П. К. СУЕТИН
КЛАССИЧЕСКИЕ
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ
МНОГОЧЛЕНЫ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ДОПОЛНЕННОЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1979

22.161.5
С 91
УДК 517.5
Классические ортогональные многочлены. С у е т и н П. К. Изд. 2-е,
доп. Главная редакция физико-математической литературы издатель-
издательства «Наука», М., 1979, 416 стр.
В книге излагаются свойства ортогональных многочленов Чебы-
шёва, Лежандра, Чебышёва — Эрмита, Чебышёва — Лагерра и общих
многочленов Якоби С доказательствами приводятся асимптотические
формулы для этих многочленов и теоремы о разложении функций
в ряды Фурье но каждой из названных систем. Рассмотрено большое
число примеров разложения функций в ряды Фурье по этим класси-
классическим ортогональным многочленам. Изложены применения этих мно-
многочленов в вычислительной математике, математической физике, кван-
квантовой механике, а также в некоторых технических задачах.
Во второе издание книги (первое вышло в 1976 г.) внесены неко-
некоторые дополнения и, в частности, включена отдельная глава, содержа-
содержащая простейшие сведения из теории приближения функций.
Илл. 12, библ. 56.
© Главная редакция
20203—058 с/? _п 17Лолепллл физико-математической литературы
56-79. 1702050000 издательства «Наука», 1979,
Uoo(Uz)-/y с изменениями

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 6
Из предисловия к первому изданию 7
Глава I. Элементарные свойства общих ортогональных много-
многочленов 11
§ 1. Теорема существования и критерий ортогональности ... 11
§ 2. Алгебраические свойства ортогональных многочленов ... 19
§ 3. Ряды Фурье по ортогональным многочленам 25
§ 4. Исследование достаточных условий сходимости с помощью
неравенства Лебега 31
§ 5. Свойства нулей ортогональных многочленов и второй кри-
критерий ортогональности 36
Глава II. Общие свойства классических ортогональных много-
многочленов 44
§ 1. Дифференциальное уравнение Пирсона 44
§ 2. Дифференциальное уравнение для классических ортогональ-
ортогональных многочленов 49
§ 3. Обобщенная формула Родрига 54
§ 1 Стандартизация и нормирование классических ортогональ-
ортогональных многочленов 60
§ 5. Производящие функции 64
§ 6. Ортогональность производных 69
Глава III. Многочлены Чебышёва 75
§ 1. Многочлены Чебышёва первого рода 75
§ 2. Асимптотические свойства 81
§ 3. Экстремальные свойства 87
§ 4. Ряды Фурье по многочленам Чебышёва 91
§ 5. Примеры разложения функций в ряды Фурье—Чебышёва 98
§ 6. Многочлены Чебышёва второго рода 104
Глава IV. Многочлены Лежандра 116
§ 1. Основные формулы и алгебраические свойства 116
§ 2. Интегральные представления и равномерная оценка . . .127

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Теорема Сонина и весовая оценка для многочленов Ле-
жандра 130
§ 4. Метод Лиувилля — Стеклова в применении к многочленам
Лежандра 134
§ 5. Ряды Фурье по многочленам Лежандра 145
§ 6. Теорема о равносходимости для рядов Фурье —Лежандра 154
§ 7. Примеры разложения функций в ряды Фурье -- Лежандра 161
Глава V. Многочлены Чебышёва — Эрмита 168
§ 1. Основные формулы и алгебраические свойства 168
§ 2. Интегральные соотношения 176
§ 3. Метод Лиувилля — Стеклова в применении к многочленам
Чебышёва — Эрмита 183
§ 4. Ряды Фурье по многочленам Чебышёва — Эрмита .... 193
§ 5. Примеры разложения функций в ряды Фурье по многочле-
многочленам Чебышёва — Эрмита 199
§ 6. Применение многочленов Чебышёва — Эрмита в квантовой
механике 204
§ 7. Параболические координаты и многочлены Чебышёва — Эр-
Эрмита 211
Глава VI. Многочлены Чебышёва — Лагерра 219
§ 1. Основные формулы и алгебраические свойства 219
§ 2. Интегральные соотношения 231
§ 3. Асимптотические свойства 238
§ 4. Ряды Фурье по многочленам Чебышёва — Лагерра .... 250
§ 5. Примеры разложения функций в ряды Фурье по многочле-
многочленам Чебышёва — Лагерра 257
§ 6. Движение электрона в кулоновом поле 262
Глава VII. Многочлены Якоби 268
§ 1. Основные формулы и алгебраические свойстза 268
§ 2. Производящая функция и дифференциальное уравнение . . 276
§ 3. Равномерные оценки на сегменте ортогональности . . . .281
§ 4. Асимптотические свойства и весовые оценки 288
§ 5. Ряды Фурье по многочленам Якоби 299
Глава VIII. Различные дополнительные вопросы 305
§ 1. Простейшие преобразования весовой функции 305
§ 2. Интерполирование функций и многочлены Чебышёва . . .312
§ 3. Квадратурные формулы интерполяционно-ортогонального
типа 321
§ 4. Применение классических ортогональных многочленов в
операционном исчислении 331
§ 5. Применение многочленов Чебышёва — Лагерра в теории ав-
автоматического регулирования и управления 338

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ б. Применение многочленов Чебышёва при расчете электриче-
электрических фильтров 343
§ 7. Многочлены, ортогональные на конечной системе точек . . 349
Глава IX. Некоторые результаты из теории приближения функ-
функций ... 358
§ 1. Модуль непрерывности и условия Липшица 358
§ 2. Многочлены наилучшего равномерного приближения . . . 363
§ 3. Теоремы П. Л. Чебышёва об альтернансе 370
§ 4. Сингулярный интеграл Джексона 378
§ 5. Прямые теоремы о наилучших приближениях тригонометри-
тригонометрическими полиномами 383
§ 6. Прямые теоремы о наилучших приближениях алгебраиче-
алгебраическими многочленами 388
§ 7. Поточечные оценки приближения функций алгебраическими
многочленами 395
Краткие исторические сведения 407
Литература 411
Предметный указатель , , 414

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании несколько дополнены первые па-
параграфы в главах V—VII, причем изложение в них сде-
сделано независимым от гл. II. В результате этого все
основные главы книги (III—VII) не зависят от гл. II и
читатель может изучать любую из этих глав сразу же по-
после гл. I. С другой стороны, несколько более трудная
гл. II не потеряла своего значения, ибо в ней с единой
точки зрения рассматриваются свойства всех классиче-
классических ортогональных многочленов. В эту небольшую гла-
главу добавлен новый параграф об ортогональности произ-
производных классических ортогональных многочленов.
Далее, во второе издание книги включена новая гла-
глава, в которой излагаются некоторые результаты из тео-
теории приближения функций. Эти результаты используют-
используются в теории ортогональных многочленов при исследова-
исследовании достаточных условий равномерной сходимости рядов
Фурье по ортогональным многочленам на всем конечном
сегменте ортогональности. С добавлением этой главы из-
изложение становится независимым от книг по теории при-
приближения функций и читатель освобождается от необхо-
необходимости обращаться к таким книгам.
Автор выражает глубокую благодарность редактору
И. С. Аршону и рецензенту В. М. Бадкову за просмотр
рукописи и ряд ценных замечаний.
Москва — Зеленоград, 1978 г, /7. /О Суетин

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящее время в качестве математического аппа-
аппарата часто используются так называемые классические
ортогональные многочлены, т. е. многочлены Чебышёва,
Лежандра, Чебышёва — Эрмита, Чебышёва — Лагерра
и общие многочлены Якоби. Эти многочлены применяют-
применяются в теоретических исследованиях математиков, в мате-
математической физике, в вычислительной математике и в
квантовой механике. А в последнее время появляются
все новые возможности применения классических орто-
ортогональных многочленов при решении различных техни-
технических задач.
В связи с этим во многих учебных пособиях по выс-
высшей математике классическим ортогональным многочле-
многочленам уделяется все больше внимания. Однако в большин-
большинстве случаев этим многочленам посвящаются лишь от-
отдельные главы, в которых излагаются элементарные
свойства их и простейшие применения. Более подробно
свойства ортогональных многочленов рассматриваются в
монографиях по теории приближения функций. Так, на-
например, в книге И. П. Натансона «Конструктивная тео-
теория функций», изданной в 1949 г., ортогональным много-
многочленам посвящена примерно третья часть всего объема,
но, к сожалению, эта книга стала библиографической
редкостью и, кроме того, изложение в ней, как и во всех
монографиях по теории приближений, рассчитано на ма-
математиков и не содержит тех вопросов, которые важны
для приложений в технических науках.

8 Из предисловия к Первому изданию
С другой стороны, классические ортогональные мно-
многочлены можно рассматривать как наиболее простые спе-
специальные функции математической физики. Поэтому во
многих учебных пособиях по специальным функциям изу-
изучаются свойства многочленов Чебышёва, Лежандра, Че-
бышёва — Эрмита, Чебышёва — Лагерра и общих много-
многочленов Якоби. Однако, как и в предыдущем случае, ор-
ортогональные многочлены в этих пособиях не являются
основным объектом изучения и многие их важные свой-
свойства излагаются без доказательства либо вовсе не рас-
рассматриваются.
Наиболее полно свойства классических ортогональ-
ортогональных многочленов изложены в монографии Г. Сегё [43].
В этой монографии и в дополнениях к ней, написанных
Я. Л. Геронимусом, рассмотрены все свойства классиче-
классических ортогональных многочленов и в том числе те, кото-
которые были установлены в недавнее время. Но книга
Г. Сегё — научная монография, посвященная общей тео-
теории ортогональных многочленов и рассчитанная на спе-
специалистов по теории функций.
Основой настоящей книги послужил специальный
курс «Ортогональные многочлены», который автор в те-
течение многих лет читал в Уральском пединституте
(г. Уральск), в Уральском Госуниверситете (г. Сверд-
Свердловск) и в Московском институте электронной техники
(г. Зеленоград).
Большое внимание в книге уделено асимптотическим
свойствам классических ортогональных многочленов.
С полными доказательствами приведены основные тео-
теоремы о разложении функций в ряды Фурье по многочле-
многочленам Чебышёва, Лежандра, Чебышёва — Эрмита, Чебы-
Чебышёва— Лагерра и по многочленам Якоби в общем слу-
случае. Рассмотрено также много примеров разложения
функций в ряды Фурье по указанным системам много-
многочленов.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ 9
В отличие от многих учебных пособий, в настоящей
книге при изучении условий равномерной сходимости ря-
рядов Фурье по ортогональным многочленам на всем ко-
конечном сегменте ортогональности применяются простей-
простейшие результаты из теории приближения функций. Это
сделано потому, что с помощью неравенства Лебега во
многих случаях легко получаются достаточные условия
равномерной сходимости указанных рядов на конечном
сегменте ортогональности.
В книге очень часто применяется гамма-функция Эй-
Эйлера, но из ее свойств используются в основном рекур-
рекуррентная формула и формула удвоения. В нескольких слу-
случаях применяются простейшие свойства бесселевых
функций. Кроме того, имеется несколько ссылок на
трехтомный курс анализа Г. М. Фихтенгольца. А в боль-
большинстве случаев доказательства автономны, элемен-
элементарны и доступны пониманию студентов старших кур-
курсов.
Понятия меры и интеграла Лебега в книге не исполь-
используются, но это не обедняет книгу для математиков и фи-
физиков, ибо главное внимание здесь уделяется конструк-
конструктивным вопросам, т. е. подробно рассматриваются основ-
основные свойства классических ортогональных многочленов,
различные формулы и оценки для них и методы иссле-
исследования. А что касается общности результатов, то при-
применение меры и интеграла Лебега позволило бы улуч-
улучшить изложение лишь в отдельных местах, которые легко
увидит читатель, владеющий этими понятиями.
Чтобы облегчить чтение книги и учесть интересы чи-
читателей различных специальностей, изложение основных
глав III—VII сделано независимым между собой.
В изложении исторических сведений, касающихся во-
вопросов приоритета различных определений, теорем, фор-
формул, а также и названий систем многочленов, автор при-
придерживается монографии [13].

10 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Список литературы в конце книги содержит наиме-
наименования тех учебных пособий, на которые имеются ссыл-
ссылки в тексте, и тех монографий, которые автор использо-
использовал при изучении отдельных вопросов. В списке упомя-
упомянуты также основные таблицы.
В каждом параграфе настоящей книги формулы ну-
нумеруются автономно. При ссылке на формулу из другого
параграфа данной главы применяется двойная нумера-
нумерация, первая цифра которой указывает номер параграфа.
Аналогично тройной номер применяется в том случае,
когда имеется в виду формула из другой главы.
Москва, 1975 г. П. /(. Суетин

ГЛАВА I
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА
ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
§ 1. Теорема существования
и критерий ортогональности
Функция h(x) называется весовой функцией на ко-
конечном интервале (а, Ь), если на этом интервале она не-
неотрицательна, интегрируема и ее интеграл положителен,
т. е. если h(x) ^Ои выполняются условия
ь
О < \h(x)dx<°o. A)
а
Если же интервал (а, Ь) бесконечен, то, кроме того, дол-
должны абсолютно сходиться интегралы
ь
hn= \xnh(x)dx, /г = 0, 1, 2, ..., B)
а
которые, как известно, называются степенными момен-
моментами функции h(x).
Пусть задана последовательность многочленов
Ро(х), Рх(х), Р2(х), ..., Рп(х)9 ..., C)
в которой каждый многочлен Рп(х) имеет степень п.
Если для любых двух многочленов из этой системы вы-
выполняется условие
ъ
J h (x) Pn (x) Pm (x) dx = 0, пфпг,
а
то многочлены C) называются ортогональными с весо-
весовой функцией h(x) на интервале (a, ft). При этом интер-
интервал (a, ft) называется интервалом ортогональности, а в

12 СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 1ГЛ. 1
случае, когда оба числа а и Ъ конечны, обычно говорят
о сегменте ортогональности [а, Ъ\
Система ортогональных многочленов C) называется
ортонормированной, если каждый многочлен имеет поло-
положительный старший коэффициент и его норма с весом
h(x) равна единице, т. е.
||PJ|-hAWP^WdJ2=l.
Таким образом, условие ортонормированности си-
системы многочленов C) имеет вид
ь
\ h (x) Рп (х) Pm (x) dx = Ьпт = ( '' п " W' D)
J ( 0, п фт.
Для ортонормированных многочленов обычно вво-
вводится специальное обозначение {Рп(х)}, т. е. вместо об-
общей последовательности C) вводится специальная по-
последовательность
РоМ, Р\{Х\ Р2(Х), ..., РП(Х), ...
Но в настоящей главе почти всюду рассматриваются
только ортонормированные многочлены, и поэтому мы со-
сохраним за этими многочленами обозначение C).
Весовая функция h(x) в большинстве случаев счи-
считается непрерывной на интервале (а, Ь) всюду, кроме,
быть может, конечного числа точек, в окрестности кото-
которых она ограничена либо график ее имеет вертикаль-
вертикальные асимптоты. В нуль функция h(x) может обращаться
в конечном числе точек или тождественно на некоторых
сегментах, расположенных внутри интервала ортогональ-
ортогональности. При этом нулем весовой функции h(x) мы будем
считать такую точку, в которой эта функция непрерывна
и равна нулю. Регулярными точками весовой функции
называются такие точки интервала (а, &), в которых
функция h(x) непрерывна и положительна, а особыми —
все остальные точки и, в частности, нули функции h(x).
Разумеется, концы интервала ортогональности всегда
считаются особыми точками.

§ Ц ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 13
Прежде чем доказывать теорему существования, ус-
установим два вспомогательных предложения, которые ча-
часто будут применяться в дальнейшем.
Лемма 1.1. Если в системе (п -f- 1) многочленов
F0(x), Fx(x), ..., Fn(x) E)
каждый многочлен Fk(x) имеет степень k, то всякий мно-
многочлен Qn(x) степени п можно единственным способом
представить в виде
x)+ ... +anFn(x). F)
Доказательство. Вводя обозначения
Fk(x) = c$' + cWx+ ... + с^х\ с^фО,
Qn (х) = с0 + с{х + ... + спхп, сп ф О,
для определения неизвестных коэффициентов {а^} полу-
получим систему уравнений
р __. П r{n) j_ п Мп-\) _|_ А- п rW
c __ n r{n) i n c{n-\) i jl a r{0)
Определитель этой системы равен произведению отлич-
отличных от нуля чисел с^с^^ ... с^0) и поэтому отличен от
нуля. Следовательно, числа {а^} в формуле F) опреде-
определяются однозначно.
Таким образом, лемма 1.1 доказана.
Лемма 1.2. Если многочлен Фт(х) степени m ^ 1
неотрицателен на интервале (а, &), a h(x)—весовая
функция, то выполняется условие
ь
\h{x)<bn{x)dx>Q. G)
а
Доказательство. Сначала отметим два про-
простых случая, когда утверждение леммы очевидно. Во-
первых, если функция h(x) имеет только конечное число

14 СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ. 1
особых точек, то вне этих точек, а также вне нулей мно-
многочлена Фт(х) произведение к(х)Фт(х) положительно
и непрерывно, и поэтому интеграл из G) положителен.
Во-вторых, если многочлен Фт(х) положителен на [а, Ь],
то, обозначая через А > О его минимум, получим нера-
неравенство
ь ь
h(х)Фт(x)dx> A J h(x) dx > О, (8)
и утверждение леммы в этом случае также доказано.
В общем случае предположим, что многочлен Фт(х)
имеет нули аь а2, ..., ар на интервале (а, Ь). Тогда в
силу условия A) интеграл от весовой функции h(x) по-
положителен хотя бы по одному из сегментов [а, а\\
[аи а2], ..., [ар, Ь].
Для такого сегмента имеем
ак+Ге ak+i
lim [ h(x)dx= [ h(x)dx>0. (9)
Следовательно, при достаточно малом е интеграл от
функции h(x) по сегменту [ak + e, fl*+i — e] положите-
положителен. Но ведь на этом сегменте многочлен Фш(а:) не имеет
нулей, и поэтому аналогично (8) имеем неравенство
\h(x)<bm(x)dx> X h{x)Фm{x)dx>
(e) \ h (x) dx > О,
в котором через Л&(е) обозначен минимум многочлена
Фт(х) на сегменте [аа- + ?, аь+\ — е]. Законность предель-
предельного перехода (9) очевидна, если функция h(x) ограни-
ограничена в окрестностях точек ak и а^+ь а в противном слу-
случае это равенство является определением интеграла,
стоящего в правой части (9).

* 1] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 15
В случае бесконечного полусегмента [ар, оо) вместо
(9) достаточно рассмотреть предельное равенство
1/е
lim \ h(x)dx= \ h(x)dx>0,
8->0 J J
а для полуинтервала (—оо, а{\ соответствующие инте-
интегралы будут распространены по множествам [—1/е,
ах— е] и (—оо, а{\.
Таким образом, лемма 1.2 доказана.
А теперь докажем основную теорему о существова-
существовании и единственности системы ортонормированных мно-
многочленов, соответствующих данной весовой функции.
Теорема 1.1. Для всякой весовой функции h(x)
существует единственная последовательность многочле-
многочленов {Рп(х)}, имеющих положительный старший коэффи-
коэффициент и удовлетворяющих условию ортонормированно-
сти D).
Доказательство. Обозначим \хп старший коэф-
коэффициент многочлена Рп(х) и будем доказывать теорему
по индукции. Так как Pq(x) = \io > 0, то условие D)
здесь имеет вид
ъ
\h(x)
и в силу A) многочлен Ро(х) определен.
Далее, пусть определены многочлены
Р0(х), Рх(х), ..., РЯ.,М, A0)
удовлетворяющие условиям D). Поскольку каждый
многочлен Pk(x) из системы A0) имеет степень точно ?,
то, добавляя к системе A0) многочлен хп, можно неиз-
неизвестный нам пока многочлен Рп(х) в силу леммы 1.1
единственным способом представить в виде
nt x), A1)
где числа \in и {с{?]\ надо выбрать так, чтобы выполня-
выполнялись условия D). Так как эти условия в силу индуктивного

16 СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ. I
предположения выполняются для системы A0), то при
т <С п должно быть
\ h (х) Lx* + ? cfPk (x)] Pm (x) dx =
b
Ml s /71 ' Til * fl tlttl 171
a
где через ЬПт обозначен последний интеграл. Следова-
Следовательно, если в разложении A1) положить с{? = — \1пЬптс
то условия D) выполняются при т <С п. Таким образом,
вместо A1) имеем формулу
Рп(х) = \1п\х?- Z ЬпкРк(х)-1 A2)
которая определяет ортогональный многочлен степени п
с произвольным множителем \хп, т. е. этот многочлен
является ортогональным ко всем многочленам системы
A0), и остается выбрать |ып так, чтобы выполнялось ус-
условие D) при п — т. Подставляя A2) в D), находим
равенство
Ь г п-\ -,2
-,2
\ dx,
J
-? ЬпкРк(х)
которое действительно определяет коэффициент цп, ибо
интеграл в правой части равенства в силу леммы 1.2 от-
отличен от нуля.
Таким образом, теорема 1.1 доказана.
Последовательность многочленов C) определяется
однозначно и в более общем случае, когда весовая функ-
функция h(x) лишь суммируема на интервале (а, 6), т. е. ин-
интегрируема по Лебегу, и не эквивалентна нулю. Более
того, вместо дифференциального веса h(x) можно рас-
рассматривать так называемый интегральный вес do{x),
где о(х) — ограниченная неубывающая функция с беско-
бесконечным множеством точек роста. В этом случае вместо

§ 1] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 17
A) и D) будем иметь условия
ь
О < J do {х)< оо,
в которых интеграл понимается в смысле Лебега —
Стилтьеса.
Установим теперь некоторое необходимое и достаточ-
достаточное условие ортогональности многочлена
Рп{х), которое будет часто применяться в дальнейшем.
Это условие иногда называется первым критерием орто-
ортогональности.
Теорема 1.2. Для того чтобы многочлен Рп(х) сте-
степени п был ортогональным с весом h(x), необходимо и
достаточно, чтобы для всякого многочлена Qm(x) сте-
степени m < n выполнялось условие
ь
h (х) Рп (х) Qm (x) dx = 0, m<n. A3)
Доказательство. Пусть многочлен Рп(х) яв-
является ортогональным, т. е. входит в систему многочле-
многочленов {Pk(x)}y ортогональных с весовой функцией /г(л:).По
лемме 1.1 для произвольного многочлена имеем разложе-
разложение
Qm(x) = COPo(x) + ClPl(x)+ ... +CmPm(x),
которое при подстановке в интеграл A3) в силу ортого-
ортогональности многочлена Рп(х) приводит к равенству A3).
Пусть, наоборот, задана весовая функция h(x) и не-
некоторый многочлен Рп(х) удовлетворяет условиям A3).
Тогда вместо Qm(x) можно поставить любой многочлен
системы A0), и, следовательно, для многочлена Рп(х),
удовлетворяющего условиям A3), имеет место формула
A2), т. е. этот многочлен только множителем может от-
отличаться от ортонормированного многочлена степени п,
а именно это и утверждается в достаточности усло-
условия A3).

18 СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ. 1
Таким образом, теорема 1.2 доказана.
Теорема 1.3. Если интервал ортогональности сим-
симметричен относительно начала координат, а весовая
функция h(x) четна, то каждый ортогональный много-
многочлен Рп{х) содержит только те степени х, которые имеют
одинаковую с номером п четность, т. е. имеет место то-
тождество
Рп(-х)^(-1)пРп(х). A4)
Доказательство. Пусть h(~x) s= h(x) и Рп(х)
ортогонален на интервале (—а, а), где а > 0. Тогда в си-
силу теоремы 1.2 необходимое и достаточное условие орто-
ортогональности имеет вид
h(x)Pn{x)Fm(x)dx = 0, m = 0, I я-1.
Заменой переменной х = —t это условие приводится к
виду
а
\ h(t)Pn(-t)Fm(-t)dl=O.
— а
Поскольку многочлен Fm(x) — произвольный, то Fm(—t)
также произвольный многочлен степени т. Поэтому в
силу той же теоремы 1.2 многочлен Рп(—t) является
ортогональным и может только множителем отличаться
от многочлена Pn(t), т. е. Рп(—t) ^ cPn(t). Но если рас-
рассматривать ортонормирозанные многочлены, то получим
условие \с\ = 1. Наконец, сравнивая старшие коэффи-
коэффициенты этих двух многочленов, находим с = ( — \)п, и,
следовательно, тождество A4) доказано. А это тожде-
тождество и означает, что многочлен Рп(х) содержит только
четные или только нечетные степени х в зависимости от
четности или нечетности п.
Таким образом, теорема 1.3 доказана.
Итак, по теореме существования и единственности —
теореме 1.1—всякая весовая функция h(x) определяет
однозначно систему ортонормированных многочленов
{Рп(х)}> удовлетворяющих условию D).
Наиболее важное теоретическое, а также и приклад-
прикладное значение имеют следующие системы классических
ортогональных многочленов:

§ 2] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 19
1. Многочлены Чебышёва первого рода {Тп(х)}, орто-
ортогональные на сегменте [—1, 1] с весовой функцией
h(x)= J_ , *<=(-1, 1). A5)
2. Многочлены Чебышёва второго рода {Un(x)}, ор-
ортогональные на сегменте [—1, 1] с весом
3. Многочлены Лежандра {Рп(х)}, ортогональные на
том же сегменте с весом
4. Многочлены Якоба {Рп(х] а, р)}, ортогональные на
сегменте [—1, 1] с весовой функцией
h(x) = (l-x)*(l+x)*, *е=(-1, 1), A6)
где а > —1 и р> —1. В случае совпадения индексов,
т. е. при условии а = р, многочлены Якоби называются
ультрасферическими и обозначаются {/^(х; с&)}.
Наиболее изученными и важными частными случаями
многочленов Якоби являются многочлены Чебышёва и
Лежандра, которые с учетом вышеупомянутого обозначе-
обозначения можно записать в виде
Тп (х) = Рп (*; - 1/2), Un (х) = Рп (х\ 1/2),
Рп(х) = Рп(х; 0). A7)
5. Многочлены Чебышёва — Эрмита {Нп(х)}у ортого-
ортогональные на всей оси с весовой функцией
h (х) = е~х\ xg(-oo, оо). A8)
6. Многочлены Чебышёва — Лагерра {Ln(x; а)}, орто-
ортогональные на полуоси с весом
h(x) = xae-x9 jce@, оо), а> —1. A9)
§ 2. Алгебраические свойства
ортогональных многочленов
Рассмотрим основные алгебраические свойства общих
ортонормированных многочленов, а именно: трехчленную
рекуррентную формулу, формулу Кристоффеля — Дарбу

20 СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ. I
и представление многочленов {Рп{х)} через моменты ве-
весовой функции.
Теорема 1.4. Для любых трех соседних ортонорми-
рованных многочленов справедлива трехчленная рекур-
рекуррентная формула
-¦«. (о
|| - Itf ~J~ Д \ / \ /*'/ шу \ / || Iw Д \ /
Доказательство. В силу леммы 1.1 имеем раз-
разложение
При k < п— 1 умножим B) на Pk{x)h(x) и проинтегри-
проинтегрируем по интервалу (а, Ь). Поскольку xPk{x) есть много-
многочлен степени k -f- 1, причем k -\- 1 <С я, то в силу теоре-
теоремы 1.2 левая часть обращается в нуль, и, следовательно,
получим
ъ
h (jc) P\ (x) dx = 0, k = 0t I,..., n — 2.
Поэтому в формуле B) первые (п—\) коэффициентов
будут равны нулю и эта формула примет вид
хРп (х) = сп_хРп-х (х) + спРп (х) + -^ Рп+1 (х). C)
Для определения коэффициента сп-\ умножим C) на
Prt_! (x)h(x) и проинтегрируем по (а, Ь). В результате
этого найдем
ь
сп-\ = )h (х) хРп-г {х) Рп {х) dx
Переобозначая теперь сп = ося, из C) находим форму-
формулу A).
Таким образом, теорема 1.4 доказана.

§ 2] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 21
Рекуррентное соотношение A) можно записать в бо-
более удобной форме:
КРп+х (х) = (х- ап) Рп (х) - К-\Рп-\ (х), D)
где для краткости положено
В некоторых частных случаях последовательности
{осп} и {кп} легко определяются, а тогда ортогональные
многочлены {Рп(х)} можно вычислять последовательно.
Наряду с многочленами {Рп(х)}, ортонормированны-
ми на интервале (а, Ь) с весом А(я), часто рассматри-
рассматривают ортогональные многочлены с единичным старшим
коэффициентом
Pn(x) = -t-Pn(x)> п = 0, 1, 2, ..., F)
для которых рекуррентное соотношение имеет вид
2
Рп+1 (х) = (х- ап) Рп (х) - ~ Pn-i (х). G)
Лемма 1.3. Если сегмент [а, Ь] конечен, то последо-
последовательность {Хп} ограничена, причем
а|, | Ь |}. (8)
Доказательство. Из очевидного равенства
ъ
-^ = J h (x) xPn (х) Рп+1 (х) dx, (9)
а
применяя неравенство Коши — Буняковского, получаем
2 Ъ Ь
< \h {х) х2р*{х) dx \h {х) p«
x-
В первом интеграле величина х2 не превосходит с2, где
с определяется равенством (8). После вынесения множи-
множителя с2 оба интеграла из A0) становятся равными еди-
единице. Этим лемма 1.3 доказана.

22 СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ. 1
Теорема 1.5. Для ортонормированных многочле-
многочленов имеет место формула Кристоффеля — Дарбу
f Pk (x) Pk (/) = К Р"+'(х) Р" (/) ~ Р" {х) Р"+' (<) ¦ A1)
/п. i X t
fe=0
Доказательство. Умножим равенство D) на
Pn(t):
КРп+\ (х) Рп (О = (* - а„) Р„ W Ра @ - ^_,Р„_, (*) Р„ (О,
поменяем местами л: и t:
и вычтем почленно из первого равенства второе:
(X - I) Рп (X) Рп @ = К [Рп+1 (X) Рп @ - Рп (X) Рп+Х @1 -
- *,„_, IP» М P«-i @ -.Pn-i (х) Рп @1 *
Суммируя эти равенства почленно для номеров м,
п — 1, ..., 2, 1 и прибавляя еще одно равенство
Ос - 0 Ро (х) Ро @ = и2о (x-t) = \ [Р, W ро@-р, @ РоЩ
получим формулу (И). Таким образом, теорема 1.5 до-
доказана.
Перейдем теперь к выводу формулы, представляющей
ортонормированные многочлены через моменты весовой
функции {hm}, которые были определены равенством
A.2). Для этого рассмотрим так называемый определи-
определитель Грама
Ао hx h2 ... hn
x hi hz ... hn+l
hn+\ hn+2 . . . h2n
A2)
Докажем, что этот определитель отличен от нуля. Допу-
Допустим, наоборот, что Дп = 0. Тогда система линейных од-
однородных уравнений
(lo)

§2]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
23
имеет хотя бы одно нетривиальное решение, т. е. суще-
существует система чисел {bk}", в которой хотя бы одно число
отлично от нуля и которая является решением системы
A3). Для этих чисел с помощью формулы A.2) систему
A3) можно записать в виде
ь
(x)(bQ + blx+ ... +bnxn)dx = 0,
bnxa)xdx =
bnxn)xndx =
Умножим первое из этих равенств на Ьо, второе — на
Ь\, ..., последнее— на Ьп и сложим почленно. В резуль-
результате получим
ь
Но в силу леммы 1.2 это равенство невозможно, ибо
здесь хотя бы одно из чисел {bk} отлично от нуля. Таким
образом, Дп Ф 0, т. е. определитель Грама отличен от
нуля при любом п.
Теорема 1.6. Для ортонормированных многочле-
многочленов при п ^ 1 имеет место представление через моменты
весовой функции
h0 hi h2 ... hn
h\ hi hi ... /*Ai+i
1
hn-\
h2n-\
xn
hn
X X2 ... X
Доказательство. Рассмотрим многочлен
ho h\ h2 ... hn
hi h2 /*3 ... hn+i
A4)
^n—\ hn
1 X
h2n—\
A5)

24 СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ. I
Докажем, что он ортогонален с весом h{x) на интервале
(а, Ь). В самом деле, умножим равенство A5) почленно
на h(x)xk, где 0 ^ k ^ п— 1, и проинтегрируем по ин-
интервалу (а, Ь). В результате этого в силу формулы A.2)
справа получится определитель с двумя одинаковыми
строками. Следовательно, имеем
(x)xkQn(x)dx = Oy /г = 0, 1, 2, ..., п- 1.
Из этих равенств нетрудно получить условие
ь
\ h (x) Qn (x) Fm(x)dx = 0, m<n,
а
где Fm(x) есть произвольный многочлен степени т < п.
А из этого условия на основании теоремы 1.2 заключаем,
что Qn(x) только множителем может отличаться от орто-
ортогонального многочлена Рп(х).
Подсчитаем весовую норму этого многочлена. Поль-
Пользуясь ортогональностью и формулой A5), находим
ь ь
IQnf = \ hWQlWdx=\h(x)Qn(x)[An_,x»]dx =
a a
b
= An_, \ h (x) Qn (x) xn dx = Are_,Are > 0.
Так как Ао = hQ > 0, то, следовательно, имеем кп > 0.
А чтобы получить ортонормированный многочлен Рп(х),
надо многочлен Qn(x) разделить на его весовую норму
\\Qn\\. Таким образом, формула A4) действительно имеет
место, и теорема 1.6 доказана.
Из равенства A4) следует, что для старшего коэффи-
коэффициента \хп ортонормированного многочлена Рп(х) спра-
справедлива формула

§ 3] РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ 25
с помощью которой в силу E) находим представление
коэффициента Кп из рекуррентной формулы
Полагая по определению A-i = 1, можно считать
формулы A6) и A7) распространенными и на случай
п = 0. А вместо A4) в силу равенства Ао = Ао из усло-
условия нормированности A.4) имеем
§ 3. Ряды Фурье по ортогональным многочленам
Пусть функция f(x) определена на интервале (а, Ь)
и ее квадрат интегрируем с весом h(x) по этому интер-
интервалу. Как обычно, множество таких функций будем обо-
обозначать L2[a, b\ h(x)] или иногда более коротко L2. Вся-
Всякой функции класса L2 [a, b\ h(x)] ставится в соответ-
соответствие весовая норма
12
-¦
A)
Для каждой функции из пространства L2[a, Ь\ h(x)] мож-
можно определить коэффициенты Фурье
ъ
an = \h(t)f(()Pn(t)dt B)
а
и рассматривать ряд Фурье по ортонормированным мно-
многочленам
Е апРп(х). C)
Как и у всяких ортогональных рядов, частичные суммы
ряда C) являются в некотором смысле наилучшими
приближениями функции f(x) в метрике пространства
L2 = L2[a, b\ А(л)].

26 СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ. 1
В самом деле, для произвольного многочлена сте-
степени п
Qn (х) = С0Р0 (х) + С\Р\ (х) + ... + СпРп(х), D)
как обычно, имеем
ъ
II / - Q nt = 5 h (x) [f (x) - Qn (x)f dx =
a
b Г n 1Г n 1
= \ h(x) \f (x) - Y, ckPk(x)\\f (x) - J] ckPk(x)\dx ==
=11 f IF -2
В частности, для частичных сумм ряда C)
sn(*, f)=t akPk(x) F)
/5 = 0
получается равенство
|f-^2=imi2-Z4, G)
из которого в силу E) находим
Hf-sJKIIf-QJ. (8)
Таким образом, при каждом п частичная сумма F)
дает наилучшее среднее квадратическое приближение
функции f(x) по сравнению со всеми многочленами D)
степени не выше п.
Далее, поскольку правая часть G) неотрицательна,
то сумма квадратов коэффициентов не превосходит ква-
квадрата нормы функции f(x), а отсюда следует неравен-
неравенство Бесселя
Z al<\\f\\2, (9)

§ 3] РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ 27
из которого в свою очередь имеем
lim an = 0. A0)
Еще раз заметим, что все вышеперечисленное справед-
справедливо для любой функции f(x) из пространства L2[a, Ь\
h(x)], где весовая функция h(x) может обращаться в
нуль на некоторых интервалах, внутренних к интервалу
ортогональности (а, Ь), причем последний может быть и
бесконечным, но при этом должны существовать моменты
A.2) весовой функции.
Если сегмент [а, Ь] конечен, а функция f(x) непре-
непрерывна на [а, Ь], то по известной теореме Вейерштрасса
о приближении непрерывной функции многочленами (см.
гл. IX) для всякого е > 0 существует такой многочлен
Fn(x), что имеет место неравенство
\f(x)-Fn{x)\<*, *е=[а, Ь]. (И)
Из этого факта следует, что для данной непрерывной на
[а, Ь] функции f(x) существует последовательность много-
многочленов {Fn(x)}, сходящаяся равномерно к f(x) на [а, Ь].
Но из неравенства (8), учитывая определение нормы A),
в силу A1) находим
ь
(x)\ f(x)-Fn(x)?dx
ь -iVi
Следовательно, если функция f(x) непрерывна на сег-
сегменте [а, Ь], то последовательность частичных сумм F)
ее ряда Фурье по ортогональным многочленам сходится
к этой функции в среднем, т. е. в метрике пространства
L2 [а, Ь\ h(x)]. Аналогичное утверждение имеет место
фактически для всякой функции из пространства L2[a, Ъ\
li{x)] в случае конечного сегмента [а, Ь]. Доказательство
этого факта опирается на теорию меры и интеграла Ле-
Лебега и изложено, например, в монографиях [4] и [37].
Теперь рассмотрим условия сходимости ряда C) к
функции f(x) в отдельной точке сегмента ортогонально-
ортогональности. Прежде всего заметим, что этот вопрос гораздо

28 СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ. I
более сложен, чем сходимость ряда C) в среднем, ибо
ряд по ортогональным многочленам, как и всякий ортого-
ортогональный ряд, конструктивно приспособлен именно для
сходимости в среднем, а, например, равномерная сходи-
сходимость имеет место далеко не всегда, ибо здесь метрика
другая.
Вводя обозначение
Кп(х, i)=?QPk(x)Pk(t) A2)
и используя формулу коэффициентов B), частичную сум-
сумму F) представляем в виде
ь
sn(x, f)=\h(t)f(t)Kn(x, t)dt. A3)
а
Далее, умножая тождество
/ = 1
а
на f(x) и вычитая из него почленно A3), получим ра-
равенство
ъ
f (x) - sn (x, f)=\h (/) [/ (х) - f (/)] Кп (х, /) dU A4)
а
в котором сумму A2) заменяем с помощью формулы
Кристоффеля — Дарбу B.11):
/ (х) — sn (х, /) =
ь
¦= К \ h (/) [nx)xZ\{t)] [Рп+1 (х) Рп @ - Рп (х) Рп+1 (/)] dt.
A5)
Будем считать, что точка х зафиксирована на сегменте
[а, Ь]. Положим для краткости
фЛ0=И^1[(°, /s[a, 6], A6)
и пусть {ап(<рх)} суть коэффициенты Фурье вспомога-
вспомогательной функции (px(t). Тогда из A5) имеем формулу
f (х) - sn (х, /) = К [аа (ф,) Рп+1 (х) - an+I (Фж) Рп (х)], A7)

§ 3] РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ 29
с помощью которой уже можно сформулировать доста-
достаточные условия сходимости рядов Фурье по ортогональ-
ортогональным многочленам в отдельной точке.
Теорема 1.7. Если сегмент [а, Ь] конечен и вспомо-
вспомогательная функция q>x{t) при фиксированном х е [а, Ь]
принадлежит классу L2 = L2[a, Ь\ h(t)\ а последова-
последовательность ортонормированных многочленов {Рп(х)} огра-
ограничена в точке х, то ряд Фурье по ортогональным много-
многочленам функции f(x) сходится к ней в данной точке х,
т. е.
оо
/(*) = ? апРп(х), хе=[а, Ь]. A8)
/1-0
Доказательство. По лемме 1.3 последователь-
последовательность {Хп} ограничена, а в силу условия q>x(t) ^ L2 на
основании A0) последовательность {ая(ф*)} сходится к
нулю. С другой стороны, в теореме дано, что последова-
последовательность ортонормированных многочленов ограничена в
данной точке х, т. е.
\Рп(х)\<М, хе=[а,Ь]. A9)
Следовательно, правая часть A7) стремится к нулю, и
теорема 1.7 доказана.
Таким образом, равенство A8) имеет место в такой
точке х, где ортогональные многочлены ограничены и вы-
выполняется условие
B0)
В частности, это выполняется, если функция f(t) в неко-
некоторой окрестности точки х удовлетворяет условию Лип-
Липшица порядка а = 1, т. е.
•\f(x)-f(t)\<Ml\x-t\) /e=(*-6, х + 6). B1)
Интеграл B0) существует как несобственный, если весо-
весовая функция h(t) в некоторой окрестности точки х огра-
ограничена, а функция f(t) в этой же окрестности вместо

30 СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ. I
B1) удовлетворяет условию Липшица порядка а > 1/2,
т. е.
\f(x)-f(t)\<M{\x-t\«y 1<а<1, *€=(*-в, * + 6).
B2)
Что же касается неравенства A9), то его выполнение
зависит от свойств весовой функции h(t) в окрестности
точки х.
Анализ условий теоремы 1.7 и ее частных случаев,
которые характеризуются неравенствами B1) и B2),
показывает, что при некоторых общих условиях сходи-
сходимость ряда Фурье по ортогональным многочленам в дан-
данной точке х зависит только от свойств функции f(x) в
окрестности этой точки. Поэтому, как и для рядов Фурье
по тригонометрической системе, здесь можно сформули-
сформулировать некоторый принцип локализации условий сходи-
сходимости, который непосредственно следует из теоремы 1.7.
Теорема 1.8. Если две функции f(x) и g (x) из про-
пространства L2[a, Ь\ h(x)] совпадают в интервале (х0 — б,
#о + б), причем в точке х0 ортонормированные многочле-
многочлены ограничены, то в этой точке ряды Фурье по ортого-
ортогональным многочленам функций f(x) и g(x) сходятся или
расходятся одновременно.
Доказательство. Для разности частичных сумм
этих двух функций в силу B) и F) имеем формулу
sn (xo, f) — sn (*o, g) = sn (xo, f — g). B3)
Поскольку функция f(x) —g{x) тождественно равна ну-
нулю на малом интервале (xQ — б, хо + б), то для этой
функции условие B0) выполняется, и, следовательно, ее
ряд Фурье по ортогональным многочленам сходится к
ней в точке Xq. Поэтому из B3) следует предельное со-
соотношение
lim [sn(x0, f) — sn(x0, g)] = 0,
и, таким образом, если последовательность {sn(x0, /)}
сходится к некоторому пределу, то к тому же пределу
сходится и вторая последовательность {srt(*o,g)}. Если
же первая последовательность расходится, то вторая
также расходится. Этим теорема 1.8 доказана.

§ 4] НЕРАВЕНСТВО ЛЕБЕГА 31
Все предыдущие результаты установлены при усло-
условии, что функция f(x) входит в пространство L2[a, b\
h(х)\ т. е. для этой функции существует интеграл A).
Но ряды Фурье по ортогональным многочленам C) ино-
иногда можно рассматривать и в более общем случае.
Обозначим через L\ = L\ [а, Ь\ h(x)] множество функ-
функций, для которых существует интеграл
ъ
\h(x)\f(x)\dx. B4)
Если сегмент [а, Ь] конечен, то все интегралы B) схо-
сходятся, и данной функции ((х) из класса Lx можно поста-
поставить в соответствие ряд Фурье по ортогональным много-
многочленам C). В случае бесконечного интервала (а, Ь) фор-
формула B) определяет коэффициенты Фурье функции }(х)
при условии, что произведение h(x)f(x) имеет конечные
степенные моменты. Разумеется, при этих минимальных
условиях мы не можем утверждать, что частичные сум-
суммы ряда Фурье C) обладают экстремальным свойством,
или что выполняется неравенство Бесселя (9), но пре-
предельное соотношение A0) и разложение A8) при некото-
некоторых дополнительных предположениях имеют место.
Мы всюду будем предполагать, что разлагаемая
функция f(x) измерима по Лебегу и удовлетворяет не-
некоторым условиям интегрируемости. А читатель, не зна-
знакомый с теорией меры и интеграла Лебега, для конкрет-
конкретности может считать, что функция f(x) непрерывна всю-
всюду, кроме отдельных точек, в которых она может иметь
разрывы первого или второго рода.
§ 4. Исследование достаточных условий сходимости
с помощью неравенства Лебега
Рассмотрим еще один способ исследования условий
сходимости рядов Фурье по ортогональным многочленам
в случае конечного сегмента ортогональности. Этот вто-
второй способ основан на так называемых функциях Лебега,
и в нем используются оценки скорости приближения не-
непрерывных функций алгебраическими многочленами.
Простейшие из этих оценок мы приведем здесь без

32 СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ. I
доказательства, а более подробно вопросы приближения
функций многочленами рассмотрены в гл. IX.
Прежде всего заметим, что вопрос о наилучшем рав-
равномерном приближении непрерывных функций многочле-
многочленами был впервые поставлен и исследован великим рус-
русским математиком П. Л. Чебышёвым, которому принад-
принадлежат многие основные результаты в теории ортогональ-
ортогональных многочленов и в теории приближения функций.
Если функция f(x) непрерывна на конечном сегменте
[а, Ь], то величина
р(/, Fn) = max \f(x)-Fn(x)\
хе=[а, b\
принимается в качестве расстояния в равномерной мет-
метрике между функцией f(x) и многочленом Fn(x) и назы-
называется чебышёвским уклонением многочлена Fn(x) от
функции f(x). Это уклонение изменяется при варьирова-
варьировании многочлена Fn{x), и поэтому естественно ввести точ-
точную нижнюю границу
En(f) = ini max \f(x)-Fn(x)\, A)
Fn хе\а,Ь]
которая берется по всему множеству Wn многочленов сте-
степени не выше п и называется наилучшим равномерным
приближением функции f(x) многочленами порядка п.
В теории приближения функций доказывается, что для
всякого п существует многочлен Qn(x) степени не выше
п, называемый многочленом наилучшего равномерного
Приближения, уклонение которого от функции f(x) в точ-
точности равно En(f), т. е.
En(f)= max \f{x)-Qn(x)\. B)
хе[а, b]
Таким образом, всякой непрерывной на сегменте [а, Ь]
функции f(x) соответствует последовательность наилуч-
наилучших приближений {?„(/)}, которая в силу условия Wn с:
cz Wn+\ не возрастает, т. е.
Eo(f)>Ex(f)> ... >?„(/)> ...,
причем из теоремы Вейерштрасса следует, что
Нт?„(/) = 0. C)

§ 4] МЕРАЁЕНСТВО ЛЕБЕГА §3
Скорость убывания величины En(f) к нулю зависит oi
структурных и дифференциальных свойств функции f(x)
на сегменте [а, й]. В качестве структурной характеристи-
характеристики непрерывной функции обычно принимается условие
Липшица
\f(x)-f(t)\<M\x-t\*, 0<а<1. D)
Класс таких функций будем обозначать Lip a.
В гл. IX подробно доказывается, что если функция
f (х) на сегменте [а, й] удовлетворяет условию Липшица
порядка а, где О <С а ^ 1, то для наилучших приближе-
приближений имеет место неравенство
?»(/)< 4-' «=1,2 E)
п
где С\ — постоянная, не зависящая от п.
Если же функция f(x) непрерывно дифференцируема
р раз на сегменте [а, й], причем f{p){x) e Lip а, то спра-
справедлива оценка
/1=1, 2, ..., F)
из которой следует, что чем больше непрерывных произ-
производных имеет функция f(x) на сегменте [а, Ь\ тем бы-
быстрее сходится к нулю последовательность ее наилучших
равномерных приближений.
Далее, очень часто в качестве характеристики функ-
функции f(x) вводится ее модуль непрерывности
со (б, /) = sup |/М-/@1, *, /е=[а, Ь], G)
|х-*|<0
который как функция б монотонно убывает к нулю при
б -» 0. В этом случае вместо E) имеет место оценка
En(f)<c,v(l/n,f). (8)
Оценки скорости убывания наилучшего приближения E),
F) и (8) представляют собой содержание так называе-
называемых прямых теорем о порядке наилучшего равномерного
приближения. Эти теоремы изложены в гл. IX.

СВОЙСТВА ОБЩИХ OPTOI ОПАЛЬНЫХ МнбГОЧЛЕНОЁ [ГЛ. 1
Теперь займемся выводом неравенства Лебега для
рядов Фурье по ортогональным многочленам.
Прежде всего, многочлен наилучшего равномерного
приближения можно представить в виде
Qn(x)=Z ckPk(x) = sn(x,
fc0
(9)
где коэффициенты определяются по формуле
b
(Ю)
Далее имеем
f (х) - sn (х, f) = [f (x) - Qn (x)} + [sn (x, Qn) - sn (x, f)] =
Qn(x)] + sa(X;Qn-f). A1)
Учитывая формулу B), для второго слагаемого справа
находим неравенство
ь
\sn(x,Qn-f)\=
\ h @ [Q« @ - f @1
где величина
О
Ln(x)=\h(()
dt
\Pk{t)\dt
ln(x), A2)
A3)
называется функцией Лебега порядка п ортонормирован-
ной системы {Рп{х)}у а максимум этой величины
Ln = max Ln (x)
хе[а, b]
(И)
называется постоянной Лебега порядка п. С помощью
оценки A2) из формулы A1) получается неравенство
Лебега
[a, b), A5)

§ 4] НЕРАВЕНСТВО ЛЕБЕГА 35
из которого следует, что если выполняется условие
l\mLn En(f) = 0, A6)
то непрерывная функция f(x) разлагается в ряд Фурье
по ортогональным многочленам, причем этот ряд сходит-
сходится равномерно на всем сегменте ортогональности [а, Ь].
Последовательность постоянных Лебега {Ln} возрас-
возрастает неограниченно, но во многих частных случаях, а
также и при некоторых общих условиях на весовую
функцию h(x) можно определить скорость этого возра-
возрастания. В последующих главах будут приведены кон-
конкретные оценки постоянных Лебега для многочленов Че-
бышёва, Лежандра и для общих многочленов Якоби. Та-
Таким образом, неравенство Лебега A5) и условие A6)
открывают возможность устанавливать различные доста-
достаточные условия равномерной сходимости рядов Фурье по
ортогональным многочленам на всем сегменте ортого-
ортогональности [а, Ь] при условии, что он конечен.
Аналогичным образом из A1), используя A2), нахо-
находим неравенство Лебега в отдельной точке:
/W-Z akPk(x)
b], A7)
причем вместо A6) здесь предельное условие
limLn(x)En(f) = 0 A8)
П->оо
гарантирует сходимость ряда Фурье по ортогональным
многочленам в отдельной точке х.
Поточечное неравенство Лебега A7) и условие A8)
часто используются для установления факта сходимости
ряда Фурье по ортогональным многочленам в отдельной
точке, и так как в большинстве случаев функции Лебега
A3) в различных частях сегмента ортогональности, на-
например во внутренних точках и на концах его, возра-
возрастают с различной скоростью, то и предельное соотноше-
соотношение A8) выполняется в различных точках при различных
условиях на функцию f(x).
Далее, второе слагаемое в правой части A1) можно
оценить несколько иначе. А именно, применяя неравенство

36 СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ 1
Буняковского — Шварца, вместо A2) получим
\sn{x, Qn-f)\2<
b b
$ MO I Qn (/) - f (() ?dt\h (/)
2
(x) Pk (I)
dl =
A9)
и тогда возникает необходимость оценить скорость воз-
возрастания суммы
t\Pk(x)?> xe[a,H B0)
fe=0
ибо вместо A7) здесь мы получим неравенство
ГТ2
\f(x)-sn{x, f)\<\f(x)-Qn(x)\ + \\Qn-f\\\YJpl
B1)
Следовательно, ряд Фурье по ортогональным многочле-
многочленам сходится к функции f(x), если существует такая по-
последовательность многочленов {Qn{t)}> что произведение
A9) убывает к нулю, т. е. величина
\h(i)\Qn{i)-ni)?dt\
-¦
убывает к нулю достаточно быстро, и, с другой стороны,
последовательность {Qn(t)} должна сходиться к функ-
функции f(t) в отдельной точке х или равномерно на всем сег™
менте [а, Ь].
§ 5. Свойства нулей ортогональных многочленов
и второй критерий ортогональности
Как известно, ортогональные многочлены широко при-
применяются в различных вычислительных процессах — в
интерполировании функций, при приближенном вычисле-
вычислении интегралов и приближенном дифференцировании.

§ 5] СВОЙСТВА НУЛЕЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 37
Это объясняется главным образом замечательными свой-
свойствами нулей ортогональных многочленов.
Теорема 1.9. Все нули ортогонального многочлена
Рп(х) действительны, различны и расположены в интер-
интервале (а, Ь).
Доказательство. Достаточно показать, что мно-
многочлен Рп{х) в интервале (а, Ь) меняет знак п раз. До-
Допустим противное, что многочлен Рп{х) меняет знак в
точках ?ь ?2, • • •, ?m, где m <C п. Тогда многочлен
также меняет знак в тех же самых точках. Следователь-
Следовательно, произведение Pn{x)Qm(x) сохраняет знак на интер-
интервале (а, Ь). Если это произведение неотрицательно, то,
полагая фп+т(х) = Pn(x)Qm(x)y в силу леммы 1.2 на-
находим
ъ
\h(x)Pn(x)Qm(x)dx>0. (I)
а
Если же Pn(x)Qm(x) ^0, то можно положить фп+т(х) =
= —Pn{x)Qm(x), и интеграл из A) также будет отличен
от нуля. Но, с другой стороны, по теореме 1.2 при усло-
условии т <L n этот интеграл обязательно равен нулю. Этого
противоречия не будет, если считать, что т = п. Таким
образом, теорема 1.9 доказана.
В силу доказанной теоремы для нулей {xln)} ортого-
ортогонального многочлена Рп(х) имеют место неравенства
f < ... < xf < ... <xW<b. B)
х[п)
Так как старший коэффициент ортонормированного мно-
многочлена Рп(х) положителен и х^ — последний нуль это-
этого многочлена, то в любом случае имеем
Рп(Ь)>0. C)
Аналогично для левого конца сегмента ортогональности
справедливы неравенства
Я2т(я)>0, Р2т+1(а)<0. D)
Далее, два простых утверждения о нулях непосред-
непосредственно следуют из рекуррентной формулы B.1)

38 СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ. I
Лемма 1.4. При любом п два соседних многочлена
Рп+\{х) и Рп{х) не могут иметь общих нулей.
Допустим противное, что эти многочлены имеют об-
общий нуль х0. Тогда в силу рекуррентной формулы B.1)
точка х0 является нулем и многочлена Рп-\{х).
Рассуждая аналогично, придем к равенствам
Рп-2 (Хо) = 0, .... Я, (*о) = 0, Ро (Хо) = О,
последнее из которых невозможно.
Лемма 1.5. Если х{?] есть нуль многочлена Рп(х),
то многочлены Рп-\ (х) и Рп+\ (х) имеют в точке х^ зна-
значения разных знаков.
В самом деле, из B.1) имеем
и поскольку \хп > 0, лемма 1.5 доказана.
Теорема 1.10. Для нулей двух соседних ортого-
ортогональных многочленов Рп{х) и Рп+\(х) имеют место нера-
неравенства
х\п+}) < xf < 4я+1) < ... < х[п)
*{
F)
Доказательство. Так как Ро (х\Щ > 0, то
Р2(х\1)} < 0 в силу равенства E). Поэтому, учитывая C)
и D), находим, что на концах сегментов [а, ^1)] и [_х^\ ЬЛ
многочлен Р%(х) имеет значения разных знаков. Следо-
Следовательно, внутри каждого из этих сегментов Рг(^) имеет
по одному нулю, и для п = 1 теорема доказана.
Допустим теперь, что неравенство F) справедливо.
Для обоснования индукции от п к п -+- 1 достаточно до-
доказать, что многочлен Рп+2(х) имеет нули в каждом из
интервалов
(а, *("+!>), (*<"+», 4*+1))> • • - Dл+1)> ^/О» • • •> (xin+i]> Ь).
G)
В силу D) и E) многочлены Рп+2{х) и Рп(х) имеют зна-
значения одинаковых знаков в точке а и разных — в точке
\{). Но многочлен Рп(х) в силу F) не имеет нулей в

§ 5] СВОЙСТВА НУЛЕЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 39
интервале (а, х\п + {)). Следовательно, многочлен Рп+2(х)
на концах сегмента [а, #A"~И)] имеет значения разных
знаков, и внутри этого сегмента у него есть по крайней
мере один нуль. Аналогично доказывается существова-
существование нуля многочлена Рп+2(х) в последнем из интерва-
интервалов G).
Далее, в силу F) многочлен Рп(х) имеет в интервале
(xjf + 1\ х^+\]) °ДИН простой нуль, а на концах — значения
разных знаков. Поэтому по лемме 1.5 многочлен Рп+2(х)
имеет в точках х{?+1 и х(?+^ значения разных знаков,
и, следовательно, внутри этого интервала он обращается
в нуль хотя бы один раз. Таким образом, многочлен
Рп+2(х) имеет в каждом из (п-\-2) интервалов G) по
одному нулю, и теорема 1.10 этим доказана.
Неравенство F) свидетельствует о взаимном разде-
разделении нулей двух соседних ортогональных многочленов,
и иногда для характеристики этого свойства говорят, что
нули многочленов Рп(х) и Рп+\(х) перемежаются.
Рассмотрим одно очень важное экстремальное свой-
свойство ортогонального многочлена, которое является ха-
характеристическим и часто называется вторым критерием
ортогональности.
Обозначим Wn множество всех многочленов степени
п с единичным старшим коэффициентом, и рассмотрим
задачу о минимизации интеграла
ь
J(Qn)=\h(x)\Qn(x)fdx (8)
а
на множестве №п-
Теорему 1.11. Минимум интеграла (8) в классе
многочленов Wn достигается тогда и только тогда, когда
$п(х) = Рп(х)**-?-аРп{х), (9)
причем этот минимум равен \х~2.
Доказательство. Поскольку всякий многочлен
Qn(x) из класса Wn имеет единичный старший коэффи-
коэффициент, то для него справедливо разложение

40 СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ. I
с помощью которого из (8) находим
Следовательно, минимум интеграла (8) достигается тог-
тогда и только тогда, когда Ck = 0; теоремами 1 доказана.
Таким образом, при любом Qn{x) e Wn имеем нера-
неравенство
ъ ъ
\=\h{x)\Pn (x) I2 dx < J h (x) \Qn (x) I2 dx. A0)
п а а
Это характеристическое экстремальное свойство орто-
ортогонального многочлена Рп(х) с единичным старшим
коэффициентом несколько проясняет вопрос о том, по-
почему все нули ортогонального многочлена расположены
на интервале ортогональности. В самом деле, интеграл
из (8) геометрически означает площадь криволинейной
трапеции, верхняя сторона которой определяется уравне-
уравнением
y = h(x)\Qn(x)\2, xe [a, b]. A1)
А эта площадь будет минимальной в том случае, когда
график функции A1) минимально уклоняется от оси х,
т. е. когда все нули многочлена Qn(x) будут расположе-
расположены на сегменте [а, Ь]. Иными словами, обращаясь в нуль
в п внутренних точках сегмента [a, Ь], ортогональный
многочлен Рп(х) как бы подтягивает график функции
у = h(x) сверху к оси х и делает площадь криволиней-
криволинейной трапеции минимальной.
Более того, на основе неравенства A0) и формулы
A1) можно высказать некоторые наводящие соображе-
соображения о свойствах последовательности ортонормированных
многочленов {Рп(х)} в различных точках сегмента орто-
ортогональности [а, Ь] в зависимости от свойств в этих точках
весовой функции h(x).
Допустим, что точка Х\ есть нуль весовой функции
h(x), т. е. в этой точке функция h(x) непрерывна и
h(x\) = 0. Тогда график функции у = h(x) в окрестно-
окрестности точки Х\ близок к оси х, и, следовательно, минимизи-

§5]
СВОЙСТВА НУЛЕЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
41
рующим площадь может быть тот многочлен, который
имеет нули вдали от точки х\, т. е. подтягивает график
весовой функции к оси х вне точки Х\, а в самой точке
Х\ этот многочлен может принимать, вообще говоря, да-
даже и большие по абсолютной величине значения, ибо в
любом случае график функции A1) в окрестности точки
Рис. 1.1.
Х\ будет мало уклоняться от нуля (рис. 1.1). Отсюда сле-
следует предположение, что последовательность ортонорми-
рованных многочленов {Рп(х)} не может быть ограничен-
ограниченной в нуле весовой функции, т. е.
Пгг! |Prt(*i)l= + cx>. A2)
П->оо
Далее предположим, что в точке лг2 весовая функция
h(x) имеет двустороннюю вертикальную асимптоту, т. е.
lim h(x) = + oo. A3)
Х-+Х2
Тогда для минимизации площади вышеуказанной криво-
криволинейной трапеции экстремальный многочлен должен
иметь по крайне мере один нуль вблизи точки х2 или да-
даже в самой точке х2 с тем, чтобы ослабить или вовсе

42 СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ .
ликвидировать бесконечный изгиб вверх графика функ-
функции y = h(x). Отсюда следует предположение, что при
условии A3) имеем
lim Pn(x2) = 0. A4)
Эти два случая являются противоположными в том смы-
смысле, что в первом из них h(x\) = О, а во втором h(x2) —
= оо. Вместе с тем эти случаи исключительные в том
смысле, что они имеют место в нерегулярных точках ве-
весовой функции.
Если хъ— регулярная точка весовой функции, т. е.
h{x) в этой точке положительна и непрерывна, то есте-
естественно предположить выполнение некоторого среднего
между A2) и A4) условия в поведении последовательно-
последовательности {Рп(хз)}. Таким условием оказывается ограничен-
ограниченность этой последовательности в точке х3, г. е. выполне-
выполнение неравенства
<М, A5)
которое, как это показано в § 3, очень важно при иссле-
исследовании условий сходимости ряда Фурье по ортогональ-
ортогональным многочленам.
Все три предположения A2), A4) и A5) действитель-
действительно имеют место, если точки х\> х>2, %ъ суть внутренние
точки интервала ортогональности (a, ft), a весовая функ-
функция в окрестности этих точек удовлетворяет некоторым
дополнительным структурным условиям, но доказатель-
доказательства этих утверждений весьма громоздки.
Рассмотрим теперь линейное преобразование сегмен-
сегмента ортогональности.
Теорема 1.12. Если многочлены {Рп(х)} ортонор-
мированы с весом h(x) на сегменте [a, ft], то при р >> О
многочлены
Qn(t) = VpPn(p* + q), я = 0,1,2, ..., A6)
ортонормированы с весом h(pt -\- q) на сегменте [Л, В\
который переходит в сегмент [a, ft] в результате линей-
линейного преобразования х = pt -\- q.

§ 5] СВОЙСТВА НУЛЕЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 43
В самом деле, считая числа р и q фиксированными,
причем р >> 0, имеем равенство
в
\ h(p( + q)Qn(t)Qm(t)d( =
А
В
= р J h(pt + q) Pn{pt + q) Pm(pt + q)dt =
A
b
этим теорема 1.12 доказана.
Можно рассматривать случай, когда в формуле х =
= pt -f- q число р отрицательно. Тогда вместо A6) по-
получим формулу
Qn(/) = (sigM"|p|I/2Pn(p/ + <7), « = 0,1,2,..., A7)
которая справедлива и при положительном р.
Из формул A6) и A7) следует, что при линейном
преобразовании х = pt -\- q свойства последовательности
ортонормированных многочленов в соответственных точ-
точках сегмента ортогональности не изменяются. Поэтому
для выяснения качественной картины обычно сначала
рассматривают стандартный сегмент [—1, 1], а затем по-
полученные результаты распространяют на любой другой
конечный сегмент.
В заключение главы еще раз заметим, что до сих пор
через {Рп(х)} обозначались ортонормированные много-
многочлены. Но в дальнейшем изложении мы будем строго
различать ортонормированные многочлены {Рп(х)}у ор-
ортогональные многочлены с единичным старшим коэффи-
коэффициентом {Рп(х)} и так называемые стандартизованные
ортогональные многочлены {Рп(х)}, которые отличаются
от двух предыдущих систем специальными множителями.

ГЛАВА II
ОБЩИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ
ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
§ 1. Дифференциальное уравнение Пирсона
Дифференциальное уравнение
в правой части которого все коэффициенты действитель-
действительны, называется уравнением Пирсона. Вид решения этого
уравнения и область его существования зависят от мно-
многочленов
А (х) = ро + р\Х, В (х) = <7о + q\X + q2x2. B)
Рассмотрим все решения уравнения A) в зависимо-
зависимости от коэффициентов многочленов B) и выделим те из
них, которые на всей связной области своего существова-
существования могут быть весовой функцией, и, следовательно, мо-
могут определять некоторую систему ортогональных много-
многочленов. Причем для того, чтобы выяснить лишь качест-
качественную картину, будем иногда допускать линейные пре-
преобразования независимого переменного в уравнении A),
ибо, как это отмечено в теореме 1.12, е^ли в весовой
функции h (х) сделать замену переменной х = pt -f- q, то
ортонормированные многочлены, соответствующие весу
h(pt-\-q), только постоянным множителем могут отли-
отличаться от многочленов {Pn(pt + q)), и, следовательно,
простейшие свойства последовательности ортонормиро-
ванных многочленов существенно не изменяются.
1. Предположим, что многочлен В(х) не имеет нулей,
т. е. q\ = q2= О, но q0 ф 0. Тогда уравнение Пирсона
A) после переноса начала координат можно записать
в виде
ML = - 2pjc, C)

§ 1] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПИРСОНА 45
а решение этого уравнения
y = <Pi(x) = cle~*x D)
определено при всех х, но весовой функцией может слу-
служить лишь при условиях C >> 0 и С\ >> 0. Линейным пре-
преобразованием независимого переменного VP x = t эта
функция приводится с точностью до постоянного множи-
множителя С\ к весовой функции многочленов Чебышёва — Эр-
мита A.1.18). Поскольку умножение весовой функции на
положительную постоянную фактически не изменяет ор-
тонормированные многочлены, то в формуле D), как и в
нижеследующих аналогичных формулах, не нарушая
общности, можно считать с\ = 1. Впрочем, в данном слу-
случае многочлены, ортонормированные с весом D), выра-
выражаются через ортонормированные многочлены Чебышё-
Чебышёва — Эрмита {Йп(х)} по формуле
^ E)
ибо имеем равенство
\ Схв-ъ* Ж. нп (Vp x)^L Hm ( VP x) dx -
Таким образом, если многочлен В(х) не имеет нулей,
т. е. это есть просто постоянная, то при некотором выборе
постоянных ро, р\ и ^о решение уравнения A) может
служить весовой функцией, причем эта весовая функция
линейным преобразованием независимого переменного и
умножением на постоянную сводится к весовой функции
многочленов Чебышёва — Эрмита, в связи с чем соответ-
соответствующие ортонормированные многочлены естественно
назвать обобщенными многочленами Чебышёва — Эр-
мита.
2. Пусть q2 = 0, но q\ ф 0. Тогда без нарушения
общности можно считать q0 = 0, ибо это достигается ли-
линейным преобразованием независимого переменного, и

46 КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [ГЛ. II
уравнение A) представляется в виде
Его решение
будет весовой функцией на полусегменте [0, оо) при ус-
условиях с2 > 0, а > —1, C > 0. Многочлены, ортогональ-
ортогональные с весом G), можно рассматривать как обобщение
многочленов Чебышёва — Лагерра, ортогональных с ве-
весом A.1.19), причем и здесь нетрудно выразить эти мно-
многочлены через многочлены Чебышёва — Лагерра анало-
аналогично формуле E).
3. Рассмотрим теперь случай, когда многочлен В(х)
имеет два действительных и различных нуля. Тогда ура-
уравнение Пирсона можно представить в виде .
Г=Г?' (8)
У q2{x — a)(x — b) х — а Ь — х'
где а и C — некоторые постоянные и а <. Ь. Решение ура-
уравнения (8)
- х)а (х — а) (9)
определено на интервале (а, Ь) и весовой функцией мо-
может быть только при условиях Сз > 0, а > —1, р > —1.
Линейным преобразованием 2х = (b — a)t + (a-\-b)
функция (9) сводится к весовой функции многочленов
Якоби A.1.16).
Легко видеть, что при тех же коэффициентах уравне-
уравнение Пирсона имеет решения и на интервалах (—оо, а) и
(&, +оо), но эти решения не могут служить весовыми
функциями. В самом деле, уравнение (8) можно предста-
представить в виде
У' = Р | а
у х — ах — Ь '
Тогда вместо G) получим функцию
У = Ф4 (х) = с3(х- af (х - Ь)\ A0)
которая, вообще говоря, определена только при х 7> Ь.
Но на интервале F, оо) эта функция весом быть не мо-

v? 1J ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПИРСОНА 47
жет ни при каких а и C, ибо ее степенные моменты с до-
достаточно большими номерами не существуют. Совершен-
Совершенно аналогично, если уравнение (8) представить в виде
У^= Р о_
у а — х Ь — х *
то в качестве решения получим функцию
которая определена на интервале (—оо, а), но весовой
функцией служить не может.
Таким образом, если квадратный трехчлен В(х), стоя-
стоящий в знаменателе правой части A), имеет два различ-
различных действительных нуля а и Ь, то решение (9) уравне-
уравнения A) при условиях съ > О, а > —1, C > —1 на ин-
интервале (а, Ь) является весовой функцией и определяет
некоторую систему ортогональных многочленов, которая
линейным преобразованием независимого переменного и
умножением на постоянную сводится к системе многочле-
многочленов Якоби аналогично формуле E).
4. Если многочлен В(х) имеет двойной нуль, напри-
например, в начале координат, то вместо (8) и (9) получим
В этом случае решение определено при всех х > 0, но
весовой функцией на всем интервале @, оо) не может
быть.
5. Наконец, если многочлен В(х) имеет мнимые нули,
то, представляя уравнение Пирсона в виде
найдем его решение
которое определено при всех х, но весовой функцией быть
не может, ибо его моменты при больших номерах не су-
существуют.

48 КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [ГЛ. II
Итак, мы доказали, что решение уравнения Пирсона
на всей связной области своего существования может
быть принято в качестве весовой функции для определе-
определения системы ортогональных многочленов только в трех
случаях, которые характеризуются формулами D), G) и
(9), причем ортогональные многочлены, определяемые
этими весовыми функциями, линейными преобразования-
преобразованиями независимого переменного и умножением на постоян-
постоянную сводятся по формуле типа E) соответственно к мно-
многочленам Чебышёва — Эрмита, Чебышёва— Лагерра и
Якоби. Что касается остальных четырех случаев, то ка-
каждая из этих четырех функций при соответствующем вы-
выборе постоянных может быть весовой функцией, но не на
всем бесконечном интервале своего существования, а
лишь на любой конечной части его.
Нетрудно видеть, что для вышеупомянутых трех слу-
случаев, когда решение уравнения Пирсона на всей связной
области своего существования является весовой функ-
функцией, на концах интервала ортогональности (а, Ь) вы-
выполняются предельные соотношения
lim h(x)B(x)= lim h(x)B(x) = 0. A4)
+ 0 b 0
В самом деле, в случае веса D) имеем а = —оо, Ь = оо,
а В(х) определяется формулой B), поэтому соотноше-
соотношения A4) в этом случае очевидны. Если же h(x) опреде-
определяется формулой G), то В(х) = ху и поэтому соотноше-
соотношения A4) также выполняются. Пусть теперь весовая функ-
функция h(x) совпадает с функцией (9). Тогда в силу (8)
имеем В(х) = q2(x — а) (х — Ь). Следовательно, в по-
последнем случае получим
h (x) B(x) = - c3 (b - x)a+l (x - af+\
а так как а>—1 и C >—1, то условия A4) выпол-
выполняются и в этом случае.
Таким образом, первые три решения уравнения Пир-
Пирсона, т. е. функции qpi(#), фг(л:) и фз(я) удовлетворяют
предельным соотношениям A4). Совершенно очевидно,
что остальные четыре функции, являющиеся решениями
уравнения Пирсона, не удовлетворяют по крайней мере
одному из предельных соотношений A4). Это следует не-

§ 2] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 49
посредственно из формул A0) —A3). Более того, если
любую из этих четырех функций рассматривать на ко-
конечном интервале, содержащемся в области ее существо-
существования, то, будучи на этом интервале весом, эта функция
все равно не будет удовлетворять по крайней мере од-
одному из предельных соотношений A4). Следует отметить,
что функции (9), A0) и A1), определенные на различ-
различных интервалах, по существу составляют одно решение
дифференциального уравнения Пирсона вида (8), но в
данной ситуации целесообразно рассматривать эти функ-
функции как различные даже и в том наиболее хорошем слу-
случае, когда а и C суть четные числа, т. е. когда особые
точки а и Ь дифференциального уравнения (8) становят-
становятся просто нулями решения, определенного на всей дей-
действительной оси.
В дальнейшем мы будем изучать свойства ортого-
ортогональных многочленов, весовая функция которых являет-
является решением уравнения Пирсона и удовлетворяет усло-
условиям A4). Такие ортогональные многочлены будем назы-
называть классическими. Мы установили, что классические
ортогональные многочлены образуют три отдельные се-
семейства: обобщенные многочлены Чебышёва — Эрмита,
обобщенные многочлены Чебышёва — Лагерра и обоб-
обобщенные многочлены Якоби. Каждое из этих семейств по-
получается линейными преобразованиями независимого пе-
переменного и умножением на постоянную соответственно
из многочленов Чебышёва — Эрмита, многочленов Чебы-
Чебышёва— Лагерра и многочленов Якоби. Никаких других
классических ортогональных многочленов не существует.
§ 2. Дифференциальное уравнение
для классических ортогональных многочленов
Докажем, что классические ортогональные многочле-
многочлены удовлетворяют некоторому линейному однородному
дифференциальному уравнению второго порядка с пере-
переменными коэффициентами. Частные случаи этого урав-
уравнения очень часто появляются при исследовании различ-
различных задач физического и технического содержания. Этим
собственно и объясняется та важная роль, которую иг-
играют классические ортогональные многочлены в при-
прикладных вопросах.

50 КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [ГЛ. 11
Пусть весовая функция h(x) на интервале (а, Ь) удо-
удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона, т. е.
h'(х) _ ро + р\х А(х) /П
h (x) ~ q0 + Ц\Х + ?2*2 ~ В (х) ' ([)
и, кроме того, на концах интервала ортогональности вы-
выполняются предельные соотношения A.14), которые здесь
мы запишем в более краткой форме
h {a) B(a) = h (b) В {b) = 0, B)
имея в виду, что это есть предельное значение в случае,
когда интервал ортогональности бесконечен. Как обычно,
через {Рп(х)} обозначим соответствующие весовой функ-
функции Н(х) ортонормированные многочлены. Таким обра-
образом, здесь и далее мы будем рассматривать как единый
случай все три семейства классических ортогональных
многочленов.
Теорема 2.1. Если весовая функция- h(x) удовле-
удовлетворяет условиям A) и B), то ортогональный многочлен
Рп(х) является решением дифференциального уравнения
В (х) у" + [А (х) + В' (х)] у' - упу = 0, C)
где
Уп ==: п [р\ + (п + 1) Я2\- D)
Доказательство. Рассмотрим интеграл
ъ
J=\[B(x)h(x)P'n(x)-]'xkdx. E)
а
Интегрируя по частям, найдем
ь
В силу условий B) внеинтегральный член равен нулю.
Поэтому, интегрируя снова по частям, получим
ь
(x)h(x)Pn(x) \ba+k J Pn(x)[xk-lB(x)h(x)]'dx=
+ xk~lB' (x)h(x) + xk~lB (x) ft' (x)j dx.

§ 2] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 51
Далее из A) следует тождество
B(x)h'(x) = h(x)A(x), F)
с помощью которого из предыдущего равенства найдем
ь
j = k \pn(x)[(k-l)xk-2B(x)+xk-lB'(x)+xk-lA(x)]h(x)dx.
а
Поскольку в квадратных скобках стоит многочлен сте-
степени &, то в силу ортогональности многочлена Рп(х) спра-
справедливы равенства
ь
k = 0, 1, 2, ..., п— 1.
Следовательно, при тех же k равен нулю и интеграл E).
Выполняя в нем операцию дифференцирования и снова
используя F), получим
] = \ [В' (х) h (х) Р'п (х) + В (х) h' (х) Р'п (х) +
ь
k
= 5 {[В' (х) + А (х)] Р'п (х) + В (х) Р»а (х)} xkh (x) dx = 0.
а
В фигурных скобках стоит многочлен степени п. Обозна-
Обозначим его Qn(x). Тогда последнее равенство можно пере-
переписать в виде
= 0, й = 0, 1, 2, .. ., п- 1.
Умножая эти интегралы на произвольные постоянные
коэффициенты и складывая, получим условие
ь
\Qn(x)Fm(x)h(x)dx^0,

52 КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [ГЛ. II
где Fm(x) есть произвольный многочлен степени т <С п.
Но по теореме 1.2 это условие необходимо и достаточно
для того, чтобы многочлен Qn(x) был ортогональным с
весом h(x), т. е. этот многочлен только множителем мо-
может отличаться от ортонормированного многочлена
Рп(х), Таким образом, имеем равенство
В (х) Р"п (х) + [А (х) + В' (х)} Р'п (х) = упРп (х),
и остается лишь определить постоянную уп. Для этого
приравняем старшие коэффициенты слева и справа в по-
последнем равенстве.
В результате этого получим
q2n (n—l)\in + (p{ + 2q2) n\xn = yn\in,
и после сокращения на \in найдем формулу D).
Таким образом, теорема 2.1 доказана.
Дифференциальное уравнение C) с условием D) ин-
интересует нас лишь постольку, поскольку из него можно
получить дифференциальные уравнения для многочленов
Чебышёва — Эрмита, Чебышёва — Лагерра и многочле-
многочленов Якоби. Рассмотрим эти частные случаи уравне-
уравнения C).
Если в формуле A.4) положить С\ = 1 и р — 1, то
получим весовую функцию многочленов Чебышёва — Эр-
Эрмита. Соответствующее уравнение Пирсона A.3) имеет
вид
Следовательно, здесь
Поэтому вместо C) после вычисления D) для многочле-
многочленов Чебышёва — Эрмита получим дифференциальное
уравнение
^2^ + 2 0, G)
т. е. имеет место тождество
Положим теперь в формуле A.7) с2 = Р = 1. Тогда
получим весовую функцию многочленов Чебышёва — Ла-

§ 2] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 53
герра, а соответствующее уравнение Пирсона A.6) при-
примет вид
_#!._. а — х
у ~~ х
Следовательно, в случае многочленов Чебышёва — Ла-
герра
А (х) = а — х, В (х) = ху Уп = — п.
Подставляя эти значения в C), получим уравнение
ху" + (а-х+ 1)у' + пу = 0, (8)
которому удовлетворяют многочлены Чебышёва — Ла-
герра, т. е. имеет место тождество
*//'(*; а) + (а-х+ l)L'n(x; a) + nLJx; а) = 0.
Далее в формуле A.9) положим с3 = 1, а = —1,
Ь = 1. Тогда получим весовую функцию многочленов
Якоби, а уравнение A.8) приводится к виду
ll = _P а = (Р - а) - (а + Р) х
у х + 1 1 - х 1-х2
Следовательно, здесь
уп==-п(п + а + $+ 1).
Подставляя эти значения в C), получим дифференциаль-
дифференциальное уравнение для многочленов Якоби
+ п(д + а + р+1)у = 0 (9)
и соответствующее ему тождество
A - х2) Р"п (х\ а, р) + [р - а ~ (а + р + 2) х] Р'п (х- а, р) +
+ /г(/г + а + р+1)Р„(х; а, р) = 0.
В частности, многочлены Лежандра, для которых a =
== Р = 0, удовлетворяют уравнению
A - х2) у" - 2ху +п{п+1)у = 0. A0)

54 КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [ГЛ. II
В случае многочленов Чебышёва первого рода а = р =
= —1/2. Поэтому вместо (9) имеем уравнение
(l-jt2)*/"-jn/' + rt2*/ = 0. (И)
Аналогично для многочленов Чебышёва второго рода,
учитывая условие а = р = 1/2, из (9) находим диффе-
дифференциальное уравнение
A-х2) у" - Ъхуг + п (п + 2) у = 0. A2)
§ 3. Обобщенная формула Родрига
Для классических ортогональных многочленов имеет
место весьма важное представление через весовую функ-
функцию, которое называется обобщенной формулой Родрига.
Лемма 2.1. Если весовая функция h(x) на интер-
интервале ортогональности удовлетворяет условию
где, как обычно,
А(х) = ро + р{х, В (х) = q0 + q\x + q2x2, B)
то функция
Qn(x) = T^[h(x)Bn(x)]M C)
есть многочлен степени не выше п.
Доказательство. При фиксированном п рас-
рассмотрим выражение
Fk(x- n) = [h(x)Bn(x)]M. D)
При k = 0 и k = 1, используя A), имеем
FO(X- n) = h(x)Bn(x),
F{ (x\ n) = h' (х) Вп (х) + h (х) п Вп~х (х) Вг (х) =
= h (х) В11'1 (х) [А (х) + пВ' (х)] = h (x) Вп~х (х) Я, (х),
где R\(x) означает стоящий в квадратных скобках мно-
многочлен, степень которого не более единицы. Методом ин-
индукции докажем, что для величины D) имеет место пред-
представление
Fk{x\ n) = h(x)Bn-k(x)Rk(x), E)

. 3] ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА РОДРИГА 55
где Rk(x) —многочлен степени не более k. Сделаем ин-
\ктивный переход от k к &+ 1, т. е. продифференци-
продифференцируем функцию E) еще один раз. Используя A), находим
Fk+i(x; n) = [Fk(x; n)]' = h'(x)Bn-k(x)Rk(x) +
+ h (x) (n - k) Bn~k-1 (x) в' (х) Rk (x) + h (x) Bn~k (x) R'k (x) =
= h (x) Bn~k~x (x) [A (x) Rk (x) + (n-k) В' (х) Rk (x) +
+ В (х) Rk (x)] = h (x) Вп~к~х (х) Rk+i (x), F)
где многочлен Rk+\ (х) имеет степень не более k + 1 и
определяется равенством
**+! W = И № + (n-k) В' (х)] Rk (x) + В (х) R'k (x). G)
Этим формула E) установлена. Положим в ней k = п
и подставим функцию Fn(x; п) в равенство C) В ре-
результате найдем, что Qn(x) есть действительно много-
многочлен степени не выше п. Таким образом, лемма доказана.
Заметим, что в лемме 2.1 не использовано второе ус-
условие из определения классических ортогональных мно-
многочленов, а именно — предельные соотношения B.2).
Следовательно, эта лемма справедлива для любой из
семи функций {фт(#)Ь определенных в § 1 в качестве
решений дифференциального уравнения Пирсона, причем
каждую из этих функций можно рассматривать на лю-
любом интервале, содержащемся внутри области существо-
существования.
Теорема 2.2. Для классических ортогональных
многочленов имеет место формула Родрига
Рп (х) = сп j^ [h (х) Вп (х)](п\ п = 0, 1, 2, .. ., (8)
где {сп} — некоторые коэффициенты.
Доказательство. В силу леммы 2.1 правая
часть (8) есть многочлен степени не выше п. Далее из
формулы E), используя условия B.2), найдем
Fk (a; n) = Fk (b; n) = 0, k = 0, 1, ..., п - 1.
Поэтому в силу D) при тех же k имеем равенства
[h (х) Вп (*)]<*> U-e = [h (х) Вп (*)]<*> U-* = 0.

56 КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [ГЛ. II
Следовательно, для многочлена C) получаем
ь ь
\ h (х) xkQn (х) dx=\xk [h (x) Bn (x)]{n) dx =
а а
= xk [А (х) Еп (x)f~l) t-k{ /-' [h (x) B« (x)T~l) dx =
a
b
= (- \)k k\ j [h (x) Bn (x)f~k) dx =
a
= (-l)k k\ [h (x) Bn (x)]in-k~l) |* = 0. (9)
Докажем теперь, что многочлен Qn(x), определяемый
формулой C), при условиях B.2) имеет степень точно п.
Допустим противное, что Qn{x) имеет степень меньше п.
Тогда, поскольку равенство (9) имеет место при k = 0,
1, .. ., п— 1, то, умножая эти равенства на коэффициен-
коэффициенты многочлена Qn{x) и складывая нули, получим
ъ
[h(x)Q2n(x)dx = 0,
а это равенство в силу леммы 1.2 невозможно, ибо h(x)
есть весовая функция.
Итак, многочлен Qn{x) имеет степень п. А тогда из
условий (9) следует, что он лишь множителем может от-
отличаться от ортонормированного многочлена Рп(х), со-
соответствующего весовой функции h(x). Этим формула
(8) и теорема 2.2 доказаны.
Формулу (8) в силу C) можно записать в виде
Pn(x) = cnQn(x), A0)
и поэтому возникает задача подсчитать старший коэф-
коэффициент многочлена Qn(x). Но для дальнейшего изложе-
изложения необходимо подсчитать и второй старший коэффи-
коэффициент этого многочлена. В связи с этим введем разложе-
разложение
Qn(x) = anxn+bnxn-l+ ..., A1)
и определим эти два коэффициента.

§ 3] ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА РОДРИГА 57
Лемма 2.2. Для двух старших коэффициентов мно-
многочлена Qn(x) имеют место формулы
an = TL [Pi + (n+k)q2], A2)
b^nf±^an. A3)
Доказательство. Обозначим аТ и $? первый
и второй старшие коэффициенты многочлена Rk{x) из
формулы E), т. е. положим
att)xk + b{?)x"-l+ ... A4)
Тогда из формулы G), учитывая B), имеем равенство
= [р0 + Рхх + (n-k) (<7, + 2^)] (af
+ (q0 + qxx + q^) [ka™xk~l + (k - 1) b^xk^ +...]. A5)
Сравнивая старшие коэффициенты в левой и правой ча-
частях равенства, найдем
[%l\_l 2]af\ A6)
Далее равенства D) и E) при k = n имеют вид
Fn (х- п) = [А (х) Вп (х)]{п\ Fn (jc; n) = А (х) Rn (x).
Следовательно, в силу C) многочлены Qn(x) и Rn(x)
совпадают. Поэтому, применяя A6), получаем
... = [р, + (п + 1) <?2] [р, + (л + 2) <?2] ... [р, +
Но в силу D) имеем а{)/г)=1, и, таким образом, фор-
формула A2) доказана.
Аналогичным образом для определения второго коэф-
коэффициента Ьп приравниваем в формуле A5) коэффициенты

58 КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [ГЛ. И
при xk слева и справа. В результате этого найдем
< + \Рх + (n-k) 2q2] bf +
или
*fti = [Pi + B/i - ft - 1) </2] 6?> + (p0 + nqx) a$\ A7)
Далее положим в формуле A7) сначала k = 0, а затем
й = 1. Вследствие этого, учитывая равенства а{?)==\
?(«)== 0 и A6) при fe = 0, получим
(») = [Pl + Baz - 2) </2] 6<п> + (р0 + nqx) а&> =
= [pi + B/z — 2) <72] (Po + ^i) + (Po + nqx) (pi
¦ -t— mn}
¦ 2nq2 2 '
А теперь методом индукции докажем равенство
Ж±»?(п)л A8)
Для этого подставим A8) в A7). В результате последо-
последовательно находим
( + } ,n) =
Pi
причем здесь мы воспользовались равенством A6). Итак,
формула A8) установлена. Полагая в этой формуле
k = п и учитывая равенство bn = b{?\ получим фор-
формулу A3).
Таким образом, лемма 2.2 доказана.
Подсчитаем теперь коэффициенты ап и Ьп во всех
основных частных случаях.
В случае многочленов Якоби имеем
Л(х) = (р-а)-(а + Р)*, В{х)=\-х\ A9)

§ 3] ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА РОДРИГА 59
Следовательно, из A2) получаем
П [
/5=1
= (-1)»(а+р + /г+1)(а+Р+/г+2)...(а+Р+/г+/г). B0)
В дальнейшем часто будет применяться гамма-функ-
гамма-функция Эйлера
оо
-1е-*Ш, р>0. B1)
Из хорошо известных свойств этой функции ([32], [51],
[52]) мы будем использовать главным образом рекур-
рекуррентную формулу
1) = рГ(р), р>0. B2)
Применяя эту формулу несколько раз, получим равен-
равенство
+ 1), B3)
с помощью которого формулу B0) можно представить
в виде
Далее, используя этот результат, в силу A3) вычисляем
второй коэффициент
— ( If (а В) Л
Для многочленов Чебышёва — Эрмита
А (х) = - 2jc, B(x)=l.
11оэтому для этих многочленов
ая = П(-2) = (-1)в2", Ьн = 0. B6)

60 КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [ГЛ. II
В случае многочленов Чебышёва — Лагерра
А(х) = а — х, В{х) = х.
Следовательно, здесь в силу A2) и A3)
а„ = П (—1) = (—1)л. ftn = (-l)"+1n(a + n). B7)
Все эти формулы для коэффициентов ап и Ьп будут
использованы в дальнейшем для получения нормирован-
нормированных классических ортогональных многочленов и для под-
подсчета коэффициентов в рекуррентных формулах и в фор-
формулах Кристоффеля — Дарбу. Сейчас же можно напи-
написать формулы Родрига для классических ортогональных
многочленов с единичным старшим коэффициентом. Учи-
Учитывая равенства B4), B6) и B7), из (8) получим фор-
формулы
^ х) A + ^
B8)
Нп(х) = 1=$-е«(е-«){п\ B9)
1п (Г| а) = (— 1)" х~*е* (ха+пе~х){п). C0)
§ 4- Стандартизация и нормирование
классических ортогональных многочленов
Формула C.8) определяет ортогональный многочлен
с точностью до коэффициента сп. Этот коэффициент мож-
можно выбрать различными способами. Так, в конце § 3 по-
после вычисления старшего коэффициента ап многочлена
Qn(x) мы, подчиняя выбор сп условию спап = 1, полу-
получили формулу Родрига для ортогональных многочленов
с единичным старшим коэффициентом. Можно выбрать
последовательность {сп} таким образом, чтобы получить
ортонормированные многочлены. Но очень часто числа
{сп} в формуле Родрига C.8) выбирают так, чтобы мак-
максимально упростить основные формулы для ортогональ-
ортогональных многочленов и, самое главное, облегчить применение
их в различных практических задачах. Такой третий, на
первый взгляд искусственный, способ выбора коэффи*

§ 4] СТАНДАРТИЗАЦИЯ И НОРМИРОВАНИЕ 61
циентов {сп} называется стандартизацией классических
ортогональных многочленов.
Как будет ясно из дальнейшего, наиболее рациональ-
рациональной является следующая стандартизация многочленов
Якоби, Чебышёва — Эрмита и Чебышёва — Лагерра:
Рп (х; а р) =
= i^<1 -хГа(\+хГ"[A-х)а(\ +xf(\-xTjn\ (О
Нп(х) = (-1)пе"(е-*){п\ B)
1п (х- а) = ± х~«ех (ха+пе-х){п). C)
Именно при таком выборе коэффициентов в форму-
формулах Родрига классические ортогональные многочлены
наиболее удобны для изучения и применения.
Рассмотрим теперь второй способ выбора коэффи-
коэффициентов в формуле Родрига C.8). Сейчас мы выберем
эти коэффициенты таким образом, чтобы формула C.8)
определяла ортонормированные классические многочле-
многочлены. В силу формулы C.10) для этого необходимо под-
подсчитать среднюю квадратическую с весом h(x) норму
многочлена Qn(x), определяемого равенством C.3). Учи-
Учитывая тот факт, что старший коэффициент многочлена
Qn(x) есть ап, с помощью C.3) находим
ь ь
\ h (x) Ql (x) dx = an\ x-h (x) Qn (x) dx =
а а
b
= an\xn[h(x)Bn(x)]{n)dx.
а
Далее применяем формулу C.9) при k = п. В резуль-
результате получим
ь
II Qn II2 = (-1)" п\ ап \ h (х) Вп (х) dx. D)
а
Последний интеграл нетрудно подсчитать во всех трех
частных случаях. В случае многочленов Якоби имеем
} 1
1-*УЛс=$ (l-x)a+n(l+xf+"dx.

62 КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [ГЛ. II
После замены переменной х = 2t— 1 находим
1 1
E)
Далее используем известное представление бета-функ-
бета-функции Эйлера через гамма-функцию ([32], [52])
F)
Учитывая E), F) и C.24), из D) получим
ил II2 / i\"~f oa
______ =
Г (а + р + 2п + 1) Г (а + п+1) Г (Р + п + 1)
Г (а + р + п + 1) Г (а + р + 2п 4- 2)
Г (а + П + 1) Г (Р 4- П 4- 1)
(а + р + 2д + 1) Г (а + р + п 4" 1) *
Таким образом, мы подсчитали норму многочлена Qn{x).
Следовательно, ортонормированный многочлен Якоби
имеет вид
Рп(х\ а, р) =
или, если учесть формулу C.3) при условии C.19), на-
находим окончательно
„
а,
— (~1)П .к I (Д
2П /у Аг!
- х>)п)
п)(п)
В частности, если a = р = 0, то имеем ортонормирован-
ные многочлены Лежандра
п (х\ 0) = -Ь^- д/^f1 Id - хТГ- (8)

§ 4] СТАНДАРТИЗАЦИЯ И НОРМИРОВАНИЕ $3
Далее, учитывая формулу C.24), находим старший ко-
коэффициент ортонормированного многочлена Якоби
Г(а+р + 2/г+ 1)
(р )
= -L л I Г (а + р + 2п + 2) /r(g+p+2/t+l)
2п V л12а+0+1Г(а+/1+1) Г(Р + я+1) V Г(а + р+гс+1)'
(9)
В частности, полагая [in(a) = |Шл(а, а), имеем
— _L А / Г B/1 + 2) /Г B/1+1) _
— 2а2 Д/ д!2Г(п+ 1)Г(л+ 1) Л/ Г(л+1) ~~
Подсчитаем теперь величину D) для многочленов Че-
бышёва — Эрмита. Так как здесь В(х) = 1, то, учитывая
C.26), получаем
ilQ«|P = (—1)пп!ая
Поэтому ортонормированные многочлены Чебышёва —
Эрмита имеют вид
Нп (х) = /"^ е* (е~*){п). A2)
\п\ л/л 2"
Следовательно, старший коэффициент ортонормирован-
ортонормированного многочлена Чебышёва — Эрмита равен
A)Л/
A3)

64 КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [ГЛ. П
Аналогично в случае многочленов Чебышёва — Ла-
герра, для величины D), учитывая равенство В(х) =х
и формулы C.21) и C.27), находим
= {—1)пп\апГ(а + п+ \) = п\Г{а + п+ 1).
Поэтому для ортонормированного многочлена Чебы-
шёва — Лагерра и его старшего коэффициента справед-
справедливы формулы
Ln{x\ a) =
У я! Г (а
§ 5. Производящие функции
Для системы многочленов {Рп(х)}, ортогональных с
весом h(x) на интервале (а, Ь), при фиксированном х е
е (а, Ь) можно рассматривать степенной ряд и его
сумму
сю
F(x, ш) = ^^-ш", A)
ибо при некоторых минимальных условиях на весовую
функцию этот ряд имеет положительный радиус сходи-
сходимости. Тогда функция F(x,w) называется производящей
функцией системы многочленов {Рп(х)}.
Найдем производящие функции для классических ор-
ортогональных многочленов.
Рассмотрим многочлены {Qn(x)}y определенные фор-
формулой C.3). Эта формула справедлива в трех случаях,
когда h(x) определяется равенствами A.4), A.7) или
A.9). В первом из них функция h(x) аналитически про-
продолжается на всю комплексную плоскость. Если а — не-
нецелое, то при условии A.7) функция h(x) продолжается
аналитически на плоскость с разрезом по интервалу
(—оо, 0). А в последнем случае разрез должен проходить

§ si протгюдящип функции ^5
по действительной оси от точки а через бесконечность до
точки Ь. В силу теоремы единственности равенство C.3)
продолжается в каждую из указанных областей, т. е.
имеем
Qn(z)^-f^[h(z)Bn{z)]w, B)
где z есть комплексное переменное.
Теорем а 2.3. Если z — точка аналитичности функ-
функции h(z), то для производящей функции системы много-
многочленов {Qn(z)}
m^-wn C)
имеет место представление
ptz -,) = l * W (A)
где >u = x(z, w) есть тот корень квадратного уравнения
? — z — wB(?) = O, E)
который при малых \w\ расположен ближе к точке z.
Доказательство. В силу формулы C.2) урав-
уравнение E) можно представить в виде
|_ (ш^} _ 1) g J /— i ^ — п F)
Так как z зафиксировано, то при малых по модулю w
один корень X этого уравнения близок к точке z, а вто-
второй — велик по модулю, если только q2 ф 0. Проведем
такой замкнутый гладкий контур Г, который охватывает
точки г и Я, но не содержит второго корня уравнения
E), причем функция h (z) является аналитической вну-
внутри и на самом контуре Г. Рассмотрим функцию
h (I) dl ,
Поскольку внутри контура Г знаменатель имеет единст-
единственный простой нуль в точке Я, то по теореме Коши

66 КЛЛССИЧПСКМ11 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ (ГЛ. 11
о вычетах имеем
if /i (С) дГС Л (Я) .Rv
2ш J ? — г — wB (О 1 — иу?' (А) ' w
г
и, таким образом, для функции G) представление D) до-
доказано.
С другой стороны, при малых по модулю w имеем
Поэтому при таких w подынтегральное выражение G)
можно представить в виде
h(l) 1 /г(?)
t,-z ' . wB (g) g-z
C-z
Lt^fJ-
причем полученный ряд сходится равномерно-относитель-
равномерно-относительно ? е Г. Подставляем это разложение в формулу G)
и интегрируем почленно:
(9)
Так как контур Г находится в области аналитичности
функции h(z) и охватывает точку 2, то в силу формулы
Коши для производной имеем
J, С МО в» (С) d? = ± [h{z)Bn
Подставляя это выражение в формулу (9) и учитывая
равенство B), получим разложение C). Таким образом,
теорема 2.3 доказана.
Вычислим производящую функцию для всех трех
частных случаев стандартизованных ортогональных мно-
многочленов.
В случае многочленов Чебышёва — Эрмита В(х) = 1,
и поэтому уравнение E) имеет вид ? — z— w = 0. Сле-
Следовательно, X = z + w, и из формулы D) находим про-
производящую функцию
F B, w) = \ Щ- = e-^z2 = е~ (

^ 5] ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ qj
Так как для стандартизованных многочленов Чебышё-
ва — Эрмита мы приняли определение D.2), то в силу
C) имеем
1 )п ^^- wn. A0)
Заменяя здесь w на —w, получим
^Г1^. (И)
Из свойств производящей функции следует, что оба ряда
A0) и A1) сходятся при любых конечных z и w.
Далее в силу условия В(х) = х в случае многочленов
Чебышёва — Лагерра уравнение E) приводится к виду
? — z — до ? = 0. Следовательно, здесь X = z/(l — w), и
поэтому, учитывая D), находим
1-W
В силу стандартизации D.3) имеем равенство
Qn (х) = п\ Ln (x\ а).
Поэтому из C) получим
Из структуры производящей функции следует, что ряд
A2) сходится при условии \w\ < 1.
Выведем теперь производящую функцию для много-
многочленов Лежандра. Так как здесь В(х) = 1—х2, то
уравнение E) имеет вид
Из двух его корней выбираем тот, который при малых
\w\ ближе к г, т. е. полагаем
* = 25Г [- 1 + VI + 4ш (z + ш) ], (.13)

68 КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [ГЛ. II
где имеется в виду главное значение квадратного корня.
Следовательно, знаменатель в формуле D) имеет вид
1 — wB' (A) = 1 + 2Kw = V 1 + 4шг + 4ш2. A4)
Таким образом, для многочленов Лежандра
имеем производящую функцию
с»
,, ' ==• = У -3ii5l wn. A5)
Для перехода к стандартизованным многочленам Ле-
Лежандра
в формуле A5) заменим w на —-у- Тогда получим
оо
г
r = ? Pn(z;0)wn. A7)
Наконец, определим производящую функцию для мно-
многочленов Якоби. Поскольку здесь, как и для многочле-
многочленов Лежандра В(х) = \ —а:2, то, следовательно, фор-
формулы A3) и A4) сохраняются. Далее из равенства А —
— z — w{\ — Я2) = 0 находим два тождества
Поэтому функция D) имеет вид
Р1г w)- ] *(*)
h(z) \ — wB'(X)
где для краткости зведено обозначение
причем для нецелых аир имеются в виду главные зна-
значения многозначных функций. Вычисляем выражения,

§ 6] ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ПРОИЗВОДНЫХ 59
стоящие в квадратных скобках в знаменателе
l+w(l+K)=l+w + ±(-l+R) = ± + w + ±R9
Следовательно, из C) получим разложение
где
Далее, поскольку в силу стандартизации D.1) имеем ра-
равенство
Р«(х; а, ® = 1=$-0п(х),
то, заменяя в A8) w на —^г, найдем формулу
A —- w + Л)" {] + w + Л)р Л
где введено обозначение А = д/l — 2zw + w2, причем,
как и в предыдущих формулах, имеется в виду главное
значение корня, а переменное w в зависимости от фик-
фиксированного г изменяется в достаточно малой окрестно-
окрестности начала координат.
В формулах A1), A2), A7) и (.19) от стандартизо-
стандартизованных многочленов нетрудно перейти к ортонормирован-
ным, но мы не будем этого делать, ибо разложения про-
производящих функций применяются большей частью в вы-
вышеприведенном виде.
§ 6. Ортогональность производных
В настоящем параграфе доказывается, что тфЪизяад--
ные классических ортогональных многочленов ортого-
ортогональны на том же интервале и также входят в систему
классических ортогональных многочленов

7 О КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [ГЛ. II
Пусть многочлены {Рп(х)} ортогональны на интер-
интервале (а, Ь) с весовой функцией h(x), которая в силу ура-
уравнения B.1) удовлетворяет условию
h'(x)B(x) = h(x)A(x). A)
Так как А(х) есть многочлен нулевой или первой
степени, то при любом натуральном k < п имеет место
равенство
ь
n{x)xk-lA{x)h{x)dx = 0. B)
В силу равенства A) этот интеграл приводится к виду
а
Далее интегрируем по частям
ь
Кь = [Ря (х) х»->В (х) h Ос)] |» - 5 [Р„ (х) х^В (x)Y h (x) dx.
| 5
а
Внеинтегральные члены равны нулю, ибо на концах ин-
интервала ортогональности выполняются условия
h(a)B(a) = h(b)B(b) = O. C)
Следовательно, имеем
ь
и = -\ \Рп (х) **-»В (*)]' h (х) dx =
а
b
a
b
^\) x^B (x) h (x) dx -
x. D)

§ 6] ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ПРОИЗВОДНЫХ 71
Так как степень многочлена В(х) не превышает двух, то
второй и третий интегралы в правой части D) равны
нулю. Поэтому, учитывая B), находим
ь
\ К (х) xk~lB (x) h(x)dx = 0, 0<k<n.
В этом равенстве k — любое натуральное число, удовле-
удовлетворяющее условию k < п. Следовательно, многочлен
Рп (х) является ортогональным с весовой функцией
hl(x) = h(x)B(x), Xe=(a,b). E)
Докажем, что эта функция удовлетворяет некоторому
дифференциальному уравнению Пирсона. В самом деле,
учитывая A), получаем
(x)
<*)
h (x)
B(x)-\
h{x)
- h (x) B'
B{x)
(x)
A
h'(x)
h(x) '
B(x)
B' (x)
B(x)
x) At (x)
B(x)
Далее, поскольку В(х) есть многочлен не более вто-
второй степени, то из условий C) следуют аналогичные ус-
условия для новой весовой функции
h{(a)B(a) = h{(b)B(b) = O. G)
Таким образом, система производных {Р'п+1 (х)} орто-
ортогональна с весом E), удовлетворяющим условиям F)
и G).
Аналогичные рассуждения можно применить к систе-
системе производных {Р'п+{(х)} и убедиться в ортогонально-
ортогональности системы вторых производных {^+2W}- В самом
деле, так как А\{х) =А(х) -\-В'(х) есть многочлен не
выше первой степени, то при любом натуральном k < п
аналогично B) имеем равенство
(8)

72 КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [ГЛ. II
Используя условия F) и G), этот интеграл аналогично
равенству D) приводим к виду
ъ
\p'n+i(x)xk-'B(x)h[(x)dx =
а
Ъ
= ~ \ [р«+. М xk~"B WT К (х) dx =
а
Ь
- J Р'п+1 (х) (k - 1) х^В (х) /г, (х) dx -
а
Ъ
-\P'n+l(x)xk-iB'(x)hl(x)dx.
а
Второй и третий интегралы справа равны нулю в силу
ортогональности системы производных |Р'я+1Ц с весо-
весовой функцией h\(x). Следовательно, имеем
ь
\ P'Ux (x) xk~lB (x) hx (x)dx = 0, 0<k< n.
а
Поскольку здесь k — любое натуральное число, удовле-
удовлетворяющее условию 0 < k < /г, то поэтому многочлены
(Р'(х)\ ортогональны на интервале (а, Ь) с весовой
функцией
которая удовлетворяет уравнению
ь!.г (х) h[ (х) В' (х) _ Л (х) + 2Я' (х) Л2 (х)
h2(x) ~ hx(x) T 5W В(х) В(х) '
Далее методом индукции нетрудно доказать, что си-
система производных {Р)п+т(х)} ортогональна на том же
интервале (а, Ь) с весовой функцией
hm(x) = h(x)Bm(x)t х<=(а> Ь), (9)

§ 6] ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ПРОИЗВОДНЫХ 73
которая удовлетворяет дифференциальному уравнению
h'(x) А (х) + тВ' (х) Лт(х)
hm(x) В(х) В(х)
A0)
а на концах интервала ортогональности выполняются ус-
условия
hm(a)B(a) = hm(b)B(b) = O. A1)
В самом деле, будем считать выполненными равен-
равенства (9) —A1), и сделаем переход от/пк/n+l. Анало-
Аналогично равенствам B) и (8) в силу индуктивного пред-
предположения об ортогональности системы производных
{ (х)} здесь при 0 < k < n имеем
ь
РЙ?т (Х) xk-lAm (х) hm (х) dx = 0.
а
Используя условия A0) и A1), находим
ь
Р™т (х) xk~'B (х) С (х) dx =
а
ь
5 (х) xk~lB (x) hm (x) dx -
ъ
- (k - 1) \ PTlm(x)xk~2B(x)hm(x) dx-
a
b
\ p(m> (y\ Yk~~^ ft' (y\ h (y\Hy
I ¦* /l~b/71 V"^/ "^ *~^ \™) '•'/71 V"^/ W"*v•
a
Второй и третий интегралы в правой части равны нулю.
Следовательно, система производных {p^+^+i W} °PT0"
тональна с весом
/Wi (*) = hm (x) B(x) = h (x) Bm+l (x).
Далее, в силу равенства A0) имеем
hm+lM h'm М В (X) + hm (X) В' (X) _ tim (X) В' (х)
0 "" hm (х) В (х) ~~ flm(x) "*" В (х) ~
— Аг" {х) + В' {х) — ^(^) + (т+ 1) В' (х)
~ В{х) ~ В[х)

74 КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 1ГЛ. II
Выполнение условия A1) для функции ftm+i (*) оче-
очевидно. Таким образом, индукция проведена полностью.
Рассмотрим формулу (9) в трех основных частных
случаях.
Если В(х) = <7о > 0, то весовая функция (9) только
множителем отличается от весовой функции h(x). По-
Поскольку этому случаю соответствуют обобщенные много-
многочлены Чебышёва — Эрмита, то, следовательно, эти мно-
многочлены с точностью до постоянного множителя остаются
многочленами Чебышёва — Эрмита и после дифференци-
дифференцирования.
Пусть теперь В(х) = q\X. Тогда в силу A.7) весовая
функция имеет вид
к(х) = с2хае-&х, *е@, оо).
Следовательно, в этом случае при дифференцировании т
раз обобщенных многочленов Чебышёва — Лагерра сно-
снова получаются обобщенные многочлены Чебышёва — Ла-
Лагерра с параметром а -\- т вместо а.
Если интервал ортогональности (а, Ь) конечен, то
В(х) = (х — а) (Ь — х). В этом случае весовая функция
имеет вид
= {b-xf{x-af.
Поэтому, при m-кратном дифференцировании обобщен-
обобщенных многочленов Якоби получим также обобщенные мно-
многочлены Якоби, ортогональные с весовой функцией
Конкретные формулы дифференцирования всех трех
систем классических ортогональных многочленов приво-
приводятся ниже в главах V—VII.
В настоящей главе рассмотрены общие свойства
классических ортогональных многочленов как единой си-
системы. При этом из общих формул и теорем получены
некоторые простые свойства многочленов Чебышёва, Ле-
жандра, Чебышёва — Эрмита, Чебышёва — Лагерра и
Якоби. В последующих главах эти простые свойства для
каждой системы отдельно будут доказаны более элемен-
элементарно.

ГЛАВА III
МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЁВА
§ 1. Многочлены Чебышёва первого рода
Из тригонометрического тождества
cos (п + 1) 9 + cos (п — 1) 9 = 2 cos 9 cos nQ,
полагая в нем 0 = arccos x, для функций
Тп (х) = cos (n arccos x), A)
*е=[-1, 1], /1 = 0, 1,2, ...,
находим рекуррентное соотношение
х)-Тп_1(х). B)
Поскольку Го(^) = 1, Т\(х) = х, то и при любом п
функция Тп(х) есть алгебраический многочлен степе-
степени п. Эти многочлены называются многочленами Чебы-
Чебышёва первого рода. С помощью рекуррентной формулы
B) их можно вычислять последовательно:
Го(*)=1,
Тх {х) = х,
18л:2— 1,
Докажем, что многочлены A) ортогональны на сегменте
[—1, 1] с весовой функцией
h{x)= J-, *е(-1, 1). C)

76 МНОГОЧЛЕНЫ ЧРБЫШГВА {ГЛ. III
В самом деле, в интеграле
1
-1
сделаем замену переменной х = cos 9 при условии 0 ^
^ 9 ^ п. Тогда в силу A) имеем 7^(cos 9) = cos/z9, и
этот интеграл приводится к виду
о
1 Г п Л - sin 8 ,л
Jnm = ) cos nQ cos m9 |sjn6| dd =
n
О, пфт,
я
= 17 \ cos az9 cos m9 a0 =
— Л
Y n = m>0, D)
it, n = m = 0.
Следовательно, ортонормированные многочлены Чебы-
шёва первого рода выражаются через многочлены A) по
формулам
Тп (х) = д/|- Тп (х) = д/^~ cos (n arccos х), п > 1, E)
f0 (х) =-7=" то (х) = -]=--
Далее из рекуррентной формулы B) следует, что стар-
старший коэффициент многочлена Тп(х) есть 2я. Поэтому
многочлены Чебышёва с единичным старшим коэффи-
коэффициентом имеют вид
Тп (х) = —г Тп (х) = —l— cos (n arccos х), п > 1. F)
В отличие от многочленов E) и F), многочлены Че-
Чебышёва первого рода {Тп(х)}, определяемые формулой
A), называются стандартизованными.
Рассмотрим теперь нули многочленов Чебышёва пер-
первого рода. Согласно общей теореме о нулях — теореме
1.9 — нули х[п\ х{2п\ ..., х^] многочлена Тп(х) все дей-
действительны, различны и расположены на интервале
(—1, 1). Так как
Тп \xf>) = cos [n arccos xf) = 0,

МНОГОЧЛЕНЫ MFBbltllFBA ПЕРВОГО РОД\
то, следовательно, имеем
п arccos Дп) =
) — COS
я, ft=l,2, ..., /г, G)
1 я, k= I, 2, ..., п, (8)
2n
ибо в силу периодичности косинуса другие значения ft
в правой части G) не дают новых значений в формуле
(8). Из формулы (8) следует, что, в отличие от общего
случая (см. гл. I, § 5), здесь нули многочленов Чебышёва
занумерованы в обратном порядке, т. е. имеет место не-
неравенство
— 1 <
<
< х[п) <
Далее формула (8) указывает геометрический способ оп-
определения нулей многочленов Чебышёва первого рода.
А именно, для построения точек {jc^rt)} надо верхнюю по-
полуокружность единичного радиуса разделить на 2п рав-
равных частей, а затем спроектировать на сегмент [—1, 1]
точки деления с нечетными номерами. В результате этого
Рис. 3.1.
получим точки {х%]}. На рис. 3.1 изображены нули мно-
многочлена Т4(х). С помощью формулы (8) нетрудно уста-
установить взаимное разделение нулей многочленов Чебы-
Чебышёва. Докажем, что между двумя соседними нулями
х{?] и х{?^{ многочлена Тп(х) есть точно один нуль х{?~1)
многочлена Тп-\{х). В самом деле, так как рассматри-

78 многочлгны чебышпва 1гл. in
ваются нули х^ и x{?\v то k < n, и поэтому имеем не-
неравенство
2k- I 2k— I 2k + 1
2лг 2лг — 2 ^ 2лг '
из которого в силу монотонности косинуса получаем
у(п) "> у(П—\) ^> Г(П)
Рассмотрим теперь экстремальные точки {^Л)} много-
многочлена Тп(х). Из формулы A) следует, что такие точки
определяются условиями
пarccos|^п) = &я, & = О, ± 1, ±2, ...,
из которых находим п -f- 1 различных точек
t(n) — PnQ ^^ А — 0 19 п (Q\
%k — LUb п > к — v, 1, z, . . ., гс. V^/
Поскольку Г/г (^Л)) = (—1)Л, то знаки двух соседних
экстремумов противоположны, причем оба конца сег-
сегмента ортогональности являются экстремальными точ-
точками.
Далее, так как точек (9) всего п-\- 1, то, следова-
следовательно, производная Т'п(х) на интервале (—1, 1) имеет
п— 1 нулей, и поэтому вне сегмента [—1, 1] многочлен
Чебышёва Тп(х) изменяется монотонно. Аналогично ну-
нулям многочлена Тп(х) его экстремальные точки {|(*я)} мо-
можно построить с помощью формулы (9). Для этого до-
достаточно верхнюю полуокружность единичного радиуса
разделить на п равных частей и спроектировать точки
деления на сегмент [—1, 1]. Такое построение можно сде-
сделать на том же чертеже, на котором изображаются нули
многочлена Тп(х). При этом нечетные точки деления
верхней полуокружности на 2п равных частей проекти-
проектируются в нули, а четные — в экстремальные точки много-
многочлена Тп(х).
Далее с помощью формулы A) легко определяются
некоторые частные значения многочленов Чебышёва и

§ 1]
МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА ПЕРВОГО РОДА
79
их производных:
г»@=1, гл-1) = (-
г2я@) = (-1Л г2я+1(О) = о,
Используя все эти данные, нетрудно построить график
многочлена Тп(х). На рис. 3.2 изображены графики не-
нескольких многочленов Чебышёва над сегментом [—1, 1].
Рис. 3.2.
Так как старший коэффициент многочлена Тп(х) есть
2"-1, то из формулы E) следует, что старший коэффи-
коэффициент ортонормированного многочлена Чебышёва Тп (х)
имеет вид
V
.-л/4-2-1.
A1)
Рассмотрим теперь производящую функцию для много-
многочленов Чебышёва первого рода. При условии 0 < г < 1

80 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВЛ [ГЛ III
в геометрическом ряде
= ? rn (C
1 — rew
выделяем действительную и мнимую части. Так как
1 1 1—г cos 8+/г sin 8
1 — rei0 I — г cos 9 — ir sin 9 A — r cos 9J + r2 sin2 9 '
то, следовательно, имеем разложение
оо
1 — г cos 9 Y^ п л
-j Q , 2 = > Г COSAZ0.
1 — 2r cos 9 + r2 La
Полагая здесь х = cos 8, получим
оо
1 -2гх + г2 =2^гПТп{х), 0<Г<1. A2)
Далее в силу тождества
1 -"Л =14-9 Г \—гх I \
1 - 2гх + г2 1ПГ \ 1 - 2гх + г2 )
имеем вторую производящую функцию
оо
1 —Г
1 - 2гх -
A3)
причем в обеих формулах вместо г и х можно поставить
комплексные переменные w и г.
Все вышесказанное относилось к случаю ортогональ-
ортогональности на сегменте [—1, 1]. Но в вычислительной практике
очень часто оказывается более удобным рассматривать
многочлены Чебышёва, соответствующие сегменту [0, 1].
Эти многочлены {Т?п(х)} называются смещенными много-
многочленами Чебышёва. Они определяются формулой
Гп(х) = ТпBх-1) A4)
и обладают на сегменте [0, 1] теми же свойствами, что и
многочлены {Тп(х)} на сегменте [—1, 1]. В частности, для
смещенных многочленов имеет место рекуррентная фор-
формула
П+1 М = D* - 2) Гп (х) - П_! (х).

§ 2] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 31
В принципе можно рассматривать смещение сегмента
[—1, 1] на любой сегмент [а, Ь]. Так как линейное преоб-
преобразование этих сегментов при / е [—1, 1]ил;е [а, Ь] осу-
осуществляется по формуле 2х = (Ь — a)t + я + Ь, то со-
соответствующие смещенные многочлены Чебышёва имеют
вид
P^) A5)
В заключение отметим, что стандартизация многочле-
многочленов Чебышёва по формуле A) не является частным слу-
случаем общей стандартизации многочленов Якоби B.4.1).
§ 2. Асимптотические свойства
Из формул A.1), A.5) и A.6) следуют оценки много-
многочленов Чебышёва на сегменте ортогональности:
|Г„(*)|<1, *€=[-1, 1], A)
*€=[-l, 1], B)
*е[-1, 1]. C)
Рассмотрим некоторые неравенства и предельные со-
соотношения, характеризующие поведение многочленов Че-
Чебышёва вне сегмента [—1, 1].
С помощью тождества
cos я9 = у (eind + e~inQ) =
*•= | [(cos 6 + / sin 6)" + (cos 9 — / sin 8)n], 0 < 6 < я,
что х = cos В, для многочленов Чебышёва нч
формулы A.1) при |л#| <; 1 находим представление
^r)*[i + (-i)*]. D)
Поскольку при нечетном k все слагаемые равны нулю,
«1 при четном — корень исчезает и правая часть является

82 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА 1ГЛ. Ill
многочленом, то формула D) без средней части справед-
справедлива при всяком х, даже и комплексном, независимо от
выбора значений квадратного корня, т. е. имеем равен-
равенство
(/Г^УС! + (-1)*]-
Если же х есть действительное число, причем |лг| > 1,
то при четном k имеем
и, следовательно, вместо D) получим формулу
Если х >> 1, то, поскольку в формуле E) рассматри-
рассматриваются арифметические значения корней при возраста-
возрастании я, сумма в первых круглых скобках будет значитель-
значительно больше, чем разность во вторых. Поэтому, представ-
представляя формулу E) в виде
находим для многочленов Чебышёва асимптотическое
представление
\)п, х>1, п->оо. G)
Совершенно аналогично, если х <—1, то вместо F) и
G) имеем
ГЛ (jc) « y U - V^D"» *<-l, n~>oo. (9)
Из формул F) и (8) следует, что многочлены Чебышёва
{Тп(х)} при \х\ >> 1 возрастают со скоростью геометри-
геометрической прогрессии,

§ 2] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА gg
Формулы E) —(9) нетрудно обобщить на случай ком-
комплексных значений независимого переменного. В самом
деле, пусть z = х + iy есть комплексное переменное, из-
изменяющееся вне сегмента [—1, 1]. Тогда из двух значе-
значений корня V^2~~ 1 можно зафиксировать главное значе-
значение, т. е. то, которое удовлетворяет условию
iim ~ Уг2— 1=1.
Обозначим это значение через F(z). Ясно, что функция
— F(z) однозначна и аналитична в односвязном допол-
дополнении D сегмента [—1, 1] до полной комплексной плоско-
плоскости. Имея в виду эти значения, аналогично формуле E)
находим, что сумма
есть многочлен степени п. Но поскольку при z = x этот
многочлен совпадает с многочленом Чебышёва Тп(х), то
в силу теоремы единственности для аналитических функ-
функций имеем представление
(И)
Докажем, что представление A1) справедливо и в
замкнутой области D. Для этого определим значения
функции р (г) = д/г2 _ j на верхнем и нижнем берегах
разреза по интервалу (—1, 1). В силу условия A0) при
%\ > 1 имеем F (х{) = л^х\ — 1, ибо предел A0) мы
можем вычислять и при z = x->+°°- Аналогично при
*2 < —1 имеем равенство F(x2} = — aJx\— 1. Далее,
представляя рассматриваемую функцию в виде F(z) =
= л/(г — l)(z + 1), находим, что при непрерывном дви-
движении точки z из положения Z\ = Х\ > 1 против часовой
стрелки на верхний берег разреза аргумент разности
z~ 1 получит приращение я, а аргумент суммы z + 1

МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕВЫШГВА
{ГЛ, 111
останется без изменений. Следовательно, на верхнем бе-
берегу разреза имеем F (х3) = i дЛ ~- х\ Аналогично, на
нижнем берегу разреза получим /
F (л:4) = — / д/1 — х\.
Заметим, что во всех четырех случаях имеются в виду
арифметические значения корней (рис. 3.3). Далее, по-
поскольку обе части равенства A1) непрерывны сверху и
Q Л%*^ / „' Х1
Рис. 3.3.
снизу в точках сегмента [—1, 1], то, следовательно, это
представление справедливо во всей замкнутой области D.
При этом на верхнем и нижнем берегах разреза формула
A1) имеет соответственно вид
Т (х\—±-\(х —/л/1 — х2
Рассмотрим теперь асимптотические свойства много-
многочленов Чебышёва первого рода в области D. Из формулы
A1) находим
« „ г / г~2—г \п~\
2 L \ z + л/z2 — 1 / J
A2)
Чтобы доказать, что сумма в первых круглых скобках
по модулю больше единицы, а дробь во вторых круглых
скобках по модулю меньше единицы, воспользуемся гео-
геометрическими свойствами функции Жуковского. Как из-
известно, функция Жуковского
-Ly \W\>1,
A3)

§ 0] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 85
отображает конформно и однолистно область \w\ >> 1
на область D при условиях г|)(оо) = оо и г|/(оо) > 0.
Обратная функция имеет вид
-1, 2Gfl, A4)
где значение корня подчинено условию A0). Из A4) на-
находим
—— = } = z - У i^T 2GD. A5)
Ф(г) г + л/г2-1
Так как | Ф (аг) | > 1 при z^D, то второе слагаемое в
квадратных скобках A2) убывает со скоростью геоме-
геометрической прогрессии, и поэтому имеем асимптотическое
равенство
Таким образом, вне сегмента [—1, 1] последовательность
{Tn(z)} возрастает со скоростью геометрической прогрес-
прогрессии. Для определения знаменателя этой прогрессии вос-
воспользуемся тем фактом, что при конформном отображе-
отображении с помощью функции Жуковского A3) эллипс
Н*)
который мы обозначим 1\, преобразуется в окружность
\w\ = R > 1. Следовательно, если z е Г/?, то |(D(z) | =
^ R. Поэтому из равенства A2), учитывая A4) и A5),
получим асимптотическую формулу с оценкой остаточ-
остаточного члена
A7)
В силу равенства A.5) асимптотическая формула для ор-
тонормированных многочленов Чебышёва имеет вид

86 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕЬА [ГЛ. II!
Эту формулу, используя равенства A3) и A4), можно
представить в виде
Во всех установленных формулах правую часть можно
представить в виде суммы двух слагаемых. Так, напри-
например, из A1) вместо A7) имеем
Тп (г) = 1 (г + Л/?^ТТ + О (^г). z s Гд. B0)
Все вышеприведенные асимптотические формулы не-
нетрудно преобразовать в неравенства, но обычно приме-
применяются оценки многочленов Чебышёва только при дей-
действительных я, расположенных вне сегмента [—1, 1].
Приведем некоторые оценки для многочленов Чебы-
Чебышёва и их производных. Из формулы E) имеем неравен-
неравенство
\Тп(х)\^(\х\ + л/?=1)\ \х\>1, B1)
ибо каждое слагаемое в квадратных скобках E) не пре-
превосходит правой части B1). Далее из A.5) и A.6) нахо-
находим
\х\>1,
\х\>\.
А теперь докажем, что для производной многочлена
Чебышёва имеет место неравенство
|Гя(х)|<л2, *е[-1, 1]. B2)
В самом деле, с помощью формулы для синуса суммы
двух углов методом индукции нетрудно установить не-
неравенство |sin п8| ^/ijsin 8|, справедливое при лю-
любом 0. А затем, дифференцируя почленно A.1), находим
т' / ч п sin (n arccos х) п sin гсб
1 п (X) — i — Г*7 ,
VI — хг sin 8
и, таким образом, неравенство B2) установлено.

§ 3] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА g7
Изложенные выше асимптотические формулы и нера-
неравенства достаточно полно характеризуют последователь-
последовательность {Tn(z)} в зависимости от положения точки z на
комплексной плоскости.
§ 3. Экстремальные свойства
Рассмотрим теперь очень важные экстремальные
свойства многочленов Чебышёва первого рода, благодаря
которым эти многочлены широко используются в различ-
различных вычислительных процессах и, в частности, в интер-
интерполировании функций.
П. Л. Чебышёв в 1854 г. поставил и решил следую-
следующую экстремальную задачу: среди всех много-
многочленов степени /г, имеющих единичный старший коэффи-
коэффициент, определить тот, для которого величина
\\FJC= max \Fn(x)\ A)
[l 1]
является наименьшей. П. Л. Чебышёв доказал, что реше-
решением этой задачи является многочлен Тп(х).
Теорема 3.1. Для всякого многочлена Рп(х) степе-
степени п с единичным старшим коэффициентом имеет место
неравенство
max \Fn(x)\> max | f я (*) | = —L-, B)
*e=[-l, 1] *е=[-1, 1] 2п
причем знак равенства возможен только в случае
Рп(х) =вТп(х).
Доказательство. Многочлен Чебышёва Тп(х)
достигает экстремума в точках A.9), причем в силу A.6)
в этих точках он принимает значения (—1)^2~"л+1.
Допустим противное, что нашелся некоторый много-
многочлен Fn{x), удовлетворяющий неравенству
\Р»(х)\<-р=г, х<=[-1, 1]. C)
Тогда многочлен Qn-\(x) = Тп(х) —Fn(x) имеет сте-
степень не более п — 1 и принимает значения разных знаков
на концах интервалов
(t(n) t(n)\ Ь = И 1 />» 1 (А)
Поэтому внутри каждого из этих интервалов многочлен
Qn~\ (x) имеет по крайней мере один нуль. Так как

88 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. И)
интервалов всего я, то это возможно лишь при условии
Qn-i (х) == 0. Следовательно, не может существовать
многочлен Fn(x), удовлетворяющий условию C).
Докажем теперь единственность многочлена, наиме-
наименее уклоняющегося от нуля. Допустим, что нашелся еще
один многочлен Rn(x) с единичным старшим коэффициен-
коэффициентом, максимум модуля которого на сегменте [—1, 1] есть
также 2~~/1+1. Тогда в точках {S^} выполняются неравен-
неравенства
тп да > Ra да, fn да <«. т>
Многочлен On_i(x) = Тп(х) — Rn(x) имеет степень не
больше я— 1. Если в каждой точке ?fen) выполняется ус-
условие Тп (%{?]) ф Rn(l{k])y T0 многочлен Фп-\ (х) имеет
значения разных знаков на концах интервалов D), и по-
поэтому Фп-\(х) = 0. Если же есть одна точка Qg\ в ко-
которой фп-{A^= 0, то на концах интервала (i^, 1{^\)
многочлен фп-\(х) имеет значения одинаковых знаков,
и, следовательно, внутри интервала этот многочлен имеет
один двойной нуль либо два нуля, а в целом количество
нулей многочлена Фп-{(х) на сегменте [—1, 1] остается
не менее п. Далее, таких точек |?*\ для которых
Фл-1 (Цп)) = 0' но Фп_х (БД\) Ф„_1 (^10 > 0, может быть
несколько, и все равно общее число нулей многочлена
ф„_! (х) будет не менее п. Если же многочлен Фп-\ (х)
обращается в нуль в концевой точке gw или ^ либо
еще дополнительно в нескольких соседних с ними точ-
точках, то количество интервалов, на концах которых много-
многочлен фп-](х) отличен от нуля, сокращается на число
этих нулей. Таким образом, остается доказать, что при
условиях
многочлен Фп-\(х) имеет в интервале (g?}.p, l{k!{), содер-
содержащем /?+1 соседних интервалов из системы D), не менее
р -\- 1 нулей. В самом деле, геометрически очевидно, что

§ 3] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ?9
если число р четно, то значения Фп_{ A{?1_{) и Фл-1 (?jfjp)
имеют разные знаки. Следовательно, кроме р нулей
{?\ l(klv •••> %klp-\ многочлен Фп-\(х) должен иметь
в этом интервале по крайней мере еще один нуль, либо
один из перечисленных нулей должен быть двойным.
Если же число р нечетное, то многочлен Фп-\(х) на кон-
концах интервала (^я|р, gj^) имеет значения одинаковых
знаков, и, следовательно, либо его график должен
пересекать ось х четное число раз, т. е. р -j- 1, либо один
из нулей должен быть двойным.
Итак, в любом случае многочлен Фп-\ (х) имеет не
менее п нулей, а отсюда следует, что Фп-\{х) н== 0, и
единственность многочлена наименьшего уклонения дока-
доказана. Этим теорема 3.1 доказана полностью.
Таким образом, среди всех многочленов степени п
с единичным старшим коэффициентом многочлен Чебы-
шёва Тп(х) наименее уклоняется от нуля на сегменте
[—1, 1], и никакой другой многочлен при той же норми-
нормировке таким свойством не обладает.
А сейчас покажем, что вне сегмента ортогональности
многочлены Чебышёва обладают в некотором смысле
противоположным экстремальным свойством, а именно,
уклоняются от нуля максимально в каждой точке дей-
действительной оси.
Теорема 3.2. Если Fn (х) есть многочлен степени
не выше /г, причем
max \Fn(x)\=\, E)
[l 1]
то при всяком действительном хОу не принадлежащем
сегменту [—1, 1], выполняется неравенство
\Fn(xo)\<\Tn(xo)\, Uol>l. F)
Доказательство. Прежде всего заметим, что
Тп(х0) ф 0, ибо |jco| > 1, а все нули многочлена Тп{х)
расположены в интервале (—1, 1). Допустим, вопреки
утверждению теоремы, что нашелся некоторый многочлен
Fn(x), для которого неравенство F) не выполняется,
т. е. в некоторой точке х0 с условием |яо| > 1 имеем
\Fn(x0)\>\Tn(x0)\, G)

% МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. III
причем для этого многочлена, конечно, выполняется ра-
равенство E). Тогда рассмотрим вспомогательный много-
многочлен
Qn (х) = ^ (*°) Тп (х) — Fn (x). (8)
Так как многочлен Тп(х) имеет максимум модуля в точ-
точках {1?]}> определяемых формулой A.9), причем
Ул(^л)) = (—l)fe, то в силу E) и G) у разности в пра-
правой части
4nV>k )~ Тп(хо)
модуль уменьшаемого больше модуля вычитаемого. По-
Поэтому многочлен Qnix), определяемый формулой (8),
имеет значения разных знаков на концах каждого из ин-
интервалов D). Но поскольку интервалов всего /г, и, кро-
кроме того, еще Qn{xo) = 0, то, значит, многочлен Qn{x),
степень которого не больше п, имеет не менее п + 1 ну-
нулей, что возможно лишь в том случае, когда Qn(x) e= 0.
А тогда из (8) имеем равенстзо
п Тп (#о) п Тп (хо)
из которого в силу E) следует неравенство
\Fn(xo)\<\Tn(xo)\9
противоречащее предположению G). Таким образом, тео-
теорема 3.2 доказана.
Главный смысл этой теоремы заключается в том, что
два многочлена Fn(x) и Тп(х), имея одинаковый макси-
максимум модуля на сегменте [—1, 1], в любой точке #0, не
принадлежащей сегменту [—1, 1], удовлетворяют нера-
неравенству F) т. е. многочлен Чебышёва при условии E)
в любой точке вне сегмента [—1, 1] уклоняется от нуля
максимально.
В силу оценки B.21) неравенство F) можно продол-
продолжить и представить в виде

§ 4] РЯДЫ ФУРЬЕ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА 91
Можно рассмотреть общий случай, когда на многочлен
не налагается условие E). В самом деле, пусть
М = max |Фя(х)|. A0)
хе=[-1, 1]
Тогда, полагая Fn (x) = -^-Фп(х)у вместо (9) получим не-
неравенство
)
I v I \ 1 ' '
\Хо\> I.
Таким образом, с помощью многочлена Чебышёва
первого рода Тп(х) можно оценивать многочлен Фп{х) в
любой точке вне сегмента [—1, 1] через максимум абсо-
абсолютного значения этого многочлена на сегменте [—1, 1].
Конечно, не представляет труда сформулировать это
последнее экстремальное свойство для ортонормирован-
иых многочленов Чебышёва {Тп(х)} и для многочленов
Чебышёва с единичным старшим коэффициентом {Тп(х)}.
§ 4. Ряды Фурье по многочленам Чебышёва
Если функция f(x) задана на сегменте [—1, 1] и ин-
интегрируема с весом A.3), то, определяя коэффициенты
Фурье — Чебышёва
1
an=\f(t)Tn(t)-7===r, A)
-1
этой функции поставим в соответствие ряд Фурье по мно-
многочленам Чебышёва первого рода
? anfn{x). B)
Так как многочлены Чебышёва {Тп(х)} ограничены рав-
равномерно на всем сегменте [—1, 1], то в силу общей тео-
теоремы 1.7 ряд B) сходится к функции f(x), если эта функ-
функция удовлетворяет, например, условию Липшица A.3.21),
либо даже условию A.3.22) во внутренней точке интер-
интервала ( — 1,1). Но, используя тригонометрическое пред-
представление A.5) многочленов Чебышёва, мы установим
сейчас гораздо более общий ~изаконченный /

92 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. Ill
В интеграле A) произведем замену / = cos т. Ис-
Используя A.5), получим
ап = д/-~ \ f (cos т) cos пх dx =
я
\ f (cos x) cos nxdx, /i>l, C)
о
я
я я
а0 = —т=- \ / (cos т) rfr = —= \ / (cos т) dx.
V я J 2 -у я J
О —Я
С другой стороны, введем четную функцию F(9) =
= / (cos 0) и рассмотрим ее ряд Фурье по косинусам
.costt9. ' D)
Легко видеть, что ряды B) и D) при условии х = cos Э
почленно тождественны. В самом деле, учитывая фор-
формулы A.5) и C), при х = cos Э имеем
я
t \ f (cos x) cos nxdx
Следовательно, при х = cos 0 справедливо равенство
п п
/(*)-? akfk (*)« F (в) - -S. - ? a, cos M. E)
Таким образом, вопрос о представлении функции f(x)
на сегменте [—1,-1] рядом B) сводится к вопросу о схо-
сходимости ряда D) четной функции FF) — /(cos 0). Но,
как известно, условия сходимости тригонометрических
рядов Фурье исследованы очень\подробно ([7], [52]).

§ 4] РЯДЫ ФУРЬЕ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА 93
В частности, если модуль непрерывности
соF, F)-= sup \F(Q)-F(x)\
|0/<6
limaF, F)\n-jr = O, F)
6->0
функции F(Q) удовлетворяет условию Дини

то эта функция разлагается в ряд Фурье по косинусам
G)
причем этот ряд сходится равномерно на сегменте
[—я, я].
Теорема 3.3. Если функция f(x) непрерывна на
сегменте [—1, 1] и ее модуль непрерывности со (б, /) на
этом сегменте удовлетворяет условию Дини, т. е.
limcoF, /) In 4- = 0, (8)
в->о °
то эта функция разлагается в ряд Фурье по многочленам
Чебышёва
оо
/(*) = ? апТп(х), *€=[-1, 1], (9)
сходящийся равномерно на всем сегменте [—1, 1].
Доказательство. Пусть б фиксировано и
|9 — т| ^ б. Тогда для х = cos 6 и / = cost имеем
| х — /1 = | cos 9 — cos т |<| 9 — т |<6.
Далее, при тех же условиях находим
! F (9)-F (т) | = | / (cos 9)-/ (cos т) | = | / (*)-/ (О I < ® (б, /).
Следовательно, между модулями непрерывности функ-
чий F(Q) и f(x) имеет место неравенство
со (б, F)<coF, /).
Поэтому из условия (8) следует условие F), которое до-
достаточно для сходимости ряда G) и почленно тождест-
тождественного ему при условии х — cos 9 ряда B). Таким об-
рм, теорема 3.3 доказана,

94
МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВЛ
1ГЛ. Ill
В силу почленного тождества рядов B) и D) анало-
аналогично теореме 3.3 можно рассмотреть условия абсолют-
абсолютной сходимости ряда B), условия сходимости в отдель-
отдельной точке и многие другие вопросы, но такой перенос
результатов в большинстве случаев не представляет ин-
интереса ввиду большой аналогии в поведении этих двух
рядов, которая следует из формулы E).
Рассмотрим теперь неравенство Лебега для рядов
Фурье —Чебышёва. В силу формул A.5) функция Ле-
Лебега здесь имеет вид
Г
n
Х^(*)Г*(О
л
0
л
=_L С
Л J
—я
/ 1
fe-1
п
i + l
п
cosfe(9
dt
cosfeBcos fet
J
и
= 1
M
-«¦
где Dn{i) обозначает ядро Дирихле. В конце соотноше-
соотношения указана известная асимптотика интеграла от этого
ядра ([7],[37],[52]).
Таким образом, постоянные Лебега для рядов
Фурье — Чебышёва возрастают со скоростью In я, и по-
поэтому неравенство Лебега для этих рядов имеет вид,
f(x)-lakfk(x)
[-1, I]. A0)

§ 4\ РЯДЫ ФУРЬЕ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧПВЫШПВЛ 95
Из этого неравенства следует, что чем лучше функция
*(х) на сегменте [—1,1], т. е. чем быстрее убывает к
гулю последовательность ее наилучших приближений,
ем быстрее сходится к этой функции и ряд Фурье —
1ебышёва. Конкретно, если f(x) непрерывно дифферен-
дифференцируема р раз на сегменте [—1,1], причем /(р)(х)е
е Lip а, то в силу неравенства A.4.6) имеем оценку
*^Г- *е[-1, 1]. (II)
Теорема 3.3 и неравенства A0) и A1) свидетельст-
свидетельствуют о том, что ряды Фурье по многочленам Чебышёва
в смысле условий сходимости и скорости сходимости на
сегменте [—1, 1] аналогичны тригонометрическим рядам
Фурье.
Рассмотрим теперь свойства рядов Фурье — Чебы-
Чебышёва вне сегмента [—1, 1]. Обозначим GR внутренность
эллипса Г#, определенного уравнением B.16). Тогда для
всякой функции f(z), аналитической в области GR, имеет
место формула Коши
ГР
ибо функция f(z) является аналитической в замкнутой
области Ср. Используем формулу A2) для получения
разложения функции f(z) в ряд Фурье — Чебышёва.
В интеграле Коши сделаем замену переменной по фор-
формуле ? = -2"(^ + —)• Тогда контур Гр преобразуется в
окружность |t<y| = p, и будем иметь
__ 1 I »[ / 1 \1 ^2" dW
• 1/1 о I «У I "' I I 1 f ~~
•^^i j ' [ 2 \ с^ / J 1 1 ш

96 МНОГОЧЛЕНЫ ЧПБЫШРВ\ |ГЛ III
Далее, подставляя в формулу A.13) вместо г и х соот-
соответственно 1/ш и 2, найдем разложение
Гп(г)Аг- A4)
1 - 2г — + -V t-u
W W /1=1
Так как z e Gp, то можно считать, что z e G,, где 1 <С
<С г < р <С /?. Поэтому в силу формулы B.20) имеем
Следовательно, ряд A4) сходится равномерно при
и \w\ = р, если 1 <С г <С р <С /?. Подставляя разложе-
разложение A4) в интеграл A3) и интегрируя почленно, полу-
получим разложение
оо
коэффициенты которого определяются формулами
1 [ *Г1 ( . l M dW -^1 /1СЧ
а" = ^7. 3 ЧТГ+ТЛ-^^' п>1' A6)
г J ^[т(- + т
Ряд A5) сходится равномерно при z e Gr. Но так как
г <. R было произвольным, то, следовательно, этот ряд
сходится во всей области GR, причем равномерно внутри
области Gtf, т. е. равномерно на всяком замкнутом мно-
множестве F, целиком расположенном в области GR.
Можно рассматривать случай, когда функция f(z)
является аналитической в области GR и непрерывной в
замкнутой области GR. Тогда в формулах A2) и A6) в
качестве линий интегрирования можно взять FR и \w\ =
= R соответственно. При этом нетрудно доказать, что
если функция f(z) дополнительно в замкнутой области
GR удовлетворяет условию Дини, аналогичному F), то
ряд A5) сходится равномерно в замкнутой области GR.
Более того, в этом случае имеет место неравенство, ана-
аналогичное A0), из которого, в частности, следует, что если

§ 41 РЯДЫ ФУРЬЕ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЁВА §7
функция f(z) непрерывно дифференцируема р раз в зам-
замкнутой области Gr, причем производная f{p)(z) в замкну-
замкнутой области GR удовлетворяет условию Липшица порядка
а, то аналогично A1) имеет место неравенство
zt=GR. A7)
Разумеется, в формулах A5) и A7) можно перейти
к ортонормированным многочленам Чебышёва {Тп(г)})
но при разложении аналитических функций это нецеле-
нецелесообразно.
Рассмотрим теперь вопрос об условиях сходимости
общих рядов по многочленам Чебышёва. В этом случае
произвольной последовательности комплексных чисел
{Ьп} ставится в соответствие ряд
Z ЬпТа(г). A8)
п = 0
Для характеристики последовательности коэффициентов
вводится величина
/= Пт л/ГьЛ = -5"' R>L
Тогда в силу формулы B.20) ряд A8) сходится абсолют-
абсолютно и равномерно внутри области GR и его сумма являет-
является аналитической в этой области функцией.
Если же в формуле A9) R = 1, то ряд A8) может
сходиться только на сегменте [—1, 1], причем для уста-
установления факта сходимости в этом случае о последова-
последовательности {Ьп} необходимо знать несколько более, чем
выполнение условия A9) при R = 1, ибо в этом случае
ряд A8) фактически является рядом по косинусам.
Из последних результатов следует, что ряды по мно-
многочленам Чебышёва в комплексной плоскости по своим
свойствам аналогичны степенным рядам, только здесь
роль окружностей играют эллипсы TR, определяемые
формулой B.16).
В заключение отметим, что ряды Фурье — Чебышёва
на сегменте [—1, 1] обладают некоторыми преимущества-

98 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. III
ми по сравнению с рядами Тейлора. В самом деле, для
представления функции f(x) на сегменте [—1, 1] степен-
степенным рядом необходимо, чтобы эта функция была анали-
аналитической в открытом круге \z\ < 1, т. е., в частности,
имела бы производные любых порядков на интервале
(—1, 1), а для разложения этой функции в ряд Фурье —
Чебышёва достаточно непрерывности первой производ-
производной. Кроме того, при разложении многих элементарных
функций оказывается, что ряды Фурье — Чебышёва на
сегменте [—1, 1] сходятся гораздо быстрее, чем ряды
Тейлора, ибо на скорость сходимости рядов Тейлора на
сегменте [—1, 1] влияют особые точки функции, располо-
расположенные на единичной окружности, а скорость сходимо-
сходимости рядов Фурье — Чебышёва зависит только от свойств
функции на единичном сегменте.
Этими преимуществами и объясняется тот факт, что
ряды Фурье — Чебышёва очень часто применяются для
вычисления значений различных элементарных и спе-
специальных функций [35].
§ 5. Примеры разложения функций
в ряды Фурье — Чебышёва
Как установлено в предыдущем параграфе, для того
чтобы получить разложение некоторой функции f(x) в
ряд Фурье — Чебышёва, достаточно разложить четную
функцию F(Q) =/(cos9) в ряд Фурье по косинусам.
Поэтому прежде всего можно воспользоваться извест-
известными разложениями четных функций в ряды Фурье по
косинусам с тем, чтобы получить из них соответствую-
соответствующие разложения Фурье —Чебышёва.
Из разложения
полагая в нем 8 = arccos x, находим
Л=1

§ 5] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Аналогичным образом из равенства
я2 — 2я6 _ у» cosBrt +1N
8 Zj B/г + IJ
имеем разложение
оо
arccos х =-т;
(+)
Далее из формулы
c°s B/i+ 1N
—777—rW—
arcsin (cos 6) = —
п Lj B/i+ 1)
той же подстановкой cos 8 = х получим
arcsin x = —
И еще одно разложение четной функции
оо
. . А , 2 4
Ism8|
приводит к формуле
Я П jL-j An2 — 1 '
Наконец, из разложения
cos B/г— 1N
имеем после несложных тригонометрических преобразо-
преобразований
+ М-У Т2п-Лх) . ,
2/г —

100 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЁВА [ГЛ. III
Аналогичным способом можно получить и некоторые
другие разложения в ряд Фурье — Чебышёва. Следует
только первоначально заданную четную функцию рас-
рассматривать на интервале @, я), быть может, с включе-
включением одного или обоих концов, а затем после преобразо-
преобразования 6 = arccos х полученная функция будет опреде-
определена на интервале (—1, 1).
Все приведенные разложения могут быть использо-
использованы для вычисления значений указанных функций [35].
Для получения разложений Фурье — Чебышёва мож-
можно применять различные искусственные приемы анало-
аналогично тому, как это делается при рассмотрении тригоно-
тригонометрических и степенных рядов [52]. Так, например, раз-
разложение производящей функции
оо
1 — ГХ
\-2гх + г2 "
можно представить в виде
1/г — х 1
или, после некоторых преобразований,
оо
2х — 2г 9 V^ n__lT . .
1 — 2гх + г2 Lj Г п '*'"
Интегрируя это тождество по г в пределах от 0 до г, по-
получим разложение
которое сходится при условиях |г| < 1 и х е [—1, 1].
Если в этой формуле вместо г поставить —г, то получим
п-\

§ 5] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ \Q\
Вычитая из этого равенства предыдущее, найдем важное
разложение
оо
которое применяется при вычислении логарифмической
функции [35]. В этом разложении параметр г может быть
и комплексным. Полагая г = ip, получим
1П
- р2 - 2/pjc
С другой стороны, в теории функций комплексного пе-
переменного известна формула связи логарифмической
функции с арктангенсом
=^In]4-g-, UI < 1. B)
Эта формула легко получается из известных разложе-
разложений
я-0
если в первом из них вместо z подставить ix. А теперь
предположим, что параметр р удовлетворяет условию
2/7= 1—р2, т. е. р=л/2 — 1. Тогда левую часть A)
можно представить в виде
1 — р2 + 2pix t ^ \ — р2 1 1 + ix /оч
n-i—on- —I*1— о = ln fl . . C)

102 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫ1ИЕВА 1ГЛ. Ill
Наконец, из формул B) и C), учитывая A), получим
разложение арктангенса
с), *е(-1, 1),
fe = O
где /7 = л/2 — 1 =0,41 ...
Далее для разложения функции еах в ряд Фурье —
Чебышёва необходимо разложить в ряд по косинусам
четную функцию еа cos e. Пользуясь известным разложе-
разложением экспоненты и формулой бинома Ньютона, имеем
~ Lj m\ ~ L т\ 2т
m = 0 m =
оо т
"" Lj \ 2 ) ml L
Lj\2
k\(m-k)\
eim-2h)t*
Переставляя слагаемые в круглых скобках, получим ана-
аналогично
оо т
z,acosC_ V (JL\m V _1___р-(
е ~~~ Li \ 2 ) Lj k\ (m ~ k)\
Беря среднее арифметическое этих двух равенств, найдем
Чтобы определить коэффициент при каждом cos мб, рас-
рассмотрим внутреннюю сумму
cosm8 , cos (m — 2) 8 , cos (m — 4) 8 ,
m! "i" ll(m—1)! *" 2! (m — 2)! + *##
, cos (m — 2) 8 , cos m6 ,-v
" • "+" (m-1I 1! ""
-1I 1! "" ml ' W
В сумму, составляющую нулевой коэффициент в разло-
разложении функции D), будут входить слагаемые из сумм

§ 5] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЮЗ
E) при m = 0, 2, 4, ... Следовательно, получим
«о _ 1 . (
Т ~ *~ \ 2 ) (I!J "+" ^ 2 ) B!J
Если же п >> 0, то в сумму, составляющую коэффициент
при cos лг0, будут входить слагаемые из суммы E) при
номерах пг = п, п + 2, п + 4, ... , причем из каждой
суммы слагаемых будет два. Поэтому имеем
Сумма в квадратных скобках носит специальное обозна-
обозначение
и называется функцией Бесселя мнимого аргумента по-
порядка п ([32], [39]). Эти трансцендентные функции изу-
изучены подробно, ряд (8) сходится очень быстро, а для вы-
вычисления значений этих функций составлены таблицы.
С помощью обозначения (8), учитывая равенства F) и
G), вместо D) получаем разложение
оо
еа cosе = /0 (а) + 2 X In (a) cos ив,
из которого обычной подстановкой cos 6 = х находим
оо
еа* = /0 (а) + 2 Е /„ (а) Тп (х), х е= [-1, 1]. (9)
В частности, при а = 1 имеем разложение экспоненты
в* = /0A) + 2Е UOMjc), *e[-l, 1]. A0)
С помощью формулы (8) нетрудно показать, что ряд
A0) сходится при х е [—1, 1] гораздо быстрее экспонен-
экспоненциального ряда, ибо его коэффициенты убывают быстрее.

104 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЁВЫШЕВА II Л. III
Далее, чтобы разложить в ряды Фурье — Чебышёва
функции cos ах и sin ax, мы используем хорошо извест-
известную функцию Бесселя первого рода порядка п ([30],
[321, [34])
п+2т
которая связана с функцией Бесселя мнимого аргумента
соотношением
In(ia) = inJn(a). A2)
В силу (9) и A2) имеем
со
еш = cos ах + i sin ах = /0 (а) + 2 X @" -^ (а) ^л (*)•
Разделяя в этом равенстве действительные и мнимые ча-
части, получим
cos ах = /о (а) + 2 ? (- \)т J2m (а) Т2т (х), A3)
sinax=2 ? (-1)т/2т+1(а)Г2т+1(дг). A4)
т = 0
С помощью определения A1) нетрудно доказать, что
остаточные члены рядов A3) и A4) убывают очень бы-
быстро, в связи с чем эти формулы могут быть использо-
использованы для вычисления значений функций cos ax и sin ax.
Разложения (9), A3) и A4) справедливы только при
х е [—1, 1]. Однако вариацией параметра а можно вы-
вычислять значения трех этих функций фактически при лю-
любых значениях аргумента.
§ 6. Многочлены Чебышёва второго рода
При хе[—1, 1] из формулы A.1) имеем равенство
Гп+1 (*) - (п + 1) sin [(п + 1) arccos x] ^=f. A)
Следовательно, при любом п функции
п лл— sin[(f? + U arccos х] д = П 1 2 (Я

§ 6] МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА ВТОРОГО РОДА Ю5
являются многочленами. Они называются многочленами
Чебышёва второго рода. Докажем, что эти многочлены
ортогональны на сегменте [—1, 1] с весом
л/Т^?, *€=[-1, 1]. C)
В самом деле, производя замену х = cos 9, находим
1
Jnm =\ua(x)Ua (х) ^Y^Fdx =
— \ sin [(n-\- l)arccosA:] sin [(m + l)arccosjc] 7—f-
,1
0, n Ф m,
= \ sin(n+ 1)9 sin
Следовательно, для ортонормированных многочленов Че-
Чебышёва второго рода имеем формулу
(х) = д/1 U* W - V1 Si"
V я V я
V1 — х2
л = 0, 1, 2, ...
Далее в силу A) имеем равенство
Tx), E)
из которого следует, что нулями многочлена Un(x) яв-
являются экстремальные точки многочлена Тп+\(х), кото-
которые определяются формулой A.9) с заменой п на п + 1.
Таким образом, нули многочлена Un(x) имеют вид
4Г)==С05^ГТ' Ь=1, 2, ..., /г, F)
так как на концах сегмента [—1, 1] многочлен Тп+\(х)
имеет краевые экстремумы и его производная там в нуль
не обращается.
Из тригонометрического тождества
sin (п + 2) 9 + sin nQ = 2 sin (я + 1) 9 cos 9,

106 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВЛ [ГЛ. Ill
полагая в нем 0 = arccos x и разделив его почленно на
ypZTp> получим рекуррентную формулу для многочле-
многочленов Чебышёва второго рода:
Un+i(x) = 2xUn(x)-Un_l(x), G)
которая совпадает с рекуррентной формулой A.2) для
многочленов Чебышёва первого рода. Так как из равен-
равенства B) имеем U0(x) = 1 и U\(x) = 2x, то следующие
многочлены можно находить с помощью рекуррентной
формулы G). Таким образом, имеем
Uo(x)=\,
Ul(x) = 2x,
UA(x)=lbxA- 12jc2 + 1,
{/5 (x) = 32jc5 - 32x3 + 6*.
Из рекуррентной формулы G) следует, что старший ко-
коэффициент многочлена Un(x) есть 2п. Поэтому справед-
справедливо равенство
Рассмотрим теперь оценки многочленов Чебышёва
второго рода. Прежде всего из формул B) и D) сле-
следуют оценки внутри интервала ортогональности
—, *<(!,!), (9)
-7Г=Г' *^(-М). (Ю)
V1 — х2
Далее, так как в силу B.22) при яе[—1, 1] справед-
справедлива оценка | Тгп+\ (х) |^ (п + IJ, то, следовательно, из
формул D) и E) находим неравенства
|t/»WK(/i+D, xe[-l, 1], A1)
Hl), xs[-l, 1). A2)

§ 6] МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА ВТОРОГО РОДА Ю7
Легко видеть, что эти неравенства являются точными,
т. е. равенства в них достигаются в концевых точках сег-
сегмента ортогональности. В самом деле, в формуле B) по-
положим х = cos 9 и преобразуем правую часть
При фиксированном п, устремляя Э к нулю, получим
Un(l) = n+l. A3)
С другой стороны, поскольку каждый многочлен Un(x)
содержит степени х только одной четности, то его значе-
значение в точке (—1) может только знаком отличаться от
значения в точке 1. Следовательно, имеем
Ув(-1) = (-1)"(л+1). A4)
Соответствующие формулы для ортонормированных мно-
многочленов Чебышёва второго рода имеют вид
A5)
Таким образом, ортонормированные многочлены Чебы-
Чебышёва второго рода на концах сегмента ортогональности
возрастают со скоростью п. А во внутренних точках ин-
интервала (—1, 1) эти многочлены ограничены.
Отметим одно очевидное следствие неравенств A0)
и A2), которые характеризуют поведение последователь-
последовательности {Оп(х)} внутри интервала (— 1, 1) и на всем сег-
сегменте ортогональности [—1, 1]. Представляя их в виде
сложим почленно и получим неравенство
*€=[-1, 1], A6)
п + 1
из которого следует, каким образом оценка внутри ин-
интервала (—1, 1) переходит в оценку на его концах.
Рассмотрим теперь важное экстремальное свойство
многочленов Чебышёва второго рода, которое впервые

108 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА [ГЛг III
установили русские математики А. Н. Коркин и Е. И. Зо-
Золотарев.
Лемма 3.1. Если т есть одно из чисел 0, 1,2,..*
,,,,/1 — 1, го справедливо равенство
xmsighUn(x)dx = 0, A7)
-1
а при m = n имеем
1
хп sign Un (x) dx = - . A8)
-i
Доказательство. Заменой х = cos 0 интеграл
[A7) приводится к виду
л
Jmn = \ cos9 [sign sin (л + 1) 9] sin &dQ, A9)
U
причем в силу четности подынтегральной функции сег-
сегмент [0, я] можно заменить сегментом [—я, я], вводя мно-
множитель 1/2 перед интегралом.
С другой стороны, из известного разложения ([52], II,
стр. 490)
sinB/e + \)x
полагая в нем х = (п + 1H, находим
• / . 1ч а 4 v* sin B/е-М) (я + 1H /Г1Г1Ч
sign sin (n + 1) 0 = — > ¦ , , . -. B0)
Далее, используя представление произведения коси-
косинуса на синус через разность синусов, при условии 0 ^
^ пг ^ п — 1 имеем
я
\ cos m0 sin 0 sign sin (n+ 1) 0 dQ *=
-i ( [sin (m+1N — sin (m— 1) 6] sign sin (/г+1) 6 dQ = 0,

§ б] МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА ВТОРОГО РОДА 109
ибо в разложении B0) наименьшая кратная дуга полу-
получается при k = 0 и эта дуга равна (п + 1)9. А поскольку,
как известно ([15], [52]), степень косинуса выражается че-
через косинусы кратных дуг линейно
т-\
cosm 6 = -^rp cos m0 + Yj 4m) cos йе>
то из B1) следует, что интеграл A9) равен нулю при
условии O^m^/2—l, и равенство A7) этим дока-
доказано.
Если же т = п, то в силу B0) вместо B1) получим
cos л9 sin 6 sign sin (п+ 1)9сШ = -|- J sin
л
2
—Л
Поэтому для интеграла A9) при т = п, учитывая B1)
и B2), находим
sin e sisn sin
Jnn = J \ costl e sir
—я
я
— J_ \ cos я9 sin 8 sign sin (n + 1) 9 dQ — -^.
—я
Таким образом, равенство A8) также установлено, и
лемма 3.1 доказана полностью.
Теорема 3.4. На множестве Wn всех многочленов
степени п с единичным старшим коэффициентом мини-
минимум интеграла
1
HQn)=\\Qn(x)\dx B3)
достигается тогда и только тогда, когда Qn(x)= On(x)f
причем этот минимум равен 2{~~п, т. е.
1 1
^Г= \ \Dn(x)\dx< J \Qn(x)\dx. B4)

ПО МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. Ill
Доказательство. Так как старший коэффи-
коэффициент многочлена Qn(x) равен единице, то в силу A7)
и A8) имеем равенство
1
) Qn {x) sign Un(x)dx = ——,
-1
из которого следует неравенство
1
1 ^
9Я-, ^ , \QnW\dx.
А для многочленов Чебышёва находим
1 1
-L- =Л ?/л W Sign Un (x) dx=\\Un (x) | dx% B5)
и, таким образом, эти многочлены действительно мини-
минимизируют интеграл B3).
Докажем, что при каждом п минимизирующий много-
многочлен единствен. Допустим противное, что нашелся еще
один многочлен Rn(x), для которого в формуле B4)
имеет место знак равенства. Тогда для этого многочлена
аналогично B5) получим
1 1
—rr= \ Rn(x)signUn{x)dx =
= J Rn(x)signRn{x)dx.
-l
Составим разность между третьим и первым интегра-
интегралами. Имеем
1
[ Rn(x) signRn (x)[l- sign Rn (x) sign Un (x)]dx «0.
Поскольку произведение первых двух сомножителей под
знаком интеграла есть |Ял(.\;)|, то разность в квадрат-
квадратных скобках равна нулю всюду на сегменте [—1, 1], кро-

§6] МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА ВТОРОГО РОДА Ш
ме, быть может, 2п точек. Следовательно, многочлен
Rn(x) меняет знак в нулях многочлена 0п{х), и так как
этих нулей п и старшие коэффициенты многочленов
Оп(х) и Rn(x) одинаковые, то эти многочлены тождест-
тождественны. Таким образом, теорема 3.4 доказана.
Переходим к рассмотрению вопроса об условиях схо-
сходимости рядов Фурье по многочленам Чебышёва второго
рода.
Пусть на сегменте [—1, 1] задана функция f(x), ин-
интегрируемая с весом C). Тогда, определяя коэффициен-
ты Фурье по формуле
= л/— \
0
= д/|- jj / @ sin [(/i + 1) arccos /] dt =
f (cos t) sin {n + 1) t sin xdx, n = 0, 1, 2, ...,
я
°" B6)
поставим в соответствие функции f(x) ее ряд Фурье по
многочленам Чебышёва второго рода
I flAW. B7)
Теорема 3.5. ?сла функция f(x) непрерывна на
сегменте [—1, 1] и ее модуль непрерывности удовлетво-
удовлетворяет условию Дини D.8), то ряд B7) сходится к функ-
функции f(x) во всех точках интервала (—1, 1), причем схо-
сходимость равномерная на сегменте [—1+8, 1 — е] при
любом фиксированном г > 0, и, кроме того, имеет ме-
место неравенство
v-2
п
= 0
ak0k(x)
n (/) (I + In л). B8)
xe[-l, 1],
где постоянная Cj не зависит от п и %.

112 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВЛ [ГЛ. III
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную
функцию ФF) = sin 9-/(cos 9). В силу неравенства
|Ф@)-Ф(т)|<
< | sin 9 — sin т 11 f (cos 8) | + I sin т 11 / (cos 9) -~ / (cos т) |
модуль непрерывности функции Ф(9) удовлетворяет ус-
условию Дини, и поэтому, учитывая нечетность этой функ-
функции, имеем равномерно сходящееся разложение
оо
ф (9) = sin 9/ (cos 9) = ? bn sin /i9f B9)
где
я
Ьп = — \ sin xf (cos t) sin nxdx, n = 1, 2, ... C0)
71 J
0
Далее при условии 0< 8< л из B9) находим
причем полученный ряд сходится равномерно на всяком
сегменте, расположенном внутри интервала @, я). Легко
видеть, что при условии х = cos 9 ряды B7) и C1) по-
почленно тождественны. В самом деле, в силу формул D),
B6) и C0) имеем
л
anGn (х)= Д/тГ \ f (cos т) sin {n+ \)x sin rdtX
о
ч/ / 2 sin [(п + 1) arccos x] , sin (n + 1) 9
лА/ — • л л — 0дг+1 т~т; »
V я V1 — -^ sin 9
^- А 1 П
Таким образом, ряд B7) сходится равномерно на сег-
сегменте [—1 +8, 1 — г] где 8 > 0 и фиксировано.
Для доказательства оценки B8) сначала заметим, что
в силу известного неравенства Лебега для тригонометри-
тригонометрических рядов Фурье при 9 е [0, я] имеем
, 2я)[1+In (/1+1)], C2)

§ 6]
МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЁВА ВТОРОГО РОДА
из
где ?„4-1 (Ф, 2л) — наилучшее равномерное приближение
функции Ф(9) тригонометрическими полиномами поряд-
порядка не выше п + 1 ([2], [4], [16], [37]).
С другой стороны, пусть Qn(x) есть многочлен наи-
наилучшего равномерного приближения функции f(x) на сег-
сегменте [—1, 1], т. е.
?„(/)= max \f(x)-Qn(x)\.
Разложим Qn(x) по многочленам Чебышёва второго рода
Qn(x)=toCkUk(x).
Тогда в силу нечетности функции ФF) находим
п
— ^ ck sin (^ + 1N
п
k + i)e
), 2я) < max
Gef-л, л]
= max | sin 9
Gs[-л, я]
¦ — 2Lj Ok-
k = Q
sinB
<En{f).
Теперь неравенство C2) приводится к виду
sin6
n + l
/(cose)-У
<c3En(f)(l+\nn).
Полагая здесь х = cos 6, получим неравенство B8). Та-
Таким образом, теорема 3.5 доказана.
Рассмотрим теперь одно простое условие, достаточ-
достаточное для равномерной сходимости ряда B7) на всем сег-
сегменте [—1, 1].
Теорема 3.6. Если функция f(x) непрерывно диф-
дифференцируема на сегменте [—1, 1], причем /''(х) е Lip а,
где ai> 1/2, то ряд Фурье по многочленам Чебышёва вто-
второго рода сходится к функции f(x) равномерно на всем
сегменте [—1, 1], и имеет место неравенство
[-1, 1]. C3)

114
МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА
[ГЛ. Ill
Доказательство. Аналогично общей формуле
A.4.17) получаем неравенство Лебега
-E ak0k(x)
<c5En(f)[l+Ln(x)l
[-l. 1]. C4)
Поскольку при условии f(x) GLipa в силу A.4.6)
имеем оценку
?»(/)<-Йо-. C5)
tl
то остается оценить функцию Лебега для многочленоз
Чебышёва второго рода
1 п
Применяя неравенство Буняковского — Шварца, в силу
A2) находим
*е[-1, П.
Следовательно, постоянные Лебега для рядов Фурье по
многочленам Чебышёва возрастают не быстрее tf!\ По-
Поэтому из неравенства C4), учитывая C5), получаем
„l+a
у (= Г 1 11
Этим теорема 3.6 доказана.
Совершенно аналогично, если функция f(x) имеет р
непрерывных производных на сегменте [—1, 1], причем
f(p)(x) e Lip a, где р ^ 2, то вместо C3) будет выпол-
выполняться неравенство
[-1, 1]. C7)
Р+а-т

§6] МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЁВА ВТОРОГО РОДА Ц5
Таким образом, условия сходимости рядов Фурье по мно-
многочленам Чебышёва второго рода во внутренних точках
сегмента ортогональности примерно те же самые, что и
для тригонометрических рядов Фурье, а сходимость в
концевых точках имеет место при гораздо больших огра-
ограничениях на функцию f(x) на всем сегменте, ибо точки
х = ±1 являются особыми точками весовой функции
C), т. е. ее нулями, и поэтому в этих точках многочлены
Чебышёва второго рода возрастают неограниченно.
Неравенства B8), C3) и C7) получены здесь с по-
помощью весьма простой оценки C6). В гл. VII будут
сформулированы более точные результаты, относящиеся
к общему случаю многочленов Якоби.

ГЛАВА IV
МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА
§ 1. Основные формулы и алгебраические свойства
Как уже было отмечено в гл. I, многочлены, ортого-
ортогональные на сегменте [—1, 1] с единичным весом h(x) =
?= 1, называются многочленами Лежандра. В настоящей
главе в качестве исходного определения мы примем
стандартизованные многочлены Лежандра
A)
Выполняя дифференцирование, найдем несколько первых
многочленов:
рь (Х) = _L F3*5 - 70л:3 + 15л),
/'б (аг) = ^- B31л:6 — 315х4 +
Докажем ортогональность многочленов A) с весом
h(x) = 1 на сегменте [—1, 1]. При m < n, интегрируя

§ j] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
по частям, имеем
Атп = J хтРп (х) dx = -±sr \ хт [(х2 - \)Т dx =
-1
1
Так как многочлен (х2—1)п имеет в точках х=±1
нули кратности п, то все его производные до порядка
(п— 1) включительно имеют нули в этих двух точках.
Следовательно, внеинтегральные члены в формуле B)
равны нулю. Аналогично, интегрируя B) по частям еще
(т — 1) раз, при т < п получим
\ [(х2-
1
-1
_ (—\)тт\
и 2 nrti(«-m-l)|l _n
и ортогональность многочленов A) доказана.
Непосредственно из формулы A) следует, что стар-
старший коэффициент многочлена Рп(х) есть
2пBп-\) ...(*+!) _ B/2)! п,
п\2п ~ (п!J2п ' W
Поэтому многочлен Лежандра с единичным старшим ко-
коэффициентом определяется равенством
рп (х) - *$f Рп (х) - -^ [(дг» - 1)Г. D)
Подсчитаем теперь норму многочлена Р,г(^). Используя
ортогональность этого многочлена и интегрируя по ча-
частям аналогично B), находим
1 1
,If =
i
f
J
п г( 2_ . П(«> - ^ (-1)"BЯ)! f / 2_ t чя j
J («!J2

118 многочлены Лежандра [Гл. iv
Последний интеграл также вычисляется интегрирова-
интегрированием по частям
(x+l)n{x-l)ndx =
\
i; "л v ж' Bл)! 2дг+1
Подставляя это выражение в E), определим норму мно-
многочлена A):
F)
-1
Следовательно, ортонормированный многочлен Лежанд-
ра имеет вид
Pn(x) = <\J/^i±Pn(x), G)
причем его старший коэффициент в силу C) равен
„ - , /^+Т B/1I ,
Далее, при фиксированном дс е •(— 1, 1) рассмотрим
функцию
! хе(-1, 1). (9)
VI ~ 2хау + w2
Так как подкоренное выражение обращается в нуль толь-
только в точках w = x± л/х2— 1 , то, следовательно, в еди-
единичном круге |ш| < 1 существует регулярная однознач-
однозначная ветвь функции (9), удовлетворяющая условию
F(x,0) == 1. Будем считать, что функция (9) есть именно

§ 1] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА Ц9
эта ветвь. Коэффициенты Тейлора этой функции опреде-
определяются по формуле
W1 I 1 dw
) VI-2*,+,» .»+''
где Г есть окружность \w\ = p < 1. В интеграле A0)
произведем замену переменного интегрирования по фор-
формулам
w=
Докажем, что если точка w описывает контур Г в поло-
положительном направлении, то соответствующая точка t
описывает один раз и тоже в положительном направле-
направлении некоторый контур С, охватывающий точку х. В са-
самом деле, имеем очевидное равенство
w2] =-^[- у (- 2xw + w2)
+ i(-2*a; + w2J + ...] = x + и [±(x2 - 1) + О (р)].
При достаточно малых р изменение аргумента суммы,
стоящей в последних квадратных скобках, равно нулю.
Поэтому при обходе точкой w контура Г аргумент раз-
разности t — х изменяется на такую же величину, что и ар-
аргумент w, т. е. на 2я. Следовательно, в интеграле A0)
можно произвести указанную замену. В результате по-
получим
/ ч J [ У2- 1)"+2 B/*-/2~ \)dt
J [
2ш J 2» (t - x)n+l Btx - Р - 1) (t2 - IJ
С
= 1 С (t2-\)ndt
2ni J 2n (t — A:)rt+J
2ni J 2n (t
Используя интегральную формулу Коши для производ-
производных, вычисляем последний интеграл
Следовательно, функция (9) в силу A0) является про-
производящей функцией для многочленов Лежандра, т. §,

120 МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА [ГЛ. IV
имеем разложение
оо
X Yn(x)wn. A1)
— 2xw
Из формулы A) нетрудно получить прямое разложе-
разложение стандартизованных многочленов Лежандра по степе-
степеням независимого переменного. В самом деле, дифферен-
дифференцируя п раз тождество
получим
L \ (-DfeB^-2fe)! 2
где Г-~-| означает, как обычно, целую часть числа -^-.
В частности, отдельно для четных и нечетных номеров
имеем
V (-Dfe(
_
Из этих равенств находим значения многочленов Ле-
Лежандра в начале координат
A5)
Вычислим теперь значения многочленов {Рп(^)} на
концах сегмента ортогональности. Используя формулу
Дейбница для производной от произведен!: л двух функ-

§ 1] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ЛЛГГБРЛНЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ций, получаем
= t Ckn[(x+l)'T~k'[(x- Iff =
/г = О
= t Cknn(n-l)...(k+l)(x+\)kn(n-\) ...
... (n-k+l)(x-l)n-k. A6)
Легко видеть, что правая часть A6) при х = 1 равна
п\ 2п, а при * = —1 имеем ( — \)п п\ 2п. Следовательно,
стандартизованные многочлены Лежандра на концах
сегмента [—1, 1] имеют значения
РяA)=1, Ря(-1) = (-1)я. A7)
Далее подсчитаем коэффициенты {ап} и {Хп} в общей
рекуррентной формуле A.2.4) конкретно для многочле-
многочленов Лежандра. Из формулы A) следует, что любой
многочлен Лежандра Рп(х) содержит степени х только
той же четности, что и его номер п. Поэтому в рекур-
рекуррентных формулах A.2.1) и A.2.4) для многочленов
Лежандра необходимо ап = 0. Для второго коэффициен-
коэффициента общей рекуррентной формулы в силу A.2.5) здесь,
учитывая равенство (8), находим
ц„ /2д + 1 Bft)! /
-VI
2п + 3 Bп + 2)!
2az + 3 Bл + 1) Bлг + 2) VB« + 1) Bл + 3) '
Следовательно, формула A.2.4) имеет вид
1 ^ч
п _ р м| A9)
Подставлйя сюда значение ортонормированного много-
многочлена из формулы G), получим рекуррентную формулу
для стандартизованных многочленов Лежандра
(п + 1) Prt+i (х) = B/г + 1) хРп (х) - пРп_{ (х). B0)

122 МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА [ГЛ. IV
Далее из общей формулы Кристоффеля — Дарбу A.2.11)
в силу равенства A8) для многочленов Лежандра имеем
fc-0
= — — - - . B1)
VBaz + 1) Bл + 3) jc —/
Переходя к стандартизованным многочленам по формуле
G), получим
Z" 26+1 ^ , ,р ,. = п + 1 Р„+1 (*) Рп (t) - Paz (а:) Рп+1 (О
Z J X t
B2)
Сравнение последних четырех формул показывает,
что для стандартизованных многочленов формулы имеют
более простой вид. В этом, в частности, и заключается
значение стандартизации ортогональных многочленов.
Рассмотрим теперь более подробно производящую
функцию многочленов Лежандра A1). При фиксирован-
фиксированном х разложение A1) сходится, если w удовлетворяет
условию
\2xw-w2\< 1, B3)
ибо при этом условии функция F(x,w) является анали-
аналитической по переменному т. Дифференцируя разложение
A1) почленно по х, получим
оо
р'х (x,w) = w{l— 2xw + w2)~m = Z К (х) wn- B4)
При условии B3) функция F'x(x,w) аналитична по пере-
переменному w, и разложение B4) сходится. Поэтому по-
почленное дифференцирование законно.
С другой стороны, дифференцируя разложение A1)
по w, имеем
оо
Fw {x, w) = {х - ш)A -2xw + w2)~m = Z nPn(x)wn-K B5)

§ 1] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 123
Разделим теперь равенство B4) наши подставим полу-
полученное разложение в среднюю часть равенства B5).
В результате этого найдем
(x-w)f, Р'п (х) wn~l = Z пРп (х) w*-1.
Представим левую часть в виде разности двух рядов
Z хР'п (X) Wn~l - f, Р'п (X) Wn=Z ПРП (X) W*-1.
Теперь в результате сравнения коэффициентов при
wn~x слева и справа получаем равенство
хР'п (х) - Ргп-Х (х) = пРп (х). B6)
Далее, представляя равенство B4) в виде
*у 1 — 2xw -f- ш2
в силу A1) имеем тождество
оо оо
A - 2xw + w2) Z К (х) wn~] = ZPn (x) wn,
из которого сравнением коэффициентов находим
Р'п (X) - 2хР'п-1 (X) + Р'п-2 (X) = Рп-{ (X).
Подставляя вместо п номер п-\- 1, получим
(х) - 2хР'п (х) + Рп-1(х)- Рп (х) = 0. B7)
С другой стороны, дифференцируя рекуррентное со-
соотношение B0), имеем
= Bп +1)Рп(х) + Bп+1)хР'п(х) -пР'п-х (х). B8)
Исключая из тождеств B7) и B8) производную Рп+\ (jc),
придем к новому тождеству
хР'п (х) - Р'п-1 (х) = пРп (х). B9)

124 МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА [ГЛ. IV
Аналогично, исключая Рп-\ (х), получим
р'я+1 (х) - хР'п (х) = (п+\) Рп(х). (Щ
Далее подставим в этом тождестве вместо п номер п — 1
Р'п(х)- xP'n-i(x) = nPn-i(x) C1)
и исключим Рп-\(х) из тождеств B9) и C1). В резуль-
результате найдем
A - х2) Р'п (х) = nPn-i (х) - хпРп (х). C2)
Наконец, складывая B9) и C0), получим еще одно важ-
важное тождество
р'я+1 (х) - Р'п-х (х) = Bп+1)Рп (х). C3)
Таковы рекуррентные соотношения, связывающие
производные многочленов Лежандра и получающиеся
с помощью производящей функции A1). Из этих рекур-
рекуррентных соотношений нетрудно получить дифферен-
дифференциальное уравнение для многочленов Лежандра.
В самом деле, дифференцируем тождество C2) по х
*= пР'п-\ (х) — пРп (х) — пхР'п (х)
и подставляем вместо Рп-\ {х) его выражение из фор*
мулы B6). В результате получим тождество
A-х2) Рп (х) - 2хР'п (х) + п(п+\)Рп (х) = 0. C4)
Таким образом, многочлен Лежандра Рп(х) является
решением дифференциального уравнения
A-х2) if — 2xt/ + n(n+l)y = 0. C5)
Подсчитаем теперь значения производных многочле-
многочленов Лежандра в начале координат. Из формулы B4)»
полагая в ней х = 0, находим разложение

§ 1] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
125
Используя известное разложение левой части ([15], [52]),
получим
/ 1ЧяB/1+ 1I1
A)
)==(—-1) -^—— = (—1) ___— 9
C6)
где, как обычно, символом т\\ обозначается произведе-
произведение всех чисел, не превосходящих т и имеющих ту же
четность, что и т. Аналогичным образом из формул A1)
и B4) нетрудно получить значения многочленов Лежан-
дра и их производных на концах сегмента ортогонально-
ортогональности.
Выведем еще одну формулу для многочленов Лежан-
дра. Если х е [—1, 1], то, полагая х = cos 0, из формулы
A1) имеем
9 й
— 2ш cos 9
Подкоренное выражение можно представить в виде
1 - w {ei{d + e~iQ) + cc'2-=(l — weiQ) A - we-**).
Следовательно, справедливо равенство
. C7)
С другой стороны, имеем известные разложения
=} + тше"'е + тт
, B/г— 1I1 тпе-ш j_
•*• + Bл)!I W e + •••
Подставляем разложения C8) и C9) в левую часть C7)
и сравниваем коэффициенты при до". В результате

126
МНОГОЧЛЕНЫ ЛРЖАНДРА
[ГЛ. IV
находим
P*(cos8) =
)!! {еШ+
1 Bд-2)!! 2V" ¦ *
Btt-5)H и _ЬЗ_ (t (/|_4)e (^4)
^ B/1 — 4I! 2-4 ^ ^^ ;
или, переходя к косинусам,
D0)
^ cos лгЭ + 2 §^|}у{ • ^ cos (n — 2) 9 +
+ 2
Bм —5I! 1-3
D1)
Так как все коэффициенты в правой части D1) положи-
положительны, то, следовательно, максимум правой части до-
Рис. 4.1.
стигается при 0 = 0. Таким образом, из формулы D1)
следует, что многочлен Лежандра Рп(х) имеет максимум
в точке х = 1 (рис. 4.1). В формулах D0) и D1) число
слагаемых равно [л/2]. В частности, для четного много-.

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
члена имеем
Dп - 2ft-1)!! Bft-1)!!
•" " Dft -2/z)!! ' Bft)!! '
причем коэффициента 2 нет только у последнего слагае-
слагаемого.
§ 2. Интегральные представления
и равномерная оценка
Прежде всего докажем для многочленов Лежандра
формулу Лапласа
A)
По интегральной формуле Коши для производных
аналитической функции и в силу формулы Родрига A.1)
имеем
где контур Г есть окружность \t — х\ =р. При фикси-
фиксированном х е (—1, 1) положим х = cos ф и р = sin ф.
Тогда получим равенства
/ = cos ф + sin ф eiQ, dt = / sin ф eiQ dO,
f — 1 = cos2 ф + 2 cos ф sin ф eiQ + sin2 ф ет — 1 =
= $\п2ц{ет — 1) + 2 cos ф sin yeiQ —
= 2 sin ф eiQ (cos ф + / sin ф sin Э).
Подставляя эти равенства в интеграл B), находим
2л
x + i^T=?sinQydQ, хе(-1, 1). C)

128 МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА [ГЛ. IV
Правые части формул A) и C) равны, ибо при лю-
любом натуральном k геометрически очевидно равенство
(cos6)*d0 = 4\ (sin6)*de.
Далее, обе эти формулы по непрерывности распро-
распространяются с интервала на весь сегмент.
Таким образом, формула Лапласа A) доказана.
Теорема 4.1. Для ортонормированных многочленов
Лежандра имеет место равномерная оценка
f1, *e[-l,l]. D)
В самом деле, из формулы A) при \х\ ^ 1 находим
E)
ибо максимум подкоренного выражения достигается при
cos28 = 1. Далее с помощью оценки E) неравенство D)
получается из формулы A.7).
Равномерная оценка D) является точной, ибо в силу
A.7) и A.17) имеем
т. е. оценка D) достигается на концах сегмента ортого-
ортогональности.
Выведем еще одно интегральное представление мно-
многочленов Лежандра. Из формулы Лапласа A) при усло-
условии х е (—1,1), полагая х = cos cp, имеем
р (cos ф) = — \ (cos ф + / sin ф cos 6)" d9. G)
и
Введем комплексное переменное
w = cos ф + / sin ф cos 9. (8)

ППТРГРЛЛЬНЫГ ПРГДГТ\ПЛРППЯ
129
Так как в интеграле G) переменное 6 изменяется от О
до я, то, следовательно, комплексное переменное w из-
изменяется по вертикальному отрезку от точки А с коорди-
координатами cos ф и sin ф до точки В с координатами cos ф и
—sin ср. Перейдем в интеграле G) к комплексному пере-
переменному w.
Из равенства (8) следует
dw = — / sin ф sin 8 dQ. (9)
Чтобы подсчитать произведение синусов, мы, используя
(8), находим
= 1 — 2 cos2 ф — 2/ cos ф sin ф cos 8 +
+ cos2 ф + 21 cos ф sin ф cos 8 — sin2 ф cos2 8 =
= 1 — cos2 ф — sin2 ф cos2 8 = sin2ф sin2 8.
Следовательно, равенство (9) можно представить в виде
/ V1 — 2ш cos ф + w2 '
где выбрано арифметическое значение корня. Теперь пе-
переходим в интеграле G) к
комплексному переменному
А
___ J_ Г wn
ni J л/\ — 2w
dw
-.A0)
Подкоренное выражение
в формуле A0) обращается
в нуль в точках А и В. Сле-
Следовательно, в дополнении
сегмента [А, В] можно из рис> 4.2.
двух значений корня вы-
выбрать ту однозначную ветвь, которая на линии разреза
(В, А) справа принимает положительные значения.
Имея в виду эту однозначную ветвь, можно в интеграле
A0) вместо сегмента [В, А] в качестве линии интегри-
интегрирования взять дугу единичной окружности, соединяю-
соединяющую точки В и А (рис. 4.2).

130 МПОГОЧЛПНЫ ЛЕЖАПДРА (ГЛ. IV
Следовательно, интеграл A0) приводится к виду
ф
= ^- \ 6 6 ld% —-¦ A1)
4 У1 - 2etx cos Ф + el2x
4 У1 - 2etx cos Ф
el
Далее, поскольку фиксированная ветвь корня на дей-
действительной оси справа от сегмента [В, А] имеет поло-
положительные значения, то в равенстве
e1-4 = ±е 2 У 2 (cost — соэф)
необходимо выбрать знак плюс, если слева иметь в виду
рассматриваемую ветвь корня. Поэтому из равенства
A1) находим
, f .'Ю
J>,(costp) = J- \
11
dx
/2 (cos x — cos ф)
-Ф '
ej_ с C04"+TrdT_V2if
я J V^ (cos т — cos ш) я J
! (cos т — cos ф) я J Vcos x — cos ф
— Ц1 U
Таким образом, окончательно имеем
Г cos
VC0ST — соэф
фб@,я). A2)
Полученная формула называется формулой Дирихле —
Мелера.
§ 3. Теорема Сонина и весовая оценка
для многочленов Лежандра
Рассмотрим следующую очень важную теорему
Н. Я. Сонина, которая часто применяется в теории орто-
ортогональных многочленов.
Теорема 4.2. Если функция u(t) дважды непрерыв-
непрерывно дифференцируема на сегменте [а, Ь] и удовлетворяет
там уравнению
u" + y(t)u = Q9 A)

§ ;>,j TLOPHMA СОНИНА И ВЕСОВАЯ ОЦЕНКА 131
в котором функция ф(/) положительна и непрерывно
дифференцируема в интервале (а, 6), причем ее произ-
производная ф'@ положительна (отрицательна), то относи-
относительные максимумы величины \u(t)\ убывают (возрас-
(возрастают) при возрастании t от а до Ь.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную
функцию
о @ - и2 @ +-^ К (О]2. B)
В экстремальных точках функции и (t) выполняется ус-
условие
v(t) = u2(t). C)
Далее, учитывая уравнение A), получаем равенство
v' (о - 2и (о i/ (о+
из которого следует, что функция v(t) при положитель-
положительности ф'(?) монотонно убывает при возрастании / от а
до 6. Но поскольку в точках экстремума функции u(t)
выполняется условие C), то, следовательно, максимумы
величины |t/(/)| монотонно убывают на [а, Ь]. Анало-
Аналогично, если производная (p'(t) отрицательна, то функ-
функция v(t) возрастает на [а, Ь] и таким же свойством об-
обладают относительные максимумы величины |ы@|- Та-
ким образом, теорема 4.2 доказана.
Теорема 4.3 (Т. Стилтьес, С. Н. Бернштейн). Для
ортонормированных многочленов Лежандра справедливо
неравенство
Доказательство. С целью применения теоремы
Н. Я. Сонина рассмотрим функцию
и @) = (sin 8)l/2 Pn (cos 8), 0 < 0 < я, E)
и докажем, что она удовлетворяет уравнению

132 ЛШО1 ОЧЛШ1Ы ЛРЖЛНДРЛ [ГЛ. IV
где
2
Для этого вычислим левую часть уравнения F). Имеем
и" + ф @) и = - \ (sin 9)~ cos2 0Р„ (cos 0) -
— -?r(sin 0J Pn(cos0) — ^- (sin 0J cos9Pra(cos0) —
о J A
-4 (sin 0J cos 0Р„ (cos 0) + (sin 0J P"(cos0) +
iJ] <sin
X Pn (cos 9) + [- | cos 9 - | cos e] P'n (cos 9) +
+ sin2 QP'n (cos 9)} = (sin 9I/2 [sin2 6P" (cos 9) -
- 2 cos QP'n (cos 9) + n (n + 1) Pn (cos 9I =0.
Выражение в последних квадратных скобках при замене
х = cos G тождественно равно нулю в силу A.34).
Далее, функция срF), определяемая равенством G),
удовлетворяет условиям теоремы Н. Я. Сонина. Эта
функция монотонно убывает в интервале @, я/2). По-
Поэтому относительные максимумы величины |и(8)| воз-
возрастают монотонно на сегменте [0, jt/2].
С другой стороны, из формул A.15) и A.36) имеем
равенства
Р'2т@) = 0, />2П,+1@) = (-1)тB^+,1[)". (9)
Дроби в правых частях можно оценить с помощью изве-
известного неравенства ([52], II, стр. 145)
1-3-5... {2т- 1) _ Bт- 1)!! 1
\ / •
2*4 ... Bт) Bт)!!

§ 'Л] ТЕОРЕМА СОМИНА И ВЕСОВАЯ ОЦЕНКА 133
Поэтому из равенства
п' (9) = 1 (sin 9)~1/2 cos QPn (cos 9) - (sin 9K/2 P'n (cos 9) A1)
следует, что при п=2т в точке 9=я/2 имеем и'(я/2) =
= 0, т.е. в точке 9 = я/2 функция и(9) имеет относи-
относительный экстремум. Следовательно, учитывая E), нахо-
находим неравенство
(sin9)l/2|P.(cos9)|<|P.@)|, 0<8<?f n = 2m, A2)
причем, так как P2m (cos 9) содержит только четные сте-
степени cos 9, то это неравенство сразу же распространяет-
распространяется на весь сегмент [0,я].
Далее, если п — нечетное, то точка 9=я/2 не являет-
является экстремальной для функции w(9), но вспомогательная
функция v(t), определенная равенством B), здесь, при
условии G), все равно имеет максимум в точке 9 = я/2.
Поэтому в силу C) в точках экстремума функции и(в)
имеем
(sineI/2|Pn(cos9)| = [t-(e)]< max [v(Q)]W = [v {t)Y=
Это неравенство, справедливое при п=2т+ 1, с экстре-
экстремальных точек распространяется на весь сегмент [0, я/2]
и далее на сегмент [0, я], так как многочлен Рп{х) при
нечетном п содержит только нечетные степени х.
Теперь остается воспользоваться формулой (8) и
оценкой A0), В случае четного п получаем

134 МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРЛ [ГЛ. IV
Если же п — нечетное, то, полагая а—1=2ш, в силу
(9) и A0) находим
Bm+ 2)!!
У /^ A5)
Теперь, учитывая неравенство
У«(«+!) < дД + («+ у)" .
из A3) с помощью A5) получаем оценку
(sin9I/2|Pn(cos0)|< дМ- , 0<6<л, A6)
которая, как это следует из A2) и A4), справедлива
также н для четных п. Наконец, заменой х = cos 6 оцен-
оценка A6) приводится к виду
A - х*)т | Рп (х)Кд/^ , х е [-1, 11, A7)
и в силу A.7) неравенство D) установлено. Таким обра-
образом, теорема 4.3 доказана.
§ 4. Метод Лиувилля — Стеклова
в применении к многочленам Лежандра
В отличие от многочленов Чебышёва, для многочле-
многочленов Лежандра нет такой простой формулы, с помощью
которой можно было бы переносить свойства рядов
Фурье по тригонометрической системе на ряды Фурье —
Лежандра. Поэтому, естественно, возникает задача об
изучении асимптотических свойств многочленов Лежан-
Лежандра. Здесь мы рассмотрим асимптотическую ^формулу
Лапласа, причем выведем ее методом. Лиуеилля—Стек-
лова. Этот метод первоначально :был -применен;Л«-увил-
лем для изучения свойств решений некоторых дифферен-
дифференциальных уравнений. А затем В. А. Стеклов усовершен-
усовершенствовал его и применил к исследованию асимптотиче*
ских свойств ортогональных многочленов.

$ it метол лиувилля -слт.кловл 135
Рассмотрим сначала две простейшие формулы Лиу-
вилля. Пусть функции U\(Q) и w2(9) суть линейно неза-
независимые решения однородного уравнения
А (9) и" + В (9) и' + с (9) и = 0. A)
Тогда неоднородное уравнение
А (9)и" + B(&)u' + c(Q)u = D(9) B)
имеет решение в виде
и (9) = с1Щ (9) + с2и2(9) + (^}и^-и^иЛ» ^r dt,
C)
где С\ и с2 — произвольные постоянные, а 9о — фиксиро-
фиксированная точка. Этот факт легко проверяется подстанов-
подстановкой правой части C) в уравнение B). Далее из A)
имеем тождество
А (9) (и'{и2 - и%и{) + В (9) (и[и2 - и'2их) = 0,
в котором разность в первых скобках есть производная
от разности во вторых скобках. Поэтому находим ра-
равенство
Г е 1
и[ (&)и2 (9) - ^ (9) их (9) = с3ехр - J Ш dt I D)
в котором постоянные с3 и 9i определяются в зависимо-
зависимости от выбора линейно независимых решений u\(Q) и
w2(8) уравнения A). Формулы C) и D) часто исполь-
используются при исследовании асимптотических свойств клас-
классических ортогональных многочленов.
Теорема 4.4. Многочлены Лежандра при 0 < 9 <
<С я удовлетворяют интегральному уравнению Вольтер-
ра второго рода
(sin 9I/2 Pn (cos 6) = ln cos \(n + 4-1 9 - -2-1 +
+ —Ч- [ 4sfn4 (sin01/2-P«(cos0^, E)
n A J
2 я/2

136 МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖЛИДРЛ [ГЛ. IV
где
. Bт- 1I1 л _ 2т+ 1 Bт-1)!! ,~
К2т~ Bт) I! ' д2т + 1— з Bт) 1! * W
Доказательство. В § 3 было установлено, что
функция C.5)
и @) = (sin 0I/2 Pn (cos 0), 0< 0 < я, G)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
Представим это уравнение в виде
[(sin 0I/2 Pn (cos 0)]" + (п + ^J [(sin 0)l/2 Pn (cos 0)] =
= ~ -4-W (sin eI/2 рп (cos 0), 0 < 0 < я, (8)
и будем условно рассматривать его как неоднородное
с правой частью. Соответствующее однородное уравне-
уравнение
имеет линейно независимые решения
(). (9)
Вычисляя разности, стоящие в числителе и в знаменателе
дроби под знаком интеграла в формуле C), и вводя для
краткости обозначение N = п + у, находим
щ (9) и2 (/) — и2 @) щ (t) = cos NQ sin Nt — sin NQ cos Nt =
= sin N (t — 0),
u\(t) u2(t) - ^@ ux (/) = -(« + !) = - A/.
Следовательно, формула (З) для уравнения (8) имеет
вид
(sin 0I/2 Рп (cos 0) = сх cos iV0 + c2 sin Л/0 +
О<0<я. A0)

§4] МЕТОД ЛИУ ВИЛЛ Я— СТЕКЛОВА 137
Пусть Go = я/2. Тогда сам интеграл A0) и его производ-
производная обращаются в нуль при 0 = я/2. Поэтому для опре-
определения неизвестных постоянных С\ и с% имеем систему
уравнений
Pn@) = dCOSiVf + ?;2siniVif # = л+±,
- К @) = - cxN sin -^ + C2yv cos -^.
Если м — четное, т.е. n = 2m, то в силу C.8) и C.9)
имеем
~ . Л/я , Ntc at .1
0 = — с{ sin -у + с2 cos —, N = п + у,
откуда, учитывая обозначение F), находим при п=2т
Cl = (-l)"%wcos-^*. c2 = (-irx2Msin-^-. A2)
Поэтому внеинтегральная сумма в A0) имеет вид
(-1)тя2т cos (jve - -^) = я2тсо5 (yve -|).
Аналогично, если п — нечетное, т. е. конкретно п =
= 2т+1> то из A1), учитывая C.8) и C.9), получим
систему
0 = Cl cos -g- + c2 sin —,
(-l)m Bm+ 1) Bm)!! =^i^ sin-g с2ЛГ cos —.
Учитывая обозначение F), здесь вместо A2) находим
равенства
с помощью которых вычисляем внеинтегральную сумму
в правой части A0) при п = 2т -\- 1
[cos NQ sin ~y~ — sin NQ cos -^4 =

138 МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖЛПДРЛ 1ГЛ. IV
Таким образом, формула E) установлена и для нечет-
нечетного п. Этим теорема 4.4 доказана.
С помощью интегрального уравнения Вольтерра E)
можно получить асимптотическую формулу для много-
многочленов Лежандра. Для этого достаточно оценить инте-
интеграл, стоящий в правой части этого уравнения, а также
определить асимптотику коэффициента Хп-
Теорема 4.5. Для многочленов Лежандра при О <
<В<я имеет место асимптотическая формула
(sin 0I/2 Р„ (cos 9) = К cos [(п + ±) 9 - -J] + /?„ (9), A3)
в которой остаточный член допускает оценки
0<9<|, A4)
где постоянная с4 «? зависит от п и 6.
Доказательство. Учитывая неравенство C.16),
при условии О <С 0 ^ я/2 для второго слагаемого в пра-
правой части E) имеем
31/
-\
я/г J
я/2 я/2
dt ^ 1 I 2 ( nV[ dt_
e
17+7
^T (f
Если же л/2 < 8 < л, то, производя замену переменной
интегрирования t = n — т, находим
я/2
sin2/ An + 2 V я/i J sin2r'
я/2 я-е
и теперь в формуле A6) вместо 0 надо поставить л — 0.
Таким образом, теорема 4.5 доказана.

МЕТОП ЛИУПИЛЛЯ - CTFK.TTOB\
Лемма 4.1. Для коэффициента Кп в формулах -.E) и
A3) имеет место асимптотическое представление
Доказательство. Прежде всего, из хорошо из-
известной формулы удвоения для гамма-функции ([321,
[39], [51], [52])
Г (а) Г (а +1) = -^1 Г Bа) A8)
имеем равенство
|) Vn b3-5-2J2m-1). A9)
с помощью которого коэффициенты F) представляются
в виде
, L 2mr(m+^)_ 1г(д+т)
m!2m -у/л Г(т + 1)
. B0)
2Т(~ +
/Л1\
причем в правой части формулы B0) число п — четное,
а в формуле B1) —нечетное. Далее воспользуемся фор-
формулой Стирлинга с остаточным членом
-а + ^--^|-, B2)
где 0 < 9 < 1, а В\ = 1/6, и В2 = 1/30 суть числа Бер-
нулли ([52], II, стр. 792). С помощью этой формулы

140 МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА (ГЛ IV
находим
= Т1п1-^+0(^)- B3)
Следовательно, из B0) имеем
л/я Я2т = д/f ехр [- ± + О (-1-)] =
и формула A7) доказана для четных п. А для нечетных
п из равенства B1), используя B3), получаем
Таким образом, лемма 4.1 доказана.

§4] МЕТОД ЛПУВПЛЛЯ - СТПКЛОВА 141
С помощью равенства A7) и оценок A4) и A5) фор-
формула A3) приводится к виду
(sin 9I/2 Р„ (cos 6) = д/^ cos [(n + 1) 6 - |] + Fn (9),
B4)
где остаточный член допускает оценку
\Fn(Q)\<-^w, 9е=[е,я-е]. B5)
Далее, из равенства B4) находим
Рп (cos 9) = дДтеГ cos [(" + \) 6 Т
-е]. B7)
Наконец, во всех формулах вместо косинуса можно по-
поставить синус. Тогда, например, вместо B6) получим
Рп (cos 9) = д/5?г sin [(" + т) 9 + Т] + ф« W' B8)
где остаточный член имеет ту же оценку B7).
Лемма 4.2. Производная остаточного члена в фор-
формуле A3) допускает оценки
°<e<f- B9)
?<е<я> C0)
где постоянная с7 не зависит от п и G.
В самом деле, поскольку через Rn(Q) обозначен ин-
гсграл (с множителем) в формуле E), то, дифференци-
дифференцируя, находим
4
Р cosfn + 4l (/ в)
/?»(в) = — ) JJt (sin/I/2P.(cos/)d/,
я/2
а остальная часть рассуждений проводится как и при
доказательстве неравенств A4) и A5).
С помощью леммы 4.2 можно, так сказать, «продиф-
«продифференцировать» почленно асимптотическое равенство

142 МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА [ГЛ. IV
A3) и полученные из него формулы B4), B6) и B8).
Например, из A3) находим формулу
где функция xYn(Q) (сама функция, а не ее производная)
удовлетворяет неравенствам B9) и C0).
Далее, асимптотическое разложение многочленов Ле-
жандра можно продолжить, т.е. можно вычислить вто-
второй член в асимптотических формулах E), B4) и B6)
и получить остаточный член более высокого порядка
малости. Для этого надо вместо двух последних сомно-
сомножителей под знаком интеграла E) подставить всю пра-
правую часть этого равенства. В результате получим фор-
формулу
(sin 9I/2 Рп (cos 9) = К [cos (JV9 - i) + ^f-J + Kn (в),
C2)
в которой введены обозначения N = п + 1/2,
sin N (t — 6) cos Г Nt — -j- J
л ¦ 2/ " ^э
e r t
1 f sin N{t — 6) Г sinA'(T — t) , . ,i/2 D , ч , ,,
C4)
В силу неравенства C.16) последнее слагаемое в C2)
удовлетворяет оценкам
-, ее=[е,я-в], C5)
8 AZ
C6)

§ 4] МЕТОД ЛИУВИЛЛЯ - СТЕКЛОВА ИЗ
в которых постоянные не зависят от п и е. А для функ-
функции C3) имеем представление
sin Nt cos
р I Nt — — I
/1 @) = cos JV0 \ —г-л — dt -
>n \ / j 4 sm21
Л/2
cos tff cos ( M --?"
-sin N9 \^
P co
\
J
J 4 sin2
Л/2
4 J sin2 / J
n/2 я/2
4 J sin2 / J
/2 /2
sin21
n/2 n/2
C7)
Первый интеграл в фигурных скобках легко вычисляет-
вычисляется, а вторые обозначим через С„(8) и Dn(Q) соответст-
соответственно. Тогда из C7) получим
sin (JV9 - ^) + 1 cos NQCn F) -
V 4 / о
— ~ sin NQDn F),
Теперь, вводя обозначение
tin F) = ът 1С« (9>cos ^6 ~ °п (9) sin NQ] + Кп F), C8)
из C2) найдем асимптотическую формулу
(sin 6I/2 Pn (cos 9) =
C9)
Оценим остаточный член этой формулы. Непосред-
iпенно из определения функций С„ (G) и О„@) анало-

144 МПОГОЧ.ЧГ.ПЫ Л1 ЖЛПДРЛ [ГЛ. IV
гично A6) имеем неравенства
Далее, интегрируя по частям интегралы, определяющие
эти функции, и переходя к оценкам, получим
Поэтому, учитывая A7), C5) и C6), из C8) найдем
оценки для остаточного члена и его производной
|Яп(е)|<-^ГТ' 6е=[е, я —е], D1)
причем из доказательства ясно, что на самом деле имеют
место поточечные оценки, аналогичные неравенствам
A4), A5), B9) и C0).
Для упрощения первых двух слагаемых в формуле
C9) можно воспользоваться представлением Хп по фор-
формуле A7). Далее, нетрудно видеть, что первое и второе
слагаемые в правой части C9) выражаются через коси-
косинус и синус аргумента NQ = (п + yj 9 с некоторыми ко-
коэффициентами, зависящими от 9. Аналогичный результат
получается и в том случае, если сделать следующий шаг
в методе Лиувилля — Стеклова, т.е. правую часть C9)
подставить под знак интеграла C4). Более того, этот
метод подстановки после конечного числа р шагов при
водит к формуле
(sin 9)l/2 Pn (cos 9) = cos NO
Л, 0€=[е,я-е], D2)
)
которая доказывается методом индукции ([43], стр. 219),
причем о функциях Ak(Q) и В/г(9) известно лишь, что
они не зависят от п и р и являются аналитическими нз
интервале @,л).

§ Ь\ РЯДЫ ФУРЬЕ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЛЕЖАНДРА 145
Мы рассмотрели формулу D2) при условии р = 2,
но зато установили более содержательные оценки D0)
и D1) для остаточного члена.
Наряду с формулой D2) для многочленов Лежандра
установлены и другие асимптотические формулы [43],
причем в некоторых случаях доказательства основы-
основываются на интегральных представлениях многочленов
Лежандра. Например, имеет место очень важная асимп-
асимптотическая формула Стилтьеса
Рп (cos 6) = ? Ak (n)
+ Rp (8, n), 0 < 0 < n, D3)
в которой р есть любое фиксированное натуральное чис-
число, а коэффициенты определяются равенствами
А (П\— 4 [B/1)Щ
А (П\
A(>W— Я[BЯ+1)П] '
Остаточный член формулы D3) допускает оценку
I Rp (8, п) | < г, 0 < 9 < я,
(п sin 6)Р+Т
где постоянная Вр не зависит от 0 и п. Доказательство
формулы Стилтьеса D3) излагается в монографиях
[14]/[43].
§ 5. Ряды Фурье по многочленам Лежандра
Если функция/(х) интегрируема на сегменте [—1, 1],
то можно определить коэффициенты Фурье по многочле-
многочленам Лежандра
А,= \f{t)Pn{t)dt A)

146 МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА 1ГЛ. IV
и поставить этой функции в соответствие ряд Фурье —
Лежандра
оо
Еа/Ам. B)
Рассмотрим сначала условия сходимости этого ряда
во внутренней точке интервала ортогональности.
Теорема 4.6. Если функция f(t) интегрируема с
квадратом на сегменте [—1,1], а для некоторой фикси-
фиксированной точки х е (—1,1) выполняется условие
то в этой точке ряд B) сходится к функции f(x), т. е.
имеем
В самом деле, так как \х\ <С 1, то из неравенства
C.4) следует, что последовательность ортонормирован-
ных многочленов Лежандра {Рп{х)} ограничена. Поэто-
Поэтому можно применить общую теорему 1.7 об условиях
сходимости ряда Фурье по ортогональным многочленам
в отдельной точке. Этим теорема 4.6 доказана.
Условие C) выполняется, если в данной точке л-функ-
л-функция f(t) имеет производную, либо существует такая
окрестность точки х, в которой функция f(t) удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица порядка а!>1/2, т.е. выпол-
выполняется неравенство A.3.22),
Теорема 4.7. Если функция f(x) непрерывна на
сегменте [—1, 1], причем ее модуль непрерывности на
всем сегменте удовлетворяет условию Лини, т. е.
lim со (-
то ряд Фурье — Лежандра B) сходится к функции f(x)
во всех точках интервала (—1, 1), причем сходимость
равномерная на всяком сегменте [—1 + е, 1—е], где
г >0.

РЯДЫ ФУРЬЁ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЛЕЖАНДРА
147
Доказательство. Так как функция f(x) непре-
непрерывна на сегменте [—1, 1], то можно применить нера-
неравенство Лебега A.4.17)
f(x)-ZakPk(x)
<[l+Ln(x)]En(f),
где
-1
Pk(t)Pk{x)
k=0
dt.
F)
G)
Оценим интеграл G) при фиксированном х из интервала
(—1, 1). Для этого разобьем сегмент [—1, 1] на пять
сегментов
т-'-f]- ['--I-.']-
Имея в виду, что хе [—1+8, 1 —е], будем обозначать
эти сегменты Д&, где k = 1, 2, 3, 4, 5. Тогда, применяя
формулу Кристоффеля — Дарбу A.21), для интеграла
по первому сегменту получим оценку
Pk{x)Ph(t)
<CiiЛн-i(*)iS-]г=т|л + с>|^»wi $ lP\nx+-i\l dL w
A, A,
Применяя неравенство Буняковского — Шварца, нахо-
находим

148
МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА
[ГЛ. IV
Если teAi= [—1, —1 + е/2], то \x—t\ > е/2. Следо-
Следовательно, имеем
dt
dx
c2
8/2
Поэтому правая часть A0) не превосходит величины
сз е~1/з. Аналогично оценивается второй интеграл в правой
части (9). Применяя оценку C.4), из (9) получим нера-
неравенство
в котором постоянная с5 не зависит от е и от п. Анало-
Аналогичную оценку допускает и пятый интеграл.
Далее для интеграла по второму сегменту Дг из си-
системы (8), используя снова C.4), найдем
А2(х)
dt
c7
— /
Аналогично оценивается интеграл по сегменту Л4.
Наконец, оценим интеграл по третьему сегменту Д3=
= [х— 1/п, х-\- \/п]. Учитывая неравенство C.4),имеем
Ч W =
k-0
^г.
V8
Объединяя все эти оценки, получим
1
In
o3/4
A1)
-1 J fe-0
jce [— 1 + е, 1-е].
С другой стороны, как уже было отмечено в предыду-
предыдущих главах, из условия E) имеем предельное соотноше-
соотношение
lim ?п(/Iпя = 0,

§ 51 РЯДЫ ФУРЬН ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЛЕЖАНДРА 149
с помощью которого, учитывая неравенство A1), нахо-
находим, что правая часть F) стремится к нулю при п-+оо
равномерно относительно ^g [—1 + е, 1 —г]. Этим тео-
теорема 4.7 доказана.
Рассмотрим теперь условия равномерной сходимости
ряда Фурье — Лежандра на всем сегменте ортогональ-
ортогональности [—1, 1]. Для этого введем постоянные Лебега
Ln = max Ln(x). A2)
[l 1|
Прежде всего отметим один простейший результат, ко-
который является следствием неравенства B.4).
Теорема 4.8. Если функция f(x) непрерывно диф-
дифференцируема на сегменте [—1,1], то она разлагается
в ряд Фурье — Лежандра B), сходящийся равномерно
на этом сегменте.
В самом деле, применяя неравенство Буняковского —
Шварца, в силу B.4) при xg [—1, 1] имеем
-1
_ <13)
С другой стороны, поскольку функция f(x) непрерывно
дифференцируема на [—1, 1], то в силу известной в тео-
теории приближений теоремы Джексона (теорема 9.10 при
р = 1) справедливо соотношение
lim nEn(f) = 0. A4)
Следовательно, правая часть F) убывает к нулю, и тео-
теорема 4.8 этим доказана.
Установленная теорема не является точной, ибо усло-
условие непрерывной дифференцируемости функции f(x)
в ней. можно заменить более общим условием. Для по-
получения более точной теоремы вместо соотношения A4)
воспользуемся некоторым усилением теоремы Джексона,
1де приближение функции многочленами оценивается
в зависимости от положения точки на сегменте [—1, 1].

150
МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА
trjt iv
Это усиление изложено в теореме 9.12, где доказывается,
что если функция f(x) непрерывно дифференцируема р
раз на сегменте [—1, 1], причем Цр){х) eLipa, то су-
существует такая последовательность многочленов {Qn(x)}f
что при п> р выполняется неравенство
I/ (X) -
=^ + -^
Н, 1].
A5)
Теорема 4.9. Если функция f(x) удовлетворяет на
сегменте [—1, 1] условию Липшица порядка а>1/2,
то она разлагается в ряд Фурье — Лежандра, сходящий-
сходящийся равномерно на этом сегменте, причем имеет место
неравенство
ci3 (a)
„a-l/2
[Ч 1]. A6)
Доказательство. Как к при выводе неравенства
Лебега, имеем
<\f(x)-Qn(x)
\\Qn(()-f(t)
-1
fe=0
U xe=[-l, 1]. A7)
Будем считать, что многочлены {Qn(t)} выбраны таким
образом, что выполняется условие A5) при р=0. Тогда,
учитывая известное неравенство ([4], [49], [52])
a > 0, A8)
получим из A5)

РЯДЫ ФУРЬЕ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЛЕЖАНДРА
151
Первая разность в правой части A7) в силу A9) убы-
убывает со скоростью п~а, а интеграл в A7) в силу A9) и
A3) допускает оценку
Г
)\Qn(t)-f(t)
k=0
ZPk(x)Pk(t)
dt +
j
ft = O
-1
rf/. B0)
Таким образом, остается оценить интеграл
-1
dt.
B1)
Пусть х — произвольная фиксированная точка из
[—1, 1]. Обозначим Ап(х) ту часть сегмента [—1, 1],
где выполняется неравенство \х —1\ ^ 1//?, и пусть
сп(х) —остальная часть этого сегмента. Тогда, учитывая
оценки B.4) и C.4), а также условие а> 1/2, находим
k=Q
B2)
причем эта оценка не зависит от положения точки х.
Для оценки интеграла B1) на множестве еп(х) ис-
используем формулу Кристоффеля — Дарбу A.21). В ре-

152
МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРЛ
[ГЛ. IV
зультате этого получим
f ?
) (I-/2J
Pn+i(x) PnV) - Рп(х) Pn+x(t)
x — t
еЛх)
<l
\ ^-t2rl\Pn
)
Pn(x)\
B3)
Далее с помощью аналогичного A8) неравенства
c2l
используя B.4), находим
\РП + 1(Х)\ \ (i-t2fi\P
en(x)
Pn(t)
B4)
B5)
Произведение перед первым интегралом в правой части
B5) ограничено в силу C.4), а для самого первого ин-
интеграла имеем оценку
которая выполняется при любом положении точки х на
сегменте [—1, 1]. Для оценки второго интеграла в пра-
правой части B5) воспользуемся известным неравенство^

§ Г)] РЯДЫ ФУРЬЕ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЛЕЖЛПДРЛ 153
Гёльдера ([18], [49])
Г Ь -Л\1Р Г Ь -t\lq
S [$1/@1'*J [$1Ф(/)ГЛ] . B6)
где р и q суть положительные числа, удовлетворяющие
условиям р>1, q>l, l/p + l/q = I. В результате
применения этого неравенства, учитывая C.4), получим
[ \Р (A I dt - [ (l-t>)VA\Pn(t)\dt
en{X) I i i 2 e^ (л:) /j ±2\ 4 i / i 2
Так как а > 1/2, то р и q, удовлетворяющие усло-
условиям р>1, q>\, l/p + 1/9 === 1» можно выбрать так,
чтобы оба интеграла из B7) существовали как несоб-
несобственные, даже если в них вместо еп{х) поставить в ка-
качестве множества интегрирования весь сегмент [—1,1].
В самом деле, для этого достаточно, чтобы выполнялись
неравенства р<4 и 1 — а/2 < 1 — 1//?, т. е. надо, чтобы
было 2/а < р < 4, а это возможно, ибо a > 1/2.
Итак, правая часть B7) ограничена равномерно при
всех #е [—1, 1]. Поэтому первое слагаемое в правой
части B3) возрастает не быстрее -у/п. Аналогично оце-
оценивается и второе слагаемое в B3). Следовательно, ин-
интеграл B1) возрастает не быстрее л]п, причем оценка
роста равномерна для ш [—1, 1]. Учитывая эту оцен-
оценку, из B0) найдем, что интеграл из A7) убывает со
скоростью пх/2~а. Этим неравенство A6) установлено и
теорема 4.9 доказана.
Теорема 4.10. Если функция f(x) непрерывно диф-
дифференцируема р раз на сегменте [—1, 1], причем f{p)(x)&.
<= Lip a, где р + а> 1/2, то имеет место неравенство
* С27 { , *€=[-!, 1]. B8)
В самом деле, применяя здесь снова неравенство A5),
придем к необходимости оценить некоторый аналог

1П4 МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАПДРА [ГЛ IV
интеграла B1), в котором вместо а поставлено р + a, a
при этом условии некоторые оценки из доказательства
теоремы 4.9 упрощаются, но в_целом интеграл по-преж-
по-прежнему возрастает не быстрее л/п.
Из неравенства B8) следует, что чем лучше функция
f(x) на сегменте [—1, 1], т.е. чем больше она имеет на
этом сегменте непрерывных производных, тем быстрее
сходится ее ряд Фурье —Лежандра.
§ 6. Теорема о равносходимости
для рядов Фурье —Лежандра
Рассмотрим более общие условия сходимости рядов
Фурье — Лежандра внутри интервала ортогональности,
причем покажем, как этот вопрос сводится к вопросу об
условиях сходимости ряда Фурье по тригонометрической
системе некоторой вспомогательной функции.
Пусть функция/(х) интегрируема на сегменте [—1,1]
и, кроме того, произведение f{x) A —х2)~1/4 также интег*
рируемо на этом сегменте, т. е.
^A -л;2) 4\f{x)\dx=\(smQJ\f{cosQ)\dQ<oo. A)
-1 О
Частичную сумму ряда Фурье —Лежаидра E.2) функ-
функции f(x) в силу формул A.21) и A.22) можно предста-
представить в виде
Sn{x> f)=H±± |
-1
Как обычно, будем считать х = cos 6 при 0 ^ 0 ^ п, и
рассмотрим вспомогательную функцию
F (9) = (sin бI/2 f (cos 9), 0 < 6 < я, C)
которую на весь сегмент [—я, л] распространим по за-
закону четности. Обозначим sn@, F) частичную сумму ряда
Фурье этой функции по тригонометрической системе.
Теорема 4.11. Для всякого х из интервала (—1,1)
выполняется условие
lim [sn(x, f)~(l -*Tl/4(arccos*, F)] = 0, D)

§ 6] ТЕОРЕМА О РАВНОСХОДИМОСТИ 155
причем сходимость равномерная на всяком сегменте
[—1 + а, 1 — а], где а > 0.
Доказательство. Удобнее будет доказывать
эквивалентное соотношение
Hm [McosO, f) — (sin е)~1/25Л(9, F)] = 0 E)
П->0О
при условии 0е [а, я— a], где a > 0. Полагая в интег-
интеграле B) / = cost, получим
I Лг+i (cos 6) Pn (cos %)-Pn (cos 6) Р^-ц (cos т) . ,
' cose-cost sin тат.
б
F)
Пусть а и б > 0 фиксированы, причем б^а/2, а а удов-
удовлетворяет условию 0 < а < 6.
Тогда имеем неравенство
0<а<6<а<9<я— а < я — 6 < я — а<я. G)
В формуле F) сегмент интегрирования [0, я] разобьем
на пять сегментов
[О, а], [а, 9-6], [9-6,9 + 6],
[9 + б, я - а], [я - а, я], (8)
и будем рассматривать интегралы (с множителем ^ j
по каждому из этих сегментов. Тогда из F) найдем
sn (cos 9, f) = Jn @, о) + Jn (a, 9 - 6) +
Покажем, что при фиксированном а первый, второй, чет-
четвертый и пятый интегралы в сумме могут быть сколь
угодно малыми, если п достаточно велико, и, следова-
следовательно, в сумме (9) главное значение имеет третий ин-
интеграл /п(в — в, 9 + 6).
Прежде всего докажем, что для всякого е > 0 суще-
существует такое а > 0, что равномерно относительно 9 е
е [ос, я— а] выполняется неравенство
1U @, о) + /п (я — or, я) |< е/2. A0)

156 МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА [ГЛ. IV
В самом деле, учитывая оценку C.16), а также от-
граниченность от нуля знаменателя подынтегрального
выражения F). находим
I L @, а) |<сх л/~п К | / (cos т) | sin т| Рп(cos т) |d% +
+ J I / (cos т)| sin т \Pn+l (cos т) I dx <
о J
при достаточно малом а в силу сходимости интегра-
интеграла A). Аналогично оценивается интеграл /«(я — а, я),
причем оценки равномерные относительно 6 е [а, я—а],
ибо а < а и знаменатель в F) отграничен от нуля рав-
равномерно. Таким образом, неравенство A0) доказано.
Рассмотрим теперь сегмент [а, 9 — б]. На этом сег-
сегменте знаменатель подынтегрального выражения F)
также отграничен от нуля равномерно в силу того, что б
фиксировано. Поскольку на множестве А = [а, 9 — 6]
многочлены Лежандра имеют равномерное асимптотиче-
асимптотическое представление D.26), то произведение
е-б
JZT С / (cost) sin т г
на основании леммы Римана о коэффициентах Фурье
([52], III, стр. 429), убывает к нулю при возрастании
номера п. Но в силу F) величина Jn(o, 9 — 6) выра-
выражается линейно через интегралы вида (II). Следова-
Следовательно, при фиксированных а и б интеграл h{o, 8 — 6)
убывает к нулю равномерно относительно.8 е [a, n — а].
Аналогичное утверждение справедливо "и для'интеграла
./„F + 6, я — а).
Таким образом, существование и величина предела
частичной суммы F) зависят только от поведения

6] TliOPEMA О РАВНОСХОДИМОСТИ j 57
интеграла
/я(е-в, е + б) =
0 + 6
Р»+1 (CQS 6) Pn (COS T)-Pn (COS
JX
— 2 3 М ° T;L cos 9 - cos т
0-6
Xsinx^T, A2)
где б>0 и фиксировано произвольно малым. Этот ин-
интеграл можно представить в виде
е+б
$
66
$
6—6
A3)
где введено обозначение
Ф„@, T) = Vsin6 VsinT [Pn+i(^osQ)P
- Рп (cos 9) Pn+l (cos т)].
Используя асимптотическую формулу D.13), находим
Ф„ F, т)=Я„Я„+1 { cos [(«+ f) 9- |] cos [(« + 4) т~т]-
+ ЯЛ+1 { cos [(л + у) 6 - f\ Rn (х) - cos [(л + |) т -
- ?] яя @)} + К { Cos [(я + 1) т - f ] /?„+1 @) -
+ {/?„+! (в) Я„ (т) - /?„+1 (т) Rn @)}. A4)
Итак, интеграл из A3) по четырем фигурным скобкам
A4) представляется в виде суммы четырех интегралов
/„ @ - б, 9 + 6) = Л" + If + Jf + Л4'- A5)
Докажем, что при возрастании п второй, третий и
четвертый интегралы убывают к нулю. Начнем с четвер-
четвертого. Выражение в последних фигурных скобках в A4)

168
МНОГОЧЛЕНЫ ЛВЖАНДРА
1ГЛ. IV
приводится к сумме
Rn (т) [Rn+i (в) - Rn+i (т)] + Rn+i (т) [Яя (т) - Яя (8)].
Поэтому в силу D.14), D.15), D.29), D.30) имеем
Далее, для оценки третьего интеграла сначала заме-
заметим, что в силу абсолютной интегрируемости функции
f(t) для всякого е > 0 существует такое а > 0, что при
любом 8 выполняется неравенство
е+а е+а
j VrTrdx<8. A6)
Выражение в третьих фигурных скобках A4) представ-
представляется в виде
cos
[{п + у) т - ^
(8) ~
т)]
Поэтому для третьего интеграла в A5) имеем
| Д3) (9 — а, 9 + а) | <
е-о
е-т
e+o
X
т —е
с6е,
ибо в силу неравенств D.29) и D.30) разностное отно-
отношение в первом интеграле убывает со скоростью пг\ а
во втором— возрастает не быстрее п. Поскольку на
остальной части сегмента [6 — 6, 8 + 6] знаменатель от-
отграничен от нуля, то третий интеграл по этой части мож*
но сделать малым за счет увеличения п.

§ 61 TEOPGMA О РАВНОСХОДИМОСТИ 159
Таким образом, третий интеграл в сумме A5) убы-
убывает к нулю при возрастании п. Аналогичные рассуж-
рассуждения применимы и ко второму интегралу в A5).
Итак, в сумме A5) главное значение имеет первый
интеграл. Простыми преобразованиями разность в пер-
первых фигурных скобках приводится к алгебраической
сумме
cos (я + 1)(в + т) sin ±р- - 2cos (п + 1) (8 - т) X
X sin i^l - sin (n +1) (9 - т) si
sin-——.
Следовательно, первый интеграл в A5) можно предста-
представить в виде
[е+6
0-6
¦ -т)<е-*>
2 sin—-— е^6 2 sin—-—cos •
0+6
(/i + T)(T-e)
тЬ d% •
Первые два интеграла в квадратных скобках убывают
к нулю в силу леммы Римана, а третий лишь множите-
множителем отличается от главной части сингулярного интегра-
интеграла Дирихле, который представляет частичную сумму ря-
ряда Фурье и имеет вид
г s
sa(Q, F) = jr \F(t:)
— л
e+6
= ir\ ^W~ ~Ъ dr+Bn<
2 sin—x—

160 мпогочлгпы лгжлпдр\ [гл iv
где величина Вп(&) в силу леммы Римана убывает к ну-
нулю равномерно при 6g [а, я — а].
С другой стороны, в силу формулы D.17) имеем
Поскольку частичная сумма sn(Q,F) растет не быстрее,
чем п при любых условиях, то, учитывая A8), из A7)
находим
Д° (в - 6, 9 + 6) = -±=r sn (9, F) + уп (9),
Vsin 6
где yn(Q) убывает к нулю равномерно относительно 0g
е [а, я— а]. Аналогичное соотношение справедливо и
для всего интеграла A5), и поэтому из равенства (9)
получаем
sn (cos 9, f) = —Цг 5rt (9, F) + ^ (9),
Vsin 6
где величина ^«(9) убывает к нулю равномерно при
9 е [а, я — а].
Таким образом, предельное соотношение E) установ-
установлено, и этим теорема 4.11, наконец, доказана.
Эта теорема о равносходимости решает вопрос об ус-
условиях сходимости ряда Фурье — Лежандра внутри ин-
интервала ортогональности, ибо из этой теоремы следует,
что ряд Фурье — Лежандра функции f(t) в точке х схо-
сходится тогда и только тогда, когда в соответствующей
точке 9 = arccos# сходится ряд Фурье по косинусам
вспомогательной функции F {т) = У sin т / (cos т), при-
причем ряд Фурье — Лежандра сходится равномерно на
сегменте [а, 6], где —1 < а < Ь < 1, если вышеупомя-
вышеупомянутый ряд Фурье по косинусам сходится равномерно на
соответствующем сегменте [Л, В], где А = arccos Ь и
В = arccos a.
Конкретно, если, например, функция f(t) в некоторой
точке х е (—1, 1) удовлетворяет условию Липшица, то

§ 7] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ jgj
в данной точке имеем
оо
f(x)=T,QanPn(xl *€=(-l, 1). A9)
Разложение A9) имеет место и в том случае, когда
функция f(t) непрерывна в точке х и имеет в окрестно-
окрестности этой точки ограниченную вариацию. А в точке раз-
разрыва первого рода при условии ограниченности вариа-
вариации в ее окрестности имеем равенство
/(*-0) + /(* + 0) _ у б (х) /20)
В заключение заметим, что из теоремы о равносходи-
равносходимости не следует никаких выводов о поведении ряда
Фурье — Лежандра на концах сегмента ортогональности.
§ 7. Примеры разложения функций
в ряды Фурье —Лежандра
Обычно рассматривают разложения функций в ряды
Фурье по стандартизованным многочленам Лежандра.
В этом случае вследствие равенства
-1
коэффициенты разложения определяются по формуле
2
— 1
1
\f(t)Pn{t)dt. A)
Прежде всего отметим один пример разложения, ко-
который получается из производящей функции
n(x)tn. B)
Vl - %xt + t2
[I,— v
В самом деле, в этой формуле можно считать / парамет-
параметром. Введем новый параметр р по формулам
' У1 о<Р<1 C)

162 МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА [ГЛ. IV
Тогда подкоренное выражение можно представить в виде
1 -2х/ + /2 = A + /2) — 2/лг = A +/2)A —рх).
Следовательно, вместо B) имеем разложение
— рх
l-l, 1]. D)
Далее, проинтегрируем это равенство почленно по х от
— 1 до х. В результате получим
\ ^L_^Vl+/2 VY \Pn(x)dx. E)
-1 - P* n=0 -1
Интеграл от многочлена Лежандра вычисляем с по-
помощью формулы A.33) и равенств A.17)
л; х
г- л; х -j
\ \p'n+{{x)dx- \Pn-1(x)dx =
Следовательно, из E) имеем равенство
р
= ^/Y+w\pl(x) + \ +
из которого находим разложение
Нетрудно видеть, что если х^ (—1, 1), то это разложе-
разложение сходится и при p = t=l. Следовательно, имеем

§ 7] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 163
еще один ряд Фурье по многочленам Лежандра
7 = =Р0(*)
3V2
м= I
Из этой формулы можно получить другие разложе-
разложения. Например, вместо х поставим —х и, учитывая ра-
равенство Рп{—х) = ( — \)пРп{х)у найдем
Далее, дифференцируя разложение G) почленно и учи-
учитывая формулу A.32), получим равенство
= 4 у nPn-i(x) Ax у пРп (х)
2 д/Ь1^ л/2 ^ Bл - 1) B/г + 3) л/2 ^ Bп - 1) Bл + 3) '
/2=1 /2= 1
Аналогичное преобразование можно применить и к раз-
разложениям D) и (8).
Рассмотрим теперь пример, иллюстрирующий пове-
поведение ряда Фурье — Лежандра в точке разрыва функ-
функции. Пусть число а удовлетворяет условию — 1 < а < 1
и задана функция
Используя формулу A.33), находим коэффициенты
Фурье по многочленам Лежандра этой функции
1 1
п —
2
а
Г П
Л, U) d* = -Ж К+1 (х) dx - \ Pn-i (x) dx =
= \[Рп-х(а)-Рп+Ла)Ъ Оо = уA-а).
Таким образом, имеем разложение
/1=1

164 МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА [ГЛ. IV
В точке разрыва х = а частичная сумма ряда A0) имеет
вид
п
sn (а) = 1 A - а) + 1 ? [Pk-i (а) - Pk+i (а)] Рь (а) =
Так как Рп(а)-+0 при я->оо, то, следовательно, ряд
A0) в точке а сходится к среднему арифметическому
значению функции (9) в этой точке слева и справа.
Переходим к рассмотрению следующего примера.
Для четной функции
ф(х)=-^===, *€=(-1, 1), A1)
коэффициенты Фурье — Лежандра с нечетными номера-
номерами все равны нулю. А для четных в силу формулы A.42)
имеем
1 л
4п + 1 С г» / \ dx 4л +
0 f )Р(х) 2
) d& =
_'l VI— xA 2 J
_ 4n+ 1 ГBя — 1I1-p 4ft + 1 ГBя— 1I1-12
"" 2 L Bл)!! J П~~ 2 L n\2n J Я#
Следовательно, для функции A1) имеем разложение
jcs(-1, 1),
в котором условно считается (—1I! ==1, ибо нулевой
коэффициент есть 1. Интегрируя это разложение почлен-
почленно и учитывая формулу A.33), найдем равенство
arcsin * = y
п\2п
n-0
хе(-1, 1).
Рассмотрим теперь весьма характерный пример пове-
поведения ряда Фурье —Лежандра на концах сегмента орто-

§ 7] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ 165
тональности в зависимости от свойств функции во внут-
внутренней точке. Пусть задана четная функция
/(*, P) = tV' 0<p<\y *<=[-!, 1], A3)
зависящая от параметра р. Коэффициенты Фурье — Ле-
жандра с нечетными номерами равны нулю. А для чет-
четных, вводя обозначение
в силу A) получаем
a2n (P) = ^~~ \ P*n @ -иг = Dл + 1) \ P*n (t) Ц>
2 _J \t\ J /
1
fc=0 О fe-o
(An 4- 1) Qtt-i (p) /t44
где Q/i-i(p) есть некоторый многочлен от р степени не
более п—1. Формулу A4) можно рассматривать при
любом р < 1. В частности, если параметру р придавать
значения
0, -2, -4, ..., -2/г + 2, A5)
то в силу ортогональности многочлена Р<т(х) коэффи-
коэффициент A4) при этих значениях равен нулю. Следова-
Следовательно, многочлен Qn_i(p) имеет своими нулями числа
A5), т.е. имеет место равенство
Qn-i (р) == Р (р "Ь 2) (р -f- 4) ... (р -J- 2/г — 2) ЛЛ. A6)
Для определения коэффициента Лл в формуле A4)
положим р = ~2п. Тогда в силу равенства A.4),

166 МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА [ГЛ. IV
используя ортогональность многочлена Ргл@» найдем
(- 2») = ^- \ Р2п @ *2" dt =
a2n
-1
Г
[Bп)\]222п Г
-l
Этому выражению равна правая часть A4) при р——2п.
Следовательно, используя A6), получим равенство
(л„\ п (-2/1) (-2л + 2) ... (-2) , __ [Bл)!]2 22*
2/1 + 1) B/1 + 3) ... D/1 + 1) л ¦ Dл)!
из которого находим Лл=(—\)п. Таким образом, чет-
четный коэффициент Фурье — Лежандра функции A3)
имеет вид
а2п(р)-(-
2 2Jl2 2 J "Л
Для определения асимптотики правой части A7) до-
докажем простую лемму, которая часто будет применять-
применяться и в дальнейшем.
Лемма 4.3. При фиксированном р имеет место фор-
формула
Г (п + р) __ п
Г (л) ~П
Доказательство. Обозначим левую часть A8)
через Тп(р). Применяя формулу Стирлинга D.22),

§ 7] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 167
находим
= In У 2^ + [п + р - 1) In (n + р) -
- (п + р) - In <sj2n - (п - -i) In я + п + О (-^
Этим формула A8) доказана.
Теперь вернемся к формуле A7). С помощью рекур-
рекуррентной формулы для гамма-функции Эйлера нетрудно
установить монотонность изменения абсолютной вели-
величины коэффициента а2п(р), а из формулы A8) следует,
что порядок этого коэффициента есть п в степени
р—1/2. С помощью A8) для общего члена ряда
Фурье — Лежандра функции A3) находим представле-
представление
Таким образом, если р <С 1/2, то ряд Фурье — Ле-
Лежандра функции A3) сходится на концах сегмента ор-
ортогональности, а при р ^ 1/2 расходится в этих точках.
Сходимость при условии р < 1/2 объясняется тем, что
функция A3) входит тогда в пространство L2[—1, 1].
Этот пример показывает, что сходимость ряда Фурье —
Лежандра на концах сегмента ортогональности зависит
также от свойств функции во внутренних точках.

ГЛАВА V
МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЁВА — ЭРМИТА
§ 1. Основные формулы и алгебраические свойства
Пусть на всей оси задана четная весовая функция
h(х) = е~х\ хе=(— оо, оо). A)
Дифференцируя эту функцию последовательно, находим
h' (х) = - 2хе-*\ h" (х) = {4х2 - 2) е~х\
АD) (х) = A6^ — 48л;2 + 12) е~х\ ... B)
По индукции легко доказать, что производная порядка
п от функции A) есть произведение этой функции на
некоторый многочлен степени п. Следовательно, функция
Нп(х) = {-1)пе*(е-*){п) C)
есть многочлен степени п. Этот многочлен называется
стандартизованным многочленом Чебышёва — Эрмита,
а формула C) —формулой Родрига.
Из формул B) и C) следует, что старший член мно-
многочлена Нп(х) образуется при дифференцировании мно-
множителя ехр(—х2), и, следовательно, старший коэффи-
коэффициент этого многочлена равен (—1)/2(—2)" = 2", т.е.
имеем
Нп(х) = 2пхГ+ ... D)
Первые семь стандартизованных многочленов Чебы-
Чебышёва— Эрмита, вычисленных по формуле Родрига C),

(, !] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 169
имеют вид
Н0(х) = 1,
Н1(х) = 2х,
Н2(х) = 4х2-2,
Н3(х) = 8х3- \2х,
Я5 (х) = 32л:5 - 160л:3 + 120л,
Я6 (х) = 64л:6 - 480л:4 + 720х2 - 120.
Докажем, что многочлены {Н„(х)} ортогональны с
весовой функцией A) на интервале (—оо, оо). Для это-
этого рассмотрим интеграл
оо
/«»= \ e-*Hm(x)Hn(x)dx. E)
— оо
Применяя формулу Родрига C) и интегрируя по частям,
находим
Внеинтегральные члены ввиду наличия в них экспонен-
экспоненциального множителя равны нулю. Следовательно, при-
применяя эту операцию еще (п—1) раз, находим последо-
последовательно
mn \ *¦)
... —{ i) \ nm [X)e ax, [O)
— CO
Если m <C n, то H^m (x)z==0. Следовательно, из F),
учитывая E), получим
>~x?Hm (х) Нп (х) dx = Oy m<n.

170 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
Этим ортогональность многочленов {Нп(х)} дока-
доказана.
Вычислим теперь норму многочлена C). Для этого в
формулах E) и F) положим т = п. В силу D) имеем
Jnn = n\2n
Следовательно, ортонормированный многочлен Чебы-
шёва — Эрмита имеет вид
пп\Х)— / -==¦ / —=- * \L ) • К')
Старший коэффициент этого многочлена в силу D) ра-
равен
,ц = _|_=^_?_. (8)
С другой стороны, в силу равенства D) многочлен
Чебышёва — Эрмита с единичным старшим коэффициен-
коэффициентом определяется формулой
11п\л)— 2п п ^ ' — 2п ' ' ^ '
Далее, докажем, что функция
F(x, 1) = е2х*-г A0)
является производящей функцией для многочленов Че-
Чебышёва— Эрмита. При фиксированном х эта функция
аналитическая по t. Рассмотрим ее разложение в виде
F(x9 /) = 2^1-/Т'(*, OkoJr. A1)
Дифференцируя равенство A0) по t, при фиксированном
х находим
F^ (Xi /) — \_e2xt~t2~]f = е*2 ^"¦x2+2x^~^Jrt ==
Здесь мы заменили переменное дифференцирования по
формуле х — t = u и воспользовались равенством

§ i] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 171
(x___/)(")= ?/(")(—-\)п. Полагая теперь t = 0, из A2) по-
получаем
Ff (х, () Lo = (-1)" е* (e-xtn) = Нп (х).
Следовательно, разложение A1) для функции A0)
имеет вид
F(x, t) = e2xt~t2 = 2^1±n^rLttl. A3)
Таким образом, функция A0) является производя-
производящей функцией для стандартизованных многочленов Че-
Чебышёва — Эрмита. Разумеется, в разложении A3) с по-
помощью равенств G) и (9) можно перейти к ортонорми-
рованным многочленам Чебышёва — Эрмита либо к мно-
многочленам Чебышёва — Эрмита с единичным старшим
коэффициентом.
В силу аналитичности левой части A3) переменные
х и t могут принимать и комплексные значения. Под-
Подставляя вместо них комплексные переменные z и ш,
получим
оо
pizw-w1 — у —п \z> wn A4)
Далее, если временно считать z и w действительны-
действительными и вместо w поставить ш, то, разделяя с помощью
формулы Эйлера действительные и мнимые части с
обеих сторон равенства A4), найдем два других разло-
разложения:
оо
_— „,2т
е^ cos Bzw) = Yj (- Dm H2m (z) ~^-, A5)
m =0
e-!sinB^)= 2, (-1ГЯ2т+1(г) Bm + l)l . A6)
m =0
причем в силу аналитичности левых частей оба разло-
разложения справедливы при любых комплексных значениях
гиш.

172 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЁВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
С помощью разложения A3) нетрудно получить ре-
рекуррентное соотношение для многочленов Чебышёва —
Эрмита. В самом деле, функция A0) удовлетворяет ус-
условию
F't (х, 0 — B* — 2/) F {ху /) = 0,
которое в силу A3) можно представить в виде
оо
- Bх — 21) у _ —-г— / = 0,
„Г Bх 21) ?
гс=1 л-0
у HA*Lnt"-i - 2х У Щ^- f + 2 У Jbp.tn+i s 0
Следовательно, сумма всех коэффициентов при / в сте-
степени п равна нулю, т. е. имеем
(п+\)Нп+](х) о Яп(х) , о ^,tU) _п
(я+1)! zx п\ "*"z (я- 1)! ~и>
Яя+1 (*) - 2^ЯЛ (jc) + 2пНп_г (х) = 0. A7)
Таково рекуррентное соотношение для стандартизо-
стандартизованных многочленов Чебышёва — Эрмита.
Далее, в силу равенств A.2.5) и (8) находим коэф-
коэффициент в формуле Кристоффеля— Дарбу
* л /(
Следовательно, формула Кристоффеля — Дарбу для
ортонормированных многочленов Чебышёва — Эрмита
имеет вид
Hk (/) = д/^±Х ^-ь'(х) Й« {t) I f-
д/ x I
С помощью равенства G) получаем аналогичную
формулу для стандартизованных многочленов
1 Нп+1 (х) Нп (t) - Нп (х) Ffn+1 @

§ 1] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 173
Переходим к выводу дифференциального уравнения
для многочленов Чебышёва — Эрмита.
Дифференцируя функцию и = ехр(— х2) по х, полу-
получим
и' = — 2хи.
Обе части равенства дифференцируем еще (я+1) раз.
В силу формулы Лейбница имеем равенство
__ 2 (П + 1) U^n\
которое можно представить в виде
uin+2) + 2^A+1) + 2 (п + 1) z/(rt) = 0. B0)
С другой стороны, из равенства C) следует пред-
представление
им = (-1)пе-*Нп(х),
с помощью которого уравнение B0) приводится к виду
[е-*Нп (х)]" + 2х [е-*Нп (х)]' + 2(п+ \)е-*Нп (х) = 0.
Выполняя операции дифференцирования, находим
е-х'[-2Нп(х) + 4х2Нп(х)-2хН'п (х)-2хН'п (х)+ Н"п
Опуская экспоненциальный множитель и приводя подоб-
подобные члены, получим дифференциальное соотношение
Нп (х) - 2xHfn (х) + 2пНп (х) = 0. B1)
Поскольку все предыдущие равенства выполнялись тож-
тождественно, то, следовательно, стандартизованный много-
многочлен Чебышёва — Эрмита порядка п удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению
у" — 2ху' + 2пу = 0. B2)
Разумеется, этому же уравнению удовлетворяют и мно-
многочлены Йп{х) и Яп{х), ибо от многочлена Нп(х) они
отличаются лишь постоянными множителями.
Продолжим рассмотрение основных свойств мно-
многочленов Чебышёва — Эрмита. Докажем, что для

174 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
стандартизованных многочленов имеет место формула
[т]
^тBхГ, B3)
которая позволяет вычислять эти многочлены с по-
помощью только алгебраических операций. Но сначала
методом индукции установим равенство
B4)
При малых п = 0, 1, 2 это равенство проверяется не-
непосредственно. Допустим, что оно верно при некотором
п и продифференцируем его почленно. В результате по-
получим
ye ) —е
B5)
Коэффициент при 2х в степени п+ 1 —2&, где 0<k< ПИ,
равен
(-\)n+l~kn\
+
1)!
— 2k + 1 " ^ J k\(n+\—2k)\ '
Вывод формулы B6) непригоден в случае k = 0, ибо
вторая сумма в равенстве B5) не содержит 2х в степени
л + 1, но сама формула B6) справедлива и для стар-
старшего коэффициента, так как в силу B4) этот коэффи-
коэффициент равен (—i)"-bi-fcf Что касается коэффициента при

§ !] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 175
самой младшей степени 2х, то в случае четного п, т.е.
при условии п==2т) формула B6) справедлива вместе
с выводом ее. А если п = 2т + 1, то нулевая степень ве-
величины 2х содержится только во второй сумме и коэф-
коэффициент ее (фактически свободный член) равен
(__l)"-m п\ (п — 2т) 2 _ (-\)п~т{п+ 1I2 _
' т\ (п — 2т)! ~~" т\ (п + 1) "~~
(m+1)!
т.е. формула B6) справедлива и в этом случае, ибо при
условии п = 2т \- 1 число п + 1 = 2т + 2 является чет-
четным и в формуле B4) последнее слагаемое имеет номер
т+ 1.
Таким образом, равенство B4) доказано. С помощью
этого равенства из формулы Родрига C) получается
представление B3).
Формулу B3) удобно рассматривать отдельно для
четных и нечетных номеров п. Поскольку символ у
означает целую часть числа -~ , то из B3) находим
формулы
kiBm-2k)\
= 0
m
(X) —
klBm+\- 2k)\ (ZX) •
С помощью этих формул нетрудно вычислить значе-
значения стандартизованных многочленов Чебышёва — Эрми-
та и их производных в отдельных точках. Например,
имеем равенства
Я2т@) = (-1Г-^-(-1)т2тBт--1)!!, B9)
Я2т+1@) = 0, C0)
^ @) = (- 1)т -^^р^ 2. C1)

176 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА — ЭРМИТА [ГЛ. V
§ 2. Интегральные соотношения
Рассмотрим различные интегральные представления
многочленов Чебышёва — Эрмита, а также выведем ин-
интегральные уравнения, которым эти многочлены удов-
удовлетворяют.
Прежде всего, из разложения производящей функции
A.14), используя формулу для коэффициентов ряда Тей-
Тейлора, имеем равенство
где Г —произвольный контур, охватывающий начало ко-
координат.
Для получения других, более важных, интегральных
представлений мы воспользуемся известной формулой
([52], п. 519)
со
е-** = -?=¦ [ e~t2 cos B*/) dt, B)
в которой интеграл можно дифференцировать по пара-
параметру х сколь угодно раз, ибо и после дифференцирова-
дифференцирования он сходится равномерно относительно х. Дифферен-
Дифференцируя 2т раз, с помощью формулы Родрига получим
со
(_1\т 92т + 1 х2 Г
Н2т (х) = ( 1} ;_ \ e-*'t*» cos Bxt) dt. C)
-Vя о
Аналогично дифференцирование формулы B) 2ш+1 раз
приводит к равенству
Н2т+1 (х)= ( 1} ,- \ е-^™+1 sin Bx0 dt. D)
Эти две формулы объединяются в одну
со
Нп (х) = -JL 2"+хех' [ е~'У cos (ixt - ^Л dt. E)
Vn J V 2 )

§2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 177
Далее, подынтегральные функции в интегралах C)
и D) четны. Поэтому эти формулы можно объединить
в виде равенства
оо
//„(*) =-М-2/yV \ e-i2+2xtitndt, F)
Л/Л J
— оо
ибо, раскрывая множитель ехрBх//) по формуле Эйле-
Эйлера, мы представим интеграл F) в виде суммы двух ин-
интегралов, один из которых в силу нечетности подынтег-
подынтегральной функции равен нулю, а второй совпадает
с одним из интегралов C) или D) в зависимости отчет-
отчетности или нечетности номера п.
Еще одно интегральное представление
G)
легко проверяется с помощью формулы A.23). В самом
деле, учитывая равенство нулю интегралов от нечетных
функций, получим
= [ Bх + 2it)a
4
Л/Л
— со
п р5
= -JL У Ckn Bx)n~k Bi)k \ tke~i2 dt =
Л/71 Z~J J
V k = 0 -oo
= 1 V (_d*cTBx)n-2k22k \
Vlt *=o -i
В силу известного равенства ([52], II)
оо
f ,9Ь „ ,, Bft—1)!! /— Bft)! /—
J ^е~* dt=y 2fe V" =i^rV"
интегралы все вычисляются. Далее имеем
n2k Bk)\ _ n\Bk)\ _ n\
ft! Bft)! (n — 2ft)! ft! ft! (« — 2ft)! '

L78 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
и, таким образом, последняя сумма действительно совпа-
совпадает с правой частью формулы A.23).
Из формулы G) можно получить ряд следствий. В ча-
частности, дифференцируя по х и снова применяя ту же
формулу при п— 1, получим равенство
Н'п(х) = 2пНп-1{х). (8)
Аналогичным образом, интегрируя равенство G) по х
в пределах от 0 до х, найдем формулу
Далее, подставляя в рекуррентную формулу A.17)
вместо последнего слагаемого его выражение из (8), по-
получим равенство
Нп+х(х) = 2хНп{х)-Н'п(х), (Ю)
из которого следует формула
е-*Нп+х(х) = -[е-*Нп(х)]'. (И)
С помощью формулы F) нетрудно вывести еще одну
производящую функцию для многочленов Чебышёва —
Эрмита. Для этого мы сначала заменим в интеграле F)
t на и и умножим это равенство на аналогичное ему
с заменой х и и на у и v. В результате получим
Нп {х) Нп(у) =
~ оо — оо
1
Умножая это равенство почленно на —титг^ и сумми-
суммируя, найдем
°° Нп (х) Нп (у) п ^
п\2п
Bw)n J ^ e-"f+2;ctt'-of+2^/(Mi;)'1 dw du. A2)

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 179
Для обоснования изменения порядка суммирования
и интегрирования в правой части A2) приведем подроб-
подробные формулировки известных результатов о почленном
интегрировании функциональных рядов в случае несоб-
несобственных интегралов ([50], стр. 57, [52], II, стр. 697).
Пусть ряд
A3)
состоит из неотрицательных функций и при всяком b
> а возможно почленное интегрирование, т. е. имеем
"n(x)dx. A4)
/1 = 1 а
Тогда справедливо равенство
оо
\ A5)
/1=1 а
если функция f(x) интегрируема, либо если ряд справа
в A5) сходится. Равенство A5) имеет место при любых
действительных или комплексных функциях {ип(х)}>
если сходится одно из выражений
Г оо ""I
?|М*)| \
dx, ?$1М*)И*. A6)
В частности, если функции {ип(х)} интегрируемы в
несобственном смысле на конечном интервале (а, 6), то
равенство A4) справедливо при условии, что интегралы
A6) распространены по этому интервалу (а, 6), причем
сходится либо ряд, либо интеграл.
Разумеется, во всех формулах можно вводить неко-
некоторый функциональный множитель <р(х) и вместо функ-
функций/(х) и {ип(х)} рассматривать произведения/(()
и {ип(х)ч>(х)}.

180 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА-ЭРМИТА [ГЛ. V
С помощью этих результатов имеем равенство
оо
\ ехр (— и2 + 2хш — v2 + 2yvi — 2wuv) du =
о
00 г оо -I
= J ехр (- и2 + 2xul -v2 + 2yvi) ? ¦*=!? Bwuv)n du =
о Lrt=0 J
^P Bа;°)Л J exP (— ц2 + 2л:ш" - y2 + 2^ш) ип du,
0
ибо в данном конкретном случае сходимость и интегра-
интеграла и ряда A6) очевидна.
Аналогичное равенство имеет место, если интервал
(О, оо) заменить интервалом (—оо, 0). Складывая эти
два равенства почленно, а затем интегрируя по v отдель-
отдельно по интервалам @, оо) и (—оо,0) и снова применяя
формулу A5), получим
оо оо
\ \ ехр (— и2 + 2xui — v2 -f- 2yvi — 2wuv) du dv =
— oo —oo
Я-0
oo oo
X \ \ (uv)nexp (— u2 + 2xul — v2+ 2yvi) du av.
— oo —oo
Следовательно, ьместо равенства A2) имеем
я-0
оо оо
it**1" j \ехр^~и<2 + 2xui ¦"у2 + 2у°1 ~~2шх))dudv
— оо —оо

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ Igj
Для вычисления интеграла в правой части дважды
применяем известное равенство ([15], стр. 321)
ехр(—aV —26s)rfs = ^exp(-?5-), Rea2>0. A7)
В результате получим разложение
из которого, в свою очередь, при х==у следует формула
^^, \w\<\. A9)
Выведем теперь интегральные уравнения для много-
многочленов Чебышёва — Эрмита. В разложении A.14) вме-
вместо z подставим t и умножим это равенство почленно на
некоторый экспоненциальный множитель
ехр (- w2 + 2wt--^-+ xti) =
Нетрудно убедиться в том, что ряд из B0) можно интег-
интегрировать почленно по интервалу (—оо, оо). В самом
деле, из формулы A.23) имеем
[п/2] [л/2]
J Bi\t\)iV
Следовательно, при любом п выполняется неравенство
\Ш2]
k-Q

182 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
с помощью которого, снова используя A.14), мажори-
мажорируем ряд B0)
Таким образом, в данном случае интеграл A6) сходит-
сходится, и, следовательно, ряд в B0) можно интегрировать
почленно, т. е. имеем
оо
ехр (— w2 + 2wt — y + ixt) dt =
= Z it ) ехР {ш - т)Нп ^ dL BХ)
/2 = 0 —оо
Вычисляя интеграл слева с помощью формулы A7), на-
находим
оо
ехр [--?¦+2 (w+ -?)*]* =
= е~а% V2n ехр[2 (w + -^-J] ==
= У2я ехр (ш2 + Iwix — -^y) =
Подставляем полученное разложение в левую часть B1)
и приравниваем коэффициенты при одинаковых степе-
степенях w. В результате получим
{i)nHn(x)= \ e 2Ha(t)dt, n = 0, 1, 2, ...
B2)

§3] МЕТОД ЛИУВИЛЛЯ — СТЕКЛОВА 183
Разлагая множитель ехр(/х^) по формуле Эйлера и учи-
учитывая тот факт, что H2m(t) есть четная, a H2m+\(t) —
нечетная функции, найдем, что многочлены Чебышёва —
Эрмита удовлетворяют интегральным уравнениям
Н2т (х) = (- \)т д/|- J е~Н2т (/) cos xt dt, B3)
о
^^ е *H2m+l(() sin xtdt. B4)
о
Последние три замечательных равенства означают
инвариантность многочленов Чебышёва — Эрмита с не-
некоторым экспоненциальным множителем относительно
преобразований Фурье.
§ 3. Метод Лиувилля — Стеклова
в применении к многочленам Чебышёва — Эрмита
Рассмотрим теперь асимптотические свойства много-
многочленов Чебышёва — Эрмита, причем в качестве метода
исследования снова используем метод Лиувилля — Стек-
лова, изложенный применительно к многочленам Ле-
жандра в § 4 гл. IV.
Прежде всего докажем, что так называемые функции
Чебышёва — Эрмита
vn(x) = e-x2/2Hn(x)> /i = 0, 1, 2, . . ., A)
удовлетворяют дифференциальному уравнению
В самом деле, находим производные функции A)
vn (х) = - xe-xmHn (х) + е-хЧ2Н'п (х),
— хр~х*/2Н' (х) — хе~~х2/2Н' (х) 4- е~х*/2Н% (х)

184 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА — ЭРМИТА [ГЛ. V
Подставляем вторую производную в левую часть B),
получаем
t/'M + B«+i-*2KM =
= е~хЧ2 \_W'n (х) - 2хН'п (х) + хНп (х) - Нп (х) +
+ Bп+1-х2)Нп(х)] =
= е~хЧ2 [Н„ (х) - 2хН'п (х) + 2пНп (*)] = О
в силу тождества A.21). Таким образом, для функций
Чебышёва — Эрмита имеем
t/'(*) + Bя + 1 - х2) у» = 0. C)
Теорема 5.1. Многочлен Чебышёва — Эрмита Нп (х)
удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра вто-
второго рода
в-*'/2Я„ (*) = *¦„ COS (V
X
+ ' ^ sin [л/2п+1(х — t)] fe-ttl2Hn (t) dt, D)
0
где
m! ^ 7"' ^m + i ml Y4m + 3
Доказательство. Уравнение (З) представим
в виде
и будем условно рассматривать его как линейное неод-
неоднородное дифференциальное уравнение с правой частью
x2vn(x). Тогда соответствующее однородное уравнение
v"{x) + Bn+ 1)о(л;) = 0
имеет два линейно независимых решения
х){ (х) = cos <\/2п + 1 х, v2 {x) = sin д/2я + 1 х. G)
Чтобы применить формулу общего решения D.4.3), надо
подсчитать разности, стоящие в числителе и знаменателе

§ 3] МЕТОД ЛИУ ВИЛ ЛЯ - СТНКЛОВА 135
дроби под знаком интеграла D.4.3). В силу G), вводя
для краткости обозначение N = ^2n-\- 1> находим
= cos Nx sin Nt — sin Nx cos Nt = sin N (t — x),
v[(t)v2(t)-v'2(t)v{(t) =
= — N sin Nt sin Nt — N cos Nt cos Nt = — N =
Следовательно, в данном конкретном случае вместо
D.4.3) имеем общее решение условно неоднородного
уравнения F) в виде
1 Г
-jr} sinN{x — t)t2e 2 Hn{t)dt,
+ 1. (8)
Определим постоянные С\ и с2. Полагая х = 0, полу-
получим Нп@) = С\. Далее дифференцируем (8) по х:
X
= - c{N sin Nx+c2N cos Nx + J cos N (x -/) Ре-*Ч'2Нп (/) Л
о
и снова полагаем х = 0. В результате найдем Я„@) =
= C2N. Подставляя найденные значения постоянных в
формулу (8), получим
е-*'1*Нп (х) = Нп @) cos Nx + ^H'n @) sin Nx +
X
+ jj- 5 sin yv (x - 0 /2e-"/2//n @ rf/,
(J
(9)
+ 1

186 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
Далее в силу формул A.29) — A.31)
Я2т@) = (-1)т-^-, Я2т+1@) = 0,
тBт + 1)! A0)
#2т @) = 0, Н2т+1 @) = (— 1)т 2
из двух внеинтегральных слагаемых в правой части (9)
фактически есть только одно. Следовательно, эти два
слагаемых можно представить в виде
К cos (Nx - ^-) = Хп cos Nx cos Ц- + %п sin Nx sin -^L
и определять коэффициент Кп отдельно для четных и не-
нечетных п. Если п четно, т. е. п = 2т, то в силу E) имеем
Я2т cos Nx (- 1)т = (- \)т ??$- cos iVx = H2m @) cos Л^х.
Аналогично при условии я = 2т+1, используя A0),
находим
• at i л\т (~1)т2Bт+ 1)! . дг
sin Nx (— 1) = -1—\ 7j , o— sin A^jc =
Таким образом, формула D) при условиях E) доказана.
Для изучения асимптотических свойств многочленов
Чебышёва — Эрмита необходимо рассмотреть поведение
последовательности {Хп}.
Лемма 5.1. Для коэффициента Кп в равенстве D)
имеет место асимптотическая формула
[ (^)J (И)
Доказательство. Применяем формулу Стирлин-
га D.4.22) с остаточным членом в виде
In Г (а) = In V^ + {a - j) lna- a + -^-. A2)

§ 3] МЕТОД ЛИУВИЛЛЯ — СТЕКЛОВА J37
В случае четного номера по определению E) имеем
. _ ГBт+1) __ Т(п + \)
Логарифмируя это равенство и применяя формулу A2),
находим
= In л/2^ + (л + у) In (n + 1) - (п + 1) + О (-1) -
+ тI"(т + 0 + (т+0 + °(т)
+ -jln(« + l)-i---J-ln(-5-+ l)-
+ О D-) = 1 In B"+1,- V) + f In A + 1) +
ri
f [4-+<>(_¦,.
Аналогично для нечетных номеров в силу формулы E)
^ = 2ГBт + 2) = 2Г(/г+1)

188 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
после применения формулы Стирлинга A2) имеем
In Я2т + 1 = In 2 + In Г (п + 1) - In Г (i + у) -
- 1 In Bn + 1) = In 2 + In V2^ + (n + j) In (n + 1) -
= ~ In 2 + n In (n + 1) + j I" (« + 1) -
+ о (-L) - m (г^Лт) + jl [L + о (^)] -1 +
Таким образом, в обоих случаях справедливо равенство
( H±L -JL JL\ / i ч
я = 1п12 2 е 2пЧ + Ап, Дя = О (-?-).
потенцируя которое найдем
п+\ _п_ п_ «+1 __п_ п_
Кп = 2 2 е 2п2А = 2 2 е 2 п2 [1 + О (--
Итак, лемма 5.1 доказана.
А теперь рассмотрим асимптотику многочленов Че-
бышёва — Эрмита.
Теорема 5.2. Для стандартизованных многочленов
Чебышёва — Эрмита имеет место асимптотическое пред-
представление
Нп(х) = Ке™ [cos (V2^+Tx - *f) + Rn(x)], A3)

§ 3] МЕТОД ЛИУВИЛЛЯ - СТЕКЛОВА Igg
остаточный член которого допускает оценку
\Rn(x)\<Csn-l/4\xf12, XGE(-OO, оо), (И)
где постоянная с3 не зависит от п и х.
Доказательство. Из формулы D) следует, что
для остаточного члена справедливо равенство
х
Rn (х) = -цп- \ sin N (х -1) {*е-*ч*На (/) dt,
При положительном х этот интеграл оценивается с по-
помощью неравенства Буняковского — Шварца и формулы
A.7)
2 х х
х
J t2e-f2'21 Нп (/) \dt
О
x
dt Je-i2H\ (/)dt -
0 0
= -g- л! V« 2" J e-<" | Я„ (/) p dt = 4 n!
Далее, учитывая известную формулу Стирлинга для
факториала
и равенство A1), находим из A5) для любых х оценку
In л/2п +1 V 10
А Л JL Л.
5 1
п2е
Таким образом, теорема 5.2 доказана.

190 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
Из формул (И), A3) и A4) имеем асимптотическое
равенство
Hn(x) = 2 2 n*e 2e
X [cos (Nx --^) + Rn {x)] = V2 (^ff^ X
X [cos (Nx - *f) + О (-JL) + О {п"* | x \Щ . A7)
Далее, чтобы получить аналогичную формулу для орто-
нормированных многочленов, надо определить асимпто-
асимптотику коэффициента в равенстве A.7). Представляя фор-
формулу Стерлинга A6) в виде
пХ = (т) V2^(l + ал), ап = О {}-) ,
имеем
Следовательно, из формулы A.7), учитывая A7), полу-
получаем
Нп (х) = ,_i_ Нп (х) = а/А BпГтexV2 X
Таким образом, имеем асимптотическую формулу
X'12 [cos (Nx -jt) + °{
A»П] A8)
Асимптотические формулы A7) и A8) получены ме-
методом Лиувилля — Стеклова, который в данном конкрет-
конкретном случае состоит из следующих операций и преобразо-
преобразований:

§3] МЕТОД ЛИУВИЛЛЯ — СТЕКЛОВА igj
1. Для функций Чебышёва — Эрмита выводится диф-
дифференциальное уравнение C).
2. Дифференциальное уравнение C) представляется
условно как неоднородное уравнение F), «решение» ко-
которого находится в виде равенства D), которое факти-
фактически есть интегральное уравнение Вольтерра второго
рода для функции Чебышёва — Эрмита, ибо эта неизве-
неизвестная функция, помимо левой части, входит еще и под
знак интеграла.
3. Интеграл в формуле D) оценивается через изве-
известную норму этой функции, в результате чего формула
D) превращается в асимптотическую формулу A3) с
оценкой остаточного члена A4).
4. Определяется асимптотика коэффициента %п в фор-
формуле A3).
В результате выполнения всех этих операций мы по-
получили формулы A7) и A8). Но установленные резуль-
результаты не исчерпывают всех возможностей метода Лиу-
вилля — Стеклова. Наоборот, можно сказать, что этим
методом мы проделали лишь первый шаг в изучении
асимптотических свойств многочленов Чебышёва — Эр-
Эрмита.
Рассмотрим теперь второй шаг. Для этого равенство
D) заменой х и t на t и т представим в виде
= К cos (м - -2р.) + i \ sin [N (t - т)] т*е-™нп (т) dx
О
и подставим правую часть в интеграл D). В результате
получим
о-"/2Нп (х) = К cos [Nx - ^~
+ If \ sin [N (x -1)] t2 cos (м - 4r) dt +
0
S t V
sin [N (x-t)] t21 J sin [N (/-т)] т2е-^2Нп (т) dx >dt.
A9)

192 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА-ЭРМИТА [ГЛ. V
Первый интеграл в правой части не зависит от функции
Чебышёва — Эрмита и легко вычисляется, но мы не бу-
будем этого делать, а просто обозначим его Ап(х). Интег-
Интеграл в фигурных скобках уже оценен при рассмотрении
остаточного члена A5). В целом третье слагаемое после
деления его на кп не превосходит величины
B0)
Следовательно, из A9) имеем асимптотическую фор-
формулу
= К*** [cos (Nx - -f-) + ±$L + о 0г~3/4| х П], B1)
Разумеется, можно снова под знак интеграла в фи-
фигурных скобках A9) вместо функции Чебышёва — Эрми-
Эрмита поставить ее выражение по формуле D) и тем самым
в асимптотической формуле для многочленов Чебышё-
Чебышёва— Эрмита выделить третье слагаемое, причем оценки
остаточных членов можно несколько улучшить, если бо-
более точно оценить интеграл A5). Такая общая асимпто-
асимптотическая формула для многочленов Чебышёва — Эрмита
приведена в монографии [43].
В заключение приведем одну оценку многочлена Че-
Чебышёва— Эрмита, которая является следствием все того
же интегрального уравнения Вольтерра D).
Теорема 5.3. Для переменного сегмента
[-А„,Ап], Л„=DI/3B«+1I/6, B2)
имеет место неравенство
I Нп (х) | в"*2'2 < 2К, х е= [- А„ Ап]. B3)
Доказательство. Обозначим Мп максимум функ-
функции \Нп(х) |ехр(—х2/2) на сегменте [—Ап, Ап\. Тогда

§ 4] РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА 193
при х е [—Ап, Ап\ из уравнения D) находим
+ 1 3 V 2 J V ^ ' я 2 ^
Следовательно, имеем неравенство Мп^кп + -к-Мп, из
которого следует оценка Мп ^ 2Хп, и этим теорема 5.3
доказана.
Для ортонормированных многочленов Чебышёва —
Эрмита в силу A.7), A1) и A6) при х^ [—Ап> Ап] по-
получаем
•^ I T-f ( v\ I О5i
v2/o I тт / \ l v;2/o ** fi \X) I ^^» ^j'*Yl
^ \ 11 n W I ^ / 7=—— ^; / -pz——
L \ n /J
Таким образом, для ортонормированных многочленов
Чебышёва — Эрмита имеет место неравенство
е~^21 Нп {х) | < счп~ч\ х е [- Лп, Ля], B4)
в котором постоянная с7 не зависит от п и х.
Неравенства B3) и B4) называются весовыми оцен-
оценками многочленов Чебышёва — Эрмита на расширяю-
расширяющихся сегментах.
§ 4. Ряды Фурье
по многочленам Чебышёва — Эрмита
Пусть функция f(x) определена на всей оси и при-
принадлежит пространству L2 = L2[—оо, оо; е~х2], т.е. вы-
выполняется условие
оо
е-'> dt < оо. A)

194 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЁВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
Тогда для этой функции можно определить коэффициен-
коэффициенты Фурье по многочленам Чебышёва — Эрмита
ап= \ f(()e-"Hn(<)dt B)
и рассматривать соответствующий ряд
? апНп(х). C)
В § 3 гл. I рассмотрены ряды Фурье по общим орто-
ортогональным многочленам, причем сначала приведены ре-
результаты, относящиеся, в частности, и к' случаю, когда
сегмент ортогональности бесконечен. Из этих результа-
результатов следует, что частичные суммы ряда C) являются
наилучшими приближениями функции j(x) в метрике
пространства L2, и имеет место неравенство Бесселя
I ^ < II/II2,
п=0
из которого следует условие
lim ап = 0. D)
Далее, вместо формул A.3.13) и A.3.14) здесь имеем
равенства
sn (х; f) = \ е-*Ч @1 ? Нк (х) Hk (/) | dt,
f{x)-sa(x;f)= ^-q/W-/@][f Hk(x)Hk(l)\dt.

§ 4] РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА 195
Применяя формулу Кристоффеля — Дарбу A.18), полу-
получим
f M - sn (х; f) = ^
X [Яп+1 (x) Hn (О - Hn W Яя+, @] Л =
- л/^Рй»W J e~"
Если ввести обозначение
то формула E) приводится к виду
=v:
[сЛ (Фя) Яга+, (х) - ап+, (Фж) Я„ (х)]. F)
Применять здесь теорему 1.7 нельзя, ибо в той теореме
сегмент ортогональности считается конечным, благодаря
чему множитель Хп в формуле Кристоффеля — Дарбу
ограничен, а здесь этот множитель возрастает со ско-
скоростью л/п. Но зато здесь оказывается, что вместо D)
имеет место несколько более сильное утверждение, ко-
которое и поможет доказать, что правая часть F) убы-
убывает к нулю.
Лемма 5.2. Если функция ф(/) задана на всей оси
и абсолютно интегрируема с весовой функцией
A+т5/2)ехр(-т)'
т. е. выполняется условие
()°o, G)

196 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
то имеет место предельное соотношение
НшЛя(ф) = 0. (8)
/г-» со
Доказательство. Асимптотическую формулу
C.18) можно представить в виде
«n(t) =
= VI B*r1/v'/2 Н (№ -19 +** « + «?
где остаточные члены допускают оценки
в которых постоянные не зависят ot/i и /g (—со, оо).
Следовательно, из формулы B), учитывая G), имеем
а»(ф)= J Ф (/) *-*'#„ @ # =
Ф
—оо
= д/|- Bп)-1/41 J Ф @ e-W cos (JV/ - f-
Интеграл в фигурных скобках можно представить в виде
суммы двух интегралов
оо
cos "T" S ф (/^ е~ m cos ^ dt +
+ sin 2g- J ф (/) e-i2'2 sin Nt dt, (9)
N = V2« + 1 •

§ 4] РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА — ЭРМИТА 197
В силу известных результатов из теории интегралов
Фурье ([52], III, п. 712) оба эти интеграла стремятся
к нулю при N-+oo. Таким образом, лемма 5.2 дока-
доказана.
Теорема 5.4. Если при фиксированном х вспомога-
вспомогательная функция фд. (/) = _ [ удовлетворяет ус-
условию G), то ряд Фурье по многочленам Чебышёва —
Эрмита C) функции f(t) сходится к этой функции в
точке х7 т. е.
f(x)=f,anHn(x). A0)
/2 = 0
В самом деле, в силу неравенства C.24) и условия
(8) правая часть равенства F) убывает к нулю при
П->- оо.
Общий результат теоремы 5.4 можно несколько конк-
конкретизировать, рассматривая некоторые определенные ус-
условия на поведение функции f(t) в окрестности точки х
и на всем интервале (—оо, оо).
Теорема 5.5. Если функция f(t) в окрестности точ-
точки х удовлетворяет условию Липшица
\f(t)-f(x)\<M\t-x\a,
0<ех<1, /€=(* —в, х + 6), '
и, кроме того, выполняется условие
5 ^2/2|/(/)|[1+|/|3/2]Л<оо, A2)
то ряд Фурье по многочленам Чебышёва —Эрмита функ-
функции f(.t) сходится к этой функции в точке х.
Для доказательства достаточно из условий A1) и
A2) вывести неравенство G) для вспомогательной
Функции ср*(О- Если х зафиксировано и число А
удовлетворяет условию |*| < Л, то интеграл G)

198
МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА
1ГЛ. V
представляем в виде суммы трех интегралов
f2
f(x)-f(t)
х— t
-A
dt =
dt+
e-t2/2\tf
12
x — t
dt.
Так как х зафиксировано и хе (—Л, Л), то первый и
третий интегралы справа существуют в силу условия
A2), а второй в силу условия Липшица A1). Таким об-
образом, теорема 5.5 доказана.
Из теорем 5.4 и 5.5 следует, что в смысле локальных
достаточных условий сходимости ряды Фурье по много-
многочленам Чебышёва — Эрмита аналогичны рядам Фурье
по тригонометрической системе и рядам Фурье — Чебы-
Чебышёва. Только здесь появляется дополнительное условие
G), связанное с бесконечностью интервала.
В заключение сформулируем условие равномерной
сходимости ряда C) на конечном сегменте [Л, В]. В си-
силу неравенства C.24) и формулы F) для равномерной
сходимости указанного ряда достаточно, чтобы последо-
последовательность {п'иап(срх)} сходилась к нулю равномерно
при х е [Л, В]. Анализ доказательства леммы 5.2 пока-
показывает, что для этого достаточно, чтобы оба интеграла
в (9)
> (X)Z
Ntdt,
jj ['<*>-;<*>]«-*» sin Ntdt
стремились к нулю равномерно относительно xg [Л, В].
А в силу известных результатов теории тригонометриче-

§ 5] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 199
ских рядов Фурье ([52], III, пп. 698—699) для этого, в
свою очередь, достаточно, чтобы интеграл
сходился равномерно относительно х ^ [Л, В]. В част-
частности, это будет выполнено, если функция f(x) на сег-
сегменте [А — е, В + е] удовлетворяет условию Липшица.
Разумеется при этом должно быть выполнено условие
A2).
§ 5. Примеры разложения функций в ряды Фурье
по многочленам Чебышёва — Эрмита
Обычно на практике применяются разложения по
стандартизованным многочленам Чебышёва — Эрмита.
Из равенства A.7) находим
Следовательно, коэффициенты разложения по стандар-
стандартизованным многочленам определяются формулой
A)
У я п\ 2п
Во многих случаях разложения по многочленам Че-
Чебышёва — Эрмита получаются различными искусствен-
искусственными приемами и в том числе с использованием произ-
производящих функций.
Например, полагая в формуле A.14) w = a/2 и z=x,
получим разложение показательной функции
fl* Н„ (х) B)
/г-0

200 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА — ЭРМИТА [ГЛ. V
Аналогично из равенств A.15) и A.16), полагая в них
ку = 1, получим формулы
е sin 2x =
причем все эти ряды сходятся абсолютно при любом ко-
конечном х и равномерно на всяком конечном сегменте.
Далее, полагая в равенстве B) сначала а = 2, а за-
затем а = —2, получим представления
с помощью которых находим разложения гиперболиче-
гиперболических функций
n-0
sh 2x = ?
B/г+ 1)!
Найдем теперь разложение функции
В силу четности этой функции все нечетные коэффициен-
коэффициенты ее равны нулю. А для четных, используя интеграль-
интегральное представление многочленов Чебышёва — Эрмита
B.3), имеем
оо _оо
о Lo
{~*? 5 е~а2х2 S е~*Ч2п cos

§ 5] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 201
Перемена порядка интегрирования законна, ибо оба ин-
интеграла в квадратных скобках сходятся равномерно от-
относительно параметров, а повторные интегралы сходятся
абсолютно, и тем самым выполнены условия теоремы о
перемене порядка интегрирования в несобственных ин-
интегралах ([52], II, стр. 715). Внутренний интеграл вы-
вычисляется с помощью формулы B.2):
о
Следовательно, находим
с2п=
Заменяя переменное интегрирования по формуле I
= A +а2)а-Ч2, получим
n аBп).
л/я A + а2) 2 Bп)\
Наконец, используя формулу удвоения для гамма-функ-
гамма-функции D.4.18), имеем
(-\)п а2пТ Bп) __ (-\)па2п
^ B«)!22"-'ГЫ п\22п(\ + а2)" 2
Таким образом, имеем разложение
^

202 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
сходящееся при всяком х. Из формулы C) нетрудно по-
получить разложение для интеграла вероятности
-*'dt. D)
В самом деле, в равенстве C) положим а = 1 и про-
проинтегрируем его по л: в пределах от 0 до х, а затем вос-
воспользуемся формулой B.9). В результате этого получим
/2 — 0
Этот ряд сходится при всяком х и гораздо быстрее, чем
степенное разложение интеграла вероятности D).
Рассмотрим теперь пример, который имеет некоторое
теоретическое значение, а именно, разложим в ряд
Фурье по многочленам Чебышёва — Эрмита нечетную
функцию f(x) =sign*. Считаем нечетные коэффициен-
коэффициенты. Принимая во внимание четность подынтегральной
функции и используя формулу B.11), находим
Подставляя значение четного многочлена в начале коор-
координат, определяемое формулой A.29), имеем
= __ (-\)п B/t)l = _ (-1)*
2/2+1 л/пBп + \)\22п п\ л/пп\Bп+\J2п
Таким образом, справедливо разложение
n!B«+l)n2»
V
/2 = 0
Наконец, рассмотрим очень характерное в смысле
способа вычисления коэффициентов разложение степен-
степенной функции
f(x) = \x\p р>-1, ^е(-оо, oo)f

§ 5] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 203
Так как эта функция четная, то считаем только четные
коэффициенты. Используя формулу B.11), получим
е~"х"Ны w dx ~
о
1
р + 1 .
x?e-*2xH2n+l(x)dx.
Далее применяем рекуррентную формулу
Т Н2п+2 (х) = хН2п+1 (х) - Bп + 1) Н2п (х),
2
в результате чего имеем
2
т
хРе~ н*п (х) dx > = ^\ '- с2п+2+ ^г
Следовательно, для искомых коэффициентов получается
рекуррентная формула
р — 2п
~ °2
с помощью которой находим
2Л1 A+2) A +4) ... A+2л-2) 2 B + 2) B + 4) ... B + 2/1 — 2)
2ftl • 3 • 5 • ... Bлг — \Jпп\
_ р (р - 2) (р - 4) . ¦ ¦ (р - 2/1 + 2)
~ 2*

204 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЁВА — ЭРМИТА 1ГЛ. V
Так как
2 1" 9 ' ' 1
co = —F=.\ xpe~x dx = -
^я 0
то, следовательно, имеем, наконец, искомое разложение
Н2п(х).
F)
В частности, если р есть четное число, т. е. р = 2т, то,
используя снова формулу удвоения для гамма-функции
D.4.18), найдем
т
Bm)! V^ 1
х Ш = 22ш 2-/ Bл)! (т - п)\ ^2п М"
Таковы наиболее характерные примеры разложений
функций в ряды Фурье по многочленам Чебышёва —
Эрмита. В силу весьма важных формул B.8) и B.9) все
полученные разложения формально можно дифференци-
дифференцировать и интегрировать любое число раз. В результате
снова будем получать разложения Чебышёва — Эрмита.
§ 6. Применение многочленов Чебышёва — Эрмита
в квантовой механике
Как известно, в квантовой механике большую роль
играет уравнение Шрёдингера
ЬЪ + $(Е-Ц)* = 0, A)
где функция г|) = г|)(л;, у, z), называемая волновой функ-
функцией, определяет движение элементарной частицы в не-
некотором силовом поле, \х — масса этой частицы, Е — пол-
полная энергия ее, U — потенциальная энергия, а Л — по-
постоянная Планка.
Мы рассмотрим уравнение Шрёдингера в одномер-
одномерном случае, когда волновая функция и потенциальная

§ 6] применение в квантовой механике 205
энергия зависят только от одной координаты х. В этом
случае уравнение A) имеет вид
V(x) + ^(E-U)q(x) = 0. B)
Кроме того, будем считать, что потенциальная энергия
определяется формулой
т.е. на частицу действует упругая сила по закону F(x)~
== —ii(o2xy где со есть собственная частота колебаний ча-
частицы. При этих предположениях уравнение B) пред-
представляется в форме
$(?)(x) = 0. C)
Далее, из физического смысла задачи следует, что неиз-
неизвестная функция должна удовлетворять условию
f(x)dx=l, D)
которое с математической точки зрения заменяет собой
дополнительные данные для определения единственного
решения уравнения C).
С другой стороны, из теории дифференциальных урав-
уравнений известно, что уравнение вида C) не при всяких
значениях входящих в него параметров имеет решения,
удовлетворяющие определенным условиям. Таким обра^
зом, математически задача решения уравнения C) за-
заключается в том, чтобы найти такие значения величины
?, при которых решение этого уравнения было бы огра-
ограниченным равномерно при всех х и удовлетворяло бы
условию D). Физически это означает, что требуется оп-
определить такие допустимые значения энергии ?*, при ко-
которых возможны стационарные состояния элементарной
частицы в данном силовом поле. Иначе говоря, требует-
требуется определить такие значения Е— спектр собственных
значений энергии, — при которых существуют ограни-
ограниченные на всей оси решения уравнения C) — собствен-
собственные функции, удовлетворяющие условию D).

206 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
С целью упрощения уравнения введем новые обозна-
обозначения для постоянных и заменим независимое перемен-
переменное. Положим x=qt, где q — некоторая постоянная, и
введем обозначение v(t) = ty(qt). Тогда получим
d2ty __ 1 d2v
dx2 ~~ q2 dt2 '
Следовательно, уравнение C) и условие D) теперь
имеют вид
V" @ + Ц?- (Е -1 V-^qH2) V @ = 0, E)
F)
— оо
Выберем q так, чтобы выполнялось условие
т. е. положим
и введем новый параметр
Я* = —Го— Е ==: ~1— • (8)
/г2 /гсо v '
Тогда вместо E) и F) получим
A0)
Далее вместо v(t) введем новую неизвестную функцию
Q(t) по формуле
v(() = e~t2l2Q(t). A1)
Дифференцируя это произведение, находим
v" @ = - te-W [- IQ (t) + Q' @] + e-'2/2 [_ Q (/) _

§ б] ПРИМЕНЕНИЕ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ 207
Подставляем в уравнение (9)
v"(t) + (b-t*)v(t) =
= е~^ [t2Q (/) - 2/Q' (t) - Q @ + Q" (t) - (A, - /2) Q (/)] =
= e-W [Q" (t) - 2/Q' (/) + (Я, - 1) Q (/)] = 0.
Таким образом, неизвестная функция Q(t), определяе-
определяемая равенством A1), удовлетворяет дифференциально-
дифференциальному уравнению
Q" (/) - 2/Q' (/) + (А, - 1) Q (/) = 0. A2)
Это дифференциальное уравнение имеет только одну
особую точку t = оо. Следовательно, его решение есть
аналитическая во всей комплексной плоскости функция.
Поэтому можно искать решение уравнения A2) в виде
степенного ряда
Q@=L/. A3)
В силу формулы A1) относительно неизвестной функ-
функции Q(t) можно высказать некоторые ограничения, а
именно: произведение A1) должно быть равномерно
ограничено на всей оси и должно выполняться усло-
условие F).
Подставляя разложение A3) в уравнение A2), по-
получим
Z k(k-l) с/ - 2/ Е kcktk~l + (Я - 1) Е с/ = 0.
/г = 2 k = \ /г = 0
Так как это тождество, то при любом k коэффициент при
tk должен быть равен нулю, т. е.
(k + 2)(k+ l)ck+2-2kck + (X- l)ck = 0, k = 0, 1, 2, ...
Таким образом, коэффициенты разложения A3) свя-
связаны рекуррентной формулой
_ 2k + 1 - Я плл
Ck+2— (k+ i) (jfe + 2) Ck' ([q)
Эта формула определяет отдельно и независимо ко-
коэффициенты с четными и нечетными номерами, причем
Два коэффициента Cq и с\ остаются произвольными.

208 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
В принципе можно рассматривать отдельно четное Qo(t)
и нечетное Qi(/) решения уравнения A2), первое из ко-
которых зависит линейно от с0, а второе — от С\.
Из формулы A4) следует, что если параметр К не
является нечетным натуральным числом, т.е. Хф2п-\-1,
то все коэффициенты разложения функции Qo(t), начи-
начиная с некоторого номера, имеют один и тот же знак.
И поэтому функция Qo(t) при t-+oo будет возрастать
по абсолютному значению быстрее, чем t в любой сколь
угодно большой степени. В связи с этим фактом при
условии X ф 2п + 1 мы не можем гарантировать равно-
равномерную ограниченность произведения Qo(Oexp(—12/2)
на всей оси. Аналогичные утверждения справедливы и
для функции Q\(t)j а также и для линейной комбинации
этих функций, ибо в силу четности и нечетности этих
функций линейная комбинация их может иметь ослаб-
ослабленную скорость возрастания только на одной половине
действительной оси.
Следовательно, остается рассмотреть только те зна-
значения параметра X, которые определяются формулой
Я,я = 2я+1, л = 0, 1, 2, ... A5)
При таком выборе параметра К из формулы A4) нахо-
находим
Так как формула A4) связывает коэффициенты разло-
разложения с номерами одинаковой четности, то решение A3)
будет многочленом в том случае, если оно содержит
только те степени /, показатель которых имеет одинако-
одинаковую с номером п четность.
В самом деле, пусть п — четное число, т.е. п — 2т.
Тогда, оставляя с0 произвольным, можно выразить через
него все остальные коэффициенты. При этом нужно обя-
обязательно положить Ci=0, ибо в противном случае будут
отличны от нуля все коэффициенты с нечетными номе-
номерами, а тогда решение не будет многочленом.
Аналогично, если п — нечетное, т.е. я = 2т + 1, то
для того чтобы решение A3) было многочленом, пола-
полагаем Со = 0 и выражаем все нечетные коэффициенты
через с\у который остается произвольным.

§ 61 ПРИМЕНЕНИЕ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ 209
Таким образом, если А,=2Bт)+1, то многочлен
Q2m(t), коэффициенты которого определяются через с0
по рекуррентной формуле A4), является решением урав-
уравнения A2) при условии, что он содержит только четные
степени /, а произвольный множитель с0 можно опреде-
определить так, чтобы выполнялось условие A0). Аналогично
при % = 2Bт-\- 1) + 1 многочлен Q2m+\(t) должен быть
нечетным и за счет выбора с\ должен удовлетворять
тому же условию A0).
Следовательно, в силу A1) последовательности соб-
собственных значений A5) соответствует последователь-
последовательность собственных функций
vn(t)=e-^Qn(t\ n = 0, 1, 2, ..., A6)
которые являются решениями уравнения E) при усло-
условии F), причем каждая функция A6) ограничена рав-
равномерно на всей оси.
А теперь отметим самое главное! Дифференциальное
уравнение A2) при К = 2п + 1 совпадает с уравнением
A.22), которому удовлетворяет многочлен Чебышёва —
Эрмита Hn(t). Поэтому возникает вопрос о связи мно-
многочленов Qn(t) и Hn{t). Мы сейчас докажем, что эти
многочлены могут отличаться только множителем.
В самом деле, из формулы A.23) следует, что два
соседних коэффициента многочлена Hn(t) связаны ра-
равенством
из которого, полагая в нем п — 2k = т + 2, находим
2п — 2т
п п
Но такой же вид имеет рекуррентное соотношение A4),
если в нем поставить Я = 2/2 -f- 1. Следовательно, много-
многочлены Qn(t) и Hn(t) могут отличаться только потому,
что по-разному выбран первый коэффициент. А так как
все коэффициенты у обоих многочленов выражаются ли-
линейно через первый, то, следовательно, многочлены
Qn(t) и Hn(t) могут отличаться только постоянным мно-
множителем, который можно считать положительны^.

210 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
Для определения постоянной Ап в формуле Qn(t) =
z=AnHn(t) воспользуемся двумя равенствами
е~рН2п @ dt = л/пп\ 2п
Из этих равенств находим
М ^ п\ г = д/-^7-
Следовательно, имеем
Подставляем это равенство в A1):
/juu_y/4
_. /л v h )
Наконец, возвращаясь к переменному х — qt, в силу
формулы G) получаем собственные функции дифферен-
дифференциального уравнения C)
п = 0, 1, 2, ... A7)
В силу формул (8) и A5) функция A7) является реше-
решением дифференциального уравнения C) в случае, если
энергия Е удовлетворяет условию

§71 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 211
из которого находится квантовый спектр энергии эле-
элементарной частицы
)й>, /1 = 0, 1, 2, ... A8)
Именно при этих значениях энергии возможны стацио-
стационарные состояния элементарной частицы в силовом
поле.
Таким образом, решения уравнения C) при условии
A8) выражаются через многочлены Чебышёва— Эрми-
та по формуле A7).
§ 7. Параболические координаты
и многочлены Чебышёва — Эрмита
Если некоторая краевая задача рассматривается для
области, ограниченной вертикальным бесконечным па-
параболическим цилиндром, то, прежде чем применять ме-
метод разделения переменных, обычно переходят к пара-
параболическим координатам.
Как известно, параболические координаты |, г), ?
связаны с декартовыми координатами х, у, г формулами
* = &1. У = ^(?-Ч2), г = 1. A)
Из этих формул следует, что координатным линиям
1 = const и ц = const на плоскости (?, ц) соответствуют
два взаимно ортогональных семейства парабол на плос-
плоскости (л:, у).
Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для урав-
уравнения Лапласа в том случае, когда область есть беско-
бесконечный вертикальный параболический цилиндр, граница
которого имеет вид
о
причем из двух бесконечных областей, на которые эта
Цилиндрическая поверхность делит все пространство,
внутренней областью естественно считать ту, которая вы-
выпукла. А в пространстве (|, т|, ?) границе этой области
соответствует плоскость ц = rjo.

212 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
Для преобразования оператора Лапласа к параболи-
параболическим координатам с помощью формул A) вычисляем
производные
ди ди дх . ди ду ди . ди ^
~д1~"Ш dl -t" ~df dl ~ ~дх~ Ц "Т" ду е'
д2и д2и 2 i д2и о | д2и у. , д2и ^2 i ди
~Щ?~~~~дхт^ + ал: аг/ ёТ] "*" ду дх ^ + ~ду* ё +"^"'
^м дм дл; j ^м ^i/ ди - д«
д2и г , ^м 2
ал2 ~" ал:2 ё ал: аг/ ёТ] аг/ ал: ^ъ + ду2 Ц ду '
Следовательно, уравнение Лапласа в параболических
координатах имеет вид
(V + л2)
Применяем метод разделения переменных, т. е. ищем
решение этого уравнения в виде произведения трех функ-
функций:
« = «(&, Л, Q = F®<b(i\)V(Q. D)
Подставляя это произведение в левую часть C), полу-
получим
(^2 + л2) L F (I) ^ OWJ1" V (С)
Отделяем последнее слагаемое и вводим произвольный
постоянный множитель к2
\
(I2 + л2) L F (I) ^ Ф (л) J Т E)
В результате этого получим два уравнения
_ 2 2 « E)
+ Ф(л)
Решение первого уравнения
W @ = Л (Я) cos А? + В (A) sin К F)

§ 7] ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 213
ограничено равномерно при всех ?. А во втором снова
разделяем переменные и вводим новый параметр
Следовательно, вместо E) имеем два уравнения
^ G)
0. (8)
Мы сейчас покажем, что эти два уравнения можно
решить с помощью многочленов Чебышёва — Эрмита.
В первом уравнении вводим новое переменное / =
— I лЛ и новую неизвестную функцию v (/) = р(-у=Л =
= Р(%). Так как F"(?) ='kvr/(t)i то, следовательно, пер-
первое уравнение приводится к виду
(t) = O. (9)
Это уравнение было подробно рассмотрено в предыду-
предыдущем параграфе. В частности, было установлено, что при
условии
|-=2/г + 1 A0)
его решение ограничено при всех t и имеет вид
va(t) = e-ti/2Ha(l).
Если вернуться к величинам g и F(%), то получим
Fn(l) = e~Hn(l^)- (П)
Каждая такая функция ограничена равномерно при лю-
любых значениях аргумента I дЛ .
Далее, в уравнении (8) сделаем замену аргумента и
функции
Тогда в силу равенства

214 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
из (8) находим уравнение
- Яш" (т) - (k - Ят2) w (т) = О,
которое после сокращения приводится к виду
Решением этого уравнения при условии A0) является
функция
Далее возвращаемся к старым переменным и вводим по-
постоянный множитель (i)n
Фп(г\) = 1пе* Hn{lx[AjK). A2)
При этом дополнительном множителе функция A2)
все равно будет решением уравнения (8), но в силу чет-
четности либо нечетности многочлена Чебышёва — Эрмита
это будет уже действительное решение при любом но-
номере п.
Следует отметить, что, в отличие от формулы A1), в
которой переменное ? может принимать любые значения,
переменное ц в формуле A2) изменяется при условии
0 ^ ц ^ г]о. Это следует из того факта, что если точка
М(х, у, z) изменяется внутри параболического цилиндра,
то в силу формул A) и уравнения границы B) коорди-
координата ц изменяется в полусегменте [0, г]0). Следователь-
Следовательно, при фиксированном к функция A2) также ограниче-
ограничена при всех допустимых значениях координаты т\.
Таким образом, с помощью многочленов Чебышёва —
Эрмита мы нашли системы решений уравнений G) и (8).
Причем оказалось, что в рассматриваемом случае все
три уравнения, к которым сводится уравнение Лапласа
в параболических координатах в результате применения
метода разделения переменных, имеют ограниченные ре-
решения. Но главное заключается в том, что системы
функций A1) и A2) являются полными в том смысле,
что любая достаточно гладкая функция разлагается в
ряды Фурье по этим системам. Этот факт следует из
результатов § 4.
Найденные функции F), A1) и A2) подставляем
в формулу D). В результате получим последователь*

§ 7] ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 215
ность решений
ип (g, Л, ?, Я) = [Ля (Я) cos Я? + Яя (Я) sin Я?] X
-ill
/i = 0, 1, 2, ...
Будем считать, что две последовательности функций
{An(h)} и {Б„(Я)} сходятся к нулю настолько быстро,
что ряд
со
и (I Л, ?, Я) = ? Ия W cos Я? + Яя (Я) sin Я?] X
0
сходится при Я^ @, оо) и его можно дважды диффе-
дифференцировать по каждому из переменных g, г), ? и интег-
интегрировать почленно по Я. Тогда получим формальное ре-
решение уравнения C) в виде
00 Г
и (I Л. S) = 2 J [Л/г (Я) cos %^ + В" (Я) sin Ч] Х
X в 2 Hn(l^x) (if е 2 Яя fa V^ ) с/Я. A3)
Как это обычно делается в методе Фурье две произволь-
произвольные последовательности функций надо подобрать таким
образом, чтобы выполнялось некоторое граничное усло-
условие. Конкретно, если рассматривать внутреннюю задачу
Дирихле, то нам известна функция f(x, у, г), определен-
определенная на границе вертикального параболического цилинд-
цилиндра, и при переходе в пространство (g, т|, ?) в силу усло-
условия г] = г]0 эта функция преобразуется в функцию двух
переменных /(g, ?). Таким образом, общее решение A3)
при г] = г]о должно удовлетворять условию
00 г
и (g, по, ?) = J] J [Ап (Я) cos Я? + Вп (Я) sin Л?] X
я = 0 0
2
-ЛИ _ _?!!!? _
X е~ 2 Нп (| УЯ ) (/)" е 2 Я„ (»ц0 ^%)dX = f (§, 5). A4)

216 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТЛ [ГЛ. V
Докажем, что этому равенству действительно можно
удовлетворить выбором последовательностей функций
{Ап(Ь)} и {Вп(Ь)}.
В самом деле, предположим, что функция /(?, ?)
представима интегралом Фурье по переменному ?, т.е.
(
fF. О =
оо _ оо _
5 j U" 5 /«, 0 COS ktdt СО8Ц
[oo _
i $ f(S, /)sinW*Jsi
+ I — \ f A, 0 sin W Л I sin XI,) dl. A5)
Тогда при фиксированном К конструктивно возможны
при достаточных структурных условиях разложения
— \ f (|, /)cosWd/ = У ая(Л)е 2 Нп{1л/к)9 A6)
^ f(|, OsinX/* ^ &„(Я)е Нп{%л/%), A7)
— оо гг=О
ибо система функций
является ортогональной на интервале (—оо, оо), и ко-
коэффициенты разложения определяются по методу Фурье.
Но с другой стороны, формулу A4) можно пред ста-
вить в виде
2
X
f & S)=\ ! I > . Ап (Я.) е 2 Нп (| V^) @я е 2 Я„
J
0
X cos
Вп{Х)е~ 2 Я„A
X sin
X

§ 7] Параболические кoopДиHAfы 2i7
Следовательно, для определения неизвестных функций
в силу A6) и A7) имеем равенства
2
из которых эти функции действительно определяются,
ибо все сомножители справа отличны от нуля.
Не представляет труда сформулировать конкретные
условия на граничную функцию /(?, ?), достаточные для
сходимости всех рассмотренных выше разложений.
Изложенный метод применяется и во многих других
задачах, в которых области ограничены параболами.
При этом возможны некоторые вариации приемов приве-
приведения рассматриваемых уравнений к стандартным, ре-
решения которых выражаются через многочлены Чебышё-
ва — Эрмита. В качестве примера рассмотрим еще урав-
уравнение Гельмгольца на плоскости
д2и . д2и . /о п
В параболических координатах это уравнение имеет вид
Как обычно, решение ищем в виде произведения двух
функций
& ) /7®Ф()
и, разделяя переменные, получим два уравнения
F"(t) + № + k2l2)F(l) = 0, A8)
=0, A9)
каждое из которых отличается от уравнений G) и (8).
Однако и здесь можно свести эти уравнения к таким,
Решения которых выражаются через многочлены Чебы-
шёва — Эрмита.
В самом деле, в первом из них введем новое пере-
Менное / = IУ/& и новую функцию v (l) = F (l/^/ik ) ==

218 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА [ГЛ. V
= /7(|). Тогда в силу равенства Р'(?) =ikv"(t) урав-
уравнение A8) приводится к виду
А это уравнение при условии
.^ = 2/1+1, /1 = 0, 1, 2, ..., B0)
имеет решением функции
или после возвращения к старым переменным
Fn (I) = ехр (- 1Щ2) Я. (Е V«F).
Аналогично во.втором уравнении A9) производим
подстановки
и, учитывая равенство
<D"(
приведем его к виду
Следовательно, при том же условии B0) уравнение A9)
имеет решением функции
> п = 0, 1, 2, ...
Из найденных функций можно составить общее ре-
решение, аналогичное формуле A3), либо рассматривать
какую-либо краевую задачу.
Таковы применения многочленов Чебышёва — Эрми-
та в математической физике,

ГЛАВА VI
МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЁВА — ЛАГЕРРА
§ 1. Основные формулы и алгебраические свойства
Пусть на положительной части действительной оси
задана весовая функция
xae~x, *€=((), оо), <х>-1. A)
В силу формулы Лейбница о дифференцировании
произведения двух функций имеем равенство
){n-k) (e-xf\ B)
В правой части B) слагаемое с номером k является про-
произведением функции A) на многочлен степени k. Следо-
Следовательно, функция
Ln (х; а) = -^ х~«ех (х«+пе-*){п) C)
есть многочлен степени п. Этот многочлен называется
стандартизованным многочленом Чебышёва — Лагерра,
а формула C) — формулой Родрига. Наивысшая степень
х в правой части B) имеется в том слагаемом, у кото-
которого k = n. Следовательно, старший коэффициент мно-
многочлена C) равен (—0Я7П"' т- е- имеем
D)

220 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЛАГЕРРА [ГЛ. VI
Из формул B) и C) находим
Lo {х; а) = 1,
Lx {х; а) = (а + 1) — х,
U (х; а) = j (а + 2) (а + 1) - (а + 2) х + 1 х\
U (х; а) = ±- (а + 4) (а + 3) (а + 2) (а + 1) -
-1
В силу формулы D) многочлен Чебышёва — Лагерра
с единичным старшим коэффициентом имеет вид
М*; <*) = (- l)nn\Ln(x; а) = (- 1)"х~«
E)
Докажем, что многочлены {Ln(x; а)} ортогональны
с весом A) на интервале @, оо). Для этого рассмотрим
интеграл
оо
Jmn = \ xae'xLm {x\ a) Ln (x\ a) dx. F)
о
Применяя формулу C) и интегрируя по частям, на-
находим
оо
Jmn = \ xae-xLm(x; a)-^x~aex(xa+ne-*){n)dx =

§ 1] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 221
Ввиду наличия экспоненциального множителя и условия
а > — 1 внеинтегральные члены равны нулю. Продол-
Продолжая интегрирование по частям, получаем
Jmn = - ^ S К, (xi a) (*•+«*-*)<-» dx -
О
\ь^(х;а)ха+пе-х4х. G)
О
Если т<п, то L{m (x; а) = 0. Поэтому из G), учиты-
учитывая F), находим равенство
оо
Jmn = ) xae~xLm (x; a) Ln (x; a)dx = 0, m < п.
о
Этим ортогональность стандартизованных многочле-
многочленов Чебышёва — Лагерра доказана.
Вычислим норму многочлена Ln{x\ а). Учитывая D),
F) и G), имеем
2n(x; a)dx =
Следовательно, ортонормированные многочлены Чебы-
Чебышёва — Лагерра имеют вид
1п (х; а) = (- \)п д/Г(а+^+1) Ln (x; а) =

222 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЛАГЕРРА [ГЛ. VI
А старший коэффициент ортонормированного многочле-
многочлена в силу D) и (8) определяется равенством
* (9)
Далее, рассмотрим функцию двух переменных
F (x, t\ а) = A — /Г"-1*711, (Ю)
где в случае дробного а имеется в виду главное значе-
значение многозначной функции. При любом фиксированном
х эта функция аналитическая по t в круге \t\< 1. Сле-
Следовательно, справедливо разложение
F(x, t\ o)= Zcn(jc; o)t\ \t\<\. A1)
В силу формулы Коши для коэффициентов ряда Тей-
Тейлора имеем
к, т;
о 2ш* , тп+1
|t|=p
= -2~- \ A— тГ^ехр^ут-^-Чт, 0<р< 1. A2)
И|-р
В этом интеграле сделаем замену переменного интегри-
интегрирования по формулам
Ti_ = w, X=\ — L9 dx = ^du. A3)
Дробно-линейное отображение # = —?-— переводит
окружность |т| = р<1 в некоторую окружность Г,
охватывающую точку х > 0 и не охватывающую точку 0.
В силу равенств A3) интеграл A2) приводится к виду
а+пе~и du
1 - v
= Ln (x\ a).
2шг

§ 1] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 223
Подставляя найденное значение в (И) и учитывая A0),
получим
Р{х, /; a) = (l-t)-a-lexp7^T = YJU(x; a)tn. A4)
Далее, полагая здесь / = — w и учитывая равенство
E), находим второе разложение
о
?±Ln(x; a)w\ A5)
Разумеется, в разложениях A4) и A5) вместо х
можно поставить любое комплексное значение г.
Обратимся теперь к выводу рекуррентного соотноше-
соотношения для стандартизованных многочленов Чебышёва —
Лагерра. Прежде всего докажем, что для производящей
функции A0) выполняется тождество
A - tf Ft (x, t\ а) + [*-A -/)A +*)]F(x, t\ a) = 0. A6)
В самом деле, производная по / от функции A0)
имеет вид
Ft (x, t; a) = (а + 1) A - t)'a~2 ^
Этим соотношение A6) доказано.
Подставляем разложение A4) в тождество A6). По-
Получаем последовательно
+ [х-A-ЦA+а)]?1п(х\а)Г^0,
л=0
оо
nLn (x; a) f~l - 2 Z nLn (x; a) f +
оо оо
+ L Шп (х; a) tn+l + xZq U (x; a) f -
- A + «) Z Ln (x; a)tn + A + а) ? Ln(x; a)tn+1 = 0.
/1=0

224 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЛАГЕРРА [ГЛ. VI
Поскольку это тождество, то сумму коэффициентов при
t в степени п приравниваем нулю. Имеем
(/i+l) Ln+l (х; а) - 2nLn (*; а) + (п - 1) Ln_, (*; а) +
+ XLn (х; а) - A + а) Ln (г, а) + A + а) Ln_x (x\ а) = О,
(я+1) ?*+i(r, а) +
+ (х - 2/1 - 1 - а) Ltt (х; а) + (а + /г) /.„_! (jc; а) = 0. A7)
Таково основное рекуррентное соотношение для стан-
стандартизованных многочленов Чебышёва — Лагерра. Из
равенства A7) нетрудно получить аналогичные соотно-
соотношения для многочленов {Ln(x\ а)} и {Ln(x\ а)}. В са-
самом деле, используя E), равенство A7) представляем
в виде
— 2n — 1 — a) K—^~ Ln (x\ a) +
После очевидных преобразований находим
Ln+X (jc; a) — (х — 2п — 1 — a) Ln {x\ a) +
+ (a + n) nLn_{ (х\ а) = 0. A8)
Аналогично с помощью равенства (8) получаем
(п + 1) ( 1) д/ / , n. Ln+i (x; a) +
(а + n) (-1)"
Используя свойства гамма-функции, имеем
У (я + 1) (а + п + 1) Ln+1 (г, а) - (х - 2/г-1 -а) Ln (x; а) +
+ У«(а + «) ?„_! (х; а) = 0. A9)

§ 1] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 225
Коэффициент в формуле Кристоффеля — Дарбу в
силу равенств A.2.5) и (9) здесь равен
А _ \in = V(" + \)\T(a + n + 2) ^
П \in+i У/х!Г(а + л+1)
= <s/(n+l){a + n+l). B0)
Поэтому формула Кристоффеля—Дарбу для ортонор-
мированных многочленов Чебышёва— Лагерра имеет
вид
Lk (x; a) Lk (/; a) =
= V(«+ l)(a + «+l)^
B1)
Переходя к стандартизованным многочленам, получим
(п +1I Ln+l (x; a) Ln (t; a) - Ln (x; a) Ln+l (t; a)
Кроме формулы A7), для многочленов Чебышёва —
Лагерра имеют место и другие рекуррентные соотноше-
соотношения. Для их получения можно воспользоваться все тем
же разложением A4).
Аналогично тождеству A6) имеет место легко прове-
проверяемое тождество
{l-t)Fx{x, t\ a) + tF(x, t\ a) = 0,
из которого находим
(l-()Z Ln(x; a)tn + t Z Ln(x; a)tn^Q.
n=\ /1 = 0
Далее, как обычно, считаем коэффициент при / в сте-
степени п и приравниваем его нулю
Ln (x; a) - Ln-i (x; a) + Ln-i (*; a) = 0. B3)

226 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЛАГЕРРА [ГЛ. VI
Аналогичным образом из очевидного тождества
A —t)F{x, /; <x+ l) = F(x, t\ a)
имеем
"С Ln (x; a+l)/tt^X^ (x\ a) tn.
А затем, опять при|гавйцвая коэффициенты при одина
ковых степенях t, получим^рекущ)ентную формулу
Ln (х\ а + 1) - 1Я_, (*; а + ТУ^ХЛ^Г^
Далее, из формулы A7) определяем Ln-\ (x\ а) и
^п-1 (jc; а) и подставляем в равенство B3). В резуль-
результате находим последовательно
Ln (г, а) + -jJL-- [(л + 1) L'n+l (Х. «) + Ln (х; а) +
+ (х-2п-1 -а) L'n(x; a)] +
^ (x\a) -¦ (x--2n-l-a)Ln(x;a)] = 0t
(n+l)L'n+\(x; a) + (x-n-l)L'n(x;a) +
+ (a + 2n + 2-x)Ln (x; a) - (n + 1) Ln+l {x\ a) = 0. B5)
В этом равенстве вместо п поставим п—\и представим
его в виде
xLn {х\ а) — (х — п) [Ln (x\ a) — Ln-\ (x\ а)] +
+ (а + 2п - х) 1п-\ (х\ а) - nLn (x\ а) = 0. B6)
Заменяя разность производных в квадратных скобках
с помощью равенства B3), получим еще одну рекур-
рекуррентную формулу
xl'n (x\ a) = nLn (x; a) — (n + a) Ln-X (x; а). B7)
Аналогичными преобразованиями получаются и дру-
другие рекуррентные формулы для многочленов Чебышё-
ва —Лагерра.
Переходим к выводу дифференциального уравнения,
которому удовлетворяют многочлены Чебышёва — Ла-
Лагерра.

§ 1] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 227
Рассмотрим зависящую от х функцию
х B8)
Дифференцируя, находим
и' = (а + п) ха+п~1е-х — ха+пе~х,
хи! = (а + п — х)и.
Обе части этого равенства дифференцируем еще
п + 1 раз
п+\ п+\
k Jk) (n-k+2) _ у rk , , .{k) (n-
В результате получаем
xu(n+2) + (л + 1) «(я+п = (a + п - х) и<п+1) - (п + 1) и<*>,
\ xitn+v + (л: — a + 1) w^+1> + (n + \)и^п) = 0. B9)
В силуформутгы Родрига C) стандартизованные много-
многочлены Чебышёва — Лагерра представляются через функ-
функцию B8) по формуле
1п [х\ а) = -^- х~аех (ха+пе~х){п) = -jj л:-а^%а^.
Отсюда определяем производные функции и и подстав-
подставляем в равенство B9)
х [x«e~xLn (х; а)]" + (* - a + 1) [x*e'*Ln (x; a)]' +
+ (n+l) [x«e-xLn {х\ а)} = 0. C0)
Первая производная произведения в квадратных скоб-
скобках имеет вид
axa~le~xLn (x\ a) ~ xae~xLn (x; a) + xae~xL'n (x\ a). C1)
Вычисляем вторую производную и сразу же подставляем
ее, а также первую производную C1) в левую часть
равенства C0). В результате находим
х [а (а — 1) xa~2e-xLn (x; a) — axa~le~xLn (x; а) +
+ axa~le~xLfn (x; a) - axa'le'xLn (x; a) + xae~xLn (x; a) ~
- xae~xLn (x; a) + ax^e^Ln (x; a) - xae"xLn (x; а) +
+ xae'xLn (x; a)] + (* - a + 1) [axa'le'xLn (x\ a) -
-xae'xLn{xi a) + xae-xLn(x; a)] +

228 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА- ЛАГЕРРА [ГЛ. VI
Опускаем множители ха и е~х и приводим подобные
члены в квадратных скобках
х [а (а — 1) -J2- Ln (х\ а) ~ Ln (х\ а) +
+ Ц- L'n (*; а) + Ln (х; а) - 2L'n (х\ а) + L" (х\ а)] +
+ (x-a+l)[±Ln(x; a)-Ln(x; a) + L'n(x\ а)] +
+ (n+l)Ln(x; а) = 0.
Далее группируем слагаемые по производным многочле-
многочленов Чебышёва — Лагерра
xLn(x\ a) + L'n(x; a)[2a-2jc + jc~a+l] +
и окончательно получаем
xL« (jc; a) + (a - x + 1) L« (x; a) + nLn (jc; a) = 0. C2)
Поскольку все предыдущие равенства, начиная с B9),
выполняются тождественно, то, следовательно, в силу
C2) многочлен Чебышёва — Лагерра Ln(x\ а) удовле-
удовлетворяет дифференциальному уравнению
xy" + (a-x+l)t/ + ny = 0. C3)
Разумеется, этому же дифференциальному уравнению
удовлетворяют и многочлены Сп(х; а) и Ln{x\ a).
Вернемся теперь к формуле Родрига C). Операцию
дифференцирования произведения в этой формуле мож*
но записать с помощью формулы Лейбница
t
fe-0
Полагая здесь и = ха+п и v = егх и учитывая равенства
(xa+n)(»-*> = (a + Л) (a + л - 1) . . . (a + fe + 1)
найдем
k\{n-k)\

§ 1] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 229
Коэффициенты можно записать через гамма-функцию
г (а + k + 0 kl (п _ ky .
/S;=-0
либо применить более сокращенные обозначения
Из этих формул следует равенство
LnW а)=[ п ) = п1 г(а+ 1) ~
В силу асимптотической формулы D.7.18) из C7) имеем
/ (о- )— Г(^ + а+ 1) _
Следовательно, существуют такие две положительные
постоянные с\ и с2) что выполняется неравенство
C\na^Ln(Q; а)^с2па. C9)
Далее, дифференцируя равенство C4), полагая
k — 1 = т и снова используя это равенство, но уже при
п— 1 и для а + 1, получаем
m 0
= — Ln_{(x; a+ 1).
Таким образом, при любых я и а имеем очень важ-
важное тождество (формула дифференцирования)
Ln(x\ a) = -Ln-i(x; а+1). D0)

230 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА— ЛАГЕРРА [ГЛ. VI
Производную ь'п(х] а) подставим в левую часть B7).
В результате получим еще одно соотношение,
xLn_\ (х\ а + 1) = (п + а) Ln_x (x\ а) — nLn {х\ а),
которое заменой п на п + 1 приводится к более удоб-
удобному виду
xLn (г, а + 1) = (п + а + 1) Ln (*; а)-(л + 1) Ln+l (*; а). D1)
Тождества D0) и D1) часто применяются при иссле-
исследовании рядов Фурье по многочленам Чебышёва —Ла-
герра.
В приложениях наиболее часто встречаются много-
многочлены Чебышёва — Лагерра при условии а = 0. В этом
частном случае обычно применяется обозначение
Ln{x\ 0) = Ln{x), D2)
а формулы C), E), (8) и C5) имеют вид
г (v\ J_ a* (\-no-x\^ (AQ\
Г (Y\ / \\П рХ (уПр-Х\(п) (ЛЛ\
L^ / v\ V *¦) ох {*гП/у — Х\^^ (ЛЕЛ
п \Х) — ~\ е \Х е ) , \но)
^r =?<-¦)'(„-*)?
В заключение параграфа заметим, что во всех трех
формулах Родрига C), E) и (8) нужно либо считать х
положительным, а затем после выполнения операции
дифференцирования можно распространить полученное
равенство и на комплексные значения независимого пе-
переменного, либо считать х произвольным, но в обоих
многозначных функциях х~а и ха+п выбирать те одно-
однозначные ветви, аргументы которых равны нулю при по-
положительных X,

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 231
§ 2. Интегральные соотношения
В дальнейшем изучении свойств многочленов Чебы-
шёва — Лагерра будет применяться функция Бесселя
первого рода порядка р
Этот ряд сходится очень быстро при всех х > 0, если
р ^ 0, а при р^ — 1/2 произведение x~pJp(x) есть чет-
четная целая функция, равномерно ограниченная на всей
оси ([34], [39], [51]).
Рассмотрим зависящий от параметров интеграл
n (х, а) = J WxJ)n+a Jn+a B V^") ^' dt.
Используя разложение A), для этого интеграла получим
оо »
TW / \ V^ (—0
1—LLi V fk+n+ae-t df _
fc-0 0
00
причем почленное интегрирование ряда A) законно по-
потому, что обынтегрированный ряд мажорируется величи-
величиной хп+аех. Таким образом, имеет место тождество
оо
\>n+a,s>—x— \ (л/vf} 1 (*) л/vi\ P~t Hi (9\
X в — \ v v Xi ) J /г+а \z v Xl ) V Ult \&)
0
Далее, из формулы A) имеем
k-Q

232 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА —ЛАГЕРРА [ГЛ. VI
Дифференцируя обе части по и, находим
!)
( p)
fc=0 k=0
—="г v
Таким образом, мы получили еще одно тождество
[ иЬр B V^")] = м^/p-i B л{ и). C)
Дифференцируем тождество B) по х, полагаем под зна-
знаком интеграла xt = и и применяем формулу C). Тогда
Повторив эту операцию п раз, найдем
ею
)° /а B jtf) fe-< dU
Следовательно, в силу формулы Родрига A.3) для стан-
стандартизованных многочленов Чебышёва — Лагерра при
х > 0 имеем интегральное представление
(х; а) = ±- ехх~^ \ tn+^ Ja B ^xJ) e~* dt. D)
Для получения дальнейших результатов подсчитаем
функции Бесселя при a = ±1/2. В силу формулы A)

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 233
имеем
Далее применяем формулу удвоения для гамма-функции
D.4.18)
22*+1Г (* + 1) Г [k + 1 + j) = V^ Г Bk + 2).
В результате этого получим
У.1 W — Д/ я 2^ Г B/г + 2) ~~
B/г-
Аналогично имеем
оо
VfZ-
(-\)kx2k
k=0
Далее из формулы D), учитывая F), находим
оо
= 2е% \ е~и2и2п cos 2
du.
Последний интеграл встречается в интегральном пред-
представлении многочленов Чебышёва — Эрмита E.2,3).

234 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЛАГЕРРА [ГЛ. VI
Следовательно, получаем
Аналогично из формулы D), учитывая E), имеем
оо
Ln (х. ±Л = ± Л4 \ tn+T (-L=.)U2 sin 2 У^ e-t dt -
tn sin 2 yxt e~f dt =
б
= — \ u2n+l sin 2 фс ие~и2 du.
А затем, используя интегральное представление много-
многочленов Чебышёва —Эрмита E.2.4), находим
Формулы G) и (8) устанавливают связь между мно-
многочленами Чебышёва — Эрмита и многочленами Чебы-
Чебышёва — Лагерра при а = ± 1/2.
Рассмотрим еще одно интегральное представление
многочленов Чебышёва— Лагерра. Докажем, что при
а > — 1/2 справедлива формула
Ln(xi а) - (-1)»Г(д + «+1) A_,Г-1/2 H2n (/ V") dL (9)
B/2)!V^r(a+yJ 4
В самом деле, используя формулу E.1.23) для много-
многочленов Чебышёва — Эрмита
интеграл (9) представляем в виде суммы

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 235
Для вычисления интегралов из A0) применим известную
бетта-функцию Эйлера ([32], [52]) и ее представление
через гамма-функцию
1
В (р, д) = J к"'1 A -*Г' dx = ЩЩ. Р ><W >0. A1)
С помощью этого равенства для интегралов A0) на-
находим
1
2 J(l — i
о
f
J
Таким образом, вся правая часть (9) имеет вид
\Bn — 2k)\T(n-k+a+ 1) 1 Х;
Далее из формулы удвоения для гамма-функции D.4.18)
полагав в ней z = п — k + 1/2, получим
-\/я~Г Bп - 2А + 1) ~~ Г (л - k + 1)

236 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЛАГЕРРА [ГЛ. VI
Следовательно, для правой части A2), учитывая фор-
формулу A.35) имеем
Г(я-Ьа+ \)(- x)n~k
k\ (п — k)\T (n ~ k + а+ 1)
(п — т)!т!Г(т + а + 1) = п '*' ^'
Таким образом, равенство (9) доказано.
Докажем теперь, что для многочлена Чебышёва —
Лагерра имеет место интегральное уравнение
• A3)
В самом деле, из формулы производящей функции
A.14) в силу формулы Коши для коэффициентов ряда
Тейлора находим
(
ехр I
Умнол<им это равенство почленно на произведение
и проинтегрируем по интервалу @, оо). В результате
слева получим интеграл A3), который обозначим Ап{х),
а справа — повторный интеграл, т. е.
\ „
О и|ау|=*р
— \ -1 ~, We-wtr-JaWxyjdyldw, A5)
2ni

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 237
где для краткости введено обозначение
q +
q— 2 + \-w ~ 2A-
В силу неравенства
- Р2 ^ 1 1 - р2
2 1 - 2р cos Ф + р2 ^ 2 A - рJ 2 ' 1 - р ^ U
внутренний интеграл в формуле A5) справа сходится
равномерно при |ш| = р < 1, и поэтому перемена поряд-
порядка интегрирования законна. Обозначим этот интеграл
В(х) и сделаем в нем замену переменного интегрирова-
4
ния по формуле y = — t. В результате получим
B(x)=\e-<n>y4aWxy)dy =
oo
-p*dt, A7)
где
A8)
— W
Интеграл A7) есть преобразование Лапласа функции
ta/2Ja B VO- В силу известных результатов [15] имеем
равенство
tba B л/Г) = J е-»"Д/а B л/П Л = ^техр (-1) . A9)
Следовательно, из A5), учитывая A6) и A8), имеем

238 многочлены чёёышёва — лагерра [гл. vi
Заменяя в этом интеграле ш на —w, находим
Ап(х) =
Л_ J A_ю)—
|
J
2ш J
I w |=р
В силу A4) последний интеграл равен Ln{x\ а). Следо-
Следовательно, имеем
Ап(x) = 2(-l)ne~Tx^Ln(x; a).
Таким образом, формула A3) доказана.
§ 3. Асимптотические свойства
Рассмотрим вспомогательную функцию
u = e-*l*Ln(x\a) A)
и докажем, что эта функция удовлетворяет дифференци-
дифференциальному уравнению
хи" + (а+\)и'+(п+Ц±-)и = ±и. B)
В самом деле, вычисляем производные
, ? х.
и' = — -^е 2Ln {х\ а) + е 2 L'n (х\ а),
и" = \e~^Ln (х\ а) - е~^L'n (х\ а) + e'^L* (x\ а)
и подставляем их в уравнение B). После сокращения на
экспоненциальный множитель получим
¦j Ln (х\ а) — xLn (х; а) + xL" {х\ а) — ^— Ln {x\ а) +
+ (а + 1) Lrn (х; а) + [п + ^±L) Ln (x; a) = ^Ln (x; а).
Дальнейшие сокращения приводят это равенство к тож-
тождеству A.32), и, следовательно, функция A) действи-
действительно является решением уравнения B), причем в силу
равенства A.37) это решение удовлетворяет условию
?S + jL. C)

§ 3] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 239
Далее, для применения метода Лиувилля — Стеклова
необходимо найти два линейно независимых частных ре-
решения однородного уравнения
хи" + (а+ l)u' + Nu = 0, D)
где для краткости введено обозначение
М = п + Ц±-. E)
Докажем, что одно из частных решений имеет вид
щ (х) = ЫШГа Ja B VmD, F)
где /а (х) есть, как обычно, функция Бесселя первого
рода порядка а. В самом деле, вычисляя производные
функции F), получим
П\ (X) = (УЖГ [- ? /« B УЖ) + д/f /в B УЖ)] ,
G)
- (а + 1) д/f -1 /в B УВД + 4 /:
Подставляя функцию F) и ее производные в уравнение
D) и умножая его на 4л:, придем к уравнению
- 4 (а + -±-) лЩс Jfa B УЖ) + 4iVx/a B УЖ) +
+ 4 (а + 1) [- f /а B УЖ) + УЖ /а B УЖ)] +
+ 4JV*/a B УЖ) = О,
которое посЛе подстановки t = 2^Nx превращается в
уравнение Бесселя
tX (/) + tJ'a (t) + О2 - a2) /a (t) = 0. (8)
Таким образом, функция F) действительно является
решением уравнения D). Если a — нецелое число, то

240 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЛАГЕРРА [ГЛ. VI
в качестве второго линейно независимого от F) решения
можно взять функцию
Щ. (х) = (V Л^)~а /.а B V М& (9)
ибо при дробном а функции Бесселя, как известно, ли-
линейно независимы ([30], [34], [51]). Если же а — целое
число, то вместо (9) можно рассмотреть функцию
и2 (Х) =
° FaB
где Ya(x) — функция Бесселя второго рода, она линейно
независима от функции Ja{x).
Таким образом, имея два линейно независимых реше-
решения уравнения D), уже можно применять формулу Лиу-
вилля D.4.3), но сначала необходимо вычислить раз-
разность в знаменателе дроби под знаком интеграла D.4.3).
Используя формулы F), G) и (9), находим
u\{t)u2(t)-u'2{t)u{(t) =
= (МГ° [-¦?/« B УЖ) +
д/т t y« B V л^) /-a B V №) -
. A1)
Далее, в теории бесселевых функций доказываются фор-
формулы ([30], [34], [51])
(*)-/-«(*)/а (я) = -^|^-. A2)

§ 3] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 241
первая из которых справедлива при нецелых а, а вто-
вторая— при целых. Следовательно, при нецелых а имеем
и[ @ и2 (/) - и'2 @ и. (() = (МГа л/4-
N 2 sin ая sin ая
(Nt)ant '
A4)
а при целых а вместо sinan следует поставить— 1.
Теперь в силу формулы D.4.3) можно представить
общее решение уравнения B) в виде
и (х) = c{ui (х) + с2и2 (х) +
х
S^ \ +[  W -  (*) «1 @] и @ dt. A5)
В этой формуле Си с2 и х0 суть произвольные постоян-
постоянные. Их надо выбрать таким образом, чтобы вместо u(t)
можно было поставить частное решение A), удовлетво-
удовлетворяющее условию C). Для определения этих постоянных
воспользуемся известными свойствами функций Бесселя
([30], [34], [51]). Если х->0, то справедливы асимпто-
асимптотические формулы
<*= 1,2,3,..., A7)
причем первая из этих формул непосредственно следует
из определения функции Бесселя Ja(x) с помощью ра-
равенства B.1). Предположим теперь, что в формуле A5)
вместо и(х) поставлена функция A). Тогда в этой фор-
муле_ можно положить Xo = O и интеграл A5) будет
существовать в крайнем случае как несобственный. В са-
самом деле, при нецелом а введем для краткости обозна-
обозначение
F (х9 () = Ja B VТх) /._« B V7W) -
- /_а B <s/~Nx) • U B УМ), A9)

242 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЛАГЕРРА 1ГЛ. VI
с помощью которого третье слагаемое в A5) представ-
представляется в виде
Ап(Х) = ллМа [ /7(*'°'a+n1 e~Ln(t; а) dt. B0)
Далее в силу формулы A6) имеем оценку
1F {х. I) I < с, [(VТГх)' (V ЛП)"° + (V Л)"' (VW] =
и, следовательно, интеграл B0) действительно суще-
существует. Таким образом, равенство A5) можно предста-
представить в виде
ехр (- |) Ln (х\ а) = сх Ы~Ш)~а /аB л/Тх) +
Уа J_аB л/~Ш) + Ап {х). B2)
Если в этой формуле устремить х к нулю, то при а > 0
все слагаемые будут ограничены, кроме второго слагае-
слагаемого в правой части, которое в силу формулы A6) или
A7) возрастает неограниченно. Следовательно, при
а > 0 в формуле B2) необходимо положить с2 = 0. Ана-
Аналогичный вывод следует и при а = 0, ибо в этом случае
второе слагаемое возрастает в силу равенства A8). Та-
Таким образом, при а ^ 0 вместо B2) имеем
ехр(-.-?) !„(*; а) = с,(У Л^)~ЧB <у/Лх) + Ап(х). B3)
Переходя в этом равенстве к пределу при х-^0, в силу
C) и A6) получим
с1=Г(" + »+1)- B4)
Следовательно, при а ^ 0 находим формулу
ехр(~~ y)L«te а) =
№Га( /Ш) + Ап(х). B5)

§ 3] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 243
Докажем, что формула B5) справедлива и при
— 1 < а < 0. Для этого сначала оценим интеграл Ап(х)
при #->0. Так как п фиксировано, то из равенства B0),
используя оценку B1), находим
х
Л. МК с4 $ / (д/т)" [(V?)" + (Л/Ш dt =
о
у X X -j
= с4 К / dt + J / (i-)°rf/ < сьх\ B6)
Loo J
Предположим теперь, что в формуле B2) коэффициент
d определяется равенством B4). Тогда в силу C) л
A6) из B2), учитывая оценку B6), находим равенство
+ с2 (л/Ш)~а1_а B ^Ш) + О (х2),
из которого следует оценка
Но ведь асимптотика функции Бесселя при малых х
определяется формулой A6), с помощью которой послед-
последняя оценка приводится к виду
(Nx)-*=O(x),
а при с2 ф О это невозможно, ибо — 1 < а < 0. Следова-
Следовательно с2 = 0, и, таким образом, формула B5) справед-
справедлива при а > — 1.
Из формулы B5) нетрудно получить наиболее важ-
важные асимптотические свойства многочленов Чебышёва —
Лагерра.
Теорема 6.1. Если а + 1/2^0, го при всех х ^ 0
имеет место неравенство
^ х2 4е~2 \Ln{x\ а)|<сбя2 4U+^ 4W . B7)

244 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА — ЛАГЕРРА [ГЛ. VI
Доказательство. Сначала установим это нера-
неравенство на малом сегменте [О, \/Щ. Введем обозначение
Мп = max ехр(-|Л|М*; а) | B8)
и оценим эту величину. Используя формулу A6) и оцен-
оценку B1), из равенства B5) находим
ехр (- |) | Ln(*; а) |< с7п« + \ Ап(х) \<
< Cln- + с8Мпх2 < с7п* + -$Мп, х?Е [О, i].
Следовательно, имеем неравенство
из которого следует оценка
Мй<?у1°. B9)
Далее, при jc e [О, 1/Л^] для левой части B7), учитывая
обозначение E), получим
хт+1е-т | Ln (JC; а) | < хт+тМ т-т
и, таким образом, неравенство B7) для сегмента [О, 1/N]
установлено, причем здесь мы воспользовались условием
а +1/2>0.
Далее, для функций Бесселя при х-^+оо известны
асимптотические формулы ([30], [34], [51])
в которых постоянные в оценке остаточных членов мож-
можно выбрать общими для всех х, удовлетворяющих усло-
условию х ^ а >> 0. Если х ^ 1 /N, то 2 V Nx ^2, и, следо-
следовательно, при таких х из C0) и C1) получим неравен-
неравенства
|/BV^)l<Cu(^r1/4,

§ 3] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 245
— Приступим теперь к доказательству оценки B7) при
х^ 1/N. Из B5) имеем
хт+1е~ Ln(x; a) =
Г(/г + а+ 1) / /тг:\~а Т+1 1 (о л/~Ы~х) 4- х^+тА (х)
C3)
В силу формулы D.7.18) и первой из оценок C2) первое
слагаемое справа по модулю не превосходит некоторой
постоянной, умноженной на na/2~1/4. Остается оценить
второе слагаемое. Интеграл Ап(х), определяемый равен-
равенством B0), представим в виде суммы двух интегралов
по сегментам [0, 1/N] и [1/W, х]. Для первого из них,
используя B9), имеем оценку
l/N t
п ух'у 0» -дг ) | ^ ^1з \ —__ д t е 2 | Ln (/; a) ] at <
UN
cy t)\dt.
Далее из равенства A9), используя A6) и C2), находим
•ir- C4)
Подставляя эту оценку в предыдущее неравенство, по-
получим
ш
1
dt I
a L г un „ i/^v
-i~ + -^-\<?^-^- C5)

246 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА — ЛАГЕРРА [ГЛ. VI
Для второго интеграла, используя неравенство
\F(x, t)\^c20N~ll2(xt)-l/\
имеем
x2+i
.,_!» Г г 3 Т/2Гг 1
|_Ш/тл J/v'iM/;»)!2*
2 +4 Lo J Lo J
( +
О ' /I
причем дробь в квадратных скобках мы оценили с по-
помощью формулы D.7.18). Подставляя оценки C5) и
C7) в правую часть C3), получим неравенство B7). Та-
Таким образом, теорема 6.1 доказана.
Установим теперь основной результат об асимптоти-
асимптотическом поведении многочленов Чебышёва — Лагерра на
конечном сегменте.
Теорема 6.2. Если а> — 1, то при конечном поло-
положительном х для многочленов Чебышёва — Лагерра
имеет место асимптотическая формула
Ln (х; а) = Ке*х~^~ [cos B VЖ - ря) + Rn (*)], C8)
где
к=-
C9)
а остаточный член Rn(x) на конечном сегменте [а, &]
любых фиксированных а и Ь> удовлетворяющих

§ 3] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 247
условию
0<а<Ь<оо, D0)
допускает равномерную оценку
C25(ab) , хе=[а,Ь]. D1)
Доказательство. Поскольку формула B5) спра-
справедлива при всяком а > — 1, то можно применить асим-
асимптотическое представление функции Бесселя C0). В ре-
результате получим
X
X { д/-^==-соз B л/Ж ~ Ря) + О
а 1
+ Ап (х) = Я„лГ~т fcos B V~Nx - ря) + О
L
Таким образом, остается оценить величину Ап(х),
определяемую формулой B0). Но эта величина уже оце-
оценивалась в доказательстве теоремы 6.1. Так как здесь
выполняется условие х ^ а > 0, то интеграл B0) надо
представить в виде суммы двух интегралов по сегментам
[0, 1/N] и [1/jV, x]. Для первого из них имеем оценку
C5). С другой стороны, для коэффициента Яп, опреде-
определенного формулой C9), в силу D.7.18) имеем нера-
неравенство
Поэтому необходимая для частного -г— Ап (х; 0, -^-
оценка очевидна.

248 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА —ЛАГЕРРА [ГЛ. VI
Для оценки второго интеграла используем неравен-
неравенства B7) и C6). В результате получим
UN
a 1_ .
2 4
D4)
Далее, учитывая левую часть неравенства D3), находим
необходимую оценку всего третьего слагаемого в квад-
квадратных скобках D2).
Этим оценка D1) остаточного члена формулы C8)
установлена, и, следовательно, теорема 6.2 доказана.
Но на самом деле мы установили более содержатель-
содержательную оценку для остаточного члена при возрастающем х.
А именно, из C5), D2) и D4), учитывая D3), имеем
. D5)
Асимптотическую формулу C8) нетрудно привести к
обычному виду, в каком она встречается в учебных посо-
пособиях и справочниках:
Теорема 6.3. При а>—1 имеет место формула
1 х a J a
1 х _ a __J_ _a 1_
Ln(x; a) = я" 1етх~т~4п2  [cosB л/пх — ря) +
х*=[а,Ь], 0<а<Ь<оо. D6)
В самом деле, так как имеем равенство
cos B V~Nx — ря) — cos B л]пх — ря) =
= — 2 sin (У/V*+ ^jnx — Ря) sin (V^ — Vn) Vx =

§ 3] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 249
то достаточно доказать формулу
(±)] D7)
Обозначим левую часть через Г„ и применим формулу
Стирлинга E.3.12) для логарифма от гамма-функции
Эйлера. В результате получим
In Г„ = In Г (я + а + 1) - In Г (я + 1) -
X In (п + 1) + (п + 1) - 1 (а + i-) In п + О (|) =
= rtln(tt + a+ l) + (a + j)ln(n + a+ l)-a-
-n\n(n+l)--j\nn-j(a-\ у
Таким образом, формула D7) установлена и теорема 6.3
этим доказана.
В. заключение параграфа отметим некоторые след-
следствия соотношений B7), C8) и D5). Будем считать,
что х и п удовлетворяют условию 0 ^ хъ ^ п. Тогда
второе слагаемое в круглых скобках в правой части
B7) не превосходит 1. Следовательно, из B7) имеем

250 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЁВА - ЛАГЕРРА 1ГЛ. VI
неравенство
JL+1 -JL iL_l
х2 4е 2 | Ln {x\ a) | ^ 2cQn2 4,
х е= [0, Лл], Ля = д1'5, а> — у. D8)
С другой стороны, пусть 0 < а ^ х ^ В„, где ?„ =
= п3/п. Тогда правая часть D5) ограничена равномерно
при х е [а, Вл]. Поскольку Ап < Brt, то из C8) и D8)
при условии а ^ — y находим
_а_ \_ ? а ^
х2 4е 2\Ln(x\a)\^c3ln2 4, х е= [0, В„]. D9)
Переходя к ортонормированным многочленам Чебышё-
ва — Лагерра, в силу формулы A.8) получим
, Вп], Вп = п*п\ *>-\. E0)
Таковы весовые оценки для многочленов Чебышё-
Чебышёва— Лагерра на расширяющихся в одну сторону сег*
ментах.
§ 4. Ряды Фурье по многочленам
Чебышёва — Лагерра
Будем рассматривать ряды Фурье по стандартизован-
стандартизованным многочленам Чебышёва — Лагерра.
Пусть функция f(x) определена на интервале @, оо)
и входит в пространство L<i = L<i [0, оо; хае~х], т. е. вы-
выполняется условие
оо
< оо. A)
Как обычно, этой функции ставим в соответствие ряд
оо
X anLn (x; а), B)

§4] РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА — ЛАГЕРРА 251
коэффициенты которого в силу равенства A.8) опреде-
определяются формулой
Поскольку интервал ортогональности здесь бесконе-
бесконечен, то в целом ситуация аналогична той, которую мы
рассматривали в § 4 гл. V.
Аналогично общему случаю частичную сумму
sn (x; f) = \ fe^f (О Г ? T* + l)Lk (x; a) Lk (t; a)] dt D)
с помощью формулы Кристоффеля — Дарбу A.22) при-
приводим к виду
\ fe-'f (t) Ф;^° dt, E)
О
где для краткости введены обозначения
- __ («+1I
Фп (х, 0 = L^+1 (*; a) L^ (/; а) - Ln (x\ а) Lrt+1 (/; а). G)
Далее, как обычно, составляем разность
оо
/ (х) - sn(х; /) = Л J <ае~' [~ f(x)xZft{i)]l>n (x, t)dt, (8)
О
и остается доказать, что правая часть (8) убывает к
нулю при выполнении некоторых условий. Но для этого
сначала преобразуем разность G). Из формулы A.24)
имеем два равенства:
Ln (х; а) = Ln+X (x; а) — Ln+l (x; а — 1),
Ln (t; а) = Ln+l (t; а) — Ln+l (t; а - 1),
с помощью которых разность G) приводится к виду
% (х, t) = Ln+l (x; a) Ln+l (/; а - 1) -
t; a)Ln+l(x; а-1). (9)

252 многочлены чебышева-лагерра inn. vi
Подставляя это выражение в формулу (8), находим
оо
f(x)-sn(x; f) = AnLn+{(x; о) $ fV'q>*@*<»+!('; a-l)dt-
о
оо
- AnLn+l (х; а - 1) \ tae~\x (/) Ln+i (/; а) dt, A0)
о
где введено обозначение
ШЫЖ (П)
Ы
Далее, оценивая величину F) с помощью формулы
D.7.18) и учитывая C.46), при фиксированном положи-
положительном х находим неравенства
An\ Ln+i(x; a), _.t ,
An\Ln+\(x\ a — 1I<c2ai4 2.
Следовательно, для того чтобы оба слагаемых в пра-
правой части A0) стремились к нулю при п->оо, доста-
достаточно выполнения предельных соотношений
lim л4 2 \ ЛГVc @ Vi С; a - 1) Л = 0, A3)
П-+ОО J
\ /V^@^+i(/; а)Л = 0. A4)
lim
Л емм а 6.1. Пусть а > 0, а для функции f(t), опре-
определенной на интервале @, оо), существуют интегралы
i*+" A5)
Тогда предельные соотношения A3) и A4) имеют место,
если функция f(t) в окрестности точки jce@, сю) тако-
такова, что вспомогательная функция yx(t) интегрируема
абсолютно.
Доказательство. Считая точку хе@, оо) фик-
фиксированной, при условии а < х < Ь интеграл A3) пред-

§ 4] РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА - ЛАГЕРРА 253
ставим в виде суммы трех интегралов по интервалам
(О, а), (а, Ь), F, оо). A6)
В силу неравенства C.27) для первого интеграла имеем
оценку
1 л JL+1 _1
2 4 J /2 4е 2|
в которой С\ может зависеть только от х и а, но х фикси-
фиксировано. Так как первый интеграл A5) существует, то
для произвольно малого е > 0 можно выбрать такое
а > 0, что выполняется неравенство
-l)|d/<|. A7)
Аналогичным образом с помощью C.27) имеем
J fV'l (/) || L (/; о-
T. A8)
ибо второй интеграл A5) существует по крайней мере
как несобственный, а при фиксированном х выполняется
неравенство t\<px(t) \ ^ c7[\f(t) \ + |/(л:) |], и поэтому
число Ъ можно выбрать настолько большим, чтобы A8)
действительно имело место.

254 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА — ЛАГЕРРА 1ГЛ. VI
Совершенно аналогично, выбирая а малым, а Ь боль-
большим, можно считать выполненными неравенства
б
а
а
Следовательно, остается доказать убывание к нулю
двух произведений:
3 а
n* 2 J /Vcp, @ /.„+, (<; а - 1) Л, A9)
B0)
а
Ha сегменте [а, Ь] многочлен Чебышёва — Лагерра
можно заменить его асимптотическим представлением по
формуле C.46). В результате каждое из произведений
A9) и B0) представляется в виде суммы двух слагае-
слагаемых, из которых вторые стремятся к нулю вследствие
оценки остаточного члена, а первые, если опустить огра-
ограниченные множители, имеют вид
±]dt9 B1)
t2 *e 2qx(t)cos[2 Y("+ 1)/ -ря]Л. B2)

§4] РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА - ЛАГ ЕРРА 255
Так как при фиксированном же (а, Ь) функция yx(t)
по условию абсолютно интегрируема, то в силу леммы
Римана ([52]) оба интеграла B1) и B2) стремятся к
нулю. Этим лемма 6.1 доказана.
Приведем конкретные результаты, основанные на
этой лемме.
Теорема 6.4. Если а > 0, а функция /(/) из класса
L\ =Li[0, oo; tae~f] в окрестности фиксированной точки
х удовлетворяет условию Липшица
\f(x)-f(t)\<M\x-(\\ 0<y<1, B3)
и, кроме того, интегралы A5) существуют, то ряд Фурье
по многочленам Чебышёва — Лагерра функции /(/) схо-
сходится к этой функции в точке х, т. е.
f(x)=Z an(a)Ln(x;a). B4)
п = 0
В самом деле, сходимость разложения B4) является
непосредственным следствием формулы A0) и леммы
6.1, ибо в этом случае функция фл@, определяемая ра-
равенством (И), интегрируема.
Теорема 6.5. Если —1 < а ^ 0, а функция /(/)
из класса Li = Li[0, oo; 1^е~1\ в точке х удовлетворяет
условию B3) и, кроме того, существуют интегралы
Л, \fie~\f(t)\dt, B5)
то имеет место разложение B4).
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную
функцию
^. B6)
Из сходимости интегралов B5) следует существование
интегралов
1 г a+1 J_ _L
'4\F(t)\dt, ) t 2 2e~2\F(t)\dt.
l

256 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА- ЛАГЕРРА [ГЛ. Vf
Следовательно, функция B6) удовлетворяет условиям
теоремы 6.4 с заменой а на а+1. Поэтому имеем раз-
разложение
оо
!„(<*+1, F)Ln(x;a+[), B7)
из которого с помощью формулы A.41) находим
оо
H*)=I an(a+l, F)xLn(x; a+l) =
п=0
ОО
= Е а„(а+ 1, F)[(n+a+ \)Ln{x; a)-(n+ l)Ln+l
= ао(а+1, /0(o+l)L0(je; а) +
оо
+ Z К (« + 1, П (п + а + 1) - па„_, (а + 1, F)] Ln (x; а).
1
Далее, учитывая формулу коэффициентов C), в силу ра-
равенства A.24) разность в квадратных скобках приводим
к виду
i
e
t
оо
(п—1)! п f ,а+1 —t f (t) r /j. i
- г(п + а+1) Г е 17±L«-i(';a
0
Аналогично находим равенство
a0 (a + 1, F) (a + 1) = a0 (a, /),
и, следовательно, разложение B4) установлено и при
условии —1 < a ^ 0.
В заключение заметим, что равномерная сходимость
ряда B4) на некотором сегменте [Л, В], где 0 <С А <
< В < оо, имеет место в том случае, если оба интеграла
B1) и B2) убывают к нулю равномерно относительна
xg [Л,В], а в силу известных результатов ([7], [51],
[52]) последнее имеет место в том случае, если, напри-
например, функция f(t) непрерывно дифференцируема на сег-
сегменте [Л — 6, В + е], где е > 0.

§ 5] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 257
§ 5. Примеры разложения функций в ряды Фурье
по многочленам Чебышёва — Лагерра
Как обычно, первые примеры разложения можно по-
получить из формулы производящей функции A.14)
^) = ^ Ln(x\ a)w\ \w\<l. A)
п = 0
Полагая в этой формуле w = —тгг > найдем
1 wx
Следовательно, из A) имеем разложение
в котором на действительное число а налагается условие
а > —1/2. В частности, при а = 1 имеем
Далее, умножим равенство B) на величину (а-\-\)а~1
и проинтегрируем почленно по интервалу @, оо). Учиты-
Учитывая равенство
оо 1
находим
а Y da [tndt~ l
a+l) (a + l)*—I at— n+l'
Докажем, что левая часть C) выражается через так на-
называемую неполную гамма-функцию Эйлера
Т(Р,А) =
А

258 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЁБЫШЕВА-ЛА1ЕРРА [ГЛ. VI
В самом деле, производя очевидные замены переменного
интегрирования, для интеграла из C) имеем представ-
представление
со со
ех \ e-{a+l)x(a + I)" d (a + 1) = ех \ е~ V dt =
О
Таким образом, из C) находим разложение
которое сходится при х > 0 и а > — 1. Представленное
в виде
Г(а, *) = **
оно может служить для вычисления неполной гамма-
функции Эйлера.
Рассмотрим теперь функцию /(х) = л:р, где х > 0.
Если а>0, то для существования первого из интегралов
A5) необходимо, чтобы параметр р удовлетворял усло-
условию р > — у (а + 3/2). А если —1 < а ^ 0, то первый
из интегралов B5) существует при
р> -(а/2+1/4).
Для коэффициентов Фурье по многочленам Чебы-
шёва — Лагерра этой функции в силу формулы Родрига
имеем представление
1
{x*+ner*)w dx.

§ 5] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 259
Далее, интегрируя по частям п раз, находим
Следовательно, имеем разложение
сходящееся при условиях 0 < л: < оо, а > —1.
Аналогично вычисляются коэффициенты Фурье по
многочленам Чебышёва — Лагерра функции ф(л;)=1пл:.
В самом деле, интегрируя по частям, при п^\ находим
п\
- \ xae~x In xLn (x\ a) dx =
о
oo
l Г
Г (п + a + 1) J v
xc*dx- (n —1IГ(а+Р
xn X e UX~ г(дг + а+1)
( + +) J
о
А нулевой коэффициент имеет вид
ao = r^j- n \ хпе~* In x dx> F)
причем нетрудно доказать, что интеграл равен Г7(а+ 1)
и, следовательно, вся правая часть F) есть логарифми-
логарифмическая производная от гамма-функции, которая обычно
обозначается через г|)(а+ 1).
Таким образом, имеем еще одно разложение:
Л-1

260 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЛАГЕРРА [ГЛ. VI
Пусть теперь задана функция
i), *>0, a>0, a>-l. G)
Для вычисления коэффициентов разложения
оо
о
мы воспользуемся формулой B.14). В этой формуле вме-
вместо у подставим лг, умножим почленно на произведение
и проинтегрируем по интервалу @, оо). В результате
слева получим интеграл (8), который обозначим Ап(а),
а справа — повторный интеграл, т. е. аналогично фор-
формуле B.15) имеем
(9)
Перестановка интегралов законна, ибо здесь
Аналогично формуле B.17) внутренний интеграл (9)
преобразуем подстановкой ax=t. Полагая для кратко-
краткости ар = q и учитывая операционное равенство B.19),
находим
оо
о

§ 5] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 261
Подставляя это значение в формулу (9), получаем
^(a)===_L [ ехр [д (ggF — 1I dw== ane-
„nn — CL
2m* J wn+l n\
|йУ|=0
Таким образом, интеграл (8) вычислен, коэффициен-
коэффициенты Фурье по многочленам Чебышёва — Лагерра функ-
функции G) равны
а+ 1)' п = 0> 1»2' •>
а само разложение этой функции имеет вид
(ха) 2 Ja B VJJ) = е- Y, r(^ + a+D Ln {г> а)
и сходится при х > 0, а > 0, а > — 1.
Рассмотрим еще один способ получения разложений
по многочленам Чебышёва — Лагерра. Пусть четная
функция ф(х) разлагается в ряд Фурье по многочленам
Чебышёва — Эрмита, сходящийся равномерно на всяком
конечном сегменте, т. е. имеем
оо
Ф (х) = Е С2пН2п (х), XG(-oo, оо).
и-0
Тогда, используя представление многочленов Чебышё-
Чебышёва— Лагерра через многочлены Чебышёва — Эрмита
B.9), получим некоторую другую функцию f(x) и ее раз-
разложение в ряд Фурье по многочленам Чебышёва —Ла-
—Лагерра
1 J ОО
f (x) = 5 (I - t2f~ тф (/ ул dt=y, a*Ln (*•> «)•
-1 n-0
Это разложение справедливо при условии а>—1/2, a
его коэффициенты определяются по формуле
С2п-
В заключение заметим, что в силу формулы A.40) все
рассмотренные разложения можно дифференцировать

262 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЛАГЕРРА [ГЛ. VI
почленно. В результате этого после проверки условий
сходимости получим новые разложения функций в ряды
Фурье по многочленам Чебышёва — Лагерра.
§ 6. Движение электрона в кулоновом поле
Покажем, каким образом многочлены Чебышёва —
Лагерра применяются в квантовой механике при иссле-
исследовании движения электрона в атоме водорода.
Рассмотрим дифференциальное уравнение Шредин-
гера
Дф + -^-(?-[/)ф = 0. A)
В физике доказывается, что если потенциальная энергия
определяется формулой
И = —Г- B)
где г = У*2 + у2-г z2 и е — заряд электрона, то функ-
функция i|)(jc, у, г), являющаяся решением уравнения A),
характеризует движение электрона вокруг ядра, т. е. это
есть волновая функция, с помощью которой определяет-
определяется устойчивая, стационарная траектория движения элек-
электрона.
Уравнение A) при условии B) имеет вид
Здесь \х—масса электрона, h — постоянная Планка, Е—
полная энергия электрона.
Математически задача заключается в том, чтобы най-
найти такие значения энергии Е, при которых уравнение C)
имеет решение i|)(x, у, г), непрерывное во всем простран-
пространстве, причем в качестве нормировки решения прини-
принимается условие
0. z)?dxdydz=l, D)
где Q есть все трехмерное пространство,

§ 6] Движение электрона & кулоновом поле 263
Введем для краткости обозначения
и подставим эти величины в уравнение C). В результате
получим
() = 0. F)
Для решения этого уравнения перейдем в нем к сфери-
сферическим координатам, считая, что начало координат нахо-
находится в ядре атома, которое неподвижно. Используя
формулу оператора Лапласа в сферических координатах,
уравнение F) приведем к виду
д ( 2 дф
Далее, как обычно, применяем метод разделения пере-
переменных, т. е. ищем решение в виде произведения
\|)(г, Э, ф) = /?(/*) У F, ф), (8)
которое подставляем в уравнение G). В результате по-
получим
дг
После деления на произведение (8) это уравнение приво-
приводится к виду
Поскольку переменные разделены, то обе скобки посто-
постоянны и противоположны по знаку. Постоянную мы выбе-
выберем в виде произведения А = т{т -\- 1). Таким образом,

264 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЁВА- ЛАГЕРРА [ГЛ. VI
из (9) находим два уравнения
dY\ . 1 d2Y
)+
В теории специальных функций доказывается, что урав-
уравнение A1) имеет ограниченное решение именно при та-
таком выбранном значении постоянной А =т(т + 1), где
т — натуральное число или нуль. Решения уравнения
A1) называются сферическими функциями и обозна-
обозначаются через Ут(9, ср). Свойства этих функций изучены
очень подробно ([30], [34], [51]).
Таким образом, нам остается рассмотреть уравнение
A0). Представим его в виде
г2R»(г) + 2rR'(г) + [Лг2 + сг - т(т+ l)]R(r) = 0. A2)
А теперь вспомним дифференциальное уравнение для
многочленов Чебышёва — Лагерра
xL'k(x\ a) + (a+l-x)L'n(x\ a) + nLn(x\ a) = 0 A3)
и рассмотрим вспомогательную функцию
vn(x) = xmexp(-±)Ln(x\ a). A4)
Разрешаем равенство A4) относительно многочлена Че-
Чебышёва — Лагерра
Ln (x\ а) = х~т ехр (--) vn (x) A5)
и считаем производные
L'n(x\ а) = - mx-m~xe2vn(x) + \х~те2vn{x) +
+ х-тe?v'n (х) = х-^ [v'n (х) + (| - -2-) vn (x)],
К (х\ а) = - тх-™~^ [v'n(х) + A - ^-
< w+-5- ^ м + (т —т) < w] -

§ 6] ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ 265
Подставляя эти выражения в уравнение A3), получим
(а + 1 - х) х~те^ [v'n (х) + (± _ -2-) vn (x)]
После очевидных упрощений это уравнение приводится
к виду
+ [т - | х2 + т2 + (а + 1) A х - т) + пх] vn (x) = 0.
A6)
До сих пор параметр а был произвольным. А теперь
положим
а = 2т+\. A7)
Тогда вместо A6) получим
n(x)^0. A8)
Решение уравнения A8) известно, оно имеет вид A4).
Но главное заключается в том, что уравнение A8) ана-
аналогично уравнению A2), которое надо решить. И чтобы
эти два уравнения совпадали полностью, необходимо
выполнение двух условий:
1,
п+1=с. A9)
Но ведь постоянная с есть заранее заданная величина,
которая определяется формулой E). Поэтому условиям
A9) мы удовлетворить не можем. Чтобы связать урав-
уравнения* A2) и A8) и выразить решение первого через
решение второго, применим искусственный прием. Вве-
Введем новое независимое переменное
х = апг, B0)

266 МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА — ЛАГЕРРА 1ГЛ. VI
где ап — пока неизвестное постоянное, а х не является
координатой в том пространстве, где рассматривается
уравнение C). Далее по формуле
un(r) = vn(anr) = vn(x) B1)
вводим новую неизвестную функцию и находим ее про-
производные
Переходим к новым переменным в уравнении A8). В ре-
результате получим
= 0. B2)
Решение этого уравнения можно написать явно в силу
формулы B1). С другой стороны, уравнение B2) уже
можно сравнивать с уравнением A2), которое нам надо
решить. Чтобы уравнения A2) и B2) совпадали, необ-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия
X = — т а% с = (т + п+1)ап.
Из второго условия определяем параметр ап\
B3)
и подставляем в первое
Я"=-4(т+1+1)" « = 0,1,2,... B4)
Следовательно, мы определили собственные числа
дифференциального уравнения A2), т. е. такие значения
параметра К, при которых это уравнение имеет решение
на всем интервале @, оо). Каждому собственному числу
Кп соответствует решение уравнения A2), которое в
силу формул A4), A7), B1) и B3) можно представить

§ 61 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ 267
в виде
Rnm (г) = ип (г) = vn (anr) = vn ( „ + ^ + ! ) =
B5)
Таким образом, с помощью многочленов Чебышёва —
Лагерра мы нашли в явном виде решение уравнения
A2) и тем самым обосновали применение метода разде-
разделения переменных при решении уравнения Шрёдингера
в одном частном случае. Заключительная часть метода
Фурье для уравнения C) и в том числе обеспечение
условия D) проводится, как обычно, и на этом мы не
останавливаемся.
Собственные значения {А,я}, определяемые формулой
B4), подставляем в первое из равенств E). Учитывая
второе из этих равенств, находим
ЕПт = — 2ft2(m-fft+lJ ' Я,  = 0, 1, 2, ... B6)
Таков спектр значений энергии, при которых суще-
существуют устойчивые движения электрона вокруг ядра.
Следует отметить, что значения B6) образуют дискрет-
дискретный отрицательный спектр энергии. Что касается поло-
положительной части спектра, то она оказывается непрерыв-
непрерывной, но это уже другой вопрос, не имеющий отношения
к многочленам Чебышёва — Лагерра.

ГЛАВА VII
МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ
§ 1. Основные формулы и алгебраические свойства
Пусть на интервале (—1, 1) задана весовая функция
h(x) = (l-x)a(l+Xf, X€=(-l,l), О>-1, Р>-1.
(О
В качестве исходной формулы рассмотрим формулу
Родрига для стандартизованных многочленов Якоби
Рп(х; а, р) =
-W-O -'Г'О +хГ>[A-хГяA+х)9+яТ. B)
В этой формуле при дробных аир будем считать, что
xg(—1, 1), и иметь в виду главные значения многознач-
многозначных функций.
Докажем, что при xg(—1, 1) правая часть равен-
равенства B) есть действительно многочлен степени п. В са-
самом деле, выполняя операцию дифференцирования но
формуле Лейбница, находим
= I С*[A - х)а+пТ [A + x)'+*f-k). C)
/2 = 0
Вычисляем производные
=(-0*(сЧ-/г)(а + п-1)... (a + n-
)fe Г(а + в+1) .. ч
*+nf~k)
[A + x)*+nf~k) =

§ 1] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 269
Следовательно, из формулы B) имеем равенство
Рп{х\ а, р) =
(-0*
X A — х)п A + х) , F)
которое после очевидных преобразований можно пред-
представить в виде
Рп (х; а, Р) =
__ Г (а + п + 1) Г (р + п + 1) А Скп (х - \)n~k A + x)k
4_оГ(а + Я-*+1,Г(Р+*+.Г
Равенства F) и G) справедливы при любых х. Если
х> 1, то для многочленов Якоби вместо B) имеет ме-
место формула
Рп (х\ а, р) =
в которой также имеются в виду главные значения мно-
многозначных функций. В самом деле, для вычисления пра*
вой части (8) достаточно написать аналоги равенств C),
D) и E). В результате получим правую часть равен-
равенства G).
С помощью формулы (8) можно вычислить старшие
коэффициенты многочлена Рп(х\ а, р).
При х > 1 имеем представление
{х _ 1Г«{х + ,)Р+-=
Дифференцируя п раз, находим
р"'1 + .... (Ю)

270 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ 1ГЛ. VII
где
A2)
Далее, аналогично (9) имеем разложение
(х- \Га(х+ 1ГР =х—эA ~т Ч Р
Разложения A0) и A3) подставляем в правую часть
равенства (8). В результате получаем
Рп(х;а, Р)=^7г[1+-^+ ..][Апх«+Впх*г1+...] =
= т^тг {Аах* + [Ап (а - Р) + В„] х»-' + ...}.
Следовательно, старшие коэффициенты ап и Ь„ в раз-
разложении стандартизованного многочлена Якоби
Р„ (jc; a, p) = апхп + М"-' + ... A4)
в силу A1) и A2) имеют вид
_ Ап _
а
п\ 2п
1 Г(а+р + 2/г+1)
п!2" Г(а+Р + «+1) ' ^ '
= "("~nP) (а+Р+2«-1)(а+Р+2«-2) ... (а
_ в (а - Р) Г (а + р + 2п)

§ 1] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 271
Для многочленов Якоби с единичным старшим коэф-
коэффициентом в силу A4) и A5) имеем равенство
(х- а ft)- *12T(q + p + /t+l) p , й)_
п (х, а, р; г (а + р + 2п + {) нп (ху а, р) —
+
Г(о+р + 2д+1)Aх)A + х) .
Докажем ортогональность многочленов {Рп(х;а, Ь)}
с весовой функцией A). Для этого рассмотрим интеграл
Jmn= J (I ~ xf (I + xf Pm (x; a, p) Pn (x; a, p) rfx. A8)
В силу формулы B) имеем
i
Jmn = ^ J P« (r, a, p) [A -*)a+" A + хГТ dx. A9)
Далее интегрируем по частям
-1
= ^т (*; «. Р) Ed -
- \ Р'т(х; а, Э)[A - *)в+я(I + аг)в+я](Я~1>rfJC.
т
-1
В силу условий a > —1 и р > —1 внеинтегральные чле-
члены равны нулю. Поэтому, интегрируя по частям еще
п — 1 раз, получим
Amn = (-l)n J Pt4x\ a, $(l-x)a+"(l+x)*+ndx. B0)
-1
Если т < п, то Р{т (х\ а, р) = 0. Следовательно, в
этом случае интеграл B0), а с ним и интеграл A8), рав-
равны нулю, т. е. имеем равенство
l-x)a(l + xfPm(x; а, Р)РЯ(*; а, р)^ = 0, т < п

272 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ 1ГЛ. VII
Этим ортогональность многочленов Якоби доказана.
Для вычисления нормы многочлена Рп{х\ а, Р) в
формулах A8) — B0) положим т = п. В силу A4) и
A5) находим
1
Jnn = J A - х)а A + xf Pi (X; a, p) dx =
1
-1
c. B1)
Полученный интеграл заменой х = 2/—1 приводится к
виду
J A - *)а+" A + xf+n dx = 2 J B - 2/)a+tt B/)р+п Л =
-i о
1
= 2a+p+2rt+1 J /p+rt A - /)a+rt Л. B2)
о
Далее используем известное представление бета-функ-
бета-функции Эйлера через гамма-функцию [32], [52]
1
)
о
Вычисляем правую часть равенства B2)
Г (а + р + 2/1 + 2)
и подставляем в правую часть B1). В результате полу-
получим квадрат нормы многочлена B) с весом A)
и (а рч
а! (а + р + 2/i + 1) J' (а + р + л +

§ 1] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 273
Следовательно, ортонормированный многочлен Якоби
представляется через многочлен B) по формуле
Рп (х; а,_р)_==
Vn\ (а + Р + 2п + 1) Г (а + р + п + 1) п / а\ /олч
—а+[3+1 — Рп (х'у а, р). B4)
А старший коэффициент ортонормированного много-
члена Якоби B4) в силу A4) и A5) имеет вид
М-« (<*>> Р) =
+ 2/1 + 1) Г(а+ Р+Д+ 1) Г(а + P + 2/i + 1)
^ J_ /a+
2п V Ai!
+P+2/t+l
2a+|3+1 V(+f)(p++)(+p++
B5)
Подсчитаем теперь коэффициенты Хп и ал в трех*
членной рекуррентной формуле
Л/A+i (-^; а. Р) = (х-ая)Р/г(^; а, Р)-Я„_А_, (л:; a, (J). B6)
В силу формул A.2.5) и B5) имеем
д = =
П ll
Г (а + Р + 2/г + 2) Г (а + Р + 2/t + 1)у
= 2л I
V я1
v А / (п + 1I 2а+Р + 1Г (a-fft+2) Г (р+/| + 2) Г (а + р + п + 2)
+ 2Д + 4) Г (а + Р + 2п + 3)
__ 9 / (Аг+ 1)(а + п + 1)(Р + я+ 1)(а+Р + д + 1)
Z Д/ (а+Р+2я + 1) (а + р + 2п + 2J (а + р + 2п + 3) *
Параметр ап в формуле B6) можно определить срав-
сравнением коэффициентов при х в степени п в обеих частях
равенства B6). Таких коэффициентов всего три, и их
можно вычислить с помощью формул A4) —A6) и B4).
Учитывая A4) и B4), из B6) находим
/
п Л/
/ (п + 1)! (а + Р + 2/g + 3) Г (а + р + д + 2)
Л/
-V
п
2а + Р + 1Г (а + п + 1) Г (Р + п + 1) п
— / п\ (а + Р + 2п + 1) Г (а + Р + п + 1)
апу 2

274 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [ГЛ. VII
Используя A5), A6) и B7), это равенство представляем
в виде
~~ЦГ+ 1) (а + п + 1) (Р + я + 1) (а + Р + п +Т) ^
(а + Р + 2/г + 1) (а + E + 2/г + 2J (а + р + 2/г -f 3) А
v / (д + 1) (а + Р + 2/г + 3) Г (а + р + я -fW v
А Л/ Г (а + /г + 2) Г (|3 + /г + 2) А
w (п + О (а - Р) Г (а + р + 2я + 2) _
(я + 1)! 2*+1Г (а + р + п + 2)
— / (а+Р+2"+1) Г (а+Р+Аг+1) п (а-Р) Г (а + р + 2/г)
~Л/ Г(а + /г+ 1)Г(Р + п+ 1) " /г!2п
'(а + л+1)Г(Р + л+1) п\2п Г(а + Р + /г + 1)#
После простейших сокращений получим
(я + 1) (а + д + 1) (Р + я + 1) (а + Р + я + 1)" v
(а + Р + 2/г + 1) (а + р + 2/г + 2J (а + р + 2/г + 3) А
р + 2/г + 3)(а+Р + я+1)(Аг+1) w
(а - р) Г (а + Р + 2/г + 2) (/г + 1) =
^ Г(а+р + 2/г) ^ Г(а + Р + 2/г + 1)
Дальнейшие очевидные преобразования приводят к ра*
венствам
(а + р + 2/г + 2) (а + р + 2/г + 1) Г (а + р + /г + 2)
"" ^ W " г (а + Р + л + 1) rt Г (а + р + л + 1) f
(а - Р) (я + 1) Г (а + р + 2я + 1) =
= (а - Р) лГ (а + р + 2л) - а„Г (а + р + 2л + 1),
(а — Р) (я + 1) п (а — Р) __
а + р + 2/г + 2 а + р + 2/г а"*
Таким образом, имеем окончательно
й2 2
а>* = (а + р + 2/г + 2) (а f р + 2/г) * ^* '

$ 1] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 275
Подставляя коэффициенты B7) и B8) в равенство
B6), получим рекуррентную формулу для ортонормиро-
ванных многочленов Якоби:
(/г+ 1)(а + /г+1)(Р + Аг+ 1)(а+Р+я+1)
(а + р + 2п + 1) (а + р + 2я + 2J (а + Р + 2п + 3) А
X Ря + 1 (х\ а, ®=[х - (а+р+2лР+7)°а+р+2д)] Р« (Х> а> И -
^.9 л I
Л/
(а + Р + 2яJ (а + р + 2/г - 1) (а + р + 2д + 1) А
ХР„-|(х; а, Р). B9)
Если в этом равенстве вместо ортонормированных
многочленов Якоби подставить их представление B4),
то после элементарных преобразований, основанных на
свойствах гамма-функции, получим рекуррентную фор-
формулу для стандартизованных многочленов Якоби
2 (п + 1) (а + р + п + 1) (а + р + 2/г) Рп+, (*; а, р) =
)Рп(х; а, р)-
-2(а + /г)(Р + /г)(а + р + 2/г + 2)Ря_,(^ а, Р). C0)
Далее, формула Кристоффеля— Дарбу рдя ортонор-
ортонормированных многочленов Якоби имеет вид
Pk(x; a,p)Pk(/; a, p) =
« Рдг+i (*; а> Р) Р/1 (^> Д> Р) - ^ (^; a, P) fii+i (/; а, Р) т\
1.де коэффициент Хп определяется равенством B7).
В аналогичной формуле для стандартизованных много-
многочленов Якоби
А -О
* Яп + i (а:; а> Р) Рп V; а, Р) - Рп (х; а, Р) Рп+х (/; а, Р)

276 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [ГЛ, VII
величины {А* (а, р)} определяются равенством B3), а
для коэффициента Ап в силу B4) и B7) имеем
А -=9 л ! (^ + 1) (а + п + 1) (Р + /I + 1) (а + Р + /I + 1)
/Лп~ z Л/ (а + Р + 2п + 1) (а + р + 2п + 2J (а + р + 2я +
3)
Хд/
Хд/
(я + 1)! (а + Р + 2д + 3) Г (а + Р + п + 2)
к 1 (а + Р + 2я + О Г (а + Р + п +
+ ^ г (р + л + j)
+ P + " + ^ . C3)
Как обычно в теории ортогональных многочленов,
формулы C1) и C2) применяются при исследований
условий сходимости рядов Фурье по многочленам Якоби.
§ 2. Производящая функция
и дифференциальное уравнение
В настоящем параграфе определяется производящая
функция для многочленов Якоби и выводится дифферен-
дифференциальное уравнение, которому эти многочлены удовле-
удовлетворяют. Доказательства здесь более элементарны, чем
в гл. II, ибо там производящая функция и дифференци-
дифференциальное уравнение получены в общем виде сразу для
всего семейства классических ортогональных многочле-
многочленов.
Фиксируем точку х из интервала (—1, 1). Проведем
окружность Г с центром в точке х столь малого радиуса,
что она не охватывает точек ±1. Тогда в силу формулы
Коши для производной имеем равенство
Г ^ Х'
из которого, учитывая A.2), находим
2ni) {t-x)n+1
= (-1)". j_ С (i - / у (i +1 у (i - (T di =
2" ' 2я» J U -x) \\ + x) (l-x)n+i
2я/ J V 1 —
Г

§ 2] ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ 277
Вместо переменного интегрирования / введем новое
переменное w по формуле
W = 21^{- B)
Поскольку t изменяется около х, то w изменяется около
начала координат, причем окружности Г соответствует
некоторый контур уу охватывающий начало координат.
Введем для краткости обозначение
А = Vl -2xw + w2, C)
где имеется в виду главное значение корня. Тогда из B),
учитывая C), находим одно из значений / по формуле
Далее имеем равенства
w v ' ' w(\ — w -\- A) 1 — w -\- A
t-X =
w ^ ' w (\ -\- w -\- A) \ -\- w •
1 — A — xw A — xwJ — A2 w (x2 — 1)
A — хйУ + Л) 1 — xw + A
Используя равенства (З) и D), вычисляем дифферен-
дифференциал
1, ( 1 — А , х — w \ < А — 1 + xw 1
dt = [ г л ) dw = А dw =
\ w2 ' Aw ) w2A
А2 — A — xwJ - (x2—\)dw t — Xj
= - ^л(л + 1-^)^^л(л + 1~^) ^-^л"^
Подставляем все полученные соотношения под знак ин-
интеграла A). В результате найдем
dw
Awn+l '
Следовательно, имеем разложение
оо
?!^ = V р (Х; а, р) wn. E)
АН— т -I- Д\а (\ -4- т 4- AW *—*

278 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [ГЛ.. VII
Здесь величина А определяется формулой C) и имеются
в виду главные значения многозначных функций при
нецелых а и р. А само разложение E) сходится в до-
достаточно малой окрестности начала координат в зависи-
зависимости от положения точки х на интервале (—1, 1).
Выведем теперь дифференциальное уравнение, кото-
которому удовлетворяет многочлен Якоби. Для этого рассмо-
рассмотрим функцию
и = A-х)а+лA+х)р+л. F)
Дифференцируя, находим
и' = _ (« + п) A - х)а+п-1 A + х)р+" +
+ (P + n)(l-x)a+"(l+Jc)e+n-' =
= A - х)а+п-' A + х)^"-1 [- (а + п)A+х) +
Следовательно, имеем тождество
A — дЗ) и' = [р — a — (о + р + 2л) jc] и.
Дифференцируем это тождество еще п -f- 1 раз:
rt+1
= E6[p-a-(a + p + 2/i) x]{k) u
Выполняя операции дифференцирования сомножителей,
находим последовательно
A — х2) а<я+2> - 2 {п + 1) хм<я+1> — {п + 1) /ш(») =
= [р - a - (a + р + 2/i) i] и<л+ » - (л + 1) (a + р + 2л) аЧ
A - л:2) м<я+2> + [а - р + (а + р — 2) х] ui"+» +
)(а + р + л)и<«> = 0. G)
С другой стороны, из формулы A.2), учитывая обозна-
обозначение F), имеем равенство
Рп(х; а, р) = -Ь^- A - х)~а A + хГР и{п\
Определяем из этого равенства производную и{п) и под*

§ 21 ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ 279
ставляем в тождество G). После сокращения на посто-
постоянный множитель получим
A - х2) [A - х)а A + а:N Рп (х; а, р)]" +
х)аA+х)рР„(х;а,р)] = 0. (8)
Первая производная от произведения в квадратных
скобках имеет вид
+ (l-x)a(l+xfp'n(x) а,р).
Вычисляем вторую производную и подставляем в левую
часть равенства (8). В результате находим
A - х2) [а (а - 1) A - х)а~2 A + х?Рп (х; а, р) -
- ар A - х)а~' A+ xf~l Рп (х; а, Р) -
-арA -хГ'О +xf~lPn{x\ а, р)
-a(l-x)a-l(l+xfp'n(x; а,р)
-2)д;]Х
V всех слагаемых опускаем множители A—х)а и
(l-f-x)P и приводим подобные члены в квадратна

280 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [ГЛ. VII
скобках:
rРп (х; а> р)"" т?^ р« (*;«. Р) -
р« <*'• а> Р) + TTW"Р"{х' а' Р) +
Т7 р» <х; а' Р) + Р« (х"> а>
ТТ7
+ т^т р« (х;а- Р) + р« (*;а- Р)] +
+ (п + 1) (а + р+ л) Р„(г, а, р) = 0.
Далее группируем отдельно слагаемые, содержащие
множителями многочлен Якоби и его производные. В ре-
результате имеем
+ ах + р* - 2*] Р; (х; а, р) + [а<?~х1) A + х) - 2ар +
+ Ax)a ^ +
. R a - р + (а + Р - 2) х ,
"• р 14-х "^
+ (п + 1) (а + Р + п)] Рп (х; а, р) = 0. (9)
Считаем отдельно сумму в последних квадратных скоб-
скобках
а2 - а + а2* - а* _ 2 « , Р2 - Р - Р2* + Р* .
, — а2 + аР — а2х — Pax + 2ах ,
+ +(n+1)(a
— а A — х) „ о РA+*> , аР A — х) , аРA+лс)

§ з] Равномерные оценки
Следовательно, из (9) находим
(I-*2)/>«(*; а, Р) + [Р-а-(а + р + 2)х]Р;(^; а,
+ п(а + $ + п+\)Рп(х; а,р) = 0. A0)
Поскольку все предыдущие равенства, начиная с G)»
выполняются тождественно, то, следовательно, много-
многочлен Якоби Рп(х; а, |3) удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению
+ п(а + $ + п+1)у = 0. A1)
Разумеется, этому же уравнению удовлетворяют и
многочлены Рп{х\ a, J3) и Рп{х\ а, |3).
§ 3. Равномерные оценки
на сегменте ортогональности
Сначала рассмотрим ряд важных соотношений, яв-
являющихся следствиями формулы A.7). Дифференцируя
равенство A.7), находим
Р'п (х; а, р) =
~~ п\2п ( )(Р
X[(п-k)(x- \Гк-х(х +\)k + k(x- \)n~k(x +
n\2n ^
[x - \)n-k~l (x + \)k
Г(а + «-
Далее, используя равенства

2&2 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБЙ [ГЛ. VII
и полагая во второй сумме k —- l=m, получаем
Р'п{х\ а, р) =
Во второй сумме вместо m ставим й и складываем коэф-
коэффициенты у подобных слагаемых в обеих суммах:
Следовательно, из равенства A) находим
7 («-
*_t (JC — I)»"!-* (х + О*
С другой стороны, формула A.7) для номера п—1
и параметров a + 1 и р + 1 имеет вид
Г (а + п + О Г (Р + а + 1) у Ckn_{ (х - i)*-!-* (л; + l)fe
(л - 1)! 2п~{ ^ Г (а + п - * + 1) Г (Р + к + 2) '
Сопоставляя два последних равенства, находим формулу
дифференцирования стандартизованных многочленов
Якоби
(a + p + /i+l)Pn.1(jc; a+l.p+1). B)
Аналогичная формула для ортонормированных много-
многочленов имеет вид
К(х; а, р) = V«(a + p + n+l) Р„_,(je; a + 1, 0 + 1). C)

§ 3] РАВНОМЕРНЫЕ ОЦЕНКИ 283
Далее, в равенстве A.7) вместо х поставим —х.
В результате получим
Pn (~ x; a, p) = * v" T " B12" ' (-1)" X
(-\)k Ckn(\ + x)n~k {\ - x)k
Г (а + п + 1) Г (Р + п + 1) А (—1)тС^ A — дг)"-т A + х)т
п\2п Lj Г(р + /г~т + 1)Г(а
т-0
Таким образом, справедливо очень важное тожде-
тождество
Л|(-*;а,Р) = (--1)|1/>я(*;М). D)
Вычислим теперь значения стандартизованных мно-
многочленов Якоби на концах сегмента ортогональности. Из
равенства A.7), полагая в нем х= 1, находим
Г(а+
Аналогично при х = —1 имеем
i^iiif. F)
Последние два равенства можно записать в виде
P<t(i:a,p)e-<a+1>q + 2;;;-<B + ")Ba(" + a). G)
Перейдем теперь к рассмотрению очень важного
экстремального свойства многочленов Якоби, которое
часто используется при изучении рядов Фурье по много-
многочленам Якоби.

284 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [ГЛ. VII
Георема 7.1. Если выполняется условие
q = max {a, Р} > — у, (9)
то максимум абсолютного значения многочлена Якоба
на сегменте [—1, 1] достигается на одном из концов
этого сегмента.
Доказательство. Полагая для краткости у =
= Рп(х; ос, Р), рассмотрим вспомогательную функцию
Дифференцируя, находим
^О2 + Г/
„(а + Р + Д+В ^О + В(а+Г/п+1) W'
(И)
С другой стороны, многочлен Якоби удовлетворяет
дифференциальному уравнению B.11)
с помощью которого производная A1) приводится к
виду
«' (*) = | [п
Рассмотрим сначала случай, когда выполняются условия
а>-|, Р>-у. A3)
В этом случае равенство A2) можно представить в
форме
где для краткости введено обозначение

§ 3] РАВНОМЕРНЫЕ ОЦЕНКИ 285
С помощью условий A3) нетрудно доказать, что точка
хо находится внутри интервала (—1, 1), т.е. —1<хо<1.
Далее, так как при условиях A3) а + р + 1 > 0, то про-
производная и'{х) меняет знак в точке хо, причем на интер-
интервале (—1, Xq) она отрицательна, а при х е (х0, 1) эта
производная положительна. Следовательно, функция
и(х), определяемая формулой A0), убывает на интер-
интервале (—1, Хо) и возрастает на интервале (лго, 1). По-
Поскольку эта функция положительна, то справедливы не-
неравенства
и(*)<иA), *€=(*<,, 1), A6)
и(-1)>и(х)у *е=(-1,*0). A7)
С другой стороны, из формулы A0) имеем
Р2п(х; а, Р) <«(*), P2n(±U а,р) = м(±1), A8)
и поэтому, учитывая A6) и A7), находим
\Рп(х; а,Р)|<|РяA; а,р)|, хее(х0, 1), A9)
1Лг(*;а,р)|<|РЛ--1;сх,Р)|, jce(-l,jco). B0)
Таким образом, при условиях A3) теорема 7.1 доказана.
Пусть теперь выполняются условия
у 4- B1)
Тогда, вычисляя значения линейной функции
0(д) = (а + р+1)* + а-р B2)
в точках дс = ±1, найдем, что она положительна в ин-
интервале (—1, 1). Поэтому из равенства A2) следует,
что производная и'(х) положительна в этом интервале
зсюду, кроме тех точек, которые являются нулями про-
производной многочлена Якоби. Следовательно, относитель-
относительные максимумы величины \Рп(х\ a, f3) | возрастают на
ясем сегменте [—1, 1], и поэтому наибольший из них
достигается в точке х=19 ибо условия A8) не зависят
от неравенств A3). Таким образом, при условиях B1)
имеем
| Ря (х; а, р) | Ц| Рп A; а, Р) |, х s [-1, 1J. B3)

286 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [ГЛ. VII
Если же вместо B1) выполняются неравенства
Р>-у, -1<а<-1, B4)
то функция B2) отрицательна в интервале (—1, 1), и
поэтому относительные максимумы функции A0) убы-
убывают. Следовательно, убывают также и относительные
максимумы величины \Рп{х\ а, р) | на сегменте ортого-
ортогональности [—-1,1]. Поэтому при условиях B4) имеем
|Рл(*;а,Р)|<|Рл(--1;<х, р)|, *€=[-1, 1]. B5)
Следует отметить, что в двух последних случаях, т. е.
при условиях B1) и B4), проведенные рассуждения не
проходят, если а = |3 = —1/2, но в этом случае много-
многочлены Якоби обращаются в многочлены Чебышёва пер-
первого рода, для которых доказываемое утверждение оче-
очевидно.
Таким образом, теорема 7.1 доказана полностью.
Теорема 7.2. Если выполняются неравенства
-Ка<-{, _кр<_^, B6)
то максимум абсолютного значения многочлена Якоби
на всем сегменте [—1, 1] достигается в точке относи-
относительного максимума, блиоюайшсй к точке хо слева или
справа.
Доказательство. Прежде всего заметим, что и
при условиях B6) точка xq, определяемая формулой
A5), расположена также внутри интервала (—1, 1).
В этом случае снова можно рассматривать формулу
A4), из которой в силу условия а+ Р + 1 < 0 следует,
что производная и'(х) положительна на интервале
(—1, хо) и отрицательна правее точки xq. Следователь-
Следовательно, относительные максимумы функции и(х) возрастают
при приближении точки х к точке хо и слева и справа.
То же самое можно утверждать и о величине
\Рп{х\ ее, Р)|. Следовательно, абсолютный максимум
этой величины достигается в точке относительного мак-
максимума, ближайшей к точке xq слева либо справа. Этим
теорема 7.2 доказана.
Рассмотрим доказательство теоремы 7.1 подробнее»
ибо в нем мы установили несколько больше того, что

§ 3] РАВНОМЕРНЫЕ ОЦЕНКИ 28?
утверждает сама теорема. Прежде всего, в силу формул
E) и F) неравенства A9) и B0) можно представить
в виде
Ря (х; а, Р) I < ^tV+V ' * е [*о, 1], B7)
t xE=[-ltXo]. B8)
Следовательно, точка хо, определяемая формулой A5),
делит сегмент ортогональности на две части таким обра-
образом, что оценка на правом сегменте зависит только от а,
а на левом — только от |3.
Аналогичным образом неравенство B3) в силу фор-
формулы E) приводится к виду
IP (х- а В) К Г(а + az+ I) *еГ—1 n /og\
I гп \л> и> Р/ I ^ я! Г (а + 1) ' "• ¦'* ^ '
Таким образом, если параметр р удовлетворяет условию
—1 < |3 ^ —1/2, то он фактически не влияет на оценку
стандартизованного многочлена Якоби на всем сегменте
ортогональности. Это обстоятельство становится более
ясным, если учесть тот факт, что при условии а — Р ===
= —1/2 мы имеем, так сказать, самый хороший случай,
когда относительные максимумы абсолютного значения
ортогонального многочлена все равны между собой и
распределены по всему сегменту ортогональности.
Неравенства B7), B8) и B9) нетрудно преобразо-
преобразовать в оценки для ортонормированных многочленов
Якоби. В самом деле, для дроби, стоящей под знаком
корня в формуле A.24) в силу формулы D.7.18) имеем
оценку
я! B/f + a + Р + 1) Г (а + Р + я + 1) п^ __
Следовательно, из B7) и B8) с помощью равенства
A.24) снова используя D.7.18), получаем
I Рп (*; а, р) |< с2(а, р)/Ч х е= [х0) 1], C0)
I Рп (х; а, р) | < с3 (а, Р) п+~*, х е= [-1, х0], C1)
причем каждая из этих оценок справедлива при усло-
условиях а ^ —1/2 и р ^ —1/2. Если же, например,

283 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБЙ [ГЛ. VII
— 1 < Р < —1/2, но а 5* —1/2, то из B9) имеем
\Рп(х\ <*> Р) К с4 (а, Р)ла+Т, *€=[-1, 1]. C2)
В заключение отметим равномерную оценку ортонор-
ортонормированных многочленов Якоби на всем сегменте орто-
ортогональности при условии (9).
Теорема 7.3. Если выполнено условие (9), то для
ортонормированных многочленов Якоби имеет место рав-
равномерная оценка
\Рп(х\ а, Р)КсБя*+1у2. *€=[-1, 1], C3)
где постоянная с5 зависит лишь от а а р.
В самом деле, если аир удовлетворяют условиям
а ^ —1/2 и р^ —1/2, то оценка C3) следует из нера-
неравенств C0) и C1). Если же из этих двух условий выпол-
выполняется только одно, например, первое, то C3) следует
из C2). Таким образом, теорема 7.3 доказала.
Последние четыре оценки являются точными в смыс-
смысле порядка, т. е. ортонормированные многочлены Якоби
имеют указанный справа порядок возрастания по край-
крайней мере на одном из концов сегмента ортогональности.
Это следует из формул A.24), E) и F) с учетом равен-
равенства D.7.18). Более того, при любых а > —1 и р > —1
имеем
2. C4)
' УАл (а, р) «!Г(р+1)УАл(а, р)
i
«(— l)nc7(a, p)^4". C5)
§ 4. Асимптотические свойства и весовые оценки
Для исследования асимптотических свойств много-
многочленов Якоби снова применим метод Лиувилля — Стек-
лова, причем, в отличие от случая многочленов Лежан-
дра, здесь ситуация будет несколько сложнее, ибо, как
и в предыдущей главе, придется рассматривать урав-
уравнение Бесселя и два его линейно независимых решения.
В асимптотических формулах для многочленов Якоби

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ
289
можно оценить остаточный член в зависимости от поло-
положения точки х на сегменте ортогональности аналогично
тому, как это сделано для многочленов Лежандра, но
мы не будем проводить неизбежные при этом громозд-
громоздкие вычисления, а ограничимся лишь тем, что наряду
с простейшими асимптотическими формулами получим
очень важные весовые оценки многочленов Якоби на
всем сегменте ортогональности.
Как было отмечено в § 2, многочлен Якоби
Рп{х\ а, Р) удовлетворяет дифференциальному уравне-
уравнению
из которого, полагая в нем jc = cos9, находим тождество
sin2 9 Рп (cos 9; а, р) +
+ [р - а - (а + Р + 2) cos 9] р'п (cos 9; а, р) +
+ п (п + а + Р ~Ь О Рп (cos 9; а, р) = 0. A)
Для применения метода Лиувилля — Стеклова к мно-
многочленам Якоби рассмотрим вспомогательную функцию
1 1
Э; «, Р) B)
и докажем, что эта функция удовлетворяет дифференци-
дифференциальному уравнению
a==a(9) = (sin4)a 2(cos|)
и"+\-
Г - - а2 - -
I 4 sin2 •
¦ + ¦
4 cos2 у
, ( , а + P+lV п /о\
Т + {п + 2 ) |и = 0- C)
В самом деле, вычисляем первую производную функ-
функции B)
и' F) = ( sin |)a+T (cos 4) Т Ра (cos 6; а, Р) X
1\ 9
¦tJcos-2
X
g
2 sin —
2 cos —
4--— ft-4--—
- ( sin 4) 2 (cos 4) 2 р; (cos 6; а, р) sin 6. D)

290
МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ
(ГЛ. VII
Поскольку первые три сомножителя перед квадратной
скобкой составляют функцию B), то вторую производ-
производную можно представить в виде
и" (9) = tt'(в)
(a+i)cos|
2sin-
-«(в)
XPn(cos9;
— sinB^sin-jJ (^cos-^-J
; а, р) -^
2sini
2 cosy
¦]-
— (siny) 2(cos|") 2X
X [cos вР'п (cos 6; а, р) — sin2 9Р" (cos 9; а, р)]. E)
Теперь надо подставить вторую производную E) и
функцию B) в левую часть C). Но сначала заметим,
что все слагаемые в правой части E), а также и функ-
функция B), имеют два одинаковых множителя. Без этих
множителей левая часть C) с учетом D) имеет вид
Рп. F)

§ 4] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ 291
Считаем отдельно слагаемые, содержащие производные
многочленов Якоби. С помощью дифференциального
уравнения A) находим
sin2 9Р;' - [2 (а + 1) cos21 _ 2 (р +1) sin2? +
+ cose] p'n = sin2 ея?-
~[(а+т)A + cos е) ~ (р + т)A ~cos е) +cos е] р«=
= sin2 вРп - [а - р + (а + Р + 2) cos в] pj, =
= -/г(п + а + р+1)Р„.
Следовательно, сумма F) без множителя Рп имеет вид
4 sin2 —
4cos2-^- 4 sin2- 4 cos24
4sin2-| 4cos2-|
4 sin2 —
, ( 4)JT 0 y) .
i ] T§ 4
4 cos2 ~
Таким образом, функция B) действительно удовлет-
удовлетворяет дифференциальному уравнению C).

292 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [ГЛ. VII
Вводя для краткости обозначение
+ i , G)
представим уравнение C) в виде
Докажем, что решением однородного уравнения
ы"+(-Ц^-+ЛГ2)ы = 0 (9)
является функция
У (Ю)
где /а (х) — функция Бесселя первого рода порядка а.
В самом деле, вычисляем вторую производную и под-
подставляем в левую часть (9). В результате получим
УёЛ^' (NQ) + -У=г /а (NQ) -
о
- |е"~Уа(NB) + (Lr+ N*) л/в/а (АГ8).
После умножения этой суммы на 93/2 и обозначения
х — NQ находим
Q2N2Ja (NQ) + QNJa (NQ) + (-a + Q2N2) Ja (NQ) =
= x2J" (x) + xfa (x) + (x2 - a2) Ja (x) = 0,
ибо функция Бесселя Ja(x) является решением уравне-
уравнения Бесселя F.3.8). Таким образом, функция A0) дей-
действительно есть решение однородного уравнения (9).
Если а не является целым числом, то второе линейно
независимое решение уравнения (9) будет

§ 4] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ 29а
Если же а — целое число, то вместо A1) второе реше-
решение необходимо взять в виде
tf8). A2)
где Ya(x) — функция Бесселя второго рода ([30], [34],
[51]).
Далее надо представить решение уравнения (8) по
формуле D.4.3), имея в виду, что вместо уравнения
D.4.1) здесь есть уравнение (9), в котором Б(9) = 0.
Следовательно, формула D.4.4) в данном случае имеет
вид
u[(Q)u2(Q)-uf2(Q)ul(Q) = c3. A3)
Для определения постоянной с3 воспользуемся извест-
известными в теории бесселевых функций соотношениями
([30], [34], [51])
Ja(x)J-a(x)-/-a(x)Ja(x) = ^^-, . A4)
fa(x)Ya(x)-YUx)Ja(x) = --^, A5)
первое из которых справедливо при нецелых а, а вто-
второе— при целых. Вычисляя производные, найдем, что
2 .
постоянная с3 равна— sin ая, если а — нецелое число, и
9
, если а — целое. Таким образом, формула D.4.3)
тс
в первом случае имеет вид
ц (9) = с, д/В К (NQ) + с2 л/в/_а (ЛГ6) +
л/Т [/„ т /_в т - /_„ (№) /а т] F (/) и (/) dt,
A6)
где функция
ограничена равномерно при 0 ^ t ^ п — е.
В формуле A6) произвольные постоянные си с2 и Эо
надо определить таким образом, чтобы вместо и(в)

294 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [ГЛ. VI!
можно было бы поставить конкретное решение B) урав-
уравнения (8).
Будем считать, что в формуле A6) функция u(Q)
определяется равенством B). Так как а> — 1, то в
формуле A6) можно положить 90 = 0 и интеграл будет
существовать в крайнем случае как несобственный. Сле-
Следовательно, равенство A6) после деления его на 9+1/
можно представить в виде
= c,e-a/a (we) + c2e-a/_a(^e) +
е
- /«W) /-« №)] f (О X
a+T(|)P+T
X(sin~)a+T(cos|)P+TPw(cos/; а, р)Л. A8)
Так как при малых х функция Бесселя Ja(x) эквива-
эквивалентна величине ха, то при фиксированном п интеграл
A8) при 0->-О имеет порядок убывания величины
о
е е
= еа \tdt + 0~а \ t2a+l dt = ±Qa+2 + 2al 2 9а+2.
о о
Если а > 0, то при переходе к пределу при 0-^0 второе
слагаемое справа в формуле A8) возрастает по абсо-
абсолютной величине неограниченно, а все остальные слагае-
слагаемые, в том числе и левая часть, ограничены. Следова-
Следовательно, необходимо с2 = 0. При этом условии, используя
формулу для функции Бесселя F.2.1), в пределе при
0 = 0 находим

§ 4] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ 295
Далее, используя формулу C.7), получаем
с = 2~"^N~aT (а + 1) (a+1Ha + 2)...(<x4-ft) = Г(а + п+1)
1 V ' n\ ^2Nan\ '
A9)
Аналогичный результат получается и в случае, если
— 1 < a < 0, ибо тогда равенство A8) можно разде-
разделить на величину 9~2a и, переходя к пределу при 8-^0,
получим С2 = 0. А при условии с2 = 0 из равенства A8)
следует A9), если а отрицательно и — 1 < а < 0.
Таким образом, из A8) следует формула
; a, p) =
0
J Л/Т [Ja
' X
Л. B0)
Так как асимптотические свойства функций J-a(x) и
Ya(x) аналогичны, то доказательство сохраняется и в
случае, когда а — целое число. В этом случае в фор-
формуле B0) вместо /-а будет Ya-
Рассмотрим интеграл B0) при условии /г-^оо, учи-
учитывая обозначение G). Для этого интеграла, применяя
неравенство Буняковского — Шварца, в силу ограничен-
ограниченности функции A7) при 0 ^ 0 ^ я — 8 находим
о
А\ (в) < С4 \ | /в (№) J_a (Nt) - Ja (Nt) /_a (№) ftdt- hn(a, p),
B1)
где hn (a, |3) есть квадрат весовой нормы многочлена
Рп(х\ а, Р), для которого в силу формул A.23) и
D.7.18) имеем
А* (а, » = 0(т)- B2)
Если О <С NQ ^ 1, то для интеграла в B1), обозна-
обозначая его Bn(Q) и используя формулу F.3.16) для функ-

296 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОЬИ
ции Беселя, находим неравенство
0
Вп F) < сь \ | (NQ)a (Ntya + (Nt)a (NQ)-a ftdt =
0
e
= c5 J (e2ar2a + 2 + ;2aea) / at =
0
[ГЛ.
Пусть теперь 1 ^ NQ. Тогда применяем асимптоти-
асимптотическую формулу для функции Бесселя ([30], [34], [51])
B4
Интеграл B1) разобьем на два интеграла по сегментам
Для первого из них имеем
А интеграл по второму из сегментов B5) допускает
оценку
+
— N2q j ar iv2e
Li J?l .ve- l ^ cl0
n )~ n2 ive ^ n2 '

§ 4] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ 297
Теперь можно рассмотреть асимптотические свойства
многочленов Якоби.
Теорема 7.4. При фиксированном г > О для мно-
многочленов Якоби на сегменте [1/N, к — г] имеет место
формула
; a, p) =
] <28>
причем постоянная в оценке остаточного члена не зави-
зависит от 6.
В самом деле, при условии 0е[1Д я — е] имеем
1 ^ М), и поэтому интеграл B1) оценивается на основе
неравенств B6) и B7), которые вместе с оценкой B2)
и приводят к формуле B8).
Асимптотическую формулу B8) можно преобразо-
преобразовать с помощью равенства B4). Действительно, так как
NQ ^ 1, то, подставляя B4) в B8), находим
a+6+; a, р) =
-, я — el.
Главные члены в формулах B8) и B9) можно не-
несколько упростить. Для этого надо вместо Л^ подставить
его значение из формулы G) и проделать над гамма-
функцией такие же преобразования, какие были выпол-
выполнены в гл. IV при выводе асимптотической формулы для
многочленов Лежандра.
Разумеется, для сегмента [е, n—1/N] многочлены
Якоби имеют аналогичное B9) представление с той
лишь разницей, что вместо а в правой части надо по-
поставить C.
Рассмотрим теперь очень важные весовые оценки
многочленов Якоби на всем сегменте ортогональности.
Теорема 7.5 (С. Н. Бернштейн). Если а ^—1/2
и р ^ — 1/2, то существует такая постоянная сц > О,

298 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [ГЛ. VII
что на сегменте [О, я] выполняется неравенство
a+3+T|^(cos9; a, p)|<-^, C0)
е €= [о, я].
Доказательство. Главный член в формуле B9)
по модулю не превосходит-^. Следовательно, оценка
C0) для сегмента Г-^-, 4JM следует из асимптотической
формулы B9). Пусть теперь 6 е [О, -^-1. Тогда функ-
функцию Бесселя можно оценить сверху величиной C\s(NQ)a.
А интеграл Ап (9) в формуле B0) оцениваем на основа-
основании неравенств B1), B2) и B3). В результате этого из
формулы B0) при 9 е [0, 1/N] находим
2 (cos|)P+ 2
Pn (cos 9; a,
^ )а + с1б ^г 9 < -^.
Таким образом, неравенство C0) для сегмента [0,
я/2] доказано. Далее воспользуемся формулой C.4),
которую можно представить в виде
Рп (cos 9; a, p) = (- \)п Рп (- cos 9; р, а).
Если 9 изменяется от я/2 до я, то величина t — я — 9
изменяется от я/2 до 0. Так как cos t = — cos 9, то
имеем
(sin-|-)
|)a+T (cosf)PT^(cose; a, p) =
/; p, a),
причем в правой части переменное t изменяется на сег-
сегменте [0, я/2]. Следовательно, неравенство C0) имеет

§ 5] РЯДЫ -ФУРЬЕ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЯКОБИ 299
место и на сегменте [л/2, я]. Этим теорема 7.5 дока-
доказана.
Замена переменного по формуле х = cos 0 приводит
неравенство C0) к виду
A-х)^+ТA + х)Т+Т|рЛ;с;а) р)|<-^, C1)
*е=[-1, 1].
Из этой оценки следует, что стандартизованные мно-
многочлены Якоби внутри интервала ортогональности убы-
убывают со скоростью \\л1 п .
С помощью формулы A.24) нетрудно получить ана-
аналогичные оценкам C0) и C1) неравенства для ортонор-
мированных многочленов Якоби. В самом деле, так как
подкоренное выражение в формуле A.24) возрастает со
скоростью п, то из C0) и C1) имеем
(sin|-)a+T(cos^-K+T|Prt(cose; a, р) |<с17, C2)
6 е= [0, л]
и
(l-xfi+T(l + x)T+T\Pn(x; a, P)|<c17f C3)
*g=[-1, 1].
Таковы весовые оценки многочленов Якоби на всем
сегменте ортогональности.
§ 5. Ряды Фурье по многочленам Якоби
Пусть функция f(x) задана на сегменте [—1, 1] и
квадрат ее интегрируем на этом сегменте с весом Якоби,
т. е. существует интеграл
1
НЛР= J (i-t)a(i + tf\f(t)fdt. A)
-1
Тогда можно определить коэффициенты Фурье — Якоби
пп= J {\-t)a{\+tff(t)Pn{t-a^)dt, л = 0, 1,2,..., B)
—1

300 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [ГЛ. VII
и рассмотреть ряд Фурье-—Якоби функции f(x)
оо
Z апРп(х; а, р). C)
/г=0
Из асимптотических свойств многочленов Якоби сле-
следует, что свойства рядов C) внутри интервала ортого-
ортогональности (—1, 1) во многом аналогичны свойствам ря-
рядов Фурье по многочленам Лежандра. Так, например,
аналогично теореме 4.6, если функция f(t) (помимо су-
существования интеграла A)) удовлетворяет в фиксиро-
фиксированной точке хе(—1, 1) условию
D)
\
то в данной точке х ряд C) сходится к функции f(x),
т. е. имеем
оо
f(x)=Z anPn(x\ а, р). E)
В самом деле, так как в силу неравенства D.33)
ортонормированные многочлены Якоби ограничены во
всякой внутренней точке интервала ортогональности, то
можно применить общую теорему 1.7.
Далее, теорема 4.7 также переносится на ряды
Фурье — Якоби, т. е. если функция f(x) непрерывна на
сегменте [—1, 1] и удовлетворяет на этом сегменте
условию Дини D.5.5), то разложение Фурье — Якоби E)
сходится равномерно на сегменте [—1 + е, 1—е], где
е>0и зафиксировано произвольно малым. Доказатель-
Доказательство этого утверждения проводится с помощью равно-
равномерной и весовой оценок ортонормированных многочле-
многочленов Якоби аналогично доказательству теоремы 4.7, но
необходимые оценки получаются значительно сложнее.
Более того, аналогично рядам Фурье —Лежандра
для рядов Фурье — Якоби имеет место некоторая тео-
теорема о равносходимости, аналогичная теореме 4.11. Эта
теорема доказывается в монографии [43].
Из сказанного выше следует, что ряды Фурье — Яко-
Якоби внутри интервала ортогональности (—1, 1) аналогич-
аналогичны рядам Фурье — Лежандра и даже рядам Фурье по

§ 5] РЯДЫ ФУРЬЕ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЯКОБИ 301
тригонометрической системе. Но совершенно иная ситуа-
ситуация возникает, если рассматривать условия равномер-
равномерной сходимости рядов Фурье — Якоби на всем сегменте
ортогональности [—1, 1] или даже только условия схо-
сходимости этого ряда в точках х = ±\. Ведь из формул
C.34) и C.35) следует, что ортонормированные много-
многочлены Якоби при условиях а > — 1/2 и C > — 1/2 в точ-
точках х = +1 возрастают со скоростью па+1/2 и п$+1/2 соот-
соответственно. Поэтому даже для стремления к нулю об-
общего члена ряда C) в этих точках коэффициенты
Фурье — Якоби B) должны удовлетворять условию
lim n+Tan (а, р) = 0, F)
П->оо
где q есть наибольшее из чисел а и |3. А это условие вы-
выполняется в том случае, если, например, функция f(x)
имеет на сегменте [—1, 1] р непрерывных производных,
где р ^ 9+ 1/2. В самом деле, обозначим через Qn-\(x)
многочлен наилучшего равномерного приближения
функции f(x) на сегменте [—1, 1]. Тогда в силу непре-
непрерывности р-й производной аналогично D.5.14) по теоре-
теореме 9.10 выполняется условие
lira «"?„_,(/) = ().
rt->oo
С другой стороны, пользуясь ортогональностью много-
многочлена Якоби, имеем
1
1
= J A - t)a (I + О3 [/ @ - Qn-i (t)] Pn (t; «, Р) dt.
Далее, в силу неравенства Буняковского — Шварца на-
находим
1
al< \ A - t)a A + 0е [/ @ - Qn-i (Of dt < cifi-i (/),
-1
и, таким образом, в данном случае условие F) выпол-
выполняется.

302 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [ГЛ. VII
Этот пример показывает, что при изучении достаточ-
достаточных условий равномерной сходимости ряда C) на всем
сегменте [—1, 1] естественно предполагать непрерыв-
непрерывную дифференцируемость функции /(/) на этом сегмен-
сегменте. Мы рассмотрим простейшее достаточное условие
равномерной сходимости ряда C) на сегменте [—1, 1],
обобщающее теорему 4.8.
Теорема 7.6. Пусть q = max {а, р} ^ —1/2. Если
функция f(x) непрерывно дифференцируема р раз на
сегменте [—1,1] и f(p)(x)^ Lip у, где 0 < у ^ 1, причем
выполняется условие р + у > q + 1, то ряд Фурье —
Якоби функции f(x) сходится к ней равномерно на всем
сегменте [—1, 1], т. е.
f{x)=t anPn(x;a,fi, xe[-l, 1]. G)
Доказательство. В силу неравенства A.4.6)
имеем
J 0<y<1. (8)
Оценим теперь функцию Лебега для многочленов Якоби.
В силу формулы A.4.13), учитывая равномерную оценку
многочленов Якоби на всем сегменте ортогональности
C.33), находим
(l-t)a(l+tfdtX
Pk(t; а, p)Pfe(*; а, р)
1
X \ A -0a(l +tf
k=0
[-1, 1]. (9)
Таким образом, для постоянных Лебега имеем неравен-
неравенство

§ 5]
РЯДЫ ФУРЬЕ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЯКОБИ
303
Следовательно, из неравенства Лебега
/ (х) - Е акРк (х) а, р)
<с6
[-1, 1],
учитывая оценку (8), получим
; <*, Р)
с7пч
[-1, 1]. A1)
Этим теорема 7.6 доказана.
Равномерная сходимость ряда G) на сегменте
[—1, 1] на самом деле имеет место и при более общем
условии р + у> q + \/2у однако доказательство теоре-
теоремы при этом условии весьма громоздко и технически
значительно сложнее, чем доказательства теоремы 7.6 и
теоремы 4.9, в которой рассматриваются ряды Фурье по
многочленам Лежандра, т. е. случай, когда q = 0.
Рассмотрим теперь так называемую весовую сходи-
сходимость рядов Фурье — Якоби на всем сегменте ортого-
ортогональности.
Теорема 7.7. Если а ^ — 1/2 и р ^ — 1/2, а функ-
функция f(x) непрерывна на сегменте [—1, 1], то имеет ме-
место неравенство
Доказательство. Прежде всего из первой части
неравенства (9), учитывая весовую оценку многочлена
Якоби D.33), имеем
JL+JL JL+.L
; а, р)|2<
[-l, 1]. A3)

304 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ
А теперь из поточечного неравенства Лебега
[ГЛ. VIT
/(*)-? akPk(x;a, р)
<[l+Ln(x)]En(f),
*е[-1, 1],
умножая его на весовой множитель, находим оценку
A2). Таким образом, теорема 7.7 доказана.
В частности, если функция f(x) непрерывно диффе-
дифференцируема р раз на сегменте [—1, 1], причем f{p)(x)^
$, то в силу неравенства (8) из A2) получим
A-хJ 4 A+*J 4
;а, р)
[-1, 1],
A4)
Следовательно, если р + у > 1/2, то ряд Фурье — Якоби
сходится с весом на всем сегменте ортогональности к
функции f(x).
Весовую оценку функции Лебега A3) мы установили
с помощью неравенства D.33). Более тонкими и гро-
громоздкими построениями доказывается, что на самом
деле в правой части A3) вместо *Jn можно поставить
Inn. Следовательно, таким же образом можно улучшить
и неравенства A2) и A4). Этот законченный результат
о скорости весовой сходимости рядов Фурье — Якоби
был установлен С. Н. Бернштейном в 1930 г.
В заключение отметим, что наиболее общие резуль-
результаты о скорости сходимости рядов Фурье — Якоби на
всем сегменте ортогональности в недавнее время полу-
получили В. М. Бадков, Г. И. Натансон, А. В. Зорщиков и
С. А. Агаханов.

ГЛАВА VIII
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
§ 1. Простейшие преобразования весовой функции
Из результатов гл. I следует, что для рассмотрения
условий сходимости рядов Фурье по ортогональным
многочленам очень важно установить ограниченность
последовательности ортонормированных многочленов в
отдельной точке, на некотором множестве или на всем
сегменте ортогональности. В предыдущей главе мы до-
доказали, что ортонормированные многочлены Якоби огра-
ограничены внутри интервала ортогональности, т. е. в каж-
каждой точке интервала (—1, 1), и равномерно ограничены
на всяком сегменте, расположенном целиком внутри
этого интервала. А многочлены Чебышёва первого рода
ограничены равномерно на всем сегменте ортогональ-
ортогональности. В связи с этими фактами возникает естественный
вопрос о распространении результатов, установленных
для классических ортогональных многочленов, на более
общие системы многочленов, ортонормированных с про-
произвольной весовой функцией. Здесь мы рассмотрим про-
простейшие преобразования весовой функции, при которых
оценки с одной системы ортогональных многочленов
переносятся на другую.
Пусть многочлены {ц>п{х)} ортонормированы на ко-
конечном сегменте [а, Ь] с весом р{х), причем в некоторой
точке Xq^ [а, Ь] либо на некотором множестве А а [а, Ь]
выполняется неравенство
<М, хо<е=А. A)
Спрашивается, какими свойствами должна обладать не-
неотрицательная функция а(х) на сегменте [а, Ь], чтобы
последовательность многочленов {Рп(х)}, ортонормиро-
ортонормированных с весом
h{x) = p{x)o{x), x^[a, b], B)

306 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
была бы ограниченной в точке х0 или на всем множе-
множестве Л?
Теорема 8.1. Если о(х) есть неотрицательная на
сегменте [а, Ь] рациональная дробь, т. е.
причем Rm(x) > 0 при х s А, то из A) следует неравен-
неравенство
ip»wi< kZCcJ Мл/к' Хо^а' D)
где введено обозначение
K= max Rm(x)Qs(x). E)
XG[fl, Ь]
Доказательство. Так как Rm(x) есть многочлен
степени /п, то имеем разложение
Rm (х) Рп (х) = сОфо (х) + С\(р[ (х) + . . . + сп + тУп + т (х), F)
коэффициенты которого определяются формулой
b
Ck = \ Р (X) Rm (X) Рп (X) Щ (X) dx =
а
Ъ
= \h(x)Qs(x)Pn(x)yk(x)dx.
а
Но ведь многочлены {Рп(х)} ортогональны с весом h(x).
Поэтому при s -\-k < п имеем Си = 0. Следовательно,
вместо F) получим
^m W -« n l^/ — 6п-5Фл-5 \X) ~T 6/2-s+l^«-s + l W "t" • • •
С другой стороны, учитывая обозначение E), находим
п+т ь
k=n—s a
b
/ \ ^m l-^) rn (J\d (<ЛЛ р2 /^^ /7v- <^ V
\Х> П (v\ l^m \Х) Vs WJ Гп \X) UA^A.

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ 307
А теперь к правой части G) применим неравенство
Буняковского — Шварца. В результате этого в силу A)
имеем
п + т п + т
Неравенство D) доказано.
Если R есть минимум многочлена Rm(x) на множе-
множестве Л, причем R > 0, то вместо D) получим
В частности, неравенство D) сохраняется, если весо-
весовая функция только умножается либо только делится на
положительный многочлен.
Можно рассматривать более общий случай, когда
вместо A) выполняется неравенство
1фЛ*оЖМ„ (8)
при условии, что последовательность {Мп} монотонно
возрастает к бесконечности или убывает к нулю. В са-
самом деле, так как в разложении G) содержится только
конечное число т-\-s-\-l слагаемых, не зависящее от
п, то при этих условиях в неравенстве D) вместо М
можно поставить наибольшее из чисел Mn-S, Mn-s+\> ...
..., Мп+т. Следовательно, правая часть D) будет изме-
изменяться аналогично правой части неравенства (8).
Если оба многочлена Rm(x) и Qs(x) в формуле C)
положительны, то теорему 8.1 можно обратить, т. е. мо-
можно оценить многочлены {(рп(х)} через многочлены
{Рп(х)}. Таким образом, умножение или деление весовой
функции на положительный многочлен сохраняет огра-
ограниченность, а в некоторых случаях и скорость возраста-
возрастания либо убывания последовательности ортонормиро-
ванных многочленов.
А теперь рассмотрим основной результат о преобра-
преобразовании весовой функции.
Теорема 8.2 (Дж. Кораус). Если дополнительный
множитель о(х) в формуле B) положителен и удовле-
удовлетворяет на конечном сегменте [а, Ь] условию Липшица
порядка а = 1, т. е.
-f|, x,te=[a, Ь], (9)

308 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
то при всех х ^ [а, Ь] имеет место неравенство
I Pn (x) I < у-1 Ф» W I + "^ [ I Ф» W I + I Ф»-«(x) I ], A0)
ao= min o(x), c\ = max{\a\9 \b\}. A1)
Доказательство. Разлагая многочлен Pn(х) по
системе многочленов {q>k{x)}, находим
b г п 
SI X~^ I
I * I
= Фп W \ P @ P» @ ф» (О Л + \p @ P» @ /C«_1 (jc, 0 *, A2)
J J
a a
где, как обычно, введено обозначение
п-\
Далее, так как многочлены {Р,г(/)} ортонормированы
с весом h(t) = p(t)o(t), то имеем равенство
с помощью которого, используя формулу Кристоффеля
Дарбу A.2.11), получаем
b
= \ Р (/) Р„ @ [о (х) - о (/)] Kn-i (х, 0 Л

§ 1] Простейшие преобразования весовой функции 309
Подставляем это выражение в формулу A2) и перехо-
переходим к оценкам
Pn(x)\<\<f>n(x)\\p(t)\Pn(t)\\<i>n(t)\df
a
b
Я„_! f (f\\ p ( \\
a (x) J P ^ '' n "' '
G
(X)
X
— cr
j-
(t)
X
X [ IФЯ W 11 Ф»-1 (О I +1 ф* @ I! Ф.-i (x) I ] A. A3)
Разностное отношение под знаком второго интеграла
оценивается в силу неравенства (9). Следовательно,
остается оценить три аналогичных между собой инте-
интеграла. Для первого из них, используя ортонормирован-
ность многочленов и обозначение A1), находим нера-
неравенство
и
/57 3
Со
1/2 р Ь -.1/2
Учитывая аналогичные оценки для второго и третьего
интегралов, из A3) получаем
Теперь остается учесть неравенство A.2.8) для коэффи-
коэффициента Хп-\. Этим теорема Корауса доказана.
Неравенство A0) можно записать в виде
\Рп(х)\<с2[\ Фл_! (х) | + | Ф„(х) I], ^ [а, 6]. A4)

310 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
В частном случае, когда многочлены {цп{х)} огра-
ограничены, т. е. выполняется условие A), из неравенства
A0) имеем
|Р,МКао + У0 М, хе=Ас[а,Ь]. A5)
Далее, можно рассматривать случай, когда в неко-
некоторой точке Хо имеет место оценка (8). Тогда в силу A4)
многочлен Рп(х) в этой точке xq допускает аналогичную
оценку сверху.
Наконец, поскольку функция а(х) положительна и,
следовательно, ее минимум положителен, то при усло-
условии (9) можно составить оценки многочленов {ц>п(х)}
через многочлены {Рп(х)}. Таким образом, весовую
функцию можно не только умножать, но и делить на до-
достаточно хорошую функцию а{х).
Рассмотрим теперь простейшие следствия из теоремы
Корауса.
Пусть многочлены {Рп(х)} ортонормированы на сег-
сегменте [—1, 1] с весовой функцией
Ч -1,1). A6)
Если положительная функция /г0(x) удовлетворяет на
сегменте [—1, 1] условию Липшица порядка ос=1, то
многочлены {Рп(х)} можно оценить через многочлены
Чебышёва первого рода. Учитывая оценку C.2.2), из
A5) находим
Функция ho(x) в формуле A6) называется иногда
тригонометрическим весом, а многочлены, ортогональ-
ортогональные с весом A6) при положительной и непрерывной
функции ho(x), можно рассматривать как непосредствен-
непосредственное обобщение многочленов Чебышёва первого рода,
для которых ho(x) = 1.
Аналогичным образом многочлены, ортогональные на
сегменте [—1, 1] с весовой функцией h{x), которая по-
положительна и непрерывна на этом сегменте, называются

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ 311
обобщенными многочленами Лежандра. Для изучения
этих многочленов применим теорему Корауса.
Теорема 8.3. Если весовая функция h(x) на сег-
сегменте [—1, 1] положительна и удовлетворяет условию
Липшица порядка а= 1, то для обобщенных многочле-
многочленов Лежандра имеют место неравенства
/^+1, *€=[-1,1], A7)
*е=[-1,1]. A8)
В самом деле, весовую функцию h(x) многочленов
{Рп(х)} можно рассматривать как результат умножения
весовой функции многочленов Лежандра на дополни-
дополнительный множитель о (х) ?== h (х). Следовательно, в этом
случае можно применить теорему Корауса, и поскольку
многочлены Лежандра удовлетворяют аналогичным и
даже более точным неравенствам D.2.4) и D.3.4), то с
помощью этих последних из неравенства A0) полу-
получаются оценки A7) и A8), причем, конечно, можно на-
написать конкретные значения постоянных с3 и с4.
Далее в § 5 гл. IV при рассмотрении рядов Фурье —
Лежандра в доказательствах всех теорем из свойств
многочленов Лежандра используются только неравен-
неравенства D.2.4) и D.3.4). Следовательно, все результаты § 5
гл. IV переносятся и на ряды Фурье по обобщенным
многочленам Лежандра. В частности, для остатков та-
таких рядов справедливы неравенства вида D.5.16) и
D.5.28), если, конечно, весовая функция h(x) удовлетво-
удовлетворяет условиям теоремы 8.3.
С помощью теоремы Корауса можно рассмотреть
также обобщенные многочлены Якоби, ортогональные
с весовой функцией
h(x) = ho(x)(l-x)a(l+xf,
а>- 1, р> — 1, *€=(—1, 1).
Если функция ho(x) положительна и удовлетворяет
условию Липшица на сегменте [—1, 1], то на соответ-
соответствующие ортонормированные многочлены и ряды Фурье
по ним переносятся многие результаты, установленные
в гл. VII.

312 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
§ 2. Интерполирование функций
и многочлены Чебышёва
Пусть на сегменте [а, Ь] определена непрерывная
функция f(x) и задана система м+1 различных точек
Л. Х\> *2< • • •, Хп. A)
Докажем, что существует единственный многочлен
Ln(x\f) степени не выше п9 значения которого в точках
A) совпадают со значениями функции f(x), т. е. выпол-
выполняются условия
U(xk; f) = f(xk), k = 0, 1, 2, ..., п. B)
В самом деле, вводя неизвестные коэффициенты много-
многочлена Ln(x; f), равенства B) можно представить в виде
alxl+a2x]+ ...
Определитель этой линейной неоднородной системы есть
транспонированный определитель Вандермонда, кото-
который, как известно, равен произведению всевозможных
разностей вида (Xk — хт) при условии кфт и отличен
от нуля. Таким образом, система C) имеет единственное
решение при любой правой части.
Многочлен Ln{x\ f) называется интерполяционным
многочленом Лагранжа, соответствующим системе узлов
A) и функции f(x). Чтобы найти формулу для этих мно-
многочленов, рассмотрим сначала так называемые фунда-
фундаментальные многочлены Лагранжа
I Y Y \ IY Y \ I Y V \ ( Y Y \ I Y Y \
(x ~ xo)(x x{)...{X xk_x){x xk + l)...(x xn)
Ty Y \ I Y Y \ Ty Y \ I Y Y \ Ty Y \' ^ •
\xk xO)\xk xl) — '\k xk-l)\*k xk + \)' "\xk лп)
Для этих многочленов выполняются интерполяционные
условия
О, кфт,
1 и-„ (б)

§ 2) ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 313
С помощью фундаментальных многочленов D) интерпо-
интерполяционный многочлен Лагранжа представляется в виде
Ln(x;f)=ti(xk)lk{x), F)
fc = 0
ибо многочлен, стоящий в правой части F), удовлетво-
удовлетворяет интерполяционным условиям B), и в силу един-
единственности он совпадает с многочленом Лагранжа.
Точки A) называются узлами интерполяции. Эти
узлы определяют многочлен
®п+\ (х) = (х — хо) (х — х{) ... (х — хп), G)
с помощью которого числитель в правой части D) мож-
можно записать короче
(х — х0) (x — xi) ... (х — xk_x) (х — xk+{) ... (* — *„) =
Устремляя х к Xk, получим
(хк ~ *о) (хк — х{) ... (xk — xk-i) (xk ~ xk+i) ... (хк — xn) =
Следовательно, формулы D) и F) можно представить
в виде
Ш^х) k = 0,l,2,...,n, (8)
(x-xk)<i>n+l(xk)
П
La(x; f) = Vf (xk) *n+llx) , ч • (9)
to (x - *k) Vi (*k)
Интерполяционный многочлен Лагранжа совпадает
с функцией f(x) в узлах интерполяции A), а в других
точках сегмента [а, Ь] такого совпадения может и не
быть. Но ведь этот многочлен вводится именно для того,
чтобы можно было легче подсчитать значения сложной
функции f(x) в любой точке сегмента [а, Ь]. В связи с
этим возникает естественный вопрос о погрешности при-
приближенного равенства
f(x)&Ln(x;f), xeE[at b]. A0)

314 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
Иными словами, в формуле
/ (х) = Ln (x\ f) + Rn (*; f), х е [а, Ь], A1)
требуется оценить остаточный член Rn(x\ /).
Сначала рассмотрим остаточный член при условии,
что функция f(x) непрерывно дифференцируема п -\- 1
раз на сегменте [а, Ь]. Зафиксируем х и введем обозна-
обозначение
Далее рассмотрим вспомогательную функцию
F(t) = f @ - Ln (t; f) - /С©„+, @, t s [a, ft]. A3)
Эта функция на сегменте [а, Ь] имеет п + 1 непрерыв-
непрерывных производных и обращается в нуль в п + 2 различ-
различных точках
Xq, X\, X2j • • •> -?/г> Л^«
Следовательно, по теореме Ролля первая производная
функции A3) обращается в нуль п + 1 раз. Далее, вто-
вторая производная этой функции имеет на сегменте [а, Ь]
п различных нулей. А производная порядка п + 1 имеет
по крайней мере один нуль на сегменте [а, Ь], т. е. суще-
существует такая точка ?^[а, Ь], что имеет место равенство
Определяя отсюда постоянную /С, подставляем ее значе-
значение в равенство A2). В результате этого получим фор-
формулы
в которых I зависит от точки х.
Обозначим Мп+\Ц) максимум величины |f("+1)(*)|
на сегменте [а, Ь]. Тогда из формулы A4) находим не-
неравенство
\Rn(x\ f)\< ,* 1V Mn+{(f) max |©n+1W|. A5)
Чтобы правая часть неравенства была наименьшей, надо
выбрать узлы интерполяции A) наилучшим образом,

§ 2] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 315
т. е. надо сделать так, чтобы многочлен (оп+\(х), опреде-
определенный G) и имеющий единичный старший коэффи-
коэффициент, наименее уклонялся от нуля на сегменте [а, Ь].
В случае сегмента [—1, 1] вопрос о многочленах,
наименее уклоняющихся от нуля, подробно изучен в § 3
гл. III. Там доказано, что на сегменте [—1, 1] наименее
уклоняется от нуля многочлен Чебышёва Тп+\(х), при-
причем подсчитано и уклонение. Конкретно, теорема 3.1
устанавливает неравенство
max \(on+i(x)\^ max | fn+l (х) | = -отг-
хе=[-1, 1] *€=[-1, 1] z
Следовательно, в случае сегмента [—1, 1] величина
A5) будет наименьшей, а приближенная формула A0)
будет наиболее точной, если в качестве узлов интерпо-
интерполяции A) выбрать нули многочлена Чебышёва первого
рода Тп+\(х)9 т. е. в силу формулы C.1.8) положить
В этом случае неравенство A5) приводится к виду
\Rn(x;f)\<(n+\)l2nMn+l(f), jcs[-1, 1]. A7)
Аналогичные утверждения имеют место и в случае про-
произвольного сегмента [а, Ь], ибо этот сегмент сводится
к единичному сегменту линейным преобразованием
2х=(Ь — a)t + я + 6, а вместо многочленов Тп+\(х)
надо рассматривать смещенные многочлены Чебышёва,
которые нетрудно получить из многочленов C.1.15).
Вернемся к общему случаю и рассмотрим вопрос о
сходимости интерполяционного процесса.
Пусть на сегменте [а, Ь] задана бесконечная нижняя
треугольная матрица узлов
х{0\
yd) yd)
л0 , л{ ,
гB) хB) хB)
Х0 > Х\ > Х2 у A8)
Y{tl) у(п) у(п) Y(n)
л0 , лх у л2 , ..., лп ,

316 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
Для каждой строки этой матрицы можно построить ин-
интерполяционный многочлен Лагранжа. В результате по-
получим последовательность многочленов
/„(*; /), L,(jc; /),..., Ln(x\ /),..., A9)
и возникает естественный вопрос об условиях, при кото-
которых имеет место предельное соотношение
HmM*; f) = f(x), х<=[а, Ь]. B0)
П->оо
Совершенно ясно, что выполнение условия B0) зави-
зависит от расположения узлов A8) на сегменте [а, Ь] и от
свойств функции f(x). Для изучения этого вопроса мож-
можно ввести интерполяционные функции Лебега.
Прежде всего заметим, что формула A1) для произ-
произвольного многочлена Qn(x) степени не выше п в силу
A4) превращается в равенство
Qn(x)=iQn(x^)lk(X;n), B1)
где {h(x\ n)} суть фундаментальные многочлены Ла-
Лагранжа, соответствующие (я+1)-й строке матрицы
A8). В частности, при любом расположении узлов
имеем
?М*;/1) = 1. B2)
fc*=0
Будем считать Qn(x) многочленом наилучшего равно-
равномерного приближения функции f(x) на сегменте [а, Ь].
Тогда, используя B1), получим
/ (jc) - Ln (x\ f) = [f (x) ~ Qn (x)] + [Qn (x) - Ln (x\ f)] =
= [f (x) - Qn W] + ?[Qn (xfp) - f (;#>)] lk (x; n).
Вводим наилучшее приближение En(f) и переходим к
неравенству
| f (х) - Ln {х; !) | < Еп (!) [ 1 + t\ h (х; п) |] • B3)

§ 2J ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 317
Функция
K(x)=t\k(x; п)\ B4)
называется интерполяционной функцией Лебега, соот-
соответствующей (л + 1)-й строке матрицы A8). Учитывая
обозначение B4), из B3) находим интерполяционное
неравенство Лебега
| / (*) - Ln (x; f) | < [ 1 + К (х)] Еп (/), х е [а, Ы B5)
из которого следует, что если в данной точке х выпол-
выполняется условие
lim K(x)En(f) = 0, B6)
Я->оо
то последовательность A9) сходится к функции f(x).
А для формулировки условий равномерной сходимости
последовательности A9) на всем сегменте [а, Ь] введем,
как обычно, интерполяционные постоянные Лебега
Хп= max Xn(x). B7)
[fl, b]
Тогда при условии
\imXnEn(f) = 0 B8)
Я-»оо
последовательность A9) сходится к функции f(x) равно-
равномерно на всем сегменте [а, Ь].
Таким образом, в связи с матрицей A8) возникает
задача оценить скорость возрастания функций Лебега
B4) и постоянных Лебега B7).
Если в некоторой интерполяционной задаче есть воз-
возможность варьировать узлы матрицы A8) произволь-
произвольным образом, то в силу формул A5) и A7) целесооб-
целесообразно в качестве этих узлов выбрать нули многочленов
Чебышёва первого рода либо нули смещенных многочле-
многочленов Чебышёва. А в том случае, когда матрица A8) за-
задана заранее, нам остается оценить порядок роста функ-
функций B4) и постоянных B7) с тем, чтобы наложить на
функцию f(x) соответствующие дифференциальные свой-
свойства, при которых выполняется условие B6) либо B8).

318
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. VIII
Вопрос о скорости возрастания чисел {кп} при усло-
условии A6) впервые исследовал С. Н. Бернштейн. Приве-
Приведем его результаты.
Теорема 8.4. Если матрица узлов A8) на сегменте
[—1, 1] составлена из нулей многочленов Чебышёва
первого рода, то для интерполяционных постоянных Ле-
Лебега имеет место неравенство
A,n_i<:8-1—Inn. B9)
Доказательство. Так как многочлены Тп(х) и
Тп(х) отличаются лишь постоянным множителем, то из
формулы B4), учитывая (8), находим
Далее, вводя обозначения
В = arccos jc,
,(*)
= 9Г =
2k -I
¦Jt,
. C0)
C1)
в силу формулы C.6.1) имеем равенство
—J sin e* •
в котором мы для краткости опустили верхние значки
у величин х^ и 6^. Следовательно, вместо C0) полу-
получим
cos /гЭ sin 0fe
k=\
cos Э — cos 0&
C2)
Если x = Xk, то в силу E) имеем Xn-\(xk)= I, и в
этом случае неравенство B9) доказано. Пусть теперь
6т < В < 8т+1. Тогда сумму C2) разобьем на две части
1 ЧГ"* I cos /гЭ sin Э/j
п JLj I cos Э — cos 8/j
fe-l
1 I
n Lu
cos /г0 sin Э^
COS Э — COS 6fc
C3)
Разумеется, если 0 ^ 6 < Bi, то первая сумма отсут-
отсутствует, а при условии 8л < 8 ^ я в правой части C3) не
будет второй суммы.

§2]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
319
Рассмотрим отдельно последние два слагаемых в
первой сумме и первые два — во второй. Прежде всего
отметим два очевидных неравенства
/i| sin 8 |,
sin
sin 6 < sin 8 + sin / = 2 cos -
sin
2 sin -
первое из которых доказывается индукцией, а второе
справедливо при условиях О^О^лиО^^я. С по-
помощью этих неравенств, учитывая условие cos/26m = 0,
имеем
cos пб — cos n$rt
cos 6 — cos 8m
sin8w =
Sin П
Sin П'
е-е„
sin8m<
sin n
sin
Н
е
~ 9m
2
-em
2
sin
sin
Э -
9m
h 9m
2
Аналогично оцениваются остальные три выделенных
слагаемых. В результате этого найдем, что сумма четы-
четырех слагаемых с учетом множителя перед общей суммой
не превосходит 8.
Таким образом, остается оценить две аналогичные
суммы
m-2
tl Z-/ COS 9& — COS Э '
sin
п
1 У
sin Э/г
cos 6 — cos 8^ '
в которых все слагаемые положительны, ибо 6т <С 6
Оценим первую из этих сумм. Так как функция
C4)
cos / — cos 6
при условии 0 ^ t < 8 монотонно возрастает, то, следо-
следовательно, имеем неравенство
sin dk ^ sin /
COS/-COS6 '

320 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
из которого в силу C1) получаем
т
я sin [
п cos 9& — cos Э J cos t — cos Э
Суммируя эти неравенства по k с тем, чтобы получить
первую из сумм C4), находим
т-2
п Lt
cosefe~cos0
J__ f sin t dt J. cos 8t — cos 8
n j cos t — cos 6 n cosBjrt—! — cos 6 *
0
Далее, так как
cos в! — cos в < 2,
cos 9m-1 — cos 8 > cos 6m_! — cos 8W,
то, следовательно, имеем
^ 1 i 2 1 , 9 + e
Si < — In s K-= П Sin
1 я cos8m! — cos0m я
— InsK=П Sin
я cos8m-! — cos0m я 2
lt . я ^ 2t .
^lTlnSm2^<~^lnSin
ибо в силу C1) справедливо неравенство
и, с другой стороны, всегда sin -^ > ~.
Аналогичную оценку допускает и вторая из сумм
C4). Этим теорема 8.4 доказана.
Более сложными построениями доказывается, что
для всякой матрицы A8) имеет место неравенство
8 \л
Этот результат был установлен Г. Фабером и
С. Н. Бернштейном.

§ 3] КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 321
Из неравенств B9) и C5) следует, что в случае сег-
сегмента [—1, 1] матрица узлов, составленная из нулей
многочленов Чебышёва первого рода, является наилуч-
наилучшей, ибо в этом случае последовательность интерполя-
интерполяционных постоянных Лебега имеет наименьший порядок
возрастания.
Теорема 8.5. Если матрица узлов A8) состоит из
нулей многочленов Чебышёва первого рода, а функция
f(x) на сегменте [—1, 1] удовлетворяет условию Дыни,
т. е.
limo)F, f) In 4" = 0, C6)
6->0 °
то последовательность интерполяционных многочленов
Лагранжа сходится к функции f(x) равномерно на всем
сегменте [—1, 1].
В самом деле, из неравенств B5) и B9) имеем
| f (jc) - Ln (x; f) I < cxEn (f) In n, x ge [-1, 1]. C7)
С другой стороны, в теории приближения функций хо-
хорошо известно (теорема 9.9), что при условии C6) спра-
справедливо предельное соотношение
lim En{f)\nn = 0.
П->оо
Этим теорема 8.5 доказана.
Если же функция f(x) непрерывно дифференцируема
р раз на сегменте [—1, 1], причем /(р)(х)е Lip а, то из
C7) находим
^ xe[-l, 1].
В монографии [43] приведены оценки интерполяци-
интерполяционных постоянных Лебега в том случае, когда узлами
интерполяции являются нули многочленов Лежандра и
нули общих многочленов Якоби.
§ 3. Квадратурные формулы
интерполяционно-ортогонального типа
Пусть на сегменте [а, Ь] задана весовая функция
h(x) и система узлов
Х\, #2, . . . , Хп. A)

322 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VI11
Предположим, что по некоторому правилу данному сег-
сегменту, весовой функции и узлам A) ставится в соответ-
соответствие система весов
Аи Аъ ..., Ап. B)
Тогда для всякой функции f(x), определенной на сег-
сегменте [а, Ь], можно рассматривать квадратурную фор-
формулу вида
ъ п
По этой приближенной формуле удобно считать инте-
интеграл.
В самом деле, ведь веса B) не зависят от конкретной
функции f(x), и поэтому для вычисления квадратурной
суммы C) надо вычислить значения функции f(x) в точ-
точках A). Но, разумеется, сразу же возникает вопрос о
величине погрешности приближенного равенства C).
Для изучения этого вопроса рассмотрим квадратурную
формулу с остаточным членом
ь п
\h{x)f (x)dx = Y, Akf (xk) + Rn(/). D)
a k=\
Будем считать, что сегмент [а, Ь] и весовая функция
на нем зафиксированы. Тогда можно варьировать узлы
A) и веса B) таким образом, чтобы остаточный член
Rn(f) был минимальным, если функция /(*) удовлетво-
удовлетворяет определенным условиям, т. е. принадлежит некото-
некоторому классу W. Можно рассматривать другую задачу,
когда узлы A) зафиксированы, и, таким образом, оста-
остается выбрать оптимальным образом только квадратур-
квадратурные веса B). Ясно, что в любом случае оптимальный
выбор узлов A) и весов B) зависит от структуры функ-
функций класса W.
Далее, аналогично интерполяционным процессам мо-
можно рассматривать условия и скорость сходимости квад-
квадратурных процессов. Пусть аналогично B.18) заданы
две бесконечные нижние треугольные матрицы |^п)| и
ЦЛ^Ц. Тогда, проведя оптимизацию по каждой строке,
получим последовательность квадратурных сумм вида

§ 3] КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 323
C), и естественно поставить вопрос об условиях, при
которых справедливо предельное соотношение
E)
и, конечно, вопрос о скорости сходимости квадратурных
сумм к интегралу для произвольной функции из данного
класса W. Весь этот круг вопросов подробно изложен
в монографиях [25], [37], [40].
Рассмотрим подробнее квадратуры интерполяцион-
интерполяционно-ортогонального типа или квадратуры типа Гаусса. Так
называются квадратурные формулы, в которых узлами
являются нули многочленов, ортогональных с весом
h(x) на сегменте [а, Ь]. После К. Гаусса квадратуры
этого типа исследовали К. А. Поссе, А. А. Марков и
Т. Стилтьес.
Но сначала изучим квадратуры интерполяционного
типа.
Пусть узлы A) выбраны произвольно и зафиксиро-
зафиксированы. Рассмотрим интерполяционную формулу Лагран-
жа с остаточным членом
, f). F)
Умножим это равенство почленно на вес и проинтегри-
проинтегрируем. В результате получим формулу
( h (х) fMdx-Zf fa) ( *(х) ю" <?" + Rn (/), G)
J L-л J x — x \ 0 (x \
k=\
J (x-xk)un(xk)
где остаточный член имеет вид
ь
h(x)Rn_i(x, f)dx. (8)
а
Поскольку при некоторых условиях остаточный член F)
есть малая величина и, следовательно, интеграл (8) так-
также мал, то, естественно, интегралы в правой части G)

324 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
можно принять в качестве весов квадратурной формулы,
т. е. полагаем
J (* - Ч) % (Ч)
, *=1. 2 /i. (9)
При таком выборе весов квадратурная формула назы-
называется интерполяционной. Еще раз заметим, что узлы
A) пока остаются произвольными и с весом h(x) не
связаны.
Будем говорить, что квадратурная формула C) яв-
является точной для некоторой функции, если для этой
функции остаточный член равен нулю, т. е. имеем
Теорема 8.6. Для того чтобы квадратурная фор-
формула C) была интерполяционной, необходимо и доста-
достаточно, чтобы она была точной для любого многочлена
степени не выше п — 1.
Доказательство. Если Fn-\{x) есть многочлен
степени не более п—1, то аналогично равенству B.21)
из F) находим
п
Fn-1 (X) = У /Ъ-i (Xk) ""
д (* - ч
д (* - ч) % Ы
Интегрируя это равенство и учитывая обозначение (9),
получим A0).
Допустим обратное: точная квадратурная формула
A0) имеет место для любого многочлена степени не вы-
выше п—1. Тогда, представляя этот многочлен по фор-
формуле Лагранжа (И), подставляем сумму под знак инте-
интеграла A0). В результате получим равенство

§ 3] КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 325
Для узла xk выберем многочлен Fn-\{x) так, чтобы он
обращался в нуль во всех остальных узлах, т.е. поло-
положим
Рп-\ (х) = (х — хх) {х — х2)... (х — xk_{) (х — xk+i)... (х — хп).
Тогда в обеих частях предпоследнего равенства оста-
останется по одному слагаемому, и после сокращения на ве-
величину Fn-\{xk) получим равенство (9).
Таким образом, теорема 8.6 доказана.
Пусть теперь {Рп(х)} есть последовательность мно-
многочленов, ортогональных на сегменте [а, Ь] с весовой
функцией h(x). Положим
«я (х) = Рп (х) = (х- хх) (* - *2) ...(*- хп), A2)
т.е. в качестве узлов A) выбираются нули ортогональ-
ортогонального многочлена. Тогда вместо (9) получим
ь
л [ h(x)Pn(x) ^ ь 1 о »
Ak= \ v ах, к = 1, 2, ..., п.
J (х - xk) Рп (xk)
Как уже было отмечено выше, равенство C) при усло-
условиях A2) и A3) называется квадратурной формулой
интерполяционно-ортогонального типа или квадратур-
квадратурной формулой типа Гаусса.
Теорема 8.7. Для того чтобы квадратурная форму-
формула порядка п была интерполяционно-ортогональной, не-
необходимо и достаточно, чтобы она была точной для вся-
кого многочлена степени не более 2п — 1.
Доказательство. Пусть выполняются условия
A2) и A3). Тогда произвольный многочлен степени не
более 2п—1 после деления его обычным способом на
Рп(х) можно представить в виде
/Ья-! (X) = Рп (X) Qn-l (X) + Srt_! (X), A4)
где Qn-\{x) и Sn-i(x) — многочлены степени не выше
п—1. Умножаем это равенство на вес и интегрируем
ь
\h(x)-F2n_x(x)dx =
а
Ь Ь
(x) Pn (x) Q,_, (x) dx+\h (x) Sn_{ (x) dx. A5)

326 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
Первый интеграл в правой части A5) равен нулю в си-
силу ортогональности многочлена Рп(х) с весом h(x), a
второй в точности равен своей квадратурной сумме, ибо
многочлен Sn-i(x) имеет степень не выше п— 1. Но,
с другой стороны, из A4) находим равенства
fe=l, 2, ..., п.
Следовательно, из A5) имеем
ь п
\ h (x) F2n_x (x) dx=Y, AkFzn-i (**)• A6)
a k = \
Таким образом, интерполяционно-ортогональная квад-
квадратурная формула порядка п точна для всякого много-
многочлена порядка не выше 2п— 1.
Пусть теперь, наоборот, некоторая квадратурная фор-
формула с фиксированными узлами и весами является точ-
точной для всякого многочлена степени не выше 2п—1.
Тогда в силу теоремы 8.6 эта формула является интер-
интерполяционной. Далее, если Qn-\{x) есть произвольный
многочлен степени не выше п—1, то эта квадратурная
формула будет точной для многочлена
Но (йп{Хк) =0 при любом k. Поэтому
Ь п
h (х) <2„_1 (х) со„ (х) dx=
Так как в этих формулах Qn-\(x) — произвольный мно-
многочлен степени не выше п— 1, то в силу теоремы 1.2
многочлен (оп(х) является ортогональным с весом h(x),
т.е. (йп{х) =Рп(х), и, следовательно, квадратурная фор-
формула в этом случае является интерполяционно-ортого-
интерполяционно-ортогональной.
Таким образом, теорема 8.7 доказана.
Алгебраической степенью точности некоторой квад-
квадратурной формулы порядка п называется такое наи-
наибольшее число N, что для всех многочленов степени не
выше iV эта квадратурная формула является точной.
В силу данного определения интерполяционная квадра-
квадратурная формула порядка п имеет алгебраическую сте-

§ 3] КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 327
пень точности п— 1, а формула интерполяционно-орто-
интерполяционно-ортогонального типа — Bп — 1).
Здесь предполагается, что функция h(x) является ве-
весовой функцией на сегменте [а, Ь], т. е. эта функция не-
неотрицательна, интегрируема, имеет конечные степенные
моменты и, кроме того, интеграл от этой функции по
сегменту [а, Ь] положителен.
Докажем, что ни при каком выборе узлов и весов
квадратурная формула порядка п не может иметь боль-
большую чем 2п—1 алгебраическую степень точности. До-
Допустим противное: нашлась некоторая система узлов и
весов, при которой квадратурная формула порядка п
имеет алгебраическую степень точности 2/г. Тогда для
неотрицательного многочлена F2n (х) = (о2п (х) имеем
ь ь п
J h (x) F2n (x) dx=\h (х) со* (х) dx =? Ak<*l (xk) = О,
a a k = l
но в силу леммы 1.2 это равенство невозможно, ибо
h(x) есть весовая функция.
Таким образом, квадратурные формулы интерполя-
интерполяционно-ортогонального типа имеют наивысшую алгеб-
алгебраическую степень точности. Именно этим объясняется
тот факт, что нули классических ортогональных много-
многочленов широко применяются в качестве узлов квадра-
квадратурных формул ([24], [25], [29]).
Теперь отметим два очевидных утверждения, необхо-
необходимых для дальнейшего изложения и имеющих само-
самостоятельный интерес.
Во-первых, для любой квадратуры интерполяционно-
интерполяционного типа имеет место равенство
A7)
Это следует из теоремы 8.6, ибо здесь F(x) sa 1.
Во-вторых, все коэффициенты квадратурной форму-
формулы интерполяционно-ортогонального типа положитель-
положительны. В самом деле, при фиксированном m применим фор-
формулу A6) к многочлену

328 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
В результате этого получим
ь п
h(x) F2n_2(x) dx=Y, A*F*n-2(**) = Лт\К (хт) |2.
Так как интеграл слева положителен, то, следовательно,
Ат > 0. Из последнего равенства получается формула
ъ
A
=\h(x)(- P»(g \*dx, m=U 2, ..., n,
i \(x-xm)Pn(xm)J
эквивалентная равенству A3).
Итак, всякая весовая функция h(x) на сегменте [а,Ь]
определяет бесконечные нижние треугольные матрицы
узлов [UjfMI и весов |^rt)||, причем для каждой стро-
строки справедлива теорема 8.7, и можно рассматривать во-
вопрос о скорости сходимости квадратурного процесса ин-
интерполяционно-ортогонального типа при возрастающем
числе узлов.
Теорема 8.8. Если функция f(x) непрерывна на
конечном сегменте [а, Ь], то для квадратурных сумм
интерполяционно-ортогонального типа имеет место не-
неравенство
Ъ п Ь
\h(x)f (x)dx-Y, №! WO <2?a,-i (/) \ h(x) dx. A8)
k*=\
Доказательство. Пусть F2n-\(x) есть многочлен
наилучшего равномерного приближения функции f(x)
на сегменте [а, Ь]. Вводя для краткости обозначение
n(f)Z
получим
а
п Ь
I Sn (f) - Sn {F2n_x) | < E2n_x (f) ? Ain) = E2n_x (f) \ h (x) dx.
a

§ 3] КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 329
Следовательно, для левой части A8) имеем
ь
\h{x)f(x)dx-SnQ) =
ъ
\ h (x) [f (х) - F2n^ (x)} dx + Sn (F2a.l) - Sn (f)
Таким образом, теорема 8.8 доказана.
Так как для всякой непрерывной на конечном сег-
сегменте [а, Ь) функции f(x) последовательность наилуч-
наилучших равномерных приближений {En(f)} сходится к
нулю, то из неравенства A8) следует, что квадратурный
процесс интерполяционно-ортогонального типа при вы-
вышеупомянутых условиях сходится.
Более того, неравенство A8) полностью решает во-
вопрос о скорости сходимости рассматриваемого квадра-
квадратурного процесса для различных классов функций, опре-
определенных на конечном сегменте, ибо для наилучших
приближений {En(f)} получены исчерпывающие харак-
характеристики скорости убывания к нулю, причем указаны
не только порядки, но во многих случаях и точные по-
постоянные в соответствующих неравенствах ([4], [16],
[18], [22], [23], [37], [49]). Простейшие из этих нера-
неравенств приведены в § 6 гл. IX.
Рассмотрим наиболее важные частные случаи теоре-
теоремы 8.8.
Если А(х)= 1 на сегменте [—1, 1], то узлами квад-
квадратурной формулы интерполяционно-ортогонального
типа являются нули многочленов Лежандра. В этом слу-
случае неравенство A8) имеет вид
Так как стандартизованный многочлен Лежандра
Рп(х) отличается лишь множителем от многочлена
Рп(х), то в силу формулы A3) для весов имеем

330 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
представление
ЛГ = -г^ \-Щ**х. B0)
С другой стороны, в формуле D.1.22) для номера п— 1
2k +1 р ,v р /л « ЛгЫЯкчОО-ЯПОЛг-ми)
положим t = xik).Интегрируя по сегменту [—1, 1] и учи-
учитывая ортогональность многочленов Лежандра, найдем
1
Г Рп (х) dx 2
)
xk пуп~\
Далее, из равенства D.1.32)
A-х2) Рп (х) = /гРя-1 (х) - /иРл (л),
полагая в нем x = x(k\ определяем знаменатель в пра-
правой части B1) и подставляем значение интеграла B1)
в правую часть B0). В результате получим формулу
весов
/№ = 1 2 /92)
С помощью этой формулы вычисляется таблица ве-
весов. Разумеется, предварительно необходимо подсчитать
с требуемой точностью нули многочленов Лежандра.
В монографии [25] приведена таблица узлов и весов
Лежандра до п=16 включительно, причем вычисления
проделаны с точностью до 15-го десятичного знака.
В случае многочленов Чебышёва первого рода узлы
определяются формулой
^L k=U 2, ..., п, B3)
а для весов в силу равенства A3) имеем
An) _ 1 [ Тп (X) dx

§ 4] ПРИМЕНЕНИЕ В ОПЕРАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ 331
Из формул G.1.32) и G.1.33), полагая в них а=Р=
= —1/2 и учитывая равенство C.1.5), находим
«-I
Т (у\ Т <t\ 1 Tn(x) Tn-i(t) - Tn(t) Tn-i{x)
Tk{x)Tk(t)=T —- .
k = \
Положим здесь / = x^ и подставим правую часть по-
последнего равенства под знак интеграла B4). В резуль-
результате интегрирования, учитывая формулу C.6.1), получим
ln\xk )Ln-\\xk ) n sin \n arccos xk )ln-\\xk )
Далее, обозначая, как обычно, аргумент косинуса в фор-
формуле B3) через 8^, с помощью формулы C.1.2) имеем
= - cos (п + 1) 6^ = sin nQin). sin
Qin)
Следовательно, из предыдущего равенства находим
8^ я
/г (sin Лв(лп)J sin Q[n) n (sin яв?>J
Итак, весовые коэффициенты в случае многочленов
Чебышёва первого рода не зависят от k и все равны
между собой. Поэтому неравенство A8) здесь имеет вид
1 JL
<2nE2n_{(f). B6)
f(x)dx я у И(п)
Таковы наиболее важные квадратурные формулы ин-
интерполяционно-ортогонального типа.
§ 4. Применение классических ортогональных
многочленов в операционном исчислении
Пусть функция f(t) есть оригинал с показателем ро-
роста So. Тогда, как известно, изображение этой функции
по Лапласу
оо
F{p)=\f(l)e-P*dt, p = s + io, A)

332 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
является аналитической функцией в правой полуплоско-
полуплоскости Re р > s0.
Если известно изображение, то оригинал находится
по формуле Меллина
a>s0. B)
a-i oo
В операционном исчислении разработано много мето-
методов вычисления интегралов A) и B) в конечном виде,
но более трудной задачей является определение ориги-
оригинала по изображению, т. е. выполнение обратного пре-
преобразования Лапласа. Интеграл Меллина вычисляется
в конечном виде редко, и поэтому для обращения пре-
преобразования Лапласа применяют различные численные
методы и искусственные приемы. В частности, при реше-
решении этой задачи широко применяются классические ор-
ортогональные многочлены ([27], [28]).
Начнем с простейшего результата, в котором взаимно
однозначное соответствие между оригиналом и изобра-
изображением устанавливается с помощью рядов Фурье по
многочленам Чебышёва — Лагерра.
Как известно, по первой теореме разложения ([27],
[32]), если функция-изображение F(p) является анали-
аналитической в окрестности точки р = оо и имеет там лора-
новское разложение вида
ft-0 У
то ее оригинал находится по формуле
/(/) = ао(/)ф(/), D)
где oo(t)—единичная функция Хевисайда и
оо
ф (О=?-?]->*. E)
/1=0
Так как ряд C) сходится в некоторой окрестности точки
р = оо, то, следовательно, ряд E) сходится во всей ком-
комплексной плоскости, т. е. функция ф(/) является целой
функцией.

§ 4] ПРИМЕНЕНИЕ В ОПЕРАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ 333
Рассмотрим теперь многочлены Чебышёва — Лагерра
при а = 0. Для этих многочленов в силу формулы
F.1.46) имеем
Следовательно, изображением оригинала Go(t)Ln(t) бу-
будет рациональная функция
UK s>,K
т. е. имеем операторное равенство
G)
Допустим теперь, что на интервале @, оо) задана
некоторая функция, разлагающаяся в ряд Фурье по
многочленам Чебышёва — Лагерра
Ф@=?а*М0, /€=@, оо), (8)
п = 0
причем этот ряд сходится таким образом, что после
умножения на ехр(—pt) его можно интегрировать по-
почленно по всему интервалу @, оо). Тогда, применяя
формулу G), получим изображение функции D) при
условии (8)
т. е. имеет место операторное равенство
Разумеется, в этом равенстве можно считать задан-
заданной правую часть и определять по ней левую, т. е. ре-
решать задачу обращения преобразования Лапласа.

334 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
Равенство (9) можно рассматривать как некоторую
теорему о разложении, которая устанавливает коэффи-
коэффициентное соответствие между оригиналами и изображе-
изображениями некоторых классов, причем эта формула обслу-
обслуживает гораздо более широкое множество функций, чем
вышеупомянутая первая теорема о разложении, ибо в
формуле E) функция ф(/) есть аналитическая во всей
комплексной плоскости, а в формуле (8) функция ф(/)
определена лишь на интервале @, оо) и удовлетворяет
там некоторым условиям, достаточным для разложения
ее в ряд Фурье по многочленам Чебышёва — Лагерра.
Переходим к рассмотрению следующего, более эф-
эффективного приема обращения преобразования Лапласа.
Разлагая произведение ф(/)ехр(//2) в ряд Фурье по
многочленам Чебышёва — Лагерра, для функции @
из формулы D) получим представление
^M0, (Ю)
/г=0
коэффициенты которого в силу формул F.1.45) и
F.1.46) имеют вид
Ап = J е-'еЧ @ Ьл (t) Л = J ехр (- у) ф (t) Ln (t) dt =
Далее применяем формулу дифференцирования изобра-
изображения
В результате получим
Следовательно, если известны все производные функ-
функции-изображения в точке р= 1/2, то можно по формуле
A1) подсчитать коэффициенты {Ап} и определить тем

§ 4] ПРИМЕНЕНИЕ В ОПЕРАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ 335
самым функцию A0), а через нее в силу равенства D) —
и оригинал f(t).
Для обращения преобразования Лапласа можно при-
применять и многочлены Лежандра. Для этого в интеграле
A) сделаем замену переменной ег* = х. В результате
получим
x"-lO(x)dx9 A2)
где введена новая неизвестная функция
Ф(*) = /(-In*). A3)
Поскольку изображение F(p) здесь известно, то мо-
можно вычислить его в целочисленных точках
1
F(k+ 1)= ^**Ф(*)Лс, k = 0, 1, 2, ... A4)
о
Далее, введем смещенные многочлены Лежандра по
формуле
Рп(х) = РпBх-1), п = 0у 1, 2,... A5)
Эти многочлены ортогональны на сегменте [0, 1] с еди-
единичным весом, причем норма многочлена Р*п(х) в силу
формулы D.1.6) равна
1 1 1
\\ J _J_.
0 0 -1
Следовательно, определяя коэффициенты по формуле
1
ск=\ф(х)Р1{х)йх, A6)
о
получим разложение неизвестной функции
Ф(*)=ЕB*+1КР;(*), *е[0, 1]. A7)
& = 0
Покажем, что хотя функция Ф(х) нам неизвестна, но
коэффициенты A6) подсчитать все-таки можно, если
воспользоваться известными числами A4).

336 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ VIII
В самом деле, в силу формулы D.1.12) известны все
коэффициенты стандартизованного многочлена Pk(x), и
поэтому можно вычислить все коэффициенты смещен-
смещенного многочлена Р\{х). Представим этот многочлен в
явном виде
Pk(x)= Z b{?x™
и подставим в формулу A6). В результате, используя
обозначения A4), получим
k I k
с* = ? b™ \ Ф Wxmdx= ? b$F (m + 1). A8)
m=0 0 m = 0
Таким образом, все коэффициенты {ck} выражаются
через значения изображения в целочисленных точках, и
функция Ф(х) определяется как сумма ряда .A7). А за-
затем по формуле A3) определяется функция-ориги-
функция-оригинал /(/).
В связи с изложенным приемом возрастает роль сме-
смещенных многочленов Лежандра. Коэффициенты этих
многочленов суть целые числа и могут быть вычислены
с помощью формулы A5). В книге [28] приведена таб-
таблица коэффициентов смещенных многочленов Лежандра
до п = 15 включительно.
Аналогичным образом для обращения преобразова-
преобразования Лапласа применяются и другие системы ортогональ-
ортогональных многочленов. Рассмотрим еще случай многочленов
Чебышёва первого рода.
В интеграле Лапласа A) сделаем ту же замену
e~f = х, но представим его в виде
л] х —
A9)
где вместо A3) введена другая неизвестная функция
W(x) = f (- In х) V* - х2, х е= [0, 1]. B0)
Введем смещенные многочлены Чебышёва первого рода
по формуле
П(х) = ТпBх-1).

§ 4] ПРИМЕНЕНИЕ В ОПЕРАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ 337
Они ортогональны на сегменте [0, 1] со смещенным ве-
весом Чебышёва, и их норма равна
f' П>0>
Следовательно, если ввести коэффициенты
^ B1)
о
то для неизвестной функции получим разложение
B2)
Так как изображение F(p) известно, то из A9) находим
числа
1
xkV(x) ,^±-г, fe = 0, 1, 2, ... B3)
л/х л:2
Далее вводим разложение смещенных многочленов
Чебышёва первого рода
I к (X) —
m = 0
и подставляем в формулу B1). Учитывая равенства
B3), получим
k 1 к
Е №р (т + Ч) B4)
m=0
Поскольку значения B3) известны, то можно опреде-
определить по формуле B4) коэффициенты {с*}, и следова-
следовательно, в силу разложения B2) становится известной и
функция ^(х).
Все эти методы обращения преобразования Лапласа
можно использовать для приближенного вычисления

338 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
оригинала с любой степенью точности. В качестве при-
приближающих многочленов можно брать частичные суммы
рядов A0), A7) и B2).
§ 5. Применение многочленов Чебышёва — Лагерра
в теории автоматического регулирования
и управления
Как известно, в простейшем случае, когда одномер-
одномерная автоматическая система реагирует на один входной
сигнал выдачей одного выходного сигнала, математиче-
математически эта система описывается одним дифференциальным
уравнением вида
= Ьо@у{т)@ + ъх@*/<—*> (t)+ ... +ьт(t)у@, (О
где у@ —известная функция, определяющая входной
сигнал и называемая функцией воздействия, x(t) — неиз-
неизвестная функция, определяющая выходной сигнал, си-
системы {ak(t)} и {bk(t)} суть известные функции, причем
все эти функции считаются непрерывными на полусег-
полусегменте [0, оо) и, кроме того, функция воздействия y(t)
непрерывно дифференцируема пг раз, а неизвестная
функция x{t) — п раз.
Поскольку все функции заданы на полусегменте
[0, оо), то естественно попытаться применить здесь ряды
Фурье по многочленам Чебышёва — Лагерра.
Будем искать решение уравнения A) в виде
()Z(a)9 fe=@, oo). B)
Для обоснования метода неопределенных коэффи-
коэффициентов в этом случае прежде всего отметим некоторый
вариант теоремы единственности для рядов Фурье по
многочленам Чебышёва — Лагерра. Допустим, что неко-
некоторый ряд по многочленам Чебышёва — Лагерра схо-
сходится к тождественному нулю на всем интервале @, оо),
т. е.
XXMficO^O, *e@,oo), C)

§ 5] ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ РЕГУЛИРОВАНИЯ 339
причем сходимость такова, что ряд можно умножать на
вес Чебышёва — Лагерра и интегрировать почленно.
Тогда ясно, что Ak = 0. Это следует из ортогональности
многочленов Чебышёва — Лагерра. А условия почленно-
почленного интегрирования нетрудно сформулировать с помощью
асимптотических свойств многочленов Чебышёва — Ла-
Лагерра, изложенных в § 3 гл. VI.
Таким образом, для определения коэффициентов
ряда B) надо подставить этот ряд в левую часть A),
предварительно представив все известные функции
также в виде сумм рядов Фурье по многочленам Чебы-
Чебышёва— Лагерра. Но при дифференцировании рядов по
многочленам Чебышёва — Лагерра и при вычислении
произведений в уравнении A) появятся производные
многочленов Чебышёва — Лагерра и произведение их на
степени независимого переменного. Все эти величины
можно преобразовать и представить в виде линейных
комбинаций многочленов Чебышёва— Лагерра с одним
индексом а.
В самом деле, в силу формул F.1.40) и F.1.24)
имеем равенства
Lfn (/; а) = -!„-!(/; а + 1),
Ln (/; а) = Ln (t; а + 1) - Ln_x (/; а + 1),
с помощью которых разложения всех производных функ-
функций x(t) и y(t), входящих в уравнение A), можно при-
привести к одному виду. Далее из рекуррентной формулы
F.1.17) находим
tLa(t;a) = -(n+l)Ln+l(t;a) +
+ (а + 2п + 1) Ln (/; а) - (а + п) Ln_x (/; а).
Следовательно, если коэффициенты {uk(t)} и {bk(t)}
суть многочлены, то обе части A) также представляют-
представляются в виде рядов по многочленам Чебышёва — Лагерра
с одним и тем же параметром. В этом случае после при-
применения теоремы единственности получим треугольную
систему линейных уравнений, которая определяет коэф-
коэффициенты {ck} разложения B) последовательно. Если
же функции {o<k{t)} и {bk{t)} не являются многочлена-
многочленами, то, разлагая их в ряды Фурье по многочленам Чебы-
Чебышёва— Лагерра и представляя каждый многочлен в

340 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
явном виде по формуле F.1.36), снова приведем обе
части A) к однотипным разложениям.
В отдельных случаях вместо формулы B) более це-
целесообразно искать решение в виде
причем параметры % и а можно использовать для опти-
оптимизации вычислительной схемы.
Если все коэффициенты уравнения A) постоянны, то,
конечно, для определения разложения B) можно приме-
применить методы, изложенные в предыдущем параграфе, ибо
в этом случае легко находится изображение неизвестной
функции.
Разумеется эта общая схема может привести к кон-
конкретному законченному результату лишь в. отдельных
частных случаях аналогично, например, тому, как метод
степенных рядов приводит к решению уравнения Бес-
Бесселя.
Что касается начальных данных при решении урав-
уравнения A), то они удовлетворяются обычным образом
за счет первых коэффициентов разложения B).
Рассмотрим еще одну задачу из теории автоматиче-
автоматического регулирования и управления. Как известно, про-
простейшая задача синтеза линейной системы автоматиче-
автоматического управления при произвольном входном сигнале
сводится к решению интегрального уравнения Вольтер-
ра первого рода
t
x)dx = x{l), D)
где функции x(t) и y(t) определяют соответственно вы-
выходной и входной сигналы и считаются известными, а
z(t) есть неизвестная импульсная переходная функция,
которую нужно подобрать таким образом, чтобы на дан-
данное воздействие y(t) система реагировала сигналом x{t).
Представим уравнение D) в виде
[t — т) е 2 ( Т J dx = х @ е 2 E)
ь

§5] ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ РЕГУЛИРОВАНИЯ 341
и перейдем к изображениям. Применяя теорему об умно-
умножении изображений
из E) получим равенство
00 М-
\ е-*г (/) е 2 dt J ??-"# (/) е 2 dt = J *?-"* (/) в 2 Л. F)
0 0 0
В теории интегральных уравнений Вольтерра доказы-
доказывается, что если свободный член и ядро являются непре-
непрерывными и ограниченными, то решение этого уравнения
ограничено при всех t.
Следовательно, можно считать, что все три функции
в уравнении D) ограничены равномерно. Поэтому при
X > 0 можно рассмотреть весовые моменты этих трех
функций
? _н
an=]tnx(t)e 2 dt, G)
о
fin=yny(t)e 2 dt9 (8)
о
? _!±
4n=\tnz{t)e 2 Л. (9)
о
В интегралах F) вводим степенное разложение экс-
экспоненты и интегрируем все три ряда почленно, что воз-
возможно вследствие ограниченности этих функций. В ре-
результате получим
"I Г оо
J Ln=0
1=0
Так как это равенство, как и равенство F), справедливо
при малых ру удовлетворяющих условию |р|<[^, то,
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р

342 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
слева и справа, находим уравнения
YoPo = «о,
YoPi + Y1P0 = аь
Y0P2 + 2yiPi + Y2P0 = а2, (Ю)
v A = *n,
из которых можно последовательно определять моменты
(9) неизвестной функции z(t).
Представим теперь неизвестную функцию в виде
г @ = ехр (- ±t) ? ck (К о) Lk (W; а),
т. е. фактически в ряд Фурье по многочленам Чебышё-
ва —Лагерра разлагается функция z{t)explt/2. Коэф-
Коэффициенты этого разложения определяются формулой
а) = г(^ + д+1) J (M)a e~Uz (t)
; а
Используя формулу F.1.35) для этих коэффициентов
получим
г(а+1+?).(Г.). \ A2)
= 0
Если а — целое неотрицательное число, то интегралы
в правой части A2) суть моменты импульсной функции
z(t), и в силу равенств A0) можно считать правую
часть A2) определенной, т. е. в этом случае имеем
Таким образом, коэффициенты разложения (И)
определяются через моменты импульсной функции. Этим
уравнение D) можно считать решенным.

§ 6]
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РАСЧЕТЕ ФИЛЬТРОВ
343
В решении A1) содержится два параметра X и а,
которые определяются в каждом конкретном случае с
учетом технических соображений.
Более подробно применение многочленов Чебышё-
ва — Лагерра в теории автоматического регулирования
и управления рассмотрено в работе [44].
§ 6. Применение многочленов Чебышёва
при расчете электрических фильтров
Многочлены Чебышёва первого рода благодаря
своим экстремальным свойствам находят применение
при проектировании электрических фильтров.
Фильтром называется электрическая цепь, которая
пропускает переменные токи определенной полосы ча-
частот, а токи других частот — задерживает.
Обычно электрический фильтр представляет собой
пассивный четырехполюсник, т. е. такую электрическую
цепь, которая имеет две пары зажимов, входную и вы-
выходную, причем обращается внимание только на токи и
напряжения на этих зажимах.
Рассмотрим четырехполюсник, включенный между
генератором и нагрузкой (рис. 8.1).
Рис. 8.1.
При расчете электрических цепей широко применяет-
применяется операторный метод, основанный на одностороннем
преобразовании Лапласа, т. е. к функциям, определяю-
определяющим токи и напряжения, применяется преобразование
Лапласа, в результате чего получаются операторные
токи, напряжения, а также и сопротивления. На рис. 8.1
указаны именно операторные характеристики электри-
электрической цепи.

344 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
Как известно, мощность источника с внутренним со-
сопротивлением определяется формулой
F2
а мощность, котор'ая теряется в сопротивлении /?2, имеет
величину
Мы будем рассматривать все эти величины в зависимо-
зависимости от частоты колебаний со.
В качестве показателя работы четырехполюсника
примем коэффициент преобразования мощности при раз-
различных частотах, определяемый формулой
где введена также функция преобразования оператор-
операторного напряжения
Далее обозначим Pi (со) операторную мощность, ко-
которую четырехполюсник отражает при данной частоте со,
и введем при комплексном р характеристическую функ-
функцию четырехполюсника
В электротехнике устанавливается, что операторные
характеристики электрических цепей являются дробно-
рациональными функциями, удовлетворяющими опреде-
определенным условиям. В частности, дробно-рациональная
функция C) должна обладать следующими свойствами:
1. Эта функция действительна при действительном
значении независимого переменного.
2. Если Re р ^ 0, то должно быть Re F (р) ^ 0.
3. Все полюсы функции F(p) расположены в левой
полуплоскости.
Только при выполнении этих трех условий рациональ-
рациональной функции F(p) соответствует некоторый реальный

§ 6] ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РАСЧЕТЕ ФИЛЬТРОВ 345
четырехполюсник, причем, конечно, чем выше степени
многочленов в числителе и знаменателе дроби C), тем
сложнее устройство четырехполюсника.
Из очевидного равенства Ро = Р\ + Лг, учитывая
обозначения A) и C), находим
jr = F(*)+l. D)
Далее, вводя положительный коэффициент
A— Ri
из равенства D), учитывая обозначения A) и B), по-
получаем
лучаем
ГТЙ- °<а<°°- E)
со
Это — основное уравнение для расчета фильтров. Оно
выражает функцию преобразования операторного на-
напряжения через характеристиче-
характеристическую функцию четырехполюс-
четырехполюсника.
Рассмотрим простейшую зада-
задачу синтеза низкочастотного филь-
фильтра, т. е. такого фильтра, кото-
который пропускает переменный ток
частоты со в пределах от 0 до не-
некоторого а и задерживает коле- Рис. 8.2.
бания с частотой выше а. Гра-
График функции преобразования идеального низкочастот-
низкочастотного фильтра изображен на рис. 8.2. В этом идеаль-
идеальном случае функция усиления g"(co) должна быть равна
единице в полосе пропускания, т. е. при (ug[0, a], и
нулю в полосе задержания, т. е. при со 5> а. Но никакая
рациональная функция не может иметь такой график.
Поэтому возникает следующая чисто математическая
задача: требуется так подобрать рациональную функ-
функцию F((d), чтобы график функции E) в определенном
смысле наименее уклонялся от графика функции пре-
преобразования идеального фильтра. В зависимости от вы-
выбора характеристической функции ^(со) различают
фильтры Чебышёва, Баттерворта и Кауэра ([53]),

346
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. VIII
Если для полосы пропускания [0, 1] характеристиче-
характеристическую функцию определить равенством
Fn (со) = гТ2п (со) = б cos2 (arccos со), е > 0, F)
то соответствующий электрический фильтр называется
фильтром Чебышёва ([53]). В этом случае функция пре-
преобразования имеет вид
В полосе пропускания имеем неравенство
Л ^ " '©)<Л, 0<со< 1.
(8)
Поэтому, используя график многочлена Чебышёва пер-
первого рода, нетрудно построить график функции G).
В самом деле, поскольку производная функции G)
имеет вид
— 2еГ„ (со) т' (со)
то график функции G) не имеет угловых точек и в по-
полосе пропускания имеет максимумы в нулях многочлена
/1
л
/+?
Л
Л
Л Л
, у-.
W
Рис. 8.3.
Чебышёва, а минимумы — в экстремальных точках. Да-
Далее, так как на полусегменте [1,оо) многочлен Чебы-
Чебышёва очень быстро возрастает при со->оо, то график
функции G) очень быстро опускается вниз к горизон-
горизонтальной оси. На рис. 8.3 изображен график функции

§ 6] ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РАСЧЕТЕ ФИЛЬТРОВ 347
Отметим роль параметра е в формуле G). В силу не-
неравенств (8) отклонение графика функции G) от гори-
зонтальнои линии у= А на сегменте [0, 1] равно
Следовательно, если взять е достаточно малым, то от-
отклонение функции y = gn(a>) на сегменте [0, 1] будет
очень малым. Но тогда справа от точки со = 1 график
этой функции будет опускаться вниз не очень быстро,
ибо хотя многочлен Чебышёва 7\г(оо) при со > 1 возра-
возрастает очень быстро, но малый множитель е в формуле
G) будет снижать скорость убывания функции ^(со).
Физически все это означает, что электрический фильтр
Чебышёва будет мало искажать напряжения в полосе
пропускания [0, 1], но зато слабо подавлять напряжения
в полосе задержания, особенно справа вблизи точки
(о=1. Если же е не очень мало, то аппроксимация нуля
в каждой точке полосы задержания будет более точной,
но зато в полосе пропускания функция gVz(co) будет от-
отклоняться от горизонтальной линии у=А гораздо более,
чем в первом случае. Физически последний случай харак-
характеризуется тем, что фильтр Чебышёва, хорошо подавляя
напряжения в полосе задержания, в то же время будет
сильно искажать напряжения в полосе пропускания.
Из сказанного следует, что выбор параметра е в фор-
формуле G) определяется в основном теми техническими
требованиями, которым должен удовлетворять проекти-
проектируемый фильтр. Второй параметр А в формуле G) яв-
является масштабным множителем и определяется также
в зависимости от конкретных технических условий.
Рассмотрим теперь некоторые модификации форму-
формулы G).
Прежде всего, для фильтра Чебышёва с полосой про-
пропускания [0, а] функция преобразования имеет вид
Далее точность приближения нуля в интервале за-
держа'ния A, оо) можно несколько улучшить, если рас-
рассмотреть функцию преобразования

348
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. VIII
В самом деле, многочлен Тп{2ау—1) на сегменте
[О, 1] изменяется так же, как Г„(со) на сегменте [—1, 1],
но поскольку при любом со >> 1 имеем 2со— 1 > со, при-
причем это неравенство тем сильнее, чем больше со, то, сле-
следовательно, правее точки со = 1 график функции (9)
опускается вниз круче, чем кривая с уравнением G).
При этом график функции (9) касается прямой у = А
не п, а 2п раз, и, следовательно, приближение в среднем
в полосе пропускания также лучше.
Аналогично рассматривается случай полосового
фильтра Чебышёва. Предположим, что полосой пропус-
пропускания фильтра является сегмент [a, ft], где 0 <. а <
< ft < оо. Тогда функция преобразования операторного
напряжения в силу формулы C.1.15) имеет вид
ёп (со; a, ft) =
A0)
График этой функции при п = 8 изображен на рис. 8.4.
у=дв(ш-,а,д)
\i\m\i\i\f\
(О
Рис. 8.4.
Во всех перечисленных случаях важную роль играют
два экстремальных свойства многочленов Чебышёва
первого рода, изложенные в теоремах 3.1 и 3.2. В силу
этих экстремальных свойств точность приближения фун-
функции преобразования идеального фильтра будет хуже,
если в рассмотренных формулах вместо многочлена Че-
Чебышёва поставить любой другой многочлен той же сте-
степени, ибо многочлен Чебышёва, с одной стороны, имеет
минимальное уклонение на сегменте [—1, 1] и, с другой
стороны, максимальное уклонение в каждой точке вне
этого сегмента.

§ 7] МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА СИСТЕМЕ ТОЧЕК 349
§ 7. Многочлены, ортогональные
на конечной системе точек
Пусть на сегменте [а, Ь] задана система п+1 раз-
различных точек {xk} и, кроме того, определена система
весов {р/е}, удовлетворяющих условиям
п
Z Pk=U Pk>0> k = 0, 1, 2, ..., п. A)
Тогда для двух функций, заданных по крайней мере в
точках {xk}, можно ввести скалярное произведение
(/, Ф) = ? Pkf (xk) Ф (xk). B)
Если сумма B) равна нулю, то эти две функции назы-
называются ортогональными. Норму и расстояние здесь мож-
можно определить соответственно по формулам
Pkf2 (xk) , C)
f, q>) = II f ~ ФII = Л/t Pk U (xk) -
P (f, q>) = II f ~ ФII = Л/t Pk U (xk) - Ф (*ft)]2 . D)
Докажем, что при условиях A) однозначно опреде-
определяется система п + 1 многочленов
Р0(х), Рх(х), ..., Рп(х)9 E)
удовлетворяющих условию ортонормированности
Z bms, F)
причем старший коэффициент у каждого многочлена по-
1ожителен.
В самом деле, для нулевого многочлена, полагая
Po(x)=ixo, из F) находим
и, следовательно, коэффициент jli0 определен. Далее
применяем индукцию. Допустим, что мы определили

350 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
многочлены Ро(х), Р\{х), ..., Рт-\{х), удовлетворяющие
условиям F). Тогда следующий многочлен ищем в виде
G)
Умножаем это равенство на Ps(x) и суммируем. В ре-
результате получим
0US
Чтобы эта сумма была равна нулю, достаточно поло-
положить cs = —\imttms. Следовательно, вместо G) имеем
равенство
[т-\
[т-\ -1
Хт~ ZvmsPs(x) \ =
5 = 0 J
где многочлен Qm{x) определен. Далее в силу нормиро-
ванности
определяется положительный коэффициент \хт, ибо вы-
выполняется условие
txk)>0. (8)
Последнее имеет место потому, что pk > 0 и многочлен
Qm{x) степени т не может обращаться в нуль в п+ 1
точках {xk}. Таким образом, индукция проведена и су-
существование системы E) доказано.
Индуктивный переход от п к п + 1 сделать, вообще
говоря, нельзя, ибо в этом случае многочлен Qn+\(x)
имеет степень п + 1 и условие (8) может не выпол-
выполняться.
Совершенно ясно, что здесь мы фактически доказали
аналог теоремы 1.1 для случая ортогональности на ко-
конечной системе точек. Для многочленов E) нетрудно
установить и другие аналоги свойств, рассмотренных в
гл. I. Так, например, для этих многочленов имеют место
рекуррентная формула и формула Кристоффеля — Дар-

§ 1] Многочлены, ортогональные на системе точек 351
бу, критерии ортогональности и теоремы о расположе-
расположении нулей. Справедлива также и формула A.2.14), пред-
представляющая ортогональные многочлены через моменты
весовой функции, которые здесь имеют вид
Рассмотрим теперь аналог ряда Фурье по ортого-
ортогональным многочленам.
Пусть некоторая функция f(x) задана своими значе-
значениями в узлах ортогональности. Определяем ее коэффи-
коэффициенты Фурье по системе E)
aq = t Pkf{xk)Pq{xk) (9)
и частичные суммы Фурье
т
sm(x, f)=ZaqPq(x), m = 0, 1,2,..., п. A0)
<7=0
Аналогично общему случаю суммы A0) приближают
функцию f(x) наилучшим образом в смысле метрики
D). В самом деле, для произвольного многочлена
используя формулы B), D) и (9), имеем
Uf-Qm\? = (f-Qm, f~Qm) =
= (/,/)- 2 (f, Q«) + (Q«. QJ =
«HI / IP - 2 |o PJ (xk) Qm (xk) + to PkQl (xk) =
>\\f\\2-Z al = \\f-smf. A1)

352 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
Как известно, в вычислительной практике очень ши-
широко применяется метод наименьших квадратов, кото-
который заключается в том, что для функции f{x), заданной
таблицей в точках {хи}, ищется многочлен, минимизи-
минимизирующий величину
Р (f, Qm) = Д/ L Pk [f (Xk) ~ Qm (Xk)f, A2)
причем положительные весовые множители {pk} вводят-
вводятся для того, чтобы учесть тот факт, что значения функ-
функции f(x) в различных точках вычисляются с разной точ-
точностью. Неравенство A1) свидетельствует о том, что
частичные суммы A0) приближают функцию f(x) наи-
наилучшим образом по методу наименьших квадратов.
Если в формуле A2) положить т =п, то в качестве
Qn(x) можно выбрать интерполяционный многочлен Ла-
гранжа, для которого вся сумма A2) 'обратится в нуль.
Но значение метода наименьших квадратов заключается
в том, что при большом числе узлов и при т <п рацио-
рациональнее применять именно суммы A0), ибо при боль-
больших п интерполяционные многочлены вычислять трудно.
Если же потребуется повысить точность вычислений, то
нужно увеличить число т в формуле A2).
Таким образом, для применения метода наименьших
квадратов необходимо вычислить все ортогональные
многочлены системы E).
Рассмотрим простейший случай, когда pk = 1 и точ-
точки {xk} делят сегмент [а, Ь] на п равных частей. Так
как в этом случае Xk= а + — (Ь — а), то линейное пре-
преобразование
t = n^=A A3)
переводит сегмент [а, Ь] в сегмент [0, n], a точки {k}
в точки 0, 1, 2, .,*, п. Таким образом, достаточно найти
ортогональные многочлены, удовлетворяющие условиям
1 Pm(k)Ps(k) = bms, A4)
а затем вместо t подставить его выражение по формуле
A3).

§ 7] многочлены, ортогональные на системе точек 353
В численных методах часто применяются так назы-
называемые факториальные многочлены или обобщенные
степени
t[m] = t(t-\) ... {t-m+l), /|01 = l. A5)
Для этих многочленов справедливо тождество
... (t — m+ l) = t(t— 1) ...
... (t-m + 2)[(t+l)-(t-m+l)] = mt[m-1]. A6)
Далее, из системы тождеств
(t + 2)lm+11 - (/ + l)Im+" = (tn + 1) (/ + l)lml.
(t + n + l)lm+11 -(t + n)lm+" = (m + 1) (t + n)lm\
складывая их почленно, находим
(t + n+ l)lm+l] -tlm+l] = (m + 1) E (t + k){m\ A7)
ft-0
Будем искать ортогональный многочлен в виде
Pm(t)=l + b/ll + b2tm+ ... +bjm]. A8)
Поскольку любой многочлен можно представить по фор-
формуле
pts( + fts( + )( + -l) ...(/+1),
то для ортогональности многочлена A8) достаточно так
выбрать коэффициенты {&*}, чтобы выполнялись равен-
равенства
s)[s]Pm(k) = 0, 5 = 0, 1,2, ..., m-1. A9)

354 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ (ГЛ. VIII
Преобразуем эту систему уравнений. Так как
(k + s)[s] k[q] = (k + s) (k + s - 1) ...
то для общего члена суммы A9) имеем представление
)ls]Pm(k) =
s)ls] + &,(* + s)[s+1> + b2(k + s)[s+2] + ...
Подставляя правую часть в сумму A9), получим
fc0 fe0
0. B0)
Далее, в формуле A7) положим t — s и вместо т поста-
поставим s + q. В результате равенство A7) приведется к
виду
{s + п + l)ls+q+l] - sls+q+l] = (s + q + 1) t (s + k)[s+q].
k = 0
Вычитаемое слева равно нулю, ибо при q ^ 0 среди мно-
множителей правой части равенства
есть нуль. Следовательно, равенство B0) имеет вид
7+2
После сокращения на числитель первой дроби имеем
_1 . Ьхп . ¦ bmn[m] n

§ 7] МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА СИСТЕМЕ ТОЧЕК 355
Вводя новые неизвестные ak = bkrfk\ получим систему
уравнений
7ТТ + ТТТ+ ¦¦¦ +T+STT-0'
7ТТ + ТТТ+ ¦¦¦ +T+ST
5 = 0, 1, 2, ..., m-1.
Для решения этой системы применим искусственный
прием. А именно, рассмотрим вспомогательную функцию
+2
= Fm(x)
=
х+2 х+т+\ (х + т + \)[т+{] '
Поскольку Fm(x) есть многочлен степени не выше т,
причем в силу B2) имеем Fm(s) = 09 где 5 = 0, 1, ...
..., т — 1, то, следовательно, этот многочлен можно
представить в виде
Fm(x) = cx(x-l)(x-2) ... (jc-m+1),
и остается определить постоянный множитель с. Для
этого умножим равенство B3) почленно на (х+1) и
после сокращения в первой дроби и в правой части по-
положим в нем х =—1. В результате получим
, _ Fm(-\) _ с(-\)тт\ ( ит
Теперь можно вычислить числитель в правой части
B3). Следовательно, равенство B3) имеет вид
+ d\ I
v _J_ 9 ~1~
jc+1 г x + 2 ' "• ' x + m + l
(— \)m x(x — 1) ... (jc — i
Приводим левую часть к общему знаменателю и пола-
полагаем х = — E+ 1). Тогда найдем равенство
Mm-sMm-s-l) ... 2- 1-(-1)(-2) ... (-s) =
из которого, наконец, имеем
, tчя (т + s) (т + s — 1) ... (s+l) ,
as=(—l) si (щ - S)\ '^l—

356 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VIII
Так как
as (—\)S s (— О* CmCm + s /9г-ч
0s = —7ТГ = гтг- LmL,m+s = —; ~ ; —7 » i^Oj
«ls] n[sl n(n— 1) ... (n — s+ 1)
то, следовательно, ортогональный многочлен A8) можно
теперь представить в явной форме
/. „\ — V l
Простые вычисления по этой формуле приводят к
равенствам
Ро(/; п)=1,
f (< — I) (f — 2) (/ — 3)
га (n — 1) (n — 2) (и — 3)
Р tf- /Л 1 30 * I 210 t(t~X) 560
« (га - 1) (л - 2) (» - 3) (я - 4) ¦
Подсчитаем норму этих многочленов. Используя раз-
разложение
Рт С J л) = Z
«-0

§ 7] МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА СИСТЕМЕ ТОЧЕК 357
в силу равенств A9) имеем
п п т
II Рт If = ? Рт (k; n)=ZPm (k\ П) ? as (k + s)[s] =
fc0 k0 0
) ?
s)[s]Pm
-l
[s]P(k;n) =
J
B7)
Далее, если в сумму A9) вместо 5 подставить т, то эта
сумма будет отлична от нуля, и, рассуждая как при вы-
выводе уравнения B1), приведем эту сумму к виду левой
части B1) при условии 5 = т. Затем выносим числитель
первой дроби, а оставшуюся сумму вычисляем с по-
помощью формулы B4), полагая в ней х = т. В резуль-
результате, используя B5), из B7) находим
II2
= Ьт ? (к + т)[т] Рт (к; п) =
Bт + 1)Bт) ... (т + 1)
(- 1)т (п + т + 1)[т+ 1] (- 1)т ml cmrm
2
Bm+\Jtn ...(tn + \)n[m] w2w Bт + 1)/г[т1 '
Таким образом, норма многочлена B6) подсчитана
и можно составить ортонормированные многочлены, со-
соответствующие точкам 0, 1, 2, ..., п и весам pk = l.
Те же самые ортонормированные многочлены полу-
получаются и в том случае, если вместо весов pk = 1 рас-
рассматривать веса pk = , j , для которых выполняется
первое из условий A).
В заключение отметим, что общий случай ортого-
ортогональности на конечной системе точек и частный случай
многочленов B6) подробно исследовал П. Л. Чебышёв
в 1855 г., в связи с чем многочлены B6) часто назы-.
ваются многочленами Чебышёва для равноотстоящих
точек.

ГЛАВА IX
НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ИЗ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
§ 1. Модуль непрерывности и условия Липшица
Если функция f(x) непрерывна на конечном сегменте
[а, Ь], то в силу теоремы Кантора она и равномерно
непрерывна на этом сегменте, т. е. для всякого е > О
существует такое б = б (е, /), что из условия \t — х| < б
следует неравенство
l/@-/MI<e, x,t<=[a,b],. A)
каковы бы ни были точки х и t из сегмента [а, Ь]. Ины-
Иными словами, значения функции f(x) и f(t) отличаются
очень мало, если точки х и t достаточно близки друг
к другу. Величина б =б(е, /) характеризует степень не-
непрерывности функции f(x) на всем сегменте [а, Ь].
Но более удобной характеристикой непрерывности
функции f(x) на сегменте [а, Ь] является ее модуль не-
непрерывности
(о(б, f)= sup |/@~/Ml, B)
где верхняя грань берется по множеству значений х и t
из сегмента [а, Ь] при условии \t — x\^.8. Эта вели-
величина показывает, насколько могут отличаться значения
функции f(x) в точках х и ty которые отстоят друг от
друга не более, чем на 6.
Рассмотрим несколько самых простых свойств моду-
модуля непрерывности.
1. Если в формуле B) увеличить б, то расширится
множество допустимых значений х и ty а поэтому может
лишь расшириться и множество значений величины
1/@ — /Ml- Следовательно, при возрастании б вели-
величина со (б, /) не убывает и соответственно при убывании б
модуль непрерывности не возрастает.

§ 1] МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ И УСЛОВИЯ ЛИПШИЦА 359
2. Если функция f(x) непрерывна на конечном сег-
сегменте [а, Ь], то
lima (б, /) = 0. C)
6-»0
В самом деле, в силу условия A) разность B) может
быть сделана сколь угодно малой при достаточно ма-
малом б, а это и означает, что выполняется условие C).
Наоборот, из условия C) следует равномерная непре-
непрерывность функции f(x) на сегменте [а, Ь].
3. Для любого натурального п выполняется неравен-
неравенство
со И, /)<moF, f). D)
Действительно, если две точки х я t удовлетворяют
условию \t— x|^ttS, то, разделив сегмент [х, t] на п
равных частей точками {xk}, из равенства
-f(x) = [f(xt)-f(x)]+[f(x2)-f(xl)] + ...
• •• +[f @-/(*„_,)],
учитывая условие для точек деления \xk — Xk-\\ ^ б, на-
находим
и, следовательно, неравенство D) доказано.
4. Если X > 0, то имеет место неравенство
со(А6, /)< (Я+1HF, f). E)
В самом деле, пусть п есть целая часть числа Х> т. е.
п^Х <. п -\- I. Тогда в силу монотонности модуля не-
непрерывности и условия D) имеем
®(А,6,/)<©[(/г+1)в,Л<(л+ 1)со(б, /)<(Я+ 1H F, /).
Таким образом, неравенство E) доказано.
Для конкретных функций f(x) модуль непрерывно-
непрерывности со (б, /) может быть сложной функцией от б, и хотя
эта функция непрерывна и равна нулю в начале коорди-
координат, но убывание ее к нулю может быть произвольно
медленным. Поэтому представляют интерес такие клас-
классы функций, для которых величина со (б, /) убывает к
нулю с определенной скоростью. Простейшими приме-
примерами таких классов являются классы Липшица.

360 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ . [ГЛ. IX
Обозначим Lip(l, M) множество функций, удовлетво-
удовлетворяющих на сегменте [а, Ь] условию Липшица
\f(t)-f(x)\<M\t-x\, xyt<=[a, b]. F)
Для функций этого класса, используя определение
B), находим неравенство
(о(б, /)<Мб. G)
Если функция f(x) дифференцируема на сегменте
[а,Ь], причем ее производная удовлетворяет условию
1ГМКМ, *€=[а, Ы (8)
то f(x)^ LipA, М). В самом деле, по теореме Лагранжа
о среднем значении, используя (8), находим
Более того, непрерывная функция f(x) входит в класс
Lip A, М), если она дифференцируема на интервале
(а, Ь) всюду, кроме конечного числа точек, причем усло-
условие (8) должно выполняться во всех точках дифферен-
дифференцируемое™ функции. В самом деле, пусть на интервале
(х9 t) производная не существует в точках {а*}, причем
х < а\ < а2 < ... < ат < t. Тогда к каждому из сег-
сегментов [ху а\], [п\, а2], ..., [ат, t] можно применить
теорему о среднем значении. В результате получим
\f(t)-f(x)\<\f(t)-f(am)\ +
+ \f(am)-f(am-i)\+ ... +\f(ai)-f(x)\ =
Таким образом, принадлежность функции f(x) классу
Lip A, М) на сегменте [а, Ь] не гарантирует дифферен-
цируемость этой функции в какой-либо точке этого сег-
сегмента.
С другой стороны, если функция F(x) дифференци-
дифференцируема в некоторой точке хо^(ау Ь) и входит в класс
Lip(l,Af) на сегменте [а, 6], то необходимо ^'(^о)!^
^ М. В самом деле, в этой точке имеем
|F'(*o)l=Hm ?¦<*>-'<*>>-
— xQ

§ I] МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ И УСЛОВИЯ ЛИПШИЦА 361
Из этого факта следует, что не может принадлежать
классу Lip(l, M) такая функция \|)(х), которая непре-
непрерывна на сегменте [а, Ь], дифференцируема на интер-
интервале (а, 6), но ее производная не ограничена на всем
интервале (а, Ь). Например, функция \|) (х) = ха, где
0<<а<<1, не входит в класс Lip(l, M) на сегменте
[О, 1] ни при каком М, ибо ее производная \|/(х) = аха~1
не ограничена в окрестности точки 0.
Далее, обобщая класс функций Lip(l, M), для кото-
которых выполняется неравенство F), введем множество
функций Lip (a, M), удовлетворяющих на сегменте
[а, Ь] условию
\f(t)-f(x)\<M\t-x\a, x,t€=[a,b], а>0, (9)
которое называется условием Липшица порядка а > 0.
Во многих случаях при использовании условия (9) вели-
величина М не играет существенной роли. Тогда вместо
Lip (a, M) пишут короче Lip а.
Функции класса Lip (a, M) являются, конечно, равно-
равномерно непрерывными на сегменте [а, Ь], причем нера-
неравенство (9) можно рассматривать как условие сильной
непрерывности функции на сегменте, ибо в этом нера-
неравенстве приращение функции оценивается непосред-
непосредственно через приращение аргумента в степени а:
Для модуля непрерывности функции класса
Lip (a, M) аналогично G) имеем оценку
©(б, /)<Мба, A0)
причем эта оценка, конечно, эквивалентна неравен-
неравенству (9).
Если в условии (9) считать а > 1, то в любой точке
х имеем неравенство
t- х
из которого, устремляя t->x, находим f'(x) = O. Таким
образом, если f(x)^ Lip (a, M)f где а > 1, то эта функ-
функция есть тождественное постоянное. Поэтому представ-
представляют интерес классы Липшица Lip (a, M) лишь при
условии 0<а<1.
Докажем, что функция г|)(х) =ха, где 0 << а <С 1,
входит в класс Lip (а, 1) на сегменте [0, 1]. В самом

362 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
деле, считая х постоянным и применяя формулу Коши
о среднем значении, при 0 ^ х < I < t ^ 1 получаем
^
С другой стороны, при фиксированном а < 1 функ-
функция •ф(х) = ха не может входить в класс Lip (p, M), где
Р > а. Действительно, если бы выполнялось условие
то, полагая в нем х = 0, мы получили бы неравенство
ta ^ AffP, которое при t-+0 невозможно, ибо C > а.
В самом общем случае, если а < C, то имеет место
включение Lip a id Lip C, т. е. при уменьшении показа-
показателя в условии Липшица класс функций расширяется.
В самом деле, если f(x)^ Lip (C, М), то имеем
= М | / - х |р"a | / - х Г < М /С | / - х Г,
где /С = max |/— л:|Р~а при /, xg [а, й], т. е. К =
= {Ь — а)Р~а.
Таким образом, чем больше показатель а в условии
Липшица, тем уже класс Lip (a, M) и тем быстрее убы-
убывает к нулю модуль непрерывности каждой функции
этого класса, причем при а= 1 скорость убывания моду-
модуля непрерывности максимальна.
Для классификации малых скоростей убывания моду-
модулей непрерывности вводится условие Дини —Липшица
\f(t)-f(x)\<M(-ln\t-x\)-y9 Ue[aJ], (И)
где y>0 и \t — х\<. \. Класс таких функций обозна-
обозначается DLip(y, M). Из условия A1) имеем
со(б, /)<М(-1п6)Л 0<6< 1. A2)
Далее, в теории тригонометрических рядов Фурье ча-
часто применяется условие Дини на модуль непрерыв-
непрерывности
lim со (б, /)ln-i- = 0. A3)

§ 21 МНОГОЧЛЕНЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 363
Например, при выполнении этого условия периодическая
функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд
Фурье, сходящийся равномерно на всей оси. Условие
Дини A3) выполняется, если в неравенстве A1) имеем
V> 1.
Если через D обозначить класс функций, удовлетво-
удовлетворяющих условию Дини A3), то получим систему вложе-
вложений классов функций
D Lip X id D id Dlip у => Lip a => Lip p,
которая имеет место при условиях 0 << X ^ 1 < у и
0< ос< р< 1.
В теории приближения функций очень часто любое
из вышеперечисленных условий налагается не на саму
функцию, а на ее производную некоторого порядка р.
Например, через W{P)H^(M) обычно обозначается мно-
множество функций, каждая из которых непрерывно диф-
дифференцируема р раз, причем f(p)(x)e Lip (a, M).
§ 2. Многочлены наилучшего
равномерного приближения
Если функция f(x) непрерывна на конечном сегменте
[а, Ь], то по теореме Вейерштрасса для всякого е > О
найдется такой алгебраический многочлен F(x)> что
имеет место неравенство
\f(x)-F(x)\<e, xe[a, b]. A)
Поскольку такое неравенство можно написать для каж-
каждого числа из последовательности {ет}, монотонно схо-
сходящейся к нулю, то соответствующая последователь-
последовательность многочленов {Fm{x)}> где т есть номер много-
многочлена, а не его степень, сходится равномерно к
функции f(x) на сегменте [а, Ь\% т. е.
lim max | f (x) - Fm (x) | = 0. B)
т-»оо х s [a, b]
Теорема Вейерштрасса была опубликована в 1885 г.,
но еще задолго до этого, начиная примерно с 1853 г.,
вопросы равномерного приближения непрерывных функ-
функций многочленами подробно исследовал великий рус-
русский математик П. Л. Чебышёв. Он ввел многочлены
наилучшего равномерного приближения и изучил их
свойства.

Ш теория приближения функций [гл. \х
В пространстве С [а, Ь] функций, непрерывных на
сегменте [а, Ь], в качестве нормы принимается величина
11/11= max \f(x)\. C)
хе [a, b\
Эта величина часто называется чебышевской нормой.
Для произвольных функций из класса С [а, Ь] и постоян-
постоянной с > О имеем
1кЛ1 = с||/||, О 0, D)
Н + НЛ- E)
Далее, используя E), находим неравенства
M\\ = \\f-F + F\\^\\f-F\\ + \\F\l
~/1И-11/11,
из которых следует оценка
Ш/И-ШКИ/-/!. ' F)
Обозначим Wn множество всех алгебраических мно-
многочленов степени не выше п. Каждый многочлен из
класса Wn можно представить в виде
Fn (х) = со+ схх + с2х2 + ... + спх\ G)
В,соответствии с формулой C) в качестве уклонения
этого многочлена от функции f(x) принимается вели-
величина
||/-^„||= max \fb)-Fn(x)\. (8)
*€=[а, Ь\
Эта величина называется чебышевским уклонением мно-
многочлена Fn(x) от функции f(x) или чебышевским при-
приближением функции f(x) многочленом Fn(x). В силу
формулы G) уклонение (8) зависит от выбора коэффи-
коэффициентов Со, Си ..., сп. Эту зависимость мы можем пред-
представить в виде некоторой функции
сь ..., сп). (9)
При этом возникает естественный вопрос: нельзя ли вы-
выбрать коэффициенты многочлена Fn(x) таким образом,
чтобы уклонение (9) было бы наименьшим? Иными сло-
словами, ставится задача отыскания минимума функции Ф,
зависящей от (п-\- 1) переменных.

§ 2] МНОГОЧЛЕНЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 365
Прежде всего, мы можем ввести точную нижнюю гра-
границу величины (9) при варьировании чисел {ck}. Ввиду
неотрицательности уклонения эта нижняя грань всегда
существует. Введем для нее обозначение
En(f)= inf \\f-Fn\\t (Ю)
где нижняя грань фактически берется по множеству всех
многочленов степени не выше п. Величина A0) назы-
называется наилучшим приближением функции f(x) много-
многочленами из класса Wn или наименьшим уклонением
класса Wn от функции f(x). Иногда для краткости число
En(f) называется наилучшим приближением функции
f(x) порядка п.
Определение A0) имеет смысл при любом п ^ 0.
Следовательно, всякой непрерывной функции f(x) ста-
ставится в соответствие последовательность ее наилучших
приближений {?„(/)}. Так как справедливо включение
Wn cz Wn+\, то эта последовательность не возрастает,
а в силу соотношений A) и B) она сходится к нулю,
т. е. имеем
Eo(f)>Ei(f)>E2(f)> ... >En{f)>En+i(f)> ..., A1)
Нт?я(/) = 0. A2)
П->оо
Многочлен Qn(x), для которого выполняется условие
En{f) = \\f-Qn\\= max \f(x)-Qn(x)\, A3)
| 61
называется многочленом наилучшего приближения функ-
функции f(x) на сегменте [а, Ь] или многочленом, наименее
уклоняющимся от функции f(x) на [а, Ь].
Теорема 9.1. Если функция f(x) непрерывна на
сегменте [а, Ь], то при каждом п в классе Wn суще-
существует многочлен наилучшего приближения функции
f(x) на [а, 6], т.е. такой многочлен Qn(x)t для которого
выполняется условие A3).
Доказательство. Прежде всего покажем, что
функция (9) как функция (ai + 1) переменных коэффи-
коэффициентов непрерывна. В самом деле, если взять другой
многочлен Вп{х) с коэффициентами bOi bu ..., bn, то в

366 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
силу неравенства F) имеем
|Ф(с0, си ..., сл)-Ф(&<>, Ьи ..., Ьп)\ =
< II (/ - Fn) -(f- Вп) || = || Вп - Fn || =
= max | (bQ — со) + (b\ — Ci)x + ... + (bn — cn) xn |. A4)
x e= [a, b]
Число п здесь фиксировано. Поэтому, если ввести обо-
обозначения
тп= max \xn\, А1я = тах{1, ть т2, ..., т^},
х е [a, &J
то из A4) получим неравенство
п
| Ф (со, си ..., сп) — Ф (&o, 61э ..., йя) К ЛГЯ 2 \bk— ck I,
из которого и следует непрерывность функции
Ф(со, С\у ..., сЛ) в любой точке (п + 1)-мерного про-
пространства коэффициентов.
Далее, по второй теореме Вейерштрасса всякая не-
непрерывная функция достигает в некоторой точке своего
минимума, если область изменения ее п + 1 переменных
ограничена и замкнута. Но в нашем случае переменные
Со, Си ..., сп на первый взгляд могут принимать любые
и в том числе сколь угодно большие значения. Поэтому
без дополнительных пояснений вторую теорему Вейер-
Вейерштрасса здесь применять нельзя.
Рассмотрим сначала случай, когда коэффициенты
многочлена удовлетворяют условию
tc\=\. A5)
k=Q
В этом случае функция Ф определена на (п + 1)-мерной
единичной сфере, и применять вторую теорему Вейер-
Вейерштрасса при этом условии можно. Поэтому существует
такой многочлен Ап(х) с коэффициентами а0, аи ..., аП)
что при условии A5) выполняется равенство
|| / — Ап || = inf Ф (с0, Си • • •, сп) = Ф (а0, аи ..., ап).

§ 2] МНОГОЧЛЕНЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 367
В частности, можно рассматривать случай, когда f(x) =
= 0. Тогда существует такой многочлен Rn{x), для ко-
которого норма \\RnW при условии A5) имеет минимум,
т. е. справедливо неравенство
причем величина бл положительна, так как хотя один из
коэффициентов многочлена Rn(x) в силу A5) отличен
от нуля.
Пусть теперь {с^ — произвольная система п + 1 дей-
действительных чисел. Введем обозначение
c2=tQC\. A7)
Тогда коэффициенты многочлена — Fn(x) удовлетво-
с
ряют условию A5). Поэтому при любой системе коэф-
коэффициентов в силу A6) справедливо неравенство
Далее, используя D) и F), при достаточно больших
с находим
Ф(с0, Си ...» сп) =
= \\f-Fn\\>c
0, A8)
ибо величина 8п не зависит от выбора {Ck}. Так как ве-
величину с можно выбрать сколь угодно большой, то ле-
левая часть A8) также может быть сделана сколь угодно
большой. Следовательно, если мы хотим определить ми-
минимум функции Ф(со, си ...» сп), то мы должны зара-
заранее ограничиться случаем, когда величина A7) для дан-
данного многочлена Fn{x) ограничена, т. е., например, вы-
выполняется неравенство
?«¦.<«••
Иными словами, минимум непрерывной функции
Ф(со, с\у •••» сп) может быть только в замкнутом
(п + 1) -мерном шаре радиуса R, а вне этого шара в
силу неравенства A8) минимума не может быть»

368 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
При этих условиях вторую теорему Вейерштрасса
применять можно. Следовательно, существует такая си-
система чисел &о, Ь\, ..., Ьп, что выполняется неравенство
Ф(?о, Си •••> сп) ^Ф(Ьо, Ь\, ..., Ьп). А это и означает
существование многочлена наилучшего равномерного
приближения.
Qn(x) = bQ+blx+ ... +Ьпх\
для которого выполняется условие A3).
Таким образом, теорема 9.1 доказана.
Аналогичные определения и формулировки имеют
место, если ввести множество непрерывных периодиче-
периодических функций СBя) и для каждой функции f(x)^ СBя)
рассматривать тригонометрические полиномы равномер-
равномерного приближения.
Обозначим WnBn) множество тригонометрических
полиномов порядка не выше п, т. е. множество полино-
полиномов вида
Чп (х) = ao+t (ak cos kx + bk sin kx). A9)
fe-i
Каждый такой полином содержит 2п + 1 коэффициентов
и имеет не более чем 2п действительных нулей с учетом
их кратностей, причем, конечно, имеются в виду суще-
существенно различные нули, т. е. такие нули, которые не
сводятся, один к другому прибавлением или вычитанием
числа, кратного периоду 2я.
Для непрерывной и периодической с периодом 2л
функции f(x) аналогично (8) вводится величина
||/-ЧЫ1= max \f(x)-Vn(x)\, B0)
хе[-л, п]
а вместо (9) здесь получается функция 2п + 1 перемен-
переменных
||/-^п|| = Ф(а0, аи ..., ап, Ьи Ь2,..., Ьп). B1)
Далее, при каждом п вводим наилучшее тригономет-
тригонометрическое приближение
?д(М2я)= inf ||/-VJ|, B2)

§ 2] МНОГОЧЛЕНЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 369
и аналогично алгебраическому случаю находим, что по-
последовательность {En(f, 2я)} не возрастает и сходится
к нулю.
Функция 2п+\ переменных B1) имеет минимум в
некоторой конечной точке, и, следовательно, существует
тригонометрический полином наилучшего приближения
Гп(х), для которого выполняется условие
Еп (/, 2я) = || / - Гд || = inf || / - Wn ||. B3)
Доказательство этого утверждения аналогично при-
приведенному выше доказательству в алгебраическом
случае.
Легко видеть, что произведение двух тригонометриче-
тригонометрических полиномов Ап(х) и Вт(х) есть тригонометрический
полином порядка не выше п + т. В самом деле, после
перемножения этих полиномов получим слагаемые вида
sin kx cos рх, sin kx sin рх, cos kx cos рх с некоторыми ко-
коэффициентами. А эти произведения можно преобразо-
преобразовать в алгебраические суммы синусов и косинусов.
В частности, имеем формулу
cos" х = Y, Чл) cos kx> a«} = ~T=T' B4)
2
левую часть которой можно рассматривать как произве-
произведение п тригонометрических полиномов.
Докажем, что имеет место в некотором смысле
обратное формуле B4) равенство
cos пх = 2п'1 cos"x + Z a[n) cos* x. B5)
k 0
В самом деле, при я = 0, 1, 2 это равенство очевид-
очевидно. Допустим, что оно верно для всех номеров не бо-
более п. Тогда с помощью равенства
cos (п-\- 1) х -f- cos (п — 1) х = 2 cos х cos пх

370 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
находим
\2n~l cos* х + ? ал) cos*
L
cos(n + 1) х = 2 cos x ^""'cos"^ L аГ cos** -
fe = 0
Этим формула B5) доказана.
§ 3. Теоремы П. Л. Чебышёва об альтернансе
В предыдущем параграфе было доказано, что если
функция f(x) непрерывна на сегменте [а, 6], то при каж-
каждом п существует алгебраический многочлен Qn{x) сте-
степени не более п, удовлетворяющий условию
= llf-QJI= max \f{x)-Qn(x)\.
[а, b)
Поскольку функция f(x) и многочлен Qn{x) непрерывны
на сегменте [a, b], то существует хотя бы одна точка
jC0G [a, &], для которой имеет место равенство \f{x0) —
— Qn{xo) I =En(f). Такая точка называется точкой мак-
максимального уклонения многочлена Qn(x) от функции
f(x). В точках максимального уклонения выполняется
одно из следующих двух условий:
f(xk)-Qn(xk) = En(f), A)
f{x,)-Qn(x8)=-En(f). B)
Точки максимального уклонения, в которых выпол-
выполняется условие A), называются точками первого рода,
а в случае условия B) — второго рода. Докажем, что
при любом п существуют точки и первого и второго
рода.
Пусть, например, точка максимального уклонения,
которая всегда существует по крайней мере одна, есть
точка первого рода. Предположим, что точек второго
рода нет. Тогда при всех х е [a, b] выполняется нера*
венство f {х) — Qn(х) > — En(f). Поскольку разность
f(x)—Qn(x) есть непрерывная функция, tq она дости*

§ 31 ТЕОРЕМЫ ЧЕБЫШЁВА ОБ АЛЬТЕРНАНСЕ 371
гает своего минимума на сегменте [а, Ь] и этот мини-
минимум больше величины —En(f). Следовательно, суще-
существует такое h > О, что имеет место неравенство
-En(f) + 2h^f(x)-Qn(x)<iEn(f)9 хе=[а9 Ь].
Из этого неравенства находим
Следовательно, многочлен Qn(x)-\-h уклоняется от функ-
функции f(x) на величину En{f) — h < En(f), что невозмож-
невозможно, ибо En(f) есть наилучшее приближение порядка п.
Поэтому существует хотя бы одна точка второго рода.
Аналогичным образом ведет к противоречию и предпо-
предположение об отсутствии точек первого рода.
Таким образом, при любом п существуют точки пер-
первого рода и точки второго рода.
Обозначим Mn{f) множество всех точек максималь-
максимального уклонения многочлена наилучшего приближения
Qn(x). Возникает естественный вопрос: а сколько всего
может быть точек максимального уклонения? П. Л. Че-
бышёв доказал, что во множестве Mfl(f) содержится по
крайней мере п-\-2 точки.
Теорема 9.2. Если функция f(x) непрерывна на
сегменте [а, 6], то при любом п множество Mn(f) содер-
содержит по крайней мере п -\-2 точки, которые можно таким
образом упорядочить с помощью неравенств
, C)
что в любых двух соседних точках уклонения многочле-
многочлена Qn(x) от функции f(x) имеют разные знаки, т. е.
U Ы - Qn (**)] If (Xk+i) - Qn (**+i)] < 0. D)
Доказательство. Разобьем сегмент [а, Ь] на iV
равных частей точками {ak} так, чтобы на каждом из
сегментов
[а, ах], [аи а2], ..., [ak, ак+[], .. ., [аУ-ь Ь] E)
колебание непрерывной функции f{x)—Qn(x) было
меньше ~ Еп (/). Некоторый сегмент [ak, ak+\] из си-
системы E) назовем сегментом первого рода, если он
содержит хотя бы одну точку первого рода из множества

372 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
Mn(f). Аналогично сегмент [aSy as+i] назовем сегмен-
сегментом второго рода, если он содержит хотя бы одну
точку второго рода. Разумеется, в системе E) может
быть много сегментов, которые вообще не содержат то-
точек из Mn{f). Поэтому из системы E) выделим в том же
порядке все сегменты первого и второго рода и зануме-
занумеруем их снова в виде
Ль А2, ..., А*, ..., Ар. F)
Предположим, для определенности, что Ai есть сег-
сегмент первого рода, а за ним непосредственно идут так-
также несколько сегментов первого рода
Аь А2, ..., Afel. G)
Затем выписываем все следующие за ними подряд сег-
сегменты второго рода
Afel+i, Afel+2, ..., Afe2. (8)
Далее пойдет снова группа сегментов первого рода и
так далее. Наконец, последней будет некоторая группа
сегментов тоже одного рода
Таким образом, всего оказалось т групп сегментов,
и в каждой группе собраны соседние сегменты одного
рода, причем не исключается случай, когда вся группа
состоит из одного сегмента.
Если m^ft + 2, то теорема доказана, ибо при пере-
переходе от одной группы сегментов к другой разность
f(x)—Qn{x) меняет знак и существование системы то-
точек C) с условием D) очевидно.
Следовательно, остается рассмотреть случай, когда
т < п-\- 2. Мы докажем, что этот случай невозможен,
т. е. предположение т < п + 2 ведет к противоречию.
Прежде всего заметим, что на каждом сегменте А*
из системы F) колебание разности f(x)—Qn(x) меньше
¦о- En(f)f и так как там есть точки (одного рода) из
Mn(f), то, следовательно, на каждом из этих сегментов
разность f(x) — Qn(x) не обращается в нуль и сохраняет
знак. Поэтому на соседних сегментах А^ и А^+1, вхо-

§ 3| ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫШЁВА ОБ АЛЬТЕРНАНСЕ 373
дящих в разные группы, величина f(x) — Qn(x) имеет
разные знаки. Следовательно, крайние сегменты из двух
соседних групп, ближайшие друг к другу, не имеют об-
общих точек. Поэтому между сегментами Д^ и &ks+\
можно выбрать точку bSy не принадлежащую этим сег-
сегментам. Поскольку всего групп сегментов т, то таких
точек будет т — 1. По этим точкам образуем вспомога-
вспомогательный многочлен
Ят_1 (х) = (Ьг - х) (Ь2 - х) ... Fm_i - х). (9)
Так как мы сделали предположение, что т <С п -j- 2, то
т—1 ^ пу и,следовательно, многочлен Нт-\(х) входит
в класс Wn-
Многочлен (9) положителен на всех сегментах пер-
первой группы G), ибо точка Ь\ и все остальные точки {bk}
расположены правее всех сегментов первой группы. Да-
Далее, на сегментах второй группы (8) этот многочлен от-
отрицателен, ибо из всех точек {bk} только одна точка Ь\
расположена левее всех сегментов второй группы, а
остальные — правее. Рассуждая аналогично, найдем, что
на всех сегментах какой-либо одной группы многочлен
Нт-\{х) имеет тот же знак, что и разность f(x) — Qn(x).
С другой стороны, максимум гп величины \f(x) —
— Qn(x)\ на сегментах, не содержащих точек из Mn(f),
т^е. не вошедших в систему F), строго меньше En(f).
Поэтому, вводя обозначение Н = max|#m_i(x) | при
х^[а, Ь], мы можем подобрать такое малое число
к > 0, что выполняются два неравенства
ЬН<Еп(П-*п, ^
А теперь рассмотрим вспомогательный многочлен
и докажем, что он уклоняется от функции f(x) на всем
сегменте [а, Ь] меньше, чем на En(f).
В самом деле, если сегмент [ak, uk+\] не содержит
точек из множества Mn(f), то при х е [a*, a*+i] в силу
A0) имеем

374 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
Если же х принадлежит сегментам первого или вто-
второго рода, то величины f(x)—Qn{x) и Нт~\(х) имеют
одинаковые знаки. С другой стороны, на каждом из сег-
сегментов системы F) колебание разности f(x)—Qn(x)
меньше -^En(f). Поэтому имеем
\f(x)-Qn(x)\>YEn(f), x^^k-
Следовательно, в силу A0) находим
\f(x)-Qn(x)\>b\Hm_l(x)\, *6=ДЛ.
Далее, на всех сегм-ентах Дд> в силу (9) многочлен
Нт-{(х) в нуль не обращается и минимум величины
\Нт-\{х)\ положителен. Поэтому, учитывая вышеприве-
вышеприведенные неравенства, при х^ Д* получаем
| f (*) - Fn (x)\ = \ [f (х) - Qn (х)] - ХНт_х (х) | =
<En(f)-MHm_l(x)\<En(f).
Таким образом, при всех х е [а, Ь] выполняется не-
неравенство \f(x)—Fn{x)\ < En(f), а это невозможно
в силу самого определения числа En(f). Этим теорема 9.2
доказана.
Заметим, что противоречия не получится, если не де-
делать предположения m < n + 2, ибо в случае т^п + 2
многочлен Нт-\ (х) будет иметь степень т — 1 ^ п + 1
и не войдет в класс Wn-
Геометрически эта теорема П. Л. Чебышёва озна-
означает, что если над сегментом [а, 6], помимо графика
функции y = f(x), построить еще графики двух функ-
функций
у = f(x) + En(f), y = f(x)-En(f),
то график многочлена наилучшего равномерного при-
приближения Qn(x) будет попеременно достигать этих двух
кривых по крайней мере (лг + 2) раза, касаясь их по
крайней мере п раз (рис. 9.1).
Система точек C), в которых выполняются условия
D), называется чебышёвским альтернансом.

§3]
ТЕОРЕМЫ ЧЕБЫШЁВА ОБ АЛЬТЕРНАНСЕ
375
Теорема 9.3. При каждом п существует только
один многочлен наилучшего равномерного приближения
Qn(x) непрерывной функции f(x) на сегменте [а, Ь].
Доказательство. Допустим противное, что на-
нашлось два многочлена наилучшего равномерного при-
«27
Рис. 9.1.
ближения Qn(x) и Fn(x), для которых выполняются не-
неравенства
- Еп (f) </(*)- Qn (х) < Еп (/), х €= [а, Ь],
- Еп (f) < / (х) - Fn (х) < Еп (/), х €= [а, й].
Складывая эти неравенства почленно и разделив на 2,
получим
- ?„ (/) < / (х) - у [Qrt W + ^ (*)] < Я„ (/), х е [а, 6].
Следовательно, многочлен Rn (х) = — [Qrt {х) + ^ (х)]
также является многочленом наилучшего равномерного
приближения.
Пусть {xk} есть чебышёвский альтернанс многочлена
Rn(x). Если Xk — точка первого рода, то имеем
~ Q«(xk)] + j[f (xk) -

376 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
Так как в любом случае f{xk)— Fn{xk)^ En(f), то из по-
последнего равенства находим En(f)^f(xk)—Qn(xk)- Но
разность f(xk)— Qn(xk) не может превосходить величину
En(f). Поэтому имеем f(xk)—Qn(xk)=En(f). Меняя
местами Qn(x) и Fn{x), найдем f(xk) — Fn{xk) =En(f)B
Аналогично для точек второго рода из равенства
-En(f) = f{x8)-Rn(xs) =
= У [/ (Х8) ~ Qn (*,)] + j[f (Xs) - Fn (X8)]
находим
/ (xs) - Qn (Xs) = f (xs) - Fn (xs) = -En (/).
Таким образом, в точках чебышёвского альтернанса
многочлена Rn(x) многочлены Qn(x) и Fn(x) совпадают.
Но ведь этих точек не менее п + 2. Следовательно, мно-
многочлены Qn(x) и Fn(x) тождественны. Этим теорема 9.3
доказана.
Пользуясь теоремой единственности мы сейчас дока-
докажем, что чебышёвский альтернанс является характери-
характеристическим признаком многочлена наилучшего равномер-
равномерного приближения.
Теорема 9.4. Пусть функция f(x) непрерывна на
сегменте [а, Ь], a Fn(x) есть некоторый многочлен по-
порядка не выше п и
А= max \f(x)-Fn(x)\. (И)
Тогда, если на сегменте [а, Ь] существует система п + 2
точек
а<,хх<х2< ... <xk< ... <xn+2<b, A2)
в которых выполняется условие
\f(xk)-Fn(xk)\ = A,
причем разность f(x) —Fn(x) имеет разные знаки в лю-
любых двух соседних точках системы A2), то A =En(f) и
Fn{x) есть многочлен наилучшего равномерного прибли-
приближения.
Доказательство. Допустим, что A >En(f), и
пусть, как обычно, Qn{x) есть многочлен наилучшего
равномерного приближения. Рассмотрим разность
Qn (хк) - Fn (xk) = [f (xk) - Fn (хк)] - [f (xk) - Qn (**)]• A3)
Так как \f{xk) — Qn{xk) \ ^ En(f) <A, то знак разно-

§ 3] ТЕОРЕМЫ ЧЕБЫШЁВА ОБ АЛЬТЕРНАНСЕ 377
сти A3) совпадает со знаком разности f(Xk)—Fn(Xb),
которая меняет знак п + 1 раз. Следовательно, в каж-
каждом из интервалов (хи х2), (х2у хг), ..., (хп+и хп+2) раз-
разность Qn(x)—Fn(x) имеет по крайней мере один нуль.
Но ведь всего интервалов п+1, а указанная разность
двух многочленов есть многочлен степени не более п.
Поэтому имеем тождество Qn(x) s= Fn(x)> которое про-
противоречит предположению А > En(f).
Таким образом, случай А > En(f) исключается, и по-
поскольку случай А < En(f) также невозможен, то остает-
остается равенство А = ?„(/), из которого в силу теоремы
единственности находим Qn(x) = Fn(x). Этим теорема
9.4 доказана.
Аналогичные результаты имеют место и для триго-
тригонометрических полиномов наилучшего приближения не-
непрерывных периодических функций. В этом случае че-
бышёвский альтернанс тригонометрического полинома
наилучшего равномерного приближения порядка п со-
содержит Bп + 2) существенно различных точки, а в
остальном и формулировки и доказательства полностью
аналогичны приведенным выше результатам в алгебраи-
алгебраическом случае.
В заключение параграфа заметим, что если непре-
непрерывная периодическая функция f(x) четна, то ее триго-
тригонометрический полином наилучшего равномерного при-
приближения также является четным, т. е. имеет вид
п
?п {х) = Z CLk cos kx. A4)
fe»0
В самом деле, если в равенстве
En{f9 2n) = m*x\f(x)-rn(x)\
вместо х поставить —х, то, используя четность функции
/(#), получим
Еп {f9 2я) = max | / (- х) - Гп (- х) \ =
= тах|/(*)-Гя(-*)|.
Поскольку Тп(—х) есть тригонометрический полином
наилучшего приближения, то в силу теоремы единствен-
единственности имеем Гп(х) =Г„(—х). А это и означает, что в
разложении полинома Тп(х) отсутствуют синусы, т.е.
имеет место формула A4).

378 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
§ 4. Сингулярный интеграл Джексона
В настоящем параграфе рассматривается некоторый
интеграл— сингулярный интеграл Джексона, — который
зависит от данной периодической функции f(x) и, буду-
будучи тригонометрическим полиномом, служит для прибли-
приближения этой функции. Но сначала мы приведем несколь-
несколько вспомогательных предложений.
Лемма 9.1. При любом натуральном п справедливо
тождество
l)cos/
cos(n-l)t]. A)
Доказательство. Используя предстабление раз-
разности косинусов через произведение синусов, находим
= -^-{A—cos/)+(cos/—cos2/)+...+[cos(rc— 1)/—cosnt]}=
Г • t . • 3/ . . . Bn— 1)M . t /O4
= [Sin 2" + SHI ~y + ... +81П^ ^-»JSinY* W
Для слагаемых в квадратных скобках в силу формулы
для разности синусов имеем представления
sin -f- = sin 4 + (sin -§- - sin |) = sin у A + 2 cos 0,
+ (sin sinj + (sin sin
sin ~y= sin у + (sin —— sinYj + (sin -^— sin
= sin 4 A + 2 cos / + 2 cos2/),
sin
in ТГ + I sin -5 sin -к ) + ...
-1)* . Bи-3)П
_J Sln 2 j =
¦j- 2 cos 2/ + ... + 2 cos (n — 1) f].

§ 4] СИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДЖЕКСОНА 379
Подставляя эти значения в правую часть равенства B),
получим тождество A).
Лемма 9.2. При любом натуральном п имеет место
тождество
. Ш 4 2п_2
~2~ 1 V^
—\ = ) cW
in— I Z—/
2 '
C)
sin—
2
где {cW — некоторые коэффициенты, зависящие от k
и п.
В самом деле, правая часть тождества A) есть чет-
четный тригонометрический полином порядка (п—1), и
после возведения его в квадрат снова получится четный
тригонометрический полином, но уже порядка B/г —2).
Лемма 9.3. При любом натуральном п справедли-
справедливо равенство
D)
Доказательство. Используя тождество A), на-
находим
12
dt= \ «+2 > (n-k)coskt\ dt
2 + }(/г-1)/гBд-1)], E)
ибо имеет место равенство
С другой стороны, в интеграле E) произведем заме-
замену переменного интегрирования по формуле t = 2и,

380 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
В результате этого, вычисляя еще сумму в последних
квадратных скобках E), получим
Т Т
/ §|п fin \4 I / sir^ tit \4 2 о
__я_ 0
2
Этим равенство D) доказано.
Теорема 9.5. Для всякой функции f(x) e
ее сингулярный интеграл Джексона
t — г. \4
есть тригонометрический полином порядка не выше
2/2 — 2, т. е.
Dn (x\ f) = а<») + ? (а^ cos kx + Ь<р sin kx), G)
причем этот полином четный, если функция f(x) четная,
и, кроме того, а™ = 0, если выполняется условие
x = 0. (8)
Доказательство. Используя формулу C), на-
находим
_-2/г—2
Dn\X> f)= 2ппBп2 + 1)
-я
-2/1-2
cin) (cos ft/ cos ,
+ sin ft/ sin ft*)! rf/.
Этим формула G) доказана. Из последнего равенства
следует, что если функция f(t) четна, то после интегри-
интегрирования все слагаемые с синусами обратятся е нуль,

§ 4] СИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДЖЕКСОНА 381
А при условии (8) получим а{0п) = 0. Таким образом,
теорема 9.5 доказана.
Лемма 9.4. При любом натуральном п ^ 1 спра-
справедливо неравенство
л
Т
f , f sm nt У
В самом деле, на сегменте К), -^Ч применяем оценку
| sin nt | ^п\ sin/1, которая легко получается индукцией,
а на сегменте пг~»-тг используем неравенство sin/^
2
^ —/. В результате получим
я л п
2 2п 2
S
sin nt \4 1. f , / sin nt \4 ,, , f ,/ sin nt \4
) dt= ) 4) d/+ 3 Ч)
2n
Л Л
2/г Т
, я4BмJ п2п2
Теорема 9.6. Если [(д:)еСBя), то имеет место
оценка
\f(x)-Dn(x;f)\<n^A^=rTtf)f *€=(-<», оо). A0)
Доказательство. Прежде всего преобразуем
интеграл F). Заменяя переменное интегрирования по
формуле t = и + х и учитывая тот факт, что в силу
периодичности подынтегрального выражения пределы
интегрирования можно оставить неизменными, получим

382 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
Далее, представляем интеграл по сегменту [—я, я] в
виде суммы двух интегралов по сегментам [—я, 0] и
[0, я], причем в первом из них заменяем и на —и. В ре-
результате этого интеграл Джексона приводится к виду
з
А теперь, полагая и = 2f, приходим к формуле
Dn(x; /) =
2
3
пп Bм2 -4- 1) J V sin * / v y
о
С другой стороны, из формулы D) имеем- равенство
я
2
6
яп B^+D
о
вычитая из которого почленно равенство (И), получим
- f (x + 2t) - f (x - 20] {^гУ dt. A2)
Сумма в квадратных скобках под знаком интеграла
оценивается через модуль непрерывности функции f(x)
следующим образом:
\f(x)-f(x + 2t) + f (x) -f(x- 2f) |< 2© B/, /). A3)
Далее, в силу четвертого свойства модуля непрерывно-
непрерывности— формула A.5)—имеем

§ 5] ПРЯМЫЕ ТЕОРЕМЫ О НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ 383
Следовательно, из формулы A2), учитывая A3), нахо-
находим
\f(x)-Dn(x; /Ж
Полученный интеграл представляем в виде суммы двух
интегралов по слагаемым в квадратных скобках. Пер-
Первый из этих интегралов оцениваем с помощью неравен-
неравенства (9), а второй — в силу формулы D). В результате
получим
b ¦ О <3" + " < ''Чет ¦ О'
Таким образом, теорема 9.6 доказана.
Поскольку для любой функции f(x) еСBя) модуль
непрерывности со (б, /) убывает к нулю при б->-0, то из
неравенства A0) следует теорема Вейерштрасса о при-
приближении непрерывных периодических с периодом 2я
функций тригонометрическими полиномами.
§ 5. Прямые теоремы о наилучших приближениях
тригонометрическими полиномами
В настоящем параграфе с помощью сингулярного ин-
интеграла Джексона устанавливаются различные оценки
сверху для наилучших приближений непрерывных пе-
периодических функций.
Теорема 9.7. Для всякой функции f(x) из класса
С Bл) имеет место неравенство
En(f, 2я)< 11@A, f).
Доказательство. Поскольку сингулярный ин-
интеграл Джексона есть тригонометрический полином

384 теория приближения функций [гл. ix
порядка не выше 2п — 2, то из неравенства D.10) имеем
Заменяя в этом неравенстве п на п + 1 и пользуясь
свойствами модуля непрерывности, получим
А для нечетных номеров находим
(f, 2я) < ?2я (/, 2я) < 1 lco (^pj , f) .
Таким образом, неравенство A) доказано.
В частности, если f(x) e Lip (a,M), то в силу нера-
неравенства A.10) имеем
En(f, 2я)<-^-. ¦ C)
Если же функция f(x) имеет производную, удовлет-
удовлетворяющую условию |f'(;r) | s^ Mi, то вместо C) спра-
справедливо неравенство
^ D)
Рассмотрим теперь приближение тригонометриче-
тригонометрическими полиномами без свободного члена, т. е. полино-
полиномами вида
п
^п (х) = Z (a* cos kx + bk sin kx). E)
Будем обозначать СоBя) множество непрерывных
периодических функций, для которых выполняется ус-
условие
\f(x)dx = 0. F)
-Л
В теореме 9.5 доказано, что если /(*) е СоBя), то
тригонометрический полином Джексона Dn{x\ f) не со-
содержит свободного члена. Следовательно, если ввести
наилучшее приближение полиномами вида E)
en{f, 2n) = ini\\f-Wn\\9

§ 5] ПРЯМЫЕ ТЕОРЕМЫ О НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ 385
то в силу неравенства D.10) вместо B) здесь получим
02/1-2 (/> 2^<ll
Следовательно, если f(x) €Е С0Bя), то в неравенствах
A), C) и D) вместо En(ft 2я) можно поставить вели-
величину en(f, 2я).
Лемма 9.5. Если периодическая функция f (x) имеет
непрерывную производную, то имеет место неравенство
En(f, 2я)< — en{f, 2я), G)
причем при условии f(x) e С0Bя) имеем
Доказательство. В силу определения числа
еп{\\ 2я) существует такой полином вида E), для ко-
которого имеет место оценка
| Г (х) - Уп (х) | < еп (/', 2я), iGl-я, я].
Введем первообразную от этого полинома
п
vn {х) = / ~п {cik s'm kx — bk cos kx) (9)
и вспомогательную функцию
P (у) f (Г\ _ Z) (y\ /1 Г))
которая непрерывно дифференцируема, причем
|fWI<e,(r. 2n), Же[-я, я].
Поэтому в силу неравенства D) имеем
En(F, 2я)<-~ея(Г, 2я). A1)
А тогда существует такой тригонометрический полином
Фп(х) порядка не выше п, что выполняется неравенство
I \ ) п\ ) Г\ п п\1 > /у

386 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
которое в силу A0) мы можем представить в виде
I / М - К (х) + Фп (х)] \<^еп (f, 2я). A2)
Этим неравенство G) доказано, ибо сумма vn(x) +
+ Фп(х) есть тригонометрический полином порядка не
выше п.
Пусть теперь f(x) *= С0Bя), т.е. выполняется усло-
условие F). Тогда для вспомогательной функции A0), учи-
учитывая формулу (9), найдем
п п п
\F(x)dx= \f(x)dx- \vn
Таким образом, F(x) еСоBя). Следовательно, в левой
части (И) вместо En(F, 2я) можно поставить en(F, 2я),
ибо полином Фп(х) не содержит свободного члена.
А тогда из A2) получим неравенство (8). Этим лемма
9.5 доказана.
Теорема 9.8. Если периодическая функция f(x)
непрерывно дифференцируема р раз, то имеет место не-
неравенство
^U(i ) A3)
где © (б, /(р)) есть модуль непрерывности производной
р>(х).
Доказательство. По лемме 9.5 имеем неравен-
неравенство
En(f, 2я)<-^-еЛГ, 2л). A4)
Далее, так как
то, следовательно, f {x) s С0Bя), и поэтому имеем
en(f', 2я)<-^вЛГ 2я).

% 5] ПРЯМЫЕ ТЕОРЕМЫ О НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ 387
Аналогичным образом находим неравенства
ea(f", 2я)<-?¦*„(/'", 2я),
Наконец, в силу теоремы 9.7 для функций класса С0Bя)
находим оценку
en(fP\ 2я)<11соD-, Г).
Учитывая все неравенства, из A4) находим A3). Этим
теорема 9.8 доказана.
Отметим некоторые частные случаи этой теоремы.
Если последняя производная f(p){x) удовлетворяет
условию Липшица порядка а, т. е. /(p)(x)e Lip (а, М),
то вместо A3) получим неравенство
М. A5)
Если же существует ограниченная (р+1)-я произ-
производная, причем |/(р+1)х) | ^ Mi, то имеем
ЕЛ1 2я.)<-^?^М,. A6)
Наконец, если периодическая функция f(x) бесконеч-
бесконечно дифференцируема, то при любом фиксированном р
справедливо предельное соотношение
limnpEn(f, 2я) = 0. A7)
Из всех этих результатов следует, что чем лучше
дифференциальные свойства периодической функции
f{x), т. е. чем больше она имеет непрерывных производ-
производных, тем быстрее сходится к нулю последовательность
ее наилучших приближений {En(f> 2я)}.
В теории приближения функций теоремы, в которых
устанавливаются оценки сверху для наилучших прибли-
приближений в зависимости от дифференциальных и структур-
структурных свойств функций, называются прямыми теоре-
теоремами о порядке наилучшего приближения. Такого рода

388 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
теоремы впервые были установлены американским мате-
математиком Джексоном в 1912 году.
В том же году харьковский математик С. Н. Берн-
штейн доказал некоторые так называемые обратные тео-
теоремы о порядке наилучшего равномерного приближения.
В этих обратных теоремах из оценок наилучшего при-
приближения выводятся соответствующие дифференциаль-
дифференциальные и структурные свойства функций. Так, например,
одна из теорем С. Н. Бернштейна гласит, что если для
наилучших приближений периодической функции f(x)
выполняется неравенство A5) при условии 0<сс<1,
то эта функция непрерывно дифференцируема р раз и ее
производная f(p)(x) удовлетворяет условию Липшица по-
порядка а.
Несколько позже С. Н. Бернштейн доказал, что для
того чтобы периодическая функция была аналитической,
необходимо и достаточно выполнение неравенства
En(f, 2я)<оД
где О 0 и 0 < q < 1.
В заключение параграфа заметим, что постоянная
с= 11 в неравенстве A) не является наилучшей. Точное
неравенство, которое доказывается значительно слож-
сложнее, имеет вид
где постоянная с— 1 уже не может быть уменьшена [22}.
§ 6. Прямые теоремы о наилучших приближениях
алгебраическими многочленами
В настоящем параграфе мы получим оценки сверху
для наилучших приближений алгебраическими много-
многочленами. При этом мы воспользуемся результатами пре-
предыдущего параграфа.
Пусть функция f(x) непрерывна на конечном сегмен-
сегменте [а, Ь\. Введем новое переменное / равенствами
(b-a)t + (a + b) , 2х - (а + b) m

§ 6]
ПРЯМЫЕ ТЕОРЕМЫ В АЛГЕБРАИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
389
Когда х изменяется на сегменте [а, Ь], переменное t из-
изменяется на сегменте [—1, 1]. Следовательно, функция
B)
определена и непрерывна на единичном сегменте [—1, 1].
Поэтому функция
C)
непрерывна, четна и имеет период 2я.
Таким образом, каждой функции f(x), непрерывной
на сегменте [а, 6], ставится в соответствие вспомога-
вспомогательная функция г|)(9). Поскольку функция г)) (9) непре-
непрерывная и периодическая, то для наилучших приближе-
приближений ее тригонометрическими полиномами справедливы
оценки, установленные в предыдущем параграфе.
Лемма 9.6. Если функция f(x) непрерывна на сег-
сегменте [а, Ь], то имеет место равенство
En(f) = ?л(г|), 2я). D)
Доказательство. Пусть многочлен наилучшего
равномерного приближения функции f(x) на сегменте
[а, Ь] имеет вид
Тогда справедливо неравенство
п
(х) - ZQ ckxk
Заменяя здесь х по формуле A) и учитывая B), найдем
- 2^ ^"Т К6 -a)t + (a + b)f
<En(f).
Положим теперь t = cos 9. Учитывая определение C),
получим
п
i [F ~а)cosе +(а +b)]k
k-0
<En(f). E)

390
ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. IX
В силу формулы B.24) k-я степень суммы в квадрат-
квадратных скобках есть тригонометрический полином порядка
&, и поэтому вся сумма в левой части E) есть тригоно-
тригонометрический полином порядка не выше п. Следователь-
Следовательно, из E) имеем неравенство
Для доказательства обратного неравенства прежде
всего заметим, что функция я|)(9)— периодическая и чет-
четная. Поэтому, как отмечено в самом конце § 3, тригоно-
тригонометрический полином наилучшего приближения функции
-ф@) является четным. В силу формулы B.25) этот по-
полином можно представить в виде
afe cos
= t bmcosmd.
m=0
Так как я|)(9) = cp(cos9), то имеем неравенство
cp(cos9) —
m = 0
<?„(!>, 2л),
из которого, полагая cos 9 = t, находим
Ф @ - I bmtm < Еп (Ч>, 2л), / s [- 1, 1].
т==0
А теперь от / переходим к х по формулам A). В резуль-
результате получим
Поскольку вся сумма есть алгебраический многочлен по-
порядка не выше /г, то, следовательно, имеем En(f)^
^ Еп(^, 2я). Этим лемма 9.6 доказана.
Лемма 9.7. Если f(x)^C[a, b], то справедливо не-
неравенство
@F,
F)
Доказательство. Если б > 0 фиксировано и
|6г — Gi |^б, то в силу очевидного неравенства

§ 6] ПРЯМЫЕ ТЕОРЕМЫ В АЛГЕБРАИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 391
| cos 62 ~ cos 0i I ^ 192 — 0i | ^ 5 имеем
I * (Э2) - г|) (90 | = | Ф (cos 92) - Ф (cos 9i) I < со (б, Ф).
Следовательно, справедливо неравенство
(о(б, я|))<(оF, Ф). G)
Далее, если \t2 — ^i|^S, причем t\, h e [—1, 1], то со-
соответствующие точки
_ (Ъ-а)и + (а + Ь) _ (Ь - a) h + (а + Ь)
принадлежат сегменту [а, Ь] и удовлетворяют условию
\х2 — Х\\^~2 (Ь — а) 6. Следовательно, имеем неравен-
неравенство
f)
из которого находим
«(б, Ф)<сй(-^-б, /)• (8)
Сопоставляя G) и (8), получаем F). Этим лемма 9.7
доказана.
Теорема 9.9. Если функция f(x) непрерывна на
конечном сегменте [а, Ь], то справедливо неравенство
(9)
В самом деле, для вспомогательной периодической
функции ^(9), определенной равенством C), в силу E.1)
имеем Еп (ф, 2я)^11(о(—, г|н. А затем применяем со-
соотношения D) и F). Этим оценка (9) установлена, и
теорема 9.9 доказана.
В частности, если /(x)^Lip(a, M) на сегменте [a, b],
то вместо (9) получим
^(±±J A0)
Аналогично, если f(x) имеет ограниченную на [a, b]
производную, причем \f'(x) \ ^ Ми то справедлива

392 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
оценка
UMfn-a). (И)
Лемма 9.8. Если функция f(x) непрерывно диффе-
дифференцируема на сегменте [а, Ь\, то имеет место неравен-
неравенство
^(/)<11F2~а)^-.(Г). A2)
Доказательство. Пусть Qn-\{x) есть многочлен
наилучшего равномерного приближения производной
f'{x) на сегменте [а, Ь], т. е.
\r(x)-Qn_l(x)\<En_l(f')y *е[а, Ь]. A3)
Для вспомогательной функции
х
F(x) = f(x)-\Qn_1(t)dt ¦ A4)
О
из A3) находим \F'(x) \ ^ En-\(ff). Поэтому в силу A1)
имеем
Далее, если Rn(x) есть многочлен наилучшего равномер-
равномерного приближения функции F(x)y то в силу A4) полу-
получаем
A5)
-[SQn-i @ л
Поскольку сумма в квадратных скобках есть многочлен
степени не выше /г, то в левой части A5) можно поста-
поставить величину En(f). Этим неравенство A2) доказано.
Теорема 9.10. Если функция f(x) непрерывно диф-
дифференцируема р раз на сегменте [а, Ь], то при п> р
справедливо неравенство
En(f)< "V
где
cD = A1) Р \Р — о) • A';
и р\2р

§ 6] ПРЯМЫЕ ТЕОРЕМЫ В АЛГЕБРАИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 393
Доказательство. Неравенство A2) здесь мож-
можно применить р раз. В результате этого находим после-
последовательно
En-p + \KI )^ 2 (л — p + 1) Я«-Д/ ^
Перемножая эти неравенства почленно, получим
2рп {п — 1) ... (п — р + 1)
Далее, применяя неравенство (9), имеем
(/г — р)
Для оценки знаменателя снизу воспользуемся неравен-
1 ^ ^ 1 & 1 -^ р — &
ствами 1 >1 , п — k> — м, которые спра-
П р р г г
ведливы при условиях п>р и & = 1, 2, ..., р—1.
В результате получим
/ 14 / I 1\-^ (р — 1) (р — 2) ... 2 • 1 п-1
П{П- 1) ... (П-Р+ 1)>П^ р./ ПР ! =
Учитывая эту оценку, из A8) получим A6) при условии
A7). Таким образом, теорема 9.10 доказана.
В частности, если f(p)(x)^ Lip (а, М), то при п > р
вместо A6) найдем
Я„(/)<^~-. A9)
где
р!

394 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
В самом деле, оценивая модуль непрерывности через
условие Липшица, имеем
cpM(b-a)a
\гт~)'
ибо при /г > р выполняется условие /г^р+1, и, зна-
значит, справедливо неравенство 1 —-^-> 1 qpy, из ко-
которого и следует п — р ^ —^—j.
Далее, если функция f(x) дифференцируема (р+1)
раз, причем |f(p+1)(x) | ^ Mp+i при х^[а, Ь], то имеет
место оценка
Если же функция f(x) на сегменте [а, 6] имеет про-
производные всех порядков, то при любом фиксированном
р ;> 0 справедливо предельное соотношение
lim npEn (f) = 0.
А если функция f(x) аналитическая на сегменте
[а, 6], то, как показал С. Н. Бернштейн, существуют та-
такие постоянные с>0 и 0<?<1, что имеет место не-
неравенство
En(f)<cqa.
Как и в случае приближения периодических функций
тригонометрическими полиномами, установленные в на-
настоящем параграфе результаты — оценки наилучшего
равномерного приближения сверху в зависимости от
дифференциальных и структурных свойств функций —
называются прямыми теоремами о порядке наилучшего
приближения алгебраическими многочленами. Но, в от-
отличие от периодического случая, полученные здесь ре-
результаты нельзя обратить, т. е., например, из неравен-
неравенства A9) не следует, что производная f{p)(x) удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица порядка а < 1 на всем сегменте

§ 7) ПОТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 395
[а, Ь]. Для того чтобы можно было доказывать некото-
некоторые обратные теоремы, надо прямые теоремы формули-
формулировать в несколько ином виде.
§ 7. Поточечные оценки приближения функций
алгебраическими многочленами
В теории приближения функций наряду с оценками
наилучших равномерных приближений {En(f)} рассмат-
рассматриваются также поточечные оценки, в которых разность
между функцией и приближающим многочленом оцени-
оценивается по-разному, в зависимости от положения точки
на сегменте. Впервые такие оценки были получены в ра-
работах С. М. Никольского, А. Ф. Тимана и В. К. Дзядыка
в связи с задачей о характеристике дифференциальных
и структурных свойств функции на основе известной ско-
скорости ее приближения алгебраическими многочленами.
В настоящем параграфе приводятся две теоремы
А. Ф. Тимана [49], причем рассматривается стандарт-
стандартный случай, когда функция f(x) задана на сегменте
[—1, 1], ибо переход к общему сегменту [а, Ь] не пред-
представляет затруднений и, кроме того, излагаемые ниже
результаты применяются при изучении рядов Фурье —
Лежандра и рядов Фурье — Якоби именно в случае сег-
сегмента [—1, 1].
Начнем с некоторых вспомогательных предложений.
При натуральных пир рассмотрим функцию
ч2р+4
-2). A)
Если вместо показателя 2р + 4 поставить 2, то в силу
леммы 9.1—формула D.1) — получился бы четный три-
тригонометрический полином порядка (п— 1). Следователь-
Следовательно, в общем случае функция A) есть четный тригономет-
тригонометрический полином порядка N = (п — 1) (р -\- 2), т. е.
имеем формулу
cos kL

396 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
Лемма 9.9. Если ф(/) есть четная периодическая
функция, то интеграл
PN (х)= \ Ф (/) FN (/ - у) dt = ? bk (р, n) cos ky C)
есть четный тригонометрический полином порядка не
выше N относительно у и алгебраический многочлен по-
порядка не старше N относительно х = cos у.
В самом деле, используя равенство B) и разверты-
развертывая cosk(t — у) по формуле косинуса разности двух
углов, найдем, что интеграл C) есть четный тригоно-
тригонометрический полином порядка не старше N, ибо функ-
функция ф(/) четная и интегралы от произведений y(t)sinkt
все равны нулю. Далее, в силу формулы B.25) суперпо-
суперпозиция cos&arccos.*: есть алгебраический многочлен по-
порядка k. Этим лемма 9.9 доказана.
Лемма 9.10. При фиксированном га, удовлетворяю-
удовлетворяющем условиям 0 ^ га < 2р + 3, существуют такие поло-
положительные постоянные С\ и с2, зависящие от m и р, что
при всех N ^ р + 2 имеет место неравенство
< \\t\mFN(l)d(<-?rr. D)
Доказательство. Используя неравенство
2 jt
:—/ при 0^/^-^-, находим
^v^1'

§ 7] ПОТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 397
Аналогично, учитывая неравенство |sin/K|/|, имеем
я 2п
\\t\mFN @ dt > 2т+2 ^ хт
-Я О
С7
т+\ '
Этим лемма 9.10 доказана.
В частности, для чисел
я
Лп)= \FN(l)dt E)
— Я
имеем неравенство
С\ ^ л(р) ^ С2 ,п\
-jf<:AN < -ц-. F)
Теорема 9.11. Если /(я) е Lip (a, M) на сегменте
[—1, 1], то существует такая последовательность много-
членов {Рп{х\ /)}, что выполняется неравенство
\f(x)-Pn(x; /)|<^-(Vr^? +^-)\ ^[-1, 1].
G)
Доказательство. Непрерывная функция f(x) за-
задана на сегменте [—1, 1]. Поэтому функция f(cost)—¦
четная, периодическая и непрерывная по переменному t.
Следовательно, в силу леммы 9.9 при условиях х = cos у
и у = arccos х функция
есть алгебраический многочлен степени не выше N =
= 2п — 2. Этот интеграл был рассмотрен в § 4. Как и

398 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
в § 4, составляем разность
f(x)-PN(x\ /) =
л / . t — у \4
-2^B^+1) J[/(COS»)-/(COS/)]—^ Л.
\п sin ^/
—
п sin
Под знаком интеграла сделаем замену t — y = u, а за-
затем вместо и снова поставим t. Переходя к неравенству
и учитывая условие /(лс)е Lip (a, M), получим
1/М-РП*; /Ж
Я / . t \4
Л / Sin AZ ~ \
<с9п \ | cos^/ - cos (r/ + 0 |а f- dt. (9)
-я yAzsinyy
Для разности косинусов имеем неравенство
cosy — cos
sin [у + -^) sin Y
=2
(^sin г/ cos
sin у (^sin г/ cosy+cos г/ sin у) | < | /1 (| sin у 1+^'
последняя часть которого проверяется непосредственным
вычислением. Далее, учитывая очевидное неравенство
аа ^ а + 1, справедливое при условиях а > 0 и О <С
< а ^ 1, из A0) находим
j cos у—cos (у + /) 1а^( л) ~^~W) \N\t 1+2"(Л^|/|J+1 .
A1)
Следовательно, из (9), учитывая A1), получаем
\f(x)-PN(x; /)|<
sin /iyY
2 xdt.
. t
nsm—
Последний интеграл представляем в виде суммы трех
интегралов, к каждому из которых применяем неравен-

§7] ПОТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 399
ство D). В результате имеем
\f(x)-PN(x; /)|<с9
A2)
Так как в формуле (8) N = 2n — 2, то неравенство G)
установлено для четных значений п.
Чтобы установить аналогичное неравенство для не-
нечетных номеров, рассмотрим вспомогательную функцию
ф(х) = /(—х). Для этой функции можно повторить все
рассуждения, приведшие к неравенству A2). В резуль-
результате получим
*e=[-l, 1].
A3)
А теперь приближающий многочлен нечетной степени
N + 1 = 2п — 1 можно построить по формуле
V(—*; ф). A4)
Учитывая оценки A2) и A3), имеем
\f(x)-PN+i(x;f)\^±\l-x\\f(x)-PN (x; f) I +
A5)
Так как Л^ + 1 ^ 2N при iV ^ 1, то справедливо нера-
неравенство
(У1ТГ
Следовательно, из A5) находим
[-1, 1].

400 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
Этим теорема 9.11 полностью доказана.
Теорема 9.12. Если функция f(x) непрерывно диф-
дифференцируема р раз на сегменте [—1, 1], причем
f(p)(x)<^Lip(a, M), ю существует такая последователь-
последовательность многочленов {Рп{х\ /)}, что имеет место неравен-
неравенство
I / м - Рп (х\ f ж -^ (V г^ + ^
A7)
Доказательство. Будем доказывать теорему ин-
индукцией по р. Случай р = 0 уже рассмотрен в теореме
9.11. Допустим, что теорема справедлива для всех слу-
случаев, когда fim)(x)(= Lip (а, М), где пг = 0, 1, 2, ..,
..., р — 1. Сделаем переход от р — 1 к р.
Рассмотрим производные f[k)(x) при k ^ 1. В силу
индуктивного предположения для каждой из-этих про-
производных существует своя последовательность многочле-
многочленов {Рп{х\ f(k))}y Для которой выполняется неравенство
х) - Рп (х;
jcg[-1, 1], A8)
ибо в силу условия /(/?)(х)е Lin (а, /И) функция f(k)(x)
имеет р — k непрерывных производных, последняя из ко-
которых входит в класс Lip (a, M).
Далее, используя обозначение E), введем систему
вспомогательных алгебраических многочленов
Qk (x) = -^ ] (cos / — cos y)k FN (t — у) dt,
k = 0, 1, .... p-l, A9)
Ф^ (x\ f) = —7^- \ / (cos /) FN (t — y) dt, у = arccos x.
B0)
Интеграл B0) является многочленом по х в силу леммы
9.9, а к интегралу A9) также можно применить эту

§ 7] ПОТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 401
лемму, если предварительно степень разности косинусов
представить в виде суммы (&+ 1) слагаемых.
С помощью многочленов A9) и B0) образуем основ-
основной приближающий многочлен
PNq (х; /) = Фм (х\ f)-Z-lrPn (x; /<*>) Qh (x). B1)
Так как степень многочлена Qk(x) есть N-\-k—
= (п — 1) (р + 2) + k, то степень многочлена B1) равна
Л^о = Л^ + р — 1 4-^ = ^(^ + 3) — 3.
Учитывая очевидное равенство
\f(^osy)F(ttj)dt x cosy,
находим
f(x)-PN,(x; /) =
л
= ~Ш \\f (cos у)-f (cost)] FN(t~ У)
dt
V
1 n '- ши * (cos t — cos y)k FN (t — y) dt.
B2)
С другой стороны, из формулы Тейлора с остаточным
членом в форме Лагранжа имеем равенство
р
f(u) = f (х) + У (и ~Х) Г (х) + ^=-^ Rp (х; |), B3)
k = l
где величина Rp{x\ I) в силу условия fW (x) e Lip (a, M)
допускает оценку
R, (-V-; I) = ?0) (I) - !(р) (х) = о (| и - х \а). B4)

402
ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. IX
Далее, имея в виду, что и = cost и x = cosy, с по"
мощью B3) из B2) получаем
fix)-.
-*г [р- (*; f{k)) -f{k) W1х
X \ (cos t - cos yf FN(t- у) dt-
N
-^)d/. B5)
Интегралы в сумме оцениваются с помощью леммы 9.10:
cos/ — cos у \k FN (t — y)dt =
SKI
±\kFN(t-y)dt =
Я
\\s\ny cos у + cos # sin у
\ M sin у | + -9
1 г /^дг (т)

§7)
ПОТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
403
Следовательно, для суммы B5), учитывая неравенства
F) и A8), получаем оценку
X
^ C\M >
-cosy)kFN(t-y)dl
P + a
Остается оценить последний интеграл в равенстве
B5). Для этого интеграла, учитывая неравенство B4),
находим
—j-j \ (cos / — cos yy Rp (cos y, I) FN (t — y) dt
л
<; c\7n \ | cos / ¦— cos у |p+a FN (t — y) dt <
-я
я
< сф \ \(\ sin у | + Цр\ I' lT+a Fn @ *. B6)
— Я
Далее, аналогично неравенствам A0) и A1) имеем
[О sin,
Следовательно, правая часть B6) не превосходит вели-
величины
р п
$\пу\ , 1 \а
m=0
\P-rn 1 I I 2 \р + т
— л
j(n\t\J+l]FN(l)dt.

404 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
Интеграл оцениваем с помощью неравенства D). В ре-
результате этого получим мажоранту
V ( п А-
\пр+т+2
Таким образом, мы установили неравенство
| f (х) - PNo (x; f)\<-^
^[-1, 1]. B7)
Многочлен PNo(x\f), определенный формулой B1),
имеет степень No =п(р + 3) — 3. Поэтому в последней
формуле вместо п необходимо поставить yV0. Это можно
сделать, если увеличить постоянную. В самом деле, учи-
учитывая очевидное неравенство No ^ с2зпу аналогично
оценке A6) имеем
B8)
Следовательно, из неравенства B7) находим
хе[-1, 1]. B9)
Итак, неравенство A7) доказано для некоторой ред-
редкой последовательности номеров {Л^о}, где Л^о =
2

§ 7] ПОТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 405
Для построения недостающей подпоследовательности
многочленов можно поступить так же, как в самом кон-
конце доказательства теоремы 9.11.
Наряду с функцией f(x) рассмотрим еще функцию
ф(х) = /(—л'). Для этой вспомогательной функции мож-
можно повторить все рассуждения, в результате которых
получено неравенство B9). Следовательно, существует
такая последовательность многочленов {Луо(*;ф)}> что
аналогично B9) выполняется неравенство
Ф (х) - Ра. (*; Ф)
[— 1, 1]. C0)
С другой стороны, для любого q = 0, 1, 2, ... много-
многочлены A—x)q+l и A + x)q+l взаимно просты. А поэто-
поэтому, как доказывается в алгебре многочленов, суще-
существуют такие два многочлена Aq(x) и Bq(x) степени не
выше q> что имеет место тождество
1 s A - x)Q+{ Aq (х) + A + x)qU Bq (x). C1)
Далее, аналогично формуле A4) образуем прибли-
приближающий многочлен в виде
Pnx (х\ /) = A - x)Q+l Aq (x) Pn0 (х- f) +
+ (l + x)q+lBq(x)PNQ(-x; Ф). C2)
Номер N\ = No + 2q + 1 должен принимать значения
между Л^о= п (р + 3) —3 и номером (п + 1) (р + 3) —3=
= jV0 + (/? + 3). Следовательно, число q должно изме-
изменяться при условиях 0 <С 2q + 1 < р + 3.
Умножая тождество C1) на f(x) и вычитая из полу-
полученного тождества почленно равенство C2), находим
/ (х) - PNl (х; /) = A - x)q+l Aq (x) [f (x) - PNo (x; /)] +
4 A + x)qU Bq (х) [Ф (- л-) - PNo (- х) Ф)].

406 1%ЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
Переходим к неравенствам. Используя B9) и C0), ана-
аналогично B8) получаем
, p-fa
^hl, 1].
Причем постоянная здесь общая для всех q при усло-
условиях 0 < 2^ +1 < р + 3 и эта постоянная зависит от
многочленов Aq(x) и Bq(x).
Таким образом, неравенство A7) доказано для номе-
номеров м(р + 3)-3, дг(р + 3)-2, п(р + 3), п(р + 3) + 2,
, где
п = 1, 2, 3, .... А еще одну недостающую редкую под-
подпоследовательность многочленов можно образовать ана-
аналогично формуле A4).
Этим теорема 9.12 доказана полностью.
Многочлены {Pn(x',f)}, приближающие функцию f(x)
с условием A7), конечно, не являются многочленами
наилучшего равномерного приближения, но они обла-
обладают тем свойством, что в окрестности концов сегмента
[—1, 1] скорость приближения увеличивается, а в точ-
точках #=+1 точность приближения в два раза выше в
смысле порядка, чем на всем сегменте. Конечно, нера-
неравенство A7) можно рассматривать как усиление нера-
неравенства F.19), хотя в последнем есть конкретная посто-
постоянная, а в теореме 9.12 постоянная лишь существует.
В теории приближения функций доказывается, что
теорему 9.12 можно обратить, т. е. если существует по-
последовательность многочленов, удовлетворяющая усло-
условию A7), то функция f(x) непрерывно дифференцируе-
дифференцируема р раз на сегменте [—1, 1], причем p>(*)eLipa.
В этом заключается значение поточечных оценок при-
приближения функций алгебраическими многочленами.

КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Исторически первой системой ортогональных многочленов были,
по-видимому, многочлены Лежандра, рассмотренные в 1785 г. А. Ле-
жандром A752—1833).
В 1854 г. П. Л. Чебышёв определил и подробно изучил много-
многочлены {Тп(х)}.
Многочлены {Рп(х; а, |3)} были введены К. Якоби в 1859 г. в
связи с решением гипергеометрического уравнения.
Определение многочленов Чебышёва — Эрмита {Нп(х)} встре-
встречается еще у П. Лапласа A810). А подробное исследование этих
многочленов опубликовал П. Л. Чебышёв в 1859 г. Затем эти много-
многочлены изучал Ш. Эрмит A864).
Определение многочленов Чебышёва — Лагерра при а = 0 встре-
встречается в трудах Ж. Лагранжа A736—1813) и Н. Абеля A802—
1829), изданных посмертно соответственно в 1867 г. и в 1881 г. Не-
Независимо от этого многочлены {Ln(x)} были вновь определены и по-
подробно исследованы в работе П. Л. Чебышёва, опубликованной в
1859 г. Затем эти многочлены изучал петербургский математик
К. А. Поссе A873). В общем случае при ос>—1 многочлены
{Ln(x\ а)} были впервые определены и подробно рассмотрены дру-
другим петербургским математиком Ю. В. Сохоцким A842—1929) в
работе, опубликованной в 1873 г. И лишь в 1876 г. вышла первая
работа Э. Лагерра, в которой многочлены Чебышёва — Лагерра рас-
рассматривались при условии а = 0. Далее многочлены {Ln(x\ а)} при
условии а > — 1 в 1880 г. изучал Н. Я. Сонин A849—1915).
Из сказанного по поводу многочленов {Ln(x\ а)} следует, что эти
многочлены более естественно называть многочленами Чебышёва —
Сохоцкого, но в силу традиции сохраняется наименование «много-
«многочлены Чебышёва— Лагерра». К сожалению, в некоторых книгах,
особенно зарубежных, эти многочлены при а = 0 называются мно-
многочленами Лагерра, а в общем случае — обобщенными многочленами
Лагерра.
Основы общей теории ортогональных многочленов в случае про-
произвольного веса и произвольного интервала были заложены в тру-
трудах П. Л. Чебышёва, которому принадлежат также и наиболее су-
существенные первоначальные результаты во всей теории приближения
функций.
Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышёв ро-
родился в 1821 г. в Калужской губернии. В 1841 г окончил Москов-
Московский университет. С 1847 г. по 1882 г. работал в Петербургском
университете. За выдающиеся научные труды и изобретения

408 КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
П. Л. Чебышёв в 1853 г. был избран в Петербургскую Академию
наук, а затем — в Парижскую A860), Берлинскую A871), Болон-
скую A873), Лондонскую A877), Шведскую A893).
П. Л. Чебышёв ввел многочлены наилучшего равномерного при-
приближения, изучил их свойства и тем самым создал новое направле-
направление в математике — теорию приближения функций. Он глубоко ис-
исследовал также свойства общих и классических ортогональных
многочленов.
В теории вероятностей П. Л. Чебышёв своими трудами система-
систематизировал основные научные факты, развил новые методы исследо-
исследования, установил закон больших чисел и многие другие результаты.
В теории чисел П. Л. Чебышёв доказал важные теоремы о распреде-
распределении простых чисел. В математическом анализе П. Л. Чебышёзу
принадлежит теорема об условиях интегрируемости в элементарных
функциях дифференциального бинома, методы приближенного вычис-
вычисления интегралов, различные неравенства.
П. Л. Чебышёв — создатель науки о механизмах. Он впервые
поставил и разрешил основные задачи по синтезу механизмов и
сконструировал ряд сложных машин и приборов (паровая машина
с параллелограммом Чебышёва, арифмометр, центробежный регуля-
регулятор и др.). Много лет П. Л. Чебышёв работал в артиллерийском
ведомстве. Он исследовал вопросы внешней и внутренней баллисти-
баллистики, занимался расчетом и конструированием орудий и снарядов, за-
заложил основы применения теории вероятностей в артиллерийской
стрельбе.
Большую работу П. Л. Чебышёв проводил по развитию мате-
математического образования в России (разрабатывал школьные уставы,
планы и программы, рецензировал математические учебники, прини-
принимал участие в организации Московского Математического общества).
Умер П. Л. Чебышёв в 1894 г.
Ввиду общепризнанных заслуг П. Л. Чебышёва в развитии об-
общей теории ортогональных многочленов в иностранной литературе
и особенно во французских книгах и статьях продолжительное
время общие ортогональные многочлены {Рп(х)} в случае произволь-
произвольного веса h(x) и произвольного интервала (а, Ь) назывались много-
многочленами Чебышёва, и это наименование до недавнего времени фигу-
фигурировало в названиях многих работ по общей теории ортогональных
многочленов. Однако в отечественной литературе это название не
удержалось и теперь с именем П. Л. Чебышёва связываются только
четыре конкретные системы классических ортогональных много-
многочленов.
Следует заметить, что первоначально ортогональные многочлены
во многих работах и особенно в работах Т. Стилтьеса A856—1894)
изучались в процессе исследования некоторых типов непрерывных
дробей, причем исходным определением ортогональных многочленов
было минимальное свойство, которое сформулировано в теореме 1.11
как второй критерий ортогональности, а ортогональность доказыва-
доказывалась как свойство.
Весьма существенные результаты в теории ортогональных мно-
многочленов принадлежат В. А. Стеклову A864—1926).
В. А. Стеклов ввел понятие замкнутости, доказал замкнутость
систем многочленов Чебышёва — Эрмита и Чебышёва — Лагерра,

КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 409
рассмотрел примеры незамкнутых систем ортогональных многочле-
многочленов и сформулировал общие условия незамкнутости.
В. А. Стеклову принадлежит весьма эффективный метод иссле-
исследования асимптотических свойств классических ортогональных мно-
многочленов. В упрощенном виде этот метод применялся Лиувиллем
для изучения асимптотических свойств решений некоторых линейных
дифференциальных уравнений второго порядка. В. А. Стеклов усо-
усовершенствовал этот метод и применил его к классическим ортого-
ортогональным многочленам. Метод В. А. Стеклова подробно изложен в
главах IV—VII. Разумеется, этот метод можно изложить в общем
виде применительно ко всей системе классических ортогональных
многочленов. Но наибольший эффект достигается в том случае,
когда этот метод применяется к конкретным частным системам
классических ортогональных многочленов (многочлены Лежандра,
Чебышёва — Эрмита, Чебышёва — Лагерра и общие многочлены
Якоби), ибо в каждом из этих случаев условия применения метода
различны и поэтому получаются различные асимптотические фор-
формулы с различными оценками остаточных членов.
В 1921 г. В. А. Стеклов сформулировал задачу о необходимых
и достаточных условиях на весовую функцию, при которых система
ортонормированных многочленов ограничена в отдельной точке, на
некотором множестве либо на всем сегменте ортогональности. При
этом он высказал предположение, что таким условием является по-
положительность весовой функции в соответствующей точке, либо на
соответствующем множестве, либо на всем сегменте ортогональности.
Эта задача В. А. Стеклова, а также ее различные обобщения и
модификации рассматривались многими авторами. Подробный обзор
полученных по этой теме результатов содержится в работе [48].
Большое число работ посвящено исследованию классических ор-
ортогональных многочленов как единой системы. В гл. II установлены
следующие общие свойства классических ортогональных многочле-
многочленов:
1. Весовая функция удовлетворяет дифференциальному уравне-
уравнению Пирсона и некоторому граничному условию.
2. Ортогональный многочлен является решением некоторого ли-
линейного дифференциального уравнения второго порядка.
3. Ортогональные многочлены представляются через весовую
функцию по формуле Родрига.
4. Имеется простая конкретная формула представления произ-
производящей функции через весовую функцию.
5. Производные ортогональных многочленов также ортогональны
на том же интервале.
Этими свойствами обладают только классические ортогональные
многочлены, т.е. многочлены Якоби, многочлены Чебышёва — Эрми-
Эрмита, многочлены Чебышёва — Лагерра, а также многочлены, получаю-
получающиеся из этих трех систем линейными преобразованиями независи-
независимого переменного. В некоторых работах излагаются выводы всех
этих свойств из какого-либо одного из них. Все эги вопросы рассма-
рассматривали Н. Я. Сонин A887), В. Хан A935), М. Уэбстер A937),
X. Кролл A939), С. Бохнер A939), Ф. Трикоми A948) и многие
другие, причем некоторые результаты передоказывались и публико-
публиковались повторно математиками разных стран.

410 КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Для исследования асимптотических свойств общих ортогональ-
ортогональных многочленов применяются весьма оригинальные методы Г. Сегё
[43] и С. Н. Бернштейна [10]. Эти методы подробно изложены
в монографии Г. Сегё [43], впервые изданной в 1939 г. Русский
перевод этой книги, вышедший в 1962 г., содержит дополнения
Я. Л. Геронимуса, в которых дается подробный обзор результатов,
полученных примерно за 20 лет. Монография Я. Л. Геронимуса [12]
посвящена развитию методов Г. Сегё и С. Н. Бернштейна. В этих
двух книгах имеются подробные списки литературы, а все работы
по теории ортогональных многочленов, опубликованные до 1938 г.,
приводятся в библиографическом справочнике [56], содержащем
около 2000 наименований.
Более подробные исторические сведения по теории ортогональ-
ортогональных многочленов излагаются в монографиях [8], [13], [43].

ЛИТЕРАТУРА
1. А й з е н ш т а т В. С, Крылов В. И., Метельский А. С.,
Таблицы многочленов и функций Лягерра, Изд-во АН Белорус-
Белорусской ССР, Минск, 1963.
2. Алексии Г., Проблемы сходимости ортогональных рядов, ИЛ,
1963.
3. А м е р б а е в В. М, Операционное исчисление и обобщенные
ряды Лагерра, Изд-во АН Казахской ССР, Алма-Ата, 1974.
4. А х и е з е р Н. И., Лекции по теории аппроксимации, «Наука»,
1965.
5. Б а д к о в В. М., Сходимость в среднем и почти всюду рядов
Фурье по многочленам, ортогональным на отрезке, Матем. сб.,
1974, 95, № 2, 229—262.
6. Б а д к о в В. М., Аппроксимативные свойства рядов Фурье по
ортогональным полиномам, Успехи математических наук, 1978,
т. XXXIII, вып. 4 B02), 51 — 106.
7. Бари Н. К., Тригонометрические ряды, Физматгиз, 1961.
8. Б е й т м е н Г., Э р д е й и А., Высшие трансцендентные функции,
II (функции Бесселя, функции параболического цилиндра, орто-
ортогональные многочлены), «Наука». 1973
9. Белоусов С. А., Таблицы нормированных присоединенных по-
полиномов Лежандра, Изд-во АН СССР, 1956.
10. Бернштейн С. Н., Собрание сочинений, I, II, Изд-во АН
СССР, 1952, 1954.
11. Виленкин Н Я., Специальные функции и теория представле-
представлений групп, «Наука», 1965.
12. Гер они мус Я. «П., Многочлены, ортогональные на окружно-
окружности и на отрезке, Физматгиз, 1958.
13. Гер он и мус Я. Л., Теория ортогональных многочленов (обзор
достижений отечественной математики), Гостехиздат, 1950.
14. Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функ-
функций, ИЛ, 1952.
15. Градштейн И. С, Рыжик И. М., Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений, Физматгиз, 1963.
16. Даугавет И. К., Введение в теорию приближения функций,
Изд-во Ленингр. ун-та, Ленинград, 1977.
17. Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, ИЛ,
1948.
18. Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения
функций полиномами, «Наука», 1977.
19. Кармазина Л. Н„ Таблицы полиномов, Якоби, Изд-во АН
СССР, 1954.

412 ЛИТЕРАТУРА
20. К а ч м а ж С, Ш т е й н г а у з Г., Теория ортогональных рядов,
Физматгиз, 1958.
21. Ко но плев В. П., Специальные функции, Изд-во Саратовского
ун-та, Саратов, 1972.
22. Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближе-
приближения, «Наука», 1976.
23. К о р о в к и н П. П., Линейные операторы и теория приближений,
Физматгиз, 1959.
24. Кронрод А. С, Узлы и веса квадратурных формул (шестна-
(шестнадцатизначные таблицы), «Наука», 1964.
25. Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, «Наука»,
1967.
26. К р ы л о в В. И., Кругл и ков а Л. Г., Справочная книга по
численному гармоническому анализу, «Наука и техника», Минск,
1968.
27. Крылов В. И., Скобля Н. С, Методы приближенного пре-
преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа
(справочная книга), «Наука», 1974.
28. Крылов В. И., Скобля Н. С, Справочная книга по числен-
численному обращению преобразования Лапласа, «Наука и техника»,
Минск, 1968.
29. Крылов В. И., Шульгина Л. Т., Справочная книга по чис-
численному интегрированию, «Наука», 1966.
30. Кузнецов Д. С, Специальные функции, «Высшая школа»,
1965.
31. Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики,
I, Гостехиздат, 1951.
32. Лаврентьев М. А., Ш а б а т Б. В., Методы теории функций
комплексного переменного, «Наука», 1974.
33. Л а н ц о ш К., Практические методы прикладного анализа, Физ-
Физматгиз, 1961.
34. Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, Физ-
Физматгиз, 1963.
35. Люстерник Л. А., Червоненкис О. А., Янполь-
с к и й А. Р., Математический анализ (вычисление элементарных
функций), Физматгиз, 1963.
36. Мотор н ы й В. П., О сходимости в среднем рядов Фурье по
многочленам Лежандра, Изв. АН СССР, Серия матем., 1973, 37,
№ 1, 135-147.
37. Натансон И. П., Конструктивная теория функций, Гостехиз-
Гостехиздат, 1949.
38. Немчинов В. С, Полиномы Чебышёва и математическая ста-
статистика, Изд. Московской сельскохозяйственной академии
им. К. А. Тимирязева, 1946
39. Никифоров А. Ф., У в а р о в В. Б., Основы теории специаль-
специальных функций, «Наука», 1974.
40. Никольский С. М., Квадратурные формулы, «Наука», 1974.
41. Прудников В. Е., Пафнутий Львович Чебышёв, 1821—1894,
Л., «Наука», 1976.
42. Ремез Е. Я., Основы численных методов чебышёвского прибли-
приближения, «Наукова думка», Киев, 1969.
43. С е г ё Г., Ортогональные многочлены, Физматгиз, 1962.

ЛИТЕРАТУРА 413
44. Солодовников В. В., Дмитриев А. Н., Е г у п о в Н. Д.,
Ортогональный метод анализа и синтеза линейных систем авто-
автоматического управления на основе понятия моментов. Сб. «Авто-
«Автоматическое управление и вычислительная техника», Вып. 8 (Ча-
(Частотные методы), «Машиностроение», 1968.
45. С о н и н Ы. Я., Исследования о цилиндрических функциях и спе-
специальных полиномах, Гостехиздат, 1954.
46. С т е к л о в В. А., Об асимптотическом выражении некоторых
функций, определяемых линейным дифференциальным уравне-
уравнением второго порядка и их применение к задаче разложения
произвольной функции в ряд по этим функциям, Изд-во Харь-
Харьковского ун-та, Харьков, 1956.
47. С у е т и н П. К., О представлении непрерывных и дифференци-
дифференцируемых функций рядами Фурье по многочленам Лежандра, До-
Доклады АН СССР, 1964, 158, № 6, 1275—1277.
48. Суетин П. К-, Проблема В. А. Стеклова в теории ортогональ-
ортогональных многочленов, В сб. «Математический анализ, том 15» (Итоги
науки и техники, ВИНИТИ АН СССР), М.,1977, 5—82.
49. Т и м а н А. Ф., Теория приближения функций действительного
переменного, Физматгиз, 1960.
30. Титчмарш Е., Теория функций, Гостехиздат, 1951.
51. У и т т е к е р Э. Т., В а тс он Дж. Н., Курс современного ана-
анализа, I, II, Физматгиз, 1962, 1963.
52. Ф и х т е н г о л ь ц Г. М., Курс дифференциального и интеграль-
интегрального исчисления, I, II, III, «Наука», 1969.
53. X е р р е р о Д., Уиллонер Г., Синтез фильтров, «Советское
радио», 1971.
54. Чебышёв П. Л., Полное собрание сочинений, II, Изд-во АН
СССР, 1947.
55. Я н к е Е., Э м д е Ф., Лёш Ф., Специальные функции, «Наука»,
1968.
56. S h о h a t J. A., H i 11 e E., Walsh J. L, A bibliography on
orthogonal polynomials, Bull, of the Nat. Res. Conn., N 103, Wa-
Washington, 1940/

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебраическая степень точности
квадратурной формулы 326
Альтернанс чебышёвский 374
Асимптотическая формула Лап-
Лапласа 134
— — Стилтьеса 145
Вес дифференциальный 16
— интегральный 16
— тригонометрический 310
Весовая сходимость рядов Фу-
Фурье— Якоби 303
— функция 11
Весовые оценки многочленов
Чебышёва — Лагерра 250
— — — Чебышёва — Эрмита
193
Якоби 297
Интервал ортогональности 11
Квадратуры интерполяционного
типа 324
— интерполяционно-ортогональ-
интерполяционно-ортогонального типа 323
— типа Гаусса 323
Классические ортогональные
многочлены 49
Критерий ортогональности вто-
второй 39
первый 17
Лагранжа многочлены интерпо-
интерполяционные 312
фундаментальные 312
Лежандра многочлены 19, 116
обобщенные 311
— — ортонормированные 118
с единичным старшим ко-
коэффициентом 116
стандартизованные 116
Метод Лиувилля — Стеклова 134,
183, 239
Многочлены наилучшего равно-
равномерного приближения 32, 365
— ультрасферические 19
Модуль непрерывности 33, 358
Наилучшее приближение функ-
функции 365
— равномерное приближение 32
— тригонометрическое прибли-
приближение 368
Наименьшее уклонение 365
Неравенство Лебега 34
Нули многочленов Чебышёва
первого рода 76
Обратные теоремы о порядке
наилучшего приближения 388
Ортогональность производных
классических многочленов 69
Ортогональные многочлены 11
с единичным старшим ко-
коэффициентом 21
Ортонормированные многочлены
12
Особые точки весовой функции
12
Постоянная Лебега 34
— — интерполяционная 317
Принцип локализации условий
сходимости 30
Производящая функция 64
для многочленов Чебышё-
Чебышёва — Лагерра 67, 222
Чебышёва — Эрмита
67
Якоби 68
Прямые теоремы о порядке наи-
наилучшего приближения 387

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
415
Регулярные точки весовой функ-
функции 12
Рекуррентная формула 20
Родрига формула для многочле-
многочленов Лежандра 116
— Чебышёва — Лагерра
219
— — — — Чебышёва — Эрмита
168
Якоби 268
обобщенная 54
Сегмент ортогональности 12
Сингулярный интеграл Джексо-
Джексона 380
Стандартизация классических ор-
ортогональных многочленов 61
Стандартизованные ортогональ-
ортогональные многочлены 43
Степенные моменты весовой
функции 11
Теорема Бернштейна 318
— Корауса 307
— о равносходимости 154
-— Сонина 130
— Стилтьеса — Бернштейна 131
— Чебышёва 371
Точка максимального уклонения
370
второго рода 370
— — — первого рода 370
Тригонометрические полиномы
наилучшего приближения 369
— — равномерного приближения
368
Узлы интерполяции 313
Уравнение Пирсона 44
Условие Дини 93, 362
— Дини — Липшица 362
— Липшица 33, 360
Факториальные многочлены 353
Фильтр 343
— Чебышёва 346
Формула Дирихле — Мелера 130
— дифференцирования много-
многочленов Чебышёва — Лагерра
229
в — Чебышёва — Эрмита 178
• Якоби 282
— Кристоффеля — Дарбу 22
Формула Лапласа для многочле-
многочленов Лежандра 127
Функция Бесселя первого рода
104
— воздействия 338
— Лебега 31, 34
— — интерполяционная 317
Чебышёва многочлены второго
рода 19, 104
— — ортонормированные
105
— — для равноотстоящих точек
357
первого рода 19, 75
— — — — ортонормированные
76
с единичным стар-
старшим коэффициентом 76
— — — — смещенные 80
— — — — стандартизованные
76
Чебышёва — Лагерра многочле-
многочлены 19, 219
— — — обобщенные 49
— — — ортонормированные 221
— — — с единичным старшим
коэффициентом 220
— — — стандартизованные 61,
219
Чебышёва — Эрмита многочлены
19, 168
• обобщенные 45, 49
ортонормированные 170
— — — с единичным старшим
коэффициентом 170
¦ стандартизованные 61,
168
Чебышёвская норма 364
Чебышёвское уклонение 32, 364
Экстремальное свойство много-
многочленов Чебышёва второго рода
107
ортогональных многочле-
многочленов 40
Якоби многочлены 19, 268
обобщенные 49, 311
ортонормированные 273
— — с единичным старшим ко-
коэффициентом 271
стандартизованные 61, 268