Автор: Манин Ю.И. Гельфанд С.И.
Теги: алгебра линейная алгебра издательство наука гомологическая алгебра главная редакция физико-математической литературы
ISBN: 5-02-014414-2
Год: 1988
Текст
СИ. Гельфацд
Ю.И. Манин
МЕТОДЫ
ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ
АЛГЕБРЫ
том
I
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
КОГОМОЛОГИЙ
И ПРОИЗВОДНЫЕ
КАТЕГОРИИ
MUCK IIЛ «НАУКА»
ГЧ МИ1Л1Г РЕДАКЦИЯ
' I > 11 1111UI M Л ТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
I II М !1
ББК 22.14
Г32
УДК 512.66
Гельфанд С. И., Мании Ю. И. Методы гомологической
алгебры: В 2-х т. Т. 1. Введение в теорию когомологий и производ-
производные категории.— М.: Наука. Гл. род. фим.-мат, лит., 1088.— 416 с—
ISBN 5-02-014414-2 (Т. 1).
Гомологическая алгебра — но толп.ко самостоятельный раздел
алгебры, но и общий язык дли многих геометрических дисциплин,
где существенны глобалышо свойстнп изучаемых объектов.
В книге впервые в мировой монографической литературе из-
изложен современный подход к гомологической алгебре: теория про-
производных и триангулированных категорий.
Для математиков, впервые знакомящихся с предметом, а так-
также для специалистов в алгебре, топологии, теории дифференци-
дифференциальных уравнений, желающих углубить свои знания.
Ил. 3. Библиогр. 152 назв.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук Д. П. Фукс;
член-корреспондент АН СССР И. Р. Шафаревич
1702030000—181
Г 053@2)-88 13"88
ISBN 5-02-014414-2(T.I)
ISBN 5-02-013723-5
~)Издитсл1.ство «Наука».
'Глиннин редакция
фиаиио-математкчесной
литературы, 1988
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Литературные указания W
Г л а в а I. Симплициальные множества 15
§ 1. Триангулированные пространства 15
§ 2. Симплициальные множества 21
§ 3. Симплициальные топологические пространства и те-
теорема Эйленберга — Зяльбера 32
§ 4. Гомологии и когомологий 39
§ 5. Пучки 48
§ 6. Точная последовательность 59
§ 7. Комплексы 65
Глава II. Основные понятия теории категорий ... 76
§ 1. Язык категорий и функторов 76
§ 2. Категории и структуры. Эквивалентность категорий 88
§ 3. Структуры и категории. Представимые функторы 98
§ 4. Категорные конструкции геометрических объектов 115
§ 5. Аддитивные и абелевы категории 133
§ 6. Функторы и абелевость 148
Слава III. Производные категории л производные функ-
функторы 167
§ 1. Комплексы как обобщенные объекты 167
§ 2. Производные категории и локализация .... 173
§ 3. Треугольники как обобщенные точные тройки . . 183
§ 4. Производная категория как локализация гомотопи-
гомотопической 189
§ 5. Структура производной категории 194
§ 6. Производные функторы от аддитивных функторов 216
§ 7. Производный функтор композиции. Спектральная
последовательность 233
§ 8. Когомологий пучков 254
«• 3
Глава IV. Триангулированные категории 278
§ 1. Триангулированные категории 278
§ 2. Производные категории триангулированы . . . 2Ш
§ 3. Пример: триангулированная категория Л модулей 304
§ 4. Сердцевины 316
Глава V. Введение в гомотопическую алгебру .... 328
§ 1. Замкнутые модельные категории 328
§ 2. Гомотопическая характерилация слабых икнппалеи-
тностей 336
| 3. .DG-алгебры как замкнутая модельная категории . 373
§ 4. Минимальные алгебры 383
§ 5. Эквивалентность гомотопических категории . . 395
Список литературы 400
Алфавитный указатель 409
...utinam intelligere possim rationaci-
nationes pulclierrimas quae e pro-
positione concisa DE QUADRATUM
NIHILO EXAEQUARI flu tint.
...Хотел бы я б.ыть способным по-
попять изящнейшие следствия, выте-
вытекающие из тождества d2 = 0.
(Из приветственного адреса Анри
Картану при присуждении ему
почетной степени доктора в Окс-
Оксфордском университете в 1980 го-
году.)
ПРЕДИСЛОВИЕ
1. Гомологическая алгебра возникла как язык, предна-
предназначенный для описания топологических свойств геомет-
геометрических объектов. Возникновение нового языка всегда
является крупной вехой в развитии математики: плоская
и пространственная геометрия Евклида, аналитическая
геометрия Декарта, формализация ньютоновских флюент
it флюксий по Лейбницу и Лагранжу начинают тот ряд,
и которому можно отнести гомологическую алгебру. Как
исякий удачный язык, гомологическая алгебра быстро
реализовала тенденцию к саморазвитию. Как всякий
удачный математический язык, она быстро начала рас-
расширять свою семантику, то есть описывать вещи, к опи-
описанию которых первоначально не предназначалась. Вы-
Вычисление индекса эллиптических операторов, точные
оценки чисел решений сравнений по простому модулю,
теория гиперфункций, аномалии в квантовой теории по-
л я — вот лишь некоторые современные приложения го-
гомологических идей.
Историю гомологической алгебры можно условнр раз-
разбить на три периода.
Первый начался в сороковых годах классическими
работами Эйленберга — Маклейна, Д. К. Фаддеева,
I'. Бэра и завершился с появлением в 1956 году фунда-
фундаментальной монографии Картана — Эйленберга «Гомоло-
«Гомологическая алгебра», которая полностью сохраняет свое
шачение и до сих пор.
Опубликованная в 1957 году большая статья А. Гро-
кшдика «О некоторых вопросах гомологической алгебры»
(она около трех лет пролежала в редакции), была нача-
KIM нторого этапа, который весь прошел под доминиру-
5
ющим влиянием Гротендика и его школы алгебраической
геометрии.
Третий период, продолжающийся до сих пор, связан
со все расширяющимся использованием понятий произ-
производной и триангулированной категории. Оспоиная техни-
техника была изложена в диссертации ученика Л. Гротендика
Ж.-JI. Вердье в 1963 году, но за пределы алгебраической
геометрии она распространялась медленно. Лишь в по-
последние десять-пятнадцать лет положен ио изменилось.
Сначала в работах Сато и его школы но микролокальному
анализу, затем в теории ^-модулей и превратных (per-
(perverse) пучков с приложениями в теории представлений
триангулированные категории стали иснользоиаться как
самый адекватный инструмент.
Попытаемся охарактеризовать :>ти три периода, изви-
извинившись перед читателем аа субъоктипиость оценок и
пеполноту материала. Многие важные тенденции не уло-
уложились, конечно, в нашу жесткую схему.
В книге Картана — Эйленберга, по существу, содер-
содержались все конструкции гомологической алгебры, состав-
составляющие основу ее вычислительного аппарата: стандарт-
стандартные резольвенты и спектральные последовательности.
Что не менее важно, в ней было дано аксиоматическое
определение производных функторов от аддитивных
функторов на категории модулей над кольцом.
Именно эта идея определила лицо второго периода.
Логика внутреннего развития аналитической и алгебраи-
алгебраической геометрии привела к оформлению понятия пучка
и к осознанию того, что естественным аргументом для
теории когомологий является пара (пространство, пучок),
а не просто пространство (или пространство с группой
коэффициентов). Здесь нужно отметить основополагаю-
основополагающий вклад семинаров А. Картана и работы Ж.-П. Серра
«Алгебраические когерентные пучки». В цитированной
статье Гротендика 1957 года было подчеркнуто, что с го-
гомологической точки зрения пару (пространство, пучок
абелевых групп) следует рассматривать как аналог пары
(кольцо, модуль) и определять когомологий пучка как
производные функторы от глобальных сечений.
Разрыв с аксиоматической теорией (ко) гомологии по
Эйленбергу — Стинроду состоял в том, что переменным
аргументом теории когомологий стал считаться абелев
аргумент — пучок, тогда как раньше им был неабелев ар-
аргумент—пространство. Точнее говоря, теория (ко) гомо-
гомологии с фиксированными коэффициентами по Эйлепбер-
гу — Стинроду есть градуированный функтор из катего-
категории топологических пространств в абелевы группы, удов-
удовлетворяющий нескольким аксиомам, которые его одно-
однозначно определяют. Главные среди них — задание (ко) го-
гомологии точки и точная последовательность, связанная
с «аксиомой вырезания». Теория когомологий фиксиро-
фиксированного пространства по Гротендику есть градуирован-
градуированный функтор из категории пучков абелевых групп на
этом пространстве в абелевы группы, также удовлетворя-
удовлетворяющий нескольким аксиомам, которые его однозначно
определяют. Главные среди них — задание нульмерных
когомологий как глобальных сечений и точная последо-
последовательность, связанная с точной тройкой пучков.
Развитие этой идеи привело к очень глубокому обоб-
обобщению основных понятий алгебраической геометрии —
топологиям Гротендика и топосам. Суть его в том, что
коль скоро когомологические свойства пространства це-
целиком определяются категорией пучков на нем, то имен-
именно такие категории, а не сами топологические простран-
пространства, и должны быть первичным объектом топологии.
1 [осле надлежащей аксиоматизации свойств таких кате-
категорий мы и приходим к понятию топоса. Развитие этих
абстрактных идей было мотивировано очень конкретной
задачей — знаменитыми гипотезами А. Вейля о числе ре-
решений сравнений по простому модулю. В саму формули-
формулировку этих гипотез входило предположение о существо-
существовании некоторой теории когомологий алгебраических мно-
многообразий в характеристике р > 0, которая позволила бы
применять в, этой ситуации формулу Лефшеца о числе
неподвижных точек многообразия. Такой теорией и ока-
оказалась теория когомологий этального топоса, созданная
Л. Гротендиком и развитая его учениками.
Основным конечным продуктом гомологической ал-
алгебры этого периода являются вычисление и свойства
разнообразных производных функторов RPF, где F —
Функторы сечений, прямых образов, тензорных произве-
произведений и т. п. Эти производные функторы возникают как
когомологии комплексов вида F(I'), где /' — резольвент-
резольвентные комплексы, состоящие из инъективных, проективных,
плоских и других «приспособленных» к F объектов. Вы-
fiop резольвент в высшей степени неоднозначен, но RVF
от пего не зависят.
Постепенно кристаллизовалось понимание того, что
глодует систематически изучать все комплексы, а не
только резольвенты /' (и результаты применения к ним
функторов), по по модулю очень сложного отношения
эквивалентности, которое отождествляет некоторые комп-
комплексы с одинаковыми когомологиями.
По-видимому, мы не знаем окончательного определе-
определения этого отношения эквивалентности. Ияпестпо, однако,
рабочее и доказавшее свою полезность определение, сфор-
сформулированное в диссертации Вердье 19ВН года. Получаю-
Получающиеся при этом категории комплексов носит название
производных категорий, а аксиоматизация их свойств
приводит к понятию триангулированных категорий.
Как нам кажется, основной чертой третьего периода
гомологической алгебры является развитие особого «мыш-
«мышления комплексами», п противоположность «мышлению
объектами и их гомологическими инвариантами», харак-
характерного для первых двух периодов. Ярче всего, вероятно,
это проявилось в теории превратных пучков. Она пока-
показала, что когомологические свойства топологических мно-
многообразий в значительной степени переносятся на про-
пространства с особенностями, если и качестве коэффициен-
коэффициентов брать не пучки, а специальные комплексы пучков
(как объекты производной категории). К более ранним
конструкциям такого рода можно отнести коиормальные
комплексы Гротендика — Иллюзи и дуализирующие
комплексы Гротендика и Вердье.
2. Эта книга задумана как учебное введение в технику
производных категорий. Насколько нам известно, до сих
пор математику, желающему ознакомиться с ней, прихо-
приходится обращаться к двум первоисточникам, автореферату
Вердье и запискам семинара Хартсхорна, либо к устной
традиции — в тех математических центрах, где она не
прервалась.
Таким образом, центром книги являются главы III и
IV, и читатель, хотя бы немного знакомый с абелевыми
категориями и функторами, может начинать чтение пря-
прямо г ;мп\ i л к к.
Глина II пдресишпш чптителю, которому редко при-
чодиггн 1!М1<||| доли г китогпрпнмн, и мы стирались про-
прояснить пin \ in iiitiii.ni смысл стандартных китегорпых кон-
конструкций л описать of>pn;iui.i «катогорного мышления».
Основная же практическая цель ;>той глины — введение
в абелевы категории.
Наконец, главы I и V — это продукт тяжело давшейся
нам попытки отделить гомологическую алгебру от алге-
Г топологии, не сжигая мостов между ними.
Триангулированные пространства и симшгациальные
множества относятся, вероятно, к самым прямым спосо-
способам описывать топологию с помощью алгебры, и мы ре-
решили начать книгу с введения в симплициальные методы.
С другой стороны, алгебраическая топология немыслима
без теории гомотопий, и изложением основ гомотопиче-
гомотопической алгебры в главе V эта книга заканчивается.
В упражнениях и дополнениях приводятся (часто без
доказательств) некоторые результаты, расширяющие из-
изложенную в основном тексте точку зрения.
Мы работали над этой книгой с тревожным ощуще-
ощущением, что текущий период развития гомологической ал-
алгебры является переходным, что основные рабочие опре-
определения и конструкции теории триангулированных кате-
категорий, несмотря на их ширящееся использование, имеют
только предварительный характер. (В еще большей сте-
степени это относится к гомотопической алгебре.) Нет со-
сомнения, что близкие чувства владели основателями этой
теории и всеми, кто серьезно работал с ней. Отсутствие
монографических изложений — один из симптомов этого.
И все же этот период длится уже около двадцати лет;
работы, основные результаты которых нельзя даже сфор-
сформулировать на старом языке, множатся; потребность в
учебнике растет. Поэтому мы представляем книгу на суд
снисходительного читателя.
3. План книги формировался постепенно, в течение
нескольких лет, когда авторы вели семинары на мехмате
МГУ и общались с «кружком любителей гомологической
алгебры» — А. А. Бейлинсоном, М. М. Капрановым,
И. В. Шехтманом, чьи работы и объяснения к ним до-
доставили нам живые примеры мышления комплексами.
Ж.-П. Ссрр, И. Н. Бернштейн и М. М. Капранов оз-
ознакомились с рукописью и сделали ряд очень полезных
замечаний.
В. Е. Говоров любезно предоставил нам обширную
картотеку работ по гомологической алгебре.
Г. Н. Давыдова терпеливо и квалифицированно пере-
перепечатывала рукопись и вносила в нее наши многочис-
многочисленные исправления.
Мы глубоко признательны всем им, а также
15. А. Гинзбургу, Р. Макферсону, С. М. Хорошкину,
Г>. Л. Цыгану.
Наш долг классикам, основателям и отцам этой нау-
науки, чьими книгами, статьями и идеями мы пользовались
и вдохновлялись, должен быть ясен из содержания.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
1. Общее чтение. Начнем с литературы, имеющийся па рус-
русском языке. Переведены два учебника классической гомологиче-
гомологической алгебры: Картан — Эйленберг [11, Мнклейн |1| и большая
статья Гротепдика [1]. До сих пор сохраняет споо значение сбор-
1шк статей «Расслоенные пространства» ГРП]. ('имплициальные
методы обсуждаются в книге Габриэля — Цисмаиа [1|, пучки —
в книгах Годемапа [1] и Головина [1]. Алгебро-геометрические ас-
аспекты и приложения отражены в основополагающей статье Серра
[3], в книгах Хартсхорна [2] и Милна [1]. Теории топосов посвя-
посвящены монографии Голдблатта [1] и Джопстопа [1]. В трех книгах
изучаются гомологии алгебраических систем: Серр [8], Фукс [2|,
Гишарде [1]. Литература но алгебраической топологии довольно
обильна: Эйленберг — Стипрод [1], Хилтон — Уайли [11, Спеньер
[1], Дольд [1], Масси [2], Вордмаи — Фогт [i], Фукс [1], Дубро-
Дубровин— Новиков — Фоменко [1].
Из учебников и монографий общего характера отмстим книги
Хилтон — Стаммбах [1], Бурбаки [1], Мей [1], Бредоп [1], Ивер-
сен [1], Браун [1], Ботт—Ту [1], Гулликсеп — Левин [1|.
Огромный материал по современной гомологической алгебре со-
содержится в литературе, посвященной алгебраической геометрии.
Здесь нужно назвать в первую очередь публикации Гротепдика и
ого школы: Гротендик — Дьедопне [1] (особенно гланы 0 и III) и
[2], Гротендик и др. [SGA] (особенно 4, 'г^, 6), Артин [1], Харт-
схорн i[l], Бертло [1], Делинь [1], [2].
История гомологической алгебры не написана; мы можем ре-
рекомендовать заинтересованному читателю статью Грея [1], соот-
соответствующие разделы из книги Дьедонне [1] и проникновенные
автобиографические размышления А. Гротепдика ,[5].
2. Темы, не затронутые в этой книге, а) Некоммутативные ко-
гомологии. Задачи теории групп и топологии приводит к необходи-
необходимости рассматривать когомологии с некоммутативными коэффи-
коэффициентами. Систематическая теория их существует лишь для кого-
когомологии малых размерностей (^2 или ^3): для случая когомо-
когомологии групп см. очень педагогичное введение в книге Серра [7],
основанное на работах Дедекера [1]. Наиболее употребительны
1-когомологии, или торсоры. Промежуточные итоги подведены в
книге Жиро [1].
б) Производные от неаддитивных функторов. Исторически пер-
первые конструкции производных от таких функторов, как симметри-
симметрическая или внешняя степень модуля, были предложены Дольдом
10
и Пуппе [1]. Эта техника была развита Иллюзи [11 и применена
в алгебро-геометрических ситуациях. Симшшциальные методы иг-
играют в этих конструкциях ключевую роль. В работе Фейгина —
Цыгана [1] аддитивная iiT-теория интерпретирована как теория
производных функторов от факторкольца по коммутанту.
в) Непрерывные когомологии. Вопросы функционального ана-
анализа и бесконечномерной геометрии приводят к конкретным ко-
когомологическим конструкциям в категориях алгебраических струк-
структур с топологией: линейные топологические пространства, банахо-
банаховы алгебры, группы Ли и т. п. Однако важнейшие из таких кате-
категорий оказываются неабелевыми, и стандартный формализм про-
производных функторов не работает. Конкретные определения и вы-
вычисления проводятся обычно с выбранным классом комплексов.
См. по этому поводу монографии Хелемский [1], Гишарде i[l], Бо-
рель — Уоллах [1], статью Джонсон [1].
г) Произведения и двойственность. Обрывки этих сюжетов чи-
читатель найдет в разных местах книги, однако удовлетворительной
общей теории в рамках гомологической алгебры, видимо, не су-
существует. Относительно двойственности в алгебраической геомет-
геометрии см. [SGA2] и Хартсхорн [1], в топологии — Вердье [11, [21
и Иверсен [1]. Теорию .DG-алгебр, начала которой изложены в
главе V, можно рассматривать как попытку введения мультипли-
мультипликативной структуры с самого начала. По поводу более глубоких
проблем см. Бордмаи — Фогт [11, Шехтмап [11, Хинич—Шехт-
мап [1]. Классические теории когомологических операций (сте-
(степени Стинрода, операции Масси и др.) также относятся к
этой теме.
д) Гомологическая алгебра и К~теория. Литература по .К-тео-
рии очень велика: см. основопологающие статьи Квиллена [11,
[2], [4], обзор Суслина [1], а также сборники [КТ1], [КТ2], где
указаны дальнейшие ссылки.
е) Разное. Теоретико-числовые приложения когомологии Га-
луа основаны прежде всего на теории полей классов: см. класси-
классическое изложение в семинаре Артина — Тэйта [1] и последующие
работы Тэйта [1], Мазура [1] и др. Имеется большая литература
по гомологическим методам коммутативной алгебры: сборник
[ЛАТ], Серр [6], Андро [2], [3], Аврамов — Гальперин [11, Квил-
лен [3]. Другие приложения гомологической алгебры см. в сборни-
сборниках [AN], [ES], [SD].
3. К главе I.
§ 1—3. Дальнейшие результаты симплициалыюй алгебры, в
частности, в применении к гомотопической теории, можно найти
в книгах Габриэля — Цисмана [1] и Мея [1], см. также указания
к главе V. Ее приложения к производным функторам от неадди-
неаддитивных функторов содержатся в работах Дольда — Пуппе [1],
Иллюзи [1]. П, Делинь существенно использовал симпли-
циальные методы в теории смешанных структур Ходжа: см.
Делинь [1], Бейлинсон [2]. Упражнения 2, 3 к § 2 см, Дас-
кин [1], [2].
§ 4. Мы едва коснулись здесь алгебраической топологии: см.
Указания к общему чтению.
§ 5. Результаты по классической теории пучков изложены в
Сорр [3], [4], Годеман [1], Иверсоп ,[1], Головин [1], Бредоп [1].
По поводу теории пучков в общих топосах, а также в этальном,
кристальном и других топосах алгебраической геометрии см.:
[SGA4], Артин [1], Бертло [1], Милн [1].
Н
Важнейшие развитие теории пучков последнего десятилетия
связано с оформленном понятия превратного пучка и формализма
соответствующей теории когомологий, приспособленного к изу-
изучению сингулярных многообразий. Превратные пучки являются
объектами производной категории обычных пучков и потому пред-
представлены комплексами обычных пучков. См. Горгски Макфор-
сон [1], Бейлинсон — Бернштейн — Делипь [11, сборники [IH],
[ES].
§ 6. Точная последовательность — основное орудие гомологи-
гомологической алгебры. См. дальнейшее развитие и контексте производ-
производных и триангулированных категорий: §§ III.Л, 1V. 1.
§ 7. Имеется огромная литература, в которой ннпднтсн и изу-
изучаются прямыми средствами важные конкретные резольвенты и
комплексы: до Рама. Чеха, Конгуля, Хо.\1иил!>дп, бар резольвенты,
циклические комплексы, комплексы непрерывных коцепей и др.;
см., в частности, Придди [1], [2], Наруби |1|, \2\, [:!|, Копп [11,
Фукс [21. Хохшильд [1].
4. К главе II.
§ 1. См. Маклейн [2], Голдблптт [1|, «Рейс 111; по поводу
2-категорий см. Габрипль—Цпсмап [1].
§ 2. По поводу теории фундаментальной группы и алгебраиче-
алгебраической геометрии см. [SGA 2]; о двойственности Гельфанда см. Гель-
фанд — Шилов [1]; об эквивалентности Мориты см. Морита [11,
Фейс [11. Классический пример нетривиальной эквивалентности
категорий — описание когерентных пучков па проективных алге-
алгебраических многообразиях черен соответствующие им модули над
однородным координатным кольцом: см. Серр [,Т| и обобщение в
Гротепдик — Дьедопис i[1, EGA HI.
Дальнейшее развитие этой идеологии -- обнаружение замеча-
замечательных эквпвалентностей между производными категориями — см.
§ IV.3 и указания к нему.
§ 3. Имеются важные теоремы, дающие абстрактную характе-
ризацию представимых функторов. По поводу общекатегорпой тео-
теоремы Фрейда см. Маклейп [2]. В алгебраической и аналитической
геометрии с помощью понятия представимого функтора вводятся
многие важные объекты типа пространств модулей (базы
универсальных деформаций). В этом контексте характеристиза-
ция представимых функторов с помощью небольшого списка
проверяемых свойств приводит к фундаментальным теоре-
теоремам существования, см. Гротепдик [11, [2], [41, Артип [21,
Киутсоп [11.
Фундаментальное понятие сопряженного функтора было вве-
введено Каком [1]. Многие важные конструкции алгебры, топологии
и геометрии описываются в терминах сопряженных функторов; см.
примеры в Апдпе [11, Фейс [1], Маклейн [21.
§ 4. Подробности об окольцоваппых пространствах см. в кни-
книгах Гротендик — Дьедонне [1, гл. 0], [21. О нерве категории см.
Квиллен [4], Суслин [1].
§ 5—6. Это — классический материал; см. Картап — Эйленберг
[1], Гротендик [1], Маклейн [1]. По поводу его развития в кон-
контексте производных категорий см. § Ш.6 и IV. 1. Относительно
упр. 9, § 5 см. Серр [2].
5. К главе III.
§§ 1—4. Материал этих параграфов почерпнут из Хартсхорн
[1], Вердье [3]. Фундаментальная диаграмма в лемме 3.3 содер-
содержится в Бурбаки [1].
12
Видимо, основной педостаток определения производной кате-
категории состоит в плохом определении выделенных треугольников.
Проблема «истинных треугольников» обсуждается в неопублико-
неопубликованных записках Делиня. См. также обсуждение функтора det в
Кнудсен — Мамфорд [1] и [SGA 61 и описание операции Tot в уп-
упражнениях к § IV.2.
§ 5. Классическая теория Ext в терминах комплексов принад-
принадлежит Ионеде [1] (опа является развитием теории Ext1 по Бэру).
Много конкретных исследований посвящены гомологической раз-
размерности: Серр [5], в теории глубины в [SGA2], в теории групп
(Браун,[1] и статьи в [ААТ]).
По поводу теоремы 5.21 см. Хартсхорн [1]. Она является пред-
представителем класса теорем, устанавливающих, что конкретные про-
производные категории эквивалентны категориям комплексов по мо-
модулю гомотопической эквивалентности см. Бейлинсон [11- Берн-
Бернштейн— Гельфанд — Гельфанд [1], Капранов [1], [2] и общую
идеологию в Капранов [3].
§ 6. Основные ссылки — те же, что в § 1—4. По поводу
упр.* 1—5 см. статью Делиня в книге Гротендик и др. [SGA4,
XVII], упр. 6 — Руус [1], [2], упр. 7—10 — Спалтенстойн [1].
§ 7. Если точная последовательность — основное средство изуче-
изучения поведения когомологий при смене абелева аргумента, то спект-
спектральная последовательность играет ту же роль при смене неабеле-
ва аргумента. Исторически первой, по-видимому, была спектраль-
спектральная последовательность Лерэ; классическое изложение Серра [11
остается прекрасным источником. В книге Картана — Эйленберга
[1] изложено стандартное построение спектральной последователь-
последовательности по фильтрованному комплексу, а в статьях Масси [1] — по
точной парс (см. также Экман — Хилтон [1], [2]). Гротендик [1]
показал, что многие известные спектральные последовательности
выражают производные функторы композиции через производные
функторы сомножителей. Однако спектральные последовательности
гомотопической топологии имеют иное происхождение: см. Мак-
Клири [1]. В книге Фукса [1] дано увлекательное описание спект-
спектральной последовательности Адамса. См. также упражнения к
§ IV.2.
§ 8. Этот параграф, упражнения и дополнения к нему, а так-
также к § IV.4, образуют введение в теорию когомологий пучков, как
она видится в настоящее время. Основное отличие от состояния,
зафиксированного в книге Годемана [1] — появление функтора /!,
который можно построить только в производной категории. Его
конструкция ведет к двойственности Вердье, которую также нель-
нельзя сформулировать в рамках классической теории, и к общему
компактному формализму «шести операций» (упражнения и до-
дополнения к § IV.4). Литература: Вердье [1], [2], [4], сборник [Ш1,
Иверсен [1]; в контексте алгебраической геометрии — Хартсхорн
[1] для когерентных пучков, Гротендик и др. [SGA 4] для эталь-
ной топологии (главным образом — доклад XVII).
6. К главе IV.
§ 1—2. Нашими главными источниками были Вердье [3], Харт-
Хартсхорн [1] и Капранов [3]. Упражнения к § 2 составил Капранов.
§ 3. Изложенное здесь описание производной категории коге-
когерентных пучков на проективных пространствах восходит к рабо-
работам Бойлипсон [1] и Бернштейн — Гельфанд—Гельфанд [1]. Се-
Серия последовательных обобщений этой теории найдена Капрано-
Капрановым [1], [2], [3]. Исходная «S-Л-двойственность» допускает дале-
13
ко идущее некоммутативное обобщение, см. Придди [11, [2], и
Лефвалль [1].
§ 4. Мы изложили здесь начало работы Бейлипсоп — Берн-
штейн— Делинь [1]. Главное применение техники сердцевин —
построение основ теории превратных пучков — осталось за преде-
пределами этого тома.
7. К главе V.
Глава посвящена алгебраическим основам теории гомотетий,
которая находится в менее зрелом состоянии, чем гомологическая
алгебра.
§ 1—2. Здесь мы вводим осповпоо аксиомптиииропшшое поня-
понятие—замкнутые модельные категории Книллепя [I]. Аксиомы
Квиллопа образуют список осповных свойств топологических про-
пространств, используэмых в теории гомотопий. Поскольку мы вы-
выбрали симплициальные множества как оспонпой мостик между
топологией и алгеброй, мы приводим доказательство того, что
симплициальные множества образуют замкнутую модельную ка-
категорию. Мы надеемся, что эти вводные параграфы помогут за-
заинтересованному читателю изучить более, глубокие чисти книги
Квиллена [1] и последующую литературу: Книллеп [2|, [4], Бо-
усфилд — Гугенхсйм [1], Тапро [1|.
§ 3—4. Вторая часть главы вводит читателя в круг идей из-
известной работы Сулливана [1], в которой было показано, что ра-
рациональный гомотопический тип многообразия можно определить
в терминах его алгебры дифференциальных форм.
Мы показываем, что дифференциальные градуироваппые ал-
алгебры образуют замкнутую модельную категорию, вводим и изу-
изучаем минимальные модули в утой категории.
Материал упражнений к этим параграфам заимствован, в ос-
основном, из книги Танре [1].
§ 5. Здесь мы излагаем без доказательства основные результа-
результаты теории рационального гомотопического типа. Дальнейшие под-
подробности и литературные указания читатель найдет в статьях: Ле-
манн [1], Боусфилд — Гугенхейм [1], Делинь — Гриффите — Мор-
Морган— Сулливан [1], Морган [1], в лекциях Гальперина [1], Авра-
мова— Гальперина [1], в книге Танре [1].
ГЛАВА I
СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 1. Триангулированные пространства
1. Основные определения. На рис. 1 изображены три-
триангулированные пространства. Их основное свойство со-
состоит в том, что они склеены из симплексов: точек, от-
отрезков, треугольников, тетраэдров и их многомерных
Рис. 1
обобщений. Поэтому их можно описывать в комбинатор-
комбинаторных терминах: нужно указать, сколько симплексов каж-
каждой размерности взять и как их склеить. Дадим опре-
определения.
а) п-мерным симплексом называется топологическое
пространство
Дя =
i=0
Точка et, в которой х{ = 1, называется ?-й вершиной Д„;
вершины упорядочены. Более общо, каждому подмноже-
подмножеству 1<=[п], где [ге] = @, 1, ..., п), отвечает 1-я грань Д„:
Вместо / удобно задавать возрастающее отображение
15
/: [m] -»- [re] с образом /, где card/=/n+l. Очевидно,
имеется единственное линейное отображение А/. Ат -*¦ Д„,
сохраняющее порядок вершин, образ которого есть 1-я
грань.
б) Данными склейки называется следующий набор
структур X. /
Что склеивается: Д@) точек, Х(() отрезков, Х,2) тре-
треугольников, ..., Х(п) n-мерных симплексов, ... (Элемен-
(Элементы Х(п) — это индексы, нумерующие симплексы.)
Как склеивается: для каждой пары / с [n], card/ =
= m + l, задано отображение Х{п) -*¦ Х(т„ указывающее,
какой из т.-мерных симплексов отождествляется с 1-й
гранью соответствующего гс-мерного симплекса.
Точнее, пусть грань задается возрастающим отобра-
отображением /: [пг] -> [п] и пусть X(f): Х(п) -> Х(„,, — соответ-
соответствующее отображение склейки. Набор (А'(/)} должен
удовлетворять двум условиям:
Z(id)=id, X(g°f) = X(})°X(g)
(id—тождественное отображение). Это значит, что в
каждой размерности симплексы попарно не отождествля-
отождествляются и что «грань грани есть грань».
Что получается в результате склейки: топологическое
оо
пространство |Х| с множеством точек Ц (А„ X
п=о
где R — минимальное отношение эквивалентности, отож-
отождествляющее точки (s, ж) е Д„ X Х(п) и (t, 1/)еДтХ1(Ч
при условии, что
y = X(f){x), s = Af(t) (•)
для некоторого возрастающего отображения /: [пг] -> [п].
Будем обозначать эти соотношения стрелкой (t, у) i-+
y-+(s,x). Каноническая топология на |Х|—это слабей-
слабейшая топология, относительно которой отображение фаК-
ТортиЦИИ IK) // IU4ip<t|>MIIIIO.
11|нн|ммн'1 по 1\! имкето с данными пимч'шп, п.ч кото-
которых тих'iii'MM'ii, mi ii.iiiaiMiii цшши'цлирпвапиым про-
i i/чип там, и гимн iiiniti.tti i'uihmikh ггп триангуляцией.
2. 11 |i ii м о |> 1,1 n) n mi'pnhit) I'liMii.icHr со стандартной
триангуляцией. Идеи,:
X(i) = множество подмыожести мощности / | I и \п] -
= множество возрастающих отображений |/|—*-|ге];
*(|'l -"U1) переводит g: [)]-+[n] в g*j: [г]->[ге].
Иными словами, симплекс рассыпан на все свои грани и
заново склеен из них.
б) Стандартная триангуляция сферы Sn. Она получа-
получается из стандартной триангуляции Ап+1 удалением п + 1-
мерного симплекса.
Исходя из разобранных примеров, можно предполо-
предположить, что триангулированное пространство является не-
несвязным объединением внутренностей своих симплексов.
Точнее, положим
[внутренность Ап при re^l;
" |Д0 при п = 0.
Рассмотрим некоторые данные склейки (X(i), X(f)) и
соответствующее каноническое отображение триангу-
триангуляции:
т: ПЛ»ХХ(П)-ЧХ|.
п
Оно индуцирует отображение
т: ЦАпХ X(n)-v|X|.
П
о
3. Предложение, т есть теоретико-множественная
биекция.
Доказательство. Поставим в соответствие каж-
каждой точке (s, х)е AnXXln) индекс k(s, x) — минимальную
размерность грани в Д„, в которой лежит х. Ясно, что
индексы fi-эквивалентных точек вЦ Ап X Х^ совпадают,
так что k(s, x) индуцирует функцию к(р) на |Х|. При
о
этом k(s, x) = k, если seAAi и обратно, у каждой точки
р<^\Х\ с к(р) = к существует по крайней мере один
представитель в AhXXm. Поэтому т сюръективно.
Докажем, что т инъективно. Ясно, что две точки
(s,x), (s',x') в IjAnXX(n) могут склеиться в |Х| толь-
только в случае, если х и х лежат в одном и том же Х(к)
и любая цепочка эквивалентностей (*), соединяющая
(s, x) и (s', x'), содержит лишь iieXji.), lt>k. Лю-
Любую такую цепочку можно представить в виде
h h
(s, х) ^ (su хг) <ч (s2, х2) « . . . «-. (sr, х'),
¦П е ^(ij), Si e A;., lt> к. Построим по этой цепочке
- С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 17
другую цепочку, соединяющую (s, х) и (.•?', х') и имею-
имеющую меньшую длину. Напомним, что /{: [k]-+[li],
U'- М -*¦ Ui] — возрастающие отображения. И:» условий
о
s = Д/ (s^, sa = Ду (sx) и «еД,, следует, что а' лежит на
Д-грани в Д^, т. е. существует возрастающее отображе-
отображение /: [к] -»- [У, для которого /i = /2 ° /• При этом х =
= X(f)x2. Теперь нашу цепочку можно заменить па более
короткую цепочку
й h
(s, х) >-> (s3, х3) *ч (s4, xt) ~ . .. ~ (s', х'),
где g = /3 ° /: [/с] -»¦ [4]. Продолжая таким же образом, и
о
вспоминая, что (s', х')^ AhX XOl), получаем, что (s, x) =
= {s',x'). Ш
4. Скелет, к-скелетом триангуляции (X(i), Х(/)) на-
называются данные склейки (X(j), К, к; Х({)). (соответ-
(соответствующее триангулированное пространство sk* 1X1 также
называется /г-скелетом триангулированного пространства
о
|Х|. Из того, что т биекция, вытекают следующие свой-
свойства скелетов:
а) \Х\ = вкао\Х\ = U skft|X|.
б) Естественное отображение skk |Х|->¦ sk( |Х|, к s? I,
является замкнутым вложением.
в) skft+i |X| получается из sks |X| приклеиванием не-
некоторого множества (к + 1)-мерных открытых симплек-
симплексов по их границе.
5. Триангуляция произведения симплексов. Произве-
Произведение двух отрезков [0, 1] X [0, 1] есть не треугольник,
а квадрат; его естественная триангуляция — разбиение
на два треугольника диагональю; из двух геометрических
диагоналей одна выделена тем, что ее вершины есте-
естественно упорядочены: [00, 11].
Обобщая эту конструкцию, определим в этом пункте
каноническую триангуляцию Ар X Д7.
а) Один элемент Х(п> — это последовательность га + 1
различных пар целых чисел {(t0, /0), ..., (in, /„)}, где
0
г„ < р,
= ]п < q.
Удобно представлять себе последовательность узлов пло-
плоской квадратной решетки, из которых каждая следующая
лежит не левее и не ниже предыдущей.
18
б) Для каждого возрастающего отображения /: [ml
[га] определим:
I/) {(*0> /о). • • •. (in, jn)} = {D /о)i -¦-, (С i'm)},
ч — ij{hh h = j/(k)-
Проверка аксиом, к счастью, очевидна.
в) Определим отображение
е„: АпХХ(п) ->АДА,.
Оно ставит в соответствие х-иу симплексу триангуляции,
где
х = Ц0, /о),..., (in, in)),
симплекс Д„ в ДР X Д, с R5f«+2, натянутый на точки
(е%> eia)i 0<а<н, где е{ (соответственно е[)—г-я
вершина ДР (соответственно Д,). Более формально,
6„(-, х): Дп -»- Др X Д9 есть линейное отображение, пере-
переводящее Д» в Д„ с сохранением порядка вершин.
г) Пусть теперь IXI — триангулированное простран-
пространство, отвечающее данным склейки а), б).
Мы утверждаем, что имеется коммутативный тре-
треугольник
отождествляющий |Х| с ДРХД,.
В самом деле, из описания отображений Х(/) в п. б)
ясно, что ff-эквивалентные точки в ЦДП X Х(п) пере-
переходят в одну и ту же точку в Av X Дв. Поэтому отобра-
отображение ф существует.
Для доказательства того, что ф — изоморфизм, доста-
достаточно, ввиду предложения 3, проверить, что у каждой
точки а^ Ав X Д3 имеется ровно один прообраз 0-'(а)
и П Дп X Xw.
д) Пусть
t = 1, xi > 0),
19
Удобно ввести в ДР и Д, новые координаты следующим
образом:
Тогда
Вершины (ej и Uj] симплексов ДР и Д„ в этих коор-
координатах ?, г| записываются так:
j
Пусть x = {(i0, jo), .-., (Jp+e, ь+,)}
й
Х
)
симплекс
Пусть x {(i0, jo), .-., (Jp+e, ь+,)}(р+„
максимальной размерности, так что (?0, j0) = @, 0), ...
..., (ip+q, Ь+?) = (р, <7) и для каждой пары последователь-
последовательных вершин (ih, ],,), (h+u /»+i) либо i»+, = ik+l, jVn =
= }h, либо ift+i = ifc, Уа+1 = /а+1. Образ 0(Др+(,Хх) состоит
из тех (^, ..., !„), (r]d, ..., Г),), для которых выполнена
цепочка из р + q + 1 неравенств вида
0 < ? < < < 1
где |i, r)j расставляются по следующим правилам:
1) если i<j, то ?j стоит раньше ^ и Г|;— раньше iij.
2) если /мл = 7а, то на (А + 1)-м месте стоит |, если
?'a+i = ik, то па {/е + 1)-м месте стоит ц. Номер у ?. или
т) однозначно определяется пунктом 1).
Из :>того описания ясно, что 9(Дг+9ХХ(р+9))= ДРХ Дд,
т. с i|' поръоктивно.
n) Ilyi-Ti. г«((?, Ы, A1ь ••-, Лч)) еАрХДч.
N'ihuiu'M i<;tiiiirTiiniiiii>iit djiomciit h J| Am X Х(„), переходя-
переходящий и / при итиПрпжопмп П. Дли итого рассмотрим р +
I »/ I '.', чип»,1| II, 'v,,, ц,, I и |1м:1(|Гц,см ич ни группы рав-
равных между nifioii ЧИГ1М1. Иниумеруем полученные группы
числами от 0 до / I 1, О /¦ /; I r/ I 1, и порядке возра-
возрастания элемептон. Пусть iuit'Mcirn.i /г ii группы равны *(к,
так что 0 = ^0 <ifi <...- Ymi "!¦
Построим элемент ieA'(/h «>гш^ч.»киции точке г, так:
ж==((*о, 7"о) 1 •¦¦. {ь, /())» где /А - максимальный номер
числа |,-, лежащего в к-к группе, /\ — максимальный но-
мер числа г|,-, лежащего в к-к группе. Если в к-й группе
нет чисел |j, полагаем ih = it_! (и ц = 0 при /с = 0).
Аналогично, если в к-ъ группе нет чисел ?,-, полагаем
/* = У\-1 (и у'о = 0 при А = 0).
Пусть, далее, точка «еД, имеет координаты z* = fJ+1 —
— Y«» 0<i^Z. Поскольку все "fi различны, seA".
Для завершения доказательства осталось проверить,
что 6(s, х) = г. Мы оставляем это читателю.
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Нарисуйте триангуляцию листа Мёбиуса и вещественной
проективной плоскости.
§ 2. Симплициальные множества
1. Определение. Симплициалъным множеством
называется семейство множеств X. —(Хп), ге = 0, 1, ...,
и отображений X(f): Xn^~Xm, no одному для каждого
неубывающего отображения /: [пг] -*¦ [п], которые удов-
удовлетворяют условиям:
От данных склейки, введенных в 1.16), эта структура
отличается только тем, что в качестве / разрешается брать
и нестрого возрастающие отображения. Элементы Хп
называются п-симплексами X,. Часто мы будем вместо
X. писать просто X.
Для любого неубывающего отображения /: [иг] ->- [п]
определим отображение «/-й грани»:
Д/ = линейное отображение Дт-*-Д„, переводящее
вершину е4еДт в е№,еДЛ| i = 0, ..., пг.
В отличие от ситуации из 1.1а), А{ не обязано быть вло-
вложением: если / нестрого возрастает, то Д? уменьшает
размерность симплекса Дт, склеивая часть его вершин.
2. Определение. Геометрической реализацией \Х\
симплициалъного множества (Хп) называется топологи-
оо
ческое пространство с множеством точек Ц (Дп X Xn)/R,
где R — минимальное отношениег эквивалентности, отож-
отождествляющее точки (s, x)<^ АпХХп и (t, 1/)еДтХ1т при
условии, что
y = X(f)x, s = Aj(t)
для некоторого неубывающего отображения /: [тп] -*¦ [га],
21
Как и в § 1, будем записывать это так:
f
(t, у) *-* (s, х).
Каноническая топология на \Х\ — это слабейшая тополо-
топология, в которой отображение факторизации по R непре-
непрерывно. ¦
Приведем некоторые примеры симплициальных
множеств.
3. Нерв покрытия. Пусть У — топологическое прост-
пространство, U = (Ua)—его покрытие, где индекс а пробегает
некоторое множество А. Положим:
Хп = {(а0, ..., ос) | U% П ... П Uan Ф0}а Ап+\
Х(/)(«о, ..., «„)= (а/@), ..., «/(mj), где /: [пг]-> [п].
Это симплициальное множество отражает комбинаторную
структуру покрытия. Можно показать, что если покрытие
U локально конечно, а все непустые пересечения Uа П • • •
••• П Uanстягиваемы, то геометрическая реализация |Х|
гомотогшчески эквивалентна У, так что топология хорошо
кодируется комбинаторными данными. Аналогичную роль
играет следующая конструкция:
4. Сингулярные симплексы. Пусть У — топологическое
пространство. Сингулярным п-симплексом У называется
непрерывное отображение ср: Д„ -*¦ У. Положим
Х„ = множество сингулярных n-симплексов У;
][] AAA
Множества Хп в общем случае очень велики; если на
У имеется дополнительная структура, то разумно рас-
гматрипать лишь сингулярные симплексы, согласованные
г ;iTdii структурой, например, гладкие, если У — диффе-
(мчщмруомоп многообразие, или линейные, если У — по-
'|ц;|Д|1, Ц|и(A1и>ц, осли У—триангулированное простран-
(I im, пп|)пдо<'1°1111()о данными склейки (Х(п), X'(/)), то
п силу предложении I ,.Ч Y мнлмптгя об'!.оди11тшом от-
крытыч ctiMiMiniu'iiii ciiiinji I ритм у.'шцни (ин'лючая вер-
вершины). Сингулярный симплекс i|>: Л„ » К называется
согласованным с rpiinii^yjiuifun'i, осип <|>(Л„) совпадает
с одним из ее симилсксон, а отиПрпжомно ср: Л„-*-ф(А„)
линейно и сохраняет порядок перши п. Положим
Хп = множество сингулярных симплоксон Г, согласо-
согласованных с триангуляцией (Х(п), X' (/));
Эта конструкция позволяет по каждой триангуляции
построить канонически симплициальное множество с той
же геометрической реализацией.
5. Симплициальное множество А[р]. Положим
А[/?]„ = множество неубывающих отображений g: [n] -*¦ [р];
Д{р]{/) (?).= g ' f, где g: \[n] - [р], /: [т] - [п].
Его геометрической реализацией является р-мерный сим-
симплекс Ар. Советуем читателю проверить это, построив го-
гомеоморфизм Ар ->- I A [p] I.
Другое описание А[р] состоит в том, что это сим-
симплициальное множество сингулярных симплексов Ар,
согласованных со стандартной триангуляцией АР.
6. Симплициальное множество триангулированного
пространства. Пусть |Х| — триангулированное прост-
пространство, заданное данными склейки, состоящими из на-
набора множеств Х(„), п = 0, 1, ..., и отображений Х(/):
Х(п) -> Х(га) для каждого возрастающего отображения /:
[т] ->- [га]. Построим по этим данным склейки симпли-
симплициальное множество X ={Х„, X(f)} следующим обра-
образом. В качестве Хт возьмем множество всех пар (х, g),
где ieX(k| и g: [т\ -»- [к] — неубывающая сюръекция.
Далее, пусть (х, g) е Хт и /: \[п] -*¦ [т\ — неубывающее
отображение. Разложим g ° /: [п] -> [А] в композицию
g°f = fi°U, где /i: [l\-+{к\ — вложение, а /2:[ге]->
-»- [I] — сюръекция, и положим X(f) (x,g) — (X(fl)x,f2)<=
е Х„. Мы оставляем читателю проверку того, что
Я (id) = id и X{f *f)=X(f)*X(f).
Ниже в п. 14 будет показано, что геометрическая
реализация \Х\ симплициального множества X, постро-
построенного по данным склейки, гомеоморфна триангулиро-
триангулированному пространству |Х|.
Заметим еще, что не каждое симплициальное множе-
множество получается из данных склейки: триангулированных
пространств «меньше», чем геометрических реализаций
симплициальных мпожеств. Мы оставляем читателю про-
проверку следующего утверждения.
7. Предложение. Симплициальное множество X
получается из данных склейки X в том и только том
случае, если для любого невырожденного (см. п. 9) сим-
симплекса a;el, и любого возрастающего вложения /: [т] ->-
-*- [п] симплекс X (/) х е Хт невырожден. При этом X
определяется по X однозначно. ¦
23
8. Классифицирующее пространство группы. Пусть
G — некоторая группа. Положим
и для /: [т] -*¦ [п] положим
BG(f)(gu ...,*„) = (*»„ ..., hm),
где
я о
hi = П eh h = e, если /(t—1) = /(().
j/()
Следующая диаграмма иллюстрирует эту формулу для
отображения /: [3] -> [4] с /@)=0, /A) = /B)=2,
/C)=4:
h2 = е;
Геометрическая реализация \BG\ называется класси-
классифицирующим пространством группы G.
Структуру геометрической реализации можно пред-
представить себе яснее с помощью аналога предложения 1.3.
Его формулировка требует введения понятия невырож-
невырожденного симплекса.
9. Невырожденные симплексы. Пусть X — симпли-
циалыюе множество. Его /г-симилекс х е Хп называется
вырожденным, если и только если существует такое
гюр'мжтинпос иоубыиающоо отображение /: \п\ ->- [т],
m • и, и THKoii кломоит у^Х,„, что х — Х([)(у). Легко
ii|XiHopiiTi>, что если .г момырождеи и х = X(f) (у), то / —
иложонис 11оложим
Л"(„, = множество невырожденных п-симплексое
и рассмотрим очевидное отображение
о
10. Предложение, т
ная биекция.
Для доказательства нам
лемма.
11. Лемм а. Для любого х <= Хп существует единст-
IH4HIUSI пара (/, у), состоящая из невырожденного симп-
симпесть теоретико-множествен-
теоретико-множественпонадобится следующая
лекса у е Хт и сюръективного неубывающего отображе-
отображения /: [п] -> \гп\ для которой х = X(f)y.
Доказательство. Ясно, что по крайней мере од-
одна такая пара существует. Предположим, что условиям
леммы удовлетворяют две пары (/, у) и (/', у'),
/: [п] -> [т\, /': [п] -> [т'\. Пусть g: [m] -*¦ [п] — неко-
некоторое неубывающее сечение сюръективного отображения
/', так что / ° g: [m\->-{m\—тождественное отображе-
отображение. Ясно, что у =X{g)x, так что
Поскольку симплекс у невырожден, f ° g: [т\ -»¦ [иг'] —
вложение, так что т < т'. Аналогично, т' ^ т, т. е.
т = т. Поэтому /' ° g — неубывающее взаимно одно-
однозначное отображение множества [яг] в себя, т. е. f ° g =
= id. Следовательно, у = X(f ° g)y' = г/'. Кроме того,
f a g = id для любого сечения g1 отображения /, так что
/ = /'• ¦
12. Следствие. Пусть х е Xn, yeXm — невырож-
невырожденный симплекс и /: [м] -> [те] — неубывающая сюръ-
екция с х = X(f)y. Пусть также симплекс zeX, и не-
неубывающая сюръекция g: [п] -*¦ {I] таковы, что х =
= X(g)z. Тогда f разлагается в композицию / = h ° g для
некоторого h: [I] -> [m], причем z = X(h)y.
Доказательство. Пусть (hr, у')—пара, удовлет-
удовлетворяющая условиям леммы для z e Xi. Тогда h' ° g —
неубывающая сюръекция, у' — невырожденный симп-
симплекс и x = X(g)z = X(g)X{h')y' =X(h' °g)y'. По лем-
лемме 11 у' = у и h' ° g = j, так что можно взять h = h'. ¦
13. Доказательство предложения 10. а) т
сюръективно. В самом деле, пусть р<=|Х|. Пусть к —
наименьшая размерность, для которой существует
(s, x)<= AhXXk со свойством x(s, x)= р. Покажем, что
о
тогда х невырожден и se Afe. При к = 0 доказывать
нечего.
Если # вырожден и x — X(f)y для /: [к] -*~ [1\, К к,
то x(s, 2:) = t(A/(s), г/), что противоречит выбору к.
Аналогично, если s Ф Ak, то s лежит в одной из граней
Лк размерности I < к, что снова противоречит минималь-
минимальности к.
б) Для доказательства инъективности т мы должны
о
установить, что если две точки (s, г)бД,ХХA) и
(s', /)еД, ХХЙ склеиваются в |Х|, то они совпадают.
25
Согласно определению R, эти точки связаны цепоч-
цепочкой элементарных эквивалентностей из определения 2:
(S, х) = (s0, Xo) ~ (Su Xi) ~ . . . ~ (Sx, XN) = (s', Х') ,
где каждое звено цепочки, скажем (s,, ar,)~(si+l, #I+1),
принадлежит к одному из двух типов:
ft _ /Г
либо (su Xi) >— (si+1, жн г), либо"(.?!, X;) *-н (.yi+1, xi+1).
При этом можно считать, что любые соседние стрелки
направлены в противоположные стороны, заменив после-
последовательность однонаправленных соседних стрелок их
композицией. Заметим, что хи . .,, xN-i могут быть вы-
вырождены, a Si могут лежать на границе.
Мы докажем, что при 7V = 1 обязательно Д = id,
а при N3= 2 (s, х) и (s', x') можно соединить цепочкой
меньшей длины, откуда и будет следовать инъек-
тивность.
в) Приступим к проведению этого плана. Нам будет
о
полезно следующее замечание: если (.?, г)еДДХ№), то
ft — вложение, а /7 — сюръекция. В самом деле, для ft
имеем х = X (ft) хи и ввиду невырожденности х, ft дол-
должно быть вложением. Для /jj" имеем s = А _ (sx), и так
А)
как s лежит во внутренности Ак, А является сюръек-
о
цией, а потому и /J" —сюръекция.
Отсюда сразу следует, что при 7V = 1 единственная
стрелка является одновременно вложением и сюръекци-
oi'r, т. о. тождественным отображением.
г) Осношюй прием уменьшения длины цепочки при
/V > 2 основан па следующем утверждении. Пусть неко-
некоторым сегмент цепочки имеет вид
ft
(Si, 34)—
П+i
it
H+i
причем ft — вложение. Тогда существует (при некото-
некотором I) цепочка
8 h
(Si, Хг) -^ (t, у) .-»¦ (si + 2, Xi+2),
g h
Для доказательства обозначим через l<=[mi+z] полный
прообраз (относительно /Г+1) множества ft ([mt]) с [mi+1].
Пусть ^ + 1 — число элементов в / и Л: [1\ -»¦ LTOi+2J
вложение с образом /. Ясно, что существует единствен-
единственное отображение g: [I] ->- [та;], для которого h°g(k) =
= fT+i°h(k) для всех /с <=[/]. Поскольку образ fe сов-
совпадает с (/Г+i) (/t+([«!])). то образ Д, совпадает с
(A,_ j-1 (Д;+ (Ami)j- НоЛг+1 {ц+2) = Si+1 = ft(Si)'
этому существует t^Ai, для которого Ah{t) = si+Z- ПРИ
этом А;+ (Ав @) = Д,- i (А" О) = **+!. и поскольку А- -
вложение, Дв(*)= st. Полагая г/ = Х(А) {xw) = X(g) (xt),
получаем требуемую цепочку.
д) Пусть теперь N > 2. Если начало цепочки, соеди-
соединяющей (s, x) и (s', ж'), имеет вид
it
(s, х) = (s0, ж0) ь-*- (*1, жх),
то, согласно п. в), /J — вложение, и мы можем заменить
первые два отображения в цепочке, получая новую це-
цепочку соединяющую те же элементы (s, х) и {s , х ),
длины 2 при Дг = 2 и # - 1 при N > 3, начало которой
имеет вид
При этом, согласно замечанию в п. в), /0 —сюръ-
—сюръекция.
е) Если N = 2, так что (s2, ж2)е А/X X(i), то /i —
также сюръекция. Поскольку х0 и хг невырождены, из
леммы 11 вытекает, что /„" = ft, хо = Ж2> а значит и
So = S2.
ж) Пусть теперь N > 3. Разложим /i в композицию
f? = i°p неубывающей сюръекции р: \[m,i] -*¦ [I] и не-
неубывающего вложения i: [1\ ->- :[тг]. Поскольку s0 невы-
невырожден, a f^ — сюръекция, то, согласно следствию 12,
/<Г разлагается в композицию /7 = g°P для некоторого
27
g: (I] -> [к]. Заменяя
на
(s0, x0) —¦ (su xj н* (s2, x2),
h ft
g i
мы видим, что можно считать /i вложением.
Теперь, согласно п. г), можно заменить
на
Взяв композиции /оГоё" ъ ft °h в качестве новых /<J~
и Д (и производя соответствующую перенумерацию ос-
остальных /(), получим цепочку длины N — 2, соединяю-
соединяющую (s, ж) и (s', ж'). ¦
14. Следствие. Пусть \Х\—триангулированное
пространство с данными склейки (Х{п), X(f)) и X — со-
соответствующее ему сижплициалъное множество (см. п. 6).
Тогда \Х\ гомеоморфно \Х\.
Доказательство. Множество Хп «-симплексов в
X состоит из всех пар (ж, g), где х е Х(т) и g: [n] ->-
~*" W — неубывающая сюръекция. Зададим отображе-
оо оо
ние Ц>: Ц Ап X %п -*• II Дп X Х(п), переводящее (s, ж)е
е Д„ X 1„ в (A«(s), ж)еДтХХ(т) для х = [х, g),
К\ \п] > [т]. Ясно, что лкпипалептпые точки в ЦАп X -^п
ш'рочоднт при :>том п шенипплентпш) точки и IT Ап X
¦ А'(„,. ||и:п'ому «|> индуцирует тчфгрыппос отображе-
отображение* (|i: I.VI » I.VI. Аналогично строится if: IXl ->- l^l.
Согласно 1.3 и !i.lO, для докааителы'/пт h:i»mmiioii обрат-
ности ф и а|) достаточно проверить, что пены рожденными
и-симплексами в X являются пары (х, idn), x<^Xin) и
только они. Эту проверку мы оставляем читателю. ¦
15. Скелет и размерность. Пусть X — симплициаль-
множество. Определим симплициальное множество
.'М
sk,, X условиями:
(sknX)p =
= {хев Хр]3?<п, 3/: [р] -»-[?], Эуе Xq, x = X(f)y)
(skn X) (g)= ограничение X(g) на sknX.
Иными словами, /(-симплексы re-скелета Х являются те-
теми р-симплексами X, которые представляют собой вы-
вырождения (/-мерных, q < п, симплексов X. Мы оставляем
читателю проверку того, что X(g), g: lp] ->- [q], перево-
переводит (sknX)9B (sknZ)p.
Из определения и доказательства предложения 10
следует, что отображение
т: И Ат X X
{m)
I skn XI
является биекцией. Отсюда вытекает, что |sknZ| являет-
является замкнутым подпространством в 1-Х"!-
Симплициальное множество X называется п-мерным,
если X = skn X Ф skn-, X. Это означает, что все симп-
симплексы размерности >п вырождены, а re-мерные невы-
невырожденные симплексы существуют.
16. Отображения симплициальных множеств. Пусть
X, X' — два симплициальных множества. Симплициаль-
Симплициальное отображение F: X -> X' есть семейство отображений
Fn: Xn-*-Xn, п = 0, 1, 2, ..., со следующим свойством:
для любого неубывающего отображения /: [т.] ->- [п]
диаграмма
коммутативна.
Покажем, что F индуцирует непрерывное отображе-
отображение геометрических реализаций \F\: \X\ -> |Х'|. По-
Положим
F: П А„ X Хп
п X
F (s, х) = (s, Fn (x)).
Ясно, что F переводит эквивалентные пары точек в эк-
эквивалентные; переходя к фактору по отношению склей-
склейки, получаем 1^1. Предоставляем читателю убедиться,
что I Id I =id и \F °G\ = \F\ ° \G\.
Приведем примеры естественных отображений сим-
симплициальных множеств из пп. 3, 4 и 8.
29
17. Вписанные покрытия. Пусть У — топологическое
пространство, (Ujcc<^A), (Fplpe5)- два его покры-
покрытия. Вписыванием покрытия U в покрытие V называется
отображение $: А-+В такое, что Ua<=- V^{a). Пусть X —
перв покрытия U, X' — нерв покрытия V. J Гостроим по
¦ф симплициальное отображепие F: X ->- Лг', полагая в
обозначениях п. 3:
Fn(aa, ..., а„) = (гр(а„), ..., ф(ап)).
Очевидно, определение корректно, ибо если Ua П • ¦ •
• • ¦ П иЛпФ 0, то Уц%) П ... П Уцап) Ф 0.
18. Непрерывные отображения. Пусть У, У — два
топологических пространства, if: У -*¦ У — непрерывное
отображение, X, X' — множества сингулярных симплек-
симплексов У и У соответственно. Построим но \\> симллициалъ-
ное отображение F: X -*¦ X', полагая в обозначениях п. 4:
Проверка корректности очевидна.
19. Гомоморфизм групп. Пусть ф: G ->¦ 7/ — гомомор-
гомоморфизм групп. Определим отображение симплициальных
множеств F: i?G -*- 5Я, полагая в обозначениях п. 8
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Грани и вырождения. Рассмотрим следующие отображения:
«i-я грань»: 9^; [п — 1] ->¦ [п] — строго возрастающее вложение,
не принимающее апачепие ie [n];
<<(-е вырождение»: сф [п -\- 1] ->- [п] —неубывающая сторъек-
цин, диажды принимающая значение ie [в],
/(окапать следующие утверждения:
а) Любое строго возрастающее вложение можно представить
и «Иде композиции отображений граней. Любую неубывающую
сюрм'кцшо можно представить п виде композиции вырождений.
Любое псубышмощег отображение можно представить в виде ком-
композиции грнпгй и |11.1|)и;|,д|'1П1 i'i.
б) Между jpiiniiMH и пырождгминми нм(чот место соотно-
соотношения:
\+ion ' "I»11 ' < у;
ип— 1и
-г J п1 = ,
id
при г ^ ;';
[n_1] при i = / или i = / + 1;
в) Сформулировать точно и доказать утверждение о том, что
выписанные соотношения порождают все соотношения между гра-
гранями и вырождениями. (Указание: проверить сначала, что лю-
любое неубывающее отображение /: [т] ->¦ [п] однозначно записыва-
записывается в виде
где п ^ ц > ... > г, ^ 0, m > /i >...>/(> О, и = m — t + s.)
г) Доказать, что если /: \т\-+ [п] — строго возрастающее ото-
отображение, то оно записывается в виде / = 9ПХ ... дт ровно
(п — т)! различными способами.
2. Индуктивное построение скелета. Рассмотрим симплициаль-
симплициальное множество Д[ге]:
А[п]т = {/: [да] ->- [и] |/ не убывает, Im/ ф [п]}.
Это — симплициальная (п — 1)-мерная сфера: ее геометрическая
реализация — граница Ап. Имеется каноническое вложение Д[п] сг
а\[п]. Кроме того, для каждого симшшциального множества X
и невырожденного симплекса х е Хп имеется вложение х: А\п] ->
->sknX, ?(}) —Х{^)х, где /: \m\^>-{n\, f<=A\n]m. (Из этого оп-
определения ясно, что x(j) является m-симппексом Х. Сверх того,
он есть вырождение симплекса х размерности и.) Далее, симпли-
симплициальное подмножество Д[п]с:А[в] переходит при этом в
skn-1-X с sknX (проверьте). Пусть теперь Х(П) — множество не-
невырожденных n-мерных симплексов в X. Рассмотрим две комму-
коммутативные диаграммы симплициальных множеств и их отображений
11
11
А [я]
А [я]
I (
Д[//]<—^sk,
[ 1
•sk „X
11 Д [я]
^Г
(где У —некоторое симплициальное множество).
а) Докажите, что существует и единственно такое симплици-
симплициальное отображение stnX-^У, что вторая диаграмма получается
из первой заменой ее нижнего угла с помощью этого отображения.
б) Пусть еще Z а X — некоторое симшпщиальпос подмноже-
подмножество (т. е. Zn с Хп и Z(f) согласованы с X(f)). Рассмотрите ана-
аналогичные диаграммы
A s\inlXUZ
и докажите для них аналогичное утверждение.
(Эти факты понадобятся пам в § V.1).
31
3. Усеченные симплициальные множества и коскелет. Пусть
N ^ 0; iV-уссченным симплициальным множеством называется на-
набор таких же данных, (Х„, X(f)), как в определении 2.1, заданных
для всех п^^и для отображений /: [т] ->¦ [и] с т, п =g: N. TV-усе-
TV-усечение TrN X симнлициального множества X определяется очевид-
очевидным образом. Аналогично определяется Trw X для Д/-усоченного
X с М > N.
а) Пусть У(">— некоторое ^-усеченное симилициалыше мно-
множество. Определим (N + 1)-усеченное множество У<л+1> следую-
следующими данными:
Далее, положим
где d^ =
Интуитивно, У/уЙ состоит из (jV -)- 1)-сим11Л1>ксои, заполняющих
все возможные «симплициальпые дыры» в Yj^ >.
Доопределите отображения ^^^(oJv+i)* Покажите, что ото
можно сделать единственным способом.
б) Доказать, что У<к+'> является универсальным (N + ^-про-
^-продолжением УBУ> в следующем смысле. Пусть Z — любое (./V-f-1)-
усеченное множество и пусть F{N): TrnZ-+Y{N)— любое (усечен-
(усеченное) симплициальное отображение. Тогда оно однозначно продол-
продолжается до усеченного симплициального отображения Z -+ Y(N+1K
в) Пусть X<w>—^-усеченное симплициалыгоп множество. Его
коскелетом называется симплициальное множество X = cosk X(N\
определенное следующими условиями:
Тгм+1Х — универсальное (М + 1)-продолжение ТгмХ для всех
М ^ N.
Установить естественную биекцию между множеством усечен-
усеченных симплициальпых отображений TrwZ-> А'<"" и Z -»- X, где Z —
любое симшшциальноо множество. (На языке § И.З ото олначает,
что функтор coskN сопряжен справа к функтору Тг№.)
г) Пусть Х@> — 0-усеченное множество, состоящее из р + 1
элемента. Доказать, что cosk Х<°> изоморфен А[р] (см. п. 5).
§ 3. Симплициальные топологические пространства
и теорема Эйленберга — Знльбера
1. Три точки зрения на Ар X А,. В и. 1.5 мы отме-
отметили, что произведение двух геометрических симплексов
не является симплексом, и построили его каноническую
триангуляцию «диагональными» симплексами. Это при-
приводит к следующей точке зрения на ЛР X А,:
а) Ар X Д„ есть геометрическая реализация симнли-
симнлициального множества X, невырожденные п-симплексы
которого нумеруются «перетасовками» {(i0, j0), ...
..., (in, /„)}; 0<J.<...<*,<*, 0</,<...</„<?,
все пары (it, /() различны.
С другой стороны, теоретико-множественно имеем:
б) Ар X Ад = U (Ар X х).
в) Ар X Ag = U (УХ Ад).
Д
Последние два описания похожи на задание АР X А,
с помощью данных склейки. Отличий два: несуществен-
несущественное и существенное. Несущественное отличие состоит в
том, что Др (соответственно Дд) в правой части б) (соот-
(соответственно в)) следовало бы заменить стандартной три-
триангуляцией этих симплексов. Существенное отличие со-
состоит в том, что если не учитывать топологию на мно-
множествах индексов jeA, (соответственно уе Ар), то
соответствующая «геометрическая реализация АР X Д„»
рассыпается на континуум связных компонент. Поэтому
в случае, когда множество индексов само снабжено топо-
топологией, мы видоизменим определение геометрической ре-
реализации так, чтобы оно учитывало эту топологию.
2. Определение, а) Симплациалъным топологиче-
топологическим пространством называется семейство топологиче-
топологических пространств X —(Х„), п = 0, 1, 2, ..., и непрерыв-
непрерывных отображений X(f): Xn ->- Хт, по одному для каждо-
каждого неубывающего отображения /: [те] -*¦ [п], которые
удовлетворяют условиям:
б) Геометрической реализацией \Х\ симплициального
топологического пространства (Хп)„ называется тополо-
00
гическое пространство с множеством точек Ц (Ап X
П=о
о
X Xn)/R, где R — то же отношение эквивалентности,
что в п. 2.2. Топология на \Х\ — это слабейшая тополо-
топология, в которой отображение факторизации
непрерывно, где слева стоит несвязное объединение нря-
мых произведений топологических пространств. ¦
Это определение является разумной аксиоматизацией
точек зрения 16) и 1в).
С другой стороны, правильное обобщение комбина-
комбинаторных данных, задающих разбиение пространства на
3 С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 33
бисимплексы, т. е. на произведения ДрХДв— это поня-
понятие бисимплициального множества.
3. Определение. Бисимплициалъным множеством
называется семейство множеств (Xmn), m, n = О, 1,2,...,
и отображений Х{/, g): Xpq ->- Xmn, по одному для каж-
каждой пары неубывающих отображений /: [т] -*¦ [р],
g: {п] ->- [д], которые удовлетворяют условиям:
X(id, id)-id; X(f°f',g°g') = X(f',g')oX(f,g). m
4. Пример. Пусть X, Y — два симплициальных
множества. Тогда положим
Это бисимплициальное множество назовем прямым про-
произведением X и Y.
5. Определение. Диагональю бисимнлициального
множества Х = (Хтп, Х(/, д)) называется симшшциаль-
ное множество DX:
6. Геометрические реализации бисимплициального
множества. Их можно определить тремя разными спосо-
способами, в соответствии с тремя точками зрения на
АР X А,.
а) Положим для бисимплициального множества X,
по определению,
\X\D = \DX\,
где справа стоит геометрическая реализация диагонали.
б) Построим сначала по X симплициалыюс тополо-
топологическое пространство X1—«геометрическую реализацию
X по первому индексу»:
xIn = \x.n\r:x1(g) = \x(id, g)\.
Подробнее, при фиксированном втором индексе п се-
мойотпо множеств и отображений
Х.п~- (Xmn, X(/, idfn]))
является симплициальным множеством, и п-я компонен-
компонента X. есть геометрическая реализация этого симплици-
ального множества.
Далее, для любого неубывающего отображения g:
[п] -»- [п'] набор отображений
], g): Xmn> ->• Xmni m]= 0, 1, ...,
представляет собой отображение симплициальных мно-
множеств Х.„/->-Х.п, для краткости обозначаемое X(id, g).
Его геометрическая реализация (см. п. 2.12)IX(id, g)\
является непрерывным отображением топологических
пространств. Кроме того, очевидно,
X(id, id) = id;
Итак, мы построили симшшциальное топологическое
пространство X1. и можем теперь рассмотреть его гео-
геометрическую реализацию. Положим:
\Х\1и=\Х1\.
в) Можно провести аналогичную конструкцию, начи-
начиная со второго индекса:
и, наконец,
\п1 = \хи\.
7. Теорема (Эйленберг—Зильбер). Три геометри-
геометрические реализации бисимплициалъного множества X ка-
канонически изоморфны:
8. План доказательства. Обозначим через
D[m, n\ симплициальное множество
D[m, n) = D(A[m]XA[n]).
Рассмотрим несвязное объединение симплексов вида
Z =
П
m,n,h
X D [m, n]h х Aft).
Введем на нем три отношения эквивалентности Д1, R11,
RD, которые порождены следующими отождествлениями:
R1: (хе= Хтп, (/, g) e D [m, n]h, seAa)~
(' Хт,п, (/', f)efl[mr, n]h, s<= AJ,
т,п,
если существует такое отображение h: [m] -*~ [т1], что
X(h, id[n]) {х') = х, h°f = f. (Напомним, что D[m, n]h
состоит из пар неубывающих отображений /: [к] -*¦ [т],
g: [A]-^{n].)
Аналогично определяется
Дп: {х е Хтп, (/, g)t=D [m, n]h, seAu)~
~ (х' е Хтя>1 (fx g') e D [m, n%, s e Aft),
.)¦ 35
если существует такое отображение h: [n] -> [«'], что
X(id[m], h) (xr) = х, h° g' = g.
Наконец, RD порождено эквивалентностями:
RD: (x <= Xmn, (/,
[т., n]k, s <= Л,,)
(
если существует такое неубывающее отображение к:
[к] -> {к'], что ¦
A() '
и
Мы установим, что факторизуя пространство Z по от-
пошенкям эквивалентности Rl, Ни и RD в разном поряд-
порядке, мы получим соответственно |Х|ГП, |Х|П1 и |X|D.
С другой стороны, мы можем факторизоиать Z по соот-
соотношению эквивалентности, порожденному R\ JV1 и RD,
и результат будет тем же.
9. Последовательные факторизации. Опишем послед-
последний этап рассуждения несколько подробнее и в общей
ситуации. Пусть сначала Z — некоторое множество, Rt,
R2 — два отношения эквивалентности на нем, R — отно-
отношение эквивалентности, порожденное Rt и R2. Проде-
Продемонстрируем совпадение трех способов факторизации.
а) На Z/Ri индуцируется отношение эквивалептности
RJRu которое порождено следующими отождествления-
отождествлениями: (х modi?! ~ у modR^modlii/Ri, если в /^-классах
х, у найдутся представители х', у', которые ^-эквива-
^-эквивалентны.
После этого мы можем построить фактормножество
{Z/Ri)J{R,fRl).
б) Аналогично определяется {Z/R1)/(RJR2).
в) Кроме того, имеется Z/R.
Мы утверждаем, что все эти фактормножества есте-
стнепно изоморфны и получаются так: два элемента
.г, у е Z попадают в один класс, если и только если су-
щсстиуот цепочка х = х„, хи х2, ..., хп = у такая, что
для кшкдого I имиом либо .г, ~ ,г(+) Tnod/i,, либо хг ~
~ Xi+i mod R2-
Аналогичное утверждение можно сформулировать и
доказать для любого конечного семепстна оквивалент-
ностей.
Наконец, если Z — топологическое пространство,
а факторы снабжаются слабейшей топологией, в которой
отображение факторизации непрерывно, то все три фак-
торпространства, определенные выше, гомеоморфны от-
36
носнтельно их естественного отождествления. В самом
деле, подмножество в любом из них открыто, если и
только если его полный прообраз в Z открыт.
Теперь мы можем описать промежуточные результа-
результаты факторизации пространства Z, введенного в п. 8.
10. Лемма. Пусть R — отношение эквивалентности,
порожденное R1 и R11. Тогда
(Z/R)/{RD/R)= \X\D.
Доказательство. Построим отображение Z->
-*• Ц (Xftft X AJ, при котором точка {х, (/, g), s) nepe-
h
ходит в (Х(/, g){x), s). Подробнее: если х^Хтп, /:
[к] -* [т\, g: [к\ ->- [п\, то X (/, g) переводит х в Xhh.
Прямая проверка показывает, что пары точек Z, эквива-
эквивалентные относительно R1 или R11, имеют одинаковый об-
образ. Поэтому описанное отображение факторизуется:
р: Z/R-v Ц (Xhh X Aft). С другой стороны, имеется вло-
к
жение
, s<=Ak)>-» (x, (id№], id[ft]), s).
Следующие факты проверяются непосредственно:
а) р о i есть тождественное отображение Ц(ХЙЙ X Aft).
h
Поэтому р сюръективно.
б) Любая точка (ieXm, (/, g), seAk) Л-эквива-
лентна точке (Х(/, g)(x)^Xhh, (id[fe], idw), s<^Ah):
нужно скомпоновать два элементарных отношения экви-
эквивалентности, определяющих R1 и R11 соответственно.
Отсюда формально следует, что р — биекция и гомео-
гомеоморфизм.
Для завершения доказательства осталось вычислить
отношение эквивалентности RDjR на Z/R.
Это удобно сделать, вычислив образы элементарных
/?°-эквивалентностей. Имеем для двух Д^-эквивалентных
точек
Р- (*ЛГ, g'),
f ° ^ = /, g'
, g')W,s),
Дл (s) = s'.
37
Поэтому
X(f,
= X(h, h)[X{f, g')
и мы получили на Ц (Xhh X ДЛ) именно то отношение
эквивалентности, которое задает геометрическую реали-
реализацию 1X1°. ¦
11. Лемма. Геометрическая реализация \D[m, n]\
симплициалъного множества D[m, n] канонически гомео-
морфна Am X А„.
Доказательство. Сопоставим fc-симплексу (/, g)e
eD[m, п\ набор {(i0, /o)v..., {h, /*)>, где U = f(l), /i =
= g(/), OsSJ^/c. Ясно, что симплекс (/, g) будет невы-
невырожденным тогда и только тогда, когда все пары {ih ji)
различны. Кроме того ясно, что если h: [kr] -+¦ [k]— вло-
вложение и (/, g) — невырожден, то D[m, n](h) (/, g) =
= (f°h, g°h) тоже невырожден. Поэтому, согласно след-
следствию 2.14, геометрическая реализация D[m, n] гомео-
морфна триангулированному пространству, описанному
в п. 1.5 а), б), т. е., согласно 1.5 г), \Щтп, п][ гомеоморф-
но Дт X А„4 ¦
12. Следствие. Имеем
7П,П
При этом RlJRD порождено элементарными эквивалентно-
стями {х е Xmn, s е Дт, < е А«) ~ (х' е Хт'П, s' e ДТО',
{еД„), если существует такое h: [m]-+[m'], чтоз =
— Ah{s), X(h, id[n]) (x)=x. Аналогично, Rn/RD порож-
порождается отождествлениями
, t'<=An>),
если существует такое h; [n]-+[n'], что г' = Дл(?),
X(id[m], Л)(ж) = ж'.
Доказательство. Пусть h: [m]-»-[mr] — некоторое
неубывающее отображение. Обозначим через Fh:
D[m, ri\-+D[m', n] следующее отображение симплициаль-
ных множеств:
Fb{Ug) = {h°f,g),
/: [к] - [ml g: [к] - [п\.
Следствие вытекает из того, что при отождествлении
\D[m, n]\ с Дт.ХДл геометрическая реализация отобра-
отображения Fh (см. 2.16) превращается в
Fh | = (Дл, id): Am X An
X
Обозначим для краткости пространство Z/flD через Z,
а отношения эквивалентности RI/RD и Rn/RD на нем
через Л1, Я11. Из явного описания Z, Л1, Л11, данного
в следствии 12, вытекает
13. Следствие. Имеем
аналогично
Теорема Эйленберга — Зильбера вытекает теперь из
леммы 10, следствия 13 и изоморфизма последовательных
факторизации (п. 9).
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Триангуляция призм. Перечислить все невырожденные симп-
симплексы симплициальных множеств D[i, 2], D[i, re], D[2, 2]
(см. п. 8).
2. Гомотопии симплициальных отображений. Пусть X, Y — два
симплициальных множества. Будем обозначать X X У диагональ
их бисимплициального произведения (см. пп. 4, 5).
а) Доказать, что симплициальные отображения X-+YXZ на-
находятся в естественной биекции с парами симплициальных отобра-
отображений X-+-Y, X -*¦ Z.
б) Определить симплициальные отображения ро, pi'. XX А[1]-»-
-+Х, «проекции в вершины 0 и 1».
Отображения /, g: X-+Y называются просто гомотопными, ес-
если существует отображение h: Д[1] "XX-*-Y такое, что либо / =
= h о р0, g = h о pi, либо / = h о рь g = h о рс. Отображения /,
g: X-+Y называются гомотопными, если существует такая после-
последовательность отображений /0 = /, /i, ..., /n+i = g, что /<, ft+\ про-
просто гомотопны для 0 ^ i ^ п.
в) Доказать, что отображения id: Д[га]->Д[в] и ргс А[п] -*¦
-^-Д[ге] («проекция симплекса на его s-ю вершину») гомотопны,
если и только если i = п.
h
г) Рассмотрим диаграмму симплициальных множеств X' ->-
h f h
->-Xz? Y-*¦ Y'. Доказать, что если /, g гомотопны, то kfh, kgh ro-
8
мотопны.
§ 4. Гомологии и когомологии
1. Цепи и коцепи. Граница геометрического симплек-
симплекса Ai есть разность его вершин A) —@). В таком виде
1
грапица появляется в формуле Лейбница J /' (ж) dx =
о
= /A) — /@). Аналогично, граница А„ есть альтерниро-
альтернированная сумма его граней.
39
Чтобы сделать эти определения точными, нужно вве-
ввести следующие понятия.
п-мерная цепь (или п-цепъ) симплициального множе-
множества X есть элемент свободной абелевой группы С„(Х),
порожденной всеми п-симплексами X. Иными словами,
га-мерная цепь есть формальная линейная комбинация
вида 2 а (х) х, гДе а(х)е z< а(х)Ф0 лишь для конечно-
х=хп
го числа симплексов х.
Пусть д1п: [п— 1] —*¦ [п] — единственное возрастающее
отображение, в образе которого не содержится i.
Граница га-цепи с^Сп{Х) есть (га—1)-цепь dnc, оп-
определяемая формулой
dJ 2 а(х)х)= 2 а{х)^{-
\х=хп ] ех о
A)
Таким образом, граничный оператор dn: Сп(Х)-+ Cn_i(X)
есть гомоморфизм групп. При п = 0 положим da = 0.
Есть очевидное обобщение этой конструкции: цепи
с коэффициентами в абелевой группе А. Элементами
группы таких цепей являются формальные линейные
комбинации 2 а(х)xi а(х)^А. Иными слонами:
х=Хп
Сп (X) = Сп (X, Z); Сп (X, А) = Сп (X) ® А.
Граничный оператор dn: СИ(Х, А)-+ Cn-i(X, А) опре-
определяется той же формулой A).
Коцепи с коэффициентами в А задаются двойствен-
двойственным определением:
Сп(Х, А) = функции на Х„ со значениями в А.
Па группах коцепей задается кограничный оператор
if: Сп(Х, Л)-+Сп+'(Х, Л),
B)
1 и
Формально цепи можно с.чипгп. частным случаем ко-
коцепей: имеется вложение 6\,(Л', Л)<=Г"(Х, А), ставящее
в соответствие цепи 2 а(х)х функцию а: Хп-*-А. Одна-
ко :>то вложение несовместилш с dn и dn (они действуют
и ирппшоположную сторону) и, что еще важнее, несов-
местимо с поведением Сп и Сп при отображениях симпли-
циальных множеств X ->¦ У, к чему мы обратимся ниже.
2. Лемма, a) dn-l°dn = O при п>1, б) dn+1 ° dn = 0
гарц п > 0.
Доказательство. Заметим прежде всего, что для
любых (Xy<is??i— 1 имеем
В самом деле, обе части равенства задают единственное
возрастающее отображение [п — 2] в [га], в образе которого
не содержатся числа i и /.
Для доказательства утверждения а) леммы достаточ-
достаточно, очевидно, проверить, что dn-i ° dn (x) = 0 для любого
х е Хп. Имеем
212
j=0 i=0
Li) x D) x =
Композиции дп ° д3п-1 при разных i, / — это всевозмож-
всевозможные возрастающие отображения [п — 2] в [га], причем ото-
отображение, в образе которого не содержатся числа i, /,
встречается ровно два раза: какй^оЗ^_1СО знаком (—l)iW
и какЗпо^_\ с противоположным знаком (—l)i+i~i. По-
Поэтому d,,-! ° dn (х) = 0.
Аналогично доказывается часть б) леммы. ¦
3. Комплексы. Сформулируем несколько общих алге-
алгебраических определений. Цепным комплексом называется
последовательность абелевых групп и отображений
С; ...^±1с„-^1 Cn_ dn'\
со свойством dn ° dn+l = 0 для всех п. Гомоморфизмы dn
называются граничными операторами, или дифферент
циалами.
Коцепным комплексом называется аналогичная после-
последовательность
со свойством dn ° d" = 0. Цепной комплекс можно рас-
рассматривать как коцепной, обратив нумерацию: Dn = С_„,
dn = d-n-i, поэтому мы часто будем ограничиваться ко-
цепными комплексами.
41
Следующее определение является центральным в го-
гомологической алгебре.
4. Определение, а) Группами гомологии цепного
комплекса С. называются группы:
б) Группами когомологий коцепного комплекса С
называются группы:
Значительную часть классической гомологической ал-
алгебры можно описать как набор приемов для вычисления
(ко) гомологии разнообразных комплексов. В этом пара-
параграфе мы дадим простейшие примеры. Будем писать для
симплициального множества X:
Нп (X, А) = Нп (С. (X, А)); Нп (X, А) = Нп (С (X, А)).
Элементы группы #„(Х, А) называются классами го-
гомологии, группы Нп{Х, Л)— классами когомологий (симп-
(симплициального множества X с коэффициентами в А).
Каждый класс гомологии (соответственно когомологий)
представлен и-цепью с (соответственно и-коцепью /)
с условием dnc = 0 (соответственно dn{ =¦ 0). Такие цепи
(коцепи) называются циклами (соответственно коцикла-
коциклами) . Цепь с в данном клас-
классе гомологии определена с
точностью до прибавления
элементов вида b = dc'', ко-
которые называются граница-
границами. Аналогично определя-
определяются коциклы и кограницы.
Та же терминология приме-
применяется К' общим комплек-
комплексам. Цепи, отличающиеся
па границу, называются го-
гомологичными.
Поясним гоометриче-
|'и« ',', скин сингл :>тих определе-
определений ни иломшггарных при-
примерах. Мы будим ра('('М1п|1И11Н'11, иокл триангулирован-
триангулированные пространства и цони, построонпми иа невырожден-
невырожденных симплексов (это оправдывается задачей 7.1 г)).
5. Геометрия цепей, а) Почему граница границы рав-
пп нулю? Посмотрите на рисунок тетраэдра Д3 (рис. 2).
На каждом ребре две примыкающие к нему грани
индуцируют противоположные ориентации. Поэтому они
входят в d2dsA. с противоположными знаками.
б) Откуда берутся нетривиальные циклы? Рассмот-
Рассмотрим триангулированное пространство 52 = sk2 A3. В груп-
группе 2-цепей S2 есть цикл: граница выброшенного трех-
трехмерного симплекса. Он заведомо не гомологичен нулю,
ибо С3E2) = 0. Ниже мы увидим, что его класс порож-
порождает группу Я2E2, Z).
В геометрии циклы — это то, что ограничивает дыры
(может быть, сложной формы).
в) Несколько иную информацию несут нульмерные
гомологии. Поскольку d0 = 0, все нульмерные цепи яв-
являются циклами. Покажем, что имеется естественный
изоморфизм:
Н (X Z) = /св°бодная абелева группа, порожденная"!
' [компонентами линейной связности | X \ )
Обозначим временно группу справа через П0(Х). Оп-
Определим отображение По (X) -*¦ Но {X, Z), поставив в соот-
соответствие любой компоненте класс коцепи, состоящий из
одной вершины в этой компоненте.
Читатель проверит, что это отображение корректно и
является изоморфизмом, опираясь на следующее описа-
описание нульмерных границ.
0-цепъ ^а(х)х является границей, если и только если
для любой компоненты линейной связности Lcz \X\
имеем:
2 а(х)х = 0.
хеь
г) Важную роль в геометрии играют перестройки то-
топологических пространств, уничтожающие или порож-
порождающие классы гомологии. Опишем универсальную кон-
конструкцию, уничтожающую все группы гомологии, кро-
кроме Но, которая становится равной Z.
Пусть X — триангулированное пространство. Конусом
СХ над X называется триангулированное пространство,
которое получается из X следующим образом.
{Вершины СХ} = {вершины X) U {*} (* — вершина
конуса);
{n-симплексы СХ} =
= {га-симплексы X} U {конусы над (п— 1)-симплексами
X с нулевой вершиной *} (при п&*1).
43
Более формально, положим (СХ)(С) = Хт U {*},
(СХ) (я, = X(n) U Х(п_ц X {*} при п -Sfi.
Далее, для любого строго возрастающего / отображения
(СХ) (/)(*) =
(CX)(f)(x, .) =
C)
где g: [m]-v[n —1],
(i) = f(i)-i при
(X (h) (x), *), где h: [m — 1] -v [n — 1],
f(i + l)_i При /@) = 0.
Мы утверждаем, что все дыры X заклеены в СХ — кону-
конусом над границей дыры,— и новых дыр не появилось.
Более формально, введем комплекс цепей триангули-
триангулированного пространства:
Сп {X) = свободная абелева группа, порожденная Х(п),
граничный оператор 3, определен формулой A), Нп (X) =
= И (С. (X)). Мы утверждаем, что
(О при п > О,
при п = 0.
В самом деле, ^„(CX)^Cn(X)® Cn_i(X), и из форму-
формулы C) видно, что граничный оператор относительно
этого разложения устроен так:
d
'Я й
= ^0 -й^Д^ при
о")
гомологична подходящей цепи вида I ], ибо
(,/с ' ''"И(,. ]• По итормх, любой цикл вида
яплистсн нул(чи.1м:
/0
Случай ге = 0 уже разобран, ибо, очевидно, СХ связен.
Позже мы, разумеется, определим конус любого симп-
'ищтии.ного множества, а также конус любого комплек-
са и докажем аналогичный результат об их (ко)го-
мологиях.
6. Геометрия коцепей. Мы должны с сожалением объ-
объявить, что коцепи не имеют геометрии. Их главная функ-
функция — отображение геометрии в алгебру. Мы постараемся
аргументировать эту точку зрения в главе III.
7. Системы коэффициентов. Цени и коцепи симпли-
циального множества можно строить, пользуясь в каче-
качестве коэффициентов несколько более сложным объектом,
чем просто абелева группа. Системы коэффициентов бы-
бывают двух типов — одни приспособлены к гомологиям,
другие — к когомологиям.
8. Определение, а) Гомологической системой
коэффициентов si- на симплициальном множестве X на-
называется семейство абелевых групп {„s^J, по одной для
каждого симплекса х е ХП1 и семейство гомоморфизмов
групп J^(/, х): Мх-+ MxU)x, по одному для каждой па-
пары, состоящей из х^Хп и /: [т] -*• [га], так, что выполня-
выполняются следующие условия:
^ (id, x) = id;
D)
Второе равенство означает коммутативность диаграммы
E)
'X(fg)-x
б) Когомологической системой коэффициентов 38 на
симплициальном множестве X называется семейство абе-
абелевых групп {.$*}, по одной для каждого симплекса х е
е Хп, и семейство гомоморфизмов групп
3B{f, х): &xu)*-*3x,
по одному для каждой пары х е Хп, /: [тп] -*• [п] так, что
выполняются следующие условия:
). ¦ F)
Второе равенство означает коммутативность диаграммы,
подобной E).
9. Замечания и примеры, а) Пусть s?x = A
для всех х, М- (/, х) — idA для всех /, х. Такая локальная
система коэффициентов называется постоянной. Она яв-
является и гомологической, и когомологической.
45
б) Пусть У — топологическое пространство, U =&Ua) —
его открытое покрытие, X — нерв покрытия [/-/опреде-
[/-/определенный в п. 2.3. Следующий набор данных образует ко-
когомологическую систему коэффициентов: /
^"(^...ол = группа непрерывных функций по/сложению
на пересечении Ua Г) • • • Л Uan', ;
&~ (/, (а0 .. . ап)) переводит функцию ф с областью
определения [7а,@) П ... Л Uaj(n) в
ее ограничение на U№ Л ¦ • • Г) Uan-
В проверке аксиом фигурируют только тривиальные свой-
свойства операции ограничения функции на подмножество.
Поэтому вместо всех непрерывных функций можно взять
часть, стабильную относительно сложения и ограничения,
например, гладкие функции для гладких многообразий,
голоморфные — для аналитических и т. п. Можно также
взять группу обратимых функций по умножению. Эта
идея развита в п. 5.7.
в) Пусть G — группа, не обязательно абелева, А —
левый G-модуль, т. е. аддитивная группа, на которую G
действует автоморфизмами. По ней строится следующая
когомологическая система коэффициентов $ на симпли-
циальном множестве BG, описанном в 2.8:
<МХ = А для всех х,
но)
= П
i
Для /: [т] -> [п], х = (glt ..., gn) e= (BG)n,
G)
Можно построить также гомологическую систему коэф-
коэффициентов М- на симплициальном множестве BG, полагая
s$-x = М- для всех х,
л/(/, т) (n)-=fr'a, h — такое же, как в G).
К). Гомологии и кшчшологии с системой коэффициен-
коэффициентом. Пусть М- — гомологический система коэффициентов
на симплициальном множестве X.
п-мерной цепью X с коэффициентами в М- называется
формальная линейная комбинация вида
2 а(х)х, где a(x
n-мерные цепи образуют абелеву группу по сложению,
которая обозначается Сп(Х, si-).
Граница n-мерной цепи с = 2 а (х)х е Сп (X, si) есть
(п— 1)-мерная цепь dnc^Cn-i{X, si-), определяемая
формулой
i=o
doc = 0.
Как и выше (п. 2), легко проверяется, что
есть цепной комплекс, т. е. dn-i ° dn — 0.
Группы гомологии комплекса С. (X, s&) называются
группами гомологии симплициального множества X с ко-
коэффициентами в ?й-\ они обозначаются Нп(Х, si).
Аналогично, пусть М — когомологическая система ко-
коэффициентов на X. Положим
Сп(Х, &)= {функции / на Хп с f{x)^3§x}.
cn
Кограничный оператор
задается так:
П+1
:*)= 2<-
i=0
Группы когомологий коцепного комплекса
Ln+1-
(9)
с-(х,
¦ Сп(Х,
Чх,^)-
называются группами когомологий X с коэффициентами
в 33 и обозначаются Нп (X, &).
11. Примеры, а) Гомологии и когомологий симп-
симплициального множества X с коэффициентами в постоян-
ной локальной системе коэффициентов si- = {Л, idA) (см.
9а)) совпадают соответственно с Н„(Х, А) и Н"(Х, А).
б) Пусть Y — топологическое пространство, X — нерв
открытого покрытия U = (Ua), 9"—когомологическая си-
система коэффициентов, построенная в п. 96). Группы ко-
когомологий Нп(Х, SF) называются группами когомологий
47
по Чеху относительно покрытия (Ua.) пучка непрерыв-
непрерывных функций на Y (или пучка гладких, голоморфных,
обратимых ... функций для соответствующих сдстем коэф-
коэффициентов) (см. также § 7.4). /
в) Пусть G — группа, А — левый (З-модуэть, rf и if —
гомологическая и когомологическая системы коэффициен-
коэффициентов на X = BG, построенные в п. 9в). Группы Нп(Х, М-)
и Нп(Х, Я) называются соответственно группами гомоло-
гомологии и когомологий G с коэффициентами в М-, $.
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Гомологии триангулированных пространств. Вычислить гомо-
гомологии (с коэффициентами в постоянной системе коэффициентов)
симплициалышх множеств, отвечающих следующим триангулиро-
триангулированным пространствам:
а) и-мерный симплекс Д[и],
б) (п — 1)-мерная сфера S" (граница Д[га]),
в) двумерный тор,
г) вещественная проективпая плоскость.
Указание: в каждом случае нужно использовать какую-ни-
какую-нибудь (возможно более простую) трпагуляцию и рассматривать (см.
ниже упр. 7.1г)) только лилейные комбинации невырожденных
симплексов.
§ 5. Пучки
1. Примеры пучков, а) Голоморфные функции на ри-
мановой сфере. Римапова сфера — это топологическое
пространство CU{°°}; базу окрестностей бесконечности
образуют внешности окружностей в С. Кроме топологии,
в структуру римановой сферы входит задание семейства
комплекснозначных, определенных на открытых множе-
множествах, функций /: U -*¦ С. Такие функции называются го-
голоморфными и характеризуются следующим свойством:
у каждой точки z0 e U имеется окрестность z0 e 17 с U,
н которой / представлена сходящимся степенным рядом
2 II; (z — 2(|) , (li РЕ С ИЛИ 2 <HZ~l ДЛЯ Zo = оо. СоВОКуГТ-
, и i--()
пост], итих функций (точнее, пар, состоящих из функции
и ее области определения — не обязательно максималь-
максимальной!) называется пучком О голоморфных функций на
CU{°°}. Из-за того, что понятие голоморфности опреде-
определяется локально, следующие две задачи могут быть весь-
весьма нетривиальными.
Задача 1. Продолжается ли данная голоморфная
функция /: U-*¦ С на большую область F=>?/? (Пример:
¦W
голоморфное продолжение ^-функции Римана ? (z) =
00 \
= 2 п~г из области iz^C\Rez>l) на область С\Ш.
Для класса Других интересных рядов Дирихле с целыми
оо
коэффициентами 2 ann~z эта задача не решена до
сих пор.)
Задача 2. Как описать множество Г([/, О) всех
функций, голоморфных в области U?
Теорема Лиувилля — это утверждение о том, что
Г (С U {оо}, О) = {константы}.
Из теоремы о радиусе сходимости ряда Тейлора сле-
следует, что
Г (С, О) = {S aiZ
u
0, ai - о (г*)}.
Пафос теории пучков состоит в том, чтобы, не обра-
обращая внимания на специфику таких индивидуальных за-
задач, рассматривать пучок О как единый объект и срав-
сравнивать его с другими подобными.
б) Пучок решений линейного дифференциального
уравнения. Пусть ?fcCU {°°} — некоторая область, ui{z)^
^Г(?/, (У), i — 0, ..., п— 1. Обозначим через 9? множе-
множество пар (V, /), где V <= U подобласть, а / — голоморфная
функция в V, удовлетворяющая в V уравнению
П—1
Lf = dnf/dzn + 2 at (z) dff/dzl = 0.
Это множество называется пучком голоморфных решений
соответствующего дифференциального уравнения.
В случае, когда V — связная односвязная область, из
теоремы существования и единственности решения сле-
следует, что T(V, &)— множество решений, голоморфных
в V,— является га-мерным линейным пространством над
С. Для более сложных областей V ответ перестает быть
столь простым и требует введения понятия монодромии.
Пусть, например, Lf = d2f/dz2 + z~ldf/dz, U = C\{0). Реше-
Решения Lf = Q имеют вид ct log z + c2, где log z — «любая
ветвь» логарифма. Так как в кольце V: (Xr,<|z|<r2
однозначного голоморфного логарифма нет, имеем
Г(У, 9") = {константы}. Для оператора L второго порядка
с тремя простейшими особыми точками на римановой
4 С. И. Гельфаыд, Ю. И. Манин. т. 1 49
сфере вычисление Г (У, SP) составляет сущес/венную
часть теории гипергеометрических уравнений. /
Пучок 91 в очевидном смысле слова являет/я подпуч-
подпучком в С, а оператор L в столь же очевидном .смысле дей-
действует из О в О, и SP является ядром этого действия.
Нижеследующий формализм аксиоматизирует описанные
на примерах структуры. /
2. Определение, а) Предпучок множеств #~ на
топологическом пространстве Y состоит из следующих
данных:
множество 3T(U) (сечений предпучка 2Г), заданное
для каждого открытого подмножества U с У;
отображение ограничения ruv- &~(U)-+&"(V), задан-
заданное для каждой пары V cz U.
Эти данные должны быть подчинены следующим ус-
условиям:!
rvu = id, rvw ° rur — ruw для W с: V cz U.
б) Предпучок @~ называется пучком, если дополни-
дополнительно выполнено следующее условие:
для любого открытого покрытия U = U Ui и любого
набора сечений s4 e i?" (?74), подчиненного условиям
rUi,UinVj (si) = ruj.UinUjiSj), существует единственное сече-
сечение s<=g~(U) такое, что Si = Гц.иД5)-
в) Морфизмом j: &~ ^>- *§ предпучков на Y называ-
называется набор отображений f{U): #"(?/)-*- $?(U), по одному
для каждого открытого множества U, коммутирующих
с ограничениями:
Морфизм пучков — это морфизм соответствующих
предпучков.
Вместо &~{U) принято писать также Г (U, &~), как мы
это делали в п. 1.
По всякому предпучку $Г можно определить предпу-
предпучок &~\U—ограничение @~ на открытое множество U,
положив (&'\U)(V) = &~(UnV). Если &~ — пучок, то
8T\U также пучок.
3. Предпучки и пучки структур. Предпучок #" может
быть предпучком групп, колец, топологических про-
пространств и т. п.: по определению это означает, что каж-
каждое множество сечений @~(U) снабжено соответствующей
структурой, а каждое отображение ограничения является
морфизмом этих структур.
50 .
Аналогично включаются внешние законы композиции:
предпучок модулей Ж над предпучком колец О состоит
из набора О (U) -модулей ЖA1), причем закон умноже-
умножения коммутирует с ограничением в очевидном смысле
слова.
Стандартные алгебраические операции над структура-
структурами переносятся на предпучки этих структур, так же как
понятия морфизма, ядра и т. п.
Вот важный для дальнейшего пример. Пусть #", !? —
два предпучка абелевых групп на топологическом про-
пространстве Y. Морфизм /: ЗГ -*-$? состоит из гомоморфиз-
гомоморфизмов групп f(U): &~(U) ^* & (U), коммутирующих с огра-
ограничениями. Положим
Определив X{U) + X{V), <&(U)-*T{V) для V^U оче-
очевидным образом, мы превратим Ж и ^ в предпучки, ко-
которые будут называться соответственно ядром Кег/ и
коядром Coker/ морфизма /.
f e
Назовем последовательность предпучков 3^" ~^З ->Ж
точной в члене ^, если для каждого U последователь-
последовательность &~(U) ™%{и)8-^-Ж(U) точна в 9(U) (опреде-
(определение точной последовательности см. в § 6).
Просмотрим теперь заново конструкции этого пункта,
предполагая, что рассматриваемые предпучки являются
пучками.
Определения пучков, групп, колец и их морфизмов не
меняются.
Осторожность нужна лишь в тех местах, где мы стро-
строим новый предпучок из старых: если старые были пуч-
пучками, то новый может оказаться лишь предпучком. Вы-
Выделим типичную ситуацию.
4. П ре д л о Hie н ие. а) Ядро Ж морфизма пучков
абелевых групп f; @" -*-9 является пучком абелевых
групп.
б) Коядро *& морфизма пучков абелевых групп явля-
является предпучком, но может не быть пучком.
Доказательство, а) Пусть U=ViUu st e ЖA7()~
пабор согласованных на попарных пересечениях сечений
Ж. Поскольку X(Ui)<=@~(Ui), а ?Г — пучок, существует
единственное сечение $¦<= &~(U), для которого si = Гир{ (s).
Проверим, что 8^Ж{11). В самом деле, rUtUi ° /(s) =
= / (ru,Ui(s)) = 0. Так как 2? — пучок, имеется единствен-
4* 51
ное сечение *3 над U, ограничение которого /на все U(
равны нулю: это нуль. Значит, /(s) = 0 я s^/.7if(U).
б) Приведем пример. Пусть У = С\{0), ' OY — пучок
голоморфных функций на У (см. 1а)). Зададим /: 0у -*-
-»- (Ух, полагая / (ф) — ^, ф ^ C?r (Z7) — голоморфная функ-
функция на U с: У. Тогда легко проверить, что у каждой точ-
точки уеУ существует окрестность Vy с Сокег/G!/) = О
(точнее, это будет так для любого V<=Y, не охватываю-
охватывающего точки 0). С другой стороны, dimCoker/(Г)= 1:
уравнение -г — 'Ф для голоморфной функции -ф на У,
заданной рядом Лорана я|з = 2 aiz\ разрешимо в том
i=—с»
и только том случае, если а-, = 0. Следовательно, пред-
пучок Сокег / на Y не является пучком.
В § II.5 будет показано, что определение коядра мор-
физма пучков можно и нужно изменить, с тем, чтобы
коядро также всегда было пучком.
В § 7 этой главы будет введено понятие когомологий
Чеха с коэффициентами в предпучках и пучках; нуль-
нульмерные когомологий Чеха, в частности, измеряют степень
нарушения аксиомы 26) пучка.
Возвращаясь к общим определениям, введем следую-
следующие полезные понятия,
5. Ростки и слои. Пусть у ^ У, ^" — предпучок на Y.
Ростком sy сечения &~ в точке у называется класс экви-
эквивалентности пар (s, V), где V => у — открытые окрестно-
окрестности, «еГG, F), по отношению
(s, V) ~ {$', V)
V П V,
Слоем &~ в точке у называется множество &~v всех рост-
ростков в этой точке. (На языке индуктивных пределов
0~у = lira Г (V, 9") по системе окрестностей V э у.)
Для любой -окрестности V э у имеется очевидное ото-
отображение rv,у. &~{V)-+ STy.
Аналогично можно определить росток сечения ЗГ над
произвольным множеством ZaY как элемент множе-
множества Г (Z, Т)| = lim Г (V, 9") по всем открытым V=>Z.
Обычно вместо «росток сечения над Z» говорят просто
«сечение над Z».
52
Назовем пространством предпучка &" множество
Для каждого s^^(U) положим sv = rUty(s) и затем
Введем на F слабейшую топологию, в которой F(s) (для
открытых U) будут открытыми множествами.
Топологическое пространство F снабжено естествен-
ной проекцией г -*- У, которая является непрерывным
отображением (проверьте!). У каждой точки F имеется
открытая окрестность, которую п гомеоморфно отобра-
отображает в У. v
Заметим теперь, что по любому отображению тополо-
топологических пространств 1 ->- У можно определить пучок Г
на У локальных непрерывных сечений T(U)={a: U -»-
->- Z\j ° a — idu}. Это мотивирует следующую конструк-
конструкцию.
6. Определение-лемма, а) Пучком &~+, ассоци-
ассоциированным с предпучком &~, называется пучок непрерыв-
непрерывных сечений пространства ^ = Ц &"у Он связан с ST
^ {sy | у е
"+: &~ (U)
каноническим морфизмом 0"
е U) е &~+ (U).
б) Если 2Г — пучок, то этот канонический морфизм
является изоморфизмом.
Доказательство. Из определения топологии в F
вытекает, что для любого s^&~(U) отображение a: U -»-
->¦ F, a(y)= sy<^&~y непрерывно, так что* мы получаем
отображение &"(и)-+ &~+(U). Ясно, что оно согласовано
с ограничениями, так что мы действительно получили
морфизм предпучков i: &~ -»- 5Г+. Докажем б). Пусть
3~ — пучок. Нужно доказать, что i(U): &~(?/)->- &~+ (U) —
взаимно однозначное отображение. Пусть s, s'e^"(f/)
и i(U)(s) = i(U)(s'). Это значит, что rUv(s)= rv y(s')
для любого у, т. е. у каждой точки у ^ U существует
окрестность Vy<=U, для которой rv v (s) = rv v,,(s')-
Поскольку окрестности Vy покрывают U, а ^~ — пучок,
s = s'.
Пусть теперь e^&~+(U), т. е. задано непрерывное
отображение a: U ^-F с o(y)<=&~v. Пусть о (у) представ-
представлено сечением sv^&"(Vv), заданным на множестве Vy,
VU Вб
ye=Vv<=-U. Выберем у каждой точки
53
окрестность Gy, для которой я |с — гомеоморфизм^ Можно
считать, что Wy = n(Gy)<= Vy. Ясно, что для любого ге
е ТР„ имеем o-(z) = rYytWy(sy),
Это значит, что набор сечений {^vy,Wy(sy) ^&~(Wy)>
yeU} согласован на пересечениях WV[\WV,. Поэтому
существует сечение s^@~(U) с sy = ru,vy(s)- Ясно, что
7. Основные классы пучков. Пучки, естественно воз-
возникающие в задачах, можно грубо разделить на два боль-
больших класса: а) похожие на пучок функций (голоморф-
(голоморфных, как в примере 1а) или гладких, непрерывных, ал-
алгебраических) ; б) похожие на пучок констант (как пучок
решений из п. 16)).
Приведем некоторые примеры и определения, начиная
с класса б).
8. Определение. Пусть А — некоторое множество,
У — топологическое пространство.
а) Постоянный предпучок А со слоем Л на Г опре-
определяется условиями A(U) = A, ruv = id для всех V<=:U.
б) Постоянный пучок ?ф со слоем А определяется как
^г = А+. ¦
На этом примере хорошо видно, как на структуру
пучка влияет топология пространства. Легко описать про-
пространство предпучка А: это есть YXA, где топология на
А дискретна. Поэтому сечения ?4- = А+ над U суть ло-
локально постоянные функции на U со значениями в А.
В частности, если U связно, то s4-{U) — A.
Более интересен следующий класс пучков, содержа-
содержащий, в частности, пучки голоморфных решений диффе-
дифференциальных уравпений из п. 16).
9. Определение. Пучок @~ на У называется ло-
локально постоянным, если у любой точки У имеется от-
открытая окрестность, ограничение ST на которую изоморф-
изоморфно постоянному пучку.
Зпмотим, что опроделопия 8 и П естественно обобща-
обобщаются пл случай множеств Л сп структурой, если эта
структура иыдоржиппот продольные переходы, нужные
для ее перенесения с А па А+. Может, однако, оказать-
оказаться, что пучок, постоянный как пучок множеств, пере-
перестает быть постоянным как пучок структур. Простой при-
пример — пучок алгебр Ли, зависящих от параметров базы.
Классификация локально постоянных пучков над то-
топологическим пространством тесно связана со структурой
фупдаментальиой группы этого пространства: см. п. 2.9.
54
Следующее полезное обобщение класса локально по-
постоянных пучков — конструктивные пучки; укажем, что
они включают в рассмотрение некоторые «скачки» и
«особенности», например такого типа, как особенности
решений дифференциального уравнения в особых точках
его коэффициентов.
10. Пучки функций и продолжение сечений. Пучки
функций — это, прежде всего, клей для конструирования
глобальных геометрических объектов (гладких многооб-
многообразий, аналитических пространств, схем и т. п.) из ло-
локальных моделей. Эта точка зрения подробнее развита
ниже в § II.4, и мы советуем читателю просмотреть на-
начало этого параграфа перед тем, как двигаться дальше.
Здесь мы коснемся лишь одного класса свойств щршов
функций, которое измеряет их жесткость. Простейший
вопрос о жесткости пучка таков: пусть U<= V — два не-
непустых открытых множества; можно ли сечение пучка,
заданное на U, продолжить на V, и если да, то насколь-
насколько неоднозначно? Рассмотрим спектр возможных явлений.
а) Функция, заданная на U, может не продолжаться
уже на замыкание (или на часть границы) U, например,
-г; для ?/ = (—1, 1)ciR. Этот эффект одинаково отно-
1С — 1
сится к непрерывным, гладким и аналитическим функци-
функциям. Поэтому естественная задача о продолжении ставится
для сечений над замкнутым, а не открытым множест-
множеством. Согласно определению в п. 5, сечение пучка О над
Z есть класс сечений О над открытыми U' => Z.
б) Итак, пусть Z <= X — замкнутое подмножество. Ес-
Если X — нормальное пространство, О — пучок веществен-
вещественных непрерывных функций, то любое сечение О над Z
продолжается до сечения О над всем X; лаыми словами,
каноническое отображение Г(Х, ??)-*-Г (Z, О) сюръ-
ективно.
То же верно, если X — гладкое (С°°) многообразие,
а О — пучок бесконечно дифференцируемых функций.
Степень неоднозначности продолжения определяется
уже тем, что для любого замкнутого множества Z' с: X\Z
и любой непрерывной (соответственно гладкой) функции
на Z' продолжение можно выбрать так, чтобы оно совпа-
совпало с этой функцией. (В самом деле, отображение
Г (X, О) -*¦ Г {Z U Z\ О) также сюръективно.)
Если Е -*• X — расслоение на конечномерные вектор-
векторные пространства, те же свойства продолжения сечений
выполнены для пучка сечений этого расслоения.
55
в) Пусть теперь X — связное комплексно аналитиче-
аналитическое многообразие, Zcl — замкнутое множество, О —пу-
—пучок голоморфных функций. Тогда отображение Г (X, О) -»-
-*-T(Z, О) инъективно, так что функции, которые мож-
можно продолжить с Z, продолжаются однозначно. Это сле-
следует из того, что разность двух продолжений равна ну-
нулю в окрестности Z и потому на всем X.
Многие функции могут быть непродолжаемы, напри-
например, если Z — точка, а X компактно, то на X продолжа-
продолжаются только ростки постоянных функций.
По свойствам жесткости пучки голоморфных функций
(и сечений голоморфных расслоений) приближаются к
локально постоянным пучкам.
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите, что если 0 -> &~ -*- S" -»- Ж -*• 0 — точная последо-
последовательность предпучков и &~, Ж — пучки, то & также является
пучком.
2. Вялые, мягкие, тонкие пучки, а) Пучок ST множеств на про-
пространстве X называется вялым, если для любого открытого мно-
множества UaX отображение ограничения Г{Х, &~)-+-T(U, &~) есть
отображение па все Г(?/, @~). Пусть /: Х->У— отображение то-
топологических пространств. Определим пучок fff всех (не обяза-
обязательно непрерывных) локальных сечений / равенством
T(U, <?f) = {a: V-*-X, а не обязательно непрерывно, /<>a = idu}.
Докажите, что если / сюръективно, то ^/ — вялый пучок. Выве-
Выведите отсюда, что любой пучок множеств У является подпучком
вялого пучка (используйте пучок Ч?я для л: F-*-X; см. п. 5).
б) Докажите, что если
О
A)
— точная последовательность пучков абелевых групп и пучок &~
вялый, то для любого открытого U последовательность групп 0 -*¦
-*-T(U, &~) -*-T(U, 8) -+T(U, Ж) ->-0 точна. Выведите отсюда, что
если в A) ЗГ и 'S — вялые пучки, то и Ж — вялый пучок.
в) Пусть X — паракомпактное топологическое пространство
(т. е. X отделимо и у каждого открытого покрытия существует ло-
локально конечное подпокрытие). Пучок У на X называется мяг-
мягким, если для любого замкнутого У а X отображение ограничения
Г(Х, 3Г)->Г(У, ?Г) (см. п. 5) является отображением на все
Г (У, 9~). Докажите, что любой вялый пучок па паракомпактном
топологическом пространстве является мягким. Для мягких пуч-
пучков справедливы аналоги утверждений из п. б): если в точной по-
последовательности A) &~ — мягкий пучок, то для любого замкну-
замкнутого У cz X последовательность
56
также точна, а если в A) &~ и iF—мягкие пучки, то Ж — также
мягкий пучок.
г) Разложение единицы. Пусть SF — пучок абелевых
групп на пространстве X, s — сечение @~ над X, (Ui)i<= i — откры-
открытое покрытие X. Разложением сечения s, подчиненным покрытию
A70, называется набор сечений s» пучка &~ над открытыми мно-
множествами Vi a Ut, который локально конечен (т. е. для каждого
хеХ лишь конечное число ростков (si)x отлично от 0), и sx =
= 2 (si)x Для всех х s X. Докажите, что если пространство X па-
ifEl
ракомпактно, а пучок 8~ мягкий, то для любого сечения s e
е Г(Х, ST) и любого покрытия (С/г) г е г существует разложение s,
подчиненное (Vi).
д) Докажите, что если пучок колец SF является мягким, то лю-
любой пучок ^-модулей также является мягким.
е) Пучок абелевых групп Э~ на паракомпактном простран-
пространстве называется тонким, если для любых двух непересекающихся
замкнутых подмножеств Y\, У2 в X существует автоморфизм ср:
9Г-^9Г пучка @~, индуцирующий нулевое отображение на некото-
некоторой окрестности множества Y\ и тождественное отображение на
некоторой окрестности множества Y2. Докажите, что любой тон-
тонкий пучок является мягким. Докажите, что пучок ростков непре-
непрерывных функций на X (с вещественными или комплексными зна-
значениями) является тонким (это, по существу, классическая тео-
теорема Урысона: для любых двух непересекающихся замкнутых
множеств Y\, У2 существует непрерывная функция, равная 1 на
некоторой окрестности Y\ и 0 на некоторой окрестности Уг). До-
Докажите, что пучок ростков гладких функций на гладком много-
многообразии X является тонким.
ж) Пусть @~, $ —два првдпучка множеств на пространстве X.
Предпучок гомоморфизмов Ж = Жот(@~, &) определяется так:
ЖA1) Нот(@~\и, ^|tr), где Нот — множество морфизмов пучка
S\ б
() (\и, |tr), д рф у
&~\и в пучок S\u, с естественными отображениями ограничения
Ж(Щ -±Ж(У). Докажите, что если 9", # —пучки, то Ж — тоже
пучок. Если Э~, Ъ — пучки со структурой (например, пучки абе-
абелевых групп), то Жот(&~, 'S) будет обозначать пучок морфизмов,
сохраняющих эту структуру. Докажите следующую характериза-
цию тонких пучков: пучок абелевых групп ?Т является тонким
в том и только том случае, если пучок колец ЖотC~, 9") явля-
является вялым.
з) Докажите, что свойства вялости, мягкости и топкости яв-
являются локальными: пучок SF на X (соответственно, на параком-
паракомпактном X) является вялым (соответственно мягким, тонким), ес-
если у каждой точки х е X существует окрестность U, для которой
&~\v — вялый (соответственно мягкий, тонкий) пучок.
3. Аффинные схемы, а) Пусть А — коммутативное кольцо с 1,
Spec A — множество собственных простых идеалов А (напомним,
что идеал $ а А называется простым, если из условия аЪ е }> сле-
следует, что либо ие>, либо ie))). Для каждого /еЛ положим
D(f) = {}><=Spec4, f(?)}. Докажите, что D(fg) = D(f) (\D(g).
Введите топологию на Spec А, принимая множества D(f) за базу
открытых множеств.
Проверьте следующие свойства:
(i) D(f) = D(g) тогда и только тогда, когда gn = uf для неко-
некоторых п > 0, и е А.
57
тогда и только тогда, когда существу-
существу(ii) D (f) = U D (/
ют Ъ\ bk е А и п > 0, для которых /n = b\j\ + ... + bhfk-
(iii) Замыкание точки $ е Spec 4 состоит из всех р' с t' ^> V;
в частности, замкнутые точки отвечают максимальным идеалам.
б) Пусть Sc4 — мультипликативно замкнутое подмножество
(т. е. а, Ъ е S =*- аЬ е 5; стандартными примерами являются мно-
множества {/п, гс ^ 0} для fei i A\? для р е Spec 4). Локализацией
S~lA кольца А по 5 называется множество классов эквивалентно-
эквивалентности дробей a/s, aei, s e S по соотношению: «i/st ~ S2/S2, если и
только если существует }е>? с b(ai«2 — a2$i) =0. Докажите, что
естественные операции сложения и умножепия дробей превраща-
превращают S~lA в кольцо. Стандартными обозначениями для S~lA при
S = {/"} и S = А\$ являются, соответственно, Af и Ау.
в) Докажите, что А/ зависит лишь от ?>(/), а не от /.
г) Пусть V = D(g) czU = ?>(/), так что я" = и/ (см. о, (П).
Задавая ruv: Af+Ag формулой rVv(alfm) = (класс aumlgmn в 4g),
докажите, что rVv зависит лишь от U и V (а но от /, м, /?), ruv —
гомоморфизм колец, ruv — id и
ruvrvw = ruw для W = D(h) cz V =
= /)(/).
д) Докажите, что на Spec А существует единственный пучок
колец О, для которого T(D(f), О) = A;, rD(f)rng) — такие, как в г).
Указание. Сперва проверьте выполпснис аксиом пучка для
h
открытых множеств вида D(f): если D (/) = (J -О(/{), si(=A^. и
гс(/()С(/4^) {si) = rD(fj)D(fif}) (s})> To существует единственный
элемент s <= Aj с Тщ^щ^л (*) = si. После этого определите
Г([/, С) для произвольного U = \}D(ji) как множество классов
эквивалентности согласованных наборов is^A^.: ruif.\r>iff-\ (si)~
== rD(f-\D(f-f-\ (si)\ no естественному соотношению эквивалент-
эквивалентности, связывающему наборы {st} и {tj} для двух различных
покрытий U= UD(fi) = \}D(gs).
е) Докажите, что слой пучка О в точке у е Spec А есть 4 у
(в обозначениях п. б)).
ж) Пусть М — 4-модуль. Для мультипликативно замкнутого
нодмпожества S а А определим локализацию S~lM как множество
ijjiiiccoB эквивалентности дробей {rajs, me.M, S6i?} по соотноше-
соотношению m 1 /яi ~ mi/si, если и только если b(miS2—m^si) = 0 для не-
некоторого h (- S. Докажите, что S~lM — модуль над S-^A.
¦л) Докажите, что нл Spec Л существует единственный пучок
модулой М ннд пучком колец G, для которого T(D(f), М) = Mf
(локализации М но {/п, н^О)) и отображения ограничения г^г
для V = O(fe') с: С/ = Z>(/) определяются аналогично п. г). Найди-
Найдите слой Д/ в точке VsSpec/l. Пучки модулой вида М называют-
называются квазикогерентными.
и) Пусть Mh М2 — два квазикогерептных пучка на Spec А. До-
Докажите, что морфизмы пучков С-модулей Mi -*¦ М2 взаимно одно-
однозначно отвечают гомоморфизмам соответствующих Л-модулей
М, -+ М2.
58
§ 6. Точная последовательность
1. Гомологии как функции от двух аргументов. В § 4
мы определим группы #n(X, S4-) и Нп(Х, &), где X —
симплициальное множество, si- и М —системы коэффи-
коэффициентов. В некоторых случаях их можно вычислить не-
непосредственно. Но основной прием состоит в изучении
того, как эти группы ведут себя при смене X или при
смене ^.
Мы будем называть sfi, 38 — абелевым аргументом,
а X — неабелевым аргументом. В следующей главе мы по-
постараемся показать, что любая гомологическая теория
явно или неявно содержит такие два аргумента.
Здесь мы фиксируем X и исследуем зависимость го-
гомологии и когомологий от коэффициентов. Основной ре-
результат этого параграфа — теорема о точной последова-
последовательности.
2. Точные последовательности. Точной последователь-
последовательностью абелевых групп называется любой комплекс С,
у которого все группы когомологий нулевые (для цепных
комплексов определение то же). Это означает, что
Кег dn = Im dn~x для всех п.
Точной тройкой, или короткой точной последователь-
последовательностью абелевых групп называется точная последова-
последовательность вида
Все нули, кроме двух крайних, обычно по пишутся; кро-
кроме того, в этом параграфе мы не будем интересоваться
номерами мест, на которых стоят А, В, С.
Задать точную тройку
0->Л-^5-^С->0
A)
это то же, что задать абелеву группу В и се подгруппу
А. По элементарной теореме о гомоморфизмах, С восста-
восстанавливается тогда как факторгруппа В/А, потому что
Im i = Кег р.
3. Теорема. Пусть X — симплициальное множество.
Тогда по любой точной тройке абелевых групп A) кано-
канонически строится точная последовательность когомологий
B)
59
и анало&ичнйя последовательность гомологии
... - Ня(Х,А)^Нп(Х, В) - Нп(Х, С)-
-+На{Х,В)-+Нп(Х,С) + О. C)
4. Замечания, а) У этой теоремы есть почти оче-
очевидный частный случай. Если точная тройка A) расще-
пима, т. е. имеет вид
O-*A->B = At
i {a) = (a, 0), p (a, c) = c,
то последовательность B) распадается на расщепимые
точные тройки
= Нп(X, А) © Нп(X, С) -* Я" (X, С) -* 0.
Главное отличие общего случая от этого — возможность
того, что «связывающие гомоморфизмы»
Нп(Х,С)-+Нп+1(Х,А)
будут нетривиальны.
б) У теоремы 3 есть аналог для локальных систем
коэффициентов, который мы сформулируем ниже.
в) Доказательство теоремы содержит следующие эта-
этапы: конструкции всех стрелок в B) и проверку точно-
точности. И то и другое удобно делать в несколько более об-
общей ситуации, чем условия теоремы. Именно, мы пока-
покажем, что из точной тройки A) следует аналогичная
точная тройка комплексов цепей (и коцепей), после чего
установим аналог теоремы 1 для общих комплексов, не-
независимо от их происхождения.
5. Морфизмы комплексов. Пусть В', С — два комп-
комплекса. Морфизмом f: В'-*-С называется набор гомо-
м1Р|)(||и;1М(Н1 /": fi" * С", шфостипоночцых с диффсрен-
ЦПИЛММ11
г/"-/"-- /""-г/". D)
Построим по морфизму /': /I' ->С" набор гомомор-
гомоморфизмов когомологий
следующим образом. Пусть b <= Нп (В') представляется
им
коциклом Ъ е Кег dn а Вп. Тогда, ввиду D), f()
е Кег d" с Сп. Положим Я"(/) (Ь) = класс f(b) e Нп{С').
Снова из D) видно, что класс f"(b) в Нп (С) не зави-
зависит от выбора представителя Ъ по модулю Im dn~\
Ясно также, что если g': А'-у В' другой морфизм
комплексов, то
H*{f.g) = H"{f)°H«(g). E)
Пусть снова /"• В'-*-С—морфизм комплексов. По-
Положим
Кег/' = (Кег/П), Сокег/" = (Сокег /п).
Из D) следует, что Кег/' и Сокег/' являются комплек-
комплексами относительно отображений, индуцированных диф-
дифференциалами.
Последовательность комплексов и их морфизмов
называется точной тройкой, если все последовательности
0-+Anl-+Bn^Cn->-0 точны.
Пусть теперь /; В -»¦ С — гомоморфизм групп, X —
симплициальное множество. Тогда определены канониче-
канонические отображения
/„: С»(X, В)- Сп(Х, С), /": С"(X, В) - С"(X, С),
Они перестановочны с дифференциалами и потому об-
образуют морфизмы комплексов.
г р
6. Лемма. Пусть 0-+А-+В-+С-+0— точная по-
последовательность групп. Тогда последовательности групп
цепей и коцепей
0 -> С. (X, А) X С. (X, В) X С. {X, С) -* 0,
0-+С-{Х,А) Хс'(Х,В)Хс'(Х1 С)~>0
точны.
Доказательство. Элемент С„(Х, А) — это фор-
формальная линейная комбинация 2 а(х)х, а(х)^А. Та-
Такой элемент переходит при отображении in- С„(Х,А)
( 2 ) 2 (Ч ())
Сп(Х,В) в in
д
2
х) =
р
2
(Ча (х)) xi и, поскольку
61
i — вложение, in — тоже вложение. Аналогично доказы-
доказывается, что р„ — сюръекция. Далее, pnin /2 а (х)z) =
V* I
z(x)x<= Сп (X, А). Пусть
= 2 (Р ° 0(а(х))х = 0 для
X
теперь р = 2 &(*)*<= С„(Х, В) и р„(Р)=О. Тогда
X
р(Ь(х)),= 0 для любого ж, т. е. b(x)= i(a(x)), а(х)<^А,
и р" = in (а), а = 2е (х) х^ С„ (X, А). Аналогично доказы-
X
вается точность второй последовательности. ¦
С учетом леммы 6 теорема 3 является следствием бо-
более общей теоремы 8.
7. Конструкция связывающего гомоморфизма. Пусть
О-+А'^>-Вт-*'С\-*'О1 F)
точная последовательность комплексов. Определим для
каждого п гомоморфизм
б" = б" (Г, р-): Я" (С) -+ Нп+1 (А')
следующим образом. Пусть класс когомологий с е
е//и(С") представлен коциклом с^Сп. Поскольку р"
сюръективен, с=рп(Ь) для некоторого 5^5". Посколь-
Поскольку, далее, dc = O, имеем pn(d5) = Q, так что df> = in+1(a),
a^An+i. Элемент а является коциклом:
in+1 (da) = din+i (a) =d(dB) = 0,
так что da = 0, ибо Г+1 — вложение.
Другой выбор с и Ъ меняет а на кограницу:
с' = с + dc\ = р" E + dfii + i"ai),
где Ci^Cn~\ Pn~l(J>i) — Ci, fl,ei'; поэтому
Следопателыю, класс когомологий а не зависит от про-
iiiiunjin и промюкуточных копструкт(иях. Положим
6" (Г, /;•) (г) a mod In) ,/';•' ' i- У/"+1 (Л*).
8. Теорема. Д ситуации п. 7 следующая последо-
последовательность точна:
. я" (А')
(В')
Hn
бп(г.,р-)
¦Нп+1(А')
Доказательство, а) Точность в члене Нп(В').
Прежде всего, Нп (р-) о Нп (f) = Я"(р- о f) = 0, ибо р«.
с Г = 0. Далее, пусть Ъ^Нп{В') и #"(?•)(*>) = °- Най-
Найдем flEff"D'), для которого Ъ = Нп (i')(a). Пусть Ье
ей"- представитель Ь, db = 0. Тогда рп (В) = dc для
некоторого "се С. Поскольку р": S"-1 -*- С" —
сюръекция, с = рп'1 {bi) для некоторого ^ е В"-1. Ясно,
что рпE — dfil) = 0, так что ввиду точности F) Ъ —
-dn^iVl = in(a) для aei". При этом in+i(da) = din(a) =
= dn"B = 0. Поскольку in+i — вложение, dna = 0. .Ясно, что
в качестве а можно взять amodlmd^ e/7nD").
б) вп(Г,р-)^(р-) = О. Пусть с = Нп(р-)(Ь), Ъ^В\
с=рп(Ъ)^Сп — представители Ь и с соответственно, так
что йБ = 0. Тогда из определения 6n(f, p-) в п. 7 ясно,
что Ьп(Г,р-)(Ъ) = О.
в) Кегбп(Г, р-)с1тпЯп(р')- Пусть бп(Г,р-)с = О
и с ^Сп — коцикл, представляющий класс когомоло-
когомологий с. Будем следовать построению б"(Г, р*)в п. 7. Пусть
с=рп{Ъ) и d? = r+1(a), FeB", eei««, Поскольку
бп(i"> P*) (с) = 0, a = dai для а\ е Л". Положим 5i = 5 —
-Г (я,). Тогда d^ = 0 и рп(^1) = рп(^)-^я(«1) =
= с. Поэтому с = /Уп (р-) (bj, где Ьх = &х mod Im d% e
()
еЯE)-
г) #"+1(i*)° б" (Г, р-) = 0. Согласно п. 7 элемент
а = бп (Г, р") (с) е Я™ х (Л') представляется таким
коциклом aei°+1, что Г+1(а) = с#) для некоторого 5 s В".
Поэтому Hn+l(i)(a) = 0.
д) КегЯп+1A)с1тбп(Г, р-)- Пусть веЯ"+1(/)
и Я"+' (i) (a) = 0. Пусть а е= Л"+1 — коцикл, представ-
представляющий а. Тогда t"+1(a) = dS для некоторого
Ь^Вп. Положим с=/E)еС". Имеем dc=d(p"S) =
= pn+1(d5) = pn+1(in+1a) = O, так что с — коцикл. Пусть
с е Я11 (С")— соответствующий класс когомологий. Из
определения б" (Г, р") ясно, что a = 6n(f, р*) (с), ш
9. Обобщение на системы коэффициентов. Пусть те-
теперь 38, Ж — две когомологические системы коэффициен-
коэффициентов на симплициальвом множестве X. Морфизмом ф: 38 -*•
-*¦ Ж называется семейство гомоморфизмов
63
по одному для каждого симплекса х^Х, перестановоч-
перестановочных со структурными отображениями M(f, х) и Я'(/, х).
Последнее означает коммутативность диаграмм
Аналогично определяется морфизм гомологических
систем коэффициентов.
По морфизму ф: Ш ->- $' очевидным образом строятся
морфизмы групп коцепей ф": Сп(Х, М)-+Сп(Х, <%'):
Формула (9) § 4 показывает, что ф" — (фп) является
морфизмом комплексов. Аналогично строятся морфизмы
комплексов цепей с учетом формулы (8), § 4.
Последовательность систем коэффициентов
называется точной, если для всех х <
ватдалыюсти групп
, точны последо-
последоАналогичное определение применяется к гомологическим
системам коэффициентов.
В этой ситуации справедлив аналог леммы 6 (и его
гомологический вариант): последовательность комплексов
0 -* С (X, Я') ->. С (X, Я) -у- С (X, ЯГ) -> 0
точна.
Применяя к ней теорему 8, получаем аналог тео-
теоремы 3.
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Функториалыюсть точной последовательности. Пусть зада-
задана диаграмма комплексов и их морфизмов
0
* v
А' -> В' -S- С -S- 0
0 ->. Л* Д- В' + С* -> 0
которая коммутативна (т. е. gi = if, hp = pg) и строки которой
64
являются точными тройками комплексов. Тогда гомоморфизмы
Hn(f), Hn(g), Hn(h) определяют коммутативную диаграмму
...+Нп (A') -v IIй (В-) -* Нп (С) -> Яп+1 (А') -> ...
| | ] 1
... -> нп(а-) ¦+ нп(в-) -> нп (с-) -> яп+1 (А-) -> ...
строки которой — точные последовательности, отвечающие стро-
строкам диаграммы G).
Относительно других свойств точных последовательностей см.
упр. II.5. 6—7.
§ 7. Комплексы
1. Происхождение комплексов. В этом параграфе мы
опишем несколько классов комплексов алгебраического
и геометрического происхождения. Их можно условно
разбить на две группы — комбинаторные и дифферен-
дифференциально-геометрические. Прототипом первых является
комплекс цепей симплициального множества, вторых —
комплекс де Рама. Мы также опишем некоторые алгеб-
алгебраические операции над комплексами.
2. Определение. Симплщиалъной абелевой груп-
группой называется симплициальное множество А =(Ап), и =
= 0, 1, ... (см. определение 2.1), для которого все Ап
снабжены структурой абелевой группы, а все отображе-
отображения A(f): An-*Am являются гомоморфизмами групп. ¦
В § 2 для любого симплициального множества X и
гомологической системы коэффициентов ^ на нем были
построены группы цепей Сп(Х, зФ). Определим для не-
неубывающего отображения /: [т] -*¦ [п] гомоморфизм
Cn(f): Cn(X
Cn(f)( S a(x)x)= 2 A(f,x)(a(x))X(f)(x).
Из формул D), E) § 4 следует, что С. (X, s?) =
= (Сп (X, s&)) превращается в симплициальную абелеву
группу.
По любой симплициальпой абелевой группе можно
построить комплекс, имитируя формулу (8) § 4.
3. Определение-лемма. Пусть А — симплици-
альная абелева группа. Определим гомоморфизм dn:
An-+An-t формулой:
dn(a)='%(-i)iA(din)(a).
«=о
Тогда dn_t ° dn = 0, так что (Ап, dn) есть цепной комплекс.
5 G. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 65
Доказательство — такое же, как леммы 4.2. ¦
Комплекс коцепей симплициального множества явля-
является частным случаем аналогичной конструкции, исполь-
использующей косимплициалъные абелевы группы. Косимпли-
циальная абелева группа определяется как семейство абе-
левых групп {Вп), п = 0, 1, ..., и гомоморфизмов B(j):
В -*¦ Вп, по одному для каждого неубывающего отображе-
отображения /: [т] -»¦ [п], с условиями Z? (id) = id и B(J°g) =
= B(f)°B(g).
Предоставляем читателю сформулировать и доказать
аналог определения-леммы 3.
4. Комплекс Чеха. Пусть Y — топологическое прост-
пространство, ?/ = (?/„)—некоторое его покрытие (не обяза-
обязательно открытое), У — пучок абелевых групп на Y.
Определим косимплициальную группу коцепей Чеха
C{U, &~) следующим набором данных.
Один элемент Cm(U, &") есть семейство сечений
ф = {fao...am^&~(Uao П • • • П Uam)}, ПО ОДПОМу ДЛЯ каж-
дого семейства т+ { индексов а0, ..., ат.
Неубывающему отображению g: [m] -*• [п] отвечает
отображение C(g): Cm~+Cn, которое переводит коцепь ср
в коцепь с компонентами
(С (g) ф)«0...схи = ^ (<ta
g@)...ag(m)
),
где ограничение берется с Uag@) П • ¦ • П Uagim) на ?/„о П ¦ • •
...nf/an.
В комплексе, ассоциированном с этой косимилициаль-
ной группой, дифференциал имеет вид:
m+l
Нимало комплекса Чоха выглядит так:
{Фв е Т (Ua)} ~ {(</<|>Ц,™, res (Фв1) - res (Фа0)},
(Ml
V (Ua0 fl UaJ\ -
res (фаЛ) - res (фа„а J + «З (фаЛ) ] •
Из этих формул видно, что комплекс Чеха может
быть дополнен до комплекса
о -> дг (X) _^ с° (и, Р) -> с1 (и,
где е(ф) = (гсЗ[/аф). Ife определения 5.2 ясно, что если
U — открытое покрытие, то этот комплекс точен в чле-
членах дг(Х) пС°(и, Г).
Вообще, группы когомологий IP(U, 5Г) комплекса
C'(U, @") называются чеховскими когомологиями по-
покрытия U; в частности, Я0(С/, @~)=Т(Х, &~) для откры-
открытого покрытия не зависит от U.
5. Комплекс сингулярных цепей. Пусть Y — тополо-
топологическое пространство, Хп — его множество сингулярных
гс-симплексов (см. п. 2.4), Сп(Х, А)—симплициальная
абелева группа цепей X с коэффициентами в абелевой
группе А. Построим по ней комплекс, как в п. 3. Его
гомологии Hn"g (У, -А) называются сингулярными гомо-
логиями Y с коэффициентами в А. Аналогично опреде-
определяются сингулярные когомологий.
6. Гомологии и когомологий группы. Пусть G — неко-
некоторая группа, А — левый G-модуль, В п. 4.9 в) мы по-
построили связанную с А когомологическую и гомологиче-
гомологическую системы коэффициентов на симплициальном мно-
множестве BG.
Гомологии и когомологий BG с этой системой коэф-
коэффициентов называются соответственно гомологиями и
когомологиями группы G с коэффициентами в А и обо-
обозначаются Hn{G, A), Hn(G, А) соответственно.
7. Комплекс де Рама. Пусть X — некоторые С°°-много-
С°°-многообразие, С{X) — кольцо С°°-функций на нем, Q'(X) —
С (X) -модуль дифференциальных i-форм, Q°(X) = C(X).
Внешний дифференциал d: Qh(X) -*- Qh+i(X) в локальных
координатах (х\ ..., хп) задается формулой
^2)
i = (iu ..., h), \i\ = k, dxl -лЛд ¦ • • A
Он однозначно определяется следующими свойствами:
а) d (со^Л со') = dak Д сог + (— 1)" со& Д da1, со" е= Qh,
б) d2 = 0,
в) d: C(X)^-Ql(X) сопоставляет каждой функции ее
дифференциал.
5*
67
Когомологии комплекса &' (X) называются когомо-
логиями де Рама многообразия X и обозначаются иногда
Нт{Х).
У этой конструкции есть ряд важных вариантов. По-
Поставим в соответствие открытому ^множеству U <=¦ X про-
пространство Qk(U) и очевидным образом определим для
Fc U ограничения Qh(U)-*- Qh(V). Получится пучок,
обозначаемый Qh. Внешний дифференциал коммутирует
с ограничениями и позволяет определить комплекс пуч-
пучков й .
Другой вариант получается, если вместо гладкого
многообразия X рассмотреть комплексно аналитическое,
а вместо всех (комплекснозначных) дифференциальных
форм — только голоморфные.
8. Гомологии и когомологии алгебр Ли. Применим
конструкцию п. 7 к связной группе Ли G вместо X. Она
действует правыми сдвигами на C(G) и на Qk(G), по-
последнее действие однозначно определяется условием его
перестановочности с d. Обозначим через Qinv(?) под-
подкомплекс ?2' (G), состоящий из G-инвариантных форм.
Он допускает чисто алгебраическую конструкцию в тер-
терминах алгебры Ли g группы G. В самом дело, реализуем
Й как пространство правоинвариантных векторных полей
на G. Тогда
f (fe )
где справа стоит пространство кососимметричных &-ли-
пейных форм на g. Внешний дифференциал от /с-формы,
рассматриваемый как полилинейная функция на вектор-
векторных полях, в общем случае имеет вид
2
3 1
Применяя эту формулу Картаиа к Qin\(G), мы получа-
получаем внешний дифференциал на комплексе С (g) =
= ^(A-fl, R):
dc (gv ¦¦¦, gh+1) =
2 (-*)i+I-lc([fy*ib«i> •¦-.«j -«i,.... гЛ+1).
(iH
Его когомологии обозначаются//' (9, R). Важно, что эта
конструкция совершенно не требует существования груп-
группы Ли G, ассоциированной с алгеброй Ли g. В частности,
она применима к бесконечномерным алгебрам Ли.
Более общо, пусть А — некоторый g-модуль. Положим
C*(g, A) = S>(A"^, А) и определим дифференциал по об-
общей формуле Картана:
h+1
Когомологии этого комплекса, естественно, обозначаются
Я* (в, Л).
9. Гомотопные отображения комплексов. Кроме точ-
точной последовательности, обсужденной в § 6, важным
техническим средством для вычисления гомологии явля-
является замена комплекса, сохраняющая гомологии. Более
общо, пусть /., g.: В. -+С. — морфизмы цепных комплек-
комплексов, //•(/), Н. (g) — соответствующие морфизмы гомо-
гомологии как в п. 6.5. Назовем /. и g. гомотопными, если
существуют гомоморфизмы групп к = (кп), кп: Вп -*¦ Сп+1
такие, что
/" — gn = kn_1d
A)
(не требуется, чтобы кп коммутировали с d). Аналогич-
Аналогично, морфизмы f,g'~ В'-*-С коцепных комплексов на-
называются гомотопными, если /" — g' = kd + dk для неко-
некоторых гомоморфизмов групп кп: Вп-+Сп~1.
10. Лемма. Если /., g. — гомотопные морфизмы цеп-
пых комплексов, то Нп (/) = Нп (g) для всех п.
Доказательство. Достаточно проверить, что если
/. — g. гомотопно 0, то Hn(j — g) — нулевое отображе-
отображение, т. е. f — g переводит любой цикл Ъп в границу.
В самом деле,
Аналогичное утверждение верно, конечно, и для гомотоп-
гомотопных морфизмов коцепных комплексов.
11. Теорема, а) Пусть ср, я|): X-*-Y—топологиче-
X-*-Y—топологически гомотопные непрерывные отобраокения топологиче-
топологических пространств. Тогда они индуцируют одинаковые
69
отображения групп сингулярных гомологии с любыми
коэффициентами.
б) Пусть ф, г|з: X-^ Y — гладко гомотопные отображе-
отображения С"-многообразий. Тогда они индуцируют одинаковые
отображения когомологий де Рама.
12. Следствие. Если X стягиваемо, т. е. отображе-
отображение id: X -»- X гомотопно отображению Х-*- {точка}, то
Hfns {X, А) = A, Hfns (X, А) = 0 при i> О. Аналогич-
Аналогичное утверждение верно для когомологий де Рама.
13. Доказательство теоремы. Оно состоит в
конструкции алгебраической гоыотопии между морфиз-
мами комплексов цепей С(ф), С{§).
Случай сингулярных гомологии. Обозначим через
Cn'ng (X, A), Cnms (У, А) группы сингулярных цепей
пространств X и У с коэффициентами в абелевой груп-
группе А. Пусть гомотопия между отображениями ф, ф: X-+¦
-»¦ Y задается непрерывным отображением F: XXI-+Y
(/ — отрезок [0, 1]) таким, что
F{x, 0) = ф(аО, F{x, 1) = Ч>(*>- B)
Обозначим через /., g.: СГе (X, А) -> C?ing (У, А) мор-
физмы комплексов, индуцированные ц> и i|) соответ-
соответственно.
Грубо говоря, алгебраическая гомотопия кп:
C"rg(X, Л)-*-С^+?(У, А)— это отображение, сопостав-
сопоставляющее каждому сингулярному гс-симплексу s: Ап->-Х
«призму над s», т. е. сингулярную (гг+1)-цепь в Y, яв-
являющуюся подходящей триангуляцией отображения
призмы А„ X / в Y, задаваемого формулой (Я,, t) ь*
*+F(s(k), t), J,?A,, t^I. При этом формула dk + kd —
— / — S означает, что граница призмы (член dk) состоит
из боковых граней (член М), верхнего g и нижнего /
оснований, взятых с подходящими знаками.
Перейдем к доказательству теоремы. Для этого мы
прежде всего построим для каждого р фиксированную
сингулярную (р + 1)-цепь бР (с целочисленными коэф-
коэффициентами) пространства Лг X /. Вводя в симплексе ДР
координаты {х„, ..., хр), xt>0, 2^= 1> зададим для
каждого I, 0 ^1 ^ р, сингулярный (р + 1)-симплекс
ЬрЛ:
70
ж0, . •., хр+1)
, 2
Заметим, что набор симплексов бР, ((Аз,+1)сг ДРХ / задает
триангуляцию АР X/, рассмотренную в п. 1.5.
Положим теперь
р+1
Для вычисления границы 8Р введем следующие р-цепи в
АРХ1:
е0: Ap->Aj, X /; Ян-»- (К; 0) (нижнее основание),
ех: Ар->-Ар X /; Ян-»- (Я,; 1) (верхнее основание),
6p-i = 2
i X id/) ° &P-i,i (триангуляция г-й
боковой грани), i = 0, . . ., р,
где А *: Др-^-^Др—вложение i-й грани (см. 2.1),
вр
6Р_М: Ap-»-Ap-iX/ определяется аналогично бр>г.
Мы оставляем читателю проверку следующей фор-
формулы:
dSp = - S (- 1){ б^! + ег - е0. C)
г=0
Эту проверку легко провести, вычислив коэффициенты
в левой и правой частях для каждого из сингулярных
р-симплексов, входящих в d$Pf ( для какого-нибудь I. Со-
Соответствующая картинка для р = 1 приведена ниже
Построим теперь кп: С%Пё(Х, А) —>¦ С„+i Eх, А), задавая
его на каждом n-симплексе в X и продолжая да-
далее по линейности. Пусть й: А„ ->- X — сингулярный симп-
симплекс в Z. Тогда kn(h)— это следующая сингулярная
(п+ 1)-цепь в У:
П+1
^n (h) =?j(-l)lFo(hX idj) - б„,,.
г
Равенство A) можно проверить отдельно для каждого
сипгулярного га-симплекса в X; в этом случае оно легко
следует из B) и C).
71
Случай когомологий де Рама. Пусть F: ХХ/->У—
гладкая гомотопия, F(x, 0) = ф(ж), F(x, i)-ty(x).
Нам нужно построить отображения kn: Й"(У)->-
->- Qn-i(X) такие, что для любой формы со ^ й"G) имеем
dkna + kn+lda = i|5* (со) - ср* (со).
Построение кп мы будем вести, используя локальные ко-
координаты х\ ..., хп на X. Читатель может проверить, что
все конструкции инвариантны относительно замены ко-
координат и, значит, определены глобально на X.
Пусть a^un{Y). Тогда F*(<a)^Qn(XXI). Запишем
F*((x>) в виде
F* (со) = сох + со2Д<Й,
где гс-форма coj и («—1)-форма со2 локально имеют вид
Положим
2 f
\J\=n-i
1
*) = jp
0
|JI=n-l
Проверим, что А;" удовлетворяют нужным условиям. За-
Заметим прежде всего, что ввиду равенств F(x, 0) = ц>(х),
F(x, l) = ty{x) имеем
* И при г =" °'
Вспоминая выражение для дифференциала в локальных
координатах, имеем
dknti> = (—
Г. D)
|J|=n-l i
Далее, F* (dco) = eiF* (со) = Aox + c/co2 Д Л ~ сох + щ /\ dt,
где
I=n-i t
E)
72
Вычисляя теперь kn+l du>, мы видим, что выражение, по-
полученное из второй суммы в E), отличается от D) лишь
знаком. Поэтому
(со) - Ф* (со). В
14. Доказательство следствия. Следствие вы-
вытекает из теоремы, поскольку
Hfng ({точка}, А)=А,
Hfng ({точка}, А) = 0 при i > О
(см. задачу 7.1д). ¦
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Вырожденные цепи. Пусть С — симплициальпая абелева
группа (см. п. 2) и С = (С„, dn) — комплекс из п. 3. Положим
гомотопически три-
i=0
а) Доказать, что dn(Dn) czDn+\.
б) Доказать, что комплекс D = (Z>n, d
вналгп. Поэтому имеют место изоморфизмы
Ht (С) ~Щ(С/5).
в) Пусть X— симшпщиалытое множество, si- — гомологическая
система коэффициентов. Проверить; что Сп(Х, -я?) с естественны-
естественными операциями (продолженными по линейности) образуют симп-
лициальную абелеву группу.
г) Пусть X — такое симплициальное множество, у которого
грани невырожденных симплексов невырождены (т. е. отвечающее
триангулированному пространству: см. п. 2.7). Тогда в Ct(X, ^)
имеется подкомплекс Nt(X, s&), состоящий из линейных комбина-
комбинаций невырождегшых симплексов. Доказать, что вложение Ni-*Ci
индуцирует изоморфизм
д) Размерность dim X симплициального множества X — это на-
наибольшее и, для которого в X существуют невырожденные ге-сим-
плексьг. Докажите, что для любой гомологической системы коэф-
коэффициентов si на X имеем Hi(X, si-) = 0 при i > dimZ.
2. Связь между гомотопиями отображений топологических про-
пространств, симплициальных множеств, комплексов. К настоящему
времени у пас ость три понятия гомотетии: гомотопия непрерыв-
73
ных отображений топологических пространств ф, -ф; Х->7; гомо-
топия отображений симплициальных множеств ф., '•p.: X.-+Y,
(см. задачу 3.1), гомотопия морфизмов комплексов (см. и. 7.9).
Докажите, что если <р, i|5: X-+Y гомотопны, то соответствующие
отображения симплициальных множеств sing(qj), sing(ip):
sing(^L)->-sing(lr) (см. 2.4) также гомотопны. Докажите, что если
отображения симплициальных множеств ф., i|>.: Хш ->Y% гомотоп-
пы, то морфизмы комалексов С(ф.), С(тр,): C.(Xt, ^4)->-С. (У,, А)
(для любой группы коэффициентов .А) гомотопны. Указа-
Указание. Повторить доказательство теоремы На.
3. Когомологии Хохшильда. Пусть к — коммутативное кольцо
с единицей, А — некоторая /с-алгебра, М — Л-бимодуль. Докажите,
что формулы
Сп (А, М) =М ® А®п (тензорное произведение над к),
d (т ® а± (g) ... ® on) = ma1 <g) а^ ® .. . (g) an -\-
п—1
i
задают цепной комплекс. Его гомологии называются гомологиями
Хохшильда алгебры А с коэффициентами в бимодуле М и обозна-
обозначаются Нп(А, М).
Аналогично, ко гомологиями Хохшильда Пп(А, М) алгебры А
с коэффициентами в М называются когомологии коцемшого комп-
комплекса С (А, М), где
Сп {А, М) = Homh (A®n, M),
df (av ..., ап+1) = axt {av ..., ап+1) +
+ (-1)"+1/К, ..-«„) °п + Г
Вычислите Яге(А, Л) и Я"D, Л*) (где 4* = Нопи(Л, к)).
4. Циклические гомологии алгебр. Положим в конструкциях
предыдущей задачи к zd Q, M = А. Зададим на членах комплекса
С.(А, А) циклическую перестановку, полагая
t(a0 ® . .. ® а») = (—1)"ап ® а0 ® . .. <Э ап-ь
Доканштс, что образ 1 —t ость подкомплекс С (А, А). (Точнее, до-
кажите, что d(i— t) = {1 —t)d', где d' (a^(g) ... <g> en) =
n—i
= ^ (— 1)г a (g) ... (g) aiai+i ® • ¦ ¦ ® яп.) Циклические гомологии
г=о
Я^ D) алгебры А определяются как гомологии комплекса
74
• = dmodlm(l —
Аналогично, циклические когомологии Н^ (Л) определяются как
когомологии подкомплекса С% (А) с: Сп (А, А*), состоящего из
t-инвариантных коцепей.
5. Комплекс Кошуля. Пусть А — кольцо (не обязательно комму-
коммутативное), М — ,4-модуль (скажем, левый), фЬ ... фР — семейство
попарно коммутирующих морфизмов М в себя (как .А-модуля).
Комплекс Кошуля
отвечающий (М, ф], ..., <рр), строится так:
Докажите (ипдукцией по р) следующие утверждения:
а) Пусть для каждого j, 1^/^^, ф,,- сюръективен как авто-
автоморфизм подмодуля Кег ф, fl ... A Кег ф^_х cz M. Тогда
Ю {JC) = 0 при ] ф 0 и №{Ж) = Кег ф, П • - ¦ П Кег фР.
б) Пусть для каждого ;, 1 < / ^ р, <р^ инъективен как авто-
автоморфизм фактормодуля Л//Aт ф1 + ... + 1т ф,--|). Тогда НЦЛ) =
= 0 при / ф р, Нр (Л) = М/Aт ф! + • • • + 1т фр).
При выполнении условий из а) или б) последовательность
(ерь ..., фр) называется регулярной. Часто встречающийся случай:
кольцо А коммутативно, автоморфизм ф^-, 1 г^; ^ р, задается ум-
умножением па элемент а, е А.
ГЛАВА II
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ КАТЕГОРИЙ
§ 1. Язык категорий и функторов
1. Определение. Категория ff состоит из следую-
следующих данных.
а) Класс ОЪ^, элементы которого называются объ-
объектами.
б) Набор множеств Hom(X, У) по одному для каж-
каждой упорядоченной пары объектов X, У е ОЬ Ф, элементы
которых называются морфизмами (из X в У) и обозна-
обозначаются ф: X ->- У.
в) Набор отображений
Hom(Z, У) X Нот (У, Z)-*Hom(X, Z)
по одному для каждой упорядоченной тройки объектов
X, У, Z. Паре ср: X -+¦ У, -ф: У -*¦ Z такое отображение
ставит в соответствие морфизм, обозначаемый т|э ° ф или
я|)ф: I-+Z и называемый композицией ф и ф.
Эти данные должны удовлетворять следующим ак-
аксиомам
A. По каждому морфизму ф однозначно определяют-
определяются такие X, У е Ob W, что ф е Нот (X, У). Иными сло-
словами, множества Нот(Х, У) попарно не пересекаются.
Б. Для каждого объекта Х^ОЪЧ? существует тож-
тождественный морфизм, обозначаемый \АХ: X -*- X и одно-
однозначно определяемый тем свойством, что id* ° ц> = ф,
1|з »id* = я|) всякий раз, когда эти композиции определены.
B. Композиция морфизмов ассоциативна:
для любых ф: X -> У, 1|э: У -> Z, %: Z -> С/. ¦
2. Об обозначениях. Вместо X е Ob ? мы будем так-
также писать Хе^, а вместо Нот(X, Y) — Нот^ (X, Y)
или "g? (X, У). Если ф «s Нот (X, У), морфизм ф может
76
называться стрелкой с началом X и концом У. Класс
| | Нот(Х, У) ипогда обозначается Мог Ч?.
В определении категории заложена операция только
над морфизмами, а не над объектами. Простейшее кон-
конкретное высказывание о категории состоит в утвержде-
утверждении, что некоторая композиция морфизмов равна неко-
некоторой другой композиции, скажем г1)ф = ф'г|)'. Вместо та-
такого тождества удобно говорить, что диаграмма
и—> z
коммутативна.
3. Категория множеств и множеств со структурой.
Значительную часть своего рабочего времени математик
проводит в категории SPet «всех» множеств и «всех»
отображений между ними. Композиция морфизмов — это
композиция отображений; тождественные морфизмы —
тождественные отображения. В стандартной аксиомати-
аксиоматике, скажем, Цермело — Френкеля, все множества образу-
образуют класс, но не множество, и ряд операций с ним запре-
запрещены. Поэтому такое наивное определение ff'et сделает
невозможным ряд категорных конструкций, о которых бу-
будет речь далее. Выход из этой ситуации — ввести «уни-
«универсум», большое множество множеств, стабильное отно-
относительно всех операций, какие могут понадобиться, после
чего рассматривать лишь категории, принадлежащие это-
этому универсуму. Впредь мы будем считать, что при же-
желании необходимые правила гигиены можно соблюсти.
Важный класс категорий составляют множества, снаб-
снабженные дополнительной структурой, с отображениями,
которые с этой структурой согласованы. Примеры:
Э~ор: категория топологических пространств и непре-
непрерывных отображений между ними;
SDiff: категория бесконечно дифференцируемых мно-
многообразий и гладких отображений между ними;
s&b: категория абелевых групп и их гомоморфизмов;
Л-mod: категория левых модулей над фиксированным
кольцом А и их гомоморфизмов;
$г: категория групп и их гомоморфизмов.
4. Примеры категорий из главы I.
а) Категория Д:
ОЬД = {[и]1п = 0, 1, 2, ...},
77
Д([те], [«]) = множество неубывающих отображений
{О, ..., т) в {0, ,,., га}.
б) Категория симплициальных множеств Aa97et:
Ob buffet = (симплициальные множества) (см. 1.2.1),
Нот (X., Y.) — {симплициальные отображения X. в У.}
(см. 1.2.16).
в) Категория симплициальных топологических прост-
пространств Ь?3~ор:
Ob А°?Гор = {симплициальные топологические
пространства) (см. 1.3.2),
Нот.(X., Y.) = {наборы непрерывных отображений
Ф = {ф„), фт.: Хп -*¦ У„, для которых
У(/)фэт = фтХ(/) для любого неубываю-
неубывающего /: [яг] ->- [п]}.
г) Категория симплициальных объектов Д0^, где
ЯЗ — абстрактная категория. Читателю предлагается опре-
определить ее самостоятельно, по аналогии с б) ив).
д) Категория комплексов абелевых групп Kom(!^fc):
Ob Кот (чЯ^Ь) = {коцепные комплексы С абелевых групп)
(см. 1.4.3),
Нот(/?', С') =¦ {морфизмы комплексов В"-> С] (см. 1.5.5).
5. Еще примеры категорий. В следующей группе при-
примеров объектами по-прежнему (как и в примерах из
п. 3) являются множества, снабженные некоторой струк-
структурой, однако морфизмы задаются по-другому.
а) Категория ?Гор h:
Ob STop h = Ob ?Гор = {топологические пространства),
Hom^r (Х,У) = (множество гомотопических классов непре-
непрерывных отображений X в У}.
Категория STop h — основная категория гомотопиче-
гомотопической топологии.
б) Категория отношений Я,е1:
Ob 0lel = OhSPet — {множества в данном универсуме),
Нот^ДХ, У) — {подмножества прямого произведения
XX У}.
Композиция фгХ-^Уич!?: У-»-Z определяется так:
t" ф - - {(.г, г)еХ X Z\ существует уеУ, для которого
< ) ( )}
78
Тождественный морфизм задается диагональю в прямом
произведении:
id {0 )|l)
в) Категория аддитивных отношений
ОЪ&е1зФЪ = ОЪзФЪ = {абелевы группы),
Нот(Х, У) = {множество подгрупп в XX У).
Композиция морфизмов и тождественный морфизм опре-
определяются, как и в б).
Третью группу примеров составляют некоторые клас-
классические виды структур, которые удобно рассматривать
как категории.
г) Категория частично упорядоченного множества.
Пусть / — частично упорядоченное множество. Зада-
Зададим категорию 'ff(I) так:
ОЬ «?(/) = /,
Нот (г, /) состоит из одного элемента, если ?</, пусто
в противном случае.
Композиция морфизмов и тождественный морфизм опре-
определяются единственно возможным способом.
Важным частным случаем *^(/) является описывае-
описываемая ниже
д) Категория ?Гор X. Пусть X — топологическое про-
пространство. Положим
ОЬ 3~ор X = {открытые подмножества X),
llom(U, V) = естественное вложение С/-»- V, если U<=V;
пусто, если U Ф F.
Введем теперь второе важнейшее понятие теории ка-
категорий.
6. Определение. Функтор F из категории *& со
значениями в категории 3) (обозначение F: ff ->- St>) со-
состоит из следующих данных:
а) Отображение ОЪЪ-+ОЪ@: X**F(X).
б) Отображение Mor^ -> MorS): (p*-*-F(y) такое,
что ф: Х-»- У переходит в F(<p): F(X)^-F(Y).
Эти данные должны быть подчинены следующему
условию:
= F(ф)FИ>) для всех ф, -ф
для которых фг|) определен. (В частности, F(idx) —
id)
79
7. Примеры функторов из главы I.
а) Геометрическая реализация:
1-1: M'9'et-^Top.
Значение этого функтора на объектах b^SPet определено
в 1.2.2, а иа морфизмах — в 1.2.16. Условие l/gl = I/I \g\
очевидно.
б) Сингулярное симплициалыюе множество:
Sing: Top + b?&et.
Значения этого функтора на объектах определено в 1.2.4:
(Sing Y) п = множество сингулярных гс-симплексов У,
(8щгУ)(/)(ф) = ф°Д,, где /: [т]-+[п], Д,: Дт-»-Д„.
Значение Sing на морфизме (непрерывном отображении)
a: Y -*- У определяется с помощью композиции: Sing (а)
переводит сингулярный симплекс ф: Д„ ->- Y в сингуляр-
сингулярный симплекс а»ф: Д„ -*¦ У. Остальные подробности
предоставляем читателю.
На этом примере удобно сравнить достоинства и не-
недостатки двух способов записи: тождеств между морфиз-
мами и коммутативных диаграмм.
в) п-я группа когомологий:
Я": ЖотЫ<Ъ-+Ы<Ъ.
Значения Яп на объектах ЖотЫ-Ь определены в 1.4.10,
а на морфизмах — в 1.5.5.
г) Классифицирующее пространство:
В: &r-*k°9>et.
Определение BG дано в 1.2.8. Остальные подробности
предоставляются читателю.
д) n-скелет. Отображение X.i-»-sknX., сопоставля-
сопоставляющее симплициальному множеству X его n-скелет, задает
функтор skn: №SPet -*¦ b?SPet. Описание действия skn па
морфизмах и проверка свойств оставляются читателю.
8. Замечания, а) Понятие функтора возникло как
формализация того, что в старину называли «естествен-
«естественными конструкциями», и примеры из п. 7 дают образцы
таких конструкций. В п. 9 мы дадим другие примеры
функторов. Совершенно особую роль играет функтор,
определенный для любой категории *& и объекта lef,
h'x: W->?>et:
h'x (Y) = Hom^ (X, Y),
^x (/) (<p) = / • Ф, где Ф е- Нот (X, Y), /: Y-+Y'.
Мы вернемся к нему ниже, в § 3.
но
б) Те функторы F: 9? -*¦ St), которые мы определили
в п. 6, иногда называют ко вариантными функторами и оп-
определяют контравариантный функтор G как пару ото-
отображений G: ОЬФ ->- ОЬЗ), Мог'?' -*¦ Моги) с условием,
что G переводит <р: X ->¦ F в б(ф): ф G)-»-<р (Z) и
б(<рт|з)= СA|з)С(ф). Сейчас общепринято относить это
«обращение стрелок» к исходной категории *&.
Формально, определим двойственную категорию ^°
следующим образом: Ob'S70 = Ob97 (но lef как объект
^° будем обозначать X"); Нош^с(Х°, У0) = Нот^ (У, X)
(морфизму ф: Y -*¦ X отвечает ф°: Х° -+¦ У0); наконец,
ФУ(Ф1)§ id (id)«
У(Ф1), x (x)
«Контравариантный» функтор *& -*¦ SD определяется
после этого как (ковариантный) функтор G: 'S70 -> 2D.
Пример: Нот^ как функтор от первого аргумента:
1гх: <
-> 9>et, hx (Y) = Honig, (У, X),
М/)(ф) = ф°/, где феНотG,Х), /: У - Y.
Мы вернемся к этому функтору в § 3.
Обозначение A°9°et, введенное в п. 4 б), напоминает
о том, что каждое симплициальное множество -X". можно
рассматривать как функтор X,: tSP^t
Х.([п\) = Хп, Х.(/)
в) Функтор Homg> естественно рассматривать как за-
зависящий одновременно от двух аргументов. Вместо того
чтобы формально вводить соответствующее определение,
сейчас принято пользоваться конструкцией прямого про-
произведения категорий.
Пусть, скажем, <& и (&' — две категории. Положим
0Ь(СХС")=0Ь«?Х0Ь9",
(Y, У'))= Homy(X, Y) X
Нетрудно проверить, что *& X (@" образует категорию.
Аналогично определяется произведение любого семейства
категорий Tl&i- Функтор от нескольких аргументов, по
i?I
определению, есть функтор на соответствующем произве-
произведении категорий. Нам уже встречались два примера:
81
6 с. И. Гельфапд, Ю. И. Мании, т, 1
бисимшшциальное множество X.. (определение в 1.3.3):
X..: Д°х №-
г) Теоретико-множественная композиция функторов
*& -*~ 3)-*~ ё> есть функтор 'S7-*- <B'. Тождественное ото-
отображение Idcg,: Ob *& ->- Ob W, Мог ^ -*¦ Мог W есть функ-
функтор. Это позволяет рассматривать любое множество ка-
категорий как категорию с функторами в качестве мор-
физмов.
9. Еще примеры функторов.
а) Предпучок множеств (абелевых групп, ,..) на то-
топологическом пространстве X есть функтор
TopX-^SPet
...)
(категория Тор X определена в п. 5).
б) Пусть /—частично упорядоченное множество,
<&(/)—соответствующая категория, определенная в п. 5.
Функтор G: 'e'(I)-^ s4b состоит из семейства абелевых
групп (G(i)\i<^I) и отображений gti: G(i)-+ G(j), по од-
одному для каждой пары i ^ /, таких, что если i < / ^ к,
то gik" git — gik, gn = idG(i). Такие семейства обычно воз-
возникают в качестве сырья для взятия проективных и
индуктивных пределов.
в) Функторы забвения. Большой класс тривиальных
примеров функторов получается так: нужно перестать
учитывать одну или несколько структур, имеющихся на
объекте исходной категории. Так получаются функторы
«множество элементов»:
Top, 3>iff,
а также функторы
-Top, Л-mod-^ s4b.
Последнее определение этого параграфа — морфизмы
функторов (их называли также «естественными преоб-
преобразованиями естественных конструкций).
10. Определение. Пусть F, G — два функтора из
'S7 в 3). Функториый морфизм F в G (запись /: F -*¦ G)
состоит из семейства морфизмов
82
по одному для каждого объекта X е Ob <ё>, которое удов-
удовлетворяет следующему условию:
для всякого морфизма <р: X ->- Y в категории *& диа-
диаграмма
С(Ф)
()(
I I
+ /(Y) I
коммутативна.
Композиция функторных морфизмов определяется
очевидным образом, так же как и тождественный функ-
торный морфизм. В результате функторы Ч? ->¦ 3) ста-
становятся объектами категории, которая обозначается
@~unct($, 2Ь) или как-нибудь еще.
10. Примеры из главы I. а) Если симплициальные
множества X., Y. ^ Д.0P'et рассматривать как функто-
функторы X, Y: А" -*¦ SPet (п. 2 6)), то любое симплициальное
отображение /: X.-+Y. определяет морфизм этих функ-
функторов, и наоборот.
б) Рассмотрим категорию S'xc (exact sequence of
complexes), объектами которой являются точные тройки
S комплексов абелевых групп
(см. 1.5.5), а морфизмами — коммутативные диаграммы
вида
4 4 Ч
A)
где /, g, h — морфизмы комплексов. Фиксируем целое
число п и рассмотрим два функтора:
Определенные в теореме 1.5.7 связывающие гомоморфиз-
гомоморфизмы 6n(S) (там они обозначались бта(Г, р')) составляют
морфизм функторов
бп: F-+G.
В самом деле, нужно проверить, что для каждого
морфизма (/, g, h): S -*¦ 3 в категории <5хс (см. A))
6* 83
диаграмма
коммутативна. Эта проверка, использующая явное по-
построение б"(S), составляет содержание упр. 1.6.1.
11. Несколько определений. В заключение мы введем
еще несколько понятий теории категорий, которые бу-
будут часто встречаться в книге.
Категория ^ называется подкатегорией категории .25,
если
а) ObWczObS);
б) Для каждых X, Y е= ОЪФ имеем
Нот^ (X, У) с Нот^ (X, Y);
в) Композиция морфизмов в *<Р совпадает с их ком-
композицией как морфизмов в S)\ для X е Ob <6, id* в ^
совпадает с id* в SD.
Подкатегория ЯР <= (?> называется полной, если для
любых I, Уе Ob *$ имеем
Homg, (X, Y) = Нош^(Х, Y).
Функтор F: Ч? ->• 3) называется строгим, если для
любых X, Y e Ob 93 отображение
является вложением, и полным, если оно является сторъ-
ективпым.
В частности, вложение полной подкатегории *& -*¦ 3)
является строгим и полным функтором. Обратно, можно
доказать, что всякий строгий и полный функтор полу-
получается таким образом (точное утверждение см. ниже,
упр. 2.1).
Объект а произвольной категории *& называется на-
начальным, если для любого X ^ Ob *& множество
Honx<g> (а, X) состоит из одного элемента. Аналогично,
со е Ob Я? называется конечным объектом, если для лю-
любого X^Ob'S' множество Нот^, (X, со) состоит из од-
одного элемента. Ясно, что как начальпый, так и конеч-
конечный объекты категории Ч? (если они существуют) опре-
определяются однозначно с точностью до изоморфизма.
84
Пример. В категории 9"et начальным объектом яв-
является пустое множество, а конечным — одноточечное
множество.
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Другое определение категории. Рассмотрим класс Мог со сле-
следующими структурами:
а) Отображения а, со: Мог-»-Мог,
б) Закон композиции Мог X Мог-»- Мог, (g, f) >-*¦ g° f, опреде-
определенный для таких пар, что со(/) = a(g-).
Пусть они удовлетворяют аксиомам
в) <и2 = to, a2 = а, а>а = а, ага = ю;
г) a(gcf) = a(/), co(g°/) = a(g);
д) ha{gof) = (hog)oj;
е) если / = а(/) = ш(/), то /eg = g и g°f = g, когда эти
произведения определены.
Показать, что это определение категории яквивалептпо обыч-
обычному в следующем смысле. Пусть W — обычная категория; положим
Мог = Мог <& и «(/: Х->У) =idz, со(/: Х-> У) = idy. Наобо-
Наоборот, проверить, что по Мог иосстанавливастся обычная категория.
2. Поликатегория. Пусть / — непустое множество; удобно пред-
представлять его себе как множество попарно ортогональных паправ-
лений в /-мерном пространстве, /-категорией называется класс Мог
со следующими структурами:
а) Отображения a,, coj: Мог^>- Мог для всех / е /.
б) Законы композиции °: Мог X Мог -> Мог, G о F опредолс-
i i
по, если (Bj(-P) = a}(G).
Эти данные должны удовлетворять следующим аксиомам:
в) Правила коммутации а, ш:
к:
при ;
при / =
— (OjCtj = a,-.
г) Связи между а, со и композицией:
при j Ф к: при j = к:
a (G о /г\ = а (G) о а (/?), а . (G » ^ = a, (F),
3 \ h J 3 h ' J \ j ) '
<о, (G о F) = со. (G) о со. (*¦), (о. (g°F)= @, (G).
д) Ассоциативность:
три морфизма в одном направлении:
ч (г п\ — (ч r\ F F G Н
к[ k J [ к ) к
четыре морфилма в двух направлениях:
85
е) Единицы: Если F = a,(F) = co,(F), то
, ,
i i
когда эти композиции определены. (Заметим, что для любого мор-
физма Н морфизм F = o.j{H) удовлетворяет условиям F = <Xj(F) =
= (?>j(F) и аналогично для F' = со^(Я); см. в).)
Элементы Мог, естественно, называются (поли)морфизмами.
Главная задача, относящаяся к этому определению — это лем-
лемма О многомерной ассоциативности: умножение любого количества
морфизмов в любом порядке приводит к одному и тому же
результату.
Более точно, пусть /ь ..., ]п е /—конечное подмножество,
U Ф ]ь при а ф Ъ. Пусть mr ^ 1, г = 1, ..., п — целые числа.
Пусть для любого набора целых чисел (х\, ..., хп), 1 ^ хт =sj mr,
задан F(x\, ..., хп) е Мог, причем
для г = 1, ..., п, 1 ^ Хг ^ гпт — 1. Назовем такое семейство мор-
морфизмов компонуемым. Доказать, что:
а) Можно определить ° F {х) по всем х, пользуясь лишь no-
nose
парными умножениями.
б) Результат не зависит от порядка применения попарных ум-
умножений.
Каждый способ вычисления ° F (?) есть нечто вроде «мпого-
х
мерной расстановки скобок в параллелепипеде т, X • • • X тт».
Сколькими способами можпо их расставить? (для п = 1 ответ на-
называется mi-м числом Каталана).
3. Категория категорий как {1, 2}-категория. Пусть 92 — кате-
категория, объекты которой суть такие категории Ф, что Ob.® — мно-
множества, а морфизмы — функторы между ними. Положим
Мог=
Y e Ob Щ
и далее:
a, (F, f) = (Id,m4anoF, /), wiiF, f) = (IdKO1,04F, /''(/)),
n2(F, j) = (F, idm4aiI0t), co2(F, /) = (F, 1с1«онец/),
(G, g = F(f))°(F,f) = (G*F, /),
l
(F, g)o(F, f) = {F, g°/).
2
Проверьте аксиомы упр. 2.
4. Упорядоченные множества как категории. Пусть Р, Р'—
два частично упорядоченных множества, Ч?', 42' — соответствующие
категории (см. п. 5г)).
а) Докажите, что функторы F: <S -> W отвечают неубывающим
отображениям /: P-vP' (т. е. р{ s^p2^-f(pi) </(P2)).
б) Докажите, что если Fh F2: '&-*¦'&' — два функтора,
то морфизм F\ -*¦ F2 и притом ровпо один, существует
в том и только том случае, если соответствующие отображения
/ь /2: Р-*-Р' удовлетворяют условию fi{p) ^ /2(р) для всех р <= Р.
В нескольких следующих упражнениях мы опишем ряд ка-
категорий, объектами которых служат конечные множества. Прежде
86
всего упомяпем категорию SF3>et всех конечных множеств и всех
отображений. Другим, более интересным примером является
симплицртальная категория Д (см. п. 4а)).
5. Категория 2. Объектами S служат множества [п] = {0,... га}
для всех н ^ 0. Для [т], ,[п] i= Ob2 положим
Horns ([m], [re]) = множество пар ср = </, а), где
/: [7»]-»-[га], а — полное упорядочение
каждого множества f~l(i), ie [иЦ.
Композиция: Пусть ф— </, о>
е Нот2([га], ,[^]). Положим г]> о
Homs( [т], [и]), aj) = <^, т> s
= <^ о /, р>, где
i <. j в смысле р, если /(?) =И= /(/) и f(i) < /(/), в смысле т, или
/(') = /(/)> г < / в смысле о.
Докажите, что 2 — категория (т. е. ассоциативность композиции и
существование единичного морфизма),
6. Циклическая категория Л. а) Зададим на множестве [п]
стандартный циклический порядок 0<l<2<;...<;rc<0
(удобно представлять себе [п] как подмножество окружности S1 =»
= {г е С, |z| = 1}, отождествляя ie [n] с корнем из единицы
e2xik/{n+iiy Категория Л определяется как подкатегория 2:
Ob Л = Ob 2,
НотЛ([лг], [«]) состоит из тех ф = </, с>, что циклический по-
порядок на [»г], индуцированный стандартным циклическим поряд-
порядком на [п] и упорядочением с, совпадает со стандартным поряд-
порядком на [т].
Докажите, что Л — категория. Докажите, что для существова-
существования при данном /: [т] ->• [и] хотя бы одной пары </, a> e
eHomA(![m], [п]) необходимо и достаточно, чтобы / было цикли-
циклически неубывающим: из условия i :^C / =^J Л; =^J t в \т] следует, что
/@ ^/0) =S/W ^/@ в [«]¦ При этом о однозначно определя-
определяется по / для непостоянного /, а если / постоянно, то а можно
выбрать п -j- 1 способами.
б) Другие определения Л. Проверьте, что Л можно опреде-
определить еще двумя способами:
(i) HomA([w], ["]) = множество гомотопических классов не-
непрерывных циклически неубывающих отображений F: S1 -*¦ S\ для
которых F([»i]) с: [п]. (Рассматриваются гомотопии лишь в клас-
классе таких отображений.)
(ii) Морфизмы в Л задаются образующими
т„: [п]
и соотношениями
li—l
при I < /,
при i < /,
= | id
[n_,]
при i = /, / +1,
87
(Связь с определением из б): [дгп пропускает значение t, аяп дваж-
дважды принимает значение i, xn(j) — / + 1, tn{n) = 0. Упорядочении
на прообразах следует дополнительно указать лишь для o<J: это
0< 1.)
в) Автодуалъностъ Л. Сопоставим морфизму ф = </, а>: [т] ->•
->¦ [п] в Л морфизм ф* = <^, т>: ,[ге] ->¦ [те] в Л, полагая
g(i) = а — минимальный элемент в /"'(/), где i — максимальный
в смысле стандартного циклического упорядочения в [п]
элемент из f([m]), меньший или равный i.
Порядок т нужно определить лишь в случае, когда и постоянно;
это происходит в точности, когда / постоянно, и х определяется
тем, что f([m]), есть т-наименыпий элемент в [п]. Докажите, что
отображения [п] ь* [и], q>i- ф*, определяют функтор из Л в двойст-
двойственную категорию Л°, задающий эквивалентность *: Л-»-Ло.
г) Докажите, что симшшциальная категория Д (см. 4а)) явля-
является подкатегорией Л.
д) Аналогично тому, как но симплициалыюй категории Д оп-
определяются симплициальные множества (функторы: A"-^9'et) и
вообще симплициальные объекты любой категории 'й3 (функторы
Д0-*-?7), можно определить циклические объекты как функторы
Л° -*¦ &. Циклические объекты лежат в основе определения цик-
циклических гомологии и когомологий (см. упр. 1.7.4).
§ 2. Категории и структуры.
Эквивалентность категорий
1. Изоморфизм. Многие математические задачи — это
задачи классификации: простых групп, особенностей и
т. п. Ближайшие два параграфа посвящены категорным
аспектам этих задач. Классификация — это обычно клас-
классификация с точностью до изоморфизма.
2. Определение, а) Морфизм <р: X-*¦ Y в кате-
категории 'F называется изоморфизмом, если существует та-
такой морфизм я|з: Y -*¦ X, что ifxp = id*, фгр = idr.
б) Объекты X, Y в категории %? называются изоморф-
изоморфными, если между ними существует хотя бы один изо-
изоморфизм. ¦
Читатель легко проверит, что отношение «быть изо-
изоморфным» является отношением эквивалентности в Ob1!?.
Морфизмы ф, -ф: X -> Y со свойствами, указанными в
определении, называются взаимно обратными. Каждый
88
изоморфизм однозначно определяет обратный к нему
изоморфизм.
Если применить это определение к категории функ-
функторов fFunct^, 3)) (см. п. 1.10), получится важное
понятие изоморфизма функторов. Именно, изоморфизм
между функторами F: <& -+3) и G: Ч? ^-ЗУ — это мор-
морфизм функторов *р: F -»¦ G, для которого есть обратный
морфизм -ф: G -*¦ F, ijxp = id*-, ф-vp = idG.
Читатель легко проверит, что в этом определении
существование обратного морфизма функторов -ф: G -*¦ F
можно заменить более естественным условием: для каж-
каждого ZeOb'g' морфизм ц,(Х): F{X)-+ G{X) является
изоморфизмом.
Приведем содержательный пример изоморфизма
функторов: «двойная дуализация».
3. Пример. Пусть к — поле, Tectk — категория ли-
линейных пространств над к с линейными отображениями
в качестве морфизмов, Yect{— ее полная подкатегория
конечномерных линейных пространств. Рассмотрим функ-
функтор сопряжения
который на объектах задается формулой
* (L) = Honyecf (L, к) = пространство линейных
функционалов на L
ф
и переводит морфизм L-+M в
* (ф): Нот (М, к) -* Нот (L, к)
ш ш
/ /оф
Вместо *(L), *(ф) мы будем, как принято, писать L*
и ф*. То обстоятельство, что * ость контравариантный
функтор, резюмируется единственно важной формулой
г|))
* =
ф*
Кроме того, * (Tect{) a {Tect{)\
Заметим теперь, что * можно рассматривать также
как функтор в противоположную сторону:
*:
(Очень аккуратный читатель отметит, что различие меж-
между этими двумя функторами следовало бы отразить в
89
обозначениях.) Композиция двух реализаций доставляет
функтор
¦**:Tecth-*~yectk.
Этот функтор изоморфен тождественному на подкатего-
подкатегории fectk. Точнее, определен морфизм функторов
который задается отображениями
L -+• L**: I*-*- (I как функционал на пространстве
функционалов).
Хорошо известно, что этот морфизм является изоморфиз-
изоморфизмом при ограничении на Уес1к. Однако он заведомо не
будет изоморфизмом на всем Уесгк. В самом деле, если
L — пространство со счетным бесконечным базисом, то
L* и, тем более L**, имеют континуальный базис.
4. Бесполезное понятие: изоморфизм категории. Если
применять определение 2 к «категории категорий» (см.
п. 1.7 г)), то получится следующее понятие. Изоморфизм
между Ф и 2D задается парой функторов F, G с FG =
= Id^), GF = Id<g,. Это понятие, возможно, вопреки ожи-
ожиданиям, мало полезно, потому что требование FG = Id^j
нереалистично. Обычно, применяя к объекту две есте-
естественные конструкции, мы приходим в лучшем случае
к объекту, который канонически изоморфен исходному,
а не совпадает с ним. Двойная дуализация доставляет
пример этому. Рабочее понятие зафиксировано в следу-
следующем определении.
5. Определение, а) Функтор F: 93 ->¦ 2Е> называ-
называется эквивалентностью категорий, если существует такой
функтор G: &)-*¦*&, что функтор GF изоморфен Idg^
a FG изоморфен Id^.
б) Категории W, 3) называются эквивалентными, ес-
если существует функтор, осуществляющий их эквивалент-
эквивалентность. ¦
Функтор G из а) иногда называется квазиобратным
к функтору F.
6. Пример. Пусть Tectl — категория n-мерных век-
векторных пространств над полем к; Т\ — категория с
одним объектом кп и линейными отображениями в ка-
качестве морфизмов. Имеется очевидный функтор вложе-
вложения Уь—ь-Уесгъ., который является эквивалентностью
категорий.
90
Этот пример типичен: а) эквивалентные категории
имеют «одинаковые» классы изоморфизма объектов и
«одинаковые» морфизмы между этими классами; б) по-
построение функторов, обратных к эквивалентности, часто
неоднозначно и требует аксиомы выбора: в данном при-
примере следует выбрать базисы во всех n-мерных про-
пространствах.
Формально при установлении того, что некоторый за-
заданный функтор является эквивалентностью категорий,
бывает удобно пользоваться следующим простым ре-
результатом.
7. Теорема. Функтор F: W -*- SD является эквива-
эквивалентностью категорий, если и только если
а) F — строгий и полный функтор,
б) каждый Y ^ Ob 2t> изоморфен объекту вида F(X)
для некоторого ХеОЬ?.
Доказательство. Необходимость. Пусть
F — эквивалентность категорий и G: 2) -*- Ч? — квазиоб-
квазиобратный функтор. Пусть
/(X): GF(X)-+X, XeOb'g',
g{Y): FG(Y)^Y, Y<=Ob2>
— изоморфизмы функторов /: GF—>-Id<g>, g: FG-+ Id^5.
Докажем выполнение условий а) и б). Прежде всего,
объект YeObiZ) изоморфен объекту F(X), где Х =
= G(Y)eOb'i?, откуда следует б). Далее, для каждого
ср: Нот^ (X, X') имеем коммутативную диаграмму
GF(X) ^Х
GFW Ф
\ g(X') {
GF (X') * X'
Поэтому ф восстанавливается по ^(ф) формулой
<i> = g(X')°GF((p)°(g(X))-1, A)
так что F — строгий функтор. Аналогично доказывается,
что G — строгий функтор. Для доказательства полноты
F рассмотрим произвольный морфизм ч|з е Hom^ (F (X),
F (X1)) и положим ф = g(X') с G (ф) о (g (X))-1eHomcg>(X, X').
Тогда (см. A)) ф = ^(Х')°С^(ф)о(^(Х))-1, и посколь-
поскольку g{x), g{X')— изоморфизмы, G(\|))= GF((f). Так как
G — строгий функтор, г|) = /('(ф), т. е. F — полный
функтор.
91
Достаточность. Пусть выполнены условия а) и
б). Для каждого Уе ОЪ 3!) зафиксируем XY е= ОЬ Ч? и изо-
изоморфизм g(Y): F{XT)-*Y. Построим функтор G: SD -*¦
-*• <ё!, квазиобратный F, полагая на объектах GY = XY
для У е Ob SD. Далее, зададим G на морфизмах, переводя
реН(Г, Г) в
g (Г)
g (Г)
(ГО (У), ГО (У)) =
(последнее равенство есть условие а)). Легко проверить,
что G — функтор, a g = {g(Y)}: FG-+ Ыф — изомор-
изоморфизм функторов. Далее, g(F(X)): FGF(X)-*- F(X) —
изоморфизм. Поэтому, ввиду a), g(F(X)) = F(f(X)) для
единственного изоморфизма j(X): GF(X)-*-X. Неслож-
Несложно проверить, что / = {/(Х)}: GF->ld<g— изоморфизм
функторов, так что G квазиобратен. ¦
Содержательную теорему об эквивалентности кате-
категорий часто можно представлять себе как вскрытие двух
дополнительных способов описания одного и того же
математического объекта. Попытаемся проиллюстриро-
проиллюстрировать это на примере нескольких классических небольших
теорий, содержание каждой из которых можно резюми-
резюмировать в виде теоремы эквивалентности.
8. Теория Галуа. Пусть А; — некоторое поле, для уп-
упрощения формулировок характеристики нуль. Обозначим
через G группу Галуа алгебраического замыкания к/к
с топологией Крулля. Значительную часть теории Галуа
можно резюмировать в следующем высказывании.
Двойственная категория конечномерных коммутатив-
коммутативных полупростых k-алгебр (k-A]g)° эквивалентна кате-
категории конечных топологических G-множеств G-SPet.
Приведем некоторые пояснения.
а) Конечномерная коммутативная fr-алгебра L полу-
полупроста, если она не содержит нильпотентов (кроме ну-
нуля) . Любая такая алгебра изоморфна прямой сумме ко-
конечных алгебраических расширений ф Кг поля к.
б) Топология Крулля па G определяется так: базис
окрестности единицы в ней составляют подгруппы Gr =
— {g e & | Vх е К, g (х) = х}, где jionH К пробегают ко-
конечные расширения к, лежащие в к.
в) Конечное топологическое G-множество — это ко-
конечное G-множество S с дискретной топологией, для
которого действие G X S ->¦ S непрерывно.
92
г) Функтор F: G-9>et -> (fc-Alg)°, осуществляющий
эквивалентность, строится следующим образом:
F(iS')=MapoE, к) = алгебра G-эквивариантных функций
на S со значениями в к: f{gs) =
) Для всех S^G, s^S.
На морфизмах ф: Т ->- S функтор действует естественно:
F(q>) переводит функцию / на S в функцию / ° <р на Т.
Алгебра F(S), очевидно, не содержит нильпотентов. Она
конечномерна над к, ибо пересечение стабилизаторов
Н = {g e G | Vs e S, gs = s} открыто в G и поэтому по-
поле кн имеет конечную степень над к, а все значения
оквивариантных функций на iS лежат в нем.
Довольно очевидно, что F переводит несвязные объ-
объединения в прямые суммы. Если S — неприводимое
G-множество (состоящее из одной орбиты), то ft-алгебра
F(S) изоморфна полю к", где Н = Н, — стабилизатор
любой точки s e S. Отсюда следует, что любой объект
k-Alg изоморфен объекту вида F(S). Мы опустим объ-
объяснения по поводу строгости и полноты функтора F,
которые требовали бы воспроизведения значительной ча-
части теории Галуа. В этих проверках удобно пользовать-
пользоваться (квази) обратным функтором
F': (fc-Alg)°->- G-9"et,
F'(L)=Bomk-Ale(L,k),
с действием g: к -*¦ к, определяемым как композиция
_ е -
Ь->к-+к. Значение F' на морфизмах также определя-
определяется с помощью композиции.
9. Теория фундаментальной группы Пуанкаре. Пусть
X — линейно связное хаусдорфово топологическое про-
пространство с отмеченной точкой х0 'G X. Назовем накры-
накрытием X морфизм р: Y -»¦ X, где Y хаусдорфово, удовлет-
удовлетворяющий двум условиям:
а) р — локальный гомеоморфизм: у каждой точки Y
есть окрестность, которую р гомеоморфно отображает на
свой образ.
б) р удовлетворяет условию подъема путей: для лю-
любого отображения g: [О, 1] -> X с g@) = x0 и любой точ-
точки у о ^ Y с р(уо) = хо существует отображение g: [0, 1]-*-
-»- Y с ^@)= у0 и р о g — g.
93
Морфизмом ф накрытия pt'. Yl -*¦ X в накрытие р2: Y2
-*¦ X назовем коммутативную диаграмму
Таким образом, мы определили категорию накрытий
v
С другой стороны, обозначим через nt(X, x0) группу
гомотопических классов замкнутых путей g: [О, 1] ->- X,
g(®) = 8 A)= х<>1 и пусть Ki-^et — категория левых
nl(X, Хо)-множеств. Теория фундаментальной группы
резюмируется в следующем утверждении.
Категория ^ovx эквивалентна категории ¦n.^-9'et.
Квазиобратные функторы, устанавливающие эквива-
эквивалентность, таковы:
(накрытие Y -> X) >-*- (слой р~1(х0) с
естественным действием ях (X, х0)),
(морфизм накрытий <р) >-*¦ (отображение
слоев р-1(х0)->р-1(х0), индуцирован-
индуцированное ф)
(ях-множество S) ^- X X S,
(морфизм %-множеств)
произведений)
(морфизм
Здесь X — универсальное накрытие: пространство гомо-
гомотопических классов путей с началом х0, X X S — рассло-
енное произведение, т. е. факторпространство прямого
произведения X X S (с дискретной топологией в S) по
соотношению эквивалентности (х, s)~(gx, gs), je
еп,(Х, ха).
10. Теория И. М. Гельфанда. Коммутативная банахо-
банахова алгебра — это коммутативная С-алгебра А с едини-
единицей, в которой введена норма И-II, относительно которой
А является банаховым пространством; предполагается, что
операция умножения в А непрерывна относительно этой
нормы. Инволюция в А — это антилинейный гомомор-
гомоморфизм *:А-+А, для которого (ж*)* = ж, 1Ы1 = 1Ь*Н,
94
Нжж*11 = Hxll2, a:ei Введем категорию Man:
Ob Man = {коммутативные банаховы кольца с инволю-
инволюцией},
Нот(Л, А') = {гомоморфизмы алгебр <$: А-+А', сохра-
сохраняющие норму и инволюцию).
С другой стороны, обозначим через Жат полную
подкатегорию категории &~ор, состоящую из компактных
хаусдорфовых топологических пространств. Одно из ос-
основных утверждений теории коммутативных нормирован-
нормированных колец можно сформулировать так:
Категории 38ап° и Жат эквивалентны.
F
Квазиобратные функторы Man0 +*. $$aus, устанавлива-
G
ющие эквивалентность, строятся так:
G(X) = кольцо непрерывных комплекснозначных функций
на X с нормой П/Н = max |/(ж) I и инволюцией
Для построения F нужно ввести пространство макси-
максимальных идеалов коммутативного нормированного коль-
кольца А. Идеал тп <= А называется максимальным, если он
не содержится ни в каком другом идеале А. Такой иде-
идеал m обязательно замкнут, и Aim = С. Пусть
Specm(^)—множество максимальных идеалов А^Мап,
инвариантных относительно инволюции. Каждый элемент
а е А определяет комплексную функцию /а на
Specm(^): ja{m) = a mod m. Введем в 8рест(Л) слабей-
слабейшую топологию, в которой все функции /„, а ^ А, непре-
непрерывны. В этой топологии Specm(^l) оказывается ком-
компактным хаусдорфовым пространством. Зададим функтор
F на объектах, полагая F(A)= Specm(^).
Квазиобратпость F и G — это один из основных фак-
фактов теории коммутативных нормированных колец. В ча-
частности, изоморфность функторов Id.^?am ~ GF означает,
что коммутативное нормированное кольцо с инволюцией
изоморфно и изометрично кольцу всех непрерывных
функций на пространстве своих максимальных идеалов.
11. Двойственность Понтрягина. Пусть Я& — катего-
категория, для которой
Ob Я2 = {коммутативные локально компактные
топологические группы),
Hom<jp {Ах, А2) = {непрерывные гомоморфизмы Ах в А2}.
95
Теорема двойственности Понтрягина может быть выра-
выражена следующим образом:
Категория Ч> эквивалентна двойственной категории <ё">.
Функтор F: W -> ff°, устанавливающий эквивалент-
эквивалентность, строится с помощью теории характеров.
Пусть S — мультипликативная группа комплексных
чисел с нормой 1. Характером А называется элемент
% е Homg> (A, S), т. е. непрерывный гомоморфизм А в
S. Операция поточечного произведения характеров пре-
превращает множество всех характеров в коммутативную
группу, которая будет обозначаться А; введем на А то-
топологию равномерной сходимости на компактных под-
подмножествах Е <= А. Каждый непрерывный гомоморфизм
ф: Л4->• Аг задает непрерывный гомоморфизм гр: Аг-+ Ас.
— двойственный функтор, т. е.
Таким образом, получаем функтор F: '&
Пусть F":
Более точная формулировка теоремы двойственности
звучит так:
Функторы F: Ч? ->- <S>Q, F°: Ч?й ->- ЧР квазиобратны друг
другу.
12. Заключительные замечания. Примеры пп. 8—11
демонстрируют несколько характерных паттернов кате-
горного мышления. Паттернам учатся только па приме-
примерах, но мы все же попытаемся сформулировать некото-
некоторые правила.
а) Хорошая классификационная теория должна клас-
классифицировать не только объекты, но и морфизмы меж-
между пими. С этой точки зрения полная теория полупро-
полупростых алгебр Ли должна была бы содержать не только
классификацию Картана в терминах систем корней, но
и теорию конечномерных представлений (теорию стар-
старшего веса Г. Вейля), а также ряд других вопросов тео-
теории алгебр Ли.
б) Связь между геометрией и алгеброй осуществля-
осуществляется с помощью системы функторов типа:
пространства •*->¦ кольца функций,
пространства -«-»¦ кольца когомологий,
расслоения. -*->¦ модули над кольцами функций.
Хорошие категорные свойства таких функторов (как эк-
эквивалентность) настолько важны, что ради их сохране-
сохранения часто следует менять старые структуры или вводить
новые. Так в математике появились аффинные схемы,
ядерные пространства, жесткие аналитические простран-
пространства, объекты производной категории.
в) Формальное обращение стрелок в определении
двойственной категории в конкретных случаях превра-
превращается либо в законы двойственности, когда получаю-
получающиеся категории эквивалентны или близки, либо в слож-
сложное отношение дополнительности типа геометрия!'алгеб-
геометрия!'алгебра, когда получающиеся категории так непохожи, как
кольца и" их спектры.
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Полные подкатегории. Докажите, что всякий строгий пол-
полный функтор F: & -*¦ 3) задает эквивалентность 'ё с полной под-
подкатегорией в Я).
2. Факторкатегории. Пусть заданы категория Ч? и для каждой
пары объектов X, Y e Ob W соотношение эквивалентности ~ =
= ~.аг, у в Hom,g, (X, Y). Тогда существует категория 3) = Ч?! ~
и функтор Q: <8 -*¦ ZD такие, что (i) если / ~ /' в 9", то Qf = Qf
в Ф\ (и) если F: Ч? -*¦ ЯЬ' — такой функтор, что Ff = Ff для лю-
любых / ~ /', то существует единственный функтор G: 2Ь -*¦ 3D' та-
такой, что F — 9 о Q.
Набросок доказательства. Пусть сперва набор со-
соотношений эквивалентности ~х у удовлетворяет условию
/ ~ х. у/' =»- afb ~ и, vaf'b для любых а: У~> V, Ь: U-+X. Тогда
определим «7/~ = 3>, полагая ОЪЗ) = Ob &, Hom^ (X, Y) =
= Hom^, (X, Y)l ~ с естественной композицией, Q: 93 -*¦ S) — ес-
естественный функтор (тождественный на объектах). В общем
случае ~ х, у порождает наименьшее соотношение эквивалент-
эквивалентности &х, у, удовлетворяющее сформулированному условию,
и мы полагаем *gy ~ ='?'/». Заметим, что в любом случае
ОЬ0 = Ob??.
3. Эквивалентность Мориты. а) Объект X категории 9 назы-
называется образующим, если hx: Y <-* Hom^, (X, Y) является строгим
функтором из 'S в 9?е1 (т. е. h'x: H.om^,(Yv Y2)-> Horn (h'xYv
h'xYv) — вложение для любых Yu Y2 e Ob (S).
б) Теорема Мориты об эквивалентности категорий модулей
над кольцами утверждает, что для двух колец А, В следующие
условия равносильны:
(i) Категории A-mod и B-mod эквивалентны.
(ii) Категории mod-Л и niod-S эквивалентны.
(iii) Существует конечно порожденный проективный Л-модуль
Р, являющийся образующей mod-Л и изоморфизм колец В ~
~ EndA P.
7 С. И. Гельфанд, Ю. И. Мавин. т. 1
97
(iii) ->- (ii): эквивалентность mod-Л и mod-B задастся функто-
функтором hp\ Xt->- HommO(j_^ (P, X), а обратная эквивалентность—функ-
эквивалентность—функтором ftp*: Yi-*Hominod_B(JP*, У), где P* = Иот^ой_А(Р, А).
Кольца А и В, для которых выполпены условия (i) — (iii), на-
называются подобными. Пример: кольца матриц Мп(к) (к — фикси-
фиксированное поле) при разных п подобны.
в) Свойство Т кольца А называется инвариантным в смысле
Мориты, если оно одновременно выттолпопо или не выполнено для
любых двух подобных колец. Следующие свойства кольца инва-
инвариантны в смысле Мориты: простота; полупростота; конечность
числа элементов; каждый правый идеал проективен; каждый пра-
правый идеал ипъектявеп и т. д. Следующие свойства кольца не ии-
вариантпы в смысле Мориты: не иметь делителей 0; быть полем;
коммутативность; каждый проективный модуль свободен.
г) Центром Zrz, категории Ч? называется класс всех морфиз-
мов тождественного функтора 1A<?/- '(?—*¦'&. Ясно, что Znr, — коль-
кольцо. Докажите, что центр категории mod-,1 ипоморфеп центру А.
Тем самым два коммутативных кольца подобны, если и только
если они изоморфиы.
§ 3. Структуры и категории. Представимые функторы
1. Что делать? Мы должны научиться обращаться с
объектом категории так, как если бы он был множеством
со структурой. Нужно уметь правильно определять, что
такое прямое произведение или продел проективной си-
системы объектов, что такое объект-группа и т. п. В клас-
классических конструкциях мы пользуемся тем, что объекты
состоят из элементов (точек), с которыми можно по-раз-
по-разному манипулировать: объединять в пары или последо-
последовательности, выбирать элементы с данным свойством
и т. п.
В абстрактной категории *& можно работать двумя
способами: либо описать теоретико-множественную конст-
конструкцию на языке диаграмм и перенести результат в 9;
либо найти замену «точкам» и «элементам» в категорных
терминах.
Мы опишем сначала второй прием. Ключ к его по-
пониманию— простое замечание, что в 9*et любое мно-
множество X можно отождествить с множеством Hompvj (e, X),
где е — множество из одной точки. В абстрактной кате-
категории W аналога е может не существовать, но учет
Hom^ (Y, X) для всех У несет уже полную информа-
информацию об объекте X с точностью до изоморфизма. В этом
контексте морфизмы ср: Y -»¦ X мы будем называть также
Y-точками объекта X и писать X(Y) вместо
(У, X).
98
Точнее, введем категорию фупкторов (см. 1.10):
<& = Muriel (<&\ Pet)
и рассмотрим функтор hx: *&* -*¦ ^et, hx (Y°) =
= Honig. (Y, X) (cm. 1.7 б)) как объект W.
2. Определение. Функтор F^Ob? называется
представимым, если on изоморфен функтору вида hx для
некоторого X е Ob W. В этом случае говорят, что объект
X представляет функтор F. ш
Пусть ф: Xt -»- Х2 — некоторый морфизм в 9$. Ему
соответствует морфизм функторов йф: й^—>-^х2, который
любому объекту Y е= Ob W сопоставляет отображение
K(Y): hXi(Y)-+h
переводящее морфизм 9 е Иога^ (У, Хг) — hXi (Y) в
композицию ср° 9 е Ногп-^ (Y, Х2) = hx2(Y). Очевидно,
3. Теорема. В описанных обозначениях отображе-
отображение ф I-»- hy определяет изоморфизм множеств
Нот^ (X, Y) ^ Нот- (hx, hY).
Более того, это изоморфизм функторов W X W -*¦ ff'et
от аргументов X, Y. Поэтому функтор h: W ->• W, задавае-
задаваемый формулами h(X) — hx, ^(ф) = ^Ф, задает эквивалент-
эквивалентность категории W с полной подкатегорией Ф, состоящей
из представимых функторов.
Следствие. Если функтор из 'W представим, пред-
представляющий его объект X определен однозначно с точ-
точностью до канонического изоморфизма.
4. Доказательство теоремы. Построим отоб-
отображение
U Horn- (hx, hY)-+Homw (X, Y),
которое каждому морфизму функторов hx -* hY сопостав-
сопоставляет образ idx^hx(X) в kY (X) = Нот-р (X, Y) отно-
относительно отображения hx(X)-+ hx(Y), определенного
этим морфизмом функторов. Проверим, что отображения
ф >-»• hq и i являются взаимно обратными.
а) i(h^) = h4,(idx) — ф по определению hv.
б) Наоборот, пусть g: hx -+ hY — морфизм функторов.
Он задается набором отображений g(Z): hx (Z) ->• hY (Z)
для всех ZeOb?. По определению, i(g) = g(X) (id*),
7* gg
и мы должны проверить, что
hHs)(Z) = g(Z). A)
Отображение him{Z): hx(Z)^- hr(Z) ставит в соот-
соответствие морфизму ф: Z -*¦ X композицию i(g)°q>: Z-+-Y.
Поэтому нужно установить, что
g(Z)(cp)=J(g)°cp.
Воспользуемся коммутативностью диаграммы (см. 1.10)
hx (X) — hY (X)
[ g(Z) |
Переведем элемент idx^hx(X) двумя способами в
hY (Z). Верхний путь (через hY (X)) переводит его сна-
сначала в i(g), а затем в i{g)°<$. Нижний путь (через
hx(Z)) переводит его сначала в hx(ф) {Их) — Ф, а затем
в g(Z)cf>. Этим формула A) доказана.
Тем самым мы проверили, что образ функтора h
является полной подкатегорией в <&; отсюда сразу сле-
следует, что он эквивалентен Ф. Остальные утверждения
проверяются тривиально. ¦
5. Пример: прямое и расслоенное произведение. На-
Напомним, что в теории множеств XX Y есть множество
упорядоченных пар {(х, у)\х^Х, y^Y}. Введем опре-
определение прямого произведения двух объектов X, Ге
^OhW двумя способами и покажем их эквивалентность.
а) Прямое произведение X X У «есть» объект Z,
представляющий функтор U >->• прямое произведение
X(U)XY(U) (если этот функтор представим).
б) Прямое произведение XX Y «есть» объект Z, за-
РХ РУ
данный вместе с морфизмами проекции X -*- Z -> У,
такой, что для любой пары морфизмов X-+-Z' —>Y
существует единственный морфизм q: Z' -*¦ Z, для ко-
которого р'х — Рх ° ?> Py — Ру ° ^ (снова с оговоркой: если
(Z, рх, ру) с этими свойствами существует). Это второе
определение — результат предварительного описания тео-
теоретико-множественной конструкции на языке катего-
категории 9Pet,
Переход от а) к б). Пусть функтор U-*¦ X(U)X Y(U)
представлен объектом Z. Рассмотрим явный изоморфизм
100
этих функторов, т. е. набор изоморфизмов множеств
, (U, Z)^Homv W* X) X
Положим U = Z. В левом множестве будет отмеченный
элемент idz; пусть он переходит в (рх, py)<=X(U)X
Рх ру —¦
XY(U). Мы утверждаем, что диаграмма X-*r-Z—*',Y
обладает свойством, сформулированным в определении б).
Проверку оставляем читателю.
РХ PY
Переход от б) к а). По диаграмме X-*-Z—>-Y по-
построим морфизм функторов от U:
Hoiag, (U, Z)-*Homw (U, X) X Hom? (U, Y)
q _>
(Рх °Я'Ру° Я)
Свойство универсальности диаграммы означает, что для
каждого U соответствующее отображение является биек-
цией. Поэтому это — изоморфизм функторов.
Вое доказательства совпадения двух вариантов опре-
определений—«структурного» и «диаграммного» — построе-
построены по образцу этого рассуждения. Заметим, что если в
определении б) положить Z = X— Y,p'x — p'Y = id, мы
получим морфизм б: Х-^XXX, называемый диаго-
диагональным.
Легкое обобщение этой конструкции позволяет ввести
также категорный вариант расслоенного произведения.
Наломним, что если ф: X-+S, ф: Y->- S — два отображе-
отображения множеств, то расслоенным произведением X и Y над
S называется множество пар
X х Y = {(х, у) е X X У | Ф (*) = г|) (у)} dXF.
Это понятие обобщает сразу несколько теоретико-мно-
теоретико-множественных операций: 1) обычное прямое произведение
(S — точка); 2) пересечение подмножеств (ф, г|) — вло-
вложения) ; 3) прообраз подмножества при отображении
(г|) — вложение этого подмножества, ф — отображение).
Объект X X У в категории также можно ввести
s
двумя способами.
a') XXY представляет функтор U-+X(U) X Y(U).
S S(U)
б') X XY «есть» обычное прямое произведение в
s
новой категории 'S'b, объектами которой являются мор-
101
физмы ф: X -> S в 9', а морфизмами
коммутативные диаграммы
где % е Hom^> (X, У). Диаграмма б) в категории
представлена диаграммой в категории 9 вида
ру
XXY _Л У
S
X -1* 5
которая обладает очевидным свойством универсальности
и называется «декартовым квадратом».
6. Обращение стрелок. По всякой категорией конст-
конструкции можно определить двойственную ей: провести
исходную конструкцию в категории W и интерпретиро-
интерпретировать результат в категории 9', иными словами, обратить
все стрелки в определении. Так получается конструкция
«амальгамированной суммы», или копроизведения, или
кодекартова квадрата, отвечающего диаграмме X *—S—»¦
-Л У:
iY
X ii Y ^~Y
s
'it t*
x Л-i
Свойство универсальности этого квадрата состоит в том,
что по любой диаграмме А —* Z ^— У с условием у^ф =
= /уф однозначно строится морфизм X \±Y —> Z с jx =
= Я ° ix, ]y = Ч ° iy. Впредь мы будем часто опускать та-
такие объяснения.
7. Пример: тензорное произведение .4-алгебр. В кате-
категории коммутативных колец с единицей морфизм ф: А ->¦
-*¦ В можно рассматривать как задание на В структуры
102
Л-алгебры. Рассмотрим две Л-алгебры В, С я диаграмму
В 0 С
А
| 1
С ч— A
ф
1В(Ъ) = Ъ 0 1С
ic (с) = 1В ® с
Эта диаграмма является кодекартовым квадратом. По-
Поэтому в двойственной, категории, называемой категорией
аффинных схем, она превращается в декартов квадрат.
При всей ее простоте это — одна из самых фундаменталь-
фундаментальных конструкций алгебраической геометрии.
8. Пример: группы в категориях — структурное опре-
определение. Пусть W — некоторая категория, ХеОЬ9\
Определение. Групповая структура на объекте X
состоит в задании на каждом из множеств hx (У) =
= Нот^(У, X) структуры группы, причем оти струк-
структуры должны быть согласованы:
для всякого морфизма ф: Y^Y^ в ^ соответствую-
соответствующее отображение hx(q>): hx[Y2)-*- hx(Yi) должно быть
гомоморфизмом групп.
Объект X с групповой структурой на нем часто на-
называется группой в категории *&. Морфизм Xi ->- Х2 в ка-
категории W называется морфизмом соответствующих
групп, если все отображения hx1(Y)->-hxi(Y), Уе
е Ob <& — гомоморфизмы групп.
9. Группы в категориях: диаграммное определение.
Второе определение групповой структуры на объекте
X е Ob"?? оперирует только с X, а не со всеми объектами
категории.
Предположим, что в *& существуют:
а) конечный объект Е (см. 1.12),
б) произведения XXX, XXXXX (см. ниже 176)
и упр. 7).
Групповая структура на объекте X состоит в задании
трех морфизмов в Ч?:
тп: XXX-^Х (умножение),
i: Х-*Х (обращение),
е: Е ^-X (единица),
удовлетворяющих следующим условиям.
103
Аксиома ассоциативности: диаграмма
коммутативна.
Аксиома левого обращения: диаграмма
ххх
коммутативна (б — диагональный морфизм, см. п. 5).
Аксиома левой единицы: диаграмма
коммутативна.
Проверка эквивалентности двух определений группы
в категории — очень полезное упражнение.
10. Пример: аффинные групповые схемы. Пусть s&lg —
категория коммутативных Z-алгебр с единицей. Двойст-
Двойственная категория s6ff = (J&lgH называется в алгебраиче-
алгебраической геометрии категорией аффинных схем. Объект ка-
категории «s^//, отвечающий данной алгебре A^ObMg,
обозначается Spec Л. Выясним, как описываются груп-
групповые структуры на заданной аффинной схеме Spec A.
11. Определение. Структура биалгебры па алгеб-
алгебре А определяется заданием трех гомоморфизмов алгебр:
\i:A-*A®A (коумножение),
i:A-+A (кообращение),
е: А ->• Z (коединица)
(тензорное произведение над Z), которые подчинены
следующим условиям:
104
Аксиома коассоциативности: диаграмма
А ® А® А ч А ® А
А®А «Л_ А
коммутативна.
Аксиома левого кообращения: коммутативность диа-
диаграммы
А ® А ч А® А
\ U
A +-ZJ-A
(левая вертикальная стрелка — умножение: а® Ъ -*¦ аЪ\
левая нижняя стрелка — вложение единицы: а *-*¦ аЛ).
Аксиома левой коединицы; коммутативность диа-
диаграммы
А ® А+- А
(левая стрелка — умножение, верхняя стрелка -о«
•-> 1 ® а).
Биалгебра называется коммутативной, если ц — s <> p.,
где s: A®A-*А®А переставляет сомножители.
Используя описание декартовых квадратов в катего-
категории s&ff (см. п. 7), получаем, что групповые структуры
на аффинной схеме Spec Л находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии со структурами биалгебры на ал-
алгебре А.
12. Двойственность Картье. Заметим, что структура
коммутативной алгебры на аддитивной группе А может
быть описана гомоморфизмами аддитивных групп
с аксиомами ассоциативности и коммутативности для ц
и единицы для е. Поэтому структура коммутативной
биалгебры на А задается гомоморфизмами групп
а®а-^аЛа® а,
105
со списком аксиом, часть из которых содержится в п. И,
другая часть получается заменои_ направления стрелок
на обратные и превращением и., е в ц, е; кроме того,
нужно потребовать, чтобы ц: А -»- А ®Х был гомомор-
гомоморфизмом алгебр с умножением [л и \х ® ц соответственно.
Пусть теперь А — свободная абелева группа конечного
ранга. Положим А* = Homz (A, Z). Тогда структура A)
биалгебры на А определяет структуру биалгебры на А*,
если перейти от A) к двойственным диаграммам, отож-
отождествив (А ® А) * с А* ® А* и Z* с Z:
Л*
i»
Проверка аксиом биалгебры для ^4* тривиальна.
Групдовая схема X* = Spec.4* называется двойствен-
ной по Картье коммутативной групповой схеме X =
= Spec A.
13. Относительные групповые схемы. Все рассужде-
рассуждения пп. 10—12 можно вести в относительном варианте
алгебр А над фиксированным коммутативным кольцом К.
Следует лишь заменить Z на К, считать все отображения
гомоморфизмами ЛГ-модулей, а тензорное произведение —
тензорным произведением над К.
В оставшейся части этого параграфа мы приведем
два важных понятия теории категорий, которые удобно
вводить в терминах представимых функторов: понятие
предела и понятие сопряженного функтора.
14. Диагональный функтор. Зафиксируем некоторую
категорию f (часто называемую категорией индексов);
во многих случаях категория ff является конечной (име-
(имеет конечное число объектов и морфизмов). Напомним,
что через 8Tunct(!f, ff) обозначается категория функто-
функторов F: /-»& (см. 1.10).
Диагональный функтор А: 9?'-»- 9" unct (f', Ч?) опреде-
определяется следующим образом:
На объектах: АХ = {постоянный функтор f -»¦ <g7, при-
принимающий значение X), т. е. &.X(j) = X для /еОЬ^",
AX((p) = icU для морфизмов фв/.
На морфизмах: для if>: X -*¦ X' в W, Дг|з: ДХ-* АХ' за-
задается так: Дф(/) = ip: X = AX(j) -* X' = АХ' Ц), / е Ob f.
106
Ясно, что А% является морфизмом функторов и
A (if>°i|/) = Дф° Дф', так что А действительно является
функтором из Т в @~unct{f, <ё>).
15. Определение. Пусть F: f -+*& — некоторый
функтор. Проективным пределом функтора F в категории
W называется объект X е Ob W, представляющий функтор
Проективный предел F обозначается X = lim F; иногда
он называется обратным пределом или просто преде-
пределом. ¦
Согласно определению 2, Z = limF характеризуется
равенством
, X) =
(AY,
C)
Теорема 3 показывает, что если limF существует, то
он определен однозначно с точностью до единственного
изоморфизма.
16. Универсальное свойство предела. Лю-
Любой функтор F: f -*- *& задается набором объектов
F(j) = Xj^ Ob^ и набором морфизмов ^*(ф): Xj-*-Xyf
по одному для ф: / -*- f в f.
Пусть существует предел X = \ivaF; положим в C)
Y = X. Тождественному морфизму id*: Z-+X в ^ отве-
отвечает морфизм функторов /: АХ -»¦ F, который состоит из
семейства морфизмов /(/): X -*- Xj в W, по одному для
каждого / е Ob ^", удовлетворяющих условиям
FD>)f(j) = /(/') Для каждого ф: /-»-/' в /. D)
Далее, произвольный морфизм функторов g: AY-+F со-
состоит из семейства морфизмов g(j): У->-Х,- в W, /е
е Ob ff, удовлетворяющих аналогичным условиям
?(Л Для каждого ф: ]-*У. {Ъ)
Формула C) показывает, что определение Нш F можно
сформулировать в виде следующего свойства универсаль-
универсальности:
Объект X е Ob W является проективным пределом
функтора F: ff -^Я? в категории ^, если задано семей-
семейство морфизмов /(/): X-+X) = F(j) в 93, по одному для
каждого / е Ob ?, удовлетворяющих условиям D) и та-
107
кое, что для любого семейства g(j): Y-+Xh j<=0b7,
удовлетворяющего условиям E), существует единствен-
единственный морфизм г|з: F-+Xb? такой, что g(/) = /(/)ei|>.
17. Примеры, а) / = 0_ пустая категория (нет
объектов, нет морфизмов). Имеется ровно один функтор
F: 0-*-<& и Нот^гипс^0 ^ (AY,F) состоит из одного
элемента для любого У^ОЬ^7. Поэтому lim F = a> (если
предел существует) обладает тем свойством, что
Hora.g> (У, со) состоит ровно из одного элемента для
любого У ^ ОЬ <ё>, т. е. и является конечным объектом
категории Ч?.
б) f — {О, 1} — категория с двумя объектами 0, 1 и
двумя морфизмами id0: 0-*-0, idi: 1 -*¦ 1. Функтор F: 7 -*
-+9>? задается парой объектов Xo = .F@), X, = FA) в &.
Предел X = lim F есть объект *<Р вместе с парой морфиз-
морфизмов X -+¦ Хо, X-+Xi. Легко проверить, что X есть прямое
произведение X = Х0Х Xt в *& (см. п. 5).
Аналогично определяется прямое произведение любого
множества объектов в 92.
в) 7 = № -*-0*- 2)— категория с тремя объектами и
двумя нетождественными морфизмами 1 -»- 0, 2 -+ 0.
Функтор F: 7 -+• Я? — это диаграмма
х„
в <ё>. Легко проверить, что X = lim F — это расслоенное
произведение X = Хх X Х2 в W (см. п. 5).
г) Уравниватели, f — (О Z? 1) — категория с двумя
объектами и двумя нетождественными морфизмами 0 в 1.
Функтор F: f -*¦'& — это диаграмма
в ^. Предел X = lim F — это объект Х = ОЪ(&> и морфизм
0: X -»- Хо с условием ф ° 0 = ф' ° 0, обладающий следую-
следуюф ф
щим свойством универсальности:
Для любого ф: У-^Хо с ф°а|) =
единственный морфизм р: У-*-Х,ся|) =
108
существует
Другими словами, X = lim F, если
, У) ^
Морфизм 0: X -+¦ Хо называется уравнивателем мор-
морфизмов ф и ф'. Аналогично определяется уравниватель
любого семейства морфизмов.
Другие примеры пределов, а также построение пре-
пределов в конкретных категориях (S^et, $rp, !Гор, s&b)
приводятся в задачах к этому параграфу.
18. Двойственная теория: копределы. Пусть снова
7 — категория индексов, F — функтор из 7 в <5>. Индук-
Индуктивным пределом (прямым пределом, копределом) функ-
функтора F в категерии *& называется объект X = lim.F в Ч>,
представляющий (точнее, копредставляющий) функтор
Y - Hom^uncf(/ tV) (F, AY): Ъ-
(F, AY)
функториально по У.
Индуктивный предел может быть определен универ-
универсальным свойством, двойственным определению предела
в п. 16. Частными случаями копредела являются:
а) Начальный объект категории 1Р (для 7 ~ &, см.
п. 17а)).
б) Прямая сумма Хо и Х1 двух объектов категории
# (для 7 = 40, 1), см. п. 176)).
в) Амальгамированная прямая сумма (п. 6) Хг И Х^
хо
в <8 (для 7 = A -*- 0 +- 2), см. п. 17в)).
г) Коуравниватель двух морфизмов ф, ф': Хо -*- Xi в 92
ля/ = @1^1), см. п. 17 г)).
Во многих приложениях нужно знать, что в данной
категории 9* существуют пределы HmF для того или
другого класса функторов F: 7 -*¦ *&• Полезным сред-
средством для проверки свойств такого типа является сле-
следующая теорема.
19. Теорема. Предположим, что в категории 9? су-
существует конечный объект со, уравниватель любой пары
морфизмов и прямое произведение любой пары объектов.
Тогда в 9? существуют все конечные пределы (г. е. пре-
пределы lim^ для любого функтора F: 7 ^92 с конечной
категорией индексов).
Разумеется, аналогичный результат верен и для ко-
копределов.
109
вялый пучок и ЗГ— подпучок W3T. Если теперь ЗГ —
инъективный пучок ^-модулей, то 'SST — также пучок
5?^-модулей и ЗГ выделяется в ^ЗГ прямым слагаемым.
Из определения вялости получаем, что прямое слагаемое
вялого пучка является вялым.
б) Пусть
0GТ~ Ф G? Ф *?/> . А (\\
—>¦ сг i > ^у —-> иЮ *~ г \1 I II
точная последовательность пучков абелевых групп и &~
вял. Тогда последовательность
точна.
Поскольку функтор Г(Х, •) точен слева, нужно лишь
доказать, что Г (г|з): Г(Х, 2?)->-Г(Х, Ж) — эпиморфизм.
Пусть seTfl, Ж). Рассмотрим множество Е пар (U, t),
где U <=¦ X — открытое множество, t е Г(?/, &) — такое
сечение, что я|з(?) = ¦Не- Введем в Е частичное упорядо-
упорядочение: (DT/, t')<(U", t"), если U'czU" и t' = f\w
Пусть (U, t) — максимальный элемент Е. Докажем, что
U = X. В самом деле, если UФХ и x^X\U, то, ввиду
сюръективпости г|\ существует окрестность V точки х и
сечение ti<^T(V, %') с \f)(?i) = sly. Ввиду точности после-
последовательности A) на U П V имеем t\unv — ti\unv ~(f(r),
где геГ(УП V, ЗГ). Поскольку ЗГ вял, существует про-
продолжение г4 сечения г на все X. Полагая t2 = ?1 + ф(г!|у),
получаем, что ilo-nv- = ^Un^ Поэтому существует F^
¦еГ(С/иУ1^) с t\v = t, t\v = h, так что (С/, t)<
<(С/П У, F) и (С/, i) не максимален.
в) ?с^и в последовательности A) пучки ЗГ и $ вя-
вялые, то и Ж вял.
В самом деле, ввиду б) любое сечение $ пучка Ж на
открытом множестве U<=-X имеет вид s = -ф (?) ж t про-
продолжается на все X. Поэтому и s продолжается на все X.
г) Г переводит ограниченный слева ацикличный комп-
комплекс вялых пучков в ацикличный комплекс абелевых
групп.
Пусть 0 -v 5го _>. ЗГ1 -> ... — ацикличный комплекс
вялых пучков. Положим ЗС1 = Ker d1 == Imd'. Тогда по-
последовательности 0 -*¦ Ж1 -*¦ ЗГХ -»¦ Zi+l -*¦ 0 точны и ин-
индукция по i вместе с в) показывает, что все ЗС% — вялые
пучки (заметим, что i?° = 0 очевидно вял). Ввиду б)
последовательности
о -> г (х, z<) -»- г (х, ^~;) -* г (х, s:i+1) -»¦ о
256
точны, так что Г(Х, ^) = Кег(Г((Р)) = Im(r(d'-f)) и
утверждение доказано.
5. Доказательство теоремы 36). Зафиксируем
полное упорядочение на множестве индексов покрытия
(Ui) и для каждого набора индексов / = (г0 < ... < iP)
обозначим через ji вложение Ui П • • • П Ui в X, а через
3~i — пучок на X, задаваемый формулой ^"i = /'j./i^"-
Ввиду ацикличности покрытия (Ui) и точности функто-
функтора /. для открытого вложения ; имеем, прежде всего,
= nq(uic n ... n uip, v^)= о
при q>0. Далее, для каждого ъФ1 имеется естествен-
естественный морфизм пучков Sj, j\ SFi -*¦ @~i\ji. Определим пучко-
пучковый комплекс Чеха (<g7p(^~), dp), полагая
= 2 ail4l,
где а(,г = (-1)Н1, если / U ? = (to< .¦•. < 4< i< h+i <•••
... < ip). Заметим, что для любого открытого U <=zX
комплекс Г (U, W (ЗГ)) есть комплекс Чеха пучка
@~\и, отвечающий покрытию (U П U{) множества U (см.
1.7.4). Естественный морфизм ^"-><570(^") превращает
9' {&") в резольвенту ЗГ. В самом деле, это достаточно
доказать локально по х е X, так что можно считать, что
один из элементов покрытия, скажем Uh совпадает с X.
В этом случае 9Г1 = &~ги, при 1<?I n легко проверить,
что набор отображений ht,
h,: &~I^-&~I\i, ^i = (-l)ftid, если l = ik,
hj = 0, если IФ-1,
задает гомотопию, устанавливающую квазиизоморфяоеть
и
рассмотрим вялую ре-
реДля вычисления Нп(Х,
зольвенту
3~ -*¦ Жй -> Ж1 -*¦...
пучка 3". Поскольку все пучки <ё1р (Ж{) снова вялые,
а Ъ7'\ЖХ) — резольвента Ж1 для любого I, группы
Нп(Х, ЗГ) есть группы когомологий комплекса, ассоции-
ассоциированного с бикомплексом Г (X, с&' (,Ж')). Далее,
сё'р(Ж')— вялая резольвента <Slp(@~) при любом р, так
что к указанным группам когомологий сходится спект-
17 с. И. Гельфанд, Ю. И. Мавин, т. 1 257
морфизм, что замена FG(v) на F(u) оставляет диаграм-
диаграмму коммутативной, т. е.
v°ay ~ Oyt°F (и),
то, согласно (9) и A0),
G (v) = ас(у) (vooY) = аса-) (ас («)) = «•
Отсюда сразу вытекает, что G — функтор, т. е. что
G{viDV2)= G(v\)a G{v2), G(idr) = idc(r), а также един-
единственность G. ¦
24. Морфизмы сопряжения. Пусть F и G — пара со-
сопряженных функторов, так что у нас есть функториаль-
ные по X и У изоморфизмы множеств
a: Horrid (X, G (У)) ^ Нот^, (F(X), У).
(И)
Полагая, как мы уже делали в п. 22, Х = С?(У), полу-
получаем морфизм
С другой стороны, полагая Y = F(X), получаем морфизм
Tx = cs-1(«W>): X-+GF(X).
Коммутативпая диаграмма в п. 23, а также аналогичная
коммутативная диаграмма для т озпачают, что {а>} и
{тл} задают морфизмы функторов
> Idcrs, t: ld&-*-GF.
a:
A2)
Эти морфизмы функторов называются морфизмами со-
сопряжения, отвечающими паре сопряженных функторов
F, G. Легко проверить, что они удовлетворяют следую-
следующему условию:
Композиции морфизмов функторов
являются тождественными морфизмами функторов F и
G соответственно.
Оказывается, что существование морфизмов сопряже-
сопряжений эквивалентно сопряженности функторов F и G. Точ-
Точнее, если F: *&-+?>, G: 2) -*¦ Я? — два функтора и зада-
заданы изоморфизмы функторов A2), удовлетворяющие ус-
условиям A3), то F и G сопряжены: изоморфизм A0)
есть а(и)—cY ¦ F(u), а обратный изоморфизм есть
l) G{)
112
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
В нескольких следующих задачах мы приводим примеры пар
сопряженных функторов.
1. Функторы забвения. Найдите левые сопряженные к следую-
следующим функторам забвения: а) &г ->- SPet; б) @~ор -*¦ !?et; в) R
mod^-^b (Я — фиксированное кольцо); г) s4-b-»-9'et; д) fc-Alg
(ассоциативные алгебры над фиксированным полем k)->-Tecth
(векторные пространства над Л). (Ответ: тензорная алгебра прост-
пространства F); e) "ffommet (полные метрические пространства)-»¦
-+JLet (метрические пространства). (Ответ: пополнение метриче-
метрического пространства X); ж) A-Alg-*¦ S'ieh (алгебры Ли над к); фун-
функтор превращает й-алгебру А в алгебру Ли с операцией [а, Ь] =
= аЬ— Ьа. (Ответ: обертывающая алгебра).
2. Пусть R, S — два кольца, М = rMs — (R, 5)-бимодуль (сле-
(слева над R, справа над S). Докажите, что функтор Х*->-М ® X:
S
S-mod ->- Д-mod сопряжен слева функтору Y >-* Homs (M, Y).
3. Проверьте, что lim является сопряженным справа, a lim —
Сопряженным слева к диагональному функтору Д: <8-+¦
&~(f W)
4. Пусть F — функтор из категории 9"ё'at малых категорий
(таких, у которых ОЬ *8 — множество) в 9"е1, сопоставляющий &
множество Ob 'S'. Докажите, что у F есть левый сопряженный G;,
сопоставляющий множеству X дискретную категорию ^
[0,
и правый сопряженный Gr, co-
поставляющий X категорию 'ft % с ОЬ %х — X, Нот— (х,У) —од-
ffx
ноалементное множество для всех х, у е X. Докажите далее, что
у Gi в свою очередь есть левый сопряженный, сопоставляющий
малой категории '& множество ее связных компонент (т. е. мно-
множество классов эквивалентности ОЬ ^в по соотношению х ~ у если
и только если Нот^, (ж, у) непусто).
5. Скелет и коскелет. Пусть (Д°^ег)лг —категория iV-усечевных
симплициальных множеств (см. задачу 1.2.3), Тг№: А°^е<->-
->- (Д^е*)^ — функтор усечения. Докажите, что Тг* обладает ле-
левым сопряженным G: (A°$et) N ~>-&°&et, композиция G о TvN есть
фупктор Skw (см. 1,2.15 и П.1.7.д)) и соответствующий морфизм
сопряжения т есть естественное отображение .X->-SkjyrX Докажите
также, что коскелет Coskjv: (№g>et)n->-tSP9'et (см. задачу 1.2.3) яв-
является правым сопряженным к Тг№.
6. Докажите, что функтор .*: Уесгк-+(TeethH (см.
п. 2.3) сопряжен себе (точнее, функтору *°: TeethH-*-Teeth)
справа.
Задачи 7—11 иллюстрируют различные свойства пределов.
7. Ассоциативность произведения. Докажите, что если хотя бы
одно из произведений (X, X Х2) X Х3, X, X № X -Уз), X, X Х2 X Хг
существует, то два других также существуют, и все три естест-
естественно изоморфны.
8 С. И. Гсльфанд, Ю. И. Мавин, т. 1
113
8. Связь проективных и индуктивных пределов, а) Докажите,
что для любых категорий <&, Ю имеем
sru.net(я0, з)°) = [g-unctetf, &)]°.
б) Докажите, что для любого функтора F: f' -*¦& (который,
согласно а), можно рассматривать как функтор F°: f-^-'S'0) име-
имеем limF (в категории "&) = (limF0H.
9. Пределы по частично упорядоченному множеству. Впжпьга
частный (и исторически первый) случай пределов возникает в слу-
случае, когда категория индексов f — это категория 'S'(I) некоторо-
некоторого частично упорядоченного множества I (см. п. 1.5.г)).
а) Пусть <& — Pet — категория множеств. Функтор F: ?-*¦
-^-'Pet—ma набор множеств Ха, пе/, и отображений /ац: Ха-*-
-+1в,«< Р, таких что /«а = id, /щ/ар = fm-
Докажите, что limF в P'et строится следующим образом. На-
Назовем подмножество La I полным, если (я е Л, Р > а) ф Р е i,
т. е. вместе с каждым элементом в L входят и все большие. На-
Назовем нитью набор {ха е Ха, aei) для некоторого полного L,
такой что /аржа = ч Для а ^ Р. а> N^ Тогда lim F есть мно-
множество классов эквивалентности нитей по соотношению
{ха, а е Ь} ~ \х'о, Pei'], если и только если для каждых осе
eijel' существует ч, Т > аЛ > Р такое, что fayxa = f^x'^.
б) Докажите, что если /' с I — фильтрующее подмножество
(т. е. для каждого ае/ найдется § е/', Р^а), то lim F для
F: ffl(/)->¦ Pet совпадает с limF', где F' — ограничение F на
)()
в) Сформулируйте и докажите утверждения, аналогичные а),
б) для категорий $r, s?b, 3~ор.
В случае, когда частично упорядоченное множество I явля-
является направленным (для любых а, Ре/ существует ^е/, боль-
большее их обоих; классический пример: I = Z+ — положительные це-
целые числа); limF для F: Ч?(!)-*¦'&' раньше назывался пределом
прямого спектра, a limF для F: ЯПA) -*¦ ft" (см. задачу 8 6)) —
пределом обратного спектра.
10. Пределы циклических групп, а) Пусть F: ЯП (Z+) -*¦ s&b sa-
дается группами Ап = Z/pnZ и вложениями An-+Am, ih» рт~"пж,
т^ п. Докажите, что lim F — группа р-рациональных чисел в
Q/Z (дробей вида а/рп по модулю целых чисел).
б) Пусть F: Ф (Z+)->~ л4-Ь<> задается темп же группами Л„имор-
физмами факторизации Ат-^Ап, т~^п. Докажите, что ]imF==
= ЪР — группа целых />-адических чисел.
в) Пусть 7 — частично упорядоченное множество, задаваемое
отношением делимости в Z+: m^sn, если п делит т. Зададим F:
<g>(I)->-stb набором Ап = Ъ\пЪ, рпт: Ап-+Ат, x^*{mjn)x. Дока-
Докажите, что lim F = Q/Z.
г) Зададим F: #(/)->.s?b0 (/ как выше) набором Ап = Z/reZ,
qnm- Am->-An — отображение факторизации для п\т. Докажите,
что limF = TTZp (этаабелева группа называется пополнением Z).
114
11. Локализация как предел. Пусть М — модуль над коммута-
коммутативным кольцом A, /el Определим F: ^(Z+)->-.a?fr, полагая
F(n) = М для всех п, рпт: x-*-fm~nx для x^M = F(n), m^n.
Докажите, что limF = Mj (см. задачу 1.5.3.з)).
§ 4. Категорные конструкции геометрических объектов
1. Три геометрических категории. В этом пункте мы
напомним читателю определение трех классов многооб-
многообразий: топологических С, бесконечно дифференцируе-
дифференцируемых (гладких) С°° и комплексно аналитических Ап.
Многообразие каждого класса — это пара (М, (Ум),
состоящая из топологического пространства М и пучка
(частично определенных) функций Ом на М. Способ вы-
выделения многообразий, принадлежащих к любому из
этих классов, таков:
а) Явно описывается некоторая часть класса — «ло-
«локальные модели».
б) Пара (М, Ом) принадлежит данному классу, если
она локально изоморфна некоторой модели, т. е.
у каждой точки х^М есть окрестность С/, для ко-
которой пространство (U, OM\U) изоморфно локальной
модели.
Модели С°: (область U <= R", непрерывные частичные
функции в U с вещественными значениями).
Модели С°°: (область U<=Rn, бесконечно дифферен-
дифференцируемые частичные функции в U с вещественными зна-
значениями) .
Модели Ап: (область U <= С, комплекснозначные
частичные функции, задающиеся сходящимся степенным
рядом в окрестности каждой точки своей области опре-
определения) .
Под частичпой функцией понимается пара (D(f), /),
где D (/) ez U — открытое подмножество, /: D(f)-+К(млж
С) — функция на нем. Пучок <УМ называется структур-
структурным пучком многообразия.
Обычно предполагается также, что М хаусдорфово и
имеет счетную базу.
2. Атласы. В прошлые десятилетия общепринятым
было немного другое определение многообразий: с по-
помощью атласов. Атлас на М определен открытым покры-
покрытием М = U Uг, на элементах которого заданы локаль-
локальные системы координат (zj0, ..., ZnY) (n может зави-
зависеть от связной компоненты М) такие, что:
8* 115
а) Отображение ф*: Ut ->- Rn (соответственно С") для
С0, С°° (соответственно An) ср4 (х) = (z^ (х), . .., 4*' (#))
является открытым вложением.
б) Для всех пар г, ; на непустых попарных пересече-
пересечениях Ui П Uj координаты z(i) являются непрерывными
(соответственно гладкими, комплексно аналитическими)
функциями от координат z0).
Это определение эквивалентно данному выше. По ат-
атласу строится пучок: f^0M(U), если на всех непустых
пересечениях U fl Ut функция / является непрерывной
(соответственно гладкой, аналитической) функцией от
локальных координат z(!). По пучку строится атлас: сле-
следует выбрать локальные модели, покрывающие М.
3. Морфпзмы. Чтобы превратить С, С°°, An в катего-
категории, следует еще определить морфизмы. Каждый мор-
физм Ф: (М, 0M)-+(N, 0N) однозначно определяется
непрерывным отображением qp: М -*¦ N. Однако учет
структурного пучка накладывает ограничения на допус-
допустимые ф. Именно, пусть f^0N{U). Определим функцию
ф" (/) на qr1 (?/)<= М, положив
Тогда Ф является морфизмом, если и только если ф'(/)^
^ Ом (ф1 (U)) для всех U, /. Читатель проверит, что
если М и N заданы атласами М — U V(, N = U U} и
(f(Vi)^ U}(i), то это условие означает, что локальные ко-
координаты на [/,(,-) выражаются через локальные коорди-
координаты на Vt в виде функций заданного класса. Советуем
убедиться также, что при таком определении морфизмов
классы С, С" и An превращаются в категории.
4. Структурные пучки, состоящие не из функций.
Категорный язык дает возможность ввести геометриче-
геометрические объекты неклассического типа — локально околь-
окольцованные пространства. Опишем два класса локальных
моделей, на которых удобно иллюстрировать особенности
этих объектов.
а) Суперобласти в Rm|n. Пусть m > 0, п > 0 — два
целых числа. Суперобластью в Rm|n называется пара
(U, (Уц), где U <= Rm — некоторая область, а
O\j (V) = кольцо формальных выражений вида
S и....ф. ¦ ¦ ¦ Eifc; U—гладкиефун-
116
1
кции на V, Jy—антикоммутирующие формаль-
формальные переменные.
Иными словами, 0V = Л^ (С fa © ... ф Со|я), где Л" -
внешняя, или грассманова, алгебра, а Ои — пучок глад-
гладких функций на U. В определение структурного пучка
включается 22-градуировка: deg 0V = 0, deg |j = 1.
б) Аффинные схемы. Пусть А — коммутативное коль-
кольцо. Напомним, что в упр. 1.5.3 мы определили топологи-
топологическое пространство X = Spec А как множество всех
простых идеалов в А.
Топология Зариского на Spec А вводится так: любое
замкнутое множество имеет вид V(I), где I <= А и
V (I) ={f\f ^ 1}. В частности, для любого элемента /еЛ
определено открытое множество D(f)= SpecA\V(f). Эти
открытые множества образуют базис топологии.
Кольцо частных Af можно определить как
A[T]/(fT— 1). Согласно задаче 1.5.3, на топологическом
пространстве X = Spec А существует единственный пу-
пучок 0х со следующими свойствами:
ограничение T{D(f),
отображением
T{D(fg), 0X) индуцировано
класс Tf^-* g- класс Tfg
(класс Tf в Af следует представлять себе как 1//, поэто-
поэтому класс Ttg — это i/fg).
В обоих предыдущих примерах сечения структурного
пучка функциями не являются. Это сразу же лишает
нас возможности прямо повторить определение морфиз-
ма из п. 3: непрерывное отображение пространств не
задает переноса сечений структурных пучков. В частно-
частности, мы не можем пока склеивать глобальных объектов
из локальных, поскольку мы лишились понятия изо-
изоморфизма.
Простейший выход из положения — задавать морфиз-
морфизмы пространств и пучков отдельно, с минимальными
условиями согласованности. Это приводит к категории
окольцованных пространств.
5. Определение, а) Окольцованным пространст-
пространством (М, 0м) называется пара, состоящая из топологиче-
топологического пространства М и пучка колец 0М на нем @М
обычно называется структурным пучком).
б) Морфизмом окольцованных пространств Ф:
(М, 0м)~* (N, 0К) называется пара (ф, 9), где ф: М-*¦
-*¦ N — непрерывное отображение, а 0 — набор гомомор-
117
физмов колец 9ц-: 0N(U)-*- CM(q>~l(U)) по одному для
каждого открытого множества U cz N такой, что для вся-
всякой пары U{ с иг имеем
Набор 8 =(9G) можно свести к более стандартным
объектам, превратив его в морфизм пучков, притом дву-
двумя способами. Опишем один из них. Положим для U <=
cz N, U, cz U2 с N:
): Ф. (Ом) (U2) ->» ф. (О
м
Нетрудно проверить, что <р. (Ом)— пучок колец на iV,
а 0 определяет морфизм пучков колец, обозначаемый
той же буквой, 9: 0п~+ ф. (Ом)-
Класс окольцованных пространств с таким определе-
определением морфизмов превращается в категорию. Советуем
читателю построить определение композиции морфизмов
и проверить аксиомы.
Существуют естественные конструкции окольцован-
окольцованных пространств, приводящие к пучкам, свойстна кото-
которых далеки от свойств пучка функций. Наиболее нажная
из них доставляет пространства (М, 3)м), где М — мно-
многообразие класса С°° или An, а 3)м — пучок линейных
дифференциальных операторов Р: (Ум -»- (Ум, т. е. отобра-
отображений, в локальных координатах (г,, ..., zn) имею-
имеющих вид
р —
С другой стороны, примеры окольцованных прост-
пространств из п. 4 настолько близки к пространствам с
функциями, что имеется аксиоматическое определение
класса окольцованных пространств, содержащего как
классические многообразия, так и суперобласти и аф-
аффинные схемы.
6. Определение, а) Локально окольцованным
пространством (М, (Ум) называется такое окольцованное
пространство, что (Ум — пучок коммутативных колец, и
для каждой точки х*= М слой Ом,х является локальным
кольцом.
б) Морфизмом локально окольцованных пространств
Ф: (М, Ом) ->¦ {N, On) называется такой морфизм соот-
118
ветствующих окольцованных пространств (ф, б), что для
любой пары точек я е М, у <= N с у = ф (х) соответству-
соответствующее отображение 9^*: 0niV ~" &м,х является локальным
морфизмом колец. ¦
7. Комментарии, а) Прежде всего напомним, что
кольцо А называется локальным, если оно содержит
единственный максимальный идеал гпА. В этом случае
пгА прост и А/тпА является полем. Гомоморфизм ло-
локальных колец /: А -*¦ В называется локальным, если
(
)
Далее, слой Ом,х является индуктивным пределом ко-
колец 0M{U), где U пробегает систему окрестностей точки
х, упорядоченную включением. Таким образом, элемент
Ом,х есть росток сечений Ом над точкой х: он представ-
представлен сечением над некоторой окрестностью, и два таких
представителя определяют один и тот же росток, если
они совпадают на окрестности х, содержащейся в обла-
областях определения обоих представителей.
б) Если М — многообразие класса С°, С°° или An, то
единственный максимальный идеал тпх в кольце ростков
0м,я состоит из ростков функций, равных нулю в точке
х (для доказательства достаточно заметить, что росток,
не обращающийся в нуль в х, обратим в 0М,Х). Поэтому
такие многообразия локально окольцованы. Далее, мор-
физмы многообразий, определенные в п. 3, сохраняют
значения функций в том смысле, что если ф = ф(ж), то
0(/) {x) = f(y) для любого ростка j^ON,y. Следовательно,
это — морфизмы локально окольцованных пространств.
Наоборот, рассмотрим некоторый морфизм (ф, 0):
(М, Ом) -+¦ (N, ОN), скажем, С°-многообразий в катего-
категории локально окольцованных пространств. Пучки Ом и
ON являются пучками R-алгебр. Покажем, что если 0 со-
сохраняет структуру R-алгебр, т. е. попросту тождественно
действует на постоянных функциях, то (ф, 8) является
классическим морфизмом, т. е. 0 восстанавливается по ф,
как в п. 3. В самом деле, функция 0(/) определяется
своими значениями; далее 9(/) (х)= f{y), если /(г/) = 0
(и как раньше, у = ср(х)); наконец, если f{y)=c, то
В(/—с) (#) = (/—с) (у) в силу локальности, и, так как
Q(c) = c, 0(/) (x) = f(y) в общем случае.
Заметим, что могут существовать нетривиальные мор-
морфизмы, не сохраняющие константы, даже между «точка-
«точками», т. е. многообразиями (х, С), где х — одноточечное
пространство. Такие морфизмы взаимно однозначно со-
соответствуют алгебраическим автоморфизмам поля С.
119
в) Аффинные схемы (X = Spec А, Ох) также явля-
являются локально окольцованными пространствами. Слой
Ох в точке х, отвечающей простому идеалу р <= А, есть
кольцо частных Аа, где S = A\$\ образ f в А8 — макси-
максимальный идеал. Любой гомоморфизм /: А -*¦ В индуци-
индуцирует морфизм локально окольцованных спектров (в об-
обратную сторону): ф(») = /-1 (V), Тр<=5. Все морфизмы
спектров получаются так.
г) Пусть теперь (М, (Ум) — общее локально окольцо-
окольцованное пространство. Любое сечение структурного пучка
f^OM(U) определяет функцию с переменной областью
значений:
f(x) = / mod тя е OMJmx = к (х) х е U.
Эти значения также сохраняются при морфизмах ло-
локально окольцованных пространств; точнее, по локально-
локальному морфизму 8Vi*: OKiV -*¦ (Уы,х определяется морфизм по-
полей 0„х: к(у)-*- к(х), и значение / в точке у этим мор-
фиэмом переводится в значение 0(/) в точке х. Однако
функция не обязательно определяется своими значения-
значениями. Нильпотенты в структурном пучке принимают лишь
нулевые значения.
д) Суперобласти в Rm[n при п Ф О не удовлетворяют
определению 6 по той причине, что грассмановы алгебры
не коммутативны. Однако нетрудно определить нужное
расширение понятия коммутативности — суперкоммута-
суперкоммутативность.
8. Суперкоммутативность. Пусть А = AQ + Ai — Z2-
градуированное кольцо. Это означает, что его аддитив-
аддитивная группа является прямой суммой подгрупп четных
(At) и нечетных (Ai) элементов и что если f<^At, ge
е А}, то fg ^ Ah, где k = i + j mod 2. Вместо / *= At
удобно писать^/" = i. Определим суперкоммутатор [/, g] =
= fg — (— tyt8sf для любой пары однородных элементов
/, g <= А и распространим его по биаддитивности.
Кольцо А называется суперкоммутативным, если
[Л ё\ ~ 0 для всех /, g. Иными словами, нечетные эле-
элементы антикоммутируют, а четные с четными и четные
с нечетными коммутируют. Будем считать, что 2 обра-
обратимо в А; тогда 0 = [/, /] = 2f, откуда f = 0 для любо-
любого нечетного /.
Морфизмом ^-градуированных, в частности, супер-
суперкоммутативных колец называется любой гомоморфизм,
сохраняющий Z2-CTeneHb. Определение локального коль-
120
ца и локального морфизма не меняется. Теперь мы в со-
состоянии дать определение суперпространств, полностью
параллельное определению 6 и на самом деле содержа-
содержащее его в качестве частного случая.
9. Определение, а) Локально окольцованным
суперпространством (М, (Ум) называется такое окольцо-
окольцованное пространство, что Ом — пучок суперкоммутатив-
суперкоммутативных колец (все отображения ограничения сохраняют
Z2-rpaflyHpoBKy) и все слои (Ум,х локальны.
б) Мирфизмом локально окольцованных суперпрост-
суперпространств называется такой морфизм соответствующих
окольцованных пространств, что все отображения 0„х
являются локальными морфизмами г2-градуированных
колец. ¦
Располагая определениями 6 и 9, мы можем ввести
еще несколько геометрических категорий, для которых
локальными моделями служат аффинные схемы, супер-
суперобласти в R'71 или аналитические суперобласти в С'"|п
(определить их предоставляется читателю).
10. Определение. Схемой называется локально
окольцованное пространство (М, Оы), у каждой точки
которого имеется такая открытая окрестность U, что
(U, <Jn\U) изоморфно аффинной схеме в категории ло-
локально окольцованных суперпространств. ¦
11. Определение. Дифференцируемым супермно-
супермногообразием называется локально окольцованное супер-
суперпространство (М, (Ум), у каждой точки которого имеется
такая открытая окрестность U, что (U, C?M\U) изоморф-
изоморфно некоторой суперобласти в Rm|n в категории суперпро-
суперпространств, локально окольцованных R-алгебрами. ¦
По поводу оговорки об R-алгебрах см. п. 76).
12. Как описывать топологию в категорных терминах.
До сих пор мы занимались расширением стандартных
категорий геометрических объектов.
Теперь мы примем другую точку зрения и опишем,
какие дополнительные данные следует задать на катего-
категории, чтобы она сама могла служить аналогом топологи-
топологического пространства.
Прежде всего напомним, что открытые множества
любого топологического пространства X являются объек-
объектами категории 0~орх с вложениями в качестве морфиз-
мов (см. 1.5д)). В этой категории есть конечный объ-
объект X: каждое открытое множество U обладает единст-
единственным морфизмом U ->¦ X. Комбинаторная структура
категории определяется пересечениями, которые с кате-
121
I
горной точки зрения суть расслоенные произведения над
X (см. 3.5):
Uг Л U2 = U х X U,.
х
Наконец, основное понятие покрытия определяется в
терминах суммы (точнее, амальгамированной суммы
над пустым открытым множеством, см. 3.6): а) для
любого семейства (Ui) категорная сумма Ц?7* в 3~орх
г
существует и совпадает с теоретико-множественным объ-
объединением у Ui', б) семейство вложений U{ -*¦ U, ie/,
является покрытием, если и только если канонический
морфизм JXUi-b-U является изоморфизмом.
Исторически первым категорным обобщением такого
категорного описания топологии было понятие топологии
Гротендика на схеме. Рассмотрим аффинную схему
Spec А, где А— кольцо без делителей нуля, например,
Fq[xt, ..., хп]. В топологии Зарисского такой схемы лю-
любые два непустые подмножества имеют непустое пересе-
пересечение. Поэтому нерв любого конечного открытого покры-
покрытия имеет комбинаторный тип симплекса. То же верно
для любых неприводимых алгебраических многообразий.
Таким образом, с помощью чисто топологических инва-
инвариантов они оказываются неразличимыми. Переход к ко-
гомологиям с коэффициентами в пучках улучшает поло-
положение дел, но недостаточно; например, все еще нельзя
получить хорошую формулу Лефшеца для числа непод-
неподвижных точек отображения.
Предложенный Гротендиком выход состоял в расши-
расширении понятия топологии: «открытыми множествами»
предлагается считать элементы более широких классов
отображений /: U -*¦ X, чем просто открытые вложения,
например, неразветвленные накрытия, плоские морфиз-
мы (в категории схем) и др. При таком обобщении от-
открытые множества становятся объектами некоторой ка-
категории. Пересечения и прообразы определяются с по-
помощью расслоенных произведений. Существенно, что
понятие покрытия не выводится из категорных структур,
а задается в качестве части определения. Удобным про-
промежуточным объектом служат решета.
13. Определение. Пусть ^ — некоторая категория,
U e Ob9, Ф = {ф,-: Ui ->- U\i e /} — некоторое множество
морфизмов в 9.
122
а) Ф называется решетом над U, если любая компо-
зиция V~+Ui-*-U, где ср е ф, принадлежит Ф.
б) Минимальное решето, содержащее все морфизмы
tyi1. Uj ->¦ U, /е/ называется решетом, порожденным
этим семейством морфизмов. ф
в) Пусть Ф — решето над U и V->U— некоторый
морфизм. Ограничением Ф^ решета Ф на V называется
такое семейство "ф*: Vt -*¦ V, что ср ° г]з4^ Ф для всех i. ¦
14. Определение. Топологией Гротендика на ка-
категории У называется семейство решет C(U), по одному
семейству для каждого объекта U ^ Ob 9*. Элементы этих
семейств называются покрывающими решетами. Они
должны удовлетворять следующим аксиомам.
а) Множество всех морфизмов <р: U' -*¦ U в 9> явля-
является покрывающим решетом над U.
б) Ограничение покрывающего решета является по-
покрывающим.
в) Понятие покрывающего решета является локаль-
локальным в следующем смысле. Пусть Ф — покрывающее ре-
решето над U. Любое другое решето W над U является
покрывающим, если его ограничение на все элементы Ф
является покрывающим. ¦
В категории Э~орх покрывающее решето над U — это,
грубо говоря, покрытие, которое вместе с каждым от-
открытым множеством содержит все его подмножества.
15. Пучки. Категория вместе с заданной на ней то-
топологией Гротендика называется сайтом.
Аксиоматика топологий Гротендика (в отличие от
топологий, скажем, на функциональных пространствах)
ориентирована не на предельные переходы, а на склеи-
склеивание глобальных объектов из локальных и связанные с
этим когомологические инварианты. Пучки являются
основным инструментом таких конструкций. Мы пока-
покажем сейчас, как определить пучки на сайте.
Предпучком множеств (абелевых групп, колец, ...) на
сайте называется (контравариантный) функтор F: 3™ -*-
-+9>et (соответственно F: 9** -*¦ ЛЪ, 9°^ Sling). Обыч-
Обычный язык теории пучков легко распространяется на
предпучки на сайтах: элементы s^F(U) называются
сечениями F над U; образ s в F(V) относительно ото-
отображения F(f)y где /: V-^U, называется ограничением
s на U. (Можно обозначать его s\V, если не забывать о
том, что один и тот же объект V может отображаться в
U несколькими морфизмами / и s\V зависит от /.)
123
Пусть F — некоторый предпучок, Ф — решето над U.
Набор сечений sv^F(V), заданных для каждого элемен-
элемента решета tp: V-*-U, называется согласованным, если
для любой пары V -*¦ V-> U имеем s<po$ = яф | V.
Предпучок F называется пучком, если для любого
объекта U сайта, любого покрывающего решета Ф над U
и любого согласованного набора сечений (sv) над Ф су-
существует единственное сечение s^F(U), ограничения
которого на элементы Ф суть 5„.
16. Пример. Пусть G — некоторая группа, бо-
боевит (^-множеств. Объект соответствующей категории
G-SFet — это множество с левым действием группы G,
морфизм — отображение множеств, перестановочное с
действием G. Решето Ф над U в 9Р0 называется покры-
покрывающим, если U= U q>(V).
ФеФ
Чтобы представить себе строение сайта 9*0, полезно
иметь в виду следующие факты: а) каждое (^-множество
S разлагается в несвязное объединение орбит — непри-
неприводимых G-множеств; б) каждая орбита изоморфна мно-
множеству смежных классов G/H, где // — стационарная
подгруппа некоторой ее точки; в) морфизмы G/Ht -+¦
-*¦ GJH2 взаимно однозначно соответствуют тем элемен-
элементам gH2 e G/IIZf для которых Ht с gH2g\
В частности, в Я^в имеется максимальный неприводи-
неприводимый объект: G, — G с левым действием G. Любой мор-
морфизм ф: Gi -*¦ Gi имеет вид ф=ф#: h^hg для подходя-
подходящего элемента g e G; при этом ф^ = ф^- Пусть 9"ha -
категория пучков множеств на 91'а и F e Ob ff'ha. Тогда
F(Gt) является G-множеством: действие G на s^F(G,)
определяется формулой gs = F((pg)s. По этому G-множе-
ству восстанавливается весь пучок F. Точнее, справедли-
справедливо следующее утверждение.
17. Предложение. Отображение F<-*• F(Gi) про-
продолжается до функтора
a:
являющегося эквивалентностью категорий.
Для доказательства нам потребуется лемма, описыва-
описывающая некоторые свойства пучков на сайте 9*0.
18. Лемма. Пусть F — пучок на Ус Тогда
a) F переводит несвязные объединения G-множеств в
несвязные объединения множеств.
124
б) Пусть Н — подгруппа G, U = G/H е 0Ь^в, q>: G, ¦*
U — естественная проекция. Тогда F((p): F(U)-*-
F(Gt) отождествляет F(U) с множеством элементов
t), инвариантных относительно Н:
F(q>)
; F (Gi) | F (фЛ) s = s для всех h e= H).
Доказательство. Несложное доказательство пер-
первого утверждения мы оставляем читателю. Докажем вто-
второе утверждение. Пусть Ф — решето над U, порожден-
порожденное ф: Gi ->¦ U, так что Ф состоит из всех морфизмов 1|з:
V -> U, разлагающихся в композицию ip = ф ° 6 для не-
некоторого 0: V -»• Gi. Ясно, что Ф — накрывающее реше-
решето. Легко проверить, что ф ° (^ = ф » 02 для 0i, 02: V -*-
-*¦ Gi в том и только том случае, если 6i = фй62 для неко-
некоторого h e Я. Поэтому любой согласованный набор се-
сечений {.9,1,}, ife Ф, задается сечением s=F(Gt), таким
что F((fk)s =s, так что $* = F(ty)s. Поскольку F — пу-
пучок, сечения s^F(U) взаимно однозначно соответству-
соответствуют согласованным наборам is^i, и мы получаем требуе-
требуемое утверждение. ¦
19. Доказательство предложения 17. Функ-
Функтор a: ^ha -*• &'G строится так:
a(F) = F(Gi) с естественным действием G,
как описано выше;
а(|) = l{Gt), I: Fi ->- F2 — морфизм функторов.
Построим функтор р: 9"G -*¦ S"hG, квазиобратный а, зада-
задавая для Х^&е функтор Р(Х): 9%^-9>et формулами
р (X) (У) = Нот^ (У, X) для Y s Ob 9>% = Ob 9>G,
Р (X) (/): <реРA) (УО - Ф./ е Р (X) (У2)
для /:У2-^У! (так что /eHom^^, Уа)\.
Легко проверить, что Р(Х)—пучок множеств (а не толь-
только предпучок) на сайте 9"а-
Далее, действие р на морфизмах в ^о задается так:
i|; e Hom^p (Xlt X2) переходит в морфизм пучков;
Р(г|>): Р(Хх)->-р(Х2), определяемый формулой
Р (Ф) (Ф) = ^"Ф Для Ф ^ Р (xi) (Ю. Y e Ob ^S.
125
Для проверки того, что а и р задают эквивалентность
категорий, мы построим изоморфизмы функторов
е: a»p-vJd^,G, б: Id^-^p-a.
При построении е нужно построить согласованные меж-
между собой изоморфизмы G-множеств е(У): <х°р(У)-»-У,
У е Ob 9>. Имеем а°|3 (У) = Нош^ (Сг, У) и е(У) зада-
задается формулой е(У)ф = ф(е)е У, где е — единица груп-
группы G. Проверка того, что е — изоморфизм функторов,
тривиальна.
Перейдем к построению б. Нам нужно для каждого
пучка множеств F па Э'а построить морфизм 6(F)' F->~
-*-f>°a(F) в ff'ha, т. е. построить морфизм б(/'') функто-
ра F: 9>%-+9>et в функтор $°a{F): &1-*-9>>а.
чит, что для каждого X
отображение множеств
нужно
Это зна-
знапостроить
Набор отображений 8(F, X) должен удовлетворять сле-
следующим условиям:
а) 6(^, X)— взаимно однозначное отображение для
любых F, X.
б) Если |: Fi -»¦ F2 — морфизм функторов, так что
Р°а(|)— тоже морфизм функторов, то диаграмма
коммутативна.
в) Если ф: Xt ->- Xz — морфизм G-множеств, то ди-
диаграмма
коммутативна.
Для построения 8(F, X) заметим, что
Пусть ieX и 0X: Gi -> X — единственный морфизм
G-множеств, для которого вх(е) = х. Тогда /^F*) отобра-
126
жает множество F(X) в множество F(Gi), и b(F, X) за-
задается формулой
для o
Для проверки того, что &(F, X)—изоморфизм, сле-
следует заметить, что любое G-множество Х является не-
несвязным объединением X = UG/Hif где Я4 — подгруппы
G. После этого следует с помощью утверждения а) лем-
леммы 18 свести проверку к случаю X = G/H и воспользо-
воспользоваться утверждением б) леммы 18. Детали этой провер-
проверки, так же как проверку свойств б), в) отображений
&(F, X), мы оставляем читателю. ¦
20. Замечания, а) Аналогично устанавливается,
что категория пучков абелевых групп на SPq эквивалент-
эквивалентна категории G-модулей. В приложениях полезны вари-
варианты этих конструкций, в которых группа G топологи-
топологическая, а ее действие на объекты сайта непрерывно.
Например, пусть G = Gal(fc/fc) с топологией Крулля;
к — поле, &G — категория конечных G-множеств с не-
непрерывным действием. Это — этальная топология Гро-
тендика одноточечной аффинной схемы Spec к. Пучки
абелевых групп на ней — то же, что непрерывные G-
модули.
б) Из доказательства следует, что любой пучок мно-
множеств на ^с есть представимый функтор.
В общем сайте жесткой связи между пучками мно-
жестн и представимыми функторами нет. Однако нали-
наличие такой связи весьма существенно. В частности, име-
имеется теорема, дающая абстрактную характеризацию сай-
сайтов, в которых пучки множеств совпадают с представи-
представимыми функторами. Грубо говоря, такие сайты суть са-
сами категории пучков множеств с некоторой канонической
топологией.
Теперь мы изложим последнюю геометрическую кон-
конструкцию этого параграфа. Она ставит в соответствие
каждой категории большое (как правило, бесконечномер-
бесконечномерное) топологическое пространство, гомотопические свой-
свойства которого лежат в основе, например, алгебраической
.К-теории. Это пространство является геометрической ре-
реализацией симплициалъного множества (см. § 1.2), на-
называемого нервом категории, и мы будем вести изложе-
изложение на языке симшгациальпых множеств. Конструкция
нерва имеет смысл лишь для малых категорий, т. е. та-
таких, у которых объекты образуют множество.
127
21. Определение, а) Нервом малой категории <&
называется симплициальное множество Щ?, для которого
NWn = множество диаграмм вида Хо —%¦ Хг >
• • • —*¦ Хп, Хг е ОЬ <&, ф{ ^ Мог (ё>. A)
Неубывающему отображению /: [m]->[w] ставится в со-
соответствие отображение NWn -*¦ Шт, которое переводит
диаграмму A) в
t|} tb tb __
x 0 ¦* 1 * • • • * ¦» mi
где Yi = XHt); tpf = id, если f(i)= f{i+ I); ty =
~ ф/(.+1)-1 °... ° ф/A) в остальных случаях.
б) Пусть F: <& -*- <&' — функтор между малыми кате-
категориями. Его нервом называется морфизм симплициаль-
симплициальных множеств (см. 1.2.16) Л^: N9? -> W, который пе-
переводит симплекс (Х{, ф;) в симплекс (F(Xt), F(q>{)). m
Пример. Пусть 2„ — категория с п + 1 объектами,
ObSn = {0, 1, ..., п), в которой H0m2ri(fc, l) состоит из
одного элемента при к ^ I и пусто при ft > 1. Тогда
N2n = Д[и] — симплициальное множество, описанное в
1.2.5 (проверьте). ¦
Нетрудно убедиться, что N — функтор из категории
малых категорий tfCat в категорию симплициальных
множеств Aa9:'et. Перечислим некоторые его свойства.
22. Свойства нерва, а) Категория Ч? восстанавлива-
восстанавливается по своему нерву однозначно с точностью до изомор-
изоморфизма (не эквивалентности!). В самом деле, пусть Х =
= NW. Тогда ОЬ «? = Хо, Мог # = Z,.
Подробнее, в обозначениях 1.4.1, 1-симплекс геХ,
представляет морфизм из X (д\) х в X (<9°) х. Пусть, да-
далее, xt, x2 e Xi — два 1-симплекса, имеющих общую вер-
вершину X (д\) хх = Х (д\) х2. Тогда в X существует един-
единственный 2-симплекс хг ° xt s Х2, для которого X (д\) X
X (^2°xi) = х\-> X (д\) (х%°х^) = х% (ибо X — нерв неко-
некоторой категории; в произвольном симплициальпом мно-
множестве это не так). Композиция морфизмов, представ-
представленных #1 и хг, представлена симплексом
X(dl)(xtoXl).
Наконец, тождественный морфизм id»: х -> х, х s Хо,
лредставлен элементом X (s{J) xge Xu где s% — единст-
единственное отображение [1] -*• [0].
128
б) N(<e>X<e")=D(N<&XN<S") (см. определения
Н.1.7в) и 1.3.4, 1.3.5). Доказательство этого свойства
очевидно.
в) Функтор N является строгим и полным, т. е. ото-
отображение F >->¦ NF индуцирует биекцию:
Очевидно, как по морфизму /: TVS' -»¦ АТ<&" восстано-
восстановить такой функтор F: Ф-^-Ф', что f = NF: действие F
на объектах (соответственно морфизмах)— это действие
/ на 0-симплексах (соответственно 1-симплексах). То,
что F — функтор, следует из того, что / коммутирует с
отображениями граней, ввиду п. а ).
Заметим теперь, что Нот^,^ (9, *&') — функторы из
9$ ъ Я?' — снова есть категория, с естественными пре-
преобразованиями в качестве морфизмов (см. II.1.9, где мы
писали SFuncl вместо llom^Cai). Поэтому можно поста-
поставить вопрос о вычислении ее нерва в термипах Л^ и
N'S". Чтобы сформулировать ответ, полезно обсудить од-
одно общее понятие.
23. Объект «внутренние морфизмы». Морфизмы мно-
множества образуют множество; морфизмы абелевой группы
в другую абелеву группу образуют абелеву группу и
т. п. Если мы хотим аксиоматизировать ситуацию, при
которой для объектов категории Y, Z'^ObW имеется
объект «внутренних морфизмов» Hom(F, Z)^Ob<ff, то
естественный способ состоит в задании соответствующе-
соответствующего представляющего функтора. В большинстве примеров
он задается формулой типа:
(X, Нот (Y, ZJ) = Нот^ (X*Y, Z),
где * — некоторая операция произведения. Другими сло-
словами, Z I-* Нот (У, Z) является правым сопряжен-
сопряженным к X*-*X*Y. Читатель проверит, что такая фор-
формула справедлива в следующих категориях: 5?et (* —
прямое произведение множеств), s?b (« — тензорное
произведение над Z), Wat (« — произведение категорий,
П.1.7в). В следующей теореме мы установим существо-
существование объекта «внутренних морфизмов» в категории
/S^&et и его связь с соответствующим объектом в Фаг.
Для двух симплициальных множеств X, Y положим
X*Y = D(XXY) (см. 1.3.4, 1.3.5), так что (Х*УL =
= Х{ X У и (X * Y) (/) = (X (/), Y (J)) для /: [т] - [п].
9 С. И. Гельфавд, Ю. И. Манпн. т. 1 129
24. Теорема, а) В категории b?SPet для любых
двух объектов У, Z имеется объект Нот G, Z), пред-
представляющий функтор
^(Х*У, Z). B)
б) Для любых малых категорий Ч?, W существует
естественный изоморфизм симплициальных множеств
-N (Hom^ (#, «")) = Нот (N9,
Доказательство, а) Построим симшгациальное
множество Г = Нот (У, Z) явно. Напомним, что для лю-
любого п имеется стандартный симплекс А[га] ^ Ob A^ef,
в котором A[n]m = {?: [те]-»-[ге]} и A[n](f) (#) = g« / для
/: [ft] - [те].
Для каждого возрастающего h: [к] ->¦ [п] зададим ото-
отображение еАеНотдо^{ (AM, A[«]) формулой еЛ(§?) =
= h°g,g: [m] -* [к].
Теперь положим
Если /: [те] -> [га], t е Тп, то
где eft*idreHomAo (A[m]*Y, Л [га]*Y) — отображение,
тождественное на втором сомножителе.
Для доказательства формулы
построим два взаимно обратных отображения этих мно-
множеств друг в друга.
Пусть сперва ф = {ф„} ^ Ношдо^,^ (а, Г), так что
Фп: Хп->Нотдо^( (A [n]*Y,Z).
Зададим г|з = {i|)n} <= Нотдо^,?( (X*Y, Z), полагая
t|3n(a;B, г/„) = фг.(^п) (id[n], г/п),
где хп е Х„, id[n] ^ Л[га]„, уп е Уи.
Обратно, для я|з = {i|)m} s Нотдо^е( (Х*Г, Z) зададим
Ф = {ф„} е Нотдо^р( (X, Г), полагая
130
для хп е Х„, /: [т] -*- [га] е А[/г]т, j/me Ут. Здесь
(фп(хп))т — гая компонента отображения симплициаль-
симплициальных множеств ф„(ж„): Д[га] * У ->¦ Z.
Оставляем читателю несложную проверку того, что
построенные отображения ф •—»- ар и tf> >-»• ф задают изомор-
изоморфизм функторов hT: Хь^Нотдо (X, Г) и X*-*-
.- Ношдо (X*Y, Z) из {A'SPet)" в 9>et.
б) Вычислим Нот(Л^, NW). Имеем
Нот (NV, NV')n =
") (по определению Нот)
, NW) (см. пример в п. 20)
= Ыотдо (A [n]*N(S',
= Нотдо
о^; (Ж B„ X «?), NW) (ввиду 216))
п( BП X ^, «") (ввиду 21в)).
Далее ил определения 2П и произведения категорий
(П.1.7в)) ясно, что Hom,g>a(B„ X ^, ®") — это множе-
множество диаграмм
где все Ft — функторы 1? ->- W (т. е. объекты в
Honi(g?af С^, ^")), а фi — морфизмы функторов (т. е.
морфизмы в Hom^at(^7, "g")). Поэтому
Horn (NW,
Читатель легко проверит, что указанное отождествление
задает изоморфизм симплициальных множеств
N (Hom#a( («\ «")) и
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Нервы категорий и гомотопии. а) Пусть ®", *g" — две кате-
категории, FB, Fr. W-+W — два функтора, <р: Fo -v F, — морфизм функ-
функторов. Докажите, что NF0, NF\: N'S -+¦ N'e" — гомотопные отображе-
отображения симплициальных множеств. (Явно постройте гомотопию, ис-
используя ф.)
б) Докажите, что сопряженные функторы F: <& -*-<&', G: 42'-+¦
-*¦ Я? задают гомотопически обратные отображения NF: NW -*¦ N'e"',
NG: N<&'-+m.
в) Докажите, что если в %? существует начальный или конеч-
конечный объект, то N'S' стягиваемо (т. с. тождественное отображение
гомотопно отображению в одну точку).
9*
131
2. Барицентрическое разбиение. Пусть задано симшгациальное
множество X. Определим категорию Шх, полагая
Ob 3$х = (невырожденные симплексы X (всех размерностей)},
и для х е Х„, х' е Хт
Ношд, (г, х') = (/: [ш] -»¦ [п], / строго возрастает и X (/) ж = ж'}.
Композиции и тождественные морфизмы определяются ес-
естественно.
Докажите, что невырожденный га-симплекс из N3$x — это на-
набор (х0, ..., Хп, U>, • •-, in-i), где X} — невырожденный /-симплекс
вХ, и x(dV)xni = x}.
N9$x естественно интерпретируется как барицентрическое раз-
разбиение симшшпиалыюго множества X (см. рис. 3).
2 пи и мл с ко Л'
2- симплекс 'N
Рис. 3
3. Морфизмы стандартных симплексов. Докпжитс, что
Нот(Л[т], Д[га]) = Нот(Л[н — 1], Л[т + 11).
Указание. Прежде всего, Д[т] — N2m, где 2т — категория
с т + 1 объектами 0, 1, ..., т, отвечающая упорядоченному мно-
множеству 0<1< ... < т. Поэтому Нот (Д[т], Л[я]) =
= N@~unctA,m, 2„). Используйте теперь упражнение 1.4.
4. Докажите, что для любых X, Y, Z e Ob t^S^et имеем
Hom(X* У, Z) = Hom(X, HornG, Z)).
5. Квадратичные алгебры, а) Категория квадратичных алгебр
Qsf-. Пусть к — поле. Квадратичной алгеброй называется ассоци-
оо
ативная Z-градуированная алгебра А = © А-х с условиями:
»=о
(i) Аа = к, dim Ai < оо;
(ii) А порождена Ао я Ai, a идеал соотношений между эле-
элементами А\ порожден подпространством R(A) с: А\ ® Л\. Будем за-
записывать это
А ¦*->• {Аи R(A) czAi ® Л,}.
Морфизм /: А-*-В в Q,s$- — это гомоморфизм /с-алгебр, сохраняю-
сохраняющий градуировку. Поэтому Hom^^ (А, В) находится во взаимно
однозначном соответствии с такими линейными отображениями
/: Ai^Bu что (f®f)(R(A))czR(B).
б) Двойственность. Для А е Ob QM- положим
132
где R(AI- — аннулятор R(A) в (^ ® AJ* = А* ® А*. Доканмте,
что эта операция продолжается до зквивалептности категорий
Qs4--+Qs&o. Докажите, что S{Vy = A{V*), A{V)! = S(V*) (S и
Л — симметричная и внешняя алгебры линейного пространства,
которые, очевидно, квадратичны).
в) Произведения. Для A, BeObQ^t положим
А оВ
А.В
U SI23)(R(A)
+ Л,
где 5B3) — оператор перестаповки второго и третьего мпожителей
в Ах ® Л, ®В, ® В,. Докажите, что D 0 ВI = Л! . Д!, (Л.В)' =
= Л! о В'- (изоморфизм бифункторов).
г) Внутренний Нот. Докажите, что имеется изоморфизм функ-
функторов (по Л, В, С)
Нот (Л . В, С) = Нот (Л, В'- о С),
при котором отображению /: А\ (&В\-*-С\ ставится в соответствие
отображение g: Ау-+В^® Сх со свойством /(а 0 ft) = <?(«), 6>
(свертка по 6).
Положим Нот (Л, С) — В' о С (ср. п. 23).
д) Единичный объект. Пусть К = к[е], е2 = 0. Покажите, что
К.А&А, Нот (Л1, К) с* А.
е) Комплекс Кошу ля К' (/). Полагая в г) Л = К, поставьте
в соответствие любому морфизму /: В-+¦ С комплекс К' (/) =
= (Я'°С, d^, где dj — правое умножение на образ eeIjB!«C
при морфизмс, отвечающем /. Вычислите явно К' (idg(y)) (ср.
упр. 1.7.5).
ж) Внутреннее умножение и коумножение. Постройте гомо-
гомоморфизмы внутреннего умножения
Нот (В, С) . Нот (С, D) -+Нот(Я, D),
В . Нот (В, С) -*¦ С.
Сформулируйте и докалште свойство ассоциативности.
Полагая horn (В, С)= Нот(Д!, С')'- = В' • С, постройте гомо-
гомоморфизмы внутреннего коумпожения
hom(S, D) +homE, С) °hom(C, D),
С-+йо hom (В, С).
Сформулируйте и докажите их ассоциативность.
§ 5. Аддитивные и абелевы категории
1. Абелсв аргумент теории гомологии. В п. 1.6.1 мы
упоминали, что всякая теория гомологии зависит от двух
аргументов — абелева и неабелева. Абелев аргумент, как
правило, является объектом абелевой категории (тогда
как неабелев аргумент — это сама категория). Понятие
133
абелевой категории аксиоматизирует основные свойства
следующих конкретных категорий:
а) абелевы группы,
6)t модули над кольцом,
в) системы коэффициентов (п. 1.4.8) и предпучки
абелевых групп (§ 1.5),
г) пучки абелевых групп (§ 1.5).
Мы последовательно сформулируем аксиомы А.1 —
АЛ абелевой категории ft (определив входящие в них
понятия), проверим их для категорий а)—г) и проком-
прокомментируем, каким образом они нарушаются для близких,
но не абелевых категорий, таких как топологические
абелевы группы и абелевы группы с фильтрацией.
2. А1. Каокдое множество Нот^, (X, У) снабжено
структурой абелевой группы (которую мы будем запи-
записывать аддитивно); композиция морфизмов биаддитивна
относительно этой структуры.
Иными словами, Hom<g> есть функтор ЯП* Х'ё' -*¦ Mb.
Отметим еще, что отсюда следует непустота всех
Hom%> (X,Y), ибо в любой абелевой группе есть нуле-
нулевой элемент.
Во всех примерах а)—г) очевидно, какая структура
на Honigj (X, У) имеется в виду.
3. Л2. Существует нулевой объект О^ОЪ*^ — такой,
что Ноп% @, 0) — нулевая группа. Отсюда следует, что
Нот(Х, 0) и Нот@, X) для всех X является нулевой
группой, а любые два нулевых объекта изоморфны. Мы
будем обозначать 0 также нулевые морфизмы.
В категориях а) — г) нулевые объекты очевидны.
4. A3. Для каждой пары объектов Xh Хг существует
объект Y и морфизмы plt 2) ?i, 2'
1 —> 1 3* Л2 A)
со следующими свойствами:
{ '
Р2 I :~" Pi- 2 ==1 ^"
Смысл этой аксиомы выясняет следующая простая
лемма:
5. Лемма. Следующие два квадрата являются со-
соответственно декартовым и кодекартовым (пп. 3.5 и 3.6),
134
т. е. Y является одновременно прямым произведением
и прямой суммой Xi и Хг:
t .
0
В частности, при данных Х„ Хг любые две диаграммы
вида A) канонически изоморфны.
Доказательство. Покажем, например, что по
Pi fVn
диаграмме Хг -<- У —*- Х2 можно построить единственный
морфизм ф: Y' -»- Y, для которого
Pi'=Pi°4>, Р2 = Р2°Ф- C)
Если <р с условиями C) существует, то умножив пер-
первое равенство на it, второе на it и сложив, получаем
с учетом B), что i}pi + i2Pz = ф- Наоборот, этот морфизм
Ф удовлетворяет C). Это завершает проверку декарто-
иости; вторую проверку оставляем читателю. ¦
В категориях а)—г) существование прямых сумм/
/произведений проверяется автоматически.
Теперь мы приступим к категорпому анализу наиме-
наименее тривиального свойства категорий а)—г)—существо-
а)—г)—существования в них точных последовательностей.
6. Ядро. Пусть категория ^ удовлетворяет аксиомам
А1 и А2 и пусть ф: X ->• У — некоторый морфизм. Рас-
Рассмотрим функтор Kercp: W0 - &b
(Кегф) (/)= ограничение hx(j) на (Кегф) (Z)
(см. пп. 3.1, 3.2).
Вложение (Ког ф) (Z)c X(Z) определяет морфизм
функторов k: Kcrq>-+hx. Предположим, что Кегф пред-
представлен объектом К. Этот объект определен вместе с
морфизмом к: К-^Х по теореме 3.3, и ф°& = 0. Диа-
k ф
грамма K-+X-*-Y обладает следующим универсаль-
w
ным свойством: для любого морфизма К' ->-Х с ф4' =
h
= 0 существует единственный морфизм К' ->- К, для ко-
которого к' = к ° k.
Морфизм к, или пара (К, к) называется ядром <р;
допуская вольность речи, мы будем также называть яд-
ядром объект К.
135
Докажем, что если ядро (К, к) морфизма ср суще-
существует, что оно определяется однозначно. Прежде нсего,
применяя универсальное свойство ядра к к: К-*Х, по-
получаем, что единственным морфизмом 8: К ->- К, для
которого к ° 6 = к, является морфизм 6 = iuK. Далее,
пусть &,: Ki -»- X и к2: К-*Х— два ядра морфизма ср.
Ввиду универсальности диаграмм K1-*-X-*-Y, К2~*-
ф
-+-X-+Y, существуют единственные морфизмы -ф±: Kt ->-
->¦ Кг, тр2: Кг ->- Kh для которых к2 ° "ф4 = &(, ft4 ° гр2 = к2.
Отсюда ki о 1р2 ° "ф* = &i, и сокращая, как указано выше,
слева на ки находим тр2 •^Pi=^k1. Аналогично, ^>i°ipa=idK2,
т. е. пары (Ки kt) и (/Г2, /с2) изоморфны.
В категориях а) — г) имеется теоретико-множествен-
теоретико-множественное понятие ядра: ф~4@) в группах и модулях; семей-
семейство гр^1 @) в системах коэффициентов (см. 1.5.8); се-
семейство сру1(О) в пучках, где морфизм пучков ср: 2Г -»¦
-> 'S представлен морфизмами ф^: &~(U)-> &(U) для
всех открытых подмножеств U.
7. Лемма, а) В категориях а) — г) теоретико-мно-
теоретико-множественное ядро морфизма ф: X -*¦ Y является объектом
К той же категории.
б) Каноническое вложение этого объекта К в X яв-
является категорным ядром в смысле п. 6. ¦
Для категории пучков это следует, по существу, из
1.5.4а).
8. Коядро. Напрашивающееся наивное определение
Сокег ф как объекта, представляющего функтор Z ^-*¦
*-* Coker (X (Z)-^Y(Z)), является неправильным. На-
Например, уже в категории абелевых групп он не изо-
изоморфен функтору, представленному теоретико-множе-
теоретико-множественным коядром. В самом деле, положим X = Y = Z,
Ф — умножение на целое число п > 1, Z = Z/reZ. Тогда
X(Z)=Y(Z)=0, так что Coker (X(Z)^ Y(Z)) = 0, в то
время как Hom(Z/«Z, Coker ф) =5^0 (здесь Coker ф =
= ZMZ — теоретико-множественное коядро ф). Рекомен-
Рекомендуем проверить, что функтор Z >-* Coker (л (Z) ->• Y (Z))
в нашем примере даже не представим.
Правильное определение Coker ф, если этот функтор
представим, требует двойпой дуализации:
Coker ф=(КегФ°)°,
где ° — символ перехода к двойственной категории (см.
136
п. 1.76)). Читатель проверит, что это определение равно-
равносильно каждому из следующих двух.
а) Коядро морфизма ф: X ->- Y есть морфизм с: Y -*¦
-»- К' такой, что для любого объекта Z e Ob ft последо-
последовательность групп
0 -> Нош^ {К', Z) -> Honig, (У, Z) -> Hom^ (X, Z)
точна. (Это и означает, что [К')° представляет Кегф0.)
с
б) Коядро морфизма ф: X -»- Y есть морфизм Y-+-K'
такой, что с°ф = 0 и для любого морфизма Y-+-K-L с
Ci ° ф = 0 существует единственный морфизм h: К' —>¦ К^
с ct = h " с. с
Так же как и ядро, коядро Y-+K', если оно суще-
существует, определяется однозначно с точностью до кано-
канонического изоморфизма.
В категориях а)—в) имеется теоретико-множествен-
теоретико-множественное определение коядра и справедлив аналог леммы 7.
Так, в категории s?b абелевых групп коядро гомомор-
гомоморфизма ср: G ->¦ Н — это пара (К1, с), где К' = H/q>(G),
с: Н -»- К'— отображение факторизации. Аналогично оп-
определяется коядро в категории модулей над фиксиро-
фиксированным кольцом. Коядро морфизма ф: X -*- Y в катего-
категории предпучков — это пара (К', с), где К' — предпучок
Kf(U)=Y(U)/(fu(X(U)), cv: Г(Г7)^Ж'(С/)-фактори-
зация. Аналогично определяется коядро в категории ло-
локальных систем на фиксированном симплициальном мно-
множестве.
Сложнее обстоит дело в категории ЗРМ-Ъ пучков абе-
абелевых групп. Дело в том, что даже если ф: X-*¦ Y —
морфизм пучков, {K'(U)= Cokerф[/} может оказаться пе
пучком, а лишь предпучком (см. 1.5.46)). Можно про-
проверить, что {K'(U)} является коядром в категории пред-
пучкоп.
Ниже, в пп. 12—16, мы построим коядра морфизмов
в категории пучков. Теперь же сформулируем послед-
последнюю аксиому.
9. А4. Для любого морфизма ф: X ->- Y существует
последовательность
со следующими свойствами:
а) / ° i = ф;
б) К есть ядро ср, К' есть коядро гр;
в) / есть коядро к и ядро с.
137
Такая последовательность называется каноническим раз-
разложением ф.
10. Определение. Категория, для которой выпол-
выполнены аксиомы А1 — A3, называется аддитивной; кате-
категория, для которой выполнены аксиомы А1 — А4, на-
называется абелевой. щ
Все категории а)—г) в п. 1 аддитивны. Более того,
все они абелевы. Существование канонического разло-
разложения морфизма ср: G -»- Н в категории $4-Ъ (т. е. изо-
изоморфизм 1тф^ G/Ker ф) обеспечено теоремой о гомо-
гомоморфизме абелевых групп; аналогично устанавливается
абелевость категории модулей над фиксированным коль-
кольцом. Для категорий из п. 1.в) каноническое разложе-
разложение строится почленно. Так, в категории fPMb предпуч-
ков абелевых групп каноническое разложение морфизма
ф: X->-У получается из канонических разложений мор-
физмов ф[7: X(U) + Y(U) в М:
кц гц зу си
которые, как легко проверить, совместимы с гомомор-
гомоморфизмами ограничения.
Ниже будет проверепа абелевость категории Я^зФЬ
пучков абелевых групп (предложение 15).
11. Комментарии к аксиоме А4. а) Если канониче-
каноническое разложение морфизма ф существует, то любое дру-
другое каноническое разложение изоморфно ему, и этот
изоморфизм определен однозначно.
б) Если постулировать только существование ядер и
коядер, то для любого морфизма ф можтто построить две
половины диаграммы D):
k i , J c .,
где /с = Ксгф, i = Coker к; с = Coker ф, j = Kerc, а так-
также морфизм I: /-»¦/', такой что (p=i«l°i. Можно про-
проверить, что Кег I = Coker I = 0 (т. е. I является моно-
мономорфизмом и эпиморфизмом). Дополнительное требова-
требование аксиомы А4 состоит в том, чтобы I был изоморфиз-
изоморфизмом (т. е. обладал обратным). Иногда (/', /) называется
образом <р, а (/, i)— кообразом.
в) Аксиома А4 автодуальна в следующем смысле
слова. Рассмотрим диаграмму D) в двойственной кате-
категории С:
сО -jO i^ /fO
Л ->¦ У —*-1 ->¦ А -> Л . {t)
138
Если D) есть каноническое разложение ф, то D)° есть
каноническое разложение <р°.
Аналогичными свойствами автодуальности обладают
и аксиомы А1 — A3. Таким образом, если считать, что
Нои% (X, Y) = Homg>o (У0, Х°) как абелева группа, то
категория, двойственная аддитивной, аддитивна; а кате-
категория, двойственная абелевой,— абелева.
г) В абелевой категории всякий морфизм ф, у кото-
которого Кег ф = 0 и Coker ф = 0, является изоморфизмом.
id
В самом деле, коядро морфизма 0-»-Х изоморфно Х-*-
id
—>-Х, а ядро морфизма Y ->- 0 изоморфно Y~*-Y. Ак-
Аксиома А4 поэтому показывает, что морфизмы i, / яв-
i }
ляются изоморфизмами: Х->/-^У.
д) Морфизмы ф, у которых Кег ф = 0, называются
мономорфизмами; морфизмы ф, у которых Coker ф = 0,
называются эпиморфизмами.
12. Пучки и предпучки. Пусть ffs&b (соответственно
!РМЪ)—аддитивные категории пучков абелевых групп
(соответственно предпучков абелевых групп) на тополо-
топологическом пространстве М. Каждый пучок является пред-
пучком с дополнительными свойствами; это определяет
функтор вложения i: ff'Mb -^3>s4-b. В доказательстве
абелевости категории Я'зФЪ основную роль играет кон-
конструкция левого сопряженного функтора, т. е. функтора
s: tPMb -»- ЗРзФЪ и изоморфизма бифункторов
(sX, Y) ^ Нот^^ь (X, iY). E)
После этого устанавливается, что коядро морфизма пуч-
пучков ф: X-v Y можно определить как s(R), где К — ко-
коядро ф в 3*зФЪ, и проверяется аксиома о каноническом
разложении А4.
13. Предложение. Функтор v. 9"МЪ -> ?Рз4-Ъ обла-
обладает левым сопряженным.
Доказательство. Мы построим функтор
s: SPM-Ъ ->¦ Я'МЬ и такой морфизм функторов е: 1&д>&ъ-*-
->i«s, что отображение E), ставящее в соответствие
еХ 1(ф)
морфизму <р: s (X) -»- Y композицию X —>-1 ° s (X) ->-1 (Y),
определяет изоморфизм E) бифункторов.
Пучок s(X) для преднучка X будет совпадать с пуч-
пучком X4", ассоциированным с X (см. 1.5.6). Мы дадим
здесь другую конструкцию s (X), более подходящую для
наших целей. Напомним, что если предпучок X не яв-
139
ляется пучком, то у него либо есть ненулевое сечение
eel(f), которое становится нулевым на элементах не-
некоторого покрытия U = UU{, либо есть набор согласован-
согласованных сечений (et)^ $ X(?/,¦), который не происходит из
()
Поэтому сечения пучка s(X)(U) и строятся как та-
такие наборы. Именно, положим
s(X)(U)= класс эквивалентности наборов ({Ui}, е\), где
г}, е^ ~ ([Uj], еД если существует покрытие [U"h],
вписанное в {Ui} и в {?/;), такое, что при
UlczUif
имеем еЛ
-= е-.
Обозначим соответствующий класс эквивалентности
[{UJ, et]. Определим отображение ограничения rUY'
s(X) (U)-+ s(X) (V) для V <= U на представителях, по-
полагая
rv,vl{Ui}, ег]-^[{и^У}, (?,|,/1ПУ].
Определим также сложение в s(X) (U) формулой:
[{Ui}, ег] + [{V,}, f}] = [{Ui П Vj), e, |r/jnVj + /,• \uiDVi].
Мы оставляем читателю проверку того, что эти опреде-
определения совместимы с отношением эквивалентности и оп-
определяют па s(X) структуру предпучка абелевых групп.
В действительности он является пучком.
В самом деле, пусть сечение [Ш4}7 et]^ s(X) (U) ста-
становится нулевым после ограничения на покрытие {V}).
Это значит, что для каждого / существует такое измель-
измельчение \Ukj\ покрытия \JUiC\Vj = Vj, что для всех i
г
и к с Ukj с: Uг П Vj имеем ei > — 0. Но это значит, что
[{Ui}, *] = [{?/«}, 0] = 0.
Теперь пусть U=l)Vj и gj e s(X) (Vj) таковы, что
rVj,VjriVi(gj) = rri.vjnvi(gi)- Пусть gj представлен
классом ({Ujh}, gift]. Равенство ограничений па V} fl Vt
означает, что на F,- Л У,- существует покрытие {Ujh}, впи-
сашюс и {UJhf\Vi) и (С/« Л Fj}, такое, что ограничения
gjh и gik, па каждый элемент С/"лчг, лежащий в пересече-
пересечении их областей определения, совпадают. Обозначим
140
через g,ju эти ограничения. Тогда класс
после ограничения на Vj совпадает с gj.
Доопределим отображение s на морфизмах предпуч-
ков <р: X -*¦ У, полагая
Мы завершили конструкцию функтора s. Морфизм функ-
функторов е: IdS!)j^b->-i °s состоит из морфизмов предпучков
{X){U)}, где:
= {lU}, e].
Заметим, что если X — пучок, то е определяет изомор-
изоморфизм X и i°s(X). Мы будем иногда отождествлять X
и i ° s (X) с помощью этого изоморфизма.
Докажем теперь, что отображение, ставящее в соот-
соответствие морфизму ф: s(X)-*Y морфизм 1(ф)°?*: X -»¦
-+¦ i(F), задает изоморфизм E).
а) Пусть 1(ф)-ех = 0, e = [{?/J, et] s s(X) (U). Поло-
Положим ? = фс(е)е= У(Е7). Ясно, что g|u{ = A(ф)в е.у))уДе{).
Поэтому g 1^ = 0 для любого i; поскольку Y — пучок,
g = 0. Следовательно, ф = 0.
б) Пусть if: Z-)-i(F)—некоторый морфизм пучков.
Построим ф: s(X)->-Y, для которого г|) == 1(ф)° гх- Пусть
U<=M, e = [Ш<}, eJes(X)([f). Положим ^== -ф|^(е,) е=
еУ(С/г). Поскольку ф — морфизм предпучков, из ус-
условия е* l^nUj = е3- lyjnUj следует, что g. (у.^у. = g_. |у.л^
для непустых J74 П Vj. Далее, Y — пучок, так что суще-
существует g^Y(U) cg\ui = gv Положим y>u(e) — g. Остав-
Оставляем читателю проверку того, что ф^(е) не зависит от
выбора представителя (ШЛ, е{) сечения е, что ф =
= (фр) — МОрфиЗМ ПУЧКОВ s(X)-*-Y И ЧТО 'ф==1(ф)<>
Пример. Если X — предпучок, описанный в
п. 1.5.46), то s(X)— пулевой пучок.
14. Пр е д л о же ние. Пусть ц>: X ->- Y — морфизм
пучков в Я'^Ь и пусть
KXixXl^iY^K' F)
каноническое разложение морфизма 1(ф) в абелевой ка-
категории ^si-Ъ. Тогда диаграмма
s{h) s(i) Hi) Ф)
G)
141
s{h)
Hi) Ф)
si-+Y = siY—+sK
является каноническим разложением морфизма ф в ка-
категории дРМЪ. В частности, категория 3Ps4-b абелева.
Доказательство. При отождествлениях X = siX,
Y = siY имеем cp = si(<p). Поэтому s(j)° s(i)= s(j ° i) =
= si(q>)= ф, так что разложение G) обладает свойством
а) канонического разложения морфизма <р (см. п. 9).
Два других свойства сводятся к аналогичным свойствам
разложения F) с помощью следующего результата, свя-
связывающего ядра и коядра в &Ps4-b и SPj&b. ш
15. Лемма. Пусть <р: X -»- У — морфизм предпучков
абелевых групп, (К, к) и (К', с)—ядро и коядро ф в
категории ?Ps4-b. Тогда (sK, s(k)) и {sK', s(c))~ ядро
и коядро морфизма $(ф): sX -»- sY в категории 9*s&b.
Доказательство. Утверждение о коядре сразу
следует из предложения 13. В самом дело, пусть Z е
^ ОЪ 9*МЬ. Тогда последовательность абелевых групп
(X, iZ)
точна, и ввиду E), последовательность
О-*~ Кот ^^(sK', Z)-+Hom.g,S?b(sY, Z)->- Нотg>^.b{sX, Z)
ей изоморфна, так что тоже точна. Поэтому (sK', s(c)) —
коядро s(<p) (см. п. 8а)).
Докажем теперь, что (sK, s(k)) — ядро ¦''(ф). Ясно,
что я(ф)° s(k) = s((f о k) = 0. Пусть, далее, Z^&si-b и
ф: Z -*¦ sX — такой морфизм, что 8(ф)°1|) = 0. Нужно до-
доказать, что существует единственный морфизм 8: Z ->¦ sK,
для которого i|) = s (k) ° Э.
Заметим прежде всего, что «ели 0 существует, то он
единствен. Для этого достаточно проверить, что для лю-
любого открытого UczM, s(k)Lr: sK(U)-+- sX(U) — вложе-
вложение. Пусть е = [ШЛ, e,]esK(U). Условие 5(^)^F) = 0
означает, что для некоторого покрытия {Vj}, вписанного
в W%), имеем ку. (ег \у.) = 0 для всех Vj^l7{. Поскольку
ку. — вложение, е\\у. — 0, так что е =[{f/i}, в{] = [{Vj},
ei\Yj] = 0.
Для построения 9 будем строить гомоморфизмы Qv
для всех U с М.
Пусть e^Z(U) и g = i\r(e). Поскольку s(q>)u(g) = 0,
существует такое покрытие {L\} множества U, что
4V - Уи (е) \щ = фу.' Уи{ {е \и{) = 0. (8)
Далее, для любого /, (K(Ui), киг) — ядро гомоморфизма
фуг: X (U$->~ Y (Ui). Поэтому для каждого i существует
142
единственный элемент
, для которого
Далее, для любого непустого пересечения Ut П Uj
имеем
Поскольку kuitwy К (Ui П Uj) ->- X (С/4 f| Uj) — вложение,
имеем
Следовательно, набор (Wi), ht) задает сечение he
<ssK(U). Положим 6[/(e) = /j.
Читателю предлагается проверить следующие утверж-
утверждения:
а) Элемент h^sK(U) пе зависит от выбора покрытия
{С/Д, удовлетворяющего (8).
б) Qu' Z(U)-*- sK(U) — гомоморфизм абеловых групп
и набор {Be/, U <= М} задает морфизм пучков 6: Z-*-sK.
в) $ = s(k)°Q. ш
Приведем теперь некоторые естественные примеры
аддитивных категорий, в которых пе выполнена аксио-
аксиома А4.
16. Фильтрованные абелевы группы. Назовем объек-
объектом категории slbST абелеву группу X с последователь-
последовательностью подгрупп ... cr F'Xci jF'+1Xc: ... а X. Положим
(X, У) | <р (FlX) c= FlY для всех Ц.
Обозначим через F4p ограничение ф: FiX-+FiY.
Ядро морфизма ф в МЬ&~ как группа совпадает с
ядром ф в s?b; фильтрация на нем есть Кег «^ь F\p (про-
(проверьте).
Коядро морфизма ф в s&b@~ как группа совпадает с
коядром фв rf/i; фильтрация на нем есть
F{ Сокег^^ф = F'Y/F'Y (] ц> (X)
(проверьте).
Следующая конструкция доставляет морфизмы с ну-
нулевыми ядром и коядром, не являющиеся изоморфизма-
изоморфизмами. Рассмотрим одну и ту же группу X с двумя фильт-
фильтрациями, F\X a F\X для всех i, и ее тождественный
143
морфизм. Если хотя бы для одного i имеем F\X Ф F\X,
то это — не изоморфизм. В силу п. 11г) отсюда следует
неабелевость категории s?b@~.
Для общего морфизма ф: X ->¦ Y в обозначениях
п. 116) имеем: / = Х/Кегф, 7' = ф(Х) как группы с
фильтрациями
F4 = FX/Kec F'y, FT = F' Y Л <p (X).
Канонический морфизм I->-Г индуцирован ср; отт явля-
является изоморфизмом в s4-b. Однако фильтрации (p(FiX) и
F'Y Пф(Х) могут не совпадать, как в предыдущем при-
примере, и тогда ф пе будет иметь канонического разло-
разложения.
17. Топологические абелевы группы. Объектами ка-
категории sibST являются абелевы группы с хаусдорфо-
вой топологией, морфизмами — непрерывные морфизмы
групп. В этой категории существуют ядра и ко-
коядра: Кег ф, где ц>: X -*- Y есть теоретико-групповое
ядро ф с индуцированной топологией, а Сокегф есть
УЛр(Х), где ц>(Х)—замыкание теоретико-множественно-
теоретико-множественного образа относительно топологии, ипдуцироваплой с Y.
Покажем, например, что если Y-+Z таков, что тр °
° ф = 0, то 1|з проводится через некоторый морфизм
Y/<p(X)-+ Z. Действительно, Кег/ф = г|Г1@) есть замкну-
замкнутая подгруппа У, содержащая ц>(Х), откуда и следует
требуемое.
В обозначениях п. 116) имеем / = Х/Кег<р, 7' = ф(Х),
с топологией, индуцированной с Y. Отображение /-*¦/'
не является изоморфизмом, если <f(X) не замкнут. Мо-
Может оказаться также, что Ц>{Х) замкнут, но У индуци-
индуцирует на нем более слабую топологию. Например, тожде-
тождественное отображение R с дискретной топологией в R
с обычной топологией имеет нулевое ядро и коядро, но
не является изоморфизмом.
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
Цоль нескольких следующих задал: — продемонстрировать ме-
методы работы с объектами произвольной абелоной категории si-, как
если бы оки были просто абелсвыми группами. Оти методы оспо-
напы iia следующее понятии.
Элементом у объекта У (обозначение: у е F) абелевой кате-
категория si называется класс эквивалентности пар (X, h), i' e Ob rf,
144
h: X-*-Y, по соотпошепию аквивалонтностя
существует Z eOb.s# л эпиморфизмы 1 ,„.
u;Z->X;u': Z-+X', такие что hu=k'u'j- {J>
Ясно, что соотношение (9) симметрично и рефлексивно.
1. Докажите, что (9) трапзитивно.
Указание. Докажите сперва следующий результат, кото-
который вообще оказывается очень полезным.
2. Пусть
Z—> Y
l , Iе
X—> U
— декартов квадрат в s&, так что Z= XXY —расслоенное произ-
произведение X и Y над U. Тогда из эшшорфности / вытекает эниморф-
ность /'. Кроме того, /' индуцирует изоморфизм Ког g -> Кег g'.
Точпое, если (К', к') — ядро д', то (К', f'k') — ядро g.
3. Замечания. Отмстим аналогию понятия элемента объекта Y
абелевой категории и общего понятия F-точки (см. § 3.2). Отличив
этих двух понятий состоит во введении дополнительной фактори-
факторизации A). Необходимость такой факторизации можно усмотреть
из обсуждения свойств ядер и коядер в пп. 5.6—5.8. Точнее, по-
поскольку функтор Нот^ (•, Y) точен слева, но не точен справа (см.
§ II.6) отображение Ногн^ (X, Yy) ->- Иот^ (X, У2) является вло-
вложенном, если Yx-^-Yi — мономорфизм, по, вообще говоря, не яв-
является сюръективиым, если Y\ -*- F2 — эпиморфизм. Введение фак-
факторизации A) исправляет этот недостаток (см. задачу 5в)).
Основная неприятность, возникающая при попытке описывать
морфизмы в аболовой категории их действием на элементы, со-
состоит в трудностях, возникающих при попытке охарактеризовать
те отображения {множество элементов Fi} ->- {множество элемен-
элементов Y2], которые индуцируются некоторым морфизмом /: Yi ->¦ У2.
Поэтому обычно требуемые морфизмы строятся независимо, а эле-
элементы используются при проверке их свойств,
fi. Пусть /: Y\ ->- У2 — морфизм в М, у — элемент Уь (X, h) —
представитель у. Покажите, что f(y) = {класс (X, /ой)} задает
отображение {элементы Fj} —>- {элементы Уг} (которое будет
обозначаться той же буквой /).
Пусть также 0 — класс пары @, 0), и для je (X, h) пусть
—у — класс нары (X, —А).
5. Докажите следующие основные правила диаграммного по-
поиска:
а) /: Yi-*-Y2— мономорфизм, если и только если для у <=
s У условие f(y) = 0 влечет у = 0.
б) /: Yi -»- Уг — мономорфизм, если и только если для у, у' е
е Y условие f(y) — f(y') влечет у = у'.
в) g: Yi ->- У2 — эпиморфизм, если и только если для любого
у <=Y2 существует у' <= F, с f(y') = у.
г) /: У1 -ь ?2 — пулевой морфизм, если и только если }{у) =
= 0 для всех у е У].
10 С. И. Гельфанд, Ю. И. Мадии, т. 1 145
1 S
-*- Y-*¦ Y2 точна в члене F, гели и
=0 существует
д) Последовательность л ^ —г- ± -*¦ j 2
только если j/ = 0 и для любого у е Y с
и' е Y\ с fly') = у.
е) Пусть задан морфизм g: Yt -+ Y2 и такие элементы у, у' s
eyh что g(y) = g(y'). Тогда существует такой элемент z e ii,
что ^(г) = 0, и, кроме того, для любого морфизма /: Y\-*-Y с
/(г/) = 0 имеем /(z) = —/(»') и для любого морфизма / : Fi->-r
с f'{y') =0 имеем /'(z) = 1(у)- (Элемент z — это аналог разно-
6. Докажите следующую лемму о пяти гомоморфизмах. Пусть
задана коммутативпая диаграмма
X.
X.
X.
J'i I'» I
'.
в которой строки точны, /i — эпиморфизм, /5 — мономорфшш, /2,
/4 — изоморфизмы. Тогда /3 — также изоморфизм.
7. Лемма о змее. Пусть задана коммутативпая диаграмма
о
1
У,
'.1
л
о
¦ о
A0)
с точными строками.
а) Докажите, что последовательности
0 _» Кег /х Д Кег /2 -^- Кег /3,
Сокег /х -4- Соксг /2 -> Сокег /3
A1)
•0,
где аи а2 (соответственно Ьь Ь2) индуцируются морфизмами ?i,
g2 (соответственно feb fe2) точны.
б) Постройте естественный морфизм о: Ker/3->-Cokor/i, со-
соединяющий две точные последовательности в одну длинную точ-
точную последовательность.
У к а з а н и е. Мы покажем лишь, как строить б; все проверки
пповодятся с помощью задачи 5.
Дополним A0) до следующей коммутативной диаграммы с
точными строками:
v Z
0-
X.
xi
'4
х„
Кег /,
. о
2 ft.
2
146
в которой Z — декартово произведение Х2 и Кег/3 над Х3, Z' — ко-
дскартово произведение F2 и Сокег /, над Yu Согласно задаче 2,
s — эпиморфизм с ядром /': Z' -+¦ F3. Аналогично s' — мономорфизм
с коядром t'\ Z' -*- Ys. Рассмотрим морфизм е = lj2l': Z ->- Z'. Он
обладает свойствами nt = s'k'fi = 0 и t'e = f3ks = 0. Поскольку
верхняя и нижняя строки диаграммы A2) точны, существует
единственный морфизм <5: Кег /3-»- Сокег /ь для которого 8 = s'6s.
8. Теорема Жордана — Гельдера. Ненулевой объект X абеле-
вой категории ?Ф называется простым, если у пего нет собствен-
собственных ненулевых подобъектов. Рядом Жордана—Гельдера объекта
X называется конечная фильтрация подобъоктами 0 = Хо cz X\ cz
с ... с X, с I такая, что Xj/^Y,_i — простые объекты. Если X
обладает таким рядом, то говорят, что его длина конечна. Теоре-
Теорема Жордана — Гельдора утверждает, что любую фильтрацию
0 = Х'о а Х'о С ... cr Xm — X объекта конечной длины X, для
которой X'i/Xi_^ф 0, можно уплотнить до ряда Жордана — Гель-
Гельдера, и любые два ряда Жордана — Гельдера объекта X эквива-
эквивалентны (т. е. задают одинаковые с точностью до перестановки на-
наборы простых объектов X,/A\_i); в частности, все ряды Жорда-
Жордана — Гельдера имеют одну и ту же длину.
9. Факторкатсгории по Серру. Пусть б4- — абелева категория,
38 cz .9^ — полная подкатегория s&, удовлетворяющая следующим
условиям:
(i) Вместе с каждым объектом В категория Я содержит лю-
любой объект, изоморфный подобъекту пли факторобъекту В.
(ii) Вместо с каждыми объектами В', В" Я содержит любое
их расширение (т. е. средний член точной последовательности
0j5'ss'/0)
)
Для фиксированного ЛеОЬа^ обозначим через Sub^A мно-
множество мономорфизмов ф: В-+А таких, что Coker tpe Ob &, со
следующим упорядочением: (ф: В-^ А) ^ (ф': В''-*¦ А) если и
только если <р пропускается через ф', т. е. ф = ф'0 для некоторо-
некоторого (очевидно единственного) 0:В—>-В'.
Двойственное определение задает частичное упорядочение на
множество Qu^/1 эпиморфизмов 1|з: Л-*-С с кег-феОЬ^.
Для фиксированных А, А' е Ob si- отображение (ф: В -*¦ Л,
¦ф: А'-+С)>-~Пот^ [В, С) задает функтор FА<А, =?:<& /Sub^Ayx
X "& (Qu^-^') -+^Ъ С&{1)—категория, отвечающая частичпо
упорядоченному множеству /, см. 1.5 г)).
Определим факторкатегорию S&/3&, полагая
Нош
(A, A') = \i
Определите произведение морфизмов и тождественный мор-
морфизм в st-\9i.
Докажите, что sd-jSl — абелева категория и что естественный
функтор if>: sl-^-sf-l9S (тождественный на объектах) точен. Дока-
Докажите, что <f(A) =0 тогда и только тогда, когда Л еОЬ^.
Стандартными примерами подкатегорий Я являются ff"s^-b
(конечные абелевы группы) с: stb, Tectfh (конечномерные век-
ю* 147
торные пространства) a Teeth и т. д. Существование и хорошие
свойства факторкатегории по Серру si-138 позволяют использовать
рассуждения <шо модулю З&ъ (например, работать в категории
абелевых многообразий с точностью до изогешш),
§ 6. Функторы и абелевость
1. Определение. Пусть Я&, Я%' — аддитивные кате-
категории. Функтор F: '&-+'&" называется аддитивным, если
все отображения
F: Нот^ (X, У)-* Hom^/ (FX, FY), X,Y <= OW,
являются гомоморфизмами абелевых групп. ¦
В дальнейшем мы будем в основном рассматривать
аддитивные функторы. Однако читатель не должен ду-
думать, что все интересные функторы аддитивны. Важные
неаддитивпые функторы — тензорные степени и их кано-
канонические прямые слагаемые на категории j4-mod над
коммутативным кольцом А:
Тп: A-mod -> A-mod, Тп (Е) - ?®п, Г (/) = /®п.
Если А является Q-алгеброй, то любой идомиотопт а из
групповой алгебры симметрической группы Sn позволяет
определить функтор
Sia) (Е) = Im (Tn (E) А Г (?)).
В частности, так получаются симметрическая степень
S"(E) /отвечающая а = -у- ?_,
и внешняя степень
I отвечающая а = — ^ (sgn s) s \.
Основные характеристики аддитивных функторов свя-
связаны с тем, насколько они сохраняют ядра и коядра.
Введем необходимые определения.
2. Определение, а) (Коцепным) комплексом в
аддитивной категории %? называется последовательность
объектов и морфизмов
со свойством dn ° dn~l = 0 для всех п.
б) Если категория Ч>? абелева, то (п+ i)-мерной груп-
группой когомологий комплекса X в ней называется объект
Ьп+\ A)
148
определяемый из коммутативной диаграммы
Coker d"
X1
X'
(Равенство в A) означает канонический изоморфизм.)
в) Комплекс X' в абелевой категории называется
ацикличным в члене Хп, если Нп(Х') = 0.
г) Комплекс X' в абелевой категории называется
точным (или точной последовательностью), если он ацик-
ацикличен «о всех членах. ¦
3. Совпадение двух определений Н (X). В этом
пункте мы прокомментируем определение Нп(Х') (опре-
(определение 26)) и, в частности, построим канонический изо-
изоморфизм в A). Приводимые ниже рассуждения — это
пример того, как приходится переносить на произвольные
абелевы категории стандартные конструкции с абелевы-
ми группами. (Другой способ см. упр. 5.1—5.7.)
Для удобства мы слегка изменим обозначения. Пусть
X-+Y-+-Z — последовательность объектов и морфиз-
морфизмов в абелевой категории Ч?, причем gf — 0. Положим
(К, /c)=Kerg, (К', V) = Coker/. Ввиду определения ядра
и коядра, существуют морфизмы а: X -»- К, b: K'-+Y,
делающие диаграмму
B)
коммутативной. Мы утверждаем, что существует канони-
канонический изоморфизм
Coker а ^ Ксг Ъ. C)
149
Доказательство проводится в несколько шагов. На
каждом шаге мы будем проводить необходимые построе-
построения, оставляя иногда читателю проверку требуемых
свойств.
а) Сперва — одно общее утверждение. Пусть ср: Х->-
-*¦ Y— мономорфизм (т. е. Кегф = 0) и гр: Y ->- К' — ко-
коядро ср. Тогда (X, ф) = Кег1р.
Доказательство следует из рассмотрения каноническо-
канонического разложения морфизма ср (см. 5.9). Справедливо, ко-
конечно, и двойственное утверждение: если гр: Y -*¦ Z—
эпиморфизм, то тр = Coker Ker тр.
б) Построим требуемый изоморфизм C) в случае,
когда в B) / — мономорфизм, a g — эпиморфизм. Поло-
Положим q> = k'k: K-+K' и докажем, что в рассматриваемом
случае (a, Х) = Кегф, (b, Z) = Coker ф. Заметим сперва,
что фа = k'ka = k'f — 0. Далее, пусть G: U'->¦ К — такой
морфизм, что фЭ = 0, т. е. k'kQ = 0. Согласно a), (f,X) =
= Ker k'. Поэтому существует единственный морфизм
тр: U-+К, для которого kQ = /яр = /мир. Поскольку к —
мономорфизм, 6 = агр, т. е. 0 пропускается через X. Легко
проверить однозначность разложения 0 = агр. Следова-
Следовательно, (а, Х) = Кегф. Аналогично, (b, Z) = Coker ф.
Теперь из канонического разложения морфизма ф вы-
вытекает требуемый изоморфизм C).
в) Чтобы свести общий случай к уже рассмотренно-
рассмотренному, заменим морфизмы / и g в B) на их канонические
разложения. Мы получим диаграмму
Ж
D)
в которой X' = Coker Ker / = Ker Coker f, Z = Ker Coker g =
= Coker Ker g. Ясно, что в этой диаграмме /' — мономор-
мономорфизм, g' — эпиморфизм. Несколько раз применяя утверж-
утверждение из а) и определение ядра и коядра, можно убе-
убедиться, что существуют морфизмы а', Ъ'', делающие диа-
диаграмму D) коммутативной, и при отом Coker a' =
= Coker а, Кет b' — Kev b. Тем самым общий случай сво-
сводится к рассмотренному в б) и наше утверждение до-
казано.
150
г) Заметим, что из а) вытекает также следующий
факт:
Любой трехчленный точный комплекс
канонически изоморфен комплексу
0 -» Ker g -»- Y -» Coker /
0.
4. Определение. Пусть ®", <ё" — абелевы катего-
категории, F: W -»- *ё" — аддитивный функтор. Он называется
точным, если для любой точной последовательности в *&
последовательность
0^F(X)
F (Y)™ F(Z)-+0
E)
точна. Функтор F называется точным слева, если после-
последовательность E) точна всюду, кроме, возможно, члена
F(Z). Наконец, функтор F называется точным справа,
если последовательность E) точна всюду, кроме, возмож-
возможно, члена F(X), ш
Исходный интерес к точности функтора объясняется
следующими соображениями. Нас может интересовать —
исторически так оно и было — задача вычисления значе-
значений F на конкретных объектах. Например, вычисление
размерностей пространства сечений пучка — классиче-
классическая «задача Римана — Роха». Если бы функтор «сече-
«сечения пучка» был точным, то эта задача резко упрости-
упростилась бы: а) для любой точной тройки 0 @
-"-#-^0 мы имели бы dimr(Sr) =
+ с1ппГ(?Г2), б) интересующие нас пучки, скажем, на
римановой поверхности, без труда представляются в виде
последовательных расширений несложно устроенных пуч-
пучков, для которых dim Г (ЗГ) известны. Но в действитель-
действительности Г точен только слева, и способ восполнения не-
неточности справа — одна из осповпых задач гомологиче-
гомологической алгебры.
В этом параграфе собраны основные факты о точно-
точности самых важных фупкторов.
5. П ре д л о ж е н,и е. В абелевой категории <& функ-
функторы
(Y, X) F)
151
(У фиксирован) и
Y)
(У фиксирован) точны слева.
Доказательство. Точность слева функтора F)
для фиксированного объекта У из Я2 означает, что для
любой точной последовательности
0->Х'4-хЛх"-^0 G)
в *& справедливы следующие утверждения:
а) Если ф: Y-+X' таков, что /°ф = 0, то ф = 0.
б) Для любого ф: Y-*¦ X условие ?°ф = 0 равносиль-
равносильно тому, что ф = / ° гр для некоторого гр: У -»- X'.
Ввиду Зг) последовательность G) можно заменить
па изоморфную ей точную последовательность
Теперь утверждение а) вытекает из того, что / — моно-
мономорфизм, так что /°<р = /°0 = 0, если и только если
Ф = 0. Далее, если Ф = /°г|), то g ° ф = g ° /° ip = 0. Обрат-
Обратно, если g о ф = 0, то ф пропускается через Ker g, т. о.
ф = /°1|Х
Аналогично доказывается точность слепа функтора
Х~Нога(Х, У). ¦
6. Предложение. Пусть Л mod (соответственно
mod-Л)— абелева категория левых (соответственно
правых) А-модулей, где А — фиксированное кольцо.
Функторы
(Y—фиксированный объект mod-Л) и
mod-A-+s$b: Y
Y&X
А
(X — фиксированный объект Л-mod) точны справа.
Доказательство. Нам нужно показать, что для
любой точной последовательности G) левых Л-модулей
и любого правого Л-модуля У последовательность
л
точна. Ясно, что g' — эпиморфизм: у ® х" = g'(у ® х),
где lei—произвольный элемент, для которого g(x) =
= х". Ясно также, что g'°f' — O. Поэтому нужно лишь
152
доказать, что Ker#'<=Im/'. Для этого достаточно по-
построить морфизм ф: У ® X" —*- (Y ® X)/lmf такой, что
А А
композиция ф о g' совпадает с естественным морфиз-
мом У®Х->(У®Х)/1т/\ Пусть у®х" <=Y®X" и х^Х
А А А
таков, что g(x) = х". Ясно, что образ элемента
у ® х в (У®Х)/1т/' не зависит от выбора х (ибо х
А
выбирается однозначно но модулю Im/ ввиду точности
G)). Легко проверить также, что отображение у®х">-у
>-»¦ у®xmodlm/' задает требуемый морфизм ф: Y®X" ->
А
Предложение 6 остается справедливым для пучков
Л-модулей над топологическим пространством или над
общим сайтом. Оно также остается справедливым, если
заменить Л на пучок колец над этим сайтом.
7. П р е д л о ж о и и е. Пусть X — топологическое про-
пространство, U с X — открытое множество, Я^^Ь — катего-
категория пучков абелевых групп на X. Функтор
точен слева.
Первое доказательство. Пусть tPs&b — катего-
категория предпучков аболевых групп на X, i: 9^s4-b -*¦ &s4-b —
функтор вложения (см. 5.12). Докажем сперва, что i
точен слева. Пусть
0-
¦ О
точная последовательность пучков. Можно считать, что
(?F', /) = Kerg- (ядро в 9>М-Ь). Далее, согласно 5.7,
Ker(ig: \F -+¦ \F" ) = (iF', if). Поэтому последователь-
последовательность
точна в
Далее, ядро и коядро в категории {Pstf-b определяются
отдельно на каждом открытом множестве (см. 5.6, 5.8).
Поэтому функтор
точен. Следовательно, точна последовательность
0 -* i$-'(U)^ i^"(?/)-> \&" (V).
Ясно, что для любого пучка &~ имеем \2Г(\J) = 3T(U).
153
Поэтому функтор &~ >-*¦ ST (U) точен слева па катего-
категории Э^зФЪ.
Второе доказательство. Определим постоян-
постоянный предпучок Ъи со слоем Z на U так:
Zu(V) = Z, если VfiU непусто,
Zu (V) = {0}, если Vf]U пусто;
rvv, = idz, если V'czV, V f]U непусто,
rvv, = 0, если V cz V, V [~| U пусто.
Легко проверить, что для любого предпучка @~ на X
имеем
Пусть, далее, sZu e Ob SPsi-Ъ — пучок па X, ассоциирован-
ассоциированный с Zu. Тогда для любого пучка @~ на X имеем (см.
5.12)
= (i<F) (U) =
и точность слева функтора ^" •-* ff~ (U) иытокаст из пер-
первого утверждения предложения 5. ¦
Отметим, что предложение 7 остается справедливым
для категории пучков абелевых групп над любым сай-
сайтом 9".
Функторы Нот и ® в предложениях 5 и 6 содержат
фиксированный объект; те объекты, для которых
эти функторы оказываются точными, а не только
полуточными, очень важны и имеют специальные
названия.
8, Определение, а) Объект У абелевой категории
называется проективным, если функтор X >-» Нот (Y, X)
точен.
б) Объект Y абелевой категории называется инъек-
тивным, если функтор X ¦-»• Нот (X, Y) точен.
в) Левый Л-модуль X (соответственно правый А-жо-
дуль Y) называется плоским, если функтор Y^>Y®X
А
(соответственно X^-Y®X\ точен.
I А )
Пункт в) этого определения относится также к пуч-
пучкам модулей на сайте.
Обсудим разные аспекты этого определения.
154
9. Инъективность, проективность и продолжение мор-
физмов.
Рассмотрим две диаграммы в абелевой категории S4-:
(диаграмма
проективности)
(диаграмма
инъективности)
Условимся читать их как сокращенные записи следую-
следующих свойств .объекта Y:
а) Для любого сюръективного морфизма Х-+Х" и
любого морфизма Y-+X" существует морфизм Y -»- X,
делающий диаграмму проективности коммутативной.
б) Для любого инъективного морфизма X' ->- X и лю-
любого морфизма X' -*¦ Y существует морфизм X -*- Y, де-
делающий диаграмму коммутативной.
(Основное мнемоническое правило: кванторы общно-
общности относятся к сплошным стрелкам, а существования —
к пунктирным. Ср. с диаграммой в определении 26)).
Мы утверждаем, что справедливость утверждений а)
(соответственно б)) равносильна проективности (соответ-
(соответственно инъективности) объекта Y. В самом деле, пусть,
скажем, для объекта Y справедливо утверждение а) и
аадана точная тройка
0-
-о.
Рассмотрим соответствующую последовательность
0 -> Нот (Y, X') fX Нот {Y, X) С Нот (Г, X") -у 0. (8)
Ввиду предложения 5, она точна во всех членах, кроме
Нот(У, X"), а утверждение а) означает, что g* — эпи-
эпиморфизм, т. е. последовательность (8) точна и Y про-
ективен.
Обратно, пусть Y проективен. Поскольку эпиморфизм
X -*¦ X" в диаграмме проективности можно дополнить до
точной тройки, из точности последовательности (8) в
члене Hom(F, X") следует утверждение а).
10. Проективные и свободные модули. Из формули-
формулировки предыдущего пункта легко следует описание про-
проективных объектов в категории модулей (левых или пра-
155
вых, все равно): модуль проективен, если и только если
он является прямым слагаемым свободного модуля.
Прежде всего, свободный модуль Y проективен. В са-
самом деле, пусть {yt} — свободные образующие Y. Пусть
дана диаграмма проективности. Для построения 1|) доста-
достаточно задать г|з(г/<) и мы положим 1|}(у4) = Ж(, где ^еХ —
любой элемент, для которого я(х,) = ф(г/,) (#,- существу-
существует, ибо я — эпиморфизм).
Далее, прямое слагаемое проективного модуля про-
ективно. В самом деле, пусть F=F,®F2, и задана диа-
диаграмма проективности для У4:
(9)
Положим ф = (ф1, 0):Y-*-X" и построим соответствую-
соответствующую диаграмму проективности. Поскольку Y проектшен,
существует дополняющий ее морфизм "»|) = (i|)i, ip2): У =
= Yt © Yz -* X. Тогда ясно, что 1р4: Г, ->¦ X дополняет
диаграмму (9).
Обратно, пусть Y проективеп. Продета ним Y как фак-
тормодуль свободного модуля Y, т. о. построим точную
, я
последовательность F-> У-v 0 со свободным Y (в каче-
качестве Y можно, например, взять свободный модуль, по-
порожденный всеми элементами у е Y с естественным я).
Рассмотрим диаграмму проективности
Поскольку Y проективен, ее можно дополнить морфиз-
мом я|). Ясно, что (i|), л) выделяют Y как прямое слагае-
слагаемое свободного модуля 7.
В категориях пучков модулей над окольцованными
пространствами проективных объектов обычно оказыва-
оказывается мало. В некоторых конструкциях их могут заменить
локально свободные пучки (пучки, становящиеся свобод-
свободными после ограничения на элементы подходящего по-
покрытия или решета).
156
11. Инъективность и делимость. Конечномерные ли-
линейные пространства над полем являются одновременно
проективными и инъективными объектами этой катего-
категории. Они проективны, потому что свободны, а инъектив-
ны, например, потому, что категория эквивалентна двой-
двойственной ей.
Категория модулей в общем случае весьма далека от
двойственной ей, и классы проективных и инъективпых
модулей оказываются очень непохожими. Если проектив-
проективность модуля связана, грубо говоря, с отсутствием соот-
соотношений между подходящей системой образующих, то
инъективность связана с возможностью неограниченного
деления на элементы кольца А. Типичное препятствие
к инъективности таково: элемент х <г X' делится на эле-
элемент а^А в большем модуле Х^Х' [ах = х' для подхо-
подходящего ieX), но не в X'. Тогда тождественный мор-
морфизм 9 = id: X' -+ X' не дополняется пунктирной стрел-
стрелкой в диаграмме ипъективиости, так что X' не ипъек-
тивен.
Инъективные модули над коммутативными кольцами
тесно связаны также с простыми идеалами кольца. Не
обсуждая здесь общего случая, приведем список мини-
минимальных ипъективных абелевых групп (т. е. Z-модулей):
а) Q (локализация Z по дополнению к простому идеа-
идеалу (О));
б) Q(P)/Z (р — простое число, Q(j,, — аддитивная груп-
группа рациональных чисел со знаменателями рн).
Проверим, что эти абелевы группы инъективны. Пусть
задана диаграмма
так что X' — подгруппа X, a Y — одна из групп Q или
Q(P)/Z. Рассмотрим множество пар (Хи ф,), где Xt —
подгруппа X, содержащая X', т. е. X' а Хх а X и ф4:
Х± -»- Y — морфизм, продолжающий ф, т. е. фг х> = ф-
Введем в множестве таких пар частичное упорядочение,
полагая (Хи цц)^(Хг, ф2), если X, э Хг и ф! продолжа-
продолжает ф2. Согласно лемме Цорпа, в этом множестве есть хотя
бы один максимальный элемент (Хи ф^, Покажем, что
157
он имеет вид (X, if), т. е. дает искомое продолжение ф
на X. В самом деле, пусть Xt^X и ieX\X,, Пусть
Х2 — подгруппа X, порожденная Xt и х. Продолжим мор-
физм <р4: Xi ->• У до ф2: Х2 ->- F. Достаточно задать ф2(ж).
Если nx&Xi для всех neZ, то ц>г(х) можно задать про-
произвольно (например, полагая ц>г(х) = О). В противном
случае все п, для которых пх е X,, кратпы минимально-
минимальному среди них числу щ, и ц>2(х)^ У должно удовлетворять
условию пйу2(х) = q>i(nox). Теперь достаточно проверить,
что в каждой из групп Q и Q_(P)/Z уравнение поа = Ъ
относительно а всегда разрешимо. В Q это очевидно,
в Q(i>)/Z нужно применить алгоритм Евклида.
Существенное наблюдение, связанное с этим приме-
примером: инъективные абелевы группы не являются конечно
порожденными группами. Это — общее япление: в сле-
следующей главе мы увидим, что существование достаточно-
достаточного количества инъективных объектов, скажем, в катего-
категориях пучков абелевых групп, обеспечивается с помощью
предельных переходов.
12. Плоскость и соотношения. Рассмотрим левый
^-модуль X и конечное семейство элементов хи ..., х„ е
el. Семейство (аи ..., a,,)ei" называется соотношени-
71
ем между хи ..., хп, если 2 агх^ -^ 0.
г=1
Более общо, семейство элементов (г/,, ..., j/n)e У, где
У — правый Л-модуль, называется соотношением между
п
#,-, если 2yi®zi = 0 в Y®X.
i=i a
Соотношения с коэффициентами в модуле можно по-
получать как следствия из соотношений с коэффициентами
в кольце. Точнее, пусть (а/, ..., а„ ) = Ап, j = 1, ..., m,
некоторое семейство соотношений между хи ..., хп; уа),
j — 1, ..., тп — некоторое семейство элементов У. Тогда
Уг = 2 y(i)a(p ) е Yn есть соотношение:
т п
= 2 J/(i)® 2
г = 0.
Теперь мы можем охарактеризовать плоские правые
Л-модули Y с помощью следующего свойства: для любо-
158
го левого Л-модуля X и любого конечного семейства эле-
элементов Xi, ..., 1„еХ все соотношения между xt с коэф-
коэффициентами в У являются следствиями из соотношений
между х{ с коэффициентами в А.
В самом деле, пусть У — плоский правый Л-модуль,
X — левый .4-модуль, хи ..., х„е1. Зададим отображе-
отображение ф: Ап -»- X формулойф («i, ..., ап) = 2 atxi- Ясно, что
ядро Л = Кегф<=у4™ состоит из всех соотношений между
xt, ..., хп. После тензорного умножения на плоский мо-
модуль У точная последовательность
перейдет л точную последовательность
0-yY®Rl-+Yn^Y®X. A0)
Пусть теперь (г/,, ..., уп) е У — соотношение между
х„ ..., ж„. Это значит, что ф'(j/i, • • •- Уп) = 2 J/i® ^i = °-
Ввиду точности A0), существуют такие jlj) e У, r^ e
е (a(,j) <#>) еД, j = 1, ..., т, что
то
Уъ • ¦ ¦, Уп) — 2j У
j = l
m
У
j=l
Zj
3=1
т. е. соотношение (уи ..., у„) с коэффициентами в У яв-
является следствием соотношений гш с коэффициента-
коэффициентами в Л.
Обратно, пусть У удовлетворяет сформулированному
выше условию и пусть
0-*.X'-^X-tx"-v0
— точная последовательность левых Л-модулей. Посколь-
Поскольку Z«- Y®X — точный справа функтор, достаточно про-
л
п
верить, что/':Х' ® Y-*~X ®Y—вложение. Пусть JJ
А А 1=1
/ п
'- такой элемент, что/' S
Л \г=1 /
= 0 в У <8> X. Это значит, что (yl5 .. ., г/п) — соотношение
А
в У между /(«!),...,/(««)¦ Оно является следствием
соотношений в А, т. е. существуют такие г/г'е Y, fl^e4
что
159
= 0. Но
n
i = l
/
/( 2
= 0, и поскольку
/ — мономорфизм, 2 в-i x'i = 0 для любого /=1, ...,т.
г
п
Значит, 2
i
г=1
п
= 2
i
т
2
= 0 в У®Х'.
i=l i=ij = i
13. Плоскость и проективность. Следующие свойства
плоских модулей почти очевидны:
а) Свободные модули являются плоскими.
б) Прямые слагаемые плоских модулей являются пло-
плоскими.
в) Индуктивные пределы семейств плоских модулой
являются плоскими. (В проверке этого используется тот
факт, что переход к индуктивному пределу коммутирует
с тензорным умножением и сохраняет точность. См. не-
некоторые подробности в следующем параграфе.)
Из а) и б) вытекает, что проективные модули плос-
плоские, а из в)—что индуктивные пределы проективных
модулей плоские.
Теорема, доказанная независимо В. Гоиороным и Ла-
заром, утверждает, что и обратно: любом плоский Л-мо-
дуль изоморфен индуктивному пределу свободных
модулей конечного типа по направленной системе ин-
индексов.
14. Ацикличные объекты сайта. Продолжая анализ
объектов, порождающих точные функторы, перейдем
к ситуации предложения 6. Пусть $4- — некоторая абеле-
ва категория пучков на сайте 9>. Назовем объект U ^
е Ob 9> ^-ацикличным, если функтор S& -> ?4-Ъ, F i-»-
I-»- F (U) точен.
Вот три важных примера ацикличных объектов. Сайт
9* во всех этих случаях является топологией на тополо-
топологическом пространстве X.
а) s? — категория постоянных пучков абелевых групп
на топологическом многообразии X, U с: X — открытое
подмножество, гомеоморфное шару.
б) s& — категория пучков модулей на схеме X, ло-
локально изоморфных коядрам морфизмов 6^-модулей
0х^*~0 х (такие пучки называются квазикогерентными;
по поводу схем см. п. 4.10 и задачу 1.5.3). Открытое в
топологии Зариского подмножество U <=Х является
^-ацикличным, если и только если (U, (Ух\и) изоморфно
аффинной схеме как окольцованное пространство (теоре-
(теорема Серра).
160
в) s4- — категория пучков модулей на аналитическом
многообразии X, локально (в обычной хаусдорфовой то-
топологии) изоморфных коядрам морфизмов О^-модулей
0х-*-0х (квазикогерентные аналитические пучки).
Класс ^-ацикличных открытых подмножеств UczX сов-
совпадает с классом так называемых штейновых многообра-
многообразий (теорема Картана).
Последние функторы, свойствами точности которых
мы займемся здесь,— прямые и обратные образы пучков.
15. Определение. Пусть /: М-*¦ N—непрерывное
отображение топологических пространств, &~ — пучок
множеств на М. Его прямым образом называется пучок
/. (^"), сечения которого над любым открытым множе-
множеством U <= X определяются формулой
а ограничение с U на V с JJ индуцировано ограничением
с t[(U) на f~HV).
То, что /. (@~) является предиучком, очевидно; аксио-
аксиома пучка проверяется непосредственно.
16. Свойства прямого образа, а) Конструкция /. сох-
сохраняет дополнительные структуры, которые могут быть
на пучке #": пучок групп переходит в пучок групп
и т. п. Если Ф = (/, 0) —морфизм окольцованных прост-
пространств (п. 4.5), а ЗГ — пучок См-модулей, то /. (^") име-
имеет естественную структуру пучка Cjv-модулей. В самом
деле, мы должпы определить умножение ON(U) на
/. (#") (U) = &" (f1 (U)). Но морфизм окольцовапных
пространств включает семейство гомоморфизмов колец
ц>и- Оn(U)-+ 0мЦ~1 (U)), согласованных с ограничения-
ограничениями, а ??""(/"'(?/)) является 0M{j~l{U) )-модулем. Поэтому
перенос структуры превращает /. (^~) (U) в 0N(U)-мо-
0N(U)-модуль. Это же рассуждение показывает, что (ф^) можно
интерпретировать как морфизм пучков колец 0п~>
}@)
}()
б) Пусть /: М-+{¦). Тогда /. (#~) - Г (М, Т) (гло-
(глобальные сечения).
Более общо, если /: М -*¦ N — локально тривиальное
расслоение, то f.{&~) есть «пучок сечений ff~ вдоль
слоев /».
Пусть i: M ->- N—замкнутое вложение. Пучок i. @F")
иногда называют «продолжение нулем пучка #"»: если
U cz N\M, то i. {@~) (U) —¦ одноточечное множество (если
ST—пучок множеств) или i. {&~){Ц) = {Щ (если Т—
пучок абелевых групп).
И СИ. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 161
То же словоупотребление по отношению к незамкну-
незамкнутому вложению безопасно, если помнить, что слой г, (^")
над точками границы i(M) может быть нетривиальным.
в) Любой морфизм пучков <р: ЗГ -> & на М индуциру-
индуцирует (очевидным образом) морфизм пучков /. (ср): f.(&~)—*-
-*-f. (S?) на N. Поэтому /. является функтором из ка-
категории пучков на М в категорию пучков на N. То же
верно для категорий пучков абелевых групп, модулей
над окольцованными пространствами и т. п.
Из свойств функториальности /. по / отметим два:
(fg). = f.g., id. = Id..
Перейдем теперь к обратным образам. Пусть снова
/: М ->- N — морфизм топологических пространств, &~ —
пучок множеств на N.
Основным свойством конструкции обратного образа
/' (ЗГ) оказывается тот факт, что функтор /' сопряжен
слева функтору/, (см. п. 3.23). Поэтому конструктивное
определение /' (@~) мы оформим как теорему существо-
существования. Такое изложение оправдано еще и тем, что при
переходе, скажем, к пучкам модулой над окольцованны-
окольцованными пространствами, конструкция /' {&") меняется, а свой-
свойство сопряженности остается.
17. Предложение-определение. Существует
функтор /': 9>9>ei^-^'3P9!>eiyi между категориями пучков
множеств на N и М и изоморфизм двух бифункторов
I). A1)
Нот (/¦ ОГ), 9) ~ Нот (^", /.
Доказательство. Построим функтор /': ^
-+VffetM явно. Пусть SF — пучок на N. Для каждого
открытого множества U <= М положим
/" (Т) (U) = (семейства [s'x}xsU, где s'x <= &~цх) и для любо-
любого з:ёР существуют: окрестность V точки
}(х) в N, окрестность W а Г1 (V) П U точки
х в М и сечение sef (F) такие, что sz =
= 5дг) для всех z е W}.
Отображения ограничения /' (SF) {U^-^-f C~) (U2) для
иъ cz Ui определяются естественным образом. Легко про-
проверить, что /' (^")— пучок множеств на М.
162
Далее, для морфизма пучков <р: ST^
делим /' (ф): /' (^"i)->/'(^)> полагая
Г
на N опре-
опрегде t/сгЛГ, s'x e (ff'Jx, zeU.
Таким образом, мы построили функтор /': %
-^-УсРеЬм. Проверим теперь свойство сопряженности A1).
Пусть сперва задан морфизм пучков яр: ^"-^/. ($).
Пусть s' — сечение /' (@~) над окрестностью U точки
жеМ, V — окрестность точки }{х) в N и se ^"G) та-
таково, что s'z = SftZ) для всех z e W с /-' (V) П U. Тогда
(F) () е /. {9) (V) = 9 (Г1 (V)) и морфизм а (
, отвечающий ф, задается формулой
Легко проверить, что а(^) определено корректно (в част-
частности, а(-ф) не зависит от выбора окрестностей V, W и
сечения s).
Обратно, пусть задан морфизм пучков ср: f{&~)->-&.
Пусть V открыто в N и se^(F). Определим сечение
1' е /• (^-) (Г1 (ТО), полагая s^ = */(sc), же Г1 СЮ- Тогда
* = ф(Г1(»0)(*')е»(Г1(Г)) = /.(^)(Т0, и мы по-
положим (}(ср) (V) (s) = s. Снова легко проверить, что
Р (ф) — морфизм пучков.
Мы оставляем читателю проверку того, что а к Р —
взаимно обратные отображения, устанавливающие изо-
изоморфизм A1). ¦
18. Свойства обратного образа, а) Пучок /" (&") мож-
можно определить двумя другими способами. Первое опре-
определение состоит в том, что /' (&~) — это пучок на М,
ассоциированный с предпучком
Поскольку множество f(U), вообще говоря, не открыто
в N, такое определение /' {в?) требует двух предельных
переходов: одного для задания 3F{f{U)) (см. 1.5.5) и
другого — для построения пучка, ассоциированного с
предпучком.
Второе определение дается в терминах пространства F
пучка 2Г (см. 1.5.5): сечения пучка /' (&~) над открытым
множеством U <= М — это непрерывные отображения
к: U-*F, для которых s{x)^0~Hx) с:F при всех x^U.
II* 163
Несложно проверить (используя любое определение),
что для любой точки х^М имеем /* (^")* = &ц%у
б) Конструкция /' (^~), приведенная ири доказатель-
доказательстве предложения 17, имеет смысл и в случае, если ST —
предпучок (а не пучок) множеств на N. При этом / {9~)
по-прежнему будет пучком, В частности, если f:M-+
-*¦ М — тождественное отображение, то /" (#") — пучок,
ассоциированный с предпучком #".
в) Конструкция /' сохраняет внутренние законы icom-
позиции: если 8Г — пучок абелевых групп, колец и т. п.,
то /' (&") принадлежит той же категории. Однако, если
Ф = (/, 6)—морфизм окольцованных пространств, а У —
пучок ^-модулей, то /' (#~), вообще говоря но имеет
естественной структуры пучка Ом-модулой.
Поучительно посмотреть, почему не проходит рассуж-
рассуждение, аналогичное п. 16а): согласно предложению 17,
морфизм Ф определяет также морфизм пучков колец
/'(Cjvf)->f?W) но на этот раз f (&~) есть пучок модулей
над началом, а не концом этой стрелки. Из алгебры из-
известно, что замена базы в таком случае осуществляется
е помощью тензорного произведения: естественно по-
положить
/• (ЗГ) =ОМ ®
или
(или /*(#") ®С?м, в зависимости от того, с левыми
правыми ??-модулями мы работаем). Можно проверить,
что
так что /*(#") является правильным определением обрат-
обратного образа в рассматриваемой категории.
г) Пусть /: М-*•{•}, ^" — множество (группа и т. п.),
рассматриваемая как пучок над точкой. Тогда / (&~) —
постоянный пучок со слоем &~.
Если i: M-+N вложение, то i (#") есть ограничение
пучка &~ на М.
д) Как и для прямых образов, имеем
= g'f, id" = Id.
Свойства точности функторов/.,/" и /* таковы:
164
19. Предложение, а) На категории пучков абе-
абелевых групп функтор /. точен слева, a f точен.
б) На категории пучков модулей над окольцованными
пространствами функтор /. точен слева, а /* точен
справа.
Мы приведем доказательство этого предложения, ис-
использующее общие свойства точности Сопряженных функ-
функторов.
20. Сопряженность и точность. Свойства точности со-
сопряженных пар функторов описываются следующим ут-
утверждением.
Пусть I7, 3) — две абелевы категории, F: *& -*¦ ??>,
G: 3)-*-<&' — дъа аддитивных функтора и задан изомор-
изоморфизм бифункторов W" X 2) ->- з&Ь:
Horrid (FX, Y) = Hom^ (X, GY), A2)
так что F сопряжен слева к G, a G сопряжен слева к F.
Тогда F точен справа, a G точен слева.
В самом деле, пусть
0-
о
— точная последовательность в 2). Тогда, ввиду A2) и
точности слева функтора Y >-» Hom^ (FX, У): 2)^>-s&b
(предложение 5), последовательность 0—>-Нот^ rx GY') ->
-> Нот^, (X, GY) -+ Нот^ (X, G f") точна для ' любого
Х^ОЪ'ё'. Поэтому G7' —объект в Ч?, представляющий
функтор
X ~ Кег (Homg, (X, GY)
(X, GY")),
т. е. GY' = Ker G(g) (см. п. 5.6). Значит, последова-
последовательность
0-+GY'-
точна и G точен слева. Аналогично доказывается, что F
точен справа.
21. Доказательство предложения 19.
Ввиду предложений 6 и ,17 и замечания 18в), утвержде-
утверждение из предыдущего пункта доказывает все свойства точ-
точности, кроме точности /'. Для доказательства точности f
проще всего заметить, что последовательность пучков
абелевых групп
165
на N точна тогда и Только тогда, когда для любой -точки
у е N точна последовательность слоев в у:
после чего воспользоваться равенством /' (&~)х =
M (см. 18а)). щ
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Пределы в абелевых категориях, а) Докажите, что в абе-
левой категории si- уравниватель /, g: X-^-Y совпадает с ядром
f — g. Аналогичное утверждение справедливо для коядер и коурав-
нивателей. Выведите отсюда, что в любой абелевой категории
существуют конечные пределы и копределы.
Существования бесконечных пределов (и копределов) — это
дополнительные условия на абелеву категорию s?. Следуя Гротен-
дику [1], сформулируем ряд стандартных аксиом.
АВЗ) Существует прямая сумма Ф Xi любого семейства
(^иЬ е i объектов из s?.
б) Пусть / — множество индексов. Определите категорию .si-1,
объектами которой служат наборы {Xi)i s j, Xj e Ob s&, докажите,
что она абелева, и что при выполнении АВЗ (X^t—^Xi есть
функтор si-1 -v si. Докажите, что этот функтор точен, если / ко-
конечно, и точен справа для любого /. Приведите пример, где он не
точен слева (т. е. прямая сумма мономорфизмов — не обязательно
мономорфизм). Поэтому имеет смысл аксиома
АВ4) Выполнена аксиома АВЗ и прямая сумма мономорфиз-
мономорфизмов есть мономорфизм.
в) Сформулируйте двойственные аксиомы АВЗ*, АВ4* (о пря-
прямых произведениях).
г) Покажите, что категория $ФЬ (и вообще, категория Д-mod
для фиксированного кольца R) удовлетворяет АВ4, АВ4*, а кате-
категория пучков аболевых групп на фиксированном топологическом
пространстве удовлетворяет АВ4 и АВЗ*, но не АВ4*.
2. Категории, эквивалентные категориям модулей, а) Объект
абелевой категории Р называется строго проективным (или про-
проективной образующей), если функтор h': Хи Иот^(Р, X) из si- в
s4b является точным (проективность Р), строгим (т. е. h'(X) =
= 0=>-1 = 0) и сохраняет суммы в si-. Для такого объекта Р по-
положим R = Нот^ (Р, Р). Каждая группа h' (X) = Нот^ (Р, X)
естественно является правым модулем над кольцом Я. Докажите,
что Ы осуществляет эквивалентность категорий si- и mod-i?.
б) Пусть категория s? нётерова (выполняется условие стаби-
стабилизации возрастающих цепочек подобъектов) и Р — такой проек-
проективный объект, что W — строгий функтор. Тогда кольцо R =
= Horn. ^ (Р, Р) нётерово справа и h' определяет эквивалентность
^Ф с категорией конечно порожденных Я-модулей.
в) Докажите, что условия б) выполнены в случае, когда в si-
имеется конечное число неизоморфных простых объектов Х\, ,..
..., Хп, для каждого i существует эпиморфизм Рг~>- Xi с проектив-
проективным Р{ И Р = ф Р(.
ГЛАВА III
ПРОИЗВОДНЫЕ КАТЕГОРИИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
ФУНКТОРЫ
§ 1. Комплексы как обобщенные объекты
1. Образующие и соотношения. Основы гомологиче-
гомологической алгебры заложил Д. Гильберт. Он рассматривал,
m
в частности, следующую задачу. Пусть ^j а-Х]х3 = 0; i —
= 1, ..., п; aij^k[tu ..., ?г] —система однородных линей-
линейных уравнений с коэффициентами в кольце многочленов
над полем. Все ее решения в многочленах являются ли-
линейными комбинациями конечного числа, однако, вообще
говоря, не существует базисной системы решений, неза-
независимых над k [tu ..., tr\. Линейные соотношения между
элементами базисной системы в свою очередь являются
следствиями конечного числа их, и опять может не су-
существовать свободной системы соотношений, через кото-
которую выражаются все остальные.
Гильберт называл линейные соотношения между ре-
решениями, между соотношениями и т. п. сизигиями. Этот
термин пришел из небесной механики, где целочисленные
соотношения между периодами обращения планет связа-
связаны с противостояниями и резонансными явлениями. Фун-
Фундаментальная теорема Гильберта состояла в том, что для
кольца к [ti, ..., tr] цепь сизигий обрывается через г + 1
шагов: это обобщение того факта, что пространство ре-
решений линейпой системы над полем (г = 0) имеет базис.
Говоря более современным языком, рассмотрим коль-
кольцо А (не обязательно коммутативное), левый А-модуль Е
и точную последовательность в категории левых А -мо-
-модулей
...-+F~n?Z. F~n+1 d-^l F~n+2 -> ... -*. F° \ E _> 0, A)
где Fl — свободные модули.
Комплекс F вместе с «пополняющим гомоморфиз-
гомоморфизмом» е: F-->E называется свободной (левой) резоль-
резольвентой модуля Е. Если выбрать свободные образующие
167
(/i. •••./&{) модулей F', то резольвенту A) можно опи-
описать па языке Гильберта:
e(/i), ...,ё(/Я0) — система образующих .4-модуля Е
(ибо г — сюръекция);
дГ1 (/Г1). • • •» d~l \fhlj) — система образующих .4-мо-
.4-модуля первых сизигий — соотношений между указанными
образующими (ибо <2~' отображает F"' на ядро е, которое
и состоит из соотношений);
d~2 (fi2), . ¦ •, d~* (fhl2)— система образующих А-
модуля вторых сизигий и т. д.
Мы вернемся к теореме Гильберта в § 5, а пока зай-
займемся резольвентами.
Замена Е на резольвенту F' является основным прие-
приемом гомологической алгебры. Выясним, насколько неод-
неоднозначно определяется такая резольвепта.
Начнем с некоторых общих определений. Пусть зФ —
абелева категория. Категория Kom(*s$) комплексов над
з4- определяется очевидным образом (ср. П.1.4д) для
случая si- = зФЬ).
2. Лемма-определепие. а) Пусть К', L'—
два комплекса над s&, /с = (&'), ki%. К*-*¦ Li-i— набор мор-
физмов между членами этих комплексов. Тогда следую-
следующие отображения образуют морфизм комплексов:
h = kd + dk: K'-tL',
m.re.
л "¦¦;..
...к
...V
Морфизм h: K'-+L' называется гомотопным нулю
(обозначение h ~ 0).
б) Гомотопные нулю морфизмы образуют идеал в
MorKom(j^) в следующем смысле: если пг, h2: K'->~L'
и hi ~ 0, h2 ~ 0, то hi + hz~ 0; аналогично, jhK ~ 0 и
hig ~ 0, если эти композиции существуют,
Морфизмы f,~g: К'—*-L' называются гомотопными,
если f — g = kd-\- dk ~ 0 [обозначение: f~g)', k называ-
называется соответствующей гомотопией.
168
в) Если f ~ g, то W (/) = Н' (g), где /Г —отображе-
—отображение, индуцированное на когомологиях комплексов.
Доказательство, а) Мы должны проверить, что
dh = hd. Это формально следует из того, что d2 = 0, так
что dh = dkd = hd.
б) Если ft, = (i&; + ktd, i = 1, 2, то hl + h1 = d(ki + &2) +
+ (At + k2)d. Аналогично, /At = d(fkl) + (fki)d, h2g =
=!d(k2g) + (k2.g)d, поскольку fug коммутируют с d.
в) Достаточно проверить, что если h: R'^*-L'x h~0t
то H'(h) — 0. Пусть kl: К' -*¦ Ll~l — соответствующая го-
мотопия, а е Н% (К'), а<= К' — коцикл, представляющий а.
Тогда H'(h)a<^ Нг{Ь) представляется коциклом h{a=*
= ki+1dlKa + йг?хк1а = djf1 (к*а) (ибо а — коцикл). По-
Поэтому Н1(к)а = 0.
Теперь мы можем сформулировать теорему об одно-
однозначности резольвенты. По сравнению с п. 1 мы обобщим
задачу в следующих отношениях: вместо .4-модулей рас-
рассмотрим любую абелеву категорию s&b; вместо свобод-
свободных резольвент рассмотрим проективные (т. е. F* — про-
проективные объекты категории s&, см. П.6.8а)); наконец,
сразу же выясним, как ведут себя резольвенты относи-
относительно морфизмов.
3. Теорема. Пусть X, Y^Ob~s?,P' —>¦ X, Q'-*-Y —
проективные резольвенты X, У, /: X -*¦ У — некоторый
морфизм. Тогда i ,
а) Существует морфизм резольвент R(f): P'-*-Q',\
продолжающий /, в том смысле, что диаграмма
ро-Хх
коммутативна.
б) Любые два продолжения R(f) и R'(/) гомотопны.
Доказательство. Построение R(/)°. Поскольку
8у
(?° ""*• У — эпиморфизм, мы получаем диаграмму проек-
проективности (см. п. 6.9)
/
f'
о
169
Поскольку Р° — проективен, существует морфизм R(f)°,
делающий ее коммутативной.
Индуктивное построение R(/)"': P~'-+Q \ i >0. Нам
потребуется следующее обобщение диаграммы проектив-
проективности. Пусть в диаграмме
B)
нижняя строка точна, объект Р проективен и [1 ° *f = 0.
Тогда существует морфизм 6: Р ^-А, делающий диа-
диаграмму коммутативной. Это обобщение есть переформу-
переформулировка свойства точности функтора X >-»• Нот (Р, X)
для проективного объекта Р (см. П.6.8).
Теперь мы можем построить R(f)~\ Предположим, что
все R[f)~': P~j -*¦ Q~\ 0^j<i, уже построены, причем
(Iq о R (/) = R (/) ° dp . C)
Рассмотрим диаграмму
D)
Г+1 а.^> о
i
i i 2
Ввиду C) с j = i - 1 имеем d^i+1 . R (/) i+1 o dPl =
= R (/P+2 ° dpt+1 ° dp1 == 0. Поскольку Q' —резольвента,
нижняя строка в D) точна, и мы получаем диаграмму
вида B), в которой Р~{ проективен. Поэтому существует
R(f)~l: Р~г ->- Q~\ и коммутативность диаграммы D) эк-
эквивалентна формуле C) с / = i.
Таким образом, утверждение а) теоремы доказано.
Построение гомотопии. Пусть теперь заданы два мор-
физма резольвент, R{f), R'(f): P'-*Q', продолжающие
/: X-*Y. Построим гомотопию {к~и. Р~* ->¦ <?"'"'} между
ними. Морфизмы к~* строятся индуктивно, аналогично
тому, как выше строились морфизмы R(f)~\ Мы опишем
здесь лишь общий шаг индукции, оставляя начало ин-
индукции читателю.
170
Итак, предположим, что для всех /, 0 < j < г, построе-
построены морфизмы ArJ: P~' -*¦ Q~^% такие, что
d^i-i о IT1 + k-'+L odp>^R (/p - R' (frj E)
(мы считаем в этой формуле, что &' = ()). Нам нужно
построить к~'. Нарисуем диаграмму ,
Р1
Q
-I -1
F)
гг— О'1'1
в которой а — R(j) г — R'(f) г — к J+I ° dPl. Используя
формулу E) для / = — i + 1 и тот факт, что R(j), R'{)) —
морфизмы комплексов, легко получить, что cZq1 »a =
= 0. Поскольку Q' — резольвента, мы снова получаем
диаграмму вида B). Поскольку Р1 — проективный мо-
модуль, существует к~': Р~' ->¦ Q'~l, делающий диаграмму
F) коммутативной, что эквивалентно равенству E) для
j = i. Ш
4. Замечания, а) Положим в теореме 3 X=Y,
f = id*. Тогда теорема утверждает, что между двумя про-
проективными резольвентами одного и того же объекта есть
морфизм, продолжающий тождественное отображение,
и класс этого морфизма по модулю гомотопии однозначно
определен. Это значит, что проективная резольвента «оп-
«определена однозначно с точностью до гомотопической эк-
эквивалентности».
б) Как показывает доказательство теоремы, она оста-
остается верной, если не предполагать, что объекты Q~l про-
Еу
ективны; достаточно точности комплекса Q —>У-»-0.
в) Обращая стрелки и заменяя проективные резоль-
резольвенты на инъективные, получаем дуальную версию тео-
теоремы 3, а также дуальную версию ее усиления, отме-
отмеченного в предыдущем абзаце.
5. Определение. Морфизм комплексов /: К'-*¦
-+L' в абелевой категории $4- называется квааиизомор-
физмом, если Нп(/): Нп(К')->Нп\L')—изоморфизм
для всех п.
В предыдущем изложении мы встречались со ело дую-
дующими квазиизоморфизмами:
171
а) Между двумя проективными (инъекти^ными) ре-
резольвентами одного и того же объекта существует ква-
квазиизоморфизм (теорема За) и лемма 2в)).
б) Любой объект X категории s4- можно рассматривать
как комплекс ...0-*0->Х-+0->... (X стоит на пуле-
пулевом месте). Этот комплекс ацикличен вне нуля, а его
нулевые когомологии совпадают с X; будем называть его
О-комплексом. Пополняющее отображение гх левой ре-
резольвенты Р —*¦ X определяет квазиизоморфизм комп-
комплексов
... ->Р -*Р° ->0 -*0
В этом смысле понятие резольвенты является частным
случаем квазиизоморфизма.
в) Морфизм нулевого комплекса 0"->•/?" (и К'-+0')
является квазиизоморфизмом, если и только если К'
ацикличен всюду.
6. Идея производной категории. Идеологию гомологи-
гомологической алгебры, как она представляется сегодня, можно
сформулировать в виде нескольких принципов.
а) Объект X абелевой категории следует отождеств-
отождествлять со всеми его резольвентами.
б) Основной мотив этого требования состоит в том,
что самые важные и стандартные функторы — Нот, тен-
тензорное произведение, Г — в действительности должны
быть переопределены. Их «наивные» определения (П.6)
следует применять лишь для специальных объектов,
ацикличных относительно этого функтора. Скажем, если
X — плоский модуль, а У — произвольный, то X ® Y есть
правильное определение тензорного произведения. Но в
общем случае правильной заменой X ® Y является комп-
комплекс Р' ® Y, где Р'-*-Х— плоская резольвента моду-
модуля X. Аналогично, правильной заменой группы (
сечений пучка &~ является комплекс Т(З'), где
—>-3?' — инъективная резольвента ST.
в) Принятие этой точки зрения требует, чтобы мы
с самого начала рассматривали не просто объекты абе-
абелевой категории и не только их резольвенты, а всевоз-
всевозможные комплексы. Это необходимо, в частности, потому,
что Р ® У и Т\3') в предыдущих примерах, как пра-
правило, будут иметь нетривиальные когомологии не только
172
в нулевом члене. (Читатель, знакомый с классической
гомологической алгеброй, вспомнит, что эти когомологии
называются производными функторами Tor<(X, Y) и
Н'(ЗГ) соответственно.) Следовательно, то отношение
между объектом и его резольвентой, которое позволяет
нам отождествить их, должно быть обобщено на комп-
комплексы. Таким правильным обобщением и является поня-
понятие квазиизоморфизма, данное в определении 5.
г) Отношение эквивалентности между комплексами,
порожденное квазиизоморфизмами, имеет сложную струк-
структуру, и за результатами факторизации по нему нелегко
уследить. Технические средства, позволяющие это сде-
сделать, и составляют основы теории производных катего-
категорий, которым посвящена большая часть этой главы.
д) Переопределение функторов ®, Г и т. п., упомяну-
упомянутое в п. б), достигает следующей цели: полуточные функ-
функторы становятся «точными». Само понятие точности в
производной категории, однако, не является очевидным;
ср. обсуждение в § 3. Ядро этого понятия в классической
гомологической алгебре — это точная последовательность
высших производных функторов, которая является инва-
инвариантом относительно смены резольвенты.
§ 2. Производные категории и локализация
1. Определение-теорема. Пусть зФ — абелева
категория, Kom(j^)—категория комплексов в зФ. Суще-
Существует категория D(s?) и функтор Q: Kom(s4-)-+D(s&)
со следующими свойствами:
а) Для любого квазиизоморфизма f морфиам Q(f) яв-
является изоморфизмом.
б) Если F: Kom(^-)-^ 3)'— другой функтор, перево-
переводящий квааиизоморфизмы в изоморфизмы, то он одно-
однозначно проводится через Q, т. е. существует единствен-
единственный функтор G: T)(s&)-+3)' такой, что F = G°Q.
Категория D(^) называется производной категорией
абелевой категории S&.
2. Простое доказательство существования: локализа-
локализация категорий. Пусть 98 — совершенно произвольная ка-
категория, S — любой класс морфизмов в $. Мы покажем,
что существует универсальный функтор, превращающий
элементы S в изоморфизмы. Точнее, мы построим кате-
категорию 3S[S~l] и функтор «локализации по S» Q: $-+¦
-^ ^[S] со свойством универсальности, аналогичным
сформулированному в п. 16).
173
С этой целью положим прежде всего ОЬ ЩБ'1] = ОЬ $,
Q тождествен на объектах. i
Морфизмы в ^[iS1"'] строятся в несколько шагов.
а) Введем переменные х„ по одной для каждого мор-
физма se5.
б) Построим ориентированный граф Г:
вершины Г = объекты 38;
ребра Г = {морфизмы 38) U {xa | s е S);
ребро X ->¦ Y ориентировано от X к Y; ребро х.
имеет те же вершины, что и ребро s, но противополож-
противоположную ориентацию.
в) Путем называется конечная последовательность
ребер в графе Г, в которой конец предыдущего ребра
совпадает с началом следующего.
г) Морфизмом в 3$[S~l] называется класс эквивалент-
эквивалентности путей в Г с общими началом и концом. Два пути
называются эквивалентными, если они соединены цепоч-
цепочкой следующих элементарных эквивалентностей:
две соседние стрелки из Мот$ в данном пути можно
заменить их композицией;
> X —> У можно
X
и
соседние стрелки X —*¦ Y
id id
заменить на А —>л и У —*¦ У соответственно. ¦
Наконец, композиция классов путей индуцирована
композицией путей, а функтор Q: & -*¦ &[S~l] переводит
морфизм X ->- Y в класс соответствующего пути. Очевид-
Очевидно, для любого элемента s^S морфизм Q(s) имеет об-
обратный: класс пути х3.
Если F: 9$ -»¦ J?' — другой функтор, превращающий
морфизмы из 5 в изоморфизмы, то функтор G: ^[б1]
-*¦ &' с условием F = G ° Q строится так:
G(X) = F(X), Х
С(класс x.) = F(s)-\ s&S.
Мы оставляем читателю проверку корректности этого оп-
определения и единственности G. ¦
3. Расщепимость и производные категории. Первое
представление о структуре производной категории дает
следующая конструкция. Назовем комплекс К' циклич-
цикличным, если все его дифференциалы нулевые (все цепи —
циклы). Цикличные комплексы образуют полную подка-
подкатегорию Kom0(«s^)c: Kom(«s/). Структура Kom0(^) оче-
174
00
видна: это категория Ц Ж [д],где s?[n] — «n-й экземп-
ляр» категории зФ. Пусть i — функтор вложения
' '), a h-—функтор когомологий:
I, h((Kn,dn)) = (Hn(K-),O).
h:
Морфизму /: K'-*-L' ставится в соответствие (Я(/)).
Поскольку h переводит квазиизоморфизмы в изоморфиз-
изоморфизмы, он проводится через функтор
k; D(s4.)-+Kom
Назовем абелеву категорию si> полупростой, если в ней
любая точная тройка расщепима, т. е. изоморфна тройке
вида 0 -> X 1 -->¦ X ф Y -> Y -*- 0. Например, категория
линейных пространств над полем или конечномерных ли-
линейных представлений конечной группы над полем нуле-
нулевой характеристики полупроста. Категория абелевых
групп, конечно, не полупроста: последовательность 0—*-
—:> Z -> Z -*- Z/2 —>¦ 0 нерасщепима.
4. Предложение. Если абелева категория S& по-
лупроста, то функтор k: D(s4)^-Kom0(s^) является эк-
эквивалентностью категорий. (Верно и обратное: см.
упр. IV.1.1.)
Доказательство. Пусть К'—произвольный комп-
комплекс. Построим прежде всего два морфизма комплексов
fK:(Kn, dn)-+(Hn(K-), 0), gK: («"(«"), 0)->(ЯЛ сГ),
которые индуцируют тождественные отображения на
когомологиях:
Положим для этого Вп = Im dn~\ Zn = Ker dn, Hn =
= Hn(К'). Имеем две точные тройки в s4-
0 -v Z" -> Кп -»- Bn+i ~+ 0
(второй морфизм индуцирован dn) и
0 -> В" -»- Zn -*¦ Нп -> 0.
Поскольку категория зФ полупроста,
Кп == Вп $ Я" $ Bn+i
и морфизм
dn: Вп Ф Нп Ф Bn+1 -^ Bn+l Ф Hn+i ® Вп+2
175
задается формулой /
dn(bn, А», &»+')_ = (&»+', 0,0).
Теперь /х и gK задаются формулами
а (ь\ н\ ьп+1)=h\ gi (hn) = {oth\ o).
Докажем теперь, что функтор А; задает эквивалент-
эквивалентность категорий.
Для этого зададим функтор I: Kom0(.s?)-»- D(j^) как
композицию вложения Кот0 («$?).-»¦ Кот(^) и локализа-
локализации Q: Kom(^)-»-D(^) и докажем, что функторы к
и I квазиобратны.
Ясно, во-первых, что композиция к ° I изоморфна тож-
тождественному функтору в Кото (.$?). С другой стороны,
функтор I' к: D(j#)-»- D(^) переводит комплекс
[К; d*)e=D(j*l в (//"(r),0)eDD Построенные
выше морфизмы комплексов /к> К' -*-l°k(K') и gK
I»k(K')-+K' задают, очевидно, взаимно обратные изо-
изоморфизмы в D(j^), так что if к) и {gK), К' eD(i), яв-
являются взаимно обратными изоморфизмами функторов
^О(Щ и I" к. ¦
5. Варианты. В приложениях полезно рассматривать
комплексы с разными условиями ограниченности, на-
например
Kom+ (j*): К1 = 0 для *
Кот
* = 0 для o
Komf (^) П Кот"
Такие комплексы образуют полные подкатегории в
Кот(*5$), и бывает необходимо рассматривать соответст-
соответствующие производные категории Df(«s?), D~(j^), Db(j#).
Например, левые проективные резольвенты лежат в
Кот" («я?), а правые инъективные — в Кот+(.я?).
Заметим теперь, что определение, скажем, D+(.$?)'
можно сформулировать в двух вариантах: мы можем ли-
либо локализовать Kom+(,S$) по квазиизоморфизмам, либо
рассмотреть в D(«s#) полную подкатегорию, состоящую
из ограниченных слева комплексов. Хотелось бы быть
уверенным в совпадении этих конструкций, однако для
доказательства этого нам пока не хватает техники.
Дело в том, что морфизмы в 3&IS-1], построенные в
п. 2, представляются формальными выражениями вида
1 ° h+u гДе Н <= Мог д&ь
A)
176
для эффективной работы с которыми нам недостает ал-
алгебраических тождеств типа «приведения к общему зна-
знаменателю». Например, в конкретных случаях трудно да-
даже решить вопрос, не эквивалентна ли категория ^[«S]
категории с одним объектом и одним морфизмом.
Необходимые тождества мы аксиоматизируем в сле-
следующем определепии.
6. Определение. Класс морфизмов »SczMor(^?)
называется локализующим, если выполнены следующие
условия:
а) Мультипликативная замкнутость: id* ^ S для всех
X е Ob М; если s, t ^ S, то 5 ° t e S, когда эта компози-
композиция определена.
б) Условия продолжения: для любых /eMorJ, se
^ S существуют g е Мог J?, t^ S, дополняющие угол до
коммутативного квадрата:
W--+Z
*i f Is
X—Y,
W
i
X
«¦— Z
, t'
<— Y
B)
в) Пусть /, g — два морфизма X ~> У; существование
морфизма seS с sj = sg равносильно существованию
t^S с ft = gt.
7. Замечания, а) Рассмотрим в левом квадрате
B) пути xsf от X к Z и gjj от X к Z. Мы утверждаем,
что они определяют один и тот же морфизм I-^Z в
?B[S~l]. В самом деле, коммутативность квадрата означа-
означает, что ft = sg в Мог 3$, откуда следует эквивалентность
путей xsftxt и x,sgxt и затем x,f и gxt.
Таким образом, в Jf[5~'] имеем, в несколько вольной
записи, 8~lf = gt~lt что позволяет перегнать в выражении
A) все «знаменатели» s^1 направо, если только S удов-
удовлетворяет условиям 6 а), б).
Аналогично, второй квадрат в B) позволяет перено-
переносить все знаменатели налево. Это чрезвычайно упрощает
исследование локализованной категории.
В лемме 8 ниже станет ясной роль условия в).
б) К сожалению, в категории Кот(^) квазиизомор-
квазиизоморфизмы, вообще говоря, не образуют локализующего клас-
класса. Это препятствие обходится так: сначала мы, пользу-
пользуясь леммой-определением 1.2, построим категорию К(М)
комплексов по модулю гомотопической эквивалентности,
а затем проверим, что в ней квазиизоморфизмы уже об-
образуют локализующий класс. Это будет сделано в § 4,
12 с. И. гельфацд, Ю. И. Машш, т. 1 177
после того как в § 3 будет развита удобная техника
доказательств. /
Докажем в заключение несколько полезных свойств
локализации по локализующему семейству. Следующая
лемма является диаграммным вариантом замечания 7а).
8. Лемма. Пусть S — локализующий класс морфиз-
мов в категории 38. Тогда &[S~l] допускает следующее
описание: Ob$[S~l] = ОЪ$, и далее
а) Морфизм X -*¦ Y в ЩБ'1] есть класс «домиков» —
диаграмм (s, f) в & вида
s-f=S,
C)'
причем два домика принадлежат одному классу, (s, /) ~
~(?, g), если и только если их можно достроить до
третьего домика (sr, gh), входящего в коммутативную
диаграмму
Тождественный морфизм id: X -*- X — класс домиков, со-
содержащий домик (idjr, id^).
б) Композиция морфизмов, представленных домиками
(s, /) и (t, g), представлена домиком (str, gf), который
получается из них достройкой с помощью первого квад-
квадрата B):
X
t'
X'
X
/ V
/ •*
\ ?/
У
V
z
st/
X
X"
ч
Z
Доказательство, а) Проверим, что отношение
(s, 1) ~ (*i S) t определяемое формулой D), является
отношением эквивалентности. Ясно, что оно рефлексивно
и симметрично. Для проверки транзитивности предполо-
178
жим, что (s, f)~(t, g), (t, g)~'(u, e), так что у пас
есть коммутативная диаграмма
А
F)
в которой морфизмы s, t, и, sr, tp лежат в S. Нам нуж-
нужно построить коммутативную диаграмму
G)
в которой sq e 5. Для этого достроим сперва диаграмму
Z'«-W
+ tp у
X*- Z"
согласно условию предложения 6 б), так что v ^ S, Да-
Далее, из коммутативности F) следует, что два морфизма
Д = hv и /2 = рк из W в X" обладают тем свойством,
что tfi = tfz. Поэтому, ввиду условия 4в, существует
w: Z'" ->- W, w s S такой, что fill? = f2w. Читатель легко
проверит, что полагая q = rvw. Z'" -*¦ X', j = ikw. Z'" -*¦
-*¦ X'", получим нужную диаграмму G).
б) Проверка того, что определение композиции мор-
физмов (диаграмма E)) корректно, т. е. не зависит от
выбора представителей классов эквивалентности доми-
домиков, оставляется читателю.
в) Обозначим временно через & категорию домиков,
т. е. положим ОЬ^ = ОЬ^, Мог $ = {классы эквива-
эквивалентности домиков} с композицией, задаваемой диаграм-
диаграммой E). Утверждение леммы 8 состоит в том, что М =
= Щ_Б~1\ Мы докажем его, проверив, что $ обладает
нужным свойством универсальности.
12* 179
г) Функтор F: 9t ->• Ш строится так:
F тождествен на объектах,
и!
Л.- 1
У
Ясно, что если s ^ S, то F(s) обратим в
i) ~i представляется домиком
: морфизм
д) Пусть, далее, Т: $-+?) — некоторый функтор,
для которого T(s)—изоморфизм в 3) для любого s е S.
Покажем, что Т однозначно проводится через F, т. е.
существует единственный функтор G: М -*¦ 2), для кото-
которого T^G°F.
Покажем прежде всего, что если G существует, то
он определяется однозначно. Применяя равенство 'т =
= G о F к объекту X, получаем, что
G(X)=T(X),
(8)
, Далее, пусть морфизм <р в <% представляется домиком
(s, /). Тогда в Мог^ имеем ф»(id, s) = (id, /), т. е. ф°
°F(s) = F(f). Применяя к этому равенству функтор G
и вспоминая, что Т = G ° F, имеем G(q>)« T(s)= T(f) и,
поскольку T(s) обратим,
С=(ф)=Г(/)<.(ГE))-1 для <р=(я, /у. (9)
Для доказательства существования G зададим функ-
функтор G: M-+2D формулами (8), (9). Легко проверить,
что G(qp) не зависит от выбора представителя (s, /)
морфизма ф и что G(id) = id, С(ф,^<р2) = G(q>i)°G(cpz),
т. е. G — действительно функтор из $ в 3).
Вспоминая определение F из п. г), получаем сразу,
что Т = G о F. ¦
9. Замечание. Назовем, диаграмму C) ^-левым
домиком. Имеется вариант леммы 6, в котором вместо
180
S-левых домиков используются S-правые домики:
Композиция морфизмов, представленных S-правыми до-
домиками, строится с помощью второго квадрата B).
В соответствии с этими двумя возможностями следо-
следовало бы ввести понятия лево- и право-локализующего
класса морфизмов, потребовав для них лишь половины
условий 6 6) и 6в). Мы оставляем это заинтересованно-
заинтересованному читателю.
10. Предложение. Пусть *& — некоторая катего-
категория, S — локализующая система морфизмов Ф, <%<=<& —
полная подкатегория. Пусть выполнены следующие ус-
условия: а) и либо б(), либо б2):
a) Sg$ = S П Мог <М — локализующая система в 3S.
6j) Для любого морфизма s: X'-*¦ X, где s^S, Xe
<=0bJ7, существует такой морфизм /: X" ~*-Х', что sf^
е5, X" еОЬ$.
б2) То же, что в 6i)', но с обращенными стрелками.
Тогда &[Sl%] — полная подкатегория в <&[S~l]. Точ-
Точ1
\
явля-
являнее, канонический функтор I: $ [S^l-t-
ется вполне строгим.
Доказательство. Согласно лемме 8, морфизмы
в ^[iS1-1] и в Я [^j1] описываются классами домиков
(для $ \S^%\ это вытекает из условия а))\ Полная
строгость функтора /: $ [S^1] -+Ч? [S~1] — это утверж-
утверждение, о том, что отображение
A0)
взаимно однозначно. Будем проверять это при выпол-
выполнении условия 6i).
Проверим, что отображение A0) инъективно. Нам
нужно доказать, что если два S&- домика (s, f) и (t, g)
из 9$ становятся эквивалентными в 1?, то они эквива-
181
лентны уже в $. Эквивалентность в
граммой
задается диа-
диаПрименим условие 6i) к морфизму sr: X'" -»- X, лежа-
лежащему в S, т. е. найдем XIV еОЬ^и!: Х1Х -> X'" такие,
что srl <= S. В силу полноты J?, бг2 & 5 Л Мог i? =
= 5^)ЫеМог^) т. е. XIV вместе с морфизмами srl
и ghl осуществляет ^-эквивалентность ^-домиков (s, /)
и (t,g).
Проверим, что отображение A0) сюръективно. Для
этого нужно доказать, что любой S-домик (s, /) с ниж-
нижними элементами X, Y из $ эквивалентен некоторому
S$- домику. Это делается снова с помощью условия б4):
вершина X' заменяется на X" е Ob 91,
так, чтобы sre= Sf] Мог3S = S $, /reMorJ. Ясно,
что (s, /) ~ (sr, /г).
Аналогично доказывается предложение при выполне-
выполнении условия б2) вместо 6i): нужно лишь, согласно за-
замечанию 9, использовать 5-правые домики вместо 5-ле-
вых. ¦
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Ограниченные комплексы. Используя предложение 210 и
предложения 4.2 и 4.4, докажите, что диаграмма
ШЛ)
состоит из вложений полных подкатегорий.
182
2. Локализующие подкатегории. Полная абелева подкатегория
31 абелевой категории $$¦ называется густой (thick), если расши-
расширение любых двух объектов из St лежит в Ш (примеры: подкате-
подкатегория, состоящая из одного объекта 0, конечные абелевы группы
в stb, конечно порожденные модули в Л-mod). Пусть Kom^g (sf) —
полная подкатегория Кот(^), состоящая из таких комплексов
К', что #п(/Г)с=ОЬ^ для всех п. Определим D^ {Щ как
Кот т (sf) [S*1], где S — квазиизоморфизмы. Определим анало-
гично D^6 (sf). Докажите, что D^ (Щ — полная подкатегория
в D (sf).
Постройте естественный функтор D (
венный на объектах). В общем случае этот функтор не является
ни строгим, ни полным. Докажите, однако, что если каждый объ-
объект из М является подобъектом J^-инъективпого объекта в 38, то
D (м) -*• иgg (¦**) ¦ эквивалентность категорий.
• D & (sf) (тождест-
(тождест§ 3. Треугольники как обобщенные точные тройки
1. Задача. В этом параграфе мы определим такие
диаграммы в производной категории — выделенные тре-
треугольники,— которые заменяют и обобщают точные трой-
тройки в абелевой категории. Определение таких диаграмм
не очевидно. Начать с того, что мы пока не знаем даже,
что категория D(s4-) аддитивна: чтобы складывать мор-
физмы, нужно сначала привести их к одному знамена-
знаменателю. Далее, хотя категория D(^) и окажется аддитив-
аддитивной, она почти никогда не абелева: см. предложение 2.4.
Поэтому в D(j$) нельзя имитировать обычное опреде-
определение точности.
Все же, несмотря на неабелевость D(«s?), выделен-
выделенные треугольники в ней задают замечательную структу-
структуру, которая отражает основные гомологические свойства
исходной абелевой категории.
2. Функтор сдвига, цилиндр и конус. Пусть s4- —
некоторая абелева категория. Все комплексы ниже суть
объекты Кош(^.)
Ниже мы часто будем записывать определения мор-
физмов и тождества между ними, применяя их к «эле-
«элементам», как если бы мы работали в категории моду-
модулей. Подробнее об этом см. упражнения к § II.6.
а) Фиксируем целое число п и для любого комплекса
K'=(K\rfK) положим (К[п]у = Кп+\ dKlnl=(-l)ndK.
Если /: K'~^L' — морфизм комплексов, то f[n]: К' [п] -+
-*-L'[n], по определению, совпадает с /' покомпонентно.
183
Отображение Тп: Кот (а)-*¦ Кот (j*)', Тп(К') =
— К' [п], Тп(})— f[n] является функтором сдвига, осуще-
осуществляющим автоэквивалептность категории Кот (л?). Оче-
Очевидно, что он также индуцирует автоэквивалентность
категорий Kom+(«s#), Kom~(^), Kom6{s4-) и соответ-
соответствующих производных категорий.
б) Пусть /: К' ->L" — морфизм комплексов. Кону-
Конусом С'(/) морфизма / называется комплекс
Удобно записывать элементы С (f) = К' [1] ф U
в виде столбцов высоты 2, а морфизмы обозначать мат-
матрицами:
dC(f) =
[1] d.
Легко проверить, что <^с(/)= О- В 1.4.5 г) мы определили
конус над триангулированным пространством с помощью
прозрачной геометрической конструкции и вычислили
комплекс цепей этого конуса. С точностью до замены
цепей на коцепи, на нынешнем языке это — конус тож-
тождественного отображения.
Если / — морфизм О-комплексов A.46), то С(/)'—<¦
комплекс ...->-0->-.K'0->Lo->0->.... В частности,
-1 О
II-1 (С (/)) = Кег /, Н° (С (/)) = Сокег /.
в) В тех же обозначениях цилиндром Су1(/) морфиз-
морфизма / называется комплекс
\ I1) = {dKk{-k{+\-dKki+\
Отметим, что если оба комплекса К', L' ограничены
слева, справа или с двух сторон, то С(/) и Су1(/) обла-
обладают тем же свойством ограниченности. Кроме того, если
К\ U e Kom(^), где М<= si- — некоторая аддитивная
подкатегория, то С(/), Cyl(/)^ Kom(^).
Основные свойства конуса и цилиндра собраны в сле-
следующей лемме.
3. Лемма. Для любого морфизма f:K'-*-L' мож-
можно построить коммутативную диаграмму в Кот(^) с
184
точными строками, функториальную по J,
О —> U
1
О
К'
о
A)
К'
со следующими свойствами:
а, $ —квазиизоморфизмы, причем $а = idL., а ар го-
гомотопен idcyi(/), так что L' и Су1(/) канонически изо-
изоморфны в производной категории,
Доказательство, а) Определение морфизмов
первой строки и проверка коммутирования с d:
11\^@,11)
ibI*,_!U @, dLll)
\dCU)
Точность первой строки очевидна.
б) Определение морфизмов второй строки и проверка
коммутирования с d:
, r)
(Л1, 0, 0)
dKkl\-^(dKkl, 0,0)
Точность второй строки очевидна.
185
в) Определение морфизмов a,
тирования с d:
проверка комму-
коммуКоммутативность квадратов ла = я, р/ = / очевидна.
г) Формула JJa = idi, очевидна. Зададим A*: Cyl (/)*
"*¦ Cyl (/)**"' формулой
h*(k{f ki+l, Z') = @, fc1, 0).
Проверим, что ap = idCyi(/) —(dh + hd). Имеем
Z') = @, 0,
, гг) = @, dKk(-V+\ 0).
Поскольку ар и р« индуцируют тождественные отобра-
отображения на когомологиях, аир являются квазиизомор-
квазиизоморфизмами. ¦
4. Определение, а) Треугольником в категориях
комплексов Кот, D, D+, . . . называется диаграмма вида
б) Морфизмом треугольников называется коммута-
коммутативная диаграмма
и v w
К'¦—>¦ L'¦—»¦ М'—> К' [1]
l
x j j
^i—Li-* Mi—»-«i[l].
Этот морфизм называется изоморфизмом, если /, g, /i —
изоморфизмы в соответствующей категории.
в) Выделенным треугольником называется любой
треугольник, квазиизоморфный следующей части неко-
186
торой диаграммы A):
Следующее предложение показывает, что точные трой-
тройки дополняются до выделенных треугольников.
5. Предложение. Любая точная тройка комплек-
комплексов в Кот(^) квазиизоморфна средней строке подхо-
подходящей диаграммы вида A).
/ g
Доказательство. Пусть 0 —>- К' ->- L' -> М* ->- О —
точная тройка. Построим диаграмму
Il_ V t- <2)
где Р взят из A), a *i(ki+1, V)= g{V).
Проверим, что "f — морфизм комплексов:
\ г)
Проверим, что правый квадрат в B) коммутативен:
Осталось проверить, что у — квазиизоморфизм. Посколь-
Поскольку g — эпиморфизм комплексов, ч — тоже эпиморфизм
комплексов и Ker f — это комплекс K[i] ® Ксг g = «[1] ©
®Im/ = «ll]®« с дифференциалом d(fe1+1, *:') =
= (—dKki+\ ki+i + dick'). Этот комплекс имеет нулевые
когомологии, поскольку его тождественное отображение
гомотопно нулевому: %d + d% = ЫК[1^к, где % = {%,'¦
К{+1®Кг-+ К'® К{-1), x'(fti+Ii k{) = (k\ 0). Поэтому из
точной последовательности когомологии, отвечающей точ-
точной последовательности комплексов
вытекает, что y — квазиизоморфизм.
187
Следующая теорема показывает, что когомологиче-
когомологические свойства выделенных треугольников в D(j^) (или
в D+(^), ...) полностью аналогичны свойствам точных
троек комплексов.
6. Теорема. Пусть
— выделенный треугольник в D(s4-). Тогда последова-
последовательность когомологий
...->#* (К') ^Н Н1 (U) ^Н Н1 (И') ^Н
-+Нг(К- [1]) = Hi+1 (К)~+¦ ¦ ¦
точна.
Доказательство. Утверждение достаточно дока-
доказать для квазиизоморфпого C) выдолеппого треуголь-
треугольника
построенного по диаграмме A). Согласпо лемме 3, по-
последовательность комплексов
К' -> Cyl (и) -+ С (и) -> 0
D)
точна. Пусть
(JT) ^Н Д« (Cyl (и))
— соответствующая D) точная последовательность ко-
когомологий. Для доказательства предложения нужно лишь
доказать, что связывающий морфизм б'(п, я) в E) сов-
совпадает с морфизмом Н*(м). Это можно сделать, напри-
например, прямым вычислением, используя разложение
и вспоминая явное построение б'(п, я) (см. теорему
II.7.12 или теорему 1.5.7). Детали мы оставляем чи-
читателю. ¦
188
§ 4. Производная категория как локализация
гомотопической
1. Определение. Пусть з
Гомотопическая категория К(^)
щим образом:
— абелева категория,
определяется следую-
следуюМог К(^)= МогКот(^) по модулю
гомотопической
эквивалентности
(см. лемму 1.2). Через К+(^)( К~{Л), К"№) обозна-
обозначаются полные подкатегории КДО), состоящие из комп-
комплексов с соответствующими условиями ограничен-
ограниченности. ¦
Лемма 1.2 показывает, что К{s&)— аддитивная кате-
категория и что на ней корректно определены функторы Н\
Поэтому на нее дословно переносится определение ква-
квазиизоморфизмов 1.5.
2. Предложение. Локализация К(^) по квази-
квазиизоморфизмам канонически изоморфна производной ка-
категории ~D(s4-). To же относится к K*(j^) и D*(j^),
где *=+,—, Ь.
Доказательство. Обозначим временно локализа-
локализацию K(s?) по квазиизоморфизмам через D(j$). По-
Поскольку сквозной функтор Кот(^) ->- K(.s#)->- T) (М) де-
делает квазиизоморфизмы обратимыми, он проводится че-
через фупктор G: D(j^)-*D(j^). По конструкции этот
функтор является биекцией на объектах. Из описания
морфизмов в локализованной категории как классов пу-
путей в п. 2.2 ясно, что на морфизмах функтор G опреде-
определяет сюръекцию, поскольку каждый морфизм в К (.5$)
поднимается до морфизма в Kom(,«s^).
Остается установить, что G инъективен на морфиз-
морфизмах. Из описания морфизмов в п. 2.2 нетрудно усмот-
усмотреть, что с этой целью достаточно доказать следующую
лемму.
3. Лемма. Пусть f,g\ K'~»L' гомотопны. Тогда
Q(f)-Q(g) вщ&).
Доказательство. Пусть / = g + dh + ha. Опреде-
Определим морфизм c(h): C(/)->C(g) формулой
Легко убедиться, что c(h) коммутирует с дифференциа-
дифференциалами.
189
Аналогично определим морфизм комплексов cyl(h):
Cyl(/)-Cyl(g):
cyl (A) (ft1, /ei+1, V) = {k\ k!*\ V + h{ki+l)).
Рассмотрим диаграмму, состоящую из первых строк
диаграммы A) § 3, для морфизмов / и g соответственно:
я 6U)
О —> U —> С(/) —* К' [1] —>• О
11 - icw II
О —> 2/ —> С (g) —> X" [1] —- О
Она коммутативна. Сравнение соответствующих точных
последовательностей когомологий с помощью леммы о
пяти гомоморфизмах
г(с(Л))
показывает, что с (А)— квазиизоморфизм.
Аналогичное рассуждение со вторыми строками диа-
диаграммы A) показывает, что cyl (h)— квазиизоморфизм.
Для завершения доказательства рассмотрим диа-
диаграмму
В Кот(*р?) у нее некоммутативен верхний треугольник;
квадрат и нижний треугольник коммутативны. Но в
D(s4-) она становится уже целиком коммутативной.
В самом деле, по лемме 3.3, Q(af) и <?(Р/) взаимно об-
ратны; из / = Р/°/ тогда следует, что (?(/) = Q($f)°
°Q(f) и затем <?(/)=<? {as) ° Q(f). Наконец, непосред-
непосредственная проверка показывает, что Pg° cyl (h)» а/= idb .
190
Поэтому <?(/) = <?(#)• Это завершает доказательство лем-
леммы и предложения 2. ¦
Роль предложения 2 объясняется следующим резуль-
результатом.
4. Теорема. В категориях K*(«s?), * =+, -, Ъ, &,
класс квазиизоморфизмов является локализующим.
Доказательство. Следует проверить выполнение
условий а)—в) определения 2. Мультипликативная
замкнутость очевидна.
Проверим первое условие продолжения. Мы должны
/ ^ g
вложить диаграмму/Г "~^ L' ч М' в коммутативный
квадрат (qis отмечает квазиизоморфизмы):
h
1 71-
Искомый квадрат входит в следующую диаграмму, ком-
коммутативную в
k ля
С(ng) [-i]-*M--+C(/)
I I II
С(ng)
К'
-+L- -+C(f)
A)
K[l]
Морфизм к есть b(ng) [—1] в обозначениях леммы 3.3.
Морфизм h мы построим явно. Элемент из C(ng) [—1]' =
= С(я?)*-1 есть тройка (ш\ к\ 11-'), где тпг^М\ ?^К\
I^'eL'. Положим h(m\ k\ Zi~1) = — k\ Проверим гомо-
гомотопическую коммутативность левого квадрата в A).
Имеем
gok-foh: (m\ к\ Г) - g (m*) - / (к1).
Этот морфизм совпадает с %dcW)[-^ + dL%, где % = {уС),
%': C(ng)[—1р = С(я^)'~1->¦ Z/4-1 задается формулой
(поскольку, как легко проверить, dC(JIg)[_1]G32f, /с', Г~*) =
(d4 ^/( dp'/(u')_g(m<))).
191
Остается установить, что к — квазиизоморфизм. Так
как / — квазиизоморфизм, комплекс C(f) ацикличен. Но
верхняя строка в A) является отмеченным треугольни-
треугольником. Значит, к — квазиизоморфизм.
Аналогично проверяется второе условие продолжения:
g < /
М' ¦*—К' ~~т? L' вкладывается в коммутативный квад-
квадрат с помощью диаграммы
-С (У).
Проверим в заключение условие в) определения 2.4.
Пусть /: K'-*-L' некоторый морфизм в K*(j^). Мы
установим, что из существования квазиизоморфизма
s: L'-^L' с s/ = 0 в K*(s&) следует существование ква-
квазиизоморфизма t с ft = 0 (в 2.4 рассматривается равенство
sf = sg, которое равносильно s (f — g) = 0).
Пусть {/г1: /?* -*- Ll~1} задает гомотопию sf и нулевого
морфизма. Построим следующую диаграмму:
C(s)l-l)
С (s) [-
V
' C(g)[-l].
Морфизм g1: К1 -*¦ C(s) [—i]{ = V ® L1' определим так:
^(/с*) = (/'(й;1), -tiW)). Легко видеть, что g = {g1} — мор-
морфизм комплексов. Коммутативность очевидна. Положим
* = 6(g)[-l]. Тогда tf=tg8{s)[-l] = 0, ибо ^ = 0. Нако-
Наконец, t—квазиизоморфизм, поскольку s — квазиизомор-
квазиизоморфизм и, следовательно, C(s)[— 1] ацикличен.
Аналогично проверяется, что из равенства ft = 0 сле-
следует существование s с sf = 0. ¦
5. Аддитивность D(^). Для сложения морфизмов в
покажем, что любые два морфизма ф, ф': X -*¦ Y в
можно «привести к общему знаменателю», т. е.
представить домиками
U
B)
192
с одинаковыми вершинами и одинаковыми левыми ска-
скатами.
В самом деле, пусть <р, ф' представлены какими-то
домиками
Z Z
X
Дополним угол
Y X
г | qis s'
qia
X
до коммутатинного квадрата в K(j^). Поскольку s, sr,
г — квазиизоморфизмы, г' — тоже квазиизоморфизм. По-
Поэтому ф и ф' можно представить домиками вида B) с
Y f'f'
,g f,gf
Теперь определим сумму
как морфизм,
ф ф' в
t g+g'
представленный домиком X <— U—>Y. Мы оставляем чи-
читателю проверку аксиом аддитивной категории (см. п. 6)
для (
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Морфизмы в D(^). Пусть s& — абелева категория, /: К' ->-
-+Ь морфизм в Кот (si-). Из определения морфизмов в D(s&) ясно,
что / = 0 в D (M-) тогда и только тогда, когда существует квази-
квазиизоморфизм s: L'->-M' такой, что sf гомотопно 0 (эквивалентно
существует квазиизоморфизм*: N'^>-K' такой, что ft гомо-
гомотопно 0).
Если / = 0 в ~D(j&), то, конечно, //"(/) =0 для всех п. Рас-
Рассматривая морфизм комплексов длины 2 (для J& = st-Ъ)
(Ь, с переводят образующую каждой группы в образующую, a, d
умножают образующую на 2), покажите, что обратное неверно. Та-
Таким образом, в цепочке импликаций / = 0 в Kom(j#) =*- / = 0 в
K(j^) =s-/=0 в D(s4) =ф- fln(f) =0 для всех п все импликации
являются строгими.
13 с. И. Гельфанд, 10. И. Мании, т. 1
193
§ 5. Структура производной категории
1. Комплексы-объекты. Назовем Н"-комплексом любой
комплекс К', для которого IV (К') — 0 при 1Ф0. При
этом все равно, в какой из категорий рассматривается
К', ибо Н1 превращает квазиизоморфизмы в изоморфиз-
изоморфизмы и потому определен не только на Kotn*(j^), но и на
K*(j?) и D*{j*).
#°~комплексы являются обобщением О-комплексов
из 1.56).
Мы покажем сейчас, что в производной категории
ч„. , они образуют подкатегорию, эквивалентную ?$-.
2. Предложение. Функтор Q: M^>~J)*{s4-) задает
эквивалентность категории s4- с полной подкатегорией
D*(j$), состоящей из [["-комплексов.
Доказательство. Ясно, что функтор М- -*- К* (s?),
ставящий в соответствие объекту А соответствующий 0-
комплекс, является вполне строгим, ибо гомотопии между
морфизмами О-комплексов могут быть лишь нулевыми.
Будем рассматривать s& как полную подкатегорию
К* (sf.).
Докажем, что каноническое отображение
a: HonW^(A\ Y)-*Hotdwi^(Q(X),Q{Y))
является изоморфизмом, если X и У суть 0-комплексы.
Стрелка в обратную сторону b индуцирована функтором
Я0: D*(s4-)-+ s&. Очевидно, что Ъ » а = id на 0-комплек-
сах. Доказательство того, что а ° Ъ = id, сводится к сле-
следующему. Рассмотрим морфизм f между 0-комплексами
в D* (.??), представленный левым домиком
s —квазиизоморфизм.
X-+Y. Морфизм (o«b)(f):
представлен левым домиком
X
Положим g = H°U)«»'(s)-i-
X->Y в категории D
194
Проверка того, что (а ° Ь) (/) = /, в силу леммы 2.6 сво-
сводится к конструкции коммутативной диаграммы
—квазиизоморфизм. A)
Определим V следующим образом: Vi = Zi для i<0,
V° = Kerd°z, V' = 0 для г>0; dv индуцирован dz. Ото-
Отображение г: V-*¦ Z — естественное вложение; отображе-
отображение h: V ->¦ X имеет вид
-0
I
H°(Z)
X ->0-
Необходимые проверки: г квазиизоморфизм (очевидно);
коммутативность диаграммы: основное место /° r= g°h
следует из g = H°(f)°Hu(s)-1.
Таким образом, мы установили, что функтор Q: бФ -*-
-»- D*(j^) вполне строгий. Ясно, что его образ содержит-
содержится в подкатегории На-комплексов. Остается проверить,
что любой #°-комплекс Z изоморфен в V*(s?) 0-комп-
лексу. Изоморфизм задается верхушкой диаграммы A):
H°(Z)
в которой г и h квазиизоморфизмы. ¦
Вместо О-комплексов и Я°-комплексов мы можем рас-
рассматривать также г-комплексы и ^-комплексы с произ-
произвольным i. Структура морфизмов между такими комп-
комплексами в D*(,5$) — это следующая по сложности инфор-
информация о производной категории.
Будем записывать г-комплекс с объектом 1е^ на
г-м месте как Х[— i]; вместо Х[0] в предыдущем пункте
мы писали просто X.
13*
195
3. Определение. Ext^(X, У) =
(X [0],
Y[i)). m
4. Замечания, а) Безразлично, какой индекс обо-
обозначается *, ибо i-комплексы ограничены, а все вложе-
вложения производных категорий друг в друга суть строгие
полные функторы. Впредь мы будем писать просто D(j^).
б) С помощью функтора Тк мы можем отождествить
Ext^ (X, У) также с НотО(<я?) (X [к], У [i + к]). Умно-
Умножение морфизмов в производной категории позволяет
определить композицию
xt1^ (X, У) =
X
^ (У, Z) =
(X, Z) =
(X\k],Y\i + к})
Х
(У [i + к], Z [I ¦+- / + к])
к])
Эта композиция на Ext-ax не зависит от выбора к в
нижней строчке.
в) Ext^ (X, Y) являются абслепымп группами, по-
поскольку категория D(^) аддитивна. Умножение биад-
дитивно. Более того, Ext^ определяет бифунктор ^ X
Рассматривая точную тройку в si
0-+Х'^Х-+Х" -+-0
(соответственно 0 -*• У -»¦ У -*- У" -*¦ 0)
как выделенный треугольник (см. 3.5), получаем из IV.1
точную последовательность
(X", У)
;(Х, У)-^Ех^(Х',У)
(соответственно
1^ (X, У) -> Ext^ (X, У")
, У
г) Следуя Ионеде, рассмотрим следующую конструк-
конструкцию элементов из Ext^ (X, У), i >» 0. Рассмотрим любой
196
ацикличный комплекс К' вида
/Г: ...-+0-*К~1 г+1
... B)
Он определяет левый домик
C)
Х\О]
YU]
где К1 = X' при / Ф 1, JP1 = 0,5° == dt, /~!' = idr. Обозначим
через у (К') морфизм в производно!! категории Х[0]-*-
-»- Y[i], отвечающий этому домику.
Пусть, наконец, у нас есть два конечных ацикличных
комплекса К', L', причем крайний левый член К',
т. е. У в B), совпадает с крайним правым членом L'.
Тогда мы можем образовать третий конечный ациклич-
ацикличный комплекс, «сцепив» L и К по их общему члену:
U
где / — композиция,
К
:Х_^0->..., D)
(ацикличность L' о К' легко проверяется).
5. Теорема, a) Ext1^ (X, У) = 0 при i < 0.
б) Ext0^ (X, У) = Нот^ (X, У).
в) Любой элемент Ext^ (X, У) имеет вид у (К')
для подходящего комплекса К' вида B) и для
^ (X, У), у (?,')<= Ext^ (У, Z) имеем
E)
Доказательство, а) Пусть морфизм X[0]->¦ У[—г],
i>0, Bfl(i) представлен домиком X [0] ч-Z' ->У [— г].
197
Мы построим новый комплекс Ь' и коммутативную ди-
диаграмму
Х[0]
в которой г и i — квазиизоморфизмы. Отсюда будет сле-
следовать, что в D(j^) исходный морфизм нулевой.
С этой целью положим:
К' при /<? — 1,
erd^ при / = i — 1,
О при f^i.
dL индуцировано dK; r — естественное вложение; f = s°.
Поскольку s квазиизоморфизм, Н"(К) = Х, W(K) = § при
7 Ф О и, значит, г и t суть квазиизоморфизмы. Коммута-
Коммутативность диаграммы очевидна.
б) Это доказано в предложении 2.
в) Пусть морфизм Х[0]-»- Y[i], ?>0 в D(st) представ-
* 8
лен домиком X [0] -<r-L-+Y [i]. Мы построим по нему
новый домик X [0] -*-K-+Y [г], имеющий такую же
структуру, как C), и определяющий тот же морфизм в
D(tf)
Построение удобно провести в четыре шага. На каж-
каждом шаге исходным является домик, полученный на шаг
раньше, который мы для простоты по-прежнему будем
обозначать (L',t,g), а результатом будет домик (?'*>
t', g') и коммутативная диаграмма
X [0]
V
8'
X[0]*—L^Y[i]
где г — некоторый квазиизоморфизм, представленный
бо морфизмом L' ~>-Ь'\ либо L''-*-L'.
Шаг 1 (усечение L' слева). Положим
0 при /<—{,
(L'Y = Cokeidl^1 при / = - i,
V при ;>— i + 1.
ли-
ли198
Дифференциалы в L'' и морфизмы t', g' очевидны;
г: L'-^L1'— естественная факторизация. Она является
квазиизоморфизмом, поскольку L' есть #°-комплекс,
a i > 0.
Шаг 2 (усечение L' справа). Напомним, что теперь
через L' обозначается L'' из шага 1. Положим
L3 при / < 0,
Ker d°L при / = 0,
0 при />0.
Дифференциалы в L" и морфизмы t', g' очевидны;
г' L"-*-L'— естественное вложение.
Ш а г 3 (двойной конус). Теперь положим
(L'f =
0=Lj при
Y ф V при
Lj при
j = -i, - i + 1,
/> — г + 1.
Дифференциалы:
dV+1 (У, I) = dZi+1 (I),
остальные дифференциалы — те же, что в L.
Морфизм г: L'-vL'' определяется так:
при j= — i,
При ;== — {+ 1,
при /> — i + 1.
Конструкция (t')°: {L')"-+X зависит от того, равно ли
—i + 1 нулю:
при i ?= 1: (t'H = t°,
при* = 1: {t')°(y,l)=f(l).
Морфизм (g')~u. Y Ф L~' -*¦ Y есть проекция. Для удоб-
удобства читателя перечислим необходимые проверки: а)
dy ° dL> = 0 (легко); б) dL° г = г ° dL> (легко); в) g »r = g
(легко); г) t' ° г = t (легко); д) V — квазиизоморфизм
(легко); наконец, е) г — квазиизоморфизм.
Доказательство последнего утверждения не совсем
очевидно, и мы покажем, как его провести. Достаточно
установить, что конус С (г) ацикличен; с этой целью мы
199
покажем, что его тождественное отображение гомотопно
нулю. «Нестабильная часть» гомотопии h ограничена че-
четырьмя местами, которые показаны на следующей ди-
диаграмме:
(y.U') /(у.»/) /CM') / Ш')
(у,о,г) /@,0,0 / (o,i)
Рекомендуем читателю выписать дифференциалы С (г)
и проверить, что dh-\-hd = idC(o.
Шаг 4 (превращение g~* в изоморфизм). К этому
моменту диаграмма (L' , t', g') из предыдущего шага
отличается от B) только тем, что g~*: (Ь')~*-*- Y не яв-
является изоморфизмом. Чтобы исправить это, отфактори-
зуем L'1 по двучленному ацикличному подкомплексу:
¦0-
L
-i
i
-¦(о,г)
Y ф L
~i+1
Вертикальные стрелки определяют вложение, поскольку
g~' — вложение. Обозначим через г: L''-*-K' —отображе-
—отображение факторизации. Оно является квазиизоморфизмом в
силу теоремы точной последовательности П.7.12.
Морфизм /-<:Я-'-»-Г индуцирован проекцией У®
$L-j->-Y. Наконец, s°: K?-+X очевиден при i?=i,
а при i=l индуцирован отображением (tr)°: Y ® L0 -*¦ X;
это определение корректно, поскольку (t )°°(— g~\ dL) = 0.
Итак, мы показали, что исходный морфизм Х[0] ->- Y[i]
имеет вид у (К'). Осталось проверить формулу E).
Пусть, как в п. 4г),
/Г:
L':
= У
200
— два ацикличных комплекса. Обозначим М'
(см. D)), так что
где М1 = К1 при -i+K
< — i. Пусть левые домики
— L'еК'
У 10.1
задают морфизмы z/(if): X[0]-+Y[i], y{L')\
y(L' 'К'): X[O]-+Z[i + j]. Морфизм
—>Z[i + j] задается домиком
Z\f+j]
Поэтому для доказательства равенства E) достаточно по-
построить коммутативную диаграмму
М
в которой s°q = s", f[i]°g — f". Морфизмы q, g строят-
строятся естественно:
gl —
при - i +
при — i —
6. Гомологическая размерность. Теорема 5 показы-
показывает, что сложность производной категории B(s4) можно
грубо измерить следующей характеристикой.
201
Гомологической размерностью dh (s&) называется мак-
максимальное число р, для которого существуют объекты
X, УеОЬ(^) с Ext%(X, У)=И=0, или «,, если такого
числа нет. ¦
Очевидно, dh(.p?)X). Нульмерные категории устроены
просто.
7. Предложение. Следующие утверждения экви-
эквивалентны:
а) dh(^) = O,
б) Ext^ (X, Y) = 0 для всех X, Y^Ob&,
в) Категория s& полупроста (см. п. 2.3).
Доказательство, а) => б) очевидно, б) =*- в)
устанавливается следующим рассуждением. Пусть
К': 0-+Y-+Z-+X-+0
— точная тройка. В силу теоремы 5 а), б) и п. 4 в),
имеем точную последовательность абелевых групп
О -> Нот (X, У) -> Нот (X, Z) -
-* Нот (X, X) - Ext1 (X, У) = 0.
Поэтому существует морфизм h: X->Z, образ которого
в Нот(Х, X) равен id*. Нетрудно убедиться, что К —
расщепленная точная тройка
("•у.0)
(n fc-1
где А: X ->¦ Im h — канонический изоморфизм, в) =*- б)
следует из теоремы 5 в) и того, что расщепимая точная
тройка определяет нулевой элемент Ext1, в) =>¦ а). Ин-
Индукцией по р > 2 покажем, что Extp (X, Y) = 0. С этой
целью представим любой элемент е е Extp (X, Y) в виде
произведения e'eExt^X, Z) и е" sExt" (X, У); так
как е" =0, отсюда будет следовать требуемое.
Пусть е — у{К'), где К' имеет вид B). Положим
е" = у(К"), е" = у(К-"), где:
К": ...
-Imd
-i
-0-
' 8. Одномерные категории, а) Категория $ФЪ одномер-
одномерна, б) Категория К{х]-то&, где К <— поле, одномерна.
202
Легко доказать, что размерность этих категорий >1:
в них есть нерасщепимые точные тройки
Для доказательства того, что размерность в точности рав-
равна 1, полезно сначала развить некоторую технику.
9. Гомологические размерности объекта. Положим
Ext"(X,
Ext"(Г, Х)ФО).
Буквы р, i — сокращения слов «проективный» и «инъек-
тивный» соответственно, что оправдывается следующей
леммой.
10. Лемма. Следующие три утверждения эквива-
эквивалентны:
ар) dhpX = 0.
бр) ExV{X, У) = 0 для всех У.
вр) X проективен.
Аналогично, эквивалентны утверждения:
a,) dhiX = 0.
б,) Ext1 (У, Х) = 0 для всех У.
Bi) X инъективен.
Доказательство. ар)=>бр) очевидно. бр)=^вр).
Из предложения 8 следует, что любая точная тройка с
третьим членом X расщепима. Для проверки проектив-
проективности нужно вывести отсюда существование пунктирной
стрелки в диаграмме проективности
X
¦и-
о
Построим расслоенное произведение Z X X. Проекция
и
ZxX-vX сюръективна по упр. II.5.2. Поэтому сутце-
и
ствует расщепление k: X->-ZxX. Его композиция с
и
проекцией Z X X—>-Z и есть h, вр)=^бр). Поскольку X
и
проективен, точная тройка с третьим членом X расще-
203
пима, так что Ext'(X, У) = 0. вр)=^ар). Доказательство
повторяет последнее рассуждение в доказательстве пред-
предложения 7.
Утверждения относительно инъективпой размерности
dhi проверяются аналогично. ¦
11. Предложение, а) Пусть комплекс
... -> 0 + X' -+ Р~к -* ... -* Р-1 -* Р° -* X -* 0 + ... F)
ацикличен, объекты Р~* проективны. Тогда
dhpX' = max(dhpX-ft-l, 0).
б) Пусть комплекс
... -+ 0-> X -* 1° -> Г -у .., -> /" -* X' -> 0 -> ...
ацикличен, объекты V инъективны. Тогда
dhiX' = max(dhiX-ft-l, 0).
Следствие, а) Если <? категории s& достаточно мно-
много проективных объектов (т. е. любой объект изоморфен
фактору проективного), то условие dhpX<& равносиль-
равносильно тому, что у X имеется проективная резольвента дли-
длины <к + 1.
б) Если в категории s& достаточно много инъектив-
ных объектов (т. е. любой объект изоморфен подобъекту
инъективного), то условие dhi X < к равносильно тому, что
у X имеется инъективная резольвента длины </с +1.
Доказательство предложения. С помощью
комплекса F) мы определим для любого объекта У и
числа d отображение
Extd(X\ F)^Extd+ft+1(X, Y) G)
и докажем, что оно является изоморфизмом при d^l и
сюръекцией при d = 0. Отсюда сразу следует, что если
dhpX'SM, то dhpX = dhpX' + fc + l, а если dhpX'=O,
то dhp X < к + 1. Это равносильно утверждению а).
Проведем индукцию по к. При к = 0 определим ото-
отображение G) как связывающий гомоморфизм в точной
последовательности Ext-ов, отвечающий точной трои-
лее F):
, F) = 0.
Наше утверждение следует теперь из леммы 10:
Extd{P°, У) = 0^1
204
Чтобы сделать индуктивный переход, разобьем F)
на две части:
0 -у х' -у Р~к -+ X" -> 0 (X" = Im d~k == Ker d~h+l) (8)
0-*-X"-*P-k+1-»-...-JP-1--jPo-'-X-»-0, (9)
и определим G) как композицию двух отображений:
Extd(X', Y)^Extd+1(X", y)^Extd+ft+1(X, У),
где б' — связывающий гомоморфизм точной тройки (8),
а б" предполагается построенным по индукции с по-
помощью комплекса (9). Ясно, что эта композиция обла-
обладает требуемыми свойствами.
Утверждение б) доказывается аналогично.
Вывод следствия из предложения очевиден. ¦
Замечание. Построенное нами отображение G)
совпадает (с точностью до зпака) с умножением на класс
Ионеды комплекса (С) в группе Extft+1(X, X').
12. Модули над кольцом главных идеалов. Пусть А —
коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля,
у которого любой идеал главный (например, Z или К\х\).
Пусть 9? — категория Л-модулей конечного типа. Следую-
Следующие три класса модулей совпадают в ней: а) свободные,
б) проективные, в) модули без кручения. Поэтому любой
объект имеет проективную резольвенту длины 2, так что
l. Если А не является полем, и aei\{0} — необ-
а
ратимый элемент, то класс последовательности 0-*-А-*~
-+А-+А/а-+0 определяет ненулевой элемент в
Ext' (А/а, А), так что dh W = 1.
Мы доказали утверждение, немного более слабое, чем
сформулированное в п. 8. От предположения конечности
типа можно избавиться.
13. Теорема Гильберта. В п. 1.1 мы сформулировали
теорему Гильберта о цепях сизигий для модулей над
кольцом многочленов /с[?и ..., tr]. В следующем пункте
мы докажем категорный вариант этой теоремы. В при-
применении к модулям над k[tu .. .,tr] он дает результат, не-
немногим более слабый, чем классическая теорема, посколь-
поскольку мы получим ограничение длин проективных, а не сво-
свободных резольвент.
В действительности, над кольцом многочленов с коэф-
коэффициентами в поле проективные модули конечного типа
свободны. Эта нетривиальная теорема была сформулиро-
205
вана в качестве гипотезы Серром и доказана независимо
Суслиным и Квилленом.
Пусть si — абелева категория. Обозначим через si[T]
следующую категорию:
ОЬ si [Г] = {пары (X, t), где X <= ОЬ si, %
(X, X)}.
Морфизм (X, t)-*(X', t') в si[T] — это морфизм f: X-*¦
-*¦ X' в .si с условием t' ° /= / ° t.
14. Теорема, а) Категория si [Т] абелева.
б) Предположим, что в категории si достаточно про-
проективных объектов и существуют бесконечные прямые
суммы. Тогда для любого объекта (X, t) е ОЬ $Ф[Т] имеем:
+ i.
в) В тех же условиях
Доказательство этой теоремы занимает пп. 16—19.
15. Вывод классической теоремы Гильберта. Положим
si, = k[ti, ..., tr]-mod. Определим функтор
доложив Fr(X, t) = X со старым действием k[tu ..., tr-H
и с умножением на tr, равным Т. Легко убедиться, что
этот функтор задает эквивалентность категорий. Поэтому,
если к — поле, то мы можем начать индукцию с г = О,
dh «s^o = 0, и получить из теоремы 14 dh s4-r = г.
Разумеется, можно считать, что к — произвольное (не
обязательно коммутативное) кольцо; в определении k[tiy...
..., tr] всегда подразумевается, что U коммутируют с к
и друг с другом.
16. Доказательство абелевости j^[T]. Нам нужно про-
проверить аксиомы А.1—А.4 из II.5. Аксиомы А.1 и А.2 оче-
очевидно выполнены, поскольку Нот^т] ((X, 1), (X', t')) —
подгруппа Ногп^ (X, X'). Далее, пусть (X, t), (Xr, t') —
два объекта s4-[T]. Определим их прямую сумму так:
(X, t)®(X', t') = (X®X', t®t'). Построение морфизмов
A) и проверка свойств B) из II.5.4 проводится автома-
автоматически.
Покажем теперь, что в s&[T] существуют ядра и кояд-
коядра. Мы будем обозначать одной и той же буквой морфиз-
мы (X, t)-+(X', t') в М[Т] и соответствующие морфизмы
206
Х-+Х' в М. Пусть {К, А;) —ядро / в &. Тогда jtk =
= t'kJ = Q, так что существует единственный морфизм
s: К -+- К с tk = ks (см. диаграмму)
• i
Х+Х
ХZ'
С
Поэтому (К, s)^Obst[T] и к: {К, s)->-(X, t) — морфизм
в ^[Т]. Мы оставляем читателю несложную проверку то-
того, что ((К, s), к)— ядро / в s?[T]. Аналогично строится
коядро ((С, и), с) морфизма / в s?[T\.
Докажем справедливость А.4: существование канони-
канонижеия морфизма /: (X ?)->-(Х' t') в зй-[Т].
Докажем справедливость А.4: сущ
ческого разложения морфизма /: (X, ?)->-(Х', t') в зй-[Т].
Пусть (/, u)=GokerKer/, (/', и') = Кег Сокег /,
i: (X, t)-+(I, и), /: (/', u')-»-(X', t') — соответствующие
морфизмы в s& [T]. Согласно II.5.116) существует един-
единственный морфнзм I: (I, и)->¦(/', и') с f = j°l°i. По-
Поскольку /='СокегКег/ и /' = Кег Сокег/ в s4-, категория
S& абелева, I: I -+¦ /'— изоморфизм в зФ. Поэтому
I: (/, и) -*-(/', и) — изоморфизм в s4-[T\ и справедливость
А4 в S&[T] установлена.
17. Проективные объекты в si-[T].Предположим те-
теперь, что в si существуют бесконечные прямые суммы
(выполнена аксиома АВЗ, см. упр. П.6.2). Для каждого
У е Ob si положим Y°° = Y ® Y ® ... и определим сдвиг
sY: Y" -»- У™.так: sy(j/,, уг, ...) = @, уи ...). Мы утверж-
утверждаем, что если Y проективен в si, то (У~, sy) проективен
в si[T].
В самом деле, пусть задана диаграмма проективности
в S4{T\.
[X.t)
¦о
В терминах категории si такая диаграмма задается мор-
физмами ф(: У-*-Х", i = l, 2, ..., и эпиморфизмом я,
такими, что ?"фг = <р<+1, t"n = nt. Для построения тре-
требуемого морфизма ф в s4\T] нужно построить морфизмы
-ф<: У_->- X, i = 1, 2, ..., в si такие, что я% = ср», ii|)i = i|3i+i.
Поскольку У проективен в si, а я — эпиморфизм,
существует г^: У->-X в si с яг|I = фь Далее, полагая
207
последовательно
= л?ф; = t"ntyi —
= ?г|);, имеем
p
Из доказанного утверждения следует, в частности, что
если в зФ достаточно проективных объектов, то п в s4\T]
достаточно проективных объектов. Кроме того, поскольку
функтор X >-»- (А', 0) реализует бФ как полную подкате-
подкатегорию в s?[T], для любого проективного (X, t) в s?[T]
объект X проективен в зФ.
18. Доказательство 146). Пусть (X, t) e
е ОЪзФ [T] и dhp^X = к. Построим ацикличный комплекс
0
, г)
\ t.h)
0,
в котором все (Р~\ t-f), 0 < i < А;, проективны в
Тогда комплекс
в ^ также ацикличен, а все Р~1 проективны в зФ соглас-
согласно последнему замечанию предыдущего пункта. Ввиду
п. 10а и 11а, У также проективен в s&. Поэтому (Y°°, sY)
проективен в зФ[Т] и для доказательства неравенства
dhp^i-] (X, t) ^ к + 1 достаточно построить точную после-
последовательность
0-+(Y°°,sY)-^(Yc°,sY)X(Y,r)-+0 A0)
в s4\T]. Зададим I матрицей морфизмов lfj: Y -*¦ Y в s?
i, j = 1, 2, ..,.? полагая Zj_, = —г, Ц_ j_t = idy, 1ц = 0 для
остальных i, j. Зададим далее q набором морфизмов
qf. Y-*-Y в А, 7 = 1, 2, ..., полагая qj=^ri. Ясно, что I и
q — морфизмы в s?\T\ (т. е. выполнены соответствующие
условия коммутирования). Несложную проверку точно-
точности последовательности A0) мы оставляем читателю.
19. Доказательство 14в). Нужное утверждение
вытекает, очевидно, из следующей формулы: для X,
((X, 0), (У, 0)) = Ext^ (X, Y) e Ext^1 (X, Y). (И)
Формулу A1) проще всего доказать, вычисляя группы
Ext с помощью проективных резольвент (упр. 1). Пусть
... -+P~n-^ p-n+1-^ . .. -+p-i-+ po_^ X-+0
— проективная резольвента X в зФ, т. е. точная после-
последовательность в зФ с проективными Р~\ Тогда
203
^ (X, Y) = Нп (Нот (Р', Y)) — когомологии комплекса
с дифференциалами, индуцированными йр .
Рассмотрим для каждого п ~> 0 точную последователь-
последовательность A0) в $?[Т], отвечающую (Р~п, 0):
-, 0)
Морфизм 1 = 1-п в ней задается формулой V
)( )
Г,)(,рГ,рГ
Построим комплекс
1-П+1
в ^[Г], полагая
, 0) -> 0 A2)
при п > 0,
и задавая ^q", eQ формулами
—та/ —я — п — п+1 —
Читатель легко проверит, что A2)— точная последова-
последовательность в з?[Т]. (Это можно сделать либо непосред-
непосредственно, либо используя свойства двойных комплексов,
см. 7.8.) Кроме того, из п. 17 вытекает, что A2)—про-
A2)—проективная резольвента (X, 0) в зФ[Т]. Чтобы использовать
ее для вычисления Ext^rj ((X, 0), (У 0)), заметим
прежде всего, что для любого Z e Ob s4- имеем естествен-
естественный изоморфизм
Hom^m ((Z~ Sz), (У, 0)) ^ Hom^ (Z, У), A3)
задающийся формулой
{/: (Z",sz)->(r,0)}~{<p: Z-+ У, <p (z) = /(z, 0, 0, ...)}.
14 С. И. Гельфанд, Ю. И. Манпн, т. 1 209
Поэтому
(P~n, Y) 0
(P~n+\ Y).
Более тогб, из A3) вытекает, что этот изоморфизм согла-
согласован с дифференциалами. Следовательно, мы получаем
изоморфизм комплексов абелевых групп
?', (У, 0)) &: Hom^ {Р\ Y) ® Нот^ (Р', Y) [1],
откуда вытекает A1). ¦
20. Производная категория и инъективные резольвен-
резольвенты. Последняя тема этого параграфа — описание произ-
производной категории в терминах инъективных резольвент.
Пусть Sf — полная подкатегория абелевоп категории
S4-, состоящая из инъективных объектов. Рассмотрим ка-
категорию К+(^), состоящую из ограниченных слева комп-
комплексов инъективных объектов и морфизмов по модулю
гомотопической эквивалентности, и естественный функ-
функтор K.+ (&) + V+(sl).
21. Теорема, а) Описанный фу}1ктор определяет
эквивалентность К+(^) с полной подкатегорией D+(^).
6) Если инъективных объектов в si- достаточно много,
то он является эквивалентностью категорий.
22. План доказательства. Прежде всего мы
покажем, что к паре категорий К+(.7)с: K+(j^) и системе
квазиизоморфизмов S в K+(s&) применимо предложение
2.10. С этой целью нужно проверить следующие условия.
A. Квазиизоморфизмы в К+BГ) образуют локализую-
локализующую систему S&.
Б. Условие б2 предложения 2.10 выполнено.
После этого утверждение 2.10 будет означать в нашей
ситуации, что К+EГ)[5^1] является полной подкатего-
подкатегорией в K.+ (s&)[S-l] = D+(.s&). (Последнее равенство дока-
доказано в предложении 4.2.)
B. Sу состоит из изоморфизмов. Поэтому
Г. Если в s4- много инъективных объектов, то любой
объект из D+(j$) изоморфен объекту из К+(&).
23. Доказательство 22А. В теореме 4.4 доказа-
доказано, что квазиизоморфизмы образуют локализующую си-
систему в категории K+(s&). Доказательства состоят в до-
210
стройке нескольких диаграмм комплексов. Достройка эта
делается явно, и возникающие при этом новые комп-
комплексы являются конусами морфизмов, построенных ранее.
Так как прямые суммы инъективных объектов инъектив-
ны, при работе в категории К+(&) новые комплексы при-
принадлежат этой же категории. Поэтому аксиомы локали-
локализующей системы верны и для К+(У).
24. Доказательство 22 Б, В. Мы докажем сле-
следующее усиление условия б2) предложения 2.10.
(*) пусть s: 1 -*-К—квазиизоморфизм объекта К+(^)
с объектом K+(*s$). Тогда существует такой морфизм
комплексов t: К->-1, что t°s гомотопен idj.
С помощью леммы 3.3 построим в K+(,s?) выделенный
« б
треугольник / ->¦ К -*¦ С (s) -*¦ I [1]. Поскольку s — квази-
квазиизоморфизм, C(s) = C ацикличен. Отображение ациклич-
ацикличного комплекса в комплекс из инъективных объектов,
ограниченный слева, гомотопно нулю. Гомотопия Ъ стро-
строится индукцией слева направо; можно считать, что по-
построение начинается с С:
-О
О
С
к".
с:
Iх-
с-
Существование F — это условие продолжения для инъек-
инъективных объектов. Существование %' сводится к условию
продолжения следующим способом. Рассмотрим диа-
диаграмму
Y
Она отличается от диаграммы
Кег^с может быть ненулевым.
Поэтому вместо A4) можно рассмотреть диаграмму
О * Coker rfr°—^—:С2
продолжения тем,
Но (б1
A4)
что
= 0.
4*
211
которая дает требуемый морфизм й1. Общий шаг индук-
индукции имеет ту же структуру.
Теперь распишем построенный оператор гомотопии
покомпонентно:
Ъ С = /[1]©Я + /[1], П = {к, Г).
Имеем б —Ш + (Ш; с другой стороны, в силу леммы 3.3,
8=(idX[1], 0); отсюда
) = (к, t')dc-Ydw{k, t'), t': K-
id/[i] = kdni] 4- d4lik 4- t's, 0 = t'dg — dniit',
так что t' — морфизм комплексов, a t's гомотопеп. idm].
25. Доказательство 22Г. Мы докажем, что для
любого комплекса С <= D+ (Ж) существует комплекс
feK+(J) и квазиизоморфизм f: С-+Г. Можно счи-
считать, что С' = 0 при ?<0. Будем строить I\ d\ и f: С' -*¦
-»- /* индукцией по I.
Нулевой и первый шаги:
б'1 —I
Здесь мы последовательно строим: вложение i°: С->¦ Р,
Р s ,7, которое существует, ибо в зФ много инъективных
объектов, кодекартов квадрат с вершиной /° JJ[ С1, вло-
0—»»
0—»»
!*°
/ — ^"
с1
1
1 а
У
/°
женио с этой вершины в
= с4, f1 = с о а.
(t + l)-u шаг:
>г+1
Сокег с?/— ^Coker rf7;
Затем полагаем dj =
A5)
Здесь мы строим кодекартов квадрат с вершиной
Coker dj JJ Сг х и вложение этой вершины в
с1
Затем мы полагаем d\+1 = с °b ° p, f1 = с ° а.
212
Ясно, что таким образом получается комплекс /' е=
еК+(^) и морфизм комплексов t = (tl): С-*-/'. Ос-
Остается лишь доказать, что t — квазиизоморфизм, т. е. что
Нг(<): Нг (С) ->//*(/')—изоморфизмы для всех i 5= 0.
Мы будем использовать для этого язык элементов (см.
упр. П.5). Прежде всего, используя точную последова-
последовательность
0-
-Кег
{ (С) -* 0
и упр. П.5.4а)—в), читатель легко убедится, что элемен-
элементы Нг(С')— это классы пар (X, h), X<^Obst, h: X ->-
-*¦ С1 таких, что dc ° h = 0, по следующему соотношению
эквивалентности:
(X, h)~ (X1, h')-*=>- {существуют FeOb^, эпиморфизмы
м: F->Z, u': F-vX' и морфизм г;:
V-^-Cl~1, для которых /ш — h'u' =
Нам потребуется еще следующее свойство кодекартова
квадрата:
U-U X
с Z = X ТТ У. Пусть X® 7 — прямая сумма X и У и
и
л: X® F->-Z — естественный морфизм. Тогда последова-
последовательность
С/
U,8)
0
точна.
Приступим теперь к доказательству того, что t —
квазиизоморфизм. Мы будем использовать диаграмму
A5) для доказательства того, что Я((*) —эпиморфизм,
a Hi+l(t)—мономорфизм. Наши рассуждения легко пе-
перенести на случай i = 0, 1.
а) Н*(г)~ эпиморфизм. Будем использовать
упр. П.5.4в).
Пусть ж = (Х, h)— элемент Н{A), т. е. Х^ОЬ^,
ft: X-+V, d\ °h = 0. Это значит, что Ъ °р(х) = 0, т. е.
элемент (р[(х), 0)е Coker ^гфС1+1 переходит в 0 при
213
морфизме
л = (b, a): Coker d1^1 ®Ct+1 -
Ввиду точности последовательности
С*
Сокег
еC
i+1
Cokerd}-1 U.Ci+1—> 0 A6)
С
и упр. П.5.4д) имеем
(Р (*), 0) = (I - dh)x
для некоторого элемента х=(Х, Щ^С. Это значит, что
й?с°Л = 0и х задает элемент Н4(С), для которого х =
= #'@2.
б) Hi+i (t) — мономорфизм. Пусть h: X ->- Ct+l — пред-
представитель элемента x^Ni+i(C) и Hi+i(t)x = 0 в Hi+i(I).
Мы докажем, что х — 0 в Hi+1(C). Из формулы t<+1 =
= с°а, где с — вложение (см. A5)), вытекает, что суще-
существуют: V ^ОЪзФ, эпиморфизм и: V -*¦ X и морфизм
v: V->Coker dlfx, для которых a°h °и = Ъ °v. Поэтому
морфизм
(bv,—ahu): F->Coker 4 П С{ и
1
является нулевым, т. е.
(Ь, а) (у,-Ли) = О,
где (у, —йц)—морфизм F->-Coker Й2~афСг+1. Ввиду
точности последовательности A6) и упр. П.5.4е) суще-
существуют объект W ^ОЪзФ, эпиморфизм w: W -*¦ V и мор-
морфизм г: W -*¦ С\ для которых
Это, в частности, означает, что
huw =
Поскольку uw: W -*¦ X — эпиморфизм, элемент х — (Х, h)
равен 0 в Hi+l(C).
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Ext и резольвенты, а) Проверьте, что из утверждения (•),
доказанного в п. 24, и из двойственного утверждения для комплек-
комплексов, составленных из проективных объектов, вытекает, что ествс1т
214
венный гомоморфизм
является изоморфизмом в каждом из следующих случаев:
i) УеОЬКош+(П
И) X' eOb Kom~ (^) Eя — класс проективных объектов в st).
Выведите отсюда, что группы Ext^ (X, Y) для A', Y e Ob si-
можно вычислять следующим образом. Пусть ...-*¦ Р * —*¦
^ р° _+ X -*-0 — проективная резольвента X (соответственно
4
О -*¦ Y-*¦ /°—*¦ I -*¦...— инъективная резольвента У). Тогда
Ext"(X, У) есть ге-я группа когомологий комплекса
0-vHom(/">, Y)->-Hom(P-\ У)^-Нот(Р-2, У)-»-...
(соответственно комплекса
0-»-Нот(Х, 7°) ^-Нот(Л:, 7')^-Нот(Х, Р) -+ ...)
с дифференциалами, ипдуцироваппыми dP (соотвотствоппо di).
2. Ext1 и расширения. Пусть X, У е ОЬ бФ. Обозначим через
Е[Х, Y) множество классов эквивалентности точных троек
Е: 0 -»- Y -+ Z -
по соотношению экивалентности: Е
ществует коммутативная диаграмма
Е' 0 —*- У —>- Z
¦ О
Е', если и только если су-
су(в которой а обязательно является изоморфизмом ввиду леммы о
пяти гомоморфизмах).
а) Покажите, что ~ — соотношение эквивалентности.
б) Для ф: У-*-У и ЕеЕ(Х, Y) определим <р? как класс
тройки
0Y'Z'X
где Z' = У JJ Z. Покажите корректность этого определения. Пока-
у
жиге, что так получается действие Hom(F, У) па Е(Х, Y). Опре-
Определите аналогично Ety для г|з: X' ->• X. Докажите соотношепия ас-
ассоциативности (ф,ф2)? = ф!(ф2?), ?(|) (Щ^^ (?)|
(?)
ф(|)
в) Пусть Е, Ег цЕ(Х, Y). Определим
Ф У) 1гак класс тройки
Пусть Ах: 1-+1ШХ, Vr: У ф Y-у Y— естественные диагональ-
диагональный и кодиагональный морфизмы. Докажите, что операция, сопо-
сопоставляющая Е, Е' класс Е + Ё' — Vy(?® E')/±x(=E{X, Y) (сло-
215
жение Бэра) превращает Е(Х, Y) в абелеву группу, нулевым эле-
элементом которой служит класс расщешшых троек
г) Покажите, что группа Е(Х, Y) изоморфна Ext'(X, F).
3. Ext2 и трехчленные фильтрации. Пусть Хс Fc Z— трех-
трехчленная фильтрация объекта Z. По ней строится точная последо-
последовательность
О
Z/K ->- 0,
где / — композиция вложения Y —>-Z и сюръекции Z -э- Z/X.
а) Покажите, что отвечающий этой последовательности эле-
элемент i^Ext2(Z/Y, X) есть произведение Ч = "№, где Yi e
<=Ext'A7X, X), f2 e Ext'(,Z/y, Y/X) отвечают точным тройкам
0-+X-+Y-+Y/X-+0,
О -»- Y/X -+Z/X-+ZJY^- 0.
б) Покажите, что f = 0 в Ext2(Z/Y, X).
в) Докажите обратное утверждение. Точнее, пусть А, В, С —
три объекта j#, fieExt1^, С), iy2eExt1D, 5) и 71Т2 = 0 в
Ext2(j4, С). Покажите, что существует объект Z с трехчленной
фильтрацией IcFcZ такой, что А = Z/Y С = X и Чь is отве-
отвечают точным тройкам из а).
4. Следующее упражнение обобщает упражнение 1а). а) Пусть
s4-—абелева категория, XeOb«s?. Обозначим через add X полпую
подкатегорию si, состоящую из конечных прямых сумм прямых
слагаемых X. Ясно, что addX — аддитивной подкатегория s&. Име-
Имеется естественный функтор ср*: Kb (add X) ->- ])''(.s#) (композиция
вложения Kb(addX) ->- K''(st) и локализации Q: K''(s4-) -*¦ D* (.«?)).
Докажите, что если Ext^ (X, X) = 0 для всех г >
> 0, то <рх — вполне строгий функтор. (Проверьте равенство
Нот i V.(K'> L') = Hom ъ (К', L') сперва в случае, ког-
да К', L' — 0-комплексы, а затем используйте 6.14а) или IV.1.3
и проведите двойную индукцию по числу ненулевых членов в
комплексах К' и L'.)
б) Докажите, что если у каждого объекта Y e Ob s4- есть ко-
конечная резольвента (т. е. комплекс, квазиизоморфный 0-комплек-
су Y) с членами из add X, то ф^ является эквивалентностью
категорий.
§ 6. Производные функторы от аддитивных функторов
1. Мотивировки. В п. 1.6 мы уже говорили, что важ-
важнейшие аддитивные функторы F на абелевых категориях,
как Нот, ®, Г, должны быть определены заново для
восстановления их точности. Подробнее, пусть F: si- -*•
-*• 3& — точный слева (соответственно справа) функтор
между абелевыми категориями. В этом параграфе мы
определим и исследуем его продолжения RF: D+(«s?)-"
-^D+(^) (соответственно LF: D~(,s/)->- D"(^)), которые
216
будут называться правым (соответственно левым) произ-
производным функтором от F.
Функторы RF, LF будут точны в следующем смысле
слова: они переводят выделенные треугольники в вы-
выделенные.
В частности, если определить классические производ-
производные функторы равенствами
R'F^H^RF), UF = H\LF),
то по точной тройке 0-*-^4->-i?->C->-0 объектов из $&
строится классическая точная последовательность кого-
мологий
... -у R'F{A) + R{F(B)^-IVF(C) -+ Ri+1F{A)^ ...
и аналогично для L.
Как же продолжить F на комплексы?
Первая приходящая в голову мысль состоит в том,
что продолжать F на комплексы следует, применяя F по-
почленно. При этом, во всяком случае, гомотопные морфиз-
мы переходят в гомотопные, так что мы получаем функ-
функтор K*{F): К*(^)->К*(^), * = 0, +, -, 6.
2. Предложение, Пусть F точен.
a) K*(F) переводит квазиизоморфизмы в квазиизо-
квазиизоморфизмы и поэтому индуцирует функтор D*(F):
б) D*(F) является точным функтором, т. е. переводит
выделенные треугольники в выделенные.
Доказательство, а) Установим сначала, что
K*(F) переводит ацикличные комплексы К' (т. е. ква-
квазиизоморфные нулю) в ацикличные. Пусть Вг — ker d%. =
= Im dx. Точная последовательность
-о
переходит в точную последовательность
Fie1) Г(р»)
0 -* F (В1) -^F(Kl)-^
0.
Так как d> = ei+i ° р\ то /(di) = ^(ei+1)°JF(/'i), причем
F(p') — эпиморфизм, а ^(е') — мономорфизм. Отсюда сле-
следует, что F(B{) изоморфен образу F(dl), a F(B'+1) изо-
изоморфен коядру F(dt+l), так 4toF(K') ацикличед.
Заметим теперь, что если /: К'-+-L' — морфизм
комплексов, то имеется канонический изоморфизм между
217
F(C(f)) и C{F{j)) (см. 3.2). В силу 3.6, / является
квазиизоморфизмом, если и только если C(f) ацикличен.
Тогда по доказанному F(C(f)) ацикличен и, значит,
F(f) — квазиизоморфизм.
б) Просмотр определений пп. 3.2, 3.3 показывает, что
F переводит также цилиндр морфизма / в цилиндр F(f)
и основную диаграмму леммы 3.3 в аналогичную диа-
диаграмму. Это утверждение не зависит от точности F, так
что любой аддитивный функтор переводит треугольники
в треугольники того же вида (см. п. 3.4). При дополни-
дополнительном условии точности K*(F) переводит треугольники,
квазиизоморфные таким, в треугольники, квазиизоморф-
квазиизоморфные таким же, т. е. сохраняет свойство выделенно-
сти. ¦
3. Приспособленные классы объектов. Идея конструк-
конструкции RF и LF в общем случае состоит в том, чтобы при-
применять F почленно, но не ко всем комплексам, а только
к хорошо подобранным представителям классов квази-
квазиизоморфных комплексов. Например, как мы увидим ни-
ниже, ЙГ правильно вычисляется таким способом на (ог-
(ограниченных слева) комплексах ннъективиых пучков,
a L(M ® •) — на (ограниченных справа) комплексах пло-
плоских модулей.
Мы аксиоматизируем общую ситуацию следующим
способом. Назовем класс объектов 31 <= s4- приспособлен-
приспособленным к точному (справа или слева) функтору F, если он
устойчив относительно конечных прямых сумм и выпол-
выполнены следующие два условия:
а) Если F точен слева: F переводит ацикличные комп-
комплексы из Кот+E?) в ацикличные.
Если F точен справа: F переводит ацикличные комп-
комплексы из Кот" C1) в ацикличные.
б) Если F точен слева: любой объект s& вкладывает-
вкладывается в некоторый объект из 31. Если F точен справа: любой
объект является фактором некоторого объекта из Я.
(Мы будем говорить в таких случаях, что 3L достаточно
гелик, или что имеется достаточно много объектов
класса 31.)
Заметим, что если F точен, то, как следует из первой
части доказательства предложения 2, любой класс 52,
удовлетворяющий условию б) (в частности, класс всех
объектов s&), приспособлен к F.
21S
4. Предложение. Пусть 31— приспособленный к
функтору F: зФ -*• & класс объектов, S& — класс квази-
квазиизоморфизмов в К* E?). (Здесь и далее К+ берется для
точных слева F, К~ — для точных справа F.) Тогда S <%
является локализующей системой и канонический функтор
является эквивалентностью категорий.
Доказательство. То, что S(% является локализу-
локализующей системой, доказывается тем же рассуждением, что
и в п. 5.23.
То, что функтор K±C2)f^1]->D±(^) является
вполне строгим, мы установим с помощью предложе-
предложения 2.8: для К~E2) проверяется условие 6t), а для
К+ C1) — условие бг).
Проверка этих условий проводится с помощью следу-
следующего утверждения, которое заодно доказывает, что
любой объект из D*^) квазиизоморфен объекту
из К*(Ж):
а_) для любого комплекса К' е К~ ($?) существует
квазиизоморфизм t: R'-^-K', где R "е К" C1);
а+) для любого комплекса К' е К+ (s?) существует
квазиизоморфизм U К' -+R', где R' е К+($?).
В самом деле, условие 2.8 б4) следует из а_): если
К —>-л —некоторый квазиизоморфизм, то, построив
квазиизоморфизм R'-*-K', мы получим, что t ° s e S^.
Аналогично, условие 2.8 б2) следует из а+).
Остается доказать, скажем, а+). Для этого нужно
лишь повторить доказательство утверждения 5.22Г, при-
приведенное в п. 5.25, заменяя всюду & на 31. В самом деле,
при доказательстве 5.22Г мы использовали лишь, что
любой объект из si- может быть вложен в объект из &,
но нигде не использовали ннъективность объектов
из 3,. ¦
5. Конструкция производного функтора. В условиях
предложения 4 определим производный функтор на объ-
объектах категории К* C1) \S~^\ почленно:
RF (К'I = F (Кг) для Г
LF (К'I = F (К1) для Х'
К+(«),
219
Так как почленное применение F переводит ациклич-
ацикличные объекты из К±C?) в ацикличные, то же рассужде-
рассуждение, что в предложении 2, показывает, что квазиизомор-
квазиизоморфизмы переходят в квазиизоморфизмы. Поэтому можно
сказать, что RF (соответственно LF) является функтором
из К±(<%)№] в D±(<8).
Остается выбрать эквивалентность категорий Ф:
> К^ E2) [-S1,^1], обратную слева к естественному
вложению, и доопределить RF, LF, положив
BF (К') = RF(O (К')), LF (К') = LF (Ф (К'))
в общем случае.
Эта конструкция содержит неоднозначности — в выбо-
выборе Ф, и, что более серьезно, в выборе 31. Довольно оче-
очевидно, в каком смысле она не зависит от Ф. Формули-
Формулировка и доказательство независимости от Ж требует фор-
формального определения производного функтора с помощью
универсального свойства.
6. Определение. Производным функтором для
аддитивного точного слева функтора F: s& ->- 3& называ-
называется пара, состоящая из точного функтора J)+(F):
Т)+{$Ф)-+ D+(^) и морфизма функторов bf: +
О (*
Эта пара должна обладать следующим универсальным
свойством. Для любого точного функтора G: D+ (s?)-+
ц морфизма функторов ?.' ^»K+(F)-^
существует единственный морфизм функторов
л\: D+ (F)-+ G, для которого следующая диаграмма ком-
коммутативна:
G ° Of
A)
220
Аналогично, производный функтор для точного спра-
справа функтора F: зФ-+& — это пара D~(F): D~(.s#)-»-
и морфизм функторов eF: D {F)-Q^~>-
(&"), обладающий универсальным свойством,
аналогичным A) (с морфизмом функторов ц: G -+-
-D(^)). ¦
Отметим, что если функтор F точен, то ввиду пред-
предложения 26) его производный функтор D*(F) совпадает
с почленным применением F к комплексам.
7. Единственность производного функтора. Пусть
(D*(F), eF) и (D*(F), eP) — два производных функтора
для F. В силу определения, существуют и однозначно
¦л ^,
определены морфизмы функторов D* (F) 7± D* (F)
с указанными свойствами коммутативности. Поэтому
г\ " г| и г) ° ц будут автоморфизмами D*(F), D*(/r) соот-
соответственно. Значит, они тождественны в силу единствен-
единственности. Тем самым ц и т| — взаимно обратные изоморфиз-
изоморфизмы функторов, которые к тому же определены од-
однозначно.
8. Теорема. Если функтор F допускает приспособ-
приспособленный к нему класс объектов Я, то D±(F) существуют
и определяются конструкцией н. 5 (т. е. D+ (F) = RF,
J)-(F)=LF).
Доказательство этой теоремы занимает пи. 8—11. Мы
будем рассматривать точный слева функтор F, доказывая
существование D+ (F). Повторим еще раз конструкцию
производного функтора, приведенную в п. 5, вводя необ-
необходимые дополнительные обозначения.
Пусть
— естественное вложение. Оно задает эквивалентность
категорий. Пусть
Ф: D
— некоторый квазиобратный W, так что заданы изомор-
изоморфизмы функторов
221
Почленное действие F на комплексах с элементами из Ш
однозначно задает, ввиду свойства а) класса 31, функ-
функтор F:
обладающий свойством
(Qm: К+E?)-> К+E2) [S^1] —функтор локализации).
Ясно, что F — точный функтор, т. е. переводит выделен-
выделенные треугольники в выделенные.
Зададим теперь D+ (F), полагая
Для доказательства теоремы 8 нам нужно проделать
следующее:
а) Доказать, что D+ (F) — точный функтор.
б) Построить морфизм функторов zF: Q$ ° K+ (F) -»-
—*- D+ (F)» Qst и доказать его единственность.
в) Проверить свойство универсальности из п. 6.
Докажем а). Ясно, что Ф коммутирует с функтором
сдвига Т. Поэтому достаточно проверить, что Ф перево-
переводит выделенные треугольники в D+ [s4-) в выделенные
треугольники в К+ {Ж) \S~gi\- Поскольку Ф — эквива-
эквивалентность категорий, нужное утверждение вытекает из
следующей леммы.
9. Лемма. Пусть Д = {x-^Y -** Z^* X[l]} —тре-
—треугольник {не обязательно выделенный) в К E?) [(S^1];
предположим, что А изоморфен в D(j^) некоторому стан-
дартному треугольнику А = \Х —> Y —* С(J) —> X [l
F—комплексы из Кот(^). Тогда Д изоморфен в D(s&)
некоторому выделенному треугольнику Д' с объектами из
Кот {Ж).
Доказательство. Пусть /: X-+Y задается до-
домиком
. B)
222
Рассмотрим стандартный треугольник
Д' = (?-^У->С(г) — S
in).-
Пусть (ф, г|), 6)—изоморфизм Д и Д, т. е. имеется ком-
коммутативная диаграмма в D(^)
f g h
X—»¦ Y-* Z —* X[l]
~ e! ^ ^H C)
—v C(/)—> X[l]
Эта диаграмма определяет морфизм г|) ® ф? [1]: С(г) =
УФ5[1]-^С(/) = -РФХ[1].
Рассмотрим теперь диаграмму в
А':
Y
¦С (г)
I-1
S
U
X
Y
Из представления морфизма / в виде B) и коммутатив-
коммутативности C) получаем, что эта диаграмма коммутативна.
Кроме того ясно, что 8~' »(г|) © щ [1]) — изоморфизм в
D(s&) (поскольку 8, ф, \|з и q — изоморфизмы). Поэтому
А изоморфен А'. ¦
10. Построение морфизма функторов eF. Пусть
X е Ob K+ (st) = Ob
УеФ«^ (^) е Ob
Применим к X s Ob ]
лучим изоморфизм в
Этот изоморфизм в ~
мов в К
=Ob K+
морфизм функторов р. По-
По) рд: !-+? »Ф(Х)= ?(У).
задается диаграммой морфиз-
X
s t
-+Z+-Y,
в которой s, te Qis. Более того, ввиду свойства а+) из
доказательства предложения 4 можно считать, что Zs
eObK+(i%). Применив к этой диаграмме K+(F), полу-
получаем диаграмму в К+ (Jf)
К+ (F) (X)
K+(F)A
K+ (F) (Z)
K+<f)(t)
K+ (/?) (У). E)
Ввиду свойства а) класса 91, K+(F)(s)—квазиизомор-
223
физм. Поэтому диаграмма E) задает морфизм в
bf (X): Q#K+ (F) (X) -> Q$K+ (F) (Y) = FQM (Y) =
Проверим, что Bf(X) не зависит от выбора диаграммы
D). Две такие диаграммы со средними объектами ZM Z2
можно дополнить до коммутативной диаграммы
и читатель сразу проверит, что морфизм
->(?^К+ (F) (Y), построенный по (su
вен морфизму, построенному но (s, t).
Проверим, что набор гР(Х), IeK+
* +
(F) (Х)-ь
и (st, t2), ра-
ра, задает мор-
морфизм функторов ef: Q&K* (F)-> D+ (F) Q^. Пусть ф:
Х1-^Х2- морфизм в К+(^), Y1 = OQJt(X1), Y2 =
— Ф^^(^а)- Поскольку р — морфизм функторов, полу-
получаем коммутативную диаграмму в D
Представляя каждый из трех морфизмов fb: , $x2, ЧгФ(ф)
в этой диаграмме домиком в К+ {$$-), можно, ввиду свой-
свойства а+) из п. 4, считать, что все вершины этих домиков
лежат в К+E2). Поскольку, кроме того, Yt и F2 лежат
в К+ (Я), применяя к полученным домикам К+ (F), мы
получим, ввиду свойства а) класса 31, домики в К+(^).
Эти домики задают морфизмы в D+ C8), и диаграмма
F) приводит к коммутативной диаграмме
показывающе!!, что г? — морфизм функторов.
224
Единственность ер следует из универсального свойства
функтора локализации Q^: K+ (.i$)-*-D+ (з?).
11. Проверка универсальности D+(F). Пусть задан
точный функтор G: D+(j^)->- D+(^) и морфизм функ-
функторов е: (?^ о К+ (F)-+G° Q^. Построим морфизм функ-
функторов ц: D+(F)-*-G, для которого диаграмма
G)
морфизмов функторов будет коммутативной.
Для построения г\ нам нужно задать для каждого
ZObK+(^)=ObD+(^) морфизм у](Х): B+(F)(X)-^
) в D+(#).
Имеющийся морфизм функторов 8 определяет для
каждого X<=OhK+(s&) морфизм е(Х): F(X) -> G(Z) в
D+ (^). Кроме того, морфизм функторов fk Idg+^-^Yo ф
(см. п. 8) определяет для каждого X изоморфизм $(Х):
X-+-W°<i>(X) в D+(«^). Поскольку s — морфизм функ-
функторов, диаграмма
F(X)
е<Х)
G(X)
(8)
коммутативна. В этой диаграмме F(W°<?>(X)) =
=¦ D+ (F) (X), а левая вертикальная стрелка есть
ef(X): Q^K+(F)(X)-^T)+(F)QM(X) (см. п. 8, 10). По-
Поскольку р (X) — изоморфизм в D+(s?), a G — функтор
из D+(^) в Ъ+{М), правая вертикальная стрелка в этой
диаграмме тоже является изоморфизмом. Положим теперь
4(X) = G(?>(X))-1°E(W°<S(X)); D+(F) (X) - G(X).
Из того, что р — морфизм функторов, легко вывести, что
набор морфизмов ц{Х) задает морфизм функторов г\:
D+(F)^>-G. Коммутативность диаграммы G) и един-
единственность ц (X) для каждого X вытекают из коммута-
коммутативности диаграммы (8) и того, что G($(X)) — изомор-
изоморфизм. ¦
15 С. И. Гельфанд, Ю. И. Лапин, т. 1 225
В приложениях существенно, что некоторые классы
объектов приспособлены ко всем функторам, точным
с фиксированной стороны.
12. Теорема. Если в s4- достаточно много инъек-
тивных (соответственно проективных) объектов, то их
класс приспособлен к любому точному слева (соответ-
(соответственно точному справа) функтору F.
Доказательство. Пусть, скажем, F точен слева,
& — класс инъективных объектов. По определению при-
приспособленности, достаточно проверить, что F переводит
ацикличные комплексы из Кот+(^) в ацикличные. Пусть
/'— такой комплекс. Нулевой морфизм 0: / —*-1 явля-
является квазиизоморфизмом. В силу п. 5.24, он гомотопен
idr. Поэтому нулевой морфизм F(I') гомотопен idF(r).
Следовательно, F(l') ацикличен. ¦
До сих пор мы выводили существование производного
функтора из наличия приспособленного класса. Частич-
Частичное обращение этого рассуждения таково.
Пусть, например, RF существует. Назовем объект X
F-ацикличным, если fl'F(X) = 0 при всех 1Ф0. В этпх
условиях справедлива
13. Теорема, а) Для существования приспособлен-
приспособленного к F класса объектов необходимо и достаточно, что-
чтобы класс Z F-ацикличных объектов был достаточно
большим, т. е. чтобы каждый объект был подобъектом
ацикличного (для лево-точного F) или факторобъектом
ацикличного (для право-точного F).
б) Если. 31 достаточно большой, то любой класс при-
приспособленных объектов лежит в 31, и любой достаточно
большой подкласс 31 приспособлен.
в) Если 31 достаточно большой, то все инъективные
(для лево-точных F) или проективные (для право-точных
F) объекты лежат в 31.
Доказательство. Пусть класс приспособленных
к F объектов 91 существует. По конструкции п. 5,
DF(X[0]) квазиизоморфен F(X)[0] для всех 1е*. По-
Поэтому Ж'^31, и 31 достаточно большой.
Наоборот, пусть 01 — любой достаточно большой под-
подкласс 31. Чтобы установить его допустимость, достаточно
проверить, что F переводит ацикличные комплексы из
Кот* C1) в ацикличные. Пусть, скажем, F точен слова.
Если ацикличный комплекс из F-ацикличных объектов
является тройкой . .. -> 0 ->- К° -> Ю -*- К2 -> 0 ->- .. ., то
точность 0-+F(K.*)-+F(K}) + F{Kl) + Q следует из
226
D'F(i?°)=0. В общем случае можно последовательно от-
отщеплять точные тройки. Полагая Xs = Im d\ X" = К\
имеем точные тройки
0 — К"
0
К1 - X1 -* 0,
г -*¦ X2 -* 0, ...
Далее,
ибо Х\
+i<^?. Поэтому тройки 0->
)-0 точны, так что F(K')
ацикличен.
Наконец, пусть SE достаточно большой и F по-преж-
по-прежнему точен слева. Вложим инъективный объект I в аци-
ацикличный X. Из диаграммы инъективности (II.6.9)
следует, что <р выделяет 1 прямым слагаемым в X. Так
как F аддитивен, D'FG) является прямым слагаемым в
Ю^(Х) 0 i*0
(Х) = 0при i=*0. ш
14. Классические производные функторы, а) Функтор
Н из производной (или гомотопической) категории "в абе-
леву называется когомологическим, если он переводит
любой выделенный треугольник X-^F-^Z-^X[1] в точ-
точную последовательность
... -» Я(ГХ) -> II(Г Y) ->¦ Н (TZ) -> H(Ti+1X) -> ...
Например, Я' = Н° — когомологический функтор (см. 3.5
и 1.6.8). Другой пример: # = Нот([/, •) (см. IV.1.3).
б) Пусть F — точный слева (соответственно справа)
функтор из одной абелевой категории в другую Тогда
#F = tf°(rD+(F)) = tf'(D+(F)) (соответственно ' UF =
— Нг(Т) (F))) называется классическим г-м производным
функтором от F. Нетрудно убедиться, что R{F = 0 при
г < 0, R"F = F (соответственно L*F = 0 при i > 0,
L°F = F).
Приведем некоторые примеры.
15. Ext1 как производные функторы. Пусть s& абе-
лева категория, в которой класс инъективных объектов
Достаточно велик. Фиксируем объект X и рассмотрим
функтор Нош(Х, •) со значениями в абелевых группах.
Он точен слева и потому имеет производный функтор
Iе;*
ай 227
ЛНот(Х, •). Покажем, что имеется изоморфизм функ-
функторов
Ext'(X, .)~Д*Нот(Х, ¦).
Чтобы вычислить ExV(X, Y), заменим У на инъективную
резольвенту Y-+¦ IY, и тогда (см. 5.56))
Ext* (X, Y) = HomD(^) (X, IY Щ).
Из инъективности IY следует, что (см. упр. 5.1а))
(X, /Y Щ) = Honig^) (X, /у [i]).
С другой стороны, по конструкции производного функ-
функтора:
R1 Нош (X, Y) = Н1 (Нот' (X, 1У)).
Теперь остается воспользоваться общей конструкцией.
Внутренний Нот в категории комплексов Кот(л?) опре-
определяется формулой
Иотп(А\ В') - П Нога (Л1, Bi+n)t
iez
df=dB°f — (— 1)"/• dA, Jez Нот" (А', В').
Тогда имеются канонические изоморфизмы:
Z1 (Horn' (A\ В')) =.HomKom(rf) (A\ В' [i]),
В1 (Нот" {А', В')) = морфизмы, гомотопные нулю,
откуда
Я* (Нот' (А\ В')) = HomK(rf) (Л\ Б' [г]).
Аналогично можно проверить, что если в S& доста-
достаточно много проективных объектов, то Ext*(-, Y) —
= /?*Нош(-, 7) как функторы от первого аргумента (по-
(поскольку они контравариантны, следует считать их опре-
определенными на s&°).
Чтобы учесть функториальные свойства Ext' и ffHom
одновременно по двум аргументам, следовало бы развить
формализм производных полифункторов.
16. Функторы Тог4. Пусть R — некоторые ассоциатив-
ассоциативное кольцо с единицей. На категории левых Д-модулей
определен функтор • ® N, где N — фиксированный
правый Д-модуль. Этот функтор точен справа. Приспо-
228
собленными к нему являются плоские Д-модули. С их
помощью можно построить в производной категории ле-
выи производный функтор, обычно обозначаемый • ® N.
Соответствующие классические производные функторы
обозначаются Тог«:
То if (M, N) = #
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
Лг
).
В пп. 1—5 мы излагаем другой вариант конструкции производ-
производных функторов. Он обеспечивает существование, скажем RF, в
более общих предположениях, но зато значения RF лежат априори
не в производной категории, а в некотором ее расширении.
1. Категории коиндексов. Назовем категорию Sf категорией ко-
индексов, если она мала, непуста и ее стрелки удовлетворяют сле-
следующим аксиомам:
а) Sf связна, т. е. любые два объекта можно соединить после-
доватолыгостыо стрелок (направления безразличны).
б) Любую пару морфизмов /'-«-?->-/ можно включить в ком-
комму татив им ii квадрат
i
I
i
i —> k .
и
в) Любую пару морфизмов i zX- / можно дополнить морфиз-
V
мои j —>- ft так, что w о и = w о и.
Категория f называется категорией индексов, если ?° — кате-
категория коипдоксов.
2. Индуктивные пределы. Пусть 3 — категория коиндексов,
F: &->¦'§', I !-> Xi — некоторый функтор. Он задает функтор F:
Sf -+W = STunct (ft0, Set) равенством
F (г) (F) = Нош^ (У, F{i)), FsOb^° = Ob^, ieOb^.
Определим обт>ект L категории Ч? как индуктивный предел L =
= HmF (см, Н.3.18), так что для любого 7 е ОЬ ?°
L(Y) = \im FT,
где FY: Э -+9>et, FY (i) = Hom^, (Y, F (i)). Существование L вы-
вытекает из существования для любого У индуктивного предела
lim FY в категории ffet, которое доказывается аналогично тео-
теореме И.3.19.
Такие функторы L (для всевозможных JaF) образуют пол-
полную подкатегорию Ind 'S в Ф, называемую категорией индуктивных
пределов в '&,
Определим категорию проективных пределов Pro <<P как
0H. Это — подкатегория ((^°) )°. В этой категории можно
229
брать пределы функторов вида ?-+¦<&, где f — категория ин-
индексов.
3. Индуктивные пределы и локализация. Пусть S — локализу-
локализующий класс морфизмов в категории 'в (см. Ш.2.6). Назовем его
насыщенным, если любой морфпзм, являющийся левым и правым
делителем некоторых морфизмов из S, принадлежит S.
S
Для любого объекта X е Ob ЯП категория 3 х морфизмов X -*¦
—*-Х', seS, является категорией коиндексов, а категория fx
S
морфизмов X' —>~ X — категорией индексов. Положим
Z+ = lim X', X- = lim X'.
Пусть S насыщен. Отображения X >-» Х± продолжаются до функ-
функторов <В -*- Ind %" и Ч? -»- Pro '&, которые превращают стрелки из
S в изоморфизмы. Поэтому они определяют канонические функто-
функторы W[S~l] -•-Ind®' и <&[S-l]~+VtoC&).
¦4. Слабые производные функторы. Пусть si-, 38 — две абелевых
категории, F — аддитивный функтор из S4- в 38. Тем же символом
F обозначим почленное продолжение F до функтора K*(s?)-y
-^-К*(^). Пусть S д* /'соответственно S &}—квазиизоморфизмы
в К*(.я?) (соответственно К*CS)). Назовем слабым правым произ-
производным функтором RWF: К*^)!^1 |=D*(^)-»-Ind К» {98) \s~gg~\ —
= Ind D*CI) функтор, который делает коммутативной диаграмму
К*
К*
x->f(x+)
>- Ind К* (<f)
H,,,F
Ind К* (Я)
где F(x+)=lim F {X').
Если RWF принимает значения в подкатегории Ind D* (^), со-
состоящей из представимых объектов, то он «совпадает» с RF.
Объект leK*(j#) называется F-ацикличным справа, если
канонический морфизм F {X) -»- RWF (X) является изоморфизмом.
Слабый левый производный функтор определяется аналогично
с помощью диаграммы
К*
К* (rf) [Sj]
)
>¦ Pro К*
у Pro К* (Д) [Sgi ].
230
5. Производные функторы. В ситуации предыдущего пункта
предположим, что любой объект из s4- является фактором (соот-
(соответственно иодобъектом) некоторого объекта, ^-ацикличного слева
(соответственно ^-ацикличного справа). Тогда функтор LWF на
D~ {s?) (соответственно функтор RWF на D+ (s?)) принимает зна-
значения в И-{98) (соответственно в D+(J?)) и потому «совпадает»
с LF (соответственно HF).
6. Точность пределов. Пусть si- — абелева категория, в которой
существуют счетные прямые произведения, ^(Z+J — категория,
отвечающая упорядоченному множеству натуральных чисел
(см. Н.1.5г)).
а) Докажите, что категория s&z = &~unct (<«? (Z+), si0)—
абелева.
б) Докажите, что функтор lim: $$¦
точен слева.
в) Назовем объект X = (Х\, pi}~) e sf удовлетворяющим
условию ML (Миттаг-Леффлера), если для каждого i существует
/ > I такое, что рц\ Zj-^X,- — эпиморфизм.
Докажите, что класс объектов X, удовлетворяющих условию
ML, приспособлен к функтору Пт (использовать описание lim из
упражнения 1Т.Л.9).
г) Докажите, что если 0 -*¦ X -*¦ S -*- Y -* 0 — точная последо-
последовательность в ^z и S удовлетворяет условию ML, то и У удов-
удовлетворяет условию ML. Выведите отсюда, что правые производные
функторы R' lim для lim равны 0 при 1^2.
Ниже мы изложим некоторыв результаты Н. Спалтенстейна
[1], позволяющие работать с неограниченными комплексами в
производной категории.
7. Проективные и инъективные резольвенты. Левой проектив-
проективной резольвентой комплекса А' е Ob Kom {si) называется квази-
квазиизоморфизм Р'-*¦ А', где все Р{ проективны в si. Аналогично
определяется правая инъективпая резольвента.
Теорема 4.4 (и ее аналог для проективных резольвент) ут-
утверждает, что каждый комплекс А' е Ob Kom (s4) (соответ-
(соответственно Ob Kom~ (^)) имеет единственную с точностью до гомо-
гомотопической эквивалентности правую инъективную (соответственно
левую проективную) резольвенту.
Если не предполагать ограниченности справа или слева, то
единственность может нарушаться: для ?Ф = (Z/4)-mod ком-
комплекс
Рш: ... ->¦ Z/4-*-Z/4-^-Z/4->•...
ацикличен и состоит из свободных Z/4-модулей. Поэтому он яв-
является левой проективной резольвентой нулевого комплекса О'.
Однако морфизм Р'-+-0' не является гомотопической эквива-
эквивалентностью: после тензорного умножения на Z/2 получаем ком-
комплекс
P*®Z/2: ...
о о
• Z/2 -»- Z/2 ->¦ Z/2 -
231
имеющий ненулевые когомологии и, значит, гомотопически не
эквивалентный О".
8. Назовем комплекс Р' К-проективным, если для любого
ацикличного комплекса А' комплекс абелевых группНопГ (Р', А')
ацикличен. Аналогично определяется if-инъективный комплекс /*
(с помощью Нот' (А', /"))• Докажите следующие свойства
К-проективных комплексов.
а) Пусть А' — 0-комплекс (т. е. А* =0 при i<^=0). Тог-
Тогда А' .ff-проективен в том и только в том случае, если А0 проек-
тивен в S4-.
б) Если две вершины выделенного треугольника в T)(s?) яв-
являются .^-проективными, то и третья также if-проективна.
в) Для Р' е Ob Кот {Щ следующие условия эквивалентны:
(i) P' Я-проективен.
(ii) Для любого А' е Ob Kom (s4) естественный гомоморфизм
является изоморфизмом.
(ш) Каждый квазиизоморфизм s: А' ->- Р' обладает правым
обратным, (: Р'-+А' в К {¦&).
г) Z-проективной резольвентой (левой) комплекса А' вазы*
кается квазшмоморфиз.ч Р' -*¦ А' с К-проективиым Р'. Дока-
Докажите, что й-цроектывлая резольвента гдиистнпшп (сечи она су-
существует) с точностью до гомотопической экиишик'нтиости. Если
А' е ОЬ Кот~ (Щ и в sf- достаточно проективных объектов, то
К-проективная резольвента — это левая проективная резольвен-
резольвента А'.
Аналогичные результаты справедливы для Х-инъективных
(правых) резольвент.
9. Ввиду свойства 8г) if-проективные и ЛГ-инъективные резоль-
резольвенты можно использовать для вычисления производных функто-
функторов на неограниченных комплексах. В частности, И Пот (А1, В)
можно вычислять с помощью ЛГ-проективной резольвенты А' или
К-инъективной резольвенты В'.
Относительно существования Х-резольвент в работе Спалтен-
стейна [1] доказаны следующие результаты.
а) Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей, М- = Я-mod.
Тогда каждый комплекс А' е Ob Kom (s&) обладает Х-проектив-
ной и Z-инъективной резольвентой.
б) Пусть О — пучок колец на топологическом пространстве
Хи^ — категория пучков С-модулей. Тогда каждый комплекс А'
обладает Z-инъектнвной резольвентой.
10. Аналогично можно определить и доказать существование
Х-плоскпх резольвент (используемых для вычисления производных
функторов от тензорного произведения), Я-мягких резольвент
(используемых для вычисления Rfr, см. § 8) и т. д.
232
§ 7. Производный функтор композиции. Спектральная
последовательность
1. Теорема. Пусть зФ, 33, Ч? — три абелевых кате-
категории, F: зФ -* М и G: $ -»- 9s — аддитивные точные
слева функторы. Пусть <%^c:Obs? (соответственно
&@ аОЪЗ!) —класс объектов, приспособленный кF (со-
(соответственно к G). Пусть, сверх того, F E?^) с= &&. В та-
таком случае производные функторы RF, RG и R(G°F):
D+(*)->-D+(*) определены и естественный мор-
физм функторов R(G°F)-+RG°RF является изо-
изоморфизмом.
Доказательство. Из определения приспособлен-
приспособленности в п. 6.3 и условий теоремы ясно, что ^?^ приспо-
приспособлен не только к F, но и к G ° F. Поэтому RF, RG и
R(G°F) существуют и их можно вычислять с помощью
конструкции п. 6.5.
Поскольку RG и RF — точные функторы, композиция
RG о RF также точна, и морфизм функторов Е:
R(G ° F)-*- RG о RF определен по свойству универсально-
универсальности п. 6.6.
Если К' е ObKom+E?j^), то по конструкции мор-
морфизм Е (К'): R(G о F)(K')-+RGoRF(K~) является изо-
изоморфизмом. Поскольку любой объект D+ (M) изо-
изоморфен такому К', Е является изоморфизмом функто-
функторов. ¦
Аналогичный результат верен для функторов, точных
справа.
2. Пример. Пусть зФ, J?, 93 — категории пучков
абелевых групп на топологических пространствах U, V,
W соответственно, a F — /., G = g., где U-*-V—*W —
непрерывные отображения. В классической ситуации
W — точка, и тогда G и G°F суть функторы сечений на
V и U соответственно. Вместо R(G°F) и RG в класси-
классической теории рассматриваются Н*(С° F)CT) —Hl(U,eT)
ж RkG{Rjf.&-) = Hk(F, Rsf.&-). Связь между этими на-
наборами групп дается спектральной последовательностью
Лерэ, которая является довольно сложным алгебраиче-
алгебраическим образованием (см. об этом § 8, в частности тео-
теорему 8.3д)).
В нашей более общей ситуации также можно по-
построить спектральную последовательность, которая
233
кодирует, с некоторой потерей информации, данные об
изоморфизме функторов Е.
Более точно, рассмотрим значение Е на 0-комплек-
сах, т. е. на объектах X е ОЪзФ. Тогда Е доставляет изо-
изоморфизм в &: -
Еп (X): Rn (G о F) (X) =z RnG (RF (X)).
Идея спектральной последовательности состоит в том,
чтобы аппроксимировать комплекс RF(X) комплексами
с меньшим числом нетривиальных когомологий. В про-
простейшем случае, когда RF(X) имеет единственную не-
нетривиальную группу когомологий RkF(X), мы имеем
RF(X) са RhF{X) [—к] в производной категории (см.
предложение 5.2) и потому в силу точности RG получа-
получаем изоморфизм
Еп(Х): Rn(G°F)(X)~Rn-kG(RhF(X)).
В общем случае описание свойств Еп(Х) на уровне
объектов когомологий имеет следующий характер:
а) на Rn(G°F) (X) описывается фильтрация;
б) последовательные факторы этой фильтрации полу-
получаются из R"G(RqF(X)), p + q = n, последовательным
переходом к подфакторам, который делается серией
шагов.
Этот алгебраический механизм и называется спект-
спектральной последовательностью. Дадим его формальное
определение, состоящее из двух крупных частей: а) аб-
абстрактные спектральные последовательности; б) конст-
конструкция спектральных последовательностей, связанных с
композицией функторов.
3. Спектральная последовательность. Пусть s4> — абе-
лева категория. Спектральная последовательность в^ —
это некоторое семейство объектов st> вида Е = (Ef'q, En),
где г?1, р, §, 1?Z, и некоторое семейство морфизмов
между ними со свойствами, которые мы сейчас опишем.
Но прежде скажем несколько слов о том, как удобно
представлять себе запись всей этой информации.
Читатель может вообразить стопку листов в клеточ-
клеточку; клетки перенумерованы парами (р, q) e Z2. Объект
Er'q помещен в (р, д)-й. клетке на r-м листе. Объекты
Е" размещены на последнем, «трансфинитном» листе и
занимают всю диагональ р + q = п.
234
Теперь опишем морфизмы и условия на них.
а) На r-м листе заданы морфизмы dr'qi ??'9->
-*¦ Ef+r'9~t+1. При г = 1 они действуют из клетки в ее
правую соседнюю. При г = 2 они действуют вправо вниз
ходом коня.. При г За 3 получается обобщенный ход коня.
Условие: d\ = 0, точнее, <+r'3"r+1 о а™ =0 для всех р,.
Я, г.
Поэтому по (Er'q, df'q) можно построить группы ко-
когомологий г-го листа:
(Er) = ker #
Следующий набор данных входит в определение Е:
б) Изоморфизмы а?'9: Яр'3 (?,)-*???.
Часто удобно считать, что на (г + 1)-м листе стоят
просто когомологий г-го листа, и а?'9 тождественны.
Основное условие па изоморфизмы а?'5 состоит в су-
существовании предельных групп .Е»?. Простейшео
требование, обычно выполненное в приложениях,
таково:
в) Для каждой пары (р, q) существует такое г0, что
d?r'q = 0, аГгл+г^ = 0 при г^г0.
Тогда а?'9 отождествляет все Е%л при г> г0, и мы
обозначаем эту группу через E^q.
К этому моменту на трансфинитном листе (г = °°)
размещены объекты E^,q и объекты Еп вдоль диагонали
п = р + q. Последний набор данных устанавливает связь
между ними:
г) На каждом Еп задана убывающая регулярная
фильтрация ... =з FpEn => F*+lEn =>... (т. е. П FvEn =
- {0}, U FpEn=En) и изоморфизмы $p-q: ЕУ-+
р '
p
В этих условиях говорят, что последовательность
(Ег'9) сходится к (Еп) или что (Еп) является пределом
Еще раз подчеркнем, что компонентами одной спект-
спектральной последовательности Е считаются все объекты
(EP'q, En), все морфизмы(^>3, а™, рм)и фильтрации на Еп.
235
/
Морфизм спектральных последовательностей /: Е -*¦
-+Е' состоит из морфизмов fr'q\ ЕРА-+Е'ГРА, Г: Еп ->
-*¦ Л1, перестановочных со структзфными морфизмами
и совместимых с фильтрациями. /
Таким образом, спектральные последовательности в
категории сами образуют категорию. Очевидно, она ад-
аддитивна, но не абелева.
4. Замечания об условиях конечности, а) Работая с
комплексами, ограниченными с одной стороны, мы обыч-
обычно приходим к спектральным последовательностям, не-
ненулевые члены которых расположены в одном квадранте
(т. е. в области вида, скажем, р > р0, q&* g0).
Пусть Е%л отличны от нуля только в квадранте I
или III. Тогда условие Зв) выполнено автоматически,
потому что либо начало, либо конец стрелок d^'q
cjP-r.q+r-i при r>ro(p, q) выходит за пределы этих
квадрантов. Кроме того, фильтрации на Еп автоматиче-
автоматически конечны: FpEn = О при р < р- (п), FpEn = Еп при
Р >Р+(п).
б) Спектральные последовательности тем приятнее в
вычислительном отношении, чем большее количество
объектов Er'Q и морфизмов d?'9 ршжы нулю. Один спе-
специальный случай имеет название: Е вырождена в члене
Ет, если dp4 = 0 при г"^г для всех р, д. Тогда Е™ =
= Е?-*.
в) Обычные задачи, решаемые с помощью спектраль-
спектральной последовательности,— получение информации о Еп
по известным E\'q или Efyq.
Покажем, что инварианты типа эйлеровой характери-
характеристики можно вычислять точно, даже не зная ничего
о дифференциалах dp9.
Пусть С — абелева группа, %: ОЬ М- -> С — аддитив-
аддитивная функция, т. е. такое отображение, что х(Х) = x(Y) +
+ %(Х/Г) для любого объекта X и подобъекта Y, и
%(Х) — %(Х'), если X и X' изоморфны. Для конечного
комплекса К' положим %(К') = 2(— ^)\(К1). Тогда
(*'J(i)'(W)
Чтобы применить это соображение к Е, рассмотрим
комплексы (Е'г, d'r), где Е?= ® Е*Л, d" = ф, dvr'q.
р+9п р+9=я
Предположим, что и прямые суммы, и комплексы Ег
конечны для некоторого г0. Тогда то же верно для всех
236
г ^ г0 и
х (е;\ = 2(-
;)) = х
= х
Наконец,
X (Е*\ = 2 X (F»En/F>+1En) = 2 X
v v
откуда окончательно
5. Спектральная последовательность фильтрованного
комплекса.
Пусть К' — объект Kom(j^) с убывающей фильтра-
фильтрацией своими подкомплексами FPK'. Это значит, что в
Кп заданы подобъекты ...=>FpKn => Fp+iKn => ... и
dn(F*K")<=F1'Kn+i.
Укажем сразу дна полезных примера фильтрации.
Положим:
(Кп при тг< — р;
кегсГ при п — — р;
О при п^> — р.
Эта фильтрация называется канонической. Она убивает
группы когомолопш К' по очереди
10 при п <; — р,
Нп{К') при ге> —р.
Положим далее
а
Эта фильтрация называется «глупой»: она тоже убивает
группы когомологий К' по очереди, но при этом портит
граничную группу:
10 при п<р,
kerdp при п = р,
Нп(К') при п>р.
Построим теперь по фильтрованному комплексу
спектральную последовательность. Будем работать так,
как если бы мы находились в категории абелевых групп.
237
а) Конструкция Ep'q и dP 9. Положим /
ZP'q = дГ1 (Fp+rKp+q+1) Л FpKp+q. I A)
Эта группа «мажорирует сверху» циклы в fep+q, лежа-
лежащие в р-й фильтровочно11 подгруппе: дифференциал d
не обязательно переводит их в нуль, но углубляет филь-
фильтрационный номер на г.
В ZvT'q есть тривиальная часть, являющаяся суммой
двух подгрупп:
Положим
ЕРЛ = ZpTAl{Zvt\^x + dZPZt+1-q+r ¦2). B)
Мы утверждаем, что d индуцирует дифференциал
dpr'q: ЕРг*-
В самом деле, d заведомо переводит ZP'q в zP-+q'q~r~i~1 (по-
(поскольку d* = 0), a Zl±\'q~x + dZ*I[+1'q+r-a - в dZvr±\'q~l
(снова поскольку d2 = 0).
б) Конструкция tXr'q. Построим отображения
C)
-+В(Е™) D)
и покажем, что они являются изоморфизмами (справа
стоят циклы и границы dr).
Прежде всего, читатель легко проверит, что объекты
в левой части C)и D) определены, т. е. факторизуется
действительно группа по подгруппе. Так как в опреде-
определении Ef'q в B) фигурирует факторизация по той же
подгруппе и Z?+i + Zr-i''3' cz Zp'q, то стрелка в C) бу-
будет естественно определена, если мы покажем, что
Это ясно, ибо dZf+\^ Fp+r+1Kp+q+1 в силу A). Анало-
Аналогично усматривается корректность стрелки D),
238
Очевидно, C) и D) являются мономорфизмами, по-
поскольку дцж получаются из мономорфизмов факториза-
факторизацией по подгруппе.
Проверим, что C) сюръекция. Имеем:
Z (Epr'q) = Z\'q П d'
1
Далее,
zp-q n
1*-1) + zprt\q~x) =
= Z™ П d~l
ибо Z^+l'9-1 с Z^. Наконец,
Z?-5 П d (Zp±l+1<Q-r) =
= гЧя+гг+9+1) п <гг (z?i1r+1-<J-r) n
crr1(Fp+r+1A^)+5+1) П Fp
Сравнивая с (З), находим требуемое. Сюръективпость
D) следует прямо из определений. Таким образом, C)
и D) доставляют изоморфизмы
)vq
Осталось отождествить левую часть с
В самом деле:
Далее
Поэтому
z?^\ n
*$x n
n 7P+1.8—i
РЛ
Это завершает конструкцию изоморфизма а
в) Конструкция Е'а. Положим Е71 = Нп {к') и
Fp?n= образ Hn(FvK-)
при естественном отображении FVK' -+К'.
239
I
Осталось проверить, что при некоторых условиях су-
существования Е„ построенная спектральная последова-
последовательность сходится к Е". I
Примем, что на каждом К71 фильтрация Fvj конечна и
регулярна. Это означает, что существуют р+(п) и р-(п)
такие, что FP+ln)Kn = Kn, Fp~wKn = 0. 4ч>гда ясно,
что условие Зв) выполнено с
ro(p, q)^max(p+(p+q + l)—p-(p+q)+ 1,
)• E)
Следовательно, группы Е™ определены.
Более того, из B) видно, что
и, далее, из A) и E)
ZPA = Z (FpKp+q),
1 = Z (Fp+1Kp+q),
Окончательно, получаем изоморфизм
устанавливающий сходимость.
6. Пример. Здесь мы вычислим спектральные по-
последовательности, связанные с глупой и канонической
фильтрациями комплекса К' (см. начало п. 5).
а) Глупая фильтрация FPK'. Имеем:
(О при q < 0,
Z™ =
о
кр
ker dp+q при
kv+q
r<g-f
при
при q ф 0,
при q = 0, г = 1,
при g = 0, г>2 и q =
г=оо.
Дифференциал d?'9: ??-9-*,Б?+г'в-г+1 совпадает с dp:
^р -^ ^p+i ПрИ g = о, г = 1 и тривиален в остальных
случаях.
Еп =Нп{К')\ фильтрация на Еп тривиальна:
240
FpEn = (?П При Р ^ Щ
\ 0 при р >> п.
б) Кацоническая фильтрация. Имеем
\ м = |//р(,й:-) при д = -2р,
1 10 при q?^-2p,
d\tq = 0 при всех р, g.
Отсюда ^'9 = EpL'q И(|, = 0 для всех г > 1. Далее, Еп
= Нп(К')\ фильтрация на Еп тривиальна:
\
10
при
при
— р,
— р.
Отметим, что спектральная последовательность, свя-
связанная с канонической фильтрацией, является функто-
функтором из категории D(s?) в категорию спектральных по-
последовательностей: если /: К'—*¦ L'—квазиизоморфизм,
то соответствующее отображение спектральных последо-
последовательностей Е(f): Е(К')—*-Е(L') есть изоморфизм
(т. е. все отображения E?>q(K')-+E?-q(Lm), En{K')-+
~^-Еп(Ь') — изоморфизмы). В противоположность этому,
спектральная последовательность, связанная с глупой
фильтрацией, не функториальна в D(^).
Мы настоятельно рекомендуем читателю проделать
все пропущенные вычисления.
7. Теорема. Пусть в условиях теоремы 1 класс $.$(,
совпадает с классом инъективных объектов 3'^ катего-
категории М-, а класс ??$ достаточно велик. В таком случае
для любого объекта Х^ОЪзб существует спектральная
последовательность с
сходящаяся к Rn(G°F) (X). Она функториалъна по X.
План доказательства. Объекты RVF(X) явля-
являются когомологиями комплекса RF (X) = F(l'x), где
1'х — некоторая инъективная резольвента X. Чтобы вы-
вычислить R(G°F) (X) = RG°RF{X), мы должны по-
почленно применить G к комплексу из Kom+(<%^V квази-
квазиизоморфному F(l'x), но так как F Bf $) а <&$, можно
взять сам комплекс Р(ГХ)- Итак, Rn(G ° F) (X)— это
когомологии комплекса G » F(l'x).
16 с. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 241
С другой стороны, чтобы вычислить RPG(R'1F(X)),
мы должны применить почленно G к резольвентам объ-
объектов R*F(X), лежащим в KomE?j). j
Связь между этими объектами осуществляет двойной
комплекс — резольвента Картана — Эйленбёрга комп-
комплекса^' = F(l'x). Эта резольвента состоит из следую-
следующих данных.
а) Двойной комплекс (Lij) с граничными оператора-
операторами di du степени A, 0) и {0, 1) соответственно; Lf' = 0
при / < 0 или i =s; 0; U' инъективны (основные опреде-
определения, относящиеся к двойным комплексам, см. в следу-
следующем пункте).
б) Морфизм комплексов е: K'-*-L''°.
Чтобы сформулировать условия, накладываемые на
эти данные, заметим, что (VJ) порождает комплексы
0 —>• К* —>• L
it0
Li<0
F)
Потребуем следующее:
в) Все эти комплексы ацикличны.
г) Точные тройки
распадаются.
Тогда все объекты Bi, Zl: Hi инъективны и, стало
быть, комплексы F) являются инъективными резольвен-
резольвентами для К', В' (К'), Z' (К'), Н' (К') соответственно.
В частности, RvG(RqF(X)) можно вычислять как ко-
гомологии с номером р комплекса G(H\(L • )). С другой
стороны, К' = F (I'x) с точностью до квазиизомор-
квазиизоморфизма можно заменить на SL, диагональный комплекс L
(см. следующий пункт) и вычислять R (G°F)(X) =
= Hn{G(F(I'x)) как Hn{G{SL)). Кроме того, комплекс
L имеет фильтрацию L'">k, и член Ег, отвечающий этой
фильтрации, оказывается как раз равным RPG (RqF(X)) =
)
242
Удобно провести основные шаги этого доказательства
в немного, большей общности, в частности, не предпола-
предполагая, что комплекс К' в Кош+(^) имеет вид F(l'x).
8. Двойные комплексы. Двойной комплекс L =
= (Ll}, d\3, d{i), d\3: L%1-*-V '\ dl{: L1J-^L'iJ+1, опреде-
определяется соотношениями
d\ = 0, dn = 0, djdn + dTTd;r = 0. G)
Положим (SL) = ф L%3 (во всех встречающихся у
¦i+j—n
нас случаях Lli сосредоточен в квадранте и эти прямые
суммы конечны; в общем случае их существование нуж-
нужно постулировать). Условия G) означают, что оператор
d^d. + dn: (SL)n -+(SL)n+i
удовлетворяет равенству d2 = 0, так что ((SL)',d) есть
комплекс, называемый диагональным комплексом.
Морфизмы двойных комплексов определяются очевид-
очевидным образом. Гомотония между двумя морфизмами
/, g: L -*-М есть такой набор морфизмов h\J': Li; —>-
Li;->Lt>J~1, что
!j + dn) fa + /гп) + (^i + hu) (di + dn)
как морфизм биградуированных объектов. В компонен-
компонентах мы для каждого i, / получаем справа три морфизма:
(ij) - (ij), (ij) - (j + 1, / - 1), и (ij) - (i - 1, / + 1), из
которых первый должен быть равен giJ — f\ а два по-
последних — нулю. В частности, /ii + hn дает гомотопию
морфизмов Sf, Sg: SL -*¦ SM.
Пусть L — двойной комплекс. Положим
l-1J, h\{:
g - / = (
Н?
= H\ (L-'O = Z\ (U'i)/B\
Другими словами, Zl7 Вг, Нг — коциклы, кограницы
когомологии обычного комплекса L''*
лом dj3. Ясно, что дифференциал
физмы
и
с дифференциа-
дифференциаиндуцирует мор-
мор16*
243
которые задают комплексы в трех последних строчках в
F). Будем, в частности, обозначать когомолопуи послед-
последнего комплекса через 11ц\Н\' (L )). Аналогично опре-
определяются когомологии Н\ (H{i3 (L )).
Категория двойных комплексов (соответственно, двой-
двойных комплексов с точностью до гомотошти) обозначается
Кош** (соответственно К**).
9. Спектральные последовательности двойного комп-
комплекса. Пусть (V\ du du) — двойной комплекс, SL— со-
соответствующий простой комплекс. На нем имеются две
убывающие фильтрации:
Fp(SL)n = ф U\ Fqu(SL)n= ф Lij.
Конструкция п. 5 доставляет дне спектральных последо-
последовательности lEvT<1 и uEfg. Если (Li]) сосредоточен в пер-
первом квадранте, как это будет в наших приложениях, то
на каждом (SL)n обе фильтрации конечны и регулярны,
так что в силу 5в) обе последовательности сходятся к
общему пределу Hn(SL). С другой стороны, их члены Ег
вычисляются непосредственно:
10. Предложение. ЛЁ1Ч - П\{Н\?(L)), пЕр2q =
= НЪ.{НУ{Ь)).
Доказательство. Вычислим сначала Epq. Сог-
Согласно определению A)
= dT1 (Fp+i (SL)
p+q+1)
FP EL)P + 9 =
Lij\ П Ф
Чтобы применить B), нам нужны еще IZp+1'q~1 и
C-1). Имеем
iV+ЯЛ
г>Р + 1
i+j=P+q—1
244
Поэтому
1 + d
-i) = Im
ф L»
п, наконец,
Теперь мы утверждаем, что дифференциал спектраль-
спектральной последовательности
при указанном отождествлении совпадает с дифферен-
дифференциалом, который индуцирован dPiq (см. п. 8):
В самом доле, это видно прямо из определения, посколь-
поскольку на Ни дифференциал d — dL + dn индуцирует то же
отображение, что и di.
Окончательно, 1Е\Л = Н\ {И\г (L)).
Член E\'q вычисляется по симметрии. ¦
11. Предложение. Пусть К' — комплекс из
Кош+ (&) и класс 3 д$ достаточно велик. Тогда
а) К' имеет резольвенту Картана — Эйленберга.
б) Любой морфизм К'—>-К' в Kom(J?) продолжается
до морфизма любых резольвент Картана — Эйлеиберга
комплексов К', К', и это продолжение однозначно с точ-
точностью до гомотопии двойных комплексов.
в) Если два морфизма К'-*¦ К' гомотопны, то лю-
любые их продолжения на резольвенты гомотопны.
Иными словами, резольвента Картана — Эйленберга
определяет функтор К+ (Ш)->-К++ (^^)-
Доказательство. Прежде всего, одно общее ут-
утверждение. Пусть
0 -> X' -> X -> X" -v 0
(8)
Гх.. /V
точная последовательность объектов в 3, ,
1х*—инъективные резольвенты X', ХъХ" соответствен-
соответственно. Точной последовательностью г^зольвент называется
245
коммутативная диаграмма
0-»-
0^
0-»
0 0
Х'->]х,
X -^-1°х
К, К
i "V
0 0
0
->/х ¦
1
0
(9)
в которой столбцы и строки точны. Мы будем обозначать
такую точную последовательность резольвент
Несложную проверку следующих утверждений мы остав-
оставляем читателю.
A. Пусть заданы точная последовательность (8) и
инъективные резольвенты 1'хч^х" объектов X', X".
Тогда существует по крайней мере одна инъективная
резольвента 1'х объекта X, включающаяся в точную по-
последовательность резольвент (9).
B. Пусть
— коммутативная диаграмма с точными строками,
F'
I F
I F"
A0)
0->Iy,
¦ 0
соответствующие точные последовательности инъсктив-
ных резольвент. Тогда существуют морфизмы комплек-
комплексов F", F, F", продолжающие /', /, /" и делающие
диаграмму комплексов A0) коммутативной. Если G'',
G, G" —другая тройка морфизмов комплексов и hr,
h" — гомотошш между F' и G' и F" и G" соответствен-
соответственно, то существует такая гомотопия h между F и G, что
246
для любого п диаграмма
0
-1Г1
IX' —
\h»n
тп-1
- 1 y»
-о
-о
rn-]
" л у i —*- 1 у
коммутативна.
Приступим теперь к доказательству предложения 11.
Для каждого i выберем инъективные резольвенты 1'вик.\
п /дг(к.) объектов В1 (К') и Н\К'). Из точной после-
последовательности
0 -^ В* (К') -> Z1 (К ¦) -»- Н{ (К') -± 0
п вспомогательного утверждения А получаем существо-
ванне инъективной резольвенты I'zuK.\ объекта Zl(K')
п точной последовательности резольвент
0 "*" Гв4к-) -»" ГгКк-) ~* Т'нЧк-) "*" °-
Аналогично, из точной последовательности
получаем существование инъективной резольвенты I'Ki
объекта К* и точной последовательности резольвент
Положим теперь
— сквозное отображение 1}к{
^ii=(-
. ГДе diKv
-*-I3Ki — дифференциал в I'Ki.
Легко проверить, что L = {V\ d\3, du) — двойной
комплекс, являющийся резольвентой Картана — Эйлен-
берга комплекса К' относительно отображений
„г
К'
г.0
Тем самым утверждение а) доказано.
Для доказательства первой части б) достаточно рас-
рассмотреть морфизмы В1(К')-+В1(К'), Н{{К')-+Н{{К')>
247
индуцированные морфизмом Я' ~*-К', применить к ним
теорему 1.3 (точпее, замечание 1.4в)) о продолжении
морфизмов объектов до морфизмов инъективных резоль-
резольвент и затем применить несколько раз утверждение Б.
Для доказательства второй части утверждения б)
нужно построить гомотопию между двумя морфизмами
резольвент Картана — Эйленберга, продолжающими один
и тот же морфизм К'-^-К'. Построение отой гомотопии
аналогично построению морфизма резольвент Картана —
Эйленберга при доказательстве утверждения а), с ис-
использованием вспомогательного утверждения Б вместо
вспомогательного утверждения А.
Наконец, для доказательства утверждения в) рас-
рассмотрим два гомотопных морфизма комплексов /, g:
К _->К'. Пусть h — гомотопия, связывающая / и g, L"
и L —резольвенты Картана—Эйленберга комплексов
К' та К' соответственно. Над каждым морфизмом hp:
Кр -*¦ Кр~1 существует хотя бы одно отображение комп-
комплексов Hv>': Lp''-*-Lp~u'. Эти отображения определяют
гомоморфизм И: L ->-/, бистепени (—1, 0), коммути-
коммутирующий с пополняющими отображениями К' ->L''° и
¦&'->?''%! антикоммутирующий с дмффорепциалами du
в L" и L". Положим Q = F + dl -^fl + IIdUL. Тогда Q:
L —vL является морфизмом двойных комплексов, про-
продолжающим морфизм g: K'-*~K', и пара (Я, 0) задает
гомотопию F и Q. Тем самым утверждение в) сводится
к утверждению б). ¦
12. Лемма. Пусть заданы: комплекс (К'), бико.чп-
лекс (Z/J) аморфизм комплексов е: К'-*-Ь''°. Предпо-
. е . dII
ложим, что dn о г = 0 и все комплексы 0-+-К1 -> Ьг'° ->
. *п
—>- L ' —>• ... ацикличны. В таком случае индуцирован-
индуцированное отображение
е: K'-+SL
является квазиизоморфизмом комплексов.
Доказательство. Легко убедиться, что е — мор-
морфизм комплексов. Поскольку Н\1 (L) = 0 при q > 0 по
предположению, член E\q спектральной последователь-
последовательности двойного комплекса L сосредоточен в нулевой1
248
строке; более того, е индуцирует изоморфизм комплексов
К' и Hn(L) = IEl°. Поэтому е индуцирует изомор-
изоморфизм когомологий Нр (К) -*¦ 1El°, a 1E%q равны нулю
при q > 0. Следовательно, *EPJ — 0 при q > 0 и
Hv (SL) = Ер = JEV? = lEf. ¦
13. Следствие. Пусть ЯеКот+(^), класс 3'$ до-
достаточно велик, и L — резольвента Картана — Эйленбер-
Эйленберга для К. Пусть G: Я -*¦ ®" — точный слева аддитивный
функтор. Тогда RG{K)=G{SL) в D(^). (Учесть, что
класс 9$ приспособлен к G в силу теоремы 6.9.) ¦
14. Гиперкогомологии функтора относительно комп-
комплекса. В условиях следствия 13 когомологий комплекса
RG(K') или, что то же, G(SL) принято называть ги-
перкогомологиями функтора G относительно комплекса
К'. К этим гиперкогомологиям сходится спектральная
последовательность иЕР9, связанная с фильтрацией
FhG{SL) = G(Fqi(SL)) (учесть, что G переводит
прямые суммы в прямые суммы). Второй член этой
фильтрации равен, согласно предложению 10, E%q =
= #и (#?'¦ (G (L))). Вычислим его.
По определению резольвенты Картана — Эйленберга,
комплексы {L''3, dj) расщепляются в смысле п. 7г). От-
Отсюда следует, что
(точнее, некоторый канонический морфизм является изо-
изоморфизмом) . Но согласно последней точной последова-
последовательности в F), комплекс (П\'\ d^j) является инъ-
ективной резольвентой HQ(K'). Поэтому G (Hi ) =
= RG(Hq{K)) и
Я?! (ЯГ (G(L))) = RvG(Hq (К')). (И)
15. Окончание доказательства теоремы 7. Остается
положить К' = F (Гх) = RF{X), где Гх — инъективная
резольвента объекта X в условии теоремы 7. Тогда
НЧ(К') в (И) есть R"F(X) и спектральная последова-
последовательность Ep2q = R9G(RpF(X)) сходится к RnG(SL),
где L — резольвента Картана — Эйленберга для К'. Но
249
{){K') = RG°RF(X), что в силу теоремы 1
изоморфно R{G ° F) (X).
Функториальность спектральной последовательности
по X следует из функториальности 1'х по X (теорема
1.3 и замечание 1.4в)) и функториальности резольвенты
Картана—Эйленберга (предложение 11). ¦
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Спектральная последовательность Серра — Хохшильда.
а) Покажите, что когомологии группы G с коэффициентами в
G-модуле А являются правыми производными функторами RnF
функтора
F (А) = Н° (G, A) = AG2±
: = а для всех g e G}
на категории G-mod левых G-модулей. Выведите оююда, что
Нп{G, A)—Ext2[-G](Z, А), где Z[GJ—групповое кольцо груп-
группы G, Z — тривиальный ZfGJ-модуль (gn = n для
neZ).
б) Пусть Я—нормальный делитель G. Покажите, что для
каждого G-модуля А группа G действует на #"(//, А) (для ?eG
отображение a*—ga, a^A, задает автоморфизм (рц функтора
А>—-Ан), причем действие элементов из Л тривиально. Нышшш-
те это действие явно (на коциклах), используя определение
Л" (Я, А) из гл. I (см. 1.2.8, 1.4.9в), 1.7.2, I.7.G).
в) Используя формулу Аа — (Ан)а/и, постройте функториаль-
ную по А е Ob G-mod спектральную последовательность Серра—
Хохшильда с
ЩЧ = Нр (G/H, № (II, A)), El = Hn (G, А).
г) Сформулируйте и докажите аналогичные результаты для
гомологии Hn(G, A).
2. Спектральная последовательность для когомологии Чеха.
а) Напомним, что для каждого открытого покрытия Ш = (Ut)
пространства X и для каждого предпучка гГна! через С A1, @~)
обозначается комплекс коцепей Чеха предпучка S2" относительно
покрытия °U и через Н? (°U, ZF) — группы когомологии этого ком-
комплекса. Отображение Sr>-' С" Ш, &~) задает функтор С^ из ка-
категории д^зФЪх пучков абелевых групп на -Y в категорию
KomSs()(^6) комплексов абелевых групп, сосредоточенных в не-
неотрицательных степенях. Пусть П°: Kom5s0(j^6) —>- s?b — функтор
0-когомологии. Покажите, что для спектральной последовательно-
последовательности, отвечающей композиции Н°°С'щ, имеем
еря = -jjP (г
на
Задаваемый
250
б) Постройте функториальные по
гомоморфизмы
Покажите, что если все непустые пересечения Ui A • • • П Ui
^-ацикличны (т. е. Hq /Ut П ¦ •. П U{ , ^г)= 0 для всех g > 0),
то эти гомоморфизмы являются изоморфизмами.
в) Если покрытие Щ' вписано в °U, то имеется естественный
морфизм функторов Сщ -*¦ C'q^, и, значит, определены гомомор-
гомоморфизмы Hi CU, gr) ->#р(^.', д~). Обозначая через Ъ?>(Х, 9~) индук-
индуктивный предел Я? (X, &~) = lim Я? (Ш, &~) по всем открытым по-
покрытиям °U, постройте спектральную последовательность с ??9 =
= Нр (X, 5Й9 {&-)), Еп=Н{Х,&"). Покажите, что соответ-
соответствующий гомоморфизм an: Hn(X, Т)-+Нп(Х, 9~) является изо-
изоморфизмом для п = 0, 1 и мономорфизмом для п = 2; если про-
пространство X паракомпактно, то ссп является изоморфизмом для
всех п.
3. Точные пары и спектральные последовательности. Другой
(исторически более ранний) метод построения спектральных по-
последовательностей связан с так называемыми точными парами.
Мы будем работать в категории модулей над фиксированным
кольцом R, однако все определения и результаты легко обобщают-
обобщаются на произвольную абелеву категорию ?ф.
а) Точной парой называется набор (D, E, i, j, k) из двух
модулей и трех морфизмов
таких, что в каждой вершине показанного треугольника образ
входящего в нее морфизма равен ядру выходящего (т. е. последо-
последовательность D-X-D-^~E-+D-~>-D точна)-
В частности, (jkJ =
H(E,)k) = Ker/fc/Imj/c.
Производная пара
так что определена гомология
строится так: ТУ = Im ?, E' = H[E, jk), i', ]', V индуцируются
соответственно г, /, к:
г' — ограничение i на Im г с: D,
j'{i{x)) — класс /(ж) в Н(Е, jk), x<=D,
А'(класс у) =к(у), уе?, jk{y) =0.
251
Проверьте корректность определений. Докажите, что произ-
производная пара, точной пары точна*
Тем самым определена последовательность точных пар Рг =
= (Dr, Ет, гт, /г, кт): при г — 1 это исходная точная пара Pi ==
= (D, Е, г, /, к), при г > 1 пара Pr+i является производной для Рт.
б) Предположим теперь, что точная пара Р\ биградуирована,
т. е. модули D, Е биградуированы, D = ®Dp' q, E = ®Ei>-«, а мор-
физмы i, /, А имеют соответственно бистепени (—1, 1), @, 0),
A,0).
Покажите, что производные точные пары Рт также биградуи-
биградуированы, а морфизмы ir, /г, кт имеют бистепени (—1, 1),
(г-1,-г-Ы), A,0).
Отсюда морфизм dr = jTkr является дифференциалом моду-
модуля Ег, имеющим бистепеиь (г, —г+1), и модуль когомологий dT
изоморфен #г-ц (с сохранением биградуировки), так что (¦?>'> dr)
составляют часть спектральной последовательности.
Опишите предельный член Ех этой спектральной последова-
последовательности. Для этого полезно изобразить точную пару Л в виде
бесконечной диаграммы, состоящей из сцепленных точных после-
последовательностей
. J)P-l,q 4. Ep-l,q
i
а-л 5
Здесь каждая последовательность, состоящая из одного вертикаль-
вертикального шага г, двух горизонтальных шагов /, к, нового вертикально-
вертикального шага i и т. д., является точном. При таком описании Ep'q
есть подфактор Ер-ч, получающийся факторизацией k~i(Imir~1)
по j(kerir-i) (А~'— полный прообраз при морфизмо к).
в) Пусть FVK'—-убывающая фильтрация комплекса К'
как в п. 5. Используя точные последовательности когомолопш,
отвечающие точным тройкам комплексов
постройте биградуировэнную точную пару с Z)p>? = //Р+9 (FPK'),
Ep-q =Hp+q (FpK'/Fv+lK-) аморфизмами i, }, к бистепеней
A, —1), @, 0), A, 0) соответственно. Покажите, что спектральная
последовательность, отвечающая этой точной паре, совпадает со
спектральной последовательностью фильтрованного комплекса, по-
построенной в п. 5.
Другие примеры спектральных последовательностей, связанных
С точными парами, см. упр. IV.2.2.
4. Еще о спектральной последовательности фильтрованного
комплекса, а) Для каждого комплекса К' зададим фильтрацию
FVK', полагая
@ при п < р,
252
при п = р,
при п> р.
Она аналогична канонической фильтрации в том числе, что
п(К-) при п>р.
Вычислите спектральную последовательность, ассоциированную с
этой фильтрацией.
б) Проверьте, что для произвольной убывающей фильтрации
FPK' член E^q соответствующей спектральной последователь-
последовательности вычисляется по формуле
В двух следующих упражнениях исследуется производный
функтор от тензорного произведения модулей. Пусть А—кольцо,
4-mod и moi-A — категории левых и правых А-модулей соответ-
соответственно.
5. Плоские модули. Докажите, что класс плоских модулей
(см. П.6.8) приспособлен к функтору А/н-» Л/® АГ из moi-A
А
в sib. Для этого докажите предварительно, что если в точной
последовательности правых /1-модулсй
М2 и Ms плоские, то и Л/i плоский.
6. Определение М' ® N'. Пусть М' е Кот (тоа-Л), N'
е Кот~ (^1-mod). Мы хотим определить объект М' ® N'
задающий функтор
L
а) Докажите, что у М' есть ограниченная справа плоская
резольвента Р' (т.е. Р' s Kom~ (mod-4) квазипзоморфен М', все-
Р' плоские). Аналогично, у N' есть плоская резольвента Q' s
/l-mod).
б) Пусть a: JV" —»- JV"—квазиизоморфизм ограниченных спра-
справа комплексов левых А -модулей, М' — ограниченный справа
комплекс правых Л-мо дулей. Докажите, что fi = l®a: M'®JV'->-
-*-M'®N' — квазиизоморфизм. Для этого рассмотрите две спект-
спектральные последовательности Ет, Ег, ассоциированные с фильтра-
фильтрациями на комплексах Р'®N', P' ®N', индуцированными глу-
глупой фильтрацией на Р* (см. п. 5). Докажите, что [J ипдуцирует
морфизм спектральных последовательностей Ет-^-Ет. Докажите*
что, ввиду плоскости Р',
} lj ()
так что Рх: Е^ -»• Е1* — изоморфизм. Поэтому
) -+ El = Нп
также изоморфизм.
253
в) Определим М' ® N' для М\ N' как в а), полагая
M'®N' =f® N' = M-®Q- =P- ® ?Г в D-(j^6). Докажите,
что все три комплекса в этой формуле изоморфны в D~(s?b). До-
Докажите, что если М' = {м°} — 0-комплекс, то /If" ®- совпадает
с левым производным функтором для М" ® •. Аналогичное утверж-
дение верно для • ® N'.
§ 8. Когомологии пучков
1. Предложение. Пусть X—топологическое прост-
пространство, М — пучок колец с единицей на X. Тогда любой
пучок ^.-модулей вкладывается в инъективпый пучок
М-модулей.
Доказательство. Пусть ЗГ — пучок 5?-модулей
{скажем, левых). Для каждой точки геХ построим вло-
вложение 2ГХ с->-1 (х) 5?х-модулей, где 1(х) инъективен над
Мх. Определим далее пучок ^-модулей Cf формулой
xeu
(с естественными операциями ограничения). Имеется
очевидное вложение &"-*¦&. Ит»октнппость У будет до-
доказана, если мы покажем, что для любого пучка ^-мо-
^-модулей 'S имеется канонический изоморфизм
(9,9)= ТТ Нот^ (8*.1(х)).
Прежде всего, обозначая через Sfx слой 2f в точке х, име-
имеем канонический гомоморфизм 52ж-модулей vx: 2fx-*-I{x),
и семейство К'*} определяет гомоморфизм левой части
требуемого равенства в правую. Оставляем читателю не-
несложную проверку того, что этот гомоморфизм является
изоморфизмом. ¦
2. Прямые образы и когомологии. В силу теоремы 6.13
предложение 1 позволяет строить производный функтор
ДНот(^, -): D+(&-mod)-^D+(Mb), а также производ-
производные прямого образа в следующей ситуации. Пусть (/, ф):
(X, 3lx)~^-{Y, 0tY) — морфизм окольцованных пространств
(II.6.16), где ф: 52у->-/. {Лх) — морфизм пучков моду-
модулей. Тогда для любого ^"s^-mod пучок /. \ЗГ) снабжа-
снабжается естественной структурой ^?у-модуля с помощью ф,
и функтор /.: <%x-mod-v$!y-mod точен слева. Поэтому
мы можем построить
Rf.: D+E?z-mod)^D+(
254
В частности, когда Y точка, 5?у = Z, /. = Г, и мы
получаем производный функтор RT: D+^x-mod)-*-
-* D+ (sib), ДТ (^") = Нг(X, 9-).
3. Теорема, а) Пусть Ф: 5?.Y-mod ->¦ Уз&Ъ — функ-
функтор забвения структуры Six-модуля. Тогда функторы
ЯГ и RT о Ф естественно изоморфны. Иными словами,
все равно, вычислять ли Hl(X, SF), считая $Г $,х-модулем
или просто пучком абелевых групп.
б) Пусть X = U Ui — открытое покрытие, для которого-
Hq (Ui П • • • П Uip, &~) = 0 при всех q > 0, р > 1. Тогда
Я'(Х, &~) совпадает с i-мерными когомологиями комп-
комплекса Чеха этого покрытия (см. 1.7.4).
в) Н\ (X, <Г) = Ext^.^ {9LX, &-).
г) Пусть /: X -> Y—некоторый морфизм. Тогда
Rlf. (@~) естественно изоморфен пучку, ассоциирован-
ассоциирован1 (l &)
рф у
ному с предпучком U >— Н1 (f~l (U), &").
д) Пусть X Л-Y Л- Z — три пространства и два ото-
отображения, &~ — пучок 91х-модулей. К Rp+q (gf). {S~) схо-
сходится спектральная последовательность с Е\ =
= Rpg. (Rqf. (&~))\ она функториальна по &~.
4. Доказательство теоремы За). Очевидно,.
Г = Г ° Ф (как функторы 5?x-mod -*¦ s?b). Поэтому RT =
= /?(Г°Ф). Мы покажем сейчас, что можно применить
теорему 7.1 и получить естественный изоморфизм
R(t °Ф) = RT ° RO. Отсюда будет следовать требуемое,
поскольку Ф точен и, значит, RO совпадает с почленным
применением Ф.
Чтобы иметь возможность применить теорему 7.1»
нужно показать, что некоторый класс пучков 5?х-моду-
лей, приспособленный к Ф, после применения Ф пере-
переходит в класс пучков, приспособленный к Г. В качестве-
перкого класса выберем инъективные 52х-модули, в ка-
качестве второго — вялые пучки абелевых групп. Напом-
Напомним, что вялость ST, по определению, означает сюръек-
тивность всех отображений Г(Х, #")->-Г (!7, @~), где
U <= X открыто (см. упр. 1.5.2). Проверим все нужные
свойства.
а) Любой пучок @~ абелевых групп является подпуч-
подпучком вялого пучка. Если @~ — инъективный пучок 31х-мо-
дулей, то он вял.
Определим пучок W&" на X, полагая W@~ (U) = ]j S?~x
(см. доказательство предложения 1). Ясно, что ??#" —
255
вялый пучок и &~— подпучок 'ЗЗ'. Если теперь @~ —
инъективный пучок ^-модулей, то 'SST — также пучок
^.х-модулей и ЗГ выделяется в 'ЙЗГ прямым слагаемым.
Из определения вялости получаем, что прямое слагаемое
вялого пучка является вялым,
б) Пусть
0-+ЗГ Х$ ЛЖ-+О A)
точная последовательность пучков абелевых групп и ЗГ
вял. Тогда последовательность
(X,
Г(X,
B)
точна.
Поскольку функтор Г(Х, •) точен слева, нужно лишь
доказать, что Г (г|э): Г (X, 2?)->-Т(Х, Ж) — эпиморфизм.
Пусть seTfl, Ж). Рассмотрим множество Е пар (U, t),
где U<=-X — открытое множество, t^T(U, &) — такое
сечение, что a|)(?) = s|,7. Введем в Е частичное упорядо-
упорядочение: (?/', t')<(U", t"), если U'czU" и t' = f\w
Пусть (U, t) — максимальпый элемент Е. Докажем, что
U = X. В самом деле, если 11ФХ и x^X\U, то, ввиду
€юръективпости г|\ существует окрестность V точки х и
сечение ti<^T(V, %') с \f)(?i) = sly. Ввиду точности после-
последовательности A) на UП V имеем t\unv — ti\unv ~(p(r),
где геГ(УП V, ЗГ). Поскольку ЗГ вял, существует про-
продолжение г4 сечения г на все X. Полагая ?2 = ?i -hcp(rilv),
получаем, что t\U(]r = t2\unv:L Поэтому существует ге
^Г(С/иУ1^) с t\v = t, tW = h, так что (U, t)<
<-{U П V, t) и (U, t) не максимален.
в) Если в последовательности A) пучки &~ и 'S вя-
вялые, то и Ж вял.
В самом деле, ввиду б) любое сечение $ пучка Ж на
открытом множестве U<=-X имеет вид s = \fi(i) и t про-
продолжается на все X. Поэтому и s продолжается на все X.
г) Г переводит ограниченный слева ацикличный комп-
комплекс вялых пучков в ацикличный комплекс абелевых
групп.
Пусть 0-+?Г° ^-g-*- ... — ацикличный комплекс
вялых пучков. Положим ЗС1 = Ker dl == Imd'. Тогда по-
последовательности 0 -¦¦ Ж1 -*¦ ff* -*¦ Zi+i -»- 0 точны и ин-
индукция по i вместе с в) показывает, что все <SSl — вялые
пучки (заметим, что JZ° = 0 очевидно вял). Ввиду б)
последовательности
0-+Т(Х, &) -+ Г (X, Т1) -* Г (X, &i+i) -> О
256
точны, так что Г(Х, ^;) = Кег(Г (<?)) = 1ш(Г(й1-1)) и
утверждение доказано.
5. Доказательство теоремы 36). Зафиксируем
полное упорядочение на множестве индексов покрытия
(Ui) и для каждого набора индексов / = (г0 < ... < iP)
обозначим через // вложение Ui П • • • П Ui в X, а через
@~i — пучок на X, задаваемый формулой ^"i = /i./i^"-
Ввиду ацикличности покрытия (Ui) и точности функто-
функтора /. для открытого вложения ; имеем, прежде всего,
я9 (X, тц = л9 (uic п ... n uh, ^зг) = о
при q > 0. Далее, для каждого i Ф-1 имеется естествен-
естественный морфизм пучков е<, j\ STi ->- ЗГщи Определим пучко-
пучковый комплекс Чеха (<5>р(<?~), dp), полагая
= У а ?{
Ш=р+1
где а(>1 = (—l)ft+1, если / U i = (to< ... < ik< i< ih+l <...
. ..<ip). Заметим, что для любого открытого U<=zX
комплекс Г (U, W' (^")) есть комплекс Чеха пучка
@~\и, отвечающий покрытию (С/ПС/4) множества U (см.
1.7.4). Естественный морфизм ?Г-+ff" (!!Г) превращает
W {&") в резольвенту ЗГ. В самом деле, это достаточно
доказать локально по х е X, так что можно считать, что
один из элементов покрытия, скажем Uh совпадает с X.
В этом случае ЗГХ — @~Щ1 при I <? I и легко проверить,
что набор отображений ht,
h,: @~i-+@~i\h hI = (-l)hid, если I = ih,
hj = 0, если l Ф-1,
задает гомотопию, устанавливающую квазиизоморфяоеть
&¦ и &' {3~).
Для вычисления Нп(Х, 3F) рассмотрим вялую ре-
резольвенту
3~ -*¦ Жй -> Ж1 -» ...
пучка ST. Поскольку все пучки сё1р{Ж{) снова вялые,
а Я§'\ЖХ) — резольвента Ж1 для любого I, группы
Нп(Х, ЗГ) есть группы когомологий комплекса, ассоции-
ассоциированного с бикомплексом Г (X, ^' (,Ж')). Далее,
(ё>р(Ж')— вялая резольвента сё1р{&~) при любом р, так
что к указанным группам когомологий сходится спект-
17 с. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 257
ральная последовательность с Е%ч — Нр (HQ (X, ())
(она отвечает фильтрации I в обозначениях 7.12). Вви-
Ввиду сказанного в начале этого пункта, Hq(X, ^р(^")) = 0
при q > 0, так что эта спектральная последовательность
вырождается и Пп (X, ЗГ) = #™ (Г(Х, <&' (?"))). Ш
6. Доказательство теоремы Зв). В силу 6.15,
Ях, ЗГ) = & Нотй!оA (ЯХ,&-) = Л'Г
7. Доказательство теоремы Зг). Рассмотрим
инъективную резольвенту /" пучка &~. По определению,
Rqf. (ЗГ) = Hq (/. (/'))• Это — пучок, связанный с пред-
пучком U <-* Л9 (Г (/-1 (?/), /')) в силу определения /..
Но H9(T(rl{U),l)) = B*(r1(U),&'), ибо /' —инъ-
ективная резольвента.
8. Доказательство теоремы Зд). Ввиду п. а)
теоремы, утверждение можно доказывать в катего-
категории 9*sib пучков абелевых групп. Применим теорему 7.7
к наре функторов F = f.,G = g., взяв в качестве клас-
класса 3$ класс всех инъективных пучков аболевых групп
на Y. Возможность применения теоремы 7.7 в этой си-
ситуации обеспечивается тем, что /. переводит инъектив-
ные пучки на X в инъективные пучки на Y. В самом
деле, инъективные пучки @~ характеризуются тем, что
Hom(S", #~)-*-Нот(i?", @~) — эпиморфизм для каждого
мономорфизма '3" -*- *$'. Но согласно предложению П.6.17
Нот(^, f.!F) = Нот(/'^, ЗГ) и согласно предложению
II.6.19 / — точный функтор, т. е. переводит мономор-
мономорфизмы в мономорфизмы. Поэтому f.@~ инъективен
вм.е,сте с 9~. ¦
9. Тензорные произведения и плоские пучки. Пусть
Я = 5?х — пучок колец с единицей на топологическом
пространстве X. Для любого пучка левых ^-модулей JP
определен функтор
• ® Л: mod -Я. -> *3Ps4-b, &~ у* 3~ ® Jf.
г
Аналогично соответствующему утверждению для колец
(см. П.6.6), можно доказать, что этот функтор точен
¦ава.
Назовем пучок Ж плоским (над 52), если функтор
> /С точен. Читатель легко проверит, что пучок Jf яв-
справа
258
ляется плоским тогда и только тогда, когда для любой
точки ieX его слой Jfx является плоским модулем над
кольцом Ях. В частности, для любого открытого f/cX
плоским является пучок Ми, определяемый следующими
условиями:
(9tv)x = 9lx при x^U,
(&и)х = 0 при хФ17 (см. также П.6.7).
10. Пр е дл о же н ие. а) Любой пучок левых ^.-мо-
^.-модулей является факторпучком плоского пучка.
б) Класс плоских пучков приспособлен к функтору
Ж ® •: 5
тензорного умножения на пучок правых 01-модулей.
Доказательство. Мы докажем, что для любого
пучка левых ^-модулей 8Г существует набор открытых
множеств {Ui)i?, и эпиморфизм ф i?иj->-??"• Утвержде-
Утверждение а) вытекает отсюда, поскольку прямая сумма плоских
пучков есть плоский пучок.
Прежде всего,
(ф: 31-^9" переходит в фA)еГA, ^"), где 1 — сечение
31, равное 1 во всех точках X). Аналогично, для любого
открытого U<=X
Нот с
s-mod
Выберем теперь семейство пар (U(, а,^Т(ии ЗГ)), обла-
обладающих тем свойством, что для любой точки х е X слой
ЗГХ порождается над 3tx образами в &~х тех а{, что х е= U(.
Тогда ясно, что морфизм
задаваемый сечениями a,i^T(Uh ?F), является эпимор-
эпиморфизмом.
Отметим также, что отсюда вытекает существование
для каждого ЗГ е ^?-mod резольвенты вида
... — 3?-п -+...-+2">^&--+0,
члены которой имеют вид ф 3tvv
Часть б) предложения 10 вытекает из аналогичного
утверждения о модулях над кольцами (см. упр. 7.4), если
17*
259
использовать характеризадию плоских пучков модулей в
терминах их слоев, приведенное в п. 9. ¦
Разумеется, аналогичные результаты справедливы и
для пучков правых 32-модулей.
11. Обратные образы и тензорные произведения. В си-
силу предложения 10, мы можем построить производный
функтор
Ж ® •: D~ (-^mod) -^D
Его когомологии обозначаются Tor:
Можно также определить функтор
Л' ® ¦: ТГ (M-mod)-*-D-
для Ж' е ТГ ()
Аналогично определяются функторы
для
Л9'е D~ (<%-mod), а также бифунктор
• ® •: D" (mod-52) X D~ E?-mod) -vD~ (Pstb).
Так же как в упр. 7.6, можно доказать, что пучок
Тог4(,#, Л9) не зависит от того, определять ли его с по-
мощью Ж ® •, • ® Jf или • ® •. Если i52 — пучок комму-
коммутативных (или суперкоммутативных) колец, то левые
52-м.одули отождествляются с правыми ж Ж ® Ж имеет
L
структуру 52-модуля, так что Ж <Э • принимает значения
в D-E2-mod).
Пусть, далее, (/, ф): (X, 5?Z)->(F, My) — морфизм
пространств, окольцованных пучками (супер) коммутатив-
коммутативных колец. Тогда для любого пучка 32у-модулей ЗГ опре-
определен пучок ^й
Его производный функтор
260
определяет функторы высших обратных образов
Морфизм (/, ср) называется плоским, если Мх — пло-
плоский / (Яу) -модуль. Это свойство представляет собой
одно из самых слабых и одновременно самых полезных
аналогов понятия «локально тривиального расслоения».
Оно особенно употребительно в алгебраической и анали-
аналитической геометрии.
12. Высшие прямые образы с компактными носителя-
носителями. Ниже до конца этого параграфа мы будем работать
только с локально компактными топологическими прост-
пространствами и пучками абелевых групп на них. Кроме
того, позже мы наложим некоторые условия конечномер-
конечномерности, которым, в частности, удовлетворяют все тополо-
топологические многообразия. В отих условиях по каждому
морфизму пространств /: X ->- У будут построены функ-
функторы i?/, и /' на подходящих производных категориях.
13. Определение-лемма. Пусть /: X -*¦ Y — мор-
морфизм локально компактных пространств. Пусть &~ — пу-
пучок на X. Положим для любого открытого множества
U^Y:
/, (вГ) (U) = (.5ЕГ (Г1 (U), 9-), supp {s) Л U собствен}.
(Напомним, что морфизм называется собственным, если
прообраз любого компакта компактен.) Тогда
а) /, (ЗГ) есть подпучок в /. (&~ .
б) Отображение $~ •-*• /i {&") продолжается до функ-
функтора, точного слева.
Доказательство, а) Ясно, что /i(^~) является
подпредпучком пучка /. (^"). Очевидно также, что из
набора согласованных локальных сечений /, {&~) можно
склеить единственное сечение /. EГ). Нужно лишь про-
проверить, что оно также принадлежит /, {@~). Иными сло-
словами, нужно убедиться, что для семейства {UJ открытых
подмножеств У выполнено условие: если в4<=Г(С/,-, 8F),
Vi = supp Si-*- Uf— собственные отображения, то U V( -*¦
-+UUi — также собственное отображение. В самом деле,
пусть К cz [] Uг — компакт. Выберем конечное подпокры-
г
тие К cz \J Uj и впишем в него конечное компактное
261
покрытие К= \J Kh
Тогда
ком-
пактны и, стало быть, /"' (К) П ( LJ ^i] = Г1 (к) П (.U У*) =
U
ie.J
ft
компактно.
i
б) Функториальность /, следует из того, что при мор-
физме ф: @~ ->- *§ носитель сечения не может увеличить-
увеличиться. Наконец, левая точность /, следует из левой точности
/. и определений.
14. Сечения с компактным носителем. Важный част-
частный случай возникает, когда /: X->pt — отображение в
точку. В этом случае j,@~ — это абелева группа, состоя-
состоящая из таких сечений «еГ(Х, ^"), что supp s — компакт
в X. Эта группа называется группой сечений &~ с ком-
компактными носителями и обозначается ТС(Х, @").
Пучок /,#" для произвольного /: X -*• У по существу
восстанавливается по группам сечений в? с компактными
носителями над различными подмножествами X. Точнее,
имеется
15. Предложение. Слой пучка /,#" в точке y^Y
изоморфен Tc^f1(y), ЗГ\}_1{у)у
Доказательство. Построим прежде всего гомо-
гомоморфизм
Пусть sе-(/,#-)„, U — окрестность у и t&T{U, f^)
представитель s, т. е. t есть элемент Г(/~'(С/), ?Г) и ото-
отображение supp.f-^ U собственно. Ясно, что t \f-i(y) лежит
В ^(Г1 (У), ^ |,-%)) (Ибо SUpp (t \пЧу)) = SUPP t П Г' &))•
Легко проверить также, что полученный элемент
^1 ) зависит только от s. Мы положим
О0 1/1A/Г
Докажем инъективность ф. Пусть <p(s) = O. Тогда
]^_ =0, т. е. supp t П /-1 (у) = 0, откуда !/^/(suppi)-
Кроме того, /l,Upp« — собственное отображение локально
компактных пространств, так что /(suppf) замкнуто в Y.
Отсюда s = 0.
Докажем сюръективность ф. Выберем последователь-
последовательность Ui ~ Uг =>... открытых множеств в Y с OUi — iy).
Тогда r\f-1(Ut) = t1(y) и, поскольку X локально ком-
262
ГсГ/
Г1
пактно,
где Л4 = {группа сечений t^T(ti(Ui), &~) с suppi =
= ЛГП/-1(?/<) для некоторого компакта К<=Х} (проверь-
(проверьте!). С другой стороны,
где Вг = {группа сечений tеГ(/"'(Ut), &~), для которых
supp t -*- Vi — собственное отображение}. Ясно, что для
любого i, Ai — подгруппа В{. Отсюда следует, что <р сюръ-
октивно. ¦
16. Пучки, приспособленные к /,. Пучок 9" на X на-
называется мягким, если для любого замкнутого множе-
множества К<=Х отображение ограничения Т(Х, ffr)-^- T{K, ЗГ)
сюръективно (подробно о мягких пучках и их свойствах
см. упражнение 1.5.2 в)—д)).
Поскольку любой инъоктивпый пучок является вялым
(п. 4а)), а любой вялый пучок, очевидно, является мяг-
мягким, мягких пучков достаточно много.
17. Предложение. Класс мягких пучков приспо-
приспособлен к функтору /,.
Доказательство. Ввиду предыдущего замечания
и упражнения 1.5.2 в) достаточно доказать следующее
утверждение: Пусть
— точная последовательность мягких пучков. Тогда по-
последовательность 0 -*- f\3F -*¦ f$ -*- j06 -*- 0 точна. По-
Поскольку /, точен слева, достаточно проверить эпиморф-
ность последнего морфизма, т. е. эпиморфность отобра-
отображения (/]^)„ -*- {f\2№)v Для любой точки 1/еУ, Поскольку
ограничение точной последовательности мягких пучков
на /~' (у) снова является точной последовательностью
мягких пучков, предложение 15 показывает, что доста-
достаточно доказать следующий факт. Для точной последова-
последовательности мягких пучков C) отображение Те(Х, %)-*¦
-»¦ Гс (X, Ж) — эпиморфизм.
Итак, пусть serc(I, Ж) и К — компакт, содержа-
содержащий supp s. Покроем К конечным числом компактов
Ки ..., Кп таким образом, что в\кг поднимается до се-
сечения U е= Г (К{, <3). Положим Lt = Kt U ... U Кг и индук-
индукцией по i докажем, что существует сечение г<^Г(?,-, *&),
263
проектирующееся в s\lv Предположим, что п_! уже по-
построено. Положим v = Г1_х |r.i_1njci — ti |ii_1njfj- Имеем
ф(у) = О, так что v = (f(v') для некоторого и'^Г(^(_1П
t\ Ku ST). Продолжим v' до сечения v" пучка ЗГ над К{
(используем мягкость ?F) и положим t\ = ?4 -{- ф (у"). Тогда
*г и r-j-i имеют одно и то же ограничение на Lt-i П ЛГ{, так
что они склеиваются в искомое сечение г пучка % над
Li = ?i-i U _/?,-.
Таким образом, мы нашли сечение г^Т(К, ) с
•ф(г) = s. Пусть Ж —граница К. Тогда ¦§(г\м) = 0, т. е.
Ндг = ф(и) Для некоторого иеГA, ^"). Поскольку^" —
мягкий, и продолжается до и'<^Y(K, 3F). Тогда г' =
= г—ф(н/)|м, т. е. г' можно продолжить нулем вне К,
получая s' еГс(Х, $) с t|)(s')==s. ¦
Заметим, что при доказательстве мы использовали
лишь, что #~ — мягкий пучок.
18. Высшие прямые образы с компактными носителя-
носителями. Предыдущее предложение позволяет определить пра-
правый производный функтор от /(:
Д/,: D
Его когомологии называются высшими прямыми образа-
образами с компактными носителями и обозначаются Л'/,(^)е
е= 9>^bY Для & е 9>зФЪх.
В частности, для отображения в точку /: X ->- pt по-
получаем функтор
и его когомологии #с (-Х, У) (когомологии &~ с ком-
компактными носителями).
Перечислим ряд свойств Д/|.
а) Слой Д4/|(^") в точке у е У канонически изомор-
изоморфен i?c [f~1(y)i ^"If-](«)V ^T0 следует из предложения 15
и того, что ограничение на /~' (у) переводит мягкие пучки
в мягкие.
б) Для непрерывных отображений /: X -*¦ Y, g: Y -*¦ Z
имеем
Это вытекает из того, что U переводит мягкие пучки
в мягкие (см. упр. 1Ь)).
Используя результаты § 7, равенство D) можно за-
записать в виде спектральной последовательности, связы-
связывающей Д*/|. Д«я, и Rp+q{gf)t.
264
19. Размерность. Функтор Rfh вообще говоря, перево-
переводит ограниченные комплексы пучков на X в неограни-
неограниченные. Однако для широкого класса пространств свой-
свойство ограниченности сохраняется.
Назовем размерностью dimcX локально компактного
пространства X наименьшее п, для которого Щ(Х, ??~) = 0
при всех i > п для любого пучка &~ ^9"s&bx. Основ-
Основные свойства dimc X, доказательства которых мы здесь
опускаем (см. Иверсен [1]), таковы.
а) Пусть 0->-^"^270-^571-^...->^п->0 — точная
последовательность пучков абелевых групп на локально
компактном пространстве X с dimc X ^ га, причем 3?°,
З?1, ..., J?71-1 — мягкие пучки. Тогда 3?п — также мягкий
пучок.
б) dimcRn = n.
в) Пусть Y — открытое или замкнутое подмножество
X. Тогда dimcysSdimcX.
г) dimcX можно вычислять локально: если у каждой
точки ieX есть окрестность U с dimc U ^п, то
dimcZ< п.
Из б) — г) вытекает, в частности, что разумные топо-
топологические пространства (в частности, топологические
многообразия и геометрические реализации конечномер-
конечномерных симшшциальных множеств, см. § 1.2) имеют конеч-
конечную размерность dimcX
д) Пусть /: Х-*- У— отображение локально компакт-
компактных топологических пространств с dimcZ=^w. Тогда
R}],9" = 0 при i > п для любого &~ е g^si-bx.
е) В условиях п. д) Rf{ можно определить как функ-
функтор из Wi&s&bx) в W^Mbr) и из В-(У^ЬХ) в
20. Обратный образ с компактным носителем. Соглас-
Согласно общей идеологии (см. II.6.17) обратный образ /: с
компактным носителем для /: X -*- У нужно определять
как функтор на категории пучков на У, сопряженный
к /,. Оказывается, однако, что для общего отображения /
функтор /,: ^s&bx -*- 9"s4-br не имеет сопряженного, и для
определения f следует перейти к производной катего-
категории. Кроме того, X и У следует предполагать конечно-
конечномерными.
21. Теорема. Пусть f: X ->¦ У — непрерывное отобра-
отображение локально компактных конечномерных (в смысле
dimc) топологических пространств. Существует функтор
f:
265
и функториальный по SF' е (D+
+ изоморфизм в T>+(s?b)
/1»-). E)
Доказательство этой теоремы занимает почти всю остав-
оставшуюся часть этого параграфа (пп. 23—29).
22. Следствие. Функтор f сопряжен справа к Я/,.
Доказательство. Следует применить Н°:
D+ {s?b) -> st-Ъ к обеим частям предыдущего равенства.
23. Комментарии к теореме 21 и план доказательства.
Для пучка ^"на!и открытого множества U с: X обозна-
обозначим через &~и продолжение З2" нулем вне U (в терминах
функторов ;„/*, где /: U -*• X — вложение, имеем ^"и =
= /i/'&")• Если У<=[/ — два открытых множества, то
у нас есть естественный морфизм пучков ЗГГ -*¦ gTv, ин-
индуцирующий для каждого пучка ^ на У гомоморфизм
Нот (/,#-„, #)-•¦ Нот(/,?¦>, S). F)
Ясно, что
J7w.Hom(/,^"u, gr) G)
вместе с отображениями ограничения F) является пред-
пучком абелевых групп на X. Если бы этот предпучок
был пучком, то все было бы в порядке: обозначая пучок
U <-*¦ Нот (f\Lv, <3) (где Z — постоянный пучок на X)
через f&, мы бы имели
Нот (/,#", 3?) = Нот(#~, fgf)
(см. теорему 24), и уже /, обладал бы правым сопряжен-
сопряженным. Оказывается, однако, что предпучок G) является
пучком лишь в весьма специальных случаях; более точно,
U и* Нот (/, {ЗГи ® 2), 3)
является пучком, если S — мягкий плоский пучок на X
(предложение 25). Именно поэтому нужно перейти к
производной категории: нужно заменить постоянный пу-
пучок Z на его резольвенту
О
2"
из мягких плоских пучков (см. п. 27), после чего функ-
функтор f сравнительно легко строится в производной ка-
категории.
266
В качестве первого шага доказательства теоремы 21
мы опишем представимые функторы в категории пучков
ЯРзФЪх абелевых групп на топологическом пространстве X.
24. Теорема. Функтор F: Э'бФЪх -*¦ (зФЪ)° предста-
представим в том и только том случае, если он переводит ин-
индуктивные пределы в ЗРзФЬх в проективные пределы
в $?Ь.
Доказательство. Часть «только в том» теоремы
справедлива в общем случае: функтор X >-+ Hom^ (X, Y)
для произвольной абелевой категории зФ, Y ^ Ob S&,
переводит индуктивные пределы в М в проективные пре-
пределы в $&Ъ. Для доказательства части «в том» заметим,
что соответствие
вместе с отображениями ограничения F(Zu) ->~ F(Zv) для
V<=zU, индуцированными вложениями tyvu- ZYcz-^Zu,
задает предпучок $ абелевых групп на X: Г(U, &) =
= F(Zu). Докажем, что $ — пучок. Пусть (Ut) — семей-
семейство открытых множеств в X и С/ = U f/,. Имеется естест-
естественная точная последовательность пучков
е zv.m.
где а
о,
© <Puitu- Далее, F
переводит прямые суммы в прямые произведения и точен
справа, т. е. сохраняет точность этой последовательности,
так что мы получаем точную последовательность
или, другими словами,
П Uit 9),
а это и означает, что 'S — пучок.
Построим теперь функториальный по &~ изоморфизм
Hom(#~, 9)^-F{^). (8)
Для этого мы определим элемент e^F(S), который
должен соответствовать при гомоморфизме (8) тождест-
тождественному морфизму 9 ->- $, после чего переведем произ-
произвольный морфизм /: &~-+3 в F (/) е е F(&~). Ясно, что
эта конструкция дает гомоморфизм (8), функториальный
267
no if, и останется лишь доказать, что он является изо-
изоморфизмом.
Для построения е определим категорию /:
ОЬ/ = (пары Uc=X, au^F(Zu)},
Honij((?/, аи), (V, aY)) = {морфизмы пучков /: Zu -*¦ Zv
такие, что F(f)av = av}.
Пусть G: I -*¦ З'йФЪх — функтор, сопоставляющий паре
(U, аи) пучок Ъа (с естественным действием на морфиз-
морфизмы) . Поскольку Hom^^bx (Zu, $) = Г (U, %) = F (Zv ,
элемент av определяет морфизм пучков аи'. Zu -*- %'¦
Набор аи для всех (U, аи)^ОЫ задает морфизм функ-
функтора G в постоянный функтор Const^: I-^&s&bx,
принимающий значение 2?'. Поэтому определен морфизм
a: lim G-
и этот морфизм, как легко видеть, является изомор-
изоморфизмом.
Применяя к а функтор F, мы получим изоморфизм
F(a): F($)^F(limG)^limF°G.
Построим теперь e^F(S) следующим образом. Для
{U, й!7)е0Ь/ у нас есть элемент au^F°G(U, аи) —
= F(Zt,)nwM /: {U,av)-*{V,av) имеем (F °G) {f){aY) =
= аи. По универсальному свойству lim, набор (аи,
(U, аи)еОЪ1] определяет элемент е ^UmF° G = F($).
Покажем, что гомоморфизм НотEг", *3) -> F'(&~): f>-*
^ Р' (/) (е) является изоморфизмом для любого &~. По
построению е обладает следующим свойством: для лю-
любого U и любого /: Zu -*¦ *$ элемент F(f) (e)^F(Zu) от-
отвечает / при изоморфизме Hom(Z!j, S)^T(U, &)~
— F(Zu). Поэтому (8) является изоморфизмом, если
&~ = Zv для некоторого U с X. Далее, любой пучок 9"
па X является индуктивным пределом пучков вида Zv
(точнее, индуктивным пределом некоторого функтора,
принимающего значения Zv)\ это доказывается анало-
аналогично тому, как строился морфизм а с использованием
подходящей категории 1{@~). Поскольку F переводит
индуктивные пределы в проективные, (8) является изо-
изоморфизмом для любого 8Г. ш
268
Покажем теперь, что доказанную теорему
применять к интересующим нас функторам.
25. Предложение. Пусть 3? — мягкий плЬСпий
пучок на X, 9 — произвольный пучок на Y. Функтор
& ^ Нот (/, (SE ® #-), SO из 9ЖЪХ в (stb)°
переводит индуктивные пределы в SPs&bx в индуктивные
пределы в (s?b)° (т. е. в проективные пределы в S&b).
Доказательство. Мы докажем, что фудктор
ff: 9- - /, {2Е ® 9-)
коммутирует со взятием индуктивного предела. Предло-
Предложение 25 вытекает отсюда ввиду свойств функтора
Нот(-, ^) (см. начало доказательства теоремы 24).
Согласно теореме П.3.19 достаточно доказать, что /Г
переводит коядра в коядра (т. е. точен справа) и пря-
прямые суммы в прямые суммы. Утверждение про прямые
суммы вытекает ил того, что как тензорное произведе-
произведение, так и /| сохраняют прямые суммы.
Докажем, что ft точен справа. Мы утверждаем
даже, что /i точен. В самом деле, пучок &~ имеет ре-
резольвенту
... -^ аг1!!!! #°-*-#"-». о,
члены которой имеют вид ф Z^. (см. п. 10). Умножая
эту резольвенту на 3', получаем точную последователь-
последовательность (ибо 3? — плоский)
члены которой имеют вид 2? ® (®Z^) = фй'р., т. е.
являются мягкими цучками (ибо 2 — мягкий). Пусть
п 5s dimc X. Рассмотрим ацикличный комплекс
О -* Ker (I ® d~n) -*¦ 2? ® 8-* -»¦...
В нем все пучки SB ® &"-' являются мягкими, так .что,
согласно п. 19а), 3? ® &~ — тоже мягкий пучок.
Если теперь
О-^'-^#"-+#"" -^-0
269
— точная последовательность пучков на X, то (посколь-
(поскольку 3? — плоский пучок)
0->-3?®ff"^-3?®ff~->'2?® вГ" -v О
— точная последовательность мягких пучков, так что
последовательность
/f ff" -> /f
о
также точна.
26. Следствие. Для каждого
пучка 3? на X и каждого пучка 9
пучок fi-S?, 9) и функториальный по
мягкого плоского
на Y существует
изоморфизм
ff~
Нош (/, C?
9) г?. Нот
n/щ этой $? ~ инъективный пучок, то и f{3f, &) —
инъективный пучок.
Доказательство. Первое утверждение вытекает
из теоремы 24 и предложения 25. Для доказательства
второго утверждения заметим, что согласно доказатель-
доказательству предложения 25, функтор ff: 3~ — /, C? ® ff~) точен.
Ввиду инъективности Э', функтор ff~ <-+ Нот (f]ff~, &') =
= Нот (#", /! B", ^)) также точен, т. е. f{&, 9) ипъ-
ёктивен. ¦
Следующее предложение показывает, что у постоян-
постоянного пучка Ъх на X есть резольвента, составленная из
пучков интересующего нас вида.
27. Предложение. Любой плоский пучок вГ на
X имеет резо-львенту
О
О
(re = dimc(Z)), состоящую из мягких плоских пучков.
Доказательство. Построим резольвенту вГ, ана-
аналогичную резольвенте Годмана
полагая
е:
— естественное вложение,
276
и далее индуктивно
df: <g"'-1-> "g31 —композиция проекции
и естественного морфизма ^"'V
Поскольку произведение любого числа плоских Z-моду-
лей является плоским, ?° — плоский пучок. Далее, для
любого х^Х #% —прямое слагаемое (^0)х, так что
W/lm e — плоский пучок. Аналогично получаем, что ^"
и Kerd' — плоские пучки для любого i. Кроме того ясно,
что все $" — мягкие пучки.
Рассмотрим теперь резольвенту
О ->¦ ^" -^ 5 -»- З11 -+ ... -»- 5 -> О,
в которой 2" = ^; при i<n-l, 2?n =
Согласно сказанному выше, все 2", i =? п — 1, мягкие и
плоские пучки, а ^" — плоский пучок. Согласно п. 19а),
он также является мягким. ¦
28. Построение ?C'). Пусть теперь
О -*¦ Ъх -*¦ 2"> -+ ... -» 2 -*¦ О
— ограниченная резольвента постоянного пучка Zx на X,
состоящая из мягких плоских пучков, и $'—ограничен-
$'—ограниченный слева комплекс пучков на Y. Положим А1' =
= /1(S7~t, &}). Дифференциалы в 21' и ?" позволяют
построить отображения d{3: А13—>-Аг+1>3 и
1^
альпый по Г
изоморфизм комплексов абелевых групп
превращающие {Atj} в бикомплекс. Обозначим
через /! B'", 3') = 5Л" — диагональный комплекс* (см.
7.8), ассоциированный с этим бикомплексом. Ввиду лер-
вой части следствия 26 ясно, что существует функтори-
(9)
(здесь 5" ® @" — комплекс, ассоциированный с бикомп-
бикомплексом КЗ?1 ® ff}, /| применяется к комплексам почлен-
почленно, Нот' — комплекс абелевых групп, определенный в
п. 6.15).
Определим теперь / (9') следующим образом. Пусть
9' ->^'-квазиизомор|)и:зм 3' с комплексом, состоящим
271
из ингьективных пучков на У. Положим
Легко проверить, что /' {'S') не зависит от выбора ре-
резольвент S' шУ (с точностью до канонического изо-
изоморфизма в ^{Э^бФЪх)).
29. Завершение доказательства теоремы 21. Прежде
всего, поскольку 3?'—плоская резольвента постоянного
пучка и &' <8> @" состоит из мягких пучков, имеем
. Далее, поскольку^' и f B'',^') инъ-
ективны, а 3' изоморфен $ ' в D+ {Я'зФЪу), равенство
(EJ-есть следствие (9).
Для завершения доказательства теоремы следует за-
заметить, что функториальность отображения "&' >-*j'{9 ')
следует из единственности представляющего объекта. ¦.
30. Свойства /!. а) Прежде всего, конструкцию /' и
теорему 21 можно обобщить, заменив категории УзФЪ
на категории пучков /^-модулей, где R — фиксированное
нётерово кольцо, в частности, поло.
б) Из формулы D) (см. п. 18) вытекает, что для
непрерывных отображений /: X-*-Y, g:- У'-*¦ Z имеем
(
fYfg
в) Если /: X -»- Y — вложение открытого или замк-
замкнутого подмножества, то функтор, сопряженный справа
к /,, существует на уровне самой категории пучков (без
перехода к произвольной категории). А именпо, если
/: U->¦ Y — вложение открытого подмножества, то сопря-
сопряжением справа к /,: РМЪи -*-9}зФЪт будет /": ^M
Если /: X -*¦ Y — вложение замкнутого подмножества,
то: сопряженным справа k/i = /. : Э^МЪх-^д'^ФЬу будет
функдюр jx «сечений с носителем в X», определяемый
такг. пусть f/cl, V<=^ Y—открытые множества, причем
U=*VuX. Тогда
Г(U, f^)={sGr(F, ЗГ),
Мы оставляем читателю проверку того, что *[х&~ пучок,
а ташке сформулированных свойств сопряженности.
В заключение этого параграфа мы рассмотрим ситуа-
ситуацию^ противоположную в), когда /: X -*- pt — отображе-
отображение $> точку.
272
31. Дуализирующий комплекс. Будем считать, что-
Y = pt — точка. Тогда пучки на У — это просто абслевы
группы, и мы будем обозначать через Z «= Ob T)+{9>s?bY) =
= ObD+(^&) 0-комплекс с нулевой компонентой Z.
Для любого топологического пространства X (конечно-
(конечномерного, локально компактного) положим D'x = /'(Z),.
где /: X -»- pt. Комплекс D'x e Ob D+ (ff's^bx) называется
дуализирующим комплексом па X. Теорема 21 превра-
превращается при этом в следующее утверждение (двойствен-
(двойственность Пуанкаре)
R Нош (ВТС (X, #"), Z) ~ R Нот
(Ю>
Комплекс D'x, вообще говоря, отражает топологические-
особенности пространства X. В частности, если X явля-
является стратифицированным пространством, страты кото-
которого — неособые топологические многообразия, то когомо-
логии D'x янлнютсл котгетруктшшьтми пучками относи-
относительно этой стратификации.
Особенно простой оказывается структура дуализирую-
дуализирующего комплекса, когда X неособо.
32. Следствие. Пусть X — п-мерное топологическое
многообразие с границей. Тогда D'x = <ох[п]> где а>х —
пучок, задаваемый равенством
Г (Г/, со*) = Нот.^ь (Н: (U, Z), Z)
для любого открытого UcJ,
Доказательство. Прежде всего для V s U ^ X
функтор «продолжение нулем» задает морфизм
#™(F, Z)-> ff?(U, Z), так что coz является предпуч-
ком на X. Проверка выполнения аксиом пучка для со*
может быть проведена либо с помощью теоремы 24 и
предложения 25, либо непосредственно: со* является
ядром морфизма пучков (??")* -+{9pn~i)*, где
0
(И)
— мягкая резольвента постоянного пучка, а 91* для мяг-
мягкого 91 обозначает пучок
U ~ Нот^ь (Гс (U, SP), Ъ).
Положив теперь в формуле A0) ?Г' — Zjj, получим
R Нот (i?rc (X, Zv), Z)=R Нот (Zv, Dx),
18 С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 273-
т. е. (поскольку Hom(Zu, <8°) = Г(?/, <?) для любого
пучка 8 на X)
R Horn (RTC (U, Z), Z) = Г (СГ, ^ *).
где ?(' — ограниченный слева комплекс инъективных
лучков, квазиизоморфный D'x-
Следовательно, пучок когомологий Н г (D'x) комп-
комплекса D'x — это пучок, ассоциированный с предпучком
U - Н~х (R Нот (RTC (U, Z), Z)). A2)
Нам нужно показать, что этот пучок равен сох при i = п
и нулю при остальных i. Обозначим группу в правой
части A2) через Nv%. Используя резольвенту A1) для
вычисления RTe и инъективную резольвенту 0->-Z-*-
-" Q -> Q/Z -+¦ 0 группы Z в категории М-Ъ для вычисле-
вычисления R Нот, легко проверить, что Nj}% входит в точную
тройку
О -> Ext1 (Hl+1 (U, Z), Z) -> TVЪг ->
Поскольку X — n-мерное топологическое многообразие,
у каждой точки имеется фундаментальная система
окрестностей, гомеоморфных R" или R+ X R". Нужное
утверждение вытекает теперь из равенств
(О при г =^ и,
:(кп, z) =
Z при i = п,
Hi (R+'X R", Z) = 0 при всех г,
Ext1(Z, Z) = 0. ¦
33. Замечания. Заменяя Z на произвольное нёте-
рово кольцо Д, можно получить аналоги доказанного
•следствия. В частности, если R = к — поле, а X — топо-
топологическое многообразие без края, то сох = Тх — пучок
./е-ориентаций X (например, постоянный пучок со слоем
к, если X ориентируемо или если char к = 2). Если X —
многообразие с краем дХ, то ах = ijT, где т — пучок к-
ориентации X — дХ, a i: Х—дХ^Х— вложение.
Беря когомологий обеих частей A0), можно выразить
двойственность Пуанкаре в более привычном виде (к —
поле) как существование для любого пучка к-иодулей
274
ST на X канонического изоморфизма
Homft (Hi (X, &), к) ^ ЕхЬп~4 (#
Обозначая через \: Н" (X, ах) ->- к фундаментальный.
класс, т. е. прообраз leHomfai, со*), при изоморфизме
A3) с i = n = dimX, У = 6)Х, мы можем записать A3)
как композицию канонического спаривания Ext"~J (#",
X Hi (X, Т) -+ Я" (X, ах) и f.
J
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Критерий мягкости пучка, а) Пусть У — замкнутое под-
подмножество локально компактного пространства X, U = X — У.
Докажите, что для любого пучка &~ абелевых групп па X имеется
точная последовательность
сп (Г/, Г) -
(Z, Г)
сп (У,
, Т)
где ап индуцировано отображением ао: VC{U, .T)^>-TC(X, 9~)
(продолжение нулем), а р„ — ограничением сечений %: ТС(Х,&~) -»-
-*-Гс(У, 9~), Для этого проверьте, что если #" —мягкий пучок,
то последовательность
0->Гс([/, Т) Д-ГС(Х, ЙГ)-*ГС(Г, 5е-)-». 0
точна, и используйте мягкие резольвенты для вычислении Я™.
б) Выведите и.ч а), что пучок У па X является мягким в том
и только гом случае, если Il\ [U, З7) = 0 для всех открытых
в) Докажите, что функтор /,: УМЬт-* 9>s4-bx для непрерыв-
непрерывного отображения /: X-+-Y переводит мягкие пучки в мягкие.
2. Теоремы Майера — Виеториса. Пусть X—топологическое
пространство, являющееся объединением двух замкнутых подмно-
подмножеств Xi, Х2 и &~—пучок абелевых групп на X. Точная последо-
последовательность Майера — Виеториса связывает когомологий ^" па
Хи А, А' и Xi П Х2.
а) Постройте длинную точную последовательность
Для этого, обозначая через й: Xi-^-X, ?2: Z2->X, г:
естественные вложения, постройте для любого *3
последовательность пучков
точную-
где а есть сумма двух морфизмов сопряжения (выражающих со-
сопряженность прямых и обратных образов), а р — разность ми|).
18* 27.V
физмов сопряжепия. Далее примените эту точную последователь-
последовательность к инъективной резольвенте #" и используйте изоморфизм
для любого замкнутого вложения /: У -»- X и любого «5$ е 5fs4-by.
б) Предполагая X локально компактным, докажите существо-
существование длинной точной последовательности, аналогичной (*), для
трупп Я". Для этого вместо (**) используйте изоморфизм
ЯТЬ / ~чр • л/а\ ^_**~, тт 71 {т^ •*№\
В следующей серии упражнений приводятся результаты связи
различных функторов в производных категориях пучков абелевых
групп на топологических пространствах. Ниже все пространства
предполагаются локально компактными, паракомпактными и имею-
имеющими конечную разморпость dimc, а их отображения — непрерыв-
непрерывными. Равенства объектов (производной) категории озпачают
функториальные изоморфизмы.
L
3. /* и ®. Для /: X -> Y, 9", #'s D~ (<?.s^&y) имеем
/ L \ L
f \@" ® $') = f'!F' ®f'$'. Для доказательства нужно заменить
?F' и ^"на их плоские резольвенты (квазиизоморфные комплек-
комплексы, состоящие из плоских пучков) и использовать равенство
/' (&~ <g> 'S) = f'&~ ® /'У Для &~, Зе.&бФЬгч вытекающее из
D+
4. RXom и
лмеем
. Для
', Ж)).
Для доказательства нужно проверить соответствующее утвержде-
утверждение для пучков абелевых групп на Д, после чего заменить 3'
на плоскую резольвенту, а Ж' — на инъективпую резольвенту.
5. Rf. и ЯЖот. Для reD"(^iy), +
имеем
Rf.R3eom{j-9~, $')
-Заменяя $' на инъективную резольвенту, получаем, что /.$'
(почленное применение) состоит из инъективных пучков, а
d@om(f'&~', $')— из мягких пучков. После этого нужный изо-
изоморфизм есть следствие изоморфизма в ^s^br-
), /.30,
вытекающего из сопряженности /' и /..
6. Формулы замены базы. Пусть
Х'гх
si q if
Y'-*Y
276
коммутативная диаграмма пространства и непрерывных отобра-
зкеппй. Тогда в D+ (уз^ЬуЛ имеем
Rg.p&- = qRfx&", &• «ее D+
Для доказательства первого утверждения следует проверить ра-
равенство q'f,&~ = gytf
g~
вычисляя ростки левой и
правой частей в точно у' е Y' с помощью предложения 15, после
чего нужно заменить ZF' па мягкую резольвенту. Для доказатель-
доказательства второго утверждения следует поменять местами X и Y',
применить первое утверждение и использовать сопряженность
/" И Rf., g' и Rg., Яд, и q', Пр\ и р'-.
7. Формула проекции. Для &" е D~Ep^6jc),
имеем
Для докалательства следует пропоритг» аналогичную формулу в
S?s4-bY, поело чего замепить .'?"" па мягкую розольветгту, a if —
па инъективную.
8. /! и ПХот. Для ^Г', <3Ш е= D+ (^>^Ьу) имеем
Для доказательства следует заменить^' на мягкую резольвенту,
^" —на инъективпую и использовать явную конструкцию /'
(см. п. 28).
ГЛАВА IV
ТРИАНГУЛИРОВАННЫЕ КАТЕГОРИИ
§ 1. Триангулированные категории
1. Аксиомы. Пусть 3) — некоторая аддитивная ка-
категория. Структура триангулированной категории па 3)
определяется заданием следующих данных а), б), под-
подчиненных аксиомам TR.1 — TR4.
а) Аддитивный автоморфизм Т: 3) -> 3), называемый
функтором сдвига.
Будем писать, как в Ш.3.2, Х[п] вместо Тп(Х) и
f[n] вместо Tn(f) (для морфизма /: X-+Y). Мы можем
теперь буквально повторить части а) и б) определения
III.3.4, введя в 3) треугольники
и их морфизмы
Последняя часть определения III.3.4 вводится аксиома-
аксиоматически: среди треугольников в 3) должен быть задан
б) Класс выделенных треугольников.
Следующие аксиомы, как мы постепенно убедимся,
удовлетворительно описывают рабочие свойства конст-
конструкций III.3.4 в).
TR1. a) X-^Z->O->Z[1] выделен.
б) Если треугольник выделен, то любой изоморфный
ему выделен.
•и.
в) Любой морфизм Хч-У можно дополнить до вы-
деленного треугольника X-
278
и
TR2. Треугольник X ->У
[1] выделен, если и
V W, —U[l]
только если Y -*-Z ->- X [1] ^ Y [1] выделен.
TR3. Пусть даны два выделенных треугольника и два
морфизма между их началами, образующие коммутатив-
коммутативный квадрат. Эта диаграмма дополняется (не обязательно
однозначно) до морфизма треугольников:
X
Y
\g
V
! л
+
* X [1]
*| /[1]
о' У
Последняя аксиома относится к довольно большой
«диаграмме октаэдра». Один из способов ее изображать
состоит в задании двух «шапочек» октаэдра с общими
«полями»
(верхняя шапочка)
(нижняя шапочка)
В этих диаграммах X, Y и т. д.— объекты 3); стрелки
[1]
вида X'—*¦ Z' означают морфизм X' -*¦ Z' [1]; треуголь-
пики, отмеченные *, выделены, а треугольники, отме-
отмеченные Q,, коммутативны. Наконец, требуется, чтобы
два возможных морфизма У ->¦ У, через Z и Z', совпада-
совпадали, и два возможных морфизма У->-У[1], через X[i]
и X', совпадали.
Закончив описание диаграммы октаэдра, мы можем
сформулировать аксиому.
TR4. Любая диаграмма типа «верхняя шапочка» до-
дополняема до диаграммы октаэдра.
2. Замечания о формальной структуре аксиом, а) Из
аксиомы TR2 следует, что каждый выделенный треуголь-
треугольник канонически вкладывается в «спираль», где любой
279
виток из трех следующих подряд морфизмов выделен:
v
и
Соответственно, морфизм треугольников порождает две
спирали, сцепленные горизонтальными стрелками. Из
TR3 и TR2 следует, что если задать две соседние стрел-
стрелки, образующие коммутативный квадрат, то их можно
дополнить до морфизма спиралей.
б) Диаграмму «верхняя шапочка» можно рассматри-
рассматривать как морфизм отмеченных треугольников, у которого
средний морфизм тождественный. Вложив этот морфизм
в двойную спираль, как выше, и посмотрев на ее после-
последовательные витки, можно убедиться, что в них будут
встречаться диаграммы типа «нижняя шапочка», и TR4
можно сформулировать в эквивалентном виде (по моду-
модулю TR1—3):TR4': дополняемость до октаэдра нижних
шапочек.
в) В п. 4 будет доказано, что в аксиоме TR1 в) любые
и
два дополнения X —>- Y. до выделенного треугольника
изоморфны: морфизм h, существование которого посту-
постулировано в TR3 для / = icLr, g = idy, является изомор-
изоморфизмом.
Поэтому «верхнюю шапочку» можно с точностью до
изоморфизма восстановить по одной ее коммутативной
грани X -*¦ У -*¦ Z, достроив X -* Г и У -»- Z До отмечен-
отмеченных треугольников.
Покажем теперь, что из аксиом TR1 — TR3 можно
вывести следующее свойство выделенных треугольников
(ср. Ш.3.6).
3. Предложение. Пусть SD — триангулированная
и v w
категория, X->~y->Z->-X [1] — выделенный треуголь-
треугольник. Тогда для любого объекта U диаграммы
Нот (U, X [i]) ^1 Нот (U, У Щ)
1]>-
280
.-^Hom(X[t +
- Horn (Z[i], U)—
Нот(У[1],
Horn(X[j], V)-
являются точными последовательностями.
Доказательство. Будем заниматься первой по-
последовательностью; вторая разбирается аналогично. В си-
силу замечания 2а) достаточно доказать точность в члене
Нот (С/, У). Прежде всего проверим, что vu~0 (и зна-
значит, композиция любых последовательных стрелок в вы-
выделенном треугольнике нулевая). Это следует из TR3,
примененной к Х
нику:
X -*¦ О ->¦ X [1] и нашему треуголь-
id
о
X
h I
v V
у—*Z-
Единственный возможный морфизм h — нулевой, а из
коммутативности следует, что vu = 0.
Пусть теперь /: U-*¦ Y — такой морфизм, что у/ = 0.
Мы хотим доказать, что / = ug, где g: U -> X. Возьмем
g из морфизма выделенных треугольников
id
и—*
I 8
у и
X—>
У-
Этот морфизм достраивается с помощью
TR2 и TR3: сначала TR3 применяется к
применения
t/—*
1'.
0
J
Z
-id
U [I]
I ЯП
и затем по g[i\ восстанавливается g (ср. с замеча-
замечанием 2а). ¦
4. Следствие, а) Если в диаграмме TR3 fug
изоморфизмы, то и h изоморфизм.
б) В аксиоме TR1 в) дополняющий треугольник оп-
определен однозначно с точностью до изоморфизма.
281
Доказательство, а) Диаграмма TR3 индуцирует
коммутативную диаграмму
Нот (Z', X) -> Нот (Z', Y) -> Нот (Zr, Z) -+.
\f* | е* \h*
Нот (Z't X') -+ Нот (Z', Г')~*- Нот (Z', Z') -*-
Hom(Z'f X[l])->Hom(Z',
{/[И* | ЯП*
', X'[l])-*Hom(Z'f Y'
Ho
в которой строки — точные последовательности согласно
предложению 3. Поскольку / и g, а значит, также /[1]
и g [1] — изоморфизмы, /#,?#,/[1]# и g [1]* —изомор-
—изоморфизмы. По лемме о пяти гомоморфизмах- A1.7.8) /г* —
также изоморфизм. Это значит, что существует ф: Z' -*¦
-*¦ Z, для которого /мр = idz. Рассматривая аналогичную
диаграмму с Hom(Z, •), получаем существование а|з: Z-*¦
-> Z' с г|зА = idz. Отсюда ф = ф и h — изоморфизм.
б) Сразу следует из а). ¦
Выясним теперь, когда морфизм между вершипами
двух выделенных треугольников продолжается до мор-
морфизм а треугольников:
X
!/
X'
©
Г'— Z'
Имеем ум = 0, поэтому, если такое продолжение сущест-
существует, то v'gu = 0. Покажем, что этого достаточно.
5. Следствие. Если v'gu = 0, то g вкладывается в
морфизм треугольников. Если к тому же
Hom(X, Z'[—1]) = 0, то этот морфизм определен одно-
однозначно.
Доказательство. Напишем точную последова-
последовательность из предложения 3 для морфизмов X в нижний
треугольник:
, Z'[—1])-*-
{X, X') ->Нот (X, Y') -> Нот (X, Z') -> ...
/ 1-
gu
0
Ясно, что морфизм /, делающий коммутативным квадрат
ГЛ строится как прообраз gu и определяется с точностью
282
до образа Hom(X, Z'\— 1]). Любой выбор / позволяет
достроить морфизм треугольников по TR2 и, в част-
частности, найти морфизм h, делающий коммутативным квад-
квадрат ®. Аналогичное рассуждение с точной последо-
последовательностью морфизмов верхнего треугольника в Z' по-
показывает, что h единствен, если Hom(X[l], Z') = 0. ¦
6. Когомологические функторы. Функтор Я: 3) -»- s4-
из триангулированной категории D в абелеву категорию
s? называется когомологическим, если он аддитивен и
для любого выделенного треугольника
и v w
X-+Y—*Z—+X[l]
в 3) последовательность
Н(и) Н(г)
Я (X) —* H(Y)-^ H (Z)
точна в s& (ср. П1.6.14а)).
Из аксиомы TR2 вытекает, что если Н — когомологи-
когомологический функтор, то каждый выделенный треугольник в
3) приводит к длинной точной последовательности в
Осповпым примером когомологического функтора яв-
является функтор взятия 0-когомологий комплекса:
С"->Я* (С),рассматриваемый как функтор из К(^) или
D(^) в s4- (триангулированность К(^) и D(^) будет
доказана ниже, см. теорему 8 и следствие 2.8); его
когомологичность вытекает из определения выделенных
треугольников в K(j#) и D(^) и из длинной точной
последовательности когомологий.
Другим примером когомологического функтора явля-
является функтор X ь-* Hom^5 (U, s&) для каждого фикси-
фиксированного и^ОЪЗ) (см. предложение 3).
7. Конус морфизма. Согласно аксиомам, каждый мор-
морфизм и: X -*¦ Y в триангулированной категории опреде-
определяет с точностью до изоморфизма объект С (и)—третью
и
вершину выделенного треугольника X—>Y-+Z — С (и)'-*-
->Х[1]. Он называется конусом морфизма и (по-англий-
(по-английски — a cone, по-французски — ип cone: неопределенный
артикль подчеркивает неоднозначность выбора). Конус
задан вместе со стрелками Y -»¦ С (и) -»- Х[1].
283
Причина такого наименования объясняется следующим
замечанием. Ниже мы покажем, что для абелевой кате-
категории М- гомотопическая категория K(j$) с выделен-
выделенными треугольниками из III.3.4 триангулирована. В этом
определении выделенные треугольники представлены
диаграммами
ir-lcyi(/)+c(/)-l;r[i]. A)
f . " б
С другой стороны, диаграмма К' —*-L' —>С (/)->К' [1] изо-
изоморфна A) в категории K(j#): изоморфизм достав-
доставляется следующей диаграммой (обозначения взяты из
леммы III.3.3):
¦ и ¦
¦Су1(/)-
К'{1]
Читатель легко проверит, что в K(s?) она коммутативна
(хотя в Кот(^) не коммутативна). То, что а — изо-
изоморфизм в K(j$), проверено в лемме III.3.3.
Вернемся теперь к общим триангулированным кате-
категориям. Если бы мы пожелали сделать С функтором, то
мы могли бы: а) определить на объектах С: Ob(MorS))-»-
->0b.2) с помощью аксиомы выбора (здесь Мог SD — ка-
категория морфизмов категории 3)); б) определить на
морфизмах С: Мог (Мог .??>)->• Мог .25 с помощью TR3 и
аксиомы выбора; после чего мы бы столкнулись с тем,
что равенство С (и ° v) = С{и)° C(v) ниоткуда не следует.
Эта «нефункториальность конуса» является первым симп-
симптомом некоторого неблагополучия в аксиоматике триан-
триангулированных категорий. К сожалению, удовлетвори-
удовлетворительного изменения этой аксиоматики пока нет.
Можно поставить следующий вопрос. В разных ситуа-
ситуациях возникают категории ,$, снабженные конструкцией
«абстрактного конуса» С: Мот($)->-&. Нет ли полезной
общей аксиоматики таких отображений? Аксиомы долж-
должны затрагивать по меньшей стороне две структуры:
а) функториальные свойства С по отношению к морфиз-
мам в Мог(^); б) поведение С при композиции морфиз-
морфизмов (относительно морфизмов в категории Мог (М)).
8. Конус композиции и аксиома октаэдра. Пусть
X -> Y, Y->-Z — два морфизма в триангулированной ка-
категории SD. Достроим их до треугольников с третьими
284
вершинами С(и), C(v). Определен морфизм w. C(v)-*-
-*¦ С(и) [1] — композиция морфизмов С (у)-*- Y[i] (из вто-
второго треугольника) и У[1] -*- С (и) [1] (из первого тре-
треугольника). Часть содержания аксиомы октаэдра можно-
выразить следующей формулой:
w
С (v о и) = С (С (v) —* С (и) [1]) [- 1].
В самом деле, рассмотрим верхнюю шапочку октаэдра,
достроенную по коммутативному треугольнику
В обозначениях п. 1 имеем:
Z' = C(u), X' = C(v),
Y' = C(v°u) (правый треугольник нижней шапочки).
С другой стороны, из левого треугольника нижней ша-
шапочки следует, что Y' = С (w).
Оставшаяся часть содержания аксиомы октаэдра ка-
касается описания входящей в C(v°u) и выходящей из
C(v°u) стрелок.
Дополнительные сведения о смысле аксиомы октаэдра
см. ниже, в п. 2.10.
Заключительная часть этого параграфа посвящена до-
доказательству следующей теоремы.
9. Теорема. Пусть М- — абелева категория. Тогда
категория К(^) со стандартным функтором сдвига и вы-
выделенными треугольниками, описанными в п. III.3.4, яв-
является триангулированной категорией.
То же верно для категорий К*{бФ) и Кь(.р?).
Доказательство состоит в проверке аксиом.
10. Проверка аксиомы TR1. Утверждения б) и в)
следуют соответственно из определений и замечания о-
и
выделенности треугольников Х-*-У->С(и)->-Х [1] в
п. 6. Утверждение а) устанавливается рассмотрением
диаграммы
хХх-+ 0 ->Х[1]
II ,.11 1
285
Мы должны проверить, что она коммутативпа в ()
ж доставляет изоморфизм треугольников. Существенный
момент — проверка того, что нулевой морфизм комплекса
С (id) = X © X [1] гомотопен тождественному морфизму.
Вот явный вид гомотопии:
d°h, h =
11. Проверка аксиомы TR2. Пусть Д? — треугольник
и v w —и[1]
X-*-Y-*-Z-*-X[l], а Д2— треугольник У-*~Z—*-X [1] -»-
>-У[1]. Мы проверим, что если Д, выделен, то Д2
выделен. Обратное утверждение можно либо проверить
аналогично, либо вывести из прямого, применив его
дважды к Д2 (и дополнив надлежащим сдвигом).
Выделенность Д2 мы установим, построив явный изо-
изоморфизм с выделенным треугольником
Д3: Y-^zXc(v)Xy[1].
Поскольку Ai — выделенный треугольник, можно счи-
считать, что Z = С(и) — Х[\] © У, а у и w -— естественные
морфизмы. Тогда
C(v) = Y [1] е z = У [1] © х [1] © z,
и дифференциал dC(T) задается в этом разложении мат-
матрицей
О id-,
Определим морфизм комплексов 9: X[l]->-C(v) фор-
формулой
9'(а;*+1) = (-а<+1а:<+1, xi+l, 0)
для хг+1 е X [1]' = Х1+<. Покажем, что диаграмма
Y-^Z-^L
задает морфизм треугольников в K(j^). Единственным
неочевидным утверждением является гомотопность двух
отображений s и 9 ° w из Z = X[1]®7 в С(у)==У[1]Ф
®X[i\®Y. Используя явные формулы для s, w и 9,
286
легко убедиться, что искомая гомотопия h1: Z' -*¦ С (у)'"*
имеет вид
ti(*i+l, у') = (у\ о, 0).
Покажем теперь, что этот морфизм треугольников явля-
является изоморфизмом. Для этого нужно проверить, что
9: X[\]->-C(v) — изоморфизм б К(.5$). Определим
г|): С (у)-»- X[i] как проекцию на второе слагаемое. Тогда
of) о 0 = idxii], а 9 ° г|) задается формулой
t
Несложно проверить, что гомотопия между 9 ° г|) и idC(B)
задается так:
V: С (уI» С (у)*; (y1+1, *i+\ у*) ~ (»*, 0, 0). а
12. Проверка аксиомы TR3. В диаграмме TR3 (п. 1)
достаточно рассмотреть случай Z = C(u), Z'-C(u'), vr
г/, w, w' — стандартные морфизмы. Тогда h можно взять
в виде
Прежде чем приступать к проверке аксиомы окта-
октаэдра, докажем одно вспомогательное утверждение.
Назовем точную последовательность комплексов 0->-
и v
-»- X-^-Y-+Z -*-0 почленно расщепимой, если для каж-
каждого i существует морфизм u/: Z1 -*¦ Y' такой, что vlw% =
= idzi (не предполагается, что {и?)—морфизм комплек-
комплексов). Например, точная последовательность
0 _> 2Г-i Cyl (/)-^ С
0
из A) почленно расщепима и, значит, каждый выделен-
выделенный треугольник в К (.5$) изоморфен такому Х->-У->
-»- Z -*¦ X [1], что первая тройка является почленно рас-
расщепимой точной последовательностью.
Справедливо и обратное:
13. Лемма. Любая почленно расщепимая точная по-
последовательность в Кот(^) дополняется до выделенного
v w
и v w
треугольника X->-Y-+Z-+-X [1] в К ()
Доказательство. Фиксируем некоторое почлен-
почленное расщепление, т. е. будем считать, что У* = Хг © Z\
и — вложение, v — проекция,
287
Легко проверить, что условие d\ = 0 равносильно тому,
что /: Zx -*¦ Xi+1 образуют морфизм комплексов
Рассмотрим треугольник
и покажем, что он выделен. В самом деле, он изоморфен
выделенному треугольнику:
x@z-
ф
Х-^Х
Z
8 \
1
-+х\\\
z >с(и) = х [1] е x®z—> х\\]
где g = (/, 0, id)
Необходимые проверки: a) g — морфием комплексов.
Очевидно вытекает из формулы для dC(u):
б) Коммутативность квадратов Фи®. Очевидно.
в) Коммутативность квадрата ® по модулю гомото-
пий. Имеем:
s: (У, z{) ~ @, х\ 2;),
Гомотопия к между s и g ° v задается, как несложно про-
проверить, формулой
к\: i1 (\*)(\)
г) g — гомотопическая эквивалентность. Зададим
g': X[l]®X®Z-+Z как проекцию ла третье слагаемое.
Тогда g' ° g = idz, a g° g' — задается формулой
Гомотопия I между g ° g' и idC(u) такова:
Г: (xi+\ x\ i) - (х\ 0, 0)
<ор. п. 12).
14. Проверка аксиомы октаэдра TR4. Пусть дана
верхняя шапочка октаэдра (обозначения из п. 1). В си-
силу леммы 13 можно считать, что оба выделенных тре-
треугольника в ней почленно расщепимы в том смысле, что
Г = X* ® Z'\ % =Yl® X" = Хг® Zri ® X'\
288
соответствующие стрелки суть вложения и проекции,
а стрелки, отмеченные знаком [1], связаны с расщепле-
расщеплением по формулам B) и C).
Обозначим эти стрелки:
/: Z'
(g, h): X'
а) Построение нижней шапочки. Положим
o%r (z'\ хп) = (dW + h'ix'1), d^x'1).
Легко проверить, что это комплекс. Два диагональных
морфизма нижней шапочки: Z' -*¦ Y', Y' -*¦ X' — это соот-
соответственно вложение и проекция. Морфйзм Z-*-Y' есть
проекция
X®Z'®Xr-+Z'® X'.
Наконец, морфйзм У -»- ХЦ] есть
Нужно проверить, что треугольники ir выделены,
а ь — коммутативны. Коммутативность очевидна из яв-
явных определений. Выделенность устанавливается приме-
применением доказательства леммы 13 к почленно расщепи-
мым точным последовательностям
0 + Z' - Y' ->¦ X' -> 0,
б) Совпадение в K(j^) двух морфизмов Y-+Y' и
двух морфизмов У-*-У[1]. Прежде всего, оба морфизм:а
Y ->- У задаются формулой
Далее, композиция
задается формулой
(Л *М) - (У («'*) +«г1 (*'*), о),
а композиция
19 с. II. Гельфанд, 10. И. Манин, т. 1
289
— формулой
Легко проверить, что гомотопия к = {к1ш. Y'' -*¦ Yfl]1 =
= У} этих композиций задается формулой
Л1: (Л х'*) е= У'1 = 2'*фХ'4 ~ (О, ZM) е= Х*®?1 -= У\ .
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Триангулированные и абелевы категории. Напомним, что
абелева категория s4- называется полупростой, если любая корот-
короткая точная последовательность в s& расщепляется (см. II 1.2.3,
Ш.5.8).
Мы наметим доказательство следующего утверждения. Пусть
триангулированная категория % абелева. Тогда Ф полупроста и
любой выделенный треугольник в W изоморфен треугольнику вида
4уЛкег/[11вСокег/Л X [1]
Х
уЛкег/[11вСокег/Л
(с естественными g и h). Обратно, если s4-— полупростая абелева
категория и s4--^>- s4- — произвольный автоморфизм s&, то этот
автоморфизм вместе с описанными выше треугольниками задает
в s& структуру триангулированной категории.
Обратное утверждение доказывается непосредственной провер-
проверкой. Для доказательства прямого утверждения достаточно прове-
проверить следующее. Пусть Ч? — произвольная триангулированная ка-
категория, ¦/: X-*-Y — мономорфизм в %. Тогда / — вложение на
прямое слагаемое.
В самом деле, пусть Z [— 1] —*¦ X —» Y —> Z — выделенпый
треугольник., построенный по /. Тогда / • а.= О, откуда а = О
(/—мономорфизм), т. е. а[1] • idz = 0 и существует f: 2->-У
с р • "f = idz. Для доказательства того, что / Ф Ч: X Ф Z ->¦ Y —
изоморфизм, достаточно проверить, что конус /Ф 1 изоморфен П.
Это вытекает, например, из диаграммы октаздра, верхняя шапочка
которого содержит коммутативный треугольник
2. Примеры триангулированных категорий. Пусть 3D — адди-
аддитивная (по не обязательно абелева) категория. Проворьте, что,
повторяя определения из Ш.4.1, можно ввести категорию К(М)
комплексов над Я с точностью до гомотопической эквивалентно-
эквивалентности. Покажите, что категория К(&) триангулирована (при опре-
определении выделенных треугольников и функтора сдвига так же,
как в случае абелевой категории).
В частности, пусть Ж — семейство объектов некоторой абеле-
абелевой категории зФ, Л® — полная подкатегория si, состоящая из.
290
коночных прямых сумм объектов из М. Тогда категория Ж9 адди-
аддитивна и соответствующая триангулированная категория К(ЖФ)
обозначается Тг Ж.
Другие примеры триангулированных категорий см. в работе
Бейлинсон, Бернштейн, Делишь [1], § 1.1.
§ 2. Производные категории триангулированы
1. Локализующие классы морфизмов в триангулиро-
триангулированных категориях. Производная категория D* {s&) полу-
получается из K*(s?) локализацией по локализующему клас-
классу морфизмов (см. III.2.6). Вообще, мы покажем, что
в такой ситуации структуру триангулированной катего-
категории можно индуцировать на локализованной категории,
если класс морфизмов S удовлетворяет следующим свой-
свойствам совместимости с триангуляцией:
а) seS^ T(s)e=S.
б) Рассмотрим диаграмму TR3 (п. 1.1). Если в этой
диаграмме /, g*= S, то существует дополняющий морфизм
2. Теорема. Пусть 2D — триангулированная катего-
категория, S — локализующий класс морфизмов, совместимый
с триангуляцией. Введем на 2DS функтор сдвига Ts тавто-
тавтологически (Ob^5s = Ob^5, TS = T на объектах). Назовем
треугольник в S)s выделенным, если он изоморфен обра-
образу выделенного треугольника относительно функтора ло-
локализации 2Е> -*- <2)я.
Тогда ?DS с этими структурами будет триангулирован-
триангулированной категорией.
3. Доказательство. Напомним прежде всего, что мор-
морфизм /: Х-+ Y в 0s представлен диаграммой-домиком
в 3) вида
где s e S, а два домика представляют один морфизм, если
их «можно накрыть общей крышей» (см. III.2.8). До-
Доопределим Ts на морфизмах, полагая, что Ts(f) задается
домиком ТG)
T{Y)
11*
291
Здесь используется свойство la): T(s)^S, Читатель лег-
легко проверит корректность.
Дальше будем проверять по очереди аксиомы TR
для 3>в.
4. Проверка TR1. В проверке нуждается лишь свой-
свойство в). Пусть морфием ХДУ в 3)s представлен доми-
домиком X J~ Z Д, У, s ^ S. Дополним и' до выделенного
треугольника в 3):
А: гХуЛилгц].
Обозначим через А' следующий треугольник в 3)а'
А': ХЛУЛи^ХЦ].
Имеется очевидный морфизм треугольников: (s, idr,
idv): А -»¦ А' в 3)s, который является изоморфизмом, по-
поскольку s обратим в 3)s. Значит, X -*- У дополняется до
выделенного треугольника.
5. Проверка TR2. Эта аксиома очевидным образом
следует из определения и свойств Т.
6. Проверка TR3. Можно считать, что заданные вы-
выделенные треугольники в SDS представлены выделенны-
выделенными треугольниками в 3), а морфизмы /, g — некоторыми
домиками (s, f), (t, g). Тогда нам предстоит построить
вертикальные пунктирные стрелки г, Ъ в следующей
диаграмме (а горизонтальные пунктирные стрелки будут
вспомогательными морфизмами):
шаг I
шаг II
Шаг I. Мы утверждаем, что, заменив при необхо-
необходимости домик, представляющий морфизм X J+. X'', мы
сможем добиться того, что будет существовать морфизм
X" Д> У" в 3), делающий соответствующие два квадрата
коммутативными.
292
В самом деле, по свойству локализующего класса мы
можем дополнить до коммутативного квадрата в 3) диа-
диаграмму:
Y
Заменим X" па X, s на st, f на ft. Ясно, что X +— X" 1^.
—> X' представляет тот же морфизм X 1* X' в 3)s- Да-
Далее, морфизм X Д» X" делает коммутативным один из
двух квадратов («а заднем скате крыши): tu = ust.
Второй же квадрат пока заведомо коммутативен в 2)8,
но не обязательно в 3): из u'j = gu следует формально
u'fs~i = gt~iu = gu{st)~l, откуда в Мог^)в имеем u'ft =
= gu.
Чтобы добиться ого коммутативности в 3), нужно еще
раз заменить представителя /. Рассмотрим два морфизма
и ft, gu: X-+Y' в SD. Поскольку в 2)в они становятся
одинаковыми, по свойству локализующей системы суще-
существует их «левый уравнитель» из S: X -%¦ X. В качестве
нового X" возьмем X; остальное понятно.
III а г II. Дополним X" Д». У" до выделенного тре-
угольника л -^ У _> Z -ч> X [1]. По аксиоме TR3 в
2) достроим морфизм Ъ так, чтобы получился морфизм
треугольников. Аналогично построим г, но с дополни-
дополнительным условием r<^S, воспользовавшись свойством 16)
совместимости S с триангуляцией.
Обозначим через h морфизм Z -*¦ Z' в 3)s, представ-
представленный (г, Тг). Очевидно, что (/, g, h) определяет мор-
морфизм исходных треугольников в 3)в-
7. Проверка TR4. Пусть в категории 3)s задана верх-
верхняя шапочка, как в п. 1. Прежде чем достраивать ее до
октаэдра, установим следующий факт: любая верхняя
шапочка в 3)s изоморфна в 3)s верхней шапочке, при-
пришедшей из 3).
В самом деле, задать верхнюю шапочку в 3)s — это
то же, что задать два выделенных треугольника с общей
вершиной:
Д,: X-vy-vZ' + X[l],
Д2: X'[-i\+Y-+Z-+X'.
293
Следовательно, нам достаточно построить подъемы этих
треугольников Д,, Д2 в 3), сохраняющие общую верши-
вершину 7.
Мы заведомо можем построить такие подъемы, если
не заботиться об общей вершине:
x'[-ij->y2->z2^x;.
Объекты Fi и Т2 становятся изоморфными в 3)s. Поэтому
в 3) они связаны домиком Yt -Д Y —> Y2, s, t^S. Поль-
Пользуясь s, заменим первый треугольник на треугольник с
вершиной Т, изоморфный ему в 2DB:
"V--
1
Л',
¦Y-
®
-Z
И
©
©
Квадрат © (включая вершину X) достраивается по
свойству III.2.66) локализующего класса морфизмов, так
что X ->- Xi также лежит в S. Стрелки © и ® вместе
с объектом Z' достраиваются по аксиоме TRla) в 3).
Наконец, квадрат © достраиваем по аксиоме TR3 в S>,
дополненной условием 16), согласно которому морфизм
Z —*-Zt, можно выбрать лежащим в S.
Аналогично, пользуясь t, заменим второй выделенный
треугольник на треугольник с вершиной ?, изоморфный
исходному в 3>s.
Теперь объединим эти два треугольника в верхнюю
шапочку в 2) ж но аксиоме TR4 в 3) дополним ее до
октаэдра. Образ этого октаэдра в 3)Б, очевидно, останется
октаэдром. Это заканчивает проверку TR4 в 3)8. ш
8. Следствие. Производные категории T)*(s?) три-
триангулированы.
Доказательство. Чтобы применить теорему 2 к
ситуации Ф — К*(.??), S = {квазиизоморфизмы}, остается
проверить совместимость S с триангуляцией, поскольку
структура триангулированной категории на K*(s?) уста-
установлена теоремой 1.8.
Но свойство 1а) для S очевидно, а свойство 16) следу-
следует из леммы о пяти гомоморфизмах (упр. П.5.6), приме-
294
нежной к диаграмме из точных последовательностей кого-
мологий (Ш.3.6) для двух треугольников, фигурирую-
фигурирующих в TR3.
В D*(^) лемма 1.13 допускает следующее усиление:
9. Предложение. Любая точная тройка комплек-
комплексов в К* (s&) 0-»-ХЛУЛ2->0 дополняется до вы-
выделенного треугольника в D*(*s$) подходящим морфиз-
мом Z-+X[l] и любой выделенный треугольник в D*(j$)
изоморфен такому.
Доказательство. Все следует из основной диа-
диаграммы, построенной в лемме III.3.3: требуемый тре-
треугольник имеет вид
X Л Cyl (и)->С (и) Л X [1].
Предложение III.3.5 показывает, что исходная точная
тройка связана квазиизоморфизмами с этим треугольни-
треугольником. Аналогичное рассуждение, проведенное в п.1.12 для
К*(.я?), доказывает последнее утверждение.
10. Конус и аксиома октаэдра для морфизмов, пред-
представленных вложениями. Предложение 9 позволяет дать
следующую интерпретацию конуса и аксиомы октаэдра
в Т)*(а)
(
Если морфизм X-%¦ Y в D*(.9?) представлен вложе-
вложением комплексов, то конус представлен факторкомплек-
сом Y/u(X), а соответствующее отображение Y-»C{u)
есть факторизация.
Рассмотрим теперь диаграмму октаэдра, в которой
морфизмы Х->-7и F -*- Z (а значит, иХ^-Z) представ-
представлены вложениями комплексов. Мы утверждаем тогда, что
суть аксиомы октаэдра состоит в существовании есте-
естественного изоморфизма
Z/Y~(Z/X)/(Y/X).
В самом деле, X' — Z/Y, Z' = Y/X. Далее, из нижней ша-
шапочки, Y' = Z/X и морфизм Z' -*¦ Y' (представлен есте-
естественным вложением Y/X -»- Z/X. Наконец, третья верши-
вершина X' левого треугольника в нижней шапочке представ-
представлена фактором Y'JZ' = (Z/X)/(Y/X), а она же в верхней
шапочке есть Z/Y.
11. Расширения. Предложение 9 оправдывает следую-
следующую терминологию. Пусть ЗУ — триангулированная кате-
категория. Объект Y в ней называется расширением Z с по-
помощью X, если существует выделеппый треугольник
295
X -»- Y -*¦ Z ->- X[i]. Подкатегория Ю' в З) называется
устойчивой относительно расширений, если для любого
выделенного треугольника X -*- Y -> Z -*• X [1] из того, что
X, У^ОЪЗ)', следует, что Z е Ob й>'.
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Системы Постникова и свертки, а) Пусть Ф — триаигулиро-
ванная категория, X =\Х —>¦ л —> ...->-л г — конечный ком-
комплекс над 2Ь (т. е. композиция двух последовательных d punna 0).
Правой системой Постникова, подчиненной X, назовем: любую
диаграмму вида
в которой все треугольники
Xv [n - v]
Xv [n - v
выделены, a jv <> U: Xv[n — v] -+• Xv+1 [n — v] совпадает с dv[n — v].
Левой системой Постникова, подчиненной X', назовем любую
диаграмму вида
X
я-1
в которой все треугольники
Zv [1]
выделены, а Д, о iv = dv.
Правой (соответственно левой) сверткой комплекса X' на-
назовем любой TeObiZ), для которого существует правая (соот-
(соответственно левая) система Постникова, подчиненная X", с
Т = Ya[n — 1] (соответственно Г = Zn[n]).
б) Докажите что класс правых сверток X* совпадает с клас-
классом левых сверток X'.
296
Схема доказательства. Случай п = 1 очевиден. Пусть
п = 2 и Г — правая свертка комплекса Х° —* X —> X2. Построим
по соответствующей правой системе Постникова нижнюю шапочку
октаэдра
71-21 У"\ 1
dl
./"ЛИ У1 HI *
и достроим по до верхней шапочки
^Х1
по которой строится левая система Постникова
Г[-2]
сверткой которой является Г [—2] [2] = Т.
При п > 2 используем индукцию. Разберем случай п = 3.
Пусть Г = У0 [2] — правая свертка комплекса
297
отвечающая системе Постникова
/ •
'
Х°\°,\ J°[3] '' Хх\'
Построим объект Z как третью вершину некоторого выделенного
треугольника
Используя аксиому октаэдра, аналогично слутаю и. = 2 построим
морфизмы г: У'[—1] ->-Z, 9: Z-*-X3[l] такие, что d2 = qu, /0[-l] =
= иг. Полагая /> == г[—1]('о[—2], рассмотрим комплекс
Легко видеть, что У°[1] есть его правая свертка. Используя ин-
индукцию, построим соответствующую левую систему Постникова
Проверьте, что диаграмма
(*)
является правой системой Постникова для комплекса Х°-*-Х1^-
->Х2, так что Р[2] —его правая свертка. Снова используя индук-
индукцию, постройте соответствующую левую систему Постникова для
этого комплекса и, соединяя ее с системой (#), постройте искомую
левую систему Постникова для исходного комплекса X', показы-
показывающую, что Т является левой сверткой X".
Обозначим класс всех сверток комплекса X' через TotX".
Он может быть пуст, а может содержать много пеигюморфных
объектов (при п ;зг 3).
в) Гиперсимплексы. Назовем выделенным (п -\- 1)-мерным
гиперсимплексом над триангулированной категорией Я) диаграм-
293
му G, состоящую из объектов X[i' ¦>'], 0 ^ i ^ / ^ п, и морфизмов
gUh: XI'.*] -^X^'Ji,
ft,*: ХК.л ->XU+1. « [1],
для всех троек i ^ j <. к таких, что все треугольники
'h] [1]
выделены в®, а все треугольники вида
в G коммута-
диаг-
диагтивны. При п = 1 G — выделенный треугольник, при п =
рамма октаэдра.
Вообще, (к, п)-гиперсимплексом называется многогранник
А(к, п), образованный центрами fc-мерных граней re-мерного сим-
симплекса А". Выделенный (n -f- 1)-мерный гиперсимплекс над St> —
ото диаграмма, объекты которой размещены в вершинах гиперсим-
гиперсимплекса ДA, п + 1), а морфизмы отвечают ребрам: объект Х['. Jl,
О =^ I ^ I =С «, стоит на середине ребра (i, j + 1) симплекса Д"+1.
Многогранник ЛA, п + 1) имеет два типа и-мерных граней: (п + 2)
n-мерных симплекса Л" и (и + 2) гиперсимплекса ДA, п) (най-
(найдите их), Соответствующие поддиаграммы в выделенном (гс + 2)-
мерном гиперсимплексо над SD — это соответственно коммутатив-
коммутативные симплексы и выделенные гс-мерные гиперсимплексы. (Это
разделение аналогичпо разделению граней выделенного октаэдра
на коммутативные и выделенные треугольники.) Экватором вы-
выделенного (и + 1)-мерного гиперсимплекса называется его под-
поддиаграмма
Она однозначно определяется как единственный ориентированный
цикл длины п + 1 в G, никакие два последовательных ребра ко-
которого не лежат в одной «-мерной грани. Композиция любых двух
последовательных морфизмов экватора равна 0.
Докажите, что свертки комплекса X —> X -*¦ ...->¦ X мо-
могут быть определены как такие объекты Т е Ob .25, что для неко-
некоторых а: Г^Х°, р: Хп[—п] -> Т цепочка
299
— экватор некоторого выделенного (п + 1)-мерного гиперсимплек-
гиперсимплекса над SD. Выведите отсюда, что имеется следующая циклическая
симметрия: если Т есть свертка Х0-»-^1-^ ... -+Хп, то Х° есть
свертка X1 -v X2 -> ... ^Х11 -»- Г [?г].
1
Г) Пусть Х- =
'-Д. ...->Х"/и У
; Tot X', Г е Tot У
(так что заданы мор-
два комплекса, S , ( ч аданы мор
физмы a: Xn~+S[n], (J: Г[ге] ->У°[ге]), и /: T-+S — проилнолг.иый
морфизм, включенный в выделенный треугольник
Докажите, что f/eTotZ', где Z' —комплекс Z' = (X0 >-X1-*¦
-> ... _>.хп Д.У°[и]-^-У1[п]-> ... ^Ym[n\) с ф= рв/[ге]оа.
Примеры сверток.
д) Пусть S5 = Db(.s?) —производная категория абслепой кате-
категории s4, F°K' с i^iT С ... с ^ПАГФ = AT" — комплекс над s4
с конечной возрастающей фильтрацией. Диаграмма
'F2K'
является правой системой Постникова над 55, подчиненной ком-
комплексу
'lF1^) [- 2]
(здесь б* — связывающие морфизмы в выделенных треугольниках,
отвечающих точным последовательностям комплексов0-*/11 ~].ЙТ'->-
-+FlK' -+FlK''/Fl~1K' ->0), свертка которой есть К' [га].
е) Пусть si-—аддитивная категория, iZ> = Kb(.s?)—гомотопи-
Kb(.s?)—гомотопическая категория конечных комплексов над si-. Скрученным комп-
комплексом называется биградуированный объект С ={Сг'}, Cli = 0 для
всех (г, ;), кроме конечного числа, снабженный семейством эндо-
эндоморфизмов dki C-+C бистепени (к, 1 — к), к == 0, 1, 2, ... таким,
BJ
В частности, d^ = 0, т. е. каждый Сг'' —комплекс над s?,
dQdi + did0 — O, т. е. dt: С- *-v С4+'¦•—морфизм комплексов,
— dj = d й -f~ ^od2, T- e. d^ гомотопно 0. Следовательно, имеем
комплекс над "
Покажите, что (C,d), где С" = ф Сг;', d--=y\dk, является
г+)=п
сверткой этого комплекса над К&(?)
300
2. Спектральные последовательности. Пусть 35 — триангули-
триангулированная категория, 11: Ф -*¦ s4- — когомологический функтор из St)
в абелеву категорию st, Нр{Х) = Н{Х[р]) для X е ОЬ Й5. Пусть
X" — конечный комплекс над ,25, TsTotX' —некоторая его
свертка. Тогда существует спектральная последовательность с
е™ = Hq (хр), лп' ^;/" (г).
Чтобы построить ее, рассмотрим правую систему Постникова,
подчиненную X', для которой Г = У°[гс — 1]. Применяя к различ-
различным членам этой системы Постникова подходящие степени функ-
функтора сдвига, получим диаграмму следующего вида (мы считаем,
что Х> = 0 при / > п):
Применяя к этой диаграмме функтор Я", получим биградуиро-
ваппую точпую пару
.К"
в которой Evlq = Hq(Xp),D\q^H^{Yv[n~i,\) и бистепени
i, U 6 равны соответственно A, 0), @, 0), A, —1).
Докажите, что спектральная последовательность, отвечающая
этой точной паре, сходится к Я"(Г) (ср. с упр. Ш.7.3 в)).
б) Пусть si- — абелева категория с достаточным числом инъек-
тивных объектов. Докажите следующее обобщение предложения
Ш.7.11. Пусть К' е= ObKom+ {&), {FPK'} — конечная фильт-
фильтрация К'. Тогда у всех FPK' существуют согласованные ре-
резольвенты Картана — Эйленберга. Точнее, у К' существует
резольвента Картана — Эйленберга L" ={L1*} с конечной фильт-
фильтрацией FpL" такой, что FPL"—резольвента Картана — Эйлен-
Эйленберга FVK' (при отображении. FPK' ->-Fpb"'0, индуцированном
Пусть, далее, Х',У— два конечных комплекса над S4-.
Тогда существуют две спектральные последовательности Эйлен-
Эйленберга—Мура, сходящиеся к Е^ = Нот ь (Х", У [п]) и
имеющие члены Е\ следующего вида:
i-i=P
301
Указание к построению. Рассмотрим более общую
ситуацию, когда нам заданы два конечных комплекса Х',У,
снабжеппых конечными фильтрациями FlX', FlY'. Построим
спектральную последовательность, сходящуюся к тому шс преде-
пределу jE*^, что и выше, и имеющую
• [p I- '/])•
Для этого нужно распространить резольвенту Картана - Ойлеп-
берга на комплексы, ввести в /' (X") фильтрацию, полагая
F1!' (X') = I' (f'X"), и рассмотреть естественную фильтра-
фильтрацию в Нот' (/' (X'), У"), индуцированную фильтрациями в
/' \Х') и Y'. Последовательности Эйленберга — Мура получают-
получаются, если в качестве FXX' и FlY' взять глупые или канониче-
канонические фильтрации (III.7.5). Член иЕг возникает из-за того, что в
градуировке, связанной с канонической фильтрацией (см. 111.7.0),
дифференциал бьет ходом коня.
в) В предположениях п. б) сразу получаем, что если
Ехр^(Х\ Y})= 0 для всех р > 0 и всех г,/, то Нот^^СХ", К')=
= Нот 6,^, (Х',У). Докажите, что это утверждение справедливо
для любой абелсвой категории s& (не используя резольвенту Кар-
тана — Эйленберга). Оно обобщает упр. Ш.5.1а.
3. Произведения Масси. а) Пусть 55 — триангулированная ка-
категория и X' —комплекс длимы 4 над 3):
-У u
d
¦ха
кг
J1]
Y
р
Пусть У — третья вершина какого-либо выделенного треугольника,
содержащего dK Поскольку d'd° = d2dl = 0, существуют морфиз-
мы р: У->-Х3, q: Х°->-У[—1], делающие крайние треугольники в
этой диаграмме коммутативными (см. предложение 1.3). Компо-
Композиция jd[—1] og: Х°->-Х3[—1] называется тройным произведением
Масси и обозначается <d2, dl, d°>. Неоднозначность выбора р и q
приводит к тому что <d2, d1, d0} определен с точностью до под-
груины
А =: Нот (Х\ Х3[— 1] )о
[—1] о Нот (Xй, Х2[-1]) с
с: Нот (Х°,
Покажите, что комплекс X' обладает хотя бы одной системой
Постникова (так что Tot X" непуст) тогда и только тогда, когда
образ <d\ d\ d°> в Нот (Х°, Х*[1])/А равен 0.
302
б) Пусть задан комплекс X' длины п -\-1:
Обозначим череп <d"-', ..., d°> подмножество Нот (Х°, Х"[2 — «]),
состоящее из таких 0. что существуют: Свертка Т комплекса
X1 -*¦... —^Х" и такие морфизмы j и р (см. диаграмму), что
крайние треугольники коммутативны и 6=/? [2 — п] о д (здесь а
и р происходят из системы Постникова, реализующей Т как
свертку). Докажите, что
б,) <d"-1, ..., d°> Ф 0 тогда и только тогда, когда 0 е <d"-1, ..,
..., d1>H0e<d"-2, ..., d°>.
б2) Комплекс X" обладает хотя бы одной системой Постнико-
Постникова тогда и только тогда, когда 0 е <dtl~I, ..., d°>.
в) Пусть SE> = K(,s?) для абелгвой категории ?#-. В этом слу-
случае произведения Масси можно определить по-другому. Для
V', V ' eOb Kom (.s/) •-- Ob К (st) будем обозначать через д
дифференциал в комплексе Нот' (U',V'), так, что д-коциклы
степени i — это морфизмы комплексов U'-*-V [i], 3-когра-
пицы — это морфизмы, гомотопные 0, и Hom^, rfA(?/",V [i]) =
= лЧнот(г/',у;)).
X3— комплекс длины 4 над
Н1 (
Пусть X —» Xх —*¦ X , „ ,.„.„.. > „ , ,,
т. е. 3d* = 0, dld° = ди, d2dl = dv для некоторых и е Нот-1 (Х°, X2),
v е Нот-'1 (X1, X3). Докажите, что 6 = d2 [—1] и — vd° e
еНот-'(Х°, X3) является d-коциклом, т. о. задает морфизм ком-
комплексов Х°->Х3[—1]. Проверьте, что его класс в Нотк,^Лл ,
X3 [—1])/А, где А — подгруппа, определенная в п. а), опреде-
определяется однозначно и совпадает с <d2, d1, d°>.
X1
2 С
X2 _
Х*}~комплекс дли-
дли(по модулю соот-
соотг) Пусть Х- ={х° ^
ны 5 в K(s4) и <d2, dl, d°> = 0, <d3, d2, d'> =
ветствующих подгрупп). Это означает, что существуют
кеНош-1 (Х°, X2), геНот-1 (X1, Xs), we Horn-1 (Х=, X4), ае
е- Нот-2 (Х°, X3), р е Нот-2 (X1, X4), т <= Нот-2 (X1, X3) такие, что
o!'d0 = 6u, d2d' = dv, d3d2 = 5м?, d2u — vd° = да + xd°, d3i; — wd1 =
= d$ — dh. Проверьте, что б = d3a— wu + $d° e Hom-2(X°, X*)
является S-коциклом, т. е. задает морфизм Х°->-Х4[—2] в Komrf.
Проверьте, что класс 6 в Нотк,^ч (X , X4 [— 2]) определяется
с точностью до прибавления элемента из
В = d3[—2] о Нот (Х°, Х3[—2]) +
+Нот (Х2[—1], Х4[-2]) Нот (Х°, Х2[-1]) + Нот (Х',Х*[-2]) о 6й.
Проверьте, что <d3, d2, d\ d°> = 6 + В.
д) Проделайте то же для любого п.
303
е) Произведения Шасси и касательное пространство. Пусть
X — аффинное алгебраическое многообразие над С; А = С[Х]~
алгебра функций, ieX- (возможно, особая) точка, СХ = АЩХ~
поле вычетов в х, рассматриваемое как Л-модуль. Дот:ажптр, что
Ext^ (Сх, Сх) отождествляется с ТХХ — касательным прост-
пространством Зариского к X в х, и при этом
п раз
{I <= Ext^ (Сх, Сху. <|, ..., |> = 0 для всех п)
отождествляется с ТСХХ = Spec (ф ЯЯх/$1гх+1) — касатолып.гм ко-
конусом к X в х.
§ 3. Пример: триангулированная категория А-модулей
1. Грассманова алгебра. Пусть к — поле характери-
характеристики ?=2, Е — линейное пространство над к размерности
п +1. Рассмотрим Z-градуированную внешнюю алгебру:
{=»
Обозначим через Ж {А) категорию левых унитарных
Z-градуироваиных Л-модулей, морфизмы в которой — го-
гомоморфизмы нулевой степени. Пусть J(b(A)—полная
подкатегория J((A), состоящая из конечно порожденных
Л-модулей (это условие равносильно конечномерности
над к).
2. Операции над Л-модулями, а) Пусть V — некото-
некоторый Л-модуль. Положим для roeZ
F(m)' = r-m, V(m)= © V(m)\
iaz
Сохраним умножение на Л тем же. Очевидно, операция
сдвига градуировки V *-*¦ V (тп) продолжается до функто-
функтора тождественым отображением на морфизмах / >-*•
<-> f(m) = f-
б) Для двух Л-модулей F, V положим
V <g> V = ф (V ® V'I, (F®F')!= 0 V1 ®V'j,
e(v® v') = ev®v' + (-l)aeg' v ® ev',
veV, v'eV, ее Е.
Таким образом, тензорное произведение мы всегда в этом
параграфе строим над к, а не над А.
в) На любом левом Л-модуле V имеется канониче-
каноническая структура правого Л-модуля Vr с умножением
304
Отображение V>-+Vr очевидным образом продолжается
до функтора, устанавливающего изоморфизм между кате-
категориями левых и правых (градуированных) модулей.
г) Положим F* = Homft(F, к) и снабдим V* умноже-
умножением на А по формуле (Аф) (р) = (-1)<1в«*а'«*ф(Л,р). Вме-
Вместе с градуировкой (F*)'=Homft{F~*, к) это определяет
на F* структуру Л-модуля.
3. Предложение. Для V е= Жъ (Л) следующие ус-
условия эквивалентны:
а) F свободен (т. е. V= фЛ(га;));
б) V проективен в i?b(A);
в) F инъективен в „#Ь(Л).
Доказательство. Ясно, что а)=*-б). Для доказа-
доказательства импликации 6)=*- а) заметим, что модуль А(тп)
неразложим (если А(тп)— V® V и, скажем, dimFm=lr
то V = А(пг) и F' = {0>), Пусть теперь V — проективный
Л-модуль. Можно считать, что F неразложим. Предста-
Представим V в виде прямого слагаемого свободного модуля
F = ф Л (m-j). По теореме Крулля — Шмидта множество
i
неразложимых слагаемых F определено однозначно, так
что V изоморфен одному из A(mt).
Для доказательства эквивалентности а) -**¦ в) зафикси-
зафиксируем ненулевой элемент со е An+i (E) л определим линей-
линейный функционал а на Л, полагая gc(<d)= 1, а(А) = 0 для
1еЛ'(?), )Фп+ 1. Для любого m определим спаривание
полагая
I-1 (m) X Л'• 1 (—п- m—
a(U')
(l(m), 1(—п — га— 1) — образующие в А(т), Л(—п~
— т — 1)). Проверим, что это спаривание невырождено,
т. е. что для любого О^А^Л существует 1'еД с АА =
= и. Для этого выберем такой базис е0, ..., е„ в Е, что
со = е0... е„, разложим А в сумму одночленов от е,- и вы-
берем один из ненулевых одночленов се0" ... еп , сФО,
v,- = 0 или 1, наименьшей степени, входящих в А. Тогда
в качестве У можно взять А'— ± с~1е0° ... еп™, где щ —
= 0, 1 дополнительны к vt, т. е. \и + v, = 1 для всех г.
Из невырожденности спаривания следует, что
Л(го)* = Л(-п-т-1). Поскольку *: ЛГ>(А)-+Лъ(А)
является, очевидно, контравариантным функтором, и *• =*
^ Id, он переставляет проективные и инъективные
20 G И. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 305-
объекты в ЖЪ(А). Поэтому эквивалентность а) и в)" сле-
следует из эквивалентности а) иб),|
4. Категория Jt?(\)/ff~. Обозначим через &"<=-Мъ{\)
полную подкатегорию свободных градуированных Л-моду-
лей. Назовем морфизм /: V-*¦ V в ЖЬ(А) эквивалентным
нулю, если он разлагается в произведение V -*¦ F -*• У, где
F^Ob@~. Очевидно, эквивалентные нулю морфиимы об-
образуют двустороншш идеал / в Мог^ь(Л). Положим
Мог Жъ (А)/$- = (Мог Жъ (Л)) II.
Основной результат этого параграфа —следующая
теорема.
5. Теорема. На МЬ(А)/8Г имеется естественная
структура триангулированной категории.
В этой структуре, которая будет описана ниже, наи-
наиболее необычно выглядит функтор сдвига Т:
Т (У) = (Л (- п) ® V)/i (V) (-п), п + 1 = dim E, A)
h
где i(V) = An+1 (E) ® V (см. п. 7 ниже).
h
6. План доказательства теоремы. Любой Л-модуль V
•определяет семейство комплексов линейных пространств,
в котором дифференциалы пронумерованы элементами
Le(V): ..
Очевидно, Le(V) и Lce(V) для с^к, сФО, изоморфны,
так что семейство Le (У) для е Ф О, по существу, прону-
пронумеровано точками проективного пространства Р(#) лучей
з Е. Оформляя это замечание алгебро-геометрически, на-
назовем жестким комплексом комплекс квазикогерентных
пучков на Р(-Ё'), изоморфный
L: ...->- Р ® О'(/)-*- FJ+1 ® С?¦(; + l)-v ...,
дифференциалы в котором — морфизмы С'-модулей. На-
Назовем комплекс L конечным, если он ограничен и все У
конечномерны.
Построим по жесткому комплексзг L градуированный
Л-модуль У(L):
y(L) = ®r(Lj (-/)) =
j
306
Рассмотрим отображение
где мы канонически отождествили Г(СA)) и ?'*. Для
любого элемента ее Л1 и для neF(i)J положим
ev=(-l)j(id®se)a(v),
где se: ?"* -*• к — свертка с е. Из равенства d1+idJ = O сле-
следует, что е2у = 0, так что У(^) превращается в градуиро-
градуированный Л-модуль.
Нетрудно убедиться, что эта конструкция продолжа-
продолжается до функтора из категории жестких комплексов Ш§
в Ж (А). Этот функтор является эквивалентностью. Об-
Обратный функтор, по существу, уже описан: линейное по
е семейство отображений d'(e): V' -*• VJ+l — это то же
самое, что линейное отображение V' ->~ У+1 ® Е*, которое
однозначно определяет морфизм пучков V ® О -*¦ Vi+1 ®
®0A) на Р(^). Скручивая его с id^^j, получаем диф-
дифференциал d1: Vj ® С (/) -*- FJ+1 ® С (/ + 1).
Объекты ЖЬ{А) соответствуют при этом ограничен-
ограниченным комплексам с конечномерными компонентами.
Рассмотрим теперь композицию функторов
Ф:
где через 3)ъ мы обозначили производную категорию-
ограниченных комплексов квазикогерентных пучков на
Р(Е).
Теорема 5 будет вытекать из следующих фактов, ко-
которые мы докажем ниже.
а) Существенный образ функтора Ф (т. е. полная
подкатегория 3)ь, состоящая из всех объектов, изоморф-
изоморфных объектам вида Ф(У)) замкнут относительно функ-
функтора сдвига Т.
б) Имеется естественный изоморфизм
Нот^Ь(Л) (У, W) mod / ^ Нот^ь (Ф (У), Ф (W)).
в) Конструкции, проверяющие аксиомы TR1 в) и
TR4 (см. 1.1), будучи примененными к диаграммам из-
существенного образа Ф, не выводят за его пределы.
В самом деле, после этого мы сможем индуцировать
структуру триангулированной категории с 3)ь на суще-
существенный образ Ф и затем на эквивалентную ему кате-
категорию J?b(A)/3r.
20*
30?
(В действительности существенный образ Ф совпада-
совпадает с 3)ъ: см. упражнения и дополнения.)
7. Функтор Т. Определим T{V) для 7е1ь(Л) фор-
формулой A) и докажем, что комплекс Ф(Г(У)) изоморфен
в 3)ъ комплексу Г(Ф(У)).
Обозначим через W<^$,igb комплекс {W3 = P+1 ®
¦® <?(/), йту = — йу}. Обозначим через 0{1) комплекс с
нулями везде, кроме нулевого места, где стоит СA).
Очевидно, Г(Ф(У)) = W ® O'(l) (тензорное произведение
комплексов (^-модулей). Комплекс СA) квазиизоморфен
жесткому комплексу:
который отвечает Л-модулю Ф(А/Ап+1(Е) (—п)). Пусть
¦q: (У{!)-*¦ ОA) — этот .квазиизоморфизм (его выбор тре-
требует выбора базисного вектора в An+i(E)). Нетрудно убе-
убедиться, что id ® q: W ® ??A)->- ТУ ® О (\) также являет-
является квазиизоморфизмом. Но W®0(\) изоморфен
Ф(Г(У)), как показывает сравнение с A).
Для сравнения морфисшов в Жъ и 3)ъ нам понадобит-
понадобится несколько вспомогательных фактов:
8. Лемма. В обозначениях III.5.4 имеем для конеч-
конечномерных пространств V, ТУ:
Лот^ъ (У® О @ [а], ТУ ® С (/) Щ) =
= Horn (V, ТУ) <g> Extb~a (С (О, О (/)).
Extfe (О (О, О (/)) =
>~1(Е*) при ft = 0, />?,
-"-i+'-J (jg) ® An+1 (?) при й:=л, j-i<—n—1,
в остальных случаях.
Доказательство. Первое равенство вытекает из
аддитивности функтора Нот и определения Ext" (см.
замечание Ш.5.56)). Второе равенство есть результат
классических вычислений когомологий пучков О(i) на
проективных пространствах (см. Хартсхорн [2] или Око-
нек, Штейнер, Шпиндлер [1]).
9. Сюръективноеть Ф на морфизмах. Рассмотрим мор-
¦физм ф: Ф(У)->-ФAУ) жестких комплексов в производ-
производной категории и покажем, что он индуцирован обычным
морфизмом комплексов.
308
Будем обозначать V (соответственно ТУ) как Л-мо-
дуль, так и отвечающий ему комплекс; компоненты пер-
первого суть V (соответственно ТУ'), а второго—V'(i) —
= V' ® О (г) (соответственно W'(i))'.
Построим ф: У->-ТУ в Migb, индуцирующий ф в 3)ь
индукцией по длине комплекса V ® ТУ. Случай длипы
нуль (оба комплекса нулевые) тривиален. Пусть теперь
i — максимальный помер, для которого У* ® ТУ' Ф 0. Рас-
Рассмотрим выделенные треугольники
B)
где У = а^У, ТУ' = а<(ТУ. (Напомним, что (o<»C)J = 0»
при / < к и 0 при / ^ к.) Проверим, что в этой ситуации
применимо следствие 1.5. Для этого достаточно доказать,
что Ногп0ь(Уг(О [— '•], ТУ') = 0. Проведем индукцию
по длине ТУ. Пусть к — максимальный номер с ТУ^ Ф 0
(существенно, что k<i). Из треугольника Wh(k)[—k]->-
~->W ->ТУ", леммы 1.3 и леммы 8 находим вложение
Нот^ь (V1 @ [- i], W) -^ Нотда (У (i) [- i], ТУ"), а по-
следняя группа равна нулю по индуктивному предполо-
предположению.
Теперь из 1.5 вытекает, что существуют морфизмы
<в 3)ь) <р<: F'fOH]-»-WfOHl и У'-* ТУ, дополняю-
дополняющие ф до морфизма треугольников. Первый из них, по
лемме 8, является морфизмом комплексов, ибо индуциро-
индуцирован однозначно определенным морфизмом линейных про-
пространств V -*¦ ТУ*. Второй также индуцирован морфиз-
морфизмом жестких комплексов ф<г: У -»- ТУ по индуктивной
гипотезе. Покажем, что соединение (ф<г, ф') = ф образует
морфизм комплексов. С этой целью рассмотрим коммута-
коммутативную диаграмму
У^1 (i - 1) [- i + 1] —* V ¦
W'l~l (i — 1) [— i + 1]
V* (i) [- i + 1]
ТУ'
Wl (i) [—i
Здесь правый квадрат есть продолжение B) на шаг
вправо, а левый — часть диаграммы B), построенной для
комплексов (У, ТУ', ф<г) вместо (У, ТУ, <р). В этой ди-
диаграмме композиция верхних (соответственно нижних)
309
горизонтальных стрелок есть dY х: V1 1 (i — 1) -*- V1 (i)
(соответственно dw1). Ее коммутативность и означает,
что (ф<г, ф') есть морфизм комплексов.
10. Ядро Ф на морфизмах. а) / лежит в ядре Ф, по-
потому что свободные Л-модули переходят в ацикличные
жесткие комплексы, которые изоморфны нулю в 3)ь.
б) Пусть ф = Ф(ф)= 0. Покажем, что отсюда вытекает
Ф = 0 при дополнительном условии на Л-модуль W:
(An+l(E)) W = 0. Назовем модули с таким свойством при-
приведенными.
Покажем, что если W приведен, то группа
Hom^t, (V% (i) [— i], W [— 1]) тривиально действует на
множестве продолжений <р* в морфизмах треугольников
B) (см. 1.5). В самом деле, фг определяется с точностью
до таких морфизмов V(i)[—i)-*¦ W*(i)[—i], которые про-
пропускаются через W'[—1]-*- W"(i)[—i]. Отщепляя, как вы-
выше, по одной компоненте справа от W'[— 1] и используя
многократно лемму 8, паходим, что Нот(Р(?)[—г],
W[—i\) является некоторым фактором группы Hom(F'r
pp-"-i ® Ап+1(Е)). Элемент этой группы переходит в
морфизм V1 -> W', который получается его композицией
с Л-умножением: W'"^' ® Л"+1 (?)->- W\ Таким образом,
для приведенного W <рг' определяется однозначно. В част-
частности, если ф = 0, то ф1 = 0.
Но если W приведен, то и W приведен. Поэтому
Ф = 0.
в) Любой Л-модуль W изоморфен прямой сумме сво-
свободного и приведенного модулей.
В самом деле, пусть L = An+i(E)W<= W и lu ...,Zr —
базис L из однородных элементов. Выберем однородные
элементы wy, ..., wr^W так, что U = (атг (где со— фик-
фиксированный ненулевой элемент An+i(E), см. п. 3). Из до-
доказательства невырожденности спаривания в п. 3 выте-
вытекает, что подмодуль F = A(wi, ..., wr)<=W, натянутый
на wu ..., wr, является свободным, /т=ФЛ(т,), т( =
= degu?i. По предложению 3 F инъективен, и, значит,
выделяется прямым слагаемым: W = F®W0. Ясно, что-
Wo приведен.
Заметим еще, что ввиду теоремы Крулля — Шмидта
F и Wo определяются однозначно с точностью до изо-
изоморфизма, хотя само разложение W — F ® W^ неодно-
неоднозначно.
310
г) Теперь мы можем окончить доказательство. Пусть
ф: V-+W = F® Wo, где F свободен, Wo приведен и
Ф(ф) = 0. В силу пункта б) композиция <р и проекции на
Wo равна нулю. Поэтому ф представляется в виде V'-»-
—*¦ г —». W, так что фе/.
11. Аксиома TRIb. Мы должны установить, что любой
морфизм в Jtb{A)IST продолжается до треугольника, Ра-
Работая вместо этого в существенном образе ffiig", мы мо-
можем построить треугольник с помощью конуса и затем
перевести его третью вершину в Ш%ь, как в п. 6.
Другой вариант доказательства будет полезен ниже.
Прежде всего, любой морфизм V -*¦ W в МЪ{АI5Г можно
представить в виде композиции вложения в Л" (А) и
изоморфизма mod^". В самом деле, вложим V в свобод-
свободный модуль V® А ® An+i(E*) (—п— 1) и добавим его к
W, а затем спроектируем на W.
Поэтому достаточно достроить до треугольников вло-
вложения в J?b(A). В этом случае морфизм жестких комп-
комплексов также представлен вложением, и третья вершина
треугольника представлена соответствующим факторкомп-
лексом, образом фактормодуля из JCb(A).
12. Аксиома TR4. Достаточно убедиться, что по верх-
верхней шапочке из жестких комплексов можно построить
нижнюю шапочку, также состоящую из жестких комп-
комплексов. По п. 11 можно считать, что морфизмы X ->- Y и
У -»- Z верхней шапочки являются вложениями. Но тог-
тогда по п. 2.10 достраиваемый объект Y' нижней шапочки
есть Z/X.
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. S -модули и Л-модули. Пусть, как и в п. 1, Л = Л (?)—внеш-
(?)—внешняя алгебра пространства Е, S = 5(?*) —симметрическая алгебра
двойственного пространства. Теорема Серра (см. Хартсхорн
{2, гл. II, § 5]) описывает когерентные пучки ла ?(Е) в терминах
^-модулей. Наша теорема 5 может быть получена из теоремы
Лерра и следующих ниже результатов о связи категорий 5-моду-
лей и А-модулей.
а) Определим J((A) как в п. 1 и обозначим через ^(А) кате-
категорию конечных комплексов
в которых Vj ^ObJf(A), df. Fj->-Fj+i — линейные отображения,
сохраняющие градуировку и антикоммутирующие с А (т. е.
<)jev = —edjv для v e Fj, ее JcA). Морфизмы в 'S'(A)—это
311
морфизмы комплексов (коммутирующие с Л). Пусть .25(Л) —
локализация 'S'(A) по квазиияоморфиамам.
С другой стороны, пусть J((S) —категория градуированных
¦^-модулей (считаем, что dega; = l для же .Е* с: S), %'(S) — ка-
категория конечных комплексов над J((S), ®{S) —соответствующая
производная категория (локализация по квазиизоморфизмам).
Определим также <#Ь(Л), cffb(S) как полные подкатегории.
®" (Л), Ф (S), состоящие из ограниченных комплексов конечно по-
порожденных модулей, и ®Ь(Л), 3}b(S)—как их локализации по
квазиизоморфизмам.
Докажите, что при естественном определении сдвига и выде-
выделенных треугольников &(А), 0(S) становятся триангулирован-
триангулированными категориями, а 3)ь (Л), ЗУ1 (S) — их полными подкатегориями.
б) Функтор F: ФЩ -»-«'(?). Пусть V = {V ^ 3j)<= Obf (A),
Vj = ф Vj — разложение на однородные компоненты. Положим
(Sm — однородная компонента степени m в S). Формула
s(s\ ® v) = ssi ® v превращает каждый Wk в объект J((S). Пусть
{ev)i {хр}—двойственные базисы в Е, Е*. Формула d (s g> v) =
= 2 xps ® epv "Ь s ® dv превращает набор {Wh} в объект W из
'S'(S). Проверьте, что F: V'
F: <В (А) -*¦ <8 (S) иР{^ь(А)) a()
в) Зададим функтор G: Ч? (S) -»- ^(А) следующим образом:
для W = (Wh, dfe) eObt E), Vf/4 =- © Wlh, положим
W продолжается до функтора
b(S)
V) = © Нот
> (I) =
V? (V) "!¦
Проворьте, что эти формулы определяют функтор G: Ч? (S) -
который сопряжен справа к F.
г) Докажите, что F продолжается до функтора FD: &{A) ->-
->S5i)(S), являющегося эквивалентностью категорий (a G опреде-
определяет квазиобратный к F). Для этого используйте свойства соот-
соответствующего комплекса Кошуля (см. упр. 1.7.5).
д) Алгебры S(E*), A(E) являются взаимно двойственными
квадратичными алгебрами (см. упр. П.4.5), и некоторые из сфор-
сформулированных выше утверждений справедливы в более общем
случае (см. ряд работ из сборника [ААТ]).
е) Пусть 3* — полная подкатегория в 3Db(S), состоящая из
комплексов, изоморфных (в 2Db(S)) ограниченным комплексам ко-
конечномерных модулей. Используя теорему Серра, проверьте, что
S)b(S)I&>=3>b (см. п. 6).
ж) Пусть 3 — полная подкатегория в 5?)Ъ{К), состоящая из
объектов, изоморфных (в 2>Ь(Л)) комплексам свободных А-моду-
А-модулей. Докажите, что S>b{h)\3 = ^(Л).
з) Проверьте, что функтор Fp устанавливает эквивалентность
3 и Я>, и, значит, эквивалентность МЪ(КI9~ с ограниченной про-
производной категорией когерентных алгебраических пучков на ?(Е).
2. Другие описания 2)ь. Два других описания производной ка-
каь ъ
тегории 2)ь = 2>ъ
312
получены А. А. Бейлинсоном [1].
а) Пусть п = dimЕ, ^г[0|п](А)'—полная подкатегория (,
состоящая из конечных прямых сумм свободных модулей A[t],
О ^g I *^ п, ®"[о, п](Л)—соответствующая полная подкатегория
), K[o,nj(A.)—соответствующая гомотопическая категория.
Аналогично, пусть S[i] — свободный градуированный S-модуль
с одной образующей степени i, JK\u, n] {S) — полная подкатегория
Jtb(S), состоящая из конечных прямых сумм S[i], Os^i^n,
^[о, я] (<S)—соответствующая полная подкатегория Wb(S) и
Км, n] (S) — соответствующая гомотопическая категория.
Теорема Бейлипсопа утверждает, что каждая из триангулиро-
триангулированных категорий /цо, n](S), Х[о, т>](Л) эквивалентна &. При
описании в терминах /С[о,п]E) комплекс в 25 (®'°'*р(Е)) заме-
заменяется на квазиизоморфиый комплекс, все члены которого — пря-
прямые суммы пучков вида ii'(i), 0 ^ i ^ п, а при описании в терми-
терминах Я[о,п]E) —прямые суммы пучков вида C@i 0 ^ i ^ га.
б) Обобщение приведенного в этом параграфе подхода позво-
позволяет описать в виде Тг ^€ для подходящих аддитивных категорий Ч?
производные категории когерентных пучков на других алгебраи-
алгебраических многообразиях: пространствах флагов, квадриках и их пол-
полных пересечениях и т. д. (см. Капранов [1] — [3]).
Следующая серия упражнений C—8) дает еще один способ
строить триангулированные категории, который можно рассматри-
рассматривать как обобщение теоремы 5 ;>того параграфа.
3. Точные категории, а) Пусть si- — абслова категория, 38 —
on полная аддитивная подкатегория. Предположим, что <Щ замкну-
замкнута относительно расширений; по определению это означает, что в
каждой точной тройке 0-*-X'-vX-»-X->-0 в s4- с X', X" е ОЬ 3S
объект X изоморфен объекту из Э$. Пара (J?, &), где &—класс
г р
троек X' -*-Х-*-Х" в М, становящихся точными тройками в гФ,
называется точной категорией. В частности, каждая абелева катего-
категория s& является точной (<S—класс всех точных троек в $Ф).
Точные категории (?%, &") можно ввести также с помощью
некоторой системы аксиом, не апеллирующих к объемлющей кате-
категории si- (см., например, Квиллен [4]). Существует канонический
способ реализовать 9& в виде полной подкатегории абелевой кате-
категории (а именно, категории аддитивных функторов: F: Я°-+зФЬ
таких, что для любой тройки (Х-*- Y-^Z) e В последователь-
последовательность 0->-F(,Z) -+F(Y) ->-F(X) абелевых групп точна).
Каждую аддитивную категорию Ш можно по крайней мере
одним способом превратить в точную (взяв в качестве В класс
всех расщопимых троек I-+X9 Y-+Y).
Используя памкнутость Я относительно расширений, проверь-
проверьте, что если X, Y, Z е ОЬ Я и
декартов квадрат в $1, то он является также декартовым квадра-
квадратом в S. Сформулируйте и проверьте аналогичное свойство коде-
картовых квадратов.
б) &>-инъективные и &-проективные объекты. Пусть {М, В) —
точная категория. Объект / е ОЬ $ будем называть <§Г-инъектив-
ным, если любая тройка G-> 7-> Z) е «У расщепляется. Класс
всех с?-инъективных объектов будем обозначать 9 <g, Аналогичпо
313
P e ОЬ 3& называется Ж-проективным, если любая тройка {Х-*- }'->¦
—>- Р) е & расщепляется. Класс <§Г-проективных объектов обозна-
обозначим ^„
о'
Проверьте следующее свойство инъективных объектов. Если в
диаграмме объектов из Я
(Х->У-*2)е^ и / е 2f <р, то существует морфизм g: Y-+1,
делающий ео коммутативной.
Сформулируйте и проверьте аналогичное свойство «У-проектив-
ных объектов.
4. Фробениусовы категории, а) Точная категория {ЗВ, 8) на-
называется фробениусовой. если 2f & = & «, и для каждого X <= ОЬ Я
о ф
в 8 существуют тройки F->/-+Jf,X-*/'-t-fc 7, 7' е ^ => (гру-
(грубо говоря, инъективные и проективные объекты совпадают п их
достаточно много: каждый объект ХеОЪ.# является подобъек-
том и факторобъектом таких объектов).
В п. б) — г) приведены примеры фробониусовых категорий.
б) Абелева категории Jfb(A) конечномерных градуированных
А-модулей является фробениусовой (предложение 3).
в) Абелева категория конечномерных модулей над групповой
алгеброй k[G] конечной группы G является фробеииусоной. По-
лее общо, категория конечномерных модулей над любой фробениу-
фробениусовой ^-алгеброй (см. Кэртис и Райнер [1]) является фробенпу-
совой.
г) Пусть ЗВ'— аддитивная категория с расщепляющимися идем-
потентами (т. е. любой морфизм а: Х-+-Х в 38' са!=а задается
проекцией на прямое слагаемое). Положим $1 — Коть C8') и оп-
определим & как класс всех таких троек X' -*-Y' -*¦ Z', что по-
последовательность Xi —*-Y'—>Zl расщепляется для каждого i. Тог-
Тогда^— фробениусова категория, в которой S-проективными (= SS-
инъективными) комплексами являются конечные прямые суммы
id
комплексов вида ...-»-0-*-Х->-Х->-0->-...с ХеОЬ ЗВ'.
5, Стабильная категория, а) Пусть 3$ — фробениусова катего-
категория. Для X, Y^0b3! обозначим через /(X, Y) множество мор-
физмов /: 1-> У в Л, пропускающихся через некоторый объект
из Sf g,.
Определим стабильную категорию З&ъ, полагая ОЬ ЗЙо = Ob 3Sr
Нот- (X, Y) = Нот т (X, Y)/I {X, Y). Проверьте, что компо-
зиция морфизмов в Я'о корректно определена и что &о — аддитив-
аддитивная категория.
6. Надстройка, а) Пусть Я — фробениусова категория. Про-
Проверьте, что в диаграмме
314
Y'
в которой строки — тройки из &, я I, Г е У g>, существуют мор-
физмы м: /->/', v: Y->Y', делающие ее коммутативной в <М.
Проверьте далее, что для двух разных продолжений (и, v), (й, д)
образы г; и у в Нот^я (Y, Y') совпадают. Отсюда вытекает, что
для любого продолжения (и, v) образ v в Нот^, (У, У) являет-
ся изоморфизмом. Проворьте, что существование канонического
продолжения v в Нот^я {Y, Y') позволяет определить функтор
надстройки Т: 38ц -^-Зво такой, что для каждого
имеется тройка (X -*• / —>- ТХ) её? с / ее Э g.
б) Используя совпадение °f » = ?"«., покажите, что Т являет-
является автооквивалентностью категории Я^. Для этого постройте ква-
квазиобратный к Г с помощью рассуждений, двойственных п. а).
в) Проверьте, что, заменив категорию 5fo на эквивалентную,
можно считать функтор Г автоморфизмом.
7. Выделенные треугольники. Пусть теперь X, У е ОЬ 38,
и: X -*- У — произвольный морфизм и (X ->- 7 ->- ТХ) е & с / е=
eJ.. Проверьте, что в диаграмме
X -X I —>¦ ТХ
Y—> С—+ТХ
в которой левый квадрат — кодекартов, существует единственный
морфизм, делающий ее коммутативной.
и v w
Треугольники X -*¦ Y -*¦ С -*¦ ТХ в 33, возникающие из та-
таких диаграмм, а также их образы в 38п, назовем стандартными.
Любой треугольник в ЗНо, изоморфный стандартному, назовем вы-
выделенным.
8. Триангулированность стабильной категории. Пусть 3S — фро-
фробениусова категория, i?0 — соответствующая стабильная категория.
Предположим, что функтор надстройки является автоморфизмом
Т: Яъ-^Мъ. Основной результат настоящей cepni1 упражнений со-
состоит в том, что категория Яо с Т в качестве функтора сдвига и с
выделенными треугольниками, определенными в предыдущем уп-
упражнении, триангулирована (это дает, конечно, другое доказатель-
доказательство теоремы 3.5).
В качестве примера рассуждений, используемых при доказа-
доказательстве этого результата, проверим например, аксиому TR 3.
Прежде всего ясно, что два фигурирующих в ней треугольника
можно предполагать стандартными. Пусть
г р i' V'
X—* I—* ТХ X'—> Г—> ТХ'
К1'
ТХ
У
ТХ'
— соответствующие коммутативные диаграммы. Нам заданы два
морфизма /: Х->Х', g: У-*У'в1 такие, что ft' == tgmoAI(X, У).
Из упр. 36 вытекает, что существует a: I-*-Y', для которого
315
ft'— tg = ia. Далее проверьте, что существует s: I-у Г, для кото-
которого диаграмма
X —->¦ I —-+ ТХ
X'
Г
ТХ'
коммутативна. Морфизмы gv': Y—*CU, и st' ~f- «i>': I-*¦ Си,
гаковы, что два составных морфизма X -*¦ Y -*- Cw, п X -*¦!-*¦ Си,
совпадают. Поскольку Си — кодекартово произведение, существует
h: Cu-+Cu,, для которого vh gv' и th t'\' П
легко проверить, что образ h в
выделенных треугольников
у и декартово произведение, существует
u,, для которого vh = gv' и th = st'-\-av'. После этого
оверь б h ^ дополняет /, g до морфизма
§ 4. Сердцевины
1. Постановка задачи. Важным открытием последних
лет в гомологической алгебре было обнаружение того об-
обстоятельства, что одна и та же триангулированная кате-
категория может быть производной от двух совершенно раз-
разных абелевых категорий,
В этом параграфе излагается в аксиоматической фор-
форме технический аппарат, предназначенный для вылавли-
вылавливания разных абелевых подкатегорий внутри общей три-
триангулированной категории — формализм ^-структур.
Аксиоматика ^-структур формализует следующую си-
ситуацию. Пусть М — абелева категория, ЗУ = D*(^) — ее
производная категория. Обозначим через 3)>п (соответ-
(соответственно 3)^п) полную подкатегорию в 3), состоящую из
комплексов К' с Нг(К') — 0 при i < n (соответственно
при i> n).
Тогда, согласно предложению III.5.2, полная подка-
подкатегория @)>а Л 3)<а и есть М, точнее, отождествляется с
s& посредством функтора зФ -»- {категория ^"-комплек-
^"-комплексов = 2)>а Л 2)^}.
Для доказательства абелевости пересечения 3)>0 Л .25<О
нужны лишь следующие абстрактные свойства.
2. Определение, t-сгруктурой на триангулирован-
триангулированной категории 3) называется пара строго полных подка-
подкатегорий (ЗО*'0, 3)>и), удовлетворяющая следующим усло-
условиям. Положим ®<n = S)<0[—л], и 2D>n = ?>>0[-п\. Тогда:
а) ^с^'и^з^1.
б) Если X еОЬ.23<0, У е ОЪЗ)>1, то Hom^ (X, Y) = 0.
в) Для каждого Ie ObiZ5 существует выделенный тре-
треугольник Л -ь X -> В -v А[1] с А^ОЪЗ)^, В2г
316
Сердцевиной f-структуры называется полная подкате-
подкатегория S4- = &>0 П 2Ь^\ Ш
3. Предложение. Если 3) = D* {S4-) — производная
категория, то описанная в п. 1 пара C3<A, 2)>") является
t-структурой с сердцевиной М.
Доказательство. В проверке нуждаются лишь
б) ив). Для доказательства б) повторим с небольшими
изменениями рассуждения из III.5.6. Пусть морфизм
<р: Х->УвБ*(^) (ХеОЬ2)<0, УеОЪ^Р1) представлен
домиком Х-*-К-ь-Y, где s — квазиизоморфизм. Прежде
всего, поскольку Y^0b3)>i, комплекс У/т<0У (см.
III. 7.5) квазиизоморфен Y. Поэтому можно считать, что
У* = 0 при i < 0, dy: Y°-+ У1 — вложение. Далее, посколь-
поскольку Х<=0Ь,2)*0, a s — квазиизоморфизм, то и К^ОЪЗ)*0,
так что естественный морфизм г: х<0К -*¦ К — квазштзо-
Sor for
морфизм. Следовательно, домик X -*- т^0А' -*• У также
представляет морфизм ф. Докажем, что /°г = 0. В самом
деле, для всех / =И= 0 либо У = 0, либо (т<0#)'=0. При
г = 0 имеем (Fv (/°r)° = {f°rydnx^K = 0 и (/«г)° = 0, посколь-
поскольку dy — вложение.
Наконец, в) следует из точной последовательности
комплексов
4. Теорема. Сердцевина s4- = 3)<0 П 3)>9 любой t-
структуры является абелевой категорией.
Доказательство, разбитое на серию шагов, занимает
пп. 5—9.
Начнем с конструкции срезающих функторов т, свя-
связанных с f-структурой.
5. Лемма, а) Существуют функторы т<п: 3) -*¦ 3)^"
(соответственно %>п: 3) -»- 3)>п), сопряженные справа
(соответственно слева) к функторам вложения.
б) Для любого X е ОЬЗ) существует выделенный тре-
треугольник вида
~:[i] A)
и любые два выделенных треугольника А -*¦ X -*¦ В -*- А[1\
с A s Ob jg?*0, В ^ Ob 3)>l канонически изоморфны.
Доказательство. Проверим существование т<0 и
х-^и остальные случаи разбираются аналогично.
317
Для каждого X выберем выделенный треугольник А -»-
-+Х-+В + АЦ] с А^ОЬЗ)^\ В^ОЪЗ)>1 и определим
на объектах х^Х = А, х>1Х = В. Пусть /: X-»-F—мор-
-физм, А' -*¦ Y->-В' -*- А'[1] — соответствующий объекту Y
треугольник. Покажем, что композиция A-*-X-*-Y од-
однозначно пропускается через А'. В самом дело, имеем
точную последовательность
Нот (А, 5'[1])->Нот(Л, А') -у Нот (А, 7)-*Нот(Л, В').
В силу 26) и 2а) две крайние группы равны нулю. По-
Поэтому по /: Х-*- Y однозначно восстанавливается мор-
физм т<0(/)." А -»А' и набор этих морфизмов, очевидно,
дополняет т<0 до функтора. Аналогично устанавливается
функториальность х>{ и вместе с тем однозначность тре-
треугольников А ->-X-»-Я->- А[\] (ср. следствие 1.5).
Сопряженность т<0 с вложением Я)**" -*¦ 2Е> устанав-
устанавливается посредством изоморфизма функторов
(А, Т<0У)
(A,
который построен выше; аналогично рассматривается
т ¦
1
6. Связи между срезающими функторами. В этом
пункте мы покажем, что функторы т обладают свойства-
свойствами, очевидными в случае 2) = В*(М).
а) т<пХ = 0 в том и только том случае, когда X ->-
-*¦ T>n+iZ есть изоморфизм.
Это достаточно проверить при п = О, а в этом случае
результат очевиден в силу леммы 56).
б) Если гп^п, то имеются естественные изоморфиз-
изоморфизмы Х^тХ -*¦ T^jmT^nX U Х^пХ ->- Х>пХ>тХ.
В самом деле, 3)^т <= ?><п, и потому для функторов,
сопряженных вложению этих подкатегорий, имеется ка-
канонический морфизм х<тХ -»- т<пХ, который после еще
одного применения т<т становится изоморфизмом. Ана-
Аналогично доказывается второе утверждение.
в) Если т^п, то существует естественный изомор-
!df \
физм T^mx^nX~^r^nx>mX\= T[miB]XJ.
Для доказательства заметим сначала, что все функто-
функторы х переводят каждую категорию ?DS"P1 3)>p в себя.
В самом деле, включения х^З)^ <= 3)^ и x^q2>>J> <= g)^p
следуют из п. б). Для проверки, скажем, включения
318
х>ч?О^р <= SD^P достаточно установить, что 0<р устойчи-
устойчива относительно расширений, поскольку объект x>qY,
FOb®*" включается в треугольник
Y - т>9У -
и, значит, является риенгарением двух объектов из
Но Z е ОЪ 3) принадлежит ^5<3>, если и только если
Нотп^) (Z, U) — 0 для всех U e Ob 3)>p+i (это следует
из а)). Точная последовательность, связанная с треуголь-
треугольником, показывает тогда, что это свойство выполняется
и для расширений.
Теперь мы можем построить искомый морфизм. Рас-
Рассмотрим диаграмму
Х-
Сплошные стрелки в ней входят в определение функто-
функторов т. Стрелка ® — результат применения х>т к @. Объ-
Объект х>тхЩпХ лежит в 3)^п по предыдущему рассужде-
рассуждению. Поэтому ® однозначно пропускается через
т^пх-^тХ — это и ость ®.
Остается установить, что © является изоморфизмом.
Полезно сравнить последующее рассуждение с объясне-
объяснением смысла аксиомы октаэдра в п. 2.9. Наша задача
здесь — почти та же: в категории D*(^) комплекс X
имеет фильтрацию т^т-Дст^„Хс1 и Мы хотим уста-
установить изоморфизм TztnX/x^m-iX с подобъектом
Формально, построим верхнюю шапочку октаэдра, ис-
исходя из правого коммутативного треугольника:
Достроим ее до нижней шапочки:
[1]
В силу леммы 66) правый треугольник в ней канониче-
канонически отождествляется с треугольником т^т-4Х -+- X -*¦
-»¦ т>тХ->(т^т_1Х)[1], откуда X' = %>тХ. Аналогично, ле-
левый треугольник должен канонически отождествляться
с треугольником, построенным по стрелке X' -+r^n+iX:
— X'—*¦ т^п+iX—*¦ (т^пт^,тХ) [1]
\i
1 X
[1]
Сравнение с диаграммой, посредством которой мы
Х
определили морфизм
¦он и является этим отождествлением.
7. Конструкция ядер и коядер в
Пусть теперь /: X -+¦ У — морфизм к
рез Z конус морфизма / и положим
показывает, что
= &<0 П 03*0.
Обозначим че-
чеОпределены композиции к: x^-iZ ->- Z -> Х[1] и с: Y -*¦
~^-Z^-x>uZ. Мы утверждаем, что (?[—1], М~1]) и (С, с)
суть ядро и коядро морфизма \/.
Проверим, скажем, утверждение для коядра; второе
проверяется аналогично. Прежде всего, С е Ob @)>a, ибо
C СОЪ^5<0 2
рр р
= t>0Z. Далее, СеОЪ^5<0, потому что
это следует из треугольника Y -*¦ Z -+• Х[1] -+• У[1], устой-
устойчивости .25*° относительно расширений и применения
функтора т. Поэтому С е Ob J^.
Пусть теперь Т ^ОЪМ— любой объект. Из треуголь-
треугольника K-+Z-+C-+K\\\ находим Нош (С, Г) = Нот(?, Т),
потому что K^OhSD*'1, К[{]^0Ъ2>^-2, так что
Нот(К, Т) = Кот(К[1], Т). Далее, из треугольника X-*¦
-*¦ Y -+- Z -*¦ Х[1] получаем
Нош (С, Т)
о = Нот (X [1], Т) -> Нот (Z,
320
, Г),
потому что X[l] e Ob 2)^~\ Но точность этой последова-
последовательности и означает, что (С, с) ^сть коядро /.
Приведенное построение ядра и коядра удобно пред-
представлять себе в виде следующей диаграммы типа «ниж-
«нижняя шапочка»:
B)
В частных случаях, когда / —моно- или эпиморфизм
в М, ситуация упрощается. Если, скажем, / — мономор-
мономорфизм, то К = 0, так что Z -*¦ С — изоморфизм, откуда Z s
е Ob j^ и С = Coker / включается в выделенный треу-
треугольник Х-*- V-*-С-*-X [I].
Аналогично, если / — эпиморфизм в s4-, то К{— 1] =
= кег/ включается в выделенный треугольник К[—1[^—i
8. Каноническое разложение морфизма в s4-. Теперь
мы должны установить, что для произвольного /: 1->7
коядро морфизма Af-1]: K[-l] -*¦ X совпадает с ядром
морфи.чма с: У -> С. Этот общий объект / входит в ок-
октаэдр, получающийся дополнением нижней шапочки B)
верхней шапочкой
Ясно, что в s4- морфизм с: Y' -*- С является эпимор-
эпиморфизмом (как коядро), а к: К-*¦ Х[1] — мономорфизмом
(как ядро /[1]). Поэтому замечание в конце предыдущего
пункта показывает, что / является коядром ядра / и
ядром коядра /.
9. Прямые суммы и произведения в s4-. Прямая сум-
сумма двух объектов в Ф существует и является их расши-
расширением. Поскольку SD>m и ЗУ^п устойчивы относительно
21 С. И, Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 321
расширений (см. доказательство леммы 5bJ, прямые
суммы объектов sd- лежат в s&.
Таким образом, доказательство теоремы 4 оконче-
окончено. ¦
10. Функторы когомологий. Пусть Ф — триангулиро-
триангулированная категория, s4- = Ф<0 П ЗУ>й — сердцевина некото-
некоторой f-структуры в 2D. Положим
Ш): 3t> -+ St.
Если ?D = D*(M) с f-структурой из п. 1, то Я' —обыч-
—обычные когомологий комплексов.
И. Теорема, а) Я0 — когомологический функтор
(см. 1.6).
Пусть дополнительно П Ob 2)>п = П ОЬ 3><п = {0} (ну-
п п
левой объект в 2D). Тогда
б) Морфизм /: X-*-Y в Ф является изоморфизмом,
если и только если все Я1'(Я— изоморфизмы в зф.
в) Ob2D<n = {X^Ob3)\Hi{X) = Q для всех i>n}
{аналогично. ОЪФ>п = Aе ОЪЗ)\Н'{Х)=- 0 для всех i<
<п}).
12. Доказательство пункта а). Нам нужно доказать,
что для выделенного треугольника X-+¦ Y-*¦ Z-*¦ X [i] по-
последовательность Н°(X)-+• IP(Y)->- Я0(Z) точна в s?.
а) Если X, Y, 2^0ЪЗ)^\ то последовательность
E°{Z)-+0 C)
точна. Если U е= Ob 5)<0, F е Ob Ф>\ то Я0 (Z7) = т>0С/ и
Я°G) = т<(,Тг. Поскольку функторы т>0, т<0 сопряжены
вложениями ^5>0, iZ><0 в ^) (с соответствующих сторон),
то
Нот(Я°(Г7), 7/°(F)) = Hom(f/, Я0(г7)) = Нот(г7, У).
Теперь для любого W ^ ОЪ^ = ОЪФ>0 П ОЬ^»<0 имеем
Hom(Z[—1], VF) = O, так что последовательность
0-^Hom(Z, И7)-^ Нот (У, ТУ)-* Нот (X, FF)
точна. Поскольку H°(W)=W, эта последовательность
совпадает с
0 -+ Нош (Я0 (Z).W)-»- Нош (Я0 (Г), И7)-
Ввиду произвольности W отсюда следует точность C).
б) Если ZsOb25<0, то последовательность C) точ-
точка. Покажем прежде всего, что r^Y-*¦ t>iZ — изомор-
изоморфизм. В самом деле, для произвольного иО)^*
322
Hom(X[l], U) = Hom(X, U) = 0, так что ввиду точной
последовательности Нот'ов (предложение 1.3), Hom(ZT
?/)^-Нот(У, U) — изоморфизм. Нужное утверждение вы-
вытекает из того, что т>4 сопряжено вложению ?D>1 в S).
Дополним теперь нижнюю шапочку, изображенную справа
на диаграмме, до верхней шапочки, изображенной слева:
Поскольку t>iZ изоморфно т^У, верхний выделенный
треугольник слева изоморфен т<0У -> У -> t>iZ -*• (т<0У)[1],
т. е. V=x<0Y, Поэтому нижний выделенный треуголь-
треугольник имеет вид X -*¦ т<0У ->¦ t<0Z -*¦ X[l] и к нему применим
случай а). Осталось заметить, что Я°(У) = Я°(т^0У) и
аналогично для Z.
в) Двойственные рассуждения показывают, что если
30, то последовательность
точна.
г) Общий случай. Рассмотрим октаэдр
Применяя б) к выделенному треугольнику (т^0Х, У,
V), получим точную последовательность Я0 (X) -*¦ Н" (У) -*¦
->- H"(U) -*- 0. Применяя в) к выделенному треугольнику
(U, Z, (т&1Х)[1]), получим точную последовательность
0 -»- Я0 (?/)-*- Ha(Z). Из них вытекает точность последо-
последовательности H0(X)^H0{Y)-+ff°(Z).
13. Доказательство пункта б). Пусть сперва Х^ОЪФ
таков, что W (X) = 0 для всех i. Покажем, что X = 0. Если
Х^ОЪЙ)>\ то условие Я°(Х) = 0 означает, что т<0Х = 0,
так что из выделенного треугольника A) имеем Х =
21*
323
= т^Хе ОЪЗ)>1. Повторяя эти рассуждения, получаем,
что Ie n Oh?D>n = {0). Двойственные рассуждения по-
показывают, что если Х<^ОЪЗ)^0, то снова Х = 0. Общий
случай вытекает из того, что Н<(г>1Х) = Нг(т^0Х)= 0
для всех г, так что х>1Х = х<аХ = 0 и выделенный треу-
треугольник A) показывает, что Х = 0.
Пусть, далее, морфизм /: X -> Г включается в выде-
выделенный треугольник X->¦ F->-Z->-X [1] и все Hl{f):
W (X) ->- № (Y) — изоморфизмы. Поскольку Н° — когомоло-
когомологический функтор, точная последовательность, отвечаю-
отвечающая этому треугольнику, показывает, что H{(Z) = 0 для
всех г. Поэтому Z = 0 и / — изоморфизм. Обратное утверж-
утверждение очевидно.
14. Доказательство пункта в). Бели ff'(X)>=0 для
всех i >0, то Hi(t>lX) = 0 для всех i, так что т^Х^О
ввиду б) и Х = т<ДеОЪ^5<0 ввиду A). Обратно, если
ХеОЬ^<0, то Х = т550Х, так что T>tX = 0 и #*(Х)
= #'(t>iX)=0 для i>0. Аналогично, ХеОЬ
<=>Н1(Х)=0 для t < 0. Беря Х[и] вместо X, полу-
получаем в). ¦
15. Замечание. Наличие f-структуры в триангулиро-
триангулированной категории 3) не означает, вообще говоря, что 3)
является производной категорией D(^), где s4- — серд-
сердцевина этой ^-структуры. Более того, в общем случае не
удается даже связать ЗУ с категорией комплексов над
М-. Это связано с неоднозначностью построения конуса
C(f) морфизма /: для построения функтора Кот(.5$)->- 3)
нам нужно уметь, скажем, сопоставлять комплексу ... 0 ->-
-> 0-»-^4->-В->0-> . . . в S& элемент из 3). Естественным
кандидатом на роль этого объекта является третья вер-
вершина C — C(f) выделенного треугольника А^-В^-С->-
-*¦ А[1] (напомним, что ^ — полная подкатегория в 3)).
Однако такое сопоставление не является функториаль-
ным, поскольку С определяется с точностью до некано-
неканонического изоморфизма (см. обсуждение в 1.7). Это еще
раз показывает, что положение дел с производными ка-
категориями является не вполне удовлетворительным (см.
однако, упр. 2.1—2.3).
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Связь категорий пучков на пространстве и его подпростран-
подпространствах. Следующие дополнения описывают аксиоматический подход
к такой ситуации: X — топологическое пространство, U сХ —
открытое подмножество, Y = X—U, i: Y^t-X, /: U->X — вложе-
324
яия, S&X-, j*t, J&u — категории пучков абелевых групп па X, Y, U,
SDx, SDy, ®u — соответствующие производные категории (скажем,
ограниченных комплексов).
Рассмотрим следующие 6 функторов:
/., /,:
У:
i.:
(см. § Ш.8, функтор V можно определить как правый производный
функтор от точного слепа функтора «сечения с носителем в У»,
см. 111,8.30). Докажите следующие свойства этих функторов.
а) Все они — точные функторы между соответствующими
триангулированными категориями.
б) Г и V сопряжены г, соответственно слева и справа.
в) /, и Л/, сопряжены /" соответственно слева и справа.
г) Выполнено равенство /'(.=0. По сопряжонпости отсюда
вытекаог, что Г/, = 0, i]Rj. = 0, и для g"" еОЬ59у, 5#'<= Ob 3>a
имеем
JL
= 0.
Д) Существуют (функториальные по ЗГ' е ОЬ Э)х) морфизмы
w. i.i'&" ^¦iij'&"[i], w': RjJ'ST- -+tj'-&-- [l],
для которых треугольники
Я/jT1
- [1]
выделены (здесь щ и', v, v' — морфизмы сопряжения, отвечающие
функторам из б) ив)). Ввиду г) и следствия 1.5, w и w' опреде-
определены однозпачпо.
е) Морфизмы сопряжения
являются изоморфизмами.
2. Склейка. Набор из трех триангулированных категорий 35Х,
S)y, SDu (уже не обязательно связанных с категориями пучков)
и шести точпых функторов между ними, удовлетворяющих усло-
условиям а) — е) выше, называется данными склейки. Один из при-
примеров данных склейки описан в предыдущем пункте. Можно про-
проверить также, что данные склейки получаются, если подходящим
образом определить соответствующие функторы в категориях
алгебраических когерентных пучков (X, У, U—алгебраические
многообразия или схемы) или в категориях пучков на этальных
топологиях.
325
3. Склейки и f-структуры. Предположим теперь, что нам за-
заданы данные склейки,, и на 25у и @)и заданы t-структуры (S5y°,
2>|?0) п B5у°, Я)цп)- Введем в Фх две полные подкатегории
Ob <Z
Основная теорема о склейке (-структур утверждает, что C)х°,
2Й^) — f-структура в 3)х (докажите это или посмотрите дока-
доказательство в работе Вейлинсон, Борнштейн, Делинь [1], § 1.4).
Склейка — это один из основных методов построения различ-
различных категорий перверсных пучков; с помощью склеек можно так-
также получать различные нестандартные ^-структуры (склеивая
сдвинутые стандартные i-структуры в Й)и и 3)у)-
4. Представления колчанов, а) Колчаном называется конеч-
конечный простой направленный граф Г= (Х(Г), Е(Т)) без ориенти-
ориентированных циклов (Х(Г)—множество вершин, Е(Г)—множество
ребер; граф называется простым, если для а, Ре Х(Г) существует
не более одного ребра, соединяющего а с Р). Представлением кол-
колчана называется набор конечномерных векторных пространств Va,
ВеХ(Г) и морфизмов <рар: Уа-^Уц, (оф)еЯ(Г).
Проверьте, что категория 5?ерг всех конечномерных пред-
представлений (с естественными морфинмпми) аболева.
б) Докажите, что любой простой объект V категории 32epv
устроен так: одно из пространств Va одномерно, а остальные нуль-
нульмерны. Тем самым простыв объекты Лерт взаимно однозначно
отвечают вершинам Г. Докажите, что для двух простых объектов
VW, F<(» (ajel(r)) пространство Ext^ (F(a), F(B) одно-
одномерно, если (<ф)е?(Г), и нульмерно, если (а$HЕ{Т). Сле-
Следовательно, граф Г восстанавливается по 5?ерг однозначно с точ-
точностью до изоморфизма.
в) Для заданного колчана Г обозначим через А (Г) алгебру
над А: с образующими еа, аеХ(Г), /ор, (сф)е?(Г) и соотноше-
соотношениями е\ = еа, еаер = 0 при аф f>, ер/ар = /арва = /ар.
Докажите, что категория Лерр эквивалентна категории конеч-
конечномерных левых 4(Г)-модулей.
г) Для каждой вершины а графа Г обозначим через ааТ граф
с тем же множеством вершин, что и Г, у которого изменены на-
направления всех ребер, входящих в (и выходящих из) а. Проверьте,
что если Г — колчан, то и оаГ — колчан.
д) Пусть Г —колчан, SD (Г) — ограниченная производная ка-
категория Лер? и аеХ(Г) — источник в Г, т. е. такая вершина,
что если Г — колчан, то и 0аГ — колчан.
функтор Л+: 0(Г)-><25@аГ). Пусть V ={...-» V1 -
->.,.}— объект % (Г), так что F* e Ob &ерт, V1 = (Vla,
Зададим R+V = W = {... ~» Wl^ Wi+1 -* ...} s Ob 2
W7* = (W*a, ^>ар) е ^«Paar. формулами W\ = 7§ при
326
р Ф а,
у фа; фи' WI -*¦ W^ — вложепие прямого слагаемого, если
(Pa) е Е(ОаТ) (так что (ap) e Е(Т)), Определите дифференциалы
dxw: Wl-+Wt+1 и проверьте, что л?— функтор из 2)(Т) в 2)(оаТ).
е) Аналогично, если a — сток в Г (т. е. в Е(Т) нет ребер
вида (оф)), постройте функтор R~: 2D (Г) -*-@) (оаГ).
ж) Ясно, что аа превращает а из источника в сток и обратно.
Докажите, что Ra о л+; 3) (Г) -*- 3) (Г) для источника ае!(Г)
и i?J о Л~: SD (Г) -¦ Ф (Г) для стока йёХ(Г) изоморфны тож-
тождественным функтор»м, так что R~ и R* задают эквивалентность
триангулированных категорий Й)(Г) и SD(pаГ) (ср. с б)).
5. Категории модулей. Утверждения ж) предыдущего упраж-
упражнения могут быть получены из более общих результатов о произ-
производных категориях категории модулей над конечномерными ал-«
гебрами.
а) Пусть ¦& = Л-mod для некоторой алгебры A, dim/l < оо.
Пусть Же Obrf обладает следующими свойствами:
(i) Ext*A (М, М) =0 при l > 0.
(ii) А имеет копочную просктивнута размерность n = d\ipA
(т. е. у каждого Л-модуля N есть проективная резольвента дли-
длины ^ п).
(ш) А (как объект $Ф) имеет конечную М-коразмерность. т. е.
существует точная последовательность 0—>- А —>-М0-*-... ->1/г ->¦ 0
сМ'е=ОЪ {&А&М) (см. упр. Ш.5.4).
Докажите, что функтор ц>м: Кь (addAf)->Db (s&) является эк-
эквивалентностью (используйте упр. Ш.5.46)).
б) Пусть кольцо А и модуль М удовлетворяют условиям
i) — (iii) из а). Положим В = EndAM, Ы = mod-5. Рассматривая
как правый Д-модуль, определим функтор F: $Ф -*¦ Ш формулой
F(X) =HomA {M,X).
Докажите, что F индуцирует эквивалентность триангулиро-
триангулированных категорий (с сохранением триангуляции) F:
Db(^)
(i)
М
()
В самом деле, F{M) — В, так что F индуцирует эквивалентность
add Ж с 9s m (классом проективных 5-модулей), и, значит, экви-
валентность F: Кь (add ЛГ) -*КЬ C> J). Далее, согласно а),
Kb(addM) эквивалентно ~№{$Ф). Наконец, из условия (ii) в а) лег-
легко получить, что В также имеет конечную проективную размер-
размерность, и согласно III.5.20 (точнее, соответствующему утверждению
для конечных комплексов), Кь {&gg) эквивалентно Иъ(9$).
ГЛАВА V
ВВЕДЕНИЕ В ГОМОТОПИЧЕСКУЮ АЛГЕБРУ
§ 1. Замкнутые модельные категории
1. Определение. Пусть Ч? — произвольная катего-
категория; L и R — два класса морфизмов в *&. Класс L назы-
называется дополнительным слева к R (a R — дополнитель-
дополнительным справа к L), если выполнено следующее условие:
для любого коммутативного квадрата с l^L, г <= .R
X /
В
X
Y
A)
существует диагональный морфизм х, делающий комму-
коммутативным оба треугольника. ¦
В работе Квиллена [1], где было введено это опреде-
определение, морфизмы из L (соответственно из R) называются
допускающими левый (соответственно правый) подъем
относительно морфизмов из R (соответственно из L).
2. Свойства дополнительных классов, а) Класс всех
изоморфизмов дополнителен как слева, так и справа к
любому другому классу.
б) Для любого класса L существует максимальный
класс, дополнительный справа к L; мы обозначаем его
p(L). Аналогично, для любого класса R существует мак-
максимальный класс k{R), дополнительный слева к R.
(В самом деле, скажем, p(L) есть объединение всех
классов, дополнительных справа к L.)
в) Операции к, р обладают следующим свойством:
= A« B)
В самом деле, операции р и к обращают включение:
скажем, если V a L, то p(L)<= p(L'). Далее, a) Xp(L)=>
=> L и б) pX(R)^=>R по определению. Применяя р к а),
328
получаем p%p(L)<= p(L). Подставляя i? = p(L) в б), на-
находим обратное включение. Аналогично устанавливается
второе равенство.
г) Классы р(Ь) и k(R) замкнуты относительно ком-
композиции морфизмов.
В самом дело, пусть, скажем, г', г" ep(L). Для до-
доказательства включения rV"ep(L) нужно последова-
последовательно строить морфизмы, показанные на следующей
диаграмме:
Здесь
r"a,
@
строится по квадрату ABYZ в силу
диаграммы A), ® строится по квадрату ABXY в силу
диаграммы A). Существование этого последнего морфиз-
ма показывает, что г'г" ep(L).
д) При переходе от категории W к двойственной ка-
категории ^° дополнительные классы остаются дополни-
дополнительными, но «правое» и «левое» меняются местами.
е) Если в диаграмме A) либо I является эпиморфиз-
эпиморфизмом, либо г является мономорфизмом, то х, если сущест-
существует, определяется однозначно.
ж) Классы k(R) и р(?) замкнуты относительно рет-
ретракций. Точнее, морфизм /: X ->- У называется ретрак-
ретракцией морфизма g: X' -> Y', если Jug можно включить
в коммутативную диаграмму
в которой и' « и = idx, v' ° v = idy. Мы утверждаем, что
если g^k(R), то и j^k(R). В самом деле, рассмотрим
квадрат -
X-
-U
329
с h e R ж дополним его дсе диаграммы
и'
Морфизм I существует, поскольку g^k(R); морфизм
к: Y -»- U есть к = lv. Аналогично проверяется, что g ^
ep(L)>/e(L)
()/p()
3. Дополнительность и произведения, а) Пусть задан
кодекартов квадрат ABCD в следующей диаграмме:
Тогда из g^k(R) следует, что /еЯ(Л). В самом деле,
пристроим к ABCD квадрат CDXY с h «s R. Морфизм ®
строится из условия g^K(R). Поело этого морфизм ®
определяется по универсальному свойству квадрата ABCD.
Аналогично (или с использованием 2д)) доказывает-
доказывается следующее свойство:
б) Если квадрат ABCD декартов, то из /ep(L) сле-
следует, что g-ep(L).
4. Замкнутые модельные категории. Категория Я& на-
называется замкнутой модельной категорией, если в ней
выделены три класса морфизмов: расслоения F, корас-
корасслоения G и слабые эквивалентности W, удовлетворяю-
удовлетворяющие следующим аксиомам.
ЗМО. *& замкнута относительно конечных индуктив-
индуктивных и проективных пределов.
ЗМ1. Любые два класса из F, G, W определяют тре-
третий по следующим правилам:
а) W = p(G) •k(F), где для двух классов морфизмов
S, и Т мы пишем S T = {st\se=S, t*=T}.
б) G = K(FUW).
в) F = p(G(]W).
ЗМ2. Mor^ = f -(GuW) = (Fu W)-G.
ЗМЗ. Все изоморфизмы принадлежат W. Если два из
трех морфизмов /, g, fg лежат в W, то и третий тоже ле-
лежит ъ W. ш
330
Если ^ замкнутая модельная категория, то па <§10
есть двойственная структура замкнутой модельной кате-
категории: расслоения суть F0, корасслоения — G", слабые
эквивалентности — W.
5. Замечания. Аксиомы ЗМО—ЗМЗ предложил Д. Квпл-
лен. Если *%? удовлетворяет этим аксиомам, то, пользуясь
конструкцией локализации по W (см. Ш.2.2), можно
определить гомотопическую категорию Но'ё' и универсаль*
ный функтор Я? -у ПоФ, превращающий все слабые экви-
эквивалентности в изоморфизмы.
Пусть Тор — категория топологических пространств и
непрерывных отображений. Положим F = {расслоения в
смысле Серра), W= {слабые гомотопические эквивалент-
эквивалентности} и опредилим G конструкцией из аксиомы ЗМ16.
Тогда STop окажется замкнутой модельной категорией,
а ИоЗ~ор — естественной категорией теории гомотопий
(см. Дополнения и упражнения к § 2).
Предположим теперь, что топологическое пространст-
пространство является геометрической реализацией IXi некоторого
симплициалыюго множества X. Как установить по X го-
гомотопические свойства |Х|? Эта задача была решена Ка-
ном. Следуя Квиллену, результат Кана можно сформу-
сформулировать как утверждение о том, что на A^et можно
ввести структуру замкнутой модельной категории так,
что HoZTop и Hot^d^et будут (с учетом небольших уточ-
уточнений) эквивалентны. Описание этой структуры на
A09'et — основная цель этого параграфа.
Вообще, весьма несходные модельные категории *<Р
могут приводить к эквивалентным или близким катего-
категориям HuW; выбор подходящей модельной категории для
определенной гомотопической задачи может сильно об-
облегчить вычисления. Замечательной по простоте алгеб-
алгебраических свойств модельной категорией является, на-
например, категория дифференциальных градуированных
алгебр (см. § 3).
6. Расслоения, корасслоения и слабые эквивалентности
симплициальных множеств.
Назовем рогом V(n, k) следующее симплициальное
множество:
V(n, k)n= {/: [m]-+- [n]\f не убывает, lmf?=[n], \n]\{k}}.
Очевидно, V (к, п)с=Д[ге]; каноническое вложение
V (к, п) с; Д [п] мы также будем называть рогом. Мор-
физмы граней и вырождения индуцировапы соответствую-
соответствующими морфизмами А[ге] (см. 1.2.5). Геометрическая реа-
331
лизация W(к, п)\—это граница га-симплекса без к-ж
грани (к-я грань противолежит к-ж вершине).
Напомним еще, что симплициалъная сфера А[ге] есть
А[п]т = {/: [т] -*¦ \ri\\f не убывает, 1т/=И= [п]}.
Сферой мы будем также называть морфизм естественно-
естественного вложения А [п] сг А [п]. Пусть horns, spheres — классы
морфизмов рогов и сфер. Положим теперь:
F=p (horns), G = Хр (spheres), W = p (spheres) ¦ Яр (homes).
C).
7. Теорема. Категория Ac9"et с классами морфиз-
морфизмов C) является замкнутой модельной категорией.
Необходимые проверки занимают оставшуюся часть
§ 1 (аксиомы ЗМО—ЗМ2) и § 2 (аксиома ЗМЗ).
8. Аксиома ЗМО. Несложная проверка, использующая
П.3.21.
9. Аксиомы ЗМ1 а), б). Равенство W = p(G)-l(F)
следует из C) и B). Равенство G = K(FUW) аналогично
будет следовать из равенства p(G) = FПИ7, которое мы
сейчас проверим.
Имеем р(G) = рА-р(spheres) = p(spheres). Поэтому нуж-
нужно установить, что р (spheres) = F П W.
а) р(spheres)a W, поскольку %p(horns) содержит тож-
тождественные морфизмы (см. C)).
б) p(spheres)<=F = p(horns).
Для доказательства рассмотрим прежде всего комму-
коммутативную диаграмму
rim
А [п — 1J —> V (п, к)
| Du | D)
А [п — 1] —>¦ А [п].
Здесь две вертикальные стрелки очевидны (правая оп-
определяется тем, что V (п, к) ->¦ А [п] с^ А [п] есть рог).
Далее:
rimm: А[п — 1]™ -*- У (га, к)т
переводит /: [т] -+¦ [п — 1] в д% ° /. Наконец,
(Dn)m- A[n — 1)->А[гс]
задается той же формулой.
332
Геометрически эта диаграмма описывает симплици-
альную сферу как запечатывание рога V(n, к) крышкой
А[п — 1] по ободку А[п — 1]. Поэтому, как нетрудно про-
проверить формально, эта диаграмма является кодекарто-
вым квадратом.
Теперь рассмотрим морфизм f^p(spheres). Для до-
доказательства того, что / е p(horns), мы должны постро-
построить пунктирную стрелку ® в правом нижнем квадрате
следующей диаграммы:
©
С этой целью достроим сначала этот квадрат следующи-
следующими сплошными стрелками. Вылезший из плоскости квад-
квадрат (А[п — 1], А[п— 1], V(n, к), А[п])— это D). Стрелка
А[п — 1] -*• А[п] — это вложение симплициальных мно-
;кеств «к-я грань». Коммутативность очевидна.
Пунктирная диагональ ф: А[п—1]-*-А строится
благодаря тому, что / ^ р (spheres). Пунктирная стрелка
@ строится однозпачпо по морфизмам © и V(n, к)-*-А,
поскольку D)—кодекартов квадрат. Наконец ® строит-
строится снова как диагональ в квадрате (А[п], А[п], А, В),
поскольку / ^ р(spheres). Коммутативность двух тре-
треугольников в исходном квадрате проверяется автомати-
автоматически.
Геометрический смысл этого доказательства вполне
прозрачен. Именно, утверждение (/: А -> J9)e p (spheres)
означает, что если в базе В задан симплекс, а в Л под-
поднята его граница, то в А можно поднять и внутренность.
Утверждение f^p(horns) означает, что если в В задан
симплекс, а в А поднята часть его границы — рог, то в
А можно поднять и весь симплекс. Для конструкции
подъема мы сначала рассматриваем ободок рога как гра-
границу его крышки и поднимаем в А всю крышку. После
этого в А уже поднята вся граница симплекса, и мы
можем поднять весь симплекс.
в) F П W<= p(spheres).
333
f
Распишем определение C): f^F!)W означает, что
p(horns), а также что f-=gh, где g^ p(spheres) и
h^kp (horns). Мы докажем сейчас, что / является рет-
рактом g: в силу 2ж отсюда будет следовать требуемое.
Рассмотрим коммутативную диаграмму:
А
id
В-
в которой к существует, поскольку f^-p (horns), a
¦е Яр (horns). Диаграмма ретракции имеет вид
10. Аксиома ЗМ1 в). Мы докажем, что k(F)=* G П W;
применяя к обеим частям р, получим требуемое,
a) k(F)<=W.
В самом деле, k(F) = кр (horns) <=: a (spheres) • кр (horns) —
— W.
б) k(F)<=G.
В самом деле, мы уже доказали, что р (spheres) <=
<= р(horns); остается применить к этому к.
в) GuWak(F).
Распишем определение C): / <s G П W означает, что
/е^р(spheres), а также что / = gh, где g ^ p(spheres)
и h^kp(horns). Мы докажем, что / является ротрак-
том h: в силу 2ж отсюда будет следовать требуемое.
Рассмотрим коммутативную диаграмму
h
-В
в которой к существует, ибо g ^ p (spheres),
е Яр (spheres). Диаграмма ретракции имеет вид:
А^А^А
lf h lh g \f
B^B-^B.
334
11. Аксиома ЗМ2 (первая часть). Мы хотим для лю-
любого морфизма /: А -* В построить разложение f — p-i,
где pesF = p(horns), i^GuW = X(F) = Xp(horns) (по-
(последнее доказано в п. 10). С этой целью построим р, i
явно п затем проверим принадлежность этих морфизмов
соответствующим классам.
Обозначим через 2fe(f) множество всех коммутатив-
коммутативных квадратов вида
V(n,k)-+A
(слева стоит рог). Определим симплициальное множе-
множество Ех1 (/) и морфизм г1 (/): А -*• Ех1 (/) с помощью
кодекартова квадрата
ТТ V Ы. к)-* А
Д [п] —
¦ Exi(/)
Заметим, что в этой диаграмме левая стрелка, как сум-
сумма рогов, принадлежит кр (horns). Значит, в силу п. За),
V (f) ^ kp (horns) для любого/.
Из универсальности следует существование канони-
канонического морфизма р'(/): Ех1 (/)->#. Положим теперь
Е^1 (/) Е* (/ (/))?»(/) i1 (к (/)) ? (/)/+1 (/)
Р (/(/))•
Наконец, положим Ех°°(/)= limExfc(/) относительно
ik (/), i = lim ik (f), p = lim pk (/). Нетрудно убедиться, что
все ih(f) являются вложениями (поскольку рога — вло-
вложения), так что Ех" (/) по сути есть объединение Exft(/).
Поскольку ph(j) согласованы по к, р существует, и, оче-
очевидно, сквозной морфизм А -*- Ех00 (/) ->¦ В совпадает с
ЧЧ)
Ехь+! (/) по сделанно-
сделанно/. Далее, морфизмы Exft (/)(/) д
му выше замечанию принадлежат кр (horns). Поэтому
для любой коммутативной диаграммы
335
где g^p (horns), мы можем индукцией по к построить
согласованную систему подъемов Ех*(/)->-Х Значит,
ie Xp(horns).
Остается проверить, что р е р (horns). Рассмотрим
квадрат
V (п, к) -> Ех°° (/)
1 1"
Д[гс] >В
Очевидно, образ V(n, к) попадает в ЕхЛ(/) для некото-
некоторого к. Но тогда, по построению Exi4"'(/), можно опре-
определить подъем А[п] -*¦ Exk+i (/). Это завершает проверку.
12. Аксиома ЗМ2 (вторая часть). Мы хотим для лю-
любого морфизма /: А -+• В построить разложение / = jq,
где / ef П W = p(spheres) (см. п. 9) и де<? =
= Яр (spheres).
Обозначим через Sph(/) множество всех коммутатив-
коммутативных квадратов вида
[В
После этого конструкции предыдущего пункта с заменой
Зё{1) на Sph(/) и дословно те же рассуждения дадут
требуемое.
§ 2. Гомотопическая характсризация слабых
эквивалентностей
1. Определение, Е е ОЪ A°Set называется множе-
множеством Кана, если ps^F, где рЕ\ Е -*¦ Д[0] — проекция в
точку. ¦
Таким образом, любой морфизм рога в множество
Кана продолжается до морфизма, заполняющего его
симплекса. Это свойство имитирует некоторую элемен-!
тарную ситуацию «продолжения гомотошга». В следую-
следующем пункте мы введем необходимые точные определе-
определения, а пока попытаемся представить себе объем понятия.
а) В обозначениях 1.11 напишем разложение Х-*-
-> Ех00 (рх) -+ Д [0] морфизма рх: X -+¦ Д[0]. Очевидно,
Ех°°(/)х) есть множество Кана. Таким образом, любое
симшпщиальное множество вкладывается в множество
Кана морфизмом из W.
336
б) Любая симплщиалъная группа является множе-
множеством Кана. В самом деле, пусть G = {Gn} — симплици-
альная группа. Согласно определению множества Кана
нам нужно доказать, что любой морфизм <р: V(n, к)-*- G
продолжается до морфизма i|>: Д[га] ->• G. Поскольку мор-
морфизм ф полностью определяется элементами ф(с*„)е
eGn_i, i Ф к, а морфизм гр — элементом il)(Id[n])e Gnt
нам нужно доказать следующее утверждение.
Пусть заданы элементы х0, ..., #*-i, xk+i, ..., жяе
е Gn-i такие, что
4-1^- -<->i, 0<i </<п, i, ]фк
(мы используем обозначения d\ = G\d\), s\ = G [g]))~
Нужно найти х е Gn, для которого
d\x = xi: 0<i<ra,
Сперва мы найдем u^Gn такое, что
dl,u = Xi при 0 <! i < к.
Если к — 0, то на и не налагается никаких условий И"
мы положим
и = еп (единица группы Gn).
При к > 0 положим
и рекуррептпо при 0 < г «? к — 1, определим ur e Gn, по-
полагая
Несложная индукция по г показывает, что
cZ^ur = Xi при 0 <; j <; г
(нужно использовать, что dnyr—i = еп—\ при 0 ^ i ^ г — 1)
Теперь положим it = ик-±.
Далее положим
vo = u
и при 0 < г ^ п — к
Zr^ = S™ ({dl-^Vr-^Xn-r^),
Снова, индукцией по г, несложно доказать, что
dlnvr = Xi при 0 ^ i < к и при i > n — г
22 С. И. Гельфанд, Ю, И, Манин, т. 1
337"
¦(нужно использовать, что dn^r-i = e-n-i при 0 ^ i < к и
при i> n — г+1).
Полагая теперь х = vn-h, имеем dlnx — хг при i Ф к,
что и требовалось. ¦
в) Симплекс Д[п] при п> 1 не является множеством
Кана, вопреки наивной интуиции.
Дело в том, что морфизмы симплициальных множеств
сохраняют внутренний порядок вершин. Поэтому мор-
¦физм нульмерного рога 7A, 0)-* А[1], переводящий «ко-
«конец одномерного симплекса» в «начало», не продолжает-
продолжается до морфизма всего симплекса.
Множество Кана Ех°°(рд[1]), являющееся гомотопиче-
•ским эквивалентом отрезка, можно воображать как бе-
бесконечномерную клетку, которая получается последова-
последовательным приклеиванием симплексов разных ориентации.
Вообще, множества Кана в симплициальной категории
играют роль, подобную роли функциональных про-
пространств гомотопической топологии.
2. Гомотопии симплициальных множеств, а) Пусть
X — симплициальное множество. Назовем вершины х,
у е Ха сильно связанными, если d\z = x, d]z = у для
подходящего zelj (мы снопа используем обозначения
-d\ = X (д})). Назовем вершины х, у е Хо связанными, если
существует цепочка х = х0, хи х2, ..., хр = у такая, что
либо (xt, x,+i), либо (xi+i, xi) сильно связаны для всех
O^tsg/) — 1. Заметим, что если Е — множество Кана,
то любые связанные вершины в Е сильно связаны. Для
проверки достаточно убедиться, что отношение сильной
связанности симметрично и транзитивно. Оба условия
проверяются с помощью конструкции подъема подходя-
подходящих рогов 7B, к).
Для любого X обозначим через яо(Х) множество
классов эквивалентности Хо по отношению связанности.
Конечно, это то же самое, что яо(|Х|).
б) Пусть X, Y — два симплициальных множества.
Положим
, 7)),
[X, У] =
где внутренний Нот в Aoff'et описап в 11.4.24.
в) Рассмотрим два морфизма /, g: X -> Y. Будучи
элементами Нот(Х, У)о, они определяют классы [/],
[g] е [X, Г]. Если эти классы совпадают, / и g называ-
называются гомотопными. Отображение р: X ->¦ У называется
338
гомотопической эквивалентностью, если существует такое-
отображение q: Y -*¦ X, что р ° q гомотопно idy, q°p го-
гомотопно id*.
г) Можно описать гомотопию отображений непосред-
непосредственно по образцу п. а). Морфизмы /, g: X-*¦ Y назы-
называются сильно гомотопными, если существует такой мор-
физм к: 1ХА[1]-»-У (гомотопия между / и g), что
Ло = д fti=ft гдо кг--=ко(мххг(д[)): Х = ХХД[0]-
-+IX Л[1] -^ У. Порожденное этим отношением отноше-
отношение эквивалентности есть гомотопия. Если Е — множе-
множество Кана, то гомотопные морфизмы /, g: Х^-Е сильно-
сильногомотопны.
Основная цель итого параграфа — доказательство сле-
следующей теоремы.
3. Теорема. Морфизм /: X -»- У в AVe* является
слабой эквивалентностью, если и только если для любо-
любого множества Кана Е индуцированное отображение
U, Е\. [У, Щ-+[Х, Е]
взаимно однозначно.
Аксиома ЗМЗ, очевидно, прямо следует из этой тео-
теоремы.
4. План доказательства теоремы. Импликация j e
е W =*¦ {[/, Е] — биекция} доказывается прямой конструк-
конструкцией необходимых гомотопии в пп. 5—7 ниже.
Для доказательства обратной импликации проведем
сначала небольшую редукцию. Мы хотим доказать, что
/ep(G)A(F), зная, что [/, Е] — биекции для всех мно-
множеств Кана Е. Пусть / = /?, /eJTl W = p(G), q^G (см.
п. 1.9 и 1.12). Тогда [/, E] = [q, ?]•[/, Е]. Кроме того,
[/, Е] — биекция, потому что / «= p(G) = F П W<= W (мы
используем прямую импликацию). Следовательно, [q,
Е] — биекция.
Таким образом, достаточно проверить следующий
факт: если q ^ G и [q, E] — биекция для всех множеств
Кана, то де М^1)- Это делается в два шага.
Введем класс морфизмов
Fk = (расслоения множеств Кана).
Мы докажем сначала, что q^X(FK) (пп. 8—15) и за-
затем—что G fU(FK)=G nX(F) (пп. 16—37). Для дока-
доказательства приходится развить техпику, представляющую
самостоятельный интерес.
22* 339
Начнем с наглядной характеризации корасслоений.
5. Лемма. Морфизм /: X ->- У лежит в G тогда и
только тогда, когда он является вложением (т. е.
/„: Хп -у Yn — вложение для любого п).
Доказательство, а) -*=. Пусть /— вложение.
Рассматривая X как подмножество У, положим для
и обозначим через k: У{г~1) -> У('> естественное вложе-
вложение. Ясно, что У=иУ@. Ввиду 7.2 г) достаточно дока-
доказать, что U e G для любого L
Любой элемент у е(УA)^ — (У'4-11), задает морфизм
/„: A[i]->-Y({), причем jy(A[i])<= У(<~°. Набор морфизмов
]у, y^(Y{i))i — (Y{i-l))h определяет морфизмы /; ДА[г]-*-
г
v
XI А Щ ->У(г-1)- Легко проверить, что эти мор-
морфизмы входят в кодекартов квадрат
Ш
у 1.
(т. е. У№ получается из У0'-" приклеиванием невырож-
невырожденных s-симплексов, не лежащих в X, по их границе).
Ясно, что в этом квадрате s «= spheres cr Яр (spheres) = G.
Ввиду 1.3, U e G.
6) =*-. Пусть /eg, Применив к / рассуждения из
п. 1.12, мы получим разложение / = /?, причем морфизм
q<^G, построенный в п. 1.12, является вложением. Рас-
Рассмотрим квадрат
Поскольку /eG, a /ef(llf = p(G), существует мор-
морфизм h: Y -+ Z, делающий верхний треугольник комму-
коммутативным. Поскольку q — вложение, / — также вложе-
вложение. ¦
Перейдем к доказательству импликации />е W
биекция}. Представим / в виде / = р-г, где p
{{/,
340
() Поскольку [/, E] = [i, E][p, E], достаточно про-
проверить, что [г, Е] и [р, Е] биекции.
6. Лемма. Если p^p(G), то [р, Е] —биекция.
Доказательство. Мы установим, что любое ото-
отображение р: X -+• У из p(G) является гомотопической
эквивалентностью. Отсюда следует, что [р, Z] есть биек-
биекция для любого Z.
Конструкция q: У->Х основана на рассмотрении
квадрата
в котором левый морфизм принадлежит G в силу лем-
леммы 5. Гомотопия, связывающая qp и idx, строится как
диагональ в квадрате
в котором снова левый морфизм принадлежит G в силу
леммы 5. ¦
7. Лемма. Если i^X(F), то [i, E] биекция.
Доказательство, a) [i, E] сюръективно, потому
что любой морфизм g: X-*-E можно представить в виде
композиции g = hi, где h находится из квадрата
Е
X
У
Правая сторона этого квадрата принадлежит F по опре-
определению множеств Кана.
б) Покажем теперь, что [i, E] инъективно. Пусть а,
[}: У -+¦ Е — такие морфизмы, что а ° i сильно гомотопен
$°i, и пусть к: XX А[1] -»- Е — соответствующая гомото-
лия. Мы хотим доказать, что а к Р гомотопны. С этой
341
целью мы построим ниже симплициальное множество Z
и морфизм g: Е -> Z, который принадлежит к (F) и та-
такой, что g ° а, гомотопен g ° р. Когда это будет сделано,
из пункта а) будет следовать сюръективность отображе-
отображения [g, E]: [Z, Е] -+¦ [Е, Е]. Прообраз idB при этом ото-
отображении доставит такой морфизм h: Z -*¦ Е, что h • g
гомотопен idE, а тогда h ° g ° а и h ° g ° $ гомотопны друг
ДРУГУ) а также аир соответственно.
Сначала построим множество U, входящее в кодекар-
тов квадрат
*ХД[1]
*xidj,
rxA[i]
X
XA[1]
I
По морфизмам (а, Р): YXA[1]^E и к: ХХАЦ]-+Е
и свойству универсальности строим морфизм у: U -*¦ Е.
Аналогично, по морфизмам idXs: 7XA[1]-+ 7ХД[1] и
г X id: XX Д[1] -* У X Д[1] строим морфизм б: U-+YX
X Д[1]. Теперь достроим (-у, б) до кодекартова квад-
квадрата:
Е
Д[1]
\"'
Z
Нетрудно проверить, что к' — гомотопия между g ° а,
g ° р и g ^ % (F). Первая часть теоремы 3, таким образом,
доказана. ¦
Следующая лемма доставляет большой класс морфиз-
мов из G П W.
8. Лемма. Пусть /: X-+¦ Y — вложение (т. е. f^G).
Тогда естественное вложение
g: (XXA[n])U(YXV(n, k))^YXA[n],
индуцированное вложениями / X idA[n] и idYX(V(n, k)-*-
->- А[и]), принадлежит G Л W — Xp(horns).
Доказательство этой леммы аналогично доказатель-
доказательству первой части леммы 5. А именно, представим УХ
X Д[и] в виде объединения возрастающей последователь-
последовательности множеств
У@ = (УA)ХА[/г])и(УХ7(п, к)),
где УA) определяются при доказательстве леммы 5. Лег-
Легко проверить, что естественное вложение Y(i—1)-*- Y(i)
342
включается в коде картов квадрат
П (А [г] X А [п]) U (А Щ х V (п,к)) -+Y(i- 1)
П
(Yli~1))<). Поэтому, согласно
у
(II берется по y^(Yw
*¦ у
п. 1.3, достаточно проверить, что при любых г, п, к вло-
вложение
(A[i]XAln])V(A[i]XV(n, к)) -»- Щ X А[п] A)
принадлежит G Л W = Хр(horns).
Для этого введем возрастающее семейство подмно-
подмножеств Do, ..., Dn в Д[?] X А{п], удовлетворяющее следу-
следующим условиям:
а) D, = (Ap]XA[n])U(i[j]XV(n, к)).
б) Вложение Д -»- ?>J+i включается в кодекартов
квадрат
B)
и) Dw = АН X Д[л].
Говоря несколько неточно, при переходе от Du к Dj+i
мы добавляем очередной (и + ?) -мерный невырожденный
симплекс в ДМ X Д[п], «рог» которого принадлежит Dj.
Строгое построение множеств Ds легко получить из опи-
описания триангуляции A[i] X А[п], приведенной в 1.1.5.
Поскольку квадрат B) кодекартов, вложение Д ->-
->- ДА1 лежит в Kp(horns), Поэтому и композиция этих
вложений, т. е. вложение A) лежит в Яр (horns), и
9. Морфизмы Ною'ов и произведений. Пусть /: А -*•
-*- В, g: X ->¦ У — морфизмы симплициальных множеств.
Естественные морфизмы симплициальных множеств
Нот (А X) -^ Нот (A, Y) <— Нот (В, Y)
определяют декартово произведение
Нот (f,g) = Horn (А, X) X Нот (В, Y)
Нот(Л,У)
Е МОрфиЗМ
J/g: Horn (В, Х)->Нот(/, g).
C)
343
Легко проверить, что на языке диаграмм Hom(/, gj
и f/g интерпретируются следующим образом: элемент
ze=Hom(/, g)n — это коммутативный квалрат
а элемент к (= Нот (В, Х)п = Нотд0^ (Я X А [п], X),
отображающийся в г,— это диагональ этого квадрата, де-
делающая диаграмму коммутативной.
Аналогичную конструкцию можно проделать с про-
произведениями. Естественные морфизмы
fxux „
определяют кодекартово произведение
Prod
df
и морфизм
АХХ
D)
; Prod(/,
Следующий результат, обобщающий теорему П.4.24а),
устанавливает связь между f/g и / ? g.
10. Предложение. Пусть /: А -»-В, g: X-+Y,
ft: U ->¦ V — три морфизма симплициалъных множеств.
Имеется естественный изоморфизм симплициалъных мно-
множеств г: Нош (/ ? ft, g) ^Hom (h, fig), функториалъный
по /> g, h, входящий в коммутативную диаграмму
Нот (В X V, X) —¦ Нот (V, Нот (В, X))
\ Uah)ig | hiuig) E)
Нот(/ПЛ, g) -^ Нот (h, f/g)
(б — изоморфизм, устанавливающий сопряженность фун-
функторов ВХ- и Нот(-, В) из теоремы II,4.24а)).
Доказательство. Мы ограничимся построением
е, оставляя все необходимые проверки читателю. Элемент
из Нот (/Oft, g)n — это коммутативный квадрат
(/)
lUQh)Xid&[n]
Y
344
Верхний морфизм этого квадрата, согласно универсаль-
универсальности ко декартова произведения D),—это пара мор-
физмов
AXVX Д:[га] -+X^BXUX A[n],
задающих один и тот же морфизм
А X U X Д{в] ->- X.
Коммутативность квадрата F) означает, что два со-
составных морфигша
А X V X Д[л] ->- Г
(через BXVXA[n] и через X) совпадают, и аналогич-
аналогично, два составных морфизма
BXUX АИ -ч- У
также совпадают.
С другой стороны, элемент из Horn (ft, f/g)n — это
коммутативный квадрат
?/¦ X А [п] -> Нот E, Z)
4*хмд[п] ]//« G)
F X А [п\ -> Нот(/, g)
Нижний морфизм этого квадрата, согласно универсаль-
универсальности декартова произведения C),— это пара морфизмов
Нот (В, Y) *- V X А[п] -+¦ Нот (A, Y),
задающих один и тот же морфизм
7ХДМ-»- Нот (A, Y).
Коммутативность квадрата G) означает, что два состав-
составных морфизма
С7ХД[га] + Нот(Я, У)
(через 7ХД[и] и через НотE, X)) совпадают, и, ана-
логично, два составных морфизма
UX А[га]-*-Нот D, X)
также совпадают.
Теперь ясно, что естественные изоморфизмы типа
^ Ношдо^е4 (V X А [п], Нот (А, X)
задают взаимно однозначное соответствие между множе-
множествами квадратов вида F) и вида G). Несложная про-
проверка того, что эти взаимно однозначные соответствия
коммутируют с симплициальными операциями в
Нош (/ПА, g) и Нот (h, f/g), а также проверка комму-
коммутативности E) оставляется читателю.
345
Мы будем использовать это предложение в основном
в ситуациях, когда /: А -*¦ В и h: U -*¦ V — вложения
(корасслоения), (h будет обычно вложением рога V(n,
к) или сферы Л[п] в А[п]). Легко проверить, что в этом
случае Prod(/, h) совпадает с (BXU)\)(AXV) (объ-
(объединение внутри В XV) и предложение 10 выглядит
следующим образом.
11. Следствие. Коммутативные квадраты
(8)
находятся во взаимно однозначном соответствии с ком-
коммутативными квадратами
-*¦ Нот(ДХ)
U
i /
f/v
№
и поднятия к в квадрате (8) находятся во взаимно од-
однозначном соответствии с поднятиями I в квадра-
квадратах (9). ¦
Следующее предложение описывает свойства морфиз-
ма fig: Horn (В, АГ)->-Нот (/, g), когда /—корасслоение,
a g — расслоение.
12. Предложение. Предположим, что (/: А -*¦ В)<=
eG, (g: Z-> 7)eF. Тогда f/g^F. Если при этом либо
f^W, либо geW, то f/g e=F,nW.
Доказательство. Нужно проверить, что f/gs
ер (horns), т. е. что в квадрате, образованном сплошными
стрелками
V(n,h)
V
f/sr
346
существует поднятие I. Согласно следствию 11, это экви-
эквивалентно существованию поднятия к в соответствующем
квадрате
{В * I ¦( И.Н)) U (А х Д [п}) 2ГЛ'
t ¦ ¦//
-V
Существование к пытекает из того, что g ^ F = p(horns),
a/d/je кр (horns) согласно лемме 8.
Перейдем к доказательству второго утверждения.
Поскольку F П W= p(G)= p(spheres), нужно построить
морфизм I в квадрате
А [га]
f/r
Д[я] -Hom(^)
т. е. морфпзм к в квадрате
(ВхА[/фи(АхД[п])-
¦X
Если g^FRW = p(G), то к существует, поскольку
/?i- вложение, т. е. / ? i e G (лемма 5). Если f ^ FU
П W, то применяя следствие 11 еще раз, получим, что
существование к эквивалентно существованию морфиз-
мапв квадрате:
А -Нот(д[ге],Х)
m.
г/8Г
В
Поскольку i — вложение, i<^ G, так что, согласно пер-
первой части предложения, i/ge F и m существует. ¦
347
13. Следствие, а) Если Е — множество Кана, то
Hom(Z, Е) — множество Кана для любого симплициаль-
ного множества X.
б) Если (i: А -> -В) е G, а Е — множество Кана
(&*: Нот (Л, E)->YLom{A, E))^ G. щ
то
Следующее утверждение понадобится нам в дальнейшем.
14. Лемма. Пусть g: X ->- Y — расслоение, у. Y'-*¦
-*¦ Y — произвольное вложение, q: Y -»- У — некоторая
'ретракция j (г. е. qj = idy). Пусть g'\ X' -+¦ У — мн<9г/-
цированное расслоение и /': X' ->- X—соответствующее
вложение. Тогда для любой гомотопии h: Д[1]Х7-+ Y,
связывающей idr с jq, существует такой морфизм г:
X ->- X' с rf = idx' и такая гомотопия к: А [1] X X ->¦ X,
связывающая idx с j'r, что диаграмма
гомото-
коммутативна (т. е. к накрывает h).
Аналогичное утверждение справедливо для
паи, связывающей jq с idy.
Доказательство. Легко проверить, что искомая
гомотопия к должна быть одномерным симплексом мно-
множества Hom(Z, X), который начинается в точке id* и
при отображении fig: Hom(Z, X)->-Hom(y", g) перехо-
переходит в одномерный симплекс ж^Нот(/', g)u задающий-
задающийся парой составных отображений
Рг2 у
а: А[1] хХ'-^Х'-+Х,
Ъ: А [1] X X
Поскольку У; X' -»- X — корасслоение (будучи вложе-
вложением), a g — расслоение, j'Jg — расслоение. Поэтому
существует нужный симплекс &еНот(Х, Х)(, ¦
15. Теорема о накрывающей гомотопии.
Пусть i: А -+ В — корасслоение, р: X -*- Y — расслоение.
Пусть также задана коммутативная диаграмма
^Х
348
и ее продолжение
A0)
(в том смысле, что К ° (idA X е (dj)): А = А X А [0] ->-
-*-А X А [1] -vX совпадает с к, и аналогично для Н).
Тогда существует морфизм 6: В X А [1] -*¦ X, продолжа-
продолжающий 6.
Доказательство. Оно вытекает из свойства про-
продолжимости (предложение 12) в квадрате
Д [0] = V A, 0) -»- Нога (В, X)
4 4
А [1] f Horn (г, р)
полученном из A0) применением следствия 11. ¦
16. Предложение. Пусть q^G и \q, E] биектив-
биективно для всех множеств Кана Е. Тогда q<^h(FK), где
FK — расслоения множеств Кана.
Доказательство. Докажем сперва, что
FK П W = FK П {гомотопические эквивалентности).
Имеем FK^WczF(]W = p(G). В доказательстве лем-
леммы 6 было установлено, что p(G) состоит из гомотопи-
гомотопических эквивалентностей. Поэтому левая часть содер-
содержится в правой.
Наоборот, пусть р: Е -*- Е' — расслоение множеств
Кана и пусть q: Е' ->- Е — гомотопически обратное ото-
отображение. Заменив q на гомотопное отображение qr
можно добиться того, что pq = idB-. В самом деле, по-
поскольку pq и idfv гомотопны, а Е' — множество Капа,
то существует коммутативный квадрат
ЕТ 9 > Е
349
"Морфизм % строится с учетом того, что р ^ F, a idE/ X
X B(dl)^k(F). Положим ^=I1=lo(idJ?/Xe(<5j)): E'->-
—>-Е. Ясно, что q гомотопно q и pq = id?/.
Рассмотрим теперь сильную гомотопию fc ? X Л[1] ->
-> i? между д/) и idE и покажем, что ее можно заменить
ла «послойную гомотопию» Ъ, т. е. такую, что следую-
следующий квадрат будет коммутативен:
Прежде чем излагать формальную конструкцию, пред-
представим себе ситуацию геометрически. Условие pq = id^/
означает, что q(E') есть сечение расслоения р. Гомотопия
h соединяет отрезком каждую точку тотального прост-
пространства Е с соответствующей точкой на сечении. Мы
хотим заменить h на такую гомотопию Ъ, чтобы соеди-
соединяющий отрезок целиком лежал в слое. Рассмотрим рог
в Е, состоящий из исходного отро.чка и его проекции на
¦сечение. Проекция этого рога па базу состоит из двух
одинаковых 1-симплексов и поэтому дополняется до вы-
вырожденного 2-симплекса в базе со склеенными тремя
вершинами. Третье ребро этого симплекса также вы-
вырождено. Поскольку р — расслоение, этот 2-симплекс
поднимается в Е, и его вырожденное ребро становится
отрезком в слое, соединяющим точку в Е с соответству-
соответствующей точкой сечения.
Формально, построим диаграмму
VB,O)-
-Hom(?,?J
AL2] ' ^ -Eom[E,E)
В пой а задается двумя элементами из Hom(?, E)i с об-
общим началом h, qph^. Нотдо^е( (Е X Д [1], Е). Далее, у
отвечает морфизму — композиции
?ХА[2]
ft р
Е X Д [1]-*¦ Е-^Е.
350
Наконец, р* индуцирован р. Коммутативность проверя-
проверяется непосредственно. Поскольку р% ^ F = р (horns), су-
существует подъем р.
Рассмотрим р как морфизм р: Е X А [2] -*- Е. Не-
Несложно проверить, что композиция h = f> ¦> (idj? X е [д 2)У-
Е X Д [1] ->- Е и есть то, что нам нужно.
Вспомним теперь, что наша цель — установить вклю-
включение р <s FK П W, или, поскольку р ^ FK, включение-
р е F П W = p(G). Рассмотрим с этой, целью произволь-
произвольный коммутативным квадрат
в котором jeG, и построим в пом морфизм I.
Рассмотрим коммутативный квадрат
L/
/
/
fl*All] g »?f
в котором F==%o(/XidA[1]), G = pr?/o(^x idA[l]). Ком-
Коммутативность следует из того, что Ъ ¦— послойная гомо-
гомотопия. Если мы ограничимся в нем подмножествами
А X е О?) (Д [О]) и В X е E?) (Д [0]), то при а = 1 полу-
получится исходный квадрат, а при а = 0 — квадрат
у
В
В нем положим Г = qg; коммутативность следует из то-
того, что pq = id^• По теореме 15 (о накрывающей гомото-
пии) X поднимается до L, а в качестве I можно взять
ограничение L. и
351
Нам осталось доказать следующее предложение, ко-
которому и посвящен остаток параграфа.
17. Предложение. G П k(FK)= G П X(F).
План доказательства. Очевидно, K(F)<=K(FK),
поэтому достаточно установить включение G(\K{FK)cz
<=k(F). Фиксируем раз навсегда морфизм /: А -*¦ В, ле-
лежащий в GCi'K(Fk). Мы хотим построить пунктирные
стрелки во всевозможных квадратах вида
В -Г
где g ^ F. Для некоторых g это сделать просто. Если
g <^ FK, to проблемы нет в силу определения /. Если g
индуцирован некоторым расслоением из FK, то задача
тоже легко решается. В самом деле, тогда есть ди-
диаграмма
А *~Х *" Е
^/
ъ которой h e FK, а квадрат XYEE' декартов. Стрелка
ф существует, ибо f^K(FK), а © — ввиду универсаль-
универсальности.
К сожалению, нельзя гарантировать, что любое рас-
расслоение индуцировано расслоением из FK. Мы введем
специальный класс расслоений — минимальные и пока-
покажем, что любое расслоение в некотором смысле слова
эквивалентно минимальному. С другой стороны, для
каждого множества Кана Z мы построим универсальное
расслоение р: Е -*¦ В со слоем Z, установим, что В
(а значит, и Е) есть множество Кана, и докажем, что
любое минимальное расслоение со слоем Z индуциро-
индуцировано р.
18. Определение. Пусть g: X -> У — расслоение,
i: X' ^ X — вложение некоторого симплициального под-
подмножества. Ограничение g': X' -+• Y морфизма g на X'
называется послойным сильным деформационным рет-
рактом g, если существуют морфизм s: X -+¦ X' с g's =
= g, si = idx' п гомотопия h: А [1] X X -+• X, связываю-
352
щая idjc и is над Y, т. е. такая, что gh = g ¦ pr2: A[1]X
XX-+Y.
19. П р е д л о ж о и и е. Сильный послойный деформа-
деформационный ретракт расслоения является расслоением.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
Поскольку g: X -*¦ Y — расслоение, существует морфизм
I: Д [п] -*¦ X, для которого Ц = iq>, gl = i|). Полагая k =
= si и используя условия si = iAx', g's = g, gt = g', по-
получим kj = si) = sicp = ф, g'k = g'sl = gl = ty. щ
Отметим, что при доказательстве этого предложения
мы не использовали: существования h. В следующем
предложении существование h уже используется.
20. Предложение. Пусть g'\ X' -+• У — сильный
послойный деформационный ретракт g: X ->- У и /: А
-*- В — произвольное корасслоение. Тогда из fh{
следует, что f^K{g).
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
Поскольку
/(g)
рате ABX'Y. Построим квадрат
A1)
существует диагональ © в квад-
квад7A,0) = Д[0]3-Ham (Д, X)
4 да \f'g
[l]H(/, g)
в котором / — естественное вложение, морфизм Ф
задается 0-симплексом В —> X' —> X из Нот (В, ХH —
= Нот^0^е( (В, X), морфизм W задается 1-симплексом
6 е Нош (/, p)i, который определяется следующим обра-
23 С. И. Гельфаид, 10. И. Манин, г. 1 353
зом: Нот (/, g)x = Нот (Л X А [1], X) X Нот (В X
HomUXAULY)
ХД[1], Y) и 6=F1, е2), где
в,: h ° (ф X idA[n): А X А [1] -* X,
Э2: i|) ° рг,: В X Д [1] ->- У.
(Легко видеть, что 0i и 92 индуцируют один и тот же
морфизм 4ХД[1]->У.) Из того, что h — гомотопия,
связывающая idx и i ¦ s, получаем, что построенный
квадрат коммутативен.
Ввиду предложение 12, fig — расслоение. Поэтому
существует в: Д [1]->-Нот(/?, X), делающий квадрат
коммутативным. Зададим морфизм Д [0] -*- Нот (В, X)
как композицию А [0] = V A, 1) -> А [1] -^ Нот (В, X).
Образ этого морфизма определяет 0-симплекс в
Нот (В, X), т. е. морфизм симплициальных множеств
©: 5->-Х. Оставляем читателю несложную проверку
нужных коммутативностеи в диаграмме A1). ¦
21. Связанные симплексы. Пусть g: X -*- У — произ-
произвольное расслоение. Обозначим через in: Д [п] -~ А \п]
вложение границы стандартного симплекса и рассмот-
рассмотрим расслоение (см. предложение 12)
ijg: Нош(Д [п], Х)~^ Hom(i,,, g).
Назовем два n-симплекса х„ х2 = X g-сеязанными, если
соответствующие морфизмы хг, хг е Нот (Д [га], Х)о =
= Нот 0(^е((А \п], X) лежат в одной связной компоненте
некоторого слоя расслоения ijg.
Поскольку ijg — расслоение, любой его слой являет-
является множеством Кана. Поэтому два элемента из некото-
некоторого слоя ijg будут g-связанными в том и только том
случае, если они суть вершины 1-спмплекса, целиком
лежащего в этом слое. Отсюда вытекает, что определе-
определение ^-связанности имеет следующую диаграммную ин-
интерпретацию:
хи х2 е Х„ ^--связаны в том и только том случае,
если существует диаграмма
A2)
354
в которой е = 0 или 1, {е} = е {д{) (Д [0]) cr A [1J, / —
естественное вложение. А,/ = А2/ = a, ghx = ghz = b,
h1({i — e}X6n) = xl, /!2((l-e}X8,) = i2; напомним, что
через 6яеД [п\п обозначается единственный невырож-
невырожденный га-симплекс в Д \п\.
Читатель легко проверит, что два вырожденных сим-
симплекса g-связаны тогда и только тогда, когда они сов-
совпадают.
22. Определение. Расслоение g: X -*- Y называ-
называется минимальным, если любые два g-связанных симп-
симплекса совпадают. ¦
Грубо говоря, минимальность расслоения g означает,
что в X нет лишних послойных гомотопий: любые гомо-
гомотопные элементы совпадают. В частности, читатель лег-
легко проверит, что если расслоение g: X -*¦ Y минималь-
минимально, то в каждой связной компоненте любого слоя g име-
имеется ровно один 0-симплекс. Из определения индуциро-
индуцированного расслоения вытекает также
23. Лемма. Пусть g: X -+• Y — минимальное рас-
расслоение и ср: У -*- Y — произвольный морфизм. Тогда
индуцированное расслоение g': XxY'=X'-*-Y' также
Y
минимально. ¦
24. Предложение. Для любого расслоения g:
X ->- У существует такое симплициалъное подмножество
X' с= X, что g': X' ->- У является минимальным расслое-
расслоением и послойным деформационным ретрактом g.
Доказательство, а) Ясно, что g-связность яв-
является отношением эквивалентности. Отметим в каждом
классе эквивалентности ^-связанных симплексов в X по
одному представителю, подчинив этот выбор единствен-
единственному условию: если в данном классе есть вырожденный
симплекс (согласно замечанию перед определением 22,
такой симплекс единствен), мы отмечаем именно его.
Таким образом, все вырожденные симплексы будут от-
отмечены. Обозначим через X' какое-нибудь симплициаль-
ное подмножество X, состоящее целиком из отмеченных
симплексов и максимальное среди подмножеств с этим
свойством. Покажем, что X' удовлетворяет всем нуж-
нужным условиям.
б) Убедимся сперва, что если х е Хп — отмеченный
симплекс и dlnx <= X' для всех i, 0 ^ i ^ п, то х гг X'.
В самом деле, предположим обратное. Присоединим к
X' симплекс х и все его вырождения, т. е. симплексы
вида Х(а)х для эпиморфизмов о: \т] -+¦ [п]. Ясно, что
23*
355
полученное подмножество Х"с=Х инвариантно относи-
относительно всех операторов Х(/), т. е. является симплици-
альным подмножеством X. С другой стороны, легко ви-
видеть, что каждый симплекс feX" либо вырожден, ли-
либо равен х, либо лежит в X'. В каждом из этих случаев
х отмечен. Мы получили противоречие с максималь-
максимальностью X'.
в) Пусть теперь Jf — множество пар (Z, k), состоя-
состоящих из симплициального подмножества Z а X, содержа-
содержащего X', и гомотопии Д[1]Х2-+1, имеющей вид h =
= ffi, где 1: Z ->• X — вложение, а Ъ — некоторая ретра-
гирующая деформация A[l]XZ->-Z над У (т. е. % —
гомотопия idz и lq над У, где i: X' -+• Z — вложение,
a q: Z -»- X' — левый обратный кг, qi = idA^)-
Множество Jf очевидно непусто (оно содержит пару
(X', ix'^x ° pr2)) и частично упорядочено (относитель-
(относительно ограничения h на подмножество). Пусть (Z, h) —
некоторый максимальный относительно этого упорядоче-
упорядочения элемент JC. Мы покажем ниже, что Z = X. Если это
будет доказано, то X' будет сильным послойным дефор-
деформационным ретрактом X, т. е. согласно предложению
19, g'\ X' -»- X будет расслоением, причем, согласно вы-
выбору X',— минимальным.
Итак, пусть в максимальной паре (Z, h) имеем
Z Ф X, и пусть х ^ Хп — некоторый симплекс минималь-
минимальной размерности, не принадлежащий Z. Пусть Z' —
наименьшее симплициальное подмножество X, содержа-
содержащее Z и х. Мы продолжим fe: A[1]XZ->X до h':
Д [1] X Z' ->- X с помощью следующей ниже конструкции.
Во-первых, ясно, что dnx e Z для всех i. Пусть
/: А[п] -+• Z — соответствующий морфизм. Определим
ср: Д [1] X А [п] Ц {0} X А Щ -+Х как морфизм, сов-
<о)хд[п]
падающий на первой компоненте с fe °(idi[i] X/), а на
второй — с морфизмом х: А [п] ={0)Х А [п] ->- X, зада-
задаваемым симплексом х. Такой морфизм ф задает комму-
коммутативный квадрат (см. следствие 11)
Д[0]
Нош(Д[л1,Х)
r/
A3)
358
где in: А [п] -* Д [п] — естественное вложение. Посколь-
Поскольку in — корасслоение, a g — расслоение, ijg — тоже
расслоение (предложение 12). Поэтому у квадрата A3)
существует поднятие г: А [1] ->¦ Нот(Д [п], X). Более
того, снова, поскольку ijg — расслоение, г можно вы-
выбрать так, чтобы 7"({l})eHom(A[n], XH = Hom о^ег(Др], X)
отвечало отмеченному симплексу i' e Х„, (Это следует
из того, что в каждой связной компоненте каждого слоя
ijg есть отмеченная точка. Читатель легко проведет со-
соответствующие рассуждения, используя поднятия рогов
VB, i)-A[2].)
Таким образом, мы построили отмеченный и-симп-
лекс х', граница которого лежит в h({l}, Z), т. е. в X'.
Согласно п. б) доказательства, х'^Х'. Продолжим ц:
Z ->- X' до д': Z' ->- X', полагая q'(х) = х'. Наконец, ис-
используя г: А [1] ->- Нот(Д [п], X), продолжим гомото-
пию Ъ: A [1J X Z ~* Z до гомотопии W: Д [1] X Z' -> Z',
связывающоИ \dZ' и i'q': Z' ->- Z'. Ясно, что пара
(Z', h' = j'W), где ;": Z' ->- X — вложение, больше
(в смысле упорядочения в JT), чем пара (Z, h),
что противоречит максимальности (Z, /г). Поэтому
Z = X. ¦
В качестве следующего шага мы докажем, что мини-
мальное расслоение над симплексом А [и] тривиально.
Для этого будет использоваться следующее важное свой-
свойство минимальных расслоений.
25. Лемм а. Пусть g: X ->- У — минимальное рас-
расслоение и и: X ->- X — морфизм, удовлетворяющий усло-
условию gu = g и гомотопный над Y тождественному
морфивму idx. Тогда и — изоморфизм в категории
°
Доказательство. Рассмотрим отображение g*\
Hom(X, X)—>-Hom (X, Y), индуцированное композици-
композицией с g: X ->- У. Условие gu = g означает, что и и idA- —
нульмерные симплексы из одного и того же слоя g*. a
существование гомотопии между и и idx над У означает,
что они лежат в одной связной компоненте этого слоя.
Поскольку ?„.— расслоение (ввиду следствия 136), су-
существует сильная гомотопия, связывающая и и idx- в
этой связной компоненте, т. е. существует морфизм /?:
А [1] X X ->- У, связывающий и и idj:, для которого
gh = g ¦ рг2. Нам нужно доказать, что ип — взаимно од-
однозначное отображение при любом п. Полагая X_f = 0,
мы видим, что это верно при п = —1. Далее будем ис-
использовать индукцию по п.
357
а) Пусть при всех г «? п инъсктивпость ит доказана.
Пусть х, х е= Хп — симплексы, для которых ип (х) =
= ип(х'), и х, х': А \п\ -*¦ X — соответствующие мор-
физмы. Тогда g ¦ х = g ¦ х' и, по предположению ин-
индукции, х I ¦ = х' I • . Следовательно, имеется коммута-
Д[п] Д[п]
тивная диаграмма
в которой левая стрелка — естественное вложение, две
диагонали суть отображения ht = h °(idAtn] X х) и /i2—
= h o(idA[n] X x'), и верхняя стрелка — (общее) ограни-
ограничение этих отображений на (Д [1] X А \п\) U (ШХ Д [п]).
Легко проверить, что эта диаграмма показывает, что
симплексы hi({0}X б„) = х и h2({0)X 6П) = х' являются
^-связанными (см. диаграмму A2)). Поскольку g ми-
минимально, х = х''.
б) Пусть для каждого г < п доказана также сюръек-
тивность ип. Пусть iel, — произвольный /г-симплекс.
Согласно предположению индукции, для любого i, 0 ^
< i < п, существует xi ^ Хп~г с ип-\ (яи = dlnx, причем,
согласно а), хг определены однозначно. Поэтому набор
[xi\ задает морфизм <р: А \п\ -*¦ X.
Ясно, 4TOg°<p = g ° (x\-r ,)• Поэтому составной мор-
морфизм
'Д[п]
А [1] X А [п]
А [1] X X Д- X
совпадает на {1>Х А [п] с
{1} X А [п] = А [п]
X.
Следовательно, h = (idA[1] X <р) их задают некоторый
358
морфизм г|э, для которого квадрат
коммутативен. 11осколъку g e F, а / е G П 1У = 1 (F)
(см. лемму 8), существует х?: А [1] X А [п] -+ X, делаю-
делающий диаграмму коммутативной. Определим сингуляр-
сингулярный симплекс z: А [п] -> X как ограничение ^? на
{0} X Д[«] = А[и] и пусть ге1„ — соответствующий тг-сим-
плекс. Тогда имеет место коммутативная диаграмма
(д[1'|*д[л])и({о}*дГл1)-
и, по свойству минимальности, 4я и h °(idA[i] X 2) сов-
совпадают на {1}Х Д [п]. Это, очевидно, означает, что х =
= un(z), т. о. ип глоръективно. ¦
26. Следствие. Минимальные расслоения g: X -+¦
-*- У и g: X' -*¦ У, имеющие одинаковый гомотопический
тип над У, изоморфны над У.
Доказательство. Условие следствия означает,
что существуют морфизмы и: X -* X' и v: X' ->¦ X над
У такие, что uv и vu гомотопны над У тождественным
морфизмам id;c и idx соответственно. Ввиду леммы 25.
uv и vu — изоморфизмы над У. ¦
27. Предложение. Любое минимальное расслое-
расслоение над А [п] изоморфно над Д [п] прямому про-
произведению.
Доказательство, а) Докажем прежде всего,
что расслоения, индуцированные с минимального рас-
расслоения g: X ->¦ У гомотопными морфизмами ср, т|з: У ->-
-»- У, будут изоморфны. Точнее, пусть gv: Хф -*- У, g$:
Х$ -*¦ У определяются из декартовых квадратов
ф —* -Л- -Л.ф —^ Л
У —^ У У —* У
359
Без ограничения общности можно считать, что ср и i|)
связаны некоторой простой гомотопией %: Хх -»¦ Л [1J X
X Г'. Рассмотрим расслоение g%: Хх -»- Д[1] X Г', инду-
индуцированное X) и образуем коммутативную диаграмму
А ф
A %
А .ф
У
Д [1]
в которой г0 = е (<?J) X idyr — индуцировано вложением
начальной точки в А [1], ij = е (<9°) х idy индуцировано
вложением конечной точки в А [1]; а вложения /0 и jt
определяются по U и г{. Пусть, далее, h0 — гомотопия,
связывающая е(д{°ао): А[1]->Д[1] с idA[i] (вытягива-
(вытягивание из начала отрезка), a hx — гомотопия, связывающая
idA[1] с е \д\ о ап0) (стягивание на конец отрезка). Соглас-
Согласно лемме 14, существует отображение г0: Хг ->- Хч с
го/о=^л-ф и гомотопия к0: А [1] ХХх->-Хх, связывающая
idx^., входящая в коммутативную диаграмму
ft,,
Л[1]Х
/Л С
<Г)Лд[1]ХГ
Аналогично, существует отображение 7у. Х% ->¦ Х$ с
rih = idj^H гомотопия /с4: Д [1] Х1Х-+ Хх, связываю-
связывающая idxx с /i?*!, входящая в коммутативную диаграмму
А [1] Xlx \ Хг
Отсюда, очевидно, следует, что морфизмы rjo: Хф^- Х$
и ro/i: ХФ ->- Xv являются взаимно обратными по модулю
гомотопий (т. е. их композиции гомотопны соответствую-
соответствующим тождественным морфизмам). Поскольку gv и g$ яв-
являются, согласно лемме 23, минимальными расслоениями,
из следствия 26 вытекает, что gv и g$ изоморфны над У.
б) Пусть теперь X ->• Д [«] — минимальное расслоение
над А [га], <р: А [гс] -*¦ А [га] — тождественный морфизм,
xf>: А [га] -> А [п] —• морфизм, индуцированный отображени-
отображением [п] ->- [п], переводящим все множество [га] в элемент
Ое[ге]. Ясно, что расслоение #Ф совпадает с ^, а расслое-
360
ние g* — прямым произведением А [га] X Z -*¦ Z, где Z —
слой расслоения g над вершиной, соответствующей вло-
вложению [0] -*¦ [га], 0 >-*¦ 0, симплекса А [га]. С другой сторо-
стороны, морфизмы ф и т|з гомотопны: гомотопия h: A[l] X
X А [п] -»¦ А [п] определяется отображением г;: [1]Х[и]->-
-»- [и], задаваемым формулами
v@, i) = 0, v(i, i) = i.
Отсюда, согласно части а), расслоение g: X-+A[ri\ изо-
изоморфно на А [/г] прямому произведению A[ra]XZ ->- Z. ш
Расслоения, удовлетворяющие заключению предложе-
предложения 27, па.чыиаются (по аналогии с топологией) локаль-
локально тривиальными.
28. Определение. Расслоение g: X->- Y называет-
называется локально тривиальным, если для любого симплекса
Уе Yn расслоение gy: Xy -*¦ А [и], индуцированное из g
соответствующим морфилмом у: Д[п]-> Г, изоморфно над
А [га] прямому произведению. ¦
Другими словами, расслоение локально тривиально,
если для любого у ^ Yn существует коммутативная диа-
диаграмма
A[ra]XZ aW > Ху
sv
Д[к|
X
V
Y
A4)
в которой правый киадрат декартов, и а.(у)—изоморфизм.
Набор <а(у)}, у ^ У„, п = (Т, 1, 2, ..., называется йг-
ласом данного локально тривиального расслоения.
В дальнейшем мы будем все время считать, что база
Y расслоения g связна. Тогда ясно, что слои Z над всеми
симплексами у изоморфны. Обозначим через A (Z) =
= {An(Z)} симплициальную группу автоморфизмов сим-
плициалыюго множества Z (см. п. 34 и упр. 1),
Атлас ia(y)} определен неоднозначно. А именно,
пусть для каждого у задан элемент v (у) е Ап (Z) с:
с: Ношдо^^ (А \п] X -Z, Z). Определим Yj (у) '¦ А [п] X Z -*¦
-*¦ А [и] X Z формулой fi(y)(t, z) = (t, ч(у)%). Ясно, что
а (у) = ее (у) ух {у) также является атласом для расслое-
расслоения g, т. е. вместо а (у) в диаграмме A4) можно поста-
поставить а(у). Обратно, если (a(j/)}, ia(y)} — два атласа, то
a(y)~lu(y) = 4i(y) Для некоторого ^(y)^An(Z). Наборы
{а(у)} и {а(у)), отличающиеся на элементы вида "f'B/)>
мы будем называть эквивалентными.
361
29. Функции склейки. Изучим теперь, как связаны
изоморфизмы а (у) с симплициальными операциями в Y.
Пусть у е У„ и fljrn] -*¦ [п] — неубывающее отображение.
Ясно, что Y(f)y = y°Ef: Д [т] ->¦ Y (определение
е}: Д [т] ->¦ Д [п] см. в П.4.24). Поэтому транзитивность
операции перехода к индуцированному расслоению вле-
влечет существование декартова квадрата
8y\
SY(f)y\
А[т] —> А [п]
Включим этот квадрат (в виде нижнего осповапия)
следующую коммутативную диаграмму:
A[m]*Z ?fXl
Ввиду универсального свойства декартова квадрата су-
существует единственный морфизм at(у): Д [т] XZ->¦
-»¦ Ху0)У, который является изоморфизмом, поскольку три
остальные вертикальные стрелки — изоморфизмы, а верх-
верхний квадрат декартов.
С другой стороны, симплексу Y(J)y^Yn отвечает
изоморфизм a(Y(f)y): Д [т] X Z -*¦ Ху^)у. Отношение этих
изоморфизмов a(Y(j)y)~l ° a,f(y): А [т] X Z -»¦ Д [т] X Z
задает, очевидно, элемент \i(f, y)^Am(Z) по формуле
^af(y) = Hr(f, у).
Набор {и.(/, у)} для всех у и/ называется функциями
склейки данного локально тривиального расслоения. Их
свойства описываются следующим предложением.
30. Предложение, а) Условие коцикла: для
h ft ' ' "
[k]-*~ [m] ->-[»] и y^Yn имеем
¦ , |i(A/., У)=М1и Y(U)y)-(A(Z)(fi))(lx(f2, у)) A5)
(- — произведение в Ah{Z)).
362
б) При замене атласа {<х(у)} на эквивалентный,
а(у) = a(y)^i(y), функции склейки изменяются по фор-
формуле
Й/ )
в) Локально тривиальное расслоение однозначно вос-
восстанавливается по функциям склейки; расслоения изо-
изоморфны (над Y) тогда и только тогда, когда функции
склейки связаны соотношением A6).
Достаточно формальную ж несложную проверку этих
утверждений мы оставляем читателю. ¦
31. Регулярные функции склейки. Среди множества
функций склейки, отвечающих всевозможным выборам
атласов для данного локально тривиального расслоения,
существуют особенно простые. А именно, набор функций
склейки и(/, у) называется регулярным, если
И-(А У) = е" (единичный элемент An(Z))
для всех онераторо» нырождения / = оу, г = 0, . . ., л, и
всех операторов граней / --- д\, / = 1, ..., п, кроме д\.
32. Пред л о ж е и и е. У любого локально тривиаль-
тривиального расслоения существует регулярный набор функций
склейки.
Доказательство. Обеспечим прежде всего выпол-
выполнение условия \ь(дгп, у) =еПу t = 1, . . ., п, для всех невы-
невырожденных у е У„. Для этого мы будем последовательно
менять а (у), i/e У„.
При я = 0 оставим <х(у) неизменными. Пусть ге>1
и а(у') для у' еУг, г< п, таковы, что и.(о?, у') = ет для
всех r<n, I ^ i ^ r, y'^Yr. Выберем невырожденный
симплекс у е Уп и положим V = \i (дгп, у) е Ап^1 (Z).
Из условия A5) получаем, что <U_i!J = dn"L\?l при 1<
^ i<j <п— 1. Поскольку Л (Z) — множество Кана (см.
16)), существует \е An(Z) с |г = d%n\. Легко проверить,
что заменяя а (у) на а (у) = а (у) ?7\ мы получим нуж-
нужное равенство |л (д^, у) -= еп, 1 ^ i ^ п, и не изменим
М- (^n, J/) для других невырожденных }еУГ] г «? п.
Теперь зададим а (у) для вырожденных элементов у,
исходя из формулы
a (s^y) = а^ (у).
Легко проверить, что набор функций склейки, отвечаю-
отвечающий построенному атласу, будет регулярным. ¦
363
Опишем теперь, как ведут себя функции склейки при
переходе к индуцированному расслоению. Пусть g: X ->-
-+• Y — локально тривиальное расслоение со слоем Z,
И-(/. У)—набор регулярных функций склейки для g.
Пусть ф: Y' -»- Y — морфизм симплициальных множеств,
g : X' -> У — индуцированное расслоение, так что
квадрат
Х'Х Z
Y
У
декартов. Слой g' очевидно совпадает со слоем Z расслое-
расслоения g. Из определения 28 ясно, что g' также будет ло-
локально тривиальным.
33. Лемма. Регулярные функции склейки и/(/,?/'),
f: [m] -> [га], у' е Yn, расслоения g задаются равенством
Несложное доказательство, использующее ассоциатив-
ассоциативность операции перехода к индуцированному расслоению,
оставляется читателю. ¦
Для завершения доказательства предложении 10 мы
построим универсальное расслоение р: Е -»¦ В со слоем
Z, докажем, что его база В является множеством Кана
и что каждое минимальное расслоение /: X -*¦ Y со слоем
Z индуцировано некоторым морфизмом ф: Y-+B.
34. Построение универсального расслоения. Пусть за-
задано симплициальное множество Z и пусть A (Z) =
= {An(Z)} — симплициальная группа автоморфизмов Z.
Напомним, что элемент "f e An(Z) — это морфизм симпли-
симплициальных множеств Y: h[n]XZ-+Z, для которого мор-
морфизм Y-r' (ргц ч): А [п] X Z -> Д [и] X Z обратим. В частно-
частности, 7 задает обратимое отображение (которое мы будем
обозначать той же буквой) Zn-*-Zn, а именно z >-»- у (б„, z),
где б„ — единственный невырожденный я^симплекс в
А [и]. Легко проверить, что таким путем мы толучаем
действие группы А„ (Z) на Zn, и все эти действия склеи-
склеиваются в действие симплициальной группы A (Z) па
Симплициальпом множестве Z.
Обозначим через еп единичный элемент группы An(Z).
а) Определение В. Положим
Д> = [¦] (одноэлементное множество),
Bn=An-1(Z)X...XA0(Z) при
364
Таким образом, элементы Вп — это наборы (fn-i, • • ч То
^еЛ;B). Зададим отображения dln: Вп-*~Вп-ъ sj,: //„
\->- 5n+i формулами
4 (То) = [" 1 Для i = 0, 1, Vo е ^х = Ло (z)-
d" (y»-i, ..., Yo) = (Vn-г. • • •> Vo).
^(Yni, , Yo) (V
Yn-i-l'^nYn—i> Yn-'-2> ••¦i7o)'
4(Yn-i, • •-, To) ^
' (•f'l-'lYn-l) ¦ ' ч s"-iYn-b «n-i, Y"-i-l' • • ¦' To)'
Легко проверить, что так определенные d ж s удовлет-
удовлетворяют нужным условиям коммутации, так что В = {Вп}
является симплициальным множеством.
б) Определение Е. Положим
Еа = Zo,
Еп^ ZnX /in = ZnX An-l(Z)X .. .XA0(Z), n> i,
dnn (zn, y,i-i, . •., To) = (уп-i-d%zn, Yn-2, • • -, Yo).
dln (zn, bn) = (d^Zn, dnbn), i > 1,
Sn (Zn, On) == \5п2п, SnOn).
В последних днух равенствах c/ibn и хгпЪп определяются
формулами п.ч н. а).
Снова легко проверить, что Е = {Еп) — симплициаль-
симплициальное множество.
в) Построение р: Е -*¦ В. Зададим р, полагая
Рп{2„, О„)= 6„, П>1.
Ясно, что р = {рп} — морфизм симплициальных множеств.
35. Предложение, а) р: Е ->¦ В — расслоение.
б) В — множество Кана.
Доказательство, а) Нам нужно доказать, что
р-е F = р (horns), т. е. существование морфизма h в диа-
диаграмме
V(n,k
365
Морфизм s определяется набором (п— 1)-симплексов
х0, ..., хк-{, xh+l, ..., Xn^En-t таких, что
dn-yXj = 4-\*i, i < /, t, 1Ф к. (П) I
Морфизм t определяется и-симплексом у е В, а коммута-'
тивность квадрата означает, что
Существование h эквивалентно существованию тг-симп-
лекса х е Еп, для которого
р (х) = г/, <&r = Xi, i Ф к.
Пусть у = (чп-и ..., Yo), ж4 = (г„_м, y«-2.*, • •., К О» i5^»
где Y'> Y',i^Ai{Z), zn-i, i€2n-i. Условие р(х) = у озна-
означает, что искомый элемент а; имеет вид
для некоторого zn e Zn. Из условий dnX = х-г вытекает,
что в качестве zn можно взять любой элемент, для ко-
которого
dluzn ^-- zn_liU гфк.
Поскольку
dln-xzn-i,j = $Z-\Zn-\,i, i < 7, г, ]фк
(следует из A7)), a Z — множество Кана (как слой рас-
расслоения /: X -*¦ Y), элемент zn с нужными свойствами
существует.
б) Пусть заданы г/„, -.., yk-i, yh+l, ¦.., yn^Bn.l, для
которых
4-iJ/j = dC-\yi, i < /, U j ф К A8)
Нам нужно найти 1/еВ„ с
dlny = yu i Ф к.
Положим
У{=(Чп-2,Ь •••, Yo, О
(i) к > 0. Из условия с?пг/ = Уо следует, что у должно
иметь вид
*/—(Yn-l? Y"-2, С, ¦ • •, Т», о)
для некоторого Yn-i e-/ln-i(Z). Далее, из условий
dlny = Уи
0, /с,
366
следует, что Yn-i может быть любым элементом, для
которого
d-n—iY«-i == Ym-2,i+i> i фк — 1.
Ввиду A8),
Поскольку A(Z) — множество Кана (как любая симпли-
ц.иальная группа, см. 16)), требуемый элемент Yn-i всег-
всегда существует.
(ii) к — 0. Заметим прежде всего, что, ввиду A8),
Поэтому, как и выше, существует Yn-i e^n-i(^), для
которого
dn-tfn-! = yn-2,l+i, i > 0.
Положим тенс'рь
У = (Vn-1. Vn-2,1 (^n-iTn-l), Т«-3,Ь • • ¦ , To.l)-
Проверка условия dlny = j/j проводится слегка по-разному
для i = 1 и для ? > 1.
Согласно определению симплициальпых операций в В
(см. п. 34а)) имеем
dly = (¦Yn-21i-('^-i7"-i)~1-?^-iVn-b Vn-з.ь • • ¦, Yo,i) =
= (Y«-2,i, Yn-зд. ••-¦> Yo.i) = J/i-
Далее,
( ^^ ^)
Теперь
Д
Y«-4,ii • •., Yo.i)-
n-iYn-i = Yn-2,i. A9)
й?тг_2 (rfn-lYn—1/ = ^n-2^ri-lYn-l —
- <-2Y«-2,i, B0)
где равенства яз и ® следуют из перестановочности
симплициальных операций со взятием обратного элемен-
элемента группы.
367
Наконец, расписывая покомпонентно равенство
получаем
Учитывая B0), из A9), B1), B2) получаем, что
B1)
B2)
= у2.
Аналогично (с использованием равенства ^n-ij/i = d^L1
получаем, что d\jj = г/ь ¦
Свойства универсального расслоения р: Е-+В описы-
описывает следующее
36. Предложение. Расслоение р: Е -» В является
локально тривиальным; регулярные функции склейки
для него можно выбрать так, чтобы
Мр (К, (Уп-i, ..., 7о)) = Vr.-i- B3)
Доказательство. Укажем, как выбрать атлас,
дающий регулярные функции склейки. Пусть Ъ —
== (Тп-1, • ¦ ¦, fo)^Bn. Тогда слой Еь расслоения /; над Ъ
состоит из всех наборок (г, Ь)^Е, где 2eZ»,, 5 =/?(/)&
для некоторого /: [т] -> [«]. Зададим аF): A[rc]XZ->?b,
полагая ofu) (/, z) = (J(/, ft)z, Я (/)&), для /: [m] -> [п],
z^Zm, где Г(/, Ь)е Am(Z) определяется следующим об-
образом:
а) Если/@) = 0, то T(f, b) = em.
б) Пусть /@) = г>0. Тогда / представляется в виде
/ = /red^:+rO...o^l+1, B4)
где /red: [те +j] -> [n], /red @)j= 0.
Положим <6 =
„ Тогда
df ~
Для завершения доказательства предложения нужно
проверить следующие утверждения:
а) а (у) не зависит от разложения B4) (которое, во-
вообще говоря, неоднозначно).
б) а (у) является изоморфизмом.
в) Функции склейки для атласа (а(у)} регулярны
и удовлетворяют B3).
368
Несложную (хотя и несколько громоздкую) проверку
мы оставляем читателю. ¦
37. Предложение. Пусть g: X-^ Y — локально
тривиальное расслоение со связной базой Y и со слоем
Z. Пусть также р: Е ->- В — универсальное расслоение
со слоем Z. Существует морфизм симплициальных мно-
множеств ф: У -*- В такой, что индуцированное расслоение
Ру. Е XY—>-Y изоморфно g: X -*¦ Y.
в
Доказательство. Для построения ц> выберем ре-
регулярный набор функций склейки \x(f, у) расслоения g
{предложение 32) и положим теперь
«Р (У) = (Ц « У), Ц Ci-i, $#), . . ., A (д°и d\... dly)).
Проверим, что ср — морфизм симплициальных множеств,
т. е. что q>(YU)y) = B(f)<p(y) для yeYn,J: [то] -»[и].
Это достаточно проверить для / = агп и / = дп.
а) / — а,1,. Нам понадобится следующее свойство ре-
регулярных- функций склейки: для любого у е Yh имеем
0 ~ч
5ft, У)
при
В самом деле,
\i(<9"+1, sly) = \i(c*/i+i, Sfej/
Здесь перноо ранеиство вытекает из того, что \ь(о{, у) — ek
ввиду регулярности, а второе — из условия коцикла A5).
Теперь при / = 0 имеем а?д?_1 = id№] и ц (id[fe], у) = ек.
При />0 имеем aldi+i = (9ftdftZi, так что снова из A5)
и регулярности будем иметь
и,(Зй+1, ^г/) = М-(oft-i, dly)' L-Sfe—if-i (<9fe, J//J = ¦''fe-ij-
Теперь имеем
4>(slny) = (m-(^°+i
Используя равенство
при j > п — I + 2,
при у < и — i -f 2,
соотношения B5) и определение действия sn на В, по-
получаем, что
24 С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1
б) / = дгп. Соотношение
ф (dly) = dlnq> (у)
очевидно при i = 0. При i > 0 это соотношение доказыва-
доказывается с использованием условия коцикла и условия ре-
регулярности и аналогично части а). Детали мы оставляем
читателю.
Нам осталось доказать, что индуцированное расслое-
расслоение Рш- Е X Y-*-Y изоморфно g: X-*-Y, Но, согласно
в
лемме 33 ж предложению 36, регулярные функции склей-
склейки ц^ расслоения pv определяются равенством
Цф (дп, у) = йр (дп, ф (у)) = И- (д°п, у).
Поэтому, согласно предложению ЗОв), /?ф изоморфно g
над Y. ¦
38. Замечание. Отображение <р, индуцирующее данное
расслоение g из универсального р, по существу един-
единственно. Имеет место следующий результат, классифици-
классифицирующий все локально тривиальные G-расслоения с дан-
данным слоем Z. Пусть Z — симплициальное множество, на
котором эффективно действует симплициальная группа G.
Пусть р: Е -*- В— универсальное расслоение, построенное
по группе G, как в п. 34. Сопоставление ф -* р<р каждому
морфизму ф: Y -*¦ В индуцированного расслоения />ф: Е х
в
XY-*-Y устанавливает взаимно однозначное соответ-
соответствие между гомотопическими классами морфизмов У ->-
->- В и классами изоморфности над Y локально тривиаль-
тривиальных (^расслоений g: X -*¦ Y со слоем Z. Этот результат,
принадлежащий, по существу, Эйленбергу и Маклейну,
доказан, например, в книге Мея, [1].
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Симплициальная группа автоморфизмов симплициального
множества (см. п. 34).
а) Докажите, что произведение У * Z двух симплициальных
множеств (см. П.4.23) обладает следующим свойством:
* = /* 8
жение
для любого X
б) Пусть X, Y, Z, U — четыре симплициальных множества,
/ = (/п)еНотд0^ (X*Y, Z), g = (gn) е Нотд()^ (X*Z, U).
Проверьте, что набор отображений hn: Хп X Гп^-2П, п = 1, 2, ...,
где hn(x, y)=gn(x, fn.(x, у}), isX,, jeF,, задает морфизм
370
{X * Y, U), Так чт0 мы получаем отобра-
отобра^(Х*2, V) - Нотд0^ (X * У, V).
д5
в) Используя результаты а) и б), а также первую часть тео-
теоремы 11.4.24, построите морфизм симплициальных множеств
Нот (Y,Z) * Нот (Z, U) -^Нот G, V).
Покажите, что при Y — Z = U этот морфизм превращает
Нот (У, У) в симплициальную полугруппу E(Y). Проверьте, что
обратимые элементы ;)той полугруппы (т. е. обратимые элементы
всех полугрупп ?„(У)) образуют симплициальную группу А (У)
из п. 34.
2. Комплексы как модельная категория. Пусть sf — абелева
категория с достаточным количеством проективных объектов,
42 = Kom-(j^) — категория ограниченных слева комплексов над^#.
Назовем расслоениями эпиморфизмы в *&. Назовем корасслоением
такой мономорфизм, что его коядро состоит из проективных объек-
объектов jd. Наконец, назовем слабой эквивалентностью любой квази-
квазиизоморфизм,, т. е. морфизм, индуцирующий изоморфизмы на кого-
мологиях. Проверьте аксиомы ЗМО — ЗМЗ.
3. Топологические пространства как замкнутая модельная ка-
категория. Структура замкнутой модельной категории определяется
здесь следующими данными.
Расслоением называется непрерывное отображение /: Х-> У,
удовлетворяющие условию Серра: /ер («грани куба»), где грань
куба — отображение [0, 1]г-'->-[0, 1]г вида (xv ..., хт_Л>-*
-(*!, •-., *r-i.°)-
Слабой эквивалентностью называется любое отображение
/: X -*- У, индуцирующее изоморфизмы гомотопических групп
nq(X, я)-*-л, (К, f(x)) для вех q 5г 0, iel (т. е. слабая гомо-
гомотопическая эквивалентность в смысле топологов).
Наконец, корасслоения определяются формулой G = %(F П W).
Функтор геометрической реализации переводит слабую экви-
эквивалентность / симплициальных множеств в слабую эквивалент-
эквивалентность |/| топологических пространств. Наоборот, если |/| —слабая
эквивалентность, то / тоже.
4. Гомологическая характеризация слабых эквивалентностей
симплициальных множеств. Морфизм /: X-*-Y симплициальных
множеств является слабой эквивалентностью, если и только если
он индуцирует изоморфизмы
я0 (X) ^ л0 (У), ях (X, х) ^ ях (У, / (х)),
где М- — любая когомологическая система коэффициентов абелевых
групп.
Набросок доказательства, а) Пусть / — слабая эк-
эквивалентность. Тогда |/|—также слабая эквивалентность. Мож-
Можно, очевидно, ограничиться случаем, когда |Х| и \Y\ связны. Если
|Х| и |У| к тому же односвязны, то любая когомологическая си-
система коэффициентов постояпна и / индуцирует изоморфизм кого-
мологий. Наконец, общий случай, л = щ(Х) = k{(Y) редуцируется
к этому с помощью спектральных последовательностей Лерэ уни-
универсальных накрытий Х->-1и Y-+Y.
24*
371
I
б) Пусть / удовлетворяет указанным условиям. Чтобы устано-
установить, что / и |/| есть слабые эквивалентности, в силу теоремы
Уайтхеда достаточно доказать, что / индуцирует изоморфизмы
nq (I % !. х) -»- nq (I Y l> I ix)) Для всех д > 2. В односвязном слу-
случае это следует прямо из изоморфизмов Н* (У, М) ^ II* (X,
/* (iS^))> а в общем — из спектральных последовательностей Л еру,
как выше.
5. Симплициальные группы как замкнутая модельная катего-
категория. Морфизм симплициальиых групп называется расслоением,
если он является расслоением как морфизм симшшциальных
множеств.
Для определения слабой эквивалентности следует ввести гомо-
гомотопические группы Мура. Пусть G = (Gn)—симплицпальная
группа. Положим
N0(G) = G;
N (G) = П KerG(^) при д>1;
4 ?>o v ч
dq: Nq (G) -*- Лгд_1 (G) — отображение, индуцированное G (dq).
Можно проверить, что Im dq+l — нормальный делитель Ker dq.
Положим
nq(G) — Ker dqj\m dg+u
Тогда rto(G) =яо(|С|), nq(G) —абелева группа при д ^ 1.
Морфизм симплициальпых групп называется слабой эквива-
эквивалентностью, если он индуцирует изоморфизм я7 для всех q.
Наконец, корасслоения по-прежнему определяются формулой.
G = X(W[\F).
6. Фпбрантные и кофибрантные объекты. Объект X замкну-
замкнутой модельной категории %? называется фибраптным, если Х-»-со
(о> — конечный объект (в) — расслоение, и кофибрантным, если
О.-+-Х (а — начальный объект '&)—корасслоение. Проверьте сле-
следующие утверждения:
В категории A°9'et все объекты кофибрантны, а множества
Кана фибрантны. В категории Kom~'(rf) все объекты фибрантны,
комплексы, составленные из проективных объектов, кофибрантны.
В категории {Гор все объекты фибрантны, CPF-комплексы кофиб-
рантпы.
7. Гомотопические категории: а) Пусть ?? — замкнутая модель-
модельная категория. Для двух морфизмов /: X-^Z, g: Y-+Z через
f-\-g: X Ц У ->- Z будет обозначаться морфизм, построенный по
свойству универсальности X Ц У. Аналогично определяется
(h, k): Z^>-Xy<,Y для пары морфизмов h: Z*-+X, к: Z-+Y.
б) Цилиндр объекта. Пусть X е Ob f. Цилиндром
пад X называется набор (CylX, бо, 6i, о), осстоящий из объекта
CylXeOb^1 и трех морфизмов й0, бь Х^-CylX, а: Су\Х-^Х
таких, что о"б0 = 0i = idjc, a — слабая эквивалентность, бо + б1:
-^-CylX—корасслоение (отсюда следует, что бо, 6i — также
корасслоения).
в) Пространство путей объекта X определяется двой-
двойственным образом как набор (X1, dB, d[, т), где XIs0b®', do, dt:
X1 —*¦ X, т: X -*¦ X1 с условиями dot = di% = idx, т — слабая эквива-
эквивалентность, (d0, di): I'^XXX—расслоение (откуда do, d\ — рас-
расслоения) .
372
Как цилипдр, так и пространство путей могут не существо-
существовать, а если существуют, то не обязательно определяются одно-
однозначно. В частности, Х-нкСу1Х не есть функтор из 91 в себя.
В категории A°ff!ct цилипдр и пространство путей существуют:
Су1Х = Х*Д[1], X1 строится по Нот(Д[1], X) как в и. 2.11.
В категории Э~ор они также существуют, но не всегда задаются
обычной конструкцией. Например, произведение пространства X
и единичного отрезка является цилиндром в смысле б) только
в случае, если X кофибрантпо. В категории Kom~'(.s$) цилиндр
комплекса X — :>то цилипдр тождественного морфизма в смысле
III.3.2. Проверьте вел1 эти утверждения.
г) Гомотопли. Пусть /, g: X -*¦ Y — два морфизма в W.
Левой еомптоинси между / и g называется такой морфизм
h: Су1Х->-У (где (<-у1 X, б0, 6ь о)—некоторый цилипдр X), что
Ыв = /, hb\ = я. Правой гомотопией между / и g называется такой
морфизм: к: А'-»-У (где (У1, d0, d,, т) — некоторое пространство
путей У), что rfu/.• = /, d\k = g. Соответствующие пары /, g назы-
называются гомотопными слева (соответствешю справа).
д) Связь между правыми и левыми г о м о т о п и я-
ми. Пусть /, g: X—>-Y — два морфизма в '83, причем объект X ко-
фибраитеп, a Y — фибраптоп. Используя аксиомы замкнутой мо-
модельной категории, Квиллеп [1] доказал, что если /, g гомотопны
справа (соответственно слева), то правая гомотопия существует
для любого цилиндра X (соответственно левая гомотопия сущест-
существует для любого пространства путей У), и что понятия правой и
левой гомотоппй между fug совпадают.
е) Категория ho ®\ Объектами ho 9" являются объекты ff,
которые одновременно фибрантны и кофибрантны. Морфизмами
ho W являются классы гомотопных (неважно, справа или слева)
морфизмов в %?.¦ Проверьте, что эти классы можно перемножать.
ж) Категория НоУ и эквивалентность. Категория
Но 'F определяется как категория частных но классу слабых экви-
валентностей и W, \lo<g = &[W-1]. Одна из основных теорем рабо-
работы Квиллена [1] утверждает, что функтор локализации Q: Ч?->
-^¦Ho'S' индуцирует эквивалентность категорий ho 'F -*¦ Но 'Ш. По-
Посмотрите, что означает эта теорема для V = Кош.- (s&) и 4? = Тор.
§ 3. DG-алгебры как замкнутая
модельная категория
1. DG-алгебры. DG-алгеброй над полем к характери-
характеристики нуль мы будем называть следующий набор данных:
а) Комплекс линейных пространств над к: А=(А\
d), А1! = 0 при i < 0, d: A1 -* Ai+\
б) Умножение Al®Ai-^-Al+i, a®b*-*ab, которое прев-
h
ращает © А* в ассоциативную fc-алгебру с единицей,
г>0
обозначаемую тем же символом А.
При этом умножение должно быть градуированно-
(или супер) коммутативным:
аЪ = {—\)%а, а^Аи b^Ah
373
a d должен быть антидифференцированием степени 1:
в) Существует единица 1е4„.
(DG, таким образом, есть сокращение от differential gra-
graded).
Морфизмом />С-алгебр А ->¦ В называется морфизм
комплексов нулевой степени, перестановочный с умно-
умножением.
Категорию /)С-алгебр обозначим ЗЬ'ЗзФ (поле к мы
считаем фиксированным).
2. Примеры, а) Алгебра де Рама. Пусть X— диф-
дифференцируемое многообразие, Q'(X) ~ алгебра С°°-форм
над R или С. Она является .DG алгеброй. Очевидно, Q'
определяет контравариантныи функтор на категории мно-
многообразий со значениями в SD'Ss^.
б) Полиномиальная алгебра де Рама. Положим Х =
= R" и рассмотрим в Q' (Rn) подалгебру форм с поли-
полиномиальными коэффициентами. Ограничение d на нее
определяет структуру DG-алгебры. Мы хотим воспользо-
воспользоваться этой алгеброй для определения функтора де Рама
на категории симплициалышх мпожоств. С этой целью
слегка изменим определение.
Положим
V (п) = DG-ajiTe6pa полиномиальных форм над к от пере-
переменных хо(п), ..., хп(п), связанных соотношением
хо(п)+ ... + хп(п)= 1.
Введем на V=(V(W), п^О) структуру симплициальной
-DG-алгебры. С этой целью для любого неубывающего ото-
отображения /: [т] ->¦ [п] положим
v(fl(iiW)= 2 ^Н.
d о V (/) = V (/) о d.
В частности, для каждого q 5= 0 мы имеем симплици-
альное множество (даже линейное пространство) Vе =
= (V(nM). Положим для любого симплициального мно-
множества X
Иными словами, на каждом симплексе X мы выбираем
по #-форме и требуем, чтобы этот выбор был согласован
с операциями граней и вырождений: так получается
374
g-форма на X. Нетрудно убедиться, что & (X) =
= © Q9 (X) имеет естественную структуру DG-алгебры
над к. В частности, й' (А [п]) = V (п).
Отображение Х*+п'(Х) продолжается, очевидно, до
контравариантного функтора tsf&et -»- Ф'ЗзФ.
в) Пусть А — любая DG-алгебра. На ее когомологиях
Я" (А) имеется естественное умножение: (класс а)Х
Х(класс Ь)= класс аЪ. Положим d = 0 на Н' (А). Тогда
Н' (А) становится DG-алгеброй, а Н— ковариантным
функтором 3!)^s^ -»¦ Ф'ЗзФ.
3. Опре де л е ние. а) Слабой эквивалентностью
DG-алгебр называется любой морфизм /: А -*¦ В, для ко-
которого Н' (/): Л' (А)-*~ Н' (В) является изоморфизмом
(т. е. / — киа.ч»и;«шорфизм комплексов).
б) Расслоением ZXj-алгебр называется любой сюръ-
ективный морфизм.
в) Корасслоением -DG-алгебр называется любой мор-
морфизм из Я(А'ПЖ), где F — класс расслоений, a W —
класс слабых эквивалентностей (см. 1.1).
4. Теорема. Категория Ф'ЗзФ с описанными струк-
структурами является замкнутой модельной категорией.
Эта теорема будет доказала ниже в тгп. 5—11. Таким
образом, функтор Сулливана — де Рама Q : AD^ et-+-
-*-S)'Ss^ является контравариантным функтором между
двумя замкнутыми модельными категориями. Однако чи-
читатель не должен думать, что этот функтор переводит
одну структуру в дуальную другой. Например, образ рас-
расслоения может не быть корасслоением.
Тем не менее, й" индуцирует эквивалентность подхо-
подходящих локализованных категорий (см. § 5).
5. Проверка аксиомы ЗМО. Алгебра к служит на-
начальным и конечным объектом в @>Cз1. Диаграмма
} 8
В ч- А -+Сдополняется до кодекартова квадрата:
А
\ ,
С
/'(с) =
где относительное тензорное произведение градуирован-
градуированных А:-алгебр определяется обычным способом, и d{b ®
® с) = db ® с + ( — 1)*Ь-® dc, i = (степень b). Наконец, диа-
375
грамма В-^-А+~С дополняется до декартова квадрата
Вх С-^В
6. Полиномиальные DG-алгебры. Для проверки ос-
остальных аксиом нам понадобятся следующие полезные
классы DG-алгебр. Пусть V = ф Vn — градуированное
линейное пространство над к, V [— 1] = ф V [— 1]„, где
V[—i]n=Vn-i. Положим
S(V) = свободная суперкоммутативная .DG-алгебра, по-
порожденная V, с нулевым d;
= S(V@V[-1]),
Легко проверить, что для любой DG-алгебры А и лю-
любого градуированного пространства V морфизмы
a: T(V)-*~A взаимно однозначно отвечают сохраняющим
градуировку линейным отображениям a': F->/1, a'(v) =
= ct(v) для v^ VczT(V). Аналогично, морфизмы
Р: S(V)^-A взаимно однозначно отвечают сохраняющим
градуировку линейным отображениям р": V-+A, для ко-
которых $(V)^ZA (ZA — подпространство циклов в А):
$'{v)—$(v) для i;e V <~ S(V). В частности, определен
морфизм у- S(V[-\])-+T(V), поскольку элементы F[-l]
являются циклами в T(V).
7. Лемма, а) Для любой DG-алгебры А и любых
V отображение i: A -v A (x) S (F) (g) T (V), а >-*¦ а 0
h h
Qg 1 ® 1, является корасслоением.
б) Аналогично, отображение /': Л->Л& T'(F), an-
й
>->в®1, является слабой эквивалентностью.
в) Морфизм у: ?(F[-l])->- T(F) является корасслое-
нием.
Доказательство, а) Нам нужно доказать, что в
диаграмме
F
376
в которой р ^ F П W, существует поднятие t. Согласно за-
замечанию в конце предыдущего пункта, морфизм t пол-
полностью задается морфизмом DG-алгебр t0: А ® 1 ® 1 -»- X
и сохраняющими градуировку линейными отображениями
U: V-4-X, U. \" ->¦ X такими, что tl{V)<=Zx (циклы в X)
и выполнены услония согласования toi = /, pti = gi, pt2 —
= gi, где gi\ V -* Y, g2: V -*¦ Y — ограничения g на 1®
®F®1 и 1 ® 1 ® F' соответственно. Положим преяеде
всего to = f. Далее, поскольку p^F, p является эпимор-
эпиморфизмом и в качестве U можно взять любое (сохраняющее
градуировку) поднятие g2: У -*- Y. Наконец, легко про-
проверить, что и.ч условий p^F (т. е. р — эпиморфизм) и
р е W (т. о. р — кназиизоморфизм) вытекает эпиморф-
\ %Z П
ность ограничения P
zx
x:
Поэтому в качестве
ti можно взять любое сохраняющее градуировку подня-
поднятие gii V ->- ZY.
б) Зададим морфизм DG-алгебр I: A® T(V)^>- А, по-
полагая Z(a®1) = «, Ца®м) = 0 для wg(F®F[-1])x
df
X T(V) = Г1" (К). Ясно, что Z/ = idA. Мы докажем,
что jl гомотопно idAeT(V) (как морфизмы комплексов),
т. е. построим h: A ® T(V)-* A ® T(V) так, чтобы
(a®l) = 0, (Ы+йЛ)(а®(й) = а®(й для сое
() Выберем базис vlt . .., ym пространства F, со-
состоящий из однородных элементов; пусть F< <= F — одно-
одномерное пространство, порожденное иг. Ясно, что T(F) =
= T(V,) ® ... ® Т( Vm). Построим сперва отображение
hi'. T(V{)-*- ^(F;), удовлетворяющее условию
= 0,
htd)(a)=a для
). A)
Если deg у,- четно, то любой элемент co^r(Fi) имеет вид
о = p(Vi)+ q(Vi)dVi, где р, q — многочлены. Положим
S
л
hi(a)= q(vi), где q(s) = J q(r) dr. Если deg vt нечетно,
о
то и имеет вид p(dvt)+ q(dVi)vu где p, q — снова два мно-
многочлена, и мы зададим ht, полагая А,A) = 0, hi{q(dvi)vi) =
(d)
= 0, hi (jp(dvi)) = —^— vt, если />@) = 0. Легко прове-
проверить, что в обоих случаях условие A) выполняется.
Теперь определим h: A® T(V)^ A ® T(V). Достаточ-
Достаточно задать А(я ® coi ® ... ® сот), где а однородно, а каж-
каждый из элементов (Oi^T(Vt) однороден, и либо равен 1,
377
либо лежит в T+(Vt). Пусть Z — число тех индексов i,
что о, <? Г+(У,). Тогда положим
(а ® (л1 (х) ...
—
сот) =
шт,
где Pi = dega + dego)i + .. . + dego)i-i. Несложные вычис-
вычисления показывают, что h удовлетворяет нужным усло-
условиям, так что / является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью, а значит, и квазиизоморфизмом.
в) Аналогично а) нужно построить поднятие t в диа-
диаграмме
в которой р е F Л W. Согласно замечанию в конце п. 6,
морфизм / задается линейным отображением /4: V[—1]->-
-9-Х, а морфизм g —лилейным отображепиом #,: V->¦ Y
(оба сохраняют градуировку) такими, что Jl{V[— 1])<=ZX
и для любого i>sy[-l],= ^., имеем dgr,(y) = p(/1(w)).
Для построения i достаточно построить tt: V ->- X (также
с сохранением градуировки), удовлетворяющий условиям
pU = gi, dti = ft.
Заметим прежде всего, что р — квазиизоморфизм и
P(fi(v))'=Br (границы в У), так что jt(v)^Bx для лю-
любого »еУ|-1], Поэтому наше линейное отображение U
должно делать коммутативной диаграмму линейных про-
пространств
V
Для доказательства существования t± достаточно про-
проверить, что квадрат в этой диаграмме является декарто-
декартовым. Это, как легко видеть, следует из того, что Р\в '¦
Вх —у BY — эпиморфизм, и Кег р ° d — Кег р + Zx. Первое
378
утверждение следует пз эпиморфности р. Для доказа-
доказательства второго заметим прежде всего, что правая часть
равенства содержится в левой. Обратно, пусть pdx =
= dpx = 0 для jeX, т. е. px^ZY. Как отмечалось при
доказательстве утверждения &),р\г^- ZX-^2,Y— эпимор-
эпиморфизм. Поэтому существует z e ZK с pz = рх и х = (х — z) +
+ z — искомое разложение. ¦
8. Проверка аксиомы ЗМ2 (первая часть). Пусть
/: А ->- В — некоторый морфизм в Ф'З.зФ. Представим его
в виде композиции
где i(a) = a®l, р{а ® Ь) = /(я) р(Ь), где aei, Ь()
^: Г (В) -*В — морфизм, отвечающий тождественному
морфизму В ->~ В (см. п. 6).
Из леммы 7 следует, что i e G П W; кроме того, р е F.
9. Проверка аксиомы ЗМ2 (вторая часть). Нам снова
задан морфизм /: Л-+В, и мы ищем разложение вида
3 1
А^С-уВ,
где jeG, q<=F CiW. В качестве нулевого приближения
рассмотрим
Со = Л
(ZB
Zb-циклы 5,
где
a:
(a) = a® 1®1, g»(a ® z ® Ь) = /(a)a()P(
^(b)^^ отвечает id:ZB->ZB. Имеем jtt^G, qo<^F;
однако вместо qa e W мы можем гарантировать лишь бо-
более слабое условие: q0 сюръективен на когомологиях, но
не обязательно инъективен.
Чтобы исправить этот дефект, добавим к Са новые
элементы, границы которых суть циклы, становящиеся
границами при отображении в В. Так как это одновре-
одновременно порождает новые элементы того1 же типа, эту кон-
конструкцию следует итерировать счетное число раз. Предел
будет тем, что нам нужно.
in In
Формально, пусть диаграмма А-^Сп^-В, п>0,
уже определена.
Введем градуированное линейное пространство Vn с
сСпФБ:
Vn = {{c, b)\dc = O, qn{c) = db, deg6 = degc-l);
положим deg(c, fr) = degc. Определим С„+1 как вершину
379
кодекартова квадрата
T(Vn[l])
t
S(Vn)
Здесь f — морфизм из п. 6, of — композиция S(Vn)—y
-+S (Vn) —>-Cn, где VnczCn—образ Vn при проекции
Vn -*¦ С„. Положим jn+i = in°in- A->Cn+i.
Наконец, определим qn+i- Cn+i^>-B по универсально-
универсальности кодекартова квадрата, исходя из двух морфизмов:
Чп- Сп-*-В т. р': T(Vn[l])-+- В, строящегося аналогично а'.
Морфизм if является корасслоением по лемме 7в),
поэтому in^G = X(Ff\W) по 1.3. Значит, jn+1 e G как
композиция корасслоений. Нетрудно убедиться, что мор-
морфизм / = lim /"„: A->-C = \imCn также является корас-
корасслоением.
Остается проверить, что qn+i = Hm qn'. С ->* В лежит в
W (эпиморфность q очевидна, ибо все qn эпиморфны).
В самом деле, Н' (q) сюръективен, ибо все Н' (<7П) сюръ-
ективны.
Если же ненулевой класс когомологий Сп попал в ядро
Н (?„), то представляющий его цикл станет границей
в С„+1 и тем более — в С.
10. Проверка аксиомы ЗМЗ. Очевидно из определения
квазиизоморфизма.
11. Проверка аксиомы ЗМ1. Часть б) есть определе-
определение G. Проверим в), а затем выведем а).
Покажем прежде всего, что F<=p(Wf\G). Рассмот-
Рассмотрим морфизм j e G fl W, /: А-+В, и любой морфизм /е
i p
ef. Представим / в виде композиции А->-А (§) Т (В)-+В,
i(a) = a®l, p(a® b)= f(a)${b). Мы должны уста-
установить существование пунктирной стрелки 3 в диаграмме
А
©.
Р\ Ч!B)
в
Построим сначала © и ® и полежим ® = т-а.
380
Поскольку f^F,f сюръекция. Значит, существует ли-
линейное отображение /: В ->- С, сохраняющее градуироику
и такое, что g = l°l- Поскольку Т(В)= S(B Ф В [-1]),
морфизм ф однозначно определяется тем. что он совпа-
совпадает с h на А и с I на В. Морфизм @ определим из
диаграммы
4 ——~А
I
В
учитывая, что / е G = k(F П W), a p s F П W, поскольку
р сюръекция, а г, у <^ W.
Выведем обратное включение p(WP\G)<^F. Пусть / =
ep(VKnG), / = /я, ieVFOG, p^F. Тогда существует
пунктирная стрелка и диаграмме
¦ ld A
/
С
В
Отсюда следует, что / сюръектиноп, поскольку р сюръек-
сюръективен. Значит, /е/<". Итак, ЗМ1в) проверена.
Наконец, покажем, что W = p(G)X(F). Пусть f^W,
j = p-i, ре 1<\ i ее W П G. Из ЗМЗ следует, что р е F П W.
Далее, F Г\ W<=hp(F r\W) = p(G) в силу ЗМ16) и анало-
аналогично GD Wcz>,p(Gn W) = K{F) в силу ЗМ1в). Поэтому
pep(G), ieA,(F) и H/<=:p(G)X(F).
Для доказательства обратного включения установим,
что p(G)czW и ^(F)czpF. Пусть gep(G), g = Р ° i, ?s
eG, p<^ F P\ W. Построим пунктирную стрелку в диа-
диаграмме
Из тою, что fe°? = id, g°h = p и р — квазпизоморфилм,
следует, что g— квазиизоморфизм. Итак, p(G)<= W (то же
рассуждение показывает больше: p(G)<=Fd W).
381
Аналогично, пусть g eX(F), g = р ° i, ie G f\W,
Рассмотрим диаграмму
A-
-*C
To же рассуждение, что и выше, дает
G Л W.
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
В нескольких следующих дополнениях мы опишем связь между
категориями ЭЬ'ЗМ- и A°9'et, которая приводит к эквивалентности
соответствующих гомотопических категорий (см. § 5).
1. Симплициальные морфизмы DG-алгебр. Для i,Be Ob
положим
S (A, B)n =
где V(re) —алгебра полиномиальпых дифференциальных форм на
стандартном п-симплексе (см. п. 2). Сопоставим неубывающему
отображению /: [ml -»- [и] морфиим S(A, /?)„->-5(Л, Б)т, индуци-
индуцированный гомоморфизмом V(/) ® idB: V(/;) ®/?->-V(m) ® О. Про-
Проверьте, что набор этих отображений задаст па (S(A, В)п) структу-
структуру симплициального множества. Проверьте, что композиция
(ф,
I
ф о %f = (
S(B,C)nxS(A,B)n^S(A,C)n,
id,
= \Л-
-»- V (и) <Э В
»- V (re) ® V (га)
\
/,
где |x: S7(n) ® V(«) -*-V(re) —умножение, задает морфизм симпли-
циальпых множеств 5[В, С) * 5D, ?) ->-S(А, С).
Проверьте, что 5(^4, В) является функтором
2. Сопряженность. Для любых A, BeOb 2D9s4-, X e A°9'et,
определите функториальные по А, В, X отображения
Ф:
, Q- (X) ® В)
(X, S (А, В)).
(Ф строится следующим образом: для ср: A^>-Q' (X) ® В, iel,,
в качестве Ф(ср) {х) е <S(^4, fi)n берется композиция
' (X)
В = V (и) ® В,
где ж: Д [и] ->- X — морфизм симплициальных множеств, отобра-
отображающий единственный невырожденный n-симплекс в А[п] в х.)
382
Проверьте, что Ф является изоморфизмом в каждом из следую-
следующих двух случаев:
а) X конечно, т. о. число невырожденных симплексов в X
конечно;
б) dim Вп <С оо для любого п.
3. Расслоения в ^>.?.я? и A°9'et. Пусть г: А ->- 5, р: С-+D—
два ыорфизма ZJG-алгсбр. Постройте каноническое отображение
симплициальных множеств
S (i, р): S (В, С)
, С) X S(B,D),
S(D)
где расслоенное произведение в A"9'et берется относительно ото-
отображений ф>— р ¦ ф, i|>>—-ifo;.
Следующее утнеряедепие играет роль, аналогичную предложе-
предложению 2.12 (и доказывается похожим образом). Пусть ieF, peG
в 25^^. Тогда
а) S(i,p) Ei'' в .-У'^еЛ
б) Если либо *' е VK, либо р е W, то S(i, p) e И7.
§ 4. Минимальные алгебры
1. Обозначения. Пусть/4 = ф А\ d) — некоторая DG-
\ г>0 )
алгебра на полем к характеристики нуль. Положим
А+ = © Аг. Обозначим через А (п) при и^О подалгеб-
п
ру, порожденную ф Л1 и dA". Очевидно, d переводит
ее в себя. Пусть А(—i) = k.
Имеем A(—i)c=A@)<=A(i)<= Уплотним эту филь-
фильтрацию, введя подалгебры А(п, q):
A(n-i) = A(n, 0)<=Л(п, 1)<=...с4(л),
где А(п, q) оо порождена А (п, q — i) и {х е An\dx ^
оо
е^ (и, ? —1)}. Очевидно, 4= U А(п).
2. Определение. Алгебра А называется мини-
минимальной, если А" = к, А свободна (как коммутативная
градуированная Z — алгебра), а дифференциал ее таков,
что А{п) = U A(n, q) для всех п ^ 0. ш
Польза этого определения связана с тремя обстоя-
обстоятельствами:
а) Минимальные алгебры допускают довольно явное
индуктивное описание (пи. 6—10) и хорошо приспособ-
приспособлены для вычисления гомотопических групп (пп. 5.12,
5.13, 5.14).
383
б) Каждая односвязная DG-алгебра слабо эквивалент-
эквивалентна минимальной алгебре (п. 11), и это соответствие об-
обладает хорошими функториальными свойствами (п. 5.5).
в) Кофибрантные .DG-алгебры полностью описывают-
описываются через минимальные (п. 5.4).
Первый простой результат о минимальных алгебрах
таков.
3. Лемма. Если А минимальна, то дифференциал d
разложим; по определению это означает, что dA+ c=
<=А+°А+.
Доказательство. Обозначим через а(п, q) объ-
объединение следующих двух утверждений:
а (и, q):
А(п, q)ld [A(n, q) + ]2 для всех г>«,
dA(n,q)c=[A(n,q)+]2.
а) а@, 0) верно, поскольку Л@, 0)=&.
б) Если а(п, д — 1) верно, то и а{п, q) верно. В са-
самом деле, любой элемент А(п, q) есть сумма элементов
трех типов: лежащих в А(п, q — 1); таких х<^Ап, что
dx e A(n, q—i), и произведений таких элементов, попа-
попадающих в [А (п, q)+f. Для элементов норного типа оба
включения, подразумеваемые в а{п, q), выполнены в си-,
лу а(п, 5—1). Для элементов третьего типа они выпол-
выполнены тривиально. Для элементов второго типа нужно про-
проверить лишь второе включение. Но оно следует из перво-
первого включения в а(п, q — \).
в) Если а(п, q) верно для всех q, то верно а(п+ 1, q).
Это следует из определения минимальности А.
Окончательно, любой элемент А лежит в одной из ал-
алгебр А(п, q) и из второй части а(п, q) следует, что его
граница разложима. ¦
4. Пример: коцепи алгебр Ли. Пусть g — некоторая
конечномерная А;-алгебра Ли. Ее комплекс коцепей C(g)
с коэффициентами в тривиальном ^-модуле к (см. 1.7.8)
есть .DG-алгебра. Напомним, что Cn(g) состоит из косо-
симметричных и-линейных функционалов на g, и
ас {х1: ..., хп+1) =
Введем на C*(g) = A(g*) естественное умножение
384
внешней алгебры. Нетрудно проверить, что d удовлетво-
удовлетворяет формуле Лейбница.
Ясно, что алгебра C'(g) суперкоммутативна и сво-
свободна. Кроме того, очевидно, что дифференциал разло-
разложим, ибо С (g) порождена Cl(g). Тем не менее, C'(g)
не всегда минимальна.
5. Предложение. C'{g) минимальна если и толь-
только если g — нилъпотеитная алгебра Ли.
Доказательство. Пусть go = g, gt = [g, gi-i\. Ниль-
Нильпотентность g означает, что gf={0} при достаточно боль-
больших i. Пусть gl = [с е g* | gi e ker с).Ниже мы проверим,
что для A = C'(g) имеем A(l, qI = gq. Отсюда сле-
следует, что если g не нильпотентна, то C'(g) не мини-
минимальна, поскольку тогда А(\)Ф [} А({, q). Наоборот,
если g нильпотентна, то A(l)= \J ^A,^) и, кроме то-
го, АA) = АB) = ..., потому что А порождена А1. Зна-
Значит, А минимальна.
Проверим утверждение A(i, qI = gq индукцией по
q. При q = Q имеем .4A, 0) = к, так что А(\, 0)' = {0} =
= g-L. Пусть результат доказан для q — i.
Имеем A(l, qI = {c e A^dc принадлежит алгебре, по-
порожденной к и А A, q — II = gq-i]. Отождествим Л (g^i-i)
с подалгеброГг и A(g*) = A(g)*. Тогда аннулятор A(gq_l)
в A(g) ость g\j-iA(g). В частности,
A(l, q)i =
[xu ж2]) = 0 для любых
Но это и означает, что ^4A, Я}1 = gq- ¦
Мы покажем, что обобщение предложения 5 достав-
доставляет довольно подробную характеризацию всего класса
минимальных алгебр.
6. Определение. Супералгеброй Ли g над полем
к называется Z2-rpaflynpoBaHHoe векторное пространство
g = g@)®g<i) с билинейным законом композиции [-, •]:
gXg-"g (суперкоммутатор). Эти данные должны удов-
удовлетворять следующим аксиомам (мы пишем х = i e Z2,
если х е= g(i)). ^
а) 1х, у) ^- (- if" [у, х].
б) (- 1?" [х, [у, z]] + (- i)u7 [z, [x,j]]
, [г, х]] =
25 с. И. Гельфанд, Ю. И. Маннн, т. 1
Ниже мы будем рассматривать только Z-градуирован-
ыые супералгебры Ли g = ф g с условиями:
в) [g\gj]^gi+).
r) g(i) = Ф gfe.
Основной пример супералгебры: пусть А=Ат®
® Aw— Z2-rpaflynpoBaHHoe ассоциативное кольцо; поло-
положим АЬ = (А, [-, •]), где [а, Ь] = аЪ — (— \)аЪЪа.
7. Конструкция DG-алгебры по Z-градуированной су-
супералгебре Ли g.
а) Обозначим через C(n) (g) пространство и-линейных
функционалов на g, которые удовлетворяют следующему
соотношению:
С (Жх, . . ., Х%, Xi + i, . . ., %п) =
_/ 14(?i+l)(^i+i+l)./r г г х)
(В соотношениях такого рода, где фигурируют обозначе-
обозначения Xi, xi+i, элементы хи xi+i предполагаются однород-
однородными; на остальные случаи тождества распространяются
по аддитивности.)
б) Введем на пространстве ф C()l) (g) умножение
следующим правилом. Пусть е: Sn X Z?—*~{± 1) — функ-
функция, однозначно определяемая условиями (здесь 8„ —
группа перестановок степени п)
е(о; т!)е(т; Х)=е(ах; X).
Положим для с4 s C<m) (g), сг = C(n) (g)
т+п
X
Нетрудно убедиться, что C{i)(g) порождает всю алгебру,
в) Введем на ф С{п) (g) Z-градуировку следующим
условием: элемент c^CU)(g), равньш нулю вне g\ имеет
386
степень dege = i-M. Условие совместимости с умноже-
умножением однозначно определяет ее на всей алгебре. Отно-
Относительно этой Z-градуировки (точнее, индуцированной
Z2-rpaflynpoBKn) умножение суперкоммутативно: с1сг =
= (— 1) 'с.уС^ dTo достаточно проверить на ли-
линейных формах с(х), где имеем:
*Л (*, У) = 4" ('г (*) с2 (У) + (~ l)(*+l)(^+l) Cl (у) с2 (х))-
Пусть degcf = г, degc2 = /; тогда можно считать, что ie
(- l)ljc2Cl (а;, у) =
Будем обозначать через Cn(g) элементы степени п (не
путать с C{n)(g)\).
г) Зададим отображение d суперкоммутативной алгеб-
алгебры С (g) — ф С" (g) в себя формулой
хп+г
) =
2
г,..., хп+1) (—
Проверим, что с/ превращает C'{g) в DG-алгебру. Преж-
Прежде всего, легко убедиться, что d увеличивает степень на
1 и удовлетворяет правилу Лейбница. Поскольку C'(g)
порождается элементами c = CA)(g), условие d2 = 0 до-
достаточно проверять для таких с, а для них опо вытекает
из тождества Якоби 66) в g. Следовательно, C'(g) яв-
является .DG-алгеброй. Очевидно, C°(g) = k, C'(g) свобод-
свободна (как суперкоммутативная алгебра) и ее дифферен-
дифференциал разложим.
8. Конструкция Z-градуированной супералгебры Ли по
DG-алгебре.
Пусть теперь А — свободная DG-алгебра с А" = к и
с разложимым дифференциалом. Построим по ней Z-rpa-
дуированную супералгебру Ли L'(A).
а) Положим I = А+/{А+У и 1Р — образ Ар в /. Оче-
Очевидно, / — градуированное линейное пространство. Оп-
Определим LV{A) как (Р+1)* и L'{A) = ф Lv (A).
б) Имеется очевидное отображение 52(/)->(Л+O
/(А+)\ где SZ(I), как и выше, понимается в смысле су-
25* 387
пералгебры: это фактор 7е2 по соотношениям а ® Ъ =
из тождества Якоби 66) в g. Следовательно,
жение является изоморфизмом. Поэтому d индуцирует
отображение
б: I =
Рассмотрим дуальное отображение
б*: S2(I*)^I*.
Определим его с помощью суперкоммутант на L' (А) = I*:
[*, у] = (- if 6* (ху),
где Za-степень x<^Lp, по определению, равна х =
= j?mod2 = (degx + l)mod 2. Из этого определения сразу
следует, что [х, у] — — (— 1)ху [у, х], а тождество Яко-
Якоби вытекает из того, что d? = О (проверка этого обратна
проверке условия йгс = 0 для с = С41' (g) из 7г)).
9. Теорема сравнения, а) Пусть g — Z-градуи-
рованная супералгебра Ли, С (g) — DG-алгебра, по-
построенная в п. 7. Тогда L' (С (g)) канонически изо-
изоморфна g.
б) Пусть А — свободная DG-алгебра с А" = к и с
разложимым дифференциалом, V (А) — Z-градуирован-
ная супералгебра Ли, построенная в п. 8. Тогда
С {U (g)) {неканонически) изоморфна А как градуиро-
градуированная А:-алгебра.
Набросок доказательства, а) Естественное
линейное отображение g-*-L' (С (g)) получается, если
рассмотреть g как пространство линейных функционалов
на I (С (.§¦)) = СA) (g) = g*. Оставляем читателю провер-
проверку того, что это изоморфизм Z-градуированных сунерал-
гебр Ли.
б) Выберем сначала линейное сечение s: I-+A+, со-
согласованное с градуировкой. Оно позволяет определить
изоморфизм S' (/) ^ А. С другой стороны, алгебра
С (Z/ (А)) свободно порождена СA) (L1 {А)) = U {А)* =
= /. Таким образом, s определяет изоморфизм
С (L' (А)) = А. Однако дифференциалы в С (L' (А))
и А согласованы лишь по модулю (А+J. ¦
10. Теорема. Пусть А — свободная DG-алгебра,
A° = k, d разложим и dim^J< °° для всех i. Тогда А ми-
388
нималъна, если и только если L' (А) нилъпотентна в сле-
следующем смысле:
для каждого р X) существует такое h{p), что
L-(A){ Л 2ЛЛ) = {0} при i>io(p)
(где L' (А){ — элементы нижнего центрального ряда су-
супералгебры Ли У/ (^1)).
Набросок доказательства. Прежде всего, по-
повторяя с небольшими видоизменениями (учет Z- и Z2-
градуировки) доказательство предложения 5, мы устано-
установим, что нильпотентность L' (А) равносильна минималь-
минимальности С (ГУ (А)).
После этого убедимся, что Аи С (L' (А)) одновре-
одновременно минимальны или неминимальны.
В самом деле, пусть (A, dt) и (A, d2)— две DG-алгеб-
ры с А" = /с, отличающиеся только дифференциалами,
причем (d) — d2)A <=(А+K. В частности, di = d2 на А1.
Отсюда прежде всего следует, что фильтрации А (га),
определенные по dt или по d2, совпадают (см. п. 1). За-
Затем индукцией по q убеждаемся в совпадении фильтраций
А(п, q). Значит, (A, dt) и (A, d2) одновременно мини-
минимальны или неминимальны. ¦
11. Теорема. Пусть DG-алгебра А над к когомоло-
когомологически связна, т. е. Н"(А)=к. Тогда существует слабая
эквивалентность /: М -*¦ А, где М минимальна.
Такая алгебра М называется минимальной моделью
для А,
Доказательство. Мы будем строить М, последо-
последовательно присоединяя элементы к М@) = к и продолжая
очевидный морфизм /@): к-* А. Мы сумеем добиться то-
того, чтобы все Hn(f) стали изоморфизмами, итерируя сле-
следующие две конструкции, первая из которых уничтожает
Cokeri7"('), а вторая (повторенная счетное число раз)
уничтожает Кег#"(•).
Уничтожение коядра. Пусть h: N' ->- А — некоторый
морфизм .DG-алгебр. Фиксируем п и выберем подпрост-
подпространство C<^Zn(A), изоморфно отображающееся на
Cokerff"(ft) при сквозном отображении Z" (А)-*¦ Нп(А) ->-
-*Hn(A)/lmHn{h). Положим N' = N®S(C), где, напом-
напомним, S (С) есть симметрическая алгебра градуированного
пространства С = Сп с нулевым дифференциалом. Опре-
Определим продолжение h': N' ->¦ А морфизма h, положив
/г'A® с) = с для с = С.
389
Имеем {Nr)m = Nm и Hm{h') = Hm{h) для m^n-l.
Далее,
(JV)" = .V" в С, dC = О, Я" (Л') = (Я" (Л), а),
где а — сквозное отображение С cj Zn (Л) -»- Я (Л). Поэто-
Поэтому Нп (h') сюръективно.
Уничтожение ядра. Снова фиксируем морфизм DG-
алгебр h: N-*¦ А и число п~^\. Выберем подпространство
K<=Zn(N), изоморфно отображающееся на КегЯ"(/г).
Тогда h(K)czBn(A) = d(An~l). Выберем еще подпростран-
подпространство Кс А" такое, что ограничение d: R->~h(K) явля-
является изоморфизмом, и будем ниже обозначать через h~l ° d
полученный изоморфизм К -»- К.
Пусть N' = N®S{K) как градуированная ^-алгебра
(но не как DG-алгебра!). Определим дифференциал в N'
на образующих формулой
d(x ® у) = dx ® у + (-l)degхх ¦ {h-1 о d) (у) ® 1,
Наконец, зададим морфизм h': N' -*¦ А, полагая
h'(x®y) = h{x)®y, jeiV, ye К.
Как выше, имеем (N')m = Nm и Hm{h') = Hm(h) для
т<п-2. Далее, (Г)— ^iV" ® ^, Z"-1(^') = Z"-1(^)
(поскольку Zn5«(iV)={0}), а Д*-1^')-^11-1^)- Зна-
Значит, Я-1 (А7) = (Я" (h), 0).
Чтобы понять происходящее в размерности п, рас-
рассмотрим диаграмму
ll\h')
.FCmod
По построению, KmodBn(N) совпадает с ядром Hn(h).
Основное свойство этого первого шага конструкции
«уничтожение ядра» состоит в том, что KmodB"(N) =
= КегЯ" (i). В самом деле, для у^К, i(у) = у ® 1 =
йA^Iгде5? (йй)Ы.
Однако просто заменить N на N нельзя, ибо
КегНп (h') вполне может быть ненулевым. Поэтому пер-
390
вый шаг нужно трансфинитно итерировать: положить
#<» = #', й<1» = /г', ЛЛ'+" = ЛГ№', й«+1)=й<*>' и наконец
iV(oo; =lim2V(", /i*"'=lim/i(i>. Мы утверждаем, что
Hm(h(x>)) есть изоморфизм при тга^га —1 и вложение при
т = п. В самом деле, первая часть верна для Hm{hU))
для всех i. Далее, если какой-то элемент f e КегЯт(/г@О)),
то его представитель "f(i) ^Hm{h{i)) обращается в нуль
при отображении в Hm(hu+i)); поэтому f = 0.
Заметим в заключение, что если N1 = 0, то достаточно
ограничиться первым шагом: Hn{ti) уже будет вложе-
вложением. Конструируя минимальную модель А, мы можем
добиться этого, если Я'(Л) = 0.
Приступим теперь к построению минимальной
модели.
Индуктивный шаг. Предположим, что уже построены
минимальная .DG-алгебра М(п) и морфизм f{n): M(n)-+
-*¦ Л со свойствами:
а„) М(п) как DG-алгебра порождена элементами сте-
степени г?тг.
б„) Hm(f(n)) есть изоморфизм для тп^п и вложение
при тп = п+ 1.
Алгебра Л/@) удовлетворяет этим условиям, ибо №(А) =
— к.
Определим М(п+1) и /(и + 1) как результат после-
последовательного применения к ){п) двух операций: уничто-
уничтожение коядра в размерности п + 1 и уничтожения ядра
в размерности п + 2. Очевидно, М(п)<= Д/(га + 1), f(n + 1)
является продолжением f(n) и удовлетворяет условиям
ал
n + li un+l-
Убедимся, что М(п+\) минимальна. Положим В =
= М(гс + 1). Обозначим через Я(ге) и В(п, q) подалгеб-
подалгебры В, определенные как в п.1. Тогда ясно, что В(тп) =
= М(тп) для mszn+l и В(т) = В для т>п + 1. По
предположению о минимальности М{т) для т^п, до-
достаточно установить, что М (п 4- 1) = U Д (и + 1, q).
<?>о
Прежде всего, В(га+1, _1)=>М(га)', где М(п)'— ре-
результат уничтожения коядра Hn+I(f(n)). Действительно,
Ж(и)' порождена В(п + 1, 0) — М(п) и циклами С сте-
степени п+ 1.
Далее, каждый шаг конструкции «уничтожение кояд-
коядра» повышает индекс q не более чем на 1, ибо мы добав-
добавляем образующие степени п + 1, дифференциалы которых
лежат в предыдущей алгебре.
391
Окончательно, минимальной моделью А будет М =
— UmM(n), / = lim/(re). ¦
Заметим, что приведенная конструкция не функто-
риальна из-за произволов в выборе пространств С, К, К
при уничтожении ядер и коядер. Однако, как в производ-
производной категории, минимальная модель станет функториаль-
ной после локализации по гомотопической эквивалентно-
эквивалентности. В категории .DG-алгебр это понятие формулируется
иначе, чем в категории комплексов, поскольку учитывает
умножение.
В следующем параграфе мы сформулируем основные
факты о гомотопической теории Z^G-алгебр и ее связи с
гомотопической теорией симплициальных множеств.
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Дифференциальные градуированные супералгебры Ли как
замкнутая модельная категория, а) Определим дифференциальную
градуированную супералгебру Ли как Z-градуироваштую алгебру
Ли g (удовлетворяющую условиям а) — г) п. G) с лилейным ото-
отображением д: g-+g степени —1, удовлетворяющим условиям
32 = о, д {[х, у]) = [дх, у] + (- If [х, ду]. Обозначим через Ш2"
соответствующую категорию (с естественными морфизмами).
Введем в SOSS? расслоения как морфизмы «р: g-+g', являю-
являющиеся эпиморфизмами во всех положительных степенях, слабые
эквивалентности как квазиизоморфизмы и корасслоения — с по-
помощью аксиомы ЗМ16 из п. 1.4. Аналогично доказательству
теоремы 3.4 проверьте, что ЗУЗЯ? — замкнутая модельная кате-
категория.
б) Определим ZD'S&x как полную подкатегорию SD'SS, состоя-
состоящую из алгебр g = Ф g* с g° = {0}. Введем расслоения в 2>$2?i
как морфизмы, являющиеся эпиморфизмами во всех степенях
i^2, слабые эквивалентности — как квазиизоморфизмы и корас-
корасслоения—по аксиоме ЗМ16). Проверьте, что 2Е)&&\ — замкнутая
модельная категория.
в) Свободные алгебры Ли. Пусть V — 9 F' —
градуированное векторное пространство. Свободная алгебра Ли
L(V), порожденная V,— это представляющий объект в категории
Z-градуированных суоералгебр Ли (без дифференциала) для
функтора gi— Hom<g у, (V, g), где Зг-Tect — категория гра-
градуированных векторных пространств. Приведите явную конструк-
конструкцию!, (У).
г) Корасслоения в 3)&Э?\. Проверьте, что корасслоения
/: (g, д) ->• {g, д) в ЗУВЗ?\ описываются явно как морфизмы, кото-
которые можно представить в виде композиции / = р о г, где [g, д) —>-
->¦ is', д') Л- (g, 5) — морфизмы в &>$9?\, включающиеся в
392
коммутативную диаграмму
в которой g # g — прямая сумма (свободное произведение) в
категории Ж>Ъ2Р\ и 0 — изоморфизм алгебр Ли (не обязательно
с дифференциалом).
д) Докажите, что каждый объект в ёб'ВЗх кофибранген,
а фибрантными являются в точности алгебры вида g= {L(V), д)
для некоторого градуированного векторного пространства V.
2. Минимальные DG-алгебры Ли. Для .DG-алгебр Ли сущест-
существует теория минимальных алгебр, параллельная теории минималь-
минимальных .DG-алгебр, изложенной в этом параграфе. Объект (g, д) кате-
категории Ф'З&х называется минимальным, если g — свободная алгеб-
алгебра Ли (т. е. g = L(V) для некоторого градуированного векторного
пространства V) и дифференциал д разложим (т. е. d(V) a [L{V),
L(V)])
])
одифицируя доказательство теоремы 11, докажите следую-
следующую теорему о минимальной модели: для (g, д) ^.0ЪЗИ)$9?\ су-
существует минимальная ZJG-алгебра Ли (L(V), д) и слабая эквива-
эквивалентность ф: (g, д) -*¦ (L(V), д).
3. Гомотопии в (g, 9). Опишем, как специализируется в ЗЬ'З&х
теория гомотопии из упр. 2.7.
а) Пусть {g, д) <^0Ъ2)'32?\ с g=L(V) для некоторого V.
Определим (g, D) e Ob Ф^2Х следующим образом: g = L(W), где
W=V®V'®V" с V — V, V" = V[—l], D совпадает с д на^ V,
равно 0 на V и является тождественным отображением Vn =
= Fn_1 = F;_1 + v;_1 на 7".
Пусть, далее, бо: (g, д) -*- (g, D)—каноническое вложение,
о\: (g, д) -* (|, D) задается формулой
где s: V-+V — тождественное отображение, i: g-*-g — дифферен-
дифференцирование степени +1, определяемое на W = V Ф V' Ф V" линей-
линейным отображением W -*¦ W с матрицей
у 0 0 idF\
(О 0 0 1
\о о о /
(для каждого peF сумма в (*) конечна). Определим далее
a: (g, D) -»- (g, д) как отображение, индуцированное проекцией
W = V Ф V Ф V" -»- V.
Проверьте, что ({g, D), бо, Si, о)—цилиндр объекта (g, д) в
смысле упр. 2.76.
б) Определим правую гомотопию между морфизмами /i, /2:
(g, д) ->- (g', д') в SD?S\, где g = L(F) — свободная алгебра Ли,
393
как в упр. 2.7г), используя цилиндр из п. а). Проверьте, что нали-
наличие правой гомотопии не зависит от выбора V с g = L(V).
в) Проверьте, что правая гомотошш /i ~ /г является соотно-
соотношением эквивалентности в Hom^^™ ((g-, д), (g', д')) со свобод-
ной алгеброй Ли g.
г) Пусть задана диаграмма
(W), dw)
dY) r? (g\ a') X иг, д")
в S)%S\. Проверьте, что если /i ~ /2, то h 0/1 о ? ~ h о/2 о g. Про-
Проверьте, что если fe — слабая эквивалентность в 2K3?\, то h о /i ~
~ fe о /2 -фф- /! ~ /2. Для этого используйте лемму о поднятии на-
накрытий: пусть р: (L(V), dv) -> (g\ д') и q: (g, д) ->- (g\ 8') — мор-
физмы в 2)S^i, причем q — квазиизоморфпзм. Тогда существует
г: {L(V), dv) -*¦ (.g, д), для которого р = q о г.
д) Выведите из леммы о поднятии накрытий, что минималь-
минимальная модель ZJG-алгебры. Ли единственна с точностью до квазиизо-
квазиизоморфизма.
е) Пусть /: {g, 9)^(g', д') — морфизм в2)^2"ь ср: {L(V), dv) -*-
-> (g, д), tp': (L (V'), dy/j -*¦ (g', д') — минимальные модели (g, д) и
(gr, д') соответственно. Проверьте, что существует морфизм
7: (L (V), dv) -v (L (V), dv,y для которого ф'о/ = /оф (мини-
(минимальная модель /). Проворьте, что любые два таких морфизма
/ь h гомотопны, /i ~ /г. Проверьте, что если с? свободна и U_6^
(g, д) -v (g1, д') — два морфизма с минимальными моделями /, g
соответственно, то / ~ g ч=^ / ~ g.
4. Минимальные модели алгебр де Рама. Примеры. Следующий
метод позволяет во многих случаях описывать минимальную мо-
модель М алгебры де Рама Q' (X) (см. 3.3) симшшциального мно-
множества X по алгебре когомологий А = Н. (X, к) (мы находимся
в категории 2)&s&; поле А; предполагается имеющим характери-
характеристику 0).
Предположим, что А можно представить в виде Л = ?(У)//,
где V — некоторое градуированное векторное пространство, / —
идеал в S(V), порожденный последовательностью элементов
/i, ..., /п еХ(У), удовлетворяющих следующим условиям:
а) fi однородны и разложимы в S(V);
б) /i не является делителем 0 в S(V)f(fu ..., fi-i).
Положим М = S(F® kgi® ... Ф kgn), deg^ = deg/i —1, и
зададим дифференциал в М равенством dv = 0 для seF, dgi =
= /f (по существу, М является резольвентой Кошуля модуля А
над S(V), см. упр. 1.7.5).
Можно проверить, что М — минимальная алгебра и естествен-
естественное отображение е: М -*¦ Q' (X) является слабой эквивалент-
эквивалентностью, т. е. М — минимальная модель Q" (X) в Ф'ЗзФ.
Например, если X — сфера S1 (точнее, симплициальное мно-
множество, геометрическая реализация которого гомеоморфна сфере),
то М свободно порождена образующими х i= М2, у eF с dx = 0,
dy = i2; если X == СР2, то М своббдно порождена образующими
х е М2, jeifc dx = 0, dy = хг.
394
§ 5. Эквивалентность гомотопических категорий
В этом параграфе нет доказательств. Мы излагаем в
нем основные факты, следуя работе Боусфилда и Гуген-
хейма [1].
1. Определение, а) Элементарной гомотопией
между морфизмами DG-алгебр /0, f±: В -*¦ А называется
любой морфизм вида F: B-+A® Т (V), где 7 —V* =
h
= kv, со следующим свойством. Определим морфизмы
6i: A ® T (V)-*-A, i = 0, 1, полагая
А
)а, 80{a®p(v)dv) = 0,
Тогда требуется, чтобы б0 ° F — /0, б0 ° F = Д.
б) Морфизмы ZJG-алгебр называются гомотопными,
если они связаны цепочкой элементарных гомотопии.
2. Лемма. Гомотопия между морфизмами DG-алгебр
является отношением эквивалентности, совместимым с
композицией. Гомотопные морфизмы DG-алгебр индуци-
индуцируют гомотопные морфизмы комплексов и, значит, оди-
одинаковые отображения в когомологиях. щ
Будем обозначать символом [5, А] множество гомото-
гомотопических классов морфизмов DG-алгебр В -»- А. Вообще
говоря, отношение элементарной гомотопии не транзи-
тивно. Однако для кофибрантных алгебр справедливы сле-
следующие факты.
3. Предложение, а) Если В кофибрантна (т. е.
В->- к — корасслоение), то для любой алгебры А отноше-
отношение элементарной гомотопии на морфизмах [В, А] тран-
зитивно.
б) Если В кофибрантна, то для любой слабой экви-
эквивалентности /: А -*¦ А' индуцированное отображение
/„.: [В, А] -*¦ [В, А'] является биекцией. щ
Связные кофибрантные алгебры допускают следую-
следующее описание.
4. Предложение. Класс связных кофибрантных
алгебр совпадает с классом алгебр, изоморфных М ®
®У(У), где М минимальна, а V — градуированное про-
пространство. ¦
5. Теорема единственности. Пусть /: М~+ А,
g: N -»- А — две слабых эквивалентности, где Н°(А) = к,
М и N минимальны. Тогда существует такой изоморфизм
h: M^Z-N, что морфизмы f и g°h (элементарно) гомо-
гомотопны. ¦
395
6. Гомотопические группы DG-алгебр. Для определе-
определения гомотопических групп следует работать в категории
&$?Ф0, объектами которой являются аугментировапные
.DG-алгебры, т. е. морфизмы е: А-*-к, а морфизмами —
те морфизмы 2)9s^, которые коммутируют с аугмента-
циями. Классы W, F, G в 3)&зФъ по определению, суть
пересечения соответствующих классов в 3!>9М- с морфиз-
морфизмами в ЗУ§М-ъ. Просмотр § 3 убеждает, что SD'SM-^ так-
также является замкнутой модельной категорией.
Положим А+ = Кег е для А^ОЪ SD'S^-o.
7. Определение. пп{А) = Нп(А+/А+ ¦ А+), где мы
рассматриваем А+/А+• А+ как комплекс с градуировкой,
индуцированной А1 и дифференциалом, индуцированным
d: A-+A. ш
Заметим, что если А" = к и дифференциал d разложим
(например А минимальна), то л"(Л) = А\/А+-А+. Со-
Согласно п. 3.6—3.10, на ф л" (А) в этом случае имеется
каноническая структура супералгебры Ли, Ее закон ком-
композиции в топологии называется умножением Уайтхеда.
Чтобы интерпретировать пп(А) по аналогии с топологией,
определим алгебру Sn e Ob iZ>S\s?0, п > 0: So = к,
i
71
к при i = 0 или и,
О в остальных случаях;
е — 0 на 5" (при п > 0); умножение на Sn нулевое.
8. Предложение. Для любой алгебры А )
имеется естественная биещия
[A, Sn]^Homk(n»(A),k)
(где слева стоят гомотопические классы морфизмов е
9. Предложение, а) Гомотопные морфизмы ауг-
ментированных алгебр А ->- В индуцируют одинаковые
отображения к' (А)^-п' (В).
б) Слабая эквивалентность кофибрантных алгебр А ->-
"->- В индуцирует изоморфизм п' (А)->-п' (В). ¦
Отсюда и из теоремы о существовании минимальной
модели следует, что гомотопические группы достаточно
вычислять для минимальных алгебр.
Опишем теперь основные результаты о связи между
гомотопическими теориями симплициальных множеств и
DG-алгебр.
396
10. Две гомотопические категории. Обозначим через
следующую категорию:
ОЬ h9" = множества Кана в /S.'ff'et;
Иот^ (X, Y) = [X, Y] (см. п. 2.2).
Аналогично вводом ОЪ hs4-:
ОЬ hs& = кофибрантные алгебры в ?D$s4-,
1 lom^ {Л, В) = [А, В] (см. п. 2)
(композиция гомотопических классов морфизмов, конеч-
конечно, определяется через композицию представителей).
Эти категории связаны следующими функторами
а) Функтор S: hs4- -> W\ Положим для А е ОЬ ФЪ'st
где v (n)—алгебра полиномиальных форм на и-симплексе
(п. 3.2). На S(A) = (S(A)n) имеется естественная струк-
структура симшшциального множества, функториальная по А
относительно морфизмов Ф'ЗзФ. Если А кофибрантна, то
S(А) — множество Кана. Если морфизмы /, g между ко-
фибрантными алгебрами гомотопны, то S(f), S(g) гомо-
гомотопны в A^et. Таким образом, S определяет функтор
hs4- ->- h^, который мы обозначаем той же буквой.
б) Функтор М: Ь.9"* -*¦ hs&. Этот функтор сопостав-
сопоставляет каждому множеству Кана гомотопический класс его
алгебры де Рама. К сожалению, сама алгебра де Рама
множества Кана, вообще говоря, не кофибрантна. По-
Поэтому при построении М придется применять аксиому
выбора. Выберем для любого множества Кана X слабую
эквивалентность М{Х)-*-п' (X), где Ж(X)—кофибрант-
Ж(X)—кофибрантна (а для связных множеств Кана — минимальна). После
этого можно установить существование продолжения М
на морфизмы с точностью до гомотопий и его единствен-
единственность с точностью до гомотопий, что обеспечивает су-
существование требуемого функтора.
11. Нильпотентные рациональные симплициальные
множества.
а) Пусть G — группа. Напомним, что ее нижний цен-
центральный ряд G = Zi (G) =з... => Z( (G) =>... определяется
индуктивно:
Zi+l(G) порождена коммутаторами xyx~1y~i,
397
/
Группа G называется нильпотентной, если ZdG)= {1} для
i =з= ц. /
б) Пусть N — некоторый G-модуль. Положим Z, (N) —
= N, Zi+i(N) порожден gn — n для g^G, n^Z^N). Мо-
Модуль N называется нильпотентным, если Zi(N) = Q для
в) Группа G называется группой с однозначным де-
делением, если для любого g e G и п> 1 уравнение хп = g
имеет решение, и притом единственное.
г) Связное симплициальное множество или топологи-
топологическое пространство X называется нильпотентным, если
его фундаментальная группа Л4(Х) нильпотентна (для
одного, а значит, и любого выбора базисной точки) п все
л4 (X) -модули ли (X) также нильпотентны.
д) Нильпотентное симплициальное множество или то-
топологическое пространство X называется рациональным,
если все группы л„(Х), п^1, являются группами с од-
однозначным делением.
е) Нильпотентное множество или топологическое про-
пространство X имеет конечный Q-rura, если все его прост-
пространства гомологии Нп(Х, Q), ra^l, конечномерны. Экви-
Эквивалентное условие: #i(X, Q) и nn(X)®Q, n ^2, конечно-
конечномерны.
ж) Пусть А — кофибрантная DG-алгебра над полем
Q, fP(A) = Q, М -*¦ А — слабая эквивалентность, М мини-
минимальна. Алгебра А имеет конечный Q-тмп, если Mi конеч-
конечномерны при i S3 0.
Обозначим через п}&> (соответственно hts?) полные
подкатегории пУ (соответственно hs4-), состоящие из ра-
рациональных нильпотентных множеств Кана конечного Q-
типа (соответственно кофибрантных DG-алгебр конечного
Q-типа).
Категории /г^0 (соответственно й/^0) определяются
аналогично для пунктированных множеств (соответствен-
(соответственно алгебр с аугментацией).
12. Теорема. Функторы S и М, ограниченные на
hf^, hts4-, индуцируют сопряженные эквивалентности этих
категорий. То же верно для hfd^o и hfs4-0. и
13. Гомотопические группы. Теорема 12 позволяет
дать сравнительно простой рецепт вычисления гомотопи-
гомотопических групп с точностью до кручения. Пусть X — симп-
симплициальное множество1, геометрическая реализация 1X1
которого является связным нильпотентным пространством
конечного Q-типа. Тогда справедливы следующие утверж-
утверждения.
398
а) Симплициальное множество X слабо эквивалентно
множеству Кана Sing |X|, которое связно, нильпотеитпо
и имеет конечный Q-тип.
б) Алгебра М (X) — минимальная модель алгебры де
Рама Sing |X| над Q —имеет гомотопические группы
^(Ж(Х))
())
14. Теорема. При j>2 имеются функториалъные
изоморфизмы л1(М(Х)) = Яот(л}(Х), Q). Если лДХ)
абелева, то же верно для / = 1. ¦
(При n,(X)r7fe{l} нужно работать с пунктированными
пространствами и DG-алгебрами с аугментацией.)
Доказательство этого результата и его усилений осно-
основано на следующей технике локализации, которая позво-
позволяет придать геометрический смысл операции замепы
лНХ) на п,(Х)® Q (или Ногл(л3(Х), Q)).
15. Теорема. Если X — связное нилыготентное
симплициалъное множество конечного Q-типа, то есте-
естественное отображение X-+S°M(X) является универсаль-
универсальным в классе таких морфизмов X ->- Y в h9*0, что Y яв-
является рациональным симплициальным множеством ко-
конечного Q-типа. ¦
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
А, Сборники статей.
[РП] Расслоенные пространства.— М.: ИЛ, 1958.
[ААТ] Algebra, algebraic topology and their interactions/Ed.:
J.-E. Roos II Lect. Notes Math.— Berlin; Heidelberg; New
York; Tokyo: Springer, 1986.— V. 1183.
[AN] Algebraic number theory/Ed.: J. W. S. Cassels, A. Frohlich.—
London; New York: Academic Press, 1967. [Русский перевод:
Алгебраическая теория чисел.— М.: Мир, 1969.]
[ES] Analyse et Topologie sur les Espaces Singuliers. II—III/Ed.:
B. Teissier, J.-L. Verdier Ц Asterisque, 1983.—T. 101—102.
[HG] Homological group theory/Ed.: С. Т. С. Wall Ц London Math.
Soc. Lect. Notes.— Cambridge: Cambridgo University Press,
1979.- V. Ж
[IH] Seminar on Intersection Homology Ц Ed: A. Borel.— Boston:
Birkhaiiser. 1984.
[KT1] Algebraic «-theory. I, II, III / Lect. Notes Math.—Berlin,
Heidelberg; New York: Springer, 1973.—V. 341; 342; 343.
[KT2] Applications of Algebraic K-theory to Algebraic Geometry
and Number Theory. Parts I, II I/ Contemp. Math., 1986.—
V. 55.
[SD] Systemes Differentiels et Singularites/Ed.: A. Galligo,
M. Granger, Ph. Maisonobe / Asterisque, 1985.—T. 130.
Б. Статьи и книги.
А (в pa мо в Л., Гальперин С. (Avramov L., Halperin S.)
1. Through the looking glass: a dictionary between rational homo-
topy theory and local algebra // Lect. Notes Math.— Berlin; Hei-
Heidelberg; New York; Tokyo: Springer, 1986.— V. 1185.—P. 1—27.
Андро М. (Andre M.)
1. Categories of functors and adjoint functors // Amer. J. Math.,
1966 — V. 88, № 3 — P. 529—547.
2. Methode simpliciale en algebre homologique et algebre commuta-
commutative / Lect. Notes Math.—Berlin; Heidelberg; New York: Sprin-
Springer, 1967.— V. 32.
3. Homologie des algebres commutative.— Berlin: Springer, 1974.
Артйн М. (Artin M).
1. Grothendieck topologies.— Lect. Notes Math. Dept. Harvard Univ.,
1962.
2. Algebraic spaces / Preprint Yale Univ.— 1969. [Русский перевод:
Алгебраические пространства // УМН, 1971, Т. 26, № 1.— С. 181—
205.]
400
А р т и н М., Т г и т Дж. (Artin M., Tate J.)
1. Class field theory.—Loct. Notes Math. Dept. Harvard Univ., 1961.
Басе X. (Baps II.)
1. Algebraic AMluwy.— Now York; Amsterdam: Benjamin, 1908.
[Русский перевод: Алгебраическая «-теория.— М.: Мир, 1973.]
Б е и л и и с. о it Л. Л.
1. Когсрентиыи пучки на Рп и проблемы линейной алгебры /
Функцион. tuiaii. и pro прил., 1978.— Т. 12. Вып. 3.— С. 68—69.
2. Высшие регуляторы и значения L-функции // Итоги науки и
техники. Соиремршплр проблемы математики. Новейшие дости-
достижения, т. 24,— М.: ВИНИТИ, 1984.—С. 181—238.
Бейлинсон Л. Л., Бернш^тейн И., Делинь П. (Bei-
linson Л. Л., BcniHlcin J., Deligne P.)
1. Faiseaux PiTvors // Asterisque, 1982.—T. 100.
Берн in те iv'ii И. If., Г е л ь ф а н д И. М., ГельфандС. И.
1. Алгебраические рнг.сдоония на Рп и задачи линейпой алгебры //
Функцион. niiiuin:i и ого прил., 1978.—Т. 12. Вып. 3.—С. 66—67.
Б е р н ш т с й и И. II., Гельф'анд И. М., Понома-
Пономарев В. Л.
1. Функторы Коксртср» и теорема Габриэля // УМН, 1973.— Т. 28Г
№ 1.—С. 19- .'18.
Берт л о II. (Borlholot Р.)
1. Cohomolngio Ciistallino des Schemas de Characteristique p > 0 /
Lect. Nolos Malh.— Berlin; Heidelberg; New York: Springer,
1974,- V. 407.
Бордман Дж., Фогт Р, (Boardman J., "Vogt R.)
1. Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces /
Lect. Notes Math.— Berlin; Heidelberg; New York: Springer,
1973,— V. 347. [Русский перевод: Гомотопически инвариантные
алгебраические структуры на топологических пространствах.—
М.: Мир, 1977.]
Боре ль А., Уоллах II. (Borol A., Wallach N.)
1. Continuous coliomology, discrete subgroups, and representations
of reductivo groups.— Princeton: Princeton University Press,
1980.
Б о т т Р., Ту Л. (Bott R., Tu L.)
1. Differential Forms in Algebraic Topology.— New York; Heidel-
Heidelberg; Berlin: Springer, 1982.
Боусфилд О. Н., Гугенхейм В. К. А. М.
field А. К., Gugenheim V. К. А. М.)
1 On PL de Rham theory and rational homotopy type / Memoirs
Amer. Math. Soc, 1976.—V. 8, № 179. [Русский перевод: О PL-
теории де Рама и рациональном гомотопическом типе / Гомо-
Гомотопическая теория дифференциальных форм.— М.: Мир, 1981.—
С. 86-171.]
Браун К. С. (Brown К. S.)
1. Cohomology of Groups.— New York; Heidelberg; Berlin: Springer,
1982. [Русский перевод: Когомологии групп,— М.: Наука, 1987.]
Бредон (Bredon G.)
1. Sheaf theory.—New York: McGrow — Hill, 1967. [Русский пере-
перевод: Теория пучков.— М.: Наука, 1988.]
Бреннер Ш., Ба(глер М. (Brenner Sh., Butler M. С. Р.)
1. Generalization of the Bernstein — Gelfand — Ponomarev reflection
functors II Lect. Notes Math.—Berlin; Heidelberg; New York:
Springer, 1980.- V. 832.- P. 103—170.
(Bous-
26 С. И. Гельфанд, Ю. И. Минин, т. I
4 0 I
БурСаки Н. (Bourbaki N.) /
± Algebre, ch. 10, Algebre homologique.— Paris: Masson, 1980. [Рус-
[Русский перевод: Алгебра. Глава X. Гомологичевкая алгебра — М •
Наука, 1987.]. /
В е р д ь е Ж.-Л. (Verdier J.— L.) /
1. Theoreme de dualite pour la cohomologie dei espaces localement
compacts.: Sem. Heidelberg — Strasbourg 1966—67.— Strasbourg:
Publ. Inst. Rech. Math. Avancee, 1969.—№ 3, Exp. 4.
2. Dualite dans la cohomologie des espaces localement compacts //
Sem. Bourbaki, 1967.— № 300.
3. Categories derivees, etat 0, in: SGA 4 1/2 // Lect. Notes Math.—
Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1977.—V. 569.—P. 262—
oil.
4. Extension of a perverse sheaf over a closed subspace / Asteris-
que, 4985.— T. 130— P. 210-217.
Гябриэль П., Цисман М. (Gabriel P., Zisman M.)
1. Calculus of fractions and homotopy theory.— Berlin; Heidelberg;
New York: Springer, 1967. [Русский перевод: Категория частных
и теория гомотопий.— М.: Мир, 1971.]
Гальперин С. (Halperin S.)
1. Lectures on minimal models II Mem. Soc. Math. France, 1983.—
T. 9/10.
Гельфанд И. М., Ш и л ote Г. Е.
1. Коммутативные нормированные кольца.—М.: Физматгиз, 1960.
Гишарде A. (Guichardet A.)
d. Cohomologie des groups topologiques et des algebres de Lie.—
Paris: Cedic/Fcrnand Nathan, 1980. [Русский перевод: Когомоло-
гии топологических групп и алгебр Ли.—М.: Мир, 1984.]
Г о д',е м а н P. (Godeman R.)
1. Topologie algebrique et theorie des faiseaux.— Paris: Hermann,
1958. [Русский перевод: Алгебраическая топология и теория
пучков.—М.: ИЛ, 1961.]
Голдблатт P. (Goldblatt R.)
i. Topoi. The Categorial Analysis of Logic.— Amsterdam; New York;
Oxford: North-Holland, 1979. [Русский перевод: Топосы. Категор-
ный анализ логики.— М.: Мир, 1983.]
Головин В. Д.
1. Гомологии аналитических пучков и теоремы двойственности.—
М.: Наука, 1986.
Горески М., Макферсон P. (Goresky M., MacPher-
son R.)
4. Intersection homology. II // Inv. Math., 1983.— V. 72.— P. 77—130.
Грей Дж. (Gray J. W.)
1. Fragments of the history of sheaf theory // Lect. Notes Math.—
Berlin; New York; Heidelberg: Springer, 1979.— V. 753.— P. 1—79.
Гротендик A. (Grothendieck A.)
1. Sur quelques points d'algebre homologique / Tohoku Math. J.,
1947.— V. 9.— P. 119—221. [Русский перевод: О некоторых вопро-
вопросах гомологической алгебры.'— М.: ИЛ, 1961.]
2. Fondaments de la geometrie algebrique, sem. Bourbaki, 1957—
62.— Paris: Secretariat Math., 1962.
3. Local cohomology // Lect. Notes Math.— Berlin; New York; Hei-
Heidelberg: Springer, 1967.— V. 41.
4. Dix exposes sur la cohomologie de schemas.— Amsterdam; North-
Holland, 1968.
402
5. Recoltes et seinilles. Reflexions et temoignage sur un passe de
mathematicien.-л; Prepublication Univ. des Sciences et Techniques-
du Languedoc, Mbntpellier, et CNRS, 1985.
Гротендик А., Дьедонне Ж. (Grothendieck A., Dieu-
1. Elements'de Geometrie Algebrique (EGA), I, II, III, IV / PubL
Math. IHES, l%0.-T. 4; 19B1.-T. 8; 1963.-T. 17; 1964.-T. 20;
1965.— T. 24; 19tlli.— T. 28; 1967 — T. 32.
2. Elements de Oeomelrie Algebrique (new version).—Berlin; Heidel-
Heidelberg; New York: Springer, 1971.
Гротендик и др. (Grothendieck et al.)
Seminaire do Geoinolrie Algebrique (SGA) r ^
[SGA 2] Cohomologie locale des faiseaux coherents at theoremes
de Lefscuetz locaux et globaux.— Amsterdam: North-
Holland, 1968.
[SGA 4] (with M. Artin, J.—L. Verdier), Theorie de topos et
cohoiiiologie etale de schemas / Lect. Notes Math.—
Berlin; i\ew York; Heidelberg: Springer, 1972.—V. 269;
270; 1973,—V. 305.
[SGA 4 1/2] (by P. Deligne, with J. F. Boutot, L. Illusie, J.— L. Ver-
Verdier) Cohomologie etale // Lect. Notes Math.—Berlin;
New York; Heidelberg: Springer, 1977.—V. 569.
[SGA 6] (with P. Berthelot, L. Illusie) Theorie de l'intersection
et theoreme de Riemann-Roch / Lect. Notes Math.—
Berlin; New York: Heidelberg: Springer, 1971.—V. 22o.
Г у л л и к с е н Т., Левин Г. (Gulliksen Т., Levin G.)
1. Homology of local rings / Queen's Papers in Pure and Appl. Math.r
1969.— № 20.
Да скин Дж. (Duskin J.)
1. Simplicial methods and the interpretation of «Triple» cohomolo-
cohomology / Memoirs Amer. Math. Soc, 1975.—№ 163.
2. Higher dimension torsors and the cohomology of topoi: the abe-
lian theory / Lect. Notes Math., 1977.— V. 753.— P. 255—279.
Дедекер П. (Dedecker P.)
1. Sur la cohomology non-abelienne I, II // Canad. J. Math., 1960.—
V. 12 — P. 231—251; 1963 — V. 15.— P. 84-93.
Делинь П. (Deligne P.)
1. Theorie de Hodge II, III // Publ. Math. IHES, 1972.—T. 40.—
P 5—57; 1974,— T. 44— P. 5—77. [Русский перевод: Теория Ход-
Ходжа. II II Математика, 1973.— Т. 17, вып. 5.— С. 3—57.]
2. La conjecture de Weil I, II // Publ. Math. IHES, 1974.—T. 43.—
P. 273—307; 1980.— T. 52,— P. 137—252.
Д е л и п ь П., Гриффите Ф+ М о р г а.'н Дж., С у л л и-
в а н Д. (Deligne P., Griffiths Ph., Morgan J., Sullivan D.)
1. Real homotopy theory of Kahler manifolds // Inv. Math., 1975.
V. 29, № 3.— P. 245—274. [Русский перевод: Вещественная гомо-
гомотопическая теория кэлеровых многообразий / УМН, 1977.—
Т. 32, вып. 3.— С. 119—152.]
Де м а з ю р М., Габриэль П. (Demazure M., Gabriel P.)
1. Groups Algebriques. V. 1.— Paris: Masson, 1970.
Джонсон Б. (Johnson В. Е.)
1. Cohomology in Banach algebras. / Mem. Amer. Math. Soc, 1972.—
№ 127.
Д ж о н с т о н П. T. (Johnstone P. T.)
1. Topos theory.— London; New York; San Francisco: Academic
26*
403
1.
1.
1.
4.
4.
4.
4.
2.
sheaves.— Berlin; New York; Heidelberg: Sprin-
Л. (Illusie L.)
Lect. Notes Math.— Ber-
¦V. 239.
4.
2.
3.
1.
4.
1.
1.
2.
Press, 1977. [Русский перевод: Теория топоров.— М.: Наука,
1986.] * /
Дол ь'д A. (Dold A.) /
Lectures on algebraic topology.— Berlin; Heidelberg; New York:
Springer, 1972. [Русский перевод: Лекции по алгебраической
топологии.—М.: Мир, 1976.] /
Д о л ь д А., Щу п п е Д. (Dold A., Puppe D.)
Homologie nicht-additivcn Functoren; Anwendungen H Ann.
InsL. Fourier, 1961.— T. 11.— P. 201—312.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.
Современная геометрия: методы теории гомологии.— М.: Наука,
1984.
Дьодонне Ж. (Dieudonne J.)
Panorama des matliematiques pures. Le choix bourbachique.—
Paris: Gauthier-Villars, 1977.
Жиро Ж. (GiraudJ.)
Cohomologie Non Abelienne.— Berlin; New York; Heidelberg:
Springer, 1971.
И в е р с е н Б. (Iversen B.)
Cohomology of
ger, 1986.
И л л ю з и
Complexe Cotangent et Deformations. I // Led
lin; New York; Heidelberg: Springer, 1971.—
И о н е д а Н. (Yoneda N.)
On the homology theory of modules // J. Fac. Sci. Tokyo, Sec. I,
1954—V. 7 —P. 193—227.
On Ext and exact sequences // J. Fac. Sci. Tokyo, Sec. I, 1960.—
V. 8.— P. 507—526.
Кан Д. M. (Kan D. M.)
Adjoint Functors // Trans. Amer. Math. Soc, 1958.— V. 87.—
P. 294—329. [Русский перевод: Сопряженные функторы // Ма-
Математика.— 1959.— Т. 3. Вып. 2.— С. 3—38.]
К а пр а п о в М. М.
О производной категории когерентных пучков на многообразиях
Грассмана // Изв. АН СССР, сер. мат., 1984— Т. 48, № 1.—
С. 192—202.
Производная категория когерентных пучков на квадрике //
Функцион. анализ и его прил., 1986.— Т. 20. вып. 2.— С. 67.
On derived categories of coherent sheaves on some homogeneous
spaces II Inv. Math., 1987.
Картан А., Шевалле К. (Cartan H., Chevalley C.)
Geometrie Algebrique, Sem. Gartan-Chevalley.— Paris: Secretariat
Math., 1955/56.
К alp тан А., Эиленберг С. (Cartan H., Eilenberg S.)
Homological algebra.— Princeton: Princeton University Press, 1956.
[Русский перевод: Гомологическая алгебра.— М.: ИЛ, I960.]
Картье П. (Cartier P.)
Homologie cyclique: rapport sur des travaux recents de Connes,
Karoubi, Loday, Quillen..., Sem. Bourbaki, n° 621 Ц Asterisque,
1985.— T. 121/122.— P. 123—146.
К а руби М. (Karoubi M.)
Homologie cyclique des groups et des algebras / Comptes rendus
Acad. sci., 1983.— T. 297, ser. 1.— P. 381—384.
Homologie cyclique et Z-theory algebrique, I, II / Comptes
dus Acad. sci., 1983 —T. 297, ser. 1.—P. 447-450; 513-516.
ren-
404
3. Z-thcorie multiplicative et homologie cyclique Ц Comptes rendus
Acad. sci., 1986.—T. 303, ser. 1, № 11.—P. 507—510.
Кашивара М. (Kashiwara M.)
4. Systems of microdiffcrcntial equations.— Boston: Birkhauser, 1983.
2. The Riemann — Hilbert problem for holonomic systems Ц Publ.
RIMS Kyoto Univ., 1984.—V. 20.—P. 319—365.
Кви л л с и Д. (Quillim D.)
1. Homotopical algebra ff Lect. Notes Math,—Berlin; Heidelberg;
New York: Sprin^r, 1967.—V. 43.
2. Rational homolopy theory // Ann. Math., 1969.—V. 90.—P. 205—295.
3. On the (со) limnology of commutative rings / Proc. Symp. Pure
Math., 107A.— V. 17.—P. 65—87.
4. Higher algebraic A'-lluwy, I. // Lect. Notes Math.— Berlin: Sprin-
Springer, 197.4.— V. 341.— P. 85—147.
Кнудсом Ф., Мамфорд Д. (Knudsen F., Mumford D.)
4. The projoclivity of the moduli space of stable curves. I. / Math.
Scand., 1970.— V. 39, № 1.— P. 19—35.
Кнутсон Д. (Knutson D.)
4. Algebraic spaces Ц Lect. Notes Math.— Berlin; New York; Heidel-
Heidelberg: Springer, 1971.— V. 203.
Ко fan A. (Connes A.)
1. Non-coininiilalivo differential geometry / Publ. Math. IHES,
1986.— T. G2- P. 257—360.
Кэртис Ч., Раин ер И. (Curtis С. W., Reiner I.)
4. Representation theory of finite groups and associative algebras.—
New York; London: Interscience Publ., 1962. [Русский перевод:
Теория представлений конечных групп и ассоциативных ал-
алгебр.— М.: Наука, 1969.]
Л е й т е с Д. А.
1. Введение в теорию супермногообразий Ц УМН, 1980.— Т. 35.
Вып. 1.—С. 3—57.
2. Теория супррмпотообразий.— Петрозаводск: изд-во Карельско-
Карельского филиала АН СССР, 1983.
Л ем aft и Д. (Lemann D.)
1. Theorie homotopique des formes differentielles // Asterisque,
1977.— T. 45. [Русский перевод: Гомотопическая теория диффе-
дифференциальных форм II Гомотопическая теория дифференциаль-
дифференциальных форм.— М.: Мир, 1981.— С. 7—85.]
Лефвалль (Lofwall С.)
1. On the subalgebra generated by one-dimensional elements in the
Yoneda Ext-algebra // Lect. Notes Math.— Berlin; Heidelberg; New
York; Tokyo: Springer, 1986.—V. 1183.—P. 291—338.
Лодей Ж., К в и л л te н Д. (Loday J. L., Quillen D.)
1. Cyclic homology and the Lie algebra homology of matrices //
Cornm. Math. Helvetici, 1984.- V. 59, JV° 4.— P. 565—591.
M азур Б. (Mazur В.)
1. Notes on etale cohomology of number fields / Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup., 1973.— T. 6.— P. 521—556.
M а к к л и р и Дж. (McCleary J.)
1. User's Guide to Spectral Sequences.— Wilmington: Publish or Pe-
Perish, 1985.
Маклейн С. (MacLane S.)
1. Homology.— Berlin; Gottingen; Heidelberg: Springer, 1963. [Рус-
[Русский перевод: Гомология.— M.: Мир, 1966.]
2. Categories for the Working Mathematician.— New York; Heidel-
Heidelberg; Berlin: Springer, 1971.
405
М а с с и У. (Massey W. S.)
1. Exact couples in algebraic topology / Ann. Math., 1952.— V. 56.—
P. 363—396.
2. Homology and cohomology theory.— New York; Basel: Marcel Dek-
ker. 1978. [Русский перевод: Теория гомологии и когомологий.—
М.: Мир. 1981.]
Мей Дж. (May J. Р.)
1. Simplicial Objects in Algebraic Topology.— Princeton: Van. Nost-
rand, 1967.
2. Matrix Massey products / J. of Algebra, 1969.— V. 12.— P. 533—
568.
М(и лн Дж. (Milne J. S.)
1. Elale Cohomology.— Princeton: Princeton University Press, 1980.
[Русский перевод: Этальные когомологии.— М.: Мир, 1983.]
Морган Дж. (Morgan J.)
1. The algebraic topology of smooth algebraic varieties / Publ. Math.
IHES, 1978.— T. 48.- P. 137—204.
M о р и т a K. (Morita K.)
1. Duality for modules and its applications to the theory of rings //
Sci. Rep. Tokyo, Kyoiku Daigaku, Sec. A, 1958.—V. 6.—P. 83—
142.
Морозов А. Ю.
1. Аномалии в калибровочных теориях / УФН, 1986.— Т. 150,
вып. 3.—С. 337—416.
Око'нек К., Шнейдер М., Шпиндлер X. (Okonek Ch.,
Schneider M., Spindler H.)
1. Vector bundles on complex protective spaces.— Boston; Basel;
Stuttgart: Birkhauser, 1980. [Русский перевод: Векторные рас-
расслоения на комплексных проективных пространствах.— М.: Мир,
1984).
П р и д л и С. (Priddy S. В.)
1. Koszul resolutions and the Steenrod algebra / Bull. Amer. Math.
Soc, 1970.— V. 76, № 4.— P. 834—839.
2. Koszul resolutions II Trans. Amer. Math. Soc, 1970.—V. 152,
№ 1.—P. 39-60.
Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М. А., Фад-
Фаддеев Л. Д.
1. Квантовые аномалии и доциклы на калибровочных группах /
Функцион. анализ и его прил., 1984— Т. 18, вып. 4— С. 64—72.
Руус Я.-Э. (RoosJ.-E.)
1. Sur les foncteurs derives de lim. Applications / C. r. Acad. sci.
Paris, 1961 — T. 252. Fasc. 24.^P. 3702—3704.
2. Sur les foncteurs derives des produits infinis dans les categories
de Grothendieck. Examples et countre-examples / C. r. Acad. sci.
Paris, 1966 — T. 263. Fasc. 25,— P. 895-898.
СатоМ., Кашивара М., Каваи Т. (Sato M., Kashiwa-
ra M., Kawai T.)
1. Hyperfunctions and pseudodifferential equations / Lect. Notes
Math.— Berlin; New York; Heidelberg: Springer, 1973.— V. 287.—
P. 265—529.
Cepp Ж.-П. (SerreJ.-P.)
1. Homologie singuliere des espaces fibre. Applications / Ann. Math.,
1951.— V. 54.— P. 425—505. [Русский перевод: Сингулярные го-
гомологии расслоенных пространств / Расслоенные простран-
пространства.— М.: ИЛ, 1958.— С. 9—114]
406
2. Groupes d'homotopic pt classes des groups abeliennes // Ann,
Math., 1953.— V. 58.— 1". 258—294. [Русский перевод: Гомотопи-
Гомотопические группы л классы абелевых групп // Расслоенные про-
пространства.— М.: ИЛ, 1958.— G. 124—162.]
3. Faiseaux algebriques coheronts // Ann. Math., 1955.— V. 61,—
P. 197—278. [Русский перевод: Когерентные алгебраические
пучки II Расслоенные пространства.—М.: ИЛ, 1958.— С. 372—
450.]
4. Geometric algebmine el. geometrie analityque / Ann. Inst. Fourier,
Grenoble, 19511.- T. 6.- P. 1—42.
5. Sur la dimension Iminologique des anneaux et des modules noethe-
riens. / Proc. Int. Symp. Tokyo —Nikko, 1956.—P. 175—189.
6. Algebre locate — niultiplicites Ц Lect. Notes Math.— Heidelberg:
Springer. 19115.— V. 11. [Перевод: Локальная алгебра и теория
кратностой. /I Математика.— 1963.— Т. 7. Вып. 5.— С. 3—83.]
7. Cohomologio Galoisicune.— Berlin: Springer, 1965. [Русский пере-
перевод: Когомологии Галуа.— М.: Мир, 1968.]
8. Cohomologio des groupes discrete Ц Ann. Math. Studies, 1971.—
V. 70.— P. 77-109. [Русский перевод: Когомологии дискретных
групп /I Математика. 1974.— Т. 18, вып. 3.— С. 123—144;
вып. 4.— С. 3—33.]
С п а л т си с т с й н Н. (Spaltenstein N.)
1. Unbounded complexes in derived categories.— Preprint For-
schunginst. Math. ETH Zurich, 1984
Спеньгр Э. (Spanier E.)
1. Algebraic topology.—New York: McGraw-Hill, 1966. [Русский пе-
перевод: Алгебраическая топология.— М.: Мир, 1971.]
С т и н'р о д Н.. Э й л е н б е р г С. (Steenrod N., Eilenberg S.)
1. Foundations of algebraic topology.— Princeton: Pronceton Uni-
University Press. 1952. [Русский перевод: Основания алгебраической
топологии.— М.: Мир, 1958.]
С у с л и н А. А.
1. Алгебраическая ЛГ-теория // Итоги науки и техники. Алгебра.
Топология. Геометрия.—Т. 20.—М.: ВИНИТИ, 1982.—С. 71—
152.
Сулливан Д. (Sullivan D.)
1. Infinitesimal computations in topology / Publ. Math. IHES,
1977.- T. 47 — P. 269-331.
Танре Д. (Тапгё D.)
1. Homotopie rationelles: modeles de Chen, Quillen, Sullivan // Lect.
Notes Malh.—Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer,
1983.—V. 1025.
T e й т (Tate J.)
1, Duality theorems in Galois cohomology over number fields.—
Proc. Int. Congress Math. 1962.—Uppsala: Almqist, 1963.—P. 288—
295.
Фейгин Б. Л., Цыган Б. Л.
1. Когомологии алгебр Ли обобщенно якобиевых матриц.— Ц Функ-
Функцион. анализ и его прил., 1983.— Т. 17, вып. 2.— С. 86—87.
Ф е й с К. (Fiath С.)
1. Algebra: Rings, modules and categories.— Berlin; Heidelberg; New
York: Springer, 1973. [Русский перевод: Алгебра: кольца, моду-
модули и категории, т. 1, 2.— М.: Мир, 1977; 1979.]
Фукс Д. Б.
1. Гомотопическая топология.— М.: Изд-во МГУ, 1969.
2. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли.— М.: Наука, 1984.
407
1
1
Фултон У., Макферсон P. (Fulton W., MacPherson R.)
Categorical framework for the study of singular spaces. / Mem.
Amer. Math. Soc, 1981.— V. 31, № 243. [Русский перевод: Кате-
горный подход к изучению пространств с особенностями.— М.:
Мир, 1982.]
Xа п п е л ь Д., Р инг с л ь К. М. (Happel D., Ringel С. М.)
Tilted algebras / Trans. Amer. Math. Soc, 1982.— V. 274, № 2.—
P. 399-444.
Хартсхорн Р. (Hartshorne R.)
Residues and Duality // Lect. Notes in Math.— Berlin; New York;
Heidelberg: Springer, 1966.— V. 20.
Algebraic geometry.—New York: Heidelberg; Berlin: Springer,
1977. [Русский перевод: Алгебраическая геометрия.— М.: Мир,
1981.]
X е л е м с к и й А. Я.
Гомология в банаховых и топологических алгебрах.— М.: Изд-во>
МГУ. 1986.
Хилтон П. (Hilton P. J.)
1. Homotopy theory and duality.— New York: Gordon & Breach, 1965.
Хилтон Р., Стаммбах У. (Hilton P., Stammbach U.)
1. A course in Homological Algebra.— Berlin; New York; Heidelberg:
Springer, 1970.
Хилтон П., У а й л и С. (Hilton P. J., Wylie S.)
Homology theory.— Cambridge: Cambridge University Press, 1960.
[Русский перевод: Теория гомологии.— М.: Мир, 1966.]
X и н и ч В. А., Ш е х т м а н В. В. (Hinich V. A., Schecht-
man V. V.)
Geometry of a category of complexes and algebraic .K-theory /
Duke Math. J., 1985.— V. 52, № 2.— P. 399—430.
Хохшильд Г. (Hochschild G.)
On the cohomology groups of an associative algebra // Ann, of
Math., 1945 — V. 46.— P. 58—67.
ШаЬира П. (Schapira P.)
Theorie des hyperfonctions / Lect. Notes Math.— Berlin: Sprin-
Springer, 1970.—V. 126. [Русский перевод: Теория гиперфункций.—
М.: Мир. 1972.]
Microdifferential systems in the complex domain.— Berlin; Hei-
Heidelberg; New York; Tokyo: Springer, 1985.
Шехтман В. В.
Алгебраическая Я-теория я характеристические классы // УМН,
1978 — Т. 33, № 6 — С. 239-240.
Экман В., Хплто^н П. (Eckmann В., Hilton P. J.)
1. Exact couples in an Abelian category / J. Algebra, 1966.—V. 3,
№ 1.— P. 38-87.
2. Composition functors and spectral sequences / Comment. Math.
Helv., 1966.— V. 41, № 3.— P. 187—221.
1
1
1
1
2.
1
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелева группа топологическая
144
фильтрованная 143
Аддитивность производной кате-
категории 192
Алгебра де Рама 374
— дифферепциальная градуиро-
градуированная (DG-алгебра) 373
— минимальная 383
Биалгебра 104
Бикомплекс 243
Бисимплициальное множество
34
Вырождения 30
Геометрическая реализация 21,
80
симплициального тополо-
топологического пространства 33
Гиперкогомологии 249
Гиперсимплекс 299
Гомологии
— алгебр Ли 68
— групп 65
— сингулярные 65
— Хохшильда 74
— цепного комплекса 42
— циклические 74
Гомотопия 73, 131, 373, 393, 395
— морфизмов комплексов 69,
168
— симплициальных множеств
338
отображений 39
Грани 15, 30
Границы 40, 42
Грассманова алгебра 304
Группа в категории 103
— косимплициальная абелева
66
Группа симплициальная 66, 337
Группы гомотопические 398
¦ DG-алгебр 396
Данные склейки 16
Двойственность Картье 106
— Пуанкаре 273, 274
Диагональ бисимшшциалъного
множества 34
Диаграмма инъективности 155
— октаэдра 279
— проективности 155
Домик 283
Изоморфизм треугольников 186
— фупкторов 89
Каноническое разложение мор-
физма 138
Категория 76
— абелева 138
— аддитивная 138
— гомотопическая 189, 285, 372,
396
— замкнутая модельная 330
¦— индексов 229
— индуктивных пределов 229
— категорий 86
— коиндексов 229
— комплексов 78, 168
— полупростая 175, 290
—, примеры 77—79
— проективных пределов 229
— производная 173
— симплициальная 87
— стабильная 314
— точная 313
— триангулированная 278
— упорядоченного множества
79, 86
— фробениусова 314
— функторов 83
409
Категория циклическая 87
Квадрат декартов 102
— кодекартов 102
Квадратичные алгебры 132
Квазиизоморфизм: 171
Класс дополнительный 328
Классифицирующее простран-
пространство группы 24, 80
Когомологии
— алгебр Ли 66
— групп 65
— коцепного комплекса 42, 148
— пучков 254
с компактными носителя-
носителями 264
— Хохшильда 74
— циклические 75
— Чеха 48
Кограницы 42
Колчан 326
Комплекс 148
— ацикличный 148
— двойной 243
— де Рама 67
— диагональный 243
— дуализирующий 273
— жесткий 306
¦ конечный 306
— Х-инъективный 232
— коцепной 41, 148
— Кошуля 75, 133
— ограниченный (слева, спра-
справа, с двух сторон) 176
— /С-проективный 232
— сингулярных цепей 67
— скрученный 300
— цепной 41
— циклический 174
— Чеха 66
Конус 43, 184, 283
Копредел 109
Копроизведение 109
Корасслоение 330, 371, 372, 375,
392
Коскелет 32, ИЗ
Коцепи 40
Коциклы 42
Коядро 136
Лемма о змее 146
пяти гомоморфизмах 146
Локализация 58, 115, 173
Локализующий класс морфиз-
мов 177
— в триангулированной
категории 291
Многообразия 115
Множество Кана 306
Модель минимальная алгебры
до Рама 394
DG-алгебры 389
Модуль плоский 154, 253
Мономорфизм 139
Морфизм 76
— внутренний 129, 228
— диагональный 101
— комплексов 60
— плоский 261
— пучков 50
— систем коэффициентов 63
— собственный 261
— сопряжения 112
— спектральных последователь-
последовательностей 236
— треугольников 186, 278
— функторов 82
, примеры 83—84
Надстройка 431
Нерв категории 128, 131
— покрытия 22
Образ 138
— обратный I62, 260
¦ с компактным носителел!
265
— прямой 161, 254
высший 254
с компактными носителя-
носителями 261
• высший 264
Объект 76
— .^-ацикличный 160
— ^-ацикличный (для функто-
функтора F) 226
—инъоктпвный 154
— конечный 84, 108
— кофибрантный 372
— начальный 84, 109
— нулевой 134
— образующий 97, 166
— представляющий 99
— проективный 154
— простой 147
— фибрантпый 372
Окольцованное пространство 117
Оператор граничный 40, 4?
— когранпчный 40, 42
Подкатегория 84
— локализующая 183
— полная 84, 97
410
Поликатегория 85
Предел 107
— индуктивны* 109, 114, 230
— проективный 107, 114
Предпучок 50
Приспособленный класс объек-
объектов 218, 226
Произведение Мясси 302
— прямое 34, 100. 108. 135
— расслоенное 101, 108
Пучок 50
—, ассоциированный с предпуч-
ком 53, 139
— вялый 56, 255
— ипъектипный 254
— квазикогорентпый 58, 160
— локально постоянный 54
— морфизмов 57
— мягкий 56, 263, 275
— на сайте 124
— плоский 258
— постояпный 54
— структурный 117
— тонкий 57
Размерность 264
— гомологическая 202
— пнъективная 203
— проективная 203
Расслоение 330, 371, 372, 375,
392
— локально тривиальное 361
¦— минимальное 355
— универсальное 364
Расширения 295
— и Ext1 215
— по Ионеде 196
Резольвента
— инъективная 171, 210, 231
— Картана — Эйленберга 242
— плоская 253
— проективная 169, 231
— свободная 167
Ретракт послойной деформа-
деформационный 352
Ретракция 329
Решето 122
— покрывающее 123
Рог 331
Росток сечения пучка 52
Сайт 123
Свертка комплекса 296
Связывающий гомоморфизм 62
Сердцевина триангулированной
категории 317
Сечения пучка 52
Сечения с компактным носите-
носителем 262
— с носителем в подмножестве
272
Сизигии 167
Симплекс п-мерный 15, 21, 23
— невырожденный 24
— сингулярный 22
Симплексы g-связанные 354
Симплициальное множество 21
— — JV-усеченное 32
— — сингулярное 80
Симплициальное топологиче-
топологическое пространство 33
Система коэффициентов 45
— Постникова 296
Скелет 18, 28, 31, 80, ИЗ
Склейка 325
Слой пучка в точке 52
Спектральная последователь-
последовательность 234
вырожденная 236
гиперкогомологий 249
— — двойного комплекса 244
— — когомологии Чеха 250
композиции функторов 241
• Серра — Хохшильда 250
фильтрованного комплекса
237, 252
Эйленберга — Мура 301
«-структура 316
Сумма амальгамированная 102,
109
— прямая 109, 135
Супералгебра Ли 385
Суперобласть 116
Суперпространство 121
Сфера симплициальная 322
Схема 121
— аффинная 57, 103, 117
групповая 105
Тензорное произведение алгебр
102
Теорема Гильберта 167, 205
— Жордана — Гельдера 147
— Майера — Виеториса 275
— о накрывающей гомотопви
348
•— сравнения 388
— Эйленберга — Зильбера 35
Топология Гротендика 123
Точная пара 251
Точная последовательность 59,
149
¦ когомологии 59
Точная тройка 59
411
Точная тройка почленно расще-
пимая 287
Треугольник 186, 278
— выделенный 183, 186, 278
Триангулированное простран-
пространство 16
Триангуляция 16
— каноническая произведения
симплексов 18
Уравниватель 108
Условие Миттаг — Лефлера 231
Факторкатегория 97
— по Серру 147
Фильтрация
— комплекса 237
глупая 237
каноническая 237
— регулярная 235, 240
Формула замены базы 276
— проекции 277
Функтор 79
— аддитивный 148
— диагональный 106
— забвения 82, ИЗ
— ковариантный 81
— когомологический 227, 283
— контравариантный 81
— полный 84
— представимый 99
— — в категории пучков 267
—, примеры 80, 82
— производный 220
— — и функтор Ext* 227
Функтор производный и функ-
функтор Тог,- 228
— — классический 227
¦ композиции двух функто-
функторов 233
слабый 230
— сдвига 184, 278
— сопряженный 111
— срезающий 313
— строгий 84
— точный 151, 217
слева 151
справа 151
— Ext 196
Цепи 40
— вырожденные 73
Циклы 42
Цилиндр морфизма 184
— объекта 372
Шапочка верхняя 279
— нижняя 279
Эквивалентность
екая 339
— категорий 90
, примеры 92—96
— Мориты 97
— слабая 330, 371
Элемент {объекта
тегории) 144
Эпиморфизм 139
Ядро 135
гомотопиче-
372, 375, 392
абелевой ка-
Научиос издание
ГЕЛЬФЛПД Сергей Израилевич
МАНИИ Юрий Иванович
МЕТОДЫ ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ
Том 1
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КОГОМОЛОГИЙ
И ПРОИЗВОДНЫЕ КАТЕГОРИИ
Заведующий редакцией Н. А. Угарова
Редактор В, И. Данилов
Кудожественный редактор Г. Н. Колъченко
Технический редактор С. Я. Шпллр
Корректоры Т. С, Вайсберг, М. Н. Дронова
ИБ Л 32500
Сдано в набор 23.12.87. Подписано к печати 08.09.88. Формат
84x108/32. Бумага тип. JM5 1. Гарнитура обыкновенная новая.
Печать высокая. Усл. печ. л. 21,84. Усл. кр.-отт. 21,84. Уч-
изд. л. 22,75. Тираж 4900 экз. Заказ № 1252. Цена 4 руб.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства «Наука»
630077 г. Новосибирск-77, Станиславского, 25