Автор: Нурк Э.Р. Тельгмаа А.Э.
Теги: учебные пособия и учебники по математике математика учебник
ISBN: 5-09-004623-9
Год: 1993
Текст
.,
. !\.
.:I
.
.,. Iiiki
.=
II
liiI.
t
. . --
_:
....
r .
.
i
. .n t41
. ,. J'8
. .
#711'E
*lJ1:s tI;.';' ,
V. r.-- . ""
..
d" ".
t .[.;M1J.1
:5555
:::m
:
......::::::::
". . ..
-.. .
Э.Р НУРК
А.Э. ТЕЛЬГМАА
МАТЕМАТИКА
УЧЕБНИК ДЛЯ 6 КЛАССА
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Утверждено
Министерством образования
Российской Федерации
3-е издание
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1993
ББК 22.1я72
Н90
Учебник получил премию на Всесоюзном конкур¬
се учебников по математике для средней общеоб¬
разовательной школы
Нурк Э. Р., Тельгмаа А. Э.
Н90 Математика: Учеб. для 6 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Прос¬
вещение, 1993. - 224 с.: ил. - ISBN 5-09-004623-9.
„ 4306020500-138
103(03)-93 И"Ф-письмо - 93, № 52 ББК22.1я72
Учебное издание
Нурк Энн Рихардович
Тельгмаа Аксель Эдуардович
математика
Учебник для 6 класса средней школы
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. В. Туркестанская
Младшие редакторы Заседателева JI. И.. Шугаева О. В.
Художественный редактор £. Р. Дашук
Технический редактор С. С. Якушкина
Корректоры О. И. Кузовлева. Г. И. Мосякина
ИБ № 14749
Подписано к печати с диапозитивов 05. 03. 92. Формат 60x90'/,Бумага офсетная. Гарнитура литературная.
Печать офсетная. Уел. печ. л. 14,0+0,25 форз. Уел. кр.-отт. 14,75. Уч.-изд. л. 11,06+0,42 форэ.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Министерства печати и информации Рос¬
сийской Федерации 127521, Москва, 3-й проезд Марьинои роши. 41.
Диапозитивы изготовлены в Смоленском полнграфкомбинате Министерства печати и информации Рос¬
сийской Федерации. 214020, Смоленск, ул. Смольяыииова, 1.
Отпечатано при посредстве В/О «Внешторгнздат»
Отпечатано Графншер Гросбетриб Пёснек ГмбХ - Эйн Мондрук-Бетриб
Gedruckt bet Graphischer GroBbetrieb PoBneck GmbH ■ Ein Mohndruck-Betrieb
ISBN 5-09-004623-9
(с) Издательство «Просвещение», 1989
Мой друг!
В этом учебном году на пути к новым знаниям ты продолжишь
изучение математики, узнаешь много нового и интересного. Я хочу
служить тебе хорошим помощником и советчиком на этом пути.
Чем мы будем заниматься?
В предыдущем классе ты уже овладел навыками вычислений
с натуральными числами, десятичными дробями, а также полу¬
чил первое представление об обыкновенных дробях. В предстоя¬
щем учебном году ты продолжишь изучение обыкновенных дро¬
бей. Ты научишься действиям с этими дробями, узнаешь, как
3 5 2.1
наити, например, произведение ~-g- или сумму "ут-—-
Ты, конечно, еще не умеешь из меньшего числа вычесть
большее, например найти разность 3 — 4. Для этого тебе предстоит
познакомиться с числами нового вида.
Ты, наверное, хорошо знаешь, как записать расположение
шахматных фигур на доске или как найти свое место в театраль¬
ном зале. Какая же здесь связь с математикой? И об этом ты
узнаешь в предстоящем учебном году.
Делится ли число 387 954 на 9? Для получения ответа можно
было бы выполнить письменное деление. Но не надо! На моих
страницах ты найдешь простое правило, которое поможет тебе
быстро найти ответ на данный вопрос.
Много нового ты узнаешь, изучая геометрический материал.
Какие есть возможности для расположения двух прямых на
плоскости? С участка какой площади сможет кормиться травой
коза, если она привязана на веревке длиной 10 м? На эти и
другие вопросы ты тоже получишь ответы в этом учебном году.
Весь материал на моих страницах разделен на шесть глав,
каждая из которых разделена на параграфы. В конце каждого
параграфа имеются задачи двух разделов: А и Б. Задачи в раз-
з
деле А более простые, а в разделе Б немного сложнее. Если ты
захочешь решать задачи еще сложнее, то есть и такие. Они обозна¬
чены звездочкой.
Особое внимание обрати на вопросы и задачи под заглавием
«Для самопроверки». Если ты сумеешь решить все эти задачи
и ответить на все вопросы, то ты учился старательно. В этом
случае можешь, не боясь трудностей, приступить к изучению
новой темы.
Запомни: путь к сокровищнице знаний, особенно при изуче¬
нии математики, требует от тебя последовательности и настой¬
чивости.
Береги меня, чтобы я в следующем учебном году мог быть
хорошим помощником другим ученикам.
Твой учебник.
1. ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Повторение
А.
2
1. В классе 30 человек. Во время летних каникул — всех уча¬
щихся класса отдыхали в спортивных лагерях, а остальные
учащиеся в течение 20 дней — в лагере труда и отдыха, где
заработали в среднем по 1,8 р. в день каждый. Поставь разум¬
ные вопросы и ответь на них.
2. Вычисли (устно):
1) 32+14 2) 93 + 20 3) 0,6 + 0,3 4) 1,6 + 0,4
256+121 22+128 1,2 + 5,3 0,8 + 0,5
187-106 1000-18 0,9-0,4 2-0,3
250—130 518-409 0,24-0,13 4—1,8
3. Вычисли:
1) 54 310 + 23 690 2) 1000 000 — 24 306
450 760 + 1 564 768 8 607 333 — 7 970 315
86,315 + 4,085 201,1-7,35
4. Вычисли (устно):
1) 100-64 2) 10-4,52 3) 2-0,9 4) 0,6-0,9
6-103 0,64-1000 0,6-7 0,07-0,5
9600:10 4,7:10 4,8:4 6:0,3
5000:100 56,4:1000 3,2:8 8:0,04
5. Вычисли:
1) 4007-43 2) 20-37,5 3) 1035:23 4) 84,6:6
88 044-15 0,27-5,9 17 860:94 8,489:0,013
560-420 1,45-0,97 14 351:113 1,92:5
6. Вычисли:
1) 64 200-53 609+1860+64 2) 339,52-129,92 — 71,35
17 394 —(5 682 + 473) 207 605-409-506
51 - (3,29 • 0,1 + 6,241) (49 - 38,2) (0,82 + 1,68)
7. Относительно какой пары чисел можно сказать, что первое
число делится на второе:
24 и 8, 18 и 4, 35 и 5, 48 и 3, 56 и 5, 85 и 10?
5
8. Назови все такие натуральные числа, на которые число 45
делится без остатка.
9. Во время летних каникул ученики 6 класса побывали в мес¬
тах боевой славы. Для этого им пришлось пройти 58 км,
проехать 247 км поездом и 105 км автобусом. Поставь разум¬
ные вопросы и ответь на них.
10. Площадь Белого моря 90 тыс. км2, а площадь Черного моря
420 тыс. км2. Во сколько раз площадь Белого моря меньше
площади Черного моря? (Ответ округли до десятых.)
11. Расстояние между двумя городами 270 км. Автобус проезжа¬
ет это расстояние с постоянной скоростью за 4 ч. Легко¬
вая машина проезжает 75 км в час. Скорость какой машины
больше и на сколько?
12. На первом поле урожай зерна составил 40 ц с одного гекта¬
ра. На втором поле, площадь которого 30 га, урожай зерна
был 960 ц. На каком поле урожай зерна с одного гектара боль¬
ше и во сколько раз?
13. Длина пастбища прямоугольной формы 580 м, а ширина на
130 м меньше. Вычисли площадь пастбища (в гектарах) и его
периметр (в километрах).
14. Вычисли: 1) 20% от 60; 2) 64% от 1800; 3) 3,6% от 72.
15. В автопарке 180 автомашин, из них 80% грузовые. Сколько
грузовых автомашин в автопарке?
16. Начерти прямую и отметь на ней точки А, В и С. Измерь
длины всех полученных отрезков.
17. Отрезок KL равен 4,5 см. Начерти: 1) отрезок МР, который
на 2,1 см короче отрезка KL; 2) отрезок CD, который в 1,2 ра¬
за длиннее отрезка KL.
18. Начерти луч О А и отметь на нем точку В, такую, чтобы
ОВ = 3,8 см. На сколько сантиметров отрезок АВ короче
(или длиннее) отрезка ОА?
19. Начерти угол, равный 55°, 90° и 140°.
20. Начерти треугольник ABC и измерь его углы. Вычисли сум¬
му углов этого треугольника.
21. Длина шкафа, имеющего форму прямоугольного параллелепи¬
педа, 1,8 м, ширина 0,5 м и высота 2 м. Вычисли объем шкафа.
22. Вырази в метрах: 17 км, 6,3 км, 0,8 км, 40 см, 15 см, 7 дм,
4,3 дм.
23. Вырази в квадратных метрах: 6 га, 1,8 га, 0,5 га, 2 км2,
0,4 км2, 700 дм2, 1850 дм2. 30 000 см2, 4000 см2.
6
24. Вырази в кубических дециметрах: 4 м3, 3,2 м3, 0,2 м3,
7000 см3, 34 ООО см3, 4,8 л, 0,7 л.
25. Вырази в килограммах: 15 т, 0,45 т, 2 ц, 0,3 ц, 6500 г, 94 г,
245 г, 1250 г, 5 г.
Б.
26. Вычисли:
1) 1 657 974:822 -106—(50 377 + 20 338);
2) 4,32 (5,67 - 2,07) + 10,53:4,05 - 0,152;
3) (43-19 — 26 928:33) (16 112:53 — 304).
27. Вычисли значение выражения:
1) 46 —Зс, если 6 = 9 и с = 0,8;
2) 28тп — 5л+2/п, если m=0,2 и л=0,3;
3) 2(Зх + 5)—3(4х—15), если *=6,5;
4) 3(2*— 1) + 2(3*+ 1), если *=1,1.
28. Площадь архипелага Новая Земля (состоит из двух крупных
и множества мелких островов) примерно равна 83 000 км2.
Северный остров архипелага имеет площадь 48 900 км2, а пло¬
щадь Южного острова на 15 600 км2 меньше Северного.
Во сколько раз площадь мелких островов архипелага меньше
площади Северного острова?
29. Самое большое животное земного шара — кит синий. Масса
новорожденного китенка примерно 3 т. В период кормле¬
ния матерью он прибавляет в весе ежесуточно в среднем
100 кг. Сколько весит китенок через * суток после рождения?
Составь выражение и вычисли его значение, если * = 30,
*=100.
30. В 9 ч из двух городов, расстояние между которыми 210 км,
навстречу друг другу выехали два автомобиля. Средняя ско¬
рость одного автомобиля 50 ^, а другого 70 . Поставь
разумные вопросы и ответь на них.
31. Длина бассейна, имеющего форму прямоугольного паралле¬
лепипеда, 25 м, ширина 10 м и глубина 1,8 м. Сколько вре¬
мени потребуется, чтобы заполнить бассейн водой на 1,5 м,
если ежеминутно в бассейн поступает 2,5 м3 воды?
32*. Лучи ОА и Об образуют прямой угол. Начерти луч OD так,
чтобы /LBOD = 115°, и луч ОЕ так, чтобы Z.АОЕ = 45°.
Вычисли угол DOE (рассмотри все возможные случаи).
7
1.1. Делители и кратные числа
Найдем все натуральные числа, на которые делится число 12.
Такими числами будут 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Действительно,
12:1 = 12, 12:2 = 6, 12:3 = 4, 12:4 = 3, 12:6=2 и 12:12=1. Ни
на одно другое натуральное число 12 не делится. Все числа, на
которые делится 12, называются делителями числа 12. Число 7 не
является делителем числа 12. Объясни почему.
Любое натуральное число, на которое делится данное нату¬
ральное число, называется делителем данного числа.
Например, делителями числа 10 будут числа 1, 2, 5 и 10,
а делителями числа 19 лишь числа 1 и 19.
Возьмем какое-нибудь натуральное число, например 5, и
будем умножать его последовательно на 1, 2, 3, 4, ... . Получим
числа соответственно 5, 10, 15, 20, ..., которые обладают одним
общим свойством: все они делятся на 5. Такие числа называются
кратными числу 5. Число 21 не является кратным числу 5.
Объясни почему.
Любое натуральное число, которое делится на данное нату¬
ральное число, называется кратным данному числу.
Например, числа 3, 6, 9, ... будут кратными числу 3, а числа
7, 14, 21, 28, ...— кратными числу 7. Вообще если обозначить
какое-то натуральное число через п, то кратными этому числу
являются числа
п-1, п.'2, п-3, П‘4, п-5, ... .
Многоточие в конце этой последовательности означает,
что среди кратных данному числу нет наибольшего числа, поэто¬
му невозможно перечислить все числа, кратные данному натураль¬
ному числу.
А.
33. Прочти текст параграфа. Запиши: 1) делители числа 36;
2) пять чисел, кратных числу 11.
34. Укажи те пары чисел, в которых первое число является дели¬
телем второго:
2 и 6, 3 и 5, 3 и 9, 4 и 12, 7 и 28, 5 и 18, 10 и 30.
35. Проверь, будет ли первое число делителем второго:
1) 13 и 611, 2) 32 и 277, 3) 10 и 9 800,
14 и 516; 101 и 2 727; 9 и 816.
8
36. Назови все делители чисел:
1) 1, 2, 8, 12; 2) 3, 9, 15, 21;
3) 5, 26, 29, 30; 4) 13, 22, 27, 32.
37. Нужно разделить поровну между несколькими детьми 24
ореха. Какое число детей возможно для этого?
38. Назови те пары чисел, в которых первое число кратно вто¬
рому:
9 и 3, 10 и 4, 15 и 1, 9 и 2, 24 и 6, 100 и 5, 32 и 9.
39. Назови для каждого из следующих чисел три кратных:
3, 5, 8, 10, 12; 30, 80, 100, 1000.
40. Проверь, будет ли первое число кратно второму:
1) 288 и 8, 2) 2501 и 61, 3) 3920 и 112,
485 и 9; 2816 и 46; 1696 и 32.
41. Назови все двузначные числа, кратные числу 9.
42. Какой цифрой оканчиваются числа, кратные 2, 5, 10?
Б.
43. Объясни, почему среди делителей данного числа всегда най¬
дется наименьшее и наибольшее число.
44. Объясни, почему среди кратных данного числа найдется
наименьшее, но нет наибольшего числа.
45. Найди все делители числа 1110.
46. Запиши те значения х, кратные числу 6, при которых нера¬
венство 48<х<94 верно.
47*. Запиши четырехзначные числа, кратные 423 и оканчиваю¬
щиеся цифрой 5.
1.2. Признаки делимости
Допустим, что нужно узнать, делится ли, например, число
38 756 на 3. Для этого можно выполнить деление 38 756:3 и тем
самым получить ответ на поставленный вопрос. Но ответ можно
получить гораздо проще, не выполняя деления. В этом нам помо¬
гут признаки делимости. Рассмотрим лишь некоторые. Сначала
заметим, что на данное натуральное число п делятся все числа,
кратные п. Ни одно другое число на п не делится.
Признаки делимости на 10, 5 и 2
Кратными числу 10 являются числа
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, ... .
9
Запись каждого из этих чисел оканчивается цифрой 0.
Итак, на 10 делятся все те натуральные числа, запись которых
оканчивается цифрой 0; если запись числа оканчивается любой
другой цифрой, то число не делится на 10.
Кратными числу 5 являются числа
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ... .
Последней цифрой каждого из этих чисел является или 0,
или 5. Отсюда вытекает, что на 5 делятся все те натуральные
числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5;
если запись числа оканчивается любой другой цифрой, то число
не делится на 5.
Кратными числу 2 являются числа
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24
Запись чисел, кратных числу 2, оканчивается одной из цифр:
0, 2, 4, 6, 8. Эти цифры называются четными цифрами. Остальные
цифры, то есть 1, 3, 5, 7 и 9, называются нечетными цифрами.
Следовательно, на 2 делятся все те натуральные числа, запись
которых оканчивается четной цифрой; если запись числа оканчи¬
вается нечетной цифрой, то число не делится на 2.
Натуральные числа, которые делятся на 2, называются чет¬
ными числами. Все остальные натуральные числа нечетные. На¬
пример, числа 58, 96, 100, 38 754 четные, а 89, 311, 1003, 57 327 не¬
четные.
А.
48. Проверь по тексту, помнишь ли ты:
1) какие цифры называются четными, какие нечетными;
2) признаки делимости на 2, 5 и 10.
49. Выпиши числа, которые делятся: 1) на 5; 2) на 10:
430, 708, 95, 1300, 605, 4001, 90, 175, 104, 800, 34 000.
50. Напиши три четырехзначных числа, которые делятся: 1) на 5;
2) на 10.
51. Какие из чисел 37, 82, 136, 5023, 18 008, 300 421, 1 000 000,
554 четные? Какие нечетные?
52. Напиши: 1) четыре трехзначных четных числа;
2) четыре трехзначных нечетных числа.
53. Даны числа:
1) 127, 568, 1932, 4939, 5300, 1026, 75 443, 579 314;
2) 375 654, 9999, 100 600, 394 497, 87 302 608.
Какие из них делятся на 2? Какие не делятся?
ю
54. В конце урока учащиеся сдали тетради для контрольных ра¬
бот и тетради для упражнений, всего 47 тетрадей. Все ли
учащиеся сдали обе тетради?
Б.
55. Выясни: 1) все ли числа, которые делятся на 5, делятся и
на 10;
2) все ли числа, которые делятся на 10, делятся и на 5.
56. Найди значения х, при которых неравенство х<45 верно
и которые при этом делятся: 1) на 5; 2) на 10.
57. Из цифр 0, 2, 5 и 7 составь по три трехзначных числа, кото¬
рые делятся: 1) на 2; 2) на 5; 3) на 10.
58. Напиши четыре трехзначных числа, которые делятся и на 2,
и на 5. Сделай вывод.
Признаки делимости на 9 и 3
Выпишем числа, кратные 9:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, ... .
Мы видим, что число, кратное 9, может оканчиваться любой
цифрой. Поэтому судить о делимости на 9 по последней цифре
записи числа мы не можем. Чтобы выяснить, делится данное-число
на 9 или нет, вычисляется сумма цифр этого числа. Например,
сумма цифр числа 327 равна 34-2 + 7=12, сумма цифр числа
20 756 равна 2 + 0 + 7+5+6 = 20.
Запишем некоторые числа и под каждым числом — сумму его
цифр:
72, 8U 93, 108, 288, 323, 499, 873, 1003, 8883, 99 873
9 9 12 9 18 8 22 18 4 27 36
Можно проверить, что каждое из подчеркнутых чисел делится
на 9 и в то же время сумма цифр этих чисел тоже делится на 9.
Остальные (неподчеркнутые) числа не делятся на 9 (проверь!),
и сумма цифр этих чисел тоже не делится на 9. Можно убедиться,
что такая закономерность имеет место для любого натурального
числа. Сформулируем признак делимости на 9: на 9 делятся все
те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 9; ес¬
ли сумма цифр числа не делится на 9, то это число не делится
на 9.
Например, число 397 566 делится на 9, так как сумма его
и
цифр 3 + 94-7 + 5 + 64-6 = 36 делится на 9. Число 8972 не делит¬
ся на 9, так как сумма его цифр 8+9 + 7 + 2 = 26 не делится на 9.
Признак делимости на 3 аналогичен признаку делимости на
9: на 3 делятся все те натуральные числа, сумма цифр которых
делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и само
число не делится на 3.
Проверь справедливость этого признака на примерах.
А.
59. Проверь по тексту, помнишь ли ты признаки делимости на
9 и на 3.
60. Найди сумму цифр следующих чисел:
1) 135, 207, 396, 615, 3926, 9234;
2 ) 5688, 6703, 3006, 9001, 42 732, 8 500 770.
Какие из них делятся на 9?
61. Даны числа:
1) 231, 801, 1002, 5765, 5792, 4501;
2) 9684, 4370, 9081, 21 708, 472 634, 1 345 000.
Какие из них делятся на 3?
62. Можно ли из данных цифр составить трехзначное число, де¬
лящееся: а) на 3; б) на 9:
1) 1, 2, 5; 2) 2, 3, 7; 3) 0, 5, 4?
63. Вместо звездочки поставь такую цифру, чтобы получилось
число, делящееся на 9:
1) 1 * 00; 2) 578 * ; 3) 4 * 1; 4) * 888.
64. Можно ли разделить пачку, состоящую из 4731 газеты: 1) на
три равные части; 2) на девять равных частей? (Объясни
почему.)
Б.
65. Выясни: 1) все ли числа, которые делятся на 3, делятся и
на 9; 2) все ли числа, которые делятся на 9, делятся и на 3.
66. Какой наименьшей и какой наибольшей может быть сумма
цифр двузначного числа?
67. Найди числа х, делящиеся: а) на 3; б) на 9, такие, чтобы
неравенства были верными:
1) 27<jt<42; 2) 32<х<70; 3) 120<jc< 150.
68. Из данных цифр составь, если это возможно, трехзначное
число, делящееся: а) на 3; б) на 9:
1) 5, 8; 2) 1, 8; 3) 3, 6.
12
69*. Вместо звездочек поставь цифры такие, чтобы число
4* 1 * делилось на 9. Найти все возможные решения.
70*. Напиши пять двузначных чисел, которые делятся и на 2, и
на 3. На какое еще число делятся все эти числа?
71*. Из цифр 3, 4, 5 и 6 составь все трехзначные числа, деля¬
щиеся и на 3, и на 5.
Самостоятельная работа 1
Тема. Простые и составные числа.
1. Найди все делители каждого из чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 17, 43, 60.
2. Если ты с заданием справился, то получил:
Натуральное число
1
2
3
4
5
6
12
17
43
60
Количество делителей
1
2
2
3
2
4
6
2
2
12
3. Итак, число 1 имеет один делитель, число 12 — шесть дели¬
телей, число 43 — два делителя. В математике выделяют такие
натуральные числа, которые имеют только два делителя: 1 и само
это число. Натуральное число называется простым числом, если
оно имеет только два различных делителя: единицу и само себя.
Число, имеющее более двух делителей, называется составным
числом. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным
числам, так как имеет только один делитель.
4. Продумай еще раз текст и скажи, какие числа называются
простыми, какие составными.
5. Какие из чисел, приведенные в п. 1, простые и какие
составные?
6. Какие из чисел 7, 9, 11, 14, 19, 27, 29, 31 простые и какие
составные? (Объясни почему.)
1.3. Таблица простых чисел
Как определить, является ли данное число (например, 567)
простым или составным? Для этого нужно выяснить, имеет ли это
число хотя бы один делитель, отличный от самого числа и еди¬
ницы. Если такого делителя нет, то число простое, в противном
случае оно составное. Но нахождение делителей для больших
13
чисел — дело нелегкое. Поэтому для
упрощения работы составлена таб¬
лица простых чисел. На форзаце
твоего учебника имеется такая таб¬
лица, в которой наибольшее простое
число 997. Однако это не самое
большое простое число. Древнегре¬
ческий математик Евклид доказал
примерно 2300 лет назад, что про¬
стых чисел бесконечно много, что
наибольшего простого числа не су¬
ществует.
Исторические сведения
Древнегреческий ученый Эратосфен, живший несколько позд¬
нее Евклида, предложил свой способ для составления таблицы
простых чисел. Этот способ носит название «решето Эратосфе¬
на». В чем он заключается? Найдем, например, все простые
числа от 1 до 20. Для этого выпишем все числа от 1 до 20 в ряд:
f 1. 1 / 1 / 1 / /
11/ 13 )4 уй уб ]Т_ уб 19
Далее будем вычеркивать числа, которые
не являются простыми. В первую очередь
вычеркнем 1, так как это не простое число.
Первое простое число 2. Подчеркнем его
и вычеркнем все числа, кратные 2, то
есть числа 4, 6, ..., 20. Следующее простое
число 3. Подчеркнем его и вычеркнем все
числа, кратные 3 (которые остались не
вычеркнутыми), и т. д. Так мы «высеем»
все интересующие нас простые числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Большие заслуги в области изучения
14
простых чисел принадлежат русским и советским математикам.
П. J1. Чебышев (1821 —1894) доказал, что между любым нату¬
ральным числом, большим 1, и числом, вдвое большим данного
(например, 2 и 4, 3 и 6, 10 и 20 и т. д.), всегда имеется хотя бы
одно простое число.
И. М. Виноградов (1891 — 1983) установил, что любое доста¬
точно большое нечетное число можно представить в виде суммы
трех простых чисел, например:
7=2+2 + 3, 9 = 3 + 3 + 3=2 + 2+5, 15 = 3+5 + 7 = 5 + 5+5.
А.
72. Назови все простые числа, которые расположены на число¬
вом луче между числами: 1) 1 и 10; 2) 10 и 20; 3) 30 и 40.
73. Проверь с помощью таблицы простых чисел, какие из чисел
простые, а какие составные:
197, 207, 239, 617, 813, 929, 943.
74. Эратосфен родился примерно в 276 г. до н. э. и умер примерно
в 194 г. до н. э. Какие годы, выраженные простыми числами,
приходятся на период жизни Эратосфена?
Б.
75. Найди все простые числа, при которых неравенство верно:
1) *<12; 2) 23<*<49; 3) 150<х<180.
76. Назови простое четное число. Есть ли еще простые четные
числа? Почему?
77. Проверь на примерах, может ли сумма трех последовательных
натуральных чисел быть простым числом. Сделай выводы.
78*. Совершенным числом называется натуральное число, которое
равно сумме делителей этого числа, меньших самого числа.
Например, число 6 — совершенное число, так как 6 = 3 +
+ 2+1. Имеется еще одно совершенное число меньше 100
Найди это число.
Для повторения
79. Расположи дроби в порядке возрастания:
-i._LiZ._Lii
18 ’ 18 ’ 18 ’ 18 ’ 18 '
80. Какие из дробей _ _ _
17 94 36 5 234 9 77 197
30 ’ 12 ’ 9 * 13 ’ 100 ’ 14 ’ 8 ’ 19
15
являются: 1) правильными; 2) неправильными? В непра¬
вильных дробях выдели целую и дробную части.
81. Каждое из яблок разрезали на четыре равные части. Сколько
четвертых содержится в одном яблоке? двух яблоках? пяти
яблоках?
82. Вычисли (устно):
1) 27 + 49 + 53 2) 84-50+11 3) 15-32-2
3,8 + 1,5 + 2,5 6,9-2,6-2,3 0,4:18-5
57 + 46 + 24 9,7-1,8-3,7 2-0,05-97
_3_ , _7_ _11_ 5_ 45_ 23
12"*” 12 16 16 50 50
83. Вычисли:
1) 3424:32 + 51-80; 2) 43,08—1,632:0,08.
84. Морковь в среднем содержит 6% сахара. Сколько граммов
сахара содержится в 200 г моркови?
1.4. Разложение составных чисел
на простые множители
Каждое составное число можно представить в виде произве¬
дения хотя бы двух множителей, отличных от 1. Например,
24 = 6-4. Если среди полученных множителей имеются составные
числа, то они тоже могут быть представлены в виде произведения
двух множителей. В данном примере
24 = 6 ■ 4=(3 • 2) • (2 • 2) = 2 • 2 • 2 • 3.
Схематично это можно изобразить так:
24
/ N
4 6
/ \ / \
2 2 2 3
Если составное число представлено в виде произведения,
все множители которого только простые числа, то говорят: сос¬
тавное число разложено на простые множители. Например:
18 = 2-3-3, 54 = 2-3-3-3,
900 = 2-2-3-3-5-5.
При разложении больших чисел на простые множители можно
пользоваться схемой, представленной в следующем примере:
16
Пример. Разложим на простые множители число 420.
Объяснение.
2 Запишем число 420 и справа от него проведем
2 вертикальную черту. Подберем наименьший прос-
3 той делитель (2) этого числа и запишем его справа
5 от данного числа. Частное 420:2 = 210 запишем
7 слева от черты под данным числом. С числом 210
поступим таким же образом: 210:2=105. Далее
получаем 105:3 = 35, 35:7 = 7, 7:7=1.
Каждый следующий простой делитель пишем под предыдущим
делителем и каждое следующее частное — под предыдущим част¬
ным. Разложение числа на простые множители заканчивается,
когда в левом столбике получим частное 1. Столбик чисел справа
от черты состоит из простых множителей, произведение которых
равно 420, то есть 420 = 2*2*3-5-7.
Составляя все возможные произведения из полученных прос¬
тых множителей по 2, по 3 и т. д., получим все остальные дели¬
тели числа. Например, такими делителями числа 420 будут:
2*2=4, 2*3 = 6, 2*7=14, 2*2*3=12, 2*2*7 = 28 и т. д.
А.
85. Объясни, что значит число разложить на простые множите¬
ли. Приведи примеры.
86. (устно.) Разложи на простые множители числа:
8, 10, 12, 14, 17, 18, 20, 25, 27, 31.
87. Разложи на простые множители числа:
48, 130, 60, 88, 96, 660, 250, 300, 72, 256, 1000.
88. Какие из чисел 63, 71, 85, 101, 127, 160, 181, 204 составные?
Какие простые? Составные числа разложи на простые мно¬
жители.
89. Напиши число, которое можно разложить: 1) на два различ¬
ных простых множителя; 2) на три различных простых мно¬
жителя; 3) на три одинаковых простых множителя.
90. Найди все делители каждого из чисел: 28, 32, 50, 60.
91. На какие числа делится: 1) произведение 3-5*13; 2) произ¬
ведение 2*2-7*11?
Б.
92. Разложи на простые множители числа: 1500, 741, 2464,
15 360.
420
210
105
35
7
1
17
93. Найди все делители каждого из чисел: 510, 1155, 1368.
94. Число раскладывается на два двузначных простых множите¬
ля, разность которых 2. Найди все такие числа.
95*. Замени звездочки цифрами, такими, чтобы равенство было
верным:
1) 77* = * -5-7-11; 2) 3*5=*-3-5-7.
1.5. Наибольший общий делитель
Выпишем все делители числа 32:
L_iL_i_KJ6 и 32 —
и все делители числа 24:
К_2^3, 4^6, 8^12 и 24.
Общими делителями (они подчеркнуты) чисел 32 и 24 будут 1, 2, 4
и 8, наибольший из которых 8.
Наибольшим общим делителем двух натуральных чисел назы¬
вается самое большое натуральное число, на которое делится
каждое из данных чисел.
Наибольший общий делитель двух чисел а и Ь обозначают
так: НОД (а, Ь). Поэтому можем записать, что НОД (32, 24) =8.
В рассмотренном примере НОД (32, 24) мы легко подобрали.
А если числа большие? В таком случае разложим их на простые
множители и будем руководствоваться следующим правилом:
наибольший общий делитель двух чисел равен произведению
общих простых множителей данных чисел.
Пример. Найдем НОД (630, 252).
630
2
252
2
Объяснение.
315
3
126
2
Разложим эти числа на простые
105
3
63
3
множители и подчеркнем все те мно¬
35
5
21
3
жители, которые являются общими в
7
7
7
7
обоих разложениях: 2, 3, 3 и 7. Про¬
1
1
изведение общих множителей дает
ответ: НОД (630, 252) =
= 2-3-3-7 = 126.
Итак, для нахождения наибольшего общего делителя двух
чисел:
1) разложим данные числа на простые множители;
2) найдем (подчеркнем) все общие простые множители в
полученных разложениях;
18
3) найдем произведение общих простых множителей.
По этому же правилу можно найти наибольший общий дели¬
тель для трех и более чисел. Например, 72 = 2д2-2-3;3, 84 =
= 2; 2/7 -3, 180 = 2-2-3-3-5.
Значит, НОД (72, 84, 180) =2-2-3= 12.
Если данные числа не имеют общих простых множителей,
то наибольшим'общим делителем этих чисел будет число 1. Нату¬
ральные числа, наибольший общий делитель которых равен 1, на¬
зываются взаимно простыми числами. Например, числа 10 и 21
взаимно простые, так как 10 = 2-5, 21 =3-7 и НОД (10, 21) = 1.
Если одно натуральное число делится на другое, то меньшее
число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Например, 32:16 = 2, значит, НОД (32, 16) = 16.
А.
96. Прочти текст параграфа, ответь на вопросы и приведи при¬
меры:
1) Какое число называется наибольшим общим делителем
двух чисел?
2) Как найти наибольший общий делитель двух чисел?
97. Найди (устно) делители каждого из чисел, общие делители
и наибольший общий делитель чисел:
1) 4 и 12; 2) 6 и 15; 3) 4 и 10; 4) '8 и 18.
98. Выбери из следующих пар чисел взаимно простые. Назови их
наибольший общий делитель:
1) 15 и 21; 2) 6 и 7; 3) 18 и 34; 4) 23 и 46; 5) 24 и 25.
99. Найди общие делители и наибольший общий делитель чисел:
1) 15 и 60; 2) 36 и 78; 3) 18 и 48; 4) 84 и 112; 5) 54 и 90.
100. Найди наибольший общий делитель чисел (или их разложе¬
ний):
1) 2-7-11.13 и 3-5-11-17; 6) 96 и 36;
2) 3-13-23-29 и 3-23-31; 7) 135 и 105;
3) 16 и 24; 8) 360 и 840;
4) 100 и 40; 9) 120 и 720.
5) 72 и 128;
101. В первом туристском отряде 24, а во втором 18 туристов.
1) Нужно построить первый отряд в колонну, чтобы в каждом
ряду было туристов поровну. Сколько имеется возможностей?
19
2) Нужно построить второй
отряд в колонну, чтобы в каж¬
дом ряду было туристов по¬
ровну. Сколько имеется воз¬
можностей?
3) Нужно построить первый и
второй отряды вместе в одну ко¬
лонну (один отряд рядом с дру¬
гим) так, чтобы в каждом ряду
было туристов поровну. Сколь¬
ко имеется возможностей?
Б.
102. Объясни, почему среди общих делителей данных чисел всегда
найдется наименьшее и наибольшее число.
103. Найди наибольший общий делитель чисел:
1) 1028 и 1152; 2) 18, 24 и 36; 3) 15, 45 и 165; 4) 12, 24
36 и 42.
104. В шестых классах 36 мальчиков и 48 девочек. Сколько
существует возможностей создать группы учащихся так,
чтобы во всех группах было по одинаковому числу девочек и
по одинаковому числу мальчиков? Какое может быть наиболь¬
шее число таких групп?
105*. Из цифр 2, 4 и 6 составь всевозможные трехзначные числа,
в которых все цифры различные. Найди наибольший общий
делитель этих чисел.
1.6. Наименьшее общее кратное
Выпишем числа, кратные 2:
2, 4, 6,_ 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, ...—
и числа, кратные 3:
3, 6^9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... .
Общими кратными (они подчеркнуты) чисел 2 и 3 будут 6, 12,
18, 24, ..., наименьшее из которых 6.
Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел назы¬
вается наименьшее натуральное число, которое делится на каждое
из данных чисел.
Наименьшее общее кратное двух чисел а и Ь обозначают
НОК (а, Ь). Следовательно, можно записать, что НОК (2, 3) =6.
20
?
Пример 1. Найдем НОК (36, 42).
Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, разложим
эти числа на простые множители. Получим 36=2-2-3-3 и 42=
= 2-3-7. Наименьшее общее кратное должно делиться и на 36,
и на 42. Поэтому оно должно содержать все простые множители
и первого и второго числа. Рассмотрим разложение одного из
этих чисел, например 42 = 2-3-7, и выясним, какие простые мно¬
жители другого числа в этом разложении отсутствуют. Такими
множителями будут 2 и 3. Действительно, в разложении 42 = 2 X
ХЗ-7 имеется один множитель 2 и один множитель 3, а в разложе-
нии 36 = 2-2-3-3 два множителя 2 и два множителя 3. Следо¬
вательно, для получения НОК (36, 42) нужно разложение
42 = 2-3-7 дополнить недостающими множителями 2-3. По¬
лучим:
НОК (36, 42)=2-3-7-2-3 = 252.
42
Итак, для нахождения наименьшего общего кратного двух
чисел:
1) разложим данные числа на простые множители;
2) разложение одного из них дополним теми множителями
разложения другого числа, которых нет в разложении первого;
3) вычислим произведение полученных множителей.
Пример 2. Найдем НОК (462, 420).
462
2
420
2
231
3
210
2
НОК (462, 420) =
77
7
105
3
= 2-3-7-11.2-5 = 4620
11
11
35
5
1
7
1
7
462
Если одно число делится на другое, то большее число и является
наименьшим общим кратным этих чисел. Например, НОК (8, 16) =
= 16.
Наименьшим общим кратным двух взаимно простых чисел бу¬
дет произведение этих чисел. Например, НОК (8, 15) =8-15 =
= 120. Объясни почему!
Наименьшее общее кратное можно найти не только для двух
чисел, но и для трех и более чисел.
21
Пример 3. Найдем НОК (28, 53, 60).
Получим:
28 = 2-2-7
63 = 3-3-7 НОК (28, 63, 60) =2-2-7-3-3-5= 1260
60 = 2-2-3-5
А.
106. Прочти текст параграфа, ответь на вопросы и приведи
примеры:
1) Какое число называется наименьшим общим кратным
двух чисел?
2) Как найти наименьшее общее кратное двух чисел?
107. Назови три числа, кратные 2 и 10.
108. Найди (устно) четыре общих кратных и наименьшее общее
кратное чисел:
1) 2 и 4; 2) 3 и 5; 3) 4 и 6; 4) 5 и 10; 5) 20 и 50.
109. Найди наименьшее общее кратное чисел (или их разложе¬
ний) :
1) 6 и 10; 2) 9 и 24; 3) 6 и 35; 4) 15 и 18; 5) 16 и 24;
6) 36 и 60; 7) 23 и 69; 8) 28 и 21; 9) 2-2-2-5 и 2-3-3.
ПО. Напиши три пары взаимно простых чисел. Найди для каждой
пары наименьшее общее кратное.
111. Какое наименьшее число метров материала должно быть в
рулоне, чтобы его можно было продать без остатка по 3 м или
по 4 м?
Б.
112. Объясни, почему любые данные натуральные числа имеют
бесконечно много общих кратных. Почему среди них имеется
наименьшее число (наименьшее общее кратное)?
113. Найди наименьшее общее кратное чисел:
1) 50 и 180; 2) 270 и 360; 3) 220 и 231; 4) 3, 4 и 6; 5) 4,
6 и 18; 6) 10, 25 и 30; 7) 8, 15 и 23.
114. В детском велосипеде ведущая шестерня (скрепленная с
педалями) имеет 44 зубца, а ведомая шестерня (скреплен¬
ная с задним колесом велосипеда) имеет 20 зубцов. Опре¬
дели наименьшее число оборотов, которое сделает веду¬
щая шестерня, чтобы шестерни заняли первоначальное по¬
ложение. Сколько оборотов за это время сделает ведомая
шестерня?
22
115*. (3 а д а ч а - ш у т к а.) Маль¬
чики с пальчик решили орга¬
низовать команду, которая ох¬
раняла бы сокровищницу. За¬
труднения начались, когда
выяснилось, что может возник¬
нуть необходимость разбить
команду на отряды или по 12,
или по 15 членов в каждом.
Мальчики с пальчик решили
эту сложную задачу — нашли наименьшее число членов,
из которого бы состояла дежурная команда. Попробуй и
ты справиться с этим.
Для повторения
116. Найди градусную меру угла, который составляет: 1)
1 2
прямого угла; 2) — прямого угла; 3) -т- прямого угла;
О О
13 2
4) -g- развернутого угла; 5) — развернутого угла; 6)
развернутого угла. Построй эти углы с помощью транспор¬
тира.
з
117. Собрали 24 кг ягод, — всех ягод использовали на варенье.
Сколько килограммов ягод использовали на варенье?
118. Реши уравнение:
1) 5963* = 6398 2) л:—42 = 5,1 3) *: 100 = 0,4
14,89 — у —6,9 152 = 303 и: 10,4 = 2,4
119. Упрости выражение:
1) 8s —3s 2) 9/ + 4f — t 3) 17* + 33jc
6x + 4x \6y — 5y — 3 у 45a — a
4) 4,8x — Z,\x-\-Q,7x
0,16a + 1,2a — 0,85a
120. Один мешок с картофелем весил 47,6 кг. Когда к нему под¬
ложили второй мешок, то весы показали 93,5 кг, а когда
подложили третий мешок, то весы показали 152,7 кг. Пустые
мешки весили соответственно 0,9 кг, 0,8 кг и 0,9 кг. Поставь
разумные вопросы и ответь на них.
23
Для самопроверки
121. Какие числа называются делителями числа?
122. Запиши все делители числа 56 и числа 72.
123. Среди чисел 1, 2, 3, 5, 7, 9, 10 и 11 найди делители каждого
из чисел 12, 17, 44, 90 и 98.
124. У Зины 18 цветных карандашей, каждого цвета поровну.
Сколько одноцветных карандашей может быть у Зины? Выя¬
ви все возможности.
125. Какое число называется кратным числу?
126. Найди двузначные числа, кратные 26.
127. Напиши трехзначное число, кратное 5.
128. Объясни, почему число 6984 кратно 18.
129. Сформулируй признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10. При¬
веди примеры на каждый признак.
130. Какие из чисел 38, 75, 2340, 1 074 393, 65 400 делятся:
1) на 2; 2) на 3; 3) на 5; 4) на 9; 5) на 10?
131. Является ли число 9 делителем числа 604 799? (Почему?)
132. Какие числа называются простыми? составными? Приведи
примеры простых и составных чисел.
133. Разложи на простые множители числа 42, 76, 88, 495.
134. Какое число называется наибольшим общим делителем (наи¬
меньшим общим кратным) двух натуральных чисел?
135. Вычисли:
1) НОД (12, 18); 2) НОД (21, 105); 3) НОД (54, 72);
4) НОК (8, 18); 5) НОК (14, 42); 6) НОК (25, 40).
136. На соревнованиях по настольному теннису участвовали рав¬
ные по составу команды, всего 145 мальчиков и 87 девочек.
Во всех командах было одинаковое число мальчиков и оди¬
наковое число девочек. Сколько команд участвовало в сорев¬
нованиях? Сколько мальчиков
и сколько девочек было в каж¬
дой команде?
137. Маленькая коробка вмещает 24
карандаша, а большая 30
карандашей. Найди наимень¬
шее число карандашей, кото¬
рое может быть разложено как
в маленькие коробки, так и в
большие.
24
2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОБЫКНОВЕННЫХ
ДРОБЕЙ.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
2.1. Обыкновенная дробь
как частное от деления
Материал этого параграфа изучи самостоятельно, используя
указания к заданию 138.
Ты уже знаешь, что обыкновенная дробь показывает, на
сколько равных частей разделена одна целая и сколько таких
з
частей взято. Например, — показывают, что целая (единица)
разделена на 4 равные части и таких частей всего взято 3 (рис. 2.1).
Покажем, что обыкновенную дробь можно рассматривать как
частное от деления двух натуральных чисел. Например, нуж¬
но разделить 8 яблок поровну между четырьмя детьми. Для
этого найдем частное от деления, т. е. 8:4 = 2. Каждый ребенок
получит по 2 яблока. Предположим, что теперь нужно разделить
поровну 3 яблока между четырьмя детьми. Для этого каждое ябло¬
ко разделим на 4 равные части. Значит, 1 часть ^-яблока. Таких
кусочков всего 12 (рис. 2.2), поэтому каждый ребенок получит по
з
3 кусочка, то есть — яблока. Если записать решение этой зада-
з
чи, то получим 3:4=—, то есть
обыкновенную дробь можно рас¬
сматривать как частное от деления.
Вообще каждую обыкновенную
дробь можно рассматривать как частное от деления, в которой
числитель дроби — делимое, а знаменатель дроби — делитель.
Черта дроби обозначает действие деление. Значит,
а:Ь=-^~.
О
Заметим, что знаменатель дроби не может быть равен нулю,
так как на нуль делить нельзя. Каждое натуральное число также
можно записать в виде дроби.
Пример 1.
1) 1 =—=—=—= • 2) 2=—=—=—— • 3) 3———
U 1 2 3 ' 1 2 3 * I —
__6___9_
2 3 — ••• -
Черта дроби — это знак деления, поэтому с ее помощью
можно записать более сложные выражения, которые называют
дробными выражениями.
Пример 2.
1) -5J=0,8:0,5=1,6; 2) М±М=|1=3.
А.
138. 1. Прочти внимательно абзац текста, который начинается
словами «Ты уже знаешь...», и объясни, что показывает
..524
дробь: -, т, т.
2. Прочти следующий абзац текста и выдели основное. Как
по-другому можно записать дроби
3. Прочти абзац текста, который начинается словами «За¬
метим, что...», и продумай пример 1. В виде каких дробей
можно записать натуральные числа 5, 10, 99?
4. Прочти последний абзац текста и разберись в примере 2.
5. Вычисли значение выражения:
п 8+'° • 0\ 2'3 + 8
1 2-9 ’ ' 20—13
139. Что означают дроби , -J^, -Ц- и ?
140. Запиши как частное от деления при помощи знака «:» дробь:
J_ |3 _2_ _33^
8 ’ 15 ’ 25 и 100 '
26
j41. Запиши частные в виде обыкновенных дробей:
1) 2:3, 4:5, 1:7, 6:9, 4:7, 5:100;
2) 3:1, 6:2, 7:3, 10:5, 20:4, 35:7.
|42. Вырази натуральные числа 12, 15, 20 в виде дробей, знаме¬
нателями которых являются числа: 1) 2; 2) 3; 3) 4; 4) 10.
143. Чему равны дроби:
1° 0 25 30 0 45 0 100 500 0
2 ’ 7 ’ 5 ’ 6 ’ 16 ’ 3 ’ 200 ’ 10 ’ 5
144. Вычисли:
.. 36 . 24—6. о\ Ю-40 + 60. 85 . ^ч 3,2
И 8+4’ з ' ' 23 ' 120:6—15’ * 0.8 ’
0,56 . 7, 12,1+4,9. 1,8
Ь' 0,07 ’ ' 1,7 ’ ' 5,4 —0,6'
145. Запиши: 1) число 3 в виде дроби, знаменатель которой 33;
2) число 7 в виде дроби,знаменатель которой 777; 3) число
11 в виде дроби, знаменатель которой 1210.
146. Приведи по три примера для случая: 1) дробь равна свое¬
му знаменателю; 2) дробь равна своему числителю.
147. Вычисли:
15,6 + 4,4 . 2(0,75 + 2,8). „ч 9,4-0,75-1,85
* (0,6—0,2)-25 ’ > 10:0,1 ’ ' 2,5-1,3
2.2. Основное свойство дроби
При делении натуральных чисел и десятичных дробей мы позна¬
комились с основным свойством частного: делимое и делитель
можно умножить на одно и то же натуральное число, частное при
этом не изменится. Так как обыкновенную дробь можно рассмат¬
ривать как частное от деления, то это свойство должно быть
применимо и к обыкновенным дробям. На рисунке 2.3 дроби
Рис. 2.3
27
■у, -|-, -у, у изображают одну и ту же фигуру (полу¬
круг), значит, они равны. Запишем:
1 2 4 3 5
2 4 8 6 10'
Рассмотрим, например, равенство -|-=у. В этом равенстве
из левой части получим правую, если числитель и знаменатель
дроби -|- умножить на 2. Действительно, у=.
Обратно: из дроби у можно получить равную ей дробь
2 - 4
-т-, если числитель и знаменатель дроби — разделить на 2, то
4 8
Итак, величина дроби не изменится, если числитель и зна¬
менатель дроби умножить или разделить на одно и то же нату¬
ральное число. Это и есть основное свойство дроби.
Объясни теперь, почему равенства
_3_ = _9_ _5__ 25 30__3_ 55 _J_1_
4 12 ’ 6 — 30 ’ 40 _ 4 ’ 25— 5
верны.
А.
148. Объясни, в чем заключается основное свойство дроби. При¬
веди примеры.
149. Раздели числитель и знаменатель каждой дроби на 5:
5 30 15 100 90 125 85 245
10 ’ 40 ’ 35 ’ 80 ’ 120’ 1000 ’ 500’ 200 ’
Запиши соответствующие равенства.
150. Раздели числитель и знаменатель каждой дроби на их
наибольший общий делитель:
JLJL J_ _[о _i5 _i£ J_ _ц>.
9 ’ 12 ’ 18 ’ 15 ’ 20 ’ 18 ’ 16 ’ 24 '
151. Запиши три дроби, равные -Jj- , знаменатели которых меньше
знаменателя данной дроби.
28
152 Умножь числитель и знаменатель каждой дроби на 3:
1 3 8 5 10 1 11 5
~2 ' Т’ 5 ’ 6 ’ 3 ’ 10 ’ 2 ’ 1 '
Запиши соответствующие равенства.
153. Запиши три дроби, равные -у.
154. Замени каждую из следующих дробей дробью, знаменатель
которой равен 24:
1 2 1 3 5 5 7 11
Т’ 3 ’ 4 ’ 4 ’ 6 ’ 8 ’ 12’ 12 '
155. Замени каждую из следующих дробей дробью, знаменатель
которой равен 100:
1 1 3 9 7 23 11 29
Т’ Т’ Т’ 10 ’ 20 ’ 20 ’ 25 ’ 50 '
Б.
156. Верны ли равенства (ответ обоснуй):
.4 28 7 . о, 9 _ 54 . оч 4 _ 120 . 66_ 3 ^
' 42 21 ' > 10 60 * ^ 20 300 ’ ' 88 4 ‘
157. Каждый числитель и каждый знаменатель всех данных дро¬
бей можно разделить на одно и то же число. Выполни де¬
ление на это число и запиши соответствующие равенства:
24 15 39 450 75
36 ’ 42 ’ 21 ’ 180 ’ 90 '
158. Замени х таким числом, чтобы равенство было верным:
n i£—JL- _Ё°__JL- JL—ii
' х ~ 4 ’ ’ 5 45 ’ 100 х ' > 3 72 •
159. Начерти числовой луч, отметь на нем точки, которым соот-
1 3J 0 2 4 |
ветствуют числа —, —, -у, -у, -у, у, —. Запиши под
каждой точкой еще две дроби, которые изображаются той
же точкой.
Для повторения
160. Вычисли:
1) НОД (25, 40); 2) НОД (84, 105); 3) НОД (23, 46, 69);
4) НОК (16, 48); 5) НОК (21, 35); 6) НОК (8, 20, 30).
29
161. Вычисли (устно):
1) (12-7+12 -3):4 2) 13-28-3-28 + 20
8-42-8-2 + 80 (92-51+8-51): 100
0,95-10 + 0,5 180:100 — 0,8
162. Вычисли:
2-17,05 . 0, 1,32+1,509 . д. (4,2+15,6):0,3
* 132,6—98,5’ ' 3-(3,85 —2.7) ’ ’ 187+143 '
163. Запиши в виде обыкновенной дроби:
0,4; 0,7; 0,03; 0,009; 0,23; 0,701; 1,5; 3,67.
164. Запиши в виде десятичной дроби:
8 9 37 7 159 43 6
10 ’ 10 ’ 100 ’ 100 ’ 1000 ’ 1000 ' 1000 '
165. Число а уменьшили на 13 и число 522 разделили на по¬
лученную разность. Составь выражение и вычисли его зна¬
чение, если а = 73, а=100.
166*. В числе 7 030 605 все нули замени одной и той же цифрой,
такой, чтобы полученное число делилось на 9. Запиши все
возможные цифры.
2.3. Сокращение дробей
Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же
натуральное число называется сокращением дроби.
3 3*3 1
Пример 1. ТГ=1ГТ=_2' ' ДР°бь сокращена на 3.
ое ОС • С С
Пример 2. —= ;5 =—. Дробь сокращена на 5.
Обычно действие деление (числителя и знаменателя на одно
и то же число) не указывается и сокращенная дробь записывает¬
ся сразу за знаком равенства.
п о 12 3 >^3
ПримерЗ. ^=т или j^=T.
Дробь сокращена на 4.
Сократить дробь можно, если ее числитель и знаменатель
имеют общий делитель, отличный от 1. Если числитель и знаме¬
натель дроби взаимно простые, то дробь сократить нельзя. Та¬
кая дробь называется несократимой дробью. Например, дроби
-У" несократимые. Чтобы из данной дроби получить не-
30
сократимую дробь, нужно числитель и знаменатель разделить на
их наибольший общий делитель.
Сокращать дробь можно двумя способами:
1) постепенно, подбирая подходящие общие делители числите¬
ля и знаменателя, пока не получится несократимая дробь;
2) сразу, разделив числитель и знаменатель на их наибольший
общий делитель.
42
Пример 4. Сократим дробь —.
42 21 3
Первый способ. —■=—=— (сначала сократили на 2,
затем на 7).
Второй способ. НОД (42, 70) = 14, следовательно,
(числитель и знаменатель разделили на 14).
А.
167. Проверь по тексту, знаешь ли:
1) что значит сократить дробь;
2) на какое число нужно сократить дробь, чтобы получить
несократимую дробь.
168. Выясни, на какое наибольшее число делится числитель и
знаменатель каждой из данных дробей. Сократи (устно):
_2__3__4__6__4__5__10_15_6__10
4 ’ 6 ’ 6 ’ 9 ’ 10 ’ 15 ’ 30 ’ 20 ’ 12 ’ 100'
169. Выпиши из данных дробей те, которые можно сократить, и
выполни сокращение:
_5_
6
1)
9
4
8
12
3
6
9
’ 6 ’
9 ’
12 ’
18 ’
10
’ 24 ’
24 '
крати дроби:
12
18
36
48
14
16
18
21
15 ’
54 ’
42 ’
42 ’
35
’ 10 ’
15 ’
7 ’
36
72
45
12
9
17
22
24 .
64 ’
81 ’
60 ’
45 ’
30
' 51 ’
66 ’
56 ’
21
60
250
500
120
60
140
420
300 ’
100 ’
1000’ 2000’
150 ’
144 ’
770 ’
600
*^1. Запиши в виде обыкновенной дроби и, если возможно, со¬
крати:
0,2; 0,4; 0,5; 0,7; 0,06; 0,08; 0,09; 0,25; 0,36; 0,55; 0,75;
0,84; 0,125; 0,375; 0,875.
31
к
Б.
172. Дай ответ в виде несократимой дроби:
1) Какую часть килограмма составляют 80 г? 400 г? 750 г?
2) Какую часть метра составляют 25 см? 50 см? 90 см?
3) Какую часть квадратного метра составляют 8 дм2? 55 дм2?
72 дм2?
173. Сократи дроби:
147 26 206 114 1008
210 ’ 390 ’ 618 ’ 171 ’ 1224 '
174. Запиши в виде обыкновенной дроби и сократи:
0,645; 0,075; 0,364; 0,0025; 0,0725.
175. Вначале дробь сократили на 2, потом на 3, затем на 5.
На какое число можно было сразу сократить дробь?
176. Сократи, затем вычисли:
,, 21-16. 36 . 12-5 . .. 45-11
28 ’ ’ 18-14’ * 15-3 ’ ' 22-18'
2.4. Приведение дробей к общему знаменателю
Основное свойство дроби позволяет заменять дроби с разны¬
ми знаменателями дробями, знаменатели которых равны. В этом
случае мы говорим, что дроби с разными знаменателями можно
привести к общему знаменателю.
3 5
Пример 1. Приведем дроби — и — к общему знаменателю.
Общий знаменатель этих дробей должен делиться и на 4, и на 6,
то есть он является общим кратным чисел 4 и 6. Но таких общих
кратных бесконечно много: 12, 24, 36, ... . Чтобы новый (общий)
знаменатель был числом наименьшим, берем в качестве общего
знаменателя наименьшее общее кратное данных знаменателей, то
есть число 12. Затем найдем дополнительный множитель для
каждой из данных дробей, то есть число, на которое нужно умно¬
жить числитель и знаменатель дроби, чтобы получить дробь со
знаменателем 12. Для этого нужно новый знаменатель 12 делить
на знаменатели данных дробей: 12:4 = 3 и 12:6 = 2. Следова-
з
тельно, дополнительным множителем дроби — будет число 3,
5
а дроби — число 2. Дополнительные множители запишем над
соответствующими числителями. Получим:
32
Итак, данные дроби мы привели к общему знаменателю.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю:
1) найдем (наименьшее) общее кратное знаменателей дан¬
ных дробей, которое и будет (наименьшим) общим знамена¬
телем;
2) найдем для каждой дроби дополнительный множитель. Для
этого разделим общий знаменатель на знаменатели данных
дробей;
3) умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее
дополнительный множитель.
Приводить к общему знаменателю можно не только две
дроби, но и три, четыре и т. д.
1 2 3
Пример 2. Приведем дроби —, , — к общему знаме¬
нателю. Наименьший общий знаменатель 20, так как это наимень¬
шее число, которое делится на данные знаменатели. Получим:
10 4 5
_1_~ = 10 _2^=_8_ _3^ _|5_
2 20 ’ 5 20 ’ 4 _ 20 '
Если наименьший общий знаменатель подобрать трудно, то
надо разложить знаменатели на простые множители.
5 7
Пример 3. Приведем к общему знаменателю — и —.
«Зо 4о
Решение. 36=2-2-3-3, 48 = 2-2-2-2-3.
НОК (36, 48)=2-2-3-3-2-2=144,
5^ ___20_ 7^ 21
36 _ 144 И 48 144 '
А.
•77. Рассмотри пример 1 и внимательно прочти правило приве-
5 2
дения дробей к общему знаменателю. Дроби — и — приведи
к общему знаменателю, объясняя каждый пункт правила.
•78. Чему равняется наименьший общий знаменатель дробей,
если: 1) знаменатели взаимно простые числа; 2) наиболь¬
ший знаменатель делится на каждый из остальных?
33
179. Приведи дроби к общему знаменателю (устно):
1
6
и
1
2
2>т
И
3
4
3)4-
3
и
7
1
И
1
2
5
20
15
5
3
2
И
5
3
И
5
I
9
27
7
21
3
1 14 3 5
И 5 4 И 9 5 И 6
3 13 12
И Т ти Т ти Т
180. Приведи дроби к общему знаменателю:
1
6
И
3
4
2) 4-
и
1
6
3)
И
3
3
4>i
7
И
13
5
и
2
5
и
4
3
20
30
6
15
9
15
8
10
и
13
5
и
11
3
и
7
11
9
12
18
24
16
24
14
_5_
18
6
_6_
35
181. Приведи дроби к общему знаменателю:
■>±
2
1
3
И
5
6
2) Т-
1
9
и
-ПГ3>
2
3 ’
1
6
и
5
12
3
И
1
3
5
и
7
5
7
и
3
4
12
3 *
8
12
6 ’
9
4
7
и
4
2
5
и
4
5
1
и
3
10
15
3 ’
6
7
12 ’
7
2
Б.
182. Приведи дроби к общему знаменателю:
11
и
13
2) If
7
1
3>
4
1
2 И
2
36
60
96 И
16
9 ’
3
7
И
3
9
17
360 и
1
2
7
3
1
52
260
80 ’
30
9 ’
24 ’
10 и
6
1
И
13
7
9
5
5
7
”144 И
3
45
120
24 ’
40 И
36
36 ’
8 ’
4
Для повторения
183. Выдели целую и дробную части:
_18 37 45 _124 _57 _260
5 ’ 4 ’ 12 * 6 ’ 25 ’ 35 ’
184. Расположи числа в порядке возрастания:
_18 2! _1_ _15 22
23 ’ 23 ’ 23 ’ 23 ’ 23 ’ 23 '
185. Найди: 1) 25% от 428; 2) 40% от 1060; 3) 5% от 13.
186. Из 1200 рабочих завода 45% работают в литейном цехе.
Сколько человек рабочих работает в литейном цехе?
187. Вычисли:
1) 1500 — 632,4 - 59,6 - 43; 2) 58,956:1,7 + 2,06 • 4,7.
34
188*- Замени звездочки такими цифрами, чтобы вычисление
было верным:
1) *2* 2)
X * 7 3*8 I * * *
22*8 1058
*§*0 ****
*40* * * 4с
5 0 4
0
2.5. Сравнение обыкновенных дробей
Изучи материал этого параграфа самостоятельно, исполь¬
зуя указания к заданию 189.
Ты уже умеешь сравнивать дроби с равными знамена¬
телями: из двух дробей с равными знаменателями та дробь
больше, числитель которой больше. Выясним, как сравнивать
дроби с разными знаменателями.
Предположим, что у нас две одинаковые плитки шоколада.
Одна разделена на 4 равные части, а другая на 5. Ты можешь
3 3
взять — одной плитки или — другой. Может быть, ты хочешь
кусочек побольше? Какой же возьмешь? Здесь нам надо
сравнить дроби с равными числителями, но с разными знамена¬
телями. При сравнении таких дробей заметим: если целое разде¬
лить на большее число частей, то величина одной части будет
меньше (рис. 2.4). Следовательно, из двух дробей с равными
числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Значит,
Т>Т- так же Т>Т' ТГ<Т и т- л-
Если нужно сравнить две дро¬
би с разными числителями и раз¬
ными знаменателями, например
34 ’
-=- и —. то следует поивести их Т
7 9 vmm/m
к общему знаменателю, затем при¬
менить правило сравнения дробей с Т[
равными знаменателями. Общий зна¬
менатель данных дробей 63, следова¬
тельно.
1
А.
189. 1. Прочти абзац текста, который начинается словами «Ты
уже умеешь...», и запомни правило сравнения дробей с рав¬
ными знаменателями. Расположи дроби -у-, -у-, -у-, -у-,
з
и — в порядке возрастания.
2. Прочти следующий абзац. О чем там говорится? Срав¬
нение каких дробей изображено на рисунке 2.4? Почему
3. Придумай примеры на сравнение дробей с равными
числителями. Запомни правило сравнения таких дробей.
4. Прочти последний абзац текста и запомни, как срав¬
ниваются дроби с разными числителями и разными зна¬
менателями. Почему -у-С-^-?
190. Сравни дроби:
1)
4
75 и
4
19
; 2)
16
25
и
16
21
; 3)i
И
7
19 ’
4)
13
Тб и
13
14 ‘
191.
Сравни
дроби:
1)
1
Т и
3 .
4 ’
2)
5
6
и -
7
9
’ 20
и -
47
100 ’
4)
11
24 И
7
16'
192.
Сравни
дроби г
1 замени
звездочку
знаком >
или
1)
7
8 *
3
8
2)
3
17 *
9
17
о \ 12
3> 19*
12
35
4)
3
8
5
"* 12
6
6
5
9
16
18
11
1
25 *
17
т*
14
31 *
31
18
*т
3
4
1
4
7
11
34
34
т*
5
2 *
9
10 *
15
55
* 45
193. Расположи дроби в порядке возрастания:
11 1 1 Ji i 1 — — — —
* 10’ 10’ 10’ 10’ 10’ > 8’ 15’ 11’ 6’ 9’
«,131 55
' 2 ’ 4 ’ 12 ’ 6 ’ 8 '
194. Дима делает 3 шага за 5 с, а Гена 5 шагов такой же длины
за 8 с. Кто ходит быстрее?
195. Один рабочий за 4 ч изготавливает 3 изделия, а другой
за 5 ч 4 таких же изделия. Какой рабочий изготавливает
за один час изделий больше?
196. Начерти числовой луч, приняв за единицу отрезок 8 см
г
Отметь на числовом луче точки, которым соответствуют
числа -L 4-, -J-, Запиши эти числа в порядке
о 2> 4 о 4 о
убывания.
Б.
197. Сравни дроби (предварительно сократи их):
,.6 15 п\ Ю 6 21 21 „ч 18 21 . 24 19
^ 8 И 20 ’ ^ 15 И 18 ’ ^ 42 И 28 ’ ^ 30 И 35 ’ ^ 36 И 24 '
198. Расположи числа в порядке убывания:
.2 7 2 1 17
3 ’ 6 ’ 3 ’ 2 ’ 12 ’
199. Вырази десятичные дроби обыкновенными и расположи все
дроби в порядке возрастания:
20 ’ Т’ 25'
Для повторения
200. Вычисли (устно), если возможно, полученную дробь сок¬
рати:
■> т+т 2) Т-Т 3> т+т 4> i-i
_3 , _5_ _2 1_ _L_l_L 1 L
5 5 10 '10 8 8
_2_ , _5_ _9 7_ JL_l_L II Ё.
9 9 14 14 8 ' 8 12 12
201. Вычисли:
1Ч 0,28(19,5—10,5)+0,34 . оч 10,8 — 3,2 п пл
' 2,5:10 ’ ' 2,5 ’
202. Из двух городов одновременно навстречу друг другу вышли
два поезда. Скорость одного поезда 54,4 скорость
другого 60,8 Через 2,5 ч они встретились. Поставь разум¬
ные вопросы и ответь на них.
203. Вычисли периметр фигуры
(рис. 2.5), выполнив необхо¬
димые измерения.
Рис. 2.5
37
204. Каждый ящик в штабеле
(рис. 2.6) имеет форму прямо¬
угольного параллелепипеда, из¬
мерения которого 1 м, 0,5 м и
0,6 м. Вычисли объем штабеля.
Рис. 2.6
2.6. Сложение и вычитание дробей
с разными знаменателями
Ты уже умеешь складывать и вычитать дроби с равными
знаменателями:
а | b a4-b а b а — Ь , ^
= ■ ; (а>Ь или а = Ь).
т т т т т т ' '
Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями:
1) приведем эти дроби к (наименьшему) общему знамена¬
телю;
2) выполним сложение (вычитание) по правилу сложения
(вычитания) дробей с равными знаменателями.
3 7
Пример 1. Найдем сумму
Наименьший общий знаменатель данных дробей 20. Допол¬
нительный множитель первой дроби равен 5 (20:4 = 5), второй
дроби 2 (20:10 = 2). Запишем:
— -I-— = 15 ■ 14 _ 15+14 _ 29 _ , _9_
4 ”*”10 20 20 20 — 20 20'
Обычно подчеркнутая часть не записывается. Тогда вычис¬
ление будет иметь вид:
JLf 15+14 = 29^_ , _9
4 10 20 20 20'
5 3
Пример 2. Найдем разность — —.
Наименьший общий знаменатель данных дробей 12. Далее
получим:
38
г
5А 3^ 10 9 10 — 9
6 4 12 12 12 12 ’
йЛИ короче:
12 12 '
Если среди данных имеются смешанные числа, то исполь¬
зуем подходящие свойства действий.
Внимательно проследи за решением следующих примеров:
Пример 3. 3-1~+5-^-=(3 + 5) +(i- + -f-) = 8+^у^-=
о ] _!Л_ о _L
— ° + 12 12 ■
Обычно промежуточные вычисления выполняют устно и реше¬
ние записывают короче:
о 1А , c36_ 0 4+9 0 13 п 1
Зз“ +5Т =8-i2-=872=9l2-
В рассмотренном примере использовались переместительный
и сочетательный законы сложения.
П р „ м е р 4. 3f-f=(з+|) -+=3+(|i—(?) =
*3 I 10 — 3 9| ^ . о 7
' 12 Т2~ 12 ’
или короче:
054 I4 _ о 10 — 3 о 7
6 4 12 12 ‘
В этом примере использовано правило: чтобы вычесть число
из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого и к резуль¬
тату прибавить другое слагаемое.
Пример 5. 4-1—2^-=4-1—(2+^-) = (4-1— 2 )--§-=
=— о 4А 3^ о , Ю-15 0|1 о 1
5 4 ' 20 20 20 ’
или короче:
„ 4А рЗА о 16-15 _о 1
5 4 20 20 ’
39
Здесь использовано правило: чтобы вычесть сумму из числа,
можно из него вычесть одно слагаемое, а затем из результата
вычесть другое слагаемое.
п с , 3 7 з 4
Пример 6. 1 — т"=Т’
так как число 1 можно выразить дробью с любым равным числите¬
лем и равным ему знаменателем.
Пример 7. 5-§-(4 + -§-)-§-4-i-.
Объясни это решение, опираясь на пример 6.
Пример 8. 6^ _2|^ = 4+^-=3+^+^-=
3+ или короче:
О О
n2^ л 3 4—о 9 4—о 5
Ь2 _23 6 6 6 ’
В последнем примере дробная часть уменьшаемого меньше
дробной части вычитаемого. В этом случае нужно из целой части
уменьшаемого взять одну единицу и выразить ее в виде дроби,
в данном случае Значит, новым уменьшаемым будет 3-|-.
205. Продумай примеры 1 и 2. Объясни, как сложить и вычесть
дроби с разными знаменателями.
206. Вычисли:
1) —
4 8 ' 9
2) ——
’ 4 ' 14
3) 12-Т
4) И-
; 16
7
12
12т 8
-+-
9 15
13 1
6
3
15 2
7
11
6 ' 5
7 12
10+ 25
9 11
23
7
20 30
24
18
207. Вычисли
(устно),
объясняя
каждый
шаг решения
1 1 2 оч 1 I 3 о\ 7 1 и\ 11 2 с. 4 1
Т+Т- 2> Т+Т 3) —'Т 4) Тв-Т 5> —Т
_1_ , _2 . 1_ 21 L 1 1 —А- —
5 2 3'2 14 7 16 4 5'3
J . 1_ _7_ I _2_ Л 1 _® L J-.J 1
6 + 3 20 “*” 5 6 3 15 5 15 3
_5 | _i_ _п_, j_ 23 2_ 21 L 11 1
12 4 зо-*” 6 20 5 12 3 12 6
40
208. Вычисли:
d i+i+i 2) т+f+т з) -r+i-i
4 4,3 2 3 1 5 1 1
5 15 1 10 3 5 15 628
3.5 7 13 1 3 9.4.1
8 6 12 14 4 7 11 + 33 + 3
209. В первый день продали +-, а во второй +- поступившего
в магазин винограда. Какую часть винограда продали за
два дня?
2 3
210. Машинистка в первый день перепечатала —, во второй —
и в третий -+■ всей работы. Какую часть работы перепеча-
1 О
тала машинистка за три дня? '—
5
211. Вера в первый день прочитала книги, а во второй день
на +- меньше. Какую часть книги прочитала Вера во второй
день? Успела ли она прочитать книгу за два дня?
212. В одном пакете +- кг конфет, а в другом на 4- кг меньше.
Z о
Сколько килограммов конфет в двух пакетах вместе?
213. Продумай пример 3. Объясни, как складываются смешанные
дроби.
214. Вычисли:
1) 3T+3TF 2) 5^+3i 3)2i+5i
5Т+61 9Т+|2Т Зте+8т
• З.г.4 q®ii/|3 . 13 | с 3
4Т+5Т 875+1470 1 Зб + 6Т-
215. Вычисли (устно), объясняя каждый шаг сложения:
1)3+1+- 2) 1^+^3) -++6^4) 1+-+2+-
5 + 2Т Т+Т Т+4Т 3 1Г+1 Т
7-г+4 Нг+т!, 10т+т 4Т+1Г
216. Металлическую трубу разрезали на две части, длины ко¬
торых 4 +- м и 3 +- м. Какой длины была труба?
41
217. Туристы во время похода за первый час прошли 3 км, а за
второй на 1 ^ км больше. Сколько километров прошли тури¬
сты за два часа?
218. Продумай примеры 4 и 5. Объясни, как выполняется
вычитание, если среди данных есть смешанные дроби.
219. Вычисли:
I Q С *7
3)
4
1) 9
-3 —
ю
2) 8}-81
7 ** Л 1
~6~
25 — 4 А.
11 22
27 ^-17
15
17
11
13 —
21
7тг
о Д? о _2_
8 12
220. Вычисли
8
1)
(устно), объясняя каждый шаг
2 2) 74-3^ 3) 2-A-JL 4) 52
7 ^-6
с 8 с 6
5тт-5тт
4 21 з _LL
15 15
ю
7 1_
15 3
я 11 1
12 2
вычитания:
4
3 Л 2 —
6 3
1±_1 J-
5 10
9 1
221. Ящик с товаром весит 23— кг, а пустой ящик весит 1 — кг.
Сколько весит товар?
С
222. Чтобы побывать в театре, Тане потребовалось 3— ч.
На дорогу туда и обратно у нее ушло 1 -|- ч. Сколько вре¬
мени длилось театральное представление?
223. Продумай примеры 6, 7 и 8. Объясни, как выполняется
вычитание, если уменьшаемое натуральное число или его
дробная часть меньше дробной части вычитаемого.
224. Запиши число 1 в виде дроби со знаменателем: 1) 1; 2) 3;
3) 5; 4) 8; 5) 10; 6) 12.
объясняя
225. Вычисли
„
1
5
226. Вычисли
4
(устно),
2) 1-4
1
3
8
(устно),
„ 5
3> '-То
5
11
объясняя
Q\ С 1
каждый шаг вычитания:
4)
1
1
7
30
каждый шаг
л \ 1 о 87
вычитания:
227. Вычисли:
1) 4-f
-2-f- 2)
10-3-j- 3)
8t-
2 —
8
6 Q
5 Q
124—7 4-
9 4-
■5-ii
9
9
3 4
42
14
8#
-3?
24 -—4 —
2t—
8
24
24
10 5
15
45
3 I
228. Пустая банка весит — кг, а наполненная медом 6 кг.
Сколько килограммов меда в банке?
229. Нужно заасфальтировать шоссе между тремя селами А, В и
С (рис. 2.7). Расстояние между А и В равно 6 4 км,
в
-1
С
Л Рис. 2.7
7
а между В и С на 1— км меньше, чем расстояние меж¬
ду А и В. Сколько километров шоссе нужно заасфальти¬
ровать?
230. В первый час лыжник прошел -j- всего расстояния, кото-
2
рое он должен пройти, во второй — всего пути, а в третий
о
оставшуюся часть пути. Какую часть всего расстояния
прошел лыжник в третий час?
231. Утренний надой молока от коровы составил 8-^- л, вечер-
3 3
ний б-ттг л, а в обед надой молока был на -г- л меньше,
10 &
чем утром. Каков надой молока был за день?
1 2
232. В двух мешках 15 — кг муки, причем в одном 7 — кг. В ка-
2 и
ком мешке муки больше и на сколько?
I 3
233. Одна сторона треугольника 4 — дм, другая — на 1 — дм
короче, а третья — на дм длиннее первой. Вычисли
периметр треугольника.
234. Вычисли значение выражения а + 3-|-, если а—а= 1
a=5f; asml^
43
235. Вычисли значение выражения х—2^, если д:=3; л: = 4-~
п 7 1 л 13
Тб’ зо'
236. Реши уравнение:
I 4 9 1 7 3 о\ 1 2 з
^ 5 10 ) х 20 10 5 х~ 10
4 5 5
У Q ft 7 Х "
12 8 17 9 6 7 14
51 ■ _29 1___1_ _5 , __5_
ЮО-*"2-50 S 32 12 9 18
Б.
237. Вычисли (устно), используя законы сложения:
_! [_ ,Г> I 4 I о\ 2 . 3 . 3 . 5 . 2
1} т+т+т+т 2) т+т+т+т+т
1 I 5 ■ 2 . . 3 ,3,4, 1,5,4
3 ^ 8 ' 3 8
238. Вычисли:
!) 4^+lii 2) §+ii 3) 11
30 1 36 ' 42 1 56 7 34 170
g 2l 3ii 5 J? 4 35 о 2. I ft 1
15 36 11 66 13 + й 6
I _5 61 p 5 ■ c\ 11 q 11 <7 17
12 144 I8-1- 21 20 18
239. Вычисли:
1)
2) JL_l 11—L
’ 7 3 21
2i+,i+i+i
С 9 О 3 о 1
10 5 2
i+-&+1i+3i
19—5 —
6 7
На
какое число нужно
увеличить -у-, чтобы получить:
1)
1?; 2) *К; 3) 1
J-?
10 '
3
241. На какое число нужно уменьшить 2 -g-, чтобы получить:
1) 2) ii; 3) l£?
3 3
242. Какое число больше — на столько, на сколько —
4 4
5 ^
меньше —?
о
44
5 1
243. Какое число больше на столько, на сколько 1-g- мень¬
ше 1-р>
244. Какое время показывают часы за 2 — ч до полуночи? за
3 5
1 ч до полуночи? через ч после полуночи?
и О
245. Из двух городов одновременно навстречу друг другу вышли
два поезда. Расстояние между этими городами первый поезд
проходит за 3 ч, а второй — за 4 ч. Какую часть всего
пути составит расстояние между поездами через 1 ч после
их выхода?
246. Туристы за первый час прошли 3— км, за второй час на
3 1
— км больше, а за третий на — км меньше, чем за второй
час. Поставь разумные вопросы и ответь на них.
247. Один кран заполняет ванну за 15 мин, другой — за 10 мин.
Какая часть ванны будет заполнена за 1 мин, за 2 мин,
за 5 мин, если открыть оба крана?
248. Один кран заполняет бак за 6 мин, а другой — за 12 мин.
Какая часть бака останется незаполненной, если открыть
оба крана на 1 мин?
249. Легковой автомобиль проходит данное расстояние за 2 мин,
а грузовой — за 15 мин. Поставь разумные вопросы и ответь
на них.
250. Колхоз выполнил в первый месяц 10%, во второй 14% го¬
дового плана продажи мяса государству. Какую часть
годового плана выполнил колхоз за два месяца? Какую
часть осталось выполнить?
251. В магазин завезли овощи. 4- всех овощей составляла
5
свекла, 15%—огурцы, 35% — помидоры, а оставшуюся
часть составляла морковь. Какую часть от всех завезенных
в магазин продуктов составляла морковь?
252. Все мальчики класса приняли участие в школьных соревно¬
ваниях: 4- часть вошли в футбольную команду, 4 часть —
О О
в баскетбольную, 4 часть состязалась по прыжкам в длину,
остальные учащиеся класса — по бегу. На какую часть бе-
45
1
с
Рис. 2.8 Рис. 2.9
гунов было больше (меньше), чем футболистов? бас¬
кетболистов?
253. Составь и реши задачу на сложение (вычитание) обык¬
новенных дробей.
254. На рисунке 2.8 AE-\-DC= 1 -j- дм, АВ= 1дм, DE=
1 3
= 1 — дм и ВС = 1 — дм. Вычисли периметр фигуры.
255*. На рисунке 2.9 АВ=7-^-м, ВС=2-^-м и D£=1-j-m.
Вычисли периметр фигуры.
256. Вычисли значение выражения а — 3-^—\-Ь, если:
1) а = 4-^-и fc = 5-|-; 2) a=5-|-и fc=l
257. Периметр треугольника р дм. Одна сторона треугольника
3 3
равна 12— дм, а другая — на 2 — дм короче. Составь
О 2U
выражение для вычисления длины третьей стороны. Вы¬
числи ее, если: 1) р = 28-^.; 2) р = 35.
Для самопроверки
258. Запиши дробь как частное от деления при помощи знака
_3_ 21_ _5_
5 ’ 5 ’ 4 ’ 8 '
259. Сформулируй основное свойство дроби.
260. Сократи дроби:
20 _8_ 21 32 35
50’ 18’ 40’ 48’ 63'
46
1
261. Приведи дроби к общему знаменателю:
..8 1 оч 9 7 1 17
15 И 24 ’ 16 и 12 ’ ) 3 и 50 ■
262. Некоторый участок пашни засеян рожью, овсом, пшеницей,
гречихой и просом. Рожь занимает приблизительно + часть
3 27
всей площади, овес - ^ части, пшеница - частей, гречиха -
3 11
— части и просо - щ частей всей площади. Выпиши эти
культуры в порядке возрастания их площадей.
263. Вычисли (устно):
1) J I L 2) — I — 3) — — 4) — —
12 12 ' 3 + 5 15 15 '84
J_+A —+ — 19 9 J L
9 + 9 18+2 3 7
,1,3 , 1 , 1 3_5 !_
2t+t W+t 5-4- 6 з
264. Вычисли:
!) T+12 2> 7T+2^ 3) lb-Т 4> 5i-2T
6 i 5 л 11 | | 2 _7 2 q 1 о 1
Т^гГ ш'-1- 24 8 3 14 7
о 3 | 4 n 4 . . 4 о 19 7 д 11 л 17
4+5 9 + 15 36 9 6 30 20
265. Реши уравнение:
1) 2 —+х = 5 —; 2) 2-^-—z=l-g-; 3) у—6— =2-jg-
7 1
266. Вычисли значение выражения с——, если с=3; с = 2—.
267. Туристский поход состоял из двух этапов. На первом этапе ту¬
ристы должны были пройти 3 ^ км, а на втором - на х км
больше. Составь выражение для нахождения расстояния, ко¬
торое должны пройти туристы. Вычисли его значение, если
_ 1. - 1 3
х 2 , х 1 ш .
1 2
268. Одно число 5—, а другое — на 2-д- больше. Найди сумму
этих чисел.
269. На выставке художественных работ представлена живо-
47
пись, скульптура и графика. всех работ составляет
скульптура, — живопись, оставшуюся часть — графика.
и
Какую часть всех работ составляет графика?
270. Одна машина привезла на склад 3-=- т картофеля, а другая
и
на т меньше. Сколько тонн картофеля привезли на склад
обе машины вместе?
3 1
271. В одном кувшине — л молока, во втором 1 —л и в третьем
на л меньше, чем во втором. На сколько литров молока
больше (или меньше) в третьем кувшине, чем в первом?
272. Вычисли:
1)
738
10(32,7 + 4,2) ’
2)
(19,6—19,559)-2
0,82
3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБЕЙ.
УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДРОБЕЙ
Самостоятельная работа 2
Тема. Обращение обыкновенных дробей в десятичные.
Ты уже умеешь обращать десятичные дроби в обыкновен¬
ные. Это очень просто, например:
0.1-4. 0,25=^=^-, 3’2 = 3_Ш = 3“Ь
0,075 =
75
1000 40'
Теперь научись обратному преобразованию — обращать обыкно¬
венную дробь в десятичную.
1. Вспомни, как записать обыкновенную дробь со знамена¬
телем 10, 100, 1000, ... в виде десятичной. Это тоже несложно, на¬
пример:
7—п 7 27 —о 27
10 ’’ 100 ’ ’
•4=64,1, 7-4=7,09.
2. Обрати в десятичную дробь:
37
-п,; 2) таг: 3>
юоо
;*) w;5> 5-П);6> й-
Ответы для проверки найди среди следующих чисел:
0,43; 0,08; 0,3; 0,037; 0,007; 5,03; 7,1; 5,3.
3. Так как обыкновенную дробь можно рассматривать как
частное от деления числителя на знаменатель, то обратить ее
в десятичную можно путем деления числителя на знаменатель.
Обрати таким образом следующие обыкновенные дроби в
Десятичные: 1) 2) -f; 3) 4) -Ь 5) §; 6)
Ответы для проверки (проверь умножением) найди среди
бедующих чисел: 1,625; 0,625; 1,4; 0,16; 0,125; 0,15; 1,34;
0,304; 0,4375; 0,34.
4. Обрати в десятичную дробь:
o_L 1— 3— 1— 1— и 3—
2 ’ 10' 25' 50’ 4 16'
Ответы для проверки найди среди следующих чисел:
3,3125; 3,07; 1,06; 1,8; 3,5; 3,08; 3,9; 1,7; 1,75.
5. Обыкновенные дроби обрати в десятичные, затем вы¬
числи:
1) -—1-1,12 2) 4 + 3,8 3) l4~0-31
0 97__Ё2_ °’9—Г 4Т+1*16
100 1 2-1—19
го 17 1 2 5*
2(Г 3 ЗА+0,105
33 6,25+4
f+2,04
Ответы для проверки найди среди следующих чисел:
0,65; 5,2; 1,82; 5,36; 1; 4,9; 0,5; 0,44; 0,8; 7; 4,95; 0,93;
6,8; 3,73; 2,7; 4,2.
3.1. Периодическая десятичная дробь
В предыдущей самостоятельной работе ты обращал обыкно¬
венные дроби в десятичные делением числителя на знаменатель.
у
Попробуем обратить таким же способом дробь — в десятичную.
— ■ Итак, получили, что -4=0,6363... Точки
70 | 0,6363... J и ’
66 в конце числа показывают, что деление
40 не закончилось. Получилась бесконечная
33 десятичная дробь (во всех предыдущих
70 примерах получали конечные дроби).
66 В этой бесконечной десятичной дроби
40 рядом стоящие цифры 6 и 3 повторяют-
33 ся подряд бесконечное число раз. Они
7 составляют период бесконечной десятич¬
ной дроби. Дроби, содержащие период,
’J
называются периодическими. Итак, обыкновенная дробь — об¬
ратилась в периодическую десятичную дробь 0,636363... . Ее пе¬
риод равен 63.
50
В старших классах будет показано, что любую обыкновенную
дробь можно обратить либо в конечную десятичную дробь,
либо в периодическую десятичную дробь. Третьей возможности
нет.
Конечная десятичная дробь получается только в том случае,
если знаменатель несократимой обыкновенной дроби не содержит
других простых множителей, кроме 2 и 5. Во всех других слу¬
чаях получается периодическая десятичная дробь. Так, на¬
пример, дробь обращается в периодическую десятичную
дробь, так как среди простых множителей знаменателя имеется
множитель 3 (6 = 2-3). Вычисление показывает, что действительно
-g-= 0,8333... (период этой дроби 3).
Дробь обращается в конечную десятичную дробь, так
как в знаменателе 20 = 2-2-5 нет других простых множителей,
кроме 2 и 5. И действительно, -^-=0,55.
А.
273. Прочти текст параграфа и скажи, какая десятичная дробь
называется периодической?
274. Назови периоды десятичной дроби:
0,777..., 1,2727..., 0,123123..., 5,9090..., 0,234234... .
51
275. Обрати обыкновенную дробь в десятичную (если в ответе
получается периодическая десятичная дробь, то деление
прекрати после вычисления ее периода):
-L 9-L |1 1 1 1 о J_ 7_ Ь_
3’ 5’ 3’40’6’8’ 9’ 9’ 12*
Б.
276. Когда обыкновенная дробь обращается в конечную десятич¬
ную дробь, когда в периодическую десятичную дробь?
277. Выдели из данных обыкновенных дробей те, которые обраща¬
ются в периодическую десятичную дробь. Обрати эти дро¬
би в десятичные (деление прекрати после получения вто¬
рого периода):
6 9 8 5 43 11 101
125’ 32’ 33’ 27’ 160’ 54’ 999'
Для повторения
278. Вычисли:
ЧЗ-Н'Т+Т): 2) ('0Т-3Тт)-(2Т+'-5-)
2
279. Кира купила бумагу и -=- ее израсходовала на обертывание
и
з
книг, а —— на обертывание тетрадей. Какая часть бумаги
осталась неизрасходованной?
280. Обрати десятичные дроби в обыкновенные, затем вычисли:
1) 0,5 + 4- 2) ^-0,6 3) -f+0.3 4) 1.5 + 2-^-
°’7~1 ТЬ0,6 0,8 Г 3,15 + 24-
0,75+4- -f+0.25 2.4—1-i- 1,84-1-f-
281. Обрати обыкновенные дроби в десятичные, затем вычисли:
1) -{-+0,85 2) —0,505 3) 1.34+g- 4) 3-|—2,35
т+°’68 2-4-f 2i)+4’9
0,14+-|- 4—0,125 ^+7,03 5.21-4Л
282. Округли:
1) до сотен: 4753; 382 311; 1 750 109;
L
2) до единиц: 5,74; 10,59; 1,183; 0,6;
3) до десятых: 5,63; 3,447; 0,387; 6,25; 2,038;
4) до сотых: 14,0005; 0,078; 1,048; 7,326; 0,0061.
283. Вычисли (ответ округли до тысячных):
1) 3.7:1,2 2) 5,6:4,7 3) 8,9:2,3 4) 42,5:23,7
92,1:1,42 2,01:4,1 3,75:0,83 0,93:0,41
3.2. Десятичное приближение
обыкновенной дроби
При вычислениях часто приходится обращать обыкновенную
дробь в десятичную. А что делать, если обыкновенная дробь об¬
ращается в бесконечную десятичную дробь? В этом случае бес¬
конечная десятичная дробь округляется. Полученная конечная
десятичная дробь называется десятичным приближением обык¬
новенной дроби. Число, полученное при округлении, тем точнее,
чем больше десятичных знаков в приближении.
151
Пример 1. Вычисления показывают, что 1,3727272... .
Десятичные приближения этой дроби таковы:
151
У1^«1,4 (округленное до десятых);
151
-j-jp«l,37 (округленное до сотых);
151
yip» 1,373 (округленное до тысячных).
Чтобы найти десятичное приближение, округленное до за¬
данного разряда, нужно выполнить деление до следующего раз¬
ряда и полученный результат округлить.
Если используется микрокалькулятор, то можно получить в от¬
вете 8 или даже больше цифр. Полученный ответ при необходи¬
мости округляется.
з
Пример 2. При делении числителя на знаменатель дроби —
на экране появляется 0,4285714. Теперь можем записать, что:
з
—«0,4 (округлено до десятых);
з
—«0,43 (округлено до сотых) и т. д.
53
Исторические сведения
Результаты измерения (длины, площади) не всегда выража¬
ются натуральными числами, поэтому уже в давние времена по¬
явилась необходимость введения дробных чисел. Первая дробь,
которую использовали, была, видимо, «половина» ^ . Затем по¬
явились дроби с единицей в числителе, так называемые единич¬
ные дроби: ... . Если расчеты приводили к появле¬
нию других дробей, то их заменяли суммой единичных дробей. На-
2 1,1
пример: -^=T+TF.
Старейшим математическим документом является «Москов¬
ский папирус», который был написан в Древнем Египте около
четырех тысяч лет назад и хранится в Московском музее изобрази¬
тельных искусств. Из этого документа выяснилось, что для обо¬
значения дробей раньше использовали особые знаки. Черта
дроби стала использоваться значительно позже.
Десятичные же дроби появились позже, менее двух тысяч
лет тому назад. Впервые правила вычислений с десятичными
дробями были обоснованы среднеазиатским ученым Уклидиси
(IX в.). Систематическое изложение учения о десятичных дробях
было дано другим математиком Средней Азии Каши (XV в.) в ра¬
боте, носившей красивое название «Ключ к искусству счета»
По-видимому независимо от Каши бельгийский ученый Симон
Стевин (1548—1620) развил учение о десятичных дробях. Он
написал небольшую книгу под названием «Десятая». Эта книга
составляла всего лишь семь страниц, однако содержала всю тео¬
рию десятичных дробей.
А.
284. Прочти внимательно текст параграфа и скажи, как найти
2
десятичное приближение дроби —, округленное до сотых.
285. Известно, что 24-=2,1666... и 41=0,7818181... . Найди
О 00
десятичное приближение каждой из данных обыкновенных
дробей, округленное до: 1) десятых; 2) сотых; 3) тысячных.
54
286. Найди десятичные приближения дробей, округленные до со-
.5 7 5 49 9 Т_
ТЫХ’ 14’ 13’ 26’ 111’ 12’
287- Обрати обыкновенные дроби в десятичные, округленные до
десятых, затем вычисли:
1) 4-+0.4 2) °-8+-Г 3) 5,2 Н—j- 4) 2-|—1,8
-|-0,3 Д-0,2 2,1-lf 2.5 + 3-§-
Б.
288. Замени обыкновенные дроби их десятичными приближения¬
ми, округленными до сотых. Вычисли, округлив ответ до деся¬
тых (в каждом случае подумай, как проще решить пример):
1) 4+Т+0’85 2) Т+5’07_Т 3) 1> + 3’49—Г
Т-Т+1’42 i-i+°’9 2i-wo+°’3
289. Найди корни уравнения (округли до сотых):
1) 37х=82; 2) 56х = 103; 3) 8х = 47; 4) 52у = 475.
290. Площадь прямоугольного участка земли 3720 м2, а длина
одной стороны 86 м. Вычисли длину другой стороны (ответ
округли до единиц).
291. Вычисли площадь основания прямоугольного параллелепипе¬
да, если его объем 123 дм3, а высота 2,3 дм (ответ
округли до десятых).
292*. Вычисли сумму всех единичных дробей, знаменатели ко¬
торых — неравные простые однозначные числа.
Для повторения
293. Вычисли (устно):
1) (2-3,2 —5)-10 2) 36:10 + 0,4 + 6:2
(387:100 —0,87): 2 1,86-100+ 15- 100:2
294. Пол читального зала библиотеки имеет размеры 9,6 м,
5,4 м, а высота зала равна 4,5 м. На сколько мест рас¬
считан зал, если по норме на одного человека должно
приходиться 3 м3 воздуха?
55
295. Сократи (устно):
6 6 12 20 9 _16
36’ 9 ’ 14’ 100’ 45’ 40'
296. Вычисли:
О 5-т+2т~пг: 2> |2т-(4-|+|т)+^
3» тН°'|+т); 4> !-25+i-^
г, 3,7 — 2 . 6,8 + 2-1,2. 2,8-1,2 9,9
* 2-0,85 ' 0,92 ’ ' 1:100 0,1'
297. Обрати в неправильную дробь:
■з 1 о 5 д1 | 11 q 1 ,5 « 23 г 5
эт, 2—, 6Т, 1-, 9-, 4—, 1ш, 5-.
298. Ребро каждого кубика в штабеле
(рис. 3.1) равно 3 дм. Вычисли
объем штабеля.
3.3. Умножение обыкновенных дробей
Ты уже умеешь решать задачи, в которых приходится умно¬
жать натуральные числа и десятичные дроби. Например, ты уме¬
ешь вычислять площадь прямоугольника по его сторонам, нахо¬
дить длину пути, зная скорость и время движения, знаешь, как
найти стоимость купленного товара, если известны количество
этого товара и стоимость одной его единицы (кг, м, шт. и др.).
Сформулируем теперь правило умножения обыкновенных дробей
таким образом, чтобы эти и другие задачи можно было решить
умножением и в случае, если среди данных имеются обыкновен¬
ные дроби.
3 7
Пример 1. Стороны прямоугольника — м и — м. Вычислим
его площадь (в квадратных метрах).
Для решения задачи выразим сначала измерения прямоуголь¬
ника десятичными дробями. Получим:
м=0,75 м, 4м = 1,4 ми S=0,75-1,4= 1,05 (м2).
4 О
Далее обратим полученную десятичную дробь в обыкновенную:
56
j,05 м = 1 — м =— м =— м . Этот же результат можем по¬
лучить гораздо проще, без предварительного обращения дан¬
ных обыкновенных дробей в десятичные. Мы видим, что числи¬
тель результата равен произведению числителей (3-7), а
знаменатель — произведению знаменателей (4-5) данных дробей.
21 3 7
Полученная дробь — и есть произведение дробей — и —. Запишем:
aU 4 О
3 7 _3-7_ 21
4 ' 5 — 4-5— 20 ’
Вообще произведение двух обыкновенных дробей — это дробь,
числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель
равен произведению знаменателей данных дробей. В буквен¬
ном виде это правило записывается так:
а с а-с
~b'~d~b-d ’
Если возможно, то следует выполнить сокращение резуль¬
тата. Лучше сократить числители и знаменатели до вычисления
их произведений:
Г, г, 5 8 Ь-$ 20 0 2
Пример 2. Т.Т_^!Г_7=2Т.
Г, Q 2 3 _/•/' ,
Пример 3. —
Если среди множителей имеются смешанные числа, то их на¬
до обратить в неправильные дроби, а затем применить правило
умножения дроби на дробь.
п . , 2 з п-31 _П о 3
Пример 4. 3 — • ~г— Т~гТ-
Если среди множителей имеется натуральное число, то его за¬
меняют дробью со знаменателем 1.
гт с о 3 2 3 2-3 6 . 1
Пример 5. 2—=т~=—=т=1-,
или короче:
9 3 2-3 6 _ , 1
5 — 5 — 5 5
Если хотя бы один из множителей равен нулю, то и произ¬
ведение равно нулю. Обратно: если произведение равно нулю,
то хотя бы один множитель равен нулю.
57
Пример 6. -|-*0 = 0--|-=0.
5 и
Пример 7. Если 3-^л:—^-^ = 0, то х—§'=0. и, сле-
1
довательно, х=—.
Если из двух множителей один — обыкновенная дробь, а дру¬
гой обозначен буквой, то буква записывается за дробью на
уровне черты дроби. Знак умножения можно не писать. Например,
3 3
запись —а означает произведение —-а.
Пример 8. Вычислим значение произведения -g-х, если
3
Х=Т'
гг 53 З'-З1 1
Получим — -=
Можно убедиться, что все ранее изученные законы умноже¬
ния (переместительный, сочетательный, распределительный) ос¬
таются верными и для умножения обыкновенных дробей. Вспомни
и сформулируй эти законы!
А.
2
299. Рассмотри примеры 2 и 3. Объясни умножение дробей —
9
И 10'
300. Вычисли (устно):
11 1 I о\ 2 2
Т'Т 2) Т'Т
j i_ j_ _2
4*5 9 ' 3
J 1_ _5_ J_
6 ’ 2 6 * 2
301. Вычисли:
1 2
2 ’ 3
2) — • —
’ 10 6
41 1 6
' 6 ‘ 7
4) “.Л
’ 36 50
4 3
7 15
3 4
7 _ 45
7 ’ 2
5 * 14
4 ’ 3
15* 49
9 2
5 4
3 5
19 18
7 3
12 5
5 3
24 19
1 3
3) ~гт
2 4
3 ’ 5
1 4
9 ' 7
4) ±.±
' 10 8
_1_ _7_
2 ‘ 12
6 6
11 ' 5
58
302. Рассмотри примеры 4, 5 и 6. Объясни умножение чисел:
1) l-i-B2-§-; 2) 5 и А.
303. Вычисли (устно):
1} ^4 2) 2^.4. з) 3-L 4) -|.3
1 9 1 1 1 1 П 4 7 9
Т “Г *Т'Т °'Т 25'2
1 I 1 1 1 4 с 1 2 3 I г
т'т ‘Т’Т 5-,т т*16
304. Вычисли (устно), применяя переместительный и сочета¬
тельный законы умножения:
л 3 1 0. 7 1 2 1 7 п
1) 4-т.т 2) -у—- 3) —-^-9
—•3-2 —-12-4 A.4.-L
2 12 4 3
i_._L.J_ J..6--L J-._L.J2
3 2 2 9 6 12 10
305. Вычисли (устно), применяя распределительный закон ум¬
ножения:
» 5(|+т)
2)
7 (т+2)
3)
(т+8)'5
|0(6+Т‘)
8('°+т)
(7+i)-e
Ч*-т)
3(2Чг)
(5-т)’5
Вычисли:
1) 4-1А 2)
4-16
3) 2 J—3
4)
«>Г
Л 1 3
3 * 10
Н
2-L. 15
и
3Т-4Т
J-.1-L
8 7
27- —
9
2-L.0
и
|2т'3т
5> тЛ 6>
7—-1-
2 :
J_ 7) _L.1L
25 > 50 27
8)
, 5 9
6 ' 22
50-4
11 7
21 ‘ 22
А. 42
21
7 18
18' 35
8 п 1
39'3Т
164
1 J_. IJL
15 24
о 1 33
3 * 100
59
307. Вычисли:
i) i-r-i-i 2> (2т-'т)-2!
2т-4-5т т(2т+т)
Зт+2т"1 (-1-т)'12
3> ^+тк4-т
(Ч-**)(т+*)
т+т(3т_1т)
308. Обрати десятичные дроби в обыкновенные, затем вычисли:
1) 0.8— 2) 0,3-1^-3) 1.2~§- 4) 2-g~ 1,6
-~0,06 2-р0,5 2,1 --у 2,8-1-5-
-1.0,9 5-1-0,08 -1-1,8 3-1.1,5
309. Обрати обыкновенные дроби в десятичные, затем вычисли:
1)
-1.0,6
2)
14
25 "
0,08
3)
1,4
3
' 10
4)
5,2-
4
0.04.1
0,3
49
‘50
4
5 '
2,6
•8,8
0 9-—
’ 20
3
8 ‘
0,1
0.72-4
2Т
•3,6
310. Упрости выражение:
1)
О
со
2)
3 _
4 "
2
3 а
3)
5
6 ‘
-h
4)
4
т*
3
‘ 5
1,2*.4
6
7 '
1
ТУ
3
8 '
1
10 “
5 h
ть
311. Раскрой скобки:
1) 3(14-2*) 2) 2(-1-а + 4-) 3) ^-(6*-9)
2,4 (а + З)
5(т+-Н
-И4Н
Упрости выражение:
1) 7а — За + 5а
2) ±а+±а
OV 1 1
3>
1,8*+ 2,4* —2,2*
5 1
тх~тх
2 . 3
Та+к>а
Б.
3)3. Вычисли (устно), применяя распределительный закон ум-
ножения:
1) 5-3-1- 2)
9-5-1 3) 10-7-1
4) 4-1-1
1-1-6
100-5-1 14-2-1
о /
9-3-1
5-1-6
4-1-22 6-1-30
11 1о
18^
Вычисли как
можно проще:
1) 18-1-1-1
91 24 о 7
' 125 16
оч 3 5 8
3) Т’ТГТб
„7,3
4—. 1 —
20 29
fi ^ .Q ^
6 „ 3 8
8 9
25 4 ’ 9
1 5 К11
58 21
„ 1 9
4—• —-
30 11
Чт'пГ3
315. Вычисли:
» 2i-|2-3ff 2> г-'т-2т-г
3> 'тг5"г71г 4> ir'f24'7f
5 1
316. Вычисли значение выражения 1-g-x——у, если:
1) х=6 и у=3; 2) х= 1 -1 и у=2-1
317. Вычисли:
2> iOf+^H-hsHb
3> (3т-1я+34)4-,-5-;
4> (2т4)('тк-6т)-й-|-
318. Найди десятичные приближения обыкновенных дробей,
округленные до десятых, затем вычисли:
1) 2.6--J- 2) 0.24-1-|- 3) 4-0,7~1
— 0.85 2,55-4-1 3,2-1+1,34
тт5-4 Чг1* ^•°*24+,-8-f
61
319. Упрости выражение:
^ 5 ' 1 2 а' 3 2) 1 8 ' 3 х‘ 15 *6
7 2 4
3 4 1
4 а' 5 ‘ 3
о • 3
2°-1ГТ
9±,,.-!£.чА
^ У qi 3 m
п\ 3 1 ,5
2) —т—-т+—т
1 1,3
3) ~Tb+lTb+irb+~Vb 4) ^-а+-]-а + 2а — а
1 \ 1 I J I ^
ч та+-^а+т-а
Та+1а~1а
8 8
2 , . 1 .5 2
-У+-ГУ+-ТГУ—5-У
4 , 1 , 9
5 Х+ 10 х + х~То"*
9 * ' 6 v 1 6 у 9
322*. Реши уравнение, проверь его корень:
1) 5 (х—3)=0; 2) 3 (2х — 8)=0; 3) х(*-9) = 0.
3.4. Задачи на умножение дробей
Пример 1. Один метр ткани стоит 15 р. Сколько стоят
2 м этой ткани?
Задача решается умножением: 15-2 = 30.
Два метра ткани стоят 30 р.
Пример 2. Один килограмм яблок стоит р. Сколько
стоят: 1) 3 кг; 2) 2 кг; 3) кг; 4) 2-^- кг этих яблок?
И эту задачу решаем умножением:
\\ ^ *з 4-3 12 о ^ / \
Ч —3=—= —2Т (Р>;
о\ 4 9 4• 2 8 . 3 . .
2) (Р-);
оч 4 3 4-3 3 . .
3) (Р-):
5
4
5-4 5
4 9
4-9
I
5 у 21 10
1—-^-*-3 5я-0,2-7
320. Раскрой скобки:
» 8(i+f) 2> т(4*+т) 3) 15(А6_^с+^)
(т-т?)-18 «т(*-т)
321. Упрости выражение:
Пример 3. В хоре 80 учащихся, -g- из них мальчики, осталь-
Hbie девочки. Сколько мальчиков в хоре?
Найдем сначала -g-от 80 (80:5= 16). Так как -|-от 80 в 2 раза
больше, чем -g-от 80, то 16 умножим на 2 (16-2 = 32). Тот же ответ
2
получим, если найдем произведение 80 и —.
80-
80-2
= 32.
Итак, в хоре 32 мальчика. Говорят: мы нашли — от числа
80.
Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на
эту дробь.
Если дробь меньше 1, то дробь от числа будет меньше
этого числа. Если дробь больше 1, то дробь от числа больше
этого числа.
g
Пример 4. Найдем -g- от 35.
Найдем сначала -4- от 35: 35:5 = 7. Следовательно, иско-
О
мое число равно 7-8 = 56.
g
Запишем короче: 35 -—=56.
А.
323. Прочти задачи 1 и 2. Что в них общего? Чем они отлича¬
ются?
324. Вычисли площадь прямоугольника, если его измерения:
1) 31 м и 2{ м; 2) 4 м и { м; 3) дм и З-g- дм;
4) дм и 4- дм.
6 “ 5
325. Вычисли площадь квадрата, если длина его стороны:
1) 1-|- м; 2) м; 3) ±- м.
326. Вычисли объем прямоугольного параллелепипеда, измерения
4 2 ..
з
327. Один метр ткани стоит 20 р. Сколько стоят 2 м, — м
О
3
2— м этой ткани?
4
328. Один литр керосина весит — кг. Сколько килограммов ве-
О
13 5 3
сят 10 л, 3 л, л, — л, — л, 3— л керосина?
329. Средняя скорость пешехода 3-|- 4 ■ Сколько километров !
3 2 1
пройдет пешеход за 5 ч, — ч, -г- ч, 2— ч?
о «3 о
330. Толя увидел молнию, а раскат
грома услышал только через
24 с. На каком расстоянии была
грозовая туча, если скорость рас¬
пространения звука 4 — ?
о С
331. Одна пластинка имеет форму
прямоугольника, измерения кото-
1 3
рого 1 -g— м и — м. Другая пла¬
стинка имеет форму квадра¬
та со стороной 1 м. На сколько площадь прямоугольника
больше (или меньше) площади квадрата?
з
332. Чтобы добраться до города, Толя прошел пешком 2— км
и проехал на автобусе 4 ч со скоростью 58-^- —. Найди
О £ Ч
расстояние от дома до города.
333. Прочти внимательно пример 3 и скажи, как найти дробь
от числа.
334. Вычисли:
1) —■ от 12, 2) -|- от 25, 3) 4 от 32, 4) -|- от 1-^.
4 от 18, 4 от 24, от 42, 4 от 5-4
О о 7 о 5
0,7 от 42; 0,3 от 14; 0,85 от 12; 0,24 от 200.
335. В школе 360 учащихся, из них 4 составляют мальчики
Сколько мальчиков в школе?
64
з
336. В зернохранилище 4800 т зерна, -g- которого пшеница.
Сколько тонн пшеницы в зернохранилище?
337. Колхоз имеет 60 000 га земли. Под посевными культурами
2
занято ^ этой площади. Остальная площадь отведена под
пастбище. Сколько гектаров занимают посевные культуры и
пастбище отдельно?
338. Очередное заседание математического кружка продолжалось
1,5 ч. На знакомство с историей обыкновенных дробей
ушло -|- этого времени. Остальное время решали задачи.
Сколько времени решали задачи?
з
339. Зина прочитала — книги, в которой 120 страниц. Сколько
страниц осталось прочитать?
340. Масса сахара, полученная при переработке сахарной свек¬
лы, составляет 4 массы свеклы. Колхоз отвез на сахарный
завод 80 автомашин, в среднем по 3,75 т сахарной свек¬
лы на каждой. Сколько тонн сахара получили из этой
свеклы?
з
341. Длина прямоугольника 15 см, а ширина составляет — его
длины. Вычисли площадь и периметр прямоугольника.
342. Вычисли: U 4 от ,50°; 2) Т от ,80°: 2) 0,6 ОТ 90°'
Начерти эти углы с помощью транспортира.
з
343. Отрезок АВ равен 6-^ см, а отрезок CD составляет
О
— от длины отрезка АВ. На сколько отрезок CD короче от-
О
резка АВ? Начерти эти отрезки.
Б.
344. Вычисли:
1) 4от 15,6, 2) 14от4,5, 3) 4°т0>36, 4) l4°T0,24,
4 от 32,5, 4 от °-4- ^от4>8’ "Г от0-81-
0,9 от 6,5; 0,8 от 24; 1.4 от0,45 от 44.
345. Половину всей продукции завода составляют счетные маши-
2
ны, из них — микрокалькуляторы. Какую часть всей
продукции завода составляют микрокалькуляторы?
346. Ширина комнаты 4 м, длина в 1,5 раза больше ширины, а
высота составляет -у- часть длины. Вычисли массу воздуха в
комнате, если 1 м3 воздуха весит приблизительно 1-^- кг.
347. В магазин завезли 600 кг муки. В первой половине дня
1 „ 2
продали — всей муки, во второй половине дня — остатка.
Сколько муки осталось непроданной?
3 13 9
348. Ржаной хлеб содержит жиров, белков и угле-
zoU zu zU
водов. Масло же содержит жиров, ^ белков и
о 25U zuO
углеводов. Сколько белков, жиров и углеводов содержится в
5 кг хлеба и сколько в 500 г масла?
349. За единицу длины в Древнем Египте принимали «царский
13
локоть», равный примерно — м, и «локоть простолюдина»,
ZO
равный — м. Фараоны и жрецы брали дань в «царских
локтях», а простому народу продавали материал в «локтях
простолюдинов». Предположим, что купец должен отдать
дань материей 75 «царских локтей», а продать ему посчастли¬
вилось 80 «простолюдиновых локтей» материи. Сравни коли¬
чество проданной материи с количеством материи, отданной в
дань.
350. Составь и реши задачу на сложение обыкновенных дробей.
351. Скорость катера в стоячей воде 18-^- а скорость те¬
чения 2-|- -^. Катер прошел 1уЧ в стоячей воде и еще
t ч против течения. Составь выражение для вычисления
всего пути, пройденного катером. Вычисли его значение, ес¬
ли: 1) 2) *=1-^-.
352. Учащиеся прочитали о плавании атомного ледокола «Ленин»
в 1961 г., который впервые в истории прошел Северный мор¬
ской путь зимой. На перемене мальчики обсуждали прочитан¬
ное и выяснили, что из 7000 морских миль наибольшее
66
мужество у моряков потребо-
5
вало прохождение — этого пу¬
ти в паковом льду (многолет¬
ний лед толщиной 3—5 м), что
скорость движения ледокола
«Ленин» в свободной воде 9—,
С
а скорость движения во льдах толщиной более 2 м равна
-jj- скорости движения в свободной воде. Установили также,
что длина ледокола 134 м, а ширина составляет приблизи¬
тельно 0,206 от его длины. На уроке математики по этим
данным учащиеся составили задачи и решили их. Сделай и ты
то же самое.
2
353*. Сумма четырех чисел 210, первое число составляет этой
1 3
суммы, второе число — первого числа, а третье число
4 о
суммы оставшихся двух чисел. Найди эти числа.
Для повторения
354. Вырази (устно) в процентах:
ШГ-0.84;^; 1.28; -f; 0,063.
355. Вырази (устно) обыкновенными и десятичными дробями:
19%, 305%, 72%, 28%, 121%, 2,3%.
356. Вычисли:
1) 0,45:0,12 2) 0,45:3,75
2,002:0,026 922,6:65,9
357. Спортивная игра на местно¬
сти проходила по маршруту
ABCDEFGH (рис. 3.2). Старт
и финиш были в точке А.
Вычисли длину маршрута,
по которому проходила игра.
3) 1,05:7,5
171,6:0,78
если СВ=-|-км, CD — l-ArKM
5 10
и GH=4~км.
о
Рис. 3.2
67
358. Вычисли:
3,2—1,2-2,5 1,2 . 125 + 5-46 . 0,71
> 5,6 — 5,56 0,3 ’ ' 89-4-21 + 0,1 '
3.5. Нахождение процентов от данного числа
В предыдущем параграфе ты научился находить дробь от чис¬
ла. Для этого нужно число умножить на данную дробь. Часто
эта дробь выражается в процентах. В этом случае говорят, что
нужно найти проценты от данного числа. В простейших случаях мы
уже умеем решать такие задачи. Вспомним это.
Пример 1. Найдем 18% от числа 200.
Сначала найдем 1 % от числа 200. Для этого число 200 разде¬
лим на 100 (200:100 = 2). Полученный результат умножим на чис¬
ло процентов, которое требуется найти (2-18 = 36). Значит, 18%
от 200 равны 36. Этот же результат можно получить по-другому,
18
умножая число 200 на дробь или на 0,18. Действительно
200-^=^^=36, или 200-0,18 = 36.
Вообще, чтобы найти проценты от данного числа, нужно:
1) выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью;
2) умножить данное число на эту дробь.
Пример 2. При переработке сахарной свеклы можно полу¬
чить 13% сахара от всей массы свеклы. Сколько сахара можно
получить из 50 т свеклы?
Для решения задачи нужно найти 13% от числа 50. Выра¬
зим 13% обыкновенной или десятичной дробью:
13% =^-0,13.
Умножим данное число на эту дробь:
сП 13 50-13 13 1
* 100 100 _ 2 2 ’
ИЛИ
50-0,13 = 6,5.
Следовательно, из 50 т сахарной свеклы можно получить
68
6,5 т сахара. При вычислениях с использованием микрокаль¬
кулятора проценты удобно выражать десятичной дробью.
А.
359. Прочти текст параграфа, продумай примеры и объясни, как
найти: а) 15% от 80; б) 9% от 63.
Найди (устно):
1) от 20, 2) 30% от 40, 3) 20% от 100,
^ от 600, 5% от 300, 40% от 90,
0,4 от 50; 80% от 20; 150% от 200.
360. Найди:
1) щ от 70, 2) 15% от 420, 3) 9,8% от 500,
^ от 8,5, 38% от 95, 11,2% от 5,5,
от 75, 137% от 0,8, 3,7% от 1,2,
0,78 от 135; 94% от 5,6; 23,5% от 78.
361. В 6 Б классе 35 учеников, в 6 А 80% этого количества.
Сколько учеников в 6 А классе?
362. В школе 425 учащихся, 56% из них девочки. Сколько де¬
вочек в школе?
363. В классе 30 учащихся, 80% из них пионеры. Сколько пионе¬
ров в классе?
364. Тело человека содержит примерно 64% воды. Сколько кило¬
граммов воды в человеческом теле, если его масса 40 кг?
365. При сушке яблоки теряют 91% своей массы. Сколько
килограммов сушеных яблок получится из 160 кг свежих?
366. По плану токарь должен изготовить 400 деталей в день.
Он выполнил план на 110%. Сколько деталей изготовил то¬
карь?
367. Общая площадь архипелага Северная Земля примерно
37 000 км2. Площадь острова Пионер составляет 4,3% от
площади всего архипелага. Вычисли площадь острова Пио¬
нер. (Ответ округли до сотен.)
368. Длина участка прямоугольной формы 500 м, а ширина со¬
ставляет 42% его длины. Вычисли площадь участка. (Ответ
вырази в гектарах.)
69
369. Стороны прямоугольника 5,4 дм и 3,1 дм. Периметр квад.
рата составляет 80% от периметра прямоугольника. Вычис¬
ли сторону квадрата.
370. Бак имеет форму прямоугольного параллелепипеда, измере¬
ния которого 15 дм, 12 дм и 6 дм. Водой заполнено
60% его объема. Сколько литров воды в баке?
Б.
371. Луч, проведенный из вершины прямого угла, делит его на
два угла. Один из этих углов составляет 65% прямого
угла. Вычисли градусные меры обоих углов.
372. Длина прямоугольного участка 120 м, а ширина составляет
75% длины. Вспахано 35% этого участка. Сколько гектаров
не вспахано?
373. Сторона земельного участка, имеющего форму квадрата,
140 м. Под ячмень занято 65% этого участка. На остальной
площади растет овес. Поставь разумные вопросы и ответь на
них.
374. Из 750 учащихся школы 80% занимаются в различных
кружках, из них 5% — в радиокружке. Сколько учащихся
занимается в радиокружке?
375. Составь задачу на нахождение процента от числа. Реши ее.
2
376. В одном районе города 360 квартир, из них квартир име¬
ют площадь 55 м2 каждая, 40% квартир имеют площадь 40 м2
каждая, а остальные имеют площадь 28 м2 каждая. Вычисли
площадь всех квартир района.
Для самопроверки
377. Обрати в десятичные дроби:
63 о_1_ о Л 21_ 4_1_
100 ’ 5 ’ 20 ’ 50 ’ 4 '
378. Обрати в обыкновенные дроби:
3,6; 0,48; 2,105; 0,04.
7 8
379. Вычисли десятичные приближения дробей — и 1-д-, округ¬
ленные до сотых.
380. Расскажи, как выполняется умножение двух и более обык¬
новенных дробей.
70
381.
Вычисли (у с
т н о):
1) —
; 5 7
2)
‘т-т 3)
744 4> 6(
,т+1
4 1
9 ‘ 2
2-1-Jf
ff'5 4(
А.4
12
944 8(
гг+2
382.
Вычисли:
,ч 15 21
* 28 ‘ 40
2)
6-2± 3)
(4-4)-'тг
2-L.1.
1
17
1 2-—
• 18
0,6+6.14-
1-4
4-^-0,32
ь
4-+'тН)
2 7
383. Вычисли значение выражения — а+1-jp, если:
1) а=0; 2) а=~-- 3) а = 1-|--
2
384. Сколько километров проедет велосипедист за 1— ч, если
I »
его средняя скорость 13-^-^-?
1 2
385. Галя купила — кг конфет по цене 2-g- р. за килограмм
и — кг печенья по цене 1,5 р. за килограмм. 1) Какую
сдачу получила Галя с 5 р.? 2) На сколько рублей кон¬
феты дороже (дешевле), чем печенье?
386. Раскрой скобки:
1) 3(-L*+-g-); 2) (6-14а)~Ь 3) -!-(*+10)
387. Расскажи, как найти дробь (процент) от числа.
388. Вычисли:
1) -§-от 189, 2) 0,4 от 150, 3) 68% от 35, 4) 120% от 80,
~ от 3,2; 0,24 от 2-§-; 7% от4,9; 5,4% от 270.
389. Вычисли площадь жестяного листа прямоугольной формы,
4
если его длина 2,5 м и ширина составляет — длины.
О
390. Длина дистанции трехдневной велогонки была 480 км. В пер¬
вый день велогонщики проехали 25% всего пути, а во второй
день 55% оставшегося пути. Сколько километров проехали
велосипедисты в третий день?
71
4. ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ.
ПРОПОРЦИЯ
Самостоятельная работа 3
Тема. Взаимно обратные числа.
1. Найди произведение:
1) 2~Ь 2) 3) 34-^; 4) 0,2-5;
5) 2,5-0,4.
Если не ошибся в вычислениях, то получил ответ: значение
каждого из этих произведений равно 1.
2. Запомни: два числа, произведение которых равно единице,
называются взаимно обратными числами.
3. Укажи пары чисел, в которых числа взаимно обратны:
..2 5 0. 3 7 0, 3 2 .. 00 6
1) Т и Т; 2> Т и Т; 3) Т и Т: 4) 2’2 и ТГ;
5) у и 7; 6) 0,8 и 1-J-; 7) 2^- и
При правильных вычислениях ты нашел пять пар, в которых
числа взаимно обратные.
4. Найди число, обратное данному:
1) -§-; 2) 3) -у-; 4) -L- 5) 10; 6) 9; 7) 100.
Подумай, как найти число: 1) обратное обыкновенной дроби;
2) обратное натуральному числу.
5. Если ты с заданием справился и все понял, то пришел
к следующему выводу:
1) чтобы найти число, обратное обыкновенной дроби, нужно
числитель и знаменатель дроби поменять местами;
2) число, обратное натуральному,— это дробь, числитель ко¬
торой 1, а знаменатель — само натуральное число.
А.
391. Какое число обратное единице?
392. Почему не существует числа, обратного нулю?
72
393. Найди число, обратное данному:
Т’ То ’ ~5’ Т' ~8' 6’ 10, ,000’ 3”Г’ 21Г'
394. Обрати десятичные дроби в обыкновенные и найди им обрат¬
ные числа:
0,1; 0,3; 0,02; 1,2; 2,5; 5,29; 4,017.
395. Вычисли (устно):
'•{(l-w) 2)(т''т)'9 31 (|2"В"Г
т(т-т) 7(т-т4) 4«.| (1,5-10)
396. Реши уравнение:
1) -|-х=] 2) \у = 1 3) 8х= 1 4) 0,5*= 1 .
~а= 1 4-с= 1 14-6 = 1 0,82=1
14 5 У
Б.
397. Верно ли, что:
1) каждому числу найдется обратное;
2) существуют числа, у которых нет обратного;
3) существуют числа, которые являются обратными сами
себе,
4) ни одно число не является обратным самому себе?
398*. Найди дроби, обратные следующим:
а 3 Зх 2т Зп 7х а 1 _1_
~2'~Г'~2'!Г'2а' ~у'~Ь~'т'П'1Г'Иа‘
399*. Упрости выражение:
■) i(i-°-98) 2> Ш'х) 3> if7-9'3*»
f (fi) 74s4)
4.1. Деление обыкновенных дробей
Мы уже знаем, что деление — это действие, с помощью кото¬
рого по произведению и одному из множителей можно найти
другой множитель. Деление — действие, обратное умножению.
3 5
Рассмотрим, например, уравнение ~^x=~q-- Получим, что
5 3
Мы пока не можем сказать, чему равен х, так как мы
не знаем правила деления обыкновенных дробей. Выведем его.
В дальнейшем мы узнаем, что обе части уравнения можно
умножать на одно и то же число, отличное от нуля. Умножим обе
части уравнения на число, обратное данному множи-
з 4
телю —, то есть на —:
(±x).±=Jl.±
\ 4 ) 3 6 3'
Применяя законы умножения к левой части равенства, получим:
( Ъ 4 \ 54 . 54
V 4 ‘ 3 )'Х~ 6 ' 3 ’ ИЛИ 6 ' 3 ’
то есть *=-§-•!-’ или *=!т=Т=1Т'
Проверка подтверждает, что 1 — корень данного уравнения.
Действительно,
_з_ I i£__5_
4 ‘ 9 — 4 ' 9 — 6 ■
Правая часть уравнения тоже равна -|-. Таким образом, полу-
5 5
чили верное равенство —.
Итак, для нахождения частного нужно найти произ-
5 4
ведение -jp-g-. то есть нужно умножить делимое на число,
обратное делителю.
Рассуждая таким образом, получим, например:
2.4 2 5 2-5 5 4 5 4-5 2
3 ' 5 — 3 ' 4 ~3-4- 6 ’ пРовеРка: 5 * 6 — 5.6— з ;
1.2131-31 212-11
3 ' 3 — 3 ‘ 2 —3-2— 2 ’ пРовеРка: з ' 2 3-2 3 '
В общем виде запишем:
а с a d
b ' d b с
Итак, правило деления обыкновенных дробей можно сформу¬
лировать следующим образом: чтобы разделить обыкновенную
дробь на обыкновенную дробь, нужно делимое умножить на
число, обратное делителю.
74
I
Перед непосредственным вычислением дробь нужно по воз¬
можности сократить.
п. „ 1 5.2 5 3 5-/_ 5_, 1
Пример 1. 6-3 6-2 4 4
Если среди данных имеются смешанные числа, то до деления
их нужно обратить в неправильные дроби и только после этого
выполнить деление.
п „ о 5 ., 2 5.5 53 1
Пример . 6-l3-6-3-6-5-— 2 •
Правило деления обыкновенных дробей применяют и в слу¬
чае, когда среди данных имеются натуральные числа. Эти числа
записывают в виде дроби со знаменателем 1.
п о 3 ,с 3. 6 3 1 3-1 1
ПримерЗ. 4 .6— 4 . j , • 6 — 4.6 — в '
п л о.З 8.3 85 40 , о 1
Пример 4. в: 13—.
Любое число, кроме нуля, имеет обратное число. Следова¬
тельно, теперь деление выполнимо без ограничений, за исклю¬
чением деления на нуль. На нуль делить нельзя!
А.
400. Повтори по тексту правило деления дробей. Разберись в
_9_
10
3 9
примере 1 и объясни, как разделить дробь — на —.
401. Вычисли:
1)
9 .
8 *
3
4
2)
2
5
. 1
’■ 10
3)
6 .
5 '
4
3
4)
7
16
. 21
* 32
6.
3
1
. 1
5 .
10
25
. 5
7 •
14
3
• 6
3 •
9
27
‘ 9
2 .
4
1
. 1
6 .
3
4
. 12
5 *
5
9
• 3
5 -
5
15
* 35
Вычисли (ус
т н
о),
объясняя 1
каждый
шаг деления:
1)
1
2 :
3
5
2)
5
9
. 1
■ 2
3)
1 .
10 *
2
9
4)
3
11
. 2
‘ 7
4 .
1
1
. 2
1 .
1
5
. 1
7 '
3
6
‘ 5
12 *
5
8
‘ 9
5 .
1
3
. 2
8 .
1
1 .
. 1
11 -
6
10
' 3
9 ‘
2
5 '
' 3
403. Разберись в примерах 2, 3 и 4 и объясни, как разделить:
1) 2-^-на 1-f; 2) 15 на -£.
404. Вычисли:
» Чг:т
2) I : 1 4- 3>
1— 5 1
1 7 * D 3
2 9 3
3 4
Зт:2
4 —: 1 —
5 4
Ь 1^
5 3
2 4-: П
О
7 — 1 —
3 • 1 9
Вычисли значение выражения
9 .
тгг: х, если
1Ь
4) liriJL
’ 19 19
7_ . 49
36 ' 72
24 : 3 4-
5
jc = 4 ; jc = 18; х = 3 4*-
3
406. Вычисли значение выражения а:—* если а = 0; а=1;
12 . . 2
а— 35 ’ а— 25 '
407. Реши уравнение, проверь его корень:
I )тх=Г 2)т*=Г 3) Ьу—1 -j- 4) ±Z = 4
— у=1 — 3x=f- 2
5 5 3 2 -д-а = 6
1 ‘ _ 1_ 2x=li-
з з з*~ 6 3 ту==1°
408. Обрати десятичные дроби в обыкновенные, затем вычисли:
1) 0,1 2) 0,4 3) 1 ±-: 0,5 4) 3,5 : 2-1-
0,9:4- 0,24 : 3-J-: 1,25 4,25 : 1 -±-
4 У о 2
1'2 : W Ъ: 0>75 °-36:1 т! 0Л05:1 т
409. Вычисли:
I) 30-1:^ 5
2 — • -! 1- —
2 ’ 10 ~ 10
5 2. 4 • 1 JL
5 3
410. Вычисли:
1) 66-^: 40
14 _1-
8 ‘ 24
22 . с J_
65 • 13
76
6тИт У-i
3> (3,6-1 i:-!-).
2fK-i)
(3-5-т-т ):“
1 —; f 11 -1 -—
з V и
8) i:(6-L.3,2-
Б.
19:23-i-
3) 0.85:3 0,75
с 3 . о Ю . | 13
И и 16
1 6'—* 2 —
’ 9 10
5—' 7 • —
4 24
4.4:3,6:4-
5 I
411. Вычисли значение выражения 1 а — Ь:0,7, если а = 2 —
412. Реши уравнение:
s : -j-= 31- 5-±-+0,6у=16 0,252-1 -^=2^-
Пример 1. В мешке 50 кг сахара. Нужно расфасовать его
в пакеты, по 2 кг в каждый. Сколько получится таких пакетов?
Чтобы решить задачу, нужно массу всего сахара разделить
на массу сахара в одном пакете. Получим 50:2 = 25. Значит,
получится 25 пакетов.
Пр и м е р 2. В ящике 30 кг конфет. Нужно расфасовать их
3
в пакеты, по — кг в каждом. Сколько получится таких пакетов?
Как и в первом примере, чтобы ответить на вопрос задачи,
нужно выполнить деление:
Итак, получится 40 пакетов конфет.
Пример 3. В классе 18 девочек, это составляет от числа
всех учащихся. Сколько учащихся в классе?
г, - 3
В этой задаче известно, что — от числа всех учащихся
класса равняется 18. Тогда можно найти от общего числа уча¬
щихся. Это будет в 3 раза меньше, чем 18, то есть 18:3 = 6.
Общее число учащихся составляет —, то есть в 5 раз больше, чем
-J-. Значит, число всех учащихся класса есть 6-5 = 30.
Итак, в классе 30 учащихся.
I 413. Вычисли:
4.2. Задачи на деление дробей
77
Такой же результат можно получить только одним действием —
делением на дробь. Действительно,
18:-|-= 18-5 =30.
В последнем примере мы нашли число по его дроби. Вообще,
чтобы найти число по его дроби, можно разделить на эту дробь
соответствующее ей число.
Однако в простых случаях, в частности при устных вычисле¬
ниях, целесообразно такие задачи решать двумя действиями.
Сначала делением данного числа на числитель дроби найдем
одну часть искомого числа. Затем полученное число умножим на
знаменатель дроби. Результат двух действий и есть искомое
число.
2
Пример 4. Найдем число, которого равны 24.
Сначала найдем -i- от искомого числа:
24:2=12.
Значит, искомое число равно 12-3 = 36.
А.
414. Прочти задачи 1 и 2. Что в них общего? Чем они отличаются?
2
415. Площадь прямоугольника равна 1 -=м2. Вычисли его длину,
2 1 4,1
если ширина —м, —м, —м, 1 —м.
Охи о
416. Какой путь пройдет группа туристов за 1 ч, если 2-^- км
3 3 1
она проходит за —ч, за -=-ч, за -к-ч?
4 и £
3 2
417. Сколько стоит 1 м ткани, если -г- м стоят 5—р.?
4 О
з
418. С опытного участка, площадь которого 3— га, собрали 225 ц
О
пшеницы. Сколько центнеров пшеницы в среднем собра¬
ли с 1 га?
419. Объем одной комнаты 60 м3, а другой — в 1 -^-раза меньше.
Вычисли объем другой комнаты.
420. Сема начертил два угла. Оказалось, что один угол равен 130°,
а другой — в 2-^- раза меньше. Начерти и ты эти углы.
421. Расстояние между двумя городами 210 км. Поезд прошел это
расстояние за 4— ч. Обратно он шел со скоростью
78
50-|- . Во сколько раз скорость поезда на обратном пути
больше (меньше)?
422. На сколько кусков можно разрезать лист фанеры, площадь
которого 2 — м2, если площадь одного куска должна быть
равной 0,3 м2?
423. Автомат расфасовывает приправу для мясных блюд по
0,03 кг в пакет. Сколько пакетов потребуется для 22-i- кг
приправы?
424. За п килограммов конфет уплатили 2 —р. Составь выраже¬
ние для вычисления стоимости 1 кг конфет. Вычисли его зна¬
чение, если: 1) п=-1-; 2) п=1-|-; 3) «=1,2.
425. Рассмотри решение задачи 3. Повтори правило нахождения
з
числа по его дроби. Объясни, как найти число, — которого
равны 12.
426. Найди число (устно):
I) 4-которого равны 2, 2) 4-которого равны 16,
о 5
3 2
— которого равны 15, —которого равны 1,8,
■ о
0,6 которого равны 12; 0,7 которого равны 1,4.
427. Найди число:
1) которого равны 7, 2) 0,45 которого равны 3,6,
0,25 которого равны 12, 0,04 которого равны 0,5,
7 о 3
— которого равны 2—; 1-г- которого равны 0,8.
о 4 °
428. Зоя прочитала 150 страниц. Это составляет -g- всей книги.
Сколько страниц в книге?
з
429. В классе 12 мальчиков. Это составляет — всех учащихся
О
класса. Сколько учащихся в классе?
430. Ширина пастбища, имеющего форму примоугольника, 240 м.
О
Это составляет — его длины. Какова площадь пастбища?
О
(Ответ вырази в гектарах.)
431. Площадь озера Балхаш во время низкой воды равна
79
35
17 500 км2, что составляет — площади озера во время вы¬
сокой воды. Вычисли площадь озера Балхаш во время
высокой воды.
432. Масса товара, упакованного в ящик, 20,8 кг, что составляет
массы ящика с товаром. Вычисли массу пустого ящика.
Б.
5 2
433. Первая автомашина за — ч проехала 60 км, вторая за — ч
О и
проехала 54 км. Скорость какой машины больше? Во сколько
раз?
з
434. — всей колхозной земли отведено под пашню. Зерновыми
3
занято — этой площади. Сколько земли имеет колхоз, если
4
зерновыми засеяно 1080 га?
з
435. Когда Дима уплатил за покупки — всех своих денег, у не¬
го осталось еще 90 к. Сколько денег было у Димы?
436. Геологи прошли долину, расположенную между горами, за
п 2 „I
три дня. В первый день они прошли —, во второй всего
пути и в третий оставшиеся 28 км. Вычисли длину пути, про¬
ходящего по долине.
1 3
437. В первый день туристы прошли —, а во второй день — наме¬
ченного пути. На третий день оставалось пройти последние
10 км. Поставь разумные вопросы и ответь на них.
438*. (Старинная задача
Л.Ф. Магницког о1.) Спро¬
сил некто учителя: «Сколько
у тебя в классе учеников, так
как хочу отдать к тебе в учение
своего сына?» Учитель отве¬
тил: «Если придет учеников еще
столько же, сколько имею, и
полстолько, и четвертая часть,
и твой сын, тогда будет у меня
100 учеников». Спрашивается:
сколько учеников было у учи¬
теля?
1 Леонтий Филиппович Магницкий (1669—1739) — известный русский препо¬
даватель, автор знаменитого учебника «Арифметика» (1703 г.).
80
439. Составь задачу на нахождение числа по заданной его дро¬
би. Реши ее.
440*. Три группы учащихся очищали каток от снега. Первая груп-
7 2
па очистила -jg, вторая —того, что осталось, а третья остав¬
шиеся 250 м2. Вычисли площадь катка.
Для повторения
441. Вычисли (устно):
О 0,4+4-
_7 _
9
0,1 +
2) 36~§-
0.5-4-
3> 1U:2
4 : 4-
2_
3
442. Вычисли (устно):
1) i-от числа 6,
0,8 от числа 5,
20% от числа 40;
2) — от 9 р.,
0,3 от 5 м,
10% от 2 т
4) 0.9 : 4.
—• 0 2
5 * u,z
1,5:0,5
3) 4- от 90°,
+-от 180°,
О
0,5 от 60°.
_5_
12
2) 0,75+(|-§-£-0.2)4:
(+++т)-°-7+0-3-
443. Выполни действия:
1) (1,25+ 1 4") : 29+-
(3f+f):l5-T
444. Измерь углы треугольника ABD
и треугольника BCD (рис. 4.1)
Сравни их градусные меры и
сделай выводы.
445. Корпус завода имеет форму
прямоугольного параллелепи¬
педа. Длина корпуса 80 м, ши-
рина составляет — его длины
о
и высота 30% его ширины. Поставь разумные вопросы и
ответь на них.
Рис. 4.1
81
4.3. Нахождение числа по его процентам
В предыдущем параграфе мы находили число по его дроби.
Если эта дробь выражена в процентах, то говорят, что нужно
найти число по его процентам.
Пример 1. За контрольную работу по математике отметку
«4» получили 9 учеников. Это составляет 36% от всех учащихся
класса. Сколько учащихся в классе?
При решении задачи нужно найти такое число, 36% кото¬
рого равны 9. Для этого выразим проценты обыкновенной или
десятичной дробью:
36% =^=0,36.
Далее поступим по правилу нахождения числа по его дроби,
то есть разделим на эту дробь соответствующее ей число. Полу¬
чим:
9;-rSi = -^Ч!г =25, или 9:0,36=25.
1UU оо
В классе было 25 учащихся.
Итак, чтобы найти число по его процентам, можно:
1) выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью;
2) разделить данное число на эту дробь.
В простых случаях, в частности при устных вычислениях,
проценты выражают обыкновенной дробью, и тогда искомое чис¬
ло можно найти двумя действиями (см. пример 3, § 4.2): делением
найдем 1%, или одну сотую числа, затем результат умножим на
100 (найдем 100%, или целое).
Пример 2. Найдем число, 5% которого равны 15.
Получим 15:5 = 3, 3-100=300. Искомое число 300.
Безусловно, такой же результат можно получить и следующим
образом:
1^:~П5о = 300’ или 15:0,05 = 300.
При вычислениях с использованием микрокалькулятора
проценты удобно выражать десятичной дробью.
А.
446. Прочти текст параграфа, продумай примеры и объясни, как
найти число, если 20% его равны 60.
82
447. Найди число (устно):
1) которого равны 6, 2) 2% которого равны 4,
— которого равны 24, g% которого равны 32,
О
— которого равны 12; 20% которого равны 80,
120% которого равны 240.
448. Найди число, если:
1) 24% его равны 72, 2) 3,8% его равны 28,5,
42% его равны 6,3, 52,1% его равны 10,42,
375% его равны 525; 100,7% его равны 4,028;
3) 99% его равны 990, 4) 123% его равны 2,46,
210% его равны 6,3, 0,3% его равны 0,27,
12,5% его равны 7,5; 2500% его равны 500.
449. Масса муки, затраченной на выпечку хлеба, составляет 75%
от общей массы выпеченного хлеба. Сколько килограммов
хлеба можно получить из 6 кг, 18 кг, 324 кг, 3 т муки?
450. 8 учеников, что составляет 25% учащихся класса, за конт¬
рольную работу по математике получили отметку «5». Сколь¬
ко учащихся в классе?
451. При помоле пшеницы получается 80% муки. Сколько пшени¬
цы нужно смолоть, чтобы получить 480 кг пшеничной муки?
452. Колхоз продал государству 264,5 т мяса. Это составляет
115% плана поставок мяса. Каков план поставки мяса у это¬
го колхоза?
453. В поселке 1650 квартир имеют центральное отопление. Это
составляет 55% всех квартир в поселке. Сколько квартир в
поселке?
454. Масса крови взрослого человека составляет в среднем 7,5%
от его общей массы. Сколько крови у человека, если его
масса 72 кг? 100 кг?
455. Длина прямоугольника 82 см, а ширина составляет 65% его
длины. Вычисли площадь и периметр прямоугольника.
456. Одна сторона треугольника 12 дм, а две другие составляют
80% этой стороны. Вычисли периметр треугольника.
457. Автомобиль выехал из одного города в другой. В первый час
он проехал 68 км, или 40% всего расстояния между города¬
ми, а во второй час 72 км. Сколько километров осталось
проехать?
83
Б.
458. Кладовщик выдал маляру 18% количества всей краски, после
чего на складе осталось еще 492 кг краски. Сколько
килограммов краски выдано маляру?
459. 36 участников соревнований по лыжам стартовали на ди¬
станции 3 км, а остальные 55% участников стартовали на
дистанции 2 км. Поставь разумные вопросы и ответь на
них.
460. Мужчины на заводе составляют 75% всего количества
рабочих. Женщин на заводе 216. На сколько женщин мень¬
ше, чем мужчин?
461. Товар вместе с упаковкой стоит 40,8 р. Стоимость упа¬
ковки составляет 2% стоимости товара. Сколько стоит
товар без упаковки?
462. Составь задачу на нахождение числа по его процентам.
Реши ее.
463*. Лоси составляют 30% от общего числа косуль и лосей,
живущих в заповеднике. Сколько косуль живет в заповедни¬
ке, если число лосей на 144 меньше числа косуль?
464*. Тупой угол разделили на три части. Один из образовавшихся
углов составляет 40% тупого угла, второй составляет 20%
первого угла, а третий равен 78°. Вычислите величину тупого
угла.
4.4. Что показывает частное двух чисел
Прочти внимательно следующий текст и ответь на вопросы
к заданию 465.
Относительно значения частного двух чисел имеются три
возможности:
8 3
1. Частное больше 1. Например, 8:5 = —= 1—= 1,6> 1.
В этом случае частное показывает, во сколько раз делимое
з
больше делителя. Число 8 больше числа 5 в 1 — , или 1,6, раза.
2. Частное равно 1. Например, 10,7:10,7=1. В этом случае
делимое и делитель — равные числа.
6 3
3. Частное меньше 1. Например, 6:8=-g-= — =0,75< 1-
84
В этом случае частное показывает, какую часть составляет дели-
з
мое от делителя. Итак, число 6 составляет — от числа 8 (рис. 4.2).
Частное двух чисел часто выражают в процентах, то есть
в сотых долях. В рассмотренных примерах получим:
8:5=1,6=-^= 160%,
10,7:10,7=1=^=100%,
6:8=0,75 = ^=75%.
Таким же образом выразим в процентах частные:
5:8 = 0,625=^|=62,5%,
4,56:120 = 0,038 = щ= 3,8% и т. д.
Итак, чтобы выразить частное в процентах, нужно: частное
умножить на 100 и к полученному произведению приписать знак
процента.
Частное, выраженное в процентах, показывает, сколько процен¬
тов составляет делимое от делителя. Поэтому, чтобы узнать, сколь¬
ко процентов составляет одно число от другого, нужно: 1) пер¬
вое число разделить на второе; 2) полученное частное выразить
в процентах.
Пример 1. В классе 25 учащихся, из них 10 девочек. Сколько
процентов всех учащихся класса составляют девочки?
Ю
Для решения задачи нужно частное ^ выразить в процентах,
тем самым узнаем, сколько процентов составляет число 10 от числа
25:
g = о,4 = 40%.
Значит, девочки составляют 40% всех учащихся.
85
Пример 2. Вместо плановых 75 деталей рабочий изго¬
товил 80 деталей. На сколько процентов выполнен план?
Выразим частное -Ц в процентах:
ЯП
^-«1,067=106.7%.
Значит, рабочий выполнил план на 106,7%, то есть пере¬
выполнил его на 6,7% (106,7%—100%=6,7%).
А.
465. 1. Что показывает частное, если оно: 1) больше 1; 2) рав¬
но 1; 3) меньше 1? Приведи примеры.
2. Как выразить частное двух чисел в процентах? При¬
веди примеры.
3. Что показывает частное, выраженное в процентах?
4. Как узнать, сколько процентов составляет одно число
от другого?
5. Сколько процентов составляет число пионеров от числа
всех учащихся твоего класса (продумай примеры 1 и 2)?
Как будешь вычислять?
466. Объясни следующие вычисления:
1)6:10 = 0,6 = 60% 2) |-:l-i-=-i_=o,5 = 50%
9:4 = 2,25 = 225% 0,15:0,03 = 5 = 500%
7:8 = 0,875 = 87,5% 54:72 = 0,75 = 75%
3,6:3,6=1 = 100% -g-:2-jj=-Jr = 0,08=8%
Что показывает ответ?
467. Сколько процентов составляет:
1) 3 от 5, 2) 75 от 18,75, 3) 76 от 47,5, 4) -у от-у,
5 13
— ОТ
8 15
12 от 8, 39 от 195, 621 от 180, 1-|-от-||.
100 от 50; 14,7 от 19,6; 1,6 от 2,5; -|-от 1,5?
ъ
468. Сколько процентов составляет: 1) 1 га от 5 га; 2) 3 кг от
6 кг; 3) 2 дм от 1 м; 4) 18° от развернутого угла?
469. Сколько процентов составляет (ответ округли до десятых):
86
1) 5 от 6, 2) 32 от 290, 3) 3,3 от 29, 4) -у- от -|-,
3 от 7, 19 от 157, 5,3 от 495, 6 от 1-|-,
5
2 от 9; 89 от 645; 0,8 от 7,4; -|- от 1,2?
470. Из 25 контрольных работ 6 оценили на «5». Сколько процен¬
тов составляют эти работы от общего числа работ?
471. Из 32 учащихся класса по болезни отсутствовали 4 учащих¬
ся. Сколько процентов всех учащихся класса отсутствовали
и сколько процентов присутствовали?
472. В литейном цехе изготовили 320 деталей, 8 из них оказались
с дефектами. Сколько процентов деталей с дефектами?
473. Из 40 штрафных бросков, сделанных баскетбольной коман¬
дой, было 36 попаданий. Вычисли процент попадания.
474. Магазин за день продал 28 черно-белых и 42 цветных
телевизора. Сколько процентов составляет число проданных
цветных телевизоров от общего количества проданных
телевизоров?
475. Площадь прямоугольника 14 дм2, его длина 5 дм. Сколь¬
ко процентов составляет ширина прямоугольника от его
длины?
476. Из 215 тыс. рублей, выделенных для капитального ремонта
здания, в первом квартале израсходовано 42 тыс. рублей.
Сколько процентов составляет эта сумма от средств, вы¬
деленных для ремонта? (Ответ округли до десятых.)
Б.
477. По результатам переписи населения в 1979 г. в Грузин¬
ской ССР проживало в городах 2 601 000 человек, а в сель¬
ской местности 2 414 000. В то же время в РСФСР про¬
живало в городах 95 374 000 человек, а в сельской местности
42 177 000, в Литовской ССР в городах проживало 2 062 000
и в сельской местности 1 336 000 человек. С помощью про¬
центов сравни число городских и сельских жителей в данных
республиках.
478. Составь задачу, в которой надо найти, сколько процентов
составляет одно число от другого. Реши ее.
479*. Первое число составляет 80% от второго. Сколько процентов
составляет второе число от первого?
480. В турнире по баскетболу при¬
нимали участие команды пятых
и шестых классов. Из 45
штрафных бросков команды пя¬
тых классов и из 56 штрафных
бросков команды шестых клас¬
сов было соответственно 34 и
40 попаданий. Результат штраф¬
ных бросков какой команды
был лучше?
4.5. Изменение величины в процентах
Многие величины постоянно меняются, например темпера¬
тура воздуха, уровень воды в море, ежемесячное количество
осадков, общая сумма денег в сберкассе, рост и масса человека
и т. д. Время от времени также меняются цены на Товары, зарпла¬
та рабочих и др.
Изменения величин часто характеризуются с помощью процен¬
тов.
Пример 1. До снижения цен холодильник стоил 250 р.,
после снижения 230 р. На сколько процентов снизилась
стоимость холодильника?
Для решения задачи узнаем сначала, на сколько рублей
изменилась цена холодильника. Получим 250 — 230 = 20 (р.). Те¬
перь найдем, сколько процентов составляет полученная разность
от первоначальной стоимости холодильника:
Значит, стоимость холодильника понизилась на 8%.
Пример 2. Колхоз планировал получить с 1 га в среднем
29 ц зерновых, а получил 32 ц. На сколько процентов кол¬
хоз перевыполнил план? На сколько процентов выполнил план?
Сначала определим, на сколько центнеров колхоз перевыпол¬
нил план: 32 — 29 = 3 (ц). Далее вычислим, сколько процентов
составляет эта разность от плана: -^«0,103=10,3%. Зна¬
чит, план перевыполнен на 10,3%, а план выполнен на 110,3%
(100% + 10,3% = 110,3%).
88
Итак, чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или
уменьшилась данная величина, необходимо найти:
1) на сколько единиц увеличилась или уменьшилась эта
величина;
2) сколько процентов составляет полученная разность от
первоначального значения величины.
А.
481. Продумай примеры 1 и 2 и итог параграфа. Объясни, как
найти изменение величины в процентах, если она увеличи¬
лась с 16 до 24.
482. Вырази (устно) в процентах изменение величины:
1) от 4 до 6, 2) от 100 до 120, 3) от 30 до 36,
от 10 до 20, от 200 до 160, от 70 до 77,
от 10 до 8; от 40 до 48; от 50 до 150.
483. Вырази в процентах изменение:
1) от 1 р. до 90 к., 2) от 25 ц до 3 т,
от 800 см3 до 1,6 дм3, от 4 м2 до 450 дм2,
от 4000 кг до 5 т; от 1 ч до 30 мин.
484. Вырази в процентах изменение величины:
1) от 4500 до 5400, 2) от 4,8 до 3,6,
от 240 до 180, от 6 до 4,5,
от 3400 до 1700; от 15,4 до 38,5.
485. При обработке детали масса ее уменьшилась с 270 до
216 кг. На сколько процентов уменьшилась масса детали?
486. Цена на ковер снизилась с 450 до 369 р. На сколько
процентов снизилась цена на ковер?
487. Площадь парников в совхозе увеличили за год с 2,5 до
3,6 га. На сколько процентов увеличили площадь парников?
488. В связи с постройкой нового микрорайона маршрут авто¬
буса удлинился на 18%. Какая длина нового маршру¬
та, если длина прежнего маршрута 20 км?
489. По плану рабочий должен был изготовить 128 деталей в
день, он изготовил 160 деталей. На сколько процентов
рабочий выполнил план?
Б.
490. По плану один рабочий должен был изготовить 60 деталей, но
он перевыполнил план на 5%. Другой рабочий должен был
89
изготовить 40 деталей, а изготовил 43 детали. Поставь
разумные вопросы и ответь на них.
491. До снижения цен товар стоил 120 р. Вычисли цену товара
после двух последовательных снижений, если первое сни¬
жение было на 10%, а второе на 5%.
492*. Высота сосны в начале года 1,8 м, а к концу года
она увеличилась на 15%. Какова будет длина сосны через
три года, если ее прирост за каждый следующий год
составляет 90% прироста предыдущего года?
493*. Сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько про¬
центов увеличилась площадь квадрата? периметр квад¬
рата?
4.6. Совместные действия с десятичными
и обыкновенными дробями
В некоторых задачах числовые данные могут быть выражены
и обыкновенными, и десятичными дробями, и натуральными чис¬
лами. В этом случае встает вопрос, как поступить: обратить обык¬
новенные дроби в десятичные или, наоборот, десятичные в
обыкновенные? Следует иметь в виду, что в жизни десятич¬
ные дроби используются чаще, чем обыкновенные. Но не всегда
обыкновенную дробь можно заменить конечной десятичной
(см. § 3.1—3.2), а задача требует точного ответа. Тогда задачу
приходится решать в обыкновенных дробях.
Пример 1. Вычислим значение выражения
(i-+-L).2-3,8-0,35.
4 1
Так как —=0,8 и —=0,25, то получим:
(0,8 + 0,25)-2-3,8-0,35= 1,05-2-3,8-0,35 = 2,1 - 1,33=0,77.
Пример 2. Вычислим значение выражения
8Мт+тИ8-
2
Так как дробь — нельзя заменить конечной десятичной
дробью, то десятичные дроби заменим обыкновенными:
Далее получим:
17 16+9 19 _ 17 25-19 _ 17 95 _ 204 — 95 __ ЮН ^ 13
2 24 5 2 24-5 2 24 24 24 24
А.
494. Внимательно прочитай текст, рассмотри примеры. Когда
целесообразно решать задачи в десятичных дробях, а когда
в обыкновенных?
495. Вычисли (устно):
1) 1,8+12.2 2) 2100-95 3) 40-102 4) 3500:5
709+131 5,19 — 4,09 0,01-6,5 1,8:0,03
1Z._l.JL 11 ! _L JL 9--1
24 24 36 36 5 " 8 '6
-1+0,5 — 0,3 -1-0,01 Т:0'2
496. Вычисли значение выражения:
1) 16 112:53+26 928:33 2) ( Ю-^-—8^
304-16 - 43.19 i_:('i-.§)+'f.
2.88:15 + 0,11-894 (+ ++т)'Т
2 + +1.8+ (0,26-^).з4-
497. Вычисли значение выражения 0,2*—1 если *=4; * = 2-1;
* = 6.25
498. Число 4,8 увеличь: 1) на 3-1; 2) в 2-1 раза.
499. Число 5-1 уменьши: 1) на 4,5; 2) в 2,4 раза.
500. Выполни действия: 1
|, 0,08 | 3,93 . с\\ 3 4 л |г. 1
1 0,02 0,3 ’ ' 1 ’ ,1 ’12 *
, 4б"аб 1Т
501. Купили 2— кг винограда по цене 0,8 р. за килограмм
и арбуз, который стоил 1-1 р. Сколько заплатили за по¬
купку?
502. Оля купила 2,5 м шелковой ленты красного цвета, запла¬
тив за нее 3 р., и 3-1 м ленты зеленого цвета, заплатив
О
91
за нее 2,56 р. На сколько рублей 1 м зеленой ленты
дешевле 1 м красной?
503. Скорость автомобиля 75 . Какое расстояние проедет
автомобиль: 1) за 2,5 ч; 2) за -g-ч; 3) за 50 мин?
504. Вычисли скорость автомобиля, если 24 км он проехал:
1) за -|-ч; 2) за 0,75 ч; 3) за 36 мин.
505. Вертолет сделал первую посадку на расстоянии 57,5 км
от взлетной площадки, пролетев всего пути. Вычисли
длину всего полета.
506. Стороны прямоугольника у м и 0,3 м. Найди сторону
квадрата, периметр которого равен периметру данного
прямоугольника. Вычисли его площадь.
Б.
507. Вычисли значение выражения:
1) 27 (1828 — 999)+ (987+ 16 353): 85;
2) 4,3 — 3,5 + 1,44:3,6 + 3,6:1,44 -(0,1- 0,02);
3> (т-т^тг-т+^-Ь
4) -§-:|.2 + 3.5.i-+-f-..|_0.25:4-;
5) 5lf-22.68:0,45+(4-+i)-l^;
6) ( 13.75 - 2^- 7.75 ):( 4-f: I ^-+14-I--&|-) :
7> (5й-(1т+2-6))'<4'2-2-76>'2т¥;
8) (,5A_38.902:(l0^-2,7)):(i+f :2i) .
508. Вычисли значение выражения 4-g-a + 8:fc, если a = 0,75
и b = -y-
509. Вычисли значение выражения (3q~0-74)'q t если: 1) a = 0,5;
“-hr'T
2) a—f-.
92
г
I 510. Каток прямоугольной формы, длина которого 82 м и шири¬
на 55 м, нужно очистить от снега. Сколько тонн снега
I
нужно вывезти, если толщина снежного покрова — ми
U
1 м3 снега весит 125 кг?
511. Трое рабочих заработали вместе 500 р. Первый получил
всех денег, второй — в 1,75 раза больше первого.
Поставь разумные вопросы и ответь на них.
512. Расстояние между двумя пристанями 45 км. Катер прошел
5 1
— этого расстояния за 1-т- ч. Остальной путь катер про-
1А О
шел со скоростью 21 Поставь разумные вопросы и
ответь на них.
513*. Который сейчас час, если:
1) прошедшая часть суток на 3,5 ч длиннее оставшейся;
2) прошедшая часть суток на 6-^- ч короче оставшейся?
I
Для повторения
514. Назови (рис. 4.3): 1) все лучи; 2) все острые углы; 3) все
тупые углы.
515. Измерь углы (рис. 4.4) AOD, DOC, ВОС и АОВ. Срав¬
ни их градусные меры. Найди сумму всех этих углов.
516. Вычисли (устно):
■ 1) 40% от 180, 2) 90% от 6, 3) 15% от 200,
J -у- от 33, от 24, от 90,
I 0,7 от 5; 0,2 от 0,8; 0,24 от 10.
О
Рис. 4.3
Рис. 4.4
93
517. Найди число, если:
1) 32% его равны 256,
его равны 63,
0,19 его равны 0,76; 0,45 его равны 2,7.
518. Сколько процентов составляет одно число от другого:
2) 7,4% его равны 0,111,
8 . 5
-д- его равны 1 —;
1) 7 от 28, 2) 1-^- от 9, 3) 0,15 от 3,
45 от 40; от 1-|-; 8,1 от 5,4?
О О
519. Вычисли площадь земельного участка, если вспаханные 45 га
составляют 90% всего земельного участка.
520. В колхозе под морковь заняли 1,8 га. Это на 15% боль¬
ше, чем предусматривалось по плану. Сколько отводилось
под морковь по плану?
521. Вычисли:
82; 0,72; (А)'; 342; 5,82; (l-i-)\
4.7. Окружность и круг
На рисунке 4.5 изображен известный тебе чертежный инст¬
румент — циркуль. На конце одной его ножки острие, а на конце
другой — грифель. Если установить ножку с острием на бумагу,
то другая ножка при вращении будет описы¬
вать окружность (рис. 4.6). Точка, в которой
находится острие, называется центром окруж¬
ности. Центр окружности обычно обозначают
буквой О. Все точки окружности лежат в од¬
ной плоскости и находятся на одинаковом
расстоянии от центра.
94
Соединим отрезком центр окруж¬
ности с произвольной точкой А этой
окружности (рис. 4.7). Полученный
отрезок АО, а также его длина назы¬
ваются радиусом окружности. Обозна¬
чим радиус окружности буквой г. Все
радиусы одной окружности равны
между собой. Проведем через центр
окружности отрезок, соединяющий
две точки окружности (рис. 4.8). По¬
лученный отрезок АВ, а также длина этого отрезка называется
диаметром окружности. Обозначим диаметр окружности бук¬
вой d. Диаметр в два раза длиннее радиуса. С помощью формулы
это можно записать так:
d = 2r.
Окружность делит плоскость на две части. Часть плоскости
внутри окружности вместе с окружностью образует круг (рис. 4.9).
Центр, радиус, диаметр окружности являются одновременно
центром, радиусом, диаметром круга. Расстояние от центра до
любой точки круга не превышает радиуса.
А.
522. Проверь по тексту, помнишь ли ты:
1) как располагаются точки на окружности относительно
центра;
2) что такое радиус и диаметр окружности, каким соот¬
ношением они связаны между собой;
3) чем отличается окружность от круга.
н
Е \
•° 1.
/
•А /
D /
Ч /с
Рис. 4.8
Рис. 4.9
Рис. 4.10
95
523. Начерти любую окружность. Измерь ее радиус и диаметр.
524. Найди диаметр окружности, если ее радиус 4 см; 6,8 см;
1 2
4.2 дм; 7,1 дм; 0,6 м; 30,84 м; — м; м.
525. Найди радиус окружности, если ее диаметр 6,8 см; 18 см;
5.3 дм; -|-дм; 1 м; 2-^- м; 42,6 м; 6-|- м.
526. Начерти окружность, радиус которой 5,2 см. Обозначь центр
окружности и проведи два ее диаметра.
527. Назови точки, которые принадлежат: 1) окружности; 2) кру¬
гу; 3) не принадлежат кругу (рис. 4.10).
Б.
528. Начерти окружность, радиус которой 3,4 см. Проведи два ее
радиуса, которые образуют прямой угол.
529. Начерти окружность. Отметь на окружности точки А, В и С
так, чтобы отрезок АВ оказался диаметром окружности.
Начерти отрезки АС и ВС. Измерь угол АСВ.
530. Центр окружности — точка О, длина ее радиуса г. Где
расположена точка Р, если ОР<г, ОР = г, ОР>г?
531*. Начерти окружность и прямоугольник так, чтобы у окруж¬
ности и у сторон прямоугольника была: 1) одна общая
точка; 2) две общие точки; 3) три общие точки; 4) четыре
общие точки.
4.8. Длина окружности
Задача. Цветочная клумба имеет форму круга, диаметр
которого 5 м. Эту клумбу нужно обнести дерном. Какой длины
полосу дерна нужно подготовить, если длину полоски считать по
внутреннему краю?
Чтобы решить эту задачу, необходимо найти длину окруж¬
ности.
Можно попробовать сделать это непосредственным измере¬
нием, например, с помощью «шагающего» циркуля (рис. 4.11)-
Но полученный результат, конечно, неточный, потому что длину
окружности мы заменили длиной ломаной линии.
Проведем такой опыт. Возьмем консервную банку. Если «опоя¬
сать» банку ниткой, а затем распрямить ее, то длина нит-
96
ки будет приблизительно равна длине окружности банки. Чтобы
получить более точный результат, нужно ниткой «опоясать» банку
несколько раз, а затем длину всей нити разделить на коли¬
чество «опоясывающих» кругов. Теперь измерим диаметр бан¬
ки линейкой или двумя угольниками (рис. 4.12). Посмотрим,
во сколько раз длина окружности банки больше ее диаметра.
Для этого разделим длину окружности на диаметр. Если измерения
сделаны тщательно, то частное от деления будет в пределах
от 3,1 ... до 3,2. Точные математические рассуждения (с ними
ты познакомишься в старших классах) показывают, что длина
любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число
раз. Это число обозначается греческой буквой л (пи). Ее точное
значение выражается бесконечной десятичной дробью:
я = 3,14159265... .
В дальнейшем мы будем пользоваться приближенным значе¬
нием л» 3,14.
Если обозначить длину окружности буквой С, а ее диаметр d, то
получим формулу для вычисления длины окружности:
С = nd.
Длина окружности равна произведению числа л на диаметр
окружности.
Мы знаем, что d- = 2r, поэтому формулу для вычисления
длины окружности можно записать в виде:
С=2лг.
97
Теперь можно решить задачу, приведенную в начале парагра¬
фа.
Так как диаметр клумбы равен 5 м, то запишем:
С = л-5даЗ, 14-5= 15,7 (м).
Значит, нужно подготовить полоску дерна длиной примерно
15,7 м.
На многих микрокалькуляторах для числа л есть отдельная
клавиша. Если нажать на нее, то на экране появится прибли¬
женное значение л, обычно с семью десятичными знаками:
л«3,1415926.
Пример. Если диаметр окружности 3,8 м, то на микро¬
калькуляторе длину окружности найдем по следующей схеме:
НИ3 Q«0
На экране высветится ответ 11,938051, который можно округ¬
лить, например, до десятых (11,9 м), до сотых (11,94 м) и т. д.
А.
532. Перескажи текст параграфа с помощью вопросов:
1) Почему длину окружности нельзя измерить линейкой?
2) Как можно измерить длину окружности какого-либо пред¬
мета, например стакана?
3) Что обозначается буквой л?
4) Как вычисляется длина окружности?
533. Измерь дома диаметры и длины окружностей двух раз¬
личных стаканов. Вычисли частные от деления длин окруж¬
ностей на соответствующие диаметры. (Ответы округли до
десятых.)
534. Вычисли длину окружности, если диаметр ее 5,8 см; 42 см;
9,7 дм; 0,54 м; 43 м.
535. Вычисли длину окружности, ес¬
ли радиус ее 6 см; 8,5 см;
0,8 дм; 4,6 дм; 0,35 м; 24 м.
536. Измерь диаметр окружности,
изображенной на рисунке 4.12
и вычисли ее длину.
537. Ученики организовали сорев¬
нование по фигурному катанию
на велосипедах. В этих соревно-
98
ваниях нужно было проехать 4 круга по окружности ра¬
диусом 3 м. Какое расстояние проехали велосипедисты в
этом виде фигурного катания? (Ответ округли до единиц.)
538. Для оформления зала к Новому году Аня вырезала из
цветной бумаги кружки радиусом 8 см. Какой «путь»
нужно было проделать ножницами, чтобы вырезать 30 таких
кружков? (Ответ округли до единиц.)
Б.
539. Чему равен диаметр окружности, если длина ее 13,4 см?
540. Чему равен радиус окружности, если длина ее 56,32 м?
541. Сравни периметр квадрата, сторона которого 9 см, с дли¬
ной окружности, диаметр которой 9 см.
542. Из прямоугольника вырезан
полукруг (рис. 4.13). Выполни
необходимые измерения и вы¬
числи периметр оставшейся
фигуры.
543. В техническом кружке Андрей
сконструировал модель само¬
лета. Во время испытания мо¬
дель пролетела за 1,8 с полный круг радиуса 20 м. Какова
скорость полета его модели?
544. При вычислении длины окружности в Древнем Вавилоне
за л часто принимали число, равное трем. Предположим,
что вавилонянин вычислил длину окружности, радиус кото¬
рой 40 м. На сколько отличается его ответ от ответа
ученика 6 класса (л ж 3,14)?
545*. Диаметр окружности увеличили на 1 см. На сколько увели¬
чилась длина окружности?
4.9. Площадь круга
Задача. На полу игровой комнаты нужно закрасить круг,
радиус которого 2 м. Сколько потребуется для этого краски,
если на каждый квадратный метр расходуется 0,2 кг краски?
Чтобы решить эту задачу, нужно найти площадь круга. Как
это сделать?
к Строгими рассуждениями доказано, что площадь круга в л
99
Рис. 4.14
раз больше площади квадрата, сторона которого равна радиусу
круга. Если обозначим радиус круга буквой г, то плорцадь квад¬
рата, сторона которого равна радиусу круга, равна г2. Следова¬
тельно, площадь круга вычисляется по формуле (рис. 4.14)
S = nr2.
Чтобы вычислить площадь круга, нужно квадрат радиуса
умножить на л.
С помощью этого правила можем решить задачу, сформули¬
рованную в начале параграфа. Найдем по формуле площадь
круга, который нужно закрасить:
5 = 3,14-4= 12,56 (м2).
Так как на каждый квадратный метр расходуется 0,2 кг
краски, то всего нужно краски 0,2-12,56«2,5 (кг).
Чтобы пользоваться микрокалькулятором для вычисления
площади круга, необходимо уметь находить квадрат числа,
то есть произведение числа само на себя. Это очень просто:
вводим число, нажимаем на клавишу умножения и на клавишу
ответа. На экране появится квадрат этого числа.
Пример 1. Вычислим 42.
Схема: 4[х] [=]
Пример 2. Вычислим площадь круга, радиус которого
3,7 см.
На экране получим число 43,008402, которое при необхо¬
димости можно округлить, например, до десятых, (43,0 см2), до
сотых (43,01 см2) и т. д.
100
Исторические сведения
Еще в далеком прошлом людям были известны многие
геометрические фигуры, в том числе окружность и круг. Об
этом свидетельствуют раскопки, где были найдены различные
украшения, посуда, остатки древних сооружений. Значит, еще
тогда приходилось решать задачи на вычисление длины окруж¬
ности и площади круга. Сейчас известно, что значением числа л
в разные времена служили различные числа. Так, в Древнем
Египте (около 3500 лет назад) за значение числа л принима¬
лось 3,16, а древние римляне считали, что л = 3,12. Все эти
значения л были определены опытным путем. Великий ученый
Древней Греции Архимед (287—212 гг. до н. э.) определил, что
значение числа л находится в пределах 3 |у-< л<3 -j-, или
3,1408...<л<3,1428... . При помощи современных электронно-
вычислительных машин для л вычислено количество десятичных
знаков свыше миллиона.
Для обозначения частного от деления длины окружности
на диаметр впервые использовал букву л английский матема¬
тик Джонс в 1706 г., но общепринятым это обозначение стало
благодаря работам великого математика Л. Эйлера (1707—1783),
члена Петербургской академии наук. Он вычислил для числа л
153 десятичных знака.
546. Прочитай текст параграфа, выдели основное. Как связаны
между собой площадь круга и площадь квадрата?
547. Вычисли площадь круга, если его радиус 6 см; 4,2 см;
12 дм; 3,4 дм; 0,5 м; 23 м.
548. Вычисли площадь круга, если
его диаметр 18 см; 3,6 дм;
15 дм; 2 м; 8,5 м.
549. Измерь радиус круга, изобра¬
женного на рисунке 4.10, вы¬
числи его площадь и длину
окружности.
550. Вокруг флагштока разбили пло¬
щадку, имеющую форму круга,
радиус которого 3,5 м. Вычисли
101
Рис. 4.15
F
площадь этой площадки. (Ответ округли до десятых.)
551. При реставрации трехэтажной круглой башни все полы
покрыли каменными плитками. Сколько квадратных метров
плитки потребовалось, если внутренний диаметр башни
6,4 м? (Ответ округли до единиц.)
Б.
552. Радиус одной окружности, изображенной на рисунке 4.15,
12 см, а радиус другой — на 3 см больше. Вычисли площадь
кольца, образованного этими окружностями.
553. В парке разбили 5 цветочных клумб, имеющих форму круга
диаметром 1,5 м. На каждый квадратный метр предпола¬
гается высадить по 9 цветков. Сформулируй вопрос к
задаче. Реши ее.
554*. На каждой стороне квадрата построен полукруг (рис. 4.16).
Сделай необходимые измерения и вычисли площадь полу¬
чившейся фигуры.
555*. Сторона квадрата, изображенного на рисунке 4.17, рав¬
на 4 см. Чему равен радиус круга? Во сколько раз пло¬
щадь квадрата больше площади круга? (Ответ округли до
сотых.)
Для повторения
556. Вычисли и построй полученные углы:
1) 30% от 180°; 2) 60% от 70°; 3) 45% от 160°.
102
3) 54% от 165°,
2,3% от 136°,
-f от 36°
557. Вычисли (ответ округли до единиц):
1) 74% от 130°, 2) 92% от 90°,
6% от 78°, 8,4% от 180°
от 160°; 0,24 от 88°;
558. Начерти углы, равные 35° и 80°, так, чтобы вершины
углов совпадали и одна сторона этих углов была бы об¬
щей. (Рассмотри два случая.)
559. В 6 классе за контрольную работу по математике оценку
«5» получили 25% учащихся класса, оценку «4» — 35%,
оценку «3» — 30%, а оценку «2» — 10% всех учащихся.
Построй столбчатую диаграмму распределения оценок.
560. Вычисли:
П П 75-— 4-9 6.— 1 • 1 —•
»((«M)Vh f
561. Знаменитый древнегреческий математик Архимед определил,
что 3уу-<л<3у-. Сравни длины окружности, заменяя л
числами З^у- и 3^-, если радиус окружности 497 см.
4.10. Круговой сектор
Проведем два радиуса ОА и ОВ круга, изображенного
на рисунке 4.18. Таким образом мы разделим круг на две части,
каждая из которых называется круговым сектором. На рисунке
секторы заштрихованы по-разному. Угол АОВ заштрихованного
сектора — это острый угол. Угол другого сектора больше раз¬
вернутого угла. Значит, градусная мера этого угла больше 180°.
Рис. 4.18
Рис. 4.19
103
На рисунке 4.19 круг разделен на четы¬
ре сектора, угол каждого из них равен
90°. Сумма этих углов образует полный
угол. Так как 90° + 90° +90° + 90° =
= 360°, то можем заключить, что гра¬
дусная мера (величина) полного угла
равна 360°.
Если круг разделен на два сектора
и угол одного сектора известен, то мож¬
но вычислить угол другого сектора. Для
Рис. 4.20 этого нужно из величины полного угла
вычесть величину известного угла. На¬
пример, если острый угол АОВ равен 60° (рис. 4.18), то угол
другого сектора равен 360° — 60° = 300°.
А.
562. Прочти текст и:
1) покажи на рисунке 4.18 круговой сектор и его угол;
2) скажи, чему равна градусная мера полного угла.
563. Измерь углы АОВ и ВОС (рис. 4.20) и вычисли величину
угла АОС.
564. Раздели круг на секторы так, чтобы углы трех секторов
были равны 80°, 50е и 90е. Закрась эти три сектора раз¬
ными цветами. Чему равен угол незакрашенного сектора?
565. Круг разбили на три сектора. Угол одного сектора равен
132°, второго 59°. Вычисли угол третьего сектора.
566. Вычисли угол сектора, если он составляет от полного
угла: 1) J-; 2) -f; 3) 4) 70%; 5) 40,5%; 6) 27,3%.
(Ответы, выраженные дробными числами, округли до целого
числа градусов.)
567. Раздели круг на секторы, углы которых составляют 20%,
30% и 42,5% полного угла. Закрась каждый из этих секто¬
ров разными цветами. Чему равен угол незакрашенного
сектора?
Б.
568. Круг разделен на три сектора. Угол одного сектора равен
48°, а углы двух других секторов равны между собой. Вы¬
числи эти углы.
104
569. Круг разделен на трй сектора. Угол одного сектора состав¬
ляет а второго 40% полного угла. Вычисли углы всех
этих секторов.
570. Круг разделен на три сектора. Угол одного сектора состав-
2
ляет 30% полного угла, а второго -д- угла первого сектора.
Вычисли углы этих секторов.
4.11. Круговая диаграмма
В четвертом классе мы научились строить линейные и столб¬
чатые диаграммы. Различные числовые данные бывает удобно
изображать с помощью круговых секторов.
Пример. Из 27 учащихся класса 9 учащихся за конт¬
рольную работу получили оценку «5», 15 учащихся — «4» и 3
учащихся — «3».
Прежде всего найдем, какую часть всех учащихся составляют
те, которые получили оценку «5», «4» и «3» соответственно.
9 1 15 5
Оценку «5» получили —оценку «4» —=— и оценку «3»
Z/ о if У
учащихся. Сумма полученных дробей должна быть рав-
15 1
на 1. Проверим: —(--g—f--g-= 1 -
Пусть круг изображает число всех учащихся класса. Разде¬
лим его на секторы, соответствующие дробям и -i-. Тогда
количество учащихся, получивших оценку «5», будет изобра¬
жать сектор, угол которого равен 120° (360°-4~= 120°), оцен-
О
ку «4» — угол, равный 200° (360° • 200°), и оценку «3» —
угол, равный 40° (360° ■-^-= 40°). Сумма градусных мер этих
углов должна равняться полному углу. Проверим: 120°+200° +
+ 40° =360°. Теперь с помощью транспортира построим два
сектора, углы которых 120° и 40°. Угол третьего сектора должен
равняться 200°. Секторы закрасим разными цветами или за¬
штрихуем по-разному. Таким образом мы получим круговую
диаграмму распределения оценок контрольной работы (рис. 4.21).
105
А.
571. Прочти внимательно текст параграфа. Опиши все этапы по¬
строения круговой диаграммы (начни с условия задачи).
572. Круговая диаграмма (рис. 4.22) показывает распределение
дневной нормы питания человека. Как распределяется
дневная норма питания человека?
573. Построй круговую диаграмму, изображающую количество
мальчиков и девочек твоего класса.
574. Суша занимает 29%, а Мировой океан 71% поверхности
Земли. В северном полушарии суша занимает 39%, а Ми¬
ровой океан 61%; в южном же полушарии суша—19%,
Мировой океан 81%. Построй круговую диаграмму распре¬
деления суши и Мирового океана на поверхности Земли:
1) на всем земном шаре; 2) в северном полушарии; 3) в юж¬
ном полушарии. (Величины углов полученных секторов
округли до целого числа градусов.)
Б.
575. В кружке юных техников 50 учащихся: 5 из них конструи¬
ровали модели ракеты, 10 — модели самолета, 20 строили
картинги, 15 — катера. Построй круговую диаграмму рас¬
пределения членов кружка юных техников.
576. Мировой океан состоит из четырех океанов: Тихого, пло¬
щадь которого 179,7; Атлантического, площадь которого
93,4; Индийского, площадь которого 74,9, и Северного
106
Ледовитого, площадь которого 13,1 млн. км2. Построй
круговую диаграмму распределения площади Мирового
океана.
4.12. Шар
Футбольный мяч, теннисный мяч, ядро, толкаемое на сорев¬
нованиях по легкой атлетике, и другие предметы (рис. 4.23) дают
нам представление о геометрической фигуре, которая называется
шаром. Поверхность шара — кривая поверхность, она называется
сферой. Все точки сферы удалены от одной определенной точки,
которая называется центром шара или центром сферы, на одина¬
ковое расстояние. Отрезок (а также его длина), который соеди¬
няет любую точку сферы с центром шара, называется радиусом
шара (сферы). Обычно радиус шара (сферы) обозначают буквой
R (рис. 4.24).
Пусть шар сделан из дерева. Если мы распилим этот шар
на две части (рис. 4.25), то увидим, что сечение шара имеет
форму круга. Любое сечение шара плоскостью есть круг. Радиус
этого круга тем меньше, чем дальше от центра шара находится
секущая плоскость (рис. 4.26). Круг с наибольшим радиусом
Рис 4.24
Рис. 4.25
получается, если рассечь шар плоскостью, проходящей через
его центр. В этом случае радиус круга будет равен радиусу шара.
Диаметр этого круга называется и диаметром шара (сферы). Ди¬
аметр шара равен удвоенному радиусу. Если обозначить диаметр
шара буквой D и радиус буквой R, то получим формулу
D = 2R.
Земля, на которой мы живем, приближенно имеет форму
шара. Поэтому ее называют и земным шаром. Моделью земного
шара является глобус (рис. 4.27).
А.
577. Прочти текст и:
1) назови некоторые предметы, имеющие форму шара\
2) скажи, что такое сфера, центр шара и радиус (диа¬
метр) шара.
578. Вычисли диаметр шара, если его радиус равен:
1) 42 см; 2) 5,8 дм; 3) 0,25 м; 4) 6378 км.
579. Вычисли радиус шара, если его диаметр равен:
I) 2,6 см; 2) 3,04 дм; 3) 1,7 м; 4) 1540 км.
580. В цехе изготовили две детали, имеющие форму шара:
одна радиусом 4,5 см, а другая диаметром 1,2 дм. Обе
детали покрыли одинаковым слоем краски. Для какой
детали потребовалось больше краски? Почему?
581. В магазин привезли два одинаковых ящика с разными мя¬
чами. В одном ящике были теннисные мячи, а в другом —
мячи для настольного тенниса. В каком ящике было больше
мячей? Почему?
582. Диаметр Земли приблизительно равен 12 800 км, а диаметр
Луны 3480 км. Во сколько раз диаметр Луны меньше диа¬
метра Земли? (Ответ округли до десятых.)
Б.
583. Какую форму имеет любое сечение шара плоскостью?
584. Три сечения шара плоскостями имеют площади 7 см2,
15 см2 и 1,2 дм2. Одно из данных сечений проходит через
центр шара. Какое? Почему?
585. Длина окружности самого большого сечения шара плос¬
костью равна 25,12 см. Вычисли радиус шара.
4.13. Пропорция
Пример. Мама уплатила 39 к. за 1,5 кг муки, а бабушка
52 к. за 2 кг муки. Выясни, по одинаковой ли цене была
куплена мука.
Чтобы определить стоимость 1 кг купленной мамой и бабушкой
муки, нужно найти частные соответственно:
39:1,5 и 52:2.
Вычисления показывают, что в обоих случаях стоимость
1 кг муки 26 к. Значит, эти частные равны и можно записать:
39:1,5 = 52:2 или
1,5 Z
Такие равенства называют пропорциями.
Верное равенство двух частных называется пропорцией.
109
1
Пропорциями является еще, например, такие равенства:
_5__ 2j5 2 7
4 ~ 2 И 3 ~ 10,5 ’
так как
-|-= 1,25 и ^=1,25; 4=0,666... и -^=0,666... .
1 3 1
Но равенство ~2=-§ не является пропорцией, так как
а 4=0,6.
В буквенном виде пропорция записывается следующим об¬
разом:
a:b = c:d или -т-=тг-
о а
Частное чисел а и b называется иногда отношением а к Ь. Поэ¬
тому эти пропорции можно прочитать: «а, деленное на Ь, равно
с, деленному на d» или: «Отношение акЬ равно отношению с к d».
Буквы and обозначают крайние члены, Ь и с — средние члены
пропорции.
средние члены крайний член средний член
А / /
а: Ь = с :d IL _
Ь d
\ X
\ /
крайние члены средний член крайний член
Как видим, знаком деления в пропорции может служить дробная
черта или двоеточие. В дальнейшем мы будем пользоваться в
основном дробной чертой.
А.
586. Используя текст, объясни:
1 3 1 2 32
1) почему равенства “2~=1Г и (Гз^ПГ являются пропорци¬
ями (назови крайние (средние) члены этих пропорций);
2) почему равенство не является пропорцией.
но
587. Проверь (устно), какие из равенств являются пропорциями
(назови крайние и средние члены пропорций):
1) 9:3 = 0,3:1 2) 3:0,1=60:2 3) 56:7= 1:-^-
1
0,2
7
0,7
36
0.48
2
0,4
10
0,01
6
0,08
2,4
_ 2
1,8
18
8.4
__ 21
6
5
2
20
4
100
Б.
588. Проверь, являются ли данные равенства пропорциями:
.. 4^4 3J6 . 4J_.9_9._Z_- Ъ 2,02 .
* 12 0.8 ’ ’ 7 8 • ' 8,5 “ 0,1 ’
4) 43,4:3,1=0,7:0,28; 5) 1,2:0,8.
II) 5
Для повторения
589. Реши (устно) уравнение:
1) * + 30=120 2) 4*= 1,2 3) у:20 = 30
у—4,9= 1,1 0,5/= 3 8:s=0,2
т-*Чг Т~У=9 ж:4“=6
590. Реши уравнение:
1) А*=_Ё_ 2) 5/= 1,25 3) 2 (*—0,5)=7
т‘=т тт“6 3т(»+1т)-<Нт
5 3 3 о о
-и=— —5 = 9
7 14 4
591. Поезд отправляется в 10 ч 40 мин и прибывает на станцию
назначения в 13 ч 20 мин. Вычисли расстояние между стан-
СГК КМ
циями, если средняя скорость поезда 60 —.
592. Цену на пылесос снизили на 10%, в результате чего он
стоит теперь 38,7 р. Сколько стоил пылесос до снижения
цены?
593. Во время Великой Отечественной войны погибло примерно
20 млн. советских граждан. Это составляет 40% от об¬
щего количества погибших во время второй мировой войны.
Сколько человек погибло во время второй мировой войны?
ill
4.14. Основное свойство пропорции
Чтобы проверить является ли данное равенство пропорцией,
мы вычисляем значение каждого из данных частных. Проверка
упрощается, если мы воспользуемся основным свойством про¬
порции. В чем оно заключается?
Рассмотрим пропорцию -у=-|j. Используем основное свойство
частного (см. § 2.2): умножим делимое и делитель частного
на d, а делимое и делитель частного на Ь. Получим:
a-d с-Ь
b-d ~~ d-b '
Из равенства этих частных вытекает равенство делимых (почему?):
a-d = c-b.
Обратно: из равенства a-d = c-b можно вывести пропорцию
Заметим, что a-d — это произведение крайних членов, а
с-Ь — произведение средних членов пропорции. Значит, произве¬
дение крайних членов равно произведению средних членов про¬
порции.
Это и есть основное свойство пропорции. По основному
свойству пропорции можем сказать, что, например, пропорция
1.6 2.4
_2_=_з' составлена верно, так как
1,6-3 = 4,8 и 2,4-2=4,8, то есть 1,6-3 = 2.4-2.
5 11
Но равенство —= — неверно, так 5-12=^11-6, поэтому оно не
является пропорцией. Основное свойство пропорции позволяет
решать уравнения нового типа.
2 5
Пример 1. Решим уравнение-д-=—.
Используя основное свойство пропорции, получим:
2лг=3-5,
2лг=15,
*=15:2,
* = 7,5.
Основное свойство пропорции позволяет также из данной
пропорции выводить новые.
112
5 10
Пример 2. Рассмотрим пропорцию •g~=f2'. откуда
5-12=6* 10. Последнее равенство можем получить, видимо,
и из следующих пропорций:
Ь__ б_ _12_J0
10“ 12 и 6 ~ 5 •
Отсюда следует, что средние (крайние) члены пропорции можно
поменять местами.
А.
594. Прочти текст параграфа и скажи:
1) в чем заключается основное свойство пропорции;
2) почему равенство является пропорцией;
3 2 2 3
3) почему равенство не является пропорцией.
I О
595. Проверь (устно), используя основное свойство пропорции,
какие из следующих равенств являются пропорциями:
, 2 __4_ 9. U2_U> 0.4 0,01
5 10 ' 3 — 4 * 32 8
5:6=10:12 1,2:0,4=3:10 -^-:3=-|-:12
6,6_ 0,3 1.8 _ 360
1.1 0^05 0.7 10 0.01 2
596. Проверь, используя основное свойство пропорции, явля¬
ются ли данные равенства пропорциями:
1) о\ _2J5____044^ 245_ 7
1,4 42 ’ 1,25 0,02 ‘ 100 3 *
4> Т:Т“'Т:1Т:5» Т:0'5=Т:Т’ 6> 3-1-:25-2:!5.
X 1
597. Продумай пример 1 и объясни, как решить уравнение —=—.
598. Реши уравнение:
1) -f—2) 5:4.25:» 3) £=JL
^ t х.а I С.Ч — 1^,5
Т~~6 *.8—1,5.2 4
2*0 = 2—*1—
3 18 2 * 4 1.25 У
113
Б.
599. Реши уравнение:
1) 2)
4 8 2 ’
20 _ I
5х 3
4 2х
х+2
5
3) 2х 1
1
4
2
' 3
2
У — 5_
4
6
2
3
5
Зх + 2
5
4
2
5
10
5 15 З + z 3 6 2х — 3
600. Продумай пример 2 и для каждого из следующих равенств
напиши две пропорции:
1) 2-20 = 5-8; 2) 12-а=6-7; 3) x-t = u-y.
601. Напиши две пропорции, произведение крайних членов ко¬
торых равно 12.
602. Напиши две пропорции, произведение средних членов кото¬
рых равно 8.
603*. Найди значения х и у, такие, чтобы каждое из двух равенств
х 2 у 3 ,
—=— и -хт=-т- было верным.
4.15. Прямая пропорциональность величин
Пусть 1 кг товара стоит 2 р. Подсчитаем стоимость, например,
2 кг, 3 кг, 0,5 кг, 5 кг этого товара:
Количество товара, кг
1
2
3
0,5
5
Стоимость товара, р.
2
4
6
1
10
Видно, что стоимость товара различна и она зависит от
количества купленного товара, а отношение стоимости товара
к его количеству есть число постоянное. В данном случае
оно равно стоимости 1 кг этого товара (в рублях), то есть 2.
Действительно,
—9
1 2 3 "'
Если две величины изменяются таким образом, что отноше¬
ние соответствующих значений этих величин остается числом
постоянным, то такие величины называются прямо пропорциональ¬
ными. Из соответствующих значений прямо пропорциональных ве¬
личин можно составлять пропорции.
114
Итак, количество товара и его стоимость — прямо про¬
порциональные величины. Прямо пропорциональными величина¬
ми, например, будут путь, пройденный при постоянной скорости,
и время; длина и масса проволоки постоянной толщины; длина
окружности и диаметр и др.
Прямо пропорциональные величины можно охарактеризовать
еще и так: с увеличением (уменьшением) одной величины в
несколько раз другая величина увеличивается (уменьшается) во
столько же раз. Например, для покраски каждого квадратного
метра пола расходуется одинаковое количество краски. Тогда с
увеличением площади окрашиваемого пола в 2, 3, ... раза уве¬
личивается и количество требуемой краски в 2, 3, ... раза.
Значит, площадь пола и количество требуемой краски — прямо
пропорциональные величины.
Пример. Чтобы покрасить пол площадью 16 м2, потребова¬
лось 3,2 кг краски. Сколько потребуется такой краски, чтобы
покрасить пол площадью 12 м2?
Решим эту задачу двумя способами.
Первый способ. Определим сначала, сколько краски по¬
требуется, чтобы покрасить 1 м2 пола. Получим 3,2:16=0,2 (кг).
Для покраски пола площадью 12 м2 потребуется в 12 раз больше
краски, то есть 0,2-12 = 2,4 (кг).
Второй способ (с помощью пропорций). Обозначим ис¬
комое количество краски через х. Так как площадь пола и коли¬
чество краски — прямо пропорциональные величины, то составим
пропорцию:
12 16 ’
откуда 16х= 12-3,2 и х=-^|^=2,4.
Ответ. Необходимо 2,4 кг краски.
А.
604. Прочти текст параграфа и скажи, как характеризуются
прямо пропорциональные величины. Затем проверь (у с т-
н о), в каких из следующих таблиц даны прямо пропорцио¬
нальные величины х и у:
115
1)
X
1
2
3
4
У
5
10
15
20
2)
X
2
4
6
8
У
16
32
48
64
3)
X
1
0,5
0.1
0.01
У
10
5
1
1
4)
X
27
18
9
0,9
У
3
2
0,1
3,01
605. Вычисли периметр квадрата, если его сторона равна 2 дм;
6 дм; 4,5 дм; 7,2 дм. Будут ли периметр квадрата и его
сторона прямо пропорциональными величинами? (Объясни
ответ.)
606. Если сторону квадрата увеличить (уменьшить) в 2, 3, 7, 10
раз, то во сколько раз увеличится (уменьшится) периметр
квадрата?
607. Вычисли площадь квадрата со стороной а, если о = 2 см;
а=4 см; а = 8 см. Будут ли площадь квадрата и его сторона
прямо пропорциональными величинами? Почему?
608. За 3 ч на мельнице смололи 27 т пшеничной муки. Сколько
тонн пшеничной муки можно смолоть за 8 ч, если темп
работы не изменится?
609. Сколько стоят 3,25 м ткани, если 0,8 м этой ткани сто¬
ят 5,4 р.?
610. За ^ ч туристы прошли 2 ^ км. Какое расстояние пройдут ту¬
ристы за 2 ч; за 3 ч; за 3,5 ч, если они идут с постоянной ско¬
ростью?
611. Двое рабочих изготовили за определенное время 19 деталей.
Сколько рабочих потребуется, чтобы за то же время изго¬
товить 38, 76, 133 детали?
612. Два комбайна «Дон» убирают за определенное время урожай
с поля площадью 32 га. С поля какой площади уберут за
то же время урожай 3, 4, 6, 7 комбайнов «Дон»?
613. При перелете серая ворона мо¬
жет летать со скоростью 50 ^-,
а скворец
ч
км
со скоростью 74 —.
Какой путь пролетит скворец за
время, которое потребуется во¬
роне, чтобы пролететь 75 км?
И6
614. За работу, выполненную за 15 ч, рабочий получит 19,5 р.
Сколько рублей он получит за 8 ч, если темп работы та¬
кой же?
615. 4 м3 зерна ржи весят 2,8 т. Сколько тонн весит 6,5 м3 зер¬
на ржи?
Б.
616. Какие из следующих величин являются прямо пропорци¬
ональными (проверь):
1) площадь прямоугольника и длина, если ширина его 6 см;
2) объем прямоугольного параллелепипеда и высота, если
площадь его основания 15 дм2;
3) площадь круга и радиус;
4) пройденный путь и время, если скорость движения по¬
стоянна: 50 — ;
Ч
5) скорость движения и время, если длина пути 120 км?
617. 10 м3 воздуха весят 13 кг. Сколько весит воздух в комнате,
длина которой 4,2 м, ширина 3,5 м и высота 2,6 м?
(Ответ округли до десятых.)
618. Зоя купила в магазине 18 яблок. Эти яблоки разделили
между мамой, папой и Зоей в отношении 2:1:3, то есть
мама получила 2 части, папа 1 часть, а Зоя 3 части всех
яблок. Сколько яблок получил каждый?
Проследи за решением этой задачи:
1) Все купленные яблоки составляют 2-J- 1+3 = 6 (частей).
2) Так как 6 частям соответствуют 18 яблок, то на одну
часть приходится 18:6 = 3 (яблока).
3) Мама получила 2-3=6 (яблок), папа 1-3=3 (яблока)
и Зоя 3-3=9 (яблок).
619. Латунь — это сплав меди и цинка, массы которых относятся
как 3:2. Для изготовления куска латуни требуется 120 г
меди. Сколько требуется цинка для изготовления этого кус¬
ка латуни?
620. Раздели число 480 на две части в отношении 3:5.
621. Раздели число 60 на части в отношении 2:3:5.
622. Новое серебро (альпака) — это сплав никеля, цинка и меди
в отношении 3:4:13. Сколько килограммов каждого металла
нужно взять, чтобы получить 4 кг нового серебра?
117
623*. Часы со стрелками через каждые 3 ч отстают на 2 мин.
Через какой наименьший промежуток времени они покажут
правильное время?
624*. (Старинная задача среднеазиатского ученого Бе-
руни.) Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход
5 дирхемов за два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов
за три месяца?
4.16. Масштаб
Допустим, что нас интересует, как будут расположены комнаты
квартиры в строящемся доме. Для этого можно посмотреть
план квартиры (рис. 4.28). На плане все размеры умень¬
шены в одно и то же число раз. Во сколько раз размеры в
действительности больше размеров на плане, показывает масш¬
таб плана. На рисунке 4.28 сделан план в масштабе 1:100.
Это означает, что все размеры в действительности в 100 раз
больше, чем соответствующие размеры на плане. Например, если
1:100
Н 1-
Столовая
Жилая
комната
Кухня
ОС
(О
*
о
X
S
Q.
С
Ванная
Спальня
118
4 I— I А V
Рис. 4.28
на плане длина прихожей равна 8 см, то в действительности
эта длина равна 8-100 = 800 (см), то есть 8 м. Масштаб 1:5000
означает, что длина любого отрезка в действительности в 5000 раз
больше, чем длина соответствующего отрезка на плане. Длина на
плане и соответствующая ей длина в действительности — это
пропорциональные величины: отношение длины на плане к соот¬
ветствующей длине в действительности — число постоянное.
Большие территории, например государства или части света,
изображаются на географических картах. На картах все размеры
также уменьшены в одно и то же число раз. Это показывает
масштаб карты, например 1:100 000 и др.
А.
625. Прочти текст параграфа и объясни, что означает масш¬
таб 1:2000, указанный на плане земельного участка.
626. На плане земельного участка указан масштаб 1:1000.
Известно, что расстояние между двумя точками на плане:
1) 1 см; 2) 2,5 см; 3) 4,9 см; 4) 10 см. Вычисли соответ¬
ствующие расстояния на участке.
627. На рисунке 4.29 изображен план земельного участка пря¬
моугольной формы. Сделай необходимые измерения и вы¬
числи периметр и площадь земельного участка.
628. Сделай необходимые измерения (см. рис. 4.28) и вычисли:
1) площадь и периметр кухни;
2) площадь и периметр столовой;
3) площадь и периметр жилой комнаты;
4) площадь и периметр спальни.
629. Начерти план кабинета математики в масштабе 1:100.
630. Расстояние на карте между городами 18 см. Какое дейст¬
вительное расстояние между городами, если масштаб кар¬
ты 1:500 000?
631. По карте определи, на каком 1-2000
расстоянии (приблизительно) ______________
находится: 1) Петербург от
Москвы; 2) Минск от Киева; 3)
Кишинев от Москвы; 4) Баку от
Тбилиси.
632. Длина реки Невы 74 км. Чему
равняется ее длина на карте, 1
масштаб которой 1:2 000 000? Рис. 4.29
119
Б.
1:10
633. Начерти план одной комнаты
своей квартиры.
634. 125 м на местности соответ¬
ствуют 2,5 см на плане. Како¬
во расстояние между двумя точ¬
ками на местности, если на ________
плане оно 4,2 см?
635. Размеры пола комнаты на пла¬
не 4 см и 6 см. В действи¬
тельности меньшая сторона по¬
ла 5 м. Найди длину боль¬
шей стороны.
636. Рабочий получил задание вы- Рис. 4.30
резать из жести 80 деталей
(рис. 4.30). Выполни необходи¬
мые измерения и вычисли площадь одной детали. Сколько
жести потребуется для изготовления 80 деталей?
637*. Что означает масштаб: 1) 10:1; 2) 100:1? В каком случае
применяется такой масштаб?
638*. Длина крыла насекомого, нарисованного в масштабе 50:1,
равна 15 см. Какова его действительная длина?
Для повторения
639. Найди (устно):
1) 50% от 700, 2) -|- от 240, 3) 80% от 50,
4% от 9, -|- от 36, от 6,
120% от 20; -у от 28; 20% от 300.
640. Найди (устно) число:
1) 20% которого80, 2) -^-которого9, 3) 10% которого 15,
5% которого 100, которого 21, -|- которого 3,2,
80% которого 16; которого 40; 50% которого 7.
641. Сколько процентов составляет (устно):
1) 7 от 10, 2) 10 от 50, 3) 18 от 9,
24 от 100; 7 от 35; 60 от 20?
120
т
642. После увеличения зарплаты рабочего на 10% он стал полу¬
чать 195 р. в месяц. Какова была зарплата рабочего?
643. В библиотеке 20 400 книг, из них 8% на иностранных
языках. Сколько книг на иностранных языках в библиотеке?
644. Цена 1 м ткани снизилась с 4,5 до 3,6 р. На сколько
процентов снизилась стоимость ткани?
645. В один год колхоз собрал с поля площадью 100 га 2500 ц
зерна, а в следующий год с поля площадью 110 га 2800 ц
зерна. Какая величина возросла больше: площадь поля или
урожай? Во сколько раз? Что еще можно вычислить?
646. Вычисли:
3-§-+2-
Т 2) 5~2т
3)
4
27 ‘
9
16
4) 25-i£
' 36 '63
16, 7
25 10
2Ть~1
2
3
+
•1
19
30
2—• —
5 ‘ 15
-+-1
27 18
5
16
6-1
1
15
6:3т
647. Обрати обыкновенные дроби в десятичные и вычисли:
1) 13,75—1-|- 2) ff-0,097 3) 1.8-1 4) 0,32 :-1
1,01+£ 1-§-+ 2,025 ^--0,44 3-1:0,14
648. Обрати десятичные дроби в обыкновенные и вычисли:
1) 4-1+0,3 2) 2,8-1-§- 3) 1,4 4) -1:0,21
-1+1,5 -1-0,25 2.7-1-1 1,8:1-1
649. Выполни действия:
О (4-1-З-f-)-0.6; 2) 22:(l-|—0,3 ) ;
Т+0>4 IT'S 5:Т
3) — т- ; 4) ; 5)
'-Т ’ те+т ’ 0'25+т
650. Вычисли значение выражения:
1) (147-29-22 800:75+19): 17;
2) 1.35:2,7 + 6,02 - 5,9+0,4:2,5 - (4,2 - 1,075);
3) (1Т5+т)’+"ге:Т;
4> 18:(т-т)-6+-
121
[•
4.17. Обратная пропорциональность величин
Пусть площадь прямоугольника равна 60 см2, тогда длины его
сторон а и Ь можно выразить, например, такими натуральными
числами:
а, см
1
2
4
6
12
20
Ь, см
60
30
15
10
5
3
Из таблицы видно, что а и Ь различны, но произведение
их соответствующих значений постоянно и равно 60.
Если две величины изменяются так, что произведение соот¬
ветствующих значений этих величин остается числом постоянным,
то такие величины называются обратно пропорциональными. Зна¬
чит, при постоянной площади стороны прямоугольника обратно
пропорциональны.
Обратно пропорциональные величины можно охарактеризовать
так: с увеличением (уменьшением) одной величины в несколько
раз другая величина уменьшается (увеличивается) во столько
же раз. Например, если длина пути постоянна, то с увеличе¬
нием скорости в 2, 3, ... раза время пребывания в пути оче¬
видно уменьшится в 2, 3, ... раза. Таким же образом, если число
рабочих, которое потребуется для выполнения данной работы,
уменьшится в несколько раз, то время выполнения работы уве¬
личится во столько же раз (если темп работы всех рабочих
одинаковый).
Пример. Трое рабочих выполняют работу за 6 ч. Сколько
времени потребуется, если данную работу будут выполнять двое
рабочих?
Решим эту задачу двумя способами.
Первый способ. Если трое рабочих выполняют работу за
6 ч, то за 1 ч они выполняют часть работы. Тогда, один
рабочий выполняет за 1 ч ■£■‘•3=-^- (часть работы). Следо¬
вательно, двое рабочих выполняют за 1 ч -^-=-1- (часть ра¬
боты) и всю работу они делают за 9 ч.
Второй способ. Число рабочих и время для выполнения
данной работы — обратно пропорциональные величины. Значит,
122
если число рабочих уменьшится в 1,5 раза ^-|-= 1,5^ , то
время выполнения работы увеличится во столько же раз.
Следовательно, получим 6-1,5 = 9 (ч).
Ответ. Двое рабочих выполнят данную работу за 9 ч.
А.
651. Прочти текст параграфа и скажи, как характеризуются
обратно пропорциональные величины. В чем отличие прямо
пропорциональных величин от обратно пропорциональных?
652. В каких из следующих таблиц даны обратно пропорцио¬
нальные величины х и у (устно):
X
1
2
3
4
У
6
3
2
1.5
X
2
3
5
7
У
7,5
5
3
2
3)
X
1
3
4
24
У
24
8
6
1
4)
X
0,1
0,3
25
100
У
200
40
0,8
0,2
653. В магазине имеются конфеты по цене 1 р., 1,5 р., 2 р.
и 3 р. за килограмм. Сколько килограммов конфет каждого
вида можно купить на 3 р.? Цена 1 кг и масса конфет, куплен¬
ных на 3 р.,— обратно пропорциональные величины. (Объяс¬
ни почему.)
654. Расстояние 150 км мотоциклист проехал со средней ско¬
ростью 75 автобус — со скоростью 60 грузовая ма¬
шина — со скоростью 50 ^ и велосипедист — со скоростью
20 —. Сколько часов потребовалось каждому виду транспор¬
та, чтобы проехать весь путь? Скорость и время, затраченное
на 150 км пути,— обратно пропорциональные величины.
(Объясни почему.)
655. Пешеход затратил на путь 2,5 ч, двигаясь со скоростью
3,6 Сколько времени затратит пешеход на тот же путь,
если его скорость будет 4,5 ^-?
656. Все члены бригады работают в одинаковом темпе. Четверо
успевают выполнить определенную работу за 32 ч. Сколько
часов потребуется для выполнения этой работы, если число
рабочих: 1) уменьшится в 2 раза; 2) увеличится в 2 раза;
3) увеличится в 4 раза?
657. Чтобы вывезти товар, прибывший на железнодорожную стан¬
цию, потребуется 21 автомашина грузоподъемностью 2,5 т.
Сколько потребовалось бы автомашин грузоподъемностью
3,5 т?
658. 15 рабочих закончили отделку квартир в новом доме за
24 дня. За сколько дней выполнили бы эту работу 18 ра¬
бочих?
Б.
659. Какие из следующих величин являются обратно пропорцио¬
нальными (проверь):
1) площадь основания прямоугольного параллелепипеда и
высота, если его объем 120 см3;
2) время пахоты и количество горючего, израсходованного
трактором;
3) количество ткани, купленной на 50 р. и цена 1 м;
4) время, затраченное на вспашку 600 га земли, и коли¬
чество тракторов (одинаковой мощности)?
660. Ковш нового проектируемого шагающего экскаватора вме¬
щает 100 м3 песка. Сколько вагонов может наполнить такой
экскаватор, если он сделает 100 поднятий? Грузоподъем¬
ность вагона 40 т, а 1 м3 песка весит 1,5 т.
661*. На ремонте дороги работало 15 человек, и они должны
были закончить работу за 12 дней. На пятый день утром по¬
дошли еще несколько рабочих, и оставшаяся работа была
выполнена за 6 дней. Сколько рабочих прибыло дополни¬
тельно?
Для самопроверки
662. Какие числа называются взаимно обратными? Приведи при¬
меры.
2 1
663. Найди числа, обратные данным: 8, I— и 0,3.
/ О
664. Расскажи, как вычисляется частное двух обыкновенных
дробей.
124
665. Вычисли (устно):
1) —
8’5
2) 0:-!
3) -1-:6
4> 'т:9
3 . 3
— '7
с. 5
'4-4
4 ' 4
e -7
5-т
2 . 3
7 * 5
64
ч
Вычисли:
1) —• —
' 32" 8
2) 4^:14
3) 8:2-?
1—* 1
1 7 . J
1
14
36:3-|-
О
6/3
7 V 8
■:1-5+2т)
4-|~:Э
£>
1
6
0,13:24-
D
-r^+'-t-T
667. Вычисли:
0.9(3:2,25—i (l-§-+-i-))—1:0.8.
4 4
668. Вычисли значение выражения — :х+0,4, если дг=1; л:=-^-;
669. Сколько стоит 1 кг конфет, если за 1-^- кг заплатили
2 2 II
670. Таня прошла 2-^- км за — ч, а Петя 4-^- км за 1-^- ч.
Скорость кого больше и во сколько раз?-
671. Расскажи, как:
1) найти число по его дроби (по его процентам);
2) сравнить числа с помощью частного (отношения);
3) найти изменение величины в процентах.
672. Найди число:
3 I
1) 112% которого равны 56; 2) — которого равны 2-^-;
3) 4% которого равны 0,8; 4) 0,7 которого равны 3,43.
673. Сколько процентов составляют:
1) 4,5 от 36; 2) 28 от 25?
674. Вычисли изменение величины в процентах:
1) от 125 до 105; 2) от 3,2 до 5,6.
675. В парке из 400 деревьев 280 лиственных. Сколько про¬
центов составляют лиственные деревья в парке?
125
676. На соревнованиях по легкой атлетике в толкании ядра
участвовали 24 спортсмена. Это составляет 15% от всех
легкоатлетов, принявших участие в соревнованиях. Сколько
спортсменов участвовало в соревнованиях?
677. В прошлом году колхоз собрал с 1 га в среднем 160 ц
картофеля, а в этом году 220 ц. На сколько процентов
увеличился в среднем урожай картофеля с 1 га?
678. Когда проложили новой электролинии и еще 21 км,
то осталось проложить еще 20% всей линии. Вычисли длину
всей электролинии.
679. В экскурсии приняли участие 28 учеников, 18 родителей
и 4 учителя. Составь круговую диаграмму распределения
участников экскурсии.
680. Что такое пропорция? Напиши какую-либо пропорцию и
укажи ее крайние и средние члены.
681. Сформулируй основное свойство пропорции.
682. Реши уравнение:
,,4 8 0. . , 7 3 оч 7 .. 2 5
1) ■д'*— 45 ; 2) Т’ ^ 14,Z —75’ ^ ~Т~IT’
5) 0,25:3=*: 1-у.
683. Скажи, как характеризуются: 1) прямо пропорциональные
величины; 2) обратно пропорциональные величины.
684. За 1,5 ч самолет пролетел 810 км. Какое расстояние он
пролетит за 2,2 ч, если скорость полета не изменится?
685. 3 насоса одинаковой мощности заполняют бассейн за 8 ч.
Сколько потребуется времени, чтобы заполнить бассейн,
если работать будут 4 таких насоса?
686. План земельного участка квадратной формы выполнен в
масштабе 1:500. Сторона участка на плане 16 см. Вычисли
площадь участка.
687. Начерти окружность, радиус которой 4,3 см.
688. Как вычислить длину окружности и площадь круга?
689. Диаметр площадки, имеющей форму круга, 15 м. Вычисли
ее площадь и длину окружности. (Ответ округли до единиц.)
126
5. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ
ЧИСЛА.
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА
КООРДИНАТ
5.1. Отрицательные числа
Рассмотрим примеры.
Пример 1. За начало отсчета при измерении температуры
принимается температура таяния льда (или замерзания воды).
Она обозначается числом 0. Если вода превратилась в лед, то по¬
казания термометра ниже нуля (холод). После того как лед раста¬
ет, показания термометра будут выше нуля (тепло). Показание
выше нуля записывается числом со знаком « + », а показание ниже
нуля — со знаком «—». Запись +4° (читается плюс четыре граду¬
са) означает 4 градуса тепла, а —3° (читается: минус три граду¬
са) означает 3 градуса холода (рис. 5.1).
Пример 2. Уровень моря принимается за нулевой и обознача¬
ется числом 0. Какое-либо место на земной поверхности мо¬
жет быть или выше, или ниже уровня моря (рис. 5.2). Например,
вершина горы Казбек на Кавказе возвышается на
5033 м над уровнем моря, а самое глубокое место Каспийского
моря ниже уровня моря на 1025 м. Высоты ниже уровня моря
обозначаются числами со знаком «—», а высоты выше уровня мо-
м
5- -
-300
0- -
-200
-100
Q Уровень
моря
--100
--200
--300
Рис. 5.1
Рис. 5.2
1
127
ря — со знаком « + ». Следовательно, можно сказать, что высота
дна Каспийского моря в самом глубоком месте —1025 м, а высота
горы Казбек +5033 м.
5
Числа со знаком «—», например, ——, —407 и т. д.— будем
называть отрицательными числами. Все другие, ранее изученные
5
числа, как 1,5, 10, 1,98, — и т. д., в дальнейшем будем называть
положительными. Число 0 не относится ни к положительным, ни к
отрицательным числам. Перед положительным числом можно (но
необязательно) писать знак « + ». Числа, как, например, + 5 и 5, не
отличаются друг от друга: +5 = 5. Также +10=10; +1,6=1,6
и т. д.
Исторические сведения
Решение многих задач, особенно решаемых с помощью уравне¬
ний, приводило к вычитанию из меньшего числа большего. Это
потребовало введения новых чисел.
Впервые отрицательные числа появились в Древнем Китае уже
примерно 2100 лет тому назад. Там умели также складывать и
вычитать положительные и отрицательные числа. Отрицательные
числа толковали как долг, а положительные как имущество.
Таким же образом смотрели на эти числа и в Индии в VII сто¬
летии, но там были уже известны и правила умножения и деления.
Несмотря на то что отрицательные числа использовались давно,
относились к ним с некоторым недоверием, считая их не сов¬
сем реальными, истолкование их как имущество — долг вызывало
недоумение: как можно «складывать» и «вычитать» имущество и
долги?
А.
690. Прочти внимательно примеры 1 и 2 и скажи:
1) какие числа называют положительными, какие отрица¬
тельными;
2) какое число не является ни положительным, ни отрица¬
тельным.
691. Таня вошла в лифт на 6-м этаже, проехала три этажа и
вышла из лифта. На каком этаже она вышла? Сколько имеет¬
ся возможностей?
128
692. Турист отдохнул у километрового столба с отметкой 50, а
затем продолжил путь со скоростью 4 У столба с какой
отметкой может находиться пешеход через 1 ч, 2 ч, 3 ч?
693. Объясни смысл следующих предложений:
1) Высота пика Победы 7439 м.
2) Высота самого глубокого места Тихого океана
— 11 022 м.
3) Самая низкая температура воздуха, зарегистрированная
на земном шаре, —89,2°.
4) Самая высокая температура воздуха, зарегистрированная
на земном шаре, 57,8°.
694. Обозначим положительным числом сумму наличных денег.
Какое значение получат тогда следующие предложения:
1) У меня 3 р.? 2) У Веры 0 р.? 3) У Раи —2 р.? 4) У Ди¬
мы —34 к.?
695. Прочти числа:
-4; 3,6; —§-; +1-L; _о,78; -3-jb +100.
Б.
696. Вычисли среднюю массу яблок в ящике и определи, на
сколько масса яблок в каждом ящике отличается от средней
(разность выше средней обозначь положительным числом, а
разность ниже средней — отрицательным):
Номер ящика
1
2
3
4
5
6
Масса яблок, кг
36
27
41
33
29
38
Для повторения
697. Какие числа соответствуют точкам А, В, С, D и Е на число¬
вом луче (рис. 5.3)?
698. Начерти числовой луч, приняв за единичный отрезок 2 см.
О
Ь
1
I-
■ ■
2
Ч 1 1—
A D
Рис. 5.3
3
ч-
1 ■
4
Ч-
129
I
Отметь на луче точки, которые соответствуют числам 2;
0,5; 4,2; 1,8; 3,4; 2,7.
699. Упрости выражение и вычисли его значение:
1) -уа+-уа, а = 7 2) -|-дг+-|-х, х=4
3.5 6 52 10
Тп+Тп' п = 19 Tm~Tm’ т=12
7 3 о 2 .85 6
8° 4 О. О 2 з 9 X 6 ЛГ, ЛГ lg
700. Вычисли:
1) 0,306-40,5 2) 12,8-0,11 3) 398-1,05
3,024:4,5 210,9:222 123,22:404
701. Вычисли:
1) (0,75+2,5)-± 2) (2-|~l-i-):l,5; 3) 3:-§-+0,5-5;
4> т<т-г)-1Г'5»(т:10+т)-24;6» 3f+f3-5-
702. До понижения цен письменный стол стоил 64 р. Определи но¬
вую цену, если стоимость стола снизили на 15%.
703. Раздели круг на три сектора так, чтобы угол первого секто¬
ра составлял 10% полного угла, а угол второго сектора
45% полного угла.
704. Пешеход шел с одинаковой скоростью сначала 3 ч, а затем
еще 3-^- ч. За 3-|- ч он прошел расстояние на 2 км больше,
чем за 3 ч. Какое расстояние прошел пешеход?
705*. Какой величины угол образуют часовая и минутная стрелки,
если часы показывают 12 ч 10 мин?
5.2. Числовая ось
Положительные и отрицательные числа вместе с числом 0 мож¬
но изобразить точками на прямой. Для этого отметим на прямой
какую-либо точку О и примем эту точку за начало отсчета. Она
соответствует числу 0. Точка О разделит прямую на два противо¬
положно направленных луча. На одном из этих лучей будем изоб¬
ражать положительные числа, как мы уже ранее делали. На рисун¬
ке 5.4, например, точкой А изображено число 1, точкой В —
число 2, точкой Л1 — число 2,5 и точкой С — число 3. На другом из
полученных лучей будем изображать отрицательные числа. Чтобы
130
г
О А В М С 3'
—1
0
1 h
1
2
н 1—*-
3
2-
Рис.
5.4
1-
F
N Е
D
О
А
В
М с
0
-1-
-2
-3-
-3
-2
-1
0
Рис.
1
5.5
2
3
Рис. 5.6
изобразить число —1, возьмем точку D, такую, что OD = OA
(рис. 5.5). Тогда отрезок OD равен единичному отрезку. Чтобы
изобразить число —2, отметим точку Е, такую, что ОЕ = ОВ. Точ¬
ка F изображает число —3, причем OF = OC\ точка N изображает
число —2,5, причем ON = OM, и т. д. Таким образом на прямой
можно изобразить и положительные, и отрицательные числа, и
число 0. Полученную прямую называют числовой прямой или
числовой осью. Направление луча О А (рис. 5.5), на котором изо¬
бражены положительные числа, называется положительным на¬
правлением, а противоположное направление — отрицательным
направлением на числовой оси. Положительное направление на
числовой оси (обычно слева направо или снизу вверх, рис. 5.6)
указывается стрелкой.
Числовая ось — это прямая, на которой: 1) выбрано начало
отсчета; 2) выбран единичный отрезок; 3) указано (обычно)
положительное направление.
Число, которому соответствует данная точка на числовой
оси, называется координатой этой точки. Поэтому числовую ось
называют еще координатной осью или координатной прямой. Если
х — координата точки Р, то записывают Р (х) (читается: точка Р
с координатой х). На рисунке 5.5 отмечены точки 0(0), D(—1),
В(2), М (2,5), N ( — 2,5) и др. Если известна координата точки, то
можно отметить эту точку на координатной оси.
706. Объясни, пользуясь текстом:
1) как изображаются положительные и отрицательные
числа;
131
СВ Н Е G AD
-- —- • • I • *■
-2-10 1
2
F
О
A
С
E В
D
-30 -20 -10 0 10 20 30
-30 -20 -10
©
F D G С E
—1 > « 1 — 1 • I •-
-300 -200 -100 о 100 200 300
©
Рис. 5.7
2) что такое числовая ось;
3) что такое координата точки;
4) что означают записи Л(— 5), В (78), С(—100,3),
707. Где на числовой оси расположены следующие точки:
Л (8), В (-9), С(0), D (— 567), £(222,2), £(-19,8)?
708. Запиши координаты точек, обозначенных буквами на ри¬
сунке 5.7.
709. Начерти числовую ось, приняв за единичный отрезок 1 см.
Отметь на ней точки К( — 2), £(3,5), N(0), £( — 4,5), S (0,5).
710. Начерти числовую ось, приняв за единичный отрезок 5 см.
Отметь на ней точки Л (— 1), В^-|-^, С ( — 0,9), D ,
711. Начерти числовую ось, отметь на ней точку Л (—2) и точки
8, С, D и £, если:
1) точка В удалена от точки Л в отрицательном направ¬
лении на 2 единицы;
2) точка С удалена от точки Л в положительном направлении
на 3 единицы;
3) точка D удалена от точки С в положительном направ¬
лении на 1,5 единицы;
£(0,2), G(-f-), В (-0,3).
Б
132
г
4) точка Е удалена от точки D в отрицательном направ¬
лении на 3,5 единицы.
Запиши координаты точек В, С, D и Е.
712. Начерти вертикальную шкалу термометра. Отметь на ней 3°
холода, 8е холода, 1° тепла. 5° холода, 4е тепла, 7° холода.
5.3. Противоположные числа
Прочти текст параграфа, затем повтори, опираясь на задачу
713.
Рассмотрим, например, пары чисел
1 и -1, -2 и 2, 2,9 и -2,9, и —i-.
О О
Числа в каждой из таких пар отличаются друг от друга
только знаком. Числа в этих парах изображаются на числовой
оси точками, которые расположены на одинаковом расстоянии, но
в противоположных направлениях от начала отсчета (рис. 5.8).
Такие числа называются противоположными числами. Число 1
противоположно числу —1, и, наоборот, число —1 противопо¬
ложно числу 1. Противоположными являются также числа —2 и 2,
2,9 и —2,9, и —— 10 и 10 и т. д. Число 0 считается проти-
О О
воположным самому себе.
Натуральные числа (1. 2, 3. 4, ...), числа, им противополож¬
ные (—1, —2, —3, —4, ...), и число 0 называются целыми чис¬
лами. Целые числа, отрицательные и положительные дробные
числа называются рациональными числами.
Если обозначить буквой а любое рациональное число, то
число, противоположное ему, обозначается —а. Например, если
а = 3, то —а——3; если а——5, то —а=—(—5)=5 (так как
число, противоположное числу —5, равно 5). Таким же образом
—(— 1,8)= 1,8; —0=0 и т. д. Итак, если а — отрицательное число,
то —а есть положительное; если а — число положительное, то
— а — число отрицательное.
-2.9
2.9
-3
-2
-1
.±0 1
3 3
Рис. 5.8
133
713. 1) Прочти внимательно абзац текста, который начинается со
слов: «Рассмотрим, например...». Назови другие числа, кото¬
рые на числовой оси одинаково удалены от начала отсчета и
расположены в противоположных направлениях. Как назы¬
ваются эти числа?
2) Прочти следующий абзац текста. Приведи примеры целых
чисел, отрицательных и положительных дробных чисел.
3) Прочти текст до конца:
а) Объясни, почему — ( — 7)=7; — ( — 3,8) = 3,8; —0 = 0.
б) Найди —х, если х = 4,7; х=125; х= —11; х=— 0,2.
в) Найди число, противоположное данному:
-5; 8; -0,78; 0; -968; 0,01; -0,001.
714. Какие из равенств верные:
1) -( + 2)= -2 2) -7= -( + 7) 3) —(—4)=4
-(-5)=-5 +0,2= -(-0,2) -( + 10)= -10
■Ь-(--З-) -+--(-+) -»-+•
715. Прочти, заменяя многоточие словами «равно» или «не рав¬
но», чтобы полученное предложение было верным:
1) -(-15)... 15 2) — 1,4...—(— 1,4) 3) -(+1)...1
6...-(-6) -( + 0,3)...-0,3 —8... —( + 8)
716. Назови ответы:
1) -(+12) 2) -(-32) 3) -(-5,9) 4) -(+97)
-(-3,8) -(-4,7) -( + 0,06) -(-100)
717. Найди значения выражения —т, если m= 1; т=0,7;
4
т = 2,3; т = 0; т=—5; т=——.
718. Напиши числа, противоположные каждому из следующих
чисел, и отметь их на числовой оси: —2; 4; —2,5; 1,5; 0.
719. Запиши числа, противоположные и обратные каждому из
1 2
следующих чисел: 3; —; —; 0,1; 7.
Б.
720. Запиши координаты точек А, В, С и D (рис. 5.9) и числа,
А СВ D
-J-- ■ 1 ill . ■ ■ ■ .
-3 -2-1 0 1
Рис. 5.9
134
противоположные этим координатам.
721. Какое число —k, если:
1) k — положительное число;
2) ft = 0;
3) k — отрицательное число?
722. Даны точки М( — 3) и N(2,5). Запиши координаты точек
А, В и С:
1) если координаты точек А и М и координаты точек В
и N — противоположные числа;
2) если точка С расположена левее точки В и удалена
от нее на 4 единицы.
723. Запиши числа, противоположные числам —3; —1-^-;
— 2,5; —0,5; —0,1. Запиши числа, обратные полученным
числам.
724. Выдели из следующих рациональных чисел: 1) целые поло¬
жительные числа; 2) целые отрицательные числа; 3) целые
числа; 4) дробные положительные числа; 5) дробные отрица¬
тельные числа; 6) дробные числа:
'3; ТГ; -Ь 8- Ь »• W- Т- -25; 43;
-60-
725*. Объясни, какие из следующих предложений верны:
1. Каждое число равно своему противоположному числу.
2. Найдется число, которое противоположно самому себе.
3. Ни одно число не равно своему противоположному числу.
4. Если а=—Ь, то Ь=—а.
5. Если а=—Ь и 5 = с, то а = с.
726*. Найди значения букв, такие, чтобы равенство было верным:
1) —х— — 7 2) —*=9,2 3) -*=-(-(-6)
— т=—(-И) —«/= — Ю —s = 7,4
— а= — 1,5 —(— и)=1 —t =—9,1
5.4. Модуль числа
Длина отрезка иначе называется расстоянием между его кон¬
цами. Расстояние выражается всегда положительным числом. Рас¬
стояние от начала отсчета до точки, изображающей число, на¬
зывается модулем или абсолютным значением числа. Например,
135
С В О A D
■ -I—» +- И 1 1 1 1 1 1-
— 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Рис. 5.10
расстояние от начала отсчета до точки А (2) на числовой оси равно
2 единицам (рис. 5.10), поэтому модулем числа 2 является само
число 2. Точка В(—2) удалена от начала отсчета на 2 единицы;
следовательно, модулем числа —2 является также число 2, то
есть число, противоположное числу —2. Аналогично получим:
модуль числа —3,5 равен 3,5; модуль числа 4 равен 4 и т. д. Мо¬
дуль числа 0 есть само число 0.
Итак, модулем положительного числа и числа 0 является са¬
мо число, а модулем отрицательного числа — противоположное
ему число.
Модуль числа а обозначается так: |а|. Например, |—2|=2;
727. Прочти текст параграфа и скажи:
1) на каком расстоянии от начала отсчета находятся точки
С (-7) и 0(4,5);
2) чему равны модули чисел 9 и —5;
3) чему равен: 1 — 121; 12,61 и |0|.
728. Определи расстояние от начала отсчета до точек А, В, С и D
(рис. 5.11).
729. Определи расстояние от начала отсчета до точек М (— 5, 5),
N(6,9), Р {—15) и 7? (100) на числовой оси.
730. Найди модули следующих чисел (ответы запиши в виде ра¬
венства) :
-5; 8; -0,7; 0; -|-; -|-; 3,9; -1000; -1-Ь -0,01.
9 2
731. Какие числа имеют модуль, равный 5; 6; 57; 0; -^; ур
-1; -10?
|2|=2; 1-3,51=3,5; |0|=0; |-1|
5_. I _2
6 ’ I 3
2
Т и т. Д-
А.
А
С
В
D
-4 -3 -2 -1 0
Рис. 5.11
2 3
136
732. Туристы построены на линейку
для поднятия флага по обе сто¬
роны от него. Расстояние от
флага до первого туриста
(и справа и слева) равно 2 м,
между каждым следующим (и
справа и слева) равно 0,5 м.
1) Укажи расположение турис¬
тов на координатной оси, если
флаг находится в точке нача¬
ла отсчета.
2) Определи координаты точек,
в которых находятся турис¬
ты второй слева и второй спра¬
ва от флага; найди рас¬
стояния от этих туристов до
флага.
3) Найди модули координат точек, в которых находятся
туристы третий слева и пятый справа от флага.
4) Что еще можно определить по условию задачи?
733. Вычисли:
1) 1-71+3-6 2) 5-101+8 3) | -3-§- | +-L
1-601:12 — 4 1101+75:5 4Т~1~1т1
734. Вычисли значение выражения |а| —1,5, если а=—4;
а= — 10,1; а —2.
735. Вычисли значение выражения Ы:4, если х =—0,84; х = 0;
jc=3,6.
Б.
736. Найди значения букв такие, чтобы равенство было верным:
1) 1*1=3 2) 1 —х| =5 3) |/|=0 4) 3 1x1=3
|ш| = 1 I— z| = i |а| = — 7 \z\ — 1 =0
737. Вычисли:
1) | — 10| + | — 10| — 121-1 —5|; 2) I—5I-I3I+3-I-1I;
3) 1-201+2-1 — 10| — I — 121; 4) |3| + | — 211:3— | — 9|.
738. Вычисли значение выражения |а| —1&|+2 |а|, если
я= -345,6 и Ь= — 100,37.
739. Известно, что \х\ = \у\. Можно ли сказать, что х = у?
Почему?
137
740. Известно, что s=—t. Можно ли сказать, что |s| = U|?
Почему?
5.5. Сравнение чисел
Мы умеем сравнивать положительные числа. Например, 3<7,
10,5< 10,6, -у>(см. § 2.5). Знаем также,
что число 0 меньше любого положительного числа. Теперь выяс¬
ним, как сравнить числа, если среди них имеются и отрицатель¬
ные. Сравним, например, показания термометра:
-5° и 3°, —10° и 7°, -1° и 0°, -7° и 0°.
Так как температура —5° ниже температуры 3°, — 10° ниже
7°, — 1° н и ж е 0° и — 7° н и ж е 0°, то считаем, что число —5
меньше числа 3, —10 меньше 7, —1 меньше 0, —7
м е н ь ш е 0. Запишем:
— 5<3, —10< 7, —1<0, —7<0.
Значит, любое отрицательное число меньше нуля и меньше любо¬
го положительного числа.
Сравним отрицательные показания термометра, например:
— 10° и —5°, -2° и -7°, —3° и —1°.
Видим, что температура —10е ниже —5°, —7° ниже —2°,
— 3°ниже — 1°. Поэтому считаем также, что
— 10<—5, — 7< — 2, —3< — 1.
Заметим также, что модуль меньшего числа больше, чем модуль
большего числа:
I — 101 > | —5|, 1—71 > 1 — 21. |-3|>|-1|.
Поэтому можно сказать, что из двух отрицательных чисел мень¬
ше то, модуль которого больше.
Если числа отметим на числовой оси, то увидим, что из
двух чисел меньше то, изображение которого расположено левее
(при положительном направлении слева направо). Например, на
рисунке 5.12 точка Л (— 3) расположена левее точки В (—1,5),
А В ОС D
_1 _i _| I I ■ ■ I ,
-3-2-1 0 1 2 3
Рис. 5.12
138
г
г
поэтому —3< — 1,5. Теперь предложение «а — число положи¬
тельное* можно записать коротко в виде а>0. А предложение
«а — число отрицательное» — в виде а С 0. Если же число а не
положительное, то оно может быть отрицательным или равным
нулю. Тогда запишем: а^.0.
Если число а не отрицательное, то оно может быть положи¬
тельным или равным нулю, запишем: а~^0. Знак ^ озна¬
чает «меньше или равно», а знак 2? — «больше или равно».
Например, в неравенстве —5 значение а может быть равным
— 5 или иметь любое другое большее —5.
А.
741. Внимательно прочти текст параграфа и скажи, какое из двух
чисел больше, если:
1) одно число положительное и другое отрицательное;
2) одно число положительное и другое равно нулю;
3) одно число отрицательное и другое равно нулю;
4) оба числа отрицательные.
742. Какая из двух точек левее другой (положительное направле¬
ние числовой оси слева направо):
1) А (-2) и В( 1); 2) С (-3,4) и D(0); 3) F (-7) и G (-3);
4) М (-5,3) и TV (— 1); 5) К(1,5)иЕ(3); 6) R (2,5) и S ( — 4,1)?
743. Какое из двух чисел больше:
1) —4 и —0,5; 2) —2 и —3,8; 3) —18 и —15; 4) —9
и —9,01?
744. Какие из следующих неравенств верны:
1) —10< —1 2) 69,7 >52,4 3) —(-3)>5
17 <0 —1,5<3,2 -0,5 >-1
41 >-(-9) 2 <-(-2) -9 <0
745. Отметь числа на числовой оси и запиши их в порядке воз¬
растания: — 3,8; 1; —3,5; 2,3; 3,8; —1.
746. Запиши числа в порядке возрастания:
1) —8; —10; 0; 5; 1; —1; 3; —7; —19; 8; 15;
2) —1000; 1000; 500; —500; 0; 900; —800; 700;
3) -1,4; 3,5; 2,97; -2,99; -3,01; 0; 0,5.
747. Запиши числа в порядке убывания:
1) 25; —19; 32; 16; -8; -5; 2; 1; 0; —15;
2) —32,7; 57,6; —12,8; 12,9; —15,7; 3,01; 2,02;
3) —300,01; —300,02; 0,07; —0,08; 0,059; —0,005.
139
I
II
748. Напиши все целые числа, которые расположены на числовой
оси между числами:
1) -2,5 и 3,8; 2) -20,4 и 1,5; 3) -100,3 и -95,2.
749. Напиши шесть как можно больших последовательных целых
чисел, которые меньше числа 2,6.
750. Напиши шесть как можно меньших последовательных це¬
лых чисел, которые больше числа —4,1.
751. Между какими соседними целыми числами находится число
-89^-? 0,27? -2-J-?
О О
752. Запиши предложения в виде неравенства:
1) —5,6 — отрицательное число;
2) 19 — положительное число;
3) а — отрицательное число;
4) b — положительное число;
5) х — не отрицательное число;
6) у — не положительное число;
7) х не меньше 10;
8) t меньше или равно —1.
Б.
753. Запиши в порядке убывания числа, противоположные дан¬
ным:
3,85; -7,8; -0,1; 0,01; 3,7.
754. На числовой оси (рис. 5.13) отмечены точки, соответствую¬
щие числам cud. Можно ли сказать (почему?):
1) какое из данных чисел больше;
2) модуль какого числа больше?
755. На числовой оси (рис. 5.14) числа тип противополож¬
ные. Можно ли сказать:
1) какое из чисел больше;
2) где расположено начало отсчета на числовой оси?
Рис. 5.13
Рис. 5.14
Рис. 5.15
■ -т
■ -п
140
756. На числовой оси (рис. 5.15) числа а и с противоположные.
Можно ли сказать:
1) что число Ь положительное (отрицательное);
2) какое из данных чисел имеет наибольший модуль, какое
наименьший?
757. Найди целое значение х, такое, чтобы неравенство было
верным:
1) -5<*<0 2) -4,7<х<1 3) 102<х< 105
— 1<х<3 —3<х<2,4 — 47<х< —40
|х| <5 1*1 <3 |х|<1
758. Напиши самое маленькое: 1) целое двузначное число; 2) це¬
лое четырехзначное число.
759*. Напиши наименьшее целое трехзначное число, в котором
цифра десятков 0, а сумма цифр единиц и сотен равна 10.
760*. Известно, что а и b — положительные, а т и п — отрица¬
тельные числа. Какое неравенство верное, какое неверное?
В каком случае на вопрос ответить невозможно?
1) а>т 2) Ь> т 3) т>Ь 4) —т> 0
а>0 т>п Ь>а —Ь >0
ЬС0 а<.п 0>п 0 >—а
Ь<п п<0 ОСЬ —п СО
Для повторения
761. Вычисли (устно):
1) 2(500—350)+ 200:2 —400;
2) (750+ 150):2 — 150+(100 + 50)-40;
3) 0,25 • 100 + 50 + 2000 • 0,01 - 0,02 • 1000.
762. Выполни действия:
" 3-гтт+(-пг+т):"; 2> тг6+ +-(^-1)•
3> (*-Н*К+(+*4)-Ь
4) (0,75:0,03 - 23^-): 1 -§-.
763. Найди р% от числа а, если:
1) р = 30 и а=25; 2) р=45 и а=84; 3) /?= 102 и а=3,4.
764. Найди число х:
1) 10% которого равны 15; 2) 15% которого равны 4,05;
3) 3,2% которого равны 0,128.
141
765. Уменьши число 120:
1) на 2,5%; 2) на 15%; 3) на 7,5%.
766. Увеличь число 160:
1) на 80%; 2) на 6,2%; 3) на 42%.
767. Реши уравнение:
4,75 + у=1,8 х:5,8 = 4
768. Рабочий изготовил за 2,4 ч 30 деталей. Сколько таких дета¬
лей изготовит рабочий за 8 ч, если темп работы его останет¬
ся прежним?
769*. (Старинная задача Л. Ф. Магницкого.) Един че¬
ловек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет
тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней
жена его способно выпьет тоеже кадь?
Прочти внимательно текст параграфа. Повтори, опираясь на
задачу 770.
Две прямые, имеющие одну общую точку, называются пересе¬
кающимися прямыми, а их общая точка называется точкой
пересечения. На рисунке 5.16 прямые s и t пересекающиеся,
А — точка их пересечения.
Примечание. Раньше прямую (и луч) мы обозначали дву¬
мя заглавными латинскими буквами. Прямая обозначается также
одной строчной латинской буквой, например s, t, u, v. Таким
обозначением мы будем пользоваться в дальнейшем.
При пересечении двух прямых образуются четыре угла с общей
вершиной, не считая развернутых. На рисунке 5.17 они обозначены
цифрами: Z.I, Z.2, Z.3, Z.4. Если величина одного угла из
них известна, то величины остальных трех вычислить легко.
5.6. Пересечение прямых
Рис. 5.16
Рис. 5.17
142
Пример. Пусть 211=50° (рис. 5.17). Найдем величины
трех остальных углов.
Обратим внимание на то, что 211, 212 (/11 и /14) образуют
развернутый угол, величина которого равна 180°. Следовательно,
Z2 = 180°— Z 1 = 180° —50°= 130°.
Далее найдем:
213=180° — 212=180° — 130° = 50° и
214 = 180° — 213=180° — 50° = 130°.
Заметим, что
211 = 2.3 и 212=214.
А.
770. 1) Прочти абзац, который начинается словами «Две пря¬
мые...» и следующее за ним примечание. Чем характери¬
зуются пересекающиеся прямые? Начерти две пересекающие¬
ся прямые, обозначь эти прямые и точку их пересечения.
2) Прочти следующий абзац и рассмотри пример. Почему
/12=180°—211, 213=180°—212, 214= 180°—/13?
3) Объясни, почему из углов, которые образуются при пе¬
ресечении двух прямых, имеются две пары равных углов.
771. Начерти прямые а и Ь, которые пересекаются в точке М.
Измерь полученные углы и вычисли их сумму.
772. Назови пары пересекающихся прямых, изображенных на ри¬
сунке 5.18, и их точки пересечения.
773. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух пря¬
мых, равен: 1) 149°; 2) 62°. Вычисли величины остальных
углов.
Рис. 5.18
143
Рис. 5.19
774. Вычисли те углы (рис. 5.19), величины которых не даны.
775. Определи на глаз, сколько точек пересечения имеют пря¬
мые, изображенные на рисунке 5.20.
776. Начерти три прямые так, чтобы получилось: 1) одна; 2) три
точки пересечения.
777. Начерти две пересекающиеся прямые, чтобы один из образо¬
вавшихся углов был равен: 1) 43°; 2) 90°; 3) 115°.
144
Б.
778. Вычисли те углы (рис. 5.21—5.22), величины которых не
даны.
779. Начерти четыре прямые, чтобы получилось: 1) одна; 2) че¬
тыре; 3) шесть точек пересечения.
780. Назови прямые, которые пересекаются (рис. 5.23).
5.7. Перпендикулярные прямые
Если при пересечении двух прямых один из полученных углов
будет прямым (90°), легко убедиться, что остальные углы тоже
будут прямыми (рис. 5.24).
Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, на¬
зываются перпендикулярными1. Прямые s и / на рисунке 5.24
перпендикулярны. Запишем: s_Lf (читается: прямые s и t пер¬
пендикулярны). Так же можно записать: /_Ls.
Чтобы построить перпендикулярные прямые, можно использо¬
вать чертежный угольник. На рисунке 5.25 показано, как постро¬
ить прямую, которая проходит через точку А и перпендику¬
лярна прямой s. Оказывается, что через данную точку можно
провести только одну прямую, которая перпендикулярна данной
прямой.
Если отрезки лежат на перпендикулярных прямых, то эти от¬
резки также называются перпендикулярными. Например, стороны
квадрата, имеющие общую точку, перпендикулярны.
1 От латинского слова perpendicularis — отвесный.
145
Рис 5.25
Рис. 5.26
Через точку Р, не лежащую на прямой (рис. 5.26), прове¬
дены три прямые а, b и с, которые пересекают прямую s, причем
прямая а перпендикулярна прямой s. Отрезок РА называется
перпендикуляром к прямой s. Оказывается, что перпендикуляр
короче всех других отрезков, проведенных из данной точки к
прямой. На рисунке 5.26 отрезок РА короче отрезков РВ и PC.
Длина перпендикуляра, проведенного из данной точки на прямую,
называется расстоянием от точки до прямой. Значит, расстоя¬
нием от точки Р до прямой s на рисунке 5.26 является длина от¬
резка РА (но не длины отрезков РВ или PC).
А.
781. Проверь по тексту, помнишь ли ты:
1) какие прямые называются перпендикулярными;
2) сколько перпендикулярных прямых можно провести через
данную точку к данной прямой;
3) что называется расстоянием от точки до прямой.
782. Определи на глаз, какие прямые на рисунке 5.27 перпенди¬
кулярны. Проверь себя, пользуясь угольником или транспор¬
тиром.
783. Приведи примеры перпендикулярных прямых из окружающей
тебя обстановки.
146
©
Рис. 5.27
784. Начерти прямую т и отметь точку А вне этой прямой.
С помощью угольника проведи прямую п, проходящую через
точку А так, чтобы выполнялось условие nlm. Сколько
таких прямых можно провести через точку А?
785. Длина какого отрезка является расстоянием от точки Р до
прямой s (рис. 5.28)? Измерь его.
786. Начерти прямую t и отметь точку В вне этой прямой. Измерь
расстояние от точки В до прямой t.
787. Начерти две пересекающиеся прямые а и Ь. Вне этих пря¬
мых отметь точку М. Измерь расстояния от точки М до
прямых а и Ь.
788. Начерти прямую а. Отметь при помощи угольника точки К, L
и М, такие, чтобы расстояние от точки К до прямой а равня¬
лось 2 см, от точки L до прямой а 4,3 см и от точки М до
прямой а 3,1 см.
Б.
789.
Начерти прямую I и отметь любые две точки. Проведи че¬
рез эти точки прямые,перпендикулярные прямой /. Всегда ли
найдутся две такие прямые?
790.” Какое из следующих предложений
верное, а какое нет?
1. Две пересекающиеся прямые
всегда перпендикулярны.
2. Две перпендикулярные прямые
на плоскости всегда пересекаются.
3. Некоторые пересекающиеся
прямые перпендикулярны.
4. Если прямая и перпендикуляр¬
на прямой v, то прямая v
перпендикулярна прямой и.
5. Если a_Lfc и fc_Lc, то a_Lc.
Рис. 5.28
147
791. На рисунке 5.29 s_L/, Z.AOB = 100° и Z.BOC=34°.
Вычисли AAOD и Z.DOB.
792. На рисунке 5.30 KM±LN, Z.РОМ + Z.LOR = 75° и
AKOR = 58°. Вычисли Z.POM и Z.LOP.
5.8. Параллельные прямые
Две прямые на плоскости могут не пересекаться. Такие пря¬
мые называются параллельными1. Итак, две непересекающиеся
прямые, лежащие в одной и той же плоскости, называются
параллельными.
Представление о параллельных прямых дает нам, например,
длинный прямой участок железнодорожных рельсов. Если прямые
s и t параллельны (рис. 5.31), то запишут: s||/ (читается: прямые
s и I параллельны) или /||s.
Прямые b и с на рисунке 5.32 перпендикулярны к одной и
той же прямой а. Прямые b и с не могут пересекаться в ка¬
кой-либо точке. Действительно, в этом случае получилось бы, что
через точку их пересечения проведены два перпендикуляра к
прямой а. А это невозможно (§ 5.7). Значит, если две прямые в
плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.
Если отрезки лежат на параллельных прямых, то эти отрезки
1 От греческого слова parallelos — рядом идущий.
148
□
п
с
Рис. 5.31
Рис. 5.32
также называются параллельными. Например, противолежащие
стороны прямоугольника параллельны.
Для построения параллельных прямых (отрезков) используем
линейку и угольник (рис. 5.33). Построим, например, две па¬
раллельные прямые, одна из которых проходит через данную точ¬
ку А. Для этого устанавливаем угольник одним краем к линейке и
проводим прямую вдоль другого края угольника. Затем передвига¬
ем вдоль линейки (линейку не двигаем) угольник до точки А.
Через эту точку проводим прямую. Полученные две прямые па¬
раллельны.
Через точку, лежащую вне прямой, можно провести только
одну прямую, параллельную данной прямой.
А
Это предложение выражает основное свойство параллельных
прямых.
А.
793. Проверь по тексту, помнишь ли ты:
1) какие прямые называются параллельными;
2) как располагаются в плоскости две прямые, которые
перпендикулярны к одной и той же прямой;
3) как построить параллельные прямые;
4) основное свойство параллельных прямых.
794. Приведи примеры параллельных прямых из окружающей те¬
бя обстановки.
795. Определи на глаз, какие прямые на рисунке 5.34:
1) параллельные; 2) пересекающиеся; 3) перпендикулярные.
(При необходимости используй угольник и линейку.)
796. Начерти прямую s и отметь вне этой прямой точку А.
n м Через точку А проведи прямую t пер¬
пендикулярно прямой s и прямую и
перпендикулярно прямой t. Как распо¬
лагается прямая и относительно пря¬
мой S?
Б.
797. Построй две прямые b и с, параллель¬
ные третьей прямой а. Могут ли пря¬
мые b и с пересекаться? (Ответ обос¬
нуй, опираясь на основное свойство
параллельных прямых.)
798. Начерти четыре прямые так, чтобы:
150
/ /
1
1
1
1
L
1
1
%-■
S
/
/
/
У
/
А в
Рис. 5.35
1) не было ни одной точки пересечения; 2) получились три
точки пересечения; 3) получилось пять точек пересечения.
799*. Какие ребра прямоугольного параллелепипеда (рис. 5.35):
1) параллельны; 2) перпендикулярны?
Для повторения
800. Назови числа, противоположные следующим:
-4,8; 32; -5^-; —0,8; 7,3.
801. Назови модули следующих чисел:
51; -0,7; -5,8; ii; -15.
802. Назови результат:
1) -(-9); 2) -(+1,6); 3) -(-0,04); 4) -( + 6,8);
5) -(-23).
803. Начерти числовую ось и отметь на ней точки 71 ( — 3,5),
В (1,5), С (-0,8), D ( — 2,6), Е (2,2).
804. Вычисли (устно):
п 50 - 38 9 ч 4(30 + 70). п. 1.7+ 2,5+ 0.3 . 4.2-.0,6
*' 8 + 4 ’ ' 130 - 50 ’ > 6.5-1.5 ’ ' 2(5-4.8) '
805. Вычисли:
1) 2,5:(о,75*-| j^) ; 2) 3+3,5:(l ±-§)+- +
3> (+(l5:+-I0,5:++) + +) +
806. Вычисли значение выражения |х| —|у|, если:
1) х = 7,03 и у— 1,93; 2) х=-|- и у=—
807. Расположи числа в порядке возрастания:
-5,4; 5,3; -5,41; 5,31; -5,39; -6.
С
808. Автомобиль, проехав 50 км за — ч, увеличил скорость
на 8 Сколько километров проедет автомобиль за 2 ч после
того, как увеличил скорость?
809. В Дом торговли поступило в продажу 800 пальто. В первый
день продали 15% всех пальто, а во второй 25% того, что
осталось. Сколько процентов всех пальто, поступивших в
продажу, осталось непроданными?
810. В школе 1000 учащихся. Весной закончили школу 10% уча¬
щихся. Осенью за счет первоклассников число учащихся в
151
школе увеличилось на 10%. Сколько учащихся теперь учит¬
ся в школе?
811*. После соревнований по прыжкам в высоту Миша, Вова, Ле¬
ня, Валера и Дима сравнили свои результаты. Оказалось,
что: 1) Миша прыгнул выше Вовы, но ниже Лени; 2) два
мальчика имели один и тот же результат; 3) Валера, который
взял высоту в 1,3 м, прыгнул ниже Вовы; 4) Миша прыгнул
на 20 см выше Валеры; 5) Дима прыгнул ниже Лени на
5 см, но выше Вовы на 10 см. Какую высоту взял каждый
из мальчиков?
Мы знаем, что положение точки на координатной оси опреде¬
лено одним числом, которое называется координатой этой точки.
Как определить положение точки в плоскости? Чтобы ответить
на этот вопрос, подумай, как ты найдешь свое место в кинозале
или как определишь положение шахматной фигуры на шахматной
доске. Какие данные необходимы тебе для этого?
Проведем две перпендикулярные координатные оси так, как
показано на рисунке 5.36. Горизонтальную ось называют осью
абсцисс и обозначают буквой х, вертикальную ось называют
осью ординат и обозначают буквой у. Точку пересечения осей
называют началом координат. Ось абсцисс и ординат вместе обра¬
зуют прямоугольную систему координат. Плоскость, на которой
имеется система координат, называется координатной плоскостью.
На координатной плоскости отметим точку М (рис. 5.37).
Проведем из этой точки перпендикуляры на оси координат. На
оси абсцисс получим точку А с координатой —2, на оси
ординат точку В с координатой 3. Число —2 называется абсцис¬
сой, и число 3— ординатой точки М.
Абсцисса и ордината вместе называются координатами точки.
152
5.9. Координатная плоскость
Координаты точки записываются в скобках, например М (— 2; 3)
(читается: точка М с координатами — 2 и 3). При записи коорди¬
нат точки необходимо строго соблюдать следующий порядок: абс¬
цисса всегда пишется на первом месте, а ордината — на втором.
Поэтому говорят, что координаты точки образуют упорядочен¬
ную пару чисел. На рисунке 5.37 отмечены еще точки С (3;4),
D (2; -2), Е{-3; -1) и 0(0; 0).
Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна ну¬
лю; если точка лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю.
Тогда координаты точек, например, А и В запишем: А ( — 2; 0),
В(0; 3).
Теперь ты можешь ответить на поставленный в начале парагра¬
фа вопрос: чтобы определить положение любой точки на плос¬
кости, нужно знать ее координаты.
Оси координат разбивают плос¬
кость на четыре части, которые назы¬
ваются координатными четвертями.
Нумерация четвертей и знаки коор¬
динат по четвертям показаны на ри¬
сунке 5.38. Это нужно запомнить.
А.
812. Проверь по тексту, помнишь ли
ты:
I) - как называются перпендику¬
лярные оси координат;
153
V
II
1
четверть
четверть
(-: +)
(+; +)
0
X
in
IV
четверть
четверть
(+: -)
У
1 л
Ci
X
В1
I 1
д"
—Е
ос
то
<*“
Запс
1
Ь
0
D
fur
1
Рис. 5.39
Рис. 5.40
813.
814.
815.
816.
817.
818.
819.
154
2) как определяется положение точки на плоскости;
3) как записываются координаты точки;
4) как разделена координатная плоскость на четверти.
На рисунке 5.39 х и у — перпендикулярные шоссейные до¬
роги, штрихи — километровые столбы. На каком расстояний
от шоссе х и от шоссе у стоит дом, обозначенный точкой Л?
точкой Z3? точкой С? точкой D?
Туристы разработали маршрут похода (рис. 5.40). Старт и
финиш в точке О, остановки в точках А, В, С, D и Е. Оха¬
рактеризуй участки маршрута по их длине и по направле¬
нию, если каждому делению соответствует 1 км.
На рисунке 5.41 х и у — опушки леса (заповедника), где па¬
сется лось. В точках, обозначенных буквами, были замече¬
ны следы от его копыт.
1) На каком расстоянии от лесных опушек х и у побы¬
вал лось?
2) Запиши координаты точек, в которых побывал лось.
Назови абсциссы и ординаты точек (рис. 5.42), обозначен¬
ных буквами.
Запиши координаты точек (рис. 5.43), обозначенных бук¬
вами. В какой четверти находится каждая из этих точек?
Что показывает модуль абсциссы (ординаты) точки? Что по¬
казывает знак абсциссы (ординаты) точки?
Какой знак имеет абсцисса (ордината) точки, если точка
находится: 1) в I четверти; 2) во II четверти; 3) в III чет¬
верти; 4) в IV четверти?
Г ,1 Г-
V KU
S
К
1
R
0
-
--4-;
is
-Г
L.
3_с
М
L
х(»-
см
Р
-2
N
Рис. 5.41
Рис. 5.42
У
1
G
4
А
-6
_
-1
1
3
■
-
0
2
3
1
\
.
<
F
f
И*
X
Ь
С
L
о
- *т
R
Рис. 5.43
820. Что можно сказать о координатах точки, если точка лежит
на: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат?
Б.
821. Напиши координаты вершин прямоугольника (рис. 5.44). Вы¬
числи его площадь и периметр.
4-
D
<
О
И
il
-4^3^2^1<0
ЯП
Hi
А
а
Рис. 5.44
Рис. 5.45
822. Напиши координаты вершин квадрата (рис. 5.45). Вычисли
его площадь и периметр.
823. Вычисли площадь и периметр фигуры, изображенной на ри¬
сунке 5.46.
Самостоятельная работа 4
Тема. Построение точки по ее координатам.
Из предыдущего параграфа ты узнал, как определить
координаты точки на координатной плоскости. Теперь реши обрат¬
ную задачу: научись строить точку на плоскости, если известны
ее координаты.
1. Начерти систему координат. За единичный отрезок на
обеих осях прими отрезок длиной 1 см. На каждой оси в обоих
направлениях отложи по 5 таких единиц.
156
2. Построй на координатной плоскости точку А (2; —3).
Для этого:
1) На оси абсцисс найди точку с абсциссой 2, через нее
проведи прямую, перпендикулярную оси абсцисс (одновременно
параллельную оси ординат, см. § 5.8).
2) На оси ординат найди точку с ординатой —3, через нее
проведи прямую, перпендикулярную оси ординат (одновременно
параллельную оси абсцисс).
3) Точку пересечения проведенных прямых обозначь буквой А.
Это и есть искомая точка, так как ее абсцисса равна 2 и ордината
равна —3.
3. На этой же координатной плоскости построй точки
£( 1; 4), С (-5; 2), D (— 2; -5), £ (4; -3), Е{0; -4), G (5; 0).
А.
824. В какой координатной четверти находится точка А( — 2; 5);
В (10; 35); С(1; —1); D(-8; -39); £(0,03; —0,001);
£(-1207; 3541)?
825. Начерти систему координат. За единичный отрезок на обе¬
их осях возьми отрезок длиной 1 см. Построй точки
А (2; 3), В (-2; 4), С (5; -1), D(-4; -3), £(2; -5),
£(4; 4). G (0; -2). Н(3; 0), £(-1,5; -4), М(-4,5; 2,5),
К (3,7; 0,4), N (1,2; -1,2).
826. Выясни:
1) где находятся все точки с абсциссой, равной 0;
2) где находятся все точки с ординатой, равной 0;
3) каким общим свойством обладают абсциссы всех точек,
расположенных слева от оси ординат;
4) в каких четвертях находятся точки с положительной абс¬
циссой;
5) в каких четвертях находятся точки с отрицательной ор¬
динатой;
6) каким общим свойством обладают ординаты всех точек,
лежащих выше оси абсцисс.
827. На координатной плоскости начерти прямую, проходящую
через точки С (— 4; —2) и D (4; 3). Отметь на этой прямой точ¬
ки, абсциссы которых: —3, —1, 0, 2. Запиши координаты
полученных точек.
828. На координатной плоскости начерти прямую, проходящую че¬
рез точки А ( — 2; —3) и В (2; 4). Отметь на этой пря-
157
мой точки, ординаты которых: —2, 0, 1,3. Запиши коорди¬
наты полученных точек.
829. На координатной плоскости начерти прямую, которая про¬
ходит через точки К( — 2; —1) и L( — 2; 4), и прямую,
которая проходит через точки А (0; 0) и fi(l; —1). Запиши
координаты точки пересечения этих прямых.
830. На координатной плоскости начерти:
1) треугольник KLM, если К{ — 4; —1), L (2; 0) и М (0; 3);
2) квадрат ABCD, если А ( — 2; 1), В (3; 1), С (3; —4) и
D (— 2; 4);
3) прямоугольник KLMN, если К (2; —3), L (2; 4), М ( — 2; 4)
и N (-2; —3).
Б.
831. Даны координаты трех вершин прямоугольника KLMN:
/((-1,5, -2), L (— 1,5; 1) и М (3; 1).
1) Начерти этот прямоугольник.
2) Определи координаты точки N и координаты середин
сторон прямоугольника.
3) Вычисли площадь и периметр прямоугольника.
832. Даны координаты двух вершин квадрата ABCD:
Л(-1; -1,5) и В(-1; 2).
1) Начерти квадрат ABCD (два случая).
2) Определи координаты вершин С и D.
3) Вычисли площадь и периметр квадрата.
833. Как расположены на координатной плоскости точки, у кото¬
рых:
1) абсцисса равна 3; 2) ордината равна —2;
3) ордината равна 5; 4) абсцисса равна —4?
834. Где находится на координатной плоскости точка Р (х; у),
если:
1) х>0, у> 0; 2) х<0, у< 0; 3) х>0, у = 0; 4) х = 0,
у> 0; 5) х<0, у>0; 6) х = 0, усО?
835*. Где расположены точки на координатной плоскости, ко¬
ординаты которых удовлетворяют условию:
1) х = 0 и |«/|>10; 2) у^0 и |х|>10;
3) \х\ < 1 и у>0?
836*. На координатной плоскости дана линия (рис. 5.47).
1) Найди на линии точку, абсцисса которой равна — 3.
Рис. 5.47
2) Найди на линии точку, ордината которой равна 0.
3) При каком значении абсциссы х ордината у имеет наи¬
большее (наименьшее) значение?
Для повторения
837. Вычисли (устно):
i\ 1_ 21 31 41 — • —
'4 5 ’ 3 ' 6 ' 8' ' 4 > 6 ‘ 9
о. 4 -з 2 6 8 3
5 9 7 9 " 4
0,509-100 40-0,8 6,03:0,3 0,8:0,01
838. Вычисли:
»> 2T+i+i 2) 'Т-Т+1Г 3) Т+^-Т
_5 3 | 1_ L 1 J 9 , | J_
6 8 4 10 5 4 5 10*4
°.2+т+т- i-°'4-T I.25+2A-A
839. Вычисли значение выражения:
1) (646:19 + 77):(52 • 47 — 2407);
2) 22,5:3,75 + 208,45 + 2,5:0,004;
3) (0,39+ 19,52:32 + (12,51 +0,99)--|-): 15;
4> ((7-3-5т):1т+'т:0+ (2т-°-75)
L
159
840*. Тексты следующих задач не закончены. Запиши себе в тет¬
радь полный текст задач и реши их:
1. 24 ученика 6 класса занимаются спортом, -i- из них ходит
на лыжах ... .
2. Некоторые ученики 6 класса имеют дома либо птиц,
либо черепах. У всех птиц и черепах вместе 24 лапки ...
3. В доме живет 60 человек, которые образуют семьи из
2 человек, из 3 человек, из 4 человек и из 5 человек.
Семей, состоящих из 3 человек, в два раза больше, чем
семей, состоящих из 5 человек ... .
841*. (Старинная задача из Армении.) Один ку¬
пец прошел через три города, и взыскали с него в первом
городе пошлины половину и треть имущества, и во втором
городе половину и треть (с того, что у него осталось), и в
третьем городе снова взыскали половину и треть (с того,
что у него было), и, когда он прибыл домой, у него осталось
11 дахеканов (денежных единиц). Итак, узнай, сколько
всего дахеканов было вначале у купца.
5.10. Графики
На координатной плоскости можно изображать зависимости
между различными величинами. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Температуру измеряли в течение суток. По ре¬
зультатам измерения получили следующую таблицу (протокол
наблюдений):
Время суток, ч
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Температура, °С
5
2
0
-3
— 4
-2
2
6
8
5
4
3
3
Эта таблица выражает зависимость между временем и темпе¬
ратурой. Для графического изображения этой зависимости по¬
строим прямоугольную систему координат. На оси абсцисс будем
откладывать значение времени, а на оси ординат — температу¬
ры. Далее, построим на координатной плоскости все точки, ко¬
ординатами которых являются соответствующие числа из данной
таблицы (рис. 5.48). Получили 13 точек. Если бы мы измеряли
температуру чаще, скажем через каждые 15 мин или 5 мин, то
160
г
tjc
В
6
(
4
2
0
i
>
I
4
|
<
>
(
» <
4
6
8
1
5 1
2 1
4 16
16
2
3 2
2 2
-2
-4
<
>
1
>
Рис. 5.48
получили бы значительно больше точек. Температура изменяется
непрерывно, но непрерывно измерять ее невозможно. Если до¬
пустить, что резких скачков температуры не было, мы можем
полученные точки соединить непрерывной линией. Так по¬
лучился график температуры (рис. 5.49).
Более точно такую линию может вычертить термограф —
прибор, который автоматически записывает температуру
(рис. 5.50).
t?c
Рис. 5.50
Полученный график наглядно описывает изменение темпера¬
туры в течение суток. С помощью этого графика можно ответить
на многие вопросы. Например:
1. Какая температура воздуха была в 1 ч дня, то есть в
13.00?
На оси абсцисс найдем число 13, затем на графике отме¬
тим точку А, абсцисса которой равна 13. Найдем ординату
точки А. Она равна 4.
Итак, в 1 ч дня температура воздуха была 4е.
2. В какое время температура воздуха была 7е?
На оси ординат найдем число 7. Мы видим, что такую ор¬
динату на графике имеют две точки: В и С. Найдем абсцис¬
сы этих точек. Они приблизительно равны 15 и 17.
Итак, температура воздуха 7е была около 15 ч и около 17 ч.
Пример 2. Велосипедист ехал с постоянной скоростью
20 ^-. Изобразим график этого движения.
Путь, пройденный велосипедистом, можно вычислить по фор¬
муле s = 20/. Теперь найдем путь, который проехал велоси¬
педист, например, за 1 ч, 2 ч, 3 ч, ... :
Время, ч
1
2
3
4
5
Путь, км
20
40
60
80
100
На оси абсцисс будем отклады¬
вать значения времени, на оси ор¬
динат — расстояние. На координат¬
ной плоскости отметим точки, коор-
о 1 2 3 4 5
Рис. 5.51
динатами которых служат соответствующие числа из таблицы.
Оказывается, полученные точки расположены на одной прямой
(рис. 5.51). Соединим точки отрезками и получим график дви¬
жения велосипедиста. Как и в предыдущем примере, по этому
графику мы можем решать задачи двух типов: найти пройденный
путь, зная время, и, наоборот, найти время, зная пройденный путь.
А.
842. Прочти пример 1 и объясни:
1) как построить график температуры;
2) для чего можно использовать график температуры.
843. Построй график температуры по таблице:
Время, ч
0
1
2
3
4
5
6
7
Температура, °С
4
2
— 1
— 2
-3
-3
-1
— 1
844. На рисунке 5.52 изображен график температуры воздуха.
1) Какая температура воздуха была в 17 ч? в 6 ч? в 12 ч?
2) В какое время температура воздуха была —4°? 0е? 2е?
3) В какое время температура воздуха была самой низкой?
Какой?
163
t°C
р
4
Z
j
N
к
/
\
t.
Ч
0
2
4
6
/8
10
12
14
16
18
20
22.
24
ч
-1
-4
-Ь
Рис. 5.52
4) В какое время температура воздуха была самой высокой?
Какой?
5) Когда температура воздуха была ниже нуля? выше нуля?
6) На сколько градусов изменилась температура в проме¬
жутке времени от 16 ч до 22 ч? от 2 ч до 6 ч?
7) В какой промежуток времени температура понижалась?
В какой повышалась?
8) Как изменилась температура в промежутке времени от
6 ч до 14 ч? от 12 ч до 20 ч?
845. Прочти пример 2 и объясни:
1) как построить график движения;
2) для чего можно использовать график движения.
846. Построй график движения по таблице:
Время, ч
0
1
2
3
4
5
Расстояние от пункта
выбытия, км
0
2
4
6
8
10
847. На рисунке 5.53 график движения автомашины.
1) На каком расстоянии от места отправления была авто¬
машина через 1 ч, через 2,5 ч, через 4 ч после начала
движения?
г
V
848.
849.
2) За какое время автомашина проехала 75 км? 100 км?
225 км?
3) Какое расстояние проехала автомашина всего и сколько
потребовалось для этого времени?
На рисунке 5.54 график движения велосипедиста.
1) На каком расстоянии от места отправления был велоси¬
педист через 2 ч, через 3 ч и через 3,5 ч после начала
движения?
2) Через сколько часов велосипедист был на расстоянии
5 км, 15 км, 40 км от места отправления?
3) Какое расстояние проехал велосипедист всего и сколько
потребовалось для этого времени?
4) С какой скоростью ехал велосипедист?
Б.
На рисунке 5.55 два графика температуры. Линия потолще -
график температуры в Москве, линия потоньше - в Петер¬
бурге в тот же день. Определи, пользуясь графиком:
1) в какое время в этих городах термометр показал —4°;
3°; 6°;
Рис. 5.53
Рис. 5.54
165
2) какую температуру показал термометр в каждом городе
в 2 ч; в 6 ч; в 10 ч; в 16 ч;
3) в какой период времени температура воздуха в горо¬
дах была ниже нуля; выше нуля;
4) в какое время температура воздуха в этих городах по¬
низилась; повысилась;
5) в какое время температура воздуха в этих городах
была одинаковой, какой именно;
6) в какой промежуток времени температура воздуха в Мос¬
кве была ниже, чем в Петербурге, в Петербурге ниже, чем
в Москве;
7) какая самая высокая температура была в этих городах;
самая низкая;
8) как изменилась температура воздуха в каждом из горо¬
дов в промежутке времени от 6 ч до 14 ч;
9) какую температуру воздуха показал термометр в Петер¬
бурге, если в Москве он показал 4°.
V
1
I
850. На рисунке 5.56 график движения группы туристов.
1) На каком расстоянии от начала пути были туристы че¬
рез / часов, если / = 1; /=1,5; / = 3; /=3,5; / = 7; / = 9,5?
2) Сколько времени потребовалось туристам, чтобы при¬
быть в пункт назначения, отстоящий на расстоянии s км,
если s = 2; s = 9; s=10; s=16; s=18?
3) Чему равнялась первоначальная скорость туристов и как
долго шли они с этой скоростью?
4) Чему равнялась скорость туристов в течение третьего ча¬
са движения?
5) Через сколько часов после начала движения туристы сде¬
лали первый привал и как долго они отдыхали?
6) С какой скоростью двигались туристы после первого при¬
вала и сколько километров шли они с этой скоростью?
7) С какой скоростью двигались туристы после второго при¬
вала и когда прибыли на место назначения?
8) С какой средней скоростью двигались туристы, то есть
сколько километров в час проходили бы они, если бы не бы¬
ло привалов и скорость на протяжении всего пути была бы
постоянной?
S'KM
167
S,KM
00--
-t
\
/
- \
80--
-t-
\ .
A-
-t-
t:
60-
f
>
f
-V-
40’-
-t
к
20-
i -
:\=
V*
О 12345678
Рис. 5.57
Рис. 5.58
V
к
851. На рисунке 5.57 дан график движения автомобиля за один
рабочий день. Опиши движение автомобиля по образцу пре¬
дыдущей задачи.
852. Составь задачи по графикам движений (рис. 5.58) . Реши их.
853. На рисунке 5.59 графики полета двух самолетов, которые
одновременно вылетели с аэродрома. По рисунку составь
задачи и реши их.
854*. Составь график движения автомобиля ГАИ, предполагая,
что скорость движения автомобиля между остановками по¬
стоянная. При построении графика выполни следующие усло¬
вия:
1) в место отправления машина возвратилась через 8 ч;
2) часовая остановка была на расстоянии 50 км от места
отправления через 2 ч после начала движения;
3) в самую дальнюю точку (100 км) от места отправления
автомобиль прибыл в начале шестого часа. Остановки там не
было;
4) после получасовой езды на обратном пути была сделана
получасовая остановка в 80 км от места отправления;
5) после этого машина воз¬
вратилась в пункт отправ¬
ления. Остановки больше не
было.
169
А С D В Е
—I—•—| 1 I 1*1 и 1 • -г - —I *■
-5 -4 -3 -2 -1 О 1 2 3 4 5
Рис. 5.60
У
А
Ч '
О
О 1
г
о
[
)
А
1 ■
Е
Н
—4
4
а
3
1
?
0
2
3
4
X
G
F
-1'
-2'
-3
В
*
-4
Рис. 5.61
Для самопроверки
855. Какие числа называются противоположными? Приведи при¬
меры противоположных чисел.
856. Что такое модуль числа?
857. Назови два различных отрицательных числа. Определи, ка¬
кое из них меньше.
858. Начерти числовую ось и отметь на ней точки К( — 3,4),
L (1,2), М(— 1), N(3), Р (— 1,5), Я (-2,6).
859. Запиши координаты точек, обозначенных буквами (рис.
5.60), и укажи расстояния от начала отсчета до этих точек.
860. Даны числа: 2,9; —3,7; —5; 2,29; —0,5; —3,4 и 0.
170
1) Расположи их в порядке возрастания.
2) Найди числа, противоположные данным.
3) Найди их модули.
861. Найди все целые числа, при которых равенство — 5 <+<2,4
верно.
862. Чему равняется —Ь, если 6 =—5; Ь = 1,8; Ь=0; 6 = 4,9?
2
863. Вычисли значение выражения |с|+3,2, если c=-g~;
с= — 1,8; с = 0.
864. Вычисли:
1) -(-4.9) 2) -(--g-) 3) 1-4,81+5,4 4)
-( + 15) -( + Нг) 31,6-1-17,91 1-L.|0|
865. Запиши в виде неравенства:
1) — 3,8 — отрицательное число;
2) 7 — положительное число;
3) х не положительное;
4) у не отрицательное.
866. Какие прямые называются пересекающимися? перпендику¬
лярными? параллельными?
867. Начерти: 1) пересекающиеся прямые d и е; 2) парал¬
лельные прямые г и s; 3) перпендикулярные прямые тип.
868. Что называется расстоянием от точки до прямой?
869. Начерти прямую а. По обе стороны этой прямой отметь
точки А и В. Измерь расстояние от этих точек до
прямой а.
870. Как называются координаты точки на плоскости и что они
показывают?
871. Запиши координаты точек А, В, С, D, Е, F, G и Н (рис. 5.61).
872. В какой координатной четверти расположены точки
R (— 30; 1), S (2; -43), Г (10; 10), /7 ( — 9,5; -20)?
873. Начерти систему координат и отрезок, концы которого
точки К(-4; 2) и L(3; —1,5). Отметь на отрезке точки, аб¬
сциссы которых равны —2; —1,4; 0; 1; 2.
874. Начерти систему координат и прямую по двум ее точкам
А (3; 5) и В (— 1; —3). Отметь на прямой точки, ордк
наты которых равны — 1,5; 0; 0,5; 1; 2.
875. На координатной плоскости начерти прямоугольник, верши¬
ны которого А (—2; 2), В(5; 2), С (5; —3) и D (— 2; —3).
/
/
г
/
/
у
1 2 3 4 5 6
Рис. 5.63.
876. Построй график температуры по таблице:
Время, ч
0
1
2
3
4
5
6
7
Температура, °С
0
-2
— 4
-5
-5
-3
0
2
877. На рисунке 5.62 изображен график температуры.
1) Какая температура воздуха была в 1 ч? в 6 ч? в 22 ч?
2) В какое время температура воздуха была —4°? 0°? 2е?
3) В какое время температура была самой низкой? Сколь¬
ко градусов?
4) В какое время температура была самой высокой? Сколь¬
ко градусов?
5) Как изменяется температура в промежутке времени от
6 ч до 16 ч?
878. Построй график движения по таблице:
Время движения, ч
0
1
2
3
4
Расстояние от места
отправления, км
0
15
30
45
60
879. На рисунке 5.63 график движения мотороллера.
1) Какое расстояние проехал мотороллер?
2) Через сколько часов мотороллер находился на расстоянии
20 км, 40 км, 70 км, 100 км от пункта отправления?
3) На каком расстоянии от пункта отправления находился
мотороллер через 1,5 ч, 3 ч после начала движения?
4) На каком километре была остановка и как долго она
продолжалась?
172
6. ДЕЙСТВИЯ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ
ЧИСЛАМИ
6.1. Сложение двух отрицательных чисел
Ты, наверное, знаешь такие игры (например, домино), в кото¬
рых выигравший может получить определенное число (выигран¬
ных) очков, а проигравший — штрафных очков. Если, например,
игрок за одну игру выиграл 3 очка, а за вторую 5 очков, то общее
число выигранных очков находим сложением: 3 + 5 = 8, или можно
записать: (+3)+( + 5)= +8. Если же игрок за одну игру получил
3 штрафных очка, а за вторую 5 штрафных очков, то общее
число штрафных очков находим также сложением. Если выразить
числа штрафных очков отрицательными числами, то получим
(— 3)+( — 5)= —8. Число —8, а также выражение (— 3)+( — 5) —
это сумма чисел —3 и —5 Числа —3 и —5 — слагаемые. Пер¬
вое слагаемое обычно записывают без скобки: —3+( —5).
Пользуясь этим примером, можно сложить два любых отрица¬
тельных числа, например:
Мы видим, что сумма двух отрицательных чисел есть число
отрицательное, модуль которого равен сумме модулей слагаемых.
Значит, чтобы сложить два отрицательных числа, нужно:
1) сложить модули слагаемых;
2) перед полученным числом поставить знак «—».
Сложение отрицательных чисел можно изобразить с помощью
числовой оси (рис. 6.1).
— 6 + ( —5)= —11, — 1+(—15)= —16,
— 47+(— 3,2)= —50,2,
-Б
-2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 О
-2 + (-5) = -7
Рис. 6.1
173
А.
880. Прочти текст параграфа и объясни, как найти сумму
— 8 + (—19). Сформулируй правило сложения двух отрица¬
тельных чисел.
881. Сложение каких чисел изображено на рисунке 6.2?
882. Вычисли (устно) окончательный результат игры, если за
две партии получены:
1) —5 очков и —2 очка, 2) —3 очка и —7 очков,
— 3 очка и —1 очко, —6 очков и —9 очков,
— 1 очко и —7 очков; — 10 очков и — 1 очко.
Каким действием ты нашел ответы?
883. В приведенных ниже примерах уменьшение температуры
выражено отрицательным числом. Определи (устно), как
изменилась температура в результате двух изменений:
1) —6° и —5°; 2) —5° и -6°; 3) -Ги-1°;4) -14°
и -2°; 5) —3° и -9°; 6) —13° и —4°; 7) -7° и -12°;
8) -5° и —13°.
Каким действием ты нашел ответы?
884. Вычисли (устно):
1) — 10 + (— 20) 2) — 17+(— 13) 3) —200+( — 300)
— 30+( — 50) -21 +(-12) —350 + (— 140)
— 10 + ( — 90) — 39 + (— 11) — 900+(— 100)
885. Вычисли:
1) —32,7+(— 11,4)
— 100,01 +(—238,1)
— 3005 + (— 2937)
-675+(-67,5)
3) -0,78+ (—1,96)
— 5,9+(—67)
— 0,08+ (— 0,28)
— 7,42+ (— 0,88)
-6 -5 -4 -3 -2-1 о 1
О
■ ' ■ I I 1 1 'г
-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5
2) -98,7+ (-56,09)
-12,32+ (-29,8)
— 400+ ( — 57,9)
— 82 + (— 99)
4) -3,07+(-1,03)
-11,1+(-11,1)
— 3,49+( — 0,51)
— 12,9 + (— 1,99)
174
Г886. Вычисли:
» -!+(-!-) 2> -Н-т) з) -++(-i)
-2т+(-т) -++(-+) -5т+(-Нг)
' Ч+-4-) -*+(--§-) -ft-(-f)
Я 887. Вычисли значение выражения —1,6+( —я), если п=4;
п= 15,7; п = 1
■
888. Вычисли:
,) — 3 -^-+(—0,85) 2)-0,75 + (-l-g-) 3) 0,6+ ( 4 )
I -4-1-+(-2,5) —2 ~—(-(— 3,8) —6,15+( —2 )
| -0,1+( — 3-^) _1-1+(_2.2) -3-§-+(-0,4)
3 5
889. К сумме чисел — 8— и —2— прибавь число, противопо-
I
ложное числу 1
890. Вычисли значение выражения
-т + (— п), если: 1) т = 275
и п = 86; 2) т=0,47 и п= 1,03; 3) т = — и
4) т= — 1,1 и п =—4,7.
6.2. Сложение двух чисел с разными знаками
Допустим, что игрок получил за одну партию игры 5 штраф¬
ных очков, а за вторую партию 5 выигрышных очков. В этом
случае ни то ни другое число не имеет перевеса и в итоге результат
игры равен нулю. Запишем: —5+5 = 0 (рис. 6.3.). Таким же
образом получим, например: —10+10=0, 7+( —7)=0 и т. д.
Вообще сумма двух противоположных чисел равна нулю.
+5
-5
_1_
-5 -4 -3 -2
-5+ 5=0
И ' 2
Рис. 6.3
175
1
+7
1 iii I i —i _L.
-5 -4 -3 -2-1 0 1 |~2~]
-5 + 7 = 2
Рис. 6.4
-7
—/
1 +Б
—1
1 1 1 1 1 1
-3 £2] -1 0 1 2 3 4 5
5+1-7) =-2
Рис. 6.5
Рассмотрим теперь сложение двух чисел с разными знаками,
модули которых не равны. Допустим, что игрок получил за одну
партию 5 штрафных, а за вторую 7 выигрышных очков. Так как
число выигрышных очков имеет над числом штрафных очков
перевес в 2 очка, то в результате двух партий игрок имеет
2 выигрышных очка. Запишем: —5 + 7 = 2 (рис. 6.4). Если
же игрок получил за одну партию 5 выигрышных, а за вторую
7 штрафных очков, то в итоге он имеет 2 штрафных очка. Запи¬
шем: 5+( — 7)=—2 (рис. 6.5).
Пользуясь этим примером, можно сложить любые два числа
с разными знаками, модули которых не равны, например:
-50 + 40= —10,
25+( — 5)=20,
— 0,2+ 0,3 = 0,1,
8+( — 9)= — 1.
Мы видим, что сумма таких чисел может быть как положитель¬
ной, так и отрицательной. От чего зависит знак суммы? Очевидно,
знак суммы совпадает со знаком того слагаемого, модуль которо¬
го больше. Но чтобы найти модуль суммы, нужно из большего
модуля вычесть меньший. Итак, чтобы сложить два числа с раз¬
ными знаками, модули которых не равны, нужно:
1) из большего модуля вычесть меньший модуль;
2) перед полученным числом поставить знак того слагаемого,
модуль которого больше.
176
Если одно из слагаемых равно нулю, то сумма равна друго¬
му слагаемому. Например, 0+( —5)=—5; —7,8 + 0=—7,8.
891. Объясни, как вычислить сумму: 1) —9 + 6; 2) 4+ ( — 4);
Проверь по тексту, помнишь ли ты правило сложения
двух чисел с разными знаками, модули которых не равны.
От чего зависит знак суммы?
892. Сложение каких чисел изображено на рисунке 6.6?
893. Вычисли окончательный результат игры, если за две партии
получены:
1) —3 очка и +2 очка, 2) —2 очка и +2 очка.
А.
3) -8 + 0; 4) 7 + (— 1).
+ 5 очков и —3 очка, 0 очков и —4 очка,
— 7 очков и +5 очков; +8 очков и —2 очка.
Запишите решение в виде суммы чисел.
894. Вычисли (устно):
1) —20+60 2)
— 100 + 500
620+(-700)
-400 + 800
Ю+(-10)
-30+(—18)
-100 + 0
20+(—8)
30+(-50)
3) 27 + (— 19) 4)
—32+18
-18+18
895. Вычисли:
3) -0.07+(-1,23)
5,64+(-12,8)
-2,19 + 7,06
1) 37,5+28,1
427.5+(— 11,9)
— 32.9+1 —100,1;
2) —19,2+(—3,3)
— 11,3+(— 111,49)
15 067 + (— 11 069)
4) 3,92+(-1,92)
— 1,47+1,48
0.75+ (-1,87)
-4 -3 -2 -1 О
2 3 4
-30 -20 -10 О Ю 20 30 40 50
Рис. 6.6
177
896.
Вычисли:
1 . 5
i)
2> *+(-■£)
4+4)
-т+(-т)
3)
'+(-4-)
<> 2т+(-3т)
-+-'т)
-44 *+к-т)
897. Вычисли значение выражения а+( —3,5), если а = 0,84;
а=7,3; а=— 4,7; а=2 4~.
О
Б.
898. Как изменится число, если к нему прибавить: 1) положитель¬
ное число; 2) отрицательное число?
899. Каким знаком « + » или «—» нужно заменить звездочки,
чтобы равенства были верными:
1) (*10)+(*5) = —5 2) (*5)-Н*5)=0
(*30)+(*10)=40 (*10) + (*10)= —20
(*8)+(*9)= 1 (*10)+(*10)=20
Какие из неравенств (равенств) верные, какие нет (объяс¬
ни почему):
900.
1) 200 + ( —50)>0
6,78+(— 19,2)<0
12,6+(-12,6)=0
3) —20+ 10 < — 20
10+( — 20)< 10
— 19 + ( — 19)< — 19
2) — 57 + 87 < 0
15,7 + 0 > 0
—7+0=0
4) -370+ 500 <500
425+( — 275)<0
— 3,95+ 1,25<0
901. Вычисли:
1) -^-+2,6
-1-5-+(-0.26)
2.05 + (-3-§-)
2) -0.25 + (-А)
2’8,+(-‘ >1)
3) -g-+(—0,5)
ш+(-3’4)
-~+U2
178
г,
I
902. Вычисли значение выражения лс + у, если: 1) х= —125
1 и у = 37; 2) х= —23,6 и у = —0,94; 3) х=4и у = — I-i-.
903. К сумме чисел 1,25 и —1 -j- прибавь число, обратное чис-
. 1
лу 1 т.
904. При каком условии будут верны равенства:
1) — Ь + а=— Ь\ 2) —а + ( — Ь)=—а; 3) а + Ь = а?
905. Может ли сумма а-\-Ь быть меньше а? (Приведи примеры.)
906. Какие из следующих неравенств, где а<0, верные, какие
нет (объясни почему):
1) 2 + а>2 2) a+ 5,3<5,3 3) a + a>0
— 3 + a<—3 —7+a>0 a+a<a.
907. Какие из следующих неравенств, где a>0, верные, какие
нет (объясни почему):
1) — 7 + а> —7 2) а + 4<0 3) а+(-а)>0
а + (— 1,8)< — 1,8 а + (—^-)> —-а + (-а)<0
908. Найди сумму, слагаемыми которой являются число обрат¬
ное и число, противоположное числу 3,5.
909. Определи сумму, слагаемыми которой являются наибольшее
целое отрицательное четырехзначное число и наименьшее
целое положительное трехзначное число.
Для повторения
910. Вычисли (устно):
1) 47 + 86 + 53 2) 4,8 + 2,6 + 3,4 3) -L+3-i-+J-
1
184+16+125 0,75+1,99 + 0,25 2
373+189+111 3,2 + 0,8 + 5,7 3 ~+ -jj-+ 2 -|-
911. Велосипедист проехал 47,5 км и еще 1 -у- ч со скоростью
v Сколько километров проехал велосипедист? Составь
выражение и вычисли, если 1) о =12; 2) ц = 21,3.
|д 179
912. Реши уравнение:
1) у + 793 = 8100 2) 0,795+а = 1,1 3) 3-i-+*=4-i-
4361 + л:=6083 с + 6,9= 14,05 19 17
6756 + 7=9478 1,001+*=1,111 г+27 = 1ё
S+ii=23
' 16 24
913. Вычисли (устно):
1) 10% от 80, 2) 20% от 150, 3) 40% от 220,
18% от 500, 15% от 70, 6% от 30,
-у- от 24; -5- от 40; от 35.
914. Найди число (устно):
1) 10% которого равны 20; 2) 40% которого равны 20
3) 5% которого равны 10; 4) 37% которого равны 37
5) 31% которого равен 93; 6) 12% которого равны 36
I 2
7) — которого равна 3; 8) — которого равны 14;
9) — которого равны 45; 10) 0,7 которого равны 2,8.
915. Вычисли (устно), сколько процентов составляет одно число
от другого:
1) 6 от 12, 2) 40 от 20, 3) 70 от 700, 4) 0,3 от 10,
5 от 30, 9 от 45, 50 от 10, 0,8 от 4,
5 от 25; 6 от 30; 10 от 8; 0,5 от 0,8.
916. Яйца в среднем содержат 12,5% белков и 12% жиров.
Сколько граммов белков и жиров содержится в десяти
яйцах, если одно яйцо весит 60 г?
917. Чтобы проехать расстояние из одного города в другой,
автомобиль израсходовал 25 л бензина, а мотоцикл 8,4 л.
На сколько процентов расход бензина у мотоцикла меньше,
чем у автомобиля?
918. Бригада выполнила план на 110%, изготовив при этом
66 деталей. Сколько деталей нужно изготовить по плану?
919. Цена товара до двух снижений была 18 р. Первый раз цену
товара снизили на 15%, а второй — на 12%. Поставь разум¬
ные вопросы и реши задачу.
920. Длина первой окружности 43,96 дм, а диаметр второй окруж¬
ности 12 дм. На сколько площадь первого круга меньше
(больше) второго?
180
6.3. Законы сложения.
Сложение нескольких чисел
Сложение рациональных (см. § 5.3). как и сложение нату¬
ральных, чисел подчиняется переместительному и сочетательному
законам. Значит, если а, b и с — любые рациональ¬
ные числа, то:
о. + b — b + а
(а + Ь)-\-с = а-\-(Ь + с)
Сформулируй эти законы!
Пример 1. — 5+( — 7)= — 12, а также — 7 + ( — 5)= — 12.
Пример 2. (7 + (-8))+(- 10)= - 1 +(- 10)= - 11, а так¬
же 7+((-8) + (-10))=7+(-18)=-11.
Переместительный и сочетательный законы позволяют груп¬
пировать слагаемые в сумме нескольких чисел так, чтобы вы¬
числения стали как можно проще.
Пример 3. Вычислим сумму
-9 + (-5)+10 + (-3) + (-7) + 9 + (-8)+1+2.
Во-первых, заметим, что в сумме имеются два противополож¬
ных числа: 9 и —9, сумма которых равна 0. Их можно зачерк¬
нуть. Далее сгруппируем числа с одинаковыми знаками.
Получим:
-0 + (-5)+1О + (-ЗЖ-7)+9 + (-8)+1+2 =
=(-5)+(-3)+(-7) + (-8)+(10+1+2)=-23+13=-10
А.
921. Вычисли (устно), используя законы сложения:
1) (27+19)+И 2) — 14 + ( —6+ 19)
— 17+(— 12)+( — 8) 15 + 25 + (—8)
— 1,2 + (4,9 + 5,2) —6,8 + ( — 3,7)+(— 1,3)
(-т+4 )+(--§-) -ИЖ)+(Ж
922. Рассмотри пример 3 и объясни, как проще вычислить сумму
— 5 + ( — 2) + 5+( — 4)+3
923. Вычисли (устно):
1) —3+( — 8)+3 2) —2 + 6+( — 3)+2
17 + ( — 6)+(— 17) 19+(— 15)+(— 15)+(— 19)
— 0,8+ (— 4,9)+0,8 —2,4 + ( — 0,6)+ 1,3+ 1,7
1Г+(-т)+(-т) т+(_т)+(_т)+(~г)
181
924. Вычисли значение выражения:
1) -9+(—10)+20+(—1)+1;
2) 2 + 5 + (-7)+(-8)+9+(-1);
3) -3 + 8 + (-1) + (-4) + 5 + 3;
4) -2+6+(-4)+7+(-2)+5;
5) Ю+(-8)+2 + (-9)+(-3) + 8.
925. Вычисли значение выражения:
1) 20+(-30)+(-7)+4 + (-3);
2) -48 + 52 + (-36)+(-16)+Ю8;
3) -60+(—20)+41+(-10)+69;
4) 64+(-45)+16 + (-47)+12.
926. Вычисли значение выражения:
1) -34,03 +(-52,07) +86,1;
2) 327,05+( — 456,3) +198,97;
3) 1569,75 + (—569,76)+(— 11);
4) 16.9+С —42) + (— 11,02);
6) з+(-1 -!-)+(-j
927. Вычисли значения выражения a + ft + c, если: 1) а= — 24,
Ь = 7 и с = — 16; 2) a=0,9, b= — 1,4 и с=0,6.
Б.
928. Вычисли значение выражения:
1) 5,95+(— 7,64)+ 4,08+(— 1,36)+(— 2,18);
2) —8,24+ (— 3,16)+7 + ( — 0,6)+(— 15,94)+8,26;
3) -2+Ьт+(-5-)+'тг;
4) —4.1 +(-2-^ ) + 7-i-+( —0,6).
929. Упрости выражение и вычисли его значение, если т= — 3;
т=5:
1) /л + (— 1,9)+3,2 + (— 1,4 + 5,4);
2) — 1,5 + (т + ( — 4,2))+3,8 + ( — 3);
3) 19,8 + (— 5,6) + (//г+(— 12,8));
4) (т + 20)+(—10,5)+12,9.
930. Даны числа 10; —3; 2,3; —5,6; —4 и 7,9. Определи:
1) число, противоположное сумме этих чисел; 2) сумму чи¬
сел, противоположных данным числам; 3) сумму модулей
этих чисел; 4) модуль суммы этих чисел.
182
931*. При каком условии равенство *+y + z + / = 0 верно, если
х и у — противоположные числа?
6.4. Вычитание
Вычитание — это действие, с помощью которого по заданной
сумме двух слагаемых и одному из них находим другое слагаемое.
Вычесть из числа а число b — значит найти такое число х, чтобы
*+& = а. Покажем теперь, что вычитание рациональных чисел
выполнимо всегда, даже в том случае, когда уменьшаемое меньше
вычитаемого.
Рассмотрим, например, уравнение *+5=2, откуда
*=2-5. (1)
Пока мы не можем выполнить это вычитание. Но сейчас на¬
учимся. В дальнейшем мы узнаем, что к обеим частям уравнения
можно прибавить одно и то же число. Прибавим к обеим частям
данного уравнения число, противоположное вычитаемому, то
есть число —5. Получим:
(х+5)+(-5)=2+(-5).
Применяя в левой части полученного равенства сочетатель¬
ный закон сложения и учитывая, что сумма двух противополож¬
ных чисел равна нулю, получим:
*+(5+(-5))=2 + (-5).
*+0 = 2+(— 5),
* = 2 + (-5), (2)
*= —3.
Проверка показывает, что число —3 является корнем
уравнения * + 5 = 2. Действительно, —3+5=2.
Итак, из равенств (1) и (2) запишем:
2 —5 = 2+( —5).
Рассуждая аналогично, получим, например:
7 — 10=7+(— 10)=—3, проверка: —3+10=7;
0 —2 = 0+( — 2)= —2, проверка: —2 + 2 = 0;
— 9 — 5= — 9 + ( — 5)= — 14, проверка: —14 + 5=—9;
7—(— 1)=7+ 1 =8, проверка: 8 + (— 1 )=7;
— 3—(— 5)=—3 + 5 = 2, проверка: 2 + ( — 5)=— 3.
183
Мы видим, что вычитание рациональных чисел заменяется
сложением. А именно: чтобы из одного числа вычесть другое
число, нужно к уменьшаемому прибавить число, противополож¬
ное вычитаемому,
В буквенном виде (а и b — любые рациональные числа):
Так как любое рациональное число имеет противоположное
ему число, то вычитание выполнимо всегда.
Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность поло¬
жительна. Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, то раз¬
ность отрицательна. Разность будет равной нулю, если умень¬
шаемое и вычитаемое равны
932. Прочти текст параграфа, продумай примеры и скажи:
1) каким действием заменяется вычитание (что при этом
нужно помнить) ;
2) когда разность двух чисел положительная; отрицатель¬
ная; равна нулю.
933. Вычисли (устно), заменяя вычитание сложением:
А.
1) 3-2 2) 20-8 3) — 8 — (— 5) 4) 5-8
0-8 7-12 3 —( —7) —5—( — 8)
2-3 11-11 -10-2 -2-9
19-10 —5—(— 1) -3-0 10—( — 5)
934. Вычисли:
1) -4589-5001 2) -56,7-12,9 3) —| 1-
о 4
3 1_
8 4
625-1300 32,5-(-19,9)
423—(—196) 63,7 — 92,7
98—(-719) -356,8-11,49 ~—-~
56—(— 189) —11,2 — 4,81 ^—-5-
7 2
_3 5
4 6
935. Уменьши каждое из данных чисел на 10:
25; 15; 10; 7; 0; -10; -12; 12; -1; 1.
936. Увеличь каждое из данных чисел на 10:
0; 5; -2; -1; 10; -10; -15; 3; -21; 1
184
937. Вычисли разности а—ft и ft— а, если:
1) а =—37 и ft = 42; 2) а = —0,89 и ft = ll,5;
3) а= —330 и ft = 280; 4) а = 560 и ft = — 310.
938. Ha сколько градусов понизилась (повысилась) температу¬
ра, если показания термометра изменились:
1) от 0° до 5°; 2) от 0° до —5°; 3) от 3° до 8°;
4) от 14° до 11°; 5) от —2° до 3°; 6) от —5° до 10°;
7) от —10° до —2°; 8) от 4° до —5°; 9) от 6° до —4°.
939. Реши уравнение и проверь его корень:
1) * + 74=131; 2) 2,5 + и = 0,7; 3) -8,7+у = 5,19.
Б.
940. Вычисли (устно):
о -4—4- 2> та-тг
-Н-т) -4-(-т)
Ч-.4 Ч-и*
3> ~Е Г 4> -Т-Т
~То + 1о т~(_т)
-i-(-i)
—— 1 —
6 6
941. Вычисли:
1) 2^-3f 2) 3| -S±+±
3,08-5 f -1,1+34- 4,05 —( 2 -|-)
— 1.8 + 2 5-1—(—4,4) 7.25-3§
942. Какое из следующих неравенств (равенств) верное, ес¬
ли а>0:
1) 3 —а<3 2) —а<0 3) а + а=0
5,6—а <5,6 т — а>т — а+а=0
— 4,7 —а>—4,7 b — a<Zb а + а<0
943. Объясни на примерах, чем отличаются разности а — ft и ft — а.
944. Вычти из наименьшего однозначного целого числа наиболь¬
шее двузначное целое число.
945. Самая низкая температура, измеренная на поверхности Зем-
185
ли, —89,2 °С. Это на 70,8 °С выше самой низкой температу¬
ры на поверхности Луны. В лабораторных условиях получи¬
ли температуру, которая ниже температуры Луны на
113,14 °С. Поставь вопросы к задаче и реши ее.
6.5. Выражения, содержащие сложение
и вычитание
Выражение
2+( 5)—(— 7)+( 3)—9
содержит действия сложения и вычитания. Ты уже знаешь, что
вычитание рациональных чисел можно заменить сложением.
Значит, получим сумму:
2+(-5)-(-7)+(-3)-9 = 2 + (-5) + 7 + (-3) + (-9).
В такой сумме можно отбросить скобки и знаки « + » перед
отрицательными слагаемыми:
2+(-5) + 7+(-3)+(-9)=2-5 + 7-3-9.
Выражение 2 — 5 + 7 — 3 — 9 будем теперь понимать как сумму
чисел 2, —5, 7, —3 и —9. Чтобы вычислить эту сумму, целесо¬
образно слагаемые сгруппировать так, чтобы в одной группе
были все отрицательные, а в другой все положительные слагае¬
мые. Получим:
2-5 + 7 —3—9 = 2 + 7-5-3—9=^ — 5 —3-$=-8.
Таким же образом вычислим значение выражения:
— 25+ ( — 30)— 10 —(— 15)+(— 50) + 100 =
= —25 — 30—10+15 — 50+100= —115+115 = 0.
А.
946. Рассмотри примеры из текста и объясни, как проще вы¬
числить значение выражения
— 8+( — 3)+8 — (—4)— 1+6.
947. Упрости выражение (чтобы не было в нем скобок) и вычис¬
ли его значение:
1) —(—4)+( — 3) 2) —7 + ( — 5) 3) —И—(—14)
— 6—(— 4) 15—(— 15) — 20 + (— 30)
5 — (— 8) -Ю-(-Ю) —( —35)+( —5)
186
I
948. Вычисли (устно):
1) -3 + 2—(—1) 2) 2—( —3)+3 3) -5-6-3
— 4—( — 5)—5 7 + (— 6) — 7 4-2 + 3
1 —(— 1) + 2 0 —( —3) + (—5) 6 + 7-15
О—( —7) + 6 4+( — 8) + 4 -3+10—6
949. Вычисли (устно):
1) —3+7 — 5 — 6 + 8 2) -2-8-10-4 + 3 + 20
-4 + 5-10-11 + 12 30-35+5-6+7+10
6-9 + 2-3+10 -25+19-4-6-2 + 3
— 5 — 6 — 4 + 5+10 —50 — 45 + 85—10+1+4
950. Вычисли:
1) — 786 — 94—(— 164);
2) —0,17—(— 1,2) — 5,43;
3) 16,98 + (— 9,45) - (- 1,03);
4) — 5,7 — (— 2,8)+(— 9,4);
5) 2569-10 456-275 324;
6) 3 456 079 - 5 645 020 + 342 600;
7) 56,2 — 72,4 + 4,3;
8) 1567,302 - 2375,43 + 500,2 + 307,928;
9) 19,02-23,93 + 5,62-0,81;
10) 0,307 — 0,009 + 0,998 — 0,427.
951. Вычисли значение выражения 5 — г + /, если: 1) s — 7,
г= — 10 и /= — 20; 2) s = —0,3, г = 0,55 и /=1,1.
952. Реши уравнение:
1) * + 36= — 15 2) 693 —*=749 3) z-421 = 168
0,84+у = 2,6 —8,49 — а = 3,19 *-5,7= — 4,3
— 7,2 + а = 3,4 43,6 —у = —5 у-0,63=-1,8
Б.
953. Вычисли значение выражения:
1) 6 — (—(— 7)+( — 3)) ( ( 5)— 1 —( 8));
2) — 4 — (— 2) — (— 5 — (— 7) + ( 3) ( 8));
3) — 3,28 + (— 5,62)—(—9)—3,8 + 0,49;
4) -17,6 — 2,12 + 4,32-5,64 + 0,7.
954. Вычисли:
') т-т+'т-'+ь2’
2) 4-Г-34-4+И+-+
3) 13-I ^-2.85 + 64—2 +.
187
955. Вычисли значение выражения т-\-п — k — р, если:
1) т— —2, п = 3, k = 7, р = 5;
2) т = 0,5, п =—0,6, /г=—0,2, р = 0,6;
3) m=±n=-^,k=^,p=-0J.
956. Из числа —5 вычти сумму чисел 7, —5, —6 и 2, затем
с числом —5 сложи сумму чисел, противоположных данным.
957. Заполни таблицу:
а
Ъ
|а — Ь\
\Ь — а\
\a\-\b\
1Ы — |о!
-10
-8
20
70
-50
10
10
-30
958. Какое из следующих неравенств (равенств) верное, ес¬
ли а<0:
1) 5 —а<5 2) —а<0 3) а+а=0
— 4—а<—4 с —а>с —а + а = 0
8—а< 8 ь—{ — а)<Ь _а_|_(_а)<о
^ + х + а>х а—( —а)=0
959. Упрости выражение:
1) а + 5 —7 —а + 9 2) а + Ь — 5 — b + 7-a
— х — 10 + х—20 — 20 8 — 10 + т — п — т + п
с—8—3+2—с х—у+5—4—х+у
960. Реши уравнение:
1) * + 7—10=12 2) 30—т + 7 —9= —5
8—* + 4=10 п — 5 + 6—10 = 0
5 —6—* = 20 —6 + 8—10 —*=—3
961*. Точка с координатой —3 движется по числовой оси сле¬
дующим образом: вначале 5 единиц в положительном направ¬
лении, затем 7 единиц в отрицательном, снова 10 единиц
в положительном и 8 единиц в отрицательном, затем 3
единицы в отрицательном и, наконец, 13 единиц в положи¬
тельном направлении. Определи конечное положение точки
на числовой оси.
188
6.6. Расстояние между двумя точками
координатной оси
Рассмотрим, например, модуль разности 2—(—4) и
модуль разности —4 — 2 (в этих выражениях уменьшаемое
и вычитаемое поменялись местами). Видим, что модули этих
выражений равны. Действительно,
12—(—4)1 = |6|=6 и |-4-2| = |-6|=6.
Если изобразить уменьшаемое и вычитаемое на координат¬
ной оси (рис. 6.7), то увидим, что модуль данных разностей
будет равен расстоянию между соответствующими точками, то
есть АВ = 6 единиц. Значит, если поменять местами уменьша¬
емое и вычитаемое, то модуль разности не изменится. Он равен
расстоянию между двумя точками координатной оси (координата
одной точки — уменьшаемое, а другой — вычитаемое). Итак,
если координата одной точки а, другой b (их последовательность
несущественна) и расстояние d, то
й=\а — Ь\.
А.
962. Прочти текст параграфа и объясни, как вычислить рас¬
стояние между точками С (5) и D (— 3).
963. Вычисли (устно) расстояние между двумя точками А и В:
1) А (0), В (1); 2) А (2), В (5);
3) А (-10), В(1); 4) А (0), В (— 3);
5) А (-5), В (-10); 6) А (3), (В-3).
964. Вычисли расстояние между двумя точками числовой оси:
1) А (-3,5), В (1,4); 2) К (4,3), В (1,8);
3) С (-2,9), D (— 5); 4) F (0), С(-5,4);
5) А (-9,1), В (-4,9); 6) Р (—0,7), Я (2.3).
Б.
965. Начерти числовую ось, отметь на ней точку А ( — 2) и отре-
зок АВ, длина которого 4 единицы. Сколько таких возмож¬
ностей?
966. На числовой оси отмечены точка L(l) и отрезок KL, длина
которого 6 единиц. Определи расположение точки К на
числовой оси.
967. На координатной плоскости начерти прямоугольник ABCD
по его вершинам: Л ( — 4; 3), Б (1; 3), С (1; —4) и D ( — 4; —4).
Вычисли площадь и периметр прямоугольника.
968. Вычисли площадь и периметр квадрата, если концы одной
стороны его: 1) А (0; 0) и В (3; 0); 2) А ( — 2; — 1) и В ( — 2; 4).
969. Вычисли периметр и площадь прямоугольника, если
известны три его вершины: А( — 3; 2), В (4; 2) и С(4; —1).
970. Коля начертил план своего дома (KLMN) и сада (ABCDEF)
на координатной плоскости (рис. 6.8). По этому плану Коля
сделал много вычислений. Сделай и ты.
Для повторения
Вычисли
(устно):
1) f 15
2) ±:3
2-5-
4: —
6
9
7 4
2 . 2
8 ‘ 5
5 ' 3
3) 0,7-0,06
100-0,271
95-0,1
4) 43:1000
93,6:3
0,7:0,01
190
972. Вычисли:
1) 6-2-L 2) 6-g-:-|- 3) 0,824-3,25 4) 13,72:2,45
ю 7 4 3 4,75-0,032 52,8:0,22
TT'lls 2Т:~й 172-3,15 5,928:0,039
3J-.4A JL;1 _!_
4 8 6 24
973. Вычисли значение выражения:
1) 6,6-23,5+1,1-237; 2) 22,22:55-0,06-0,335;
3> (r+f):(i-i-> 4> 5(44--3.6):2-!-;
5. »'75(т+2'ш) 3.4+0,25
; 6>тг ■
2 7 т—2-0,25
3 12
28
974. Одна сторона треугольника 6,3 см, вторая п см, а третья
на 3,5 см длинее второй. Составь выражение для вычисления
периметра треугольника. Вычисли периметр, если:
1) м = 4,3, 2) л = 6,3.
975. Заполни таблицу:
X
— 2
—0,5
1
2
4
У = х— 1
Отметь на координатной плоскости точки, координатами ко¬
торых будут соответствующие значения х и у.
976*. Длина парка прямоугольной формы на 400 м больше его
ширины, причем отношение длины и ширины равно отноше¬
нию 5:3. Сколько времени потребуется пешеходу, что¬
бы обойти парк, если его скорость 2 ?
6.7. Умножение двух чисел
Правила действий с рациональными числами формулируются
таким образом, чтобы известные законы действий для положи¬
тельных чисел остались в силе (при сложении мы уже убеди¬
лись в этом). При умножении рациональных чисел изученные
законы будут верны, если мы будем руководствоваться сле¬
дующим:
191
1. Произведение двух отрицательных чисел есть число по¬
ложительное, модуль которого равен произведению модулей
множителей.
Пример 1. 1) (— 2)-(—3)=2-3 = 6;
2) (— 4)-(— 0,3) = 4-0,3 = 1,2;
oj / 3 W 2 \_ 3 2 3-2 _ 1
3) (_7Т {-Т)-~ГТ-ТЪ -Т-
2. Произведение двух чисел с разными знаками есть число
отрицательное, модуль которого равен произведению модулей
множителей.
П р и м е р 2. 1) (— 5) • 2 = — (5 • 2) = — 10;
2) 0,2-(- 1,3)= -(0,2-1,3)= -0,26;
,, / 5 \ 3 / 5 3 \_ 5-3 _ 1
' \ 6 )' 10 — V 6 ' 10 ) 6-10 4 '
Итак, нужно запомнить, что произведение двух отрицатель¬
ных чисел всегда положительно, а произведение двух чисел с
разными знаками отрицательно.
3. Если хотя бы один из множителей равен нулю, то и про¬
изведение равно нулю. Обратно: если произведение равно нулю,
то хотя бы один из множителей равен нулю.
Пример 3. 1) (— 3,4)-0 = 0; 2) 0-(— 7)=0;
3) если ( — 5)-(я+ 2)=0, то обязательно х + 2 = 0, и, следова¬
тельно, х= —2.
Отрицательный множитель, стоящий на первом месте, запи¬
сывать в скобках необязательно. Например, произведение (— 3)-4
то же самое, что и —3-4, то есть (— 3)-4 =—3-4= —12.
Таким же образом, например, можно записать: (— 5)-(— 6)=
= — 5-( — 6)=30.
А.
977. Проверь по тексту, помнишь ли ты:
1) как найти произведение двух отрицательных чисел;
2) как найти произведение двух чисел с разными знаками;
3) при каком условии произведение равно нулю.
Приведи примеры.
978. Какой знак =, < или > нужно поставить вместо звез¬
дочки (ответ поясни):
1) -9,8-5 *0; 2) -9,6-(-4)*0; 3) -27-0*0;
4) _5.(_7)*0; 5) 5,8-4,7 * 0; 6) 0-(-6)*0?
192
I
979. Вычисли (устно):
1) 7-8 2) -5-6
7-(—8) 8-(—5)
—7-8 0-(-3)
980. Вычисли (устно):
'>44
4(4)
4(4)
<> 4(4)
3) 0,3-(-0,2)
-4-0,5
1,2-(— 100)
4)
2) —f
3_ _3_
7 ’ 5
1 3
2 ' 8
3)
-0,01-8,5
0,7-( — 3)
— 6-( —0,4)
-3-i
i-(-i)
3)
5) f-(
12
_L\
10 V 4 )
—L-I-L
4 5
—§-(-2)
<*■(4)
6)
-4(4)
-■Н-
981. Вычисли:
1) 27•(—6)
— 67 •(— 15)
— 15-0,87
4) —• 1 —
> 2 3
2) —5-(—62)
169-243
-16,9-3,02
3) 42-(—10)
32,5-(-4,3)
-1,01-(-0,02)
5)
-4(4)
4(4)
■4(4)
4(4)
6) 4Нт)
-4(-4)
_5_ _7_
14 * 15
_7_ _4_
16' 21
982. Вычисли значение выражения
у = 0,75; у =—3,92.
983. Заполни таблицу:
— 18у, если у = 1; у= — 1,2;
а
4
-4
3
8
2
5
—0,5
4
5 а
984. Вычисли:
1) —4-( — 3,2+ 5,7)
(-0,8-0,12)-5
2) —2,8-(— 15)+4,2 •( — 3,5)
— 0,7 • 180—8,4-3,6
НК-4—пг) 4(4)-4(4)
193
985. Вычисли значение выражения —4,5(5 — х), если х=—2;
х= 1; х——0,6; х = 7,4.
Б.
986. Вычисли:
■> ■&(-§) 2> ~'wm 3>
— 2-^-1,5 —6-7—(— 2,8) —1-24,6
15 4 о
— 3-|-(—1,08) -5,6-2-g- —0.01)
987. Представь каждое из чисел —6; —8; 9; 10; —0,5; —1,2 и
— 1 в виде произведения двух множителей, один из кото¬
рых равен —1.
988. Представь каждое из чисел 1, 4, 9, 25, 36 и 100 в виде
произведения двух равных множителей. Сколько имеется
возможностей?
989. Представь каждое из чисел —1, —9, —16, —36 и —100
в виде произведения двух противоположных чисел.
990. Вычисли:
1) 5+2.(-0,3)+0,3-1,2.(-^-);
2) 8-4.(-2-i-) + 0,6+l,8.(—i-);
3) 1+(4,24 - 1,2 .(-1-§-))•(-10);
4) _4.(-li--L.(-6)-4ij);
5) ((-0.5-A).(-i-)).(4-+^.(-0.5)).
911. Вычисли значение выражения 2х—3у, если:
1) х= — 5 и у= —2; 2) и у=-^-; 3) х= — 1,8 и
5
у~ 12 ‘
992. При каких значениях а и b будут верны неравенства:
I) аЬ>0; 2) аЬ<0; 3) аЬ = 0; 4) 0; 5) ab^0?
993*. Реши уравнение:
1) 3 (х — 7)=0 2) 0,9(3,2 + z)=0
-3(jc + 7) = 0 (t — 5)-5 = 0
(х-2) (х — 1) = 0 U+2) (t— 1)=0
194
6.8. Переместительный и сочетательный
законы умножения
Если среди множителей имеются отрицательные числа, то умно¬
жение этих чисел, как мы видели, сводится к умножению их
модулей. Но модули — числа положительные. Значит, для рацио¬
нальных чисел остаются в силе переместительный и сочетатель¬
ный законы умножения. Итак, если а, b и с — любые рацио¬
нальные числа, то
ab = ba
(■ab)-c = a(bc)
Вспомни и сформулируй эти законы!
Переместительный и сочетательный законы позволяют в про¬
изведении нескольких чисел сгруппировать множители в любом
порядке. Например:
-Ь <-3)-(-iH=(--H-H-3-i)= ^-1 ■■(- D-1.
Произведение нескольких чисел, отличных от нуля — число
отрицательное, если число отрицательных множителей нечетное.
Если число отрицательных множителей четное, то произведе¬
ние — число положительное. Произведение равно нулю, если
хотя бы один из множителей равен нулю.
А.
994. Прочти текст и покажи на примерах:
1) использование переместительного закона умножения;
2) использование сочетательного закона умножения.
3) каким образом зависит знак произведения нескольких
множителей от знаков множителей?
995. Какой знак (« + » или «—») имеет произведение, если оно
состоит из:
1) одного положительного и одного отрицательного множи¬
телей;
2) двух отрицательных и одного положительного множите¬
лей;
3) двух положительных и одного отрицательного множите¬
лей;
4) трех отрицательных и двух положительных множителей?
195
996. Определи знак произведения и вычисли (устно):
1) — 7 - (— 5) • 2 2) —0.5 •(— 1,9)-4
— 4-8-(— 25) — 2-(-4,5)-(—0,8)
— 2-(— 16)-( — 5) 1,5-(— 12)-2
3) i-.(-2).(-3) 4) -|~( — 4)-(— 2)
-5.<-7).(-i-) -f(-f)-5
4'(-т)-'2 -flf4
997. Выполни действия:
') -т-8-(-2т) 2>
т’ЧНт) -12-(-‘-Sr)'(-i)
3) 4,
-tH-4)-<-|8> f(-f)-28
-тИ-тг)-Чг 3f(-i)-<-5)
998. Выполни действия:
1) —4-27-(— 0,05)+1,9 2) -1+5-i—i-
162 + 8-3-(— 35) 1)-5
(3-5-0,9)-(-6)
999. Вычисли значение выражения —0,5xy, если 1) x= —17 и
y=—8; 2) x = 0,4 и у— —7,5.
Б.
1000. Вычисли значение выражения:
1) А.4,8.(-1-1)-10 2) —6,1~*(—10)-l4-
4-f-(-5)-2^- 5,6-(-10)-0,5-f
-НЧКЧМЧ) 4(4)44
196
1001. Выполни действия:
1) 1,6-3,6-(-0,5).(--1-);
2> И'(-Н)-(-т)'
3) _8-7-0.(-2)-132.(—jL).(—Jg-) ;
4) 12-( —0,25)-(— 15)—1—9).
1002. Определи знак произведения abed, если:
1) а>0, Ь> 0, с<0, d> 0; 2) а> О, Ь> 0, с>0, d< 0;
3) а<0, Ьс0, с>0, d<0; 4) а<0, Ь<0, е<0, d<0;
5) а<0, Ь> 0, с> 0, d< 0, 6) а = 0, 6>0, с<0, d> 0.
1003. Какие знаки могут иметь числа а, Ь и с, если:
1) abO0; 2) abc^0; 3) abc<0; 4) abc^0?
1004*. Вычисли значение выражений \abc\ и |а|-|й|.|с|,
если:
1) а= — 1, Ь = 2 и с = 3; 2) а=2, Ь=— 3 и с= —4;
3) а =—3, Ь=—2 и с= —4.
Какой можно сделать вывод?
6.9. Коэффициент
Рассмотрим произведение, например 5-а-( — 3).&-с, которое
состоит из буквенных и числовых множителей. Переместительный
и сочетательный законы умножения позволяют в этом выражении
отдельно сгруппировать числовые и отдельно буквенные множите¬
ли. Получим:
5-а.( — 3 )'Ь-с={ — 3-5 )'(а-Ь'С)= — \babc.
Полученный таким образом множитель — 15 называется коэф¬
фициентом. Коэффициент обычно записывают перед буквенными
множителями. Коэффициент 1 не пишут. Значит, 1 -а = а, 1 -ху =
— ху и т. д. Вместо коэффициента —1 пишут только знак «—».
Например, вместо —1 -ab запишут: —ab, то есть — 1 -ab = —ab.
Пример 1. Упростим выражение 7т-5а-(—3)-п.
Записывая числовые множители перед буквенными, получим:
7т-5а-( — 3 )•«= —3-7-5 ~атп= — 105сшт.
Коэффициентом полученного выражения является число —105
197
Пример 2. Упростим выражение — 2л>(—у)-0,1-5.
Так как —у= — 1 -у, то получим:
— 2л>( — у)-0,1 -5 = — 1 •( — 2)-5-0,1 -ху= 1 -ху—ху.
Коэффициентом полученного выражения является число 1.
Пример
Получим:
Пример 3. Упростим выражение —^-тп-За.
и
—\r-mn -За — —3атп = — 1 • атп = — атп.
О О
Коэффициент полученного выражения равен —1.
А.
1005. Прочти текст параграфа, рассмотри примеры и объясни,
как найти коэффициент каждого из следующих выражений:
1) —4-х:-5.у-2; 2) 5с-0,2; 3) —2s~t.
1006. Назови коэффициенты следующих выражений:
_5
6
1) 2ху 2) —516с 3) —0,74mn 4) —ab
ab —х —ху m
— 2 п 3 m xyz 2,1 ab
1007. Определи коэффициенты (устно):
1) 5а-7 2) 6mn-5 3) 4х>(— 2)
— Зх • (— 3) 5аЬ'(—2)-с — а-( —3)-2
-2-0,5х: Зху-( — 5)-t 3,5-( —2х)-(-1)
1008. Упрости выражение:
1) 5,2Is•( — /)■ 2,5 2) —0,4-( — 6,36)-2
Та{~1-^)Ьс --§-т-(—§-).2п
-|-а6-( —6с) —5а-^—^-Ь^-З
Б.
1009. Упрости выражение:
1) _3-La.(-0,96)-| 2) -6,4-(—?-*).(-l-i-S<)
3,6cd.(-l±)^f 5,25у.(-1^).(-А)
— 0,001л>( — 66-|-)~z 16-|-a6-0,lc.0,6d
198
1010. Составь выражение, коэффициентом которого является:
2
1) произведение числа -у и числа, ему противоположного;
2) произведение числа 0,8 и числа, ему обратного;
3) произведение целых чисел, при которых неравенство
— 3^х<0,5 верно.
Для повторения
1011. Вычисли (устно):
1) 8 —7 —2 + 3
-15-6+8-10 + 7
6—(7-5—11)
2) —5 + 6 + 5 —7 —8 —6
16 — 6+10 — 8 — 9—10
-1,9 + 3,2-2,1+6,8
1012. Вычисли:
1) 56,44:0,068 2)
379,5:5,5
5,33:8,2
6,84:0,9
-0,84-33,5 —9,1-3,4
200,4:33,4+25,5:68
— 15,3 + 4,87-6,14-3,03
3,2-1,5 — 4,9+15,6
1013. Найди числа, обратные данным:
7; fp; 0,4; 1,3;
1014. Вычисли:
_9_.
10 ’
+
и ±-±
; 24 ‘ 8
1—■ 1 —
8 2
2) 2
16’ 24
Ч-:4
3)
14:24-
О
6—• 1 —
3 9
4)
0,4:1 ^
54:0,11
1015. Одна сторона участка земли, имеющего форму треуголь¬
ника, 60 м, вторая составляет 80% этой стороны, а
третья — на 6 м длиннее второй. Вычисли периметр участка.
1016. На выставке лошадей детей
поразили большая ломовая
лошадь и маленький пони.
Массы этих животных были
соответственно 1,2 т и 78 кг.
Сколько процентов состав¬
ляет масса пони от массы
ломовой лошади?
199
1017. Упрости выражение:
1) 2* + 7* 2) 8а+За+4 3) 18л- —- 5л:—4лг
6а—а 1,7*—1,2* —3 6у —2,5у+0,8у
9у+23у 46 + 286 + 7 2,3z + 0,8z — 0,5z
1018. В первом цехе завода т рабочих, во втором — в 2 раза
больше и в третьем 325 рабочих. Сколько рабочих на за¬
воде? Составь выражение и вычисли его значение, если:
1) т = 89; 2) т = 246.
1019. На координатной плоскости построй прямоугольник, вер¬
шины которого А ( —3; 1), В (5; 1), С (5; -4)и6(-3; —4).
Вычисли периметр и площадь этого прямоугольника.
6.10. Распределительный закон умножения.
Раскрытие скобок
Вспомни, в чем состоит распределительный закон умножения
относительно сложения для положительных чисел.
Убедись на примерах, что умножение и сложение взаимосвя¬
заны распределительным законом умножения и в том случае, ког¬
да среди слагаемых и множителей имеются отрицательные числа.
Проверь, например, что:
1) —3(—5+7) 3-(—5)+(—3)-7;
2) 5(-2-3)=5-(-2)+5-(-3).
Если а, 6 и с — любые рациональные числа, то
(а+6) с = ас + 6с.
Распределительный закон умножения остается в силе не¬
зависимо от числа слагаемых в скобках. При применении рас¬
пределительного закона говорят: раскроем скобки.
Пример 1. Раскроем скобки в выражении
3( —5а + 46 —3).
Получим
3 ( —5а + 46-3)= — 15а+ 126-9,
так как 3-( —5) = — 15, 3-4=12 и 3-( — 3)=— 9.
Пример 2. —1(3* — 5у + 2)=—Зх + 5у — 2, так как
— 1 -3= —3, — 1.(—5)=5 и -1-2=—2.
Вместо коэффициента —1, стоящего перед скобкой, пишут
только знак «—». Поэтому выражение —1 (Зх—5у+2) можно
записать: —(3* —5у+2).
200
I Отсюда следует: если перед скобкой стоит знак «—», то при
раскрытии скобок нужно знаки, стоящие перед слагаемыми в
скобках, заменить на противоположные.
Пример 3. — (2х — Зу — 4z + 9)= — 2x + 3y-|-4z—9.
Равенство останется верным, если поменять местами его
правую и левую части. Значит, из равенства
Оно означает: если произведения имеют общий множитель
(в примере число с), то при сложении этих произведений
общий множитель можно записать за скобками. В скобках оста¬
ется сумма других множителей. В таком случае говорят: общий
множитель вынесен за скобки.
1020. Прочти текст параграфа, рассмотри примеры и расскажи,
как раскрыть скобки в выражениях.
1021. Раскрой скобки:
(a-\-b) с = ас-\-Ьс
следует
ac-\-bc = (a-\-b) с.
Пример 4.
1) 7-8 —9-8 = (7 —9)-8=—2-8= — 16;
2) 2а — 26 = 2 (а—6);
3) Зх-(-9у — 3=3 (х+3у—1).
А.
1) 2 (х + 1)
3(/-2)
-2(2х+1)
2) -(4а + 3)
4( —2х + 7)
—(— 5 п — 6)
3) 5 (— 1,2а+ 0,4)
— (8,3z— 5,2)
— 2 (— 3,5х — 4,8)
1022. Раскрой скобки:
1) —2 (а — 26+ 1)
2) 4(3—2х+5А)
6(1—3 c + d)
(a + 6-2).(-7)
4) -2(a + 26-5)
—(7+х — у)
— (— 5 +2a+ 6)
(2a—36 —4)-3
—(5х — 2у—10)
3) (2а-46+3)-(-3)
—(4х —2у+9)
-5( —а+26 + 3)
201
1023. Вынеси общий множитель за скобки:
1) 96+9с 2) Зх + Зу 3) 5х—5у 4) 7х—14
4с — 4 d 8 b — 8с 6х + 6 у 6а+9
— 6х— 6 у 7a-\-7b —2а + 26 15 у—ю
Б.
1024. Раскрой скобки:
1) — 5(3x + 7 — t)
(l,2a+3,46 + 2)-3
—(4a — 5b — 3)
3) a(3x—y + z)
2a (x — 3y + 2z)
-6(-Tx~^y+-Tz)
1025. Вычисли (устно), используя
умножения:
7 •( — 92) = 7 •( — 90 — 2)= -630-
1) 5• (— 95) 2) -9-101
24-( —99) 67-1002
9-( —98) 19-(—103)
1026*. Вычисли как можно проще:
1) 54-36 — 42-54 + 6-74;
2) 478-62+13-478 — 75-678.
2) 0,7(х+0,5у-1)
—(8х + у—9)
(2х — 4/ + z)-(— 2)
4) —т(2п — Зх+1)
(a — 36 + 5с)-( — 2т)
распределительный закон
-14=—644.
3) 17-102
-67-1002
— 24-(-99)
6.11. Приведение подобных слагаемых
Материал этого параграфа изучи самостоятельно.
1. Распределительный закон умножения позволяет выносить
общий множитель за скобки (см. § 6.10). Например,
За—6а + 2а — 6а=(3 — 6 + 2 — 6) а= —7а.
В выражении За — 6а + 2а—6а слагаемые За, —6а, 2а, —6а
называются подобными слагаемыми. Подобные слагаемые либо
не отличаются один от другого (например, —6а и —6а), либо
отличаются только коэффициентами (например. За и 2а). Сло¬
жение подобных слагаемых называется приведением подобных
слагаемых.
Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэф¬
фициенты и полученный результат умножить на общую бук¬
венную часть.
202
2. В каких равенствах приведение подобных слагаемых выпол¬
нено неверно (проверь):
1) За — 4а + 7а = 6а; 2) — 5х + 3х—7х + х=8х;
3) 4у— Зу—у = 0; 4) — 1,2а — 0,8а+4а=2а;
5) -|-х—^-х + х=—?-х; 6) 106 + 6-26-56 = 46?
Если с заданием справился, то выяснил, что в одном равенстве
ошибка. В каком? В чем она заключается?
3. Выражение может содержать несколько различных групп
подобных слагаемых. Например, 5а + 6а + 76 + 2— 26 — За—6.
В таком случае подобные слагаемые разных групп целесообразно
подчеркнуть по-разному, например:
5а + 6а+76 + 2 —26— За—6=8а+ 56 —4,
так как 5а+6а—За=8а, 76 — 26 = 56 и 2 — 6=—4.
4. Найди ошибки в следующих равенствах:
1) 2а — 36 + 4а — 6 = 6а—46;
2) т — 5а+ 3 — т + 2 = 5 — 5а;
3) —2, 1л: — 3 у — 0,9х + 3,2у = 3х+0,2у;
4) 2—х+у— Зх— 4у — 5=—4х— 3у — 3;
5) За + 2х— За+4 = 6а+2х + 4;
3 2 1,1 1 1
6) -fX з'У 2Х~^~&У = ~4~Х 2 У'
7) 2х —(х —2у)—2у + 2х —х —2у —2у = 2х —4у;
8) 2 —3(2х—у)+2 (х+3)—2 —6х+Зу+2х+5= —4х+Зу+7.
Если с заданием справился, то обнаружил ошибки в трех ра¬
венствах. В каких? В чем заключаются эти ошибки?
1027. Приведи (устно) подобные слагаемые:
1) 7х + 6х 2) —5т — 7п 3) 4а — 5а+7а
Ъу — 3 у —9а + 2а 6х — Зх — 5х+х
5 у — 8 у 6х—10х
1028. Приведи подобные слагаемые:
1) 5а—6а — 76 + 6
х—у + Зх — 2 у — 4х
5/ — 2х + 3х—5/ — х
1029. Упрости выражение и вычисли его значение:
1) Зх —8х, если х = —4; х=0,7;
t—4f + f + 2*
2) 4а + 56 — 6а—46 + 10
8 —а + 7 + 5а— 10а
6х—7 + 8у — 3 + 4у
203
к
ь
L
-L
М
J Рис. 6.9
Рис. 6.10
А
ь-
С
—I
2) —6а+9а, если а= — 15; а=—\
ь
3) — 8у — 6у, если у = 2,4; у =—
1030. Отрезок KL — 8n см, а отрезок LM = 3n см (рис. 6.9).
Составь выражение для вычисления длины отрезка КМ.
Вычисли его значение, если: 1) л = 6; 2) л=1,4.
1031. Отрезок АВ = 4а см, а отрезок ВС=7а см (рис. 6.10).
1) Найди отрезок АС. 2) На сколько отрезок ВС длиннее
отрезка А В?
1032. Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые:
1) 4 (х—3) — 2х
— 2 (За + 1)+6а
5(2 —т)—10
3) 2(4-у)+2у
-3(2*-4)+8
6 (— 2а — 3)+ 18.
2) _(с + 5) + 2с
3(6—т)— 10
— ( —4х —3)—4х
4) — 2 (х — 5) — 1
(2а_1).(_2)+2
— (а —5) +2а
1033. Упрости выражение:
1) 0,3х —0,4х+х
2,6с — 5,1 d — 0,3d
7,5 а—2,5 b 4а
3) 4т — 6,4 — 5,6лг — 1,9
11,2а — 2v + 7,2v— 12а
— 4,3*+ 0,8 — 2,7х— 1,5
2 , | 1 1
2> та+1та-т-‘
1 . з
——*—*4—— *
4 4
5 7 10
л\ 5 1 I I 3 1
^ 6 ° 3 а^~^Гх Тх
— 1,5л — 0,6 —Yn + 2 л
-|-а+4-6-6 + 0,8а
1034. Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые:
1) 6* — 2 (3* — 1) 2) 3(х+2)-* + 2
3 (а — 5)+ 15 — 2а 5(< —7)—6/ + 35
— 4 (26+ 1) — 26 + 3 2а-5(а+3)-а
204
5q
П 3b
4b
©
3) 5 (x— l)+2 (x+3)—7x 4) 2(a + 3)-(a-3)+l
jc-1— 2 (jcH-2)— 1 3(a + 6-l)-3a-36 + 3
(2a+l)-2-a+5 5 (1-2a)-3 (a +1)
1035. Упрости выражение 3(2 — с)—4(c + 3) и вычисли его зна¬
чение, если с= — 3.
1036. Найди периметры фигур, изображенных на рисунке 6.11.
1037. Реши уравнение:
1) 2х + 3— х = 5 2) 2(х—1)—х = 0
5 — 2у + 3у — 7 = — 1 3(a+5)—2а= — 1
7а—9 —6а+4=—4 8 (г — 5)—7z + 3 = — 10
6.12. Деление
Материал этого параграфа изучи самостоятельно.
1. Деление — это действие, в котором по данному произ¬
ведению и одному из множителей находят другой множитель.
Разделить число а на число b — значит найти, такое число х,
чтобы
Ьх=а.
Например, найти частное ( — 6): 3 — значит найти такое число
х, чтобы Зх= —6. Очевидно, х= —2, так как 3-( —2)= —6. Зна¬
чит, — 6:3=—2. Таким же образом,
— 6:( — 3) = 2, так как -3-2=—6,
6:( —3)=—2, так как —2-(—3)=6.
2. Какие равенства верные, какие нет (проверь с по¬
мощью умножения):
1) — 10:( 5) = 2; 2) -6:(-2)=3; 3) —10:( — 0,1)= 100;
4) —2:(— 1)= — 1; 5) -6:(-0,5)= 12; 6) -24:(-4)=8?
205
©
2а 2а
а 2а а
©
Рис. 6.11
Если с заданием справился, то обнаружил ошибку в двух ра¬
венствах. В каких? В чем заключается ошибка?
3. Из предыдущих примеров вытекает:
Частное от деления двух отрицательных чисел есть число поло¬
жительное. Чтобы найти модуль частного, нужно модуль делимо¬
го разделить на модуль делителя.
4. Следующие равенства проверь умножением. Какие равенст¬
ва верные, какие нет:
1) 10:(— 2)= —5; 2) -9:3=-3; 3) 12:(-4)=3;
4) -7:1 = -7; 5) 18:( — 9)= —4; 6) -0,2:0,1 = -2?
Если с заданием справился, то нашел ошибку в двух равен¬
ствах. В каких? В чем заключается ошибка?
5. Из предыдущих примеров вытекает:
Частное от деления двух чисел с разными знаками есть число
отрицательное. Чтобы найти модуль частного, нужно модуль де¬
лимого разделить на модуль делителя.
6. Обоснуй, что:
1) частное от деления нуля на любое отличное от нуля
число равно нулю; 2) делить на нуль нельзя.
А.
1038. Вычисли (устно), ответы проверь с помощью умножения:
1) —5:(—1) 2) 18:(— 6) 3) —12:6 4) —0,2:(—0,1)
— 6:( —2) 25: (— 5) 15:( —5) _4,2:2
0:(—3) — 12: (— 4) 16:( —8) _0,9:3
1039. Вычисли:
1) 125:( —5) 2) —500:(—25) 3) 4:( —8)
— 0,45:0,9 3,2: ( — 20) -10,2:(-30)
36,6:(—1,2) -213,2:10,4 -15,54:(-42)
1040. Вычисли:
2>Т+т) »>-И-т)
2 - 4 -4:24-
К-'тг)
3 ‘ 5 5
1041. Вычисли:
1) — 32:( — 4)—6 2) —6,3:3 + 0,1
— 6-( —3)+85:( —5) —1 — 1:(— 0,5)
(24 —36):(—6)-3 -50:10 + 8-(—4+9)
15—(4 + 8:2)—6 —8-(3 — 9)—15:( — 10)
206
1042. Вычисли:
I) -5-Ь( —7)-2 2) (3-|—1-):(-29)
-т-2т:т (2т~8т):3
-8:(-2т)+т -‘4-4-6(-тУ
1043. Заполни таблицу:
а
-3
— 1
1
3
0
1,5
6
а:(~ 3)
— 6:а
1044. Вычисли значение выражения 9:а—1,2, если а=—6;
а= —0,3; а=2.
1045. Реши уравнение:
1) 2х = —4 2) — Зх= 15 3) —0,2л: = 1
5дг=—2 Зх= — 18 —Зх=—9
Т*=~ПГ -'тх=2-ПГ -0,06х= —1,2
Б.
1046. Вычисли:
1) 5,25:(—2) -з£:<-1.54) 3) — 0.78:( — 2-|-)
-2.06:(-£) -1.25:3-1. _3Х:1.4
-|05:(—Го) 4’25:(-т) -3-^<-16)
1047. Выполни действия:
1) 300; (50 -100)+500: (400 — 500)- 100;
2) — 39:(19 —32)—4-(18 + 36:( —9));
3) (27 — 24: (8 — 11)) • (— 9 + 8: (27 — 35));
4) (2,02- 16,61:5,5):2,5- 1,6;
5) (5,44+( —8,16:4)—(— 1,48- 1,12)):(— 1,5).
1048. Вычисли:
.. — 84-(3-5 - 50) . 2 98-(— 15)
f 12-( — 7) ’ > — 14-(20—4-10) "
207
1049. Выполни действия:
1) 3,4-19,5-0.3-|-.(34-2i-) ;
2) -у-:-^-+2-0,095 + 2,172.1,2;
3) 0.4—|~(4,22-28,07:3.5).
k — 3
1050. Вычисли значение выражения -——, если k= — 1;
k=—J-; /г = 2.5; k = 3.
1051. Вычисли значения выражений \а:Ь\ и |а|;|6|, если: 1) а =
= —42 и 6 = 7; 2) а=60 и 6 = —12; 3) а =—0,836 и
6=0,95; 4) а = 56,1 и 6=—85.
1052. Реши уравнение:
1) 0,4х+12,03=-0,13 2) 2(3у —5)=—22
1-Ljc-5-|-=-64- 5 + 2(2а + 3)=39
0.12 + 0,8х = — 0,08 —3(5 —6)+7= —17
1053. Вычисли и объясни (устно):
1) 5-(37:5) 2) (1,2:16)-16 3) 14-(91:14)
47 •( 10,3:47) m-(6:m) а-(6: а)
1054. Вычисли и объясни (устно):
1) (3-5):5 2) ( — 2-4):(-2) 3) (-5,9-4):5,9
(3,2 • 4,1): 4,1 (За • 5.): 5 10*:*
1055*. Реши уравнение:
1) 12: |*|-6,06=-0,06; 2) —1-|*| +2,5= —20.
6.13. Решение уравнений
До сих пор мы решали уравнения, используя зависимости
между взаимообратными действиями: сложение — вычитание, ум¬
ножение — деление. Теперь мы познакомились с отрицательными
числами, и ход решения уравнения можно значительно упростить.
Мы знаем, что если к двум равным числам прибавить или от
этих чисел отнять одно и то же число, то получим опять равные
числа. Значит, и к обеим частям уравнения можно прибавить и от
них можно отнять одно и то же число (это доказывается в
старших классах).
208
Пример 1. Решим уравнение Зле — 6=5х.
Прибавим к обеим частям уравнения число 6. Получим:
3* — 6+6 = 5х + 6, или Зх=5х + 6.
Видим, что слагаемое —6 переместилось из левой части дан¬
ного уравнения в правую с противоположным знаком.
Далее из обеих частей полученного уравнения вычтем 5х.
Получим:
Зх — 5х=5х+6— 5х, или Зх—5х = 6.
Теперь слагаемое 5х переместилось из правой части в левую с
противоположным знаком. В левой части уравнения приведем
подобные слагаемые, получим:
— 2х= 6, откуда х = 6:( — 2), или х=— 3,
так как неизвестный множитель равен частному от деления про¬
изведения на второй множитель. Итак, корень данного уравнения
равен —3.
Из рассмотренного примера сделаем очень важный вывод:
слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую,
изменяя при этом их знаки на противоположные.
Решим более сложное уравнение.
Пример 2. 3(х+3)=5 —2х
Зх-}-9=5—2х (раскрыли скобки)
Зх + 2х = 5 —9 (перенесли слагаемое — 2х
из правой части в левую,
а слагаемое 9 из левой
в правую, поменяв их
знаки)
5х= —4 (привели подобные сла¬
гаемые)
х=—4:5, (нашли неизвестный мно-
х=— 0,8 житель)
Чтобы проверить полученный ответ, нужно найденное значение
корня подставить в заданное уравнение и убедиться в равенстве
обеих частей уравнения. В последнем примере получим:
левая часть: 3 ( — 0,8 + 3)=3-2,2 = 6,6;
правая часть: 5 — 2-( — 0,8)=5 + 1,6 = 6,6.
Уравнение решено верно.
Основываясь на приведенных примерах, составим общую схе¬
му решения уравнений, изучаемых в 6 классе:
209
1) по возможности упростим уравнение (раскроем скобки,
приведем подобные слагаемые);
2) перенесем слагаемые, содержащие неизвестное, в одну
часть уравнения (обычно в левую), а остальные слагаемые в
другую часть уравнения, изменив при этом их знаки на противо¬
положные;
3) приведем подобные слагаемые;
4) найдем корень уравнения.
В случае необходимости выполним проверку.
А.
1056. Прочти текст параграфа, разберись в примерах и скажи,
что нужно сделать, чтобы перенести слагаемые из одной
части уравнения в другую.
1057. Перенеси слагаемые, содержащие неизвестное, в левую
часть уравнения, а все остальные слагаемые в правую.
Найди корень уравнения:
1) 2л+4 = 6 2) Зл + 7 = л
5 — 3у = — 7 — 5т — 24 = т
— 12 +5а=8 —16 — т =—2т
Зу — 3 = 5 — у — 7 — 4л = — 7л + 5
1058. Реши уравнение:
1) 2л + 3 = л —6 2) z + 4 — 3 = 2z
5 — Зу = 4 — 2у 7 — 3z + 4z — 9 = 0
6/—l=3f + 7 Юл— 3 + 5=л + 3л
3) 9л = 8л — 6 — л 4) 5у = 2у + 9
— 4л + 8 — 7 = л — 1 6t = 2t— 12
6 — 4 у—1 =у + 3 5 л: =—л—13
1059. Продумай общую схему решения уравнения (см. текст пара¬
графа) и объясни каждый шаг решения следующего урав¬
нения:
3,5 (2х— 1)+ 1,4 = 3лг—4,9;
7л — 3,5+ 1,4 = 3л— 4,9;
7л —2,1=3л —4,9;
7л —Зл= —4,9 + 2,1;
4л= —2,8;
л=—2,8:4;
л= —0,7.
210
1060. Реши уравнение:
1) 3 (х—2)=4х 2) 6(2— 1)= 18
5 (z + 3)= 10 3(х + 6)=2(х-3)
3 (2х— 7)=9 9(х-3)=5(х+5)
3) 2(2 — у) = у—5 4) 3(х— 5)=х+3
— (4л: —2)=—6 — 2 (х + 3) = 2х— 1
— (Зх— 4)=3х—8 —(2х+1)=1—х
1061. Реши уравнение:
1) 0,8х—3,5= — 1,2х + 0,5 2) -L* + 6=2
и
1,3 (/—0,6)= 1,8/ -|-(4х—2)=—7
8,6х — 3,7 = 7,6х — 5 -^х + 3=-^х
b ь
1,1х+1=х-2 -L*— 2=х
«5
1,2 (х —5)=0,2х+6 х — 5=-^-x-(--j-
1062. Если обе части уравнения содержат одинаковые слагаемые,
то эти слагаемые можно вычеркнуть. Почему?
1063. Реши уравнение:
1) Зх-4 + 2х = 6+2х-4 2) -^-12=-5—\— 12
50 — Ту— 16=Зу— 16 -|-2=4—i^z + 3
3
— 6а+16 = 4а— 6а—24 0,7х-\—|-х—1=0,7х
5х-6+х = 2(х-1) 2(x+l-i-)-2=x-l
2 (х —6) —х = 3х + 4х 0,5 (2х+4)=х+3
1064. Реши уравнение:
1) 3(2х—1)+7 = 5(х—1) + 7;
2) 3,1(1-3/)+/ = 0,4(/-14);
3) 0,8 (0,5 — 2у)=2у + 0,4;
4) 0,2 (х — 3)— 1 =0,5 (х + 3)—0,4;
5) —5(2 —7) = 30—(2z+l);
6) -2(х + 5)+3 = 2-3(х+1);
7) 3(2х—1)+6х=10х —7;
8) 4п — 2(п + 7)=2п-2(п-\).
211
6.14. Решение задач с помощью уравнений
Пример 1. В школьном саду всего 35 фруктовых деревь¬
ев — яблонь и груш. Яблонь на 3 больше, чем груш. Сколько яб¬
лонь и сколько груш в школьном саду?
Решим эту задачу двумя способами.
Первый способ. Если бы яблонь было столько, сколько
груш, то всего фруктовых деревьев было бы на 3 меньше, то
есть 32. Значит, удвоенное число груш будет 32 (рис. 6.12).
Отсюда следует, что число груш быо 32:2=16. Так как яб¬
лонь было на 3 больше, то их было 16 + 3=19.
Ответ. В саду было 16 груш и 19 яблонь.
При решении задач часто хорошим помощником бывает урав¬
нение. Для того чтобы решить задачу с помощью уравнения, сна¬
чала по условию задачи надо составить уравнение. Для этого со¬
отношения между величинами в задаче необходимо перевести
на математический язык.
Второй способ.
Составление уравнения. Обозначим число груш в
саду буквой х, тогда число яблонь будет (х+3). Общее коли¬
чество деревьев х + (х + 3) должно равняться 35. Получим урав¬
нение
х+(х+3) = 35.
Решение уравнения: х+(х + 3)=35;
Итак, в саду было 16 груш. Яблонь было на 3 больше, то есть
Проверка. Сложим число груш и яблонь: 16+19 = 35.
Ответ. В саду было 16 груш и 19 яблонь.
2х + 3 = 35;
2х = 35 — 3;
2х = 32;
х = 16.
16+3=19.
3 ЯБЛОНИ
ЯБЛОНИ
ГРУШИ
Рис. 6.12
212
Пример 2. За контрольную работу по математике из 32 уче¬
ников 14 получили оценку «3». Остальные получили «4» или
«5», причем четверок было в два раза больше, чем пятерок. Сколь¬
ко учеников получили «5», а сколько «4»?
Составление уравнения. Обозначим число пятерок
буквой х. Число четверок в два раза больше, значит, 2х. Тро¬
ек было 14, значит, оценок всего было x+2;c:+14. Число
оценок должно быть равно числу учеников (ведь каждый ученик
получил одну оценку). Получим уравнение х+2х+14 = 32.
Решение уравнения: х + 2дг+14 = 32;
3x+ 14 = 32;
3jc = 32—14;
Здг= 18;
х=6.
Значит, пятерок было 6. Четверок было в два раза больше, то
есть 6-2=12.
Проверка. Найдем общее число оценок: 6+ 12+ 14 = 32.
Ответ. Оценку «5» получило 6 учеников, а «4» 12 учеников.
Замечание. После решения задачи с помощью уравнения
проверку нужно делать по условию задачи, но не по составленному
уравнению. Иначе мы проверяли бы правильность решения урав¬
нения, а не проверили бы правильность его составления.
А-
1065. Составь уравнения и реши их:
1) Число х сложили с его удвоенным числом и получили 39.
2) Из числа 45 вычли число х и получили утроенное
число х.
3) Из числа 42 вычли число у и полученный результат
увеличили в три раза. Получили 96.
4) Число m умножили на 4, из результата вычли 73 и
получили 183.
5) Число х умножили на 6, результат сложили с суммой
чисел х и 9, получили 44.
1066. Сумма двух чисел равна 165, причем первое число больше
второго на 21. Найди эти числа.
1067. Масса двух контейнеров 102 кг, причем масса одного из
них в два раза больше массы другого. Вычисли массу
каждого контейнера.
213
1068. Возраст папы и мамы вместе 75 лет, причем мама на
5 лет моложе папы. Определи возраст папы и мамы.
1069. Одна сторона треугольника 20 см, вторая — в три раза
больше третьей. Вычисли две другие стороны треуголь¬
ника, если его периметр 52 см.
1070. Ширина прямоугольного участка земли на 15 м короче
его длины, а периметр его 126 м. Вычисли его стороны.
1071. Одна сторона прямоугольника в три раза больше другой, пе¬
риметр его 52 см. Вычисли стороны прямоугольника.
1072. Сумма градусных мер двух углов равна 123°. Один угол в
два раза больше другого. Найди градусные меры этих углов.
1073. Из числа 47 вычли некоторое число. Полученную разность
умножили на 2 и из результата вычли 15, получили 45.
Какое число вычли из 47?
1074. Задуманное число уменьшили в два раза и результат сло¬
жили с числом 19. Получили 37. Определи задуманное число.
Б.
1075. Сумма трех чисел равна 94. Известно, что первое число
на 18 меньше второго, а третье число на 4 больше вто¬
рого. Найди эти числа.
1076. Коля на 2 года старше Вовы, а Лена моложе Коли на 3 го¬
да. Возраст Коли, Вовы и Лены вместе составляет 37 лет.
Сколько лет Вове?
1077. Возраст отца, дочери и сына вместе составляет 47 лет.
Отец старше сына в 5 раз, а сестра моложе брата на 2 года.
Сколько лет сыну?
1078. Одна сторона треугольника в два раза больше второй, а
третья сторона на 5 см меньше второй. Вычисли стороны
треугольника, если его периметр 85 см.
1079. Саша пошел на озеро, которое находилось от дома на
расстоянии 4,2 км. Вначале г ч он шел со скоростью
3 а затем еще х ч со скоростью 4 . Сколько вре¬
мени Саша был в пути?
1080. Два туриста вышли одновременно навстречу друг другу из
пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость од-
, НИ г КМ ,.
ного 4 —, а второго 5 —. Через сколько часов они встре¬
тятся?
214
1081. Из одного города в другой пассажирский поезд приезжает
на 45 мин быстрее товарного. Вычисли расстояние между
городами, если скорость пассажирского поезда 48 —, а то-
ол КМ 4
варного 36 —.
1082. На XXII Олимпийских играх в Москве больше всего медалей
завоевали спортсмены Советского Союза, на втором месте
по количеству медалей были спортсмены Германской Демо¬
кратической Республики. Сколько медалей завоевали спорт¬
смены каждой страны, если спортсмены этих стран получи¬
ли всего 321 медаль, причем спортсмены ГДР получили на 69
медалей меньше, чем спортсмены СССР?
1083. Число золотых медалей, завоеванных спортсменами СССР
на XXII Олимпийских играх в Москве, было на 11 больше
числа серебряных и на 34 больше числа бронзовых ме¬
далей. Сколько золотых, серебряных, бронзовых медалей за¬
воевали спортсмены СССР на этих играх? Что нужно еще
знать, чтобы ответить на этот вопрос? Необходимые дан¬
ные получишь при решении предыдущей задачи.
1084. Две ремонтные мастерские в течение недели должны от¬
ремонтировать по плану 18 моторов. Первая мастерская
выполнила план на 120%, а вторая — на 125%, поэтому в
течение недели отремонтировали 22 мотора. Какой план по
ремонту моторов на неделю имела каждая мастерская?
1085. На одной чаще весов 7 одинаковых пакетов чая и пятиде¬
сятиграммовая гиря. На другой чаше весов две двухсот¬
граммовые гири. Весы находятся в равновесии. Сколько
весит одна пачка чая?
1086. (Старинная индийская задача.) Если заду¬
манное число умножить на 5, из полученного произведения
вычесть его треть, остаток разделить на 10 и к результату
, ill
прибавить последовательно -у, -у и — первоначального чис¬
ла, то получим 68. Чему равно задуманное число?
Для повторения
1087. Вычисли (устно):
1) —10+(— 18)
— 45+( — 56)
— 32 + (— 28)
2) -10 + 8
25+( — 32)
85+(— 15)
215
3) 5-25 4) 2—( —3)
11-12 _о—( — 7)
— 7+( 9) —5—(_ 12)
1088. Вычисли (устно):
1) —5+7 — 12+6 2) 28-32—16—9+16
-4-3 + 15-8 + 3 -3 + 9-11 + 16-9
30-18-12 + 5-8 -25+15+10+13-6
1089. Выполни действия:
1) — 3,89 + (—1,11) 2) -0,87+1,2 3) 1,07-59,8
— 6,98+( —0,22) 4,9+( —9,8) -9,76-15,9
-*+(-*) i+(-i) +-(-i)
1090. Вычисли (устно):
1) -7-(-9) 2) -30-0,6 3) —28:(— 7)
— 12 - 0,1 —4,5-(— 2) — 54:(— 2)
-н-т) --И -Ь«
4) — 0,4:(— 4) 5) —0,1:(— 10) 6) 7-(—1,2)
0,18: (— 0,6) 0,12: (—6) 0.8-( — 7)
1-) 1-1:(— 11) — 1,2 - (— 3)
1091. Выполни действия:
1) — 16• (— 15) 2) 4,08•( — 4,5) 3) 12:(—24)
-1,3-2,8 —0,12 * (— 1,25) -1,1:0,22
i£-4— о 2 ( 3 ^ 8 • 4
п 5 T'lT
4) 2,5:( 15) 5) _L:(_0,75) 6) 3,5:(—
—1,8: (— 0,4) 4 \ 8/
-*:(-+) f(-+) —1,2’( I")
-8:(-+) 0.5.(-+)
1092. Выполни действия:
1) — 2-( —5)+20:( — 2)—10 •(— 1)—9;
2) ( —650 + 350):( —50)+35:(-20 + 25);
3) 6-(—15 — 5)—9:(—20+11);
4) —6,15-(— 1,02)+7,8: ( — 0,26);
5) (-43,56:0,66 + 50):(-0,2); 7) 12-(—§-)- 15:-f;
6) —39--^-:( —3)-(— 16); 8) -|-:7+12.5:10 — 0.07.
216
1093. Выполни действия:
. — 125-2-(—12) 9. 9-(— 14)-( — 2)
М 10-(-6) ’ ' —4-(— 7) ‘
1094. Вычисли значение х по формуле х=(2а — Ь)-с, если:
1) а= — 1,5. Ь= — 10, с= —0,1;
2) а=—0,1, Ь = 0,8, с = 151;
3) а=6,75, Ь=2,5, с= — 19,1;
4) а=\, Ь=± с= —0,3.
1095. Вычисли значение выражения 2\а\—3|Ь|,если: 1) а=—3,4
и Ь = 2,7; 2) а=1,6 и Ь=-0,9.
1096. Вычисли 18% от значения выражения i-^-50.
1097. Найди число, 24% которого равны значению выражения
4,578:3,27 + 3,4.
1098. Найди число, которое на 10% меньше значения выражения
32-25-3400:17.
1099*. Число уменьшили на 50%. На сколько процентов необ¬
ходимо увеличить полученное число, чтобы получить перво¬
начальное?
6.15. Микрокалькулятор и рациональные числа
Ты, наверное, умеешь складывать, вычитать, умножать и де¬
лить положительные числа на микрокалькуляторе. А как быть, ес¬
ли числа отрицательные? Действия с отрицательными числами вы¬
полняются так же, как и с положительными. Вопрос в том, как
ввести в микрокалькулятор отрицательные числа. У большинства
микрокалькуляторов для этого имеется специальная клавиша
— клавиша перемены знака. Чтобы ввести
/-/
или
+/-
отрицательное число, нужно ввести вначале модуль этого числа,
а затем нажать на клавишу перемены знака. На экране перед
данным числом появится знак «—». Например, ввод числа —32,07
будет происходить по следующей схеме:
3 2
/-/
Пример 1. —32,7—42,1 =—74,8.
Схема: 3 2 [Т] 7 | /-/ [Р] 4 2 |~| 1 Р1
217
Так как сумма двух отрицательных чисел — число, противо¬
положное сумме модулей этих чисел, то предыдущий результат
можно было получить и по-другому:
»Q»0“D.E
/-/
Пример 2. 0,87-(— 25) = — 21,75.
Схема:
В87
или
□ 87
X
2 5
X
2 5
/-/
/ /
Пример 3. —562:1,12» —501,79.
Схема:
5 6 2
ОНИ1 □' 2В
или
5 6 2 [Т] 1 [7] 1 2 р|| /-/
Пример 4. 17 — 32-0,35 = 5,8.
Схема:
3 2
ВВ
3 5
ЕЕ1В,7В
А.
1100. Проверь равенства с помощью микрокалькулятора (найди 6
неправильных ответов):
1) -5,47+ 3.23 =-2,24
-0,48+3,5 = 3,98
-497,3- 108,6=—605,9
-9,07 - 0,096=-8,974
3) 45,63:( — 0,9)=50,7
— 17,01: (— 21) = 0,81
— 6,345:7,05 = — 0,9
3,248: (— 0,08) = — 40,6
2) -4,36-(-6,5)=28,34
-0,08-420 =-33,6
5,4-(-0,58)=31,32
— 1,05-( — 8,6) = 9,03
4) 186,4-352,64=166,24
-32,472:2,64=12,3
— 19,7-( — 4,28)=84,316
— 0,806 + 15,02 = 15,826
1101. Вычисли с помощью микрокалькулятора (ответы округли до
десятых):
1) 2,718:(—1,8) 2) —4,17—12,083 3) — 7,83:( — 0,34)
-0,893 + 2,17 -9,9-(—1,47) -0,17:0,29
-3,47-5,95 -132,192:15,3 160:(— 115)
218
1102. Вычисли с помощью микрокалькулятора:
1) 1,45+117,45:(-13,5)
— 1,89-( — 0,51) — 5,103:0,3
2) -86:17,2-6,5+15,69
— 0,888: (— 0,12) • (—5,25)
Для самопроверки
1103. Объясни на примерах, как:
1) складываются два рациональных числа;
2) вычитаются два рациональных числа;
3) умножаются два рациональных числа;
4) делятся два рациональных числа.
1104. Объясни на примерах:
1) переместительный и сочетательный законы сложения;
2) переместительный, сочетательный и распределительный
законы умножения.
1105. Вычисли (устно):
1) 29+(—29) 2) -6+14 3) 4,3•( — 0,1)
100—( — 64) 0 — 30 7/ L\
0,8+( — 4,2) -1,8-0,6 12 ' ъ'
3-М-2т)
-4,9:0,7
4—2
1106. Вычисли (устно):
1) —9+-12 — 7— 12 + 6 2) — 6-( — 8)-5
14-8 — 6+8—7 0,5-( —7)-0,4
— 6 + 4 • (— 3) — 18:( —2)—5
1107. Выполни действия:
1) 392+( — 697) 2) 4,35-(— 2,4) 3) -24,6:(-1,2)
-62,09-5,11 -15,6-( — 0,07) -9664:3,2
-НИ-2!?) 6-(-'i) 5T:(->w)
— 2-|-+ 5,25 -1’5'1_3" °'6:1-§-
1108. Выполни действия:
1) -3,96+ (-8,7)-7,04-(-30,7);
1109. Вычисли значение выражения (36 —2):6, если 6= — 4;
6=0,5; 6 = 9.
1110. Какие слагаемые называются подобными? Приведи пример.
1111. Приведи подобные слагаемые:
3) —1,5а+4,76— 8,3а+10а; 4) —|- л:-|—~|—|-л:—1—х.
о 5 и
1112. На каком законе умножения основано раскрытие скобок?
1113. Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые:
1) — 5{3х+у)—6у\ 2) 7 (За — 6) — 20а+76;
3) —(12п — 5т)+12п; 4) 5л:—6у — 5 (л:—у)'.
1114. Реши уравнение:
1) 5л:—7 = л: + 9; 2) 0,77 +0,3л:=0,5 —0,6л:;
3) 2 (5 + 3*)=-2; 4) 3 (у-4)=4 (Зу + 6).
1115. Сумма двух чисел равна 157, причем одно число больше
другого на 28. Определи эти числа.
1116. В трех цехах завода всего 685 рабочих. Во втором цехе
рабочих в три раза больше, чем в первом, а в третьем — на
15 рабочих меньше, чем во втором цехе. Сколько рабочих
в каждом цехе?
1117. Из двух городов, расстояние между которыми 150 км,
одновременно навстречу друг другу выехали два автомоби¬
ля. Скорость одного автомобиля 65 км/ч, а второго 60 км/ч.
Через сколько часов они встретились?
1118. Вычисли расстояние между точками /(( — 4,8) и L(l,3)
числовой оси.
124. 1, 2, 3, 6, 9, 18. 126. 26. 52, 78. 128. 6984:18 = 388. 131. Нет. 133. 42 = 2-3-7;
76 = 2-2-19; 88 = 2-2-2-11; 495 = 3-3-5-11. 135. 1) 6; 2) 21; 3) 18; 4) 72;
5) 42; 6) 200 136. 29 команд, 5 мальчиков, 3 девочки. 137. 120.
1) 4с — Зс —5с + 6с;
2) Зл: — 7у-\-4у— 6л:—Зл:;
Ответы
ГЛАВА 1. 122. 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56; 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
266. 2^, ll|. 267. З^+З^+х 8-^ км, 8^км. 268. 12 |. 269. 270. 7^
т.
271. В третьем на ^ л больше. 272. 1) 2; 2) 0,1.
220
ГЛАВА 3. 377. 0,63; 3,2; 2,65; 0,42; 4,25. 378. 3-^, 4|, 2 J^-, В 379. о,41;
О 20 2UU 2о
1.89. 382. I, 2i-. if; 2) 12|. i. Г|; 3)2; 8.1) 2-1
383. 1) 1 -^-; 2) 2 В ; 3) 2 Ц . 384. 22 км. 385. 1) 3 4г p., 2) на р. дешевле.
У о lo Z Z 10
386. 1) х+4-; 2) 3 —7а; 3) х+4. 388. 1) 42; 1,4; 2) 60; ; 3) 23.8; 0.343;
Z О 1 о
4) 96; 14,58. 389. 5 м2. 390. 162 км.
ГЛАВА.. 863.|,3]-.|.3|.666. I) 2|,,i,|;2, i. 10. А;
3)If,2lL ,3 667. -!-• 668. 1,-4- 669. l-i Р- 670. У Тани 3-5- —.
15 10 5 7 о 5 5 5ч
у Пети 3 —, 1-4 раза. 672. 1) 50; 2) 4-5-; 3) 20; 4) 4,9. 673. 1) 12,5%;
ч 5 о
2) 112%. 674. 1) 16%; 2) 75%. 675. 70%. 676. 160. 677. 37,5%. 678. 45 км.
682. 1) \ ; 2) 1 В ; 3) 30, 4) 31, 5) 4“ 684. 1188 км. 685. 6 ч. 686. 6400 м2.
5 о 5 о
689. 47 м, 177 м2.
ГЛАВА 5. 859. А ( — 4,5), В (2,5), С ( — 2,3), D (— 0,6), £ (5). 860. 1) —5; —3,7;
— 3,4; —0,5; 0; 2,29; 2.9; 2) —2,9; 3.7; 5; —2,29; 0.5; 3,4; 0; 3) 2,9; 3,7; 5, 2,29;
0,5; 3,4; 0. 861. —5, —4, —3, —2, —1, 0. 1, 2..862. 5; —1,8; 0; —4,9. 863. 3,6;
5:3,2.864.1) 4,9;—15:2) -1;—2-4-;3) 10,2, 13,7; 4) -5-; 0. 865. 1) -3,8<0;
5 9 8
2) 7>0; 3) х<0; 4) (/>0. 871. А ( — 2; 1), В (1,5; -4), С(0; 2,5), D(3,5; 2),
£(-1.5; 0). £( — 3,5: —1,5), G (0: —1), Я (2; 0). 872. II, IV, I, III. 873. ( — 2; 1);
(-1,4; 0,7); (0; 0); (1; —0,5); (2; 1). 874. (—1,5; —4); (0; —1); (0,5; 0); (1; 1); (2; 3).
877. 1) —5°, —2°, 4°, 0°; 2) в 2 ч, в 8 ч и в 22 ч, в 10 ч и в 21 ч; 3) в 0 ч —6°;
4) в 14 ч 5°; 5) повышалась с 6 ч до 14 ч от —2° до 5° и понижалась с 14 ч до 16 ч
с 5е до 3°. 879. 1) 120 км; 2) 0,5 ч, 1 ч, 2,5 ч, 5 ч; 3) 50 км, 80 км; 4) 80 км, 1 ч.
ГЛАВА 6. 1107. 1) -305; -67,2; -l-^-; 2 ; 2) - Ю.44; 1.092; -6—;
3 12 3
-2; 3) 20,5; —3020; —5; 1108. 1) 11; 2) — 2; 3) — 11; 4) -?-. 1109. 3,5; — 1;
oU У
2-4-. 1111. 1) 2с; 2) —бх — Зу; 3) 0,2а + 4,7Ь; 4)
9 6 5
1113. 1) — 15лг— 1 \у\ 2) а; 3) 5т; 4) —у. 1114. 1) 4; 2) —0,3; 3) -2; 4) —4.
1115. 64,5 и 92,5. 1116. 100, 300 и 285. 1117. 1.2 ч. 1118. 6,1.
Предметный указатель
Абсцисса 152
Бесконечная десятичная дробь 50
Взаимно обратные числа 72
Взаимно простые числа 19
Вычитание дробей 38
График движения 163
График температуры 161
Деление дробей 73
Делители числа 8
Десятичное приближение 53
Диаметр окружности (круга) 95
Диаметр шара (сферы) 107
Длина окружности 96
Дополнительный множитель 32
Дробное выражение 26
Дробь числа 63
Единичная дробь 54
Конечная десятичная дробь 50
Координата точки 130
Координатная плоскость 152
Координатная прямая 130
Координатная четверть 153
Коэффициент 197
Крайние члены пропорции 110
Кратные числа 8
Круг 95
Круговая диаграмма 105
Круговой сектор 103
Масштаб 118
Микрокалькулятор 217
Модуль числа 135
Наибольший общий делитель 18
Наименьшее общее кратное 20
Нахождение дроби от числа 63
Нахождение процентов числа 68
Нахождение числа по его дроби 78
Нахождение числа по его процентам 82
Начало координат 152
Несократимая дробь 30
Обратная пропорциональность 122
Обыкновенная дробь 25
Окружность 94
Ордината 152
Основное свойство дроби 27
Ось абсцисс 152
Ось ординат 152
Отношение 110
Отрицательное число 128
Параллельные прямые 148
Переместительный закон сложения 181
Переместительный закон умножения 58,
195
Пересекающиеся прямые 142
Период десятичной дроби 50
Периодическая десятичная дробь 50
Перпендикуляр 146
Перпендикулярные прямые 145
Площадь круга 99
Подобные слагаемые 202
Полный угол 104
Положительное число 128
Признаки делимости 9
Пропорция 109
Простое число 13
Простые множители 16
Противоположные числа 133
Прямая пропорциональность 114
Радиус окружности (круга) 95
Радиус шара (сферы) 107
Раскрытие скобок 200
Распределительный закон 58, 200
Рациональное число 133
Решето Эратосфена 14
Сложение дробей 38
Составное число 13
Сочетательный закон сложения 181
Сочетательный закон умножения 58, 195
Средние члены пропорции 110
Сфера 107
Умножение дробей 56
Целое число 133
Частное в процентах 85
Числовая ось 130
Шар 107
Оглавление
Мой друг! 3
1. Делимость натуральных чисел 5
Повторение —
1.1. Делители и кратные числа 8
1.2. Признаки делимости 9
Признаки делимости на 10, 5 и 2 —
Признаки делимости на 9 и 3 11
Самостоятельная работа 1 «Простые и составные числа» 13
1.3. Таблица простых чисел —
Исторические сведения 14
1.4. Разложение составных чисел на простые множители 16
1.5. Наибольший общий делитель 18
1.6. Наименьшее общее кратное 20
Для самопроверки , . 24
2. Общие свойства обыкновенных дробей. Сложение и вычитание 25
2.1. Обыкновенная дробь как частное от деления —
2.2. Основное свойство дроби 27
2.3. Сокращение дробей 30
2.4. Приведение дробей к общему знаменателю 32
2.5. Сравнение обыкновенных дробей . ... 35
2.6. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями 38
Для самопроверки 46
3. Преобразование дробей. Умножение обыкновенных дробей 49
Самостоятельная работа 2 «Обращение обыкновенных дробей в деся¬
тичные» —
3.1. Периодическая десятичная дробь 50
3.2. Десятичное приближение обыкновенной дроби 53
Исторические сведения 54
3.3. Умножение обыкновенных дробей 56
3.4. Задачи на умножение дробей 62
3.5. Нахождение процентов от данного числа 68
Для самопроверки 70
4. Деление обыкновенных дробей. Пропорция 72
Самостоятельная работа 3 «Взаимно обратные числа» —
4.1. Деление обыкновенных дробей 73
4.2. Задачи на деление дробей 77
4.3. Нахождение числа по его процентам 82
4.4. Что показывает частное двух чисел 84
4.5. Изменение величины в процентах 88
4.6. Совместные действия с десятичными и обыкновенными дробями 90
4.7. Окружность и круг
4.8. Длина окружности
QQ
4.9. Площадь круга
Исторические сведения
10Q
4.10. Круговой сектор
223
4.11. Круговая диаграмма 105
4.12. Шар 107
4.13. Пропорция 109
4.14. Основное свойство пропорции 112
4.15. Прямая пропорциональность величин 114
4.16. Масштаб 118
4.17. Обратная пропорциональность величин 122
Для самопроверки 124
5. Положительные и отрицательные числа. Прямоугольная система коорди¬
нат 127
5.1. Отрицательные числа —
Исторические сведения 128
5.2. Числовая ось 130
5.3. Противоположные числа 133
5.4. Модуль числа 135
5.5. Сравнение чисел 138
5.6. Пересечение прямых 142
5.7. Перпендикулярные прямые 145
5.8. Параллельные прямые 148
5.9. Координатная плоскость 154
Самостоятельная работа 4 «Построение точки по ее координатам» . . . 156
5.10. Графики 160
Для самопроверки 170
6. Действия с рациональными числами 173
6.1. Сложение двух отрицательных чисел —
6.2. Сложение двух чисел с разными знаками 175
6.3. Законы сложения. Сложение нескольких чисел 181
6.4. Вычитание 183
6.5. Выражения, содержащие сложение и вычитание 186
6.6. Расстояние между двумя точками координатной оси 189
6.7. Умножение двух чисел 191
6.8. Переместительный и сочетательный законы умножения 195
6.9. Коэффициент 197
6.10. Распределительный закон умножения. Раскрытие скобок .... 200
6.11. Приведение подобных слагаемых 202
6.12. Деление . . 205
6.13. Решение уравнений 208
6.14. Решение задач с помощью уравнений 212
6.15. Микрокалькулятор и рациональные числа 217
Для самопроверки 219
Ответы 220
Предметный указатель 222