбрав (пунктированный) гомео-
гомеоморфизм S: S" —>¦ (Е1хЕп)', мы можем рассмотреть в груп-
группе я„Х элемент y = [hofs\'.
Лемма 2. В описанной ситуации имеет место равен-
равенство
(знак rh зависит от выбора гомеоморфизма а).
Доказательство. Отождествив шар Е" с конусом
CSn-1 = S"-1x//S"-1x0, а сферу S" с надстройкой SS",
мы зададим гомеоморфизм
я:
положив
UxCS»-1)U(?1xS"-1)U({l}xCS"-1),
0</<1/4,
S[X,
f (—1, [х, Щс),
j D/-2, лг),
A, [х, 4 — 4/]С),
если
если
если
1/4<<<3/4.
3/4'<*<1,
для любых точек jr G S", ^ 6 /• (см. рис. 9). Тогда ото-
отображение hoQ будет суммой (по отношению к коумноже-
нию в надстройке SS" -- S")
четырех отображений S" —
>Х: отображения [дг, t]i—>
t—>f[x, t] (т.е. отображения
/, рассматриваемого как ото-
отображение из S" = E"/S"~1 в
X), двух постоянных отобра-
отображений const: [х, t]t—> х0 и ото-
отображения [х, t]y->g[x, 1 — t]
(т. е. отображения 5"—»-Х,
противоположного к отобра-
отображению g, рассматриваемо-
рассматриваемому как отображение из Е"/^" в X). Следовательно,
Y = [Аоа]'= [/]•-!-[const]' + [const]*-И" =
Рис. 9.
0—р = _ (р—а). ?
Замечание 7. Лемма 2 является одной из простей-
простейших аддиционных лемм (ср. с леммой 1 из лекции 1.9).

176 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ УАЙТХЕДА
Теперь мы можем доказать формулу A8) при п > 1.
Доказательство формулы A8). По определе-
определению, если
(X, *„)]• и
то 5P = [^t: (?", S"-1)-+(X, *„)]*, где g,— конечное ото-
отображение такой гомотопии gt: Е"—>-Х, что go = g и
gt (дг) = и A — f) для любых х?Е", t?l.
С другой стороны, если /—такое отображение (Е1, 5°) —>
—+¦ (X, л:0), что « = [/]' (это отображение связано с пет-
петлей и соотношением ~f Bt — \) = u (t), t?I), то [?, P] =
= [/юд^ я], где /i—отображение (Е1хЕп)' —*- X, заданное
формулами
(т.е. у=*±1).
если
g(x), если
Имея это в виду, рассмотрим пунктированную гомотопию
ht: (Е1хЕ"У —*-Х, определенную (очевидно, корректно)
формулами
Six),
8ч (х),
Si (x),
u( 1+*
"U-2
t).
uB-2t-y).
если
если
если
если
если
У =
-1, J
1,0^
1,
<
¦ 1
. i
2<
1/2
\У<
кФ Е"
* / <" 1/9
" 1 9/
а 1 - л?,
1 — t)), если —
и BA— у) A—0), если 0

СТАЦИОНАРНОЕ ГОМОТОПИЧЕСКОЕ КОЛЬЦО СФГ.Р 177
(см. рис. 10). Ясно, что Л0 = /г, и потому [?, Р] = [Л1оа1, в]\
Но отображение hx\ (E1xEn)'—*-Х задается формулами
( g{x), если г/ = —1, х?Еп,
К (У, х) = j gt (x), если у=1, х? Е",
[ х0, если jr?S"~\
и, значит, удовлетворяет условиям леммы 2 (с g и gx в ро-
роли / и g). Поэтому [/liOSj, „]=±(?P—fi). ?
ДОПОЛНЕНИЕ! 'X
Стационарное гомотопическое кольцо сфер.—Смеш-умно-
жение в гомотопических группах.
Из предложения 4 лекции 4 вытекает важное следст-
следствие, касающееся стационарных гомотопических групп сфер
npS.
Пусть n,S—градуированная группа, компонентами ко-
которой являются стационарные гомотопические группы сфер:
n0S =з Z, ^S, n2S, ..., npS, ...
Можно считать, что однородные элементы а ? npS этой
группы задаются непрерывными отображениями вида
S"+p~>S", причем:
1) для любого п>р-!-1 существует отображение /:
Sn+P —>¦ S", задающее данный элемент а б npS;
2) отображения /: Sh+p—>¦ S" и g: Sm+P-+ Sm тогда
и только тогда задают один и тот же элемент а ? it^S,
когда для каждого N > max (р + 1 + д, /э + 1 -I- m) отобра-
отображения EN~nf: SN+P —>¦ S" и ?^--»g: 5^+^ -- 5^ гомотопны.
В частности, для любых двух элементов а 6 npS и р g
^ я45 существует такое п, что эти элементы задаются

178 СТАЦИОНАРНОЕ ГОМОТОПИЧЕСКОЕ КОЛЬЦО СФЕР
соответственно отображениями /: S"+f+4—> S"+q и g:
S"+'i —+¦ S", и ясно, что элемент группы n,p+clS, задаваемый
отображением go/: S"+p+<l —' S", не зависит от выбора
отображений / и g и определяется исключительно эле-
элементами а и ,6. Мы будем обозначать этот элемент символом
роа или просто pa и будем называть его произведением
элементов р и а.
Если в силу отождествлений npS = np+nS", n>p-f-l,
и ntlS — я-q+mS, т > q -f-1, элементы аир считать элемен-
элементами групп np+nS" и n^+^S'" соответственно, то элемент
Pa будет—в силу отождествления np+4S — np+il+n+mSn-l~'"—
элементом E"fioEli+ma группы np+tl+n+mS"+m.
Построенное умножение, очевидно, ассоциативно и об-
обладает единицей (которой служит элемент 1„?я„5", рас-
рассматриваемый в силу отождествления nnS" = n0S как эле-
элемент группы n0S; мы будем этот элемент обозначать сим-
символом i). Кроме того, это умножение дистрибутивно (спра-
(справа— из-за дистрибутивности справа композиционного про-
произведения элементов гомотопических групп, а слева —
ввиду предложения 4 лекции 4). Следовательно, по отно-
отношению к умножению (|3, a)>—*Pa градуированная группа
n,S является градуированным кольцом с единицей.
Определение /. Кольцо л*5 называется стацио-
стационарным гомотопическим кольцом сфер.
Вычисление этого кольца является одним из оселков,
на которых оттачиваются методы алгебраической тополо-
топологии. В этом семестре нам удастся выяснить его строение
(см. лекцию 8) только в размерностях ^2, но в дальней-
дальнейшем, когда будет развита более мощная техника, мы
сможем узнать о нем довольно много.
Одним из удивительных свойств кольца л,5 является
тот факт, что, несмотря на сугубо неравноправную роль,
которую в умножении (Р, а)н->ра играют элементы а и Р,
кольцо n,S косокоммутативно (коммутативно как градуи-
градуированное кольцо), т.е.
для любых элементов a€npS, P?n(/S.
Для доказательства этого факта мы вернемся к рас-
рассмотренному в Дополнении к лекции 1.4 смеш-умножению
гомотопических классов
A) [А, Х]'х[В, У]' —[Л ДЯ, ХЛУ]', (а.

СМЕШ-УМНОЖЕНИЕ В ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ J79
при A^-Sp и B--=S" (и, значит, при [А, Х]' = прХ
и [В, У]'=~-ЛдУ). Так как пара (SpxS", Sp\J Si)'являет-
Si)'является (р + ?)-мерной относительной клеткой Си, значит, от-
относительно гомеоморфна клетке (Ep+я, S'>+/}~1)), то ее
кослой S^A 5* гомеоморфен кослою Ep+Q/S''+'i~1, т.е. го-
гомеоморфен сфере SP+q. Соответствующий гомеоморфизм
B) орг„: Sp+ч — 5" Л S*
является композицией
Sp+ч — Ep+v/Sp-ki-1 -+Ерх E'l (Ер х E*f -*
S V S« = Sp Л
1) гомеоморфизма, обратного к гомеоморфизму
?/'+<//S'>+«—* Sp+i, индуцированного относительным го-
гомеоморфизмом C) лекции 1.5 (при n = p + q), который,
напомним, задается формулой
%<"Чах)=*[х, а],
где x^S"'1, a?l (так что ах?Еп) и где символ [х, а]
обозначает точку (cosna, slnna-x) единичной сферы S"
пространства IRfl+1 = IRxlR'1;
2) гомеоморфизма, индуцированного гомеоморфизмом
(Ер+ч, SP+i-^-^iEPxEo, (ЕрхЕ«У),
определенным формулой
( (гх, гЬа~гу), если <,
(ах, by)^\{rab-iXi ry)t если а<Ьу
где x^Sp^1, ,V€S«~1, a, b?l, r1 = a1-f-6a<l (так что
(ах, by) ? Ер+ч) и где пространство Rp+i отождествлено
с произведением R^xR*;
3) гомеоморфизма, индуцированного относительным
гомеоморфизмом
Поэтому в введенных выше обозначениях гомеомор-
гомеоморфизм ap<q задается формулой
*. *]Л[.У, iba-*], если &<а,
г, /л&'ЧЛ^У. П> если я^^.
где х € Sp~x, у € S*, ct,b?l, a2-\-b*—l (так что (ах1,
^v) gSp+''~1 и t?f (напомним, что, скажем, символ [лг, /]
обозначает точку (cosл/, sinn/-jr) единичной сЛеры Sr
пространства R^'^^RxR'' и, соответственно этому, сим-

180 СМЕШ-УМНОЖЕНИЕ В ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ
вол [(ал:, by), t]—точку (cosn^, asinnt-x, b sin nt-у)
единичной сферы Sp+9 пространства Rp+i'+1 = IRxIR/'xR'7).
Отождествив посредством гомеоморфизма B) простран-
пространство SPAS'1 со сферой Sp+i, мы из умножения A) при
А = Sp и В =S4 получим отображение
C) npXxnqY-+ пр+ч(ХАУ), (а,
называемое внешним смеш-умножением элементов гомото-
гомотопических групп.
Предложение 1. Умножение C) дистрибутивно от-
относительно сложения, т. е.
для любых элементов а, Р € прХ, у 6 nqY и соответст-
соответственно а^,прХ, Р, у?яцУ.
Доказательство. Из Дополнения к лекции 1.4
мы знаем, что умножение A) дистрибутивно по отноше-
отношению к сложению, индуцированному коумножениями mAid
и \й/\т в SpASq, где т — стандартное коумножение в Sp
и 5' соответственно. Поэтому для доказательства пред-
предложения 1 достаточно доказать, что стандартное коум-
коумножение т в Sp+q гомеоморфизм B) переводит в коумно-
жения mAid и idA^ (или хотя бы в отображения, им
гомотопные), т. е. что этот гомеоморфизм является гомо-
гомотопическим изоморфизмом соответствующих Н-когрупп.
Мы докажем этот факт только для коумножения /n/\id,
поскольку для коумножения idA^ доказательство про-
проводится совершенно аналогично.
С этой целью мы определим гомотопию
формулой
ft[(ax,
если
если 6<а и 1/2</<1,
[х, 2tab-4A[y, il+i) t].
если
• "-^-^ 2а
i если а^б и ~ о~ ^':

СМЕШ-УМНОЖЕНИЕ В ГОМОТОПИЧЕСКИХ-ГРУППЛХ 181
Непосредственно проверяется, что эта гомотопия корректно
определена и связывает отображения (m/\id)oa и (а\/а)от
из диаграммы
Sp+ч
где о = ор<г Таким образом, эта диаграмма гомотопически
коммутативна, и, значит, а является гомотопическим мор-
физмом по отношению к коумножениям т и m\/id. П
¦ В силу предложения 1 корректно определен гомо-
гомоморфизм
который также называется внешним смеш-умножением.
Из Дополнения к лекции 1.4 мы знаем, что после
соответствующих отождествлений умножение A) комму-
коммутативно. Казалось бы это свойство должно сохраниться
и для умножения C). Однако это не так, поскольку
в построении последнего умножения участвует дополни-
дополнительное отождествление посредством гомеоморфизма B),
из-за чего элементы «ЛР и РЛ« группы np + 1(X/\Y) =
—nQ+p(Y/\X) окажутся связанными соотношением р*Да=
=(—1)*аЛр\ где (—l)d—степень гомеоморфизма Г —
= <*7.Va>. ,'• Sp+i-tSp+i. Но ясно, что
T[(axt by), t] = [(by, ax), t]
для любой точки [(ах, by), /]
откуда непосредственно следует, что d = pq. Тем самым
доказано, что
D) рда = (—1)м<хЛР
для любых элементов а^я^Х, p^^V,
г. е. что смеш-умножение C) косокоммутативно.
Аналогичное вычисление показывает, что в тождестве
ассоциативности степень соответствующего гомеоморфизма
равна 1. Поэтому смеш-умножение C) ассоциативно, т.е.
для любых элементов а^я^Х, pgjtjY", y^nrY имеет
место равенство
(
(если,- конечно, каноническое отображение (
ч- X Л (У AZ) является гомеоморфизмом или хотя бы гомо-
гомотопической эквивалентностью).

182 СМЕШ-УМНОЖЕНИЕ В ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ
При X = S* и a = tf элемент цЛР для любого эле-
элемента |3 €nqY принадлежит в силу отождествления S1A,Y~
—S'Y группе n,j+i(ST) и, как показывает непосредст-
непосредственное сравнение определений, совпадает с элементом
Sfp ?p
E)
Важный частный случай (или, лучше сказать,— вари-
вариант) смеш-умножения C) возникает при Х=5т и Y=Sn.
Поскольку в этом случае ХЛ^~ Sm+", мы получаем,
следовательно, отображение
F) *,S
которое называется внутренним смеш-умножением эле-
элементов гомотопических групп сфер.
Очевидно, что подобно умножению C) умножение F)
дистрибутивно относительно сложения и потому опреде-
определяет гомоморфизм
также называемый смеш-умножением.
Очевидно также, что умножение F) ассоциативно, т. е.
для любых элементов a ? npSm, P 6 nqSn, у б яг5г в группе
np+q+rSm+n+t имеет место равенство
Тождество E) также сохраняется для умножения F).
Кроме того, ясно, что
р раз
Поэтому в силу ассоциативности
G) 1;>ЛР = ^ЯР Для любого элемента $€ngSn,
где
Ер = Ео...оЕ
р раз
— итерированный надстроечный гомоморфизм.
Что же касается вопроса о коммутативности умноже-
умножения F), то поскольку при перестановке множителей Sm
и S" в равенстве 5m+" — SmASn сфера S"!+n подвергается,
как мы уже знаем, гомеоморфизму степени (—I)", т0

смёш-умножёниё в гомотопических группах lag
дли любых элементов a ^npS'n, р ?nltS" в группе rt/, + 7S"I+'1
пудет иметь место равенство
(Н) рЛ« - (-I)'"' ((-1)"" 1,л+„о(аЛ|5)).
Хотя, вообще говоря, композиция с элементом вида — iN
не сводится к умножению на —1 (см. формулу A0) в До-
Дополнении к лекции 6), но, оказывается, что в данном слу-
случае вынос знака возможен и, значит,
(9) pAa = (-l)M+m«aAP
для любых элементов a g npSm, Р ? nqS".
15 частности, в силу формулы G)
A0) рд^ = (— iy{i+n)Epfi для любого элемента f>€nqS".
Легко, впрочем, доказать формулу A0) и непосредст-
непосредственно из формулы (8). Действительно,
= (— 1)" ((- \)'пр
поскольку в силу предложения 4 лекции 4 элемент
примитивен, и потому вынос знака возможен. Г.]
Чтобы доказать теперь формулу (9), мы заметим, что
is силу функториальности смеш-умножения
«ДР - (aoi,)A(iBoP) = (оЛ1„)о(^ЛР),
«ЛР - A
и потому, согласно формуле A0),
A1) аДР = (— 1)п{р+'п) Е"<хоЕр$ = (— \)ч <р+1Я) ?""
для любых элементов agrc^S, pgn(/S".
Эта замечательная формула, выражающая операцию Л
через операции Е и о, называется тождеством Бар-
р ата — X и л тон а.
Ввиду функториальности гомоморфизма Е (т. е. тож-
тождества ?(роа) — Е$оЕа, которое имеет место для любых
элементов a?npSm и Р€лтХ) из формулы A1) вытекает,
что аЛР = ?7, где, скажем, у (—1)п(/'+1В)?лао?/;~1р.
Следовательно, элемент аДР примитивен и, значит, вынос
знака в формуле (8) возможен. ?

184 СМЕШ-УМНОЖЕНИЕ В ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Теперь мы, наконец, можем доказать косокоммутатив-
ность кольца л„5.
Предложение 2. Для любых элементов а ? npS, P € nqS
в кольце n,S имеет место равенство
Доказательство. Согласно формуле A1), если
a?np+mSm и Р€я?+„5", то в группе np+q+m+nSm+n имеет
место равенство
= (— l)'?«?'lao?/'+'»p.

ЛЕКЦИЯ 5
Джойн пространств.— Обобщенное умножение Уайт-
хеда.— Конструкция Хопфа.— Джойн отображений и го-
гомотопических классов.— Альтернативное определение ум-
умножения Уайтхеда.— Косокоммутативность умножения
Уайтхеда.— Билинейность умножения Уайтхеда.— Тож-
Тождество Якоби для умножения Уайтхеда.
В этой лекции мы построим умножение Уайтхеда
в его естественной общности для произвольных групп вида
\S'A, X]', что позволит нам дать вполне прозрачное до-
доказательство теоремы 1 предыдущей лекции, не отяго-
отягощенное необходимостью сравнивать результаты различных
отождествлений.
Для этого нам нужно в первую очередь описать одну
интересную и саму по себе конструкцию, обобщающую
построение границы
(ЕтX ?")• = (?*X S") U Eй-1 х ?»)
произведения ЕтхЕп.
Для любых пространств X и У мы введем в рассмот-
рассмотрение подпространство X~zY произведения CXxCY, оп-
определенное формулой
XtY--=(CXxY)\J(XxCY),
т. е. являющееся второй компонентой произведения пар
(СХ, X)x(CY, Y) = (CXxCY, X»Y).
Таким образом, S/B~1vSn = (?OTx?")' в силу отождест-
отождествлений Em^CSm~1, En = CSn~1.
Каждая точка пространства XnY имеет либо вид
(|>, t], у), либо вид (х, [у, /]), где х^Х, y?Y, t?l,
причем при t— 1 точка фс, t], у) не зависит от х, а точка
(*. [У, <])-от у.
Чтобы лучше представить себе устройство простран-
пространства X к Y, мы рассмотрим его отображение в простран-
пространство CXxCY, определенное формулами
" ([*, t], y)^([x, A + 0/2], [у, A-0/2]),
{х, [У, t])^([x, A-0/2J, [у, A+0/2]).

186 ДЖОЙН ПРОСТРАНСТВ
Непосредственно проверяется, что это отображение яв-
является гомеоморфизмом пространства X~iY на замкнутое
подпространство произведения CXxCY, состоящее из
таких точек (\х, t], [у, s]), что s + t --.¦ 1. (Обратный гомео-
гомеоморфизм задается, очевидно, формулой
, л г . л, \ (х,[у,1-Щ, если 0<*< 1/2,
([х, t], [у, \-П)^{ {[X 2/1] iA
где х?Х, y?Y и t?l). Отождествив соответствующие
точки, мы тем самым можем (и будем) считать точками
пространства Хт Y пары вида ([л:, (], [у, 1 — t]), где х? X,
y?Y и t?l.
При t = 0 точка ([х, -t], [у, 1 — t]) естественным обра-
образом отождествляется с точкой х, а при / — 1—с точкой у.
Тем самым X и Y вкладываются в XnY. Кроме того,
для любых фиксированных точек х?Х и у?Y точки вида
([л:, /], [у, 1 — t]) составляют подмножество пространства
X~zY, гомеоморфное отрезку /.Следовательно, простран-
пространство X т У можно представлять себе как объединение
прямолинейных отрезков, соединяющих каждую точку
из X с каждой точкой'из У и не имеющих общих внут-
внутренних точек. (В исходной интерпретации пространства
ХтУ этим отрезкам отвечают двузвенные ломаные, со-
составленные из образующих конусов СХ и CY).
Чтобы исследовать топологию пространства ХтУ, мы
введем в рассмотрение надъективное (и, очевидно, непре-
непрерывное) отображение
A) Хх/хУ-+Х,У, (х, t, y)^([x, /], [//. 1-/]).
Соответствующее отношение эквивалентности на прост-
пространстве Хх/хУ, т.е. отношение, определяющее разбие-
разбиение этого пространства на прообразы точек при отобра-
отображении A), обладает тем свойством, что (xlt tu yi)~(x.,,
tt, yt) тогда и только тогда, когда либо tx -- t2 = 0 и хх -- х„,
ЛИбо ti — ts—l И Уг = Уъ.
Определение 1. Факторпространство пространства
X х / X У по этому отношению эквивалентности называется
дясойном (или джойн-произведением) пространств X и У
и обозначается символом Х#У.
Класс эквивалентности точки (х, t, у) обозначается
символом <х, t, ifi. При t~0 этот класс отождествляется
с точкой х, а при t -.-. 1 -с точкой у. Для любых фикси-
фиксированных точек х?Х, y?Y все точки вида <jc, t, t/>

ДЖОЙН ПРОСТРАНСТВ 187
составляют подмножество, гомеоморфное отрезку / и соеди-
соединяющее точку х с точкой у. Таким образом, подобно
пространству X^Y, пространство Х-*У является объеди-
объединением прямолинейных отрезков, соединяющих каждую
точку из X с каждой точкой из К и не имеющих общих
внутренних точек.
Однако, вообще говоря, топология пространств X и Y
и Х*У различны, т. е., точнее говоря, биективное непре-
непрерывное отображение
B) X*Y-+XtY, <х, /, у>^([х, t],m[y, 1- /]),
индуцированное отображением A), может и не быть го-
гомеоморфизмом.
Отображение B) тогда и только тогда является гомео-
гомеоморфизмом, когда отображение A) представляет собой
эпиоморфизм. С другой стороны, из леммы 1 Дополнения
к лекции 1.4 непосредственно следует, что это условие
выполнено, когда оба пространства X и У хаусдорфовы
и локально компактны. Таким образом, если простран-
пространства X и У хаусдорфовы и локально компактны, то ото-
отображение B) является гомеоморфизмом.
В этом случае мы будем отождествлять пространства
Х*У и XnY посредством гомеоморфизма B), т. е. будем
считать символ \Х, t, у> лишь иной записью пары ([х, t],
J у, 1 - /]) (и, значит, при 0 < t < 1/2 пары (х, [у, 1 — 2^J),
а при 1/2 </<; 1 — пары ([*, 2t — 1], у)).
Замечание 1. В книге Рохлина и Фукса [10], стр.
45 — 49, ошибочно утверждается совпадение операций*
и v для любых пространств X и У.
Ясно, что- перестановка множителей индуцирует есте-
естественный гомеоморфизм XtY—>УтХ. Аналогично, для
любых трех пространств X, Y и Z пространства {XsY)-iZ
и Xf(Y~iZ) посредством гомеоморфизмов
№,']. [y>l-t]),s], [г, 1-s])^
C) -*([*. t + s—ts], [у, l-t + ts], [г, 1-s]),
([*. <], [([У. si, [г, 1-s]), l-t])^
.->([*,/], [у, l-t + ts], [г, 1 —*s])
естественным образом отождествляются с подпростран-
подпространством ХтУт2 пространства CXxCYxCZ, состоящим
из точек ([х, t], [у, s], [z, r]), для которых t + s + r = 2.
В этом смысле операция т коммутативна и ассоциативна.

188 ДЖОЙН ПРОСТРАНСТВ
Заметим, что тем самым пространства (XtY)sZ и
XtE/tZ) отождествляются посредством гомеоморфизма
D) ([([*. '], [У, 1-t]), s], [г, 1-s])-*
—ts)],
f, A-0A-s)]),
где x?X, y?Y, z?Z и s,t?l.
Что же касается операции * (джойн-умножения), то,
конечно, эта операция коммутативна (естественный
гомеоморфизм X * Y —»¦ Y * Z задается формулой <х, t, у>>—*
|-*<J/i 1—*i ^>), но, как показывают примеры, вообще
говоря, не ассоциативна, т. е. естественное отображение
{X*Y)*Z~>¦ X*(Y*Z), задаваемое (см. формулу D))
формулой
E) «х, t, y>, s, г>ь-^<л:, t + s—ts, <«/, s/(t + s-ts), г»,
не является гомеоморфизмом (оно не будет, вообще го-
говоря, даже непрерывно). Однако если пространства X,
Y и Z хаусдорфовы и локально компактны, то в силу
отождествления операции * с операцией т отображение
E) будет совпадать с гомеоморфизмом D) и потому само
будет гомеоморфизмом. Таким образом, на категории
хаусдорфовых и локально компактных пространств джойн-
умножение ассоциативно (с точностью до естественного
гомеоморфизма).
Так как в силу-отождествлений CSp = Ep+1 и CSq —
= ?«+1 пространство SptSi, как уже было замечено,
отождествляется для любых р, q~^0 с пространством
(Ер+1хЕ4+1У, то пространство Sp*S<i естественно гомео-
морфно пространству (Ер+1хЕ<г+1У и, значит, сфере
Sp+i+1. Приняв за гомеоморфизм Sp+Il+1—*-(?*>+1х?*+1)'
описанный в лекции 4 гомеоморфизм Эя+1, в+1 (и учтя,
что точка [х, t]?CSp отождествляется с точкой
A — t) х ? Ep+1), мы получим гомеоморфизм
F) Sp*S«~+ Sp+«+1, <x,t,y>^(cos%t-x, sin у *-.у
Далее мы, как правило, будем отождествлять прост-
пространство Sp * S9 со сферой S^+'+1 посредством этого
гомеоморфизма.

ДЖОЙН ПРОСТРАНСТВ 189
В частности, мы получаем, что S°*Sn- - Sn+1 = SSn
для любого /1^3=0. Вообще легко видеть, что для любого
пространства X
Считая точками сферы 5° числа ±1, соответствующее
отождествление можно задать формулами
<-1,/,*>_* [х,//2],
(в силу отождествления SSn — Sn+1, заданного формулой
A5) лекции 1.3, это отождествление при X ------ S" пере-
переходит в отождествление F)).
Заметим также, что
pt*X = CX
для любого пространства X.
В категории ТОР* пространство X и У определяется
как подпространство произведения C'XxC'Y, состоящее
из всех точек вида ([х, t], [у, 1 - *]), х^Х, y?l, t?l,
или — что приводит к гомеоморфному пространству — как
кослой пары ((СХ х Y) U (X х CY), (Сх0 х у0) U (*„ X Су„)) (ко-
(конусы не приведенные!), где х0 и у0—отмеченные точки про-
пространств А и К соответственно. Для пространства X*Y
это приводит к дополнительному отождествлению всех
точек вида <я0, t, yo>, t ? / (в отмеченную точку этого
пространства).
В случае, когда требуется подчеркнуть различие
между операциями т и * в категориях ТОР и ТОР', мы
будем обозначать результат применения этих операций
к пунктированным пространствам (X, ха) и (Y, у0) симво-
символами (X, хо)т(У, г/0) и (X, x())*(Y, yn) соответственно.
Заметим, что если пространства (X, хй) и (Y, у0)
гладко пунктированы, то пространства (X, xo)t(Y, y0)
и (X, хо)*(У, у0) гомотопически эквивалентны простран-
пространствам X т Y и X * У.
Конечно, если пространства X и Y хаусдорфовы и ло-
локально компактны, то X-^Y-~=X*Y и в категории ТОР'.
Теперь мы можем дать определение умножения Уайт-
хеда в его естественной общности.
Пусть А, В и X— произвольные пунктированные
пространства. Для любых двух отображений /: S'A—>X
и g: S'B—^Х мы в соответствии с формулой A2) лекции 4

190 ОБОБЩЁННОЕ УМНОЖЕНИЕ УАЙТХЕДА
определим отображение h: Лт В—* X формулами
h ([a, tf, Ъ) = / [а, 1 - t]S, h (а, [Ь, if) = g[b,l- tf,
т. е. — в другой интерпретации пространства А т В - фор-
формулой
( g[ft, 2i\s, если 0</<1/2,
*.<[«. /г. [Ь, i-<n-{ ^ Д,п если 1/2в;(<,.
Впрочем, мы предпочтем вместо отображения h рассмат-
рассматривать его композицию с отображением B) (построенным
для пространств А и В), т. е. отображение
определенное формулой
g[b, 2t], если 0<*<1/2,
G) [/.«1<й./.*> = | /[ai.2-2^ если 1/2«<1,
где a6А, Ъ$В, t?l.
Уже известное нам рассуждение (опирающееся на
лемму 1 из Дополнения к лекции 1.4) показывает, что
для любых гомотопий /т: S'A—y-X, gx: S'B—+X отобра-
отображения [/т, ^г] составляют гомотопию из А*В в X, свя-
связывающую отображение [/„, go\ с отображением [flt gj].
Поэтому гомотопический класс отображения [f, gj зависит
только от гомотопических классов a?[S\4, Х\' и Рб
^ [S'B, Xf отображений fug. Обозначив этот класс
через [а, р4], мы, следовательно, получим отображение
.(8) [S-A,XYx[S-B,X]'-+[A»B,X]m, (а,Р)н->[а,р].
Сравнение определений показылает, что при А = S'1,
В = 5Л~1 (и, значит, при А*В = 5"'+п) это произведение
является не чем иным, как умножением Уайтхеда из лек-
лекции 4.
Отображение (8) и в общем случае мы будем называть
умножением Уайтхеда, а гомотопический класс [a, P] —
произведением Уайтхеда гомотопических классов а и р.
Ключом к доказательству теоремы 1 лекции 4 является
возможность дать умножению Уайтхеда равносильное
определение, делающее утверждения этой теоремы почти
очевидными. Для этого мы должны связать джойн-умно-
жение * со смеш-умножением /\.

КОНСТРУКЦИЯ ХОПФЛ 191
Каждое пунктированное отображение f: АхВ—+С
определяет по формуле
= [/(а, &),/], а?А, b?B, t?l,
некоторое отображение
(9) Ж {f): A*B-+S'C.
Определение 2. Об отображении Ж (/) говорят, что
оно получено применением к отображению / конструкции
Хопфа.
В частности, нас будет интересовать отображение
ЖЦ): A*B-+S'(A/\B), <a, t, by^\a/\b, t],
получающееся применением конструкции Хопфа к отобра-
отображению факторизации /: Ах В—>-А/\В.
Непосредственная проверка показывает, что это ото-
отображение является относительным гомеоморфизмом
), pt),
где Q — подпространство пространства А * В, состоящее
из таких точек <,a,t,b>, что либо а = а0, либо b = bB,
и потому индуцирует гомеоморфизм
(A*B)/Q~^ S'(AAB).
Но легко видеть, что пространство Q естественно
гомеоморфно букету С'АуС'В и потому стягиваемо.
Кроме того, если пространства X и Y гладко пунктиро-
ванны, и, значит (как нетрудно показать, используя,
скажем, результаты лекции 1.3), пара (А*В, Q) является
парой Борсука, то, согласно лемме 6 лекции 1.4, отобра-
отображение факторизации
A*B-+(A*B)/Q
будет гомотопической эквивалентностью. Значит, гомото-
гомотопической эквивалентностью будет и отображение Ж(\).
Для удобства ссылок мы сформулируем этот результат
в виде отдельной леммы:
Лемма 1. Для любых гладко пунктированных прост-
пространств А и В отображение
A0) Ж{\): A*B-+S'(AAB), <a, t, Ь>*-+[аАЬ, t],
является гомотопической эквивалентностью. ?

192 ДЖОЙН ОТОБРАЖЕНИЙ И ГОМОТОПИЧЕСКИХ КЛАССОВ
Для произвольных отображений f: A—+X н g: B—*Y
категорий ТОР или ТОР' формула
корректно определяет отображение f»g: Ах В —* X*Y
(той же категории ТОР или ТОР'), и соответствия
(А, В) н-> А *В, (/, g)>—*'f*g, составляют, очевидно, дву-
двуместный * функтор из категории ТОР (категории ТОР')
в себя. При этом для любых гомотопий /т: А—+Х,
gx: В—уУ отображения fx*gx составляют гомотопию из
А * В в X * Y (функтор * гомотопически инвариантен).
Следовательно (для определенности мы ограничиваемся
категорией ТОР"), для любых элементов a — [f]'?[A, X]',
Р-[#]"€[Я, У]" формула а*р = [/*§¦]' корректно опре-
определяет элемент а*Р?[Л*5, XxY]'. Этот элемент назы-
называется джойном гомотопических классов а и р.
Ясно, что соответствия (A, B)t-> А*5, (а, Р) i—»-ахР,
составляют двуместный функтор из категории [ТОР']
в себя. Гомотопическая эквивалентность A0) осуще-
осуществляет, очевидно (на подкатегории гладко пунктирован-
пунктированных пространств), изоморфизм этого функтора с функтором
(А, В) I—*S* (А/\В), так что, отождествив посредством
изоморфизма $6(])х: [5' (ЛДЯ), Х\^-\АхВ, X] группу
[S'(A/\B), X]' с группой \A»B,~X]'i мы для любых
элементов а?[А, X]', pg[S, Y]' будем иметь равенство
A1) а*р = ?(
Поэтому в силу коммутативности и ассоциативности опе-
операции Д (см. Дополнение к лекции 4) операция
A2) [А,Х]-х[В,У]--+[Л*В,Х*У]\ (а,
коммутативна и ассоциативна (после соответствующих
отождествлений и, конечно, при условии, что для рас-
рассматриваемых пространств эти отождествления возможны).
i ' При A —Sp, B~Si операция A2) в силу отождест-
отождествления Sp#S" -=Sp+i + 1 имеет вид
A3) npXxn,Y-*np+9+1(X*Y), (а,
Эта операция связана с соответствующей операцией Д
(т. е. с операцией C) из Дополнения к лекции 4) той же
формулой A1). Поэтому операция A3) ассоциативна
и дистрибутивна относительно сложения (и, значит,
определяет гомоморфизм ЯрХ®л,К —>np + ,1+l (X*Y),
0Р>а*Р). Кроме того, операция A3) косоком-

ДЖОЙН ОТОБРАЖЕНИЙ И ГОМОТОПИЧЕСКИХ КЛАССОВ 193
мутативна:
|3#а = (—\y<ta*$ для любых элементов а?прХ, Р(?л,,У.
Наконец, при X S и Y — S" мы в силу отожде-
отождествления X*Y — Sm+"+1 получаем операцию
A4) я^-хя^" —яя + 7+15"+»+\ (а, р)к^а*р,
которая ассоциативна, дистрибутивна относительно сло-
сложения и удовлетворяет тождеству
Р*ос-=(—1
Предложение 1. Для любых гомотопических классов
в группе [А * 5, X]' имеет место равенство
A5) [То?а, во?р] = [7,в]о(а.р).
Доказательство. По определению для любой
точки <а, t, by ?A*B
]у°Еа, 6o?p]<fl, t,b> -
_| FoEfi)[b,2t] = [(8ofL)(b), 2t\, если 0</<1/2,
~"\ (yoEa)[a,2-2t]---.[(yoa)(a),2 — 2t], если 1/2</<1
(для упрощения формул мы здесь позволяем себе обозна-
обозначить отображения той же буквой, что и их гомотопи-
гомотопические классы), и аналогично
([у, б] о (а»Р)) <а, •/, ft> -[у, б]<а (а), t, P F)> =
. _ ( [(вор)(&), 2^, если 0<^< 1/2,
= i [G0 а) (а), 2-2/], если 1/2</<1. D
Формула A5) имеет место, в частности, при aQtipS1"'1,
Рбя^"-1, 7€ялХ и б€я„К (или 7€я^, б€я„5*);
только, конечно, в этом случае умножение [ , ] нужно
понимать в первоначальном, не обобщенном смысле,
а операцией * считать операцию A3) (или операцию A4)).
Альтернативное определение умножения Уайтхеда
основывается на рассмотрении последовательности
A6) pt-уS' (А VВ) -'¦ * S' (AxB)^iS'(АА-В) — pt,
где i: А\/В—>- Ах В -каноническое вложение, a j: Ах
хВ~*А/\В каноническое отображение факторизации.
1 М М. Постников

194 АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ УМНОЖЕНИЯ
Заметим, что отображение S'j является относительным
гомеоморфизмом
(S'(AxB), S'(AvB))-*(Sm(AAB), pt)
и потому индуцирует гомеоморфизм
S' (A xB)/S'(A\jB)-^S'(AAB).
Полезно также иметь в виду, что формулы
[alt t]*-+[a, t]lt [Ь„, t]*+\b, t]u, a?A, b^B, t?l,
определяют естественный гомеоморфизм
A7) S'(A\JB)-+ S'AVS'B
(в дальнейшем мы всегда будем пссредством этого гомео-
гомеоморфизма отождествлять S'(A\/B) с S'A\/S'B).
Лемма 2. Для гладко пунктированных пространств
А и В:
а) букет S'A\JS'B-~S'(A\/B) является ретрактом
надстройки S' (АхВ);
б) последовательность A6) является котонной расщеп-
расщепляющейся последовательностью;
в) надстройка S' (А х В) гомотопически эквивалентна
букету
S-A\/S'B\JS'(AAB).
Доказательство. Так как пара (АхВ, А\/В),
а значит, и пара (S' (АхВ), S'(A\JB)), является парой
Борсука, то из а) следует б), а из б) следует в) (см.
Дополнение к лекции 1.5; последовательность A6) яв-
является, очевидно, последовательностью Н-когрупп). Кроме
того, по той же причине утверждение а) достаточно
доказать лишь в категории ТОР, т. е. достаточно найти
такое отображение г: S'(A xB)~>S' (А \/В), что roS't—id.
Пусть
i AАВ \пв: В—>-А\/В
— канонические вложения, а
ргд: АхВ-* А, рг„: АхВ—*В
— канонические проекции. Так как пространство S' (Ах В)
является Н-когруппой, то для отображений
S'in^oS'pr,,: S'(АхВ)-+S'AVS'B,
S'inR о 5>„: S" (Ах В) — S'A\jS'B

АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ УМНОЖЕНИЯ 195
определена их сумма r = S' pr^-f-S" prB, также представ-
представляющая собой отображение S' (А х В) —>¦ 5" (АVВ). При
этом
с-/ • иг л ( fa^' есЛИ
для любой точки [a, <]?S. Это означает, что
г о S' (i о in^) -= 5' (in^) -(- const относительно стандартного
коумножения в Н-когругще S' А, и потому
г oS' (ioinA) ~S'(\nA).
Аналогично показывается, что
г о S' (( о inw) ~ S* (тн).
Поэтому
г о S'i - - г о S' (i о (in^ V 1пд)) —
. = г о S' (/ о in/,)V о 5* (t о ina) -~
ибо !пдв
Следспвиг 1. Для лю'юго пунктированного прост-
пространства X гомоморфизм
(S-j)*: [S'(AAB), X]-^[S'(AxB). X]',
[/]•—[/° S-/T,
является мономорфизмом.
Доказательство. Коточность последовательности
A6) означает, что имеет место точная последовательность
групп
t)-*[S-(AAB), X]'— hi[S-(AxB), X}-~>
[S-(AVB), XY-+ 0. ~]
Пусть теперь а?[5"Л, X]' и Рб[5'5, X]'. Рассмотрим
в группе [S'(AxB), X]' элементы
а - E- рг^^а -.- ao[S- pr,], f- (S' ргя)^==ро[5' рг,]
п их коммутатор
(а, р).-.« + р-а-?
(мы пользуемся аддитивной записью группы [S (Ах В), X]';
для обозначения коммутатора используем круглые скобки,
7*

196 АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ УМНОЖЕНИЯ
чтобы избежать путаницы с умножением Уайтхеда). Оче-
Очевидно, что в группе
[S'(A\/B), Х]* = [.
элемент E)ха = ао[5'ргло5*1] = ао[5"(ргдо;)] принад-
принадлежит первому слагаемому, а аналогичный элемент
(S7)xp = |3o[S*(prsoi)]—второму. Следовательно, эти эле-
элементы перестановочны, и их коммутатор ((S'i)x a, (S'i)x Р)=
— (S'i)x(a, P) равен нулю. Поэтому существует (един-
(единственный!) элемент [а, ?>]' ?[S' (А/\В), X]', удовлетво-
удовлетворяющий соотношению
A8) (S'j)x[a, р*]' = (а, P).
Теорема 1. Для любых элементов a€[S'A, X]',
Р € [SB, X]' в группе \А#В, X]* имеет место равенство
A9) #(/)*[«. Р]' = [а, PJ.
где Ж{\)х: [S\A/\B), X]'-+[A*B, X]'—изоморфизм,
индуцированный гомотопической эквивалентностью /10).
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
А*В
*ф
S'(AaB)
где / и g—отображения классов а и Р, Г/, g]—отобра-
g]—отображение G), h—отображение класса [а, Р] , $?(/)—гомо-
$?(/)—гомотопическая эквивалентность A0), a k—отображение, оп-
определенное формулой
k<fl, (, 6> = [(а, b), t], a?A, b?B, t?l
(т. е. являющееся результатом ^(id) применения кон-
конструкции Хопфа к тождественному отображению id: A x
хВ—>АхВ). Так как левый треугольник этой диа-
диаграммы, очевидно, коммутативен (S'/o$f (id) = 5?(/)), а
равенство A9) означает гомотопическую коммутативность
ее правого треугольника, и, кроме того, по определению,
[hoS'j]' = (S'j)x[a, P]'=-(a, ]J), то для доказательства

АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ УМНОЖЕНИЯ 197
георемы 1 достаточно показать, что отображение [/, g]
гомотопно отображению (/, g)ok, где (/, g)—отображе-
g)—отображение S' (АхВ) —* X, определенное формулой
( f[a, it], если 0<*<1/4,
(/ j?) F (о ^) /1== л ^"~ """** '
\/i6 l\ > /> j I ij-q^ з—4f], если 1/2^/^3/4,
{ g[b, 4—4/], если 3/4</<1
(и принадлежащее, очевидно, классу (а, E)). С этой целью
мы рассмотрим гомотопии Fx: А*В —<-Л*В и 0х: А*В—+
—+ X, О^т^ 1, определенные формулами
<а, A— x)t, by, если 0</<1/4,
Fx<.a, t, by-r--\ <a, xt + t — x/2, by, если 1/4</<3/4,
<а, A—x)t-\-x, by, если 3/4^/^1,
( f[a, D/— 1)т+ 1], если 0</<1/4,
С, гп t hs-\ 8[b, «-!]. если 1/4</<1/2,
ит<а, г, o>-j ^ з__4*], если 1/2</<3/4,
[ g[b, C—4/)т+1], если 3/4</<1/2,
где а?А, b^B, t, t^/. Непосредственная проверка
показывает, что Fo»= id, [/, g\oFx -¦. Go и Gx == (/, ^)o^. Сле-
Следовательно, [/, g] ~ [/, g]o^. ?
Таким образом, равенства A8) и A9) дают нам но-
новое определение умножения Уайтхеда (8) (в предположе-
предположении, что пространства А и В гладко пунктированы).
Оно отличается тем, что даже в классическом случае
Л - Sm~l, В ¦¦- Sn~l в нем участвует не гомотопическая
группа [S#(SM-1xSn-1), X]'.
Определение произведения [а, Р]' можно сформулиро-
сформулировать и по-другому, если, воспользовавшись сопряжен-
сопряженностью между функторами S" и Q, трактовать отображе-
пия /. g и п к^к отображения соответственно из А, В
и А/\В в QX.
Пусть
Ф = Ф2:
—- коммутаторное отображение (см. Дополнение к лек-
лекции 1.4). Так как q>\axvQx ~ const, то в случае, когда
пространство X гладко пунктировано—и, значит, пара
~"С, QX\/Q:X) является парой Борсука,'—отобра-

198 АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ УМНОЖЕНИЯ
жение ф гомотопно отображению
с: OXxQX->QX,
обладающему тем свойством, что c\qx\/qx — const, и по-
потому индуцирующему отображение QX/\QX.—fQX, кото-
которое мы также будем обозначать символом с. Тем же сим-
символом с мы будем обозначать и гомотопический класс
этого отображения.
В этих обозначениях для любых двух отображений
/: А —1- QX и g: В —*¦ Q X будет иметь место гомотспиче-
ски коммутативная диаграмма
сверхнее» отображение co(fxg) которой с точностью до
гомотопии совпадает с отображением (/, g) (рассматри-
(рассматриваемым как отображение Ах В —»-QX), а значит, «ниж-
«нижнее» отображение co(f/\g)—с отображением h. Для гомо-
гомотопических классов а = [/]" и р — [g]' это означает, что
[а, р]'-со(аДР).
Замечание 2. В этой конструкции пространство ИХ
может быть заменено произвольной Н-группой К. Соот-
Соответствующая операция
[Л, К]'Х[В, К\--»[ААВ, К]\ (а, р)^Со
называется умножением Самельсона.
Алгебраические свойства умножения Уайтхеда естест-
естественно выводить с помощью формул A8) и A9) из алге-
алгебраических свойств коммутаторов. Известно (и автома-
автоматически проверяется непосредственным подсчетом), что
в любой группе G коммутаторы
(a, b) = a + b—а—Ъ
(мы по-прежнему пользуемся аддитивной записью) удов-
удовлетворяют следующим соотношениям (где ху обозначает

КОСОКОММУТАТИВНОСТЬ УМНОЖЕНИЯ УЛЙТХЕДА 199
элемент х-\-у—х):
B0) (а,.Ь)=*-(Ь,а),
(а, Ь + с) = (а, Ь) + (а, с) + ((с, а), Ь),
> (а + Ь, с) = (&, с) + ((с, Ъ), а) + (а, с),
B2) ((а, Ь), с) + с((а, Ь), {-с, Ъ)) +
Ь, с), а) + а((Ь, с), (-а, с)) +
, а), Ь) + Ь((с, а), (_&, а))-0.
Для любых элементов ag[SM, X]* и Рб[5*5, XJ*
мы можем построить элементы аир как в группе
|S*(Axfl), X]\ так и в группе [S'(BxA), X]'; и тогда,
как непосредственно следует из коммутативности диаграмм
где Т—гомеоморфизм (Ь, а)•—>(а, Ь) перестановки множи-
множителей, для изоморфизма
(FT)*: [S'(AxB), X]' —[5*EхЛ), X]'
будут иметь место равенства
(ST)*a = a и EТ)^р = Р,
а значит, и равенство
Так как для гомеоморфизма В/\А —+ А/\В, индуциро-
индуцированного гомеоморфизмом Т (и обозначаемого тем же сим-
нолом Т), имеет место коммутативная диаграмма
вертикальные стрелки которой являются каноническими
отображениями факторизации, то в силу формулы B0)
для элемента [Р, о]' группы [S'(B/\A), X]' будут иметь
место равенства
-- - (ST)* E*/)х [а, РГ = ~(S-})X (S-T)* [а, Р]',

200 КОСОКОММУТАТИВНОСТЬ УМНОЖЕНИЯ УАЙТХЕДА
и, значит, — равенство
B3) [р, a]'~-(S"IY[a, р]\
Чтобы снять в этой формуле штрихи, мы рассмотрим
диаграмму
В*А
| ут ^ 1
S-(BA A)'-+ S\(A Л В) ±S-(A Д В)
где 7 в верхней строчке—гомеоморфизм <&, /, a>i—>•
t—><a, 1 — t, b>, a?A, b?B, •/(?/, а ц—гомеоморфизм
обращения [л:, t]i—*-[x, I—t], х?А/\В, t$I. Эта диа-
диаграмма, очевидно, коммутативна и потому
[р, a]~
= 96 UV (ST)*ц* [а, Р]' = Г^ (/)* [а, Р]' - Т^ [а, р]
(напомним, что, по определению, — ? = |лх? для любого
элемента t€[S'(AAB), X]').
Тем самым доказано, что
B4) [Р, а] -Г*[а, Р] ¦
для любых элементов a?[S'A, XV и Pg[S*B, X]', где
Тх—изоморфизм [А*В, X] —*[В*А, X]', индуцированный
отображением Т: В*А —>А*В.
Пусть теперь А = S", B^S". Тогда, как мы
знаем, после отождествлений пространств А*В и В*А со
сферой S"»+n+1 отображение Т оказывается гомеоморфиз-
гомеоморфизмом степени (—l)"", и потому формула B4) переходит
в формулу A5') лекции 4. Тем самым эта формула пол-
полностью доказана, р
Чтобы аналогичным образом воспользоваться форму-
формулами B1), мы предположим, что пространства А и В
сами являются надстройками (и, значит, cat A = cat В =
= 1; см. Дополнение к лекции 1.4). Тогда, согласно
теореме Басси (следствие 2 леммы 2 из Дополнения к
лекции 1.4),
cat (A xB) < cat (SM) + cat (S'B) = 2,
и потому, согласно предложению 4 (и замечанию 7) и:<
Дополнения к лекции 1.4, если пространство X, а по-

БИЛИНЕЙНОСТЬ УМНОЖЕНИЯ УАЙТХЕДА 201
тому и пространство QX, гладко пуиктированно, то
nil[S'(AxB), X]'=~-nil[AxB,
и, значит, в группе [S'(^xB), X]' любой двойной ком-
коммутатор равен нулю. В частности, для любых элементов
*, «1, *»?}§'А, X]' и р, р„ p,e[S*B, XT в группе
) S'(A х В), X]' будут име?ь место равенства
((Р.. «). Pi) = 0, ¦ (ф, а„), а,) , 0,
а значит (см. формулы B1)), и равенства ,
(a, Pi + P,) = (a, &) + («. Pi),
К + а,, P) = («.
Переходя в группу [S'(A/\B), X]'-=[А*В, X]', мы немед-
немедленно получаем (учитывая абелевость этой группы), что
для произведений Уайтхеда имеют место аналогичные
формулы
,25, ["• Pi + P.]~[«. PiM«. P.].
1 ; . [«i+a2, P]-[alf
т. е. что (при сделанных предположениях) умножение
Уайтхеда билинейно.
В частности, при A^Sm-\ m^2, h-B = S"-1, n>2,
это доказывает формулы A4) из теоремц 1 лекции 4
(поскольку предположение, что пространство X гладко
пунктированно, очевидным образом не влияет на общ-
общность этих формул).
Таким образом, чтобы завершить доказательство тео-
теоремы 1 лекции 4, нам осталось доказать лишь формулу
A6) (а точнее формулу A6")) лекции 4. Мы докажем ее
аналог в рассматриваемом сейчас общем случае для гомо-
гомотопических классов a € [S'A, X]', р 6 [S'B, X]', у € [S'C, X]"
при дополнительном.—строго, говоря, не необходимом —
предположении, что (гладко . пунктированные) простран-
пространства А, В, С хаусдорфовы и локально компактны, и,
значит, что для них имеют место отождествления
B6)
(см. Дополнение к лекции 4).

202 ТОЖДЕСТВО ЯКОБИ ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ УЛЙТХЕДЛ
Рассмотрим диаграмму
АхВхС— ^АА(ВхС)
Idx/I lidA'
Ах(ВаС)—-А(В
в которой горизонтальные стрелки являются канониче-
каноническими отображениями факторизации, а /—каноническим
отображением факторизации ВхС —*¦ В/\С. Эта диа-
диаграмма, очевидно, коммутативна, и потому для любого
пунктированного пространства X она индуцирует ком-
коммутативную диаграмму групп
[S'(A ABAC), Xyi!2i[S'(Ax(BAC)), X]
B7) <S-<ldA/»Xj x (S'UdX/))*
[S'(AA(BxC)), X)y?i2^[S'(AxBxC), X]
В силу отождествлений B6) левый вертикальный гомо-
гомоморфизм (S'(id/\/))x этой диаграммы совпадает с гомо-
гомоморфизмом (id/\S'j)x, индуцированным отображением
'j: AAS'(BxC)-+AAS'(BAC).
С другой стороны, умножив на А коточную расщепляю-
расщепляющуюся последовательность
pt — S*(B\/C) S- S' {BxC)^l S'(BAC) -^ pt
(см. лемму 2), мы получим,—очевидно, также расщепляю-
расщепляющуюся—последовательность Н-когрупп
IdAS'i IdASV
AS-+AAS'(BAC)-+pt.
Поэтому, в частности, гомоморфизм (idAS'j)x, а следова-
следовательно, и гомоморфизм (S'(idA/))x, будет мономорфизмом.
Поскольку, согласно следствию 1 леммы 2, горизон-
горизонтальные гомоморфизмы диаграммы B7) также являются
мономорфизмами, мы получаем, таким образом, что эта
диаграмма состоит только из мономорфизмов. Поэтому
все группы этой диаграммы—и, в частности, группу
[S' (АаВаС), X]'—мы можем считать подгруппами группы
[S'(AxBxC), Х]\ НУ Vy

ТОЖДЕСТВО ЯКОБИ ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ УАЙТХЕДА 203
Очевидное вычисление показывает, что рассматри-
рассматриваемый как элемент группы [S*(АхВхС), X] элемент
|]а, Р]',_7У_будет не чем иным, как двойным коммута-
коммутатором ((а, Р), у) элементов
(.28) 5-ао[Ургд], р-=Po[S-pre], v = 7o[S"prc],
где рг^, ргя, ргс—канонические проекции пространства
ЛхВхС на пространства А, В, С соответственно.
Аналогично, в группе [S' (В/\САА), X]' определен
элемент IJP, у]', а]', а в группе [S' (С/\А/\В), X]'—
элемент [[у, a]', PJ', причем в группах [S'(ВхСх Л), X]'
и [S' (СхАхВ), X]' будут иметь место равенства
[[Р. V]'. «]' = ((Р. Y). «) и [[у, a]', P]'-((f, а), р),
где элементы а, р, ^ определены теми же формулами B8)
с тем лишь отличием, что, скажем, под ртА в них пони-
понимается соответственно проекция ВхСхА-* А или про-
проекция С х А х В —*¦ А. Для ясности эти элементы в группе
\S'(ВхСхА), X]' мы обозначим символами аи Pj, Yi» a
в группе [S"(Cx/4x5>, X]'—символами а2, Р„ Va-
Если
7V АхВхС^ВхСхА, (а, ft, c)^»(b, с, а),
к ' Т2: АхВхС^СхАхВ, (а, Ь, с)^-(с, а, Ь),
-гомеоморфизмы перестановки множителей, то соответ-
соответствующие изоморфизмы групп
(S'TJ*: [S-(BxCxA), X]'-+[S-(AxBxC), X]',
(S'Tt)x:[S'(CxAxB), X]'-+[S-(AxBxC), X]'
будут переводить элементы <х{, р/( 7;. t = 1,2, в^лементы
а, р", у и, значит, коммутаторы ((fiujfi)^) и ((у~2, а8), Р„)
в коммутаторы ((Р, у), а) и ((у, а), Р). Поэтому, если
в группе [S*(АхВхС), X]' имеет место равенство
C0) ((а, Р), f) + ((P, Т). «) + ((Y. «). Й-0,
то будет иметь место и равенство
которое мы можем переписать—как равенство в подгруппе
\S' (AABAQ, X]'—в следующем виде:
C1) [[а,р]\

204 ТОЖДЕСТВО ЯКОБИ ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ УЛЙТХЕДЛ
где теперь 7\ и Тг—гомерморфизмы А /\В /\С —+ В /\С /\А
и А/\В/\С—>С/\А/\В, индуцированные гомеоморфиз-
гомеоморфизмами B9). С другой стороны, из тождества B2) следует,
что, для того чтобы в группе [S'Dx?xC), X}' имело
место равенство C0), достаточно, чтобы в этой группе
имели место равенства
C2) ((о, Р), (о, V))=O,_ (]v, а), (у, р))=0,
((Р, у), ф, а)) = 0.
Имея это в виду, мы заметим, что формулы а/\Ф, c)i—»•
y—*-af\b, й/\{Ь, с)*-*а/\с корректно определяют непре-
непрерывные отображения
рг„лс:
замыкающие коммутативную диаграмму
Ахв'^АхВхС
гДе /и /а. /*—канонические отображения факторизации.
В соответствующей коммутативной диаграмме групп
(
, X)'
, xy
), xy
все вертикальные стрелки являются, согласно следствию 1
леммы2, мономорфизмами. Пусть [а, Р] = (S' рГА^в)х[а< Р]'.
[а, 7]=.(S'prJ4Ac);f [а. тГ- Тогда в силу коммутативности
диаграммы C3)
и_аналогичн? (S'jt)x[a, y] = (ot, у). Поэтому коммутаторы
(а, р) и (а, v) "тогда и только тогда перестановочны, когда
перестановочны элементы [а, р] и [а, у] группы [S* (А Д
Д(ВхС)), X]*. В частности, эти коммутаторы перестано-
перестановочны, если группа [S* (ЛД(ВхС)), X]' абедева.,

ТОЖДЕСТВО ЯКОБИ ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ УАЙТХЕДА 205
Но в силу экспоненциального закона для пунктиро-
пунктированных отображений (применимого ввиду предположен-
предположенной локальной компактности и хаусдорфовости простран-
пространства А) группа [S* (А Д (В х С)), X}'= [S'AA(BxC), X]'
изоморфна группе [S'A, XRv<:\'. Называя Н-когруппу
К абелевой, если для любого пространства X группа
\К, X]' абелева, мы получаем, следовательно, что для
выполнения первого из равенстй C2) достаточно, чтобы
Н-когруппа S'A была абелева. По симметрии для выпол-
выполнения всех равенств C2) достаточно, чтобы были абелевы
все три Н-когруппы S'A, S'B и S'C.
Поскольку из равенств. C2) вытекает равенство C0),
а значит и равенство C1), этим доказано, что если Н-ко-
Н-когруппы S'A, S'B и S'C абелевы, то для любого пункти-
пунктированного пространства X в группе [S'(А/\В/\С), X]'
имеет место тождество Якоби C1).
Условие абелевости, конечно, выполнено для двойных
надстроек S'A', S2B', S*C и, в частности, для сфер 5',
5" и S" при /, т, п^2. Так как в последнем случае
в силу отождествлений
действие операторов ¦ (S"Tj)-Y и (S'Tt)x сводится к умно-
умножению соответственно на (—i)(i-w <»»+»-« e(—\yi-i)im+n)
и на (—l)'"-!'(<+m) • этим доказано, что для любых эле-
элементов а?я,Х, р^я^Х и у^ппХ имеет место равенство
[[«. Р], тЖ-1)"-""*+л)[[р\ у], «]+
равносильное формуле A6) лекции 4.
Тем самым теорема 1 лекции 4 наконец-то полностью
доказана. СИ
Замечание 3. Легко доказывается, что в нильпо-
тентной группе G с nil G < п равны единице не только
правосторонние, но и любые n-кратные коммутаторы.
Поэтому для доказательства равенств C2) достаточно
доказать, что nil[5* (Л хВхС), Х]<4. Для случая,
когда пространства А, В и С являются надстройками
(а пространство X гладко пунктированно), это может быть
доказано уже известным нам образом с помощью резуль-
результатов Дополнения к лекции 1,4, (Ср. с доказательством
формул B5).). , ¦ .

206 ПРОСТРАНСТВО SQSX
Вопрос: достаточно ли для билинейности умноже-
умножения Уайтхеда условия абелевости Н-когрупп S'A, S'B
и S'O
Замечание 4. Существуют пространства А, не
являющиеся надстройками и даже Н-коунитоидами, для
которых Н-когруппа S'A абелева. Примером является
пространство A = ?'+"I+"-1Ua(S'VSraVS'V где а =
= [[Ч. lJ. l«]. Для которого S'A ^ S'+1V5m+1V5"+1V
\/Sl+m+n.
ДОПОЛНЕНИЕ
. Пространство SQSX.—Пространство Q(AaSY).— Про-
Пространство Й (SXvSY).— Группы п„ (SX\/SY).~ Теорема
Хилтона—Милнора.
В этом Дополнении мы докажем замечательную тео-
теорему Хилтона—Милнора о группах nnS' (Хг\/ ... \/Х3).
Идейно простое доказательство этой теоремы с техниче-
технической стороны довольно сложно и громоздко. К несчастью,
напрашивающийся переход к пространству J(XX\/ • • • VXj
почти совсем не помогает, и потому пользоваться им мы
не будем.
Для упрощения формул мы будем в этом Дополнении
обозначать обобщенное произведение Уайтхеда [a, Р]' сим-
символом [а, р]. Кроме того, в случае, когда нам заданы
отображения fag классов а и р, мы позволим себе
обозначать произвольное отображение класса [a, P] сим-
символом [/, g]. (Таким образом, в отличие от нашей общей
практики, символ [/, g] будет обозначать не конкретное,
индивидуальное отображение, а отображение, заданное
с точностью до гомотопии.)
Наконец, вместо S'X и С'Х мы будем писать просто
SX и СХ.
Теорема Хилтона—Милнора доказывается индуктив-
индуктивным процессом, на каждом шаге которого от простран-
пространства QS (XtV. • -\/Xs) отщепляются слагаемые, асферич-
асферичные во все больших и больших размерностях. Для
описания этого процесса нам нужно в первую очередь
описать аналогичное отщепление для пространства SQSX.
Предложение 1. Для любого гладко пунктированного
связного пространства X пространство SQSX гомотопи-

пространство sasx 207
чески эквивалентно букету
A) SX\/S(XAQSX)~SX\/(XASQSX).
Доказательство. Мы докажем предложение 1,
построив цепочку гомотопических эквивалентностей, свя-
связывающую пространство SQSX с букетом A).
Шаг 1. Пусть С,_)Х и С( + )Х—подмножества над-
надстройки SX, состоящие из точек [х, t]s$SX, для кото-
которых 0s^sg;i/2 и l/2s^/<:i соответственно. Тогда
С(_,ХиС(+)Х =SX, C(_,X пС(+)Х = Х и формулы
определяют естественные гомеоморфизмы р(+): СХ —>¦ С(+ ,Х
и р(_,: СХ — С,_,Х.
Как правило, мы будем отождествлять С(+)Х с СХ
посредством гомеоморфизма р(+), и потому вместо С(+)Х
будем писать просто СХ.
Заметим, что поскольку СХ ^ pt, пара (SX, СХ) =
= (SX, С(+,Х) гомотопически эквивалентна паре (SX, л:0).
Гомотопическую эквивалентность
р: (SX, CX)-+(SX, *0)
можно задать, например, формулой
p[x<t]J I*.*], если 0<^1/2, xexta
^L J \ xn, если 1/2</<1,
(Напомним, что символом х0 мы обозначаем отмеченную
точку как в X, так и в SX. Отображение р является не
чем иным, как суммой id -f- const тождественного и по-
постоянного отображений SX—-SX по отношению к стан-
стандартному коумножению в SX.)
В отличие от лекции 1.1, мы будем теперь символом Р
обозначать функтор из TOPJ в ТОР', сопоставляющий
произвольной пунктированной паре (X, А, х0) простран-
пространство Р(Х, А) всех путей в X, начинающихся в точке х0
и кончающихся в подпространстве А (так что, в частно-
частности, Р(Х, Х) = РХ и /»(Х, xo) = QX). Ясно, что подобно
функтору S: ТОР'—>ТОР' этот функтор переводит гомо-
топии в гомотопии и, значит, сохраняет гомотопические
эквивалентности. Поэтому тем же свойством обладает и
составной функтор
sp- top;—*top'.

208 пространство sasx
В частности, мы получаем, что отображение
gt = SPp: SP (SX, CX) --, SP (SX, x0) = SQSX
является гомотопической эквивалентностью.
Шаг 2. Пусть i: P(SX, CX) — PSX—естественное
вложение, и пусть
Ci = CP (SX, CX) U PSX
— его конус. Так как пространство PSX стягиваемо,
а пара (Ci, PSX) является парой Борсука, то отобра-
отображение факторизации
qt: Ci->Ci/PSX = SP(SX, CX)
является гомотопической эквивалентностью.
Ш а г 3. Пусть
С/ = CP (SX, Х)[)Р (SX, С,.,Х)
— конус естественного вложения /: Р (SX, X) —*Р (SX,
С,_,Х). Ясно, что CjcCi и CP (SX, X)cCP (SX, CX).
Поэтому имеет место коммутативная диаграмма
с/
4
а
-+Cj/CP(SX,
' 1*.
-+Ci/CP(SX,
X)
CX)
горизонтальные стрелки которой являются отображениями
факторизации, вертикальная стрелка qa—вложением, а
вертикальная стрелка qa индуцирована стрелкой qB.
Так как CP (SX, X) % pt и CP (SX, CX) % pt, а пары
(С/, CP(SX,X)) и (Ci, CP (SX, CX)) являются парами
Борсука (почему?), то горизонтальные стрелки этой диа-
диаграммы являются гомотопическими эквивалентностями,
и, значит, отображение qa будет гомотопической эквива-
эквивалентностью одновременно с отображением qa.
С другой стороны, в силу естественных отождествлений
Cj/CP(SX, X)=*P(SX, Ci_)X)/P(SX, X)
и
Ci/CP(SX, CX)=PSX/P(SX, CX)
отображение qt является не чем иным, как отображением
P(SX, Ci_)X)/P(SX, X)-+PSX/P(SX, CX),

пространство sasx 209
индуцированным вложением P(SX, C,_,X)cPSX, и. по-
поэтому в силу равенств
PSX - Р (SX, СХ) U Р (SX, С(_,Х)
Р (SX, X) = P (SX, СХ) л Р (SX, С(_,Х)
представляет собой гомеоморфизм (а значит, и гомотопи-
гомотопическую эквивалентность).
Этим доказано, что вложение
q3: Cj-^Cl
является гомотопической'эквивалентностью.
Шаг 4. Обозначив для каждой точки [х, t]c?CX
символом |[л:, t] путь в SX, заданный формулой
(этот путь соединяет, очевидно, точку xo$SX с точкой
Р(->[*» ^])> определим отображения
a: QSXxCX-+P(SX, С(_,Х),
P = PiXpa: P(SX, C(_,X)->QSXxCX,
положив для любых точек u^QSX, Где, t]?CX и v?
€/>(SX C(_,X)
¦а(и, [*.'D-и-Ц*.'].
где • обозначает умножение путей в SX. Так как
(Роо)(«, [л:, <]) = («.?[*, ^].6[х, <]-*, [*, ^]),
то роа ^ id и аор /— id, т. е. отображения аи Р явля-
являются взаимно обратными гомотопическими эквивалентно-
гтями.
Эти гомотопические эквивалентности согласованы с вло-
вложениями ХсСХ и P(SX, X)cP(SX, C(_,X) и потому
индуцируют взаимно обратные гомотопические эквива-
эквивалентности
а0: QSXxX-+P(SX, X) и р0: Р (SX, X) ~>ftSXxX.
(Например, эквивалентность а0 определяется формулой
а„(ц, х) = и-|дс,'где gx—путь sf->[*. s/2] в SX.)
Пусть теперь
Ck = C(QSXxX)V(QSXxCX)

210 пространство sasx
— конус вложения k: QSXxX—>-QSXxCX, и пусть q4:
Ck—* Cj — отображение, совпадающее на QSXxCX с ото-
отображением а, а на C(flSXxX)—с отображением Са0.
Из того, что отображения а и а„ представляют собой
гомотопические эквивалентности, непосредственно выте-
вытекает, что отображение
<74: Ck-*Cj
является гомотопической эквивалентностью.
Шаг 5. Вспомнив, что джойн X*QSX пространств X
и QSX состоит из точек вида <*,• f, и>, где х^Х, ^€Л
m^QSX, мы определим отображение
q6: SX\/{X*QSX)-+Ck
формулами
?»[*. <]i =
_/ @,., [х, 1-2*]с), если 0<г<1/2, гг
-\[(OXo,x),2t-\f, если 1/2</<1, l*
eJ ^ <1/2
\ (u, j>, 2/ — 1]с), если 1/2</<1,
Легко видеть, что отображение qb определено корректно
и, значит, является непрерывным отображением.
Для исследования отображения qb удобно ввести в рас-
рассмотрение каноническую проекцию ргг: QSXxX—»-QSX и
ее конус
С ргх = С (Й5Х х X) U pr.flSX.
Ясно, что проекция QSX х СХ —> QSX и тождественное
отображение QSX X X —* QSX x X индуцируют непрерыв-
непрерывное отображение у: Ck—tCpr^ С другой стороны, ото-
отображение
С (QSX х X) LJ QSX — SX V (X * QSX),
определенное формулами
( <х, 1— 3/, и>„, если 0</<1/3,
[(u,x),t]^\ <x, 3t-\,0a.>lu если 1/3<^ <2/3,
[[л, 3/— 2]„ если 2/3<<<1,
и
ии-*<л;0, 1, ы>„, -

пространство sasx
211
где u$QSX, х?А, t?l, согласовано, очевидно, с ото-
отображением отождествления С (QSX х X) LJ QSX —+• Срг1(
и потому индуцирует некоторое отображение
Ср^ —SX V (X*QSX).
Пусть
Z: Ck-~SX\/(X»QSX)
-его композиция с отображением у. Непосредственное
вычисление показывает, что
(и,[х,1 — Щ, если 0<*<1/6,
[(ы, дс), 6^—1], если 1/6</<Г/3,
[@„, х), 3—6/], если 1/3<*<1/2,
] @вв, [х, 6/-3]), если 1/2</<2/3,
| @во, [дс, 5-6*]), если 2/3<г<5/6,
(Г@«о. *), 6/ — 5], если 5/6<*<1,
для любых ug^SX, хё^4, t?l. Поэтому гомотопия fs:
Ck-—>-Ck, 0^s<l, определенная формулами
(и,[х, 1-6/A+ 2s)]), если
[(и, х), 6//(l+2s) — 1], если
[(О,о, х),
если
и
если
и 0<s<l/2,
(pxt, [x, 5-6/]),
B + 5)/
[@Жв,*),6/-5],
если
если
<1 и
[@,0, х), 3-6/ + 4S], если
(l+2s)/3</<B + s)/3 и
[фХо,х), Fs/-7s+l)/(l-s)], если
3<1 и

212 пространство sasx
и
/Л". [*.']) = («. *о).
связывает отображение /0 --- g5 о ? с отображением /х, опре-
определенным формулами
(и, [х, 1 -2*]), если 0</<1/2,
f
hl.(«. х), t\ -<j
/,(и, [х, /])-=(«, х0).
В свою очередь гомотопия gs: Ck—+Ck, 0^s<; 1, опре-
определенная формулами
( (и, [х, s-2t]), _ если 0<*<s/2,
г»К«. *). *J--"J [(MiX)t B/_s)B —s)],
связывает отображение g0 — id с отображением gi — ft.
Следовательно, qb о ^ ~ id.
Аналогично
Хв=<^о. 1,0Жо>„,
^. 4—6Л 0Хо>,„ если 1/2-</<2/3,
Jf) 6/._4) 0^>([j если
[х, 6/ — 5J,, если
[х, 1—6f],, если
<х, 2—Ы, 0Лв>„, если
<х, 6f—2, и>,„ если 1/3<*<1/2,
<дс, 1, и>м, если 1/2^^^ 1,
для любых х$Х, /g/ и MgQSX. Поэтому гомотопия
hs: SX V (X * QSX) — 5Х V (X * QSX), 0 < s < 1,
определенная формулами
J <х, 1—6^+3s,0Xn>n, если s/2<*<2s/3,
hs[*, <]i" < <х> i +6/ — 5s, 0ж§>„, если 2s/3 < / < 5s/fi,
' [а, F^-Щ/\Ъ -Щ, если 5s/6< f < 1,

ПРОСТРАНСТВО SQSX 213
hs<x,i, «>„=--
( [x,2s — 6t — l]u если 0<*<Bs— 1)/б
(и l/2<s<1).
Ot, 2s -6/, 0А.р>,„ если Bs — l)/6 < / < s/3
(и, значит, 0^ts^s/2 при 0<s<l/2),
дс, <6/—2s)/F — 5s), ы>„,
если s/3 ^/<B —s)/2,
х, 1, «>„, если B — s)/2<*<1,
связывает тождественное отображение /i0 — id с отображе-
отображением hx ¦-=• ? о <75. Следовательно, ? о <76 ~ id.
Этим доказано, что отображение q6 является гомото-
гомотопической эквивалентностью (с обратной гомотопической
эквивалентностью ?).
Таким образом, пространство SQSX связано с прост-
пространством SX V (X * QSX) цепочкой гомотопических экви-
валентностей. Значит, эти пространства гомотопически
эквивалентны.
Для завершения доказательства предложения 1 остается
вспомнить, что, согласно лемме 2 лекции 5, пространство
X*?iSX гомотопически эквивалентно пространству
S(X/\QSX). П
Факт, утверждаемый предложением 1, впервые заметил,
по-видимому, Т. Ганя.
Заметим, что в процессе доказательства предложения 1
мы в явном виде построили некоторую гомотопическую
эквивалентность
• SX V S (X A QSX) -> SQSX
или, точнее, гомотопическую эквивалентность
q' * qx о qt о qs о q4 о qb; SX V (X * USX) —> Ck — Cj —
->C( - *SP(SX, CX)-* SQSX.
При этом автоматическое вычисление показывает, что на
слагаемом SX отображение q' задается формулой
| pt, • если 0<г.<1/2, ;¦:}
«'[*> ']i = 1 [QXa.i(x), 2/-1], если 1/2<^1,
гдек X->QSX—меридианное отображение i (x) (t)=[x, t]
(см. (лекцию 1.10). Эта формула означает, что на SX
отображение q' является (по отношению к стандартному

214 пространство sasx
коумножению в SX) суммой const -{-Si' постоянного отобра-
отображения const и надстройки над отображением i': X—>
—*QSX, jc i—»- 0 - г (х). Поскольку const+ S/' ~ Si' и Г ~ i
(а значит, и Si ~Si), отсюда следует, что на SX отобра-
отображение q' гомотопно отображению
Si: SX-+SQSX.
Аналогично, на слагаемом X#QSX отображение q'
задается формулой
[т] (х, рои), 1—2/], если 0<*<1/2,
pt> если 1/2</<1|
где г\-г-отображение XxQSX—*QSX, определенное фор-
формулой
Поэтому на X*QSX отображение q' гомотопно отобра-
отображению <лг, /,«>•—»¦ [ц(х, и), 1 — /], т.е. отображению
(— Sr|) о ^f(id), где Ж (id) — отображение X*?3SX-^
— S(XxQSX), <х, ^,ы>н-*[(х, u), t] (см. лекцию 5),
а — 5г|—отображение
S(XxQSX)—+SQSX, [(x, и), *]i-»>[ti(a:, «), l — t].
Этим доказано, что за гомотопическую эквивалент-
эквивалентность
SX V (X * QSX) — S&SX
можно принять отображение q = Si\/(—Sr|) o#?(id).
Чтобы перейти к пространству SX V 5 (X Д Q5X), мы
введем в рассмотрение отображение h: S (XxQSX)—¦*
—+SQSX, определенное формулой
B) h[(X,U)tt]:
'[i(x),3t], если 0^^<1/3,
[r\(x,u),2—3t], если 1/3 ^t < 2/3,
[u,3t—2], если 2/3 </< 1,
т. е. отображение
Л = 5 (i о рг„).—St)+5 (prBs^): 5 (X х QXS) -* SQSX,

ПРОСТРАНСТВО Q(A/\SY) 215
и гомотонию js: X*QSX—*SQSX, O^s^l, определен-
определенную (очевидно, корректно) формулой
3t — s+l], если 0^/^s/3,
, ч ,[i (*.«), C-3/-s)/C-2s)],
, t, и>- ^ если s/3</<C—s)/3,
[и, 3t + s — 3], если C —s)/3</<1,
и связывающую отображение /0 — (— Sr\) о ^f (id) с отобра-
отображением fx — ho 9t (id). Легко видеть, что на S (X \JQSX) с
cS(XxQSX) отображение h гомотопно нулю, и потому
существует такое отображение
C) h: S (X A QSX) — SQSX,
что hoSj~h, где / — отображение факторизации Хх
X QSX ~»Хд Q5X. Следовательно,
(— Sri)o#r(id) ~/To^r(id) - Л о S/о .9? (id) -/ю Ж{\).
Поскольку отображение 36Ц): X*QSX —> 5 (X Л QSX)
является (см. лемму 1 лекции 5) гомотопической экви-
эквивалентностью, этим доказано следующее предложение,
уточняющее предложение Г.
Предложение 2. Для любого гладко пунктирован-
пунктированного связного пространства X за гомотопическую экви-
эквивалентность
¦ SX V S (X Л QSX) — SQSX
можно принять отображение S: V Л. ?
Рассмотрим теперь пространство QS (X V Y) =
=Q(SX V SY), где X и Y — произвольные гладко пунк-
пунктированные пространства. Впрочем, нам будет удобно
рассмотреть сначала более общее пространство вида
ii (A V SY), где А — произвольное гладко пунктированное
пространство, не обязательно являющееся надстройкой.
Предложение 3. Для любых двух гладко пунктиро-
пунктированных связных пространств А и Y пространство
Q (А V SY) гомотопически эквивалентно произведению
((Y Л QA) V Y) -ЙЛ xQ (S(Y Л Q4) V S7).

210 ПРОСТРАНСТВО O(AASY)
Доказательству этого предложения мы предпошлем
одну общую лемму о Н-когрупиах.
Пусть К - произвольная Н-когруппа с коумножением
т и коединицей е0. Мы знаем (см. Дополнение к лек-
лекции 1.4), что для любого пунктированного пространства
С — (С, с0) пространство К АС является п-когруппой
с коумножением т Л id- Легко видеть, что аналогичный
факт имеет место и для пространства КхС - КхС/е„хС
(но не для пространства КхС, ибо отображение ((nxid)V
V (idxid)) о (mxid): KxC-^-KxC гомотопно отображе-
отображению constхid: (х, с) >—*¦ (е0, с), х$К, с?С, а не отобра-
отображению const: (x, с) t-* (ев, с0)) и что последовательность
канонических отображений
D) pt_>/C->/CxC-*/CAC-*pt
является коточной расщепляющейся последовательностью
Н-когрупп с расщепляющим отображением КхС—>/(.
Другой способ получить Н-когруппу состоит в том,
чтобы, вложив пространство С в стягиваемое простран-
пространство Z, перейти к пространству
E) F=(/CxQU(e,x2)
(второй компоненте пары (K,eo)x(Z, С)). В случае, когда
Н-когруппа К гладко пунктированна (ее коединица е0
невырождена) пара (F,eoxZ) будет парой Борсука, и,
следовательно, согласно лемме 6 лекции 1.4, канониче-
каноническое отображение факторизации
a: F~>F/(eoxZ)=-KxC
будет гомотопической эквивалентностью. Перенеся с по-
помощью этой гомотопической эквивалентности (и обратной
гомотопической эквивалентности Р) коумножение из КхС
в F, мы получим в F коумножение, относительно кото-
которого пространство F будет Н-когруппой, гомотопически
изоморфной Н-когруппе/СхС.
Поэтому в последовательности D) можно, не теряя
коточности и расщепленности, заменить пространство
КхС пространством F. Применив затем к полученной
последовательности результаты Дополнения к лекции 1.5,
мы немедленно получим следующую лемму:
Лемма 1. Если для пунктированной пары (Z, С)
пространство Z стягиваемо, то для произвольной гладко

ПРОСТРАНСТВО Q(AASY) 217
пунктированной Н-когруппы К с коединицей е„ простран-
пространство F == (/С X С) U (е0 х Z) гомотопически эквивалентно
букету (К Л С) V К. О
При этом (см. Дополнение к лекции 1.5) гомотопиче-
гомотопической эквивалентностью F —<¦ (К А С) V К. будет сумма
(по отношению к коумножению в F) проекций
F—+KAC, {х,с)\г-+х /\с, (*>„
и
F —> /С, (л;, с) I-» л:, (е0> г) >
рассматриваемых как отображения в (К АС) \/ К.
Теперь мы можем приступить непосредственно к дока-
доказательству предложения 3.
Доказательство предложения 3. Пусть F—
гомотопический слой F (рг^) канонической проекции
pr^: A \/SY-^A, а}*-*а, 6„н-».а0, а$А, b$SY. Так
как проекция ргд обладает сечением шд: А —> А V SY,
а>—>а,, а?А, то, согласно замечанию 4 из Дополнения
к лекции 1.5, ее последовательность Пуппе рассыпается
в короткую точную последовательность
pt-+F--A\/SY-+A-*pt
и в короткие точные последовательности, получающиеся
из этой последовательности применением функтора Q.
В частности, мы видим, что последовательность Н-групп
pt — QF — Й (А V SY) —> пА — pt
точна, а так как эта последовательность, очевидно, рас-
чщепляется (посредством отображения Q(in^)), то (см.
Дополнение к лекции 1.5) пространство Q(A V SY) гомо-
гомотопически эквивалентно произведению QA x S2/*'.
Поэтому для доказательства предложения 3 нам доста-
достаточно доказать, что слой F гомотопически эквивалентен
букету
(SY А ®А) V SY ~ S (У Л QA) V SY.
Но, по определению, слой F состоит из таких пар (х, и),
х?А\/ SY, и?РА, что ртА(х)-иA). При * = а„ а?А,
это означает, что а~иA), а при x — bn, b?SY, —что
ыA)=а0, т.е. что u?QA. Поэтому этот слой естествен-
естественным образом отождествляется с пространством (SYxQA) U
и(«/охЯЛ), т.е. с пространством E), получающимся при
K — SY и (Z, C)-={PA, QA). Поэтому, согласно лемме 1,
F ~ (SY A &A) V SY. г.!

218
ПРОСТРАНСТВО Q(AASY)
Чтобы найти гомотопическую эквивалентность
F) QAxQS((Y /\QA) VK) — Q(A V SY)
в явном виде, нам нужно в первую очередь описать
гомотопическую эквивалентность
Р: SYxQA—*F,
обратную к отображению факторизации a: F
Так как пара (SY, у„) является парой Борсука, то (см.
лемму 4 и предложение 3 лекции 1.2) существует такая
функция ф: SY—>-I, что ф (&)-¦¦-О тогда и только тогда,
когда Ь - уд, и такая гомотопия G: SYxI—»SY, что
G (b, 0) = b для любой точки b ? SY и G (b, t) — у0 при
t>q>(b). Вспомнив явные конструкции из доказательств
леммы 6 лекции 1.4 и предложения 3 лекции 1.2, мы
немедленно получим, что гомотопическая эквивалентность
Р может быть задана формулой
„., ¦ ч \ teiO), и), если ЧФ)=1,
\ (У и) если ф(Ь)< 1
Ф(»)
ф(Ь)< 1,
a us
—путь
где, как всегда, gx (b) — G (b, I),
ti-+u(st), /€/•
Следовательно, коумножение ф V Р) ° (mx id) о a: F —*
—*F\JF в F, где т: SY —> SY V SY - стандартное ко-
коумножение в 5F, будет задаваться формулой
( (gibf, Щ «)i, если 0<;<1/2
и Ф [г/, 2t]-\,
(Уо> "Vrtf. «#i)i. если 0<^<1/2
и
если
и
и, значит, сумма v'
отображений ф, и)*
и € РА, —формулой
F—>W, W =-¦ (SY A ®A) V SY,
>ф/\и)\ и ф, ы)i—»¦ ?»и, b?SY,
. 2/]Ли)|. если 0</<1/2,
< 2t-l]n, если 1/2</<1,

ПРОСТРАНСТВО Q(AASY) 219
(напомним, что gt[y, s] = y0, если q[y, s] < 1). Но, так
как gt~go = id, то отображение v' гомотопно отображе-
отображению v: F-^W, определенному формулой
,~ „ ,, . | ([</, Щ/\и)ь если 0<<<l/2,
G) v([,, a«)-1[yf2/_1]ni если 1/2</<1,
Поскольку, согласно сказанному выше (см. абзац, сле-
следующий за леммой 1), отображение v' является гомото-
гомотопической эквивалентностью, этим доказано, что формула
G) определяет гомотопическую эквивалентность
v: F-+.W, где W' = (SY Л ОЛ) V SY.
Пусть |л': W —-* F — обратная гомотопическая эквива-
эквивалентность, и пусть
где
а 0 — каноническое отображение
S(Y AQA)-+SY AQA
[yAu, t]^[y, t]Au, y?Y,
Хотя отображение 6 не является, вообще говоря, гомео-
гомеоморфизмом, но ввиду того, что пространства Y и QA
гладко пунктированны, оно во всяком случае будет гомо-
гомотопической эквивалентностью (см. замечание 1 из лек-
лекции 5). Поэтому отображение \i: W—>-F является гомо-
гомотопической эквивалентностью.
Если теперь р - отображение F —»¦ А V SY, определен-
определенное формулой
I ыA),, если b -b0,
p(b, и) -¦ , ° b?SY, u?PA,
нк ' ' \ bn, если и?пА,
то в соответствии с общей конструкцией из Дополнения
к лекции 1.5 гомотопической эквивалентностью F) будет
произведение Q(mA)-Q(p о ц,) (по отношению к умноже-
умножению в Q (А V SY)) отображений
Q(in<): QA-+Q(A\/SY), Щроц): Q.W —> п (А V SY),
рассматриваемых как отображения ОЛ х QW — + Q (A \/ SY)
(т. е. скомпонированных с каноническими проекциями
CiAQWQA QAQWQW))

(v о Ф) [(у, «),/] =
220 ПРОСТРАНСТВО Q(AASY
Чтобы вычислить это произведение, мы введем в рас-
рассмотрение отображение
Ф: S(YxQA)-^F,
определенное формулой
( (//о. «4*), если 0</<1/4,
m ,и ^ ,* J &' 4t ~ ^ Н)' если 1/4 ^' < 1/2>
Ф ([(.V, «). /]) - 4 ^ Untt)t если 1/2 < ^ < з/4,
1 ([у,4-«],0в),если 3/4<^<1
(где, как и выше, ы„ 0<s<l, —путь t^u(st), /?/).
Автоматическое вычисление показывает, что отображение
voO: S(yxQ/4)—«-W выражается формулой
pt, если 0<^<1/4;
([у, 8/-2] Л«)„ если 1/4<^<3/8,
[^, 8/ - 3]„, если 3/8 </< 1/2,
pt, если 1/2</<-3/4,
[г/, 7-8*],,, если 3/4<^<7/8,
pt, если 7/8</< 1,
и, значит, по отношению к коумножению в S(YxQA)
будет суммой
const + / + g + const — g + const,
где g — отображение [(у, и), t]h-*[y, t]n, а/ —отображе-
—отображение [(у, и), /]•—>•([«/, t]/\u)ltr. е. композиция in о 6о5/
надстройки 5/ над отображением факторизации
/: Y xQA-^Y A&A, (у, и)^у/\и,
естественного отображения
9: S(YAQA)-^SYAQA, [у А и, t]^[y, t\ А и,
и канонического вложения
in: SY AQA-^W, [у, t]Au^([y, t]Au){.
Следовательно, отображение v о Ф гомотопно отображе-
отображению / = in о 8 о Sj.
Аналогично
( D0 если 0
и C-40,, если 1/2<*<3/4,
[У. 4-4^]... если 3/4</<1,

ПРОСТРАНСТВО O(A/\SY) 221
т. е.
где / и g — отображения, определенные формулами
f[(y, и), /] = и@„ g[(y, «), t] = [y, *],,.
Но, положив для сокращения обозначений X — А V SY
и сравнив определения, мы немедленно получим, что
/"= (S prDA)xf = foS ргпл и gr= (S prY)xg = goS prY,
где g — каноническое вложение
in5K: SY-+A\/SY, [у, t]*+[y, t]u,
f = 'mAoe — композиция отображения вычисления
е: SQA-+A, [и, t]>-+u(t),
и канонического вложения
in,,: A—>¦ А V S7, а*-*аи
а ргрл и ргг — канонические проекции
ргал: YxQA-+QA, ргк:
т. е. в обозначениях лекции 5
T=in^, g=inSAoe.
Поэтому (см. формулу A8) лекции 5)
где в соответствии с принятыми в начале лекции соглаше-
соглашениями равенство нужно понимать как гомотопность соот-
соответствующих отображений.
Таким образом, мы видим, что в диаграмме
S(YxQA)
t ¦ ^ '
SYAQA ¦*— S(YaOA)
все многоугольники, кроме нижнего левого квадрата, гомо-
топически коммутативны. Поэтому гомотопически комму-

222 пространство
тативен и этот квадрат. Следовательно, для отображения
р о ц = р о ц,' о @ Л id) имеет место гомотопически ком-
коммутативная диаграмма
w. e^—^A^sY
S{YaQA)
означающая, что на слагаемом S(Y A&A) букета W -
= S (Y /\ Q<4) V SY отображение р о jx гомотопно произве-
произведению Уайтхеда [in5K, in^ о <?].
Чтобы вычислить отображение р о jx на слагаемом SY,
мы введем в рассмотрение отображение
/: SY-+F, [у, t]*-+([y, /]. 0J.
Автоматическое вычисление показывает, что в диаграмме
sv—l^-*w'
AvSY
оба треугольника гомотопически коммутативны. Поэтому
гомотопически коммутативен состоящий из них квадрат,
а следовательно, гомотопически коммутативна и диаграмма
SY—S---»W
Л VSY*- F
Таким образом, на слагаемом SY букета W ---- S (Y /\ QA) \/
V SY отображение р о |i гомотопно каноническому вложе-
вложению inSY.
Обозначив через [inSK, in^ о е] \/ iniY отображение
W —>¦ A V SY, совпадающее на S (Y /\ QA) с отображе-
отображением [inAT, in^ о е], а на SY -с отображением in5K, мы
получим, следовательно, что отображение Q (р о ц) гомо-
гомотопно, отображению Q(finSK, in^ о е\ V 'п5к).
Тем самым нами доказано следующее предложение:
Предложение 4. Для любых гладко пунктирован-
пунктированных связных пространств А и Y за гомотопическую экви-

ПРОСТРАНСТВО O(SXVSK) 223
валентность
ПА х Q (S (Y л QA) V S/1) -> Q (А V S4).
может быть принято отображение Q (\nA)-Q([msy>; in^oejV
V in5K). i !
В частности, Лы получаем следующее утверждение:
Следствие 1. Для любых гладко пунктированных
связных пространств X и Y имеет место гомотопическая
эквивалентность
<) (in,*) ¦ Q ([in5V, in5A, о е] V insr):
QSXxQ(S(YAQSX) vSX)-,Q(SX VSK). [-.I
Согласно этому следствию и предложению 1 (а также
замечанию 1 из лекции 5) имеет место следующая цепочка
гомотопических эквивалентностей:
Q(SX V SY) ~QSXxQ(S (Y д QSX) V SY) -
- QSX x Q (SK V (Y A SQSX)) ~
~ QSX x Q (SY V (У A (SX у S (X д QSX)))) -~
-QSXxQ(SK V(^ASX) V (Гд X Д SQSX)).
Последнее пространство мы снова можем преобразовать,
заменив подчеркнутое пространство SQSX пространством
SX\/ S(X A QSX) и т. д. ad infinitum.
Здесь явно нужны удобные и краткие обозначения.
Мы положим
^Y.AX, ^ = [inSK, in5X]: SK, — SX V
V,»., Л X," ш^К., "inM]: '^
^.-.V^: SYm-+ SXVSY.
Предложение 5. Для любого m>0 отображение
U(msx)-Q{wm\f[wm, ins^oe]):
является гомотопической эквивалентностью.

224 ПРОСТРАНСТВО BiSXVSY)
Доказательство. Проведем индукцию по т, учи«
тывая, что при т = 0 предложение 5 сводится (с точ-
точностью до перестановки слагаемых букета) к следствию 1
предложения 4,-
Пусть для некоторого т > 0 уже доказано, что ото-
отображение Q(insx)Q(wm_1 V [иу,я-1, msx о е] является
гомотопической эквивалентностью. Тогда, согласно пред-
предложению 2, гомотопической эквивалентностью будет и
отображение
Q(\nsx)-Q(wn_rVG):
QSX х Q (SYm V S(Ym/\ QSX)) — Q (SX V SY),
где, отождествляя SYm с SYm_x V SYm, мы через G:
SK,,, V S (Ym Л Й5Х) —> S (Ym Л biSX) обозначаем компо-
композицию
K,-i, insx офе;о (idyM_, Л (Si Л h)) о elt
1) гомотопической эквивалентности
в,: SYn V S (Ym A QSX) — rM_, Л (SX V S (X A
[Ут Л «, /]„ ^у,л_г Д [х Л и, *]„
(где «/„_!€ Уя_1, аг € X, ут = ут_х А х € Ym, t 6 /,«
2) отображения
idvM_, Л (Si V Л): .
У.-х Л (SX V S (X Л QSX)) — Г,,_1 V SQSX,
У«-1 Л [х, t-l>-*ym-i A [ix, t\,
Ут-iAlxAu, t]llf-*ym_lAh[xAu, /]„
(где «/„_! €^m_i, *€X, /€/, "€^SX, а Л-отображе-
Л-отображение C));
3) гомотопической эквивалентности
в'*: Ym_t A SQSX -+S (Y^ AGSX),
обратной к гомотопической эквивалентности
0*: S (У.., Л QSX) -> К,,., Л SffiSX,
[Ут-iAu, t]*-*-ym^t А[и, t],
где fu-iey,.-!,
4) произведения Уайтхеда
в]: S (У.., Л fiSX) — SX V SY.

ПРОСТРАНСТВО Q(SXVSK) 225
Для доказательства предложения 5 достаточно, следо-
следовательно, доказать, что отображение G на слагаемом SYm
гомотопно отображению wm, а на слагаемом S(Ym/\QSX)—
отображению [wm, inSJfoe].
Пусть а и р — ограничения отображения
02 о •(idy.,, Л (Si V h)) о et
на SYm = S (Ym_! Л X) и 5 Gга Л &SX) соответственно.
Так как (id Л (Si Л h) ° ^i) |skm = 9а ° ^ (id Л 0» то
а л/ S (id Л 0- Поэтому имеет место гомотопически ком-
коммутативная диаграмма
m.t Л X) -S(Ym_1AQSX)
ГД6 1 *. Г -. iXa *¦ I ._ i Л Л И f'. I -, 1 X auibA. >¦ / -, 1 Л
Л Q5X — канонические отображения факторизации. Кроме
того, по определению, гомотопически коммутативна и
диаграмма
s(rM-txasc)
где (/, ^ — коммутатор /!Jf- g — f — g отображений
T_-. S(Ym_1xQSX)-+SX\/SY,
= insx ° е° SpraSx: S(Ym_1xQSX)—>SX\/ SY.
Поэтому
(G \syJ о S/' = [wm_lt 1"п5д о е] о а о S/' ~ (Д g) о S (id х О-
Но, как показывает непосредственное вычисление,
((/, g)oS(idxi))[(y. х), t] =
0т-ЛУ> Щ> еСЛИ 0^^^1/4,
[х, 4^ — 1],, если 1/4<*<1/2,.
^m-i[f/. 3-4/], если 1/2<*<3/4,
к, 4 —4f],, если 3/4^^^ 1,
8 М. М. Постников

226 ПРОСТРАНСТВО (HSXVSY)
т. е.
(Г, 1) ° )T T
где
™sx = insx о S ргх: S (У.., x X) ~+ SX V SK.
Значит,
т. e. (Sir [G\SyJ = (Siy[wm], где Z = 5XVS7.
Поскольку гомоморфизм (Sj)z является, как мы зна-
знаем, мономорфизмом, этим доказано, что
Чтобы вычислить отображение G на S (YmAQSX) =
— S((Ym_t/\X)/\QSX), мы рассмотрим отображение
пространства S(Vm_i х X х QSX) в пространство
S(Ym_1xQSX), задаваемое формулой
( [(у, ix), Щ если 0 < t < 1/3,
У [(У, х, и), /]=А| [(у, u-ix), 2-3/], если 1/3</<2/3,
( [(y,u),3tr2],
/<</
если 2/3</<1,
Автоматическое вычисление показывает, во-первых,
что имеет место гомотопически коммутативная диаграмма
ЛS{Ym_txQSX)
Is''
где /": ГЯ)_1хХхй5Х-^(Угт_1Л^)ЛЙ5Х-каноническое
отображение факторизации (и, следовательно, что
G \swmjsisx) ° Sj" ~ G, ?) о у) и, во-вторых, что отображе-
' ние (/, g)oy является по отношению к коумножению
в S(YmxQSX) суммой четырнадцати отображений:
(/. g)° y=a + b — a — b+c + b + a — b — с — а+а + с — а — с,

ГРУППЫ nnisXv&V) §2?
где
fl = »•-!. b=*insx, c='msxoe,
т. е.
a = wm_1oSprYm_,: [(y, x, u), t]^wm_, [«/,/],
/, х,и), *]*-»•[*. Uu
asx: [(y, x,.u),
Но в произвольной группе правая часть последней
формулы равна, как непосредственно проверяется, двой-
двойному коммутатору ((а, Ь), с). Поэтому (см. в лекции 5
аналогичные вычисления при доказательстве тождества
Якоби) отображение (f, #)°7 гомотопно отображению
ll^m-i. insxl insx ° е] ° si" = l>«. [nsx °«1° Sj" и, значит,
отображение G |Y,„Ansx — отображению [wm, in5Ar о е]. U
Теперь мы можем вычислить гомотопические группы
nn(SX\/SY) букета SX\/SY.
Лемма 2. Если пространство X п-связно, а прост-
пространство Y т-связно, то пространство X/\Y (m-\-n+D-
связно.
Доказательство. Следуя нашим общим установ-
установкам, мы докажем эту лемму в дополнительном предполо-
предположении, что пространства X и У являются клеточными
сфостранствами, причем либо одно из них локально
конечно, либо оба счетны (и, значит, их произведение
XxY также является клеточным пространством). Общий
случай мы оставим читателю.
Но если пространства X и У клеточны, то без огра-
ограничения общности (см. лекцию 2) мы можем считать, что
пространство X клеточно n-связно, а пространство Y
клеточно m-связно, и, следовательно, пара (XxY, X\/Y)
клеточно (я-f /п+1)-связна. Поэтому ее кослой Хд^также
клеточно (п-\-т+ 1)-связен, а потому и (п + т-\-1)-свя-
зен. D
Следствие 1. Для любого п-связного пространства X
пространство SX = S1AX (п-\-\)-связно. ?
Следствие 2. Для любых связных пространств X
и Y пространство Ym = Y /\ X /\ ... /\ X т-связно,
пространство SYm (m-f-1) -связно, а пространство
S(YM/\QSX) (m+ 2)-связно. U
8*

228 группы «„
Лемма 3. Если пространство Y т-связно, то для
любого пространства X
nr(X\jY)-=nrX при г^т
(т.е., точнее, мономорфизм (inx)*: nrX—+nr(X\/Y) яв-
является изоморфизмом).
Доказательство. Для клеточных пространств X
и Y эта лемма является частным случаем следствия 1
предложения 2 лекции 4. Общий случай мы оставим
читателю. ?
Из предложения 5 вытекает, что для любых гладко
пунктированных связных пространств X и Y группа
nn_1Q(SX\/SY)ttnn(SX\/SY) изоморфна группе
*n_x (QSXxQ (SfmVS O^AGSX))) ^
да na_1QSX®nn_lQ(SYM\/S (YmAQSX)) да
» nnSX®nn (SYm\/S (YmAQSX)),
а из леммы 3 и следствия 2 леммы 2,— что при п^.т + 2
группа л„ (SYm\/S (Ym/\QSX)) изоморфна группе nnSYm.
Таким образом, при tt^m-f-2 группа nn(SX\/SY) изо-
изоморфна группе nnSXQ)nnSYm.
Здесь явно стоит ввести в рассмотрение бесконечный
букет
Пространства Yт составляют его фильтрацию, причем
для любого m
Y —Y \/ Т
где пространство fm— Ym+l\/Ym+i\/ ... в силу леммы 3
и следствия 1 из леммы 2 {т-\- 1)-связно. Поэтому —
снова в силу леммы 3 — группы nnSYK и nnSYm при
/г^т+1 изоморфны. Этим доказано следующее пред-
предложение:
Предложение 6. Для любого /г > 0 имеет место
разложение в прямую сумму
л„ (SX V SY) = KnSX 0 яп5К„. П
При этом ясно, что соответствующими инъекциями
nnSX — я„ (SX V SY), naS?. — я„ (SX V
являются гомоморфизмы (in5^)« и (ау^)*, гЭе
w^ffl.V^V ••• V о\» V ...

ТЕОРЕМА ХИЛТОНА - МИЛНОРА 229
— отображение SYm —* SX \/ SY, совпадающее на слагае-
слагаемом SYm с произведением Уайтхеда wm.
Замечание 1. Фактически мы доказали, что ото-
отображение
Q (\nsx) • Q (wj: QSX V QSYm —* Q (SX V SY)
является слабой гомотопической эквивалентностью.
Так как Ya — Y\/T0, то, согласно предложению 6,
где 2^ — пространство Y^, построенное для пространств
Y и То. Следовательно,
я„ (SX V SY) = nuSX ® nnSY 0 nnSZTO.
Группу nnSZTO мы. снова можем аналогичным образом
разложить и т. д. cd infinitum. В отличие от аналогичной
ситуации предложения 5, здесь требуется уже значительно
более изощренная система обозначений. При этом случай
букета любого (конечного) числа пространств оказывается
ничуть не сложнее случая букета двух пространств
(и даже в определенном отношении несколько проще).
Пусть хи ..., xs — формальные переменные. Мы вве-
введем в рассмотрение неассоциативные одночлены от этих
переменных, которые мы будем называть мономами от
x-i, ..., xs. Для каждого монома m и любого / == 1, ..., s
определено число tr(m) вхождений в m переменной xh
и его длина t (m) = tx (m) + • • • + ts (in) (общее число мно-
множителей). Мономами длины 1 являются переменные
хг, ..., xs и только они, а каждый моном m длины t > 1
единственным образом представляется в виде произведе-
произведения m'm" мономов меньшей длины, причем t (ni) =
(') /(")
() ()
Среди всех мономов мы выделим некоторые специаль-
специальные мономы, которые будем называть базисными моно-
мономами, и каждому базисному моному m мы отнесем его
ранг р (т) и номер #(т). При /(т) = 1 каждый элемент
хи '..., xs будем считать базисным мономом ранга 0.
За номер монома х,- мы примем его индекс i. Пусть для
некоторого t > 1 уже определены базисные мономы всех
длин, меньших чем /, а также определены их ранги и

230 ТЕОРЕМА ХИЛТОНА — МИЛНОРА
номера. Тогда моном m = m'm" длины t мы будем счи-
считать базисным, если:
а) мономы т' и т" являются базисными мономам»!1;
б) имеют место неравенства
p(tn')<#(m")<#(m').
За ранг р (т) монома т мы примем номер # (т") мо-
монома т". Все базисные мономы длины / Mbi перенумеруем
произвольным образом, начиная нумерацию с номера
N-\-\, где <V — наибольший номер базисных мономов
длины, меньшей чем t. Тем самым базисные мон-омы
длины t будут определены для любого t, и каждый из
них будет иметь определенный номер и определенный
ранг. При этом каждое натуральное число а будет номе-
номером одного и только одного базисного монома. Моном
с номером а мы будем обозначать символом то.
Например, при s = 2 (и xt = x, х2 —у)
¦ Шх-= а;, та--у, т3 = ух, т4 = (ух)х, т„ = (ух)у, ...
а при s = 3 (и xt — х, xt — у, х„ = г)
nti = лг, m2 = #, ms = 2, т< = ух, т5 = гд;, т, = г«/, ...
Поскольку на каждом этапе построения нумерация
базисных мономов данной длины выбирается произволь-
произвольным образом (лишь бы она продолжала нумерацию мо-
мономов меньших длин) и поскольку от этой нумерации
зависит, какие мономы больших длин окажутся базис-
базисными, мы видим, что в понятии базисного монома имеется
определенный элемент произвола. Однако все дальнейшие
конструкции от этого произвола, по существу, не зависят.
Пусть теперь Хг, ..., Xs — произвольные гладко
пунктированные связные пространства. Для любого мо-
монома m мы будем обозначать символом m (Хи ..., Xs)
пространство,- получающееся, если в m вместо х: подста-
подставить X,- и произвести все умножения (имеется в виду
смеш-умножение Д)-
Если пространства Х:, ..., Х^ хаусдорфовы и ло-
локально компактны (и потому смеш-умножение ассоциа-
ассоциативно и коммутативно), пространство m (Х1( .... Xs)
зависит с точностью до естественного гомеоморфизма
только от чисел ^i = *i(m), ..., ts = ts(m) и определяется
формулой
т(Х1, .... Х,)-=Х1''»Л...

ТЕОРЕМА ХИЛТОНА — МШПЮРА 231
где символом Х(" обозначено f-кратное смеш-произведе-
ние пространства X на себя:
t раз
В случае, когда m является базисным мономом me,
пространство m (Х1( ..., X,,) мы будем обозначать также
символом Ха. (Заметим, что при l^a^s мы получаем
исходные пространства Ха.)
Аналогично, для любого пространства Z и любых отоб-
отображений/!: SXt—t-Z, .. .,/s: SXS—*Z мы будем обозначать
символом тп (Д, ..., /,) отображение Sm (Xlt ..., Х^) —* Z,
которое получается подстановкой в моном m вместо
хи ..., х„ отображений fx, ..., fs и выполнения всех
умножений Уайтхеда в последовательности, предписанной
расстановкой скобок в т.
Впрочем, эта конструкция нам пока понадобится
только при Z = 5 (Xt V • • • V Xs), ft = insx,, ...,/,= inSxs
и m = ma. В этом случае отображение xn(flt ..., fs) мы
будем обозначать символом va. Таким образом, для лю-
любого а ^ 1
va: SXa ->SX, где X = Xt V ... V Xt,
s
и v? = ir\sxa при a= 1 s.
Теперь мы можем сформулировать основную теорему
этого Дополнения:
Теорема 1. Для любого п > 1 группа nnSX,
X = Хх V • • • V Xs> является прямой суммой групп nnSXa:
(8) n§na
a=l
Соответствующими инъекциями nnSXa—*nnSX являются
гомоморфизмы vat, индуцированные отображениями va.
Для частного случая, когда пространства Хх, ..., Xs
являются сферами, эта теорема была впервые доказана
Хилтоном (который основывался на идеях Серра), а в об-
общем случае —Милнором. Поэтому эта теорема называется
обычно теоремой Хилтона —Ми л нор а.
Доказательство теоремы 1. Пусть
a) = p(me),
V
а > т
р (о) < т
и R
1
т~ V
а > т
Р(а) <т
ха.
где

232 . ТЕОРЕМА ХИЛТОНА - МИЛНОРА
так что Rm-~Xm V Rm- Имея в виду применить к букету
SRm = SXm\J SR*m предложение 6, мы должны в первую
очередь вычислить соответствующее пространство У^.
Непосредственна очевидно, что это пространство имеет вид
где суммирование распространено на все мономы m вида
(.. .((тахт) хт) ... хт) с а > т и р (а)< т. Но очевидная
индукция показывает, что мономы тп —это в точности
все базисные мономы ранга т, имеющие номера ^m-f-1,
так что
/?;VVm(Xlf .... Х,)= V Xa = Ra+l.
т а > т+ 1
р
В силу предложения 6 этим доказано, что для любого
>1
(9) nnSRm = nnSXm@nnS
Поскольку Rl = X1\/ ... V Xs, отсюда по индукции сле-
следует, что
A0) nnSX = ф nnSXa 0 nnSRm+1, X = X, V ... V Xt,
a=i
для любого m ^ 1.
С другой стороны, из леммы 2 непосредственно выте-
вытекает, что каждое пространство Х„ по крайней мере
(t (mj — 1)-связно. Поскольку t (тпа)—>¦ оо при а—»-оо,
отсюда следует, что для любого п ^ 1 существует та-
такое т, что разложение (8) имеет вид
A1) n®na
а= 1
Так как по аналогичным соображениям разложение A0)
для того же т также имеет вид A1), то формула (8) тем
самым полностью доказана.
Для завершения доказательства теоремы 1 осталось,
таким образом, лишь вычислить.инъекции nnSXa—>-nnSX,
задающие прямое разложение (8). Но это теперь делается
без всякого труда.
Действительно, возвратившись к доказательству раз-
разложения (9) и воспользовавшись соответствующим образом
видоизмененными обозначениями из предложения 6, мы

ТЕОРЕМА ХИЛТОНА - МИЛНОРА 233
немедленно получим, что инъекциями, задающими разло-
разложение (9), являются гомоморфизмы
nnSXm-^nnSRm и nnSRm+l-^nnSRm,
индуцированные соответственно инъекцией
и отображением
которое на слагаемом SR^ /\ Х% букета SRm+l =
SW(R:Xg>) равно w<r^[w<r_\, in^J, <*> - in^.
Поэтому для инъекций /2"': nl,SXa—*nmSX и kUn):
nnSRrn+l-->nnSX, задающих разложение A0), будут
иметь место рекуррентные соотношения
\Т = №~х\ если а<т,
с начальными условиями
При этом отображение ш??у на слагаемом SXa букета
SRm+l будет при р(а)</и совпадать с инъекцией
m'sxa- SXa—+SRm, а при р(а) = т, т. е. при Ха =
=-=(... ((Х„ Д XJ Л XJ Л • • -)ЛХт, где р (ft) < /я, будет
иметь вид [...[[ins^, inSX/J, in^J, .... insxj. Поэтому
для отображения
^, р(а)<т,
являющегося на слагаемом SXa букета SRm произведе-
произведением Уайтхеда va, составное отображение
па слагаемом SXa букета SRm+i будет при р(а)<т
совпадать с отображением va (точнее, — с отображением
va о \n'sx , но в наших сокращенных обозначениях это
отображение также обозначается через va), а при р(а) =
т — с отображением [.. .[[vb, vrn], vm] vm], т. е.
снова с отображением va. Это означает, что

234 ТЕОРЕМА ХИЛТОНА - МИЛНОРА
При т--~\ мы, в частности, получаем, что w™ = va\
т. е. что k{1) -^ v™.
Отсюда очевидной индукцией вытекает, что k{m) — 1)(фт)
для любого т^ 1 и," значит, что
/gw = (o<—"о insxj, = (».)..
Поэтому /#' —(с/ш)„ для каждого п^т.
Для завершения доказательства теоремы 1 остается
заметить, что гомоморфизмы /{?' при п~^т и являются
инъекциями, задающими прямое разложение (8). ?
Замечание 3. Фактически мы доказали, что отоб-
отображение
П Q.SXa—>QSX,
0=1
являющееся произведением (по отношению к умножению
в QSX) отображений Qva: QSXa-^QSX, представляет
собой слабую гомотопическую эквивалентность.

ЛЕКЦИЯ 6
Тип отображения произведения сфер.— Надстройка над
произведением Уайтхеда.— Достаточное условие
дистрибутивности слева композиционного умножения.—
Инвариант Хопфа — Уайтхеда.— Инвариант Хопфа.—
Простейшая аддиционная лемма.— Аддиционная лемма
Дж. Уайтхедз. — Инвариант Хопфа конструкции
Хопфа.— Существование отображений с инвариантом
Хопфа, равным единице.— Обобщенный инвариант
Хопфа —Уайтхеда.
. Рассмотрим теперь простейшие геометрические свой-
свойства умножения Уайтхеда, ограничиваясь случаем гомо-
гомотопических групп. Переход к рассмотренному в преды-
предыдущей лекции общему случаю групп вида [S А, Х\' осу-
осуществляется, как правило, без особого труда, и мы
оставим его читателю.
Каждое пунктированное отображение
/: S»xS" — X
определяет по формулам
два отображения ft: S" —+Х и /2: Sm—+X и тем самым
два элемента a = [f1]" и Р = [/2]" групп ппХ и птХ соот-
соответственно. Здесь, как и выше, i±: S" —+ 5" х Sm и /,:
Sm—+SnxSm—естественные вложения x*-+xlt у*-+хп,
же S", у $Sm.
Определение 1. Пара (а, р) называется типом от-
отображения /.
Заметим, что /1х/а = /: и fx\/f3 = f\s«^s«-
Предложение 1. Для элементов a^n«X, pgnmX
тогда и только тогда существует отображение f:
S"ySm-+X типа (а, р), когда [а, Р] = 0.
Доказательство. Пусть a = [/x: Sn—*X]' и
Р = [ft- Sm —+ X]". Отображение / типа (a, P) с точностью
до гомотопии является не чем иным, как распростране-
распространением, на SnxSm отображения ^Vfc S"\/Sm—+X. По-
Поскольку же пара (S"xSm, Sn\/Sm) является относитель-
относительной клеткой и соответствующее характеристическое отоб-

236 НАДСТРОЙКА НАД ПРОИЗВЕДЕНИЕМ УАЙТХЕДА
ражение %: Еп+т—*SnxSm представляет собой относи-
относительный гомеоморфизм (?П+(Я, S"") —+ (SnxSm, S"V5m),
это распространение возможно тогда. и только тогда,
когда возможно распространение отображения (/4V/2) ° Р
с 5"" на Еп+т, где p = xU«+ffl-1, т. е. когда это отоб-
отображение определяет нулевой элемент группы яп+т_1Х.
Для завершения доказательства остается заметить, что
[p]' = [i\ i"], и потому
[tfi/,)р] (hfMp] tfi/,)[ П
= [tfiV/,).i', (/^«.iXU. /..i-] = [«. PI- ?
Следствие 1. Если Х является ^-пространством,
то [a, p] = 0 для любых элементов agnnX, Р?яшХ.
Доказательство. Отображение f-—m°(fiXf2),
где /п—умножение в X, имеет тип (a, P). ?
Предложение 2. Для любых элементов а?я„Х и
Р^я,лХ в группе nn+mSX имеет место равенство
A) Е[а, Р] = 0.
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать,
что в группе nn+m(S'(Sn\JS)) = nn+m(Sn+1\/Sm+1) имеет
место равенство E[i', i"] = 0, т. е. что отображение
s'(PoSn, J: Sn+m = S'Sm+n-1-^S'(Sn\/S'tt)='Sn+1\/Sm+1,
где, как и выше, р = (х(п)хх<)I(япхк'»)-. может быть рас-
распространено на E"+m+1 « S Е"+т. Но это действительно
так, поскольку
S" (Р ° SB, J = (ro S* ((х(«' X Xе"") о 3„. J) |s.*.+«-.,
где Sn>w — гомеоморфизм ?"+ях—*Епх.Ет, совпадающий
на S"-1 с гомеоморфизмом Sn m, а г — ретракция
S'(S"xSm) —+Sn+1\/S'a+1, предусмотренная леммой 2
лекции 5 (при А -- S" и B^Sm). П
Произведения Уайтхеда играют основную роль в во-
вопросах, связанных с выполнением для композиционного
умножения левого закона дистрибутивности.
Предложение 3. ?слы [р1(р2] = 0, где$ирг€лпХ, то
для любого элемента

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ДИСТРИБУТИВНОСТИ 237
Доказательство. Пусть Pi —[&: S"—*X]',
f>-i = [g»- S"—*X]' и « = [/: Sr—-Sa]. Тогда, по опреде-
определению, (P1 + pi)oa = [(g1V^iH'»»0/-]. гДе т- S"-+
--+Sn\/Sn—стандартное коумножение, задаваемое (в силу
отождествления Sn = S'Sn~1) формулой
(. [дг, Щ, если 0 < / < 1/2,
mlx, t] = y ^ 2t — l]lu если 1/2<*<1
(ср. формулу A5) лекции 1.3), а pt о a-|-|32oa=
:~[(Si°f + ga° f) ° m], где m—аналогичное коумножение
Sr—+SrVS/". Но так как [Plf P2] = 0, то, согласно пред-
предложению 1, существует такое отображение g: S" x S" —<¦ X,
что g\snvsn = g1\/g2, т. е. ^!\/^2 = ^0 1"» гДе i—вложение
Sn\/S'l—*SnxSn. С другой стороны, легко видеть, что
отображение i от: S"—>-Sax S" пунктированно гомотопно
диагональному отображению A: S"—+SnxSn, лсi—>(лг, дг)
(соответствующую гомотопию hx: S"—>-SnxSn, tg/,
можно задать формулой
К[х, i]=
\ ([дг, A + т)/], [дг, A—т)/]), если 0<<<1/2,
~\ ([*, (l-t)x + t], [х, t-(\-x)t]), если1/2</<1,
где xgS", af,_j€_/). Поэтому (Рх + Р2) ° a = [g о А о /]'.
Аналогично, i о т~А, где i — вложение SrV-Sr—+SrxSr,
а А—диагональное отображение 5Г—»¦ SrxSr, и потому
/) o7n = (g о t)o (/у/) о ^Г=
Следовательно, (Рг + Р2) о a = pt о а + р2 о а. ?
Рассмотрим, что происходит при [$и
Как мы знаем, для любого я^1 пара (SnxS",
Sn\/Sn) является относительной клеткой размерности 2п.
Пусть х: {Егп, S2'1-1)—>-(SnxSn, Sn\fS?) -соответствую-
-соответствующее характеристическое отображение и
' X*- лг+1(?ап, S*"-1) — nr+1(S»xS",
— индуцированный этим отображением гомоморфизм го-
гомотопических групп. [Заметим, что введенный в лекции 2
элемент [егп] является не чем иным, как элементом
X*[id]. гДе [id]—образующая группы я2„ (Е2п, S2n~1)=
_ „ Qm-l 71
— Л2л-1'5 —?"\

238 ИНВАРИАНТ ХОПФА - УАЙТХЕДА
В лекции 7 (см. замечание 2 лекции 7) мы докажем
следующее предложение.
Предложение 4. Гомоморфизм /» является изомор-
изоморфизмом при п^.Зп — 3 и эпиморфизмом при г = 3п —2.
Пусть p = xU«n->—отображение, приклеивающее
клетку
Поскольку в коммутативной диаграмме
яг+1(?*", Si"-1)-tnr+1(S"xS", S")
B) ja J#
„rS2»-i Л jrf(S"VS«)
левый вертикальный гомоморфизм является изоморфиз-
изоморфизмом, а правый — мономорфизмом (см. предложение 2 лек-
лекции 4), из предложения 4 следует, что при г < Зп — 3
любой элемент группы nr (S"V S"), имеющий вид др, где
Р€nr+1(S"xS", Sn\/Sn), единственным образом пред-
представляется в виде р,/у, где v €nrSan"~x, т. е. что разло-
разложение (9) из лекции 4 произвольного элемента группы
nr(S"\/S") при г < Зя — 3 может быть записано в виде
где аи a2 g nrSn и 7 € п^2". Но, по определению, го-
гомотопический класс отображения р: S*"—*Sn\/Sn
является не чем иным, как произведением Уайтхеда
[i/, i"], и, значит, p*Y = [i\ 1"] о V Для любого элемента
'Y€ лг52"~1. Следовательно, при г <3п — 3 любой элемент
группы nr(Sn\/Sn) единственным образом представляется
в виде ¦
i'oai + i'ooI + [i'1 i'f]oY,
где <Xj, a2gnr5" ы у^Л/^2". [Иными словами, это озна-
означает, что
nr(S"V5")-nrS)nrS"©nrSa'1-1 при г<3м-3,
где вложение прямых слагаемых в группу nr(Sn\jS")
осуществляется отображениями ai—*i'oa, a^i"oo,
71—^[i't 1"] о у. Это утверждение является частным слу-
случаем теоремы Хилтона —Милнора из Дополнения к лек-
лекции 5, но мы пока предпочитаем этой теоремой не поль-
пользоваться; см. ниже Дополнение к этой лекции.]
В частности (см. формулу A0) лекции 4), мы видим,
что при г<3п —3 для любого элемента a^nrSn имеет

\ ИНВАРИАНТ ХОПФА — УАЙТХЕДА 239
место равенство
C) (i' + i") oa = i' oa + i"°a + [i', i']o//,a,
где Яоа — некоторый однозначно определенный элемент
группы n^S2", т. е. в силу универсальности элементов
i' и i" — равенство
Pi. Р*€я„Х.
Определение 2. Элемент Яоа называется инвариан-
инвариантом Хопфа—Уайтхеда (или обобщенным инвариантом
Хопфа) элемента а, и соответственно этому отображение
Яо:
называется отображением Хопфа — Уайтхеда.
Подчеркнем, что отображение #„ определено только
при г < Зп — 3.
Так как композиционное умножение дистрибутивно
справа, то
= Г о (a + р) +1" о (a + р) + [i', i"] о (Яоа + Яор)
для любых элементов а, р ^ nrSa, откуда непосредствен-
непосредственно следует, что #о(а + Р) = .Яоа + #оР| т. е. что отобра-
отображение Яо: nrS"—>-nrSin~1 является гомоморфизмом.
Применив формулу D) к элементам pt -1" и Р2 = i',
мы получим, что (i" + i/) о a = i" о a + i'о a+JY'', |,']°Яоа,
и, значит, что [i", i'] о Яоа = [|/, 1"]оЯ0а. Но, как мы
знаем, [i", i']=(—1)"[1'» l"l (см- замечание 6 из
лекции 4), а так как элемент Яоа примитивен (ибо
г<3п—Зи тем более г < 2B«— 1)— 1 = 4п—3), то, сле-
следовательно, [i", i'J о Яоа = [|/, i"] о (—1)"Яоа. Пэскольку
отображение v^T1'» l"J°V мономэр.рно, этим доказано,
что для любэго элемента agnrS" имеет место равенство
При п четном это равенство бессодержательно, а при п
нечетном мы получаем, что
2Я0а = 0.
Так как отображение Яо является гомоморфизмом, то

240 ИНВАРИАНТ ХОПФЛ
для любого элемента a?nrSn и любого целого числа
k g Z. Вместе, с тем легко видеть, что
E) H0(kiroa) = k*H0a, а€яг5», k?Z.
Действительно, так как Р о (kir о а) = ф о kir) о а = ?|3оа
для любого р g я„Х, то в силу примитивности элемента
Яоа и билинейности умножения Уайтхеда
[Pi, Р,]оЯ0(*1,оа) =
= (Pi +P.) о (*1, о а)-Pj о (Air о а)—р, о (&, о а) =
° «—*Pi ° а—*Р2 »« =
и, значит, H0(kiro а) = ЛаЯоа. П
Особый интерес имеет случай г = 2п—1, впервые рас-
рассмотренный Хопфом (на основании совершенно иных
соображений). Поскольку nan_1S2"~1 = Z, мы в этом случае
можем отображение Яо считать гомоморфизмом я2п_15"—*Z.
Обозначив этот гомоморфизм символом Я, т. е. положив
мы можем формулу C) переписать в следующем виде:
F) (i' + i")oa = i' oa + i'oa + ^a.[i', i"], a^it2n_1S".
Число На, называется инвариантом Хопфа элемента
a € nin-iS" (или соответствующего отображения S2n~x—»-S").
Поскольку при k$2, из 2& —0 вытекает, что k = 0,
мы видим, что при п нечетном. На — О для любого эле-
элемента a€niA.lS°, так что в этом случае гомоморфизм Я
интереса не представляет.
Иначе дело обстоит при п четном. Пусть, например,
a€[ln. ln]€n2n_15". Из естественности умножения Уайт-
Уайтхеда немедленно вытекает, что р о [о^, aJ — [Р о a,, pt о а2]
для любых элементов c^gn^S", as^nqS" и Р?я„Х. По-
Поэтому, в частности,
(I' + О ° К. '„I = [(i' +1') ° 1„, (I' +1") о 1„] =
и, аналогично, Г о [in, in]--[i', i'] и i"o[iB, i,,]-[t", i"].
Следовательно,

ИНВАРИАНТ ХОПФА 241
(см. замечание 6 лекции 4) и, значит, Н ([in, in]) =
1 + (—1)"- Этим доказано, что при п четном имеет
место равенство
G) Яо([1„, U) = 2.
Поэтому, в частности, [in, 1„]^0и, значит (см. след-
следствие 1 предложения 1), при п четном сфера S" не
является ^{-пространством.
При п нечетном из кссокоммутативнссти умножения
Уайтхеда следует, что 2[in, iJ^O. Кроме того, так как
сферы S1, S3 и S7 являются И-прсстранствами (как еди-
единичные сферы нормированных алгебр комплексных чисел,
кватернионов и октав), то
(8) [ilt ц] = 0, [1„ i,] = 0, [i7, i7] = 0.
Можно показать (это трудная теорема, впервые доказан-
доказанная Адамсом), что при всех остальных нечетных п эле-
элемент [in, inj отличен от нуля (и потому сфера 5" не
является Н-пространством). Таким образом, размерности
1, 3, 7 играют в гомотопической теории сфер совершенно
особую роль. На этом основании они называются исклю-
исключительными размерностями.
Из равенства G) следует даже, что элемент [in, in]
является элементом бесконечного порядка. Следовательно,
при п четном группа nln_1Sn бесконечна (что при п — 2
нам уже известно из других соображений). Что же ка-
касается группы Щп-гв" при нечетном п, то, как можно
показать, эта группа нетривиальна (при неисключитель-
неисключительном п это следует из результата Адамса, а для трех
исключительных п вытекает из явных формул для соот-
соответствующих групп; в частности, при п—\ мы знаем,
что n^ — Z, а при п = 3 мы в лекции 8 покажем, что
л,53 = 72).
Из формулы G) и гомоморфности отображения Н вы-
вытекает также, что при п четном в группе nin_tS" суще-
существуют элементы с любым четным инвариантом Хопфа.
Возникает вопрос: существуют ли, хотя бы для некото-
некоторых п, элементы с нечетным — или, что равносильно,
с равным единице — инвариантом Хопфа? Это—знамени-
Это—знаменитая проблема инварианта Хопфа. Для ее
решения мы научимся вычислять инвариант Хопфа (или,
более общим образом, инвариант Хопфа — Уайтхеда) лю-
любых элементов, получающихся применением конструкции
Хопфа (см. предыдущую лекцию) к отображениям вида

242 ПРОСТЕЙШАЯ АДДИЦИОННАЯ ЛЕММА
S? х S4 —»¦ 5", и затем постараемся подобрать эти отоб-
отображения так, чтобы получить (когда это возможно) эле-
элемент с нечетным инвариантом Хопфа.
Эта программа требует некоторых аддиционных лемм,
с которых мы и начнем. Мы будем формулировать
(и доказывать) эти леммы для п'унктированного про-
пространства (X, х0), игнорируя, как правило, отмеченные
точки и оставляя более педантичные формулировки чи-
читателю. Эта вольность оправдывается тем, что применять
эти леммы мы будем к случаю, когда пространство X
является сферой.
Пользуясь отождествлением Rr+1 = RxRr, мы будем
точки единичной сферы Sr с Rr+1 отождествлять с парами
(х, х), где х 6 R, х 6 IRr и х* + \ х |2 = 1. Тогда точки вида
х=@, х) будут составлять экватор Sr~x сферы Sr, точки
(я, х) с я^О—ее северную полусферу С,г+), а точки
(я, ж) с хг^О—ее южную полусферу Cf.,.
Отображение /: Sr —>- X мы будем называть стянутым
на юге (или на севере), если /(Q_)) == *„ (соответственно,
если / (С(г+)) = х0). Для каждого такого отображения /
отображение /': ЕГ—*Х, определенное формулой /' (х)=
=f(x, x), х?Ег, где х^О (или соответственно х^.0),
является отображением (Ег, 5Г-1) —>¦ (X, #„) и потому
задает некоторый элемент [/'] группы пгХ. Если отобра-
отображение /' обычным образом рассматривать как отобра-
отображение сферы -Sr = Er/Sr~1 в X, то / будет не чем иным,
как суммой /'-{-const отображения /' и постоянного
отображения const: Sr -> X (по отношению к стандарт-
стандартному коумножению Sr —>-Sr\/Sr, являющемуся компози-
композицией отображения Sr —>-Sr/Sr~1 и канонического гомео-
гомеоморфизма SrlSr~1fv Sr\jSr). Пээтому определенный отоб-
отображением f элемент [/] группы лгХ будет совпадать
с элементом Г/']:
[Л=[П-
Если теперь отображение f: Sr—*X стянуто на юге,
а отображение g: Sr —»¦ X стянуто на севере, то фэрмул а
(9) h(t, x)Jf <?-*>-
w \g(x, x), если х<0,
корректно определяет некоторое отображение h: S"—>-X,
и ясно, что это отображение является не чем иным, как
суммой /' + const + const +g' постоянных отображений и

ПРОСТЕЙШАЯ ЛДДИЦИОННАЯ ЛЕММЛ 243
отображений /' и g', отвечающих отображениям fug.
Следовательно,
Эта формула (которую можно рассматривать как про-
простейшую аддиционную лемму) фактически дает еще одну
явную конструкцию сложения в груп-
группе ягХ, поскольку любой гомотопиче-
гомотопический класс а ? nrSn содержит отображе-
отображение, стянутое на юге {или на севере).
(Для доказательства достаточно заме-
заметить, что каждая полусфера С[+) или Cf_,
стягивается в точку, и потому любое
ее отображение в произвольное прост- ' Рис
ранство X гомотопно нулю, и что
пары (Sr, Q+)) и (Sr, С<_>) являются парами Борсука.)
Отождествив точки xdEr с точками @, x)^Rr+1, мы
можем ввести в рассмотрение «сферу с перегородкой»
Q'= S'U ?'-=<?[+, U <?[_„
где Qr(+) = Cr(+)UEr, QU^CU\}Er (см. рис. И). Ясно,
что отображение ф'+): Sr—<-Q[+) (отображение cp(r_,:
Sr—> Qf-)), тождественное на С(г_,.(на Cf_,) и являющееся
проекцией (л:, je) i—»¦ jr на Cf_, (на Сг(+)), представляет
собой гомеоморфизм. Поэтому каждое отображение
F: Qr—*X определяет три отображения
сферы Sr в пространство X. Пусть а(+),
гомотопические классы.
Лемма 1. Для любого отображения F:
в группе пгХ имеет место равенство
Доказательство. Шар Ег стягиваем, а пара
(Qr, Er) является парой Борсука. Поэтому без ограни-
ограничения общности мы можем считать, что F(En) = x0.
Но тогда отображение Fi+) будет стянуто на юге, ото-
отображение F,_, будет стянуто на севере, а отображение h
будет отображением (9), построенным для отображений
/ = /г(+) и g = F{_y Поэтому, согласно формуле A0),
будет иметь место равенство а = а(+) + а(_,. ?

244 АДДИЦИОННАЯ ЛЕММА ДЖ. УАЙТХЕДА
Более интересную аддиционную лемму мы получим,
положив r = p-\-q+\, где р^О, q^O, и отождествив
сферу Sr с джойном
'Sp*S« = (?р+1 х S«)'U (Spx ?«+1) = {Ep+1 x ?«+1)"
сфер Sp и S*. По аналогии с предыдущим случаем мы
назовем отображение /: Sr—>-X стянутым слева (справа),
ecj\uf(EPxSi) = xa (соответственно, если f S
Аналог формулы (9) имеет вид
(И) h{x, y)-\gix<yh если
где х?ЕР+1,у ?Ei+1, и корректно определяет непрерыв-
непрерывное отображение h: Sr —<¦ X для любых отображений
f: Sr—*X w.g: Sr—+X, стянутых соответственно справа
и слева.. Однако, вообще говоря, аналог формулы A0)
теперь места не имеет и связь между гомотопическими
классами отображений /, g и h оказывается более
сложной.
Чтобы разобраться, в чем тут дело, мы все же попы-
попытаемся свести дело к формуле A0) с целью выяснить,
что этому мешает.
Пусть Efc1—северный полушар шара ?«+1, состоящий
из точек (х, х), х^Е1, х?Е«, хг-\-\ х|а< 1, для которых
Рис. 12.
а Е?±]—южный полушар, состоящий из точек
(х, х), для которых х^О. Ясно, что
причем граница каждого полушара Eli] или Eft) состоит
из шара EQ и соответствующей полусферы QL, или С<"+)
сферы S«-=?«+1.
Рассмотрим на границе (?^+1х?''+1)" произведения
Ер+1хЕч+1 подмножества
/Cf_, - (Ep+1 X С?_,) U
Krw = (?"+1 х CU и (Spх ??;/).

АДДИЦИОННАЯ ЛЕММА ДЖ. УАЙТХЕДА 245
Легко видеть, что существует гомеоморфизм
(Ер+1хЕ'1+1У -—* Sr, переводящий эти подмножества в по-
полусферы С[_> и С[+) соответственно. Действительно,
поскольку полушар Е^ гомеоморфен, очевидно
(см. рис. 12), конусу CC?_i над полусферой С("_,, подмно-
подмножество К'..) гомеоморфно шару Er « S?* С?., » SP*Eg
и, значит, полусфере С[_). Аналогично, множество К{+) го-
гомеоморфно полусфере ?<+>. Для завершения доказатель-
доказательства остается заметить, что на пересечении
A2) К[-, П /С{+, = (?'+1 X S*) U (Sp X Е«) = (?я+1 х Я»)'
эти гомеоморфизмы можно считать совпадающими. П
В дальнейшем мы будем посредством построенного
гомеоморфизма отождествлять границу (Ер+1хЕ"+1)' со
сферой Sf и в соответствии с этим подмножества /Cf_, и
/(<¦+,— с полусферами С(г_, и С(г+). (Читателю предлагается
самостоятельно рассмотреть вопрос о том, как связано
это отождествление со стандартным отождествлением
(Ер+1хЕ<1+1У — Sr, которым мы пользовались ранее.)
Рассмотрим теперь произвольное стянутое слева ото-
отображение g: Sr—>-X. Хотя g(EP+1xCf+)) = x0, но, вообще
говоря, g{Spy.E1tt)=?xu и, значит, g(/ff+)) =#=.*„, т. е.
отображение g не стянуто на севере сферы Sr. Однако
на SpxEIH это отображение можно в силу экспоненци-
экспоненциального закона интерпретировать как отображение
Е??} —+ XsP, обладающее тем свойством, что /\rQ — const.
L<+)
Поскольку полушар ??+/ естественным образом ретраги-
руется на полусферу С?+), отсюда следует, что отображе-
отображение g на SrxEffy1 гомотопно относительно SpxQ+)
постоянному отображению.
Поскольку пара (Sr, (Spx Eft?) U (Ep+1xSi)) является,
очевидно, парой Борсука, эта гомотопия распространяется
до неподвижной на Ep+1xS'< гомотопии отображения g
на всей сфере Sr. Этим доказано, что любое стянутое
слева отображение g: Sr—>-X гомотопно стянутому слева
отображению, являющемуся одновременно отображением,
стянутым на севере. Таким образом, рассматривая стя-
стянутые слева отображения Sr—> X, мы без ограничения
общности можем считать, что они стянуты также и на
севере.
Для отображений /: Sr—>-X, стянутых справа, ситуа-
ситуация оказывается более сложной. Действительно, если
отображение /: Sr—> X стянуто справа, то f (Sp х Е?1?) = xL,

246 АДДИЦИОННАЯ ЛЕММА ДЖ. УАЙТХЕДА
но /(?''+1xCf_)) фх0, и, вообще говоря, мы не можем
добиться выполнения равенства f(f+1xCf.,) = j;0 ника-
никакой гомотопией. Чтобы понять, что этому- мешает, мы
заметим, что отображение / на ?>+1хС?_, можно в силу
экспоненциального закона рассматривать как отображе-
отображение QL, —> (X, хо)(?p+1- sP>> = Qp+1X, а поскольку полушар
С?_, стягивается к точке *0 = A, 0, ..., 0), это отобра-
отображение гомотопно постоянному отображению С?-)*—>\а\,
где а: (Ер*1, Sp)—+(X, х0)—точка пространства №+1Х,
определенная формулой
A3) а (*) = /(*, *,), XGEP+*.
Для исходного отображения / это означает, что на
?я+1хС?_) оно гомотопно относительно S^xQL, отобра-
отображению а: Ер+1хС^—*Х, определенному формулой
а(х,у) = а(х), х?Ер+\ y$CU.
Поскольку пара (Sr, (?*+1хС?_>) U E^х?"+1)) является,
очевидно, парой Борсука, мы получаем, следовательно,
что любое стянутое справа отображение /: Sr —+X гомо-
гомотопно стянутому справа отображению, которое на
f+1xC?., имеет вид а для некоторого отображения а:
(Ep+1, Sp)—*(X, х0). При этом ясно, что отображение а
мы можем произвольно выбрать в его гомотопическом
классе <х?пр+1Х.
В частности, мы видим, что если а = 0, то отображе-
отображение / гомотопно стянутому справа отображению, для
которого /(/Cf_,) =х„, т. е. которое одновременно стянуто
на юге сферы Sr.
Таким образом, если а = 0, то мы без ограничения
общности можем считать, что отображение / стянуто на
юге. Если при этом стянутое слева отображение g стя-
стянуто и на севере, то мы можем построить для отображе-
отображений fag отображение (9), которое мы теперь обозначим
через Ь!. Формула (9) означает, что это отображение за-
задается соотношениями
h, \В на Ер+1хС?_у и на SpxE?±j,
t/ на Ep+1xQ+) и на &хЕ#}
С другой стороны, интересующее нас сейчас отображение
A1) задается соотношениями
. \f на Ep+1xCU и на Ер+1хС?+},
\g на SPxEft и на

АДДИЦИОННАЯ ЛЕММА ДЖ. УАЙТХЕДА 247
Но по условию
? = / = const на SPxEffi и на Ер+1хС?+).
Поэтому h — h', и, значит, согласно формуле A0)
Аналогично, любое стянутое слева отображение g:
Sr—>¦ X определяет по формуле
A5) Ь(у) = 8(а„ у),
(где теперь s0—точка A, 0, ..., 0)$Sf>), некоторое ото-
отображение b: (Ei+1, Si)—>-(X, х„), и если гомотопический
класс р^л^Х этого отображения равен нулю, то симме-
симметричное рассуждение покажет нам, что для любого
стянутого справа отображения /: 5Г—>¦ X также будет
справедлива формула A4).
Таки*м образом, для спраёедливости формулы A4) до-
достаточно, чтобы либо а==0, либо f$ = 0.
Чтобы свести общий случай к этому, мы снова рас-
рассмотрим множество Qr = (Ep+1x Ei+1y U (Ер+1хЕч), полу-
получающееся приклеиванием к сфере Sr = (Ер+1хЕч+1)' ее
экваториального шара Ег — Ер+1хЕч (см. формулу A2).),
и отображение F: Qr —>¦ X, совпадающее на сфере Sr с отоб-
отображением Л, а на шаре ?^+1х?« определенное формулой
F(x, y) = a(x),
(поскольку h(EP+1xEi)' — х0, это отображение определено
корректно). Согласно сказанному выше (см. .текст перед
леммой 1) отображение F определяет три отображения
/ч_),•./¦"< + >» Л: Sr—>-X (причем отображение h является
очевидно, отображением к, гомотопический класс кото-
которого мы вычисляем). Поэтому, согласно лемме 1, имеет
место равенство
Займемся сначала отображением F(_,. По определению
оно является композицией некоторого гомеоморфизма
Ф[_): Sr —»• /С(_) U Ег (тождественного на полусфере /(?_, и
являющегося естественной проекцией /С(Л+> —*¦ Ег на полу-
полусфере К(+> — Сгш)и ограничения отображения F на /QL, и Ег.
При этом, ничего не теряя, мы можем заменить^ гомео-
гомеоморфизм ф?_, любым другим гомотопным ему гомеомор-
гомеоморфизмом Sr—>K(-){jEr, например гомеоморфизмом id * Ф?_,
(здесь мы пользуемся тем очевидным фактом, что /(<¦_, и?' =

248 АДДИЦИОННАЯ ЛЕММА ДЖ. УАЙТХЕДА
= (Ер+1х(С^,иЕ")) U (SpxE?^)^{Ep~1*E^lY). С дру-
другой стороны, так как любое отображение (SpxE$\l,
SpxC?+))—*(Х, х0) гомотопно постоянному отображению
(см. выше), то любые два таких отображения гомотопны
друг другу. Конечно, то же самое верно и по отноше-
отношению к отображениям (SpxE?±}, Six С<'_,) —>¦ (X, х0). По-
Поэтому мы, без ограничения общности, можем предполагать,
что стянутое слева отображение g: Sr —* X задается на
Si>xE?±t формулой
A6) ё(х, у) =b(y), x?Sp, у?Е?}.
Кроме того, мы можем, очевидно, предполагать, что
A7) Ь(у)^х0, если уЪЦЦ
Но ясно, что если стянутое справа отображение / совпа-
совпадает на Ер+1хС?ч с отображением а, а стянутое слева
отображение g удовлетворяет условию A6), то отображе-
отображение Fo(id* ф('_,) будет произведением Уайтхеда" отобра-
отображений а и Ь' = ф \Ег )оф, где ф—гомеоморфизм Ег—> E[_v
Поскольку в силу условия A7) отображения Ь' и Ь
определяют, очевидно, один и тот же элемент Р группы
пч+1Х, этим доказано, что
(Неопределенность в знаке возникла из-за того, что мы
не позаботились проверить согласованность двух отождест-
отождествлений сферы Sr с границей (Ер+1хЕ9+1)' произведения
Е1Е^)
)
Что же касается отображения Fl+), то по аналогич-
аналогичным соображениям можно считать, что на Ep+1xSi оно
совпадает с отображением/, а на SpxEi+l—со стянутым
слева отображением g', являющемся на SpxE4+1 компо-
композицией естественного гомеоморфизма Sp X Eq+1 —>¦ S^ x Eq,\\)
и ограничения на SpxE?j:I отображения g, т. е., иными
словами, что оно является отображением A1), построен-
построенным для отображений fug'. При этом ввиду условия
A7) инвариант р для отображения g' будет равен нулю.
Поэтому, согласно формуле A4), будет иметь место ра-
равенство
Наконец, отображение g', очевидно,-гомотопно стяну-
стянутому слева отображению g", совпадающему на SpxEff>
с отображением g и постоянному на SpxEf±{. С другой

ИНВАРИАНТ ХОПФА КОНСТРУКЦИИ ХОПФА 249
стороны, отображения g и g", отличаясь лишь на
SpxE?lf, в силу уже известных нам соображений также
гомотопны. Следовательно, [#'] = [#"] = [?]•
Тем самым нами доказана следующая лемма:
Лемма 2. Для любых отображений /, g: Sr —>¦ X стя-
стянутых соответственно слева и справа, в группе лгХ имеет
место равенство
О8) [А] = [Я + [*]±[«. Р].
где h—отображение A1), а а?пр+1Х и &€пц+1Х—гомо-
&€пц+1Х—гомотопические классы отображений A3) и A5)'. ?
Впервые эта лемма была доказана Дж. Уайтхед'ом.
Перейдем теперь к конструкции Хопфа. Согласно
общему определению 2 лекции 4 и нашим обычным отож-
отождествлениям эта конструкция сопоставляет произвольному
пунктированному отображению
A9) F: SpxSi-^S"-1
отображение с (F): St>+tl+1—>-S", определенное формулой
B0) (%
t, smnt-E(x, у)),
Впрочем, сейчас нам будет удобнее не отождествлять
S« = (?''+1x?1(' + 1)' с Sp+i + 1 и, значит, считать c{F)
отображением (Ер+1хЕч+1)' —>S', заданным формулой
Ясно, что тогда
c(F)(EP+1xS")c:q_),
и c(F) (SpxS^czS"'1. Поэтому отображение h = moc (F),
где т—стандартное коумножение 5" —>¦ S"VS", будет
обладать тем свойством, что h (Sp x S4) -¦¦ хп и, значит,
будет отображением вида A1) (с X = S"\jSa), построенным
для отображений /: Sr—*Sn\/Sn, g: Sr-+S"\/S",

250 ИНВАРИАНТ ХОПФЛ КОНСТРУКЦИИ ХОПФА
г = р + <7+1. определенных равенствами
f = h на Ep+1xSi, / = const на S'x?«'+\
g = const на Ep+1xS«, g = h на SpxEi+1,
т. е. равенствами
, g = (constVid)o/t.
Следовательно, согласно лемме 2, для него будет иметь
место формула A8).
Но, по определению, m = i' + i", где t' и i"—вложе-
i"—вложения S" —> S"VS", и, значит (idVconst)om = i' + const~Г
и (constVid)om = const + i"~i''. Поэтому, обозначив через
y = y(F) гомотопический класс отображения с (F) (являю-
(являющийся элементом группы nrSn), мы в группе nr(Sn\/Sn)
будем иметь равенства
Далее, в рассматриваемом случае элемент а С лр+1 (S"V
V5") будет гомотопическим классом отображения а:
(Ep+1, Sp) —*¦ (S"V Sn), определенного формулой
, s0),
т. е. формулой а = тоа'', где а'—отображение (Ep+1, Sp) —*¦
-*(Sn, Sn~l) (или, точнее, (Ep+1, 5р)-*(С?_„ S")),
переводящее точку х?Ер+1 в точку c(F)(x, So)—
(^ sin «±*Lf(^, S0)),x?Ep». Поэтому
a==i'oa, где а—отображение (Ep+1, Sp)—*(S",s0), задан-
заданное формулой
а(*) = (—
(т. е. являющееся композицией отображения а' и отно-
относительного гомеоморфизма (Q_)( 5") —¦ (Sn, sg), растя-
растягивающего полусферу С"_, по меридианам на всю сферу S").
Вспомним теперь (см. лекцию 1.5), что отображения
вида (Ет, 5я) —* (X, х0) мы условились отождествлять
с отображениями Eя, х0) —<¦ (X, х0) посредством относи-
относительного гомеоморфизма
Х: (?я,
Следовательно, отображение а, рассматриваемое в силу
этого отождествления (при т = р-\-\) как отображение

СУЩЕСТВОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ 251
Sp+1-+S", будет задаваться формулой
а(х, *) = ( — х, I'l'
т. е. с точностью до симметрии х*-*—х будет надстрой-
надстройкой над отображением x>—>F(x, s0), x?Sp, сферы S? в
сферу S". Обозначая гомотопический класс последнего
отображения символом а, мы получаем, следовательно,
что а = — i'oEa.
Аналогично показывается, что р = — i"o?p, где р —
гомотопический класс отображения y*—*"F(so,y), y?Sq
(так что пара (а, р) является не чем иным, как типом
отображения _F в смысле определения 1). Следовательно,
|а, p] = [i'o?a, 1"о?$], и потому (см. предложение 1 лек-
лекции 5)
Таким образом, в рассматриваемом случае равенство
A8) приобретает вид
B1) (i' + i>y = i'oy + i"oy±[i\ i"]o(a*p).
При г < Ъп—3 эта формула, по определению, означает,
что #су = ±а*р. Тем самым доказана следующая тео-
теорема Дж. Уайтхеда (мы несколько меняем обозначения):
Теорема I. При p-\-q<,3n—1 для любого отображе-
отображения
/: SPXS4-+S"
типа (у, Р), a?npSn, fi€nqS", имеет место формула
где y = y(f)—гомотопический класс отображения c(f):
Sp+i+1.—>- Sn+1, получающегося из отображения f приме-
применением конструкции Хопфа. ?
Заметим, что, согласно предложению I, обязательно
la, P] = 0.
Для случая p = q = n тип отображения f имеет вид
(kvn, Un), где k, l?Z, и потому его можно считать парой
(/г, /) целых чисел. Поскольку ^p*^>q — ^p+i+^, мы получаем
тем самым, что для любого отображения /: S"xS"—+Sn

252 СУЩЕСТВОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ
типа (k, I) инвариант Хопфа Hc(f) отображения c(f):
S2"+1-+S"+1 равен ±kl. В частности, если (k, /) = A, 1),
то Яс(/) = ±1.
С другой стороны, сравнив определения, мы немед-
немедленно получим, что отображения /: S"xSn—*S" типа
A, 1) — это в точности умножения на сфере S", по отно-
отношению к которым точка s0 является гомотопической еди-
единицей, т. е. умножения, задающие на S" структуру Н-
пространства. Этим доказано
Следствие 1. Если сфера Sn является Н-простран-
ством, то существует отображение 52"+1 —<¦ Sn+1, инва-
инвариант Хопфа которого равен единице.
Условия этого следствия выполнены при я= 1 (окруж-
(окружность S1 является Н-пространством — даже топологичес-
топологической группой — по отношению к умножению комплексных
чисел), при п — 2> (сфера S:1 является топологической груп-
группой по отношению к умножению кватернионов) и при
п = 7 (сфера S7 является топологической лупой, т. е.
«неассоциативной группой», по отношению к умножению
октав). Поэтому имеет место
Следствие 2. При п-—2, 4 и 8 существуют отобра-
отображения 52" —*¦ 5", инвариант Хопфа которых равен еди-
единице, т. е., иными словами, гомоморфизмы
Я: naS2-*Z, Я: n,S4 -+ Z, Я: n15S8 — Z
являются эпиморфизмами.
Адаме показал, что, напротив, при п ф1, 4, 8 гомо-
гомоморфизм Я: n2n_lS"—+Z эпиморфизмом не является
(и, значит, его образ состоит из всех. четных чисел).
Утверждение (см. стр. 241), что [in, 1п]ф0 при пф 1,3, 7
является непосредственным следствием этого результата,
поскольку, как мы знаем, при[1„, 1„] = 0 сфера S" является
Н-пространством (и потому, согласно следствию 1, гомо-
гомоморфизм Я представляет собой эпиморфизм). Мы докажем
теорему Адамса в следующем году, после того как ра-
разовьем необходимую для этого технику.
Группа n,S2 (случай п = 2) является, как" мы знаем
(см. лекцию 1) бесконечной циклической группой с обра-
образующей 11з=[^]'= ^*(i3). где ^: Sa—>-S2—отображение Хопфа
(za, z^^-^-zJz^. Поскольку любой эпиморфизм Z—*Z не-
необходимо является изоморфизмом, мы получаем, следо-
следовательно, что гомоморфизм Я: n3S2-+Z является изо-
изоморфизмом.

ОБОБЩЕННЫЙ ИНВАРИАНТ ХОПФА — УАЙТХЕДА 253
Это означает, что Нг\3 — ±1, т. е. что для. любого эле-
элемента а ? n3Sa имеет место равенство
а = ±(На)х\г.
(На самом деле здесь всюду имеет место знак +, что
проще всего показать, установив прямым геометри-
геометрическим построением равенство к — с (/), где /: S1 X S'^—i-S1—
отображение (?, ki)h^|t), |, ti^S1.)
В частности, мы видим, что в группе n3S2 имеет
место равенство
[ ]
Заметим, что, как мы докажем в следующем семестре,
вычислив группы n7S* и n15S8, эпиморфизмы Н: n,S4—«-Z
и Н: nnS8 —>-Z изоморфизмами н? являются.
Рассмотрим в заключение вопрос о возможных обоб-
обобщениях инварианта Но на случай, когда г > Зя—3.
Для любого элемента a^nrS", где пока г и п произ-
произвольны, мы положим
Qa-=(i' + i")occ — i'oa — i"oa.
Это—элемент группы nr(S"VS"), принадлежащий образу
мономорфизма д: nr+1(S"xSn, Sn\/S") —»¦ nr(S"\/Sn) и,
значит, единственным образом представляющийся в виде
dQ'a, где Q'a^nr+1(SnxSn, S"V5"). По определению
инвариант Ноа связан с элементом Qa формулой
B2) p^aa=Qa,
где р„: nrS2n+l —*nr(SnVS") — гомоморфизм из диаграм-
диаграммы B). При г ^.Зп—3 эта формула корректно определяет
элемент Нпа, поскольку для этих значений г гомомор-
гомоморфизм р„ является мономорфизмом на прямое слагаемое
Imd группы nr(SnV5"). He будет ли гомоморфизм р.
мономорфизмом и для больших г?
Мы начнем с одного общего замечания, касающегося
надстроечного гомоморфизма Е: nrX —*nr+1S'X. Так как
для любого пунктированного пространства X конус С'Х
стягиваем, то при каждом г^гО связывающий гомомор-
гомоморфизм д: лг+1(С'Х, Х)—*пгХ является изоморфизмом.
Поскольку кослой С'Х/Х пары (С'Х, X) естественным
образом отождествляется с надстройкой S'X, отсюда сле-
следует, что для любого г^О определен гомоморфизм
Х»оо~1: я,Х—»- л^+^'Х,

254 ОБОБЩЕННЫЙ ИНВАРИАНТ ХОПФА - УАЙТХЁДА
где х*: пг+1(С'Х, X)—>¦ nr+lS'X— гомоморфизм, индуци-
индуцированный отображением факторизации %: (СХ, X) —*
—>-(S'X, хи). Оказывается, что гомоморфизм х*0^ со"
'впадает с надстроечным гомоморфизмом Е:
B3) Е = г*од-\
т. е. что диаграмма
B4)
коммутативна. Действительно, для любого пунктирован-
пунктированного отображения /: Sr —<- X имеет место коммутативная
диаграмма
(CSr, Sr) °^ (СХ, X)
а в силу отождествления относительной гомотопической
группы nr+l(S"X, x0) с абсолютной гомотопической груп-
группой nr+lS'X отображение S'/°X задает тот же элемент
?[/] группы nr+1S'X, что и отображение S'f. Поэтому
=Is''М - [хосп = х. [С'П = (х.0^
[7Ш
При X — S" отображение % является не чем иным,
как характеристическим отображением для клетки е"+1=
- Sn+1\s0.
Мы воспользуемся диаграммой B4) при X = S2",
обозначив в этом случае отображение х через х'. Объеди-
Объединив эту диаграмму с диаграммой B) и добавив гомомор-
гомоморфизм qv nr+1(S"xS", S"\/Sn)-+nr+1S2n, индуцированный
отображением факторизации q>: {S"xS", S"\/S") -+ (Stn, s0)
(связанным с характеристическими отображениями %':
?2«_^52" и х: Е*п—<-SnxS" формулой х'^Ф°Х). мы по-
получим, коммутативную диаграмму
B5)

ОБОБЩЕННЫЙ ИНВАРИАНТ ХОПФА - УАЙТХЕДА 255
правый вертикальный гомоморфизм д которой является
мономорфизмом, а левый — изоморфизмом.
Предположим теперь, что отображение Е: nrS2"—»¦
—¦¦ nr+lS2n является мономорфизмом (в этом случае мы"
будем называть размерность г регулярной по отношению
к п). Тогда мономорфизмом будет и отображение %',, а
потому и отображение %,. Следовательно, мономорфизмом
будет и отображение р«, а значит, формула B2) будет
корректно определять элемент Яоа при условии, что
этот элемент существует, т. е. что Qaglmp,.
Обозначив подгруппу группы nrSn, состоящую из та-
таких элементов a^.nrS", что Qaglmp», символом n"Sn,
мы, таким образом, можем утверждать, что для любой
регулярной по отношению к п размерности г формула
B2) определяет некоторый гомоморфизм
B6) Яо: ^S»-,1^1»-1,
Гомоморфизм B6) мы будем называть обобщенным
гомоморфизмом Хопфа—Уайтхеда. Для него, конечно,
также имеет место формула C) (а потому и формула D)).
Кроме того, поскольку формула B1) была нами доказана
для любых ran, теорема 1 остается в силе и для
обобщенного гомоморфизма Яо (конечно, если размерность
r — p + q+l регулярна по отношению к п).
Ясно, что для любого примитивного элемента Р ? nmSr
имеет место формула Q (aoP),= Qaop\ Поэтому, если эле-
элемент Яоа определен и если размерность т регулярна по
отношению к п, то элемент #0(ао|3) также определен и
B7) . Я0(аоР) = Я0аор.
Подчеркнем, что в этой формуле элемент P?nwSr пред-
предполагается примитивным.
Так как в силу теоремы Фрейденталя каждая раз-
размерность г^4л—4=-2Bп—1)—2 регулярна по отноше-
отношению к п, то, в частности, обобщенный гомоморфизм
Хопфа—Уайтхеда Но определен при r^ZAn—4.
Таким образом, гомоморфизм Яо нам удалось обобщить
на случай г <14я—4 с сохранением всех свойств.
Однако обобщенный гомоморфизм определен, вообще го-
говоря, лишь на некоторой подгруппе группы nrSn.
Чтобы распространить гомоморфизм Яо на всю группу
nrS", мы заметим, что в силу коммутативности диаграммы
B5) из равенства B2) следует равенство
B8)

256 ТЕОРЕМА ХИЛТОНА
которое для любого элемента a?nrS:l корректно
определяет элемент Ноа ? n^S2" каждый раз, когда ото-
отображение Е является мономорфизмом (и, значит, в част-
частности, при г^.4п — 4). Однако из формулы B8) следует
лишь, что р«//оа-= Qa-f-dp, где Р—такой элемент группы
nr+1(S"xS", 5яV5"), что Ф»Р=-О, и потому для элемента
#оа, определенного формулой B8), основная формула C)
места иметь, вообще говоря, не будет (для этого необхо-
необходимо и достаточно, чтобы Р = 0, т. е. чтобы a^n^S").
Таким образом, гомоморфизм Но может быть опреде-
определен при г^4п—4 (или, более общо, для любой регуляр-
регулярной по отношению к п размерности г) на всей группе
nrS", но свойство C) будет иметь место только при
а 6 n?S*.
Аналогично, хотя формула B7) имеет теперь смысл
для любых a g nrSn и Р g nmSr (конечно, в предположе-
предположении, что размерности гит регулярны по отношению
к я), но, вообще говоря, она будет верна только при
a € n?S".
ДОПОЛНЕНИЕ
Теорема Хилтона.—Инварианты Хопфа — Хилтона.—
Инвариант h0.— Инварианты hi и Л2.— Формула для
(fep)
Значение умножения Уайтхеда—и наше внимание к
нему—определяется тем, что любая гомотопическая опе-
операция сводится к одноместным операциям (т. е. к опера-
операциям вида 6a: Pi—>poa) и к итерированным произведе-
произведениям Уайтхеда.
Действительно, согласно теореме 1 из' Дополнения к
лекции 5 группа я„ E' V • • • VSms) является прямой
суммой групп nnS'Xa, где Ха—смеш-произведение не-
нескольких экземпляров каждой из сфер S', ...,Sm*-',
т. е. сфера SN», где Na = (m1—\)t1+...+(ms—l)ts и
tt — ?i(ma), ..., ts — ts (ma). При этом соответствующая инъ-
инъекция nnS'Xa — nnSNa —* я„ (Smi V • • • \ZSms) будет инду-
индуцироваться отвечающим базисному моному ma итериро-
итерированным произведением Уайтхеда va канонических вложе-
вложений inft: Sffl*->Sm'V ••• VSm*. k=l, ...,s. Другими
словами, если
iA) € пщ (Sm>V ••• VSn*), • • •, i(s) € nms (Srr'V • • O

ИНВАРИАНТЫ ХОПФА — ХИЛТОНА 257
— гомотопические классы отображений in1( ...,in?, a
ma(ill\ ..., i(s))—элемент группы
nNa+1 (S"»V ¦ ¦ ¦ VS""), Na = (m,— 1) f 1 + ... + (ms— 1) ts,
получающийся подстановкой в моном ша вместо формаль-
формальных переменных хи ..., х, элементов iA), ..., i<s> и вы-
выполнением всех умножений Уайтхеда в последователь-
последовательности, предписанной расстановкой скобок в ш„, то каж-
каждый элемент группы nn(S'"'V-. .\/Sms) единственным
образом представляется в виде суммы
A) Xme(iA>, .... 1<5>)орв, где fU
0=1
и, значит, любая гомотопическая операция типа (ти ...
. . ., ms; п)—в виде суммы операций вида (ах, ..., as)*—>
ь->ша(а1, ..., а^)ора. Конечно, в сумме A) отличны от
нуля лишь члены, для которых Na-\-1 ^n.
Как уже говорилось, эта теорема принадлежит Хил-
Хилтону.
При s =-¦ 2 мы, несколько меняя обозначения, получаем,
что каждый элемент группы nr(Sm\/Sn), m, n, r^2,
единственным образом представляется в виде суммы
B) 2me(i\0°Pe,
где суммирование распространено на все а, для которых
число
Na = (m-\) tl(ma) + (n-\)t2(ma)
не превосходит г—1, и где pa^nrSNa+1, a v' и i"—гомо-
i"—гомотопические классы естественных вложений Sm —>¦ S'a\/S" и
Sn—>-Sm\/S". Конечно, здесь интересны лишь слагаемые
с а^З, поскольку при а=1 и a = 2 получаются триви-
тривиальные вложения групп nrSm и nrS" в группу nr(Sm\/Sn).
В частности, при т — п мы получаем, что для каж-
каждого элемента a ? nrS" имеет место разложение вида (ср.
с формулой (9) лекции 4)
C) (i' + i")oa = i'oa + i"oa+ "S m/+3(i', i")ohf(a),
где hj (a) € nrSn', nt — (n— 1) t (nty+3) + 1 для любого / ^ 0.
(Поскольку «у —>¦ oo при /—»-оо, сумма в формуле C)
для любого г конечна.) Элементы hj(a) называются ин-
инвариантами Хопфа — Хилтона элемента a?nrSn, и со-
9 AT. M. Постников

258 ИНВАРИАНТ А,
ответственно этому отображения
называются отображениями Хопфа—Хилтона.
Так как (см. Дополнение к лекции 5)
т$ = хгхи т4 = (x2xx) xlt пт5 = (ад) хг,..
то в раскрытом виде формула C) имеет вид
(i4-i")oa = i'oa + i"oa + [i", i']oA0(a) +
+ [[i\ i'], i']oh1(a) + ][}.; i'], i"lo/i2
где
Ae: nfSn -*. я^2"-1, Alt A2: nrS" — я,5»я-«, ...
Из дистрибутивности справа композиционного умно-
умножения непосредственно следует, что все отображения
Хопфа—Хилтона являются гомоморфизмами, а из свой-
свойства универсальности элементов i' и Г,— что для любых
элементов plt p2 g ягХ имеет место формула
D) (P1 + P1)oa-pioa + p,oa+ 2%+, (Pi, Р.) о Ay (a),
т. е. формула
,. Pi]. Pi]oA1(a) + [[P,, Pi], р,]оЛ2 («) + ...
Таким образом, можно сказать, что инварианты Хопфа —
Хилтона измеряют отклонение операции Эа: рн-»-Роа от
аддитивности.
Поэтому, если элемент а примитивен—например, если
а = ?р,—mo /i/(a) = 0 для любого /^0.
В силу теоремы Фрейденталя отсюда, в частности,
следует, что если г^.2п— 2, то h, (a) = 0 для любого / ^ О
(что, впрочем, немедленно вытекает также из того, что
пу>2п— 1).
Так как П/^Зя—2 при /^1, то Ay(a) = 0, если
г^Зл—3 и /^1. Следовательно, при г^Зп—3 для
любого элемента a?nrSn имеет место формула
E) (i' + i*)oo = i'oa+i'oa + [i', i']oA, (a).
Это означает, что с точностью до знака гомоморфизм h0
при г^.3п—3 совпадает с гомоморфизмом Хопфа—Уайт-

ИНВАРИАНТЫ fti и А, 259
хеда #0, так что этот гомоморфизм можно рассматривать
как сбсбщение гомоморфизма Ио на любые значения г.
Подчеркнем, что при этом обобщении, как и при обоб-
обобщении гомоморфизма Яо, описанном в конце лекции 5,
свойство гомоморфизма //„, выражаемое формулой C)
лекции 5, вообще говоря, не сохраняется (для этого не-
необходимо и достаточно, чтобы Лу(а) = 0 при любом /^ 1).
Вместе с тем -формула E) лекции 5 для гомоморфизма к0
сохраняется (вместе с доказательством). Точно так же
сохраняется и равенство 2А0(а) = 0 при п нечетном, если
только выполнено неравенство г^4п — 3, обеспечиваю-
обеспечивающее справедливость тождества —l2n-i°K(a) — — Ло(а).
Рассмотрим более внимательно инварианты hx (а) и /is (a).
По определению отображения 1гг и h2 являются гомо-
морфизмами nrS" —+ пг5а""* и, следовательно, могут быть
отличны от нуля только при г^гЗп—2.
В разложении C) гомоморфизмам hx и ht отвечают
члены [[i", i'], i']oh! (а) и ffi", i'], i"]oht(a). Поэтому,
переставив i' и i", мы уже известным нам образом полу-
получим соотношения
F) /ч(а) = (-1)п_2оЛг(<*), К (a) = (-l)«l,n_2o/z1 (a)
С другой стороны, в группе nr (Sn\J Sn\/S") имеет
место равенство
i"]oha(a
i'".i'],i']. +.[[v'", i'].
. i>Ma) + ([[i"', t'
', i'], i>Ma) + ...+
'", i']oAe(a
"',i'l,i']oA1(a) + [[i'", i']
9*

260 ИНВАРИАНТЫ А, и ft,
а также равенство
)
i" + i'", 1']оЛ0(а)+-
', i'], i']°/ii(a) +
'", i'], 1']оЛ1(а) + ...+[[1", i'], 1*]оЛ1(я) +
[<¦'". i'], i"]o/i2(«) +
+ [[i'", i'], i"H(a)+...,
где многоточия обозначают члены, содержащие произве-
произведения Уайтхеда кратности большей трех.
В первом из этих равенств подчеркнутое тройное про-
произведение Уайтхеда отвечает не базисному моному и
потому должно быть представлено в виде
[[I'", I'], i'] = -[[i\ i'], i-'l + C-i)"-1^"'. i'], i'],
и, значит, член [[i"\ i"], i']oh1(a) должен быть разло-
разложен по формуле
[[I'", I"], i']oM«) = -[[YVi'], i'"Hi («) +
После этого, сравнив соответствующие члены, мы полу-
получим (в силу единственности разложения C)) соотношения
Сравнив эти соотношения с соотношениями F), мы немед-
немедленно получим, что для любого элемента a g nrSn имеют
место равенства
h2 (a) = /it (a) = 0, если п четно,
/i2 (a) = 2/tt (a) = — isn-2°^i(a)i если п нечетно.
В частности, если элемент hx (а) примитивен (что заве-
заведомо выполнено при г < 2 (Зп—2) —-1 = 6п — 5) и потому
— lan-2°^t(a) = — ^i(a). отсюда следует, что 3ft1(a) = 0
и А,(о) = —At (a).

ФОРМУЛА ДЛЯ (*Р)оа 261
Так как n3n_2S3n~2 = Z, то при г = 3п—2 равенство
3/j!(a) = 0 возможно только при hl(a) = Q. Поэтому, если
г — Зп—2, то ht(a) = п2(а) = 0 пры любом п^2.
В лекции 8 мы покажем, что nn+,S" = nn+2S'I = Z/2.
Поэтому последний вывод остается в силе и при г = Зп— 1
и г = 3п.
Аналогичные результаты можно получить и для сле-
следующих инвариантов Хопфа — Хилтона Лу(а). Однако
с. ростом / вычисления стремительно усложняются. В общем
виде их, по-видимому, до сих пор еще никто не произвел.
Зная формулу для ^-j-p^oa, мы можем без особого
труда написать общую формулу для (р\+ ... +Ps)°a.
Однако эта формула настолько сложна, что на практике
ею пользоваться нельзя. Конечно, не исключено, что ее
можно—за счет сокращения подобных членов—сущест-
членов—существенно упростить и сделать работоспособной, но для этого
надо подробнее, чем это пока сделано, разобраться с соот-
соотношениями между инвариантами Хопфа — Хилтона. Тем
не менее оказывается, что в частном случае одинаковых
слагаемых р\, ..., fis такого рода сокращение сделать
удается.
Лемма 1. Для каждого элемента р ? ппХ и любого
s ^ 3 все s-кратные произведения Уайтхеда элемента (i
самого на себя равны нулю. Если п нечетно, то это верно
и при s = 2.
Кроме того, ЗШ, [р, р]] = 0, а если п нечетно, то
2[р\ Р] = 0.
Доказательство. Равенство 3[|3, [Р, Р]] = 0 непо-
непосредственно следует из тождества Якоби (см. замечание б
в лекции 4), а равенство 2[f$, Р] = 0 при п нечетном—из
тождества косокоммутативности. Поэтому при п нечетном
[Р, [Р, р]]= 0. Этим доказаны все утверждения леммы,
кроме первого (заметим, что [Р, [Р, Р]] является един-
единственным двукратным произведением Уайтхеда элемен-
элемента Р на себя).
Что же касается первого (единственно нетривиального)
утверждения леммы, то при п нечетном оно также дока-
доказывается без особого труда. Действительно, при s^3
любое s-кратное произведение Уайтхеда элемента р на
себя содержит, очевидно, множитель Р3 = [Р, [Р, Р]]. по
доказанному равный нулю, когда п нечетно, либо мно-
множитель у4 = [[Р> Р1> ГР> Р]]» который, согласно тождеству
Якоби, примененному к элементам Р, Р и Р2^[Р, PJ, равен

262 ФОРМУЛА ДЛЯ (fcf»)«a
rh[P. |%1±[Р. Рз] = 0- Поэтому это произведение Уайт-
хеда равно нулю.
Случай п четного более кропотлив-. По уже доказан-
доказанному Зр3 = = 0 и, значит, Зр4 = 0, где Р4 = [Р, Рз]- С дру-
другой стороны, как мы уже видели, у4 = ± Р< ± Р4, причем,
как показывает более внимательнее вычисление знаков,
на самом деле yt--—2р4. Поэтому 3yt = —6р4 = 0. Но
так как [р\ P]€n2n-iS" и 2л-"-1 нечетно, то по уже до-
доказанному 2у4 = 2[[р, Р], [Р, Р]] = 0. Следовательно, у4 = 0,
и потому 2Р4 = 0. Значит, Р4---0. Этим первое утвержде-
утверждение леммы доказано при s = 3.
При s = 4, кроме произведений, содержащих Р4 и у4
и потому равных нулю, имеется еще произведение [Р2, р8],
которое в силу тождества Якоби, примененного к эле-
элементам р3, Р и р, равно ±Р5±Р6, гдеР6 = [Р, Р4] = 0, и
значит, также равно нулю. Поэтому первое утверждение
леммы справедливо и при s = 4.
При s==5 полученные результаты не дают непосред-
непосредственного ответа только для произведения [Р3, Р3]. Но
согласно тождеству Якоби, примененному к элементам pif
Р2 и Рз, это произведение равно ± [Р, [Р„ Р»]]±[Р2.. Р4]
и потому также равно нулю.
Наконец, при з^б достаточно заметить, что любое
s-кратнсе произведение элемента Р на себя получается
умножением некоторого s^-кратного произведения на не-
некоторое 52-кратное произведение, где либо sx ^ 3, либо
ss>3. С
Из этой леммы и формулы A) следует, что для любых
элементов agn^S" и р^лпХ справедлива формула
G) Bp)oa = 2(poa) + [P, P]oA,(a) +
, р], Ploh^aJ + ttP, P]. P]°Ma).
В частности, применив эту формулу к произвольному
элементу y?nrSin~l и к элементу [р, P]6n2n_iX, мы по-
получим (снова воспользовавшись леммой 1), что
B[Р, P])oV = 2([P, p]oV).
Очевидная индукция показывает теперь, что
для любого целого k ^ 1. Более того, так как по тем же
соображениям

формула ДЛЯ (ftfl).a 263
то формула (8) справедлива для любого целого k (; Z.
Таким сбразом, в выражении k [Р, Р]оу мы, не боясь дву-
двусмысленности, можем скобок не писать.
Аналогично доказывается, что
ШР.![РШ°6-*'([Р, ГР. №s:
для любого элемента б^я,^'1"8. Поэтому скобок ьдесь
также можно не писать.
Имея это в виду, мы можем теперь вычислить {Щоа
для любого k.
При 4 = 3 мы получаем в силу леммы 1
Cp)oa = Bp + P)oa = BP)oa + P°a + [P, 2P]oA0(a) +
+ [[Р, 2Р], 2p]oAt(a) + [[P, 2P], р]оЛ2(а) =
= 2(роа) + [р, Р]оА„(а) + [[Р, р], Р]оА,(а) +
¦+[[Р, Р], р]оЛ2(а) + роа + 2[р, р]оА0(о)
+ 4[[р, р], Р]оА;(а) + 2[[Р, Р],-р]
-3(Роа) + 3[р, Р]оЛ0(а) + 5[[р, р],
+ 3[[Р, р], Р]оА2(а) =
= 3(роа) + 3[р, Р]оА0(о)-[[р, Р], PJoft^a).
Если вместо разложения Зр==2р + р мы воспользуемся
разложением Зр = р + 2р, то аналогичная выкладка даст
нам формулу
, P]oA0(a)-[[P, P], P]oA,(a),
откуда следует, что
[[Р, Р]. P]oAi (a) = [[P, P],
Поэтому фор..:улу G) мы можем теперь записать в сле-
следующем виде:
Bp)oa = 2(poa) + [P, p]o/i0(a) + 2[[p, P], pjoA^oc).
Покажем теперь, что для любого целого k
(9) (*p)oa = *(poa)+B)[P, P]oA0(a)-
где биноминальные коэффициенты (abj при 0<а< 6 счи-
считаются равными нулю, а для отрицательных а опреде-
определены формулой

264 ФОРМУЛА ДЛЯ (*Р)°а
так что, в частности,
V 2j-\ 2 ./•
После всего сказанного доказательство этой формулы
для положительных k проводится очевидной индукцией:
если (9) верно, то
, P]o/i0(a)
. p], P]oMa) + *[[p, P], P]o/
что все и доказывает, поскольку
Для отрицательных & формула (9) имеет вид
[-ОДоа =-k(Poa) + (й+') [Р, Р]ой0(а) +
[[Р. Р],
и доказывается аналогичной индукцией. Начальный шаг
индукции, т. е. формула
(_P)oa = -(Poa) + [p, P]oA0(a),
доказывается при этом отдельной выкладкой:
Г ft ft П ft  /* / \ I Г Г ftft"lftir»/\
= poa-f-(—p)oa—[|j, pjort0(a). U
В частности, мы видим, что если п нечетно или п
четной k = 9/, 9/±1, то
(k$)oa — k(f)oa)-\-\ 0 ) [Р, Р]оЛ0(а),
V /
а если /г нечетно и k — Al, 4/+1, то
Кроме того,
и, в частности,
A0) {_ln)oa = _a + [lni in]oh0(a)
для любого элемента a?nrS-''.

ЛЕКЦИЯ 7
Теорема вырезания для гомотопических групп.— Редук-
Редукция теоремы вырезания к теореме Блейкерса—Масси.—
Доказательство теоремы Блейкерса—Мисси.— Оконча-
Окончательное упрощение надстроечной последовательности.
Вернемся теперь к общей теории клеточных про-
пространств (с целью, в частности, доказать предложение
4 лекции 6, у нас пока ещё не доказанное).
Определение 1. Пунктированное отображение
/: (X, A)-*(Y, В)
называется п-связным, если индуцированный им гомомор-
гомоморфизм /*: яг(Х, A)—<-nr(Y, В) гомотопических групп яв-
является при г < п изоморфизмом, а при г — п эпиморфиз-
эпиморфизмом. Отображение, n-связное для всех п, называется
оо -связным.
При А = {л:0} и В = {«/„} n-связные отображения—это-
в точности «-эквивалентности в смысле определения 5
лекции 3. Ясно, что отображение /: X —*¦ Y тогда и толька
тогда является п-эквивалентностью, когда пара (Cyl /, X)
«-связна. Аналогичное утверждение имеет место и для
я-связных отображений пар; нужно только ввести для
них понятие цилиндра. Мы оставим это читателю.
Основной целью этой лекции является доказательство^
следующей теоремы вырезания для гомотопиче-
гомотопических групп:'
Теорема 1. Для любой п-связной (п^\) клеточной
пары (X, А) с т-связным (т ^ 0) подпространством А
отображение факторизации у: (X, А)—+-(Х/А, pt) яв-
является (т-|-п + \)-связным отображением.
Чтобы -продемонстрировать силу этой теоремы, мы
применим ее к паре (С'Х, X), где X — произвольное
(п—1)-связное клеточное пространство. Эта пара, как
легко видеть, и-связна (без ограничения общности мы можем
считать пространство X клеточно (п—1)-связным, а тогда
пара (С'Х, X) будет даже клеточно n-связна), и потомуг
согласно теореме 1, отображение ср: (С'Х, X) —*¦ (S'X, x0}
2/г-связно. Значит, отображение ? = ср* о д (см. формулу
B3) лекции 6) является при г < 2л—1 изоморфизмом,,
а при г=2п—1 эпиморфизмом.

266 РЕДУКЦИЯ ТЕОРЕМЫ ВЫРЕЗАНИЯ
Это утверждение составляет содержание теоремы Фрей-
Фрейденталя (теорема 2 лекции 2), обобщенной на произволь-
произвольные клеточные пространства (см. замечание 2 лекции 2).
Таким образом, теорема Фрейденталя является тривиаль-
тривиальным следствием теоремы 1.
Замечание 1. Теорема Фрейденталя справедлива
и без предположения клеточности. Проще всего это уви-
увидеть, доказав, что для любой слабой гомотопической экви-
эквивалентности /: Y —- X отображение Sf: SY —>¦ SX также
является слабой гомотопической эквивалентностью (и, зна-
значит, надстройка SX над клеточным эквивалентом Я про-
пространства X является клеточным эквивалентом надстройки
SX над пространством X). Мы оставим это читателю.
Условие /и-связности подпространства А равносильно,
очевидно, условию (т+ 1)-связности отображения Л —<- pt.
Поэтому теорема 1 является частным случаем следующей
<5олее общей теоремы:
Теорема 2. Относительный гомеоморфизм
/: (X, A)-*(Y, В)
п-связных (п ^ 1) относительно клеточных пространств,
для которого отображение
/п-связно, является (п + т)-связным отображением.
Замечание 2. Непосредственным следствием тео-
теоремы 2 является также предложение 4 лекции 6, поскольку
для относительного гомеоморфизма х: {Егп, S2")—<-
— (S" х S", Sa V 5") пары (?*", S2") и (S"x S", S" V S")
Bп—1)-связны, а его ограничение р: Sin~l —<- S' V Sn на
S2n~l является, очевидно, (п—1)-связным отображением.
Мы выведем теорему 2. из следующего предложения:
Предложение 1. Если (X, С), (А, С) и (В, С)—такие
относительные клеточные пространства, что
и если пара (А, С) п-связна (п^ 1), а псрг (В, С) т-связна
( I), то вложение
у. (А, О-(Х, В)
(п + т)-связно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БЛЕЙКЕРС А — МАССИ 267
Доказательство теоремы 2. Пусть С=»СуГ(Лл)
и ZeCyl'/. Рассмотрим диаграмму
(X, A)-L(Y, В)
Ч I' '
(ХиС, C)-1(Z, С)
все стрелки которой, кроме верхней, являются вложени-
вложениями. Так как / является относительным гомеоморфизмом,
то отображение факторизации
также будет относительным гомеоморфизмом. Поскольку,
согласно предложению 1 лекции 1. пространство Хх/
ретрагируется на подпространство Л, отсюда следует, что
пространство Z ретрагируется, в свою очередь, на подпро-
подпространство ХиС Поэтому вложение k: (X и С, С) —>¦ (Z, С)
индуцирует во всех размерностях изоморфизм гомотопи-
гомотопических групп, т. е. является оо-связным отображением.
Аналогично, так как пространства Z и В -- Y П С ретра-
гируются соответственно на Y и С, то (см. предложение 3
из Дополнения к лекции 1.8) вложение /: (Y, В)—<-(Z, С)
также оо-связно. С другой стороны, так как пара
(X, X П С) -- (X, А) по условию n-связна, а пара (С, X П С) =
= (С, А) m-связна, то, согласно предложению 2, вложе-
вложение i: (X, A)—+(X\jC, С) является (га-Нт)-связным ото-
отображением. Следовательно, (п + ^-связным будет и ото-
отображение /. 'И
Таким образом, нам остается лишь доказать предло-
предложение 1. Ввиду точности гомотопической последователь-
последовательности триады (X; А, В) (см. Дополнение к лекции 1.8)
это предложение равносильно утверждению об (п -1- т)-связ-
ности этой триады, т. е. тому, что
<1) п,(Х; А, В)-^0 при г^п + т.
В этой форме мы его и будем доказывать. (Эта форма
предложения 1 известна как теорема 13лейкерса —
Мае с и; впрочем, это имя часто присваивают и самому
предложению 1).
Мы докажем равенство яг (X; А, В) — 0 последовательно
для все более общих ситуаций.

2Р.И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БЛЕЙКЕРСА — МАССИ
Случай 1. Пространства А и В являются элемен-
элементарными клеточными расширениями пространства С раз-
размерностей п-\-\ и т-\-\ соответственно.
Рассмотрим произвольную клетку е"+1 ? А\С. Так как
эта клетка открыта в X, то для каждого отображения
/: Ег —>¦ X множество G — f~l (e" + 1) открыто в Ег. На этом
множестве определено отображение f---i~1°f' G —>-?"+1,
где /: Еп+1 —* X—характеристическое для клетки еп+1
отображение. Пусть:
а) существует открытое в Ег множество Glt замыка-
замыкание Кх = Gx которого содержится в G и на котором ото-
отображение / полиномиально;
б) образ fiGJ множества Ga при отображении / по-
покрывает подшар Еп^2 радиуса 1/2 шара Еп+1;
в) прообраз ]~l (Ei^1) при отображении J концентри-
концентрического подшара Е"^1 радиуса 1/4 содержится в G,.
Тогда, согласно теореме Сарда, в шаре Е"^1 будет
существовать точка х0, являющаяся регулярным значением
отображения /lCi, причем, согласно сбщей теореме о про-
прообразах регулярных значений (см. утверждение 2 в лек-
лекции 1.7), прообраз этой точки при отображении /|Oi,
совпадающий в силу свойства в) с ее прообразом /-1 (дг0)
при отображении /, будет (г—п—1)-мерным гладким
подмногообразием шара Ег (с краем, лежащим в S1).
Кроме того, для любого гладкого подмногообразия
Р <=. Ег пересечение ?(/>)п??/У будет образом /(PnGj)
гладкого подмногообразия Р П Gt при гладком отображе-
отображении f\Oi, и потому при dim P^.n не будет покрывать
шар Е",',1.
Полагая хо-^%(хо), е"/,1 =x(^"/V) и замечая, что
/(*.)=?-1(*«) и f(P)ne"i;i1^%(f(P)r\E^1), мы полу-
получаем, следовательно, что:
Г. Существует точка х^е"^1, прообраз f'1 (л:0) кото-
которой при отображении f является гладким (г—п — ^-мер-
^-мерным подмногообразием шара Е''.
2°. Для любого гладкого подмногообразия Р с ЕТ раз-
размерности ^ п существуют точки х € e"f*, не принадле-
принадлежащие множеству f (P).
Вспомним теперь, что, согласно замечанию 1 к Вспо-
Вспомогательной теореме из лекции 3 (примененному к отно-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БЛЕЙКЕРСА - МАССИ 269
сительной клетке (X, Х\еп+1)), каждое отображение
/: Ег —>-X гомотопно относительно /-1 (X\e'l+1) = ?r\G
отображению, обладающему свойствами а), б), в), а значит,
и свойствами 1° и 2°. При этом, поскольку для различных
клеток е"+1?Л\С соответствующие множества G не пере-
пересекаются, мы можем такого рода гомотопии произвести
но отношению ко всем клеткам еп+1? А\С одновременно.
Этим доказано, что любое отображение f: Er+1 —<¦ X гомо-
гомотопно относительно /~1(Х\(Л\С)) отображению, обла-
обладающему по отношению к каждой клетке е"+1бЛ\С
свойствами 1° и 2°. (Впрочем, нам понадобится только
свойство 2°.)
По симметрии аналогичное утверждение имеет место
и для элементарного клеточного расширения (В, С) только,
конечно, свойства 1° и 2° должны быгь соответствующим
образом переформулированы (причем нам понадобится
только свойство 1°). Более того, по тем же соображениям,
что и выше, мы можем соответствующие гомотопии осу-
осуществить одновременно (получив гомотопию относительно
/~'С). При этом, если исходное отображение /: Ег—* X
было отображением пунктированных триад (Ег; Е[+,1,
ЕгA,1) —>- (X; А, В), то эта гомотопия будет, очевидно,
гомотопией категории ТОР'^, и потому ее концевое ото-
отображение будет определять тот же элемент группы л, (X;
А, В). Этим доказано, что произвольный элемент группы
яг (X; А, В) может быть задан таким отображением
<2) /: (?'; Etf, E[Z}) -* (X; А, В),
что:
(i) в каждой клетке e$+1 g В\С существует точка
•*fl€ei?+1. прообраз /-1(л:р) которой при отображении f
является (г—т—1)-мерным гладким подмногообразием
шара Ег;
(и) для любого гладкого подмногообразия Р с Ег раз-
размерности ^.п (или, более общо, для любого подмножества
Р с Ег, являющегося объединением конечного числа гладких
подмногообразий размерности < п) в каждой клетке е%+1 ?
?А\С существует такая точка xa€e?+1, что ха^[(Р).
Впрочем, нам удобнее задавать элементы группы
яг(Х; А, В) не отображениями вида B), а отображения-
отображениями вида
(/'-*Х/, /'^Х/, I'-lx\, {б}) —(X; А, В, х0),

270 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БЛЕЙКЕРСА -МАССИ
где{б}=;(/'-1х0)и@х/) (см. Дополнение к лекции 1.8).
Ясно, что для таких отображений доказанное утверждение
полностью сохраняется (конечно, с заменой шара Ег на
куб /г = /г-1х/).
Пусть рг—проекция /г~1х/-+Z*". Из свойства (i)
немедленно следует, что для любой клетки е$+1 € В\С
множество />р = рг (рг (/"' (%))) является гладким (г—т)-
мерным подмногообразием куба 1Г — Ir~1xl. При этом,
поскольку компактное множество / AГ) задевает лишь
конечное число клеток из В, только конечное число под-
подмногообразий Яр не пусто. Поэтому, согласно свойству (и),
если г—т^.п, то в каждой клетке е2+1?.А\С сущест-
существует такая точка ха ? е?/1, что f'1 (ха) П Р$ - 0 для всех р\
Пусть К—множество всех точек ха, a L—множество
всех точек %. По определению топологии в X эти мно-
множества замкнуты. Поэтому замкнуты (и, значит, компактны)
подмножества /-1/С и f~lL куба 1Г и их проекции рг/-1/С
и pr/~JZ. в кубе Л. Кроме того, по построению послед-
последние множества не пересекаются и лежат внутри куба У.
Следовательно, существует такая непрерывная функция
р: I1 —>/, что р=1 на рг//., и р = 0 на рг/'^ина
ir~l. Пользуясь этой [функцией, определим гомотопию
ftT: Ir —- Ir формулой
hT(t, t) = (t, t(\-xp(t))), ttl'-1, t?l.
Эта гомотопия обладает следующими свойствами:
а) fto=id и pro/it = pr для любого Tg/;
б) если t^.prf~1L, то ht (t, t) = (t, 0) для любого / g /;
в) если t € (рг/^) U Z1", то Лх (^, ^) — (t, t) для любых.
Свойство в) означает, что гомотопия hx неподвижна
нарг((рг/~1/С) U /г~г) и, значит, в частности, на рг~11г~1 =
= Ir~1xl. Поскольку множество /~XL лежит внутри куба /Г
(и, в частности, не пересекается с его гранью t = 0) из:
свойства б) следует, что hx{lr) с 1Г\\~^Ь, По аналогич-
аналогичным соображениям из свойства в) следует, что hx (I1 x 1) а
с Ir\f~lK для любого т?/.
Рассмотрим теперь гомотопию / о hx: Er —>- X. Эта гомо-
гомотопия будет гомотопией из(/гх/; Ir~1xl, /гх 1, {0})
не в (X; А, В, х„), а лишь в (X; А, Х\К, х0) (так что,
строго говоря, мы должны эту гомотопию записывать
в виде ]' о / о hT, где /': (X; А, В, х0) ¦— (X; А, Х\К, х0) —

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БЛЕЙК.ЕРСА -МАССИ 27»
вложение). Этим доказано, что в группе пг(Х; А, Х\К)
имеет место равенство [/' о /] — [g'], где g'= j' о / о hy.
Но ясно, что g'(Ir) с /(/'Ч/-1!) с X\L, т. е. g' =
= /" ° g, где g—отображение
(/'-'Xiibx/, /'-lxl, $})-+(X\L;A,X\(K\}L),x9i
j": (X\L; Л, Х\(*иД х0) -* (X; А, Х\К, х0)
— вложение. Следовательно, в группе яг(Х; А, Х\К)
имеет место равенство [/" о /J = [/" о g], т. е. равенство
где
Л: яг(Х;*А, В)]-^[пг(Х; А, Х\К)
и
/;.->,.(X\L; А, Х\(КиЦ)^пг(Х; А, Х\К)
— гомоморфизмы, индуцированные отображениями /" и f
соответственно.
Вспомним теперь, что, согласно лемме 1 лекции 2,
каждое подпространство Х\е$+1 является деформационным
ретрактом пространства Х\{л:р}. Поэтому пространство
Х\(В\С) — А—деформационный ретракт пространства
X\L, и, более того, пара (А, А\К)—деформационный
ретракт пары (X\L, X\(K(}L)). Следовательно,
лг(А; А,
В частности, [g] = 0, и потому j't [/] — 0.
Но по аналогичным соображениям пара (Х\К, А\К)
деформационно ретрагируется на пару (В, С) и, значит,
гомоморфизм j\ является изоморфизмом. Поэтому [/] = 6
в группе лг(Х; А, В), т.е. я,(Х; А, 5)==0.
Тем самым предложение 1 в случае 1 полностью дока-
доказано. D
Случай 2. Пара (А, С) является клеточно гг-связным
относительным клеточным пространством, а пара (В, С) —
по-прежнему элементарным клеточным расширением раз-
размерности т +1.
Пусть Ар—остовы пространства (Л, С), и пусть Хр =
= Ар и В. Таким образом, Л° = ... = А" = С и для любого
р^п пространства Ar+1 и Хр являются элементарными
клеточными расширениями пространства Ар соответственно
размерностей р + 1 и т + 1. Поэтому, согласно уже дока-

272 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БЛЕЙКЕРСА —МАССИ
занному случаю 1, триада (Я>+1; Ар+х, Хр) для каждого
р~^п является (/7 + т)-связной, а значит, и (/г + т)-связ-
ной триадой. Рассмотрим 4-аду (Х^1; Ар+1, В, Хр). По-
Поскольку Хр гэ В, гомотопическая последовательность этой
4-ады (см. Дополнение к лекции 1.8) имеет вид
...-*яг+1(Л>+1; АР+\ Хр)~+лг(Хр; Ар, В)—
\ X?)-* ...
В силу точности этой последовательности из (п-\-т)-связ-
ности триады (Xp+1; Ар+1, Хр) следует, что для любого
/¦^n-f-m группа лг(Хр+1; Ар+1, В) является эпиморфным
{при r<in-\-tn даже изоморфным) образом группы лг(Хр;
Ар, В). Поэтому для любого р^п группа лг(Хр; Ар, В)
будет эпиморфным образом группы
лг(Х"; А", В)=--лг(В; С, 5) = лг(В; В, С) = лг(В, В) = 0
и, следовательно, будет равна нулю. Поскольку в силу
компактности шара Ег для каждого элемента группы
яг(Х; А, В) существует такое р^п, что этот элемент
принадлежит образу группы лг (Хр; Ар, В) при гомомор-
гомоморфизме лг(Хр; Ар, В)—>-я1.(Х; А, В), индуцированном
вложением (ХР; Ар, В)-->-(Х; А, В), этим предложение 1
доказано и в случае 2. П
Случай 3. Пара (А, С) является клеточно /г-связным,
а пара (В, С)—клеточно /л-связным относительным кле-
клеточным пространством.
Пусть Вч—остовы пространства (В, С), и пусть Хч —
= A U Вч. Таким образом, В0 -= ... — Вт -¦¦-¦- С и для любого
q~^m пространство В<<+1 является элементарным клеточ-
клеточным расширением размерности <7+1 пространства Вч,
а пара (Хч,Вч)—клеточно гс-связным относительным кле-
клеточным пространством. Поэтому, согласно уже доказан-
доказанному случаю 2, триада (Х»+1; X', Вч+1) для любого q~^m
будет («-)-^)-связной, а значит, и (п + т)-связной триадой.
Следовательно, (п -\- т)-связной триадой будет и триада
(Х«+1; Вч+\ Хч). Рассмотрим 4-аду (Х«+1; Вч+\ А, Хч).
Поскольку Хч z) А, гомотопическая последовательность
этой 4-ады имеет вид
; Вч+\ Л) —лг(Х«+1; Вч+\ Хч) — ...
В силу точности этой последовательности из (п + т)-связ-
ности триады (Х«+1; Вч+1, Хч) следует, что для любого

ОКОНЧАТЕЛЬНОЕ УПРОЩЕНИЕ 273
< группа пг(Хч+1; В»*1, А) да nr (Х«+1; А, В**1)
является эпиморфным образом группы пг (Х?; В«, А)«
«яг(Х?; Л, В"), откуда, так же как в предыдущем^слу-
чае, непосредственно следует, что лг(Х; А, В) = 0.
Случай 4 (общий). Пара (А, С) является я-связным,
а пара (В, С) яг-связным относительными клеточными
пространствами.
Согласно предложению 3 лекции 2 существует такое
клеточно m-связное относительно клеточное пространство
(В', С) => (В, С), что В'^йиС'^ С-Пусть А' = А и С
Ясно, что А' % А, и потому пара (А1, С) также /г-связна.
Пусть (А", С")—такое клеточно я-связное относительное
клеточное пространство, что Л^ А' и С"%С. Положим
В" = 5' и С" и Х"-=Л"иЯ' = Л"иЯ\ Ясно, что В"%В'
и X"^A'\jB'%A'(]B%A()B--=X, и потому согласно
предложению 3 из Дополнения к лекции 1.8
пг(Х; А, В)ъпг(Х"; Л", В").
Для завершения доказательства остается заметить, что,
в силу уже доказанного, яг (X"; Л", В") -= 0 при г ^.т + п.
Тем самым предложение 1 полностью доказано. Вместе
с ним доказаны теоремы 1 и 2 (а также предложение 4
лекции 6). Н
Теоремы 1 и 2 позволяют доказать не только теорему
Фрейденталя, но много других важных теорем. Например,
с их помощью можно существенно упростить надстроеч-
надстроечную последовательность произвольного счетного (я—1)-
связного (я ^ 2) клеточного пространства X (которое
в силу результатов лекции 2 мы, не ограничивая общно-
общности, можем считать клеточно (я—1)-связным).
С это'й целью мы рассмотрим отображение факторизации
q>: (JtX, X) —(ХДХ, pt).
Автоматическая проверка показывает, что, сопоставив
каждому приведенному слову хи ..., xm(tJX слово над
ХДХ длины т(т—1)/2, состоящее из всех элементов
вида y(x,Xj), l^i</^m, и получающееся выписы-
выписыванием сначала всех элементов ф^Лу), / = 2, ..., т,
затем элементов ф(х2#у), / —3, ..., т, и т. д., мы кор-
корректно определим некоторое отображение
м. М. Постников

274 ОКОНЧАТЕЛЬНОЕ УПРОЩЕНИЕ
совпадающее на У2Х с отображением ф, т. е. замыкающее
коммутативную диаграмму
(ХдХ, pt)-+(./(ХдХ), pt)
горизонтальные стрелки которой являются вложениями.
Но так как пара (JX, JtX) клеточно (Зи— 1)-связна
(напомним, что""пространство X мы предполагаем клеточно
(л— 1)-связным) и, следовательно, (Зл— 1)-связна, то (в силу
точности гомотопической последовательности тройки (JX,
JtX,X)) вложение (/„X, X) -*¦ (JX, X) (Зл—1)-связно.
Аналогично, так как пространство Х/\Х клеточно Bп<—1)-
связно и, значит, пара (/(ХДХ), ХДХ) клеточноDл—1)-
связна, то вложение ХДХ—*-/(ХДХ) Dл—1)-связно;
Наконец, так как пара (JtX, X) клеточно Bл—1)-связна,
то, согласно предложению 2, отображение факторизации ф
(Зл—1)-связно. Следовательно, отображение
ф: (JX,Xy^l(J(XAX), pt)]
(Зл—\)-связно.
Поэтому в надстроечной последовательности простран-
пространства X (см. последовательность (8) лекции 1.10) мы можем
при г < Зл—1 заменить группы nr(JX, X) группами
яг (J (ХДХ)) » nr+1 (S* (ХДХ)) » яг+1(Х*Х).
Этим доказано "следующее предложение.
f^ Предложение 2. Для любого счетного (п—^-связно-
(п—^-связного (п ^ 2) клеточного пространства X имеет место точ-
точная последовательность
C) я»в-»Х _+ n^^S'X —>¦ я8п_1 (Х*Х) —»- п8„_9 X —»-...
Л^Х*Х)Лял_1Х —... П
Поскольку в силу теоремы Фрейденталя (примененной
к Bл— 1)-связному пространству X Д X) группа яг+1(Х#Х)=
= nr+i(S'(ХАХ)) при г<4л—2 изоморфна группе
яг(ХдХ), равной нулю при г < 2л,т эта 'последователь-
'последовательность кончается членами
Р ff P \
Х S'X(XX)

ОКОНЧАТЕЛЬНОЕ УПРОЩЕНИЕ 275
(точнее, за этими членами следуют еще отдельные отрез-
отрезки вида 0 —* пгХ —* nr+1S'X —>¦ 0, но они не дают нам ничего
нового).
Гомоморфизм Н изЦ последовательности" C) является
композицией гомоморфизма Н: nr+1S'X—+nr(JX,X) из
последовательности (8) лекции 1.10 и гомоморфизма
D) n,(JX, X)^nrJ(XAX)~>nr+1S\XAX)^nr+1(X«X),
и, значит, подобно гомоморфизму Е гомоморфизм Н опре-
определен для всех г^О. Тем не менее удлинить с сохране-
сохранением точности последовательность C) в область г > Зл—2
нельзя, поскольку при г > Зл—2 гомоморфизм D), во-
вообще говоря, изоморфизмом не является.
В следующей лекции мы воспользуемся последова-
последовательностью C) при X — S" для вычисления групп nn+1Sn
и nn+iS".
ю*

ЛЕКЦИЯ Я
Вычисление гомоморфизма Р.— «Трудная часть» теоремы
Фрейденталя,—Вычисление групп n^S и я2.У.— Преоб-
Преобразование формулы, определяющей инвариант Хопфа —
Уайтхеда.— Явное вычисление отображений классов Q'a
и AQ'a.— Доказательство теоремы Дж. Уайтхеда.
При X — S" точная последовательность C) предыду-
предыдущей лекции имеет вид
Гомоморфизм Н: nr+1Sn+1—> яг+15а"+1 из этой после-
последовательности (напомним —' имеющий смысл для любого г)
называется гомоморфизмом Хопфа—Джеймса. Можно
показать, что при г < Зп—1 он совпадает с гомоморфиз-
гомоморфизмом Хопфа—Уайтхеда Но: ял+15"+1—*nr+1San+1 (по
крайней мере с точностью до знака), но я не знаю пря-
прямого и достаточно простого доказательства этого факта.
Пользоваться им мы не будем.
Поскольку г+1^3п—1<2Bп+1)—1, каждый эле-
элемент группы яг+152"+1 единственным образом представ-
представляется в виде Е*а, где a€nr_1S*B~1. Имея это в виду,
мы рассмотрим диаграмму
в которой:
д—связывающие гомоморфизмы соответствующих гомо-
гомотопических последовательностей;

ВЫЧИСЛЕНИЕ ГОМОМОРФИЗМА Р 2TI
X—характеристическое отображение для клетки
e"xe"^JiS";
р—соответствующее приклеивающее отображение;
Ф и ф—отображения, введенные в конце предыдущей
лекции;
г|з—отображение факторизации Ein—*Ein/Stn~1=S*n;
i и /—вложения,
/*—композиция гомоморфизма гомотопических групп,
индуцированного меридианным отображением /: JSM—+
—yQSW^QS*"*1, и изоморфизма n,QS*n+1 « itr+1San+1.
Эта диаграмма, очевидно, коммутативна (верхний левый
треугольник—ввиду тождества г|5-фо%, оба правых квад-
квадрата—ввиду естественности гомоморфизма д, средний ле-
левый квадрат—по определению отображения ф, нижний
левый квадрат—по определению гомоморфизма Р и ниж-
нижний правый треугольник ввиду одинаковости его катетов).
Кроме того, как мы знаем, ф^д — Е и /»oi, = ?, так
что при движении по верхней и левой сторонам этой
диаграммы из правого верхнего угла в левый нижний
угол мы получаем гомоморфизм Еа, и потому при дви-
движении из правого верхнего угла в правый нижний угол —
гомоморфизм РоЕг. В силу коммутативности диаграммы
этим доказано, что Ро?а-р».
С другой стороны, по определению умножения Уайт-
хеда, гомотопический класс [р] отображения р является
не чем иным, как элементом [in, ij группы n^^S", и,
значит, для любого элемента а группы nr_1S2" имеет
место равенство
p,a-[p]oa = [in, 1„]оа.
Этим доказано, что
B) (PoE*)a = [in, iB]oo
для любого элемента абяг_152п~1.
Ввиду того, что Е2 является изоморфизмом, это пол-
полностью описывает гомоморфизм Р.
При а — ?"Р, где E g лг_„_15", мы в силу формул B7)
и A1) лекции 5 получаем, в частности, что
Так как г < Зп—1, и, значит, согласно теореме Фрей-
денталя отображение ?и+я: nr_a_1Sn~1~- nr+1San+1 явля-

278 «ТРУДНАЯ ЧАСТЬ» ТЕОРЕМЫ ФРЕЙДЕНТАЛЯ
ется эпиморфизмом.^отсюда следует, что каждый элемент
подгруппы ImP = Ker? группы nr_1S", г < Зл—1, имеет
eudUn,y]t где y€nr_nS".
Поскольку, согласно следствию 1 предложения 2 лек-
лекции 6, все элементы вида [а, р], где а (; npSn, Р ? nqS", p+q=
=г+1, лежат в ядре Ker E гомоморфизма
Е: nrS"->nr+nS"-»,
этим доказано, что при г < Зл—2 ядро надстроечного
гомоморфизма Е: nrS"—>-nl.+1Sn+1 совпадает с множеством
всех произведений Уайтхеда [а, р], где agn^S", pS
p4-G = r+l.
В частности, мы видим, что ядро эпиморфизма
порождается элементом [iB, in], in€nnS".
По определению (см. определение 1 лекции 2) группа
ntnSn+1 является (п—1)-й стационарной гомотопической
группой сфер n^jS, а группа n^^S"—соответствующей
метастационарной группой. С другой стороны, из лекции
6 мы знаем, что элемент [in, inj при п четном имеет бес-
бесконечный порядок, а при п нечетном—порядок 2, причем
для исключительных значений л=1, 3, 7 (и только для
них!) элемент [in, in] равен нулю. Таким образом, мы
получаем (переходя от п—1 к п), следующую оконча-
окончательную теорему:
Теорема 1. При п~2т—1 нечетном п-я метаста-
ционарная группа ntn+1Sin+1=ntm_lSam содержит бесконеч-
бесконечную циклическую подгруппу (с образующей [i2n, i2n]), фак-
факторгруппа по которой изоморфна стационарной группе
SSt+K
При п — 2т четном и отличном от 2, 4, 8 группа
nnS = nim+tS%m+t изоморфна факторгруппе группы
ntn+1Sn+1 = n4(B+1S"B+1 no подгруппе второго порядка с об-
образующей [i2ffl+1,1ая>+11.
Наконец, при л = 2, 4, 8 имеют место изоморфизмы
ji2S«neS\ ntS&ntS\ ne5«n17S». ?
По традиции эта теорема (дополненная утверждением,
что 1т?=Кег# в группе ntn+1Sn+1) называется «труд-
«трудной частью» теоремы Фрейденталя.
Подчеркнем, что в формулировке теоремы 1 при л — 2т
и пф2, 4, 8 мы воспользовались теоремой Адамса, у нас
пока не доказанной. Без этой теоремы можно лишь

ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП rt,S И n,S 279
утверждать, что ядро эпиморфизма ntm+iSim+1 —* Ji4M+2Slm+t
либо тривиально, либо является группой второго порядка.
Однако это замечание релевантно лишь при п ^ 6, тогда
как мы пока не знаем' групп nnS даже при п = 1.
Впрочем, группа n^ — ^S3 вычисляется теперь без
всякого труда:
Следствие 1. Группа nxS является группой второго
порядка:
Доказательство. Как было установлено в конце
лекции 6, в группе n8S*, являющейся бесконечной цик-
циклической группой с образующей т^, имеет место равенство
[ч> i2l= ±2т|8. Следовательно, факторгруппа niS3 = n1S
группы ла52 по подгруппе, порожденной элементом [ц, ц],
является группой второго порядка. ?
Тем самым все группы nn+1Sn, n^\, нами теперь вы-
вычислены:
щ& = 0, n,S8 = Z, nn+1S"^Z/2 при п>2.
При этом образующей группы rcsS2 является элемент
т)а = [А], а образующей (единственным нетривиальным
элементом) группы nn+1S", я>2,— элемент г\п — Еп~*г\г.
Элемент т]„, рассматриваемый в силу отождествления
nn+1S" = ni5, л> 1, как элемент группы nt5, мы будем
обозначать символом г\.
Поскольку, как мы знаем (см. лекцию 1.5), отображе-
отображение он—>•?, (a) = rfeoa группы nnS* в rpynny*nnS* является
при п ^ 3 изоморфизмом, из следствия 1 вытекает, что
группа n4S* является группой второго порядка
с образующей f]aor\B — n\aoETi]2.
Поэтому для вычисления группы ntS^nbS* (и, зна-
значит, всех групп яп+а5", п~^\) нам осталось лишь иссле-
исследовать переход от группы n^S'^K группе ntS3.
Рассмотрим с этой целью отрезок
... —> я452 Л я5 S3 Л n.S6 Л ntS* -*...
точной последовательности A) для сферы S*.

280 ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП я,* И я,*
Согласно формуле B) гомоморфизм Р: jt6S6—»-rc
действует на образующей i6 группы nbS6 по формуле
и потому является мономорфизмом. Значит—в силу точ-
точности,— гомоморфизм Е: rc4Sa—<-пъ8л является эпимор-
эпиморфизмом, и потому для вычисления группы n6S3 нам нуж-
нужно лишь вычислить его ядро.
Предложение /. Элемент г]3ог\4 группы nbS3 отли-
отличен от нуля:
Поскольку ?'(г12от]з) = ?'т)ао?'т1з = г)8отL, отсюда выте-
вытекает, что Кег? = 0, т. е. что отображение Е: я45а—»
—+n6S3 является изоморфизмом.
Следствие 1. Группа n2S является группой второго
порядка:
Таким образом, при п > 1 все группы пп + 2Sn являются
группами второго порядка:
(тогда как 3x3S1 = 0). При этом образующей группы я„+25"
является элемент
Для группы n2S это означает, что ее образующей
является элемент yf. Тем самым нами полностью опре-
определено как аддитивное, так и мультипликативное строе-
строение кольца n,S в размерностях ^2.
Правда, предложение 1 нами еще не' доказано. Мы
выведем его из следующей общей теоремы Дж. Уайтхеда:
Теорема 2. Если элемент a,?n?Sn, г < Зп—1, обла-
обладает тем свойством, что Еа -= 0, то
Здесь 2nrSin~1—подгруппа группы n^S2", состоящая
из всех элементов вида 2C, Р ? л^8"", a n"Sn—подгруппа
группы nrSn, состоящая из элементов a?nrSn, для ко-
которых определен инвариант #оа (см. лекцию 6).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОРМУЛЫ 281
Заметим, что в теореме 2 мы имеем дело (при г=3п—3,
Зл—2) с обобщенным инвариантом Хопфа—Уайтхеда.
Доказательство предложения 1. Так как
элемент т|3 = ?г|2 € я^ примитивен, то к элементу 112от1з €
? Jt4S2 применима формула B7) лекции 6, согласно кото-
которой инвариантЯ0(г12ог1з) определен и выражается формулой
Поэтому, если wr^ = 0, т. е. Е (?\2°r\J) — 0, то, согласно тео-
теореме 2 (при г - - 4, п = 2 условие г < Зп— 1 выполнено, хотя
и «на пределе»), будет иметь место включение t]a=H{)(i)tor\a) €
? 2n4S:l, что невозможно, ибо элемент тK является обра-
образующей группы jt4S3 = Z/2. Следовательно, у\3ох\Аф0. П
Для доказательства теоремы 2 нам предварительно
нужно будет более внимательно рассмотреть определение
инварианта Яоа. При этом, в отличие от лекции 6, нам
теперь будет удобнее в основной диаграмме B) лекции 6
заменить пару (?2п, S2") гомеоморфной парой (I2", /ал)
и в соответствии с этим считать характеристическое ото-
отображение % произведением
Х„хх„: (/*?, /•") — (S"XS", S"VS")
стандартных характеристических отображений
•U. (/», /")-> (S", в,)
(см. формулу D) лекции 1.5). Кроме того, мы предпочтем
теперь иметь дело не с элементом
Qa=(i' + t")oa—i'oa—i"oa€jtrE"VSn),
а с его прообразом
Q'a€nr+1(SnxS", S"\/Sn)
при мономорфизме
д: nr+1(SnxSn,S"\/S")-+nr(Sn\/Sn).
Элемент Q'a связан с элементом Я0а^лг52п~1 формулой
C) Mtfoa=Q'a,
где М — гомоморфизм
nrS*"~l = nr'l^nr+1(P", j*»)-!*!^n-!Xnr+1(S"XS",S"VS")•
(Напомним, что, согласно результатам лекции 6, гомо-
гомоморфизм М является при г^4п—4 мономорфизмом, и

282 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОРМУЛЫ
потому соотношение C) однозначно характеризует элемент
Ноа. Включение a?n?'S" равносильно включению Q'a?
1М
)
Предусмотренное в конструкции гомоморфизма М ото-
отождествление границы /а" куба /а" со сферой S2" проще
всего построить, совместив центр куба IN+1 при N — 2п— 1
с центром О сферы SN и спроектировав из этого центра
границу куба на сферу SN. Это означает, что точку ^6
?fN+1 мы отождествляем с точкой \2t—е\~г№—е) ? SN,
где е = A, 1, .... 1).
Если теперь:
/—произвольное отображение (/r+1, ir+1)—+(IN+1,f'/+1),
f—его ограничение /'+1—*/лг+1,
idх/—отображение (/»¦+•, />+•) -* (/"+4, IN+i), пере-
переводящее точку (/, t)?lxlr+1 = Ir+* в точку (/, /(t))€/X
IN+1 lN+t
(idx/)'—его ограничение ir+t
то рассматриваемое как отображение
Sr+1—
отображение (idx/)' будет отображать южную полусферу
сферы Sr+1 в южную полусферу сферы SN+1, север-
северную полусферу сферы Sr+1 в северную полусферу сфе-
сферы SN+1, а на экваторе Sr сферы Sr+1 оно будет со-
совпадать с отображением /', рассматриваемым как ото-
отображение Sr —> SN. Поскольку эти свойства однозначно
с точностью до гомотопии характеризуют надстройку над
отображением /', мы получаем, следовательно, что отобра-
.жение гомотопических классов, индуцированное соответ-
соответствием /'(—»• (idx/)', совпадает с надстроечным гомомор-
гомоморфизмом Е. Обозначив символом ix отображение nr+1(IN+1,
/ЛГ+1)—*nr+t(IN+i, IN+i), индуцированное соответствием
/1—»- id х /, мы видим, таким образом, что имеет место
коммутативная диаграмма
При желании это утверждение можно рассматривать как
еще одно определение гомоморфизма Е.
Дважды применив доказанное утверждение (при
N = 2п—1 и N = 2п), мы получим коммутативную

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОРМУЛЫ 283
диаграмму
пгп (/
D) a!
Произвольному отображению g: (/r+\ Jr+1)—+(SnxSn,
S"V 5"), мы отнесем отображение
8I /'-|-3)->(Sn+1xSn+\ Sn+1\/Sn+1),
определенное формулой
где gx и g2—композиции отображения g с каноническими
проекциями SnxS" — Sn (так что g^gtXg^). Ясно, что
гомотопический класс отображения Л# зависит только от
гомотопического класса р € яг+1 (^я X S", S" V S") отобра-
отображения g. Мы будем обозначать его символом Лр. Полу-
Получающееся отображение
A: nr+1(S»xSn, SBV S") -* nr+3 En+1 xS"+1, 5n+1 V
является, очевидно, гомоморфизмом.
Напомним, что по построению (см. лекцию 1.5) харак-
характеристическое отображение %п обладает тем свойством, что
[Х„<*). f] = ln+i{t, t)
для любой точки (t, t)^lxl"—ln+1. Поэтому, если
8 = (Х„X %„) о / = (Х„ о /t) х (зс о /,),
где / = /iX/g—произвольное отображение
то
в то время как
(id х (id х/))('*. 'i. *) = ('*. '.. /.W.

284 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОРМУЛЫ
Поскольку перестановка координат
&. '., AW, /.W)«-*('!, М*), '..
является отображением степени (— 1)", этим доказано,
что для гомоморфизма А имеет место коммутативная
диаграмма
яг+1 (Sn x S", 5"V5") — nr+3 (Sn+1 x S"+\ Sn+1 V Sn+1)
Комбинируя эту диаграмму с диаграммой D), учитывая
что при г<!4/г—4 операция (—l)"i о сводится к умно-
умножению на (— 1)" и вспоминая определение гомоморфизма М,
мы окончательно получаем, что при г^4п — 4 имеет
место коммутативная диаграмма
¦ Ml ' A iM
nr+1 (Sn x Sn, Sn V 5") -+ nr+8 (Sn+1 x S"+1, S"+1 V Sn+1)
Поэтому, применив к формуле C) гомоморфизм А, мы
получим, что при г<;4п—4 имеет место равенство
E) MJ(? о Е) Ноа = (— 1)" AQ'а.
Поскольку при г<14/г—4 отображение Е о Е заведомо
является изоморфизмом, равенство E) однозначно харак-
характеризует элемент Ноа.
В силу этого равенства теорема 2 равносильна утвер-
утверждению, что если для элемента a?nrSn, где г < Зя—1,
имеет место равенство Еа = 0, то
F) AQ'a^2nr+a(SMxSn+\ Sn+1 V S"+l).
В этой форме мы ее и будем доказывать.
Доказательство включения F) мы проведем «в лоб»,
в явном виде выписывая все необходимые гомотопии
и отображения. В первую очередь мы , сделаем это для
элемента Q'a.
Отождествив куб Ir+1 с произведением /х/гх/,
а куб /г—с произведением /г~1х/, мы определим два
вспомогательных отображения
G) 5«. Ь

ЯВНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ 285
положив для любой точки (t, t, sN/r+1
(t, 1—3/A — s)), еслиО</<1/3,
t, s) = \ (t, \ + Ct—2)A—s)), если 1/3</<2/3,
(t, 1), если 2/3<Z<l,
{t, 0), если 0</<1/3,
l,{t, t, s)-^\ (t, Ct—1)A — s)), ' если l/3</<2/3,
(t, 3A — 0A—s)), если 2/3<f<l.
Напомним (см. лекцию 1.10), что один из способов
построения надстроечного гомоморфизма ? состоит в том,
что каждому отображению /: (/г, /г)—>-(-^, х0) сопостав-
сопоставляется отображение Ef: (/r+1, //1+1)—>(S'X, x0), опре-
определенное формулой
При этом, как показывает непосредственное вычисление,
для каждого отображения /: (/г, /г) —>¦ (X, х0) будут иметь
место формулы
(8) ?(foy = ?fo^oT, E(fob) = EfoboT,
где 71—отображение /r+1 —»• Ir+1, состоящее в перестановке
первых двух координат (конечно, в правых частях этих
формул под ?11 ?2 понимаются отображения G), построен-
построенные при г, увеличенном на единицу; аналогичную воль-
вольность мы будем допускать и впредь).
Кроме того, при X =- Sn V Sn в силу стандартного
отождествления S* {Sn V Sn) = Sn+1 V Sn+t для любого ото-
отображения / = /х X /2: 1Г —* S" V S" будет иметь место равен-
равенство
(9)
Произвольному отображению g = giXg2: Ir ~*¦ Sn V Sn
мы сопоставим отображение
R'g-
определенное формулой
Из соотношений (8) и (9) немедленно вытекает, что для
этого отображения имеет место формула
(Ю) . ER'g--R'EgoT,

286 ЯВНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ
Кроме того, непосредственное вычисление показывает, что
если g:J(I', />)-*(S*VS", s0), то
R'g: (/'+1,7r+I. Jr)-+ (&х&, SnVSn, s0),
и что ограничение
Rg: (/', А) — {& V S", so)\ J»
отображения R'g на грани /г куба /r+1 (определяемой
условием s - 0) задается формулами
(R*) (*.*) =
( (&(*, l~30, в.), если iO<f<»l/3,
= j (&(*. 3/-1), ft(/,-3/--l)). если 1/3<^<2/3,
I (So. A(*. 3-30), если 2/3<f<l,
т. е. что
где ti, i2: S"—*S™ V S"—канонические вложения лп—*-ж,
Для гомотопических классов plt Раб"^" и Р. ^Р€
€nr(S"VS") отображений glf ^а: (/г, /<•)—^(S", s0)
и g1, Rg:1 (Ir, Ir) —»¦ (Sn V &, s0)'^^ [последнее равенство
означает, что
A1) P-fi^ + ^Pi+RP.
При этом ДР = д(Я'р), где ^'Pe^+1(S"x5", SnVS")—
гомотопический класс отображения R'g. Но из лекции 4
мы знаем, что гомоморфизмы
/», '..: nrS« — nr(S"VS")
и
5: яг+1 (S" х S", S" V S") -¦ яг (S" V 5")
задают представление группы пг E" V 5") в виде прямой
суммы, т. е. что каждый элемент р g яг (S" V S") допускает
единственное представление вида P = ?i«Pi-W»,»Pa+c>Y, где
Pi, Ра € "rSrt и 7 € "r+i (S" X S", S" V Sn). Сравнив это пред-
представление с разложением A1), мы немедленно получим,
что pj = plf р^ = Ра и дТ = #Р (а y = R'P).
В частности, если g = mof, где /: (/г, Ir)—<-E", s0),
а /и—коумножение в Н-когруппе S", и, значит, р =
^(i' +1") о а и Pi = i' о а, Р„ r.= i" о a, где a = [/]' ?'nrSn, то
"~ ^p = (i' + i")oa—t'oa—i"oa=Qa
и, следовательно, /?'p=Q'a.

ЯВНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ 287
Положив
A2) \Qf = R(mof) и -Q7 = *'(«°/).
мы [тем самым получаем, что если элемент a g nrSn за-
задается отображением /: (Ir, l'f) —>¦ (S", s0), то элемент
Qa g it, (S" V Sn) будет задаваться отображением
Qf: (/', /') — (Sn V 5", s0),
а элемент Q'a 6 яг+1 (SnxSn, Sn V Sn)—отображением
Q'f: (Ir+t, /'^-^
Конечно, в формулах A2) под т можно понимать не
только стандартное коумножение Sn —>¦ Sn\/ Sn, описанное
в лекции 1.5, но и любое гомотопное ему отображение
5" —* S" V Sn. Стандартное- коумножение т0 стягивает
экватор S" сферы S" (состоящий из точек x=(xlt ...
• • •»**+i) € Sn+1, для которых х„+1 = 0) в точку so= (s0, s0) €
6S" V S" с SnxSn и на каждой полусфере Cf_, или Cf+)
(состоящей соответственно из точек х 6 S"+1, для которых
*„+1^0 и -^n+i^O) является гомеоморфизмом степени 1
ее внутренности на проколотую сферу (S"xso)\(so. *o)
или соответственно (soxSn)\(sa, s0). Ясно, что каждое
отображение, обладающее этим свойством, гомотопно коум-
ножению т„ и потому может быть принято за отображе-
отображение т. Более того, так как любой большой круг сферы Sn+1
можно непрерывным вращением перевести в экватор 5",
то (при п > 1) коумножению /п0 будет гомотопно каждое
отображение т: Sn —* S" V Sn, обладающее аналогичными
свойствами по отношению к полусферам D(L> и ?>?+„ на
которые сфера S" рассекается гиперплоскостью х, = 0.
Имея это в виду, мы рассмотрим отображение т2:
S" —* Sn, определенное формулой
Щ{х, у, г)=
B*—1, У2(ха—1)A— х), ]Г2г), еслиЛ>1,
если 0<Я< 1,
,*о. если Х<0 (т.е.
6К,г/6К, яг € R"-1, (дс, t/, г) € S" с R"+1= RxRxR"
(так что хг + уа + \г\'= 1) и А, = ///A—^). Автоматическая

288 ЯВНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ
проверка показывает, что это отображение является отно-
относительным гомеоморфизмом (Sn, Д".,) —* (Sn, s0) степени 1.
Поэтому отображение т1 — тг о р, где
A3) р: (х, у, г, и)<->(х, —у, —г, и),
х, у, z?R, й€К"-2, *2 + t/2 + za + |»|*-l,
— отражение в плоскости у = 0, г = 0, будет относитель-
относительным гомеоморфизмом (Sn, Д"+)) —*¦ (Sn, s0) степени 1,
и, значит, отображение т~- т1хтг будет отображением
Sn —> Sn V Sn, гомеоморфно отображающим внутренности
полусфер Д'_) и Z)?+) на клетки (S"xso)\(*o. *o) и (*оХ
xS")\(s0, s0) соответственно и, значит, гомотопным коум-
ножению пг0.
В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что ото-
отображения Q/ и Q'f построены именно с помощью этого
отображения т.
Как показывает непосредственное вычисление, коумно-
жение т перестановочно с отождествлением S'S"'1 = 5",
т, е, для любой точки [лг, t] б S", х € 5", /g/, имеет
место равенство
т[х, t] = [m(x), t],
где справа под [т(х), t] понимается, естественно, точка
([Щ(х), t], [mt(x), t]) букета S" V Sn = S* (S"-1 V S").
Поэтому для любого отображения /: (/r, fr) —> E", *0)
будет иметь место соотношение
A4) moEf = E(mof).
Построив в явном виде отображение Q'f класса Q'oc,
мы? немедленно получим и отображение интересующего
нас* в первую очередь класса AQ'a — им будет отображе-
отображение AQ'/• Однако оказывается, что последнее отображение
целесообразно несколько видоизменить.
Для любого отображения g:-giXg2: (Ir+1, /r+1)—>
—+(SnxS", Sn V Sn) мы символом A'g обозначим отобра-
отображение (/г+3, ir+3)—y(Sn+1x Sn+1, Sn+1 V Sn+1), определен-
определенное формулой
(A'g)(tlttttt) =
если 0<;^< 1/2,
W, 1-2A-^A-^)], [ft @,2A-/^,]),
если 1/2<^< 1,

ЯВНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ 289
где (tlt t2, t)?lxIxIr+1 = Ir+\ В частности,
A5) (A'Q'f)(tlt /tI /) =
если
если
для каждого отображения /: (/г, 1Г) — (S", s0).
С отображением Ag отображение A'g связано формулой.
A'g=Ago (axid),
где а—отображение / х / —> / X /, определенное формулой
f
^„ 1 — 2^A —д), если
_2(l~^)(l —g, 2 A — ^) д, если
Йепосредственное вычисление показывает, что отображе-
отображение а является относительным гомеоморфизмом (/*, /*) —*
—*¦(/*, /*)' [степени 1.[ Поэтому отображения A'g и Ag
задают один и тот[же элемент А$ группы nr+8 En+1 X S"+1,
5"+1 V S"+1). В частности, соображение A'Q'f задает
элемент AQ'a.
Для исследования последнего отображения нам пона-
понадобится следующая общая аддиционная лемма:
Лемма 1. Если элементы а, р, Y€"r+1X являются
гомотопическими классами таких отображений /, g, h:
(/r+i) /r+i)_(X, x0), что
f(t, t) = g(t, t), если 1/2</<1,
( f(t, t), если 0<^<1/2,
( ' '~l gQ — t, t), если 1/2</<1/2,
то 7 = а—р .
Доказательство. Формула
Fx(t, t) =
если
если ~
~g(t^P-\t), если 1
если
i(i=«±8

290 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ДЖ. УАЙТХЕДА
задает гомотопию из (/r+1; /г+1) в (X, х0), связывающую
отображение h с отображением /—g. D
Теперь у нас все готово для доказательства теоремы 2.
Доказательство теоремы 2. Пусть элемент а ?
€ nrSn обладает тем свойством, что Еа = 0, и пусть /:
AГ, У)—«-E", *0)—произвольное отображение класса а.
Тогда существует такая гомотопия
A6) gx:(/'+\ /'+*) —(S»+1,«t). 0<т<1,
что ga = Ef и gt = const. Рассмотрим отображения
Так как (см. формулы A4) и A0))
Q'go^R' (m о g0) = /?' (m о ?/) =i?'
и так как, по определению, Q'/ = (mt о / о JJ х (/и„ о ^ о ^,),
то формулы
Л(<*. <„ *., ^, s) =
[(ячо/о;,)(<„ <, s),
если
a, t, s), l-2ti{l
о/о we.. *. я).
если 0<^<1/2,
t,-< ('•» *ш. t> s), если 1/2 < tt< 1,
корректно определяют отображения huh' куба /г+3=
=PxIr~1Xl в произведение 5Л+1х5"+1. Автоматиче-
Автоматическая проверка показывает, что эти отображения перево-
переводят границу /г+3 куба 1Г+3 в букет Sn+1\/Sn+l и потому
корректно определяют некоторые элементы у и у' группы
jt,.+3(Sn+1xS"+1, Sn+1VS»+1).
Сравнив формулы A7) с формулами A5), мы немед-
немедленно обнаружим, что отображения h, h' и A'Q'f удов-
удовлетворяют условиям леммы 1 и, следовательно, согласно
этой лемме, для их гомотопических классов у, у' и AQ'a

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ДЖ. УАЙТХ ЕДА 291
будет иметь место равенство
AQ'a = y —у'.
Поэтому для доказательства включения F) (и, следова-
следовательно, теоремы 2) достаточно доказать, что
A8) Т' = ±7-
Конечно, элементы у и у' зависят от выбора гомо-
топии A6). Однако ясно, что если мы, интерпретируя
гомотопию A6) как отображение (/г+*, Jr+1) —*¦ En+1, s0),
(f, t)*->gx(t), (т, t)€lxlr+1 = lr+t, перейдем к гомо-
гомотопному rel Jr+1 отображению (f+t, Jr+1) —* (Sr+1, s0), то
элементы 7 и 7' не изменятся.
Имея это в виду и обозначив через 9^ = 9}^,
1 ^ t < /'^'', относительный гомеоморфизм (/г, /') —*¦
—>- (Ir, Ir), заменяющий i-ю и /-ю координаты t{ и tj на
числа"! — t; и 1 — tj соответственно и оставляющий все
остальные координаты точки t = (tu ..., tr) ?lr неизмен-
неизменными, мы рассмотрим отображение
Г F-pofo9lr: (/', /О —(S", 5„),
где fp—отражение A3). Легко*^видеть, что ?r(/o0/jr)=
=Ef 6Ql+1<j+i и Гр[дг, ^] = [рлг, f] для" любых гточек
x?Sn~l, t ^ /у(как*'всегда, в последней формуле""имеется
в виду отождествление, произведенное с помощью отоб-
отображения D) лекции 1.5). Поэтому Ef = poEfoQ2tr+iu,
значит, отображения
A9) ?т = Р°?т°68,г+1,
составляют гомотопию A6) для отображения /. 'Пусть
h и 'Ъ'—соответствующие отображения A7), а 7. т' €
$яг+,Eп+1х5п+1, Г5п+1\/5п+1)—их Г гомотопические
классы.
Непосредственное вычисление показывает, что ?i о 91а=
=91г о ^2 и ?2 о 912 — 91г о J,. Кроме того, по определению,
m-i — m8 о р'"и,г'значит, тг — т1о р. Поэтому /«i о / о ?, —
= «¦ ° / ° ^2 ° 0i2. mio7ogi=ffl1ofog1oeii И Q'gr =
—о °Q'gx° 028» гДе <*: 5"+1 х 5Я+1 —к S"+1 x S"+1 — отобра-
отображение (я, {/)•—»•(«/, х) перестановки множителей. Следова-
Следовательно, К = <тоЛо 9Я4. '...-
С другой"стороны, легко видеть (подсчитывая степени,
или элементарно-геометрически! конструируя'] требуемые
гомотопии), [что и^ отражение" р'иг каждое^иа'отображе-

292 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ДЖ. УАЙТХЕДА
ний 6tj гомотопны (в соответствующих категориях) тож-
тождественному отображению. Поэтому гомотопия A9), рас-
рассматриваемая как отображение (/г+а, Jr+1)—>-E"+1, s0),
гомотопна гомотопии A6) и, значит, у = 7 и У' - = у'- Кроме
того, К ~ ст о h, т. е. у — о,у. Следовательно,
Рассмотрим теперь диаграмму
Л
/n+1 X/"+1
где Xn+i: /n+1—>¦ 5n+1—характеристическое отображение
(для клетки en+1 = Sn+1\s0), a ст—отображение (t, s)i—>
>~*(s, t), t?ln+1, s$In+1, перестановки сомножителей.
Эта диаграмма, очевидно, коммутативна и потому инду-
индуцирует коммутативную диаграмму
яг+8(/ап+а, /ап+2) ^
]
Но отображение ст имеет, очевидно, степень (—l)n+1, и
потому при r-f-3<2Bn+l) — 1, т. е. при г < 4п— 1,
гомоморфизм ст» является умножением на (—l)n+1. С дру-
другой стороны, в силу предложения 4 лекции 6 гомомор-
гомоморфизм (х„Х%п)» является при r + 3 <3 (n-f 1) —2, т. е.
при г < Зп—1, изоморфизмом. Поэтому при г<3п—1
гомоморфизм ст* также является умножением на (—l)n+1.
Тем самым равенство A8) (в уточненном виде
у' = (—l)n+llv) полностью доказано. Вместе с ним пол-
полностью доказана и теорема 2. G,
Замечание 1. Уточненный вид равенства A8) по-
показывает, что если п нечетно, то #0а = 0 (конечно, в
прежнем предположении, что Еа—О и г < Зп— 1; впро-
впрочем, легко видеть, что условие г < Зл— 1 можно заменить
условием г<|4п — 4, обеспечивающим мономорфность
отображений Е о Е и (%пХ%п)*.)
Только теперь окончательно обосновано наше вычис-
вычисление группы nn+2Sn. Ясно, что вычисление групп nn+kSn
при k > 2 должно быть еще сложнее, и здесь явно не-
необходимы новые методы. Такие методы мы разовьем в
В следующем семестре на базе теории гомологии.

ЛЕКЦИЯ 9
Заклеивание гомотопических групп и убивающие
пространства.— Пространства типа (П, п).— Вычисление
фундаментальной группы произвольного клеточного
пространства.— Теорема Зейферта — ван Кампена для
клеточных пространств.— Группа п,1 + 1(Х, А) при
односвязнок А.— Операторное свойство универсальных
накрытий.— Накрытия клеточных пространств.— Группа
яп+1 (X, А) в общем случае.
В этой заключительной лекции мы вернемся к общим
клеточным пространствам и рассмотрим для них ряд
естественно возникающих вопросов, на^ которые [мы
могли бы ответить уже давно, если бы не отвлеклись
изучением гомотопических групп сфер. Результаты этой
лекции интересны не только с.ами по себе, но и в связи
с основополагающей ролью, которую они будут играть в
конструкциях следующего семестра.
Пример вычисления гомотопических групп сфер пока-
показывает, что, по-видимому,— и это на самом деле так —
общая задача вычисления гомотопических групп про-
произвольных (хотя бы клеточных) пространств очень трудна.
Естественный путь решения этой задачи состоит в индук-
индукции по остовам, но, как мы увидим, в этой индукции
едва-едва удается сделать лишь первый шаг. Тем не ме-
менее безусловно интересно подробнее проанализировать эту
идею, чтобы хотя бы уяснить себе характер возникающих
трудностей.
Движение вверх по остовам совершается посредством
элементарных клеточных расширений. Поэтому нашей пер-
первой задачей должно быть выяснение того, что происхо-
происходит с гомотопическими группами при таких расширениях.
Пусть X—элементарное клеточное расширение раз-
размерности п+1^2 пунктированного пространства Л, ко-
которое мы без ограничения общности можем предполагать
связным, и пусть
A) I»: пгА —*лгХ
— гомоморфизм гомотопических групп, индуцированный
вложением U А—+Х- Поскольку пара (X, А), как мы

294 ЗАКЛЕИВАНИЕ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП
знаем, л-связна, гомоморфизм A) при г < л является
изоморфизмом, а при г —л—эпиморфизмом. Поэтому пер-
первым делом нам следует изучить ядро гомоморфизма A)
при г —п.
По определению X получается из А приклеиванием
семейства (п + 1)-мерных шаров посредством некоторых
приклеивающих отображений ра: 5"—>А. Каждое такое
отображение определяет элемент [р„]' группы п„(А, ха),
где *o = pa(s0). Выбрав путь иа, соединяющий отмечен-
отмеченную точку хо?А с точкой ха, мы получим элемент
и*[ра]' группы л„А ==яя(Л, х0). Допуская определенную
вольность, мы будем обозначать этот элемент символом
[еа], где еа—клетка из X с приклеивающим отображе-
отображением ра.
Согласно общим результатам лекции 1.5 группа"я„Л
(при п> 1) является л^-модулем. Пусть К—подмодуль
пхЛ-модуля п„А (а при п—\ — инвариантная подгруппа
группы п±А), порожденный' (-ая) всеми элементами вида
[еа], т. е. совокупность всевозможных линейных комби-
комбинаций элементов вида Ъ[е'а], где ?g ntA (при «== 1—про-
1—произведений элементов вида ^~1[ea]S). Заметим, что К не
зависит от произвола в построении элементов [еа] (вы-
(выбора путей иа).
Ясно, что в X отображение р„ гомотопно постоян-
постоянному отображению, т. е. /,[ра]' = 0. Поэтому '¦» [ёо] = 0
и, следовательно, t,K = O, т. е. К с Kerf,. Для удобства
ссылок мы сформулируем этот результат в виде само-
самостоятельного предложения:
Предложение 1. Имеет место включение
B) *с:Кег7.. П
(Ниже мы увидим, что на самом деле /C=Kert», но
пока нам будет достаточно тривиального включения B).)
"г Следствие 1. Для любого пространства X и любого
п^\ существует такое (п+\)-мерное элементарное
клеточное расширение X' пространства X, что п„Х' — О
(и, конечно, nrX'fanrX при г<п).
Доказательство. Выбрав в п„Х произвольную
систему образующих [pa: Sn—+X]', построим элементар-
элементарное клеточное расширение X' пространства X с приклеи-
приклеивающими [отображениями ра. Тогда К — пнХ, и потому
К^ = я#Х. Следовательно, я„Х' = 0. ?

ЗАКЛЕИВАНИЕ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП 295
О пространстве X' говорят, что оно получено из
пространства X заклеиванием группы я„Х.
Следствие 2. Для любого пространства X и любого
п^ 1 существует такое относительное клеточное про-
пространство (X', X), что
{ пгХ, если г < л,
w 10, если г^п.
Доказательство. Согласно следствию 1 сущест-
существует такая начинающаяся с X последовательность элемен-
элементарных клеточных расширений Х--Х„_гс:... czXmcz ...
возрастающих размерностей, что птХт — 0 и яГХЯ|«яГХя,_1
при г < т. Из компактности сферы Sr непосредственно
следует, что объединение X' пространств Хт обладает
свойством1 C). ?
Следствие 3. Для любого пространства X и любого
п"^\ существует такое расслоение р: X*—>-Х, что
6, если г < п,
ягХ, если г~^п.
Доказательство. Согласно следствию 2 сущест-
существует относительное клеточное пространство (X', X), обла-
обладающее свойством C). Пусть Х*-=Р(Х', X) — простран-
пространство всех путей в X', начинающихся в отмеченной точке
х0 и кончающихся в X, и пусть р~щ: X*—>-Х —рас-
—расслоение, сопоставляющее каждому пути и$Х* его кон-
концевую точку иA). Так как слоем расслоения р является,
очевидно, пространство QX' и так как nrQX'&nr+iX', то
гомотопическую последовательность этого расслоения мы
можем переписать в следующем виде:
-*я Х'—^лХ*"\пХ^пЛ'-->-
Следовательно, если г^п и потому яг+1Х' = ягХ' = 0, то
пгХ*жягХ, а если г < п и потому ягХ'тапгХ, то пгХ* = 0
(при г = п — 1 следует еще учесть равенство я„Х' = 0). ?
Заметим, что X* является не чем иным, как гомото-
гомотопическим слоем вложения X—*Х'.
Пространство X* принято обозначать символом (X, п).
О расслоении р: (X, п) —> X говорят, что оно убивает
гомотопические группы до размерности п — 1 включи-
включительно. В соответствии с этим пространство (X, п) назы-
называется иногда убивающим пространством.

296 ПРССТРАНСТВА ТИПА (П, п)
Пространство (X, 1) является не чем иным, как ком-
компонентой пространства X, содержащей отмеченную точку.
Пространство (X, 2) можно рассматривать как аналог
универсального накрытия. В отличие от последнего, оно
определено без каких-либо условий на пространство X.
Замечание 1. В следующем семестре мы разовьем
технику, позволяющую эффективно вычислять первую
нетривиальную гомотопическую группу л„Х любого
(п— 1)-связного пространства X. В частности, это даст
нам общий способ вычисления групп л„Х~ л„ (X, п) для
произвольного пространства X (к сожалению, не всегда
приводящий к цели).
Как выше уже было отмечено, в формуле B) на самом
деле имеет место равенство. При этом пару (X, А) можно
считать произвольным клеточно п-связным (п~^\) отно-
относительным клеточным пространством, поскольку для лю-
любой такой пары — в силу теоремы о клеточной аппрокси-
аппроксимации—имеет место изоморфизм лл(Х, А)л;лп(Х"+1, А),
а пространство Х"+1 является элементарным клеточным
расширением пространства А.
Предложение 2. Для любого клеточно п-связного
относительного клеточного пространства (X, А)
имеет место равенство
Напомним, что здесь Кег/„ — ядро гомоморфизма г»:
лпА—*-л„Х, индуцированного вложением г: А—-*Х, а/С—
подмодуль яхЛ-модуля ппА (при п — 1 инвариантная
подгруппа группы л^), порожденный (-ая) всеми элемен-
элементами вида [еа], еа?Хп+1\А.
Сразу же отметим важное следствие этого предложе-
предложения:
Следствие 1. Для любого пространства X и любого
л^Х-подмодуля К модуля лпХ (при п — 1 для любой
инвариантной подгруппы группы лхХ) существует такое
пространство, X', что
лгХ, если г < гг,
(лпХ)/К, если г — п.
Доказательство. Выбрав в К произвольную си-
систему образующих [ра: 5"—>Х]', примем за X' элемен-
элементарное клеточное расширение пространства X с приклей-

ПРОСТРАНСТВА ТИПА (П, п) 297
вающими отображениями ра и воспользуемся предложе-
предложением 2. П
Это [следствие обобщает следствие 1 предложения 1.
Мы будем говорить, что пространство X' заклеивает
подгруппу К группы ппХ.
Определение 1. Топологическое пространство X на-
называется пространством типа (П, п), где п^ 1, а П —
группа (абелева при п > 1), если
v ГО при гфп,
П.Л. ----- \ __
г | П при г = п.
Мы будем обозначать пространство типа (П, п) символом
Я(П, п).
Замечание 2. Обозначение #(П, ft) предложено
Свитцером (см. [И]). Пространства типа (П, п) впервые
были рассмотрены Эйленбергом и Маклейном, и поэтому
в литературе они часто называются пространствами
Эйленберга- Маклейна. Эйленберг и Маклейн обозначали
их символом К (П, ft), и с тех пор это обозначение сде-
сделалось общепринятым. Однако в последнее время оно
вошло в столкновение с другими общепринятыми обозна-
обозначениями, что и послужило Свитцеру основанием для его
новации.
Предложение 3. Для любого^п ^ 1 и любой группы
П (абелевой при п > 1)"существует клеточное простран-
пространство типа (П, ft).
Доказательство. Группа П является факторгруп-
факторгруппой некоторой свободной (при п > 1 свободной абелевой)
группы F, т. е. имеет вид F/K, где К — некоторая (инва-
(инвариантная при п—\) подгруппа группы F.
С другой стороны, мы знаем, что, сопоставив каждой
свободной образующей группы F сферу размерности п и
построив букет этих сфер, мы получим клеточное про-
пространство" X для которого
0, . если г < «,
F, если г = п.
Применив теперь к этому пространству следствие 1 пред-
предложения 2 и заклеив у полученного пространства все
группы пг с г>и (следствие 2 предложения 1), мы и
получим клеточное пространство типа (П, ft). G
**,•' Замечание 3. В следующем семестре мы покажем,
что любые два}[клеточных пространства типа (П, ft)

298 ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ
гомотопически эквивалентны и, следовательно, что любые
два пространства типа (П, п) слабо гомотопически экви-
эквивалентны (это, в частности, оправдывает обозначение этих
пространств единым символом Н (П, п); см. выше). По-
Поскольку, кроме того, для любого пространства #(П, л + 1)
пространство QH (П, п -f- 1) является, очевидно, простран-
пространством Н (П, п), отсюда следует, что для каждого клеточ-
клеточного пространства X и любой абелевой группы П мно-
множество Нп(Х; П)-[Х, Н (И, п)] при каждом я>1
является группой, которая не зависит от выбора про-
пространства Я(П, п) и определяется исключительно груп-
группой П и числом п. -Эта группа называется п-мерной
группой когомологий пространства X с коэффициентами
в группе П.
Группы когомологий являются одним из важнейших
функторов алгебраической топологии,*и]'мы их подробно
изучим в следующем семестре.
Заметим, что предложение 2 мы пока еще не доказали.
В отличие от тривиального предложения 1, это пред-
предложение выражает весьма глубокий геометрический факт,
но, к счастью, всю необходимую для его доказательства
геометрическую работу мы уже произвели в лекции 7
(и в Дополнении к лекции 1.6), так что сейчас нам
остается лишь воспользоваться ее плодами.
Сначала мы рассмотрим случай, когда п~\.
Доказательство предложения 2 при п~\.
Как уже было сказано, мы можем предполагать, что X
является элементарным клеточным расширением размер-
размерности 2 пространства А и, следовательно, что все (дву-
(двумерные) клетки еа?Х\А открытьГв X.
Пусть сначала' клетка е„ только одна, т. е. пусть
пара (X, А) является относительной двумерной клеткой.
Выбрав в клетке е* = Х\Л две различные точки х0 и хи
рассмотрим покрытие пространства X, состоящее из мно-
множеств
е\ X\Xl и в«п(Х\*1) = «>\*1.
Эти множества открыты, связны, содержат точку |*0 и
составляют насыщенное покрытие пространства X. Поэ-
Поэтому ,'согласно теореме Зейферта —ван Кампена (теорема 1
Дополнения к лекции 1.6), группа яхХ является преде-
пределом диаграммы

ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ 299
г. е. — ввиду стягиваемости клетки ег — пределом диаграммы
где /«—гомоморфизм, индуцированный вложением /:
e*\xi —+ X\xi • Это означает (см. в Дополнении к лек-
лекции 1.6 пример 3), что группа пгХ является образом
группы nt (Х\х1) при гомоморфизме!^: лг (X\xt)—> щХ,
индуцированном вложением i': Х\х1—+ X, причем ядром
этого гомоморфизма служит инвариантная подгруппа
[Im/,], порожденная образом Im/, гомоморфизма /,.
С другой стороны, пространство X\xt деформационно
ретрагируется на А (лемма 1 лекции 3), а проколотый
диск e*\xt — Ha свою среднюю окружность. При этом
легко видеть, что для «естественного» монеоморфизма
k: S1-^e*\x1 единичной окружности S1 на среднюю
окружность диска ^а\лг1 имеет место гомотопически ком-
коммутативная диаграмма
'У Л А
где р - отображение, приклеивающее клетку ег, а Г —
вложение. Поскольку i^i'oi", этим доказано, что
и (Кег /„) — Ker i* — [Im /*] ^ [Im (jok),] =
т. е.— так как отображение il является изоморфизмом —
что Ker ('. — [Imp,]. (Здесь мы намеренно несколько не
точны, поскольку ретракция Х\х^ —*¦ А двигает точку х0.
Учет этого обстоятельства принципиальных трудностей
не вызывает и оставляется читателю.)
Поскольку Imp, является циклической подгруппой,
порожденной элементом р,(\--[р]*, и поскольку элемент
[е*], получающийся из элемента [р]' некоторым внутренним
автоморфизмом группы щА, порождает в я,^ ту же ин-
инвариантную подгруппу, что и элемент [р]", тем самым
при п= 1 предложение 2 для относительной клетки (X, А)
полностью доказано (правда, лишь при указанном выборе
отмеченной точки х0; но ясно, что если это предложение
верно при одном выборе этой точки, то оно.верно и при
любом другом).

ЗОС ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ
Пусть теперь X получается из А приклеиванием ко-
конечного семейства {е\, ...,егп\ двумерных клеток. Рассуж-
Рассуждая по индукции, предположим, что для п — 1 клеток
наше утверждение уже доказано и, значит, ядром эпи-
эпиморфизма пхА —* пхА', где_Л' = А и е\ U ... U e?_i, является
инвариантная подгруппа 'К' группы пхА, порожденная
элементами [е\], ..., [е2п-х]. С другой стороны, согласно
уже доказанному частному случаю (примененному к отно-
относительной клетке (X, А')), ядром эпиморфизма пгА' —>-ппХ
является инвариантная подгруппа группы пхА', порожден-
порожденная образом элемента [е„]?я1Л в группе пхА'. Но тогда
ядром составного эпиморфизма пхА —>- пхА'—+ пхХ будет,
очевидно, инвариантная подгруппа группы пхА, порожден-
порожденная подгруппой К' и элементом [еп], т. е. подгруппа К.
Пусть, наконец, число двумерных клеток относитель-
относительного клеточного пространства (X, А) бесконечно. Рас-
Рассмотрим произвольный элемент | ядра Ker i, эпиморфизма
1»: я^А —>¦ пхХ. Так как при каждом непрерывном отобра-
отображении двумерного диска Е2 в пространство X его образ —
ввиду компактности — задевает лишь конечное число кле-
клеток из Х\Л, то существует такое конечное семейство
клеток е\, ..., е%?Х\А, что ? принадлежит ядру гомо-
гомоморфизма яхЛ —* пхХ', где X' = А и е\ и ... U е%. Следова-
Следовательно, по уже доказанному g принадлежит инвари-
инвариантной подгруппе группы п^А, порожденной элементами
[el], ..., [е%], и, значит, тем более, подгруппе К. Этим
доказано, что Kert.c/C и, значит, что Keri« = /C.
Тем самым при п ¦-- 1 предложение 2 полностью дока-
доказано. ?
Рассмотрим частный случай, когда А представляет
собой одномерное клеточное пространство (граф), т. е.
является остовом X1 клеточного пространства X. Согласно
теореме 2 Дополнения к лекции 1.6 группа я1Л-=я1Х1
является в этом случае свободной группой со свободными
образующими [е1], где е1 пробегает все ребра графа X1,
не принадлежащие фиксированному максимальному дереву
ТсХ1. Поэтому для любой двумерной клетки eagX
элемент М^я^1 представляет собой- групповое слово
от образующих [е1], е1 ? Х1\Т, и, согласно предложе-
предложению 2, группа лхХ будет изоморфна факторгруппе сво-
свободной группы я1Х1 по инвариантной подгруппе, порож-
порожденной словами [еа]. По определению это означает, что
имеет место следующая теорема:

I
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ 301
Теорема /, Фундаментальная группа яхХ произволь-
произвольного связного клеточного пространства X имеет копред-
ставление вида
D) щХ = <[*»], el?Xl\T; [ё*]= 1, е'^Х^Х1),
где Т — некоторое максимальное дерево в X1. ?
Теоретически это полностью описывает группу ntX,
но, конечно, на практике полезность этого результата
ограничена клеточными пространствами, устройство ко-
которых достаточно просто, чтобы не только позволить вы-
выписать в явном виде все слова [е2], но и получить копред-
ставление A2), с которым можно эффективно работать.
Пример 1. Тор X — S1 х S1 получается из квадрата
1x1 отождествлением противоположных сторон. Следова-
Следовательно, он допускает клеточное разбие-
разбиение, состоящее из одной вершины е°,
двух ребер е\, е\ и одной двумерной
клетки еа (см. рис. 13). Таким обра-
образом, его одномерный остов является
букетом двух окружностей, и, значит,
группа яхХг — свободной группой F (а,
Ь) с двумя образующими а —ГеЛ и "D
ь=ш. ис-
Кроме того, как непосредственно ясно из рисунка,
приклеивающее отображение р: S1 —>- X задает (при соот-
соответствующих ориентациях ребер е{ и el) элемент
[ei][ej][ei]~1[ea]~1 = a&afe~1 группы F(a,b), Следова-
Следовательно,
щХ = <а, Ь\-
т. е. группа пгХ является свободной абелевой группой
с двумя образующими (что полностью согласуется со след-
следствием 2 леммы 1 лекции 4 при X = F=51).
Пример 2. Проективное n-мерное пространство RP"
допускает клеточное разбиение \е", е1, ..., еп\, имеющее
в каждой размерности точно одну клетку. При этом для
любого т^.п его m-мерный остов является пространством
RPm, а отображение р: Sm —>- RPm, приклеивающее следую-
следующую клетку ет+1, представляет собой естественное дву-
двулистное накрытие, склеивающее антиподальные точки.
Таким образом, в частности, одномерный остов RP1 яв-
является окружностью S1, а двумерный остов RP2 получается
из S1 приклеиванием диска ?а по отображению S1 —- S1

302 ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА — ВАН КАМПЕНА
степени 2. Поэтому группа nJlP" ¦-• nJiP* является
(при п^2) группой с одной образующей а~ [в1], подчи-
подчиненной соотношению $а — \, т. е. является циклической
группой второго порядка:
Ср. с примером 1 лекции 1.7.
Более интересные примеры мы рассмотрим в Дополнении
к этой лекции.
Теорема 1 позволяет также доказать следующий «кле-
«клеточный вариант» теоремы Зейферта - ван Кампена:
Предложение 4. Для любого пунктированного связ-
связного клеточного пространства X и любого его насыщенного
покрытия \Ха\, состоящего из связных клеточных подпро-
подпространств, содержащих отмеченную точку, фундаменталь-
фундаментальная группа пхХ пространства X является пределом диа-
диаграммы {^Хд}:
Доказательство. Мы докажем это предложение
при дополнительном предположении, что в X существует
такое максимальное дерево Т, что каждое пересечение
Ха П Т связно (и потому является максимальным деревом
в Ха). Общее доказательство существования такого дерева
основывается на малоприятных —и малопоучительных —
комбинаторных рассуждениях, и вместе с тем в каждой
конкретной ситуации это дерево, как правило, находится
без всякого труда.
Если такое дерево Т выбрано, то, согласно теореме 2,
= <?'о; Ra>,
где Ёа — множество символов вида [е1], е1 € Ха\Т (которые
мы теперь для ясности обозначим через [el\a), a Ra —
множество слов [е2], е% 6 Хд\Х?. Поэтому, согласно пред-
предложению 2 из Дополнения к лекции 1.6,
где
a Ra— Для каждой стрелки а: а —>¦ Ь — множество слов

ГРУППА л„ + 1(Х,Л) ПРИ ОДНОСВЯЗНОМ А 303
вида х-11(ха, а), где ха?Еа и 1(ха, а) -слово над Еь,
выражающее через образующие элемент d (а) ха группы
Ga-n1Xa.Yio в рассматриваемом случае стрелки»: а —*-Ь —
это пары индексов (а, Ь), для которых ХааХь, а гомо-
гомоморфизмы d (a) — соответствующие гомоморфизмы п1Ха —*¦
->ягХь. Поэтому, если ха^-\е1]а, то %(ха, а)-=[ех]ь и,
значит, соответствующее соотношение из Ra имеет вид
Гв1]от--[е1](>- Таким образом, действие соотношений из
\jRa состоит в том, что для каждого ребра е1 € Х*\Т
они отождествляют в Е все символы вида [е1],,, где а —
произвольный индекс, для которого е1 € Х\\Т, т. е., дру-
другими словами, заменяют Е множеством всех символов
\е1], е1 € Х1\Т, При этом множество R превращается
в множество всех соотношений вида [<?•] = 1, где е* ? Х*\Х1.
Следовательно,
Ijm {n.XJ = <[ei], * € Х»\7-; [ёя] - 1, ев € Х«\Х*>.
Для завершения доказательства остается заметить, что,
согласно теореме 2, это в точности копредставление
группы щХ. ?
Замечание 4. Предложение 4 можно доказать
иначе —более геометрическим способом, если воспользо-
воспользоваться замечанием 3 из Дополнения к лекции 1.3. Однако
построение соответствующих окрестностей Ua является
довольно деликатной задачей. Действительно, пользуясь
конструкциями из доказательства предложения 2 Допол-
Дополнения к лекции 1, можно без особого труда построить
для клеточных подпространств Ха окрестности Ua, дефор-
деформационно ретрагирующиеся на Ха, но обеспечить насы-
насыщенность получающегося покрытия \1)а\ столь просто
не удается. Читателю будет очень полезно тщательно
продумать этот вопрос.
Вернемся теперь к предложению 2 при я> 1.
Для каждой («+1)-мерной клетки еаё^"+1\^ харак-
характеристическое отображение %а: En+i —»- X, предполагаемое
раз навсегда выбранным и зафиксированным, мы можем
считать отображением
(?n+1, S», »„) —(X, А, ха), *а = Ха
задающим поэтому элемент [%а]' группы nn+i (X, А, ха).
Предполагая, как и выше, что для любой точки ха в А
выбран путь иа, соединяющий с этой точкой отмеченную

304 ГРУППА Л„ + ,(Х,А) ПРИ ОДНОСВЯЗНОМ А
точку хо?А, мы можем построить элемент ы*[х«]'€
€я„+1(Х, А, х0) = яя+1 (X, А). Мы будем обозначать
этот элемент символом [еа], опуская указание на его за-
зависимость от пути иа (и выбора характеристического
отображения ха)-
Как мы знаем из лекции 1.8, группа лп+1(Х, А),
подобно группе ппА, является л,Л-модулем (при п=1,
вообще говоря, скрещенным), а гомоморфизм д:
nn+i(X, А) —» я„/1 — гомоморфизмом модулей. Поскольку
ядро Кег/« гомоморфизма A) совпадает с образом Imd
гомоморфизма д, а построенные выше элементы [еа] ? ппА
являются, очевидно, не чем иным, как образами элемен-
элементов [еа] при гомоморфизме д, предложение 2 непосред-
непосредственно вытекает (даже при п=1) из следующего, чуть
более общего, предложения.
Предложение 5. Для любого клеточно п-связного
(п ^ 1) относительного клеточного пространства (X, А)
группа л„+1 (X, А) порождается как щА-модуль элемен-
элементами [еа], еа?Х"+1\А.
При этом в случае, когда X является элементарным
клеточным расширением размерности п-\-1 пространства А,
можно доказать и большее:
Предложение 6. Для любого элементарного (п+1)-
мерного {п~^ 1) клеточного расширения X связного про-
пространства А. группа яп+1 (X, А) является свободным к^-
модулем (при п== 1—свободным скрещенным л^А-модулем)
со свободными образующими [еа], еа?Х\А.
Отметим важный для следующего семестра частный
случай:
Следствие 1. Для любого клеточного пространства X
и любого п^2 группа лп(Хп, X") является свободным
лхХ-модулем (при п — 2 — свободным скрещенным я1Х1-жо-
дулем) со свободными образующими [еп], е"?Хп\Х"~1.
При п 0 или п ¦¦:¦: 1 «группы» яп(Х°, X) = Л(,(Х°)
и ях (X1, Х°) будут лишь пунктированными множествами.
Как мы уже знаем, предложение 5 (а значит, и пред-
предложение 2) является тривиальным следствием предложе-
предложения 6, которое поэтому нам и нужно только доказать.
Мы сделаем это сначала в дополнительном предположении,
что пространство А односвязно и, следовательно, л^Л-модули
являются обыкновенными абелевыми группами.
Предложение 7. Для любого элементарного (п-\-1)-
мерного (п^\) клеточного расширения X связного и

ГРУППА пп + ,{Х, А) ПРИ ОДНОСВЯЗНОМ А 305
односвязного пространства А группа ял+1 (X, А) является
свободной абелевой группой со свободными образующими
[еа], еа?Х\А.
Доказательство. Пусть сначала А состоит только
из одной точки, и, значит, X является букетом VS?+1 сфер
а
S?+1 размерности я+1. Согласно следствию 1 из предло-
предложения 2 лекции 4, обобщенному на любое число слагае-
слагаемых и примененного к случаю, когда все слагаемые
являются сферами, для любого г <С 2« -f-1 имеет место
равенство
и, в частности,
Поскольку группа rtn+1S?+l является свободной цикли-
циклической группой с образующей [еа], это, доказывает пред-
предложение 7 при A -pt.
В общем случае мы рассмотрим отображение фактори-
факторизации ср: (X, А)—>• (Х/Л, pt). По уже доказанному
группа пп+1 (Х/Л) является свободной абелевой группой
со свободными образующими [ф°Ха]'^Ф*[е«]- С другой
стороны, в условиях предложения 7, согласно теореме 1
лекции 7, индуцированный отображением ф гомоморфизм
Ф*: яп+1(Х, Л)~>я„+1(Х/Л)
является изоморфизмом. Поэтому группа лп+1 (X, Л) также
будет свободной абелевой группой, а элементы [еа] будут
ее свободными образующими. П
Следствие 1. Для любого связного и односвязного
клеточного пространства X группа пп(Хп, X"), п^З,
является свободной абелевой группой со свободными обра-
образующими [еа], евС-Х"\^"~1- ?
В частности, группа я2„Eлх5л, SnVSn) является
свободной циклической группой с образующей [е2п]. Этот
факт нам уже известен из лекции 6. На нем основывается
определение инварианта Хопфа для элементов группы
Чтобы доказать предложение 6 в общем случае (для
неодносвязного Л), нам нужны будут некоторые допол-
дополнительные замечания о накрытиях (см. лекцию 1.6).
11 М. М. Постников

306 ОПЕРАТОРНОЕ СВОЙСТВО НЛКРЫТИП
Как мы знаем из лекции 1.5, для любого п^2
каждое накрытие р: X —> X индуцирует изоморфизм
E) р„\ я„Х-— п„Х.
Предполагая пространство X накрываемым, мы рас-
рассмотрим случай, когда р: X—<¦ X является универсальным
(= односвязным) накрытием пространства X. Поскольку
в этом случае пространство X односвязно, мы можем эле-
элементы группы я„Х интерпретировать как классы свободно
гомотопных непунктированных отображений /: S" —>¦ X, и
потому каждый автоморфизм ср g Aut X накрытия р будет
определять (по формуле ф*[/] ~[ф°Л) некоторый автомор-
автоморфизм ф» группы л„Х. С другой стороны, из лекции 1.6
мы знаем, что группа AutX автоморфизмов накрытия
р: X —¦> X изоморфна фундаментальной группе лхХ про-
пространства X. Следовательно, обозначив автоморфизм
X —>¦ X, соответствующий элементу ? ? л^Х, символом ф^ и
положив |а = (ф5),а, а€л„Х, мы определим действие
(|, а)|—>?а группы яхХ на группе я„Х. По общей же
теории гомотопических групп группа яхХ действует на
группе я„Х. Возникает вопрос, является ли по отноше-
отношению к этим действиям изоморфизм E) я^-изоморфизмом?
Покажем, что ответ на этот вопрос утвердительный, т. е.
что для любых элементов ^ЦщХ, а?я„Х имеет место
формула
F) p. (la) = 1р. (а).
Действительно, выбрав отмеченную точку хо^р~1 (ха), мы
можем группу я„Х отождествить с группой я„(Х, х0), а
р» — с изоморфизмомпа (Я,х0) —»¦ я„ (X, jc0), индуцирован-
индуцированным пунктированным отображением р. Автоморфизм щбудет
тогда пунктированным отображением (Х,^) —»¦ (X, хп), где
дс1 = ф^1 (лг0), и потому будет индуцировать изоморфизм
(ф|)ф: яп(Х, xt) —>л„(Х, хЛ). Чтобы получить отсюда дей-
действие (|, a)i-*|a группы ягХ на группе я„Х = яп(Х, ~х0),
следует выбрать путь и, соединяющий точку х0 о точкой
xlt и посредством изоморфизма и*: пп (X, х0) —>¦ я„ (X, xY)
(в силу односвязности пространства X, не зависящего от
пути и) отождествить группу лп (X, х0) с группой

НАКРЫТИЯ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 307
л„ (X, хг). Таким образом, ?а = ((ф^)*°и*) (а), и потому
Р. (|а) - (роф6), (ы# (а)) = p. (S* (а)) = и* (р.а),
где и~рои—образ пути и в X. С другой стороны, тот
факт, что путь и соединяет точку хв с точкой хх = ф^1 (х0),
означает, по определению, что этот путь накрывает петлю
класса ?, т. е. что ? --- [а]'. Следовательно, и* (р*а) — | (р*а).
Это, очевидно, доказывает формулу F). П
Чтобы релятивизировать этот результат, рассмотрим
в пространстве X произвольное подпространство А (со-
(содержащее отмеченную точку хо?Х) и его прообраз
А---р~* (А) при накрытии р: Х.—+Х. Согласно предло-
предложению 1 из Дополнения к лекции 1.8 для любого л!>1
(впрочем, нам интересен сейчас лишь случай я ^2) на-
накрытие р, являясь расслоением, индуцирует изоморфизм
G) р,:.па(Я, А)-^па(Х, А),
и мржно снова спросить, будет ли этот изоморфизм опе-
операторным. Однако здесь мы сталкиваемся с той трудно-
трудностью, что в группе лп(Х, А) действует группа пхА,
а не группа л^Х. Мы избежим обсуждения связанных
с этим проблем, предположив, что подпространство А
связно и что индуцированный вложением гомоморфизм
nlA—*7%iX является изоморфизмом. Тогда подпростран-
подпространство А будет, как легко видеть, связно и односвязно,
и потому каждый автоморфизм ф^А^Х, l^ntX., будет
отображением (X, Л)—*(Х, Л), и, значит, будет инду-
индуцировать некоторый автоморфизм группы я„ (X, А) (в кон-
конструкции которой мы можем игнорировать отмеченные
точки). Тем самым группа лхХ « пхА будет действовать
в обеих группах лм(Х, А) и я„(Х, Л), и то же самое
рассуждение, что и выше, покажет нам, что равенство F)
остается в силе и в этом случае, т. е. что изоморфизм
G) является п^-изоморфизмом.
Чтобы применить эти результаты к клеточным простран-
пространствам, нам следует доказать, что любое пространство,
накрывающее клеточное пространство, также является
клеточным пространством и что для любого клеточного
пространства существует его односвязное накрытие, т. е.
что каждое клеточное пространство накрываемо. Впрочем,
последнее утверждение немедленно вытекает из уже из-
11*

308 НАКРЫТИЯ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
вестных нам фактов, поскольку любое локально стяги-
стягиваемое пространство —и, значит, в частности, любое кле-
клеточное пространство — очевидным образом локально связно
и полулокально односвязно (даже локально односвязно)
и потому (см. конец лекции 1.6) накрываемо. Поэтому
в доказательстве нуждается лишь первое утверждение.
Пусть А — связное хаусдорфово пространство, X — его
элементарное клеточное расширение размерности /г^1
и р: X —> X — произвольное накрытие пространства X.
Для любой клетки еа?Х\А мы, выбрав характеристи-
характеристическое для этой клетки отображение %а: Еп—i-X, поло-
положим xa==xa(s0), где, как всегда, so-(l, 0, ..., 0) ?
?Sncz?". Пусть р~1(ха) = {xafs}. Поскольку шар Е"
односвязен, для любой" точки ха$ существует единствен-
единственное отображение %ар: Еп—<• X, накрывающее отображение
Ха и обладающее тем свойством, что хар (*о) = ха&-
Лемма 1. Множество ОсХ тогда и только тогда
открыто, (в X), когда открыто (в А — р'^А) пересечение
0 (]А и для любых а а р открыто (в Еп) множество
Доказательство. Поскольку пространствоX обла-
обладает базой {V}, состоящей из открытых множеств V, ко-
которые посредством р гомеоморфно отображаются на от-
открытые множества пространства X, и поскольку множе-
множество 0 тогда и только тогда открыто, когда для любого
элемента V этой базы открыто пересечение U []]/, мы без
ограничения общности можем предполагать, что О содер-
содержится в некотором элементе V базы [V]. Поскольку такое
множество D открыто тогда и только тогда, когда открыто
(в X) множество U = p(U), причем U П А — р(U П Л) и
Аля завершения доказательства
остается заметить, что, по определению топологии в X,
множество UсХ открыто тогда и только тогда,
когда открыты множества U(]A и ХаЧ^О- ^
Ясно, что множества eap = %afi(bn) попарно не пере-
пересекаются (когда индексы а различны, это вытекает из
того, что не пересекаются соответствующие клетки е&,
а когда индексы а совпадают, — из единственности на-
накрывающего отображения в категории ТОР'; см. след-

НАКРЫТИЯ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 309
ствие 1 теоремы 1 лекции 1.6) и вместе с А их замыка-
замыкания еар покрывают X (в силу леммы 1 множество А и U eafi
а. Р
одновременно открыто и замкнуто, и потому - ввиду
связности пространства ^ — совпадает с X). Отображе-
Отображение р на "ёар, будучи непрерывным отображением ком*
пактного пространства на хаусдорфово пространство еа,
представляет собой эпиоморфизм, в силу равенства
Р°5Сар'=:Ха биективно отображающий открытое множество
еар на открытое множество еа, т. е. являющийся отно-
относительным гомеоморфизмом (еаЭ, еа$)— +{еа, еа). Следо-
Следовательно, отображение Xaf. будет относительным гомео-
гомеоморфизмом (?", 5")—> (сар, <?„р), т. е. множество еаР
будет клеткой. Поскольку, очевидно, eafic:A, этим дока-
доказано, что пространство X является элементарным кле-
клеточным расширением пространства А с клетками еар.
Теперь мы уже можем доказать анонсированное выше
утверждение:
Предложение 8. Для любого накрытия р: X—<-Х
клеточного пространства X пространство X обладает
структурой клеточного пространства, по отношению
к которой отображение р клеточно и, более того, гомео-
морфно отображает каждую клетку пространства X на
некоторую клетку пространства X.
В частности, р~г(Хп)-^Хп для каждого п>0.
Доказательство. Согласно только что доказан-
доказанному утверждению каждое подпространство р'1 (Хп) яв-
является элементарным клеточным расширением размерно-
размерности п подпространства р~1(Хп~1). Поэтому нам нужно
только доказать, что эти подпространства составляют
фильтрацию пространства X, т. е. что множество ОсХ
тогда и только тогда открыто в X, когда открыто
(в р(Х")) каждое пересечение 0rip'1 (X"). При этом
по тем же соображениям, что и выше, мы можем считать,
что U содержится в открытом множестве V, гомеоморфно
отображающемся посредством р на открытое множество
пространства X, и потому открыто тогда и только тогда,
когда открыто множество U — p\U). Hop(Unp~1(Xn)) —
— Uf]Xn, а так как отображение р, будучи накрытием,
открыто, то пересечения U л X" тогда и только тогда

310 ГРУППАЯ„ + 1(Х, А) В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
открыты, когда открыты пересечения 0 Пр'1 (X"). Для
завершения доказательства остается вспомнить, что, по
определению, множество UcX тогда и только тогда от-
открыто, когда открыты все пересечения U[)Xn, П
Теперь у нас все готово для доказательства предло-
предложения 6 в общем случае. В этом доказательстве мы —
в соответствии с нашими общими установками — будем
предполагать, что пространство А (а потому и простран-
пространство X) накрываемо. Кроме того, мы предположим, что
п > 1 (случай п— 1 мы предоставим инициативе читателя;
в принципе он нам не нужен, поскольку предложение 2
при п—\ мы выше уже доказали).
Доказательство предложения 6 (при п > 1).
Пусть р: X—>• X —универсальное накрытие простран-
пространства X. Поскольку п > 1, пространство А — р~г (А) связно
и односвязно, причем согласно предложению 8 простран-
пространство X будет элементарным клеточным расширением раз-
размерности п-\-\ пространства А с клетками eafi, характе-
характеристические отображения %ар которых являются подня-
поднятиями в X характеристических отображений %<* клеток
?<х€Х\Л, причем каждое такое поднятие однозначно
определяется точкой ха^^р~1(ха), xa = %a{s0). Следова-
Следовательно, согласно предложению 7 группа ли+1(Х, А) яв-
является свободной абелевой группой со свободными образу-
образующими [<?в6] = [хер]*.
Пусть ха — та из точек- хар, которая является концом
пути иа, накрывающего путь иа, и пусть х-х— соответст-
соответствующее характеристическое отображение. Тогда любая
другая точка ха^^р~1(ха) единственным образом пред-
представляется в виде ц>%(ха) (и, значит, характеристическое
отображение х«р —в виде cp|O%a), где ^б^Х, а ср5, как
и выше, — соответствующий автоморфизм накрытия
р: X—>-Х. По определению это означает, что в группе
л„(Х, А) имеет место равенство [Хар]'= ?[х«1-
С другой стороны, так как п>1, то гомоморфизм
t,- щА—> пгХ является изоморфизмом, и потому, согласно
сделанным выше замечаниям, изоморфизм р«: лп+1 (X, А)—>
—>-лп+1(Х, А) будет л ^-изоморфизмом. В частности,
р. (I[х«П - &* [LY --= I[рох«Г =¦¦ I [%а]' -1 [еа].

ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 311
Таким образом, как группа лх/4-модуль лп+1(Х, А) яв-
является свободной абелевой группой со свободными обра-
образующими вида Ъ[еа], где | — произвольный элемент груп-
группы яхА, и, значит, как я1Л-модуль — свободным модулем
со свободными образующими [еа\. Г.!
Доказав предложение 6 (а значит, и предложение 2)
мы, в частности, полностью описали гомоморфизм A)
при г — п. Аналогичное — но более сложное и потому
практически бесполезное — описание этого гомоморфизма
можно получить и при г -¦- п-\-1. Но уже при г—п-\-2 ни-
никаких общих теорем о гомоморфизме A) не известно. Та-
Таким образом, предложенный в начале лекции метод вы-
вычисления гомотопических групп индукцией по остовам
останавливается уже на первом (или, если хотите, —
втором) шаге.
ДОПОЛНЕНИЕ
Двумерные поверхности.—Эйлерова характеристика и
трехмерные многообразия. — Вычисление фундаменталь-
фундаментальных групп некоторых трехмерных многообразий.—Пере-
многообразий.—Перестройки многообразий. — Фундаментальные группы мно-
многообразий размерности п^4.— Поведение фундаменталь-
фундаментальной группы при перестройках трехмерных многообра-
многообразий.— Торические узлы и их группы.—Многообразие
Дена.
В этом Дополнении мы рассмотрим несколько приме-
примеров вычисления фундаментальной группы. При этом для
описания строения и свойств соответствующих пространств
мы будем широко пользоваться геометрически наглядными
соображениями, строгое обоснование которых увело бы
нас слишком далеко в сторону.
Наглядно очевидно (и без труда строго доказывается),
что. любая поверхность (связное компактное триангули-
триангулируемое двумерное многообразие) получается из некоторого
многоугольника Т с четным числом сторон попарным
отождествлением его сторон. (Интересно, что при п — 2
требование триангулируемости излишне: как показал еще
в 1925 г. венгерский математик Радо, любое связное
компактное двумерное топологическое многообразие триан-
триангулируемо. Доказательство Радо опирается на теорему
Жордана и в высшей степени кропотливо.)

312 ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Чтобы задать отождествления сторон многоугольника Т,
следует выписать его стороны друг за другом, обозначая
отождествляемые стороны одним и тем же символом, если
они отождествляются с сохранением ориентации, и сим-
символами вида а и а~1, если они отождествляются с обра-
обращением ориентации. Получается слово от р символов
&,, ..., ар и их формальных обратных aj, ..., ^'.(где
Чр — число сторон многоугольника Т), обладающее тем
свойством, что при каждом k 1, ..., р символы ак и
о^1 входят в него в совокупности ровно два раза. Каж-
Каждое такое слово однозначно задает порядок отождествле-
отождествления сторон многоугольника Т и, следовательно, некоторую
поверхность X. Однако разные олова могут задавать одну
и ту же поверхность. Посредством довольно простых
преобразований слов, не меняющих соответствующую
поверхность X (и описанных, например, в [2] и [4]),
каждое слово можно привести к одному из следующих
трех нормальных форм:
@) аа~\
(р) a^a^b^ajjfi^bi1.. МрЬрй^Ьр1,
[р\ аха^агаг ... арар,
где р > 1.
В случае [р] многоугольник Т имеет 2р сторон, а соот-
соответствующая поверхность X является связной суммой р
проективных плоскостей (сферой с р дырами, заклеенными
листами Мёбиуса), в случае же (р) многоугольник Т
имеет Ар сторон, а поверхность X является связной сум-
суммой р торов (сферой с р ручками). В случае @) много-
многоугольник Т следует представлять себе в виде окружности,
разбитой на две полуокружности (эту фигуру можно на-
назвать двуугольником), в результате склеивания которых
получается дирижаблеподобная поверхность, гомеоморфная
сфере.
Клеточное разбиение многоугольника Т, состоящее из
его вершин, сторон и внутренности, порождает клеточное
разбиение поверхности X, имеющее одну двумерную клетку
и вдвое меньшее число одномерных клеток. В частности,
клеточное разбиение поверхности X, отвечающее нормаль-
нормальной форме (р) или [р], р~^\, одновершинно и имеет
соответственно Чр или р одномерных клеток, находящихся
в биективном соответствии с символами ах, Ьи ..., ар, Ьр
или alt ..., ар. Поэтому группу л^ можно отождест-
отождествить со свободной группой с образующими ах, Ьи ..., ар, Ьр
или соответственно аи .... ау, причем групповым словом

ТРЕХМЕРНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 313
|с2], отвечающим единственной двумерной клетке, будет
как раз слово (р) или [р]. Следовательно, согласно тео-
теореме 1 лекции 9, фундаментальная группа поверхности X
а случае (р) имеет непредставление вида
A) я,Х = <о1, ft, ар, Ьр\
afaa^by1 ... apbva-pxbf - 1>,
а в ел учае [р] — копредставление вида
B) я,Х-<«!, ..., ар; a*...fl"=l>.
Ср. с примерами 1 и 2 в лекции 9.
Поскольку группы A) и B) попарно неизоморфны
(почему?), мы получаем, в частности, что все поверхности
(р) и [р] различны. Таким образом, поверхности (р) при
р^О и[р\ при р^1 без повторений исчерпывают все
(компактные и связные) поверхности.
Это утверждение известно как теорема класси-
классификации поверхностей. По существу, она была
известна еще в XIX веке (Риману?), но аккуратные до-
доказательства были впервые опубликованы, по-видимому,
Леви A929 г.) и Рейдемейстером A932 г.).
Более интересная ситуация возникает при п -- 3, т. е.
для трехмерных (связных и компактных) многообразий
(которые, кстати сказать, как показал в 1952г. посред-
посредством весьма сложных конструкций американский мате-
математик Мойс, также необходимо триангулируемы; более
простые доказательства — но основывающиеся на трудной
предварительной технике —были впоследствии предложены
Бингом и Кёрби с Зибенманном). Из триангулируемости
непосредственно вытекает, что каждое такое многообразие
получается из некоторого трехмерного многогранного
тела Т с четным числом граней попарным отождествле-
отождествлением граней. Вообще говоря, если мы возьмем произволь-
произвольное многогранное тело Т и попарно отождествим его
грани, то получающееся пространство X (которое мы —
за отсутствием лучшего термина — будем называть трех-
трехмерным специальным псевдомногообразием) может не быть
многообразием: нетрудные примеры показывают,^ что
окрестности некоторых его точек (получающихся изувер-
шин тела Т) могут быть гомеоморфны конусу над"про-
извольной двумерной поверхностью. Удивительно, что,
тем не менее, можно указать очень простое комбинатор-
комбинаторное условие, необходимое и достаточное для того, чтобы

314 ТРЕХМЕРНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
трехмерное специальное псевдомногообразие было много-
многообразием (при п > 3 ничего подобного сделать нельзя).
Пусть рк, k--0, 1, 2, 3, —число ^-мерных клеток
псевдомногообразия X (так что ра -- 1, а 2р2 равно числу
граней тела Т). Тогда оказывается, что трехмерное спе-
специальное псевдомногообразие X тогда и только тогда
является многообразием, когда
C) Pn-Pi + Pi ---= !•
Хотя это утверждение и не относится, собственно
говоря, к алгебраической топологии, его доказательство
настолько элегантно и поучительно, что мы все же изло-
изложим его здесь (по модулю некоторых утверждений общего
характера, которые будут доказаны нами в следующем
семестре).
Для любого конечного ( — компактного) клеточного
пространства X альтернированная сумма
(где pk — число ^-мерных клеток пространства X, а п —
. его размерность) называется его эйлеровой характеристи-
характеристикой (а также характеристикой Эйлера — П уанкаре).
Нам будут нужны следующие факты:
Г. Эйлерова характеристика гомотопически инвари-
инвариантна, т. е. гомотопически эквивалентные клеточные
пространства имеют одинаковые эйлеровы характеристики.
(Этот глубокий факт мы докажем в следующем семестре,
отождествив эйлерову характеристику % с другим числом х,
которое гомотопически инвариантно по определению.)
Поскольку x(pt)'r-l> из 1° следует, что эйлерова ха-
характеристика любого стягиваемого пространства (в част-
частности, любого конуса СХ) равна единице.
2°. Эйлерова характеристика каждого нечетномерного
замкнутого многообразия равна нулю. (Это вытекает из
так называемой теоремы двойственности Пуан-
Пуанкаре, которую мы также докажем в следующем семестре;
точнее, из этой теоремы вытекает равенство нулю упо-
упомянутого в Г числа х-)
3°. Эйлерова характеристика произвольной двумерной
поверхности не превосходит двух и равна двум тогда и
только тогда, когда эта поверхность гомеоморфна сфере.
(Это непосредственно вытекает из сформулированной выше

ТРЕХМЕРНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 315
теоремы классификации двумерных поверхностей, по-
поскольку для поверхностей (р) эйлерова характеристика
равна, очевидно, 2 ~2р, а для поверхностей [р] она
равна 2 - р.)
4°. Для любой клеточной триады (X; А, В) с X --- А и В
имеет место равенство
Х(С). где С=А(]В.
(Эго немедленно вытекает из определения.)
Рассмотрим теперь условие C). Так как для специаль-
специального псевдомногообразия X имеет место равенство р3 — 1,
то это условие означает, что % (X) ¦- 0. Следовательно,
ввиду утверждения 2° условие C) необходимо, и потому
в доказательстве нуждается лишь его достаточность.
Ясно, что любая точка единственной трехмерной клетки
специального псевдомногообразия X обладает окрестно-
окрестностью, гомеоморфной открытому трехмерному шару. Более
того, так как каждая двумерная клетка псевдомногообра-
псевдомногообразия X получается из двух двумерных граней тела Т, то
для произвольной точки этой клетки любая достаточно
малая ее окрестность будет получаться склеиванием двух
полушаров в Т, примыкающих к этим граням, и потому
также будет гомеоморфна шару.
Одномерные клетки (ребра) специального псевдомно-
псевдомногообразия X получаются, вообще говоря, из любого числа
ребер тела Г. Однако если ребро склеилось из т ребер
тела Т, то для произвольной точки этого ребра любая
достаточно малая ее окрестность будет склеиваться из m
«апельсиновых долек» и потому снова будет гомеоморфна
шару. Следовательно, в трехмерном специальном псевдо-
псевдомногообразии X окрестности, не гомеоморфные шару, мо-
могут иметь только его вершины. При этом оказывается, что
5°. Каждая вершина е°, i -\, ..., р0, клеточного про-
пространства X обладает такой окрестностью Uh что:
1) граница U\ —¦ U;\Ui окрестности U{ является
двумерной поверхностью, а замыкание U; окрестности U{—
конусом над этой поверхностью;
2) замыкания U; окрестностей U\ не пересекаются, и
существует клеточное разбиение пространства X (даже
триангуляция), по отношению к которому замыкания U;
и границы 0{ окрестностей U',¦ являются клеточными под-
подпространствами.

316 ТРЕХМЕРНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
(Наглядно это свойство, по существу, очевидно, но
его аккуратное доказательство требует определенной тех-
техники, выходящей за рамки нашего изложения.)
В силу свойства 5° утверждение, что X является
многообразием, равносильно утверждению, что для любого
i ¦¦--¦ 1, ..., р„ поверхность Ut представляет собой сферу
(поскольку только над сферой . конус является шаром),
т. е. (см. утверждение 3°), что х(^/)~2. Таким образом,
все свелось к доказательству того, что из %(Х) — 0 сле-
следует хФд 2 Для любого /--=1, ..., /?„.
С этой целью мы рассмотрим клеточное пространство
Y = X\U, где и = и1и...ииРв,
получающееся удалением из псевдомногообразия X всех
окрестностей t/,-. Так как триада (X; Y, U) клеточна и
ХжжУ [)U', то, согласно свойству 4й,
где О = 11 П Y = Uх и ... L) 0Яо, а так как каждое прост-
пространство и{ является конусом, то %(?/,) = 1 и, значит,
%(V)m-p0, Поэтому, если xW-'O, то %@) = % (Y)+p0.
С другой стороны, ясно, что Y является многообра-
многообразием с краем 0 и, следовательно, если мы возьмем два
экземпляра многообразия Y и склеим их по общему краю,
то получится замкнутое многообразие 2У (называемое
дублем многообразия Y). При этом, согласно тому же
свойству 4°,
0
ХBК)-2хОО-х@),
а ввиду свойства 2° хBК)=0. Следовательно, %@)—2%(Y)
и, значит, %(Y) p0, т. е.
что ввиду неравенств % (U{) <[ 2 возможно только тогда,
когда %@{) 2 для любого i ¦= 1, .... р0.
Тем самым достаточность условия A) полностью дока-
доказана. ?
Вернемся теперь к собственно алгебраической топо-
топологии.1
. Эффективность структуры трехмерного специального,
псевдомногообразия столь высока, что методы лекции 9

ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГРУПП 317
позволяют для каждого такого пространства немедленно .
выписать некоторое копредставление его фундаментальной
группы. Таким образом, в частности, мы обладаем эффек-
эффективным алгорифмом вычисления фундаментальной группы
любого трехмерного многообразия (представленного в виде
специального псевдомногообразия).
При разборе соответствующих примеров многогранник
Т удобно представлять себе спроектированным на сферу S2,
т. е. считать его гранями многоугольные области на сфере,
ограниченные отрезками больших кругов.
Пример 1. Простейшим многогранником на сфере
является двугранник, гранями которого являются две полу-
полусферы сферы S*. Разбив соответствующий экватор на h
равных дуг, мы можем считать эти грани А-угольниками.
Отождествление гранейч"мы зададим ортогональным преоб-
преобразованием, являющимся композицией отражения в плос-
плоскости экватора и поворота вокруг перпендикулярной оси
на угол 2np/h, где р—некоторое число, взаимно простое
с h. Получающееся специальное псевдомногообразие X
имеет, как легко видеть, в каждой размерности ? = 0,
1, 2, 3 по одной клетке ек. Следовательно, условие C)
для него выполнено, и оно является многообразием.
(Нетрудное рассуждение — которое мы предоставим чита-
читателю—показывает, что на самом деле это пространство
является линзовым пространством L[p, h] из примера 2
лекции 1.7.) Двумерная клетка е* получается при этом
из полусферы сферы 5а, а одномерная клетка е1 — из
каждой дуги, на которые разбит экватор. Поскольку эти
дуги отождествляются с сохранением ориентации, отсюда
следует, что элемент [е*] группы пхХ1 равен ап, где а — [е1]—
образующая группы я^Х1, отвечающая клетке е\ т. е. что
фундаментальная группа пгХ пространства X имеет ко-
копредставление вида <а; ан — 1> и, значит, является цикли-
циклической группой Z/h порядка h. (Ср. с примером 2 лек-
лекции 1.7.)
Пример 2. Более сложный пример мы получим, при-
приняв за Т октаэдр и отождествив в нем противоположные
грани, повернутые на л/3. В стереографической проекции
на плоскость этот многогранник изображен на рис. 14.
(Отождествляемые элементы обозначены на этом рисунке
одинаковыми символами.) Получающееся специальное кле-
клеточное пространство X имеет одну вершину, четыре одно-
одномерных клетки (изображенные'на'*'рис. 14 символами а, Ь,
с и d) и четыре двумерные клетки (изображенные на рис. 14

3)8 ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГРУПП
римскими цифрами). Поэтому это пространство также
является многообразием. Элементы а, Ь, с, d порождают
группу лхХ, а соответствующие определяющие соотноше-
соотношения, как непосредственно видно из рис. 14, имеют вид
abc = 1, adb — 1, acd — 1, bdc = 1.
Из второго и третьего соотношения следует, что d -
—а~хЪ~х и с---а~1Ьа. Подставив эти
значения d я с в первое и четвертое
соотношения, мы для образующих
s-^a и t — b~x получим соотношения
1 ; t-h-Hs-H-^^ 1.
Поскольку
из соотношений D) следует, что st~2st=l, т. е. что
st — tis~1 и /"'s = s/~a. Поэтому в силу первого из соот-
соотношений D) s-st~i-t~1s¦-.- 1, т. е. s4~*s=l, и значит,
/3 ^s3. Следовательно, tst — Ps~l~-s2, и потому (stJ--=
-=stst=r-s3. Обратно, если s3~t3 — (stJ, то
) -s/= 1, а значит, и
s~1/s-iris= 1.
Тем самым доказано, что
Это известная в алгебре бинарная группа тетра-
тетраэдра. Прямыми, хотя и довольно долгими вычислениями
можно показать, что эта группа конечна и ее порядок
равен 24.
Замечание 1. Существует простой почти автоматиче-
автоматический прием вычисления порядка конечной группы G по ее
копредставлению, заключающийся в систематической нуме-
нумерации всех элементов группы G. Номера элементов группы
располагаются при этом в таблицы, взаимно однозначно
соответствующие соотношениям, причем единице группы
дается номер 1. Первый и последний столбец каждой таб-
таблицы состоит из всех номеров от 1 до п, где п—порядок
группы. (Заполнять эти столбцы надо не сразу, а одновре-

ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГРУПП
319
менно с заполнением других столбцов.) Линии, разделяю-
разделяющие столбцы таблицы, отвечающей соэтношению t^tf'...
. ../f*=l, где Ej, ..., гк— ±1, отмечаются последова-
последовательно символами til, ft] > •••> ^ь- Таблицы обладают тем
свойством, что соседние элементы ах и аг одной строчки
тогда и только тогда разделены линией с отметкой ti\ когда
в группе G имеет место равенство а2 = aj,' (мы отождеств-
отождествляем элементы с их номерами). Таблицы последовательно
заполняются с соблюдением этого свэйсгва, причем на каж-
каждом этапе сначала заполняются все места, какие только воз-
возможно, а затем новый номер помещается на любое свобод-
свободное место справа от уже заполненного. Если процедура
не останавливается, это означает, что группа бесконечна.
Таким образом, начальный шаг алгорифма состоит
в том, что в верхнюю клегку первого и последнего столбца
каждой таблицы помещается элемент 1. Если перед неко-
некоторым шагом в таблицах уже содержатся элементы 1, ...
..., т, то на этом шаге ищется свободная клетка, нахо-
находящаяся рядом (слева или справа) от уже заполненной и
которую с соблюдением указанного выше свойства таблиц
можно заполнить некоторым (очевидно, единственным) из
элементов 1, ..., т. Найдя такую клетку и заполнив ее
соответствующим элементом, мы переходим к следующему
шагу. В случае, когда такой свободной клетки нет, мы
выбираем произвольную свободную клетку справа от уже
заполненной и помещаем в нее число т+1 (одновременно
записывая его на свое место в первый и последний столбец
каждой таблицы). На этом шаг считается законченным.
Алгорифм останавливается, когда свободных клеток не
остается.
Например,, для бинарной группы тетраэдра таблицы
после начального этапа имеют вид
(I)
s
s
' t-
(И)
s
1
s
t-l s-
1
Первая таблица отвечает соотношению s3t~3 = 1, а вторая-
соотношению s2t~1s~1t~1 = 1.

320
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГРУПП
Этап 2 начинается с того, что в таблице I справа от
1 мы пишем 2 и то же делаем в таблице II. Затем пишем 2
в начале и в конце второй строчки каждой таблицы.
На этом этап 2 кончается. Затем справа от 2 мы всюду
пишем 3. Кроме того, мы пишем 3 в начале и конце
третьей строчки каждой таблицы (в дальнейшем мы не
.будем упоминать об этом обязательном шаге). На следую-
следующем этапе мы пишем 4 справа от 3 во всех строчках
таблицы I и во второй и третьей строчках таблицы П. Затем
мы пишем 5 справа от 4 в первой строчке таблицы I и вс
второй строчке таблицы II. Это вынуждает нас написать 4
слева от 5 в пятой строчке обеих таблиц. На следующем
этапе мы завершаем заполнение первой строчки таблицы I
числом 6, которое помещаем также перед числом 1 в первой
строчке таблицы 11. Кроме того, слева от 6 в шестой строке
обеих таблиц мы пишем 5, а в первой таблице еще левее—4.
Наконец, в оставшемся месте первой строчки таблицы II мы
пишем 7, что вынуждает нас написать 7 также в начале ше-
шестой строки, 3 в конце седьмой строки обеих таблиц и 4
слева от 3 в седьмой строке таблицы 11. Тем самым мы по-
получаем таблицы с заполненными первыми строками:
S
1
2
3
(I) 4
5
6
7
S
2
3
4
7
S
3
4
1-
4
1 /-
5
4
1 1-
6
4
5
3
s <-' S-' /-'
2
3
(II) 4
5
6
7
2
3
4
7
3
4
7
5
4
6
4
5
3'
Дальнейшее заполнение идет точно так же, причем после
заполнения 24-й строчки никаких пустот не остается. Тем
самым построение обрывается, и порядок рассматриваемой
группы оказывается равным 24.
В процессе вычислений можно ошибиться и обозначить
новым числом элемент уже занумерованный. В этбм ни-
никакой беды нет, поскольку рано или поздно ошибка сама
собой вскроется. Например, для бинарной группы тетра-
тетраэдра тот факт, что четвертый элемент четвертой строки
таблицы I равен 1, выясняется только в конце вычислений.
Пример 3.. Замечательное трехмерное многообразие
получится, когда за Т мы примем додекаэдр и отождествим
его противоположные грани, повернутые на я/5. См. сте-
стереографическую проекцию на рис. 15.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГРУПП 3JI
В этом случае имеется пять вершин (обозначенные на
рис. 15 символами О, Р, Q, R, 5), десять ребер @—9
на рис. 15) и шесть двумерных клеток (I—VI на рис. 15).
Одномерный остов имеет вид, изображенный на рис. 16.
Рис. 15.
Приняв за максимальное дерево подграф, состоящий
из ребер 0, 7, 5 и 3 (он- изображен на рис. 16 утолщён-
утолщёнными линиями), мы получим для группы пхХ шесть обра-
образующих 1, 2, 4, 6, 8 и 9, которые должны быть подчи-
подчинены шести соотношениям. Чтобы найти эти соотношения,
надо для каждой грани додекаэдр л выписать последова-
последовательность ее ребер и заменить в полученном слове светлые
цифры темными, выбросив цифры, входящие в дерево.
Сделав это, мы получим соотношения
(I) 124 = 1, (III) 89=1, (V) 16=1,
(II) 1948~1-= 1, (JV) 28-16-14=1, (VI) в-192=1.
В частности, 9-8 = 26, б-^i-1 и 4 = 2~Ч. Исключив
с помощью этих соотношений образующие 9, 8, 6 и 4 и
положив а = 1 и Ь = 2, мы получим для группы Х

322 ПЕРЕСТРОЙКИ МНОГООБРАЗИЙ
копредставленйе
я1Х = <а, b; abab-La-'b-^l, ba-lb-lab-la~l = 1>.
Из первого соотношения этого копредставления следует,
что ba~lb~1a = ab, а из второго —что b*a~lb~la — ab. По-
Поэтому аа — abab ~1 • Ьа ~ *Ь ~ *а -
— Ьа*-аЬ = Ьа3Ь. Для c — ab'1
отсюда немедленно получаются со-
соотношения а4 — сас и с2 - аса, и,
значит, соотношения а5 = (ас)* — с3.
Поскольку эти выкладки полностью
S обратимы, тем самым доказано,
, что
E) jtiX == <а, с; а6 = (асJ = с3>.
Это — известная бинарная
группа икосаэдра. Она ко-
конечна и ее порядок равен 120.
В прокоммутированной группе щ^Х, т.е. в ее фактор-
факторгруппе по коммутанту,, для образующих а не имеют место
соотношения аъ — а?сг — с3, из которых следует, что а =
= с— 1. Следовательно, эта группа тривиальна. Отсюда
вытекает (см. следующий семестр), что пространство X
является так называемой гомологической сферой.
Любопытно, что разнообразные попытки построить трех-
трехмерную гомологическую сферу с конечной фундаменталь-
фундаментальной группой все приводят к пространству X. (См. по
этому поводу обзор Кёрби Р., Шарлеман М. Восемь
ликов гомологической трехмерной сферы Пуанкаре.—
УМН, 1982, 37, № 5 B27), с. 139—159). Можно поэтому
думать, что роль этого пространства в топологии трех-
трехмерных многообразий должна быть весьма значительной.
Чтобы получить гомологическую сферу X хотя бы
одним другим способом, нам придется начать довольно
издалека.
Узлом в n-мерном (п > 3) замкнутом многообразии М
называется произвольная простая замкнутая линия /, ле-
лежащая в М. Если маленький открытый шарик заставить
скользить своим центром по узлу /, то он заметет некоторое
множество, называемое трубкой вдоль узла. Если для лю-
любого достаточно маленького шарика замыкание соответст-
соответствующей трубки гомеоморфно произведению SlxEn~i ок-
окружности на (п — 1)-мерный шар, то узел называется рун-

ПЕРЕСТРОЙКИ МНОГООБРАЗИЙ 323
ным узлом. В гладком многообразии любой гладкий узел
является ручным, а в триангулируемом многообразии руч-
ручным будет любой полигональный узел.
Пусть / — ручной узел в многообразии М и U — неко-
некоторая трубка вдоль /, замыкание U которой гомеоморфно
произведению S'-xE"'1. Тогда множество М — M\U будет
многообразием с краем U — U\U, гомеоморфным произ-
произведению S1xS"~*. Говорят, что многообразие М получено
из многообразия М высверливанием трубки вдоль узла /.
Пусть V—произведение E2xS"~2 двумерного диска ?*
на сферу S"~2. Край V этого произведения, являясь про-,
изведением 8хх8п~*, гомеоморфен краю 0 многообра-
многообразия М. Выбрав произвольный гомеоморфизм О-+V и
отождествив соответствующие точки, мы, очевидно, полу-
получим новое замкнутое многообразие М'. Говорят, что много-
многообразие ЛГ получено из многообразия М перестройкой
(или хирургией) вдоль узла /. (Наглядно, ЛГ получается
из М вырезанием произведения S1xEn~1 с последующей
вклейкой на его место произведения Z:axS"~a.)
Проследим изменение фундаментальной группы при
переходе от М к ЛГ.
С этой целью мы рассмотрим разложение M--U(]M
многообразия М в объединение многообразий с краем V
и М и применим к нему теорему Зейферта — ван Кампена.
(Конечно, строго говоря, как мы уже объясняли в своем
месте, здесь нужно перейти к открытым окрестностям
подпространств О, М и U П Л1 =U, деформационно на них
ретрагирующимся; кроме того, нужен специальный раз-:
говор по поводу отмеченных точек, но всю эту технику
мы предоставим читателю, который уже безусловно должен
ею владеть.) Поскольку замкнутая трубка U гомеоморфна'
произведению УхЕ", ее фундаментальная группа ntt/
является бесконечной циклической группой, образующей
которой служит гомотопический класс петли а, однократно
обегающей центральную линию этой трубки. Поэтому при
гомоморфизме n-JJ —>¦ щМ, индуцированном вложением,
класс а переходит в класс петли / (который мы также
будем обозначать через /).
Пусть сначала п^=4. Тогда группа ях?/ также будет
бесконечной циклической группой, причем гомоморфизм

324 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГРУППЫ МНОГООБРАЗИЙ
лг0 —* щУ, индуцированный вложением, будет переводить
образующую в образующую. Поэтому в силу теоремы.
Зейферта —ван Кампена группа яхМ будет изоморфна
группе яхМ.
Применив теперь теорему Зейферта — ван Кампена
к разложению ЛГ Vu M и заметив, чтоягУ=1 (при
п ^ 4), мы немедленно найдем, что при п !> 4 группа щМ'
получается из группы пхМ ж я,М наложением соотноше-
соотношения I ¦- 1.
Поскольку любой элемент фундаментальной группы
ягМ' многообразия М. размерности >3 может быть реали-
реализован ручным узлом (наглядно очевидный факт) и по-
поскольку процедуру перестройки можно повторять любое
число раз, этим, в частности, доказано, что для любого
многообразия'М размерности ^4 и любой конечнопорож-
денной инвариантной подгруппы R группы пхМ существует
многообразие М, получающееся из многообразия М неко-
некоторой последовательностью перестроек, фундаментальная
группа которого' изоморфна факторгруппе щМ/R.
С другой стороны, если мы возьмем два многообразия
Мг и Ма одной и той же размерности п ^ 2, высверлим
в каждом из них по шару (который можно считать сколь
угодно малым) и склеим получившиеся многообразия
с краем по некоторому гомеоморфизму их краев, то в ре-
результате получится новое многообразие М, которое назы-
называется связной суммой многообразий Mt и Мг. (Мы не
будем сейчас обсуждать вопрос о зависимости многообра-
многообразия М от имеющегося в его построении произвола.) Авто-
Автоматическое применение теоремы Зейферта—ван Кампена
показывает при этом, что при п^З фундаментальная
группа п^М многообразия М является свободным произве-
произведением фундаментальных групп л1М1 и я,М2 многообразий
М.ги Mt.
В частности, отсюда следует, что фундаментальная
группа связной суммы т экземпляров произведения S1 х
X S" (имеющего фундаментальную группу Z) будет сво-
свободной группой с т образующими. В соединении с полу-
полученным выше результатом это дает нам, что при п ^ 4
для любой .конечно представимой группы G существует
п-мерное многообразие с фундаментальной группой G. ¦
Замечание 2. Напротив, отнюдь не любая группа
может быть фундаментальной группой трехмерного мно-

ПОВЕДЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ 325
гообразия. Эффективная характеристика этих групп пока
получена лишь при тех или иных алгебраических ограни-
ограничениях. Например, в следующем семестре мы покажем,
что среди отличных от нуля абелевых групп фундамен-
фундаментальными группами трехмерных многообразий могут быть,
кроме циклических групп Z//i и Z, лишь две группы
Zfr)Z/2 и Zf!j)Z?9Z (и эти группы действительно реали-
реализуются: nxL[p, h] 7,/h, rc^S'xS2) Z, я, (Г
Пусть теперь п 3. Тогда край 0 трубки U является
тором 5'xS1, и потому группа n-fi представляет собой
свободную абелеву группу с двумя образующими а и Ь.
Выбор этих образующих зависит от выбора гомеоморфизма
S1xSl -* 0, и если —что естественно предполагать — этот
гомеоморфизм является ограничением гомеоморфизма S1 х
х?а—<-?/, то при гомоморфизме вложения щО—гщО
образующая а будет переходить в образующую а, а обра-
образующая Ь — в единицу. Поэтому, если а и Ъ —образы эле-
элементов а и Ь при гомоморфизме вложения щО —<- пг0, то
гомоморфизм вложения щМ —>¦ яхМ будет переводить эле-
элемент а в элемент /, а элемент b — в единицу. Отсюда
следует, что группа пхМ получается из группы пгМ нало-
наложением соотношения ft— 1.
Аналогично, для разложения М' -Vl)M группа iijV
при п 3 является бесконечной циклической группой
с образующей с, отвечающей центральной линии полно-
тория V х Е*х&, причем в группе лхУ - лх0 теперь
естественно выбрать образующие end, обладающие тем
свойством, что при гомоморфизме вложения пх0 ¦¦¦*¦ nxV
образующая с переходит в образующую с, а образующая
d — в единицу. Поэтому, если с и d— образы элементов
с и d в группе лхМ при гомоморфизме вложения njj —
—»- ntM, то группа лгМ' будет получаться из группы пгМ
наложением соотношения d - 1.
Тем самым доказано следующее предложение:
Предложение 1. При п — З.обе группы пгМ и пхМ'
являются факторгруппами одной и той же группы л1М,
получающимися наложением соотношений h-l'u d~\
сортветственно, Q. .. .

326 1ОРИЧЕСКИЕ УЗЛЫ И ИХ ГРУППЫ
Так как образующие а, Ь и с, d свободной абелевой
группы щО связаны соотношениями вида
с = aPbv, d - arbs,
где р, q, r, s—такие целые числа, что
то аналогичными соотношениями будут связаны и элемен-
элементы а, Ь, с, d группы л-^М. Кроме того, а*-+1 при гомомор-
гомоморфизме вложения jt,M -— лгМ. К сожалению, этой информа-
информации, вообще говоря, недостаточно, чтобы вычислить груп-
группу лгМ'. Нужна еще дополнительная информация о рас-
расположении в М узла /.
Мы рассмотрим этот вопрос в наиболее важном част-
частном случае М --- S3. В этом случае, многообразие М = S3\i/
называется дополнительным пространством узла I, а его
фундаментальная группа — группой узла. (Ясно, впрочем,
что М является деформационным ретрактом дополнения
53\/, так что группой узла / можно считать фундамен-
фундаментальную группу я1 (Se\l) этого дополнения.)
В теории узлов (см., например, [3]) разработаны
эффективные, но в общем виде описываемые довольно слож-
сложно, алгорифмы вычисления группы произвольного (ручно-
(ручного) узла. В конечном счете все они основываются на тео-
теореме Зейферта—ван Кампена, и мы ограничимся здесь
тем, что непосредственно с помощью этой теоремы вычис-
вычислим группы нескольких простейших узлов (см. также [41,
гл. IV, п. 6).
Мы будем пользоваться тем замечательным фактом,
что сфера S3 является объединением двух полноториев
с общим краем, т. е., другими словами, в сфере Ss можно
найти тор Т2, разбивающий сферу на две области, замы-
замыкания каждой из которых являются полноториями. Про-
Проще всего этот факт усматривается, если сферу S3 тракто-
трактовать как единичную сферу двумерного комплексного про-
пространства Са, т. е. как множество всех пар (г1( z2) ком-
комплексных чисел, для которых \г112 + |z2|2«= 1. Действи-
Действительно, тогда точки (ги г,), для которых 12г | == | г2 J =
= К2/2, будут, очевидно, составлять тор Гс5s. Этот
тор разбивает сферу S8 на две области, замыкания Dt
и D9 которых характеризуются соответственно неравенст-

ТОРИЧЕСК1Ш УЗЛ1>1 II "X ГРУППЫ 327
|<|г2| и |г, \^\г.е\. Но если, например, | г, |<
. | г21, то заведомо г., фО, и потому определено комплекс-
комплексное число г = г1/г2, принадлежащее единичному кругу Ег,
|г|<П, плоскости С комплексного переменного. При
этом соответствие (г,, г„) и->{z, е*"), где ei<* = zt!\zi\,
будет, очевидно, гомеоморфизмом Dx —* E'xS1. Аналогич-
Аналогично, гомеоморфизм D, • Е- у S1 задается соответствием
Конечно, разбивать сферу 51 па два полнотория будет
не только построенный тор, но и любой тор, являющий-
являющийся образом тора Т2 при произвольном гомеоморфизме
S:l --Ч- S\ (О таком торе мы будем говорить, что он стан-
стандартно расположен в S;l.)
Для геометрической наглядности сферу S3 можно (по-
(посредством, скажем, стереографической проекции) отождест-
отождествить с пространством R3 U оо , получающимся из простран-
пространства R" присоединением бесконечно удаленной точки оо .
При этом Т2 совпадет с тором в 1R:I, получающимся при
вращении окружности (х—У2)*-\-г2—1 в плоскости хг
вокруг оси z.
Говорят, что два узла в S" (или в R') эквивалентны,
если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм
S3 —> S3 (или соответственно
R3 —*-R3), переводящий первый
узел во второй. Узел называ-
называется тривиальным узлом, если
он эквивалентен центральной
линии z = 0 полнотория D1% Так
как дополнительным простран-
пространством узла 2 = 0 является пол-
ноторие D2, то группой три-
тривиального узла является беско-
бесконечная циклическая группа.
При естественном отожде- Рис. 17.
ствлении тора Т2 с фактор-
пространством R2/Za каждая прямая y = kx, 0<&<oo,
в R2 определяет некоторую линию в "Р. При k иррацио-
иррациональном эта линия всюду плотна в Т* (это—так называе-
называемая иррациональная обмотка тора), а при k = m/n рацио-
рациональном, она представляет собой замкнутую простую ли-
линию, т. е. узел в S3, который т раз обегает тор по мери-
меридиану и п раз по параллели. См. на рис. 17 случай т~-2,
п — 3. (На рис. 17 дан вид сверху. Наглядно этот узел

328 ТОПИЧЕСКИЕ УЗЛЫ И ИХ ГРУППЫ
изображен на рис. 1К, выполненном как и следующий
рис. 19- но эскизу А. В. Хохлова.) Такой узел (а также
любой узел, ему эквивалентный) называется торическим
узлом типа (т., п). Здесь т и п — любые взаимно простые
натуральные числа, подчиненные условию т <п. (При
m > и получаются, очевидно, те же узлы.)
1т,„,
Рис. 18. Рис. 19.
¦Чтобы вычислить группу торического узла 1 = 1т,„
мы, высверлив вдоль него трубку U, разложим дополне-
дополнение S3\/7 в объединение двух множеств D[ - Dt\U и
Di~--Dt\U, каждое из которых является полноторием,
на границе которого выдолблен узкий желобок (см. рис.
19). Ясно, что этот желобок не влияет на фундаментальную
группу, так что каждая из групп n^l и л^ будет беско-
бесконечной циклической группой, образующая которой пред-
представляется центральной линией соответствующего полното-
рия. Что же касается пересечения Dn — D[ f] D'2, то оно сос-
состоит из всех точек тора Т2, не принадлежащих трубке U, и
представляет собой ленту, обвивающую этот тор m раз
по меридиану и п раз по параллели. Поэтому, во-первых,
группа JijD,, будет бесконечной циклической группой, об-
образующая а которой представляется центральной линией
ленты Do. Во-вторых, рассматриваемая как кривая на
желобчатом полнотории D[ линия а будет гомотопна m
раз взятой центральной линии этого полнотория, так что
гомоморфизм вложения nxDn —* n.tD[ будет переводить об-
образующую а в гп-ю степень хт образующей х группы
n1D[. Аналогично, гомоморфизм вложения ЛцД, ~* nfii бу-
будет переводить образующую а в n-ю степень у" образую-
образующей у группы n.J)'2. Поэтому предел диаграммы
nxD[ -- n0D0 -ч- jiyD'i,
т. е. по теореме Зейферта—ван Кампена группа ni (S3\U) =
¦=n1(S3\/) узла /, будет свободным произведением бес-
бесконечных циклических групп (х) и (у) с объединенными

МНОГООБРАЗИЕ ДЕНЛ 329
подгруппами (хт) и (;/"). Это означает, что группа nt (S3\l)
торического узла 1 = !т, „ имеет, копредставление вида
F) ях E3\/) = <х, у, хт = у«>. ¦ '
Легкое алгебраическое рассуждение (использующее
полученное в Дополнении к лекции 1.6 описание струк-
структуры свободных произведений) показывает, что для раз-
различных пар (т, п), 1 < т < п, группы F) не изоморфны
(и не изоморфны группе Z). Следовательно, псе торичс-
ские узлы 1т, п, 1 < т < п, не тривиальны и не эквива-
эквивалентны друг другу.
Полученной информации о торических узлах уже до-
достаточно, чтобы вычислять фундаментальные группы мно-
многообразий, получающихся из сферы S;l перестройками
вдоль таких узлов.
Пример 4. Рассмотрим перестройку вдоль простей-
простейшего, нетривиального торического узла / = /2, з типа B, 3)
(так называемого трилистника). Согласно только что
произведенному исследованию фундаментальная группа
ntM многообразия M = S*\U имеет две образующие л:
и у, подчиненные соотношению хй — у''. При этом эле-
элементы х и у задаются центральными линиями полноторий,
на которые содержащий узел I тор Т* разбивает сферу
S\ т. е., наглядно говоря, линиями, однократно обегаю-
обегающими тор Т2 снаружи и внутри. Что же касается фун-
фундаментальной группы njj края V трубки V, то одна из
ее образующих будет задаваться центральной линией а
ленты Dp (сдвинутой на край этой ленты), а другая —¦
линией Ь, однократно обегающей трубку 0. При этом,
как уже было сказано выше при разборе общего случая,
петля а будет задавать в группе пгМ элемент х* — уя.
Что же касается петли Ь, то, как легко видеть--напри-
видеть--например, непосредственно из чертежа,—эта петля будет за-
задавать в группе ягМ элемент ух'1. В введенных выше
обозначениях это означает, что элементы а и Ъ группы
kJA выражаются формулами
а = х*, В—ух'1.
(Заметим, что, как и должно быть по общей теории, при
наложении соотношения Ь—\ группа щМ делается три-
тривиальной группой п15:'=1). Чтобы задать перестройку,

ab\ d = a-1b-\
=-5
330 МНОГООБРАЗИЕ ДЕНА
нам нужно задать гомеоморфизм О —>¦ V, т. е. задать в груп-
группе nfi новый базис \c,d) (легко видеть, что любой вы-
выбор базиса может быть реализован некоторым гомеомор-
гомеоморфизмом). Мы определим этот базис формулами
1 6
-1 -5
Тогда, согласно предложению 1, фундаментальная группа
я,ЛГ получающегося в результате перестройки многооб-
многообразия ЛГ будет факторгруппой группы я^ по соотноше-
соотношению Я--1, где й = а~хЪ~ъ — х~г(ух~г)~ъ~ х~г (ху~г)ь, т.е.
будет иметь копредставление
переходящее при подстановке a = xy~1, c= у в копредстав-
копредставление E) бинарной группы икосаэдра. Этим доказано,
что многообразие М' имеет ту же фундаментальную
группу, что и гомологическая сфера из примера 3. (Мож-
(Можно доказать, что на самом деле многообразие М' гомео-
морфно этой гомологической сфере, но это требует мето-
методов, выходящих за рамки нашего изложения.) Впервые
многообразие М' построил, по-видимому, Ден.

ЛИТЕРАТУРА
Список содержит только книги. Ил литературы на ишхтрлниы.х
языках указаны лишь две книги, существенно кспользсванныс и на-
настоящих «Лекциях».
1. Введение в топологию (коллектив авторов).—М.: Высшая школа,
1980.
Элементарный учебник, предназначенный для студентов 1-3 курсов универ-
университетов. В гл. 3 кратко рассмотрены гомотопические группы юобще и фун-
фундаментальная группа и частности.
2. ЗейфертГ., ТрельфалльВ. Топология,—М.; Л.: ГОНТИ,
1938.
В основном книга посрящсна теории ггмолстий, но рассмотрены также
фундаментальная группа и накрьвающие прост] анстра. В общетеоретической
части книга безнадежно >старела, но содержащийся в ней обширный гео-
геометрический материал делает ее все i ще интересной. 1!(ьть >того материал.!
использована нами в Дополнении к лекции 9.
3. Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов.—М.: Мир,
1967.
Книга отличается исключительной аккуратностью и подроСностью изложе-
изложения. Кроме собственно теории узлов, изложены алгебраическая теория ко-
предстанлений ipynn, фундаментальная группа и теорема Зейферта—ван
Кампена (называемая авторами теоремой ван Кампена).
4. Масси У., Столлингс Д. Алгебраическая топология. Введе-
Введение. — М.: Мир, 1977.
Книга написана выдающимся американским топологом Массн (имя Столлинг-
са попало на титул из-за тою, что к русскому переводу книги Масси при-
приложен перевод неСольшого сочинения Столлиигса по теории трехмерных
многообразий). Является превосходным, г ассчитанным на начинающих,
элементарным введением и теории фундаментальных ipynn и накрывающих
пространств (а также двумерных поверхностей).
5. Мил нор Дж. Тополсгия с дифференциальной точки зрения.—
В кн. М и л н о р Дж., У о л л е с А. Дифференциальная топология.
Начальный курс. М.: Мир, 1972.
Изложены простейшие пирменения гладкой топологии к алгебраическим
задачам. См. лекцию 1.7.
6. Мищенко А. С, Фоменко А. Т. Курс дифференциальной
геометрии и тополегии. — М.: Иэд-во МГУ, 1980.
Изложение топологических вопросов ориентировано в сторону гладких
многообразий. Доказана теорема классификации диунерньх поверхностей.
Приведенное на стр. 301 «докознтелгетпо» триангулируемости двумерных
поверхностей нуждается в "Сооиопании.
7. Понтрягин Л. С. Гл.'дкмс многообразия и их применения
в теории гемотопий. — М.: Наука, 1985.
Детальное изложение знаменитых результатов Л. С. Понтрягина о связи
гомотопических групп сфер с группами классов оснащенных подмногообра-
подмногообразий .

332 ЛИТЕРАТУРА «.
8. Постников М. М. Введение в тссргю М(|ч-,1. —М.: Н.'укл
1971.
U гл. 2 изложены основные факты, сьязанные с понятием гомотопической
эквивалентности, а гл. 3 посвящена теории клеточных пространсти.
9. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы
и алгебры Ли. —М.: Наука, 1981.
В лекции 8 дано альтернативнее изложение теории накрывающих прост-
пространств без ссылок на теорию гомотопий. •
10. Рохлин В. Л., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии.
Геометрические главы. —М.: Наука, 1977.
Обстоятельнейшее изложение начальных понятий и теорем, касающихся
клеточных пространств, гладких многообразий, расслоений и гомотопи-
гомотопических групп. Более глубокие теоремы специального харакпр;- и книге
не рассматриваются. Для первоначального изучения тополоши книга
мало пригодна, но к;,к бесцешый источник разнообразной (и, как правило,
точной) информации должна быть под рукой у каждого топологи. Указан-
Указанные на стр. 48, 4У, 55 и 57 «очевидные канонические гомеоморфизмы»
являются, вообще говоря, лишь гомотопическими эквивалентно:тями (см.
Дополнение к лекции 1.4 и лекцгю Е).
11. Свитцер Р. Алгебраическая топология. Гомотопий и гомоло-
гомологии.—М.: Наука, 1984.
Посвященная в основном обобщенным теориям когомологий книга откры-
открывается главами, в которых разъясняются понятия Н-гругшы и Н-когруи-
пы, вводятся гомотопические группы и клеточные пространства и доказы-
доказываются основные теоремы гомотопической теории клеточных пространств.
Отсюда заимствованы доказательства предложений :) и 4 и лекции Л, сим-
плициалыюго варианта Вспомогательной теоремы к Дополнении к лек-
лекции 2 и теоремы Блейкерса - Масси в лекции 7.
12. Стинрод Н., ЭйленбергС. Основания алгебраической то-
топологии.— М.: Физматгиз, 1958.
Классическое — и до сих пор оставшееся, по существу, непревзойденным-
изложение аксиоматической теории гомологии. С материалом настоящих
«Лекций» пересекается фактически не связанная с предыдущими главами
заключительная гл. XI «Приложения к евклидовым пространствам», а ко-
которой излагаются разнообразные следствия теоремы о барабане (см. Допол-
Дополнение к лекции 1.7).
13. Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971.
Фактически единственный на русском языке учебник по алгебраической
топологии, охватывающий все ее основные разделы. В нем подытожены
результаты «классического периода» в развитии алгебраической топологии,
и потому, несмотря на почти двадцать лет, прошедшие со дня выхода
в свет английского оригинала, эта книга сохранила определенную свежесть
до сего времени. Гл. 1 посвящена гомотопиям вообще и фундаментальной
группе в частности, а гл. 2 — накрывающим пространствам н расслоениям.
Высшие гомотопические группы и клеточные пространства рассматриваются
в гл. 7 после теории гомологии.
И.'Хилтон П., У аи л и С. Теория гомологии. Введение в алгеб-
алгебраическую топологию.—М.: Мир, 1966.
С настоящими «Лекциями» пересекается гл. 6 «Фундаментальная группа
и накрывающие пространства» и Введение к части II (в котором вкратце
изложены абсолютные и относительные гомотопические группы, простран-
пространства петель, расслоения и т. п.).
15. X и р ш М. Дифференциальная топология. — М.: Мир, 1979.
Превосходное, очень наглядое и вместе с тем вполне аккуратное изло-
изложение начальных сведений по теории гладких многообразий. В гл. 5
содержится теория степени (см. лекцию 1.7). Это — единственное на рус-
русском языке изложение этой теории, отличающееся как полнотой, так и
аккуратностью.
lfj.i'Xy Сы-цзян. Теория гомотопий. — М.: Мир, 1964.
В первых главах (основные задачи и их частные случаи, расслоенные про-
пространства и гомотопические группы) теория гомологии не используется.
Изложение очень обстоятельное и подробное.
17. Фукс Д. Б:, Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л. Го-
Гомотопическая топология. — M.t Изд-во МГУ, 1970.
Запись лекционного курса Д. Б. Фукса. Гл. 1 посвящена теории гомотопий.

ЛИТЕРАТУРА 333
18. torn Dleck Т., Kamps К. H., Pup ре D., Homotopietheo-
rie. —Lect. Notes Math., 157. —Berlin; Heidelberg; New York:
Springer-Verlag, 1970.
Основные понятия теории гомотопий наложены с общекатегорной точки
зрения и с особым вниманием к двойственности. Дополнения к лекциям
1.1, 1.2, 1.3, 1.9 и 1.10 полностью заимствованы из этой книги.
19. Whitehead G. W. Elements of homotopy theory. —Grad. Texts
Math., 61. —Berlin; Heidelberg; New York: Springijr-Verlag, 1978.
Обстоятельное изложение почти всех вопросов классической теории гомо-
тоиий. Владение теорией гомологии предполагается. Из этой книги заимст-
заимствован материал Дополнений к лекциям 1.4 и 6. (Результаты лекций G н
8, хотя и принадлежат в основном Дж. Уайтхеду, но в его книге дока-
доказываются иначе —с использованием юмологических методов.)

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома А 113
Б 112
- Б
fin
138
— ДО I 52
— ЛН 127
— мв п.¦)
- MB. 127
— MBfln 138
Амальгама гомотопическая ПО
— слябая 109
Барицентрические координаты 58
Барицентрическое измельчение симп-
лициальной схемы 63
триангуляции 67
Вдавливание 95
Вершина клеточного пространства 24
— симплициальной схемы 61
Вложерие клеточное 23
Внугрснгость симплекса 60
Категория CF.U. 2.1
- CW 23
Клетка 11
относительная 27
Клеточный ?кпивалент 86
-- -- пунктированный 91
Композиционное умножение 160
Конструкция Хопфа 191
Лемма Йонеды 134
— Уайтхеда аддиционняя 249
Мелкость триангуляции 67
Метастационяриая гомотопическая
группа сфер 53
Многообразие Дена 329
Множество предупорядоченное 106
— — направленное 141
Наращивание 95
Независимая система точек
Геометрическая реализация симпли-
симплициальной схемы 62
Гомоморфизм Хопфа -- Джеймса 276
— Хопфа — Уайтхеда 239
— Хопфа - Уайтхеда обобщенный 255
Градуированная алгебра Ли 172
Грань С1
Группа икосаэдра бинарная 322
— когомологий 298
— коэффициентов 156
— тетраэдра бинарная 318
— узла 326
Джойн 186
Звезда 7 5
Изоморфизм клеточный 23
Инвариант Хопфа 240
— — обобщенный 239
— Хопфа — Уайтхеда 239
— Хопфа — Хилтона 257
Категория двойственная
— замкнутая 106
— козамкнутая 106
— кополная 106
— полная 10fl
— слабо козамкпутая ПО
102
Обмотка тора иррациональная 327
Операция гомотопическая 160
— — аддитив! ая 167
Остов 10
Отображение актиподальное 55
— клеточное 23
— полиномиальное 44
— приклеивающее П
— симплициальное 74
— сферы стянутое на севере 242
----- юге 242
— характеристическое 11
— н-связное 265
Отображения клеточно гомотопные 50
— слабо гомотопные 131
— финитно гомотопные 131
Пара классифицирующая 103
— клеточная 16
— симплициальная 70
— универсальная 115
— финитно классифицирующая 120
Перестройка 323
Поверхность 311
Подпространство клеточное 16
Полиэдр 62
Предел обратный 105, 107
— слабый НО
— функтора 106
Примитивный элемент 167
Принцип индукции по фильтрации 18
Простой гомотопический тип 95

предметный указатель
335
Простршктво гомотопически полно-
полноценное 39
— клеточное 15
клеточно я-связное 24
— конечное 26
— — конечномерное 25
— — локально конечное 27
— — одновершинное 24
— — относительное 10
— — пунктирог.аннос 33
— — счетное 26
— паракомпактное 37
¦— симплициалыюе 62
—счетно компактное 26
— типа (П, п) 297
— убивающее 295
— Эйленберга — Маклейна 297
Разбиение клеточное 21
— — минимальное 22
Размерность клетки 11
— клеточного пространства 25
— — расширения 10
— симплекса 58, 61
— симплициальной пары 72
Расширение клеточное 10
- элементарное 10
Связная сумма 324
Симплекс линейный 58
-- симплициальной схемы 61
Симплициальная аппроксимация 75, 77
— сфера 62
— схема 61
— — полная 62
— — упорядоченная 78
Симплициальный цилиндр 80
Система обратная 107
Слабая гомотопическая экнивалент-
ность 85, 90
— --- — пунктированная 91
Смеш-умножение внешнее 180
—- внутреннее 182
Стационарная гомотопическая груп-
группа сфер 53
Стационарное гомотопическое кольцо
сфер 178
Степень отображения 54
Супералгебра Ли 172
Схема двойственная 107
Теорема Лдамса 139
— Вернштойна 41
-- Влейкерса — Масси 267
- Борсука 15
— Брауна 112
-¦- Вейерштрасса 41
— классификации поверхностей 313
— Уайтхеда 100
— Урысона 156
— Фрейденталя 159
— - ¦ , трудная часть 278
— Хилтона 2S7
— Хилтога — Милнора 231
Тип отображения произведения сфер
235
Тождество Баррата — Хилтона 182
Триангуляция 67
— конечная 67
—¦ локально конечная 67
Трилистник 329
Удел 322
— винтовой 328
— ручной 323
— торический 328
тривиальный 327
Узлы чквивалентные 327
Умножение Самельсона 198
— Уайтхеда 170, 190
Фильтрация клеточная 17
Финитная гомотопическая эквивалент-
эквивалентность 134
Функтор непрерывный 101, 107
— полуточный 111, 138. 154
— представимый 102. 126, 139. 1.VI,
154
— финитно гомотопически инва-
инвариантный 128
Характеристика Эйлера — Пуанка-
Пуанкаре 314
Хирургия 323
Эйлерова характеристика 314
JV-эквивалентпость 101
ос-чквивалентпость 98

Михаил Михайлович Постников
ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТОПОЛОГИИ
Теория гомотопий клеточных пространств
Редактор Ф. //. Кизнер
Технический редактор С. Я- Шкляр
Корректор И. Я¦ Кришталь
ИГ 12541
Сдано в набор 22.05.84. Подписано к печати 16.01.85.
Формат 84X1 О8'/з«. Бумага для глубоко!! печати. Лите-
Литературная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 17,64.
Усл. кр.-отт. 17.64. Уч.-изд. л. 18,21. Тираж 5000 экз.
Заказ № 3049. Цена 2 р. 70 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
11305 4 Москва, Валовая, 28
Отпечатано и типографии Л» 2 издательства «Науках
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6. 3:ik. 1045