ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ

ТРУДЫ СЕМИНАРА МГУ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 1
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
ВЫПУСК II
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Г. Ф. РЫБКИНА и А. П. ЮШКЕВИЧА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 9 4 9 ЛЕНИНГРАД
11-5-4
СОДЕРЖАНИЕ
От редакции.......................................... 5
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ
Г. Л. Лунц. О работах Н. И. Лобачевского по математи-
ческому анализу ..................................... 9
А, П. Юшкевич и И. Г. Башмакова. «Алгебра или вычи-
сление конечных» Н. И. Лобачевского................. 72
Б. В. Гнеденко. О работах Н. И. Лобачевского по теории
вероятностей....................................... 129
Н. И. Иделъсон. Лобачевский—астроном............... 137
9. К. Хилькевич. Из истории распространения и развития
идей Н. И. Лобачевского в 60—70-х годах XIX столетия. 168
ЕГОР ИВАНОВИЧ ЗОЛОТАРЕВ
И. Г. Башмакова. Обоснование теории делимости в трудах
Е. И. Золотарёва................................... 231
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
К. А. Рыбников. Первые этапы развития вариационного
исчисления......................................... 355
В. Н. Моловший. Был ли Евклид последователем Пла-
тона? ............................................. 499
Л. Е. Майстров. О статье М. Я. Выгодского «„Начала44
Евклида»............................................ 595
ОТ РЕДАКЦИИ
Публикуемые во втором выпуске «Историко-математи-
ческих исследований» работы были доложены на семи-
наре МГУ по истории математики за последние два года.
Пять из них посвящаются творчеству Н. И. Лобачевского.
Ещё недавно казалось, что и научное наследие, и
жизнь великого русского геометра изучены были со всей
возможной полнотой. Новые архивные разыскания и более
тщательное изучение трудов Лобачевского показали,
однако, ошибочность такого мнения. Публикация Л. Б.Мод-
залевского открыла исследователям доступ ко множеству
ранее неизвестных документов о взаимоотношениях Лоба-
чевского с современниками, о педагогической и админи-
стративной деятельности Лобачевского в Казанском уни-
верситете, о его взглядах на преподавание математики,
механики и физики и т. п. Публикации В. М. Нагаевой
частично осветили плодотворную работу Лобачевского
в области среднего и низшего образования. В обширной
литературе о Лобачевском остаётся еще слабо освещён-
ным вопрос о мировоззрении великого русского геометра.
А между тем Лобачевский был не только гениальным мате-
матиком, но и передовым человеком своей эпохи, матери-
алистические черты мировоззрения которого прослежи-
ваются во многих его работах и высказываниях. Перед
советскими историками математики стоит задача осве-
тить все стороны паучпо-общественной деятельности
и личности Лобачевского.
Статьи о Лобачевском, печатающиеся в настоящем
сборнике, раскрывают мало известные стороны его науч-
ного творчества. В частности, до настоящего времени
не был произведён подробный разбор работ Лобачев-
6
иг РЕДАКЦИИ
ского по математическому анализу и по алгебре. Между
тем, более детальное ознакомление с этими работами пока-
зывает, что Лобачевский являлся не только гениальным
новатором-геометром, ио и выдающимся аналистом и алге-
браистом, который, например, в теории тригонометриче-
ских рядов предварил некоторые идеи Римана, а в теорети-
ческой арифметике одним из первых произвёл глубокий
и тонкий анализ фундаментальных свойств натуральных
чисел и операций над ними. Работы, посвящённые Н. И. Ло-
бачевскому, знакомят с его трудами по математическому
анализу, особенно по теории рядов и Г-функций, по
алгебре, по теории вероятностей, по астрономии и, нако-
нец, с распространением идей неевклидовой геометрии
в 60-е и 70-е годы прошлого столетия.
Следующие за этим циклом статьи, хотя и не образуют
столь единого целого, но все в основной части своей посвя-
щены истории математики в нашей стране. Первая из них
знакомит с историей возникновения и дальнейшего разви-
тия локальной теории делимости целых алгебраических
чисел, созданной гением Е. И. Золотарёва—одного из
наиболее замечательных учеников П. Л. Чебышева. Во
второй работе содержится обзор истории вариационного
исчисления, начиная с древности и до середины XVI11 в.,
причём главное внимание уделяется основоположным тру-
дам знаменитого петербургского академика Л. П. Эйлера.
Наконец, редакция публикует две заметки—два отклика
на статью М. Я. Выгодского о «Началах» Евклида, поме-
щённую в первом выпуске «Историко-математических
исследований».
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ
ЛОБАЧЕВСКИЙ
О РАБОТАХ Н. Л. ЛОБАЧЕВСКОГО
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Г. Л. Лупц
Работы Н. И. Лобачевского по математическому ана-
лизу изложены в статьях: [1] «Об^ исчезании тригономе-
трических строк» (Учёные Записки Казанского Универ-
систета, 1834, кн. II), [2] «Способ уверяться в исчезании
бесконечных строк и приближаться к значению функций
от весьма больших чисел» (Учёные Записки Казанского
Университета, 1835 кн. II), [3] Ueber die Convergenz der
unendlichen Reihen» (Meteorologische Beobachtungen aus
dem Lehrbezirk der Kaiserlich Russischen Universitat
Kasan, Heft 1, 1835—1836, Kasan, 1841) и [4] «Значение
некоторых определённых интегралов» (Учёные Записки
Казанского Университета, 1852, кн. IV, Казань, 1853—
две статьи)1).
В нашей научной литературе имеются об этих работах
лишь отрывочные сведения и притом связанные почти
исключительно с первой из перечисленных статей2).
Между тем, несмотря на то, что гениальные работы Лоба-
чевского по геометрии по праву должны занимать первое
место в характеристике его творчества, весьма высокий
интерес представляют также исследования Лобачевского
по различным вопросам математического анализа. Молча-
ние, царившее в течение многих десятилетий вокруг
х) В дальнейшем ссылки на эти статьи (в указанном порядке)
даются при помопи обозначений [1], [2], [3] п [4].
а) А. В. Васильев, Математика. Петроград, 1921,
стр. 23—24; В. Ф. К а г а н, Лобачевский, М.—Л., 1948, стр. 309—310.
10
Г. Л. ЛУНЦ
аналитических работ Лобачевского, было в немалой сте-
пени связано с незаслуженной критикой их со стороны
Остроградского1); ниже мы ещё вернёмся к этому вопросу.
1. Лобачевский об основных понятиях анализа
Красной нитью через все аналитические работы Лоба
чевского проходит стремление внести ясность в опреде-
ления и добиться в рассуждениях исчерпывающей строго-
сти. Для этого он обращается к основным понятиям ана-
лиза и, прежде всего, к понятиям функции, производной,
интеграла.
Ещё в конце XVIII столетия, в связи с разложением
функции в тригонометрический ряд при решении задачи
о колебании струны, происходил знаменитый спор о поня-
тии функции, в котором участвовали Эйлер, Бернулли,
Лагранж и другие. В своей «Аналитической теории те-
плоты» Фурье говорит о разложении в ряд «любой» функ-
ции, но, хотя в одном месте Фурье и пишет, что «функция
представляет последовательность значений или ординат,
каждая из которых произвольна», тем не менее по суще-
ству у него всюду речь идёт об аналитической или, в край-
нем случае, о кусочно-аналитической функции. Так, напри-
мер, рассматривая разложение функции в тригонометри-
ческий ряд, Фурье допускает возможность обращения
функции в бесконечность в какой-либо точке внутри того
интервала, в котором происходит разложение, но счи-
тает такой случай бессмысленным с физической точки
зрения и не заслуживающим поэтому математического
исследования.
В связи с этим интересно ещё раз подчеркнуть, что
широко известное определение функциональной зависи-
мости, данное Лобачевским в 1834 г. ([1], стр. 181—183),
остаётся безупречным и сейчас, сто с лишним лет спустя:
«Обширный взгляд теории допускает существование зави-
симости только в том смысле, чтобы числа, одни с дру-
1) Л. Б. Модзалевский, Материалы для биографии
II. II. Лобачевского. Изд. АН СССР, М.—Л., 1943, стр. 445—446.
Приведённый в этой книге русский перевод рапорта Остроград-
ского существенным образом искажает его содержание.
о РАБОТАХ II. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ И
гими в связи, принимать как бы данными вместе... Ла-
гранж в своём «Вычислении конечных», которым хотел
заменить дифференциальное (исчисление.—Г. Л.), столько
же, следовательно, повредил обширности понятия, сколько
думал выиграть в строгости суждения»1).
Дальше ([1], стр. 184) Лобачевский обращает внима-
ние на различие между понятиями непрерывности («посте-
пенности») и дифференцируемости («непрерывности») и
строго определяет каждое из этих понятий.
После этого Лобачевский переходит к доказательству
теоремы о том, что, если производная непрерывной на неко-
тором отрезке функции равна нулю, то функция постоянна.
Этим доказательством Лобачевский пользуется, чтобы
показать правомерность данного им определения функ-
циональной зависимости.
Проведя доказательство теоремы (это доказательство
с современной точки зрения нельзя, конечно, назвать
строгим, -ввиду отсутствия понятия равномерной непре-
рывности), Лобачевский для того, чтобы подчеркнуть,
что пет нужды думать о том, «дано ли F(x) в числах или
под F(x) понимается аналитическое выражение», приво-
дит другое доказательство, основанное на аппроксимации
непрерывной функции интерполяционными полиномами.
Далее, Лобачевский вводит определение определён-
ного интеграла, при некоторых ограничительных пред-
положениях доказывает теорему существования опреде-
лённого интеграла и получает выражение его через при-
митивную функцию.
Допуская неограниченность подиитегральной функции,
Лобачевский вводит определение несобственного инте-
грала и исследует сходимость несобственного интеграла
ь
'Р (х) dx
а
в случае, когда функция (х)—неограниченная в какой-
либо точке интервала интегрирования.
*) Дирихле опубликовал известное под его именем определе
ние функции в 1837 г-
12
г. л. лунц
В частности, он приходит к утверждению, что, если
'p(fe)= ± со, но для всех прочих значений х на отрезке
интегрирования /' (ж) = ср (ж), то
ь
а
где, очевидно, /(&)=/(6 — 0).
К вопросам, связанным с определением основных поня-
тий анализа, относится также замечание Лобачевского
о расходящихся рядах ([2], стр. 259). Говоря о ряде
Эйлера-Мак лорена в связи с асимптотической формулой
для функции Г (ж), Лобачевский сохраняет название
«предельного» (данное Лапласом) для такого расходяще-
гося ряда, в котором разность между разлагаемой в ряд
функцией и суммой первых п членов ряда стремится
к нулю при постоянном п. Он распространяет это назва-
ние на всякий ряд, остаток которого можно рассматри-
вать как разложение в ряд функции, имеющей пределом
нуль: «С этим ограничением только должно допускать
употребление возрастающих (расходящихся. —Г. Л.)
строк».
Мы видим, что взгляды Лобачевского на основные поня-
тия анализа, в том числе на понятия функции,- непрерыв-
ности и дифференцируемости, были самыми передовыми
для его эпохи.
2. Признак сходимости Лобачевского
Содержание всех аналитических работ Лобачевского
показывает, что бесконечные ряды являются для него
основным фундаментом математического анализа. Глав-
ным недостатком рассуждений Пуассона и Коши при раз-
ложении функций в тригонометрические ряды Лобачев-
ский считает отсутствие доказательств сходимости рядов
или недостаточную строгость таких доказательств. Столь
же важным вопросом, как доказательство сходимости
ряда, Лобачевский считает оценку остатка ряда. В связи
с этим он предлагает пользоваться найденным им призна-
ком сходимости знакоположительных рядов. Рассужде-
о РАБОТАХ н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 13
ния, на которых основан этот признак, остававшийся
неизвестным до настоящего времени, были использованы
Лобачевским впервые в его «Алгебре»1) при доказатель-
стве сходимости одного числового ряда. Более подробно
говорится об этом признаке в [1]. Статьи [2] и [3] начи-
наются с доказательства этого признака, которым Лоба-
чевский пользуется при исследовании сходимости всех
без исключения встречающихся в [1], [2] и [3] рядов, после-
довательностей и бесконечных произведений. Признак
Лобачевского состоит в следующем.
Пусть для членов знакоположительного ряда
со
2 /(«)	(!)
П=1
имеют место неравенства
/(к + 1) < / (к) и / (п + 1)</ (п) при п > к.
Тогда (при п > к), разложив отношение в двоичную
дробь, получаем:
со
/(»)=/(Л) 2 4п)2-“,
т=1
где для всякого т
4п)=0 или /тп>=1.
Отсюда
со	со
2 /(«)=/(*) 2 L>n2-W-
п=А+1	ш=1
со
где Lm — 2 & суть целые положительные числа
n==fc+l
или нули.
х) н. II. Лобачевский, Алгебра или вычисление конеч-
ных, 1834, стр. 337. На приведённое в «Алгебре» доказательство
сходимости впервые обратил внимание А. В. Васильев в цитиро-
ванной книге.
Г. Л. ЛУНЦ
Определим рт > к из неравенств
?(Р™> > 2-m И ^”*±4} 9 - т
” fW <-	•
Если для некоторого т эти неравенства определяют
несколько значений рт, то возьмём, например, наиболь-
шее из них. Тогда
Рт — гт
(подробнее см. ниже) и, если сходится ряд
оо
2	)	(2)
/п=1
то сходится, и ряд (1). Во многих случаях ряд (2) легко
суммируется или мажорируется легко суммирующимся
рядом, что даёт возможность оценивать остаток ряда (1).
Пусть, например, дан ряд
Взяв к=1, получим для определения ptn неравенства
4->2’т;
Рт
1	< 9-ш
(Рт+1)2^	’
т. е. рт~целая часть
уравнения
Таким образом,
т
значения рт = 2 2 , полученного из
1
_____9-т
—2 --
Рт
f	л
2 77 <2 (2 2 -1)2-''-V=-7-1
п=2	т-1	У
И
1
/Г-1
< 2,45.
О РАБОТАХ и. II. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 15
Для оценки остатка
= 2 £
л = А+1
определяем рт из уравнения -А = А 2-“', откуда
Рт
рт=к2г и
СО	П1
^<-Д2 ^’г-л)2-п'=4(тЬ-1)<¥-
т = 1
Лобачевский формулирует свой признак, как доста-
точный; между тем легко показать, что он не только
достаточен, но и необходим.
Действительно, ряд
у
А /(*)
может быть переписан в форме
. .+б£’0)2М1)2-,+е£1>2-'+.. ,+9<?2-‘+.
+e$m’2-m+6Vn)2-m+.. . + 6nm)2-m+....
где все 6^ подчинены условию
4<е<1.
Тогда
Гт = Рт~ &=ПО + Пг+ . . .	И Го=О,
а для Lm находим
fyn-i	гт 11 ЛИ
и, следовательно,
/(*) 2 (г«-2-т< 2 /(«)=
"1-1	п=/с+1
= /(*) 2 Am2-m</(A) 2 г„2 "’.
zn=l	m«i
16
г. л. ЛУНЦ
Но
СО	со
2 rm-,2-m = | 2 гт2-т
Л1 = 1	zn = l
со	со	со
!/(*) 2^2-т< 2 /(«)</(*) 2 '•т2""-
т —1	n=A-f-l	7П = 1
Таким образом, ряды (1) и (2) сходятся или расходятся
одновременно.
Признак Лобачевского легко может быть сформули-
рован в более общей форме, если разложение в двоич-
ную дробь заменить разложением в ^-ичную дробь (q > 1
и целое). Если под рт попрежнему понимать наибольшее
из целых чисел, для которых выполнены условия
/ (Рт) -т.
/(Pm+l)
/(*)
и, как прежде, положить гт — рт — к, то
СО	СО	СО
3	2'wr’".
m«=l	п«»Л+1	m = l
Лобачевский ([1], стр. 175—177) обобщает свой при-
знак в несколько другом направлении, не формулируя,
однако, этого обобщения, не доказывая также необхо-
димости этого обобщённого признака, а ограничиваясь
только рассмотрением применяемого им приёма к оценке
остатка ряда
2 2п (2п —1) *
п=1
Эта форма признака Лобачевского может быть изло-
жена следующим образом.
о РАБОТАХ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 17
Обозначив f(k) = a~l< 1 и считая, что
/(& +1) < f (к) и / (п +1) < / (п) при п > к,
положим
/(») = 2
т=in
где для любого п > к*.
а-^ <Ап<а-Л nin>2.
Тогда, объединив члены с одинаковыми степенями
а, получим
со	со
п=А+1	п>=2
С другой стороны, остаток ряда имеет вид
ер
~	0!1]	0Е°
У /(„) = _!_+_± 4-...,
—J 7 V 7 а а	1 а а- *
и=л+1
6(2)	в(2)	0(»<)	8(m)	Jm)
J___£_ I □______”2 I	I 1	।	I	। пт 1
Я2	'	' az । ••• ат I ат I • • • I ачп । * * •»
а2
а,п
где все 6f"‘ подчинены условиям
Из определения чисел Ai и Lf следует:
Ч + п2 + ... +	а-^ < Lm< (nx+n2+.. .+nmJ (а — 1).
Обозначив через рт наибольшее из чисел, определяемых
неравенствами
получим
Рт = к + п1 + п2 -----4- пт-1
Историко-математ. исследования
2
18
Г. Л. ЛУНЦ
и, следовательно,
где гт=рт—к.
Таким образом,
2 /(«)<(«-!)2^-
7П=2	п = А + 1	т=2
Для ряда (3) Лобачевский получает, применяя этот
приём, лучшую оценку (сверху) остатка, чем при пользо-
вании первоначальной формой признака.
Таким образом, Лобачевским был найден весьма инте-
ресный необходимый и достаточный признак сходимости
знакопостоянных рядов. Этот оригинальный признак
оставался по существу неизвестным до настоящего вре-
мени.
3. Вклад Лобачевского в теорию
тригонометрических рядов
Основное внимание в аналитических работах Лоба-
чевского уделено разложению функций в тригономе-
трические ряды. Уже Лагранжу и Эйлеру были известны
интегральные формулы для коэффициентов разложения
функции в тригонометрический ряд. Доказательства тео-
ремы о разложении функции в тригонометрический ряд
публиковали Фурье, Пуассон, Коши, Дирксен, Дирихле,
и все эти доказательства были известны Лобачевскому.
Фурье1) ищет доказательство этой теоремы в двух
направлениях. Исходя из разложения функции в ряд
Тейлора, он составляет для определения коэффициентов
тригонометрического ряда систему, состоящую из беско-
нечного числа линейных уравнений с бесконечным числом
неизвестных. Рассуждения при этом весьма далеки от
строгости. Далее Фурье, пользуясь выражением, полу-
чившим впоследствии наименование интеграла Дирихле,
*) Oeuvres de Fourier, t. I. Theorie analytique de ]a chaleur,
1822. Paris, 1888.
О РАБОТАХ II. и. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО М А ГЕМ УТ. АНАЛИЗУ £9
намечает путь доказательства, которое приоорело позднее
исчерпывающую строгость в изложении Дирихле. Фурье
не приводит строгих доказательств сходимости тригоно-
метрического ряда и рассматривает по существу лишь
аналитические функции, как об этом уже упоминалось
выше. Он отмечает, что на концах интервала, в котором
происходит разложение, сумма ряда не совпадает, вообще
говоря, со значением разлагаемой в ряд функции. Опре-
делением значения суммы ряда в точках разрыва функции
Фурье вообще не занимается.
Пуассон1), исходя из разложения
со
1—гп——дч, г» = 1 + 2 У hl{ cos к (тех — б),
1 — 21г соя (пх — 6) + А-	^-1	' п
k=i
справедливого при ] h <4, находит
1
5 112Л cos (7«-0) + 7»2 f =
п
1	со	1
= / (6) dO + 2 2 hk cos &	— G) / (6) dO,
о	А=1	о
показывает, что
1
Й 5	+ / (") ^ = 2/	(4)
и получает, таким образом, разложение функции в три-
гонометрический ряд. Так как при этом сходимости ряда
при h — 1 Пуассон не доказывает, а предельный переход
(4) может оказаться осуществимым и тогда, когда этот
ряд расходится, то метод Пуассона вошёл в науку, как
один из методов суммирования расходящихся рядов.
Пуассон показывает также, что на концах интервала,
в котором происходит разложение, а также в точке раз-
рыва, если с одной стороны от неё функция равна пулю,
сумма ряда равна половине соответствующего значения
функции.
—-—-------------
х) Journal de ]’ёсо!е polyt., cahier 19(1823).
2*
20
Г. Л. ЛУНЦ
Впоследствии Пуассон пытается доказать и сходимость
тригонометрического ряда. Выполняя интегрирование по
частям, он получает х)
/ (6) cos п (0 — a) dfJ =
= / (6) sin п (6— а) — f (0) sin п (6—- а) с/6
и, указав, что таким образом доказано стремление к нулю
члена тригонометрического ряда при п —» со, считает
это достаточным доказательством сходимости ряда.
Ещё позже* 2), поняв необоснованность такого утвер-
ждения, Пуассон доказывает, при помощи двухкратного
интегрирования по частям коэффициента ряда, сходимость
разложений, состоящих из одних косинусов или одних
синусов, введя при этом весьма ограничительные пред-
положения.
Так, предположив, что /'(л) = /' ^0) = 0 (и имея, конечно,
в виду непрерывность /(ж), /'(я), /"(я) во всём проме-
жутке интегрирования), Пуассон получает
гс	т,
2 f	9 С
ап = — \ / (ж) cos пх dx = —	\ /" (ж) cos пх dx.
о	о
Подобным же образом, если / (тс) = / (0) = 0, то
гс	-тс
2 С .	2 С
Ьп = — \ / (х) sin пх dx — —	\ /" (ж) sin пх dx,
о	и
и сходимость соответствующих рядов обоснована присут-
ствием множителей п2 в знаменателях.
Коши3 * *) повторяет доказательство Пуассона, основан-
ное на (4), перейдя предварительно от тригонометриче-
ских функций к показательным с мнимым аргументом.
J) Poisson, Traite de m6canique, t. I, 1833, стр. 647.
2) Poisson, Theorie math, de la chaleur, 1835, стр. 186.
3) Cauchy, Memoire sur les developpements des fonctions
en s6ries periodiques (1827). Oeuvres completes, I s6rie, t. II,
Paris, 190S, стр. 12—19.
о РАБОТАХ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 9j
Коши доказывает также сходимость разложения, преобра-
зовывая ряд при помощи теоремы о вычетах и сведя, таким
образом, доказательство сходимости ^произвольного ряда
к доказательству сходимости ряда, олизкого к
оо
Ssin пх
п
п=1
Что касается последнего, то его сходимость Коши считает
очевидной.
При этом Коши требует, чтобы разлагаемая в ряд
функция была аналитической и равномерно ограниченной
в некоторой полосе плоскости комплексного аргумента.
Заметим также, что в ходе доказательства Коши не обос-
новывает производимой им взаимной перестановки знака
интегрирования и знака суммирования.
Абельг) доказывает сходимость ряда
оо
2 sin пх
п
П = 1
при помощи предельного перехода, отправляясь от бино-
миального ряда, а также переходя к пределу при г —> 1
в разложении
г sin х
arctg 1 _ r cos а-~ rsin* +-5-®insin Зя + ...
/ vvo •**	X	О
Дирксенl 2), которого часто упоминает Лобачевский,
записывает ряд Фурье в форме
Га \ / (и) Ф + 7 3 $ cos	'° f	d'1
- «	к=1 — а
и, предполагая функцию j (х) ограниченной и заданной
различными формулами на отрезках (н-i, н)> 113 которых
состоит отрезок интегрирования (число таких отрезков
предполагается конечным), получает при помощи инте-
l) Abel, Oeuvres, t. I.
2) Journal fur reine und angew. Mathematik., 4 (1823).
22
Г. Л. ЛУНЦ
грирования по частям:
ОО Hi	°о
2С kiz (х — ц>) , . . ,	л и \ V • kiz(x — \i-i)
) cos \	/ (И)dp = -- f (h)2j у sm -	-+
CO
Hi
C 1	. кп (ж — |i) , . . .
J Tsin—f
Сославшись без доказательства на то, что ряд с общим
членом — sin пх сходится, и произведя в последнем члене
правой части перестановку знака суммы со знаком инте-
грала, он считает сходимость ряда доказанной при усло-
вии, что /' (х) не обращается в бесконечность. Для распро-
странения доказательства на тот случай, когда f'(a)= со
(—а<^д<а), он рассматривает ряд
2 cos*^/(p)dp
А=1 О
а 2
и строит дальнейшие рассуждения на заведомо ложном
именно в данном случае утверждении, что функцию / (д+гб)
можно разложить в «сколь угодно быстро сходящийся»
ряд по степеням 6. Следующее далее доказательство того,
что сумма ряда равна / (х), также лишено всякой убеди-
тельности.
В 1829 г., в журнале Крелля (рядом со статьёй Дирк-
сена) появляется статья Дирихле1), в которой формули-
руются условия, обеспечивающие возможность разложе-
ния функции в тригонометрический ряд (условия Дири-
хле). Дирихле исходит из предложенного ещё Фурье
1)Lejeune-Dirichlet, Sur la convergence des series
trigonometriques qui servent a representer une fonction arbitraire.
(Journ. fur. reine und angew. Math., 4, 1829).
о РАБОТАХ Н. II. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 23
/сМ. выше) представления частной суммы тригонометри-
ческого ряда при помощи интеграла (интеграл Дирихле):
и	пл
f / (Z) dt + J- V cos kx \ f (t) cos kt dt -f-
2л J	*	J
— 7L	A = 1	—Л
n	Л
-f- -i- 2 sin Ao; / (Z) sin kt dl =
fc=l	-л
/ (Z) dt.
(5)
Далее доказывается (при помощи соответствующего
разделения отрезка интегрирования в правой части этого
тождества), что, если функция f(x) равномерно ограни-
чена, имеет не более, чем конечное число точек разрыва,
и притом только первого рода, и конечное число экстре-
мумов на отрезке (—те, тс), то выражение, стоящее в пра-
вой части (5), имеет своим пределом при п—> со во вся-
кой точке х интервала (— тс, к) значение
4[/(*+0) + /(я-0)],
совпадающее с /(ж), если функция / (х) в точке х непре-
рывна; кроме того, в точках ж=±тс этот предел равен
1[/(_к + 0) + /(к-0)].
При всей строгости, в доказательстве Дирихле имеется
одно слабое место, на которое и обратил внимание Лоба-
чевский ([1], стр. 168): доказательство существенным обра-
зом опирается на равенство
СО
\ Sin X j тс	/ г*\
<6)
о
нестрого полученное ещё математиками XVIII столетия,
и в обоснование этого равенства Дирихле не приводит
a
Г. Л. ЛУНЦ
никаких доводов. Дирихле, очевидно, и сам обратил
внимание на этот пробел, так как впоследствиих) (уже
после опубликования Лобачевским статей [1] и [2])
перестроил своё доказательство так, чтобы не пользо-
ваться равенством (6).
Отметив указанный пробел в работе Дирихле и не
будучи удовлетворён другими, изложенными выше рас-
суждениями, при помощи которых обосновывалось раз-
ложение функции в тригонометрический ряд, в частно-
сти, указав на необходимость строго доказать сходимость
ряда
со
2 ~ sin пх
П=1
(имеются, очевидно, в виду метод Коши и доказательство
Дирксена), Лобачевский предлагает своё доказательство
(см. [1]).
Преобразовав при помощи двукратного интегрирова-
ния по частям общий член ряда Фурье к виду
1
cos к (тсж — со) f(x)dx=:
о
=[(-1)* / (1) - / (0)]+ " [(- 1)л /' (1) _ /' (0)] -
1
1 с
—\ cos (тсж — id ) /* (ж) с?ж, (7)
о
Лобачевский, прежде всего, обращается к ряду
2	.	(8)
k=i
Соединив в нём каждые два соседних члена, он получает
2«-1
S sin Леа sin (2Л — 1) to <о х? 1	(о/	1 Л
А =	+ cost2
Л-1	Л-1	Л-1
l) L е j е и n e-Di г i с h 1 е t, Die Darstellung ganz willkurlichen
Funktionen durcb Sinus und Cosinusre&en, 1837. Leipzig^ 1900.
о РАБОТАХ Н. и. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 25
а применив тот же приём ко второй сумме в правой части
и продолжая так дальше, приходит к равенству
2»
sin к<» _ vi sin (2к — 1) со
Zj Г" ""	~2к (2к -1)
л-1	*=*
П ш	2rsin Ач- - --2Г2‘~1 У
+ 3 COS 7 C0S ю • • • cos 2Г’3 “3	2А(2А-1>------4
г=2	^=1
+ cos у cos ш ... cos 2П~2 <») sin ю. (9)
Прежде всего, при помощи весьма изящного рассужде-
ния Лобачевский доказывает, что последний член в пра-
вой части этого равенства стремится к нулю при п—>оо.
Считая, что 0 < о) < те (в случае <о = 0 и со =тг равенство
нулю рассматриваемого выражения очевидно), можно
написать
«^^2 Z₽2“P-
Р=1
где 1р = 0 или 1. Если количество значений р, для которых
lp = v, ограничено, то =	, где т и q — целые положи-
тельные числа и т — нечётное; тогда
cos(2«-'^) = 0
и, следовательно, один из косинусов в произведении обра-
тится в нуль при достаточно большом п. Пусть теперь
количество значений р, для которых Zp = 0, бесконечно;
тогда из Zg = 0 следует
|cos(2«-M|< / 4
и, следовательно, взяв п достаточно большим, мы полу-
чим в произведении сколько угодно множителей с абсо-
/I.
лютными величинами, меньшими, чем
26
Г. Л. ЛУНЦ
Далее, на основании тождества
л	ог-ч sin 2Г“2 сй
COS -х- COS со . . . cos 2Г 3 0) =--
L	.	<0
2r-1sin —
и с помощью своего признака Лобачевский доказывает
абсолютную сходимость рядов в правой части равенства
(9) и получает оценку
со
где
со
L ~ 2 2А (2/с-1) •
А=1
Отсюда Лобачевский (без детального обоснования)
заключает, что сходится ряд
со
2 -^ [(-!)* /(1)-/ (0)]	(Ю)
А=1
и что абсолютная величина его суммы меньше, чем
(1 \
1	4-----|, где А — наибольшее из чисел
sin у У
7l/(l)+/(0)|, ||/(1)-/(0)|.
Впрочем, для строгого обоснования сходимости
ряда (10) достаточно убедиться в сходимости любого
из рядов
со	со
2	sin (2/с — 1) ю уч sin 2foi>
2ЬЛ ’ 2j к ’
А=1	А=1
что нетрудно сделать тем же методом, которым Лоба-
чевский доказывает сходимость ряда (8)г).
О А. В. Васильев в указанной ранее книге мимоходом отме-
тил применение Лобачевским бинарного ряда к доказательству
sin(2n + l)z
сходимости ряда с общим членом -—9	.
о РАБОТАХ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 27
Таким образом, для того, чтобы сходимость ряда
с общим членом (7) была установлена, остаётся дока-
зать сходимость ряда
СО	1
2	j cosk(^x—&)f"(x)dx.
А = 1 П 11
Лобачевский показывает, что эта сходимость действи-
тельно имеет место, если f" (х) во всём промежутке
интегрирования непрерывна в ограничена, за исключе-
нием конечного числа точек, где f"(x) = ос, при условии,
что в окрестности этих точек f (х) конечна.
Следует заметить, что, хотя Лобачевский, как уже
указывалось, и ввёл строгое разграничение между поня-
тием непрерывности и понятием дифференцируемости,
он всё же, невидимому, считал, что непрерывная функ-
ция может не быть дифференцируемой только в конеч-
ном числе точек па всяком отрезке, и что при этом про-
изводная непрерывной пли кусочно-непрерывной функции
также кусочно-непрерывна. Поэтому само по себе введение
в доказательство функций f (х) п /" (х) Лобачевский не
считает, очевидно, каким-либо ограничением и в заклю-
чение проведённого доказательства говорит, что сходи-
мость ряда с общим членом (7) доказана, если / (х) и f (х)
ограничены («не делаются бесконечными») при	1.
Наличие конечного числа точек разрыва первого рода,
как легко видеть, приводит только к такому изменению
коэффициентов при sin А: о и cosAxo в (7), которое не
влияет на сходимость ряда.
Сравнивая условия, при которых Лобачевским дока-
зана сходимость ряда Фурье, с условиями Дирихле, сле-
дует сказать, что условия Лобачевского в некотором
смысле шире условий Дирихле, так как допускают бес-
конечное количество экстремумов. В этом нет ничего
удивительного, так как из ограниченности f (х) следует,
что /' (ж) _|_ С > 0, если С достаточно велико, и, следо-
вательно, функция ср (х) = f (х) +Сх монотонна, а функ-
ция f(x) = <р (х) — Сх, равная разности двух монотонных
Функций, имеет ограниченную вариацию.
28
Г. Л. ЛУНЦ
После этого Лобачевский обращается к суммированию
ряда Фурье. Ои рассматривает сначала метод Пуассона,
который считает обоснованным после того, как доказана
сходимость ряда. При этом он переходит к более общему
случаю, распространяет в (7) интегрирование на отре-
зок ( — 1,1), допускает для f (х) конечное число точек
разрыва первого рода в этом интервале и получает для
— 1 < <0 < 1:
1	со 1
= 4 / (#) dx + 2 J cos (х — ш) / (х) dx,
-1	А=1 -1
4(/(-1)+/(1)]=
1	со	1
== 4 / (х) dx 4- 2 (“ 1)* \ / (х)eos кк х dx.
-1	/с=1	-1
Отсюда Лобачевский получает предельные значения
интеграла Дирихле, положив в (11) f(x)=i (и ш = 0):
или
пх
— dx — 1;
а положив /(#) = ! при х < а, где 0 < « < 1 и / (я) = О
при х > а, получает
Осуществляя вторичный переход к пределу при
>0 и произведя соответствующую замену переменной,
о РАБОТАХ Н. II. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 29
Лобачевский показывает, что
Csinfdj. "
J X	2
fl
Преобразовав, далее, частную сумму ряда Фурье при
помощи интеграла Дирихле
1	" с
f(x)dx+'£1 \ /(®)cosfor(a:-«>)d®=
2	A	*=i -1
* sin * (n + v
-4 —L \ —1 dx> (12>
-1 sin — (х-ш)
Лобачевский изучает тот случай, когда одна из величин
/(«),/'(«) или обе эти величины обращаются в беско-
нечность ( — 1 < а < 1). Для этого он рассматривает
выражение
а+8	п а+о
Рп (и), а, 8) =-i	f(x) cosxk(x — u)dx =
а—о	к=> 1 а — 8
°ts sin Г я (п + -lYz-m) 1
=4 \ —-------------------'-t^)dx	(13)
о-б siny^-to)
и показывает, что, если функция f (х) интегрируема
(при /(а) = со интегрируемость равносильна абсолютной
интегрируемости), то
lim Рп = 0 при ш Ф а,
П-»оо
S-»D
и ряд сходится во всех точках, кроме точки ш = а, если
/(а) = оо. Если же /(а-ЬО) и	конечны, то даже
в случае, когда /' (а) = оо,
ИтРп = 1[/(а —0) + /(а + 0)] при ш = а;
n-»co	z
6->0
30
г. л. л мт
но разность между (12) и Рп является частной суммой
ряда Фурье для функции, равной нулю на отрезке
(а — 3, «4-3) и совпадающей с f (х) вне этого отрезка,
и, следовательно, стремится к нулю при со = « и п—>ос.
Таким образом, и в этом случае сумма ряда равна
| [/(«-0)+ /.(«+0)].
Эти рассуждения замечательны не только тем, что
Лобачевский значительно расширяет условия разложи-
мости функции в ряд Фурье, допуская её неограничен-
ность. В этих рассуждениях содержится (хотя и при
менее общих условиях относительно характера разла-
гаемой в ряд функции) принцип, несколькими десятка-
ми лет позднее вновь доказанный Риманомг) и состо-
ящий в том, что сходимость и значение суммы ряда
Фурье функции / (ж) в точке х зависят только от пове-
дения функции в окрестности точки х.
Как в предыдущих, так и в последующих рассужде-
ниях, Лобачевский часто переставляет знак суммы со
знаком интеграла, причём иногда под знаком интеграла
после этого оказывается заведомо расходящийся ряд.
Это, однако, в большинстве случаев отнюдь не свиде-
тельствует о нестрогости изложения, а лишь о вольности
в обозначениях, так как сам Лобачевский указывает
([1], стр. 214), что «нет, впрочем, надобности разуметь
число членов в строке бесконечно великим, оставляя
назначать i впоследствии, как точность вычислений того
потребует * 2)и>.
Закончив, таким образом, доказательство теоремы
о разложении функции в ряд Фурье, Лобачевский пере-
ходит к другому, уже совершенно оригинальному дока-
зательству. Основываясь на установленной сходимости
*) «Ueber die Darstellbarkeit einer Funktion durcheine trigono-
metrische Reihe» (1853); имеется русский перевод в книге: Берн-
гард Риман, Сочинения, Гостехиздат, М. — Л., 1948, стр.
225-262.
2) i — максимальное значение индекса суммирования. — Г. Л,
о РАБОТАХ Н. и. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 31
ряда (8) и исходя из разложения
log (1 + е>*) = - 2 (- 1)* со?** + ^п**
А = 1
он приходит к равенству
^=2^,	(14)
А=1
справедливому при условии, что 0 < х < 2~.
Положив далее
и а
У cos к (х — ы) / (ж) dx,
к=-п-а
где	и /(х) — совершенно произвольная интегри-
руемая функция, и взяв любые b и с так, чтобы
— п<6<с<а, Лобачевский получает, изменив поря-
док интегрирования в правой части:
Fn (о) tZo) = ~	£ с + 2 2 у sin А* (с — ж) J / (х) dx —
ь	~а	А-=1
fl	п
-у 5 [6 + 22 4sin*(6 — ж)] f(x)dx. (15)
-а	к=\
Первый из интегралов в правой части преобразуется
к виду
а	п
£ с + 2 2 -J sin к (с — ж) ] / (ж) dx =
-а	А=1
= £ с 4- 2 2 sin к (с — ж) ] / (х) dx +
О	А = 1
+ $ [ с + 2 2 т sin А (с +] / (ж)dx-
D	А‘=»1
32
Г. Л. ЛУНЦ
Из равенства
[ с + 2 у sin А: (е х) ] / (ж) dx =
О	А=1
с	п
= с 4- 2 2 у sin к (с — х) J / (ж) dx 4-
0	А=1
+ [с- 2 2 у sin к(х — с)] f(x)dx,
с	к=1
переходя к пределу при п—>оо, Лобачевский получает,
с учётом (14):
а	п
Нш [с + 2 2 sin к (с — х) J / (х) dx —
П->0° О	/с=1
с	а
= (к -Ь х) / (х) dx— (тг — х) / (х) dx.
U	с
Аналогичные рассуждения, применённые к остальным
слагаемым правой части (15), приводят к следующему
конечному равенству:
lim ( Fn(w)dM — K I f(x)dx.	(16)
П->ОО J	J
b	b
Обоснование осуществлённого при выводе (16) перехода
к пределу под знаком интеграла у Лобачевского отсут-
ствует. Его можно было без особого труда построить
следующим образом1).
1) Для справедливости дальнейшего /(я) должна, собственно
говоря, быть абсолктно интегрируемой (или суммируемой в смыс-
ле Лебега) на отрезке ( — «, ^). Для Лобачевского различие между
интегрируемостью и абсолютной интегрируемостью не сущест-
венно, так как иод неограниченностью функции он всегда понимает
стремление функции к +оо или к — оо.
о РАБОТАХ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 33
Если
п
Нп (х) = к — х — 2 2 A sin кх,
А=1
о
О	k=l
c	n
т0, например,
с	п
£с4-2 У isinA(c —аг)] f(x)dx =
с	п
1	~|
-г sin kt f (c — t)dt =
К	I
A sin kt J / (c — t) dt 4-
A = 1
6	n
£ c 4- 2 2 j sin Atf j / (c — f) d/ =
0	A=1
c
— t)/(c —Rn(t)f(c—t)dt +
s
8
е
с
J I J • Z
о о sln у
— dz] —
где e > 0 совершенно произвольно.
Но, как показывает Лобачевский в одной из своих
дальнейших работ ([3], стр. 22 — 26),
А
п sin —
где Л —постоянная и, следовательно,
с	с
| \ Rn (t) f (c-t) dt I < J | / (c-t) | dt.
e	1 n sin — i
3
Историко-математ, исследования
34
Г. Л. ЛУНЦ
В то же время
* sin^n + -l\ 2n+isinfn+^.V
<	\ У а,<
и sin у	<J sln ~2
2тс
2м+1
<(« + {) 5 Л^=°(1). (17)
о Sin-
Из неравенства для | Rn (х) |, соотношения (17) и абсо-
лютной интегрируемости f(x) следует, что, каково бы
ни было 8 > 0, можно подобрать такое е, чтобы при
достаточно большом п имело место неравенство
|?г rsinCn+4')z 1
J LC+ \ --------~Г~rfz] /(с ——
о о sin у
С	8
— Rn (t) f (c — t)dt—^ (с + тс — t) f(c —	| < 8
8	0
и, следовательно,
c	n
lim £с-Ь2 2 у ainfcfc — x)] /(я)оГя:==
n”*°° о	/<-1
c	c
= (c + tc — t) / (c — t)dt= (тг4-я) f(x)dx.
о	0
Подобным же образом обосновывается переход к пределу
и в других членах правой части (15).
Равенство (16), доказанное при единственном условии,
что f(x) абсолютно интегрируема, можно сформулиро-
вать следующим образом: почленное интегрирование
ряда Фурье (даже расходящегося) функции f(x) приво-
дит к ряду, сходящемуся к интегралу от функции f(x).
Эта теорема была вновь доказана ЛебегомJ) лишь
х) Lebesgue, Lecons sur les series trigonometriques,
Paris, 1906.
о РАБОТАХ II. и. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 35
в 1906 г., Т. е. на 72 года позже, чем её доказал Лоба-
чевский. В случае, если — а и с>а, Лобачевский
получает
с	а
lim	\ Fn (ш) с?ш = к k / (х) dx.
П-ЮО	~	J
о	-а
Из равенства (16) Лобачевский делает необоснованные
выводы, исходя по сути дела из предположения, что
lim Fn (х) = F (х)
п-»со
существует и что
с	с
lim \ Fn (х) dx—\F (х) dx.
п-*т J	J
ъ	ь
(18)
Так, основываясь на том, что разность с — b можно счи-
тать сколь угодно малой, Лобачевский заключает, что
всюду, за исключением, быть может, конечного числа
точек, имеет место равенство
lim Fn(x) = Tzf (х).
п->оо
Преобразовав Fn(co) к виду
f(x) dx
и пользуясь тем, что
® sinfn-f-ljz
lim \----—------— dx — тс, если 0 < х < 2тс,
^°°о sin|
и
г вй/п + -1')®
11т \----------------dx = 0, если 0 < а < Ь < 2тс(
П-»со v .	. X
3*
3G
Г. Л. ЛУНЦ
Лобачевский, исходя фактически опять из того, что
limFn(x)=F(a;)
п-»оо
существует и не оговаривая условий, которые следует
для справедливости его рассуждений наложить на / (х),
показывает, что F (x) = itf (х) во всех точках непрерыв-
ности f (х), кроме х= ± а. Для вычисления значений
F (х) в точках х = ± а Лобачевский продолжает функ-
цию / (ж) за пределы отрезка (— а, а) по закону
/(а 4-ж) =/(«-* я),
/( — a — x)=f( — а + х),
а для определения значений F (х) в точке разрыва х = w
функции / (х) пользуется вспомогательной, непрерывной
при я; = о), функцией
(f(x) при я<ш,
I /(я) — /(<•> + 0) + /(<о —0) при х> О).
В следующей работе [2] Лобачевский доказывает
теорему о разложении функции f {х) в тригонометри-
ческий ряд при условии, что f(x) дифференцируема на
отрезке (— тс, тс), за исключением конечного числа точек,
где /' (я) = ±оо, и ограничена1).
Заметим, что при соблюдении указанных условий
f(x) имеет ограниченную вариацию и может иметь
точки разрыва только первого рода и лишь в конечном
числе, но количество точек экстремума может быть
бесконечным.
Доказав снова сходимость ряда
со
тс — х — 2 V — sin пх
п
П = 1
*) Функцию, обладающую таким свойством, Лобачевский назы-
вает аналитической.
о РАБОТАХ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 37
при 0 < х < 2к, подсчитав значения
* sin ( п ь у х
Dx = lim \ — ------—— dx
— i sin±
(19)
(Рх==к при 0<ж<27г, Dx = 2k при ж = 2тг, Dx = 3k при
2тг < я < 4л, Рж= — при — 2?г < х < 0 и т. д.) и пред-
ставив частную сумму ряда Фурье в форме
г sin
Fn(®) = |J-
/ (я) dx —
*“ш sin (п 4- -1Л х
J ----~—х------/ (ж + 0))
sin ~2~
Лобачевский интегрированием по частям получает, в пред-
положении непрерывности /(ж):
’’““’sinf
2Гп(о>)==/(тг) \ ——-2-dx —
о sin у
-к-ш Sjn /п 4--1Л х
-/(-") \ -	dx —
о sin -у
VШ	С sin ( п + у") х
— J f(« + o>)^\ -----------dx +
о	о sin —
+ J /' (^ + о>) dt	\ х dx. (20)
О	b sin у
Осуществив затем переход к пределу (предельный пере-
ход можно обосновать подобно тому, как мы это пока-
зали на стр. 34) при п—> со , с учётом значений (19),
34
Г. Л. ЛУНЦ
он приходит к равенствам:
F (со) = тс/ (со) при со Ф 4- тс, 1
F(± »г) = 1« [/(«)+/(-<*)]» J (21)
где
F(co) = limKn (со);
п-»оо
Лобачевский показывает, как можно притти к формулам
для вычисления F( ± тс) из (20), если продолжить f(x)
вне интервала ( — тс, тс), как это было сделано в [1]. Так,
для вычисления F (тс) он полагает /(тс4-я) = /(тс — я).
Если х = а точка разрыва функции, то, положив, как
и в [1],
( \-1	при х<а'
° 'Х ( / (х) — В 4- А при х > а,
где А = / (а — 0), В = / (а 4- 0), Лобачевский получает,
применяя (21) к ф(ж):
« sin [	+	W)1
2тс/(со)=Ит V —----------------------±f(z)dx +
n-*°°	sin -5—
* sin Г ( n +	(Ж- co) 1
+ (A — B) lim \ -----------—---------- dx =
'	I	. X — CO
n->°° J	Sin ___
= lim
n-cco
X — co
/ (я) dx,
если co < а, так как в этом случае
sin
lim
. X— co
sm —
71 sin ( n + x
dx = lim \ —-------—dx=0
sin |
о РАБОТАХ н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АН \ЛИЗУ 39
sin Г("4-у) (х-о>)1
2«[/(°>) В} = lim \--------“------------S-f(x)dx^-
"*“ u sin
2
’tp“sinfn+4V
+ (4-£)lim \ —dx=.
"""а-ш sinA
[(п+4)(ж_шП
. X— 0)
Sin“2~
/ (х) dx 4- 2к (А — В),
т. е.
г sin Г(n4--j-\s-u>)l
2л/(ш)= lim \ —----------------J- / (х) dx
при ш > а.
Таким образом, равенство ^21) обосновано и для
функции f(x), имеющей разрыв в точке х — а, если
о) #= а.
При ш = я равенство (21), применённое к функции ф (х),
даёт
*sin Г (
2кА = lim у—------------------— / (х) dx 4-
п->°° 4 sin
ъ~а sin ( п + -у ) х
4- (А — В) lim \ ---------dx =
п-кю ( sin у
« sin Г fn + 4') (•»-«>]
= lim \ ——----------------— / (x) dx-{-iz(A — B),
т- e. в этом случае
Р(«) = лЛ+2В
40
Г. Л. ЛУНЦ
или
f (а)=тс/_м±ЛЕ±2).
К разложению функции в тригонометрический ряд
Лобачевский возвращается также в [3]. Методом, сход-
ным с тем, который применялся им в [1], Лобачевский
исследует сходимость ряда
р-1
п 1
sin (пх 4- а)
п + р
более общего, чем (8). Он приходит к равенству вида
Sin ~2
(22)
которое может служить также оценкой остатка ряда
со
vi sin (пх + а)
п
п=1
Заметив, что полученная оценка не зависит от а, Лоба-
чевский применяет её к случаям а = 0 и а = уИ, поль-
зуясь разложением log(l — eix), опять получает (14)
и снова вычисляет значения (19). Дальнейшие рассужде-
ния аналогичны тем, при помощи которых Лобачевский
пришёл к (16) в [1], с тем лишь различием, что част-
ная сумма ряда представляется в форме интеграла
Дирихле.
Считая, что f(x) интегрируема, и положив
X — (О
/ (я) dxt
о РАБОТАХ н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 41
---------------
где 6 —2г, ’Лобачевский получает
f /?п(ш)</о> = \ f(x)dx \ -—------da>4-
g	а	а — х	Sin
*	₽“х sin ( п 4- i') °
*+ \ / (ж) dx \ ———da' +
0	а—х Sin ~2
*	5 Sin [Yn + A\«-w)l
+ \ / (я) dx \ -------^7^------da,
1	i Sin —-
где оа<?Р
Внутренние интегралы в первых двух членах правой
части стремятся к нулю при п—> оо , как это следует
из вычисленных ранее значений (19) и, следовательно,
₽	₽	₽“®sin (п + 4 Iш
lim Fn (a) da = lim \ / (х) dx \ -----------------da +
n->°° J	п-*°° «	sin —
₽ x-asin Гп+ у w ₽
+ lim \ / (х) dx \ ——— ---------da = 2тс \ / (х) dx,
""а	О sin^
если опять учесть значения (19). Таким образом, Лоба-
чевский опять приходит к теореме (16).
Мы уже отмечали выше отсутствие у Лобачевского
обоснования предельного перехода при выводе равен-
ства (16). Формально это обоснование отсутствует
и в только что приведённых рассуждениях; однако нам
кажется, что здесь этот пропуск следует отнести только
к манере изложения. Действительно, законность предель-
ного перехода, как мы показали на стр. 33—34, немед-
ленно следует из (17) и (22). В чём же, с другой стороны,
различие между доказательством теоремы (16) в [1] и дока-
зательством этой теоремы в [3]? Во-первых, в том, что
в [3] этому доказательству предпослан подробный вывод
42
Г. Л. ЛУНЦ
оценки (22), а во-вторых, в том, что, приступая к дока-
зательству, Лобачевский указывает, что он будет поль-
зоваться несколько изменённым методом Дирихле, кото-
рый «заслуживает предпочтения перед всеми остальными».
Но формально второе доказательство Лобачевского отли-
чается от первого только тем, что частная сумма ряда
Фурье представляется при помощи интеграла Дирихле.
Не в этом, конечно, состоит применение Лобачевским
метода Дирихле; само по себе использование интеграла
Дирихле для «свёртывания» частной суммы ряда было
известно давно, им пользовался ещё Фурье, да и сам
Лобачевский в той же работе [1] как до, так и после
доказательства (16), неоднократно применяет интеграл
Дирихле, не указывая при этом, что он следует методу
Дирихле. Сущность же метода Дирихле состоит в том,
что отрезок интегрирования разбивается таким образом,
что обеспечивается знакопостоянство подинтегральпой
функции в каждом промежутке и монотонность получен-
ной таким образом последовательности интегралов, знаки
которых чередуются. Именно отсюда немедленно следует,
в частности, и неравенство (17). Только это и мог иметь
в виду Лобачевский, говоря об использовании им метода
Дирихле. Таким образом, построенное Лобачевским дока-
зательство теоремы (16), вновь открытой, как мы уже
указывали, лишь в XX столетии, можно считать, по
существу, вполне строгим.
Дальнейшие выводы из теоремы (16), как и в [1],
строятся Лобачевским опять на утверждении, что в точ-
ках непрерывности f(x) из (16) следует равенство
F (со) = lim Fn (со) = 2;г/ (со).
п-*оо
Пользуясь вспомогательной функцией / (х) — / (я + 0) +
4- / (я —0), Лобачевский находит значения F (х) в точках
разрыва функции / (ж); кроме того, он определяет также
значения F (it) и F(—it).
Условия, в которых Лобачевский доказывал теорему
о разложении функции в ряд Фурье, в некотором отно-
шении были шире условий Дирихле; наиболее сугцест-
веннцм при этом являлось допущение неограниченности
О РАБОТАХ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 43
разлагаемой в ряд функции. Тем самым Лооачевский
фактически установил «принцип локализации», в более
общем виде вновь доказанный Риманом несколькими деся-
тилетиями позднее. Не менее примечательной является
теорема (16) о почленном интегрировании ряда Фурье,
ставшая известной лишь в двадцатом столетии.
4. Теория Г-фупкцпп в работах Лобачевского
Лобачевский считает (см. [3]), что определение ирра-
циональных и элементарных трансцендентных функций
должно быть дано при помощи сходящихся степенных
рядов (этот взгляд он высказывал ещё в своей «Алгебре»):
/(1 + х, п) = (1 + х)” = 2 М-В	Вхк)
А = 0
/l(l+x) = 10g(l+x)= 2(-1)*+‘т-
А = 1
/2 (*)=**= 21г >
к = 0
—-.ех log а
(23)
J
где х — комплексный аргумент.
Он доказывает, сх'одимость этих рядов, оценивает их
остатки и устанавливает, что в случае сходимости имеют
место равенства:
/(1 + ж, т -Ьп) = /(1 + х, т)/(14-ж, п), ]
/[(1 + *)(! + у), п]=/(1+х, п)/(1+у, п), |
/1И1+ж)(1+у)]=Л(1+ж)+/1(Ц-2/),	(24)
/2 (« + ?/)=/2 (ж)/.(?/)
(второе из этих свойств Лобачевский явно не пишет но
пользуется им на примерах).
Если для какого-либо значения аргумента ряд рас-
ходится, то вычисление значения функции может быть
Г. Л. ЛУНЦ
с помощью соответствующего равенства из (24) сведено
к вычислению сумм сходящихся рядов. Равенства (24)
служат, следовательно, по определению, для продолже-
ния функций, определённых с помощью (23), на всю
плоскость комплексного аргумента.
Одновременно с рядами для простейших трансцен-
дентных функций Лобачевский рассматривает также раз-
ложения в бесконечные произведения. Так, например,
в [3] Лобачевский строго обосновывает разложение
sin х — х
П(’-го)
п =>1
(в [2] обосновывается, по сути дела, только сходимость
этого произведения).
Значительное место в работах [2], [3] и [4] занимают
определение, вывод различных свойств и всевозможные
приложения функции гамма.
Функция
со
Г (5 +1) = xse~x dx
о
(25)
была введена Эйлером. Интеграл, при помощи которого
эта функция определена, сходится при s> —1 (точнее,
при 7?(s)> —1). Эйлеру принадлежит также равенство
nln*
Г (s +1) - hrn (s+i) (s + 2) (s+n),
(26)
определяющее функцию гамма для любых значений s
(кроме целых отрицательных). Подробная теория Г-функ-
ции была разработана Лежандром, составившим также
и таблицы этой функции. Эйлеровская формула (26) была
забыта, но затем вновь введена Гауссом в качестве опре-
деления функции Г (лишь много лет спустя стало
известно, что этой формулой пользовался уже Эйлер).
Одно цз основных свойств функции Г, известное под
о РАБОТАХ Н. и. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 45
названием теоремы умножения:
Г (s) Г (s + I) Г (s + " ) • • • Г 0+=
п-1	£_
= (2я) 2 И2 nsr(ns), (27)
было для случая п = 2 доказано Лежандром *), а в общем
случае — Гауссом •) и затем Лежандром 3). Лобачевскому
доказательство теоремы (27) было известно в изложении
Лежандра.	„
Способ, при помощи которого Лооачевскии в [2J вво-
дит определение функции гамма, совершенно оригинален;
он не основан ни на (25), ни па (26) и находится
в соответствии с общей установкой Лобачевского осно-
вывать определения функций на сходящихся степенных
рядах.
Введя обозначение
• (х + а)с°х = (я;4-а)(х + а—1) ... (а-И),	(28)
где ж —целое и положительное число, а а совершенно
произвольно, Лобачевский рассматривает функцию / (х, а),
определённую при помощи равенства
(ж4-а)слх= (ж-Ьа)****2 e~xf(x, а).	(29)
Из (28) и (29) он получает:
откуда следует разложение
(30>
Л=1
сходящееся при достаточно большом х (если |я-{-а| > 1).
^Legendre, Exercises de calcul integral, Paris, 1811.
2)	Comment, soc. regiae scient. Gotting. rec., том II, 1813.
8)	Legendre, Traits des fonctions elliptiques, том II, 1826.
46
Г. Л. ЛУНЦ
Оценка суммы ряда (30),
|21og^^
I &	/(ж, а)
1
3 (х+а)2 ’
справедливая, во всяком случае, для достаточно боль-
шого х} показывает, что ряд
У log /<»+*—!.<»>
Zj 1иь f(x+k,a)
к=1
,	/ (х-|- к— 1, а)
где под log 	, , - -
"	°	/(а? + л,а)
при достаточно большом к сле-
дует понимать ряд (30), сходится при любых х и а (кроме
целых отрицательных значений х + а и значения х = — а),
и, следовательно, существует предел
limf(x, а)=ф(а),
Х-»оо
так как
п
з iog =1°ё^ж’ “) -iog f (ж+n’ *>•
А—1
Функция ф (а) определена, таким образом, для любого
значения а и
со
log /(*-«) = log ф (а) + 2 lo§	+	• (31>
к=1
Следовательно, если положить
logX(x + a) = 21og-^±^>,	(32)
формула (29), где f(x, а) определяется из (31), прини-
мает вид
^-4-а)ввж = ф(а)(хЧ-а)х+а+2 е~х X (# + а),	(^3)
где Х(я + а) определяется при помощи (30) и (32). Эта
формула может служить определением функции (s-j-a)®*®
о РАБОТАХ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 47
иля всех тех значений х и а, для которых при любом
целом положительном к выполнено условие х + а + к | > 1,
что, в частности, имеет место, если 2?(#Н-а)>0.
Из определения функции Х(я + а) следует, что
lim X (х 4-а) = 1,
Я->О0
и, следовательно, справедлива асимптотическая формула
(при х~> со)
(ж + а)" х	ф (а) (ж + а)Х+“+ 2 е“ж.
Далее, пользуясь определением функции ф(а) и разло-
жением функции sin# в бесконечное произведение,
Лобачевский получает
ф (а) ф (1 — а)	1 sin ате
[ф(О)р ~~ е ал(1 —а)
и находит ф (0) = 2тг, а также получает значение
ф (у)* После этого (32) при а = 0 принимает вид
z- х+±
х”х=:у 2тгж 2 е~х X (х)	(34)
или асимптотически
1
х“х 2тг х+ 2 е~х.
Лобачевский переходит далее к оценке и уточнению этой
асимптотической формулы. Пользуясь своим признаком
сходимости, он получает для X оценку
I* ик ;2[
1+
Ух (х — 1)
я затем уточняет асимптотическую формулу, исходя
из того, что в соответствии с (30),
/<«— 1» 0) __	1	2
/ (ж, 0) — 2 . Зх- + 3 • 4ж» + • • •
Первый член этого разложения совпадает с первым
48
Г. Л. ЛУНЦ
1 *
членом разложения по степеням — функции
? 1)
<р(«)	’
1
если принять (х) = еi2x . Положив поэтому
____________________________ j_
/ (я, 0) = ]/ 2тг е12х /х (х)
и получив, таким образом,
я“х =
Лобачевский оценивает с помощью своего признака
| /х (ж) |, получает далее разложение по степеням — вы-
ражения
fi (*-1)
/i(^)	’
и для того, чтобы уничтожить первый член этого раз-
ложения, полагает
/1(Ж)=е-^/8(х),
опять оценивает точность полученной асимптотической
формулы и т. д.
После этого Лобачевский указывает, что найденное
таким образом разложение log X (х) в ряд по степе-
ням ~ (ряд Стирлинга) можно получить также, при-
меняя формулу Эйлера-Маклорена, производит соответ-
ствующие вычисления, указав, что полученный ряд
расходится, и, пояснив, как следует понимать и приме-
нять подобные разложения (см. стр. 12).
Далее Лобачевский показывает, что для справедли-
вости равенства
J tx+d e-'dt
j ta e~f dt
0
о
РАБОТАХ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 49
которое в случае х целого и положительного непосред-
ственно проверяется интегрированием по частям (пред-
полагается сходимость интегралов), должно иметь место
тождество
оо
ф (а) 1ае~* dt = j/2ire~e ,
о
и, по определению, полагает
=	(35)
для любого а. Непротиворечивость такого определения
с равенством (33) может быть без труда обнаружена
следующим образом.
Из (30) имеем (если 11 4-а | > 1, т. е., в частности,
если /?(а)>0):
log/<0-..a> =2 У____________п	=
1 (*> “)	2	(п +1) (п + 2) (1 + а)п+>
= («+|) log4г-1,
откуда
/(0,	(1 + а) 2
/(1. “) о+± ’
ел 2
Но из (29)
/(1, а) =----1__,
(1 + /+2
и, следовательно,
/(0, ») = -±-,
’+f
а
что при подстановке в (29) даёт
а*9 = 1.
Историко-математ. исследования
50
Г. Л. ЛУНЦ
Таким образом, из (33) следует при 2 = 0 (если
1 + а|>1):
«ч—-
1 =ф(а) а 2 X (а).
Но (34) с заменой х на а приобретает вид
/2ка 2 е~аХ(а).
Сопоставляя последние два равенства, получаем:
- ф(а) •
У Лобачевского отсутствует как строгое обоснова-
ние непротиворечивости определений (35) и (33), так
и точное указание области значений ж и а, для кото-
рых имеет место (33). Однако это объясняется только
манерой изложения. Немедленно после того, как Лоба-
чевский вводит определение (35), он указывает, что
теперь (33) можно считать определением функции (ж -V а)
при любых я и а. Это означает, что поскольку опреде-
ление a**a теперь основано только на функции ф (а),
существующей при всех комплексных значениях а и не
связанной со сходимостью ряда (30), само равенство (34)
определяет входящую в (33) функцию Х(я), независимо
от сходимости двойного ряда, при помощи которого эта
функция была определена для (33).
Формула (34) для функции гамма, основанная на
рядах (30) и (32), в подробной записи имеет вид
log Г (ж 4-1) = logzc/’x = y log 2к — я +
+	+ т) 1о® х + Т S Sj(n + 1) (п + 2) (а. + А + а)п+1
и справедлива, если | х 4- к | > 1 для всякого целого
положительного к. Существует ложное мнениех), что
эта формула будто бы впервые была получена Бинэ.
х) G. Brunel, Bestimmte Integrate, Enz. der Math. Wiss.
. I, Bd. II, Heft 1 — 3.
о РАБОТАХ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 51
I--------------------------------------------------
Между тем Лобачевский получил её на четыре года
раньше, чем Бинэ1).
г Из общего определения функции (х + а)мх Лобачев-
ский немедленно получает свойство
(ж + а) ° х+* = (х 4- а)м х а " а,
содержащее в качестве частного случая равенство
Г(п+ 1) = пГ(п).
Далее он выводит всевозможные свойства функции
гамма, в частности,
Г(п)Г(1-п) = -^—,
' '	'	sin п П
выражает функцию бэта через функцию гамма, находит
эйлеровское представление (26) функции гамма, из ко-
торого получает весьма интересные равенства:
Г(1+т)Г(1-т)=	2я"	,
"	— С
Г (а 4- Ы 4-1) Г (а— Ы 4-1) Г (—а 4- Ы 4- 1)Г (— а—Ы 4-1) =
_____________________________________4 т;2 (а2 + Ь3)
е26* _	_ 2 cos <2ап
д[Г(п + 1)Р_______	1 _2у
т sin тп Г (п 4- т +1) Г (п — т +1) /па	- /са — mi ’
___________»[Г(» + 1)Р___________=
m (е"”’— е-"”1) Г (n + 14-mt) Г (n +1 — mi)
СО	,	,	.
1	/	1	е/*	60 — к
_21 9 V ( — 1) л п
~~ т* *"	т* + к2
Л-1
Относительно последней из этих формул интерес-
но заметить, что выражение аналогичного содержания,
н° с бесконечным произведением, вместо ряда в пра-
l) Journ. de Гёс. polyt., cahier 27> 1839, стр. 226.
4*
52
г. л. ЛУНЦ
вой части формулы, было значительно позже получено
Меллином х) в форме
_[Г(«)Г	+	1
[Г(« + [И)Р	HL T(«+«)'J
s=0
Далее Лобачевский доказывает теорему умножения
(27), вычисляет значения многих определённых интегра-
лов и бесконечных произведений, пользуется найденными
интегралами для разложений функций в тригонометри-
ческие ряды (в частности, получает разложения для произ-
вольных интегрируемых степеней синуса и косинуса)
и т. д.
Мы не будем в настоящей статье подробно останав-
ливаться на этих вопросах: отметим, однако, один из най-
денных Лобачевским интегралов:
Г eix dx 2ке~р . . л г» / \ ач
\ ------п —(р> О, R(n) > 0),
J (p + ix)n 1
— со
т. е.
p+ico
( =кгт >	(36)
J Zn I (п) ’	- v '
p — ico
дополняющий, в известном смысле, выражение функции
гамма через интеграл Эйлера (25). В частных случаях
(и —целое, р — п, причём р и п тоже целые) этот инте-
грал был ранее вычислен Лапласом 2 3) и Лежандром ®).
Доказательство для общего случая было впервые дано
Лобачевским. В том же году общий случай такого инте-
грала рассматривает Лиувилль 4 5), основывая доказатель-
ство на дифференцировании нецелого порядка, которое,
как известно, было ещё лишено достаточной строгости.
В дальнейшем доказательства были даны Куммером в),
Коши •) и другими.
l) Acta Mathematica, том 15, 1891, стр. 324.
2) Laplace, Oeuvres, том MI, стр. 134 — 135.
3) Legendre, Exercices de calcul integral, том I, 1811,
стр. 354.
4) Journ. fur reine und angew. Mathematik, 13, 1835.
5) Journ. fur reine und angew. Mathen atik, 17, 1837.
e) Journ. de 1’ёс. polyt., cahier 28, 184,1.
О РАБОТАХ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 53
В [31 Лобачевский принимает в качестве определения
функции гамма для любого значения аргумента эйлеров-
скую формулу (26) (повидимому, Лобачевскому, как и дру-
гим виднейшим математикам того времени, например
Гауссу, не было известно, что эта формула получена ещё
Эйлером). В связи с этим он прежде всего доказывает
существование предела (26). Для этого он рассматривает
выражение
п
Л=1	*
и, применяя свой признак к ряду
со
2 Mn+m -^n+m-i),	(37)
m=l
доказывает сходимость этого ряда (при любых значениях а,
кроме целых отрицательных) и оценивает его остаток.
Понимая попрежнему под (^ + а)иг для целых поло-
жительных значений х выражение (28), Лобачевский полу-
чает тождество
о
(*	Г и ** па ~I
Un(a)d« = log|-3—^-1 .	(38)
J	L(x-f-n) " J
Он не только доказывает существование предела
а
lim \	(а) с?а
П->о° J
и тем самым предела
lim	,
п->со (а + л)
(39)
служащего определением функции гамма при любом ос,
но, интегрируя величину, мажорирующую остаток ряда
(37), оценивает также разность между этим пределом и (38)
при любых п и а. Таким образом, не подлежит сомне-
нию, что Лобачевский прекрасно понимал необходимость
54
Г. Л. ЛУНЦ
обоснования взаимной перестановки знака предела со
знаком интеграла.
Пользуясь обоснованным теперь определением функции
гамма, Лобачевский выводит основное свойство этой
функции в форме
(р + со)**р +ш = (р
где р > 0 и целое, а 0 < со < 1.
Дальше, как и в [2], Лобачевский полагает
1
(На)И1=(На) “ 2e-*/(z,a),
доказывает существование предела
lim / (ж, а) =ф (а)
х->оо
и получает
—
(х4-а)мж = <Ь (а) (я 4-а)* *+ 2 е~хХ (ж 4- а),
где logX(z + a) определяется, как и в [2]. Однако здесь
Лобачевский не говорит о распространении этой формулы
на случай, когда х не является целым и положительным
числом. Произведя оценку log X (ж 4-а) и доказав, что
lim X (х 4- а) = 1,
х->оо
Лобачевский обосновывает асимптотическую формулу (при
х—>оо)
(х 4-а)мх (а) (ж-h а) Х^я+2 е-а
и, исходя из неё, получает
(z + af+’+T
о РАБОТАХ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 55
Пользуясь этим равенством, он находит значения
а также
0(«) = ^lim(4^
е х-»оо х х'
Заметив, что такой же вид имеет найденное из (39) значе-
ние величины
а*°о ’
Лобачевский указывает, что существование предела (39)
тем самым снова доказано. Что же касается значения х”а
для любого а, то Лобачевский, по определению, полагает

(для целого и положительного а это равенство следует
из основного свойства функции гамма).
Не лишены интереса следующие далее рассуждения,
связанные с рядом Стирлинга. Здесь на конкретном при-
мере Лобачевский применяет свои принципиальные уста-
новки относительно пользования расходящимися рядами
(см. стр. 12).
В равенстве
где ? (х) = log X (х), функцию ?(ж) можно разложить
в ряд по отрицательным степеням х, так как
lim (ж) = 0.
х-»схэ
Такой ряд расходится, и для того, чтобы было обосновано
пользование таким рядом, нужно показать, что остаточ-
ный член этого ряда стремится к нулю при х~>оо, каков
бы ни был номер этого остаточного члена.
Положив
56
г. л. лунц
Лобачевский методом полной индукции доказывает, что
lim Rn (х) = О
х- со
при любом п и оценивает также |/?л (ж)| с обеих сторон.
После этого Лобачевский опять применяет функцию
гамма к вычислению различных определённых интегралов
и, в частности, снова находит значение интеграла
р+/°° ж л
С ея dz
J zn
p-t-o
при условии, что р>0, /?(п)>0.
В [4], сохранив для целого положительного г обозна-
чение
n~r = n(n —1) ... (п —г-Ь1),	(41)
Лобачевский, по определению, полагает для произволь-
ных п и т
=	(42)
г->оо («+г)~Г	К 1
и называет определённую таким образом функцию «гамма
от п с показателем т». Доказательство существования
этого предела, как замечает Лобачевский, было дано им
в предыдущих работах.
Лобачевский показывает, что в случае целого положи-
тельного т (42) приводится к (41). Из общего свойства,
основанного на (42),
п“т = п<лР (п— /?)°т-₽
он находит при п = т:
п^Р —----,
(п-рУ^-Р’
и, таким образом, функцию «гамма с показателем» выра-
жает через функцию гамма «полную».
Найдя далее некоторые частные значения функции
гамма и некоторые её свойства, Лобачевский снова воз-
вращается к определению из (29) функции / (х, а). При
исследовании сходимости рядов и отыскании пределов
о РАБОТАХ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 57
Лобачевский в [41 нигде не пользуется своим признаком
сходимости. Вместе с рядом (30) для
/ (ж — 1, а)
/ «) ’
log
он рассматривает также разложение этой функции по отри-
цательным степеням выражения х + а — 1:
/(*-*«) _ 1 Y
1оь /(а;,а) — 2 (п + 1) (п + 2) (я + а-1)”*1 • к '
п=1
Знакочередующийся ряд (43), члены которого монотонно
убывают, даёт оценку г) для разложенного в ряд выраже-
ния, показывающую сходимость при достаточно большом
х ряда (32). Изменив порядок суммирования, Лобачевский
пишет (32) в форме
ОО со
10gX(^+a) = y2 2 (П + 1) (п + 2) (х + а + /с)п+1 ’
п=1 к--0
Этот ряд сходится, как показывает Лобачевский, при
любых комплексных значениях х -Ь а (кроме целых отри-
цательных), и сумма его стремится к нулю при х—»оо.
Таким образом, формулы (33) и (34), в которых logX
заменён рядом (44), справедливы без всяких ограничений.
Оставляя опять в стороне всевозможные применения
функции гамма к вычислению определённых интегралов,
заметим, что, вычислив снова интеграл (36), Лобачевский
показывает также, что
с _е_^_==0
т. е.
-р-4-ioo
£ e—=Q
J
-p-ico
(45)
если попрежнему R (p) > 0, R (n) > 0.
x) Которой, впрочем, Лобачевский не приводит.
58
Г. Л. ЛУНЦ
Лобачевскому, безусловно, принадлежит приоритет
в представлении функции гамма с помощью формул (30),
(32) и (34), в определении (35), в определении функции
’«гамма с показателем», а также в доказательстве форму-
лы (36) в общем случае.
б. Функциональные преобразования Лобачевского
и вычисление определённых интегралов
Идейный замысел первых трёх из рассматриваемых
нами статей Лобачевского состоял в том, чтобы подверг-
нуть критическому рассмотрению основные определения,
понятия, методы и новейшие достижения математического
анализа с тем, чтобы основать их на фундаменте строгих
рассуждений и установить пределы их применимости.
Попутно, как мы видели, Лобачевский пришёл к ряду
интереснейших открытий.
Совершенно отличный от предыдущих характер носят
две статьи [4], написанные Лобачевским в последние годы
жизни. Лобачевский излагает в них ряд полученных
им результатов (значение которых, как мы увидим, трудно
переоценить), отодвигая па второй план, ‘а порой и вовсе
опуская их обоснование.
Вторая из статей [4] посвящена приложению функции
гамма к вычислению интегралов вида
со
a;ne-aa:sin bx dx,
о
о
и некоторых других. Не останавливаясь на этой статье
подробно, мы оставим также пока в стороне многочислен-
ные приложения такого же характера, содержащиеся
и в первой из статей [4]. Рассмотрим лишь имеющие
принципиальное значение результаты, изложенные в пер-
вой статье [4].
Лобачевский отмечает, что целью статьи является
указать способы, п[и помощи которых можно находить
о РАБОТАХ н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 59
значения определённых интегралов. Речь идёт о некото-
рых функциональных трансформациях. Мы не будем рас-
сматривать условий, при соблюдении которых справед-
ливы доказанные здесь утверждения, так как Лобачев-
ский, как мы уже отметили, оставляет в стороне такого
рода вопросы, и не с этой точки зрения интересны полу-
ченные им результаты.
Лобачевский рассматривает, прежде всего, интеграл
(46)
О
Предположив, что / (я 4-тс) = / (я) и /( — х) = /(*)1),
он получает:
(/с+1) К	7Т
кп	О
откуда
со	СО “К
о	л=о о
•к
со 2	оо Эт
=2 $ (-1)‘ / и £&* + 2 $ (-1)А / Ы ёгх d*=
/с—0 0	/с—0[те
2
7С	Л
оо 2	со 2
-2 5 (-DW)ft-^>+2 $
/с=0 О	А-0 О
Воспользовавшись разложением
-1—1-2*У
8Ии“я
Л = 1
х) Так как /(я) может быть определена только для положи-
тельных значений х, то второе условие по существу означает
что Цъ-х)^}(х).
60
Г. Л. ЛУНЦ
Лобачевский приходит к равенству
со	2
5 / (z) dx =	(х) dx,
о	oJ
(47)
откуда, в частности, получает
С sin3 ж  те
J х	fk
D
и вообще для целого положительного п:
С sin2”*1 я
J х
О
75
~2
sin2” х dx.
о
Применяя аналогичные рассуждения к (46) в случае,
когда / (к + х) == — / (ж) и / (— я) = / (я), Лобачевский при-
ходит к равенству
/ (#) dx=^ f (х) cosхdx,
о	о
(48)
откуда, в частности, находит:
о
75
“2 ’
Другой приём, который Лобачевский рекомендует
применять, основан на замене переменных под знаком
двойного интеграла.
о РАБОТАХ н. и. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 61
Положив х — j/r sin со, у = г cos со, он приходит
к равенству
it
С sin cos со cLo \ ге~г / (г sin2 со) ср (г cos2 со) dr =
О	1
с»	со
= у j e~xf(x)dx • е~х ср (х) dx. (49)
о	о
Подставив в (49), для примера, / (х) = хп, 'ср (х) = хт, он полу-
чает значение интеграла, вычислявшегося им и в пред-
шествующих статьях:
л
2
С sin2n+l х cos2m+l xdx= Г	,
J	2l’(n-f-?n + 2) ’
О
[Д(п)>-1, R (т) > -1].
Лобачевский применяет также (как, впрочем, и в других
работах) интегрирование и дифференцирование по пара-
метру для вычисления определённых интегралов.
Изменив далее в интеграле
b h
dz / (х) ср [z (к — #)] dx,
—ь о
где 0< к <йи b > 0, порядок интегрирования и перейдя
к пределу при 6—>оо, Лобачевский приходит к равенству
оо	h	со
$ dz / (ж) <р [z (X - ж)] dx = 2/ (X) $ '<<*)-*(-*) dx (50)
—со	0	О
или, в более общем случае,
С С
J dz \ / (х) ср [z (X — х)] dx =
“Со Q
= [/ (X+0)+/ (X - 0)] 5 £Ф.тФ(-*> dx,
гДв ф'(х)	? (д)
62
г. Л. лунЦ
В частности, положив /t= оо, он получает для любого
к > 0 формулу
dz / (х) ? [z (X - ж)] dx = 2f (X) Нж)-Ф(-Ж) dx_ (51 j
— со О	О
Лобачевский замечает, что известная интегральная фор-
мула Фурье получается отсюда как частный случай:
если положить ф (х) = sin х, то у (х) = cos х и (51) при-
нимает вид
со со
2гс/(к) = dz f(x) cos[z(k — я)]сН’.
-со О
Затем Лобачевский показывает, что при к < О интеграл,
стоящий в левой части (50), обращается в нуль, т. е. что
dz J / (я) ?[z(k -f-x)]dx=O,	(52)
-со о
если h > 0, к > 0, а при значении к = 0 правая часть
(50) вдвое меньше, чем при к > 0, т. е.
со	h	со
dz / (ж) ? (xz) dx = f (0)	dx.
-со	О	О
Из сочетания (50) с (52) Лобачевский получает равен-
ства
dz / (х) {<? [z (X — ж)] + a [z (X + a:)]) dx =
-i* О
= 2/(Х) $ m^L^dx,
°	(53)
J dz f(x) {?[z(k — z)]— s[z(k +z)]}dz =
-co £i
= 2/(X)^ ^=±^dx,
b
и РАБОТАХ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 63
которые при Ф (х) = sin х превращаются соответственно в
косинус-трансформацию и синус-трансформацию Фурье:
со h
nf (X) = dz / (z) cos Xz cos xz dx,
-co 0
co h
dz f(x) sin Xz sin xz dx
-co о
или
co h
dz / (ж) cos Xz cos xz dx,
0	0
*	co h
у к/ (X) = dz / (x) sin Xz sin xz dx.
(J о
Приведя примеры на вычисление определённых интегра-
лов с помощью этих трансформаций, Лобачевский пола-
гает в (50) Ф (х) = tg(z) и приходит к равенству
со h
2я/ (),) = \ dz [ —п >
' k 7 J J cos2 (z (Л — я)]
co U
которое, изменив порядок интегрирования, преобразует
к виду
гс/ (X) = lim f f (х)dx,
— i
где, как и раньше, 0 < X < h.
Формула (50) обозначает, что, если в паре трансфор-
маций
со
g (z, X) = / (х) h (х, z, X) dx,
0
со
/(')— \ g(z,/)&(z,/.)dz,
64
Г. Л. ЛУНЦ
ядро h (х, z, к) имеет вид
h (х, z, к) = с? [z (к — «)],
то второе ядро— постоянная:
где
сох	~х
fj ?(«)*<- J f(u)du
С = “____________9______dx.
J	X
О
Если исходить из трансформаций вида
$(«) =
о
со
/ (х) = J к (хи) g (и) du,
о
то формулы Лобачевского (53) показывают, что пары ядер
h и к могут поставляться всякой функцией ср (t), обладаю;
щей хотя бы одним из двух свойств:
ср($ — г) 4-ср (s-Н) = A (s) h(t),	'	9
ср (s — t) — ср (s -f-1) = к (s) h (t);
при этом ядра к и h отличаются от определённых таким
образом функций к и h постоянными множителями, кото-
рые могут быть найдены из (53). Нам неизвестно, чтобы
даже в настоящее время имелись результаты такого вида.
Наконец, последняя трансформация, которую полу-
чает Лобачевский, следующая. Переменив порядок инте-
грирования в двойном интеграле
оо	ОО	/
°+г	№)>о,Я(п)>-1]
-СО	о	\
и воспользовавшись значениями интегралов (36) и (45),
о РАБОТАХ Н. и. ЛОБАЧЕВСКОГО ЦО MATEMAT. АНАЛИЗУ 65
Лобачевский получает:
, л
L=^TTwy”f()-x'>dx- ™
о
Если изменить обозначения, положив а+^ = 1, то полу-
ченная Лобачевским формула (54) примет вид:
a+i°°	0 . А.
( W’ J e~Xl f^dx = v^i) $ x)dx =
a—ioo	0	-
Л
= г^П>$(’--®)'7(®)^-	(55)
b
В этой формуле содержится обобщённая пара трансфор-
маций Лапласа, получаемая формально из обычной пары
трансформаций
f	1
? (t) = e~xl (х) dx, |
"	с+it»	!•	(56)
a(n+i)(M = _L J ,^t)e»dt I
C — too	J
получим
c+ico
1 С eU dt
2izi } tn ыГ
с-ioo
(n 4- 1)-кратпым интегрированием второй формулы,
C-F ioo	Я
24 И^еЛ'<г/=я(х)=Г±^г"а(п+1)(:с)<7:‘:- (57)
c —ioo	b
Подставив '5 (/) из первой формулы (56) в левую часть (57),
со	Л
С e-xt?(n+i) dx = Л С 0 _ хуг я(п+1) £х /58)
о
и, положив
a(n+O0.) = f(x)t
придём к (55).
Историко-математ. исследования
66
Г. Л. ЛУНЦ
Следует, однако, отметить, что в формуле (58) предпо-
ложено, что п — целое положительное число или нуль,
в то время как формула (55) этого не предполагает. Фор-
мула (55) может быть формально получена из (56), если
в последней формуле произвести интегрирование нецелого
порядка.
6. Значение трудов Лобачевского
по математическому анализу
Подведём итоги. Лобачевский посвятил свои работы
по математическому анализу самым актуальным вопросам
и, прежде всего, теории тригонометрических рядов. В этой
области им были получены чрезвычайно оригинальные
и важные результаты, опередившие результаты Пуассона
Дирихле, Римана и Лебега.
Наиболее показательным является сравнение работ
Лобачевского с работами Пуассона в этой области. Сле-
дует при этом заметить, что для Пуассона тригономет-
рические ряды были, пожалуй, основным орудием
и предметом исследований, в то время как Лобачевский
был, прежде всего, геометром. II вот к такому карди-
нальному вопросу, как исследование сходимости тригоно-
метрического ряда, Пуассон впервые пытается подойти,
и притом неудачно, в 1833 г. Только в 1835 г., т. е.
годом позднее, чем Лобачевский, Пуассон публикует
доказательство сходимости тригонометрического ряда,
сходное по методу с доказательством Лобачевского
(см. стр. 20), но связанное со значительно более ограничи-
тельными предположениями, чем последнее. Весьма знаме-
нателен и тот факт, что условия сходимости ряда Фурье,
данные Лобачевским, в известном смысле шире условий
Дирихле, так как не требуют существования лишь ко-
нечного числа экстремумов.
Мы уже указывали, что Лобачевский, очевидно, не
считал само по себе пользование при доказательстве пер
вой и второй производными разлагаемой в ряд функции
каким-либо ограничением, накладываемым на эту функ-
цию, при условии, что каждая из этих производных может
становиться бесконечной в любом конечном числе точек.
О РАБОТАХ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 67
Интересно в связи с этим отметить, что и Дирихле, несмо-
тря на то, что он в ходе доказательства каждый раз строго
оговаривал требования, предъявляемые к разлагаемой
в ряд функции, тем не менее не представлял себе значе-
ния этих требований. Так, закончив доказательство г);
он разъясняет читателю, что, по сути дела, требуемым
условиям удовлетворяет всякая функция, множество
точек разрыва которой не является всюду плотным ни на
одном отрезке, входящем в интервал (—тг, тс). Лишь
впоследствии* 2) Дирихле отбрасывает это дополнительное
«разъяснение».
Лобачевский идёт дальше в расширении условий раз-
ложимости функции в ряд Фурье и в другом направлении,
допуская неограниченность разлагаемой в ряд функции,
и подходит к принципу, лишь несколькими десятиле-
тиями спустя сформулированному Риманом, в соответ-
ствии с которым сходимость и сумма ряда Фурье в данной
точке зависят от поведения разлагаемой в ряд функции
только в окрестности этой точки. И, пожалуй, если гово-
рить о теории тригонометрических рядов, самым выдаю-
щимся открытием Лобачевского является теорема (16)
о почленном интегрировании ряда Фурье, вновь доказан-
ная Лебегом лишь более чем 70 лет спустя.
Исследования Лобачевского по теории гамма-функции
тоже весьма примечательны. Определение гамма-функ-
ции при помощи двойного степенного ряда, данное Лоба-
чевским несколькими годами ранее Бинэ, впоследствии,
посредством перестройки ряда к виду (44) (т. е., по суще-
ству, с помощью аналитического продолжения), распро-
страняется им на всю плоскость комплексного аргумента.
Как при определении с помощью двойного ряда, так и при
определении с помощью обобщённой формулы Эйлера (42),
Лобачевский вводит функцию гамма, как частный случай
более общей «гамма-функции с показателем», причём мно-
гие свойства, в частности, асимптотические формулы,
выводит первоначально для этой более общей функции,
l) Joum. fiir reine und angew. Math., том 4(1829).
2) L e j e u n e-D i г i c h 1 e t, Die Darstellung ganz willkurlichen
ktionen durch Sinus und Cosinusreihen, 1837 Leipzig, 1900.
5*
G8
Г. Л. ЛУНЦ
зависящей от двух аргументов. Лобачевскому принадле-
жит также приоритет в доказательстве при самых общих
условиях формулы (36), играющей большую роль как
в теории гамма-функции, так и в приложениях к функцио-
нальным трансформациям. Именно при помощи формул
(36) и (45) Лобачевский пришёл к обобщённой трансфор-
мации Лапласа (55).
Некоторые из полученных Лобачевским результатов
так и остались неизвестными до наших дней. Это отно-
сится, прежде всего, к подробно рассмотренному нами
необходимому и достаточному признаку сходимости зна-
копостоянных рядов. Особенного внимания заслуживают
также весьма общие трансформации (50) и (53), показыва-
ющие всю силу обобщений Лобачевского.
Мы не будем здесь вновь касаться общих взглядов
Лобачевского, связанных с основными понятиями анализа,
так как они достаточно широко известны, и мы уже о них
говорили.
Следует остановиться ещё на известном рапорте ака
демика Остроградского от июня 1842 г., адресованном
Академии Наук, в котором Остроградский высказал своё
отрицательное отношение к присланному ему на отзыв
мсмуару [31, а также и к другим работам Лобачевского.
Остроградский был выдающимся русским математиком,
пользовался заслуженным авторитетом, и его ошибоч-
ное мнение о работах Лобачевского, естественно, способ-
ствовало созданию той атмосферы «заговора молчания»,
которой были окружены аналитические работы Лобачев-
ского даже после того, как его геометрия получила все-
общее признание.
Предубеждение, с которым Остроградский относился
к новой, открытой Лобачевским, неевклидовой геометрии,
несомненно, сыграло здесь свою роль. Знаменитый рус-
ский математик, являвшийся большим знатоком матема-
тического анализа, М. В. Остроградский невнимательно
отнёсся к работам Лобачевского по анализу, не потрудив-
шись разобраться в них по существу. Он ограничился
лишь поверхностным их разбором, отметив прежде всего чи-
сто внешние, относящиеся к манере изложения, недостат-
ки, за которыми проглядел выдающиеся результаты.
о РАБОТАХ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 69
Основные упрёки, которые Остроградский бросает Ло-
бачевскому по поводу статьи [3], относятся к якобы наро-
чито применяемому Лобачевским тяжёлому стилю изложе-
нИя и пользованию нигде не принятыми обозначениями.
Действительно, в работах Лобачевского имеется изрядное
количество опечаток, имеются отступления от основного
хода изложения, да и сами рассуждения порой чересчур
лаконичны. Мы уже указывали, в частности, что обосно-
вание предельного перехода при выводе важнейшей тео-
ремы (16) дано в [3] лишь намёком. Однако суть дела всё
же не в этом, а в том, что, стремясь показать силу своего
признака сходимости рядов, Лобачевский, так сказать
«из пропагандистских соображений», пользуется реши-
тельно всюду только этим признаком, даже и там, где
проще обойтись без него. Не подлежит никакому сомне-
нию, что именно это имел в виду Остроградский, говоря
о «нарочито применяемых странностях». Что же касается
обозначений, то Остроградский имеет в виду употребляв-
шийся уже нами символ п"™, а также обозначение п“,и для
биномиального коэффициента. Хотя этот вопрос и не имеет,
конечно, никакого принципиального значения, отметим,
однако, что, введя в рассмотрение новую функцию «гамма
с показателем», Лобачевский имел полное основание вве-
сти для неё казавшиеся ему удобными обозначения. Лоба-
чевский, невидимому, знал содержание рапорта Остро-
градского, и в первой из статей [4] содержится нечто
вроде ответа Остроградскому: указав, что введённые им
обозначения удобны, Лобачевский пишет, что сохранит их.
Остроградский обвиняет Лобачевского в «пренебре-
жении первейшими принципами точного рассуждения».
По поводу этого обвинения остаётся повторить то, что
мы уже неоднократно отмечали: вольность в обозначе-
ниях, не дающая порой возможности судить о том, совер-
шён ли уже предельный переход или нет, действительно
имеется в работах Лобачевского. Больше того, необосно-
ванные выводы из теоремы (16), как мы указывали, в зна-
чительной мере связаны с этой вольностью. Именно это
и дало, без сомнения, повод к такого рода обвинению
со стороны Остроградского. Однако, если бы Остроград-
скии глубже вник в содержание работ Лобачевского, он
70
Г. Л. ЛУНЦ
не мог бы не признать всей важности идей, скрывавшихся
под этой, не удовлетворившей его, внешней формой изло-
жения.
Если, далее, перейти к вопросу о разложении простей-
ших трансцендентных функций в степенные ряды и, в част-
ности, к разложению тригонометрических функций, то
следует отметить, что Лобачевский, конечно, и не думал
утверждать, что он первый пришёл (в чём его упрекнул
Остроградский) к таким разложениям или открыл их основ-
ные свойства. Как в своей «Алгебре», так и в статье [3],
Лобачевский последовательно проводит ту мысль, что
основным инструментом как для представления, так и для
определения функции, должен быть степенной ряд; он это
настойчиво разъясняет на многочисленных примерах
и, в частности, указывает, что тригонометрические функ-
ции не нуждаются в круге для своего определения. Именно
в статье [3] Лобачевский на примере показывает, как
можно при помощи оценки остатка ряда обосновать пре-
дельный переход под знаком интеграла.
Остроградский, наконец, упрекает Лобачевского в том,
что в его работе [31 якобы не имеется никаких новых ре-
зультатов. Из результатов, оставшихся новыми к моменту
выхода в свет работы [31 (т. е. к 1841 г.), существенными
являются признак сходимости и теорема (16). Мы уже ви-
дели, что признак сходимости Лобачевского Остроградский
воспринял лишь как приём, усложняющий рассуждения,
а Лобачевский этим признаком пользуется весьма часто.
Что же касается теоремы (16), то возможно, что Остроград-
ский считал её необоснованной ввиду формального отсут-
ствия необходимых для предельного перехода выкладок,
а возможно, что он её вообще не воспринял как теорему,
имеющую самостоятельное значение, обратив лишь вни-
мание на необоснованные выводы, сделанные из неё
Лобачевским. Это наиболее вероятно, так как по содержа-
нию своему теорема (16) на несколько десятилетий опере-
дила свой век и скорее соответствует математике 20 в.
и уж, во всяком случае, не первой половины 19 столетия.
Выражение функции гамма при помощи двойного ряда,
а также формула (36) в общем виде были уже к 1841 г.
вновь найдены другими математиками, а условия Лоба-
о РАБОТАХ н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ПО MATEMAT. АНАЛИЗУ 71
невского для сходимости ряда Фурье в статье [3] не
упоминаются—о них Лобачевский писал только в преды-
дущих работах. Это является свидетельством того, что
статен [1] и [2] Остроградский не читал, ограничи-
вшись, в лучшем случае, их беглым просмотром.
Лобачевский внимательно отнёсся к критике Остро-
градского (которая, как мы думаем, была ему известна)
в той её части, где эта критика была обоснована: в статье
[4] все выкладки проводятся просто и подробно, сходи-
мость рядов доказывается при помощи простейших средств
и для биномиальных коэффициентов введены более удоб-
ные обозначения.
Настоящая статья отнюдь не исчерпывает всего содер-
жания аналитических работ Лобачевского. Мы выделили
вопросы, казавшиеся нам главенствующими, а некоторые
другие (например, вычисление различных определённых
интегралов, числа Бернулли) упомянули лишь вскользь
или даже вообще оставили в стороне. Тем не менее мы
думаем, что и сказанного достаточно для того, чтобы корен-
ным образом изменить установившееся мнение о том, что
Лобачевский—только великий геометр. Мы не утвер-
ждаем, конечно, что работы Лобачевского по анализу имеют
такое же значение, как его гениальные труды по геометрии,
но бесспорно то, что и в своих аналитических работах
Лобачевский проявил всю силу своего математического
гения и во многих вопросах на годы и даже па десятилетия
опередил своих современников.
«АЛГЕБРА ПЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ»
Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
А. П. Юшкевич и И. Г. Башмакова
I
Первые сведения об алгебре на русском языке были
изложены ещё в знаменитой «Арифметике» Л. Магниц-
кого (1703). В этой своеобразной энциклопедии матема-
тики, служившей основным руководством в наших шко-
лах первой половины 18 в., рассказывалось и о прогрес-
сиях, и об извлечении квадратного, кубического и высших
корней, и о системах символических обозначений, приня-
тых в европейской математике до Декарта, и, наконец,
о решении квадратных уравнений, с учётом, впрочем,
только положительных корней. Начиная со второй поло-
вины 18 в. в русской математической литературе появ-
ляется ряд учебных сочинений, частью или целиком по-
свящённых алгебре, а среди них несколько, содержавших
и начала высшей алгебры. Первым руководством такого
рода явились «Начальные основания математики» (СПб.,
1752) Н. Е. Муравьёва, отредактированные академиком
Н. Поповым. В этом обширном труде можно найти фор-
мулу бинома Ньютона, распространённую на случай дроб-
ного показателя г/2, формулировку основной теоремы
о числе корней алгебраического уравнения и теоремы
о соотношениях между корнями и «знаемыми величинами»—
коэффициентами, правило знаков Декарта для определе-
ния числа «правильных радиксов» и «неправильных» (т. е.
положительных и отрицательных корней), некоторые
приёмы отыскания границ действительных корней, реше-
«АЛГЕБРА ПЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 73
цие кубического уравнения и способ «в данном сравнении
сыскать радикс чрез приближение» по так называемому
ныне методу Ньютона.
Не задерживаясь на других оригинальных или пере-
водных курсах алгебры 18 столетия, мы отметим ещё
лишь классическую «Универсальную арифметику» Лео-
нарда Эйлера (СПб., 1768), которая легла в основу поздней-
ших учебников для гимназий и содержала многие соб-
ственные открытия великого математика (особенно в де-
тально развитом отделе неопределённого анализа) и «Но-
вую алгебру» А. Д. Барсова (М., 1797). Значительная
часть книги Барсова посвящена была математическому
анализу, и алгебре в обычном смысле слова автор отвёл
первые три главы, в которых среди прочего материала
имеются примеры на исключение неизвестных, выраже-
ние у через х из уравнения F (х, у) =0, где F (х, у)—целый
многочлен, по способу параллелограма Ньютона и некото-
рые сведения о бесконечных рядах. В четвёртой главе
приводились краткие и элементарные сведения о разно-
стях и суммах.
Во второй половине 18 в. начальная алгебра изучалась
в немногих учебных заведениях: в военных и морских
школах, в Московском университете; высшая алгебра —
только в университете при Академии наук.и в Педагоги-
ческом институте, созданном в 1784 г. Начало 19 в. было
ознаменовано коренной реорганизацией системы образо-
вания, которая быстро отразилась и на учебной литера-
туре по математике, в частности—по алгебре. Курс началь-
ной алгебры (включая решение уравнений 3 и 4 степени)
стали проходить в гимназиях, открывавшихся во всех
губернских городах. В программу физико-математических
факультетов, впервые организованных в 1804 г. в Москов-
ском университете и вновь основанных университетах
в Казани и Харькове, включён был курс высшей алгебры;
в течение некоторого времени на физико-математических
факультетах читался и повторительный курс начальной
алгебры. Осуществление плана реформ 1804 г. и постепен-
ное повышение уровня преподавания в средней и высшей
шнолах повлекли за собой выход в свет большого числа
новых руководств по алгебре, в составлении которых
74
А. П. ЮШКЕВИЧ II II. Г. БАШМАКОВА
приняли участие крупнейшие учёные и педагоги того
времени: Т. Осиповский, П. Гамалея, Н. Фус, В. Себр-
жинский, Д. Перевощиков и другие.
В тридцатых годах 19 в. опубликованы были три осо-
бенно выдающихся курса алгебры. Это были: «Алгебра
или вычисление конечных» Н. И. Лобачевского (Казань,
1834), «Лекции алгебрического и трансцендентного ана-
лиза» М. В. Остроградского (СПб., 1837) и «Теория опреде-
лённых алгебраических уравнений высших степеней»
И. И. Сомова (М., 1838). Каждое из этих сочинений имело
свой особый характер и лишь частично перекрывалось
с другими, а в своей совокупности они составляли полную
энциклопедию алгебры того времени, за исключением
лишь теории Галуа, с которой европейские математики
вообще начали знакомиться лет на десять позднее. Алге-
бра Лобачевского представляла собой общий универси-
тетский курс, начинавшийся с разбора основных арифме-
тических операций и завершавшийся теорией уравнений
высших степеней. Лекции Остроградского, читанные им
в Морском кадетском корпусе и подготовленные к печати
С. Бурачком и С. Зелёным, разделялись на две части.
В первой основное внимание уделено было определению
корней с помощью теоремы Штурма и их вычислению,
во второй излагались доказательство Абеля неразрешимо-
сти в радикалах уравнений степени выше четвёртой, начала
теории сравнений первой и высшей степеней и гауссова
теория двучленных уравнений. Книга Сомова посвящена
была детальнейшему изложению теории уравнений выс-
ших степеней, включая доказательство неразрешимости
в радикалах общего уравнения пятой степени, но в осо-
бенности методам приближённого решения численных
уравнений.
Среди трёх названных фундаментальных руководств
сочинение Н. И. Лобачевского было в идейном отношении
наиболее выдающимся. Уступая книгам Остроградского
и Сомова (изданным позднее) в объёме научного матери-
ала, «Алгебра» Лобачевского отличалась зато глубоко
оригинальным подходом автора к ряду основных вопросов
алгебры как науки и как предмета преподавания. Этот
труд Лобачевского, подобно его исследованиям по матема-
«АЛГЕБРА или ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 75
тическому анализу, не получил надлежащего освещения
в обширнейшей литературе о великом геометре. Справед-
ливо обратив внимание на выдающиеся достоинства
«Алгебры», А. В. Васильев смог отвести ей в своей книге
по истории русской математики («Математика в России»,
Петроград, 1921) всего, лишь одну страницу. Весьма кратко
изложено содержание «Алгебры» и в прекрасной моно-
графии о Лобачевском, написанной В. Ф. Каганом («Лоба-
чевский», М.—Л., 1948). В обзоре, предпосланном Н. Г. Че-
ботарёвым четвёртому тому полного собрания сочинений
Лобачевского (1948), содержится, к сожалению, ряд неточ-
ностей и пробелов. В настоящей статье мы, не претендуя
на совершенную полноту изложения, остановимся на тех
чертах труда знаменитого казанского математика, кото-
рые нам представляются наиболее существенными.
II
Первоначальный вариант курса алгебры Лобачевский
закончил в 1825 г. Рукопись книги, предназначавшейся
тогда для употребления в гимназиях, Лобачевский пред-
ставил в Совет Физико-математического отделения, кото-
рый в заседании 11 сентября (ст. ст.) того же года, на осно-
вании одобрительного отзыва проф. Г. Б. Никольского,
высказался в пользу издания руководства. По неизвест-
ным причинам решение Совета осуществлено не было,
и, год спустя, по просьбе автора рукопись была ему воз-
вращена. Лишь через несколько лет Лобачевский вновь
надумал издать своё руководство, на этот раз уже для
студентов университета и учителей. С этой целью он не-
сколько переработал уже написанную часть руководства
и значительно дополнил её разделами высшей алгебры—
теорией определителей и решением системы п линейных
Уравнений с п неизвестными, общей теорией уравнений
высших степеней и т. д. Книга была подготовлена к печати
не позднее конца 1831 г.: разрешение к печати цензор,
известный писатель С. Т. Аксаков, бывший товарищем
Лобачевского по гимназии, подписал 18 февраля 1832 г.
Издана была «Алгебра или вычисление конечных» в Ка-
занской университетской типографии в 1834 г.
76
А. П. ЮШКЕВИЧ И И. Г. ГАШМАКОВЛ
Отношение Лобачевского к алгебре, как науке и как
учебному предмету, определялось его общими воззре-
ниями на математику и на значение в ней анализа и син-
теза. Математика в глазах Лобачевского являлась наукой
об измерении количественных и пространственных харак-
теристик материального мира. «Вся математика,—писал
он,—есть наука, об измерении; все то, что существует
в природе, подчинено необходимому условию быть изме-
ряемую..»1). Анализ и синтез являются необходимыми
элементами математического исследования, но роли их
различны. «Анализу,—говорилось в конспекте по препо-
даванию чистой математики на 1824—1825 уч. год,—одол-
жена математика блистательными успехами её нынешнего
времени. Это превосходное изобретение человеческого
ума заключается в том, что здесь всё определяется в чис-
лах, все качества и соединения выражаются знаками,
все отношения представляются уравнениями, откуда,
наконец, берётся уже и решение всякого вопроса. Напро-
тив, в другом способе, геометрическом, представляют всё
в линиях или поверхностях, или под видом тел и на чер-
теже ищут отношения между линий и решения вопроса.
Геометрический способ бывает чаще всего вместе с тем
и синтезом, то-есть составлением: зная истину, продумы-
вают геометрическое строение для её доказательства. Ана-
литический способ ведёт прямо к открытию истин, в нём
всегда одинаковы приступ к решению, самые решения
обширны, а уравнения, которые выражают зависимость
коликих друг от друга, заключают уже в себе всё нужное
для полного ответа на вопросы, освобождают от рассмо-
трения качеств коликих и подчиняют ход задачи действиям
всегда одинаковым, прямым, кратким...». Отметив неко-
торые трудности анализа, связанные с отвлечённостью
и обширностью его понятий, Лобачевский продолжал:
«Посему надобно, чтобы поступающие в университет были
хорошо приготовлены в первых началах анализа, алгебре,
были бы тверды в её правилах и действиях, тогда можно
х) Из конспекта Лобачевского по преподаванию математики
на 1825—1826 }ч. год (Л. Б. М о д з а л е в с к и й, Материалы
для биографии Н. И. Лобачевского, М. — Л., 1948, стр. 205).
«АЛГЕБРА НЛП ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ » ЛОБАЧЕВСКОГО 77
с ними продолжать следовать тому же способу и, разу-
меется, чем он обширнее, тем он лучше, потому что обни-
мает более предметов и сокращает время учения»1). Вме-
сте с тем Лобачевский подчёркивал необходимость и син-
теза и в конспекте на 1825—1826 уч. год писал: «Между
тем находятся части математики, где синтез необходим
как единственный способ, который должен вести науку
до известной границы и не прежде, как за сею границей,
она может быть подчинена совершенно анализу. Такова
геометрия и механика»2). В связи с этим, согласно Лоба-
чевскому, гимназический курс математики должен заклю-
чать в себе «основания алгебры, синтез геометрии, при-
ложение к геометрии анализа, куда входят в состав раз-
личные частные случаи и примеры, встречающиеся в обы-
кновенной жизни, чтоб достигнута была, таким образом,
двойная польза. Курс в университете идёт снова от начал
математики, но рассматриваемых из другой точки зрения;
обнимает их в обширности, отделяет синтез от анализа
и систематически излагает действия последнего в их есте-
ственном порядке и по мере, как они становятся искус-
ственнее и более общи. Простота и лёгкость синтеза
заслуживает иногда быть помянута. Интегрирование урав-
нения, где содержание квадратов дифференциалов двух
переменяющихся даётся равным содержанию их синусов,
находится весьма легко из рассмотрения сферического
треугольника; напротив, требовалось остроумие Ейлера
и Лагранжа, чтоб решение почерпнуть из одного ана-
лиза. В синтезе всегда будут скрываться богатые источ-
ники для математиков, но открывать и пользоваться ими
предоставлено одним только Гениям. Преподавание не
должно черпать из сих источников»3). В этот университет-
ский курс входила и алгебра, начиная с повторения на выс-
шей основе её начал и заключая общей теорией уравне-
ний высших степеней.
---------------
*) Там же, стр. 173—174.
2) Там же, стр. 202.
sj Там же. стр. 202—203. Те же идеи о роли и взаимоотношении
анализа и синтеза Лобачевский развил в «Новых началах гео-
метрии» 1835— 1838 гг. («Новые начала геометрии с полной тео-
рией параллельных», Харьков, 1912, стр. 19 — 21).
78
А. П. ЮШКЕВИЧ II И. Г. БАШМАКОВА
В предисловии к своему руководству Лобачевский
подробно высказал свой взгляд на предмет и метод алге-
бры х). «Всякого рода вычисление, — писал он,—делается
с той целью, чтобы найти неизвестное; а потому правила
для вычисления соединяются в одно учение—Аналитику.
Её можно разделить па Арифметику, Алгебру и Диф-
ференциальное исчисление. В Арифметике начинают с при-
меров на числах; потом, соблюдая постепенность в поня-
тиях, вместо чисел, чтобы разуметь их произвольными,
в Алгебре употребляют буквы, избегая, однако ж, способа
бесконечно малых или границ, как такого, который тре-
бует более усилий от ума и составляет уже последнюю
и высшую часть Аналитики. В этом смысле Алгебра есть
та же наука, которую Ньютон назвал Общая Арифметика,
чтобы отличить от Арифметики на числах, и которую
столько же справедливо можно называть вычисление
конечных, в противоположность с дифференциальным или
вычислением бесконечно малых, где являются неоспо-
римо новые начала, под каким бы видом ни старались
их представлять, желая соблюсти строгость, эту суще-
ственную принадлежность всякого Математического уче-
ния» (стр. 23)* 2). Понимая, таким образом, под алгеброй
вычисление конечных и своего рода пропедевтику к исчи-
слению бесконечно малых, Лобачевский считал возмож-
ным включение в алгебру и теории чисел, которую
«должно рассматривать, впрочем, как учение отдельное,
если здесь излагаются те особенные способы, которые ему
только свойственны» (стр. 24), и теорию конечных раз-
ностей: «О приращении и суммовании функций надобно
х) Алгебра Лобачевского и основные отрывки из её раннего
рукописного варианта изданы в IV томе полного собрания сочи-
нений И. И. Лобачевского под редакцией II. Г. Чеботарёва (М.—Л..
1948). Все ссылки на страницы указаны далее по этому изданию.
2) Ещё в 1824 г. в конспекте по преподаванию математики
Лобачевский писал: «Анализ разделяют на высший и начальной...
Первой требует пособия дифференциального исчисления, послед-
ний одних алгебрагическпх действий и может быть посему назван
алгебрагическпм анализом, какое название и дано ему г-"м Коши
(Cours d’analyse algebrique par Cauchy), разумея под алгеброй
ту часть аналитики, куда не входит дифференциальное исчисление».
(«Материалы для биографии Н. II. Лобачевского», стр. 175.)
«АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 79
читать в Алгебре, если сюда относить уже всякое вы-
числение конечных» (стр. 26).
Отграничивая алгебру от дифференциального исчи-
сления, Лобачевский, однако, считал нужным исполь-
зование в пей бесконечных рядов, которые и получили
у него широкое применение при выводе общей формулы
бинома Ньютона, в учении о логарифмах и показатель-
ной функции и, наконец, в главе о тригонометрических
функциях, о которой в предисловии писалось: «О триго-
нометрических функциях я также захотел говорить,
не выходя впрочем из пределов А'лгебры. Надеюсь,
что меня одобрят, потому что не только решение уравне-
ний требует такого пособия, но даже и учение о степенях
осталось бы иначе неполным» (стр. 26).
Вряд ли правильно было бы видеть противоречие
в этом отграничении алгебры от исчисления бесконечно
малых, с одной стороны, и в использовании бесконечных
рядов и понятия об пх сходимости, с другой. В той или
иной мере алгебра 19 в. не могла обходиться без извест-
ного запаса понятий математического анализа, и не только
доказательство основной теоремы алгебры, но даже и чис-
ленное решение уравнений по существу требовало исполь-
зования этих понятий. Лобачевский, собственно, противо-
поставлял алгебру дифференциальному исчислению, в ко-
тором, как он выразился, появляются неоспоримо новые
начала. «... Общее рассуждение о функциях не должно
составлять исключительный предмет дифференциального
исчисления. Напротив, гораздо лучше последовать при-
меру, какой показал Г. Коши в своём Алгеб рагическом
Анализе (Cours d’analyse algebrique), не лишая Алгебру
той полноты, которую может она приобрести без всякой
помощи того, что собственно разумеют под дифференци-
альным исчислением» (стр. 23 —24). А Коши в названном
кУрсе не только детально развил теорию бесконечных
рядов, но привёл также основные сведения о бесконечно
малых и бесконечно больших величинах и о свойствах
непрерывных функций. Таким образом, Лобачевский,
считая чуждыми алгебре многие понятия, специфические
Для высшего анализа (дифференциал, производная), не
пользовался аппаратом дифференциального исчисления,
80
A. II. ЮШКЕВИЧ II II. Г. БАШМАКОВА
построенного на более общих основаниях, и предпочитал
доказывать предложения, опирающиеся на идеи непре-
рывности и предельного перехода, с минимумом пред-
посылок г).
Расширив столь существенным образом пределы алге-
бры, Лобачевский главным ядром её считал всё же теорию
уравнении. «Решение уравнений,—писал он,—составляло
всегда главный предмет алгебры» (стр. 25). И по существу
теория уравнений явилась основным предметом разби-
раемого сочинения. Специально теории уравнений посвя-
щены были гл. IX—системы линейных уравнений и тео-
рия определителей, гл. X—неопределённые линейные
уравнения и их системы, гл. XVI — решение двучленных
уравнений п завершающая гл. XVII — теория уравнений
высших степеней. Эти четыре главы и по объёму состав-
ляли значительную часть руководства —45% всего труда.
Очерченные только что воззрения Н. II. Лобачевского
на предмет и содержание алгебры роднят его руководство
с тем основным направлением развития алгебры 18 и пер-
вой половины 19 в., начало которому положил Ньютон
во «Всеобщей арифметике», впервые опубликованной в
1707 г. Именно Ньютон, как указывал в цитированном
рапсе отрывке Лобачевский, определил, развивая далее
идеи Декарта, алгебру как общую арифметику и во главу
угла этой пауки поставил численное решение алгебраиче-
ских уравнений. Этой задаче было подчинено всё содер-
жание «Всеобщей арифметики». Идеи Ньютона в области
алгебры определили в наиболее важных чертах её раз-
витие в течение более чем ста лет: почти все рабо-
ты математиков 18 в. и цервой половины 19 в. по во-
г) О различии, которое Лобачевский проводил между диф-
ференциальным исчислением и отдельными применениями сте-
пенных рядов, свидетельствует, например, и такое место из его
конспекта курса па 1825 — 182G уч. год: «Известно, что почти все
разложения тригонометрических функций могут быть произ-
ведены без помощи дифференциального исчисления, так же как
и степени от бинома» («Материалы для биографии II. И. Лобачев-
ского», стр. 207). Лобачевский избегал в алгебре развитой си-
стемы понятий и алгорифма математического анализа, а не част-
ных и конкретных применений идеи неограниченного приближе-
ния к пределу.
«АЛГЕБРА ПЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 8]
просу о приводимости, ио теории симметрических функ-
ций, по теории исключения, но распространению правил
знаков главной целью имели выяснение характера кор-
ней уравнения и установление эффективных приёмов их
вычисления.
Руководство Лобачевского в известном смысле явилось
одним из заключительных звеньев в цепи трудов Макло-
рена, Клеро, Эйлера, Баринга, Лагранжа, Фурье и других
алгебраистов, продолживших разработку и углубление
проблематики Ньютона. Теорема Ш. Штурма, окончатель-
но разрешившая вопрос о характере корней численного
алгебраического уравнения, и предложенный Лобачев-
ским метод возведения корней в квадрат (о нём будет
сказано далее), пригодный для быстрого вычисления
всех корней любого уравнения с численными коэффи-
циентами, завершили в 30-е годы 19 в. полуторавековую
работу алгебраистов в этом направлении. Примерно
в это же время открытия Абеля и Галуа положили начало
новому развитию алгебры, которое лишь частично намо-
чено было в конце 18 в. в трудах Лагранжа и Руффини.
Примкнув в вопросе об основной задаче алгебры к тому
направлению, которое успешно разрабатывалось в 18 п
начале 19 в., Лобачевский вместе с тем внёс в своё руко-
водство принципиально новые черты. Ещё в предисловии
к рукописи гимназического курса он с полным основа-
нием писал: «Новая книга начал Математики не должна
напрасно умножать число существующих, потому что
их и без того уже много. Читателю довольно слегка про-
бежать мою Алгебру, чтобы открыть в ней большое раз-
личие со всеми изданными до сих пор и не думать более,
чтоб намерение было только собрать и повторить только
сказанное другими. Далее он не замедлит увидеть, что
кроме старания сделать лучший выбор я прибавил ещё
и много нового» (стр. 368). Мы увидим далее, что Лоба-
чевский внёс в свой труд немало оригинального — и в архи-
тектонику и в изложение отдельных разделов курса.
Однако главной оригинальной чертой его книги яви-
лись не такие частные, хотя и важные её элементы, а общие
воззрения его на природу основных понятий и операций
арифметики и алгебры. На это указал еще А. В. Васильев,
Исторнко-матемаг. исследования
82
А. II. ЮШКЕВИЧ В И. Г. БАШМАКОВА
подчеркнувший, что ещё более, чем полнотой содержания
«Алгебра» Лобачевского интересна замечательной для
своего времени строгостью изложения основных начал1).
Решительный поворот в развитии математики, начав-
шийся в первые десятилетия 19 в., как известно, связан
был с перестройкой фундамента всех трёх главных её
дисциплин: прежде всего анализа, затем геометрии и под
конец арифметики и алгебры. В этой перестройке при-
няли участие крупнейшие математики: Коши, Гаусс,
Больцано, Лобачевский, Абель, Галуа и другие. На долю
Лобачевского выпала в этой реформе одна из самых труд-
ных и далёких по своим последствиям задач—задача
реформы геометрии, и главные усилия его направлены
были на анализ исходных понятий учения о простран-
стве, приведший его к созданию первой неевклидовой
системы. Но те же принципы, которыми он руководился
в своих геометрических исследованиях, положены были
им в основу его работ по теории тригонометрических рядов
и по теоретической арифметике. Самым общим образом
высказался он по вопросу о значении строгости и точно-
сти в науке ещё в предисловии к рукописному варианту
курса алгебры, где писал: «Для самой науки надобно
было всегда желать, чтоб она стала на твёрдом основании,
чтоб строгость и ясность сохранялись в самых её нача
пах, как они делаются первым её достоинством в продол-
жении. Такого рода опущение было вредно для целой нау-
ки, потому что было всегда причиной или бесполезных ис-
следований или тёмных, даже ложных понятий» (стр. 370).
И Лобачевский с глубокой прозорливостью понимал, что
не только геометрия, — как это было им доказано со всей
полнотой, — но и алгебра для дальнейшего прогресса
нуждается именно в самом детальном и углублённом
логическом разборе основоначал. «Алгебру и Геометрию,—
указывал он,—постигла одинаковая участь. За быстрыми
успехами в начале следовали весьма медленные и оста-
вили науку на такой степени, где она ещё далека от совер
г) А. В. Васильев, «Математика», стр. 25. Ср. также
его книги: «Введение в анализ», вып. 1, изд. 4-е, Казань, 1913,
стр. 27 — 28 и «Николай Иванович Лобачевский», СПб., 1914
стр. 104 — 107.
«АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛО, АЧЕВСКОГО «3
шенства. Это произошло, вероятно, от того, что Матема-
тики всё своё внимание обратили на высшие части Анали-
тики, пренебрегая началами и не желая трудиться над
обрабатыванием такого поля, которое они уже раз перешли
и оставили за собою.
Всякий, надеюсь, согласится с справедливостью моего
замечания, что первые понятия во всех отраслях Мате-
матических наук приобретаются легко; но всегда соеди-
нены с недостатками, которые пополнить даже и впослед-
ствии бывает весьма трудно. Если писатели для начи-
нающих опускают это из виду, то они предполагают дру-
гую цель, опасаясь бесполезно затруднить читателей.
Где-нибудь, однако ж, надобно воротиться снова к нача-
лам и теперь уже всю строгость почитать у места» (стр. 24).
Это столь характерное для всего научного творчества
Лобачевского убеждение в решающем для дальнейшего
прогресса математики значении разработки и переработки
«первых понятий» науки побудило его посвятить началь-
ные главы алгебры исследованию операций над числами
натурального ряда, затем над рациональными и, наконец,
над относительными. «По мнению моему,—писал он,—
Алгебра первая начинает Математику со всей точностию
понятий и со всей обширностию взгляда; тогда как Ариф
метика составляет ещё приступ, служит только пригото-
влением и для навыка. Вот почему в моём сочинении гово-
рится о числах, счёте, четырёх действиях Арифметиче-
ских» (стр. 24—25)х). Мы остановимся далее более подробно
на содержании этих глав, отметив пока лишь тот факт,
что Лобачевский одним из первых понял огромное значе-
ние логического исследования коренных свойств нату-
ральных чисел и действий над ними. В этом отношении
руководство по алгебре Лобачевского являлось уже
х) Лобачевский придавал большое значение своему построе-
нию начал теоретической арифметики. Подчёркивая роль синтеза,
«который один сперва начинает науку с таких понятий, откуда
суждение производит уже всё прочее», он в 1835 г. писал, чго
если на стороне анализа лежит лёгкость и простота, «то на стороне
строгой истины всегда будет своё преимущество, которым когда-
нибудь надобно пользоваться. Первый опыт этому сделал я с Ал-
геброй и теперь предпринимаю то же с Геометрией». («Новые начала
геометрии с полной теорией параллельных», стр. 20 — 21.)
84
л. п. юшкевич и п. г. башмакоЬА
не завершающим старый, восходивший к Ньютону период
развития алгебры, а открывало новую эпоху, эпоху посте-
пенной разработки аксиоматики натурального ряда, соз-
дания гиперкомплексных числовых систем, выдвигая
его как одного из зачинателей современной теоретиче-
ской арифметики1).
Сравнивая книгу Лобачевского с двумя трудами,
имевшими особенно большое значение для построения
курса алгебры, — с «Универсальной арифметикой» Эйлера
(1768) и «Курсом алгебраического анализа» Коши (1821),—
В. Ф. Каган пришёл к заключению, что труд Лобачев-
ского был гораздо ближе к первой, хотя по содержанию
и значительно богаче её2). Это не совсем точно. Разу-
меется, Лобачевский при составлении своего руководства
опирался па работы более ранних авторов, проявив при
этом огромную эрудицию,—и не только на алгебру Эйлера,
но и на его «Введение в анализ» (т. I, 1748). Ясно также,
что любое алгебраическое руководство в значительной
части своей должно было иметь немало точек соприкосно-
вения с другими сочинениями по этому вопросу. Тем
не менее, «Алгебра или вычисление конечных» и по содер-
жанию и по духу сильно разнилась от обоих названных
классических трудов. Прежде всего, Эйлер совсем не ка
.сался в «Универсальной арифметике» вопросов обосно-
вания арифметики натуральных чисел и лишь бегло
затронул вопрос об умножении чисел относительных,
между тем как формальная теория арифметических опе-
раций заняла в книге Лобачевского одно из центральных
х) Следует заметить, что первые разделы «Всеобщей арифме-
тики» Ньютона посвящены были рассмотрению общих операций
арифметики и алгебры. Противопоставляя свою точку зрения кон-
цепции Декарта, который синтезировал арифметические операции
с построениями геометрии, Ньютон в первых же строках заявлял:
«Вычисления производятся либо при помощи чисел, как в обыкно-
венной арифметике, лиЬо при помощи видов, как в алгебре... все
действия арифметики столь необходимы в алгебре, что они лишь
совместно образуют полную науку вычислений, и поэтому я буду
излагать их обе вместе» («Всеобщая арифметика», изд. АН СССР,
.VI.—Л., 1948, стр 7). Однако Ньютон не уделил никакого внима
ния обоснованию и анализу операций арифметики.
2) «Лобачевский», стр. 305.
«АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 85
мест. Далее, ни в алгебре, ни во «Введении в анализ»
Эйлера не излагалась общая теория уравнений высших
степеней и теория конечных разностей (ей Эйлер отвёл
место в «Дифференциальном исчислении», 1755 г.). С Дру-
гой стороны, применение бесконечных рядов в алгебре
Лобачевского было гораздо более ограниченным, чем
во «Введении в анализ», хотя и более широким, чем
в «Универсальной арифметике». Что касается книги Коши,
то она действительно являлась в большей мере введением
в анализ, чем курсом высшей алгебры. Основное внима-
ние в её первых девяти главах сосредоточено было на клас-
сификации функций, свойствах бесконечно малых вели-
чин и непрерывных функций, теории бесконечных рядов
с действительными и комплексными членами, и толь’ко
третья и десятая главы были посвящены специально одна
линейным системам, а другая уравнениям высших степе-
ней (основная теорема, двучленные уравнения, уравне-
ния 3 и 4 степени), а в III прибавлении шла речь о числен-
ном решении уравнений. Теории арифметических и алге-
браических операций Коши отвёл также лишь несколько
страниц—в I прибавлении.
Мы сравнили «Алгебру или вычисление конечных»
с трудами Эйлера и Коши. Даже самое беглое сопоставле-
ние её с другими руководствами, имевшими широкое рас-
пространение в первой трети 19 в. — В. Себржинского,
С. Лакруа, Л. Франкера, Д. Персвощикова также пока-
зало бы её существенные своеобразные черты.
Таким образом, университетское руководство Лоба-
чевского по алгебре представляло собой совершенно ори-
гинальный труд. Прежде чем перейти к разбору некоторых
отдельных его моментов, следует лишь кратко сообщить
об общем расположении материала. Первые шесть глав
отведены построению теории арифметических операций
над целыми числами и дробями. В главах 7 —8 гово-
рится, соответственно, о дробях десятичных и непрерыв-
ных. В 9 главе излагается теория линейных уравнений
и теория определителей; в 10главе —целочисленное реше-
ние линейных систем. Операциям возведения в степень
и извлечения корня посвящены главы 11 —12, логариф-
Мам—13 глава, а тригонометрическим функциям—14,
86
А. П. ЮШКЕВИЧ И И. Г. БАШМАКОВА
В 15 главе сообщаются сведения по теории конечных раз-
ностей, в 16 —решение двучленных уравнений и в послед-
ней, 17 главе, теория уравнений высших степеней.
III
Вопросы арифметики целых чисел впервые были затро-
нуты Евклидом в его «Началах». Целое число Евклид
определил как множество единиц. Выбрав в качестве
единицы некоторый произвольный отрезок, он получал
целые числа повторением (произвольное число раз) этого
отрезка и, таким образом, дал изображение всех целых
чисел в виде соизмеримых друг с другом отрезков. Опера-
ции сложения и вычитания осуществлялись путём «при-
ставления» друг к другу отрезков или путём отбрасывания
из одного отрезка части, равной другому. Свойства операций
сложения и вычитания (ассоциативность, коммутативность)
Евклид специально не выделял, считая их очевидными.
При такой системе изображения целых чисел нуля, разу-
меется, быть не могло (ему соответствовало бы просто отсут-
ствие отрезка). Единица, т. е. общая мера всех целочис-
ленных отрезков, согласно воззрениям древних, также
не была числом. Основное внимание Евклид сосредото-
чил на определении операций умножения и деления чисел.
Умножить число А на число В означает, по Евклиду,
взять А слагаемым столько раз, сколько единиц Е содер-
жится в числе В.
Если В равняется ЪЕ, то
А • В — А 4~ А 4- ... 4" А — АЬ = С.
Ъ раз
Таким образом, данное Евклидом определение умно-
жения двух чисел несимметрично. Из определения
не ясно, что повторив число В слагаемым столько раз а,
сколько содержится единиц Е в числе А, мы получим
в результате тоже число, т. е. что ВА=АВ =С. Поэтому
Евклид специально останавливается на доказательстве
этого основного свойства умножения чисел, получившего
впоследствии название коммутативности. При доказа-
тельстве Евклид опирается на свойства коммутативности
АЛГЕБР /к ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЬ X» ЛОБАЧЕВСКОГО 87
и ассоциативности г) сложения:
(^ + B) + C = A + (B + C), a + B=B±A.
которые он считает очевидными, и на свойство дистрибу-
тивности умножения по отношению к сложению
А(В + С)=АВ + АС,
которое он доказывает. Для доказательства коммутатив-
ности умножения достаточно показать, что
АЬ — аВ,
и Евклидово доказательство можно схематически пред-
ставить так:
АВ = Ab A 4- А + • • • + А — аЕ 4- аЕ + ... 4 аЕ =
b j аз	Ь раз
а (Е 4- Е 4- .. . -}-£) = а (ЬЕ) аВ.
Ъ j аз
В построенное им полукольцо целых чисел Евклид
ввёл алгоритм нахождения общего наибольшего делителя
для любых двух элементов. В частном случае, когда общий
наибольший делитель двух чисел совпадает с одним из
них, говорят, что второе число делится на первое. Таким
образом, операция деления определяется у Евклида
не как обратная операции умножения, а независимо от
неё. Евклид показывает, что если число В делится на
число А, т. е. может быть получено повторением числа А,
В~пА, то В NA, где N—nE. Этим устанавливается
связь между обеими операциями.При доказательстве основ-
ной теоремы о единственности разложения числа на про-
стые множители Евклид пользуется методом спуска, что
равносильно применению принципа полной математиче-
ской индукции.
На протяжении многих веков после Евклида вопросы
арифметики натуральных чисел не разрабатывались. Пер-
вым существенным достижением нового времени в этом
х) Термины «коммутативность» и «дистрибутивность» были
введены Сервуа в 1815 г. Термин «ассоциативность» ввёл в 1843 г,
1 амильтон,
88	V. П. ЮШКЕВИЧ II И. Г. БАШМАКОВА
направлении явилась чёткая формулировка принципа
полной математической индукции Б. Паскалем г) и метода
спуска П. Ферма. К этому их привели конкретные проб-
лемы теории чисел, а не отвлечённый интерес к пробле-
мам обоснования арифметики. Однако прошло ещё около
двух веков, прежде чем математики положили эти прин-
ципы в основу построения натурального ряда.
В конце 17 в. был установлен и новый взгляд на число.
В это время под влиянием растущих запросов практики
приближённые вычисления всё более прочно входят
в математику. Отношение любых двух величин начинают
трактовать как некоторое число, которое можно опреде-
лить с любой степенью точности. Тем более естественно
было признание числами отношений целых чисел, т. е.
дробей. Окончательное узаконение эта точка зрения
получила во «Всеобщей арифметике» Ньютона (1707),
в которой число было определено как отношение произ-
вольной величины к другой, однородной с нею и принятой
за единицу. Том самым единица включалась в категорию
чисел2). С другой стороны, новая, позиционная система
нумерации ввела в употребление нуль, на который также
всё более и более привыкали смотреть как на число3).
Отрицательные числа, с необходимостью появляв-
шиеся при решении алгебраических уравнений, долгое
время считались только символами, оперирование кото-
рыми позволяло получать правильные результаты отно-
сительно реальных положительных чисел. Ещё в 18 в.,
несмотря на то, что геометрическая интерпретация
отрицательных чисел была известна со времён Декарта,
многие крупные математики, как Даламбер, Гурьев,
стояли примерно на этой точке зрения.
Вопросы арифметики натуральных чисел не занимали
учёных 18 в. Системы аксиом, которыми начинались неко-
торые учебники того времени, в дальнейшем изложении
не употреблялись и играли роль традиционного довеска,
*) До Паскаля этот принцип в менее отчётливой форме был
высказан Франческо Мавролико (XVI в.).
*) Впервые единицу признал числом Николай Орезм (XIV в.).
3) Взгляд на нуль, как на корень уравнения^ т. с. как на
число, был установлен Шюкэ (Х\ в.).
«АЛГЕБРА НЛП ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 89
да и по существу отличались крайним несовершенством,
Свойства операций, за исключением коммутативности
умножения, почти никогда но оговаривались. Возможно,
что учёным 18 в. казались достаточными основы ариф-
метики, имевшиеся у Евклида.
Некоторый интерес вызывали вопросы обоснования
операций над отрицательными числами, в частности,—
правил знаков. Делались многочисленные попытки дока-
зать эти правила. Между тем сами относительные числа
по существу ещё не были определены; определить их можно
было бы либо системой аксиом, либо установив правила
операций над ними. Поэтому все «доказательства» упо-
мянутых правил сводились в действительности к молча-
ливому перенесению свойств положительных чисел на
отрицательные. Такой незаконный акт был вполне есте-
ственным для математики 18 в., метафизически перено-
сившей соотношения, свойства и понятия, установленные
для объектов некоторой определённой области и в опре-
делённых предпосылках, па объекты других областей.
Если вопрос о природе отрицательных чисел ещё
вызывал споры, то в трактовке мнимых чисел математики
18 в. были почти единодушны, признавая их лишёнными
смысла символами, чисто вспомогательными выраже-
ниями, удобными для многих теоретико-числовых рас-
смотрений, при интегрировании и т. д. Самостоятельными
объектами исследования мнимые величины не являлись.
Такая точка зрения долгое время удерживалась, ив 19 в.,
на ней, например, стоял первоначально и Коши и—много
позднее — Кронекер.
В течение некоторого времени подобные воззрения
и в основном формальный подход к математическому
анализу не мешали развитию последнего. Однако на рубе-
же 19 в. стало выясняться, что дальнейшее развитие мате-
матики требует качественно новых идей и методов, прежде
всего—содержательного рассмотрения основных понятии
математики, определения области применимости каждого
понятия и установления самого факта существования
основных объектов математики: интеграла, производном,
суммы ряда и т. д. Процесс перестройки математики
охватил все её основные разделы и прежде всего мате-
90
А. П. ЮШКЕВИЧ И II. Г. БАШМАКОВА
матический анализ —ведущую математическую дисци-
плину 18 в. Анализ стали развивать на основе арифмети-
ческой теории пределов. По-новому определено было цен-
тральное понятие анализа —функция (Лобачевский, Боль-
цано, Дирихле) и такие фундаментальные свойства, как
непрерывность, аналитичность и т. д. Благодаря этим из-
менениям, анализ конкретных функций 18 в. превратился
в теорию функций.
Ещё более коренной перелом произошёл в геометрии,
сохранявшей до начала 19 в. тот облик, который ей при-
дал ещё Евклид, и стоявшей особняком в системе мате-
матических дисциплин. Первая система неевклидовой
геометрии, созданная гением Лобачевского, не только
сломила двухтысячелетнюю традицию, но и заставила
по-иному взглянуть на самый предмет геометрии и этим
в значительной степени предопределила самый ход раз-
вития математики 19 —20 вв. Дальнейшее развитие идей
Лобачевского привело к проникновению геометрии во все
области математики и явилось необходимой предпосылкой
создания современной физики.
Несколько позднее, но не менее коренным образом,
была преобразована в 19 в. алгебра. Уже в начале этого
века старая задача о решении алгебраических уравнений
высших степеней в радикалах получила в работах Абеля
и Галуа совершенно новую трактовку. Если ранее
вопрос ставился об отыскании выражения для корней
в радикалах, то теперь поставлен был вопрос о неразре-
шимости этой задачи, который требовал рассмотрения
всех возможных методов решения, а не отыскания какого-
нибудь из них. Уже эта проблема вела к тому, что сами
методы математики становились предметом её изучения
и рассмотрение основ математики становилось жизненно
необходимой предпосылкой её развития. В процессе
анализа названной проблемы были созданы такие важней-
шие понятия современной математики, как группа и поле,
в которых впервые основные операции алгебры были
выделены в чистом виде и стали самостоятельным предме-
том изучения, вне зависимости от того, над какими эле-
ментами— числами, преобразованиями, классами чисел
И т. д. определены эти операции.
«АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 91
С другой стороны, в 19 в. получают окончательное
узаконение комплексные числа, которые приобретают как
геометрическое, так и теоретико-числовое, истолкование.
Операции алгебры для комплексных чисел сохраняют
все свои основные свойства, однако при дальнейших неиз-
бежных попытках обобщить понятие числа оказалось
невозможным сохранить неизменными все обычные свой-
ства алгебраических операций. Так, при построении
теории кватернионов выяснилось, что при определении
для них алгебраических операций необходимо пожертво-
вать либо коммутативностью умножения, либо дистри-
бутивностью. С полным основанием считая второй закон
более существенным, Гамильтон построил первую неком-
мутативную систему чисел.
Очевидно, что предпосылкой всей дальнейшей работы
в очерченном направлении являлось рассмотрение исход-
ного пункта исследований — натурального ряда и его
свойств. Необходимость этого рассмотрения диктовалась
и проблемами арифметизации анализа. Математики пер-
вой половины прошлого столетия, действительно, обра-
щаются к изучению натуральных чисел и операций над
ними, которые оказываются вовсе не столь простыми
и хорошо изученными, как думали учёные 18 в.
В ЗО-е годы 19 в. математики ряда стран—Ом, Пикок
и др.—обращаются к соответствующим проблемам теорети-
ческой арифметики. В своих занятиях алгеброй и Лоба-
чевский, с его постоянным интересом к основаниям мате-
матики, очень видное место отвёл анализу основ этой
науки.
Первые шесть глав «Алгебры или вычисления конеч-
ных» целиком посвящены теории арифметических опера-
ций 1). Во вступлении Лобачевский даёт некоторые основ-
ные определения. «Всё то, что допускает понятие о вели-
чине, называется коликое. Таковы все вещи, скорость
движения, время, потому что всё это может быть изме-
х) Впервые на построение основ арифметики Лобачевским обра-
тил внимание А. И. Богуславский, который в брошюре «Аксиомы
арифметики по Гельмгольцу и по Лобачевскому» (Москва, 1894)
коротко рассмотрел излагаемое далее доказательство коммутатив-
ности и вопрос об однозначности операции вычитания,
92
А. П. ЮШКЕВИЧ И И. Г. БАШМАКОВА
ряемо» (стр. 29). «Величина всякого коликого познаётся
только через сравнение с другим, взятым за меру» (стр. 29).
«Когда умалчивается и то, чего назначается величина,
и то, что берётся из сравнения, тогда величина получает
название числа, а мера — единицы» (стр. 29). Таким обра-
зом, Лобачевский даёт общее определение числа, как
отношения двух однородных величин. Числа Лобачев-
ский делит па целые, выражаемые в выбранной мере без
помощи долей (т.е. фактически определяет целые, как со-
брания единиц), дробные, которые выражаются «в долях так
же, как целые в единицах», и неизмеримые, в которых ни
одна из долей единицы не откладывается без остатка.
«Всего чаще таковы бывают искусственные числа, опре-
деляемые условиями, но которым вполне удовлетворить
нельзя. Для них употребительны особые знаки, пока
точность вычисления оставляется на произвол» (стр. 31).
Однако если точность вычисления заранее указана, то
неизмеримые числа, как отмечает Лобачевский, могут
быть заменены рациональными дробями: «Различие их
с прочими числами, измеряемыми, в том только, что дробь,
которой они изображаются, меняется, смотря по точности,
наблюдаемой в вычислении» (стр. 31). Таким образом,
с чисто математической стороны, иррациональное число
фактически определяется Лобачевским как множество
рациональных чисел. И всё же неизмеримые числа Лоба-
чевский называет искусственными, подчёркивая тем самым
их принципиальное отличие от рациональных чисел.
Более отчётливо свою точку зрения на этот вопрос Лоба-
чевский выразил в своих конспектах по математике на
1825—1826 г.: «Употребляя знаки для неизвлекаемых
корней,—пишет он, — действия анализа распространяют
на такие числа, которые, собственно говоря, не суще-
ствуют»1). Согласно Лобачевскому, для иррациональных
чисел в реальном мире нет прообраза: «Если допустить
элементы в природе, то непонятная несоизмеримость исче-
зает, невыразимые числа будут искусственные числа, суще-
ствующие только в знаках аналитики, а не в природе»2).
*) «Материалы для биографии II. II- Лобачевского», стр. 208.
2) Там же, стр. 184,
♦ АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 93
Это происходит потому, что «непрерывного изменения
значения величин в зависимости, какое предполагается
в аналитике, нет собственно в природе; следовательно,
говоря в строгости, здесь нет места дифференциальному
вычислению, а только одному вычислению приращений.
Но по мере уменьшения приращении оба вычисления сбли-
жаются, и в природе уже они близки до неприметной раз-
ности» г).
Итак, сущность воззрений Лобачевского заключается
в том, что иррациональное число появляется при построе-
нии непрерывной модели реального мира, сам же этот мир
дискретен, поэтому прообразов несоизмеримостей там нет.
Такой взгляд Лобачевского па природу иррациональностей
не противоречил его общей материалистической установке,
согласно которой: «Первыми данными, без сомнения,
будут всегда те понятия, которые мы приобретаем в при-
роде посредством наших чувств»2). Этот взгляд был тесно
связан с его представлениями об атомистической структуре
реального мира. Строгое построение теории вещественных
чисел как фундаментальных последовательностей рацио-
нальных чисел было проведено позднее, только во второй
половине 19 в.
О мнимых числах в первых главах своего сочинения
Лобачевский не говорит, ибо не относит их к числам вооб
ще. Однако он прекрасно понимал их огромное значение
для математики. «Употребление |/"—1 в Математике,—
пишет он, — столько нужно, что я почёл обязанностью
говорить более о воображаемых степенях, нежели это
обыкновенно делается, стараясь дать ясные понятия
И положить твёрдые основания для вычислений, где
берётся в помощьI»3) (стр. 25). Уже отсюда видно,
что мнимым числам Лобачевский приписывал роль
’) Там же, стр. 186.
!) Л о ба че в с к и й, «Новые начала геометрии с полной
теорией параллельных», Харьков, 1912. стр. 20.
3) Действительно, и в работах Лобачевского по анализу,
и в его алгебре, комплексные величины получили чрезвычайно
ЛРокое применение (Ср. статью Г. Л. Лунна в этом выпуске
тсторико-математпческпх исследований».)
А. П. ЮШКЕВИЧ И И. Г. БАШМАКОВА
вспомогательных символов. Такое толкование их выра-
жено ещё яснее в гл. 12: «Выражение J/ —1 надобно ра-
зуметь всегда, как бы число неопределённое, для которого
существует только означение и которое переходит в —1,
число действительное, всякий раз с возвышением в квад-
рат» (стр. 201). Комплексные числа, по мнению Лобачев-
ского, служат только средством для установления новых
математических зависимостей между действительными
числами. Из окончательного результата они должны быть
поэтому всегда элиминированы. Теорию арифметиче
ских операций на эти числа Лобачевский не распростра
няет.
В конце вступления Лобачевский ещё раз возвращается
к определению понятия «коликого». Так как «правила
в Алгебре должны быть даны сколько можно более общие»
(стр. 31), то Лобачевский предлагает ввести «счёт поло-
жительных и отрицательных», т. е. предлагает понимать
под коликим и число, «когда оно приобретает новое каче-
ство от знака, подразумеваемого впереди, и рассматри-
вается с ним нераздельно» (там же). Во всём дальнейшем
изложении под коликими Лобачевский понимает отно-
сительные числа.
Первую главу Лобачевский посвящает определению
сложения и вычитания и доказательству основных свойств
этих операций. «Я целому числу придать другое, значит
кединицам первого присчитать единицы второго» (стр. 33).
Таким образом, операция сложения определяется на осно-
вании счёта. Присчитывание единиц второго числа к еди-
ницам первого предполагает упорядоченность единиц
во втором числе, которые последовательно прибавляются
к первому.
Далее отдельно определяется понятие нуля, как такого
числа, которое не изменяет никакого другого числа: «Нуль
числа не переменяет, будет ли к числу придан, или. число
придано к нему», т. е. нуль определяется равенствами
а Ч-0 = а и 0 + а=а. Обычно нуль определялся
через вычитание а — а = 0 и определение Лобачевского
является оригинальным.
Определив сложение целых чисел, Лобачевский впер-
вые в истории математики даёт доказательство основного
«АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 95
свойства этой операции — коммутативности х). При этом
Лобачевский замечает, что сложение дробей сводится
после приведения их к общему знаменателю к сложению
одних только числителей, т. е. целых чисел: «Посему
предложение будет уже доказано для всех чисел, как скоро
оно докажется для целых» (стр. 34). Вследствие этого
Лобачевский и находит нужным останавливаться на свой-
ствах операций над целыми числами. Лобачевский вовсе
не допускает здесь непоследовательности в изложении, как
это могло бы показаться на первый взгляд, определяя
сложение дробей до того, как определены операции умно-
жения и деления целых чисел, необходимые для приводе
ния дробей к общему знаменателю. Замечание Лобачев-
ского просто должно обосновать перед читателем важность
изучения свойств операций над целыми числами, так как
операции над остальными числами сводятся к соответ-
ствующим операциям над целыми. Более подробному раз-
бору арифметических действий над дробями Лобачевский
посвятил 6-ю главу своей «Алгебры».
При доказательстве коммутативности Лобачевский
пользуется ассоциативностью сложения, которое отдельно
здесь не оговаривается* 2), и аксиомой а-|-0 = 0-Ья. Дока-
зательство проводится методом спуска. Прежде всего
доказывается, что
a -р b [- с == а -f- с -f-b.
Если b с, то предложение очевидно. Пусть 6>е, тогда «Ь
можно произвести, придавая к с какое-нибудь число d,
так что b = c-\-d, потому что в этом и состоит неравен
2) В своём обзоре IV тома сочинений Лобачевского Н. Г. Чебо-
тарёв пишет: «Основные законы: коммутативный, ассоциативный
и дистрибутивный нигде в явном виде не высказаны» (стр. 12). Это
замечание неверно: Лобачевский не только формулирует, но и дока-
зывает законы коммутативности и дистрибутивности.
2) Интересно отметить, что в конспекте университетских лекций
по алгебре ученика Лобачевского магистра 11. О. Юферова, читав-
шего в 1825 и 182G гг. свой курс но сочинениям Лобачевского,
свойство это выделяется: «Всё равно, придать ли сумму двух чисел
вдруг или придать прежде одно, потом другое», и только вслед
зз этим идёт предложение: «Когда три числа складываются, то по-
следние два могут меняться местами» («Материалы для биографии
И. Лобачевского», стр. 220).
96
А. П. ЮШКЕВИЧ II II. Г. БАШМАКОВА
ство чисел» (стр. 34). (Попутно, таким образом, даётся
определение неравенства, которое впоследствии применя-
лось многими авторами.) Итак, b = c-\-d,
a + b + c = a-\-c-{-d-[-c = A+ d + c,
a + c + 6 = a + c + c + d = A + c + d,
где Л=«4-с.
Таким образом, приходим к равенству
rl + d + с = Л ~f“ с + d,
причём d<b. «Продолжая таким образом, всякий раз
будем большее из двух придаваемых уменьшать по край-
ней мере единицей; а как они целые, то, наконец, одно
из них сделается нулём. Это предполагает впереди равен-
ство их, а, следовательно, тожественное уравнение»
(стр. 34)х). Отсюда при « = 0 получаем закон коммута-
тивности в обычном виде: b 4-е = с + Ь. Из этого Лобачев-
ский делает вывод об однозначности операции сложения:
«Сколько бы ни было слагаемых, порядок ах не изменяет
значение суммы, которое момсет быть одно только»
(стр. 35).
Операцию вычитания Лобачевский определяет как
обратную сложению: «Вычесть число из другого, значит
найти такое третье, которое с первым даст второе»
(стр. 35), а—Ь=с, если с-\-Ь=а. Отсюда, в частности,
следует, что а—л = 0, так как 0 + « = я, и а — 0 = а, так как
а-|"0 = а. Далее Лобачевский особо отмечает единствен-
г) Для сравнения приведём доказательство коммутативности
сложения, данное Грассманом. Грассман основывается па следую-
щей аксиоме: (а+Ь) + 1=а+(Ь + 1). Требуется доказать, что а +&=
=Ь+а. Для а=Ь=Л теорема очевидна. Пусть теперь п 4-1 = 1 +«,
(«+1)+1=(1+«)+!=! +(«+!),
следовательно,
а +1 = 1 4 а-
Предположим снова, что
а +« = п +at
тогда
а +(п + 1)= («+«) + ! = 1 4-(a+n)= 1 +(п +<г) = (1 +«)+« = (п + !)+«,
т. е. a~\-b = b +а.
«АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО97
ность операции вычитания: «Разность двух чисел может
быть только одно число» (стр. 36). Доказывает это Лоба-
чевский на основании единственности счёта: для нахо-
ждения разности нужно начать считать от вычитаемого
до тех пор, пока не дойдём до уменьшаемого. Число
просчитанных при этом единиц и будет разностью, «а как
всякое целое число в продолжении счёта может быть упо-
мянуто только один раз, то и разность двух чисел может
быть только одна» (стр. 36).
В следующих двух главах Лобачевский определяет
сумму и разность для относительных чисел, формально
перенося на них правила операций. Мы пока пропустим
эти главы и обратимся к содержанию 4 главы, в которой
Лобачевский рассматривает операции умножения и деле-
ния. «Умножить коликое на другое значит найти третье,
которое бы происходило из первого, как второе из еди-
ницы» (стр. 49). Таким образом, произведение ab, если b
равно целому п, равно ап = а4-а-}-- —|-а; если же 6 = ^ ,
па а ,	. а
то а — = —1----h • * * Н— )•
т т т 1	1 т '
После общего определения умножения Лобачевский
особо рассматривает случаи:
1 • а, а • 1,	0 • а, а • 0.
Согласно определению умножения,
1 • а— а, 0 • а = 0.
Ясно также, что аЛ—а, так как в этом случае надо про-
сто, вместо 1, поставить число а. Последний случай,
как отмечает Лобачевский, «не подходит собственно под
общее определение, потому что нуль никак не происхо-
дит из единицы» (стр. 50). Это замечание дополняет опре-
деление умножения чисел, данное Лобачевским. Теперь
ясно, что «происходить» одно число из другого может
только при помощи сложения, вычитание при этом не допу-
г) Лобачевский специально останавливается на рассмотрении
случая Ь = —, чтобы показать, что данное пм определение умно-
жения годно и для дробей.
Историко-математ. нс следования
98
Л. П. ЮШКЕВИЧ И И. Г. БАШМАКОВА
скается, иначе нуль мог бы легко произойти из единицы:
0 = 1—1. Для определения значения а-0 Лобачевский
замечает, что равенство а 0 - 0 можно принять «только
в дополнение к общему определению, тогда как и всякое
другое коликое могло бы почтено быть за произведе-
ние ах0» (стр. 50). И всё же выбор этого коликого не
является для Лобачевского чем-то произвольным:
«Выбор, однако ж, значения для какого-нибудь частного
случая, не заключающегося в общем определении, не
произволен, но ограничивается известным правилом,
принятым везде в математике и которое состоит в том,
чтобы почитать за значение выражения в таком частном
случае ту границу, к которой подходит значение общего
выражения, когда вместе приближаются и коликие
в выражении к той границе, которая составляет частный
случай, не подходящий под общее определение» (стр. 51).
Иными словами, если некоторое выражение Ф (я, у, z, ...)
не определено для значений х=а, у—Ь, ъ=с,..., то Лоба-
чевский предлагает его доопределять по непрерывности,
полагая
Ф (а, Ь, с, ...) = ИтФ (х, у, z, .. .).
х-*а
V~*b
...
«Таким-то правилом должно всегда руководствоваться
в распространении всякого определения на те случаи,
которые прежде не были в нём подразумеваемы. В нашем
примере ахО представляет границу, к которой прибли-
жается произведение а X b. с уменьшением b;..., а сле-
довательно, нуль и должно принять за произведе-
ние а X 0» (стр. 51)х).
х) Аналогично поступил Лобачевский и при определении
тригонометрических функций в «Новых началах геометрии». Введя
sin А как отношение противолежащего катета к гипотенузе
sin А = ~ ,	(7)
он дополняет это определение, полагая
sin 0 = 0,	siny = l,	(8)
и пишет: «Кстати здесь сказать определениях в геометрии, коте-
«АЛГЕБРА пли ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 99
Деление, подобно вычитанию, Лобачевский опреде-
ляет как обратную операцию: «разделить коликое на
другое значит найти третье, которое, будучи умножено
на второе, даёт первое» (стр. 52), и затем рассматривает
аналогичным образом частные случаи а : 1, 0 : а, а : О
и 0 : 0. Как и в случае сложения и вычитания, Лобачев-
ский останавливается на констатировании единствен-
ности операций умножения и деления. Исключением
является только случай, когда один из множителей рав-
няется нулю, а другой бесконечен. Действительно, О оо
является границей выражения а : b х b при Ь—>оо, но
а:Ъ х Ь = а, т. е. является произвольным постоянным числом.
Вслед за этим Лобачевский даёт доказательство комму-
тативности умножения 1), опираясь, как и в случае сло-
жения, на ассоциативность этой операции и дистрибу-
тивность умножения по отношению к сложению. Дока-
зательство опять-таки проводится методом спуска, совер-
шенно аналогично вышеприведённому. Дистрибутив-
ность, однако, не представляется Лобачевскому самооче-
видным свойством алгебраических операций, и в следую-
щей главе он останавливается на её доказательстве,
исходя из свойств ассоциативности и коммутативности
сложения. Схема доказательства для целых чисел такова:
(а + Ь) п == (а 4- Ь) 4- (а 4- b) 4- . . . 4- (а 4 Ь) =
—————',	— —»
= (а 4- а 4- ... 4- а) 4- (Ь 4- Ъ 4- . . .Ь) = ап-\- Ъп.
'	1	-	-V—	 	—'--- —— —V—- —'
п раз	п раз
рые требуется распространять от частных случаев на все прочие.
Хотя ничто не мешает такое расширение в понятии допускать
совершенно произвольным, однако ж с тою целпю, чтобы значение
всякой геометрической величины могло быть обнимаемо в обших
аналитических выражениях, надобно всегда соблюдать постепен-
ность и согласной переход от одного случая к другому. Так
Уравнения (8) приняты по тому, что в уравнении (7) угол А
с линией а уменьшаясь, могут быть даже сделаны как угодно
чалыми, тогда как угол А вместе с линией а возрастая, при-
ближаются А к -i 7?, а к с» (Цитируемое сочинение, стр. 162.)
*) Аналогичное доказательство имелось в «Theorie des
nombres» (1798) Лежандра. Впрочем, на тех же основаниях было
построено и соответствующее доказательство Евклида.
7*
100
Л. П. ЮШКЕВИЧ И И. Г. БАШМАКОВА
Аналогично доказывается закон дистрибутивности для
дробей.
После всего сказанного ясно, что перенесение алге-
браических операций на рациональные числа не пред-
ставляет никаких трудностей. Дело сводится всегда к ком-
бинации четырёх основных операций, определённых для
целых чисел. При этом основной операцией является
сложение, сводящееся к последовательному прибавлению
единиц. Действительно, вычитание определяется как опе-
рация, обратная сложению; умножение сводится к после-
довательному сложению, а деление есть операция, обрат-
ная умножению.
Значительный интерес представляет введение Лоба-
чевским операций над относительными числами. В про-
тивоположность математикам 18 в., Лобачевский ясно
понимал несостоятельность всяких попыток доказатель-
ства правила знаков при оперировании с относительными
числами и полностью отказался от них. Вот, например,
как он вводит правило знаков при умножении относи-
тельных величин: «Число в произведении зависит от чисел
в производителях, а знак только от знаков. Если знаки
производителей одинаковы, то произведение положитель-
ное число, а если разные, то отрицательное» (стр. 51).
Правила знаков для относительных чисел Лобачевский,
таким образом, не доказывает, а определяет. Мы отме-
чали, что фактически и сами относительные числа можно
считать определёнными только после того, как для них
установлены все правила действий. Лобачевский был
одним из первых, кто понял этот фундаментальный факт.
Значение идей, положенных Лобачевским в основа-
ние алгебры, огромно. А. Пуанкаре в 1903 г. писал:
«Со времени Лобачевского математическая мысль подвер-
глась глубокой эволюции не только в геометрии, но
и в арифметике, и в анализе. Понятие числа сделалось
более ясным и точным; в то же время оно подверглось
разнообразным обобщениям» *). Разумеется, Пуанкаре имел
в виду косвенное влияние неевклидовой геометрии на
х) Цит. по книге Д. Гпльберт, «Основания геометрии»,
Петроград, 1923, стр. 106.
4 АЛГЕБР А ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО Ю1
•
развитие анализа и арифметики — он не был знаком
с работами Лобачевского в этих двух областях. На самом
деле Лобачевский много и плодотворно работал над
исследованием основ арифметики.
Работы по исследованию свойств натурального ряда
подготовили почву для подлинной революции в арифме-
тике и алгебре, сравнимой по своему значению с откры-
тием неевклидовой геометрии. Они привели не только
к позднейшему аксиоматическому построению обычной
арифметики, но и к созданию некоммутативных и неас-
социативных алгебр, получивших широкое применение
не только в самой математике1), но и далеко за её преде-
лами. Достаточно упомянуть, что современная физика
пришла к необходимости рассматривать некоторые физи-
ческие величины, как операторы, вообще говоря, не ком-
мутирующие друг с другом, и, например, исчисление
матриц, основы которого были заложены в середине
прошлого столетия, в двадцатые годы нашего столетия
нашло важные применения в квантовой механике. Впро-
чем, и классическая физика в наши дни не может обой-
тись без алгебры векторов и тензоров, операции над
которыми, вообще говоря, некоммутативны и неассоциа-
тивны.
IV
Несомненный интерес представляет глава 9 о реше-
нии уравнений первой степени. Детально рассмотрев
системы 2 уравнений с 2 неизвестными и 3 уравнений
с 3 неизвестными, а также преподав общие советы отно-
сительно систем с большим числом уравнений, Лобачев-
ский затем переходит к изложению основ теории опре-
делителей.
Основные идеи теории определителей были высказаны
в письмах и заметках Лейбница 90-х гг. 17 в., а затем
возрождены в работах Крамера (1750) и развиты далее
Вандермондом, Лапласом и др. Коши посвятил детерми-
г) Например, в работах II. А. Лаппо-Данилевского, применив-
шего аппарат аналитических функций от матриц к исследованию
систем дифференциальных уравнений, II. Г. Петровского в тео-
рии систем дифференциальных уравнений и др.
102
А. П. ЮШКЕВИЧ И И. Г. БАШМАКОВА
кантам один важный мемуар 1815 г. и один параграф
«Курса алгебраического анализа» о так называемых знако-
переменных функциях. В книге Лобачевского начала
общей теории определителей были впервые включены
в собственно алгебраическое руководство х). В предисло-
вии Лобачевский писал: «В отношении к уравнениям
первой степени, казалось, ничего уже не оставалось приба-
вить после того, когда были найдены общие выражения,
которые назвал я здесь представительными, для всякого
числа неизвестных (гл. IX, ст. 108). Однако ж, мне
удалось такие выражения заменить собственными зна-
чениями (гл. IX, ст. 113). Ожидаю, что такое открытие
не останется без пользы» (стр. 25).
Как цитированные слова Лобачевского, так и самый
текст статей 108—ИЗ подали повод к некоторым недора-
зумениям, которые следует здесь разъяснить. Н. Г. Чебо-
тарёв в редакционной статье к IV т. сочинений Лобачев-
ского писал, что в «Алгебре» содержится теория определи-
телей в форме, основной замысел которой имелся у Коши,
причём сущность метода состоит в образовании определи-
теля Вандермонда в виде произведения разностей (у — х) X
X (z—я)...(и—х) (z—у).. .(о — и) и последующей замене по-
казателей степеней на индексы (стр. 13). С другой стороны,
В. Ф. Каган в неоднократно упоминавшейся биографии
Лобачевского высказал мнение, что «Лобачевскому, кото-
рый приписывает этот приём себе, работа Коши не была
известна» (стр. 307). В действительности, как указал
в предисловии сам Лобачевский, он приводит два раз-
личных приёма составления определителя. Один из них
(ст. 108) есть тот, о котором писал Н. Г. Чеботарёв
и который имеет в виду В. Ф. Каган. Этот приём был
широко известен из «Курса алгебраического анализа»
Коши, и Лобачевский вовсе не претендовал на его
открытие. В статьях же 110—113 Лобачевский ввёл
определители совсем иным способом, о котором мы ска-
жем несколько позднее.
1) Первый учебник по теории определителей опубликовал
Ф. Брпоски в 1854 г.
102
А. П. ЮШКЕВИЧ И И. Г. БАШМАКОВА
кантам один важный мемуар 1815 г. и один параграф
«Курса алгебраического анализа» о так называемых знако-
переменных функциях. В книге Лобачевского начала
общей теории определителей были впервые включены
в собственно алгебраическое руководство х). В предисло-
вии Лобачевский писал: «В отношении к уравнениям
первой степени, казалось, ничего уже не оставалось приба-
вить после того, когда были найдены общие выражения,
которые назвал я здесь представительными, для всякого
числа неизвестных (гл. IX, ст. 108). Однако ж, мне
удалось такие выражения заменить собственными зна-
чениями (гл. IX, ст. 113). Ожидаю, что такое открытие
не останется без пользы» (стр. 25).
Как цитированные слова Лобачевского, так и самый
текст статей 108—ИЗ подали повод к некоторым недора-
зумениям, которые следует здесь разъяснить. Н. Г. Чебо-
тарёв в редакционной статье к IV т. сочинений Лобачев-
ского писал, что в «Алгебре» содержится теория определи-
телей в форме, основной замысел которой имелся у Коши,
причём сущность метода состоит в образовании определи-
теля Вандермонда в виде произведения разностей (у — х) X
X (z—я)...(и—х) (z—у)...(о — и) и последующей замене по-
казателей степеней на индексы (стр. 13). С другой стороны,
В. Ф. Каган в неоднократно упоминавшейся биографии
Лобачевского высказал мнение, что «Лобачевскому, кото-
рый приписывает этот приём себе, работа Коши не была
известна» (стр. 307). В действительности, как указал
в предисловии сам Лобачевский, он приводит два раз-
личных приёма составления определителя. Один из них
(ст. 108) есть тот, о котором писал Н. Г. Чеботарёв
и который имеет в виду В. Ф. Каган. Этот приём был
широко известен из «Курса алгебраического анализа»
Коши, и Лобачевский вовсе не претендовал на его
открытие. В статьях же 110—113 Лобачевский ввёл
определители совсем иным способом, о котором мы ска-
жем несколько позднее.
1) Первый учебник по теории определителей опубликовал
Ф. Брпоски в 1854 г.
«АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 103
-----------
Сущность приёма Коши, кратко говоря, заключалась
в следующем. Он рассматривал целую рациональную
знакопеременную функцию Р нескольких аргументов а, Ъ,
с . показывал, что она представляется в виде
произведения
(b — a) (c—a)(c — b)...(h — a) (h — b)... (h — g),
причём, раскрывая его, выписывал и нулевые степени
недостающих букв, т. е., вместо члена Ь1сг.. ,gn~2 h”'1,
писал cfb'c2.. .gn~2hn~\ а затем спускал показатели сте-
пеней в индексы. Обозначив через D получающееся
в результате выражение и записав равенство
D — А^о 4* А^Ч 4" ... 4"
т. е. фактически разложение определителя по элементам
какого-либо ряда, он без труда выводил формулы
А^О + А \ 4- • • • 4- A-i^n-i = О»
Лосо + А 4- ... 4- А-= О,
и т. д., которые и применял затем в общеизвестном по-
рядке к решению системы
аож + ^4- ... 4~
ахж4-\?/4- • • . 4-V = A
4- Ьп^ у 4- ... 4- hn^v = kn_v
Выражение для неизвестного, скажем ж, он записы-
вал в форме
X— (с ~ *) х (с — Ь) X . .. X (Л — А) (Л — Ь) (А — с)... (Л — g)
(b — а) (с — а) X (с — b) X ... X (Л — а)(Л — Ъ) (Л — с)... (Л — g)
и, поскольку оно давало значение х лишь после указанной
формальной замены, называл его символическим значе-
нием неизвестной 1).
В ст. 108 Лобачевский предложил несколько ви-
доизменённый вариант изложенного приёма. Систему
г) См. О. Л. Коши, «Алгебрический анализ», пер.
Ф. Эвальда, В. Григорьева, А. Ильина. Лейпциг, 1864, стр. 69—76,
104
А. П. ЮШКЕВИЧ И И. Г. БАШМАКОВА
уравнений он записывает с иной индексацией, начинаю-
щейся с 1:
М +	+ +	. = ^,
«2^ + b2y + c2z + d2u 4- ... == k2,
<W + b3y + c3z+d3u,+ -=кз
и т. д. и вводит в качестве определителя системы (слова
этого Лобачевский не употреблял: в широкий обиход
оно введено было позднее Якоби) «представительное
выражение»
II [abed... х [b — а) {с — b) {с — a) (d — с) (d — b) (d — а).. .,
в котором «представитель» II означает, что после пере-
множений показатели степеней должны быть переведены
в нижестоящие индексы. Оригинально доказав затем
тождества вида
ЛД 4- А2Ь2 4-... 4- АпЬп = 0,
он и решает систему, получая для неизвестной х выра-
жение
_ П {kbed... X (b —к)(с— Ъ)(с— к) (d —с) (d— b) (d— к)...
Х II {abed... X (Ь — а} (с — Ь) (с — a) (d — с) (d — b) (d — а)... ’
Далее, в ст. 110—113 излагается, как было сказано,
иной метод составления детерминантов. Идея этого способа
была намечена, но не проведена полностью у некоторых
математиков 18 в. Более подробно разработал её Коши
(во второй части «Memoire sur les fonctions qui ne peu-
vent obtenir quo denx valeurs», 1815 г.), мельком упомя-
нувший об этой идее также в 4-м прибавлении к «Алге-
браическому анализу». Лобачевский, очевидно, не был
знаком с мало известным тогда мемуаром Коши, опу-
бликованным в X томе «Журнала Политехнической
школы», и развил свой новый метод самостоятельно;
к тому же в изложении, терминологии и символике
обоих авторов имеются существенные отличия. Метод
определения детерминанта, предлагаемый здесь Лоба-
чевским, есть, именно, общеупотребительный ныне.
Лобачевский берёт некоторое начальное произведение
ридаи a^b2c3d4.. .со знаком плюс и составляет сумму произ-
о АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 105
ведений, возникающих при всевозможных перестанов-
ках индексов, устанавливая знаки слагаемых известным
образом, в соответствии с характером производимых
перестановок. Значение определителя он обозначает бук-
вой С, а сумму произведений, распространённых на все
буквы, кроме а, и все индексы, кроме т (наш минор,
соответствующий элементу ат), — символом Ст (а). Обозна-
чив ещё через гСт значение суммы С, в которой индекс т
заменяется на г (т. е. определитель с двумя совпадаю-
щими рядами), Лобачевский доказывает, что гСт = 0.
После этого символические, представительные выра-
жения для неизвестных заменяются, как выражается
Лобачевский, их собственными значениями с помощью
равенств
хС = к1С1(а) —к2С2(а) + к3С,(а)
г/С = — к1С1 (Ь) + к2С2 (Ь) — каСа (6) 4-,
ZC = kfi3 (с) - к2С2 (с) + к3С3 (с)-...
и т. д., что сразу доказывается подстановкой зна-
чений неизвестных в исходные уравнения. Наконец,
для большей наглядности при выкладках Лобачев-
ский предлагал ещё обозначать определители символами
вида
(a3b2cadt) = at(b2cadj — а2(Ьаса<1а) + aa(b3c2dt) — aa(bac2da)
и т. п.
Исследования общей системы линейных уравнений
Лобачевский, как и его современники (например, Коши),
не производил; впрочем, он прямо оговаривал, что зани-
мается определением «значений неизвестных, достаточно
определяемых равным числом уравнений» (стр. 134).
Подобное исследование в полном виде было произведено
лишь несколько десятилетий спустя.
V
В современную алгебру учение о показательной, лога-
рифмической и тригонометрических функциях не входит,
хотя в некоторых отделах её находит употребление,
а в школьном курсе до сих пор, в силу педагогических
106
А. П. ЮШКЕВИЧ И И. Г. БАШМАКОВА
соображений, сохраняется глава о логарифмах. Выше
говорилось уже, что хотя центральной задачей алгебры
у Лобачевского являлось решение уравнений, но общая
концепция алгебры у него была шире и, согласно ей,
в алгебру можно было включать любые желательные
отделы «аналитики», которые можно обосновать без
помощи развитого дифференциального исчисления.
Употребление названных трансцендентных функций
являлось для Лобачевского совершенно необходимым
при построении вычислительной алгебры. Логарифмы
служили одним из важнейших средств вычислений вообще
и даже получили у Лобачевского применение при выводе
некоторых симметрических функций корней; тригоно-
метрические функции нужны были по крайней мере для
решения уравнений 3 и 4 степени, да и учение о комплекс-
ных числах, имевшее, как мы уже отмечали, в глазах
Лобачевского чрезвычайно большую важность, могло
приобрести должную общность при условии введения
некоторых трансцендентностей. Задача была в том, чтобы
ввести весь этот комплекс идей, не выходя за рамки алге-
браических, с точки зрения Лобачевского, методов. Лоба-
чевский поистине мастерски разрешил эту задачу, приме-
нив минимальный по объёму аппарат понятий анализа.
В основу всего он, оригинально используя приём, восхо-
дивший к Эйлеру, положил вывод формулы бинома
Ньютона для произвольного рационального показателя,
а единственным орудием избрал сходящиеся степенные
ряды. При этом он считал нужным обойтись без общих
теорем о сходимости и вообще без построения теории
рядов, столь детально разработанной в курсе алгебраи-
ческого анализа Коши, и без «способа границ», т. е.
пределов (даже термина этого в его книге нет нигде, кроме
предисловия), и ограничился лишь самой идеей неогра-
ниченного приближения частных сумм сходящегося ряда
к определённому значению, да правилами сложения
и умножения таких рядов. Все доказательства при этом
были хотя и весьма частными, но совершенно строгими
и основывались на точных оценках приближений; в нуж-
ных случаях Лобачевский столь же строго и по-совре-
менному производил необходимые ему формальные обоб
«АЛГЕБРА пли ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 107
щения тех или иных понятии (например, при определении
операции возведения в мнимую степень).
Мы остановимся несколько подробнее, для образца, на
выводе биномиальной формулы, содержащемся в 11 главе
«О степенях и корнях действительных». Для случая
целого положительного показателя формула выводится
с помощью полной математической индукции или, по
Лобачевскому, наведения. При этом Лобачевский поль-
зуется собственной символикой, обозначая число разме-
щений из п по г, т. е. наше символом пвог, а число
сочетаний знаком п“г. Он уславливается ещё в том, что
nf° = l и
при г целом отрицательном (ст. 145). В результате
формула пишется им в виде:
[n] == (1 + я)п = 1 + п”гх 4- п^~х2 4-	V + ...
В ст. 153 формула бинома получает дальнейшее рас-
пространение. При дробных или отрицательных и, гово-
рит Лобачевский, строка [тг] становится бесконечной,
и в связи с этим он определяет исчезающие или нисходя-
щие строки, как те, в которых «всегда можно найти
член, за которым сумма последующих, сколько бы их
ни было взято, будет менее всякого данного числам,
добавляя затем, что «о постепенности исчезания в строке
можно судить по содержанию каждого члена к преды-
дущему, которое чем менее, тем строка исчезает скорее,
т. е. чем менее потребуется брать членов, чтобы достиг-
нуть назначенной точности в вычислении» (стр. 194).
Вслед за тем Лобачевский прежде всего доказывает
сходимость ряда [п] при 0<ж<1. Отношение члена
п”гхг к предыдущему равно

потому
(п +d) х
1 + х ’
И
при п 4- 1 >0 члены начинают убывать с номера г >
при п 4-1 < 0 с номера г > —
а при п 4-1 = 0,
п*ТхТ — ( — 1)г хг, и члены убывают с самого начала.
Беря затем t членов, считая от указанного, и полагая
( П + 1	.1	л
j — -1) ж=ш <11
108
А. П. ЮШКЕВИЧ И И. Г. БАШМАКОВА
Лобачевский мажорирует сумму этих членов прогрессией
пГ'-х’-И + ® + ®2 + • • • + ">''*} = п.”'хг < -Д- п~гхг
с 1	*	1	* J °	1 — со	1 — со с
и показывает, что величина в правой части неравенства
при достаточно большом г может быть сделана сколь
угодно малой. Множитель хг, как было доказано ранее
(в ст. 150), с возрастанием г беспредельно убывает,
и поэтому Лобачевский подробно разбирает лишь пове-
дение множителя п”г. При n-p 1 = 0 этот множитель равен
± 1. При n-pl>0 он достигает наибольшего значения
прежде, чем г> —, и, значит,	можно сде-
лать сколь угодно малым, взяв одновременно
п + 1
2 И
п +1
Г+я х'
Наконец, при п + 1 < 0 берётся г = Х-р р, где
ц+l)» >у>^п + 1)	х
1 —я	1 — х ’ г
и
Тогда
П™ ГХГ = П™ А " {х}' ~1
/	5 \ Р* +1
(П~~ -----Т7^И + 1 <	ZA-1(-t+ + 1,
(Я+1)0,11+1
и при достаточно больших г и, соответственно, р рас-
сматриваемая величина опять-таки становится сколь
угодно малой. Отметив, что во всех выкладках имеется
в виду величина (т. е. абсолютная величина) всех выра-
жений, Лобачевский немедленно переносит своё доказа-
тельство и на случай
— 1<ж<0.
Доказав сходимость строки [п], Лобачевский перехо-
дит к установлению её значения. Он (ст. 154—155) пере-
множает две такие строки [р] и [#] при — 1 < х < 1 и полу-
чает, что
[/’][?] = [/’+ 5],
ч АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 109
где [р + — опять-таки сходящийся в тех же границах
биномиальный ряд, так что при целом положительном т
[р]'« = [рт].
р
Если п= у, где р и д — целые положительные, то
[п]’=[р] = (1+^)р
и
р
[п] = (1 + х) 1 •
Наконец, умножая последнее равенство на [ — л], Лоба-
чевский получает
р
[-пЩ + х)4 = [0] = 1,
так что и
-р
Т&ким образом, формула бинома доказана для любого
рационального показателя 1).
Чрезвычайно интересно, что в следующей главе,
посвящённой основным операциям над «воображаемы-
ми», т. е. комплексными числами, Лобачевский фор-
мально распространил теорему о биноме на случай
мнимого и комплексного показателя и тем самым опре-
делил мнимую степень действительного числа, мень-
шего двух2). «Степени, — писал Лобачевский, — показатель
которых заключает в себе воображаемое число —1
и которые, следовательно, не подходят уже под общее
определение, вычисляются помощпю бесконечной строки
(гл. XI, ст. 155):
(1 + х)п = 14- пх 4- п”~ х2 4- п“3х3 4- • • •,	(41)
г) Идея вывода, основанная на использовании функциональ-
ного уравнения ? (х) ? (у) = ? (х + у), восходила ещё к Эйлеру и
По-другому использована была Коши для любого действительного
показателя. Но самый вывод Лобачевского был оригинальным.
2) Определение мнимой степени любого действительного числа
Лобачевский сводит затем к этому случаю.
110
А. П. ЮШКЕВИЧ И И. Г. БАШМАКОВА
пока она остаётся исчезающей» (стр. 210). С этой целью,
заменив показатель п на п — 1, Лобачевский устанавли 
вает, что после такой замены каждый член п”гхг при-
нимает вид
(а + 6)/ — 1) хг,
где по модулю
«<4{nrr + (-n)“'J, Ь<	.
«потому что в а и b степени от п те же, что и на другой
стороне неравенства, с такими же производителями
(коэффициентами. — Авторы), но с переменными знаками».
Следовательно, строка (l-f-a)”^"1 распадается на две
сходящиеся строки и в результате выясняется, что мни-
мая степень бинома (1-|~я)п^-1 сама является некоторым
комплексным числом вида 4-рЗ] — 11).
Со столь характерным для Лобачевского стремлением
к единству методов тот же приём он применяет к разло-
жению в ряд логарифмической функции. Обозначив сходя-
щийся при — 1 < х < 1 ряд
1 О .1 О I Д. I
х~ + ~х +'-'
через L (1 4- х) и предполагая
— 1 < г/ < 1 и —1<а:-|-2/4-жг/<1,
Лобачевский (ст. 173) составляет ряд для
L [(1+ «)(! +у)] = — 3 ( — 1)' у (я + г/ + ху)1
и после некоторых выкладок находит, что
L[(l +x)(1 + 2/)] = L(1 +x) + L(l + y),
г) Абель в мемуаре 1826 г. дал вывод биномиальной формулы
для комплексных значений х и п. Отметив эю обстоятельство,
Н. Г. Чеботарёв писал:«...конечно,таксе расширение биномиального
ряда не входило в задачи Лобачевского» (стр. 14). Как видно, это
замечание редактора IV тома сочинений Лобачевского неточно.
«АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 111
откуда
nL(l +а-) = L [(1 +х)п],
при условиях
— 1<я<1, 0 < (1 4- х)п < 2.
Далее он берёт логарифмы с основанием 6>1 и, подби-
рая а так, чтобы было Ьа < 2, полагает
где М — модуль—определяется сходящимся рядом
Взяв затем
log (1 4-х) = £
где р, д — целые и р может быть отрицательным, так что
р °_р £
(14-ж) = 6 5 = (*’)“.
Лобачевский последовательно получает
ар	д.
?£[6’] = L[^]=^, L[6’]=p£[6’] = ^,
,, V.	р.
%L[b «]=f =log(14-x) = ML [6 4 ]=Л/£(1+х),
и, следовательно,
log(l+x) = 7l/ {я-у ж24--^-ж3 — ±х*------}.
В заключение главы о логарифмах Лобачевский дал
вывод ряда для показательной функции. Произведя неко-
торые оценки и несложные, но длинные выкладки, он
сперва получает, что
logo = M^,
112
А. П. ЮШКЕВИЧ И И. Г. БАШМАКОВА
где (о —весьма малое число, и при М = 1
log hyp а
а полагая ещё а = е* * * * х,
ех =(14-	10 = 1 4- х 4- о) — l^rcj 4-
+<»’1^*"2ж’+• • •=1+ж+ж«+а:«+-• • а)
Далее, в ст. 178, показательная функция вводится зна-
комым уже нам методом и с полной строгостью.
Лобачевский берёт строку
[я] = 1 4-^4-^4-ж|4-. • •
и сперва устанавливает её сходимость при любом действи-
тельном х, мажорируя остаток, начиная с члена хгс,
где г > х прогрессией
Перемножая затем строки [X] и [р.], он легко находит, что
[X] И = [Х4-Р],
откуда при любых рациональных х
[Х]х = [Хя],
и так как [1] =е, то [х]=ех.
Глава 14 «Алгебры» посвящена тригонометрическим
функциям. В предисловии, как говорилось уже, Лобачев-
ский по этому поводу писал: «О тригонометрических
функциях я также захотел говорить, не выходя впрочем
из пределов Алгебры» (стр. 26).
х) Если оставить в стороне упомянутые оценки, то Лобачев-
ский по существу полагает х = аш — 1 в ряде для iog (14- х), и прп w
весьма малом, т. е. весьма малом х, ограничивается первым чле-
ном разложения.
хп
2) Здесь х* обозначает — .
АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 1J3
Действительно, введение синуса и косинуса происхо-
дит без всякого обращения к геометрии, строго аналити-
чески. Лобачевский формально подставляет в ряд для
показательной функции вместо х любого действитель-
ного величину х |/ — 1 и, получив
где
L = x — х* + х* —. .	М = 1 — х;+х4с —..
прямо определяет L и V как косппус и синус аргумента х,
а затем вводит с их помощью функции тангенса и котан-
генса. В развитии тригонометрии, начиная с Эйлера,
всё время усиливалась чисто аналитическая трактовка
этой дисциплины, но до Лобачевского никто не определял
самые тригонометрические функции арифметическим обра-
зом х). Естественно, что и свойства этих функций выво-
дятся далее путём формальных преобразований. Так,
основная формула тригонометрии получается простым
перемножением выражении для и	t а из
рассмотрения рядов пли формул Эйлера получаются гра-
ницы изменения функций, свойства периодичности, тео-
ремы сложения и т. д.2).
Лобачевский выводит здесь и ряд для арктангенса
(ст. 180), заменяя в формулах для	п
синус и косинус рядами и ограничиваясь при малом ш
членом с низшей степенью о». Вычитая из равенства
оз#	— 1 = (cos х -F У — 1 sin хУ — 1
х) В конспекте Лобачевского по преподаванию математики
на 1825—1826 учебный год говорится: «Тригонометрия должна быть
совершенно аналитической частию», но там ещё самые тригоно-
метрические функции и теорема о синусе суммы вводятся геометри-
ческим путём («Материалы для биографии Н. И. Лобачевского»,
стр. 207—208).
а) Н. Г. Чеботарёв справедливо отметил, что «такое формаль-
ное введение тригонометрических функций вызвано, кроме сообра-
жений о чистоте алгебраического метода, ещё и тем, что в Вообра-
жаемой геометрии'тригонометрические функции необходимы как
инструмент и вместе с тем в плоскости не допускают простого гео-
метрического определения» (стр. 15).
Историко-математ. исследования
114
A. II. ЮШКЕВИЧ II И. Г. БАШМАКОВА
равенство
— соя	— 1 = (cos х — ]/ —-1 sin — 1
и разделяя на 2 о>}/ — 1 cos яш, он сперва находит, что
я = tang a;—i (ш —l)c“2tanga:a (о> — l)“‘tangas— ..
а откидывая члены со степенями о>, получает этот ряд
в виде
1 1
х = tang х — т tang xs -f- -=• tang x* —...
В ст. 182 Лобачевский впервые использовал изобре-
тённый им метод исследования сходимости знакопостоян-
ного ряда, основанный на разложении всех членов ряда
в двоичные дроби,—метод, столь широко применённый
им затем в работах по математическому анализу1). Он
именно применяет его к ряду
3 ф 5	7'9	'
предварительно преобразованному в знакоположитель-
ный ряд с общим членом (2п 4. i) (2п 4- 3) * ^сли в двоичном
2
разложении некоторого члена	пеРвым чле-
ном с низшей степенью будет —, то члены, двоич-
ные представления которых будут также содержать
1	2
—г , должны быть более члена —-----------, ибо из не-
2*	(4г 4-1) (4г 4-3)
равенства
(4г-Ь 1) (4г-F 3) — 2 (2г +1) (2г 4-3) = 8г2 —3 > О,
х) На применение такого способа исследования сходимости
у Лобачевского впервые указал А. В. Васильев («Математика»,
стр. 24). Подробнее об этом см. в статье Г. Л. Лунда, публикуемой
в настоящем сборнике. Заметим, что Лобачевский использовал
двоичные дроби ещё при вычислении log10a прп 1<а<10, извле-
кая из 10 корпи с показателями 2е и представляя log.n а в виде
2-^4-2-^4-2-’’4--. (ст. 172).
«АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 115
верного при г>1, следует, что
L—?_________<________*_____==lfl + J_+ А
(4г + 1) (4г 4-3)	(2г 4-1) (2Г 4-3)	2 к 2’ 2l+J J
Поэтому ряд 2 •(2n+"i)(2n4-3) Разбпвается на группы
членов с суммами, меньшими, чем Гг, где т опреде-
ляется из неравенства
2	1
(2г 4-1) (2г 4-ЗГ 2*'
или более сильного неравенства
7-1
г> 2 * .
Таким образом, исследуемый ряд мажорируется рядом
где Z==5, 6, 7, и, следовательно, сходится1).
Мы несколько раз подчёркивали уже, что для Лоба-
чевского алгебра была одним из средств для вычисле-
ний; в одном месте он и математику в целом опреде-
лил как науку об измерении. Весьма характерно, что почти
на всём протяжении своего руководства Лобачевский отво-
дит вычислениям с точными оценками приближений очень
видную роль, соединяя, таким образом, высокую стро-
гость принципов с постоянным вниманием к практическим
расчётам и не останавливаясь перед очень сложными
арифметическими выкладками. Так, например, в главе
° целочисленном решении линейных систем Лобачевский
производит с помощью непрерывных дробей ряд кален-
дарных расчётов; в другом месте с помощью формулы
*) Как видно, нс желая усложнять используемый им аппарат
теории рядов, Лобачевский нс применяет здесь так называемую
теорему Лейбница, которая сразу дала бы несколько лучшую
Пенку суммы испытуемого ряда. Коротко намеченные при этом
Юбачевским выкладки легко восполнить.
8*
«АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 1 L7
ной главе руководства: «Решение всякого алгебраиче-
ского уравнения».
В этом разделе курса Лобачевский изложил все основ-
ные вопросы теории уравнений высших степеней, разра-
ботанные ко времени составления его руководства, за
исключением теоремы Штурма (1829), с которой ему не
удалось, как он указывал в предисловии, ознакомиться,
и работ Руффини п Абеля о неразрешимости в радикалах
общего уравнения выше пятой степени, которые, неви-
димому, остались ему неизвестными. В центре внимания
Лобачевского всё время . стояло при этом конкретное
вычисление корней численных уравнений, которому под-
чинено было и теоретическое содержание раздела.
В первых статьях 17 главы даётся определение алге-
браического уравнения, преобразование корней, приво-
дящее к освобождению от второго члена, теорема о дели-
мости многочлена на разность х — я, где а — корень урав-
нения, формулы Виета, выражающие коэффициенты урав-
нения через симметрические функции корней, преобра-
зование уравнения с рациональными коэффициентами
в уравнение с коэффициентами целыми. Для разыскания
целых корней средн делителей свободного члена в урав-
нении со старшим коэффициентом, равным 1, Лобачев-
ский рекомендует производить проверку делением на раз-
ность я —а (ст. 221), а затем для случая, «когда послед-
нему члену уравнения принадлежит весьма мною дели-
телей», отмечает, что можно сразу отбросить всякий
/(1)	/(-В г
делитель а, для которого j- и не будут целыми
числами (ст. 222). В следующей статье, «чтобы нс всех
делителей последнего члена в уравнении испытывать
напрасно», приводится верхний предел положительных
корней (отрицательные корни заменой х на —х перево-
дятся в положительные) в виде
1
х<Ц-Аг,
где N—наибольший по абсолютной величине отрицатель-
ный коэффициент и п - г — показатель степени старшего
из членов с отрицательными коэффициентами; при этом
118
Л. 11. ЮШКЕВИЧ II И. Г. БАШМАКОВА
здесь, как и везде далее, коэффициент при старшем члене
предполагается равным 1 г).
В следующих затем ст. 224—231 излагается решение
уравнений третьей и четвёртой степени. Кубическое
уравнение
х3 -f- ах 4- b = О
решается с помощью подстановки Виста: х = у —	, не-
медленно приводящей к уравнению
у3- А-. + 6 = 0 =).
J 27 г/3	}
Для неприводимого случая уравнения
х3 — ах 4- b = 0,
в котором 2762< 4а3, Лобачевский предлагает два приёма:
с помощью тригонометрической подстановки
и с помощью разложения кубических корней в бесконеч-
ные ряды. Полагая
к2 = —а3 — -- Ь-
27а 4
и имея, что
^г=р+<],	-у(р+ д) ± 4(р-д)Г/:гз,
где
*) Приводимый здесь Лобачевским верхний предел найден
был ещё Роллем, а затем Маклореном. Следует заметить, что в ори-
гинальном издании «Алгебры» здесь дважды повторяется опечатка:
вместо х < 14- NT стопт xr < 1 4- Nr, но следующий затем при-
мер решён правильно. К сожалению, редактор IV тома сочи-
нений не только не отметил этих опечаток, но в своем обзоре указал,
что Лобачевский даёт границу положительных корней именно
в форме х < V14- J/ N, которая была бы просто неверна (стр. 17).
2) И. Г. Чеботарёв ошибочно указывает, что этот вывод решс
ния уравнений 3 степени является новым (стр. 17 и 22).
«АЛГЕБРА или вычисление конечных» ЛОБАЧЕВСКОГО 119
он представляет р и q в форме
р=Л + В|/“1,	в = 4-В/=1,
где Л и В в случае 4Х2 <[62 выражаются рядами
И~Ь Г.	2-4 А1 2-4. 10-Г» Л4 1
2 { 1 + 3 • 6 Ъ' 3 • 6 • 9 • 12 ‘М	’
Л 3/ ГС 2 2 • 4 • 10 Я2 2 • 4 • 10 • 16 • 24 Л4 1
Ъ V 2[3	3.6.9*Ь^+ 3 • 6 • 9 • 12 • 15 Ь4 ’ ’ J »
а в случае 4Х2 > Ь2 — рядами
Ь З/у I 1	1.2.5/Ь\2	1.2.5.8/by,	]
А^2А У *' I 3	3  6 • 9 <2V	3 • 6 • 9 • 12 \2Я/
п з/Т f , , 1 • 2 / Ь\2	1 • 2 • 5 • 8 / Ь\4 ,	)
— V К {1 + 3 . 6UV 3 • 6 • 9 • 12\2л} +•••(•
В обоих случаях корни будут
х1 = 2А, x2i3 = — А Т В |/3.
Отмечая большое удобство тригонометрического реше-
ния, Лобачевский подробно решает затем уравнение
х3 —327# + 2180=0
по обоим способам и получает корпи
ж =-20,7881490, х2 = 12,1451303, х =8,6370187.
Для уравнений четвёртой степени предлагаются два
метода—Декарта и Эйлера.
Ст. 232 начинается словами: «Общее решение уравне-
ний далее четвёртой степени ещё до сих пор не найдено.
Надобно довольствоваться только исследованием тех
свойств, которые принадлежат корням уравнений и ведут
к различным способам вычисления, когда требуется
определить значения в числах» (стр. 304). Таким образом,
Лобачевскому работы Руффини и Абеля, либо, как мы
сказали, были неизвестны, либо он, как это полагает
Н. Г. Чеботарёв (стр. 18), не был уверен в правильности
абелева доказательства. Начиная с этой статьи, Лоба-
чевский переходит к разработке теоретических основ
Учения об уравнениях высших степеней, необходимых
Для их численного решения.
120
A. II. ЮШКЕВИЧ И II. Г. БАШМАКОВА
Прежде всего, для многочлена
Fn (х) = хп 4-	.. 4- ап
составляется ряд производных (термина этого Лобачев-
ский не употребляет), записываемых в виде F”[x),
F”(x), ... вплоть до F"(x)~n^n, и даётся выражение
приращения F" (я 4-w)— F" (ж) по формуле Тейлора:
AFn (х) = F” (х) о) 4- F” (х) 4-.. • 4- «>п,
где, как и ранее, со* обозначает ~ . Затем в ст. 233 дока-
зывается теорема об обращении в нуль Fn (х) в интер-
вале, на концах которого Fn (х) имеет разные знаки,
в весьма характерной формулировке: «Между двумя
значениями х = х', х=х", которые дают для F11 (х) числа
с противными знаками, должен находиться корень урав-
нения Fn(x)=0 и может быть вычислен по крайней
мере через приближение с какой угодно точностию»
(стр. 305). Доказательство проводится путём дробления
данного интервала на части и составления последо-
вательности всё уменьшающихся вложенных друг в друга
интервалов, на концах которых Fn (х) принимает всякий
раз различные знаки (если не обращается в нуль). Дока-
зав попутно непрерывность Fn (х) (термина этого, впро-
чем, Лобачевский здесь сознательно избегает), Лобачев-
ский делает заключение: «С уменьшением w разность
Fn (я4-ш) — Fn(x) уменьшается, следовательно, беспредель-
но; а как Fn (х 4-<»), Fn(x) с противными знаками, то Fn (х)
таким же образом должно уменьшаться, покуда х можно
будет принимать за корень уравнения Fn(x) — 0», доказывая
тем самым вторую часть теоремы. В ст. 234 доказывается
существование корня у уравнения нечётной степени.
В ст. 235 даётся приём отделения кратных корней
путём исключения из Fn (х) его общего наибольшего дели-
теля с F” (х), а в ст. 236 устанавливается известная зави-
симость между числом действительных корней Fn (х)
и F” (х). После этого Лобачевский переходит к теоре-
мам об отделении действительных корней.
Прежде всего выводится необходимое условие действи-
тельности всех корней уравнения, состоящее в том, что
«АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 121
для всех т?г = 1, 2, п — 1 должно быть сгт > afn+1am^
(ст. 237). В следующей статье выводится правило знаков
Декарта для уравнения с действительными корнями.
В ст. 239 приводится своеобразное определение экстре-
мума, используемое далее всё в тех же целях, а затем
и в доказательстве основной теоремы алгебры. Лобачев-
ский определяет экстремумы следующим образом: «Выра-
жение Fn (х) приобретает самое большое значение, когда
в величине своей начинает уменьшаться как с возраста-
нием, так и с уменьшением х. Напротив, говорят, что
Fn (х) достигло уже самого меньшего значения, когда
его величина начинает расти с изменением в ту и другую
сторону. Согласно такому понятию, значение Fn(x) = O
не может быть причислено ни к самым большим, пи
к самым меньшим» (стр. 319). Если учесть, что под вели-
чиной выражения Лобачевский всегда понимает его
модуль, то понятно, что в его определении наибольшие
и наименьшие значения Fn (х) суть максимумы и мини-
мумы модуля Fn (х). При этом из экстремумов исключаются
нули функции. Последняя фраза приведённой цитаты
сформулирована, впрочем, насколько мы можем судить,
не вполне удачно. Действительно, согласно понятию
Лобачевского о наибольших и наименьших значениях,
нуль не может принадлежать к наибольшим значениям,
но, строго говоря, мог бы быть отнесён к наименьшим.
Однако для целей Лобачевского необходимо было исклю-
чить нуль и из наименьших. Дело в том, что прямым
назначением введённых им здесь понятий было опреде-
ление числа действительных корней параболической кри-
вой по числу её вершин (кроме вершин с касанием к оси
абсцисс), и устанавливаемое им далее правило предпо-
лагало, что точки пересечения кривой с осью абсцисс
к наименьшим значениям не относятся, как это имело бы
место, если бы нуль мог служить и наименьшим значе-
нием. Вероятно, было бы правильнее просто указать,
что данное определение дополняется тем условием, что
нуль из наименьших значений исключается1).
х) Соответствующие рассуждения основываются на том, что
за границей положительных корней число самых больших значе-
ний равно числу самых меньших (или оба равны нулю), а между
122
А. П. ЮШКЕВИЧ И II. Г. БАШМАКОВА
Вслед затем Лобачевский доказывает, что значения ж,
сообщающие наибольшие или наименьшие значения Fn (х),
являются корнями F"(x) = 0, и выводит достаточные
условия в общем виде при F? (х) = Гг (#) = ...=	(х) = О
в форме, соответственно, Fn (х) F”i (х) ss 0. Пользуясь
изложенными определениями, он затем устанавливает
ряд соотношений между его «экстремумами» и числом
действительных корней; при этом его приём требует,
естественно, определения корней производной. Так,
например, при отсутствии кратных корней устанавли-
вается, что «число самых больших значений Fn(x) без числа
самых меньших всегда равно числу действительных корней
в Fn(x) = 0 без единицы» (стр. 322). Несколько далее,
в ст. 255, Лобачевский кратко излагает метод отделения
корней, предложенный Фурье.
В ст. 244 приводится доказательство основной тео-
ремы алгебры. «Недостающие корпи уравнения,—пишет
Лобачевский,—всегда могут быть пополнены воображае-
мыми под видом а4-д|/ — 1 с действительными а, Ь\
так что число всех корней, действительных и вообра-
жаемых, бывает равно показателю высшей степени»
(стр. 328).
Доказательство существования комплексного корня
у многочлена j(x) Лобачевский, кратко говоря, произво-
дит следующим образом. Прежде всего он составляет
произведение /(z)/(z), т. е. квадрат модуля, обозначае-
мый им Р, и приращение для квадрата модуля:
/ (z + Дг) / (z + Az)(Г),
двумя соседними положительными корнями число самых бблыпих
на единицу превосходит число самых меньших. В геометрической
форме исследования вершин и точек пересечения с осью абсцисс
параболической кривой этот метод был развит Ж. П. де-Гюа-де-
Мальвом (1741), у которого также встречается описанное понима-
ние максимумов, которые де-Гюа называл «действительными макси-
мумами». См. М. Cantor, «Vorlesungen fiber Geschichte der
Mathematik», т. IV, стр. 581—582. — H. Г. Чеботарёв об исключе-
нии нуля из числа наибольших и наименьших значений писал:
«Нам не удалось расшифровать смысл этого утверждения, которое
явно противоречит обычным представлениям об экстремуме»
(стр. 18).
АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 123
и, разлагая / (z + Az) и / (z + Az) в строки Тейлора, пока-
зывает, что при подходящем выборе Az это приращение
в предположении Р ф 0 оказывается знакопеременным,
т. е. квадрат модуля не может быть ни наибольшим, ни
наименьшим. Доказав, таким образом, по существу
так называемую лемму Даламбера, Лобачевский под
конец пишет: «Отсюда заключаем, что произведение Р
не допускает ни самого большого, ни самого меньшего
значения..., а потому Р может быть только нулём (ст. 239)
для известных значений
а + ? = Р + 7 ]Z	а—₽= p — q]f~b
(стр. 331).
Таким образом, в этом пункте рассуждений Лобачев-
ский ссылается на своё определение экстремумов, и это
создаёт, как отметил Н. Г. Чеботарёв (стр. 18), неяс-
ность, поскольку Лобачевский не оговорил, что квадрат
модуля должен достигать наименьшего значения в обще-
употребительном смысле слова.
В ст. 245 содержится изящный вывод формул Нью-
тона, связывающих степенные суммы Slt S2, S3, ..., 5m
корней уравнения
хп — Ргхп 1 + Р,хп~2 — ... — ( — 1)ПРП = О
с его коэффициентами:
т^т ~	^2^ т-2 "Ь ^s^m-3 •••“"(
откуда
= S2 = P{-ZP2, 58=Р’-ЗР2Л + ЗР8, ...
Этот вывод дополняется в ст. 246 оригинальным и очень
изящным выводом общей формулы Баринга. Заметив,
что для произвольного х
(Д-к^Щ-к^х)... (1 — кпх) =
=1 - Рхх + Ргх*
так что
log {1 - Р1Х +... + (- 1)"Рпх") =
= log (1 — ktx) 4-... + log 1'1 — кпх),
124
A. II. ЮШКЕВИЧ II И. Г. БАШМАКОВА
и, разлагая на обеих сторонах логарифмы в ряды, Лоба-
чевский получает
Stx + 4- 8.л- + i 5ах3+ ... = (Р1х — Р2х" + Р3х3—.. .) +
+	Ргхг+Р>Х'-...)*+
+ 1 (PS - Ргхг + Р,х*
О
а сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х,
находит, что
где а, Ь, с, ...—произвольные целые > О,
= a -|~ 26 -{- Зс 4- . . . — т
Ра
и где (Pj)° обозначает ~ и т. п. В следующей статье
даётся аналогичный вывод общего выражения Рт через
52, ...
В ст. 248 выводятся формулы, выражающие через
коэффициенты данного уравнения коэффициенты урав-
нения, корни которого суть целые положительные сте-
пени корней данного, а в ст. 249 излагаются приёмы
вычисления симметрических функций. В 250 ст. разъяс-
няется, как составлять уравнения, корни которых суть
некоторые функции корней данного, в ст. 250—251 раз-
бирается коротко вопрос об исключении неизвестных.
В 256 ст. кратко изложены приёмы численного решения
по методу Ньютона и с помощью лагранжева метода
непрерывных дробей; в следующей (по ошибке имеющей
тот же номер) доказывается, что для квадратных урав-
нений с рациональными коэффициентами корень разла-
гается в непрерывную периодическую дробь.
В последней, 257 статье Лобачевский дал указания
относительно изобретённого им метода численного реше-
ния уравнений посредством последовательного возведе-
ния корней в квадрат. Об этом приёме, который, как
выяснилось затем, является наилучшим методом одно-
временного вычисления всех комплексных и действитель-
«АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 125
ных корней уравнения и не требует предварительного
отделения корней, в предисловии к «Алгебре?> говори-
лось следующее: «Решение уравнений в числах, какое
здесь предложено в ст. 257 Главы XVII, хотя не для
всякого случая1), кажется заслуживает внимания по
краткости и лёгкости вычисления в сравнении с другими,
известными мне способами» (стр. 26—27). Статья 257
столь невелика, что мы приведём её полностью:
«Можно иногда с выгодой употребить способ прибли-
жения, основанный на том, что с возвышением в степень
числа, наконец, делаются неприметными в сравнении
с самым большим из них по величине. Так, если даётся
уравнение
хп — аХ'1 + «2жП~2 —	— 1)п ап = О
и составляем новое
уп + А2уп~2 ... 4- (- 1)" Ап = О,
которого корни будут степени с показателем г от корней
данного, то чем г возьмём более, тем {/А, сделаем б люке
к самому большому по величине из корней первого урав-
нения. Если бы даже встречались между корнями по два
воображаемых, которым всегда можно давать вид
a + b]/ — 1, а~ ЬУ — 1
или
р (cos 0 + У — 1 sin 6), р (cos 0 — У — 1 sin 0),
положивши р2 = а2 -р b2, b = a tang б, то и степени таких
корней делаются, наконец, неприметными, как скоро р
менее самого большого из действительных корней.
Всего простее возвышать корни уравнения несколько
раз в квадрат, покуда приближение окажется достаточ-
х) Из этих слов «какое здесь предложено..., хотя не для вся-
кого случая» ясно, что Лобачевский понимал приложимость своего
метода и к другим случаям, кроме им разобранного, когда наи-
больший по модулю ко]рень—действительный. К сожалению, в этом
последнем параграфе своего труда он не показал, как применять
способ возведения корней в квадрат к другим случаям (что было
сделать весьма легко), и, вероятно, по этой причине его метод не
привлёк к себе своевременно внимания.
126
А. П. ЮШКЕВИЧ И И. Г. БАШМАКОВА
ным. Для подобного вычисления будут служить (ст. 248)
уравнения:
Ах—а\ — 2а2, А2 ^сг2 — 2ахаг 4- 2я4,
А3 — д3 — 2л2^< 4~ 2gq
и т. д.» (стр. 356). В заключение Лобачевский вычислил
наибольший по модулю корень уравнения
х* — Зя* — 7х3 — 5х2 + 1 = О
путём возведения корней в восьмую степень.
История метода решения уравнений путём возведения
в квадрат заслуживает того, чтобы на ней несколько задер-
жаться. Основная идея его—сильное отделение корней
с помощью их возвышения в высокие степени—восходит
к Ньютону, во «Всеобщей арифметике» которого приве-
дён способ определения наибольшего по модулю действи-
тельного корня, как s2n при больших п (для случая,
когда все корни действительны), а затем ту же мысль
высказали Варинг в 1776 г. и в одном частном случае—
Эйлер в 1781 г. Однако реализации эта идея в указанном
направлении г) в 18 в. не получила.
В 19 в. эта идея была с небольшими промежутками
во времени вновь и гораздо более систематически исполь-
зована независимо друг от друга тремя учёными:
Ж. Д. Данделеном, Н. И. Лобачевским и К. Греффе.
Во втором приложении к мемуару «Recherches sur
la resolution des equations numeriques» (Nouv. Mem.
de 1’Acad. de Bruxelles, t. Ill, 1826) Данделен высказал
теорему, гласившую, что если корни уравнения раз-
биты на группы, обладающие тем свойством, что корни
первой группы в числе а значительно превосходят по
модулю b корней второй, корни второй, в свою оче-
редь, значительно превосходят с корней третьей и т. д.,
то корни первой группы определяются из уравнения,
составленного из a 4-1 первых членов данного уравнения,
корни второй—из уравнения, составленного из 6 4-1
членов, следующих за ct-м и т. д. Затем он предлагает
1) Она лежала в основе метода Дан. Бернулли, сводящегося
к применению рекуррентных рядов.
«АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ» ЛОБАЧЕВСКОГО 127
возводить корни данного уравнения в степени 2Р и пи-
шет: «Таким образом, при р бесконечно большом урав-
нение в корнях х2р разделится на столько уравнений пер-
вой степени, сколько данное уравнение имеет действи-
тельных корней и на столько уравнений второй степени,
сколько данное уравнение имеет пар мнимых корней».
Однако предложения Данделена и Лобачевского,
явившихся, таким образом, первыми изобретателями
метода возведения корней в квадрат, не привлекли вни-
мания математиков. В 1836 г. Берлинская академия
наук объявила конкурс на отыскание удобного метода
определения комплексных корней, и ответом на этот
конкурс явилось сочинение третьего автора—швейцар-
ского профессора К. Г. Греффе «Die Auflosung dor hohe-
ren numerischen Glei ch ungen» (Zurich, 1837). В брошюре
Греффе, специально посвящённой численному решению
уравнений, метод возведения корней в квадрат был
изложен подробно и иллюстрирован многочисленными
примерами. В форме, усовершенствованной Энке (1841)
и Э. Карвалло (1890), метод этот и вошёл в употребление,
а первые изобретатели этого замечательного приёма—
Лобачевский и Данделен—были забыты. Даже на соб-
ственной родине приём Лобачевского оставался долгое
время незамеченным: о нём не упомянул ни Сомов в его
столь содержательной «Теории определённых алгебраи-
ческих уравнений», ни Г. Брун в «Решении численных
уравнений по способам Горнера и Греффе» (Одесса, 1851),
ни А. Н. Крылов в своих известных «Лекциях о при-
ближённых вычислениях», ни даже А. В. Васильев
в своих работах по истории математики. И лишь в курсе
Уиттекера и Робинсона «The calculus of observations»
(London, 1924) были указаны очевидные права Данде-
лена и Лобачевского на первенство в изобретении дан-
ного метода.
«Алгебра» Лобачевского, как мы видели, явилась
трудом, достойным своего знаменитого автора, и зани-
мает в истории алгебраической мысли выдающееся место.
С присущим ему интересом к коренным проблемам
L28
А. П. ЮШКЕВИЧ И И. Г. БАШМАКОВА
математики Лобачевский выступил в этой работе как один
из первых создателей новой теоретической арифметики
и дал чрезвычайно интересный и глубокий анализ опе-
раций над натуральными и рациональными числами.
С другой стороны, продолжая разработку проблем
алгебры 18 столетия на том высоком уровне математиче-
ской строгости, которой наука 19 века во многом была
обязана ему лично, он внёс много оригинального и в трак-
товку вспомогательных для его руководства транс-
цендентных функций, особенно тригонометрических, и в
теорию уравнений высших степеней, которую увенчал от-
крытием важнейшего численного метода решения. Челове-
чество чтит Лобачевского как исключительного нова-
тора— геометра, и, разумеется, главным делом его жизни
было создание неевклидовой системы. Но в творчест-
ве гениального русского математика почётное место
занимают и его работы по алгебре, и труды по анализу, в
которых столь блестяще отразились главные черты его
научной индивидуальности— смелость новаторской мысли,
точная постановка методологических проблем математи-
ки, являвшаяся в его глазах безусловной предпосылкой
её быстрых успехов, и глубокий интерес к практическим
приложениям математики, которая была для него наукой
о способах измерения всего, что существует в матери-
альной действительности.
О РАБОТАХ IL II. ЛОГАЧЕВСКОГО ПО ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Б. В. Гнеденко
Среди богатейшего научного наследства, оставлен
ного нам Лобачевским, имеются две работы, относящиеся
к теории вероятностей. Не интересуясь специально тео-
рией вероятностей, Лобачевский был подведён к этим
своим исследованиям самой логикой его научного твор-
чества, всей методологической направленностью его гео-
метрических изысканий. Для Лобачевского геометрия
была не только чисто математической наукой, по, в пер-
вую очередь, наукой о реальном пространстве. Вот почему
во многих его работах настойчиво ставится вопрос о том,
какова же геометрия окружающего нас внешнего мира.
Так, свои знаменитые «Новые начала геометрии с полной
теорией параллельных» Лобачевский начинает словами:
«Всем известно, что в Геометрии теория параллель-
ных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное
старание со времён Эвклида в продолжение двух тысяч
лет заставило меня подозревать, что в самых понятиях
ещё не заключается той истины, которую хотели дока-
зывать и которую поверить, подобно другим физиче-
ским законам, могут лишь опыты, каковы например
Астрономические наблюдения».
Позднее в «Пангеометрии» он вновь говорит, что для
выяснения свойств реального пространства нужно обра-
титься к опыту: «... принятое в обыкновенной геометрии
явно или скрытно предположение, что сумма трёх углов
всякого прямолинейного треугольника постоянна, не
есть необходимое следствие наших понятий о простран
А
* Псторико-математ. исследования
130
Б. В. ГНЕДЕНКО
стве. Один опыт только может подтвердить истину этого
предположения, иапр. измерением па самом деле трёх
j глов прямолинейного треугольника . ..э»1). Такая проверка
была Лобачевским предпринята и опубликована ещё
в 1829 г. в работе «О началах геометрии». Там он пока-
зал, что для треугольника, вершинами которого являются
Земля, Солнце и неподвижная звезда Сириус, сумма
углов может отличаться от двух прямых не более чем
на 0",000003722 3 *) в его геометрии. Естественно возникал
вопрос: если наблюдения дадут уклонение суммы углов
от двух прямых такого порядка или даже несколько
большего, то можно ли отсюда делать вывод, что в при-
роде господствует не геометрия Евклида, или же эта
разница может быть объяснена ошибками наблюдений?
Для того чтобы ответить па этот вопрос, нужны серьёз-
ные сведения из теории ошибок наблюдений. Вог почему
две последние главы «Новых начал геометрии ...», главы
XII и XIII, посвящены вычислению ошибок при реше-
нии прямолинейных и сферических треугольников,
когда измерения известных элементов произведены лишь
с известной степенью точности. Но, «назначая точность
вычисления, мы предполагали все случаи неблагоприят-
ными, тогда как ошибки в их соединении могут быть
одна другой противными, следовательно частью по
крайней мере уничтожаться. Ожидать это тем скорее
должно, чем больше чисел складываются; а потому весьма
редко бывает, чтобы здесь неверность выходила самая
большая. Итак, достоинство решения будет вполне опре-
делено тогда только, когда сверх точности вычисления
покажем, с какой вероятностью происходят ошибки»
(«Новые начала ...», гл. XII).
Таким образом, Лобачевский пришёл к задаче вычи-
сления функции распределения среднего арифметиче-
ского заданного числа независимых 8) случайных величин
«Полное собрание сочинений по геометрии Н. II. Лобачев-
ского», изд. Казанского ун-та, т. I, Казань, 1883, стр. 548.
2) В силу допущенной опечатки или ошибки в вычислениях,
Лобачевский указывает величину 0",00037 2.
3) По традициям того времени, Лобачевский не оговаривает
независимости наблюдений.
О РАБОТАХ ЛОБАЧЕВСКОГО ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 131
(результатов наблюдения некоторой величины) с одним
и тем же распределением вероятностей. Решению этой
задачи посвящена значительная часть «Новых начал
геометрии...» и специальная работа Лобачевского «О ве-
роятности средних результатов, полученных из повтор-
ных наблюдений» («Sur la probabilite des resultats ni oyens,
tires des observations repetees»)1), являющаяся переработ-
кой того, что уже было опубликовано в «Новых началах
геометрии...». При этом Лобачевский ограничился рас-
смотрением только случая суммирования величин, рав-
номерно распределённых в интервале ( — а, + а), считая,
невидимому, этот случай либо достаточным для его целей,
либо же предполагая, что ошибки наблюдений следуют
этому распределению вероятностей.
Путь, которым получаются окончательные формулы,
состоит в том, что первоначально рассматриваются слу-
чайные величины, могущие принимать лишь все целые
значения2) между — и и -{-а, каждое с вероятностью —.
Далее интервал возможных значений посредством изме-
нения масштаба приводится к отрезку ( — 1, -fl). Пре-
дельный переход при а—эоо приводит к окончательным
результатам.
В настоящее время такая задача не представляет
принципиальных трудностей и может быть решена по
установившимся стандартным формулам (с помощью фор-
мулы композиции функций распределения или же с по-
мощью характеристических функций). Тем не менее нам
важно вспомнить эти работы Лобачевского не только
потому, что всё сказанное геометрами такого масштаба
представляет интерес, но и потому, что полученная Лоба-
чевским окончательная формула очень удобна в пользо-
вании, и, быть может, её следует включить в справоч-
ники и в учебники, и во всяком случае необходимо.
г) Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 24, стр.
164—170 (1842).
„ 2) Изучению суммирования таких арифметических распределе-
нии придавал большое значение и Лаплас; в своей «Theorie ana
lytique des probability» он, например, посвятил два параграфа
разысканию распределения вероятностей для сумм таких величин.
9*
132
Е. В. ГНЕДЕНКО
чтобы она вошла в наши задачники по теории вероят-
ностей.
В теоретико-вероятностной энциклопедии того вре-
мени—в «Tlieorie analytique des probabilites» Лапласа—
не было не только решения самой задачи Лобачевского,
ио даже постановки сё или близких к ней за дач.Это обстоя-
тельство было отчётливо отмечено Лобачевским в работе
«О вероятности средних результатов, полученных из
повторных наблюдений , где он писал: «Лаплас в Анали-
тической теории вероятностей занимался, собственно,
только случаем очень большого числа наблюдений. Рас-
суждениями крайне сложными и использующими всегда
определённые интегралы он пришёл к выражениям,
которые согласованы с теми, которые мы уже дали
здесь».
К задаче нахождения асимптотической формулы для
вероятности суммы независимых случайных величин,
каждая из которых может принимать лишь все цело-
численные значения между —ли + «, Лаплас действи-
тельно возвращается в своей «Tlieorie analytique des
probability» дважды —в главе III (Application des me-
thodes precedentes а Г approximation de diverses fonctions
de tres-grands nombres) второй части, n° 36 и в главе IV
(De la probabilite des erreures des resultats moyens d’un
grand nombre d’observations, et des resultats moyens les
plus avantageux), n° 18 (книга 2). Такую асимптотиче-
скую формулу Лаплас находит, использовав факти-
чески элементы теории характеристических функ-
ций. Цель Лобачевского состояла в другом — в на-
хождении точных формул для каждого числа наблю-
дений.
Первоначальную постановку задачи мы опишем сло-
вами самого Лобачевского.
«Предположим, что в одном наблюдении все ошибки
будут целыми числами, равновозможными от —а до 4-а.
Комбинация наблюдений (т. е. сумма результатов наблю-
дений. Б. Г.), число которых есть г, имеет в сумме
ошибку т, которая пе может выйти из пределов га и — га.
Это число комбинаций есть также функция г и т, кото-
рую мы будем обозначать через Сг (/??)».
О РАБОТАХ ЛОБАЧЕВСКОГО ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 133
Понятно, что функция Сг(т) зависит также от а. Для
явной записи функции Сг(т) Лобачевский вводит в рас-
смотрение два символа: p”q и p”q.
Пусть р и q — целые числа; символ p“q обозначает
произведение
Р(Р~ 1) ••• (Р-Я + ^)-
Лобачевский называет его уступом, а число q —
показателем уступа. Понятие уступа доопре-
деляется ещё двумя требованиями:
= 1 при <7 = 0,
и
p“q — 0 при q < 0.
Далее он обозначает
•	q”q	q\
и рассматривает сумму
2(-l)»[(r-2).)e + m + r-l->.],“('-') г?*.,	(1)
..	.	I га -ь т -+ 1 f
распространенную на все значения а от 0 до ———— I .
Как это видно из постановки вероятностной задачи,
в сумме (1) а иг- целые положительные числа, т — также
целое, но может принимать как положительные, так
и отрицательные значения.
Основная часть исследования Лобачевского посвя-
щена выяснению аналитических свойств суммы (1) п дока-
зательству того, что число комбинаций Сг (т) равно
сумме (1).
После того как этот факт доказан, автоматически
получается вероятность того, что сумма результатов г
независимых наблюдений будет заключаться в пределах
°т — т до -рт??. Эта вероятность равна
т
Pr (m) = pa + 1)г	($) ’
s = -m
134
Б. В. ГНЕДЕНКО
Предположим теперь, что а возрастает до бесконеч-
ности и т возрастает так, что
т
lim — = х,
т^сога
тогда оказывается, что вероятность среднему арифмети-
ческому результатов г наблюдений заключаться в преде-
лах от — х до -|-х	равна
Г Z	Л
причём суммирование распространяется на все значе-
п	Г г — гх 1
ния л от 0 до —-— .
В качестве иллюстрации Лобачевский проводит до
конца вычисление функции Рг(х) для г = 2, 3, 10 и приво-
дит короткие таблицы значений Рг(х) для некоторых
значений аргумента.
Так, для г = 2 в сумме, стоящей в правой части фор-
мулы (2), будет только одно слагаемое с Х = 0. Легко ви-
деть, что при 0 < х < 1
Р2 (я) = 1 — (1 — х)2.
При г = 3 функция Р3(х) определяется на разных
участках различными аналитическими выражениями.
В самом деле, если х мало
два слагаемых,
К»	1
В случае же —
(я < уJ, то в сумме (2) будут
соответствующих значениям а = 0 и X = 1.
от суммы (2) останется только
одно слагаемое при Х = 0.
3*°8 = 3-21; 0~° = 1,
Так как
lwl = l, 3f°=l, 3~*=3,
х) При х > 1 для всех r> 1, очевидно,
Рг(^) = 1.
О РАБОТАХ ЛОБАЧЕВСКОГО НО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 135
ТО при 0 < X < ~ )
О
Ра(х) = 1-4(1-х)3 + -1(1 з»/
И при	1
о
Р8(х) = 1-|<1 -.г)3.
Приведём в заключение вычисленную Лобачевским функ-
Ошибка	Вероятность
1,0	1,00000
0,9	1,00000
0,8	1,00000
0,7	0,99968
0,6	0,99944
0,5	0,99506
0,4	0,96179
0,3	0,89910
0,2	0,72220
0,1	0,41096
0,0	0,00000
цию Р10 (х) и небольшую табличку сё значений.
равна
1-	390625 72576 1	>		, (4 — 5а:)10 1	181440 , (2-5.г)10 15120	(3-5х)*° 40320		о А ы А сл| 1-
				(1 —5ж)10 8640	при	
1-	-390625	-Я)10	(4-.5т)10	(3 —5а;)10		
	72576		+ 181440	40320	1		
			t (2—5а;)10 '	15120		при	1	2 — <Х < — . ;>	а
х) В «Новых началах геометрии...», воспроизведённых в пол-
ном собрании сочинений Н. И. Лобачевского, изд. 1883 г., ошибочно
напечатано
РзО)=1-|(1-*)3 + 4 (1-3®)».
1 16
Б. В. ПГЕДЕНКО
__ 390625 ,, _ v о , (4-5*?° __ (3-5*?°
1	72576 к 1 Г 181440	40320
.	390625,, T\i°  (4 — 5*?°
1	72576	+ 181440
л 390625 ,,   х10
1	72576	'
2	, 3
при
3	^4
при	,
при -| < X < 1.
Исследования Лобачевского в области теории вероят-
ностей были лишь небольшим эпизодом в его творче-
стве, по этот эпизод вносит дополнительный штрих
в его научную характеристику. Он дополнительно пока-
зывает широту интересов гениального учёного и яркую
методологическую направленность его научной жизни.
К тому же теоретико-вероятностные результаты Лоба-
чевского не только находились на уровне работ луч-
ших вероятностников того времени, по, как уже было
отмечено, сохранили интерес и для нас.
ПОСВЯЩАЕТСЯ ПАМЯТИ
ЛЬВА БОРИСОВИЧА
МОДЗ АЛЕ ВС КОГО
ЛОБАЧЕВСКИЙ—АСТРОНОМ1)
Н, П. Пдельсон
В Казани, на всех зданиях университетского городка
лежит как бы отблеск имени Лобачевского; историки
Казанского университета называют Лобачевского его
«великим строителем»2). Современники и авторы воспо-
минаний отмечают, что в университетских зданиях
и учреждениях, устроенных Лобачевским, «везде был
виден ум, обдуманность и даже роскошь»* * * * * 8). К числу
этих зданий относится и обсерватория Казанского уни-
верситета так называемая новая, сменившая ту кро-
шечную постройку, которая действовала с самого осно-
вания университета, т. е. с 1805 г. Новая обсерватория
была закончена постройкой в 1836 г. и начала действо-
вать с 1838 г., т. с. на год раньше Пулковской.
Когда в наши дни посетитель Казани входит в это
здание, он сразу же испытывает изумление. Обсерватория
стоит во дворе, она выходит фронтоном на улицу Черны-
шевского; но ось здания, перпендикулярная к этой улице,
не совпадает с меридианом места, а наклонена к нему
х) Доклад в Отделении физико-математических наук на
январской сессии АН СССР в 1949 г. Для настоящего сборника
несколько сокращено
2) Н. П. Загоскин, История Казанского университета,
т- IV, Казань, 1906, стр. 437.
8) Л. Б. М о д з а л е в с к и й, Материалы для биографии
Н. И. Лобачевского, изд. АН СССР, 1948, стр. 643 (Воспоминания
Н. П. Вагнера). Вся дальнейшая документация нашей работы
поскольку ею затрагивается биография Лобачевского, основана
на этой замечательной книге, автор которой трагически погиб
^6 июня 1948 г. в полном расцвете сил, в возрасте 46 лет (см. Некро-
лог в «Вестнике АН СССР», 1948, № 12).
138
Н. И. ИДЕЛЬСОН
приблизительно па 45°; поэтому основные меридиан-
ные инструменты — в меридиане и в первом вертикале —
поставлены не по оси здания, как везде, а как-то совер-
шенно необычайно, в прорезях, под углом в 45° к глав-
ному входу и к вестибюлю.
— Кто это придумал такую хитроумную и единствен-
ную в мире планировку здания? — спрашивает посети-
тель. Ему отвечают:
— Лобачевский х).
— Разве Лобачевскому,—спрашивает опять посети-
тель,—были так близки и понятны интересы астрономии,
что он взял на себя эту расстановку основных меридиан-
ных инструментов?
L) Так, по крайней мере, сообщали автору настоящей работы
Казани (1942—1944 гг.) профессора
Казанского университета. Но
нужно заметить, что в статье
II. М. Симонова (профессора
астрономии во времена Лоба-
чевского) «Описание обсерва-
тории Казанского универси-
тета» (Журнал Млн. Нар.
Проев., 1838, VII, стр. 1—22)
не содержится прямых указа-
ний на то, что описанный
здесь план постройки обсер-
ватории принадлежал самом)
Лобачевскому. Однако Симо-
нов отмечает, что надзор за
проведением всех строитель-
ных работ принадлежал строи-
тельному комитету, состоявше-
му при Университете под пред-
седательством ректора Н. 11.
Лобачевского (стр. 9). К статье
Симонова приложен план 1-го
этажа и общий вид обсервато-
рии со стороны террасы. Этот
общий вид воспроизведён те-
перь во 2-м издании книги
проф. В. Ф. Кагана «Лобачег-
скпй» (1948), стр. 280; те про-
во время его пребывания
в
Ул Чернышевского
Черт. 1.


рези, о которых говорится в нашем тексте, хорошо видны на
этой иллюстрации. (Здание обсерватории, уничтоженное пожаром
1842 г., было вновь отстроено Лобачевским). Схема устройства пер-
вого этажа будет ясна читателю из черт. 1.
ЛОБАЧЕВСКИЙ-АСТРОНОМ
139
И ему опять отвечают:
— Да, конечно. Он и лекции читал по астрономии
и временами заведывал старой обсерваторией; он наблю-
дал знаменитую комету 1811 г. и комету Энке в 1832 г.;
он ездил из Казани в Пензу вместе со своим учеником
М. В. Ляпуновым наблюдать полное солнечное затмение
8 июля (26 июня ст. ст.) 1842 г.1).
И тогда посетитель Казани—если он когда-либо вни-
кал в сочинения Лобачевского—начинает припоминать,
что в одном очень ответственном месте первой и осново-
положной работы Лобачевского «О началах геометрии»
(1829 г.), действительно, говорится и о расстояниях непо-
движных звёзд, п о бесконечной Вселенной...
I
Учителем Лобачевского по математике был Мартин
Бартельс2).
Как бы мы ни оценивали значение Бартельса как мате-
матика—оно, невидимому, не велико—мы обязаны при-
знать, что в своём воспитательном подходе к Лобачевскому
он оказался на очень большой высоте. Он дал в руки свое-
го ученика передовые работы того времени—работы Гаусса
и Лапласа по той большой программе математического зна-
ния XIX в., которое начиналось в глубинах теории чисел
и завершалось наукой о движении земных океанов, Луны
и планет. Ибо надлежит нам помнить, что в ту эпоху,
когда не существовало ни звёздной астрономии, ни пауки
о физике небесных тел, астрономия фактически кончала
свой обзор космоса в пределах солнечной системы.
*) Модяалевский, стр. 49, 99, 470, 463—479.
2) Мартин Фёдорович Бартельс (1769—1836) провёл в Казани
12 лет (1808—1820). Любопытные воспоминания его о работе в Ка-
зани приведены у Модзалевского (стр. 698). В Дерпте, куда Бар-
тельс переехал из Казани, дочь его Иоганна вышла замуж в 1835 г.
за овдовевшего незадолго перед тем Вильгельма Струве, будущего
основателя Пулковской обсерватории; см. об этом в весьма’ редкой
брошюре Wilhelm Struve, Zur Erinnerung an den Vater,
Von Otto Struve, Carlsruhe, 1895, стр. 50 (пулковское книгохрани-
140
II. II. НДЕЛЬСОН
II Лаплас1) был здесь велик не только своими открытиями;
самый его подход к изучению мироздания был важен и
значителен. Лаплас неоднократно подчёркивал2), что этот
мир познаваем до конца, что перед человеческим интел-
лектом, вооружённым аппаратом математического ана-
лиза, никакие грани не поставлены; что тонкости движе-
ний в планетной системе, как бы они пи казались сложны,
будут до конца раскрыты наукой па основе только одного
единственного закона: закона Ньютона, «закона при
роды», как его называл Лаплас. И, как бы иллюстрируя
эту познавательную мощь человеческого сознания, кото-
рую он считал беспредельной, Лаплас ссылался на свои
собственные открытия в небесной механике, на откры-
тие вековых ускорений в движении Луны, на действи-
тельно изумительные законы в системе первых трёх
спутников Юпитера, на данное им объяснение великого
неравенства Юпитера и Сатурна. Про эту установку Ла-
пласа, столь характерную для его эпохи, можно сказать,
что опа есть как бы песнь торжествующего разума.
С неё и началось большое астрономическое образова-
нно Лобачевского. В июне 1812 г. Лобачевский предста-
вил Бартельсу—а этот последний Совету университета—
сочинение па тему «Об эллиптическом движении небес
пых тел». Через месяц Бартельс рапортовал Совету Казан-
ского университета3): «Труды мои увенчались успехом, и на
*) Первые два тома «Небесной механики» Лапласа (1749—1827)
появились в 1799 г. Третий, четвёртый и пятый тома были изданы
Лапласом в 1802, 1803, 1823—1825 гг. Лобачевский изучал,
невидимому, особенно детально только первые два тома этого зна-
менитого труда. Из других работ Лапласа нам придётся ссылаться
в дальнейшем на его единственное научно-популярное произве-
дите, именно «Изложение системы мира» («Exposition du systemе
du monde», 1796) и па «Аналитическую теорию вероятностей»
(«Theorie analytique des probabilites», 1812).
2) См., например, «Exposition du systeme du monde» (Oeuvres
ed. 1846, t. VI, p. 440—441, 447, 460).
3) M о д з а л e в с к и й, стр. 54—55 (перевод с латинского
мной выправлен). Впрочем, здесь не ясно, изучал ли Лобачевский
теорию эллиптического движения планет по 1-му тому Лапласа
пли по незадолго перед тем вышедшему сочинению Гаусса «Теория
движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по кони-
ческим сечениям» (1809). Во всяком случае, из автографа Лоба-
ЛОБАЧЕВСКИЙ-АСТРОНОМ
141
приватных занятиях с Симоновым и Лобачевским изъяс-
нил я большую часть всего 1-го и некоторую часть 2-го
тома превосходного труда, сочинённого знаменитым Ла-
пласом». «Хотя Симонов хорошо осведомлён в математи-
ческих пауках,—добавляет Бартельс,—однако Лобачев-
ский превосходит его, особенно в вопросах тонких. Из
его сочинения, составленного им безо всякой помощи
если не считать самого труда Лапласа—видно, что он
не только проник в то, о чём в этом труде говорится, но
и сумел обогатить его собственными соображениями.
Многие места его краткого сочинения содержат признаки
выдающегося математического дарования, которое в буду-
щем непременно славой озарит его имя; говорить же о них
з <есь не место».
Но едва ли в те годы —от 1812 до 1820, когда Бартельс
уехал из Казани, — мог бы он сам угадать, в какой соб-
ственно области обширнейшей пауки о числах, о про-
странстве и о природе создаст себе славу его ученик. Ибо
за эти годы Лобачевский, быстро одно за другим полу-
чивший звания адъюнкта (1814) п экстраординарного про-
фессора (1816), приступает к преподавательской деятель-
ности в Казанском университете и ведёт её по циклу
весьма обширному. Оп начинает с курсов теории чисел
«по Гаузу и Лежандру, па российском языке» (1814)1);
к этому курсу прибавилась затем плоская и сферическая
тригонометрия, «принимая в рассуждение более практн
ческую часть опой, руководствуясь сочинением Канье л и
и другими писателями...»2); потом дифференциальное
и интегральное исчисления по Лакруа (1818—1819)3);
затем, когда Симонов, утверждённый уже профессором
чевского, приложенного к книге проф. В. Ф Кагана «Лобачев-
ский» (2-е изд., стр. G7), видно, что Лобачевский изучал и книгу
Гаусса (его выписка сделана со стр. 11 и 15 «Theoria motus» в её
нервом издании 1809 г.).
х) Там же, стр. G2 и 64. Это, невидимому, первое упоминание
имени Лобачевского в планах преподавания; ссылки на того ил i
иного автора в этих планах (папр., «по Лапласу», или «по Каньёли»,
или «по Лакруа») соответствуют современным указаниям лите-
ратуры предмета в программах курсов.
2) Там же, стр. 75.
8) Там же, стр. 83.
142
Н. И. ИДЕЛЬСОН
астрономии, уезжает в 1819 г. в двухлетнее антарктиче-
ское плавание на шлюпе «Восток» в знаменитой экспе-
диции Лазарева и Беллингсгаузена г), Лобачевский подаёт
в Совет университета предложение* 2):
«Не угодно ли будет Совету возложить на меня препо-
давание лекций астрономии на время отсутствия г-на про-
фессора Симонова, которые лекции я вызываюсь продол-
жать даже и тогда, когда бы какие-нибудь обстоятельства
удержали надолго г-на Симонова в отлучке. Если Совет
согласится на моё предложение, то прошу его доверить
мне попечение об Обсерватории и издержки суммы на нее
назначенной».
Совет принимает предложение, и Лобачевский с жаром
берётся за эту работу. В доказательство приведём то
место из его рапорта Совету от 26 июня 1819 г., где он
отказывается от порученной ему литературно-рефератив-
ной работы; он пишет3):
«Наконец, прошу Совет принять и то в уважение, что
я занимаю теперь две кафедры, что летнее время только
и способно для наблюдений, которым я иногда посвящаю
и дни и ночи».
Но в то же время обстоятельства складываются так,
что Совет вынужден поручить Лобачевскому и препода-
вание физики—опытной и теоретической; и тогда, как
сказано в одном рапорте ректора «о преподавателях,
отличившихся трудолюбием и успехами»4), «Лобачевский
пишет свои лекции как физики, так и астрономии, отда
вая их студентам, чтобы могли с меньшим трудом повто-
рять на дому пройденное».
К тому же Лобачевский находит время расширять
и углублять свои курсы. Так, в 1820 г. он проходит по
Делямбру и Лаланду средство «определять из наблюдении
элементы солнечного пути, также об изменении эксцен-
х) В этом кругосветном плавании Ив. Мпх. Симонов впер
вые ввёл ежечасную запись отсчётов термометра и барометра
(см. биографию Симонова в Энциклопедии Брокгаува-Эфрона,
т. 58).
2) М о д з а л е в с к и и, стр. 85—86.
•) Там же, стр. 89—90.
4) Там же, стр. 96.
йобачевсКий-астроном
143
триситета солнечного пути», иными словами—определение
элементов земной орбиты и их вековых изменении.
Далее, в 1821 г., он, Лобачевский, «из астрономии будет
читать теорию спутников и комет, руководствуясь сочи-
нением Лапласа: Mecanique celeste, а потом о обращении
земли, о наступании равноденственной точки и приливе
и отливе моря, руководствуясь тем же сочинением» *).
В 1821 г. он объявляет полный курс астрономии теорети-
ческой и практической2). Он хотел бы даже ввести в выс-
шую геодезию и теорию фигуры Земли, опираясь па кни-
гу Бугэ и сочинение Делямбра «Основания метрической
системы»3), но на этот раз курс состояться не мог, потому
что Совет Отделения вынес следующее изумительное по-
становление 4):
«Преподавание студентам о фигуре земли допустить
затруднительно, во-первых потому, что точная фигура
земли ни посредством умозрений, ни из наблюдений доныне
с математической достоверностью не определена; во-вто-
рых потому, что число лекций для студентов третьего
отделения было бы слишком велико».
Так и не удалось прочесть Лобачевскому этот послед-
ний предложенный им курс астрономо-геодезического
цикла. Но, думается нам, что уже тот значительный труд,
который он вложил в постановку преподавания практи
ческой астрономии и небесной механики в Казанском уни-
верситете, даёт основание всем преподавателям астроно-
мии советских университетов гордиться тем обстоятель-
ством, что некогда Лобачевский твёрдо и уверенно стоял
в их рядах.
II
После отъезда Бартельса (в 1820) г. из Казани к Лоба-
чевскому переходит всё преподавание «чистой математики»
Со следующего года, после возвращения Симонова из
его плавания (1821), для Лобачевского отпала необхо-
димость, а может быть, и желательность чтения курсов
х) Модзалевский, стр. 102.
’) Там же, стр. 106.
*) Там же, стр. 115.
4) Там же, стр. 116.
144
Н. И. ИДЕЛЬСОЙ
по астрономии; в 1821 г. оно как бы обрывается. В бли-
жайшие следующие годы—нам неизвестно в то ности,
ни как, ни когда — слагается его великое новое слово,
его система неевклидовой геометрии х). Первое сообщение
о ней сделано Лобачевским Казанскому университету
11 (23) февраля 1826 г. Этот доклад Лобачевского утерян;
по через три года в «Казанском Вестнике» публикуется
его основоположная работа «О началах геометрии»* 2).
Здесь некоторая новая часть, добавленная, судя по при-
мечанию Лобачевского, к работе 1826 г., начинается со
следующих многознаменательных слов:
«Изложенная нами теория параллельных предполагает
линии с углами в такой зависимости, которая, как после
увидим, находится или нет в природе, доказать никто нр
в состоянии»...
— Но почему же,—должен был поставить вопрос вдум-
чивый читатель «Казанского Вестника», — мы должны отка-
заться от возможности проверки повой геометрии в опыте
и в наблюдении? Разве мы потеряли веру в лапласову
установку о всепобеждающей силе разума? Разве сам
Лобачевский в те годы (точнее в 1828 г), не говорил о
«торжестве ума человеческого»?3).
Так почему же как раз на вопросе о действи
дельности повой геометрии кончается это торжество?
Чтобы обосновать своё утверждение, Лобачевский
обращается к простейшим геометрическим образам—
к плоским треугольникам и к измерению суммы их углов.
Напомним, что всего за год до появления в печати работы
Лобачевского Гаусс в своих геометрических исследова
пнях тоже обращался к измерению суммы углов в тре-
угольниках, по только в треугольниках земных. Его
г) О первых работах Лобачевского по неевклидовой геометрии
см. в упомянутой уже книге В. Ф. Кагана (2 изд., 1948 г., стр. 176—
184).
2) Это произведение Лобачевского переиздано теперь в т. I
полного собрания его сочинений (Гостехиздат 194G, стр. 179—411),
с вводной статьёй и комментарием проф. А. П. Котельникова.
Для нашего дальнейшего изложения особенно важны страницы
207—210 текста и страницы 283—286 Примечаний
3) М о д за л евск ни, стр. 321—327, «Речь о важнейших
предметах воспитания», цитируемое место на стр. 323.
ЛОБАЧЕВСКИЙ-АСТРОНОМ
145
знаменитые «Общие исследования о кривых поверхно-
стях» (1828)1) как-то неожиданно заканчиваются приме-
ром, взятым из той триангуляции, в обработке которой
участвовал сам Гаусс; этот пример относится, как говорит
Гаусс, к «самому большому треугольнику, который был
измерен в предыдущие годы». Уравнивая и вычисляя
углы этого треугольника с исключительной точностью
до 10~б * 8 сек. дуги, Гаусс показывает, что сумма их,
после надлежащих редукций к плоскости, приводится
с этой точностью ровно к 180°. Таким образом,
в земныхтреугольниках от обычной геометрии уклонений
не наблюдается2).
Но Лобачевский идёт дальше и — мы могли бы сказать
словами Галилея—«оставив в стороне земное, обращается
к небесному». Однако в ту пору наука о небе оставалась
ещё в полной неизвестности по основному вопросу миро-
здания— по вопросу о расстоянии Солнца до ближайших
звёзд. Идёт ли свет от них месяцы или годы, или десяти-
летия— никто не мог ещё сказать. Но это—важнейший
вопрос для Лобачевского. Он пишет: «Кажется, всего
более можно полагаться на способ, придуманный г-м Дас-
са-Мондардье»,—и ссылается на статью этого, никому
неизвестного автора, помещённую во французском астро-
номическом Ежегоднике на 1831 г.3 *). Обратите, прежде
г) Имеется русский перевод Краснова под редакцией проф.
К. А. Поссе, СПб, 1887; подлинник (по-латыни) находится
в IV томе полного собрания трудов Гаусса (Gauss, Werke,
Bd. IV, стр. 217- 258).
2) Гаусс говорит: «Так, например, в самом большом из тре-
угольников, которые мы измеряли в прошлые годы, а именно
между точными Гогегаген, Броккен, Пнзельсберг, где избыток
суммы углов был 14*,85348, вычисление дало следующие вели-
чины для приведения углов [от эллипсоида к плоскости]:
— 4*,95113;— 4*,95104;—4*,95131». Сумма этих редукций соста-
вляет как раз —14*,85348, так что сумма углов плоского тре-
угольника есть 180е, с точностью до 10'5 сек. дуги.
8) Connaissance des Temps pour Pan 1 31, Paris, 182s, стр. 120—
148. Полное название этой работы Дасса-Мондардье таково: «Ме-
муар об определснип параллакса и собственного движения звезд
по склонению, посредством нового способа искусственных покры-
тий». В приложенном отчёте об этой работе (стр. 149—151) Делямбр
указывает на связь её с некоторыми замечательными мыслями
Галилея об определении звёздных параллаксов.
Ю Историко-математ. исследования
146
II. И. ИДЕЛЬСОН
всего, внимание на ту тщательность, с которой Лобачев-
ский изучал современную ему астрономическую литера-
туру. Ежегодник, о котором идёт речь, опубликован
в Париже в 1828 г. и, очевидно, не сразу попал в Казан-
скую библиотеку. Но уже в 1829 г. Лобачевский публи-
кует свои «Начала Геометрии», в которых данные этого
Ежегодника полагаются в основу проверки действитель-
ности неевклидовой геометрии в космических простран-
ствах. И для нас неважно, был ли хорош или плох способ
определения звёздных параллаксов, придуманный отстав-
ным французским моряком, которым в течение четырёх
лет неустанно вёл наблюдения—правда, примитивные по
технике—для определения параллаксов трёх звёзд:
29 Эридана, Ригеля и Сириуса. Для пас существенно здесь
то, что в первый раз за историю человеческой культуры
уединённый геометр и мыслитель в далёкой и заснеженной
Казани делает попытку из данных именно этих наблюде-
ний вывести свойства пространства и геометрии мира!
Для упомянутых трёх звезд французский моряк-
астроном получил параллаксы* 1): Г',00 для 29-й Эрида-
на, 0",27 для Ригеля и 0",62 для Сириуса.
Как мы теперь знаем, все эти определения завышены
и нереальны; параллакс цервой из этих звёзд не опреде-
лён до настоящего времени; для Ригеля он оказался рав-
ным 0",006, но с вероятной ошибкой = ± 0",007; для Си-
риуса— одной из самых близких звёзд—он равен 0",371 ±
±0",004. Но вместе с тем мы знаем, что наибольший изме-
ренный параллакс равен 0",76. Таким образом, в смысле
порядка величины наибольших параллаксов результаты
Дасса можно считать приемлемыми. Но Лобачевский
опирается на них, чтобы выяснить, какова наименьшая
величина измеренных параллаксов, так как ему требуется
знать расстояние до самой далёкой звезды. И тут со всей
строгостью естествоиспытателя, который принимает лишь
то, что получено в опыте и наблюдении, Лобачевский счи-
тает, что 0,62 секунды, определённые Дасса,—это и (?сть
0 Сказать, что параллакс звезды равен Г', то же самое, что
1
сказать, что свет от неё идёт к нам 3— года.
3
ЛОБАЧЕВСКИЙ—АСТРОНОМ
14?
наименьший параллакс, т. е. он принимает, что свет идёт
к Земле от самой далёкой звезды 5-у лет; затем он присту-
пает к своим выводам.
Здесь, на наш взгляд, уместно подчеркнуть особен-
ность его постановки задачи. Во множестве курсов астро-
номии параллакс определяет-
ся как «угол при звезде» в
том треугольнике, основанием
которого служит радиус зем-
ной орбиты, а звезда является
третьей вершиной. Но угла
при звезде никто никогда на-
блюдать не будет: он выводит-
ся, конечно, через сумму
обоих других }глов. Лобачев-
ский поступает гораздо рацио-
нальнее. Он определяет парал-
лакс как полу разность направ-
лений на звезду из двух про-
тивоположных точек земной
орбиты. Угол при звезде оста-
ётся великой неизвестной; если
сумма трёх углов треугольника меньше двух прямых и
равна тс—2w, то дефект 2<о ляжет на угол при звезде,
недоступный нашему измерению. Таким образом, у Лоба-
чевского схема всегда такая, как показано на черт. 2.
Здесь а —диаметр земной орбиты, Т и Т’ — два диа-
метрально противоположных положения Земли, 5 поло-
жение звезды. Солнце, не показанное на чертеже, лежит
в середине отрезка ТТ'] угол при звезде равен 2р — 2ш.
Заметим, что комментаторы Лобачевского не всегда отчёт-
ливо поясняют эту схему. Один из них1) говорит, например,
что она изображает треугольник между Солнцем, звездой
и Землёй, что неверно, так как основание треугольника—
Диаметр, а не радиус земной орбиты. В другом месте2) мы
х) Лобачевский, т. I (1946 г.), Комментарии, стр. 284.
2) Н. L i е b m ап н, Nichteuclidische Geometric, 1935, стр. 244
Существенно правильное у С. А. Богомолова («Основания геоме-
трии», 1923, стр. 310).
10*
148
И. II. ИДЕЛЬСОН
читаем, что угол при Т предполагается прямым «для про-
стоты рассуждений»; это тоже неверно, так как схема
Лобачевского приложима ко всякой звезде в тот момент,
когда она находится в квадратуре с Солнцем, как это
и поясняет затем Лобачевский.
Для того чтобы показать соответствие схемы Лоба-
чевского с обычными построениями в астрономии, пред-
ставим на черт. 3 плоскость эклиптики Е. Пусть Q есть
основание перпендикуляра, опущенного на эту плоскость
из точки 5, изображающей положение звезды. Проведём
из Q касательную QT к окружности, представляющей зем-
ную орбиту; если проведём ещё плоскость Р через прямые
SQ и QT, то эта плоскость будет касательной к прямому
цилиндру, основанием которого служит орбита Земли;
поэтому диаметр ТТ' будет перпендикулярен к прямой TS\
точки TST' как раз и образуют треугольник Лоба-
чевского на черт. 2 (аналогичное построение имеем в том
случае, когда Q попадает внутрь земной орбиты). Пусть
теперь р — параллакс звезды; // и а —её гелиоцентри-
ческая и геоцентрическая долготы; р — её широта, т. е.
угловое возвышение над плоскостью эклиптики. По фор-
мулам сферической астрономии для параллакса по дол-
ЛОБАЧ ЕВС КИП-АСТРОНОМ
149
готе имеем
(V — л) cos р = р sin (0 — к),
где 0 —долгота Солнца. Пусть для положения Земли
в Т долгота Солнца равна 0Р долгота звезды —)ч, причём
0.-\=т‘.
и аналогично для положения Земли в Т'
©3-^=Т-
Учитывая, что широта р и гелиоцентрическая дол-
гота звезды к * в обоих случаях одинаковы, получим
(ка — \) cos р == 2/?,
что и соответствует схеме Лобачевского.
Определив параллакс, Лобачевский доказывает три
теоремы. Первая из них гласит:
Как бы ни было велико расстояние звезды от Солнца,
её параллакс остаётся болъгие некоторой абсолютной
постоянной.
Эта теорема создаёт впечатление, что астрономы, полу-
чая параллаксы всё более далёких звёзд, будут прибли-
жаться к познанию этой абсолютной постоянной, а
следовательно, и к выяснению метрических свойств про-
странства.
На самом деле это не так. На этом пути струк-
тура пространства ускользает от астрономов, и вот почему.
Та постоянная, о которой только что шла речь, есть отно-
шение вполне определённой длины, именно диаметра зем-
ной орбиты к той единице длины, которой в геометрии
Лобачевского измеряются все длины вообще, подобно
тому как в обычной геометрии все углы измеряются в долях
окружности единичного радиуса.
Пусть к — эта абсолютная единица длины; р — парал-
лакс звезды, выраженный в секундах дуги; а — диаметр
150
Н. И. ИДЕЛЬСОН
земной орбиты; тогда теорема Лобачевского имеет только
тот смысл, что г)
к >206 265-^-.	(1)
Следовательно, если в наши дни астрономы определяют
у какой-либо звезды параллакс в 0",05 (это почти предел
современных точных определений параллаксов), то они
смогут только сказать, что абсолютная единица длин
у Лобачевского в 2 X 10е раз больше диаметра земной
орбиты. А так как никакие пределы для постоянной к не
могут быть назначены, и она ни с какими другими постоян-
ными, известными нам из опыта, не связана, то астроно-
мические определения к познанию нижнего предела всех
параллаксов привести не смогут2).
Едва ли можно было бы в форме более глубокой и отчёт-
ливой сочетать две истины, казалось бы друг другу совер-
шенно противоречащие: пространство бесконечно, но
параллаксы всех звёзд, его населяющих, как бы ни были
далеки эти звёзды, не могут быть меньше некоторой опре-
делённой величины.
Лобачевский подчёркивает это изумительное положе-
ние вещей в следующих словах:
«Между тем нельзя не увлекаться мнением Лапласа,
что видимые нами звезды и млечный путь принадлежат
к одному только собранию небесных светил, подобному
тем, которые усматриваем как слабо мерцающие пятна
в созвездиях Ориона, Андромеды, Козерога и проч. Итак,
не говоря о том, что в воображении пространство может
быть продолжаемо неограниченно, сама Природа указы-
*) Численный множитель в формуле (1) есть величина, обрат-*
пая sin 1".
3) Эта первая теорема Лобачевского есть простое следствие
из основных положений его геометрической системы. В коммента-
рий А. П. Котельникова (Лобачевский, т. I, стр. 283) вкралась
ошибка: в 4-й формуле примечания 26 в правой части неравен-
ства пропущен множитель 2, так что окончательный результат
должен быть а < tg 2л, как в тексте Лобачевского (там же,
стр. 207).
ЛОБАЧЕ ВСКИЙ-АСТРОЕ ОМ
151
вает нам такие расстояния, в сравнении с которыми исче-
зают за малостию даже и расстояния нашей земли до непо-
движных звёзд»х).
Эти грандиозные расстояния нам даны природой, но
они ещё не измерены; наибольшим измеренным расстоя-
нием остаётся для Лобачевского то, которое соответствует
звёздному параллаксу р = 0",62. Но именно потому, что
сама природа раскрывает нам такие расстояния, перед
которыми ничтожны расстояния, определяемые только
что указанными звёздными параллаксами, именно потому
человечество не в состоянии решить, какая геометрия
обыкновенная евклидова или геометрия Лобачевского
соответствует природе космоса. Астрономический опыт
определения расстояний до звёзд решить этого не может.
Но такое утверждение в устах Лобачевского отнюдь не
есть признание принципиальной непознаваемости геомет-
рии мира. Лобачевский далёк от этого.
Реальная первопричина невозможности решения во-
проса о космической геометрии состоит, разумеется, в том,
что астрономы не имеют способов измерять угол при звезде
в треугольнике, основание которого есть диаметр земной
орбиты. Но Лобачевский в известной мере обходит и это
роковое затруднение, доказывая свою вторую, весьма
замечательную теорему:
Если определены параллаксы двух звезд, находящихся
на различных расстояниях от Солнца, то можно опре-
делить верхнюю границу дефекта 2j> в том треугольнике,
у которого основание — диаметр земной орбиты, а вер-
шина— при более близкой звезде.
х) Невидимому, Лобачевский имеет в виду следующее место
из «Exposition du systeme du monde» (Oeuvres de Laplace, t. VI,
p. 455): «Таким образом, вероятно, что среди туманностей многие
представляют собой скопления очень большого числа звёзд и что,
если смотреть на них изнутри, они представились бы подобными
Млечному Пути. Если теперь вдуматься в это изобилие звёзд и ту
манностей, рассеянных в небесных пространствах, и в огромные
расстояния, которыми они отделены, то воображение, изумлённое
огромностью вселенной, не сможет постичь его границ». Эта послед-
няя фраза Лапласа как раз соответствует высказыванию Лоба-
чевского: «В воображении пространство может быть продолжаемо
Неограниченно»,
152
Н. И. ИДЕЛЬСОН
Пусть р' —параллакс более далёкой, а р — параллакс
более близкой звезды; тогда, по теореме Лобачевского *),
где
(2)
Для численной иллюстрации обозначим
— — п\
Р
так что, в силу (2),
2 sin2
Значения р по аргументу п приведены в следующей
таблице:
п	Р
0,1	0,009
0,2	0,020
0,3	0,046 0,084
0,4	
0,5	0,135
0,6	0,200
0,7	0,286
0,8	0,402
0,9	0,710
Лобачевский, опираясь всё на те же данные из статьи
Дасса, полагает р'- 0",62, /2 = 1",00; тогда п = 0,62;
Р = 0,217; следовательно, в треугольнике, «который про-
стирается до второй из сих звёзд», с параллаксом в 1"
2о) < 0",43,
как п дано у Лобачевского.
х) Доказательство этой теоремы очень сложно; оно прекрасно
разъяснено А. П. Котельниковым в упомянутом комментарии на
стр. 284— 285. В написании окончательной формулы Лобачевского
мы заменяем синусы параллаксов углами, косинусы—единицей.
Заметим, что по первой теореме Лобачевского, р' не может быть
равен пулю
ЛОБАЧЕВСКИЙ-АСТРОНОМ
153
Но если мы примем за меньший параллакс рг = 0",05,
а за наибольший р 0",75, то по формуле (2) получим, что
2<о < 0",0033.
Таким образом, с теми данными, которыми мы теперь
располагаем, можно утверждать, что дефект космических
треугольников с вершиной у звезды не превышает не-
скольких тысячных долей секунды дуги.
Замечательным здесь является то, что вторая, далёкая,
звезда как бы освещает геометрию малого треугольника,
простирающегося до близкой звезды. Чем эта вторая
звезда дальше, тем меньше будет дефект малого треуголь
ника. Вот почему для Лобачевского имеет столь большое
значение самый малый известный параллакс для земного
диаметра: чем он меньше, тем меньше дефекты в треуголь-
никах с вершиной в любой более близкой звезде.
Третья теорема Лобачевского относится к тому вооб-
ражаемому случаю, когда звезда находилась бы от Земли
на расстоянии диаметра земной орбиты (именно TS = а
на черт. 2), т. е. к треугольнику, оба катета которого были
бы равны 2 • 150 • 10е км. Эта теорема есть следствие
общей формулы Лобачевского для дефекта со и той оценки,
которая содержится в первой теореме. Лобачевский полу-
чает из них неравенство
io<p'2sinl".	(3)
Здесь р' есть снова наименьший измеренный с Земли
параллакс, т. е. наименьший параллакс для диаметра
земной орбиты а\ за таковой Лобачевский принимает
опять р' = 0",62 и получает:
2со < 3", 72 • IO"6.
К несчастью, Лобачевский совершил здесь численную
ошибку или допустил опечатку; у него стоит в работе «О на-
чалах геометрии»1):
2со < 3",72 • 1(Г4.
См. Лобачевский, т. 1, Комментарий, стр. 286,
154
Н. И. ИДЕЛЬСОН
Но и при этой численной ошибке Лобачевский убе-
ждается, что в пределах солнечной системы уклонения от
условий обычной геометрии могут быть лишь чрезвычайно
малыми.
III
Три приведённые здесь теоремы и содержат, в сущ-
ности, основные результаты Лобачевского по «космиче-
ской геометрии». После статьи «О началах геометрии»
1829 г. он к ней почти не возвращался, и, невидимому,
основные работы по звёздным параллаксам в следующее
десятилетие — В. Я. Струве в Дерпте и Петерса в Пул-
кове—не остановили на себе его внимания.
Равным образом не воспроизводил он своих трёх заме-
чательных теорем в последующих работах; он ограни-
чился только тем. что несколько раз повторил без всякого
обоснования тот последний численный пример, о котором
мы только что упоминали и в котором он ошибся на
два знака1). Но как раз одна из этих его публикаций
вызвала отзвук, о котором сам он никогда ничего не
узнал.
Об этом эпизоде скажем здесь несколько слов.
В 1835 г. Лобачевский опубликовал в «Учёных запи-
сках» Казанского университета статью под названием
«Воображаемая геометрия». Этим термином он решил
называть свою геометрическую систему, после того как
изложенные выше соображения убедили его в невозмоя -
ности доказать, что она необходимо имеет место в кос-
мических условиях. В 1837 г. эта работа была опублико-
вана (в несколько сокращённом переводе на французский
язык) в 17-м томе известного журнала Крелля по чистой
и прикладной математике. Здесь Лобачевский, имея в виду
х) «Воображаемая геометрия» (в «Полном собрании сочинений
по геометрии Н. II. Лобачевского», изд. Казанского университета,
1883, т. I, стр. 71); «Новые начала геометрии с полной теорией
параллельных», там же, стр. 229 (пли в переиздании проф
Д. Синцова, Харьковская Математическая Библиотека, №2 — 3.
Харьков, 1912, стр. 17).
ЛОБАЧЕВСКИЙ-АСТРОНОМ
155
свою работу 1829 г., но без прямой ссылки на неё, писал
следующеех):
«В другом месте, опираясь на некоторые астрономиче-
ские наблюдения, я доказал, что в треугольнике, все
стороны которого равны приблизительно расстоянию от
Земли до Солнца, сумма углов никогда не может отли-
чаться от двух прямых на величину, превосходящую
О",0003. К тому же эта величина должна быть тем меньшей,
чем меньше стороны треугольника».
Разумеется, ни один читатель в мире, даже если бы
он владел формулами геометрии Лобачевского, не мог бы
понять, как получил Лобачевский эту оценку, ибо Лоба-
чевский не говорит здесь даже того, что она основана
на допущении, что наименьший измеренный параллакс
принят им равным 0",62; к тому же читатель нс мог знать,
что Лобачевский допустил ошибку в подсчётах.
Но всё же у этой статьи нашёлся читатель, который
не прошёл мимо этого загадочного места и, невидимому,
о нём много размышлял. Это был Гаусс.
В 1844 г., т. е. через 7 лет после появления упомяну-
той работы Лобачевского, Гаусс писал о ней в письме
к одному из своих учеников, Герлингу. Гаусс, который,
как известно, овладел русским языком с основной целью
изучать работы Лобачевского, в начале своего письма
совершенно правильно указывает, что работа Лобачев-
ского в 17 томе журнала Крелля есть вольный перевод
его1 «Воображаемой геометрии», напечатанной в Казанских
Известиях; затем он заключает, что основой обеих работ
является мем у ар Лобачевского от 1829 г., который, по
словам Гаусса, но легко было бы достать в Германии2).
Далее Гаусс продолжал: «В отношении той, основан-
ной на опыте, оценки, которая приведена на стр. 303
17-го тома Крелля 3)—я не нашёл ничего и в работе
*) Этот французский перевод воспроизведён во II томе казан-
ского издания «Полного собрания сочинений по геометрип Н.П. «Ло-
бачевского», 1886, стр. 590.
2) Письмо Гаусса см. в Gauss, Werke, Bd. VIII, стр. 236—
^37; оно дано и в книге Модзалевского (стр. 483—485) с пере-
водом на русский язык.
8) Это и есть то место, которое мы только что цитировали,—Н 11
156
Н. И. ИДЕЛЬСОН
от 1840 г.1); поэтому я должен буду, невидимому, решиться
когда-нибудь написать самому Лобачевскому, который
год тому назад по моему предложению был избран коррес-
пондентом нашего (геттингенского.—Я. И.) учёного обще-
ства. Может быть, он пришлёт мне «Казанский Вестник»
за 1836—1838 гг.. . .»
Однако этого не произошло. После указанного письма
к Герлингу Гаусс прожил ещё одиннадцать лет, Лобачев-
ский—двенадцать, но никакого обмена письмами между
ними не состоялось. Об этом должен скорбеть биограф
Лобачевского, ибо Гаусс, восхищавшийся творчеством
Лобачевского, был, пожалуй, единственным человеком,
который мог разбить то действительно леденящее одино-
чество, в котором Лобачевский—по линии его геометри-
ческого творчества—прожил всю свою жизнь. Но эти
биографические моменты должны оставаться в сторс-
по от нашего изложения.
IV
Среди работ Лобачевского, не относящихся к геомет-
рии, имеется одна весьма интересная, близкая по сво-
ему содержанию к общей астрономической проблематике.
Название её: «О вероятности средних результатов, по-
лученных из повторных наблюдений». Статья напечатат а
в 1842 г. в журнале Крелля2).
В ней рассматривается вопрос о том, с какой вероят
ностыо можно ожидать, что при суммировании нескольких
величин, из которых каждая отягчена случайной погреш-
ностью, в сумме произойдёт та или иная компенсация этих
погрешностей.
Происхождение статьи таково: в работе «Новые начала
геометрии с полной теорией параллельных» имеются две
обширные главы —XII и XIII (Казанское издание тру-
г) Работа Лобачевского, которую упоминает здесь Гаусс—
«Геометрические исследования», изданные в Берлине в 1840 г.,—
вошла в 1-й том полного собрания сочинений Лобачевского (Гос-
техпздат, 1946).
2) Journal fur die reine und aivewandte Mathematik, 24. 1842.
стр. 164—170	?
ЛОБАЧЕВСКИЙ-АСГРОНОМ
157
дов, 1883 г., т. I, стр. 370—480) под названном: «Реше-
ние прямолинейных треугольников в употребительной
геометрии» и «Решение сферических прямоугольных тре-
угольников», в которых Лобачевский на множестве при-
меров, сопровождаемых подробными численными выклад-
ками, изучает вопрос о точности определения элементов
треугольников в зависимости от условий задания других
элементов. Всего рассмотрено более 40 различных слу-
чаев. При этом предполагается, что вычисления произво-
дятся с логарифмами и что логарифмы имеют погрешцость
в ’/-г единицы последнего (седьмого) знака. Но в одном
месте этого изложения (стр. 428), Лобачевский как бы
прерывает его и говорит: «Назначая точность вычисления,
мы предполагали все случаи неблагоприятными, тогда
как ошибки в их соединении могут быть одна другой
противными, следовательно частью по крайней мере
уничтожаться». Дальнейшие страницы этой работы
(стр. 428 438) и посвящены вычислению вероятности той
или иной компенсации этих случайных погрешностей;
именно эти страницы из работы «Новые начала геоме-
трии...» с некоторыми дополнениями и вариантами перешли
в статью «О вероятности средних результатов». Заметим,
что обе главы о треугольниках были напечатаны в 1838 г.
в «Учёных записках» Казанского университета; тогда же
Лобачевский послал в журнал Крелля и ту статью, кото-
рая появилась лишь четыре года спустя па страницах этого
журнала (см. М о д з а л е в с к и й, стр. 498). Насколько
нам известно, эта статья никем ещё не была комменти-
рована.
Таким образом, в этой статье Лобачевский решает
классическую задачу о вероятности отклонения суммы
случайных переменных от её среднего значения. Лаплас
посвятил этой проблеме важнейшие части «Аналитиче-
ской теории вероятностей» (1812). Но Лаплас делал здесь
переход к случаю бесконечного числа наблюдении; отсюда
он и вывел свой знаменитый закон «нормального распре-
деления». Лобачевский так не поступает. Он даёт фор-
мулу для вероятности данного результирующего откло-
нения суммы конечного числа случайных переменных.
«Лаплас,—говорит он, —в его Аналитической теории
158
it. И. ИДЕЛЬСОН
вероятностей занимался в сущности только случаем
очень большого числа наблюдений. При помощи чрезвы-
чайно сложных соображений и пользуясь всегда опреде-
лёнными интегралами, он пришёл к выражениям, вполне
совпадающим с теми, которые мы здесь только что
вывели»1). Свою формулу для любого конечного числа
наблюдений Лобачевский иллюстрирует таблицей для слу-
чая, когда это число тг = 1О; его численные результаты
представлены в первом столбце следующей таблицы:
Ло(*)
X	Формула Лобачев- ского	Формула Лапласа
1.0	1,000	1,000
0,9	1,000	1,000
0,8	1,000	1,000
0,7	1,000	1,000
0,6	0,999	0,999
0,5 0,4	0,995	0,994
	0,973	0,971
0,3	0,899	0,900
0,2	0,722	0,726
0,1	0,411	0,416
Значения Р10(я) представляют вероятность того, что
погрешность среднего из 10 наблюдений не выйдет
за пределы ± ж, если наибольшая погрешность каждого
наблюдения заключена в пределах ± 1. Отсюда Лобачев-
ский заключает, что вероятность компенсации погреш-
ностей не мала; например: «Можно поставить 18 против
7, —говорит он,—что ошибка в среднем не превысит
одной пятой той наибольшей ошибки, которой может
сопровождаться каждое отдельное наблюдение».
Действительно, при х = 0,2 имеем Р10 (х) = 0,72; поэтому
вероятность отклонения, не превышающего 0,2, отно-
сится к вероятности большего отклонения как 0,72 к 0,28,
или как 18 к 7. Заметим, что Лобачевский даёт свою
г) Journ. fOr die reine und angew. Malliem., 24, 1842,
стр. 169.
Лобачевский-астроном
159
таблицу с точностью до пяти знаков после запятой; про-
тив х-- 0,4 у него стоит 0,96179, тогда как в действитель-
ности должно быть 0,97295. Во втором столбце таблицы
мы приводим те же вероятности, вычисленные посред-
ством интеграла Лапласа, считая при этом сумму десяти
слагаемых случайной переменной, подчинённой закону
нормального распределения, со средним значением, рав-
ным нулю, и с дисперсией т) о2 = у. Поэтому нормиро-
х ,	7 ./"3
ванное уклонение t вычисляется по формуле t = к у =
= 0,5477 к (где к — 10,9, ... ,2,1). Найденное по этому
аргументу значение интеграла Лапласа нужно удвоить,
чтобы получить искомую вероятность. Результаты, най-
денные по формуле Лобачевского и посредством инте-
грала Лапласа, отличаются не очень значительно, как
видно из приведённой таблицы.
К этим теоретическим исследованиям Лобачевскиц
добавил в «Новых началах» (§ 165) несколько замечаний
практического характера; из них вытекает, что, говоря
о погрешностях наблюдений, он имел в виду, прежде
всего, наблюдения астрономические (он останавливается
здесь на «повторительных кругах» и на выгоде их «для
орудий малого размера»). Не была ли поэтому рассматри-
ваемая нами работа только частью некоего более обшир-
ного замысла: назначить вероятные ошибки тех опреде-
лений и тех выводов, которыми он пользовался в работе
1829 г. в своих построениях космической геометрии?
Или, быть может, Лобачевский только вновь возвращался
здесь к тем задачам повседневной практики астрономиче-
ских наблюдений и их обработки, к которым он был столь
близок в оставшиеся уже далеко позади годы преподава-
ния астрономии?
V.
В 1842 г. астрономы европейских стран могли с удоб-
ством наблюдать солнечное затмение утром 8 июля
(26 июня ст. ст.): полоса полной фазы прошла через
х) См. мою книгу «Способ наименьших квадратов», 1947,
стр. 252.
150
Н. И. ПДЕЛЬСОН
множество населённых пунктов в Италии, Франции, Авст-
рии, России, в том числе и через места расположения
обсерваторий, как, например, в Милане и в Вене. Пул-
ковская обсерватория, начавшая свою деятельность всего
на три года раньше этого события, выслала неболь-
шую экспедицию в Липецк1); к тому же директор её
В. Я. Струве выразил пожелание об организации наблю-
дений в Пензе, где продолжительность полной фазы была
значительная — около 3 минут.
Для этих наблюдений в Пензу направились из Казани
профессоры Лобачевский и Кнорр (физик) вместе с 22-лет-
ним астрономом-наблюдателем Казанской обсерватории,
учеником Лобачевского, Михаилом Васильевичем Ляпу-
новым 2).
В те времена ещё не были раскрыты основные эле-
менты физики Солнца; наблюдая затмения, астрономы
не понимали, нужно ли считать протуберанцы —эти
«красные горы», как иногда говорили, образованиями,
принадлежащими Солнцу или Луне; им было далеко
не ясно, что представляет собой солнечная корона. «Как
истолковать происхождение светлого кольца вокруг
солнца? Составляется ли венец этот собственно вокруг
солнца или вокруг луны, или гораздо ближе к нам,
в нашей атмосфере?» — таковы главные вопросы, которые
ставит Лобачевский в его весьма подробном и развёрнутом
«Отчёте» о полном солнечном затмении в Пензе 26 июня
(ст. ст.) 1842 г.3).
х) Отчёт о наблюдениях в России имеется в «Astronomische
Nachrichten», 20. 1843, стр. 227 (Липецк), стр. 73 (Дубно), стр. 355
(Семипалатинск).
2) Документы, относящиеся к Казанской экспедиции, при-
ведены в книге Модзалевского (стр. 439, 444, 447, 457, 459).
О М. В. Ляпунове (1820—18’8), отце знаменитого математика
А. М. Ляпунова, см. у Модзалевского на стр. 758.
8) Этот отчёт напечатан впервые в «Учёных записках» Казан-
ского университета, 1843, кн. III, стр. 51 — 83; перепечатан в книге
Модзалевского, стр. 463 — 478. Отчёт написан лобачевским дважды:
«Теперь я принимаюсь, — говорит он, — уже в другой раз за свой
отчёт о поездке в Пензу. Первый мой опыт сделался добычей пла-
мени в несчастный день для Казани 24 августа». (Об этом страш-
ном пожаре см. в книге В. Ф. Каган, «Лобачевский», 2-е изд.,
стр. 283.)
ЛОБАЧЕВСКИЙ-АСТРОНОМ
161
Лобачевский начинает этот отчёт с описания подго-
товки к наблюдениям в Пензе и самих наблюдений.
Погода им не благоприятствовала; во время полной фазы
Солнце было покрыто лёгкой завесой облаков. Тем
не менее впечатление осталось грандиозное:
«На месте дневного светила, когда последний его луч
исчез, явился тёмный круг, как само солнце, но теперь
уже чёрное, стояло на небе. В трепетном ожидании чего-то
неизвестного, в торопливом желании всё видеть, с опасе-
нием чего-нибудь не заметить, стояли мы, зрители,
среди призраков во мраке, с обращённым взором к потух-
шему солнцу, как обворожённые, постигнутые страхом
и беспокойством, вдохновенные чувством возвышенным
и торжественным»1).
От этих непосредственных впечатлений, для которых
он нашёл здесь проникновенные слова, Лобачевский пере-
ходит к изложению старинных наблюдений, начиная
с затмения 1567 г. 2). Он сообщает различные попытки
объяснить наблюдаемые явления и высказывает свои соб-
ственные соображения, полные глубоких мыслей о сущ-
ности физических теорий и, в частности, о трудностях,
с которыми сталкивается теория света.
Одно из этих мест мы приведём здесь®). «Систему
волнений (т. е. волновую теорию.—Я. И.) нельзя спра-
ведливо называть теорией, а только выражением тех
явлений, которые желают объяснить. Истинная теория
должна заключаться в одном простом, единственном
начале, откуда движение берётся, как необходимое след-
ствие, со всем своим разнообразием. Ещё Пуассон в письме
к Френелю (Annales de Ch. et de Ph., 1823, p. 170)
заметил несообразности, как скоро хотим итти далее тех
случаев, к которым теория волнений приспособлена.
Говорить о волнах, значит основывать всё суждение
г) Модзалевский, стр. 465.
2) Для сопоставления отчёта Лобачевского с различными
взглядами на явления, наблюдаемые при затмении, в 50-х годах
прошлого века, интересно прочитать в книге Ага go, Astronomie
Populaire, 1859, т. 3, главы о протуберанцах и короне (XIII и
3) М о д з а л е в с к и й, стр. 474.
И Историко-математ. исследование.
162
Н. II. ИДЕЛЬСОН
на том, что в строгом смысле не существует, подобно
тому, как мы говорим о линиях и поверхностях, тогда
как в природе находятся только тела х). Теория волнений
представляет верно некоторые законы в явлениях света,
но не даёт еще понятия, в чём существенность заклю-
чается...»
Несколькими строками далее у Лобачевского содер-
жится та любопытная — правда, выраженная в очень общей
форме — попытка объединить эмиссионную и волновую
теории света, которую отметил С. И. Вавилов в своей
книге о Ньютоне* 2).
Однако всё это относится уже к истории физики
и не подлежит дальнейшему развитию в настоящей статье.
VI
На последней странице последней работы Лобачев-
ского — это была «Пангеометрия», которую ослепший Лоба-
чевский в 1854 г. диктовал своему ученику Больцани —
мы опять сталкиваемся с вопросами геометрии мира,
с проблемой о возможности её поверки при помощи
астрономических наблюдений. Это были, таким образом,
последние мысли великого геометра. Но то, что мы читаем
на этой странице, далеко не ясно по содержанию и отнюдь
не продвигает нас дальше того, что было сказано Лоба-
чевским ровно за четверть века перед этим в его первой
опубликованной работе от 1829 г.3).
*) В «Новых началах геометрии» Лобачевский высказывал
ещё более общие соображения, которые считаем уместным здесь
отметить: «В природе мы познаём собственно только движение,
без которого чувственные впечатления невозможны». (Харьков-
ское издание, под редакцией Д. Синцова, 1912, стр. 13.)
2) Акад. С. И. Вавилов, Исаак Ньютон, 2-е изд., 1945, •
стр. 79.
8) «Пангеометрия» была опубликована в Казани в 1856 г.
одновременно на русском и французском языках. Оба текста
вошли в Казанское издание «Полного собрания сочинений по гео-
метрии Н. И. Лобачевского» (Казань, 1883 и 1886). Интересующее
нас место находится на стр. 549 — 550 и 679 — 680. Имеется также
немецкое издание в серии «Ostwald’s Klassiker» (№ 130) с коммен-
тариями II. Liebmann (Leipzig, 1902), Лобачевский снова имеет
ЛОБАЧЕВСКИЙ-АСТРОНОМ
163
Поэтому нам надлежит переходить к итогам.
Прежде всего, нужно с известной осторожностью гово-
рить о Лобачевском-астрономе. Так, в одной недавно
здесь в виду параллакс звезды, но теперь уже не по долготе, как
было в работе «О началах геометрии», 1829 (см. рассуждения
па стр. 148—149 и черт. 3), а по широте. Пусть (черт.4) Е — плоскость
эклиптики; Q- плоскость, проведённая перпендикулярно к Е через
S и центр земной орбиты, т. е. Солнце; Тх пТ2 — два диаметрально-
противоположные положения Земли в плоскости Q. Лобачевский
вводит геоцентрические широты звезды, определённые из поло-
жений 7\ и Т2; он обозначает их через л и р, и через 5— угол прп
звезде, под которым виден диаметр земной орбиты ТХТ2. «Если
углы л, р, S, — говорит он, — не удовлетворяют уравнению "л=р4-5,
то это будет знаком, что сумма трёх углов этого треугольника не
равна двум прямым углам». Но ведь угол при £ из наблюдений
непосредственно не определяется, так что этот критерий реального
значения иметь не может. Далее Лобачевский говорит: «Можно
так выбрать звезду, что 5 = 0... , тогда прямые от двух положений
земли к звезде могут считаться за параллельные». Но легко видеть,
что если бы угол 5 (это и есть параллакс по широте) был равен
нулю, то был бы равен нулю и параллакс по долготе, а, следова-
тельно, и тот угол р, который, как мы видели, в системе Лоба-
чевского всегда больше некоторой абсолютной постоянной (по
теореме первой). Поэтому очень трудно согласиться с этими по-
следними мыслями Лобачевского и следствиями, которые он из
них выводит.
11*
164
Н. II. ИДЕЛЬСОН
вышедшей—и, вообще говоря, превосходной — работе т)
встречаются такие указания: «В целях этого оправдания
(т.е. оправдания его геометрической системы.—Н.И.)... Лоба-
чевский производил астрономические наблюдения, кото-
рые не могли, однако, дать решающего результата, как
он считал вероятным, за недостаточной точностью инстру-
ментов» .
С такими соображениями не может согласиться
астроном.
Для того чтобы вести специальные наблюдения для
определения звёздных параллаксов, Лобачевскому надо
было бы ставить длинные ряды наблюдений и годами не
отходить от инструмента. Никаких следов таком его
деятельности пет и быть не может. А если бы он отложил
решение поставленной им проблемы до того момента,
когда конструкторы меридианных кругов создадут более
совершенные инструменты, то позиция его из той высокой
и безупречной, на которую его поставили три открытые
им теоремы, сделалась бы случайной и неуверенной;
но на неё он никогда и не становился. И ведь всего через
7 — 8 лет после работы Лобачевского от 1829 г. три астро-
нома-Бессель, Струве и Гендерсон* 2) дали уже более
точные значения четырёх звёздных параллаксов, полу-
ченные безупречными методами; этим они открыли новую
страницу в звёздной астрономии. Но эти результаты прин-
ципиально не имели уже для Лобачевского существен-
ного значения.
Так в чём же заключается важность и смысл для
астрономии тех построений Лобачевского, о которых
говорилось в нашем сообщении?
Та геометрия, т. е. те соотношения между отрезками
и углами, которые фактически имеют место в наблюдае-
мом мире, в космосе, те ли они самые, которые чело-
вечество тысячелетиями усваивало в обычной геометри-
9 В. Ф. К а г а и Великий русский учёный II. И. Лоба-
чевский и его место в мировой науке, Гостехпздат, 1948, стр. 56.
2) Бессель определил параллакс 61-й Лебедя 0",314 (совре-
менные определения—0",300); Струве —для Веги 0*,261 (совре-
менные определения — 0", 121) и Гендерсон — для * Центавра 0 "98
(современные —0",755) и Сириуса 0",31 (современные — 0",376).
ЛОБАЧЕВСКИЙ-АСТРОНОМ
165
ческой системе? Вот вопрос, которого до Лобачевского
никто не решал, пожалуй, даже и не ставил. Ибо то един-
ственное, что сделал в этом направлении Гаусс в его иссле-
довании треугольника, взятого из геодезических триангу-
ляций, не привело, как мы видели, ник каким результатам.
Лобачевский вывел геометрию на иные просторы и пер-
вый сформулировал эту проблему во всей её общности:
совпадает ли обычная геометрия с той, которая действует
на безмерных расстояниях Вселенной? II он нашёл ответ
в виде двух положений. Первое — что такое совпадение
отнюдь не обязательно, потому что наряду с обычной
геометрией имеет такое же право па космическую значи-
мость и та система геометрии, которую он раскрыл перед
человечеством. Второе—что даже в грандиозных протя-
жениях Вселенной, в пределах звёздной системы и па
расстоянии ближайших звёзд, обычная геометрия почти
сливается с его собственной геометрической системой;
дефекты треугольников, как он показал, ещё очень малы;
поэтому методами измерения звёздных параллаксов во-
прос до конца не решается; это ему сделалось очевидным,
и в этом смысл его слов: находится или нет в природе
построенная им система геометрии, «никто сказать не
в состоянии». Но он не сказал, что решения нельзя будет
найти иными путями, и в других своих работах высказы-
вал даже убеждение в том, что «в пашем уме не может
быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что
некоторые силы в природе следуют одной, другие своей
особой Геометрии».
Поэтому мы можем лишь утверждать, что после Лоба-
чевского вопрос об истинной геометрии физического
мира остался открытым. Лобачевский только оставил
в мыслящем человечестве законные сомнения в этой
капитальной проблеме* 2).
х) «Новые начала геометрии», Харьковское издание Д. Син-
цова, 1912, стр. 13.
2) С этой точки зрении теряют всю свою остроту слова
П. С. Александрова в его статье о Лобачевском («Люди Русской
Науки», т. I. Гостехпдзат, 1948, стр. 95): «Вопрос о том какая
геометрия осуществляется в физическом мире, не имеет тог пенс
166
II. И. ПДЕЛЬСОН
Но с этого момента в истории человеческой мысли
началась новая эпоха, и для астрономии было созда-
но положение науки, могущей сказать своё слово в ре-
шении этих фундаментальных вопросов человеческого
знания.
Вот почему Лобачевский —астроном. И сомнения, им
заброшенные, никогда уже не исчезали в астрономии.
Не останавливаясь здесь на многих интересных момен-
тах г), я хочу только напомнить, какое волнение охва-
тило научные круги в 20-х годах нашего века, когда
от астрономических экспедиций, посланных в Собраль,
в Бразилию, для наблюдения полного солнечного затме-
ния 29 мая 1919 г., ожидали ответа на вопрос, какова
геометрия в поле тяготения вокруг Солнца: обыкновен-
ная или некоторая иная, и когда, повидимому, было
окончательно решено, что иная.
Кто же был первый провозвестник этой новой док-
трины, первый глашатай того высокого и всеобщего уче-
ния, которое показало нам, что материя — отнюдь не
гость в бесконечных пустынях пространства, но что ею
творится и самая геометрия мира? * 2) Мне думается, мы
вправе признать, что этим провозвестником был Лобачев-
ский, несмотря на то, что он шёл другими, более про-
стыми и скромными путями, и иначе не мог бы итти в его
эпоху.
Вот почему я решаюсь повторить: Лобачевский —
великий астроном. Вот почему из бездонных глубин его
мысли человечество ещё долго будет черпать силы к по-
строению науки о мире и природе. Для пас же, в нашем
средственного наивного смысла, который ему придавался во вре-
мена Лобачевского». К тому же для истории науки «наивность»
Лобачевского есть как раз то, что называется героизмом.
х) Особенно важна статья С. Schwarzschild, Ueber
das zulassige KriimmungsmaB des Raumes (Шварцшильд,
О допустимой кривизне пространства), помещённая в V. J. S. d.
Astr. Ges., Bd. 35, 1900, стр. 337.
2) По всей проблематике, связанной с так называемой общей
теорией относительности, мы придерживаемся принципиальных
концепций акад. В. А. Фока, изложенных, между прочим, в его
об недоступной статье «Система Коперника и система Птолемея
в свете общей теории относительности» (в Сборнике «Николай
Коперник», изд. АН СССР 1947, стр. 180—186).
ЛОБАЧЕВСКИЙ- \ СТРОНОМ	167
служении советскoil науке, он весь остаётся воплощён-
ным в том призыве, который он высказал в своей «Речи
о важнейших предметах воспитания»1) и который повто-
рил однажды Владимир Андреевич Стеклов2) всё на ту же
тему о торжестве человеческого разума. Ибо Лобачев-
скин писал 120 лет назад: «Спрашивайте природу, она
хранит все истины и на вопросы ваши будет отвечать
вам непременно и удовлетворительно»...
0 М о д з а л е в с к и й, стр. 323.
2) В. А. Стекло в, Теория и практика в исследованиях
II. Л. Чебышева (изд. АН СССР, 1921, стр. l‘j).
ПЗ ИСТОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И РАЗВИТИЯ
ИДЕИ Н. II. ЛОБАЧЕВСКОГО в 60—70-х годах
XIX СТОЛЕТИЯ
Э. К. Хилъкевич
1. Введение
Процесс начального развития идей Лобачевского,
особенно бурно проходивший в конце 60-х и начале 70-х го-
дов, был процессом острой и напряжённой борьбы между
прогрессивными и реакционными деятелями математиче-
ской науки. Изучение истории этой борьбы предста-
вляет большой научный и общественный интерес. На фоне
ошибочной аргументации противников идей Лобачевского
особенно ярко вырисовывается прогрессивная и ведущая
роль Лобачевского и её мировое значение.
Борьба мнений вокруг идей Лобачевского неизбежно
переходила в борьбу мнении по философским основам
математики. Весьма характерно, что в числе противников
Лобачевского в раннем периоде развития его идей имелись
ярко выраженные кантианцы. Никто из прогрессивных
математических деятелей той эпохи не мог ещё подняться
до уровня мировоззрения диалектического материализма.
Тем не менее в ряде случаев борьба вокруг наследия
Лобачевского была по существу борьбой между мате-
риалистическими тенденциями прогрессивных деятелей
и более или менее последовательным идеализмом реак-
ционных учёных.
Известно, что прогрессивная роль идей Лобачевского
обусловливалась их материалистической направленно-
стью. Лобачевский твёрдо и последовательно проводил
РАСПРОСТРАНЕНИЕ II РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 169
мысль, что «первыми данными без сомнения будут всегда
те понятия, которые мы приобретаем в природе посред-
ством наших чувств»1), что «первые понятия, с которых
начинается какая-нибудь наука, ... приобретаются чув-
ствами; врождённым — не должно верить»2).
В качестве критерия истины Лобачевский указывал
на опыт, па практику измерении в реальном физическом
пространстве. Он говорил: «Всем известно, что в гео-
метрии теория параллельных до сих пор оставалась
несовершенной. Напрасное старание со времён Евклида,
в продолжение двух тысяч лет, заставило меня подозре-
вать, что в самых понятиях ещё не заключается топ
истины, которую хотели доказывать и которую поверить,
подобно другим физическим законам, могут лишь опыты,
каковы, например, астрономические наблюдения»3).
В последнем своём сочинении «Пангеометрия», касаясь
евклидовой теоремы о сумме углов треугольника, Лоба-
чевский указал две причины законности этой теоремы:
1) «не встречают никакого противоречия в заключениях,
которые отсюда выводятся» и 2) «измерение углов в прямо-
линейных треугольниках согласуется в пределах ошибок
самых точных измерений с этой теоремой»4).
В конце упомянутого сочинения Лобачевский ещё раз
возвращается к этому вопросу. «Принятое в обыкновенной
геометрии явно пли скрытно предположение, что сумма
трёх углов всякого прямолинейного треугольника по-
стоянна, не есть необходимое следствие наших понятий
о пространстве. Один опыт только может подтвердить
истину этого предположения, например, измерение на
самом деле трёх углов прямолинейного треугольника,
измерение, которое может быть произведено различным
образом».
Лобачевский решительно отмежевался от учения Канта
о врождённых категориях и нанёс тяжёлым удар кантов-
ской философии, согласно которой евклидова геометрия
J) II. II. Лобачеве к и и, Полное собрание сочинений
ио геометрии, Казань, 1883 г., стр. 231.
2) Там же, стр. 2.
8) Там же, стр. 219.
4) Там же, стр. 490.
170
Э. К. ХИЛЬКЕВИЧ
единственно возможна, и истины её якобы обладают
априорной очевидностью.
В педагогической деятельности Н. И. Лобачевского
мы видим ту же материалистическую направленность1).
Педагоги-идеалисты придавали опыту пассивно-созерца-
тельный характер. У Лобачевского же принцип нагляд-
ности приобретает глубоко действенный характер. В «На-
ставлениях учителям математики в гимназиях»2 3 * * * *) Лоба-
чевский писал: «всё должно быть у ученика под паль-
цами и перед глазами». В ряде указаний Лобачевского
достаточно ясно вырисовывается, что на первый план
он выдвигал не представления о мире, а самый мир, как
объективно существующую реальность. Говоря о целях
обучения, Лобачевский указывал, что «математике должно
учить в гимназиях ещё и с той целью, чтобы познания,
здесь приобретаемые, были достаточны для обыкновен-
ных потребностей в жизни».
Прогрессивные начала, положенные Лобачевским в
основу разработанного им учения неевклидовой гео-
метрии, оказали чрезвычайно большое влияние на раз-
витие математики, но открытие Лобачевского оставалось
почти незамеченным до 60-х годов XIX столетия.
60—70-е годы XIX столетия были периодом возро-
ждения неевклидовой геометрии. В 1860—1863 гг. была
опубликована переписка Гаусса с Шумахером, в которой
Гаусс одобрял работы Лобачевского. Смешно было бы
приписывать именно этому обстоятельству решающее
значение в возрождении геометрии Лобачевского, однако
и этот факт имел определённое значение. Сторонники
Лобачевского считали в то время выгодным опереться
на авторитет Гаусса8).
г) См. статью В. М. Нагаевой «Н. И. Лобачевский как дея-
тель просвещения», Труды Института истории естествознания,
т. III, изд. АН СССР, 1949.
2) Труды Института истории естествознания, т. II, изд. АН
СССР, 1948 г.
3) Трудно предположить, чтобы все западно-европейские мате-
матики, вставшие на сторону Лобачевского, узнали о Лобачевском
только из переписки Гаусса: ведь две работы Лобачевского были
опубликованы в западно-европейской печати, причём одна из
них—в весьма распространённом журнале Крелля. Но вполне
I* АСШ OC'l 1’АНЕНПЕ II РА; ВИТИЕ ИДЕИ ЛОБАЧЕВСКОГО 171
В 60 и 70-е годы Гуэль во Франции, Баттальини,
Бельтрами и Форти в Италии, Бальтцор, Фришауф, Клсйи
и другие в Германии сплотились под знаменем, подня-
тым в 20-х годах Лобачевским, стали энергичными про-
пагандистами прогрессивных идей Лобачевского и дали
им дальнейшее развитие.
В России отдельные сторонники Лобачевского выска-
зывали одобрение его трудам и до 60-х годов. Их голоса
постепенно крепли, по мере того как развитие пауки
приносило всё новые и новые доказательства огромного
значения идеи Лобачевского. К 90-м годам XIX столетия
усилиями сторонников Лобачевского авторитет вели-
кого геометра был незыблемо утверждён в науке. К100-лет-
нему юбилею со дня рождения знаменитого казанца,
после учреждения международной премии имени Лобачев-
ского, признание научных заслуг гениального русского
геометра было всеобщим.
2. Возрождение идей Лобачевского в России
Существует мнение, что оценка открытий Лобачев-
ского сложилась в России лишь после того, как они были
признаны в Западной Европе. Мнение это безусловно
неверно. На Западе Н. И. Лобачевский получил общее
признание в 60—70-х годах XIX столетия. Между тем
документы устанавливают, что задолго до этого в России
было оказано не мало внимания научным заслугам Лоба-
чевского, причём было предугадано и торжество его идей.
31 мая 1842 г. профессор математики Казанского уни-
верситета П. И. Котельников выступил с речью «О пре-
дубеждениях против математики», напечатанной в «Обо-
зрении преподавания Казанского университета на 1842—
1843 уч. год» (Казань, 1842 г.). В этой речи он указывал:
«Тысячелетние тщетные попытки доказать со всей матема-
тической строгостью одну из основных теорем геометрии—
естественно предположить, что не одни Гаусс испытывал страх
перед публичными выступлениями об открытии Лобачевского.
Письма Гаусса, опубликованные после его смерти, помогли преодо-
леть нерешительность, прервали молчание и привлекли внимание
математиков к новой геометрии.
172
Э. К. ХИЛЬКЕВИЧ
равенство суммы углов в прямолинейном треугольни-
ке двум прямым—побудило достопочтенного заслужен-
ного профессора нашего университета (г-на Лобачевского)
предпринять изумительный труд — построить целую нау-
ку, геометрию, на новом предположении: сумма углов
в прямолинейном треугольнике менее двух прямых,—
труд, который рано или поздно найдёт своих ценителей»...
П. И. Котельников был выдающимся учёным и ближай-
шим товарищем Лобачевского по работе в Казанском
университете. Он был деканом физико-математического
факультета, членом строительного комитета и много
помогал Лобачевскому в управлении университетом.
Слова П. И. Котельникова показывают, что он понял зна-
чение идей Лобачевского и предугадал их последующий
успех.
П. И. Котельников был безусловно знаком с сочи-
нениями Лобачевского и не только оценил их в науч-
ном отношении, но и подверг критике ясность их из-
ложения: Ф. М. Суворов в своих «Воспоминаниях
о П. II Котельникове»1) писал, что Котельников упре-
кал Лобачевского в том, «что геометрические теории
последнего остаются непонятными только по недостатку
ясности изложения».
Киевский профессор Э. А. Кнорр, хотя и не соглашался
с «Воображаемой геометрией», но в 1849 г. писал: «Дей-
ствительно нужна необыкновенная свобода духа, чтобы
такое исследование, при котором всегда некоторое вну-
треннее чувство противится допустимости первоначаль-
ного предположения, провести так, как это сделал Лоба-
чевский» (Модзалевский, стр. 530—531)2).
Некролог о Н. И. Лобачевском, напечатанный в Казан
ских Губернских Ведомостях 20 февраля 1856 г., закан
чивается словами: «Труды и заслуги его (Лобачевского.—
Э. X.) в области науки, составляющие достояние летопи-
9 Собрание протоколов заседаний секции физико-математи-
ческих наук общества естествоиспытателей при Казанском уни-
верситете. Том IV, Казань, 1886.
9 Здесь, как и в других случаях, подобная запись означает
ссылку на книгу: Л. Б. Модзал свски й. Материалы для
биографии II. II. Лобачевского, Изд. АН СССР, 1948,
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 173
сей учёного мира, без сомнения, не замедлят найти достой-
ного ценителя» (Модзаленский, стр. 570). В этих словах
предугадано то мощное научное течение, которое было
порождено трудами Лобачевского и всколыхнуло через
десять лет научную мысль.
Большое значение имеет для истории признания Лоба-
чевского рецензия неизвестного автора, опубликован-
ная в 1856 г. в октябрьском выпуске «Отечественных
записок».
Имея возражения против «Воображаемой геометрии»,
весьма, впрочем, корректно выраженные, автор писал:
«На способ Лобачевского можно сделать множество
подобных возражений; но, несмотря на то, рассуждение
его весьма любопытно в том отношении, что показывает
тесную связь между всеми математическими истинами,
располагаемыми или синтетически, то-есть начиная с про-
стейших и восходя до возможно сложных, или аналити-
чески, нисходя от сложных к простейшим»... «Все части
геометрии равно достоверны, каждая теорема может слу-
жить как начальное определение, из которого ряд след-
ствий составит ту же геометрию, только в новом порядке
предложений» (Модзалевский, стр. 578 — 581).
Нам кажется, что в этих словах до некоторой степени
предугадано создание Лобачевским предпосылок для раз-
вития аксиоматического метода. Одной из целей многих
аксиоматических исследований как раз и было отыскание
логических связей между отдельными предложениями,
а в изысканиях различных авторов одно и то же пред-
ложение являлось то аксиомой, то теоремой.
В высшей степени интересна в истории распростране-
ния и развития идей Лобачевского деятельность казан-
ского математика Ф. М. Суворова. Ф. М. Суворов был
активнейшим и просвещённым сторонником Лобачев-
ского. Он выступил с серьёзной работой, посвящённой
развитию идей Лобачевского, на самой заре возрожде-
ния неевклидовой геометрии.
Магистерская диссертация Ф. М. Суворова «О характе-
ристиках систем трёх измерений» была напечатана в 1871 г.
в седьмом томе «Учёных записок» Казанского универси-
тета. Писалась же она, повидимому, в 1869 —1870 гг.
174
Э. К. XИЛЬКЕВИЧ
(а частично, быть может, и ранее). Во всяком случае,
в диссертации имеются ссылки на работы, опубликован-
ные в 1868 г., и упоминаются работы Христофеля и Кроне-
кера, опубликованные в 1869 г. Заключение о магистер-
ской диссертации Ф. М. Суворова давал профессор
Е. П. Янишевский Х).В основу работы Ф. М. Суворова поло-
жен замысел найти функции от коэффициентов метрической
формы, инвариантные относительно преобразований ко-
ординат. Таких инвариантов для систем трёх измерений
должно быть три; Ф.М. Суворов находит их и называет
характеристиками систем трёх измерений* 2).
Дальнейшее развитие дифференциальной геометрии
перекрыло, конечно, магистерскую диссертацию Суво-
рова. Однако для истории рассматриваемого нами вопроса
работа Суворова имеет значение. Опа подтверждает, что
в конце 60-х годов XIX столетия в России были матема-
тики, занимавшиеся активной разработкой наследия Лоба-
чевского. Суворов в своей работе правильно понял совре-
менное ему состояние геометрии и задачи её дальней-
шего развития.
Он правильно понял, что в геометрии Лобачевского
нет подобных фигур, и поэтому нельзя на небольшом
чертеже изобразить фигуру больших размеров, не подвер-
гая её такому искажению, при котором сразу обнаружи-
вается расхождение между чертежом и тем, что он дол-
жен выражать3).
«Лобачевский показал, — пишет Суворов,—что в пре-
делах погрешностей измерений его геометрия настолько же
удовлетворяет опыту, как и геометрия Евклида. Правда,
т) «Учёные заппски» Казанского университета, том VII, 1871.
стр. 340—342.
2) Как известно, этой задачей в более общем виде занимался
Хрпстофель. Работа Христофеля «Ueber die Transformation der
homogenen Differentialausdrilcke zweiten Grades» была опублико-
вана в 70 томе журнала Крелля в 1869 г. Суворов упоминает
об этой статье, но трудно сказать, знал ли он результаты Христо-
феля, относящиеся к общему случаю, до того, как получил свои
результаты, относящиеся к пространствам трёх измерений, или же
он познакомился с ними после окончания своей работы.
3) Академик В. Я. Буняковский не обратил должного внима-
ния на это обстоятельство.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕИ ЛОБАЧЕВСКОГО 175
что для нас, привыкших распространять представления,
полученные при наблюдении величин конечных, на вели-
чины бесконечно-большие и бесконечно-малые, многие
теоремы Лобачевского кажутся нелепыми. Но эта кажу-
щаяся нелепость происходит от нашего стремления изо-
бразить чертежом все результаты, даваемые геометрией
Лобачевского; между тем как для изображения их тре-
буются чертежи бесконечно-большие» (стр. 5).
Отвергнув, таким образом, одно из обвинений, выдви-
гавшихся против геометрии Лобачевского, Суворов тот-
час разбирает другое обвинение.
«Если геометрия Евклида справедлива в пределах
опыта и даёт зависимость между измеряемыми величи-
нами проще, нежели какая-либо другая геометрия, на-
пример, Лобачевского, то предвидится ли какая польза
в построении этих новых геометрических систем»,—
ставит вопрос Суворов и даёт на него следующий ответ.
«Геометрии, построенные на началах, не существую-
щих действительно для пространства, могут удовлетво-
рить другой какой-либо беспредельной системе1), полу-
чить, следовательно, реальное значение и доставить
ничем не меньшую пользу той, какую доставляет нам
геометрия Евклида, в предположении, что гипотезы,
в ней принятые, удовлетворяют системе — пространству.
На основании этого я полагаю, что изучение систем, от-
личных от системы Евклида, не может быть названо
праздным занятием» (стр. 7).
Суворов совершенно правильно отметил, что резуль-
таты, полученные Бельтрами, были подготовлены как
самим Лобачевским, так и Миндингом (стр. 20 — 21).
Позднее мы скажем об этом более подробно.
Суворов ясно понимал преемственную связь между
учением Лобачевского и учением Римана и справедливо
полагал, что в свете исследований Римана блестяще
вырисовывается правота гениального казанского гео-
метра. Суворов прямо ставил перед собой задачу восполь-
зоваться геометрией Римана для пропаганды идей
!) Суворов приводит пример Гельмгольца о цветах окраши-
вания.
17G
О. К. ХИЛЬКЕВИЧ
Лобачевского: «Я постараюсь,—писал он,—воспроизвести
здесь с возможной ясностью идеи Римана, после чего тео-
рия Лобачевского сделается совершенно ясной, и ока-
жется гениальность человека, на 30 лет опередившего
современников» (стр. 24).
В самом конце своей диссертации Ф. М. Суворов,
пытаясь объяснить причину долгого непонимания трудов
Лобачевского, сделал верный прогноз дальнейшего раз-
вития пауки, которое может привести и, как мы знаем,
действительно привело к необходимости использовать
обобщённую геометрическую систему: «Отсюда и про-
изошло столь долгое непонимание системы Лобачевского,
потому что в ней доискивались сущности пространства,
а не метода, который с развитием экспериментальных
наук, когда евклидова геометрия окажется недостаточ-
ной для объяснения наблюдаемых явлений, может доста-
вить неоценимую практическую пользу» (стр. 114).
Не касаясь здесь вопроса о дальнейшей деятельности
Ф. М. Суворова, отметим лишь, что в 90-х годах мы видим
его среди активнейших инициаторов проведения 100-лет-
него юбилея со дня рождения И. И. Лобачевского. Будучи
вице-президентом Казанского физико-математического об-
щества, профессор Ф. М. Суворов принял также деятель-
ное участие в работе комитета по образованию фонда
имени II. И. Лобачевского и учреждению международной
премии за лучшие сочинения по математике, посвящён-
ные дальнейшему развитию идей Лобачевского1).
Таким образом, в Казани и при жизни Лобачевского
и после его смерти были учёные, знакомые с его трудами,
почитавшие его гениальную одарённость и предугады-
вавшие то значение, какое получили впоследствии его
работы. Некоторые из этих учёных стали активными про-
пагандистами учения Лобачевского и стремились раз-
вивать его идеи далее.
Знаменитый русский химик, питомец Казанского уни-
верситета, А. М. Бутлеров в 1878 г. писал: «Другие
г) В 80-х годах Ф. М. Суворов опубликовал интересную ста-
тью «О некоторых приложениях формул воображаемой геометрии»
(«Известия Казанского Физико-математического общества», Ка-
зань, 1883 г.).
РАСПРОСТРАНЕНИЕ II РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 17?
труды Лобачевского отошли ныне на второй план, а «вооб-
ражаемая геометрия» заняла прочное и почётное место
в истории пауки... Ясно, что Лобачевскому вполне при-
надлежит честь самостоятельного входа в новую область,
и мы, русские, во всяком случае вправе гордиться име-
нем глубокого мыслителя»... (Модзалевский, стр. 631 —
632).
Нет никакого сомнения, что понимал значение Лоба-
чевского и московский профессор А. В. Летников, опу-
бликовавший в 1868 г. в «Математическом сборнике»
перевод «Геометрических исследований» Лобачевского.
Академики М. В. Остроградский и В. Я. Бупяковскпй
не содействовали распространению и признанию идей
Лобачевского в России. Это обстоятельство, очевидно,
не могло не сковывать часть русских сторонников Лоба-
чевского. Однако следует отметить, что В. Я. Буняков-
ский, ни слова не сказавший о Лобачевском в известном
своём сочинении «Параллельные линии», посвятил Лоба-
чевскому в 1872 г. специальный мемуар. В этом мемуаре,
которого мы ещё коснемся, В. Я. Буняковскпй пытался
опровергнуть геометрию Лобачевского, но всё же с ува-
жением отнёсся к имени Лобачевского и очень лестно
отозвался о его математическом даровании.
Нужно полагать, что дальнейшие исследования рас-
кроют более полно историю признания идей Лобачев-
ского в России в период, предшествовавший началу
активной пропаганды этих идей за границей. Нои указан-
ных здесь фактов достаточно для того, чтобы утверждать,
что высшая для XIX в. точка подъёма в деле признания
научных заслуг Лобачевского, достигнутая в России
к 1893 г., была обеспечена усилиями многих русских
почитателей математического гения Лобачевского. Эти
почитатели существовали еще в 40 — 50-х годах XIX сто-
летия, и количество их постепенно нарастало.
Что касается отношения к Лобачевскому академиков
М. В. Остроградского и В. Я. Буняковского, то вкратце
оно таково.
Несмотря на то, что М. В. Остроградский был передо-
вым учёным, он не понял и поэтому не оценил открытия
Лобачевского. В своей рецензии 1832 г. на сочинение
12 Историко-математ. исследования
178
Э. К. ХИЛЬКЕВИЧ
Лобачевского «О началах геометрии» (Модзалевский,
стр. 331—337) Остроградский несправедливо полагал,
что «автор, невидимому, задался целью писать таким
образом, чтобы его нельзя было попять». «Он достиг этой
цели,—писал далее Остроградскпй, — большая часть кни-
ги осталась столь же неизвестной для меня, как если бы
я никогда не видел её». Действительно, для того чтобы
понять сочинение Лобачевского, нужно было затратить
больше времени и сил, чем этого хотел Остроградскпй.
В вычислениях Лобачевского Остроградский усмотрел
ошибку и заявил, что значение одного интеграла найдено
Лобачевским неверно. Академик А. Н. Колмогоров
в докладе Московскому математическому обществу 28 сен-
тября 1948 г. показал, что интеграл этот вычислен Лоба-
чевским правильно и что, следовательно, Остроградский
ошибся. Подробно этот вопрос изложен во втором изда-
нии замечательной книги В. Ф. Кагана «Лобачевский»
(стр. 245 — 265). Там же весьма подробно освещена исто-
рия пасквильной рецензии на книгу «О началах гео-
метрии», напечатанной в 1834 г. в журналах «Сын Отече-
ства» и «Северный архив».
Не оказался на высоте положения в правильном пони-
мании идей Лобачевского и академик В. Я. Буняковский
в своём мемуаре «Рассмотрение некоторых странностей,
имеющих место в построениях неевклидовой геометрии»1).
Ошибка Буняконекого заключалась в следующем. Он
полагал, что истинность пятого постулата следует из
свойств прямой линии. На основе сформулированного
им определения прямой линии он разработал доказатель-
ство пятого постулата, которое казалось ему безупреч-
ным. В вопросе же о законности геометрии Лобачевского
он хотел положиться на «показания наших чувств» и на
ряде чертежей стремился обнаружить противоречие ме-
жду нашими наглядными представлениями и конструк-
тивными особенностями геометрии Лобачевского. При
этом он пользовался такими средствами изображения,
*) V. Bouniakowsky, Considerations sur quelques sin-
gularity qui se prosentent dans les constructions de la Geometrie
non-euclidienne (Memoires Г Academic imperiale des Sciences de
St.-Petersbourg. том XVIII, № 7, 1872).
РАСП1ОСТРДНЕНИЕ U РАЗВИТИЕ ИДЕИ ЛОБАЧЕВСКОГО ГД}
которые подходят для предельного случая геометрии
Лобачевского, т. е. для евклидовой геометрии, но не под-
ходят для объектов Лобачевского в пх бесконечной про-
тяжённости1). Кроме того, он неверно истолковал опре-
деление параллелизма Лобачевского и, называя парал-
лельными в смысле Лобачевского расходящиеся прямые,
представил некоторые факты геометрии Лобачевского
неполно и неточно. Буняковский оказался во власти на-
ивного эмпиризма, в плену чертёжной графики, подсказы-
вавшей привычные наглядные представления, и не заметил
перехода геометрии на высшую ступень абстракции.
Нельзя здесь не отметить, что еще при жизни Лоба-
чевского в России, в Юрьевском университете, жил
и работал учёный Ф. Г. Миндинг (1806 —1885), сыгравший
существенную роль в развитии идей Лобачевского и в под-
готовке решающих результатов дифференциально-метри-
ческого характера. Ф. Г. Миндинг большую часть своей
трудовой жизни провёл в Юрьеве. В течение 40 лет (1843 —
1883) он был профессором Юрьевского университета.
Будучи одним из наиболее выдающихся математиков
сврего времени, Миндинг в 1864 г. был избран членом-
корреспондентом, а в 1879 г. почётным членом Россий-
ской Академии Наук. Много своих работ он печатал
в Петербурге, в изданиях Академии.
Исследования по теории поверхностей Миндинг начал
сразу после опубликования в 1827 г. мемуара Гаусса
«Общие исследования кривых поверхностей». В своих
работах Миндинг разрешил задачу об условиях, необ-
ходимых и достаточных для наложения поверхностей,
а также рассмотрел ряд вопросов теории поверхностей
постоянной кривизны. В двадцатом томе журнала Крелля
(1840 г.) была напечатана небольшая статья Миндинга
«Beitrage zur Theorie der kiirzesten Linien auf krummen
Flachen», в которой он указывает важный результат, легко
вытекающий из его предыдущих работ:
«Из того, что на каждой поверхности постоянной
положительной кривизны для сторон и углов треуголь-
*) Выше мы отмечали, что это обстоятельство было отлично
понято казанским магистрантом Ф. М. Суворовым.
12*
iso
э. К. ХиЛЬКЕВПЧ
лика, образованного кратчайшими линиями, действи-
тельны формулы сферической тригонометрии, следует
тотчас..., что каждая поверхность такого рода может
быть наложена на сферу. Если кривизна отрицательна,
то действительны те же формулы с тем изменением, что,
вместо круговых функций, войдут гиперболические.
А именно, если а, Ъ, с— стороны треугольника, А —угол,
лежащий против стороны а, и к — постоянная кривизна,
всё равно положительная или отрицательная, то легко
доказать справедливость такого уравнения:
cos a k = cosb к cos с V л+
+ sin6J к sin с У к cos 4...». (1)
Миндипг ничего не добавил к этому, так как всё осталь-
ное ясно само собою. Пусть А—— 1. Тогда из формул
Эйлера следует, что
cos ni = ch п и sin ni = у- sh п.
Благодаря этому, из предыдущей формулы получается
зависимость между сторонами треугольника, образован-
ного геодезическими линиями на поверхности с постоян-
ной кривизной к^= — 1 в таком виде:
ch а = ch b ch с— slid she cos А.	(2)
В настоящее время этот результат излагают часто
в том смысле, что Миндинг получил формулу (2), умножив
на i стороны в соответственной формуле сферической
тригонометрии, что, по нашему мнению, несколько зату-
шёвывает общность результата Миндинга, выраженного
им в формуле (1).
В 1829 —1840 гг.Миндинг напечатал в томах 5 — 20 жур-
нала Крелля около 20 статей по вопросам теории поверх-
ностей. На этом основании можно безошибочно сказать,
что журнал Крелля был для Миндинга изданием весьма
близким. Мог ли Миндипг не заметить французский
текст «Воображаемой геометрии» Лобачевского, напечатан-
ный в четвёртой тетради 17-го тома журнала Крелля
в 1837 г.? Нам кажется, что не заметить работу Лобачев-
ского Миндинг не мог. Если он чцтал её, то он видел там,
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕИ ЛОБАЧЕВСКОГО 181
что умножением сторон сферического треугольника на
— 1 Лобачевский переводил формулы сферической
тригонометрии в формулы воображаемой геометрии
(Н. И. Лобачевский, Полное собрание сочине-
ний по геометрии, Казань, 1883 г., стр. 586). И тог-
да, безусловно, Миндинг мог быть подготовлен к мы-
сли о связи между геометрией Лобачевского и гео-
метрией поверхности постоянной отрицательной кри-
визны. То обстоятельство, что сам Миндинг явно но
сказал об этом, свидетельствует лишь о той сдержанности,
с какой учёный мир вообще встретил смелое открытие
Лобачевского. Так или иначе, но сопоставление формул
(1) и (2), произведённое Миндингом после опубликования
Лобачевским в журнале Крелля аналогичного сопоста-
вления, позволяет поставить вопрос о приоритете Мин-
динга в том открытии, которое приписывается Бельтрами.
Между прочим, Бельтрами в своей работе «Опыт объяс-
нения неевклидовой геометрии» прямо ссылается па заме-
чание Миндинга о связи между формулами сферической
тригонометрии и формулами геодезических линий псевдо-
сферы.
Остаётся глубоко пожалеть о том, что Лобачевский,
невидимому, не обратил внимания на цитированную
здесь статью Миндинга. Если бы Лобачевский внима-
тельно прочёл эту статью, опубликованную за 16 лет
до его смерти, он, конечно, увидел бы в пей то, о чём он
так мечтал: осуществление своей геометрии, а именно
осуществление её па поверхностях постоянной отрица-
тельной кривизны. В эпоху Лобачевского не было широ-
кого научного общения между отдельными университе-
тами России. Это исключило возможность встречи и плодо-
творного сотрудничества между казанским гением и талант-
ливым юрьевским геометром.
Во введении к цитированной нами диссертации Ф. М.Су-
ворова автор, воспроизведя с некоторыми изменениями
вычисления Бельтрами, констатирует вместо с последним:
«Итак, зависимость между частями треугольников, обра-
зованных геодезическими линиями па поверхности с по-
стоянной отрицательной кривизной, тождественна с зави-
симостью, выходящей из теории Лобачевского». Вслед
182
Э. К. ХИЛЬКЕВИЧ
за этим Ф. М. Суворов делает замечание: «Это могло бы
быть известным давно, гораздо ранее появления мемуара
Бельтрами, если бы кто сопоставил замечание Лобачев-
ского, что формулы его теории переходят в формулы сфе-
рической геометрии, когда аргумент тригонометриче-
ских функций сторон треугольников примем мнимым,—
с замечанием Миндинга, что формулы сферических тре-
угольников обращаются в формулы для геодезических
треугольников поверхностей с постоянной отрицательной
кривизной, прилагая множитель]/ — 1 к отношениям сто-
рон к радиусу и оставляя углы неизменными,—изменяя,
таким образом, круговые функции сторон в гиперболиче-
ские».
Таким образом, от русских сторонников Лобачевского
не укрылось то обстоятельство, что первый существенный
результат в развитии идей Лобачевского был подготовлен
самим Лобачевским и Миндингом настолько, что требо-
валась лишь некоторая внимательность для того,* чтобы
сделать соответствующий вывод.
3. Мемуар академика В. Я. Буняковского
о геометрии Лобачевского
В то самое время, когда Лобачевский энергично за-
нимался пропагандой своего учения’, в России жил и рабо-
тал видный математик, уделявший немало своих сил
вопросу, чрезвычайно близкому к изысканиям Лобачев-
ского, а именно: пятому постулату Евклида. Это был
академик Виктор Яковлевич Буняковский. В 1853 г.
Буняковский выпустил интересное сочинение «Парал-
лельные линии», до сих пор не утратившее некоторого
значения. В этом сочинении Буняковский дал классифи-
кацию и обстоятельный анализ многочисленных попыток
доказать пятый постулат. Однако наряду с остроумными
возражениями против ряда таких доказательств в мемуаре
Буняковского имелось и собственное его «доказательство».
Стоит заметить, что книга эта была выпущена за три года
до смерти Лобачевского, когда в России уже были опу-
бликованы основные сочинения великого казанского гео-
метра. Характерно и то обстоятельство, что Буняковский
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 183
в этой книге не нашёл нужным упомянуть даже фамилию
Лобачевского. Как мы уже знаем, В. Я. Буняковский
впоследствии изменил своё отношение к Лобачевскому:
в специальном мемуаре, посвящённом Лобачевскому, он
с большим почтением отозвался о Лобачевском как о мате-
матике, но геометрических взглядов последнего он не
признал и даже пытался отвергнуть их.
Мемуар Буняковского, в котором он активно выступил
против Лобачевского, был опубликован в 1872 г.1). Буня-
ковский хотел опровергнуть геометрию Лобачевского
двумя методами. Во-первых, он полагал, что пятый посту-
лат всё-таки доказуем и что истинность его вытекает из
самого определения прямой линии. Буняковский попы-
тался раскрыть эту казавшуюся ему неоспоримой связь
между понятием прямой линии и пятым постулатом и пред-
ложил своё доказательство пятого постулата, содер-
жавшее логические ошибки. Во-вторых, Буняковский
стремился апеллировать к наглядным представлениям
о пространстве п показать, что геометрия Лобачевского
находится с ними в резком противоречии. При этом Буня-
ковский также допустил ряд логических погрешностей.
Буняковский хорошо понимал, что невозможно раз-
решить проблему параллельных, оперируя лишь с началь-
ными понятиями о прямой линии, к числу которых он
относил следующие: «Между двумя точками можно всегда
провести прямую линию и только одну; прямая линия
может быть продолжена неограниченно в двух напра-
влениях; части прямой линии совпадают при наложении;
прямая линия—кратчайшее расстояние между двумя точ-
ками». Однако он считал возможным построить своё
доказательство на «характеристических свойствах пря-
мой линии, отличных от тех свойств, которые исполь-
зуются обыкновенно», на свойствах, «которые исключают
сходство с какой-либо кривою».
Эти свойства Буняковский даёт в следующем опреде-
лении: «Прямая есть бесконечная линия, не замкнутая,
тождественная во всех своих частях». Как разъясняет
Буняковский, под тождественностью во всех частях он
х) См. сноску на стр. 178,
184
Э. К. ХИЛЬКЕВПЧ
Черт. 1.
тождественных, опишет
Черт. 2.
имеет в виду то, что на прямой не существует ни одной
точки, которая отличалась бы чем-либо от любой другой
точки той же прямой.
Доказательство пятого постулата, которое дал Буня-
ковский, заключается в следующем (черт. 1).
Пусть АС — наклонная и BD — перпендикуляр
к АВ. Нужно доказать, что АС и BD, будучи доста-
точно продолженными, пересе-
каются.
Опустим из В перпендикуляр
BG на АС и проведём прямую BE
перпендикулярно BG. Представим
себе, что этот перпендикуляр BG
движется по прямой BE в напра-
влении от В к Е, сохраняя свою
вершину В на прямой BE и оста-
ваясь перпендикулярным к BE.
Траектория точки G при этом дви-
жении пересечёт в некоторой точ-
ке G' прямую BD, так что G'B' = GB (это доказано выше).
Предположим затем, что BG движется точно так же в про-
тивоположном направлении, от В к Е'. Точка G, оставаясь
постоянно в условиях строго
некоторую бесконечную линию
KG'GK', на которой не суще-
ствует никакой точки, которая
отличалась бы от других точек
этой линии какой-либо особен-
ностью. Поэтому линияKG'GK'
является прямой линией. Эта f
линия совпадает с наклонной
АС. Действительно, подвижной
перпендикуляр BG образует равные углы с полупрямой
GK и с полупрямой GK', так как пет причины давать
преимущество тому или другому из этих направлений.
Следовательно, углы K'GB и KGB— прямые, что влечёт
за собой совпадение прямых С'АС и K'GG'K, т. е. пере-
сечение наклонной АС с перпендикуляром BD. Доказа-
тельство пересечения линии K'GG'K с BD, данное Буня-
ковским, очень остроумно (черт. 2).
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕИ ЛОБАЧЕВСКОГО 185
Рассмотрим какой-либо угол АОС, меньший угла DBE
и выбранный так, что <$АОС=^~, где п — произволь-
ное целое число. Если бы оказалось, что -КDBE = i-— ,
то следовало бы взять -К АОС — DBE. Из какой-либо
точки А прямой ОА опустим перпендикуляр АС на пря-
мую ОС. Докажем, что по мере неограниченного увели-
чения О А будет увеличиваться неограниченно и АС. Про-
должив АС и отложив СВ —АС, получим равнобедрен-
ный треугольник АОВ, состоящий из двух равных прямо-
угольных треугольников АОС и ВОС. Отразив треуголь-
ник АОВ сначала в прямой АО, а затем в прямой ВО,
продолжаем это построение и далее до тех пор, пока
не получим замкнутый многоугольник GABD, в котором GO
составляет продолжение OD, что вполне возможно
в данном случае. Тогда
GC" С"?! -р АС 4- ... 4- CD — 2п • АС,
а так’ как
GD — 2AO,
то
2пАС > 2 А О,
следовательно,
АС> — .
п
Но длина АО может возрастать неограниченно, между
тем как целое число п является конечным и определён-
ным для каждого рассматриваемого случая. Отсюда сле-
дует, что АС может неограниченно увеличиваться. Это
с неменьшим основанием можно отнести к перпендику-
ляру, опущенному из произвольной точки прямой BD
на BE. Из этого и следует, что траектория точки G необ-
ходимо пересечёт бесконечную прямую BD.
Буняковский не заметил, что. под его определение
прямой линии подходит и винтовая линия па поверх-
ности прямого кругового цилиндра и что его определе-
ние не более содержательно, чем определение Евклида:
прямая линия есть та, которая одинаково расположена
относительно всех своих точек. Ведь в таком начальном
186
Э. К. ХИЛЬКЕВИЧ
определении нельзя ссылаться на тождественность точек,
если не установлены критерии для их различия. Если же
отбросить ссылку на это определение, то остаётся лишь
определение линии K'GG'K как эквидистанты отно-
сительно прямой БЕ, и, следовательно, обнаружи-
вается скрытый постулат: эквидистанта прямой есть
прямая.
Буняковский избегает апелляции к мотивам философ-
ского порядка. Однако очевидно, что то упорство, с кото-
рым этот видный математик шёл к своей цели, не замечая
допущенных им логических ошибок, объяснялось непо-
колебимым убеждением в единственности евклидовой гео-
метрии, убеждением, которое очень хорошо увязывалось
у ряда математиков с приверженностью к кантовской
концепции пространства.
Как мы сказали, в своём споре со сторонниками Лоба-
чевского Буняковский апеллировал также к той элемен-
тарной «наглядности», которая связана с тесными рам-
ками чертежа, сделанного на листке бумаги, между тем
как могучая мысль Лобачевского разбила эти рамки
и, подняв геометрические понятия на высшую ступень,
шагнула в безбрежные просторы вселенной. Лобачевский
действительно создал конфликт между более общим поня-
тием о прямой п традиционными «наглядными» графиче-
скими представлениями. Но это как раз и означало,что
процесс формирования геометрических понятий перешёл
в более высокую стадию.
В. Я. Буняковский старается на ряде чертежей пока-
зать этот конфликт, созданный Лобачевским. Однако аргу-
менты Буняковского являются результатом прямой логи-
ческой ошибки. Буняковский знал, что Лобачевский дал
обобщённое определение параллелизма прямых. Тем не
менее, приступая к характеристике «странностей» неев-
клидовой геометрии, Буняковский предупреждает, что
во всём последующем он понимает под параллельными
«прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекаю-
щиеся, как бы далеко они ни были продолжены». Приняв
такое определение, не свойственное неевклидовой гео-
метрии, он указывает, что «в исследованиях неевклидовой
геометрип должно рассматривать число параллельных
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕИ ЛОБАЧЕВСКОГО 18
к данной прямой..., проходящих через точку..., как не-
ограниченное».
Подходя к вопросу с предвзятой точки зрения, Буня-
ковский не замечает, что между параллельными пря-
мыми Лобачевского и его «несводными», т. е. расходя-
щимися прямыми, имеется существенное качественное
различие, которое и проявляется в ряде признаков,
например: асимптотическое сближение параллелей и рас-
хождение «несводных» прямых, наличие общего перпен-
дикуляра у «несводных» прямых и от-
сутствие его у параллельных прямых.
Приняв для евклидовой и неевклидовой
геометрии евклидово определение парал-
лельных как лежащих в одной плоско-
сти и не пересекающихся, Буняковский
затем тотчас видоизменяет его. Он за-
меняет это определение таким: «Две
прямые, лежащие в одной плоскости,
параллельны, если они могут быть пере-
сечены под прямыми углами третьей прямой», т. е., добавим
мы, если существует общий перпендикуляр к этим двум
прямым. «Если такая секущая не существует, две прямые
необходимо пересекаются», —добавляет Буняковский.
Такое определение параллельных в пределах евклидовой
геометрии действительно эквивалентно евклидовскому
определению, но для неевклидовой геометрии оно совер-
шенно не годится. Подменив в неевклидовой геометрии
определение параллельных Лобачевского существенно
иным определением и погрешив таким образом против
логики, В. Я. Буняковский, естественно, получает ряд
желательных для него нелепостей.
Но любопытно, что сомнение в возможности пользо-
ваться наглядными представлениями как критерием
истинности геометрических предложений встречается и
У В. Я. Буняковского. Справедливость требует указать,
что, отмечая странности геометрии Лобачевского, он
отметил одну ничем не объяснимую странность евклидовой
геометрии (черт. 3).
Пусть BD _|_ АС и АЕ _|_ АС. «В момент, когда перемен-
ный угол, образуемый подвижной прямой АС' с неподвиж-
188
Э. К. ХПЛЬКЕВПЧ
ной прямой АВ, станет равным прямому углу, прямая АС'
совпадёт с перпендикуляром АЕ и отделится от BD.
Невозможно представить взаимное расположение пря-
мых АС' и BD в момент их отделения или, ина-
че, попять способ исчезновения общей точки их пере-
сечения».
Как говорят, именно эта странность евклидовой гео-
метрии побудила И. Больяи заняться теорией парал-
лельных.
Но В. Я. Буняковский не сумел сделать правиль-
ных выводов из рассмотрения конфликтных расхожде-
ний абстракции с графикой. В. Я. Буняковский думал,
что все рассмотренные им странности построений указы-
вают лишь на недостаточно совершенное определение
понятия прямой линии, что нужно в этом определении
добавить признаки, исключающие возможность поведения
прямых в столь «странных» формах. «Построения, кото-
рые были изложены, —писал он,—доказывают недоста-
точность в проблеме параллельных одних лишь тех
понятий о прямой линии, которые приняты в обыкно-
венной геометрии...». Или: «Мы повторяем, что пока
не решатся ввести в геометрию такое понятие пря-
мой, которое прежде всего и независимо от показания
наших чувств отличает её от всякой кривой,... до тех
пор аргументы сочинений, излагающих проблему парал-
лельности, будут не более, как ложными умозаключе-
ниями».
Мемуар Буняковского заканчивается словами: «Я не
сомневаюсь, что геометры-ригористы будут ещё возражать
против предыдущего доказательства (имеется в виду
доказательство пятого постулата Евклида.—Э. X.). Но
я буду полностью удовлетворён, если судьи, менее педан-
тичные, найдут, что мой способ рассмотрения пробле-
мы имеет некоторое преимущество перед тем способом,
какому следуют обыкновенно авторы курсов геометрии,
когда они всеми силами хотят доказать постулат
Евклида».
Эти ожидания Буняковского, как известно, не оправ-
дались, и победа полностью оказалась на стороне нова-
торски-гсниальных идей Лобачевского,
РАСПРфСТРАПЕНПЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 189
4. Распространение и развитие идей Лобачевского
в Западной Европе
Из учёных Западной Европы на сторону Лобачевского
встали люди прогрессивного научного образа мыслей,
нашедшие твёрдую опору в последовательных и высоко-
прогрессивных суждениях Лобачевского. Они одобряли
не только геометрию Лобачевского, но и его взгляды на
происхождение геометрических понятий и аксиом.
Бордосский профессор Ж. Гуэль (1823 —1886) в тече-
ние двадцати лет неутомимо пропагандировал учение
Лобачевского. Гуэль перевёл с немецкого на француз-
ский язык сочинение Лобачевского «Геометрические ис-
следования по теории параллельных». Перевод Гуэля
появился в 1866 г. и притом сразу в двух изданиях1).
По словам Барбарепа, «к этому переводу учёный мир
отнёсся с тем глубоким вниманием, которого он заслу-
живал»2). К французскому изданию указанного сочине-
ния был приложен перевод той части переписки Гаусса
с Шумахером, которая имела отношение к неевклидовой
геометрии.
Кроме того, Гуэль перевёл все сочинения, имевшие
решающее значение в истории развития неевклидовой
геометрии: «Аппендикс» И. Больяи, «О гипотезах, лежа
щих в основании геометрии» Римана, две статьи Бель-
трами о связи геометрии Лобачевского с геометрией псевдо-
сферы, а также статью Гельмгольца «О фактах, лежащих
в основе геометрии».
В различных своих сочинениях и письмах Гуэль дал
немало доказательств своего преклонения перед гением
Лобачевского. В письме к Де-Тилли от 15 июня 1870 г.
Гуэль заявлял: «Я желаю иметь возможность лишний раз
признать правоту моего героя, Лобачевского».
Мы знаем, что Лобачевского можно назвать героем не
только в обычном смысле, т. е. не только как действую-
х) Lobatschewsky, fitudes geoinetriques sur la theorie
ties paralleles, Traduit par J Iloiiel, Paris, 1866.
2) В a r b a r i n, La Correspondance entre Hoiiel el De-Tilly
(Bulletin des Sciences matheinatiques, Deuxieme serie, t. L, Fevrier
et Mars, Paris, 1926.)
190
Э. К. ХЙЛЬКЕВИЧ
щее лицо в истории. Характер Лобачевского и его дея-
тельность отмечены чертами подлинного героизма. То
мужество, с которым в течение всей своей жизни он,
оставаясь одиноким, непонятым, а иногда и осмеивае-
мым, провозглашал открытую им научную истину с непо-
колебимой верой в конечное торжество её, это мужество
героя. Это, невидимому, понимал и Гуэль. Нескрывае-
мой симпатией к Лобачевскому исполнены строки пере-
писки Гуэля с Де-Тилли.
Очень тепло написана статья Гуэля о жизни и трудах
Лобачевского1). Невидимому, Гуэль воспользовался пере-
водом речи проф. Е. П. Янишевского, произнесённой
в торжественном собрании Казанского университета
5 ноября 1868 г.2). В ту пору интерес к Лобачевскому был
уже настолько велик, что через год после издания речи
Янишевского в России перевод её, выполненный Потоц-
ким, был напечатан в итальянском журнале3).
В своей статье о жизни и трудах Лобачевского Гуэль
отмечает, что научная общественность Запада интересуется
биографией русского геометра и что интерес этот возник
благодаря тем важным научным работам, которые по
явились в мировой литературе как результат открытия
Лобачевского, а также тем дебатам, к которым примеши-
валось его имя. Гуэль отметил, что итальянский математи-
ческий журнал «оказал истинную услугу пауке, поме-
стив... перевод похвального слова Лобачевскому про-
фессора Казанского университета Янишевского»-.
Во всех замечаниях Гуэля в рассматриваемой статье
сквозит чувство симпатии и уважения к русскому геомет-
ру. Излагая речь Янишевского, Гуэль не скупится на
похвалы мужеству и распорядительности .Лобачевского
как ректора университета. Характеризуя Лобачевского
как прекрасного и неутомимого администратора, Гуэль
х) J. Н о й е 1, Notice sur la vie et les travaux de N. I. Loba-
tschewsky (Bulletin des Sciences mathematiques et astronomiqups,
т. I, Paris, 1870, стр. 66—71, 324—328, 384—388).
2) E. П. Янишевский, Историческая записка о жизни
и деятельности Н. И Лобачевского, Казань, 1858.
3) Bulletino di Bibliografia ediStoria delle science mathema-
tiche e fisiche, т. II, mai, 1869.
Распространение и развитие идеи ловлчевскогО nd
указывает, что его преданность делу просвещения «по-
могла поднят^ Казанский университет в ранг, столь
высокий, который он занимает на высотах европейского
образованиям.
Жизни Лобачевского посвящён первый раздел статьи
Гуэля. Во втором разделе приведены библиографические
данные о 18 печатных работах Лобачевского. В третьем
разделе даётся краткая характеристика геометриче-
ских работ Лобачевского, главным образом «Новых
начал геометрии с полной теорией параллельных». По
свидетельству Барбарена, Гуэль «не остановился перед
изучением... русского языка, чтобы перевести на фран-
цузский язык некоторые сочинения Лобачевского».
Противников неевклидовой геометрии Гуэль называл
«антилобачевскианцами», подчёркивая ведущую роль Ло-
бачевского на математическом фронте того времени. Лоба-
чевскианцы и антилобачевскианцы составляли два основ-
ных лагеря этого фронта. Друг Гуэля, бельгийский
лобачевскианец Де-Тилли, в ответных письмах прямо
называл второй и наиболее значительный период своей
научной деятельности периодом влияния Лобачевского
и до наступления этого периода не считал себя вовлечён-
ным «в свиту Лобачевского». Этим самым Де-Тилли давал
понять, что обширный круг геометров, разделявших
взгляды Лобачевского, можно было по праву назвать
«свитой Лобачевского».
Гуэль увидел в геометрии Лобачевского могучее сред-
ство дальнейшего развития прогрессивных взглядов на
геометрию. Он говорил об исследованиях Лобачевского:
«Мы не думаем преувеличить их философское значение,
говоря, что они бросают совсем новый свет на основные
принципы геометрии».
В истории развития идей Лобачевского имеют зна-
чение и выполненные Гуэлсм переводы основоположных
сочинений по неевклидовой геометрии и неутомимая про-
паганда передовых взглядов на природу и происхожде-
ние геометрических понятий.
В «Критическом очерке основных начал элементарной
геометрии», опубликованном в 1863 г., Гуэль дал свою
схему рационального построения геометрии в пределах
192
Э. К. ХИЛЬКЕВИЧ
первой книги «Начал» Евклида, т. е. в пределах геометрии
твёрдого тела г). Эта работа Гуэля имеет в настоящее время
несомненный исторический интерес: она показывает, что
некоторые черты современного аксиоматического метода —
пусть ещё недостаточно чётко и уверенно — начина ли
обозначаться в 60—70 годах XIX столетия в результате
влияния идей Лобачевского. Можно, пожалуй, согла-
ситься с мнением Кэджори* 2), что рассуждения Гуэля
о принципах построения элементарной геометрии ока-
зали положительное влияние на улучшение учебных руко-
водств по геометрии.
С другой стороны, упомянутая работа Гуэля, если
присоединить к ней переписку Гуэля с Де-Тилли, позво-
ляет судить и о его направленности в вопросе о происхо-
ждении геометрических понятий 3). Попытки Гуэля вы-
вести происхождение геометрических понятий из ин-
стинкта представляются сейчас наивными. Гуэль недо-
оценил ту роль, какую сыграла практическая деятель-
ность человека в формировании геометрических понятий.
Однако, ряд его высказываний не оставляет сомнений
в его симпатиях к точке зрения Лобачевского по этому
вопросу. «Не что-либо иное, а опыт с помощью памяти
и размышления учит нас, что прямолинейный путь —
кратчайший», — говорил Гуэль. «Геометрия основывается
на неопределяемом и заимствованном из опыта понятии
твёрдости или неизменяемости фигур», — заявлял он.
«Абстрактная геометрия имеет и своим началом, и своим
концом рассмотрение реального мира. Из созерцания4)
г) J. Нойе 1, Essai critique sur les principes fondamentaux
de la GeomStrie elementaire, Paris, 18 >7 (Deuxi£me edition, 1886).
См. также Essai d’une exposition rationeRe des principes fondamen-
taux de la Geometrie elementaire (Grunert’s Archiv der Mathematik
und Physik, t. XL, 1863).
2) Ф. Кэджори, История элементарной математики.
Перевод под редакцией И. 10. Тимченко, издательство «Матезис»,
Одесса, 1910, стр. 299.
8) См. также J. Н о u е 1., Du role de Pexperience dans les
sciences exactes. Prague, 1875, пли в переводе на немецкий язык:
Grunert’s Archiv, 1876.
4) Хотелось бы, чтобы к «созерцанию» Гуэль добавил и прак-
тику взаимоотношений человека с природой, но Гуэль не сделал
этого.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕИ ЛОБАЧЕВСКОГО 193
наблюдаемых в реальном мире форм и свойств простран-
ства, установленных опытом, рождается абстрактное зна-
ние»,—писал Гуэль в письме к Де-Тилли 4 января 1873 г.
Невидимому, именно своей склонностью выводить гео-
метрию из опыта Гуэль был приведён в лагерь лобачев-
скианцев, а его активность помогла ему стать на пере-
довые позиции в борьбе за прогрессивный переворот
в геометрической науке.
Было бы, конечно, ошибочно зачислять Гуэля в лагерь
последовательных материалистов. В некоторых высказы-
ваниях Гуэль грешит непоследовательностью, в других
скатывается до субъективно-идеалистического сенсуа-
лизма, почти предвосхищает кое-что из взглядов Пуан-
каре. Но с кантианцами Гуэлю было не по пути: он по-
смеивался над ними в письмах к Де-Тилли, называя их
«бравыми молодчиками, которые набросились на геомет-
рию, когда их изгнали из физики»; говоря о бесплодных
писаниях отсталых «евклидовцев» (антилобачсвскпанцев),
он писал: «В каком же положении окажутся метафизики,
если будет запрещено печатание этих бесполезных стра-
ниц?» (Письмо к Де-Тилли от 4 января 1873 г.).
Развивая свой опыт построения геометрии, Гуэль был
приведён к мысли о необходимости положить в основу гео-
метрии ряд неопределяемых понятий и считал полезным
ввести идею геометрического движения «как можно раньше
и возможно отчётливее». Вводя свои аксиомы, Гуэль счи-
тает нужным подчеркнуть их происхождение из опыта.
В выдвижении на первый план понятий неизменяемой
фигуры как твёрдого тела и её движений Гуэль, быть
может, повторяя Даламбера и Лобачевского, на 5 лет
опередил Гельмгольца, а тем более Софуса Ли. Гуэль
дал аксиому плоскости в формулировке, напоминающей
современную формулировку Картава.
Для Гуэля была ясна возможность рассмотрения раз-
личных математических пространств, право каждого из
которых на существование определяется непротиворечи-
востью исходных данных для его построения. Совершенно
отчётливо Гуэль высказался по этому вопросу в одном
из упомянутых писем к Де-Тилли (от 4 января 1873 г.),
заблуждаясь, может быть, лишь в том отношении, что
13 Историко-математ. исследования
194	Э. К. ХИЛЬКЕВПЧ
человеческий опыт он понимал узко и наивно, сужая
тем самым область применения математики и ошибоч-
но лишая некоторые математические теории прав на ото-
бражение тех пли иных сторон реальной действитель-
ности.
Гуэль предъявлял к математической теории ясно
сформулированное требование отсутствия противоречий
среди допущенных гипотез и считал, что аналогия Бель-
трами между геометрией геодезических линий псевдо-
сферы и геометрией плоскости Лобачевского доказывает
отсутствие противоречий в допущениях Лобачевского
и, следовательно, невозможность доказать пятый посту-
лат Евклида какими-либо построениями на плоскости.
Переписка Гуэля с Де-Тилли доказывает, что Гуэль
правильно понял значение геометрии Лобачевского как
обобщения евклидовой геометрии. В письме к Де-Тилли
от 10 апреля 1870 г. Гуэль писал: «Я полагаю, в конце
концов, что хор возражений против геометрии, назван-
ной... «воображаемой»..., проистекал из-за недоразуме-
ния; евклидовцы полагали, что тут отвергали их гео-
метрию, между тем как речь шла только об её обобщении;
Лобачевский и Евклид могут вполне ужиться»...
Гуэль стоял в первых рядах западноевропейских
лобачевскианцев. Он открыл Лобачевского для францу-
зов, а следовательно, и для всех тех, кто следил в то
время за французской математической литературой.
Де-Тилли указывал, что Гуэль своей пропагандистской
деятельностью оказал истинную услугу науке. В письмах
к Де-Тилли Гуэль говорил от трудностях борьбы за при-
знание идей Лобачевского: «Так много людей, тугих на
ухо,—писал Гуэль,—что следует повторять истины на
сотни различных способов, чтобы нашёлся один такой, по-
средством которого они могли бы услышать истину».
В своём искреннем желании быстрейшего прекраще-
ния попыток доказать пятый постулат Гуэль несколько
опережал реальный ход событий. Для многих математиков
мысль о том, что возможность построения геометрии
Лобачевского равносильна невозможности доказать пятый
постулат, нуждалась ещё в развитии и подтверждении,
а для некоторых эта мысль казалась вообще неприемле-
РАСПРОСТРАНЕНИЕ II РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 1у5
мой. В 60—70-х годах XIX столетия эту мысль приняли
лишь те математики, которые стояли на передовых фило-
софских позициях или были к ним близки.
❖ *
4»
Говоря об участии Гуэля в распространении идей не-
евклидовой геометрии, нельзя не коснуться его длитель-
ной шестнадцатилетней переписки с бельгийским учёным
Де-Тилли (1838—1906).
Переписка между Гуэлем и Де-Тилли, начатая по
инициативе последнего, продолжалась с 1870 по 1885 г.
и стала доступной, благодаря двум статьям Барбарена
в «Bulletin des Sciences mathematiques» в 1926 г.1). Что
касается научных трудов Де-Тилли, то главным из них
было сочинение по абстрактной механике2). В этом труде
Де-Тилли изложил начала механики, не опираясь па пятый
постулат Евклида. Установлено, что принцип сложения
параллельных сил и принцип параллелограмма сил нахо-
дятся в самой тесной связи с евклидовой теорией парал-
лельности3). Можно получить законы статики в более
общей форме, если установить их, не пользуясь евклидо-
вой теорией параллельности. Получив таким образом
«абстрактную механику», Де-Тилли попутно вывел фор-
мулы «абсолютной тригонометрии», сходные с форму-
лами Больяи. Из формул Де-Тилли получаются формулы
и для пространства Евклида и для пространства Лобачев-
ского. Опубликовано было сочинение Де-Тилли в 1870 г.,
следовательно, вскоре после того как начали распростра-
няться сочинения Лобачевского и Больяи. Однако
Де-Тилли утверждает, что сочинения Лобачевского и
Больяи были ему неизвестны и что он пришел к формулам
абсолютной тригонометрии самостоятельно.
?) В а г b а г i n, La correspondence entre Hoiiel et De-Tilly
(Bullet, des Sciences matheinatiqucs, DeuxUme serie, t. L, Fev-
rier et Mars, Paris, 1926).
2) De-Tilly, Etudes de niecanique abstraite (Memoires
couronnes de Г Academic Royale de Belgique, т. XXI, 1870).
См., например, P. Б о но л а, Неевклидова геометрия, СПБ,
1910, стр. 194—210.
196
К. ХИЛЬКЕВПЧ
Де-Тилли интересовался не только механикой, но
и геометрией. Теорией параллельных линий он заинтере-
совался в 1860 г., в возрасте 22 лет. Он верил тогда в дока-
зуемость пятого постулата и в первой своей печатной
работе пытался устранить несовершенства доказательств
пятого постулата, данных Лежандром. Интерес к теории
параллельных линий Де-Тилли мог приобрести под влия-
нием своего бельгийского учителя Лямарля, который
в 1856 г. опубликовал работу, где дал кинематическое
доказательство пятого постулата. При этом Лямарль, не
заметив этого, принял без доказательства, что линия,
равноотстоящая от прямой, есть прямая. Кроме того,
в 1860 г. бельгийский математик Дельбёф опубликовал
работу по теории параллельных, в которой заменил посту-
лат Евклида постулатом Валлиса о существовании подоб-
ных треугольников. Между прочим, Дельбёф, как утвер-
ждает Барбарен, был, невидимому, первым, кто в Бель-
гии обратил внимание на геометрию Лобачевского. По
крайней мере, в своей работе от 1860 г. он упомянул
об идее воображаемой геометрии Лобачевского па основа-
нии статьи последнего, опубликованной в 1837 г. в жур-
нале Крелля. Этот факт свидетельствует ещё раз о том,
что и до опубликования переписки Гаусса с Шумахером
западно-европейские математики знакомились с работами
Лобачевского.
В апреле 1870 г. Де-Тилли послал Гу элю экземпляр
своей работы «Этюды по абстрактной механике». Гуэль
в ответном письме сообщил, что даже при беглом про-
смотре работы он смог оцепить всю важность новой точки
зрения, на которую встал Де-Тилли. «Я принимаюсь,—
писал Гуэль,—серьёзно изучать Вашу работу, содержа-
щую новую проверку идей, которые я старался распро-
странить в точение нескольких лет». В свою очередь,
Гуэль отправил Де-Тилли несколько брошюр, содержа-
щих эпизоды спора между «евклидовцами» и «неевкли-
довцами». С тех пор до самой смерти Гуэля продолжа-
лась оживлённая переписка двух учёных, всегда напол-
ненная отзвуками борьбы между «евклидовцами», или
«антилобачевскианцами», и «неевклидовцами», или «лоба-
чевскпанцами».
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 197
Во втором письме к Гуэлю Де-Тилли писал, что
во время разработки своей абстрактной механики он
ещё не был в числе тех, которых Лобачевский вовлёк
«в свою свиту». «Я нашёл с помощью специального метода,
указанного в моём мемуаре, все основные формулы новой
геометрии, не зная даже имени русского учёного гео-
метра, и до того, как узнал, что какой-либо геометр
сомневался в постулате. Но я должен признаться, что
в эту эпоху я сам не сомневался в нём и надеялся ещё
найти противоречие в моих формулах. Чтение работ
Лобачевского только определило моё мнение о тщетности
этой надежды... Недостаточно, чтобы чистая геометрия мог-
ла основываться на неевклидовой гипотезе. Так же должно
обстоять дело в рациональной механике; если бы мы обна-
ружили в последней противоречие или невозможность,
этого было бы достаточно, чтобы ниспровергнуть здание
и доказать постулат. Впрочем, если я потерял приоритет
в геометрии, он мпе останется, я полагаю, в механике...1).
Высказываясь так, я не стремлюсь к пустому удовлетво-
рению самолюбия. Я желаю, прежде всего, быть полез-
ным тому, кто хотя бы с малыми шансами на успех хотел бы
ещё приняться за проблему пятого постулата. Затем
я хочу раскрыть мотив моих неевклидовых мнений,
укрепить в этом геометров, которые его уже приняли,
победить тех, которые колеблются; а что касается тех,
которые решительно приняли древнего геометра, я надеюсь
побудить их, если не разделить со мной моих мнений,
то, по крайней мере, пх уважать»...
Отвечая Де-Тилли, Гуэль в письме от 15 мая 1870 г.
известил, что научное общество в Бордо благосклонно
встретило резюме исследований Де-Тилли, что теория
Де-Тилли может существенно помочь в деле распростра-
нения новых идей, так как до некоторых «тугоухих»,
может быть, именно она и способна будет дойти.
После Франко-Прусской войны, которая временно
прервала переписку, Де-Тилли в одном из писем выступил
„ ) Де-Фонсене в 1760—1761 годах опубликовал работу, в кото-
рой рассматривал механику независимо от теории параллельных
(см. Б о н о л а, цит. соч., стр. 203).
198
Э. К. ХИЛЬКЕВПЧ
с программой исследований: 1. Доказать, что можно
построить всю геометрию и механику без помощи пятого
постулата (что уже сделано) и что нельзя строго вывести
пятый постулат, не апеллируя к опыту. 2. Вывести всю
геометрию до пятого постулата исключительно из аксиомы
неизменяемости. При этом Де-Тилли в одном из следую-
щих писем пояснил, что он имел в виду под аксиомой
неизменяемости: «Допускают a priori, что длины линий
или расстояния пар точек будут измеримы, т. е. сравнимы
между собой. Система точек неизменяема, когда расстоя-
ния пар остаются постоянными. Эта система может пере-
мещаться, не переставая оставаться неизменной, таким
способом, что одна из её точек описывает определённую
траекторию, или так, что то одна, то две точки остаются
н епо дв ижным и ».
Свою программу Де-Тилли осуществил, написав
в 1878 г. и представив научному обществу в Бордо книгу
под заглавием «Опыт изложения основных принципов
геометрии и механики»1). Он строит здесь всю геометрию
на понятии расстояния между двумя точками и выводит
отсюда геометрии Евклида, Лобачевского и Римана.
Он намечает здесь также схему полного трактата по гео-
метрии и тригонометрии с точки зрения трёх гипотез.
Эта книга Де-Тилли была напечатана в Бордо с преди-
словием Гуэля и сыграла немалую роль в деле распро-
странения идей Лобачевского.
Между прочим, именно Де-Тилли в 1868 г. пер-
вый обратил внимание па тот частный случай поверх-
ности постоянной отрицательной кривизны, который
получил наибольшую известность, а именно поверхность,
образуемую трактрисой при вращении вокруг асимптоты.
Кроме того, Де-Тилли рассматривал поверхность, выра-
жаемую в прямоугольных декартовых координатах ура-
внением
_2z
хг + У* + Лх 4- By + С = — кге к.
J) D е Tilly, Essai sur les principes fondamentaux de la
Gdometrie et de la Mecanique. (Memoires de la Societe des sciences
physiques et naturelles a Bordeaux, t. Ill, 1887).
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 199
Он назвал ее «псевдоплоскостью». Показывая, что на ней
осуществляется геометрия Лобачевского, Де-Тилли при-
менил те самые приёмы, какие сейчас применяются при
построении интерпретаций абстрактных систем, и, неви-
димому, он был первым в этом отношен пи.
Де-Тилли был одним из активнейших «лобачевскиан-
цев» и много содействовал делу признания геометрии
Лобачевского. Сам он в своей научной работе, по его
собственному признанию, был весьма обязан Лобачев-
скому. Двадцать наиболее активных в научном отноше-
нии лет своей жизни Де-Тилли разделил в одном из писем
к Гуэлю на три периода: первые девять лет без всякого
руководства и поддержки, следующие три года, когда
он получил моральную поддержку, узнав о работах
Лобачевского, и, наконец, последние восемь лет, во время
которых его научная мысль в значительной степени акти-
визировалась перепиской с Гуэлем, находясь, таким
образом, под влиянием идей Лобачевского, которые про-
пагандировал Гуэль.
* *
*
В Италии роль, до некоторой степени аналогичную
роли Гуэля во Франции, взял па себя Баттальипи (1826—
1894). В 1867 г. им был основан математический журнал,
выходивший под его редакцией в Неаполе. Этот журнал
сыграл значительную роль в распространении идей не-
евклидовой геометрии на Западе. Бонола называл этот
журнал даже «как бы официальным органом неевклидо-
вой геометрии».
Из работ Баттальини, помимо его переводов осново-
положных работ Лобачевского и Больяи по неевклидо-
вой геометрии, имел значение его мему ар «О воображае-
мой геометрии Лобачевского»1), в котором он дал новый
чисто аналитический вывод формул Лобачевского.
Мемуар Баттальини был очень легко написан, в то
время как чтение геометрических исследований Лоба-
чевского является довольно трудным. Баттальини вырвал
1)Battaglini, Sulla geomclria imaginaria di Lobatschcw-
skY (Giomale di matpmatiche, 1867, стр. 217—231).
200
Э. К. X ИЛЬКЕВИЧ
геометрию Лобачевского из круга страстных споров
о пятом постулате, оторвал её от поражавших своими
странностями конструктивных форм и преподнёс её чита-
телям в лёгкой последовательности формул, в привычных
символах математического анализа. Тем самым он значи-
тельно увеличил круг лиц, ознакомившихся с геометрией
Лобачевского.
К чести Баттальипи нужно указать, что он разделил
взгляды Лобачевского в то время, когда Бельтрами ещё
не опубликовал своих статей, давших интерпретацию
неевклидовой геометрии, а Клейн ещё совсем не был
знаком с геометрией Лобачевского. Таким образом, Бат-
та льипп явился одним из передовых и наиболее активных
«лобачевскианцев» рассматриваемого периода.
Результаты большого принципиального значения при-
надлежат Бельтрами (1835—1900). Он как бы синтези-
ровал вклад в пауку, сделанный Лобачевским, Гауссом
и Риманом, а именно—неевклидову геометрию Лобачев-
ского, дифференциальную геометрию поверхностей Гаусса
и понятие п-мерного многообразия Римана. Значение
работы Бельтрами для неевклидовой геометрии состоит
в том, что Бельтрами дал первое конкретное истолкование
неевклидовой геометрии. Исследования Бельтрами позво-
лили ему сделать вывод, что «неевклидова планиметрия
есть не что иное к^к геометрия поверхностей постоянной
отрицательной кривизны».
Результаты Бельтрами не всеми были приняты оди-
наково. Гуэль был в числе тех, которые восприняли
результаты Бельтрами как установление безоговорочной
полной аналогии между геометрией геодезических линий
псевдосферы и геометрией прямых линий гиперболической
плоскости. В этой аналогии Гуэль и его единомышлен-
ники усмотрели решающий довод в пользу гиперболиче-
ской геометрии и несокрушимый аргумент в борьбе
с «отсталыми евклидовцами». Отныне опровержение оче-
редных «доказательств» пятого постулата Евклида сво-
дилось к ссылке на псевдосферическую геометрию.
Но некоторые учёные отнеслись к результатам Бель-
трами более осторожно. Правда, они не могли дать стро-
гого обоснования своих доводов, направленных к огра-
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 201
ничению выводов Бельтрами, но тем не менее их догадки
оказались до некоторой степени правильными. К числу
этих скептиков относились Гельмгольц и Дженокки.
Гельмгольц в 1870 г. заявил, что не может существовать
псевдосфернческая поверхность, беспредельно простираю-
щаяся во все стороны. Дженокки в споре с Де-Тилли
указывал на возможность существования особенных точек
на любой поверхности постоянной отрицательной кри-
визны.
Как известно, полную ясность внесли в этот вопрос
исследования, начатые Д. Гильбертом в 1900—1901 годах
и законченные Гольмгреном в 1902 г. Эти исследования
показали, что не существует поверхностей постоянной
отрицательной кривизны, не имеющих особенных точек.
Наличие рёбер возврата или других особенностей делает
невозможным отображение всей плоскости Лобачевского
на поверхность вращения постоянной отрицательной кри-
визны. Односвязпая область, получаемая при разрезе
псевдосферы вдоль меридиана и ограниченная двумя
меридианами—краями разреза и ребром возврата, отобра-
жается на часть плоскости Лобачевского, заключённую
между двумя параллельными прямыми и дугою ортого-
нального к ним орицикла. В силу этого, осуществление
части плоскости Лобачевского на псевдосфере не может
служить вполне строгим доказательством непротиворечи-
вости геометрии Лобачевского на всей плоскости.
Тем не менее, работы Бельтрами показывали бесспор-
ное осуществление геометрии Лобачевского, хотя бы
и «в малом»; они—в первом приближении—решали задачу
о её логической непротиворечивости в форме, достаточно
убедительной для большинства, в силу чего к неевклидо-
вой геометрии было привлечено общее внимание мате-
матиков.
Бельтрами хорошо понимал значение геометрических
идей Лобачевского. Он писал, что новым идеям, «невиди-
мому, суждено глубоко изменить составившиеся до сих
пор понятия о происхождении геометрических истин»1).
х) Бельтрами, Опыт объяснения неевклидовой геометрии
(Сборник «Об основаниях геометрии», Казань, 1895, стр. 1).
202
Э. К. ХИЛЬКЕВПЧ
В каком именно направлении мыслил Бельтрами это
изменение, показывает его оценка роли опыта в геометрии,
согласная с оценкой Лобачевского. Следуя Лобачевскому,
Бельтрами заявлял, что «только измерения, сделанные
в реальном пространстве, могут нас убедить, что частное
значение его кривизны есть нуль»1).
* *
*
Деятельность Ф. Клейна в области неевклидовой
геометрии широко известна.
Во-первых, Клейн дал первую наглядную интерпре-
тацию всего пространства Лобачевского в целом, которая
явилась доказательством]] непротиворечивости системы
Лобачевского. Клейн сделал это на основе работы Кэли.
Однако Клейн заблуждался, полагая, что сам Кэли
не применил свои результаты для истолкования геометрии
Лобачевского лишь потому, что не был знаком с этой
геометрией. Факты говорят о том, что Кэли озна-
комился с геометрией Лобачевского на несколько лет
раньше, чем Клейн, и тем не менее не Кэли, а именно
Клейн догадался о существовании связи между проек-
тивным мероопределением и неевклидовой геометрией.
Точно так же заблуждался Клейн, переоценивая значение
проективного истолкования геометрии Лобачевского.
В 1871 г. он полагал, что исчерпал все стороны вопроса
о гиперболической геометрии, не предугадав того, что
геометрия Лобачевского допускает другие интерпретации
и находится в таких глубоких связях с другими отраслями
математики, которые могли быть раскрыты лишь посте-
пенно.
Во-вторых, в интересах обоснования проективной
интерпретации системы Лобачевского Клейн продвинул
вперёд обоснование проективной геометрии и тем самым
как бы исполнил завет Лобачевского о вовлечении неевкли-
довой геометрии в деловое сотрудничество с другими
науками. Исправляя Штаудта, Клейн доказал независи-
мость проективной геометрии от аксиомы параллель-
х) Бельтрами, Основная теория пространств с постоян-
ной кривизной (пер. П. Мей, Казань, Изв. Физ.-мат. общ.. 1893).
РАСПРОСТРАНЕНИЕ II РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 203
кости, принял участие в разработке строгого доказатель-
ства основной теоремы Штаудта и показал невозмож-
ность обоснования проективной геометрии на плоскости,
не прибегающего к аксиомам пространства. Весь этот
вклад в проективную геометрию есть прямое следствие
того влияния, какое Лобачевский оказал па развитие
математики.
В-третьих, Клейн, по намёкам Римана, детально раз-
работал новую неевклидову концепцию—концепцию
эллиптической геометрии, указав также и её осуще-
ствление. Далее Клейн рассмотрел три геометрические
системы: Лобачевского, Евклида и эллиптическую—в их
глубокой внутренней связи и на общей основе.
Наконец, своим мему аром от 1871 г. о неевклидовой
геометрии1), а затем и своими лекциями по неевклидовой
геометрии Клейн существенно способствовал широкому
распространению идей Лобачевского.
О Н. И. Лобачевском Клейн говорил: «Тем более
мы должны изумляться глубокому уму исследователя,
который пробился к ясному конечному результату, не имея
перед собой наглядной картины отношений, о которых
идёт речь». Этой короткой фразой Клейн признал то
обаяние, которое внушал, внушает и всегда будет внушать
могучий ум Лобачевского. Признавая и высоко ценя
труды Лобачевского по неевклидовой геометрии, Клейн,
однако, совершенно неверно излагал историю сё воз-
никновения, слепо преклоняясь перед Гауссом и всячески
переоценивая его роль. Вообще известно, что в своих
исторических работах и высказываниях Клейн тенден-
циозно превозносил всё немецкое, отдавая тем самым
дань своим националистическим настроениям.
Мему ар Клейна от 1871 г. «О так называемой неевкли-
довой геометрии» представлял собою первый шаг в сто-
рону широких геометрических обобщений. Три геометри-
ческие системы оказалось возможным рассмотреть с одной
общей точки зрения. Большую роль в этом рассмотрении
играли проективные преобразования, именно те, которые
*) F. Klein, Ueber die sogenannte nicht-euklidische Geo-
metrie (Mathem. Annalen, т. IV, 1871).
204
Э. К. ХПЛЬКЕВИЧ
оставляют абсолют неизменным. Следующим шагом было
применение понятия группы к геометрии всюду, где веду-
щая роль принадлежит понятию равенства или, по край-
ней мере, некоторого рода эквивалентности фигур.
Никоим образом нельзя считать случайным обстоя-
тельством то, что вслед за мему аром 1871 г. последовала
так называемая Эрлангенская программа 1872 г.1), в кото-
рой геометрия определена как теория инвариантов данной
непрерывной группы преобразований. Эрлангенская про-
грамма должна была появиться в результате взаимодей-
ствия следующих трёх основных факторов, сложившихся
к началу 70-х годов XIX столетия. Во-первых, оказалась
достаточно разработанной теория инвариантов, привлек-
шая внимание математиков. Во-вторых, достаточно полно
сложились основы теории групп. В-третьих, сближение
двух неевклидовых систем с евклидовой на основе рас-
смотрения преобразований, обобщающих евклидовы дви-
жения, должно было дать и действительно дало послед-
ний толчок к рождению идеи представления геометрии
на базе группы преобразований. Совершенно очевидно,
что Эрлангенская программа родилась в результате
дальнейшего развития идей Лобачевского, развития, про-
исходившего в тесном взаимодействии с другими прогрес-
сивными идеями в математике.
Говоря о Клейне, нельзя не упомянуть о том, что
он познакомился с геометрией Лобачевского в 1869—
1870 гг., после того как в математической литературе
появилось уже довольно много высказываний о значении
неевклидовой геометрии для философии математики. Тем
не менее Клейн примерно до 90-х годов тщательно ста-
рался создать видимость своего нейтралитета в этом
вопросе, заявив, что его исследования «не связаны с фило-
софскими умозаключениями». Те философы, которых знал
Клейн, отталкивали его своими метафизическими слово-
излияниями явно идеалистического характера. С другой
стороны, Клейн, конечно, был весьма далёк от материали-
*) F. Klein, Vergleichende Betrachtungen uber neuere geo-
metrische Forschungen, Erlangen, 1872. Русский перевод: Сравни-
тельное обозрение новейших геометрических исследований (Изве-
стия Казанского Физ.-мат. общ., 2 серия, т. 5, 1896).
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 205
стической философии. Однако уйти от философии Клейну
не удалось. Его мемуары вызвали нападки, прежде всего,
со стороны философов-идеалистов, в частности, со стороны
Лотце, этого эпигона немецкого идеализма, который
пытался примирить данные естествознания с данными
философского идеализма. Лотце, как и подобало идеа-
листу, заявил, что «все неевклидовы геометрии — неле-
пость».
Впоследствии Клейн не раз высказывался по этому
коренному вопросу оснований геометрии. В частности,
он заявил, что «безусловно неверно мнение, будто непо-
средственное чувственное восприятие учит нас суще-
ствованию в точности одной параллели». Он утверждал
также, что по состоянию точности наших измерений
мы должны считать и евклидову и гиперболическую
геометрию соответствующими данным опыта.
Небольшой объём настоящей статьи не позволяет под-
робно обрисовать роль Римана в развитии идей Лобачев-
ского. К тому же она широко известна. Здесь, однако,
уместно отметить, что Лобачевский дважды сыграл ре-
шающую роль в судьбе концепций Римана: 1) геометри-
ческое учение Римана могло возникнуть лишь после пере-
ворота в геометрии, произведенного Лобачевским, 2) оно
получило известность лишь после того, как стало воз-
рождаться учение Лобачевского. В этом последнее отно-
шении Риман до поры до времени разделял участь того,
кто на 10 лет опередил его с публикацией о концепции
n-мерного многообразия, т. е. Г. Грассмана, который
в 1878 г. жаловался, что ни Риман в 1854 г., пи
Гельмгольц в 1868 г. не упомянули о его, Грассмана,
общем учении о протяжении, и его идеи «во вред пауке
оставались почти совсем незамеченными»1). Семена уче-
ний Грассмана и Римана были собраны из урожая, вы-
ращенного на ниве новых идей Лобачевского, и, будучи
брошенными обратно на эту ниву, дали всходы лишь
после того, как стаял лёд, сковывавший её, т. е. после воз-
рождения идей Лобачевского.
') Н. G rassman, Die Ausdehnungslehre. 1878 г., стр
20G	Э. К. ХИЛЬКЕВИЧ
5. Поздние искатели «доказательств» пятого
постулата Евклида
В процессе развития идей Лобачевского происхо-
дила напряжённая борьба между старым и новым. В обла-
сти элементарной геометрии борьба происходила вокруг
пятого постулата Евклида: сторонники Лобачевского
понимали, что пятый постулат по вытекает из начальных
понятий геометрии и нс может быть доказан с их помощью.
Противники его идей не теряли надежды найти доказа-
тельство пятого постулата. Одно из этих «доказательств»,
а именно «доказательство», предложенное Картоном и под-
держанное академиком Бертраном, получило особенно
большую известность и связано с любопытным эпизодом
борьбы между «лобачевскианцами» и «аптилобачевскиан-
цами».
«Доказательство» Картона имеет свою историю, нача-
тую итальянским геометром Камилло Минарелли, кото-
рому подражал Картон. Минарелли опубликовал своё
доказательство пятого постулата в 1826 г., т. е. в тот
самый год, когда Лобачевский впервые провозгласил
своё учение. В 1849 г., благодаря Анджело Дженоккп,
теория Минарелли проникла во французскую печать1).
Минарелли ставил своей целью доказать, что сумма
углов, треугольник а равна двум прямым углам. Отсюда,
как это до Минарелли было доказано Лежандром (на кото-
рого и ссылается Минарелли), следовало бы, что две
параллельные прямые пересекаются третьей прямою под
равными внутренними пак реет л ежащим и углами.
Отправным пунктом для Минарелли служит доказан-
ное Лежандром предложение: сумма трёх углов треуголь-
ника не может быть больше двух прямых углов. Отсюда
вытекает следствие: сумма четырёх углов четырёхуголь-
ника не может быть больше четырёх прямых углов.
С помощью этих предложений легко и бесспорно доказы-
J) С. Minarelli, Dimostrazione del quinto postulate
d'Euclide, Bologna, Annales de Ferusac, 182G.
A. Genocchi, Theorie des paralleles, par M. Camillo Mina-
relli. (Nouvelles annales de mathematique, т. VIII, Paris, 1849,
стр. 312—314).
РАСПРОСТРАНЕНИЕ II РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 20?
вается, что в прямоугольной трапеции к большему осно-
ванию прилегает острый угол (лемма 2 Мина релли).
Кроме того, для доказательства Минарелли требуется
знать, что, по крайней мере, у одной из трёх высот тре-
угольника основание находится между концами соответ-
ственной стороны (лемма 3 Минарелли).
На этой основе развёртывается доказательство леммы
4-й: сумма трёх углов треугольника равна двум прямым
углам.
Доказательство Минареллн,
Дан треугольник АВС так, что высота BE целиком
содержится внутри него (черт. 4). Продолжим основа-
ние АС и построим неогра-
ниченную последователь-
ность треугольников СВ Сх,
СХВ2С2, С2В3С3 и т. д., рав-
ных треугольнику АВС, так
что АС=ССХ, СВХ=АВ,
ВХСХ=ВС ит. д. В точке А
восставим к АС перпенди-
куляр AD>BE, и в D пер-
пендикуляр DK к AD, про-
ведя DB, получим острый
угол ADB (лемма 2). Если
провести DXBX, D2B2 ит.д., то окажется, что прямая DK
не может войти ни в один из треугольников АВС, СВХСХ,
СХВ2С2 и т. д. Соединим вершины В, Вх, В,,... прямыми
ВВХ, ВХВ2... Возьмём на прямой DK какие-либо точки
DvD2,Ds,..,, проведём DXB, D2Bx, ... Предположим, что
сумма S трёх углов треугольника равна z—о; пятиугольник
ADDXBXC содержит пять треугольников: ABD, DBDX,
BDXBX, ВСВХ, АВС', сумма S пятнадцати углов этих
треугольников не может быть больше о1). Углы
вокруг точки В составляют 2-. Следовательно, сумма
х) Если в каком-нибудь одном треугольнике S меньше -к, то
и в любом другом также S меньше те, по, может быть, не на з, а па
Другую величину. Пусть, например, сумма S углов пятп треуголь-
ников равна 5те—z—сх—z,—с3—с4. Тогда, во всяком случае,
8<5те—а, так как каждое из чисел с>0.
Э. К.^ХИЛЬКЕВИЧ
208
7------
пяти углов пятиугольника ADDXBXC ые может быть
больше Зтг—а. Рассмотрим теперь пятиугольник ADDJB2CX,
прибавим к углам первого пятиугольника углы треуголь-
ника СВХСХ и углы треугольников DXBXD2, BXD2B2.
Вся сумма будет меньше 7к—2а. Но углы вокруг точек
Dlf Вх и С составляют вместе 4~. Поэтому сумма углов
второго пятиугольника меньше 3-—2а. Доказывается
также, что сумма углов третьего пятиугольника ADDaB3C2
меньше Зт:—За; и для п-го пятиугольника сумма углов
меньше Зт:—па. При увеличении п величина па превзой-
дёт 3~, и, следовательно, получится пятиугольник, сумма
углов которого будет отрицательной, что невозможно.
А потому а =0, и сумма углов треугольника АВС равна к,
что и требовалось доказать.
Это доказательство вызвало возражение Е. Лионне2).
Лионне указал, что в фигуре, посредством которой Мина-
релли провёл своё доказательство, предполагается, что
точка Вх расположена внутри угла BDK, точка В2—вну-
три угла BXDJC и т. д., но это у Минарелли не доказано.
Можно, правда, отвести это возражение, предполагая
прямые BDX, BXD2J B2D3,... перпендикулярными DK\
но тогда, справедливо замечает Лионне, следует доказать,
что точка D2 не расположена между D и Dx, что точка Da
не расположена между D и D2 и т. д. Лионне указал, что
аналогичные возражения представили Лебег, Бретон
и Финк.
Возражения Лионне и упоминаемых им других мате-
матиков остались без ответа. Опровергнуть возражения
Лионне и других па базе «Начал» Евклида или «Гео-
метрии» Лежандра нельзя было уже хотя бы потому,
что ни Евклид, ни Лежандр не разрешили вопросы о взаим-
ном расположении точек на прямой линии. Положение,
правда, не изменилось бы и в том случае, если бы они
сделали это, так как тогда нашлись бы Другие возраже-
ния. А поэтому сторонникам отсталых геометрических
воззрений оставалось лишь ссылаться на наглядность,
на «очевидность», на то, что точки и прямые «очевидно»
2) Е. Li о n n е t, Note sur la theorie des parallfcles. (Nou-
velles Annales de math^matique, т. IX, Paris, 1850, стр. 37).
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕИ ЛОБ КИЕВСКОГО 209
расположены именно так, как показывает их чертёж.
Но именно этот вопрос об «очевидности» их доказательств
и оказался глубоко связанным со стоящим на грани между
математикой и философией вопросом о природе матема-
тической достоверности и очевидности. Спор начал пере-
ходить с математических позиций на философские.
Почти через 40 лет после первой публикации Мина-
релли его метод нашёл продолжателя в лице Картона.
В конце 60-х годов XIX столетия разрабатывалось так
много «доказательств» пятого постулата Евклида и так
много их направлялось в учёные учреждения, что при
Парижской Академии существовала целая комиссия по их
рассмотрению.
Доказательство Картона, наделавшее в общем доста-
точно много шуму, было передано на рассмотрение Бер-
трана. Бертран дал положительную оценку работе Кар-
тона и пришёл к выводу, что Картону удалось доказать
пятый постулат. В связи с этим Бертран выступал в засе-
даниях Академии 20 декабря 1869 г. и 3 января 1870 г.,
а в «Comptes rend us» появились две его заметки по этому
вопросу1). Перевод заметок Бертрана был напечатан без
всяких комментариев и без указания фамилии перевод-
чика в четвёртом томе молодого тогда ещё московского
журнала «Математический сборник»2). Мы воспроизво-
дим доказательство Картона в той форме, какую придал
ему Бертран. Исходные положения Картона таковы:
а)	Прямая линия бесконечна и может быть продол-
жаема беспредельно в обе стороны; две разные прямые
линии могут иметь не более одной общей точки. Плоскость
также бесконечна, и на ней можно уложить по какому
9 J. Bertrand, Sur la somme des angles d’un triangle (Comp-
tes rendus, LXIX, № 25, 1869); Sur la demonstration relative
a la somme des angles d un triangle (Comptes rendus, LXX, 1870)
2) Как увидим далее, имеются основания полагать, что пере-
вод заметок Бертрана в «Математическом сборнике» был напечатан
при ближайшем участии проф. В. Я. Цппгера. В 80-х годах XIX сто-
летия доказательство Картона, по инициативе проф. В. П. Ерма-
кова, было воспроизведено в «Вестнике опытной фпзпки и элемен-
тарной математики» и опровергнуто наставником Гатчппской учи-
тельской семинарии В. Соллершнским (см. «Вестник оп. физики
и эл. мат.», № 17, 1886, № 31, 1887 и № 41, 1887).
Историко-математ. исследования
Э. К. ХИЛЬКЕВПЧ
угодно направлению сколько угодно равных между собой
плоских фигур.
б)	Сумма 5 внутренних углов треугольника не может
быть больше 2(7.
в) В предположении S^'2d справедливы две леммы:
1) если в середине нижнего основания четыреуголь-
ника Саккери восставить перпендикуляр, то он будет
перпендикулярен и к противоположной стороне четыре-
угольника; 2) если к прямой АВ восставить перпендикуляр
РК и к прямой РК перпендикуляр КХ, то все точки пря-
Черт. 5.
мой КХ будут нахо-
диться от линии АВ
на расстоянии, не
меньшем КР.
г) Третья лемма:
если все точки пря-
мой КХ (см. вторую
лемму) не находятся
на одинаковом рас-
стоянии от прямой
АВ, то расстояния их от АВ становятся всё больше
и больше по мере удаления точек прямой КХ от К.
Доказав эти леммы, Картон стремится привести гипо-
тезу 5<2(7 к противоречию следующим образом. Рас-
смотрим треугольник АВС (черт. 5). В нём, по крайней
мере, два угла острые. Пусть это будут углы А и В.
Продолжим сторону АВ и отложим па пей п—1 отрезков
ВВХ, BJB*,..., Вп_2Вп_г, равных АВ так, что АВп_1 =
-п-АВ. Построим на этих отрезках треугольники ВХСХВ,
B2C2BV ..., Вп^Сп ,Вп_2, равные треугольнику АВС,
и соединим их вершины прямыми ССХ, СХС2, ..., Сп_2
Будет ли линия CCt С2 ... Сл_2 прямою или ломаною,
на ней не может быть такой точки М, расстояние которой
от АВ превосходило бы высоту’ СР треугольника АВС.
Пусть К—точка прямой СР такая, что РК>СР.
В точке К восставим перпендикуляр КХ к РК\ линия КХ
пройдёт выше всех вершин С, С х, С2, ..., СГ1^1. Построим
ещё 71—1 треугольников CDCX, CXDXC2, ..., Cn_2 Dn_2 Cn_v
основаниями которых служат отрезки ССХ, СХС2, ...,
а вершины взяты в точках D, Dx, ..., Z)n_2
Р4С.ПРОСТР MIEHIIE II P V3RIITIIE ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 211
прямой КХ, расположенных так, что
KDn ,2 > KD„ t > ... > КIX >KDt> KD.
Получается шестиугольник С DD п_2С П1 В п^А. Этот
шестиугольник составлен из 4 л—4 треугольников; из них
н треугольников равны треугольнику АВС. Положим, что
сумма углов треугольника АВС равна 2d—л, где а>0.
Тогда сумма углов всех 4rt—4 треугольников будет
равна S=(2d—'x)n + 2d(3n—fi)—x, где я—сумма дефектов
остальных Зп—4 треугольников, или S =8dn—8d—пх — х.
Обозначим сумму углов шестиугольника буквою ~.
Тогда сумма углов всех треугольников выразится так:
5=£4-2d (л—1)4- W (л-2) + 2<7 (/?—3),
где 2d(n— 1)— сумма углов при вершинах Z?, Z>\,	Вп_2,
dd(n— 2)— сумма углов при вершинах Clt С2, ..., Сп 2,
2d(n—3)— сумма углов при вершинах D1} D2, .... Dn_2.
Следовательно, 5=-d-8(Zn -16d. Сравнивая два выра-
жения 5, имеем
- -р Sdn— 16 d = 8dn—8d —nz—x,
откуда
у = 8d—лу.—x.
Но при достаточно большом n должно получиться
для L отрицательное значение, что невозможно. Тем
самым, как считал Бертран вместе с Картоном, гипотеза
S<2d приведена к противоречию, а следовательно, гипо-
теза S = 2d, а с пою и пятый постулат могут считаться
доказанными.
Совершенно очевидно, что доказательство Картона есть
лишь вариант доказательства Минарелли. На это обстоя-
тельство сразу обратил внимание Лионне. В специальной
заметке *) Лионне заявил:
«Доказательство Картона, лзлож иное г. Ж. Бер-
траном в заседании 20 декабря 1869 г., является лишь
воспроизведением доказательства г. К. Минарелли, о кото-
ром было сделано сообщение со стороны г. Дженокки
—— _______
) Е. Lionnet, Sur le post ula turn d’Euclide (Compte^
rendus, Paris, 1870, стр. 31-32).
14*
215
5. К. ХИЛЬКЕВИЧ
из Турина, господину Terquem1), опубликовавшему его
в «Nouvelles Annales de Mathematiques», т. VIII, стр. 312».
Здесь-то Лионне и заметил, что его старые возражения
против доказательства Минарелли, написанные 20 лет
тому назад, так и остались без ответа.
На сообщённое Бертраном доказательство Картона
откликнулись многие. Так, в частности, на следующем же
заседании Парижской Академии 27 декабря 1869 г.,
Лионне подал в президиум Академии закрытый пакет,
содержавший упомянутое замечание о прямой связи
доказательства Картона с доказательством Минарелли
и ссылку на сделанное им, Лионне, в 1850 г. возражение,
оставшееся без ответа. Пакет этот, впрочем, был вскрыт
лишь через две недели.
Ознакомившись с некоторыми возражениями, Бер-
тран выступил с ответными возражениями в заседании
3 января 1870 *г. Но возражения и отклики продолжали
поступать. В очередном заседании, 10 января 1870 г.,
Лионне потребовал, чтобы его пакет был вскрыт, что
и было выполнено непременным секретарём Академии.
Совершенно ясно, что возражения, сделанные Лионне
по поводу доказательства Минарелли, относились и к дока-
зательству Картона. В том же заседании 10 января были
оглашены другие сообщения по данному вопросу. Буйо
сообщил, что он давно занимается вопросом о пятом посту-
лате и путём долгих размышлений пришёл к выводу,
что доказать пятый постулат Евклида, исходя из рас-
смотрения бесконечности, как это сделал Картон, невоз-
можно. Фюи, не возражавший по существу против возмож-
ности доказать пятый постулат, протестовал против апел-
ляции к бесконечности и хотел обратить внимание Ака-
демии на своё доказательство пятого постулата, изложен-
ное им в специальной брошюре и свободное от рассмотре-
ния бесконечности. Гуэль через посредство Аббади
также представил свои возражения2), которые мы здесь
воспроизводим.
г) Редактор журнала «Nouvelles Annales de Mathematiques».
a) J. Hoiiel, Sur l’impossibilit6 de demontrer par une
construction plane le principe des paralleles (Nouvelles Annales
de math£matiques, т. IX, 1870).
Р А СПР ОСТРА ПЕНИЕ
И РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 213
Ссылаясь на истолкование плоскостной геометрии
Лобачевского, которое дал Бельтрами, Гуэль писал:
«... Площадь геодезического многоугольника с числом
сторон, равным и, на поверхности постоянной отрица-
тельной кривизны пропорциональна разности между сум-
мой его углов и числом (2тг—4)-^ . Из этого следует, что
эта площадь имеет величину, всегда меньшую некоторого
максимума. Если хотят обосновать доказательство посту-
лата параллельности на рассмотрении шестиугольника,
то необходимо, чтобы шестиугольник допуска л построение
независимо от постулата, т. е. чтобы в плоскости были
допущены предварительно все свойства поверхностей посто-
янной отрицательной кривизны. Но тогда площадь этого
шестиугольника не может вмещать в его внутренней обла-
сти неограниченное количество треугольников, равных
между собою и конечной величины. Из этого следует,
что по достижении некоторого предела периметр шести-
угольника пересекает сам себя, в каком случае доказа-
тельство не будет возможным».
Более осторожно, но также отрицательно, высказался
академик В. Я. Буняковский1), хотя он и не был сторон-
ником идей Лобачевского. Возражения Буняковского
сходны с возражениями Лионне. Буняковский считал
недоказанной необходимость именно такого расположе-
ния углов шести треугольников вокруг любой из точек
Clt С2, ..., Сп_2, при котором они не перекрывают друг
друга, а дают в сумме 4d.
В конце концов, и возражения Гуэля и возражения
Лионне —Буняковского сводятся практически почти к од-
ному и тому же—к невозможности получить фигуру
Картона или к невозможности доказать, что она может
получиться. Подобного рода возражения против дока-
зательства Минарелли—Картона резюмировал немецкий
математик Р. Бальтцер.
В начале 60-х годов Бальтцер ещё отдавал дань отста-
лым взглядам на пятый постулат и в первом издании своего
курса элементарной геометрии «доказывал» пятый посту-
х) См. сноску на стр. 178.
214
Э. К. ХИЛЬКЕВПЧ
лат Евклида как теорему. Но, ознакомившись с новыми иде-
ями, Бальтцер воспринял точку зрения «лобачевскианцев»
на пятый постулат,как на логически недоказуемое суждение.
В 1870 г. Бальтцер опубликовал статью «О гипотезах
теории параллельных», которая была затем перепеча-
тана в 1871 г.1). В этой статье Бальтцер рассматривал
фигуру (черт. G), составленную из треугольника АВС,
к которому последовательно прилагаются равные ему
треугольники BCJ^, BfiJB., и т. д., с основаниями BBlt
п	В.В2, ..., расположенными на
------------- ------------С	продолжении А В. Затем отме-
/	_чается точка D, находящаяся
/	\	/	\ от АВ на расстоянии, боль-
//	------'di шем чем расстояние точки С
" й	от АВ, и притом так, что
"	прямая АС находится внутри
ЧеРт' 6-	угла BAD. Бальтцер указал,
что при данном построении
заявление о возможности такого расположения последова-
тельных четыреуголышков ABCD, ABfifi и т. д., при кото-
ром предыдущий четыреугольник заключён внутри после-
дующего, само по себе является гипотезой. Эта гипотеза
совместна лишь с предположением, что в треугольнике сум-
ма S углов равна-, а с предположением 5<к данная гипо-
теза находится в противоречии.Бальтцер считает, что Мина-
реллн и Картон пользовались именно такой гипотезой
в несколько более сложных условиях. Заметка Бальтцера
заканчивается утверждением, что существование свободной
от противоречия абстрактной неевклидовой геометрии
лишает надежды обосновать геометрию Евклида, не прибе-
гая к какой-либо гипотезе, эквивалентной пятому постулату.
Другой математик Гюнтер2 * * *) писал о доказательстве
Картона: «... Несмотря на то, что на первый взгляд
*) R- В а 1 t z е г, Ueber die Hypothese der Parallelentheorie
(Journal fiir die rcine und angewandte Mathematik, т.73, Berlin, 1871).
2) Автор имел в своём распоряжении итальянский перевод статьи
Гюнтера: S. Giinter, Sulla possibilita di dimostrare l assioma della pa-
rallele medianteconsiderazioni stereometriche complement© alia geo-
metria absolute di Bolvai (Giornale dimatematiche, т. XIV, Napoli,
1876).	r
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГ О 215
вышеуказанное доказательство могло поразить неожидан-
ностью и что такой авторитет, как Бертран, высказался
в его пользу, всё же глубокий анализ Бальтцера выявил,
что в этом же самом доказательстве не делается ничего
другого, кроме того, что одна аксиома подменяется
другою, хотя это и было сделано так, что могло быть
обнаружено только опытным глазом».
Заметим попутно, что в цитируемой статье Гюнтер
рассматривал вопрос о возможности доказать пятый
постулат средствами стереометрии и, конечно, пришёл
к отрицательному выводу. Над вопросом о возможности
доказать пятый постулат средствами стереометрии заду-
мывались в то время многие математики. Попытки разре-
шения этого вопроса могли бы составить содержание осо-
бого исторического этюда.
Причину ошибочного убеждения Бер грана в доказуе-
мости пятого постулата нужно искать ве взглядах Бер-
трана на природу аксиом геометрии и математической
достоверности вообще. Упрекая лобачевскианцев в том,
что они требуют нс абсолютно]! достоверности того или
иного геометрического предложения, а лишь согласова-
ния его с принятыми аксиомами, Бертран утверждал,
что «стремление установить науку на одном чистом мыш-
лении, не вводя в неё непосредственного понимания каса-
тельно идей о пространстве, кажется нам совершенной
химерой; очевидность во что бы то ни стало должна быть
призвана на помощь». «Всякий, кто думает доказывать
постулат Евклида,—продолжал Бертран, имеет в виду,
конечно, те упорные умы, которые вс хотят признать
очевидности этого постулата, и старается показать им, что,
отвергая его, мы получаем столь нелепые выводы, что
с ними никто нс может согласиться».
Таким образом, по Бертрану, математики разделяются
на две группы. Для математиков первой группы пятый
постулат Евклида очевиден настолько, что его не нужно
и доказывать. К этой группе относился и сам Бертран,
так как несколько далее он заявляет, что для него лично
очевидность посту .чата Евклида вполне убедительна сама
по себе. По мнению Бертрана, некоторые математики
первой группы стараются доказать пятый постулат
216
Э. К. ХИЛЬКЕВИЧ
не потому, что это действительно необходимо, а для того,
чтобы убедить математиков второй группы в истинности
пятого постулата и показать им, что «отвергая его, мы
получаем столь нелепые выводы», с которыми никто
не может согласиться.
Математики второй группы истинность пятого посту-
лата но принимают априори, а «очевидность» вообще
отказываются принять в качестве мерила истинности.
Математики этой группы считают, в частности, что пятый
постулат никак не связан с понятием прямой линии,
что понятие прямой линии не обусловливает собою пятый
постулат. Их великий родоначальник Лобачевский прямо
заявлял: «... вопреки мнению Лежандра, все остальные
несовершенства, как, например, определение прямой линии,
(►называются здесь посторонними и лишены всякого влия-
ния на теорию параллельных линий»1).
Бертран же/ напротив, считал, что понятие прямой
линии и пятый постулат столь тесно связаны между собой,
что если в геометрии введено понятие прямой, то введён
и пятый постулат.
«Постулат Евклида, — писал он, — очевидность кото-
рого, что касается меня, полностью меня удовлетворяет,
равносилен с понятием, неотделим от понятия прямой
линии, что на обыкновенном языке можно выразить,
говоря: прямая линия не может представить никакого,
даже малейшего отклонения». (От чего не может откло-
няться прямая линия, — автор не разъясняет.) По утвер-
ждению Бертрана, Картон признавал «в самой очевидной
и неоспоримой форме то непосредственное понимание
прямой линии, без которого геометрия, во всяком случае,
нс может обойтись».
Бетран писал свою заметку в те годы, когда уже раз-
горелись сильнейшие споры о природе аксиом геометрии
и происхождении геометрических понятий. Быть не может,
чтобы он не знал, например, о многократных высказы-
ваниях Гуэля и других по вопросу о роли опыта в воз-
9 Цитируется по переводу проф. В. Ф. Кагана: Н. И. Лоб а-
чевский, Геометрические исследования по теории параллель-
ных линий, изд. АН СССР, 1945,
РАСПГОС!РАНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 217
никновении геометрии. Если бы Бертран видел опору
геометрии в опыте, то едва ли в пылу спора со столь
«упорными» умами своих противников он не захотел бы
апеллировать к опыту, тем более что противники Бер-
трана, т. е. сторонники Лобачевского, как раз призна-
вали опыт основным источником исходных понятий
и аксиом геометрии1). Почему же, казалось бы, не бить
противников их собственным оружием, если Бертран
признавал, что «очевидность» свойств прямой линии и
«очевидность» пятого постулата обусловлена опытом?
Нет, опыт не являлся оружием Бертрана, и, в действитель-
ности, не опытом, а априорными философскими сообра-
жениями была обусловлена «очевидность» евклидовой
геометрии для Бертрана. Нам кажется, что легко указать
ту философскую систему, которая полностью совмест-
на со взглядами Бертрана. Эта система—учение Канта.
Около ста лет отделяют рассматриваемый памп период
времени от момента выхода в свет философских сочине-
ний Канта. Если в ранних сочинениях Канта былп неко-
торые прогрессивные стороны, оказавшие положительное
влияние на развитие науки, то дальнейшее развитие его
взглядов оказалось реакционным, тормозящим развитие
науки и, в частности, геометрии. Сторонники «очевид-
ности» и «неизменности» геометрических аксиом, несмотря
па различные оттенки в понимании природы геометрии,
так или иначе оказывались связанными с Кантом. Учение
Канта создало весьма благоприятные условия для воз-
никновения путаных взглядов на роль опыта в точных
науках. По Канту, пространство, как и время, есть
«доопытная» форма чувственного созерцания человека,
форма сознания. Объективный мир существует и воздей-
ствует на наши чувства, однако наши представления
о реальных вещах предопределены априорными формами
«чистого разума» и априорными формами связи между
ощущениями и понятиями. Поэтому мир в сущности непо-
знаваем, и мы не можем судить, каков он на самом деле:
те представления о вещах, которые образуются в нашем
. Мало того, Гуэль вслед за Лобачевским указывал, что
клидова геометрия вполне удовлетворительно соответствует
опыту в пределах точности наших наблюдений.
2 IS
Э. К. ХИЛЬКЕВИЧ
сознании иод влиянием ощущений, существенно отличны
от самих вещей. Согласно Канту, «тела и движения суще-
ствуют нс как нечто находящееся вне нас, а только как
представления в нас, и потому движения материи не про-
изводят в нас представлений, а сами суть... только пред-
ставления»1). Аксиомы геометрии —суждения о свойствах
пространства, во само пространство, по Канту, есть
«наша субъективная форма, в которую облекаются ощу-
щения»2), иначе говоря, пространство объективно не су-
ществует, а то субъективное, что мы называем простран-
ством, врождепо нам как нечто априорно данное, по зави-
сящее от опыта. Аксиомы геометрии непоколебимо истинны,
так как определяются врождёнными формами сознания
и не зависят от опыта. Условием истин математики, по
Канту, являются априорные формы рассудка; основой
математического познания является «чистое наглядное
представление», определяемое этими априорными фор-
мами. Таковы взгляды Канта па пространство, явно
идеалистическая, реакционная сущность которых обще-
известна.
Из предыдущего, как нам кажется, прямо следует,
что тот, кто говорит о непоколебимой истинности ак-
сиом евклидовой геометрии, не ссылаясь при этом на
опыт, понимаемый материалистически, тот сознательно
или бессознательно следует реакционным воззрениям
Канта.
Бертран, как мы видели, призывал на помощь очевид-
ность. По что может означать «введение в науку непосред-
ственного понимания касательно идей о пространстве», из
которых «с очевидностью» вытекали бы аксиомы геомет-
рии, как не экскурс в области кантианства?
Наша оценка философского значения взглядов Бер-
трана подтверждается высказываниями другого человека
той же эпохи, который принимал участие в опубликова-
нии заметок Бертрана в России и который тоже любил
’) 3. Кант, Критика чистого разума, Петроград, 1915,
стр. 244.
2) А. II. Смирно в, Об аксиомах геометрии л связи с уче-
нием неогеометров о пространствах разных форм и многих измере-
ний, Казань, 189^, стр. 3.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ и РАЗ ПИТИЕ ИДЕИ ЛОБАЧЕВСКОГО 210
ссылаться на «очевидность». Мы имеем в виду весьма
последовательного идеалиста, профессора В. Я. Ципгера1).
В. Я. Цингер утверждал, что материальный мир суще-
ствует, но духовный мир человека имеет свою особую,
духовную природу, не зависящую от материального мира.
В двух своих публичных выступлениях2) но философским
вопросам в 1874 г. и в 1894 г. В. Я. Цингер решительно
отмежевался от всякой связи с опытом в вопросе о про-
пс хождении математических аксиом. Он считал, что иссле-
дования Лобачевского и Римана не могу т изменить прежних
оснований геометрии, что основания геометрии вытекают
из очевидности—из той очевидности, которая, по Цин-
геру, есть «само пространство» как «представление
в нашем уме». Способность к этому представлению «не под-
чиняется никаким физическим законам—она вполне
самобытна»... «Мы можем мысленно устранить все мате-
риальные предметы, но тогда перед нашим умственным
взором предстанет образ безграничной, бесконечной,
непрерывной, повсюду и по всем направлениям однообраз-
ной пустоты, того абсолютного простора, который оказы-
вается необходимой средою и вместилищем всех внешних
явлений и всех наших представлении, и который носит
название пространства». «Это есть,—продолжает Цингер,—
чистое, никаким внешним чувствам недоступное и от них
совершенно независимое представление, с совершенной
полнотою и ясностью открытое для нашего ума...». Как
аксиомы геометрии, так и первые положения арифметики
и анализа получают, по Цингеру, характер бесспорных
истин только через представление пространства.
По характеристике Б. К. Млодзеевского, в обоих
своих выступлениях В. Я. Цингер явился защитником
абсолютной достоверности аксиом геометрии как истин,
х) В 1870 г., когда появились в «Математическом сборнике»
статьи Бертрана, В. Я. Цингер был вице-президентом Московского
математического общества и принимал участие в редактировании
«Математического сборника».
2) В. Я. Цингер, Точные науки и позитивизм. Отчёты
11 речи, произнесённые в торжественном собрании Московского
университета 12—I—1874 г., Москва, 1874.—Недоразумения во
зглядах на основания геометрии (Приложение к дневнику IX съезда
естествоиспытателей и врачей), 1894.
220
э. К. XИЛЬКЕВИЧ
имеющих не опытное происхождение, а вытекающих
из способности нашего духа непосредственно и с полной
ясностью созерцать пространство как вместилище всех
представлении внешних предметов г). Так В. Я. Цингер
философски совершенно точно расшифровал лаконичные
замечания Бертрана об очевидности.
В своих заметках о сумме углов треугольника Бер-
тран не мог не отдать должное Лобачевскому, которого
он считал нарушителем устоев геометрии.
... «Замечательный геометр Лобачевский, из Казани,
имел смелость спросить: что станется с геометрией, если,
признав постулат Евклида неточным, мы допустим, что
сумма углов треугольника отличается от двух прямых-
углов? Обладая сильным проницательным умом и глубо-
кими сведениями в самых высших отделах науки, Лоба-
чзвскпй помощью рассуждений, строго вытекающих из его
ьэложений, получил странные выводы, составившие новую
геометрию, которую [он,J несмотря на свою смелость,
не решился назвать иначе как воображаемой геометрией».
Под этими словами мог бы, пожалуй, с некоторыми
оговорками, подписаться и поклонник Лобачевского—
Гуэль. Но бездна философских разногласий разделяла
Бертрана и Гуэля. Гуэль понял, что геометрия Лобачев-
ского имеет, прежде всего, огромное философское значе-
ние: не будучи применима, как полагал Гуэль, к физиче-
скому пространству в пределах наших наблюдений, она
тем не менее сорвала метафизический и идеалистический
туман с пятого постулата и, отняв у него таинственную
«очевидность», поставила его на уровень гипотезы, при-
емлемость которой обусловлена лишь степенью соответ-
ствия опыту. Бертран же оставался в плену своих отста-
лых взглядов, заслонявших от него истинный смысл
пятого постулата. Он упорно повторял, что «ни один
геометр со времён Евклида не имел серьёзных сомнений
относительно суммы углов в треугольнике; правда, для
доказательства, что эта сумма равна двум прямым, необ-
ходим постулат, который, однако, так очевиден, что
х) Б. К. Млодзеевский, Труды В. Я. Цингера по
математике («Матеи. сборник», XXVIII, вып. I, 1912 г.).
РАСПРОСТРАНЕНИИ И РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 221
может быть принят за аксиому; опровергать его очевид-
ность могут разве диалектики, имеющие в виду только
спор, а не убеждение».
Этим определялось отношение Бертрана к геометрии
Лобачевского, который, по его мнению, «увлёк за собою
многих в этот каприз злоупотребления логикой», во не
имел серьёзно убеждённых последователей. Бертран, не-
сомненно, погрешил здесь дважды. Во-первых, развитие
науки показало, что новая геометрия была не «капри-
зом злоупотребления логикой», а подлинным переворо-
том в науке. Во-вторых, Лобачевский имел и на Западе
серьёзно убеждённых сторонников; такими были, напри-
мер, Гуэль, Баттальини, Бельтрами, Клейн и др., не
говоря уже о Гауссе. Философские заблуждения Бертрана,
и только они, держали в плену его мысль и привели его
к ошибочному признанию «доказательства» Картона.
6. Борьба мнений вокруг идей Лобачевского
о происхождении геометрических понятий и аксиом
Как мы уже видели, борьба между сторонника
ми и противниками новых идей Лобачевского упира-
лась в философские вопросы математики. Именно в связи
с идеями неевклидовой геометрии ставились вопросы
о происхождении геометрических понятий и аксиом, о
природе геометрической достоверности, о роли нагляд-
ных представлений, о понятии пространства. В борьбе
с идеалистической философией, в преодолении кантиан-
ских концепций о пространстве, достоверности, нагляд-
ности и т. п. эти вопросы находили своё правильное реше-
ние. В этой связи нельзя обойти молчанием взгляды
Гельмгольца на происхождение геометрических понятий.
Гельмгольц принадлежал к числу тех естествоиспыта-
телей, философская мысль которых не нашла выхода
из тупика идеалистических взглядов. Это обстоятельство
отразилось и на геометрических статьях Гельмгольца.
Блестящую характеристику философских позиций
Гельмгольца дал В. И. Лепин:
«Гельмгольц был непоследовательным кантианцем,
то признававшим априорные законы мысли, то склоняв-
222	Э. К ХИЛЬКЕВПЧ
шимся к «трансцендентной реальности» времени и про-
странства (т. е. к материалистическому взгляду па них),
то выводившим ощущения человека из внешних предме-
тов, действующих па наши органы чувств, то объявлявшим
ощущения только символами, т. с. какими-то произволь-
ными обозначениями, оторванными от «совершенно
различного» мира обозначаемых вещей»1).
Весьма характерно, что кантианцы всегда находили
возможность обнаружить в разнообразных высказыва-
ниях Гельмгольца что-либо в свою польз). В 1872 г.
в Германии II. Беккер, убеждённый кантианец, выступил
в печати 2) с возражениями против критики кантовской
концепции пространства со стороны Розаиеса. Последний
в своей статье 3) высказал крайнее удивление, что после
того, как Лобачевский доказал возможность свободном
от противоречий повой геометрии, в которой сумма углов
треугольника меньше двух прямых, всё ещё находятся
математики, и притом даже такие, как Бертран, упор-
ствующие в старом убеждении, что теорема Евклида
о сумме углов треугольника непосредственно очевидна
и что оспаривать её можно лишь из желания спорить.
Розапес выступил с этой статьёй, как он сам заявил,
«для потрясения предрассудков, тормозящих науку».
А к числу этих предрассудков он причислял не только
убеждение Бертрана, что пятый постулат непосредственно
очевиден, но и взгляды Канта па природу пространства.
Беккер взял Канта под защиту. Свою приверженность
к кантианству Беккер совместил с нападками на несв
клидову геометрию. Аксиомы евклидовой геометрии он
полагал незыблемыми; достоверность их он усматривал
в невозможности представить себе что-либо им противо-
речащее. Геометрию Лобачевского он считал поэтому
невозможной, а отсутствие в вей внутренних противоре-
чий не ставило её в глазах Беккера выше «скорлупы без
*) В. II. Леви и, Материализм и эмпириокритицизм. Сочи-
нения, изд. 4, том 14, стр. 221.
2) I С. Becker, Ueber die neueeten Untersuchungen in
Belrcff unserer Anschauung vom Raume (Schlomilch’ Zeitschrift
lur Mathematik und Physik, 17 Jahrgang, Leipzig, 1872).
3) R о s a n e s, Ueber die neuesten Untersuchungen in Betreff
unserer Anschauung vom Raume (Habitalitionssi hrift, Breslau, 1871).
PACIU OCTPAlTEIUIE 11 I’ У8Ш1ТПЕ 11, Ц.П \ЧЕПСК«»Г<)
содержания». Д< называя, что Гельмгольц совсем не про-
тивник Кайта, а самый настоящий кантианец, Беккер
особенно подчёркивал, что «эмпнрическ; я теория» Гельм-
гольца имеет дело не с объективным пространством,
а исключительно с пространственнымп представлениями.
Из геометрических работ Гельмгольца для нас осо-
бенно интересна его статья «О и рот хождении и значении
геометрических аксиом», опубликованная в 1876 г.1).
Эта статья показывает, что вопрос о нраве неевклидовой
геометрии па существование в ту нору рассматривался
как решающий в спорах о том или ином источнике проис-
хождения геометрических аксиом. «Если, писал Гельм-
гольц,—мы можем представить себе пространства иного
рода (чем евклидово.—Э. Л.), то уже нельзя утверждать,
что геометрические аксиомы являются необходимыми
следствиями a priori трансцендентальной формы умствен-
ного воззрения (интуиции), как думал Кант»2).
С нашей точки зрения, способность или неспособность
представления чего-либо, например неевклидовых отно-
шений в пространстве, есть критерии субъективный
и ненадёжный.
Гельмгольцу удалось, как он считал, наглядно и убе-
дительно описать, какими казались бы пре 1меты в псевдо-
сферическом пространстве наблюдателю, «глазомер и
опыт которого, подоопо нашим, сложились в евклидо
вом пространстве». Из этого Гельм го н>ц сделал такой
вывод: «Мы можем воспроизвести в воображении нашем
вид псевдосферического мира...; вследствие этого-то и
нельзя допустить, что аксиомы нашей геометрии зависят от
прирождённой нам формы перцептирующей способности
или что они каким бы то пи было образом связаны с пей».
*) Н. II е 1 m ho I I z, Ueber Ursprung und Bedeulung der
geometrischcn/\xiome. Populace wissenschaf ll ichc Vortragc, 3 Hefto,
Brauns., J876. Русский перевод: О происхождения п значении
геометрических аксиом. (Сборник «Знание», VIII. СПБ, 1876.)
2) В России с очень детальный критическим разбором учения
Канта о пространстве и времени выступил в 1893 г. профессор
И. Карпнский. Он также указывая, что возможность нростран
ства Лобачевского противоречит учению Канта. См. К а р л и
Ский М. И., Об истинах самоочевидных («Журнал Мпвпстер-
Ства народного просвещения», февраль 1893 г.).
Э. К. ХИЛЬКЕВИЧ
Таким образом, Гельмгольц высказался против кан-
товского понимания аксиом геометрии. В вопросе об обра-
зовании пространственных представлений Гельмгольц счи-
тал себя эмпириком и противопоставлял себя сторон-
никам врождённых идей, к числу которых он относил
Канта. «Я не могу себе представить,—писал Гельмгольц,—
каким образом без всякого предшествующего опыта одно
нервное возбуждение может сразу дать готовое простран-
ственное представление»1).
Тем не менее не было непроходимой стены между
Гельмгольцем и Кантом. Даже выступая против Канта,
Гельмгольц употреблял такой способ выражений, при
котором его несогласие с Кантом сглаживалось рядом
оговорок. Так, например, Гельмгольц, высказав мысль,
что «геометрические аксиомы, взятые сами по себе, вне
всякой связи с основами механики, не выражают отно-
шений реальных вещей», тотчас добавляет: «Если мы,
таким образом, изолировав их (т. е. аксиомы геометрии.—
Э.Х.), будем смотреть на них вместе с Кантом как на транс-
цендентально данные формы интуиции, то они явятся
формой, в которую войдёт всякое эмпирическое содержа-
ние, каково бы оно ни было, и которая, таким образом,
нисколько не ограничивает и не определяет заранее
характера содержания». Здесь предугадан современный
взгляд на аксиомы, как на формы с переменным содер-
жанием, но чтобы взглянуть на аксиомы с этой точки
зрения, совсем не нужно становиться на кантианские
позиции.
В связи с этим невольно вспоминается то место
из письма Гуэля к Де-Тилли, где Гуэль говорит, что
«эти молодчики кантианцы набросились на геометрию,
когда их изгнали из физики». Очевидно, мысли Гельм-
гольца по этому вопросу не были исключением. Геометрия
представлялась кантианцам надёжным убежищем идеа-
лизма. Гельмгольц не мог не понимать, что геометрию
можно рассматривать и вне всякой связи с механикой.
Непоследовательность Гельмгольца отчётливо проявилась
в дуализме: в допущении существования наук, которые
J)H. Helmholtz, Physiol. Optik, стр. 812.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕИ ЛОБАЧЕВСКОГО 225
не отражают отношений реальных вещей, и существо-
вания наук, которые отражают реальность.
Известный неокантианец О. Либман считал Гельм-
гольца единомышленником и заявил, что однажды в бе-
седе Гельмгольц объявил евклидово пространство трёх
измерений «субъективной формой нашего созерцания»,
что, конечно, звучит совсем по-кантиански 1).
* ♦
*
Далеко не все математики, фактически разрабатывав-
шие идеи Лобачевского, были в состоянии преодолеть
влияние кантианских и вообще идеалистических кон
цепций. Так, например, обстояло дело с Р. Гоппе. В исто-
рии математики Гоппе известен как автор ряда работ
по дифференциальной геометрии многомерного простран-
ства, бблыная часть которых имеет в настоящее время
лишь исторический интерес. Разработка вопросов п-мер-
ной геометрии свидетельствует о прогрессивном напра-
влении автора. Но два доклада Гоппе2) по вопросам
обоснования геометрии указывают вместе с тем, что в фило-
софских взглядах его было много путаницы.
В первом докладе Гоппе обращает внимание на то, что
неевклидова геометрия «заострила вопрос о роли опыта
в геометрии», что почти все пишущие о неевклидовой
геометрии и её следствиях «понимают вопрос о роли
опыта в геометрии так, как будто бы дело идёт о досто-
верности математических наук, которая якобы отрицается
при допущении эмпирических элементов». Источники
этих опасений за существование достоверной геометрии
Гоппе усматривает в философии Канта, который полагал,
что именно априорность геометрии обусловливает апо-
диктическую достоверность исходных геометрических
положений, и утверждал, что если геометрию обосновать
на опыте, то исчезнет её достоверность.
Сам Гоппе положительно относится к роли опыта
в геометрии и указывает три фазы в развитии науки:
О О. Lieb man, Zur Analysisder Wirklichkeit, 1j11, стр. 64.
P R- Hopp e, Ueber den Grund der mathem at ischen Evidenz
(Hoffmann’s Zeitschrift, VIII Jahrgang, Leipzig, 1877); Ueber den
Haumbegriff. (Hoffmann’s Zeitschrift, VII Jahrgang.)
15 Историко-математ, исследования
226
Э. К. ХИЛЬКЕВПЧ
а) образование понятий из опыта, б) развитие теоретиче-
ских положений, в) использование теории для практиче-
ских целен. Первая и третья фазы связаны с действи-
тельностью, а вторая «оставляет действительность в стороне
и оперирует с идеями . Но, как указал Ленин, опыт раз-
лично истолковывается идеалистами и материалистами,
благодаря чему можно много говорить об опыте, призна-
вать его, но в то же время понимать его идеалистически.
Ставя вопрос об отношении «идеальных понятий»,
к действительности, Гоппе отрицает здесь возможность
совпадения: «Идеальные понятия не могут ни точно,
ни приближённо соответствовать действительности».
Это уже подлинный идеализм! Если под «идеальными
понятиями» подразумевать, между прочим, и геометри-
ческие понятия (а Гоппе, очевидно, не мог не иметь
их в виду), например, понятия прямой и плоскости,
то отрицать их приближённое соответствие миру дей-
ствительных вещей может, очевидно, лишь тот, кто
никогда не применял геометрию к практике, не измерял
с помощью теодолита сумму углов треугольника и т. п.
Статья Гоппе «Об основах математической очевид-
ности» написана чрезвычайно туманно, тяжёлым языком.
В ряде мест трудно уловить, какой именно смысл при-
даёт автор своим длиннейшим фразам. В этих длинных
и туманных фразах Гоппе растворил своё рассуждение
о природе математической очевидности.
Второй доклад Гоппе был посвящён понятию про-
странства. В нём Гоппе заявлял: «Пространство есть,
с одной стороны, особенность фактически испытанных
ощущений, именно зрительных и осязательных ощуще-
ний, с другой стороны—образованная разумом система;
первая—субъективна и предшествует всякому знанию,
последняя—объективна и рационально эмпирически обо-
сновывается».
Это заявление сделалось предметом резкой и справед-
ливой критики со стороны редактора «Zeitschrift fur
mathemat. und naturwissen. Unterricht»Гофмана г). Гофман
*) Hoffmann, Zu Hoppe’s Vortrag «Ueber den Rauin-
begriff» (Hoffmann’s Zetschrift, VIII Jahrgang, Leipzig, 1877).
Распространение и развитие идеи Лобачевского 221
отметил крайне неясный способ выражения, свойственный
всем сочинениям Гоппе’), и, может быть, из вежливости
хотел отчасти объяснить этой неясностью некоторые
противоречия Гоппе, стоявшего, по выражению Гофмана,
одной ногой в старом (кантовском) понимании простран-
ства. Цитированная памп фраза из второй статьи Гоппе
вызвала ряд метких замечаний Гофмана, характеризую-
щих его, по меньшей мере, как противника субъективного
идеализма.
«Я спрашиваю каждого мыслящего,—писал Гофман,—
если пространство есть только «особенность фактически
испытанных ощущений > или «образованная разумом
система», что же остаётся тогда от того и другого, когда
субъект, в котором проявлялись ощущения и в котором
обосновалась система, исчезает? Ответ: ничего, простран-
ство исчезает тотчас с субъектом. Это не означает ничего
другого, как только следующее: пространство не является
чем-то самостоятельным, оно есть субъективное нечто,
возникающее и исчезающее вместе с человеческой мыслью.
Тем самым мы уже оказываемся в глубоких зарослях
идеализма чистейшей воды...?. И Гофман справедливо
удивлялся, как при таких взглядах Гоппе мог считать
себя противником Канта.
Наряду с лицами , отрицавшими значение геометрии
Лобачевского, в дискуссиях о происхождении геометр и
ческих понятий выступали и те, кто делал вид, что ничего
не случилось, продолжая яростно защищать идеалистиче-
ские позиции. Таким был, например, французский идеа-
лист Луи Лиард. Лиард проводил ту точку зрения, что
«понятия идеального треугольника и круга предше-
ствуют восприятию реальных треугольников и кругов»2),
что «форма в геометрии есть создание разуме». Лиард
завершал свои разглагольствования фразами вроде такой:
«мы доказали, что геометрические понятия не имеют эмпи-
х) Неясность, нечёткость, многословность свойственны были
не только Гоппе, но и ряду других немецких авторов того вре-
Л*. писавших по вопросам, пограничным между математикой
И Философией (см. выше о Беккере).
OTV1„.\L- Liard, Des definitions geometriqnes et des definitions
emPiriques, Paris, 1888, стр. 122.
15*
228
д. К. ХИЛЬКЕВИЧ
рпческого происхождения: они являются произведениями
разума...»1) и т. д.
Но Лиард писал в 70-х годах после опубликования
работ Бельтрами и Клейна, устранивших всякие сомне-
ния в праве геометрии Лобачевского на существование.
Каким же образом он согласовывал геометрию Лобачев-
ского со своей философией? Он делал вид или, быть может,
действительно полагал, что ничего не случилось, и даже
пытался использовать в своих интересах интерпретацию
Бельтрами. Несмотря на то, что появление этой интер-
претации объективно укрепило позиции лобачевскианцев,
люди вроде Лиарда пытались извратить действительное
соотношение вещей и представить геометрию Лобачев-
ского в виде небольшого отдела евклидовой геометрии—
геометрии геодезических линий особой поверхности евкли-
дова пространства, а именно псевдосферы. «Существова-
ние воображаемой геометрии,—заключал Лиард,—лишь
укрепляет и совсем не отменяет то заключение, к которому
мы пришли выше».
Переворот, который был произведён в геометрии
Лобачевским, многим помог найти правильную линию
в вопросах обоснования математики. Тот факт, что Лоба-
чевский нанёс удар идеалистической концепции про-
странства, является бесспорным. Но в высшей степени
ошибочным было бы думать, что после Лобачевского все
учёные встали под знамя, поднятое Лобачевским, что
прекратилась борьба между материалистами и идеали-
стами в геометрии. Эта борьба не прекратилась, и на нашу
долю всё ещё остаётся важная задача пропаганды мате-
риалистических взглядов на основы геометрии и борьба
с идеалистическими воззрениями в этой области.
7. Заключение
В настоящем кратком обзоре мы не касались многих
интересных фактов из истории развития идей Лобачев-
ского в 60—70-х годах XIX столетия. Но и сказанного
достаточно для того, чтобы рассматривать этот период
как существенный этап в истории неевклидовой геометрии,
х) Там же, стр. 76.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО 229
этап, до известной степени завершённый и обособленный.
Основные особенности указанного периода можно кратко
резюмировать в следующих пунктах.
1.	До 60-х годов невозможно говорить о каком-либо
заметном развитии идей Лобачевского; эти идеи нашли
активных сторонников лишь в 60-х годах (исключение
составлял, может быть, Миндинг). В этом смысле 60-с
годы можно рассматривать как период возрождения неев-
клидовой геометрии. В 60—70-х годах ясно обрисовалось
всемирно-историческое значение работ Лобачевского.
2.	В 60—70-х годах самое построение геометрии Лоба-
чевского было завершено в том смысле, что получил
решение вопрос о её непротиворечивости. Это было сде-
лано в работах Бельтрами и Клейна. Оригинальная интер-
претация Пуанкаре, разработанная в 80-х годах, ещё
более укрепила позиции новой геометрии.
3.	Благодаря положительному разрешению вопроса
о непротиворечивости геометрии Лобачевского был окон-
чательно разрешён вопрос о недоказуемости пятого
постулата, рассмотрение которого привело Лобачевского
к открытию его геометрии.
4.	В конце 60-х и 70-х годов XIX столетия передовые
математики пришли к ясному осознанию того, что вопрос
о том или ином понимании природы геометрических
понятий и аксиом тесно связан с вопросом о законности
неевклидовой геометрии. Многим математикам именно
неевклидова геометрия дала толчок к правильному пони-
манию вопроса о происхождении начальных понятии
п аксиом геометрии.
5.	В конце 60-х и начале 70-х годов под влиянием гео-
метрии Лобачевского чётко обозначились основные черты
современной аксиоматики.
6.	Мощный толчок к дальнейшему развитию неевкли-
довой геометрии дало опубликование в 1867 г. речи Римана
«О гипотезах, лежащих в основании геомстриг», на содер-
жании которой ясно отразилось влияние идей Лобачев-
ского. Мы опустили здесь разбор общеизвестной кон-
цепции Римана.
7-	В начале 70-х годов был найден Клейном новый
сиособ подтверждения связи между неевклидовой гео-
230
Э. К. ХИЛЬКЕВПЧ
метрией и старой евклидовой системой. Геометрия Лоба-
чевского оказалась введённой в стройную систему трёх
геометрий, допускающих движения, причём в трудах
Клейна и Клиффорда нашла достаточную разработку
новая отрасль неевклидовой геометрии—эллиптическая
геометрия.
8.	В начале 70-х годов влияние идей Лобачевского
сказалось па установлении принципов Эрлангенской про-
граммы.
9.	Уже в 70-х годах геометрия Лобачевского оказалась
вовлечённой в деловое сотрудничество с другими отра-
слями математики: она была использована Клейном для
обоснования проективной геометрии.
10.	Уже в 60-х годах передовые идеи Лобачевского
оказали своё положительное влияние на учебники элемен-
тарной геометрии, о чём, к сожалению, здесь не было
возможности говорить подробно. Так, например, если
в первом издании геометрии Бальтцера (1862 г.) *) ещё
давалось доказательство пятого постулата по Бертрану
из Женевы, то во втором издании (1867 г.) Бальтцер изло-
жил теорию параллельности на основе аксиомы парал-
лельности и упомянул при этом имена Лобачевского
и Больяп.
Таким образом, период 60—70-х годов XIX столетия
является весьма значительным и до некоторой степени
законченным периодом развития идей Лобачевского.
Процесс возрождения идей Лобачевского в 60—70-х го-
дах XIX столетия явился подлинным триумфом русской
науки. Это было одно из крупнейших проявлений мощного
влияния русской науки на мировую науку.
Напряжённая борьба мнений вокруг идей Лобачев-
ского способствовала выработке передовых взглядов на
природу геометрических аксиом и математической досто-
верности, а также и на природу пространства.
2)	R. В а 1 t z е г, Die Elementc der Matbematik, Leipzig, 1862.
ЕГОР ИВАНОВИЧ
ЗОЛОТАРЁВ
ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ
Е. И. ЗОЛОТАРЁВА
II.	Г. Башмакова
§ 1. Введение
Центральное место в арифметике целых рациональных
чисел занимают законы делимости, которые были установ-
лены ещё Евклидом в его «Началах». Он ввёл алгоритм,
позволяющий в конечное число операций находить общий
наибольший делитель для любых двух целых чисел (так
называемый алгоритм Евклида), и с его помощью обос-
новал основной закон теории делимости — закон одно-
значности разложения любого числа п на простые мно-
жители п — pklpk-... pks. Этот основной закон и позво-
лил Евклиду построить всю арифметику рациональных
чисел.
В течение почти двадцати веков после Евклида ничего
нового в этой области сделано не было. Только в XX II в.
в связи с начавшимся подъёмом в развитии математики
возродилась и теория чисел. Были поставлены новые
задачи, решение которых потребовало расширения поня-
тия о целом числе. К такого рода задачам относится,
например, так называемая большая пли последняя тео-
рема Ферма.
Первым обобщением целых рациональных чисел яви-
лись целые комплексные числа а-\-Ы, где i—корень урав-
нения ж2-]-1 =0, а си 6—целые рациональные числа. Комп-
лексные числа были известны ещё с середины XVI в., ими
широко пользовались Эйлер и Лагранж, но лишь в начале
прошлого века Гаусс, занимаясь бнквадратичным заксн
234
И. Г. БАШМАКОВА
ном взаимности, перенёс на них понятие целости. Он ввёл
для них алгоритм Евклида, который и сделал возможным
нахождение общего наибольшего делителя любых двух
таких чисел. Таким образом, для целых комплексных
чисел были установлены законы делимости, полностью
аналогичные обычным.
После столь удачного обобщения, давшего возможность
разрешить ряд проблем, подход к которым был до того
совершенно но ясен, учёные, работавшие в области теории
чисел, занялись изучением свойств алгебраических чисел
ещё более общего характера. При этом под алгебраическим
числом стали понимать корни уравнения вида
аоал + а^1 + л2ял-2 + . .. 4- ап = 0,	(1)
где а0 а1г ..., ап — рациональные.
Оказалось, что и на такие числа можно перенести поня-
тие целости. Целыми алгебраическими числами назы-
ваются корпи уравнения
х" + а^"'1 + агхп~г + ... + ап = 0,	(2)
где а2, ....	—целые рациональные.
Как нетрудно видеть, сумма, разность и произведение
двух целых алгебраических чисел снова будет целым алге-
браическим числом; иначе говоря, целые алгебраические
числа также, как и целые рациональные, образуют кольцо.
При этом целые рациональные числа являются частным
случаем целых алгебраических: они будут корнями урав-
нений
х ± 71 = 0, п = 1, 2, 3, ,..
Если теперь рассмотреть уравнения вида (2), коэф-
фициентами которых являются уже целые алгебраические
числа, то никакого нового расширения области целых
чисел не получится: корни алгебраического уравнения
с целыми алгебраическими коэффициентами и с коэф-
фициентом при старшем члене, равным единице, снова
являются целыми алгебраическими числами.
Однако для кольца всех целых алгебраических чисел
нельзя установить законов делимости, подобных обыч-
ным. Действительно, любое число а этого кольца может
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 235
быть разложено бесконечным числом способов в произ-
ведение целых алгебраических чисел. Это следует из
того очевидного замечания, что а является целым алге-
браическим вместе с числом а, как корень уравнения
д-п —а = 0. Поэтому
а =	] а=р/а-|/га-р/а=...
Таким образом, в кольце всех целых алгебраических
чисел нельзя определить простых чисел, а значит, нельзя
даже ставить вопроса об однозначности разложения целого
алгебраического числа на простые множители. Поэтому
при построении арифметики алгебраических чисел необ-
ходимо было ограничиться рассмотрением целых чисел
поля, получаемого присоединением корней неприводимого
уравнения вида (2) или нескольких таких уравнении
к полю рациональных чисел. Если 0—корень такого
уравнения, то элементы поля Л (б), где R— поле рацио-
нальных чисел, имеют вид
60 + д16+...+6п_16п-1,	(3)
b0, b ,	Ьп_г—рациональные числа. Непосредственно
ясно, что сумма, разность и произведение двух элементов
вида (3) снова будут элементами того же вида. Частное
двух таких элементов также представимо в виде (3), так
как, в силу неприводимости уравнения (2), каждый мно-
гочлен вида (3) имеет себе обратный многочлен того же
вида. Таким образом, элементы вида (3) действительно
образуют поле.
Целыми числами этого поля называются такие, кото-
рые удовлетворяют некоторому уравнению вида (2)
хт + с^х™-1 4- . -. 4- ат = 0.
Каждое целое число а из R (б) можно представить как
а = Ьо 4- bfi 4- . .. + 6л_хбп \
Гд.? ..., Ь^, вообще говоря, рациональные. Сопря-
женными с а называются числа ах, а2, ..., ал_1} полу-
чающиеся при замене в выражении для а числа б дру-
236
И. Г. БАШМАКОВА
гими корнями того же неприводимого уравнения (2):
ai =	+ 6Д 4- ... 4-	*;
ал-1 = ^о + &&-1 + • • • +
Нормой числа а называется произведение всех его сопря-
жённых чисел:
N (aj-aa^ ... ап-1.
Норма алгебраического числа равна, таким образом, с точ-
ностью до знака, свободному члену уравнения, которому
это число удовлетворяет. Норма целого алгебраического
числа всегда является целым рациональным числом:
N («) = (-!)- ат.
Из определения нормы нетрудно вывести её основное
свойство: норма произведения равна произведению норм:
7У(ар) = ЛГ(а).ДГ(р).
Число а называется единицей кольца целых чисел поля
R (G), если и оно само и ему обратное ~ являются целыми.
Это может быть лишь в том случае, когда 7V(a) и
целые. Но N = ”v7xj" ’ т* е*	поэтому
единицу рассматриваемого кольца целых чисел можно ещё
определить как такое число, норма которого равна ± 1.
Для построения арифметики кольца целых чисел из
R (0) нужно было прежде всего: 1) определить все еди-
ницы этого кольца, 2) определить для чисел этого кольца
законы делимости. Первая особенность, с которой встре-
тились исследователи этих полей, было наличие в них,
в отличие от поля рациона л ьпых чисел, бесконечного
числа единиц, что уже и само по себе создавало неодно-
значность разложения. Однако и после выделения единиц
законы делимости колец алгебраических чисел оказались
отличными от обычных. Так, если по аналогии с рацио
нальными простыми числами считать простыми те целые
числа из R (6), которые не разлагаются в этом кольцо
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 237
ва множители, отличные от единиц, то закон однознач-
ности разложения на простые множители, вообще говоря,
не будет иметь места в кольцах алгебраических чисел.
Например, в кольце 7?(j —5) числа 2, 3, 1 ± j — 5,
| —5 не разлагаются на множители, т. е. являются
в выше определённом смысле простыми. Между тем число 6
в этом кольце разлагается двумя различными спосо-
бами в произведение простых множителей: 6 — 2-3
+	| — 5 ). Поэтому непосредственное пе-
ренесение законов делимости на эти кольца оказалось
невозможным. А это делало безнадёжными попытки по-
строения арифметики полей алгебраических чисел.
Для преодоления этой трудности математикам, как
и во многих других аналогичных случаях, пришлось
ввести в поля алгебраических чисел новые элементы,
которые не вполне удачно были названы идеальными.
После этого законы делимости таких (дополненных)
полей стали совпадать с обычными. Идея здесь та же, что
и при введении несобственных элементов в проективной
геометрии или введении комплексных чисел.
Целесообразность такого дополнения полой новыми
элементами можно пояснить на следующем простом при-
мере: пусть в нашем распоряжении имеются только одни
чётные числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,... Они, как нетрудно
видеть, образуют кольцо. Числами, не разложимыми на
множители из этого же кольца, будут 2, 6, 10, 14. Будем
считать их простыми. Тогда закон однозначности разло-
жения на простые множители в нашем кольце не будет
иметь места. Действительно, например:
60 = 6/10 = 2-301).
Если теперь дополнить наше кольцо, введя в него
в качестве новых, «идеальных», элементов все нечётные
числа, и определить простые числа в этой дополненной
области, то закон однозначности разложения будет вос-
становлен.
1) Сравни А. В. Васильев, Целое число (Петроград,
1V22)> стр 199—200.
238
И. Г. БАШМАКОВА
Таким образом, неразложимые на множители числа
из кольца чётных чисел нельзя считать обобщением
рациональных простых чисел, так как они не обладают
основным свойством их: произведение двух таких «про-
стых» чисел может делиться на третье «простое» число,
отличное от обоих сомножителей. Аналогичное обстоя-
тельство, имеющее место и для колец целых алгебраи-
ческих чисел, побудило пересмотреть понятие простоты
и сложности числа, выяснить, какой смысл они в дей
ствительности имеют. Способ введения новых объектов,
полностью соответствующих простым числам, для специ
ального случая полей деления круга был предложен Кум-
мером (1847 г.). Но методы Куммера не допускали непо-
средственного расширения па произвольные поля алге-
браических чисел. Долгое время крупнейшие математики,
как, например, Дедекинд, безуспешно работали над реше-
нием этой проблемы. Первое обоснование теории дели-
мости произвольных полей алгебраических чисел при
помощи новых локальных методов было дано замечатель-
ным русским учёным Егором Ивановичем Золотарёвым
в 1877 г. Дедекинд пошёл по совершенно иному пути и дал
своё обоснование, применив при этом принципы, близ-
кие к его общей теоретико-множественной концепции.
Однако обоснование Золотарёва, благодаря приме-
нённым им новым методам, оказалось во многих отно-
шениях более глубоким.
К своей гениальной теории Золотарёв пришёл, отправ-
ляясь от некоторых задач теории алгебраических функ-
ций, поставленных перед ним его великим учителем
П. Л. Чебышевым. Решение этих задач привело Е. И. Золо-
тарёва к необходимости обоснования теории делимости
произвольных полей алгебраических чисел. Менее чем за
три года им было дано такое обоснование, которому сам
Золотарёв совершенно справедливо придавал гораздо
большее значение, чем решению исходной задачи.
Теория Золотарёва имела колоссальное значение не
только потому, что она явилась первым решением цен-
трального вопроса арифметики алгебраических чисел,
но и особенно потому, что созданные её творцом методы
оказались необыкновенно плодотворными как для иссле-
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛО1АРГвА 239
дования всех вопросов арифметики алгебраических чисел,
так и многих других проблем. В настоящее время локаль-
ные методы Золотарёва получают всё большее распростра-
нение и развитие.
Настоящая статья посвящена работам Е. II. Золота-
рёва по обоснованию теории делимости. Однако, чтобы
понять всё значение этих работ и их место в математике,
а также чтобы лучше уяснить себе сущность локальных
методов, мы должны будем сперва обратиться к истории
вопроса.
§ 2. Теоретико-числовые проблемы ферма
Начало алгебраической теории чисел было положено
работами крупнейшего французского математика Пьера
Ферма (1601—1665 гг.). Как он сам писал в 1657 г. во
втором вызове математикам, «...арифметика имеет свою
собственную область, теорию целых чисел; эта теория
была лишь слегка затронута Евклидом и нс была доста-
точно разработана его последователями (если только она
не содержалась в тех книгах Диофапта, которых нас
лишило разрушительное действие времени); арифметики,
следовательно, должны её развить или возобновить» т).
В XVII в. во Франции образовалась целая школа тео-
рии чисел, представители которой — Ферма, Фрсникль,
Сент-Круа, Сен-Мартен, де-Билли, отчасти Декарт и Блэз
Паскаль—вели оживлённую переписку, посылали друг
Другу задачи и сообщали о достигнутых результатах.
Впоследствии в эту переписку были втянуты и наиболее
видные английские математики того времени (Валлис,
Броункер), а также нидерландские математики (Гюйгенс,
Скоутен). Тем не мопсе мы остановимся только на работах
Ферма, так как лишь он выделил из хаоса многочислен-
ных задач и частных вопросов, сразу же возникших перед
математиками при изучении свойств целых чисел, основ-
ные проблемы, которые стали центральными для всей
классической теории чисел. Перефразируя слова Евдема
Oeuvres de Fermat, Париж, 1894, т. II, стр 334.
240
и. Г. БАШМАКОВ \
Родосского о Пифагоре, можно сказать, что Ферма при
дал теории чисел форму науки.
Ферма не оставил после себя систематического труда
по теории чисел, и все теоремы его, за исключением одной,
дошли до нас без доказательств, причём некоторые из дока-
зательств были утеряны, а огромное большинство из них
не было им записано1). Все известные нам результаты
Ферма содержатся или в его переписке, или в пометках,
сделанных им на полях принадлежавшего ему экземпляра
Диофанта в издании Баше де Мезириака.
Поэтому, хотя Ферма и располагал доказательствами
всех или почти всех своих теорем и даже изложил идею
общего метода пх доказательства в письме к Каркави
(август 1659 г.), но для последующих математиков эти
теоремы явились проблемами, решение которых надлежало
отыскивать вновь. Тем не менее, Ферма следует по праву
считать основоположником современной алгебраической
теории чисел, так как его работы определили п^ти её
развития на протяжении столетий. Перейдём к рассмотре-
нию проблем Ферма.
1. Определение чисел, представимых данной квадра-
тичной формой. Ферма поставил и решил эту проблему
для чисел, представимых формами
х* + у\ я2 ±2/, Xй + Зг/2, х2 + ху+у22).
Решение этой проблемы Ферма начал с установления того,
какие простые числа представимы рассматриваемыми фор-
мами. При этом он обнаружил следующие удивительно
простые и красивые закономерности:
1)	Формой х2 -р у2 представимы те и только^те простые *
числа, которые лежат в прогрессии 4п -Р 1, причём каж-
дое простое число из этой прогрессии представимо рас-
сматриваемой формой только единственным образом* * * * * 8).
г) В письме к Мерсенну от сентября 1636 г. Ферма сообщал
о своём намерении написать сочинение, посвящённое вопросам
теории чисел. По это сочинение так никогда и не было написано.
2) Замечание 7 к задаче III, 22 Диофанта и письма Ферма от
1641—1642 гг. (Oeuvres de Fermat, т. II, стр. 232).
8) Замечание 7 к задаче III, 22 Диофанта (Oeuvres d? Fermat,
т. Ill, стр. 243).
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. II. ЗОЛОТАРЁВА
241
Например: 4-14-1=5 = 1 4- 22,
4 • 3 4- 1 = 13 = 22 4-З2 и т. д.
Из этого предложения следует, что ни одно простое
число из прогрессии 4п4-3 нс может быть представлено
суммой двух квадратов.
2)	Формой х2 4- 2у* представимы все простые числа
вида 8л 4-1 и 8Д4-31)-
Например: 8 • 2 4-1 = 17 = З2 4- 2 - 22,
8  14-3 = 11 32 + 2- I2 и т. д.
3)	Формами х2-\-Зу2 и х2 -р ху 4- у- представимы те
и только те простые числа, которые лежат в прогрессии
Зп4-12)-
Например: 3-24-1 = 7 22 4- 3  I2,
3 - 4 4-1 = 13 = I2 4-3 • 22 и т. д.
4)	Формой 2х2— у2 представимы только те простые
числа, которые лежат в прогрессиях 8п4-1 и 8п-р73).
Например: 8 • 2 4-1 = 17 = 2 • З2 — 1,
8-34-7 = 31 2 • 42 — 1 нт. д.
Прежде всего обращает на себя внимание то обстоя-
тельство, что Ферма рассматривает распределение по про-
грессиям только представимых простых чисел. Однако,
как выяснилось в дальнейшем, это отнюдь по является
ограничением. Наоборот, перенесение центра тяжести
на изучение представимости той или иной квадратичной
формой простых чисел было величайшим открытием
Ферма. Только идя по этому пути, математики смогли
выяснить истинные законы делимости для колец целых
алгебраических чисел. Из этих же предложений Ферма
видно, что число прогрессий, в которых все простые числа
представимы рассмотренными формами, равно числу иро-
’) Письмо XXIV к Паскалю от 25 октября 1654 г. (Oeuvre?
tie Fermat, т. II, стр. 319).
Ь 2) То же письмо к Паскалю п письмо CI к Каркави от августа
(там же> СТр 43j у
) Приложение к книге Френпкля «Solutio duoruin problemalum
1гса numeros cubes et quadratos», Париж 1G57.
16
Историкс-математ. последе вапия
•949
II. Г. БАШМАКОВА
грессий, в которых нет представимых простых чисел. Этот
факт, как оказалось, является совершенно общим
и составляет для случая квадратичных полей содержание
так называемого Артиновского закона взаимности.
Вопрос о нахождении всех чисел, представимых неко-
торой квадратичной формой, Ферма поставил и решил
только для случая формы х* 2 + у2. Для составных чисел
уже но существует столь же простого закона, характери-
зующего представимые числа, как в случае рассмотрения
представления только простых чисел.
Однако из формулы
(ж2 4- у2) (и2 4- и2) = (хи ± ук)2 4- (xv + уи)2
видно, что произведение двух представимых чисел снова
будет представимым числом. Ферма как раз и восполь-
зовался этой формулой, чтобы показать, что множество
чисел, представимых формой х2 4- у2, замкнуто по умноже-
нию1). Этим впервые простейшая формула для компози-
ции форм, известная еще Диофанту, была использована
для вопросов представления чисел. Теория композиции
форм была впоследствии развита Эйлером, Лагранжом
и особенно Гауссом2).
2. Решение в целых числах уравнения ах2 4-1 = У*
Ферма формулировал эту задачу во втором вызове мате-
матикам. Приведя примеры решения для а 3:
3.14-1 = 4,
3 • 16+1 = 49,
он пишет: «Вместо 1 и 16 можно привести бесконечно
много других квадратов, удовлетворяющих поставлен-
ному условию, но я прошу дать общее правило, примени-
мое ко всем поквадратным чпслам(т. е. к любым а. — И. Б.),
которые могут быть заданы. Например, 149, 109, 433
и т. д.».
Примеры чисел, которые Ферма предлагает в каче-
стве а, таковы, что наименьшее решение соответству-
2) Письмо к Френпклю от 15 июня 1641 г. (Oeuvres de Fermat
т. II, стр. 221).
2) «Disquisitiones arithmeticae», ч II, 1801.
ТЕОРИЯ ДЕЛИУбСТП В ТРУДАХ Е. В. ЗОЛОТАРЁВА 2',3
ющсго уравнения *)
ах2-\Л=у2	(1)
очень велико. Из этого можно заключить, что правило, ко-
торое просит найти Ферма, должно нс только давать способ
узнавать бесконечное множество решений уравнения (1),
исходя из одного из них, но п давать способ находить
первое решение этого уравнения.
Вопрос о решении в целых числах уравнения (1) тесно
связан с первой проблемой Ферма, так как является во-
просом о представлении единицы квадратичной формой.
ферма, без сомнения, имел общий метод для нахожде-
ния всех решений уравнения (1) при любом а, а для а = 2
в письме к Френиклю Ферма даёт формулы для нахожде-
ния всех решений, исходя из наименьшего2).
Сам Ферма придавал очень большое значение уравне-
нию (1). Во втором вызове математикам он предлагает *
решить эту проблему, чтобы пояснить им путь, по кото-
рому должна развиваться наука о целых числах. Ни Вал-
лис, ни Броункер не поняли значения этого уравнения.
Хотя во втором вызове математикам была ясно сформули-
рована основная задача теории чисел как изучение зако-
номерностей целых чисел, первое решение уравнения (1)
было дано Броункером в рациональных числах. Когда
Ферма написал, что такое решение достойно лишь самого
тривиального вычислителя, то Валлис воспринял это как
признание самим Форма тривиальности поставленной им
задачи. Ибо эта же задача, поставленная только для целых
чисел, является, по мнению Валлиса, просто «менее
общей»3).
Валлис предложил способ получения всех целочислен-
ных решений уравнения (1), исходя из одного из них.
Если уг— решение, то следующее решение, согласно
г) Эго уравнение, известное еще индусам, вследствие недо-
разумения получило название уравнения Пелля. Мы будем назы-
вать его в дальнейшем уравнением Ферма.
2) Письмо от 15 июня 1641 года (Oeuvres de Fermat, т. II
стр. 221).
8) Oeuvres de Fermat, т. Ill, стр. 431.
16*
244
, И. Г. БАШМАКОВА
Валдису, получается по формуле
Нетрудно видеть, что метод Валлиса не даёт всех решений
уравнения (1). Действительно, второе решение будет соот-
ветствовать возведению в квадрат первого, третье—возве-
дению в квадрат второго, т. е. возведению в четвёртую
степень первого и т. д.;
жл + Ул I « = (Л + У11/а)2П'* или Зл = аГ--
При этом Валлис даже не поставил вопроса о методе на-
хождения наименьшего решения уравнения (1).
Несколько позже Броупкер решил уравнение Ферма
методом непрерывных дробен2), но не доказал ни того,
что его способом всегда можно найти решение, ни того, что
при этом получаются все решения. Все эти недостатки
. решения Броункера были изложены в ответе неизвест-
ного автора па «Commercium epistolicum»2).
3.	Решение в целых числах уравнения ах2 — Ьу2 = с.
В письме к Каркави, называемом обычно «Relation des
nouvelles descouvertes en la science des nombres» («Сводка
новых открытий в науке чисел»), Ферма, приведя приме])
неопределённого уравнения
2ж2 4-7967 = г/2,
писал: «Я имею общее правило, чтобы решать такое урав-
нение, если оно возможно, или чтобы определять его невоз-
можность. И это—во всех случаях и для всех чисел»3).
Далее, в примечаниях к Диофанту, приведя пример так
называемого двойного равенства
2ж + 3 = гг2,
Зж + 5 = и2,
решение которого, как нетрудно видеть, сводится к реше-
нию уравнения
ах2 —by2 = с,	(2)
г) Oeuvres de Fermat, т. Ill, стр. 490, (письмо IX).
2) Там же, стр. 603.
3) Oeuvres de Fermat, т. II, стр. 431.
ТЕОГИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ L. И. ЗОЛОТАРЁВА
245
он писал: «Баше в комментариях к Диофанту приписы-
вает себе честь нахождения правила для двух частных
случаев (такого равенства.—И. Б.). Я даю общее правило
для всех случаев. II определяю правилами, является ли
оно возможным или нет»1).
Больше никаких указаний на уравнение (2) в работах
ферма нет. Ни одному из его современников решение
этого уравнения было не под силу. Первое решение част-
ного случая этого уравнения:
х2 — ау2 = Ь,
дал Эйлер, а полностью решил его Лагранж2). Самое общее
уравнение типа (2) было решено Лежандром3).
4.	Малая теорема Ферма. Ферма установил, что для
каждого числа а, не делящегося на простое число р,
существует такое число /, являющееся делителем/)—!,
чтос/— 1 делится на р. Он сформулировал эту теорему
сначала для а = 24 *), а затем и для любого а6). Сам
Ферма нашёл эту теорему в поисках критерия для
определения простоты данного числа. Он нашёл, что
если / — первый показатель, для которого с/—1 делится
на /), и /—нечётное, то никакое а1 4-1 не делится на р.
Малая теорема Ферма является одной из самых важ-
ных теорем элементарной теории чисел. Непосред-
ственно видно, что здесь впервые была построена конеч-
ная циклическая группа
1, а, а2,..., о/-1 (af=z 1 (mod/))).
Более глубокий смысл этой теоремы стал ясен только после
работ Куммера. Мы будем говорить об этом подробнее при
анализе смысла проблем Ферма.
*) Oeuvres de Ferma, т. II, стр. 431.
2) См. далее соответствующие параграфы о работах Эйлера
11 Лагранжа.
3) «Recherches d'analyse indeterminee», Париж, 1785 г.
4) Письмо к Мерсенну от июня 1640 г. (Oeuvres de Fermat,
т П стр. 195).
6) Письмо к Френиклю от августа 1640 г. (Oeuvres de Fermat,
т- П, стр. 205).
246
II. Г. БАШМАКОВА
5.	Большая или последняя теорема Ферма. Урав-
нение хп +уп — zn неразрешимо в целых числах при п> 2,
xyz =# 0.
Ферма в следующих словах сформулировал эту проб-
лему в замечании к задаче II, 8 Диофанта, в которой тре-
буется разложить данное квадратное число а2 на сумму
двух квадратов: «Наоборот, невозможно разделить ни
куб на два куба, ни биквадрат ни два биквадрата, ни,
вообще, степень, большую квадрата, на две степени с тем же
показателем; я открыл этому поистине чудесное дока-
зательство, которое из-за недостатка места не может
поместиться на этих полях»1.)
В последнем письме к Каркави (август 1659 г.) Ферма
пишет, что эту теорему для случаяп—З он доказал мето-
дом спуска; этим же методом она была впоследствии дока-
зана Эйлером. Кроме того, в замечании 45 к проблеме 20
Баше, поставленной последним по поводу задачи VI,
26 Диофанта, Ферма доказывает предложение: не суще-
ствует прямоугольного треугольника в целых числах,
площадь которого была бы квадратом. Как легко видеть,
проблема эта сводится к доказательству того, что не
существует двух биквадратов, разность которых была бы
квадратом (а, тем более, и биквадратом). Это соот-
ветствует доказательству большой теоремы Ферма для
случая п = 4.
Доказательство этой теоремы Ферма проводит методом
спуска, причём это и есть то единственное теоретико-
числовое доказательство, которое после него осталось.
Мы не будем здесь останавливаться на разборе этого дока-
зательства, так как оно достаточно полно приведено
в книге Г. Цейтена «История математики в XVI и XVII вв.»
(М.-Л., 1938, стр. 174—175).
6.	О методе Ферма. До нас не дошли доказательства
предложений Ферма, но нам известен метод, которым он
получал эти доказательства. Свой метод Ферма наи-
более полно изложил в письме к Каркави от августа
1659 г.2).
l) Oeuvres de Fermat, т. Ill, стр. 241.
3) Oeuvres de Fermat, т. II, стр. 431.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 247
В этом письме Ферма сообщает, что принялся разыски-
вать новый метод, так как «обычные методы, находящиеся
в книгах, недостаточны» для доказательства таких труд-
ных проблем, как теоретико-числовые. И вот, наконец,
он «нашёл совершенно особый путь», новую «манеру дока-
зательства», названную им бесконечным или неопределён-
ным спуском (descente infinie ou indefinie).
Вначале он пользовался этим методом только для дока-
зательства отрицательных предложений, как, например:
«не существует прямоугольного треугольника в числах,
площадь которого была бы квадратом». «Доказательство
проводится следующим образом: если бы существовал
прямоугольный треугольник в целых числах, площадь
которого была бы квадратом, то существовал бы другой
треугольник, меньший первого, обладающий том же свой
ством. Если бы был второй, меньший первого и с тем же
свойством, то тем же рассуждением мы получили бы тре-
тий, обладающий тем же свойством и меньший второго,
наконец, четвёртый, пятый и т. д., спускаясь до беско-
нечности. Но если дано число, то не существует беско-
нечного множества чисел, меньших чем оно... Отсюда
заключают, что невозможно существование прямоуголь-
ного треугольника, площадь которого была бы квадратом».
Далее Ферма пишет, что после долгих размышлений
он смог применить свой метод и для доказательства утвер-
дительных предложений, как, например: каждое простое
число вида 4/г + 1 представимо суммой двух квадратов.
Но для применения метода к доказательству других пред-
ложений, например, для доказательства того, что каждое
число представимо суммой не более четырёх квадратов,
требуется применение «новых принципов», па которых
Ферма подробнее не останавливается. Далее идёт перечис-
ление всех теорем, которые Ферма доказал, пользуясь
методом спуска.
В конце письма Ферма выражает надежду, что этот
метод будет полезным для работы последующих матема-
тиков и покажет им, что древние не всё знали. В письме
к Паскалю от 25 сентября 1654 г.1). Ферма также выражает
------__ -----
Oeuvres de Fermat, т. II, стр. 319.
248
И. Г. БАШМАКОВА
надежду, что Паскаль докажет множество прекрасных
предложений, как только ему будет известен метод, кото-
рый нашёл Ферма. Уже отсюда видно то место, которое
Ферма отводил этому методу. Чтобы узнать, обладают ли
и другие математики общим методом для решения теоре-
тико-числовых проблем, или они получают свои резуль-
таты при помощи таблиц, он специально посылал им зада-
чи, наименьшее решение которых очень велико (таково,
например, решение уравнения Ферма для а = 149 или
а _ 109).
Нужно сказать, что письмо к Каркави, в котором был
так подробно изложен метод, было найдено в Лейденской
библиотеке среди бумаг Гюйгенса и опубликовано только
в 1880 г. До этого времени математики звали об этом методе
только по отрывочным замечаниям Ферма. Большинство
теорем, доказанных Ферма методом спуска, были впо-
следствии доказаны без применения этого метода (напри-
мер, первое и второе дополнение к закону взаимности,
доказательство того, что каждое число представимо сум-
мой не более чем четырёх квадратов и др.), исключение
составляют только доказательства частных случаев боль-
шой теоремы и решения неопределённых уравнений вто-
рого порядка. Нои после опубликования вышеупомяну-
того письма этот метод не занял того места в обосновании
теорем алгебраической теории чисел, которое ему отводил
Ферма. Однако в работах Пуанкаре, Андре Вейля и дру-
гих, посвящённых решению неопределённых уравнений, он
снова начинает играть ведущую роль.
§ 3. Смысл проблем Ферма с точки зрения
современной математики
Несмотря на кажущуюся случайность выбора проблем
Ферма, разбросанных в виде отдельных заметок на полях
книг и в письмах и возникших как будто из рассмотрения
совершенно различных задач, все они, если их рассмот-
реть с точки зрения современной алгебраической теории
чисел, внутренне едины.
Действительно, проблема определения чисел, предста-
вимых данной квадратичной формой, с современной точки
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. II. ЗОЛОТАРЁВА 249
зрения есть проблема об определении вида рациональных
простых чисел, которые перестают быть простыми в поле
R(\f а), т. е. разлагаются в нём на множители
р={х-\-у\/‘а) (х у\/а}. Здесь Я- поле рациональных
чисел, а= — 1, — 2, - 3. А так как в квадратичном
поле (х + у\ а)(х — у] a) = N(z)t то можно ещё ска-
зать, что в 1-й проблеме Ферма ставит вопрос о нахождении
вида всех простых чисел, представимых нормами чисел
из поля 7?(| а). Для случая а =	1 Ферма устана-
вливает, что в поле 7?(| —1), т. с. в поле ком-
плексных чисел, перестают быть простыми все рацио-
нальные простые числа вида 4п4~1> т. с. доказывает так
называемое первое дополнение к закону взаимности, кото-
рое, воспользовавшись символом Лежандра, можно запи-
сать следующим образом:
Для случая я — 4- 2 перестают быть простыми только
числа прогрессий 8п 4- 1 и 8«4- 3. Если к этому ещё доба-
вить предложение о том, что никакое простое число из
прогрессии 8п-|- 5 и 8/г 4- 7 не разложимо в ноле R{]^ —2),
то получим так называемое второе дополнение к закону
взаимности:
Первое из этих дополнений было доказано Эйлером,
а второе—Лагранжом.
Тот факт, что представимые и непредставимые простые
числа располагаются по прогрессиям с разностью 4н
или 2а, причём так, что либо в прогрессии все про-
стые числа представимы, либо в ней вовсе нот предста-
вимых чисел, имеет общее значение. В качестве
гипотезы это было впервые высказано Эйлером. Кроме
того, из установленных теорем видно, что среди про-
грессий, в которых лежат представимые рассмотрен-
ными формами простые числа, обязательно содержится
250
И. Г. БАШМАКОВ V
прогрессия 4ап4-1 или 2ап + I1)- Этот факт также имеет
общее значение и был впервые высказан для общего слу-
чая Эйлером.
В тесной связи с первой проблемой Ферма, изложен-
ной в §2, стоит и вторая проблема, так как это есть про-
блема о единицах произвольного действительного квадра-
тичного поля R (]/’ +«)• Ферма устанавливает существо-
вание в этом поле бесконечного числа единиц, причём
все они получаются из некоторой основной единицы воз-
ведением её в степень. При этом ясно, что уравнение
l=//2-f-az2 имеет только конечное число целочисленных
решений, а это означает, что в мнимом квадратичном поле
—а) может существовать лишь конечное число еди-
ниц. Эти предложения Ферма были строго доказаны
Лагранжем, а в 1846 г. Дирихле доказал соответствующую
теорему о единицах для произвольных алгебраических
полей, которая сыграла для общих полей алгебраических
чисел ту же роль, что и уравнение Ферма для квадратич-
ных полей.
Особенно важной является поставленная Ферма про-
блема о решении уравнения ах2 —by2 = с, Необходимые
и достаточные условия для разрешимости этого уравне-
ния, как показал Лежандр, опираясь на алгоритм Ла-
гранжа (см. в § 5 о Лагранже), тесно связаны с квадратич-
ным законом взаимности, наиболее тонким орудием изу-
чения арифметики квадратичных полей. Вопрос о том,
догадывался ли Ферма о законе взаимности, остаётся
открытым. Во всяком случае он нигде его явно не сформу-
лировал.
Малая теорема Ферма кажется на первый взгляд никак
не связанной с предыдущими проблемами, в которых иссле-
дуется вопрос о представлении чисел квадратичными
формами. Однако после работ Куммера стала ясна связь
малой теоремы Ферма с вопросом о разложении целых
рациональных чисел в алгебраических полях. Если
в квадратичных полях простое рациональное число либо
В случае а = +3 простые числа из прогрессии 3n+ 1 те же,
что и в прогрессии + 1, поэтому можно говорить о простых чис-
лах прогрессии 2 • Зп +1.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. II. ЗОЛОТАРЁВА 251
остаётся простым, либо представляет норму числа или
норму идеала из этого поля, т. е. разлагается на 2 целых
алгебраических сопряжённых множителя (существую-
щих или идеальных), то в полях высших степеней суще-
ствует больше возможностей для вида разложения простого
рационального числа р. Оказалось, что принадлежность
простого числа р тому или другому показателю / по моду-
лю а определяет вид его разложения в поле /?('), где
неравный единице корень уравнения
х}—1 = 0;	(1)
X—простое число. Если р принадлежит показателю /, то
вид его разложения будет: р = р, р2 ... ре, где pg-
идеальные или существующие простые целые числа из
поля /?("), a ef=\- 1. причём 7V(pf) = p/. Более подроб-
но мы будем об этом говорить в главе об идеальных
м нож итс л я х Кумме ра.
Таким образом, теорема Ферма оказалась существен-
ной при изучении арифметики полей R (С), а к изучению
самих этих полей привели попытки решения большой
теоремы Ферма, так как оказалось, что, несмотря на то,
что теорема эта формулируется для целых рациональных
чисел, к доказательству сё нс удаётся подойти без расши-
рения поля рациональных чисел присоединением С, где
С—корень уравнения (1). Необходимость такого расши-
рения ясна из следующего разложения: если
х}- + у* = zA,
то
хя = зл г/л = (;-у)(г —Cy)(z- ?у) ... (s —
т. е. для разложения разности zA — ук на линейные множи-
тели, необходимого при доказательстве, нужно присое-
динить С.
Положение вещей здесь можно сравнить с некоторыми
теоремами проективной геометрии, которые формули-
руются для плоскости, но доказать которые возможно
только при помощи пространственных аксиом. Естествен-
но считать, что такие теоремы в действительности
выражают свойства нс плоскости, а пространства. Точно
252
И. Г. БАШМАКОВА
так же и большая теорема Ферма, несмотря на то, что
она формулируется для целых рациональных чисел,
на самом деле выражает свойства целых алгебраических
чисел.
Таким образом, все теоретико-числовые проблемы,
поставленные Ферма, являются проблемами алгебраи-
ческой теории чисел. Ферма принадлежит и открытие
метода спуска—специфического метода исследования
теоретико-числовых проблем. Поэтому Ферма следует
считать творцом алгебраической теории чисел, как науки
с собственной областью исследования и собственным мето-
дом. Естественно возникает вопрос о происхождении
проблем Ферма, о причинах их появления и о связях их
со всем предшествовавшим развитием математики.
Чаще всего теорию чисел Ферма сопоставляют с ариф-
метикой Диофанта, причём многие историки математики
(Цейтен, Вплейтнер и др.) считают, что основные тео-
ретико-числовые работы Ферма были сделаны под влия-
нием Диофанта, что Ферма только углубил Диофанта
и поставил проблемы в его духе1). На самом деле это не
так. Действительно, основным вопросом арифметики
Диофанта является вопрос о решении неопределённых
уравнений или систем неопределённых уравнений в рацио-
нальных числах. Неизвестные при этом ищутся либо как
рациональные функции от одного параметра,—и тогда
соответствующая задача есть задача об униформизации
рациональными функциями, — либо как рациональные
функции от нескольких параметров.
Вопросы эти впоследствии играли важную роль
и в теории чисел и в теории алгебраических функций.
Если / (х, у)—многочлен относительно гг и у, то y = <?(x)t
удовлетворяющее уравнению
f(x.y) = O	(1)
и рассматриваемое как функция от ж, называется алгеб-
раической функцией. Уравнения вида (1), как показал
Пуанкаре, могут быть униформизированы только с по-
0 Ср., например. Цейтен, История математики в XVI —
XVII вв. (ОНТИ, 1938), стр. 167 и след
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 253
мощью так называемых автоморфных функций. Уже урав-
нение у~ = 4я3 — ах — b требует для своей униформизации
двоякопсриодических функций. Из этого ясно, что основ-
ные вопросы арифметики Диофанта связаны с глубокими
математическими проблемами и что они представили
хорошую почву для дальнейшей разработки.
Однако к теоретико-числовым проблемам Ферма вопрос
о решении неопределённых уравнений в рациональных чис-
лах не имеет—с математической точки зрения—никакого
отношения. Действительно, то обстоятельство, что Ферма
требовал нахождения только целочисленных решений не
определённых уравнений, делало его проблемы качествен-
но отличными от диофантовых. Как мы видели, проблемы
Ферма фактически ставили вопросы, относящиеся к целым
алгебраическим числам и законам их делимости. Центр
тяжести был перенесён на изучение поведения простых
чисел при алгебраических расширениях, что было уже
совсем чуждо кругу идей «Арифметики» Диофанта. Про-
блемы Ферма более близки к диоризмам Диофанта, которые
возникали при анализе задач. Определяя, при каких
условиях та или иная из поставленных им задач воз-
можна, Диофант иногда вынужден был прибегать к рас-
смотрениям, которые мы отнесли бы теперь к алгебраи-
ческой теории» чисел. Так, например, он первый пользо-
вался формулой
(ж2 -f- у2) (и2 4- и2) = {хи ± ус)2 + {хс Т уи)2.
Можно у пего найти и другие результаты того же ха-
рактера .
Но все эти проблемы не стояли в центре его внимания,
они возникали скорее как побочный продукт. Нигде
У Диофанта нс сформулировано, например, ни одного
общего предложения о том, что числа определённого вида
представимы темп или иными формами.
Таким образом, постановка проблем теории алгебраи-
ческих чисел всецело принадлежит Ферма. В Диофанте
никак нельзя видеть его предшественника. Это пре-
красно понимал и сам Ферма, назвавший во втором вы-
зове математикам (см. § 2 этой статьи) среди своих пред-
шественников одного только Евклида. Того же мнения
2-4
И. Г. БАШМАКОЬл
придерживался и Гаусс, писавший, что работы Диофанта,
по его мнению, «сделали эпоху в истории математики
скорее потому, что они зафиксировали первые следы
алгебры, чем потому, что они обогатили трансцендент-
ную г) арифметику»* 2). Можно спорить с общей оценкой
Гауссом работ Диофанта, но бесспорным остаётся тот
факт, что в работах Диофанта не было проблем алге-
браической теории чисел.
Алгебраическая теория чисел, таким образом, если
не считать работ Евклида, в которых проблемы теории
делимости были поставлены только для целых рацио-
нальных чисел и поэтому не было еще видно их своеобра-
зия, является детищем нового времени. Начатая в рабо-
тах Евклида, опа не могла развиваться дальше в рамках
античной математики. Только общее развитие новой
математики с её тенденцией к алгсбраизации и арифмети-
зации могло дать почву для дальнейшего развития этой
науки. Хотя сама алгебраическая теория чисел не полу-
чила развития за весь промежуток времени от Евклида
до Ферма, но сдвиги, происшедшие за это время в мате-
матике, обусловленные в конечном счёте коренными изме-
нениями общественно-экономической жизни, позволили
поставить её проблемы и выработать общий метод для
их решения.	*
§4. Алгебраическая теория чисел в работах Эйлера
После смерти Ферма развитие теории чисел замерло.
Великие математики конца XVII в.—Ньютон, Лейб-
ниц и другие—почти совсем не занимались ею. И это
происходило не только потому, что новые плодотворные
устоды бесконечно малых поглощали всё их внимание.
Дело было ещё и в недоступности проблем теории чисел,
главным образом ввиду отсутствия общих методов.
Как писал великий русский математик 11. Л. Чебышев,
изыскания в этой области «требовали не новых прило-
г) Под трансцендентной арифметикой Гаусс здесь понимает
алгебраическую теорию чисел.
2) Предисловие к «Disquisitiones arithmeticae».
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 255
женин приёмов уже известных и не новых развитии
приёмов, прежде употреблявшихся, эти изыскания тре-
бовали создания новых приёмов, открытия новых начал,
одним словом, основания новой науки»1). Но такое осно-
вание новой науки—теории чисел—могло произойти
только после существенных сдвигов в общем развитии
всей математики; тот предел, до которого можно
было дойти в этих вопросах, был уже достигнут в
работах Ферма. II такие сдвиги, действительно, про-
изошли.
Прежде всего, нужно отмстить дальнейшую арифме-
тизацию математики и её алгебраизацию. Если в XVII в.
основные понятия математики большей частью заимство-
вались из геометрии и механики, то в XVIII в. в основу
сё построения кладётся число. Основное понятие мате-
матического анализа—функция — определяется уже не
через представление о кривой или о скорости, а как
результат арифметических и алгебраических операций,
произведённых над переменной и постоянными величи-
нами. Характерной чертой курсов анализа того вре-
мени является полное отсутствие чертежей (см., напри-
мер, «Введение в анализ» Эйлера, ч. 1); такой же стиль
был распространён и па построение курсов механики
(например, в «Аналитической механике» Лагранжа,
1788 г., нет ни одного чертежа). Естественно, что при
той роли, которую стало играть число в новой матема-
тике, повысился интерес к изучению его свойств—в пер-
вую очередь, свойств целого числа, исходя из которого
определялись и все другие числа (рациональные, веще-
ственные, а впоследствии и алгебраические).
Следствием такого направления в развитии матема-
тики явилось внедрение буквенной символики, которая
во времена Ферма была еще совершенной новостью.
Сам Ферма никогда не употреблял её при своих теоретико-
числовых исследованиях. Ко времени Эйлера, во многом
благодаря созданию алгоритма исчисления бесконечно
малых, а также благодаря дальнейшей разработке теории
х) П. Л. Ч е б ы ш с п, Теория сравнений (Полное собр.
сочинений, изд. АН СССР, т. I, 1944 г., стр. 10).
256
И. Г. БАШМАКОВА
алгебраических уравнений, буквенная символика прочно
вошла в математику.
Наконец, изменился сам стиль математического мышле-
ния. А именно, новые объекты и новые понятия стали более
свободно вводиться в математику. Так, Эйлер при опреде-
лении понятия переменной величины не исключал и мни-
мые значения, а многие важнейшие теоремы теории чисел,
как мы увидим, он смог доказать только после того, как
ввёл выражения вида а -]- b ± D и, фактически, перенёс
на них понятие целости, оперируя с ними так, как если бы
они подчинялись тем же законам, что и целые рацио-
нальные числа. Во времена Ферма оперирование с такими
объектами было немыслимо.
Неудивительно, что математики смогли вернуться
к проблемам теории чисел только после такого расши-
рения средств и методов. Возрождение этой науки произо-
шло па новой почве в России, которая стала второй роди-
ной теории чисел. Первым учёным, продвинувшим впе-
рёд все вопросы этой науки, был величайший математик
XVIII века, петербургский академик Леонард Эйлер,
творчество которого является достоянием русской науки.
Нужна была сила гения Эйлера (которому математика
обязана во всех своих областях не только больше, чем
любому другому математику его века, но и больше,
чем всем им, вместо взятым, и работы которого не утра-
тили своей актуальности вплоть до нашего времени),
чтобы сдвинуть с мёртвой точки трудные проблемы
классической теории чисел. «Эйлером положено начало
всех изысканий, составляющих общую часть теории
чисел»1). Хотя Ферма и предшествовал Эйлеру во многих
его теоретико-числовых исследованиях, работы его но
оказали непосредственного влияния на развитие теории
чисел; только после Эйлера вопросы теории чисел прочно
вошли в науку.
Эйлер но только доказал и обобщил почти все предло-
жения Ферма, но и обнаружил фундаментальный закон
всей теории—квадратичный закон взаимности. Перечислим
х) П. Л. Чебыш е в, Теория сравнений (Поли. собр. соч
т. I, 1944, стр. 10).
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 257
вкратце некоторые из результатов, полученных Эйле-
ром.
1)	Эйлер впервые доказал, что формой	пред-
ставимы те и только те простые числа, которые лежат
в прогрессии 4тг4~11)> а формой ж2 + Зг/2—в прогрессии
6п + 12). Он показал также, что всякое простое число
из прогрессии 4д4~1 представимо только единственным
способом в виде суммы двух квадратов и, наоборот,
если некоторое число только единственным образом пред-
ставимо суммой двух квадратов, то оно является про-
стым, вида 4/г +1- Подобные же обратные теоремы он
доказал для чисел, представимых единственным образом
формами ж2+2?/2 и ж24~3?/23). С этой же точки зрения
он исследовал и формы аж2 -f- $у~.
2)	Занимаясь малой теоремой Ферма, Эйлер впервые
доказал её и обобщил на случай составного модуля.
Утверждение этой обобщённой теоремы заключается в сле-
дующем: если п—любое целое число и а—взаимно про-
сто с /г, то
== 1 (mod и),
где (п) означает число чисел, меньших п и взаимно
простых с ним4). Функция <?(п) получила впоследствии
название функции Эйлера. Эйлер подробно исследовал
эту функцию и установил ряд её свойств5). Если в каче-
стве п взять простое число то & (р) = р — 1, и из теоремы
Эйлера, как частный случай, получается малая теорема
Ферма.
3)	Малая теорема Ферма послужила Эйлеру отправ-
ным пунктом для основания теории степенных вычетов.
Число г называется вычетом степени к простого числа /?,
если существует такое целое число а, что
_______________ак~ г (mod р).
и «Comment arithm. coll.» т. I, 1754—1755 гг,, мемуары XII
v 2) «Comment, arithm. coll.», тт. I и II, мемуары, VI, XIII,
XXI, IV, V и XVII.
®) Там же.
4)	«Theoremata arithmetica nova melhodo demonstrata», 1753 г.
(«Comment. arithm. coll.», т. I, стр. 274).
) «Comment, arithm. coll.», т. II, мемуар LII
Историко-математ. исследования
258
И. Г. БАШМАКОВ \
В противном случае г называется невычетом степени к.
Если Л =2, то соответствующие ему вычеты и невычеты
называются квадратичными.
Эйлер установил критерий для определения того,
является ли данное число г квадратичным вычетом по про-
стому модулю р, а именно: г является квадратичным выче-
том, если
Pzl
2
=е 1 (mod р},
и квадратичным невычетом, если
р-1
г 2 = — l(mod р).
Критерий этот очень важен для теории квадратичных
сравнений и допускает обобщение на двучленные срав-
нения высших степеней.
В теории степенных вычетов Эйлеру принадлежит,
кроме того, введение основных понятий: первообразного
корня и индекса1 2). Число g называется первообразным
корнем по простому модулю р, если степени g°, g\
g\ ..., gP”1 образуют полную систему вычетов по этому
модулю (т. е. 1, g, ..., gP"1 дают при делении на рв остатке
1, 2, 3... р—1 или ещё gp~1 (mod р) и gl 1 (mod р),
если I < р — 1). Эйлер обнаружил существование перво-
образного корня для всякого простого модуля р, однако
ему не удалось строго обосновать своё открытие.
4)	Эйлер впервые дал полное решение уравнения
х2 — ayz= 12).	(1)
При этом он обнаружил на числовых примерах периодич-
ность непрерывной дроби, в которую разлагается У а,
и указал связь этой дроби с наименьшим решением урав-
нения (1). Для нахождения всех решений этого урав-
l) «Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per
numeros primes resultantia», 1772 («Comment arithm. coll.», г. I,
стр. 516).
2) «De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo»
(1759) («Comment, arithm. coli.», т. I, стр. 316); «Algebra», ч. II
(Leipzig).
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 259
нения Эйлер впервые в истории теории чисел воспользо-
вался разложением формы и2 ± ао2 на иррациональные
пли мнимо-иррациональные множители
и2 ± av2 = (и + г =F а) (н — у И Т а)’
«Я показал,—писал Эйлер Лагранжу,—что для того,
чтобы решить уравнение х2 + пу2 = (р2 -|- nq2Y, достаточно
решить следующее: x + y\f—n — (p + q\ —и)*»1 2). Стро-
гого обоснования своему методу Эйлер не дал.
Эйлер не ограничился решением уравнения (1). Он
рассмотрел общее неопределённое уравнение второй сте-
пени от двух переменных
Ах2 + 2Вху + Су2 4- 2Dx -f- 2Еу 4- F = О,
которое всегда можно свести к виду
и2 — аг2 = Ь,	(2)
и связал решение этого последнего с решением соответ-
ствующего уравнения (1).
Если х0, у0 — наименьшее решения уравнения (1),
а и0, и0 — наименьшее решение уравнения (2), то, как
показал Эйлер, другие решения ип, гп уравнения (2)
можно получить по формуле
«л + '-п/о = (и. I «)(*<> + &> I «)”,	(3)
в которой после раскрытия скобок надо приравнять коэф-
фициенты при |' а и члены, не содержащие этого корня 2).
Таким образом, Эйлер впервые после Ферма понял,
что решение уравнения (1) в целых числах является «клю-
чом» к теоретико-числовым проблемам, и показал, в каком
смысле следует понимать это неясное выражение Ферма.
Обобщив результаты Эйлера, Дирихле построил
в 1846 г. свою теорию единиц.
5)	Эйлер много занимался большой теоремой Ферма.
Уже в 1738 г. он нашёл её доказательство для п =
1) Oeuvres de Lagrange, т. XIV, стр. 215.
2) Впоследствии Лагранж показал, что формула (3) не даёт,
вообще говоря, всех решений уравнения (2).
17*
260
И. Г. БАШМАКОВА
применив при этом метод спуска х). Однако подобное же
доказательство для тг = 3 он смог провести лишь 22 года
спустя, в 1760 г.I 2 3), после того, как он начал применять
иррациональные и мнимо-иррациональные выражения
для решения теоретико-числовых проблем (например,
при решении уравнения Форма).
16 января 1770 г. Эйлер писал Лагранжу: «Я также
был восхищён Вашим методом, заключающимся в при-
менении иррациональных и даже мнимых чисел в том
отделе анализа, в котором исследуются только рацио-
нальные числа. Вот уже несколько лет, как у меня появи-
лись подобные идеи, но я не дал ничего на этот счёт ни
в наши Комментарии, ни в Берлинские записки, но,
издав здесь полную алгебру на русском языке, я под-
робно развил там этот метод» 8).
В частности, для доказательства невозможности равен-
ства
в целых числах Эйлер рассмотрел выражения вида
и + b — 3. Наиболее существенным является то, что при
доказательстве Эйлер фактически пользовался этими
выражениями так, как если бы они были целыми числами.
Более того, он обобщает фактически на такие выраже-
ния не только понятие целости, но и понятие простоты.
Так, в ходе доказательства Эйлер существенно поль-
зуется однозначностью представления любого выражения
вида а 4- b ]/" — 3 как произведения неразложимых дальше
выражений того же вида.
Однако Эйлер не считал выражений подобного рода
числами, они никогда не представляли для него само-
стоятельного объекта исследования. Он пользовался ими
только как вспомогательным средством для получения
результатов относительно целых рациональных чисел.
I) «Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes»,
1738 г. («Comment, arithm. coll.», т. I, стр, 24).
2) «Algebra», Leipzig, т. II, гл XV.
3) Oeuvres de Lagrange, т. XIV, стр. 215.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 2о1
То обстоятельство, что при этом на выражения вида
и + у ± т фактически переносились свойства целых чи-
сел и что поэтому их целесообразно рассматривать как
обобщение целых чисел, было осознано много позднее.
6)	Основной вклад, внесённый Эйлером в теорию
чисел, был открытый им квадратичный закон взаимно-
сти. Впервые (неполно) он сформулировал его в 1744 г.1),
а развёрнутую формулировку дал в 1783 г.2).
П. Л. Чебышев первый обнаружил в 1849 г. наличие
у Эйлера формулировки квадратичного закона взаимно-
сти3), хотя обычно это открытие приписывалось Кроне-
керу, несмотря на то, что последний указал4) на это
обстоятельство лишь в 1875 г.
После того как было установлено, что —1 есть квад-
ратичный вычет всех простых чисел вида 4пЧ-1 и квад-
ратичный невычет всех простых чисел вида 4п4-3, а число 2
есть квадратичный вычет всех простых чисел вида 8п4-1
или 8пЧ~7 и квадратичный невычет всех простых чисел
вида 8^4-3 и 8п4"3 (оба эти предложения были выска-
заны ещё Ферма), естественно, встал вопрос о том, для
каких нечётных простых чисел р данное нечётное про-
стое число q является квадратичным вычетом. Оказалось,
что в этом случае нельзя получить столь простого и исчер-
пывающего ответа, как при q = —1 и # = +2. Однако
удалось обнаружить следующую важную зависимость,
получившую название закона взаимности.
Если из двух нечётных простых чисел р и q по край-
ней мере одно имеет вид 4n+ 1, то q будет квадратичным
вычетом или невычетом /?, смотря по тому, будет ли р
квадратичным вычетом или невычетом д; если же оба
числа—вида 4^ + 3, то q есть квадратичный вычет или
невычет р, смотря по тому, будет ли р квадратичным
-1) «Theoremata circa divisores nuinerorum in line forma pa2 ± qb2
contentorum», 1772 r. (Common I. arithm. coll., стр. 35).
2) «Observationes circa divisionem quadra toruni per numeros
primes», 1772 r. («Comment arithm. coll.», т. I, стр. 477).
3) П. Л. Чебышев, Теория сравнений (Поли. собр. соч.,
т- I, 1944 г., стр. 11 —12).
4) К г о п р с ке г, Zu г Geschichte des Rec i р roc i tats go setzes
\Werke, т. II, стр. 3).
262
И. Г. БАШМАКОВА
невычетом или вычетом q1). Пользуясь символом
Лежандра, закон этот можно записать следующим образом:
Мы не будем касаться вопроса об особенностях закона
взаимности у Эйлера, так как вопрос этот достаточно
полно освещён в имеющейся литературе. Остановимся
только на самой ранней формулировке Эйлера, являю-
щейся непосредственным обобщением результатов Ферма
относительно распределения простых чисел, представи-
мых данной квадратичной формой. В то время как Ферма
ограничился рассмотрением простых чисел, представимых
формами я2 + ?/2, ж24-2?/2, я2-|-3?/2, Эйлер установил
закономерности распределения по прогрессиям простых
чисел, представимых формой
«Если в качестве общей формы делителей, содержа-
щихся в выражении а а — Nbb, принять 4т??7У ± а, то буква а
по большей части будет обозначать много чисел, среди
которых всегда содержится единица... Следовательно,
значениями а будут нечётные числа, простые с N и мень-
шие, чем 27V, и половина всех этих нечётных чисел, про-
стых с N и меньших, чем 27V, доставляет удобные зна-
чения для а, остальные же дают формулы, в которых
эти делители не содержатся... Поскольку единица по-
стоянно повторяется среди значений а, любое квадратное
число, простое с 42V, даёт удобное значение для а»2).
Таким образом, Эйлер здесь устанавливает, что:
1) число прогрессий 4Мп± а (а < 27V, (а, 2N) = 1), в кото-
рых лежат делители форм c? — Nb\ равно числу прогрес-
сий, в которых пет таких делителей; 2) среди прогрессий,
содержащих делители, всегда находится прогрессия
Таким образом, Эйлер эмпирически, экспери-
ментируя над числами, пришёл к так называемому Арти-
новскому закону взаимности для квадратичного случая.
1) Формулировка взята из книги Леже н-Д и р и х л е
«.Лекции по теории чисел», Москва, 1936 г., стр. 87.
2) Theoremata circa divisores numerorum in hac forma pa--\-qb-
contentorum» («Comment arithm. coll.» стр. 35).
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. 11. ЗОЛОТАРЁВА
263
Ферма, как мы видели, даже нс сформулировал его для
тех частных случаев представлений квадратичными фор-
мами, которые он рассматривал. В этой же работе Эйлер
заменил вопрос о числах, представимых некоторой фор-
мой, вопросом о делителях этой формы, т. е. перевёл
проблему о представлении из аддитивной в мультипли-
кативную. Именно идя по этому направлению, Лагранж
и пришёл к совместному рассмотрению всех квадратич-
ных форм данного дискриминанта.
Работы Эйлера по алгебраической теории чиселг)
очень хорошо могут быть охарактеризованы словами
П. Л. Чебышева и В. Я. Буняковского, писавших, что
если систематизировать эти работы, расположив их
но соответствующим разделам, то «получится почти целый
трактат по теории чисел»2).
Без преувеличения можно сказать, что вся класси-
ческая теория чисел уже содержалась в работах Эйлера.
Особенно поражает колоссальное количество открытых
им фактов и методов, сила и богатство которых стали
ясны математикам лишь значительно позднее. Если
Эйлер и не дал всем своим предложениям строгого обосно-
вания, то это происходило пе от недостатка идей, а, ско-
рее, обусловливалось тем, что средства современной
ему математики были ещё слишком слабы для проведе-
ния нужных доказательств. Играла также роль и общая
установка Эйлера в отношении требований логической
строгости: хотя он и понимал необходимость доказатель-
ства математических предложений, но главным для него
было всё-таки получение конечного результата. Так,
в одном из писем Лагранжу, сообщая новое найденное
им правило, относящееся к разрешимости неопределён-
ного уравнения А = р2 Bq2, Эйлер пишет с сожалением,
что он не может строго доказать его, а затем добавляет:
«а, если даже я найду ему доказательство—оно ни в чём
не может быть полезно для актуального решения задачи»3).
*) Мы здесь не касаемся основоположных работ Эйлера по
аналитической теории чисел.
а) Предисловие к «Comment, arithm. coliectae».
3) Письмо от 16 января 1770 г., Петербург (Oeuvres de Lag-
range, т. XIV стр. 215),
264
И. Г. БАШМАКОВА
Начиная с работ Эйлера, русской математике при-
надлежит в целом ведущая роль в развитии теории чисел.
П. Л. Чебышев начал своё знакомство с этой теорией
с издания и комментирования теоретико-числовых работ
Эйлера. Предисловие к своей «Теории сравнений»
П. Л. Чебышев посвящает почти целиком обзору работ
Эйлера, причём подробно останавливается на открытии
Эйлером квадратичного закона взаимности. Е. И. Золо-
тарёв, А. Н. Коркин и другие ученики и последователи
Чебышева также самым внимательным образом изучали
произведения Эйлера.
§ 5. Работы Лагранжа. Появление локальных методов
После смерти Эйлера центр развития теории чисел
снова временно переместился во Францию. Под влия-
нием работ Эйлера и Ферма теоретико-числовыми про-
блемами много и плодотворно занимался крупнейший
французский математик, механик и астроном Жозеф Луп
Лагранж (1736—1813).
Из математических трудов Лагранжа широкую извест-
ность получили «Аналитическая механика», в которой
вся теоретическая механика строится, исходя из прин-
ципа наименьшего действия, «Теория аналитических
функций», где он пытается при помощи алгебраизацни
подвести строгую базу под здание математического ана-
лиза, а также «Размышления о решении уравнений», где
Лагранж последовательно разбирает все существующие
методы решения алгебраических уравнений степени
в радикалах, причём показывает, почему каждый из них
не может быть распространён на решение уравнений
степени п>5. Этим сочинением была подготовлена почва
для будущих работ Абеля и Галуа.
Не менее замечательными являются и работы
Лагранжа по алгебраической теории чисел. Они отли-
чаются строгостью обоснования, ясностью и красотой
изложения. С чисто внешней стороны нужно отмстить
что они, как и другие работы Лагранжа, написаны пре-
красным французским языком, вместо мёртвой латыни—
обычного языка научных сочинений того времени. Это
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 265
обстоятельство было связано с демократизацией науки,
явившейся следствием французской буржуазной рево-
люции, а также с тем обстоятельством, что научные про-
изведения, начиная с этой эпохи, проследуют, помимо
чисто научных, ещё и педагогические цели. Они пишутся
уже нс только для отдельных выдающихся учёных, спо-
собных расшифровать и весьма неясное изложение, но
и для широких кругов учащихся. Изложение поэтому
становится более чётким и более детальным.
По содержанию своему теоретико-числовые работы
Лагранжа стоят как бы на рубеже двух эпох, являясь
не только завершением пройденного этапа, по и началом
новой эпохи. Лагранж не открыл в теории чисел таких
фундаментальных фактов, как квадратичный закон взаим-
ности, но все вопросы, которыми он занимался, он при-
вёл во взаимосвязь, углубил и систематизировал.
Так, в первых своих работах Лагранж дал исчерпы-
вающее исследование решений уравнения Ферма1)
ж2 — ауг=\	(1)
и неопределённого уравнения второго порядка2) от двух
переменных
Ах2 4- Вху + Су2 + Dx + Еу 4- F = 0	(2)
в рациональных и целых числах. Он показал, что общее
неопределённое уравнение второго порядка (2) можно
всегда свести к уравнению вида
А=х2 By2.	(3)
Таким образом, дело сводится к представлению числа А
нормой некоторого числа а из поля R(] В):
A = (z + y^B)(x-yy'B)=N(a'l.
Отыскивая условия, необходимые и достаточные для
разрешимости уравнения (3) в рациональных числах
2) «Solution d’un probleme d’Arithmetique», 176 >— 1769 гг.
(Oeuvres, т. I, стр. 671).
2) «Sur la solution des problemcs indeterminees du second degre»,
1769 r, (Oeuvres, t. 11, стр. 377—535).
266
И. Г. БАШМАКОВА
или, что то же, для возможности решения уравнения
Ar* 2=.p2 — Bq2	(4)
в целых числах, Лагранж был приведён к рассмотрению
делителей формы z2 — В. Действительно, как легко видеть,
для разрешимости уравнения (4), необходимо, чтобы А
было делителем формы z2 — В, или (j) = +1, где t — про-
стой делитель А. Для нахождения условий достаточно-
сти Лагранж применил алгоритхМ сведения уравнения (4)
к уравнению того же вида
=	(4')
но с меньшими коэффициентами. При этом At должно
быть делителем z2 — B1. Повторяя тот же алгоритм, мы
придём через конечное число шагов к уравнению
Апг* = р2-Вnq\
в котором один из коэффициентов равен единице или
полному квадрату. Таким образом, дело сводится либо
к решению соответствующего уравнения Ферма, либо
к уравнению
a2r2 = p2-Bn-q2,
которое легко решается общим методом. При этом
Лагранж близко подошёл к доказательству квадратич-
ного закона взаимности, однако, не заметил этого.
Лежандр дал первое неполное доказательство этого
закона, опираясь на алгоритм Лагранжа1).
В следующей своей теоретико-числовой работе2),
исследуя вид делителей таких форм, Лагранж сделал
замечательное открытие, положившее начало теории
квадратичных форм.
Он обнаружил, что все делители р чисел и, предста
вимых в виде
п = и2 ± ао2,	(5>
х) См. статью II. Г. Чеботарёва «О значении работ
Лагранжа по теории чисел и алгебре» («Успехи матем. наук», т. II,
стр. 17).
2) «Recherches d’arithmetique» (Oeuvres de Lagrange, t. Ill,
стр. 695—795).	*	*
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И ЗОЛОТАРЁВА 267
хотя, вообще говоря, и нс могут быть уже представлены
формой того же вида, зато допускают представление
р = Ьх2 ± 2сху ± dy2,	(6)
где
± bd — с2 = а.
Выражение ± bd — с2 == а называется дискриминантом
формы (6), а форма (5)—главной формой данного дискри-
минанта а.
Таким образом, открытие Лагранжа может быть ещё
сформулировано так: делители чисел, представимых глав-
ной формой данного дискриминанта, сами представимы
формой (уже, вообще говоря, не главной) того же дискри-
минанта.
Далее Лагранж устанавливает обратное предложе-
ние: если число р представимо некоторой формой данного
дискриминанта, то оно является делителем главной
формы того же дискриминанта. ’
Действительно, если
р = Ьх2 ± 2сху ± dy2,
то
pb = (bx ± су)2 ± ау2 = и2 ± av2, u = bx±cy, v = y1).
Оба полученные Лагранжом предложения допускают
ещё и другую интерпретацию. Если р является делите-
лем числа п = и?±а 2 и р взаимно просто с я, то
сравнение и2 ± аг2~ 0 (mod р), эквивалентное сравнению
«2 ±	0 (mod р), разрешимо. Отсюда, как показывает
прямое предложение Лагранжа, следует, что р предста-
вимо формой Ьх2 ± 2сху ± dy2 дискриминанта а. Как
мы уже говорили, представление числа п формой и2 ± аи2
эквивалентно его разложимости в произведение множи-
телей (и -р о | =F a) (и —>' Т «), являющихся целыми
числами поля K = R(] 4= а). В дальнейшем, для восста-
новления нормальных законов делимости, в поле К
г) Отсюда, в частности, следует, что делители произвольных
форм данного дискриминанта совпадают с делителями главной
формы того же дискриминанта.
2G8
II. Г. БАШМАКОВА
пришлось ввести идеальные множители, и тогда ока-
залось, что представление числа р некоторой формой
дискриминанта а эквивалентно его разложимости на
идеальные множители поля К = /?()/ ± а). Если учесть,
что нормы идеальных множителей квадратичного поля
R([/а) выражаются квадратичными формами дискри-
минанта то первое предложение Лагранжа можно
перефразировать так: делители норм чисел квадратич-
ного поля К являются нормами идеальных множителей
из того же поля. А оба предложения Лагранжа экви-
валентны предложению: для того чтобы некоторое чи
ело р разлагалось в произведение двух существующих
или идеальных чисел квадратичного поля K = R(]/ ± а),
необходимо и достаточно, чтобы основное уравнение
z2=f« = 0, определяющее поле А, рассматриваемое как
сравнение по модулю р, было разрешимым. Таким обра-
зом, впервые был установлен параллелизм между разло-
жимостью простого числа р, не являющегося делителем а
в поле R (|/ ± а), и разложимостью определяющего урав-
нения этого поля z2 =F я = 0 в поле вычетов по модулю р.
Забегая несколько вперёд, скажем, что обобщение идеи об
этом параллелизме явилось вплоть до работ Е. И. Золо-
тарёва основным ядром локальной теории делимости.
Куммер, которому неверно приписывают открытие тео-
ремы о параллелизме, сформулировал её для случая
нолей деления круга, а обобщение её па произвольные
поля алгебраических чисел принадлежит Е. И. Золота-
рёву. Таким образом, теореме о параллелизме должно
быть присвоено имя Лагранжа-Золотарёва.
Лагранж не ограничился рассмотрением квадратич-
ного случая. Исследуя уравнение вида
А = Btn 4- Ctn~*u 4- Киц,	(1)
он нашёл1), что для его разрешимости в целых числах
необходимо, чтобы сравнение
Вх" 4- Сх11 1 4- ... 4- К == 0 (mod А)	(8)
х) «Nouvelle methode pour resoudre les problemcs indetermines
epnombres entiers», 1770 r. (Oeuvresde Lagrange, t. 11, стр. 655—7?6).
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЕВА 269
имело рациональный корень а, который всегда можно пред-
полагать по абсолютной величине меньшим ~ : а < — •
Если в качестве А взятьпростое число р, то отсюда полу-
чается, что для представимости простого числа р нормой
числа или нормой идеала первой степени из ноля R (6)
p = Bt',-rCtniu+ ... + Кип = В  N (t — Qu)	(9)
необходимо, чтобы основное уравнение в поле вычетов
по модулю р было приводимым, а именно оно должно
иметь множитель первой степени:
Вхн + Сх"-1 + .. . + А' = (х — а «А (х) (mod р).	(10)
Обратного заключения о представимости числа д
формой вида (9), если имеет место сравнение (8), Лагранж
не делает, да оно и невозможно без дальнейших суще-
ственных предположений. Исследования Лагранжа были
крайне затруднены громоздкостью языка форм, несоот-
ветствием его истинной сущности разбираемых проблем.
Однако содержание того или иного математического пред-
ложения не зависит от языка, па котором оно выражается.
Поэтому мы и утверждаем, что Лаграпжем была, по суще-
ству, открыта вышеприведённая теорема о параллелизме.
Характерной чертой исследований Лагранжа является
то, что в противоположность Ферма и Эйлеру он интере-
суется не вопросом об отыскании всех простых чисел,
представимых некоторой квадратичной формой или явля-
ющихся её делителями, а сосредоточивает внимание на
представлении одного простого числа, изучает свойства
квадратичного поля по отношению к этому простому
числу. Благодаря этому ему и удалось установить
замечательную теорему о параллелизме. Таким образом,
в своих теоретико-числовых работах Лагранж впервые
начал проводить исследования при помощи локальных
методов, которые в алгебраической теории чисел, как и в
других областях математики, пробивали себе дорогу с боль-
шим трудом. Они получили полное развитие только в ра-
ботах замечательного русского математика Е. И. Золотарё-
ва, т. е. примерно через 100 лет после Лагранжа. Однако
методы Э1и прочно вошли в теорию чисел только в XX в.
?76
И. Г. БАШМАКОВ V
Мы будем ещё говорить о значении этих методов для
современной математики. Здесь отметим только, что,
хотя, казалось бы, логически более простой является
локальная теория, исследующая с начала до конца пове
дение некоторого одного простого числа, но исторически
первой возникла общая теория, которую развивал в своих
работах ещё Ферма.
Исследование делителей чисел, представимых фор-
мами, привело Лагранжа не только к установлению тео-
ремы о параллелизме, но и к идее совместного рассмотре-
ния всех квадратичных форм данного дискриминанта1).
Этими формами, как мы видели, представимы все возмож-
ные делители главных форм того же дискриминанта,
и, наоборот, всякое число, представимое формой дан
пого дискриминанта, является делителем соответствую-
щей главной формы. Лагранж фактически ввёл понятие
эквивалентности двух форм одного и того же дискри-
минанта (он говорил об их «тождественности»), поло-
жив, таким образом, начало теории классов форм,
и доказал, что число таких классов всегда конечно.
Для этого Лагранж доказал, что произвольную форму
данного дискриминанта2)
Ьх2 + 2сху Ц- dy2, bd — c2 = a	(И)
можно преобразовать конечным числом линейных под-
становок
х — Lx' 4- Ми', ]
,,,	;	(12)
у = 1х -\-rny ,	)
где Lm — IM=± 1, в приведённую форму того же дис-
криминанта, т. с. такую форму
рх2 + 2дху + гуг,	рг — д2=и,
(13)
х) «Recl\erches d’arithmetique» (Oeuvres de Lagrange, т. Ill,
стр. 695—795).
2) Лагранж рассматривает более общую форму: Ах2 + Вху + Су2,
где 4 ЛС — В2 = £>—дискриминанту. Мы здесь принимаем ради
простоты и единообразия обозначений, что В = 2с, а~~^ >
а, Ь, с, d могут быть как положительными, так и отрицательными-
ТЕОГПЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. II. ЗОЛСТАГЁВА 27!
ЧТО
2|?|<|т>1.	2|9|<|г|.
Формы, которые могут быть переведены друг в друга
подстановкой вида (12), Гаусс назвал эквивалентными1).
Совершенно ясно, что если какое-нибудь число п пред-
ставимо некоторой формой вида (11), то оно будет пред-
ставимо и всеми эквивалентными ей формами. Это сооб-
ражение оправдывает наименование таких форм эквива-
лентными, т. е. равнозаменяемыми во всех вопросах
о представлении. Таким образом, каждой форме данного
дискриминанта ставится в соответствие приведённая
форма. Это соответствие при данном Лагравжем способе
приведения неоднозначно: одной и той же форме могут
соответствовать несколько приведённых форм. Однако,
как показывает Лагранж, все такие приведённые формы
будут эквивалентны между собой.
Лагранж показывает далее, что существует только
конечное число различных (т. е. неэквивалентных) при-
ведённых форм данного дискриминанта. Действительно,
если а > 0, тоа= рг —<?2 >4#2 </2 = 3<?2; откуда |/ у,
а так как q~ целое рациональное, то оно может иметь
только конечное число различных значений. Но, при
данном q,
pr = a + q\
т. е. риг могут принимать тоже лишь конечное число
значений. Поэтому всего приведённых форм данного
положительного дискриминанта может быть лишь конеч-
ное число. Если же а < 0, то рг < 0, следовательно,
pr + q*=a, a>bq2t
Отсюда подобным же рассуждением получается, что чи-
сло приведённых форм отрицательного дискриминанта
) Лагранж, как было уже сказано, не вводит этого термина.
Две приведённые формы данного дискриминанта, которые могут
ыть переведены друг в друга подстановкой вида (12), он назы-
вает тождественными.
272
И. Г. БАШМАКОВА
конечно. Тем более может существовать только конечное
число приведённых неэквивалентных форм данного
дискриминанта, что Лагранж и показывает.
Результат этот является основным во всей теории,
и, как мы увидим, доказательства конечности числа
неэквивалентных идеальных множителей в полях алге-
браических чисел, данные Куммером и Е. И. Золотарё-
вым, основаны па той же идее, что и вышеприведённое
доказательство Лагранжа.
Наряду с Лагранжем много и плодотворно вопросами
теории чисел занимался и младший его современник
Лежандр (1752—1833). Ему принадлежит первая отчёт-
ливая формулировка квадратичного закона взаимности
и первое его неполное1) доказательство2). При этом он
ввёл символ квадратичного вычета » который полу-
чил впоследствии его имя.
Лежандру принадлежит издание первого цельного
трактата по теории чисел, в котором он изложил основ-
ные результаты, полученные в этой области им самим,
Эйлером и Лагранжем. Лежандр несколько раз пере-
издавал свой трактат, причём в последнем его издании
(1830 г.) были включены и некоторые результаты Гаусса,
изложенные им в «Disquisitiones arithmeticae» («Ариф-
метические исследования») 1801 г. К рассмотрению этого
трактата Гаусса мы и должны будем сейчас перейти.
§ 6. Теория сравнений
и её роль в развитии математики XIX в.
«Арифметические исследования» Гаусса можно раз-
делить на три большие части: 1) теорию сравнений,
2) теорию квадратичных форм и 3) различные приложе-
ния первых двух теорий.
1) Доказательство это вернее было бы назвать условным, так
как оно основывалось на недоказанном ещё во времена Лежандра,
но очень вероятном предложении, что в каждой арифметической
прогрессии, разность которой взаимно проста с первым членом,
существует бесконечно много простых чисел. Предложение это
доказал в 1837 г. Лежеп-Дирихле.
2) «Recherches d’analyse indeterminee», Paris, 1885 г.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 273
Важнейшим понятием, введённым Гауссом в первой
части «Исследовании» и положенным им в основание всей
арифметики, было сравнение. Хотя понятие это уже
по существу содержалось в сочинениях Эйлера, Лагранжа
и Лежандра, в которых были установлены и некоторые
свойства сравнений, однако никакой систематической
теории создано не было. Так, Эйлер установил все основ-
ные факты о сравнениях 1-й и 2-й степени, ввёл понятие
индекса и примитивного элемента, Лагранж исследовал
некоторые свойства сравнений и-й степени. Были открыты
и многие другие предложения. Но всё это ещё не соста-
вляло теории. Свойства сравнений ещё не изучались,
как таковые, а лишь постольку, поскольку они были
нужны для той или иной теоретико-числовой про-
блемы. Само понятие сравнения ещё не было выде-
лено.
Положение теории сравнений до работ Гаусса можно
сопоставить с состоянием теории пределов в античной
математике. Хотя древние и умели строго обосновывать
предельный переход в каждом отдельном случае, но они
не имели общей теории пределов, и им приходилось
всякий раз снова приводить в движение весь громозд-
кий аппарат метода исчерпывания. Отдельные свойства
пределов устанавливались только для нужд той или иной
конкретной задачи, они ещё не воспринимались как
общие свойства пределов, по скорее как свойства тех
специальных величин, которые встречались в задаче.
Самого понятия «предела» ещё не было.
Аналогичная картина была и в догауссовой теории
сравнений. Только Гаусс положил начало систематиче-
скому изучению сравнений, имевших в дальнейшем для
математики такое же значение, как равенства пли урав-
нения. В основе теории сравнений лежит рассмотрение
всех целых чисел с точки зрения их делимости на про-
стое число р. Два числа, дающие при делении на р один
и тот же остаток, с этой точки зрения считаются неотли-
чимыми. Гаусс назвал такие два числа сравнимыми по
модулю р и обозначил это символически:
а г= b (mod р).
Историке-мате мат. исследования
27 i
И. г. БАШМАКОВА
Как легко проверить, отношение сравнения обла-
дает всеми основными свойствами отношения равенства:
рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью.
Аналогия с равенством была чрезвычайно удачно
подчёркнута аналогией в начертании обоих символов.
Как легко проверить, действия над сравнениями по
одному и тому же простому модулю полностью анало-
гичны действиям над равенствами. Так, к обеим частям
сравнения можно прибавлять одно и то же число, сравне-
ние можно умножать па любое число и делить на числа,
не кратные р (т. е. несравнимые с нулём по модулю р),
и т. д. Отношение сравнения разбивает целые числа на
нспересекающиеся классы сравнимых между собой чисел,
которые называются классами вычетов по модулю р.
Каждому такому классу гложет быть соотнесён некоторый
его представитель—например, наименьшее по абсолютной
величине число из этого класса. Тогда представителями
классов вычетов по модулю р будут числа 0, 1, 2, ..., р—1.
Они составляют так называемую полную систему вычетов
по модулю р, любое целое число сравнимо с одним из
них по модулю р. Над классами вычетов можно опреде-
лить сложение и вычитание. Суммой двух классов А и В,
имеющих представителями числа а и 6, назовём такой
класс С, в котором лежит число а 4-6. Как легко видеть,
тогда и сумма двух любых чисел из А п В будет лежать
в С. Это обстоятельство и даёт возможность говорить
о сложении классов, т. е. на классы переносятся операции,
определённые вначале только для чисел. При этом сло-
жение классов подчиняется тем же законам ассоциатив-
ности и коммутативности, что и сложение чисел. Роль
нуля играет главный класс, состоящий из чисел, деля-
щихся на р. Для каждого класса существует обратный,
т. е. такой, который в сумме с данным даёт главный класс.
Как теперь говорят, множество классов вычетов образует
группу по сложению.
Понятие класса было одним из важнейших новых
понятий в математике XIX в. Лагранж в своей теории
квадратичных форм близко подошёл к его определению,
введя понятие приведённой формы, т. е. фактически заме-
нив исследование классов форм рассмотрением предста-
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВ^ 275
вптелей этих классов. Однако для него эквивалентные
между собой квадратичные формы представляли всё-
таки множество, которое он ещё нс рассматривал как
единство. Он не ввёл классов, как новых математических
объектов, с которыми можно оперировать по тем же зако-
нам, что и с числами. Это было сделано Гауссом.
Гаусс не ограничился рассмотрением классов вычетов
по некоторому модулю, он определил классы эквива-
лентных квадратичных форм, роды и т. д., систематиче-
ски применив, таким образом, новый способ образования
математических объектов, получивший впоследствии на-
звание определения через абстракцию. Способ этот со-
стоит в том, что для образования нового объекта, который
не удаётся определить непосредственно, вводится неко-
торое отношение типа равенства между ранее опреде-
лёнными объектами: числами, квадратичными формами,
элементами группы и т. д. Отношение это разбивает
то множество объектов, для которого оно введено, на
непересекающиеся классы. Каждый такой класс рас-
сматривается как один новый объект. На объекты эти
переносятся арифметические операции, после чего мно-
жество классов станов! тся полем или группой. Именно
таким образом в современной математике вводятся рацио-
нальные числа, вещественные числа, фактор-группы по
нормальному делителю и многие другие объекты.
Сам Гаусс, хотя и построил исчисление классов выче-
тов, классов форм, родов и т. д. и даже подчеркнул общ-
ность всех этих образований, дав им одно и то же назва-
ние классов, однако пе выделил того общего, что имели
все эти исчисления. Иными словами, он не дошёл до изуче-
ния исчисления классов, при котором отвлекаются от
конкретной природы самих этих классов. Именно, он
не дошёл до абстрактного понятия группы. В своих
исследованиях Гаусс, например, всякий раз доказывал
заново, что смежные классы по некоторой подгруппе
имеют одинаковое число элементов. Доказав, для группы
классов форм главного рода, что все эти классы могут
быть получены из конечного числа основных, он не заме-
тил, что доказанное им относится не только к клас-
сам форм главного рода, т. е. пе только к частному
18*
276	и- г- БАШМАКОВ А
случаю конечных абелевых групп, но и ко всем таким
группам.
Понятие абстрактной группы возникло много позднее,
после того как в различных областях математики было
изучено большое число конкретных групп: циклические
группы корней из единицы, группы подстановок корней
уравнения, введённые Галуа, группы преобразований в гео-
метрии н т. д. До появления этого понятия в тех случаях,
когда по существу необходима была абстрактная группа,
пользовались её представлениями. Так поступал и Гаусс
в своей теории квадратичных и биквадратичных вычетов.
Но, во всяком случае, следует отметить, что первые
нетривиальныех) примеры групп были рассмотрены
в алгебраической теории чисел.
Разбиение чисел на классы вычетов дало начало ещё
одной чрезвычайно важной идее, а именно идее взаимно-
сти между простыми числами (дивизорами) и соответ-
ствующими им разбиениями. Оказалось, что изучение
свойств числа р с точки зрения теории делимости может
быть сведено к рассмотрению классов вычетов по р. Так,
например, простота или сложность числа р полностью
характеризуется свойствами соответствующего ему раз-
биения. Как нетрудно видеть, для простоты р необхо-
димо и достаточно, чтобы в кольце вычетов по модулю р
не было делителей нуля, т. е. чтобы произведение двух
чисел не могло делиться на р, если ни один из сомножи-
телей на него не делится. В этом случае кольцо вычетов
будет полем. Если же р—составное, то соответствующее
ему кольцо классов вычетов обязательно содержит
делители нуля. Например, при р = 6 произведение
3-4 = 12 делится на 6, хотя ни один из сомножителей
на него не делится. В терминах сравнений это означает,
что при составном р может иметь место случай:
t76 = 0(mod/?\ хотя а=£0, 0(mod р).
Для самого Гаусса, однако, первичным всегда является
число р,—оно предполагается заданным независимо от
г) Нетривиальными эти группы являлись в том смысле, что
элементами их были не числа, а классы, роды и т. д.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 277
разбиения на классы вычетов,—а соответствующее раз-
биение оказывается вторичным, производным от этого
числа р.
Впоследствии Дедекинд при основании своей теории
идеалов встал па противоположную точку зрения, при-
няв за первичное разбиение целых чисел некоторого
алгебраического поля R (0) па классы. Для этого он
выделил характерные свойства таких разбиений на
классы и принял эти свойства за определение разбиений.
Очевидно, достаточно охарактеризовать главный класс,
так как все остальные получаются из него «сдвигом»,
т. е. последовательным прибавлением всех возможных
остатков от деления целых чисел па р. В качестве свойств
чисел главного класса Н Дедекинд выбрал следующие:
1) Сумма и разность двух чисел из II снова являются
числами из Н.
2) Любое кратное числа из II принадлежит II.
Если R (0)—поле рациональных чисел, то, как легко
видеть, условия эти для чисел главного класса любого
разбиения выполняются тривиальным образом. Множе-
ство чисел из R(fi), элементы которого обладают свой-
ствами 1) и 2), Дедекинд назвал идеалом поля Я(Ь).
Всякий такой идеал определяет разбиение целых чисел
поля R (б) на классы. Целые числа а и 3 считаются при-
надлежащими к одному классу, если их разность а—р
лежит в Н.
Если идеал определён для целых рациональных чисел,
то в нём всегда будет существовать наименьшее число,
являющееся общим наибольшим делителем всех чисел
этого идеала. Это число считаем соответствующим идеалу;
классы вычетов по этому простому числу совпадают
с классами, определёнными по идеалу. Если же идеал
определён для целых алгебраических чисел некоторого
поля /?(6), то, как оказалось, числа его могут и пе иметь
общего наибольшего делителя, принадлежащего .этому
полю. Это обстоятельство является фундаментальным
в теории делимости полей алгебраических чисел. След-
ствием его является отличие законов делимости целых
чисел этих полей от обычных законов, имеющих место
Для поля рациональных чисел. Однако, если условиться
278
И. Г. БАШМАКОВА
каждому идеалу относить некоторый символ—дивизор—
и рассматривать законы делимости для множества всех
дивизоров или, если установить законы делимости,
исходя из самих идеалов, вне зависимости от того, имеют
или не имеют числа этих идеалов общего наибольшего
делителя, то законы делимости в алгебраических полях
получаются обычными.
Именно для восстановления в полях алгебраических
чисел обычных законов делимости Дедекинд и ввёл свои
идеалы. Это был один из возможных путей обоснования
теории делимости. Ход мыслей Дедекинда в этом случае
аналогичен тому, который привёл его к построению
теории сечений для определения вещественных чисел.
В евдоксовой теории пропорций, служившей в древности
до известной степени заменой современной теории веще-
ственных чисел, исходным было отношение, которое
задавалось парой однородных величин: отрезков, площа-
дей, объёмов и т. д. Равенство или неравенство двух таких
отношений определялось фактически путём построения
соответствующих им сечений области рациональных
чисел. Если сечения совпадали, то считалось, что обе
пары величин имеют «то же отношение» или что они про-
порциональны. Таким образом, первичным у Евдокса
было отношение пары величин, а вторичным—соответ-
ствующее ему сечение. Дедекинд «перевернул» теорию
Евдокса, приняв за первичное само сечение области
рациональных чисел и сопоставив каждому такому сече-
нию новый объект—вещественное число.
С теорией сравнений связан и другой очень суще-
ственный круг идей. Для многих вопросов, с которыми
мы столкнёмся дальше, изучение целых чисел по харак-
теру их делимости на простое число р является недоста-
точным. Тогда приходится распределять целые числа
на классы по характеру их делимости на р2, р3 и т. д.
Такое рассмотрение можно назвать изучением свойств
целых чисел по отношению к данному числу р во втором,
третьем и т. д. приближении. Полную систему вычетов
по модулю рп составляют числа
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ГРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВ V 279
где ай, а1г ...,ап-1 пробегают значения 0, 1,...,р — 1.
Таким образом, число классов вычетов по модулю рп
равно рп. Однако часто при теоретико-числовых рассмо-
трениях бывает неудобно ограничивать себя той или иной
«степенью точности», т. е. рассматривать свойства чисел
в заранее заданном «приближении». Тогда поступают
так же, как и при определении вещественных чисел:
вместо того, чтобы пользоваться всякий раз рациональ-
ным числом, приближающим истинное значение вели-
чины с заранее заданной степенью точности, в математике
определяется новый объект — вещественное число как
предел класса фундаментальных последовательностей
рациональных чисел или как сечение. Аналогично этому
вводится понятие р-адического предела и р-адичсских
рядов, получающихся при образовании вычетов
«о + °1Р+ •  • +ап-1Рп~1
по всё более и более высоким степеням р. Как мы увидим,
для таких рядов можно разумным образом определить
сходимость, после чего «р-арифметика» приобретает
необходимую полноту. Мы встретимся с этой арифме-
тикой при разборе теоретико-числовых работ Е. И. Золо-
тарёва. Здесь нам важно было указать па связь р-адиче-
ской теории, получившей в настоящее время широкое
распространение, с теорией сравнений.
Из рассмотренной уже нами аналогии сравнений
с равенствами возникает ещё четвёртый круг щей, полу-
чивший широкое распрострапенис в XIX в. Как мы
говорили, полная система вычетов но простому модулю р
образует не только кольцо, но и ноле, следствием
чего является возможность построения арифметики по
модулю р. Подобно этому можно рассмотреть и алгебру
по простому модулю. В такой алгебре два многочлена
/ (®) = «о +	. + апхп
И
g (х) = ь0 + \х 4- ... -Р Ьпхп
считаются равными или принадлежащими одному и
-тому же классу по модулю р, если разность их делится
280
И. Г. БАШМАКОВА
на р, т. е. если выполняются сравнения
at = bi (mod р), i = 1, 2, ..., и.
Решению уравнений здесь будет соответствовать реше-
ние сравнений или, более общим образом, разложе-
ние многочлена на неприводимые по модулю р мно-
жители.
Начало такому рассмотрению было положено ещё
работами Эйлера, исследовавшего квадратичные срав-
нения и двучленные сравнения высших степеней. Лагранж
рассматривал как квадратичные сравнения, так и общие
сравнения n-й степени
ж” 4- аххп~* 4- ... + ап == 0 ^modjo),
для которых он в 1770 г. доказал, что число корней
такого сравнения не превосходит п. Теорема эта лишний
раз подчёркивала аналогию с равенствами.
Гаусс систематически исследовал квадратичные срав-
нения: неполные или двучленные!
х2 == a (mod jo),
и полные
ах* 4- Ьх 4- с = 0 (mod/?),
а также двучленные сравнения высших степеней.
Многие теоремы своих предшественников Гаусс при
этом обобщил или дал им новое доказательство. Обра-
тившись к сравнениям вида
хп 4-	4- .. . 4-an = 0 (modp),
Гаусс поставил вопрос не только об отыскании их корней,
но и о разложении на неприводимые множители. Он
показал, что неприводимые многочлены по модулю р
играют роль простых элементов, так как любой много-
член однозначно разлагается по модулю р в произведе-
ние этих неприводимых множителей. Ясно, что число
несравнимых между собой по модулю р многочленов
тг-и степени будет //'. Гаусс подсчитал’ ц число т не-
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 281
сравнимых между собой неприводимых многочленов
/i-й степени.
Таким образом, Гаусс положил начало систематиче-
скому изучению алгебры над конечным полем. Значение
такого рассмотрения очень велико. Это был первый
в истории математики пример построения алгебры над
полем, отличным от натурального (т. е. от поля рацио-
нальных чисел). Значение рассмотрения многочленов
по модулю р для исследования законов делимости чисел
в квадратичных полях было ясно уже из раоот Лагранжа.
Мы увидим далее, какую роль разложение многочлена
на неприводимые множители по простому модулю играет
в теоретико-числовых работах Куммера и Е. И. Золо-
тарёва. Наконец, Гауссом же было положено начало
рассмотрению сравнений по двойному модулю. Значе-
ние такого рассмотрения стало ясно только после работ
Е- И. Золотарёва, в связи с которыми мы и будем по i
роб нее говорить об этом вопросе. Мы не можем здесь
останавливаться подробнее на гауссовой теории квадра-
тичных форм и основанной им теории родов, а также
на данных им доказательствах квадратичного закона
взаимности. Из проблем, рассмотренных Гауссом в послед-
ней части, отметим лишь его исследования двучленных
уравнений хп = 1, для решения которых им была построена
теория периодов, использованная впоследствии Куммером.
«Арифметические исследования» Гаусса завершили
классический период развития алгебраической теории
чисел, период развития её на языке квадратичных форм.
Но уже в этом сочинении, несмотря на старую, в основ-
ном, форму изложения, содержание было по существу
новым. Так, там появилось впервые понятие класса,
были доказаны первые теоремы о конечных группах,
факты теории делимости были рассмотрены с новой точки
зрения. Однако устаревшая форма выражения законов
теории чисел была крайне неудобна, она сообщала необы-
кновенную громоздкость всей теории и затрудняла ёе
понимание. В следующей своей крупной теоретико-
числовой работе (статьи 1825 и 1831 гг.), при разработке
теории биквадратичных вычетов, Гаусс вынужден был
от неё отказаться.
282
И. Г. БАШМАКОВА
§ 7. Введение целых алгебраических чисел
Со времён Ферма развитие теории квадратичных
полей и построение арифметики этих полей производи-
лись с помощью квадратичных форм. Поворотным пунк-
том всей теории явилось введение алгебраических чисел,
позволившее установить более естественный взгляд на
всю теорию, осветившее многие факты, непонятные в ста
рой теории, и внесшее в неё ту простоту и ясность, кото
рой обладает арифметика целых рациональных чисел.
Кроме того, введение алгебраических чисел позволило
расширить область исследования, так как стало воз-
можным рассмотрение относительных полей. Действи-
тельно, с помощью теории форм можно было брать в каче
стве основного поля только поле рациональных чисел.
Теперь в качестве такового стало возможным брать
произвольное поле алгебраических чисел и говорить
о его конечном расширении. Всё это привело к открытию
новых закономерностей и к созданию новых понятий,
как, например, понятий кольца, идеала, к широкому
употреблению понятий поля и класса. Эти понятия быстро
переросли рамки теории алгебраических чисел и стали
употребляться во всех разделах математики.
Введение алгебраических чисел, а именно комплексных
чисел, обычно приписывают Гауссу. Исторически это не-
верно, и заслуга Гаусса состоит совсем не в этом.
Впервые оперировать с комплексными числами начали
Кардан (1501—1576) и Бомбелли (род. в 1530 г.). Кардан
столкнулся с ними при исследовании так называемого
неприводимого случая кубического уравнения, не выяснив,
однако, при этом, как из выражения, содержащего
мнимости, возникают действительные корни. Мнимые
числа он называл поистине софистическими величинами
и появление их считал признаком невозможности задачи.
В отдельных случаях, однако, Кардан производил над
мнимостями алгебраические операции. Так, он формально
решил задачу о разложении 10 на сумму двух чисел,
произведение которых равно 40, причём получил, что
(5+/ZTJ5) • (5-/^15) = 401).
О «Ars ша/па», Нюрнберг, 1545 г.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. 30Л0ТЛРЁВА 283
Бомбслли при аналитическом решении квадратного
уравнения не исключал случая отрицательного дискри-
минанта и свободно оперировал с мнимыми величинами1).
Он показал также, что в неприводимом случае кубиче-
ского уравнения оба радикала являются сопряжёнными
комплексными числами. Бомбелли извлекал кубические
корни из комплексных чисел, пользуясь соотношением
|га 4- bi= х + iy; х \\ у определялись путём возведения
обеих частей равенства в куб и приравнивания действи-
тельных и мнимых частей.
Но и в глазах Бомбелли, как и почти для всех ма-
тематиков до начала XIX в., мнимые числа оставались
удобными фикциями но имеющими реального смысла.
Для собственно теоретико-числовых вопросов алге-
браические числа, как мы уже об этом говорили (см. § 4),
были впервые применены Эйлером, который опублико-
вал эти исследования па русском языке в Петербурге,
в своей знаменитой «Универсальной арифметике» (1769 г.).
Эйлер же впервые ввёл обозначение i для — 1.
Дальнейшее развитие эта идея Эйлера получила
в уже упоминавшихся работах Лагранжа, который при-
менил числа вида p + q а ещё в 1766—1769 гг. при пол-
ном решении уравнения Ферма2). Подробнее он разви-
вает методы применения алгебраических чисел в прило-
жении к статье 1769 г. «Sur la solution des problemes
indetermines du second degre» и особенно в своих «Addi-
tions aux elements d’algebre d’Euler».
Если a, 3- корни уравнения
s2 — as + b = 0,
то форму 2-го порядка x2 — аху -f- by* Лагранж предста-
вляет в виде произведения двух линейных множителей
с комплексными коэффициентами:
х2 — аху + by2 = (х + ау) (х + $у).
Перемножение форм он сводит к перемножению этих
линейных множителей. Отсюда, как легко видеть, берёт
9 «Алгебра», 1572 г.
. 3) «Solution d’un problems d’Arithm^tique» (Oeuyres, т, I).
284
II. Г. БАШМАКОВА
свое начало не только теория алгебраических чисел, но
и теория разложимых форм Дирихле, которая послужила
фундаментом для кронекеровского обоснования теории
делимости полей алгебраических чисел.
Лагранж перенёс свой метод на формы 3-й степени.
Если а, 3, у —корни уравнения
s3 — as2 + bs — с = О,
то произведение
(a? + a?/ + a2z) (ж + ру + ₽2z) (x + Vj + fz)
будет, как замечает Лагранж, рациональным, т. е. про-
изведение всех сопряжённых алгебраических чисел будет
рациональным числом. Это произведение получило впо-
следствии название нормы алгебраического числа. Обоб-
щая эту проблему, Лагранж поставил вопрос о нахожде-
нии всех выражений, которые при умножении и возве-
дении в степень «воспроизводят себя», т. е. дают выра-
жения того же вида. Чтобы отыскать такие выражения,
Лагранж рассмотрел иррационалып ю величину
р =z t + иа pd ха2 j/ А2 + yaz р Л3 + ...,
где ап= 1; А, I, и, х,у, ... — целые рациональные числа.
Тогда, если величины plt р2, р3, .. . получаются при
подстановке в выражение для р вместо а других корней
уравнения хп = 1, то произведение ргр2р3^ч как пока-
зал Лагранж, будет формой с рациональными коэффи
циентами, которая и будет обладать искомым свойством.
Нетрудно видеть, что здесь фактически рассматриваются
нормы целых чисел из поля K — R (УЛ). Таким образом,
мы видим, что и Эйлер и Лагранж широко пользовались
алгебраическими числами, но для них эти числа ещё
не были объектами самостоятельного теоретико-число-
вого исследования. Они служили лишь средством для
получения результатов относительно рациональных чисел.
Заслуга Гаусса состоит именно в том, что он первый
рассмотрел целые комплексные числа а + Ы как полно-
правные объекты теории чисел и перенёс на них всю ариф-
метику. Гаусс был приведён к необходимости рассмотре-
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА
285
ния вопросов делимости целых комплексных чисел в связи
с исследованием теории биквадратичных вычетов. Вопрос
этот достаточно полно освещён в литературе, и мы нс
будем на нём останавливаться более подробно *). Напомним
только, что Гаусс перенёс на целые комплексные числа
алгоритм Евклида, а это обусловило возможность построе-
ния арифметики в этом кольце. В частности, оказалось
возможным доказать основную теорему теории делимо-
сти об однозначности разложения целого числа на про-
стые комплексные множители.
После того как Гаусс обобщил понятие целости па
комплексные числа, показав, что именно следует пони-
мать под целым комплексным числом, встал вопрос
о том, как обобщить это понятие на произвольные поля
алгебраических чисел. Что следует считать целым числом
поля Л =/?((/), где 0—корень неприводимого алгебраи-
ческого уравнения степени п с целыми коэффициентами
и коэффициентом при- старшем члене, равным единице?
Целые числа поля К нужно было определить так,
чтобы они составляли кольцо, т. е. чтобы сумма, раз-
ность и произведение двух целых чисел из К было целым
числом из К. Это кольцо в пересечении с полем рацио-
нальных чисел должно давать обычные целые рацио-
нальные числа (т. е. обычные целые рациональные числа
должны оставаться целыми и в смысле этого нового опре-
деления). Наконец, это кольцо должно быть макси-
мальным возможным в поле К.
Лежен-Дирихле в своих работах считал целыми
числами поля К выражения вида
а0 4-ахе + ...	б^-i,	(1)
где а0, av .. ., ап_{ — целые рациональные. Числа вида (1)
Удовлетворяют первым двум из трёх вышеуказанных
условий. Действительно, как легко видеть, сумма, раз-
ность и произведение двух чисел вида (1) будет снова
числом того же вида. (Только в произведении двух таких
О См., например, статью Г>ахманн a «Ueber Gauss’zahlen-
Jheoretische Arbeiten» (C. F. Gauss, Werke, Xo, Abh. I, V,
Leipzig, 1922).
286
И. Г. БАШМАКОВА
чисел надо все степени, начиная с n-й и выше, выразить
как многочлены от низших степеней 6, используя для
этого определяющее уравнение поля К.) Ясно далее, что
каждое целое рациональное т можно представить в виде
(1). Надо только положить а0 = т, ал = ... = an-i = 0.
Однако, как оказалось, числа вида (1), вообще говоря,
не составляют максимального кольца поля К, т. е. не
удовлетворяют последнему условию.
Новое обобщение понятия целости было сделано
только в работах Дедекинда и Е. И. Золотарёва, о чём
мы будем говорить ниже. Но оказалось, что даже для
чисел вида (1), вообще говоря, нс имеет места закон
однозначности разложения на неразложимые дальше
множители того же вида. В частности, как мы увидим
далее, все попытки перенесения на кольца чисел вида (1)
алгоритма Евклида окончились неудачей.
Но ещё раньше был сделан второй крупный шаг
в изучении колец целых алгебраических чисел: в 1846 г.
Лежен-Дирихле доказал основную теорему о едини-
цах таких колец. Эта теорема обобщала на произвольные
кольца факты, установленные относительно квадратич-
ных колец ещё Ферма, Эйлером и Лагранжем. Теорема
о единицах Дирихле формулируется следующим обра-
зом J).
Пусть
F(x) = xn	И- • • •	= 0	(2)
есть неприводимое уравнение с целыми рациональными
коэффициентами, корпи которого суть 0х, 02, .. .,бп. Еди-
ницами кольца целых чисел
?(o() = fc + \oi+...+«>n-16r1	(3)
Дирихле называет решения уравнения
т. е. такие о (0f),норма которых TV? (t?f) = 1. Тогда: если
h — общее число действительных и пар комплексных сопря-
жённых корней уравнения (2), то в кольце чисел (3)
х) «Zur Theorie der complexen Einheiten»>, 1846 г.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА	281
всегда существует h—1 основных единиц, обладающих
тем свойством, что все единицы этого кольца, и притом
каждая только один раз, получаются возведением основ-
ных единиц в степени, умножением пх друг на друга
и на одну из особых единиц.
Общий вид единицы рассматриваемого кольца, таким
образом, будет
г.- е1^ е™* . , . е"'7’"1, i 1, 2, . .., п;
‘12	л—1
здесь г£ особые единицы, т. е. корни из обычной еди-
ницы, содержащиеся в поле, е2,	— основные
единицы.
В связи с попытками решения большой теоремы Ферма
(решения частных случаев этой теоремы были даны
Дирихле, Ляме и другими) особое внимание математиков
привлекали поля деления круга К = R (С), где -корень
уравнения
В 1847 г. Ляме опубликовал доказательство большой
теоремы Ферма, оказавшееся ошибочным 1). При доказа-
тельстве он использовал числа вида
ао +	+ • • • +	,	(5)
где £ —корень уравнения (4). Идею использовать для
доказательства числа такого вида подал Ляме, как он
сам об этом пишет, Лиувилль. Всё доказательство прово-
дится в предположении, что числа вида (5) однозначно
разлагаются на простые множители (т. е. на такие мно-
жители, которые делятся только на себя и на комплекс-
ные единицы) того же вида. К этой статье Ляме Лиу-
вилль сделал замечание о том, что он всегда считал необ-
ходимым обосновать теорию делимости для чисел вида (1),
а познакомившись с доказательством Ляме, ещё более
утвердился в своём убеждении. Этот пробел он предла-
гает заполнить Ляме в его последующих работах.
. .Д/'Demonstration generale de theoreme de Fermat sur 1’impos-
sibilite, en nombres entiers, de Г equation xn + y'1 = zn» (Comp-
tes rendus, 1847, Paris).
288
Й. Г. БАШМАКОВА
Уже 15 марта 1847 г. Ванцель г) (1814—1848) пред-
ставил в Парижскую академию работу, в которой он
доказал, что для чисел вида a J- b У — 1 и а 4- д' 4- сС* 2,
где С — мнимый корень уравнения ж3 — 1=0, имеет место
закон однозначности разложения на простые множители
п что при помощи алгоритма Евклида можно для любых
двух таких чисел найти общего наибольшего делителя.
Затем он добавляет: «Легко видеть, что тот же метод дока-
зательства применим к более сложным комплексным
числам, которые зависят от корней rn = 1 при любом п».
На заседании Академии от 22 марта 1847 г. Коши
представил мемуар2), в котором он возражал против
последнего утверждения Ванцеля, и показал, что метод
доказательства, данный Ванцелем, не проходит уже при
п=1. Коши сам пытался дать обоснование теории дели-
мости комплексных чисел вида (5).
Этот мемуар Коши представлялся им в Академию
и печатался частями. При этом Коши сначала пытался
доказать, что при делении одного числа вида (5) на дру-
гое число того же вида норма остатка от деления может
быть сделана меньше нормы делителя. Из этого предло-
жения следует, что на кольца чисел вида (5) можно пере-
нести алгоритм Евклида, а значит, для чисел этих колец
можно доказать закон однозначности разложения на
неразложимые дальше множители этих же колец. Коши
не удалось доказать выдвинутое им предложение; тогда
он принял его без доказательства, но в конце мемуара
доказал, что это предложение неверно. Этим было дока-
зано, что на кольца чисел вида (5) алгоритм Евклида,
вообще говоря, не переносится.
Полемика, вызванная вопросом обоснования теории
делимости для полей алгебраических чисел K = R(t),
длилась почти всю первую половину 1847 г., пока в конце
мая этого года не было опубликовано письмо Куммера
к Лиувиллю, в котором Куммер сообщил, что закон
4 В 1837 г. Ванцель доказал, что задачи о трисекции угла
и удвоении куба неразрешимы в квадратных радикалах.
2) «МётоГге sur des nouvelles formules relatives й la theorie
des polynomes radicaux, et sur la dernifcre Пхёогёте de Fermat»
(Comptes rendus, 1847, Paris).
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 289
однозначности разложения чисел
^ + <s+... + ^_2:n’2,
где
m___j
на простые множители того же вида, вообще говоря, нс
имеет места, но что его можно спасти введением некоторых
новых объектов —идеальных множителей.
Мы сейчас рассмотрим ход мыслей, приведший Кум-
мера к его замечательной идее.
§ 8. Введение идеальных множителей Куммером
Неудачные попытки перенести алгоритм Евклида на
произвольные алгебраические поля по только привели
постепенно к мысли, что алгоритм Евклида вовсе не обя-
зан иметь место в этих полях, но и заставили пересмот-
реть вопрсс о сложности и простоте чисел. Простые
рациональные числа можно охарактеризовать следующими
свойствами:
1) это такие числа, которые нельзя представить в виде
произведения двух целых чисел, из которых ни одно нс
равно единице (т. е. это неразложимые целые числа);
2) если произведение двух целых чисел ab делится на про-
стое число д, то по крайней мерс один из сомножителей
(а или Ь) делится па р. Каждое из этих двух свойств может
служить определением рациональных простых чисел. До
Куммера целые числа алгебраических полей Я(С),где£—
корень уравнения
т. е. числа вида
°0 “Ь + • • • + йЛ-2 сА~2,
считались простыми, если они обладали свойством 1.
При этом полагали, что для них автоматически должно
выполняться и свойство 2.
Исследуя поля R (С), Куммер столкнулся со своеоб-
разным фактом, не имеющим места в поле рациональных
чисел: он обнаружил там существование таких целых
Истормко-математ. исследовании
290
И. Г. БАН МАКОВ \
чисел, которые являются простыми в смысле определе-
ния 1, но для которых не выполняется свойство 2. Таким
образом, для целых чисел этих полей не имеет места
закон однозначности разложения на простые множители.
Поэтому в этих полях нельзя построить арифметику,
аналогичную арифметике поля рациональных чисел. Все
эти обстоятельства привели Куммера к мысли, что целые
числа полей Z?(Q, которые обладают только свойством
1, но для которых неверно свойство 2, не следует считать
простыми. Такие числа следует считать составными, но
простые множители, на которые они разлагаются, не су-
ществуют в поле /?(ч); их нужно туда ввести в качестве
новых объектов. Эти новые объекты Куммер назвал (не
совсем удачно) идеальными множителями х).
Этот приём не является новым в математике. Как отме-
чает сам Куммер, таким же образом были введены ком-
плексные числа или несобственные элементы в геометрию.
При подобном введении новых объектов ищут характери-
стическое свойство некоторых уже существующих объек-
тов и принимают его за определение новых. Так посту-
пает и Куммер. Он ищет такой критерий простоты числа,
который не опирается на свойство разложимости этого
числа на целые числа поля R(Z).
Прежде всего он замечает, что для отыскания всех
простых делителей поля R (С) достаточно рассмотреть
те простые множители, на которые разлагаются в этом
поле рациональные простые числа р. Действительно,
каждый простой делитель поля R (Q является делите-
лем некоторого целого рационального числа, например,
своей нормы, а значит, он будет делителем и некоторого
простого рационального числа р, являющегося делите-
лем этой нормы. Т. е. каждое простое алгебраическое
число из R (С) является делителем некоторого простого
рационального числа р. Следовательно, вопрос сводится
к рассмотрению разложения целых рациональных про-
стых чисел в алгебраических полях.
0 «Zur Theorie der complexen Zahlen» (Journal fur die reine
und angewandte Mathematik, 1847).
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 291
Исходя из этого, Куммер ищет критерий для опре-
деления простоты рационального простого числа, рассма-
триваемого как число поля R (^), пе зависящий от дей-
ствительно существующего разложения этого числа
в поле 7? ('). Он останавливается на идее параллелизма
между разложением простого числа р в поле, определяе-
мом некоторым уравнением, и разложением самого этого
уравнения в поле вычетов по модулю р. Как мы видели,
Лагранж дал такой критерий для квадратичного случая.
Он доказал, что для разложимости простого числа р,
не входящего в 2D, в поле К = R (| D) необходима и доста-
точна разложимость уравнения х2 — D = 0 в поле вычетов
по модулю р. Мы видели также, что при попытке Лагранжа
перенести этот результат на поле, определяемое уравне-
нием п-й степени, доказательство прошло только в одну
сторону; а именно, Лагранж показал, что из представи-
мости р нормой числа из поля, определяемого этим урав-
нением, следует, что это уравнение, взятое как сравнение
по модулю р, имеет линейный множитель. Обратная тео-
рема без дальнейших предположений, вообще говоря,
неверна.
Лагранж мог доказать теорему в обе стороны для
квадратичного случая потому, что он рассматривал пред-
ставление рационального простого числа р всей сово-
купностью квадратичных форм данного дискриминанта,
что соответствует представлению р не только нормами
чисел, но и нормами идеалов из поля К = Я (]/!)). Он
именно потому мог доказать эту теорему, что имел неза-
висимое от этого параллелизма определение общей квад-
ратичной формы данного дискриминанта.
Куммер также мог бы обосновать делимость полей деле-
ния круга 2?(Q, опираясь на теорию разложимых форм.
По этому пути впоследствии пошёл Кропекер при обосно-
вании теории делимости произвольных алгебраических
полей ). Однако Куммер предпочёл положить в осно-
вание своей теории идею Лагранжа о параллелизме.
_РИ этом, вместо того, чтобы доказывать предложение
G-aJ «Gr’JHdzuge einer arithmelischen Theorie der algebraischen
Groden» (Werke, т. II, стр. 333).
19*
292
II. Г. БАШМАКОВА
о параллелизме как теорему (что сделал Лагранж и что
было бы необходимо сделать при любом другом обосно-
вании теории делимости, не зависящем от параллелизма),
Куммер принял предложение о параллелизме за основу
для определения множителей простого числа р в поле
Я (С).
Он показал, что если простое рациональное число р
представимо нормой целого числа из R (Q:
р=АГ(а),	(1)
то основное уравнение х1 —1=0, рассматриваемое как
сравнение по модулю р,
яА = 1 (mod р)	(2)
распадается на линейные множители. Но может слу-
читься, что сравнение (2) распадается на линейные мно-
жители, а р не представимо в виде (1). Тогда Куммер
предлагает считать, что р представимо нормой некоторого
идеального числа a, p = N(a), которое нужно ввести
в поле 7?(ч).
Таким образом находятся разложения всех простых
чисел /?, для которых сравнение (2) распадается на линей-
ные множители. Все эти числа, как показывает Куммер,
могут быть охарактеризованы следующим образом: это
те и только те простые числа, которые принадлежат
показателю 1 по модулю к, т. е. лежат в прогрессии/як +1.
Те простые числа q, которые принадлежат некоторому
показателю / по модулю X, т. е. gf~i (mod к) и
(mod/), если о </, не могут быть представлены
ни нормой числа, ни нормой идеала из Действи-
тельно, как показывает Куммер, из того, что норма N (а)
делится на д, где д принадлежит показателю / по модулю к,
следует, что она будет делиться и на qf. Так как Кум-
мер говорит только о распадении сравнения (2) на линей-
ные множители, т. е. только о представлении р нормой
числа или нормой идеала, то он не может непосредственно
определить разложение чисел д, принадлежащих показа-
телю / Ф 1, в поле /?(Q. Для определения идеальных
множителей такого числа д Куммер строит промежуточ-
ное поле х = Z?(iq), ЯсЗхсА(^), такое, что числа д,
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 293
обладающие вышеуказанным свойством, уже могут быть
представлены нормами чисел из этого поля.
Степень поля х = /?(т]) над R можно определить из
следующих соображений: если </ = 2У(3), где 3—целое
число из х, то
NkirW=N.m [NK„ (3)] = N.ir (?"’) = [Л\/Я(3)]П1 = gm,
где in — относительная степень К над х. Если q принадле-
жит показателю /, то ясно, что нужно принять ти=/,
но степень поля К над R равна произведению степени К
над х на степень х над R, т. с. л — 1 = /-е. Поэтому
Л-1
степень х есть е = -у- .
В таком поле х простые рациональные числа д, при-
надлежащие показателю / по модулю к, будут полностью
разложимы, т. е. будут представляться нормами чисел
из этого поля.
Для построения промежуточного поля х Куммер
использует теорию периодов, построенную Гауссом для
сведения решения уравнения хп —1 = 0 к решению урав-
нений низших степеней.
Определяющее число поля х —т) — должно удовлетво-
рять уравнению степени е с целыми рациональными
коэффициентами и старшим коэффициентом, равным еди-
нице:
Y = ye + b1ye-1 + ... + 6в = (</ — •»;) (2/ — 11J ... (y—rle_t).
Если в качестве т)г, ..т)е_1 взять соответствующие
гауссовы периоды, то 1) 61} 62, ..Ье будут целыми рацио-
нальными, 2) все 'Гц можно представить как целые
рациональные функции одного из них: Yli = 7’i(Y?)>
i = i, 2, е I1). Такие периоды, а значит, и воле
х = 7?(ij) определяются единственным образом.
Куммер доказывает, что при этих условиях сравнение
(mod<y), где q принадлежит показателю / по мо-
дулю 1, разлагается на е линейных множителей, т. е.
имеет е целых рациональных корней. Такое число д,
Следовательно, поле /?(>}) нормально, т. е. является полем
Галуа.
294
И. Г. БАШМАКОВА
независимо от того, разлагается ли оно на действительно
существующие числа поля х, считаем представимым нор-
мой числа или нормой идеала из х;
j=2V(q) = qq' ...
где q —простой множитель из х.
При переходе к полю К множители q(l) остаются про-
стыми, но происходит наращение их степени, т. е.
Для каждого q =# к строим соответствующее проме-
жуточное поло, в котором оно может быть представлено
как норма, а затем переходим к полю Я (С). Если
/ = к— 1, т. е. q—примитивное число по модулю к, то
оно остаётся простым в поле /?(£). Действительно, соот
ветствующсе ему поле х будет первой степени; следова-
тельно, там
9 = q, NKlt^)=q’-'.
Таким образом, находим разложение для всех про-
стых чисел q, не равных к. Для к Куммер находит раз-
ложение (совсем из других соображений):
к = (1-С)А-1.
Далее Куммер показывает, что в /?(С) после введения
идеальных множителей имеют место законы делимости,
полностью аналогичные законам делимости для целых
рациональных чисел. Именно: 1) каждое целое число
из R (Q содержит лишь определённое конечное число
идеальных простых множителей; 2) разложение целого
числа из Я (С) на идеальные простые множители (суще-
ствующие считаем частным случаем идеальных) одно-
значно с точностью до единиц поля R (С).
Впоследствии Куммер перенёс свою теорию на слу-
чай, когда показатель п определяющего уравнения 7’=1
является сложным числом1). Свою теорию Куммер прп-
х) «Theorie der idealen Primfaktoren der complexen Zahlcn-
welehe aus der Wurzeln der Gleichung con=l gebildet sind, wenn
и eine zusammengesetzte Zahl 1st», 1856.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСШ В ТРУДАХ Е И. ЗОЛОТАРЁВА 295
менил к доказательству большого числа частных слу-
чаев так называемой последней теоремы ФермаJ).
После решения вопроса об идеальных множителях
некоторого простого числа р в поле R (С) Куммер пере-
ходит к изучению структуры всего множества идеаль-
ных множителей этого поля. Он вводит понятие эквива-
лентности двух таких множителей, разбивает все целые
числа поля R (С) на классы эквивалентных между собой
чисел и доказывает конечность числа таких классов, т. е.
развивает для полей деления круга R (Z) теорию, анало-
гичную той, которую Гаусс и Лагранж построили для
квадратичного случая.
Все существующие числа поля R (С) Куммер объеди-
няет в главный класс. Два идеальных множителя 51 и 53
он называет эквивалентными и относит их к одному
классу, если они могут быть переведены путём умноже-
ния на один и тот же идеальный множитель © в суще-
ствующие числа этого поля* 2). Куммер показывает, что
его определение эквивалентности не зависит от специаль-
ного выбора (X, т. е. что два числа, эквивалентные по
одному какому-нибудь множителю, будут эквивалентны
и по любому другому множителю Из определения
ясно, что отношение эквивалентности симметрично и реф-
лексивно. Куммер показывает, что оно явлется также
и транзитивным.
Далее, Куммер замечает, что класс, которому при-
надлежит произведение двух идеальных множителей,
полностью определяется классами, которым принадле-
жат сомножители, и не зависит от специального выбора
этих последних. Таким образом, умножение идеальных
комплексных чисел является по существу операцией,
*) Так как N (а) = аа' . . . а^л-*^ = а есть целое рациональное
число, то ясно, что для каждого а существует такой множитель (£.
Достаточно взять (£ = а'а" . . . а(Л-2\
2) «Allgemeincr Beweis des Fermatschcn Satzes, da3 die Glei-
chung = durch ganze Zahlen unlosbar ist, fur alle die-
jemgen Potenz-Exponenten Л, welche ungerade Primzahlen sind und
in den Zahlern der ersten ~ (Л — 3) Bernoullischen Zahlen als Fakto-
nieht vorkommen» (J. Math., 40, 1850).
296
И. Г. БАШМАКОВА
определённой над классами этих чисел. Чтобы устано-
вить конечность числа классов идеальных множителей
поля R (“), Куммер показывает, что достаточно конеч-
ного числа идеальных множителей, чтобы обратить все
идеальные числа рассматриваемого поля в существующие.
Для этого достаточно взять идеальные множители, нормы
1
которых не превосходят X2 (X —1). Но комплексных чи
сел, обладающих этим свойством, существует лишь конеч-
ное число.
Идея здесь та же, какую применил Лагранж, а вслед
за ним и Гаусс для доказательства конечности числа
классов квадратичных форм данного дискриминанта.
Доказательство в обоих случаях производится путём
соотнесения каждому классу идеальных чисел (или квад-
ратичных форм) определённого элемента этого класса,
норма которого не превосходит некоторого числа. (В слу-
чае квадратичных форм элемент этот был назван приве-
дённой формой.)
В заключение Куммер устанавливает, что некоторая
степень идеального числа обязательно равна суще-
ствующему числу, причём показатель этой степени
является делителем числа классов идеальных множите-
лей рассматриваемого поля.
§ 9. Развитие теории делимости после Куммера
Куммеровская теория идеальных множителей сразу же
была признана в математических кругах и получила
широкое распространение. Ей не пришлось преодолевать
ту инерцию умов, с которой встретилась, например,
геометрия Лобачевского. Сопротивление было сломлено,
методы образования новых понятий к этому времени
прочно вошли в математику. Но хотя теория Кум-
мера не вызвала никаких идейных затруднений, с ней
оказались связаны совсем иные принципиальные труд-
ности.
Математики столкнулись с ними при попытках обоб-
щить метод Куммера на произвольные поля алгебраи-
ческих чисел. Несмотря на то, чт<? ? этом направлении
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЕВА 297
работали такие крупные учёные, как Дедекинд и Кроне-
кер, попытки эти долгое время оставались тщетными.
Так, в 1888 г. Дедекинд писал х), что он долго занимался
теорией сравнений высших степеней, пытаясь обобщить
методы Куммера, но не опубликовывал своих результа-
тов, так как построенная им теория была неполна: во-пер-
вых, определённые им идеальные объекты зависели от
специального выбора примитивного элемента, а, во-вто-
рых, его теория годилась не для всех случаев—в ней
имелись исключения. Потерпев неудачу, Дедекинд по-
шёл по совершенно другом} iiy ти и дал обоснование тео-
рии делимости алгебраических чисел, построив свою
теорию идеалов* 2). О принципах, положенных им в осно-
вание этой теории, мы говорили в § б.
Теория Дедекинда годится по только для колец целых
алгебраических чисел, но немедленно переносится на
чрезвычайно широкий класс колец. Поэтому она полу-
чила применение в других областях математики (напри-
мер, в функциональном анализе3)). Однако для построе-
ния самой арифметики алгебраических чисел она ока-
залась гораздо менее удобной и естественной, чем локаль-
ная теория, которая за последнее время в этих вопросах
всё более вытесняет дедекиндову. В 1881—1882 гг. Кро-
некер опубликовал своё обоснование теории делимо-
сти4), примыкающее к теории разложимых форм Дирихле.
В своё время кропекеровское обоснование было очень
распространено, но теперь, ввиду его громоздкости
и архаичности (все рассуждения проводятся на языке
х) «Ueber den Zusammenhang zwischcn der Theorie dor Ideale
und der Theorie der hoheren Kongruenzen» (Собр. соч., т. 1
стр. 20).
2) Первое неполное изложение своей теории, сильно отличаю-
щееся от последующих, Дедекинд дал в приложении ко второму
изданию «Vorlesungcn liber Zahlenthoorie» Лежен-Дирихле (1Я71 г.).
В более общем виде он изложил свою теорию в п| вложениях к по-
следующим изданиям этой книги (1879 и 1894 гг.).
8) См., например, работу И. М. Гельфанда, Райкова и Шилова
1^4°6)М^ТаТИВНЬ1е поРмнРова11Ные кольЧа>> (УМ II., 1:2 (12),
и 4) «Grundzuge ciner arithinetisclien Theorie der algebraischen
GroBen» (Werke, t. 11).
298
II. Г. БАШМАКОВА
разложимых форм без введения алгебраических чисел),
оно почти полностью вытеснено из математики 4).
При попытках обобщить эти методы на произвольные
поля алгебраических чисел оказалось, что простые числа,
не входящие в дискриминант поля 2), можно было разло-
жить на идеальные множители тем же способом, что
и в специальном случае полей делений круга. Основную
трудность представляли так называемые критические
простые числа, т. е. делители дискриминанта.
Первая попытка построить общую теорию, охваты
вающую и эти числа, была сделана в 1865 г. Зеллингом.
Попытка эта, однако, оказалась неудачной. Зеллинг
нашёл законы разложения простых .чисел р в нормаль
ных полях (или полях Галуа), причём для получения
разложения простых делителей р дискриминанта он
представлял целые алгебраические числа рядом, содер-
жащим дробные степени р*).
Разбирая теорию Зсллинга, Е. И. Золотарёв писал
что она «основана на некоторых определениях, при
помощи которых трудности не устраняются, а обходятся,
и на некоторых допущениях, которые не оправданы ника
кими приложениями, поэтому её нельзя считать удовле-
творительной» 4).
г) Однако Вейль в своей «Алгебраической теории чисел»
(изд. ИЛ, 1947) вернулся к кронекеровскому обоснованию при
изложении теории дивизоров.
2) Дискриминантом поля называется дискриминант целочислен-
ного базиса ш2, ... поля:
		. . <>„.
Ш1	“>2	.	. . 0)1 .
О)(«)	ц)(«)	. . <о<«>
1	2	п
Определение целочисленного базиса смотри ниже.
Значение дискриминанта не зависит от выбора целочисленного
базиса. (См., например, Ге к ке, Лекции по теории алгебраичс
ских чисел, стр. 84.)
8) «Ueber die idealen Primfaktoren der complexen Zahlen, x clclie
aus den Wurzeln einer beliebigen irreductiblen Gleichung rational
gebildet sind» (Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1865 r.\
4) Полное собрание сочинений E. И. Золотарёва, т. I нзд-
АН СССР, 1931.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОГАРЕВ;к 299
Невидимому, говоря об излишних допущениях, Золо-
тарёв имел в виду именно требование нормальности рас-
сматриваемых полой. Дело в том, что теория Галуа была
в то время ещё мало разработана, и поэтому перенесение
результатов с нормальных полей па общие представляло
значительное затруднение.
Бахманн писал, что «теория Зеллинга является необы-
кновенно трудной и неясной» и что «желательно было бы
заменить её другой»1). Настоящего обобщения локальные
методы в этой работе не получили, а для применении
теория Зеллинга была непригодна. Она во всяком слу-
чае требовала фундаментальной переработки.
Первое строгое обоснование теории делимости произ-
вольных алгебраических полей при помощи локальных
методов было дано Е. И. Золотарёвым2). Для этого он
ввёл совершенно новые принципы, которые и получили в со-
временной математике название локальных. Обобщённые
же методы Куммера, как показал Золотарёв, могут быть
распространены только на такие алгебраические поля R (6),
для которых степенной базис 1,0, О2, ...,6Л 1 является
одновременно и целочисленным, т. с. любое целое число
а из R (б) может быть представлено в виде
а = «0 + afi + aJf + ... + «n_1Gn-1,
где а0, а±, ..., ап_г — целые рациональные. Такое обобще-
ние было сделано Золотарёвым в его докторской дессер-
тации «Теория целых комплексных чисел с приложением
к интегральному исчислению» (1874).
Прежде чем перейти к подробному изложению работ
Золотарёва, посвящённых обоснованию теории делимо-
сти, мы остановимся кратко па его биографии.
Егор Иванович Золотарёв родился 31 марта 1847 г.
в Петербурге. Отец его, Иван Васильевич, по паспор-
ту киевский мещанин, был часовых дел мастером. К
*) Bachmann, Zahlentheorie, т. V.
2) «Sur Ics nombres complexes» (Бюллетени Петербургской
Академии Наук, 1877 г.). Более полно теория Золотарёва была
изложена в статье «Sur la theorie des nombres complexes», опублико-
ванной после смерти Е. И. Золотарёва в «Journ. de Math, pures
et appl.», 1880 r.	........ 
300
И. Г. БАШМАКОВА
сожалению, нам очень мало известно о жизни Е. И. Зо-
лотарёва. Сохранились лишь немногие официальные доку-
менты, которые, несмотря на свою сухость, всё же пока-
зывают стремительное развитие его яркого таланта.
В 1863 г. 16-ти лет Е. И. Золотарёв окончил с серебряной
медалью 5-ю Петербургскую гимназию и в том же году
начал посещать в качестве вольнослушателя лекции
профессоров Петербургского университета. В 1864 г.
Е. II. Золотарёв был зачислен студентом математиче-
ского разряда Физико-математического факультета, где
слушал блестящие лекции П. Л. Чебышева и А. Н. Коркина.
После окончания университета, в ноябре 1867 i.
Е. II. Золотарёв сдал кандидатские экзамены и защитил
диссертацию: «Об одном вопросе о наименьших величи-
нах». На основании этой диссертации и двух прочитан-
ных им пробных лекций —1) о теории Абеля и 2) о приве-
дении эллиптических функций к нормальному виду — Зо-
лотарёв был допущен в возрасте 21 года к чтению лекций
в качестве приват-доцента. Ему поручили чтение курса по
теории эллиптических функций для студентов-математиков
и дифференциального исчисления—для естественников.
Уже весною 1869 г. (т. е. двадцати двух лет)
Е. И. Золотарёв выдержал экзамены на степень магистра,
а осенью того же года защитил диссертацию: «Об одном
неопределённом уравнении третьей степени», после чего
был утверждён в звании магистра чистой математики.
Оппонентами его были П. Л. Чебышев иЮ. В. Сохоцкий.
П. Л. Чебышев писал в своём отзыве на эту работу:
«Диссертация магистранта Золотарёва о решении
одного неопределённого уравнения третьей степени
(х3 -р Ау3 4- Az3 — 3Axyz = 1) содержит результат самосто-
ятельных изысканий автора о квадратичных формах
и приложение их к решению одного из замечательней-
ших уравнений в теории чисел. Донося о сём факультет},
я имею честь предложить одобрить эту диссертацию для
напечатания и публичного защищеппя»1).
9 Госуд. история, архив Ленпнгр. области, Петербургский
университет, ф. 14, св. 1049, д. 14.S00 д. 38.
Копли этого документа была любезно предоставлена нам
В. Е. Прудниковым.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. II. ЗОЛОТАРЁВА 301
Хотя, судя по заглавию, можно предположить, что
в диссертации рассматривается частная проблема, на
самом деле там исследуется труднейший, долго но подда-
вавшийся решению вопрос о фактическом способе нахо-
ждения основной единицы кубического поля R (] Л).
Вопросом этим до Золотарёва много занимались Якоби
и Эрмит, однако найти его решение удалось только
Е. И- Золотарёву. Уже в этом сочинении обнаружились
замечательные способности молодого учёного.
В 1872 г. Е. 11. Золотарёв обосновал метод Чебышева1),
эффективно решающий вопрос об интегрируемости в ко-
нечном виде некоторого класса алгебраических диффе-
ренциалов. При этом он опирался на теорию эллиптиче-
ских функций.
С 1872 г. начинается цикл его работ (совместно
с А. Н. Коркиным) о точном пределе минимума положи-
тельных квадратичных форм2) при целых значениях
переменных и любых вещественных коэффициентах.
Е. И. Золотарёв и А. Н. Коркин нашли все предельные
формы для случая числа переменных п=2, 3, 4, 5. Вопрос,
выбранный авторами, был одним из наиболее трудных.
До этих исследований известны были лишь простейшие
случаи, относящиеся к бинарным и тернарным формам.
Эти работы были наиболее оценены современниками:
«Два чрезвычайно выдающихся русских математика,
г. Коркин и г. Золотарёв, недавно опубликовали в Mathe-
matische Annalcn глубокие исследования»,—писал Эрмит
Борхардту.
В начале 1874 г. Золотарёв был утверждён штатным
Доцентом Университета, а 28 апреля этого же года он
защитил свою докторскую диссертацию: «Теория целых
комплексных чисел с приложением к интегральному
исчислению». (Оппонентами его были II. Л. Чебышев
и А. Н. Коркин.) Это сочинение открывает цикл его
замечательных работ по алгебраической теории чисел.
х) «Mathematischc Annalcn», 5, 1872. «Journal de Math, pures
et appl»f (2), 19, 1874. Сам Чебышев дал свой метод без всякого
обоснования.
2) «Sur les formes quadratiques positives» (Math. Ann., 1877).
302
II. Г. БАШМАКОВА
В 1877 г. появилась его статья «Sur les nombres comple-
xes», в которой доказывалась основная теорема его общей
теории, а в 1880 г., уже после смерти Егора Ивано-
вича Золотарёва1), была опубликована его работа «Sur
la theorie des nombres complexes», содержащая подроб-
ное изложение всех его результатов, относящихся к тео-
рии делимости алгебраических чисел. С марта 1876 г.
Е. И. Золотарёв состоял экстраординарным профессором
Университета, а в декабре того же года был избран
адъюнктом Академии Наук по кафедре прикладной мате-
матики. 26 июня 1878 г. произошёл несчастный случай,
оборвавший жизнь Егора Ивановича Золотарёва.
В письме к А. Н. Коркину от 13 нюня 1878 г. один
из бывших студентов Университета (кандидат Нико-
лай Ливанов) следующим образом описывает обстоя-
тельства, приведшие Е. И. Золотарёва в преждевремен-
ной смерти:
«На Царскосельской станции Варшавской железной
дороги он (т. с. Е. И. Золотарёв.—Я. Б.) попал каким-то
образом (неизвестно) под поезд, из-под которого сю
вынули со смятой ступнёй левой ноги. Затем оказалось,
что, кроме левой ноги, у него повреждена и правая нога,
именно—выше колена кость ноги лопнула вдоль.
Из Царского Села его привезли в Петербург в Александ-
ровскую больницу (что на Фонтанке между Измай
донским и Египетским мостами). Ампутацию делать он
не соглашался, и часто с ним делался бред, так что
родные его к нему никого не допускали. Там, в больнице,
в пятницу 7 июля, волею божиею, он скончался вслед-
ствие заражения крови, и в понедельник 10 июля похо-
ронен на Митрофаниевском кладбище. До самого клад
б ища его несли на руках»2).
Таким образом, жизнь гора Ивановича Золота-
рёва продолжалась 31 год, а его научная деятельность
длилась всего лишь около 10 лет. Однако и за этот корот-
кий период он успел сделать фундаментальные работы,
Хотя мемуар был отдан в редакцию журнала тремя годами
раньше, во время поездки Золотарёва за границу.
2) Е. II. Золотарёв, Собр. соч., т. 11, 1932 г. стр. 342
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЕВА 3<>3
расцвете
О лг.ТЯВП
обессмертившие его имя. Е. И. Золотарёв умер в полном
i научной и педагогической деятельности,
после пего рабочих тетрадях, хранящихся
в Академии Наук, находятся планы и творческие попытки
новых работ. Если бы не преждевременная смерть,
Егор Иванович Золотарёв, без сомнения, обогатил бы
науку многочисленными новыми исследованиями. В част-
ности, локальные методы, которые он начал разрабаты-
вать, не были бы несправедливо забыты па долгие годы,
а тогда же вошли бы в математику.
В настоящей статье мы не ставим себе задачей осве-
тить всё научное творчество Золотарёва и установить
связи между идеями и методами различных его работ.
Нас будут интересовать только его работы по алгебраи-
ческой теории чисел—основной и самый глубокий его
труд-
§ 10. Первые работы Е. II. Золотарёва
по теорпп делимости
К вопросу обоснования теории делимости комплекс-
ных чисел1), как показывают его письма к А. Н. Кор-
кину, Е. И. Золотарёв пришёл, пытаясь распространить
метод, данный Чебышевым, для установления того, при
каких значениях А интегрируется в логарифмах диф-
ференциал
(я + Л) dx
X4 + ух3 +	+ зх 4- £
где у, 8, гД—рациональные, на случай, когда у, о, s, С—
любые вещественные числа. Мы не можем здесь по-
дробнее останавливаться на этой задаче, крайне суще-
ственной для теории эллиптических интегралов. Чита-
телей, желающих ознакомиться с её значением и её исто-
рией, мы отсылаем к статье Р. О. Кузьмина «Жизнь
и научная деятельность Егора Ивановича Золотарёва»2).
Предистория вопроса очень хорошо изложена также
) Комплексными числами Е. II. Золотарёв, как и большинство
го современников, называл алгебраические числа.
“) «Успехи математических наук», 1947, т. II, выпуск 6.
304
II. Г. БАШМАКОВ \
самим Золотарёвым в начале четвёртой части его диссер-
тации. Для нас гораздо важнее те новые идеи в обосно-
вании арифметики алгебраических чисел, к которым при-
шёл благодаря этой работе Е. И. Золотарёв. 10 июля
1873 г. он писал Коркину, что для распространения
метода Чебышева ему «пришлось составить новую теорию
комплексных чисел»1). «Этой теории, — заявлял он да-
лее, — я приписываю гораздо большее значение, чем обоб-
щению методы Чебышева»2).
«До сих пор были разобраны только комплексные
числа, зависящие от корней из единицы. Это было сде-
лано Куммером в его многочисленных и замечательных
статьях по этому предмету; но способ, которым тракто-
вал Куммер эти числа, оставлял мало надежды на то,
что его теорию можно обобщить на все неприводимые
уравнения с целыми коэффициентами. Действительно, он
пользовался тем обстоятельством, что уравнения деления
круга могут быть понижены при помощи свойств перио-
дов, т. е. решены посредством уравнений степеней низших.
Моя теория содержит куммеровскую, как частный слу
чай, и нисколько не сложнее сё, если выключить неко-
торые особенные функции F (X), которые требуют новых
обобщений. Этих особенных случаев я до сих пор не рас-
сматривал, а потому и сказал, что при моем обобщении
методы Чебышева встречаются некоторые исключения»3).
Из приведённого отрывка видно, что Золотарёв ещё
в июле 1873 г. владел теорией, изложенной им в диссер-
тации.
В следующем письме от 29 июля того же года Е. И. Зо-
лотарёв сообщил Коркину окончательный план своей
диссертации: «Моё сочинение будет состоять из 4 глав.
В первой я излагаю свойства сравнений с целыми функ-
циями... Во второй главе я излагаю свойства комплексных
единиц. В третьей — разложение комплексных чисел па
множители и в 4-й — приложение теории комплексных
чисел к интегральному исчислению, т. е. методу Чебы-
Э Поли. собр. соч. Е. II. Золотарёва, т. II, стр. 211.
2) Там же.
3) Там же, стр. 211—212.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЕВА 305
щева. Большая часть всего этого уже написана вчер-
яе»1)-
Золотарев начал заниматься «приготовлением к печати
различных заметок по теории эллиптических функций»
только в начале июня 1873 г., причём 8 июня он «не успел
ещё хорошо обдумать, что можно сделать для этого инте-
грирования (речь идёт о чебышевском методе.—И. Б.)
в том случае, когда подрадикальный полином имеет ирра-
циональные коэффициенты»2), и о комплексных числах
в это время в его письмах ещё не было речи. Отсюда ясен
тот поразительный факт, что вся теория делимости по-
лей алгебраических чисел (за исключением особенных
случаев) была создана Золотарёвым менее чем за два
месяца.
А уже в предисловии к диссертации, защищавшейся
28 апреля 1874 г., Е. И. Золотарёв писал: «Желая пред-
ставить теорию идеальных множителей в самом простом
виде, я отложил до другого раза публикацию моих иссле-
дований относительно тех уравнений, для которых при-
ведённое выше понятие о целом комплексном числе* * 8)
является недостаточным. Так что, если рассматривать
только уравнения, для которых можно ограничиться
предыдущим определением целых комплексных чисел,
то изложенную здесь теорию нужно считать закончен-
ной»4). Из этих слов Золотарёва можно с полным осно-
ванием заключить, что в апреле 1874 г. он уже имел
обоснование теории делимости и для самых общих полей
алгебраических чисел. Отсюда же видно, что он впервые
чётко разделил два случая: 1-й наиболее простой, когда
степенной базис является одновременно и целочислен-
ным и для которого теория получается нисколько не слож-
нее куммеровой; 2-й самый общий случай, для которого
®ся теория строилась уже на новых принципах.
х) Поли. собр. соч. Е. II. Золотарёва, т. II, стр. 213—214.
2) Письмо от 8 июня 1873 г. (там же, стр. 209).
8) Целыми комплексными числами Золотарёв называет в этой
работе целые функции с целыми коэффициентами, зависящие от
Диого из корней неприводимого уравнения с целыми коэффициент
“и» из которых первый равен единице.
) Собр. соч., т. I, стр. 162.
Историке-математ. исследования
306
И. Г. БАШМАКОВА
Мы остановимся сперва подробнее на изложении док-
торской диссертации Егора Ивановича Золотарёва, а потом
перейдём к идеям, положенным им в основание самого
общего случая.
План диссертации остался таким же, каким он был
намечен Золотарёвым уже к 29 июля 1873 г. Объём дис-
сертации составляет примерно 200 страниц. Первая её
часть посвящена изложению теории функциональных
сравнений или сравнений по двойному модулю, начало
которой, как мы видели, было положено ещё Гауссом.
В одном из писем к Коркину Золотарёв сообщает: «Эту
статью я приписывал Серре на основании того, чтб он
говорит в своём курсе, но каково же было мое удивле-
ние, когда во втором томе Гаусса я нашёл статью, из кото-
рой видно, что Гауссу всё это было известно в 1798 г.
Эта статья должна была составить 8-ю главу «Disquisi-
tiones» г).
Однако у Гаусса эта теория не получила дальнейшего
развития, и он не связал её с изучением свойств простого
числа р. Теория функциональных сравнений была сильно
развита Эваристом Галуа, а подробное её изложение
дал в своей «Алгебре» Серре. Но ни Галуа, ни Серре
не связывали этой теории с изучением арифметики полей
алгебраических чисел. Впервые это было сделано Е. И. Зо-
лотарёвым .
Работу свою Е. И. Золотарёв начинает с рассмотрения
целых функций одного переменного х по модулю простого
числа р. Две такие функции
Л (х) = а» + а1х + • • • + апхп
И
в (я) =А + М + ...+6та:т
называются сравнимыми по модулю р, если
bi = at (mod р), i = 0, 1, 2, ...
Над сравнениями этого вида можно производить
такие же операции, как и над обычными числовыми.
Письмо от 29 июля 1873 г. (Собр. соч., т. II, стр. 213).
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЕВА 307
Так, если
А —В,	C — D и E~F (modр),
то
Л — С~В—D,	I (mod р)
АСЕ— BDF
и т. д«
Можно определить делимость одной функции на дру-
гую по модулю р. Функция А делится по модулю /?на
функцию В, если существуют такие функции С и D, что
А = ВС Ч- pD
или
А ==ВС (mod р).
При этом, если В не делится на р, то функция С опре-
деляется однозначно, с точностью до слагаемого, деля-
щегося на р.
Далее Золотарёв даёт алгоритм, аналогичный евкли-
дову, для отыскания общего наибольшего делителя двух
функций по простому модулю, доказывает, что, если
функции А и В взаимно просты по модулю р, то всегда
можно найти такие функции Р и Q, что
РА — QB == 1 (mod /?),
и, наконец, доказывает однозначность разложения по
модулю р целой функции в произведение простых по этому
модулю множителей.
В пункте 9 главы первой Золотарёв переходит к рас-
смотрению сравнений по двойному модулю. Если В — не-
приводимый по модулю р многочлен степени п, то при
Делении любого другого многочлена Л на В по этому
модулю получится остаток R степени — 1
A = QB + R (mod/?).
«Функцию R мы будем называть наименьшим выче-
том А по модулю р и простой функции В.
2U*
308	И. Г. БАШМАКОВА
Две функции, имеющие одинаковые вычеты, назы-
ваются сравнимыми по модулю р и функции В»1). После
этого Золотарёв легко находит, что число всех таких
вычетов
/? = а0 + а1х+ ... + o„_1xn'’
равно рл, так как а0, «х, . ..,ап_х могут принимать зна-
чения 0, 1, .., р— 1.
Далее он переходит к определению числа простых
многочленов данной степени по данному модулю. Для
этого он устанавливает следующие три теоремы:
1)	Если
F (X) = Л0Хт + А.Х^ + ... 4- Ат^Х + Ат
является целой функцией двух переменных X и х с це-
лыми коэффициентами, то не может существовать более т
различных функций от х: Xv Х2 ..., Хт, несравнимых
между собой по модулю р, и некоторой простой функ-
ции Р таких, чтобы все результаты
Р(Х,), Г(Х2)......F(Xm)
делились на Р по модулю р. При этом, разумеется, пред-
полагается, что Ло не делится на Р. Теорема эта легко
проверяется для т?г = 1, а затем доказывается по индукции.
2)	Каждый простой по модулю р многочлен fr(x)
степени г делит по этому модулю функцию хрт — х
хрГ~х (mod /г, р).
Теорема эта является аналогом малой теоремы Ферма.
Действительно, согласно последней.
а? == a (mod р) для любого целого а.
При перенесении этой теоремы на случай многочленов,
роль модуля р играет примитивная функция /г (ж), а роль р,
как показателя, играет число вычетов по модулю /г(я),
равное рг. Совпадение абсолютного значения модуля Р
с числом вычетов по этому модулю 0, 1,..., р— 1 является
частным свойством кольца целых рациональных чисел.
Собр. соч., т. I, стр. 174.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 309
Для кольца многочленов по модулю р оба эти значения
утке не совпадают.
3)	Функция — х может делиться по модулю р
на простую функцию Р степени v только тогда, когда р
делится на v. Отсюда уже следует теорема Галуа о том,
что функция гср11 — х равняется по модулю р произведе-
нию всех простых по этому модулю многочленов, сте-
пени которых равны делителям числа р. (включая и само
число р). Если обозначить через [Л;] число простых функ-
ций по модулю р степени к, то
=v [V] + 8 и + з' [г/] + з« р*] + . + [1]э
где В, 8', о", ..., 1 — всевозможные делители v. Действи-
тельно, «каждая часть этого равенства выражает сте-
пень функции rcpV —о1).
Для v = 1 получаем
[1]=р.
Для v — 2 имеем р2 = 2 [2] + [1], откуда
[2] = ^
и т. д.
После этого Золотарёв прилагает построенную теорию
степенных вычетов к изучению периодов, связанных
с уравнением хп — 1 = 0.
Теория функциональных сравнений по двойному мо-
дулю, изложенная в первой главе диссертации Е. И. Золо-
тарёва, имеет фундаментальное значение для исследования
вопросов делимости алгебраических чисел. Действи-
тельно, каждое неприводимое уравнение
F (ж) = а0 + ахх + ... + хг — 0,	(1)
где а01 ах, ..., ar_t—целые рациональные, определяет поле
алгебраических чисел R (6), получаемое присоединением
одного из корней 0 этого уравнения. Если при этом без-
различно, какой именно из корней 0t, 62, ..6Г уравне-
ния F(x) = 0 будет присоединён, то поле 7? (9) можно
1) Собр. соч., т. I, стр. 178.
310
И. Г. БАШМАКОВА
определить ещё и по-другому, при помощи так называемой
кронекеровскойа) конструкции. Для этого кольцо всех
многочленов g (6) над полем R рассматривается по модулю
F (6), т. е. два многочлена g(W) и gr (6) считаются рав-
ными, если они сравнимы по этому модулю. В резуль-
тате, вследствие неприводимости Е(я) = 0, получается
поле (6), изоморфное каждому из полей R (0J,
R (62), ...,R (Gr). Элементами этого поля будут всевоз-
можные полиномы
/ (в) = fc„ + \0+(2)
Поведение простого рационального числа р в этом
поле естественно характеризовать его классами выче-
тов, рассматривая для этого все многочлены (2) ещё
пЪ модулю р. Если эти классы вычетов образуют поле,
то это означает, что число р остаётся простым
и в поле /?(6). Если же они образуют только кольцо,
т. е. если число р, рассматриваемое как число из R (6),
утрачивает характеристическое свойство простого числа,
то его естественно считать сложным числом поля R (6).
Те же самые классы вычетов, характеризующие про-
стоту или сложность числа р, можно получить и иначе:
сначала рассмотреть многочлен F (х) по модулю р,
F (я)== 0 (mod р),
а затем кольцо многочленов G(x) над полем вычетов по
модулю р рассмотреть ещё по модулю F (х). Если F (х)
не является простым по модулю р, т. е.
F (х)==Рг (ж) ... Fq (х) (mod р),
то кольцо это не будет полем (оно будет прямой суммой
полей, соответствующих каждому из неприводимых мно-
жителей Fx(x), ..., Fg (х) сравнения F (х) = 0 (mod р))«
С другой стороны, как мы видели выше, это же обстоя-
тельство означает, что число р, рассматриваемое как
число из 7? (6), перестаёт обладать характеристическими
х) Впервые эта конструкция была применена не Кронекером,
а Коши для частного случая F (я) = яа +1 >
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЕВА 311
свойствами простого числа. Это обстоятельство и является
разгадкой параллелизма между распадением сравне-
ния F(rc) = O (mod р) на множители и разложимостью
числа р в поле R(b), определяемом одним из корней
уравнения (1). Таким образом, чтобы узнать, является ли
простое число р простым или сложным в поле /?(0),
достаточно установить, распадается ли сравнение
(я) = 0 (mod р) на множители. При этом нет необходи-
мости рассматривать только линейные множители этого
сравнения, как это делали Лагранж и Куммер. Мы уви-
дим, что вышеупомянутым фактом параллелизма, причём
в самом его общем виде, Золотарёв воспользовался в третьей
главе своей диссертации при введении идеальных комплекс-
ных множителей.
Вторая глава диссертации, объёмом в 34 страницы,
посвящена теории комплексных единиц. В ней Золота-
рёв вводит понятие целого комплексного числа, завися-
щего от корней неприводимого уравнения F(x)=0 (1)
степени г с целыми коэффициентами и коэффициентом
при старшем члене, равным единице.
Таким числом он называет выражение вида
? (6) = Ьо 4- 6/J 4- 6# 4- ... 4- Wr-1,
(3)
где 6 — один из корней уравнения (1), 60, ..., Ьг_1 — целые.
Он показывает, что представление (3) является единствен-
ным. Рациональными комплексными числами, зависящими
от корней уравнения (1), Золотарёв называл числа вида
n /Q)
, где © (6) и ф (6) —целые комплексные числа.
Далее, он вводит понятия сопряжённых комплексных
чисел и нормы комплексного числа:
^(0)=?(01)?(6г)...?(6г).
ГД6 ®i, И2, • • •» 6Г —корни уравнения (1).
«Комплексными единицами называются такие ком-
плексные числа, норма которых равна ± I»1).
х) Собр. соч. т. I, стр. 200,
312
И. Г. БАШМАКОВА
Остальная часть главы посвящена доказательству
теоремы Дирихле о единицах кольца чисел вида (З)1).
Как отмечает в примечании к этой теореме Золотарёв,
«эта теорема принадлежит... Дирихле. В той же в высшей
степени замечательной заметке («Monatsberichte», 1846)
Дирихле сообщил и главные пункты доказательства этой
теоремы»2). Однако Е. И. Золотарёв дал совершенно
новое доказательство теоремы о единицах, опираясь на
теорему Эрмита о границе для минимума положительной
квадратичной формы.
Глава эта необходима в диссертации, так%как прежде
чем говорить о разложении комплексных чисел вида (3)
на простые множители, нужно учесть комплексные еди-
ницы, с точностью до тшторых только и возможно рас-
сматривать любое такое разложение.
Третья глава диссертации называется «Идеальные
множители комплексных чисел». Она занимает всего
40 страниц. В этой главе Золотарёв обосновывает теорию
делимости колец алгебраических чисел Я[&], для которых
степенной базис является целочисленным. Для этого
он, используя предложение о параллелизме, вводит в эти
кольца идеальные множители. Эту часть его работы мы
подробнее изложим дальше. Введённые им идеальные
множители, частным случаем которых являются и обыч-
ные целые комплексные числа, Золотарёв разбивает
на классы эквивалентных между собой множителей и до-
казывает конечность числа таких классов (§ 57). Эквива-
лентными идеальными множителями Золотарёв, как
и Куммер, называет такие, которые могут быть переве-
дены в существующие комплексные числа умножением
на один и тот же идеальный множитель. Он показывает,
что введённое им отношение эквивалентности является
транзитивным (совершенно очевидно, что оно, кроме
того, симметрично и рефлексивно). Таким образом, все
идеальные множители действительно разбиваются на
непересекающиеся классы эквивалентных между собой-
Главный класс составят при этом обычные комплексные
числа.
. П См. § 7.
а) Поли. собр. соч. Е. И. Золотарёва, т. I, стр. 359,
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА
313
Доказательство конечности числа классов идеальных
множителей основывается на выборе в каждом таком клас-
се представителя, норма которого является наименьшей.
В заключение Золотарёв показывает, что «каждое
0деальное число возвышением в некоторую целую сте-
пень можно обратить в существующие» (стр. 279) и что
«показатель наименьшей степени какого-нибудь идеаль-
ного числа, равный существующему числу, есть всегда
делитель числа классов идеальных чисел» (стр. 280).
Четвёртая, последняя, глава диссертации посвящена
приложению теории комплексных чисел к одному вопросу
интегрального исчисления. Это наиболее объёмистая из
глав. Она занимает 77 страниц. В ней Золотарёв даёт
критерий для решения вопроса о том, можно ли с помощью
конечного числа операций подобрать в дифференциале
______(ж + Л) dx___
Ух* 4- уж3 4-	+ еж 4- с ’
где у, Б, в, С — любые вещественные числа, параметр А
таким образом, чтобы этот дифференциал интегрировался
в логарифмах.
§ 11. Теория идеальных множителей
для «неособого» случая
Перейдём к изложению 3 главы диссертации — теорп и
.идеальных множителей Е. И. Золотарёва для «неособого»
случая. Пусть 6Х, б2, . .., 0п —корни неприводимого урав-
нения
F (ж) =	. +пп, ,	(1)
ГД® alf ..., ап — целые рациональные.
Уравнение (1) назовём «неособым», если все целые
числа поля R (6),где 6 — один из корней 0х, ..., бл уравне-
ния (1), имеют вид
« = +	(2)
причём 60, bn_t — целые^рациональные,
314
И. Г. БАШМАКОВА
Золотарёв даёт критерий для определения с помощью
конечного числа операций, будет ли уравнение вида (1)
особым или неособым. Об этом критерии мы скажем дальше.
Для полей, образованных корнями неособых урав-
нений, Золотарёв строит теорию идеальных множителей
исходя из параллелизма разложения простого рацио-
нального числа р в поле R(b) и разложения F(rc) = O,
определяющего уравнение этого поля, по модулю р.
Простое рациональное число р Золотарёв предлагает
считать простым в поле /?(6), если определяющее уравне-
ние (1) является неприводимым по модулю р. Это опре-
деление оправдывается следующими теоремами:
1) Если на такое р делится произведение нескольких
целых чисел из R (6)
аха2. . .ak~0(mod р),
то, по крайней мере, одно из них будет делиться на р.
2) Такое число р делится в R (9) только само на себя
и на единицы поля.
После этого Золотарёв переходит к рассмотрению
простых чисел р, по которым основное уравнение, рас-
сматриваемое как сравнение, распадается на множители.
В отличие от Лагранжа и Куммера, он не ограничи-
вается рассмотрением линейных множителей сравнения
F(x) = 0 (mod р),
но рассматривает его неприводимые множители любой сте-
пени, не исключая при этом и случай кратных множителей.
Пусть
F (х) = V"' (х) V'i'1 (х) ... V,”*’ (ж) (mod р),	(3)
где степени* V (х), V, (х), .... Vs(x) равны соответственно
/, /х.../г
Сравнение (3) можно еще записать и так:
F (х) = Vm (х) V?‘ (х)... V’s"s (х) + pF, (х).	(4)
Тогда, как доказывает Золотарёв,
1) если р не входит в дискриминант уравнения (1)»
то т = т1 = ... =ms = l, т. е. соответствующее сравнение
це может иметь кратных множителей.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 315
Если же р является делителем дискриминанта урав-
нения, то один из показателей обязательно больше
единицы, т. е. F (z) = 0 (mod р) имеет к ратный мно-
житель.
2) Если jwf = 1, то всегда можно предполагать, что
F (х) не делится па соответствующее Vi (х) по модулю р,
т. е.
Fx (х) ф Vi (х) ? (х) (mod р).
Если же > 1, то такого предположения, вообще говоря,
сделать нельзя.
Уравнения (1), для которых Ft (х) делится по какому-
нибудь простому модулю р хотя бы па одну из функ-
ций Vi(x), имеющую показатель > 1, Золотарёв назы-
вает особыми и исключает их из рассмотрения: «Комплекс-
ные числа, зависящие от корней таких уравнений
F(z) = 0, для которых имеет место только что указан-
ное обстоятельство, обладают некоторыми особенными
свойствами. Желая в настоящем сочинении представить
теорию комплексных чисел в самом простом виде, мы
’исключим такие комплексные числа из нашего исследо-
вания и изложим их свойства при другом случае»1).
В следующей своей работе2), посвящённой этому вопросу,
Е. И. Золотарёв, действительно, провёл исследование
алгебраических чисел, зависящих от корней любого
неприводимого уравнения F(x)=0 вида (1), а также
доказал, что в случае неособого F (х) степенной базис
является одновременно и целочисленным. Отсюда ясно,
что он имел в виду, говоря, что при рассмотрении произ-
вольных уравнений вида (1) комплексные числа «обладают
некоторыми особенными свойствами». Действительно, лишь
в случае особых F (х) = 0 целые числа а из R (0) могут
представляться в виде
Я = Со+С10+ •• • +сп i0""*.
где с0, сх, ..cn_lt вообще говоря, уже рациональные
числа (а не обязательно целые).
г) Поли. собр. соч., т. I, стр. 249.
2) «Sur la theorie des nombres complexes»,
316
И. Г. БАШМАКОВА
Но так как F (х) = 0 (mod р) может иметь кратные
множители только по такому простому числу р, которое
является делителем дискриминанта уравнения F(x) = 0,
то для каждого такого уравнения можно конечным числом
проб проверить, является ли оно «особым». Таким обра-
зом, критерии Золотарёва является вполне эффективным.
Если F (х) = 0— «неособое» уравнение вида (1) и F (х)=^
==Vm (х) У?'1 (х) ... ИГ5(ж) (m°dР) (3), то Золотарёв пред-
лагает считать простое рациональное число р сложным
в ряду целых чисел поля /?(0) и состоящим из т одина-
ковых простых комплексных (вообще говоря, идеальных)
множителей, принадлежащих V (6), из mt одинаковых
простых комплексных множителей, принадлежащих Едб)
и т. д., так что
P = pznpp ... р™5,
где pi — идеальный комплексный множитель, принадле-
жащий Vf(6).
То обстоятельство, что из разложения р на действи-
тельно существующие в Я(0) простые комплексные мно-
жители
р = aniaj11 .. . aj’e
следует соответствующее разложение (3), можно легко
вывести из некоторых предшествующих теорем Золота-
рёва: он доказывает, что
1) если V( (х) имеет степень /f, то NVt (6) делится
на pf^;
2) для того чтобы ТУф (6), где ф (6) —некоторое целое
комплексное число из R (6), делилась на р, необходимо
и достаточно, чтобы ф (х) делилась по модулю р на одну
из функций Vi (х).
Таким образом, для всех полей, имеющих целочислен-
ный степенной базис, устанавливается, как и для случая
полей делепия круга, полный параллелизм между раз-
ложением основного уравнения (1) в поле вычетов по
модулю р и разложением этого числа р в поле, определяе-
мом корнями этого уравнения.
После введения идеальных простых множителей
числа р Золотарёв даёт условия для определения того.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТТуДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВ \	317
содержатся ли эти множители в некотором целом числе
из Rifi). «Мы будем говорить, что некоторое комплексное
число / (б) делится на простои идеальный множитель р,
принадлежащий функции V, если / (х) делится на Г (х)
по модулю р».
Далее он даёт критерий для определения того, в какой
степени определённый идеальный множитель входит в не-
которое целое число: «... будем говорить, что комплексное
число (б) содержит идеальный множитель числа р, при-
надлежащий функции V, ровно X раз, где X = кт + г,
к—частное и г—остаток от деления X на т, если имеет
место сравнение
(х) ут-грул+i s о (mod p*+1, F (ж)),	(5)
а сравнение
<Р (Ж) Pm-r-ljy/c+2 === 0 (mod pA+2t р (ж))	(6)
не имеет места, где
..., v'ns,..., ws-vmv;n 1... гГ-i1»1).
Сравнение (5) выражает, что функция (ж)
по разделении на F (х) даёт остаток степени не выше п — 1,
все коэффициенты которого делятся на рк+1.
После такого введения идеальных простых множите-
лей законы делимости для кольца целых чисел поля R (б)
оказываются полностью аналогичными тем, какие имеют
место для целых рациональных чисел. Так, Золотарёв
доказывает, что
1. Произведение ар двух целых комплексных чисел
из Л (6) содержит идеальный множитель числа р, при-
надлежащий функции К, столько раз, сколько оба мно-
жителя аир вместе.
2. Если а = ^1р22 ... pj'e,, a ₽ =	... q*‘e2,
гДе р/ и q, являются простыми идеальными множителями,
а ei и е2 — комплексными единицами, то а делится на р
в том и только в том случае, если все q7- встречаются
среди р, соответственно пе с меньшими показателями.
Собр. соч., т. I, стр. 253 — 254.
318
II. Г. БАШМАКОВА
Отсюда следует однозначность разложения целых
чисел из R (0) на идеальные простые множители.
Круговые поля, рассмотренные_Куммером, и поля
гауссовых комплексных чисел R ()/" — 1) являются част-
ными случаями полей с целочисленным степенным базисом,
и Золотарёв показывает, как из построенной им теории
следуют результаты Куммера и Гаусса.
Таким образом, был завершён первый этап развития
локальных методов, в основу которых был положен уже
много раз рассматриваемый нами параллелизм. Но на
основании одного этого параллелизма нельзя было сде-
лать никаких заключений относительно разложений про-
стых делителей дискриминанта р в случае особых урав-
нений. Нужно было ввести новые принципы, причём
оказалось, что сделать это можно различными способами.
Егор Иванович Золотарёв пошёл по пути дальнейшего
углубления локальных методов. И его работами было
положено начало второму этапу их развития, продол-
жающемуся и в настоящее время.
Однако уже в рассмотренной работе имеются теоремы,
которые как по своим формулировкам, так и по методу
изложения близко примыкают к идеям второй его работы
«О комплексных числах».
Действительно, как мы видели, Е. И. Золотарёв уже
в своей диссертации установил следующие факты:
1)	где щ — Vi (6), делится на pht где // — сте-
пень Vt (ж).
2)	Для того чтобы N (а), гдеа = ©(6), делилась на р,
необходимо и достаточно, чтобы
's(x) = Vi(x)^(x) (mpdp)
по крайней мере для одного значения г.
3)	Целое число а = ?(б) делится на р/ тогда и только
тогда, когда
'/(z)"= V{(х) б (х) (mod р).
Отсюда, в частности, следует, что =	(6) делится на р/
и не делится на р7-, если / i. Но, кроме того, не может
делиться ни на какую степень р™, если щ>1. Это еле-
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 319
дует из соответствующего критерия Золотарёва. Число
г (6), делящееся на и не делящееся на принято
называть р-простым. Такие числа играют существенную
роль во второй работе Золотарёва. Так как, по предпо-
ложению, любое целое а, делящееся на делится алге-
браически на ^(х), то ясно, что ^(6) являются числами,
норма которых делится на наименьшую возможную сте-
пень р- Во второй своей работе Золотарёв как раз и исполь-
зует это обстоятельство. Кроме того, там показывается,
что не только icf1 ... делится на	... р,
но и, наоборот, в некотором смысле р делится на
nein*2 ... и тогда можно записать р =
где с является единицей по отношению к простому числу р
(р-единица).
Таким образом, Золотарёв подошел к изучению ариф-
метики полей R(fi) по отношению к простому числу р.
Во второй своей работе он фактически ввёл понятие
p-единицы, р-делимости и р-простоты. При этом Золо-
тарёв смог дать определение р-простого числа, не зави-
сящее от идеи параллелизма, и показать, что в любом
p-кольце алгебраических чисел простое число р с точ-
ностью до p-единиц однозначно представимо, как произ-
ведение р-простых чисел этого кольца. Отсюда уже легко
получается обоснование теории делимости для произ-
вольного поля алгебраических чисел.
§ 12. Общее обоснование теории делимости
Для лучшего уяснения основных идей второй работы
Е. И. Золотарёва введём некоторые понятия, которые,
не изменяя сути дела, позволят нам проще изложить
ход мыслей автора.
Рациональное число у, где г и s взаимно просты,
назовем p-целым, если его знаменатель s не делится на р
(р простое рациональное число)
(modp).
ЗЭО	и. Г. БАШМАКОВА
Число алгебраического поля К над R будем считать
р-целым, если оно удовлетворяет уравнению вида
хп 4- atxn~l 4- ... 4- ап = 0,	(1)
где ах, а2, ..., ял — p-целые числа из R. Как легко видеть,
V-целые числа поля К (так же как и p-целые числа из R)
образуют кольцо, т. е. сумма, разность и произведение
двух jo-целых чисел из К будут p-целыми числами. Можно
определить и делимость по модулю р, считая, что а
р-делится на р, если их частное является р-целым
числом. Каждое p-целое число а из К удовлетворяет
некоторому неприводимому уравнению вида
хт 4-	4- ... 4- Ьт=0	(2)
степени т. Тогда В(а) = х будет подполем К.
Нормой а относительно этого подполя назовём сво-
бодный член уравнения (2), взятый с определённым
знаком:
7Vx(a)=6M(-l)m.
Если степень поля К над R равна п, то относительная
степень К над х равна , поэтому норма а в поле К будет
п
^/й[Л'к/х(а)]=7У,/й(а-) =
п п	n п
При таком определении норма любого р-цеДого числа
из R будет обладать следующими свойствами:
1)	W(ap) = 2V(a)7V(P);
2)	7V(a) = an, если a£R\
3)	N (a) p-делится на a.
Действительно,
am +	+ • • • + 6m-i« + f>m = °.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. II. ЗОЛОТАРЁВА 321
откуда
(-1)"	=V- = - («"-1 + W* ++ Ь^),
причём число, стоящее в скобках, является р-целым.
jp-целое число поля К можно ещё определить как такое,
которое может быть переведено путём умножения на целое
рациональное число, взаимно простое с р, в обычное
целое число из К.
Золотарёв в своей работе не вводит p-целых чисел,
но фактически пользуется ими, домножая их всякий раз
на такое целое число из R, взаимно простое с р, что
в произведении получается обычное целое число поля К.
Поэтому-то мы и не изменим сути работы Золотарёва, если
не будем домножать на такие множители, а просто гово-
рить о р-целых числах.
Кольцо p-целых рациональных чисел будем обозна-
чать через Яр, а кольцо jD-целых чисел из К—симво-
лом Кр.
Число a£Rp называется p-единицей, если а и
являются р-целыми. Ясно, что для этого необходимо
и достаточно, чтобы и числитель и знаменатель числа а,
при представлении его несократимой дробью ~, были
взаимно просты с р.
Аналогично, число а из Кр назовём p-единицей, если
1 1
«и—являются p-целыми, т. е. а, — $Кр.
Золотарёв показывает, что для того чтобы ос £ К было
р-единицей, необходимо и достаточно, чтобы N (а) была
единицей из Rp.
Далее, для каждого простого рационального числа р
Золотарёв выбирает из целых чисел поля К, не деля-
щихся на р, полную систему вычетов по этому простому
числу, как по модулю.
Прежде всего он замечает, что, если р—особое число,
т* е. если р является делителем дискриминанта урав-
нения (1), определяющего поле К, и
F(x)^VmV^ ... ОР’М
21
Историко-математ. исследования
322
II. Г. БАШМАКОВА
причём я (х) делится по модулю р на одно из Vif для кото-
рого mi > 1, то
где G —корень уравнения (1), может удовлетворять алге-
браическому уравнению вида (1) с целыми рациональ-
ными коэффициентами, т. е. является целым.
При этом, если р входит в дискриминант уравнения (1)
в степени 2к, то X < к.
Таким образом, для того чтобы выбрать полную си-
стему вычетов по модулю р, Золотарёву приходится рас-
сматривать не только числа вида
^0 + \ ®	^2	+ • • • + ^n-1 ^П1»
где b0, blt ...,	—целые, но и все числа вида
М + • • • + ^n-i	Q + • •. + Ьп г О’1-1
Р	’ *’ ”	’
где Х = Л.
Всякое число вида
Ьо + Q	вп~~х	//v
Р	k 2
можно представить как
где ф(0) и ф (G)— многочлены с целыми рациональными
коэффициентами, причём коэффициенты ср (0) неотрица-
тельны и меньше р, а коэффициент при старшем члене
можно предполагать равным единице. Из всех таких
чисел Золотарёв выбирает то, для которого ср (6) будет
иметь наименьшую возможную степень. Такое число,
как он показывает, будет единственным. Действительно,
если бы таких чисел было два:
+ u ? =	4-4»ж(б).
ТО
а - ? =	+ ф (0) - й, (Ь),
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ 13 ТРУДАХ Е. II. ЗОЛОТАРЁВА 323
т. е. а — ? имела бы тот же вид, причём многочлен
(0) = 'j(0) — ©J (6) имел бы степень, меньшую, чем ?(6),
т. в. ?(6) не был бы полиномом наименьшей степени.
Значит, всякое целое число а вида (4) можно представить
как
« = 4^ + 5,
р
где А и В —многочлены, от 6, а з (6) —выбранный поли-
ном наименьшей степени. Аналогично, всякое число а
Ьо+М +
вида --------------------- можно представить как
А • “Ь ~	> где (®) ~ полином наименьшей
(0)
степени, для которого является еще целым числом
из К, и т. д.
Степень нх полинома	степени и полинома ? (0).
гч	«1 (0)	Ф1(6)
Это следует из того, что если — целое, то и Ш-' —
целое.
Таким образом, получаем ряд однозначно выбранных
полиномов
?(б), ?х(0), ...,?А_1(0),
степени которых
Н<Нх< ...
Пусть
Iх = Нх = . . . = НА,
Нй+1 = НА-+2 = • • • = НА1»
HA-J.+1 = НА/.+2 = . • • = Нл-1-
Тогда каждое целое число а из К будет сравнимо
по модулю р с одним из чисел
А~'+B4rrt + ••• +А'4Ч + Л
р	pk*+i	рк~*
Коэффициенты А, В, К, L имеют степени,
ственно равные
(5)
соответ-
На-1 — Наъ — 1, ..HAi ~На-1, На —!•
21*
324
И. Г. БАШМАКОВА
Так как всякое число вида (5) является целым и из
сравнимости по модулю р двух таких чисел следует срав-
нимость их «коэффициентов» (т. е. Л = В^В , .
...,L== (mod р)), то полную систему вычетов
модулю р можно получить, если взять все несравнимые
между собой числа вида (5). Но число коэффициентов
в полиномах Л, В, . К, L равно
(и — Рд-1) 4~ (рл-i —	4" • • • + (На И**) + Нс = и.
Каждый из этих коэффициентов может принимать р зна_
чений, следовательно, всего несравнимых между собой
чисел вида (5) будет рп. Если выбросить число, все коэф-
фициенты которого делятся на р, то полная система выче-
тов по модулю р будет состоять из рп — 1 чисел.
Пусть
ах, аа, . .., аа,	(6)
где а = рп —1, составляют полную систему вычетов по
модулю р.
Если все а, являются р-единпцами в Кр, то число р
Золотарёв предлагает считать простым в ряду целых
чисел поля К.
Если же не все являются p-единицами, то число р
является сложным числом поля К, и Золотарёв даёт
правило разложения его на, вообще говоря, идеальные
множители поля.
Это определение можно пояснить следующим образом.
Как мы уже говорили, в поле R рациональных чисел
простое число р может быть охарактеризовано тем, что
его полная система вычетов 1,2.. .р— 1 образует не только
кольцо, но и поле. Это значит, что для каждого элемента
этой системы существует обратный по модулю р, пли,
в принятой нами терминологии, все эти элементы яляются
p-единицами. Наоборот, если р — составное рациональ-
ное число, то его кольцо вычетов не образует поля,
т. е. не все вычеты являются /^-единицами. Если
характеризовать простоту или сложность числа, исходя
из свойств его полной системы вычетов, причём перенест
этот способ характеристики на произвольные поля алг
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 325
боаических чисел, то определение Золотарёва становится
вполне естественным.
Целые числа ₽ и у из К называются p-взаимно про-
стыми, если не существует такого а, цз последователь-
а;3 a.Y <
пости (6), чтобы у 0 у были одновременно р-целыми,
т. е. принадлежали бы Кр.
Золотарёв показывает, что если ₽ и у взаимно просты,
то в последовательности (6) найдутся такие и а,-, что
а/Р + a/Y = 1 (mod Р)-
Выберем числа последовательности (6) не произвольно,
но потребуем, чтобы каждое из них имело норму, деля-
щуюся на наименьшую возможную степень р, по срав-
нению с нормами всех сравнимых с ним по модулю р
чисел, т. е. возьмём такое af, чтобы N (af) делилась на
самую низкую степень р по сравнению с N (af+ ри),
где « — целое из К. Пусть последовательность (6) уже
выбрана по такому принципу. Тогда будет иметь место
следующая фундаментальная теорема.
Основная теорема Золотарёва. Каждое число а из
последовательности (6), норма которого делится на р^,
удовлетворяет уравнению
an + 6xan-i+ ^6nia + 6n = 0,	(7)
в котором Ьп делится на р^ по предположению, а осталь-
ные коэффициенты делятся, соответственно,
bn-i	на	р^'1,
6П_2	на	р^~2,
bn_k	на	р»-к	и т.	д.
Доказательство Золотарёва состоит в следующем:
пусть
bn = р»сп, bn_t = p^c„_v ..., b„_k = p**cn_k,
—наибольшая из дробей
326
И. Г. БАШМАКОВА
Покажем, что тогда число будет целым. Действи-
тельно, число	является целым. Чтобы это дока-
/Г7Ч сГ1рПЛ"и
зать, умножим уравнение (7) на ---------- и перепишем
его члены в обратном порядке:
п-1 пЛ —р.	п-i пл-|х
С» Р J_ С пН1 сп Р______
ап Сп-1Р ап-1
а”
•п-1р„Л-и = 0
или
Все
₽"+ СП_1РА+И1-1Л pn“1 + en_:.Cnp‘12+2A-Flpn-- 4- . . . — 0.
показатели
fh + X—Р, 1Ч + 2Х— I»!, ..Н-лЧ-*Х—p-*-i> ...
не отрицательны, так как
Х> откуда p.-pZk —р >0.
V
Таким образом, р = целое, так как оно удо-
влетворяет алгебраическому уравнению с целыми коэф-
фициентами и с коэффициентом при старшем члене, рав-
РГСЛ
ном единице. Следовательно, и ₽s =	— целое.
Рассмотрим число
, Prt+4'
--------------------------а-Р[-^г) 
т. е.
С = а (mod р),
7V(ais+i —рг<+Ц’<) =
ri-H st	fi+1 si
—N (a — psi+icfli+l)N (a —o)/7s<+1 c^1) X
ri^-1 si
X TV (a - (o*psi+1 cff+i ) . ..,
где wsf+1 = 1.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. II. ЗОЛОТАРЁВА
327
Если обозначить
• **
pSi + 1 cnsi+i = 5kl
то будет
N(a- = —	(«' — з*) .. . (a<"-‘)_ -k).
Обозначим через
Ф (z) = (z —a)(z —a').. ,(z—a<"-I))==2n + 6izn-I+ ... + 7>„.
Тогда
7V(^<+*-p-'+i^)=±4>(,o)<j>(3i) . ..Ф(3л.,).
Число i, бывшее до сих пор неопределённым, выби-
раем так, чтобы среди показателей
не было бы двух равных. И пусть А — наименьший из
этих показателей.
Легко видеть, что X не может быть > 1. Действи-
тельно, допустим, что X > 1. Пусть X —г— , н- +
Так как Х = -^>1, то X>™ + J. Последнее следует из
рассмотрения неравенств:
г > s
г -f- rsi > s + rsi,
r(l+sZ)>s(14-n),
Но тогда
Vk + k 1+7г<,л’
а> значит, и подавно А < р.
Но целое число, равное произведению
7 1 + 1 St	7 1 + 1 SI
Ф (psi + 1 C^+1) • Ф (<opsi+1
328
И. Г. БАШМАКОВА
содержит р в степени Д (si 4-1), так как каждый из мно-
жителей делится на рд, а всего таких множителей si -р
Тогда р будет входить в N (£) в степени Д (si +1) — si р<р,*
что противоречит выбору чисел а и С Таким образом’
Х<1. Значит, -^-^<1 при любом h или — ht
что и доказывает теорему.
Мы полностью привели доказательство Золотарёва
по двум причинам:
1) Из этого доказательства видно, что основная тео-
рема Золотарёва является совершенно общей. Она спра-
ведлива как для колец алгебраических чисел, так и для
колец алгебраических функций. Поэтому вся теория
Золотарёва немедленно переносится на такие кольца.
С помощью неё строится арифметическая теория рима-
новых поверхностей.
2) Приёмы доказательства этой теоремы очень близки
методам теории алгебраических функций, в частности,
они основаны на рассмотрениях, сходных с параллело-
граммом Ньютона. Это позволяет думать, что Золотарёву
не была чужда идея об аналогии между теорией алге-
браических чисел и алгебраических функций, аналогии,
играющей в настоящее время существенную роль в раз-
витии обеих теорий. Можно даже думать, что Золотарёв
пришёл к своей теореме, занимаясь алгебраическими
функциями. Впрочем, установление связи между теоре-
тико-числовыми и теоретико-функциональными работами
Е. И. Золотарёва должно составить предмет специальных
исследований.
Перейдём теперь к следствиям из основной теоремы.
Следствие 1. — является р-целым.
ai
Действительно, разделив уравнение (7) на ац, получим
4—zzj 4- . •. 4"	4- ^л-ц-1 а 4~ • • • 4~	=0.
Так как bn = cnp»-, 6n_x ==cn_1 то
Сп СО Сп"1 СО +• • + сп-ц+1 £ 4-	4- • • • °*
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 3?9
jjo сп является целым рациональным числом, не деля-
щимся на р, поэтому
является уравнением с p-целыми коэффициентами. Так
как, кроме того, коэффициент при старшем члене равен
единице, то корень его у будет p-целым в К: ~£Кр.
Следствие 2. Для каждого 3 из Кр существует такое а/
из последовательности (6), числа которой предполагаются
выбранными вышеприведённым специальным образом, что
JL является р-целым.
<4
Для любого целого числа р существует такое из
последовательности (6), что
(mod р), т. е. р = а/4-ур.
Так как р p-делится на az, то и сумма <ч4-ур будет
p-делиться на а.
Будем говорить, что число af из последовательно-
сти (6) содержит только один множитель числа р, если
каждое число р, не p-взаимно простое с ai} p-делится на а/.
Числа af, обладающие этим свойством, называются р-про-
стыми. Отберём из последовательности (6) такие числа,
которые, во-первых, содержат только по одному про-
стому множителю числа р, во-вторых, являются попарно
p-взаимно простыми.
Пусть это будут числа
w2, ...»V	(6')
Итак, последовательность (6') представляет собой
набор чисел из Кр, содержащих все различные множи-
тели числа р, причём по построению каждый множитель
содержится только в одном из этих чисел.
После этого уже нетрудно доказать, что число р пред-
ставляется в виде
р == ск®1 К®2 ... ГС®<7,	(8)
330
И. Г. БАШМАКОВА
где с — /?-единица, т. е. что р p-делится на тс®1 . . . и
наоборот, тс®1 . . . тс®»? р-делится на р.
Действительно, согласно следствию 1, является
/у-целым. Возможно ,что и будет p-целым. Выбираем
-	Р	р
такой показатель е , что есть p-целое, а —/ - у;ке
р
не является p-целым, т. е. — является p-взаимно про-
стым с тсг
Аналогичным образом берём такое е29 что ~ есть
7L 2
2
р-целое и p-взаимно просто с тс2. Легко доказать, что
р
тогда и —-— является p-целым и p-взаимно простым
if1 if2
12	ГТ
с и к2, а, значит, и с Продолжая этот процесс,
„ ..	р
найдем такие е,, е,, ..., еа, что ——— -----— является
1	J	?cei лС2...
1	2 д
р-целым и p-взаимно простым с тс^тс*2 ...
n(— р -\=------------------------
W1 кег ... nes 7 N (п‘1) ... N (Л)
12	д	' 1 '	р
является p-целым числом из R. Числитель N (р) делится
на рп. Если 7V(^i) делится на р/*, то знаменатель будет
делиться на р в степени ех /х -f- е2 /2 4- ... 4- ед fg. Следо-
вательно, должно быть
ei /1 + е2 А + • • • + ед fg < п-
Но, с другой стороны, так как ——--------------------— взаимно
просто с тсх, к2, ...,TCff, то норма его не может делиться
на р.
Значит,
е1 fl + е2 fi + • • • + ед fg = п-
А это означает, согласно критерию Золотарёва, что число
—— р—~ является p-единицей с, т. е. имеет место равен-
к . .,
1 (J
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ 13 ТРУДАХ Е. II. ЗОЛОТАРЁВА 331
ство (8). Целое число а из Кр считаем содержащим мно-
житель р, принадлежащий ~f, т раз, если а р-делится
на к"’» и не p-делится на
Тогда будет иметь место теорема:
Произведение двух чисел р и у из Кр содержит идеаль-
ный множитель р, принадлежащий тгстолько раз, сколько
оба числа р и у вместе.
Отсюда уже легко следует теорема об однозначности
представления любого числа из Кр в виде ск"* п™* ... кп,з,
где с —р-единица.
Таким образом, Е. И. Золотарёвым было установлено,
что законы делимости в кольце p-целых чисел Кр полностью
аналогичны обычным законам делимости для целых рацио-
нальных чисел.
Для установления таких же законов делимости в кольце
целых чисел из К нужно рассмотреть их разложение
на р-простые множители в кольцах, соответствующих
всем простым числам риз 7?. При этом для каждого целого
числа а из К нужно будет рассмотреть его разложение
только в конечном числе полей Кр. Очевидно, достаточно
рассмотреть те из Кр, которые соответствуют простым
делителям N (а). Каждому р-простому числу к сопоста-
вим символ—простой идеальный множитель (или про-
стой дивизор) р. Целое число а будем считать деля-
щимся точно на рк, если оно p-делится на и не р-делится
на irk+1. Нормой р считаем степень р, на которую точно
делится 7V(u). После такого введения идеальных множи-
телей в К законы делимости там оказываются полностью
восстановленными1). Теория идеальных множителей Золо-
тарёва, как показал впервые И. И. Иванов, эквивалентна
теории идеалов Дедекинда2). Однако, если результаты
обеих теорий и одинаковы, что вполне естественно, то идеи
и методы, положенные в основания обеих теорий, глубоко
различны.
*) См. например, Н. Г. Чеботарёв, Об основании
е°рии идеалов по Золотарёву («Успехи математических наук»,
т- П, вып. 6).
а) «Целые комплексные числа», Спб, 1891 г.
332
И. Г. БАШ МА ОБА
Мы рассмотрим теперь дальнейшую судьбу локальных
методов Золотарёва и взаимоотношение теории Золота-
рёва с современными локальными теориями.
§ 13.	^-адические метрики и их взаимоотношение
с теорией Золотарёва
При дальнейшем развитии локальной теории выясни-
лось, что наиболее естественное понимание её даёт поня-
тие метрики.
Поле К будем называть метризованным, если для его
элементов определена вещественная функция ?(л) —
метрика, —обладающая следующими свойствами:
1)	ср («)>(), причём <р (а) = 0 в том и только в том
случае, если а = 0;
2)	у(а-6) = <Р(а).<р(6);
3)	? (в + 6) < ? (а) + ? (6)-
Ученик Д. А. Граве, А. Н. Островский, отыскал для
поля рациональных чисел все виды таких функций. Ока-
залось, что ср (а) могут быть двух видов:
1) ср (а) = | а |п. где 0<	1.
функции такого вида определяют так называемые
архимедовы метрики поля.
2) Если а = рка', где р—фиксированное простое число,
а а взаимно просто с р, то ср (a) = 8fc, где 8—закреплён-
ное положительное число, меньшее единицы. Метрики
этого рода называются р-адическими и обозначаются срр.
Они относятся к разряду неархимедовых. Для этих мет-
рик, вместо условия (3), выполняется более сильное нера-
венство
<РР(« + 6)<тах[<рр(а), <?₽(£>)]-
Никаких других функций, удовлетворяющих условиям
1), 2), 3) над полем рациональных чисел R, определить
нельзя.
С помощью функции срр можно замкнуть поле рацио-
нальных чисел jR, определив сходимость по метрике.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. II. ЗОЛОТАРЁВА 333
Последовательность {ап} называется сходящейся по
метрике <рр к а, если
<?р(а — ап)~>0 при п~>оо.
В этом случае а называется р-адическим пределом после-
довательности {ап}.
Последовательность [ал] называется фундаментальной,
если для любого е > 0 существует такое 7V, что
| (ап — ат) I < е при п, т > ТУ.Две фундаментальные
последовательности {ап} и эквивалентны, если после-
довательность [ап — Ьп} сходится к пулю.
Это отношение эквивалентности, как нетрудно видеть,
симметрично, рефлексивно и транзитивно. Поэтому фун-
даментальные последовательности разбиваются на нспе-
ресекающиеся классы эквивалентных между собой после-
довательностей. То общее, что имеют все последователь-
ности одного и того же класса, есть, очевидно, их р-ади-
ческий предел. Если предельное число всех последователь-
ностей класса принадлежит 7?, то классу ставим в соот-
ветствие это число. Однако может случиться, что фунда-
ментальная последовательность, составленная из чисел R,
не имеет р-адического предела среди чисел этого поля.
Это обстоятельство выражает неполноту поля R. Каждому
классу, последовательности которого не имеют предела
среди чисел R, ставится в соответствие новый символ—
новое р-адическое число. Присоединим все такие числа
к полю R1). Далее для классов фундаментальных после-
довательностей (а значит, и для соответствующих им новых
чисел) обычным способом определяются арифметические
операции, после чего множество рассматриваемых клас-
сов становится полем, так называемым полом р-адиче-
ских чисел R(p).
Поле R(p) обладает следующими свойствами:
1.	R(p) содержит подполе, изоморфное R.
2.	R(p) является полным, т. е. любая фундаменталь-
ная последовательность чисел этого поля имеет предел,
принадлежащий этому же полю.
х) Это построение подобно тому, которое при помощи фунда-
ментальных последовательностей обычных рациональных чисел
вводит новые объекты — вещественные числа.

И. Г. БАШМАКОВА
3.	В R(p) может быть определена метрика, которая
на поле R совпадает с исходной метрикой ?р.
4.	Рациональные числа (т. е. элементы из R) образуют
в R (р) всюду плотное множество.
Все р-адическне пределы обыкновенных целых чисел
будем называть целыми р-адическими числами. Если
поле К является алгебраическим расширением поля R,
в котором определена р-адическая метрика ър, то продол-
жением этой метрики называется такая метрика Фр, опре-
делённая для элементов К, которая над R совпадает
с
Если метрика <?р задана в полном относительно неё
поле R(p), то имеет место следующая основная теорема
о единственности продолжения.
Теорема. Продолжение Фр метрики <?р, заданной в пол-
ном относительно неё поле R(p), на алгебраическое рас-
ширение К (р) этого поля однозначно определено,
а именно1):
Фр(а) = Г'?ДЛГ(»)).	(1)
где N (а) берётся в поле R (p/а) CZ^(p)2)-
Если же задано конечное расширение К над полем R,
то метрика ср, заданная в R, может быть продолжена
в К только конечным числом способов3).
Действительно, пусть
F (х) = хп +	+ а2хп~2 +... + ап = 0	(2)
-—неприводимое уравнение с целыми рациональными
коэффициентами, определяющее поле К. Тогда в R(p)
уравнение это будет, вообще говоря, приводимым:
F(x) = F1(x)Z?2(x).. FJx).	(3)
Пусть Oj — корень уравнения (х) = 0, степень кото-
рого равна nt. Тогда поле R (pftj будет содержать
г) См. В а н-д е р-В а р д е н, Современная алгебра, ч. I, М. —Л.»
1947 г., стр. 322.
2) Символ R (p/а) обозначает ноле, полученное присоедине-
нием к R (р) алгебраического ч.тсла а.
3) Ван-дер-Варден, Современная алгебра, I, изд. 1917 г. стр. З’-З.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЕВА 335
подполе, изоморфное К (так как 0х является, разумеется,
одновременно и корнем уравнения (1)).
Но метрика ?р, определённая в R(p продолжается
в поле Кх единственным образом:
Аналогично получим поляЗ-^г, • • •> на каждое
из которых метрика срр продолжается однозначно. Все
эти поля, кроме того, содержат подполе, изоморфное К,
Таким образом, в К определяются g метрик
фр ф2.....ф„
каждая из которых является продолжением метрики ©р.
Это предложение, как мы увидим, в переводе на другой
язык означает то же, что и положение Золотарёва о воз-
можности выбора в кольце Кр конечного числа р-простых
Элементов к1} ка, .кд.
В поле R рациональных чисел можно определить
целость по метрике ор.
Число а Е R будем называть целым в смысле метрики
<рр, если срр{«)<1, и нецелым —если <?р(а) > 1. Как
нетрудно видеть, числа R, целые в этом смысле, будут
одновременно и р-целыми, и наоборот.
Числа а поля К будем называть целыми в смысле
метрик, если все
Фг(а)<1, Z = 1, 2, ..., g.
Покажем эквивалентность этого определения с ранее
введённым нами определением p-целости в К в том
смысле, что оба они имеют один и тот же объём, т. е.
определяют одно и то же множество чисел К.
Для этого нам придётся воспользоваться следующим
предложением;
[ - Если
/(х) = хп + ^п-1+---+6п = 0
неприводимое над полем R(p) уравнение и b —целое
» r(p), то и остальные коэффицеинты blt ..., Ьп^
рвляются целыми в R(p).
336
И. Г. БАШМАКОВА
Если мы, как обычно, будем считать целым числом
в К (р) такое, которое удовлетворяет неприводимому
уравнению с целыми коэффициентами из R(p) и с едц,
ничным коэффициентом при старшем члене, то получим
следующий критерий для определения целости числа
из К (р) над Н(р): для того, чтобы число а было целым
в К (р), необходимо и достаточно, чтобы его норма была
целым числом в R(p). Этот критерий понадобится нам
для доказательства того, что число а из К, целое
в смысле метрик, является p-целым. Для доказательства
обратного предложения нам придётся применить обобщён-
ную лемму Гаусса: если полином F (х) с целыми коэф-
фициентами раскладывается над полем R (р) в произве-
дение Ft (х).. .Fk (х), то и коэффициенты всех Ft(x)
будут целыми.
Итак, пусть а из К является целым в смысле
метрик, т. е.
Фх(а)<1, Фа(«)<1........ФДа)<1.
а удовлетворяет некоторому неприводимому уравнению
с коэффициентами из/?
/(а) = ат	+ • • • + 6т = О,	(4)
где Ьх, ..., Ьт) вообще говоря, не целые. Пусть
R (а) = х С К,	(а) = (- 1)т ат.
Над R (р) f(x) распадётся в произведение неприводимых
множителей
/(*) = /. (*)/,(*)• •/,(*). (5>
которые определят р-адические поля хх, *z2, . ..,xs над
/?(р). В каждом из них можно однозначно определить
метрику 11\, являющуюся продолжением <рр:
1
ад=[?дл\(«)Г4.	(С)
где mt — степень полинома ft(x).
Но, в силу единственности продолжения метрик,
определённых на /?(р), метрики Фх, Ф2, ..., Ф^ совпадают
на хх, ...» y.s с метриками Ф2, ..., При этом
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЕВА 337
некоторые из Ф, могут совпадать с одной и тон же
метрикой
Таким образом,
Но
L	1
ч; (а) = [?р (N,. а)]"1* L [?/) (*„,.)] "'< < 1,
где -свободный член полинома /< (х). Значит,
и ?p№ni)<l, т. с. 6Ш, —целое в R(p).
Тогда по вышеприведённому критерию и все осталь-
ные коэффициенты полиномов /х (х), . .., fs(x) будут
целыми в R(p), а значит, и коэффициенты blf ..., 6,fl
полинома f(x), согласно равенству (5), будут целыми
в R(p). Но bti b2, ..., Ьт принадлежат R, следовательно,
они являются /7-целыми в R. Таким образом, а—корень
уравнения (4) —будет /7-целым числом в -z = jR(a),
а значит, и в KZ)*.
Итак, любое число из К, целое в смысле метрик, будет
одновременно и д-целым. Обратно, пусть а из К является
/7-целым. Тогда оно удовлетворяет некоторому неприводи-
мому уравнению
/(a) = ani+^-1+..-+dw=0,
где blt b2, Ь,п — р-целыо числа из R. Над R(x)
f^}=tAx) /а'ж)  fAx)-
Так как f(x) имеет целые в R(p) коэффициенты, то, по
лемме Гаусса, и все fi(x) будут иметь целые в R(p) коэф-
фициенты, причём коэффициент при старшем члене их
будет равен единице. В частности, их свободные члены
Ьп,„ ьт2, bms будут целыми в Н(р).
Следовательно,
1 = 1, 2..........................s.
Тогда, согласно формуле (6), и все Фг(а)<1, а значит, и
Ф/(а)<1,	/ = 1, 2, . .., g.
22 Пстърнко-магемат. исследования
338
II. Г. ВАШМАКОНА
Таким образом, любое p-целое число а из If является
одновременно и целым в смысле метрик.
Заметим, что

/=1. 2....g
тогда и только тогда, когда а является р-единицеп
доля К.
Пусть Фр(а) = оЛ, где 8 —фиксированное число < 1,
а к — показатель степени, с которой р входит в а. И пусть
поле К над R определяется уравнением F(x) = 0, распа-
дающимся над R(p) на неприводимые множители
F(x)=Ft(x)...Fe(x),
степени которых соответственно равны п2, ..., пд.
Тогда в поле К определятся g метрик Ф1? Ф2, ..., Фу,
причём
Относительно всякого такого поля можно доказать сле-
дующую фундаментальную теорему1).
Теорема. В алгебраическом поле К, в котором суще-
ствует только конечное число метрик Фх, ..., Ф0, являю-
щихся продолжением метрики ?р, заданной в R, можно
выбрать такие числа рх, р2, . . что
1)	Ф|(Р«) = Ч,
где В/— максимальное возможное значение Ф^а), когда а
пробегает множество целых чисел из К^, не равных
единице.
п. _
Ясно, что fy==]/"8m, где т — наименьшая возможная
степень р, на которую делится норма p-целого числа
из К, не равного единице;
2)	Ф/(р/) = 1, если
х) Доказательство этой теоремы см. в статье Schmidt'a: «Zuг
arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen» (Math.
Zeitschr., t. 41, 1936).
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 339
Из этой теоремы следует, что каждое p-целое число
а из К однозначно представимо в виде
где с —p-единица из К.
Действительно, как легко показать, если а — р-целое
из А, то
Ф, (а) = Г* (Z= 1, 2, .$).
Поэтому
_ Z а
ф ( ---------- ) -1
Т. 0.
является p-единицей в А" и, следовательно,
a=cp?h...p^,
где с — p-единица. Таким образом, из теоремы о метриках
можно получить основной результат локальной теории
Золотарёва об однозначности разложения (с точностью
до p-единиц) любого p-целого числа а из К па конечное
число множителей р1? р2, ..., pff.
Наоборот, из результата Золотарёва следует основная
теорема о метриках. Найденные Золотарёвым р-простые
числа 7г2...7г0 можно принять за основания метрик
Фр Ф2, ..Фр, полагая Фг-(74) = of, где ^ — фиксирован-
ное положительное число, меньшее единицы, и Ф/ (к;) = 1,
если i Ф j. Тогда, если а есть p-целое из К, то, согласно ре-
зультатам теории Золотарёва,
ф, (а) = ф, (с) [Ф, (к,)]"1*. .. [Ф(	= ЗД < 1.
Таким образом, Ф/ (irf) действительно будет иметь макси-
мальное возможное значение из всех Ф^а), где а—целое
22*
?.4о
II. Г. БАШМАКОВ 4
из Kt. Кроме того, как легко проверить,
1)	Ф<(*)>0;
2)	Ф1(а-0)^=Ф1(а) • Ф£ (₽);
3)	Ф< (а + 0) < max [Ф£ (а), Фг (0)].
После построения теории метрик стало ясно, что одно-
значное разложение на простые множители имеет место
только в тех полях, в которых задано конечное число
р-адических метрик. В этих полях существует только
конечное число различных р-простых чисел, а это п обус-
ловливает однозначность разложения на множители.
Золотарёвым и был установлен впервые тот факт, что при
переходе от основного поля рациональных чисел к его
алгебраическому расширению К каждое простое число
p£R распадается на конечное число р-простых мно-
жителей этого расширения, причём законы делимо-
сти по модулю р (или р-делимости) в поле К вполне
аналогичны обычным законам, имеющим место в по-
ле R.
Мы видим, что основной результат Золотарёва эквива-
лентен недавно доказанной теореме о метриках. Таким
образом, теория Золотарёва почти на 70 лет предвосхи-
тила развитие локальных методов.
§	14. Судьба работ Золотарёва
Несмотря па то, что работы Егора Ивановича Золота-
рёва появились в эпоху, когда интерес к арифметике полей
алгебраических чисел был очень велик, они остались
почти незамеченными большинством современников и бли-
жайших последователей.
Иностранные авторы, писавшие обзорные или истори-
ческие статьи о развитии теории алгебраических чисел,
либо обходили эти работы молчанием, либо отделыва-
лись небольшими замечаниями, свидетельствовавшими
о полном непонимании идей Золотарёва; Феликс Клейн
в своих «Лекциях о развитии математики в XIX столе-
тии», излагая историю обоснования теории делимости,
даже ни разу не назвал имени Золотарёва.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 341
Бахманн1), давая обзор истории вопроса, подробно
критикует работы Зеллинга, а затем добавляет, что работа
, Золотарёва покоится на тех же основаниях (т.е. исходит
из делимости относительно простого числа), но, поскольку
ему известно, в ней вообще не рассматриваются исключи-
тельные случаи, касающиеся делителей дискриминанта.
Из этих слов ясно, что Бахманну была известна, и то по
наслышке, только докторская диссертация Золотарёва.
Наконец, Кронекер, разбирая вопрос о разложении
простого числа р в алгебраическом поле К, замечает, что
основная трудность состоит в рассмотрении простых
делителей дискриминанта, определяющего уравнения:
«Попытка охватить и их (т. е. делители дискрими-
нанта.— II. Б.) в единой теории, построение которой
основывается на ограниченном способе представления
комплексных чисел (как целых функций одного единствен-
ного комплексного числа), была положена в основу
работ Золотарёва... Но эта попытка, как мне кажется,
ошибочна; и после цитированной Золотарёвым в начале
своей статьи публикации Дедекинда от 1871 г., в которой
с полной ясностью и остротой была доказана необходи-
мость отказа от какого бы то ни было ограниченного
обоснования теории комплексных чисел, попытка всё-
таки сохранить таковое кажется безнадёжной, как проти-
воречащая природе вещей»2).
Судя по цитате, можно подумать, что Кронекеру была
известна также только докторская диссертация Золота-
рёва. Однако в сноске Кронекер указывает па мемуар
«Sur la theorie dos nombres complexes», напечатанный
в журнале Лиувилля в 1880 г. (через два года после смерти
Е. И. Золотарёва). В этом мему аре излагается сначала
теория идеальных множителей для неособого случая (в этой
части в основном повторялась III глава докторской диссер-
тации), а затем строится с совершенной ясностью и полно-
той и общая теория. Кронекер, следовательно, либо про-
чёл только первую часть мемуара, либо лишь весьма
г) «Zahlentheorie», т. V.
2) «Grundzuge einer arithmetischen Theorie der algebraisdicn
Groflen» (Werkc, т. JI, стр. 333).
342
И. Г. БАШМАКОВА
поверхностно просмотрел всю работу, не вникая в неё
по существу, так как был заранее убеждён, что никакое
обоснование, построенное на частном способе представле-
ния комплексных чисел, невозможно, как «противоречащее
природе вещей». Не упоминается Золотарёв и в книге
Гильберта «Zahlbericht» (1894—1896).
Такое невнимание к работам Золотарёва объясняется
как высокомерным отношением к молодому русскому
автору, не сумевшему из-за преждевременной смерти
завоевать себе более прочное положение в математике,
так и принципиальной трудностью идей, положенных
Е. И. Золотарёвым в основание его общей теории.
Локальные методы и в других областях математики
(теория римановых поверхностей, дифференциальная гео-
метрия) пробивали себе дорогу с большим трудом. Но
особенно медленно они осваивались в теории алгебраиче-
ских чисел. Ещё в начале XX в. р-адическая теория Ген-
зеля казалась многим математикам курьёзом и не встре-
чала продолжительное время сколько-нибудь серьёзного
отношения. Тем более удивительным является глубокое
проникновение в сущность локальных методов Е. И. Золо-
тарёва, причём—в то время, когда эти методы ещё для
всех оставались скрытыми.
Работы Е. И. Золотарёва получили в XIX в. призна-
ние только у нас в России. Однако полное понимание
их пришло не сразу. Замысел Золотарёва был настолько
глубок, а, с другой стороны, сам он работал над своей
идеей такой короткий срок (1874—1878 гг.), что понять
сущность его методов даже самым талантливым из его
современников было чрезвычайно трудно. Это усугубля-
лось ещё тем, что ранняя смерть помешала Егору Ива-
новичу Золотарёву^основать прочную школу теории алге-
браических чисел. У него не было ещё непосредственных
учеников и последователей.
Это не означает, что в России после смерти Золотарёва
развитие теории чисел замерло. В 1880 г. появилась заме-
чательная магистерская диссертация А. А. Маркова
«О бинарных квадратичных формах положительного опре-
делителя», получившая очень высокую оценку П. Л. Чебы-
шева. А в 1897 г. была защищена докторская диссертация
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 343
Г. Ф. Вороным «Об одном обобщении алгорифма непре-
рывных дробей», в которой он строит новый алгоритм,
позволяющий ему решать для кубического поля те же
вопросы, которые для квадратичного решаются при
помощи алгоритма непрерывных дробей. Диссертация
Вороного получила от Академии наук премию имени
В. Я. Буняковского. Г. Ф. Вороной явился одним из осно-
вателей геометрии чисел, а также положил начало совре-
менным методам аналитической теории чисел. И работа
Маркова, и работы Вороного имели первостепенное зна-
чение для теории чисел. Однако они не примыкали по
своему направлению к последним работам Золотарёва.
Начало освоению идей Золотарёва было положено
работами очень своеобразного и талантливого математика
Ивана Ивановича Иванова (1862—1939 гг.). И. И. Иванов
происходил из очень бедной семьи, так что не имел воз-
можности даже получить среднее образование в гимна-
зии. Он окончил уездное училище, а затем учительский
институт, после чего работал учителем. С 1884 г. он начал
посещать в качестве вольнослушателя Петербургский
универитет, где настолько обратил на себя внимание
выдающимися математическими способностями, что ака-
демик А. А. Марков ходатайствовал о допущении
И. И. Иванова к государственным экзаменам без атте-
стата о среднем образовании. И. И. Иванов окончил,
таким образом, университет и в 1891 г. защитил маги-
стерскую диссертацию «Целые комплексные числа»1),
в которой выводил теорию Золотарёва из дедекиндовой.
Через два года, в 1893 г., в работе «К теории целых ком-
плексных чисел»2) Иванов доказал, что и, наоборот,
из теории Золотарёва вытекают результаты Дедекинда.
Этим была установлена эквивалентность обеих теорий.
И в дальнейшем И. И. Иванов не переставал зани-
маться вопросами теории чисел. С 1891 г. он по предло-
жению академика А. А. Маркова читал в Университете
обязательный курс теории чисел. В 1901 г. он защитил
х) «Целые комплексные числа», СПб, 1891 г.
’) Приложение к 72 тому «Записок Императорской Академии
Наук», № 9, 1893 г., стр. 1—14,
344
И. Г. БАШМАКОВА
докторскую диссертацию «О некоторых вопросах, нахо-
дящихся в связи со счётом простых чисел». С 1902 г. он
начал преподавать в Петербургском политехническом
институте, а с 1910 г.— ещё и на Высших (Бестужевских)
женских курсах. После Великой Октябрьской социали-
стической революции И. II. Иванов продолжал свою
плодотворную научную и педагогическую деятельность,
которая пе прекращалась вплоть до его смерти. Последняя
работа его—«О некоторых суммах, зависящих от простых
чисел»—была опубликована в 1939 г., т. е. в год его смерти.
До самых последних дней И. И. Иванов состоял про-
фессором математики Ленинградского Индустриального
института. В 1924 г. он был избран членом-корреспон-
дентом АН СССР. Кроме того, ему было присвоено зва-
ние заслуженного деятеля науки.
И. И. Иванов как своей педагогической деятельностью,
так и своими прекрасными статьями (из которых особо
нужно отметить обе статьи, посвящённые целым комплекс-
ным числам) много способствовал распространению идей
теории алгебраических чисел и пробуждению интереса
к этому кругу проблем.
Очень простое и ясное изложение теории Золотарёва
(хотя и не упоминая имени последнего) дал Юлиан Василье-
вич Сохоцкпй (1842—1927), профессор математики Петер-
бургского университета. К). В. Сохоцкпй среднее образо-
вание получил в Варшавской губернской гимназии, после
чего прослушал университетский курс в Петербурге.
В 1868 г. он защитил там магистерскую диссертацию
.«Теория интегральных вычетов с некоторыми приложе-
ниями», в которой теория функций комплексного пере-
менного применялась к специальным исследованиям свой-
ств функциональных непрерывных дробей. В 1873 г. Сохоц-
кий защитил докторскую диссертацию «Об определён-
ных интегралах и функциях, употребляемых при разло-
жении в ряды». Очень рано его заинтересовали вопросы
теории чисел. Так, мы уже упоминали, что в 1869 г. он был
одним из оппонентов на защите магистерской диссертации
Е. И. Золотарёва, посвященной вопросам о единицах
кубических полей. В 1888 г. Сохоцкий пишет курс «Теория
чисел», а в 1893 г.—«Начало общего наибольшего делителя
ТЕОРИЯ JIL ЛИ МОСТИ В ТРУД \Х Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 345
в применении к теории делимости алгебраических чисел»,
замечательное по ясности изложение теории Золотарёва.
В книге сначала строится теория делимости по модулю
простого числа р, а затем устанавливаются законы «абсо-
лютной» делимости чисел, т. е. общие законы делимости
кольца целых чисел произвольного алгебраического поля К.
Книга Сохоцкого особенно содействовала распростране-
нию основных идей локальной теории. Многие русские
и советские математики именно с неё начинали своё зна-
комство с теорией алгебраических чисел.
Очень много для теории алгебраических чисел сделал
Дмитрий’Александрович Граве (1863—1939), действитель-
ный член Украинской Академии Наук и почётный член
АН СССР. Интересы Граве были весьма разнообразны.
Докторская диссертация его, например, была посвящена
задаче черчения географических карт. Но во второй поло-
вине жизни Д. А. Граве всё более сосредоточивался на про-
блемах алгебры п теории чисел. Он написал ряд научных
статей и цепных руководств по этим вопросам. Для теории
.чисел большое значение имели его «Элементарный курс
теории чисел» (Киев, 1909 г.), «Арифметическая теория
алгебраических величин»: «Квадратичная область», ч. I
(Киев, 1910 г.), «Теория идеалов», ч. II (1914 г.)1).
Д. А. Граве был основателем первой русской школы
алгебраистов в Киевском университете. Учениками его
являются О. 10. Шмидт, Н. Г. Чеботарёв, Б. Н. Делоне,
В. А. Тартаковский и другие выдающиеся советские
учёные.
Следует также отмстить деятельность профессора Вар-
шавского и (позднее) Ростовского университета В. П. Вель-
мина. Ещё в 1910 г. в книге Граве «Арифметическая тео-
рия алгебраических величин» была помещена статья
Бельмина: «Об идеалах квадратичной области», а в 1913 г.
он издал лекции по теории алгебраических чисел, читанные
*) Следует также отмстить работы Д. Граве: «Об основ-
ных положениях теории идеальных чисел» («Матем. сб.», т. 32,
вып. 1, 1924), «О разложении простых чисел на идеальные множи-
тели» («Матом, сб.», т. 32, > вып 1, разд. 3, 1925 г.), посвящённые
вопросам теории делимости,
346
И. Г. БАШМАКОВА
им в 1912—1913 учебном году1). Эта работа и до сих
пор может служить прекрасным введением в теорию.
После короткой первой главы, в которой излагаются
основные положения общей теории (определение и основ-
ные свойства целых алгебраических чисел, теорема о суще-
ствовании фундаментального базиса), автор в остальных
четырёх главах подробно исследует свойства квадратич
ных полей. Теоретические положения Вельмин иллю-
стрирует большим числом хорошо подобранных примеров.
В том же 1913 г. вышла и вторая крупная работа В. П. Вель-
мина: «О квадратичном законе взаимности в произ-
вольной квадратичной области», в которой разбираются
более глубокие и тонкие вопросы, относящиеся к так назы
наем ой теории полей классов. Книга Вельмина была
вообще одним из первых руководств по этой теории,
являющейся и до сих пор наиболее трудным разделом тео-
рии алгебраических чисел. Изложение совершенно ори-
гинально даже в тех частях, в которых говорится об уже
известных фактах, многие же теоремы доказаны в
книге впервые. Поэтому книга Вельмина имела не толь-
ко педагогическое, но и большое научное значение.
Эта вторая работа Вельмина, так же как и первая,
снабжена большим числом примеров, позволяющих на-
чинающему понять теорию не только формально, но и по
существу.
Новый мощный подъём теории алгебраических чисел
связан с советским периодом развития математики. Нача-
лом его можно считать замечательную работу Н. Г. Чебо-
тарёва (1894 —1947) «Определение плотности совокуп-
ности простых чисел, принадлежащих к заданному классу
подстановок»2). Эта работа является обобщением теоремы
Дирихле о существовании бесконечности простых чисел
в арифметической прогрессии, разность которой взаимно
проста с первым членом. Н. Г. Чеботарёв доказал суще-
ствование бесконечного числа простых идеалов алгебраи-
ческого поля, принадлежащих данной подстановке. Над
Э «Введение в теорию алгебраических чисел». Варшава,
1913 г.
2) ИАН-(6), 17 (1923).
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 347
этой теоремой до Чеботарёва безуспешно работали Фро-
бениус и Дедекинд. Впоследствии Артин (1926 г.) восполь-
зовался конструкцией Чеботарёва, применённой им в ука-
занной статье, для доказательства чрезвычайно важного
общего закона взаимности.
Вслед за этой работой последовало и множество дру-
гих талантливых работ как самого Н. Г. Чеботарёва,
так и других советских учёных. В это же время работы
Е. И. Золотарёва получили истинное признание. Появился
не только ряд исследований, посвящённых разбору про-
изведений Е. И. Золотарёва1), уяснению их смысла и их
связи с другими теориями, не только было предпринято
издание полного собрания его сочинений*), но были раз-
виты—и это главное —сами методы Золотарёва. Это было
лучшим признанием заслуг великого учёного. Локаль-
ные методы Золотарёва, благодаря работам наших талант-
ливых математиков, прочно вошли в алгебраическую тео-
рию чисел. Более того, они стали с успехом применяться
в ряде смежных областей, например, в теории гиперком-
плексных систем, в алгебраической геометрии, в теории
трансцендентных чисел, в диофантовом анализе, в теории
абелевых групп и т. д. Так, при помощи этих методов
глубокие результаты в области неопределённых уравне-
ний были получены А. О. Гельфондом. В частности,
им было доказано, что уравнение ax-hpy = Yz имеет лишь
конечное число решений в целых числах ж, у, z, если
а, р, у — алгебраические числа и хотя бы одно из них не
есть алгебраическая единица (теорема эта может быть
рассматриваема как обратная к большой теореме Ферма).
Собственно, для теории алгебраических чисел локаль-
ные методы были развиты и с успехом применены
х) Н. Г. Чеботарёв, Новое обоснование теории идеалов
(по Золотарёву), Казань, Изв. Физ.-матем. об-ва (2), 1925; Об осно-
вании теории идеалов по Золотарёву («Усп. мат. наук», т. II, в. 6,
1947). — Р. О. Кузь м и и, Жизнь и научная деятельность
Егора Ивановича Золотарёва («Усп. мат. наук», ч. II, вып. 6,1947).—
Б. Н. Делоне, Петербургская школа теории чисел, изд.
АН СССР, 1947 г., стр. 93- 140.
2) Полное собрание сочинений Е. II. Золотарёва, Изд.
АН СССР, т. I—II, 1931- 1932 гг.
348
И. Г. БАШМАКОВА
II. Г. Чеботарёвым, а в самое последнее время —
II. Р. Шафаревичем1).
Можно сказать, что р-адические числа стали столь
же необходимы для исследования арифметики алгебраи-
ческих полей, как ряды для анализа и теории функций.
II это неудивительно, так как /?-адические разложения
выполняют п по существу ту же роль, что и ряды
в теории алгебраических функций.
Введение р-адичсскпх чисел оказалось очень важным
ещё и потому, что позволило установить единую точку
зрения и единые методы трактовки для теории алгебраи-
ческих чисел п теории алгебраических функций. Основньш
инструментом исследования теории алгебраических функ-
ций, начиная с работ Коши и особенно Пюизе (1850 г.),
служили степенные ряды, перенесённые туда из матема-
тического анализа. При помощи разложения алгебраиче-
ских функций в такие ряды (так называемые ряды Пюизе)
и были получены все классические результаты теории.
Так, эти разложения служили для построения точек
рнмановой поверхности, или, в алгебраической термино-
логии, простых дивизоров. Однако метод рядов Пюизе
был заимствован из анализа, он не являлся алгебраиче
ским и поэтому мешал установлению связи теории алге-
браических функций с теорией чисел; методы изучения
обеих теорий оставались совершенно различными, хотя
аналогия между этими теориями выявлялась всё сильней.
Усилия многих математиков конца прошлого века были
направлены на отыскание единого подхода к обеим тео-
риям, па сглаживание различий в методах их изучения.
•С одной стороны, делались попытки арифметизировать
методы теории алгебраических функций. Так, например,
Дедекинд в 1879 г. ввёл чисто арифметическое определе-
ние точки римаповой поверхности. С другой стороны,
в самой теории алгебраических чисел пытались создать
инструмент, аналогичный разложениям Пюизе. Это и было
достигнуто введением р-адическпх разложений, что дало,
в свою очередь, возможность чисто арифметически подойти
9 «О группе Галуа р-адических полей» (ДАН, 53, 1946);
«О р-расширеппях» («Матем. сб.» 20 (62), 1947).
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 34У
к подобным разложениям и в теории алгебраических
функции. Мы уже говорили, что вся теория Золотарёва
справедлива как для полей алгебраических чисел, так
и для полей алгебраических функций. Дальнейшее разви-
тие локальных методов Е. И. Золотарёва привело к воз-
можности единообразной трактовки теорий алгебраиче-
ских чисел и алгебраических функций. Значительную
часть обеих теорий стало возможным даже излагать со-
вместно .
К сожалению, мы не можем останавливаться здесь
подробнее па этой замечательной аналогии. Интересу-
ющихся мы отсылаем к книге Вейля «Алгебраическая
теория чисел» (М., 1947), гл. III, § 5.
Мы видели, что вопросы теории чисел возникли «на
окраине» математики, как будто в стороне от основной
линии её развития. Первоначально не были ясны ни зна-
чение, ни истинное содержание этих проблем. Лучшие
математики, как Ферма, могли только предугадывать
всю важность теоретико-числовых исследований, дру-
гие, как, папример, Валлис или Баше-де-Мезириак,
относили их в разряд «забавных и занимательных задач».
При этом самые глубокие проблемы ставились вперемежку
с малозначительными. Все исследования производились
при помощи квадратичных форм. Вопрос о единицах
квадратичных полей выступал как вопрос о решении
некоторых неопределённых уравнений в целых числах,
причёл! было совершенно неясно ни то, почему следует
решать именно эти, а не какие-нибудь другие уравнения,
ни то, почему нужно искать только целочисленные пх
решения. Проблемы делимости алгебраических чисел
вставали в виде вопросов об отыскании всех делителей
квадратичных форм.
В этот первый период своего развития алгебраи-
ческая теория чисел и по своим методам и по постановке
основных проблем казалась изолированной от остальных
областей математики, связи с которыми оставались пока
скрытыми. Ещё Эйлер во многих мемуарах считал нуж-
ным извиняться за занятия теорией чисел.
Но уже после работ Эйлера определился круг проблем
алгебраической теории чисел, и она всё более и более
350
II. Г. БАШМАКОВА
начала входить в математику как её неотъемлемая состав-
ная часть. В частности, благодаря разработке теории
квадратичных форм, было введено новое понятие класса,
сыгравшее фундаментальную роль в математике XIX в.,
были построены первые нетривиальные примеры групп
и доказаны основные теоремы о конечных группах. Таким
образом, уже на втором этапе развития алгебраическая
теория чисел стала «кузницей» новых понятий и методов
математики. Этой своей роли она не утратила и в насто-
ящее время.
Завершением второго периода можно считать постро-
ение полной теории квадратичных форм в работах Ла-
гранжа и Гаусса. В конце этого периода в математику
вводятся новые объекты — целые алгебраические числа,
после чего на всю теорию устанавливается новый, есте-
ственный взгляд. Иносказательный язык форм заменяется
прямым языком алгебраических чисел. Основной про-
блемой теории является теперь изучение арифметики
алгебраических чисел. Ставится и решается вопрос о еди-
ницах алгебраических полей, на алгебраические числа
переносятся понятия целости и простоты, для них уста-
навливаются законы делимости, обобщается закон взаим-
ности и т. д. В ходе развития теории возникают такие
важнейшие для современной математики понятия, как
кольцо и идеал, и, наконец, вырабатываются новые, ло-
кальные методы, всё значение которых начинает раскры-
ваться лишь в наше время.
Основными достижениями третьего периода можно
считать:
1) установление общей теоремы о единицах полей
алгебраических чисел;
2) обоснование теории делимости этих полей.
Последнее было дано, как мы видели, Егором Ивано-
вичем Золотарёвым, а также Дедекиндом и Кронекером,
причём обоснование Золотарёва имело особое значение
потому, что именно здесь впервые были применены локаль-
ные методы.
Характерной чертой третьего периода является тесное
сближение теории чисел с остальными разделами мате-
матики, установление связей со смежными областями,
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ТРУДАХ Е. И. ЗОЛОТАРЁВА 351
особенно с теорией алгебраических функций, и распро-
странение методов, выработанных для исследования спе-
цифических вопросов арифметики, на другие математи-
ческие дисциплины.
«Действительное единство мира, —писал Энгельс,—
заключается в его материальности, а эта последняя дока-
зывается нс парой фокуснических фраз, а длинным и труд-
ным развитием философии и естествознания»1).
История развития теории делимости, показывающая
движение математики от раздробленности к единству,
полностью подтверждает слова Энгельса. Вместе с тем
история этого вопроса является одним из ярких примеров
передового и новаторского характера отечественной мате-
матической мысли.
х) Анти-Дюринг, 1948 г., стр. 42.
ИЗ ИСТОРИИ
МАТЕМАТИКИ
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ>)
К. А» Рыбников
Вариационное исчисление является одним из самых
актуальных отделов современного математического ана-
лиза. Оно тесно связано с такими областями математики,
как теория дифференциальных и интегральных уравне-
ний, конечные разности и приближённый анализ, теория
функций действительного и комплексного переменного,
геометрия и топология, теория групп. Вариационные
методы проникают в другие разделы математики, создавая
возможности непосредственных математических приложе-
ний; в то же время само вариационное исчисление обога-
щает своё содержание за счёт связанных с ним матема-
тических дисциплин.
Вариационное исчисление возникло в России, где
в трудах гениального Эйлера получило вид стройной
математической теории, с помощью которой был решён
ряд практических задач. В последующее время работы
русских (Остроградский и др.) и особенно советских
(М. Лаврентьев, Л. Люстерник, Н. Крылов, Н. Боголю-
бов, И. Петровский, Л. Шнирельман и др.) математиков
в области вариационного исчисления имели первосте-
пенное значение.
Возникновение вариационного исчисления и его выде-
ление в самостоятельную математическую дисциплину,
разрабатывающую общие методы определения экстрему-
х) Автор приносит благодарность проф. С. А. Яновской за
ценные советы и указания, использованные им в настоящей работе.
23*
356
К. А. РЫБНИКОВ
мов функционалов, было обусловлено необходимостью
решения ряда геометрических, механических и физиче-
ских задач экстремального характера. За этими класси-
ческими задачами вариационного исчисления установилось
название вариационных задач. Нам представляется есте-
ственным начать историю вариационного исчисления с
истории решения этих вариационных задач. Впервые по-
добная точка зрения была высказана в 1937 г. Карате-
одори, который в одной из своих статей1) дал высокую
оценку работам по решению вариационных задач, но не
развил эту тему сколько-нибудь подробно.
При такой постановке вопроса история вариационного
исчисления должна начинаться с античной древности,
с наиболее ранних попыток решения вариационных задач.
I. Вариационные задачи в античной древности
Древнейшей из задач, о которых идёт речь, является
задача изопериметрическая: среди всех замкнутых кри-
вых (поверхностей) данной величины найти ту, которая
ограничивает наибольшую площадь (объём).
Уже очень рано древним грекам было известно, что
из всех плоских изопериметрических фигур наибольшую
площадь имеет круг, а среди тел, обладающих одинако-
выми поверхностями (изоповерхностных), наибольший
объём имеет шар. Некоторые даже ставят с этим в связь
изречение легендарного Пифагора, что «прекраснейшим
телом является шар, а прекраснейшей плоской фигурой—
круг». По этому же поводу в одной заметке Симпликия
в комментарии к «Aristotelis de coelo» (п. 412, ed. Heiberg)
говорится: «Доказано в общем и до Аристотеля, поскольку
он этим пользуется, как уже доказанным (известным),
затем более обширно у Архимеда и Зенодора, что среди
изопериметрических фигур наиболее содержательной
(тгоХсг/юрт^бтс^с;) является из плоских — круг, из про-
странственных же — шар».
Что касается Архимеда, то в сочинениях его, дошед-
ших до нас, изопериметрическая задача встречается
*) С. Caratheodory, The beginning of research in the
calculus of variations, Osiris, III, 1937, 224 — 240.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 357
лишь один раз, именно в заключительном предложении
сочинения «О шаре и цилиндре» (П, 9). В этой теореме
рассматриваются изоповерхностныс сегменты различных
шаров и доказывается, что
сегмент, имеющий форму
полушара, имеет при этом
наибольший объём.
Доказательство Архи-
меда крайне элементарно
по запасу применяемых им
средств; оно очень изящно
и так хорошо приспособле-
но к языку теории про-
порций, что трудно пове-
рить, чтобы переводом его
на язык современной ал-
гебры достигалось какое-
нибудь преимущество.
Если же доказательство
на первый взгляд и пред-
ставляется громоздким,
то, собственно, но из-за
Черт. 12.
громоздкости приёмов античной теории пропорций, а по-
тому, что оно ведётся в строго синтетическом стиле
«Начал» Евклида. Мы воспроизведём доказательство
Архимеда полностью, позво-
лив себе только заменить
отчасти синтетическую фор-
му изложения аналитической
(в смысле древних).
Пусть имеем шаровой се-
гмент В АВ', основанием кото^
рого служит круг диаметра
ВВ' (пачерт. и 12 АВА'В'~
большой круг шара, АА' —
его диаметр, перпендикуляр-
ный к плоскости основания сегмента, О— центр, ВВ' —
диаметр основания сегмента, не проходящего через центр
шара) и полушар EDE', изоповерхпостный с сегментом
ВАВ' (черт. 2).
358
К. А. РЫБНИКОВ
Требуется доказать, что объём полушара EDE' больше
объёма изоповерхностного с ним сегмента В АВ'.
Объём сегмента ВАВ' Архимед выражает через объём
равновеликого ему конуса, основанием которого слу-
жит основание сегмента, а высота НМ определяется из
пропорции
НМ __ КМ
AM " А'М
(А'К~ОА).	(1)
Аналогично объём полушара EDE' равен объёму конуса,
основанием которого служит круг на диаметре ЕЕ', а вы-
сота CF = 2CD. Задача, таким образом, сводится к срав-
нению величин
WO = BM*-HM,	(2)
РГШ=ЕС* • CF = 2ЕС* • CD.	(3)
Из условия равенства поверхностей сегмента и полушара,
на основании ранее доказанной теоремы, следует, что
AB = ED, откуда 2ЕС* = АВ*, и
VVIU = 2ЕС* • CD = АВ* • CD.	(3Z)
Но так как ВМ есть средняя пропорциональная между
AM и А’М, а АВ —средняя пропорциональная между
А'А и AM. то
В1Р _А'М • МА_ А'М
АВ- А'А-МА А'А *
или величины ВМ* и АВ* пропорциональны соответ-
ственно А'М и А'А, почему сравнение величин Wc и WVI
приводится к сравнению других величин:
VC = A'M-HM,	(2*)
УШ = А'А-СВ.	(3*)
Отложим теперь на диаметре А'А отрезок AR = CD.
Так как 2CD*— ED* = АВ*, а АВ* = АМ-А'А, то
ЛЯ2 = CD2 = J АВ2 = МА  АО,	(5)
или отрезок AR есть средняя пропорциональная между
AM и АО, и точка R лежит, следовательно, между М и О.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОП. ИСЧИСЛЕНИЯ 359
Архимед немедленно заключает отсюда, что
A'R • AR > А'М • АЛ/.	(6)
Иными словами, он пользуется теоремой о том, что пз
двух изопериметрических прямоугольников больше тот,
разность сторон которого меньше. Замечая, что А'К = ОА,
и переписав равенство (5) в виде
АЯ3 = АЛ/ • А'К,
сложим его почленно с неравенством (6). Мы получим:
ARZ + A'R • AR > AM • А'К + А'М • AM
или
AR (AR +A’R) > AM (КА’ + А'М),
или, наконец,
AR  АА' > AM • КМ.	(7)
Однако из пропорции (1) мы имеем:
AM • КМ = А'М • НМ.
Неравенство (7) перепишется поэтому в виде
AR • АА'>А'М • НМ,
или, так как AR = CD, то
АА' CD > А'М НМ.
В силу (2*) и (3*), отсюда немедленно следует, что объём
полушара больше объёма изоповсрхпостного с ним сег-
мента .
Таким образом, из рассмотрения этой теоремы и из
того, что Архимед при её доказательстве опирался на
Другую теорему, также относящуюся к теории изопери-
метров, можно заключить, что ему действительно не были
чужды вопросы теории изопериметрических фигур. Однако
дошедшие до нас сочинения Архимеда по дают никаких
данных для того, чтобы сделать какие-либо другие
выводы; в частности, пока невозможно решить вопрос
о том, действительно ли, как говорит Симплиний, Архи-
мед специально занимался теорией изопериметрических
фигур.
360
К. А. РЫБНИКОВ
Первое из известных нам сочинений об изопериметри-
ческнх фигурах было написано Зенодором. До нашего
времени не дошли ни достоверные данные о времени
жизни Зснодора, ни даже его только что упомянутое сочи-
нение. Существуют только довольно подробные изложе-
ния его работы, представляющие собой, невидимому,
почти буквальные заимствования из его сочинения (такого
рода заимствования в античную эпоху, как известно, пла-
гиатом не считались). Время жизни и деятельности Зено-
дора попадает в период между временем жизни Архимеда
(287 — 212 гг. до н. э.), неоднократно упоминаемого в его
сочинении, и Квинтилиана (35—95 гг. н. э.), невиди-
мому, пользующегося результатами теории Зснодора.
Так, в 1-й книге «Institutio oratoria» (I, 10, 39 — 45, ed.
Halma, Leipzig, 1868, стр. 62) Квинтилиана говорится:
«Кто не поверит оратору, если он скажет, что площадь,
ограниченная данными линиями, должна быть равна дру-
гой, если линии обхвата имеют одну и ту же длину?
Тем не менее, это неправильно, так как это очень
сильно зависит от того, какой вид имеет этот обхват;
геометры выдвинули упрёк против ошибки историков,
которые думали, что можно узнать величину острова,
объезжая его кругом. Совершеннее будет та форма,
которая включает в себя больше площади. Круг
является па плоскости наиболее совершенной линией,
и он охватывает больше площади, чем квадрат такого
же периметра. Квадрат в свою очередь заключает в себе
больше площади, чем треугольник, причём равносторон-
ний треугольник больше неравностороннего». Хотя Квин-
тилиан и не упоминает при этом имени Зснодора, по
ясно, что он излагает результаты довольно стройной
теории изопериметров, и нет никаких оснований припи-
сывать создание этой теории кому-либо другому, кроме
Зснодора. Подробно вопрос о времени жизни Зенодора
рассмотрен в статье В. Шмидта *) и в рецензииМ.Кантора
на издание Гультчем «Математического Собрания» Паппа2).
1) W. Schmidt, Zur Geschichte der Isoperimetrie im Aller-
tuil\ Biblioteca Mathematica, 3, F. T. 5, 1901, стр 5-8.
“) Zeitschrift fiir Mathematik und Physik, Leipzig, 1878, t. 22,
[list.-Lit. Abth., 173 - 174.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 361
Как уже упоминалось, само сочинение Зенодора «Пзр1
i5o^.£Tp«v o/r^axwv»1) не сохранилось. Однако очень пол-
ное и связное изложение его теории дошло до нас в ком-
ментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» Птоле-
мея. Кроме того, в 5-й книге «Математического Собрания»
Паппа, которая «содержит сравнения изопериметрических
плоских фигур между собою и кругом it сравнения име-
ющих одинаковую поверхность пространственных тел
между собою и шаром», также изложена теория Зено-
дора. Но текст Паппа в ряде мест испорчен и отчасти
непонятен.
Воспроизвести ход рассуждений Зенодора позволило
то, что в приложениях к тексту Паппа Гультч поместил
соответствующий текст из комментария Теона2). В этом
переводе Гультч, как он сам говорит, изменил только
символику и форму чертежей на одинаковую с употребля-
емой у Паппа с целью сравнения обоих сочинений. Однако
самое сравнение и помещённые в связи с этим примеча-
ния Гультча носят преимущественно лингвистический
характер; в тех же случаях, когда Гультч пытается про-
вести сравнение по существу, он проявляет часто необ-
основанное пристрастие к способу изложения Паппа. Так,
он может считать прямой заслугой Паппа несуществен-
ное изменение фразы, говорить о более изящном и нагляд-
ном доказательстве Паппа, па самом деле совпадающем
с соответствующим рассуждением Зенодора, и делать
скромное замечание о простом отличии доказательства,
когда в доказательстве у Паппа имеется явная ошибка.
На некоторые из подобных замечаний Гультча мы укажем
позднее, при изложении теории Зенодора. Впрочем, сле-
дует заметить, что отнюдь не все изменения Паппа несуще-
ственны или неправильны. Мы будем иметь возмож-
ность отметить и более общие формулировки теорем, и
х) «Об изометрических фигурах». Так называется это сочине-
ние во всех упоминаемых ниже‘источниках. Гультч видит причину
того, что употреблено слово «изометрических», аве «изоперпметри-
ческих», в том, что Зснодор рассматривает и пространственные
задачи, к которым термин «периметр» не относится.
2) Pappi Alexandria! Collectionis, BeroHni, 187G — 1878, т. Ill,
1189-1211.
362
К. А. РЫБНИКОВ
дополнительно разрешённые вопросы, и существенные
улучшения доказательств.
Что же касается рассуждения Зенодора, то раньше
всего следует указать, что всё оно построено в строго
классическом, евклидовском духе: он считает необходимым
доказывать, и притом чрезвычайно обстоятельно, даже
совершенно очевидные предложения, например, что на
основании АВ нсравнобедренного треугольника АВС
можно построить изопериметрический с ним равнобедрен-
ный треугольник ABD (черт. 3). Характерно, что при
этом всегда сначала доказывается возможность постро-
ения, затем даётся самое построение и, наконец, доказы-
вается, что построенный треугольник
j? С действительно удовлетворяет требо-
/	ваниям задачи.
/	\ \ Однако Папп, излагая содержание
\А сочинения Зенодора, уже не так
/Л‘ '	строго следит за выполнением всего
Чорт. 3.	этого ритуала, ограничиваясь, на-
пример, в приведённом случае дока-
зательством существования искомого треугольника, кото-
рое он проводит тем же методом, что и Зенодор, по
для более общего случая. Он показывает, что для вся-
кого неравнобедренного треугольника АВС существует
изопериметрический с ним, но более близкий к равно-
бедренному треугольник ABD, опираясь на теорему о том,
что если каждые два из некоторых трёх отрезков в сумме
больше третьего, то существгует, треугольник, стороны
которого равны этим отрезкам.
Кстати, следует отметить, что распространённое среди
историков математики утверждение, будто древние дока-
зывали существование только через построение, т. е. дей-
ствовали в стиле современных интуиционистов’), нуж-
дается в уточнении. Верно, что древние классического
периода не ограничивались одним только доказательством
существования, но считали необходимым выполнить и
*) Как известно, пнтуицвонисты (Брауер, Вейль) рассматри-
вают утверждение о существовании лишь как абстракцию от уже
выполненного предварительно построения, отказываясь таким
образом от категории возможности в математике,
ПЕРВЬ Е ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦНОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 363
построение. Однако существование не вытекало у них
из построения. Скорее наоборот, к построению присту-
пали в большинство случаев лишь после доказательства
существования искомого объекта, которое служило
обоснованием возможности построения. Так, в предложе-
нии 1,44 «Начал» построению некоторой точки Евклид
предпосылает доказательство её существования на осно-
вании своего V постулата. Мы
так же поступает и Зенодор.
Пример же Паппа показывает,
что соотношение между суще-
ствованием и построением пони-
малось вполне в стиле классиче-
ской, а не интуиционистской
математики: можно было опу-
стить построение, но нельзя было
опустить доказательство его воз-
можности, даже почти самооче-
видное.
Характер исследуемых Зено-
уже упомянули, что
дором вопросов заставляет его
постоянно иметь дело с неравенствами и вследствие
этого уделять большое внимание вопросам расположения.
Хотя, как известно, в «Началах» Евклида аксиома-
тика расположения отсутствует, почему ряд предложений
о расположении у Евклида и математиков его школы
остаётся либо незамеченным, либо недоказанным, Зоно-
дор считает необходимым доказывать даже, казалось бы,
вполне очевидные предложения этого рода. Так, например,
в 10-м предложении оп доказывает, что когда, говоря
современным языком, прямая соединяет точку Т, распо-
ложенную в третьей четверти координатного креста,
с точкой F, лежащей на положительном направлении
оси ординат, то абсцисса точки К пересечения этой пря-
мой с осью абсцисс будет отрицательна (черт. 4).
Зенодор приводит и тщательно доказывает все теоремы,
требуемые развитием его системы, и, наоборот, не дока-
зывает, в отличие от Паппа, предложений, непосредственно
не относящихся к теме. Например, он проводит доказа-
тельство теоремы, что в случае подобных прямоугольных
364
К. А. РЫБНИКОВ
треугольников квадрат суммы гипотенуз равен сумме
квадратов сумм катетов, помещая оба подобных треуголь-
ника АВС и CDE, как указано на черт. 5.
В то же время, доказывая, что для всяких двух равно-
бедренных треугольников могут быть построены два подоб-
ных между собой равнобедренных треугольника с той же
суммой всех четырёх боковых сторон, Зенодор ограничи-
вается заданием треугольников, у которых все четыре
боковые стороны равны между собою, ибо только этот
случай ему в дальнейшем будет нужен.
Доказательства Зснодора сочетают элементарность
используемых им средств с изяществом построений.
В качестве образца приведём тут же доказательства двух
лемм, которые в дальнейшем нам понадобятся.
Первая из этих лемм, фигурирующая у Зенодора в ка-
честве седьмого предложения, утверждает, что среди
изоперимстричсскпх треугольников, построенных на
одинаковых основаниях, наибольшую площадь имеет
равнобедренный.
Рассмотрим треугольники АВС и DBC (черт. 6), из ко-
торых первый—равнобедренный, и пусть BD A-DC = 2АВ-
Зенодор откладывает на продолжении стороны АВ
отрезок АЕ = АС и проводит ED. Так как в треугольнике
сумма двух сторон больше третьей, то
BD 4- ED > 2 АВ — BD-\- DC,
откуда
ED > DC.
(1)
tlEPBLlE ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 365
Если обратимся теперь к треугольникам EAD и DAC,
то, в силу (1), придём к выводу, что
<EAD> ^.DAC,
т. е.
>DAC<~-^EAC -К АС В.
Поэтому, если провести из точки А прямую АН парал-
лельно основанию ВС, то она пройдет вне'треугольника
ADB и встретит его	г/
сторону BD в точке Н,	А
лежащей на продолже-	/ /
/шн этой стороны. Тро-	/ /
угольник BDC окажет-	/	/
ся поэтому частью тре-	/	/
угольника ВНС, равно-	__
великого 'треугольнику
АВС, и лемма, таким	/
образом, 'доказана.	/
Для характеристики /	\ /
степени самостоятель-	\\/
ности папповского из л о- AAcAL________
жения Зенодора стоит	с
ещё, быть может, отме-	Черт. 7.
тить, что Папп берёт
точку Н на пересечении с продолжением стороны CD,
а не BD, что ничего не меняет, конечно, в доказатель-
стве, но удобнее (с точки зрения наглядности чертежа)
для Паппа потому, что он ещё дополняет лемму Зено-
дора утверждением, что из двух изопернметрическнх
треугольников с одинаковыми основаниями «всегда
больше тот, который ближе к равнобедренному», которое
доказывает совершенно аналогично лемме и на одном
с нею чертеже (черт. 7).
Пусть треугольник BDC более близок к равнобедрен-
ному треугольнику АВС, чем изопериметрический с ним
треугольник ВЕС, т. е.
BD-DC<BE ЕС (BD>DC)
и
BD + DC = BE + EC.
366
К. А. РЫБНИКОВ
(Существование такого треугольника BDC Папп доказы-
вает ранее.) Чтобы доказать, что площадь треугольника
BDC больше площади треугольника ВЕС, Папп отклады-
вает на продолжении BD отрезок DK = DC и показывает,
что так как
к ВЕ + ЕК> BK = BD + DC
и, по условию,
BD + DC = BE + EC,
то
ЕК > ЕС.
Столь же просто видоизменяется доказательство и при
выводе соотношения, что
# CDE < < CDL = < BCD.
Действительно, так как ^KDE > -KCDE, то *KCDE<
< -^-^EDC. С другой стороны, из того, что BD > DC,
следует, что < BCD > j KDC.
Вряд ли это обобщение могло ускользнуть от Зено-
дора. Но так как в логическом ходе доказательства
Зенодору не приходится им пользоваться, он мог опу-
стить его.
Вторая из упомянутых лемм, являющаяся десятым
по счёту предложением Зенодора, утверждает, что если
на двух неравных основаниях ВС и СЕ (ВС < СЕ)
построены равнобедренные подобные треугольники АВС
и CDE, то сумма их площадей будет больше суммы
площадей неподобных равнобедренных треугольников
BGC и CFE, построенных на тех же основаниях и
имеющих ту же сумму всех боковых сторон. Вспомога-
тельные построения, которые делает Зенодор для дока-
зательства этой леммы, заключаются в том, что, располо-
жив треугольники, как указано на черт. 8, он продолжает
высоту GH на длину НТ = GH и проводит линию ТСН
(произвольной длины) и линию TF.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 367
С помощью уже отмеченного в общей характеристике
работы Зснодора соображения и доказательства того,
что TN пройдёт вне треугольника CDE, доказывается,
что точка К должна лежать между С и М. Из треуголь-
ника TCF имеем:
TF < ТС + CF = GC + CF = АС + CD
и
TF2<(AC + CD)2.	(1)
Но, ввиду подобия прямоугольных треугольников ТНК
и FKM,
TF2 = (ТК + KF)2 = (TH + FM)2 + (НК + КМ)2 =
= (GH + FM)2 + HM2;
из подобия же прямоугольных треугольников АСН и
CDM получим:
{АС + CD)2 = (АН + DM)2 + (НС + СМ)2 =
= (AH + DM)2 + HM2.
Подставляя эти значения в неравенство (1), получаем:
(GH + FM)2 + НМ2 < (АН + DM)2+НМ2,
368
К- А. РЫБНИКОВ
откуда
GH + FM < AH+DM
(2)
и, наконец, отнимая от обеих частей по AH + FM:
GA < DF.
(3)
Из неравенства (3), соединённого с данным по условию
задачи неравенством ВС < СЕ, следует, что Л GAC <
< A DCF.
Удваивая, получаем, что «клиноугольная»
термин Зенодора) фигура BGCA меньше фигуры DCFE.
Затем к обеим фигурам Зенодор прибавляет по А2МС +
+ ACFE и получает искомое утверждение: ABGC +
+ ACFE < ABAC + aCDE. Папп в точности следует
доказательству Зенодора вплоть до получения неравен-
ства (2). В дальнейшем же, опираясь на теорему о том,
что площади прямоугольных треугольников, имеющих
по одному равному катету, относятся как их другие
катеты, он пытается дать самостоятельный вариант дока-
зательства. Имея, следовательно,
ABGC __ GH . ACFE __ FM
ABAC “ АН 1 ACDE DAI *
Папп составляет «производную пропорцию»
Но
ABGC + ACFE __ GH + FM
ABAC + ACDE — АН + DM *
GH + FM < AH + DM;
поэтому и
ABGC + ACFE < ABAC + ACDE.
Таким образом, в тексте допущена ошибка, состоящая
Л а С с	А +С а + с
в том, что из т = т и 77=^, следует ^77 = ^ >
а это верно только в случаях равенства отношений
А С	4 а .
и 77, или £- = у (что противоречит условию нера-
венства оснований заданных треугольников). Впрочем,
соответствующий текст Паппа сильно испорчен. Отметим
только, что Гультч как раз после того, как было получено
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 3G9
соотношение (2), даёт примечание: «Отсюда до конца
у Паппа читается отличное от этого (зенодоровского. —
К. Р.) доказательства», ни слова не говоря об ошибочно-
сти последовавшего рассуждения в книге Паппа.
Теперь перейдём к рассмотрению содержания основ-
ных теорем в сочинении Зснодора.
Прежде всего Зенодор занимается сравнением между
собою площадей изопериметрических правильных много-
угольников и чрезвычайно просто и изящно показывает,
что большую площадь имеет тот из них, который имеет
больше сторон.
Пусть даны два правильных изопериметрических
многоугольника аЗу и имеющих соответственно п и т
сторон, причём п < т (см. черт. 9Х и 92). Так как пло-
щади правильных многоугольников равны половинам
произведений их периметров на их апофемы, а пери-
метры многоугольников ару и 6s' по условию равны,
то задача сводится к сравнению апофем xiq и ХО.
Так как многоугольник gs' имеет больше сторон, чем
изопериметрическии с ним многоугольник ару, то ау > с£,
а следовательно, и ах > 8Х. Отложим на ах отрезок р.х,
равный 8Х, и проведём iqa. Чтобы сравнить величину
апофем т]х и ОХ, построим на рх прямоугольный тре-
угольник pxv, равный треугольнику 8X0. Если <£vp.x>
>^Yjp.x, то vx>tqz, и теорема доказала. Задача сводит-
ся, таким образом, к сравнению углов Ь6Х и tjux. До-
казательство Зснодора основано на предложении,
24 Историко-математ. исследования
370
If. А. РЫБНИКОВ
математическое содержание которого эквивалентно утвер-
ждению, что тангенсы острых углов растут быстрее самих
углов, т. е. что если
<СОА>*ВОА,
то
С А	^СОА
ВА > *£ВОЛ’
которое он доказывает очень остроумно. Если провести
через точку В (черт. 10) окружность А'ВС', концентри-
ческую окружности AKD, то тре-
Из доказанного
ленно следует, что
угольник СОВ будет больше секто-
ра С'ОВ, а треугольник ВО А меньше
тт	АСОВ	.
сектора	ВО А	,	Поэтому	^вол	>
.	сект.	С'ОВ	,
>	сект.	ВОА’	’	ИЛИ	<ИЗ	ПРОИЗВОД-
ной пропорции)
Д СОЛ сект. С'ОА' ___^zCOA
ДВОА > сект. ВО A' ^zBOA
Так как
АСОЛ	С А
АВОА “ В А ’
то лемма доказана.
таким образом предложения
ах 17]х
немед-
(1)
С другой стороны, так как в силу изопериметричности
наших многоугольников
зх   ах
|лх	$Л	Й&Л
(2)
то, сопоставляя (1) и (2), получаем, что
вследствие чего	и теорема доказана.
Ту же идею сведения задачи о сравнении площадей
к сравнению апофем Зенодор проводит и в следующей
теореме, где он доказывает, что площадь круга Sk больше
площади Sn любого изопериметрического с кругом пра-
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 371
вилыюго многоугольника ару (черт. 11х и 112). В этом
случае задача, очевидно, сводится к сравнению радиуса
круга и апофемы tjx многоугольника аЗу. При этом
VO > TJX,
ибо радиус ъо является одновременно апофемой правильно-
го описанного многоугольника Хао, подобного правильному
многоугольнику аЗу и
имеющего, очевидно,
больший периметр.
В этом доказатель-
стве Зенодор опирается
на результат Архимеда,
что площадь круга рав-
на половине произведе-
ния длины окружности
на радиус и даже по- Черт. Их.	Черт. 1L.
вторяст это доказатель-
ство, в основном совпадающее с имеющимся в «Изме-
рении круга» Архимеда, по мнению Гультча, для того,
чтобы сделать своё сочинение более доступным для но-
вичков в математике. Заметим, кстати, что хотя Зено-
дору не чуждо понимание круга,* как многоугольника
с бесконечно большим числом сторон1), при доказатель-
ствах он этого совершенно не использует.
Следующая основная теорема теории изоперимет-
рии на плоскости в сочинении Зенодора посвящена срав-
нению площадей правильных и неправильных изопери-
метрических многоугольников. Она гласит: «Из всех пря-
молинейных фигур (многоугольников.—К. Р.), имеющих
равные периметры и одинаковое число сторон, наиболь-
шей является равносторонняя и равноугольная», и распа-
дается на две части:
I. Многоугольник ABCDEG, имеющий наибольшую
площадь из всех многоугольников, изопериметрических
*) См., например, Pappi Coll., Ill 1190: «Так как из различных
Ф'П'ур, имеющих одинаковый периметр, большими являются те,
У которых больше углов, то из всех плоских фигур наибольшей
является круг, а из пространственных—шар». (Из Комментария
Теона в издании Гультча.)
24*
372
К. А- РЫБНИКОВ
с ним и имеющих одинаковое число сторон, должен быть
равносторонним.
В противном случае, если, например, АВфВС,
(черт. 12) можно заменить неравнобедренный треугольник
АВС на равнобедренный треугольник AFC со сторонами
AF — FC — —g	, который, согласно одной из упомя-
нутых выше лемм, будет иметь большую площадь, чем
треугольник АВС. Многоугольник AFCDEG будет при
этом больше многоугольника ABCDEG, что противоречит
допущению о максимальности последнего.
II. Многоугольник ABCDEK, имеющий наибольшую
площадь среди всех изопериметрических и имеющих
одинаковое число сторон многоугольников, должен быть
также равноугольным. Действительно, если, например,
^В ф и, следовательно, равнобедренные1) треуголь-
ники АВС и CDE (черт. 13) не подобны, то, по доказан-
ному, эти треугольники можно заменить двумя подобными
между собой равнобедренными треугольниками AFC
и СНЕ с той же общей суммой боковых сторон, но
с большей общей площадью. При этом многоугольник
ABCDEK будет заменён многоугольником AFCHEK
с тем же периметром, но с большей площадью. Так как
это противоречит условию максимальности площади много-
0 Треугольники А ВС п CDE равнобедренны, в силу только
что доказанного свойства максимальных многоугольников быть
равносторонними.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 373
угольника ABCDEK, то отсюда следует, что этот много-
угольник не может иметь неравных углов.
В сообщении Теона зенодоровская теория изопери-
метрических плоских фигур на этом и ограничивается.
Папп же, кроме того, в теоремах с 11 по 17 рассматривает
круговые сегменты, имеющие одинаковые дуги, и доказы-
вает, что наибольшей площадью будет обладать в этом
случае сегмент, имеющий форму полукруга.
Пространственная изопериметрическая задача, т. е.
сравнение объёмов тел, имеющих равные поверхности,
также входила в сочинение Зенодора, о чём ясно говорит
Теон. Основная теорема, высказанная в достаточно общем
виде, утверждает, что сфера является наибольшей из всех
тел, которые имеют одинаковую с ней поверхность.
Однако со сферой Зенодор сравнивает лишь 5 правильных
многогранников и тела, образуемые вращением много-
угольников.
Сравнение шара с правильным многогранником осно-
вывается на том, что шар заменяется равновеликим ему
конусом, основание которого равно поверхности шара
; объём ясе правильного изоповерхностного
с шаром многогранника заменяется объёмом пирамиды,
основанием которой является поверхность многогран-
ника, а высотой—радиус вписанного в многогранник шара
. Наконец, показывается, что г < R.
Необходимые при доказательстве (одинаково прове-
дённом как у Теона, так и у Паппа) теоремы из стерео-
метрии заимствуются из сочинения Архимеда «О шаре
и цилиндре», о чём прямо говорят и Зенодор, в изложении
Теона, и Папп. Сравнение шара с вышеупомянутыми те-
лами вращения в издании Гультча опущено, так как соот-
ветствующая теорема у Паппа отсутствует. Вообще Папп
излагает пространственную часть теории изопериметри-
ческих фигур несколько отлично от Теона. Он бросает
упрек по адресу философов, высказывающих без доказа-
тельства, что сфера является наибольшем из всех изопо-
верхностных тел и что именно поэтому «изначальное и всё
сотворившее божество» придало миру сферическую
376
К- А. РЫБНИКОВ
существование последней, а, во-вторых, никогда нельзя
быть уверенным, что перечислены все её свойства.
В других работах по элементарной пзоиериметрии
имелись попытки избавиться от этого недостатка. Люилье
(1750—1840), например, превращая данный треугольник
в изопериметрический равнобедренный треугольник (как
это, впрочем, делает п Зеподор) и повторяя этот процесс
бесконечное число раз, получил бесконечный ряд равно-
бедренных треугольников, разность боковой стороны
и основания которых по абсолютной величине асимпто-
тически стремилась к нулю. Но это доказательство
Штейнер отверг, как неудовлетворительное, из-за того,
что оно требует бесконечного процесса.
Первое, свободное от явных пли неявных ссылок на
очевидность существования максимальной фигуры, эле-
ментарно-геометрическое доказательство основной тео-
ремы изопериметрии было дано лишь в 1882 г. Эдлером.
Оно распадается на три части: во-первых, доказывается,
что для всякого неправильного многоугольника можно
путём конечного числа шагов (указанных тут же в дока-
зательстве) построить некоторый правильный многоуголь-
ник, из ©периметрический с данным, но имеющий большую
площадь; во-вторых, круг сравнивается с площадью изо-
периметрического с ним правильного многоугольника,
методом, аналогичным методу Зенодора; и, в-третьих,
площадь круга сравнивается с площадью всякой плоской
изопериметричсской с ним фигуры, чего не делали пи
Зенодор, ни Папп, рассматривавшие, по примеру Евклида,
только фигуры, ограниченные прямолинейными отрез-
ками и дугами кругов.
В 1910 г. Каратеодори и Штуди1) вновь рассматри
вают эту задачу, решая её строгими методами мате-
матического анализа.
Нашей целью не является более подробное освещение
затронутых здесь вопросов. Кстати, это уже сделано для
современной элементарной теории изопериметров проф.
Д. А. Крыжановским в его книге «Изопериметры. Макси-
мальные и минимальные свойства геометрических фигур»
х) Mathematische Annalen, 1910, 68, 133—140
ПЕРВЫЕ этапы развития ВЛРИЛЦЦОН. исчисления
375
если бы он захотел придать ему вид наибольшего войска,
то в виде квадрата, пятиугольника или иного много-
угольника».
J Изложенного здесь вполне достаточно, чтооы заклю-
чить, что в то далёкое время существовала очень строй-
ная и красивая теория изопериметрических фигур- Мы
видели, как она вполне строго была развита для правиль-
ных многоугольников, как было проведено сравнение
правильных многоугольников с кругом того же пери-
метра, каковы были попытки решения пространственной
изопериметрической задачи. Однако, когда Зенодор пы-
тается доказать, что правильный многоугольник является
максимальным из всех многоугольников с тем же пери-
метром и числом сторон, он делает логическую ошибку.
Он считает чем-то само собой разумеющимся, что суще-
ствует такая максимальная фигура и озабочен только
выявлением её свойств. Самая же главная трудность
и заключается в доказательстве существования искомой
фигуры, потому что из выделения класса, например, изо-
периметрических многоугольников с за денным числом
сторон отнюдь не следует, что в этом классе существует
максимальная фигура. Однако следует заметить, что этот
логический пробел в элементарной теории изоперпметри-
ческих фигур не был преодолён ещё очень долгое время.
Работы Штейнера (1796—1863) по этому вопросу, несмо-
тря на простоту, изящество, остроумие приёмов, —он
разработал целых пять методов для доказательства основ-
ной теоремы изопериметрии о круге, как наибольшей
(по площади) из всех плоских фигур одинакового пери-
метра, — также не были свободны от указываемого недо-
статка. Штейнер не идёт прямым путём, состоящим в том,
что, вообще говоря, из данного множества выбирается
некоторый элемент и относительно него доказывается,
что он обладает искомым признаком (например, пло-
щадью или объёмом) в большей степени, чем любой дру-
гой элемент этого множества. Его путь состоит в пере-
числении свойств, которыми должен обладать максималь-
ный элемент множества, и в указании элемента, могущего
удовлетворить этим свойствам. Но, во-первых, само
указание свойств максимальной фигуры предполагает
376
К. А. РЫБНИКОВ
существование последней, а, во-вторых, никогда нельзя
быть уверенным, что перечислены все её свойства.
В других работах по элементарной изоиериметрии
имелись попытки избавиться от этого недостатка. Люмлье
(1750—1840), например, превращая данный треугольник
в изопериметрический равнобедренный треугольник (как
это, впрочем, делает и Зенодор) и повторяя этот процесс
бесконечное число раз, получил бесконечный ряд равно-
бедренных треугольников, разность боковой стороны
и основания которых по абсолютной величине асимпто-
тически стремилась к нулю. Но это доказательство
Штейнер отверг, как неудовлетворительное, из-за того,
что оно требует бесконечного процесса.
Первое, свободное от явных или неявных ссылок на
очевидность существования максимальной фигуры, эле-
ментарно-геометрическое доказательство основной тео-
ремы изопериметрии было дано лишь в 1882 г. Эдлером.
Оно распадается на три части: во-первых, доказывается,
что для всякого неправильного многоугольника можно
путём конечного числа шагов (указанных тут же в дока-
зательстве) построить некоторый правильный многоуголь-
ник, изопериметрический с данным, по имеющий большую
площадь; во-вторых, круг сравнивается с площадью изо-
периметрического с ним правильного многоугольника,
методом, аналогичным методу Зенодора; и, в-третьих,
площадь круга сравнивается с площадью всякой плоской
изопериметричсской с ним фигуры, чего не делали ни
Зенодор, ни Папп, рассматривавшие, по примеру Евклида,
только фигуры, ограниченные прямолинейными отрез-
ками и дугами кругов.
В 1910 г. Каратеодори и Штуди1) вновь рассматри-
вают эту задачу, решая её строгими методами мате-
матического анализа.
Нашей целью не является более подробное освещение
затронутых здесь вопросов. Кстати, это уже сделано для
современной элементарной теории изопериметров проф-
Д. А. Крыжановским в его книге «Изопериметры. Макси-
мальные и минимальные свойства геометрических фигур»
х) Mathematische Aimalen, 1910, 68, 133—140
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРНАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 377
(ОНТИ, 1938). Мы просто хотели показать, что
исправление логического пробела, допущенного Зенодо-
ром, являлось трудной задачей и что теория Зенодора,
изящная и остроумная, вполне может итти в сравне-
ние с работами даже очень недавнего времени.
Мы имели уже случай указывать па широкое распро-
странение у древних предложений об экстремумах, нося-
щих даже общий, философский иногда характер. Экстре-
мальные идеи древних, несомненно, влияли на возникно-
вение и разработку, в частности, вариационных принци-
пов механики. С этой точки зрения представляет интерес
одна работа Гсрона Александрийского, идеи которой
помогли впоследствии Ферма открыть и высказать свой
минимальный принцип для оптики. Речь идёт о работе
Герона Александрийского «De Speculis» («О зеркалах»)1),
хотя, собственно, вариационные задачи в пей по решаются.
Долгое время эта работа, сохранившаяся лишь в латин-
ском переводе XIII в., приписывалась Кл. Птолемею.
Лишь в XIX в. удалось установить истинного автора, опи-
раясь на некоторые данные, в том числе на очень важное
свидетельство Дамианоса (VI в.п. э. См. его Кз^а..а»а шу
U7uoi)e:s(tv, т. е. «Основные положения оптики»,
изд. R. Schone, Berlin, 1937, гл. 14, стр. 20, 12): «Деи
ствительно, механик Герои в своей Катоптрике показал,
что прямые, наклонённые под равными углами, явля-
ются самыми меньшими из всех промежуточных, обра-
зующих наклон с одной и той же стороны от одной
и той же линии. Доказывая это, он говорит, что если
природа не хочет попусту обводить кругом <луч>
нашего зрения, то опа изломит его под равными углами».
В указываемой здесь работе Герои считает, что «всё,
что движется с непрерывной скоростью, движется по пря-
мой». Затем он объясняет, в чём состоит явление отраже-
ния и, наконец, доказывает, что если луч идёт от нашего
глаза до предмета, по пути отражаясь от зеркала, то угол
падения должен быть равен углу отражения, потому что
*) Herons von Alexandria Mechanik und Katoptrik, heraus-
gegoben und iibersotzt von L. Nix und W. Schmidt, Leipzig, 1900.
301—325.
378
К. Л. РЫБНИКОВ
луч света должен итти наикратчайшим путём. Что при
этом условии путь луча от глаза g (черт. 14) до предмета г/,
т. е. ga + ad (ab— зеркало), действительно кратчайший,
Герои доказывает следующим образом, известным ныне
каждому, учившемуся в средней школе:
Проведём gz перпендикулярно плоскости зеркала ab
так, чтобы eg = ze. Тогда za = ag и zb = bg. В треуголь-
нике zbd имеем zd < zb-\-bd. Но zd = ag-^ad, a zb = bg,
откуда тотчас следует необходимое заключение. Доказа-
тельство проведено также и для кривого зеркала, причём в
точке падения луча кривая поверх-
ность зеркала заменяется касатель
ной к лей плоскостью. В этой же
книге помещён греческий фрагмент
из «Катоптрики» Олимпиодора (VJ в.
и. э.), в котором доказательство
ГсронаЧючтп буквально воспроиз-
ведено .
Птолемеевский «Альмагест», в
комментариях Теона к котором)
была помещена зенодоровская тео
рия изопериметрических фигур,был широко распространён
в средние века. Это и явилось одной из причин того, что
теорией изопериметрических фигур и тел занимались раз-
личные учёные того времени, в частности, Иоганн Сакро
боско (ум. в 1256 г.) и Томас Брадвардпп (1290—1349).
Благодаря этому же, вероятно, обстоятельству, теория
изопериметров привлекла внимание и Галилея (1564
1642).. Ей посвящено несколько страниц галилеевских
«Бесед и математических доказательств, касающихся двух
новых отраслей науки», первое издание которых выш ю
в 1638 г.1).
Речь об изопериметрических фигурах (сочинение
построено в форме беседы) заходит не специально, а лишь
кстати, в связи с практическими вопросами и приме-
рами. Так, в связи с рассуждениями о вытягивании масте-
рами позолоченной проволоки рассматриваются и сравни-
9 См. стр. 130—139 русского перевода этого сочинения Галилея,
вышедшего в 1934 г.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦПОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 37У
ваются между собою поверхности цилиндров, имеющих
равные объёмы, а также объёмы изоповсрхностных цилин-
дров. Одна из полученных при этом теорем,—что объе-
мы прямых цилиндров, боковые поверхности кото-
рых равны, обратно пропорциональны пх высотам, —
Галилей использует для решения практического вопроса
о выборе более выгодной формы мешка для зерна, сделан-
ного из прямоугольного куска холста и круглого дере-
вянного дна.
Появление в тексте основной теоремы,—«что из всех
правильных фигур с равным периметром круг имеет
наибольшую площадь, которая у многоугольников вообще
тем более, чем больше число их сторон»,—Галилей также
обосновывает практическими соображениями, взятыми
из уже упомянутых нами сочинений древних. Первая
часть основной теоремы является у Галилея простым
следствием следующей леммы: «круг есть среднее пропор-
циональное между двумя любыми правильными подоб-
ными многоугольниками, один из которых описан вокруг
него, а другой—изопориметрпчен кругу».
Доказательство этой леммы таково.
Если около круга описан правильный многоугольник,
то площадь круга 5К и площадь описанного многоуголь-
ника находятся в том же отношении, что и их пери-
метры и Р011, т. с.
: 50ц — Рк : Рои-	(1)
Но площадь 5ОП описанного многоугольника и пло-
щадь 5НЗ подобного ему и изоперпмстрического с кругом
многоугольника находятся в том же отношении, что
и квадраты их периметров, т. е.
*$ои • ^из — ^6п •	(2)
Из (1) и (2) и того, что Рк = Р„з, вытекает, что
мк • из — ° он • 1 ь>
и лемма доказана.
Доказательство второй части основной теоремы осно-
вывается у Галилея, кроме этой же леммы, на сравнении
площадей описанных многоугольников.
380
к. А. РЫБНИКОВ
Беря, например, описанные около круга правильные
пяти- и семиугольники с площадями 55сп и St011 и
такие же многоугольники, изопериметричсские с кругом
(площади их обозначим из и *$7из) имеем:
Sii = Sq пз • S5 ОП>
а также
= из ' $1 он*
Остаётся показать, что 55Ои > ^7 он, чтобы сделать вывод,
что из . 57113, п доказать таким образом вторую часть
теоремы.
Приёмы, используемые при -этом Галилеем, очень
напоминают рассмотренное нами построение Зснодора
(черт. 10). Пусть AD = a.
половина стороны правиль-
- ного пятиугольника, а АС
=а7 —половина стороны пра
вильного семиугольника, опи-
санных около одной и той же
\	окружности радиуса	ОА
I I	(черт. 15). Из центра О ок-
ружности проведём ОС и 010
Черт. 15.	и опишем дугу ECI радиу
сом ОС.
Так как A DOC > сект. ЕОС, а А СОА < сект. СО1,
то
А РОС сект. ЕЭС __ сект. FOG
£±СОА сект. СОТ ~' сект. GOA
Отсюда, составляя производную пропорцию, получим
ДДЭ4 АСОЛ
сект. FOA	сект. GO А
Умножая и числитель и знаменатель левой дроби на 10,
а правой —на 14, получаем соотношение
Хр Хр
или S5 > S7 (где S6 и S7 площади правильных описан
ных пяти- и семиугольников, а 5кр — площадь круга).
ПЕРВЬ Е ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН- ИСЧИСЛЕНИЯ 381
Дальнейшего развития теория элементарной изопери-
метрии в работах Галилея не получила. Наоборот,
он сам спохватывается, что «мы, кажется, слишком углу-
бились в область геометрии», и спешит перейти к другим
вопросам. Из этих последних отметим лишь, что в связи
с изучением падения тел вообще Галилей ставит задачу
о брахистохроне1)—кривой линии, падая по которой тяжё-
лая материальная точка скорее всего опустится из одной
данной точки в другую данную с нулевой начальной ско-
ростью.
Опираясь на данные опыта, Галилей доказывает, что
скатывание по дуге круга происходит быстрее, чем по её
хорде. Но он ошибается, когда утверждает, что дуга круга
и является брахистохронпой кривой.
II. Методы решения вариационных задач до Эйлера
Принципиально новую постановку вариационные
задачи получили лишь в конце XVII в. К этому времени
уже был завершён тот поворот в математике, о котором
писал Энгельс в «Диалектике природы»: «Поворотным
пунктом в математике была декартова переменная вели-
чина. Благодаря этому в математику вошли движение
и диалектика и благодаря этому же стало немедленно
необходимым дифференциальное и интегральное исчисле-
ние, зачатки которого вскоре были заложены и которое
в целом было завершено, а не открыто Ньютоном и Лейб-
ницем»2). В частности, дифференциальное исчисление
и его геометрические приложения получили такое разви-
тие, что в 1696 г. уже вышел труд, представляющий общее
изложение предмета: «Анализ бесконечно малых» Лопи-
таля. Так же значительны были успехи в создании инте-
грального исчисления, в решении дифференциальных урав-
нений и т. д. В это же время оформляется общее понятие
функциональной зависимости и появляется самый тер-
мин—«функция».
*) См. стр. 194 русского издания.
2) К. Маркс и Ф.* Энгельс, Соя., том XIV, М.—Л., 1931,
стр. 426 — 427.
382
К* А. РЫБНИКОВ
Столь быстрое развитие новых в то время методов
дифференциального и интегрального исчисления обусло-
вливалось, в первую очередь, их тесной связью с механи-
ческими, физическими и геометрическими задачами, кото-
рые ставило перед математикой бурно растущее производ-
ство. Задачи эти решались не всегда с помощью новых
исчислений; например, Гюйгенс и Ньютон дали решения
ряда задач, не придерживаясь формы и символики исчи-
сления флюксий или дифференциалов. Но громадное
преимущество новых методов всё ярче выявлялось по мере
их успешного приложения к решению практических
задач. В частности, успехи в решении экстремальных
задач привели к постановке новых задач—вариационных,
требующих для своего общего решения дальнейшего
развития математического аппарата, создания нового
исчисления—вариационного. Вариационные задачи воз-
никли, как конкретные физические и технические задачи.
Особенность их математической трактовки, как экстре-
мальных задач более общей природы, в которых разыски-
ваются (по современной нам терминологии) экстремумы
функционалов, ясно осознавалась передовыми учёными
того времени. По мере накопления решённых вариацион-
ных задач, всё больше выявлялось и то общее, что объеди-
няло эти разные по содержанию задачи, и то особенное,
что выделяло их из класса всех вообще экстремальных
задач математического анализа. Создавалось всё больше
предпосылок для создания вариационного исчисления.
И оно было создано в начале XVIII в. Л. Эйлером, ака-
демиком Петербургской Академии Наук.
Первой из вариационных задач этого периода была
задача, поставленная Ньютоном в 1687 г. в его «Матема-
тических началах натуральной философии»1): найти тело
вращения, которое при движении в жидкости или газе
будет испытывать сопротивление меньшее, чем всякое
иное тело вращения, описанное на тон же длине и той же
наибольшей ширине.
г) «Philosophiae naturalis principia mathematica», London,
1687, 2, Sect. 7, prop. 34, scholium. Русский перевод академика
A. II. Крылова издан в 1915 г. и в 1936 г.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 383
частиц, столкнувшихся
Черт. 16.
физические гипотезы, на которые опирается Ньютон
при решении этой задачи, следующие: среда, в которой
движется тело вращения, представляется равномерно
заполненной однородными частицами. Сила сопротивле-
ния этой среды равна изменению за единицу времени коли-
чества движения частиц, столкнувшихся с телом. Таким
образом, если а—угол встречи поверхности с направле-
нием движения, то колпчес'
с поверхностью, равно кр sin а
(где к—коэффициент пропор-
циональности, р —величина
поверхности). Сопротивле-
ние же, оказываемое одной
частицей, пропорционально
sin2 а (ибо znrsina—нормаль-
ное сопротивление, а его’со-
ставляющая по направлению
движения равна m.y sin2 а).
Математические предпо-
сылки в решении вариацион-
ных задач основывались на
характерных для XVII в. представлениях о бесконечно
малых и операциях над ними. Все свойства конечных
чисел переносились на бесконечно малые, конечное число
(конечный отрезок кривой) представлялось, как сумма
бесконечно большого количества бесконечно малых (отрез-
ков). Широко практиковалось отбрасывание бесконечно
малых высших порядков. Как следствие отсюда, для по-
ставленной Ньютоном задачи вытекало, что бесконечно
малый отрезок кривой можно было считать прямолиней-
ным, а тело вращения — состоящим из бесконечно боль-
шого числа бесконечно тонких усечённых конусов.
Прежде чем решать задачу в общем виде, Ньютон
ставит предварительную задачу: па данных основании
и высоте построить такой усечённый коиус, который испы-
тывал бы наименьшее сопротивление при движении в на-
правлении оси, и сразу, без доказательства, даёт ответ:
«разделив высоту 0D в точке Q пополам, продолжи OQ
До 8 так, чтобы было QS = QC', S и будет вершиной иско-
мого конуса» (черт. 16). Что это действительно так,
38 'i
К. А. РЫБНИКОВ
нетрудно показать. Положив OD=2a, OS^x, ОС = г и
обозначив сопротивление через R, получим:

г2 (х — 2а)2 \
‘
= kr2 &-2аУ + г'
Г2 + X2
г- + й’
Условие минимальности R:
d,R = О,
ах
ИЛИ
х2 — 2ах — г2=0,
откуда
х = а 4- J «2 4- >’2»
и мы получили утверждение Ньютона.
Если «-^0, то х~>г и >45°. Видимо, опираясь на
представление тел вращения в виде суммы бесконечно
большого числа бесконечно тонких усечённых конусов,
Ньютон делает другое замечание, также без доказатель-
ства, что если тело, образованное вращением эллипса
или овала ADBE и движущееся в направлении АВ (точ-
кой В вперёд), заменить телом вращения фигуры ADFGHIE
(черт. 17), где углы FGH и GHI равны 135°, то от этого
сопротивление жидкости уменьшится.
«Я считаю, что это замечание,—говорит Ньютон,—
может быть довольно полезно при построении судов».
Наконец. Ньютоы высказывает и самую теорему: «Когда же
фигура DNG (черт. 18) будет кривой такого рода что
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 3S5
если из любой её точки N опустить на ось перпендику-
ляр NМ и из заданной точки G провести прямую GR, парал-
лельную касательной к кривой в точке N и пересекающую
ось в точке/?, то имеет место пропорция: MN‘.GR =
— GR3: ('iBR • GE2); тогда тело, образующееся при вра-
щении этой кривой вокруг оси СВ при движении в выше-
упомянутой среде от С к В, будет испытывать меньшее
сопротивление, чем всякое иное тело вращения, описанное
на той же длине и той же наибольшей ширине».
Таким образом, Ньютон дал в сущности дифференци-
альное уравнение, определяющее форму искомой мери-
диональной кривой. В самом деле, если ось СВ принять
за ось абсцисс, обозначить 71/N = у, BG = а, то
tg GRB = у', BR и GR =	.
Подставляя эти обозначения в пропорцию, указанную
Ньютоном, получим:
уу'3 а
C + y'V = “4 •
т. е. дифференциальное уравнение Эйлера для задачи
Ньютона в употребляемой теперь форме1).
Ньютон не дал никакого указания на метод, которым
он получил свою пропорцию. Быть может, именно этим
обстоятельством можно объяснить то, что задача Нью-
тона не привлекла вначале к себе внимания учёных и не
явилась объектом непосредственно следующих за работой
Ньютона других исследований. Лишь в 1699 г. в журнале
«Acta Eruditorum» появились два решения этой задачи:
Лопиталя — в майской тетради—и И. Бернулли—в
ноябрьской. Однако, учитывая предыдущие замечания
*) Интегрируется подстановкой у’=р> откуда
У 4 р3
и
{ dy а Г 3	1	1 .
а=\—=-	7-: + —+1пр +с.
J р 4 L'ip Р'	J
25 Историке-мате мат. исследования
386
К. л. РЫБНИКОВ
Ньютона, нам кажется наиболее близким к его методам
следующее решение. Впервые оно было помещено в качест-
ве прибавления к первому английскому переводу «Матема-
тических начал натуральной философии» от 1727 г.
По словам переводчика Мотта, его друг (фамилия кото-
рого не указана) сообщил ему решение задачи Ньютона.
Если это решение и не принадлежит самому Ньютону, то
можно, по крайнем мере, предполагать некоторое сходство
в методике решения, ибо известно, что английские мате-
матики, отвергая из националистических побуждений
результаты, методы
и даже символику
Лойбница и его шко
лы, копировали дол-
гое время методы и
символику Ньютона.
Пусть ВС (черт. 19)
ось, вращаясь во-
круг которой кри-
вая DNG образует
поверхность, испыты
тении стрелки паи
Задача формулируется в таких предположениях, чтобы
её решение зависело только от одной неизвестной. На кри
вой задаётся крайняя точка G с ординатой BG. Кроме
того, на оси вращения возьмём произвольную точку М
и построим соответствующую ординату MN иском ой кри-
вой. Рассмотрим два элемента ВЬ и Мт, удовлетворя-
ющих следующим условиям:
Мт-\-ВЬ= 2г; Мт — ВЬ = 21,
вающую при движении в
меньшее сопротивление.
откуда
Л/щ = е4-8; В6 = е —Е.
Кроме того,
nv = yg = а.
Когда тело движется по направлению осп, то сопро-
тивление, испытываемое элементом поверхности, опи-
анным вращением А’п, обратно пропорционально Ал'
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦПОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 387
^sin2 о =	и прямо пропорционально площади
кольца, образованного вращением nv. Но
S кольца =тг (тп2 М1\"2) = к (тп 4- MN) {тп — MN) =
= тс (тп 4- J/7V) • 72V = 77 (2Л/А'4 а) а.
Сопротивление данного элемента поверхности с точ-
ностью до бесконечно малого а оказывается пропорцио-
ИА7 .
нальным величине —-. Аналогично вычисленное сопро-
тивление элемента поверхности, образованного враще-
нием Gg, прямо пропорционально BG и обратно пропорцио-
нально Gg2. Таким образом, сумма сопротивлений обоих
элементов пропорциональна количеству
С помощью соотношений
Gg2 = Bb2 yg2 = (s — с)2 + а2,
Nn2 = тМ2 4- nv2 = (а + I;)2 4- а2
представим (1) в следующем виде:
____-дс +	™	(Г)
Приравнивая нулю производную этой функции по с,
получим:
BG • (5-о = ЗЛУ -('. + 0
[(г-^ + зЧ2 [(з + С)2 + *Ч2 ’
откуда, заменяя ей? их значениями, будем иметь:
Gg4: An4 = (BG • Bb): (MN • Мт) (2)
Автору этого решения остаётся лишь свести полученное
уравнение (2) к виду, указанному Ньютоном и не содер-
жащему никаких бесконечно малых. Он и проделывает
это следующим путём.
Так _как В —крайняя точка, то ^gGB = 135 и
^ = ]^2-у^. После этой подстановки уравнение (2)
примет вид:
4yg4: W = (BG • ЬВ): (J/7V • Мт). (2х)
388
К. А. РЫБНИКОВ
Проведём GR II Л7п (GR в пределе будет параллельно к ка-
сательной в Л7). Тогда треугольники nvN и BGR будут
подобны, и вследствие этого:
a) nv : ATv = BG : BR.
Ho nv = yg, по условию <£gG:Y = 45o и vN = mM, почему
соотношение а) примет вид
Bb:Mm = BG:BR,
откуда	BG • Mm Bb	BR ’ 6) nv : Nn = BG: GR,
откуда	BG • Nn 	СД-.
Подставляя в (2') вместо ВЬ и yg их значения, получим
пропорцию Ньютона:
4BG4_ BG1
GR* ~~ BR • MN ’
или
(4BG2 • BR) :GR3 — GR: MN.
Приведённое здесь доказательство теоремы Ньютона,
во всяком случае, даёт нам некоторые указания на то,
каким образом решались подобные вопросы английскими
математиками—современниками Ньютона. Но оно так есте-
ственно примыкает к изложению соответствующего места
«Математических начал», так в духе Ньютона решать
задачу с помощью бесконечно малых и затем в оконча-
тельном уравнении завуалировать последние через каса-
тельные, подкасательные и другие конечные величины,
что не будет ничего удивительного, если это решение
окажется исходящим от самого Ньютона. Из последующих
решений рассматриваемой задачи я приведу для сравне-
ния лишь решение И. Бернулли1). Оно отличается про-
*) Acta Eruditorum, Nov. 1699; см. также Job. Bernoulli.
Opera, I, 307.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 389
стотой и изяществом, которые вообще свойственны рабо-
там И. Бернулли, обнаруживает свободное владение
методами Леибница, и в нём ясно выражены черты того
метода, который впоследствии развил Эйлер. II. Бернулли
принимает гипотезу Ньютона в отношении сопротивления
жидкостей и ищет, как должен быть расположен элемент
кривой, чтобы сопротивление было минимальным. Пусть
(черт. 20) NF — элемент искомой кривой; если, закрепив
его концы, бесконечно
мало изменить ордина-
ту1) произвольной его
точки и тем самым бес-
конечно мало изменить
форму элемента, то соот-
ветствующее прираще-
ние сопротивления дол-
жно быть равно ну-
лю. Иначе говоря, сум-	Черт. 20.
ма сопротивлений, испы-
тываемых элементами NL и LF, должна быть равна
сумме сопротивлений, оказываемых элементам NO и OF.
MN • NR3 MR • LV3 MN • NR3 MR • LV3
NL3 + FL2 ~ NO2	FO2 ’
или
MN • NR3 MN • NR3 __ MR • LV3 MR • LV3
NL2	NO2 ~~ FO3	FL2 ’
или
MN  NR3 (j^ -^) = MR • LV* -кЮ •
Далее И. Бернулли, пренебрегая бесконечно малыми
высшего порядка, переписывает уравнение в следующем
виде:
MN  NR3  ™^ = MR  LV3	,
l) II. Бернулли обычно обозначает абсциссу буквой у, а орди-
нату — буквой х.
390
К. \. РЫБНИКОВ
и так как NO — NL = OT, a FL — FO=LS(LT и OS —
дуги окружностей, принимаемые в случае нужды за
прямые), то
- - F-6T- LV .
Из подобия треугольников OTL и NRO получаем:
п LO • OR
1 ~ NO ’
а из подобия треугольников LSO и FVO J)
j с LO FF
“ FO ’
После исключения ОТ и LS уравнение примет вид:
NR3	__TV3 ’ FV
’ АО4	’	FO* ’
И. Бернулли тотчас переводит это уравнение на язык
обозначений Лейбница, полагая MN = y, NR = dy,
RO = dx, NO — ds:
у dy3 dx	.
— = a = const.
•	dt>*
Вскоре* 2) И. Бернулли возвращается к этому уравнению
и интегрирует его подстановкой dx — dy, позволя-
ющей выразить у, а затем и х, в виде функции от т.
Как мы указывали выше, задача Ньютона не привлекла
к себе сразу внимания математиков того времени. Затерян-
ная среди большого количества задач, содержащихся в
«Математических началах натуральной философии», лишён-
ная каких бы то ни было указаний на метод её решения,
она не оказала заметного влияния на возникновение вари
ационного исчисления. Последнее обычно датируют 1696 г..
х) На сей раз пренебрегая углом OFS. Дальше мы увидим,
как такое «свободное» обращение с бесконечно малыми, не только
могло привести, но и в самом деле приводило И. Бернулли к ошиб-
кам.
2) Acta Eruditorum, 1700, Mai, стр. 208; J о h. В е р п о u i 1 b
Opera, 1, 315.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦПОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 391
когда II. Бернулли бросил вызов математикам на реше-
ние поставленной ещё Галилеем задачи о брахистохроне.
В 1907 г. Кнезер1) заявил, что он обнаружил в пере-
писке II. Бернулли с Лейбницем факты, проливающие,
по его мнению, новый свет на вопрос о возникновении
вариационного исчисления и заставляющие считать Лейб-
ница, наряду с И. Бернулли, его творцом и даже больше—
создателем основ метода, развитого в первых работах
Эйлера по вариационному исчислению и особенно в его
«Methodus invcniendi».
Внимательное изучение источников показывает, что
утверждение Кнезера явно преувеличено, особенно в отно-
шении предвосхищения Лейбницем работ Эйлера. В ожи-
влённой переписке Лейбница с II. Бернулли обсужда-
лись, правда, наряду с обычными экстремальными зада-
чами и задачи более сложного характера. В письме
к И. Бернулли от 6/16 мая 1695 г.2) он по поводу изопери-
метрической задачи и задачи о цепной липни пишет:
«Я вижу, что появилось и новое рассуждение относи-
тельно максимума и минимума, этой ещё нс исчерпанной
материи». А в письме от 24 июня 1695 г.: «Задачи, в кото-
рых из всех линий выбирают одну, обладающую каким-
либо максимумом, смотря по заданным условиям, не
должны быть для тебя новыми». Из этих писем Лейб-
ница видно, что в них речь идёт не об экстремальных зада-
чах обычного типа, когда требуется определить наиболь-
шую или наименьшую ординату данной кривой. Болес
того, требуется выделить из многообразия кривых такую,
которая обусловила бы экстремум некоторой величины,
удовлетворяющей заданному условию.
Лейбниц, видимо, пытался приложить методы диффе-
ренциального исчисления к решению вариационных задач,
но решил он только задачу о брахистохроне, предложен-
ную ему И. Бернулли. Изложение применённого им
метода мы находим в одном из писем Лейбница к И. Бер-
нулли, в котором в ответ на просьбу последнего объяснить
*) A. Kneser, Euler und die Variationsrechnung. Festschrift
zur Feier des 200 Geburtstages L. Eulers, Leipzig und Berlin, 1907.
2) Leibnizens Mathematischen Schriften, herausgegeben von
Gerhardt, 1 Abt., том 3, 1855, стр. 175.
392
К. А. РЫБНИКОВ
метод своего решения он писал (31 июля 1696 г.)1):
«Мой метод несколько отличен от твоего, по, однако,
приводит к тому же; для того чтобы, как требует спра-
ведливость, ответить на твою откровенность тем же, то
вот он в немногих словах:
Заменив кривую многоугольником с бесконечно боль-
шим числом сторон, я вижу, что из всех возможных
случаев (кривой) легчайшего ската будет, если взять на
ломаной три какие-нибудь точки, пли вершины А, В, С,
причём точка В будет такой, что из всех точек, расположен-
ных на горизонтальной прямой DE, эта единственная даёт
легчайший путь от А к С. Таким обра-
зом, дело сводится к решению легкой
\	задачи: даны две точки А и С ипрохо-
« \	дящая между ними горизонтальная
--------------— прямая DE\ найти на этой прямой
такую точку В, чтобы путь АВС был
наилегчайшим».
Черт. 21.	Следовательно, метод, предложен-
ный Лейбницем, состоит в том, что
кривая заменяется на данном отрезке ломаной^ Затем выби-
раются три смежные вершины ломаной и рассматривается,
как должна быть расположена на прямой DE (черт. 21)
вершина В, при неподвижно закреплённых А и С, чтобы
падение по ломаной АВС происходило в кратчайшее время.
Таким образом, вариационная задача сведена к задаче
на отыскание обыкновенного экстремума. Других вариа-
ционных задач Лейбниц но решал. Конкретное рассмотре-
ние позволяет сделать следующие выводы: Лейбниц ясно
сознавал особый характер вариационных задач. Одну
из более простых вариационных задач — задачу о брахи-
стохроне—он решил и сформулировал приём, сводящий
её к задаче на отыскание обыкновенного экстремума функ-
ции. В неявном виде он применил при этом принцип,
обычно приписываемый Я. Бернулли, что кривая, обла-
дающая каким-либо экстремальным свойством, сохраняет
его и в любой сколь угодно малой своей части. Но в рабо-
тах Лейбница нет метода решения вариационных задач,
х) Leibnizens Mathematiscben $chriftent 111, 310.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦПОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 393
поставленных в общем виде, в них нет даже применения
общих замечаний Лейбница к сколько-нибудь значитель-
ному классу задач. Поэтому заключение Кнезера о том,
что Лейбниц создал основы метода решения вариацион-
ных задач, является неосновательным. Что же касается
задачи о брахистохроне, то первое же опубликованное
решение её, принадлежащее II. Бернулли, нс носило харак-
тера развития идей Лейбница. Возникшая как конкрет-
ная механическая задача, она решалась ещё с помощью
физических и механических аналогий. Ставя задачу о бра-
хистохроне: «Определить кривую линию, соединяющую
две данных точки, расположенных па различных расстоя-
ниях от горизонта, не лежащих на одной и той же верти-
кальной линии, и обладающую тем свойством, что тело,
движущееся по ней под влиянием собственной тяжести
и начинающее своё движение из верхней точки, достигает
нижней точки в кратчайшее время»1), II. Бернулли начи-
нает с того же, о чём говорил и Лейбниц. Именно, он спра-
ведливо замечает, что эта задача, хотя и экстремальная,
но особого рода, и что к ней неприменимы обычные методы
нахождения экстремумов; надо, впрочем, отмстить, что
он тут же весьма неудачно заявил, что было бы напрасно
и искать общие методы решения подобного рода задач.
Руководящей идеей в доказательстве II. Бернулли
явилась идея оптико-механической аналогии, основы-
вающаяся на оптическом минимум-принципе Ферма, выска-
занном последним в 1657 г.2) И. Бернулли представляет
себе, что луч движется от одной точки до другой в некото-
рой среде с непрерывно изменяющейся плотностью. В таком
случае путь луча будет иметь вид не ломаной, а некоторой
кривой. Кривая эта, являясь, в силу принципа ферма,
брахистохронной —кривой быстрейшего прохождения лу-
чей,—в то же время обладает тем свойством, что синусы
углов наклона её к вертикальной линии повсюду нахо-
дятся в отношении скоростей. Рассуждения в точности
х) Цпт. по II. Бер и у л л и, Избранные сочинения по меха-
нике, О11ТИ, 1937 г., стр. 23.—Впервые задача была опубл! кована
И. Бернулли в июньском номере Acta Erudite гит за 1696 г.
2) В письме к Ляшамбру (1594—1669) от авг. 1657 г. (Oeuvres,
П, 354).
к. А. РЫБНИКОВ
повторяются, если говорить нс о луче света, а о шарике,
падающем по брахистохроне, и только что упомянутое
свойство брахистохроны оказывается независимым от той
или иной физической интерпретации задачи, которая,
следовательно, может быть решена в более общем виде,
чем поставлена. Это свойство брахистохроны И. Бернулли
выражает дифференциальным
уравнением следующим обра-
зом:
Пусть М(х, у) (черт. 22) —
произвольная точка брахи-
стохроны, кривая ОНЕ —
«кривая скоростей», т. е. та-
кая кривая, ординаты t кото-
рой определяют скорости, со-
ответствующие данной высоте.
«Кривая скоростей» нужна
Черт. 22.	И. Бернулли на чертеже по-
тому, что он решает задачу в
общем виде, ноне имеет ещё других средств для выражения
произвольной функциональной зависимости, кроме как
с помощью произвольной кривой. Тогда в характеристи-
ческом треугольнике sin а = и, по свойству брахисто-
хроны,
dy t
— — , гДе а — const.
Отсюда (после подстановки ds = \^dx2-\-dy2)\
7 t dx
dy = 77^=7. >
и для частного случая — падения шарика, когда t2 — ax, —
в качестве уравнения брахистохронной кривой получается
дифференциальное уравнение циклоиды:
Интегрирование этого уравнения, доказывающее, что
искомая кривая действительно является циклоидой, выпол-
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН- ИСЧИСЛЕНИЯ 395
пяется II. Бернулли с помощью очень наглядных геоме-
трических приёмов, которые мы приво щть не будем.
Из письма И. Бернулли к Базнажу1) видно, что одно-
временно с этим методом он нашёл и другой; опубликовал
же он первый метод из-за той связи, которая при этом
обнаруживалась между оптикой и механикой. Заметим
кстати, что идея оптико-механической аналогии в даль-
нейшем нс получает развития вплоть до работ Гамиль-
тона в XIX столетии. В этом же письмо И. Бернулли упо-
минает и другую причину: второй открытый им метод
«вёл к важным следствиям, которыми некоторые, при-
выкшие щеголять за счёт других, могли бы тонко восполь-
зоваться, чтобы извлечь из них какие-нибудь небольшие
новые открытия, чего было бы для них вполне достаточно,
чтобы приписать себе обладание и всю славу открытия».
Ниже мы ещё раз рассмотрим этот другой метод, опубли-
кованный только в 1718 г.
Решения задачи о брахистохроне в срок, предложенный
И. Бернулли, представили: Ньютон, Лопиталь и Я. Бер-
нулли. Мы рассмотрим лишь решение последнего, ибо
Ньютон дал ответ, не приводя самого доказательства2)
и к тому же анонимно: решение же Лопиталя (помещён-
ное в том же номере «Acta Eruditorum», Mai 1697 г.,
где находятся и решения обоих братьв) носит следы
знакомства с решением И. Бернулли (см., например,
замечание И. Бернулли в его Opera omnia, 1, 199 —
200).
Решение Я. Бернулли интересно с той стороны, что
оно представляет первую попытку приложения общих
идей Лейбница к решению конкретной вариационной
задачи. В нём Я. Бернулли даёт по существу вывод того
свойства брахистохроны, которым И. Бернулли восполь-
зовался как готовым, взяв его из сочинений Гюйгенса
и ферма. Наконец, в этом решении впервые в явной форме
высказан уже упоминавшийся нами принцип, что кривая,
являющаяся экстремалью в целом, должна являться
*) J о 11. Bernoulli, Opera omnia, I, 194. Письмо напи-
сано в 1697 г.
2) Philosophical Transactions, 1697 г., январь, стр. 384.
396
К. А. РЫБНИКОВ
экстремалью и в любой бесконечно малой своей части1).
Пусть АСВ (черт. 23) —искомая брахистохронная кривая.
Берём бесконечно малый отрезок её — CD, проводим гори
зонтальные прямые АН, DF, вертикаль НСЕ\ затем делим
CF точкой Е пополам и строим прямоугольник ELDI.
Точка G определится из усло-
вия, что Сумма времён ската
по CG и GD будет наименьшей,
т. е. tCG 4-	— minimum. Ины-
ми словами, если на EI выбрать
точку L такую, что GL будет
бесконечно мало по сравнению
с EG, то, по принципу стацио-
нарности,
tCL +	— tCG + Igo,
пли
tCG — tcL = iLD — iGD- (1)
Полагая на бесконечно ма-
лых участках пути движение
Черт. 23.
равномерным, получим:
СЕ : CG = 1се • tcG 11 CF • CL = tcE • let,
или
CE : (CG - CL) = tCE :	- tCL) = CE: MG (2)
(LM — дуга окружности радиуса CL),
Но из подобия прямоугольных треугольников CEG
и MLG имеем:
MG,GL = EG.CG,	(3)
и умножение (2) на (3) даёт:
СЕ __ EG • tcE	/4л
LG ~ CG-(tCG-tci) ’	V
Проведя аналогичные вычисления для GD — второй поло-
вины пути (где DN = GD, а прямоугольные треугольники
х) И. Бернулли в своём доказательстве тоже опирался на этот
принцип, но явно его не высказал.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЬЛРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 39?
(5)
(6)
LNG и IGD подобны1)), получим:
ЕР ___________________ Gl’tgp
GL GD • (tLD — tG1)) *
Так как СЕ = EF, то из (4) и (5) следует:
EG » tpp  CG • (trG — trz)   CG
Gl • tEF~ l G •	~ GD
(вследствие равенства (1)). Но, по законам падения тел,
tcE'-tEF = VHc'-VT^'
и предыдущая формула превращается в
CG : GD = Дк • = ,
НС ’ V НЕ
что дало кривую, элементы дуги которой оказались
прямо пропорциональными элементам ординаты и обратно
пропорциональными квадратным корням из абсцисс, т. е.
Bd и ds
самом деле, получилось —
у х у 2г
• (где }/"2г коэффициент пропорциональности), откуда
dy = dx рЛ_2L_ _ дифференциальное уравнение цикло-
иды. Кроме того, совершенно очевидно, что уравнение (6)
есть не что иное, как дифференциальное уравнение
И. Бернулли (см. стр. 394).
В конце мемуара Я. Бернулли намекает, что ему изве-
стен и другой метод, основанный па оптико-механическсй
аналогии. Делает он это в довольно туманных выражениях,
но ясно, что он устанавливает совпадение некоторой кри-
вой, «которую описывает точка, движущаяся в среде
с переменной плотностью» с гюйгенсовской кривой пре-
ломления. Причины, побудившие Я. Бернулли так
туманно говорить об этом методе, могут заключаться
как в нежелании сообщить его, так и в возможной недо-
работанное™. Нам представляется наиболее вероятным,
что решение Я. Бернулли отличается от решения И. Бер-
нулли лишь подходом к задаче. Он не пожелал восполь-
*) Если пренебречь бесконечно малым углом NDG.
398
К. А. РЫБНИКОВ
Черт.
выражает
мы приво-
зоваться готовым свойством брахистохроны, как это сде-
лал II. Бернулли, и вывел его, следуя идее Лейбница.
В том, что Я. Бернулли, получив уравнение (6), сразу
указывает, что это «есть свойство гюйгснсовской изохроны,
которая, значит, является также олигохроной *), т. с.
хорошо известной геометрам циклоидой», нет ничего уди-
вительного, ибо к тому времени свойства циклоиды были
настолько хорошо изучены, что задача угадать её в соот-
ношении (6) или каком-либо другом больших затруднений
не представляла. Всё же
Я. Бернулли даёт геоме-
трическое доказательство
того, что уравнение (6)
действительно
циклоиду; его
дить не будем.
Наконец,
ещё одно решение задачи
о брахистохроне. Принад-
лежит оно И. Бернулли
и было опубликовано в
1718 г.1 2); однако автор
утверждает, что оно было
найдено одновременно с
первым его решением в
1696 г. В собрании сочине-
ний И. Бернулли оно по-
мещено в конце трактата: «Замечания о данных до сих
рассмотрим
пор решениях изопериметрических задач» и носит назва-
ние: «Задача о скорейшем спуске, решённая прямым и
необыкновенным способом». Решение проводится двумя
путями: аналитическим и синтетическим, «на манер (рев-
них». Вначале даётся аналитическое решение.
Кривые, соединяющие точки А и В (черт. 24), пересе-
кают произвольно наклонённую к горизонтали AL пря-
1) Олигос (греч.)— краткий (о времени), хронос (греч.)—
время. Следовательно, олпгохрона — просто другое название бра-
хистохроны.
2) Memoire de 1’Academic Rovale des Sciences, Paris, 1718,
тр. 100; а также Opera omnia, It 267—269.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 399
мую INC. Из произвольной точки К этой прямой под беско-
нечно малым углом СКс проведём прямую Кпс. Семей-
ство бесконечно малых дуг Се, Мт заменим семейством
концентрических бесконечно малых дуг окружностей
Се, Мт г), которые в силу своей малости, в свою оче-
редь, «могут рассматриваться как малые прямые линии».
Время падения по дуге Мт прямо пропорционально её
длине и обратно пропорционально корню квадратному
из высоты Миначе говоря, время пропорциональ-
но выражению . Последнее И. Бернулли преобра-
зует так:
Обозначим NK = a, MN = х и определим две величины
т и п из соотношений:
MN (х): MD (тх) = 1 :т,
СК : Се - МК (х + а): Мт (пх + па) = 1: п.
(В скобках обозначаются получаемые при этом выражения
отрезков через х, т и п.}
Числа т и п, очевидно, не зависят от выбора кривой
семейства, и выражение
Мт __	+ па
У ML) ~ / тх
зависит только от одной переменной х. Дифференцируя
это выражение и приравнивая его дифференциал нулю,
получим следующее условие экстремальности времени
ската по элементу кривой:
а = х.
Условие это, заключающееся в том, что радиус кривизны
делится осью пополам, говорит И. Бернулли, «давно
известно, как принадлежащее только циклоиде». «Но если
бы это не было уже известно, —добавляет он, —это нетрудно
было бы найти посредством нашего интегрального
исчисления». Это изящное решение, остроумно сводящее
х) Прямая INM служит, очевидно, нормалью к одной вз кри-
вых семейства в точке М, что у II. Бернулли показано только
на чертеже, хотя он и пользуется этим в доказательстве.
Do
к. А. РЫБНИКОВ
вариационную задачу к задаче на обыкновенный экстремум
для бесконечно малого элемента кривой, за который выби-
рается дуга соприкасающейся окружности, в свою оче-
редь рассматриваемая в случае надобности как прямо-
линейный отрезок, сопровождается пе менее замечатель-
ным синтетическим решением. В последнем И. Бернулли
показывает, что на
циклоиде действитель-
но достигается ми-
нимум для времени
ската.
Итак, задана цик-
лоида, соединяющая
точки А и В (черт. 25)
и семейство других
кривых, соединяю-
щих эти же точки. В
двух бесконечно близ-
ких точках циклоиды
М и т восстанавли-
ваем перпендикуляры
к ней, пересекающие-
ся в точке К. Эти
перпендикуляры (или
их продолжения) от-
секают от кривых се-
мейства бесконечно малые дуги Сс, которые заменяются
концентрическими дугами Се, описанными из точки К,
как из центра. Из М и С проведём перпендикуляры MD
и CG к горизонтальной оси AL. Прямая DK пересе-
кает CG (если это необходимо, то DK или CG надо про-
должить до пересечения) в точке Н. Наконец, проводим
Gl\\DK и строим CF из условия
MD‘.CH = CH\ CF.
Так как время падения вдоль бесконечно малого эле-
мента кривой прямо пропорционально пути и обратно
пропорционально корням квадратным из высот MD, CG,
то отношение времени падения по бесконечно малой дуге
циклоиды (1мт) ко времени падения по дуге Се (tce)
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 401
будет равно
Мт , Се	.
У Mb ‘ J CG '	( '
Для определения величины этого отношения И. Бернулли
предпринимает следующие вычисления.
По свойству циклоиды, MN = NK; и, в силу подобия
треугольников MDK и CGI, имеем CN = NI. Так как
точка С нс лежит на циклоиде, то
CN-KK^O
и
CN2 + NK2>2CN  NK,
почему и
CN~ + NK- + 2CN • NK > bCN - NK = CI • М К,
т. е.
СК2 > CI • Я А,
откуда
МК :СК<СК-. CI.
Но MK:CK = MD-.CH (из подобия треугольников
MDK и CHK), a MD : CH = CH : CF (по условию по-
строения CF).
В свою очередь,
CK :CI = CH :CG,
и поэтому
CH: CF<CH-. CG,
откуда
CG<CF.
Вернёмся к соотношению (А). Так как
Мт : Се = МК :СК = MD : CH = 1 MD : /СТ1),
!) MD\СН = СП : CF', CH = VMD.CF и MD-.CH =
==MD : У Mb • CF= уГмВ : /CF.
25 Историко-математ. исследования
402
К. А. РЫБНИКОВ
то подстановка в (А) даст:
_ Мт V~CG _ VMD V~CG _ V ~CG
Mm- Ce— Le '	—	— .
Но, по доказанному, CG < CF, почему и
Ыт < tCe-
Если ещё учесть, что С с является гипотенузой в прямо-
угольном треугольнике Сео, почему и tee < tec, то окажет-
ся, что время падения по элементу циклоиды тем более
является минимальным по сравнению с временем паде-
ния по элементу любой другой кривой, соединяющей
точки А и В. Следовательно, циклоида является действи-
тельно кривой скорейшего спуска.
Это — тот самый метод решения, который И. Бернулли
нашёл одновременно с непрямым методом (основанным
на оптико-механической аналогии) и о котором он упоми-
нал в письме к Базнажу. Он ясно сознавал значение своего
метода, который, по его мнению, «вёл к важным след-
ствиям». Особенно интересно, что он считал необходимыми
доказать синтетически, «на манер древних, что суще-
ствует только одна кривая, проведённая из одной точки
в другую, по которой тяжёлое тело спускается в кратчай-
шее время, и что эта кривая есть обыкновенная циклоида1)
или, как называют её некоторые, рулетта1), что полностью
опровергает мысль одного математика первого ранга2),
который думал, что существует несколько кривых линии,
могущих удовлетворить требуемому»3).
Только что приведённые слова И. Бернулли до извест-
ной степени проливают свет на одно замечание Каратео-
дори, который говорит, что в этой работе И. Бернулли
в первый раз встречается «кое-что из теории поля Вейер-
штрасса». И действительно, в ней заложены идеи, намного
опередившие свой век. Во-цервых, ясно, что И. Бернулли
ставит проблему единственности и достаточности полу-
1) Подчёркнуто И. Бернулли.
2) Чирнгаузен. См. Acta Eruditorum, Mai 1697, стр. 221.
8) Цпт. по упоминавшемуся уже письму И. Бернулли к Баз-
нажу от 1697 г.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 403
чснного решения, что противоречит широко распростра-
нённому мнению, будто вопрос о достаточности решения
и о различении между максимумом и минимумом вплоть
до работ Лежандра вообще не интересовал математиков.
Кроме того, можно указать и на другие черты, родня-
щие рассматриваемую работу И. Бернулли с современной
теорией поля. Экстремаль-циклоида представлена окру-
жённой семейством кривых, т. е. по существу — полем;
а в случае замены в синтетическом доказательстве перпен-
дикуляров к циклоиде синхронными1) линиями, введён-
ными самим И. Бернулли, мы имели бы первый случай
рассмотрения трансверсалей.
Каратеодори в прибавлении к своей докторской дис-
сертации2) 1904 г. рассмотрел этот метод И. Бернулли
и применил его к решению простейших задач вариацион-
ного исчисления, выведя с его помощью дифференциаль-
ное уравнение, соответствующее уравнению Якоби—Га-
мильтона. В 1937 г. он снова (см. примечание на стр. 354)
возвратился к этому замечательному методу И. Бер-
нулли, который «не привлёк внимания его современников
и оставался совершенно неизвестным в течение почти двух
столетий».
Последнее замечание Каратеодори о совершенной неиз-
вестности решения И. Бернулли в течение двух веков
нуждается, впрочем, в уточнении.
В одной работе, вышедшей в 1856 г. в Париже3), по по-
воду этого метода И. Бернулли говорится: «Позднее
И. Бернулли опубликовал другое решение, которое, как
он говорил, являлось методом открытия. Это геометри-
ческий метод, восхитительный по своей изящной про-
стоте, который рассматривает природу брахистохроны по
г) Если из точки А по всевозможным циклоидам падает шарик,
то геометрическое место точек, достигаемых шариком за одно и то
же время, образует кривую, которую И. Бернуллп назвал син-
хронной.
2) С. Caratheodory, Ueber die diskontinuirlichen Losun-
gen in der Variationsrechnung, Gottingen, Diss., 1904.
8)M. Guiraudet, Apergu historique au su jet des problemcs
auxquelles s’applique le calcul des variations, jusqu’aux travaux
de Lagrange, Paris, Diss., 1856.
2>*
‘ '104
К. А. РЫБНИКОВ
способу её образования. Я его не рассматриваю, потому
что он нс имел никакого отношения к общим методам
и не мог способствовать прогрессу науки».
Такая странная на первый взгляд точка зрения ста-
новится понятной, если принять во внимание, что в то
время Вейерштрасс ещё не создал своей теории, что
общими методами считались тогда методы Лагранжа,
ставшие в свою очередь несовершенными и недостаточно
общими в более позднее время. С развитием науки меняются
точки зрения на тс или иные факты её истории, и гениаль-
ные мысли великих учёных, опережающие своё время,
получают достойную оценку и дальнейшее развитие.
Мы уже видели, что решение задачи о брахистохроне,
данное Я. Бернулли, отличалось от непрямого решения
его брата И. Бернулли только тем, что Яков вывел для
бесконечно малой дуги брахистохроны закон, который
Иван взял, как уже готовый, из оптики.
Проведённое здесь конкретное рассмотрение методов
решения задачи о брахистохроне обоими братьями —Яко-
вом и Иваном Бернулли, позволяет нам сделать некоторые
замечания по поводу сравнительной характеристики их
творчества. Их научные изыскания, особенно в части реше-
ния вариационных задач, проходили в обстановке непре-
станного соперничества и страстных споров. Этим внешним
факторам, благоприятно воздействовавшим на интенсив-
ность научного творчества обоих братьев, часто уделялось
непропорционально большое внимание в ущерб анализу
содержания и методов их исследований. Один из приме-
ров такого ненаучного подхода к этому вопросу мы нахо-
дим в «Механике» Маха1). «Без всякого ещё метода,—
пишет Мах, —при помощи одной своей геометрической
фантазии Иоганн Бернулли одним взглядом решает зада-
чу, умело пользуясь при этом тем, что случайно уже изве-
стно — картина поистине замечательная и удивительно
красивая. Мы должны признать в Иоганне Бернулли
истинную художественную натуру, действующую в обла-
сти естествознания. Брат его, Яков Бернулли, был науч-
ным характером совсем другого рода. Ему было уделено
2) 3. М а х, Механика,- СПб, 1909, стр. 362—363.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВЛРИАЦПОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 405
гораздо больше критики, но гораздо меньше творческой
фантазии. И он решил ту же задачу, но гораздо более
тяжеловесным образом. Зато он но упустил случая развить
с большей основательностью общий метод для решения
задач этого рода. Таким образом мы находим в обоих
братьях разделёнными те две стороны научного таланта,
которые в величайших исследователях природы, каким
был, например, Ньютон, бывают соединены с необычай-
ной силой. Мы скоро увидим, как эти две способности,
будучи связаны с двумя различными лицами, вступают
друг с другом в ожесточённую борьбу, которая при дру-
гих условиях могла бы быть незаметно изжита в одной
и той же личности».
Такое объяснение причин спора между братьями Бер-
нулли даже на первый взгляд представляется довольно
сомнительным. Прежде всего, как мы ужи отмстили,
решение Якова по существу вовсе не находится к реше-
нию Ивана в простом соотношении большей тяжеловес-
ности. Заметим далее, что, с одной стороны, как мы
видели на примере синтетического решения И. Бернулли,
он отнюдь не чужд «критики» и связанной с ней «тяжело-
весности», с другой стороны, его брат Я. Бернулли был
вовсе не чужд (это мы покажем несколько ниже) научной
фантазии, которую Мах считает характерной для И. Бер-
нулли. «Объяснение» Маха представляется поэтому очень
поверхностным, как и сама его сравнительная характе-
ристика творчества обоих братьев.
Тот пример научной фантазии Я. Бернулли, который
мы имеем в виду, связан уже не с задачей о брахистохроне,
а с более сложной вариационной задачей — изопериме-
трической. Эта задача впервые появилась в майской тетра-
ди «Acta Eruditorum» 1697 г. Поставил её Я. Бернулли,
только что решивший задачу И. Бернулли о брахисто-
хроне. Первоначальный текст этой задачи гласил1):
«Из всех изопериметрических фигур с одним и тем
же основанием BN нужно определить кривую BFN, кото-
рая, хотя и не охватывает сама наибольшей площади,
*) Цитнр. по немецкому переводу в серии Ostwalds Klassiker,
№ 46, Leipzig, 1894, стр. 19.
406
К. А. РЫБНИКОВ
но способствует тому, чтобы это свойство имела другая
кривая, ординаты которой PZ как-нибудь пропорцио-
нальны степеням или корням отрезка PF, или дуги BF*
(черт. 26).
Задачу эту, кроме некоторого единства темы, мало что
роднит с той элементарно-геометрической её трактовкой,
которую мы встречали у Зенодора. Она появилась на пути
обобщения экстремальных задач, которыми был так богат
в ту пору анализ бесконечно малых. Сам Я. Бернулли
ясно говорит: «через эти исследования1) я получил доступ
Черт. 26.

к рассмотрению других, более трудных задач, какими
являются задачи об изопериметри-
ческйх фигурах».
Таким образом, непосредственно
за решением простейшей вариацион-
ной задачи, в котором, как мы видели,
уже сложился ряд основных черт
общего метода, впоследствии разви-
того Эйлером, была поставлена и
более сложная вариационная зада-
ча — изопериметрическая.
Попытки И. Бернулли решить предложенную ему
задачу оказались тщетными. Опубликованный им в виде
письма к Вариньону* 2) ответ на задачу подвергся правиль-
ной критике Я. Бернулли, что повело к ожесточённой
ссоре между братьями, продолжавшейся вплоть до смерти
Я. Бернулли в 1705 г. Мы не будем касаться подробностей
этой ссоры, довольно полно изложенной уже несколько
раз3). Нас в первую очередь будет интересовать сущность
попыток И. Бернулли, причины его ошибок-и выработка
методов решения изопериметрических задач.
В только что упомянутом письме к Вариньону И. Бер-
нулли пишет: «Смысл этого вопроса таков: определить
’) Речь идёт здесь о решении задач, в которых, по определению
Я. Бернулли, данному им несколькими строками выше, требуется
«определить из бесконечного множества незаданных кривых кривую,
имеющую свойство максимума или минимума».
2) J о h. Bernoulli, Opera omnia, I, 206.
8) См., например, M. Cantor, Vorlesungen uber Geschichte
der Mathematik, том III,
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 407
кривую из бесконечно большого числа других кривых
той же длины, ордината PF которой или дуга BF, воз-
ведённые в данную степень, образуют ординату PZ дру-
гой кривой, охватывающей наибольшую площадь Z?Z/V».
Для этого частного вида изопсриметрической задачи
И. Бернулли, введя обозначения: т — показатель сте-
пени, а произвольный отрезок, выбранный за единицу,
PF = х, ВР = у, пишет решение в виде:
f xmdx
У — \ ,	- - ,
не дав никакого при этом доказательства.
Затем он формулирует задачу более общим образом так,
чтобы PZ было не иг-й степенью PF, а «стояло к PF
в любом отношении зависимости». Тогда искомое уравне-
ние будет:
у = f , где Ь = -Z .
В последующем1), оправдываясь спешкой первоначаль-
ного опубликования, он вносит поправку и просит, вместо
С PZ dx
Ь = \ —-— » поставить просто b ~ PZ. Здесь же он ука-
зывает и дифференциальное уравнение, к решению кото-
рого приводится задача, когда PZ зависит не от PF,
а от дуги BF. Это уравнение будет:
у _ С d dy
J dt* — dy* *
где дуга BF = Z, a PZ = V (t).
Так как И. Бернулли публиковал свои решения,
не приводя доказательств и лишь горячо настаивая на их
правильности, Я. Бернулли наряду с критикой реше-
ний брата в письме к Вариньону от 26/VI 1698 г.2)
предпринял попытку разгадать метод, приведший его
х) Journal des Savants, 21/IV 1698 г.
2) Journal des Savants. 4.VIII. 1698 г., стр. 355. Также:
J. Bernoulli, Opera, 1,222. П. Варпньон (1654—1722) состоял в tg
время редактором Journal des Savants (журнала учёных), научного
печатного органа Парижской Академии наук.
408
К. Л. РЫБНИКОВ
к таким решениям. Попытка эта наглядным образоат
опровергает утверждение Маха о недостатке у него науч-
ной фантазии. Догадка Я. Бернулли, невидимому, была
правильной, ибо, несмотря на всю ожесточённость спора,
И. Бернулли никогда её не отрицал.
«Он говорит,—пишет Я. Бернулли Вариньопу, имея
в виду И. Бернулли, — что он нашёл решение задачи в тот
же день, как познакомился с нею; а в Histoire des Ouvrages
des Savants от июня 1697 г., art. 2, где он сообщает нам
своё решение (имеет-
ся в виду приведён-
ный II. Бернулли без
доказательства ре-
зультат.— К. Р.), он
сводит этот день к 3-м
минутам. Ограничен-
ность этого времени
заставила меня тот-
час же заподозрить,
что он искал его толь-
ко с помощью неко-
торого чуждого или
непрямого принципа,
и притом естественно
бросающегося в гла-
за. Зная по опыту, что то решение, которое может быть
получено из чистой геометрии, требует слишком внима-
тельного исследования, чтобы быть найденным так с пер-
вого взгляда, я заметил также, что не могло быть ничего,
что представлялось бы разуму более естественным, чем
следующий принцип механики: что тяжёлые тела опуска-
ются до тех пор, пока их центр тяжести не займёт самое
низкое из возможных положение».
Так как искомая кривая BFN должна разыскиваться
среди изопериметрических с нею кривых, то Яков пред-
ставляет се себе либо в виде полотняного лоскута, поддер-
живаемого за его концы В, N и наполненного жидко-
стью до основания BN, либо в виде верёвки BFN, нагру-
жённой различными грузами во всех своих точках
(черт. 27). Вес этих грузов можно представить себе изме-
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦПОН. ИСЧИСЛЕНИЯ ЛОО
няющимся по любому закону, в зависимости от коорди-
нат точки, и Я. Бернулли, за неимением другого способа
выражения для закона этого рода, представляет его в виде
произвольной кривой ВН, ордината GH — р которой опре-
деляет момент (по отношению к основанию ВЛ) груза,
подвешенного в точке F с координатами ВР = у, PF = x').
Для модели с жидкостью нужно только представить себе
удельный вес жидкости меняющимся так, что вес ниточки
PF пропорционален , чтобы получить, по существу,
ту же картину. Так как бесконечно малую трапецию
PFCQ можно считать прямоугольником, то общий вес этого
прямоугольника жидкости должен быть пропорциона-
лен
PF  dy = -^ dy = p~^ ,
J BG J	x '
а его момент по отношению к прямой BN будет равен
1 Р ;	1	,
-9 х • '-°^= 2 Р ЛУ-
Сумма же этих моментов представится интегралом-у \ р dy.
Так как, по мнению Я. Бернулли, Иван считает расстоя-
ние центра тяжести от основания ВЛ' пропорциональным
этому интегралу и так как в естественных условиях этот
центр тяжести должен, по его мнению, занять самое низ-
кое из возможных положений, то фигура кривой, которую
примет лоскут ВТЛТ, нагружённый жидкостью, пли верёвка
BTN с подвешенными к ней грузами, и будет той, при-
которой р dy достигает максимума. Так как длина верёв-
ки или лоскута остаётся неизменной, то требование изо-
периметричности соблюдается. Остаётся только подо-
брать функцию р таким образом, чтобы pdy выражал
требуемую в задаче площадь, для чего, в обозначениях
Бернулли, достаточно положить р = хш, и мы добьёмся
таким образом того, что среди всех изоперпметрпческих
кривых, соединяющих точки В и N, отыщем такую, которая
х) Обозначения принадлежат самому Я. Бернулли.
410
К. А. РЫБНИКОВ
сообщает экстремальное значение интегралу yxTndy,
т. е. площади кривой, ордината которой есть некоторая
степень ординаты первой кривой. Итак, задача сведена
к обобщённой задаче о цепной линии, которую, говорит
Я. Бернулли, легко решить с помощью метода, применён-
ного им в задаче о форме надуваемого ветром паруса1).
Не останавливаясь на решении этой задачи, действительно
дающем в точности результат, опубликованный И. Бер-
нулли, привёдем ещё критику Я. Бернулли этой попытки
сведения изопериметрической задачи к задаче о цепной
линии.
Как совершенно правильно указывает Я. Бернулли,
основная суть ошибок состоит в том, что принцип, согласно
которому центр тяжести должен занимать наиболее низ-
кое положение, относится лишь к сравнению возможных
его положений для одного и того же общего веса, между
тем как в приведённом случае общий вес пе остаётся по-
стоянным. Но данный Я. Бернулли подробный разбор
дефектов приведённого им же рассуждения сам по себе
настолько характерен, что целесообразно нривести его
почти полностью.
«Он [т. е. И. Бернулли. —К.Р.] предполагает сначала, —
пишет Я. Бернулли, — без основания, что если имеется
несколько изопериметрических фигур, нагружённых веса-
ми в известной пропорции изнутри или вдоль их перифе-
рии, то по сравнению со всеми другими центр тяжести
этих весов будет наиболее удалён от оси у той из этих
фигур, которую эти веса придадут полотну или верёвке.
Я признаю, что если мы имеем всегда одно и то же коли-
чество веса, действующее последовательно на какую бы
то ни было гибкую материю, то веса эти должны будут
расположиться таким образом, чтобы их центр тяжести
занимал наивозможно более низкое положение; но в пред-
шествующем предположении сумма весов не остаётся той
же самой у различных изопериметрических фигур; или,
г) Задача определения фигуры равновесия тяжёлой однородной
гибкой нити (цепной линии) была поставлена Я. Бернулли в 1690 г.
Несколько позднее Лейбниц указал, что эта задача сводится к опре-
делению кривой, центр тяжести которой лежит как можно ниже.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 411
если бы она оставалась постоянной, то было бы невоз-
можно, чтобы эти веса, заставляя жидкость принимать
последовательно различные фигуры, могли приобретать
или сохранять сами по себе ту пропорцию, или распреде-
ление, которое для них предположено». И Я. Бернулли
поясняет своё последнее замечание на простом примере.
Предположим, говорит он, что мы сравниваем две воз-
можные изопериметрические фигуры: BTN и BbtnN
(черт. 27). Так как известно, что площади различных изо-
периметрических фигур нс равны между собою, то можно
предположить, что площадь BbtnN больше площади BTN
на некоторую площадь BbnN, которую всегда можно
представить себе занимающей аналогичное показанному
на черт. 27 положение. Предположим далее, что мы имеем
дело с какой-нибудь обыкновенной жидкостью, заполняю-
щей до самого основания BN полотно BTN и такой, что
вес каждой ниточки PF пропорционален её длине,—
«единственно возможный в природе случаи», добавляет
Я. Бернулли; наконец, пусть эта жидкость, воздействуя
свободно на полотно, заставит его принять форму BbtnN.
Тогда жидкость уже не поднимется в ней выше черты Ьп,
и центр тяжести пространства btn расположится, конечно,
ниже центра тяжести равного ему пространства BTN1).
Но отнюдь не очевидно, продолжает Я. Бернулли, что
и при добавлении части BbnN центр тяжести всего про-
странства BbtnN всё ещё будет оставаться ниже центра
тяжести для BTN, или любой другой изопериметрическон
с нею фигуры.
«Я утверждаю даже, что это неверно и что та из изопе-
риметрических фигур, центр тяжести которой наиболее
удалён от оси, не есть фигура полотна, наполненного
жидкостью, по другая, которую я облекаю в следующую
анаграмму, чтобы дать возможность моему брату также
г) Я. Бернулли проверил даже «средствами своего анализа—
неоспоримое свидетельство его добротности и правильности», что
центр тяжести той части пространства, которая наполнена массой
жидкости у фигуры, свободно принимаемой полотном под влиянием
тяжести этой жидкости, должен быть ниже центра тяжести равной
ей части, отсекаемой параллельно основанию от любой другой,
изопериметрической с нею, фигуры
412
К. Л. РЫБНИКОВ
отыскать её, если ему угодно настаивать перед нашими
читателями, что он владеет подходящим для этих задач
методом:
a1262c3e9g2ft Ш*т*п*о*р^ гЧЧ’и*».
Анаграмма эта представляет лишь запись того, сколько
раз каждая из букв содержится в латинской фразе, обо-
значающей у Я. Бернулли кривую, уравнение которой:
, ж3 dx
Но Я. Бернулли не останавливается на этом: он нахо-
дит в приписываемых им брату рассуждениях ещё одну,
не менее существенную ошибку. Она состоит в том, что
он предполагает расстояние центра тяжести от оси BN
пропорциональным сумме моментов, а «каждый знает,
что это расстояние определяется суммой моментов, поде-
лённой на сумму весов, и что, следовательно, оно может
быть пропорционально одной только сумме моментов
лишь в случае, когда сумма весов остаётся постоянной,
что, как я только что заметил, не имеет здесь места».
«Бот, следовательно, — заключает Я. Бернулли, — две
достаточно чувствительные ошибки в одном и том же рас-
суждении; но одновременно две такие ошибки, из кото-
рых одна покрывает другую столь удачно, что они дают
возможность найти в некоторых случаях правильное реше-
ние. Однако это может быть лишь результатом чистого
случая, дающего пе больше прав на славу победителя,
чем их имел бы тот, кто, утверждая, что булыжник есть
камень, доказывал бы это рассуждением: «всякий чело-
век есть камень, всякий булыжник есть человек, следо-
вательно, всякий булыжник есть камень».
Известно, что с самых первых дней своего возникнове-
ния анализ прилагался к механике, что, собственно, по-
требности механики в значительной мере обусловили самое
его возникновение, что, больше того, анализ в значитель-
ной мере строился, опираясь в свою очередь на механи-
ку : динамику преимущественно—у Ньютона, статику с сё
понятием момента—у Лейбница и его школы. Мы видим,
что это же положение остаётся верным и для вариацион-
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 413
него исчисления. Приведённого нами материала вполне
достаточно, чтобы заключить, что для обоих Бернулли
даже такая, чисто геометрическая по своей формулировке,
задача, как изопериметрическая задача Я. Бернулли,
была в первую очередь обобщением некоторой механиче-
ской задачи. Можно предположить, что она и возникла
именно таким образом.
Мы уже упомянули, что И. Бернулли никогда не отри-
цал правильности догадки Якова о сведении им изопери-
метрической задачи к задаче об обобщённой цепной линии.
Задетый за живое предположениями брата, Иван Бернулли
предпринял даже попытку показать, что такое сведение
всё-таки возможно и что для его осуществления вовсе
нет надобности предполагать расстояние центра тяжести
от оси BN максимальным.
1 февраля 1701 г. И. Бернулли отправил в письме
к Вариньону своё решение изопериметрической задачи
в запечатанном конверте, который просил представить
в Парижскую Академию Наук и вскрыть после того, как
будет опубликовано подробное решение его брата. Узнав
об этом, Я. Бернулли в грубой форме обвинил Вариньона
в пристрастии к брату и потребовал, чтобы пакет был
вскрыт в его присутствии. В результате пакет был возвра-
щён И. Бернулли и представлен последним в Академию
ещё раз лишь после смерти Якова (1705) с нетронутыми
печатями, в том числе и наложенными в Академии ещё
в 1701 г. Пакет был вскрыт на заседании 17 апреля 1706 г.
и опубликован в Записках Академии за тот же 1706 г.1).
И. Бернулли и тут даёт два решения задачи: прямое
и непрямое, но теперь уже помещает прямое решение пер-
вым. Всё же мы сначала остановимся на непрямом реше-
нии, так как оно содержит ту самую аналогию, которую
предполагал Я. Бернулли. Как уже было сказано, И. Бер-
нулли пытается при этом не вводить предположения
о центре тяжести, рассматривая вместо интеграла, опре-
деляющего, согласно гипотезе Якова, положение центра
тяжести, некоторый другой, более сложный, интеграл.
«Пусть имеем, — пишет И. Бернулли, — лоскут BFN
)Joh. Bernoulli, Opera omnia, I, 424.
мл
К. л. РЫБНИКОВ
(черт. 28), растянутый жидкостью, давящей на него
сверху, тяжесть которой1) может быть как однородной,
так и неоднородной. Ясно, что этот лоскут примет такую
форму, которая позволит жидкости спуститься наивоз-
можно низко. А последнее наступит, когда сложенные
вместе гравитации всех частей жидкости достигнут макси-
мума. Нужно хорошо заметить, что я не говорю, что это
наступит, когда центр тяжести будет самым низким; ибо
здесь нельзя рассматривать центр тяжести, так как,
в силу изменения (хотя она и остаётся изопериметриче-
ской) кривой BFN, количество жидкости, содержащейся
в этой кривой, будет также меняться, почему и центр
тяжести не будет оставаться тем же».
Как видно из дальнейшего, под «гравитацией» И.Бер-
нулли понимал удельную нагрузку на элемент жидкости,
расположенный на данной высоте. Он представляет себе
эту нагрузку действующей по нормали на элемент кривой
BFN и полагает, что последняя в естественных условиях
под влиянием этих нагрузок, действующих на её элементы,
должна принять такую форму, при которой сумма нагру-
зок на все вообще элементы жидкости, помещённой внутри
кривой (вплоть до основания BN), была бы наибольшей.
L) Очевидно, имеется в виду удельный вес.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ PACBI1TI Я ВЛ1ИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 415
Остаётся представить сумму всех нагрузок на все элементы
жидкости в виде площади кривой BZN, удовлетворяющей
требованиям задачи, чтобы оказалось, что наибольшая
площадь соответствует как раз той форме кривой BFN,
которую последняя примет в естественных условиях под
влиянием соответствующего распределения нагрузок
в жидкости.
Этого соответствия между рассматриваемой им суммой
всех нагрузок на все элементы жидкости и площадью BZN
И. Бернулли добивается следующим образом: он сум-
мирует сначала все «гравитации» в бесконечно малой
колонке PFcp и полученный интеграл рассматривает как
ординату PZ1), Площадь BZN оказывается при этом двой-
ным интегралом, равным в то же время сумме всех нагру-
зок на все элементы жидкости. Для того чтобы PZ была
при этом данной функцией / (х) от ординат кривой BFN,
И. Бернулли предполагает нагрузки на элемент жидкости,
которые являются функциями от высоты h—обозначим
их <р(А), расположенными таким образом, чтобы - удов ле-
творялось соотношение
х
\ <f(h)dh = f(x),
О
т. е. представляет себе нагрузку на элемент Ff кривой
BFN, равной дифференциалу функции f (х). В зависимости
от формы кривой меняется, таким образом, и величина
нагрузок на её элементы, соответствующие одной и той же
абсциссе, благодаря чему не только форма кривой зависит
от распределения нагрузок, но и распределение нагрузок
в свою очередь определяется формой кривой. Несмотря
на это, И. Бернулли полагает попрежнему, что задача
сводится к отысканию формы кривой BFN, которую
примет нить данной длины в предположении, что на каж-
дый её элемент действует некоторая вполне определён-
ная нагрузка.
2) На черт. 28 отрезки DE, LG представляют собой величину
удельной нагрузки («гравитации»)на высотах BE, В ^соответственно;
отрезок же HG равен площади BLG. Ордината PZ должна быть
таким образом, равна этому отрезку HG.
416
К. А. РЫБНИКОВ
форму, которую,—в этом предположении,—примет
нить, II. Бернулли представляет себе в виде многоуголь-
ника BRFST ... с бесконечно большим числом сторон, на
элементы которого действуют перпендикулярно к ним дан-
ные силы, пропорциональные нагрузкам на эти элементы:
Л1, F2, S3, Тк, ... (черт. 29). Так как нить находится
в равновесии, то силы эти уравновешиваются натяжениями
нити, в силу чего, например Г полагая	:
= sin FRa,
(1)
где I — натяжение, действующее по направлению RF,
a <^FRa, на языке II. Бернулли, «угол кривизны
Черт. 29
в точке можно рас-
сматривать в соответ-
ствии с его воззрениями,
как угол между двумя
последовательными ка-
сательными к кривой в
точках R nF. (Если
предполагать, как это
и делает И. Бернулли,
дифференциал дуги по-
стоянным, то этот угол
в самом деле можно рас-
сматривать, как меру
кривизны.)
Аналогично (но полагая прямым' уже угол SF2),
= sin SFb.
(2)
Сопоставляя (1) и (2), получим:
7U_sin FRa
Fl ~~ sin SFb
Так как, аналогично,
F2_sin SFb
53 “ sin TSc ’
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 417
то имеем вообще (а не только для двух соседних элементов)
Я1_ sin FKa
53 ~ sin TSc ’
или
7?1	53
sin Fiia “ sin TSc *	'
Если мы хотим теперь, в соответствии с требованиями
задачи, чтобы сила R1 была пропорциональна производ-
ной f (х), где / (х)—данная в задаче функция от ординаты
кривой BFN, то соотношение (3), которое И. Бернулли
истолковывает в общем виде, приводится в его формули-
ровке к требованию отыскать такую кривую, чтобы «синус
угла кривизны» в произвольной точке R этой кривой нахо-
дился в постоянном отношении к «продифференцирован-
ной функции» (la fonction differentiee) её ординаты. Рань-
ше, чем мы перейдём к интеграции этого своеобразного
уравнения, остановимся предварительно на другом способе
получения последнего, который И. Бернулли называет
«прямым»,— в отличие от первого, основанного на гидро-
динамической аналогии или задаче о форме надуваемого
ветром паруса.
Заметим, что согласие этих двух методов для И. Бер-
нулли играло весьма существенную роль, как и вообще
в то время, когда законность операций с бесконечно
малыми обосновывалась, по существу, правильностью
получаемых с их помощью результатов. Мы уже упоми-
нали, что в мемуаре И. Бернулли «прямой» метод пред-
шествовал «непрямому». Переходя к подробному изложе-
нию последнего, И. Бернулли пишет:
«Чтобы показать согласие этого прямого метода с непря-
мым, я буду искать природу кривой, пли форму, которую
примет лоскут или парус, нагружённый жидкостью,
гравитация которой изменяется по указанному мною
закону. И если я получу то же самое уравнение, как
и найденное выше (речь идёт об уравнении (3)—Zf. Р.),
кто же осмелится сомневаться в непогрешимости этих
методов?»
Таким образом, нам теперь предстоит, наоборот,
получить уравнение (3) «прямым» методом И. Бернулли.
27 Историко-математ. исследования
418
К. А. РЫБНИКОВ
В этом «методе» столько произвольных отбрасываний бес-
конечно малых, что почти не приходится сомневаться в том,
что И. Бернулли просто «подгонял» в нём свои резуль-
тат к результату, найденному непрямым методом. Раньше
всего, на том основании, что «так как вся кривая, кото-
рая должна давать максимум, сохраняет я во всех своих
частях законы того же самого максимума», т. е. на основа-
нии принципа Лейбница—Якова Бернулли И. Бернулли
переносит задачу в область бесконечно малого, где заме-
няет дугу РФ искомой — среди изопериметрических кри-
вых—ломаной РОФ. Соответствующая дуга ZC кривой
BZC, для которой площадь BZr^z должна быть наи-
большей, превращается при этом, с его точки зрения,
также в ломаную ZLC, и речь идёт об определении такого
положения точки О, при котором, с одной стороны, вели-
чина суммы FO-Н^Ф не меняется, между тем как, с дру-
гой стороны, площадь ZLfaP достигает максимума
(черт. 30). Итак, точку О нужно искать на дуге эллипса
с фокусами F и Ф и притом так, чтобы, по принципу ста-
ционарности, площадь ZPiz\z) оставалась неизменной,
0 Площадью ZPiX называется нлощадь, ограниченная
ординатами ZP, отрезком абсциссы Рп и кривой В7£.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 419
когда вершина О заменяется бесконечно близкой к ней
вершиной ш, принадлежащей дуге того же эллипса. Ины-
ми словами, должно быть одновременно
FO + ОФ = Fto 4" <»Ф	(4)
и
пл. 2£ХтгР = пл. ZX'kP.	(5)
Отнимая от этих площадей общую часть и отбрасывая,
как бесконечно малые высшего порядка, треугольники
LMY и ХрУ, И. Бернулли представляет требование (5)
в виде:
пл. 2£М = йл. чХр	(5')
или (черт. 30):
LM ЧС = Хр • СО.	(5")
Но LM есть разность ординат RL и RM, каждая из кото-
рых является, по условию, одной и той же функцией1)
от соответствующих ординат RO и RT кривой BFQ.
Иными словами,
£М = /(Й0)-/(Й7).
Вновь отбрасывая бесконечно малые высших порядков,
он записывает эту разность в виде:
LM = OT • /'(RO)2).
Аналогично,
Хр =	• У (^о).
Если учесть ещё, что ZC—FI, a У) — ФК, то условие (5)
примет вид:
ОТ • f (RO) • 77 =	• /' (й • ФК. (5*)
г) Именно в этом мемуаре И. Бернулли употребил впервые
термин «функция» в почти современном смысле слова для выраже-
ния произвольной зависимости между ординатами двух кривых.
2) Характерно, что для выражения производной у И. Бернулли,
по существу, ещё вообще нет никакого подходящего выражения.
Он то говорит о «дифференцированной функции» от ординаты, если
«пренебречь» «разностью» этой ординаты, т. е. зачеркнуть диффе-
ренциал аргумента, то вводит для производной /' (ж) обозначение Аге,
которое употребляет и в виде, например, &PF, если PF — зна-
чение х.
27*
420
К. Л. РЫБНИКОВ
Теперь И. Бернулли, используя (4), находит отношение
ОТ
, которое и подставляет в найденное соотношение. Для
этой цели раньше всего он замечает, что если из точек F и ф,
как из центров, провести окружности радиусами OF
и <ьф, то (черт. 31) ду-
ги ОХ и «по приро-
де эллипса» будут равны.
(Действительно, так как
Fм — FO = ФО — Фл, то пря-
моугольные треугольники
0Х& и	равны.) Но
~ = sinXTO, a -^ = sin £ <о,
01	юО
Черт 31	или, так как $.ХТО =
= <$FOI + ^TFO, a <TFO
бесконечно мал по сравнению с *$FOI, то
sin FOI.	(6)
Аналогично,
4=sin<D«>tf.	(7)
(Dlr	1 '
Принимая во внимание, что по доказанному ОХ — ^к,
мы получаем из (6) и (7):
ОТ _ SHI 0(0#
wO-sinFOJ*	1 J
С другой стороны, из прямоугольного треугольника FOI
имеем
FI=FO- sin FOI	(9)
и, аналогично,
ФА = Фа) • этФсоА.	(10)
Подставляя в соотношение (5*), которое мы бы записали
для этого в виде
ОТ • f (RO) - FI
ю& • /' (рю) • ФК
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦПОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 421
ОТ
найденные для , FI и ФА” величины, получаем:
sin ФсоК"  f (R0) • F3 - sin FOI
sin FOI • f' (ow) • Фю • sin Ф&К	’
или
f (RO) • FO={'(?&) • Фео.	(11)
Остальная часть рассуждений И. Бернулли предста-
вляет собою ряд манипуляций, имеющих, с нашей точ-
ки зрения, целью во что бы то ни стало получить
из соотношения (11) полученный ранее результат (3).
Прежде всего он заменяет в (11) ординаты RO и рю «экви-
валентными им» (т. е. отличающимися на бесконечно
малую) ординатами PF и кФ. Соотношение (11) превра-
щается при этом в
f'(PF) • FO = f (пФ) • Фео.	( 12)
«Раздвинутые» для получения этого соотношения вплоть
до концов отрезка РФ точки О и ео, теперь, наоборот, на
основании бесконечной малости отрезка О& по сравнению
с РФ сливаются в одну, и И. Бернулли получает формулу
f'(PF) -FO = f (кФ) • ФО,
или, заменяя FO и ФО синусами противолежащих углов,
f(PF) _ Г(*Ф)	(12п
sin ОРФ sin ОФР ’	' '
Чтобы истолковать это соотношение в соответствии
с ранее найденным (повидимому, с помощью непрямого
метода) соотношением (3), он прибегает к следующим
рассуждениям, которые, как очень характерные, мы при-
ведём дословно: «И так как РФ есть хорда (la souten-
dante) бесконечно малой дуги РОФ кривой ВРОФ и так
как поэтому каждый из углов ОРФ и ОФР можно рас-
сматривать как половину угла кривизны в F и Ф, то
отсюда следует, что &PF1) относится к синусу кривизны
в F, как Дкф1) к синусу кривизны в Ф, т. е. в постоян-
ном отношении». Согласие между обоими методами: прямым
х) См. примечание 2 на стр. 419.
422
К. А. РЫБНИКОВ
и непрямым, таким образом, достигнуто и, «кто же осме-
лится теперь сомневаться в правильности обоих!»
Маркс называл дифференциальное исчисление Лейб-
ница и Ньютона мистическим. С помощью тумана,
которым было окружено понятие бесконечно малых
в ту эпоху, действительно можно было обосновать всё,
что угодно, и задача сорвать покров тайны с этого понятия,
о которой также говорит Маркс, имела отнюдь не только
«философское» значение. Итак, задача приведена к тре-
бованию: «отыскать кривую
ВРФ, природа которой такова,
что синус кривизны в любой
из её точек F находится в по-
стоянном отношении к про-
дифференцированной функции
её соответствующей ординаты
PF (если пренебречь разно-
стью этой ординаты)» х).
«Своеобразие» этой формы
выражения сопряжено с не
менее странной для нас теперь
формой интеграции соответ-
ствующего дифференциального
уравнения. И. Бернулли, ко-
нечно, понимает, что для того
чтобы введённый им «угол кривизны» имел смысл, нужно
предполагать дифференциал дуги постоянным. Больше
того, фактически он даже рассматривает не просто «синус
угла кривизны», а частное от его деления на дифферен-
циал дуги. Но всё же его решение не лишено и явных
несообразностей.
И. Бернулли обозначает абсциссу ВР (черт. 32) точки
F искомой кривой BFI через у, ординату PF через х. Он
принимает далее Pp — dyt cl = dx> Fl = dt (как уже было
отмечено, dt при этом принимается за постоянную) и про-
водит в точке F касательную Fm\ ml при этом —дуга
окружности, описанной из центра F радиусом FI.
Угол IFm (который, отождествляя FI с касательной #крп-
х) Сц. примечание 2 на стр, $19.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 423
вой в точке Z, можно принять за угол между двумя беско-
нечно близкими касательными к кривой) И. Бернулли
и называет «углом кривизны» в точке F. Проводя, наконец,
прямые тп и nl параллельно осям координат, он получает
rtl~d2y, mn = d2x.
Из подобия прямоугольных треугольников mnl и IFc
(^.Imn^^lFc, как образованные взаимно перпендику-
лярными прямыми) имеем далее:
dz у dx
т< ~ dt 1
или
т/=<т-	(13>
Так как угол IFm бесконечно мал, то И. Бернулли пола-
гает синус его равным дуге, или sin IFm = ml. Записав те-
перь требование задачи в виде:
или
ml dt
f (х)~~~а 1
он, в силу (13), получает:
ad2у = /' (х) dx.	(15)
Отсюда начинается ряд странных несообразностей в реше-
нии И. Бернулли1). Интегрируя уравнение (15), он полу-
чает:
a-dy = f(x) + C.	(16)
х) Для нас так и осталось непонятным, почему И. Бернулли
полагает s\n lFm = m\ а не ~, благодаря чему уравнение (14)
записалось бы в виде ad-у = \j' (х) dx] dt. Правда, п в этом случае
он должен был бы интегрировать его, сначала рассматривая dt
как равноправную с а постоянную (что, впрочем, находится в пол-
ном соответствии с выражением (14))»
424
К. А. РЬ БНИКОВ
А затем, «умножая однородные части», т. е. только / (х)
и С на постоянную t/Z, приходит к уравнению
ady = f(x)dt + Cdt.	(17)
Полагая, наконец, с?;==|/dx2 + dy2, И. Бернулли получает
дифференциальное уравнение искомой кривой в виде
(вместо нашего f(x) он пишет просто X):
dy = dx {X ± С): /са-(Х± С)2.
При С = 0 это и даёт ему приведённый нами на стр. 407
результат
г Xdx
У ЗУ a-'-Z- 
Мы остановились с такой подробностью на этом реше-
нии И. Бернулли потому, что оно очень показательно для
истории не только вариационного исчисления, но и ана-
лиза вообще. Историки математики, вообще говоря, не
любят останавливаться на ошибках великих математиков,
а между тем, такие ошибки в развитии науки играют ино-
гда не меньшую роль, чем полученные теми же методами
правильные решения. Они заставляют задумываться над
сущностью самих этих методов и выяснять границы их
приложимости. В* частности, хотя И. Бернулли признал
впоследствии допущенную им в решении изопериметрп-
ческой задачи ошибку лишь в очень неопределённом и не-
конкретном виде, но из предложенного им впоследствии
усовершенствования решения, данного Я. Бернулли,
ясно, что и он признал высказанный его братом для задач
этого рода принцип, согласно которому, чтобы удовлетво-
рить и добавочному — по сравнению с простейшей зада-
чей— условию, нужно варьировать уже не одну, а две
бесконечно близкие ординаты искомой кривой.
Полемику между братьями Бернулли, поскольку она
касалась изопериметрической задачи, по существу пре-
кратило появление в майской тетради 1701 г. «Acta Erudi-
torum» решения Я. Бернулли.
Это решение, достаточно длинное и утомительное (число
одних лемм достигает 7), мы полностью приводить здесь
не будем; рассмотрим лишь основные его моменты ч
ЦЕРВЬ E ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦПОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 425
Так как по условию задачи площадь ATV (черт. 33)
является экстремальной, то, согласно своему принципу,
Я. Бернулли считает, что этим свойством должна обла-
дать и её бесконечно
малая часть PHIQ.
Если предположить,
что крайние ординаты
кривых ABCW и
ВН=Ь, РН = В,
IC=c, IQ = C,
остаются постоянными,
а изменяются лишь сред-
ние ординаты
KF = j, KR = Ft
LG=gt	LS = G
(при этом расстояния	Черт. 33.
между ординатами бе-
рутся равными: HK = KL = LI = 1), то условие экстремаль-
ности площади PHIQ = l- B + l- F-\-l-G запишется
в виде:
dPHIQ = l -dF^-l- dG = Q,
и, значит,
dF + dG=A\
(1)
От этого соотношения между ординатами кривой AV
Я. Бернулли, посредством подстановки
dF = 'L^!.	dG=—’	(a = const.)
а ’	а	4	'
переходит к соотношению между ординатами кривой AW:
hdf + i-dg = O,	(2)
вводя таким образом две новых функции: h и i. От одной
из них он тотчас освобождается с помощью «доказанной»
им (6-й) леммы. Именно: так как G «совершенно также
образовано» из g, как и F из /, причём dF — ^df и dG— \ dg,

К- А. РЫБНИКОВ
и так как / и g отличаются друг от друга бесконечно
мало, то и i и h «должны» отличаться друг от друга
бесконечно мало, т. е. i = h-\-dh. Очевидно, что такое
заключение возможно лишь, если считать чем-то само
сооою разумеющимся не только непрерывность функции,
выражающей зависимость F от / (равно как и G от g),
Черт. 34.
но и наличие у этой функ-
ции непрерывной производ-
ной.
В таком случае соотно-
шение (2) принимает вид:
hdf 4- (h 4- dh) dg = О,
или
df : — dg = (h 4- dh): h. (3)
Но предварительно, исполь-
зуя условие изопериметрпч-
ности кривых AW, Я. Бер-
нулли получает и другой
вид выражения отношения
df: —dg. Заметив, что точ-
ки В и С неподвижны, а точки F и G испытывают беско-
нечно малые перемещения по ординате при обязательном
условии сохранения длины дуги BFGC, Я. Бернулли
пишет следующие соотношения (значение вводимых букв
ясно из чертежа 34): s-f-t4- и=const.,
/a4-p« = sa;	ma4-5a = ^2;	n24-r2 = u2,
дифференциалы которых будут (так как l=m — n = const.)*
ds 4- dt 4- du = 0; pdp = sds\	qdq = tdt]	rdr = udu,
откуда, постепенно исключая du, dt, dr, ds. он получает:
dp _ rst — qsu
dp 4- dq ptu — qsu *
Ho
dp = df (ибо f = HB 4- p = const. 4- p),
a
dp 4-^ = ^ (ибо §=HB 4- p 4- £ = const. 4- P + Q)
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦПОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 427
и поэтому
df:	= —.	(3')
° qsil — ptu	V '
Вводя затем обозначения
p = dx\	q = dx-\-d2x\	z dx + 2d?x -f- d3x\
s = dz’	t = dz-\-d~z\	u = dz + 2d2z-}-d3z,
он после некоторых вычислений, в которых пренебрегает
бесконечно малыми 6-го порядка, получает
df : — dg = (dz2 • d2x + dz2 • d3x — dx • d2x2):
-,(dz2 - d2x + 2dx -d2x2).
Следовательно
h-\-dh dz2 • d2x + dz2 • d3x — dx • d1xi
h ~ dz2  d2x + 2dx • d2z3 ’
откуда
dh dz2 • d3x — 3dx • d2x2
h ~~ dz2 • d2x + 2dx • d2x2 ’
t. e. h-dz2 • dzx — 3h • dx • d2x2 = dh • dz2 • d2x + 2dh • dx • d2x2.
Крайний правый член он отбрасывает, как бесконечно
малый более высокого (6-го) порядка, чем все остальные
члены. Таким образом, задача приведена к дифференциаль-
ному уравнению третьего порядка:
h • dz2 • d3x~ 37г • dx • d2x2 = dh • dz2 • d2x2.	(4)
To, что получается дифференциальное уравнение именно
третьего порядка, Я. Бернулли считал существенным для
изопериметрической задачи. Проведение касательной, го-
ворит он ещё в начале статьи, требует рассмотрения одного
элемента дуги, т. е. двух бесконечно близких точек,—
соответственно, первых дифференциалов абсциссы и орди-
наты. При нахождении соприкасающейся окружности
приходится рассматривать угол, образованный двумя
соседними элементами кривой, и, соответственно, три
бесконечно близкие точки дуги и вторые дифферен-
циалы абсциссы и ординаты. В случае же изопериме-
трической задачи нужно рассмотреть изменения двух
бесконечно близких ординат, и, соответственно, три по-
следовательных элемента кривой, четыре точки и третья
428
К. А. РЫБНИКОВ
дифференциалы абсциссы и ординаты. Изменения одной
ординаты недостаточно, ибо нужно удовлетворить одно-
временно двум условиям: 1) некоторая длина дуги одной
кривой должна оставаться постоянной и 2) соответствую-
щая площадь, ограниченная другой кривой, должна быть
экстремальной. Таким образом, решение изопериметри-
ческой задачи Яковом Бернулли означало очень важный,
принципиально новый этап в истории вариационного
исчисления; оно дало возможность решать более сложные
вариационные задачи, им был сделан важный шаг на
пути создания общих методов решения вариационных
задач.
Интегрирование полученного ди(| ференциального
уравнения (4) Я. Бернулли проделал следующим образом.
Дифференцирование соотношения dz2 = dx2 -г dy* (мы
уже упоминали, что dz — элемент дуги) даёт: dz • d2z = dx • d2x
(ибо dy = l= const., по условию). Во второй член левой
части уравнения (4), вместо dxd2x, подставим dz • d2z.
Последующее сокращение на dz и перенос всех членов
уравнения в одну сторону дадут:
h • dz • d3x — 37г • d2x • d2z — dh  dz • d2x = 0.	(5)
Интеграл этого уравнения Я. Бернулли, вероятно, в силу
простой догадки, ищет в форме:
hmdznd2xr= const.
Дифференцирование этого предполагаемого уравнения
после сокращения и сравнения с (5) показывает, что
г=1,	п== —3, т = —1,
и первая интеграция даёт:
dlx
hd&
== const.
(6)
Для удобства дальнейшей интеграции Я. Бернулли выби-
рает постоянную в виде
±	, где dy= const., а—произ-
вольная постоянная, а двойной знак обеспечивает общ-
ность результата. Уравнению (6) он пытается удовлетво-
рить подстановкой a.dx = tdy и, учитывая, что dx^df,
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦПОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 429
-adf = dF, находит, что F (или бесконечно-близкая к F
ордината В) равняется: либо
л2	а3 ч
, лиоо а----——- ' .
/а2-«3	J a*-t*
Определяем отсюда t
а У а*-В*	a V'2aB-B~
В ’	“ а В '
и после подстановки в уравнение adx = tdy получим два
дифференциальных уравнения первого порядка:
л _ В dx	(а—В) dx
]/ 0*^13*	| 2а/7-Й3 ’
Наконец, Я. Бернулли доказывает, что первое уравнение
соответствует максимуму, а второе — минимуму площади.
Решение другой изопериметрической задачи, где орди-
наты второй кривой суть определённые функции не орди-
нат первой кривой, а дуг АВ, AF, AG, проводится ана-
логичным способом. Только результат в виде дифферен
циального уравнения первого порядка Я. Бернулли выпи-
сывает сразу и правильность его доказывает повторным
дифференцированием.
В переписке И. Бернулли с Лейбницем обсуждался
вопрос ещё об одной экстремальной задаче, положившей
начало изучению геодезических кривых. Кроме того,
что упомянутая задача является задачей вариационной
и поэтому должна найти место в систематическом изложе-
нии истории вариационного исчисления, она представляет
незаурядный интерес и с других точек зрения. С ней свя-
заны до конца ещё не разрешённые вопросы: о раннем
методе отыскания основного свойства геодезических
И. Бернулли и о том, как могла быть решена эта истори
чески первая задача дифференциальной геометрии в про-
странстве ещё до создания элементов аналитической гео-
метрии трёх измерений.
*) Нет никаких указаний, почему Я. Бернулли выбрал по-
стоянную интеграции в одном случае равной 0, а в другом равной а.
430
К. А. РЫБНИКОВ
Задачу о геодезических впервые поставил И. Бернулли,
опубликовав её 26 августа 1697 г. в «Journal des Savants»1).
Требовалось, по условию задачи, геометрически найти
кратчайшую линию между двумя точками, лежащими па
выпуклой поверхности. Как выяснилось в дальнейшем,
требование «геометричности» И. Бернулли понимал в рас-
ширенном лейбницевском смысле, согласно которому све-
дение задачи к квадратурам рассматривается, кАк вполне
достаточное её решение. Выставил же он это требование
с целью исключить возможное чисто механическое реше-
ние путём натягивания нити между двумя заданными
точками поверхности. Другие дополнительные замеча-
ния И. Бернулли исключают из рассмотрения простейшие
случаи: случай шаровой поверхности (на которой геоде-
зическими линиями являются дуги больших кругов) и слу-
чай, когда обе данные точки располагаются на одном и том
же меридиане поверхности вращения (ибо отрезок мери-
диана между заданными точками и будет являться крат-
чайшей линией, их соединяющей).
Вскоре же задача о геодезических стала предметом
обсуждения в переписке И. Бернулли с Лейбницем. 4-го де-
кабря 1697 г.2) И. Бернулли отправил Лейбницу вырезку
из «Journal des Savants» с помещённой в ней задачей
о геодезических и добавил, что «Лопиталь в ней отчаялся,
но я свёл её к дифференциальному уравнению». Лейбниц
тотчас ответил (17 декабря 1697 г.)3 4), что он хотя и зани-
мался этой задачей, но к вычислениям не приступал.
И только в ответ на просьбу И. Бернулли сообщить ему
возможно полнее свои соображения, Лейбниц 29 июля
1698 г. *) пишет:
«Пусть будут грани (или части плоских или сфериче-
ских поверхностей, касающихся данной поверхности,
или, если ты предпочтёшь в сферах, соприкасающиеся)
LMN и PMN-, эти плоскости, или эти сферические поверх-
ности, или грани, будут иметь на данной поверхности
общую линию пересечения МТУ.
’) J о h. Bernoulli, Opera omnia, I, 204.
2) LeibnLens Malhematischen Schriften, III, 470.
’) Там же, 475.
4) Там же, 527.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 431
И пусть будут две точки поверхности R и S, бесконечно
близкие между собой, которые на этих двух гранях имеют,
как мы предположили, максимально определённые (для
лёгкого вычисления) положения: требуется найти такую
точку Т общего сечения MN граней, чтобы сумма RT -f- ST
наименьших <линий> от R и 5 к Г, или самых RT и ST
(которые в плоских гранях будут прямыми, в сфериче-
ских—дугами большого круга) была бы наименьшей из
всех возможных, и определение точки Т даёт общую при-
роду кривой, которую надо
провести в качестве наи-	./Х.
меньшей на данной поверх- /
ности между двумя дан-	к Ъ------------7
нымиеё точками» (черт. 35).	XjrX у /
В ответном письме от 26 X. /	/Р
августа 1698г.1) И. Бер- /и ---------------'
нулли правильно расцени-
вает соображения Лейбни-	Черт. 35.
ца, называя их не методом,
а лишь основами метода, оказавшимися для него недоста-
точными. «Я же, напротив,—пишет он, —нашёл другой
метод, вполне общий, основывающийся на том, что пло-
скость, проведённая через три соседние точки искомой
кривой, перпендикулярна в этом месте к касательной пло-
скости к поверхности»2).
Он указывает также, что получил отсюда для любых
поверхностей общее уравнение, легко интегрируемое для
поверхностей вращения.
К сожалению, совершенно не известны ни тот путь,
которым И. Бернулли впервые решал задачу о геодези-
ческих, ни полученное им тогда дифференциальное уравне-
ние. Известно достоверно лишь, что он3) упрекал брата,
давшего решение задачи о геодезических линиях для
тел вращения4), за недостаточную общность решения и
х) Leibnizens Mathcmatischen Schriftcn, III, 532.
2) Подчёркнуто мною. — К. Р.
3) J о h. Bernoulli, Opera omnia, I, стр. 265.
4) Там же, стр. 257. Дан лишь готовый результат, без доказа
тельства.
432
К. А. РЫБНИКОВ
подчёркивал, что сам он обладает решением, имеющим
необходимую степень общности.
Не вполне ясен вопрос, каким путём И. Бернулли
обнаружил то основное свойство геодезических линии, что
их соприкасающаяся плоскость перпендикулярна к каса-
тельной плоскости в той же точке поверхности. Этот вопрос
связан с вопросом о том, умел ли И. Бернулли, когда он
решал задачу о геодезических, писать уравнения поверх-
ностей, владел ли он хотя бы элементами аналитической
геометрии в пространстве.
Декарт (1596—1650) в своей «Геометрии», как известно,
ограничился по существу изучением плоских кривых,
и аналитическую геометрию в пространстве пришлось
строить совершенно заново. Впервые уравнение поверх-
ности появилось в одной работе Лагпра 1679 г. Однако
Лагир пе отмечает, что полученное уравнение есть урав-
нение поверхности, и просто указывает, что задача, при-
ведшая к этому уравнению, неопределённа. Следующая
работа по этому вопросу относится к 1700 г.; принадлежит
она А. Парану. Но настоящие основы аналитической
геометрии в постранстве были заложены работами Эйлера
в 1728 г. и Клеро в 1731 г.1).
При таком положении вещей кажется мало вероятным,
чтобы в конце XVII в. И. Бернулли владел аналитическими
методами изучения поверхностей. Так и думал П. Што-
ке ль2), предполагая, что «можно считать почти известным,
что ключом к аналитическому решению явилось для него
механическое решение». Мне, однако, представляется,
что свойство кратчайших линий на поверхности И. Бер-
нулли мог открыть почти интуитивно и чисто геометри-
ческим путём, заметив, например, вначале для шара,
что плоскость большого круга (являющегося соприкаса-
ющейся плоскостью к геодезической кривой на шаре) пер-
пендикулярна к касательной плоскости в данной точке
шара, и затем заменяя, по совету Лейбница, каждый эле-
мент поверхности элементом поверхности соприкаса-
*) См. Декарт, «Геометрия», ОНТИ, 1938 г., там же — статью
А. П. Юшкевича «Декарт и математика».
а) Р. S t а с k е 1, Bemerkungen zur Geschichte der gecdasischen
Linien, Leipzig, 1893.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦПОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 433
ющегося шара. Как это предположение, так и предполо-
жение Штекеля, также вполне правдоподобное, не под-
креплены, однако, документально и потому являются ни
больше, ни меньше, как гипотезами. Они не дают также
возможности судить о пути получения И. Бернулли диф-
ференциального уравнения, о котором он писал Лейб-
ницу. Из первоисточников же существует лишь одна
работа И. Бернулли, опубликованная в 1742 г.2), через
15 лет после работы Эйлера, решившего эту задачу. Автор,
однако, утверждает, что это решение было им сообщено
в 1728 г. Клингенштирна, профессору математики в Упса-
ла, и что тот лишь изложил его. Переписка И. Бернулли
с Эйлером, в частности, письмо первого от 18 апреля 1729 г.
действительно содержит в готовом и довольно общем виде
уравнения геодезических линий, так что рассматриваемый
мемуар может быть отнесён во всяком случае к 1729 г.
Начинается он прямо с выражения поверхности одним
уравнением между тремя координатами (et datur aequatio
quaevis exprimens relationem trium coordinatarum sc, г/, z,
qua relatione natura superficiei determinatur). Всё решение
опирается на высказанное (опять без доказательства!)
свойство геодезических линий поверхности (Fundamentum
solutionis sequentis in eo consistit, quod planum per tria
curvae quaesitae puncta infinite propinqua transiens,
rectum sit ad planum quod superficiem curvam tangit).
Заключается решение в том, что элемент кривой, содер-
жащий три бесконечно близких последовательных точки,
проектируется на горизонтальную координатную пло-
скость хОу. Затем поочерёдно находятся в виде соотноше-
ний между координатами и их дифференциалами тангенсы
двух углов: а) угла между касательной к поверхности пло-
скостью и проектирующей вертикальной плоскостью и
б) угла этой последней с соприкасающейся плоскостью гео-
дезической кривой. Поскольку по основному свойству
геодезических сумма этих двух углов равна 90°, то произ-
ведение их тангенсов должно равняться единице. Так полу-
чается дифференциальное уравнение,которому должны удо-
влетворять геодезические линии на любой поверхности.
х) J. Bernoulli, Opera omnia, IV, 108.
28 Исюрико-математ. исследования
434
H. А. РЫБНИКОВ
Затем И. Бернулли применяет полученное уравнение
к различным частным видам поверхностей.
Если этот метод совпадает с неизвестным методом
И. Бернулли, относящимся к 1697—1698 гг., то окажется
что значительно раньше, чем принято думать обычно,
у И. Бернулли созрели начальные идеи трёхмерной ана-
литической геометрии: представление поверхности урав-
нением с 3-мя переменными, идея координатной тройки
осей для пространства и т. д. Этому хочется верить: И. Бер-
нулли был оригинальным мыслителем, блестящие идеи
которого часто обгоняли его век. Творчество его ещё в дол-
жной мере не оценено; представление о нём в умах мно-
гих исчерпывается сведениями о неблаговидном споре
между братьями.
Как бы то ни было, изучение геодезических кривых
пополнило класс экстремальных задач, на основе решений
которых возникло вариационное исчисление, и одновре-
менно дало толчок развитию аналитической геометрии
в пространстве.
В конце работы помещено решение той же задачи о гео-
дезических другим методом. Именно: составляется раз-
ность между длинами сумм двух смежных элементов
геодезической кривой и соседней с ней; разность эта при-
равнивается нулю. Это решение, несомненно, более позд-
него происхождения, чем первое, и носит уже характер
приложения общего метода к частной задаче.
Вот, собственно говоря, и все главнейшие факты рас-
сматриваемого нами периода истории вариационного исчи-
сления, оказавшие наиболее сильное влияние на его разви-
тие и на выработку общих методов решения вариацион-
ных задач. Ими можно было бы и ограничиться; но для
полноты исторической картины нам кажется необходимым
сделать ещё несколько дополнительных замечании.
1. В первой главе мы уже упоминали о том, что в одной
работе по оптике Герона Александрийского был высказан
некоторый «минимум-принцип», являющийся как бы одним
из древнейших предвестников вариационных принципов
механики, в частности, принципа наименьшего действия.
Новый толчок к изучению оптических явлений дало
изобретение в 1609 г. Галилеем подзорной трубы. Однако,
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЙАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 4&5
по свидетельству Гюйгенса, первым, кто правильно опи-
сал законы преломления лучей света, был Виллеброд
Спелль (1581—1626). Трактат Спелля не сохранился,
и эти законы были вновь открыты Декартом и опубли-
кованы в вышедшем в 1637 г. «Рассуждении о методе»,
содержащем, в частности, его «Геометрию» и «Диоп-
трику». Декарт считал, что при переходе света из
одной среды в другую компонента его скорости,
направленная по разграничительной плоскости, должна
оставаться постоянной. Против теории Декарта, несмотря
на экспериментальное её подтверждение, возражал
ферма (1601—1665), утверждавший, что скорость света
не может возрастать вместе с плотностью среды, как
из этой теории следует. В течение этого спора Ферма вы-
сказал (в письме к Киро де ла Шамбру, 1657 г.)1) мысль,
что закон преломления света должен быть выведен из
некоторого минимум-принципа совершенно подобно тому,
как это сделал Герои Александрийский для отражения
света. Лишь к 1662 г. он обосновал свою мысль матема-
тически и, к удивлению своему, обнаружил, что его
принцип привёл действительно к доказательству закона
Декарта2). К Ферма присоединился и X. Гюйгенс, поме-
стивший в «Трактате о свете» такой же вывод, что дал
и ферма, но в другой, более простой форме3). Однако
эти первоначальные идеи принципа наименьшего действия
не получили в оптике дальнейшего распространения.
Теория волнового распространения света, принадлежащая
Гюйгенсу, была вскоре отвергнута Ньютоном. Идеи
Гюйгенса на некоторое время были забыты и долгое
время не имели никакого влияния на развитие оптики
и вариационного исчисления. Оптико-механическая ана-
логия, проведённая И. Бернулли при решении задачи
о брахистохроне, осталась эпизодом и дальнейшего
развития вплоть до работ Гамильтона также не получила.
Принцип же наименьшего действия в общем виде был
*) Oeuvres de Fermat, Paris, 1891—1892, II, 354.
2) Там же, I, 170—173.
3) X. Гюйгенс, Трактат о свете, OHTII, 1935,
59-62.
28*
436
К. А. РЫБНИКОВ
высказан много позднее Мопертюи и Эйлером, и притом
в связи с другими вопросами.
2. То выдающееся место, которое занимают в этой
главе методы братьев Бернулли, не является случайным.
Иван и Яков Бернулли были виднейшими математиками
лейбницевской школы. Они быстро восприняли основы
исчисления Лейбница и успешно его развивали. Им мате-
матика обязана весьма многим, в том числе, как мы
видели, подготовкой вариационного исчисления. Рабо-
ты немногих других математиков — их современников
(исключая Лейбница и Ньютона), занимавшихся вариа-
ционными задачами, —не внесли ничего принципиально
нового в историю вариационного исчисления, поэтому мы
ограничимся лишь краткими о них сведениями.
а)	Когда в 1715 г. Брук Тейлор (1685 — 1731) выпустил
в свет свою книгу «Methodus incrementorum directa et
inversa», то поместил в ней решение изопериметрической
задачи. Это решение, однако, по существу является реше-
нием Я. Бернулли, только трудно понятным из-за больших
сокращений и туманного изложения. Заметим ещё, что
по поводу отдельных вопросов, поднятых в этой работе,
между Тейлором и И. Бернулли разгорелся ожесточён
ный спор, в результате которого последний был вынужден
признать свои решения изопериметрической задачи оши-
бочными (всё же не указав, как мы уже отметили, конкрет-
но, в чём эти ошибки состояли) и дать в 1718 г. новое реше-
ние, принципиально согласующееся с решением Я. Бер-
нулли.
б)	В одном номере «Acta Eruditorum» с решением изо-
периметрической задачи И. Бернулли 1718 г. было поме-
щено решение Якова Германна. Я. Германн (1678—
1733) —ученик Я. Бернулли, последовательно рабо-
тавший профессором в Падуе, во франкфурте-на-Одерс
и с 1724 г. —в Петербурге. Его решение, как он и сам
об этом говорит, имеет целью несколько упростить
«восхитительный» метод Я. Бернулли и очень сходно
с последним решением И. Бернулли.
в)	Наконец, мы обратим внимание на вышедший в 1742 г.
«Трактат о флюксиях» Маклорена (1698—1746), в ХШ
главе которого даны решения задач о брахистохроне
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 437
и изопериметрической. Маклорен обнаруживает полное
незнакомство с уже опубликованными к тому времени
мемуарами Эйлера по вариационному исчислению. К тому
же форма изложения, скопированная по примеру
Ньютона с математических сочинений древних греков,
утомительна. На развитие вариационного исчисления
работа эта никакого влияния не оказала.
III. Первые работы Эйлера по вариационному
исчислению
Приоритет в создании вариационного исчисления при-
надлежит Эйлеру безраздельно. К тому времени, когда
Эйлер вступил на путь научного исследования, были уже
созданы известные предпосылки для возникновения вариа-
ционного исчисления: на основе развития методов анализа
бесконечно малых были поставлены некоторые экстре-
мальные задачи особой природы — мы их назвали вариа-
ционными—и выработаны специальные приёмы их реше-
ния. По существу, уже в это время мы встречаемся со
всеми основными типами вариационных задач, а в мето-
дах их решения всё яснее начинают вырисовываться как
общие, так и отличительные — в зависимости от характера
задачи —черты. При этих обстоятельствах задача систе-
матизации достигнутых научных результатов и их обоб-
щения становится нс только актуальной, но и разрешимой;
к этому вопросу можно применить мысль Энгельса о завер-
шении, а не о создании дифференциального и интеграль-
ного исчислений Лейбницем и Ньютоном и сказать, что
после того, как в математику вошли экстремальные
задачи более сложной природы, стало абсолютно необхо-
димым создание для их решения специальной дисциплины.
Начатки этой дисциплины были заложены в первую оче-
редь в работах Лейбница и братьев Бернулли; на долю
же Эйлера выпала задача её создать.
Вариационное исчисление в серии трудов Эйлера приоб-
рело вид общего метода, имевшего своей целью разре-
шать вариационные задачи, представляя их, как предель-
ные задачи функций конечного числа переменных. При
этом кривая интеграции заменялась многоугольником,
438
К. А. РЫБНИКОВ
,	Vi + i~ У1	л Ь — а
производная yt — отношением	Дд. -, где Дж =	,
ь
интеграл J =	/(ж, у, у') dx — суммой. Задача об отыска-
а
нии экстремума функционала заменялась таким образом
задачей об отыскании экстремума функции
п-1
Sn(yol Vv •  •. Уп) = 2 /(*'> У‘’	•
1=0
Применение этих аппроксимативных методов вело к очень
громоздким и тонким рассмотрениям. Эйлер смог дать
ясное и полное изложение своего метода только в резуль-
тате многолетнего упорного труда (1726 — 1744 гг.). При
этом он совершенно не пользовался понятием предела
переменной величины; его трактовка бесконечно малых
(с современной точки зрения) являлась недостаточно
строгой. В дальнейшем мы увидим, что это обстоятельство
явилось причиной ряда ошибок.
Работы Эйлера по вариационному исчислению сопро-
вождались решением многочисленных практических задач:
об изгибе упругой пластинки, о критической нагрузке
колонн и т. д. Его методами перестали пользоваться
после создания Лагранжем нового алгоритма вариацион-
ного исчисления, и сам Эйлер все дальнейшие работы по
вариационному исчислению проводил в этом плане.
Однако идеи первого периода творчества Эйлера в этой
области стали в последнее время получать применение
в так называемых прямых методах вариационного исчис-
ления, что придаёт им уже не только специфически исто-
рическое значение.
Первой работой Эйлера в этом направлении, если не
считать того, что в 1726 г. он в «Acta Eruditorum» поставил
задачу о брахистохроне в сопротивляющейся среде,
можно считать его мемуар «De linea brevissima in super-
ficie quacunque duo quaelibet puncta jungente» (О крат-
чайшей линии на поверхности, соединяющей каким-нибудь
образом любые две точки), датированный ноябрём 1728 г.,
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 439
но опубликованный в 1732 г.х) Остановимся подробнее на
обстоятельствах, вызвавших появление этого сочинения
Эйлера. Задача эта была предложена Эйлеру ого учителем
И- Бернулли, впервые поставившим её в 1697 г. Об этом
пишет и сам Эйлер в письме к И. Бернулли от 18 февраля
1729 г.* 2): «Хотя я писал тебе недавно, так что может
показаться неудобным заваливать тебя в такой короткий
промежуток времени два раза письмами; однако, так как
задачу, предложенную мне от твоего имени твоим сыном,
я, невидимому, решил удачно, то я не смог упустить
время, чтобы пе описать тебе моего решения, за что, я
надеюсь, ты меня извинишь. Эта задача требовала,чтобы на
данной поверхности от одной заданной точки к другой
был*а бы проведена кратчайшая линия. Конечно, хотя
мне не было неизвестным, что та же задача когда-то затра-
гивалась тобой и твоим братом в «Acta Lipsiae», однако,
я не сомневаюсь, что ты за это время уже получил более
легкое и изящное решение, поскольку ты её снова предла-
гаешь во второй раз. И вследствие этого самого задача
эта с первого взгляда показалась мне превышающей мои
силы. Между тем я все свои усилия употребил на это и по
прошествии короткого времени получил следующее реше-
ние:
Если дана какая-нибудь поверхность, то некоторую
плоскость я принимаю, как бы за первичную, а па ней
прямую в качестве оси. На этой оси я беру абсциссу Z,
нормаль к ней во взятой плоскости я называю х, и отсюда
перпендикуляр до пересечения с заданной поверхностью
я называю у. Я предполагаю, что природа поверхности
выражена уравнением между этими тремя координатами
и делаю только то, что это уравнение некоторым образом
ограничиваю, чтобы оно выражало кратчайшую линию.
Это производится исключением одного переменного, а урав-
нение между двумя остальными даёт проекцию кратчай-
шей линии на плоскость. Чтобы добиться этого, я при-
вожу заданное уравнение к дифференциальному, которое,
г) «Commentarii Academiae Petropolitanae», 111, 110—124.
2) Перевод с латинского из «Der Briefwechsel zwischen L. Euler
und J. Bernoulli», Bibliotheca Mathematica, 1899, 19—24.
440
К. А. РЫБНИКОВ
я полагаю, имеет такую форму:
Р dx = Qdy + Rdt,
где Р, Q, R могут обозначать любые функции от х, у, t.
Из условий задачи я вывел дальнейшее уравнение, содер-
жащее следующее уравнение кратчайшей линии:
Q ddx + Р ddy _ dx ddx + dy ddy
Qdx-\-Pdy ~ dt* + dx* + dy* ’
где dt я полагаю постоянным. Это уравнение вместе
с предыдущим определяет кратчайшую линию».
В дальнейшем Эйлер даёт ряд примеров определения
геодезических линий на различных поверхностях. Из
этого письма следует, что И. Бернулли не обращался
с этой задачей непосредственно к Эйлеру, но сделал это
через своего сына, т. е. через Даниила Бернулли, рабо-
тавшего вместе с Эйлером в Петербургской Академии
наук.
Однако соответствующее письмо И. Бернулли к его
сыну оказалось помеченным 10 декабря 1728 г.; из этого
Энестрём1) заключил, что дата «ноябрь 1728 г.», стоявшая
на мемуаро Эйлера, поставлена неверно и что действитель-
ным временем написания этой работы является начало
1729 г.
Уже 18 апреля 1729 г. И. Бернулли отвечает Эйлеру2):
«Твоё решение задачи о проведении кратчайшей линии на
поверхности кажется мне хорошим. Что же касается
моего, то оно представляется вот каким уравнением:
Т ddy ____ ddz
Т dz ds — z ds2 ~ ds2 + dz* ’
где нужно отметить, что через х, у, z я обозначаю три
координаты, которые у тебя обозначаются t, х, у\ затем
Т есть подкасательная той кривой, которая получается
на заданной поверхности, когда она рассекается пло-
скостью, перпендикулярно подложенной плоскости3) и па-
х) G. Enestrom, Sur la decouverte de liquation generale
des lignes geodesiques, Bibliotheca Mathematica, 1899, 19—24.
2) Bibliotheca Mathematica, 1899, 19—24Л
8) Имеется в виду плоскость хОу.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 441
раллельно у\ затем, под ds (которое я полагаю постоян-
ным) следует понимать элемент проектированной кривой,
или ] dx2 + dy2. Природу искомой кривой я могу выра-
зить и таким уравнением:
О d(lx — Т ddy dz ddz
Q dx — T dy dsi dzz ’
которое несколько более удобно п где буквы х, у, z, Т
обозначают у меня то же, что и раньше, и затем, 0 есть
подкасательная к другой данной кривой, которая полу-
чается пересечением поверхности плоскостью, параллель-
ной к первой координате, т. е. х. Из этих уравнений легко
могут быть выведены все частные случаи, которые ты даёшь
уже решёнными».
О методах И. Бернулли уже шла речь во II главе
нашей работы. Здесь отметим еще только, что по прочте-
нии этого письма вряд ли возможно сомневаться в искрен-
ности утверждения И. Бернулли, что опубликованный им
в 1742 г. мемуар о геодезических есть лишь записанное
Клингенштирна изложение найденного им ещё в 1728 г.
решения. [Перейдём к рассмотрению методов Эйлера
в уже упомянутом здесь его мемуаре.
Самому решению задачи: определить на данной поверх-
ности кратчайшую линию между любыми двумя её точ-
ками, Эйлер предпосылает вводные замечания. В них он
упоминает о возможности механического решения задачи
посредством натягивания нити; затем он вводит систему
пространственных координат и разъясняет, что поверх-
ность может быть выражена одним уравнением с тремя
неизвестными, линия—двумя такими уравнениями, точ-
ка —тремя; наконец, он говорит, что минимальное свойство
всей кривой должно быть присуще любому её элементу.
Идея доказательства не нова (черт. 36). Между
точками поверхности: G и Н с координатами:
АВ = t, BE = b, EG = сг)
и
AD = t + 2а, DF = /, FH = g,
г) Обозначения взяты целиком из рассматриваемого мемуара.
442
К. А. РЫБНИКОВ
выбирается точка М с координатами:
АС =	СР = х, РМ — у.
Плоскость, проходящая через точку М перпендикулярно
оси АТ, рассечёт поверхность по кривой IK, уравнение
которой известно, коль скоро задана сама поверхность.
Иными словами, аналогично
тому, как на плоскости искомая
точка кривой или вершина ап-
проксимирующей её ломаной
разыскивается при фиксирован-
ной абсциссе, так и здесь абсцис-
са искомой точки М в геодези-
ческой линии фиксируется (а —
постоянная), и точка М разы-
скивается лишь среди точек
кривой IK.
Задача сводится Эйлером к отысканию минимума сумм
отрезков прямых: MG + MH при различных положе-
ниях точки М на кривой IK,
MG 4- МН = /а2 + (х - Ь)2 + (у - с)2 +
+ K«2 + (/-*)2 + (g-y)2-
Чтобы отыскать на кривой IK положение точки М,
дающее минимум этому выражению, Эйлер приравнивает
нулю его дифференциал. Получается:
♦ (x-b)dx + (y-c)dy =	(f-x) dx + (g-~y)dy	д.
/0» + (я-Ь)*+ („_<•)«	V“2 + (/-^ + (g-!/)2
Из дифференциального уравнения кривой IK-.
Р dx = Qdy
определяем отношение дифференциалов:
dx'.dy = Q'.P
и заменяем эти дифференциалы в (А) пропорциональ-
ными им величинами:
(a;-b)Q + (y-c)P	_	(/-*) Q + (g~ У) Р . /р)
Va‘ + (x-by + (y-c}»	/в2+ (/-«? + (?-У)2 ’
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 443
После этого Эйлер вводит новые обозначения координат
точек G и И, находящихся на элементе поверхности,
через дифференциалы
a = = const.; f = x-\-dx\ g = y ~^dy\
b = x — dx + d2x, c — y — dy+d2y,
и, подставив их в (В), получает:
Q(dx — d2x) + P (dy — d2y) _ Qdx-j-P dy ~
У dt2 + (dx — d2x)2 + (dy — d2y)2	dt2 + dx2 + dy2
Левая часть (С) получается из правой путём замены dx
и dy соответственно на dx — d2x и dy — d2y. Отсюда
Эйлер делает вывод, что дифференциал правой части (С)
должен равняться нулю, т. е.
(dt2 + dx2 + dy2) (Q d2x + P d2y) -(Qdx-j-P dy) (dx d2x 4- dy d2y)_q
( У dt2 + dx2 + dy2)z
ИЛИ
Qd2x-\-Pd2y __ dx d2x + dyd2y
Qdx-{-P dy ~~ dt2 + dx2 -f- dy2 *	' '
Уравнение (D) в совокупности с уравнением поверхности:
Р dx = Q dy 4- Rdt
будут определять искомую геодезическую кривую.
Остальная часть мемуара представляет собою приме-
нение полученного уравнения к различным частным видам
поверхностей.
Отметим, кстати, как может быть связано уравнение
(D) Эйлера с ныне употребляющимся уравнением геоде-
зических линий.
Если дана поверхность
F (х, у, z) = О,
или
Р dx + Q dy -f- R dz = О
Z n OF ~ dF r) OF \
\	dx x dy	dz J
444
К. А. РЫБНИКОВ
то уравнение геодезической кривой на этой поверхности
будет, как известно:
dx
d2x
Р
dy
dly
Q
dz
d2z
R
= 0.
Для приведения в соответствие с заданием уравнения
поверхности у Эйлера достаточно всюду поставить:
— Р вместо Р, t — вместо z и положить dt = const., откуда
d2t = d2z = 0.
Следовательно, уравнение в предположениях и обозна-
чениях Эйлера примет вид
dx dy
d2x d2y
-P Q
dt
0=0,
R
или
P dt d2y -\-Qdt d2x 4- R (dx d2y — dy d2x) — 0.
Умножая обе части этого уравнения на dt, получим:
(Р d2y -|- Q d2x)dt2 Rdt (dx d2y — dy d2x) = 0.
Но из уравнения поверхности
—Rdt = Qdy — P dx,
и поэтому:
(P d2y 4- Q d2x) dt2 = (Qdy — P dx) (dx d2y — dy d2x) =
= —P d2y dx2 — Q d2x dy2 + dxdy(P d2x 4- Q d2y) —
— P d2y dy2 — Q d2x dx2 4- P d2y dy2 4~ Q d2x dx2,
или, наконец,
Qd-x + Pdhy dxd2x + dyd2y
Qdx-}-Pdy dt2 + dx1 + dy'2
т. e. уравнение в форме Эйлера. Аналогичное рассуждение
может быть проведено относительно уравнений, встретив-
х) Ср. М. Cantor, Vorlcsungcn fiber Geschichte der Mathema-
tik, t. in.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦПОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 445
шихся в письме И. Бернулли1). В первом из его уравнений
Т d2y _ d2z
Т dzdy~- z ds2 ~ ds2 4- dz2 ’
как то следует из пояснений,
T = —	, a ds = const.
После подстановки указанного значения Т уравнение
примет вид:
R d'y _ d2z
R dydz + Q ds2 ds2 + dz2 ’
к которому можно привести обычное уравнение геодези-
ческой линии. Именно, из уравнения поверхности
Р dx 4- Q dy + R dt - О
имеем:
р	Qdy + Rdz .
dx 1
кроме того, если ds = const., то
В уравнение геодезической кривой
P(dyd2z dzd'y) + Q (dzd2x — dxd2z)+
4- R (dx d2y — dy d2x) = 0
подставим, вместо P и d2x, их значения. Получим:
 + (dy d4 _ dz d2y) _ Q	+ dx dh) +
+R^dxd‘y + ^-)=O,
или после простых преобразований,
R d2y ds2 = Q dy2 d2z + Rdydz d2z - R d2y dz2 + Q dx2 d2z
x) G. Ene strom, Sur la decouverte de 1’equation generale
• des lignes geodesiques, Bibliotheca Mathematica, 1899, S. 22—23.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 447
. В развитии идей Эйлера этой работе принадлежит
исключительно важная роль. В ней впервые даётся общий
метод решения вариационных задач, тот метод, который
затем в течение 12 лет Эйлер только совершенствовал,
не затрагивая его принципиальных основ. Работа эта
знаменует тот самый поворот в развитии, когда решения
частных задач уже подготовили общий метод и когда,
наоборот, развитие метода расширяет класс решаемых
задач. Из первых же слов трактата видно, что Эйлер выде-
ляет в качестве предмета исследования не отдельные зада-
чи, а вообще «задачи, где отыскивают кривые, обладаю-
щие максимальным или минимальным свойством» («РгоЬ-
lemata, quae curvas maximi minimive proprietate praeditas
requirunt»).
Тут же он даёт их классификацию:
«1. Изо всех вообще кривых определить ту, которая
обладает свойством А в максимальной или минимальной
степени;
2. Изо всех кривых, обладающих одним и тем же свой-
ством А, определить ту, которая обладает свойством В
в максимальной или минимальной степени;
3. Изо всех кривых, обладающих одними и теми же
свойствами А и В, определить ту, которая обладает свой-
ством С в максимальной или минимальной степени» и т. д.
В основу метода решения задач первого класса, т. е.
задач на абсолютные экстремумы, Эйлер кладёт две уже
не новые идеи: принцип Лейбница — Я. Бернулли, утвер-
ждающий, что экстремальная кривая является таковой
в любой своей бесконечно малой части, и идею сохранения
максимального значения свойства, когда элемент экстре-
мали заменён элементом другой кривой, бесконечно к ней
близкой. Объяснив кратко свой метод, заключающийся
в варьировании одной ординаты и в приравнивании зна-
чений свойств соответствующего элемента экстремали
и бесконечно к нему близкого, Эйлер, ещё не выводя ника-
ких формул, применяет его сразу на конкретном примере,
когда требуется найти кривую, проходящую через 2 задан-
ных точки, для которой интеграл хп ds был бы мини-
мальным.
446
К. Л. РЫБНИКОВ
и, наконец,
R d2y __ d2z
Rdydz + Q ds1 ~~ ds'2 + dz'2
Во втором уравнении И. Бернулли
Qd2x — Т d2y dzd2z
bdx — Tdy ~~ ds2 4- dz2
имеем
и после подстановки значений Гиб получается:
Р d2y — Qd2x _ dzd2z
Pdy—Qdx ~ ds2+dz2 ’
откуда, беря —	, вместо d?x, и —Qdy+Jldz *
вместо Р, приходим к уже известному уравнению
Rd2 у ____ d2z
Rdydz + Qds2 ds2 + dz2
Таким образом, из разбора первого мемуара Эйлера
о геодезических видно, что, во-первых, ему были хорошо
известны предыдущие работы по этому вопросу братьев
Бернулли. Это и не удивительно, ибо Эйлер был учеником
И. Бернулли. Во-вторых, здесь ещё нет и речи о выработке
более общих методов решения вариационных задач, чем
те, которые применялись до сих пор. Метод решения задачи
о геодезических близко подходит к методу И. Бернулли.
Но несомненно, что Эйлера не удовлетворяла малая
общность и недостаточность приёмов, применяемых при
решении задач уже осознанного в своём своеобразии
класса. Он ищет общий метод, который позволил бы ему
справиться с любой из вариационных задач. И вот в 1732 г.
он написал новую работу: «Problematis isoperimctrici
in latissimo sensu accepti solutio generalise (Общее
решение изопериметрической задачи, взятой в самом
общем смысле1).
*) Опубликована в 1739 г. в «Commentarii Academiae Petro-
politanae», ad annum 1732—1733, t. VI, 123—155.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 447
. В развитии идей Эйлера этой работе принадлежит
исключительно важная роль. В ней впервые даётся общий
метод решения вариационных задач, тот метод, который
затем в течение 12 лет Эйлер только совершенствовал,
не затрагивая его принципиальных основ. Работа эта
знаменует тот самый поворот в развитии, когда решения
частных задач уже подготовили общий метод и когда,
наоборот, развитие метода расширяет класс решаемых
задач. Из первых же слов трактата видно, что Эйлер выде-
ляет в качестве предмета исследования не отдельные зада-
чи, а вообще «задачи, где отыскивают кривые, обладаю-
щие максимальным или минимальным свойством» («РгоЬ-
lemata, quae curvas maximi minimive proprietate praeditas
requirunt»).
Тут же он даёт их классификацию:
«1. Изо всех вообще кривых определить ту, которая
обладает свойством А в максимальной или минимальной
степени;
2. Изо всех кривых, обладающих одним и тем же свой-
ством А, определить ту, которая обладает свойством В
в максимальной или минимальной степени;
3. Изо всех кривых, обладающих одними и теми же
свойствами А и В, определить ту, которая обладает свой-
ством С в максимальной или минимальной степени» и т. д.
В основу метода решения задач первого класса, т. е.
задач на абсолютные экстремумы, Эйлер кладёт две уже
не новые идеи: принцип Лейбница — Я. Бернулли, утвер-
ждающий, что экстремальная кривая является таковой
в любой своей бесконечно малой части, и идею сохранения
максимального значения свойства, когда элемент экстре-
мали заменён элементом другой кривой, бесконечно к ней
близкой. Объяснив кратко свой метод, заключающийся
в варьировании одной ординаты и в приравнивании зна-
чений свойств соответствующего элемента экстремали
и бесконечно к нему близкого, Эйлер, ещё не выводя ника-
ких формул, применяет его сразу на конкретном примере,
когда требуется найти кривую, проходящую через 2 задан-
ных точки, для которой интеграл хп ds был бы мини-
мальным.
448
К. А. РЫБНИКОВ
Для двух элементов первоначальной кривой (abc)
имеем (черт. 37):
ОАп • ab + ОВп • Ьс,
а для изменённой (аре):
ОАп • ар + ОВп •
В силу условия экстремальности, эти две суммы равны
между собою:
ОАп • ab-\-OBn • Ьс =
= ОАп • ар + ОВп • ре,
или
ОАп • $т = ОВп • bn (1)
(Ьт и рп —дуги окружностей,
проведённых соответственно из
а и с, как из центров).
Но из подобия треугольников
Черт. 37. рбпг и ЬаМ\
ЬМ
аЪ 1
а из подобия треугольников фЬп и bcN:
Равенство (1) примет поэтому вид:
ОАп - ЪМ  Ьр _ ОВп - cN • bp
ab ~~ cb ’
или
•bV _ ОВ"•cN
ab	cb
Последнее уравнение, по словам Эйлера, выражает, что
ОАп -b''I	.
-----г---= const.,
ab
или, если обозначить
ОА = х, bM = dij, ab = ds и const. = ап,
ПЕРВЬ Е ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 449
ЧТО
Далее этот же метод применяется для более сложных
задач первого класса, когда, например, требуется отыскать
кривую, для которой хтуп ds принимает экстремальное
значение.
Для решения задач второго класса — изопериметриче-
ских—Эйлер, следуя Я. Бернулли, варьирует две смеж-
ные ординаты (черт. 38). Орди-
ната ВЬ получает приращение
Ь?} ордината С с — прираще-
ние су, и элемент кривой аЪс
заменяется элементом apyd.
Как и в решении задач пер-
вого класса, из подобия со-
ответствующих треугольников
получаем:
ab ’	‘ сЪ ’
л cN • су	Pd • су
с? = —Г"1 I	=----л •
со	* cd
Черт. 38.
Эйлер показывает, что дифференциальные значения обоих
условий: условия А, общего для всех кривых избранного
класса, и условия В, принимающего экстремальное зна-
чение для искомой кривой (т. е. разность значений, при-
нимаемых данной формулой для разыскиваемой инте-
гральной кривой и варьированной кривой), примут, вообще
говоря, вид:
Р • 6р — Q • су = О,
R‘ —• су = О,
«в которых величины Q и S по большой части таким
образом составлены, что Q— Р + dP и S = R + dR. Если
нее они такой формы не имеют, то их можно всегда к ней
привести умножением или делением уравнений».
29 Историке-мате мат. исследования
450
К- А- РЫБНИКОВ
Заметим кстати, что из последнего утверждения
Эйлера следует, что он должен был уже тогда знать о суще-
ствовании интегрирующего множителя1).
Если
Q = P + dP, a S = R + dB,
то, разделив уравнения
р . 6p=(P + dP)cy,
R • b? = (R + dR)c^
почленно одно на другое, получим:
Р __ Р + dP
R ~ 11 + dR ’
откуда
dP dR
Р ~~ R
и, наконец,
Р + лЯ = 0,	(1)
где а —постоянная интеграции.
Задача сведена к определению выражений Р и R и меха-
нической их подстановке в уравнение (1). Но нахождение
Р и R требует изменения лишь одной ординаты, из чего
мы видим, что задача второго класса сведена к задаче
первого класса. Эйлер решает ряд простейших задач
и полученные значения для Р сводит в таблицу, которой
в дальнейшем и пользуется.
Так, в частности, если требуется из всех кривых дан-
ной длины, соединяющих две данные точки, найти кривую,
охватывающую наибольшую площадь, т. е. когда общим
свойством А является ds — S, а свойство В состоит
в требовании экстремальности для \ ydxt то по таблице
х) Частный случай употребления интегрирующего множителя
встречается ещё у И. Бернулли; см. его Opera omnia, 111, 416. В дан-
ном же случае Эйлер имеет дело с дифференциальным выражением,
содержащим 4 независимых переменных; для такого выражения
вообще не существует интегрирующего множителя.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 451
находится
P = d^-, R = dx,
и уравнение (1) примет вид:
а • d^-—dx,
ds ’
откуда
и, наконец,
ъ2 + У2 = а2.
Для задачи, например, определения формы свободно
висящей нити, подвешенной за оба конца, в качестве
общего свойства А опять имеем ds = S, свойством же,
которое должно принять для данной кривой экстре-
f х ds	.
мальное значение, является \-----, или, так как s= const.,
J *'
то	Эйлер находит в свой таблице:
P = dq1), R = d(xq),
и уравнение экстремали будет:
adq-d(xq), или aq = xq— b.
Заменяя х па х 4- а, он получает xq = b, или
xdy = bds
—дифференциальное уравнение цепной линии.
Эйлер составил таблицу, где приведены вычисления
для 24 различных видов интегралов. Среди этих по-
следних впервые встречается такой случай, когда подин-
тегральная функция сама является функцией интеграла.
Когда речь заходит о таком случае, Эйлер делает
существенное замечание, что формулы, полученные из
х) Обозначая буквой q для сокращения ~ .
29*
452
К. А. РЫБНИКОВ
принципа, которому оы до сих пор следовал и который
позволял рассматривать, вместо всей кривой, её беско-
нечно малую часть, здесь уже неприменимы.
Замечание это высказано Эйлером для случая, когда
интегралом является длина кривой. «Не могу не упомя-
нуть,—говорит Эйлер,—что если S не будет одной
и той же длины для всех кривых и вследствие этого
не может быть отброшена в свойстве В, то задача не
может быть решена из формул»1).
Это замечание свидетельствует о первой постановке
вопроса о границах применимости принципа Лейбни-
ца—Я. Бернулли.
Следующий класс изопериметрических задач —тре-
тий, когда требуется из всех кривых, обладающих
свойствами А и В, выбрать ту, для которой свойство С
имеет экстремальное значение,—решается совершенно
аналогично. Варьируются, соответственно, 3 ординаты;
вычисления приводят к системе трёх уравнений вида
Р • + Q • су 4- R • с/8 = О,
из которых затем исключаются приращения ординат
63, су, db, и получается уравнение вида:
Р 4- тр -J- пк = О,
где т и п — произвольные постоянные, появляющиеся
в результате двух последовательно выполненных инте-
граций.
Этот мемуар Эйлера от 1732 г. является по сути дела
первым, в котором был выдвинут общий метод решения
вариационных задач. Вариационное исчисление начало
становиться особой математической дисциплиной. Этот
общий метод, как мы ниже увидим, имеет все существен-
ные черты, отличающие методы Эйлера в «Methodus inve-
niendi»2). Но метод этот ещё недостаточно развит; нет,
в частности, ещё и известной эйлеровской формулы
Ndx-dP = Q\
х) «Commentarii Academiae Petropolitanae», 111, 144.
2) Сокращенное название основного мемуара Эйлера по вариа-
ционному исчислению, вышедшего в 1744 г.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 453
не является он и достаточно общим, поскольку рассмат-
риваются, хоть и сведённые в таблицу, по всё же частные
виды функционалов.
Невидимому, Эйлер прекрасно сознавал, что его метод
ещё требует дальнейшего усовершенствования. В 1736 г.
он представил Петербургской Академии наук новую
работу: «Curvarum maximi minimive proprictate gauden-
tium inventio nova et facilis» (Новое и лёгкое отыскание
кривых, обладающих максимальными или минимальными
свойствами)1). В ней Эйлер возвращается к своему пре-
дыдущему мемуару, так как, говорит он, «недавно мне
попались вопросы подобного же рода, для решения кото-
рых формулы, данные мною в то время, не были достаточ-
ны, так что я был вынужден рассматривать новые формулы,
более общие, а перед этим исследовать удобные обозна-
чения для решения задачи. Занявшись этим делом, я не
только открыл более лёгкий путь, чем раньше, для реше-
ния задач подобного рода, но даже все 24 формулы, кото-
рые я разобрал раньше, я объединил в единственную;
кроме того, оказалось возможным приспособить вычисле-
ния к другим формулам, более общим»2).
«Более удобные обозначения» Эйлер вводит с помощью
римских цифр следующим образом:
I	I	I
y = y + dy, dy = dy + d*y, d2y = d'-y+d3y;
II	II
y = y + 2dy +d2y;	dy = dy-\-2d2y + d3y ит.д.
Вообще для любого Q:
Q=Q+dQ.
Наконец, p = s — длина дуги, так что
dy — р dx, ds — у 1 + р~ dx,
причем dx = const. = —— .
*) «Commentarii Academiae Petropolitanae», ad annum 1736,
t- Vlll, 159—190. (Отпечатан в 1741 г.)
a) Там же, стр. 159.
Ifik	К. л. РЫБНИКОВ
Эйлер применяет тот же метод, что и в предыдущее
мемуаре. Начинает он с задачи на отыскание кривой,
проходящей через 2 точки, дающей экстремальное зна-
чение интегралу Qdxt т. е. с задачи на отыскание
абсолютного экстремума. Заменяя кривую ломаной
I
du	..	и — и
производную ~ — р конечной разностью -	~ , а интег-
рал— суммой, Эйлер изменяет (варьирует) одну ц3
ординат и рассматривает элемент кривой, применяя тем
самым принцип Лейбница —Я. Бернулли. Но в выраже-
нии Qdx он полагает Q— Q(x, у, р, s) и все вычис-
ления проводит для этого «общего», как он говорит,
случая, к которому, однако, указанный принцип непри
меним. Он даёт аналогичный приём (варьируя две орди-
наты) для решения изопериметричсской задачи, допуская
ту же самую ошибку. Сложные вычисления Эйлера,
содержащиеся в данной работе, нет необходимости здесь
рассматривать; они неверны в исходном пункте.
В конце же мему ара1) Эйлер делает, тем не менее,
правильное замечание, что принцип Лейбница—Я. Бер-
нулли не всегда верен. Он говорит, что если из всех кри-
вых, соединяющих две данные точки, следует выбрать
одну, для которой достигается экстремальное значение
функции Q, то:
1. Если Q не зависит пи от длины дуги кривой, ни от
другого интеграла, то каждый элемент экстремальной
кривой обладает экстремальным свойством;
2. Если же Q зависит от длины дуги или от другого
интеграла, то искомая кривая может давать экстремум
величине \Qdx без того, чтобы всякий её элемент обладал
этим же свойством.
Таким образом, всё содержание мемуара оказывается
в вопиющем противоречии с его заключительными заме-
чаниями. Объяснение, впрочем, напрашивается само собой.
Предположение, что Эйлер совершил указанную ошибку
по невнимательности, совершенно исключено, потому что
*) «Commentarii Academiae Petropolitanae», VIII, 188.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОИ- ИСЧИСЛЕНИЯ 455
ошибочные рассуждения повторяются много раз на протя-
жении всего мемуара. Но мемуар Эйлера был напечатан
в 1741 г., а написан в 1736 г. За 5 лет Эйлер сделал боль-
шой шаг вперёд в разработке вариационного исчисления.
Невидимому, Эйлер по каким-то причинам не смог внести
исправления перед публикацией текста.
• Рассмотренными мемуарами не исчерпывается этот
период деятельности Эйлера в области вариационного
исчисления. Можно указать и на другие его работы, в кото-
рых он занимается решением вариационных задач. Как
мы уже упоминали, в 1726 г. в «Acta Eruditorum» Эйлер
поставил задачу о брахистохроне в сопротивляющейся
среде. Как первое её решение, данное Я. Германном1)
в 1727 г., так и решение Эйлера от 1734 г., опубликован-
ное в 1741 г.2), оказались, однако, ошибочными. Общей
причиной ошибочных решений явилось неправильное
применение принципа Лейбница—Я. Бернулли. Впервые
задачи такого типа были правильно решены в «Methodus
inveniendi», при разборе которого в следующей главе мы
на них специально обратим внимание.
В вышедшей в 1736 г. «Механике»3) Эйлер вновь рас-
сматривает задачу о брахистохроне в сопротивляющейся
среде. Задача о геодезических линиях па поверхности
также привлекает здесь внимание Эйлера. Уже в преди-
словии ко второй части «Механики» Эйлер говорит, что он
показал, что тело, не находящееся под действием каких-
либо сил, должно двигаться по заданной линии или
поверхности равномерно; кроме того, на поверхности это
тело будет двигаться по геодезическим линиям. В дальней-
шем (предложения 8 и 9) он рассматривает этот вопрос
подробно и доказывает при этом основное свойство гео-
дезических линий.
Итак, основное содержание вариационного исчисления
Эйлера сложилось уже к 1736 г. Была установлена точная
классификация вариационных задач и для каждого класса
J) «Commentarii Acaclemiae Petropolitanae», 11, 1727, 139 и
след.
2) Там же, VII, 1734—1735, 135.
s) «Mechanica sive motus scientia», 11, 1736,
456
К. А. РЫБНИКОВ
разработаны методы решения. Но методы эти ещё не имели
полной ясности и единообразия; к тому же открытие непри-
менимости принципа Лейбница — Я. Бернулли к очень боль-
шому классу вариационных задач частично опровергало
результаты Эйлера и требовало их пересмотра. Эта работа
по усовершенствованию своих методов решения вариа-
ционных задач была проделана Эйлером в последующие
годы, и в 1744 году он смог, наконец, считать её закончен-
ной.
IV. «Methodus inveniendi» Эйлера
1
Сочинение Эйлера: «Methodus inveniendi lineas curvas
maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio prob-
lematis isoperimetrici latissimo sensu accepti» («Метод
нахождения кривых линий, обладающих свойствами
максимума либо минимума, или решение изопериметри-
ческой задачи, взятой в самом широком смысле»), выпу-
щенное в свет в 1744 г.1), явилось, как мы видели,
итогом почти пятнадцатилетней его работы в области
вариационного исчисления. В этом сочинении Эйлер
впервые с достаточной степенью общности изложил свой
«метод максимумов и минимумов в применении к кривым
линиям» (стр. 25)2) и решил с его помощью как все поста-
вленные до него вариационные задачи, так и многие дру-
гие. Поэтому «Methodus inveniendi» (как сокращённо
мы впредь будем называть это сочинение Эйлера) с пол-
ным правом может считаться первой книгой по вариацион-
ному исчислению. Помимо того, эта книга является пре-
восходным образцом для изучения творческих путей
Эйлера и обладает высокими научными качествами.
Однако, хотя за последнее время идеи Эйлера снова
начинают находить себе применение при развитии так
называемых прямых методов вариационного исчисления
х) В 1934 г. был выпущен ГТТИ русский перевод этого сочи-
нения с вступительной статьёй Н. С. Кошлякова.
2) Указание страниц без специального разъяснения означает
здесь и далее ссылку на страницы русского издания.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 457
и хотя современные учебники уделяют очень большое
внимание разъяснению прямых методов, само сочинение,
в котором эти идеи были впервые с достаточной полнотой
высказаны Эйлером, совершенно недостаточно освещено
в нашей литературе. Поэтому наряду с анализом идей
и методов Эйлера здесь будет уделено некоторое место
краткому изложению содержания «Method us inveniendi»
и особенностям стиля этой книги.
До сих пор нередки курсы вариационного исчисления,
в которых задачи вариационного исчисления «свали-
ваются с потолка», появляются совершенно неоправ-
данно и в абстрактной форме. Эйлеру, хотя он в состоянии
ставить вариационные задачи уже в общем виде, совер-
шенно чужда такая постановка вопроса. Он стремится
каждый раз подробно объяснить и обосновать всякое
вновь вводимое понятие, выяснить необходимость и истин-
ный смысл каждого умозаключения. Ставя задачу, он не
стесняется иногда ставить её вначале недостаточно опре-
делённо, с тем, чтобы тут же научить читателя ставить
её вполне правильно. В этом естественном подведении
читателя к, казалось бы вначале, трудным и отвлечён-
ным вопросам заключается огромное педагогическое зна-
чение сочинения Эйлера. После каждого правила, каж-
дой формулы он приводит большое число прекрасно подоб-
ранных примеров, в отношении которых вполне справед-
ливо замечание Якоби, что добавление к примерам Эйлера
по существу нового примера всегда является подлинным
достижением. Поэтому работа Эйлера читается легко
и буквально подкупает своей ясностью и простотой.
Как мы уже видели, в первых мемуарах по вариацион-
ному исчислению Эйлеру удалось обобщить опыт реше-
ния вариационных задач его предшественниками и,
опираясь на него, создать основы общего метода решения
этих задач.
В «Methodus inveniendi» картина меняется1): исход-
ным пунктом является уже не отдельная конкретная
х) Напомним, что даже ещё в начале последнего мемуара 1736 г.
Эйлер говорит, что столкновение с новыми, более трудными зада-
чами заставляет его вновь возвратиться к теме и попытаться найти
более общие формулы.
458
К. А. РЫБНИКОВ
задача, а общий метод решения многочисленного класса
вариационных задач, применяющийся затем к решению
различных видов таких задач. Этот метод, который Эйлер
называет «методом максимумов и минимумов в примене-
нии к кривым линиям», имеет своей первоначальной
самой общей, целью отыскание кривых линий, «для кото-
рых какая-либо наперёд заданная величина достигает
своего наибольшего или наименьшего значения» (стр. 25).
Но в такой форме задача ещё недостаточно определённо
поставлена, и Эйлер её уточняет. Прежде всего, сама
постановка вопроса о выборе некоторой кривой линии
заставляет указать, из какого множества кривых должна
быть выбрана.искомая кривая. Отсюда естественно выте-
кает первое условие определённости задачи: следует рас-
сматривать лишь кривые или части кривых, соответст-
вующие некоторому определённому, раз навсегда выб-
ранному, отрезку оси абсцисс1). При этом экстремаль
можно выбирать как среди всех вообще кривых, соответ-
ствующих данному отрезку абсциссы, так и среди только
тех из них, которые обладают какими-либо наперёд
указанными общими свойствами; вследствие этого и «метод
максимумов и минимумов» Эйлер делит на абсолютный
и относительный.
Далее, так как речь идёт об отыскании кривой, обла-
дающей максимумом или минимумом некоторого свойства,
то, значит, имеются в виду предметы, к которым приме-
нимы понятия «меньше» и «больше». Всякие же предметы
такого рода Эйлер считает величинами. Следовательно,
свойство является величиной и величиной переменной,
принимающей для искомой кривой экстремальное значе-
ние. Величина же выражается числом и изображается,
по Эйлеру, формулой, которую он и называет «формулой
максимума или минимума». Таким образом, Эйлер при-
ходит к тому, что хотя речь и идёт о кривых, обладающих
определённым свойством, но задача должна допускать
некоторое аналитическое выражение. К поискам его
Эйлер теперь и обращается. Ему при этом ясно, однако,
г) Эйлер всегда выбирает отрезок осп абсцисс, имеющий своим
терым концом начало координат.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦПОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 459
что аналитическое выражение, изображающее величину,
об экстремуме которой идёт речь, не есть простая функ-
ция в обычном смысле слова. Термина «функционал»
мы ещё у него нс находим. Однако под его «неопределён-
ной функцией» понимается именно функционал.
Какой вид должен иметь функционал? Из всех извест-
ных Эйлеру аналитических выражений функцией от кри-
вой может быть лишь «неопределённая интегральная
величина», т. е. W Z dx. Разъяснение этого, очень
существенного для понимания книги, замечания Эйлер по-
мещает в виде «доказательства» соответствующей теоремы.
Он говорит, что если IV будет «функцией величин х и у
и зависящих от них р, q, г, s и т. д.1), либо алгебраиче-
ской, либо такой трансцедентной, которая может быть
установлена без задания соотношения между х и у2)
(стр. 45), то «значение, которое получает формула W
для данной кривой amz, отнесённой к данной абсциссе AZ,
будет зависеть только от последней ординаты Zz, и то же
самое будет для всех кривых, имеющих в Z ту же ординату
Zz. Таким образом, формулой W определится не характер
всей кривой, а только положение сё последней точки z.
Если в W будет входить, кроме хну, величина р, то этим
определится, кроме длины ординаты Zz, также положение
касательной к кривой в z, или положение последнего
элемента в z.
Если же, кроме того, войдёт q, то определится поло-
жение двух смежных элементов кривой в z и т. д.
Отсюда следует, что если 17 будет определённой функ-
цией х, у, р, q, г, s и т. д., то через неё определится
только бесконечно малая часть кривой вблизи её конца z,
и для всех кривых, кончающихся таким же самым обра-
зом, значение 17 получится то же самое.
Следовательно, для того чтобы формулой W опреде-
лялась вся кривая amz, соответствующая всей абсциссе AZ,
формула W должна быть составлена так, чтобы её значе-
ние, отнесённое к определённой кривой amz, зависело
х) У Эйлера р, q, г, s и т. д.—последовательные производные
от у но х.
2) Такие функции Эйлер называет определёнными.
450
К. А. РЫБНИКОВ
от положения отдельных элементов этой кривой, находя-
щихся между пределами а и z. А это возможно только
в том случае, когда величина IV будет неопределённым
интегральным выражением, которое в общем виде, без
установления уравнения между х и у не допускает инте-
грирования» (стр. 45—46).
Хотя во всех вариационных задачах, решавшихся
до Эйлера, формула максимума или минимума всегда была
задана в конечном счёте в виде определённого интеграла
(или, в случае словесного выражения, речь всегда шла
о свойстве, дававшем при переводе на язык символов
тоже интеграл), по только Эйлер сформулировал задачу
вариационного исчисления в общем виде, именно как
задачу на экстремум некоторого «интегрального выраже-
X,
ния» вида W = Z (ж, у, у', у", .. .)dx. «Неопределённую
величину», заданную «только посредством дифференциаль-
ного уравнения», Эйлер также считает возможным выразить
с помощью интеграла, но только такого, в подинтеграль-
ное выражение которого в свою очередь входит эта «неопре-
делённая величина». Подробнее об этом мы будем гово-
рить ниже.
В зависимости от вида подинтегральной функции
Эйлер различает два основных вида формул максимума
или минимума: а) когда Z есть алгебраическая или вообще
определённая функция от х, у и производных р, q, г
и т. д.; б) когда Z сама является функционалом, т. е.
в свою очередь зависит от некоторой «неопределённой
величины». (Последняя, как мы уже отмечали, может быть
задана посредством дифференциального уравнения.) Раз-
личение это для Эйлера важно потому, что принцип
Лейбница—Я. Бернулли, из которого он исходит, приме-
ним только для первого вида формул максимума или мини-
мума. То, что в этом случае нодинтегральная функция
есть функция определённая, позволяет Эйлеру заметить
независимость друг от друга «формул максимума или
минимума» для отдельных частей кривой. Это в свою
очередь позволяет ему утверждать, что экстремаль
является экстремалью в любой своей части, и в дальней-
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИ/ЦИОИ. ИСЧИСЛЕНИЯ 461
тем заменить изучение изменения всей кривой изучением
изменения её произвольно малой части.
Для второго вида «формул максимума или минимума»
этот принцип явно неприменим, ввиду невозможности
утверждать отмеченную выше независимость значений
этих формул для отдельных участков кривой. Эйлер ясно
понимает всю важность этих своих замечаний; он выде-
ляет их в отдельные теоремы (стр. 49 и 53) и «доказывает»
их (если можно назвать доказательством пространное
изложение только что приведённых нами соображении).
На примере задачи о брахистохроне Эйлер показывает,
что для определённости постановки задачи необходимы,
в общем случае, дополнительные условия. На необходи-
мость этих условий указывают константы, получающиеся
при решении дифференциального уравнения задачи, при-
чём число констант совпадает с порядком дифференциаль-
ного уравнения. Задавать эти дополнительные условия
Эйлер предпочитает чаще всего в виде требований про-
хождения экстремали через столько определённых точек,
какого порядка получается дифференциальное уравнение.
Таким образом, Эйлер постепенно подводит читателя
к правильной постановке основных задач вариационного
исчисления: 1) из всех кривых, определённых на данном
участке оси абсцисс (а,Ь) или 2) из кривых, обладающих
на том же отрезке абсциссы в равной мере некоторыми
общими свойствами1), выбрать такую, для которой интеграл
VT= J Zdx будет принимать наибольшее или наименьшее
значение. Вопроса об определении характера экстремума
Эйлер в общем виде не решает, определяя его для каждой
задачи особо. Эйлер даёт и другую, чисто аналитическую
постановку основной задачи: «когда вопрос относится
к абсолютному методу максимумов или минимумов, тре-
буется найти такое уравнение между х и ?/, чтобы после
подстановки в W значения у, выраженного через х, и при-
дания абсциссе определённого значения2) значение W
Определение того, что называется общим свойством, Эйлер
Даёт гораздо позднее.
2) Под этими словами, как мы поясняли п раньше, следует
понимать установление пределов интеграции.
462
К. А. РЫБНИКОВ
делалось бы наибольшим или наименьшим по сравнению
со значениями, которые получаются при каком-нибудь
другом уравнении между х и у». Однако он всё же при-
держивается геометрического характера изложения, свя-
занного с рассмотрением кривых линии.
Если и у Ньютона, и у Лейбница основные понятия
анализа определялись ещё, по существу, через понятия,
заимствованные из механики и геометрии, то у Эйлера,
наоборот, понятия механики и геометрии приобретают
всё более и более аналитическую трактовку, анализ же
трактуется — по крайней мере, по форме—независимо
от геометрии. По существу, и в «Methodus inveniendi»
основное внимание Эйлера обращено на выработку ана-
литического алгоритма решения вариационных задач.
Но специфической чертой этой работы Эйлера является
всё же геометрическая формулировка не только основной
задачи, но и методов её решения. Сам Эйлер обосновывает
это следующим образом: «Хотя вопросы этого рода могут
касаться как абстрактных, так и конкретных величин,
для нас будет удобнее всего решать их в применении
к кривым линиям» (стр. 43).
Мы знаем в настоящее время, что эта геометрическая
терминология не случайна и действительно приносит
существенную пользу в вариационном исчислении. Её
значение перерастает за рамки наглядности доказа-
тельств. Поэтому данное Кнезером освещение этой сто-
роны эйлеровского метода неправильно. В своей статье
«Эйлер и вариационное исчисление» Кнезер противопоста-
вляет предметную точку зрения (consideratio rerum ipsa-
rum), рассматривающую непосредственно самые вещи той
или иной конкретной природы,—алгоритмической точке
зрения. Именно в этом переходе от изучения конкретных
вещей к созданию общих алгоритмов он видит различно
между Лейбницем и его предшественниками. «Рассмотрение
самих вещей, — пишет он, —при поверхностном суждении
представляется желанной целью; однако, если мы срав-
ним лейбницевское инфинитезимальное исчисление с трак-
товкою задач у более старых исследователей, равно как
с повторяющимися до наших дней возвратами к долейбнн-
цевской мнимо элементарной трактовке, то не может
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ' 463
быть сомнения, что прогресс науки покоится на том, что
ца место предметного рассмотрения выступает алгоритм;
не потому, что нам доставляет удовольствие заменять
мышление механическим вычислением, но под давлением
горькой необходимости. „Так как именно в математике,—
говорит Якоби,—дело сводится к тому, чтобы нагромож-
дать заключения на заключения, то будет хорошо собрать
в одном знаке столько заключений, сколько возможно.
Ибо если после этого удастся раз навсегда обосновать
смысл этой операции, то чувственный вид знака будет
заменять всё рассуждение, которое ранее приходилось
всякий раз повторять сначала' ».
Такое же различие, как между Лейбницем и его пред-
шественниками, Кнезер находит в вариационном исчисле-
нии между Эйлером п Лагранжем: «Мы снова обнаружи-
ваем,—пишет он,—между Эйлером и его последователем
Лагранжем противоположность, которую мы ясно видим
между Лейбницем и его предшественниками». На самом
же деле, по нашему мнению, разница между Эйлером
и Лагранжем состоит не в различии между предметной
и алгоритмической точкой зрения вообще, но в различии
самих алгоритмов. Алгоритм Лагранжа отличается от
алгоритма Эйлера, он лучше был приспособлен к выра-
жению специфичности вариационного исчисления, но,
с одной стороны, и его можно выразить на геометрическом
языке, а с другой, и эйлеровскому алгоритму можно при-
дать чисто аналитическую форму. В последнее время вариа-
ционное исчисление, обогащённое новыми методами функ-
ционального анализа, смогло в известном смысле возвра-
титься к идеям Эйлера вплоть до геометрической формы
рассуждений (для гильбертова пространства).
В целях более полной характеристики «Methodus
inveniendi» остановимся ещё на двух моментах: на осо-
бенностях символики и на причинах нестрогости приме-
няемых методов. Как мы видели, в первых работах
Эйлера часто из-за неудобной символики получались
весьма громоздкие выражения. Первым шагом, сделан-
ным Эйлером в отношении улучшения символики, было
создание специальных обозначений для производных,
позволяющее отличать их от выражений, изображающих
464
К* А. РЫБНИКОВ
соотношения между приращениями различных величин
(в том числе и этих производных), фигурирующих в за-
даче. в зависимости от изменения одной или нескольких
ординат.
Именно, Эйлер полагает, что при dx — const.
dy — pdx, dp = qdx, dq = rdx, dr = sdx и т. д.
Так как Эйлер заменяет кривую ломаной, одну или
несколько соседних ординат которой подвергает изме-
нению, заменяя к тому же последовательные производ-
ные р, 7, г и т. д.
отношениями конечных
разностей, то ему нуж-
ны специальные обо-
значения для последова-
тельных производных,
которые он и вводит
следующим образом.
Эйлер обозначает:
АМ—х, Мт = у (черт.
39), делит ось абсцисс
на равные части dx =
= 1K=KL = LM = ...,
а ординаты, восставленные из точек деления, обозначает:
Nn = y', Оо — у"} Рр = у"' и т. д.;
Ll = y„ Кк = у,„ Н = у,,, и т. д.
Для значений производных в последовательных точках
оси абсцисс получаются при этом следующие выражения:
Р =
у' -у.
dx ’
Р'=у^
r dx
p"--	; и т. д.
' ax
„ _У-У,. n y,-y„ . „	У.,-У.и. HT n
Отношениями конечных разностей Эйлер заменяет и
производные более высокого порядка. Например,
~Р'~Р у"-^у' + у.	у'"-3у" + 3у'-У'
4 dx ЖГ—> r~~dT--------------------d& ,И1.Д
Уже ю обстоятельство, что Эйлер не аппроксимирует кри-
ПЕРВЬ Е ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 465
вую ломаной, а производные — отношениями конечных
разностей, а просто заменяет одни другими, естественно
должно насторожить читателя и поставить под сомнение
строгость методов Эйлера. Действительно, методы Эйлера
с точки зрения современных требований к научной стро-
гости, не всегда достаточно обоснованы, на чём нам ещё
придётся остановиться.
Причины этой нестрогости коренятся в общем истори-
ческом месте и характере творчества Эйлера. В математи-
ческих рукописях Маркса есть замечательное указание,
что преемники Ньютона и Лейбница, к числу которых
принадлежит и Эйлер, не возвращаются к исходному
пункту своих предшественников. Они продолжают их
работу, исходя из готовых, до них ещё введённых поня-
тий. В «Methodus inveniendi» Эйлер широко использует
весь арсенал приёмов и понятий анализа бесконечно
малых, созданных до него. Он не вникает здесь в их сущ-
ность, не пытается их обосновать. Да и не это является
его целью. Эйлер исходит из готового метода максимумов
и минимумов, пытается приложить его к любому виду
вариационных задач, обобщает этот метод, рационализи-
рует, упрощает, словом, всё своё внимание обращает
на разработку вариационного исчисления, как части
всеобъемлющего анализа бесконечно малых, связанной
с другими его частями, и, в первую очередь, с экстре-
мальными задачами для функций многих переменных.
Этими краткими замечаниями мы пока и ограничимся
в вопросе объяснения причин недостаточной строгости
методов вариационного исчисления у Эйлера. Что же
касается строгого обоснования методов Эйлера, то, как
мы увидим ниже, попытки подобного рода, даже в случае
простейшей задачи вариационного исчисления, приводят
к очень сложным и тонким рассмотрениям; если же
перейти к более сложным задачам, то и рассуждения ещё
больше усложнятся.
2
Идеи, положенные Эйлером в основу своего абсолют-
ного метода максимумов или минимумов, довольно про-
сты. Он представляет себе, что всякую кривую у = у (ж),
30 Историко-математ. исследования
456
К. А. РЫБНИКОВ
определённую в некоторой области значении х,
можно с любой степенью точности аппроксимировать по-
лигоном, абсциссы вершин которого выбираются на оси Ох
на равных, достаточно близких расстояниях друг от дру,
га. В связи с этим интегральную формулу максимума или
минимума
ь
J=^Z(x, y,y'ty't ...) dx
а
он заменяет
суммой вида:
И=1
Sn = 2 z to. yi< yi< y'i, )dx,
i=0
где	Xi=xi^\-\-dx, а у/—ординаты в фикси-
рованных таким образом точках Xi.
Заменяя, кроме того, производные отношениями конеч-
ных разностей, а именно:
’ ^-У^- —х--------------’
И т. д.,
Эйлер добивается возможности рассматривать значение
формулы максимума или минимума для данной кривой,
как некоторой функции ординат:
1=Р(У<,,У»Уг....Уп)-
Таким образом, Эйлер, поставив принципиально новую—
в истории вариационного исчисления—цель создания
общего метода, пригодного для решения любой вариа-
ционной задачи, хочет осуществить эту цель старыми
методами. Он сводит решение вариационной задачи к ре-
шению задачи об экстремуме функции многих перемен-
ных—ординат. При всём этом Эйлер и не пытается дока-
зывать законность перехода к пределу, а также исследо-
вать,даёт ли всегда предел экстремумов аппроксимирующих
функций искомый экстремум функционала. Эти вопросы
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРНАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 467
выходили за пределы поставленной им себе задачи
и со всей остротой были поставлены лишь много позже.
Затем Эйлер рассматривает произвольную ординату у у.
Если она принадлежит экстремальной кривой, то, в силу
принципа стационарности, её бесконечно малое прира-
щение но должно изме-
нить экстремального
значения F. Дальней-
шее развитие абсолют-
ного метода Эйлера как
раз в том и состоит,
чтобы получить раз-
ность значений форму-
лы максимума или ми-
нимума, соответствующих неизменной кривой и изме-
нённой указанным образом, приравнять эту разность
нулю и тем самым получить дифференциальное урав-
нение экстремали.
Этот простой метод, посредством которого вариацион-
ные задачи сводятся к задачам на нахождение обычных
экстремумов, в руках Эйлера становится универсальным
для любого типа вариационных задач и является основ-
ным для вариационного исчисления в созданной Эйлером
форме.
В случае простейшей задачи, когда подинтегральная
функция имеет вид Z = Z(x, у, у'), выражение, которым
Эйлер заменяет интеграл, J — j Zdx, имеет вид:
Z (> У О'	dx + Z т/-1) da: +
+ Z(^xa,yi,v-^')dx+...	(1)
Если дать теперь ординате yv приращение, заменив её
На 2/v+nv (черт. 40), то в сумме (1) изменятся лишь члены,
содержащие уу, т. е.
z (xv_b	dx и Z (xv>	dx.
30*
468
К. А. РЫБНИКОВ
Для вычисления приращений этих членов Эйлер предла-
гает, как и в мемуаре 1736 г., простой алгоритмический
приём, состоящий в дифференцировании Z по х,у.р
и замене дифференциалов dxt, dyt, dpt приращениями
соответствующих величии ж/, yi, pi (с эйлеровской точки
зрения правомерность подобных приёмов не нуждалась
в обосновании).
Беря дифференциалы обоих членов суммы1)
dZ(xv-i, уч-i, Рч-И = М dx4-i + N dyv-i + Pdp.t-lt
dZ (Хч, уч, Рч) = M'dxN + М'Луч + Р'йрч,
и замечая, что приращение получила только ордината
Уч (вследствие чего
dxy-i = dx4 = 0, dyv-i — O, dyy=+nv, dpv-i= 4-^
и
dPv~ ~di) >
Эйлер получает величину приращения (или, как он назы-
вает, «дифференциальное значение») суммы
Z (я\—j, Уч-i, Ру—i) dx Z (я?у, 2/у, Ру) dx
в следующем виде:
Р • nv 4- N' • 22 v dx — P' • nv.
«Но так как Р’—P = dP, а, вместо/V', можно написать/V»,
пишет Эйлер (стр. 89), в другом месте разъясняя, что dN
исчезающе мало по сравнению с N (стр. 75), то его
дифференциальное значение, приравненное нулю, даёт
известное уравнение Эйлера:
N dx — dP = 0, или N — ~ = 0.
'	zf
х) Именно с этими дифференциалами Эйлер не хотел спутать
обыкновенные дифференциалы переменных величин, вследствие
чего ввёл специальную систему обозначений, формально устраняю-
щую последние, о чём мы выше уже говорили.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ В АРИ АЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 469
Это уравнение, как мы видели, не зависит от выбора орди-
наты, бывшего совершенно произвольным.
Так как главной трудностью этого метода является
подсчёт приращений, получающихся вследствие прира-
щения одной ординаты уу, то Эйлер усиливает алгоритмич-
ность метода, заранее составляя таблицу приращений.
Если уу возрастает па 4-nv, то:
dy-v = nv
rfpv-l- +Гх
dpv =
r	dx
J	, nv
dq-f-z - +
j	2nv
“?V-1= —
J	I
d*> -+&
^-3=+£,
,	3nv
dr ^-2- —
j	3nv
ЙГ*-‘=+ЗР
,	nv
drv ~ dx*
и т. д.1) Тогда в более сложном случае, если, например,
подинтегра льна я функция Z в формуле максимума или
минимума зависит от х, у, у' и у", то в сумме
S	*=*•+»)*
/=0
ь
которой Эйлер заменил интеграл ^Z(z, у, у', y")dxt
а
от приращения ординаты у^ па + nv, приращения получат
лишь члены суммы
Уу-1~~Уу-2
Z(Xv-2, у V-2, --Тх--- ,	-----5Р-----)dx-\-
4~ Z	Уч-1,	dx	Уу/ii %Уу-]~Уу_1 dx3	)dx +
4-Z	У»,	Уу+1-Уу dx	'	dx2	j	| dx.
Поступая, как и в случае предыдущей задачи, Эйлер
х) Приращения элементов, не упомянутых в таблице, равны
нулю.
470
К. А. РЫБНИКОВ
вычисляет приращения этих членов, беря дифференциалы
dZ (а\-2, ^v-2> Ру-2, {Zv-z) = Мudx^-2~\~
+ Ри dpv~2 + Q,, d(jv_2>
dZ	2/v—I» Pv—1> <7v-i) ~ Mi dx^—i 4~ Nt dy^-i 4-
+ Pj dpv_\ 4- Qt dqv_it
dZ(xv, yv, Ру, 9у) = М dXy + N dyv +
4- P dpy 4- Q dqy
и подставляя, вместо dx, dy, dp, dq с соответствующими
индексами, приращения, взятые прямо из таблицы.
«Дифференциальное значение» всей суммы будет;
пv • dx ( N - 4-Р-' 4-	4-	}
\ dx dx ' dx* dx2 dx2 J *
которое Эйлер, па основании соображений, аналогичных
приведённым ранее, записывает сразу в виде:
, /	dP , d2Q\
nv • dx( N — ~r "Ь ла ) •
V	dx 1 dx2 J
«Поэтому для искомой кривой получится следующее
уравнение:
dx 1 dx2	4 r ’
Таким образом, метод может быть распространён и на
решение таких задач, в которых подинтегральная функ-
ция зависит от производных более высокого порядка.
Эйлер не останавливается и перед случаем, когда подип-
тегральная функция Z зависит, кроме х wy, от бесконечно
большого числа производных. В таком случае (стр. 149)
он замечает:
«Для искомой кривой получится уравнение:
V-2y dx^ dx2 dx'^dx* dx^'" '
не смущаясь необходимостью суммирования бесконеч-
ного ряда. Кроме изложенного, в абсолютном методе
максимумов или минимумов отметим только ещё одно
замечание Эйлера (стр. 149): «... понятно, что дифферен-
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 471
циальное уравнение кривой всегда будет порядка, вдвое
более высокого, чем сама формула максимума или мини-
мума». Из этого замечания естественно вытекает (стр. 150)
условие, обеспечивающее определённость задачи, именно:
«среди всех кривых, проходящих через 2п заданных
точек, определить ту, для которой был бы максимумом
или минимумом JZdx, где величина Z содержит диффе-
ренциалы порядка и».
Наряду с такой общей постановкой вопроса об опре-
делённости задачи Эйлер тщательно отмечает и на примерах
иллюстрирует все случаи, когда порядок дифференциаль-
ного уравнения, определяющего экстремаль, может быть
понижен.
Мы уже указывали, что этот метод Эйлера, такой
простой и наглядный, не удовлетворяет требованиям
современной научной строгости. В частности, в нём никак
не обоснованы вопросы законности перехода к пределу
и перестановки предельных переходов. Однако попытки
строгого обоснования метода Эйлера ведут к очень слож-
ным и тонким рассмотрениям даже в случае простейшей
задачи. «Такое исследование, будучи проведённым, дало
бы нам не только дифференциальное уравнение экстре-
мали, но п аппроксимацию решения этого дифференциаль-
ного уравнения решением системы обыкновенных урав-
нений, т. е. результат значительно больший»1).
При этом необходимо помнить, что для Эйлера тре-
бования научной строгости в современном смысле слова
не могли и стоять. Кроме того, метод Эйлера был вскоре
заменён более гибким и специально приспособленным для
функционалов исчислением Лагранжа.
Эти соображения вполне дают ответ на вопрос о причине
сравнительно недавнего появления попыток строгого
проведения доказательства теорем, встречающихся в дан-
ной работе Эйлера. Эти попытки возникли лишь па до-
вольно высокой ступени развития вариационного исчи-
сления, когда встали вопросы об аппроксимации решения
вариационных задач. Одна из таких попыток принадлежит
х) См. М. А. Лаврентьев и Л. А. Л ю с т е р н п к,
Основы вариационного исчисления, 1935 г., ч Ц, стр. 52.
472
К. А. РЫБНИКОВ
А. Кнезеру. К своей уже упоминавшейся нами статье
«Эйлер и вариационное исчисление» А. Кнезер даёт при-
ложение: «Строгая трактовка эйлеровского метода для
простейшей задачи вариационного исчисления». Само
название ясно говорит о цели, преследуемой здесь Кне-
зером. Однако нам кажется, что цели этой Кнезер не
достигает.
Вначале он следует идеям Эйлера, когда берёт
ь
/ (я, У> Р>) dtc, гДе y — 4(x)t р = , и делит отрезок абс-
а
циссы от а до b на п равных частей (xv = а + v/?, v = О,
1, 2, . .., п- 1). Затем берёт эйлеровскую сумму
5 = Л.2/(^,
и исследует, в предположении безграничного убывания
ht переход производных суммы S
Г «-".-"С”' s,.b±fb)-
к пределу
dP
dx ’
При этом он налагает на функцию <? (х) вместе с её пер-
выми тремя производными требование непрерывности
на отрезке ab оси абсцисс, а также требует, чтобы функция
/(ж, у, р) вместе с её частными производными первого
и второго порядка была непрерывна для систем значений
(х, У> р), достигаемых на дуге искомой кривой, соответ-
ствующей отрезку ab.
Но в дальнейшем Кнезер заменяет (х) через <p(z)-h
+иф(я), где и — положительный параметр, а Ф (х) удовле-
творяет всем условиям, наложенным на <?(£). Тем самым
он отступает от собственного метода Эйлера, так как,
очевидно, при такой подстановке варьируется весь отре-
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 473
зок кривой, а не—как у Эйлера—только одна из его орди-
нат. Кнезер сам признаёт этот недостаток своего доказа-
тельства, говоря в конце: «Всё же нам пришлось в одном
месте приблизиться к методу Лагранжа».
Несмотря на указанный недостаток работы Кнезера,
она даёт представление о трудностях, стоящих на пути
желающего дать строгое обоснование метода Эйлера даже
в случае простейшей задачи и о громоздкости подобного
исследования.
3
Последние главы «Methodus inveniendi»,—пятая и
шестая, — посвящены относительному методу максимумов
или минимумов.
Этот метод имеет целью отыскание экстремали не среди
всех вообще кривых, отнесённых к данной абсциссе,
но среди некоторого их семейства, каждая из кривых
которого обладает одним или несколькими общими свой-
ствами .
Общее свойство является, очевидно, также функцией
кривой — функционалом и, значит, будет иметь тот жещид,
что и формула максимума или минимума, т. е., как гово-
рит Эйлер, «будет или простой неопределённой интеграль-
ной формулой, или выражением, содержащим несколько
формул этого рода» (стр. 320).
В основе этого метода лежит идея, впервые высказан-
ная Я. Бернулли: чтобы удовлетворить сразу двум1)
условиям — неизменности значений общего свойства В
и (в силу принципа стационарности) «формуле максимума
или минимума» Л —необходимо дать приращения уже
не одной, а двум соседним ординатам. «Дифференциальные
значения» обоих свойств будут иметь в случае изменения
двух ординат yN и ?/v+i соответственно на nv и на ол
(черт. 41) следующий вид:
dAv • nv +
dBy • nv + dByn • oa>.
J) В случае, если речь идёт о кривых, обладающих одним общим
СВОЙСТВОМ.
474
К. А. РЫБНИКОВ
Коэффициенты, стоящие перед nv и ол} означают при-
ращения свойства А или В от изменения той или иной
ординаты.
Чтобы удовлетворить обоим требованиям: постоянства
значения свойства В и экстремальности свойства А, оба
дифференциальные значения должны быть равны нулю:
dAу • nv 4- dA v+i • ou) = О,
dBv • nv + dB^+i • oo) = 0.
Из полученной таким образом системы уравнении,
путём исключения величин nv и oj), Эйлер получает
уравнение для искомой кривой
(a = const., р = const.).
При этом свойства А и В вхо-
дят симметрично, и одно из них
может быть поставлено на место
другого. Однако то же уравнение
получается, если искать кривую,
для которой выражение аА + ?В
достигает абсолютного экстре-
мума. Таким образом, Эйлер получает правило, позво-
ляющее вместо всякой изопериметрической задачи решать
некоторую задачу на абсолютный экстремум и, следова-
тельно, приходит к очень важному с точки зрения развития
метода выводу, что для решения всякой вариационной
задачи применим единый метод и именно тот, о котором
мы уже говорили.
Когда в последней, шестой, главе Эйлер переходит
к обобщению полученных результатов на те случаи, где
число общих свойств —два или больше, он считает нуж-
ным снова возвратиться к этому полученному им важней-
шему правилу и рассмотреть его несколько с иной точки
зрения, так как первый метод «вследствие частого поль-
зования бесконечно малыми» может показаться «слишком
опасным и сомнительным» (стр. 422). Таким образом,
Эйлер и сам чувствует, что ему может быть сделан упрёк
в нестрогости.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 475
Относительный метод максимумов или минимумов
Эйлера также с современной точки зрения нс строг. Ста-
вить это в упрёк Эйлеру нельзя потому, что к оценке его
творчества надо подходить исторически. Однако некото-
рые авторы находят у Эйлера и такие ошибки, которые
недопустимы, но их мнению, даже с точки зрения науки
его времени. Так, например, В. Циммерман1), следуя,
правда, в данном случае ещё Бертрану2), упрекает Эйлера
в простом незаконном оборачивании предложений. Дей-
ствительно, второе из доказательств, помещённое в по-
следней, 6-й главе, по мнению Эйлера, не только более
простое, но и более убедительное, состоит в том, что он
доказывает предложение, обратное тому, которое нужно
доказать, а затем —без всякого доказательства —обора-
чивает его. Именно, Эйлер показывает сначала — из вполне
очевидных соображении — что «кривая, для которой выра-
жение аА + ЪВ достигает среди всех вообще кривых
максимума или минимума, оказывается в то же время
такой, что среди всех кривых, обладающих одним и тем
же свойством А, она сообщает наибольшее или наимень-
шее значение формуле £?» (стр.419), а затем пишет: «Легко
понять, что, и обратно, если нужно отыскать кривую,
которая, среди всех кривых, обладающих одним и тем
же свойством А, сообщала бы максимум или минимум
выражению В, то можно удовлетворить требованию, опре-
делив среди всех вообще кривых ту кривую, для которой
а. А 4-₽В было бы максимумом или минимумом» (стр. 421).
Иными словами, Эйлер показывает, что всякая кривая,
сообщающая экстремум выражению аА 4- $В (где аир
представляют какие-нибудь постоянные величины), ре-
шает соответствующую изопериметрическую задачу: среди
всех кривых, обладающих общим с нею значением свой-
ства А, отыскать такую, которая сообщает экстремальное
значение свойству В, и отсюда заключает наоборот, что
всякая вообще кривая, решающая изопериметрическую
*) В. Цпммерма и, Правила Эйлера в применении к одному
1899°^ ВОПРОСОВ относительных maxima или minima, Одесса,
8) Bertrand, Note sur un point du calcul des variations
(Journal de Mathematiques pures et appliquees, 1842, VII, 55).
476
К. А. РЫБНИКОВ
задачу для какого-нибудь произвольного значения общего
свойства А, сообщает экстремум выражению аА f-pB.
Сомнений в элементарной логической ошибке как
будто не остаётся. И всё же такое освещение вопроса
представляется слишком упрощённым: доказательство
Эйлера, конечно, далеко от строгости в современном
смысле слова, но и не столь уже грубо ошибочно, как это
кажется на первый взгляд. Правда, и Циммерман заме-
чает, что хотя обратное предложение не сопровождается
доказательством, но «несколько ниже (Scholion 229 —
230) (стр. 422 — 423), предусматривая возможность сомне-
ния в правильности подобного утверждения, Эйлер желает
его обосновать следующим образом: „Так как кривая Q,
которая между всеми вообще кривыми даёт (выражению)
aA-f-pZ? значение maximum или minimum, такова, что
между всеми кривыми, обладающими одним и тем же
общим свойством А, сообщает (выражению) В значение
maximum или minimum, какие бы значения ни были
приписываемы а и р, то необходимо, чтобы равным обра-
зом имело место и обратное утверждение, если только
коэффициентам аир будет приписана наибольшая общ-
ность"». «Не думаю,— добавляет, тем не менее, Циммер-
ман,—чтобы эти строки обязывали отказаться от тех
сомнений, для устранения которых они предназначены».
Но если подходить к Эйлеру с исторической точки
зрения, то слова его представляются не настолько уже
бессмысленными, как это может показаться. Действи-
тельно, говоря о кривой Q, Эйлер имеет в виду семейство
кривых Q (а, Р)1), для которых выражение аЛ-f-pZ? дости-
гает экстремума. Придавая коэффициентам аир (кото-
рым не напрасно должна быть «приписана наибольшая
общность»!) соответствующие значения а0 и р0, мы можем,
с точки зрения Эйлера, добиться того, чтобы кривая
Q (а0, р0) обладала любым наперёд заданным значением
а0 свойства А. А так как, по мнению Эйлера, для всякого
допустимого значения а0 свойства А существует, и притом
х) Так как существенно только отношението, собственно,
имеется в виду однопараметрическое семейство кривых.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВЛРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 477
только одна, кривая Qo, сообщающая—среди всех кривых,
для которых свойство А имеет данное значение— экстре-
мум выражению В\ и так как, в силу прямой теоремы,
кривая Q (а0, р0) этим требованиям удовлетворяет, то она
и есть та единственная кривая, которая решает задачу
для любого наперёд заданного значения а0 свойства А.
Никаких других кривых, кроме тех, которые придают
экстремальное значение выражению аЛ + $В, поэтому
и не нужно рассматривать.
Другое возражение Циммермана имело в виду первое
по порядку доказательство Эйлера, содержащееся в пятой
главе рассматриваемой работы. По поводу этого доказа-
тельства Циммерман пишет: «Доказательство... не пред-
ставляется строгим уже в виду особого — в своё время
принятого, по не соответствующего нынешним требова-
ниям— способа обращения с бесконечно малыми. Но и,
помимо этого, — даже с точки зрения тех принципов, на
которых основан анализ Эйлера, —в доказательстве есть
слабый пункт, на который необходимо обратить вни-
мание».
Таким образом, Циммерман упрекает Эйлера в ошибке,
недопустимой даже с эйлеровской точки зрения. Тот
же упрёк содержится и в 11-м примечании Кошлякова
(стр. 596), где этот «способ Эйлера» характеризуется — в
отличие, повидимому, от его других методов, — как «очень
не строгий». В подтверждение приводятся те же сообра-
жения, которые мы находим у Циммермана. Мне пред-
ставляется, однако, что несмотря на то, что в доказатель-
стве Эйлера Циммерман обнаружил действительный
дефект, возражение его носит всё-таки неисторический
характер и может быть сделано Эйлеру именно с совре-
менной, а не с его собственной точки зрения. Возражение
относится к следующему месту: «... если кривая az
(черт. 15)*) среди всех кривых, соответствующих одной
и той же абсциссе Л2, которые обладают общим свойством
В, сообщает наибольшее или наименьшее значение выра-
жению Л, то она сохранит то же самое значение, если
сообщить ей такое бесконечно малое изменение, которым
*) См. чорт. 42 нашей статьи.
478
К. А. РЫБНИКОВ
не будет нарушено общее свойство В. А для этого недоста-
точно увеличить на бесконечно малую частицу nv одну
только ординату, например Ап, как мы это делали раньше
так как тогда таксе изменение будет определяться един-
ственным условием и нельзя будет, производя его, достиг-
производимое изменение
условиями; а это будет
нуть того, чтобы как общее свойство В, так и выражение
максимума или минимума А имели одинаковое значение
для первоначальном кривой и изменённой. Поэтому
* должно быть определено двумя
достигнуто, если увеличить две
ординаты Nn и Оо на беско-
нечно малые частицы пу и ош.
И вот, если представить се-
бе, что кривая изменяется
указанным образом, то, во
первых, нужно будет сделать
так, чтобы общее свойство
одинаково принадлежало как
первоначальной кривой, так
и изменённой; а затем и выра-
жение максимума или ми-
нимума должно будет у обеих
кривых сохранять одно и то же значение. Первое условие
будет осуществлено, если для того выражения, в котором
заключается общее свойство, отыскать дифференциальное
значение, возникающее от перенесения п в у и о в со,
и положить его равным нулю; второе же условие будет
соблюдено, если точно так же для выражения, которое
должно быть максимумом или минимумом, отыскать
дифференциальное значение, возникающее от двух частиц
nv и ош и положить его равным нулю. Таким образом,
будут получены два уравнения: одно из общего свойства,
другое из выражения максимума или минимума; и оба
они будут иметь форму S • nv -I- Т • ош = 0, где S и Т
будут величины, относящиеся к кривой линии. Из двух
уравнений такого рода исключатся частицы nv и ош,
и получится уравнение искомой кривой, которая среди
всех других кривых, обладающих общим свойством 5,
сообщает наибольшее или наименьшее значение выраже-
нию А» (стр. 326 — 328).
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 479
Из чтения этого отрывка создаётся впечатление, что
Эйлер считает условия В = const, и nv • dB + оч • dB' = Q
равносильными. Действительно, фраза, начинающаяся
словами: «первое условие будет осуществлено», заста-
вляет предполагать, что Эйлер считал не только, что
в случае постоянства значения общего свойства В при
изменении двух ординат «дифференциальное значение»
этого свойства равно нулю, но что, и наоборот, из равен-
ства нулю «дифференциального значения» общего свой-
ства для некоторых иу и оч следует, что «не будет нару-
шено общее свойство В». А между тем, Эйлер никак не
мог не знать, что «дифференциальное значение» обра-
щается в нуль не только в случае сохранения общим
свойством постоянного значения, но и в случае достиже-
ния интегралом, его выражающим, экстремального зна-
чения.
Иными словами, Циммерман находит у Эйлера грубую
ошибку, действительно недопустимую даже с точки зре-
ния самого Эйлера.
Всё же дело и здесь обстоит не так страшно, как это
может показаться. Тот же параграф книги Эйлера, который
мы только что процитировали, начинается словами:
«Всякий максимум или минимум отличается тем, что зна-
чение его совсем не меняется, если произвести бесконечно
малое изменение». Таким образом, для Эйлера, —с его
точки зрения, —если дифференциальное значение общего
свойства равно нулю, то общее свойство вообще не изме-
няет своего значения (при бесконечно малом изменении
одной или нескольких ординат) во всех возможных слу-
чаях, в том числе и при достижении им экстремального
значения. Иными словами, Эйлер одинаково считает
«равными» два значения интеграла, выражающего общее
свойство для двух бесконечно близких кривых, как в том
случае, когда они в точности равны, так и в том случае,
когда разность между ними есть бесконечно малая вто-
рого (или более высокого) порядка. Это полностью согла-
суется со всем стилем его книги, основным принципом
Для которой служит принцип стационарности, т. е. неиз-
менности значения величины вблизи её экстремума.
Другое дело, что при этом в рассуждения Эйлера
480
К. А. РЫБНИКОВ
вкрадывается дефект, состоящий в том, что он не исключает
из рассмотрения случаев, когда искомая кривая является
экстремалью интеграла, выражающего общее свойство.
Однако это —дефект, который может быть подмечен —
в общем виде —именно с современной, а не с эйлеровской
точки зрения. Я говорю «в общем виде» потому, что
в конкретных случаях Эйлер прекрасно учитывает это
требование. Так, поясняя, почему при решении изопери-
метрической задачи получается не одна кривая, а семей-
ство кривых, определяющихся выбором того или другого
значения общего свойства, Эйлер пишет: «Всё это более
уяснится, если мы за общее свойство, о котором до сих
пор говорили в общих чертах, возьмём какое-нибудь
определённое. Итак, пусть общим свойством будет формула,
выражающая длину дуги кривой, а выражением макси-
мума или минимума пусть будет J Zdx, так что среди всех
кривых, которые для одной и той же абсциссы имеют
равные между собой дуги, должна быть определена та,
которая для той же абсциссы сообщала бы § Zdx макси-
мум или минимум. Очевидно, что для одной и той же
абсциссы ио только можно указать бесчисленное множе-
ство кривых линий, равных по длине, но это также можно
сделать бесчисленными способами. Пусть, например,
общая абсцисса равна а\ возьмём какую-нибудь длину
дуги с, большую, чем я; можно указать бесчисленное мно-
жество линий, как прямых, так и кривых, у каждой из
которых длина дуги была бы равна с, и среди них можно
будет определить одну, для которой J Zdx был бы макси-
мумом или минимумом. Но, вместо с, можно взять бесчи-
сленное множество других величин, потому что для него
нет никакого условия/кроме с > а» (стр. 322 — 323).
Рассуждение Эйлера можно было бы поправить,
истолковав его в том смысле, что при некоторых значениях
Tiv и oj), удовлетворяющих уравнению nv • dB -|- о» • dB' =0,
выполняется условие W = const. (J¥— интеграл, выражаю-
щий общее свойство, В — его значение для кривой, решаю-
щей задачу). Но это означало бы, что Эйлер предполагает
существование (для любого значения общего свойства)
таких, отличных от нуля, бесконечно малых nv и
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 4б 1
     --------------—-----------------------—-—---------
что не только искомая кривая, но и кривая, получающаяся
из неё в результате перенесения двух точек кривой п н о
в у и о>, —обе принадлежат одному и тому же семейству
кривых, обладающих данным значением общего свойства.
Иными словами, Эйлер считает семейство «изопериметри-
ческих кривых» для любого значения общего свойства
настолько густым, что в любой, сколь угодно малой,
окрестности искомой кривой должны находиться различ
ные кривые этого же семейства. Как справедливо указы
вает Циммерман, такое предположение a priori отнюдь
не очевидно. Но опять-таки не с эйлеровской, а с совре-
менной точки зрения!
4
«Наиболее выдающимся по качеству результатом
Эйлера, — пишет Кнезер1), — я считаю то, что ему удаётся
распространить свой метод на величины, которые опре
делены не... интегралами, а дифференциальными уравне-
ниями, и на интегралы подобных величин». Речь идёт
о круге вопросов, возникших перед Эйлером в связи
с решением задачи о брахистохроне в сопротивляющейся
среде, которую Эйлер решил сначала неправильно и к
которой неоднократно возвращался, пока, наконец, не
дал ей правильного решения. Эти вопросы характери-
зуются тем, что к ним неприменим принцип Лейбница —
Я. Бернулли, так как значения интеграла, который
должен достигать для искомой кривой экстремума, па
различных участках кривой, выбором которой он опре-
деляется, не независимы друг от друга. Подобный случай,
как замечает Эйлер, имеет место, если подинтегральная
функция Z в Z dx в свою очередь зависит от некоторого
интеграла, содержащего ту же неизвестную, искомую
функцию у = у(я), выбором которой определяется значе-
ние интеграла ^Zdx. Изучению этого рода случаев и
посвящена специально третья глава «Methodus inveniendi»:
*) Цит. статья, стр. 28.
Историко-математ. исследования
482
К. А. РЫБНИКОВ
«О нахождении кривых, обладающих свойством макси-
мума или минимума, в том случае, когда в самой формуле
максимума или минимума заключаются неопределённые
величины». И здесь, как и вообще в этой книге, Эйлеп
не ограничивается наиболее простым случаем, когда
подинтегральная величина в свою очередь зависит ()Т
некоторой «неопределённой интегральной величины»,
не содержащей никаких больше «неопределённых вели-
чин», но распространяет свой метод на случаи, когда та же
ситуация повторяется любое конечное и даже бесконечное
число раз. Последнее получается, по Эйлеру, как раз в том
случае, который имеет в виду Кнезер в приведённой нами
цитате. Мы уже отмечали, что дифференциальное урав-
нение dy = / (ж, у) dx Эйлер считает возможным пред-
ставить себе, как
у =	/(.г, y)dx, или f(x, /(х, y)dx^ dx, и т. д.,
причём «это восхождение будет продолжаться до беско-
нечности» (стр. 168). Именно на этом основании Эйлер
и относит к той же третьей главе, в которой рассматри-
ваются случаи, «когда в самой формуле максимума или
минимума заключаются неопределённые величины», и
метод решения тех задач, в которых разыскивается кри-
вая, сообщающая наибольшее или наименьшее значение
формуле j Z dx, в том случае, когда Z не дана в определён-
ной или в неопределённой форме, как это было до сих
пор, а задаётся лишь через дифференциальное уравнение,
интегрирование которого не может быть выполнено:
таковым, например, является вопрос о разыскании кривой,
для которой было бы максимумом выражение
Г dx У р -
J	/ ё
при условии: cfo = gcfa; — hvn • dx • у 1 + р2 (стр. 168), т.е.
задача о брахистохроне в сопротивляющейся среде.
Так как во всём многообразии случаев, рассматривае-
мых Эйлером в третьей главе, применён единый метод,
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ В ЧРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 483
то для ого иллюстрации достаточно остановиться только
на этом, наиболее сложном, но и наиболее интересном
случае. При этом мы будем —за небольшими исключе-
ниями — придерживаться как обозначенийтак и способа
изложения Эйлера и позволим себе только несколько
упростить задачу. Именно, в § 38 Эйлер ставит задачу:
«Пусть тс задано только посредством дифференциаль-
ного уравнения с?тг = [Z] dx, в котором [Z], кроме при-
надлежащих кривой величин х, у, р, q, г и т.д., содержит
самую величину к, так что
d [Z] = [L] d* + [М] dx + [TV] dy 4- [P] dp + [(?] dq + ,.. ,
и пусть Z есть некоторая функция от - и х, у, р, q
и т. д., так что
dZ— Ld~ + M dx-\- N dyР dp ±Qdq-\- . ..;
найти кривую, для которой при данной абсциссе AZ = а
была бы максимумом или минимумом^формула JZdx»
(стр. 213).
Обозначив функцию, изображаемую Эйлером в виде
[Z], через Z, будем предполагать, что как Z, так и Z зави-
dy
сят только от х, у, р, г., где р — есть производная £
(Эйлер рассматривает случай, когда обе функции зависят
ещё от производных второго порядка). Кроме того, будем
несколько иначе, чем Эйлер, пользоваться индексами.
Несмотря на то, что к задачам этого рода принцип
Лейбница —Я. Бернулли неприменим, Эйлер попрежнему
варьирует только одну ординату и вычисляет «дифферен-
п
циальное значение» интеграла J Zdx, приобретаемое им
с
благодаря этому изменению ординаты. Приравнивание
этого дифференциального значения нулю и даёт Эйлеру
попрежнему дифференциальное уравнение искомой кри-
а
вой. Самый интеграл	Z dx также попрежнему заменяется
в
31*
484
К. А. РЫБНИКОВ
суммой
2 *(/*>	v*4a?y* - dz,	(1)
А-О
iMe
dx = хк„~хк = -"й*0 =const.. рк- -~^У- , xo=0, х„=а,
а
-1-1
"А = 2	У1’ Pl' *i)dx,	(2)
1=0
т. е. определяется через все предшествующие значения
вплоть до
Представим себе теперь, что изменению подвергается
ордината получающая приращение nv, и запишем
сумму (1) в виде
3z(Xh,yk,y-^,.l[')dx +
+ Z (xit yt, ,14) dX +
+ z(*i+i. yt+i,	, r.t+i^dx^
+ Z (\+2, 1/1+2,	, ^+2) dx+ ...	(Г)
При изменении ординаты*^+i первое слагаемое этой суммы
вообще не изменится, для вычисления же дифференциаль-
ных значений остальных слагаемых, которые мы бу-
дем обозначать через Zit Zi+i, Zi+z, ... , нужно, по
х) Так как dn = Z(xt у, р, л), то г вообще определяется по
Эйлеру, как сумма
п-1
2 Z Ук, Pki «к) <&
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ
правилу Эйлера, в выражении
dx • dZ/n (L)n dizm Мт dxm 4~ 7Vm dytn 4- Рт dpm) dx, (3)
вместо c?~m, dxm, dym,dpm, подставить дифференциальные
значения соответствующих величин т:т, хт, ут, рт. Так
как при изменении одной только ординаты yt+i абсцисса
хт вообще не изменяется, ут изменяется лишь при
/n = i’4~l» Рт — лишь при m = i и m~i 4-1, то мы имеем:
^ят = 0, для любого т,
dym — Q> Для любого т#=£4-1, a dyt+l = nv,	(4)
dpm~O, для любого т, отличного от i и t’4-1, но
у	ПУ у	ПУ
^'=17’ dPw = --di;-
Основная трудность заключается в том, чтобы вычислить
дифференциальные значения d~m для m>Z, к чему мы
сейчас и перейдём. Так как
£-1
Ki=2 ykt рк, nk)dx,
л=о
то изменением ординаты yi+i значение п{ вообще не
затрагивается, т. е.
^• = 0.	(5)
Так как далее
7rf+i = K/4-Z(j£, yh pit rt)dx,
то дифференциальное значение cht/+i определится, по
правилу Эйлера, как
с^Ч+1 = d^i 4- dx (L{ drt 4- Mi dx( 4- Nt dyi 4- Pi dpt),
откуда, принимая во внимание (4) и (5),
chr/+i = Р{ • nv.	(б)
Аналогично
Л(+2 = к<+14- 2(ж/+1, yt+i, pt+t, ^t+t)dx
и
dirf+2 в» dit{+i 4-
4- dx (Li+i ditf+i 4- A^i+i dx^i 4- dyt+i 4-
'»86
К. А. РЫБНИКОВ
или, принимая во внимание формулы (4) и (6),
rf^f+2 =	+
+ dx^Li+i  Pt  nvH-7V(+I • nv—Pi+1 • -^-) =
=&.nv.(i(+l-P(+/Vl+1-^)’>.	(7)
Точно так же
^1 + 3 = *4+2 + 2 (Xl+2, 2/i+2, Pi+ъ “U%)dx,
и так как ни один из аргументов функции Z, кроме л1+2,
не изменяется при изменении yt+t, то
dKi+3 = dxi+2 + dx • Li+2  dr4+2==d-i+2(l+Lu-2dx). (8)
Аналогично,
diti+t = </*ч+2 (1 + Li+2dx) (1 + ^f+зdx),	(9)
d7rf+5 = dni+2 (1 + Lf+2 dx) (1 4- Zf+3 dx) (14- Li+i dx) (10)
и т. д.
Все подсчёты, необходимые для вычисления диф-
ференциального значения J Z dx или заменяющей его
суммы (1), таким образом подготовлены, и мы получаем
дифференциальные значения отдельных слагаемых этой
суммы по формуле (3), подставляя в неё найденные нами
значения d-m, dxm, dym, dpm. Это даст нам:
dx • dZi = dx nv •	,	(11)
dx  dZi+l = dx-m. (Lt+tPt+Nt+t -P-^y (12)
dx • dZi+2 = Li+2 • dx • dTTf+2* 2),	(13)
dx • dZi+a =
= Li+3 • dxditi+3 = Li+з • dx (1 4- Li+2dx)diti+2, (14)
dx • dZi+i =	• dx(i-\-Li+2dx)(V-VLi+3dx)d^i+2, (15)
x) Нужно иметь в виду, что для Эйлера dPi = Pi42 — Р{.
2) Для удобства выкладок мы пока не будем подставлять на
место dnt+2 ег0 значения в эту и следующие формулы.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 487
dx • dZi+5 =
== Li+-3dx- (1 4- Li+2dx)(i + Li+3dx)(l-[- 'Li+4dx)drM (16)
и т. д.
Сложение получаемых таким образом последователь-
ных дифференциальных значений отдельных слагаемых
суммы (1) даёт нам для вычисления дифференциального
значения всей суммы последовательность сумм
2 dx  dZk
k=i
при бесконечно возрастающем п, предел которой
п
lim У dx  dZK,
п^°° k=i
т. е., ио Эйлеру, сумму
со
2 dx • dZk
k = i
он и считает дифференциальным значением суммы (1).
Итак, нам нужно просуммировать полученные выра-
жения dx • dZk в предположении, что число их бесконечно
велико. Чтобы облегчить вычисления, введём теперь, по
образцу Эйлера, новые обозначения:
^/+2=^5	^i+2== Ц
Li+± — L' \
и т. д.
и (не заботясь, конечно, о сходимости) «просуммируем»
сначала выражения dx • dZk, начиная с третьего. Мы
получим выражение
dx 4~ £ dx (1 4~ L dx) -f-
+ L" dx (1 + L dx) (1L'dx) + ..(Ц)
488
К. А. РЫБНИКОВ
для вычисления которого Эйлер вводит обозначение
5 = Ldx 4- L' dx (1 L dx) -J-
+ L"dx(i -\-Ldx) (1 -\-L'dx) 4- . ..	(18)
и замечает, что так как следующее за 5 значение S' можно
представить в виде
S' — S + dS,
то
S~^dS = L' dx + L" dx (14- L’ dx) 4-
4- L dx (14-L' dx) (14- Ln dx) 4- ...	(19)
Вычитая, наконец, (19) из (18), Эйлер получает:
— dS = L dx 4- L' dx • Ldx+L”dx‘ Ldx (1 + Lf dx) 4-
4- L'" dx  Ldx (1 4- L' dx) (1 4- L" dx) 4- ... ,
или
— dS = Ldx + Ldx[L'dx + L" dx(l 4-£ dx) 4-
+ L"'dx(l + L'dx)(i + L,'dx)+ ...];
и далее, так как стоящее в скобках выражение есть не
что иное, как S',
— dS = L • dx 4- 5' • L • dx,
или «вследствие S' = S
dS 4- S • Ldx = — Ldx» (стр. 219).	(20)
А это уравнение, говорит Эйлер, после интегрирования
даёт:
e^Zdx  S С -^e^idx  L  dx,
«где постоянная С должна быть определена так, чтобы
при х = а было 5 = 0» [так как при xt = а никакие yi+\ =
~y{^i+\) уже больше не рассматриваются]. Таким обра-
зом, Эйлер вводит вспомогательную величину 5, опреде-
ляемую дифференциальным уравнением (20) и выражаемую
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИАЦПОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 48
им также в форме
5 =	[С- Ubdx • L dx],
с помощью которой и получает, наконец, выражение для
дифференциального значения суммы (1). Действительно,
сумма всех слагаемых dx • dZk, начиная с к = i 4- 3,
оказалась теперь равной S • d~i+2, или, в силу (7),
dx-nv.s(Lt ..Л + АГ,^—^),	(21)
и, чтобы вычислить всё дифференциальное значение
суммы (1), нам осталось только прибавить к (21) сумму
дифференциальных значений первых двух слагаемых
суммы (1), испытавших изменение при изменении орди-
наты у<+1, т. е.
dx • dZi + dx • dZ(+i,
или, в силу (11) и (12),
dx • т • (ЛГ<+1 - "1 + Lt+i • Pt) .	(22)
Отбрасывая индексы в результате неявно осуществляе-
мого предельного перехода и по соображениям произвола
в выборе точки х^, Эйлер получает искомое дифференциаль-
ное значение для суммы (1), суммируя (21) и (22), в виде
л9.^_^. + £.р + ^£.р + ЛГ_ f )),
или, используя дифференциальное уравнение (20), опре-
деляющее 5 (в силу которого
SL=--^--L
dx
И
SU-S
+ <23>
'Г.Ю
к. л. РЫБНИКОВ
Дифференциальное уравнение искомой кривой получается
отсюда в виде
N + N-S-= 0.	(24)
(У Эйлера оно выглядит более сложно, потому что он не
только с самого начала вводит производные второго порядка
d’u	г-
q = _i> но и обоощает —но неполной индукции — полу-
чаемый им результат на случай, когда, как он говорит,
«как в Z, так и в [Z] дифференциалы восходят до любого
порядка» (стр. 219).
Несмотря на некоторую громоздкость выкладок,
к тому же не всегда достаточно строгих с современной
точки зрения, весь вывод совершенно элементарен
и местами очень красив. С поистине выдающимся мастер-
ством и упорством Эйлер, используя всё время одни и
те же простые идеи, постепенно всё более и более
усложняет задачу, не останавливаясь перед перенесением
на случай бесконечного числа величин формул и методов,
развитых сначала только для конечного числа величин.
5
В «Methodus inveniendi» Эйлер привёл очень большое
количество (свыше 60) примеров. Подбор их и располо-
жение явно предназначены для достижения лучшей
иллюстрации метода и применения всех получаемых
путём этого метода формул. Эта цель достигнута Эйлером
вполне. Класс вариационных задач был им значительно
расширен, каждая из этих задач решена по весьма
простым формулам; искусные решения получающихся
при этом дифференциальных уравнений также весьма
способствуют лёгкости чтения и усвоению идей Эйлера.
Не имея возможности (да и необходимости, ввиду наличия
русского перевода) приводить большое количество при-
меров, мы рассмотрим лишь решения некоторых из них.
Известная задача о брахистохроне явилась лишь
одним из примеров, объясняющих применение абсолют-
ного метода максимумов или минимумов. Задача ставится
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРИЛЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 491
так: «Среди всех кривых, отнесённых к одной и той же
-	„ с iZ 1 + я2 » z-
абсциссе, определить ту, для которой \ -—Т.- - dx был бы
J Ух
максимумом или минимумом» (стр. 101).
Только после этого объясняется, что к такому виду
приводится задача отыскания линии скорейшего ската
под действием силы тяжести. Задача решается как пример
на применение уравнения Эйлера для случая простейшей
задачи, т. е. задачи на экстремум интеграла вида
Z(ж, у, p)dx.
В этом конкретном случае
Z=z /1+p3 N = 0	____р
Ух ’	dy 1 dp	Ух(1 +
Уравнение Эйлера для экстремали превратится в с?Р = 0,
или
р	.1
>— 	- = с on st. =-7= ;
+	/а
отсюда
2	.2	dy _ / х
ар* = х+р*х, и р =	=	,
или
После этого Эйлер просто указывает, что «искомая кривая
есть циклоида, образованная на горизонтальном базисе,
имеющая острие в верхней части оси и притом могущая
быть проведённой через любые две данные точки» (стр. 102).
Задача Ньютона о разыскании тела вращения, дви-
жущегося в жидкости в направлении оси вращения и испы-
тывающего при этом наименьшее сопротивление, тоже
помещена в качестве примера па абсолютный метод макси-
мумов или минимумов (стр. 104 —106)1).
х) Эта же задача с прибавлением дополнительного условия,
касающегося площади сечения тела вращения, иллюстрирует
относительный метод Эйлера (стр. 361).
492
К. А. РЫБНИКОВ
Пример этот помещён в качестве иллюстрации того
случая указанного метода, в котором можно понизить
порядок получающегося дифференциального уравнения.
Постановка задачи, аналогично предыдущему случаю,
состоит в том, что требуется отыскать среди всех кривых,
соответствующих одной и той же абсциссе, кривую, даю-
(* V dy3	z
щую экстремум интегралу \ ^^у^ ' или (после П°Д-
становки dy-p dx)
С yp3dx
j i + H *
__	v	VP3	V
Подинтегральная функция z = есть функция только
от у и р. Для этого случая Эйлером было доказано, что
уравнение для экстремали будет иметь вид
z4-c = р • Р1)
и уравнением искомой кривой явится
УР3 . а р3у(3 + ра)
l + P3^	’ (1 + ра)2 ’
или
а(Д + Ру = 2р'у.
Затем Эйлер выразил обе координаты х и у через р и полу-
чил следующие уравнения, определяющие искомую кри-
вую:
а(1 + р3)2 ,	С dy __ у Г у dp
У—-i?	’ х- +
х) Если z=»z(yt р), то dz = -~dy± ~ dp. Но из уравнения:
dz d f dz\ п	, .	•	.	. \
~dy" ~dx \dp ) Умнон<ив ег0 на &У (изаметив, что«?1/>-рс&),
п-	dz _	, dz _
Эйлер получает: dy=p • d . Подстановка дает:
И
, j dz .dz ( dz \
d2=pd-^+-^dp=d{p-^)
t dz
> + С~Р^Р-Р-
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 493
или, подставляя вместо у его значение,
х~ 2	+ 1 +1п	.
Из примеров, иллюстрирующих относительный метод
максимумов и минимумов, приведём только две задачи.
в данном случае по-
Первая из них — это простей-
шая изопериметрическая зада-
ча. Пусть требуется (стр. 349)
«среди всех кривых одной и
той же длины, соединяющих
точки а и z, найти ту, кото-
рая заключала бы наибольшую
площадь aAZz* (черт. 43).
Общим свойством А является
стоянство длины дуги кривой, или /1 + Р2 dx. Форму-
лой максимума или минимума В является интеграл, выра-
жающий площадь, ограничиваемую отрезком абсциссы,
двумя ординатами и частью кривой, или ydx. Найдём
дифференциальные значения:
dA — — nv • d - /L.. , dB — n^-dx.
/14-Р-
Дифференциальное уравнение, определяющее искомую
экстремаль, будет, как известно, вида
dB = kdA,
или в данном случае
dx = kd ~	.
Интегрирование1) этого дифференциального уравнения
1) Из dx = Id - 7	 - следует: х + с — 	--  , откуда р =
/1+Р3	+
dy х + с т.
а«у- ==—-	-----. Интегрирование последнего дает:
ах /Л2-(ж4-с)а
или А2»» (у — /)2 + (я + с)2 — уравнение окружности.
к. А. РЫБКИНОЙ
приводит Эйлера к уравнению экстремали:
^ = (.W)2 + (* + <T,
являющейся, таким образом, окружностью. В зависимости
от того, является ли дуга окружности, соединяющая
точки а и z, обращённой к оси ОХ вогнутостью или выпук-
лостью, она определяет, соответственно, максимальную
или минимальную площадь.
Вторая задача, которую мы здесь рассмотрим, такова:
из кривых одной-и той же длины найти ту, которая при
вращении вокруг оси AZ образует тело с наименьшей или
наибольшей поверхностью (стр. 360).
Общим свойством является постоянство значения
J 14- p2dx, дифференциальное значение которого будет:
у . d — • Формулой же максимума или мини-
мума будет: у J 14- pzdx\ сё дифференциальное зна-
чение:
n't • (dx | 14- р2 — d	.
Уравнение искомой кривой получится в виде:
\d-^==dx 1 T+7-d^£==,
/i+р2	/i + р2
которое, будучи умножено на р и проинтегрировано1),
*) Левая часть, очевидно, после умножения на pt будет иметь
вид: Ind f Р = d	. Правою же можно привести
/Н-р3	/1 + Р2
к виду, указанному Эйлером, следующим образом:
Р dx • ]/"1 4- р2 - pd   УЛ. = dy • У1 + р2 - pd УР= =
VI + P-	УИ-р2
/1 + р2 yi+p-
=d G/rTF —=d •
Ч У	/1 + р2 )	/1 + р2
ПЕГВЫГ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ В VP1I \ЦИОП. ИСЧИСЛЕНИЯ
даёт
л
или
y + i
с VI р7'
Отсюда получится:
» —	— V<z + У)* ~ с‘
’ dr	с
и, наконец,
с dy
/(Я + j/)2-^'
БЯ’6
т. е. общее уравнение цепной линии. Если эта линия
обращена к горизонтальной оси ОХ выпуклостью, то
поверхность тела будет наименьшей, если вогнутостью
наибольшей.
Таким образом, мы видим, что каждая вариационная
задача теперь трактуется, как пример на применение
общего метода, и что, в этом смысле, Эйлером создай
настоящий алгоритм решения вариационных задач,
хотя и нет ещё специфического для вариационного исчи-
сления алгоритма Лагранжа. Установив применимость
своего метода к вариационной задаче любого типа и дав
в «Methodus inveniendi» систематическое его изложение,
Эйлер находит новые применения этого метода. С этой
точки зрения представляют интерес оба дополнения
к данной работе.
В первом из них: «Об упругих кривых» Эйлер,
ссылаясь на «премудрость творца», высказывает мысль,
что «в мире не происходит ничего, в чём не был бы виден
смысл какого-нибудь максимума или минимума; поэтому
нет никакого сомнения, что все явления мира с таким же
успехом можно определить из причин конечных при
помощи метода максимумов и минимумов, как и из самых
производящих причин». Поэтому он считает, что суще-
ствуют «два пути для познания явлений природы —один
через производящие причины, который обычно называют
прямым методом, другой через конечные причины
496
К. А. РЫБНИКОВ
математик с равным успехом пользуется обоими*. Вторым
из них и является метод максимумов или минимумов.
Несмотря на теологическую мотивировку, Эйлер понимает,
однако, что из одних только ссылок на премудрость творца
науки всё же не получится. Ибо «хотя вследствие стольких
блестящих примеров не остаётся никакого сомнения, что
во всех кривых линиях, которые даёт решение физико-
математических задач, имеет место свойство какого-
нибудь максимума или минимума, всё же часто очень
трудно усмотреть самый этот максимум или минимум
даже и в тех случаях, когда можно достигнуть решения
a priori* (стр. 448—449). Поэтому, когда Эйлер узнал
от Д. Бернуллих) свойство упругой кривой * 2) обладать
наименьшим значением «потенциальной силы», равной
7^ (где -радиус кривизны), он «не мог упустить
желанный случай».
Так как для определённости задачи необходимо задать
четыре условия, ибо в радиусе кривизны R содержатся
дифференциалы второго порядка, то задачу он ставит
следующим образом: «среди всех кривых одной и той же
длины, которые не только проходят через Л и В, но и
касаются в этих точках прямых, заданных по положению,
„	С ds
определить ту, для которой значение выражения \-до-
будет наименьшим» (стр. 451).
Налицо обычная изопериметрическая задача, которую
Эйлер решает по общему правилу и получает уравнение
упругой линии в параметрической, довольно сложной,
форме. В дальнейшем он классифицирует упругие кри-
вые, насчитывая девять различных их видов. Затем он
исследует с помощью того же общего метода задачу об
изгибе неоднородной упругой пластинки и решает боль
шое количество частных задач, относящихся к этому
вопросу.
г) Письмо Д. Бернулли к Эйлеру от 22/Х 1742. См. Fuss,
Corresp., П, 505 — 507.
2) To-есть кривой, вид которой принимает изогнутая упругая*
пластинка.
ПЕРВЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ВАРПАЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЯ V97
Большой интерес представляет второе приложение
Эйлера (стр. 573 — 593): «Об определении методом макси-
мумов и минимумов движения брошенных тел в несопро-
тивляющейся среде». Эйлер и тут исходит из намерения
подтвердить своё убеждение в том, что «все явления при-
роды следуют какому-нибудь закону максимума или мини-
мума» (стр. 573), показав, что эффект, вычисленный
с помощью известных «производящих причин», совпадает
с получающимся из некоторого минимум-принципа.
Экстремальным свойством, утверждает Эйлер, в данном
случае является «само движение, или, точнее, совокуп-
ность всех движений, присущих брошенному телу»,
которое должно быть минимальным.
Математическое выражение минимального свойства
rds, данное Эйлером, окончательно убеждает нас, что
речь идёт о принципе наименьшего действия, только что —
15 апреля 1744 г. высказанном Мопертюи в мемуарс,
адресованном Парижской Академии наук.
Так кд к ds = cdt, то vds= ozdt, так что «для кри-
вой, описываемой брошенным телом, сумма всех сил,
находящихся в теле в отдельные моменты времени, будет
наименьшей» (стр. 575).
Установлением связи принципа наименьшего дей-
ствия с принципом живых сил Эйлер не только откликался
на ожесточённые споры о том, как следует оценивать
меру движения, но и подкреплял свои, как он сам созна-
вал, очень шаткие обоснования принципа наименьшего
действия. С этой же целью он проводит аккуратнейшим
образом с помощью своего метода максимумов и миниму-
мов исследования движения тела, свободного от воздей-
ствия сил, находящегося под влиянием силы тяжести,
и т. д. Каждый результат он сравнивает с ранее извест-
ными, чтобы установить «согласие установленного здесь
принципа с истиной», а также внимательно исследовать,
«насколько широкий смысл имеет этот принцип, чтобы
не придавать ему большего значения, чем позволяет его
сущность» (стр. 589). Последнее замечание выгодно харак-
теризует позицию Эйлера в отношении его к высказанному
32 Историко-математ. исследования
498
К. А. РЫБНИКОВ
Мопертюи в довольно туманной форме принципу наимень-
шего действия.
Не имея возможности остановиться на затронутом
вопросе более подробно, укажем только, что история
принципа наименьшего действия является интересней-
шей главой в истории науки. Знакомство с ней может
дать работа Л. С. Полака г), особенно её первая глава:
«Принцип наименьшего действия до Гамильтона».
В заключение отметим, что хотя Кнезер и не совсем
прав, противополагая «предметной» ещё точке зрения
Эйлера на вариационные задачи «алгоритмическую» точку
зрения Лагранжа, но с Лагранжа действительно начи-
нается новая глава в истории вариационного исчисления.
«Methodus inveniendi» поэтому по праву может быть
назван работой, завершающей раннюю историю вариа-
ционного исчисления.
Лагранж открыл новую страницу не только в истории
самого вариационного исчисления, но и в его приложе-
ниях. Если Эйлер сумел придать конкретное математи-
ческое содержание принципу, который в формулировке
Мопертюи, по мнению Лагранжа, не заслуживает даже
внимания математиков, то лишь Лагранжу удалось осво-
бодить его от теологической окраски и представить его
не как метафизический принцип, а как «простой и общий
вывод из законов механики»2).
Этому новому периоду в развитии вариационного
исчисления автор предполагает посвятить отдельную
работу.
х) Л. С. Полак, В. Р. Гамильтон и принцип стационар
ного действия, Изд. АН СССР, 1936 г.
3) Лагранж, Аналитическая механика, стр. 181.
ВЫЛ ЛИ ЕВКЛИД ПОСЛЕДОВАТЕЛЕМ ПЛАТОНА?
В, Молоди! ий
Среди статей, посвящённых в предыдущем выпуске «Историко-
математических исследований» «Началам» Евклида, помещена
статья проф. М. Я. Выгодского. В ней автор даёт общую характе-
ристику классического произведения Евклида, касаясь содержания
всех книг, п останавливается на философских взглядах н методоло-
гических установках Евклида.
На вопрос—был ли Евклид последователем Платона—К!. Я. Вы-
годский отвечает утвердительно. Мне кажется, что для такого
ответа М. Я. Выгодский не имел достаточных оснований.
Третий параграф своей статьи М. Я. Выгодский начинает
замечанием: «По своим философским воззрениям Евклид был, нови
димому, последователем Платона»1). Это говорил Прокл, указывая,
что 13-я книга «Начал» заканчивается построением правильных
многогранников, которым Платон придавал особое значение. Одна-
ко нельзя верить на слово неоплатонику Проклу, который ничего
об Евклиде толком не знал. Мнения же на этот счёт некоторых
буржуазных историков, основанные исключительно на указаниях
Прокла, нельзя признать убедительными. М. Я. Выгодский сам
указывает, что аргументы Прокла нельзя считать решающим
доказательством «платонизма» Евклида (стр. 220—221).
Однако, по мнению М. Я. Выгодского, имеются аргументы,
достаточно убедительно говорящие за то, что Евклид был последо-
вателем Платона. «Многие особенности «Начал»,—пишет М. Я. Вы-
годский,—могущие показаться непонятными, легко объясняются,
если мы примем, что Евклид был платоником» (стр. 221).
Итак, нет прямых указаний, говорящих за приверженность
Евклида к философии Платона. Убеждение в этом—гипотеза, ио
гипотеза полезная, легко объясняющая многие особенности «Начал».
Таково центральное утверждение М. Я. Выгодского
«Влияние философии Платона,—пишет М. Я. Выгодский,—
сказывается в «Началах» уже в основном вопросе о соотношении
теории и практики... В «Началах» не только нет пи единого слова
о практических приложениях геометрпи, но в них сознательно
*) «Историке математические исследования», выл. I, М.—Л.,
1949 г., стр 220. В дальнейших ссылках на эту книгу будут ука
вываться в тексте только страницы
32*
в. н. малодпшй
50и
опущены некоторые чисто теоретические вопросы, без которых
не может обойтись измерительная практика» (стр. 221).
Геометрия Евклида—чистое, совершенно абстрактное, неза-
висимо от арифметики построенное учение. Почему? Потому, что
расчёты, «логистика»—это, как учил Платон, дело ремесленни-
ков и купцов ci не людей чистом науки.
Особая абстрактность основных определений «Начал», по мне-
нию М. Я. Выгодского, доказывает, что с их помощью Евклид
старался «вызвать у читателя „воспоминание4- о понятиях, врождён-
ных его душе, во отнюдь не представление о реальных прообразах
этих понятий» (сгр. 244). М. Я. Выгодский всячески старается пока-
зать, что, по мнению Евклида, основные определения—только
«воспоминания» в стиле платоновской теории познания, что здесь
Евклид отказывается от традиций своих предшественников, рас-
сматривавших эти определения как описания реальных простран-
ственных форм.
На основании подобных рассуждений М. Я. Выгодский считает
возможным утверждать, что «Евклид исходил и< идеалистических
взглядов на предмет математики» (стр. 242—подчёркнуто мною.—
В. Л.).
Можно ли признать аргументацию М. Я. Выгодского достаточ-
ной?
Задолго до Евклида древне-греческие учёные установили, что
привлечение понятия числа (в то время только дробного и целого)
для исследования свойств непрерывных величии ведёт к протнво
речиям. К таким же выводам они пришли в отношении понятий
движения и бесконечности. Открытие несоизмеримых величин
в школе Пифагора и апории Зенона вот главные основания таких
заключений. Греки не сумели обосновать понятие иррационального
числа, и это ещё до Евклида натолкнуло их на мысль о целесообраз-
ности автономного построения геометрии, без привлечения понятий
движения, бесконечности и числа. Идея такого автономного построе-
ния геометрии обосновывалась древнегреческими учёными самых
разнообразных философских направлений. В понимании предмета
математики Аристотель отстаивал (правда, недостаточно последо-
вательно) материалистическую линию. Это, впрочем, не помешало
ему неоднократно говорить: «математические предметы чужды
движению»1); «число соизмеримо, а к тому, что несоизмеримо, оно
не применяется»2). Короче говоря, эти факты наталкивали древне-
греческих учёных па мысль, что построение геометрической системы
может быть строгим только тогда, когда оно осуществлено без
привлечения понятий числа, бесконечности и движения.
Эти ограничительные тенденции смогли закрепиться п проник-
нуть в вопросы геометрии по следующим трём причинам. Техни-
ческая слабость древней Греции позволяла её геометрам ограничи-
г) Аристотель, Метафизика, перевод А. В; Кубицкого,
М.—Л., 1934, стр. 33.
*) Там же, стр. 95—96.
БЫЛ ЛИ ЕВКЛИД ПОСЛЕДОВАТЕЛЕМ ПЛАТОНА?
501
ваться анализом вопросов, пе связанных с понятиями движения,
бесконечности и числа. До Евклида и Платона древние греки начали
различать арифметику как науку о свойствах чисел от логистики
как искусства счёта. Логистика считалась низменным искусством;
использование её данных в теоретической науке, в том числе и в
геометрии, считалось недопустимым. После укрепления рабовла-
дельческой аристократии (]V в. до и. э.) реакционная идеалисти-
ческая философия (в том числе и философия Платона) захватывает
прочные позиции и старается оправдать и закрепить указанные
ограничительные тенденции. Конечно, не задачи развития и обосно-
вания геометрии тревожилп древнегреческих идеалистов; они
хотели сделать из существующих в геометрии установок аргумент
в пользу своего мировоззрения.
Что делает «Начала» особо абстрактными, излишне удалён-
ными от реальных пространственных форм, лишает их связи с прак-
тическими вопросами?—В первую очередь, то, что Евклид считал
необходимым осуществить обоснование геометрии, выдержанное
в духе указанных ограничительных тенденций.
М. Я. Выгодский считает возможным объяснить всё это влия-
нием Платона па Евклида. Но почему всё это нельзя объяснить
влиянием Аристотеля? Почему это нельзя объяснить ссылками на
обгцие взгляды, общие для весьма многих древнегреческих учёных?
Есть основания думать, что такие объяснения были бы правильнее.
Если рассуждать подобно М. Я. Выгодскому, то надо считать пла-
тоником не только Евклида, но и Аполлония: Аполлонпй строит
учение о конических сечениях в духе евклидовых «Начал»; у него
тоже нет понятия числа, вот бесконечности и движения.
Итак, даже оставляя в стороне детали гипотезы М. Я. Выгод-
ского, можно утверждать, что она не является лучшей, что его
аргумеитаиия недостаточна.
Есть, однако, факты, которые прямо говорят против концепции
М. Я. Выгодского.
Истолковав по-своему философские взгляды Евклида, М. Я. Вы-
годский переходит к описанию теории доказательства «Начал». Но
тут он по существу сам изменяет своей гипотезе, изменяет по
необходимости, и именно это особенно ясно показывает ошибоч-
ность его взгляд »в.
Если бы Евклид был последовательным платоником, он был
бы обязан расположить и обосновать материал «Начал» согласно
платоновскому толкованию предмета геометрии. Но здесь (в этом
«здесь»—суть* всего дела) Евклид за Платоном не пошел! Логика
«Начал»—это логика Аристотеля. Этот факт сам М. Я. Выгодский
подчёркивает и доказывает рядом веских аргументов. Доказатель-
ство этого факта он подкрепляет многими ссылками на материали-
стический характер трактовки Аристотелем предмета геометрии,
её аксиом и постулатов.
Почему же здесь М. Я. Выгодский оставил Платона и перешёл
к Аристотелю?—Потому что речь зашла о критерии истины в гео
метрии, который Евклид трактовал не как платоник. ,1ля Пла-
тона познать—значит вспомнить. Платон учил, что обратцг нш
502
13. и. ХОЛОДШШ1
к чувствам не даёт истинного знания; надо отрываться от чувств,
погружаться в глубины своей души, чтобы она вспомнила то, что
когда-то видела в вечном и неизменном мире идей. Подходя с такой
теорией познания к геометрии, Платон заявлял, что она, к сожале-
нию, не является той наукой, какой он хотел бы её видеть. Геометры,
говорил Платон, не возвышают свою науку до познания сущего,
вечного, так как связывают свои рассуждения с чувствами, с прехо-
дящим: «Ведь они говорят очень смешно и подчиняются необходи-
мости; ибо как будто делая что-нибудь и для дела повторяя все
своп термины, построим, говорят, четырехугольник, проведём
пли проложп.м ливню, и издают все подобные звуки, между тем
как целая эта наука назначается для знания»1). Платон третиро-
вал da ко иное желание геометров подтверждать свои рассуждении
построениями. Аристотель, напротив, одобрял их: он требовал
доказательства существования всех объектов науки, кроме основных,
принимаемых без доказательства.
Евклид на практике солидаризируется с Аристотелем, a i.e
с Платоном. Никакими «воспоминаниями» он не занимается. Прежде
чем изучить свойства каждой геометрической фигуры, он обеспечи-
вает её существование построением на базе постулатов и тем самым
обеспечивает истинность относящихся к ней теорем. Евклид помнил
о трети угла, помнил о квадрате, равном по площади данному кругу,
но для него они не существовали, в о них он ничего не сказал. Итак,
в теории доказательства, а значит, и в понимании критерия истины
в математике, Евклид не был последователем Платона. Как же
после этого можно называть Евклида платоником, утверждать,
что он отстаивал идеалистическое понимание предмета геометрии?
Философско-методологическая основа науки имеет огромнее
значение для действенности её заключений и дальнейшего её роста.
Материализм помогал науке, идеализм, как правило, мешал ей.
В наше время наука может успешно развиваться только на базе
диалектико-материалистического миропонимания. Лучшее тому
подтверждение—пабе да прогрессивного, мичуринского направления
в бнодогцц над реакционным морганистско-вейсманистским напра-
влением. JBce эти истины общеизвестны. Но, несмотря на это,
М. Я. Выгодский, приписав Евклиду платонизм, не постарался
полностью выяснить, в чём реакционная философия Платона ока-
зала разрушающее влияние на «Начала». Он указал только на осо-
бую абстрактность «Начал», на их отрыв от практики. Но наряду
с этим у пего имеются утверждения, смысл которых совершенно
иной. Так, сравнивая взгляды Лобачевского и Евклида, М. Я. Вы-
годский счёл возможным указать, что хотя первый трактовал пред-
мет геометрии как материалист, а второй—как идеалист, от этого
дело не пострадало, так как оба они «изучали закономерности, имею-
щие место и реальной действительности» (стр. 237). Если учесть,
что М. Я. Выгодский неоднократно хвалит «Начала», неодобрительно
х) П л а т о и, Сочинения, перевод Карпова, СПб, 1863, ч. III,
Политика пли государство, стр. 372 и дальше.
ЕЬ:Л ЛИ ЕВКЛИД ПОСЛЕДОВАТЕЛЕМ ПЛАТОНА? 503
отзываясь об пх современной критике, то можно подумать, что якобы
присущий Евклиду платонизм не оказал существенного влияния
на «Начала». Это приводит к порочному выводу, что будто бы boiij ос
о том, какой философией руководствоваться, имеет второстепенное
значение, не затрагивающее существа геометрии. Это неверно
и противоречит всей истории развития науки. 11 ревосходные качества
«Начал» показывают, что философские взгляды иг автора не были
механическим привеском к ним, что в теории доказательства и,
вероятно, в толковании принципов геометрии, иг автор не был
п оследователе. у И. гатона.
В 1926 г. в 16 «Вестника Коммунистической Академии»
была опубликована статья «Платон как математик». Автор этой
статьи справедливо указывал, что по вполне определённым идео.к -
гическпм соображениям буржуазные историки превозносят имя
Платона и отводят ему в истории математики почётное место. Автор
далее заявлял, что в действительности это ложь что для обоснова-
ния влияния Платона на математику «приходится допускать совер-
шенно произвольные толкования, натянутость которых пряло
бьёт в глаза»1) (подчёркнуто мною.—В. М.). «Я утверждаю,—особо
подчеркнул автор,—что, если в истории математики Платон сыграл
какую-нибудь роль, то только роль реакционную, препятствующую
движению вперёд математики как науки, точно так же, как реак-
ционной была его роль в развитии точных наук вообще»2 3). «...В с»
чпнеипях Платона мы имеем дело пе с математикой, как таковой,
а с «математической мистикой»9). «Платон видел в математике
не орудие исследования внешнего мира, а лишь средство для ква-
зинаучною обоснования своею по существу религиозного мировоз-
зрения»4). «...Для Платона математика была не орудием познания
внешнего мира и даже не наукой самой для себя, а средством ене-
о пышного (т. е. без чертежей, построений и т. и., подчёркнуто
мною.—В. М.) познания «сущего и невидимого»5). Все эти утвержде-
ния автор доказывал рядом серьёзных данных. II хотя в этой статье
«Начала» упоминаются, но о влиянии Платона на Евклида автор
ничего не говорит.
Автором статьи «Платон как математик» был М. Я. Выгодский.
В заключение позволю себе сделать два замечания.
«Начала» Евклида—книга не простая; она жила, живёт и
будет жить. Пе зная содержания, методологии и истории «Начал»,
трудно понять гениальность и революционную направленность
геометрии 11 II Лобачевского. С историей «Начал» органически
связаны вопросы обоснования геометрии и математики в целом.
Следовательно, чтобы правильно разъяснить, почему «Начала»
нужны советским читателям, необходим марксистски выдержанный
анализ философско-методологических предпосылок «Начал».
4) «Вестник Коммунистической Академии», 1926, № 16, стр. 194.
2) Там же, стр 195.
3) Там же. стр. 199.
4) Там же, стр. 204.
6) Там же, стр. 208.
504	в- н- МОЛОД ШИЙ
Шлп века, менялись народы, классы, менялись идеология
и философия; менялось и отношение к «Началам» Евклида. Исполь-
зуя научное богатство «Начал», реакционные силы не раз пытались
исказить их философско-методологическую основу, часто вопреки
тому, что, видимо, в этом смысле дал сам Евклид. Например, многие
западноевропейские историки математики утверждают, что Евклид
был последователем Платона и что якобы это во многом предопре-
делило содержание, структуру и превосходные качества «Начал».
Такие выводы делаются, конечно, не спроста: буржуазные историки
стараются очернить стихийно-материалистическую направленность
науки древпих греков, обосновать «благотворное» влияние идеализма
на их геометрию.
Марксистский анализ философско-методологических основ
«Начал» Евклида крайне необходим; только он способен помочь
советским читателям при оценке «Начал» отбросить прочь извра-
щения буржуазных историков математики. Однако М. Я. Выгод-
ский некритически подошёл к некоторым их утверждениям, и
предпринятый им опыт общего анализа, несмотря на ряд содер-
жащихся в нём интересных мыслей, в цел >м оказался неудачным.
О СТАТЬЕ М. Я. ВЫГОДСКОГО:
«„НАЧАЛА" ЕВКЛИДА» *)
Л. Е. Майстров
Статья М. Я. Выгодского «„Начала** Евклида», наяпсаниая в
связи с выходом в свет нового пор свода «Начал» на русский язык,
видимо, не только по мнению редакции, но и по замыслу автора
должна была представлять собой «попытку марксистского исследо-
вания системы «Начал» в целом, их места в роли в античной науке»
(стр. 6).
Посмотрим, насколько правильно статья М. Я. Выгодского
ориентирует читателя в «Началах», кЬк помогает она ему разобраться
в тех вопросах, которые возникают при чтении этого замечатель-
ного произведения, как она облегчает его понимание.
М. Я. Выгодский считает Евклида последователем Платона.
Какие доказательства приводит он в подтверждение этого тезиса?
Первое Доказательство: «Так, по крайней мере, говорит Прокл»
(стр. 220).
Второе доказательство: «многие особенности «Начал», могу-
щие показаться непонятными, легко объясняются, если мы примем,
Что Евклид был платоником» (стр. 221).
Третье доказательство:что Евклид был платоником, это «априори
весьма вероятно ввиду того положения, которое философия Пла-
тона занимала в эпоху Евклида» (стр. 221).
На основании этих утверждений М. Я Выгодский дальше
категорически заявляет, что Евклид относил «объекты геометрии
к миру идей» (стр. 237); «исходил из идеалистических взглядов
на предмет математики» (стр. 242) и т. п.
Но все три утверждения, приведённые М. Я. Выгодским,
не убеждают читателя в том, что Евклид был платоником. Неизвест-
но, почему при оценке философских взглядов Евклида советский
читатель должен верить неоплатонику Проклу, который жил 7 сто-
летий спустя после Евклида. Неизвестно/ почему необходимо
предположить, что Евклид был платоником, и с этом предвзятой
точки зрения подходить к анализу «Начал», а не наоборот, из ана-
лиза «Начал» вывести философские взгляды Евклида. II, наконец,
*) «Историко-математические исследования», вып. I, М.—Л.,
1948. В дальнейших ссылках на эту книгу' будут указываться в
ексте только страницы.
50ft
Л. E. МАЙСТРОВ
совсем непонятно, почему философские взгляды Евклида выводятся
не столько из анализа его трудов, сколько из факта господ-
ства той пли иной философской системы.
Основная ошибка М. Я. Выгодского при выяснении философ-
ских взглядов Евклида состоит в том, что он перед анализом «Начал»
принимает, что Евклид был платоником, и с этой меркой подходит
к его труду; поэтому не удивительно, что гам, где содержание
«Начал» не укладывается в его схему, М. Я. Выгодский противо-
речит самому себе
Например, на стр. 221—222 утверждается, что Евклид не рас-
сматривает длину окружности и число те потому, что он вообще,
исходя из своих философских установок, не рассматривает практи-
ческие приложения геометрии. Но па стр. 276—277 вопросы о длине
окружности и о числе те называются естественно возникающими
внутри собственной системы Евклида; а так как при этом указы-
вается, что Евклид ие мог говорить ни о числе те, пи о длине окруж-
ности потому, что у пего не было постулата непрерывности, то отсюда
следует, что его .философская установка здесь не играла никакой
роли.
На стр. 237 утверждается, что Евклид считает объекты геомет-
рии относящимися к миру идей, а на стр. 262 утверждается нечто
совсем другое, а именно, что движение треугольника в реальном
пространстве—а не в мире идей—Евклид склонен был принимать
за логическую необходимость. Па стр. 253 пишется, что Евклид
считает существующим то, что можно выполнить геометрическим
построением (т. с. вовсе не апри ?рнос существование в мире
идей), чем и объясняются некоторые особенности «Начал».
На стр. 228—229 устанавливается, что в своих определениях
Евклид связан исторической традицией в геометрии, которая была
создана непрофессионалами-учёными, и—добавим мы—людьми
труда. А с другой стороны, на стр. 243 утверждается, что Евклид,
хотя и исходит из традиционного определения прямой, «по стре-
мится выразить его в такой форме, чтобы устранить из него всё
то, что апеллирует к материальному миру».
Такие противоречия встречаются в статье нередко. Сделаю ещё
одно замечание.
М. Я. Выгодский считает, что, согласно Евклиду, который,
по его мнению, был платоником, объекты геометрии относятся
к миру идей и что это будто бы подтверждают все книги «Начал»,
пронизанные якобы идеалистическим духом. В других местах,
защищая «Начала» Евклида от критики недостатков/ восторгаясь
языком Евклида, его ясностью и чёткостью, М. Я. Выгодский сове-
тует даже многим авторам современных курсов геометрии поучиться
у Евклида. Да и странно было бы ожидать другого совета: ведь
«Начала» живут два тысячелетней, как говорит автор, «все систе-
матические школьные курсы гёруе’грпц, непосредственно или через
промежуточные звенья, испытывают на себе влияние «Начал»
(стр. 217). Возникает вопрос: может л и-книга, которая отражает идеи
Платона, не только влиять на школьное преподавание геометрии, но
и служить образцом для советских математиков?
О СТАТЬЕ М.Я. ВЫГОДСКОГО «„НАЧАЛА" ЕВКЛИДА» 507
Конечно, геометрия имеет материалистическое содержание,
как и математика в целом, которая «имеет своим предметом про-
странственные формы и количественные отношения действительного
мира» (Энгельс). Но для нас вовсе не безразлично отношение автора
сочинения по геометрии к этому содержанию; для нас важно,
чтобы он это содержание понимал правильно, материалистически.
Если же автор такого сочинения втискивает содержание геомет-
рии в идеалистическую форму, то его труд не может благотворно
влиять на развитие наук i, но будет тормозить её движение
вперёд.
Взгляды Евклида на вопросы распространения и популяриза-
ции математики М. Я. Выгодским устанавливаются также бездока-
зательно, ибо нельзя считать доказательством такой рассказ:
«Царь Птолемей спросил будто бы Евклида, не существует ли более
короткого пути для познания геометрии, чем изучение «Начал».
Гордый ответ Евклида гласил, что в геометрии нет особой царской
дороги» (стр. 219).
М. Я. Выгодский считает это доказательством того, что «по
мнению современников, Евклид отвергал всякую мысль о популя-
ризации науки» (стр. 220), совсем не выводя этой мысли из анализа
текста «Начал» и лишь ссылаясь на сухой и бесстрастный тон
изложения.
Хотя статья М. Я. Выгодского написала в связи с изданием
нового перевода «Начал» и притом выполненного при редакционном
участии М. Я. Выгодского, в его статье этому переводу всё время
противопоставляется... другой перевод, сделанный М. Я. Выгод-
ским. Это противопоставление, никак не облегчая чтения нового
издания «Начал», иногда доходит до курьёзов. В изданном переводе
написано: «Линия же—длина без ширины»1), а в статье это место
переведено М. Я. Выгодским так: «Линия же есть бесшпринная
длина» (стр. 233). Чем «длина без ширины» хуже «бесшнрпнной
длины», не говоря уже о том, что самого слова «бесширинный»
в русском языке нет?	5
Не вскрыв материалистического содержания евклидовой геомет-
рии, не проведя марксистского исследования «Начал», М.Я. Выгод-
ский не помог читателю разобраться в вопросах, возникающих при
чтении «Начал», и не облегчил читателю их понимание, хотя такую
задачу он перед собой поставил.
9 Начала^Евклида, книги I—VI, ГИТТЛ, М.—Л., 1948 стр. 11.
Редактор В. А» Солодков.
Техн, редактор Л. А. Кушнер»
Подписано к печати 29/Х 1949 г. 31,75 печ. л. 27,33 уч.-ивд. л.
34410 тип. вн. в печ. л. А-11824. Тираж 4000 эка. Цена книги 16р. 45к.
Переплёт 2 р. Заказ № 1627.
16-я типография Главполиграфиадата при Совете Министров СССР,
«г Москва, Трёхпрудный пер,, 9.