Таблицы неопределенных интегралов: Справочник - Брычков Ю.А., Маричев О.И., Прудников А.П.

Автор: Брычков Ю.А. Маричев О.И. Прудников А.П.
Теги: вычислительная математика численный анализ математика интегралы издательство наука элементарные функции главная редакция физико математической литературы
Год: 1986
Похожие
Таблицы неопределенных интегралов
Задачи и упражнения по математическому анализу Ч.1
Задачи по математическому анализу, Ч.1
Основные математические формулы. Справочник
Текст
                    Ю.А. БРЫЧКОВ
О. И. МАРИЧЕВ
А. П. ПРУДНИКОВ
ТАБЛИЦЫ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
Ю. А. БРЫЧКОВ
О. И. МАРИЧЕВ
А. П. ПРУДНИКОВ
ТАБЛИЦЫ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
МОСКВА <НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1986
ВБК 22.194
Б87
УДК 519.6 (083)
Брычков Ю. А., Маричев О. И., Прудников А. П. Таблицы неопре-
деленных интегралов: Справочник. М.1 Наука. Главная редакция физико-мате-
матической литературы, 1986. — 192 с.
Справочник содержит таблицы неопределенных интегралов от элементарных
функций.
Предназначен для студентов высших учебных заведений, инженеров, научных
работников.
Рецензент
доктор физико-математических наук Я. К. Лифанов
Юрий Александрович Брычков,
Олег Игоревич Маричев,
Анатолий Платонович Прудников
ТАБЛИЦЫ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Редактор В. А. Смирнов
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор С. Я. Ш к л я р
Корректоры: Г. В. Подвольская, Н. Д. Дорохова
ИБ № 12825
Сдано в набор 19.03.85. Подписано к печати 11.12.85. Формат 60X907ie. Бумага тип. №2»
Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 12._Усл. кр.-отт. 12. Уч.-изд. л. 18.54.
Тираж 82 000 экз. Заказ № 547. Цена 1 р.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука>
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знаме*
ни Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграф-
прома при Государственном Комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
„ 1702070000—014 .й
Б-----053 (02)-86--48'86
© Издательство «Наука»<
Главная редакция
\ физико-математической
литературы, 1983
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие. ••••••••••• ........................................................12
1. Введение  .........................................................13
1.1. Основные интегралы  ........................................  13
1.2. Общие формулы....••••••••..........................    .	• .	13
2. Алгебраические функции ......................................................  14
2.1.	Интегралы вида § 2.2.	Интегралы вида ’ 2.3.	Интегралы вида ’	х? (axr+b)q dx	.		 Г XmdX	14 15
	} хп+ап	 Г xmdx	15
	J xn-an				
2.4. Интегралы вида '	’ xP dx 1 (x+afl	16
2.5. Интегралы вида '	*	dx	17
	I xP (x+a)e I				18
2.6. Интегралы вида ’		
	| x \x+b) 			
2.7. Интегралы вида 1	Г	xp dx	20
	) {x+a)q U+5)r (ax2+bx+c)n dx	21
2.8.	Интегралы вида § 2.9.	Интегралы вида 2.10.	Интегралы вида		
	Г	dx	22
	J (ax2+bx+c)n Г xmdx	22
	J (ax2+bx+c)n	
2.11. Интегралы вида	C	dx		>	23
	J xm (ax2+bx+c)n J	(ax2+bx+c)n «•••••••••••••»••«	.	24
2.12. Интегралы вида 2.13. Интегралы вида		
	C <x+d)mdx	,	25
	J (ax2+bx+c)n	
2.14. Интегралы вида	f	dx		,	25
	J U+d)w (a*2+6«+c)n	
Р
3
2.15. Интегралы	вида 1	J {МУ1 
2.16. Интегралы	вида	Г	dx
		J xm(x2+a2)'*
2.17. Интегралы	вида	Г xmdx
		J ~{х2-а2)п •
2.18. Интегралы	вида ’	Г	dx
		J хт{х2-а2)п
2.19. Интегралы	вида ’	Г x*mdx
		\ ** 3 +1 а * 3 а
2.20. Интегралы	вида	
		J (хЧа4)"
2.21. Интегралы	вида 1	Г	dx
		| хт (?+a4)n
2.22. Интегралы вида 1	• xmdx
	i {х*-а")п '
2.23. Интегралы вида *	к	dx
	I хт{х4-аТ
2.24.	Интегралы вида
2.25.	Интегралы вида
2.26.	Интегралы ви^а
2.27.	Интегралы вида
2.28.	Интегралы вида
2.29.	Интегралы вида
2.30.	Интегралы вида
2.31.	Интегралы вида
2.32.	Интегралы вида
2.33.	Интегралы вида
2.34.	Интегралы вида
2.35.	Интегралы вида
2.36.	Интегралы вида
2.37.	Интегралы вида
2.38.	Интегралы вида
Г х±т dx
J (ax4+bx2+c)n
J x±tn (ах2^+Ьх*+с)±П dx.........................
^Хт+Ц2(ах± b}±ndx	.....................
С <а* ±
J Хт+И2
f xm+</2 л
J (хг+а2)п ......................................
Г ^+>/2	.
J (х2-а2)п	..............
J хт (ах+8)п+1/2 dx..........
f (ax+5)tt+1/2
J -----..... ................
f xm dx
J (ax+b)rt+^2................
f______dx______
J xm (ax+fc)n+1/2........*	* *
$ (ax+fr)* m+V2n+1/2 dx
$ xP(ax+b)*Vndx ........
^(x-a)*m(ax+b)Plndx ......
C xPln dx
J (хЧаТ......................
26
28
23
30
31
32
33
34
34
35
36
37
37
33
33
39
39
40
41
42
43
44
44
45
2.39. Интегралы вида \ -7-3—r-™-  .....................................  40
J (x-a2)m
2.40. Интегралы вида J xm (x2-j-a2)4+^ dx..............................  4$
4
2.4! Интегралы айда
2.42; Интегралы вида
2.43. Интегралы вида
(ж»+в’)п+|/2
С xmdx
J (*2+а2)п+1/2
(*2+а2)п+1/2
47
48
50
2.44. Интегралы	вида	Г 	dx					50
		3 (*+М'*(*2+а»)1/2					
2.45. Интегралы	вида	Г	dx						51
		3 (Л=62Г(х2+а2)И+1/2 f xm(x2-a2)"+l/2dje ....					51
2.46. Интегралы 2.47. Интегралы	вида < вида						
		С (x2-a2)n+1/2					52
		\	хт	ал						
2.48. Интегралы	вида	Г xmdx							54
		3 (x2-a2)"+l/2					
2.49. Интегралы	вида	С	dx					55
		J xm(x2-a2)n+t/2					
2.50. Интегралы	вида	Г	dx					56
		J (x+b)n (x2—a2)ll%  - 					
2.51. Интегралы	вида	Г	dx					56
		J (x2±b2)(x2-a2)42" ’ '					
2.52. Интегралы	вида '	\xm(a2-x2^+42dx ....					56
2.53. Интегралы 2.54. Интегралы	вида вида	p / 2	2\Л+1/2 C <a -v	_dx						57
		J	xm f	*"***					58
		J (a2-x2)"+1/2					
2.55. Интегралы	вида	Г 	dx						60
		3 xm (a2-x2)n+l/2					
2.56. Интегралы	вида	f	dx					61
		J (x+b>n(a2-x2)W					•	
2.57. Интегралы	вида	f 	dx						61
		J (b2±x2)m(a2-x2)n+l12					
2.58. Интегралы	вида	xm (ax2+bx+c)n+ll2 dx . .					62
2.59. Интегралы 2.60. Интегралы	вида вида	f (ax2+frx+c)n+1/2 .					63
		J	xw	’ f	dx						63
		J (ax2+bx+c)n+l12						
2.61. Интегралы	вида	f					64
		J (a»4bx+c)n+l12					
2.62. Интегралы	вида	C	dx					65
		J xm (ax2+bx+c)n+l12					
З.иа МптАРПЯПМ НЙПЯ		{ (a’C2+bx+c)±n+l12					66
		J	(x+p)w					
Ш. Интегралы айда J	......................
б
3.	Показательная функция . ♦	» г	*	68
3.1. Интегралы	вида '	$f(eaX)^
3.2. Интегралы	вида	
3.3. Интегралы	вида	
3.4. Интегралы	вида '	J xPe-^’dx
3.5. Интегралы	вида	С „-ах2 X^-p-dx 1
68
68
60
69
70
4.	Гиперболические функции..............................................  •	71
4.1.	Интегралы вида \ shp х dx...............	. . . ................«
4.2.	Интегралы вида \ —=—..........................
J shp х
4.3.	Интегралы вида J chp х dx......................................  в
4.4.	Интегралы вида \ —............................................  •	. •
J clr х
4.5.	Интегралы вида J sh₽ х ch^ х dx...............................  •	. • •
_ „	f sh^x .
4.6.	Интегралы вида \ —-л— dx...........................................л
J ch4 х
. _ „	Г ch^ x , „
4.7.	Интегралы вида \----„— dx......................................
J sir х
4.8.	Интегралы вида \ —=------—.............................................
J str х ch* х
4.9.	Интегралы вица \ th^ х dx......................................    •
4.10. Интегралы вида
4.11. Интегралы вида
J cth^ X dx в в .. в . в • в в в .... в.....................
__________(Л + В ch х + С sh х) dx________
\а 4- b ch х + с sh х)Л (ai + bi ch х + Ci sh x)p
4.12.	Интегралы вида J sh (ax + b) sh (ex + d£dx, J ch (ax + b) ch (ex + d) dx,
J sh (ax + b) ch (ex 4- d) dx	в  ......  •
4.13.	Интегралы вида J sh? xshaxdx ...............
4.14.	Интегралы вида J sh^jx ch ax dx..  •	• • ..........  •	• <
4.15.	Интегралы вида J ch^xshaxdx ..........	. . . . ♦
4.16.	Интегралы вида J chpxchaxdx .................
4.17.	Интегралы вида J Vthx dxt Veth х dx....................  •
4.18.	Интегралы вида x^sh^ xdx . ...... * .........................
Sxp
—з— dx • в....................................
sh* х
71
71
72
72
73
74
76
78
79
80
80
84
84
85
86
87
87
87
89
б
вида хр ch*? х dx
С хр
вида \ —g— dx <
J ch4 х
f dx
вида \ —я—— <
4.20.	Интегралы
4.21.	Интегралы
4.22.	Интегралы
4.23.	Интегралы
J хк ch4 х
4.24.	Интегралы вида ^xr shp х ch*? xdx	...................
4.25.	Интегралы вида хр thn xdx. .•••••••••••......................
4.26.	Интегралы
4.27.	Интегралы
4.28.	Интегралы
90
91
92
92
93
вида xr сш х ах .........
f xpchm xdx С хр shn xdx
вида \------у» \ ------д-
J (а + b sh хг J (а + b ch хг
вида fybx + c)±n shaxdx.
92
93
4.29.	Интегралы вида jj (bx + с)±п-ch axdx ...........................
4.30.	Интегралы вида J хре^х sh ах dx ....... .....................	. . •
4.31.	Интегралы вида ( xpebx ch ах dx .........................    .	• •
94
94
94
95
5.	Тригонометрические функции •••••..........................................  95
5.1.	Введение ............  .	..............................
5.2.	Интегралы вида sin^ xdx .................................................
S- dx
-----о—	................................................
sin x
5.4.	Интегралы вида J cos₽ xdx ..••••• • • • • ........................
_. „	С dx
5.5.	Интегралы вида \--«—  ......................................
J cosK х
5.6.	Интегралы вида sinp xcos*?x dx. •••••••.....................  •	• •
Ssln^x .
-----5— dx ...........................
COS* X
5.8.	Интегралы вида \ cos dx •
J siw x
- Л	l
5,9.	Интегралы вида \---------
J sinK x cos* x
5.10.	Интегралы вида J tgp xdx ..........................................
B <n „	f	A + В cos x + C sin x
5.12.	Интегралы вида \--------------------77------------------
J (a + b cos x + c sin x) (at 4- bi cos x + Ci sin x)‘
5.13.	Интегралы вида \	---w* •••••••
J (a + b sin’ X)
96
96
97
98
99
99
191
103
105
106
107
107
110
5.14.	Интегралы вида \ ........................................................   411
J (a + b cos2 x)
r 1 r m____	C A cos2 x+ В sin x cos x + C sin2x	t1
5.15,	Интегралы вида \ --------г,-г—•------.----— dx...................  »	• •	111
j a cos2 x + b sin x cos x + c sin2 x
7
БJ6. Интегралы вида
Л tgx 4- В dx
a tgJ х + b 1g х + с
6.17.	Интегралы вида $ sin (ах + b) sin (сх + d) dx. J cos (ax + b) cos (cx + d)dxt
sin (ax + b)cds(cx + d)dx
6.18.	Интегралы вида J sin^xsinaxdx ...................................
6.19.	Интегралы вида J sinpX cos ax dx...........................  .	. .
6.20.	Интегралы вида cos^ x sin ax dx . ...........................  .
6.21.	Интегралы вида J cosp x 'cos ax dx...............................
f sin™ x f cos™ x ,
6.22.	Интегралы вида \ -77577 ЛЦ \ -77777 dx...................  .	. . .
6.23.	Интегралы вида
6.24.	Интегралы вида
6.25.	Интегралы вида
6.26.	Интегралы вида
6.27.	Интегралы вида
f sinmx Лг ,
}T^dx •’...........‘	•
f cosm X
\ -:--- ах ••••••••.
J sm пх
sin* х cos™x sinn+^22x dx . .
Ssin=fc^xcos=twx
sin*+l/22x ’ ’ * e
( sin1 x cos™ x cos±n+1/2 2x dx
6.28.	Интегралы вида J (a + b cos x + c sin x)±n+ ^2dx
6.29.	Интегралы вида J sin*™ x(l — k2 sin2 х)П$ dx
6.30.	Интегралы вида f ——---xdx
J (1 —Vsin’x/V2 ...................................
6.31.	Интегралы вида J cos*™ x(l — £2sin2 x)*^ dx
6.32. Интегралы вида
cos±mxdx
sin»x)rt/2
112
112
113
114
115
116
116
117
117
118
119
119
120
121
121
122
122
6.33.	Интегралы вида C sin™ x cos'1 x (1 — k2 sin2 x)P dx ......
6.34.	Интегралы вида ( **«- * (i — k* sin’x?/2 dx .......
J cos x	................
Seos™ X
-----(1 — fe’sin’ x)l/2dx . ........ . . . .	’	12g
sin x	••*••••••». izb
6.36.	Интегралы вида (	*,£os x ^x...........
J (1- fc’sin’xf	........................ 125
6.37.	Интегралы вида f Л1Н-2Е----dx---
J cos* x (1 — fc’sin’xf	* *.............*	* *	127
6.38.	Интегралы вида (	-----
J sin* x (l~ft’sin’xf ...........................  *	128
6.39.	Интегралы вида \	dx . . .............  .	. . •............. (29
J sin™ x cos'1 x	...............................
6.40.	Интегралы вида \ -—т=«   ........................... ......... iso
J sin™ x cos'1 x(l~*’sin’x)V2 ...........................   129
6.41.	Интегралы вида ( -----sin™ x cosn x dx	................. 1bo
J (1 + a sin’ xKl— sin’x)1/2
8 .
. JO	C sin** x COS* X .	.qq
5.421 Интегралы вида \ --===== ax •
J yi + a2 sin2x
	f sin** х cns*n х j
5.43. Интегралы вида	\ —г; , -т~dx			 J Vflt sin’x —1
5.44. Интегралы вида	5 tgm Л (a2tg2 x±b2)±n+ie dx	  131
5.45. Интегралы вида	§ ctgmx (a2 etg2 »±62)±rt+1/2dx	 132
5.46. Интегралы вида	tg^x (a2—52 tg2 x)^ +1/2 dx 		  •	133
5.47. Интегралы вида	c1gmx (a2 —b2ctg2x)±/l+1^dx . 		*	133
5.48. Интегралы вида	
5.49. Интегралы вида	-?inp x.. dx	   135
5.59. Интегралы вида	J sin* x
5.51. Интегралы вида	xp cos^x dx 		  138
5.52. Интегралы вида	Г0:'*-"		
5.53. Интегралы вида	\	dx	 140 J COSV X
&54. Интегралы вида	f xptg9 xdx • • • • 		   141
5.55.	Интегралы вида xpctg^xdx .  ................  -...................
5.56.	Интегралы вида J xf sin₽ x cos47 xdx. ,...................  •	• .
_ .	f xpsfnmxcosnx
5.57.	Интегралы вида \ ---------   -у «*...................    •	• •
J (a + b cos x + c sin xr
....	C x sin x cos x л~
5.58.	Интегралы вида \ ------------p— dx • • • •............
J (1 — Л2 sin2 xf
5.59,	Интегралы вида (x + 5):fcrtslnaxdx • . . ..........•	♦ • •.........
5.60.	Интегралы вида (x + b)^n cos ax dx •	...........••••••«••
5.6],	Интегралы вида eax slnp bx dx
5.62.	Интегралы вида C eaxcos₽ bx dx • • • • •...................  •	•••••
5.63.	Интегралы вида J eax sinp bx cos*? ex dx • •••••••.
5.64.	Интегралы вида J eaxtgpxdx «••••«..••••••••............
5.65.	Интегралы вида J eaxdgpxdx ••••«•••• •. • ...........
5.66,	Интегралы вида C xpeax sin(bx + c)dx • ••••••••	• • •
5.67.	Интегралы вида J xpeax cos (bx +c) dx...........................
5.68.	Интегралы вида C shm (ax + b) sin* (ex + d) dx	........... • • • •
5.69.	Интегралы вида J shm (ax + b) cosn (ex + d) dx...................
5.70.	Интегралы вида J chw (ax + b} sinft (ex + d) dx ..........
5.71.	Интегралы вида J chw (ax + b) cos* (ex + d) dx. . . ................
142
142
143
144
144
144
145
145
146
147
147
147
148
149
150
151
152
9
Б.72. Интегралы вида J xpsin х2 dx	I53
5.73.	Интегралы вида хр cos х% dx *•••»•••••••••• а. ••»••••»•	153
6.	Логарифмическая функция
6.1.	Интегралы вида хр ln^ х dx
лп TI	f xPdx
6.2.	Интегралы вида \ —«— ..............................
J In* х
6.3.	Интегралы вида (x + a)pInxdx .•••••••..•••••..........
6.4.	Интегралы вида Jj хр In (ах + b) dx ..............•	> • • •
6.5.	Интегралы вида х^ In <*х .........................
6.6.	Интегралы вида § х^т in (х2 + a2) dx ..
6.7.	Интегралы вида J х±т In I л2—a2 I dx	•• • •
6.8.	Интегралы вида J хр In (л + Vx2 + o' ) dx
6.9.	Интегралы вида J хр In (х + Vx2—а2 ) dx .•••••••••««......
Sxp	,
—7==- In (х + Vx’ ± а2) dx •••«'•••» •••»•••
ул’Лй*
6.11.	Интегралы вида J lnp (х + Vx2sfca2 ) dx
155
153
156
156
157
158
159
159
160
161
162
162
7.	Обратные тригонометрические функции	163
7.1.	Интегралы вида J arcsinp ~dx
7.2.	Интегралы вида \ хР arcsin -~-dx
7.3. Интегралы вида
1 х
arcsin -~dx »•••••••••••••••••••••••
а
7.4.	Интегралы вида j (a±x)±n+l^ arcsin-^- dx «••••••.
7Д Интегралы вида J х^ (а2—х2)9 arcsinr ~ dx ••»••••••••••••••*
7.6.	Интегралы вида \ arccos^ ~dx ••••••••••••••••••••••••«
7.7.	Интегралы вида хр arccos -^-dx
С к х
7.8.	Интегралы вида \ —arccos dx •••••••••••••«••••••••••
7.9.	Интегралы вида \ (а±х)±п+^ arccos ~ dx »•••••••• •••••»»•*•
7.10.	Интегралы вила \ J* (a2^x2)q arccosr -~dx •••»•••••*•••••••»
7.11.	Интегралы вида \ хр arctg •••«•«
163
163
164
164
165
167
167
168
168
169
171
10
Six	-
— arctg-— dx . • ............................ 171
a
7.13.	Интегралы вида xP (x2 + a2)^ arctg -y dx..........  •	• •	172
7.14.	Интегралы вида xP arcctg ~ dx •.......................   173
7.15.	Интегралы вида \ -i- arcctg — dx ••••••................  174
J xP a
7.16.	Интегралы вида \ xP (x2 + a2) arcctg-^- dx •	174
8.	Обратные гиперболические функции .•••••••...............................
Приложение I. Некоторые элементарные функции и их свойства . •	?	177
1.1.	Степенная, показательная и логарифмическая функции....................  177
1.2.	Гиперболические функции . . . . • ..................•...............i	}78
1.3.	Тригонометрические функции..........................................    18J
1.4.	Обратные тригонометрические функции.  ............................  •	188
Приложение II. Специальные функции н символы»	Ю1
ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот справочник предназначен для студентов высших учебных заведений,
инженеров и научных работников. Он содержит таблицы неопределенных инте-
гралов от элементарных функций. В книге помещены в основном интегралы, вы-»
ражаемые через элементарные функции; для простейших интегралов» не обла-
дающих этим свойством, но часто встречающихся в приложениях, даны пред-
ставления через специальные функции. Определения этих специальных функций,
а также основные свойства элементарных функций, которые могут быть исполь-
зованы при вычислении интегралов, приведены в приложениях. Другие неопре-
деленные интегралы от элементарных функций можно найти в более полном
справочном руководстве*).
Постоянная интегрирования в правых частях формул для краткости опу-
щена; например, вместо
sin х dx == — cos х + С
пишем
sin х dx « — cos x.
Переменные интегрирования x, t и параметры a, 6, c, d считаются действи-
тельными, a, р, q, г — комплексными, &, /, m, п = 0, 1, 2, ... ; остальные огра-
ничения указываются в квадратных скобках после соответствующих формул.
Некоторые формулы при определенных значениях параметров теряют смысл.
Если эти значения следуют из структуры формулы, то соответствующие разъяс-
нения опускаются. Выражения для интеграла при этих значениях параметров,
как правило, даются в последующих формулах.
*) Прудников А. П., Б р ы ч к о в Ю. А., М а р и ч е в О. И. Интегралы и
ряды. Элементарные функции.— М.: Наука, 1981; в этой книге помещены также
и определенные интегралы. Неопределенные и определенные интегралы от спе-
циальных функций можно найти в книгах: Прудников А. П., Брыч-
ков Ю. А., М а р и ч е в О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции.— Мл
Наука, 1983; Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И, Инте-
гралы и ряды. Дополнительные главы,— М,: Наука, 1985,
1.
1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Основные интегралы.
хр dx =
x*+1
Р+1
[р ¥= — 1L
SdX
----== In х .
X---‘
3-7: [а Ф 0]
20. ( 	- «= — ctg x.
J sin2 X
3.
Sdx • -
х2 + а2
1.x
— arctg
а а
21. \ cosx dx== sin x.
tg x.
Sdx ___ 1 t	х —- а |
х2-а2 “ 2а П I х 4- а
dx
cos2 x
24.
Sdx
•V х2 + я2
_ [	dx	_
J Vx2 — а2
7	С	х	«И
J ^а2 — х2
8.	ех dx =» ех.
9.	( ах dx = ~
J	In а
In (х + V*2 + л2)*
In [ х + V-*2 — Д21*
. х
arcsin-----.
1а|
[а > 0,	1].
Ssin X ,	1
---5— dx =»------«
cos2 X cos X
25.
cos X
sin2 x
dx»
1
sinx *
26. \ tg x dx » — In I cos x |.
27. \ ctg x dx ® In | sin x |.
10. \ sh х dx » ch х.
f dx . I . x
11.	«“ in th — .
J sh x I 2 I
12.	“TF” e ““ cth *•
J sh2 x
13.	chxdx = shx.
14.	( -	« 2 arctg e\
J chx 6
f dx ..
15.	\ -г,— « th x.
J ch2x
16.	th x dx x« In ch x.
17.	cth x dx « In | sh x |.
18.	\ sinx Jx = - cos x.
1.2. Общие формулы.
1. (af M + bg (x)) dx «
= a (x) dx + b J f (x) dx.
z-\^irs{x)dxa
[интегрирование по частям].
4. f (x) dx = f (s (J/)) g' (V) dp
[интегрирование подстановкой;
x = g(y)]-
Дифференцирование неопреде-
ленного интеграла:
5.-^-р(хИх = /(х).
2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
	2.1. Интегралы вида j xp (axr + b)q dx»
1.	
2.	_-^+^+.^,+,+1 s t4ax,+1),„
3.	m ^ax' +jrf _ _^ra Г хР+г{ахГ	dX' p+1	p+1 J
4.	° xP~T(Kt - H-.t-1- ^"(^r+6),+1 (7+1) fa	(<? + l)ra J	* * * * * * x T
3.	= xP~r+1 {axr+b)4+\ __ (p-r+l)6 f xp_r, r	dx (7r + p+l)a	(?r+p+l)aj	'
6.	=	- Ig-+.f.±gt-1la ( X»+r(axr+ b)9 dx. (p+*)b	(p +1) b	J
7.	r	JL	^krti^k^p+kr-^X J* ^ax +Z>) ^-2С" p + kr+l • &=*0
8.	f xpdx	xp+i	. (g—l)r—p—1 f xpdx J (axr + &)’ ” (7 - 1) rb (axr + b)4~l	(q- 1) rb J (axr + i)’~l
9.			— xp~r+1	, p —r+ 1 f xp~rdx (q — 1) ra (axr + b)q~l {q — 1) ra i (axr + b)q^i9
10.	{ xr^} dx 		—1	. (axr+b)q (q — l)ra(axr + b)q^9
С dx 1
И.	\	-Ъ-п	— 1п|ахг+И
J	axr +	b	га
12	( хГ	—__- t
J	axr +	b	a	a }	axr + b *
13 C	—__________£_________ । Oz~
’ J (axr + b)q (q - 1) rb (axr + b)q~x (q -
i A f dX ________	1
dx
(axr + b)q~1'
_	___j p+(<7—1) r—1 f	dx
xp(axr + b)q (q—\)rbxp~l (axr + b)q~l (q — l)rb ^xp(axr+b)q
dx_______________1______ a C_______dx_____
xp(axr+b) (p —1) &xp~l b J xp~r (axr + b) *
dx 1 - | xr |
x (axr + b) rb n I axr + b |*
14
2.2. Интегралы вида
хт dx
ап *
n-1
-L .ycos^±l
2яа2п-! Zj 2n
К яаО
П-1
2k + 1	. Л
---— я + a21 -
2n J
26+ 1
26+1 t X aC°S 2n П
2n П afCtg 2k + 1 -
a sin —x-------------------я
2n
Я In I X2
2.
dx
1
X2n+1 a2n+i ^2n + 1) a2n ln Ix a I
n-1
(2n+l)<F SC°S
2k +1	, f , „ 2k + 1
-—р-т- я In I X2 — 2ax cos -r—rv
2n +1	\	2n +1
n-l
2
(2п + 1) а2П / ,
к-0
8.
xm dx
:2»+а2пИ
n-1
2naSa~m~i Z<C°S
k-o
n-1
1
1
ne2»-m-l £j
i-0
xm dx
2*+1 * —
*• 2Т+Т * -**« я<[п 2& +1 д~
esin 2П+ТЯ
(tn + 1) (2fe + 1)« . ( . o	2fe + 1	. Л ,
---i— in t x2 — 2ax cos —5----я + a21 +
Lit	\	Lit-/
2Й + 1 w
/	। . \	\	X CL COS	•*
(m + 1) (2k + 1) я _____2n
------------arctg---. 2fe + 1 ,
asm—-Я
[l<m<2(n- 1)].
sin
2n
(-1)”
^+1 + а2п+1 = (2п+1)а2п~т 1п1* + а|
(m+ 1) (2fe + 1)« ln / ,
п-1
- V cos
(2п + 1) а2п-т р
1
2n+ 1
п-1
2
(2n + 1) a2n~m
(m + l)(2&+ 1)я
2д+ 1
2Й + 1 „ -L „2
___	 я + а*
2п+1
26+1
, х~асоз17+ГЛ
arctg-----------
2.3. Интегралы вида
хт dx
хп — ап
. 26+1
a sin -—Hr я
2п + 1
[1</п<2л- 1].
dx	1	, -Ij;
x2a — a2n 2na2n~l П I x
n-1
Л=»1
In f х2 — 2ах cos
п \	п
п-1
1	\	, бЯ .
—S—Г / sin---------arctg
na2n~l La п
fat
х — a cos —•
п
. kit
a sin —
п
13
1
2‘ 5 x2n+l - a2rt+‘ (2л 4-0 а2п 1П' *	'
n-l
» yC08
(2л4-1)«2л A
2^ + 1 .
----!— я I
2n + 1
л-1
 . . „	2* 4- 1
хг + 2ax cos —
>	2*4-1
,	2^+ 1
2 V , 2*4-1	. * + aC0S2T+T *
(2n4-1)а2П /и 2" + 1 ” g a sin 2*+1 я
л-о	2д 4- 1
I
‘2a-/n-l
net
n-1
Z (m+ 1) to
n
-
n-l
kn
kn
t । i \ i.	* — a cos —•
t (m+ \)kn .	n
sin — —--------arctg----------7----
n	, to
"	a sin —
n
[l<m<2(n-l)],
Sxm dx	I	t g , ,
x2n+l_a2n+r “ (2n+i)a2a-m tn | л - a. +
n~l
(—1)* у c03 (ftt + 1) (2fe + 1) л
(2л + 1) а2п“т fa
л-1
У sin (m+l)(2fe+l)
Zu 2л + 1
fc-0
.	2(-l)w+l
(2л 4-1) a2'1-'"
2л+ 1
хг + 2ax cos 2£_i_L я a’Yf-
2л + 1	/
, 2k + 1
. * + acos2^+T’1
arc,g——%r+\—
as,n 2л+Т”
[1 < m < 2л — 1].
Sxp dx
'(x +‘a)T*
f x°dx
J (x + a)q
f xm dx
________________ p	f xp~* dx
(q — I) (x 4- a)’-1 q — 1 J (.x 4- a)q~l
Vc* (-a)m~k
m {q-k- l)(x4- a)"-*-1 ’
xp
1
n
я
если ^s=s^*-lr то вместо соответствующего члена в сумме следует взять
СГ1(-а)'"’,?+1.1п|*4-а|.
3 f dx ____________________1________
’ J (х 4- a)n (л - 1) (x 4- «)""•* ’
4.	=xta|x4-a|.
J x -r a
5 f x a- __________________!_______- i ________2________
J (x +^)n (л — 2) (x 4- a)^“2 (n — I) (x + a)*“l *
0 C x2 d*________________!__________________2д__________________а5 * * 8_
J (x + a)n (n — 3) (x + a)'1"3 (n — 2) (x + a)n^2 (n — I) (x 4~ a)n~{ *
16
	г dx __	!	।		*	--
7. i	J (* + «)'*	(п — 4)(х + а)п-* (п — 3)(х + а)п~3 	За2	а» (д-2)(х + а)п-2 Ь (n-llUfe)’-1’
8.	<-ОЧЧ—-j-C-arintx-Faj/ J х + a JLj	т — к
9.	С _£^i- == х — а In j х 4-а [. J х + a
10.	5тТ7-Т-“ + “!1п|’ + “1'
11.	Г xmdx	"v t ,,k как-'хт-к ,(-})т-1ат ,
12.	J (,+.>’ L< ”	+ «+<, + •f (—O'"”1 tnam~x In | x + a |.
13.	( 7 *,'—П = —7— + In 1 x + a |, J (x + <0 X + a	1
14.	f	z/y \	;—rs- « x	j	2a In [ x + a J (x 4- a)2	x + a	1 г (
15,	f x3 dx	x2 o , a3 to2i.il ) (х + а)2='2 -2aX 1 x + n +3a2ln|x + a|.
16	f x dx 	 _ 1 f a J (x + a)3	x + a 2 (x + a)2*
17.	C x2 dx	"2a	°2	i ।	» i' J (X +„«)’“ X + a 2(x + a)« llnl*+el-
18.	С 7^Дг,-х	x~+ 9, °1 v — 3aIn |x 4-ct|. J (x + a)3	x + a 2 (x + a)2	1 ‘
19.	C x dx	J		a 3 (x + a)*	2 (x + a)2	3 (x + a)3 ‘
20.	f *2 dx _ 1 . a	a2 J (x 4- a)4	x 4* a (x 4* a)2	3 (x 4- a)2 ’
21.	f x3 dx	3a	3a2	a3	. .	, J (x 4- a)4 x + a 2 (x + a)2	3 (x + a)3 n 1 x "t !• rt - ..	f	dx 2.5. И н т e г p а л ы bh д a	.
1.	C	dx			—1	p + ~ 2 C	dx J	х₽(х4-а)а	(p — I)ax₽_* (x4-a)9~‘	(p—l)a J	xp~l (x 4-	a)’
2,			1	, p4-<7- 2 Г	dx (q — 1) axp~] (x 4- a)q^1	(q — \)a }xp(x + a)q-{ m+n-2	f
3.	{	dx	|ш,	1	V	(x+a)"1-*-1 J xm(x + a)n am+n~l Zu	"Ч-п-*	Dx"*-*-1 ’
если	1, то вместо соответствующего члена в сумме следует взят в
<- о" ед_2 ш |	[.
и
	n-\
4. 1	Г dx _ y1 	1	LIn 1 x^~a [ J x (x + a)n	kan~k (x + а)* an | x |* n-1
5.	a + H j: * + ® e О « 7 * MI -Iе* - 11
6. 1	г i. dx ==	1	— IV	1		L in I *+a 1 x2(x + a)n	ax(x + a)n~l a 1 Д' kan~~k (x + a)* an j x Ln=»l
7. 1	Г d* = (^+l)x —a . n (n + 1) C dx ' x3(x + a)rt 2a2x2 (x 4-a)*-1	2a2 J х(х+а)л' m-1	.
8- ।	J x (x + a)	(m — k) akx^~k	am 1 a | «»!
9. '	г ^x e JL i I x 1 ) x (x + a) a ln 1 x + a j*
10. I	Г dx 	1 . 1 . | * + а I J x2 (x + a)	ax a2 ln 1 x
11. 1	Г dx		1	1	1_ . I x + a I J x3 (x + a) q?x 2ax2 a3 ln | x [*
12. '	^-Л-тг-=-(Ч—-^"l—IV Jx(x + a)2 a \x + a a ( x |7
13. 1	( _4_ ==._-V( i + ±-A ln|2±« 11 J x2 (x + a)2	. a2 \x + a	x a | x I)
14. '	[	dx	1 ( 1	. 2	a	3 I x + a 1 \ J x3	(x + a)2	a3\x-|-a x	2x2	a	n] x |/
15. '	Г dx	1	.	1	1 . 1 x + a I J x(x + a)3 a2 (x + a) 1 2a (x + a)2 а3	x T
16.	C dx 		1	,	2	__ 1	। JL 1 I x + a I j x2 (x + a)3	2a2 (x + a)2 a3 (x + a) asx a4 n | x |*
17.	Г dx	1 Г 3	a	. _3	a	6 . 1 x+a 11 jx3(x + a)^ a4Lx + a 2(x + a)2 x 2x2 а П| x |j
2.6. Интегралы вида \xp( —-7-7-
J \ X “Г 0 )
С xp	= (x + a) (x + b) xp~x
д(Ь —
dx-l^=-
x + aV .
—r-r I dx.
U x(^±4
J \ x + 6
(x + a)g	»(x + a)g
2(x+6)«-2	(<7-l)(x +&)’-1
<7t(?-l)(a-ft)-2&] Г /х + аУ-1^.
2 (q — 1) J + b)
(x + «)q+1 _ <7(&-а) + а+& f /х + ау
2(x + 6)9-1	2 ЛЖ/
18
4 C <* + ^dx-------(х + а)Р + (Х + а)Г-Г^
J (х + Ь)4	— I) (х + b)4~l	?-lJ(x+*)’-1
. С (х4-«)р d =	1 f/ + a\p+l
‘ J (х + 1>)р+2	(р + 1) (Ь — а) \ х + b J
в f (* + а)Р dx = (х4-в)р+11*4-(р4-1)(&-а)4-6]
' (х+&)₽+3	”(р+1) (р + 2) (6 — а)2(х+Ь)₽+2 ’
7 С 1 (*+*}'dx =	-1	(	1	.(* + «)Ж ,
J (х + с)р \ х + b )	(р — 1) (а — с) (6 — с) (. (х 4- с)р~1 (х + Ь)ч~1
+«' - 2> <»+‘ -24 -" “ -0)15	(Si)' dx+
+ (р — 3) ( - , 1	2 f* Y dx\.
J (x+<P l\x + bJ )
n—1
& —1
- [(7^7)“ -']ln 1'+‘ 1+)”1'+‘ i-
0 tp+aYj,... у n__________________(»+<>''-* .
Rx + M	(n-k)(n-k-t) (x + 6)n-*-1/r
4- n (x + a) — n (b — a) In | x -J- b ,
10.	С*+* (a~^-+x + n(a-&)ln|x + frt.
11.	x+fdx^x+la-b) Infx + H
12.	Jxy±ydx=^-+(a-*)(x-51n|x+&|).
13.	J^S±£djr«^. + (a_fr) (-£-*x+*slnlx+*[).
14	\v^bTdx=sT ta|x|--^ltn|x+6|.
14	Иттт)2^ = х“'^7¥?" + 2(в“й)1п|х+61,
J \ Л -j- U /	Л -j- (Л
16’ р(т$г)2</л:“'Т + 2(‘1“6)х +
4- (a - b) [	4- (« — 3i) In I x 4- b 1].
,7- ИЧТ+Т) dx~^ + {a-b)x* + —ITf- +
4- (a - b) [(a - 3b) (x 4- b) - 2b (a - 2b) In | x 4- b Ц.
19
19.	1 -44т- dx== £ +<2a - x + - Wln Ix +b I-
J Л ~f~ U	&
(* ( y -1-	x$
20-	\ *  Л," dx = -i- + (2a - 6> + (a - b)* (x - 6 In | x + b |
j Л “p U	О	Z
21-	xt •• x+T"dx=T+<2°- 4+(a- 6)2 (4 - ьх+ь2 in 1 x+ь *)•
22-	rfx==*+4^21n'x!~(a—i)2|ni*+t^’
23.	T~ j\u' dx~- -a-~b- + In | X + /> |.
J (* + b)2	x + b	1
24’ *7ГГО~ dx==x+ b{fZbb' + (g - 2&)ln I x + »I-
J	Г v)	X ~p и
25- $ х» dx^^- + (a-4b)x-b2	— 6 (2a — 36) In | x 4- И
. Г x 4- a _ a — b a .1x4-61
' ) X(x4-6)2 “ b(x+b) 6s I x Г
2.7.	Интегралы вида
1 ( Xpdx	1	(________xP-1_________
J (x 4- a)4 (x 4- b)r p — q — r 4- 1 t (x 4- a)9-1 (x 4- b)r~x
- |(,-,) a + (, - ,)»] J (> + a),(t\t)r- wt J lx + a)4f+t/ }•
2 f______xp dx_____
J (x + a)m (x + b)n
_ y (-1)*+ст+р+1 Г v r'r»->	aP
L, k(x + a)k b CPL>»+"-k-l-2 (b_a)m+n-/l-l-t
fl'—1	»—fl1
V • (-0"1 Г V rlrm-t	(~Ь)Р~{ I ,
L k (x 4- 6)* [' L LPLm+n-k-l-2 {b _	J +
W-1	-k
+ (-D^+i £ с*С»-Д->-2	Ш1 x 4- a | +
n~1	-k
+<-»" E (। ‘+»।
(x + ay>(x+b)r
'___________1________________^4-r —2 C_____________dx________
(r-i)(a-b)(x + a)<i-l(x + b)r-1 (r-l)(a-b)J (x 4- a)’ (x + b)r~l ‘
_-----------------!---------------1_
(9-l) (a-6) (x4-«)’"*(x4-Or"‘
,	+ r — 2 Г ________dx_______
+ (9 - 1) (a - 6) J (x 4-a)9’1 (x + 6/’
20
б.
^m+n-2*n
dx _	my 2 (-l)fe k . /x+a\n~k~l
(x + a)m (x + b)n (Ь~а)т*п~1 fa n-k-'l m+a~2{.x+bJ	***
k^n-\
I (—I)”1-1
(6-a)m+'»-1
f y* (—1) bm+n,fe-2
"fa k (b “ a)m+n~k~l (x + a)* ~~
Y	(-Dm+>	x+a
£• k(b-a)m+n-k~l(x + b)k * (b — a)rn+n~l т+я~1	x + b
___________________L— )n I *..+_£. I
(x + a)(x + 6) a —6in|x + &|
»• j (X + af(Ul) --^(alnls + al-Hnlx.+ frl).
9. (	= x H-—г- (b2 In | x + b | — a2 In | x + a |).
J (x + a) (x + b) a — b x	1	1	'
10. ( —;-Г”Г7-ГТГ == -T ln I x H-7"”“—TV In I X + a I — 7-7-^—tv In | x + b |,
) x (x + a) (x + b) ab	a (a — b) 1 1 1 b (a — b)	1
x2 (x + a) (x + b)
==-----£-------a-^i In | x I-----57—!---— In | x a I + -УГ/ •—гг In I x + л |.
abx a2b2 1 a2 (a — b) ’	1 b2 (a — b)	1
12.	J
13.
14.	(
dx	— 1	1 I x + a I
(x + a) (x + b)2 ~~ (a —b) (x + b) + (a - b)2	| x+b Г
xdx	b __ a । I x + a |
(x + a) (x + b)2 ” (a-b)(x + b) (a-b)2	| x+b Г
x2dx	— b2 . a2 , ।	, , b2—2ab\	, .
(x + a) (x + b)2 ~ (a - b) (x + &) + (a-&)2 n 1 x+a 1 + (a-ft)2 n 1 +*l*
C dx	1	। i । I I
J x (x + a) (x + b)1 " b (a - b) (x + b) + ab2 1 * 1
-	-м+7К,п|х + а| + -5^Г,п|'+‘|-
f dx	_	1 Г 1	1	\ ,	2 I x + a I
J (x + a)2 (x + b)2 “ (a - b)2 \ x + a x + b )	(a-&)s | x + b |’
f_____xdx_____	1	/ a b _ a +	. I x + a I
J (x + a)2 (x + &)’ "° (« — b)2 \ x + a x + b ) (a — b)3 ,n | x + b Г
f	x2 dx______1	/ a2 b2 \ .	2a&	I x + a |
J (x +	a)2 (x + b)2	~ (a - b)2	к x +	a + x + b ) + (a - b)3	| x + И’
2.8. Интегралы вида ^x±m(ax2 + bx + с)"dx.
1.	(ax2 + bx + c)a dx «
^1(2a+l)a [(2aX +	(a*’ + bx + с)П ” n (62 “ 4ac> $ <a*2 + bx + С)П“1 dx]-
21
S- -	®ГП)! X	<“’ + *« + •)*.
A«0
_ Г (ax1 + bx + c)* .	_ (ax1 +bx + c)n+1 ,
' x"F	(m — 1) cxm~l
, & (n — m + 2) Г (ax1 +	+ с)" . , a(2n — m + 3) C (ax1 + fcx + с)" •
c(m— 1) J xm-1 X c(m— 1) J x"1"2	'
2.0. Интегралы вида $ ^/ьх + сГ'
' ______dx____________________— 2ax — b_______________
I (ax2 + bx + c)n (n — 1) (b2 — 4ac) (ax2 + bx + с)Л“1
2 (2n — 3) fl C_________dx_______
(n — 1) (b2 — 4ac) J (ax2 + bx + c)'1-1
rt-2
2ax + b ___________2fe (2n — 1) (2лг —- 3) ... (2n — 26—1) ar____
*“ 2/1—1 j^0 (a—1) (s-2) ... (n— fe-1) (4ac-&2)*+1 (ax2+6x4-c)',_*_‘
(гл-змкга)"-1 r dx
+ (n - 1)1 (4ac - &2)M-‘ J ax1 + bx + c ’
dx _________	1 j	2ax + b —\/Ь2 — 4ac
ax1 + bx + c y/b1 — 4ac . 2ax + b + y/b1 — 4ac
2	. 2ax + b
«=   arctg ---------
V4ac — b1	у/4ac — b1
2
2ax + b
(J2 - 4ac > Oj.
(b1 - 4ac < 0].
[&2«4acJ.
----lnl-^5-1,
a(p — q) I x — q |
где pt q — действительные корни многочлена
ax2 + bx +
C________dx___________________2ax + b_________. 2a Г dx __________________
* J (ax2 + bx + c)2 (4ac — b2) (ax2 + bx + c) 4ac — b2 J ax2 + bx + a '
_______dx____________________2ax + b________________.
(ax2 + bx + c)3	2 (4ac — b2) (ax2 + bx + c)2
___________3fl (2ал: + b)__________, 6fl2 f dx
"г* (4ac — b2)2 (ax2 + bx + c) (4ac — b2}2 J ax2 + bx + c *
2.10.	Интегралы вида j
j f xmdx ___________________—	__________
* J (ax2 + bx + c)n (2n — m—l)a (ax2 + bx +
, (tn — 1) c f xm“2 dx__________(n — tn) b f___xm~x dx
^\2n — tn— 1) а У (ax2 + bx + c)n (2n —m —l)a J (ax2+bx + c)n'
C x2n^dx _ 1 f x2n~zdx с C x2”-3dx
2< J (ax2 + bx + c)n a J (ax2 + bx + c)n~l q J (ax2 + bx + c)n
& Г x2n~2dx
** a J (ax2 + bx + c)n *
22
4.
5.
6.
x dx______	1________________b_ C________dx_______
(ax2 4- bx 4- c)n 2 (n — 1) a (ax2 4- bx 4- c)"'*1 2a J (ax2 + bx + c)n 9
bx 4- 2c	.	(2n — 3) b f__________dx_______
° (n - 1) (6« - 4ac) (ахг + bx + c)n“l + (« - 1) (6s - 4ac) J (ax*+bx-\-c)n~1,
x2 dx	(b2 — 2ac) (2ax + b\ — b (b* — 4ac)___
(ax2 + bx + c)n ~ ~ 2 (n - 1) a2 (b2 - 4ac) (ax2 4“ bx + c)n~l
2 (2n — 3) (b2 — 2ac) - 2 (n— 1) (b2 — 4ac) f ______dx
2 (a — 1) a (b2 — 4ac)	J (ax2 4- bx + c)'1*1
—2 f 1*" г" == ln]ax24-bx4-cl —
ax2 4- bx + c 2a ‘
b
a Vt b2 — 4ac |
- In
2
2ах + b — Vb2 — 4ас
[b2 > 4ac}t
7.
8.
2ах + b
arctg ~ /.-=5
V4ac — b2
x b , , 9 । , । . . b2 — 2ac
--^-rln|flX»+^ + C| + -y
[Ь2 < 4ас].
dx
ах2 + Ьх + с
о С х^х
j (ах2 + Ьх + с)2
{	x* &x
j ax2 + bx + c
f	x3 dx
j ax2 + bx + c
ax9 — 2bx , b2 — ac , , 9 . , . f	b(b2 — 3ac) f dx
------+ ~W~ln 1 aX + bx + C1-------------—*-------J -aX—bx-+T-
________bx + 2c________. b Г dx
(b2 — 4ac) (ax2 + bx + c) b2 — 4ac j ax2 + bx + c ’
C x2 dx_______________(2ac — b2)x — bc ~ 2c f dx
} (ax2 + bx + c)2 a (b2 — 4ac) (ax2 + bx + c) ” b2 — 4ac J ax2 + bx + c •
Г x3 dx____________c (2ac — b2) + b (3ac — b2)x .
J (ax2 + bx 4- c)2 a2 (4ac — b2)(ax2 + bx + c) "**
□___L tn I ax2 x kx ± c 14, (6eg *"* b2) f dx —
+ 2a2 Inla* +	+ + 2a2(b2-4ac) J ax2+bx + c*
2.11. Интегралы вида J хт^Ьх + с}п.
C dx	— 1
' xm (ax2 + bx + c)n (m — 1) ex"1"1 (ax2 + bx + с)п~х
(m + n -»2) b C_________dx__________ (ffl+Sn—3) a
(m—l)c j xm~l (ax2 + bx + c)n (/n— 1)$
f________dx____________________________________
J x (ax2 + bx + c)n 2 (n — 1) c (ax2 + bx + c)n~l
_b^ f______________________________dx________.
2c J (ax2 + bx + c)n <
C_______dx_______ JL-in x2
J x (ax2 4- bx 4- c) e 2c
1
| ах2 + Ьх + с [

_______dx_______
x (ax2+ bx + c)n*1
Ь
Г" tVl b2 — 4ас |
— In
2
2a5.+l-Vg^l [bt>4ael
2ax + b + *jb2 — 4ac |
2ax + b	r.2	,
------	(b2 < 4ac].
arctgv«
dX	____>	_____Z_______X
X2 (ax2 + bx + c) CX 2c2 j ax2 4-Z>x 4-с I
. b2 — 2ac f dx
2c2 J ax2 + dx + c *
_______dx__________
x3 (ax2 + dx + c)
2bx — c j d2—-ac ___________x2_________b (3ac —> d2) f dx
*“ 2c2x2	2c8 n | ax2 + bx + c |	2c3 J ax2 + bx + c '
C________dx ___________________1________L । b (d + 2ax) 1
* J x.(ax2 + dx + c)2 2c (ax2 4- bx + c) L d2 — 4ac J
j,_1 in x*__________________Lfi 2ac f dx
• 2c2	[ ax2 + bx + c |	2c2 \ d2 — 4ac ) J ax2 + bx + c *
7.
Г_________dx__________	(d2 --» 3ac) (d + 2ax)_____________c+ bx_______
j x2 (ax2 + bx + c)2 c2 (4ac — d2) (ax2 + bx + c) c2x (ax2 + bx + c)
b . x2 ,	1	(b^ _ 6ad2 6a2 \ f dx
с3 in Jax2 + dx + c| d2 — 4ac V a3 c2 , c ) J ax2 + bx + c ’
________dx___________________3dx — c________
x3 (ax2 + dx + c)2 2c2x2 (ax2 + bx + c)
. 3d2 — 2ac Г_________dx____________9ad f___________dx______
’ c2 J x (ax2 + dx + с)2	2c2 j (ax2 + dx + c)2 ’
2.12. Интегралы вида j(* + d)± m (ax2 + bx + c)n dx,
t J (x + d)m (ax2 + bx + c)n dx «
-(». + ^ + na [<’++b‘++
+ (m 4- n) (2ad - b) (x + d)m~x (ax2 + bx + c)n dx -
- (m - 1) (ad2 -bd + c) J (x + d)m~2 (ax2 + bx + c)n dx].
2 Г (ax2 4- frx +• c)n dx __(ax2 4- bx + c)n_
J (x + d)m =	(m-2n-l)(x4-d)m“‘
_ 2n (ad2—ibd + c) f (ах24-^х4-с)”~> dx _ n(b — 2ad) f (ax2 4- frx 4- cP"1 dx
m — 2n— 1 J ,(x4-d)m	m — 2n— 1 J (jt + d)”"1
3	-1	Г(ах24-Ьх4-с)д+1 .
(m-\)(ad2-bd+c) L (x4-rf)m~1
4- (« - n - 2) (ft - 2ad) J ^±^±f-dx 4-
4- <m - 2n - 3) a ( (axi + bX^~— dxl.
J (x 4- d)"*”2 J
4 e _	4- bx 4- c)n .
=	(m- l)(x4-d)m-1
. n(b — 2ad) f (ax2 4- bx 4- g)n~* . . 2na C (ax2 4- bx 4- c)n~*
m-1 J (*+<-*	m-lj (x + d)m~*
24
1.
2.
3.
C (ex’ + ** +-CX dx = (ad2 - bd + C}n In Г* + d 1 +
3	Г"-1	1
+ (ax 4- b - ad) I £ (ad2 — bd + c)"-*-1 (ax2 + bx + c)k I dx.
~	f (x + d)m dx
2.13.	Интегралы вида J + bx у-уП
C (x 4- d)m dx __
J (ax2 4- bx 4- c)n
__ (2ad - b) (2ax + b) + 4ac - b2 (x + d)m+l .
2 (n — l).(4ac — b2) (ad2 — bd + c) (ax2 + bx + c)n~l
_____________2 (m — 2n + 4) a___________(x + d)m+l
+ (n - 1) (n - 2) (4ac - b2) (ad2 - bd + c) (ax2 + bx + c)n~2
Г 4 (2n — 3) a________2(m-n + 2)	1 f (x + d)m dx _
+ L (n - 1) (4ac - b2) (n - I) (ad2 - bd + c) J J (ax2 + bx + c)’1-1
_______2 (m — 2n + 4) (m — 2a + 5) a C	(x 4~ d)m dx
~ (n-l)(n-2)(4ac-b2)(ad2 — bd + c) J (ax2 + bx + c)"-2 *
---------J----Г-------(х + <*Г, '  +(m-n) (2nd - b) x
(m — 2n+l)n L (ax2 + bx + c) 1
'f (x + d^dx .	... ..	... .f (x + d)m~2dx 1
J (ax2 + bx + c)n	j (ax2 + bx + c)n J
=________1 ' Г (2ax + fc) (jt + d)m
= (n - 1) (4ac - b2) I (ax2 + bx + c)n~l
- 2 (m - 2n + 3) a --(x t d)'n ... _ m (b - 2nd) (  (* + d)W '	1.
’ (ax2 + bx + c) *	J (ax2 J- bx + c) * J
In | ax2 + bx + с I +
2ax 4- b
''jbac — b2
2ax + b — л/b2 — 4ac
2ax 4- b 4- л/b2 — 4ac
x . ad2 — с f dx___________2ad — b Г
T + a J ax2 + bx + c a J
(b — 2ad) x + 2c bd . b — 2aJ f_______dx
(^2 _ ^ac) (ax2 4- bx + c) , b2 — 4ac J ax2 4- bx 4“ c
2.14.	Интегралы вида j (x + d^ (fx2 + bx
f	dx * 4
4 (	+ dx
J ах2 + bx 4~
I arctg
+ 2ad - b ।
a Vl b2 — 4ac | j 1 .
[b2 < 4<w],
[fe2 > 4ас].
5 f (x + d)2 dx
J ax2 4- bx + с
6 (	+ d^ dx
' J Tax2 + bx + c}2
(x 4- d)m (ax2 4- bx 4“ c)n
- 1
_______J--------------U
(tn - 1) (ad2 -bd + c) L (x 4- d)m~x (ax2 + bx + c)n~'
+ (m + n - 2) (b - 2ad) (-------— ;-*------------- +
J (x 4- d) 1 (ax2 4- bx 4- c)n
4- (tn 4- 2n — 3) a (----m,»”"*;----------;rl*
J (x 4- d) 2 (ax2 4- bx 4- c)n J
25.
2 (ad2 — bd + c) l(n- I) (x + d)m-'(ax2 + bx + c)n~l +
. Г_________dx________m+2n—3 C___________dx_________'
} (x+d)^1 (ax2+bx+c)n^ n-1 J (x+d)m (ax2 + bx + c)n~\
____________1_______Г_____________!__________+
(m + n - 1) (2ad - b) L (* + d)m (ax2 4- bx + c)n~*
+ (m + 2n-2)a{---------dx-------------1 M2 - W + c == 0].
J (x + d)m~{ (ax2 + bx + c)n J
f____________________________!_____f_____________I__________+
J (x + d) (x2 + bx + c)n ad2 — bd + c L 2 (n — 1) (ax2 + bx + c)""*1
+ ( ad —-'И-----------------1- f_________—_________1.
>	2/J (ax2 + bx + c)n J (x + d) (ax2 + bx + с)п^1 X
6.
_______________________________________1	(* + a)2	.
(x + d) (ax2 + bx + c) 2 (ad2 — bd + c) | ax2 + bx + c | ’’’
.____________2ad — b__________
2 (ad2 — bd + c) Vl b2 4ac|
__________dx__________
(x + d)2 (ax2 + bx + c) w
2 arctg
2ax + b
л/^ас — b2
In I %ax + & —	—• 4ac
12ax + b + Vb2 —4ac
[b2 < 4ac],
[&2 > 4ac].
« -	- 1 Г1 _L *ad~b	1 n _ (* + a)2 К
ad2 — bd + c L x +	2 (ad2 — bd + с) ш | ax2 + bx + c |
. 2c (ad — bd c) — 2ad + b2 Г dx
ф 2(ad2 — bd + c)2	} ax2 bx + c
C xmdx
J (x2 + a2)n *
2.15. Интегралы вида
। f xm dx______________xm^x	_ m —-2n + 3 Г xm dx
J (x2 + a2)n 2 (n - 1) a2 (x2 + a2)n~l 2 (n - 1) a2 J (x2 + a2)n~l *
2	хт~г___________ (m — 1) а2 Г xm^2 dx
(т — 2п+1)(х2 + а2)п~* m-2n+l J (x2 + a2)n *
g ________— xm~{_______, tn — 1 f xm^2dx
’ ”2(п-1)(х2 + а^ч + 2(п-1) J (х2 + а2)Л^1‘
4 c f xm"“2 dx _ a2 C xm~2dx
J (х2 + а2)п-1 a J (x2+a2)ft*
5 Г x2mdx _	x2m+* Г 1
J (x2 + a2)n “ 2(n—l)a2 L(x2+o2)n“i *
П-2
, V' (2n — 2m — 3)(2n — 2m — ^).t. (2n — 2m — 2fe — 1)_1_____1 ,
2ft(n-2)(n-3)...(n-A-l)	a2*(x2 + a2)'‘"ft",J
J./ п«л2/п-2я+1 (2n —2m —3)(2n —2m —5) ... (3 —2m)(l —2m)
+ (-1) ° -----------------------
m
. x I
I 4-arctg—I.
26
r x2w+1rfx 1 А . .	fl2S
0 \ x ax s=_________L > (—C&	a_______________
J (x2 + a2)n 2	1 m (n — m + k — l)(x2 + eI)',-m+ft-1 ‘
n-m-2	,	, . ,,
1	V» (-1)* „fe / x2 \m+k+l
=	m+k+l п~т~2\хг+аг)
[n>m + 21.
Г x2m dx
J x2 + a2 “
j- (— l)w a2w-1 arctg -y.
9.
10.
$ ^--1E	- <>+
Г x2m dx
J (a:2 + o2)2
^2/п-Ы
2a2 (x2 + a2)
2«-l 2»»-з ГV (~l)'n+fe
2	Zj 2k -1
2fe-l	„ ‘
I . +(-!)'" arctg -±-
11.
12.
13.
14.
dx _=_____________x___________, 2n —3 Г dx
(x2 + a2)n 2 (n - 1>a2 (x2 + a2)"-* + 2 (n - 1) a2 J (x2 + a2)""1 *
n-1
x у» (2n—1) (2n —3)... (2ft —2fe+1)
“ 2n-l 2ft(n-l)(n-2)...(n-ft)a2fe(x2 + a2)rt“* +
dx 1
x2 + a2 5=3 a
arctg-J-.
(2n —3)!!
2п^(п-\)1а2л^
arctg—
a
dx	x
(x2 + a2)2'e 2a2(x2 + a2)
1	, X
2^arc^a«
lS C dx	x
J (x2 + a2)3 = 4a2 (x2 + a2)2
16-	+
3x , 3 _ ± x
8a* (x2 + a2) + 8a5 arctg a ‘
-- f x2dx	. x
17‘ iT2T^'=x-aarctg'?-
x3dx
x2 + a2
In (x2 + a2).
f x*dx x3 9 , 4	, x
I9, \ x2 + a2^-3-~ax+a arctg7*
x dx
(x2 + a2)2
1
2 (x2 + a2) *
x2dx	x ( 1 x x
(x2 + a2)2	2 (x2 + a2) 2a arCtg ’
x*dx	a2 , 1 . / о , ox
(x2 + a2)2 ~ 2 (x2 + a2) + 2 n + a
x4dx , a2x 3a л x
(x2 + a2)2 ~ x + 2 (x2 + a2) T arcfg a"’
27
83
tc + ;У »«>3 . (гР + гУ)гР8 =я t(t» + г*) У
тХ 1 I ‘ I	хр.
v
•— Эрде
(I + ^3) „(I-)
.р3рлв_£+*£ + .^
*	111
.	+ гУ и. >3  гУгРЗ  e (z° + г*) {У
гУ I I	хр
-2. 310JB XL _ угр _ = <г° + г*) гу
У II	хр
.гО + гХ	г»г	(гР	+ гу)у
гУ	I	хр
. (гр+г)^^°г
х 1+wO )
1+зглгг4-зг-ц'гр	г7	Жт? г*) wzx
А	хр
4	\-ги
•21
41
•01
*6
Qass й
. г3 т? (i+w)g0^ ,	+	“ г? Ъ_____(zv + zx) j+w^x
~7~ щ ^=>" т--------------^«=> Т--------------------
°	4	1-Ш
1 31Э,В iW , ,+^-w>5p (1+^)4 .(z” + zx)wzx С .
*	ш(1->	в-ш<1-)	ХР J
. 1~ш
.z° + zx ц[ + *-»(г° +г)*;”<?-">	- •!
2 1 1 1-«
. т-4° + гж)ж f + i-^p + Zh0(l~^g _ Лр + г*)у
хр J I	I	хр
( Zx У-*+ш » + *-? 7 «4-№(гр-)е _	..
ж.-Дг+г, ’ «<>-) ,_£ш	«
Jzo + ^-wx {  ъ™	1-^гр + гу) шЛ0Ц/^ Av + г) 1+шгж с .8
хр J I — и + tu	j—	хр	j
•171 - 11СГ7 -ИЭ1 V^+rX} f __________wrOlKl -Wg)_____________ (I-) 4-
г ,,s,s	Хр j (£ — 1«г + «г)г”(1+«s)(i — рз) “
|+?г-шгУ________угР (I + УЗ - W3)• • • (8 - шъ) (I - W8)_'г4 х
. I (I +уг —«г + ’"з)",(е —«г + «"г)(1 —«г + «<г),(i—)
х |-у(гр + г)<|-^4-^г)  ,г
.Лр + гу)г-шгж f гр(1-^> 
хр j£ — «г + «з
,_ „(гР + gX) ,_цгУгР (I - wg) „(гР + гУ) шгУ Г
I— -	хр J
. и(г° + гУ) щУ_ С вКиа П1Г в d лэхи ц '91'Z
хр J
f dx __	1	*	3 x
,5‘ ) x2(*2 + «2)2- акх 2а*(х* + аг} 2as arcTg a '
f dx _______________i '___________!__________i । x2
l6* J xs (x2 + a2)2	2a4 x2 2a4 (x2 + a2) a6 n x2 + a2 *
f dx	1 j______2 ।________f________l $	. _x
J x4 (x2 + a2)2™	3a4x3 ’’’ a6x 2a6 (x2 + a2) ‘ 2a7 агс & a •
18. S (x + 6)^ + ab °	1^ + N - |In (x« + «») + 4 arctg |].
2.17.	Интегралы вида j “(>2 — a2)"‘‘
f xmdx __	xm+1	m —2a 4-3 Г xmdx
J (x2-a2)" ”	2 (n — 1) a2 (x2 — a2)"'1 + 2(n-l)a2 J (^-a2)"-1’
___________хт~'________ . (m—l)a2 f xm~2dx
a (m — 2n + 1) (x2 - a2)""1 + m — 2n + 1 J (x2 - a2)n'
______—xOT-1____m — 1 f xm~2dx
2 (n — 1) (x2 — a2)"-1	2 (n — 1) J (x2 — a2)”-1 *
f xm~2dx 2 Г	xm~2dx
4* “J (x2 —a2)n-1 +a J (x2-a2)n-
_ f x2mdx	x2m+l r	j
' J (x2 - a2)" =	2 (n - 1) a2 I (x2 - a2)"’1
n —2
У n* (2n—2m—3) (2n—2m—5).. ,(2n—2m—2fe—1)______________1 _______1
~	2*(n — 2)(n —3). ..(n — k— 1) a2ft(a2 —x2)'1"*"1 J
j. (_ n«+ ia2m-2n+1 (2/t — 2m — 3) (2rt — 2m — 5).. .(3 — 2m) (1 — 2m) ..
г""1 (n— 1)!
. . Г V 1	( X \2*-t	1 , I x + a |1
X I /L 2A — 1 (. a )	2 n x — a r
L*-l	J
C x2m"dx 1 у	Скта2к____________
’ J (x2-a2)e ”	2 (n — m + k— l)(x2 — a2)'l-'”+*-1 *
2\m—«4-1
7.
n-m-2
.2
9.
10.
m + k+ i
ffi4* ^4-1
I [a > m 4- 2].
x2mdx
x2 - a2 ” Zu
л=о
а2Лх2т-2Л-1
2rn — 2k — 1
a2m-l
2
In
x2m+]dx
x2 — a2
1 V4»1 a2kx2m^2k a2m . . 2
2 L - m-i......+ — |nl*
t-o
x2mdx
(x2 - a2)2 ”
x2m+l
~2a2 {x2 ± a24
~	Л2/п-3
2
1
2k - 1 к a J
lln|A±£
2 I x — a
&
2
Л-0
m-1
x — a
29
11.	г			X		 2/2 — 3 С	dx J (х2 — а2)п	2 (« — 1) а2 (х2 — а2)"-*	2 (в — 1) а2 J (х2 — а2)"-1 ' rt-1
12.	х у» , J.fe	(2/t—l)(2n —3) ... (2n —2&+1)	 2n-l	? 2к(п — 1)(в —2) ... (л — 6) а2* (х2 — а2)"”* * t z t \п	(2п — 3)!!	, | х -j- а 1 + ( } 2"-1(»-1)!а2',-‘ Ь-а Г
13.	г	— 1 iLzifL 1 J х2 — а2 2а П 1 х + а Г
14.	f	dx	—х	1	| х + а | J (х2 - fl2)2	2а2 (х2 - а2) 1 4а3 Ш | х - а
15.	Г	dx _	х	u	Зх	3 , | х — а 1 }(х2-а2)»“	4а2(х2 —а2)2 1 8а«(*2~в2) 1 16а6‘п|х + аГ
16.	С х dx -	1 . к «	а. \ —2	г —тг tn [х1 —а2 . j Х‘ ~ Q2	2
17.	Г x2dx	а . [ х + а | J ?-а2 -х"- 21вЬ-в |-
18.	(_i!^_==^ + 41n|x2-a2|. J г - а2 2 1 2
19.	Г x*dx	х8 9 а9 , 1 х +а 1 J х2 — а2 3	2	| х — а |
20.	Г xdx	1 J (х2 — а2)2	2 (х2 — а2) *
21.	С x2dx ___	х	1 . I х — а | J (х2 - а2)2	2 (х2 -а2) 1 4а 1П | х + а Г
22.	Г x*dx	а2	. I . । 2	.. \ 7^9	2X2“= ~ 7Г7~9	2Г + 7Г 1Н х	а • J (х2 — а2)2	2 (х2 — а2)	2	1	1
23.	( х*^х 		q2x	За . | х + а | J (х2 — а2)2 Х 2 (х2 — а2)	4	] х — а |*
2.18. Интегралы вида
1.	Г	dx J х2т(х2-а2)п “ 	1	 . 2т + 2/г—-3 Г	dx	 (2т — 1) а2х2та“1 (х2 — а2/1’1 (2га — 1) а2 J х2гп~2 (х2 — а2)* 	1
2.	(2т + 2п — 1) (Xs — а2)'1-1 т V V* “Ь	3) ... (2т + 2n — 2fe + 1) , Х	(2т - 1) (2m - 3) ... (2m - 2k + 1) а2кх2т-2к+1 j. (2n-l)(2»+D	(2n + 2m-3) Г dx 			(2m - i)lta2m	" ) (x2-aT	1см. 2.17.1Ц
3.	Г	dx		 J x2m+1 (X2 - a2)” 	1	 . m + л — 1 C	dx	 2m(^^m (x2 — a2)ft~l	ma2 J x2”*”1 (x2 — a2)*
30
m+n-1	.
1 V (-D*	/ха-аа\*-"-М
в2а2(т+Л) Zu k-n+1 m+'»-1V X2 )
й=о
dx ___________________— 1_________
x (x2 - a2)n £ (л - 1) a2 (x2 - а2)л“1
1 f dx
a2 J x (x2 — a2)n~'i *
n-1
1 У___________(~l)fe . (-1)" ta xa
= 2 Zu (e-fc)^(x*-a*)n-*	2a2" lx2-а2 Г
zn-1
dx _y	1	,	1	| x — a I
x2m (x2 - a2)	(2k + 1)	+ 2a2m+1	| x + a f
R "V
m-l
______dx = 1 V ___________________1__________
x2m+1(x2 —a2)	2 “ (tn — k) a2(ft+l>£2("*-fc)
1	1	**
~ 2а2И+О Ш 1ж2-а2Г
m-l
dx _______ p	m — k
x2m (x* - a2)2	(2k 4-1) a2m~si+s x№ +1
________x__________, 2m + 1 . I x+a I
2aw(x2-as) + 4а2й*+3	] x-a f
dx JL in I ~ g2 Г
x (x2 — a2)	2a2 x2
11, C_____dx____ JL t
J x2(x2-a2)	a2x
12. 1	L dx	1	,	1 . |x2 —a2| 1 2a4 ln x2
	) x3 (x2- — a2) “	“ 2a2x2	
13 V ^x —	1 I 1 f, 1 tn I I
j x4(x2 — a2)	3a2x3 *" a4x 2аб I x + a Г
dx __	1	,1.x2
x (x2 - a2)2	2a2 (x2 — a2) + 2a4 tn | x2 - a21 *
dx ______________1	x__________3. 1 x — rz|
x2 (x2 — a2)2	e a4x	"* 2a4 (x2 —	а2) 4аб	n	[ x + а г
dx	1	1	, 1	, x*
x3 (x2 - a2)2	2a4x2	2a4 (x2 - a2) + a6 |x2 - а2 Г
17. f dx =- _ _!_____________?___________x । 5 . I x + a J
J x4 (x2 -r- a2)2	3a4x3 a6x 2a6 (x2 — a2)	4q7 n [ x — a
18 f dx
‘ J (* + Ь)(х2-а2) ~
e a2 — In ।^ + 61 + 2a (a+b) ln 1л ~ a • + 2a ,n 1x + a к
2.19. Интегралы вида J-^ту^зуТ-
X f хт dx	xm+1_________ m — 3n + 4 f xm dx
J (x3 + a3)ft ~ 3(n- l)a3(x3 + a3)*~x	3(n-l)a3 J (x3 + a3)71’1 ‘
31
2.	__	xm*2	(m —2)аэ C xm~3dx . (tn — 3n + 1) (x3 4« a3)*-1 m —3a 4-1 * (x3 4-aa)rt	*
3.	С Х>П dx	хтп~2 _ з C	dx J x3 + a3	tn — 2 a J x3 4* a3 *
4.	f dx		x	. 3n — 4 Г	dx J (X3 + a3)" = 3a3 (n - 1) (x3 + a3)"-1	3a3 (n — 1) J (x3 4- a3)"-1'
5.	C x d* a-,	x*	д_ 3a — 5 Г	x dx J (x3 + a3)" 33 3a3 (n — l)(x3 + a3)n~l За3(л—1) J (x3 + a3)a“‘‘
6.’	Г dx	I . (x + a)2 	.	1	2x — a J x34-a3	6a2 x2 —ax4-a2 a2 Уз	ay/3
7.	C x dx	1 . x2 — ax + a2 .	1	. 2x — a J x3 + a3 6a	(x + a)2	a ^/3	а л/з
8.	C x2 dx 1 ।	, я, J x3 + a3==3ln|X +a '•
a	C x3 dx	. a . x2 — ax + a2	a	. 2x — a J x3 + a3	6	(x + a)2	Уз	a УЗ
10.	C	dx	- 1 - | x8 | J x(x34-a3)	3a3 nj x34-fl3 |‘
IE	C	dx	1	.	1 .	(x + a)2	1	. 2x — a J x2(^3 + a3)	a3x 6a4 x2 — ax 4- a2 a4 ^3	ал/з
12.	f	dx	I	1	(x + a)2	1	2x — a J x3 (x3 4- «3)	2a3x2	6a5 x2 — ax 4- fl2 fl5 Уз	a Уз
13.	f	dx	x	1	(x + a)2	2	2x — a \ 				 	|n —i——-	1	arctg	7=r. J (x3 4- fl8)2	3a3 (x3 + a3)	9a5 x2 — ax 4- a2 3a5 y3	a y3
14.	f x dx	x2	,	1 , x2 — ax 4- a2 ,	1	, 2x—a J (x3 4- a3)2	3a3 (x3 + a3)	18a4	(x + a)2	3a4 v3	a v3
15.	Г x2 dx 		1 J (x3 4- a3)2	3 (x3 4- a3) ’
16.	C	dx		I	.	1 . | x3 I J x (x3 4~ fl3)2	3a3 (x3 4-fl3) г 3a6 n | x3 4- fl3 i
17.	Г	dx	1	4 ) x2 (x3 + a3)2 3a3x (xs + а3) Зл6х , 2 .	(x + a)2	4	t 2x~a 4	In —-—-— 	arctg	. 9a7 x2 —ax 4-fl2 За7 у3	ауЗ
18.	C	dx		1	5	__ J x3 (x3 4- fl3)2	3a3x2 (x3 4- fl3) 6a6x2 5 ,	(x + fl)2	3	. 2x — a 	In —	-7=- arctg	7=-( 18a3 x2 — ax + fl2 3a8 y3	a y3 Г x77^ dx 2.20. Интегралы вида \ 7 4 7 4'vr* J 4“ fl )
E	C xmdx 		xm+l	, 4д — m — 5 C xm dx J (x4 4-a4)n 4(n — I)a4(x44* o4)"-1	4(a—I)a4 J (x4 4-a4)'1"1 ’
2.	=	 xw~3	_ (m — 3) a4 f xm~4dx = (m — 4a 4-1) (x4 4-fl4)n“l m-4л 4-1 ' (x44-«4)'1*
82
. f dx -	1	- х2 + ахл/2+а2 .	1	. ax
4к \--:--——ет!ц —T---------7^	4-----7=- arete---—.
J e4 4fi? V2 x X2 —' ax V2 +a2	2a’ л/2	a2 — x2
5.	f x dx	1	. x2 j x4 + a4 “ 2a2 агс a2 *
6.	f x2 dx	1	. x2 — ax V2" + a2 .	1	.ax д/Т J x4 + a4 4ад/2 x2 + ax^2+a2 2a	a2 — x2
7.	t x2 dx	1 . / < . b4+a‘a4,n(* +a)*
8.	Г xm dx	xm+{	f 3 — m Г xm dx j (%4 + a4)2	4a4 (x4 + a4)	4a4 J x4 + a4 *
9.	f dx 3(x44-a4)2“ x	,	3	, хг +ax л/2- + a* .	3	. ax ==	1	— In 	!		h 	7=- arctg	-	. 4a4 (x4 + a4)	16a7 V2 x2 — ax д/Т + a2	8a7 V2	a2 — x2
10.	Г xdx	x2	.	1	. x2 J (x4 + a4)2 = 4a4 (x4 + a4) 4ae аГС g a2 ’
11.	Г x2 dx J (x4 + a4)2 8=1 x’	.	1	. x2 — ax л/2 + a2 ,	1	.ax л/% 4a4(x4 + a4)	16a5 ^2 x2 + ax ^2 + a2 8a5 V2	a2 — x2
12.	C , x3 dx	1 j (x4 + a4)*	4 (x4 + л4) * 2Л1.Ивтегралы вида j х„(? + а()в.
1.	Г	dx	—1	' -	__ J xm(x4 + a4)a (m — 1) a4xm“4x4 + а*)п~{ m + 4n — 5 C	dx (m— })a4 J xm~* (x4 + a4)rt *
2.	e l Г	dx	If	dx a* J xm (x4 4- а*)п~\	a4 J xm~* (x4 + a4)rt ’
8. .-л	C dx	> . x4 J x (x.4 + a4) 1=2,4a4 >	x4,+ a4 * f	l„, : /  C x2dx "
*•	J x2(x44-a4) ™ a*x a4 J x4 + a4'
6.	f	dx	1	1	. к*	;	; 3 x3(x4 + a4).	2a4x2	2a* ,rc ® "a1"’
A	f	rfx	1 vc-	 •	in x*, 	- J	x(x4 + a4)2	” 4a4 (x4 + a4)'	4a*	x^+ a^*
7.	f ; dx -	" J-;1 r : „ x*'/ :	r~~g-- f jifidif: } x* (x4 + a4)1	a’x 4a^ (x4 + a^)	4a* Jx^ + e4*
2 Ю. А. Брычков и др»	. ; -
ллл т,	С хт dx
2.22.	Интегралы вида J ^'^а4)^*
Г хт dx______________xm+i_________. m ~ 4n + 5 Г хт dx
’’ J (х4 - а4)“ “	4 (и - 1) а4 (х* - а4)""1 + 4 (п - 1) a4 J (х4 - а4}"-1'
2	_	хт~3__________(т — 3) а4 f хт~4 dx
(tn — 4/t + 1)(х4 — а4)"-1 /п —4«+1 J (х4 — а4)*’
f xmdx	хт~3 , Л xm~4dx
* J х4 — а4	m — 3 ‘ а J х4 — а4 ’
f xdx________t_. |x2- а2 |
* J x4 — а4 4а2 x2 + a2
л f x2 dx 1 t I x — а I , 1	. x
6. \	--r = -T- In --:--- + -T— arctg -2-.
J x4 — a4 4a I x + a | 2a e a
8 С x™ ^x______________* m —3 f xm dx
J (x* — a4)2 ”	4a4 (x4 — a4)	4a4 J T4 — a4 *
л f dx	x ,	3 t I x + a I , 3	. x
*• J <X4 - a4)2 “	4a4 (x4 - a4) + 16a7 n | x - a |+ 8a7 arctg ~a ’
,л f xdx	x2	1 x2 + a2
J (jf* a4)2 “	4a4 (x4 - a4) "t" 8ae | x2 - a21 '
Sx2dx	x3	1 . I x — a I , 1	. x
(x4 ^ a4)2 “	4a4 (x4 - a4)	16a8 П | x + a | + 8a8 arctg 7’
12 f x^x -n____________?___
j (x4 — a4)2	4 (x4 — a4) ’
2.23.	Интегралы вида \ (xfL а*)*'
f dx________
J x^ (x4 — a4)a
_______________1__________ , m + 4n — 5 C ______dx______
(tn — 1) а*хт~~1 (x4 — a4)rt~1 (tn — 1) a4 J xw“4 (x4 — a4)rt ’
______1 f dx_______________1 C____________dx_______
a4 J xm (x4 — a4)/l“1 a4 J xm“4 (x4 — a4)*1 ’
f dx	1 . x4
J x (x4 - a4) “	4a4 n | x4 - a41 *
4 C d* 1 4- JL C x*
’ J x2(x4—-a4) e l?x + a4 J x4 J- d4'
к C	J	» 1
j x3 (x4 — a4) id4x2	Xй -f"	’
A C & e	t_______L 1 In
®' J X(x4^-a4)2	4a4 (Я4^ a4)	4a«	|£F<'S’’|'
34
dx
-—г.тт; “Tn •
(ax4 + bx2 + c)n
r xm dx	____________xm~3________________
3 (ax4 + bx2 + c)n	(m —4n+\) a (ax4 + bx2 + c)n~l
(m — 3)c f	xm~4 dx __ (m — 2м — 1) f	xm~2 dx
(tn — 4n + 1) a 3 (ax4 + bx2 + c)n (m — 4n+ I) a J (ax4 + bx2 + c)'1 *
__ 1 Г_____xm~4 dx __ cC xm~4 dx —
a 3 (ax4 + bx2 + c)n~l a J (ax4+bx2 + c)n
— — C xm~2rfx
a J (ax4 + bx2 + c)n *
C ______dx______________ abx2 + (b2 — 2ac) x__________
J (ax4 + bx2 + c)n ~~ 2 (n - 1) c (b2 - 4ac) (ax4 + bx2 + c)n~l +
,______(4n — 7) ab f________x2 dx______ ,
2 (n — 1) c (b2 — 4ac) J (ax4 + bx2 + c)a“l
2(n - 1) (b2 — 4ac) + 2ac — b2 Г	dx
2 (n — 1) c (b2 — 4ac) J (ax4 + bx + c)n~l *
C _______dx_________e________________-1______________
J xm (ax4 + bx2 + c)n (tn — 1) cxm“l (ax4 + bx2 +
(/n+2/г—3) b Г _____dx____________ (m+4n—5) a f__________dx_______
(m—\)c J xw“2 (ax4+bx2+c)n (m—i)c 3 хт~4(ах4+Ьх2+с)л *
f dx____________
J ax4 + bx2 + c
2a /Г______________dx____________
V^2 — 4ac 2ax2 + b — Vb2 — 4ac
__________dx_________
2ax2 + b + V^2 — 4ac
[62 > 4ac],
1 Г . a . x2 + 2x Vc/a cos (a/2) + л/с/а ,
—5--------I sin у In----------4---------------------r
4 sin a	x2 — 2x *\/cla cos (a/2) + л[с[а
+ 2 cos — arctg —у ——1 Гь2 < 4aa: cos a —--------------T=“l-
2 2x^cja sin (a/2)	2 ^aG
1	, ^/a x2 + д/2 ^ac — b x + л/с .
---	1П —2---------==----------------7— “Г
4 yc (2 л/ас — b)	л/ax2 — л/ъл/ав—bx + л/с
+------- ..-J 22"—  arctg	[a, c > 0; b2 < 4ac].
2 yc (2 ^/ac + b) x л/2'/ас + b
8.
9.
10.
2*
	dx__________abx2+ (b2-^2ac)x___,
(ax4 +_______________________________bx2 + c)2	2c (b2	— 4ac) (ax4 +	bx2 + c)
t b2 — 6ac C______dx_________ab	C x2 dx
2c (b2 — 4ac) J ax4 + bx2 + c 2c (b2 — 4ac) j ax4 + bx2 + c 9
2aX^ + b-^-4ac	[&2 >
2ax2 + b + V^24ac
[&2 < 4ac[
--------------------------- in
ax4 + bx2 + c 2yb2 — 4ac
1	. 2ax2 + b
л/4ас — Ь2 л/4ас — Ь2
SO
dx
IL
12.
xg dx __ 6 + V&2 — 4ac____________________________
ax*+bx2 + c *jb2 — 4ac -J 2ax2 4- 6 -p Vd2 *— 4ac
b — 'Vb2 — 4ac f	dx	ft,^ л ,
Vb2 — 4ac J 2ax2 4- b — у b2 — 4ac
'_____1__________J f ________________x dx________’_______
4a (V^/(fa) ~ b/(4a)]l/2 (J x2 — 2 [л/сЦ4а) — 6/(4a)]t/2x + 2*Jc/(4a)
__ f _______________xdx__________________1	2
J x2 + 2[Vc/(^-Z>/(4a)]l/2x + 2V^7(4a)“j 1	**
2.
a.
2.25. Интегралы вида
At'
xm (ax2k + bxk + c)n dx = —
* n dx.
(m+l)c
- ("1+w+4~nc+1>t S«"+t<“’1 +1*‘+«>""«-
- >+(^+l)l+ll“ ('“+ “ +4'*+e)"
xm+1 (ax2* 4r bxk + c)n __ nkb f
m+1 H
2nka
m 4-1
m+ 1
\n~ldx.
(m 4- 2nk + 1) a
(m-2k+i)c f m_ 2ft ik k
(m4r2n*+l)a J {aX +bx
(m + nk-.k+l)b f ,
“ \m + 2nk+l)a J )ж
д.ш+1 ^8» + bxh + cytt	2nkc C m
m + 2nk + 1	. * m +2nk +1 J
 ЫЬ ( ян
'	Tm + 2/i*+lJ
dx,
xmdx
(m — 2пЛ + 1) fax2* + bx * 4- c)n ~1
xm-2Xdx (m—nk^k+{)b :f < x^kdx
.я
fax2* + bx* + c)n
(m-2fe+l)e f __
; (m-^2nk+\) а Д fax2* + bx* + 4" Am — 2rik + 1) a (dx2*+tx^cjn f
л t dx ” ’ '	' -T
xm (ахай 4- bxk + c)n (m —	(ax2* + bx* +.«)'’“*
— + 1)^ ____________ _
(m-j- l)a J (ax2A 4- bx* 4- c)a -	* ' ...
_ m 4-	— 1 Г______•' ifx -< ' " l-
(m—l)c j xm~a*(ax2*+ bx* 4- c)n
dx
i*"1 dx
8Й
2.26.	Интегралы вида j х«+1Д (ах ± j)±" dx.
1.	( хт+1/2 (а* ± b)a dx - 2xm+3/2 У с*	t—г4“.
J	Zu « 2k + 2т+ 9
4-0
2.	С xm+l/2rf* _______xw+1'2	2m+l Г xw~1/2rfx
*	(ax±b)n (л— l)a(ax±b)n~l 2(п — 1)а J (ах ± 6)rt“l "
л р л2т~^2 л/
*•	J (T^dbW	(/=s Vx; см. 2.15.11 - 12, 2.17.11 -12].
4.
б.
6.
Г xm+i(2 dx = g V (Т 1)* ^fexzn-fe+1/2
} ах ±Ь 2L (2m -26+1) aft+1
С ?/2 dx 2xlz2
J ах + b
С х^2dx
J ах + b
2
a
2ax^2-3bx^2
_ За2
dx
x1/2 (ax ± b)
x{/2dx ~ xl/2	1	/ax
(ax + b)2 a (ax + b) + (a3b)"2	* Л/ b ’
Г x^2dx 2ax3/2 + 3bxXf2	/ax
J (ax+b)2 *” a*(ax + b) “8l«J arctg Д/ b '
C x{f2dx	2xlf2	/	b \1/2. VF — 'yjax
\ ----------------h I — I In --------~=r .
J ax — b	a	\	a3 J	*/b -Y^/ax
Г x^2dx	_ 2ax3f2 + 6bx'l2	p3YZ2tn УГ + У^Г|	•
J ax — b	3a2	\ a5 / VT — *fax	|
f e *l/2  .	1 |n I УГ — Vox' I
J (ax — b)2 a (ax — b) 2 (a3b)^2	| VF + ^ax |*
x3f2dx 2ttx3Z236x1/2	3 / b \1/2|n
(ax — b)2 a2 (ax — b) 2 \ a3)
2.27.	Интегралы вида J	лМз—
C(ax±b)n 2 A	a* (± »)""*<*
•) xm+i/2 a xm-l'2^ a 2k-2m+l /
2 I ax	- T ———±—_ -	4-
J .xm*ll*{ax ± b)n (2m — 1) bxm~lf2(ax dib)n~l
гр	~~ ?>a f dx 4 e- 2 ; C.	.
(2m - 1) b J xn~112 (ax ±b)n“ ан Л ±6/a)ft
87
5.
6.
dx
x1'2 (ax + b)2
______dx
x3'2 (ax 4- bf
x"2
b (ax + b)
.	1 i	I ax
b7^T?arcg/V
3ax + 2b
b2xlt2(ax+ b)
	•	dx			l_In	V 6	ax 1
7.	) xxl2 (ax — b)	(a*)1/2	Vb + л/ax Г
O 1	*	dx	= 2- + f-^Y/2ln	
о. 1	i x3/2 (ax — b)	bx^ 1 U3J Vb +v^ 	
Л 1	"	dx	x'f2		1	1	V& + Уях
V.	i x^2 (ax — b)2	b (ax —	b) 2 (aft3)1/2 л/Ь-л/м '
гд I	'	dx	__ %b — Зах	3 / a \1/2 1 л/b — Vax	
Iv« 1	1 x3/2 (ax — b)2	b2xi/2 (ax -	- b) 2 \ b3J | Уб +Удх
2.
3.
4.
5.
a xm+l/2
2.28. Интегралы вида \	j_ -2:’„ dx.
j	-j- a )
f Xm+1/2	xm+3/2	, 4n —2m —7 f xm^ J
J (x2 + a2)n 2 (n — 1) a2 (x2 + a2)"'1 + 4 (n - 1) a2 J (7^7?-^*
f *m+1/2 .____Д*
2m — 1	J x-
d,_;y (-•!)‘-1
Zu 4m — 4k + 3
k*\
m”1	/	2\k
у <-;>*
a2 La 4m — 4k + 1
k~o
7вв~Щ^Хп
d*-1	2 dx
x2 + a2
*2m4-l/2
dx.
6.
1.
2.
8.
a2
.2m 4-3/2
x1'2 dx
x + g —• У2дх
x + a + л/2ах
x + a
x*2dx
4
2.29. Интегралы
xm+l/2
(x2-a5)n dX
xm+\/2
x2-a2 dXs=
2m 4-1/2
x2
x2m+3/2
вида
x^2 dx
x2 + a2
x3/2 dx
7 J x2 + a2
1	. ^2ax
=• arctg ------
2a
x + а — ^2ах
x + a+^2 ax
. xm+l/2
i (x^ - a2)a dx‘
xm^l2
x — a '
. ^2ax
arctg -2----
x — a
4n — 2m — 7 f xf»+i/2
2 (n- 1) a2(x2- a2)”-1	4(n - 1) a2 J (x2-a2)n~ldX
2 *m-1,2+a2№^dx-
2m — 1
m
m-1
F) 2m-2^4-3/2
4m — 4k + 3
X^2<fx \
X. a2 r
a2k 1.2m-2fe+W2 । 2m f X*12 dx
___....«*4^+1	"** j x^ — a2 *
Л«о
4.
38
2.30. Интегралы вида xm(ax4-&)n+1/2dx.
l.	^xm(ax+b)n+l'2dx =
2(ax + b)n+3'2 Д
-------7Ж-------£ 2т + 2П-2Ь + 3 <аХ + *>	'
k -о
2.	( (ах + bf+^dx - г-~1 (ах 4- 6)п+3'2.
J	\£Г1 ”р О) 1л
8.	j хт (ах + &)1/2 dx ==
- (йгтаг <“+- (sSV $«”-<“+‘),в
Б. (ах + 6)1/2 dx — ~ (ах 4- Ь)312.
6.	х (ах 4- 6)1/2 dx =	(ах 4- Ь)3/2.
7.	5 ? (а, + b^dx-	[±!£±«L_ ?* <“+» + £]+ 4)зВ.
8.	J ,»(ах+8>'*+ 3g<»»+t)(<u+t),„
9.	( (ах + И1’ dx = ~ (ах + Ь)3^.
j	ъа
10.	( X (ах 4- 0)3/2 dx = ~	2-2Z>) (ах 4- 6)5/2.'
J	иОДЛ
11.	J «! (ах + »)»Лх - A piiAffi. _ 2»<" + »> + 4] („ + „W.
12.	J х3 (а«+4)»*. A	«Hi£+i>i+	(ox+6)S«
8 Г (ах 4-6)rt+^ dx
„„ „	f (ах 4- 6)n+,/2 ,
2.31. Интегралы вида \ -----------------dx.
j С (ах 4-	1/2 . (ах 4- Ь)п+3/2	(2п -2т+ 5) а Г (ах + Ь)п+112
J хт	(m—\)bxm~l 2(т—1)6 J хт~1 Х'
2.	=	2(ах4-6)п+1/2 ~ , (2а 4-1)6 Г (ах 4- 6)п~1/2 .
(2л — 2т + 3) хт~~{ 2n — 2m + 3j	хт
2 (ах 4- Ь)’+1й , . f (ах 4- 6)п"1/2 .
------2МП------+ 6 J--------»---dx'
.34»
А г (ах + Ь),/2 ,г _ _ (ах + Ь^ (8-2m) a f (ах+Ь)'ю
4- J ---------dX (rn-l)bxm~i+ 2(m-l}bi xm~l
[Ь > 01,
(ax + b)1/2
X
W^dx-
X
(ax + b)112 + b112
- 2 (- б)1* arctg	I* < °b
(—o)
6.
7.
8.
9.
10.
t-6)lz j.flf dx
x 2 J x (ax +
'"V'-<»--------2£±r- <" + Я1'" - -(----------^-rr-
x3	4bx2	86 J x(ax + 6)i/2
(ax + b)3/2 dx 2_ (ax + t)3/2 + 2b (ax + 6)!/2 + b2 Г-dx „ .
X	3	J X (ax + 6)1/2
(ax + b)312	_	(ax+b)5!2 3aC(ax + b)312 .
x1	bx + 2b J x d
(ax+bfl2 _	_a_\	5/2	3a2 Г (ax + 6)3/2
x3 aX к 2Лх2 + 4Ьгх )(ах+°> + 8F J ---------------x-----
dXa
11.
-Нас +М,Й
In
(ax + 6)1/2+ (ac + b)1/2
/1^.4-hi \V2
\ac + b > 0],
[ac + b < 0].
(ax 4-1>)1/2
X — c
f x^ dx
2.32. Интегралы вида \---------——rzr.
J(ax + b)n+,/2
h f xmdx -	2 у	(ax . b}m->
J (ax +1)"+1/2 e'n+1(ax +6)n-l/2 2m —2n —2Л+1	\	*
2 f d*_______________________2	“
' J (ax+t>)"+,/2	(2в-1)а(ах4-Й)п-‘/2’
xmdx^ -------------?------x« (ax +	-------(
(ax + b)112 . (2m + 1) a	,	(2m + I) a J
8. 1
.A •
xm~ldx ’
dx
(ax 4- b}^
e. 1	„2(ax-2b) ll2
J (ax + t»),/2
7	C	**dx	=	2	Г (я*	+ 8)а
7	J	(ax + b)1-2	=	«3	L	5
f	x7 * 9dx	2	Г (ax	+ b)»
J	(ax + b)l/2	“	a4	L	7
2b(ax^b) + 621(ахц_6)1уа.
3 <	J
8b (ax + b)2. ,.2 1, . .u/2
-----------— 4- ab x I(ax4-b)' •
о----------J
40
dx _	2
(ax +*6j3/2 a (ax 4- b)it2 *
10.	f x^x	2 (ax + 2ft) J (ax + ft)3/2 a2 (ax + ft)l/2 ’
11.	t —Х*?Х~з/2 “~тТ (аХ + &-~ “ 26 (ax + 6) - ft4]	1— J (ax + b)3/2 a3 L 3	J (ax + b){/2
12.	C—x* dx—~ в АГ(ax + f>)8. - ft (ax + ft)2 + 362 (ax + ft) + ft2]	L— J (ax + ft)3'2 a4 L 5	J (ax + b)il2
2.33. Интегралы вида \------------
J xm(ax + b)n+42
C______dx______
J xm(ax + b)n+[}2 ~
______________1_____________(2rt+l)a C dx
(tn — 1) xw~- (ax + b)n+v2 2(m — 1) J xm"~{ (ax + Ь)п+^2 *
__________— 2______________2m f___________dx______
(2n—l)axm(ax + b)n~V2 (2n—l)a J xw+1 (ax + 6)rt“l/2 ’
q в9д'П~1 ( ___
3‘ J ^(?-ьУ
[/« Vox + b\ ем. 2.16, 2.18].
dx _____________________2_____________, 1 Г dx_______________
x (ax + b)n+{/2	(2n —• 1) b (ax + b)n~^2 b J x (ax + b)n~^2 *
в. j	dX —		(ax + b)^2	(2m — 3) a |	Г	dx	
	к xm (ax + b)U2	(m-V)bxm~l 2(m-l)ft . 1 . (ax+ b)il2-bil2 |	| xm-l ^ax jjl/2 •
	^x	ft**	(ax + b^+b^l :	I* > 0),
V. 1	l x(ax-f-6)1/2	2	. (ax + ft),/2 (_h)*/2arct£ (_ 6)1/2	1X0].
7 ( dX «- —	+ &)1/2 fl f dX ; /
J хЦах + Ь)[/2	bx 2b J x(ax + b)lf2*
J x3(ax + b)[/2	4b2x2	'	8b2 * x (ax-fc bfl2*
9, (________—----------------- 2	4. JL ( ^x
J x(ax + b)3/2 ' b(ax + b)i/2 b J х(ах + Ь)^*
f dx	-3ax — b За f dx .
' x2 (ax + b)312 b2x (ax +1),/2	26s J x(ax + b)112
’____1	, 5д 16aa\	1	, lSaa Г dx
. 2bx2 4b2x 4b3 J (ax + ft)1^2	863 J x (ах +;Ь)^2 *
12- !ax^!wi^dx -x+2	[<a*+>),/2 -d in । ^*+6>,/2+i-
J (ax + b)4* + d	a
41
2.34. Интегралы вида J (ах + ft)4m+,/2(cx + rf)4”+1/2</х.
1 {1аг 4- />^+1'2 <сх 4- <n"+v2 dx - (^ + b)m+l,2<cx + d^l2 _
1. (ах + b) х (сх + d) dx = (m + n + 2)c
-	<“+w"'"2<“ + *’+"’Л
2 \tn т Т J
2. =(cx + d)n+3/2X
у» (—1)* (2m + 1) (2ffi — 1) ... (2m — 2fe 4- 3) (ad — bc)k .	. цв-щд t
XZu (m + n + 2)(m + n+l)...(m4-n-* + 2)cft+I
л«=0
mil	1/2 у (2n + 1) (2n - 1) ... (2n - 2fe 4- 3) (ad - bc)m+k+'
+(-2c)m+1(aA: + 6) A 2ft(m+« + 2)(m + n+l)...(n — £4-l)a*+1 *
«=0
(m+n + 2)!(—2c)m+1 (2«)n+* J ^J(ax + b)(cx + d)
f (ax+b)m+l12	1 (ax + b)m+l12
’ J (ex + d)*™ d (m — n+l)c (ex + d)n~"2 “
__ (2m + 1) (ad — be} f (ax 4- ft)fft~1^2
2(m-n+l)c J (cx + d)n+l/2 X'
4	_________2_______ (ax + b}m+Z12
(2n — 1) (ad — be) (ex + d)n~1/2
+ 2 (я - m - 2) a f (ax 4- b)m+'ls
(2n — 1) (ad — be) J (cx + d)n~112 **
S. =(ax+&)m+3/2X
E" m 2 (n —m — 2)(n — m--3)... (n —m —k — l)2k+i a*	1______
(2n — 1) (2n — 3)... (2n — 2k — 1) (ad — bc)k+i (ex + d)n~k~l/2
fe»O
[n^m+ 2].
C________ dx____________ e______________- — 2___________________
’ J (ax + d)m4*l/2 (ex + dY1*^ (2m— 1) (ad — be) (ax+ b)m~[,\cx+d)a~y2~'
_	2(m + n— 1) C _____________dx_________
(2m — 1) (ad — be) J (ax + b)^^2 (ex +	*
’’	= (cx + d)n~112 X
yl (m + я — 1) (m + n — 2) . . (m 4- a — fe) (—2)ft+1 ck_1___
X Zu (2m - I) (2m - 3)... (2m - 2k - 1) (ad - bc)k+l (ax 4- b)m~k~*
+ £=Йг<“+‘’,'!><
у» (m + n-’l)(m + n — 2)... (n~-k)2fe+t ak_________1______
X Д (2» — 1) (2n - 3)... (2n - 2k - 1) (ad - bc)n+k+i (ex 4- d)n~k-li2 ‘
R"»0
8. ( . d* - - = -4= in Wc(ax + b) 4- ^a(ex + d))
J ^(ax±b)(cx + d) yac
[ac > 0; x > max (— b/a, — djc)}.
42
9.	“ “ T/iTT ,П (V— с (ax + b) + V— a (ex + d))
у ас
[ас > 0; x < max (— fc/a, — d/c)]}
1	. e (ax + Z>) + a (ex 4 d)	r . A1
[0.	----------—-r aresm —------!--------------- [ae < 0].
V~ ac	| ad — be |
11.	(---------,	. -
J (x — a) V(a* + b)(cx + d)
a _	1 ln (V(ca + ^) (a* + &) — V(aa + 6) (ex 4 d)j2
V(a«+ b)(ea + d)	|x —a|
[(aa + b) (ea + d) > 0; (ea + d) (ax + b) > 0; (aa + b) (ex + d) > 0].
[2	»	1 ]n [V"“ (ga + (ax + &) ~ V— (aa + b) (ex + J))2
V(a«+ b) (ea + d)	|x —a|
[(aa + b) (ea + d) > 0; (ea + d) (ax + b) < 0; (aa + b) (ex + d) < 0].
14 e	1	(cct +	Ю + (e« + b) (ex + d)
V— (aa+ b) (ca+ d)	| (ad — be) (x — a) |
[(aa + b) (ea + d) < 0].
2.35.	Интегралы вида xp (ax + ft)*I/ftdx.
1.	f (x, л/ах +ft ) dx = J f (* a Ь ,	*л-1 dt	[/ = Vax + ftj.
2.	\ xp (ax + b)Vn dx «
“ (np + n +l)a. xP(ax + Ь>'+'/П " (np + n+ i j a- J (ax + dx'
3.	J xm (ax + ft)1/n dx
(ax + 6)’+'/» У ._215~.6)-(ax + b)m-b.
am+1	m^k+l + l/n
к «О
4.	J (ax + 6)1/n°-(-^jja (ax + ft)'*1/».
_ f (ax + b)lln . _=_ (ax + ft)1+1/B _ (tnn — 2» — 1) a Г (ax + b)^n
J xm	(m — ].)bxm~l (m—l)nb J xm~l X'
6.	J .<ax + &V^ dx = n (ax + 6)1/rt + nbx‘n J [f = (axlb + I)1/";cm. 2.3].
7.	( —x,” dx = -----------xm (ax + ft)1 “1/n -
J (ax + b)V (tnn + n — 1) a
________________________________________tnnb C xm^x dx
(mn + n—\)a J (ax + 6)1/ft‘
&	=-7r+r(ax + &)t_1/n У —Ь)----------(ax + ft)"*-*.
a	hom~k+i~{ln
dx
(ax + b)^n
-—2— (ax + ft)1"1/»
(n~ 1) a
43
2.36.	Интегр ал ы вида J (х —а)±т (ах + Ь)РР* dx.
1.	( xm(ax + b)pln dx~
------1 ” .		x”* (®* + 6)1+p/ft — -22$_C xm~ * (ax + b)p,n dx.
(mn + n + p)a...............................................(mn + n + p)a J ' ~ ’
~-^(ax + b)l+plnX
m
X j» _________m(m-l) ...(m-fe+1)__________/___bn_\* w_*
*0 ^ПП ₽	^ma + P) •" (mn + n + P “ *n) x a /	*
w rk / M*
---« (ax + »)*+*• У -----^£_2>------{ax +
4. J (ax + b)^dx = ^Jp)a (ax + b)1™*.
5. C (™+b)pln dx e -1 (ax + b)'+i4n _
J (x — a)m (tn— l)(aa + 6) (x — a)”’1
— t(OT - 2) я - p] а Г (ах + Ь)р1п
(m— \)n(aa + b) J (x —a)m~*
6.	-(ax+ »)*+** X
n-1
* у1 / ।xfe (^ ~ P ~ 2/i) (mn — p — 3n) ... (mn — p — kn) ал~1_______1
"	(m — 1) (m — 2)... (m — k) nk~l (aa + b)k (x —
p (p + 1)... (p + m — 1) am~l Г (ax 4- ft)*’1"*
nm~l (m— 1)1 (aa+ b)m~l J. x —a
7.	— .	* (ax + &)* -'"+₽/'»	[aa + b = 0).
(m— l)n — p	‘	1
5<г£±^^ = „(ааЧ.ч»5^^
«
о с m Z а* + <> \р/" (gx + b)(cx + d\xm 1 f ах + b \р1п
°' J \c* + d7	(m+l)ac \cx + d)
_ <ad — bc)p± тп (ad + be) f m _ i / <»* + 6 \ p/"	_
(tn + l) пае	j \ ex + d )
(m - 1) M Г rCT-2 ( ax+ b\»ln
(m+\)ae J к cx + d )
(ax + b) (fx + d) ( ax+ b \р,я _ p (ad — be) + n (ad + be) Г (ах + Ь\р,я
e 2ac \cx + d)	2nac . J V ex + d)	*'
1 /ax+&y/n dx _ A (ax + b) (cx + d) /ax + b\pln .
(x —«)"*+! \cx + d/	(x	—	a)m \cx + a/
+ в (	+	D	(----L_f «±£')"“ix,
J (x — a)m \ ex + d J	' (x — a) 1 \cx + d J
________— 1______ — a (m — 1) (ad,+. be + 2aca)+ p(ad — be)
3 m (aa + b) (ca + d) 9	mn (aa + b) (ca + d)	9
— (m — 2)ac
e tn (aa + b) (ca + d) ’
/ ax+ b
\ ex + d
\p^ . (aa + b\plnt tp~l Ca\p!n f
) dx~n(.7Z+d-) \l^dt-n(7) )
L " Hca+a) (ax + b) n / c (ax-\-b) [
L л/ (а« + b) (ex + d) ’	a (ex + d) ’
sp~‘ >
cm. 2.3 I.
„ „„ ,,,	f xp!n dx
2.38. Интегралы вида j ^a^m
1	( хР!П^х xP'n+i
’ J (x24-a2)mBS 2(m —1) a2 (x2 +a2)'"-1
2	. .—жР/?+1Х
m-1
у (2/nn — 3a — p) (2mn ~ 5n — p) ... (2mn — 2kn n
ft-i
, (2m — 3)n — p
2 (tn — 1) na2
. xpln dx
(x2 + a2)m“* ’
_________________________________________P) 1	.
(m - 1) (m - 2) ;.. (m -Л) n*_‘ (2a2)*	(*2+e2)'""*
. (n — p) (3n —tp)... (2mn — Зп — р) Г xp,n dx
(m-l)l(2a’h)w“‘
хр1п~^х
xpln<ix „	a» C
x2 + a2 p — n	J
dx	nx^~^^	' 1
xpln (x2 + a2) (n — p) a2 a2 3 хр/п-2(х24- й2)*
dx
1
x — a
4.
Xpl*dX .1.:
X In
— 2a4 xI/f> cos—n + a ' -f*	-	• • t
24	a,/n sin (4А + 1)я/2л )
(p = 1, 2,;,n — 1; a > OJ.
43
1.
2.
3.
4.
5.
2.39. Интегралы вида -хг_аг}т>
f xp/adx __________-хр,п+1_______(2т — 3')п — р Г xp!ndx
J(x2 —a2)m 2(m- 1)а2(х2—a2)"1-1	2(/п—1)па2 J (х2 —а2)т-1*
т-1
= xp/n+l V	(2тп —За—р) (2т/г —5 м —р) ... (2тп —2Ы+п—р) ,
k~l	(т — 1) (т — 2)... (т — k) пк~х (2а2/ (%2— а2/*”*
_ /	— Р) (Зп — р) ... (2тм — Зя — р) Г хр/п dx
(т — 1)! (2а2п)т'“1	J х2 — а2
С ХР‘П dx _ П р1п_Х 2 С XP’n~2dX
У х2 - а2 ~р-п	а У х2 — а2 ’
С	_ nxX~pln 1 Г_______________dx______
J х₽/п (х2 — а2) (п — р) a2 a2 J хр12~2 (х2 — а2) *
С хр,п и _ паР,п~1 С ^+p_I	па^-1 Г /"+₽’’ dt
У Х2- а2 ах~ 2	J V -l dt 2	J /п+1
[/ = (х/а)1/п> а > 0; см. 2.3]«
2.40. Интегралы вида \хт(х24-а2)п+^2dx.
1. хт (х2 + a2)*-™2 dx =
х>"-1(х2+а2)»+3/2
= tn + 2п + 2
2. ^x2m(x2+a2)n+il2dx
_ (х2 + а2)п+312
2т + 2п + 2 Х
г	т-1
X Х2т-1 + У ( 1?	(2т-1)(2т-3) ... (2m-2fe+l)	,
I.	2k(m +n) (m +n—1)... (m + n—k+l)	J
a. (—l)"1______(2m— 1)П а2”______Г . ,	2\п+1/2 dx
l) 2m(/n + n+l)(m + w)... (n + 2) Jr + } d '
3. \x2m+4x2+ctf™dxJ£ckm
jfe=o
(— a2)m^k (x2 + a2)m+k+3!2
2n + 2k + 3
4.
5.
6.
x (X2 + а2)л+1/2 dx =	(X2 +
-£^йтг1р+“,)’+
J V (2n+O(2n—1) ... (2л —2fe + 3) fl2ft ,2 , а2)п“й| J.
2ft«(n-l) ... (n-A+l)	J
46.
ти-1	-1
+ У (- и* (2m — 1) (2/n — 3) ... (2m —2^+1)	I .
"	2fem(m—1) ... (m —/г-h 1)	J
8.	J (x2 + a2)1/2 to = { (x2 + a2)’/2 + In [x + (x2 + a2)'/2].
9.	Jx(? + a2)1/2to=|(x2 + aT.
10.	x2 (x2 + a2)1/2 dx =•
- j (x2 + a2)3/2 —(x2 + a2)1/2 - In [x + (x2+ аП
11.	J x3 (x2 + a2)1/2 dx = 1 (x2 + a2)5y2 - £ (x2 + Л
12.	(x2+n2)3/2dx =
= 7 (x2 + a2)3/2 +	(x2 + a2)’/2 +	In [x + (x2 + a2)’/2].
13.	jx(xWto=|(xW.
14.	^2(x2 + a2)3/2dx«
- |(x2 + a2)5/2 -	(x2 + a2)3/2, -	(x2 + a2)1* - < In [x + (? + a2)'/2]
IS.	$ x3 (x2 + a2)3/2 dx = ±- (x2 + a2)7/2 - y- (x2 + a2)5/2.
f (jc4a2)rt+1/2
2.41.	Интегралы вида \	----dx.
Г (x2 + a2)^12	_ (x2 + a2)"+3/2 2n - m + 4 Г (x2 + a2)”*1'2
J xm	(m—l)a2xm“l (m— 1) a2 J хт~2
dx.
2.
fi.
x2fn
(X2 +дг)п+1/2 . 2rt+l Г (ха + аа)"~1/2
(m— l)xm-1 m—1 J x"1-2
H/2	(x2 + а2)п+3/2 Г 1
(2m — l)a’ x2"1-1
(— 2)ft (m — n — 2) (m — a — 3) ... (m — n — k—\) I .
(2m — 3) (2m - 6) ... (2m - 2* — 1) a2fc x2m~2k~1 J
k^\
(— 2)”* (m — n — 2) (m — n — 3) ... (— n) (— n — 1) J a^n+\!2 dx
:2+a2V-
mrm [m>n+21‘
(2m - 1)1! a2m
/^2 . ЛЛ+3/2	m-n-2 к
(x + a )	y, (—1) С^_„_г
i	Л2Й+3 Д,
47
&
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
1.
2.
3.
4.
(x2 + а^+Ч2	_	p(2«+ П(х2+а2)я-*+,/2	.v/2.
г~ dK—L i(2„ _24)<_ и	) <' +“'
(X2 + д»)в+1/2	__ (x2 + a2)B+3/2
x2m+1	"2rt_2m + rX
m
V» (2n — 2/n + 1) (2n — 2m + 3) ... (2я — 2m + 2fe — 1) ,
2km (m — 1) ... (m — k + 1) fl2Ax2m_2ft+2
. (2n - 2m + 3) (2n - 2m 4-5) ... (2л+1) f (x2 + a2)n+1/2 /
j_ -------------------------------------i ------------dXt
, (x^a^_a
(*2 + a2)‘'2+/
tn\ (2a2)m
а2*(х2+а2Г~*+1/2 , e2rt+*
2n — 2k + I +	2
+ агУ* * * 12 * * *
1*1 .
I ж («Ч «"),я +-^-ln [, + (Р+«!)|Я1.
* -	Z	I X I
1	7x2 + a2V-A+l/8 , f
рх’ + аГ*1^..
й»0
J(xl±^dx = (x2+a2)l/2_a,n
Г (хЧа2)1'2 . _	(х2+а2Г	1 а + (х2+а2)1/2
J-----?----dx---------2Х2-----25-|п-------[7|----•
J (x4ff— dx-1 (х2 + а2)3* + а2(х2 + а2),/2- а3Ш°+Ах'+№
{(х2+а2)2'2.	(х2+а2^
J----?----dx---------х----
С (х2 + а2)3/2.к_	(х2+а!
) х3 ах ~	2х2
л / 2 , 21«+1/2	-2,
( \х + а> AV_______V ____
J х2п+2	^02»?-2fe4-lk х2 )	. -.-.х-
f (х2 + аг)"+1/2 л (х2 + а2)"+3/2
J х2'4’4	*	(2п + 3) а2х2п+3 ’
2.42. Интегралы вида	1/8.	-
_____________ „	-х™-1	+ т-1 Г xm~2dx
(х2 + a2)n+1/2	' (2ft. - 1 > (х2 +;a2)n"l/?	2n - 1 J (x2 + a2)ft “f/2 ’ .
x”l+l  . 2n — m — 2 f xm dx
xm dx
(2n - 1) a2 (x2 + a2)"xl/?-	(2n1) d2 J (x* + ay-i/2•
x”1"1	(m—l)a2 f xm~2dx
______________________________, >2 _____________
(m - 2ra)(x2 4-a2)n-1/2 m-2n i (x2 + e2)rt+l/2 ’
X2mdx в х2т+*(х2 + аг)Ч2 Г Г ,
с2 + a2)n+1/2 =	(2л—1) а2 I (х«4-а*)я
Л“> t	At
у* 2* (n — m —1) (п -- m — 2) ... (гс -fe) a~2k
л-1
(2n-^(2n-5) ... (5n-2^1)	/
2n(n — m — l)(/i —m —2) ... (—т+1)(—т) C dx "
(2/i—l)Ha2n	. 7 J (x2 + a2)1^
49
[п>т+ Ц.
6.
«-*»-• , ,п»г»	/	„8	.m+t+t/2
К =л2"*-2" У ~ • С"~т~> | Х j
2т + 2k + I \ х2 + а1 ) .
к-й
г .2m,._	(x2 + a2)U2 [ 2w_,
1/2 ” 2т [
-1? (2m - 1) (2m - 3) ... (2т - 2fe 4- I) агк*!т-2к-1 I .
2* (m — 1) (m — 2) ... (in — fe)	J
+ (-	10 U + + a2)*/2l-
m-l
Г x2n~2^x	~__________x2n~>
J (x2 + a?)rt+1/2 ” (2л - l) а2 (x2 + a2)n~1/2'
r x2rn+1dx A (_ |}m+*+l c*e2m-2*
J (x24~ a2)a+i'2	(2n — 26—1) (x2 4- a2)ft-fc-,/2 *
9.
10.
dx_____ ___________ x_____________ 2м — 2 C
(x2 + a2)n+1/2 ” (2n - 1) a2 (x2 4- a*)',-l/2 + (2n - I) a’ J
x (x« + a’),/2 Г 1
“ (2n- I) a’ [ (x2 + a2Yt +
a-l
4. У 2fc(ff-()(№-2) ... (>r—fe)
Lt (2n- 3) (2n - 5) ... (2n - 2k - t) * лк
I
dx_______
(x2 4- a2)n-1/2 ‘
и 1 у с* ( *’ У+1/2
a*2 £j2fe+t a-,U2 + a2J ( '
12 Г xdx -________________1
J (x2 + a2)n+l/2	(2n - I) (x2 + a2)n~llt ‘
l3' $777^'|п(* + <л’ + “‘П
14. (-xdx —ш.(х2+а2}1^.
J (x2 + a2),/2
= S <3t>-- f,n+"+
*’• S (.~ tu'+~ +
17 C dX ДД /
J (x2 + a2)3/2 a2 (x2 + a2)V2 *	•
1ft {	_ I
81 J (X2 + a2)312 e (X2 4- a’)l/2 *
S — (»+..)<*+
eft X **rfK	х2 + -2а2 ;
‘ J	“ (x24-a*),/2’	
49'
,	С d*
2.43.	Интегралы в и д а ————— t
Sdx
х-(х2 + аУ+1/2 “
________________1	 . т + 2п — 2 f______dx____
(2п — a2xm~l (х2 + а2)п~1^2_________________________________(2п - 1) a2 J хт (х2 + а2)п~^
2	„_______________~ 1___________m+ 1 Г _________________dx__
(2п-1)хт+1(х2 + а2)"-1/2 . 2n—1 J хт+2(х2 + а2)п"1/2 '
&	________________— 1_________ __ 2м — 1 С______________dx__
(т-1)хт-1(х2 + а2)п+Чг m-l J х"”2 (х2 + а2)п+3/2 ‘
4	- S х2«(х2 + а2)"+,/2 “
т+п-1
_	1 У (-1)* Cfe / X» у-т+1/а
а2т+2п	2k — 2tn+\ т+я~1\х2 + а2)
5	С dx =	1__________ , 1 ' f dx
* J х (х2 + а2)п+1/2	(2п - 1) а? (х2 + в2)"-1/2	fli J х (х2 4. asya- 1/a '
6	. - У ________________1______________г_____L_ 1П а + (*3 + а3)1/2.
б“0 (2n — 2fe — 1) а26+2 (х2 + а2)" к~1/2	а2"+1	1*1
7.	f'	dx___ ______1_ 1п а + (х2 + a2)1/a
J x (x2 + a2)1/2 a	| x I
g C dx___________e _ (x2 + a2)1^2
J x2 (x2 + a2)1^2	a2x
a C dx _______________(x2+a2)1/2 ,	1 a + (x2 + a2)1/2
J x3 (x2 + a2)1^2	2a2x2 2a3	Ix I
0 { dx -	1________1 in ^ + (^2 + a2)V2
J x (x2 + a2)3!2 a2 (x2 + a2)1^2 a3	| x |
I Г_____dx	_____2x2 + a2
J x2 (x2 + a2)3^2 a4x (x2 + a2)l/2 *
2 C dx ____________________!_______________3	3 ь а+(х2+а2)|/2
J x3 (x2 + a2)3^2	2a2x2 (x2 + a2)1^2	2a4 (x2 + a2)1/2	2a5	|x|
2.44.	Интегралы вида (-----------------------7775-.
P	J (x + 6)rt(x2+a2)1/2
r Г_________dx___________	-1 Г (x2 + a2)1/2 _
’ J (x + b)n (x2 + a2)1/2	(« - 1) (a2 + b2) L (x + b)n^
“ (2” “ 3) 6 S (X+ *)»-*%+ fl’)1'2 + (rt - 2) $ (x + ^^ + fl’)1^ ]•
2 ( dx T 1 lnl	;
J (Jt + 6)(*2 + a2)1/2 (ai + bt)112 I	It+b
60
US.	»««• J—
____________dx_____________
(x2 + &2)m (x2 + a2)n+1/2 “
__:__________________________________________________t.
2 (m — 1) (a2 - b2) b2 (x2 + ft2)'”-1 (x2 + a2)""1/2
, (2m — 3) a3 — (4m + 2м — 6) b2 Г______________dx________________.
+	2(m- \)(a2 — b2)b2 J (x2 + b2)m~\x2 + a2)n+№ *
m + n — 2 Г	dx________________
(tn - 1) (a2 - b2) b2 J (x2 + b2)m~2 (x2 + a2)11*112 *
2 f___________41_____________=_______________=2________________+
 J (x2 + b2) (x2 + a2)n+1/2	(2n — 1) (a2 - b2) a2 (x2 + a2)n-1/2
(4« - 3) a2 — (2» - 2) fr2 f________dx____________
+	(2n	- 1) (a2 - b2) a2 J (x2 + b2) (x2 +a2)n-l/2 ~
~ _______2м — 2 C _________________dx__________
""" (2л—1)(a2 — 62)a2 J (x2 + 62)(x2 +a2)"”3/2*
Г__________dx i= 1 ln |x(&2-a2)1/2+&(x2 + a2)^|
A J (x2 + 62) (x2 + a2)1/2 b(b2 — a2)1/2	(x2 + &2)l/2
[b2 > a2\
4	_________I______arctg x <a2 ~	[a2 > 621
b{a2-b2)l>2 S * Ь(х2 + а2)Чг	l« > & 1.
f_________dx_________1 ln x (д2 + t>2)1/2 -b(x2 + a2)112, I
' J (x2 — b2) (x2 + a2)112	2b(a2 + b2)112 ” x (a2 + 62)1/2+ b (x2 + a2)112 |*
' C m. / 2	2\^4* 1/2
2.46. Интегралы вида \хтп{х — a) dx.
1.
2.
^-a2)n+V2dx «jf-T1	~ а2^+И"1)
’	m + 2n + 2	^m-t-2n+2
- 2	2)n+l/2	(x2-a2)n+3/2 Г 2m-l .
* a) dX---------2m + 2n + 2 Г *
У-а2Г+112аХ.
m-1
S(2m — 1) (2m — 3) ... (2m — 2fe -h 1)	a2k х2т-2Ь-1
2ft(m+n)(m + n—1) ... (m + n —A+1)
+	... (-+2) Jv
.т+,'а^
} ax	2n + 2A + 3
Л-0
4. ( x (x2 - a2)n+1/2 dx — -75-*	(x2 ~a2)n+3/2.
J	О
5.	(x2 — a2)B+1/2 dx « — ^. ~а2)П'Ь1/2
J' ?	*	2(« + l)
WirS
и
(№ _ Л2)«
6.
,2\«-Л
Л = 1
х (х2 - а2)1/2
2(«+ 1)
V  .xt (2n+l)(2n-l) ... (2n-2fe + 3) a2ft, 2
2kn(n— 1) ... (n — k+ 1)-
+	,„1, * (>,	L
7.
х2» (Х2 _ a^dx = 1^..-^)^ рт-1 +
+ У _(2m-l)(2m-3) ... (2m-2fe+l) 2Л^.«.Л
2km(m— 1) ... (tn — k+ 1)	J
, (2m- 1)Па2га f , ,	,ч1/2
+ 2m(rn+l)l J(X— dx‘
8.	(х2 — а2)1/2 dx = -у (х2 — а2)112 — -у- Jn | х + (х2 — а2)1121.
9.	{ x (x2 — a2)112 dx =-~ (x2 — a2)3!2.
J - - ~	О
10.	J x2 (x2 — a2)1/2 dx =
- 7 (*2 - «2)3/2 + lx2 - a2) V2 -	In I x + (X2 _	|.
11.	( x3 (Xs - a2)1/2 dx = 4 <*’ - a2)5/2 +	(x2 - o2)3/2.
J	o	3
12.	^ — a^dx^
-1 <*’ - e’)3/2 “ T <x* - ^Xa + 4 ln | x + (*« _	|.
13.	J x (x* - a2)312 dx — - j- (x2 - a2)512.
14.	J x2 (xs - a2)312 dx —	(x« - <?»)8/2 + (xs - a»)3^ _
15.	, >’ (x* у а2)312 4х' =* у С**. “ e2)7/2 +	“ e3)^8»
a*)rtLH/2
-----------— rf*- •'-•-.>	; ;
1 ( (х2-а2Г+112 d, _ (x»-a2)n+3/2	m-2n-4- C (x2-^)**1/2 < ,	,
J xm	(т—1)а2хт~*	(т~\)а* }	x™"2 ?
j 'м: у -- ; -(x» -^	‘ 2/i-^l ( '(^-.a2)^112., ‘
1	“ Qn-Dx"”1 + m —1 J X*-2 -f:
3.
4.
х» - аЪп+1/2 dx в (*а - а2)"*8/2 Г 1
х2т	(2т — 1) a2 L *2т~1
т-1 .	Т
yi 2fe (т — п — 2) (т — п — 3) ... (т — n — fe — 1) t 1 I .
Zu, (2m — 3) (2m — 5)... (2m — 2 k — 1) а2Л х2т-2Л-1 J
, 2ст(т — n — 2) (m — n — 3) .. ( — n) ( — n — 1) f (ri _ „2An+ij
"*	(2m — l)lta2m
Z< ~ 1) cm-n-2 /
2» + 2* + 3 к
б.
6.
(x2 — a2)n+3/2
“ л2(т-л-1к.2п+3	__
a	X *-0
x2n
_ V* (2n + 0 (x2 — a2)n ft+>^	f . _ e»)l/2 dx
-----L [(2n-2^-l]x2«-a” +(2n+l)J(X e) dX'
л «и
(x2 - a2)n+l)2 dXta
X% — d? \
"> *-) (m>n + 2].
_ (x2 - д»)"*3/2 V», n* (2n-2m+l) (2n-2m+3).   (2n-2m+2fe-l)
2« — 2m+1 Z/ 2*m(m—1)... (m —Й4-l)a2*x2m-2ft+2 "**
, .	(2n-2m+3) (2n-2m+5) ... (2n+1) f (x« - a«)n+1'2
+ (“1} \	~ j ~x
(x2-a2)n+l12 .
Д-------L----dx*=
X
V ( — аг}Л(х2 — а2)л~к+112
“ ZL 2n - 2k 4-1
Л-9
{- (— 1)" а2я+1 arcsin |
8.	dx*^(x2 — a2)^2 — a arccos j у |.
9 J (^-a2).1^. dx_ _ (^-a2)1^ + i„| x + (X»_ a2)1/S|.
11. j ~~~ “y (xl ~ fl2)3/2— e* (** ~~ «*)l/2+ «’ arccosj-^-1.
12. J -2а1_^д -	+	(x2-a2)^- in j
№ J» ^4.-» „Ц11.

г (х2-д2)я+,/2	(х2 - д2)п+3/г
J	(2п + 3) а2х2п+3 ’
2.48. Интегралы вида
хт dx
(Х2 _ а2)«+1/2
С хт dx _______________— хт~1________, гл—1 Г хт~2 dx
J (х2 —a2)n+l^2	(2n—1) (х2—а2)п~1/2	2л—1 J (х2—а2)Л~1/2*
____________________— xm+1_. m — 2л + 2 Г хт dx
~ (2л-1)л2(х2-й2)""1^ (2л - 1) a2 J (х2 - а2)п~[/2 *
___________________________хт~1_, (гл — 1) а2 С хт~2 dx
(т — 2п) (х2 — a2)n“1/2 т — 2п J (х2 — а2)"+1/2 ’
с dx х2т+х (*2 - а^!2 Г 1 г,
4' J (x2-a2)rt+l/2	(2л - 1) а2 [ (х2 - а2)п +
п-1	.	о. “1
у ( —2)д(л —/л — 1)(л —/л —2) ... (л —m —I
+ ZL (2л —3)(2л —5) ... (2л-26- 1) (х2 - а2)п“* J
х2т dx
(х2 — а2)1/2
.2	хт+£+1/2
—г)	[л>/л+1].
( — 2)п (л — m — 1) (л — m — 2) ... ( — /л + 1) ( —
**"	(2п-1)!!а2п
- ( - Л2^“Л V -	}	П~т-1
“ * а) Lj 2m + 2k + 1
(Ха-а2)1/2 Г 2т-1 
5.
6.
8.
9.
10.
х2т dx
(х2 - а2)1/2 2т L
m-1	1
 у (2т — 1) (2т — 3)... (2т — 2fe + 1) a2kx2m-2k-i I
". 2к (т — 1) (т — 2)... (т — k)	I
К “1	J
. (2т-1)!!а2т . .	,
+ —-------------1П1Ж + 1
x2n~2dx_________________х2" 1________
(х2_а2)»+1/2—	(2я—.1)а2(х2 —а2)п-1/2
2m+l j	Л
dx	у __________Gma______________
(х2 — а2)п+1/2	(2п — 2k — 1) (х2 — а2)" ~ к~1/2 ’
dx________________— х_____________2л — 2 Г dx
(х2 — а2)п+1/2 _ (2п— 1) а2 (х2-а2)л-,/2	(2«—1) а2 J (х2 - а2)л“1/2 *
в _* * * * * * * * х <*г ~ д2)1/2 Г 1 +
“	(2п-1)а2 I (х2 —а2)п
п —1	.
, у (-2)fc(n-l)(n-2)...(n-k)_________________1
(2п-3)(2п-5)... (2n-2k- 1) ’ а2к (х2-а2)п~к
Л=1	’
п-1
(- 1)п V (- l)ft r-fe С *2 V+1/2
а2П Lt 2k + 1 n~lXx2-a2J
k-0

54
12.	C xdx ~ 		4	 J (x2 — a2)n+1/2	(2n — I) (x2 — a2)n~l/2 ’
13.	S (x2 - a2)112 e ln I * + <*’ “ fl2)1/2 !•
14.	(	***,*-(ж*-a»)*. J (x2 —a2)1'2
15.	C x2dx _ x (x2 - a2)112 a2 .	.	1ft  Ь-.'f»	2	1 21”l'+(“ “> '
16.	S (x2^ - 3 {x2 “ °2)3/2+ {xi a2)l/2’
17.	f	dX	=n —	X	 j (x2 — a2)3 * * * *^2	a2 (x2 — a2)I/2 *
18.	f x dx	1 J (x2 — a2)3/2	(x2 — a2)1/2 *
19.	
20.	C x8 dx	x2 —2a2 J (x2-a2)3/2 “ (x2 —a2)1/2’ 2.49. Интегралы вида J	.
1.	C	dx	 J xm (x2 - a2)n+l/2 “ 		— 1	m + 2rt — 2 Г	dx	 (2n— l)a2xm“1(«2 — a2)n~112	(2n—l)a2 J xm(x2 — a2)n~l{2
2.			- 1	m+ 1 f	dx	 (2n — 1) xm+‘ (x2 — a2)n~l>2 2л - 1 J xm+2 (x2 — a2)n~il2 ’
(т — 1) xm“l (х2 — a2)rt+i/2
2п — 1 f_________dx________
m1 J xm“2(x2 — a2)'*'1"3/2*
Г______dx_______
J x2w (x2- a2)n+1/2 “
m+n-J	.
,	1 V <--»)	/	** \k-m+lli
а2т+2л Ь 2к — 2т+1т+я~1\хг — а2)
Г______dx
8‘ J x(x2-a2)n+,/2 ™
______________i____________i г dx
(2n — 1) a2 (x2 — a2)n~112 a2 J x(x2 — a2)"-1^2*
____________(-D*+t______________
(2n — 2k — I) a2*+2 (x2 — a2)n-k~l№
dx	1
-----------c= — arccos
x(x2 — a2)W	a
- l)n+1
a2n+‘
55
dx (** - а2)1/2
х2 (х2 — а2)112 а2х
о Г dx	(х2 - а2)112 .1	а I
9. \	:----ГТ7Т в----------'----1----arccos -т- L
J х3 (х2 — а2)1/2	2а?х2	2а3	х |
|Л Г dx	1	1 л I а I
J х (х2 — а2)3/2 а2 (х2 — а2)1^2 а3 | х |
ц С______dx___________________2х2 — а2
J х2 (х2 — а2)3/2 а4х (х2 — а2)172 *
f dx	1	3	3	| а |
12. \ --------Т7У ==----------»----777---------------ПП-----arccos I — I.
J x3(x2—a2)3!2	2a2x2 (x2—а2)/2	2а4 (x2—а2)1/2	2а5	| x |
2.50. Интегралы вида (----------------------------пт*
J (X + b)n (x2 - a2)W
Г__________dx_________=	- 1 Г (x2 — a2)1/2 _
‘ J (x + b)a {x2 - a2)1'2 (n - 1) (b2 — a2) L (x + b)n~l
- (2л - 3) b ——n_l(x2,_a2)i/2 + (« “ 2) J (х+6)л-2(х2_а2)1/2 ]*
2 ( dx =.	1 ln I a2 + bx + (b2 - a2)1/2 (x2 - a2)l/2
J (x + b) (x2 — al)U2 (Ь2-~а2)^2	|	x + a
	[&’ > a2].
4	1	xr (а2-Ь8)1/2(хг-аг),/2	la2 > b2]. [a2 > b2].
(a1 — b2)112 S	a2 + bx .	1	a2 + bx 4.	«=	пт arccos		
(a2 — b2)112	a(x+b) 5. ( —	£L_		 = ± J (x + a) (x2 — a2)112 a \ x + a J	
e. f dx ___________________Lp+a\V2
J (x — a) (x2 — a2)l/2 a \x — a)
Г	dx
2.51. Интеграл ы вида \ ---------r-----------пт«
J (x2 ± b2) (x2 — a2)l/2
1 (	dx	«	1 i„ I х(д2 + b2)1/2 4-b (x2 — a2)1/21
* J (x2 + b’)U«-- a2)1/2 Ь(а2 + Ь2)112	(x2 + b2)w ;	‘p\
f	dx________	1
2' J (х»-Ь»)(х»- а2)1/2 “ b(b2 — a2)li2 “	(x2-b2)l<2
' ' ... ,	- . v -...f; -	lbs>e’j.
•	"1	. b(x2-a2)il2	гЛ2<к21
3.	"----------—rn- arcsin.ri-"  ---Чтя-	[a2 > b’J.
b(a2-b2)112	a(x2-b2)y2 v	.	.	.
л	1	. b (x2 - a2)1!2	. 2,
4.	-----------пт arctg—i-----"Атт ,	[a2>62].
b(a2-b2)112 xia’rr-b2?12	;	‘
2.S2. Интегралы ди да ^x”* (as— x2)n+I^ dx.
1. j x"»(e»-xi)ft+,/2rfx=-	* ;	:
----+	( x”-2(a2 - x2)n+ift dx.
m + 2n + 2	- m + 2n + 2 J '

хт+1(а2_ x2)ft+1/2	(2n + 1) а2 Г т > ,	„2\<»-’/2.
2.	~-------т + 2п + 2------+ т + 2п + 2 ) * 'в “ * ’ dX'
8.
X
f „2т (д2 _ 2\»+l/2	___*8) +.^, х
)* (а '	2т + 2п + 2 А
m-l
Г 2ОТ-1Ц. у* <2m — I) (2m — 3)... (2т — 2fe +1)
I*	2к (т + п) (т + п — 1)... (т + п — k + 1)
(2m - 1)1! а2т
* 2т (т 4- п + 1) (т + п)... (п + 2)
a2fex2m-2ft-I
т \fe+l
J	Л-0
8. ( х(а2- x2)n+1/2dx = - -5-1-7 (а2 - х2)п+3/2.
J	4П "т* о
X . ,
——r-s- (а1 — х-
2п + 2 v
(а2 - х2)л +

6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
1.
(а2 - x2)n+,/2 dx
х (а2 — х2)|/2
и 2п + 2
у» (2n + 1) (2и — 1) . . (2п — 26 + 3) а2й za2 _ x2\»-ft I ,
’1"лТ1	2*л(«~1) ...(л-Л+1)	J'’"
. (2п+1)!!а2п+2	; х
+ 2" (п +1)1 arcsin |а
? (а2 — ж2)172 dx = -§ (а’ “	+ "тг arcsin -Дг.
х (а2 — х2)1/2 dx = — -1 (а2 — х2)3/2.
J х2 (а2 - х2)172 dx =	(2х2 - а2) (а2 - х2),/2 + -у- arcsin
$ х’ (а2 - х2)1/2 dx = -1 (а2 - х2)®/2 - -у- (а2 - х2)3/2. '
( (а2 - х2)^ dx = ^~ (а2 - х2)3/2 +	(а2 - х2)1'2 + — arcsin -Ip	.
J x (а2 - л2)3/2 dx -=--1 (в* - х2),/2.
J %* (аг - х2)3/2 dx = - |g (8х« - 14а2х2 + За4) (а2 - х2),/2+^ arcsin	.
J х» (в2 - х2)3^ dx — У (а2 - х2)7'2 — -уДв» - х2)^2. '
f (а2 —
2.53. Интегралы вида \ -------------------dx.
f (а2-x2)n+t/a .г (а2-х2)п+3/2 , т-^2п-4 [ (а2-х2)й^>/2 J
J хт	(т — 1) а2хт-1 (т—1)а2 J хт~2 Х'
(а3 - x2)n+ip
(т — 1)хт-'1
2п+1 Г (а2-х2)"-*/2 .
И-1) . х*»"2
. 57
8.
(a»-*2)**»/2	_ (а2-х2)и+3/г Г 1
jc2"1	(2m — 1) a2 I x2m“*
4.
т-1	.	v t
] yi 2ft (m — ft — 2)(m — ft
3) ...(m-n-k-1)	q-26
(2m - 3) (2m - 5)... (2m - 2k - 1)	^2m-2*-i
2CT (m — ft — 2) (m — ft — 3) ... (— ft) (— ft —

a2*
(2m- 1)11 a2zn
I2 — X2'
Ь'о 2«-2* + l
(a2 —	a * |n [ Д — (d2 — x2)1'2
2
a + (a2 - x2)l/2
X
n
5.
---X—"д	“ dx =83
„2/14-2 u
л
6.
7.
x
10.
_V (~l)ft+1 ('а!-?У‘ад, , ,чЛ+1	, к
e2j 2я-2Л+1( x2 /	+( 1J arcsin |a|
fe-0
(a2 —х2)*+1/2	(a2 — x2)"+3/2
х2л+4 x~	(2Я + 3) a2x2”+3 *
(fl2 ~ x2)1- dx - (a2 - x2)1'2 - a In | ^+Sa-~* X^- .
(a2 — х2)У2	(a2 — x2)y2	. x
----—J.— dx = — ---;—-----arcsin -г—r.
x2	X	I a I
(a2 - x2)1'2	_	(a2 - x2)1'2	1 I a + (a2 - x2),z2 I
----?----dX--------2P-----+ ITln I-----x-----|-
<°2 ~x!t!L dx •= -1 (a2 - x2)3/2 + a2 (a2 - x2)1'2 - a8 In | ^±/fl2 ~ *2)‘/2 j
(a2~2^dx = -	(a2-x2)3/2- -y- (a2- x2)1/2 -arcsin-fa.
_ <a!^g _ 4+I»+ - *>’“
X	*>л	л» j	Л
2.54. Интегралы вида
xm dx
(a2 — x2)n+^2
f хГП dx
b J (a2 —x2)n+1/2
_______xm~l_________m— 1 Г xm~2dx •
(2n—l)(a2 —x2)”-1'2_2n—1 J (a2 — x2)'1-172
xm+l	m — 2n + 2 Г xm dx
(2n—l)a2(a2 —x2)"*1/2	(2«-l)a2 J (a2 — x2)n-l/2*
x7””1
(m — 2ft) (a2 — x2)rt“1/2
(m— 1) д2 f xm~2 dx
m-2n J (a2 —xT+1/2 *
58
X2m-H ___________ а2т-2к __________________]_________
(а2 — х2)п+1/2 ~ 2п — 2k — 1 т (а2 — х2)п~к~1/2 *.
x2mdx = х2я1+1(а2-х2)1/2 Г 1
(а2 — х2)п+1/2	(2п — 1) а2 |_ (fl2 — Х^П
2к (п — т — 1) (п — т —2) ... (п — т —k) а2к ~| .
(2п — 3) (2п — 5) ... (2n — 2k - 1)	(a2 — х2)п~к I
2" (га — m — 1) (n — m — 2) ... (—m + 1) (—m) Г х2т dx
(2га—1)11 a2/l	J (а2-х2)42'
п-т-1 к	.	*	.«+*+1/2
“ а2"-2'" S 2m + 2fe+l ,(а2-х2)	[«>«»+1].
Х2П~2б?Х __________________х2”"1___________
(а2 - x2)ft+1/2 “ (2п - 1) а2 (а2 - x2)rt”l/2 ’
9.
10.
11.
С	__ (д2 — *2)1/2 >>
J (а2 —x2)I/2	2m
[ш-1
,2m-1 , у (2m - 1) (2m - 3). . (2m - 2fe + 1) M	I ,
/-» 2й (m —l)(m —2)... (m — k)	I
ЛВ1	J
T (2m —— 1)!! 2m • x
+ ~..2"m! а агС8ШЩ-
f_____dx__________x (a2 -f л2)1^2 Г_1____
J (a2 — x2)n+l/2 ~ 2a — 1 L a2 (a2 — x2)n +
+ У 2fe(ra-l)(ra-2)...(ra-fc)	а~2к~2	1
£» (2ra —3)(2ra —5) ... (2n — 2k — 1) (a2 - х2)п~к J 1 b
1 Ck . / x2 \ft+V2
__ 1__ Gn~l I x 1
a2n 2k 4- 1 \ a2 — x2 J
Sx dx ___________________1__________
(a2 - x2)rt+1/2	(2n - 1) (a2 - x2)" “1/2 ’
12.
dx	• x
------------- = arc sin	
(a2 — x2)1/2	| a |
----—--jrr — - (a2 - x2)1/2
(a2 — x2)1^2
H- “ 4(a2 “ *2)1/2 + — arcs!n — •
J (a2 -x2)112	2	2	|a|
18- ~— — <"2 “ x2)3/2 “ at («2 “ x2)‘/2«
J (a2 - x2)1/2	3	'
dx_________________x_______
(a2 — x2)3/2 a2 (a2 — x2)1^2 ’
69
17 С	& dx	1
* J (а2 — Х2)3/2 - (aj _ *2)1/2 •
IS (	*2 dx	X
• J (a2-x2)3'2~ (a2-x2)V2'
Id f x* dx *	2a2 — x2
’ J (a2 —x2)3/2	(a2 —x2)1/2"
2.55. Интегралы вида (  rf*..„ц,.,»»
J xm (a2 — x2)n+1/2
Г________dX__________
J x'n(a2-x2)'*+l/2 =
____________________1__________________, тЧ-2/t —2 Г dx
(2n - 1) a2xm~l (a2 - x2)n~U2__________(2n - 1) a2 J xm (a2 - x2)»’1'2'
____________— 1	, fft + 2n — 2 f_dx________
(m-l)a2xm~l(a2-x2)n~l)2__________________________________(m-l)a2 J x*-2 (<? - x*f+W* -
~ (2n — V) xm+i (a2 — x2)n~112 + 2n-l	xn+2(a2-x2)n~112'
_______dx_______
x2m(a2-x2)n+l'2
m+n-1 k
1	bzn+n-t
a2n*+2'1 2m - 2k - 1
2	2 m-fe-1/2
a — x \

.2
dx_______
x (a2 — x2)"+,/2
______________1_____________ । 1 Г___________dx_________
(2n — 1) a2 (a2 — x2)rt“l/2 a2 J x (a2 — x2)n~U2*
Y*_____________________1	____________1—1 IД + (a2 — x2)1/2
=	(2« —2ft —l)a2*+2(a2 —x2)”-*-1^	«2"+‘ "I *
dx	I I a + (a2 — x2)1/2
x (a2 — x2)l/2 a I x
8. f----——— - _ -L (a2 - x2),/2.
J x2 (a2 — x2)U2 a2x
---------!_«. _,.>«_ J_ toI£.+ <».-«>!!!
J x’(as —x’)w2	2a*x2	2a’ I, x
,n Г dx ' . .1.	_ 1 In | a + (a* -x2)l/2 r
J x(a2 —x2)3^2 a2 (a2 x2)1/2 a’ j x |*
11 f		2x2 —a2
J x2 (a* — x2)*2 a*x (a2 — x2)l/2 *
«9 f	—
J' x* (a* — x’)3/i
~ _	1	,	3__________3_. I a + (a2 - x2)lff
2a2x’(a2 — x2)t/2	2a4 (a2 — x2)11*	2a* П| x
60
к TI	I	ах
2.56. Интегралы вида \ ------------ -	----77т •
' (х -Ь Ь)п (а2 - х2)1'2
Г_________dx_________________1________Г (д2,— х2)|/2 .
J (х + Ь)п (а2 - х2)1'2 “ (п - 1) (Ь2 — а2) L (х + Ь)п~1
+ (2” “ 3) Ь 5 (х+^-'^-х2)1'2 “(П “ 2) 5 (х+.Ь)п-^а2-^12 ]
[6 Ф ± а].
_________1 Г (а2 ~ х2)1/2 _ ,п _ n f_________dx_________
(2я-1)а I (х+а)"	J (х + а)п~1 (а2 - х2)|/2
[6 = д].
e 1 Г (Я2 - х2)1/2 _	_ Г_____________dx	1
(2п—1)а|_ (х — а)п	. J (х — а)'*-1 (а2 — x2)l/2 J
[Ь = -а].
(х + Ь) (а2 - х2)1'2 “ (а2 - 62)1'2 |П
Ьх + а2 + (а2 - &2)1/2 (д2 - х2)1/2
х + Ь
	[a2 > 62J.
₽ 1	(62-a2)1/2(fl2-x2)V2
S'	(b2-a2)'12 S	a2+b.x	la<b]’
B	1	.a 6.		пт arcsin — (fr2 _ a2)l/2	a	
Г	dx		1 ( a — x \1/2
J (x 4-a) (a2 — x2)1/2	— (—— I	.	. a>0]. a \a + x J
	1 /fl + x\>/2
$ Г	dx		 У (x — a) (a2 —- x2)1^2	‘	r .	* \	Л. .
S	dx
----------------~ТТ/Ъ »
, (ft2 ± X2) (a2 — X2) +1^2	...	.
Г__________dx_________
J (Ь2 — х2)т (аг —х2)"+1/2 " -	‘ '	, :•
• _______...-...........*________L	.
.••	4 ' 2 (tn — if (fl’ — b2) b2 (b2 — x’)'”-1 (а2 - х2)"-у2	-
.(2m - 3)д2 - 2 (2m + я - 3) 62 f	", dx	' '' ;	:
2(m-i)(a2^-H>  Ъ^-х^-Чд^х2)^1®+.
. m + я — 2 f	dx ______
T (m - 1) (a2 - b2) b2 J (b2 - x2/”-2 (d« — х2)п+1/2 ’,
f__________dx______________________ — x ;	, v ’
J (b2 - x2) (я2 - x2)n+l/2 "" (2n - 1) (д®— b2) a2 (a2 ^J2)'f~1/2 C
-	.] (4n-3)fl2-2(n-l)(>2 f	dx	- .
"Л!;?	•(2d гг 1) (a2 -. 62) e2 • J (b2 ,-r x2).(e2 -ix2)n~1/2 .
_________
(2n-})(a2-b2)a2 J (ft2-x2)(a2-x2)'*-3/2t>'
61
3.
__________dx___________	1 |n
(&2 - x2) (a2 - x2)l/2 b (a2 — b2)112
I x (a2 - 62)1/2 4. 6 (Д*  xt)№ I
(x2 - b2)"2
4.
6.
6.
e 1 arctcx(ft8-^
b(b2 — a2)112 S b (a2-x2^
_	1	x (b2 - a«)1B
“ b(b2-a2)42	a(b2-x2)42
=	1 arcte^H±)!l
(&2 + x2)(«2-x2)1/2	6(a2 + i2),/2	b(a2-x2)^
[a* > 62L
<a2 < 62].
[a2 < 62].
1.
2.
2.58. И нтеграл ы вида J хт (ax2 + bx-%* c)n^^2dx.
Обозначение: X«= ax8 + bx + c.
f ДП-Н/2 dx	----
J	(rn + 2n + 2) a
(2nt + 2n+ 1)6 C m-1 vn+1/2	_ (m — 1) C
” 2(m + 2n+2)a J	(m + 2n + 2)
4-3/2
xw-2Xn+1/2dx.
3.
4.
5 *“+,s- 4^ х"ыа+--4<+V-’ S x-'a
_ (2ax + b) Xi/2
~~ 4(ti+l)a X
[Л-1
... , V (2»+ 1>(»>- 1)... (»-»+ » /*»- »! \,+1 „.-«-I
(2n+l)ll /4ac — b2\n+l f _rfx_
+ 8rt+1(«+1)1 \ a ) J X112*
В ( xmXw dx — xm~1x3/2 - &m+l)b Г m-lxl/2d _
6- }xJ d (m + 2)T 2(m + 2)a )X Л ax
- {OT7*)C \хт-2Х"Чх.
(m+tya J
6. f xi/2dx = J2^Xl/2 +j2£^inlJ£*±^ + jl/2l	(a>01.
J	4a	ва4'2 I 2 Va	|
e 2ax+_£ xll2 b2-4ac_	. 2^+^	[fl < 0;	> 4aa].
4a	8a Via I ^b2 - 4aa
8.	U^24x = A-X3'2-^U1/24x.
J	OU	лЛ1 J
( MK1. - 4ва**' - •‘X + №i' -A”-
«ел тл	С (ах2+ bx + c)ft+l/2 .
2.59.	Интегралы вида \ -------------------dx.
Обозначение: X = ах2 + Ьх + с.
1.
2.
8.
4.
Г Хп+1/2 .
\----dx
J хт
4-3/2
(т — 1) схт~1
(2п-2т + 5)Ь Г X"41/2	(2п-т +4) а ( Л"4’/2 .
+	2(m—1)с J хт~1 +	(/я-1)с	’
xn+l/2 xn+l/2 b л 1/2	Г Х»-1/2
-----dx — а—гт + "К \ ™ dx + с \-------dx.
х	2га + 1	2 J	J х
(ах2 Ц-&х)д41^2 .	2 (ах2 + бх?43/2 ,
хп ах= (2п — 2т+3)Ьхт

2 (т — 2п — 3) а
(2п — 2m + 3) Ь
f dx
С\ хХ^'
(а,?+Ьх)п™ ,
„ш-l ах.
б.
х1/2
+-а
dx
X*
b Г dx
2 J хХ‘/2-
С (ах2 + 0х)1/2 .	2 (ах2j>x)1/2 , С dx
’• J ? **---------------.	+ “ J («?+»«)«’
(л£^__(л+-!!-к'г+(---Н Лг-
J х3	\2х2 4сх/ к2 8с/J xXlli
я С (д*8 + ь*)1/2 А у	2	+ ь*}312
8J -----х*----dx--------ЗЪх^--•
а С X312	х3/2 . 2аЬх+&2+8ас _1/2, (\2ac-b2)b Г dx , a f dx
9.	^ax- — +	-	x +	—	^_ + cy—
10.	(dx — -	fl* + 6-x3/2+
J x2	ex 1 c
3 (2qx + 36) vi/2 , 3 (4ae + 62) f dx , 3>bc f dx
^4^8 J Х{12^^Г
lt f	dx д (ах2 + bx^_ 3& (a? frx)1/2 j£ C dx
J Xх	2x	4	8 J (ctfH-fcx)1/2,
12. C dx------(Xs'2 + ^*±2^±£.x3/2 +
J Xs	\ 2cx2 4c2x J	t4c2
3 (a&x + 2ac + b2) 1/2 3af> Г dx 3(4ac + 02) f (lx
4e	2 ' X*/2	& J xXili ’
J x3	X )	2 j (ax2 + bx)V2
2.60. Интегралы вида
5 (ax2 + 6x 4- c)ft4t^ *
Обозначение: X = ax2 + bx +
1.
63
2 (2ах 4- d)___
(2л — 1)(4а^— b2)Xn~42
y[| + V 8л(л-1)(лт-2)...(л-Л)	/ aX \*1
Л А (2л - 3) (2л -5) ... (2л - 2* - 1) I
3.
4.
3.
6.
' 1п|22£+Д + Х1/2
X1'2 4а I 2 4а
—+
Va -у4ас —Ь2
— 1	. 2ах + b
И» arcsin - -	—
V— a 'у/Ь2~4ас
«== —4=г In (2ах + Ь)
Va
dx 2 (2ах + Ь)
, Д3/2 “ (4ас - Ь2) Х1/2 *
[а>0].
[а >0; Ь2 < 4ас],
[а < 0; Ъ2 > 4ас].
[ а > 0; &2 = 4ас].
»
2.61. Интегралы ви
Обозначение: X — ax2 + bx + с.
Г хт dx
’ \ j^rt-t-l/2 3=3
—	*т~1	— (2т~ 2п— 1)6 Г xm~l dx _ (т—1)с Г xm~2dx '
(/и — 2n) йХа~^2 2(m — 2n)a J x”+,/2	(m-2n)a J XB+V^ ’
,	_________2xm______, 2 (2n — m — 1) Г xm~* dx __ 2c Г xm-1 dx
“ (2n -1) bXn~112	(2n—l)b J Xn~112 b J Xn+lIi ’
— -If xm~2dx _c{ xm~2dx _ b_ f xm~l dx
~ a J XB-l/2 a J Xn+ili . a J Хп+112 ’
4. 1	Г x2n dx __	x2rt“l		x2”"1 dx ,		‘ x2n^2 dx
	J j^n+l/2	(2n - 1) aXn~112	2a J	. ^n+t/2	'	a «	j^a-l/2
5. *	Г xdx	1	-Al	Г dx		
	) ^rt+V2	(2n - l) aXrt-1/2	2a .	J j^n-H/2 *		
f xdx X112 b f dx
J “ a 2a JF'
7 С x2 ^aX —	Y1'2 I — ^ac C
 J X112 ”	4a2 J	8a2 J Л1/2‘
Я t X*dX 8atX* ~ 10g&X + 15&2 ~ l6aC X-V* - Sft> ~ 12aftc Г dx
' } X112 "*	24a3	16a’	) Л1/2 ‘-
Л f x dx _ 2 (bx + 2c)
J X^2 S (b2^4ac)X1/¥’	J
x2 dx (4ac^2b2)x^2bc	1 Г dx
X312 “ a(62^4ac)Xil2	' a J X17?*
x» dx a (4acЧ 6*) x2 + 6 (Юас - ЗЬ8) x + c (8ac - 36»)	36 Г 4*
X3!* "	^^dc-^l2	7	J X*
64
2.82.	Интегралы вида 1—77;—5——--------гггтй»
к	J xm(aXi + bx+c)n+1/2
Обозначение: X =* ах2 + Ьх + &
1.	* dx		1	 | Л«+1/2	(От _ \)схт~1Х.п-^ _ (2m + 2« — 3) b f	dx _ (m -fr 2n — 2) а С	dx 2 (/n — 1) г J ^w-ijn+i/2	(mv—l)c J xm-2^n-H/2 *
2. 1	* dx __	1		 b C dx . 1 C dx J xXa+U2 (2n — 1) cXn~112 2c J Xn+l/2 c J xX'l~1/2’
3. 1	*	dx	—2 1 xm (ax2 + bx}n+il2 (2m + 2n — 1) bxm (ax2 + bx)a~lli . 2(m + 2n— l)a Г	dx	 (2m + 2«—1)6 J xm~l(ax2+ bx)n+l/2'
4. 1	Г dx	1 . I 2c + 6x + 2V7x1^ I	r A, biw— vr'"|-	 I	I'>»b
б.	1 .	2c + bx	„ “ Vc Ar h 2 V№T	lc > 01’
6.	
7.	1	I u	1 «я —=rIn I	1	[c > 0; b2 =»4acL Vs	1 2c + bx 1
8.	“ yrr arcte 2	x"2‘	tc < 01‘
9.	«== —7==r arcsin •—7=====*	[<? <0; b2 > 4acJ. V-c	xV62-4ac	1
10.	2л/Ьх + ахг	r Л . , Л, —-	—	 [c —0;6=/=0).
11. 1	Г dx	Xil2 b Г dx \ x2X"2	ex	icixX"2'
12.	5 x2(ax2 + 6x)1/2 ” 3 ( ft? 1 62x)(a* +6X) ‘
13.	{ dx	_ C	1	, 36 \ v„2	, /362	a \f dx J x3Xl,i \	2cx2 4c2x )‘	\ 8c2	2c) J xX1/2	*
14.	(	= 1 (	L_ 4. 4a 4.	(ax2 + bx)ir2. J x3(ax2+bx)1'2	5 k bx3 * 362x2 1 ЗЬ3хГ	?
15.	Г dx	2 (abx — 2ac + 62)  1 Г dx J xX312	с(Ь^4ас)Х112	cixX42‘
16.	Г	dx	 2 /	1 . 4a . 8a2x\	1	 J x (ax2 + bx)^2	3 \ bx b2 b3 ) (ax2 + bx)112 *
17.	C dx Г 1 b(l0ac — 36’)	a (8ac — 36’) x ] 1	36 Г dx L CX	<^(4ac-b2}	C2(4ac-62) J X‘/2	2c2 J xXl/2'
66
3 Ю. А. Брычков в др<,
f dx	___L +	_____________________1	.
l8- J ?(ax2+6^ bA bx* + b2x b3 b* J(ax2 + bx)l'2‘
c dx Г t , 56	1564 - 62ac&2 + 24a2c2 аб (1562-52ac)x T,
,9-J7£W“L	. 2c3(62 —4ac) iffi-iac) JX
v 1	. 15b2 — \lac f dx
X 2X‘/2 +	£3 J
en f dx _ 2 /	1 , 8a	16a2 , 64as , 128a4x \	1
’ J x3(ax2+6x)3'2 . 7 к	6хз + БЬ2?	563x + 564 + 56s J (ахЧбх)1'2’
2.63. Интегралы вида (	-----dx.
J	<x + p)m
Обозначение: X=ax* + bx 4- c.
Sjn+1/2	_jfrt+3/2
(X + p)"* dX (m — 1) (ap2 — bp + c) (x + p)m~l
(2n - 2m + 5) (6 -2ap) C Xn+ w	(2n-m + 4)a Г Г+1/2
2 (m — 1) (ap2—bp + c) J (x+p)"1-1 X (m— 1) (ap2— 6p+c) J (x+p)m-2
2Xn+3/2
(2л — 2m + 3) (b — lap) (x + p)m
1(2п-т-\-^}а f Xn+V2	.
«— -—‘--------—-— — i------------- —dx [flp2 — bp + c » 0; b — lap 0].
(In — Im + 3) (b — lap) J (x + p)1
xn^lf2
---:---dX «
x + p
Xn+,/2 b -!
" 2« + 1 +	2
jl/2
.vrt—1/2
—dx-
x + p
._____1 C (b + lax) dx
2(m—1) J (.x + p)m~lX112'
dx
xn-l/2
X^dx__________________
(x + p)m (m-l)(x + p)m-1
X*^2 dx Г ax +b — ap ,	„	. ,
xV
dx
—1
(x + p)m Xn+l12 (m - 1) (ap2 -bp + c)(x + p)m~l Xn~112
(2m + 2n — 3) (b — lap) Г______________________dx________
2 (m - 1) (ap2 - bp + c) J (x + p)"*-1 Xn+1/2 “
_ (m + 2n — 2) fl Г__________dx____'
(т-1)(арг-Ьр + с) J (x + p)n»-2Xn+1/2 ’
7 ._______________=2__________________
(2m + 2n - 1) (6 - 2ap) (x + p)m X'’"1'2
2 (m + 2л — 1) fl Г_____dx
“ (2m + 2n-l)(6-2ap) J (x + p)m~l Xn+42	—	b-2ap^0l.
dx	__________1_____________,
(x + p)Xn+l/2 (2n-l)(ap2-bp + c) Xn-U2 +
.____________1 C dx_____________, lap Ь Г dx
**" ap2-bp + c J (x + p)Xn~42 + 2(ap2-6p + c) J Jt»+U2*
66
a
10.
it
12.
13.
14.
15.
16.
___— 1___ , b — 2a p C dx
* (2n + 1) X"+1/2 '‘"s' xn+3/2
dx________~^1/2_____________
(x + p)m Xl/2	(m — 1) (ap2 — bp + c)(x + p)m~l
(ар^-'—Ьр -J- c » 0].
dx
(2m — 3) (b — 2ap)
2 (tn — 1) (ap2 — bp + c) J (x + p)m-i X112
_____________________________(m — 2)a_____________Г______dx
(m — 1) (ap2 — bp + c) J (x + p)m~2X1^2'
_____________________________,	2(m — l)a C____________dx	
(2m - 1) (2ap - b) (x + p)m * (2m - 1) (2ap - ft) J (x + p)m~l X'12
[ap2 — bp + c = 0; 2a p — ft	0].
t = —!—1.
x + p J
_________________________________In I (ap^bp+c^+X'12 b — 2ap I
(x + p) X112 (ap2 — bp + c)il2 I x + p 2 (ap2—bp+c)i/21
[ap2 — bp + c > 0].
I (ap2—6p+c)1/2—-X1/2_________________________________b — 2ap_______
I x + p	2 (ap2 —• bp + <?)l/2
[ap2 — bp + c > 0].
(b — 2ap) x — bp + 2c
(x + p) (b2 — 4ac)l/2
[ap2 — bp + c < 0; b2 > 4ac]»
[ap2 — bp + c »• 0].
2X1/2
_ Г_________________f""1 dt________________
J ]a + (6 — 2ap) t + (ap2 — bp + c) /2]1Й
dx	1
III
2 (ap2 -bp + c)112
-------------------пт arcsin
I ap2 — bp + c |1/2
2X"2
(b — 2ap) (x + p)
1
2.64.	Интегралы вида \------------------------777.
' (xz + px + q) (ax2 + bx + c)1/2
Обозначение: X ==» ax2 + bx + c.
________dx_________
(x2 + px + q) X112
(p2 — 4</)1/2	p —Vp2 —4y ) x 1/2
Г______________dx__________________n
' („ . P + Vp2 — 4<? xti2 I
V **	2 J J [p2 > 4^; cm. 2.63].
2.	f	-и
J (x2 + p2)X112
f_____________________________ (a-p)(f+l)d/____________________________
в J I(a2 + P2) t2 + (₽2 + P2)] 1(<и»2 + ba + c) t2 + <Ф2 + ftp + c]1/2
•= ~	» a и ₽ определяются из системы уравнений
b (а + ₽) + 2с — 2ар2 0, a|J + р2» 0].
3 (	+ Р) ## а С du . 2fla — ab С (1 — ао2)”1^1 do
 J (p + X)nXil2~ a j (p + u2)m + 2a J +
[vi/2 ft + 2ax n „ ,„1
a = X11, о « —	.,j"; cm. 2.15, 2.17 I.
2aX112	J
3*
3.	ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
3.1.	Интегралы вида J f(в®*)dx.
1.
2.	(bx)dx =	(e*ln6)dje
3.	( eex dx « — ea*.
J a
4.	( b* dx = -^—i~
J	In b
’• J 7^1—W<•“+»»
0. --ax~~---ST1®58-arctR (^aX a/^)
J be^-t-ce"0* a <yjbe	\ V c J
-	1	-	c + eax V— be
7.	=----тх:— 1П —2——^=====г
2a V —de	c — eax be
f e“x - 1 ,	2 . .ax
& \ ""ax i .  dx — In ch -T-.
J + 1 a 2
9,	f	dx	—	1 in ^/b + ceax — л/b
' Vb + ceax a^/b " Vb + ce"* +Vb
-n	2	. Vb + ceax
a'yj—b <>J—b
3.2.	Интегралы вида J xpeax dx.
1.	( хре« dx - - xpeax - £- ( x»- leax dx.
J	л a J
[6 > 0, b чь 1].
[Э > 0. Ь Ф 1].
[6c>0J.
[be < 0].
U>> 0].
[* <01.
2.	( x^-'e-^dx^ ------—----------------- C
J	(n — p)(n-p— l)...(l-p) J
n-1	.
e-<« —t ________(—l)ft (ax)A______
“ xn-p £_i (n — p) (n — p — 1)... (n — p — A)*
3.	( xne°* dx = eax (+ У (-1)*	*""*
\	*-l	a
4.
68
В. \ x2eaxdx — eax — _ " +4-).
J	\ a a2 a3 J
6.	\xWxdx='eax	+	----т-)«
J	к а a2 a3 a* J
т «.	«.
7.	t Р(х)еа^х = —У
J	а a* dx
k~o
где Р (%) — многочлен степени т.
Seax
dx.
- С еах ,	еах , а Г еах
!• \ —г dx =---------г- 4-------\ ——r dx.
J хр	(р—1)хр~1 р — 1 J хр 1
Г eax	а&~1	аР~~1
2.	\^—dx^-eax У ------------------------г- + —-----Ei (ах).
J хп	(п— 1) (м — 2) ... (n — k)xn Л (а—1)1
3.	-~£— dx « Ei (ах)	[а =/= 01
4-	-М«| + Ё<.
Л-1
dx == Ei (-- ах)	[а > 0].
6.	( ^-=r dx = Л/— erf (V^)	[л > 01-
J Vx V а
г р-ах	9	_
7.	j —dx«=» — “^=г е^ах — 2 Уяа erf (л[ах)	[а > 0J.
8.4.	Интегралы вида J xpe“ax* d
1.	( e“ox2 dx =» ~ А/— erf (л/ах).
J	а у и
2.	? хРе-™' dx=^- -4^- е"ахг +	( x₽-2e-<»M2 dx
J *	2а	2а J
О С 2я -ах>	(2п - 1)1! X2"-1 e"eJt’ . .
8.	\ хте ах dx= — -------------------X
j	ла
Х S 2ft(2«-2ft-l)!!(a^)ft + 2»+‘aS+^ erf
. С 2п+1 -а* .	х^е-^ V» п!
4. \ xZrt+1e ах dx =-------> -----------—
J	2а ^Q(n-k)\akx2ft
б. ( xe^axi dx « —
J	2а
69
в. J Л’**! dx-^в~ах’ + ^ erf №)•
7.	-----^+1в-«’.
C e-e**
3.5. Интегралы вида \ xP dx.
C e”°X’ a e~aX' 2a С е~аХ" A
(p-l)x₽-‘	p-1 J x₽~2
2.
e~^ dx“ -(2nC-^i2a E ("2)ft (2« - 2Л - 1)9 aft
3.
__1_ e~a^dx
x2n+l e aX
(—2)n-1 а/o'a(2n~,w2	, i f- \
-----(2n—Т)Й--------erf№)
- ж *“’ E(-1)*(n ~ *)! «^2ft_2a’2.+ei <-«**>
ft-1
Se~ax?	1
dx-^Ei(-ax’).
Л	A
5. ( e  dx *» — e-ex’ — л/яо" erf (л/ах).
J X	X
л	dx e “ 2F e-<w’ “ -T Ei ("a*2)*
J Л	a
7. J f (x) e-<e**+»*+«> dx —
я * в(Ь>-1м)Л1а> C f ( 2^a *г:Ц e-r* di	Г/ = Va f* + —Y a > 0
Va	J \ 2a J	L	\	2a/
Л J e-(«3+^+c> dx = 1 д/П в(Ь’ - ШЛ40) erf ( Vax +
4.	ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
4.1.	Интегралы вида j shpx dx.
1.	( shp x dx » — shp"’1 x ch x — f shp”2* dx.
J	P	P J
2.	( sh2mx dx~ (-!)« C?m	+ -^-r- У -Дт- sh (2m - 2ft) x.
J	m. 22m	22я»-1 2m —2k
Л—0
3.	J sh2m+’ X dx = У (—l)ra+* ch2fe+‘ x.
Wl ж -
4.	= _LV* -^=-2—^±1 ch (2m — 2ft + 1) x.
22"1 2m “ 2ft + 1
Б. sh x dx s=s ch x.
6.	( sh2 x dx = — sh 2x —
J	4	2
7.	{ sh3 x dx = — 4“ ch x + -4r ch 3x = — ch x + -4 ch8 xJ
J	4	12	о
8.	( sh4 * * * x dx «« ~ x — 4- sh 2x + -4r sh 4x = 4 * ~ 4 sh x ch x + 4~ sh8 x ch x.
J	о 4	о о	4
Sdx
shpx *
4.2.	Интегралы вида
1	С ____________ch х_______р — 2 С dx
J shpx (р— l)shp“lx р — 1 J shp~2x’
2	Г dx______ch х
J sh2m x 2m — 1
[m-1	.	1
1	, V	2 (fft — 1) (ff« - 2) • • • ("« - ft) .rfb-Zm+t „ I
sh2m-ix Zj ' l> (2m-3)(2m-5)...(2m-2ft-l)	*1*
я C =. chx Г _	1	.
’ J sh2m+1* 2m L sh2mx
m-1	n
. y1 / n*-l (2m — 1) (2m — 3) ... (2m — 2fe + 1) sh2fc-2mx I .
2*(m —l)(m —2)... (m — fc)	J
j. i_iI?^2ZlU1L in I th * I
+ t l) (2m)H lnP 2Г
71
4.
5.
6.
7.
С ***
J sh х
dx
sh2x
,n|thf|eyln
— cth x.
ch х— 1
ch x + 1 *
dx ch x 2 tn
71P7”Tsh^"“ 2 ,n
-	= — -i- cth’ x + cth x.
sh4 x 3
4.3.	Интегралы вида j chp x dx.
1.	( chp x dx ® — sh x chp-1 ,'x + --	( chp“a x dx.
j	P	P J
x 1	Ck
( ch2m x dx •	7 2m — 2 k sh	*’
m rk
Л-0
1 w Ck
4 =^Еи^н*>-И+11-'
Л«0
5» ch x dx = sh x.
6.	( ch2 x dx = 4* sb 2x +
J	4	2
7.	( ch’ xrfx =4- sh x + -4rsh3x = sh x + 4-sh’x.
J	4	12	о
8.	( ch4 x dx = 4-* + 4- sh 2* + -4г sh 4* = 4 * + ^4 sb * ®h * + 4- sh x ch’ x,
J	о 4	o2	о q	4
4.4. Интегралы вида J
I C dx в sh x________. p —2 Г dx
J chpjc (p — 1)chp"“1 a; p—1 J chp~2x*
Sdx shx Г 1
ch2mjc	2/n—1 Lch2m“Jx
. V 2fe(m-l)(m —2)... (m-fc) -2Л-2т+1 . T
(2m — 3) (2m — 5)... (2m — 2Л — 1)	x J*
3 ( d* s- sh * Г 1	.
J ch2w+1 x . 2m Lch2mx
m-l
+ У - 0 <2"? - ?)_. •. (2m - + 1)	1 jarn-DB .
2*(m-l)(m-2)... (m-A)	J (2m)«
f dx
4. \ -gjy = arctg sh x ®= 2 arctg e*.
5.	ж® th X
72
e- $ wL7+la,c'!Sh'-
4.5. Интегралы вида \
1. ( shp х chq xdx — —---~t~----~	( shp x ch*7"2 x dx»
J	P^-q p + q J
^sh^xch^A, JLzl \ 8hp-2xch’x4x.
p + q p + q j
3.	shp"2xch’+2xrfx.
q + 1	<? +1 J
4.	« Jhp+1 *<У "-— - -^4 sh₽+2 x ch’-2x dx'
p+1	p+1J
= shp+t xcH1 x p + ?+2_ Г sh₽+2 x ch<? x dx.
p+1	p+1	J
---------sh^xch^x p+x+2 C shPxch,+2xdx_
q + 1	q + 1 J
7. ( shp x ch2™ x dx « *h * Г ch2*"1 x +
J	T p L
П-1
. v (2n — 1) (2л — 3) ... (2n — 2fe + 1)	2п_2й_1
Zu(2« + p-2)(2« + p-4) ... (2« + р-2й1 cn
ft-l
+ (2„+p)(2^p-.),2,....(P+a S*-?"	-*••• -M-
в. J sh’ » ch"”+‘ Л dx -	, [eh2" x +
, V»________ 2ftn(n—1) ... (П —fe+1)_______________ rh2n-2S „ I
"r Zj (2n + p —• 1) (2л + p —• 3)... (2n+p — 2fe + 1) cu J
[p-H»-l. -3,..., -2л-1].
9.	( sh2* x chp x dx =* -x—t—“ Fsh2'*"1 x +
J	2n + p L
n-i	b	T
д. V ( — l)ft (2n — 1) (2n3)... (2л — 2fe + 1) qh2n-2ft-l „ .
*Г Lt (2л + p — 2) (2n + p — 4)...(2л + р — 2k)	j **
10.
<• /о X So 1^”7r1^1--.. — - ( chpxdx [p ¥• -2, -4,...» -2л].
(2л + p) (2л + p — 2) ... (p + 2) J
, sh2«+1 x chp x dx =	[sh2* x +
, p (-2)*л(л-1) ...(n-fe+1)
** 4^ (2л + р-1)(2л + р-3)
________________sh2*"2* x I
. (2л+р-2Л + 1)_J
[p^-1, -3,..., -2л-1]
73
	г	. . , ch (а + b) х , ch (а — Ь)х
11	\&axchbxdx- 2(a + b) + 2(а-6) *
12.	( sh х ch х dx »-7 ch 2x. J	4
13.	( sh x chp x dx » —4-r- chp+! x. 1	P r 1
14.	f sh2 x ch2 x dx*= — -f- + 755- sh 4x. J	0	oz
15.	r	12 \ sh2 x ch3 x dx «•= -= sh3 x ch2 x + — sh3 x. J	0	»»
16.	Г	X	1	1	I \ sh2 x ch4 x dx = —77- — -нт sh 2x + -xr sh 4x + -7777 sh 6jf. J	16	J54	64	192
17.	Г	1*2 \ sh3 x ch2 x dx -- sh2 x ch3 x —== ch3 x. J	5	lo
18.	( sh3 x ch3 x dx » 4" sh6 x + 4" sh4 x 1=3 4“ c^e x —г ch4 x* J	6	4	6	4
19.	r	12 \ sh3 x ch4 x dx » 4- sh2 x — -77- sh2 x chs x. J	7	00
£0.	f sh4 x ch2 x dx = + — -£7 sh 2x — + sh 4x + + sh 6x. J	16	64	64	192
21.	sh4 x ch3 x dx = у ch2 x + shb x ch2 x.
22.	J sh4xch4xdx- l28-	l28 sh4x + 1024 sh8x.
23 Д	> sh ax sh bx sh ex dx » 	 ch (а+b+c) x _ ch (—а+b+c) x __ ch (a — b + c) x _ ch (a+b—c) x 4 (a+b+c)	4 (—a+b+c)	4 (a — b + c)	4 (a+b—c)
24.	sh ax sh bx ch ex dx » sh (a+b+c) x _ sh (—a+b+c) x _ sh (a—b+c) x sh (a+b—c) x 4(a+b+c)	4(—a+b+c)	4 (a—b+c)	4 (a+b—c)
25.	J sh ax ch bx ch ex dx ch (a+b+c) x _ ch (—a +b+c) x . ch (a—b+c) x , ch (a+b—c) x 4 (a+b+c)	4 (-a+b+c) 1 4 (a-b+c) 1 4 (a+b-c)
26.	ch ax ch bx ch ex dx «=» sh (a+b+c) x sh (—a+b+c) x . sh (a—b+c) x . sh (a+b—c) x e 4 (а+6+с)	1	4 (—а+6+с)	1	4 (a—f>+c)j 1	4 (a+&—c) . „ „	f shp x . 4.6. Интегралы вида \ ch«x ^x’
1.	f shp x .	1	sh?*1 x P — 1 ( shp~2x . J ch4 x	p — q cil’ 1 x p — q J ch’ x
2.	1	shp+1x _ p — q + 2 Г shpx , q — 1 ch’“lx	9 — 1 J ch’-2x
74
„	1	sh®"1 x , p — 1 f sh**-®* .
3- —
Г sh9x sh9+1x Г 1	,
* J ch2ftx aXa 2n—1 Lch^-'x Ф
n-1	q
. V» (2n — p — 2) (2я — p — 4) ... (2n — p —• 2fe) . 2S-2n+l , .
jfa	(2я —3)(2n —5) ... (2я-2й- 1)	J
. (2я—p —2)(2я —p —4)... ( —p + 2)( —p) Г . p
+	(2n-1)!!	}*
_ Г sh”x . sh9+1x Г 1
J ch2ft+* x	2n L ch2nx
+ у ( — l)fe(2я — p — 1) (2я — p — 3)... (2я--p — 2fe + 1) ch2ft- 2n J .
fa	2ft (я — 1) (я — 2) ... (n —Д)	J
. (2я — p — t) (2n — p — 3)... (3 — p) (1 — p) C shpx
***	2лп!	J chx (
«• $-^^“Z4r^*sh2ft’‘x+(“l)Warctgsh^
Л-1
7-
fe-l
m	.
- Ё -------------------C“ ch2ft * + (- D” In ch x.
iltf
k^\
я C sh*"'H x .1, V (-l)m+Agm
’ J ch2" x Lj 2k - 2n + 1
4-0
ch2ft-2»+lXt
r	«—"ч f 4\tn^ph
^2nTix dx - E 2fe_2— Ckm ch 2ft’2rt* + ( - l)’n+rt Cnm In ch x
Й««1)
k^n
[л<
m	.
10- eE (27-2n c»ch2ft-2n* [n>m1,
Л-0
11 ( sh x	______1________
' J ch₽x djfe~ (p — I) ch₽“*«
»2. ( n£r~ dx “ —~ thP+‘ *•
J ch₽+2x p +1
IS- ( —r— dx  In ch x.
J chx
14. J	dx “ sh x — arctg sh x.
75
15-$-Sr<fx“4ch’jt-inchr-
1®. $ ^ix я з"8^3 х sh * + arctg sh *•
l7-\-&Tdx—ir
<o f sh2x .	'
18. \ -/2  dx = x — th x.
*’• S-Sf‘,’“ch' + T7-
20‘ $7ibTd*”~4* + Tsh2x+tIlx'
21.	{-^-dx^-LtWx.
J ch3x • 2
лл f sh2x , $hx ,1	. .
22-	)7IPTdx==-^T + Tarctgshx-
23.	j fffl--"' dx =* — -y th2 x + In ch x.
21	S l£frfX = Shx+ 2fe“larctgshx-
25,	J ’chr7’ dx “ ~ 3ch3x*
fte f sh2 x .	1 A. *
2e-J-айт^-з-* *•
2?. f-^~-dx =--J— + a-U • ••
J ch4x	chx	3ch3x
ScFi4 V	1
JHJL	th3x-thx + x.
ch4 x	3
4.7. Интегралы вида j - - dx.
chpx ,	1 ch*7 !x	ch*7 2x
____ (IX 9ss -I,	........ -4-   .. n. I , -	,	,„ .,,
shpx q — p shp-1x q — p J shpx ,
я —	1 chg+1 x	<7 — p + 2 Г chyx
p—1 shp~l x p —1 J shp~2x
—	1	с^<7~1 x । q 1 f ch*7^2 x
p—1 shp”lx p —1 J shp“2x
f chp x	chp+1 x Г 1
J sh2nx *в 2n—1 lsh2rt“lx
rt-1	т
. V t nfe (2n - P - 2) (2n - p - 4) . . (2n - p - 2fe) . 8fe_2n+l , 1 .
+	(2n - 3) (2n - 5) ... (2n-2fc- 1)	1^
£-1	J
+ (-!)	- p - a - p_-j>p+2> (- p>. (ohP x
78
Г ehpх	. chp+,x Г 1	.
5' J sh2n+'x	2« L sh2»x **	,
n-l	1
у»(2n —• p — 1)(2n — p — 3) ... (2zt - p - 2fe + Iksh2fe-to x I .
*41	2ft(n-l)(n-2)... («-*)	J
, , .у, (2n — p — 1) (2rc — p — 3) ... (3 — p)(l — p) f chpx
f *** *	'	2n?zl	J sh x . ’
ch2w Xj V* ch2n-1x
shx dxe2j 2k — 1 +
Ы
_ f ch2"**1 x . A sh2ftx . V C« .2ft , . , .
7- j -"shX	~2Л^ +ln|shx|«£ —Sh2ftx + ln|shx|.
k-l	ft-1
ch2m+l, “ ck
8. C Л dx= У------------------sh»-*»’ x.
J sh2» x	2Л —2n+l
S 1^‘х dX" S ~2k-2n sh2*"2n* + C™lnlsh*l !«<«].
&»()
k^n
Д cft
I0-	“ S -2Г=ЗГsh2ft-2n *	Ift > ml*
ft-0
.. f Й*	1
11.	\ "»— dX’B* —-----—: .
J shpx	(p—l)shp-lx
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
5 ^p+2 dx"---— cthp+,x.
J shP+2x	p+1
$ lEx"d*elnlshx1,
$‘^rdx"chx+lnlthTl-
j ^x~ dxs= 1ch’x + ln 1 sh*l*
J -^—dx—ichSx + chx + ta[th^[.
Schx .	1
sh2 x X e *" sh x *
$^TdJC-*-*cth*-
j •£r£Zx“shx“^T-
Sch4x .	3	, 1	.. ,
1Б5Т ажяш2Х + -4 sh2* - «ft*
$	—lcth2*‘
11
22»	C ch»* .	ch x , . 1 . x I 	Ж^ТМ
23.	$ “s^rf*e“icth,*+In|shjf|’
24.	$ ah’* dx”ch* 2sh2* + 2 In Ith 2 [’
25.	f chx	1 J sh<* ax	3sh3**
26.	f ch** .	1 .. J sh4* dx	3 Clh x-
27.	f ch8* .	1 __ 1 J sh4x x	shx 3sh3x*
28.	$ ~sh4F rfXe "* 4 Cth’ * cth * + *• > л TT	f	dx 4.8. Интегралы вида shP^chG"*
1.	f dx 	_	1		 p-f-<7 —2 Г	dx J shpxch*x	(p — IJsh^xch^x	p—1 J shp~2 xch9x *
2.	e	1	 . p + <7-2 C	dx (q — 1) shp~* xch'7"1 x	4 — 1	' shp x ch*7 *2 x * m+n-1
3.	C	dx	 V*	(—0й	+i_2fe-2m+l 1 J sh2m*ch2rt*	L 2m-2*-l «>*0
4.	m+n k&m
5.	(	dX2^— = У 			cj12ft-2'n-t x + In I th 41* J sh x ch2"1 x	2m — 2k + 1	1	2 | «*1 m
6.	(	;— = У* 			ch2ft-2e,“2x + In | th *[. J shxch2zn+lx	2/n —2/г + 2 ft “1
7.	( —	e У* "o—(~чь _L"i' sh2S“2M“1 x + (—l)m arctg shx't J sh2m x ch x	— 2/? 4* 1
8.	( —	= У 	blliJ	sh2ft-2«-2 X -Н-1Г In I th * 1 J sh2/n+1chx “ 2m —2/г + 2
9.	( -и. d\— = In (th x |. J sh x ch x
10.	( -. dXM ' - — -r— + In 1 th 4|. J sh v ch2 x ch x	1	2 1
11.	
78
12.	\  . дх -.. =-2-4-	3 — 4- In th4
J sh x ch4 x, . ch x 3 ch3 x |	2
,з- $ Sh4a*-—ib -arctgshx-
‘4- hh^ch*x---2cth2X-
f dx	1 sh *	3	. .
J sh2 x ch3 x sh x 2 ch2 x 2 аГС S **
C dx	—	*	8 .
16,	J	sh2xch4x	“	3shxch3x	3 Ct	2X*
7- S sP?d.,	О 1.1.1I.XI.
19-
20 Г	1	ch x ~ tf. I +Ti X I
J sh3xch4x ch x 3 ch3 x 2sh2x 2	[	2 |*
21’ J sh4 x ch x sh x 3 sh3 x arc^ x‘
dx
sh4 x ch2 x
1	। 8 A
--------u-----г cth 2x.
3 sh3 x ch x 3
2^’ j sh4 x ch3 x sh x 3 sh3 x 2 ch2jc 2 arc^
24- $ Thbch4* “ 8 cth 2x - 4 cth3 2x.
4.9.	Интегралы вида \ th^ x dx.
1.	(thpxdx =---L_ thp 1 X + ( thp“2x dx?
J	P“ 1	J
S	r-ч 4|п2л—2&+1 y
th"jcrfx = -2] 2n-2A + 1 + X‘
Д th2n-2ft+2 x
-----Z,-2n-2^ + 2 +'nChX-
k^\
.±y±^+1„ch,.
2 4* Ach2*x
Л«»1
4.
th x dx =* In ch x.
6.	J th2 x dx « x — th x.
79
4.10.	Интегралы вида	cth*кdx.
1.	( cthp х dx —---—г cth₽~l х + ( cth₽~2 x dx.
J	P— 1	J
ft-1
3.	---------------£ C2„b“~2“+2
ft-1
4.	e------У* -----£— + in | sh x j.
2 -H k sh2* x '
Л—1
5.	J cth x dx « In | sh x|.
6.	\ cth2 x dx « x — cth x.
(Л + В ch x + C sh x) zfjtf
1
4.11.	Интегралы вида \------------------------------ —	.
J (e + b ch x + c sh x)n (at + bi ch x + Ci sh x)₽
5Л + В ch x + C sh x .
--'-------!--------- dx =
(a + b ch x + c sh xy
a= __ Bi — Cft + (Лс — Ca) ch x + (Л6 — Ba) sh x
(ft — 1) (a2 — ft2 + c2) (a + ft ch x+csh x)a~l ’ (ft—1) (a2 — ft2-J-c2) "
vf (л - 1) (Ла - Bft + Cc) - (a - 2) Gift - Ba) ch x - (ft - 2) (Лс - Ca) sh x -
У 1	 1 J	-Ж1- 1	I - r -	M Л*
[a2 + c2 ft2].
(a 4- ft ch x + c sh x)n^1
Be — Cft — Ca ch x — Ba sh x
(ft — 1) a (d + ft ch x + c sh x)n "**
+[t + -(n-7)^1] <"h -+" •"	x
n-1
x У (2ft - 2ft- 3)!!____________________
"0 (a — ft — 1)1 ak (a + ft ch x + c sh х)п-Л
2.
3.
4.
5.
6.
1
[а2 + с2==&2].
Л + Bchx + Cshx	Cb — Be , , . t t t .
-a + Ochx + cshx dx “	ln 1 a + b Ch * + c sh x । +
+ -т££»+(Л — 1££-)$ .+ 3CU + ..!,,
-V'-’+[4-+^]«+[£^+4-!£^]'»^
[ft eel.
[8--81.
- Л	2	<8-»>th|+e
a+ftchx + cshx <\/b2 — a2-~c2	^b2 — a2 — c2
[b2>a2 + c*; а^ЬЪ
80
7
&
9.
10.
It
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
,	1 (g —6)th~— e + Va1 —P + ?	lt,<0, + c,.
V«2 — 62 + c» (a — &)th — c - V«’ — &’ + c* a^b].
_lta|,. + gttA|
______2
(a-6)th4- + c
dx	Г
(a ch x + b sh x)n (a2 — b2)n^
1
(62 — a2)n/2
A-f-Bchx + Cshx
a ch x + b sh x
[a я» 6; c 0].
[a>|6|].
dx** —A——, arctg I sh (x + Arth —I +
^a2—b2 |k e/|
1- [(Ca “ Bb} ,n ch (x + Arth t) + (Ba “ Cb) *]	la > ।6 11.
x + Arth
th----------L
2
»—.... In
V62 - a’
[(C6 - Ba) x + (Zb - Ca) In | sh (x + Arth -y) | ]
1 ГВ + С В — C _2«	. -xl
-тНг~*——в	-л‘ 1
1 ГВ-с	в + с 2х
TL 2~*+	2
16 >1 all
[a “ 6].
[a-------61.
dx
a + bshx
1—— In
ath-j
a th — b-'Jai+ b*
A
flthJ-6
«= —,    Arth -====-.
Va2 + b2 *Ja2 + b2
dx	1	___b + achx
----------—7==- arcsin —1-------
a + b chx yb2 — a2 a + b&x
[6s > a2; x < 0].
1
V62 - а2
. b + a ch х
arcsin ——.....—-
а + b ch х
[b2 > а2; х> 0].
1
V«2 — ь*
a+b + ^a2-b2 th4
a + b- Ve2-62 thy
81
с
A+Bchx + Cs,hx___________Bshx______________________
(l + ch*)'*	(л-1)(1 + сЬх)" (n— 1) (1 + chx)rt~‘
л-1
, / n R . Л (л-1» ,he V (2n-2fc-3)!t
+ (т^в+л)'(2^П)н811жд1“/1-й-1)| -а+см .
Й-0
22. J A + V+ch~x~~ dX *“Bx + C ln (1 + ch *) + <Л “ B) ~C\h7
f Л + Bchx + Cshx __________Bshx_______, _______C______
J (1 — chx)”	(n — 1) (1 — ch x)a (n—1)(1 — chx)"-1
n-1
if” В .1^ :hxY <2«-2fe-3)»	n
+ U-1 В ) (2n- 1)U 811XL (n -k- 1)!	(1 “ ch *>	•
24. C	Л + Bchx + Cshx dx = _ Bx _ c ln t __ ch x ।	_chx+_l_
J 1 — ch x	sh#
Г_________Л + В ch x + C sh x_______
J (oi + bi ch x + ci sh x) (a2 4-b2 chx + c2 sh x)
вЛ . | ai + bi ch x + ci sh x | Л C_dx_______
° I a2 + b2 ch x 4- c2 sh x j 1 J ai + bi ch x + Ct sh x +
+ n____________________
J o2 + b2 ch x + c2 sh x ’
Oi bi Ci
ABC
л _	02 b2 C2
0 —Tai I2	. I bi	с. |2	I Ci	ai P	’
I a2	b2 j b2	c21	I c2	a21
Л1
Л2
26.
ai bi	ci
I bi Ci | I ci ai I | ai bi I
|b C| |C A I Ц В I
__ o2 b2 c2
““ph bl l2_|_ I bl	Cl |2 _ I Cl	01 j2
I o2 b21	I b2	c2 j I c2	o21
Or bi ci
IC В I	|С	A I	IB A	I
I c2 b21	I c2	o2 j	j b2 o2	I
__ o2______________b2________c2 ________
— 101 bl jbi Cl P | Cl Oil2 ’
I o2 b2 I b2 c2 j I c2 o2 j
f 4 ch2 x + В sh x ch x + C sh2 x
j a ch2x + b sh x ch x + c sh2 x X
Г1 oi	bi I2 +1 bi	ci I2	I cj	oi I21
LI o2	b2 |	I b2	c21	I c2	o21 J
Р=^_Т«В1>-<Л+С) («+.)]« +
где
+ ValH + C) b — В (a + c)] In | о ch2 x + b sh x ch x + c sh2 x I +
+ р/2(Л - C) b2 + V2Bb (a - c) + (Ca - Ac) (o + c)] f (x)},
,, .	1 f I 2c th x + b — Vb2 — 4ac
f (x) = —s	In ---!-r—
'v ' Vb2 — 4oc I 2c th x + b + Vb2 - 4oc
2	. 2c th x + b
= —===== arctg .. . . ==
'yjbac — b2	V 4oc — b2
2
2c th x + b
[b2 > 4oc];
[b2 < 4ac];
[b2» 4ac],
82
SA + Bch x4-Csh л? ,
sh x (a + b sh x) X e
- Мл'" I,h i I+B to Irfrarr1+<c“ - л‘> $ тттапг].
f Л+Bchx + Cshx
281 J sh x (a + Z> ch x)
--^{1Л»+ад|п1“7|+(Л‘-г“>,п|Ц^|}+с^тта;-
-1л tbB, u	-	4lh f к	lh4+c
r A+^i£+£iitoIcth » + ±t«cth. » + cc^i+!.
J shx(l — chx)	2 I 2 | ‘ 4	2 ‘ sh*
Г Л + Bchx + Cshx
3b J chx(a + *shx) ax
I
*“ a2 + b2
dx
a + b sh x'
32.
Л+Bchx + Cshx
’ c’hx(a+Vdi'xj.~tf*e
-= 1 [ A arctg sh x - C In | ^iTT^ | - <Ab ~ Ba) J TTfchJ
33.	(---—----- . .J---= arctg (л/— — 1 th X j	[b/a > 1]
J e + ish2* Va(6-a) \Va J	* J
34.	=  . 1	- Arth (л/\-— thx)
Va (a— b} \ V a J
(0 < b/a < 1] или \b/a <0; sh2 x < — a/b]»
35.	t== —...... - Arcth ( л /1 — A th x ] \b/a <0; sh2 x > — alb > 0L
ya (a — b) \ V a /
86.	ce-i-thx	[a» £].
37.	«= —Arth (д^" th x)	[a » — b\ sh2 x < 1].
a V2
88.	c== —1— Arcth (V2 th x)	[a » — b'f sh2 x > IL
a V2
oq f dx	1 Pstl x ch x ± fb 9 Л dx 1
J (a + 6sh2x)2 ” 2a (b - a) la + bsh2x + a) } a + b^x[
40.	(	—----css  ..	arctg Г a/—f 1 +—^ cth xl [b/a < — IL
J a + bch*x ^-a(a + b) 4 V \ aj J	4
41.	c=c _. J Arth ( д/j + A cthx) [-1 <b/a<0; ch2x > - a/b].
42.	css —у	Arcth (л/1 + A cth
Va(a + b) \ V a J
[b/a > 0] или [— 1 < b/a <0; ch2 x < — a/b].
43.	css —!— Arcth (V2 cth x)	[a «» bL
a V2
83
44.	»- cth*
a
C dx
J (a + b ch2 x)2
45.
46.
47.
[a = — £],
1 Г — b sh x ch x t ,ft , f dx 1
2a (a + b) LH&ch2x + (2a + b) } a + dch2*]*
|r[x+V?arctg
1 Г- I. b I л/— ab — & th *
a + & L 2^J—ab | V~* ab +b thx
ix+ish“
48.
\ab <C 0: a 4- b «jfe 0].
[a + s= 0],
1.
2.
8.
J sh (ax + 6) sh (ex 4- d) dx =»
“ 2FT7T 8,11(a + c)x + b + dl ” 2(a-c) Sh I(a “ c)X + b ~ rf]*
ch (ax 4- b) ch (ex 4- d) dx =»
*° 2 (a + c)' sh [(g + 4 * 4- h 4- *] 4- 2 (-a!_ c) sh [(a — c) * 4- 6 — d].
J sh (a* 4- b) ch (ex + d)dx<=*
e2T^chKe + c)x + > + rfl+2(^chI(d--C)x+6“db
4.	( sh (ax 4- b) sh (ax 4- d) dx — - 4 ch (b - d) 4- 4r sh (2a* 4- b 4- d).
j	a	4a
5.	( ch (ax 4- b) ch (ax 4- d) dx>=* ch (b — d) 4- -r- sh (2a* 4- b 4- d),
J	£
«. ( sh (ax 4- b) ch (ax 4- d) dx = sh (b — d) 4* T7 ch (2a* 4- b 4- <O«
4ЛЗ. Интегралы вида	shpxshaxdx.
1.	J shp x sh axdxx=3-jj-~^y|^sh₽x ch ax — p J sh^”1 x ch (a — l)xdxj.
2.	shp x sh 2nx dx =»
_Г^г» + уM+t+! 1
—	[_ p + 2 ТЛ <24 +1)1 (2S + p + 2)	J
Ip ¥• — 2» — 4, ,, „ — 2a],
8.	shp * sh (2n 4-1) * dx •=• (2n 4-1) Q sh₽+l *dx 4^
84
[(2л + 1)« - Р] [<2п 4-1)» - Д,.. [(2л + 1)» - (2А-1)>] J shWmt х
4.	shpxsh(p + 2)</x=«-^^shp+1 xsh(p+1)х,
п-1
- f sh 2пх .	_ V sh (2n — 2k — I) X
л=о
л-1
в f sh(2n+l)x	sh(2a — 2fe)x , „
®- J-----------6/X“2L“2^2fe-----------+ *’
fe-0 >
7.	( ~Ttf~ dx - -H— sh2-n*	In 2J.
J shn x 2 — ft
о f sh2x , л| , ,	,
8-	dx = 21n|sh*|.
9.	dx = sh 2x 4- x.
Ssh 3x ,	. .	, o , I.. x |
—dx = 4 ch x + 3 In th -g-1.
-< C sh3x , A o ..
11. \ —-— dx = 4% — 3 cth x.
J sh3x
4.14.	.Интегралы вида shp x ch ax dx\
1.	shp x ch ax dx = £shp x sh ax — p J shp“l x sh (a — 1) x dxjb
2.	shp x ch 2nx dx ««
.. r 5h- , л + £ ЛЧп'-fl	J sh,iM , dx.
fe*»l
8. shp x ch (2n + 1) x dx » — jj- p shp+l x +
. V К2” + O2 - *1 К2” + D2 ““ 321 -» K2n + 1)« - (2k - 1)*] • 2ft+p+1
(2k)\ (2k + p + 1)
x 1
[p — 3, — 5,.... — 2n — IJ.
4. J shp x ch (p + 2) x dx == p shp+1 x ch (p + 1) x.
П-1
5. f	dx = 2 У	~ 2fe "У + In I th I.
J sh x	£_t 2n — 2k — 1 T 2 |
k-0
n-1
J SH X	till *** IbU
£-0
7. J ^y-dx = 2chx+ ln|th-g-|.
85
& J-g^-rfx--cthx + 2^
f ch2*	chx . 3. |fll£|
----2^НГТ + '2,ПР 2T
,0- J-^r^-3^sh3'ft*+bh-8h’-Bx	h^i.3],
11. j -^y dx ” 2 sh2 x + tn 1 sh x |.
12. J'Srrdx“ -jcth2x + 4!n!shxl.
4.15. Интегралы вида J chpxshaxdx.
1. J chp x sh ax dx »	- £chp x ch ax + p j chp“’ x sh (a — I) x dxj.
2. J chp x sh 2nx dx
ea (-_Hn+l Г ct*P*2 X • V4 (_4\fe. (ni *** t2) (fl2 —• 22) , , , (пг «— fe2) . 2ft+p+? „”|
' ’ I ₽ + 2	’	(2* +1)1 (2ft + P + 2) СП *1
u	Л-l	-1
[рт^—2, — 4, • ••, —*2n)
3. chp xsh (2л + 1)	chp+* * +
4-У f »«-* t(2» + 0* - 18J f(2л + I)2 - 32)... [(2n + t)*— (2fe— 1 )a] 2S+p+1
V	(2fc)t (2k + p +1)	cn x
[p 3, ““ 5, • • •>	2n **“ 1)
4. J chp x sh (p + 2) x dx » -y-f chp+l x ch (p + 1) x.
Ь S - 2 Ё Ch 24 - •> ’
k^O
n-1	.
& J sh<2M-l)* dx _ 2 £ ^=1L_ ch (2я _ 2ft) x + (-1)" In ch x.
г $ '^7	2^7ch2‘”*	Ift*21‘
“• S'^H,“2tach*
10. ( dx «« 2 sh2 x In ch ж.
J СЙ X
n‘ ^|-^«-|th2x + 41nchx.
J Си X	A
86
4.16.	Интегралы вида \ chp х ch азе dx.
1.	chp х ch ах dx=* £chp х sh ах + р J chp~l х ch (а — 1) х dxj.
2.	chp х ch 2пх dx «=•
- (-1)" (ch’, d.+£	J 4w, гй,.
fe«l
3.	J chp x ch (2ft + 1) x dx =(—l)n (2ft + 1) | J chp+l x dx +
.	[(2ft + I)2 - I2] [(2ft + I)2 -32] ... {(2ft + I)2 _ (2fe - I)2]
+ U	(2^+1)!	*
k~l
x Jch2*+p+1xdxJ.
4.	J chp x ch (p + 2) x dx  i chp+1 x sh (p + 1) x*
n-1
5-	$ £arrdx “2 £ 2n^~rsh (2/! -2ft -!)+<—D" arcsIn th *•
fe-0
6.
7.
8.
9.
10.
11.
n-1
$ cll(d.t'>'ix=2 Ё rar!h <* -
C -fo 2*. dx - 2 sh x — arcsin th x.
J ch^x
f ch2x	..
j ch2 x ""x +
Sch 2% , sh x ,3	. 4. л
~^Tdx-------2ch2x + 2 arcS,n th
$'^Hr‘/xc=sh2x~x'
dx = 4 sh x — 3 arcsin th x.
ch2x
. л f ch 3x j ______л o •«
12. \ dx 8== 4x — 3 th x.
4.17. Интегралы вида
1. J Vth x dx = Arth Vth x — arctg Vth x.
2. \ Veth x t/х» Arcth Veth x — arctg Vethx.
4.18. Интегралы вида jxpshQxdx.
1. ( xp sh^ x dx « — sh^"1 x ch x —	— ^hq x +
J	q	q2
p(p- l.) f p-2 sh, xdx~ Jjzl C xp sh*-2 X dx! ‘
fl* J	fl J
87
t——э	С—С—-
ti со чг	ю	<£ гС со
SXP
—-— dx>
sh* x
Г *P йх= —	pxp^x_______ *pch x ,
J sh7x	(0—1) (0 —2)sh**2* (q — Osh*”1 x
+ -,.л.(р - 0 f ds-3^1\ dXt
(<7 — 1) (<7 — 2) j sh’-2* fl —1 J sh<?~2x
2- S-i-^=£ wSr3"^+P	[1*1 <«; p>0].
fc-0
00
3‘ $ W	“ *₽ cth * -j- p £ (2Й)! (2Й 4-2p - 1) *2S+₽ 1
fe-0
n-1
4 C * dx =» _L V (—n* 2fI (2« — 2) ... (2n — 2fe + 2)	„
‘ J sh2** 2л ££	(2л —1)(2л —3) ... (2Д-2А+1)
у Г *£h * а._______________1	1 (_iy» (2?.zzj)!L f. ..*.... dx r n> n,
Lsh2*-2ft+1*	(2л — 2k) sh2"-2* x J	(2л—1)11 J sh2*
5 f * dx«	1 У ( nfe (2л+1)(2л-1) ... (2Л-2Й + 3)
* J sh2"4-1*	2л+1 Q Л 2л(2л —2) ... (2л —2Л + 2)
у Г * ch *	□_	1___________1 4. (_ nn (2л —_1)И Г х .
Lsh2»-2*+2*	(2л — 2k + 1)sh2rt-2ft+1 х J	(2n)!l J sh*
*• J sTF dx “ S (2A)t(2ft+l) S2ftx2ft+1
7. (	— dx «=я — x cth x + In | sh x |.
J SH X
Я C X // *ch JE 1	1 f X .
J sh3x л:*® — 2sh2jc 2shx*2 J shx X*
л C x . xchx 1	। 2x ..	2 ,	.
9> J‘sh?Tdxe“ 3sh’* “ 6sh2* + 3 cth* 3Msh*|.
II *1 <4
4.20. Интегралы вида .D^X 
J xshw x
P
dx __ ________p__________* ______chr_______
xp sh^ x (q — 1) (q — 2) xp+l sh*”2* (q — 1) xp sh*”1 x
,, q^2 f dx , p(p+l) C dx
<7—1 J *psh*“2*	(0—1) (0 — 2) J *p+2sh*”2
таг—1‘+(-»"'2”,_1
A«0
A^n/2
—f----Bnln|*| +
(2A)I (2k - n) В2к^к П (I * I < «! « > <!•
89
л f dx	cth x n , 1ЧП1 2n« D ft.
8' J xnsh2x =“ xn n-(-l) l(rt+1)( B»+J ln|x|-
-----rzr V ---------------------------(2X)2*
* + k^o (2A) 1 (2Л - л - 1)
11 x I < я].
4.21. Интегралы вида j xp ch? x dx.
1. ( xp ch* x dx =	sh x ch*”1 x — J£-z— ch* x +
J	4	q2
4. P <£ — P C XP~2 ch* xdx +	* ( xp ch*”2 x dx.
q2 J	q J
a. J xm tiPxdx- 22^В+1) *m+l + -^т E СЦ ch (2n - 2k) x dx.
n
3.	( xw ch2n+l X dx = -b- £ c$a+i ( xm ch (2n - 2k + 1) x dx.
2 fe-0
4.	J x ch2" x dx “
П-1	_	__
---I_y <2. +1) (2,-1)... (2„-2W>	Л +
2я+1£о	2	!)...(«-*)	\ 2n-2k	J
. (2n-l)!l x1
+	(2«)!!	2 *
5.	j x ch2n+l x dx •=
1 V 2fe(n+ l)n... (n-fe+1)	( ch2n~№+ix .	.	h2n-2* Л
n+lZ-» (2n+l) (2fi— 1)... (2n-2*4-1) к 2n-2fe+lT	Z
6.	xp ch x dx •=> xp sh x — p xp“l sh xdx.
r »	ГА	v-»1 r2S+1 T
7.	J x »chx^e(2«)l £ wsh x- £ ^--chx .
L&“0	i-0	J
8.	j x2«+1 Ch x dx = (2n + 1) 1 £ [тзйлут sh X
fe-»O
9.	\ % ch x dx^x shx— chx.
10.	x2 ch x dx=^(x2 4- 2) sh x — 2x chx.
Syrt+i
длсЬ2х^х-7ет1г +
Г I»«j _ 2Jk
+ »' Гу* x
4 L^o 22ft (n — 2ft)l
x2k 1
(2*jT Ch XJ*
1Л-2Й-1
-------------------ch 2x
22*+l (rt-2fc — 1)1
Urt-n/2]
sh 2x —
90
12. ( xch2 xdx = 4-sh2x — 4-ch2x + 4r«
J	4	о	4
13. ( x2ch2xdx=»4" (*2 + 4"1 sh 2x —4-ch2x +4г»
J	4\2/	4	о
14.
[П12]
xn-2k > sh 3x
(л-26) I K32fc+1
4-3shx) —
((«- D/2J
x»-2fc-t
(л — 2ft — 1)!
15. ( x ch’ x dx  — v ch x — ch 3* + — x sh x + sh 3x.
J	4	ob	4	12
15. J X2 Ch’ X dx =	+1) Sh X + (-§ + -1.) Sh 3* -1 X Ch X —£ ch 3л
4.22. Интегралы вида \ —гя—dx.
J СП X
1. ( dx_____________________________+ *Psh* -
J ch*7 я (7 — 1)(0 — 2)chq~2x (tf— 1) ch*7-1 x
fe-0
5w"-”Ё (CS£7p-?>?i+”'	<n/2if>"•
£«•!
4. ( x dx^—Y 2л(2л —2)... (2л —2fe4-2)	*
* J ch2" x 2л £ (2л—1) (2n —3)... (2л —2ft-f-1) *
P	x sh x ।	1	*] ( (2л —2)1! f x Jaa Ги 11
Л L ch2"-2ft+1 X (2n-2A)ch2"-2ftxJ + (2л - 1) I! j 7h*7	1
s. f x	1 yi (2n+l)(2n-l)...(2n-2fe + 3) ,
J ch2n+1x 2n+l^	2n(2n —2)... (2n —2A + 2)
V Г *shx J__________________!___________1 J- ^2n~~ 11 C x Ax
Л Lch2"-2*"1"2 x (2л —2A + l)ch2"“2*+1 х_|"Г	(2л) U J chx
*• J chx" dx “ S (2feM(2fe + 2)	11X1 < ”/21,
Й-0
7. \ -t4— dx « x th x — In ch x,
J cn2x
я f *	xihx 	1  1 C
* J ch’x dX	2ch2x + 2chx + 2
x л xshx ,	1
ch4x a*“ 3ch’x 6ch’x
2x	2 , ,
-3- thx — -5- In ch x.
Q	О

4.23. Интегралы вида j
j f dx _________— p________._sh»____,
' J x’ch’jt	(<7 — 1)(<7 — 2)xp+1ch9-2x (^ — l)xpch9“lx
। <7 — 2 Г dx	. p(p+ 1) Г dx
q — 1 J xpch9~2x	(q—\)(q — 2) J xp+2ch9”2x*
*-$-raz-
- Z W(-2f-n+ 1)  «8t-W1
Л-0
«• S TO7 =	^7+ 0I«I +'
+-Д Ё wfe^o-<2->“ Ч«1<«»
k «^(7+1X2
2.
4.24. Интегралы вида J xr shp x ch? x dx.
1. J xr shp x ch? x dx ==	--y [(p + q) xr shp+1 x ch?”1 x —
— r/’1 shp x ch? x + r (r + 1) xr”2 shp x ch? x dx 4-
4~rp J xr”1 shp“1 x ch?”1 x dx + (q — 1) (p + q) Zshpx ch?”2 x ffxj.
e 77^	[<P + хГ shP-1 * ch’+1 *-
— r*r-Ishpxch’x + r(r— 1) xr~2 shp x ch? x dx —
— rq J xr-1 shp-1 x ch9"1 x dx — (p — 1) (p + q) J xrshp“2 x ch9 x rfxj.
Ч"<^-‘"-2<-1’"+,1:М7А7л
к =0
I
л Г р sh ^”1 х	. -\m+k f rpshx .
e Г o sh X ,	xp .PC xp”!
r J chrtx Xe=S (n— l)chn”lx n—1 j ch"”1^
e-$X^7dx----------71Г7 +arctg shx.
к
7.
ch2mx
6hnx
dx =
У C* ( - /P2T-~ dx.
L* m J sh’-2* x
fc-0
92
хр
sh * рл J sh""2 ***
«О
9. \ хР^Г~dx ”------X” n'"l + —~	un 1"~ dXl
J	sh"x	(n — 1) sh""1 x л-lJ sh"
Schx J	x . . I., x I
x ~й?—dx» — —г--Ь In th — L
sh2 x	sh x I 2 I
4.25.	Интегралы вида j xp th" x dx.
(I j| < я/2; p> — 1].
Л-1
+1 n’*1
2.	xp th2ft x dx — 777 + £ (“ l)n+* C* j xpch^-^dx,
3.	Jx’th^+’xrfx-
«= ( x°Xhxdx+ У*, 2y C„ (— xpch2A-2'’ x + p ( xp~l ch2ft“a*jf),
k-o	<
4.26.	Интегралы вида jxpcth"xdx.
00	o2*«
>. $«’«>h^-Ewy^r»!'+'	ii»i<« P>n.
A«0
+l «-1
2.	J xp cth2n x dx«« j-p-p +	J xp sh2*"2" x dx*
3.	J xp cth2"4*1 xdx^s»
« ( xpcthjcdx+ V - Cn xp^k^x^ p ( x₽-el sh2*"2" x Y
J	Zu 2n — 2/g 4	J	/
Л«О
AM „	f xpch™xdx f xpsh"xdx
4.27.	Интегралы вида J	J ___ф
1 C *p&xdx '_________________xp____ . p f xp"! dx
‘ J (a + *shx)* вЯ~ (?- !)*(* +*shx)«-J (q I) b J (a + frshx)4?"1*
2 ( *P sh x dx ss _______xP________4. P f xp^Adx
' J (a+bchx^ в~ (q - 1) b (a + b ch x)q^ (q-\)b J (a + ^chjc)^*1^
8' )T+dT7“xlh2 “21nchY-
4. { , -x rf*- x cth •£ - 2 In I sb -у |.
J 1 — ch x 2 I 2 I
93
x sh x dx
(1 + ch x)2
x sh x dx
(1 - ch x)2
2
_____x
chx + 1
X '	,, X
ch x — 1 C 2'
4.28.	Интегралы вида j (bx + c)±n sh ax dx.
1.	J (bx + c)n sh ax dx = [ch Jfi sh t dt - sh y. J tn ch t <«]
[/ « ax + ac/b}
2.	J (bx + c) sh ax dx «= JL (bx + c) ch ax —ax*
3.	J (bx + c)2 sh ax dx =*	[a2 (bx + c)2 + 2fc2] ch ax —	sh ax.
4.	J (bx + c)8 sh ax dx =
=	**J~£ [a2 (bx + c)2	+ 6&2] ch ax —	[a2 (bx + c)2 + 2b2] sh ax.
f	sh ax	. art~l ( .	ac	f	sh t ..	. ac	f	ch t ..\
5.	\ *77—;—\n	dx ° —Г7" I ch	—	\	“тгг* dt — sh -r- \	-77г- dt 1
J	(bx + c)n bn \	b	J tn	b	J	tn J
[f = ax + ac/6].
4.29.	Интегралы вида (bx + c)±n ch ax dx.
1.	J (bx + c)n ch ax dx =®	£ch~~ J tn ch t dt — sh-^ tn sh t dt j
[/ =s ax + ac/b}.
2.	(^x + ^)chaxdx»y(&x4-c)shax —-^-chax.
3.	(bx + c)2 dx »	[a2 (bx + c)2 + 2fc2J sh ax — (fo + f) ch ax,
4.	J (bx + a)3 ch ax dx =»
=	[a2 (bx + c)2 + 662] sh ax -	[a2 (bx + c)2 + 262] ch ax.
r chax .	a”"1 ac f chf .	. ac f sh t \
R J (бх+ТГdx—F- lch—) n*~dt “sh — J -^dt)
[/ = ax + acfb
4.30.	Интегралы вида	xpebx sh ax dx.
L	( xpebxshaxdx^^r (	xpe(a+&)xdx—(	xpe(&“a)xdx.
J	"J	V
r	ebx
2.	\ ebx sh ax dx^	a2 _ &2- (a ch bx—	b sh ax).
(•	, ebx [V <	2a6 \ . f. , a2 + 62\ .	•
8. \ xe6x sh ax dx « д2_-^- ЦаА + aS-^Jch ax -	+ -^ТЗ^г)811
94
4.	р	еЪх г \ х2е®* sh ах dx — —5—гг 1 ах2 + J	яг — oz L	4а6	, 2а Га2-{-362) 1 и а2 - Ь2 х 1	(а2 - Ъ2)2 ] ch аХ	
	ebx ~ a2-b2	Га v2 -и 2<д2 + ба) 4. 2Ь(За2 + &2) 1 a2_bt --Г (а2-”2)2	j sh ах.
б.	( еах sh ах dx = ~ е2ах — J	40	а		
6.	р	/	1 \ \ хеах sh ах dx «= —:— ( х — 77г) J	4а К 2а /	4 ’	
7.	р	лах /	v \ x2ea*sh axdx=—г— (х2 — — - J	4а \	а	^)-4-	
8.	( е~ах sh ах dx — е~2ах + 4е» J	4а	2		
9.	С	к2	в~2а* / Рв "shaxrfx- 4 + 4а (	«+i)-	
10.	р „	Л е-2а* J х!е~ах sh ах dx = -jr- Ч—	(«+« + )•	
	4.31. Интегралы вида хре*х ch ах dx.		
1.	xpe&xch axdx=-^- хра(а+^ х с	1х + у J х₽ е(Ь~в>х dx.	
2.	р .	еЪх \ е°х ch ах dx == —9	тт (а sh ах J	а2 — Ь*	— b ch ах).	
3.	J xebx ch ах dx «	2а*> V	ft. , а’ + 62\ а2 _ ь2 ) “h ах	vx I а2 — Ъ2 J	ch ах^.
4.	Г	Л* Г \ х2еЬх ch ах dx = —5—тт 1 ах2 + J	а2 — о* L	. 4aft_ 2а(а2 + 3&2)1 sh ах _ а2-Ь2	1	(a2 —ft2)2 Jsno*	
	еЬх | а2 - Ь2 1	\,2 . 2(Д2 + »2) r . 2b(3a2 + F) .	1	a2-b2	(а2-62)2	j ch ах.
б.	f еох ch ах dx «= -р- е2ах Ч- •£. J	4а	2		
6.	р	fi2OX z	1 s Jxea*chaxdx	дД*-^)	X2 +-Т-	
7.	Р	-tax f	г \ х2ем ch ах dx = —т— ( х2 —- J	4а \	а	+ 2>)+	
8.	( е~ах chaxdx=-^ — -^-e~2ax. J	2 4а		
9.	Г	х2	е-2°* / \ хв~ах ch ах dx =  	т— ( J	4	4а 1	'«+-S-)-	
10.	р о	Л	р~2ах \ х2е *** ch ах dx « -z	7— J	0	4а	(?+«+)•	
Б. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
5.1. Введение*
Если /? — рациональная функция своих аргументов, то интегралы вида
J J? (sin х, cos х, tg xt ctg x) dx приводятся к интегралам от рациональных
функций:
1 — f2
L \ R (sin х cos х, tg х, ctg x)dx=*\R[ --3-
2/
1+/2' I-*2'
Если
R (sin xt cos x) = — 7? (— sin x, cos x),
то
2.	f R (sin xt cos x) dx «= — ( 7? (Vl — 72, t) —^L—^
J	J	Vl — t2
Если
R (sin x, cos x) « — R (cos xt — cos x),
TO
3.	R (sin xt cos x)== R (/, Vl — *2)
Если
R (sin x, cos x) = 7? (— sin x, — cos x),
то
*C.,.	. t t 1	\ dt
4.	\ /> <sl. X, eos x) - J Я•7T=) —
1 —2rff
2t Jl + tj
p-tg-f-].
[/ =s COS Xj,
[/ ==s sin x].
[/—tg*].
5.2. Интегралы в и д a j sinp x dx.
1* ( sinpx dx = —— sinp"1 x cos x + --
J	P	P
n C • 2rt .л	COS X » -
2. \ sin"* dx —--gjj- X
xdx*
n-1
sin2"-1.
l . y* (2n — 1) (2л — 3) ... (2n — 2fe + 1) 5|д2п—2fe-lx . (2«-t)!lx
"Г f-»	2*(n—• 1) (л —2)... (л —ft)	j 2"nl
n-1
«	= 1 Г» r 4. (~1)n V ( ck sln(2n~2fe)x-
»•	+	("1} C2"	2„_2й
«•0
4. sin2"+Ix dx »=
[n-1	. .
,,_2n, >V 2*+‘л (л —1)... (л —ft)
’1‘Zj (2л- 1)(2л —3)... (2«-2ft- 1)
А Я» О
sin2"-2ft-2x
96
_	у» » » cos (2n — 2fe-f-1) у
5.-----C^+«	2«-2fe+l	‘
Л«0
®- L ^ГГГС«cos £•
fe-0
7. J sin x dx  — cos x^
8. ( sin2 x dx = — sin 2x + x « — sin x cos x + ~ x-
J	4	Л	&	&
SI	3	1
sin8 x dx  — cos 3* — — cos x —cos8 x — cos x.
12t	4	о
10, \ sin4x dx =	4" sin 2x + -“- sin4x=»
J	о 4	32
3	13
« — -3* sin x cos x — v sin8 x cos x + “ST x*
о	4	о
S5	5	1
sin5 x dx = — ~ cos x + — cos 3% — cos 5x =»
о	4o	OU
----=- sin* X COS X + -73- cos*x —• -=- COS X,
5	15	5
12. ( sin® x dx = x 4т sin 2x + 4т sJn 4x —4т sin 6x =*
J	16	64	64	192
1	5	5	5
« — -~r sin5 x cos x — *зт sin8 x cos x —rz- sin x cos x 4- — x.
6	24	lb	lb
2.
dx
sinpx
dx
sin2rt x
cos x
(p — 1) sin^x
cos x
2n - 1 X
n-I
Sdx
sin,p"x *
p — 2 C dx
p — 1 J sinp“2x
3.
4.
2*
(ft — 1) (ft - 2) ... (П - fe) cdgec2n-2ft-l
_ (2л - 3) (2n - 5)... (2n - 2k - 1)
ft=l
dx	cos x
sin2/l+1x 2n
r-	ft“l	П
X I cosec4
cosec2" x + У* (2n~lU2n-3)
vUacb л» -г" /	jl
2ft(n-l)(n-2)...(n-ft)
(2rt 2k Ц- 1)	9»—-9Ь I r
----------------cosec2rt 2ftx I +
dx .
 .	 = In
sin X
1 •— cos X
sin x
_________ _ JL In I 1 — C°SX
L+ cos x 12 ШI 1 + cos x
sin x
== —ctg x.
4 Ю, А. Брычков н др%
97
dx
sin3 x
dx___________________
sin4 x	3 sin3 x
dx  	cos x
sin6 x	4 sin4 x
dx	cos x
sin6 x
cos x t 1 u I X I
y^7T + TIn|teT|-
C0S *	- у ctg X = — -i- ctg8 X — ctg X.
3 cos x .3,1» x |
8 sin2* + 8 n|tg 2 Г
y__. _	ctg3x -|ctg x = _ | dgSx_ 2. ctgsx_ctg*
5.4. Интегралы вида cosp x dx.
1» ( cosp x dx ® — sin x cos^”* 1 x +	( cosp~2 x dx
J	P	P J
2. ( COS2* X dx
[n-1
cos2'1’1 x + У (2rt~l)(2n-3),..(2n-~2fe + l) cos2n-2*-l
£1 2fe(n-l)(n-2)...(n~/?)
(2/г — 1)!!
~24i x
3<
n-1
i x>n f 1	\'4 x>fe sin (2n	2k) x
22n Ь2пх -Г 22n-l / . b2n
2n-2&
4,
cos2*+1 х dx
sin x
2n+ 1
n-1
26+1л(п«- 1) ... (n-k)
,	- 1) (2n — 3) ... (2n —2&-T 1)
o
cos2* 2&~2x
7.
8.
9.
10.
11
n
1 5П rk sin (2n ^2k-\-\)x
22П	2,1+1 2я — 2Л + 1	*
£-0
cos x dx « sin x.
SI	X 1	1
cos2 x dx же — sin 2x + — = sin xcos x + — x
SI	3	1
cos8 x dx — — sin Зх + -г sin x = sin x — — sin8 x’
ld5	4	О
S3	1	1	3	3	t
cos4 x dx«=»-3- x + -7- sin 2x + 33 sin 4x=== -3-x + — sinxcosx + ~ sin xcos3x.
о 4	o2	00	4
C	5	5	1
\ cos5 X cfx = “3- sin x + -73- sin 3x + — sin 5x «
J	O	40	OU	,
4 ,	4 . 8 . 1	4 t
= -r- sin X — VF- Sin8 X + V- COS4 X sin X.
&	15	o
a
98
12. ( cos® x dx = ~ x + 4т sin 2x + ~ sin 4x + sin 6x »•
J	10	04	04	Ira
t= JL% + sin x cos x + sta xco®3 * + -g- Sin xcos5 x.
Sdx
CG$P~x''
Sdx __________sin x_____. p — 2 C dx
cospx (p — l)cosp~lx P“1 J cosp“2x **
C dx __
J cos2nx
sin x
2n — 1
n-I
Л=1
2fe (n — 1) (n — 2) ... (n — fe) 2n-2fe-l „
(2/t — 3) (2n — 5) ... (2n — 2>fe — 1)
dx
cos2/l+1 X
sin x
2n
л-1
tg x.
Ы
(2«— 1) (2n —3) ... (2n —1)	J ,
.."7”	11 .—		ocl	Л I "T*
2*(л-1)(л-2)...(«-*)	J
, (2n — 1)1! , |.A ( я , x
+ 2«Я| -,п Мт+Т.
X
2
dx
cosx '
dx
cos2 X
dx
COS3 X
dx
cos4 x
dx ____________
cos& x 4 cos4 x
dx sin x
I * + sl‘n x
[ 1 — sin x
sin x	।	1	।	I, (	я	।	x \ |
2cos2x +	2	,n|4	4	+	2 )r
sin x	.	2	,	1	. о	. .
3^T+3-tgx = Ttg x + tgx"
sin x	,3	sin x	.	3	. |. / я . x \ I
t-8”^T+-8,nrglT+T)l-
—6—=т—5—ь iV tg3 •«+4- tg x=4“	x+v tg3 x+tg x.
cos6 x 5 cos5 x 15	’5&	5	3	°
5.6. Интегралы вида sinpxcos^xdx.
1. ( sinpxcosQx dx =-—--£-2?---j- -- ( sinp"2xcos*7*2xdx.
J	q +1 Hi J
г- - -	+ -&И	* л
p+q	p+q J
3.	= sinP-Hxco^x + p+A±2 C sinP+2 x cos, x dx.
P + 1	P~b 1 J
4.	, sinP^xco^ ^-1 CsinP+2xcosg-2^x<
p+1	p+I J
4*
99
5. »
sinp+1 xcos<?“1 x , <7 — 1 f . о	,
------------+ 7+7 J
6. =*
p + , + 2 J d0,
_ sin*”1 Arcos'7”1 X f . ,
7-	ж------------(sin x
<7-1
р + <7 — 2
I (P 1) (<7 — 1) Г . n—2 ff-2 j
+ (p + 9) (p + ?_2) J 8}nP . *cos? xd*'
8.	J slnpxcos2"rfx«
sinp+1 x Г 2n-l , у (2л - 1) (2л - 3) ... (2л - 2fe + 1) cos2"~2*~1 x ] ,
2 л + P J"	Д» (2л + p — 2) (2n + p — 4)... (2я + p — 2Л) J"1"
,	(2n—1)!!	f . _ J	r
+ (2n+p)(2n + p-2) ... (p + 2) J Sln XdX IP* ~2.-4, ....-2flJ.
9.	J sinp x cos2n+1 xdx =
_ s<np+1 x Г 2n „ < V 2*n(n-l) ... (л —fe+l)cos2""2*x 1
2л + p + 1 L	(2« + P — 1) (2n + p — 3)... (2л + p — 2Л + 1) I
[p^-1. -3,.... — (2л + 1)].
10. cosp x sin2" x dx 
[«-! 4
-,п2п-1„ i V (2л — 1) (2n — 3) ... (2л - 2fe + 1) sin2"-2*"1 x] ,
(2rt + p — 2) (2« + p — 4) ... (2n + p — 2k)
t	(2« —1)!!	Г o j г , ft л
+ (2n + p)(2n+p-2) ... (p + 2) J C0S xdx	2>
11.	cospx sin2rt+1 xdx^=
_ cosp+1 x Г . 2n I у» 2fen(n—1) ... (n — fe+1) sin2/i"2fex 1
2n + p+l|	(2« + p-l)(2n + p-3) ... (2n4-p-2^+1)1
[p^-1, -3,...» — (2«+ 1)]л
12.	( sin x cosp x dx  -^FT cosP+1
J	p+ 1
13.	J sin X COS2 Xdx» — COS 3x + cos x) --— S3—.
14.	? sin x cos3 x dx == —C0S. X-.
J	4
t- f .	4	. cos5*
15.	\ sin x cos4 x dx = — —5—•
f , о j 1 ( I . о .	\ sin3 x
16.	\ sin2 x cos x dx « — -j-1 у sin 3x — sin x J •« —g—.
17.	\ sin2 x cos2 xdx — —1 f4" sta 4x — x
J	о \ 4
100
18.	i sin2 * cos3 * dx =	~ (4- sin 5* + 4* sin 3* — 2 sin *^ » 1	lo \ о	3	J
	sin3 x (	2	2 Y_ sin8 x Z_5	\
	5 I	1 3)	5 к 3 sln *)•
19.	l sin2 * cos4 * dx =	+ 4r sin 2x -4r sin 4x —4r sin ^x. I	16	64	64	192
' 20.	. ,	.	l/l	.	л \ sin4 * , । sin3 * cos * dx = -x- 1 — cos 4* — cos 2* 1 » —-л	h const. 1	8 \4	/4
21. t	। sin8 * cos2 * dx ® -j~ cos 5x —- у cos 3* — 2 cos'*) ж»
	== ~ cos5 * — 4" cos8 * + const, о	о
22. i	i sin8 * cos3 * dx = 4r (4* cos 6* — 3 cos 2*^.
23. {	। sin3 * cos4 * dx «• у cos3 * (—g- —|- sin2 * + sin4 *).
24.	1 . л	.	sin5 * i sin4 * cos * dx «—=—. 1	о
25.	. sin4 * cos2 * dx = x — 4r sin 2* — -4- sin 4* + -7— sin 6*.' (	16	64	o4	192
26. {	sin4 * cos3 * dx = у sin3 *	+ у cos2 * — cos4 *).
27. {	3	1	1 sin4 * cos4 * dx 128 *	12g sin 4* |- lQ24 sin 8*.
28. (	sin ax sin bx sin ex dx =«
	1 [cos (a—6+c) *	cos (6 +c —a)* cos (д + 6 — c) * _ cos (a + 6 + c) *1
css •*—	4L^ — Z> + c	b + c — a	n + b — c	d + & + d j*
29. (	sin fl* cos bx cos ex dx «
s= 		1 fcos (fl + 6 + c) * _ cos(& + c —fl)* . cos (fl + ^ — c) * COS (fl + c —6) *1 4 L a + b + c	b+c — a	a + b — e	a + c — b J*
30. j cos ax sin bx sin ex dx »
1 pin (a + b — c)$ . gin (a + e — b)x ~ sin (fl + & + c) *	_ sin (6 + c — a) *~|
= TL a-\-b —-с a + c-ft	a + b + c	b-^-c-a J*
31. J cos ax cos bx cos ex dx «
1 fsin (a + b + c)x	sin (b + c — a)x	.	gin (q + C'—b)x	.	sin (fl + & — c) *1
4 L a-\-b + c b + c — a	& + c*-b	a + b — c J*
Ssin^ x
-----2Г7 ^x*
COS* X
* f sin*x .	sin*"1* p — 1 Г sin*-2*	,
J cos*7*	(p —?)cos*eI* p — q J cos*7*
2________sin*+1 *______p — <7 + 2 f sin***
(q — 1) cos*7”1 * q — l J cos*7"2*
101
s?np~f*
(<7— Ocos^”* 1 x
p — 1 f s!np-2r
“----\ ——9—
q — 1 J cos* я
Г sinp xdx
J COS2rt-H X
[Я-l	1
„p2n„ , V (2n-p—1) (2n—p-3)	(2n—p—2fe+D 2n-2ft r
sec x~t~ / ---7-----------------------sec *|t
" 2k(n — 1) («— 2) ... (n — k)	I
, (2n — p — 1) (2n — p — 3) ... (3 — p) (1 -- p) Г slnfx
**	2лп1	J cos x
{-^dX~
J cos2"*
sinp+l X
n-1	_j
<.ес2»-1 x . V <2n~P~2) (2n-p-4)... (2n—p—2fe)	to-SJ-K ,
2n-l I	+Z-i (2/i — 3) (2/1 — 5) ... (2« —2fe —1) S	И
L	fe“i	J
j_ (2»-p-2)(2»-p-4)...(-p + 2)(-p) J sinP x dx
(2«- 1)H
S»_ 2П14-1 v	1 5г—4 s	v
2»+^rfx = 4 X (-0 cm-7—~+ (-1)'ж<йmicosxi
cos + x 2	n — R
k n
[n < mK
«	1 V* / i\k cos2*-"2" x	r ,
7. =T2u (~n c" -n-r~	*
C sin2m+l x л, — v* <—nfc+> rft cos26-2"*1 X
J cos2"*	m 2k —
RaaO
sin₽ x J .	1
---—— dx^ ---------
cosp+2 x p 4
tg₽+l*.
sin2n+lxdx __
cos x
П a 2fe
X -Ц^-1п|соз*|.
k+\
12. «= V -------Сд cos2ftx—In ]cosx|.
k-\
Q r sin2"*^*	57» stn2ft“‘* , . I /Я , x\|
,3- J —^7-------L +,n ‘s (t+t) •
k»l	1
Ssin x .	. ,	.
------dx «= — In cos x L
cos x-1
1=-$-srr‘"— ™'+1п 1’е(т+тИ
102
16. { -S*n  dx = — 4" sfa2 * — In I COS * | 4- COS2 x - In | cos x J.
J COS X	2»	i
,7‘ $ 1ST dx - - 4 sin3 x -sln x + ln Itg (t + f) |-
<o f sinpx ,	sin**1*	z nf j^p-2^
18. \----s— dx «-------------— (p — 1) \ star x dx>
J cos2* cos*	J
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
1
3.
dnxdx	1
| COS2 X	COS X •
Г sin2 x dx	.
\-----5---= tg r - x.
J cos2 x
f sin3 x dx	.1
\ ----5---== cos x 4------•
J COS2 X	COS X
Г sin4 x dx	, t 1 ,	3
J ~ WT~ -tg x + 2 Sln X C0S x - 2 x‘
r_sinxdx	1
J cos3 x	2	s
f sin2 xdx___ sin x 1 । I. f я . x \ I
J cos3 x “ 2cos2x 2 |gU + 2/r
Г sin3 x dx 1 .it ।
J COS3 X 2 COS2 X n ] COS X |.
s2^ + sinx-lln|tg(4 + 4)L
J cos3 x 2 cos2 x	2 I \ 4 1 2 /1
Ssin x dx_______1
cos4 x 3 cos3 x *
f sin2 xdx \	8
J cos4 x ~ 3 g
Ssin3 x dx________1	.	1	।
cos4 x	cos x "* 3 cos3 x *
C sin4 x dx 1 . о .	.
—3 tg x-tgx + x-
Scos^ X ,
- p x dx.
Seos'7x .	cos'7'”1 x . q — 1 f cos'7”2 .
------dx -------------—-----h —-----\------— dx.
sinpx (g —p)sinp lx q — p J sinp x
cos'7*1 x-------------<7 —- p 4- 2 f cos'7 x
(p — 1) sinp”1 x
cos'7-1 x
4.
p — 1 J sinp 2x
____________________/7-1 C cos'7”2 x j*.
(p—l)sinp-lx p—1 J sinp“2x
cospxdx cosp+l x y.
2n
sin2n+1 x
n-1
Л—1
dx.
(2/l - p- 1) (2n- p-3) . . (2n— p-2fe +1) ..,с2д-2й , | ,
, (2n — p — 1) (2n — p — 3)    (3 — p) (1 —
-r	
cosp x t
—:-----dx.
sin x
103
cosp x dx
sin2” x
COS**1 X
2n — 1
X I cosec'
(2n-p-2) (2n — p~4) ... (2n —p —2fe)
(2n - 3) (2n - 5) ... (2/i —	— cosec
(2/i~p-2) (2n-p-4)... (2-p) (- p)
6.
cos2”*1 X
sin2w+l x
(2«—1)1!	J
rfx = TE	------+(-l)'"C^ln|sinx|
2 м	k~m
7.
n
IS
2fe-2m
k — m
[tn < nJ.
[m > л],
8.
cos2”*1 X
sin2”1 x
n
Cn 2*-2m+l
>k sin2*-2”1*1 x
n
9.
1
10.
COS X .
--- ——-------------------—r—
sinp x	(p— 1) sinp-1 x
	L_ ctt.«,
sin,+2 x	q + 1
11
cos2”*1 x dx
n
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
sin x
k~\
cos2^ X
—2^----b ln I sin * I
n
±у (-П* ek
2L k n
sin2ft x + In | sin x |.
Ы
cos2” x dx
sin x
n
V* c°s2^“lx
L^rr+ln
Л=1	1
In | sin x |
COS X + In
cos2x ....	,
—2------1" In I sin x |.
— cos® x + cos x + In
О
cos x dx
sin x
cos2 x dx
sin x
cos8 x dx
sin x
cos4 x dx
sin x
cospx . cosp-1x
—r-s— dx  ----:---
sm2 x	sin x
cosx ,	1
——— dx «==  -:-«
sin2 x	sin x
cos2x .	.
^7^~-ctgx-x.
cosp“2 x dxt
104
21.	f cos’ж .	,	! \ —г-»— aX == — sin X	:. J sm2 x	sin x
22.	C cos4 x	13 \ -ir.2, dx=a c[sx	sin x cos x — — x. J ОШ Л	A	A
23.	f COS X .	1 J sin3 x	2 sm2 x
24.	f cos2 я ,	cosx	1 t L x | J sin3 x	2 sin2 x 2	1 6 2 j
25.	f COS8* ,	1	1 1 .	1 \ —T-5 dx ев — -T- . S""' — In sin X . J sin3 x	2 sm2 x
26.	f cos4 x .	cos x	3 , 1, x f J sin3 x	2 sin2 x	2	| 6 2 I
27.	f cos X .	1 J sin4 x	3 sm3 x
28.	f cos2 X .	1 . a J		3ctgS*-
29.	C cos3 x .	1	1 \ ——л.— dX = —:		 . о—. J sm4 x	sin x 3 sin3 x
30.	S sin* x dX~ 3 ctgSjc + ctg* + *« 0*11	v H A T7	f	dx 5.9. Интегралы вида \ 	g	5. J sin x cos x
1.	f	dx		—	। p + <7 — 2 Г 	dx J sin₽ x cos7 jf	(p — 1) sin₽-1 x cos9-1 x * p— 1 J sinp-2xcos<7x '
2.			1	p + q — 2 C	dx (q — 1) sin^”1 x cos'7”"1 x	q —• 1 J sinp x cos'7“2 x [см. также 5.6}
3.	m+n-\	n . . f	dx	e V ck	tg2ft~2m+» x J sin2wxcos2/lx	m+n-i 2ft —2/n+l
4.	C	dx	tg2lt~2mx m ...	. J sin2m+I x cos2n+1 x pn M+n 2k - 2m 1 m+n 1 g k^txin
5.	5 sin2w+1xcosx	(2/n —2ft+ 2) sin2/n“2fe+2x ln|tgx|. m
6.	( 	2^		 — У 	1	2m"2fe4-l ' + ln hg(— + —'11. ' sin2mxcosx	(2/n — 2ft + 1) sin2 2fe+l x	I \ 4	2/1 Л Я1
7.	d	m	1 S sin x cos2m+1 x	(2/n — 2ft + 2) cos2m“2^+2 x 1 ln ।x Iе tn
8.	S sin x cos2m x	(2m — 2ft + 1) cos2/n~2^+1 x	1 2 |* 0
w
9.	Г	ax j sin x cos x	= In 1 tg x|.
10. 1	[ dx J sin x cos2 x	=——+in Itg 4-1 cosx	I 2 1
11. 1	Г	dx	
	J sin x cos3 x	2cos2x + ln,tgX|‘
12. ’	Г	dx J sin x cos4 x	- <«L + 3cl-x +taHH-
13. 1	Г	dx	= In Itg Г—4- —I	1—
	J sin2 x cos x	1 8 I 4 i 2 ) I sin x *
14. 1	*	dx	. 		9 rt<7 9г'
	) sin2 x cos2 x	
15 J	‘	dx	_(	1	- 3\ i 3lnLf" 
	| sin2 x cos3 x	\ 2 cos2 x 2 ) sin x 2 Hk 4	2 / Г
16.	*	dx		!		Cf „ 2x
	1 sin2 X cos4 X	3 sin x cos3 x 3 C 8
17. (	‘ dx	
	I sin3 x cos x	2 sin2 x + ln 118 * '•
18.		_ 	1	(	1	3 \ ,3 , |4 x 1
	I sin3 x cos2 x	cos x \ 2 sin2 x 2 / ‘ 2 1 | 8 2 Г
19. (	dx	__ j_c2_s 2x. 4- 2 In f tff x i
	i sin3 x cos3 x	sin22x
20. (	dx	2	1	1	cosx 1 6lnltr- xl
	I sin3 x cos4 x	cos x 1 3 cos3 x 2 sin2 x 1 2	| 8
21.	dx	_ । sin4 x cos x	sin x 3sin3x +hl|tg(4 + 2)]*
22. (	dx	1	8 x „
	sin4 x cos2 x	""	3 cos x sin3 x 3 C
23. J	dx	= __2	1	, sinx 5 [ 7 я
	sin4 x cos3 x	- sinx 3sin3x 1 2cos2x 1 2 1П|ГЦ 4 ф
24.	dx	о —5 —R cfxr 2х •— —— c.tor®
	sin4 x cos4 x	° vlg ЛЛг
5.10.	Интегралы в и д a j tgp х rfx.
1.	tgp х dx 7 tSP~1 x —• J teP~2 * <?*•
n	fe+i
2-	2B-»+l >*~1>t'»+Hfr.
£-1
n	fe + l
3.	( tg2"-1-’ Xdx = У	tg2e-2ft+2 x + (-l)e+1 tn I cos xl.
1	f I	лп £>K “P Zr
'	fc-1
4.	«У -1=^-----------C* cos"2* x +	In 1 cos x |.
ZmJ	ZR
Л«1
106
Б. j tg x dx « — !n | cos x J.
6.	tg2 X dx e= tg X — X.
7,	( tg8 x dx « tg2 x + In 1 cos x I.
J	**
8.	Vtg x dx «=» [in (sin x + cos x — Vsin 2x) + arcsin (sin x — cos x)].
5Л1. Интеграл ы вида jctgpxdx.
1.	ctgp x dx « — —у ctgp~! x — ctg*-2 x dx.
n	k
2.	( ot8“ « d, - У - L~”-. ,	« + <-»“«.
J	ЛшшЛ 4П ““ £>K “p i
fe-1
3.	( ctg2rt+’ x dx - У {~R ; 2 ctg2n~2ft+2 X 4- (-1)" In I sfn x I.
4.	- E (~1)2feft~~ c» sin~2*x +	1)4 ln 1 s,n s *•
k~l
5.	J ctg x dx «= In | sin x ].
6.	ctg2 x dx ~ — ctg x — x.
7.	ctg® x dx «= — ~ ctg2 x — ln‘[ sin x ].
5.12, И н т er p а л ы вида
f	A + В cos x + C sin x	fa
' (a + b cos x 4- c sin x)n (a» 4- bi cos x 4- sin x)p
С Л + cos x + C sin x ee
J (a 4- b cos x 4- c sin х)л
(Be Cb} 4- {Ac — Ca) cos x — (Ab ~~ Ba) sin x ______________1____________
(n — 1) (a2 — b2 — c2) (a 4- 6 cos x 4- <? sin x)n~} \ (n — 1) (a2 — b2 — c2)
f (n — 1) (Лд Bb Cc) — (n —> 2) [(Л& Ba) cos x — (Ac — Ca) sin x]
J	(a4- bcosx + c sinx)^-1	X
[n>2; a2 ^Ь2 + с2}.
2 a	+ Ca cos x-^ Ba sin x . Г A . n (Bb 4- Cc) 1
(n— l)a(a+ bcosx + c sin х)л La ' («*•!) a2 J
X (— c cos x + b sin x)
n—i
(n — 1)! у (2n —2fe — 3)!!____________________1____________
(2n — 1)1! " (a — k — 1)! ал (a+ b cos x+c sin x)n^
[л ^2 a2» b2 + c2].
107
з C Wcosx + Csinjc, dx «	In I a + b COS X + c sin x I -k
J a 4- b cos x + c sin x	b2 + c2
Bb + Cc ( .	Bb + Cc \ Г_____dx
+ b2 + с2 x + И b2 + c2 a) J a + b cos x + c sin x ’
4. ( —7—г—г----;—ъг = ( -г—q)—ПлГ Ir cos a >= 6, r sin a “= с].
J (a + b cos x + c sin x)n J [a + r cos (x — a)]
dx	2	(«-b^l+o
---------------= =====-==?- arctg	==========—•
a + b cos x + c sin x ya2 — b2 — c2	Aja2 — b2 — c1
[a2 > b2 + c2].
6.
7.
8.
0.
10.
.	In
-уб2 + c2 — a2
1 . |	. z X
«Tlnp + ctg —
-2
SSS .. .. -.. -	
c + (a - b) tg y
dx
(a — b) tg-т- + c — д/0>2 + <?2 — a*
£
(a — 6) tg -x- + c+ Vft24-c2 —a!
A
1 Г______________dx
(a cos x + b sin x)n V(a2-b62)rt ' sinft(x + a
A + В cos x + C sln x ,
—--------г—т—:----dx~
a cos x + b sin x
Ba + Cb Bb-Ca
*" a2 + b2 X + a2 + b2
[a2 < b2 + c2]
[a-*].
[a2 *=* b2 + c2]
[cm. 5.5].
1
ТЙНЧ1(,+,гс,ет)]|-
11. C «.—~rr~i----dx e ‘“FT IF (bx — a In | a cos x + b sin x |).
J a cos x + b sin x a2 + b2 v	1	17
12. (----C°s V ---dx ««.-a-” ту (ax + b In [ a cos x + b sin x I).
J a cos x + b sin x a2 + b2	1	1	7
_______dx	_____1 a sln x — b cos x
(a cos x + b sift x)2 a2 4- b2 a cos x + b sin x *
Mc dx 2	*tg^+6
f4t \---------я» .	arctg —ttss JM»—
J a+6sin^ Aja2^b2	Aja2 — b2
.	aig-^ + b-^/b2-a2
15.	7=^=-ln ---------------———
•V b2 - a2 a tg Л. + b +	_ ai
f dx	2	V«2-&2tg-|.
J a + b cos x	aJo2 — b2	a + b
[a2 > b2].
[a2 < b2].
[a2>b2].
ICS
Vb2 — a2tg-|- + a4-6
V&2 — a* tg-^- — а — Ь
А
~ sin х j	1
—dx=a--^rX
n-2	tg2fc+1f—=F—'I	t»2»+lf”-a
g '4 2<LHtC^C6	U
»"2 2fe+l ±H=FQ 2jC«-1 2Л + Т
6-0
4=------——
(n — 1) (1 ± sin x)1
±CxJr(A^C) tg (-y =F -|-) ± В In (1 ± sin x)
17. “ .	=* In
Vb2 — а2
SA + В cos x 4- C sii
(1 ± sin х)п
П-2
х 2с£с;
19.
A + В cos x + C sin x ,
(l±cosx)n
1
2n-l
n-2	±(2&+1)
2B SC«-2 2Л+1
21
22.
23.
[a2 < n
П-1	Ь±(2Л+1)_*_
Ес;.,
fe-0
C
2Л+ 1
(n — 1) (1± cosx)n~l
= ±Вх±(Л =FB)tg±,^-TCln (1 ±cosx)
Л + В cos x + C sin x ^ ___ A
sin x (a + b sin x)	a
[«>2].
[л-11.
В . a + b sin x .
— in --------;-------- -4-
a I sin x I
. Ca —Ab f dx
a J a + b sin x
f Л + В cos x + C sin x fa e
J sin x (a + b cos x)
[(Л, - вь) tn 11( f | + (ль - ««) 1»|	| ]+c J
Г Л + В cos x + C sin x дх
J sin x (1 ± cos x)
A±B ,
~	2	”
5 Л + В cos x + C sin x , _
cos x (a + b sin x) X
ВтЛ 1
2	1 ± cos x
±1
[«=11.
dx
a + b sin x
26.
$Л + В cos x + C sin x
cos x (1 ± sin x)
Л ± C , I. ( л . x \ ,
-а—|п||Цт+т)| +
+ г|1л±.^) +Д|^т±т)-
109
Л + В cos x 4- C sin x
cos x (a + b cos x)
28.
Л + В cos х + С sin х
ГДь
a / J a 4- b cos x
(ai + bi cos x + ci sin x) (a2 + b2 cos x + c2 sin x)
sa Л In I cos* + ci sinx I । л f	dx
° I a2 4" b2 cos x + c2 sin x
«1 + bi cos х 4- ci sin x
а2 4- Ъъ cos х + с2 sin х
А В
«1 bi
а2 Ь2
С
Cl
С2
Ло»
|Ъ
5.13. Интегралы
f dx
ВИДа J (a4- b sin2x)n ’
J a4-&sm2x ya(a+b) \ V a /
2.	= . S'gn° =r Arth Гл/ —?+b tg Л [b/a < — 1: sin2 x < — a/bj.
V—a(a+ b) \ V a J
8.	«• ...Л'?—.==• Arcth	(A./—	a + b	tg .A	[b/a < —1:	sin2x >.— a/b}.
y/—a(a + b)	\ v a J
4. (----dX	= —t=- arctg (V2"tg *)•
J 1 + sin2 x
5. {	----tgx.
J 1 — sin2 x
/» f dx	1 Г^Ол Д- Г	JL Ъ Sin X COS X *|
j (a 4- b sin2 x)2 2a (a 4- b) I/ J a 4- b sin2 x- a 4- b sin2 x J*
7. f-----**---------1Г 3 arctg(T2-tgx) + s-n*cos*l
J (l + sin2x)2 4LV2 s'	l + sin2xj
«>f dx	1 I/. 1 2 . 8	. ч ,
8- }\a+b Sin47 ° 8^~ Ll3 + 7- +	)arctg (p tg x) +
4. (3+-2_ _ 2Л —Pte*— + (1 _ A. _ _L t„2 Л 2ptgx 1
Ц + Pi P* ) 1 + P2tg2« +V Рг P2 S ) (l + p2tg2x)2J
[p2 = 1 + Ыа > 0].
110
’	+	A”h<»'s«) +
(3 _ 2__L'l _£1££— 4. (1 + JL + -Ltej xl ^ig* 1
q2	q* ) 1 — q2 tg2 x + \ q2 q2 8 ) (1 — q2 tg2 x)2 J
== —1 — bl a > 0; sin2 x < — a/b; при sin2 x> — a/b следует Arth (q tg x) за-
менить на Arcth (q tg x)].
5.14. Интегралы вида \ {a +b
f dx	signa . / /а + b. .	\
2. 1=--------------7=====- arctg I л /-ctg x I [b/a > — 1].
3 a + bcos2x л/а(а + Ь) \ V a J
2.	------—Arth (л/ —a	- ctg дЛ [b/a < — 1; cos2 x < — a/b\.
'\/—a(a + b) \ V a J
3.	-----...sig"a ...Arcth ( A/-A±££tgx)
V-a (« + *>) Ч V a )
[6/a<—I; cos2 x > - a/b].
4.	(	—--=----= arctg {y/i ctg x).
J 1 + cos2 x
Sdx	.
----5— = “
1 — cos2 X &
e f______dx__________1 Г, i f ________________b s*n * cos x 1
J (a + 6 cos2 x)2 2a (a + b) I? a j a + b cos2 x a + b zos2 x J*
7. f----—--------±Г-----3 arctg(V-ctgx)_ _sin_xcoSxl
J (l+cos2x)2	4L	V2	l+cos2xj
8- S (a 4- /cos'2 x)3 = - ёМ(3 + -7 +y) arct8 cfg +
4. r3+4 - 4Y p cRh-+(1 - 4 - 4ctg2x)-n-,ct8 * 1
\ p2 p4 J 1 + p2 ctg® x \ p2 p2 6 / (1 4- p2 ctg2 x)2 J
[p2 = l + fr/a>0].
’	““^[(3-7+-?)ЛГ,"<,с!г”+
+ (з___2__M______<7 ctg*	t.(i .--2 . Л ск»Л 2?ctgx I
q2	q4 ) l-<72ctg2x	q2 q2 S *) (i - <y2 ctg2 x)2 ]
[^2 = — 1 —. b/a > 0; cos2 x < — a/b; при cos2 x > — а/Ь следует Arth (q ctg x)
заменить на Arcth (q ctg x)J.
1.
SA cos2 x + В sin x cos x + C sin2 x
--------5—, -7 .---------------—dx.
a cos2 x + b sin x cos x + c sin2 x
Г	dx
2.
.3,
a cos2 x + b sin x cos x + c sin2 x
-----4----,j2gtgx4-fr-Vp^l .. (h,>4ac].
л/b2 — 4ac-I 2c tg x + b + ^/b2 — 4ac |
---—L.,—arctg
V4ac — b2 *J4ac — b2
__	2
2 c tg x + b
[Я < 4ac]a
lb* = 4ac].
Ш
4 ( cos2 х д з*п * cos х + С sin* x &
J	a cos2 x + b sin x cos x + c sin2 x
= ^ + (1-02-«В& + И - Cj (a - <01 * + ’/a[(A - С) b - В (a - c)J X
X In [ a cos2 x + b sin x cos x + c sin2 x [ + p/2 (Л + C) b2 — '/2ВЬ (a + c) +
+ (Са-.Лс)(а-с)П(х));
где
f (x) =	1 in 2c tg * + — V&2 — 4ac
V^2 — 4ac 2c tg x + b 4- Vi>2 — 4ac
1	2c tg x — ft
VSac — 62 ^J4ac — b2
2
2c tg x + b
_____________ dx___________________
(a cos2 x + b sin x cos x + c sin2 x)2
1	b cos 2x + (c — a) sin 2x	.
e 4ac — b2 a cos2 x + b sin x cos x + c sin2 x *'
. 2 (a + c) f_________________dx________________
4ac — b2 j a cos2 x + b sin x cos x + c sin2 x
________dx____________
(2a cos x + b sin x)4
lb*>4ac];
lb2 < 4ac];
[&2 = 4ac].
[Z>2 4acJ.
[62 => 4acJ.
5.16. Интегралы вида $	+ c dX'
*• S tg " TT¥~ I* - а In I a cos x + sin X11-
Stgx — a .	1— a2 2a t . . , .	.
-r—;—	—r * —n—г In sin (x + arctg a).
tgx + a 1 + a2 1 + a2 41	6 71
C dx • x	1	tg x
J tg2 x + a2 ~ a2 - 1	(a2 - 1) a arCtg a •
f dx	x .	1	. | tgx — al
4 J tg2 X - a2 ”	1 4- O2 + 2 (1 4- a2) a I tg x 4- П Г
Sdx x , 1 , rt
_—e_+_ sin2x.
!	f tg x dx in (a2 cos2 x + sin2 x)
!	4,)tg2x4-a2=	2(1-a2)	’	|
!	r	I
5.17, И н т e г p а л ы в и д а \ sin (ах 4- b) sin (сх 4- d) dx,
cos (ах 4- b) cos (сх 4- d) dx, J sin (ax 4" b) cos (ex 4* d} dx.
1.	J sin (ax 4- b) dx =» — cos (ax 4- b).
2.	J cos (ax 4- b) dx — sin (ax 4- b).
8.	( sto (ax4- b) sin (ex4-d)dx^^a~^X+b~d] ^^l^.x+b+d\
j	it \a с)	\a -j- c).
112

Г /	, м /	.	. sin [(а—с) х+й— . sin [(а+с) *+&+</]
4.	J cos (ах + 6) cos (« + d) dx-2(a -cj-------------L +- 2(a'+O	•
f . /	, , 4 t ,	cos [(a—c) x+6—d]	cos [(a+c)>+&-W]
5.	sin (ax + b) cos (cx+d) dx------'2(fl_c)----------1---2(a + c)-L*
6.	( sin (ax + b) sin (ax + d)dx= ^-cos (b — d) —d).,
J	40
Г / I Z .	,	x	«к	।	sin(2ax +	&	+ d)
7.	\ cos (ax + b) cos (ax + d) dx	® — cos (b	— d) 4---
J	л	40
S,	,	.	, x	.	x .	z-	..	cos (2ax +	b	+ d)
sin (ax + b) cos (ax + d)dx — ~ sin	(b	— d)-----------------»
5.18.	Интегралы вида j sinp x sin ax dx.
S,	о .	j	slnpxcosax . p Г , D_r ,
slnp x sin ax dx «—-:--F —7— \ sinp 1 x cos (a — 1) x dx.
p + a p + a J
sinp x cos ax p sin*7"1 x sin (a — 1) x
P + a Ф (P + a) (p + a - 2)
(p + a)(p + a-2)' S sin₽"2 X Sin (a - 2) X dx'
Г	f sinp+2 X
3.	\ sinp X sin 2nx dx =» 2n s--r-r—|-
J	I p + 2
n-1	ч
. V ( - П* (4n2 - 22) (4д2 - 4г) »• > t4n8 - (2fe)»] 4ln«+p+2 I
Zu' V	(2k + 1)!(2k + p + 2)	I
A=«i	/
[p — 2, — 4,..«, — 2«b
4.	J sinp x sin"(2rt + 1) x dx = (2n + 1) sinp+I x dx 4-
, V ( nft I(2n + I)8 - P] ((2n + 1)» - 32] ... [(2n + 1)2 - (2k - 1)4
+ Zu< l)	(2k + 1)1	X
X J sin2ft+₽+‘xdx|<
5.	C sinp-1 x sin (p + 1) dx = — sinp x sin pxi
J	P
6.	sinP"1^ sin £(p + 1) (y ~“X)] ^Xsss “-sinpJlfcosp
sin ax .	.
—— dx = 2
sinp x
sinp-lx J sinpx
n
sin 2/ix , V1 sin (2k
? — 1) X
2k — 1
n
sin(2n+l)x Y* sin2ftx ,
ax~ L, k + *'
Г sin 2x , __ _ *______2________
j sin"* dX tn — 2) sinn~2x’
; ИЗ
n f sin2x y л i f . r
11.	i —dx = 2 In [ sin x ,
J sin2x	1
12.	f	= X + sin 2x.
J sin X
Ssin 3x . о i (i x I t j
—т-x— dx = 3 Intg —- + 4 cos x,
sin2 x	I 2 I
14. ( -5*.Пз— dx « — 3 ct т x — 4x.
J sin3 x
5.19.	Интегралы вида j sinp x cos ax dx.
* f . n	J	sinpxsinax	p	C . o-l . .
1.	\ sin” x	cos ax dx =-:-------7—	\ smp 1	x sin {a —	1) x dx.
J	p + a p + a J
— sl'nP x S1‘n ax f P sin*7"1 x cos (я — 1) x
~ p + a + (p + a)(p + a —2)
“ (p + a/(p + a - 2) 5 sIn₽ 2 X C0S (a “ 2) x dx'
3.	J sinp x cos 2nx dx «а
n
- I sin -	+ £ ( - 1 >‘
Ы
Ssinp“^ x
sinp x cos (2/i + 1) x dx =	--F
.	_ 1? U2«+l)2-l2] [(2n4~l)2—32] ... [(2n+l)2—(2fe—I)2]	, 2й+р+1
"* Z/ U	(2k)l(2k + p + 1)	S,n *
k-l
[p ¥ - 1, - 3, - 5, ..- (2n + 1)J.
5.	sinp-1 x cos (p + 1) x dx = sinp x cos px.
6.	sinp-1 xcos£(p + 1) (у — dx =« sinpx sin p (y — x
Seos ax .	_ f sin (a — 1) x . , f cos (a — 2) x ,
--- — dx = — 2 \-----—--t-7  dx + \--------dxK
sinpx	J sinp lx J sinpX
n
Seos 2nx j rt V* cos (2k — 1) x , t | . x J
—:-------dx = 2 > --------------F In fg — .
sin x	L-i 2k — 1	| 6 2 |
fe=»l
n
Scos(2n+l)x , 5П C0S2&X 111. I
----J— L dx = > ------------7	F In Sin X I.
sin x	Lj k-1
k-\
Seos 2x . n . . I, x [
—:---dx = 2 cos x + In tg — L
sin x	6 2 I
Seos 2x
sin2 x
dx = — etg x — 2x.
cos 2x . cos x
sin3x	2sin2x
114
Scos3x	4	!
—n— dx =»---------—*— —-----------rzi—*
sin x (ft — 3) sin 3 x (ft — 1) sin” 1 x
14. f	— 2sin»x +In I sinx|.
1 J sinx
15. f rfx = _ —L—-4In|sinx].
J sin3 x	2 sin2 x
5.20. Интегралы вида J cosp x sin ax dx»
1. ( cosp x sin axdx== — C°S	+ n±7 cosp~*x sin (a — 1)xdx.
J	Рта P*TaJ
2. \ cosp x sin 2nx dx = (— 1)®	—г-д— +
J	ч P i" x
п-l	4
+ V(-l? (4n»-2»)(4n»-4»)...f4n»-(2fe)»] со,2»+р+2 „I
+ Zj(	(2fe 4-1)1 (2Л + p + 2)	|
Л«1	/
[p •— 2, — 4, ..., — 2ftJ.
cosp x sin (2ft + 1) x dx = ( — I)**11 p Jp." j-Ь
, V , n* [(2ft + I)2 - I2] [(2ft + I)2 - 32] ... [(2ft + I)2 — (26 — I)2]
'	(26)! (26 + p + 1)	A
X cos2ft+p+1 x}	[p -1, - 3, - 5,..- (2л + 1)1.
4. cosp-1 x sin (p + 1) xdx =* — -i-cosp xcos px.
5. C dx д 2 ( Л!Н-<а - U.£ dx _ C .± <« ~ 2) £ dx.
J cosp x	J ccsp x J cosp X
0. ( sin dx- У (- !)»+*+>.g°84£ + ( —1)«+1 In 1 cos xI.
Г	x = 2 у _ n+ft+1 eos^- l)x
J cos x	La	26—1
&-1
o f sin 2x .	2
8* \ д dx	n-2 •
J cos x (л — 2) cos x
K f sin 2x ,	_ f .
9. \------— dx = — 2 in cos x .
J cos2 x	‘
10 f sin 3* dx =B " 4____________________1___________
J cosn x (ft — 3) cosn~3 x (ft — 1) cos”"1 x *
11.	dx=>2 sin2 x + in | cos x |.
~~*n j3*‘ dx == — -—Ц---4 In 1 cos x[.
j cqsj x	2 cos2 x
Д5,
5.21.	Интегралы вида j cosp х cos ах dx»
f n	cospxsinax . p Г 0_i	_
L \ cosp x cos ax dx « — - y- n-h ” 37— \ cosp x cos (a — 1) xdx^
j	p±a Pt J
2.	J cosp'x cos 2nx dx = ( — 1)Л cosp x dx +
+ £ ( - о*	r co,»„ ,
3.	cosp x cos (2n + 1) x dx — (— 1)Л (2n + 1) | j cosp+1 xdx +
, V ( - 1? [(2n +1>2 ~ 1211(2ft + 1)2 ~ 3*b • - K2n + 0a - & - О2] 4/
-t-дк u	qi	x
Ы
X pos2*+p+1xdxj
4.	cosp“l x cos (p + 1) x'dx =^-~- cosp x sin px»
5.	C £21^ dx = 2\	dx _ f £?A£?-...~.2)*
J cosp x J cosp-1 x	J cosp X
n
_ f cos2rtx . nV1/	sin (2£ — 1) x . .	I. /я , x\|
6-	—2A-1	•• + (-!> to l»(T+2 •
Л-1
f cos (2n 4: n £ у ( _ 1)Я-Й	+ ( _ 1)B
J cosx	Zu' ’ k 4 '	7
k^i
Seos 2x .	. I . f rt . x \ I
-----dx « 2 sin x — In tg I — + — I L
cos x	\ 4	2 7
Scos2x . Л .
----5— dx » 2x — tg x.
cos2 x	&
f	cos 2x ___ sin x
[0- J	cos3 x	dX~	2cos2x

Scos3x .	. rt
------dx === sin 2x — x.
cos X
12- $^dx=4sInx-31n|tg(T + i)|-
13.
-^2^d№4x-3tgx.
COS3 X
sin”1 x
sin nx
1.
5.22. Интегралы в и
C sinwx .
J sin (2n+ 1) x
2n
1 V i 1 \n+k	Г 2^+1	’
“2n+lZ(	-	l2(2«4-1) ".
Л-0
coswx .
------dxt
cos nx
k — n
2(2ra+ 1) "
2(2n+ 1)
[tn < 2n]
Л —
116
8.
sln;OTx
sin 2nx
[n-1
it । . V* , .Л 2m kjt ,
In [ cos x I + > (— 1) COS —In
X-J	ЛП
fe-1
I cos2 x — Sin2-^” 11
I	2л |J
[m < n]
sin2"1*1 X
sin 2nx
n-1
ft=l
W(H)|*

cosm x
cos nx
n-I
^=t£(- 1)6 cosM
ft-0
26 + 1 f
“2^—Я1П
Ssinm x
cos nx dX‘
[m < /г].
, /26+1	, x\
к 4/i	2 7
pn<n]
. f sin2mx j.._( — l)n+	я x\| ,
!• \	\ ax — rt , , s in I tg I “'  • ~r I I -г-
J cos(2n+l)x	2n+1 I |s\4	2/|~
n
,V/	kn L_r 2л + 26 + 1 _ xl4,
+ L(-1) C°S ~2л~+Т П | *^ L 4 (2n + 1) *—2JX
ft“l
x^KV+t)'”-f]|}
e C sin2m+Ix .	(— l)n+1 Г. .	. ,
2-	\---—jt;— dx ===	— I In cos x +
J cos (2n + 1) x 2n+ 1 L
n
k-i
2n~l
sinms dx = l V (_ n«+6 cosm
cos2ftx ax 2n L 1 U COS
ft-0
,ft cos2m+1 2^FTln Icos2 x -sil? 2^FT
Xln
26 — 2n + 1
-----Гп-----«
26 + in + 1
8л ”
[fft < 2re],

Scos^ X
—:----dx.
sin nx
f cos2m+1 X
\	" /n—i—n— dx =»
J sin (2n + 1) x
 атт ['” I!1"' I + f < - sr?Tln |	~ет
117
COS X J
sin (2я 4- 1) х Г
- -sir [I« 71+ £	2^1 '" I •» ( f + Wf) X
u	л=»1
x,'(7-^Tt)D I”*'*
-sH*8	+#)•«(#-£)|]
I-	k*»l
[m < nJ.
Г	n-1
~ ln|sinx|+ У (-l)ftcos2m-^-lnlsin2x-sin2-^-
1	X—J	Ztl I	2/1
«-	Л-1
\m < n].
5.25. Интегралы вида sin* xcoswx sinn+1/22xrfx.
1. Jsin^'xsin^xdx^^	P-VtiT].
S/2(«+l)
(f4  "1\m'+A+2 dt	t — Vctgx].
к* r A/
8. ( cos2m+1 x sinn+I/2 2x dx = —2n+3/2 C ..	dt [( — Vctgx].
J	J (i‘ + l)m+'l+2	K J
r
*	K-viHi.
v v* “T 1/
5.	( sin x cos	x sinn+1/2 2x dx -» 2"+3/2 (---—— dt [/ “ Vtg x].
J	J «' + i)"t+'>+2
6.	Jcosxsin2'nxsin',+iy22xdx-2^(	[/-
w	J V* T 4
7,	J sin x Vsin 2x dx «« —	cos x Vsin 2x +
+ [in (sin x 4- cos x + Vsin 2x) + arcsin (sin x — cos x)J»
& cos x Vsin 2x rfx ~ sin x Vsin 2x +
+ lln ( sin x + cos x — д/sin 2x) + arcsin (sin x — cos x)].
118
5Д6. Интегралы вида
Г sinА * х cos* тх
J sinn+1/22x
1.
2.
3.
4.
5.
f sin2”1*1 X . tg^X " V* 1 Г*	tg2m-n+2fe х
J sinft+i/22x	S 2Л“1/2 2Lj rt~w“1 4m —2п4-4& + 3
Л»0

г cos2"1*1 х _ ctg3/2x " у ‘ ft	ctg2m-n+2fe х
J sin"*1/2 2х	2"~1/2	a-m~l 4т-2« + 4А + 3 1»>«+ П-
—/ n Х - dx = — [in (sin х + cos х — Vsin 2х) + arcsin (sin x — cos x)J.
Vsin 2x	2
—c°=— rfx = - [in (sin x + cos x + Vsin 2x) + arcsin (sin x — cos x)].
V sin 2x	2
dx	__ ctg,/2x yi pfe ctg2m+n"2ftx
sin2m+ix sin"+l/i2xe 2ft“l/2 m*n 4m + 2n —4^ + 1*
fe»0
dx	tg,/2x ”y cn [g2m+n-2k x
cos2m+1 x sin"*‘/22x “ 2"~1/2	“*" 4Л1 + 2n - 4Й + 1 ‘
fc»*0
„ f sin ж cos*2"1 ж J _ tg8/2x “V*	tg2ft~nx
7‘ J	sin"*1/2 2ж	2"-1/2 Z-*	4k-2n + 3
£—0
„ f cos x sin*2"1 x _ ctg*2* у -ft ctg2ft-nx
8- J	г"-*/2 L	4A-2« + 3
[n>m+ Ц.
(n>m+ 1J,
C tg® x .
9* rsin2m+1xsin"+1/22*
ctg1/2x у -ft	c^m+n^l-2k x
2n~i/2 m+n 4m + 2n =F 21 - 4k + 1 *
^±гх 7— fS1/2x	tg2k±l n*
соз^+^^+^г*	2»-1/2 A m+n 4k ± 21 - 2n + 1 ’
5.27. Интегралы вида \ sin* x cosw x cos±n+1^22x dx»
[n-1	-1
nn , V* / t\k (2n+ l)(2rt— 1)... (2n — 2k + 1)	I .
cos'12x + > (—1) --1cos 2x I +
2fc+ln(n—1)... (n —Л)	И
4. (-i)n. <2в+1)”	in (cos ж +
(2n + 2)llV2 \ V 2 )
2.	( cos x 2x dx =» „ Vcos2x X
J	2 \tl ~r IJ
X f cos" 2x + У (2« + 1)(2п-.1).-(2Д-2А+1)	1
+ Н)Л-	- arcsin (д/2" sin ж).
(2/г + 2)1! V2
119
3.	sin х Vcos 2х dx -----°^ X л/cos 2x + In ^cos X +
4.	( cos x Vcos 2x dx = -S-—X- Vcos 2x 4--=“ arcsin (V2* sin x)»
«2	2	2 *y 2
f sin x dx____________cos x___________
J cosn+1/2 2x	(2 n —• 1) cos'1 “1/2 2*
Г ft“2	1
X I + У (— l)^+l	(ft — 2) >. * (ft — & ~ 1) CQafe-H ox I
X|1 + 2u( *'	(2/i — 3) (2/i — 5) ... (2Л-2Л-3)	2 I*
0	cos * V1 (—I)”***12* cos2fe x
Vcos2x ".	26+1 n~l cos*2x*
л»о
f cos x . _ sin x v
7- J cos"+l/22x (2/i — 1) cosz,-l/2 2x X
[n-2	«...	П
1 4- V	ft+I
+ Zj (2n-3)(2«-5)... (2П-2Л-3)	I*
fe«0	*
П —1	b	at,
s	sin x У 2 c* sin2* x
Vcos2x <"Q 26+1 n“1cos/22x*
S sin x	1 . / л /cos 2x\
—7	dx — —t=- In I cos x — A /-----I.
ycQ^2x	у 2	\	V 2 /
10. ( —c°S — dx «= —U- arcsin (V2 sin x)»
J Vcos2x	у 2
5.28.	Интеграл ы вида (а + b cos х + с sin x)±n+I^t/x.
1.	( (1 ± sin ах)"+1/2 dx = 4=4 (i =F sin x)1/2 У (-l)ftC*2'*-ft+1 —
J	Cl	ЛяшЛ	"г 1
fe«0
Г________dx______________cos ax_________
’ J (1 rfc sin ax)rt+1/2 2n па (1 ± sin ax)ft+1/2
Г	T
хк-ч- e	Sz^gzg-gi^i!	Ь
l k-a	J
(2n—1)11 ,	1	. V2 + (1=F sin ax)1/2
(2n)Il ’ 2"+1/2a V2 - (1 =F sin ax)1/2 *
о f__________dx__________________sin ax_____
J (1 ± cos ax)n+^2 2n na (1 + cos ax)n+^2
[n-2	T
2“- + X	2”s_!“±“”"+ ‘ *
AmU \tirl	... \Aift	л)	J
(2n - 1)!! e 1 ln д/2+ (1 =F cos ax)1/2
(2rt)i!	2 ft+1/2 a П V2 — (1 Ч1 cos ax)l/2 ’
120
4. f (с cos х - 6 sin x)dX l_(a + bcoix + c sinx)-p+1
J (a + b cos x + c sin x)p 1 — p
(c cos x — & sin x) dx
a + b cos x + c sin x
и In | a + b cos x + c sin x |.
5.29.	Интегралы вида j sin± m x (1 — k2 sin2 x)rt/2 dx.
Обозначение: Д = Vl — sin2 x, 0 < k2 < 1.
1.	[ A sin x dx = — -A C<?S X--at— In (k cos x + Д).
J	Л
„ f A .	2A2 sin2 X + ЗА2 — 1 .	.
2.	\ Д sin* x dx — — 	g^2--------Д cos x + ,
, ЗА4 —2A2 —1 ...
4------8£3------In (A cos x + Д).
„ f .. .	.	2A2 sin2 x 4-ЗА2 — 5 .	ЗП-А2)2	, A.
3.	\ Д* sm x dx —-------г--------Д cos x —---st—— In (k cos x + Д).
J	о	OK
л f АЯ , 8 W sin4 x + 2&2 (5fc2 — 7) sin2 x + 15£4 — 22fc2 + 3 .
4. \ Д8 sin8 x dx «------111-----------------------------5— Д cos x —
9£4 + 3£2 +1
-----------16^------- n C0S X + Л)*
S&'dx 1. A + cosx , t) z. , A4
—: = — -—In -г—!----------f- k In (k COS X + Д).
sin X 2 Д — COS x 1	'
a C & dx — A cos * । 1 — k2 . A + cos x
J sin8 x 8=3	2 sin2 x 4 П Д - cos x '
sin±wxdx
(1 — k2 sin2 x)^4
5.30. Интегралы вида
Обозначение: Д = Vl — fc2 sin2x, 0 < k2 < 1.
„ f sin x .	— cos x	. p — 3 f sin x .
1. \ —я— dx = -...-...-	„ o 4---------------\ —z—тг~ dx. —
J Д₽	(p — 2) (1 — А2) Д₽-2 (p — 2) (1 — Л2) J ДР-2
Ssin x .
---к -г— dx s=
д2«+1
я-l	I
= - cos x У ____________2*(П~1) (П-2) ... (n-f-1)____________
/Zo (2zl — О (2л - 3) ... (2л - 21 - 1) (1 — A2),+1 A2"-2*-! ’
л_______________1 V ri (— k2)1 cos2f+l X
=	(1-A2)“ Д rt-1 2/4-1 Д2Ж
. Г sinpx ._________— sinp~3 x cos x___,
* J ДР+3 X~ (p + 1) k2 0 - A2) Ap+1 +
, 2(p—1) A2—p4-2 Г sinp~2x . ,______________p —3______f sinp~4x .
(p4-l)A2(l-A2) J Др+1 + (p-h 1)A2(1 — A2) J Др-1
5 Г ‘”’"П
Г sin x .
\ —г—dx=^
J Д
sinrt~3x
A	(n — 2)(1 +&2) f sinn 2x j n — 3 f^in^^x^
(л- 1)A2 Acosx+ (n-l)A2 J Д dX (n-l)A2J Д
121
8. (	dx - ± In	---у Ь (ft eos х + Д) = | ta (Д - & сое х}.
J 4л	&К 1л К CU3 Л	«С	п>
„ Г sin’х . Дсозх 1 + fe2 1ж/|>м.,,м
7. J—д— dx---w-------^п-Ыйсвж + ЛХ
л f sin х .	cos х
^\-^-dx---------(i'--pjV
». J = - W-^Д +4~1п {*савх+^-
О Г dx ==___________Acosx________.
J Л sin* х	(п — 1) sinn“l х
. </г — 2) (1 + ^2> f dx______Qi — 3)F С dx
л—1 J Asinft“2x n—1 J Asin*""4**
, < f dx	1 . A + cos x t A + cos x
11. \ ——:-------- — -r ID -T--------= In------:----ж
j A sin x 2 A — cos x sin x
f dx — A cos x _ 1 + k2 . A + cos x
J A sin3 x = 2sin2x 4 H A — eosx *
5	.31. Интегралы вида I cos±wx (1 — k2 sin2x)nf2 dx-
Обозначение: A « Vl — sin2 x, 0 < k2 < L
1.
2.
3.
4.
2.
3.
f* , A sin x . 1	. ,, . .
\ A cos x dx » —5--------J- -т-r arcsin (k sin x).
J	dt	dtfc
f A s	2Jfe2cos2x + 2A2+l A .	, 4F —t ,	•
\	A cos3 x dx ---------------------A sin x + — —3— arcsin (k sin x)<
Гая j — 2&2 sin2 x 4- 5 * .	. 3	»_/<.•>
\	A3 cos x rfx ----------------A sht x + arcsin (k sin x).
j	о	oR
f A, . . 8ft’ sin4 x - 2k2 (6Л2 + 7) sin* x 4- ЗОЛ2 + a „ ,
\	Д3 cos3 xdx =•----------------------------------!------—s— Д sfn x +
. 6ft2-1	,	%
Ь —Убр— arcsin (ft sin rj.
48fc2
A dx
cos x
A dx
cdsax
Vl ~ i A + VI — 2 sin x
—————— in	,—
2	A — V1 — k2 sin x
4- k arcsin (k sin x).
A sin x .	1 ь A + V1	/g2 sin x
2 cos2 x 4 Vl — A:2 A — V1 — A2 sin x *.
_ __	f cos*m x dx
5.32,	Интегралы вида \ *-------------тг.
Обозначение: Д «	— k2 sin2 x, 0 < ft2 < 1.
Seos x . sin x . p — 3 C c°s x
b? (p^-2)b.p~2	p-2 3 Д**-2
П-:
-S-	dx - - sin X V---2Ч«-П(«-2)...(п-/4-П
j Д +	f^0 (2n- 1) (2n-3) ... (2n-2l — ОД^ 21 1
V Г1 k2‘ s!n2<+l X
'"^Zo '*“* (2/ + 1)Д2/+1 '
122
л f cos'1* . cos””3 X A , t
4-J-^-rfx"(^WAsln* +
, (n —2) (2fe2 — 1) f cos'*-2*	(n—3)(l—Л2) C eos»-’* ,
+	(n—I)*2 J Д dx+ (n-1)^ J Д---------------------dx'
Б. ~С<д ~~ dx=,~£ arcsln sin *) и	arctS ~~"д1 X «
л Г cos3 x ,	Asinx . 2ft2—1	4
6.	\ —д— dx = ~2^— 4---5ft5— arcsm	sin x^
. f cos X ,	sin X
7.	]-^~dx-----—.
8.	-С°дз~~ dx e ~ ~—jp-^n X 4- p- arcsin (ft sin x).
Sdx ____________ A sin x___________
A cos'1 x (n — 1) (1 — ft2) cos”"1 x
<n — 2) (2^2 — 1) C dx	(n-3)ft> r dx
(n— 1)0 — ft2) J A cos””2 x (n — 1)(1 —ft2) J A cos”"4**
[0 C dx - —	* in A ~ V* sin x
J A cos x	2 Vl —’ fta A 4- Vl — ft2 sin x *
11 f dx » A sin x t 2ft2 — 1 A — Vi — ftg sin x
J A cos8 x 2 (1 — ft2) cos2 x 4(1— ft2)3/2 A + Vl — ft2 sin x *
5.33. Интегралы вида \ sinm x cos” x (1 — ft2 sin2 х)р dx.
Обозначение: A « Vl ft2 sin2 x, 0 < ft2 < 1.
1.	ДР sinm X cos“ X dx = {m +--q7pj fei {дp+2 sin"*-3 x cos"+’ x +
4-	[m + »~2+(/n+p — I)*2] Apsinm-2xcosrtjcz/x —(m —3)X
X J A₽sinr,,-4xcoS'!xrfx
2.	= -—j—lj-—r-rj- f Др+2 sinm+’ x cos'*-3 x 4-
l/n + «4-p)ft2 I
4- l(n 4* P "" I) 4-«2) (1 — ft2)] J Ap sinm x cos”"2 x dx +
3. \ Ap sin xcos” x dx=®
+ (« - 3) (1 - Л2) J ДР stam x cos»-4* dx
Др+гС08'*-1х	(«-!)(!—Л2) „
(nH-p+1)£2“ (л + р+1)Л2 X
4.
Др sin"* x cos x dx
S.
Д sin x cos x dx —
X 0₽ sin *®°8e”a*rf*.
A^sto”-1* ,
“ (m4-p+l)*a *
+	+ J A” sb”-2* cos xd^
Д»
3ft2 *
123
6. J Д sin x cos’ x dx<=*
7. \ Д sin x cos3 x dx =»
2k1 cos’ x + 1 - ft’ .	.	(1-ft’)’, ,t
---------gp----------Д COS X 4------g£3— In (k COS X4-.A)-
3ft4 sin4 x - ft’ (5ft’ 4- 1) Sin’ x 4- 5ft’ - 2 .
8.	\ Д sin x cos4 x dx =
- 8ft4 sin4 x 4- 2ft’ (7*2 4-1) sin’ x - 3ft4 - 8ft’ 4- 3 .
— ------------------------------Том-------------------------Д cos x —
- ((1 - ft’)/( 16ft»)) In (ft cos x 4- Д)'
(*	2^?^ sin2 x 1	1
9.	\ A sin2 x cos x dx «----------gp----------A sin x + arcsin (k sin x).
10.	j A sin2 x cos3 x dx »
- 8fc4 sin4 x + 2&2(6&2 + l)sfn2 x-^2 + 3 A .	,2^-1
------------------------^gft4---------------------Д sin x 4- - 16fe5
arcsin (k sin x).
11.
12.
A , .	. 3fc4 sin4 x — k2 sin2 x — 2
A sin8 X COS X dx --------------------77T3--------------- A.
15fc4
» .j 2	. 8fc4 Sin4x-2fc2(fc2+1) sin2x-~3fc4 + 2fc2-3 A
A sin8 x cos2 x dx =* *------------1----------------------------Acos x +
48Й4
f л , . j 8fc4 sin4 x — 2k2 sin2 x — 3	I .
13.	\ A sin4 x cos x dx «в----------^7------------A sm x + arcsin (k sin x).
г о	A5
14.	\ A3 sin x cos x dx = —g^-.
fA. ,	2 . -8fc4sin4x + 2£2(fc2 + 7) sin2 x + 3&4 — 8/e2 — 3 „
15.	\ A8 sin x cos2 x dx --------------------1-----------------------------X
X A cos x + jg-JP - In (k cos x + A).
f a, . ,	.	— 8fc4 sin4 x + 14Л2 sin2 x — 3	.
16.	\ A3 sin2 x cos x dx «------------ygp--------------A sin x +
+ (1/(16&3)) arcsin (k sin x).
5.34.	Интегралы вида -yg~-y-(1 —/г2 sin2 x)1/2 ^x.
Обозначение: A =s Vl ~ s^fl2 x, 0 < k2 < 1.
. C sin x A л f A ,	. A , VT^T2 ln A +
1Ф I-----Adx=s\Atgxdx = — A4--------------in —----=====-.
J cosx J	2 A — VI — №
2. —%*— kdx^ — --------k In (kcos x + A).
J cos2 x	cos X
* f sin x A J A , k2 A -h Vl — k2
J cos3 x 2 cos2 x 4 v 1 A — y\—k2
A Г sin x A — (2k2 + 1) k2 sin2 x + 3&4 — k2 + 1 A
4-]^TA^=s-----------------3(l^Jfe2)cos^”-------Л-
_ f sin2x A , Asinx , 2^2-l	. /L ,	4 ,
g. \-----A dx —-----------1--------arcsin (k sin x) +
J cos x	2	2k
1 |n A + V1^fe2sinx
2	A — V1	sin x
124
Sin’ X A J
------A dx &
COS6 X
- Л + «211,1" Л +	_ t arcsln lt sl„ ж>
2 cos2 x	4 V1 ~ k2 A — Vl — A?2 sin x
k2 sin x + ЗАг2 — I*. Vl4®*1^2 . Д -h Vl k2
2 д — Vl - &
ЗА:2 — 1 . „	, A4
In \k cos x + A).
„ Г sin8 x A .
\-------Ldx^
j cos x
o Г sin3 x A .
8. \---5— A dx = -
J COS2 X
л f sin4 x A J
9, V------Д dx =-----------отгт
J COS X	8£2
W — 4fc2 - 1	.	, Vl — Й2 . л + VT-fe4 sin x
4--------------arcsin (k >in x) + —----In —— X.
8&3	2 A^Vl^sinx
3fc2
sin2 x — 3 д
2 cos x ~~ 2k
2k2 sin2 x + 4k2 — 1 . .	,
—-------------------------A Sin X +
6.35.	Интегралы вида J(1 — A;2 sinfi x)1/2rfx.
Обозначение: A = Vl — sin2 x, 0 < k2 < 1.
SCOS	X	A J	Fax j	a i 1 i 1 — A
—:-A dx	»	\ A ctg x dx	— A + — In — t -.
sin x	j &	2	1 + A
Л	Г	cos2x	A , Acosx ,	Z?24- 1 f z. , A.	.	1	t	A	+	cosx
2-	'	д dx = —2~ +	~2k~,П {Л cos x + Д>	+	2-ln	A^-cosx •
cos3 x A . k2 sin2 x — 3£2 —- 1 A . 1 . 1 — A
—-----A dx —------------5T5--------A + -Г- in -T- t A .
sin x	3As2	2	1 + A
cos4 x A .	— 2k2 sin2 x 4- 5fc2 + 1 A , 1 A + cos x .
sin x	%k2	1 2 A — cos x ~
3fc4 + 6fc2-l f ..
4-------g£3-----In (k cos x 4- A).
3.
4.
8F
5.
6.
7.
8.
9.
1.
f cos x A ,	A ,	,	.
\ —г-?— A dx =----------k arcsin (k sin x).
J sin2 x	sit! x	'
Г cos8 x A , sin2 x 4-2 A 2k2 + 1	, z. . .
J д dx------------2^ГГ- д--------2k— arcsIn <* s,n
Seos x A .	A	. k2 . 1 + A
—r-o A dx  ----. 9-----h In — - ТГ-.
sin3 x	2 sin2 x 4	1 — A
f cos x A ,	A3
\ —г-д— A dx = — -r—:-o—•
J sin4 X	3 sin8 X
f cos2 x A . cosx A &2+l . A + cosx .• /t , A4
11ЭТД^----------таЧ-Д---------~ln1^'cos-x -*ln<*eoSx + &).
5.36. Интегралы вида J Х^)г dX‘
Обозначение: А «» Vl — A:2 sin2 х, 0 < k2 < 1.
f sin^xcos^x .	— k2 sinp+I x cos17"1-1 x ,
J Ar	(г_2)(1_^2)д—2 +
. p — — (2 — fe2) (p — / + 3) f sinp x cos^ x ,
ф (г —2)(1—Л2) J Ar“2 dX^
Jn3
A —
sin77 x cos^ x
ДГ-4
125
z
z
4
Б.
4
7.
8.
9.
10.
11.
12.
1 Г sinp“2xcos<r x , If sinp*~2 x cos* x <
== — \---------------dx------— \-------—5----dx.
k2 J Ar	k2 J Ar“2
&2—1 f sinpxcos*~2x J t 1 f sinp x cos^-^ x л
—— J-------------J-------d‘+J----------------------“
sin x cos x	1
Дг	(r-2)Ar'2‘
sin x cos x . A
-----------------dx -------	ту-.
A------------------k2
sin x cos2 x . A cos x , 1 — k2 . ,,	.
------Д----dx “------2k*~ + 2ft8 " In Cos x + Д)’
sin x cos8 x dx =  1 (ft2 cos, x _ 2 + 2fe2) д<
A	o«
sin x cos4 x 3 — 5&2 4- 2&2 sin2 x A __
------д----dx------------8P---------Д cos x -
3ft4-6ft2 + 3 . ..	. ..
—-------gjp------la (k cos x.-f- A),
sin2 x cos x j _ A sin x L arcsin (k sin x)
A dX^ 2k2	2k2
sin2 x cos3 x ,	2k2 cos2 x + 2k2 — 3 A f . 4&2 — 3	.	.
--dx -------------------------A sin x + —g£5— arcsin (k sm x).
sin8 X COS X dx =я _	1	(2 + k2 sinj xy д
A	ok
sin3 x cos2 x ,	2k2 cos2 x — fe2 — 3 A
------д----dx------------w----------- д C0S X “
^ + 2*«-3 , ..	...
--------8Й5------ П 003 * + Д)'
f sin8 x cos8 x .	3£4 sin4 x - (5fe< — 4ft2) sin3 x - 10P + 8 .
13.	-------д-----dx -------------------------Д.
Г sin8 x cos4 x 8ft4 sin4 x—2fe3 (7fe3—5) sin3 x 4-3fe4—22fe*+IS .
14. J---------д-----dx ---------------------------------------------------------Д cos x
+ 3fe4 — 9ft3 + 5 ...	...
-------tfife?--------1— ln cos x + д>«
1Б.
18.
J sin^osx.dx-------?k^.x+l д sin X + -A-arcsin (ft sin x).
f sin4 x cos8 x 8ft4 sin4 x — 2fe2 (6ft3 — 5) sin3 x — 18fe34-15 . ,	,
\-------д--dx ----------------------48ft*-----------------A sin x +
4---16fe7— arcsin (ft sin x)
17.
sinmxcos’,x .
дз ax
sin"1-1 x cos"-1 x
~~ ft3A
m — 1
ft2
c sinxCOSX
18> J----Д5----dZ
sin"1-2 X COSn X	,
-------5--------dx +
, n — 1 f sinw x cos'1”2 X
+ k2 J A
dx
126
2A5
fe2 —3 . ..
S sin X COS2 Я л COS X 1 f	...
-----ДЗ---dx =	----In (k cos x + A).
ол f sin x cos3 x . k2 sin2 x + k2 — 2
20. J-----дз---dx------------.
л. f sin xcos4 x л k2 sin2 x + 2k2 — 3	, 3(1— k2) f /t ,
2L J------A*---dx “----------2FA------cos x 4--— In (k cos x + A).
Ssin2xcosx sln x 1	• /\
-----A3---dx ““Pa“ arcsin sm
M f sin2 x cos3 x. k2 sin2 x + 2k2 — 3	2A2 —3	. „ ,	.
23, \ ----—----dx =----------T7T7-----cin Y-------------- /b cin
J Za	1л
Ssin8 x cos x ,	2 — k2 sin2 x
-----7?—dx----------Ид-----•
__ f sin8 x cos2 x 3 — k2 sin2 x
25‘ J-----П----dx--------WA—
лл f sin4 x cosx 3 — A2 sin2 x .	3	.	.
26. J ----A3---dx =------2^A----Sln X ~ ~2№ arCSm Sin
6.37. Интегралы вида ( -51П--*- —------dx. --.....
r	J COS* X (1 — k2 sin2 xy
Обозначение: A = 71 _ sin2 x, 0 < k2 < 1.
1 Г s*n₽ x ________________sinp+1 x____________
J cos7x Ar (q — 1) (1 — k2) kr~2 cos7”1 x
— P ~ <7 + 2 — (p — 2? — r + 5) A2 C sinpx dx _
(q—1) (1—k2)	J cos7“2x Ar
_ (P — <7 — + 4) fe2 C sinP X dx
(7-~l)(l -k2) } cos^4x Ar
SeJn y Hy	. fc2(m+rt~l)
cos2"1* A2rt+1	{i-k^m+n
m+n-1	,
v V rl	(-1)*	/C0SX\2ft-2/..t
X L C'»+»-« (2rt_ 21 -1)H4 A )
Ssin x dx f .	dx 1	, A + лЛ —
-----------  \ tg X---=------7—: — In ------~ . .^..7 .
cos x A J A 2 71 - /г2 A — Vl
sin x dx _ _____A_________
cos2 x A (1 — &2) cos x *
5.
6.
7.
8.
Ssin x dx f .	. 2 . dx	A
cos3 x A J 6 x( + 8 x) д 2(1— k2) cos2 x
kl . a + VE=75'
4(i —fe2)3^ n a -VT=F'
Ssin x dx _ _ 2k2 cos2 x — 1 + &2 *
cos4x A 3 (1 — k2)2 cos3 x
f sin2 x dx 1 j A + V1 — sin x 1	, /L , .
\---------— —7====" In ——V===----------------arcsin (A sln x),
J cos x A 2 Vl — A2 A — Vl — A2 sin x k
C sin2 x dx __ A sin x______________1	A + Vl — k2 sin x
' cos3x A 2(1— k2) cos2 x	4(1—A2)3/2	A — Vl — A2 sin x *
127
л Г sin3х dx А .	1	. A 4“ Vi “ &* 2
J cos x A k2 2 Vl — k2 A — Vl — A?2
A sin x ,	1 A + V1 — sin x
«=------------7= In ------!——====------
2k2	2 Vl - k2 A - Vl — sin x
2*2+l	, /t t .
-----— arcsin {k sin x)
IL
12.
f sin3 x dx	A	। 1 f „	. ax /
J cos2 x Д	(l-ft2)cosx + k ln	C0S * + Д)- у
___5^_________Д_____
J S Д («- 1) (1 -Й2) COS2 X
(n — 2) (2 — fea) f tg"-2x . n —3 Г tgn-4x
(n — 1) (1 — ft2) J Д ax (n-l)(l-A2) J Д X
г,	f cosp x dx
5.38. Интегралы вида \ —г-^—	, 2 - 2 "\r"«
v	J SIO’ x (1 — £2sin2x)r
z Обозначение: A =®	— k2 sin2 x, 0 < k2 < 1.
Г cos? x dx________— cos?+1 x___,
J sinpx Ar (p — 1) sinp-1 xAr~2
p — <7 ~ 2 + (P + r — 3) &2 Г cos? x dx , (p — ? 4- r — 4) I?2 r cos? x dx
p — 1	J sinp“2x Ar	p — 1	j sinp”4 Ar
f cosx dx __ V*	sin хУ«-2*-1
2,J sin^x A2ft+1 ~ m+n^ 2n-2l-l I A J
3. J
4.
5, 5
6.
7.
8.	5
9.
1°.
IL J
П.
cos x dx _____
sin x A
S, dx
ctgx —
lln
1 - A
1 + A‘
cos2 x dx
sin x A
1 . A 4- cos x
— in ------------
2 A — cos x
у In (k cos X + A).
cos3 x	dx A	1	. 1 + A
sin x	A	~ k2	2	1 - A	•
cos4 x dx Acosx l A + cosx . 3F-1 , /L .
sin x A 2k2	2 A — cos x 2&3	4	17
cos x dx __ A
sin2x?A	sinx’
cos8 x dx A	1	. .. .	'
sin2 x A sin x k	f
tos x dx _ A_______________k2 - 1 + A
"sin3 x A 2 sin2 x 4 n 1 — A *
cos2 x dx • A cos x . 1 — fe2	A 4* cos x
sin3 x ~A 2 sin2 x 4	A — cos x *
cos x dx
sin4 x A
t n dx
2k2 sin2 x 4- 1 a
3 sin3 x
stg"-^ Д n-2	, f ctgB-2x
n-1 cos2 ju n-lU S,J Д ax
n—1v 'J A
dxt
128
„лл rjr	f (1 — sfa2 x) .
5.39. Интегралы вида \ 2—г-™--------n1— dx.
J sin"1 X cosn X
Обозначение: A « Vl — k2 sin2 x, 0 < k2 < 1.
A dx
sin x cos x
-In
2
1 -Д
1 + A
Vl - a2, • д + Vi - fe2
2	“ Д — Vl — A2 ’
Г A dx A	, 1 f A + cos x
2. \ —:----§—  -------h -X- in -r—2-•
J sin x cos2 x cos x 2 A — cos x
8. f -------------»-------1 1+A +	A_+.iE»L
J sin x cos3 x 2 cos2 x 2	1 — A 4 Vl — A — V1-—&2
Г A dx	= (2fe2 - 3) sin2 x - 3F 4- 4 * . 1 A + cos x
J sinx cos4 x	3 (1 — k2) cos3 x	2 n A — cos x ’
5 C A dx______________A______1 + k2 jn A — Vl — Z?2 sin x
J sin2 x cos x sinx 2V1 — &2 A + V1~^2 sinx*
Adx	3sin2x — 2 A 2Z?2 — 3 f A 4- Vl — sin x
	sss — д —------- .,... in ---- ------ .
sin2 x cos3 x-----------------------------------2 sinx cos2 x 4V1~ A —Vl—&2sinx
&dx	Д . Vl - Л2 . Д + Vl - *2 , A2 —2 . 1+Д
--------- --------1 Z------ In  ‘—У------4------In _2—.
sin3 x cos x 2sin2x 2 A — Vl—4------------------1—A
я f A dx = 3 sin2 x — 1 . . Ze2 — 3 A — cos x
J sin3 x cos2 x e 2 sin2 x cos x 4 n A + cos x *
9 C A dx s _ & ~~ &2) sin2 x + * д _ Vl — Z?2 jn A — Vl — k2 sin x
J sin4 x cos x	3sin3x	2 A + Vl— A2 sin x *
Sdx
sin x cos x (1 — k2 sin2 x)1/2
Обозначение: A = Vl “ sin2 x, 0<Z?2<l.
« f dx f z. , . x dx
1. \ —-------------- \ (tg X + ctg X) —
J A sin x cos x J	A
1 . 1 — Д .	1	, A + Vl — A2
= — In--------------===• In--------- 
2	1+Д	2V1-*2	Д-Vl-*2
2 C dx _________________A__________1 1 jn A ~ cos x
J A sin x cos2 x (1 — k2) cos x ' 2 A 4~ cos x
3. ( -r—7—“---=-- as ( (ctg X + 2 tg X 4- tg3 x)
J A sin x cos3 x J ‘ s	A
A	1 f 14-A ,	2-362	, A 4- Vl
2(1—A2) cos2 x 2	1-Д	4(1-A2)3'2 Д-Vl-A2
4 C dx_____________ (5fe2 — 3) sin2 x — 6&2 + 4___1_ A 4~ cos x
J A sin x cos4 x 3(1— k2}2 cos3 k	2 П A — cos x *
5 f dx__________________A___________1 A — Vl — fe2 sin x
J A sin2 x cos x sin x 2 Vl — k2 A 4- Vl sin x *
5. ( dx « C3-fe2) sin2 x-2(1 -fe2)
J A sin2 x cos3 x 2 (1 — k2) sin x cos2 x
_____4fe2 - 3 A + Vl - fe2 sin x
4(1 — Zs2)3/2 ° A - Vl - Й2 sinx*
5 Ю. А. Брычков и др.	{29
7 { dx	Л I J lnA + ^Lz£ *2 + 2ln1+A,
J A sin3 x cos x 2 sin2 x 2 Vl — &2 A — Vl— £2	4	1 — A
( dx = fe2l sln2 1 + k2 A , £2 + 3 A-cosx
J A sin3 x cos2 Я	5(1 —- £2) sln2 x cos x ‘	4 n A + cos x ’
g f dx______________ (3 + 2k2) sin2 x + 1 д______1_A—V1 —- k2 sin x
v A sin4 x cos x	3 sin3 x	2V1—A4-V1 — k2 sin x
_ T,	C sinw x cos" x dx
5.4L Интегралы вида \----------------------------nr.
' (1 + a sin2 x) (1 -k2 sin2x)12 -
Обозначение: А» Vl — k2 sin2 x , 0<£2<l.
* f sin x dx ______	1	Vl + a A — Vfe2 + a cos x
J (1 4“ fl sin2 x) A	V(1 4~ fl) (Л2 + a) (V1 + a—*Jk2 4~ a ) Vl 4- fl sin2 x
[fl > - k2}.
Л	1	. (1 4- fl) A2 + (F + a) cos2 x
2 V~ (1 + a) (k2 + a)	(1 — k2) (1 + fl sin2 x)
[—1 <a< — &2].
3	.	== —	1 in V-(^2 + a) cos x ~	(1 4- a) A
V(1 + fl) (k2 + fl) [V"~ №2 + a) — V— (1 + fl)] Vl + fl sin2 x
[a<—1; 0< sin2 x<—1/a].
4	( sin x dx ___________Д____
J (1 — sin2 x) A ~ (1 - k2) cos x *

К	f	sin x dx	cos X
и»	J (1 — k2 sin2 x) A	(1 -k2)b'
6.	f cos xdx __	1	, V&2 4“ fl sin X	г X.2T arctg	i	 (a > Й2].
	J (1 4- fl sin2 x) A	V*2 + а	Д
7,		1	In A + (fe2 + fll sin x [a < —A2; 0 < sin2 x < - 1/a].
	2 V— (^2 4- fl)	Д - V- (*2 + 0) sin x
cos x dx ____sin x
(1 -£2cos2x)A “ A ’
- Ло ТЛ	f sm x cos^“ X
5.42.	Интегралы вида \ —=====rax.
J у 1 + a2 sin2 x
Ssin x dx	1	. ( a cos x \
—------------=---------arcsin I —fe====-I.
Vl + fl2 sin2 x a \ V1 + fl2 )
2.	( —— _ - = — In (a sin x + д/l + fl2 sin2 x).
J Vl + fl2 sin^x a
Л f	dx	1 . Vl + fl2 sin2 x — cos x
3..........\........ ..—- = —in --5========--------.
J sin x Vl + fl2 sin2 x 2 Vl + a2 sin2 x + cos x
f ________dx_________________lz in V1 + cfi sin2 x + Vl + fl2 sin x
,J cos x Vl 4“ a2 sin2 x 2 Vl 4- fl2 V14-fl2sin2x — V14-fl2 sin x
C tg x dx_______________1 in Vl 4“ fl2 sin2 x + V1 + a2
J Vl 4* fl2 sin2 x	2 Vl	4- fl2 V1 + a2 sin2	— Vl 4~ fl2
f ctg x dx _______1_ in	1 — Vl	4- fl2 sin2 x
J V14-fl2sin2x	2	1	+ Vl	4“ fl2 sin2 x
130
. лл „	f sin±m х cos±AI х .
5.43.	Интегралы вида \ —=========-dx,
J Va2sin2x-1
Обозначение: а>1.
Ssin х dx	1	a cos х
ya2 sin2 х — 1 a	Уа2 -- 1
2.	( —7======- = ~ In (a sin х + Уa1 sin2 х — 1 )•
J у a2 sin2 х — 1 а
Л f	dx	. cos х
3.	\-----г......= — arctg —7=а===-.
J sin х У a2 sin2 х — 1	у a2 sin2 х — 1
л f	dx	1	. л]а2 — 1 sin х + Уа2 sin2 х — 1
cos х у a2 sin2 х — 1	2 У а2 — 1 уа2 — \ sin х — Vа2 sin2 х — 1
С tg х dx _______	1 1п Уа2 — 1 + Va2 sin2 х — 1
~ Уа2 sin2 х — 1	2 д/а2 — 1	Уа2 —1 — Уа2 sin2 х — 1
Sctg xdx	.1
 .. -	-'- - -= — arcsin -<-.
V a2 sin2 х — 1	а sin х
5.44.	Интегралы вида j tgwх(a2tg2 х± ^±^4-1/2
1	. j tg х (a3 tg» х + ft2)n+1/2 dx e
— Va2tg2x + ft2 У	1 <а* fg2 х + г,2)'!“* +
Л«0
(-!)»+! (в2 _ ftS)n+l/2 arctg ^£^5 + ^
JL (62 _ а2)П+1/2 |n Уд2 ~ ~ tg2 * +
2	V&2 — a3 + a3 tg2 x + b3
_______tgxdx
(a3 tg2 x + 62)П+1/2
»	1 У (ft2 ~ а2)*~"	.
““ Va2tg2x + 62	(2k + 1) (a2 tg2 x + b3)* +
(-1)"
(а2 _б2)Л+1/2 arc‘S
_________J______j Vb2 — a2 — Va^tg2 x + b3
2 (b3 — a3)n+l/2 " V&2 — а2" + Va2 tg2 x
[a2>62],
[a2<h2].
[e2>&2]
la3<b3].
3	. C___dx____________1____jn Va2 — 62 tg x 4- Va2 tg2 x + &2
J Va2 tg2 x + b3 2 Va"2 - b3 " Va2 - b3 tg x - 7a2 tg2 x + b3
_________________________	[a2 > ft2],
= -T--/-, arctg y?2-fl2;g*	[a2<ft2].
У^2 _ a2 Уа2 tg2 x +
5*
131
4	(	___r^= л ^Л+JlL
' J ya2tg2x4-62 Уд2 — b2__ V a2 —&2
1 in Уb2 — a2 — Уд2 tg2 x + b2
2 Уд2 a2 У&2 — Д2" + Уд2 tg2 x + b2
г ____dx__________1 |n Уд24-&2 tg x4-Уд2 tgx — 62
&	J Va2tg2x — b2 2 Уа2 + b2 ^a2 + b2 tgx — Va2tg2x — b2
Stgxdx __	1
Va2tg2x — b2 *Ja2 + b2 ° V a2 4* b2
5.45.	Интегралы вида J ctgm x (a2 ctg2 x ± &2)±n+l/2
1. ctg x (a2 ctg2 x + Z?2)n+l/2 dx =
= - Va2 ctg2 x + b2 У, J£-22^L- (a2 ctg2 x + 62)rt~ft
[а’> b}],
[а2 < 6’1.
;2 х — Ь2
(-1)" (a2 - ft2)n+1/2 arcctg	- ftt b‘
— (b2 — a2)n+112 In
2
ctg x dx
л/b2 — a2 — V a2 tg2 x + ft2
V^2 — л2 + -у/a2 ctg2 x + ft2
[а2 > Ь2],
[а2 < 62],
n-1
______________________У (b2 — a2)*-"
Va2 ctg2 x+b2 (2Й + 1) (a2 ctg2 x + ft2)*
(	(-1)"	. Га2
ar“'e V-
+ j__________1_______ln Vft2^-^______________________
I 2 (ft2 — a2)rt+1/2 Vft2 -a2 - л/a2 ctg2 x + b2
_ dx = - —1 In — b2 ctg x — Va2 ctg2 x 4"
Va2 ctg2 x + b2 Ъ'у/а2 — b2 ^a2 — b2 ctg x + Va2 ctg2 x 4- &2
[a2 > Л,
(g2<^zL
etg2 x -|- ft2
a2 — b2
[а* > 6!],
[а2 < ft2].
1	л/b2 — a2 ctgx
=S—arrcfg—	-—
Vb2 — a2 у a2 ctg2 x 4- b2
4. C ctg^V.._ .	1 ... arcctg a/Z£!ZZ±Z
' У a2 ctg2 x 4- b2	у/a2 — b2	v a2^b2
_______1___|n У^2 — Д2 + Уд2 ctg2 x 4” b2
2 У&2 — a2 <y/b2 — a2 — ^a2 ctg2 x 4- &2
J____In л/a2 + b2 ctg x — У a2 ctg2 x — b2
^Ja2 ctg2 x— b2 2 Уа2 4- Ь2	у/a2 + b2 ctg x 4- Уд2 ctg2 x — d2 *
ctg x dx	1
.	,	— — ____ arcctg
У a2 ctg2 x — b'2	^a2 + b2
1«2 > *21,
[а2 < ft2].
dx
itg2 X — Ь2
a2 + b2
1
132
5.46.	Интегралы вида \ tgm х (а* 2 * 4 * * — Ь2 tg2 x)±rt+l/2 dx.
1. j tgx(a2 — 52 tg2 x)rtt1/2rfx =
n	k
= 4a*-b*tfX £ 2^1_ (a« _ bt tgJ x)n-b +
fe=-0	________ _____________
4- Х(д2 + £2)»+1/2 ln У«2 + &2 -V«2-fr*tg2 /
2	л/a2 + b2 + л/a2 — b2 tg2 x
л-1	.
2 f tgxdx _	1 у___________ (а2 + 62)*-”
J (a2 —62tg2x)n+l/2	V^2 — 62tg2x “0 (26 + 1) (a2 — 62 tgx)fe
I______1_______jn Va2 + 62 — Va2 — b2 tg2 x
2 (a2 + *2)"+1/2 ° b* + Va2 _ b2 tg2 x *
o f dx	li Va2 + b2 tg x
J Va2— &2tg2x <ya2 + b2 ya2 — b2tg2x
4 f tgxdx ___	1 ln Va2 + ft2 - Va2 - b2 tg2 x~
’ J Va2 - 62 tg2 x 2 ^a2 + b2 ° л/a2 + b2 + Va2 - b2 tg2 % ’
5.47.	Интегралы вида j ctgm x (a2 — b2 ctg2 x)±rt+1^2 dx.
ctg x (a2 — b2 ctg2 x)n+l/2 dx —
n
== — Va2 —ctg2 x У	... (a2 — b2 ctg2 x)rt-fe —
АмГ ATI АлС T" 1
_ ± (fl2 + bi)ti+uz ,n л/а* + Ъ2 - V^-^ctg^x
2	'y/a2 + b2 + л/a2 — b2 ctg2 x
ctg xdx .	_
(a — b2 ctg2 x)n+V2
____________1______у (a2 + b2)k^n_______________
'y/a2 — b'1 ctg2 x (26 4- 1) (a2 — b2 ctg2 x)k
____________I_________In Va2 + b2 — 'y/a2 — b2 ctg2 x
2 (a2 + 62)n+1/2 П Va2 + 62 + V^2 - 62 ctg2 x ’
3. (______dx = _ 1 arcctg Уд2 + ctg x
J a2 — b2 ctg2 x a2 b\ ^a2 — b2 ctg2 x
4 f ctg x dx __	1 in Vfl2 + 62" + Va2 — 62 ctg2 x
J Va2 — b2 ctg2 x 2л/а2 + Ь2 ^a2 + b2 — л/a2 ~ b2 ctg2 x
5.48. Интегралы вида j xp sin^ x dx.
1- xp sin47 xdx=~— sin*7*"1 x (p sin x — qx cos x) +
+	? xp sin^-2 x dx--— P y--—~ ( xp”"2 sin*7 x dx.
<7	3	J
133
2.	sin x Jx =« - хр сое х + t>^xp-lcosxdx.
3.	J хт sin271 х dx «=»
e С%п 2?п (m + 1)	22П~! aEj ( 1 ^П+к^2п *т cos (%п — 2^) х
А~0
4.	( хт sin2rt+1 х dx я» -^г	( — 1)л+* C^+l ( хт sin (2л — 2k 4- 1) х dxt
А-О
б. ( хт »in х dx ~ й! С^хП1~Л cos (х +	•
А-о
х2ОТ sin xdx =
Г V* Ь v2m—2h — l
^L^o1"0 ^ -2fe-n<SinX
f x2m+l gjn Д. =
п
Х2т-2А
(2m-26)! C0SX
(2т + 1)!
X2m-2A
(2т - 2k)\
m
sin x —
*-0
^2m-2A+1
(2m-2ft + 1)! COS x
„ f • 5Л J (2n — 1)!! X» .
8.	Jxsin2nxdx----(адГ"г +
	1 y> (2n+l) (2n—1). . (2n-2fe+l) ( sin2""2* x
2"+1*Zo 2*+l»(«-!)••.(«-*) V 2n-2*
x sin2"-2*-1 xcos x
9.	x sin2,1+1 xdx«
_ 1 y> 2* (n+1) («-!)... (n-k+1) ( sin2n-2*+1 x
*" n + 1 Zu (2n+l)(2n-l)... (2Л-2Й+1) I 2n-2ft + 1
A—0
10.	\ x sin x dx = sin x — x cos x.
xsin271-2^ cos x
11.	j x2 sin x dx = 2x sin x — (x2 — 2) cos x
16. J x3 sin xdx^ (3x2 — 6) sin x — (л3 —; 6x) cos x.
SyW+l
x"sin^dx=2(OT+1) +
ml Гу' (-.p^x”-2*	"'"у’41	(_p*+»xm-2ft-l
4 Lf±0 22*(m —2ft)l 8Ш2Х+ L 22ft+1(m-2ft-P!
f . 2	, X2 X . n 1
14.	\ x sin2 x dx = -r- sin 2x —cos 2x.
cos 2x
134
>2
17.
Г 9 . 9 J X3	( X1	1 \	_ x
15.	\ x2 sin2 x dx = -g-I-4-----g I sin 2x — — cos 2x.
16.	j x3 Sin2 x dx = -----------y-) sin 2x —	----c°s 2x.
f Ш . s A m\ r'v’ (— l)kxm~2k ( 1 о □ A
J	4	(m —2fe)l k32A+1	)
|(m-l)/2]	.	.. t	- *1
v (—\)k xm~2k~x ( x . o о .	\1
(m-2k-1)1 \32k+2	7 J
Г	3	1	3	x
\ X sin3 X dx = -r sin X — *777- sin 3x-T X COS X + -77г cos 3x.
j	4	3o	4	12
Ssin^7 X
--------dx‘
Неопределенные интегралы, приведенные в этом разделе, при р > 0 не вы-
ражаются через элементарные функции, но могут быть при р»1, 2, 3, ... вы-
ражены через специальные функции — интегральный синус si (х) и интеграль-
ный косинус, ci (х), которые определяются формулами
si (x)
x
ci (x)	dt, x > 0,
x
13 5
ti при	...—через синус-интеграл Френеля S (x) и косинус-ин-
теграл Френеля С (х), определяемые формулами
х
о / \	1 f sin t ..
X
/ X 1 C C0S
c<”~7s) vr
sin? x_____q sin^^1 x cos x ,
(p — 1) xp^] (p — 1) (p — 2)xp“2
<7 (^7 — I) f sinQ“2x .	Q2 ( sin^x .
——5— dx------------------\ ——r dx.
xp 2	(p— l)(p — 2) J xp~2
1 f COS X .
----- \ —r~F dXt
p~ 1 J xp
COS X
sin*7 x ,
dx = —
P>
(р — 1) (р — 2)
f sin х ,	sin х
2. \ —— dx  -------------—r
J xp	(p — 1) xp
sin x _______________________ ______________ _
(p-l)x"-1 (p - 1) (p - 2) xp-2 “ (p-1) (p-2) J
rm-2
{_iy
(2m-1)1 x L^o
m-1
3.
sin x .
г dx.
P-z
sin x ,
2m dx~~
k (26+1)!
' -^+;—cosx-
(- l)w+l
(2m-1)1 ci(x)l
135
5.
sinx .	(—I)"1
„2m+i a
.. u (-l)*-^cosx +
(2m)\ x	Xй
m-1
k (2k + 1)! .	, ( - О : / x
—аг. r" sin x I + 2--— si (x).
X2*+1	I I" (2m)I
10.
11.
12<
13.
14.
1.
О,._2П„
sin x
-------dx —
X
2rt+l
ft-0
cn i V*
In X + 2J - l)n+*4, Ci ((2л - 4k) x).
л==о
f sin^X dx = _1_ £ ( _ 1)Л+* c^+i 8i ((2n _ 2ft + 1) x).
fce=0
(lin^dx«
J X2
л/l /	<\П ft“1
C2n . ' V/
02nv oi/i-f *
Z X Z
J X2
n
Л-0
f sin x .	, / x
J —— dx«si (x).
f sin x . sin x , . . .
\ —s— dx  --------h ci (x).
J X2	X	'
f sin x J sin X COS x 1 . , .
J-75“dx--------------2T-2-S* (*)•
( S—-— dx = 4" In x —5-ci (2x).
J X	X	X
f sin3 x ,	3 . z 4	1 . zo x
\ —-— dx =-^ si (x) —-4 si (Зх). ч
.os(2.-2t)«+[2n_M) s) ((2/t_a) I
X
—^-+H_(2n_2(fe+1)ci ((2n-2^+l)*)].
X
tin2
tin3
c xp
5.50. Интегралы вида \ dx.
x^1 [p sin x + (<7 — 2) x cos x]
(q — 1) (7 — 2) sin'7”1 x
4. C xP dx
q — 1 J sin*7-2 x
-2y(_i)ft e2*~‘--lL
2 Zu' 7 (2fe)l(2fe + p)
k^\
xP
-—2—dx = — xp ctg x + —-----г
sin2 x	p — 1
xp
sin’ x
rfx = -
__P(P~
(q - 1) (<7
xp 2 dx
sinfl 2 x
xp
xp
dx = —
sin X	p
Вгкх2к+р [p > 0; | x | < «].
P__ xp-\
22ft Bik
k-l
___________________
(2k)l(2k + p - 1)
х2Л+Р+1 [p > 1; | X| < „],
136
Г X dxs=s_____________xcosx ____________________1_____________,
J sin*7 x *	(7 — 1) sin67”1 x (q — 1) (q — 2) sin<7“2x
. <7 — 2 f xdx
q — 1 J sinfl“2 x *
f xdx __
5- J sin2rt X
n-1
1V1 2n (2n - 2) ... (2n - 26 + 2)
—	2/i Zj (2n— 1) (2/1—3)... (2/1-26+3) (2n—26+1) X
6=1
, sin x + (2/t — 2k,) x cos x , 2n~ *(/i—l)l ....	।	.	.
X ------—-------9Z~9'rn-----1------1-----— (|n I sm x | — x ctg x).
(2n—2k) sin2 2ft+* x (2n — 1)11
C xdx _
Jsin2't+,x
n-1
1 Y4 (2/1 + 1) ... (2/t-26 + 1)
~ 2n+l Z-i 2n (2n - 2) ... (2/t -26 + 2) (2/t - 2k) *
fe=0
dx
x^ sin*7 x
sin x + (2n — 2/? — 1) x cos x . (2/i— 1)!! C x dx
(2n — 2Ze — 1) sin 2n~2k x 2nn\ J sin x
p cos x.
dx
xn sin x
(q — 1) (q — 2) xp+* sin’-2 x (q — 1) xp sin4'-1 x
 q — 2 Г dx	p(p + 1) f dx
q — 1 J xp sin’-2x (q—\)(q — 2) J xp+2 sin?-2x
1	лП-1 _ 1
--^г+[1+(-1)В]	— I Bn | In U| +
c v-n 22fe“I — 1
+ 2 Zj (2k)\ (2k - n)
A-l
fe^»n/2
ctgx .________П________.
xn (n + 1) xn+i
|B2ft|x2fc-rt[n>l; |х|<я].
9. ( 	-
J x sin x
+ tl-(-l)Bl вп+г I In I XI +
(rt+1)!	xn+'
fe^(n+l)Z2
I ^2fe I (2x)2fe
(2As)f (2As — n — 1)
11*1 <«]
10.	+
J sin x	La
fe-l
226-1 -1 |ДИ,Ж1
(2*4-1)!
x2 dx __ x2
sin x 2
— 1
22ft~* - 1 io,| „2fe+2
_ (2k)\ (k + 1) । Slil
fe-l
,2’ S ^7 = — * ctg X + In I sin * I.
U Olli л
13 f x dx __________ sin x + x cos x . 1 Г x dx
} sin3 x	2 sin2 x 2 J sin x
14 C xdx xcosx 1	2	. 2 . , .
 J sin4 X ~	3 sin3 x 6 sin2 x 3 x + 3 I sln x f‘
137
5,	51. Интегралы вида J хр cos9 х dx.
хр cos9 х dx « cos9”1 х (р cos х + qx sin x^ 4-
+ q y-- xp cos9”2 X dx — —J xP~2 cosq xdx*.
2.	J xp cos xdx = x° sin x — p хр~' sin x dx.
S„m+i	।	r
xm cos2" x dx = C*n ^r-~+ n + ^rr 2j к cos (2n ~ 2fe) x dx'
4. ( xm cos2n+1 x dx =	С*п+1 ( xm cos (2n — 2k 4-1) x dx.
b-0
5. J xm cosx dx ~ У k\ C^x”1"* sin (x +
Л-0
G. \ x2m cos X dx a=
« (2m)l Г У (-1)*
IS
x2m—2k
(2m — 26)!
m-l
sinx + ^T ( — 1)*
Л-0
x2m-2*-i
(2m —26- 1)!
COS X
7. j x2m+l cos x dx^
х2т-2Л+1
(2/n —2Л+ 1)!
_	2m-2fe
si** + £(-l)ft (2ffl_2<0.
fe-o
8. \ x cos2n x dx
(2n—1)!! x
(2/i)i!	2
n-1
1 у (2n+l)(2n-1)... (2n-2k+V)
Г 2n+X k^o 2ft+lrt(n—1) ... (Л —fe)
_ (cos2"-2* X .	,	2П-2Й-1 A
X("’2«-2r+xSinXCOS 4
n
xcos2rt+1 xdx
1__p 2*(rc+ l)n ... (n —fe+ 1)
n + 1	(2л+ 1) (2rt — 1) ... (2л — 2Л+ 1)
л'2п—2Л41 v
COS	Л	.	2n—2fe
2»-2Л + Г + ж8ШХСО!8
10. \ x cos x dx = cos x + x sin x.
11. j x2 cos x dx « 2x cos x + (x2 — 2) sin x.
12. \ x8 cos x dx » (3x2 — 6) cos x + (xd — 6x) sin x.
138
C	X™ и
13. \ xm cos2 x dx ------- —
J	2(m+l)
rlm/2l fej-l m-4k	1H-1V2]
_^|y (-/+1^-s;n2x+ У
4 L£o 22ft(m-2fe)l
<•2	у	|
x cos2 x dx = — + -7 sin 2x + -д- cos 2x.
4	4	о
x2 cos2 x dx =	+ ( Л---s-l sin 2x -r 7- cos 2x.
6	\ 4	0 /	4
3x2
8
14.
15.
16.
x3 cos2 x dx ~
.3
17.
xm cos3 x dx =
18.
1.
2.
3.
4.
5.

f — n*+1	I
Чггт-----~-------COS 2x .
22ft+1(/n —2fe—1)1  J
3 \
Тб) cos2*-
(^2S+2-COS3x + 3cOS X
y>' ( — l)<txOT~2* /_1
(tn — 2fe)l \ 32ft
((m-l)/21
_	(_ pfexm-2fe-l
(m —2Л—1)!
( X cos3 x dx =-T cos X + -ir COS 3x + -T x sin X + -777 sin 3x.
J	4	OO	4	l X
Г cos^7 x
5.52. Интегралы вида — dx (см. замечание в начале 5.49).
t <7 sin х cos'7*"1 х 1
+ (p-l)(p-2)xP~2
cos<?-2x .	a2 f cos'7 x .
----- dx---------------- \ —dx.
Xp~2 (p-l)(p-2) J xp~2
1 Г sin x ,
------\ n i"
p — 1 J xp“
___________________sin x_____________1____ C cos x
(p-l)x^1 + (p-l)(p-2)xp“2 (p — 1) (p — 2) J xp"2
cos'7 X .	cos'7 X
XP ax~ (p-i)x^1
[ q(q-l)
(p — 1) (p — 2)
cos x ,	cos X
---— dx=*	—j-
xp	(p — l)xp“
cos X
COSJC ( —l)m
X2m ax— (2wj_1)!x
0'
m-1
fc-o
1

k (26)!
1 cos*
< — l)w
(2m- 1)! Sl
COS X
^2tn+l
(2m)! x
. (-1)”
rfx = --—
,.ft (2Й+ 1)1
!) L72^i-cosx-
rn
1	1
t/X = —in X 4---------;
x	2in 2
2n
COS X
m-1	-i
x j	(2m)l
1 "1
,2n—1 X*, ^2(1 C* ^2П ~~	X)‘
' fe=O
. 139.
7. C cos nx-JL dx =	£ C^+1 ci <(2« - 2k + 1) x).
*	ь_л
Л-1
2 Ckn pos(2n^2fe) x + (2n _ 2k) sj ((2д _ 2A) x)l
fc=o L	J
n
1 V* Г cos (2rt — 2k + 1) x , /n rtf, <v . z/rt л, ,	.1
= - 22П 7 , C2n+i ---------*----------h (2n - 2k + 1) si ((2n - 2k + 1) x)J.
k=0
f COS X J . t .
IO.	\ —-—dx == ci (x).
< - f cos X .	COS X . . 4
11.	j—-----------------Si(x).
<o f cosx ,	cosx , sin x	1 . z 4
t2- J—dJC = --2P-+-2T------------TC1W’
13. J —~ - dx = 1 In x + 4 ci (2x).
14- J ~ dx = у ci (x) + j ci (3x).
Sx P
-----»— dx.
cos* x
f xp dx __ _ xp 1 [p cos x —	— 2) x sin x]
J cos^ x	(q — 1) (q — 2) cos'3 4 * * 7”-1 x
. q — 2 C xp dx . p (p — 1) f xp~~2 dx
q — I J cos'7”2 x (7— 1) (7 — 2) J cos<7-2x *
xpdx	у \E<ik\x2k+p+'
cosx	Zj (2k)\ (2k + p + 1)
Л-0
[p > 0; I x j < Я/2]»
3 ( xPdx = xp tex_ „ У 2**(2*ft-l)|B2ft|
J cos2 x g P L1 (2fe)l (2Й + p — 1)
[p > 1; I x I < я/2].
4 C X d* _____
J cos2n X
rt-1
1 Y 2n (2n - 2) ... (2л ~ 2k + 2)
2/i Zj (2n—1) (2/i—3)... (2/i-2^+3) (2n-2k+\) X
(2n — 2k) x sin x — cos x 2n-1 (n — 1)!
X (2n-2ft)cos2'*-2ft+1 x“+ (2n-l)ll
(x tg X 4- In I COS X I).
140
Sx dx
cos2rt+l X
___1 V (2n+l)(2n-1) ... (2n-2&+1)
*”"о«4- 1 2n (2n — 2) ... (2rt — 2/5 + 2) (2n — 2k)
V ~~	+ 1) x sin x — cos x (2n — 1)1! C x dx
X	(2л—2fe—1) cos2n~2ft x	2nn. • Jcosx’
6 ( dx =_____________________P______________+_________’ll**______+
J xpcos4 x (q — 1) (q — 2) xp+l cos'7 2x (q — xp cos4 lx
. q — 2 f dx . p(p+ 1) C dx
q—l J xpcos<7-2x (q — \)(q — 2) ' xp+2cos<7-2x
7. (—=4-u - (- in! £n~,\!- In I x I+
J xncos x 2	' (n — 1)!
। V' I ^2k I x2k n+1	П x I C n/21
+ 2j (2fe)I (2k - n + 1)	n*l<’t/h
Jfe-0
fe^=(n-l)/2
"• $	- V + и - < - '«оггпг <2*+1 - "11 ,n 1 ’1 +
4.	п V (2^fe— 1) I B2fe | .2fe
xn+l Zj (2k)\(2k-n- 1) V '
A^(«+O/2
x dx __ 5П \E2k I x2**2
cos x Zu (2&)l (2k + 2)
Цх|<л/2].
10- ^Tx “ X tg X + In I COS X |.
x dx _____ x sin x — cos x . 1 f xdx
cos3 x 2 cos2 x 2 J cos x *
12 ( x dx ss x s*n x
J cos4 X " 3 cos3 X
12	2
^7-+J*tgx-Tln|cosx|.
5.54.	Интегралы вида \xptg^x dx.
*pdx = £ Усм + р) I1 x P [p>-1;IXI<n/21.
n-П
2. j к-1^ , A - (-	+ jr (- 1>* c; $	I'”-5-»!-
v	A' I *	** COS	Л
n-l	ft	p 1
t«. 5.531.
C	x2
4. \ x tg2 x dx = x tg x + In | cos x |-----
V
141
5.55.	Интегралы вида \ хр ctg* х dx.
1.	хр ctg х dx— (2Л)! (2k + р) Х +р
h — Э
р+1	П~^	р
2.	$ хр ctg2-’ х dx = ( - 1)"	+	( - l)ft С* $  * ₽jg [см. 5.50].
ьо	s п х
п-1	.
3.	( хр ctg2n+1 х dx=- - У	С* —5^55— +
J	" 2п — 2k sin2" 2k х
й=о
п-1
+' - к" S	«•««•>’+”	<=: S 5М|-
SX2
х ctg2 х dx = — х ctg х + In | sin x I-
5.56.	Интегралы вида j xr sinp x cos* x dx,
1.	xr sinp x cos* x dx =	[(p + q) xr sinp+1 x cos*”1 x +
+ rxr~[ sinp x cos* x — r (r — 1) xr~ 2 sinp x cos* xdx —
— rp ( xr“1 sinP”1 xcos*”1 x dx + (q — 1) (p 4- q) ( xr sinp x cos*”2 x dx
2-	= "(pTj^ qy [ — (P + <7) *r sin**”1 x cos*+1 x +
4-rxr“1 sinp xccs* x —- r (r — 1) xr~2 sinpx cos* x dx +
+ rq xr~l sinp~l xcos*”1 xdx + (p — l)(p + <7) xr sinp”2 x cosq x dx
3.	\ x sinp x cos* x dx —-J— Гх sinp+1 x cos*”1 x —
J	p + q L
— ( sinp+1 x cos*”1 x dx + (q — 1) ( x sinp x cos*”2 xdx
у [ x slflP 1 x c°s*+1 x + sinp ^cos^xdx-b
+ (p — 1) x sinp”2 x cos* x t/xj.
9	m
-	f n	sin~m x	.	V*	/	14fe f	xp dx	г	г-о,
5*	\x	m	dx —	/	(-“	0 Cfn \	n—2k	fCM’	5.53].
J	ccsm X	J	cosn 2ft X
6.
P sin2m+l x
XP----------- dx
cos" X
xp sin x ,
----' dx.
cos 2k X
7.
n Sin X J
xp------— dx
cos X
xp
(n— l)cosn“lx
xp“!
	; dx
cos" lx
[cm. 5.53].
P
n — 1
142
D cos2mx
xu-----—
sin x
m
dx = m J
k~Q
X___
n-2k
dx
[cm. 6.50L
x, ™2m+l
л	rt
sin x
m
£==0
COS X t
--------dx
• n
Sin X
__XP
(n — 1) sin*1-1
xp~'
------ \i— dx
n — 1 j sin" * 1 x
[ch. 5.60].
X COS X .
—r-5— dx
sin2 x
-Д-+1П
sin X
P
X sin X . X .
----5— dx =-----------In
COS2 * 4 X	COS X
Sxp sinm x cos" X
------FT--------i---:--va
(a + b cos x + c sin x)q
xpcos xdx______________— xp_________
(a + bsinx)q	(q—1) b (a + b sin x)q~{
xp sin x dx ___________xp '________
(a + b cos x)q (q—\)b(a + b cos x)67-1
p	Г	xp 1 dx
(q — 1) 6 J (a+b sin x)q~{ ’
p	C	xp~{ dx
(q—\)b J (a + 6cosx)a~l
xdx	A я —2x , ftl_ _ Я —2x
—— ----------s=> — x tg  ------------F 2 In cos —- 
1 + sin x	6 7	4	|	4
1 л — 2x , л .	. я — 2x
x ctg —----h 2 In sin —z-
4	I 4
xtgy +2 In | COS у |.
— *ctgy +2 In | sin ~|.
Sx dx
----------=
I 1 — sin X
- f xdx
5» \ 4 ।	~“
J 1 + cos x
Sx dx
------------=“
1 — cos x
7 ( x cos x a* —___________x I t
j (1 + sinx)2 1 + sin x >	£ A
f x cos x dx ____ x . . 2x — л
J (1 — sin x)2 " 1 - sin x + g 4	•
9 f x s*n x dx _____ x_____________*
J (1 + cos x)2	1 + cos x 8 9 10 * 12 2 ’
10 f x s*n x dx _____________x________, x
' J (1- cos x)2~	1 — cos x C 8 2 ’
C xdx	1	. .	.	.	, , x(tgx — a)
J (cos x + a sin x)2 a2 + 1	1 1 (a2 + 1) (a tg x + 1)
12 C__________________x2 dx_______________________________x sin x + cos x___________
j [(ax — b) sin x + (a + bx) cos x]2 b [(ax — b) sin x + (a + bx) cos xj
12 f____________cos2 x dx_______________________tg x_________
J [a cos x + (ax + b) sin x]2 a [a + (ax + b) tg x] *
143
5.58. Интегралы вида
xsfnwxcosnx
(1 - k2 sin2 x)r aXt
Обозначение: A ®= Vl — k7 sin2 x* 0 < &2 < 1-
« f x sin x dx xcosx .	1	,,	4
1 ) Д’	“	(1 - k2) Д + k (1 - k2)	Sin (fe Sln X^‘
2 j xcosxdx _	+1 ln (k cos x + Д)
5.59. Интегралы вида \ (x 4- &)* n sin ax dx.
1.
[Кп-П/21
fe-0
(n —2fe—1)! а2й+'	~
1П/21 b „ 9lt
Z( - l)ft (x + b) 2*
--------- 55-------------cos ax
(ti - 2£)l a2*
2. \ (x + b) sin ax dx = -i- sin ax------------X cos ax.
j	a	a
о . м2 • a 2 (x + b) s	a2 (x + b)2 - 2
3. \ (x 4- b)2 sin ax dx = ——«—- sin ax--—--------- cos ax.
J	a2	a3
4. (x + b)3 sin ax	sin ax —	[a2(x4- b)2—6]cos axt
e f sin ax - n-if . f sin t ,,	.	, f cost
5' J (T+Tj^ dXsssa (cos ab у —pr dt - sin ab —pr- dt J
[t^a(x + b)].
6.	dx “ cos .si (ax + a&) sin ab ci (ax + a^)’
- f sin ax	, sin ax , f cos ax .
7 \ (-ПТ2 dx --------ГТ + a \ --F”T~ dx.
J (x + b)2	x + b J x + b
о f sin ax	sin ax a cos ax а2 Г sin ax .
’ J (х+ЬУа*— 2(х + ЬУ 2(x + b) ~ J x + bdXt
5.60. Интегралы вида \(*+ b)± n cos ax dx.
1.
Г[я/21
u+»)•«.„«.	[ у	!ln „+
K«-o/2i	6	„ i t
у (-1) ft(x+On-2ft’1
•r /	------------5гтт— cos ax I.
1)1а2й+1 J
2.	( (x 4- b) cos ax dx s= x sin ax 4* cos ax.
J	a	a*
a C / ।	a2 (x + ЬУ — 2 .	, 2 (x 4- b)
3.	\ (x 4- b)2 cos ax dx  ---r£-------sin ax H-1—Z_L cos ax,
J	a°	cr
4.	(x 4* by cos ax dx =	[a2 (x 4- b)2 — 6] sin ax 4-
. 3[a2(x + 6)2~2]
a4
144
cos ax .	( .	. f sln t	t f cos t , Л r. , , ,41
p— dx = an_{ ^sin ab ^—p^—dt + ^ab у—{гг- dtj [/==a(x+6)].
C^s dx » sin ab si {ax + ab} + cos ab ci {ax + ab).
cos ax
(* + Ь)2*
cos ax
(x + b)3
. cos ax
dx ==--------r—r
f sin ax
a \------FT
a sin ax
dx.
a2
cos ax
2{x + b)2 "и 2{x + b) 2
5.61. Интегралы вида eax sinp bx dx.
f	aeax
1. \ eax sinp bx dx = —a..у sinp bx —
J	a2 + b2p2
' — 1	sinp~1 bx cos bx +
a2+ b2p2
ax
¥b
dx.
-WlZ P- ? eax sin₽“2 bx dX‘
a7 + b2p2 J
eax sjnsn f>x jx = __________________(2n)t b2neax	,
e Sin bx ax {fl2 + (2д)2	[a,2 + (2/t-2)2 b2]... [a2 + 4ft2] a
Y1	(2пУ.Ь2кеах
-T Zj (2n - 26)1 [a2 + (2n)2 621 [a2 + (2/i - 2)2 62J ... [a2 + (2n - 2k)2 b2] X
fe-o
X [я sin2”-26 bx — (2/i — 2k) b sin2n-2fe~1 bx cos 6л:]-
8-	" c2« -^7 + 22n-l X J+4162ft2 C”it “ (a C0S 26fex + 2bk sin 2bkx^
4.	eax sin2n+1 bx dx =
V>_______________________(2n+ l)!eg*_____________________ -
Li [a2 + (2/i + I)2 62] [a2 -f- (2n - I)2 b2] ... [a2 + (2n - 2k + 1)2Н X
Л-0
X 75“—j i-,- [a sin2n-2ft+* bx — (2n — 2k + 1) b sto2n~2li bx cos 6x].
[Zfl ““ XK "j“ 1 )l
x n	it
5* e У в2 + (2Г+17бг" C2n+lta sin (2* + 1) ** -
fe-0
-(2k + l)$cos(2fc+ 1)M.
Seax
eax sin bx dx = - o ."vv (я sin bx — b cos bx).
a£ + b2
SpOX	лй^ /я,	\
eax sin2 bx dx « —----FTTaF (cos %bx + b sin %bx ) •
ЛЛ d тсс/ X	J
5.62. Интегралы вида j ea* cosp bx dx.
!• \ eax cosp bx dx = — cosp bx +
J	a2 + b2p2
+ ^+b2p2 Sin bX COsP~ 'bx + ’^+ bip2> J e“X cosP“2 bx dx-
145
2 \ еах cos2" bx dx __________________________' 9______________________________L
* J	[a2 + (2/i)2 b2] [a2 4- (2n - 2)2 b2] ... [a2 + 4d2] a
n-1	,
у	(2rt)l b2k eax
+ L (2n- 2fe)l [a2 + (2n)2 b2] (a2 + (2n - 2)2 b2] ... [a2 + (2n - 2k)2 b2) X
&=o
X [a cos2"-2* bx + (2n — 2k) b sin bx cos2"-2*-1 bx].
„ eax eax Д C?-k
3-	— C2n „2n	+ Z2n^i а2 Д. 4h2.2 C°S * 2bkX %Ьк S‘n 2bkx>'
4 U Z bi &	л
ЛИ1
4.	\ eax cos2""*"1 bx dx =
у	(2rt + 1)! b2* eajt
= Li (2n—2Й+1 )l la2+(2«4-l)2 b2J [a2+(2n-\)2 b2] ... [a2+(2n-2k+\)2 b2] X
й=0
X [a cos2"’2*4*1 bx + (2n — 2k + 1) b sin bx cos2"’2* dx]*
"	Qtl-k
5.	-	2^ 'a2 + (2k + \)2 b2 [fl C0S (2k + ° bx + (2k + ° b Sin {2k + ° bxV
k~o
Seax
eax cos bx dx =*	(a cos bx + b sin dx).
r	eax eax f a	\
7.	\ eax cos2 dx dx = ---h -  	2 (cos 2dx + d sin 2dx L
J	2,(1 a -J-	\ 2	z
5.	63. Интегралы вида J eax sinp bx cos^ ex dx»
!• eax sinp x cos^ x dx =
~ (p gy paX sinP x cos'7”1 x \a cos x + (p + <?) sin x] —*
— pa eax sin7^1 x cos*7”"1 x dx + (q — 1) (p + q) eax sinp x cos*7’2 x dx}+
2»	= —9—~;—7T <eax sinp-1 x cos*7 x [fl sin x — (p + q) cos x] +
a2 + (p + <7)2 I	•
+ qa eax sin7*’1 x cos*7’1 x dx + (p — 1) (p + q) eax sinp~2 x cos*7 x dx|.
3.	=	.1———. J eax sin7*’1 x cos*7’ xx (a sin x cos x + q sin2 x — p cos2x) 4*
a2 4- (P 4- <7)2 I
4~ q (q — 1) eax sinp x cos*7’2 x dx 4- p (p — 1) eax sinp’2 x cos*7 x dxj.
4,	= —.r-.—r—;—l^ax sinp-1 x cos*7’1 x (a sin x cos x 4- q sin2 x —
<i* + (p + q}2\
— p cos2x) 4- q (q — 1) eax sinp’2 x cos*7’2 x dx-(q-p) (p+q—l) X
X ( eax sinp’2 x cos*7 x dx\*
146
5. == “т . /—i—ъ leax sin* 1 х cos*-1 х (a sin х cos х 4-
я2 4- (р 4- ?)2 I
+ q sin2 х — р cos2 х) + р (р — 1) еах sin*~2 х cos*-2 xdx +
4- (<7 — р) (Р + — О J &аХ sin* х cos*"2xdx|,
о	С лх . /	.	е<1Х Г а	s*n (6 4- с) х -- (& + с) cos (b	+ с) х
В.	еах sin bx cos сх	dx =	— [--1--------------+
' a sin (b — c) x — (b — c) cos (b —£) x j
+	а2 + (^_С)2	J-
7. v eax sin2 bx cos ex dx =
eax a cos ex 4- c sin ex a cos (2b + c) x 4- (2b 4- c) sin (2b 4- c) x
~ 4 L a2 + c2	a2 + (2b + c)2
a efts (2b — c) x + (2b — c) sin (2b — e) x 1
““	a2 4- (2b - c)2	J’
8. j eax sin bx cos2 ex dx =
eax Гл a sin bx — b cos bx , a sin (b + 2c) x — (b + 2c) cos (b 4- 2c) x .
- 4 Г a2 + b2	+	a2 + (b + 2c)2	ф
a sin (b —2c)x — (b— 2c) cos (b — 2c) x 1
+	a2 + (b - 2c)2	J’
5.64.	Интегралы вида J eax tg* x dx.
1.	eax tg* x dx~ ——гtg*-l x----( eax tg*-! x dx — ( eax tg*-2 x dx .
J	P — 1	P~1J	J
C ax, л eax 1 f eax dx .
2.	\ eax tg x dx ==»-tg x —— \-5— dx.
J Б	a b a J cos2 x
S^ax	r
eax tg2 x --.j. eax tg x _ a \ eax jg x
5.65.	Интегралы вида eax ctg* x dx.
SpCLX	(	/1 C
eax ctg* x dx = — p i" K +	— j- j eax ctg*~1 x dx —
— eax ctg*“2x dx.
Spfix	i p ff V
eax ctgx dx^— ctgx4--L \ - . 2
&	a	a J sin2 x
Seax	f
eax ctg2 x dx --------eax ctg x 4- a \ eax ctg x dx.
5.66.	Интегралы вида x* eax sin (bx 4- c) dx.
.	b	a
Обозначение: sin (p  --—cos <p = —}---
Va2 + &	л]аг + b2
1.	x* eax sin bx dx =
jc*	n (* i
g ~2 _|_ ^,2 (a sto bx — b cos bx) — g8 ‘ \ xp~l eax (a sin bx — b cos bx) dx.
147
2.	« • .Х—аХ - sin(bx + <p)-, P  ( xp~'eax sin (bx + <p)dx.
<yja2+b2	\a‘rb‘ J
P	( l)fc + *
3.	(„-7+'1)Т(«"+ !,=)« !ln (6’+‘”'
4.	J xeax sin bx dx »
eax Г/ a2 — b2\ . ,	/, 2ab \	. 1
ж» Vi“H II ax---Ft" 77 I Sin bx — I OX--s-~. к9 1 cos bx .
a2 + 62L\ a2 + b2J \ a2 + b2J ]
~ f 9 лк . t , eax Г 2	2 (a2 — b2)	, 2a (a2 — 3b2) 1 . ,
5.	J x e sm bx dx —	। ^2	a2 + Z>2 x (a2 | b2)2 J Sln
eax L 2	4a6	1 26 (3a2 — b2) I ,
a2 + b2 I?* a2 + b2 x+ (a2 + b2)2 ]cos6x*
6.	xneax sin (bx + c) dx —
n+1
=-^ у {_ 1)^+1	x»-*+isin{bx + c + И).
n+1 A	(a2+b2}fcl2	47
7.	J xeax sin (bx 4- c)dx —
yadX	paX
= -	j=^- sin (bx + c + <p)------  — sin (bx + c + 2q>).
Va2 + b2	a2 + b2
5.67.	Интегралы вида \ xpeax cos (bx + c) dx.
Обозначение: sin Ф ------====•, cos $ = —.
V«2 + b2 Va2 + b2
1.	( xpeax cos bx dx =
xpeax	n r
(a cos bx + b sin bx) —	^2- \ xp leax (a cos bx + b sin bx) dx
vPpax	-j P '
2.	== —==r cos (bx + qp)--------r,p--	\ xp~{eax cos (bx + ф) dx.
^a2 + b2	Va2 + 62 J
3.	\ xneax cos bx dx = n\eax 7 -cos (bx + йф).
J	^(n-k+l)\(a2 + b2)kf2
f	eax Г /
4.	\ xeax cos bx dx =«		( ax
J	a2 + b21Д
$+p-)cos bx+(6x“Hn^)sin64
x2eax cos bx dx - e“X [ax2	x 4. 2a(a2-3b2)l
X cos ox dx — fl2 b2 — a2 + b2 X + (a2 + b2}2 j cos bx +
4ab , 2b(3a2 — b2)-\ . .
a2 + b2 X + (a2 + b2)2 J Sin bX‘
eax Г
a2+ b2 [b*2
148
6.	\ хпеах cos (bx + с) dx=*
n+i
-ттг E < -1’*+'	«”'+’ -«•«+'+и>.
4*
7.	\ xeax cos (bx + c)dx = —===== cos (bx + c + q>)-- cos (6х+с+2ф).
J	Va2 + b2	a2 + b2
5.68.	Интегралы вида \ shw (ax + b) sinn (ex + d) dx.
= 2 в-х- ch (ax + b) sin (ex + d) — n-j;A2 sh (ax + b) cos (ex + d).
a* c	a -j- о
2. ( sh x sin x dx = 4 ch * sin x — sh x cos x.
J	z	z
8.	sh2"* (ax + b) sin2" (ex + d) dx = C2mC2nx +
m-1
+ -jsfezr СЬ X (а^УЬ Ck [<2“ ~ 2Л + ‘)1 +
n-1	.
+	«. E (2‘1'а)с <4, sin (С - 2») (« + DI +
k =0
. (-1)" у у (-o/+ft4A x
g2/n+2/i-2 2L 4-/q (2m — 2/)2 a2 -h (2n — 2k)2 c2
X {(2m — 2/) a sh [(2m — 2/) (ax + 6)1 cos [(2n — 2k) (ex + d)] +
+ (2n — 2k) c.ch [(2m — 2/) (ax + 6)1 sin [(2rt — 2k) (ex + tOD*
4. J sh2m (ax + b) sin2/l+1 (ex + d) dx —
П	b
CS. E	[e“ - №+	+ “И +
k —0
/ nn m“l n	f ix! + *rl rk
,	(— 1) y* p _____________О c2mG2rt+l
22?n+2n-i zL Zji (2m — 2j)2a2 + (2n — 2k + l)2c2
/=0 «=0	'x
X {(2m — 2/) a sh [(2m — 2j) (ax + b)] sin [(2n — 2k + 1) (ex + </)] —
— (2n — 2k + 1) c ch [(2m — 2/) (ax + b)] cos [(2n — 2k + 1) (ex +
5. sh2w+l (ax + b) sin2rt (ex + d) dx =
- 2^2n У (~1)/C^+1 ch [(2m -2j + 1) (ax + 6)] +
2	(2m-2/+ l)a
(— у» y* ___________(— 1/+* Cf2m^\C2n____
+ 22tn+2n-i 2^	(2m-2/+ \)2 a2+(2n-2k)2c2 X
X {(2m - 2/ + 1) a ch [(2m - 2/ + 1) (ax + 6)] cos [(2rc - 2k) (ex + d)] +
+ (2n — 2k) c sh [(2m — 2/ + 1) (ax + b)] sin [(2n — 2k) (ex + d)]}.
149
<6. J sh2'”+I (ax + ft) sin2n+’ (ex + d)dx=*
__ (— 1) у у __________v M C2/n+lC2n+!___________
•“ 22m+2n	(2m —2/+l)2a?+(2n —2&+l)2c2
X {(2m — 2/ 4- О л ch [(2m — 2/ + 1) (ax + 6)] sin [(2n — 2k -b 1) (ex + d)] —
- (2n - 2k + 1) c sh [(2m - 2/ + 1) (ax + 6)] cos [(2r. - 26 + 1) (ex + d )]}•
5.69. Интегралы вида j sh™ (ax + b) cos" (ex + d) dx.
1,	sh (ax + b) cos (ex + d}dx =
== „2 f„2 ch (ax + b>> cos (cx + ^) + ТГТ'" 2 sh (ax + sin (cx +
•2. ( sh x cos x dx — ch x cos x + sh x sin x.
J	Z	Л
5. sh2™ (ax + ft) cos2" (ex + d) dx —	C^C!>„ x +
^2n	V"*	(“
+ 5-тет Z (2m_2,|a	- 2» <« + <->1 +
/__ «xm pm	pfe
+ Z W" -»>(«+m +
____i_ ”v У
+ 22m+2n-2 £j Д^ (2m _ 2p2 fl2	_ ^2 J
x {(2m - 2/) a sh [(2m - 2/) (ax + ft)] cos [(2n - 2fe) (ex + d)J +
+ (2n - 2k) c ch [(2m - 2/) (ax + ft)] sin [(2n - 2k) (ex + d)]}.
4.	sh2nt (ax + ft) cos2rt+1 (ex + d)dx —
( n?n p/n n	s*k
=	2^'2nm- У --------—1 — sin l(2n -2k + 1) (ex + d)l +
22m+2n	(2n_2fe + 1)C
1	m-‘ n	j J A
______1 у у _______________4 c2mG2n^l__________
+ 22m+2n-i 2^ Zu^(2m —2/)2a24-(2n —2Z?+l)2c2
X {(2m — 2/) a sh [(2m — 2/) (ax + b)] cos [(2n — 2k + 1) (ex + rf)] +
+ (2n - 2k + 1) c ch [(2m - 2/) (ax + 6)] sin [(2n - 2k + 1) (ex + d)]}.
S.	sh2m+l (ax + b) cos2n (ex + d) dx=^
= " ch t(2m “ 2/ + °{ax + 6)1 +
22 + /Zo (2« —2/+l)o
1 y> 5П ___________(—	+	_______
22m+2« -1 Д, (2m — 2/ + 1 )2 a2 + (2n — 2k)2 c2
X {(2m - 2/ + 1) a ch [(2m - 2/ + 1) (ax + ft)] cos [(2n - 2k) (ex + d)] +
+ (2л - 2k) a sh [(2m - 2/ + 1) (ax + 6)] sin [(2n - 2k) (ex + d)]}.
160
6.	\ sh?m+1 (ах + b) cos2rt+t
(ex + d) dx
("" 0* C2m+\C$n+\
e 1 у у _________________'	_______x
2^m+2n Zu Zu (2m — 2/ + l)2a2+ (2л — 2ft 4- l)2e2
/«“0 R «0
X {(2m — 2/ + 1) a ch [(2m — 2/ + 1) (ax + ft)] cos [(2n — 26+1) (ex + d)] +
+ (2n — 26 + 1) c sh [(2m — 2/ + 1) (ax + ft)] sin [(2n — 26 + 1) (ex + d)lK
5.70. Интегралы вида j chm (ax + ft) sin* (ex + d) dx.
1. J ch (ax + ft) sin (ex + d)dx*=
®=B 2 /—у sh (ax + ft) sin (ex + d) —  ch (ax + Wcos (cx + <0-
a2 + cz	a + c*
2.
3.
ch x sin X dx « sh x sin x — — ch x cos x.
&	z
ch2ft (ax + ft) sin2* (ex + d) dx*=*
и2ть2д
22m+2n
(~~ О C2m V*
22m+2n-l
I (— 1) V2ft
fe Jo	~ 2A) c
Sin [(2n - 26) (ex + d)] +.
rn	cl
4-	J"..- У --------22-----sh ((2m - 2j) (ax 4- ft)) +
~ 22m+2»-i Zu (2m —2/) a
t 1 \Л ГП —l Л—1	.	1 * k л{
(— 1) 5П у ____________‘) V2mc2n____________„
22m+2n -2 £a La (2m — 2/)2 Я2 + (2л — 26)2 сг
J=»0 fe«»0
+ {(2m — 2/) a sh [(2m — 2/) (ax 4- ft)] cos ((2n — 2ft) (ex + d)] 4-
4- (2n — 2ft) c ch [(2m — 2/) (ax + ft)] sin [(2л — 2ft) (ex + d)]}.
4.	J ch2m+‘ (ax + 6) sin2“ (ex 4- d) dx =
rn	ci
e У-------------------------sh К2/Л - 2/ + 1) (ax 4- ft)] 4-
2 /Zo (2m-2/+ D a
(	1 \Л т	—I	£ у
(—1) у» yi	(— 1) c2m + lg2n
+ 22m+2«-.l Ди Д (2m — 2/+ I)2 a2 + (2n — 26)2 c2 *
X {(2m — 2/ + 1) a sh [(2m — 2/ + 1) (ax + ft)] cos [(2n — 26) (ex + d)] +
+ (2n	26) c ch [(2m — 2/ + 1) (ax + ft)] sin [(2л — 26) (ex + z/)]}*^
5.	Jch2m(ax + ft)sin2n+l
e v
e n2m+2n / i
Jfe«C
x пя m
I '	1 * V ’ X •	~ WT1	vu
22m+2n-i	^2m _ 2j)2 a2 4. (2« — 2fe 4- I)2 c2
X {(2m - 2/) a sh ((2m - 2/) (ax 4- ft)] sin [(2n — 2ft 4- 1) (ex 4- d)] -
— (2n — 2ft 4- i) c ch [(2n — 2/) (ax 4- ft)] cos [(2л - 2ft 4* 1) (ex 4- d)]}.
(ex 4- d) dx
(— ПЛ+1СЛ
----------cos ((2л - 2ft 4- 0 (ex 4- d)] 4-
(2n — 2ft 4* l)c
151
6.	ch2m+1 (ах + b) sin2rt+1 (ex + d) dx =*
— I)” V У ______________(~ *)fe _______________
22m+2n Zj Z^ (2m — 2/ + I)2 a2 + (2n — 2k + I)2 c2
X {(2m — 2/ + 1) a sh [(2m — 2/ + 1) (ax + fcj] sin [(2n — 26 + 1) (ex + d)J —;
— (2n — 2k + 1) c ch [(2m — 2/ + 1) (ax + 5)] cos [(2/i — 2k + 1) (ex + d)]}-
5.71. Интегралы вида J chm (ax + b) cos" (ex + d) dx.
1.	\ ch (ax + b) cos (ex + d) dx =
'	a	c
® zv2"T' 2 sil (ax + b) cos (ex + d) ч—*2	2 ch (ax + b) sin (ex + d),
а “-г £	।
SI	1
ch x cos xdx = — sh x cos x + — ch x sin x.
3.	ch2m (ax + b) cos2" (ex + d) dx =
pm pn	pm	rt~1	pk
^2т^2п	. u2/n	V4	^2n	. r,rt _,4 .	,	,
"Тэт *+тэтт L ^)c sin ~	+ rf)i +
rn m-l - r!
+ О-ЭТ-— £ „	"; sh ~ 2/) lax + 6)] +
2im+M i	— 2/) a
	m-i „-I	. k
1	X"^ rn	^2m^ 2n
"** 2’2m+2n “2 2^ Zu (2m — 2/)2 a2 4- (2n — 2k)2 c2
X {(2m — 2/) a sh [(2m — 2/) (ax + 6)J cos [(2n — 2k) (ex + d)] +
+ (2п - 2k) c ch [(2m - 2j) (ax + &)] sin [(2n — 2k) (ex + </)]}.
4.	ch2,"+1 (ax 4- b) cos2” (ex 4- d) dx =
rn ™ rl
e ТгЭТ У 77—ЭТЭТ sh l(2m “ 2/ + ° (ax + *>J+
22n,+2n	(2m — 2/ 4- 1) a
i m n-1	r! rk
1	V“"i	^2т+Г“*2п
+ 22m+2n-i 2j 2^q (2m - 2/ + I)2 a2 + (2n — 2k)2 c2 X
X {(2m — 2/ + 1) a sh [(2m — 2/ + 1) (ax + ft)] cos [(2rt — 2k) (ex + </)] +
+ (2/i — 2k) c ch [(2m — 2/ + 1) (ax + 6)] sin [(2n — 2k) (ex + </)]}.
5.	ch2m (ax + b) cos2rt+l (ex + d) dx =
= 2m2X У -----------------sin I (2« - 2Й 4-1) (ex 4- d)] 4-
22m+2n-	(2„ _ 2ft 4. 1) c
t «-I "	rt rk
I_____1 xp xp ___________ 2171^211+1___________
22m+2n-i 2^ ДЛ) (2m — 2/)2a2+(2n — 26 + I)2 c2
X {(2m — 2/) a sh [(2m — 2j) (ax + fc)J cos [(2n — 2k + 1) (ex + d)] +
+ (2n — 2k + 1) c ch [(2m — 2/) (ax + b)] sin [(2n — 2k + 1) (ex + tf)]}.
152
в. j ch2w+l (ax + b) cos2w+I (ex d)dx~
_	1 У» y* __________________CLn+lC2n+l______________
22m+2n	(2m — 2j + I)2 a2 + (2n — 2& + I)2 c2
X {(2m — 2/ + 1) a sh [(2m — 2/ + 1) (ax + d)] cos [(2rt — 2k + 1) (ex + d)] +
+ (2rt — 2k + 1) c ch [(2m — 2/ + 1) (ax + 6)] sin {(2n — 2k + \) (ex + d)]}.
5.72. Интегралы вида j xp sin x2 dx.
Интегралы x2n+I sin x2 dx выражаются через элементарные функции,
интегралы х* 2n sin х2 dx — через синус-интеграл S (х) и косинус-интеграл
С (х) Френеля, а интегралы х~2л“* sin х2 dx — через интегральный синус si (х)
и интегральный косинус ci (х).
1.	хр sin х2 dx — — Х — cos х2 + ^-9— хр2 cos dx-
j	&	* j
2.	J sin x2 dx = 7\Jу S (x2).
3.	x sin x2 dx = —— cos x2.
4.	J x2 sin x2 dx =» — у cos x2 + у С (x2).
Sy2	1
x3 sin x2 dx ==-— cos x2 + — sin x2.
A
Ssin x2	1 .. 94
-----dx — — si (x2).
x----2
7; C	dx = _	C
J X2	X
8.	sin (ax2 + bx + c) dx =
= [cos s (l2a* + *>2.) + sin C
V 2a L 4a \ 4a /	4a \ 4a /J
5.73.	Интегралы вида \ xp cos x2 dx.
Интегралы j x2/l+1 cos x2 dx выражаются через элементарные функции, ин-
тегралы х±2п cos х2 dx — через синус-интеграл S (х) и косинус-интеграл С (х)
Френеля, а интегралы х-2л“1 cos х2 dx — через интегральный синус si (х) и
интегральный косинус ci (х).
п 2 « Х^ .2 Р 1 С л—2 •	9 <
хр cos х dx = —5— sin х--------т— \ хр sin х dx.
Z	Z J
153
2.	cos х2 dx = у С (x2).
3.	x cos x2 dx =*sin x2.
4.	x2 cos x2 dx — у sin x2 — у S (x2).
5.	f x8 cos x2 dx « «£- sin x2 + “ cos x2.
J	£	£
в. f cos_£dx	1 c( 2
J x	2	'
Seos X2 ,	COS X2 /— о / 94
—^2— dx «=«---------— — V2?t S (x2),
8. cos (ax2 bx 4- c) dx «
V 2a L 4a к 4a /	4a \ 4a
в. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
6.1.	Интегралы вида J хр In9 х d х.
J f (х) In g (х) dx = F (x) In g (x) —	dx
J in g (x) dx = x In g(x) —	dx.
J f(x)In"xdx—F(x) lnnx — n J	1пп~1 x dx
( xp In" xdx=> -*P+1 У? x - £±1 ( XPin^1 xd
- ZtLL< *	-A, Up in*-» x dx.
p(x)~ J
[f(x)= J/(x) dx].
\ x₽lnnxdx«f3-ry (- Dft(n+ l)n(n-l)... (n-fe+D -..t? --Др.
J	n + i^i	(p+ir+*
J dx = ,n I ,n X I + £	,n* X.
f in’x	In’x . q f ln4_|x .
' xp	(р—\)хр~1 p — 1 J xp
C ln«x ln’+1 x
\-----dx ----ГТ--
J x	q+1
n
C	-1 yi (n+l)n...(n-^+l) .п-л,
J xm (n+ 1) x™-'	(m - l)A+l
( In^ x dx — x In* x — q ( In*-1 x dx.
lnrt x dx = x (— l)fe Л! CA lnn~fe x.
fe»o
\ In x dx =® x In x — x.
154 \ In2 x dx = x In2 x — 2x In x + 2x.
16. \ In3 x dx x In3 x — 3x in2 x + 6x In x — 6x.
155
!п х
17.	xp In x dx = x1
18.	xp In2 x dx = xp bl Г — —
19.	xpln3xdx«xp+1
ЛЛ f In X J In2 X
20.	J__dx=—
21Д-!™лг —	1
In X
 2x2
In3 X
In3 х
(р+1)2 ]•
2 In х	2
(р + 1)2 + (р+1)3 Г
3 In2 х .6 In х	6 “I
(Р +1)2 + (Р + 1)3 (Р + I)4 J
25.
In X
—т- dx =
х3
1п2х .
-----dx------х—.
х	3
In2 х . In2 х
dx —-------------
___________________________2 In x
x2 ил — x x
In2 X __________In2 X ___ In X_________
x8	X 2x2	2x2	4x2'
X
1
4х2 '
2^
х
6.2.	Интегралы вида j ~
1	f xPdx -==	। P + 1 f xp dx
J lngx (7 —'Oln*-1 x 7 — 1 J ln*“lx’
2	f dx ______________~~~ *________P — 1 f dx
J xplnpx	(7 — 1) xp_-1 ln?-1 x	7—1 J xplnp-1x*
3	. f --4* - = In I In X I + У (- l)ft	in* X.
j XP In X	"	k\ k
««I
Sdx
— ln|lnx|.
X In X ’	1
5 C dX _______________!____
J x lnp x (7 — 1) In"7'1 x *
1.
2.
3.
4.
6.3. Интегралывида j (x + a)p In x dx.
J (X + a)m In x dx = (x + a)m+l In x - J -fr+ff— dx.
1	• /у П1 ” fe vfe*t" 1
= -snrr [(* + a)m+1 - °m +1]ln * - E Cm Ar/in--
tn 1	Д-/ m (« + 1)^
k «0
SI
(x + a) In x dx « ~ (x2 + 2ax) Inx — ax-
Z	4
(x + «)2 Inx dx ==2-(x3 + 3ax’ + 3a2x) Inx--a*x.
6. ( (x 4- a)3 in x dx =4 [(x + a)’- a«j in x -	- агх
J	10 о	Л
156
8.
9.
10.
11.
12.
\nn xdx ==________xlnnx________________n C In”"1 x d'x
(x + a)m (m — 1) a (x + a)m~l (tn — l)aJ (x + a)
. m —2 f In” x dx
(tn — 1) a J (x + a)”1"1

C fa x dx___
* (x + a)m
_______In X__________	1	|ln X	_
(tn — 1) (x + a)”1"1_(tn — 1) a”*'1 [ x + a
f	In x dx ,	, x + a	, .	( x \
\----j--== In	x • In —J--bLi2	I — — J.
J x + a	a	\ a/
Sin x dx_______In x . 1 jn x
(x + a)2 x + a *" a n x + a ’
Sin x dx __ In x j____________1______.__1
(x + a)3	2 (x + a)2 2a (x + a) 2a2
f In x dx = 2 Г(|п x _ 2) (X + a)i/2+ ai/2 ln
J (x + a)1'2 L
— 2 £(ln x — 2) (x + a)1/2 + 2 (— a)1/2 arctjr (4~^)l/2]
m-2	.
V (-i) rs
A T"Cm-2
f	x
In ----:---.
x + a
(x + a)l/2 + a,/2
[л>0].
[a < 0].
6.4. Интегралы вида xp In (ax + b) dx.
1.	f (x) in” (ax + b) dx
2.	xm In (ax + b) dx »
11 -	W+J
=   -[ *”’+1 + (~ O'" -^TT]ln	+ 6) +   -У (-=-^-:-k~V
m+H	am+1 J	& + 2)a*"A
3.	In (ax + b) dx =» —- (ax + b) In (ax + b) — x.
4.	x In (ax+b)dx = у (x2 — -^5-) In (ax + b) — (-£- — £0.
5.	Jx’ln (ax + b)dx^Jl<x3 + ^)\n(ax + b)^J^^ — + —).
6.	J Xs In (ax + b) dx = -j- (x4 —In (ax + b) —
4 V~4^ 3a "r 2a2 a3
7	C fa (ax "b dx = —	j- a f__dx___
J xp	(p—Цх^"1	p-1 J xp“l(ax + ^)*
f In (ax 4- b)	In (ax + ft) 1	/ a\m~l
dx—x
dx = —
In” t dt
[i — ax + b].

bx3 . b2x2 b3x
fm-2
157
Sin (ax + ft) .	( ax\
—5—j-1—- dx — In | b | • In | x I — Li2 I — -y I
Sin I X I dx
~ax+b~'
11. ^miftl.inl.l+fl^-^)*
Л-1
°®	. t 9
_^ + Z«-L(A)
k-\
C In (ax + b) . a . . ( 1 , a \, .	, , 4
13. j-—2--= _ in | x | — ^—4-— J In (ax 4-b).
[afc=/=O],
I|ax]<|*|k
[|ax|>INk
6.5, Интегралы вида \ x₽ In — —» dx.
J x — a
2a f xp+1
p + 1 J ? - a2 a
2‘ S xm ln x — a dx=* от + 1 km+1 “ ln <* + a)~
_ ’ (ж«+. _ e«+.) ln (jr _ e)+у uy.
m 4-1	m ~h 1 Z-j «	\ a J
k~\
f x 4- a
3. \ in д dx = (x + a) In (x + a) — (x — a) In (x — a) —
a In (x2 — a2).
_ f . x + a , x2 — a2, x + a ,
4- \x}n^7dx-------—ln-^=r +ax-
6. (,Sjni±Adx=4lnA+l + ^ln(xS_aS) + .
J x — a 3 x — a 3 v ' 1
A f 3. x + a , x4 — a4 , x + a . ax8 . a3x
6. \ x3 In—5—dx =---In !-h—Z—+ —x~.
J x—a	4 x—a 62
158
6.6.	Интегралы вида j x±Hl In (x2 + a2) dx.
1.	( x2n In (x2 + a2) dx = ^-L-TI *2re+ ’ln	+ “2) “I
J	—j* 1 I
n n-k
- 2£ -(~Д-- a2n~2kx2ft+l + (-l)ft2a2n+1 arcfg-y
«=0
2.	( x2n+l In (x2 + a2) dx = -^4-0 1 [*2"+2 + (-O'* «2я+2] 1" (*2 + n2) +
J	“T“ At I
rt+1	„ b
+ £ (ТВ,—а2^-2^2х2.1
3.	J In (x2 + a2) dx — x In (x2 + a2) — 2x + 2a arctg
4.	x In (x2 4~ a2) dx ==	[(x2 + a2) In (x2 + a2) — x2].
5» ( x2 In (x2 + a2) dx = 4- In (x2 + a2) —	x3 + -~ a2x — ~ a3 arctg
J	о	У о	о	а
в, х3 In (х2 + a2) dx = у[(х4 — я4)in (*2 + я2) + а2х2 ~ “у"]*
Г In (х2 + a2)	In (х2 4- я2)
J х2т	(2т — 1)х2^-1
_	С-1^2 у2	_	2 НО”1 arete
(2/n—l)a2m“l 2&+1 \х/	(2m— l)a2rn~l а
____In (х2 + a2)	(-l)m Г. х2 + а2 у1 (-l)fe / a\2fel
2rnx2m 2та2т L х*	k V х) J
Л f In (х2 + л2) ,	. 21 . , 1 г. (	а2\	- ,п.
9.	- dx == In21 х | 4- у Li2	(аOl-
IO,	= In а2 • In | х | — у Li2 —^2^	[а^О].
_ С In (х2 + a2)	In (х2 + а2) .2	, х
11,	\4----------dx=-------------5-----4--arctg—.
J х2	х	а ь а
С In (х2 4~ а2) ,	х24-а2	2	2	1 , , .
I2‘ J--- '7з	" dx=-- -^д2“-2 - 1п (*2 + Д2) + In | х |.
6.7.	Интегралы вида J х±т In I х2 — а21 dx.
1.	х2п In | х2 — а2 | dx ==
= —А— Гх-11п| х2 - а2 | - 2 У *9Jt+l + "2П+1 1п-	11
-2п 4“ 1 I	Ди 2k 4- 1	х — a IJ
»	/г«0	"*
159
2.	J x2rt+1 In | x2 — fl2 | dx *
p	Я 4-1 g -
= 2+2 (x2n+2-a2n+2)ln|x2-a2|-V*
zn ~r 2 I	Z-J	К
L	Л-1
%.	J	In	|	x2 — fl2 | dx	x In | x2	— a21— 2x +	a In |
4.	(	x	In | x2 — a21	dx	«=« ~ [(x2 —	a2)	In	| x2 — fl21 — x2].
5.	( x2 In | x2 -fl2|dxoe^ln|x2~a2|-~x3-~a2x + ^ln|-^=b£L
J	о	93	3|x — a
3.	J xs In | x2 — a21 dx «» [(x4 — a4) In | x2 — a21 —- —-a2x2j.
In | x2 — a2 |	_ In | x* — a21
x2m X (2m—1) x2/n-1
,_______1________’у»2 1 /a\2*+l
+ (2m - 1) a2"1"1 2k + 1 \ x )
----------—2пПI “±“ I*
(2m- IJa2"1'1 I x — a |
8.
1” I
^2/n+i ax
ln|x2 —а*|	1
2mx2m	2ma2m
InJ^l
X2
•.
10.
11.
12.
In I X2 — a21 t 2	1 T . / a2 \
—+--------Ldx-ln’|x| + -L12(-?J
elne».ln|*|-|Li, (-jj)
1Ч.1.Л2-a!.i.	_ 1"1^-д21 _±in1-£±«I
x2	x	a I x — a |
In | xJ — a!| хг — a2 . ,	,.	1
“x5-------L dx “	,n 1 x “ a 1 “ ‘a2’In । x I-
[x2 > a2].
lx2<a2].
6.8.	Интегралы вида j xp In (x + V*2 + o.2) dx.
1.	( xp In (x + V*2 + o2) dx  —-In (x + V*2 + «2)-Гт Xj	dX — .
J	p +1	'	p +1 J V*2 + a2
2.	( In (x + V^2 + Л2) dx == x In (x + y/x2 + a2) — V^2 + a2-
3.	J x In (x + V>c2 + Л2) dx «	In (x + V^2 + a2) — Vx2 + a2.
g	/2 I 2\^/2	2
4.	\ x2 In (x + V*2 + a2) dx — 1° (x + Vx2 + fl2)—д/х2 + fl2*
J	3	9	о
6. ( x3 In (x + Vx2 + a2) dx =  ^5“lln (* + V*2 + n2) +
J	\ 4 3Z /
+ йа2*_+)^2+а2-
160
й Г In (х+Vx2 + а2) .	_ 1п(х + Ух2 + а2) _ Ух2 + a2 v
J	х2»	(2rt—1)х2"-1	(2л—l)(2n —2) Л
уГ 1	4- 1 V/_п* (2л — 3) (2n — 5)    (2л — 2fe — 1) /a\2n-2ftl
[a2x2n~2 a2n	2к (п— 2)(п — 3)... (п —k — 1) \xJ j
(-1)"	(2л —3)11 1п д + VF+T2
+ (2п -1) я2""* (2л —2)11	|х|	. *
7 С |п (* +	|п (* + У*2 + fl2) _ У*2 + я2 v
J х2п+*	2пх2”	(2л — 1) 2п
у Г 1	-|_ 1 У /_п* 2ft(n-l)(n-2)...(n-fe) (±\2П~ “*‘1
| я2х2"-1	«2п+1 А*.	(2л—3) (2л—5)... (2п—2k— 1) \ х )	]’
8.	f In (х + Ух2 + а2) .
1 г‘	- - ’ ’ *	QX “
J	X
-I» | а | • Ш|' [ + j	+£ (-)• (Й|22~Х (|)“	(«/« > И-
Л«"1
[х/а < — 1].
10. -|..|,|.|,,|,!+£(-)» |2ff(4)“*'	[|»l<«|.
k -о
„ f In (% + Vx2 + a2)	In (x + Vx2 + a2)	1 a + л/х1 4- a2
J x2	x	a 1*1
I9 f In (x + Ух2+ я2) In (x + Ух2+ Я2) У? + я2
J X8 ах	2Р	2&х	•
6.9.	Интегралы вида J хрIn(х +Ух2—я2)dx.
1.	( хр !п (х + Ух2 — я4) dx = —-In (х + Ух2 — я2)-1— ( _лр+ dx
J	р+1	р+ 1 J Ух2— я2
2.	J In (х + Ух2 — я2) dx » х In (х + Ух2 — я2) — Ух2 — я2.
3.	J х In(х + Vx2—я2)dx = (-£) In(х + yi^S5)-- J У^"- я4.
4.	j X2 In (х+Ух2—я2)	In (х+Ух2 — я2)—~9а^ л/х1 — я2.
б.	J X8 in (х + Ух2 — я2) dx =	In (х + Ух2 — я2) —
6 Ю» А. Брычков в др«
161
f In (x + V** * 2 — a2) dx=s _ In (x + Vx2 — д2) Vx2 — a2
J	x2n	(2n—l)x2rt“l	(2n—1)(2л —2)
Г	.	«-2	г.
1_____1_ у (2n - 3) (2я - 5) .   (2n - 2fe - 1) (a\2n~2fc
|_A2/S-2 a2n 2ft(n — 2) (n — 3) ... (n — k— 1) \x/ J
,	1	(2rt —3)11	. Vx2 - аг
4--------«—г -------— arctg —---
(гп-Па2"-1 (2л — 2)1!	a
C ln(x +Vx2— a2) ,	_ ln(x + Vx2 — a2) Vx2 — a2
J x2n+1	2nx2n + (2n—l)2n X
[n— 1	-1
1	. _1 У 2fe(n-l)(ra-2) ... (n-fe) /дч2»-2*-1
a2x2n~l a2n+1 fa (2n - 3) (2n - 5) ... (2n - 2k - 1) Vx J J
8. ( ,.1.?±.+
J	X
= in I a | • In | x | + I In21 ^ | + f TJg(±)2k
[ I X I > I a [j.
9.
10.
In (x + x2 — a2) .
----------5-------ax
x2
In (x + Vx2 — a2) dx
X3 * *
In (x + Vx2 — a2)	1 Vx2 — a2
-------------------u — arctg---1---,
x------------------a & a
— Jn (* + Vx2 — °2) Vx2—a2
2x2	+ 2a2x
1.
2.
—7	..In (x + x2 ± a2) dx.
Vx2 ± a2	x
f —In (x + Vx2 ± a2) dx = —---Vx2 ± a2 In (x + ^x2 ± a2) —
J Vx2 dz a2	p
xp (p — l)a2 f xp“2 , /	.	/-s——s\ ,
----- 4=------- \	. =r- In (x + Vх2 ± a2) dx
p2 p j -ух2 ± a2
( —..In (x + V^2 ± a2) tfx =? -J- In2 (x + V^2 a2) •
J у x2 ± a2	2
3. —7=^:=- In (x + Vх2 ± a2) dx Vх2 ± a2 In (x + Vх2 =4= a2) — x.
J Vх2 dz a2
6.11. Интегралы вида lnp (x + V*2 ± a2) dx.
1. lnp (x + Vх2 ± a2) dx = x lnp (x + Vx2 a2) —
— pVx2 =4= a2 lnp“1 (x + Vx2 ± a2) + p (p — 1) lnp“2(x + Vx2 ± a2) dx^
2. lnn (x + Vx2 ± a2) dx =
ln/2]
-j-py £ (n + 1) n ... (n - 2k + 1) In"-2* (x + Vx2 ± a2) -
_______ [«/21	_______
— Vx2 ± a2 У n(n— 1) ... (n — 2&)lnn 2fe"1 (x+Vx2 ± a2).
k^o
3. In2 (x + Vx2 ± a2) dx ==
= x In2 (x + Vx2 ± a2) — 2 Vx2 ± a2 In (x + Vx2 ± a2) + 2x.
7.	ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
7.1.	Интегралы вида \ arcsinp — rfx.
J а
1.	\ arcsinp— dx —
J a
— x arcsinp — + p 'у/а2 — x2 arcsinp-i x ~ p (p — 1) ( arcsinp“'2 — dx.
a	j	a
[n/2]
2.	( arcsinn— dx — x ( — 1)* (2k)l arcsinr'“2^~ —
[(«+0/2]
- Va2 - x2 £ (-l)fe(2^-l)!C2fe-1arcsinn"2fe+l-y.
Ы
3.	\ arcsin — dx = x arcsin — + л/а2 — x2-
J a	a
4.	( arcsin2— dx — x arcsin2— + 2 V«2 x2 arcsin -—2x.
J a	a	a
5.	( arcsin3 — dx = x arcsin3 — + 3 Va2 — x2 arcsin2 — —
j	a	cl	CL
— 6x arcsin — — 6 л/а2 — x2.
a
6.	( ——= In I arcsin x | + V •zLJLj, arcsin2^ x.
J arcsin x 1	1 Z-j (2Zj)!2^
Л-1
7.2.	Интегралы вида \ xp arcsin — dx.
j	a
* f D . x . xp+1 . x If xp+x dx
1. \ xp arcsin — dx — --arcsin---------\ —
J	a p+1 a p+lJy/a2-x2
y	r2rt+l	x
x2n arcsin — dx =  '--т-p arcsin-1-
a 2n + 1 a
, Va2 — x2 Г 2« , „2п X? -	2ft+1n(n~ 1) ... (n — k) f x\2n~2k~2
1 (2n + I)2 V	<2rt “ 0 (2л ~ 3) ... (2n - 2k - 1) к a J
x2re+1 arcsin - dx = x2n+2 arcsin - 4-	~ x* -V
x arcsin a dx- 2n+2 arcsin fl + -(^ + 2)2 X
Гх2п+1 + а2п+1 у (2«+l)(2n-l) ... (2n-2fe + 3) /x\!i'”2ft+1l _ ‘
[	2кп(п- 1) ... (n-A+ 1) VaJ J
(2n+1)1!а2п+2	x
-------TTT----у arcsin —.
nl2n^(n+ I)2	«
6*
163
4.	J x arcsin dx == (-y--------y-) arcsin -~ + -y ''Jo.3 — x3.
5.	J x‘ arcsin ~ dx = y- arcsin -у- 4- *	 V«2 — x3.
6.	( x3 arcsin -y dx =	----—•) arcsin -y + ?x ~t3a x ^a3 — x2.
j	в	\ ъ 04 /	а	04
SI	x
arcsin — dx.
Xй	a
1. ( — arcsin — dx  ------1---r arcsin — 4---1— f-------
M a (p-l)xp~l a p-1 J xP-'dy/a*-x2 *
SI . x .
—5— arcsin — dx =
x2n	a
---------i  arcsin ——	Va2 — x2 Г 1 t
(2n — 1) x2"”1 a (2n — 1) (2n — 2) [ a2x2n“2
n-2
.	1 У (2n —3)(2n —&)... (2rt — 2fe — 1) /a\2n-Sk-2
_____________(2n — 3)!l______ | a + ya2 — x3
(n — l)t 2"-1 (2n — 1) а2"-1 ПI x
l«>2]
3. ( —„д ’ arcsin — dx ---Ц- arcsin —-----—-----— X
J x2n+l a	2nx2	a 2n(2n-l)
V Г 1	4-	1 V 2ft(n-l)(n~2)...(n-fe)
|_ a2x2n~l a2n+l (2n — 3) (2n — 5)... (2n — 2k — 1) \ x )
—1	. x 1	^n-i / a2 — x3
2tixin Sm a 2na2n 2n — 2k — 1 \ x3 J
_ Г 1	. x . v (2fe—1)11 /x\2fc+l
6’ J x arcsm a dx=,£^ (2fe)ll (2k + I)2 (a)
k-0
ЛГ1 „ • * ,1	1 e . x lt a + ''Ja?— x2
6. \ —у arcsin — dx  ------arcsin------In —5.
J x2 a	x a a | x |
„fl . x .	1 x V«2—x2
J Xs a	2x2 a 2a2x
7.4. Интегралы вида \ (a ± x)±rt+1/2arcsin —dx.
j	a
1. ( (й ± x)rt+1/2 arcsin dx = ± (a ± x)n+3^ arcsin — ±
j	u	zn "г о	a
2«+3V^f7 у (-1)*^+. дД-
* 2n 4- 3 2j 2ft(2*+l)
164
1
2 (	1
J (a ± x)"+3'2
(2n+ 1) (a ± x)n+I/2 a n (2n + 1) a (a + x)n
[n-i	/1
. , у (2rt - 1) (2n - 3) ... (2n -26+1) / a ± x V ,
Z-i (2n - 2) (2n — 4) ... (2л - 2k)	к 2a )	+
fc=l	J
.	(2n—1)!! 23/2~ft	—Va=px
(2м)!! (2n + 1) an+1/2 П	± x
7.5. Интегралы вида xp (a2 — x2)g arcsinr-y dx.
1. J xp (a2 —x2)rt+1/2
xP-'(a2-x2)n+3/2	. x ,
~ p + 2n + 2-----arcslnT +
(—l)ftCn+1 2n-2fe+2 n+2ft ,
p + 2k	X +
arcsin— dx — —
a
1 n+l
* p + 2n + 2 S
S-0
, (p— l)a2 f 0-2/ 2	2\n+l/2	. x
+ p4-2rt + 2j a * ) arcsin—dx.
2. V«2 — x2 arcsin dx = arcsin2 — + л/a2 — x2 arcsin — + —
J	a 4	a 2	a 4
3. J x (a2 — x2)rt+1/2 arcsin —	=
(a2-x2)n+3/2 r . x ,	1 У
“ 2n + 3 n a + 2n + 3 L
rt+1 (_Mr*
l_L_Z2±l_/y2rt“2fe+2 2^+1
2k + 1 a x
\ (a2 — x2)p arcsin — dx =
J	, a
x (a2 — x2)p
2p+l
f 1
' _ . x , (a2 —x2)p+1Z2 , 2a2p
- arcsin a +	(2p + l)2	+ 2p + i
=- arcsinp — dx =—-— arcsin₽+1 —.
:2	a P + 1	a
dx
(a2 — x2)p 1 arcsin — dx
a
. x
arcsin —
a
a2 — x2 arcsin —
a
л/а2 — x2 . x .
—----------arcsin — dx ==
x	a
— л/a? — x2 arcsin —
a
. x ,
arcsin— dx
a
(a2 — x2)n+1/2	. x .
---------------arcsin — dx =
a
xp
1
(a2 - x2)n+3'2	. x
--------< arcsin —
(p—l)a2xp-1	a
1
У*. 1 U "+1 a2rt-2fex2fe-p+2 _
p-1 2fe-p + 2
2n-p + 4 f (а2 — х2)л+1/2 x
------7TV \----------d^2-----arcsin — dx
(p-l)a2 J xp 2---------------a
165
9.
(a2 — x2)n+liz	x ,
s— —j-------'---- arcsin--f-
(p-l)xp_*	a
.	n	(
1	V I"4' n n2n-2k2k-p+2
p-\ L2k-p + 2
_ Y2\n-l/2
—4-------arcsin — dx,
xp-2	a
Если k — p/2 — 1, то соответствующий член в первой сумме следует за-
менить иа (— \)р12~{а2п~р+2С%+11 In |х|, а во второй сумме —на (—1)р/2-1Х
Ха2п^2Ср^1\п\х\.
10.
(а2 — к2) + 1/2 х (а2 — х2)п+1/2	. х
~-----------arcsin — dx = -—-—г2;------arcsin —
а	2п + 1	а
х
1
2n+ 1
п ( t\kf>k
„2п-2&у2й+1
2k + 1
/г-0
(а1 — х2)п 1,2 t х .
-----------arcsin— dx,
х----------а
SI	. X .	X	. X
------— arcsin — dx = —x------------ г arcsin	
(a2 — x2)p a 2a2 (p — 1) (a2 — x2)p	a
_______________1	, 2p —3 C 1	. x .
(2p - 2) (2p - 3) a2 (a2 - x2)p~3f2____________________(2p - 2) a2 J (a2 - x2)p~* a
12. ------— -q7T arcsin — dx — -T z-j==- arcsin — + in V<? — x2 .
J (d2 — x2)32 a cT's/cP — x2 a a2
Sxp	x
—.----- arcsin — dx =
y/aP — x* a
xp 1 n---------r • x । xP । (P ~ Оa2 C xp~2
	ya2 — x2 arcsin	1—5- + —-'— \ -7==
p----------------------------------------a p	p J Va2— •
x
=• arcsin— dx,
•2 a
14. —=====- arcsin — dx = — л/a2 — x2 arcsin — + x.
J Va2 — x2 a	a
15.	—7==- arcsin — dx — — arcsin2. — —* у/a2 — x2 arcsin — + —.
J7^-x2 a 4	a 2	а 4
»e- S (a2- x^ arcsinlrfXaa
«__________!_________arcsin _	1 f dx
2(q-l)(a2-x2)e'-1 a 2(<?-l) J (a2-*2)’-*'2*
f XP	x	XP~' 1	X
17. \ ------arcsin — dx «=  ---------------—r arcsin----
J (a2-*2)’ a (29-p-l)(a2-x2)?_1 a
1 f xp~l dx (p — 1) a2 f xp~2 . x .
2q — p—l J (a2— x2)9~il2 2q — p—l J (a2 — x2)4 arcsin a x‘
--- —!— (	,й _
2 (? - 1) (а2 - x2)’-1 a 2(47-1) J (a2-x2)«“ie
P — 1 Г xp~2 . x
—----------i -------- arcsin — dx,
2(^—1) J (a2 — x2)q 1 a
SI	. x ,	—1	. x .
—--------— arcsin — dx  -----й—;---------—г arcsin--h
xp (a2 — x2)9 a (p — 1) a2xp 1 (a2 — x2)7~l a
1 Г _________dx	p + 2? — 3 f ____1_____ . _x .
(p — 1) a2 J xp-1 (a2 — x2)^“l/2 (p — 1) a2 J xp~2 (a2 — x2)q arcsm a
166
SI	X	1	X
----------r arcsin — dx -------------s-------—? arcsin		
x(a2 — x2)a a 2 (7 — 1) a2 (a2 — x2)^-------------------------a
I f dx . 1 Г 1	. x ,
--------------\ ---------—пт + —r \-------1-------arcsin — dx.
2 (</— 1) a2 J (a2-—x2)*7”2 a2 J x(a2 —x2)g 1 a
7.6.	Интегралы вида \ arccosp~ dx.
j a
L f arccosp — dx = x arccosp — — p л/a2 — x2 arccos7’”1 ~ —
)	a	a	a
— p (p — 1) ( arccosp”2 dx.
(*/2J	a
2.	arccos* у dx » x (—l)fc (2ft)!C2fe arccos*”2fe x +
fc=0
l(rt+D/21
+	У (-1)* (2k - 1)1 C2*'1 arccos"-2**1 y.
k~l *
3.	\ arccos — dx = x arccos — — Vfl2 — x2.
J fl	a
4.	\ arccos2 - rfx = x arccos2 — — 2 Va2 — x2 arccos — — 2x.
5.	\ arccos3 — dx == x arccos3 —	3 Vfl2 ~~ x2 arccos2 — —
J a	a	a
— 6x arccos + 6 Vfl2 — x2.
Л f dx XT» (—1)*+1	2fe+i
\-----------ee / '/nx. i' i\./»<. r'"i\ arccos ^1 x.
J arccos x Zu (2& + J)l (26 + 1)
jfe«o	i
I	X
7.7.	Интегралы вида \ xp arccos dx.
* f ’	x . xpJfri	x . If xp+1 dx
1. \ xp arccos — dx ==--------arccos---1-------\ —......,
J	a p +1	a p+1 J Va2-x2
f	x x^*^*1	r
2. \ x2tl arccos - rfx = ;;—r—r- arccos--
J	a 2n +1 a
_ Va2~*2 Г „2П I fl2»y 2*+1n(n— 1) ... (n —ft) / X \2«-2*-2'
(2n + I)2 I T Zj (2n - 1) (2n - 3) ... (2л - 2k - 1) к a )
L	k=0
(2/i + 2)2
0.1	r	r2n+2
x2n+l arccos— dx = 7;—v „ arccos — —
a 2n + 2 a
I хгп+* 4- a2n+l У	+ О (2n ~ 0 • • • (2n — 2fe + 3)/х\2л-ж+1~| _
L	feTi	2кп(п— 1)... (n — k +1)	\a/ J
(2л+ 1)11 a2"*2	x
n!2"+2(n+l)2	a
г	Г1 a2 \	X	X !-r>----г
-г- I arccos---7- V«2 — x2.
4 J	a	4 v
x arccos
167
_ Г 9	* . х3	х х2 + 2а2 п------------J-
5. \ х2 arccos — (Ух == — arccos ------------х--Vя2 ~ х .
j	а 3	а У
л С 3 х .	/ х4 За4 \ „ х 2х3 + За2х ----------------------г
6. J .•;» arccos -dx-^-----------) arccos --------------------Va2 - x2.
Cl x
7.8.	Интегралы вида \ -^5- arccos — dx.
.fl	x .	-1	x 1
1.	\ — arccos — dx =---—г arccos--------
J xp	a (p-px^”1	a	p-\
_____dx_______
X₽~! V^2 — X2
_ f 1	* x .	—1	X , Va2 —x2
2.	\ —5— arccos — dx =-5—r- arccos-1-------X
J x2n a (2rt—l)x2 1 a (2м — 1) (2a — 2)
[n-2
1 I 1 V <2ra - 3) (2re - 5) .,, (2n - 2fe - 1) / g\2n-2fe-2
a2x2n-2 + a2n £_! 2k(n — 2)(n — 3)... (n — k — 1) 4*/
_______(2n — 3)!!____
(n — 1)! 2n~' (2a — I)?1’1
a -f- Va2 — x2
x
[n 2J.
n f 1	x	,	1	x	. Va2 —x2 .	.
3-	\ -o.Ti • arccos — dx =-5- arccos-h —--------X
J x2rt+1	a	2nx2n	a 2n (2n - I)
[Л-1	.
1	1	у 2* (ft — 1) (ft — 2) .. (ft — fe) Zg\2n-2fc~t
a2x2n-l	a2rt+' 2-j (2n — 3)(2n — 5) ... (2n — 2k — 1 \1J
Й=1
Л-1	rk	/ „2	2 \П“Л~1/2
л	1	x ,	1 V	C«-i	(a ~~x 1
4.	---------arccos----1-----5- > ---------1-----a— I	•
2nx2n a 2na2n 2n — 2k — 1 \ x2 /
Л««0
_ f 1 '	x .	V (2A —1)1!	(x Y*+> , я ...
5.	J-arccos a dx-	2u (2*)!!(2Л + I)2 ( a )	+ 2 In|ж|.
Л С I x .	1 x , 1 t I a + V^2 —x2 I
6.	\ —г arccos — dx --arccos---------In -------- .
J x2 a	x a 1 a \ x I
_fl x .	1 x Va2 — x2
7.	\ —т arccos — dx = — 77-7 arccos--.
J x3 a	2x2 a 2a2x
1.
7.9.	Интегралы вида x)±/t+1/2 arccos dx.
( (a ± x)rt+1/2 arccos -y dx =»
= ± _L_(a ± x)n+3/2 arccos - -	an~*+l (a=Fx)k.
2n + 3	a 2« + 3 fco2 (2^ + 0
lx	2	x
---Т-Г7777 arccos — dx === T	arccos-b
(a±x)n+3/2 a	(2n+1) (a ± x)'*+1/2 a
______ r n-1
л/а =F x I	(2a — 3) (2a — 5) ... (2n — 2k — 1)
+ я (2n + l)a (a ± x)n 1 + Zu (2n - 4) (2n - 6) ... (2n - 2k - 2)
L ft—l
(2n — 1)1! 23/2~n (n л/2а — Уд т x
(2n)l!(2n + 1)ап+1‘г ” Va±T
168
Г	X
7.10. Интегралы в и д а \ хр (а2 — х2)^ arccosr — dx.
.	, ,,Л	Y	YP~I (n2_ v2\«4-3/2
1. \ xp (d2 — x2)rt+i/2 arccos — dx -----Го-----------arccos —
J	a	p + 2n + 2	a
i	n+i ( nferft
1	V"1 ___2±L «2n-2fe+2 Р+2Л I
p + 2n + 2Zu p + 2fc
 + TrirF? S	“~7Л
C	/'	x	a2	x	x	/ ——	,i .
2. \ Va2 —x2 arccos — dx —------------------------------arccos2------------|- —Va2 — x2 arccos
j	a	4	a	2
3.
x (d2 —-x2)n+V2 arccos— dx =
a
(a* - хг)п+3/2 x 1	y»’ (-l)ftC*+I
e 2n + 3 arCC0S a 2n + 3 L 2k + I
a2n-2fe+2x2fe+l
4.
5.
6.
7.
z «, «nn x , x (a2 — x2)p	x
(a2 — x2)p arccos — dx == —-—r~:-------arccos-------
v	a	2p + 1	a
(a2 - x2)₽+1/2	2a‘2p
(2p+l)2	+ 2p+l
—7=L= arccos? — dx = —
Va2 — x2	a
[ (a2 — x2)p~x arccos dx.
—!—arccos?*1 —♦
P+1	«
dx	* I x
--------== — in arccos — .
л-?-----г x------a
V a2 — x2 arccos—
a
V^2 — x2 x j /“?--------------r x . . Г a2	x .
-------arccos — dx » Va2 — xz arccos --+x+ \ —z. .-—arccos — dx*
x	a	a J x ^Jd2—x2 a
(d2 — x2)n+{/2
xp
arccos — tfx « T-
a
(g2 — х2)П*3/2
(p— l)a2x?-1
x
arccos —
a
1 у1 * Gft+1 fl2/x-2fe 2fe-.p+2
p — 1 Zu 2k — p -|- 2
^«0
2n — p + 4 f (a2 — x2)n+1/2 x .
“ ------77T \--------5^2----arccos dx.
(p — l)aJ J xp 2	a
1 V*	Cn a2n-2kx2k^p+2 _
p-1 2k^p + 2
(a2 — x2)n+,/2
(p-lJxP-1
X
arccos ----
a
2/t-b 1
p— 1
(d2 — x2)n^m
xp^2
x .
arccos — dx*
a
Если k = p/2 — 1, то соответствующий член в первой сумме следует заменить
на (—.i)?/2+1g2rt“?*2C?^71 Iх I» а во ВТ0Р°й сумме — на (—l)?/2+1a2rt“?+2x
XC^-’lnlxl.
169
(a2 - г
r
:2)n+I/2 x (a2-x2)n+1/2 x t
—------arccos — dx ~ -—-—p---------arccos —b
a	2n + 1	a
fe-0

•2)П-1/2	x
------- arccos —
a
11.	; 1 o:5 arccos “ dx ~ —5----------“T-----r^-T arccos ~ +
' (a2 — x2)p a 2a2 (p — 1) (a2 — x2)p“	a
. _______________J__________________.	2p-»3 f 1	x
* (2p - 2) (2p - 3) a2 (a2 - x2)p"3'2	(2p - 2) a2 J (a2 - x2)p~' 8 CC°S a
12.
13.
14.
——1	arccos — dx = 	=- arccos —--In Va2 — x2
(a2-^2)3/2 a a2Va2-x2 a a2
xp	x
j —.— arccos— dx —
Va2 — x2	a
. _ Z21 „OT! A _ + fcJli C
a P2	p J -V
arccos — dx = — л!a2 — x2 arccos — — x.
a	a
15.
xp~2
fa2 — x2
x
arccos — dx,
a
16.
17.
18.
19.
x . a2
axwte — dx — — —
a	4
arccos2 — — ~
a 2
----г x
— x2 arccos ------
a
x2
4
P
x
у/a2 — x2
x2
's/а2 — x2
/ 9 X 2"<D~ arccos — dx 
(a2 — x2Y a
_________________1_____________лг/ъллв
” 2 (p - 1) (a2 - x2)p-' аГСС037 2(p— 1) J (a2 — x2)p-1/2
x________________xp ~ i	x
arccos dx  ---------------------—г arccos----b
,a (2?-p-l)(a2-x2)’-' a
C xP~‘dx (p ~ 0д2 C xp~2
2(7 — p—1 J (a2 — x2)<7“l/2	2(7 — p—1 J (a2 — x2)q
xp~l	x .	1 f xp^1 dx
------------------г arccos *	1
2(q — l)(a2 —x2)9”1
xp
(a2 - x2)q
, 1
1
x <
arccos— dx =
xp (a2 — x2}q a
— 1
(p — \)a2xp 1 (a2 — x2)47"*1
1
1
dx
x ,
— dx.
a
— 4---— i--------
a 2(q — 1) J (a2 —x2)’-1/2
p — 1 Г xp~2
2 (<?-!) J (a2 —x2),_*
arccos
X Л
— dx.
a
x
+
1 f	dx
arccos-------------- \ ——i-----
a (p — l)a2 J xp 1 (a2
j p + 2(?-3 f	1
(P - 1) a'
1
x2)’"I/2
X J
„ o---------- arccos — dx.
xp“2(a2-x2)9 a
X I
----------s-------------г arccos	Ь
2(<7 — 1) a2 (a2 — x2)q-a
----------о \-------dX~n2T^ +	-——г arccos — dx.
2 (^7 — 1) a2 J (a2 — x2)q 1/2 a2 J x (a2 — x2)g“l a
x .
arccos — dx
x (a2 — x2)q a
.	1 C
179
Г	x
7.11. Интегралы вида \ хр arctg — dx.
ХР arctg — dx =	arctg— -
a , p 4- 1 a p + 1 J x2 + a2
2.	x2" arctg-J dx = arctg у -
[П-l	b	„ b	n
-'I	+<-^+4
t*	r2n+2	x
*	arctg - dx = -^-^ arctg - +
, a2n+2 Гр (-l)rt+fe
+ 2n + 2 I Zu 2k - 1
1.
а
2(2n+ 1)
2fe —1	'
+ (-1)" arctg £
4.
5.
6.
7.
arctg dx = x arctg -у — у In (x2 + a2).
r , x t x2 + a2 . x ax
) x arctg ~Zdx--------2----arctg V ~
( x2 arctg - dx = 4 arctg A _	+ In (x2 + a2),
j	a □ a о о
J X2 arctg 4 dx = —7^- arctg ±	+
SI X
-^p- arctg — dx,
-Cl . * ,	—1	. x ,
1. 1 arctg “ dx 5=8 V"—м..p" arctg +
J xp a (p — 1) xp 1 a p
2.
1	* £ X .
-я—arctg— dx
xr a
(2«—l)x2rt-1 aTCtg a
2(2n — l)a2n-1
SI k X ,	—1	. X ,
2ягг arctg— dx =	2 arctg — +
х2л+1 a 2nx*n ’ a
2л — 2ft + 1
a\2n-2ft+l	XI
-J + (-1)"arctg- .
fl x J V* (-l)fe
J ~x arctg a dx ~~ 2j (2ft + I)2
Й—0
(тГ

я , . . , V* (—l)ft ( а Л2*+1
Т,п1*1 + 2и (2ft + I)2 (x)
A»0
[x/a>l].
[x/a<—11.
171
7.
a
9.
fl , X .	1	. x , 1 . X* 1 2
J -F arc,g H dx = “ T arctg 7 + 2?In 74^-
Cl x x	1 ( 1 . 1 \ x 1
J V arctg 7 dx------т + ~2) arctg 7 ~ 2TP
f '.I— arctg dx----------a— [in -^ + b- - ^=^-
J (x+b)2 a a2 + b2 L V*2 + a2 a(x+b)
arctg — 1.
a J
7.13.	Интегралы вида j xp (x2 4“ a2)q arctg ~ dx.
1.	xp (x2 + a2)n arctg ~ dx =
v Л, . -2n-2* p+2*+l Д t _2n-2*+l -	p+2*+t
—“‘ZE c‘ p+2t+l—Z c‘да+т 5 т+у
Л==0
n -U 1
Если /г =—£-^— (fc = O, 1, ...» rt), то соответствующие члены сумм заме-
няются на C*ap+2rt+1 In — arctg— и C^ap+2/i+2 (	2 In — dx.
п	а & а п	J х2 + а2 а
Л f ХР	L X ,	хр~1	. X .
2.	\-------тг arctg — dx --------------------г arctg---h
' (х2 + а2)<7 а 2 (7 — 1) (х2 4-я2)9 1 а
, a f хр~{ dx . р—1 Г хр“2 , х .
4----------\----------------~----- \ --------—г arctg — dx.
2(7-1) J (х2 + а2)^	2(7-1) J (х2 + a2)q~x а
3.	--------7Г arctS~ dx =------------5—--7 —г arctg — +
J (x2 + a2)q а 2(7 —1)а2(х2 + а2)д 1 а
,	1	।	27 — 3 f 1	. х .
4----------s------------г 4---2------\---------—г arctg — dx.
4 (7 — I)2 а (х2 4- a2)q 1	2(7—1) а2 J (х2 4- a2)q~* а
S1	। х <
—577г arctg —	=
(х2 4- а2)	«
== afct .£ [ у (2n -1k- 2)1! (2п - 3)!1_______х .	1	(2п-3)!1
аГС g а 1*71(2л “ 2)11 (2л ~2k~ 1>П а2к + a2)',-ft+2a2n-1 (2n-2)!!j+
П-1
У (2п - 3)!! (2n -2k- 2)1!_____________1________
+ 2 (2га - 2)!! (2п - 2k - 1)!! (я - k) а2к (х2 + а2)п~к '
5-	( —г~,—г arctg -Д dx = ( хр 2 arctg — dx — а2 ( ——я- arctg — dx.
J х2 + а2 6 a J	6 a	J х2 + а2 6а
S^2/n	х	/ i\fn	х
• a , 2 arctg — dx = ——— a2m ~1 arctg2-1-
x2 + а2 Б a	2	& a
m	.
4- arctg — V t	—r- a2zn~2fex2fe“1
6 a Zu 2k — 1
m
-z
fessl
1	i
arctg-dx = -arctg-J,
1 У' (-l)m~fe a2m-2*-i C x2kdx
2 Lt k	J X2 + a2
(—1)т~к а2т-2й^ _
+ (-O'" «2m $ -x3 j;-a-5' arctS"7
8- $ arctg тгdx = iarc,g2 T-
9* $ x2+'a~2' arctg "a dx = x arctg 7 “I ,n <*2 + e*> “ 7 arctg2 P
«лС I - L X J	x	L X ,	1	. •> X .	1
I0- J (?Warct87 dx° 2a2 (x2 + a2) arctg 7+4^ arctg H+ 4a(x2+a2) '
11. ( —7-]—5- arctgr — dx = —Дгт— arctgr+1 —.
J x24-a2 s a (r+l)a 6 a
13. i —==== arctg — dx »
J Va2 - x2 a
= — V«2 — x2 arctg — — a arcsin — +	a arctg—-Р$х .
а	а	-у/a2 — x2
arCtg\/2-^- Х-аГ-С^----------------7^= arctg a/^±Z
(ax2 + bf2 b ax2 + b b ^Ja — b V a-b
e x arctg x______________1 j Vg*2 + b — л/b — a '
b ^ax2 + b Zb'yjb — a ^Jax2 + + л/b — a
[«>&!•
[£>«]•
7.14.	Интегралы вида j xp arcctg dx.
* f D „ . X . xp+1	x , а Г xp+1 dx
1.	J x₽arcctg- dx = 7TTarcctg- + — J
Г	x x2n+i	x
2.	x2" arcctg — dx = 2^+T arcct8 +
□_____2___L У X~ fl2) (X2 + fl2)____t /__ a2\n jn Гх2 I a2\l
+ 2(2»4-l)| Zj (n-k)lk\(n-k) Я) Щ(х +a)u
L л=о	J
Sa 1	X	X2tt+2	X
+ arcc‘s T dx = ъГ+2 arcctg+
2n+2 Tit,1 /_nn+fe+l Zje42fe-1	-I
+ £+2-[Z Ч=Г- (I) +(-!)•.
4. ( arcctg ~ dx » x arcctg —• 4~ In (%2 + a2).
J	Cl	d 2л
Sl x .	x2+ a2 , x , ax
x arcctg —	----2---arcctg T +
6.	( x2 arcctg dx = arcctg ----------*4“ ln (x2 + a2).
J	a	о	a о о
. x , x4 — a4 £ x , ax3 a3x
7.	J x3 arcctg - dx ---j-arcctg - + — - —.
173
7.15.	Интегралы вида ] ~^р arcctg — dx.
1.
2.
1	. х . 	—1	. x а Г dx
— arcctg — dx =---------—- arcctg------------\   ----------.
xp a (p—l)xp 1 a p — 1 J xp 1 (x2 -|- a2)
1	. x ,	—1	. x ,
—nz- arcctg — dx  --------x—j- arcctg —h
x2n a (2n — l)x2n-1 a
rti-2
(_t\n-k 2ft+2	2 i
<_1)---- + (_d»-i in Z_+
x
2 (2n — 1) a2"-1
Six	1
-J—y- arcctg - dx = - —arcctg x -
x	a	2nx
____1_Гу (—D*
2na2n Zu 2n - 2k + 1
Lfe»i
a \2n-M+i	x I
— J +(—1)" arcctg — I.
.fl , X . л . . . V (—l)fe
4. J-arcctg-rf^-mlxl-^^^+TFW
fc=O
-______V (-1)* / a\2ft+>
°’	“ L (2k+lY \x)
fe=O
[|x|<l«ll.
[x/a>l].
ft
ЬО
-fl , X ,	1 x X 1 . X2
7.	\ —n- arcctg — dx —-arcctg-— In —s-r—5-.
J x2 a * x & a 2a x2 + a2
8.	J-L- arcctg yrfx = -l(-L + Jr)arcctg|+^-
Л f 1	. x ,
9. 1-------arcctg — dx
J(x+6)2
a Г|„ x +b a2 — bx , X1
=----------in —_____--------------arctg— I
a2 + 62 L <y/x2 + a2 a(x + b) a J
л
Ъ(х + Ь)
1.
7.16. Интегралы вида хр (х2 + a2)q arcctg— dx.
хр (х2 + а2)п arcctg dx =»
X V5 ъ	ъ д2я-2^+1 Г -Р+2&+1
7 X с- p + 2t + l + X ^тиг+г )	««.
/г=0	fe=0
Если k = —— (k = 0, 1, ..., п), то соответствующие члены сумм за-
меняются на С*ар+2л+1 In — arcctg — и C^ap+2rt+2 ( —5—}—5- In — dx.
n	a & a n J x2 + a2 a
C XP	x	xp~l	X
2t \ ТП—^7“ arcctg^. dx  -------------------------—r arcctg — —,
J (x2 + a2)q	a	2 (q — 1) (x2 + a2)q 1 a
_______a C xp~' dx p — 1 f xp-2	. x .
2 (? - 1) J (x2 + a2)4 + 2 (<7 - 1) J (x2 + a2)’-1 ““ g a d*'
174
3, \ ---------— arcctg — dx =-------------------------—r arcctg----
J (x24-a2)<7 a 2 (q — 1) a2 (x2 + a2)q 1 a
1	i 2? — 3 Г 1	4 x .
------------5-------------г 4-----2-----\ ------------—r arcctg — dx
4 (Q — I)2 « (x2 + a2)q 1	2(<y— 1) a2 J (x2 + a2)q 1 a
, f ХР	. X , f л—2	. X ,	9 f XP~2 , X .
4. \	arcctg —	dx =s \	xp 4 arcctg —	dx — a \	—s-	arcctg —	dx.
J.x2 + a2 & a J	a	J	x2 + a2 a
f r2m	Y	1\W+1 л	V	V
C' \ x2-t-a2 aFCCtg У dx “ ----------2-------a агсс<82 + arcctS 4 X
J Л I £*-	U	,	LX	CZ
m
_ ^yn-k
4k -T
2m-2k 2fe—1
u X
m ( i\m-k	p
(-~l} , <fm-2k+l ( 4—-j-dx,
2k — 1	J x2 + a2
’ 2~T~2 arcctg — dx =4- arcctg — V ------a2m-2k 2k
x2 + a2 & a 2	a Zj k	1
fe==i
 1 y> ( —	2m-2fe-lC x2k dx	x arcctff — dx
+ 2 L k a Jx2 + a2+( ° a J’’X2 + a2 arcctS a dx‘
fc = l
„ С 1	t x j	l.9x	/
7.	\	i—г arcctg — dx = — — arcctg2 — .
J x2 + a	a	2a & a
8-	Уг1 „2 arcctg 4dx=x arcctg 4+тln +4агсс*?2 -4-
j —j— U	IX	IX /л	£	и
»• arcctg>* =
X	. X 1	, 9 X	1
~ 2a2 (x2 + a2) arcctg a 4«3 arcctg a ~ Та'(х2 4-’a2) ’
I®* ( “a”?—г arcctgr — dx = — —Дгт— arcctgr+* —.
J x2 + o2 & a	(r+l)a	a,
Sdx	1,1	, x I
--------------------------------------	in arcctg — l.
(x2 + a2) arcctg------а-a *
12. ( --t-—.- arcctg — dx =='
J V«2 - x2 .	«
= — V«2 — x2 arcctg — + a arcsin — + л/i a arcctg —— *-.-1
a	a	^/a2 — x2
8. ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Неопределенные интегралы от обратных гиперболических функгий вычисля-
ются по формулам раздела 7 «Логарифмические функции» после замены
Arsh х = In (х + V*2 + 0>
Arch х == ± In (х + V*2 — О
Arthx = lln	[|xl<U,
Arcth x = 7 In  —Th)
2 x— 1
Arsech x
Arcosech x =* In
I* > oi-
Приложение!. НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
И ИХ СВОЙСТВА
1. !. Степенная, показательная и логарифмическая функции
1. Формулы дифференцирования.
J-x^px^1, 4-еах-^аеах,
dx к 9 dx	9 dx	х9
In (х + Vx2 + а2) = —_»	In | х + д/х2 —- а21» 1 '7-  * »
dx	VFTa2 dx	^х2-а2
d . I а + x I _ 2а
dx П I a — x | a2 — x2 *
2. Степенные ряды.
(1 + х)л-^ф*
[rt=0, 1, 2,
n
(l-x)n = £j- 1)*ф*
[л = 0, 1, 2,
(1 + ,)₽-1 + У Atg+lLvHPj^rO,^
Z~<	KI
[I x | < 1 при p < 0, | x I c 1
при p > 0],
Л—u
St
ft-l
• 1 + x „V* *2*+l
In -t-2---«2 > n. , ,
1 — x La 2k + 1
k-o
[-!<x< 1],
V?4H) = x + у (- D* —
oo
In 2x + У (- l)ft+1
k~\
OO
-1п|2*1+£(- 1)* —
fc-1
(2fe-l) x2ft+I
2*4... (2k) 2k + 1
1-3 ... (2k— 1) x~2ft
2*4... (2k) 2k
(2k — 1) x"2ft
2-4... (2fe) 2k
II x | < 1],
[x> 11,
lx < - 1],
177
п-----*	v» 1.3 ... (2k — 1) х 2к	г '
In (х + V* — 1) — In 2х — Д 2-4... (2й) 2й	!*>>]►
k — 1
In (л/х2 + 1 — х) = — In (х + Vx2 + 1), In (х — Vx2 — 0 = — In (х 4- Vx2 — 1).
I.	2. Гиперболические функции
1.	Некоторые соотношения.
sh х = — sh (— х) = ± Vch2x— 1 = ± д/у (ch 2х— 1) = ~ ~^е—.
ch х = ch (— х) = Vsh2 х + 1 = /\Jу (ch 2х + 1) = 2ch2-i _ i — -e—V g—
,, ,	. sh x sh 2x ch 2x — 1 ex — e~x
thx= — th (— x) = —-— = -~---=--------= —-----—,
ch x ch 2x + 1 sh 2x ex + e x
..	. ch x sh 2% ch 2x + 1 ex + e x
cth x = - cth (- x) = —— = —----------------=------—J— = —,
sh x ch 2x — 1 sh 2x e — e x
sech x = —г—, cosech x = —г—,
ch x	sh x
ch2 x — sh2 x = 1, th2 x + sech2 x = 1, cth2 x — cosech2 x = 1,
(sh x + ch x)n = sh nx + chnx	[n = O, ± 1, ± 2, .
2.	Формулы дифференцирования.
d sh x . d cosech x ch x d ch x ,
—-   ch x, ---------=----775—, — --- sh x,
dx	dx	sh2 x dx
d th x . 9 d sech x sh x d cth x	. 0
* -j === seen Xj - _	““ “* «л > j	cosech x»
dt	dx	ch2x dx
3.	Связь с тригонометрическими функциями.
sh (ix) ~ i sin x, ch (lx) == cos x, th (Zx) = i tg x, cth (Zx) = — Z ctg x.
4.	Гиперболические функции суммы и разности углов.,
sh (х ± у) = sh х ch у ± sh у ch х, ch (х ± у) = ch х ch у ± sh х sh у,
sh (х ± iy) == sh х cos у ± Z sin у ch х, ch (х ± iy) = ch х cos у ± Z sh х sin у,
.. ( ч th х th у __ sh 2х ± sh 2у
Щ(х±у) l±thxthy “ ch2x + ch2y ’
th (х ± iu\ = th х ± г fg У = sh2x±f sin 2у	= sh 2х Т i sin 2у
'	1 ± i th х tg у ch 2х + cos Чу ’	ch 2х — cos Чу
5.	Суммы и разности гиперболических функции.
sh х ± sh у = 2 sh —	ch	ch х + ch у = 2 ch —ch -Y	.
ch х — ch у = 2 sh—sh- у ,
thx±thy~J*l£*y). cthx±cthF-±^4^,
ch x ch у	*	sh x sh у
sh2 x — sh2 у — ch2 x — ch2 у = sh (x + y) sh (x — у},
sh2 x + ch2 у = ch (x + y) ch (x — y).
178
6.	Произведения гиперболических функций*
sh х sh у = j [ch (х + у) — ch (х — у)],
ch х ch у = — [ch (х + у) + ch (х — у)],
sh х ch у = -1- [sh (х + у) + sh (х — у)].
7.	Степени гиперболических функций.
п-\
^2п х = У <- 1)‘ с2„ sh 2 (п - k) х + -blp- C2«n,
fe=0
п
sh2n+l х = У (- l)ft C2*n+l sh (2л - 2ft + 1) x,
bO
sh2 x =4- ch 2x “ 4г» sh3 x = -7- sh 3x — sh x,
2	2	4	4
sh4 x =* ch 4x “ ch 2x + 4"»
о	Z	о
15	5
sh5 x =-75 sh 5x — —- sh 3x + — sh x,
10	lo	о
I	о	15	к
sh« x =	ch 6x -,-jg- ch 4x + 32 ch 2x -	,
n-1
<h2" x - -5^- У c*2n ch 2 (n - k) x + Cn2n,
1 ft-o
n
ch2«+1 x = -^r £ ck2n+l ch (2« - 2k + 1) x,
fc=O
ch2 x = 4- ch 2x + -4> ch3 x = -J- ch 3x + 4 ch x,
Zb	ЛВ
ch1 x = -4 ch 4x + 4 ch 2x + 4,
o	Z	о
I	5	5
ch5 л: = — ch 5x + — ch 3x + — ch x,
Io	lo	о
i	,	о	iK	к
ch»x=32 ch 6x + Tg-ch4x+^-ch2x + —.
8.	Гиперболические функции кратных аргументов.
l(n-D/2)
sh«x= C^+'sh^xch"-2*-^,
[(Л-1У2]
= shx p (-l)ft2n-2A-1C^_ft_1ch'l-2ft-Ix,
/ n	\
sh (2л + 1) x== sh x ( 1 + 2 У ch 2kx I,
\	fe=i	/
= (- l)n £sh x + 2 ch x £ (— 1)* sh 2kxj.
179
sh 2x = 2 sh x ch x, sh 3x =® 4 sh8 x + 3 sh x,
sh 4x == ch x (4 sh x + 8 sh3 x), sh 5x == 16 sh6 x + 20 sh3 x + 5 sh x,
ch nx = У * * C2* sh2* x chn-2ft x,
*-o
[П/21-1 fe+1
= 2"-‘ch'*X+| £	(=^—С^_к_22П-2к-2сЬп-^
k-Q
n
ch (2ra + 1) x == ch x + 2 sh x V sh 2k x,
fc-i
= (- l)rtchx[l +2 У (- l)ft ch 2ftxl,
L	J
ch2x = 2 ch2 x — 1, ch 3x = 4 ch8 x — 3 ch x,
ch 4x — 8 ch4 x — 8 ch2 x + 1, ch 5x = 16 ch5 x — 20 ch3 x + 5 ch x.
9. Степенные ряды.
x2A?+1
_ V x2k
(2fc+l)f X Zj {2k)l9
Ы
co
у гк
1 + Д (2й)1 Х
А-1
22fe(22fe-l) ft_(
(2й)1 ВгкХ
fe-0
1^1
sh x x
1
ch x
thx=£
Ы
cth x — — + £ (2*)T Bsftx2fe 1
1.3. Тригонометрические функции
1. Некоторые соотношения.
sin х —— sin (~x) = ± Vl —cos2 x = ±
cos 2x) ==»
2 tg (x/2) eix-^e~ix
1 + tg2 (x/2) ~ 2i 9
2cos2 (у-
COS X — cos (— x)
(1 4- cos 2x)«
_ О ео-2 x	1 - tga (x/2) _ eix + g-<x
2	l+tg2(x/2)“	2
*	sin x	/—5-------г sin 2x
tg x = — tg (— x) ----------- ± Vsec2 x — 1 =	-----— =3
6	cos x v	1 + cos 2x
s-s 1 cos 2x ±	/ 1 — cos~2x'_ 2 tg (x/2) ______ . eix — e
sin 2x	v 1 + cos 2x 1 — tg2 (x/2) eix + e
X.
[| х I < я],
II х | < я/2],
[| х | < я/2],
[I х I < я].
iX
'Тх'9
180
.	X / s	COS	x . t-----?---7	1 + cos 2x
ctg x = — ctg (— x) —	—;-- ±	Vcosec2 x	1 == ——. .-==
sm x	sin 2x
as s*n 2* = zh a / * +cos2x = AzillfJiZ2! == ieix + e~ix
l-^-cos2x V 1—«cos2x	2tg(x/2) eix—e~ix’
sec x = sec (— x) = —!— = ± д/l + tg2 x =
cos x	&	1 — tg2 (x/2)
cosec x = — cosec (— x)= —3— = =h Vl + ctg2 x — ^ХЧД^2 -,
4 sin x	&	2 tg (x/2) 9
sin2 x + cos2 x » 1, sec2 x — tg2 x == 1, cosec2 x — ctg2 x — 1.
2. Формулы дифференцирования.
d sin x	d tg x
------- rns r ----- =
dx
d cos x
dx
3. Формулы
ez+ix _ ez (cos x / sjn x),
(cos x + Z sin x)n = cos nx + Z sin nx [rt = 0, ± 1, ± 2,
COS X,
sin xt
d sec x sin x
dx
-r— == sec2 xt
dx
dctgx
dx ’
Эйлера и Муавра.
cosec2 x,
cos2 x9
d cosec x cos x
dx	sin2 x
4.	Связь с гиперболическими функциями.
sin (Zx) = Z sh x, cos (Zx)« ch x,
tg (Zx) == Z th x, ctg (Zx) =« — i cth x,
sec (Zx) = sech x, cosec (Zx) = — Z cosech x.
5.	Тригонометрические функции суммы и разности
углов.
sin (х ± у) -a sin х cos у ± sin у cos х,
cos (х ± у) =5= cos х cos у =F sin х sin yt
sin (x ± iy) =* sin x ch у ± Z sh у cos x,
cos (x ± iy) = cos x ch у =p Z sin x sh yt
.	. . tg x + t th у sin 2x ± t sh 2y
tg (x ± 11/) = j . tg x th y cos 2д. + ch 2y ,
. . _ 1 ± < ctg x cth у	sin 2x T I sh 2y
ctg (X ± iy) — ctg x ± t cth у	ch 2y — cos 2x
6.	Формулы приведения.
sin (x ± пя) = (— 1)п sin x, cos (x ± пл) == (— 1)" cos x,
tg (x ± пл) = tg X, ctg (x ± пл) = ctg X,
sin (x ±	«) = ± (— !)“ cos x, cos (x ± 2” я) => :p (— 0* sin
tg (x ± 2n л) =° — ctg X, ctg (x ± 2ft л) = — tg X,
sin (x ± -^ ) = (sin x ± cos x), cos (x ds	(cos x T sin x),
( л \ _ sin X ± cos x = tgxdfa 1
X * "4") cos x 4F sin x 1 =F tg x ’
(	= COS X T sin X _ ctg X T 1
X . 4 ) sin x ± cos x 1 ds ctg x '
sin (x ± y)
sin x sin у
7. Суммы и разности тригонометрических функций.
л . х ± у х =F у
sin х =Е sin у == 2 sin —cos —
.	л X + у х — у
cos х + cos у =« 2 COS---COS-
л , х + У ! % — У
cos х — cos г/ = — 2 sin —«j— sin —
a cos x + b sin x = r sin (x + ф)« r cos (x — ф),
где
r = *Ja2-Y b2, sin ф  a/r, cos ф =* b/rt sin ф = b/r, cos ф = afr,
sin2 x — sin2 у = cos2 у — cos2 x « sin (x + y) sin (x — y),
sin2 x — cos2 у = — cos (x + y) cos (x — y), sec2 x + cosec2 x = sec2 x cosec2 x.
8. Произведения тригонометрических функций,
sin x sin у = у (cos (x — у) — cos (x + y)\,
cos x cos у = y (cos (x — y) + COS (x + y)]t
sin x cos у == у [sin (x — y) + sin (x + y)j,
О.Степени тригонометрических функций.
n-1
sin2n x = 2n-i У, 1) ^2n cos 2 (zi — &) x + —C%n9
1 fc-0	2
n
sin2n+I x =	£ (- l)ft ct+1 sin (2n - 2k + 1) x,
11	13
sin2 x — cos 2x + —, sin3 x ------ sin 3x + -r- sin x.
2	2	4	4
113
sin.4 x = — cos 4x —x cos 2x + —,
о	Z	о
1	5	5
sin5 x = — sin 5x--rr sin 3x + sin x,
lb	lb	о
sin6 x = — cos 6x + cos 4x — 4т cos 2x +
OZ	IO	oz	I о
n-1
COS2rt X 2n-l ^2n COS 2 (n — k) X 4- “2^- СГ2п>
fe-0	2
n
X = o2rt У, ^2n+l cos (2л —- 2k + 1) x,
/г-0
COS2 X = COS 2x + —, cos3 x = 4- cos 3x + ~ cos X,
*•	Z	*t	4
cos2rt+1
182
. I Ji’ «	. 3
cos4 x = cos 4x + — cos 2x + —,
o	L	О
-	1	К	i	5	о	i 5
COS6 X S== -rg- cos 5x + — cos 3x + -Q- cos x,
ID	lo	о
ft	1	л	।	3	.15	5
cos * “ 12 C0S 6* +16 C0S 4* +12 008 2X + 16 •
10. Тригонометрические функции кратных аргументов.
sin п№ У (— l)ft С2**1 sin2fe+1 х cosn~2fe~l х,
= sin х У, (—l)fc Cn_ft_12n-2ft_1 cos'1-26-1 х,
sin inx = in cos x Г sin x + V (— l)ft—-1 %>ь 2	4* sin2ft-1 x"|,
I	Z-J	(2ft—1)1	Г
L ft-i	J
«= (—I)"'1 COS X ja2*-1 sin2"-1 X +
, У ( ^k(^n — k—l)(in — k — i) ... (2zt —2fe)22n-,2fe-l sin2n-2k—1 1
/ j	ft!	I *
fc,»l	J
sin (in + 1) x = (in + 1) £sin x +
. V» i nfe[(2ft+l)2-l2H(2n+l)2-32]...[(2n+ir-(2A-l)q	2ft+1 1
+ L (-° --------------------------(аГП)!----------------1-----sm x ’
ft->l	J
= (—l)n^22/lsin2n+1x —22га_2(2п+ 1) sin2"”1 x +
4. 2ft+ 1 у* (_1)& <2n~fe) (2n-fe-l)	(2n —2fe+2) 22n-2fe+i sl„2n-2ft+i 1
k~2	J
= sin x + 2 cos 2fex^,
[n 1
sinx + 2cosx^j (—I)*5 sin 2ftxj,
Sjn 2x = 2 sin x cos x, sin 3x = 3 sin x — 4 sin3 x,
sin 4x S3 cos x (4 sin x — 8 sin3 x), sin 5x = 5 sin X — 20 sin3 x + 16 sin8 x,
sin 6x » cos x (6 sin x — 32 sin8 x + 32 sin5 x)t
1П/2]
cos nx »	(—l)ft C2^ sin2* X cos'1-2* x,
l(n^2)/2} s^+i
-2п-‘со5лх + -2- У Mn_C»-fc-22',_2ft’2cos',~2ft“2x>
ft»0
183
.0.2— । + g
= (-1)" [22»-1 sin2» x - 22»-3 n sin2"-2* +
+ n У (	(2« — fe — j) (2n — fe — 3) ..  (2n — 2fe + 1) 22n-2S sJn2ft-2S x”|
(2А?)1
k-2
cos (2n + 1) x = cos x X
X [1 + у ( _)}fet(2n+ 1)2-F] I(2«+ I)2—3a] ... [(2n+l)»-(2fe-1)»1 gIn2ft*
I	(2&)l
L Л—1
== (—l)n cos x ^22rt sin2rt x —
__ У"*	(^n О * * * (2n — 2^+1) n2n~2k 3|n2n-2fe x
л-1
п
= cos х — 2 sin х sin 2&x,
= (—l)rtcosx£l+2 JT (—l)*cos2fcxj,
cos 2x = 2 cos2 x — 1, cos 3x =34 cos8 x — 3 cos x,
cos 4x — 8 cos4 x — 8 cos2 x + 1, cos 5x = 16 cos5 x — 20 cos8 x + 5 cos x,
cos 6x = 32 cos6 x — 48 cos4 x + 18 cos2 x — 1,
tg2X____ tc3x-3tgX~"tg3 x tff4x — 4tg*~4fe3*
tg2X 1 - tg2 X ’ tgdX 1—3tg2x ’ tg4x^T“6tg2x + tg4x-
11. Тригонометрические функции некоторых углов.
1) sin пл = 0, cos пл ==« (—l)n, tgnn==0.
-п«Я—/ п(п/2] 1 + (—О" t„ ля _ 1 — (—1)"
cos— = (-!)>	-----5---. tg — = i+p-ipr
3) sin = (-I)*'3' # {1 - (-l)ln/3IJ
o	4
4
э+с-ч'1-1-1»1!
3	4
tg — = (_i)«'»+2>/3]	{ 1 _ (_i)ito+»y3]J
3	2
[п — четное],
[л — нечетное],
[п — четное],
(л — нечетное],
[л — четное],
[п — нечетное].
184
L
fl ,to 2».			In — четное],
			[л — нечетное],
смД._(_1,1.«.!.+ (-1>|'?_			[п — четное],
— (--pKn+l)/*!			[п — нечетное],
♦ ПЯ	tn/41 1 — (—1)1Я/21 <8 4 -(-1>>”'<1 1 + (J,)rt«			[п — четное],
« (_ 1)1(2п+1У4)			[л — нечетное].
б) sin = (-1)^1	V10 - (-1)^12.-1 О	О		/5	[л — четное],
< ! / n[(4n-l)/51	.				
«(-1)К«+ад 1+	_ V10 - о	(_ pl«/2] 2		V5 [л — нечетное],
COS— = (—1 )П«+2»/51 V5 + (—1)1Д/21 5	4		In	¥»0, ±5, ±10,...].
6) 8in	{1 _ (-Difc+Mi)			[л — четное],
( pin/е, 3-(-p><»+W			[л — нечетное],
cos «= (_1)1<»+2>«» 3 + (—рИ**1^ 6	4			{л — четное],
(_1)1<п-И)/б1 УЗ {, + (—^Кл+П/З]}’			[л — нечетное],
tg - (-1)'я/31	{| - (-рК»+‘УЗ]}			[л — четное],
=, (_nln/3l	?	 '	V3"{14-(—i)Kn+1W3’>			> (л — нечетное].
7) sin	= (-1)К»+‘>«1± -д/2 - (—1)1лЛ*> - (-Р	[<Зл+1)/4]		[л — четное],
= (_pl«'8i 1- ^/2 - (-р1<»+*М V2"			[л — нечетное],
cos ™ „ (_1)К«+ЭД -£ ^2 + (-1)^’ + (-pK3»+lV4] о	Л			[л — четное],
=. (_1)К«+3)/81 2. д/2 + (-l)K«+»Vfl т/2 2			[л — нечетное],
{<г	_ (_П[(2п+1)/81 2- (-П^4>-(-рК3п+1^ В 8 -	(-1)1^4] _ ^[(Зя-НМ			[п — четное],
« (_ 1)«2я+1)/81 {у2“_ (_i)l(n+l)/4Jj			[л — нечетное].
8) sin — = — (Vs" — 1), 10	4		л	
	tg’	10	“Тб- V5-2V5,
СМТК =Т V10 + 2VS.		ctg	—Уб+ 2 Тб,
185
. 3л sin — — 10 3л cos 10 ““	4<V6 4-1), 4	tg—=-4=- Vs 4- 2 Уб, 10	V5
	Vio - 2 V5, ctg = V5 - 2 V5.	
9) sin-§- = 12	Уб - V2 4	’	я _ Уб 4- У2 СО812 --	4	’
. Л tg 12	2 — V3 ,	ctg-§- = 24-УЗ,
. 5л sin -r— = 12	УЗ 4-1	5л	— 1
	2л/2 ’	12	2 V2
. 5л tg 12 —	24- Уз,	с1Я7£- = 2-Уз,
. 7л sin		 12	1 4~ Уз 2 У? ’	7л ' 1 — Уз COS			J=r- . 12	2л/2
tg 12	— 2 —Уз,	ctg 7^- = —24-Уз,
11л sin		 12	-14-УЗ~	Пл -1-Уз
	2л/2	’	12	2УГ ’
, 11л tg 12 “	-24-УЗ,	ctg 12 - 2 Уз.
10) sin -i- = y[— Уз"(Уб — 0 +V10 + 2V5],
COS "Й’= T	“ 1 +	Vl° + 2 л/б),
tg -§- = у (З - Уб ) (2 УГ - д/10-2д/5).
ctg TT = T +	(2 Уз 4- V10-2V5),
sin 22- =-l [Уз’(Уб + 1) - V10-2Vd,
Ю О
cos тг=т	+1+V10—2 Vs),
tg	= Y (3 + У?) (- 2 Уз) 4- V10 + 2V5),
ctg = 7- (V5 - 1) (2 Уз + V104-2V6).
И) sin-^- = ^-V2-V2+V2, C0S7g-=§- V2+ V24- -vT,
tg -j|- = V2 V2 4- V2" — V2" — 1, ctg-i- =	^2 + ^/2 4- -y/2 4-1,
sin •7?-=yV2—V2 —V2", c°s-^r = ^-V2 4- V2- VF,
lu 4	IQ Z
tg 7^ =У2 V2 — У2" — V2 4-1, ctg ^1 = д/2 V2 — УТ 4- ^2 — 1.
186
12)	sin	(75 + 1 - 710-2 7?).
cos^- = ^- (7? + 1 + 710-275).
tg JL = 75 + 1-75 + 275'. ctg ^-= 75 + I + 75 + 275 ,
sin	(710 + 2 75 + 1 - 75 ). cos§ =	(710+2 75+ 1 + 7’5 ),
tg -g. = T5 - 1 - 75-275. ctg 75 - 1 + 75 - 2 75".
13)	sin-£- = -5-72-72 + 7^. cos2L=lV2 + 72 + 73,
tg ==(V2 — 1)(л/З — V2), ctg ~-|-==(д/2 + 1)(V3 + V2),
sin-§-=-1д/2-72-7?, cos-g-= |72+72-73,
tg-§-=(72 + 0(73 - 72), ctg ^.=(72 - 0(73 + 72).
14)	sin -1- =1 [- (75 + 1) + 73 710 - 2 75J,
□и о
cos-1- = 1 [7з (75 + 1) + 710 - 275J,
ou о
tg -Л—t^75 -1) (7io+27г-273"),
OU 4
ctg -1 -1 (3 + 75")(710 + 2 75 + 27з),
ou 4
sin #=4-t-(75-0 + 7з 7io +2 7d.
ou о
cos 5- [7?(75"- 0 + 710 + 2 75"],
oU о
tg^=l(75+1)(2 7з -710-2 75),
ou 4
ctg	= t(3- 75)(27з + 710-2л^").
OU 4
15)	sin=-§472 + 7^ 710-27^- 72 - 72 (1 + 75)],
cos-^- = -i-172-7? 710 - 2 75 + 72+-V^ (1 + 75)],
tg =1(1 -75+2 72)1710-275 - 7? (75 - 1)],
ctgl^ = l(-l + 75 +272)1710-275 +7? (75-1)].
4U 4
16)	sin « =	[7(2 + 73)(3 - 75) - 7(2 - 73)(5+75)],
cos ".=7L[7(2-73.03-7514-7(2+ 7з)(5+75)],
60 о
187
tg JL=-L(2 - Уз ) (1 + 2 Уз - Vs) (-5/1O —2-УГ - 2),
ctg -ST =4- (2 + V3 ) (-1 + 2 Уз + У5) (-5/10 — 2-1/5" + 2).
OU 4
12. Степенные ряды.
sin x _ У (-0* x2fe+l _ У .(-О* x2fe
sin 2j (26 + 1)!	’ zL (26)1	’
	1 sin x	- 1 1 2 У 22fe~‘ ~ 1 1 В lx2 **'"1 x 1 “ Zj (2ft)t 1 2fe 1x	( I X 1 < я],
	k^l	
1	— У 1 £2fe 1 r2k	Ilx| < я/2],
COS X	Li (2^)1	
tg x =	У 22fe(22fe-l) д 2^i 2-r	(26)! ’S2felx £-1	11 x 1 < я/2],
Ы		Ilx| <я].
1.4. Обратные тригонометрические функции
1.	Некоторые соотношения.
Главные значения обратных тригонометрических функций определяются не-
равенствами
—	я/2 < arcsin х<я/2; 0 < arccos х<я	[—1^х<1];
—	я/2 < arctg х < я/2;	0 < arcctg х < я	[— оо < х < оо].
arcsin (— х)» — arcsin х, arccos (— х) = я — arccos х,
arctg (— х) = — arctg х, arcctg (— х) — л — arcctg х,
sin (arcsin х) « х, cos (arccos х) — х,
tg (arctg х) === х, ctg (arcctg х) - х.
arcsin (sin х)«« х — 2лл	[2лл — л/2 х «С 2пл + л/2],
= —х + (2л+ 1)л	[(2л+1)л-л/2<х<2(л+ 1)я + я/2].
arccos (cos х) = х - 2лл	[2ля < х < (2n + 1) я],
= ~х + 2(л+1)я	[(2л+ 1)л<х<2(п + 1)л].
arctg (tg х) = х —• ля	[ля — л/2 < х < ля + л/2],
arcctg (ctg х) = х- ля	4 [ля < х < (n + 1)я].
lim arctg х == ± л/2, lim arcctg х = л/2 =F л/2.
Л->±оо	Х->±оо
2. Связь с логарифмической и обратными гипербол и*
ческимнфункциями.
arcsin z = — i In (iz + Vl — я2) = — I Arsh (iz)9
arccos z == — Z In (z + Vz2 — 0 =« — Z Arch z,
arctg 2 == — 4-	s ““ z Arth (**)>
z 1 iz
i iz____ 1
arcctg z = — — In 	. = i Arcth (iz}.
Z IZ “j" 1
188
3. Формулы дифференцирования,
d	I d	1
dx	Vl-*2	dx	Vl - *2
arctg x =  /- , ,	arcctgx == —
dx	&	1 + x2 ’	dx	6	1 + x2
4. Связь между обратными тригонометрическими функ-
циями.
.	л arcsin х »“X	arccos х, 2	
«arccos Vl ~	[O<x<n.
= —arccos Vl — x2	(- l<x<0], U2 < U.
3 c Vi-*2	
. Vl — X2 = arcctg ¥ x	10 <	1],
Vl — x2 =a arcctg —1—-	n 1	/	r	[-l<x<0],
= у arcsin (2x Vl — x2)	[x2 CI/21,
=	arcsin (2x Vl — x2) 2	2	[l/V2'<xCl],
« —~ arcsin (2x Vl — *0	[-1 <x< -1/V2L
л arccos x = — arcsin x,	
= arcsin Vl — x2	[0< x < 11,
= л — arcsin Vl — x2 . л/1 — X2 = arctg x	.	.	[- l<x<0], [0<x<l],
Vl — x2 «= л + arctg			[-ICxCO],
X	X	I—1<X<11 я [0<x< 1],
“arcctg vr=^ = -£ arccos (2x2 — 1)	
« л *- -у arccos (2x2 — 1)	[- 1<ж<0].
arctg x—-y — arcctg x,	
X	
Vl + x’’ 1	[*>01, [«<01,
Vl + x2 1	
Vi + *8	
*S9
л . 1
=T“arctgT
= —5. — arctg-i-
X	л
, 1
— arcctg —
t 1
= arcctg—-л
[X > 0],
л t 1 — X
4 K 1 + x
3л , 1 — x
= - — -arctg T+7
1	. 2x
=TarctgT^
1	.	2x , л
= 7arctg7^ + T
1	,	2x л
=TarctgT^-T
л 1	. 2x
---T~	TarcsmbH
1	.	2x
““ 2 arcsm i 4. X2
л	1	.	2x
~ 2	2	arCSU1	1	+ x2
1	1 -x2
— 2 arccos j + x2
1	1 — x2
= __arccos__
[X < 0].
[x > 0],
[x < О],
Ix>-1],
[x< -1L
II x| < 1],
[X>1L
lx<- 1L
[x<-i],
[-1<x<1L
(x>1L
. (x>0L
(x<0L
л ,
arcctg x » -g----arctg x,
1
= arcsin —==
1
= л — arcsin —7=
[x > OL
lx < о].
x
= arccos —7=
4 1
~= arctg —
. 1
= л + arctg —
[x > OL
[x<0L
5. Степенные ряды.
arcsin х
у» (26)!	( х \2*+1
Zu (6!)2 (26 -Н) I 2 J
llxldl.
л Л V (26)! f X \2fe+L
arccos x=T - 2	W(2fe4.i) (T)
11 x |< 1].
190
arctg x=£ trrx2fe+l
£=0
= 2L_ V <-0* ,
2 L 2k + 1
fe=0
____2L_ V (-D* ;. -2fe-i
-	2 Li 2k + 1
fc=0
[|x|dl,
k> H,
. n V (—l)ft
arcctg x = T-2J 2Г+Т
fe=0*
x2fe+l
V (-l)fe 2fe_i
L 2k +1
fe=0
fe=0
(~l)fe 2*-Г
2k + 1
[I X| < 1],
[x > 1],
[x < -1 J.
Приложение II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И СИМВОЛЫ
X
_ . .	1 f sin t ,,	-
S (x) =*	_ \ —7=- dt — сийус-интеграл Френеля.
V2ji J VT
x
- z ч 1 Г cos t ,,	_
С (x)	—7= \ —t=- dt — косинус-интеграл Френеля.
. V2« J VF
. . . f sin t	
si (x) == ~ \ —— dt — интегральный синус.
X
оо
SCOSt ..
—-t— dt — интегральный косинус.
x
x
L12(x)=*— \ -----------dXt
О
=	-р— дилогарифм Эйлера.
fe=i
С” ==	_ ту---биномиальные коэффициенты.
С«=1.
nt = 1-2-3 ... (п— 1)п, 0!=1! = 1.
(2п)!1 = 2-4-6 ... (2п) = 2"п!,
(2«+1)!!= 1-3-5 ... (2n+1),
191
( Ж п = 2*.
™	Ь(2*+ 1)И, п«2* + !,
О!! = (—1)1? = 1.
Вп — числа Бернулли.
в.-!,	в,_|. в.--А в..±,
Д _	1 я _ 5	691
Й8-“30’1 В,а-6б\ 5,2	2730’
п
№
В2д+1 e 0 ПРИ я = 1, 2, 3,
Еп — числа Эйлера.
£0=1, £2г=—1, £4 = 5, £б« —61, £8== 1385,
£10 = — 50 521, £12 = 2 702 765,
^2«+1 в 0«
sgn X = < '	л
(. — 1, x < 0.
[xj = n (rt^x<n +1, zi = 0, ±1, ±2,...) — целая часть числа x.
1 руб.
X-