Л.Г.Мерзляк
В.Б.Полонский
ЕМ.Рабинович
А.Г. Мерзляк,
В.Б. Полонский,
Е.М. Рабинович,
М.С. Якир
СБОРНИК
задач и контрольных работ
по геометрии
для 7 класса
« И ЛЕКСА »
«ГИМНАЗИЯ»
Москва — Харьков
1999
ББК22.1я72
МЗ-41
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С.
МЗ-41 Сборник задач и контрольных работ по геометрии для
7 класса. — М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999.—128 с.: ил.
ISBN 5-89237-040-2
Пособие является дидактическим материалом по геометрии
для 7 класса общеобразовательных школ. Оно содержит около 1000
задач. Первая часть «Тренировочные упражнения» разделена на
четыре однотипных варианта по 260 задач в каждом. Вторая часть
содержит пять контрольных работ (два варианта) по всем темам
курса геометрии седьмого класса.
Для учителей средних школ, учащихся 7 классов и их
родителей.
ISBN 5-89237-040-2
© Мерзляк А. Г.,
Полонский В. Б.,
Рабинович Е. М.,
Якир М. С., 1999
© ООО «Илекса», 1999
ОТ АВТОРОВ
Ученикам
Дорогие дети! Вы начинаете увлекательное
путешествие по волшебной стране Геометрия.
Мы надеемся, что путеводитель, который вы
держите в руках, приведет вас к удивительным
приключениям, открытиям и победам.
Учителю
Мы очень надеемся, что, купив эту книгу
не только себе, но и «на класс», Вы не пожа-
леете. Даже в случае, когда сильно повезло и
Вы работаете по учебнику, который Вам нра-
вится, все равно задач, как и денег, бывает
или мало, или очень мало. Мы думаем, что
настоящее пособие поможет в какой-то мере
ликвидировать «заданный дефицит».
Первая часть — «Тренировочные упражне-
ния» — разделена на четыре однотипных ва-
рианта по 260 задач в каждом. На стр. 5 при-
ведена таблица тематического распределения уп-
ражнений, а на стр. 6 — таблица распределения
упражнений в соответствии с пунктами дейст-
вующего учебника.* Этот материал может быть
* А.В. Погорелов, «Геометрия, 7-11Г.П. Бевз, «Математика, 7».

1*
использован как для .работы в классе и дома,
так и при составлении самостоятельных прове-
рочных работ. Вторая часть пособия содержит
5 контрольных работ (два варианта).
Родителям
' Можно ли научить решать задачи собст-
венного ребенка, не будучи учителем? Вне всяких
сомнений! Для этого надо иметь под рукой
много однотипных упражнений. В этой книге
их более 1000, причем каждая задача имеет,
по крайней мере, две аналогичных.
Желаем вам терпения, терпения, терпения...
Тематическое распределение тренировочных
упражнений
Тема
Номера
упражнений
Основные свойства простейших гео-
метрических фигур
Смежные и вертикальные углы
Перпендикулярные прямые
Биссектриса угла
Доказательство от противного
Первый и второй признаки равенст-
ва треугольников
Равнобедренный треугольник
Признаки равенства треугольников
Признаки параллельности прямых
Сумма углов треугольника
Внешний угол треугольника
Прямоугольный треугольник
Окружность
Задачи на построение
1-67
68-89
90-95
96-101
102-105
106-121
122-136
137-142
143-149
150-172
173-185
186-199
200-224
225-260
6
*
Распределение упражнений в соответствии
с пунктами учебника «Геометрия, 7—11»
(автор А.В. Погорелов)
Номер
пункта
Номера Номер
упражнений пункта
Номера
упражнений
12
27
30; 31; 32
137-142
143-149
19-24
25-33
34-51
52-59
60-63
64-67
33
34
35
38
39
40
150-172
173-185
186-199
200-209
210
211-213; 215-224
68-78
214; 221
15
16
18
20; 22
23; 24
25; 26
79-89
90-95
102-105
96-101
106-121
122-133
134-136
43
44
45
46
48; 49
225-228
229-234
235; 236
237; 238
239-244
247-255
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
Вариант 1
Основные свойства простейших
геометрических фигур
1.	Провести прямую Ь и отметить на ней точку С.
Обозначить точку В, не принадлежащую прямой
Ь, и провести прямую CD. Могут ли прямые b и
CD иметь еще одну общую точку? Ответ обосновать.
2.	Отметить в тетради четыре
точки М9 F, Р и К (рис. 1).	*
Через каждые две точки про-
вести прямую. Записать все ™е	*р
полученные прямые.
3.	Отметить в тетради точки К9
Т и L так, чтобы через них F*
можно было провести пря-
мую. Записать все возможные	ис'
названия этой прямой.
4.	Используя рисунок 2:
1)	определить, пересекаются ли прямые МК и а;
2)	записать все точки, принадлежащие прямой а;
прямой МК;
3)	записать точки, не принадлежащие ни прямой
а, ни прямой МК.
8
5.	Какие из точек, отмечен-
ных на рис. 3, лежат
между двумя другими?
Записать соответствующие
уравнения.
6.	Начертить отрезки МК и PF так, чтобы МК = 5 см
мм.
Рис. 3
а)
б)
7.	Записать все отрезки, изображенные на рис. 4.
8.	Точка D лежит между точками К и F. Найти
неизвестное третье расстояние между данными точ-
ками, если:
1)	KD = 2,7 см, DF = 11,6 см;
2)	DK = j дм, KF = 4 дм;
О
3)	KF = 9 f м, DF = 3 I м.
о	4
9.	Может ли точка А лежать между точками В и С,
если АВ - 3,6 см, ВС = 8,3 см, АС = 4,7 см? Ответ
обосновать.
10.	Точка М принадлежит отрезку КЕ, длина которого
9 см. Определить длины отрезков МК и КЕ, если:
1) МК меньше ME На 0,6 см;
2)	МК больше ME в 3 раза;
3)	разность между ME и МК равна 1,6 см;
4)	КМ : ME = 2:7.
11.	На прямой последовательно отмечены точки А, В, С
и D, АС = 8 см, BD - 6 см, ВС = 3 см. Найти AD.
12.	На прямой последовательно отмечены точки L, К,
Р, F, Е так, что LK = КР = PF = FE = 2 см. Какие
еще равные отрезки определяются этими точками?
Записать эти отрезки и найти их длины.
13.	Точка Р лежит между точками М и F, Е и N —
середины отрезков МР и PF соответственно. Найти
длину отрезка MF, если EN = 4,7 см.
14	., Отрезок длиною 10 см состоит из четырех неравных
частей. Расстояние между серединами средних час*
тей равно 3 см. Найти расстояние между серединами
крайних частей.
15.	Точки А, В и С лежат на одной прямой. Найти
расстояние между точками В и С, если АВ = 2,7 см,
АС = 6,4 см. Сколько решений имеет задача?
16.	Длина отрезка MN равна 9,4 см. Отметить на
прямой MN такую точку Р, что MP - PN = 3 см.
Сколько решений имеет задача?
17.	Точки Е, F9 К и Р лежат на одной прямой,
точка F лежит между точками Е и К. Найти длину
отрезка FP, если EF = 4 см, ЕК = 11 см, КР = 14 см.
Рассмотреть все возможные случаи.
18.	Длина отрезка CD равна 11 см. Найти на прямой
CD все точки, для которых сумма расстояний до
концов отрезка CD равна:
1) 11 см; 2) 14 см; 3) 9 см.
19.	На рис. 5 прямые тип
пересекаются в точке О. Точ-
ки К, L, М и N не лежат
на этих прямых. Считая их
концами отрезков, назвать:
1) отрезки, пересекающие
прямую т;
2)	отрезки, пересекающие прямую п;
3)	отрезки, пересекающие прямые т и п;
4)	отрезки, не пересекающие ни одну из прямых
п и т,„
Рис. 5
20.	Прямая а пересекает отрезки АВ и ВС. Пересекает
ли прямая а отрезок АС? Ответ обосновать.
21.	Даны прямая Ь и точки F, Е и Р, не лежащие
на этой прямой. Может ли каждый из отрезков
DE, EF и DF пересекать прямую &? Ответ обос-
новать.
22.	Даны прямая а и точки А, В, С и Р, ей не
принадлежащие. Пересекает ли прямую а отрезок
ВР, если отрезки АВ, ВС и АР пересекают ее?
10
о
23.	Даны прямая I и точки М, F,
Т, Q, ей не принадлежащие.
Пересекает ли I отрезок FQ,
если отрезки FM и TQ пересе-
кают ее, а отрезок MQ не пе-
ресекает?
24.	Даны прямая I и точки Н, К, jy
Р, М и L, ей не принадлежа-
щие. Отрезки НК и КМ пе-
ресекают I, а отрезки KL и
МР ее не пересекают. Пере-
секает ли I отрезок PL4
25.	Пересекаются ли изображен-
ные на рис. 6:
1)	прямая DE и отрезок АВ;
2)	луч ОС и отрезок АВ;
3)	луч ОС и прямая DE1
26.	Назвать все отрезки, лучи и
прямые, изображенные на
рис. 7.
27.	На рис. 8 прямые LM и CD
пересекаются прямой FK в
точках Р и В.
1)	Записать все лучи с нача-
лом в точке В.
2)	Записать пары дополни-
тельных лучей, начало ко-
торых — точка Р.
28.	Сколько различных лучей оп-
ределяются тремя точками М,
К и Е, принадлежащими од-
ной прямой?
Рис.
Рис. 9
Е
6
7
Рис.
м
в
Рис. 8
L
D Е
F
29.	Точка М делит прямую I на два луча. При каком
условии точки Р и D этой прямой принадлежат
одному лучу? разным лучам?
30.	Отметить точки L, F, Т и К так, чтобы луч LF
пересекал прямую ТК, а луч ТК не пересекал
прямую LF.
31.	На рис. 9 назвать все пары дополнительных лучей.
Являются ли дополнительными лучи DL и ЕК?
Ответ обосновать.
11
32.	Провести прямую АВ и отме-
тить на ней точки D и Е.	/
Записать все лучи, имеющие	Су
начало в точках D и Е. На- D/'
звать пары дополнительных
•"УЧ®*-	ОМЕ
33.	Может ли отрезок КМ при-
надлежать лучу ОМ, если
ОК = 3,9 см, ОМ = 9,2 см,
КМ = 5,7 см? Ответ обосновать. Сделать рисунок.
34.	Выписать все возможные названия угла с верши-
ной О (рис. 10): COM-, DME-, DOE-, CED-, СМО-,
DOE; СОЕ-, OMD-, MOD-, DEO
35.	Записать все углы, изображенные на рис. 11.
М
Рис. 11
36. Начертить угол MOF и провести два луча ОК и
ОР между его сторонами. Записать все образовав-
шиеся углы.
37. Отметить три точки О, Р и D, не лежащие на
одной прямой. Построить угол POD и измерить с
помощью транспортира его градусную меру. Может
ли угол POD быть развернутым? Ответ обосновать.
38.	Используя транспортир, найти градусную меру уг-
лов, изображенных на рис. 12. Определить вид
каждого угла.
39.	Начертить угол, градусная мера которого: 1) 73°;
2) 91°; 3) 90°; 4) 152°. Определить вид каждого
угла.
40.	Построить тупой угол АОВ. Используя транспортир,
разделить его на две равные части.
12
D
Рис. 12
41.	Луч AD проходит между сторонами угла САЕ.
Найти градусную меру угла САЕ, если
/CAD = 39°, /DAE = 63°. Сделать рисунок.
42.	Проходит ли луч OD между сторонами угла FOE,
если /FOE = 85°, /DOF = 87°? Ответ обосновать.
43.	Луч BD проходит между сторонами угла АВС.
Найти угол DBC, если /АВС = 63°, /ABD = 51°.
Сделать рисунок.
44.	Лучи DC и DK проходят между сторонами уг-
ла MDL. Найти угол MDC, если /MDL = 95°,
/CDK = 43°, /KDL = 28”. Сделать рисунок.
45.	Луч ОА проходит между сторонами угла COD,
который равен 87°. Найти углы СОА и AOD, если
угол СОА меньше угла AOD на 29°.
46.	Угол EDN равен 112°. Луч DA проходит между
его сторонами. Найти углы EDA и NDA, ели угол
EDA меньше угла NDA в 6 раз.	Рг
47.	На рис. 13 /РОТ = 78°, /FOL = 52°,	/
/POF = 39°. Найти угол TOL.	/	___£
48.	На рис. 14 /САЕ = 78°, /BAD = 63°,
/CAD = 48°. Найти угол ВАЕ.
49.	Развернутый угол разделен на две \
части, одна из которых на 34° больше	L
другой. Найти образовавшиеся углы. Р”0- 18
13
50.	Прямой угол разделен на три части,
градусные меры которых относятся
как 2:3:5. Найти величины этих час-
тей.
51.	Луч DC проходит между сторонами п,,/'/
угла ADK. DM — биссектриса угла '/
ADC, DP — биссектриса угла CDK. е/
Найти угол ADK, если ZMDP = 82°.	„	, „
Рис. 14
52.	Дано: &.ОРК = &EFL. Назвать соответ-
ствующие углы и соответствующие стороны тре-
угольников ОРК и EFL.
53.	На рис. 15 изображены равные треугольники. Какая
из следующих записей правильная:
1)	АМКР = \LTF;
2)	ШКР = ALFT;
3)	\МКР = &FLT? Ответ обосновать.
L
54.	Дано: ШКР = ALTF,	tx.
КР = 9 см, МР = 7 см,
LT = 4 см. Найти неиз-	~^рР
вестные стороны тре- \ s'	/
угольников МКР и LTF.
55.	Дано: \АВС = ADEF,	,7
= 78°, ZE = 63°,	Рис 15
ZC = 39°.
Найти неизвестные углы треугольников АВС и
DEF.
56.	Что можно сказать о виде треугольника DKE, если
равенство ADKE = AKDE является верным?
57.	Начертить произвольный треугольник, измерить его
стороны и углы, найти периметр и сумму углов
этого треугольника.
58.	Одна сторона треугольника 24 см, вторая сторона
на 18 см больше первой, а третья сторона в два
раза меньше второй. Найти периметр треугольника.
59.	Одна сторона треугольника на 41 см меньше второй
и в 4 раза меньше третьей. Найти стороны тре-
угольника, если его периметр 107 см.
60.	Провести прямую I и отметить точку В, ей не
принадлежащую. Провести через точку В прямую,
параллельную прямой I.
61.	На рис. 16 изображены две пе-	Л/
ресекающиеся прямые k и р и	/
точка О, не принадлежащая ни О» д.
одной из них. Провести через	/
точку О прямые, параллельные '	\
прямым k и р.
Рис. 16
62.	Начертить остроугольный треу-
гольник и через каждую его вер-
шину провести прямую, парал- М F Т К
лельную противоположной сторо-
не.
Рис. 17
63.	Прямая b параллельна стороне КР треугольни-
ка LKP. Может ли прямая Ъ быть параллельной
сторонам LK и LP? Ответ обосновать.
64.	Отрезки МТ и FK равны (рис. 17). Доказать, что
MF = ТК.
65.	Прямые d и с параллельны. Прямая I пересекает
с. Доказать, что I пересекает d.
66.	Углы FOK и МОЕ равны (рис. 18). Доказать, что
углы FOM и КОЕ также равны.
67.	На рис. 19 Z.DCE = ZKCP, Z.DCF = Z.FCP. Доказать,
что ZECF = ZFCK.
Смежные и вертикальные углы
68.	Могут ли два смежных угла быть равными:
1) 36° и 154°; 2) 59° и 121°; 3) 93° и 77°?
Ответ обосновать.
15
69.	Найти угол, смежный с углом:
1)	19°; 2) 83°; 3) 90°; 4) 94°; 5) 156°.
70.	Может ли пара двух смежных углов состоять из
острого и прямого углов? Ответ обосновать.
71.	Являются ли смежными углы РАК и КАЕ (мал. 20)?
Записать все пары сме-
жных углов, изображен-
ных на рисунке.	jjj--J
72.	Начертить два неравных	\
смежных угла так, что-	'
бы их общая сторона	Р***5- 20
была вертикальной.
73.	Угол МРЕ меньше угла LTF. Какому из углов
соответствует меньший смежный угол? Ответ обос-
новать.
74.	Найти смежные углы, если один из них на 38°
больше другого.
75.	Один из смежных углов в 5 раз больше другого.
Найти эти углы.
76.	Найти смежные углы, если их
относятся как 5:7.
77.	Два угла относятся как 1:3, а
смежные с ними как 4:3. Найти
данные углы.
78.	Один из смежных углов равен
37°. Найти величину угла, кото-
рый дополняет его до прямого.
Найти отношение разности смеж-
ных углов и дополняющего угла.
79.	На рис. 21 найти все пары смеж-
ных и вертикальних углов. За-
писать их.
80.	На рис. 22 угол АОВ равен 37°.
Найти углы AOD, DOC, ВОС.
81.	Верно ли, что для каждого угла
можно построить только один
вертикальный угол? смежный
угол?
градусные меры
F
Рис. 21
А
С
Рис. 22
16
82.	На рис. 23 ZPMF = 32’, ZTMQ = 87’. Найти угол
KMR.
83.	На рис. 24 ZEAL + ZLAD + ZFAD = 290’. Найти углы
EAF и FAD.
84.	Один из углов, образованных при пересечении двух
прямых, на 50° меньше другого. Найти эти углы.
85.	Один из углов, образованных при пересечении двух
прямых, в 4 раза больше другого. Найти эти углы.
86.	Найти величину каждого из углов, образованных
1)
2)
3)
4)
меньшему из
при пересечении двух прямых, если:
сумма двух из них равна 98°;
разность двух из них равна 58°;
все углы равны между собой;
сумма трех из них равна 286°.
87. Разность двух смежных углов равна
них. Найти эти углы.
88.	Три прямые пересекаются в одной
точке (рис. 25). Найти угол
Z2 + Z3 = 142°.
89.	Решить задачи (рис. 26):
1)	Дано: ZCEF = ZEFB.
Доказать: ZCEH = ZQFB.
2)	Дано: ZFED = ZQFB.
Доказать:
ZAFE+ ZCEF = 180°.
1, если
Рис. 26
Рис. 26
17
Перпендикулярные прямые
90.	Провести прямую d и отметить
точку К9 не принадлежащую d.
С помощью чертежного треуголь-
ника провести через точку К
прямую, перпендикулярную пря-
мой d.
91.	Провести прямую п и отметить
принадлежащую ей точку А. Про-
К М Р
Рис. 27
вести через точку А прямую, перпендикулярную
прямой п, используя чертежный треугольник.
92. На рис. 27 ZKMD = ZEMF , ZDME = ZFMP. Дока-
зать, что DM 1 MF.
93.	Углы МКР и NKP прямые. Доказать, что точки
М, К и N лежат на одной прямой.
94.	На прямой DE между точками D и Е выбрали
точку F. Точка L не принадлежит прямой DE.
Доказать, что если ZDFL = ZEFL, то DE ± FL.
95.	Как, используя шаблон угла в 15°, построить пер-
пендикулярные прямые?
Биссектриса угла
96.	Прямые AD, BE и CF пересекаются в точке О,
причем ОЕ — биссектриса угла FOD (рис. 28).
ZFOE = 42°. Найти ZBOD.
97.	Чему равен угол между бис-	с<
сектрисами двух смежных в\ I
углов?	I
98.	Угол между биссектрисой угла ______ >10_______
и продолжением одной из его А
сторон равен 124°. Найти дан-	|	Е
ный угол.	JF
99.	Какой угол образует биссект-
риса угла в 54° с продолже- Рис- 28
нием одной из его сторон?
100.	Найти смежные углы DOF и EOF, если биссектриса
угла DOF образует с лучом ОЕ угол, который
больше угла FOE на 20°.
101.	Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. Найти
угол между биссектрисами углов АОС и ВОС.
18.
Доказательство от противного
102.	Доказать от противного, что из двух смежных
углов хотя бы один не больше 90°.
103.	Доказать от противного, что если две прямые
пересекают прямую b в одной точке, то хотя бы
одна из этих прямых не перпендикулярна Ь.
104.	Доказать от противного, что если биссектрисы
углов АОВ и COD не лежат на одной прямой, то
эти углы не вертикальные.
105.	Доказать от противного, что если прямые а и Ъ
пересекаются и а параллельна прямой т, то b и
т пересекаются.
Первый и второй признаки равенства
треугольников
106.	Отрезки AF и DE пересекаются в точке В так,
что АВ = BD, FB = BE. Доказать равенство треу-
гольников АВЕ и DBF.
107.	Доказать равенство треугольников ABF и ADF
(рис. 29), если АВ = AD, ZBAF = ZDAF.
108.	Доказать равенство треуголь-
ников COD и AOD (рис. 30),
если АО - ОС и ВО = OD.
109.	Доказать равенство отрезков
АВ и DC (рис. 31), если
ВС = AD, ZDAC = ZBCA.
19
110.	Отрезки AD и ВС пересекаются в точке О так,
что АО = OD и СО = ОВ. Найти угол ВАО, если
ZCDO = 34°.
111.	На стороне DF треугольника DEF взяли такую
точку Р, что DP = PF. На луче ЕР от точки Р
отложили отрезок РК, равный РЕ. Доказать ра-
венство треугольников DPK и EPF.
112.	В треугольнике EFK EF = EK. Точки М и N —
середины сторон EF и ЕК соответственно. Доказать,
что FN = КМ.
113.	В треугольнике АВС (АВ = ВС) на сторонах АВ
и ВС отложены равные отрезки AM и CN соответ-
ственно. Доказать, что AN = СМ.	&
114.	Отрезки АВ и CD пересекаются	Д Е
в точке F. Известно, что /
AF - FB, ZABC = Z.BAD. Доказать,	/
что треугольники AFD и BFC 7 Yd
равны.	/\к
115.	Доказать равенство треугольни-	V '
ков АВС и DEC (рис. 32), если рис. 32
АС = CD и ZMAF = ZTDK.
116.	Доказать равенство треугольников ADM и AFE
(рис. 33), если AM = АЕ и ZDMA = Z.FEA.
117.	Доказать равенство углов С и F (рис. 34), если
ZCDB = ZFBD и ZCBD = ZFDB.
118.	На биссектрисе угла О отметили точку F, а на
сторонах этого угла такие точки D и Е, что
ZOFD = ZOFE. Доказать, что OD = ОЕ.
119.	Высота треугольника АВС, проведенная из вер-
шины В, образует со сторонами ВА и ВС равные
углы. Доказать, что ZB4C = ZBCA.
20
120.	На рис. 35 АЕ = DC,
ABDE = ABED, АЛ = ZC.
Доказать, что
AABD = АСВЕ.
121.	Доказать равенство треу-
гольников по углу, биссек-
трисе этого угла и углам,
которые она образует с про-
тивоположной стороной.
В
Рис. 35
Равнобедренный треугольник
122.	На рис. 36 AKDE = AEFP. Доказать, что
ED = EF.
123.	На рис. 37 AABD= AADB, ACBD = ACDB. Дока-
зать, что ДА ВС = ЛАРС.
124.	На рис. 38
ZQAC = ZOCA,
ZAOB = АСОВ.
Доказать, что треу-
гольник АВС — рав-
нобедренный.
125.	Найти периметр рав-
нобедренного треуголь-
ника, основание кото-
рого 9 см, а боковая сторона 7 см.
126. Периметр равнобедренного треугольника 19 см, а
основание 7 см. Найти боковые стороны.
127.	Периметр равностороннего треугольника 24 см.
На его стороне построили равнобедренный треу-
гольник, периметр которого 36 см. Найти стороны
равнобедренного треугольника.
21
Рис. 39
128.	Найти стороны равнобедренного треугольника,
если его периметр 28 см, а основание
меньше боковой стороны.
129.	Найти стороны равнобедренного
треугольника, если его периметр
84 см, а основание в 3 раза
меньше боковой стороны.
130.	В треугольнике DEF DE = EF.
Найти периметр треугольника
DEF, если длина высоты ЕО равна
8 см, а периметр треугольника
DEO — 43 см.
131.	В равнобедренном треугольнике
см. Из точки
> — проведен
В, пересекаю-
Е (рис. 39).
м
Рис. 40
АВС АВ = ВС = 18
D — середины А
перпендикуляр к .
щий ВС в точке
Найти АС, если периметр треу-
гольника АЕС равен 27 см.
132.	В равнобедренном треугольнике
от вершины F отложены равные
FK (рис. 40). Доказать, что ZDME = Z.DKE.
133.	Стороны равностороннего
треугольника АВС продле-
ны на равные отрезки
DEF (DF = EF)
отрезки FM и
Доказать, что треугольник
A^iCi — равносторонний.
134. Доказать, что если бис-
сектриса треугольника яв-
ляется его высотой, то тре-
угольник равнобедренный.
135. Доказать, что в равнобед-
ренном треугольнике меди-
аны, проведенные к боко-
вым сторонам, равны.
136.	Доказать равенство равнобедренных треугольников
по высоте к боковой стороне и углу, образованному
этой высотой с боковой стороной.
Рис. 41
22
Признаки равенства треугольников
137.	На рис. 42 AD = АК, CD = CK. Доказать, что
AADC = \АКС.
138.	На рис. 43 АК = AM, СК = СМ. Доказать, что
КО = ОМ.
139.	На рис. 44 DM = DE,	В
FM = FE. Доказать, что	/ \
OF — биссектриса угла	/	\
МОЕ.	f X
140.	На медиане ЕК треу- /	\
гольника DEF взята точ- /
ка Р. Известно, что точ- р''
ка Р равноудалена от то- М	Е
чек D и F. Доказать, что	Рис. 44
треугольник DEF равно-
бедренный.
141.	Точки М и N лежат по одну сторону от прямой I.
На I выбраны такие точки Е и К, что ME = NK
и МК = NE. Доказать, что /.MEN = /MKN.
142.	Доказать равенство равнобедренных треугольников
по боковой стороне и медиане, проведенной к ней.
Признаки параллельности прямых
143.	На рис. 45 назвать все пары внешних односто-
ронних и внутренних односторонних углов.
23
Рис. 45
Рис. 46
144.	На рис. 46 ХСАК = ХКАВ,
ХАВК = XKBD. Известно, что
ХКАВ + ХАВК = 90’.
Доказать, что AC || BD.
145.	На рис. 47 AC || DB и
СО = OD. Доказать, что
ДАОС = ДВОЯ.
146.	На рис. 48 найти градусную меру угла х.
147.	На рис. 49 АВ || DE. Найти градусную меру угла
BCD, если ХАВС = 150’, XCDE = 110’.
148.	На рис. 50 Z1 = Z2. Доказать, что прямые а и
b параллельны.
Рис. 49
Рис. 50
24
149.	Внутренние односторонние углы при параллельных
прямых равны 46° и 134°. Найти угол, под которым
пересекаются биссектрисы этих углов.
Сумма углов треугольника
150.	Существует ли треугольник со сторонами 40°, 80°
и 50°?
151.	Найти третий угол треугольника, если два его
угла равны:
1)	53° и 62°; 2) 32° и 141°; 3) 4° и 1°.
152.	Угол при вершине равнобедренного треугольника
равен 48°. Найти углы при основании.
153.	Угол при основании равнобедреного треугольника
равен 72°. Найти угол при вершине.
Рис. 51
154. Найти неизвестные
углы треугольника АВС
(рис. 51).
в)
Рис. 52
25
155.	Найти неизвестные углы треугольника АВС
(рис. 52).
156.	Найти углы треугольника DEF, если ZD + ZE -
= 70°, ZE + ZF = 150°.
157.	Найти углы равнобедренного треугольника, если
угол при основании на 36° больше угла при вершине.
158.	Найти углы равнобедренного треугольника, если
угол при вершине в 3 раза больше угла при
основании.
159.	Найти углы треугольника, если их градусные
меры относятся как 3:4:5.
160.	Один из углов треугольника на 40° меньше второго
и на 10° больше третьего. Найти углы треугольника.
161.	Доказать равенство треугольников MPQ и DLE,
если MP = DL, ZM = Z.D, Z.Q = ZE.
162.	Угол при вершине равнобедренного треугольника
равен 40°. Найти меньший угол, образованный
биссектрисой угла при основании с противополож-
ной боковой стороной.
163.	Угол между биссектрисами углов при основании
равнобедренного треугольника равен 124°. Найти
углы треугольника.
164.	В треугольнике MPF Z.M = 80°, ZP = 40°. Биссек-
триса угла М пересекает сторону FP в точке К.
Найти угол FKM.
165.	В треугольнике DEF AD = 50°, ZE = 70°, О —
точка пересечения биссектрис углов Е и F. Найти
угол EOF.
166.	Высоты остроугольного треугольника NLT, про-
веденные из вершин N и L, пересекаются в точке
К, ЛТ = 56°. Найти угол NKL.
167.	В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС,
ZB = 48е, АТ и AM — высота и биссектриса тре-
угольника соответственно. Найти угол ТАМ.
168.	Найти углы треугольника, если два из них
относятся как 3:7, а третий равен их полураз-
ности.
169.	Один из углов треугольника равен 100°. Высота
и биссектриса, проведенные из вершины этого угла,
образуют угол 20°. Найти неизвестные углы треу-
гольника.
26
170.	Биссектриса угла А равнобедренного треугольника
АВС (АВ = ВС) пересекает сторону ВС в точке L.
Известно, что АС = AL= BL. Найти углы треуголь-
ника АВС.
171.	Найти углы равнобедренного треугольника, если
один из них на 24° больше другого. Рассмотреть
два случая.
172.	Найти углы равнобедренного треугольника, если
один из них в 7 раз больше другого. Рассмотреть
два случая.
Внешний угол треугольника
173. Один	из внешних	углов	треугольника	равен	137°.
Найти	внутренние	углы,	не смежные с	ним,	если
один из них равен: 1) 28°; 2) 91°; 3),				117°.	
174. Один	из внешних	углов	треугольника	равен	148°.
Найти	внутренние	углы,	не смежные с	ним,	если:
1)	один из них на 36° меньше другого;
2)	один из них в 3 раза меньше другого.
176.	Один из углов треугольника равен 82°. Может
ли внешний угол треугольника, не смежный с
ним, быть равным: 1) 80°; 2) 83°; 3) 81 °?
176.	В треугольнике MED Z.M = 34°, ZD = 123°. Найти
величины внешних углов, построенных по одному
при каждой вершине треугольника.
177.	Один из внешних углов треугольника равен 130°,
а один из внутренних — 43°. Найти другие внут-
ренние углы треугольника.
178.	Градусные меры двух внешних углов треугольника
равны 139° и 87°. Найти третий внешний угол
треугольника и сумму внешних углов треугольника,
взятых по одному при каждой вершине.
179.	Внешний угол равнобедренного треугольника равен
76°. Найти величины внутренних углов треуголь-
ника.
180.	Сумма внутренних углов равнобедренного треу-
гольника вместе с одним из внешних равна 254°.
Найти величины внутренних углов треугольника.
181.	Два внутренних угла треугольника относятся как
4:7, а внешний угол третьего угла равен 121°.
Найти углы треугольника.
27
182.	Внешний угол треугольника на 84° больше мень-
шего внутреннего не смежного с ним, а из двух
внутренних углов, не смежных с ним, один в 4
раза больше другого. Найти углы треугольника.
183.	Внутренние углы треугольника относятся как
2:7:10. Найти отношение внешних углов треуголь-
ника, не находя их величины.
184.	Внешние углы треугольника относятся как 3:7:8.
Найти отношение внутренних углов треугольника.
185.	АЕ — биссектриса угла А треугольника АВС.
Луч АК перпендикулярен АЕ. Доказать, что луч
АК — биссектриса одного из внешних углов тре-
угольника при вершине А.
Прямоугольный треугольник
186.	Найти второй острый угол прямоугольного треу-
гольника, если первый равен:
1)	3°; 2) 37°; 3) 64°; 4) 86°.
187.	Один из острых углов прямоугольного треугольника
на 34° меньше другого. Найти эти углы.
188.	Один из острых углов прямоугольного треугольника
в 4 раза меньше другого. Найти эти углы.
189.	Найти больший угол между биссектрисой острого
угла прямоугольного треугольника и противополож-
ным катетом, если второй острый угол равен 26°.
190.	Биссектрисы острого и прямого углов прямоу-
гольного треугольника пересекаются под углом 130°.
Найти острые углы треугольника.
191.	Один из острых углов прямоугольного треугольника
равен 21°. Найти угол между биссектрисой и вы-
сотой, проведенными из вершины прямого угла.
192.	В треугольнике МКТ Z.K - 90°. Высота КН образует
с катетом МК угол, равный 32°. Найти острые
углы треугольника.
193.	В прямоугольном треугольнике DEF катет DF
равен 14 см, ZE = 30°. Найти гипотенузу DE.
194.	В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза
АВ равна 38 см, a ZB = 60°. Найти катет ВС.
195.	В прямоугольном треугольнике MNK MN = NK,
а гипотенуза МК равна 18 см. Найти длину высоты,
проведенной к гипотенузе.
30
Рис. 58
9
Рис. 59
216.	Две окружности с центрами О2 и О2 касаются
внутренним образом в точке С (рис. 59). Доказать,
что точка С лежит на прямой О1О2.
217.	Радиусы двух окружностей равны 7 см и 11 см.
Найти расстояние между их центрами, если ок-
ружности касаются:
1)	внутренним образом;
2)	внешним образом.
218.	Две окружности касаются внешним образом. Рас-
стояние между их центрами 22 см. Найти радиусы
окружностей, если они относятся как 4:7.
219.	Расстояние между центрами двух окружностей
равно 9 см. Определить, пересекаются ли эти
окружности, если их радиусы равны:
1)	6 см и 4 см; 2) 4,5 см и 4,5 см; 3) 2 см и 6 см.
220.	Две окружности с центрами Ох и О2 пересекаются
в точках С и D, каждая из них проходит через
центр другой. Доказать, что ZCO1Z> = 120°,
ZO^Og = 60°.
221.	В треугольнике центр
вписанной окружности ле-
жит на высоте. Доказать,
что этот треугольник рав-
нобедрённый.
222.	Две окружности имеют
общий центр О (рис. 60).
К меньшей из них про-
ведены две взаимно пер-
пендикулярные касатель-
ные DE и КР, пересека-
ющиеся в точке N. Найти
31
отрезок NE, если ND = 3 см,
а радиус меньшей окружнос-
ти равен 4 см.
223.	Две окружности имеют об-
щий центр О (рис. 61). Сумма
их радиусов 12 см, а длина
отрезка DF 6 см. Определить
радиусы окружностей.
224.	Три окружности попарно
касаютсяся друг друга внеш-
ним образом. Отрезки, соеди-	Рис. 61
няющие их центры, образуют
треугольник со сторонами 9, 10 и 11 см. Определить
радиусы окружностей.
Задачи на построение
225.	Даны прямая а и точка В, ей не принадлежащая.
Найти на прямой а точку, находящуюся на рас-
стоянии 2 см от точки В. Сколько таких точек
может быть?
226.	Построить треугольник DEF, если DE = 5 см,
EF = 7 см, DF = 9 см.
227.	Начертить в тетради разносторонний тупоугольный
треугольник. Построить треугольник, равный дан-
ному.
228.	Начертить в тетради отрезок КР = 3 см. Построить
равносторонний треугольник KPF. Сколько решений
имеет задача?
229.	Начертить в тетради острый угол. Построить угол,
равный данному.
230.	Построить треугольник DEK, если DE = 4 см,
DK = 5 см, ZD = 100°.
231.	Построить треугольник FTM, если FT = 2 см,
ZF = 80°, ZT = 20°.
232.	Построить равнобедренный треугольник, боковая
сторона которого 3 см, а угол при вершине 40°.
233.	Построить треугольник DBE, если DE = 2,5 см,
ZD = 70°, ZB = 10°.
234.	Построить равнобедренный треугольник, боковая
сторона которого 3,5 см, а угол при основании 70°.
235.	Начертить в тетради острый угол и построить
его биссектрису.
32
236.	Начертить в тетради произвольный треугольник
и построить его биссектрисы.
237.	Начертить в тетради произвольный треугольник
и построить его медианы.
238.	Построить равнобедренный треугольник по боковой
стороне и медиане, проведенной к ней.
239.	Даны прямая Ъ и точка В. Построить прямую,
перпендикулярную прямой Ъ и проходящую через
точку В. Рассмотреть два
случая.
240.	Построить ZABC, рав-
ный 90°.
241.	Построить прямоуголь-
ный треугольник по ка-
тету и прилежащему углу.
242.	Построить равнобедрен-
ный прямоугольный тре-
угольник по его высоте,
опущенной на гипотенузу.
243.	Отметить по клеточкам
точки D, Е и F (рис. 62)
и провести через эти
точки окружность.
244.	Около равнобедренного треугольника, боковая сто-
рона которого 3 см и угол при основании 30°,
описать окружность и измерить ее радиус.
245.	Даны прямая I и точка М, ей не принадлежащая.
Провести через точку М прямую п, параллельную I.
246.	Даны прямая с и точка Е, ей не принадлежащая.
Построить прямую, проходящую через точку Е и
образующую с прямой с заданный угол р = 40°.
247.	Построить геометрическое место точек, равноуда-
ленных от концов данного отрезка.
248.	Построить геометрическое место точек, равноуда-
ленных от сторон ВА и ВС угла АВС.
249.	Построить геометрическое место точек — середин
параллельных хорд данной окружности.
250.	Начертить угол АОВ. Найти точку, находящуюся
на расстоянии 5 см от точки О и равноудаленную
от сторон угла.
33
251.	Через две точки провести окружность, центр
которой принадлежит данной окружности. Когда
задача имеет одно решение? два решения? не имеет
решений?
252.	Построить окружность, проходящую через вершину
угла и точку на его стороне и имеющую центр
на другой стороне угла.
253.	Построить окружность данного радиуса, касающу-
юся двух данных окружностей.
254.	Две окружности имеют внутреннее касание. По-
строить их общую касательную.
255.	Построить касательную к окружности, перпенди-
кулярную данной прямой.
256.	Построить равнобедренный треугольник по углу
при вершине и высоте, проведенной к боковой
стороне.
257.	Построить треугольник АВС по углу А и высотам,
проведенным к сторонам АВ и АС.
258.	Построить прямоугольный треугольник по сумме
катета и гипотенузы и углу, противоположному
другому катету.
259.	Построить прямоугольный треугольник по разности
катетов и гипотенузе.
260.	Построить треугольник АВС по стороне ВС, углу В
и разности сторон АВ и АС.
34
Вариант 2
Основные свойства простейших
геометрических фигур
1. Провести прямую а и отметить на ней точку В.
Отметить точку С, не принадлежащую прямой а,
и провести прямую ВС. Могут ли прямые а и ВС
иметь еще одну общую точку? Ответ обосновать.
2. Отметить в тетради четыре	. В
точки А, В, С и D (рис. 63).
Через каждые две точки про- А» ,
вести прямую. Записать все	'с
полученные прямые.
3. Отметить в тетради точки М,
Е и F так, чтобы через них Р*10- 63
можно было провести пря-
мую. Записать все возможные названия этой пря-
мой.
4.	Используя рисунок 64:
1)	определить, пересекаются ли прямые АВ и Z;
2)	записать все точки, принадлежащие прямой I;
прямой АВ;
3)	записать точки, не принадлежащие ни прямой
АВ, ни прямой I.
АВ Р
М
К
Рис. 64
35
5» Какие из точек, отмечен-
ных на рис. 65, лежат
между двумя другими?
Записать соответствующие
равенства.
6.	Начертить отрезки АВ и CD
8 мм, CD = 4 см 4 мм.
Рис. 65
так, чтобы АВ = 7 см
Рис. 66
7.	Назвать все отрезки, изображенные на рис. 66.
8.	Точка С лежит между точками А и В. Найти
неизвестное третье расстояние между данными точ-
ками, если:
1)	АС = 12,6 см, СВ = 14,4 см;
2)	АВ = 2 м, АС = м;
3)	АВ = 7 | дм, ВС = 2 q дм.
О	<7
9.	Может ли точка Е лежать между точками D и
В, если DE = 6,4 см, EF = 3,9 см, DF = 9,3 см?
Ответ обосновать.
10.	Точка С принадлежит отрезку АВ, длина которого
8 см. Определить длины отрезков АС и ВС, если:
1) АС больше ВС на 0,4 см;
2)	АС меньше ВС в 4 раза;
3)	разность между АС и. ВС равна 0,9 см;
4)	АС : ВС = 7 : 1.
11.	На прямой последовательно отмечены точки К, L,
М и N, КМ = 9 см, LN = 8 см, KN = 12 см.
Найти LM.
12.	На прямой последовательно отмечены точки А, В,
С, D и Е так, что АВ = ВС = CD - DE = 3 см. Какие
еще равные отрезки определяются этими точками?
Записать эти отрезки и найти их длины.
13.	Точка С лежит между точками А и В, D и Е —
середины отрезков АС и СВ соответственно. Найти
длину отрезка DE, если АВ = 8,4 см.
36
14.	Отрезок длиной 8 см состоит из четырех неравных
частей. Расстояние между серединами крайних час-
тей равно 5 см. Найти расстояние между серединами
средних частей.
15.	Точки К, Р и Т лежат на одной прямой. Найти
расстояние между точками Р и Т, если КР = 4,9 см,
КТ = 5,4 см. Сколько решений имеет задача?
16.	Длина отрезка АВ равна 8,2 см. Отметить на
прямой АВ такую точку С, что АС - ВС = 2 см.
Сколько решений имеет задача?
17.	Точки А, В, С и D лежат на одной прямой, точка С
лежит между точками А и В. Найти длину отрезка
CD, если АВ = 10 см, АС = 3 см, BD = 4 см. Рас-
смотреть все возможные случаи.
18.	Длина отрезка АВ равна 8 см. Найти на прямой
АВ все точки, для которых сумма расстояний до
концов отрезка АВ равна:	&
1)	10 см; 2) 8 см; 3). 7 см.	А *
19.	На рис. 67 прямые а и b пере-	S'
секаются в точке О. Точки А,	*С
В, С и D не лежат на этих
прямых. Считая их концами
отрезков, назвать:	4
1) отрезки, пересекающие пря-
мую а;
Рис. 67
2)	отрезки, пересекающие пря-
мую Ь',
3)	отрезки, пересекающие прямые а и Ь;
4)	отрезки, не пересекающие ни одну из прямых
а и Ь.
20.	Прямая I пересекает отрезок КР и не пересекает
отрезок РМ. Пересекает ли прямую I отрезок КМ?
Ответ обосновать.
21.	Даны прямая а и точки А, В и С, не лежащие
на этой прямой. Может ли каждый из отрезков
АВ, ВС и АС пересекать прямую а? Ответ обосновать.
22.	Даны прямая Ь и точки L, Т, F и Е, ей не
принадлежащие. Пересекает ли прямую Ь отрезок
TF, если отрезки LF, LE и ТЕ не пересекают ее?
37
23. Даны прямая с и точки А, В, С я D, ей не
принадлежащие. Отрезки АВ и ВС пересекают
прямую с, а отрезок BD не пересекает ее. Пересекает
ли прямую с отрезок CD?
24. Даны прямая т и точки А, В, С, D и Е, ей не
принадлежащие. Отрезки АВ, AD и DC пересекают
прямую т, а отрезок СЕ ее не пересекает. Пере-
секает ли т отрезок ВС?
25. Пересекаются ли изображенные на рис. 68:
1) прямая MN и отрезок QR‘,
2) луч ОТ я отрезок QR;
3)	луч ОТ я прямая MN?
26.	Назвать все отрезки, лучи и
прямые, изображенные на
рис. 69.
27.	На рис. 70 прямые АВ я CD
пересекаются прямой ЕЕ в точ-
ках Р я К.
1)	Записать все образованные
лучи с началом в точке Р.
2)	Записать пары дополнитель-
ных лучей, начало кото-
рых — точка К.
28.	Сколько различных лучей оп-
ределяются тремя точками А,
В я С, не принадлежащими
одной прямой?
29.	Точка О делит прямую а на
два луча. При каком условии
точки А я В этой прямой при-
надлежат одному лучу? разным
лучам?
30.	Отметить точки А, В, С я D
так, чтобы прямые АВ я CD
пересекались, а лучи АВ и
CD не пересекались.
31.	На рис. 71 назвать все пары
дополнительных лучей. Явля-
ются ли дополнительными лучи
ВА я СЕ? Ответ обосновать.
Рис. 68
32. Провести прямую DE я отметить на ней точки М
я Т. Записать все образовавшиеся лучи, имеющие
начало в точках М я Т. Назвать пары дополни-
тельных лучей.
38
33. Может ли отрезок КР при-
надлежать лучу ЕК, если 
ЕК = 8,4 см, КР = 6,5 см, А В С D Е
ЕР = 2,9 см? Ответ обосно-
вать. Сделать рисунок.	Рис. 71
34. Выписать все возможные на-
звания угла с вершиной М (рис. 72): АОМ; АМО-,
АМВ; ОМА-, МОА; АМК-, ОМК; АВО-, КМВ; ОКА.
35. Записать все углы, изображен-
ные на рис. 73.	.
36.	Начертить угол АВС и про-	Ау
вести два луча BD и BE	/
между его сторонами. Запи-
сать все образовавшиеся при	О
этом углы.	М
37.	Отметить три точки А, В и
С, не лежащие на одной пря-	рис. 72
мой. Построить угол АВС и
измерить с помощью транс-
портира его градусную меру. Может ли угол АВС
быть развернутым? Ответ обосновать.
Рис. 73
38.	Используя транспортир, найти градусную меру уг-
лов, изображенных на рис. 74. Определить вид
каждого угла.
39.	Начертить угол, градусная мера которого: 1) 54°;
2) 90°; 3) 147°; 4) 88°. Определить вид каждого
угла.
40.	Построить острый угол DEF. Используя транспортир,
разделить его на две равные части.
41.	Луч ОВ проходит между сторонами угла АОС.
Найти градусную меру угла АОС, если ZAOB = 48°,
ZBOC = 34°. Сделать рисунок.
39
D
Рио. 74
42.	Проходит ли луч ВМ между сторонами угла АВС,
если ZABC = 43°, ZABM = 49° ? Ответ обосновать.
43.	Луч DF проходит между сторонами угла EDK.
Найти угол FDK, если ZEDK = 38°, ZEDF = 29°.
Сделать рисунок.
44.	Лучи OD и ОЕ проходят между сторонами угла
АОВ. ZAOB = 87°, ZAOD = 34°, ZBOE = 72°. Найти
угол DOE. Сделать рисунок.
45.	Луч BD проходит между сторонами
угла АВС, который равен 74°. Най-
ти углы ABD и DBC, если угол
DBC больше угла ABD на 28°.
46.	Угол ABD равен 115°. Луч ВС про-
ходит между его сторонами. Найти
углы CBD и АВС, если угол CBD
больше угла АВС в 4 раза.
47.	На рис. 75 ZABD = 85°,
ZCBE = 45°, ZCBD = 40°.
Найти угол АВЕ.
48.	На рис. 76 ZMOK = 110°,
ZMOP = 78°, ZNOP = 62°.
Найти угол NOK.
49.	Прямой угол разделен на две части,
одна из которых на 12° больше
Рис. 75
40
R
другой. Найти образовавшиеся углы.
50.	Развернутый угол разделен на три части, градусные
меры которых относятся как 2:3:4. Найти величины
этих частей.
51.	Луч ОС проходит между сторонами угла АОЕ. ОВ
— биссектриса угла АОС, OD — биссектриса угла
СОЕ. Найти угол BOD, если ЛАОЕ = 144°.
52.	Дано: ДА ВС = &МКР. Назвать соответствующие углы
и соответствующие стороны треугольников АВС и
МКР.
53.	На рис. 77 изображены равные треугольники. Какая
из следующих записей
верна:
1)	ДАВС = ДЯфР;	1*
2)	ДАВС = ДЯР£;	<
3)	AABC = M>QR? Ответ	\ Q
обосновать.
54.	Дано: ДАП)=ДРфЯ,	с
AF = 7 см, AD = 8 см,
QR = 9 см. Найти неизвес-	Ри<3, 77
тные стороны треугольни-
ков AFD и PQR.
55.	Дано: &MFK = bDLT, AM = 49°, ZL = 62°,
Найти неизвестные углы треугольников
DLT.
56.	Что можно сказать о виде треугольника АВС, если
правильным является равенство ДАВС -- ДВСА?
57.	Начертить произвольный треугольник, измерить его
стороны и углы, найти периметр и сумму углов
этого треугольника.
58.	Одна сторона треугольника 38 см, другая сторона
на 19 см меньше первой, а третья сторона в два
раза больше второй. Найти периметр треугольника.
59.	Одна сторона треугольника в 3 раза меньше второй
и на 23 см меньше третьей. Найти стороны тре-
угольника, если его периметр 108 см.
60.	Провести прямую т и отметить точку А, ей не
принадлежащую. Провести через точку А прямую,
параллельную прямой т.
61.	На рис. 78 изображены две пересекающиеся прямые
а и Ъ и точка М, не принадлежащая ни одной
АТ = 69°.
MFK и
41
¥ >
Рис. 78
а быть па-
из них. Провести через точку М
прямые, параллельные прямым а „
и Ъ.
62.	Начертить тупоугольный треуголь-
ник и через каждую его вершину '
провести прямую, параллельную
противоположной стороне.
63.	Прямая а параллельна стороне АВ
треугольника АВС. Может ли прямая
раллельной сторонам ВС и АС? Ответ обосновать.
64.	Отрезки АВ и CD равны (рис. 79). Доказать, что
АС = BD.
66.	Доказать, что середины трех сторон
треугольника не лежат на одной ----------•----*---1
прямой.
66.	Углы ВАС и DAE равны (рис. 80). рис. 79
Доказать, что углы BAD и САЕ
также равны.
67.	На рис. 81 ZABK = Z.FBM, Луч BP лепит пополам
угол KBF. Доказать, что ВР делит пополам угол
АВМ.
Смежные и вертикальные углы
Рис. 80
Рис. 81
68.	Могут ли два смежных угла быть равными:
1)	48° и 132°; 2) 83° и 87°; 3) 63° и 127°?
Ответ обосновать.
69.	Найти угол, смежный с углом:
1)	17°; 2) 69°; 3) 90°; 4) 98°; 5) 143°.
70.	Может ли пара двух смежных углов состоять из
двух острых углов? Ответ обосновать.
42
71. Являются ли смежными уг-
лы AOD и СОА (рис. 82)?
Записать все пары смежных
углов, изображенных на ри-
сунке.
72. Начертить два неравных
смежных угла так, чтобы
Рис. 82
их общая сторона была горизонтальной.
73.	Угол АВС больше угла МКР. Какому из углов
соответствует больший смежный угол? Ответ обос-
новать.
74.	Найти смежные углы, если один из них на 42°
меньше другого.
75.	Один из смежных углов в 4 раза больше другого.
Найти эти углы.
76.	Найти смежные углы, если их градусные меры
относятся как 4:5.
77.	Два угла относятся как 1:2, а смежные с ними
как 7:5. Найти данные углы.
78.	Один из смежных углов равен 48°. Найти величину
угла, дополняющего его до прямого. Найти отно-
шение разности смежных углов и дополняющего
угла.
79.	На рис. 83 найти все пары смежных и вертикальных
углов. Записать их.
80.	На рис. 84 угол МЕК равен 132°. Найти углы
MEF, FEP, РЕК.
Рис. 83
81.	Верно ли, что для каждого угла
можно построить только один
вертикальный угол? смежный
угол?
82.	На рис. 85 ХАОВ= 56°,
Z.COD = 25°. Найти угол FOE.
Рис. 84
43
83.	На рис. 86 ZAOD + ЛАОС + ЛСОВ = 210°. Найти углы
AOD и DOB.
84.	Один из углов, образованных при	у
пересечении двух прямых, на
48° больше другого. Найти эти
углы.	/
85.	Один из углов, образованных при	&	&
пересечении двух прямых, в 5
раз больше другого. Найти эти Рис. 86
углы.
86.	Найти величину каждого из углов, образованных
при пересечении двух прямых, если:
все углы равны между собой;
сумма двух из них равна 84°;
разность двух из них рав]
сумма трех из них равна
1)
2)
3)
4)
87.	Один из углов, образованны?
пересечении двух прямых, раве
ме двух смежных с ним. Найп
углы.
88.	Три прямые пересекаются в
точке (рис. 87). Найти сумму
углов 1 и 2, если Z3 = 31°.
89.	Решить задачи (рис. 88):
1)	Дано: ЛАЕР = ЛСРЕ.
Доказать: ЛВЕР = ЛСРЕ.
2)	Дано: ЛРРО = ЛАЕР.
Доказать:
ЛСРЕ + ЛАЕР = 180°.
Перпендикулярные прямые
90.	Провести прямую а и отметить точку М, не при-
надлежащую а. С помощью чер-	с
тежного угольника* провести через	/р
точку М прямую, перпендикуляр- D /
ную прямой а.	/
91.	Провести прямую Ь и отметить
точку Е, ей принадлежащую. Про-
вести через точку Е прямую, пер- рИс. 89
пендикулярную прямой Ь, исполь-
зуя чертежный треугольник.
44
92.	На рис. 89 ZAOD = ZCOF, ZDOC = Z.BOF. Доказать,
что ОС ± АВ.
93.	Углы ABD и CBD прямые. Доказать, что точки
А, В и С лежат на одной прямой.
94.	Точка С лежит на прямой между точками А и
В, точка D — вне этой прямой, причем
ZACD = Z.BCD. Доказать, что АВ ± CD.
95.	Как, используя шаблон угла в 18°, построить пер-
пендикулярные прямые?
Биссектриса угла
96. Прямые АВ, CD и EF пересекаются в точке О
(рис. 90), причем ОЕ — биссектриса угла AOD,
равного 148°. Найти угол
AOF.
97.	Чему равен угол между бис-
сектрисами двух вертикаль-
ных углов?
98.	Угол между биссектрисой
угла и продолжением одной
из его сторон равен 138°.
Найти данный угол.
Рис. 90
99.	Какой угол образует биссектриса угла в 48° с
продолжением одной из его сторон?
100.	Найти смежные углы АВС и DBC, если биссектриса
угла DBC образует с лучом ВА угол, который
больше угла АВС на 40°.
101.	Углы COD и СОЕ — смежные. ОА — биссектриса
угла СОЕ, ОВ — биссектриса угла COD. Найти
угол АО В.
Доказательство от противного
102.	Доказать от противного, что из двух смежных
углов хотя бы один не меньше 90°.
103.	Доказать от противного, что две различные прямые
имеют не более одной общей точки.
45
104.	Доказать от противного, что каждий угол имеет
только одну биссектрису.
105.	Доказать от противного, что если прямые т и
п параллельны и прямая а пересекает т, то она
пересекает и п.
Первый и второй признаки равенства
треугольников
106.	Отрезки АВ и CD пересекаются в точке К так,
что АК = КВ, СК = KD. Доказать равенство треу-
гольников АКС и BKD.
107.	Доказать равенство треугольников ABD и CBD
(рис. 91), если AD = DC и ZADB = Z.CDB.
108.	Доказать равенство треугольников ABD и CDB
(рис. 92), если AD = ВС и ZADB = ZCBD.
109.	Доказать равенство отрез-
ков АВ и CD (рис. 93),
если АО = OD и ВО = ОС.
ПО. Отрезки КР и EF пересе-
каются в точке М так, что
КМ = МР и ЕМ = MF.
Рис. 93
Найти КЕ, если PF = 12 см.
111.	Точка М — середина стороны ВС треугольника
АВС. На луче AM от точки М отложен отрезок
МК, равный AM. Доказать равенство треугольников
АСМ и КВМ.
46
112.	На сторонах угла ВАС отложили равные отрез-
ки AM и AN. На биссектрисе угла А взяли точку
D и соединили с точками М и N. Доказать, что
DM = DN.
113.	В треугольнике АВС АВ = ВС. Доказать, что
медианы, проведенные к сторонам АВ и ВС, также
равны.
114.	Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Р.
Известно, что АР = PD, ACAB=ABDC. Доказать,
что треугольники АРС и DPB равны.
115.	Доказать равенство треугольников ABD и CBD
(рис. 94), если AADB = ACDB и AABD = ACBD.
Рис. 94
116. Доказать равенство треуголь-
ников ABD и CDB (рис. 95),
если AABD = ACDB и
AADB = ACBD.
117. Доказать равенство отрезков
AD и BF (рис. 96), если
АС = ВС, АА = АВ.
118. На биссектрисе угла А отме-
тили точку В, а на сторонах
этого угла такие точки В и
С, что ABDA = AADC. Дока-
зать, что BD = CD.
Рис. 97
47
119.	Биссектриса угла А треугольника АВС перпенди-
кулярна стороне ВС. Доказать, что АВ=АС.
120.	На рис. 97 AD = CF, /ВАС = /DFE. /АСВ =
= /EDF. Доказать, что /АВС = /DEF.
121.	Доказать равенство треугольников по медиане и
углам, которые она образует со стороной треуголь-
ника, к которой она проведена, и углам, которые
она образует со сторонами угла, из вершины ко-
торого она проведена.
Равнобедренный треугольник
122.	В ААВС АВ = ВС (рис. 98). Доказать, что
Z1 = /2.
123.	На рис. 99 ВС = CD, /АСВ = /ACD. Доказать,
что AABD — равнобедренный.
Рис. 98
Рис. 99
124.	Внутри равностороннего треугольника АВС
(рис. 100) взята точка D так, что DA = DC. Дока-
зать, что AABD = ACBD.
125.	Основание равнобедрен-
ного треугольника 5 см,
боковая сторона 6 см. Най-
ти периметр треугольника.
126.	Периметр равнобедренно-
го треугольника 12 см,
боковая сторона 5 см. Най-
ти основание.
Рис. 100
48
127.	Периметр равнобедренного треугольника 40 см.
На его боковой стороне построили равносторонний
треугольник, периметр которого 45 см. Найти ос-
нование равнобедренного треугольника.
128.	Найти стороны равнобедренного треугольника,
если его периметр 22 см, а боковая сторона на
2 см больше основания.
129.	Найти стороны равнобед-
ренного треугольника, если
его периметр 70 см, а ос-
нование в 2 раза меньше
боковой стороны.
130. В треугольнике АВС АВ =
= ВС. Найти длину медиа-
Рис. 101
ны BJD, если периметры
треугольников ABD и АВС
равны соответственно 40 см
и 50 см.
131.	В треугольнике АВС АВ = ВС =
= 14 см. Через точку D — се-
редину АВ — проведен перпен-
дикуляр к АВ, который пере-
секает отрезок АС в точке Е
(рис. 101). Найти АС, если пе-
риметр треугольника ВЕС равен
40 см.
А
132.	В равнобедренном треу-
гольнике АВС на основании
ВС отложены равные от-
резки ВМ и NC (рис. 102).
Доказать, что AM =AN.
133.	На сторонах равносторон-
него треугольника АВС от-
ложены равные отрезки
AD, CF и BE (рис. 103).
Доказать, что треугольник
EFD — равносторонний.
Рис. 102
134.	Доказать, что если медиана треугольника является
его высотой, то треугольник равнобедренный.
135.	Доказать, что в равнобедренном треугольнике
биссектрисы углов при основании равны.
49
136.	Доказать равенство равнобедренных треугольников,
если равны их основания и высоты, проведенные
к основаниям.
Признаки равенства
137.	На рис. 104 AM = MD
AF = FD. Доказать, что
&AMF = &DMF.
138.	На рис. 105 AD=AC,
BD = ВС. Доказать, что
DO = СО.
139.	На рис. 106 AB=AD,
СВ = CD. Доказать, что АС
биссектриса угла BAD.
140.	Внутри равнобедренного тре-
угольника АВС (АВ = ВС) взята
точка М такая, что AM = МС. Доказать, что прямая
ВМ перпендикулярна АС.
Рис. 105
141.	Равные отрезки AD и ВС пересекаются в точке О,
причем АС = BD. Доказать, что АО = ВО.
142.	Доказать равенство треугольников по двум сто-
ронам и медиане, проведенной к одной из них.
Признаки параллельности прямых
143.	На рис. 107 назвать все пары внутренних одно-
сторонних и внутренних накрест лежащих углов.
50
Рис. 107
Рис. 108
144. Отрезки АВ и CD пересека-
ются в точке О (рис. 108),
причем О А = ОВ, ОС = OD.
Доказать, что AC || BD.
145. На рис. 109 АВ = CD и
АВ || CD. Доказать, что
AADB = ACBD.
Рис. 110
146.	На рис. 110 найти градусную меру угла х.
147.	На рис. Ill АВ || CD. Найти градусную меру угла
АВС, если ZBAE = 40°, ZDCB = 70°.
148.	На рис. 112 Zl + Z2 = 180°. Доказать, что прямые
а и Ъ параллельны.
Рис. ill
Рис. 112
51
149.	Внутренние односторонние углы при параллельных
прямых равны 48° и 132°. Найти угол между
биссектрисами этих углов.
Сумма углов треугольника
150.	Существует ли треугольник с углами 60°, 70° и 80°?
151.	Найти третий угол треугольника, если два его
угла равны:
1)	42° и 54°; 2) 48° и 126°; 3) 5° и 3°.
152.	Угол при вершине равнобедренного треугольника
равен 84°. Найти углы при основании.
153.	Угол при основании равнобедренного треугольника
равен 40°. Найти угол при вершине.
154.	Найти неизвестные углы треугольника АВС
(рис. 113).
в)
Рис. 114
52
155.	Найти неизвестные углы треугольника АВС
(рис. 114).
156.	Найти углы треугольника АВС, если ZA + Z.B =
= 100°, ZB + ZC = 120°.
157.	Найти углы равнобедренного треугольника, ес-
ли угол при вершине на 18° больше угла при
основании.
158.	Найти углы равнобедренного треугольника, если
угол при основании а 2 раза больше угла при
вершине.
159.	Найти углы треугольника, если их градусные
меры относятся как 3:5:7.
160.	Один из углов треугольника на 50° больше второго
и на 20° меньше третьего. Найти углы треугольника.
161.	Доказать равенство треугольников АВС и
А1В1С1, если АВ = А1В1, ZA = ZAX, ZC = ZCr
162.	Угол при вершине равнобедренного треугольника
равен 80°. Найти угол между основанием и высотой,
проведенной к боковой стороне.
163.	Угол между высотами равнобедренного треуголь-
ника, проведенными к боковым сторонам, равен
132°. Найти углы треугольника.
164.	В треугольнике ABC ZA = 80°, ZB = 40°. Биссек-
триса угла С пересекает сторону АВ в точке L.
Найти угол CLA.
165.	В треугольнике ABC ZA = 80°, ZC = 70°, L —
точка пересечения биссектрис углов А и В. Найти
угол ALB.
166.	Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин
А и С, пересекаются в точке Н, ZA = 83°,
ZC = 65°. Найти угол АНС.
167.	СН и CL — высота и биссектриса треугольника
АВС соответственно, ZA = 68°, ZB = 26°. Найти угол
HCL.
168.	Найти углы треугольника, если два из них
относятся как 3:5, а третий равен их полусумме.
169.	Биссектриса одного из углов треугольника образует
с высотой, проведенной из той же вершины, угол
10°, а один из двух других углов треугольника
равен 70°. Найти неизвестные углы треугольника.
53
170.	Угол при вершине равнобедренного треугольника
равен 36°. Доказать, что биссектриса угла при
основании делит данный треугольник на два рав-
нобедренных треугольника.
171.	Найти углы равнобедренного треугольника, если
один из них на 18° больше другого. Рассмотреть
два случая.
172.	Найти углы равнобедренного треугольника, если
один из них в 4 раза больше другого. Рассмотреть
два случая.
Внешний угол треугольника
173.	Один из внешних углов треугольника равен 146°.
Найти внутренние углы, не смежные с ним, если
один из них равен: 1) 48°; 2) 89°; 3) 123°.
174.	Один из внешних углов треугольника равен 126°.
Найти внутренние углы, не смежные с ним, если:
1) один из них на 22° больше другого;
2)	один из них в 2 раза больше другого.
175.	Один из углов треугольника равен 74°. Может
ли внешний угол треугольника, не смежный с
ним, быть равным: 1) 75°; 2) 70°; 3) 74°?
176.	В треугольнике ABC ZA = 48°, ZB = 39°. Найти
величины внешних углов, построенных по одному
при каждой вершине треугольника.
177.	Один из внешних углов треугольника равен 140°,
а один из внутренних — 38°. Найти другие внут-
ренние углы треугольника.
178.	Градусные меры двух внешних углов треугольника
равны 107° и 123°. Найти третий внешний угол
треугольника и сумму внешних углов треугольника,
взятых по одному при каждой вершине.
179.	Внешний угол равнобедренного треугольника равен
88°. Найти величины внутренних углов треуголь-
ника.
180.	Сумма внутренних углов равнобедренного тре-
угольника вместе с одним из внешних равна 236°.
Найти величины внутренних углов треугольника.
181.	Два внутренних угла треугольника относятся как
3:4, а внешний угол третьего угла равен 140°.
Найти углы треугольника.
54
182.	Величина внешнего угла треугольника на 72°
больше меньшего внутреннего не смежного с ним,
а из двух внутренних углов, не смежных с ним,
один в 3 раза больше другого. Найти углы тре-
угольника.
183.	Внутренние углы треугольника относятся как
3:5:9. Найти отношение внешних углов треуголь-
ника, не находя их величин.
184.	Внешние углы треугольника относятся как 4:5:6.
Найти отношение внутренних углов треугольника.
185.	Доказать, что биссектрисы внешнего и внутреннего
углов треугольника, взятые при одной вершине,
перпендикулярны.
Прямоугольний треугольник
186.	Найти второй острый угол прямоугольного тре-
угольника, если первый равен:
1) 2°; 2) 46°; 3) 54°; 4) 89°.
187.	Один из острых углов прямоугольного треугольника
на 28° больше другого. Найти эти углы.
188.	Один из острых углов прямоугольного треугольника
в 2 раза больше другого. Найти острые углы
треугольника.
189.	Найти меньший угол между биссектрисой прямого
угла треугольника и гипотенузой, если один из
острых углов равен 38°.
190.	Биссектрисы острого и прямого углов прямо-
угольного треугольника пересекаются под углом
100°. Найти острые углы треугольника.
191.	Из вершины прямого угла прямоугольного тре-
угольника проведены биссектриса и высота, угол
между которыми 19°. Найти острые углы треуголь-
ника.
192.	В треугольнике ABC Z.C = 90°. Высота CD образует
с катетом АС угол, равный 43°. Найти острые углы
треугольника.
193.	В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза
АВ равна 16 см, ZА = 30°. Найти катет ВС.
194.	В прямоугольном треугольнике ABC ZB = 60°,
катет ВС равен 6 см. Найти гипотенузу АВ.
195.	В прямоугольном треугольнике АВС АС = ВС.
Найти длину гипотенузы, если высота, проведенная
к ней, равна 18 см.
55
196.	В прямоугольном треугольнике ABC Z.C = 90°,
Z.A = 30°. На катете АС взята точка Е такая, что
Z ВЕС = 60°. Найти АС, если ЕС = 8 см.
197.	В прямоугольном треугольнике катет длиной 12 см
прилежит к углу 30°. Определить биссектрису дру-
гого острого угла треугольника.
198.	Доказать, что в прямоугольном треугольнике ме-
диана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
199.	Доказать равенство прямоугольных треугольников
по гипотенузе и острому углу.
Окружность
200.	Вычислить диаметр окружности, если ее радиус
равен: 1) 2 см; 2) 4,9 см; 3) а см.
201.	Вычислить радиус окружности, если ее диаметр
равен: 1) 4 см; 2) 7,8 см; 3) Ь см.
202.	Начертить окружность, радиус которой равен 2 см.
Провести в ней радиус, диаметр и хорду.
203.	На окружности взята произвольная точка. Сколько
диаметров и сколько хорд можно через нее провести?
204.	Все радиусы окружности продлены на одну треть
в сторону, противоположную центру. Какую линию
образуют их концы? Ответ обосновать.
205.	В окружности проведены диаметры АВ и CD
(рис. 115). Доказать, что AD || ВС.
206.	На рис. 116 радиус ОМ перпендикулярен хорде
АВ. Доказать, что АК = КВ.
Рис. 115
Рис. 116
56
207.	На рис. 117 ЛАОС = 42°, О — центр окружности.
Найти угол АВС.
208.	Доказать, что равные хорды окружности равно-
удалены от его центра.
209.	Хорда окружности МК пересекает диаметр АВ
под углом 30° (рис. 118), MF = 14 см, FK = 8 см.
Найти длины отрезков МР и КТ.
210.	В треугольнике центр описанной окружности лежит
на медиане. Доказать, что треугольник равнобед-
ренный.
211.	Сколько касательных можно провести к окруж-
ности через точку, лежащую вне окружности? на
окружности? внутри окружности?
212.	Прямая касается окружности с центром О в точке
В. На касательной по разные стороны от точки В
отложены равные отрезки ВА и ВС. Доказать, что
ОА = ОВ.
213.	Из точки М, лежащей вне
окружности, проведены к ней
касательные МА и МВ. До-	В
казать, что МА = МВ, где A
и В — точки касания.	/
214.	В четырехугольник ABCD А^\^ J
(рис. 119) вписана окруж-
ность. Доказать, что	®
АВ + CD = ВС + AD.
215.	Прямая I касается окруж-	рис. 119
ности в точке А (рис. 120).
Найти угол ВАС, если ЛАОВ = 108°.
57
216.	Две окружности с центрами Ох и О2 касаются
внешним образом в точке А (рис. 121). Доказать,
что точка А лежит на прямой ОгО2.
217.	Радиусы двух окружностей равны 6 см и 9 см.
Найти расстояние между их центрами, если ок-
ружности касаются:
1)	внутренним образом;
2)	внешним образом.
218.	Две окружности касаются внутренним образом.
Расстояние между их центрами 16 см. Найти
радиусы окружностей, если они относятся как 3:5.
219.	Расстояние между центрами двух окружностей
равно 7 см. Определить, пересекаются ли эти
окружности, если их радиусы равны:
1)	4 см и 5 см; 2) 3 см и 2 см; 3) 3,5 см и 3,5 см.
220.	Две окружности с центрами Ог и О2 пересекаются
в точках А и В. Доказать, что АВ ± ОХО2.
221. В треугольнике центр вписанной окружности лежит
на медиане. Доказать, что
нобедренный.
222. В окружности проведены
две взаимно перпендикуляр-
ные хорды. Пересекаясь,
они делятся на отрезки дли-
ной 7 см и 9 см. Определить
радиус окружности, касаю-
щейся обеих этих хорд и
имеющей с данной окруж-
ностью общий центр О
Рис. 122
(рис. 122).
58
223.	Две окружности имеют
общий центр О (рис. 123). S
Их радиусы относятся как /	\
9:5, а длина отрезка АВ равна / /	\ Л
8 см. Определить радиусы I I • I-------------IB
окружностей.	\ \	J I
224.	Три окружности попарно \	J
касаются друг друга внешним X.	У
образом. Отрезки, соединяю- ------------
щие их центры, образуют тре-	₽ис 123
угольник со сторонами 7, 8
и 9 см. Определить радиусы окружностей.
Задачи на построение
225.	Даны прямая I и точка М, ей не принадлежащая.
Найти на прямой I точку, находящуюся на рас-
стоянии 3 см от точки М. Сколько таких точек
может быть?
226.	Построить треугольник АВС, если АВ = 4 см,
ВС = 6 см, АС = 7 см.
227.	Начертить в тетради разносторонний остроугольный
треугольник. Построить треугольник, равный данному.
228.	Начертить в тетради отрезок АВ = 2 см. Построить
равносторонний треугольник АВС. Сколько решений
имеет задача?
229.	Начертить в тетради тупой угол. Построить угол,
равный данному.
230.	Построить треугольник АВС, если АВ = 3 см,
ВС = 4 см, ZB = 50°.
231.	Построить треугольник АВС, если АВ = 3 см,
ZA = 40°, ZB = 70°.
232.	Построить равнобедренный треугольник, основание
которого 4 см и угол при основании равен 50°.
233.	Построить треугольник АВС, если АВ = 3,5 см,
ZA = 50°, ZC = 110°.
234.	Построить равнобедренный треугольник, основание
которого 2,5 см, а угол при вершине 70°.
235.	Начертить в тетради тупой угол и построить его
биссектрису.
59
236.	Начертить в тетради произвольный треугольник
и построить его биссектрисы.
237.	Начертить в тетради произвольный треугольник
и построить его медианы.
238.	Построить треугольник по двум сторонам и ме-
диане, проведенной к одной из них.
239.	Даны прямая а и точка А. Построить прямую,
перпендикулярную прямой а, проходящую через
точку А. Рассмотреть два случая.
240.	Построить ZFEK, равный 90°.
241.	Построить прямоуголь-
ный треугольник по двум
катетам.
242.	Построить равнобедрен-
ный прямоугольный тре-
угольник по его гипоте-
нузе.
243.	Отметить по клеточкам
точки А, В и С (рис. 124)
и провести через эти точ-
ки окружность.
244.	Вокруг равнобедренного
треугольника, основание
которого 2,5 см и угол	Рис- 124
при основании 75°, опи-
сать окружность и измерить ее радиус.
245.	Даны прямая а и точка К, ей не принадлежа-
щая. Провести через точку К прямую Z, парал-
лельную а.
246.	Даны прямая Ь и точка С, ей не принадлежащая.
Построить прямую, проходящую через точку С и
образующую с прямой Ь заданный угол а = 70°.
247.	Построить геометрическое место точек, находящих-
ся на заданном расстоянии т от заданной точ-
ки К.
248.	Построить геометрическое место точек, находя-
щихся на данном расстоянии от данной прямой.
249.	Построить геометрическое место точек — середин
хорд заданной длины данной окружности.
60
250.	Даны прямая а и точка А, ей принадлежащая.
Найти точку, удаленную от точки А на 4 см и
от прямой а на 3 см. Сколько решений имеет
задача?
251.	На данной прямой найти центр окружности,
проходящей через две данные точки. Когда задача
не имеет решений?
252.	На стороне О А угла АОВ взята точка М. Найти
точку, находящуюся на данном расстоянии от точки
М и стороны ОВ угла.
253.	Построить окружность данного радиуса, касаю-
щуюся данной прямой и данной окружности.
254.	Построить касательную к окружности, проходящую
через точку, принадлежащую окружности.
255.	Построить касательную к окружности, параллель-
ную данной прямой.
256.	Построить равнобедренный треугольник по осно-
ванию и высоте, проведенной к боковой стороне.
257.	Построить треугольник АВС по углу А и высотам,
проведенным к сторонам СВ и АС.
258.	Построить прямоугольный треугольник по катету
и сумме второго катета и гипотенузы.
259.	Построить прямоугольный треугольник по разности
катетов и углу, противоположному меньшему из
них.
260.	Построить треугольник АВС по стороне ВС, углу В
и сумме сторон АВ и АС.
61
Вариант 3
Основные свойства простейших
геометрических фигур
1.	Начертить прямую с и отметить на ней точку А.
Отметить точку К, не принадлежащую прямой с,
и провести прямую АК. Могут ли прямые с и АК
иметь еще одну общую точку? Ответ обосновать.
2.	Отметить в тетради четыре точки Q, L, Т и F
(рис. 125). Через каждые две	е
точки провести прямую. За- е L
писать все полученные пря- Q •
мые.	Т
3.	Отметить в тетради точки А,	•
В и С так, чтобы через них	*
можно было провести пря-	Рис 125
мую. Записать все возможные
названия этой прямой.
4.	Используя рисунок 126:
1)	определить, пересекаются ли прямые QR и п;
2)	записать все точки, принадлежащие прямой п;
прямой QR;
3)	записать точки, не принадлежащие ни прямой
п, ни прямой QR.
Рис. 126
62
Какие из точек, отмечен-
ных на рис. 127, лежат
N X О D
между двумя другими?
Записать соответствующие
равенства.
6.	Начертить отрезки SM и EN так, чтобы SM = 4 см
3 мм, EN = 3 см 8 мм.
Рис. 128
7.	Назвать все отрезки, изображенные на рис. 128.
8.	Точка Т лежит между точками Q и Е. Найти
неизвестное третье расстояние между данными точ-
ками, если:
1)	QT = 4,8 см, QE = 8,3 см;
7
2)	QE = 5 м, ТЕ = — м;
1о
3)	QT = 4 дм, ТЕ = 3 дм.
14	7
9.	Может ли точка А лежать между точками D и С,
если AD = 8,6 см, DC = 12,3 см, АС = 3,7 см? Ответ
обосновать.
10.	Точка Р принадлежит отрезку SM9 длина которого
10 см. Определить длины отрезков SP и РМ, если:
1) SP меньше РМ на 1,2 см;
2)	РМ больше SP в 4 раза;
3)	разность между SP и РМ равна 2,2 см;
4)	SP : РМ = 2 : 3.
11.	На прямой последовательно отмечены точки S, Р,
R и Т, РТ = 6 см, SLR = 12 см, PR = 2 см. Найти
ST.
12.	На прямой последовательно отмечены точки D, Е,
F, G и Н так, что DE = EF = FG = GH = 6 см. Какие
еще равные отрезки определяются этими точками?
Записать эти отрезки и найти их длины.
13.	Точка S лежит между точками R и Т, Q и М —
середины отрезков SR и ST соответственно. Найти
длину отрезка RT, если QM = 5,9 дм.
63
14.	Отрезок длиной 16 см состоит из четырех неравных
частей. Расстояние между серединами средних час-
тей равно 4 см. Найти расстояние между серединами
крайних частей.
15.	Точки О, К и М лежат на одной прямой. Найти
расстояние между точками О и М, если ОК = 8,2 см,
КМ = 7,3 см. Сколько решений имеет задача?
16.	Длина отрезка EF равна 6,8 см. Отметить на
прямой EF такую точку О, что ЕО - FO = 4 см.
Сколько решений имеет задача?
17.	Точки V, L, К и М лежат на одной прямой, точка
К лежит между точками L и М. Найти длину от-
резка KV9 если VM = 17 см, LM = 11 см, KL = 6 см.
Рассмотреть все возможные случаи.
18. Длина отрезка DK равна 10 см. Найти на прямой
DK все точки, для которых сумма расстояний до
концов отрезка DK равна:
1) 8 см; 2) 12 см; 3) 10 см.
19. На рис. 129 прямые end
пересекаются в точке О. Точки
S, L, F и К не лежат на этих
прямых. Считая их концами
отрезков, назвать:
1)	отрезки, пересекающие пря-
мую с;
2)	отрезки, пересекающие пря-
мую d;
3)	отрезки, пересекающие прямые end;
4)	отрезки, не пересекающие ни одну из прямых
end.
20.	Прямая b пересекает отрезок SK и не пересекает
отрезок KD. Пересекает ли прямая Ь отрезок SD?
Ответ обосновать.
21.	Даны прямая I и точки М9 N и L, не лежащие
на этой прямой. Может ли каждый из отрезков
MN, NL и ML пересекать прямую Z? Ответ обос-
новать.
22.	Даны прямая d и точки М, D, С и Р, ей не
принадлежащие. Пересекает ли прямую d отрезок
МР, если отрезки MD, МС и СР ее не пересекают?
64
23. Даны прямая с и точки Af, Р9 Е и F, ей не
принадлежащие. Пересекает ли прямую с отрезок
MF, если отрезки МР и РЕ пересекают ее, а
отрезок EF не пересекает?
24. Даны прямая т и точки Р, Q, Я, S и Т, ей не
принадлежащие. Отрезки PQ, QR и PS пересекают
тп, а отрезок RT не пересекает
т отрезок ST?
25.	Пересекаются ли изображенные
1)	прямая MN и отрезок DS;
2)	луч ОА и отрезок DS;
3)	прямая MN и луч ОА?
26.	Назвать все отрезки, лучи и пря-
мые, изображенные на рис. 131.
27.	На рис. 132 прямые SP и КЕ
пересекаются прямой TL в точ-
ках О и М.
ее. Пересекает ли
на рис. 130:
Рис. 130
1) Записать все лучи с началом
в точке М.
2) Записать пары дополни-
тельных лучей, начало
которых — точка О.
28. Сколько различных лучей
определяются тремя точками
D, Е и F, не принадлежа-
щими одной прямой?
29. Точка S делит прямую I на
два луча. При каком усло-
вии точки М и К этой
прямой принадлежат одному
лучу? разным лучам?
Рис. 131
30. Отметить точки S, Р, М и V
так, чтобы прямые SM и PV
пересекались, а лучи SM и PV
не пересекались.
31. На рис. 133.назвать все пары
дополнительных лучей. Явля-
ются ли дополнительными лучи
КА и PF? Ответ обосновать.
Рис. 132
32. Провести прямую LM и отме-
тить на ней точки К и D. Записать все лучи,
имеющие начало в точках К и D. Назвать пары
дополнительных лучей.
65
33.	Может ли отрезок ОС при-
надлежать лучу ОА, если 
ОА = 9,3 см, ОС = 6,7 см, А
Р К D F
АС = 2,6 см? Ответ обосновать.
Сделать рисунок.	Рис- 133
34.	Выписать все возможные названия угла с вершиной
О (рис. 134): KOF; ODP; FOD; DOP; ODF; ОРК;
POD; PDO; PKD; РОК.
35.	Записать все углы, изображен-	\	у
ные на рис. 135.	jX	/F
36.	Начертить угол ASB и про- \	/
вести два луча SK и SP между	\ /р
его сторонами. Записать все	/
образовавшиеся углы.	V
37.	Отметить три точки Я, F и Т,
не лежащие на одной прямой.	рис. 134
Построить угол RFT и изме-
рить с помощью транспортира
его градусную меру. Может ли угол RFT быть
развернутым? Ответ обосновать.
38.	Используя транспортир, найти градусную меру уг-
лов, изображенных на рис. 136. Определить вид
каждого угла.
39. Начертить угол, градусная мера которого: 1) 68°;
2) 93°; 3) 168°; 4) 90°. Определить вид каждого
угла.
40. Построить
острый угол MOD. Используя транспор-
тир, разделить его на две равные части.
41.	Луч FE проходит между сторонами угла DFQ.
Найти градусную меру угла DFQ, если ZDFE = 47°,
ZEFQ =19°. Сделать рисунок.
66
лг\ /я
р
Рис. 136
42.	Проходит ли луч SA между сторонами угла DSB,
если Z.DSB = 92°, ZASB = 93°? Ответ обосновать.
43.	Луч OD проходит между сторонами угла АОВ.
Найти угол DOB, если ZAOB = 108°, ZAOD = 87°.
Сделать рисунок.
44.	Лучи MD и MF проходят между сторонами угла
СМЕ. Найти угол DMF, если ZCME = 106°,
Z.CMD = 57°, ZFME = 34°. Сделать рисунок.
45.	Луч SE проходит между сторо-
нами угла ASB, который равен
94°. Найти углы ESA и ESB,
если угол ESA меньше угла ESB
на 32°.
46.	Угол АВС равен 105°. Луч BD
проходит между его сторонами.
Найти углы ABD и CBD, если их
градусные меры относятся как
4:11.
47.	На рис. 137 Z.KAF = 54°,
ЛРАЕ = 68°, ЛКАЕ = 94°.
Найти угол PAF.
48.	На рис. 138 ZAST = 53°,
ZESP = 48°, EASE = 24°.
Найти угол TSP.
67
49.	Развернутый угол разделен на две части, разность
которых равна 28°. Найти образовавшиеся углы.
50.	Прямой угол разделен на три части, первая из
которых в 2 раза больше другой и в 3 раза меньше
третьей. Найти величины этих углов.
51.	Луч ОК проходит между сторонами угла POL. OF
— биссектриса угла РОК, ОТ — биссектриса угла
KOL. Найти угол POL, если ZFOT = 76°.
52.	Дано: ACFK = &NED. Назвать соответствующие углы
и соответствующие стороны треугольников CFK и
NED.
53.	На рис. 139 изображе-
ны равные треугольни-	в	______К
ки. Какая из следую-	х
щих записей верна:
1)	bABC = NLPK\	——-----с
2)	ЬАВС = \КРЬ-, А
3)	ДА ВС = &LKP? Ответ
обосновать.	Рис- 139
54.	Дано: &SRE = AFTQ,
SR = 19 см, QT = 11 см, QF = 8 см. Найти неизвес-
тные стороны треугольников SRE и FTQ.
55.	Дано: &DHM = &CFN, ZD = 83°, ZH = 57°, ZN = 40°.
Найти неизвестные углы треугольников DHM и
CFN.
56.	Что можно сказать о виде треугольника КМР, если
верным является равенство АКМР = &МРК = \PKM1
57.	Начертить произвольный треугольник, измерить его
стороны и углы, найти периметр и сумму углов
этого треугольника.
58.	Одна сторона треугольника 32 см, вторая сторона
в 2 раза меньше первой, а третья сторона на 19 см
больше второй. Найти периметр треугольника.
59.	Одна сторона треугольника на 39 см меньше второй
и в 3 раза меньше третьей. Найти стороны треу-
гольника, если его периметр 189 см.
60.	Провести прямую b и отметить точку F, ей не
принадлежащую. Провести через точку F прямую,
параллельную прямой I.
68
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
На рис. 140 изображены две пе-
ресекающиеся прямые с и I и 7	с,
точка ЛГ, не принадлежащая ни
одной из них. Провести через
точку N прямые, параллельные
прямым си/.
Начертить остроугольный треу- Рис- 140
гольник и через каждую его вер-
шину провести прямую, параллельную противопо-
ложной стороне.
Прямая с параллельна стороне CD треугольника
CDE. Может ли прямая с быть параллельной
сторонам СЕ и DEI Ответ обосно-	т т
вать.	A D Е F К
Отрезки АЕ и DF равны, Е —
середина отрезка АК (рис. 141).	Р110, 141
Доказать, что DE = FK.
Прямые а и b пересекаются. Пря-
мая с параллельна прямой а. Доказать, что с
пересекает Ь.
Рис. 142	Рис. 143
Углы BAD и САЕ равны (рис. 142). Доказать, что
если ADAC = AEAF, то ABAD = ADAF.
На рис. 143 ADOF = AFOL. ALOT = АТОМ. Дока-
зать, что угол FOT в два раза меньше угла DOM.
Смежные и вертикальные углы
Могут ли два смежных угла быть равными:
1) 48° и 132°; 2) 83° и 107°; 3) 23° и 147°?
Ответ обосновать.
Найти угол, смежный с углом:
1) 7°; 2) 69°; 3) 179°; 4) 90°; 5) 91°.
Может ли пара двух смежных углов состоять из
двух тупых углов? Ответ обосновать.
69
71.	Являются ли смежными углы СОВ и
DOA (рис. 144)? Записать все пары
смежных углов, изображенных на ри-
сунке.
72.	Начертить два равных смежных угла
так, чтобы их общая сторона была
горизонтальной.
73.	Углы ASC и DOF равны. Что можно
сказать о смежных им углах? Ответ
Рис. 144
обосновать.
74.	Найти смежные углы, если их разность 56°.
75.	Один из смежных углов в 3 раза меньше другого.
Найти эти углы.
76.	Найти смежные углы, если их градусные меры
относятся как 7:8.
77.	Два угла относятся как 1:4, а смежные с ними —
как 14:11. Найти данные углы.
78.	Один из смежных углов равен 29°. Найти величину
угла, дополняющего его до прямого. Найти отно-
шение разности смежных углов и дополняющего
угла.
79.	На рис. 145 найти все пары смежных и верти-
кальных углов. Записать их.
80.	На рис. 146 угол PSM равен 58°. Найти углы
PSN, NSK, KSM.
Рис. 145	Рис. 146
81.	Верно ли, что если равные углы
имеют общую вершину, то они
вертикальные?
82.	На рис. 147 ZJ?OK = 21°,
ZLOD = 63°. Найти угол NOH.
Рис. 147
70
83.	На рис. 148 ZPSQ + ZQSF + ZFSK = 290°. Найти
углы PSQ и QSF.
84.	Разность двух углов, образован-
ных при пересечении двух пря-
мых, равна 64°. Найти эти углы.
85.	Один из углов, образованных
при пересечении двух прямых, К F
в 8 раз больше другого. Найти
эти углы.	Рис. 148
86.	Найти величину каждого из уг-
лов, образованных при пересечении двух прямых,
если:
1)	сумма двух из них равна 76°;
2)	разность двух из них равна 124°;
3)	все углы равны между собой;
4)	сумма трех из них равна 236°.
87.	Один из углов, образованных при пересечении двух
прямых, в 2 раза больше суммы смежных с ним
углов. Найти эти углы.
88.	Три прямые пересекаются в одной точке С (рис. 149).
Найти угол DCK, если он больше угла FCT на
25° и в 2 раза больше угла KCF.
Рис. 149
89. Решить задачи (рис.
1)	Дано: ZADC = ZCEF. Доказать: ZCDE = ZCED.
2)	Дано: ZCDE = ZCED. Доказать: ZADC = ZCEF.
Перпендикулярные прямые
90.	Начертить прямую I и отметить точку N, не
принадлежащую Z. С помощью чертежного угольни-
ка провести через точку N прямую,
перпендикулярную прямой I.
91.	Провести прямую р и отметить
точку С, принадлежащую ей.
Провести через точку С прямую,
перпендикулярную прямой р, ис-
пользуя чертежный треугольник.
71
92.	На рис. 151 углы ASK и MSC прямые. Доказать,
что ZASM = ZKSC.
93.	Углы АОВ и АОС равны между собой, а точки В,
О и С лежат на одной прямой. Доказать, что углы
АОВ и АОС прямые.
94.	Даны прямая CD и точка А, принадлежащая ей.
Точки К и Р лежат в разных полуплоскостях
относительно прямой CD. Доказать, что если
ZKAD= ZDAP = ZPAC= ZCAK, то прямая КР про-
ходит через А и перпендикулярна CD.
95.	Как, используя шаблон угла в 6°, построить пер-
пендикулярные прямые?
Биссектриса угла
96.	Прямые MD, РЕ и KF пересекаются в точке О,
причем ОР — биссектриса угла	р« .
MOF (рис. 152). ZMOP = 58°.	I /Г
Найти ZEOM.	М
97.	Луч SO — биссектриса одного	урч.
из смежных углов, а луч SK / I у.
перпендикулярен ей. Доказать, /	| В
что SK — биссектриса другого к
смежного угла.	Рис 152
98.	Угол между биссектрисой угла
и продолжением одной из его сторон равен 116°.
Найти данный угол.
99.	Какой угол образует биссектриса угла в 106° с
продолжением одной из его сторон?
100.	Найти смежные углы MKF и МКЕ, если биссек-
триса KL угла МКЕ образует с лучом KF угол,
больший угла LKE в 3 раза.
101.	Прямые МВ и TD пересекаются в точке S. Найти
угол между биссектрисами углов MSD и TSB.
Доказательство от противного
102.	Доказать от противного, что если два луча делят
развернутый угол на три части, то среди образо-
ванных углов хотя бы один не больше 60°.
72
103.	Доказать от противного, что отрезок имеет только
одну середину.
104.	Доказать от противного, что если разность двух
углов равна 3°, то они не могут быть вертикаль-
ными.
105.	Доказать от противного, что если прямые а и Ь
параллельны и прямая с не пересекает а, то она
не пересекает и Ь.
Первый и второй признаки равенства
треугольников
106.	Отрезки АВ и AD равны, АО — биссектриса угла
BAD, С — произвольная точка луча АО. Доказать
равенство треугольников АВС и ADC.
107.	Доказать равенство треугольников ABD и ACD
(рис. 153), если АВ = АС и ZBAD = ACAD.
108.	Доказать равенство треугольников ABD и DCA
(рис. 154), если АВ = CD и ZBAD = ZCDA.
109.	Доказать равенство отрезков
КМ и ЕМ (рис. 155), если
АКРТ = AEFL , MP = MF,
КР = EF.
ПО. Точка М — середина сто-
роны АВ треугольника АВС.
На луче СМ от точки М
отложен отрезок MD, рав-
ный СМ. Найти ВС, если
AD = 3,4 см.
111.	На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты
такие точки Е и К, что АЕ = СК. Известно, что
АВ = ВС. Доказать равенство треугольников АВК и
СВЕ.
73
112.	Точка Р, лежащая внутри угла MDE, соединена
с точкой D, и к отрезку DP через точку Р поведена
перпендикулярная прямая, пересекающая стороны
угла в точках L и F, причем PL = PF. Доказать,
что ALDP = AFDP.
113.	В треугольнике DEF из точки Е проведен пер-
пендикуляр к стороне DF, пересекающий ее в точке
К. Доказать, что если DK = FK, то ED = EF.
114.	На прямой а выбраны точки А и В. В разных
полуплоскостях относительно прямой а взяты такие
точки D и Е, что ADAB = АЕАВ и ADBA = ZABE.
Доказать, что треугольники BAD и ВАЕ равны.
115.	Доказать равенство треугольни-
ков SKD и SMP (рис. 156), если
SM = SK и ASMP = ASKD.
116.	Доказать равенство треугольни-
ков АВС и FED, если AD = CF,
ABAC = AEFD и ZBCA = AEDF
(рис. 157).
117. Доказать равенство углов BAD рИс. 158
и ВСЕ (рис. 158), если
ABEF = ABDK и BE = BD.
118.	На биссектрисе угла А вы-
брана точка В и через нее
проведена прямая, перпен-
дикулярная биссектрисе угла,
которая пересекает его сто-
роны в точках М и К. До-
казать, что ВМ = ВК.
Рис. 159
74
119.	Биссектриса угла Е треугольника DEF пересекает
сторону DF в точке Р. На сторонах ED и EF
выбраны точки М и N соответственно, такие, что
ZMPE = ZNPE. Доказать, что РМ = PN.
120.	На рис. 159 СМ = РА, ЛС = ЛА, ЛСРК = ЛАМК.
Доказать, что ЛСКМ = ЛАКР.
121.	Доказать равенство остроугольных треугольников
по высоте и углам, которые она образует со сто-
ронами угла, из вершины которого она проведена.
Равнобедренный треугольник
122.	На рисунке 160 ЛКМЬ = ЛРЕМ. Доказать, что
РМ = РЕ.
123.	На рис. 161 ZKSP = ZKSN, PS = SN. Доказать,
что АКРЕ = AKNE.
Рис. 160	Рис. 161
124.	На рис. 162 LD = DN, ZOLN = ZONL. Доказать,
что ADLO = ADNO.
125.	Основание равнобедренного треугольника 4 см, а
боковая сторона 11 см. Найти периметр треуголь-
ника.
126.	Периметр равнобедренного треугольника 26 см, а
основание 8 см. Найти боковые
стороны.	£
127.	Периметр равностороннего тре-
угольника 18 см. На его сторонах / \
во внешнюю сторону построены /
равные равнобедренные треуголь- /
ники, сумма периметров которых
60 см. Найти стороны этих рав- £	n
нобедренных треугольников.
Рис. 162
75
128.	Найти стороны равнобедренного треугольника, если
его периметр 46 см, а основание на 4 см больше
боковой стороны.
129.	Найти стороны равнобедренного треугольника, если
его периметр 78 см, а боковая сторона составляет
0,8 основания.
130.	В треугольнике АВС АВ = ВС, BD — биссектриса
угла В. Найти периметр треугольника ABD, если
BD = 17 см, а периметр тре-
угольника АВС равен 68 см.
131.	В треугольнике KLM
КМ = LM = 24 см. Из точки
Т — середины LM — к
LM проведен перпендику-
ляр, пересекающий КМ в
точке N (рис. 163). Найти
сторону LK, если периметр
треугольника LKN равен 36
132.	На сторонах АВ и ВС равнобед-
ренного треугольника АВС
(АВ = ВС) отложены равные от-
резки AD и СЕ (рис. 164). До-
казать, что АЕ = CD.
133.	Биссектрисы углов А, В и С
равностороннего треугольника
АВС пересекают стороны ВС, АС
см.
и АВ в точках Ах, Вх и Сх
соответсвтенно (рис. 165).
Доказать, что треугольник
АХВХСХ — равносторонний.
134.	Доказать, что если в треу-
гольнике две его высоты явля-
ются биссектрисами, то треу-
гольник равносторонний.
135.	BD — высота равнобедренного
треугольника АВС (АВ = ВС).
Биссектриса угла А пересекает
Рис. 164
Рис. 165
BD в точке О.
Доказать, что СО — биссектриса угла С треуголь-
ника АВС.
76
136.	Доказать равенство равнобедренных треугольников
по высоте, проведенной к боковой стороне, и углу,
который она образует с основанием.
Признаки равенства
треугольников
Рис. 166
137.	На рис. 166 АВ = CD.
ВС = AD. Доказать, что
ААВС = ДСРА.
138.	На рис. 167 МР = РЕ.
MF = FE. Доказать, что
МК = КЕ.
139.	На рис. 168 КЕ = CF,
KF = CE. Доказать, что ZKEF = Z.CFE.
140.	Точка пересечения медиан треугольника равно-
удалена от его вершин. Доказать, что этот тре-
угольник равносторонний.
141.	На прямой а взяты точки М и Р. Точки Е и
К лежат по разные стороны от а. причем ЕМ = МК .
ЕР = РК. Доказать, что
дикулярны.
прямые а и ЕК перпен-
142.	Доказать равенство треугольников по двум сто-
ронам и медиане, проведенной к третьей стороне.
Признаки параллельности прямых
143.	На рис. 169 назвать все пары внутренних накрест
лежащих и внутренних односторонних углов.
77
144.	На рис. 170 АВ = CD,
ВС = AD. Доказать, что
АВ || CD и ВС || AD.
145.	На рис. 171 СЕ = ЕК,
РМ || КЕ. Доказать, что
СМ = РМ.
146.	На рис. 172 найти градусную меру угла х.
147.	На рис. 173 АВ || CD, ZBAO = 150°, ZOCD = 20°.
Найти градусную меру угла АОС.
Рис. 173
Рис. 174
78
148.	На рис. 174 Z1 = Z2. Доказать, что прямые с и
d параллельны.
149.	Внутренние односторонние углы при параллельных
прямых равны 32° и 148°. Найти угол, под которым
пересекаются биссектрисы этих углов.
Сумма углов треугольника
150.	Существует ли треугольник с углами 30°, 120° и 40°?
151.	Найти третий угол треугольника, если два его
угла равны:
1)	31° и 24°; 2) 17° и 131°; 3) 1° и 7°.
152.	Угол при вершине равнобедренного треугольника
равен 22°. Найти углы при основании.
153.	Угол при основании равнобедренного треугольника
равен 29°. Найти угол при вершине.
154.	Найти неизвестные углы треугольника DEF
(рис. 175).
79
155.	Найти неизвестные углы треугольника MPF
(рис. 176).
156.	Найти углы треугольника АВС, если ЛА + ZB =
= 20°, ЛА + ЛС = 175°.
157.	Найти углы равнобедренного треугольника, если
угол при основании на 48° меньше угла при вершине.
158.	Найти углы равнобедренного треугольника, если
градусные меры угла при основании и угла при
вершине относятся как 2:5.
159.	Найти углы треугольника, если один из них в
2 раза больше другого и в 3 раза меньше третьего.
160.	Один из углов треугольника в 3 раза меньше
другого и на 40° меньше третьего. Найти углы
треугольника.
161.	Доказать равенство треугольников SKE и MLF,
если SE = MF, ZS = ZM, ZX = ZL.
162.	Угол при основании равнобедренного треугольника
равен 30°. Найти меньший угол между боковой
стороной треугольника и высотой, проведенной к
другой боковой стороне.
163.	Угол между биссектрисами углов при основании
треугольника равен 120°, а один из углов при
основании на 26° больше, чем другой. Найти углы
треугольника.
164.	В треугольнике АВС ЛА = 23°, ZB = 76°. Биссек-
триса угла В пересекает АС в точке F. Найти
угол BFC.
165.	Углы треугольника относятся как 1:2:3. Найти
меньший угол между биссектрисами больших углов
треугольника.
166.	Продолжения высот, проведенных из вершин А
и В треугольника АВС, пересекаются в точке Н,
ЛА = 15°, ЛВ = 23°. Найти угол АН В.
167.	DH и DL — высота и биссектриса треугольника
DME соответственно, ЛВМЕ = 123°, ЛЕЕМ = 19°.
Найти угол HDL.
168.	Найти углы треугольника, если второй угол в
3 раза больше первого, а третий угол равен их
полусумме.
169.	В треугольнике ABC ZC = 126°, АО и AN —
высота и биссектриса треугольника соответственно,
ЛВАИ = 48°. Найти неизвестные углы треугольника
АВС.
80
170.	Биссектрисы углов треугольника МРК пересека-
ются в точке О, ZMOK = 126°. Найти углы МОР
и РОК. если АРМК = 56°.
171.	Один из углов равнобедренного треугольника на
33° больше другого. Найти углы треугольника.
Рассмотреть два случая.
172.	Найти углы равнобедренного треугольника, если
два из них относятся как 2:5. Рассмотреть два
случая.
Внешний угол треугольника
173.	Один из внешних углов треугольника равен 87°.
Найти внутренние углы, не смежные с ним, если
один из них равен: 1) 43°; 2) 86°; 3) 24°.
174.	Один из внешних углов треугольника равен 128°.
Найти внутренние углы, не смежные с ним, если:
1) один из них на 46° меньше другого;
2)	один из них в 7 раз больше другого.
175.	Один из углов треугольника равен 96°. Может
ли внешний угол треугольника, не смежный с
ним, быть равным: 1) 96°; 2) 92°; 3) 97°?
176.	В треугольнике ABC ZA = 32°, ZB = 49°. Найти
величины внешних углов, постороенных по одному
при каждой вершине треугольника.
177.	Один из внешних углов треугольника равен 158°,
а один из внутренних — 57°. Найти другие внут-
ренние углы треугольника.
178.	Градусные меры двух внешних углов треугольника
равны 152° и 141°. Найти третий внешний угол
треугольника и сумму внешних углов треугольника,
взятых по одному при каждой вершине.
179.	Внешний угол равнобедренного треугольника равен
124°. Найти величины внутренних углов треугольника.
180.	Сумма внутренних углов равнобедренного тре-
угольника вместе с одним из внешних равна 286°.
Найти величины внутренних углов треугольника.
181.	Один из внутренних углов треугольника в 3 раза
больше другого, а внешний угол третьего угла
равен 28°. Найти углы треугольника.
81
182.	Внешний угол треугольника на 42° больше большего
внутреннего угла, не смежного с ним, а внутренние
углы, не смежные с ним, относятся как 3:5. Найти
углы треугольника.
183.	Внутренние углы треугольника относятся как
4:9:10. Найти отношение внешних углов треуголь-
ника, не находя их величин.
184.	Внешние углы треугольника относятся как 2:3:4.
Найти отношение внутренних углов треугольника.
185.	Доказать, что биссектриса внешнего угла при
вершине равнобедренного треугольника параллельна
основанию этого треугольника.
Прямоугольный треугольник
186.	Найти второй острый угол прямоугольного тре-
угольника, если первый равен:
1)	1°; 2) 23°; 3) 75°; 4) 88°.
187.	Один из острых углов прямоугольного треугольника
на 46° меньше другого. Найти эти углы.
188.	Острые углы прямоугольного треугольника отно-
сятся как 2:7. Найти эти углы.
189.	Найти угол, который образует высота прямо-
угольного треугольника, проведенная к гипотенузе,
с катетами, если один из острых углов треугольника
равен 37°.
190.	Биссектрисы острого и прямого углов прямо-
угольного треугольника пересекаются под углом
130°. Найти острые углы треугольника.
191.	Разность между острыми углами прямоугольного
треугольника равна 38°. Найти угол между биссек-
трисой и высотой, проведенными из вершины пря-
мого угла.
192.	В прямоугольном треугольнике один из острых
углов меньше угла между биссектрисой и высотой,
проведенными к гипотенузе, на 29°. Найти острые
углы треугольника.
193.	В прямоугольном треугольнике МРК катет МК
равен 23 см, ZP = 30°. Найти гипотенузу МР.
194.	В прямоугольном треугольнике CFO гипотенуза
СО равна 42 см, ZO = 60°. Найти катет FO.
195.	В треугольнике ABC Z.C = 90°, АС = ВС = 16 см,
К — середина АС. Через точку К проведена прямая,
перпендикулярная катету АС, пересекающая гипо-
тенузу АВ в точке Р. Найти длину отрезка КР.
82
196.	В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС)
проведена биссектриса АЕ. Высота АН является
биссектрисой угла САЕ. Найти АС, если АЕ = 3 см.
197.	В прямоугольном треугольнике ABC Z.C = 90°,
ZA = 30°. Биссектриса угла В пересекает АС в
точке М. Найти ВМ9 если AM - СМ = 4 см.
198.	На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника
АВС взята такая точка О, что ZOAC = ZOCA.
Доказать, что точка О равноудалена от точек А,
В и С.
199.	Доказать равенство прямоугольных треугольников
по катету и острому углу, прилежащему к этому
катету.
Окружность
200.	Вычислить диаметр окружности, если ее радиус
равен: 1) 4 см; 2) 3,7 см; 3) b см.
201.	Вычислить радиус окружности, если ее диаметр
равен: 1) 8 см; 2) 11,8 см; 3) k см.
202.	Начертить окружность, радиус которой равен
2,5 см. Провести в ней радиус, диаметр и хорду.
203.	Дана окружность с центром О. Сколько точек
пересечения имеет окружность:
1)	с прямой ОМ;
2)	с лучом ОМ?
204.	Какую линию образуют все точки, расстояние от
которых до центра окружности в три раза меньше
радиуса? Ответ обосновать.
205.	В окружности проведены радиусы ОА, ОВ и ОС
(рис. 177). Доказать, что если ZAOB = ЛСОВ9 то
АВ = ВС.
206.	На рис. 178 АВ — диаметр, АС и AD — равные
хорды. Доказать, что ZCAB = ZDAB.
А
Рис. 177
Рис. 178
83
207.	На рис. 179 ZADF = 63°, О — центр окружности.
Найти угол AOF.
208.	Доказать, что если хорды параллельны, то прямая,
проходящая через их середины, проходит через
центр окружности.
209.	На рис. 180 хорда АС пересекает диаметр КР в
точке М, ZCME = 60°, AM = 6 см, СМ = 12 см. Най-
ти BE.
210.	В треугольнике центр описанной окружности лежит
на пересечении двух медиан. Доказать, что тре-
угольник равносторонний.
211.	Сколько касательных можно провести к окруж-
ности через точку, лежащую вне окружности? на
окружности? внутри окружности?
212.	К окружности проведены две касательные. Отрезок,
соединяющий точки касания, проходит через центр
окружности. Доказать, что касательные параллельны.
213.	Из точки М, лежащей вне окружности, проведены
к ней касательные МВ и ME. Доказать, что прямые
BE и ОМ перпендикулярны (О — центр окруж-
ности).
214.	В треугольник AKD	р
вписана окружность,	______
касающаяся его сторон	n. f п Л
в точках С, Е и F	>1
(рис. 181). Найти пери-
метр треугольника, если	К *
АС + KE + DF = 14 см.
215.	На рис. 182 прямая т	ис*
касается окружности в
точке Е. Найти угол СОЕ, если ZKEP = 136° (О —
центр окружности).
84
216.	D — общая точка окружностей с центрами Ог
и О2 — лежит на прямой ОгО2 (рис. 183). Доказать,
что D — точка касания этих окружностей.
217.	Радиусы двух окружностей равны 9 см и 15 см.
Найти расстояние между их центрами, если ок-
ружности касаются:
1)	внутренним образом;
2)	внешним образом.
218.	Две окружнсти касаются внешним образом. Рас-
стояние между их центрами равно 36 см. Найти
радиусы окружностей, если они относятся как 5:7.
219.	Расстояние между центрами двух окружностей
равно 16 см. Определить, пересекаются ли эти
окружности, если их радиусы равны:
1)	9 см и 10 см; 2) 11 см и 5 см; 3) 8 см и 8 см.
220.	Две окружности с центрами Ог и О2 пересекаются
в точках С и D. Доказать,
что луч ОгО2 — биссектриса
угла CC^D.
221.	В треугольнике центр впи- /	\
санной окружности лежит на	/	^\Е \
перпендикуляре к стороне,	I	А О \	\
проходящей через ее середи- I / \	*	/\ I
ну. Доказать, что треуголь- \/ \ J \/
ник равнобедренный.	---у
222.	Две окружности, радиус од- **с
ной из которых в два раза
больше радиуса другой, име-
ют общий центр (рис. 184).	Рис. 184
Из точки А окружности боль-
шего радиуса проведены к другой окружности ка-
85
сательные, пересекающие пер-
вую в точках В и С. Найти
угол ВАС.
223.	Две окружности имеют общий
центр О (рис. 185). Длина от-
резка CD равна 4 см, а сумма
радиусов окружностей больше
их разности на 6 см. Найти
радиусы окружностей.
224.	Три окружности попарно
внешне касаются друг друга.
Отрезки, соединяющие их цен-
тры, образуют треугольник со сторонами 5, 6 и
7 см. Определить радиусы окружностей.
Задачи на построение
225.	Даны прямая Ь и точка К, не принадлежащая
ей. Найти на прямой Ь точку, находящуюся на
расстоянии 2,5 см от точки К. Сколько таких
точек может быть?
226.	Построить треугольник SEF, если SE = 4 см,
EF = 5 см, SF = 8 см.
227.	Начертить в тетради разносторонний тупоугольный
треугольник. Построить треугольник, равный данному.
228.	Начертить в тетради отрезок MS = 2,5 см. По-
строить равносторонний треугольник MSE. Сколько
решений имеет задача?
229.	Начертить в тетради острый угол. Построить угол,
равный данному.
230.	Построить треугольник PQR, если PQ = 3 см,
QR = 2,5 см, ZQ = 95°.
231.	Построить треугольник LTN, если LN = 3 см,
ZL = 40°, ZN = 100°.
232.	Построить равнобедренный треугольник, боковая
сторона которого равна 2,5 см, а угол при вер-
шине 110°.
233.	Построить треугольник MSE, если MS = 3 см,
ZM = 10е, ZE = 40°.
234.	Построить равнобедренный треугольник, боковая
сторона которого равна 2,5 см, а угол при ос-
новании 40°.
86
235.	Начертить в тетради острый угол и построить
его биссектрису.
236.	Начертить в тетради произвольный треугольник
и построить его биссектрисы.
237.	Начертить в тетради произвольный треугольник
и построить его медианы.
238.	Построить равнобедренный треугольник АВС по
биссектрисе AL, основанию АВ и углу BAL.
239.	Даны прямая с и точка С. Построить прямую,
перпендикулярную прямой с, проходящую через
точку С. Рассмотреть два случая.
240.	Построить ^LSEy равный 90°.
241.	Построить прямоуголь-
ный треугольник по ка-
тету и противолежаще-
му углу.
242.	Построить равнобедрен-
ный прямоугольный тре-
угольник по его катету.
243.	Отметить по клеточкам
точки S, Т и F (рис. 186)
и провести через эти точ-
ки окружность.
244.	Около равнобедренного
треугольника, основание
которого 4 см и угол
при вершине 90°, опи-
сать окружность и измерить её радиус.
245.	Даны прямая Ь и точка Р, не принадлежащая
ей. Провести через точку Р прямую d, параллель-
ную прямой Ъ.
246.	Даны прямая ш и точка М, не принадлежащая
ей. Построить прямую, проходящую через М и
образующую с прямой ш заданный угол у = 50°.
247.	Построить геометрическое место точек — центров
окружностей, проходящих через две заданные точки.
248.	Построить геометрическое место точек, равноуда-
ленных от двух данных параллельных прямых.
249.	Построить геометрическое место точек — центров
окружностей данного радиуса, проходящих через
данную точку.
87
250.	На прямой а отметить точки А и В. Найти
точку, равноудаленную от точек А и В, находя-
щуюся на данном расстоянии от прямой а. Сколько
решений имеет задача?
251.	Даны две параллельные прямые и точка, лежащая
между ними. Построить окружность, касающуюся
этих прямых и проходящую через данную точку.
Сколько решений имеет задача?
252.	Построить окружность данного радиуса, касающу-
юся одной стороны данного угла и имеющую центр
на другой стороне.
253.	Построить окружность данного радиуса, касающу-
юся двух пересекающихся прямых.
254.	Две окружности касаются внешним образом. По-
строить их общую касательную, проходящую через
точку касания.
255.	Построить касательную к окружности, пересека-
ющую данную прямую под данным углом.
256.	Построить равнобедренный треугольник по углу
при основании и высоте, проведенной к боковой
стороне.
257.	Построить треугольник по стороне и высотам,
проведенным к двум другим сторонам.
258.	Построить прямоугольный треугольник по сумме
катетов и гипотенузе.
259.	Построить прямоугольный треугольник по разности
катетов и углу, лежащему против большего из них.
260.	Построить треугольник АВС по стороне ВС, углу С
и разности сторон АС и АВ.
88
Вариант 4
Основные свойства простейших
геометрических фигур
1.	Провести прямую I и отметить на ней точку Е.
Отметить точку F, не принадлежащую прямой Ц
и провести прямую EF. Могут ли прямые I и EF
иметь еще одну общую точку? Ответ обосновать.
2.	Отметить в тетради четыре
точки С, М, D и N (рис. 187). q
Через каждые две точки про-	е
вести прямую. Записать все	М	•
полученные прямые.	•
3.	Отметить в тетради точки Р,
Q и R так, чтобы через них	Рис. 187
можно было провести прямую.
Записать все возможные названия этой прямой.
4.	Используя рисунок 188:
1)	определить, пересекаются ли прямые MN и с;
2)	записать все точки, принадлежащие прямой с;
прямой MN;
3)	записать точки, не принадлежащие ни прямой
с, ни прямой MN.
Рис. 188
89
5.	Какие из точек, отмечен-
ных на рис. 189, лежат
между двумя другими?
Записать соответствующие
равенства.
6.	Начертить отрезки LV и КО
1 мм, КО = 5 см 6 мм.
D E C F
Рис. 189
так, чтобы LV = 2 см
S
а)	Рис. 190
А
7.	Назвать все отрезки, изображенные на рис. 190.
8.	Точка S лежит между точками Р и К. Найти не-
известное третье расстояние между данными точ-
ками, если:
1)	PS = 3,4 дм, SK = 1,9 дм;
2)	РК = 3 м, SK = м;
3)	РК = 3 | см, PS = 1 | см.
9.	Может ли точка Q лежать между точками Р и Я,
если PQ = 4,7 дм, QR = 5,8 дм, PR = 9,5 дм? Ответ
обосновать.
10.	Точка V принадлежит отрезку LO, длина которого
12 см. Определить длины отрезков LV и VO, если:
1) VO больше LV на 1,8 см;
2)	LV меньше VO в 5 раз;
3)	разность между LV и VO равна 2,8 см;
4)	LV : VO = 1 : 5.
11.	На прямой последовательно отмечены точки F, L,
К и Т, FK = 7 см, FT = 14 см, LT = 9 см. Найти
KL.
12.	На прямой последовательно отмечены точки S, Т,
К, N, Q так, что ST = ТК = KN = NQ = 7 см. Какие
еще равные отрезки определяются этими точками?
Записать эти отрезки и найти их длины.
13.	Точка А лежит между точками X и У, О и Р —
середины отрезков АХ и AY соответственно. Найти
длину отрезка ОР, если XY = 7,8 см.
90
14.	Отрезок состоит из четырех неравных частей. Рас-
стояние между серединами средних частей равно
4 см, а расстояние между серединами крайних
частей — 12 см. Найти длину отрезка.
15.	Точки D, Е и F лежат на одной прямой. Найти
расстояние между точками D и F, если DE = 3,6 см,
EF = 2,9 см. Сколько решений имеет задача?
16.	Длина отрезка CD равна 7,6 см. Отметить на
прямой CD такую точку К, что СК - KD = 1 см.
Сколько решений имеет задача?
17.	Точки Р, R, S и Т лежат на одной прямой, точка
R лежит между точками Р и S. Найти длину
отрезка RT, если РТ = 16 см, PS = 9 см, SR = 8 см.
Рассмотреть все возможные случаи.
18.	Длина отрезка CF равна 9 см. Найти на прямой
CF все точки, для которых сумма расстояний до
концов отрезка CF равна:
1) 8 см; 2) 10 см; 3) 9 см.
19.	На рис. 191 прямые а и Ь
пересекаются в точке S. Точки
Му Ку Е и Т не лежат на этих
прямых. Считая их концами
отрезков, назвать:
1)	отрезки, пересекающие пря-
мую а;
2)	отрезки, пересекающие пря-
мую Ь;
3)	отрезки, пересекающие прямые а и Ъ;
4)	отрезки, не пересекающие ни одну из прямых
а и Ь.
20.	Прямая m пересекает отрезки МА и АС. Пересекает
ли прямая m отрезок МС? Ответ обосновать.
21.	Даны прямая с и точки X, У и Z, не лежащие
на этой прямой. Может ли каждый из отрезков
ХУ, YZ и ZX пересекать прямую с? Ответ обос-
новать.
22.	Даны прямая k и точки S, Р, Q и Я, не принад-
лежащие ей. Пересекает ли прямую k отрезок РР,
если отрезки SP, SQ и QR ее не пересекают?
91
на рис. 192:
М	Е
Рис. 192
23.	Даны прямая р и точки А, В, С и В, не при-
надлежащие ей. Пересекает ли прямую р отрезок
BD, если отрезки АВ и CD пересекают ее, а отрезок
АС не пересекает?
24.	Даны прямая п и точки В, Е, F, К и Р9 не
принадлежащие ей. Отрезки BE, КЕ и KF пере-
секают ее, а отрезок DP не пересекает. Пересекает
ли п отрезок FP?
25.	Пересекаются ли изображенные
1)	прямая KN и отрезок ME;
2)	луч SB и отрезок ME;
3)	прямая KN и луч SB?
26.	Назвать все отрезки, лучи и
прямые, изображенные на
рис. 193.
27.	На рис. 194 прямые DC и АВ
пересекаются прямой КТ в точ-
ках О и S.
1)	Записать все лучи с нача-
лом в точке S.
2)	Записать пары дополни-
тельных лучей, начало ко-
торых — точка О.
28.	Сколько различных лучей on- &
ределяются тремя точками X,
М и К9 принадлежащими од-
ной прямой?
29.	Точка К делит прямую I на
два луча. При каком условии
точки Р и X этой прямой
принадлежат одному лучу?
разным лучам?
30.	Отметить точки S, В, Q и L
так, чтобы прямые SQ и BL
пересекались, а лучи SQ и
BL не пересекались.
31.	На рис. 195 назвать все пар
лучей. Являются ли дополнительными лучи YM и
XT? Ответ обосновать.
32.	Провести прямую TF и отметить на ней точки V
и R. Записать все лучи, имеющие начало в точках
V и R. Назвать пары дополнительных лучей.
дополнительных
92
33.	Может ли отрезок SP принад-
лежать лучу SA, если	т	т	т
SP = 14,3 дм, SA = 9,7 дм,	MX	Y	Z Т
РА = 4,6 дм? Ответ обосновать.
Сделать рисунок.	Рис* 195
34.	Выписать все возможные названия угла с верши-
ной S (рис. 196): DSL; SDY; SDX; LSX; DSY;
LYD; XYL; LSY; SYX; SYD.
35.	Записать все углы, изображен-
ные на рис. 197.	X
36.	Начертить угол MXD и про-	******^^^
вести два луча ХЕ и XF
между его сторонами. Запи-
сать все образовавшиеся углы.
37.	Отметить три точки N, F и
X, не лежащие на одной пря-	рис. 196
мой. Построить угол NKF и
измерить с помощью транспортира его градусную
меру. Может ли угол NKF быть развернутым?
Ответ обосновать.
Рис. 197
38. Используя транспортир, найти градусную меру уг-
лов, изображенных на рис. 198. Определить вид
каждого угла.
39. Начертить угол, градусная мера которого: 1) 73°;
2) 90°; 3) 89°; 4) 173°. Определить вид каждого
угла.
40. Построить тупой угол MTF. Используя транспортир,
разделить его на две равные части.
41. Луч SO проходит между сторонами угла ASB.
Найти градусную меру угла ASB, если ZOSA = 47°,
AOSB = 64°. Сделать рисунок.
93
О
Рис. 199
42.	Может ли луч ОА проходить между сторонами угла
EOF, если Л EOF = 104°, ЛРОА = 103’? Ответ обос-
новать.
43.	Луч BN проходит между сторонами угла АВС.
Найти угол ABN, если ZABC = 83°, Z.CBN = 69°.
Сделать рисунок.
44.	Лучи CD и СЕ проходят между сторонами угла
ACF. Найти угол DCE, если ZACF=88°, ZACD =
= 43°, ЛЕСЕ = 57°. Сделать ри-
сунок.
45.	Луч QM проходит между сто-
ронами угла CQF, равного 69°.
Найти углы MQC и MQF, если
угол MQC больше угла MQF
на 27°.
46.	Угол MSK равен 102°. Луч SD
проходит между его сторонами.
Найти углы MSD и KSD, если
их градусные меры относятся
как 9:8.
47.	На рис. 199 ЛАОК = 84°,
ABOL = 73°, ЛВОК = 27°.
Найти угол AOL.
48.	На рис. 200 ZPSP = 62°,
/.ESF = 47°, APSF = 29°.
Найти угол DSE.
8
94
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
Прямой угол разделен на две части, разность ко-
торых равна 42°. Найти образовавшиеся углы.
Развернутый угол разделен на три части, градусные
меры которых относятся как 3:5:7. Найти величины
этих частей.
Луч SA проходит между сторонами угла BSC. SD —
биссектриса угла BSA, SE — биссектриса угла
CSA. Найти угол BSC, если ZDSE = 83°.
Дано: NXOY = AKPZ. Назвать соответствующие уг-
лы и соответствующие стороны треугольников XOY
и KPZ.
На рис. 201 изображены
равные треугольники.
Какая из следующих за-
писей верна:
1)	ABAC = AFDP;
2)	ABAC = ADPF;
3)	ABAC = APDF? Ответ
обосновать.
Дано: АМОК = ASON,
МО = 14 см, SN = 29 см,
ON = 24 см. Найти неизвестные стороны треуголь-
ников МОК и SON.
Дано: AFTQ = ASBH, ZT = 47°, ZQ = 59°, ZS = 74°.
Найти неизвестные углы треугольников FTQ и SBH.
Что можно сказать о виде треугольника PLD, если
выполняется равенство APLD = ALPD?
Начертить произвольный треугольник, измерить его
стороны и углы. Найти периметр и сумму углов
этого треугольника.
Одна сторона треугольника 48 см, вторая сторона
в 2 раза больше первой, а третья сторона на 17 см
меньше второй. Найти периметр треугольника.
Одна сторона треугольника на 27 см больше второй
и в 2 раза больше третьей. Найти стороны тре-
угольника, если его периметр 163 см.
Провести прямую р и отметить точку Т, ей не
принадлежащую. Провести через точку Т прямую,
параллельную прямой р.
95
61.	На рис. 202 изображены две пе-
ресекающиеся прямые а и & и
точка Q, не принадлежащая ни
одной из них. Провести через
точку Q прямые, параллельные
прямым а и &.	Рис- 202
62.	Начертить тупоугольний треуголь-
ник и через каждую его вершину провести прямую,
параллельную противоположной стороне.
63.	Прямая и параллельна стороне FA треугольника
BAF. Может ли прямая п быть параллельной
сторонам ВА и BF? Ответ обосновать.
64.	Отрезки МК и РЕ равны (рис. 203).
Доказать, что если РК = EN, том Р К Е N
К — середина отрезка MN.
65.	Прямые а и с не пересекаются, а Рис* 203
прямые & и с пересекаются. До-
казать, что прямые а и & также пересекаются.
66.	Углы PSM и KSE равны (рис. 204). Доказать, что
если APSM = AMSF, то APSK + AESF = AKSE.
67.	На рис. 205 ADOK = АМОР. АРОК = ATOM.
зать, что угол DOT вдвое больше угла КОМ.
Рис. 205
Рис. 204
Смежные и вертикальные углы
68.	Могут ли два смежных угла быть равными:
1) 31° и 159°; 2) 142° и 38°; 3) 17° и 153°?
Ответ обосновать.
69.	Найти угол, смежный с углом:
1)	5°; 2) 74°; 3) 90°; 4) 101°; 5) 178°.
70.	Может ли пара двух смежных углов состоять из
прямого и тупого углов? Ответ обосновать.
96
71.	Являются ли смежными углы	KI >
KSE и KSF (рис. 206)? Записать	I
все пары смежных углов, изо-	Л/
браженных на рисунке.
72.	Начертить два равных смежных /
угла так, чтобы их общая сто- £
рона была вертикальной.	Рис 20б
73.	Углы, смежные с углами MSD
и CLP, равны. Что можно сказать о самих углах?
Ответ обосновать.
74.	Найти смежные углы, если их разность равна 104°.
75.	Один из смежных углов в 11 раз меньше другого.
Найти эти углы.
76.	Найти смежные углы, если их градусные меры
относятся как 9:11.
77.	Два угла относятся как 1:5, а смежные с ними
углы — как 11:7. Найти данные углы.
78.	Один из смежных углов равен 76°. Найти величину
угла, дополняющего его до прямого. Найти отно-
шение разности углов и дополняющего угла.
79.	На рис. 207 найти все пары смежных и верти-
кальных углов. Записать их.
80.	На рис. 208 угол СТВ равен 71°. Найти углы СТА,
ATD, DTB.
Рис. 208
81.	Верно ли, что если два угла
имеют общую сторону, то они
смежные?
82.	На рис. 209 ZMPD = 103°,
ZFPK = 49°. Найти угол ЕРТ.
Рис. 209
97
Рис. 210
83.	На рис. 210 AKNH + Z.KNL + Z.LNE = 230°. Найти
углы KNH и KNL.
84.	Разность двух углов, образован-
ных при пересечении двух пря-
мых, равна 78°. Найти эти углы.
85.	Один из углов, образованных при
пересечении двух прямых, в 9
раз больше другого. Найти эти
углы.
86.	Найти величину каждого из углов, образованных
при пересечении двух прямых, если:
1) сумма двух из них равна 96°;
2)	разность двух из них равна 58°;
3)	все углы равны между собой;
4)	сумма трех из них равна 294°.
87.	Один из углов, образованных при
пересечении двух прямых, в 4 раза
больше суммы смежных с ним углов.
Найти эти углы.
88.	Три прямые пересекаются в точке
М (рис. 211). Найти угол АМВ,
если он
TMQ и
PMR.
89.	Решить
1)	Дано: ZABK = ZCDB. Дока-
зать: ZCBA = ZBDF.
2)	Дано: ZCBA = ZBDF. J\q-
казать: ZABK = ZCDB.
в 3 раза больше угла
на 5° меньше утла
задачи (рис. 212):
Перпендикулярные
211
Рис.
С
Рис. 212
прямые
90.	Начертить прямую р и отметить точку
принадлежащую ей. С помощью
чертежного угольника провести
через точку F прямую, перпен-
дикулярную прямой р.
91.	Начертить прямую k и отметить
точку Н9 принадлежащую ей.
Провести через точку Н прямую,
перпендикулярную прямой Л, ис-
пользуя чертежный треугольник.
F, не
98
92.	На рис. 213 Z.EKM + ZSKP = Z.TKE + Z.TKS и
ZEKM + Z.EKT = Z.TKS + Z.SKP. Доказать, что
АТКМ = Z.TKP = Z.EKS = 90°.
93.	Углы АОВ, ВОС, COD и DOA равны между собой.
Доказать, что прямые АС и BD пересекаются в
точке О и перпендикулярны.
94.	Даны прямая MN и точка О, принадлежащая ей.
Точки А и В лежат в одной полуплоскости отно-
сительно MN. Доказать, что если ZAOM = АВОМ =
= AAON = ABON, то точки А, В и О лежат на
прямой, перпендикулярной MN.
95.	Как, используя шаблон угла в 5°, построить пер-
пендикулярные прямые?
Биссектриса угла
96.	Прямые EL, KF и РТ пе-
ресекаются в точке S
(рис. 214), причем SP — бис-
сектриса угла ESK,
ZFSL = 64°. Найти ALSP.
97.	Луч ОА — биссектриса одного
из вертикальных углов, а луч
ОВ — дополнительный к не-
Рис. 214
му. Доказать, что ОВ — биссектриса другого вер-
тикального угла.
98.	Угол между биссектрисой угла и продолжением
одной из его сторон равен 164°. Найти данный угол.
99.	Какой угол образует биссектриса угла в 116° с
продолжением одной из его сторон?
100.	Найти смежные углы CFH и CFT, если биссектриса
угла CFH образует с лучом FT угол, больший угла
CFH на 54°.
101.	Прямые АС и DF пересекаются в точке О. Найти
угол между биссектрисами углов AOF и FOC.
Доказательство от противного
102.	Доказать от противного, что если два луча делят
развернутый угол на три части, то среди образо-
ванных углов хотя бы один не меньше 60°.
99
103.	Доказать от противного, что через точку данной
прямой можно провести к ней только один пер-
пендикуляр.
104.	Доказать от противного, что если сумма двух
углов равна 176°, то они не могут быть смежными.
105.	Доказать от противного, что если прямые т и
п не пересекаются, а прямые п и k пересекаются,
то прямые т и k также пересекаются.
Первый и второй признаки равенства
треугольников
106.	На прямой а выбраны две точки А и В и в
разные полуплоскости относительно а отложены
равные углы DAB и АВС. На лучах AD и ВС
отложены равные отрезки AF и BL. Доказать, что
AAFB = ABLA.
107.	Доказать равенство треугольников MFK и PFK
(рис. 215), если МК = РК, AMKF = APKF.
108.	Доказать равенство треугольников АВЕ и CDK
(рис. 216), если АК = СЕ, АВ = CD, AAKD = АСЕВ.
109.	Доказать равенство тре-
угольников ADK и FKD
(рис. 217), если
ATDF = ALKA, DF = КА.	/
ПО. К биссектрисе АО угла ВАС дХ
проведена перпендикулярная A	F
прямая, пересекающая сто-
роны угла в точках К и Р.	Рис- 217
Найти АК, если АР = 7,5 см.
111.	На биссектрисе BD треугольника АВС взяли точку
О. Доказать равенство треугольников AOD и COD,
если АВ = ВС.
100
112.	В треугольнике МРН МР = PH. На сторонах РМ
и PH от точки Р отложены равные отрезки РЕ
и РК соответственно. Доказать, что ZMEH = ZMKH .
113.	В треугольнике LTK проведены высоты LD и
KF. Доказать, что если ТЕ = TD, то LD = KF.
114.	На прямой с выбраны точки Т и К. В одной
полуплоскости относительно с выбраны такие точки
Р и Q, что ZQTK = ZPKT, ZPTK = ZQKT. Доказать,
что треугольники ТРК и KQT равны.
115.	Доказать равенство треуголь-
ников FLP и NLM (рис. 218),
если LF = LN, ZLFP = ZLNM.
116.	Доказать равенство треуголь-
ников MPD и FPE (рис. 219),
если PM = PF, ZM = ZF,
ZMPE = ZFPD.
117.	Доказать равенство отрез-
ков КЕ и КР (рис. 220),
если ZCDK = ZPML,
DK = КМ.
118.	В треугольнике АВС
ZA = ZC. На сторонах ВС
и АВ взяты такие точки К
Рис. 220
и Р соответственно,
что ZKAC = Z.PCA. Доказать, что АК = СР.
101
119.	Через точку О — середину отрезка MN — прове-
дена прямая а. К отрезку MN в точках М и N
проведены перпендикуляры, пересекающие прямую
а в точках К и Р. Доказать, что точка О —
середина отрезка КР.
120.	На рис. 221 DP = KE, XFDP = ХКЕН, XMKD =
= XNPE. Доказать, что MD = NE.
121.	Доказать равенство треугольников АВС и А1В1С1,
если АВ = АгВ19 ХА = ХАг и медианы, проведенные
к сторонам АС и А1С1, образуют со сторонами АВ
и А1В1 равные углы.
Равнобедренный треугольник
122.	В треугольнике TKF ТК = KF (рис. 222). Доказать,
что Z1 = Z2.
123.	На рис. 223 ZABD = ZADB, ZBAC = ZCAD. До-
казать, что &ВОС = ADOC.
124.	Внутри равностороннего треугольника МРЕ взята
такая точка О, что ХОМЕ = ХОЕМ (рис. 224).
Доказать, что АМОР = &ЕОР.
125.	Основание равнобедренного треугольника 11 см,
боковая сторона 7 см. Найти периметр треугольника.
126.	Периметр равнобедренного тре-
угольника 37 см, а его основание
9 см. Найти боковые стороны.
127.	Периметр равнобедренного тре-
угольника 58 см. На его основании
построен равносторонний треуголь-
ник, периметр которого 42 см. Най-
ти стороны равнобедренного тре-
Рис. 224
угольника.
102
128.	Найти стороны равнобедренного треугольника, если
его периметр 63 см, а боковая сторона на 6 см
больше основания.
129.	Найти стороны равнобедренного треугольника, если
его периметр 87 см, а основание составляет 0,9
боковой стороны.
130.	В треугольнике LHQ LH = HQ.
треугольника LHQ, если меди-
ана HP равна 11 см, а пери-
метр треугольника LPH —
34 см.
131.	В треугольнике DEF
DE = EF = 21 см. Через точку
Р — середину DE — прове-
ден перпендикуляр к DE, пе-
ресекающий DF в точке К
(рис. 225). Найти DF, если пе-
риметр треугольника EKF равен
60 см.
132.	В равнобедренном треугольнике
LTD на основании LD отложены
равные отрезки LE и DK
(рис. 226). Доказать, что
АТКЕ = АТЕК.
133.	В равностороннем треугольнике
DEF О — точка пересече-
ния биссектрис (рис. 227).
Точки М, L и Р — сере-
дины отрезков OD, ОЕ и
OF соответственно. Дока-
зать, что треугольник MLP	j
— равносторонний.	/
134.	Доказать, что если в тре-	//
угольнике две его высоты D
являются его медианами,
то треугольник равносто-
ронний.
135.	В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС)
медиана АК пересекает медиану BD в точке М.
Доказать, что луч СМ пересекает АВ в ее середине.
103
136.	Доказать равенство равнобедренных треугольников
по высоте, проведенной к основанию, и углу при
вершине.
Признаки равенства треугольников
137.	На рис. 228 LT = FE9
LF = ТЕ. Доказать, что
ALTE = ABFL.
138.	На рис. 229 АВ = ВС и
AD = DC. Доказать, что
АЕ = ЕС.
139.	На рис. 230 АВ = CD и
BC=AD. Доказать, что
АО = ОС и ВО = OD.
140.	Точка пересечения биссектрис треугольника рав-
ноудалена от его вершин. Доказать, что этот тре-
угольник равносторонний.
141.	Точки С и D лежат по разные стороны от прямой
I. На прямой I взяты такие точки А и В, что
АС = BD, AD = BC. CD пересекает АВ в точке О.
Доказать, что О — середина отрезка АВ.
142.	Доказать равенство треугольников по стороне,
высоте, проведенной к этой стороне, и углу между
высотой и медианой, проведенной к этой стороне.
Признаки параллельности прямых
143.	На рис. 231 назвать все пары внутренних накрест
лежащих и внутренних односторонних углов.
104
Рис. 231 144. На рис. 232 АВ = EF, BD = CF, DE = АС. Доказать, что АС || DE. 145. На рис. 233 CD = DE, Z.DFK = Z.DCE. Доказать, что	/ х А	*	С Рис. 232 D 1	V
DF = DK. 1 hqJ / Р* а) 146. На рис. 234	Рис. 233 И	| L* \	г«л б)	в) Рис. 234 найти градусную меру угла х.
147. На рис. 235 BA || DE, дусную меру угла BCD. А	В 140^4 —s=ItS£_ D lb’	Е	/ЛВС = 140’. Найти гра- 1\	т У2 п
Рис. 235
Рис. 236
105
148.	На рис. 236 прямые т и п параллельны. Доказать,
что Zl + Z2 = 180°.
149.	Внутренние односторонние углы при параллельных
прямых равны аир. Найти угол между биссек-
трисами этих углов.
Сумма углов треугольника
150.	Существует ли треугольник с углами 20°, 50° и
120°?
151.	Найти третий угол треугольника, если два его угла
равны: 1) 28° и 57°; 2) 9° и 153°; 3) 4° и 7°.
152.	Угол при вершине равнобедренного треугольника
равен 36°. Найти углы при основании.
153.	Угол при основании равнобедренного треугольника
равен 67°. Найти угол при вершине.
154.	Найти неизвестные углы треугольника FLE (рис. 237).
155.	Найти неизвестные углы треугольника CHQ (рис. 238).
Рис. 238
156.	Найти углы треугольника MFL, если ZM + ZL =
= 123°, XL + Z.F = 158°.
106
157.	Найти углы равнобедренного треугольника, если
угол при вершине на 54° меньше угла при основании.
158.	Найти углы равнобедренного треугольника, если
градусные меры угла при основании и угла при
вершине относятся как 3:4.
159.	Найти углы треугольника, если один из них в
3 раза меньше другого и в 2 раза больше третьего.
160.	Один из углов треугольника на 30° меньше другого
и в 7 раз больше третьего. Найти углы треугольника.
161.	Доказать равенство треугольников LPF и NTO9
если LP = NT, Z.P = ZT, Z_F = ZO.
162.	Угол при вершине равнобедренного треугольника
равен 80°. Найти угол между основанием и бис-
сектрисой угла при основании.
163.	Угол между биссектрисами угла при основании
и угла при вершине равнобедренного треугольника
равен 130°. Найти углы треугольника.
164.	В треугольнике MTQ Z.M = 44°, ZT = 58°. Биссек-
триса угла Q пересекает МТ в точке F. Найти
угол QFM.
165.	Углы треугольника относятся как 4:3:8. Найти
больший угол между биссектрисами меньших углов
треугольника.
166.	Продолжения высот треугольника MNP, прове-
денных из вершин М и N9 пересекаются в точке
Н9 ZM = 58°, ZN = 14°. Найти угол MHN.
167.	АН и AL — высота и биссектриса треугольника
АВС соответственно, ZA = 20°, ZB = 135°. Найти
угол HAL.
168.	Найти углы треугольника, если второй угол в
3 раза больше первого, а третий равен их полу-
разности.
169.	В треугольнике АВС высота, опущенная из вер-
шины В, пересекает сторону АС в точке Н9 а
биссектриса угла В пересекает АС в точке L,
ZABH = 23°, ZBLA = = 64°. Найти углы треугольника
АВС.
170.	Биссектрисы углов треугольника DEF пересекаются
в точке L, ZDLE = 134°. Найти углы DLF и ELF9
если ZEDF = 28°.
107
171.	Один из углов равнобедренного треугольника на
42° больше другого. Найти углы треугольника.
Рассмотреть два случая.
172.	Найти углы равнобедренного треугольника, если
два из них относятся как 4:7. Рассмотреть два
случая.
Внешний угол треугольника
173.	Один из внешних углов треугольника равен 123°.
Найти внутренние углы, не смежные с ним, если
один из них равен: 1) 27°; 2) 91°; 3) 122°.
174.	Один из внешних углов треугольника равен 98°.
Найти внутренние углы, не смежные с ним, если:
1) один из них на 24° больше другого;
2)	один из них в 13 раз меньше другого.
175.	Один из углов треугольника равен 104°. Может
ли внешний угол треугольника, не смежный с
ним, быть равным: 1) 104р; 2) 105°; 3) 103°?
176.	В треугольнике POF Z.P = 29°, ZF = 64°. Найти
величины внешних углов треугольника, построен-
ных по одному при каждой вершине.
177.	Один из внешних углов треугольника равен 143°,
а один из внутренних — 31°. Найти другие внут-
ренние углы треугольника.
178.	Градусные меры двух внешних углов треугольника
равны 151° и 143°. Найти третий внешний угол
треугольника и сумму внешних углов треугольника,
взятых по одному при каждой вершине.
179.	Внешний угол равнобедренного треугольника равен
136°. Найти величины внутренних углов треуголь-
ника. Сколько решений имеет задача?
180.	Сумма внутренних углов равнобедренного треу-
гольника вместе с одним из внешних равна 274°.
Найти величины внутренних углов треугольника.
181.	Один из внутренних углов треугольника в 4 раза
больше другого, а внешний угол третьего угла
равен 105°. Найти углы треугольника.
108
182.	Внешний угол треугольника на 63° больше мень-
шего внутреннего угла, не смежного с ним, а
внутренние углы, не смежные с ним, относятся
как 4:7. Найти углы треугольника.
183.	Внутренние углы треугольника относятся как
5:6:9. Найти отношение внешних углов треуголь-
ника, не находя их величин.
184.	Внешние углы треугольника относятся как 3:4:5.
Найти отношение внутренних углов треугольника.
185.	Луч, выходящий из вершины равнобедренного
треугольника, параллелен основанию. Доказать, что
этот луч — биссектриса внешнего угла при вершине
равнобедренного треугольника.
Прямоугольний треугольник
186.	Найти второй острый угол прямоугольного треу-
гольника, если первый равен:
1)	3°; 2) 26°; 3) 73°; 4) 86°.
187Л)дин из острых углов прямоугольного треугольника
на 58° больше другого. Найти эти углы.
188.	Острые углы прямоугольного треугольника отно-
сятся как 3:7. Найти эти углы.
189.	Угол, образованный высотой прямоугольного тре-
угольника с одним из катетов, равен 39°. Найти
острые углы прямоугольного треугольника.
190.	Биссектрисы острого и прямого углов прямоу-
гольного треугольника пересекаются под углом 126°.
Найти острые углы треугольника.
191.	Отношение острых углов прямоугольного треуголь-
ника равно 8:7. Найти угол между биссектрисой и
высотой, проведенными из вершины прямого угла.
192.	В прямоугольном треугольнике один из острых
углов больше угла между высотой и биссектрисой
в 4 раза. Найти острые углы треугольника.
193.	В прямоугольном треугольнике СНК гипотенуза
НК равна 34 см, Z.K = 30°. Найти катет СН.
194.	В прямоугольном треугольнике MDS катет DS
равен 28 см, Z.D = 60°. Найти гипотенузу DM.
195.	В прямоугольном треугольнике DEF DE = EF,
М — середина DE. Через точку М проведена
прямая, перпендикулярная катету DE, пересекаю-
щая гипотенузу DF в точке К9 МК = 9 см. Найти
длину катета DE.
109
196.	В равнобедренном треугольнике DEF DE = EF.
Высота DH образует с основанием DF угол 15°.
Найти DE, если DH = 4 см.
197.	В прямоугольном треугольнике НРЕ (Z.H = 90°)
EL — биссектриса угла Е. Отрезок LE в два раза
больше отрезка LH и на 8 см меньше отрезка
HP. Найти катет PH.
198.	Точка на стороне треугольника равноудалена от
его вершин. Доказать, что треугольник прямо-
угольный.
199.	Доказать равенство прямоугольных треугольников
по острому углу и высоте, проведенной к гипотенузе.
Окружность
200.	Вычислить диаметр окружности, если ее радиус
равен: 1) 9 см; 2) 6,8 см; 3) х см.
201.	Вычислить радиус окружности, если ее диаметр
равен: 1) 18 см; 2) 15,8 см; 3) у см.
202.	Начертить окружность, радиус которой равен
3,5 см. Провести в ней радиус, диаметр и хорду.
203.	Вне окружности взята произвольная точка. Сколько
диаметров и сколько хорд можно через нее провести?
204.	Какую линию образуют все точки, расстояние от
которых до центра окружности в три раза больше
радиуса окружности? Ответ обосновать.
205.	В окружности проведены радиусы ОМ, ON и ОК
(рис. 239). Доказать, что если MN = NK, то
Z.MON = Z.NOK.
206.	На рис. 240 DK — диаметр окружности. Хорды
DE и DF образуют с DK равные углы. Доказать,
что DE = DF.	у
Рис. 239
Рис. 240
110
207.	На рис. 241 АКОМ = 84°, О — центр окружности.
Найти угол KNM.
208.	Отрезок, соединяющий середины двух хорд, про-
ходит через центр окружности. Доказать, что хорды
параллельны.
209/ Хорда ME окружности пересекает его диаметр
CD в точке L (рис. 242), ML = 10 см, MN = 5 см.
Найти отрезок EL, если он больше EF на 4 см.
210.	В треугольнике центр описанной окружности лежит
на высоте. Доказать, что треугольник равнобедренный.
211.	Сколько касательных можно провести к окруж-
ности через точку, лежащую вне окружности? на
окружности? внутри окружности?
212.	К окружности проведены две параллельные ка-
сательные. Доказать, что отрезок, соединяющий
точки касания, проходит через центр окружности.
213.	В окружности с центром О проведена хорда DE,
не проходящая через точку О. Из точки О к хорде
проведена перпендикулярная прямая. Доказать, что
точка пересечения касательных к ок-
ружности, проведенных через точки
D и Е9 лежит на этой прямой.
214.	К окружности проведены две каса-
тельные АЕ и AF (рис. 243). Каса-
тельная к окружности в точке D
пересекает АЕ и AF в точках В и С
соответственно. Найти периметр тре-
угольника АВС, если АЕ = 5 см.
215.	На рис. 244 прямая I касается окружности в
точке В. Найти угол РВЕ, если ZAOB = 122° (О —
центр окружности).
Ill
216.	A — общая точка окружностей с центрами Ох
и О2, лежит на прямой ОгО2 (рис. 245). Доказать,
что А — точка касания этих окружностей.
217.	Радиусы двух окружностей равны 14 см и 17 см.
Найти расстояние между их центрами, если ок-
ружности касаются:
1)	внутренним образом; 2) внешним образом.
218.	Две окружности касаются внутренним образом.
Расстояние между их центрами 36 см. Найти
радиусы окружностей, если они относятся как 5:9.
219.	Расстояние между центрами двух окружностей
равно 28 см. Определить, пересекаются ли эти
окружности, если их радиусы равны:
1)	14 см и 15 см; 2) 14 см и 14 см; 3) 10 см и 17 см.
220.	Два окружности с центрами и О2 пересекаются
в точках А и В, каждая из них проходит через
центр другой. Доказать, что АВ — биссектриса
угла ОуАО2.
221.	В треугольнике центр впи-
санной окружности лежит на
пересечении двух высот. До-
казать, что этот треугольник
равносторонний.
222.	Две окружности имеют об-
щий центр О (рис. 246). Из
точки А большей окружности
проведены касательные AF и
АК к меньшей, которые пе-
ресекают большую окруж-
Рис. 246
112
ность в точках D и Е соот-
ветственно, Z.DAE = 60°. Най-
ти радиус меньшей окруж-
ности, если радиус большей
равен 8 см.
223.	Две окружности имеют об-
щий центр О (рис. 247). Най-
ти радиусы окружностей, ес-
ли длина отрезка KL равна
5 см, а сумма радиусов ок-
ружностей 9 см.
224.	Три окружности попарно
внешне касаются. Отрезки, соединяющие их центры,
образуют треугольник со сторонами 17, 18 и 19 см.
Определить радиусы окружностей.
Задачи на построение
225.	Даны прямая с и точка F, не принадлежащая
ей. Найти на прямой с точку, находящуюся на
расстоянии 3,5 см от точки F. Сколько таких
точек может быть?
226.	Построить треугольник АВС, если АВ = 5 см,
ВС = 6 см, АС = 7 см.
227.	Начертить в тетради разносторонний тупоуголь-
ный треугольник. Построить треугольник, равный
данному.
228.	Начертить в тетради отрезок HP = 3,5 см. По-
строить равносторонний треугольник НРМ. Сколько
решений имеет задача?
229.	Начертить в тетради тупой угол. Построить угол,
равный данному.
230.	Построить треугольник SPK, если SP = 4 см,
РК = 3,5 см, ZSPK = 85°.
231.	Построить треугольник NCF, если NC = 5 см,
ZN = 50°, ZC = 40°.
232.	Построить равнобедренный треугольник, основание
которого 3,5 см, а угол при основании 50°.
233.	Построить треугольник ХОУ, если ХУ = 5 см,
ZX = 40°, ZO = 70°.
234.	Построить равнобедренный треугольник, основание
которого 3,5 см, а угол при вершине 110°.
113
235.	Начертить в тетради тупой угол и построить его
биссектрису.
236.	Начертить в тетради произвольный треугольник
и построить его биссектрисы.
237.	Начертить в тетради произвольный треугольник
и построить его медианы.
238.	Построить треугольник АВС по стороне АС, медиане
ВМ и углу ВМС.
239.	Даны прямая d и точка F. Построить прямую,
перпендикулярную прямой d, проходящую через
точку F. Рассмотреть два случая.
240.	Построить ZMOK, который
равен 90°.
241.	Построить прямоугольный
треугольник по гипотенузе
и острому углу.
242.	Построить равнобедренный
прямоугольный треугольник
по отрезку, соединяющему
середину гипотенузы с сере-
диной одного из катетов.
243.	Отметить по клеточкам точ-
ки К, L и Р (рис. 248) и
провести через эти точки окружность.
244.	Вокруг равнобедренного треугольника, основание
которого 3 см и угол при основании 45°, описать
окружность и измерить ее радиус.
245.	Даны прямая т и точка К, не принадлежащая
ей. Провести через точку К прямую п, параллель-
ную т.
246.	Даны прямая I и точка Р, не принадлежащая
ей. Построить прямую, проходящую через точку
Р и образующую с прямой I заданный угол ф = 80°.
247.	Построить геометрическое место точек — середин
отрезков длиной т с общим концом А.
248.	Построить геометрическое место точек, равноуда-
ленных от двух пересекающихся прямых.
249.	Построить геометрическое место точек — вершин
треугольников с заданным основанием АВ и задан-
ной высотой Л.
114
250.	На прямой I отметили точки F и К. Точка Р
не принадлежит прямой I. Найти точку, равноу-
даленную от точек F и Р и находящуюся на
данном расстоянии от точки К. Сколько решений
имеет задача?
251.	Построить окружность, касающуюся данной прямой
а и проходящую через данную точку А. Сколько
решений имеет задача?
252.	Дан угол АВС. Найти точку, находящуюся на
данном расстоянии а от стороны ВА угла и на
расстоянии 2а от стороны ВС угла.
253.	Построить окружность, касающуюся двух данных
параллельных прямых и данной окружности, центр
которой лежит между этими прямыми.
254.	Построить касательную к окружности, проходящую
через данную точку, лежащую вне окружности.
255.	Даны окружность и две точки внутри нее. По-
строить касательную к окружности так, чтобы
точка касания была равноудалена от этих двух
точек.
256.	Построить равнобедренный треугольник по углам
при основании и высоте, проведенной к боковой
стороне.
257.	Построить треугольник по стороне, высоте, про-
веденной к ней, и высоте, проведенной к другой
стороне.
258.	Построить прямоугольный треугольник по сумме
катетов и острому углу.
259.	Построить прямоугольный треугольник по разности
гипотенузы и катета и другому катету.
260.	Построить треугольник по его периметру и двум
углам.
115
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 1	КР-1 (Начальные
понятия гео метрии)
1°. Точка М принадлежит отрезку АВ. Найти длину
отрезка МВ, если АВ = 14,7 см, AM = 9,8 см.
2°. Дано: &FCK = &TML, ZF = 37°, Z.K = 68°, ZM = 75°.
Найти градусные меры всех других углов треу-
гольников FCK и TML.
3. Развернутый угол разделен на три части, градусные
меры которых относятся как 4:3:8. Найти величины
этих частей.
4. Даны прямая т и точки А, В, С и D, не
принадлежащие ей. Пересекает ли т отрезок AD,
если отрезок ВС пересекает ее, а отрезки АВ и
CD не пересекают?
Вариант 1
КР-2 (Смежные и
вертикальные углы)
1°. Один из углов, образованных при пересечении двух
прямых, равен 113°. Найти остальные углы.
2е. Один из смежных углов в 8 раз больше другого.
Найти эти углы.
3. Какой угол образует биссектриса угла в 84° с
продолжением одной из его сторон?
4. Один из углов, образованных при пересечении двух
прямых, на 54° больше суммы двух углов, смежных
с ним. Найти все образовавшиеся углы.
116
Вариант 1
КР-3 (Равенство
треугольников )
1°. Доказать равенство отрезков АС и BD (рис. 249),
если ZBAD = ZCDA, АВ = CD. В	С
2°. Найти стороны равнобедренно- /	\
го треугольника, если его пе- /	\
риметр равен 84 см, а боковая
сторона на 18 см больше ос-^д	р
нования.
Рис. 249
3. На рис. 250 DM = ME,	р
DK = КЕ. Доказать равенство	/К
углов KDP и КЕР.	\\
4. Точка, лежащая внутри рав-
нобедренного треугольника, \/ \
равноудалена от вершин осно-	/
вания. Доказать, что эта точка
лежит на высоте, проведенной
к основанию.	Рис- 250
Вариант 1	КР-4 (Параллельность прямых.
Сумма углов треугольника)
1°. Один из углов, образованных при пересечении двух
параллельных прямых третьей, равен 107°. Найти
величины других образовавшихся углов.
2е. Найти углы треугольника АВС, если угол А на
15° меньше угла В и в 3 раза меньше угла С.
3. Два внутренних угла треугольника относятся как
3:7, а внешний угол при третьей вершине равен
120°. Найти углы треугольника.
4. Луч ЕМ пересекает сторону DF треугольника DEF,
отрезки DK и FN — перпендикуляры к нему.
Доказать, что если DK = FN, то луч ЕМ проходит
через середину стороны DF.
117
Вариант 1
КР-5 (Итоговая)
Iе. На рис. 251 радиус ОС окружности проходит через
середину хорды АВ. Найти
угол ОСВ, если ZOBA = 34°.	/
2°. Прямая а проходит через се- /	\
редину отрезка ЛГУ — точку /	О	I
К. Через точки М и N прове- I	'Ч.	I
дены параллельные прямые, \	/
пересекающие прямую а в -----------1——----
точках D и Е соответственно.
Доказать, что ОР = ОЕ.
3. К окружности с центром О
проведена касательная CD	Рис* 251
(D — точка касания). Найти
длину отрезка ОС, если радиус окружности равен
4 см и Z.COD = 60°.
4. Две окружности с центрами Ох и О2 касаются
внешним образом в точке М. Длина отрезка ОГО2
равна 18 см. Найти радиусы окружностей, если
их разность равна 6 см.
118
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 2	КР-1 (Начальные
понятия геометрии)
Iе. Луч OD проходит между сторонами угла АОВ.
Найти угол DOC, если АЛОВ = 87°, ZAOD = 39*.
2е. Дано: ДСВЕ = &HOF, СЕ = 11,3 см, НО = 9,4 см,
OF = 7,9 см. Найти длины всех других сторон
треугольников CDE и HOF.
3. Отрезок АВ длиной 32 см разделен на три части,
длины которых относятся как 4:7:5. Найти длины
этих частей.
4. Даны прямая I и точки М, N, К и Р, ей не
принадлежащие. Пересекает ли I отрезок МК, если
отрезки MN и РК пересекают ее, а отрезок NP
не пересекает?
Вариант 2
КР-2 (Смежные и
вертикальные углы)
Iе. Один из углов, образованных при пересечении двух
прямых, равен 63°. Найти остальные углы.
2е. Один из смежных углов на 48° меньше другого.
Найти эти углы.
3. Угол между биссектрисой угла и продолжением
одной из его сторон равен 148°. Найти данный
угол.
4. Один из углов, образованных при пересечении двух
прямых, в 4 раза больше суммы двух углов,
смежных с ним. Найти все образовавшиеся углы.
119
Вариант 2
К Р-3 (Равенство
треугольников )
Iе. Доказать равенство отрезков BD и МВ (рис. 252),
если Z.MBF = /.DBF, AMFB = Z.DFB.
Рис. 252
Рис. 253
2е. Найти стороны равнобедренного треугольника, если
его периметр равен 85 см, а основание в 2 раза
меньше боковой стороны.
3. На рис. 253 АВ = ВС, AD = DC. Доказать равенство
отрезков АЕ и ЕС.
4. Точка, лежащая на высоте треугольника, равноуда-
лена от концов стороны, к которой проведена эта
высота. Доказать, что данный треугольник равно-
бедренный.
Вариант 2
КР-4 (Параллельность прямых.
Сумма углов треугольника)
1°. Один из углов, образованных при пересечении двух
параллельных прямых третьей, равен 37°. Найти
величины других образовавшихся углов.
2е. Найти углы треугольника FPK, если угол F в
4 раза больше угла Р и на 42° меньше угла К.
3. Два внутренних угла треугольника относятся как
5:9, а внешний угол при третьей вершине равен
140°. Найти углы треугольника.
4. Луч ВО проходит через середину стороны АС тре-
угольника АВС, отрезки АК и СР — перпендику-
ляры к нему. Доказать, что АК = СР.
120
Вариант 2
КР-5 (Итоговая)
1°.
На рис. 254 радиус OF окружности перпендикулярен
2°.
3.
хорде DE. Найти угол
OED, если ZOFE = 42°.
О — середина отрезка АВ.
Точки С и D лежат по
разные стороны от прямой
АВ, причем СО = OD. До-
казать, что АС || DB.
Из точки А, лежащей вне
окружности с центром О,
проведена к ней касатель-
ная АВ (В — точка каса-
ния). Найти радиус ок-
ружности, если ОА = 6 см и ZBOA = 30°.
4. Две окружности с центрами Ог и О2 касаются
внешним образом в точке К. Длина отрезка ОГО2
равна 24 см. Найти радиусы окружностей, если
один из них в 3 раза больше другого.
121
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К ТРЕНИРОВОЧНЫМ УПРАЖНЕНИЯМ
Вариант 1
13. 9,4 см. 14. 8 см. 15. 9,1 см или 3,7 см.
Указание. Рассмотреть случаи, когда точка В лежит
между А и С и А лежит между В и С. 16. Два
решения. Указание. Рассмотреть случаи, когда точка
Р принадлежит отрезку MN и не принадлежит ему.
17.	21	см или 7	см.	43. 12°.	44.	24°. 45. 29° и	58°.
46.	16°	и 96°. 47.	13°.	48. 93°.	49.	73°	и 107°.	50.	18°,
27’ и 45°. 51. 164°. 58. 87 см. 59. 11 см, 44 см,
52	см.	74. 71’ и	109’.	75. 30’	и 150’.	76. 75’	и 105°.
77.	20’	и 60’. 83. 70’	и 110’.	84.	65’	и 115°.	85.	36’
и 144’. 86. 1) 49°, 49’ 131°, 131°; 2) 61°, 61°, 119°,
119°; 4)	74°,	74°,	106°, 106°. 87. 60’ i 120°. 88.	38°.
98.	112°.	99.	153°.	100. 40’ и 140°. 101. 90°. 110.	34°.
125.	23	см.	126.	6 см. 127. 8 см, 14 см, 14	см.
128.	12 см, 12 см, 4 см. 129. 12 см, 36 см, 36 см.
130. 70	см.	131.	9 см. 147. 100°. Указание. Через
точку С провести прямую, параллельную ВА. 152. 66°.
153. 36°. 154. a) = 136°; ZC = 21°; б) ZA = 76°;
ZB = 66°; в) ZA = 33°; ZB = 96°; ZC = 51°. 155. в) 20°,
70’ и 90°. 156. 30°, 40’ и 110’. 157. 72’, 72°, 36’.
158. 108’, 36’, 36°. 159. 45’, 60’, 75’. 160. 40’, 50°,
90. 162. 75°. 163. 68°, 56°, 56°. 164. 80°. 165. 115°.
166. 124°. 167. 9°. 168. 45°, 105°, 30°. 169. 20°, 60°.
170. 72°, 72°, 36°. 171. 76°, 52°, 52’ или 68’, 68°, 44’.
172. 84’, 84°, 12° или 20°, 20’ 140°. 173. 1) 109°; 2) 46°;
3) 20. 174. 1) 56° и 92°; 2) 37’ и 111°. 176. 157°,
122____________________________________________
146°, 57°. 177. 50° и 87°. 178. 134° и 360°. 179. 38°,
38°, 104°. 180. 37°, 37°, 106°. 181. 44°, 59°, 77°. 182.
21°, 75°, 84°. 183. 17:12:9. 184. 6:2:1. 186. 1) 87°;
2) 53°; 3) 26°; 4) 4°. 187. 28° и 62°. 188. 18° и 72°.
189. 122°. 190. 10° и 80°. 191. 24°. 192. 58° и 32°.
193. 28 см. 194. 19 см. 195. 9 см. 196. 8 см. 197.
12 см. 207. 64°. 209. 20 см. 214. 8 см. Указание.
Касательные к окружности, проведенные из одной
точки, равны. 215. 126°. 217. 1) 4 см; 2) 18 см. 218.
8 см и 14 см. 222. 11 см. 223. 3 см и 9 см. 224.
4 см, 5 см, 6 см. 249. Искомое геометрическое место
точек — диаметр без крайних точек, проходящий через
середины этих хорд. 256. Указание. Построить прямо-
угольный треугольник по катету (высота, проведенная
к боковой стороне) и противолежащему острому углу
(угол при вершине искомого треугольника). 257. Ука-
зание. Построить прямоугольный треугольник по углу А
(или смежному с ним) и катету (высота к стороне),
получим длину стороны треугольника. 258. Указание.
Построить треугольник ACD, в котором AD равно
сумме катета и гипотенузы, угол D — половина
известного угла искомого треугольника, Z А = 90° - а.
Провести серединный перпендикуляр к AD. Его точка
пересечения с AD — третья вершина В искомого
треугольника АВС. 259. Указание. Построить треуголь-
ник BAD, в котором Z.D - 135°, BD — разность
катетов, АВ — гипотенуза искомого треугольника.
Перпендикуляр к прямой BD из точки А пересекает
BD в точке С — третьей вершине треугольника АВС.
260. Указание. Построить треугольник DBC по сторо-
нам ВС, BD = АВ - АС и углу В между ними.
Серединный перпендикуляр к DC пересечет прямую
DB в точке А — третьей вершине треугольника АВС.
Вариант 2
13. 4,2 см. 14. 1 см. 15. 0,5 см или 10,3 см.
16. Два решения. 17. 11 см или 3 см. 43. 9°. 44. 19°.
123
45. 23° и 51°. 46. 23° и 92°. 47. 90°. 48. 94°. 49. 49°
и 51°. 50. 40°, 60° и 80°. 51. 72°. 58. 95 см. 59. 17 см,
51 см, 40 см. 75. 36° и 144°. 76. 80° и 100°. 77. 40°
и 80°. 83. 30° и 150°. 84. 66° и 114°. 85. 30° и 150°.
86. 2) 42°, 42° 138°, 138°; 3) 67°, 67°, 113°, 113°. 87. 60°
и 120°.	88.	149°. 98.	84°. 99.	156°. 100. 80° и 100°.
101. 90°. 110. 12 см. 125. 17 см. 126. 2 см. 127. 10 см.
128. 6	см, 8 см, 8	см. 129.	14 см, 28 см, 28	см.
130. 15 см. 131. 26 см. 147. 110°. 152. 48°. 153. 100°.
154. а)	43°	и 30°;	б) 46' и	82°; в) 27°, 71°,	82°.
155. в)	40°,	50°, 90°.	156. 40°,	60°, 80°. 157. 54°,	54°,
72°. 158. 36°, 72°, 72°. 159. 36°, 60°, 84°. 160. 20°, 70°,
90°. 162. 40°. 163. 66°, 66°, 48°. 164. 70°. 165. 105°.
166. 148°. 167. 21°. 168. 45°, 60°, 75°. 169. 60°, 50°.
171. 66°, 66°, 48° или 54°, 54°, 72°. 172. 30°, 30°, 120°
або 80°, 80°, 20°. 173. 1) 98°; 2) 57°; 3) 23°. 174. 1) 52°
и 74°; 2) 42° и 84°. 176. 132°, 141°, 87°. 177. 40° и
102°. 178. 130° и 360°. 179. 44°, 44°, 92°. 180. 28°,
28°, 124°. 181. 40°, 60°, 80°. 182. 24°, 72°, 84°. 183.
7:6:4. 184. 3:5:7. 187. 31° и 59°. 188. 30° и 60°. 189.
83°. 190. 70° и 20°. 191. 64° и 26°. 192. 43° и 47°.
193. 8 см. 194. 12 см. 195. 36 см. 196. 24 см. 197.
8 см. 207. 21°. 209. 7 см и 4 см. 215. 54°. 217.
1) 3 см; 2) 15 см. 218. 24 см и 40 см. 222. 1 см.
223. 10 см и 18 см. 224. 3 см, 4 см, 5 см. 249.
Искомое геометрическое место точек — окружность,
касающаяся всех этих хорд, центр которой совпадает
с центром данной окружности. 257. Указание. По-
строить прямоугольный треугольник по углу А (или
смежному с ним) и катету (высота к АС), получим
сторону АВ искомого треугольника. Далее, построив
прямоугольный треугольник по гипотенузе АВ и
катету (высота к ВС), получим угол В искомого
треугольника. 258. Указание. Построить прямоуголь-
ный треугольник ACD по данному катету АС и катету
CD, равному сумме второго катета и гипотенузы.
Серединный перпендикуляр к AD пересечет CD в
точке В — третьей вершине искомого треугольника
124
ABC. 259. Указание. Построить треугольник ABD, в
котором DB равна разности катетов, Z.D = 135”, угол
В — данный в условии угол. Перпендикуляр к
прямой BD, проведенный из точки А, пересекает ее
в точке С — третьей вершине искомого треугольника
АВС. 260. Указание. Построить треугольник BDC по
стороне ВС, углу В и стороне BD=AB + AC. Середин-
ный перпендикуляр к CD пересекает BD в точке
А — третьей вершине искомого треугольника АВС.
Вариант 3
13. 11,8 дм. 14. 12 см. 15. 0,9 см або 15,5 см.
16. Два решения. 17. 22 см или 12 см. 43. 21°.
44.	15°.	45. 31”	и 63”. 46.	28” и 77°. 47. 28°. 48.	19”.
49.	76”	и 104”.	50. 10°, 20° и 60”. 51. 152”. 58.	83
см.	59.	30 см,	69 см, 90	см. 74. 118” i 62”. 75.	45”
и 135°.	76. 84”	и 96”. 77.	12” и 48”. 83. 110” и	70”.
84.	58”	и 122”.	85. 20” и	160”. 86. 1) 38”, 38”, 142”,
142”; 2) 28”, 28”, 152”, 152”; 4) 56”, 56”, 124”, 124”.
87. 36” и 144”. 88. 82”. 98. 128”. 99. 127”. 100. 90” и
90”. 101. 180”. 110. 3,4 см. 125. 26 см. 126. 9 см.
127. 6 см, 7 см, 7 см. 128. 14 см, 14 см, 18 см.
129. 30 см, 24 см, 24 см. 130. 51 см. 131. 12 см.
147. 170”. 155. б) 63”, 63”, 54”. 156. 5”, 15”, 160”. 157.
44”, 44”, 92”. 158. 40”, 40”, 100”. 159. 20”, 40°, 120”.
160. 28”, 68”, 84”. 162. 30”. 163. 60”, 47”, 73”. 164.
61”. 165. 105°. 166. 38”. 167. 52”. 168. 30”, 60”, 90”.
169. 30”, 24”. 170. 116” и 116”. 171. 49”, 49”, 82” или
38”, 71”, 71”. 172. 40”, 40”, 100” или 75”, 75” 30”. 174.
1) 41” и 87”; 2) 16” и 112”. 176. 131”, 148”, 81”. 177.
22” и 101”. 178. 67” и 360”. 179. 56”, 56”, 68” или 62”,
62”, 56”. 180. 53”, 53”, 74” или 74”, 74°, 32”. 181. 7”,
21”, 152”. 182. 42”, 68”, 70”. 183. 19:14:13. 184. 5:3:1.
187. 22” и 68”. 188. 20” и 70”. 189. 53” и 37”. 190.
10” и 80”. 191. 19”. 192. 8” и 82”. 193. 46 см. 194.
21 см. 195. 8 см. 196. 3 см. 197. 8 см. 209. 9 см.
214. 28 см. 215. 88”. 217. 1) 6 см; 2) 24 см. 218. 15 см
125
и 21 см. 222. 60°. 223. 3 см и 7 см. 224. 2 см, 3 см,
4 см. 256. Указание. Построив прямоугольный тре-
угольник ACD (Z.D - 90°) по катету CD (высота искомого
треугольника) и углу А (угол при основании искомого
треугольника), получим АС — основание искомого тре-
угольника. 257. Указание. Построив прямоугольные
треугольники по гипотенузе (стороне искомого тре-
угольника) и катету (высоте искомого треугольника),
получим углы при известной стороне искомого тре-
угольника. 258. Указание. Построить треугольник ABD
по Z.D = 45°, стороне AD (сумма катетов) и стороне
АВ (гипотенуза искомого треугольника). Высота, опу-
щенная из вершины В на AD, пересекает AD в точке
С — третьей вершине искомого треугольника. 259. Ука-
зание. Смотрите указание к решению задачи 259 ва-
рианта 2. 260. Указание. Построить треугольник BDC,
в котором DC = АС - АВ, угол С и сторона ВС даны
в условии. Серединный перпендикуляр к ВС пересекает
прямую DC в точке А — третьей вершине искомого
треугольника АВС.
Вариант 4
13. 3,9 см. 14. 16 см. 15. 0,7 см или 6,5 см.
17. 1 см или 15 см, или 17 см, или 33 см. 44. 12°.
45. 21° и 48°. 46. 54° и 48°. 47. 130°. 48. 44°. 49. 24°
и 66°. 50. 36°, 60° и 84°. 51. 166°. 58. 223 см.
59. 76 см, 38 см, 49 см. 74. 38° и 142°. 75. 15° и
165°. 76. 81° и 99°. 77.	15° и	75°.	83. 50° и	130°.
84. 51° и 129°. 85. 18°	и 162°.	86.	1) 48°, 48°	132°,
132°; 2) 61°, 61°, 119°,	119°; 4)	66°,	66°, 114°,	114°.
87. 20° и 160°. 88. 75°.	98. 32°.	99.	122°. 100.	126°.
101. 90°. 125. 25 см. 126. 14 см. 127. 14 см, 22 см,
22 см. 128. 17 см, 23 см, 23 см. 129. 27 см, 30 см,
30 см. 130.46 см. 131.39 см. 147.50°. 154. a) ZF = 92°,
ZE = 34°; б) Z.F = 17°, ZE = 57°; в) ZL = 87°, ZE = 43°,
ZE = 50°. 155. в) ZC = 47°, ZH = 90°. 157. 24°, 78°, 78°.
126
158. 54°, 54°, 72°. 159. 20°, 40°, 120°. 160. 10°, 70°,
100°. 162. 25°. 163. 20°, 80°, 80°. 164. 97°. 165. 138°.
166. 72°. 167. 55°. 168. 36°, 36°, 108°. 169. 15°, 67°, 98°.
170. 104°, 122°. 171. 1) 46°, 46°, 88°; 2) 32°, 74°, 74°.
172. 1) 48°, 48°, 84°; 2) 70°, 70° 40°. 174. 1) 37° и
61°; 2) 7° и 91°. 176. 151°, 116°, 93°. 177. 112°, 37°.
178. 66° и 360°. 179. 1) 68°, 68°, 44°; 2) 44°, 44°, 92°.
180. 1) 86°, 86°, 8°; 2) 47°, 47°, 86°. 181. 21°, 75°, 84°.
182. 36°, 63°, 81°. 183. 11:14:15. 184. 1:2:3. 187. 16°
и 74°. 188. 27° и 63°. 189. 39° и 51°. 190. 72° и 18°.
191. 3°. 192. 30° и 60°. 193. 17 см. 194. 56 см.
195. 18 см. 196. 8 см. 197. 24 см. 207. 42°. 209.
8 см. 214. 10 см. 215. 119°. 218. 81 см и 45 см.
222. 4 см. 223. 7 см и 2 см. 224. 8 см, 9 см, 10 см.
257. Указание. Построив прямоугольный треугольник
ADC по гипотенузе АС (известная сторона искомого
треугольника) и катету AD (высота к другой стороне
треугольника), получаем угол С искомого треугольни-
ка АВС. 'Построив прямоугольный треугольник ВЕС
по углу С и катету BE (вторая высота искомого
треугольника), получаем сторону ВС искомого треу-
гольника. 258. Указание. Построить треугольник ABD,
в котором ZP = 45°, DA — сумма катетов, угол А дан
в условии. Проведя высоту из точки В к DA,
получаем третью вершину С треугольника АВС. 259.
Указание. Построить прямоугольный треугольник ADC
(ZC = 90°) по катету АС (дан в условии) и катету CD
(разность между гипотенузой и катетом искомого
треугольника). Серединный перпендикуляр к AD пере-
секает прямую CD в точке В — третьей вершине
искомого треугольника АВС. 260. Указание. Построить
треугольник DBE, в котором DE — сумма сторон
искомого треугольника, ZP = ZA, ZE = ~ ZC, где
Z-A п ZC — известные углы искомого треугольника.
Серединные перпендикуляры к BD и BE пересекут
DE в точках А и С — вершинах искомого треуголь-
ника АВС.
СОДЕРЖАНИЕ
От авторов................................. 3
Тематическое распределение упражнений . .	4
Распределение упражнений в соответствии
с пунктами учебника..................... 5
Тренировочные упражнения................... 7
Вариант 1.................................. 7
Вариант 2..................................34
Вариант 3..................................61
Вариант 4..................................88
Контрольные работы. Вариант 1.............115
Контрольные работы. Вариант 2.............118
Ответы и указания к тренировочным
упражнениям /..........................121
Мерзляк Аркадий Григорьевич
Полонский Виталий Борисович
Рабинович Ефим Михайлович
Якир Михаил Семенович
Сборник задач и контрольных работ
по геометрии для 7 класса
ЛР № 064344 от 9.12.95.
Печать офсетная. Формат 60x90/16.
Тираж 50 000 экз. Заказ 419.
ООО «Илекса», 121354, г. Москва, а/я 282.
Творческое объединение «Гимназия», г. Харьков, ул. Тобольская, 46а
Заказы по телефонам: в Москве (095) 365-30-55,
в Харькове (0572) 11-80-62, 32-98-50
Ордена Трудового Красного Знамени
Чеховский полиграфический комбинат Комитета РФ по печати
142300, г. Чехов Московской области