А.Г. Мерзляк,
В.Б. Полонский,
Е.М. Рабинович,
М.С. Якир
СБОРНИК
задач и заданий
для тематического оценивания
по алгебре и началам анализа
для 11 класса
Рекомендовано
Министерством науки и образования Украины
Харьков
«Гимназия»
2009
ББК 22.1я72
МЗ-41
Рекомендовано
Министерством науки и образования Украины
Рецензент: Романенко А.О. — учитель-методист лицея
№ 171 «Лидер» города Киева.
Пособие является дидактическим материалом по алгебре
и началам анализа для 11 класса общеобразовательных школ.
Оно содержит более 500 задач. Первая часть «Тренировочные
упражнения» разделена на два однотипных варианта по
255 задач в каждом. Вторая часть содержит задания для тема-
тического оценивания учебных достижений учащихся (два ва-
рианта) по двенадцатибалльной шкале в соответствии с государ-
ственной программой по математике, принятой в 2001 году.
Для учителей средних школ и учащихся 11 классов.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М.,
Якир М.С.
МЗ-41 Сборник задач и заданий для тематического оцени-
вания по алгебре и началам анализа для 11 клас-
са. — Харьков, Гимназия, 2009. — 96 с.: ил.
ISBN 966-7384-02-0
ББК 22.1я72
ISBN 966-7384-02-0
© А.Г. Мерзляк,
В.Б. Полонский,
Е.М. Рабинович,
М.С. Якир, 2001
© Гимназия, 2001
ОТ АВТОРОВ
Учащимся
Дорогие дети! В этом году вы не только расширите и
углубите свои знания по алгебре, но и познакомитесь с
одним из сложных и важных разделов «Математический
анализ». Мы надеемся, что задачи, предложенные в этой
книге, помогут сделать это знакомство не только полез-
ным, но и интересным.
Учителю
Мы очень надеемся, что, купив эту книгу не только
для себя, но и «на класс», Вы не пожалеете. Даже тогда,
когда Вам повезло, и Вы работаете по учебнику, который
нравится, все равно задач, как и денег, бывает или мало,
или очень мало. Мы надеемся, что это пособие поможет
ликвидировать «заданный дефицит».
Первая часть — «Тренировочные упражнения» —
поделена на два однотипных варианта по 255 задач в
каждом. Ко многим (наиболее сложным) задачам первого
варианта приведены ответы и указания к решению. От-
сутствие ответов к упражнениям второго варианта, по
нашему мнению, расширяет возможности учителя при
подготовке самостоятельных и проверочных работ. На
стр. 4, 5 приведена таблица тематического распределения
тренировочных упражнений. Вторая часть пособия содер-
жит задания для тематического оценивания знаний уча-
щихся (два варианта).
Содержание заданий поделено условно на две части.
Первая соответствует начальному и среднему уровням
учебных достижений. Задания этой части обозначены
символом п (п — номер задания). Вторая часть соответст-
вует достаточному и высокому уровням. Задания каждого
из этих уровней обозначены символами п* и п** соответ-
ственно. Выполнение первой части максимально оцени-
вается в шесть баллов. Правильно решенные задачи уров-
ня п* добавляют еще 4 балла, то есть учащийся имеет
возможность получить отличную оценку 10 баллов. Если
учащемуся удалось еще решить задачу п**, то он получа-
ет оценку 12 баллов.
3
Тематическое распределение тренировочных
упражнений
Тема	Номера упраж- нений
Модуль действительного числа. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля	1-10
Предел числовой последовательности	11-13
Предел функции. Непрерывность функции	14-18
Определение производной функции	19-21
Правила вычисления производных	22-32
Производная сложной функции	33; 34
Производные тригонометрических функций	35-39
Производные высших порядков	40-42
Решение неравенств методом интервалов	43-51
Касательная к графику функции	52-65
Физический смысл производной	66-68
Исследование функции на возрастание (убывание)	69-72
Критические точки, максимумы и минимумы функции	73-77
Построение графиков функций	78; 79
Наибольшее и наименьшее значение функции	80-86
Первообразная. Основное свойство первообразной	87-90
Правила нахождения первообразных	91-102
Интеграл. Формула Ньютона — Лейбница	103-106
Площадь криволинейной трапеции	107-114
Объем тела вращения	115;116
4
Продовження таблиц!
	Номера
Тема	упраж- нений
Применение интеграла в физике Производная показательной функции и ее	117; 118
применение	119-130
Производная логарифмической функции и ее применение	131-139
Первообразная показательной функции	140-144
Производная и первообразная степенной функции	145-157
Дифференциальные уравнения	158-160
Перестановки	161-168
Сочетания	169-184
Размещения	185-193
Бином Ньютона	194-207
Классическое определение вероятности	208-216
Применение формул комбинаторики для вычисления вероятности событий	217-227
Теорема сложения вероятностей несовместных событий	228-234
Теорема умножения вероятностей независимых событий	235-248
Схема Бернулли	249-255
5
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
Вариант 1
Модуль действительного числа.
Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля
1.	Раскрыть знак модуля:
1)	| к - 3 |;	3) | х2 +• 3 |;	5) | 8 - х |;
2)	| 2 - V5 |;	4) | х + 2 |;	6) | х2 +• 2х + 3 |.
2.	Решить уравнение:
1)	| х2 - Зх + 2 | = -2;	3) | х | = х;
2)	| х | = -х2;	4) | х | = -х2 - 1. •
3.	Решить неравенство:
1)	| х | > -х;	3)	< 1;	5) х | х + 1 | < 0;
I к I
2)	| х | > -х;	4) х | х + 1 | £ О;	6) -—-—- < 0.
I х + 1 |
4.	Решить уравнение:
1)	I х | =-а;	2) | х | =-а2.
5.	Решить неравенство:
1)	а | х | < 0;	2) а | х | > 0.
6.	Построить график функции:
1)	у = I	X - 4 I;	6)	у =	Lap (X2 - 5х + 6);
2)	у = |	х | + х;	7)	у =	х2 + 4 | х | + 3;
3)	у = |	2х + 1 | -	х;	8)	у =	х2 - 5х . *	_	14;
| X Z I
4)	у = । ~ ? L	9) у = х2 - 4 | х + 1 | + 5х + 4;
х - 3
5)	у = | х | (х + 2); Ю) у = -—;
| X I - X
6
1 i) У = Л г Л;	15) у = |х + 2| + |х| - |х - 4|;
| X I - О
12)	У =	16) у = | х2 - 2х - 8
13)	у = | х -	3	|	+ | х + 4 |; 17) у	= |	х2 - | х | - 2
14)	у = | х +	3	|	- | х - 1 |; 18) у	= |	| х | - 3 |.
7.	Построить график уравнения:
1)|х|=1;	4)|х + у|	= 4;	7) | х | - 2 | у | = 4;
2)	I У I = 3;	5) | 2х - у	| = 5;	8) | у | = | х |.
3)	| ху | = 8;	6) | х | + | у | = 5;
8.	Решить уравнение:
1) | х + 4,2 1 = 5,1;	10) х2- 5х	- 14 = 0; х + 2
2) | Зх - 5 | - 4,8;	И) ||х2- 8х + 4| -3| = 7;
3) 1 | х | - 2 | = 2;	12) | х2 - 3 | х | + 2 | = 1;
4) | х2 - х - 1 | = 1;	13) | х2 - 2х | = 3 - 2х;
5) х2 - | х | - 2 = 0;	14) | х | + | х - 4 | = 5;
6) х | х | + 8х - 7 = 0;	15) | х + 1 | + | х - 3 | = 4;
7) | х - 4 | + х = 8;	16) | х | - | х - 5 | = 6;
8) | х + 3 | - х = 2;	17) |2х - 3| - |х + 2| = 4х + 5
9) 2(х-2)2+ |х-2|-1 = 0; 18) |х2-4х+3| +|х2-5х+6|= 1.
Решить неравенство:		
1)1	х | < 3;	12) |х + 3| + |х-4|>6;
2)1	х - 1 Н 4,2;	13) | х + 2,5 | - | х - 1,5 | S 3;
3)1	7х + 8 | < 2;	14) | Зх + 8 | - | 2х - 7 | > 4;
4)1	10 - Зх | < 5;	15) | х2 - х - 3 | < 9;
5)1	х | > 8;	16) | х2 + 5х | > 6;
6)1	х + 5 | > 7,8;	17) | х - 4 | (х + 2) > 4х;
7)1	0,5 х + 6 | > 1;	18) х2 - 4 | х | < 12;
8)1	11 - 4х | > 6;	19) х2 - 5х + 9 > | х - 6 |;
9)1	х + 2 | + Зх > 6;	20) х2 + 2 |х - 1| + 7 < 4 |х -
Ю)|	х - 6 | - 7х < 18;	21) | Зх - 4 | > | 2х + 1 |;
И)|.	с + 1| + |х - 1| < 2;	22’1ЬтН>2-
7
10.	Исследовать количество решений уравнения в зависи-
мости от значения параметра а:
1)	| х2 + х - 6 | = а; 4) | | х | - 3 | = а - х;
2)|х + 3| + |х-2| = а; 5)|х-4|-|х + 2| = а;
3)	| х2 - 2 | х | | = а; 6) 5 + 4 | х | - х2 = а.
Предел числовой последовательности
11.	Последовательность задана формулой общего члена
ап = Для заданного числа е указать такой но-
мер п0, что для всех п > п0 выполняется неравенство
|ал - 1| < к 1) е = |; 2)е = 0,1; 3) е = 0,01.
12.	Используя определение предела последовательности,
Зп - 2	3
доказать, что 1пп -----= —.
л 2л + 1	2
13.	Вычислить предел:
1) lim	3) lira sin (n + 3);
„ „ 3n - 4	„	„ n + 3
lim л - 3«2 + 44.	л \ и™ 1	ь 2 + ..	. + п
£) lim л о	4} нт		
л -> «» бп - Зп + 7	п -> °®	п	
Предел функции. Непрерывность функции
14.	Для каждой из функций, график которой изображен
на рис. 1, установить:
1)	Определена ли эта функция в точке х0?
2)	Существует ли предел функции в точке х0?
3)	Если предел в точке х0 существует, то равен ли он
значению функции в этой точке?
15.	Используя определение предела функции, дока-
зать, что:
1)	lim (2х 4- 1) = 3;	2) lim sin х = 1.
х -> 1	It
Х~* 2
8
е)
Рис. 1
16.	Вычислить предел:
1)	lim (2x2-3x-i-4);
X -> 1
2)	lim
х -> 3
х2 -2х- 3.
х2 - 5х + 6*
3)	lim
х -> 7
х-7
2 - ^х - з’
4)	lim f— ------1-	—
х _3 I х + 3 х2 - 9
ein Tj-
5)	?-?<) "з7-;
6)	lim sin x cos —.
x -> 0	X
17.	Доказать, что функция Дх) непрерывна в точке х0:
1) /(х) = Зх - 1, х0 = 2;
2) Дх) =
х2 - 4, если х < 4,
Зх, если х £ 4,
х0 = 4.
9
18.	Доказать, что функция
х1 2, если х * 1,
-1, если х = 1,
не является непрерывной в точке xQ = 1.
Определение производной функции
19.	Найти приращение функции f в точке х0 при указан-
ном приращении аргумента Ах:
1)	Дх) = Зх - 2, х0 = -1, Ах = 0,3;
2)	Дх) = sin х, х0 = О, Ах =
ДДх0)
20.	Для функции Дх) = cos Зх найти---.
Ах
21.	Используя определение, найти производную функ-
ции:
1) Дх) = 1 - 2х;
2) Дх) = х2 + Зх - 2.
Правила вычисления производных
22.	Найти производную функции:
1) Дх) = | х;
5) Дх) = х8;
9) дх) = Л-;
X
2) Дх) = л/бх;	6) Дх) = -4х4;	10)	Л(х) -
3) g(x) = Зх2;	7) й(х) = х-3;	11)	<р(х) =-Ц-;
4) <р(х) = -	8) g{x) = -2х-10;	12)	g(x) = - Jj.
О	ох
23. Найти производную функции:
1 - 1
1) Дх) = х3;	3) у = х2;	5) Дх) = А;
2х®
- -	5/—И-	7
2) Н(х) = 5х 5 * *;	4) <р(х) = Чх, 6) g(x) =	.
10
24.	Найти производную функции:
1)	Дх) = Зх	3) ф(х) =	;
УХ
2)	у = -4=;	4) Л(0 = Vt?T.
ХУХ
25.	Найти производную функции:
1)	у = Зх7 - 6х5 - 4х1 2 + 17; 3) у = х -
2)	у = | хб - 8<Г + 2х;	4) у = 4 “ 4
а	х х
26.	Вычислить значение производной данной функции в
точке х0:
1)	- х4 - 2х3 + х, х0 = -1;
2)	/(х) =	- 2х + <3, х0 = 3;
3)	/(х) = Vx - 16х2, х0 = 1
27.	Найти производную функции:
1)	у = (х3 - 2) (х2 + 1);	3) у = (Vx + 1) (3 - 2<г);
2)	у = Vx (Зх2 + 2);	4) у = (х2- Зх + 1)(х4- Зх + 2).
28.	Найти производную функции:
. ч Зх - 7	х2 + 5х	х - 1
1)	У = ~;	3) у =----—;	о) у = -7=^-;
5 - 2х	х - 3	\х
4х + 1	..	2х2 + Зх	^х
2)у= 2	;	4) у = ———;	6) у = -----.
х - 2	х - 4	4х - 1
29.	Вычислить значения производных данных функций
при указанных значениях независимой переменной:
1) Лх) =	Г(2) - ?	2) f(x) = 4^4 Г(-3) - ?
х - 1	х + 5
30. Верно ли, что f(l) < g'(l), если /(х) = 4Vx~,
<(*) =
3 - 4х
31. Решить неравенство f(x) + g'(x) < О, если Дх) =
= 2х3 + 12х2, g(x) = 9х2 + 72х.
32. Найти, при каких значениях х равна нулю производ-
х4 х3 >
ная функции /(х) = —---— - 6х .
4 о
11
Производная сложной функции
33.	Найти производную функции:
1)	У =	(3 - х)5;	4) у	=	3 (х - 2)8 + 2	(1 - х)4;
2)	у =	(6х5 - 2х)8;	5) у	=	л/2х - 1;
3)	У =	( 2 \	6) у	=	а/хэ-2х.
(х - Зх)
34.	Вычислить значение производной данной функции в
точке х0:
1)	f(x) = (х2 - 5х -ь I)10, х0 = 0;
2)	Дх) = (V7- I)5, х0 = 4;
3)	f(x) = ^5х2 - 2х, х0 = 2;
Ov2 _ 7
4)f(x)=-g=I, х0 = 2.
\2х - 3
36.
Производные тригонометрических функций
35. Найти производную функции:
Xs 1)у = v + о	VFsin х -	Л п 2 cos — - Эх ; и	4) у = Зх tg х; к
2) у = tg х + ctg х; 3) у = х2 sin х; Найти производную функции:			1 - sin х 5) у = ,	; 1 + sin X 3 cos х 6) У - з • X
1) у = cos	6х;	3) у = sin2x;	2	1 о) у = х cos —;
2) у = ctg	Л А Зх + 6;	4) у = ^tg2x;	sin Зх 6) У - X - 1
3) /(х) = соз43х, х0 =
4) /(х) = Зх sin 2х, х0 =
37.	Вычислить значение производной данной функции в
точке х0:
1)	/(х) = sin х0 =
2)	/(х) = tg х2, х0 =
12
38.	Решить уравнение f(x) = g(x), если f(x) = 2х2с о § р
g(x) = х - х2 sin х.
39.	При каких значениях х производная функции
х	“/З
f(x) = 3sin -z- + + х — больше нуля?
О	£
Производные высших порядков
40.	Найти вторую производную функции:
1)	у = х3- 2х2 + Зх- 1;	3) у =
2)	у = 3 sin	4) у = х совх.
и
Л
41. Найти производную третьего порядка функции у = —.
42.	Найти производную четвертого порядка функции:
1)	у = Зх3 + 4х2 - 8х + 10;	2) у = cos 2х.
Решение неравенств методом интервалов
43.	Решить неравенство:
1)	(х + 7) (х - 6) (х - 14) < 0;
2)	(2х + 3) (4х - 3) (х - 9) > 0;
3)	(х + 6,8) (1 - х) (2 - х) > 0;
4)	(5х + 20) (6х - 2) (6х - 12) (9 - 2х) > 0.
44.	Решить неравенство:
1)	х - 9 х х+ 11 '	> 0;	4)	(х + 13) (х + 2) .. 0. х - 13
2)	х + 6,2	< 0;	5)	х-2,5	>о.
	х — 1,6			(х + 5) (х - 10)
3)	6-х 2х + 1,8	 < 0;	6)	—х + 7>2	> 0. (8 - х) (х - 2)
45.	Найти множество решений неравенства:
1)	(х2 + 4х) (х2 - 25) < 0; 2) (х2 + 6х + 5) (х2 - 4х) > 0;
13
3)	*! *10х*9 х2 - 4х + 3 4)	12 > 0; х2 - 64 5)	£±2 > 4х ~ Ю. х - 2 х - 2 6)——< 1; 2х - 7	7) х2 + 5х > 14  ' X - 1	X - 1’ 8) X2 - 4х < 4; х- 3 дх (X + 3)(4 - х)(2х 4- 5) > 0. (Зх-1)(х4-4) 10) —		— > 1. х + 2 х 4- 4
46. Решить неравенство:
1) (х2 + 4) (х2 - 4х 4- 3) > 0;
2) (х 4- 4)2 (х2 + 8х 4- 12) 	С 0;
3) (х 4- 4)2 (х2 4-8x4 12) < 0;
4) (х 4- 4)2 (х2 4- 8х 4- 12) :	> 0;
5) (х + 4)2 (х2 + 8х + 12) > 0;
6) (х - 5)2 (х2 - 2х - 3) > 0;
7) (х - 5)2 (х2 - 2х - 3) > 0;
8) (х - 5)2 (х2 - 2х - 3) <	0;
9)	(х	-	5)2 (х2 - 2х - 3)	< 0;
10)	(х	-	I)2 (х -	2)3	(х -	4)4	> 0;
11)	(х	-	I)2 (х -	2)3	(х -	4)4	> 0;
12)	(х	-	I)2 (х -	2)3	(х -	З)4	(х - 4)5 < 0;
13)	(х2 + 9х + 18) (х2 + 4х 4- 5) > 0;
14)	(х2 - 2х - 7) (Зх - х2 - 6) < 0.
47.	Решить неравенство:
1)	—— > 0; х2 - 4х 4- 4 2)	~ 12 > 0; х2 - 4х 4- 4 3)	х2 + х-12 < 0. х2 - 4х 4- 4 4)	х22 + х-~ 12 < 0; х2 - 4х 4- 4 5)	<2А6х.Л9 > 0 х1 4- Зх - 10	6)	х22 + 6х + 9 > 0; х2 + Зх - 10 X2 4- бХ 4- 9 < 0. ; X- + Зх - 10 8)	х + 6х + 9 < 0; г2 4- Зх - 10 9)	Х~ + Х ~ 6 > 0; |х - 4| 10)	- ,		> 0. х2 - 2х - 63
14
48.	Найти множество решений неравенства:
п х2 - 6х п.	х2 - 2х + 1
^г-Зб^’	2 > х2 + Зх - 4 -
49.	Найти наибольшее целое решение неравенства
----—— < 0, где /(х) = х3 - 12х + 7.
(х - 4) (х + 5)
50.	Найти множество решений неравенства f(x) > 0, если:
1) ftx) = 5 + 2х2 - 2х3 - х4;	3) f(x) = 1 - 4х
2) дх) = 4^; 2-х 51. Решить неравенство:	х^ + 9 4) кх) = х2 - 9
1) (х - 4) (х - а) < 0; 2) (х - 4) (х - а)2 > 0;	5) (х - а) (х + 2)2 < 0; 6)	< 0; х - а
3) (х - 4) (х - а)2 > 0;	7) (х - 5) (х - д) > 0. х - 5
4) (х - а) (х + 2)2 < 0;	8) (х - 5Дх - а) < 0 х - а
Касательная к графику функции
52.	Найти угловой коэффициент касательной к графику
х3
функции ftx) = — - 2х2 - 4х - 2 в точке х0 = -2.
О
53.	Найти тангенс угла наклона к оси абсцисс касатель-
ной к графику функции f(x) = tg Зх в точке с абсцис-
сой х0 = - jj.
54.	Записать уравнение касательной к графику функции:
1)	= х3 - 5х в точке х0 = 2;
2)	f(x) = V5x - 3 - х^ в точке х0 = 1;
3)	/(*) = сов3х в точке х0 = л.
55.	Найти уравнение касательной к графику функции
/(х) = sin (2х + £
I о
динат.
в точке пересечения его с осью ор-
15
56.	Найти уравнение касательной к графику функции
f(x) =
х - 4
х2 - 2
в точке пересечения его с осью абсцисс.
57.	Найти абсциссу точки графика функции f(x) - г3 -
- 2,5 х2 + г + 4, в которой касательная к этому графи-
ку параллельна прямой у = Зх - 5.
58.	Найти уравнение касательной к графику функции
f(x) = х2 - 4х + 6, параллельной прямой у = 4х + 7.
59.	Найти уравнение горизонтальных касательных к гра-
фику функции f(x) = х4 - 4х2 - 8.
60.	Найти уравнение касательной к графику функции
f(x) = л/(х - 2)2 в точке х0 = 2.
61.	Найти, в какой точке графика функции
f(x) = х3-Зх2-8х + 7 касательная наклонена к оси
абсцисс под углом а =
62.	Под какими углами парабола у = х2 + Зх - 18 пересе-
кает ось абсцисс?
63.	Вычислить площадь треугольника, образованного
осями координат и касательной к графику функции
f(x) = х3 - х2 + 6х - 2 в точке с абсциссой х0 = 1.
64.	Найти уравнение касательной к графику функции
f(x) = 2х2 +• 2, проходящей через точку М (0; 1).
65.	При каких значениях Ь и с парабола у = х2 + Ьх + с
касается прямой у = Зх - 1 в точке с абсциссой х0 = 1 ?
Физический смысл производной
66.	Точка движется прямолинейно по закону x(t) =
= 3t2 - 5t + 8 (время t измеряется в секундах, пере-
мещение х — в метрах). Найти скорость движения в
момент времени t = 4.
67.	Вращение тела вокруг оси происходит по закону
<p(t) = 6t - 2t2. Найти, в какой момент времени тело
остановится (t — время в секундах, <p(t) — угол пово-
рота в радианах).
16
68.	Тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону
s(t) = 4t3- 3t2 + 10f. Найти кинетическую энергию те-
ла и силу, действующую на него, в момент времени
t = 2 (t измеряется в секундах, а — в метрах).
Исследование функции на возрастание (убывание)
69.	Найти промежутки возрастания и убывания функ-
ции:
1)	f(x) = х3 - 18х;	4) Дх) = *2 ~-%б-х;
х + 2
2)	Дх) = 1 + 3х2-^-^-;	5) Дх) = л/х2-4х;
0	4
3)	Дх) = 0,2х5 - х3 + 2х - 9;	6) Дх) = sinx - х.
70.	Доказать, что функция Дх) = ^-х3-^-х2 + х- 5 воз-
растает на множестве всех действительных чисел.
3	4	6
71.	Доказать, что функция Дх) = х + -----— убывает
на промежутке [1; <»).
72.	Найти, при каких значениях а возрастает на R функ-
ция:
1)	Дх) = ах2 + 4х + 5;
х3 ах2
2)	Дх)=^--^ + 4х-10;
3)	Дх) = ^ - (2а +	*2 + 2“Х + а - 3;
4)	Дх) = (2а - 2) х3 + (За - 3) х2 + 36х.
Критические точки, максимумы и минимумы
функции
73.	Найти критические точки функции:
1)	Дх) = 2х3 + 2,5х2 - х;	3) Дх) = Чх2.
2)	Дх) = (х + I)2 (х - З)2;
74.	Найти, при каких значениях а не имеет критических
точек функция Дх) = "'/(х -i- 4)3 - (а - 4) х.
17
75. Найти точки экстремума функции:
1) /(х) = Зх4 + 4х3 - 36х2 + 10;	3) /(х) = х + 1;
2) /(х) = (х - З)3 (х + 2)2;	4) /(х) = <5 - х2.
76. Найти промежутки возрастания и убывания и экстре-
мумы функции:
1) f(x) = - | х3 + | х2 + 2х - 3;	5) /(х) = х + 1
2) f(x) = х4 - 2х2 + 3; 3) f(x) = х + 3	6) f(x) = л/х2 + 2х; х3 7) fw = х + 3
4) f(x) = (х + l)3 (х - 2)4;	J. 1 8) Я*) =
77. Найти, при каких значениях	а функция f(x) =
= a sin2x - (2а + 1) х:
1) не имеет критических точек;
2) не имеет экстремумов.
Построение графиков функций
78.	Исследовать функцию и построить ее график:
1)	f(x) = Зх2 - х3;	4) f(x) = ^Ц-;
2)	f(x) = | х4 - х2 - 4;	5) f(x) =
4	1-х
3)	f(x) = (х- I)2 (х + 2)2;	6) f(x) =
х - 4
79.	Исследовать функцию и построить ее график:
1)	f(x) = х - Vx; 2)f(x)=-^—,	3) f(x) = xN4 - х2.
х - 2
Наибольшее и наименьшее значения функции
80.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на данном промежутке:
1)	f(x) = 1 - Зх2 - х3, [-1; 2];
18
2)	f(x) = x4 - 4x2 + 2, [-2; 1];
v-2 + 5
3)f(r) = ^f, [3; 6];
x - 2
4)	Дх) = 2 sin x + cos 2x, [О; л].
81.	На какое множество функция f(x) - Qx - 2xa отобра-
жает отрезок [-1; 3]?
82.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = -х3 + Зх |х - 3| на промежутке [0; 4].
83.	Число 60 представить в виде суммы двух положитель-
ных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была
наименьшей.
84.	Найти положительное число, утроенный квадрат ко-
торого больше удвоенного куба этого числа на наи-
большее значение.
85.	Какими должны быть стороны прямоугольника, пери-
метр которого равен 60 см, чтобы его площадь приня-
ла наибольшее значение?
86.	В равнобедренный треугольник, угол при основании
которого равен а, вписана окружность радиуса г.
Найти площадь треугольника. При каком значении
а площадь треугольника будет наименьшей?
Первообразная. Основное свойство первообразной
87.	Доказать, что функция F является первообразной для
функции f на указанном промежутке:
1)	F(x) = х3 - Зх2 + 9, Дх) = Зх2 - 6х, хе й;
2)	г(х) = Зх - Дх) = з + 4’х е (-°°; °);
х	X
3)	Дх) = д/2х - 3, Дх) = , 1  > х е (1,5; °°);
V2x - 3
4)	F(x) = cos 4 Дх) = - sin 7, х е й;
□	5 О 5
5) Г(х) = 3 tg 2х - 10, Дх) = —, х е
cos 2х
19
88.	Является ли функция F(x) =	- 4 первообразной для
х
12
функции f(x) =----г на промежутке:
х
1)	(0; «);	2) (-3; 3);	3) (—; 0];	4) [-5; 0)?
89.	Является ли функция F(x) = | х + 3 | первообразной
для функции f(x) = 1 на промежутке:
1)	(-1; 3);	2) (-4; 1)?
90.	Для данной функции f найти первообразную, график
которой проходит через данную точку М:
1)	Дх) = х2, М (1; -2);	4) Дх) = ±М f-1; - 11;
Г	а )
2)	f(x) = sinx, М [75-; 1 t 5) Дх) = Vx, М (8; 15);
I о I
3)	Дх) = -Ц-, М fe ) 6) Дх) = М (-1; 1).
COS X	о J	sr~^
Правила нахождения первообразных
91.	Для данной функции f найти общий вид первооб-
разной:
1)Дх) = 3^х;	5)Дх) = 4-4;
X X
2)	Дх) = Зх2 - 2х + 1;	6) Дх) = 3 coax---;
sin“x
3)	Дх) = 10х4 + 14х6;	7) Дх) = 4Vx~ - 8х7;
4)	Дх) = х3 + у=;	8) Дх) = Чх* +	•
Vx
92.	Для данной функции f найти первообразную F, удов-
летворяющую данному условию:
1)	Дх) = 6х2 + 4х - 3, Л-2) = -3;
2)	Дх)= 15х14-^=, F(l) = 0;
3)Дх) = 3-4- F(0,5) = 7.
X
20
93. Для данной функции f найти общий вид первооб-
разной:		
1) Дх) = (Зх - I)3;	4) Дх) =	4
		2 X*
		cos б
2) Дх) = cos7x;	5) Дх) =	8	.
		л/2х - 1'
3) Дх) = sin	6) Дх) =	1 (4х + З)2'
94. Для данной функции f найти первообразную, график
которой проходит через данную точку А:
1)	fM = sin £ + 4 cos 4х, А (л; 3);
О о
?—? ч&я
ЗК(” = ЖГТ А(3:1)-
95.	Найти первообразную функции f(x) = 2х - 1, один из
нулей которой равен 3.
96.	Найти первообразную функции Дх) = Зх2 - 12х + 3,
один из нулей которой равен -1. Найти оставшиеся
нули первообразной.
97.	Найти первообразную функции Дх) = -4х + 3, график
которой с прямой у = 3 имеет только одну общую
точку.
98.	Найти первообразную функции Дх) = 7х - 4, для гра-
фика которой прямая у = 10х + 3 является касатель-
ной.
99.	Скорость движения точки задается уравнением
v = 6t2 + 1 (м/с). Найти уравнение движения s = s(t),
если в момент времени t = 3 с точка находилась на
расстоянии в = 42 м.
100.	Найти общий вид первообразной данной функции:
1)	Дх) = sin23x;	4) Дх) = (х2 - Зх)2;
2)	Дх) = ctg2	5) Дх) = sin4x cos3x.
.. .	2х4 + х3 - 1
3)	Дх) =----5---;
21
101.	F(x) — первообразная функции f(x) = 3 - 2х, график
которой имеет общую точку с графиком функции
f(x), принадлежащую оси ординат. Найти первообраз-
ную F(x) и все точки пересечения графиков функций
f(x) и F(x).
102.	Найти формулу, которой задается функция у = f(x),
график которой проходит через точку М (-1; 4), а
угловой коэффициент касательной, проведенной к
графику в точке х, равен 2 - Зх2.
Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
103. Вычислить интеграл:	
3	6 1) f (x + 2) dx;	9) J	dx
	,	’
-1	о 5	it	
2) f (x2 - 3x) dx;	10) J 0	2L 6 1	it	cosx dx;
3) f (8x3 - 6x2 + lOx - 5) dx; 11) J -2	n	sin dx;
2	it
4)	/ (х - 4)2 dx;	12) J
J	J	cos	,
-3	3л
2 5) f (5x - 9)4 dx; i	9	
	13) J я 12	dx sin23x’
-2	2Л	
6)f 8dx 3; -2,5 (2X + 3>	14) J 0	sin2x - cos 4 dx; 1	4 J
9 ,	.	9	
7) f fl + -|= dx; J 1 vx J	15) J	ylx dx;
1 v >	4	
1	27	
8) f J?—; J a/4x + 5	16) J -8	4x dx;
22
16 17) J Vr1 dr; 1	8 1
18) J Vl - x dx; -i	22) f -г-- -dx	 78 >/100 - 2z ~ 40
19)j Ver - 1 dr; 0	23)/ 1 v(9x - I)2 * 2л
8 20) j rVx dr;	3	/ 24) [ cos |£- 3x J	I ®
dx.
2
л
3
104. Вычислить интеграл:
л
24
2
1) j tg24r dr;	5) j (4x - r2)2	dx;
0	-3	
0	4	
2) j 2 cos2 dx;	6) j (X2 - Vx)2	dx;
-K	0	
Л		
3) j sin4 * *x dr; 0 К	T)J£^4±4 1 x	dx;
2 4) j cos5r cos3x dr;	8) f x ~ 7 ~ 5x2 J	NX	dx.
л
8
1
105. Вычислить интеграл J /(х) dx, если
-з
= (х’ пр» х < -2
1x4-6 при X > -2.
106. При каких значениях а выполняется неравенство:
а	а
1) J Зх2 dx < 26;	2) j 2х dx > 7?
1	з
23
Площадь криволинейной трапеции
107.	Найти площадь фигуры, ограниченной:
1)	параболой у = х2 и прямыми у = 0, х = -2, х = -1;
2)	графиком функции у = х3 и прямыми у = 0, х - 1;
3)	графиком функции у - eosx и прямыми у = 0,
л л
х ~ 2’ х ~ 6’
4)	параболой у = 4 - х2 и осью абсцисс;
5)	параболой у = х2 - 2х, осью абсцисс и прямой
X = 4;
6)	графиком функции у = ^Гх и прямыми у = 0, х = 1,
X = 9;
7)	графиком функции у = ^х - 3 и прямыми у = 0,
X = 7;
8)	графиком функции у = sin2x и прямыми у = 0,
л Зя
Х ~ 8’ Х ~ 8 '
108.	Вычислить площадь заштрихованной фигуры, изо-
браженной на рис. 2.
а)
Рис. 2
24
гл.
«)
у..
г)
Рис. 2 (продолжение)
25
109.	Найти площадь фигуры, ограниченной:
1)	параболой у = б - х2 3 и прямой у = 2;
2)	параболой у = 4 - х2 и прямой у = х-н- 2;
3)	параболой у = -х2 - 4х, прямой у = 4 и осью ор-
динат;
4)	параболой у = х2 - 6х -I- 9 и прямой у = -х + 5;
5)	графиками функций у = 'Гх и у = х;
О
6)	параболой у = х2 + 2х +• 2 и прямой у = 2х + 3;
7)	параболами у = -х2 + 2х + 1 и у = х2 - 4х + 5;
8)	графиками функций у = Vx + 2 и у = 0,5 х + 1.
110.	Найти площадь фигуры, ограниченной:
1)	графиками функций у = >/х + 1, у = "^7 - х и осью
абсцисс;
2) графиком функции
и осью абсцисс;
3) графиками функций
2 cosx при - у < х < 0,
2-х при 0 < х < 2
/—2	2
у =Чх, у = - X - - и осью
о	о
абсцисс.
26
111.	Используя геометрический смысл интеграла, вычис-
лить:
2	6-4
1)	J /4 - х2 dx; 2) J \6х - х2 dx; 3) J ^9 - 8х - х^ dx.
-2	3	-9
112.	Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
у = Зх - х2, касательной, проведенной к данной пара-
боле в точке с абсциссой х0 = 3, и осью ординат.
113.	Найти, при каком значении а площадь фигуры,
ограниченной параболой у = 6х2 и прямыми у = О,
х = а - 2, х = а будет принимать наименьшее значе-
ние.
114.	Найти площадь фигуры, ограниченной графиками
функций у = | х2 - 2х | и у = х.
Объем тела вращения
115.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг
оси абсцисс фигуры, ограниченной:
1)	графиком функции у = -Jx и прямыми х = 4, у = 0;
2)	синусоидой у = sinx и прямыми х = х = у = 0;
3)	графиком функции у = х2 + 1 и прямыми х = 0,
х = 2, у - 0.
116.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг
оси абсцисс фигуры, ограниченной графиками функ-
ций у = х4 и у = х.
Применение интеграла в физике
117.	Тело движется прямолинейно со скоростью v(t) =
= 18t - 3t2 (м/с). Вычислить путь, пройденный
телом:
1)	за интервал времени от tv = 2 с до t2 = 5 с;
2)	от начала движения до остановки.
118.	Груз массой т = 5 кг растягивает пружину, подве-
шенную вертикально, на длину I =0,15 м. Вычислить
работу, при этом выполненную.
27
Производная показательной функции и ее
применение
119. Найти производную функции:		
1) У = е6х;	7) у = 0,4**;	12) у = 3 (х - 5);
2) у = ех;	8) у = 10 74 ’ 0>2х2;	13) у = -£~; х - 1
3)у = е4х - х\	9) у = ех(х2+3х-6);	. ..	5х- 4 14 ” = 5' + 21
4) у = е6*';	10) у = ех coax;	15) у = ecte4x;
5) у = 5-х; 6)у = 62х~5;	11) у = 2-х Vx;	16) у = sin2x2 + 5.
120. Вычислить значение производной данной функции в
точке х0:
1)	fix) = e2z - e-3z\ х0 = 0;
2)	fix) = 2°-5x2 + 1, х0 = 1;
3)	fix) = е3х (х2 + 1), х0 = -1;
4)	fix) = -г 5-, х0 = j.
sin2x °	4
121.	Решить неравенство fix) < g'(x), если:
1)	fix) = ех (х2 - Зх + 1), g(x) = 2хех;
2)	fix) = 9°"1, g(x) = 4 • 32х.
122.	Записать уравнение касательной к графику функ-
ции:
1)	fix) = хе~х в точке х0 = 0;
2)	fix) = ех ~ 5х + 6 в точке х0 = 1;
3)	fix) = 58х “ 4 в точке х0 = 2.
123.	Найти уравнение касательной к графику функции:
1)	fix) = | е2х, параллельной прямой у = е2х - 10;
2)	fix) = е3х ~ 2, параллельной прямой у = Зх + 17.
124.	Найти уравнение горизонтальной касательной к гра-
фику функции fix) = (3х + 6) (3х - 60).
125.	Найти промежутки возрастания и убывания и экст-
ремумы функции:
1)	fix) = х - ех;	2)/(х) = е6х-х+5;
28
3)	f(x) = e?;	6) f(x) =
х - 1
4)	f(x) = (2х - 1) е4х; 7) ftx) = З3х ' 1 - 6 32х + 27  3х.
5)	f(x) = хе 3;
126.	Исследовать функцию и построить ее график:
£	2
1)	fix') = 4хе2;	3) f(x) = х2 е х ;
2)	f(x) = хе'х;	4) f(x) =
127.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на данном промежутке:
1)	f(x) = хе4, [-8; 0];
2)	f(x) = Зх+2х-1, [-2; 0];
3)	f(x) = 3 х + 3х, [-1; 2];
4)	fix') = е3х +2 (4х2 - 5х), [О; 2];
5)	fix) = 2 З3х - 4 32х + 2 3х, [-1; 1].
128.	При каких значениях а функция fix) = 4е~х - ах + 6
не имеет критических точек?
129.	При каких значениях а функция f(x) = 3° х In 3 -
- 27х In 3 - З3х " 2 является убывающей на множестве
всех действительных чисел?
130.	Найти промежутки возрастания и убывания функ-
ции f(x) = ех - х - 1 и доказать неравенство
ех > х + 1 при х > 0.
Производная логарифмической функции и ее
применение
131. Найти производную функции:
1)	У = log8x; 2)	у - 1п4х; 3)	у = In (х2 + 2х);	6) у = x3 Inx; 7) у = (5x2 - 3) ln2x; 8)» = ^; X
4) у = 1g sinx;	X3 9) у = r-2-; In X
5) у = ln4x;	10) у = x2 In (x3 + 1);
29
11)	У = log4 (4х + 10х);	13) у = log03(2x2 - 4х + 3);
12)	у = A/lgx-T;	14) у =
х - 1
132.	Вычислить значение производной данной функции в
точке х0:
1)	= In (2х + 1), х0 = 1,5;
2)	f(x) = | In (-9х), х0 = -
3)	fix') = log4 (х2 + 4х - 3), х0 = -5;
4)	fix') = In cos j, x0 =
133.	Решить неравенство fix') > s'lx), если f(x) = l,5x2 +
+ 2x, g(x) = In (-2x).
134.	Найти угловой коэффициент касательной к графику
функции /(х) = х2 In (х2 + 5х - 23) в точке х0 = 3.
135.	Записать уравнение касательной к графику функ-
ции:
1)	/(х) = In (4х + 5) в точке х0 = -1;
2)	f(x) = 2 - In (х + 1) в точке пересечения с осью ор-
динат;
3)	f(x) = log6 (2х + 7) в точке х0 = 9.
136.	В какой точке графика функции /(х) = In (Зх - 2)
касательная к нему наклонена к оси абсцисс под
углом а = 45”?
137.	Найти промежутки возрастания и убывания и точки
экстремума функции:
1)	fix) = 1 - х 1пх;	6)	fix) = ln3x - 3 Inx;
2)	fix) = x2 Inx;	7)	f(x) = log3x - 2 logJjx + 8;
3)	/(x) = 3x ln2x;	8)	f(x) = -^ x2 - 2x - 3 In (-x)	+ 6;
£i
4)	/(x) = x8 log3x;	9)	fix) = 2 ln(x + 1) - x2 - 2x	+ 4;
5)	/(x) = -4-;	10)	ftx) = x ln3x - 4x Inx + 4x	+ 2.
In x
138.	Исследовать функцию и построить ее график:
1)	/(х) = 21пх - х2;	3) /(х) = In (4 - х2);
2)	Лх) = ^4;	4) Лх) = In
х	х + 1
30
139.	Исследовать на монотонность функцию Дх) = х -
- In (1 + х) и доказать неравенство х > ln(x + 1) при
всех х > -1.
Первообразная показательной функции
140.	Для данной функции / найти общий вид перво-
образной:
1)	ГМ = 4х;
2)	f(x) = 32х In 3;
3)	Дх) = е~бх;
4)	f(x) = е2х - 73;
5)	f(x) = 2’х 1п2 + е~0,5х;
6)	f(x) = 6е3х ’ 4 + ве1 - 4х.
141.	Для данной функции f найти первообразную, график
которой проходит через данную точку А:
1)	= 6х 1пб - е х, А (1; 6);
2)	f(x) = 2ех + cosx, А (0; -3);
3)	fix) = 6х2 + е4х, A ||
i А
142.	Вычислить интеграл:
1пб
1)	j ех dx;
о
3
2)	j 5 х dx;
2
1
3)	J (Зех - 5  8х + 1) dx;
о
143.	Вычислить интеграл:
1пЗ
1)	J (1 - е3х)2 dx;
1п2
1п4
2)	j (е2х + е'2х)2 dx;
о
и X
4)	j е 8 dx;
-8
1 / \3х
5)	f ||| 1пЗ dx;
* I О J
-14 z
4 x
6) j f 104 - sinnx J dx
о
3) J —— dx;
-i
2
Vi^dx.
J x e
1
144.	Найти площадь фигуры, ограниченной:
1)	графиком функции у = 3х и прямыми у = 0, х = -1,
х = 1;
31
2)	графиком функции у = е3х 2 и прямыми у = О,
х = 0, х = 1;
3)	графиком функции у = е~х и прямыми у = 1,
х =-3;
4)	графиком функции у = 2х и прямыми х = О, у = 4;
5)	графиками функций у = 4х - 1, у = 7 - 41и прямой
х = 0.
Производная и первообразная степенной функции
145. Найти производную функции:
1) У = X3;	7)у = &,	=
2) у = х7;	ха <х 8) у =4^;	14) у = (X + 2) х'2;
3) у = х ®;	9)у=-^-;	15) у = \х" (х2 - 4); V?
2 4)	у = х~5; 5)	у = х73; 6)	у = Чх-,	10) у = х л/х®;	16) у = (2х - 4)в; 11) у = х2 Чх;	17) у = ^х3- Зх2 + 9х; 12)»=^;	18)»-’	  <2х2 + 8х
146. Исследовать на монотонность функцию:
1) f(x) = х5 (1 - х);	2) Дх) = х^3 (х - 2).
147. Найти общий вид первообразной функции:
1
1)	/(х) = х8; 2 2)	/(х) = х7; 3)	/(х) = х' «;	6)	Дх) = V7; 7)	Дх) = VZ; 8)	Дх) = -ур- '«Х
4) Дх) = х'6;	9) Дх) = V?
5) Дх) = х^®;	10) Дх) = х л/х1
32
11)	/(х) = x2 Vx;
15) fix) =	2
12)	f(x) = Ц=;
XNX
j.
13)	f(x) = (2x - 4)6;
14)	ftx) = >/5x - 4;
148. Вычислить интеграл:
16)	f(x) = - --9-
>/(3x + l)2
17)	fix) = x^~ 8x3 + —
(x + 3)
18)	fix) = ix- l)x^ + e°’5x.
1	1	16	56 з Г ?2
1)	J x^ dx; 2) J dx; 3)JxVxdx;4)J Vf-1
О	О	1	4	'
149.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной:
1)	графиком функции у = х4 5 и прямыми у = 0, х = 1,
х = 32;
2)	графиком функции у = хп и прямыми у = 0, х = п;
3)	графиком функции у = х"6 * * и прямыми у = 0, х = 1,
х = 2;
4)	графиками функций у = и у = х^.
150.	Доказать, что функция Fix) = х2 - 1пх® является пер-
2х2 - 5
вообразной для функции fix) = —-— на промежутке
(0; °°).
151.	Для данной функции f найти первообразную, график
которой проходит через данную точку М:
1)	fix) = х3 + |, М (1; 1);
2)	Лх) = —Ц, М (4; 1п0,2);
3)	/(X) = е~х + —!—, М (0; 0);
Зх - 1
4) /(х) =	+ -Ц-, М (5; -2).
2\х + 4 х - 4
152. Вычислить интеграл:
27	24	-1
1)/^;	2)/Ъх;	3)J^;	4)j ±-х Л;
3	е	6	-3 '	'
33
5	0	84	7
1 5) 1*> f 811 И? ’12 К
О	-2	20 д" — 1	2 '	'
153. Вычислить интеграл:
4 .	2	-1
1)J|J-?£| dx;	2)j^*~3dx.
х J	х
Iх'	-2
154. Доказать, что площади криволинейных трапеций,
155.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной:
1)	графиком функции у = — и прямыми у = 0, х - 1,
х = 4;
2)	графиками уравнений ху = 6, х2- 5x + 6= 0hi/ = 0;
4
3)	графиком функции у = — и прямыми х = 1, у = 2;
34
5
(	4) графиком функции у - — и Прямыми у = 5, х = 5;
7
5)	графиком функции у = — и прямой х + у = 8;
6)	графиком функции у = — и прямыми у = х-1,х = 3;
7)	графиками функций у = х4, у = и прямой х = 2;
8)	графиками функций у = Vx, у = и прямой х = 4;
з
9)	графиком функции у =------ и прямыми х = 4,
х - 2
х = 6.
156.	При каком положительном значении а прямая х = 5
делит площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
ции у = — и прямыми у = 0, х = 2, х = а + 5, пополам?
157.	При каком значении а прямая х = а делит площадь
фигуры, ограниченной графиком функции у = и
прямыми у = 0, х = 4, х = 9, пополам?
Дифференциальные уравнения
158.	Является ли данная функция решением данного
дифференциального уравнения:
1)	У = 4е3х, у' = Зу;
2)	у = е"х + 2х - 4, у’ + у = 2х;
3)	у = 3 sin2x - 4 cos2x, у" = -4у;
4)	у = ez sinx, у" - 2у' + 2у = О?
159.	При каком значении а функция у = х 1пх является
решением уравнения ху' = ах + у?
160.	Найти общее решение дифференциального уравне-
ния и его частное решение, удовлетворяющее данным
начальным условиям:
1)	у' = 5у, у(0) = 3;
2)	у' = -Зу, у(1) = е;
3)	у" = -9у, у(0) = 0, у'(0) = -2;
4)	у" = -2у, у(0) = 1, у'(0) = 3.
35
Перестановки
dV Г
161.	Сократить дробь:
1)	——; 2) —-—; 3) (п + 1)!; 4) ——, п > k.
(п+1)!	(п-2)!	'(п-2)!	' (п - k)\
162.	Упростить выражение:
1) -----------------;
(п + 1)! (п + 2)!
2) —-
(п - 1)!
п!
163.	Решить уравнение:	= 30.
164.	Вычислить:
PjO ^9.
9Р8 ’
2)
3)р^-
.ik - 2
165.	Сколькими способами можно составить список из
пяти учеников?
166.	В лицее «Лидер» п. классов и п. классоводов. Сколь-
кими способами можно распределить классное руко-
водство между учителями?
167.	Сколько разных четырехзначных чисел можно соста-
вить из цифр 0, 2, 4, 6, если каждую из них исполь-
зовать только один раз?
168.	Сколько различных слов можно получить, переставляя
буквы слова: 1) «лицей»; 2) «галушка»; 3) «шаровары»?
2) С* + С® = С}0.
3	- 1
2) п Ь2п -
Сочетания
169.	Вычислить:
1)С*; 2) С7; 3) С* + С°; 4)С*7; 5) С|999 + С}999.
170.	Доказать, что:
1)	С® + С* = С?;
171.	Упростить выражение:
1)
' п 4 + 1
172. Вычислить:
1)	С“;	2) С}9;
173.	Доказать, что:
1)	С° + С5 + Cg + С® + С5 + С5 = 25;
2)	С° + С* + С* + Сц = С* + С® + С56.
174.	Решить уравнение:
1)	= С®;	2) С|7 +	= С28;	3) С23 + С23 = С24.
36
175.	Решить уравненйё:
1)	С2 = 153;	3) С* - 2 = 45; 5) ЗСх2х+ 1 = 2(7^;
С2
2)	С* + 2 = 8(х + 1); 4)-^ = |;	6)110^ = 60^.
176.	В классе 32 учащихся. Сколькими способами можно
сформировать команду из 4 человек для участия в
математической олимпиаде?
177.	На плоскости расположены 25 точек так, что никакие
три из них не лежат на одной прямой. Сколько сущест-
вует треугольников с вершинами в этих точках?
178.	Сколько можно составить из простых делителей чис-
ла 2730 составных чисел, имеющих только два про-
стых делителя?
179.	Сколькими способами можно группу из 17 учащихся
разделить на две группы так, чтобы в одной группе
было 5 человек, а в другой — 12 человек?
180.	В классе учатся 15 мальчиков и 12 девочек. В ге-
неральной уборке класса участвуют 3 мальчика и
4 девочки. Сколькими способами можно составить
группу дежурных?
181.	У одного мальчика имеется 10 марок для обмена, а у
другого — 8. Сколькими способами они могут обме-
нять две марки одного на две марки другого?
182.	На одной параллельной прямой отмечены 7 точек, на
другой — 12. Сколько существует четырехугольников
с вершинами в этих точках?
183.	В баскетбольной команде, состоящей из 15 человек,
необходимо выбрать капитана и его заместителя.
Сколькими способами это можно сделать?
184.	Сколькими способами можно выбрать из полной
колоды (52 карты) 10 карт так, чтобы среди них было
ровно три туза?
Размещения
185. Найти значение выражения:
186. Доказать, что А" 1 = Рп.
37
187.	Решить уравнение:	.
1)А2 = 20;	4) ЗС2 г - 2А2 = х;
2)	А2 + г = 156;	5) Л® + i + С' ; } = 14 (х + 1).
3)	А2 + С1* = 256;
188.	В футбольной команде (11 человек) необходимо вы-
брать капитана и его заместителя. Сколькими спосо-
бами это можно сделать?
189.	В лицее «Лидер» в 9 классе изучают 12 предметов.
Дневное расписание содержит 6 уроков. Сколькими
способами можно составить дневное расписание?
190.	Сколько существует трехзначных чисел, все цифры
которых нечетные и различные?
191.	Сколько существует обыкновенных дробей, числи-
тель и знаменатель которых — различные простые
числа не больше 20?
192.	Сколько существует правильных дробей, числитель
и знаменатель которых простые числа не больше 20?
193.	Сколько существует трехзначных чисел, все цифры
которых различные и четные?
Бином Ньютона
194.	Найти разложение степени бинома:
( -	-л5	( А5
1)	(а-ь й)5;	5)(х3-у3];	9)|-11;
2)	(тге + л)7;	6) (Зх - I)4;	10) (2 - у'2)4.
3)	(х - у)4;	7) (а -ь 2Ь)5;
4)(Vu-Vu)4;	8)(а2-1)4;
195.	Сумма всех биномиальных коэффициентов в разло-
жении бинома (а + Ь)" равна 256. Найти п.
196.	Сумма всех биномиальных коэффициентов, стоящих
на четных местах в разложении бинома (х + у)", рав-
на 512. Найти п.
197.	Чему равна сумма биномиальных коэффициентов
разложения бинома (х + а)9, стоящих на нечетных
местах?
198.	Доказать, что сумма всех коэффициентов разло-
жения бинома (2а - Ь)" при любом натуральном п
равна 1.
199.	Доказать, что сумма всех коэффициентов разложения
бинома (х - 2у)п при любом нечетном п равна -1.
38
200.	Доказать тождество:	Л>!1
со. 2л+С1п-2п -1 + С2п-2п~2 +...+ С"' *-2х + С"-2° = 3".
201.	Какой , член в разложении бинома (а +• б)24 содержит
аЬ в степени 5?
/ \12
202.	Найти шестой член в разложении бинома ^- + х2 .
203.	Найти четвертый член в разложении бинома (а3 - ^Г)10.
, \6
204.	Найти средний член в разложении бинома Vx" + ~ •
/ \8
205.	В разложении бинома I х + Д, I найти номер члена,
не содержащего х.
/ \15
206.	Найти член разложения бинома Чх +• Д= , не со-
\	~^х J
держащий х.
I 4/—т 1 1
207.	Найти член разложения бинома Ух +• — , содер-
жащий х во второй степени.
Классическое определение вероятности
208.	Какова вероятность того, что при одном броске иг-
рального кубика выпадет число очков, равное:
1) двум;	3) четному числу;
2)	пяти;	4) числу, кратному 6?
209.	Представь себе, что в классе, в котором ты учишься,
разыгрывается одна бесплатная туристическая поезд-
ка в Париж. Какова вероятность того, что в Париж
поедешь именно ты?
210.	Чтобы сдать экзамен по математике, нужно выучить
30 билетов. Ученик выучил на отлично 25 билетов.
Какова вероятность того, что, отвечая на один билет,
он получит отличную оценку?
211.	В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна
карта. Какова вероятность того, что эта карта:
1) туз;	2) червовый туз?
39
212.	Из 28 учащихся одного класса 12 знают английский
язык. Какова вероятность того, что обращение коро-
левы Елизаветы на английском к наугад выбранному
ученику будет ему понятным?
213.	Бросают две одинаковые монеты. Какова вероят-
ность того, что выпадут:
1)	два герба;	2) герб и цифра?
214.	Какова вероятность того, что ваш будущий ребенок
родится:
1)	7 числа; 2) 31 числа; 3) 29 числа?
215.	В ящике находятся 45 шариков, из которых 17 бе-
лых. Потеряли два не белых шарика. Какова вероят-
ность того, что выбранный наугад один шарик будет
белым?
216.	Какова вероятность того, что наугад выбранное дву-
значное число делится на 12?
Применение формул комбинаторики для вычисления
вероятности событий
217.	В ящике лежат 8 шариков, два из которых белые.
Какова вероятность того, что выбранные наугад два
шарика будут белыми?
218.	Четыре карточки пронумерованы цифрами 1, 2, 3, 4.
Какова вероятность того, что номера выбранных на-
угад трех карточек образуют возрастающую арифме-
тическую прогрессию?
219.	На карточках написаны натуральные числа от 1 до
10. Наугад выбираются две из них. Какова вероят-
ность того, что произведение номеров выбранных кар-
точек будет нечетным числом?
220.	Выбирают наугад четыре буквы слова «закон». Како-
ва вероятность того, что из выбранных четырех букв
можно сложить слово «коза»?
221.	Наугад выбирают четыре буквы слова «сладости».
Какова вероятность того, что выбранные четыре бук-
вы в последовательности выбора образуют слово
«сало»?
222.	Среди 30 деталей 8 бракованных. Какова вероят-
ность того, что взятые наугад 5 деталей будут без
дефекта?
223.	Из колоды в 36 карт наугад выбирают две карты.
Какова вероятность того, что выбранные карты — два
туза?
224.	На экзамен по математике выносят 40 вопросов.
Ученик подготовил только 35. Билет состоит из четы-
40
рех вопросов. Какова вероятность того, что ученик
получит отличную оценку?
225.	На экзамен по математике выносят 50 вопросов.
Ученик подготовил только 40. Билет состоит из пяти
вопросов. Чтобы получить отличную оценку, доста-
точно ответить на четыре вопроса. Какова вероят-
ность того, что ученик получит отличную оценку?
226.	В ящике лежат 8 белых и 6 черных шариков. Какова
вероятность того, что из пяти выбранных наугад ша-
риков три будут белыми?
227.	Найти вероятность того, что дни рождения 12 чело-
век выпадают на разные месяцы года.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
228.	В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и
40% рыжиков. Какова вероятность того, что выбран-
ный наугад гриб белый или рыжик?
229.	Завод выпускает 15% продукции высшего сорта,
25% — первого сорта, 40% — второго сорта, а все
остальное — брак. Найти вероятность того, что на-
угад выбранное изделие не будет бракованным.
230.	Музыкальная школа проводит набор учащихся. Ве-
роятность быть не зачисленным во время проверки
музыкального слуха составляет 0,4, а чувства рит-
ма — 0,1. Какова вероятность положительного тести-
рования?
231.	Три опытных хирурга делают сложные операции.
Вероятность отрицательного результата операции у
первого хирурга составляет 0,05, у второго — 0,09, у
третьего — 0,1. Больной наугад выбирает врача. Ка-
кова вероятность положительного результата?
232.	На соревнованиях по стрельбе стрелок попадает в
десятку с вероятностью 0,04, в девятку — 0,1, в
восьмерку — 0,2. Какова вероятность того, что одним
выстрелом стрелок наберет: 1) не менее девяти очков;
2) не менее восьми очков; 3) меньше восьми очков?
233.	В коробке лежат 5 красных, 8 синих, 3 зеленых,
4 желтых шариков. Из коробки наугад взяли один
шарик. Какова вероятность того, что этот шарик не
будет синим?
234.	На экзамене по математике для усиления контроля
класс из 35 учащихся рассадили в три аудитории.
В первую посадили 10 человек, во вторую — 12,
в третью — всех остальных. Какова вероятность того,
что два друга окажутся в одной аудитории?
41
Теорема умножения вероятностей независимых событий:
235.	Бросают два игральных кубика. Какова вероятность
того, что выпадут две единицы?
236.	Бросают два игральных кубика. Какова вероятность
того, что выпадут две четные цифры?
237.	Бросают три монеты. Какова вероятность того, что
выпадут два герба и одна цифра?
238.	Игральный кубик бросают два раза. Какова вероят-
ность того, что шестерка выпадет только во второй
раз?
239.	Три выключателя соединены параллельно. Вероят-
ность выхода из строя первого выключателя равна
3%, второго — 4%, третьего — 1%. Какова вероят-
ность того, что цепь будет разомкнута?
240.	В ящике лежат 4 белых и 3 черных шарика. Наугад
из ящика достают два шарика и кладут их обратно.
Эту же операцию повторяют еще раз. Какова вероят-
ность того, что все взятые шарики были белого цвета?
241.	Магазин снабжают три молокозавода. Продукция
первого завода составляет 40% , второго — 30%, при-
чем 80% продукции второго завода высшего сорта.
Какова вероятность купить продукт второго завода
высшего сорта?
242.	Вступительный экзамен в лицей состоит из трех
туров. Вероятность отсева в первом туре составляет
60%, во втором — 40%, в третьем — 30%. Какова
вероятность поступления в лицей?
243.	Трое рабочих изготовляют соответственно 40%,
30%, 30% всех изделий. В их работе брак соответст-
венно составляет 2% , 3%, 1 %. Какова вероятность
того, что взятое наугад изделие будет бракованным?
244.	Три стрелка независимо друг от друга по одному разу
стреляют в цель. Вероятность попадания первого
стрелка составляет 0,7, второго — 0,8, третьего —
0,6. Какова вероятность того, что было: 1) три попа-
дания; 2) три промаха; 3) ровно одно попадание?
245.	В одном ящике лежат 5 красных, 9 белых, 8 черных
шариков, а в другом — 3 красных, 7 белых, 10 чер-
ных шариков. Наугад из каждого ящика берут по
одному шарику. Какова вероятность того, что они
будут одного цвета?
42
246.	Монету подбрасывают восемь раз. Найти вероятность
того, что хотя бы один раз выпадет герб.
247.	Два ученика независимо друг от друга решают одну
задачу. Первый ученик может решить эту задачу с
вероятностью 0,9, а второй — 0,7. Найти вероятность
того, что: 1) оба ученика решат задачу; 2) ни один из
учеников не решит задачу; 3) хотя бы один из учени-
ков решит задачу; 4) только один из учеников решит
задачу.
248.	Семь стрелков одновременно независимо друг от
друга стреляют в одну цель. Вероятность попадания
каждого стрелка равна 0,8. Поражение цели происхо-
дит за одно попадание. Найти вероятность поражения
цели.
Схема Бернулли
249.	Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность
того, что герб выпадет: 1) три раза; 2) ни одного раза;
3) не более двух раз; 4) не менее трех раз?
250.	В кардиологическом центре, где работают професси-
оналы высшего класса, вероятность положительного
6 D
результата операции равна В течение дня в центре
делают 10 операций. Какова вероятность успеха во
всех операциях?
251.	По мишени стреляют восемь раз. Вероятность попа-
3
Дания в мишень во время каждого выстрела равна —.
э
Какова вероятность того, что из восьми выстрелов
в мишень попадут пять раз?
252.	В ящике лежат 7 белых и 4 черных шарика. Из
ящика семь раз наугад выбирают по одному шарику и
кладут обратно перед следующим испытанием. Найти
вероятность того, что из семи вынутых шариков бе-
лый шарик вынимали: 1) три раза; 2) менее двух раз;
3) не менее трех раз.
253.	Игральный кубик подбрасывают девять раз. Какова
вероятность того, что шестерка выпадет: 1) четыре
раза; 2) более трех, но менее шести раз?
254.	Игральный кубик подбрасывают семь раз. Какова
вероятность того, что четная цифра выпадет: 1) два
раза; 2) не более трех раз; 3) более пяти раз?
255.	Что более вероятно: выиграть у равноценного игрока
четыре партии из пяти или шесть партий из девяти?
43
Вариант 2
Модуль действительного числа.
Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля
1.	Раскрыть знак модуля: 1) | л - 4 |;	3) | -х2 - 2 |;	5) | 6 + х |; 2) |	- 3 |;	4) | х - 5	6) | х2 - 4х + 5 |.
2.	Решить уравнение: 1) | х2 + 5х - 9 | = -3;	3) | X - 1 | = 1 - х;
	2) | х | = -	4) х2 + х + 1 = - | х X
3.	Решить неравенство:
	1) | X | > х;	3)	> 1;	5) X | х - 1 | < 0;
2)	| х | > х; 4) х | х - 1 | > 0;	6)	> 0.
I х - 1 |
4.	Решить уравнение:
1)|х| = а-1;	2)|х|=-а2.
5.	Решить неравенство:
1)	а | х | > 0;	2) а | х | < 0.
6.	Построить график функции:
1)У =	1 х + 3 |;	6) у =	X , 2	- 6х + 9);
2)У =	х - 1 х |;	7)у =	х2 - 5 1	х | + 4;
3)У =	| Зх - 2 | + х;	8)у =	х2 + X •	L*±ll_6; X + 1
4) у =	х + 2 .	9)у =	Л2 + 3 |	х - 1 | - х + 3;
	|х + 2 |			
5) у =	1 х | (х - 4);	Ю) у =	6	. 1 X 1 + х’	
44
п)	У = ГГГ7;	15) У	=	I* + 4I - M +	I*	- 31;
12)	У = X|L^1~|6;	16) у	=	|	x2 - 2x - 3	|;
13)	у = | x + 5 | + | x -	4	I;	17) у	=	|	x2 - 4 | x | + 3	I;
14)	у = | x - 2 | - | x +	1	I;	18) у	=	|	| x | - 5 |.
7.	Построить график уравнения: 1) | x | = 2;	4)	|	x + у | = 2;	7)	2 | х	| -	| у | = 3; 2)| у | = 1;	5)	|	х - 2у | = 6;	8)	| х -	1 |	= | у |. 3) |ху | = 6;	6)	|	х | + | у | = 3;	
8.	Решить уравнение: 1) | х - 2,8 1 = 1,4;	10) х2 + Зх - 18	—^ = 0;
		|х - 3|
	2) | 4х + 7 | = 3,6;	11)|| х2 -6х+ 3 | -5 |= 2;
	3) | | х | - 4 | = 3;	12) | х2 + 4 | х | - 2 | = 3;
	4) | х2 + 5х - 3 | = 3;	13) | Зх2 - х | = 8 + х;
	5) х2 - 2 | х | - 8 = 0;	14) | х + 4 | + | х | = 8;
	6) х | х | +• 6х - 5 = 0;	15) | х - 2 | + | х + 3 | = 5;
	7) | х - 2 | + х = 8;	16) | х | - | х - 3 | = 4;
	8) | х + 2 | - х = 6;	17) |3х + 1| - |х - 4| = 2х - 3;
	9) 2(х + 4)2-5|х+ 4| + 2 =	0; 18) |х2-Зх+2| + |х2 — 5х+б| = 2.
9.	Решить неравенство:	
	1) | х | < 7;	12) | х + 2 | + | х - 3 | > 4;
	2) | х - 1| < 3,8;	13) | х + 2,2 | - | х - 1,8 | £4;
	3) | 7х - 5 | £ 3;	14) | Зх + 16 | - | 2х - 14 | > 8;
	4) | 5 - 4х | < 6;	15) | х2 - х - 8 | < 12;
	5) | х | > 9;	16) | х2 - 2х | S 3;
	6) | х - 4 | £ 3,2;	17) | х - 3 | (х + 1) £ 4х;
	7) | 0,4х + 3 | £ 2;	18) х2 - 2 | х | < 15;
	8) | 7 - 8х | > 9;	19) х2 - 7х + 12 > | х - 4 |;
	9) | х + 3 | + 4х > 6;	20) | х | • | х - 3 | + х - 2 < 0;
	10) | х - 4 | - 5х < 12;	21)| 2х - 1 | < | х + 2 |;
	11) |х + 3| + |х - 31 < 6;	22) ! 2 ~	~ * < 2. х-3 |- 1
45
10.	Исследовать количество решений уравнения в зависи-
мости от значения параметра а:
1)	| х2 + Зх - 4 | = а; 4) | I х | - 2 | - х + а-,
2)	| х + 4 | + | х - 3 | = а; 5)|х + 5|-|х-1| = а;
3)	| х2 - 3 | х | | = а; 6) 2 + | х | - х2 = а.
Предел числовой последовательности
11.	Последовательность задана формулой общего члена
ап = —Для заданного числа е указать такой но-
мер п0, что для всех п > п0 выполняется неравенство
|а„ - 1| < е: 1) е =	2) е =	3) е = 0,001.
12. Используя определение предела
v 2л - 1	„
доказать, что lim ----— =2.
п —> ®
13. Вычислить предел:
5л - 7.
4л + 6 *
2л2 - 5
8л2 + л - 1 ’
последовательности,
1) lim
п —> о
2) lim
п —> в
3)
4)
lim
п —> о
lim
2‘
п
Предел функции. Непрерывность функции
14.	Для каждой из функций, график которой изображен
на рис. 4, установить:
1)	Определена ли эта функция в точке х0?
2)	Существует ли предел функции в точке х0?
3)	Если предел в точке х0 существует, то равен ли он
значению функции в этой точке?
15.	Используя определение предела функции, дока-
зать, что:
1)	lim (Зх + 2)=-1;	2) lim cos х = -к
46
Рис. 4
16.	Вычислить предел:
1) lim (2х2 - Зх + 6);
х -> -2
2)
lim
X 1
х2 - Зх + 2 ,
х2 - 4х + 3*
4)	lim
х -> 2
5)	lim
х -> 0
(	3
х2 - х - 2
sin 5х.
6х ’
3) lim
х > 3
х-3
>12х + 10 - 4*
6)	lim
X -> 1
sin (х - 1) cos
1
х - 2
17.	Доказать, что функция f(x) непрерывна в точке х0:
1) f(x) = 4 - 0,5х, х0 = 4;
2) Дх) =
х2 - 9	о
-----, если х * 3,
х-3
6, если х = 3,
х0 - 3.
47
18.	Доказать, что функция
X
/(*) =
х'
Sln 2
если х * О,
1, если х = О,
не является непрерывной в точке х0 = 0.
Определение производной функции
19.	Найти приращение функции f в точке х0 при указан-
ном приращении аргумента Ах:
1)	= х2, х0 = 1, Ax = 0,1;
2)	Дх) = cos x, x0 = ^, bx =
&f(x0)
20.	Для функции f(x) = tg 4x найти —-—.
21.	Используя определение, найти производную функции:
1)	Дх) = Зх + 7;	2) Дх) = х2 - 4х + 5.
Правила вычисления производных
22.	Найти производную функции:
1)	fM = f;	5) g(x) = х12;	9)	Дх)	=
2)	Дх) = VFx;	6) <р(х) =-Зх6 *;	10)	Л(х)	=	^;
3)	g(x) = 4х2;	7)	Л(х) = х’в;	11) <р(х) =
ОХ
4) <р(х) = -	8)	Дх) = -5г8;	12) g(x) =
О	\эх
23. Найти производную функции:
1 ~ 1
1) Дх) = х6;	3) у = хв;	5) g(x) = —;
4х’
~ ~	вг~гг	3
2) Л(х) = 4х 4 *;	4) <р(х) = Nx“; 6) Дх) = -g— .
48
24.	Найти производную функции:
1)	/(х) = 8х2<г ;	3) <р(х) =	;
2)	у = -f— ;	4) ft(t) =
X 4х
25.	Найти производную функции:
1)	у = 4х6 - 2х4 + Зх2 + 6;	3) у = х2 +
2)	у = i х8 + 6л/7 - 7х;	4) у = 4 - 4-
4	х X
26.	Вычислить значение производной данной функции
в точке х0:
1)	= 2х3 + Зх2 - 4х, х0 = -2;
г6 X*	г-
2)	/(х) = у+ ^- + X - V2, х0 = 1;
3)	/(х) = х3 - 12Vx, х0 = 9.
27.	Найти производную функции:
1)	у = (Xs + 4) (х2 - 3);	3) у = (Vx - 2) (5 - 6<Г);
2)	у =	(4х - 3);	4) у = (х8+ х2- 4)(х2- 4х + 1).
28.	Найти производную функции:
6х + 5	х2 - 4х	х + 2
1)	У = ~А—Z-;	3) у =-----—;	5) у =
4 - Зх	х - 2	\х
29.	Вычислить значение производных данных функций
при указанных значениях независимой переменной:
1)	/(г) = 7~ 10* /(0,2) - ?	2) /(х) = 4^4? f (2) - 1
5х + 2	х - 2
30.	Верно ли, что / (0) > g (0), если /(х) = х2 - 8х,
z V Зх — 2 А
31.	Решить неравенство /(х) - Л (х) S 0, если /(х) =
= 2х8 - Збх, Л(х) = 1бх2 - 49.
32.	Найти, при каких значениях х равна нулю производ-
х2 + 1
ная функции /(х) =---------.
49
Производная сложной функции
j .88
33. Найти производную функции:
1)	У = (2х - 7)9; 2)	у = (Зх4 + 8х)7; 3)	у = -vL-v.; (х + х)4	4)	у = 2 (х - I)6 + 4 (3 - х)5; 5)	у = "V3x - 14; 6)	у = "V 2х3 + 4х.
34.	Вычислить значение производной данной функции
в точке х0:
1)	f(x) = (х1 2 - 2х - З)5, х0 = 2;
2)	/(х) = (<Г + 2)4, х0 = 1;
3)	f(x) = л/4х2 - 5х, х0 = —1;
4)	f(x) =	х0 = 3.
\х - 8
Производные тригонометрических функций
35. Найти производную функции: 1) у =	+ VFcos х + tg - 2х4;	4) у = 4х ctg х;
2) у = tg х - ctg х;	1 + cos X 5) у - .	; 1 - COS X
3) у = х2 cos х;	д.	2х2 о) у - . sin X
36. Найти производную функции:
1) У = sin	3) у = tg2x;	5) у = х3 sin
2) у = tg [ 2х -	4) у = "Vcos Зх; 1	э	X СО8 у 6) у =	 X + 1
37. Вычислить значение производной в точке х0:	данной функции
1) ftx) = ctg х0 = -4л;	3) f(x) = sin32x, х0 =
2) f(x) = cos Vx, х0 = у;	4) f(x) = tg Зх, х0 = л.
50
ьэ|К
38.	Решить уравнение f(x) = g(x), если /(х) = 4хсо§
g(x) = 8 cos - 3 - 2x sin x.
39.	При каких значениях x производная функции
Дх) = 4cos — х<2 меньше нуля?
Производные высших порядков
40.	Найти вторую производную функции:
1)	у = х4 - Зх2 + 4х - 6;	3) у =
2)	у = 0,5 cos 4х;	4) у = х sin х.
41.	Найти производную третьего порядка функции
6
У = -^
42.	Найти производную четвертого порядка функции:
1)	у = 0,5х2 + 6х - 7;	2) у = sin 5х.
Решение неравенств методом интервалов
43.	Решить неравенство:
1)	(х + 6) (х - 1) (х - 7) > 0;
2)	(4х + 3) (2х - 3) (х - 5) < 0;
3)	(2 + х) (х + 7) (2 - х) < 0;
4)	(Зх + 20) (3 - 6х) (2х - 3) (7 - Зх) > 0.
44. Решить неравенство:
1)	х + 3 < х - 6	0;	4) —	+ 5) (х + х - 11	— < 0;
2)	х - 1,4 х + 2,6	> 0;	5) — (JC	х - 6,5 + 3) (х -		> 0 14)
3)	3-х 4х + 1,2	-< 0;	6) — (7	х + 6,8 - X) (X -	-5 0. 4)
45.	Найти множество решений неравенства:
1) (х2 + 5х) (х2 - 16) > 0; 2) (х2- 4х + 3)(х2- 2х) < 0;
51
3)
х2 + 6х + 5
х2 - Зх + 2
< 0;
4)
х2 + 6х - 7
х2 - 25
> 0;
5) jjLzg < «Ц
6) 2х < 2;
Зх + 5
х2 + ,7х < 8
х + 3 х + 3 ’
8)	-> 1;
х + 3
ач (х+5,2) (3-х) (2х + 7) < _
(6х - 1) (х - 2,8)	-°’
10)—5-------— < 1.
х - 1 х + 3
46.	Решить неравенство:
1)	(х2 + 9) (х2 + х - 12) < 0;
2)	(х + 2)2 (х2 + 2х - 3) < 0;
3)	(х + 2)2 (х2 + 2х - 3) < 0;
4)	(х + 2)2 (х2 + 2х - 3) > 0;
5)	(х + 2)2 (х2 + 2х - 3) > 0;
6)	(х - 4)2 (х2 + х - 2) > 0;
7)	(х - 4)2 (х2 + х - 2) 2 0;
8)	(х - 4)2 (х2 + х - 2) < 0;
9)	(х	-	4)2	(х2 + х - 2)	£ 0;
10)	(х	+	I)3	(х	-	I)2	(х -	З)6	>	0;
11)	(х	+	I)3	(х	-	I)2	(х -	3)°	>	0;
12)	(х	+	З)3	(х	-	I)2	(х -	3)°	(х - 4)5 > 0;
13)	(х2 + 9х + 14) (х2 + 5х + 7) > 0;
14)	(х2 - Зх + 1) (5х - х2 - 9) > 0.
47. Решить неравенство:							
1)	х2 - 5х + 4 х2 - 6х + 9		> 0;	6)	х^ х2	+ 4х + 4 - х - 12	> 0;
2)	х2 - 5х + 4 х2 - 6х + 9		> 0;	7)	X2 х2	+ 4х + 4 - х - 12	< 0;
3)	х2 - 5х	+ 4	< 0;	8)	X2	+ 4х + 4	< 0;
	х2 - 6х	+ 9			X2	- х - 12	
4)	х2 - 5х х2 - 6х	+ 4 + 9	£ 0;	9)	X2	+ 2х - 3 |х + 1|	0;
5)	х2 + 4х + 4 х2 - х - 12		> 0;	Ю)	X2	-1£—51 £0. - 5х - 36	
52
48.	Найти множество решений неравенства:
1)	> 0;	2) --2~ 4х + 4 < 0.
х2 - 25	х2 - х - 2
49.	Найти наибольшее целое решение неравенства
---777^—— < 0, где /(х) = х3 - 7,5х2 + 18х + 15.
(х - 5) (х - 8)
50.	Найти множество решений неравенства f (х) < 0, если:
1) Дх) = Зх4 + 16х3 + 18х2 - 7; 3) f(x) = 2- + 3;
5 - Зх
2) fix) = х* Зх; х + 1	4)Ях)=4±|- х - 2
51. Решить неравенство:	
1) (х - 2) (х - а) < 0;	5) (х - а) (х + 4)2 < 0;
2) (х - 2) (х - а)2 > 0;	6)	> 0;
	х - а
3) (х - 2) (х - а)2 > 0;	3) (X ~ О) > Q.
	’	X + 3
4) (х - а) (х + 4)2 < 0;	8) -х- - 1) (х ~ а) < о. х - а
Касательная к графику функции
52.	Найти угловой коэффициент касательной к графику
функции f(x) = х4 - Зх2 + 5х - 17 в точке х0 = -1.
53.	Найти тангенс угла наклона к оси абсцисс касатель-
ной к графику функции /(х) = cos в точке с абсцис-
л 2л
сой х0 = у.
54.	Записать уравнение касательной к графику функции:
1)	ftx) = 1? + 4х в точке х0 = -2;
2)	f(x) = V3x2 + 2х в точке х0 = -1;
3)	f(x) = sin4x в точке х0 = у
55.	Найти уравнение касательной к графику функции
/(х) = tg IJ + J| в точке пересечения его с осью ординат.
I О о I
53
56.	Найти уравнение касательной к графику функцйй
X + 1
3-х2
f(x) =
в точке пересечения его с осью абсцисс.
х3
57.	Найти абсциссу точки графика функции /(х) = — -
О
9х2	I—
—z— + х + V5, в которой касательная к этому графи-
О
ку параллельна прямой у = 0,5 х + 3.
58.	Найти уравнение касательной к графику функции
f(x) = 0,3х2+ 2х - 7, параллельной прямой у = 0,8х-5.
59.	Найти уравнение горизонтальных касательных к гра-
фику функции /(х) = х5 - 5х3 + 10х - 15.
60.	Найти уравнение касательной к графику функции
/(х) = >/х + 1 в точке х0 = -1.
61.	Найти, в какой точке графика функции /(х) = 7з~ (х3- 2)
касательная наклонена к оси абсцисс под углом а =
О
62.	Под какими углами парабола у = х2 - 4х + 3 пересека-
ет ось абсцисс?
63.	Вычислить площадь треугольника, образованного ося-
ми координат и касательной к графику функции
/(х) = х3 + х2 - 2х + 3 в точке с абсциссой х0 = -1.
64.	Найти уравнение касательной к графику функции
/(х) = 1 - х2, проходящей через точку М (1; 1).
65.	При каких значениях а и b парабола у = ах2 + Ьх + 3
касается прямой у = -2х + 1 в точке с абсциссой
х0 = 2?
Физический смысл производной
66.	Точка движется прямолинейно по закону x(t) =
= 0,2t8 - 4t2 + 6 (время t измеряется в секундах, пере-
мещение х — в метрах). Найти скорость движения в
момент времени t = 2.
67.	Вращение тела вокруг оси осуществляется по закону
<p(t) = 181 - 3t2. Найти, в какой момент времени тело
остановится (t — время в секундах, (p(t) — угол пово-
рота в радианах).
68l Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону
sit) = t3 - t2 + It. Найти импульс тела и силу, дейст-
О
вующую на него, в момент времени t = 5 (t измеряет-
ся в секундах, s — в метрах).
1)	Дх) = | х4 - Зх3 + 2г2 + 6;
2)	Дх) = 5 + 4х - 2х2 - г3;
3)	Дх) = х4 - 8х3 - 10;
Исследование функции на возрастание (убывание)
69.	Найти промежутки возрастания и убывания функции:
4)	Дх) =
4х - 1
5)	Дх) = л/2х - х2;
6)	Дх) = cos х + —.
70.	Доказать, что функция Дх) = 6 - 6х + Зх2 - 2х3 убы-
вает на множестве всех действительных чисел.
71.	Доказать, что функция Дх) = Зх4 + 4х3 +18х2 + 36х
возрастает на промежутке [-1; «).
72.	Найти, при каких значениях а возрастает на R функция:
1)	Дх) = (а - 1) х2 + 6х - 7;
х3 ах2
2)	Дх) =	+ 9х - 5;
3)	Дх) = ^-~ (а - 2ах + За + 1;
0	А
4)	Дх) = 2ах3 + Зах2 + 12х.
Критические точки, максимумы и минимумы
функции
73.	Найти критические точки функции:
1)	Дх) = | х3 + | х2 - х + 4;	3) Дх) = Vx.
2)	Дх) = (х + 5)2 (х - 4)2;
74.	Найти, при каких значениях а не имеет критических
точек функция Дх) = л/(х - З)3 - (3 + 5а) х.
55
76. Найти точки экстремума функции:
1) f(x) = 36х - Зх1 2 - 2х3;	3) Дх) = х2 -
2) Дх) = (х + З)8 (х - I)2;	4) Дх) = ^4+ х2.
76.	Найти промежутки возрастания и убывания и экстре-
мумы функции:
1)	Дх) =х4 - 4х3 - 8х2 + 12;
2)	Дх) = х8 - Зх2 - 72х - 4;
,, . Зх + 5
3)	Дх) =-----
х - 4
4)	Дх) = (х + 2)4 (х - 5)3;
5) Дх) =
2-х
6) Лх) = У&х- х2;
««’’Л
77.	Найти, при каких значениях а функция Дх) =
= (а - 1) cos2x + (За - 4) х:
1)	не имеет критических точек;
2)	не имеет экстремумов.
Построение графиков функций
78.	Исследовать функцию и построить ее график:
1)	Дх) = х3 - Зх;	2) Дх) = 3 + 2х2 - х4;
3)	Дх) = (х - З)2 (х - I)2;	5) Дх) =	----;
х - 4х + 3
4)	Дх) = ^4;	6) Дх) =
х - 2	х - 1
79.	Исследовать функцию и построить ее график:
1)	Дх) = (х - 2) Vx;	3) Дх) = х^2 - х2.
Наибольшее и наименьшее значения функции
80.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на данном промежутке:
1) Дх) = | х8 + | х2 - 12х + 1, [0; 6];
О	Z
56
2)	fix) = x5 - 5x4 + 30, [-2; 1];
3)	fix) = - ~ 3x, [-1; 3];
x - 4
4)	fix) = sin x + sin 2x, 0;
81.	На какое множество функция fix) = x9 - Зх2 + 2 ото-
бражает отрезок [1; 3]?
82.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции
fix) = х9 - 2х \х - 2\ на промежутке [0; 3].
83.	Число 36 представить в виде суммы двух положитель-
ных слагаемых так, чтобы их произведение было наи-
большим.
84.	Найти положительное число, удвоенный квадратный
корень которого больше этого числа на наибольшее
значение.
85.	Площадь прямоугольника равна 400 см2. Какими
должны быть его стороны, чтобы периметр прямоу-
гольника был наименьшим?
86.	Большее основание равнобедренной трапеции равно а,
а острый угол — а. Диагональ трапеции перпендику-
лярна боковой стороне. Найти площадь трапеции.
При каком значении а площадь трапеции буде наи-
большей?
Первообразная. Основное свойство первообразной
87.	Доказать, что функция F является первообразной для
функции f на указанном промежутке:
1)	Fix) = х2 - 4х3 - 6, fix) = 2х - 12х2, х 6 R;
7	7
2)	Fix) = 5х + —, fix) = 5 - х е (0; «);
X	X
3)	Fix) = <4r + 9, fix) = , 2-- , x e (-2,25; «);
v4x + 9
4)	Fix) = sin3x, fix) = 3 cos3r, x 6 R;
5)	Fix) = 9 - ctg fix) =---J—, x e I J; к L
3	3 sin2 £	)
57
88.	Является Лйфункция F(x) = 3 - первообразной для
х
функции f(x) = -7 на промежутке:
х
1)	(- =°; 0);	2) (-5; 5);	3) [0; -);	4) (0; 7]?
89.	Является ли функция F(x) = | 4 - х | первообразной
для функции Дх) = -1 на промежутке:
1)	(-2; 3);	2) (-1; 5)?
90.	Для данной функции / найти первообразную, график
которой проходит через данную точку М:
1)	f(x) = х3, М (-1; 4);	4) Дх) = М\-1 I
X I *	)
2) Дх) = cosx, М 1,5 J
3) f(x) = -±~, М fe; - Й
Sin X	о )
5) f(x) =	(16; 2);
6) Дх) = -^—,М(1; -4).
Правила нахождения первообразных
91. Для данной функции f найти общий вид первооб-
разной:
1) f(x) = X + 6;	б) я*) = Л_ Л; X	X
2) f(x) = 4х3 + 8х - 1;	6) f(x) = —+ 2 sinx; COS X
3) f(x) = 12г2 - 6г5;	7) f(x) = 6 3V7 - 9x8;
4) Дх) = х4 - X;	4 /—T	Q 8) Дх) = \x3 -	. УХ
92.	Для данной функции f найти первообразную F, удов-
летворяющую данному условию:
1)	Дх) = 5 + 6х - 9х2, F(-3) = 100;
2)	Дх) = 13х12 + ^=, F(l) = 0;
3)	Дх) =- 4, F(l,5) =-3.
X
58
93.	Для данной функции f найти общий вид перворб-
: ' разной:
1)	Лх) = (7 - 4х)4;	4) fix) =	;
sin2f
4
2)	fix) = sin9x;	5) fix) =	10=
'JS + 2х
3)f(x) = cosf;	6)Лх)=	1
"	VOX - 4)
94.	Для данной функции f найти первообразную, график
которой проходит через данную точку А:
1)	fix) = cos тг - 5 sin5x, А (л; 0);
А	л
.	6	. \ Л '13>\
2)/(х) =-----------А 2^; — ;
2 л Л |	'	'
cos 6х + —
3) /(X) = pj—, А (3; 2).
у7х - 5
95.	Найти первообразную функции fix) = 4х + 1, один из
нулей которой равен -4.
96.	Найти первообразную функции fix) = Qx2 + 4х - 5,
один из нулей которой равен 1. Найти остальные
нули первообразной.
97.	Найти первообразную функции fix) = 5х - 3, график
которой с прямой у = 2 имеет только одну общую
точку.
98.	Найти первообразную функции fix) = 8 - Зх, для
графика которой прямая у = 2х - 16 является каса-
тельной.
99.	Скорость движения точки задается уравнением
о = 5 - 2t (м/с). Найти уравнение движения s = sit),
если в момент времени t = 4 с точка находилась на
расстоянии s = 32 м.
100.	Найти общий вид первообразной данной функции:
1)	fix) = cos24x;	4) fix) = (6х - х2)2;
2)	fix) = tg2 £;	5) fix) = cos7x cos4x.
О
... 5xs + x6 - 2
3)	fix) =----j-----;
59
101.	F(x) — первообразная функции f(r) = 4х + 8, график
которой имеет общую точку с графиком функции
f(x), принадлежащую оси абсцисс. Найти первообраз-
ную F(x) и все точки пересечения графиков функций
Дх) и F(x).
102.	Найти формулу, которой задается функция у = f(x),
график которой проходит через точку М (2; 10), а
угловой коэффициент касательной, проведенной к
графику в точке х, равен 4х8 - 1.
Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
103. Вычислить интеграл: 1) f (4 - х) dx;	ie 9)f—==;
-4 0 2) J (х2 + 6х) dx; -2	-We-f Я 3 10) J sinx dx; ft
2 3) f (16х3+9х2- 12х + 1) dx;	3л 11) f cos dx; J	о к
4) | (х + 2)2 dx;	зл 12) f ЧЦ-; J sin X
	2
5) J (6х + б)5 dx; -1.5	30 13) J J cos 5x я 15
0,5 6) f 12dx 4-; J (4x - 3)4 49 J NX 4 \	) 13 8) f J >/6x + 3	Я Z	X 14) [ cos + sin3x dx; ’Io	j -It4	z 16 15) J Vx dx; 1 625 16)J 4x dx; 16
60
8
-27
-5
18) J ta - x dx;
-20
2
19)J tax + 65 dx;
-8
2
20)	J x2\7 dx;
о
104. Вычислить интеграл:
ft
4
1)	J ctg22x dx;
£
8
ft
2
2)	f 2sin2 dx;
j	4
_ £
2
x
3)	J cos4x dx;
о
in
12
4)	J sin3x sinx dx;
ft
12
105. Вычислить интеграл j /(x) dx, если
-2
_ J* + 1 при x < 1,
|x2 4- 1 при X > 1.
106. При каких значениях а выполняется неравенство:
а	1
1) j х2 dx > 39;	2) J 4х dx <-8?
2	а
81
21) J ;
1
22) [ - 4<fx ;
Й У1243 - 22x
23)J 4 32dx-------;
10 ^(8x + 1)’
x
x
16
1
5) J (x2 + x)2 dx;
-2
i
0
3
f x2 - x + 2 ,
—t
з
dx.
2
4
Q. f 2x2 + 0,5x + 3 .
8) J-------
61
Площадь криволинейной трапеции
107.	Найти площадь фигуры, ограниченной:
1)	параболой у = х2 и прямыми у = 0, х = 2, х = 3;
2)	графиком функции у = х4 и прямыми у = 0, х = -1;
3)	графиком функции у = sinx и прямыми у = 0,
л 2л
х = 0,х = т;
4)	параболой у = 4х - х2 и осью абсцисс;
5)	параболой у = х2 + 2х, осью абсцисс и прямой
х = -3;
6)	графиком функции у = 'Jx и прямыми у = 0, х = 1,
х = 4;	_____
7)	графиком функции у = Vx + 4 и прямыми у = 0,
х = 5;
8)	графиком функции у - cos у и прямыми у = 0,
л	л
X =--. х = —.
2	2
108.	Вычислить площадь заштрихованной фигуры, изо-
браженной на рис. 5.
а)
Рис. 5
62
г)
Рис. 5 (продолжение)
63
109.	Найти площадь фигуры, ограниченной:
1)	параболой у = 5 - х2 и прямой у = 4;
2)	параболой у = 4х - х2 и прямой у = -х + 4;
3)	параболой у = 2х - х2, прямой у = 1 и осью ор-
динат;
4)	параболой у = х2 + 2х + 1 и прямой у = х + 3;
5)	графиками функций у = 4х и у = у х;
6)	параболой у = х2 - 4х + 5 и прямой у = 5 - х;
7)	параболами у = х2 + 2х + 2 и у = 6 - х2;
I----	1	4
8)	графиками функций у = Ух + 4 и у = — х + —.
О о
110.	Найти площадь фигуры, ограниченной:
1)	графиками функций у = V3 - х и у = ^5 + х и осью
абсцисс;
2)	графиком функции у
абсцисс;
3)	графиками функций
осью абсцисс.
6 п л
— х при 0 < х < —,
л	4
= 	и осью
3sinx при < х < л
£
у = 4 - х2, у = -1,5х + 1,5 и
64
111.	Используя геометрический смысл интеграла, вычис-
лить:
2V2	2	1
1)	J ^8 - х2 dx-, 2) J л/4х - х2 dx; 3) J V7 - 6х - хт dx.
-2^2	О	-3
112.	Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
у = -х2 - 2х, касательной, проведенной к данной па-
раболе в точке с абсциссой х0 = -2, и осью ординат.
113.	Найти, при каком значении а площадь фигуры, огра-
ниченной параболой у = Зх2 и прямыми у = 0, х = а,
х = а + 3, будет принимать наименьшее значение.
114.	Найти площадь фигуры, ограниченной графиками
функций у = \х2-4\иу = 2-х.
Объем тела вращения
11S.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг
оси абсцисс фигуры, ограниченной:
1)	графиком функции у = \х и прямыми х = 9, у = 0;
2)	косинусоидой у = cosx и прямыми х = 0, х =
У = о;
3)	графиком функции у = 5 - х2 и прямыми х = 0,
х = 1, у = 0.
116.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг
оси абсцисс фигуры, ограниченной графиками функ-
ций у = х3, х > 0, та у — 4х.
Применение интеграла в физике
117.	Тело движется прямолинейно со скоростью v(t) =
= 30t - 6t2 (м/с). Вычислить путь, который прошло
тело:
1)	за интервал времени от = 1 с до t2 = 3 с;
2)	от начала движения до остановки.
118.	Груз массой т = 3 кг растягивает пружину, подве-
шенную вертикально, на длину I = 0,04 м. Вычислить
работу, выполненную при этом.
66
Производная показательной функции и ее
применение
119.	Найти производную функции:
1)	У = е8х;	7)у = 0,2ctgx; 12) у = 6Х(2 - х);
2)у = ех\	8) у = 5  4°’6'2 - 8;	13) у =
х + 8
3)	у = ех ~ Зх; 9) у = ех(х2-5х + 6); 14) у = -с- + -9;
е - 7
4)	у = е008*;	10) у = ех sinx;	15) у = е 8 3;
5)	у = 8-х;	11) у = 3^ • Vx;	16) у = cos59 ~ х .
6)у = 93х + 7;
120.	Вычислить значение производной данной функции
в точке х0:
1)	fix) = е4х + е~2х , х0 = 0;
2)	Лх) = 52х2-3х + 1, х0= 1;
3)	fix) = е2х (х2 - 3), х0 = 2;
4)	fix) = - g-z~, х0 = л.
cos3r и
121.	Решить неравенство f (х) < g(x), если:
1)	fix) = е’х (х2 + 4х - 3), g(x) = хе-х;
2)	f(x) = 4“5х, gix) = 5 • 21-х.
122.	Записать уравнение касательной к графику функции:
1)	fix) = х2 е2х в точке х0 = 1;
2)	fix) = ех ~ Зх ~4 в точке х0 = -1;
3)	fix) = 32х + 3 в точке х0 =-1.
123.	Найти уравнение касательной к графику функции:
1)	fix) = ех, параллельной прямой у = ех + 5;
2)	f(x) = е4х + \ параллельной прямой у = 4х - 10.
124.	Найти уравнение горизонтальной касательной к гра-
фику функции fix) = (2х - 5) (2х - 3).
125.	Найти промежутки возрастания и убывания и экст-
ремумы функции:
1) fix) = ех - хе;	2) fix) = ех ~ 8х + 3;
66
3)	Дх) = ех\	6) Дх) =
х + 2
4)	Дх) = (Зх + 2) е3х; 7) Дх) = 5Эх - 9 • 52х + 15 • 5х.
5)	Дх) = х2 е 2;
126.	Исследовать функцию и построить ее график:
1)	Дх) = хе~х;	3) Дх) = х2 е~х;
^2
2)	Дх) = хе 2;	4) Дх) = е~х .
127.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на данном промежутке:
1)	Дх) = хе~2х, [0; 1];
2)	Дх) = б1'+ 4х + 5, [-4;-1];
3)	Дх) = 4х + 4"х, [-2; 1];
4)	Дх) = е4х + 5 (Зх2 + 2х), [-2; -0,5];
5)	Дх) = 23х + 1 - 9 • 22х + 12 • 2х, [0; 2].
128.	При каких значениях а функция Дх) = Зех + ах - 5
не имеет критических точек?
129.	При каких значениях а функция Дх) = 22х+1-2“х 1п2 +
+ 8х 1п2 является возрастающей на множестве всех
действительных чисел?
130.	Найти промежутки возрастания и убывания функ-
ции Дх) = е~х + х - 1 и доказать неравенство
е~х < 1 - х при х < 0.
Производная логарифмической функции и ее
применение
131.	Найти производную функции:
1)	у = log6x;	6)	у	=	х4 1пх;
2)	у = 1п7х;	7)	у	=	(Зх2 - 4) 1пэх;
„	г2
3)	у = In (х2 - 5х);	8)	у	=	—;
4)	у = 1g cosx;	9)	у	=
5)	у = 1п5х;	10) у = х In (х2 - 1);
67
11)	У = log3	+ 3х);	13) У = log^ (Зх2 - 7х + 6);
12)	у = Vlnx + 1;	14) у =
1-х2
132.	Вычислить значение производной данной функции
в точке х0:
1)	Дх) = in (5х - 4), х0 = 3;
2)	Дх) = | In (~2х), х0 = - |;
3)	Дх) = log6 (х2 - 5х + 7), х0 = 2;
4)	Дх) = In sin %, х0 = п.
О
133.	Решить неравенство f (х) < g (х), если f(x) = 2х2 -
- Зх + 9, g(x) = 5 In (х - 1).
134.	Найти угловой коэффициент касательной к графику
функции Дх) - х In (х2 + 2х - 7) в точке х0 = 2.
135.	Записать уравнение касательной к графику функции:
1)	Дх) = In (3 - 2х) в точке х0 = 1;
2)	Дх) = In (х2 - 4х + 5) в точке пересечения с осью
абсцисс;
3)	Дх) = log2 (х + 5) в точке х0 = 3.
136.	В какой точке графика функции Дх) = In (4 - 5х)
касательная к нему наклонена к оси абсцисс под
углом а = 135°?
137.	Найти промежутки возрастания и убывания и точки
экстремума функции:
1)	Дх) = х Inx - 2х;	6)	Дх)	=	1,5 1п2х -	1п3х;
2)	Дх) = х3 Inx;	7) Дх)	= lg3x - 12 Igx - 7;
3)	Дх) = ln2x - Inx;	8) Дх)	= х2 - 8х - 101п(-х)	-	3;
4)	Дх) = х2 log2x;	9) Дх)	= х2 - 4х - 1 - 21п(х - 2);
т2
5)	Дх) =	10) Дх) = xln2x + xlnx + х + 1.
138.	Исследовать функцию и построить ее график:
1)	Дх) = х - Inx; 3) Дх) = log2 (4х - х2);
2)	Дх) =	4) Дх) = In
X	X - 1
68
139.	Исследовать на монотонность функцию /(х) = 1 +
+ In (1 + х) - ех и доказать неравенство
1 + In (1 + х) < ех при всех х > -1.
Первообразная показательной функции
140.	Для данной функции f найти общий вид перво-
образной:
1)	Г(г) = 7х;
2)	f(x) = 63х 1п6;
3)	f(x) = е0,2бх;
4)	f(x) = е~х + 21 2;
5)	Дх) = 37х 1пЗ - е~2х;
6)	f(x) = 16е4х“3 * * * * - 12е5-6х.
141.	Для данной функции / найти первообразную, график
которой проходит через данную точку В:
1)	Дх) = 5х 1п5 + 2х 1п2, В (2; -3);
2)	Дх) = sinx - Зех, В (0; 5);
3)	Дх) = 16х3 - е?, В(1;-2<ё).
142.	Вычислить интеграл:
1) J ех dx;
1
•°g25
2) f 2х dx;
2
2
3) f (3 • 4х - 4ex + 2) dx;
о
143. Вычислить интеграл:
1п4
1) f (е2х + 2)2 dx;
о
*”8 / _ £	£у2
2) | (е 3 - е3 j dx;
1п0,125
2
4)	J e1 “ 2x dx;
о
о
5)	f 22x + 3 ln0,5 dx;
-i
2
6)	J (72x + cos2nx) dx.
-2
2
3)fl^^dx;
-2
i44. Найти площадь фигуры, ограниченной:
1) графиком функции у = 2х и прямыми у = 0, х = -1,
х = 2;
2)	графиком функции у = е2х ~ 1 и прямыми у = О,
х = 1, х = 3;
3)	графиком функции у = ех и прямыми у = 1, х - 2;
4)	графиком функции у = 0,2х и прямыми х = 0, у = 5;
5)	графиками функций у = ех + 1, у = 3 - ех и прямой
х = 1.
Производная и первообразная степенной функции
145. Найти производную функции:			13) у = -	; X NX 14) у = (х - 4) х<6;
1) У = г8; £ 2) у = х9;		Wr~7- 1)у= °) У - 12_ > NX	
3)У =	х 7; 3	а\	10 . 9)у=	;	15) у = V7 (х2 + 3); 1
4) У =	х п;	10) у = х Чх2;	16) у = (5х + З)7;
5) у =	х^;	11) у = х3 V7;	17) у = л/х4- 2х2 + 12х;
6) у =	5 /—	12) у = -?^; X NX	1О\ ,,	1
	VX \		У - 3	 • 'lx3 + 6х
146. Исследовать на монотонность функцию:
1)	/(г) = х8 (х - 2);	2) /(х) = х^ (3 - х).
147.	Найти общий вид первообразной функции:
1)	fM = х®;	6) /(х) = лТ;
2)/(х) = х9;	7)/(х) = Vx8;
3)/(х) = х’7;	8)/(x) = -jgr ;
vx
з
4)	/(х) = х 11;	9) /(х) =	;
5)	/(х) = х^;	10) /(х) = х ’<7;
70
11)	f(x) = x3	15) f(x) =	;
12)	fix) = -i—;	16) fix) = .	3	;
x	V(6x - l)3
X
13)	Дх) = (5x + 3)7 *;	17) f(x) = 10 *x4 - x^ - —:
(x - 5)'
14)	fix') = tax + 7;	18) f(x) = e3x - (x + 2) x^.
148.	Вычислить интеграл:
1	1	27	39
1)	f x^dx; 2) f	’VP" dx; 3) J x	Vx dx;	4) J	\'(2x + 3)a.
0	0	8	-1
149.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной:
X
1)	графиком функции у = х4 и прямыми у = 0, х = 1,
х = 16;
2)	графиком функции у = хе и прямыми у = 0, х = е;
3)	графиком функции у = х-5 и прямыми у = 0, х = 2,
х = 3;
4)	графиками функций у = х^ и у = х^.
150.	Доказать, что функция F(x) = 1пх6 - х3 является
_	* а.	.	3 (2 - х3)
первообразной для функции Дх) = ——-—- на проме-
жутке (0; о°).
151.	Для данной функции f найти первообразную, график
которой проходит через данную точку М:
1)	Дх) = 10х9 -р М (1; 2);
2)	Лх) = М (2; 1п8);
Зх + 2
3)	Дх) = —Ц- - е"2х, М (0; 1);
4х - 1
4) Дх) = -Ц- - , 7---, М (-2; -30).
х + 3 2л/х + 18
152. Вычислить интеграл:
625	е”	30	-1 ,	.
l)f^;	3)/^;	4) f р +1
5	е	10	-24	'
71
9	О	49	10 .
5) J 6) J ^т;7) J 8) f | бх —-—I dx.
J 6х + 2 J 2х - 5 J X ' > I 0,2х + 4 I
о	-10	7 у + 1 -б4	7
153. Вычислить интеграл:
154. Доказать, что площади криволинейных трапеций,
заштрихованных на рис. 6, равны.
155.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной:
1)	графиком функции у = — и прямыми у = 0, х = 3,
х = 6;
2)	графиками уравнений ху = 7, х2- 8х + 7= 0иу = 0;
12
3)	графиком функции у = — и прямыми х = 2, у = 4;
72
4)	графиком функции у = ~ и прямыми у = 3, х = 4;
§
5)	графиком функции у = — и прямой х + у = 6;
4
6)	графиком функции у = — и прямыми у = Зх + 1,
х = 2;
7)	графиками функций у = х2, у = и прямой х = 3;
8)	графиками функций у = Vx~, у = ± и прямой х = 8;
2
9)	графиком функции у =------ и прямыми х = 3,
х + 1
х = -0,5.
156.	При каком положительном значении а прямая х = 6
делит площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у = — и прямыми у = 0, х = 3, х = а +• 6,
пополам?
157.	При каком значении а прямая х = а делит площадь
g
фигуры, ограниченной графиком функции у = — и
прямыми у = 0, х = 2, х = 10, пополам?
Дифференциальные уравнения
158.	Является ли данная функция решением данного
дифференциального уравнения:
1)	У = Зе'41, у = -4у;
2)	у = ех ,у + 2ху = 0;
3)	у = 2cos5x + 7sin5x, у = -25у;
4)	У = ez cosx, у - 2у - 2у = 0?
159.	При каком значении Ъ функция у = е~2х + 1 является
решением уравнения у + by = 2?
160.	Найти общее решение дифференциального уравне-
ния и его частное решение, удовлетворяющее данным
начальным условиям:
1)	У = 7у, у(0) = 2;
2)	у = -2у, у(2) = е;
3)	у = -Зу, у(0) = 2, у (О) = 6;
4)	у = -4у, у(0) = 0, у (О) = 1.
73
Перестановки
161.	Сократить дробь:
1)	("	2) —-—; 3) (п ~ 2)1; 4)	+	, п > *.
nl (п-3)!	(п-4)!	(n-fe+l)!
162.	Упростить выражение:
П _L _	1 	2) (д ~2)1 - л1
’ fel (*4-1)1’	' п! (п 4 1)!*
163.	Решить уравнение:	= 72.
164.	Вычислить:
Р - Р
12 и-
IIP ’
х i'r10
r3k + 2
p-----
r3k + 1
165.	Сколькими способами можно расставить 6 книжек
на книжной полке?
166.	На танцевальной площадке собрались п. юношей и п
девушек. Сколькими способами они могут образовать
пары для участия в очередном танце?
167.	Сколько различных пятизначных чисел можно со-
ставить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждую из них
использовать только один раз?
168.	Сколько различных слов можно получить, перестав-
ляя буквы слова:
1)	«школа»;	3) «математика»?
2)	«алгебра»;
Сочетания
169.	Вычислить:
1)С®; 2) С<; 3) С\ + С®; 4) С^; 5) С2™ 4	.
170.	Доказать, что:
1)	С2 -t- С® = С®;	2) С* 4 С® = С*.
171.	Упростить выражение:
П + £	&П — 1
172.	Вычислить:
1)С*°;	2)С“;	3) С^.
173.	Доказать, что:
1)	С° + С1 + С? 4- С® + С* 4 С? + С® + с] = 27;
2)	С° 4 С25 4 С* = С* 4 С® 4 С®.
74
174.	Решить уравнение:
l)Ci8 = C«;	2) С37о + С«о = С31; 3) С«9 + Сх9 = С620.
175.	Решить уравнение:
1)	С* = 120;	3) С* - 2 = 66; 5) 13С£/ 1 = 7С^\-,
2)	С’ + 2 = 7 (х + 2); 4) ^- = |;	6) 17С*Х _ х = 9СХ; \
176.	На бригаду рабочих из 8 человек выделили всего три
путевки в санаторий. Сколькими способами можно
сформировать группы обиженных рабочих?
177.	На плоскости расположены 20 точек так, что ника-
кие три из них не лежат на одной прямой. Сколько
существует прямых, проходящих через эти точки?
178.	Сколько можно составить из простых делителей чис-
ла 14 630 составных чисел, имеющих только два про-
стых делителя?
179.	Сколькими способами группу туристов из 10 человек
можно разместить в четырехместной и шестиместной
палатках?
180.	В отряде 7 офицеров и 20 рядовых. Сколькими
способами можно сформировать отряд разведчиков, в
который входят 3 офицера и 12 рядовых?
181.	В футбольной команде 11 основных игроков и 8 за-
пасных. Сколькими способами можно сделать замену
сразу двух игроков?
182.	На одной параллельной прямой отмечены 7 точек, на
другой — 12. Сколько существует треугольников с
вершинами в этих точках?
183.	В футбольной команде (11 человек) нужно вы-
брать капитана и его заместителя. Сколькими спосо-
бами это можно сделать?
184.	Сколькими способами можно выбрать из полной
колоды (52 карты) 8 карт так, чтобы среди них было
ровно два туза?
Размещения
185.	Найти значение выражения:
А’	А}2
1)	4	;	2) з 
Л4 - Д4	Лэ • Р
Л14 Л1Э	Л16 Г12
186.	Доказать, что А* = п!.
75
187.	Решить уравнение:
1)А* = 42;	4) ЗСх + j + 2z = 4А2;
2)	А2 = 182;	5) А2 _ 2 + Сх~ 2 = 101.
3)	А2 _ j -	= 79;
188.	Сколькими способами в команде спортсменов из
10 человек можно распределить три призовых места?
189.	В лицее «Лидер» в 11 классе изучают 16 предметов.
Дневное расписание содержит 7 уроков. Сколькими
способами можно составить дневное расписание?
190.	Сколько существует трехзначных чисел, все цифры
которых четные, различные и не содержат нуль?
191.	Сколько существует обыкновенных дробей, числи-
тель и знаменатель которых — различные простые
числа не больше 30?
192.	Сколько существует правильных дробей, числитель
и знаменатель которых простые числа не больше 30?
193.	Сколько существует четырехзначных чисел, все циф-
ры которых различные и четные?
Бином Ньютона
194.	Найти разложение степени бинома:
1	1.5
1) (X + у)4;	5) (а3 - б3) ;	8) (б2 + I)5;
		/ \4
2) (и + и)8;	6) (2х + I)5;	9) 12 + — |; 1 у)
3) (а - б)6; 4) (чх + >[у}4;	7) (т - Зп)4;	10) (1 + а’2)4
195.	Сумма всех биномиальных коэффициентов в разло-
жении бинома (х + у)п равна 512. Найти п.
196.	Сумма всех биномиальных коэффициентов, стоящих
на нечетных местах в разложении бинома (а + Ь)п,
равна 256. Найти п.
197.	Чему равна сумма биномиальных коэффициентов раз-
ложения бинома (х + а)10, стоящих на четных местах?
198.	Доказать, что сумма всех коэффициентов разло-
жения бинома (Зх - 2у)п при любом натуральном п
равна 1.
199.	Доказать, что сумма всех коэффициентов разложения
бинома (Зх - 4у)п при любом нечетном п равна -1.
76
200.	Доказать тождество:
С° • 2П -	• 2" -1 + С* • 2" - 2 - ... +
+ CJJ-1 • 21 • (-1)" ’ 1 + С£ • 2° • (-1)" = 1.
201.	Какой член в разложении бинома (а + £>)15 содержит
Ь в степени 7?
/ \12
202.	Найти пятый член в разложении бинома Vr’ + — .
203.	Найти шестой член в разложении бинома ( Ча - а)15.
Z	.8
204.	Найти средний член в разложении бинома х + -^= .
I УХ I
(	А10
205.	В разложении бинома Iх + ~ найти номер члена,
не содержащего г.
206.	Найти член разложения бинома
содержащий а.
207.	Найти член разложения бинома (
жащий х во второй степени.
з + 'Vo3'! , не
Va7
3ГТ5"	7
ух + х) , содер-
Классическое определение вероятности
208.	Какова вероятность того, что при одном броске иг-
рального кубика выпадет число очков, равное:
1) единице;	3) нечетному числу;
2)	четырем;	4) числу, кратному 5?
209.	Представь себе, что в классе, в котором ты учишься,
разыгрывается одна бесплатная туристическая поезд-
ка в Лондон. Какова вероятность того, что в Лондон
поедешь именно ты?
210.	Чтобы сдать экзамен по математике, надо выучить
25 билетов. Ученик не выучил только один билет.
Какова вероятность того, что он не сдаст экзамен?
211.	В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна
карта. Какова вероятность того, что эта карта:
1) король;	2) бубновый король?
212.	В классе учится 12 девочек и 17 мальчиков. Один
ученик опоздал в школу. Какова вероятность того,
что это был мальчик?
77
213.	Бросают две одинаковые монеты. ’Какова вероят-
ность того, что выпадут:
1)	две цифры;	2) разные стороны монет?
214.	Какова вероятность того, что ваш будущий ребенок
родится:
1)	5 числа; 2) 30 числа; 3) 28 числа?
215.	В ящике находятся 50 шариков, из которых 20 бе-
лых. Потеряли один белый и два не белых шарика.
Какова вероятность того, что выбранный наугад один
шарик будет белым?
216.	Какова вероятность того, что наугад выбранное дву-
значное число делится на 15?
Применение формул комбинаторики для вычисления
вероятности событий
217.	В ящике лежат 10 шариков, три из которых крас-
ные. Какова вероятность того, что выбранные наугад
три шарика будут красными?
218.	Четыре карточки пронумерованы цифрами 1, 2, 3, 4.
Какова вероятность того, что номера выбранных на-
угад трех карточек образуют убывающую арифмети-
ческую прогрессию?
219.	На карточках написаны натуральные числа от 1 до 7.
Наугад выбираются две из них. Какова вероятность
того, что сумма номеров выбранных карточек равна 5?
220.	Наугад выбирают четыре буквы слова «сладости».
Какова вероятность того, что из выбранных четырех
букв можно сложить слово «сало»?
221.	Выбирают наугад четвдре буквы слова «закон». Како-
ва вероятность того, что выбранные четыре буквы в
последовательности выбора образуют слово «коза»?
222.	В партии из 40 лампочек 7 бракованных. Какова
вероятность того, что взятые наугад 4 лампочки будут
без дефекта?
223.	Из колоды в 36 карт наугад выбирают три карты.
Какова вероятность того, что выбранные карты — три
туза?
224.	На экзамен по математике выносят 50 вопросов.
Ученик подготовил только 40. Билет состоит из трех
вопросов. Какова вероятность того, что ученик полу-
чит отличную оценку?
78
225.	На экзамен по математике выносят 40 вопросов.
Ученик подготовил только 35. Билет состоит из пяти
вопросов. Чтобы получить отличную оценку, доста-
точно ответить на четыре вопроса. Какова вероят-
ность того, что ученик получит отличную оценку?
226.	В ящике лежат 7 красных и 4 черных шарика.
Какова вероятность того, что из четырех выбранных
наугад шариков два будут красными?
227.	Найти вероятность того, что дни рождения 7 человек
выпадают на различные дни недели.
Теорема сложения вероятностей несовместных
событий
228.	В корзине лежат фрукты, среди которых 30% бана-
нов и 60% яблок. Какова вероятность того, что вы-
бранный наугад фрукт будет бананом или яблоком?
229.	Завод выпускает 16% продукции высшего сорта,
24% — первого сорта, 48% — второго сорта, а все
остальное — брак. Найти вероятность того, что на-
угад выбранное изделие не будет бракованным.
230.	Известный журнал мод нанимает на работу фотомо-
делей. Вероятность быть зачисленной по форме со-
ставляет 0,6, а по размерам — 0,3. Какова вероят-
ность положительного тестирования?
231.	Магазин снабжается тремя молокозаводами. Вероят-
ность доставки некачественной продукции с первого
завода равна 0,04, со второго — 0,02, с третьего —
0,03. Покупатель купил сыр, не обращая внимание на
то, где он был изготовлен. Какова вероятность того,
что сыр будет хорошего качества?
232.	На соревнованиях по стрельбе стрелок попадает в
десятку с вероятностью 0,03, в девятку — 0,2, в
восьмерку — 0,3. Какова вероятность того, что одним
выстрелом стрелок наберет: 1) больше восьми очков;
2) меньше восьми очков; 3) не меньше восьми очков?
233.	В коробке лежат 4 голубых, 3 красных, 9 зеленых,
6 желтых шариков. Из коробки наугад взяли один
шарик. Какова вероятность того, что этот шарик бу-
дет не зеленым?
234.	25 выпускников пединститута направили работать в
три села. В Хацепетовку попало 7 молодых специа-
листов, в Хачапуровку — 12, в Красные Опупейцы —
остальные. Какова вероятность того, что три друга
будут сеять разумное, доброе, вечное в одном селе?
79
Теорема умножения вероятностей независимых событий
235.	Бросают два игральных кубика. Какова вероятность
того, что выпадут две шестерки?
236.	Бросают два игральных кубика. Какова вероятность
того, что выпадут две нечетные цифры?
237.	Бросают три монеты. Какова вероятность того, что
выпадут две цифры и герб?
238.	Игральный кубик бросают три раза. Какова вероят-
ность того, что шестерка выпадет только во второй раз?
239.	На насосной станции параллельно работают три на-
соса. Вероятность поломки первого насоса равна 10%,
второго — 8%, третьего — 5%. Какова вероятность
того, что будет совсем прекращена подача воды?
240.	В ящике лежат 5 красных и 4 черных шарика.
Наугад из ящика достают два шарика и кладут их
обратно. Эту же операцию повторяют еще раз. Какова
вероятность того, что все взятые шарики были крас-
ного цвета?
241.	Магазин снабжается тремя молокозаводами. Продук-
ция первого завода составляет 60%, второго — 20%,
причем 90% продукции первого завода высшего сор-
та. Какова вероятность покупки продукта первого
завода высшего сорта?
242.	Три контролера последовательно друг за другом прове-
ряют качество продукции, выпускаемой заводом. Пер-
вый контролер выявляет брак с вероятностью 95%,
второй — 96%, третий — 98%. Какова вероятность
того, что бракованное изделие не будет выявлено?
243.	Три станка изготовляют соответственно 50%, 40%,
10% всех изделий. В их работе брак соответственно
составляете 1%, 2%, 4%. Какова вероятность того,
что взятое наугад изделие будет бракованным?
244.	Три стрелка независимо друг от друга по одному разу
стреляют в цель. Вероятность попадания первого стрел-
ка составляет 0,6, второго — 0,8, третьего — 0,7.
Какова вероятность того, что было: 1) три промаха;
2) хотя бы одно попадание; 3) ровно два попадания?
245.	В одном ящике лежат 6 красных, 5 синих, 9 зеленых
шариков, а в другом — 7 красных, 1 синий, 5 зеле-
ных шариков. Наугад из каждого ящика берут по
одному шарику. Какова вероятность того, что они
будут одного цвета?
80
246.	Монету подбрасывают десять раз. Найти вероятность
того, что хотя бы один раз выпадет цифра.
247.	Два ученика независимо друг от друга решают одну
задачу. Первый ученик может решить эту задачу с
вероятностью 0,8, а второй — 0,9. Найти вероятность
того, что: 1) оба ученика решат задачу; 2) ни один из
учеников не решит задачу; 3) хотя бы один из учени-
ков решит задачу; 4) только один из учеников решит
задачу.
248.	Пять стрелков одновременно независимо друг от друга
стреляют в одну цель. Вероятность попадания каждого
стрелка равна 0,7. Поражение цели происходит за одно
попадание. Найти вероятность поражения цели.
Схема Бернулли
249.	Монету подбрасывают 7 раз. Какова вероятность
того, что цифра выпадет: 1) два раза; 2) ни одного
раза; 3) меньше двух раз; 4) не менее двух раз?
250.	Станок с программным управлением изготовляет
бракованную деталь с вероятностью Какова веро-
ли
ятность того, что в партии из 15 деталей не будет
бракованных?
251.	По мишени стреляют десять раз. Вероятность попа-
5
дания в мишень во время каждого выстрела равна
Какова вероятность того, что в десяти выстрелах бу-
дет сделано три промаха?
252.	В ящике лежат 5 белых и 6 черных шариков. Из
ящика шесть раз наугад берут по одному шарику и
кладут обратно перед следующим испытанием. Найти
вероятность того, что из шести взятых шариков бе-
лый шарик вынимали: 1) ни одного раза; 2) менее
трех раз; 3) не менее двух раз.
253.	Игральный кубик подбрасывают восемь раз. Какова
вероятность того, что единица выпадет: 1) три раза;
2) более трех, но менее пяти раз?
254.	Игральный кубик подбрасывают девять раз. Какова
вероятность того, что нечетная цифра выпадет: 1) че-
тыре раза; 2) не более двух раз; 3) более шести раз?
255.	Что более вероятно: выиграть у равноценного игрока
две партии из трех или четыре партии из семи?
81
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТЕМАТИЧЕСКОГО
ОЦЕНИВАНИЯ ЗНАНИИ
Вариант 1
Тематическое оценивание № 1
Тема. Производная. Геометрический смысл производной
1°. Найти производную функции:
1) f(x) = 2х5 -	+ Зх2 - 4;	3) f{x) = х* +
о	х - 4
2)f(x) = (3x-5) V7;	4) f(x) = 4-4-
х х
2*. Найти уравнение касательной к графику функции
f(x) = х4 - 2х в точке с абсциссой х0 = -1.
3*. Найти производную данной функции и вычислить ее
значение в данной точке х0:
1) f(x) = V3x + 1, х0 = 5;	2) f(x) = sin5x, х0 =
О
4м. Найти уравнение касательной к графику функции
/(х) = х2 + Зх - 8, параллельной прямой у = 9х - 1.
Тематическое оценивание № 2
Тема. Применение производной
1*. Тело движется по закону s(t) = - 4 t3+ 2,5t2+ 24t - 7,
О
где s(t) измеряется в метрах, t — в секундах. Найти
скорость тела через 3 с после начала движения.
2°. Найти промежутки возрастания и убывания функции:
1) Дх) = Зх4;	2) ftx) = х2 - 6х + 10.
о
3*. Найти промежутки возрастания и убывания и точки
экстремума функции /(х) = 2х3 - Зх2 - 12х + 36.
4*. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
х2 + 7х
f(x) =---------на промежутке [-4; 1].
х - 9
82
5*. Исследовать функцию f(x) = х3 - Зх2 и построить ее
график.
6**. Число 24 представить в виде суммы трех положитель-
ных слагаемых так, что первое относится ко второму
как 1 : 2, а сумма кубов первого и второго и квадрата
третьего принимает наименьшее значение.
Тематическое оценивание № 3
Тема. Интеграл и его применение
1°. Найти для функции Дх) = 4х3 - 2х + 3 первообраз-
ную, график которой проходит через точку А (1; -2).
2’. Вычислить интеграл:
л
2	2
1	- Д dx;
х J
4
3°. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у = х3 и прямыми у = 0, х = 2.
4*. Вычислить интеграл:
Л
2	4
1) [ Гз cos Зх + sin 7Й dx; 2) f f—.	- - xl dx.
J	2	2	J 2>/3x + 4
ok	)	-ik	)
5*. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у = 4 - х2 и прямой у = 2 - х.
6**. Используя геометрический смысл интеграла, вычис-
2
лить | ~v4 - х2 dx.
-2
Тематическое оценивание № 4
Тема. Элементы комбинаторики. Начала
теории вероятностей
1°. Вычислить: 1) —2) с|; 3) А|.
83
2’. В классе учится 18 мальчиков. Сколькими способами
можно сформировать команду из 11 человек для учас-
тия в футбольном турнире?
3*. В ящике лежат 9 шариков, два из которых белые.
Какова вероятность того, что выбранные наугад два
шарика будут белыми?
4*. Найти пятый член в разложении бинома ( 'tx +• х2)11.
б*. На карточках написаны натуральные числа от 1 до
10. Наугад выбирают две из них. Какова вероятность
того, что произведение номеров выбранных карточек
будет делиться на три?
6м. Игральный кубик подбрасывают 10 раз. Какова веро-
ятность того, что шестерка выпадет три раза?
Тематическое оценивание № 5
Тема. Обобщение и систематизация
знании учащихся
+ 4х — 6
1°. Найти производную функции f(x) =--------— и вы-
X + О
числить ее значение в точке х0 = -2.
2°. Вычислить интеграл:
Я
1	3
1) [ (5г4 - 6х2 4- 4) dx; 2) f -Ц-.
J	J sin	x
0	jt
6
3*. Найти уравнение касательной к графику функции
/(х) = Ь'Гх - 5х в точке с абсциссой х0 = 9.
1	X
4*. Найти первообразную функции /(х) = 4 sin4x + — cos
А	м
график которой проходит через точку Л [£; -1 |.
5*. Исследовать функцию /(х) = 2х2 - х4 - 1 и построить
ее график.
6’*. При каких значениях Ь п с парабола у = х2 + Ьх + с
касается прямой у = 4х + 1 в точке А (1; 5)?
84
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТЕМАТИЧЕСКОГО
ОЦЕНИВАНИЯ ЗНАНИИ
Вариант 2
Тематическое оценивание № 1
Тема. Производная, Геометрический смысл производной
1°. Найти производную функции:
1) f(x) = Зх6 + 4 - 2х2 + 5х; 3) f(x) =	~ 8х;
4	х + 2
2) /U) = (2 - 5x)V7;	4) f(x) = 4 " 4
х х
2*. Найти уравнение касательной к графику функции
f(x) = Зх2 - х8 в точке с абсциссой х0 = -2.
3*. Найти производную данной функции и вычислить ее
значение в данной точке х0:
1) f(x) = ^6х + 7, х0 = 3; 2) f(x) = cos4x, х0 =
4**. Найти уравнение касательной к графику функции
f(x) = х2-4х-10, параллельной прямой у = -6х + 7.
Тематическое оценивание № 2
Тема. Применение производной
1°. Тело движется по закону s(t) = 8+15Z + t2--5-t3, где
e(t) измеряется в метрах, t — в секундах. Найти
скорость тела через 4 с после начала движения.
2°. Найти промежутки возрастания и убывания функции:
1) f(x) = 5х4;	2) f(x) = х2 - 4х - 3.
3*. Найти промежутки возрастания и убывания и точки
экстремума функции f(x) = 12 + 72х + Зх2 - х3.
4*. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = х ~ 8х на промежутке [-5; -2].
х + 1
85
5*. Исследовать функцию /(г) = 2х2 - х4 и построить ее
график.
б**. Число 14 представить в виде суммы трех положитель-
ных слагаемых так, что первое относится ко второму
как 1:3, а сумма куба первого и квадратов второго и
третьего принимает наименьшее значение.
Тематическое оценивание № 3
Тема. Интеграл и его применение
1°. Найти для функции /(г) = 5х4 + Зх2 - 7 первообраз-
ную, график которой проходит через точку А (1; -4).
2°. Вычислить интеграл:
п
4	"V	\
1)J-^-;	2)J4+1 dx;
„ COS X	J \X	J
0	-2 4	'
3°. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у = х4 и прямыми у = 0, х = 2.
4*. Вычислить интеграл:
л
2	6
1) [ (2 sin 2х - -j- cos 77) dx;	2) ( (х + . 5 = | dx.
о I	3	3 J Ц	^0’5х + 1 J
5*. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у = х2 + 1 и прямой у = х + 3.
6**. Используя геометрический смысл интеграла, вычис-
з
лить J ^9 - х2 dx.
-з
Тематическое оценивание № 4
Тема. Элементы комбинаторики. Начала
теории вероятностей
1°. Вычислить: 1) —Ц—2) С®; 3)Ад.
А
86
2°. В классе учится 12 девочек. Сколькими способами
можно сформировать из них команду из 5 человек
для участия в соревнованиях по легкой атлетике?
3*. В ящике лежат 8 шариков, три из которых зеленые.
Какова вероятность того, что выбранные наугад три
шарика будут зелеными?
( \10
4*. Найти шестой член в разложении бинома -$х + "Г 1 •
5*. На карточках написаны четные числа от 2 до 16.
Наугад выбирают две из них. Какова вероятность
того, что произведение номеров выбранных карточек
является степенью двойки?
6**. Из колоды в 36 карт 12 раз вытягивают по одной
карте и кладут карту назад в колоду перед следую-
щим испытанием. Какова вероятность того, что среди
12 вытянутых карт будут три туза?
Тематическое оценивание № 5
Тема. Обобщение и систематизация
знаний учащихся
— Зх + 4
1°. Найти производную функции f(x) =--------— и вы-
числить ее значение в точке х0 = 4.
2°. Вычислить интеграл:
к
2	4
1) [ (9х2 - 8х3 + 2) dx; 2) Г
1	J cos х
3*. Найти уравнение касательной к графику функции
/(х) = Зх - 2'Гх в точке с абсциссой х0 = 4.
4*. Найти первообразную функции f(x) = 10 cos 10х -
*|	у
- — sin —, график которой проходит через точку
5	о
в	-з)
5*. Исследовать функцию f(x) = х3 - 2х2 + 2 и построить
ее график.
6м. При каких значениях b и с парабола у = Зх2 + Ьх + с
касается прямой у = 7х - 2 в точке В (1; 5)?
87
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К ТРЕНИРОВОЧНЫМ УПРАЖНЕНИЯМ
Вариант 1
4. 1) Если а > 0, то корней нет, если а = 0, то х = 0, если а < 0, то
х =-а или х = а; 2) если а < 0 или а > 0, то корней нет, если а = О,
то х = 0. 5. 1) Если а > 0, то нет решений, если а < 0, то х — любое
действительное число, кроме 0; 2) если а 2 0, то х е R, если а < О,
то х = 0. 6. 4) рис. 7; 6) рис. 8; 10) рис. 9; 11) рис. 10; 12) рис. 11;
1) рис. 12; 17) рис. 13. 7. 6) рис. 14; 7) рис. 15. 8. 5) -2; 2; 6) <23"- 4;
7) 6; 9) 2,5; 1,5; 10) 7; -7; 11) 4 ±^22-, 4 ±^2; 12)
3^/5; -3+VS~. 13)	1; 15) [_1; 3]. 16) нет корней. 18) 2; 2,5;
Л»	ь
9 +VT7"
	. 9. 9) [1; ~); 11) [-1; 1]; 12) х е Я; 14) (-«; -19) и (0,6; »);
15) (-3; 4); 16) (—о; -6) и (-3; -2) и (1; -); 17) [-4; 2] и [3 +V17-; »);
18) (-6; 6); 19) (-»; 1) и (3; «); 20) -1; 21) (-»; 0.6) и (5; «);
22) (4; 6) и (6; 8). 10. 1) Если а < 0, то корней нет; если а = О
или а > 6,25, то два корня; если 0<а<6,25, то 4 корня; если
а = 6,25, то 3 корня; 2) если а < 5, то нет корней; если а = 5,
то бесконечное множество корней; если а > 5, то два корня; 3) если
в < 0, то нет корней; если а = 0, то 3 корня; если 0 < а < 1, то,
6 корней; если а = 1, то 4 корня; если а > 1, то 2 корня; 4) ес-
ли а < -3, то нет корней; если а = -3 или а = 3, то бесконечное
88
Рис. 14	Рис. 16
множество корней; если -3 < а < 3 или а > 3, то один корень; 5) если
а < -6 или а > 6, то нет корней; если а = -6 или а = 6, то беско-
нечное множество корней; если -6 < а < 6, то один корень;
6) если а < 5 или а = 9, то два корня; если а = 5, то три корня;
если 5 < а < 9, то 4 корня; если а > 9, то нет корней. 11. 1) п0 = 3;
89
2) п0 = 11; 3) по = 1О1. 16. 2) 4; 3) 4; 4) -1; 5)	6) 0. 17.
2) lim /(х) = lim (х2 - 4) = 12 = /(4). 18. lim f(x) = lim x2 = 1 *f(l) =
x —»4	x -> 4	r —» 1	x-> 1
= -1. 38. x = 0 или x = + -^ + 2itk, k e Z. 39. ~ 4? + 6лЛ < x <^ +
+ 67tfc, k e Z. 47. 1) (—; -4)u(3; =<>); 2) (-=»; -4]u[3; =»); 3) (-4; 2) и
и (2; 3); 4) [-4; 2) и (2; 3]; 5) (-»; -5) и (2; «); 6) (-»; -5) и (2; «=)и
и {-3}; 7) (-5; -3) и (-3; 2); 8) [-5; 2]; 9) (—; -3] и [2; 4) и (4; =<>);
10)	~7) и (9; °о) и {-5}. 51. 1) Если а < 4, то а < х < 4; если
а > 4, то 4 < х < а; если а = 4, то решений нет; 2) если а < 4, то
х > 4; если а>4, то4<х<а или х > а; 3) если а < 4, то х > 4 или
х = а; если а > 4, то х > 4; 4) если а < -2, то х < а; если а > -2, то
х <	-2 или	-2 < х < а; 5) если а <	-2,	то х < а	или х = -2; если
а >	-2, то	х < а; 6) если а < 7,	то	а < х < 7;	если а > 7, то
7 < х < а; если а = 7, то решений нет; 7) если а < 5, то а < х < 5 или
х >	5; если	а > 5, то х > а; если а	= 5,	то х > 5;	8) если а < 5, то
х <	а или а	< х < 5; если а > 5, то	х <	5; если а	= 5, то х < 5. 64.
у = 2ч2х + 1, у = -2\2х + 1. Указание. Искомое уравнение имеет вид
у - (2Хд + 2) = 4х0 (х - х0), где х0 — точка касания. Воспользуйтесь
тем, что указанная прямая проходит через точку М (0; 1). 65. b = 1,
с = 0. Указание. Значения Ь и с можно найти, решив систему
• о’ где = X2 + Ьх + с. 72. 1) а = 0; 2) |а| < 4; 3) а = |; 4)
< а < 25. 74. а < 4. Указание. При а = 4 корень уравнения f (х) = 0
не является критической точкой. 77. 1) а < -1 или а > - -у; 2) а < -1
О
или а > - -j-. Указание. Рассмотрите случай а = 0. Кроме того нужно
О
заметить, что при а = -1 и а = - £ корни уравнения f (х) = 0 не
О
являются точками экстремума. 78. 4) рис. 16; 5) рис. 17; 6) рис. 18.
79. 2) рис. 19; 3) рис. 20. 82. max f(x) = /(1) = 5, min f(x) = f(4) = -52.
[0: 4)	[О 4]
90
3) F(x) = |V9^2-|.
»7	«7
84. 1. Указание. Рассмотрите функцию
/(х) = Зх2 - 2х® при х е (0; °°).
86. S = r'ctg2 tga, S^S g) = 3>/3 г2.
89. 1) Да; 2) нет. 90. 4) F(x) = -	- 1;
ил
Q 3,___	S .
5) F(x) = | х <х + 3; 6) F(x) = 2,5
- 1,5. 91. 7) F(x) = -j rVx - x8 + С;
О
Э— з^.
8)	F(x) = 0,6х уз? + 6 Vx^ + С.
94.	2) F(x) = - | ctg (4х - j^) + <1
95.	F(x) = х2 - х - 6. 96. F(x) = х3 - 6х2 +
+ Зх + 10, х2 = 2, х3 = 5. 97. F(x) = -2х2 + Зх + -у. 98. F(x) = 3,5x2 -
- 4х + 17. Указание. Угловой коэффициент касательной к графику
искомой первообразной в произвольной точке х равен 7х - 4. 100.
1) F(x) = 4 х _ ЧЪ’ 8in6x + с< 2) F(x> = ~4ctg - х + С; 3) F(x) = -| х3-
+ | х2 + ~+С; 4) F(x) = у - у- + Зх3 + С; 5) F(x) = - cos7x -
- | cosx + C. 101. F(x) = 3x - x2 + 3; (0; 3); (5; -7). 102. /(x) = 2x -
- x3 + 5. 103. 8) 1; 9) 4; 15) 12 f; 16) 48 f; 18)	19)	1	22) 112;
o	4 о	о
23) 6; 24) —=-. 104. 3)	Указание. Применить последова-
о	04
тельно формулы понижения степени, квадрата разности, пониже-
ния степени. 4) —Указание. Применить формулу преобразова-
О
23	13	1
ния произведения косинусов в сумму. 6) 139	7) —; 8) -423 -j-.
do	16	о
91
105. 22 Указание. J f(x) dx = j f(x) dx + j fix) dx. 106, 1) a < 3;
a	a	c
9	9	1
2) a < -4 или a > 4. 109. 1) 10	2) 4,5; 3) 2	4) 4,5; 5) 4,5; 6) 1
О	d	o
7) |; 8) 1 J. 110. 1) 10 |; 2) 4; 3) 2 j. 111. 1) 2л; 2)	3)
00	0	o	4	4
112. 9. 113. a = 1. 114. 2 g-. Указание. Искомая площадь равна сумме
площадей трех заштрихованных фигур, изображенных на рис. 21.
116. -у. 117. 2) 108 м. 119. 16) у = cos2*2 + 5 2*+5 1п2 • 2х. 120. 3)
р-; 4) 4е". 121. 1) [-1; 4]; 2) (-»;	122. 2) у = -Зе2х + 4е2;
3) у = 75х 1п5 + 25 - 150 1п5. 123. 1) у = <?х - | е2; 2) у = Зх - 1.
124. у = -1089. 125. 2) Возрастает на 3]; убывает на [3; «>);
/шах = ЛЗ) = е14; 3) возрастает на R, экстремумов нет; 4) возрастает на
убывает на (-»; £|,	| е; 5) возрастает на
з
(-оо; 3]; убывает на [3; °°); /тах = /(3) = —; 6) возрастает на [2; «>);
Рис. 24
92
убывает на (-<»; 1) i (1; 2]; /min = f(2) = е2; 7) возрастает на (-«; 1] и
[2; «); убывает на [1; 2];	= /(1) = 36; f^n = f(2) = 0. 126. 1)
рис. 22; 2) рис. 23; 3) рис. 24; 4) рис. 25. 127. 2) |;	3) 9 Ь 2;
о 04 У
4) бе8; -е6; 5) 24; 0. 128. а > О. 129. а < 3. 130. Поскольку функция
f(x) возрастает на [0; ~), то при х > 0 Дх) > ДО). 131. 8)
1 - 21пх х2 (31пх - 2)	о ,	Зх4
У =----? 9) У = —! 10) У = 2* In (х3 + 1) + р—р ID
_ 2Т 1п4 + 5х InlO. .	_____Ige
(2х + 5х) 1п4 ’ 2xVlgx - 2 ’
4х - 4	, х - Inx - 1
У ” (2х2 - 4х + 3) 1п0,3’ 1 У " (х-1)2
9
133. [-1; 0). 135. 1) у = 4х + 4; 2) у = 2 - х; 3) у = х + 2 -
zoino
-	136. х0 =	137. 3) Возрастает на f0; -V] и [1; =°); убывает
23 1п5	о	1	° 1
= —
тах ^2
4) возрастает на ——; =° р убывает на
на
0;-L
:т1п = —i— ; 5) возрастает на (0; 1) и [е2; «); убывает на
(1; е2]; х^ = е2; 6) возрастает на ^0; и [е; «>); убывает на е];
xmin = е' Хшах ~ возрастает на [0,5; 1] и [2; =°); убывает на
Рис. 25
Рис. 27
93
(0; 0,5] .и [1; 2]; xmin = 0,5 и
xmin = 2; xn,.z = 1; 8) возрастает
на [-1; 0); убывает на (-о»; -1];
xmin = _l; 9) возрастает на (-1;
0]; убывает на [0; «•);	= 0;
10) возрастает на
убывает на
и [1; е];
Рис. 29
_±-
Xmln ^4 1 Xmln Xmax •
138. 1) рис. 26; 2) рис. 27;
3) рис. 28; 4) рис. 29.
140. 5) F(x) = -2"х - 2е-° 5х + С;
6) Г(х) = 2е3х- 4 - 2с1 - 4* + С.
1<1. 3) ад) - 2ЛI1 142. 3) 3« - 2 -	5) 3 в)
143.1) 98ltl» l,5;2)^A + 4 1^3)^ + l^;4)l-itl
144. 3) е3 - 4; 4) 8-^-; 5) 8 -	1*6- D Возрастает на [О; |];
убывает на^; 2) возрастает на [3 - >13; <*>); убывает на [0; 3 -
147. 14) F(x) =	л/(5х - 4)4 + С; 15) F(x) = 8	+ if + с'< 16)
ZU	\ о )
».------	xv7+1	.	1
F(x) = 9 ч'Зх + 1 + С; 17) F(x) = 7- , - 2х4----Ц- + С; 18) F(x) =
V2 + 1 х + 3
г'5 + 2	_Vs +1	2044	тл + 1
= £.-----4=------+ 2е°-5х + С. 148. 3)	4) 290,4. 149. 2) -----;
л/5 + 2 V5+1	9	л + Г
4)	1б1> з) F(x) = -е'1 + | In (1 - Зх) + 1; 4) F(x) =
о	о
= За/хПГ + 4 In (х - 4) - 11. 153. 1) 8,25 - 4 1п2; 2) -1,25 - 4 1п2.
1 4
155. 5) 24 - 7 1п7; 6) 1,5 - 2 In 1,5; 7) 6,2 - In 2; 8)	- In 4. 156.
о
а = 7,5. 157. а = 6. 159. а = 1. 160. 2) у = Се’3*; у = г4'3*; 3) у =
о
= Сг соаЗх + С2 sin3x; у = - — sin3x. 161. 4) (п- Л+ 1)...(л- 1)л. 166.
о
п!. 167. 4! - 31 = 18. 168. 1) 5! = 120; 2)	= 2520; 3)	=	10 080.
174. 1) 25; 2) 8; 3) 8. 175. 1) 18; 2) 6; 3) 10; 4) 7; 5) 4; 6) 5. 176.
=35 960. 177. С35 = 2300. 178. С3 =10. 179. С?7 = 6188. 180.
С* С4 = 225 225. 181. С?„ С2= 1260. 182. С?2  С? = 1386. 183.
13	1U О	1£	>
94
C}5 • C}4 = 210. 184. Cj Cje. 187. 1) 5; 2) 12; 3) 16; 4) 6; 5) 4. 188.
A^ = 110. 190. A® = 60. 191. A2 = 56. 192. |?12 = 28. 193.
A® - A2 = 48. 195. n = 8. 196. n = 10. 197. 256. 198. Указание. Поло-
жить в разложении бинома а = b = 1. 201. 19. 202. 792  х8,5. 203.
-120о215. 204. 20х-1'®. 205. 3. 206. -5005. 207. 495х2. 208. 1)
б
2)|;3)|;4)|.210.|. 211. 1) |;
12	12 о 7	7
365 ИЛИ 366’ 2) 365 “J™
217. i = i 218.
р5
222.	223.	224.
сзо ьзв
228. |. 229. |. 230. 0,5.
3 23^ С^о + С22 + С^3
5’
12'
366’
219 -1°--
С?о ' 9-
С2
V3S
239. 0,04 0,02 -0,01.
рг- 226.
С40
2)± 212. |. 213. 1)|; 2) j. 214.
Q4 11	12	17	4
3) 365 117111 365‘ 216’ 43’ 216, 45‘
2 — J.-! 991 1	1
‘ C« 5' A* 360‘
С» • C? 12«
. 226. *	6. 227. -5^.
С®.	1212
220.
231. 0,76. 232. 1) 0,14; 2) 0,34; 3) 0,66. 233.
240.
235.	236. |. 237. |. 238. # | = X-
36	4 о о о об
2
241. 0,3 0,8=0,24. 242. (1 -0,4) х
(сП
с?/
243. 0,4 0,02 + 0,3 • 0,03 + 0,3 • 0,01. 244.
х (1 - 0,6) (1 - 0,7).
1) 0,7 • 0,8 • 0,6; 2) (1 - 0,7)(1 - 0,8)(1 - 0,6); 3) (1 - 0,7)(1 - 0,8) х
х 0,6 + (1 - 0,7)(1 - 0,6) 0,8 + (1 - 0,8)(1 - 0,6) • 0,7. 245.	+
/ хв
.247. 1)0,90,7;2)(1-0,9)(1-0,7);
. А 7_ . А 10 2
22 20 22 ’ 20’ 24в’ 1
3) 0,9 0,7 + 0,1 • 0,7 + 0,9 0,3 или 1 - (1 - 0,9) (1 - 0,7);
4) 0,9 • 0,3 + 0,1 • 0,7. 248. 1 - (1 - 0.8)7. 249. 1) С’о

10-1	\2/. .10 -2
I +c?ofl I ;
2SO-с«> [f j” (I j” 2S1-(Tf (IJ ’ 262 » с‘ (и)’ (ir)’ ’•
2> (n)”(lf+ c’ (tt)1)-^)’ "• a'1 - (°? (it) (I) * c’ (nJ x
95
СОДЕРЖАНИЕ
От авторов.................................... 3
Тематическое распределение тренировочных	4
упражнений.......................
Тренировочные упражнения	6
Вариант 1	6
Вариант 2.................................... 44
Задания для тематического оценивания знаний	82
Вариант 1	82
Вариант 2	.	.	.	.	85
Ответы и указания............................ 88
96
-------------------!
А.Г.Мерзляк
В.Б.Полонский