Символы, обозначения, понятия школьного курса математики - Антипов И.Н., Шварцбурд Л.С.

Символы, обозначения, понятия школьного курса математики. Антипов И., Шварцбурд Л.. М.: Просвещение, 1978 г. 64 с.

Список учебников и учебных пособий по математике для средней школы

Автор: Антипов И.Н. Шварцбурд Л.С.

Теги: математика

Год: 1978

Похожие

Основные понятия школьной математики

Дискретная математика. Учебник

Что такое математика. Элементарный очерк идей и методов

Сборник задач по математике на сообразительность

Текст

Л.С.ШВАЩБУРД СИМВОЛЫ,
ОБОЗНАЧЕНИЯ,
ПОНЯТИЯ
ШКОЛЬНОГО
КУРСА
МАТЕМАТИКИ

И. Н. Анпшпов, Л. С. Шварцбурд
символы,
ОБОЗНАЧЕНИЯ,
понятия
ШКОЛЬНОГО
КУРСА
МАТЕМАТИКИ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1978

ВВЕДЕНИЕ
В 1977 г. средняя общеобразовательная школа полностью
перешла на новое содержание обучения по математике. Про-
исшедшие изменения связаны не только с введением нового
содержания, но и с коренной перестройкой всей методической
системы преподавания традиционных вопросов. Новый курс ма-
тематики в настоящее время представляет собой единую си-
стему обучения с I по X класс.
В целях совершенствования преподавания математики не-
маловажное значение приобретают вопросы согласованного ис-
пользования символов, обозначений, терминов и понятий. Их
обсуждение целесообразно начать с сопоставительного рассмот-
рения указанных элементов в системе действующих учебников
и учебных пособий на 1977/78 учебный год. Такой «срез» по-
может взглянуть на всю систему символов, обозначений и по-
нятий с общих позиций, увидеть распределение компонентов
системы по классам и предметам. Этим может быть облегчен
просмотр сквозной методической линии введения математиче-
ских понятий в школьный курс.
В данной книге представлен лишь констатирующий мате-
риал, который может помочь проведению более глубокого ана-
лиза учебных пособий по математике и способствовать лучшей
ориентации учителя в указанной системе (с I по X класс).
Не являясь справочником, эта книга освещает некоторые
особенности изложения материала в том или ином учебнике.
При этом же следует учесть, что разные способы введения по-
нятий в учебниках, концентрация понятий по классам, упот-
ребление математических записей и другие имеют свое методи-
ческое обоснование, раскрытие которых не ставили перед собой
авторы этой книги.
В книге обращается внимание на смысловое различие
символа и обозначения. В математике имеется некоторый на-
бор символов, из которых строятся обозначения. Часто встре-
чаются односимвольные обозначения, например однозначные
числа, однобуквенные обозначения и т. д.
Не всегда по начертанию можно понять — один это сим-
вол или их несколько. Приведем пример. Среди символов име-
ется символ «вертикальная черта». Далее, знак параллельности
з

изображается с помощью двух вертикальных черт ||. Может
возникнуть вопрос: считать ли знак параллельности одним са-
мостоятельным символом или рассматривать его как комбина-
цию из двух символов. Знак Ф также можно считать само-
стоятельным символом или рассматривать его как комбина-
цию (наложение) символов = и / (косая черта). В практике
для сложных символов используют как комбинации имеющих-
ся штампов (наложение, группировка),так и отдельные штампы.
Выделение символа носит условный характер. В приведен-
ных выше примерах можно было подойти по-разному к тако-
му выделению. В примере же обозначения модуля числа х, а
именно 1*!, исключается разное толкование. Это обозначение
представляет собой набор трех символов: | , х , |. Отделяя
символы от обозначений в курсе математики, мы исходим из
следующего. Символом будем считать такое начертание, для
которого можно изготовить «штамп». Примерами таких штам-
пов могут служить знаки клавиш пишущей машинки или кла-
виш пульта вычислительной машины, знаки типографского
шрифта и т. д. При таком подходе знак || можно считать са-
мостоятельным символом. Записи |*|, \АВ\ представляют со-
бой обозначения, они не являются символами, для них не из-
готавливаются отдельные штампы, так как у них содержание
между вертикальными чертами различно. Что касается обо-
значений функций синуса, косинуса и др., то, вообще говоря,
можно изготовить штампы sin, cos, ... (как это сделано, напри-
мер, на микрокалькуляторах). В некоторых языках программна
рования среди символов широко используются целые служеб-
ные слова.
Традиционный язык школьного курса математики далек от
какого-либо универсального языка программирования, предна-
значенного для использования ЭВМ. Однако тенденция сбли-
жения языков программирования с языком математики и их
взаимное влияние заставляют более четко вычленять средства
математических описаний школьного курса математики. В свя-
зи с этим в данной книге обращено внимание на такие важные
компоненты языка математических описаний, как символы, обо-
значения и понятия.
В разделе I приводится сводная таблица символов всего
курса математики средней школы. В разделе II на основе
имеющейся символики изложена система обозначений, приня-
тая в этом курсе. Далее в разделе III перечисляются наиболее
важные понятия школьного курса математики (по предметам
и по годам обучения). Отметим некоторые особенности изло-
жения материала.
Сначала фиксируется некоторая совокупность символов, что
поможет во многих случаях различить символ и обозначение.
В настоящее время в конце некоторых учебных пособий приво-
дятся списки обозначений, которые в них используются. Но в
4

этом деле наблюдается разнобой. В одних книгах эти списки
называют указателями символов, в других — указателями обо-
значений, хотя существо их зачастую одно и то же.
При перечислении понятий мы придерживались следую-
щего. Понятия, которым в учебнике дается явное определение
или пояснение, похожее на определение, снабжаются соответ-
ствующими определениями или пояснениями. Понятия же, ко-
торые объясняются на примерах или которым даны расплыв-
чатые пояснения, просто перечисляются без сопроводительного
текста. Тексты определений и пояснений приводятся точно та-
кими, какими они даны в учебниках (лишь в редких случаях
мы допускаем редакционные изменения, соответствующие сти-
лю нашего изложения).
В связи с различием подходов, реализованных в учебниках
и учебных пособиях, и сложностью выделения точной принад-
лежности вводимых в учебных пособиях понятий, символов и
обозначений в настоящей книге зачастую нет ожидаемых обоб-
щений, а лишь указываются отдельные примеры. Например,
при перечне возможных обозначений перпендикулярности объ-
ектов приведены не все случаи и т. п.
В заключение отметим, что любой учебник или учебное по-
собие хорошо снабдить перечнем употребляемых в нем симво-
лов и обозначений, а также предметным указателем, как это
сделано в некоторых учебниках.
Авторы выражают благодарность рецензентам В. А. Гусе-
ву, В. Л. Миронову, Л. Ф. Пи чур и ну за сделанные за-
мечания. Они помогли авторам улучшить рукопись.
Авторы

1. Символы
Ниже приводится перечень символов, используемых в школь-
ном курсе математики. Сначала перечислены цифры, затем бук-
вы латинского алфавита. Далее указываются другие символы,
причем в левой колонке дается начертание символа, а в правой
колонке — пояснение: название или назначение.
В данной книге символы определенным образом упорядо-
чены. Можно было вообще их как-то сгруппировать, например,
объединив в группы: знаки операций, скобки, геометрические
символы и т. п. Кроме цифр и букв, мы не стали выделять сим-
волы по группам, чтобы не вводить специальных названий, тем
более, что нет согласованной и устоявшейся классификации
символики.
Цифры:
0123456789
Буквы латинского алфавита:
Аа ВЬ Сс Dd Ее Ff Gg Hh It Jj Kk LI Mm
Nn Oo Pp Qq Rr Ss Tt Uu Vv Ww Xx Yy Zz
H сложение.
вычитание.
• —умножение (точка).
X —умножение (косой крест).
:—деление (двоеточие).
/ — деление (наклонная черта),
черта дроби.
= — равно.
Ф — не равно.
> — больше.
^ —не больше (меньше или равно).
< —меньше.
^ —не меньше (больше или равно).
( — открывающая круглая скобка.
) — закрывающая круглая скобка.
[ — открывающая квадратная скобка.
] —закрывающая квадратная скобка.
{—открывающая фигурная скобка.
} —закрывающая фигурная скобка.
6

II — знак параллельности.
Л —знак непараллельности.
_L — знак перпендикулярности.
Z — знак угла.
v^ —знак дуги.
Л—знак величины угла (размещается над строкой).
^ — знак угловой величины дуги (размещается над стро-
кой).
А — знак треугольника.
Со—знак подобия (используется также знак со )•
£^ — знак конгруэнтности (используется также знак ^ ).
° — знак градуса (размещается выше строки).
-* — стрелка над строкой (используется для обозначе-
ния вектора).
— — знак скрещивающихся прямых,
ft—знак сонаправленности (лучей или векторов).
f | —знак противоположной направленности (лучей или
векторов).
»==> —знак следования.
<=> —знак равносильности (эквивалентности),
е —знак принадлежности,
е/ —знак «не принадлежит»,
а —знак включения.
ф — знак «не включается»,
U — знак объединения.
П—знак пересечения.
о — знак композиции функций или преобразований (раз-
мещается в строке).
« — знак приближенного равенства.
| — вертикальная черта.
% — процент,
оо — бесконечность.
0 — пустое множество,
/ — знак интеграла.
' — штрих.
-► — горизонтальная стрелка («стремится», «соответству-
ет»).
У — знак квадратного корня,
! — факториал.
, — запятая.
; — точка с запятой.
□ — квадратик.
* — звездочка.
Примечания.
1. Латинский алфавит приведен в учебниках IV и V клас-
сов [4], [5].
7

2. В старших классах используются, кроме латинских букв,
некоторые буквы греческого алфавита (не весь алфавит):
а, Р, Y» 6» л, Р» с, со, Д, ...
3. Для вспомогательных целей иногда в обозначениях ис-
пользуются буквы русского алфавита. Например, Ьцил — ПЛО-
щадь поверхности цилиндра.
4. Знаки черты дроби « », корня «]^» и стрелка над стро-
кой «-*» в обозначении векторов изображены здесь условно,
фактически размеры их зависят от вида выражений, в которых
они используются. Например,— э ^i- ; УаГуа + 6; а^ ~АВ.
b c-\-d
2. Обозначения
В данном разделе рассматриваются обозначения, при-
нятые в школьном курсе математики. В левой колонке
дается запись обозначения, а в правой — его пояснение или
примеры.
Список обозначений мог бы быть значительно расширен.
Мы не стали в него включать многие односимвольные обозна-
чения, такие, как однозначные числа, переменные, знаки дей-
ствий, римские цифры и т. д. Не включаются также обозначения
суммы, разности и других компонент выражений. Приводятся
лишь специфичные обозначения или обозначения в большей сте-
пени условные, которые могут быть разными в различных учеб-
никах.
Как и символы, обозначения могут быть сгруппированы*
алгебраические, геометрические или группы более частных
подразделений. Мы не стали проводить такую группировку обо-
значений из-за отсутствия общепринятой их классификации.
В приводимом списке обозначения в определенной мере упоря-
дочены. За основу были взяты имеющиеся в приложениях к
учебникам математики для IX—X классов соответствующие пе-
речни обозначений.
N —множество всех натуральных чисел.
Z — множество всех целых чисел.
Z,} — множество всех неотрицательных целых чисел.
Q — множество всех рациональных чисел.
R — множество всех действительных чисел, число-
вая прямая.
/?f — множество всех положительных действитель-
ч ных чисел.
/?2 — числовая плоскость.
[а; Ь] —замкнутый промежуток (отрезок) с нача-
лом а и концом 6, причем а<Ь.
]а\ Ь[ —открытый промежуток (интервал) с началом
а и концом ft, причем а<6.
8

]«:
[«;
[а;
]«;
]-
]-
]-
6]
*[
+'
+<
■оо;
оо;
оо;
«»[
Ч
&]
»[
+ ос
'[
— полуоткрытый промежуток (открыт слева) с
началом а, концом Ь> причем а<Ь.
— полуоткрытый промежуток (открыт справа)
с началом а, концом 6, причем а<&.
— бесконечный промежуток, луч числовой пря-
мой, а — начало луча (а включается в проме-
жуток).
— бесконечный промежуток, луч числовой пря-
мой, а — начало луча (а не включается в про-
межуток) .
— бесконечный промежуток, луч числовой пря-
мой, b — начало луча (Ь включается в проме-
жуток).
— бесконечный промежуток, луч числовой пря-
мой, b — начало луча (Ь не включается в про-
межуток) .
— бесконечный промежуток, числовая прямая.
=> — обозначение следования. Пример:
(у>8) => (*/>4). Этот знак в программиро-
вании означает пересылку значения. При-
мер: а=>&— переменная b принимает зна-
чение переменной а.
ф^> — обозначение равносильности (эквивалентно-
сти). Пример:
[(х—l)(y+l)=0]<=>[jc—1=0илиу+1=0].
->• —обозначение соответствия. Примеры:
1-Я5; (х\ у)-+М(х; у).
ле ЛГ — число п принадлежит множеству N .
ЛеФ —точка А принадлежит фигуре Ф.
nefiM —число п не принадлежит множеству М.
Вц/кФ —точка В не принадлежит фигуре Ф.
C<z.D — множество С включено в множество D, или
С есть подмножество множества D, или мно-
жество D содержит множество С.
Ф1<=:Ф —Ф1 является подмножеством фигуры Ф.
C(£D — множество С не включается в множество D,
Фц^Ф —фх не является подмножеством Ф.
ф1=ф2 —фигуры Ф1 и Ф2 совпадают.
Ф\ф&2 —фигуры Ф1 и Ф2 не совпадают.
C(jD — объединение множеств С и D.
Ф1и*2 —объединение фигур Ф1 и Ф2.
Cf\D — пересечение множеств С и D.
Ф1ПФ2 —пересечение фигур Ф1 и Ф2.
Ф^Ф2 —фигуры Ф1 и Ф2 конгруэнтны.
ф,еоФ2 —фигуры Ф1 и Ф2 подобны.
а —вектор а.
9

АВ
— вектор АВ9 отображающий точку А в точку
В.
АА, О — нулевые векторы.
\а\ —длина вектора а.
\АВ\ —длина вектора АВ.
а(*о\ Уо) —вектор, отображающий точку (0; 0) в точку
(*о; Уо)- Числа *0, Уо называются координа-
тами вектора.
Ха — абсцисса вектора а.
У а —ордината вектора а.
a = (jt; у\ г) —вектор с координатами х\ y\ z.
(i\ /; k) — прямоугольный базис.
а-Ь —скалярное произведение векторов а и Ь.
AB\\CD —векторы АВ и CD сонаправлены.
AB\\CD —векторы АВ и CD противоположно направ-
лены.
М(х\ y\ z) —точка с координатами (jc; у\ г).
хА — абсцисса точки А.
Мх —точка на числовой оси с абсциссой х.
]а—е; а + е[ —е-окрестность точки а.
\а\ Ь\ ...} — множество, состоящее из элементов а; 6; ...
/Л = {1; а; 7} —множество М состоит из элементов 1, а, 7.
Р=0 —множество Р пусто.
(а\ Ь) —упорядоченная пара.
(я; Ь\ с) —упорядоченная тройка. Если а, 6, с попарно
различны, то (а; Ь), (а; Ь; с) обозначают
также упорядоченные множества.
п\ —п факториал.
Рп — число перестановок из п элементов.
А™ —число размещений из п по т.
С? —число сочетаний из п по т.
\ЛВ] —отрезок прямой с концами А и В.
(АВ) —прямая, проходящая через точки А и В.
\ЛВ\ —длина отрезка АВ.
[АВ) —луч АВ.
(АВ) II (CD) —прямая АВ параллельна прямой CD.
(АВ) % (CD) —прямая АВ не параллельна прямой CD.
(AB)A-(CD) —прямая АВ перпендикулярна прямой CD.
[i4BJ_L[CD] —отрезок АВ перпендикулярен отрезку CD.
(ЛВ)_1_а —прямая АВ перпендикулярна плоскости а.
(/4В) — (CD) —прямые АВ и CD скрещиваются.
/.А —угол А.
10

ZABC —угол ABC.
Zaafi —двугранный угол между плоскостями аир
с ребром а.
— величина угла А.
— величина угла ABC.
— угол между направлениями лучей 1\ и /г.
— угол между прямыми а и Ь.
(а, Ь) —угол между векторами а и Ь.
/\
(а, Р) —угол между плоскостями аир.
kjAB —дуга АВ.
vABC —дуга ABC.
ABC —угловая величина дуги ABC.
70°36'15" —70 градусов 36 минут 15 секунд — величина
угла, дуги.
(О, R) —окружность с центром О и радиусом R.
(О, R) — круг с центром О и радиусом /?.
(ABC) — плоскость, проходящая через точки Л, 5, С.
f —преобразование /.
f(x) —образ точки х при преобразовании /.
Е —тождественное преобразование.
f-1 — обратное преобразование.
fog — композиция преобразований fug.
F —перемещение (произвольное): F, G, Я, ...
Zq —симметрия относительно точки О (центра)«
Si —симметрия относительно прямой / (оси).
Si(x) —точка, симметричная точке х относительно
прямой /.
S(x) —точка, симметричная точке х относительно
прямой (известной из контекста).
Sa — симметрия относительно плоскости а.
Н* — гомотетия с центром О и коэффициентом ft.
/?• —поворот плоскости (луча, лектора) на угол а
вокруг точки О.
Ra —поворот плоскости (луча, вектора) на угол а
вокруг начала координат.
А\Аъ.Ап — ломаная.
9:2=4 (ост. 1) —деление с остатком.
9=2-4+1 - -.-.-
5<х<7 —двойное неравенство.
аЬс —запись числа, где а, 6, с — цифры соответст-
вующих разрядов.
а\\ а>2\ • •.; ап — последовательность, состоящая из п чисел*
(ап) — бесконечная последовательность.
11

f(x)
от
fog
Af(*6)l
tf J
\\mf(x)=b
x-+a
I Xq
maxf
[a,b]
min/
[a;b]
ff(x)dx
a
i!
ix •
sin
cos
tg
ctg
expa
exp
loga
Ig
In
arcsin
arccos
arctg
arcctg
sin л:
— значение функции f в точке х.
— область определения функции /.
— множество значений функции f.
— композиция функций fug, т. е. сложная
функция, составленная из функций fug. Ес-
ли h=fog, то h(x)=f{g(x)).
— приращение переменной х.
— приращение функции / в точке х0.
— число Ъ является пределом функции f при
х, стремящемся к а.
— производная функции / в точке х0.
— наибольшее значение функции f на отрезке
[а; Ь].
— наименьшее значение функции f на отрезке
[а; Ь].
— интеграл функции f в пределах от а до 6.
— целая часть числа х.
— дробная часть числа х.
— модуль числа х.
— арифметический квадратный корень из чис-
ла х.
— функция синус.
— функция косинус.
— функция тангенс.
— функция котангенс.
— показательная функция с основанием а.
— показательная функция с основанием е.
— логарифм с основанием а.
— десятичный логарифм.
— натуральный логарифм.
— функция арксинус.
— функция арккосинус.
— функция арктангенс.
— функция арккотангенс.
— значение функции sin в точке х. Аналогично
cosx, tgx, ctg a:, expa*, expx, logax, lg*,
lnx, arcsin jc, arccos x, arctg x9 arcctgx — зна-
чения соответствующих функций в точке х.
Примечания.
1. Из чисел, переменных и функций с помощью знаков
арифметических действий и скобок, регулирующих порядок
действий, образуются так называемые арифметические или ал-
гебраические выражения|
12

2. Функции, как правило, обозначаются одной или несколь-
кими буквами латинского алфавита, например: f, g, Л, F, P, Q,
sin, log, ... .
3. Аргументом функции может быть любое арифметическое
выражение. В тригонометрических функциях аргумент выра-
жается в градусной или радианной мерах.
4. Функции sin, cos, ... часто называются стандартными
функциями (за ними закреплены эти многобуквенные обозна-
чения). При записи значений этих функций не всегда аргу-
мент заключается в скобки. Например: sin дс, cos 30°, tg2*,
In а2, но sin(x+n), ln(jc2-l). __
5. Обозначения [х], {*}, |дс|, Ух фактически являются обо-
значениями стандартных функций вычисления целой части
числа, дробной части числа, модуля числа, квадратного корня
из числа. Но эти обозначения отличаются от обозначений, рас-
сматриваемых выше стандартных функций sin, ... .
3. Понятия
Ниже перечисляются понятия курса математики, которые
в данной книге расчленены по предметам курса математики и
по годам обучения. При этом выделяются следующие разделы:
математика в начальных классах (I, II, III), математика в
IV—V классах, алгебра в VI—VIII классах, геометрия в VI—
VIII классах, алгебра и начала анализа в IX—X классах, гео-
метрия в IX—X классах.
Такое членение имеет под собой почву, так как, во-первых,
эти «концентры» по годам обучения и предметам по своему
содержанию отличаются рядом специфических условий. Во-вто-
рых, указанные отличия влекут за собой изменения методики
изложения и построения учебников.
Несомненно, спецификой отличаются начальные классы, так
как, например, дети в первые годы обучения плохо читают и не
привыкли абстрактно мыслить. Поэтому, в частности, учебни-
ки I класса больше имеют в своем начале иллюстраций, чем
текста.
IV и V классы средней школы также имеют свою специфи-
ку. С одной стороны, они являются началом средней ступени
обучения, а с другой — составляют подготовительное звено, в
котором закладываются основы для начала изучения система-
тических курсов алгебры и геометрии в VI—VIII классах. Это
звено в то же время является подготовительным к изучению
черчения и физики в старших классах. Именно поэтому ряд
понятий переопределяется в VI—VIII классах.
Немаловажно такое членение общего списка понятий кур-
са математики средней школы в данной книге и потому, что
рассматриваемые группы учебников и учебных пособий подго-
товлены разными авторскими коллективами, а внутри каждой
13

группы выдерживаются определенные принципы и подходы к
определению понятий.
Понятия, для которых в учебниках явно сформулированы
определения, в данной книге отмечены словом определе-
ние. При этом приводится текст определения из соответ-
ствующего учебника. Пояснения, похожие на определения,
приводятся здесь непосредственно за соответствующими поня-
тиями (текст пояснения отделен от понятия двоеточием или за-
ключен в скобки и выделен курсивом).
Начиная с IV класса понятия выписываются в хронологи-
ческом порядке (по мере их появления в тексте учебника).
Мы используем принцип, согласно которому приводят-
ся лишь понятия, которые вводятся в рассматриваемом пред-
мете соответствующего класса. Исключения составляют те
понятия, которые в ходе развития курса математики полу-
чают определения (или определяются вновь — переопреде-
ляются).
Кроме того, для лучшей ориентации читателя приводятся
названия глав учебников или учебных пособий, внутри которых
изложены соответствующие понятия.
МАТЕМАТИКА I—III КЛАССОВ
В курсе математики I—III классов по методическим сообра-
жениям (возрастные особенности и др.) определения понятий,
как таковые, отсутствуют. Само понятие в учебнике, как пра-
вило, разъясняется на конкретных примерах. Поэтому в дан-
ном разделе нашей книги просто перечисляются используемые
основные понятия. Конечно, простой перечень не дает методи-
чески расшифрованного обоснования введения тех или иных
понятий. Однако он дает представление о составе и объеме
изучаемых понятий.
I класс
Цифра. Число. Однозначные числа. Двузначные числа.
ьдиницы I разряда (единицы). Единицы II разряда (десятки),
Разрядные слагаемые. Больше. Меньше. Равно.
Сложение. Вычитание. Действие.
Слагаемое. Сумма. Перестановка слагаемых.
Уменьшаемое. Вычитаемое. Разность.
Уравнение. Решение уравнения.
Прямая. Отрезок. Длина отрезка. Равные отрезки. Неравные
отрезки. Точка.
Треугольник. Четырехугольник. Угол.
Прямой угол. Прямоугольник. Квадрат. Фигура.
14

II класс
Трехзначные числа. Единицы III разряда (сотни).
Тысяча. Нумерация. Римские цифры.
Математическое выражение. Выражение. Значение выражения.
Числовое значение буквы.
Знаки действий. Умножение. Деление.
Множитель. Произведение. Переместительное свойство произ-
ведения.
Делимое. Делитель. Частное.
Равенство. Неравенство.
Порядок действий.
Деление с остатком.
Доли числа.
Пятиугольник. Шестиугольник. Многоугольник.
Ломаная линия. Длина ломаной линии.
Периметр: сумма длин сторон треугольника, четырехугольника,
пятиугольника или любого другого многоугольника называ-
ется его периметром.
Окружность. Круг. Центр окружности. Центр круга.
Граница круга. Радиус окружности.
III класс
Многозначные числа. Миллион. Миллиард.
Класс единиц. Класс тысяч. Класс миллионов.
Дробь. Знаменатель дроби. Числитель дроби.
Площадь прямоугольника. Площадь фигуры.
МАТЕМАТИКА IV-V КЛАССОВ
IV класс
НАТУРАЛЬНЫЕ И ДРОБНЫЕ ЧИСЛА
Натуральные числа (числа, употребляемые при счете предме*
тов, называют натуральными числами).
Десятичная запись чисел.
Миллиард—число, следующее за 999999999. Миллиард —это
J000 миллионов.
Обыкновенная дробь.
Равные дроби (две равные дроби — это различные обозначения
одного и того же числа).
Плоскость.
Параллельные прямые (если две различные прямые на плос-
кости не пересекаются, не имеют общих точек, их называ-
ют параллельными).
15

Параллельные отрезки (отрезки, лежащие на параллельных
прямых, называют параллельными отрезками).
Луч. Начало луча. Единичный отрезок. Бесконечная шкала.
Множество. Числовое множество. Пустое множество.
Элемент множества (каждый предмет, входящий в множест-
во, называют элементом множества).
Конгруэнтные фигуры (в геометрии две фигуры, которые мо-
гут совпасть при наложении друг на друга, называют кон-
груэнтными).
Истинное высказывание. Ложное высказывание. Истинное ра-
венство. Ложное равенство. Истинное неравенство. Лож-
ное неравенство.
Прямоугольный параллелепипед. Грань прямоугольного
параллелепипеда. Ребро прямоугольного параллелепипеда.
Куб. Числовое выражение. Значение выражения. Выраже-
ние с переменной.
Уравнение (равенство с переменной называют уравнением).
Корень уравнения (каждое значение переменной, при котором
получается истинное равенство, называют корнем уравне-
ния).
Решить уравнение: решить уравнение — значит найти множе-
ство его корней.
Решение неравенства (значение переменной, при котором не-
равенство истинно, называют решением неравенства).
Решить неравенство: решить неравенство — значит найти мно-
жество его решений.
Правильная дробь: дробь, в которой числитель меньше знаме-
нателя, называется правильной дробью.
Неправильная дробь: дробь, в которой числитель больше зна-
менателя или равен ему, называется неправильной дробью.
Двойное неравенство.
Объем прямоугольного параллелепипеда (объем прямоугольно-
го параллелепипеда равен произведению трех его измере-
ний: V=a*b'C. Это равенство называют формулой объема
прямоугольного параллелепипеда).
Приближенное значение с недостатком. Приближенное значе-
ние с избытком.
Пересечение фигур (общую часть двух фигур называют их пе-
ресечением).
Объединение фигур. Целая часть числа. Дробная часть числа.
Переместительный закон сложения: от перестановки слагаемых
значение суммы не изменяется.
Сочетательный закон сложения: чтобы к сумме двух чисел
прибавить третье число, можно к первому числу прибавить
сумму второго и третьего.
Угол. Стороны угла. Вершина угла.
Бмссектриса угла: биссектрисой угла называется луч, который
выходит из вершины угла и делит его пополам.
16

Переместительный закон умножения: от перестановки множи-
телей значение произведения не меняется.
Сочетательный закон умножения: чтобы произведение двух чи-
сел умножить на третье число, можно первое число умно-
жить на произведение второго и третьего.
Противоположные лучи.
Развернутый угол: угол, стороны которого являются противо-
положными лучами, называется развернутым углом.
Распределительный закон умножения относительно сложения:
чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это
число каждое слагаемое и сложить полученные произведе-
ния.
Распределительный закон умножения относительно вычитания:
чтобы умножить разность на число, можно умножить на
это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из пер-
вого произведения вычесть второе.
Прямой угол: прямым углом называется половина развернуто-
го угла.
Острый угол: острым углом называется угол, меньший прямо-
го угла.
Тупой угол: тупым углом называется угол, больший прямого
и меньший развернутого угла.
Делитель числа: делителем числа а называется число, на ко-
торое а делится без остатка.
Кратное число: кратным числа а называется число, которое
делится без остатка на а.
Четные цифры. Нечетные цифры.
Черта дроби (черту дроби можно понимать как знак деления).
ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
Десятичная дробь.
Разряд десятых, разряд сотых, разряд тысячных (первый раз-
ряд после запятой называют разрядом десятых, второй —
разрядом сотых, третий — разрядом тысячных и т. д.).
Градус: градусом называется прямого угла.
Смежные углы: два угла, объединение которых — развернутый
угол, а пересечение — луч, называются смежными углами.
Перпендикулярные прямые: две прямые, делящие плоскость на
четыре прямых угла, называются перпендикулярными.
Процент: процентом называется одна сотая часть.
Среднее арифметическое: средним арифметическим нескольких
чисел называется частное, получающееся при делении сум-
мы этих чисел на число слагаемых.
17

V класс
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ
ЧИСЛА
Подмножество (в математике вместо слов «часть множества»
говорят «подмножество»).
Пересечение множеств: пересечением двух множеств называ-
ется множество, состоящее из их общих элементов.
Объединение множеств: объединением множеств называют
множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя
бы одному из этих множеств.
Классификация: разбиение множества на классы называется
классификацией.
Равнобедренный треугольник (треугольник называют равно-
бедренным, если длины двух его сторон равны).
Равносторонний треугольник (треугольник, все три стороны ко-
торого имеют равные длины, называют равносторонним).
Положительные числа. Отрицательные числа.
Координата точки (число, показывающее положение точки на
прямой, называют координатой этой точки).
Координатная прямая (прямую линию с выбранным на ней на-
чалом отсчета, единичным отрезком и направлением на-
зывают координатной прямой).
Центр симметрии. Симметричные точки. Вертикальные углы.
Целые числа.
Модуль числа. Параллельный, перенос. Абсцисса точки. Орди-
ната точки. Система координат.
Координатная плоскость (плоскость, на которой выбрана си-
стема координат, называют координатной плоскостью).
Переместительный закон сложения: для любых двух чисел а
и Ь верно равенство:
а + Ь = Ь+а.
Сочетательный закон сложения: для любых чисел a, b и с верно
равенство:
(а + Ь)+с=а+(Ь + с).
Ось симметрии.
Переместительный закон умножения: для любых чисел а и b
верно равенство: ab=ba.
Сочетательный закон умножения: для любых чисел a, b и с
верно равенство: (ab)c=a(bc).
Коэффициент.
Распределительный закон умножения: для любых чисел а, Ь и
с верно равенство: (a+b)c=ac+bc.
Подобные слагаемые. Приведение подобных слагаемых. График.
18

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Основное свойство дроби.
Рациональные числа (числа, которые ^можно записать в виде
дробей, называют рациональными).
Множество рациональных чисел.
Дополнительный множитель.
Сокращение дроби: деление числителя и знаменателя дрдби
на их общий делитель (отличный от единицы) называется
сокращением дроби.
Наибольший общий делитель. Несократимая дробь.
Взаимно простые числа (числа, не имеющие других общих де-
лителей, кроме 1, называют взаимно простыми).
Простое число: простым числом называется такое число, кото-
рое имеет только два делителя — единицу и само это число.
Составное число: составным числом называется такое число,
которое имеет более двух делителей.
Симметричные фигуры. Ось симметрии фигуры.
Взаимно обратные числа (взаимно обратными числами назы-
вают два числа, произведение которых равно 1).
Отношение двух чисел.
Пропорция: равенство двух отношений называют пропорцией.
Крайние члены пропорции. Средние члены пропорции. Основ-
ное свойство пропорции. Степень. Показатель степени. Ос-
нование степени. Общее кратное. Наименьшее общее крат-
ное. Наименьший общий знаменатель.
Стандартный вид числа (запись чисел в виде произведения
двух множителей, один из которых — степень числа десять,
а другой заключен между единицей и десятью, называют
стандартным видом числа).
Бесконечная десятичная дробь. Длина окружности. Площадь
круга.
АЛГЕБРА VI-VIII КЛАССОВ
VI класс
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Числовое значение выражения. Значение выражения.
Область определения выражения: областью определения вы-
ражения с одной переменной называется множество значе-
ний переменной, при которых это выражение имеет смысл.
Предложение с переменной.
Корень уравнения: значение переменной, которое обращает
уравнение в истинное равенство, называется корнем урав-
нения.
Решение уравнения. Линейное уравнение.
Решение неравенства: значение переменной, при котором нера-
венство истинно, называется решением неравенства.
2*
19

Числовой отрезок. Открытый числовой отрезок. Числовой отре-
зок, открытый справа. Числовой отрезок, открытый слева.
Числовой луч. Открытый числовой луч. Числовая прямая.
Числовой промежуток. Область определения отношения.
Область значений отношения. График отношения.
ФУНКЦИЯ
Функция. Определение. Отношение между элементами двух
множеств, при котором каждому элементу первого множе-
ства соответствует не более одного элемента второго мно-
жества, называется функцией.
Область определения функции. Область значений функции.
Отображение множества на множество. Задание функции.
Числовые функции (функции, область определения и область
значений которых—числовые множества).
График функции: если отношение является функцией, то гра-
фик этого отношения называется графиком функции.
Прямая пропорциональность; коэффициент пропорционально-
сти: функция, которую можно задать формулой вида y=kx,
где k — не равное нулю число, называется прямой пропор-
циональностью (или просто пропорциональностью); число
k называют коэффициентом пропорциональности.
Обратная пропорциональность: функция, которую можно зада-
вать формулой вида у=—, где k — не равное нулю число,
х
называется обратной пропорциональностью. »
Гипербола.
Линейная функция: функция, которую можно задать формулой
вида y=kx+lt где k и I — некоторые числа, называется
линейной.
Угловой коэффициент прямой.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Уравнение с двумя переменными.
Решение уравнения с двумя переменными:.решением уравнения
с двумя переменными называется пара значений перемен-
ных, обращающая это уравнение в истинное равенство.
График уравнения с двумя переменными: график уравнения с
двумя переменными есть множество точек, координаты ко-
торых служат решениями этого уравнения.
Линейное уравнение с двумя переменными: уравнение вида
ах+Ьу=с, где а, Ъ, с — некоторые числа, х и у — перемен-
ные, называется линейным уравнением с двумя перемен-
ными.
Решение системы уравнений с двумя переменными: пара значе-
ний переменных, обращающая в истинное равенство каж-
дое уравнение системы, называется. решением системы
уравнений с двумя переменными.
Графический способ решения системы уравнений; способ сло-
жения,
20

СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Степень с натуральным показателем. Определение 1. Сте-
пенью числа а с натуральным показателем п, большим 1,
называется произведение п множи!елей, каждый из кото-
рых равен а. Определение 2. Степенью числа а с пока-
зателем 1 называется само число а.
Парабола.
Кубическая парабола (график функции, заданной формулой
y = axz, где аФО, называют кубической параболой).
МНОГОЧЛЕНЫ
Свойства отношения. Рефлексивность. Симметричность. Тран-
зитивность. Отношение эквивалентности.
Тождественно равные выражения: два выражения с одной пере-
менной называются тождественно равными на множестве,
если при любом значении переменной, принадлежащем
этому множеству, их значения равны.
Тождество; тождество на множестве (равенства, в которых
левая и правая части — выражения, тождественно равные
на некотором множестве, называют тождествами на этом
множестве).
Тождественное преобразование выражения (замену выражения
другим выражением, тождественно равным ему на некото-
ром множестве, называют тождественным преобразованием
выражения на этом множестве).
Одночлен. Одночлен стандартного вида.
Коэффициент одночлена (числовой множитель одночлена, запи-
санного в стандартном виде, называют коэффициентом
одночлена).
Многочлен.
Члены многочлена (слагаемые в многочлене называют члена-
ми многочлена).
Подобные члены многочлена.
Многочлен стандартного вида. Трехчлен.
Двучлен (многочлен, состоящий из двух членов, не являющихся
подобными, называют двучленом).
Старший член многочлена.
Степень многочлена (степенью многочлена стандартного вида
с одной переменной называют степень старшего его члена).
Рациональные выражения.
Целые выражения: рациональные выражения, не содержащие
деления на выражения с переменными, называют целыми.
Разложение многочлена на множители. Формулы сокращенного
умножения. Формула квадрата двучлена. Выделение квад-
рата двучлена.
21

VII класс
ДРОБИ
Рациональные выражения.
Дробь. Числитель дроби. Знаменатель дроби. (Выражение ви-
да —, где буквами а и b обозначены выражения числовые
ь
или содержащие переменные, называют дробью. Выраже-
ние а называют числителем дроби, выражение Ь — ее зна-
менателем.)
Область определения выражения. Определение. Областью
определения выражения с одной переменной называется
множество значений переменной, при которых это выра-
жение имеет смысл.
Дробные рациональные выражения. Дополнительный множи-
тель к числителю и знаменателю. Приведение дробей к об-
щему знаменателю.
Степень с отрицательным целым показателем. Определение.
л~п= —-, где аФО и я е N.
ап
Стандартный вид числа. Порядок числа (Любое положительное
число представляют в виде произведения числа а, где
1^а<10, и целой степени 10: а- 10п. При этом если чис-
ло а дробное, то его представляют в виде десятичной дроби,
выполняя, если это необходимо, округление. Такую запись
называют стандартным видом числа. Число п называют по-
рядком числа).
Степенная функция с целым показателем: функция, которую
можно задать формулой вида у=ахп, где х и у— перемен-
ные, а и п — заданные числа, причем афО и пе. Z, назы-
вается степенной с целым показателем.
Аргумент функции.
Функция, возрастающая на множестве: функция f называется
возрастающей на множестве А, если любому большему
значению аргумента, принадлежащему множеству А, соот-
ветствует большее значение функции, т. е. если х2>Х\ и
хи х2(=А, то f(x2)>f(xl).
Функция, убывающая на множестве: функция f называется убы-
вающей на множестве В, если любому большему значению
аргумента, принадлежащему множеству В, соответствует
меньшее значение функции, т. е. если х2>х{ и хи х2&В,
то f(x2)<f(xx).
Монотонная функция: функцию, возрастающую на данном
множестве или убывающую на нем, называют монотонной
функцией на этом множестве.
Параметр.
22

НЕРАВЕНСТВА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
Строгие неравенства (неравенства, составленные с помощью
знаков > или <., называют строгими).
Нестрогие неравенства (неравенства, составленные с помощью
знаков ^ или ^, называют нестрогими).
Логическое следование.
Равносильные предложения: если из первого предложения сле-
дует второе и из второго следует первое, то эти предложе-
ния называются равносильными.
Линейные неравенства (неравенства вида ах+Ь>0 или ах-\-
+Ь<0, где а и Ь — некоторые числа).
Система неравенств.
Решение системы неравенств: значение переменной, при кото-
ром каждое из неравенств системы обращается в верное
числовое неравенство, называется решением системы.
Множество решений системы: множество решений системы есть
пересечение множеств решений входящих в нее нера-
венств.
Нижняя граница. Верхняя граница. Метод границ.
Погрешность приближенного значения. Определение. По-
грешностью приближенного значения величины называется
разность между истинным и приближенным значениями
этой величины.
Точность приближения (если в качестве приближенного значе-
ния числа х взято число а и известно, что модуль погреш-
ности такого приближения не превосходит некоторого чис-
ла h, т. е. |jc—а|^й, то говорят, что число а является при-
ближением числа х с точностью да h).
КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
Целые числа. Рациональные числа.
Квадратный корень: квадратным корнем из числа а называет-
ся число, квадрат которого равен а.
Арифметический квадратный корень. Определение. Ариф-
метическим квадратным корнем из числа а называется не-
отрицательное число, квадрат которого равен а.
Иррациональные числа.
Действительные числа (рациональные числа и иррациональные
составляют множество действительных чисел).
Возрастающая функция (функцию, которая возрастает на всей
области определения, принято называть возрастающей).
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Квадратное уравнение: Всякое уравнение вида ax2+bx+c=0f
где а, Ь и с — некоторые числа, причем аФО, а х — перс
23

менная, называется квадратным уравнением. Коэффициент
а условились называть первым коэффициентом квадратно-
го уравнения, коэффициент b — вторым, ас — свободным
членом.
Приведенное квадратное уравнение.
Дискриминант квадратного уравнения: D=62—Аас.
Неполное квадратное уравнение: если хотя бы один из коэф-
фициентов b или с квадратного уравнения ах2 + Ьх+с=
= 0 равен нулю, то такое квадратное уравнение называ-
ется неполным.
Корень многочлена с одной переменной: корнем многочлена с
одной переменной называется значение переменной, при
котором значение многочлена равно нулю.
VIII класс
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Метод введения новой переменной. Биквадратное уравнение.
Решение уравнения с двумя переменными: решением уравне-
ния с двумя переменными называется пара значений пере-
менных, обращающая это уравнение в верное равенство.
График уравнения с двумя переменными (график уравнения с
двумя переменными есть множество точек, координаты ко-
торых служат решениями этого уравнения).
Эллипс.
Окружность (окружность с центром в начале координат и ра-
диусом, равным г, является графиком уравнения х2+у2=г2,
где х и у — переменные, г — положительное число).
Решить систему уравнений с двумя переменными (решить си-
стему уравнений с двумя переменными — значит найти мно-
жество пар значений переменных, которые обращают в
верное равенство каждое из уравнений системы).
Решение неравенства с двумя переменными: решением нера-
венства с двумя переменными называется пара значений
переменных, обращающая его в верное неравенство.
Решение системы неравенств с двумя переменными.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Погрешность: погрешностью приближенного значения а числа
х называется разность х—а.
Относительная погрешность: относительной погрешностью при-
ближенного значения а числа х называется отношение по-
грешности Д этого приближения к числу а.
Граница относительной погрешности.
Значащие цифры (значащими цифрами числа, записанного в
виде десятичной дроби, называют все его цифры, начиная
с первой слева, отличной от нуля).
24

Верная цифра: цифра а называется верной, если модуль по-
грешности данного приближения не превосходит единицы
того разряда, в котором записана цифра а.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ II ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИИ
Бесконечная последовательность. Определение. Функция,
заданная на множестве натуральных чисел, называется
бесконечной последовательностью.
Конечная последовательность. Определение. Функция, за-
данная на множестве первых п натуральных чисел, назы-
вается конечной последовательностью.
Возрастающая последовательность (возрастающей является та
и только та последовательность, каждый член которой (на-
чиная со второго) больше предыдущего).
Убывающая последовательность (та и только та последователь-
ность является убывающей, каждый член которой (начи-
ная со второго) меньше предыдущего)»
Монотонная последовательность: возрастающие и убывающие
последовательности называются монотонными.
Формула /г-го/члена последовательности: формула, выражаю-
щая каждый член последовательности через его номер п,
называется формулой п-го члена последовательности.
Постоянная последовательность.
Рекуррентная формула (формулу, выражающую любой член
последовательности, начиная с некоторого, через предше-
ствующие (один или несколько), называют рекуррентной).
Факториал.
Арифметическая прогрессия. Определение. Числовая по-
следовательность, каждый член которой, начиная со вто-
рого, равен предшествующему члену, сложенному с одним
и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
Разность арифметической прогрессии.
Геометрическая прогрессия. Определение. Числовая после-
довательность, первый член которой отличен от нуля, а
каждый член, начиная со второго, равен предшествующему
члену, умноженному на одно и то же, не равное нулю чис-
ло, называется геометрической прогрессией.
Знаменатель геометрической прогрессии.
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
Обратное соответствие.
Обратимая функция: функция f с областью определения X и
множеством значений Y называется обратимой, если об-
25

ратное ей соответствие между множеством Y и множест-
вом X — функция.
Функция, обратная данной.
Корень л-й степени (корень п-й степени из числа а — это та-
кое число, п-я степень которого равна а).
Арифметический корень п-й степени. Определение. Ариф-
метическим корнем п-й степени из числа а называется не-
отрицательное число, п-я степень которого равна а.
Степень с целым показателем. Определение. 1. ап=аа...а,
а раз
если n&N и /г^2. 2. ап=а, если п = 1. 3. ап = 1, если
п=0 и афО. 4. ап= —-—, если n^Z, я<0 и афО.
а п
Степень с дробным показателем.
Определение 1. Если а>0 и х — произвольное дробное
число, представленное дробью —, где m — целое, а п —
п
m
натуральное, то ах=а п =у ат.
Определение 2. Если а=0 и х— дробное положитель-
ное число, то ах=0.
Степень с рациональным показателем.
Тождественно равные выражения. Определение. Два вы-
ражения называются тождественно равными на данном
множестве, если на этом множестве они имеют смысл и все
их соответственные значения равны.
Тождественное преобразование: замена одного выражения дру-
гим выражением, тождественно равным ему на данном
множестве, называется тождественным преобразованием
выражения на данном множестве.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
Показательная функция: функция, заданная формулой вида
у=ах, где а — некоторое положительное число, называет-
ся показательной.
Целая часть числа. Определение. Целой частью числа х
называется наибольшее целое число, не превосходящее х.
Дробная часть числа. Определение. Дробной частью чис-
ла х называется разность между числом х и его целой ча-
стью.
ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ
Логарифм. Определение. Логарифмом числа Ь по основа-
нию а (а>0 и аф\) называется показатель степени, в ко-
торую надо возвести а, чтобы получить число Ь.
Десятичный логарифм. Основное логарифмическое тождество.
Логарифмирование. Потенцирование. Порядок числа.
26

Характеристика и мантисса: целая часть логарифма числа на-
зывается его характеристикой, а дробная часть — ман-
тиссой.
Логарифмическая шкала. Периодичность логарифмической шка-
лы. Логарифмическая линейка. Основная шкала. Деления
первого, второго и третьего разрядов.
СВЕДЕНИЯ ОБ ОРГАНИЗАЦИИ ВЫЧИСЛЕНИЯ
И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ
Алгоритм. Вычислительная схема. Хранение информации. Об-
работка информации. Управление вычислительным процессом.
ЭВМ. Программа. Система команд. Кодирование. Средства об-
щения человека с машиной. Центральный процессор. Запоми-
нающее устройство (память). Ячейка пахмяти. Адрес ячейки.
Устройство управления. Устройство ввода — вывода. Машин-
ный язык. Перфоратор. Перфокарта. Содержательные обо-
значения. Программирование. Отладка программы. Алгоритми-
ческий язык. Алгол 60. Транслятор. Блок-схема. Синтаксис.
Оператор. Символ. Метка. Сложные символы. Оператор при-
сваивания. Оператор перехода.
ПРИЛОЖЕНИЕ: ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
КООРДИНАТ
Полулогарифмическая система координат: полулогарифмиче-
ской системой координат называется система координат с
равномерной шкалой на оси абсцисс и логарифмической
шкалой на оси ординат.
Логарифмическая система координат: система координат с ло-
гарифмическими шкалами на осях называется логарифми-
ческой.
ГЕОМЕТРИЯ VI-VIII КЛАССОВ
VI класс
НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ
Окружность. Определение. Множество всех точек плоско-
сти, находящихся на положительном расстоянии г от дан-
ной точки, лежащей в этой плоскости, называется окруж-
ностью.
Круг. Определение. Множество всех точек плоскости, рас-
стояние от каждой из которых до данной точки этой плос-
кости не больше положительного г, называется кругом.
Геометрическая фигура. Определение. Геометрической фи-
гурой называется любое множество точек.
27

Основные (неопределяемые) понятия курса геометрии (в кур-
се геометрии основных геометрических понятий четыре:
1) точка, 2) прямая, 3) плоскость, 4) расстояние от одной
точки до другой).
«Лежать между». Определение. Точка X лежит между точ-
ками А и В, если эти три точки различны и \АВ\ = \АХ\ +
+ \хв\.
Открытый луч: каждое из множеств, на которые точка О раз-
бивает множество отличных от О точек прямой, называ-
ется открытым лучом с началом О.
Луч. Определение. Объединение открытого луча с его на-
чалом— точкой О — называется лучом с началом О.
Аксиома: предложение, принимаемое без доказательства, на-
зывается аксиомой.
Теорема: предложение, истинность которого доказывается, на-
зывается теоремой.
Отрезок. Определение. Множество, состоящее из двух раз-
личных точек и всех точек, лежащих между ними, назы-
вается отрезком.
Длина отрезка: длиной отрезка называется расстояние между
его концами.
Внутренняя точка отрезка: всякая точка, лежащая между кон-
цами отрезка, называется внутренней точкой этого от-
резка.
Ломаная. Определение. Ломаной А0А\...Ап называется
объединение отрезков A0AU АХА2, А2Аъ,.„,Ал-\Ап таких,
что конец каждого отрезка (кроме последнего) является
началом следующего и смежные отрезки не лежат на од-
ной прямой.
Точки /40 и Ап называются концами ломаной АоА^.-.Ап.
Звено ломаной: каждый из отрезков, составляющих ломаную,
называется ее звеном.
Длина ломаной: сумма длин всех звеньев ломаной называется
длиной ломаной.
Точки разделены прямой. Определение. Две точки А и С
разделены прямой а, если отрезок АС имеет с прямой а
общую внутреннюю точку и только одну.
Открытые полуплоскости (любая прямая а разбивает множе-
ство не принадлежащих этой прямой точек плоскости на
два непустых множества так, что: а) любые две точки,
принадлежащие разным множествам, разделены прямой а;
б) любые две точки, принадлежащие одному множеству,
неразделены прямой а. Множества, о которых идет речь
в этой аксиоме, называются открытыми полуплоскостями
с границей а).
Полуплоскость: объединение открытой полуплоскости и ее гра-
ницы а называют полуплоскостью с границей а.
Угол, Определение. Фигура, состоящая из двух различных
28

лучей с общим началом и ограниченной ими части плоско-
сти, называется углом.
Пересечение фигур: пересечением двух или нескольких данных
фигур называется фигура, состоящая из всех тех и только
тех точек, которые принадлежат каждой из этих данных
фигур.
Объединение фигур: объединением двух или нескольких дан-
ных фигур называется фигура, состоящая из всех тех и
только тех точек, которые принадлежат хотя бы одной из
этих фигур.
Сумма углов: объединение двух углов с общей вершиной назы-
вается суммой этих углов, если их пересечением является луп.
Образ точки. Отображение.
Обратимое отображение. Обратное отображение. Необратимое
отображение.
Конгруэнтные фигуры. Определение. Если фигуру Ф мож-
но отобразить на фигуру Ф\ так, что расстояние между
любыми двумя точками фигуры Ф равно расстоянию меж-
ду соответствующими им точкам фигуры Фь то говорят,
что фигура Ф конгруэнтна фигуре Ф\.
Перемещение. Определение. Отображение плоскости на се-
бя, сохраняющее расстояния, называется перемещением.
Поворот вокруг центра. Определение. Поворотом вокруг
центра О называется такое перемещение плоскости, при
котором: 1) точка О отображается сама на себя и 2) угол
между любым лучом ОХ и соответствующим ему лучом
ОХ\ — постоянная величина а. Величина а называется уг-
лом поворота.
Центральная симметрия: поворот вокруг центра О на 180° на-
зывается симметрией с центром 0.
Центр симметрии: центр поворота при этом называется цент-
ром симметрии.
Центрально-симметричные фигуры: если фигура отображается
сама на себя при центральной симметрии с центром О,
то говорят, что фигура центрально симметрична (или име~
ет центр симметрии О).
Осевая симметрия. Определение. Осевой симметрией с осью
I называется такое перемещение, при котором: 1) точки
прямой I остаются на месте; 2) полуплоскости с границей
I отображаются одна на другую.
Ось симметрии фигуры; фигура, симметричная относительно
оси: если фигура Ф отображается при осевой симметрии
с осью I сама на себя, то прямая I называется также осью
симметрии фигуры Ф. Фигура Ф при этом называется сим-
метричной относительно оси I.
Расстояние от точки до прямой: расстояние от точки А до ос-
нования перпендикуляра, проведенного через точку А к
прямой р, называется расстоянием точки А до прямой р.
29

Биссектриса треугольника: отрезок биссектрисы угла треуголь*
пика от его вершины до противолежащей стороны называ-
ется биссектрисой треугольника.
Медиана треугольника: отрезок, соединяющий вершину тре*
угольника с серединой противолежащей стороны, называ-
ется медианой треугольника.
Высота треугольника: отрезок перпендикуляра, проведенного из
вершины треугольника к противолежащей стороне, назы-
вается высотой треугольника.
Условие теоремы. Заключение теоремы. Взаимно обратные тео-
ремы.
Параллельные прямые. Определение. Прямые а и Ь, при-
надлежащие одной плоскости, называются параллельными,
если они не имеют общих точек или совпадают.
Два луча одинаково направлены (сонаправлены). Два луча
противоположно направлены: 1. Если два луча лежат на
одной прямой, то будем считать их одинаково направлен-
ными, если один из них содержится в другом, и противо-
положно направленными, если ни один из них не содер-
жится в другом.
2. Если два луча параллельны, но не лежат на одной пря-
мой, то проведем через их начала прямую. Эта прямая
делит плоскость на две полуплоскости. Если наши лучи ле-
жат в одной из этих полуплоскостей, то они сонаправлены,
если же они лежат в разных полуплоскостях, то они проти-
воположно направлены.
Если лучи не параллельны, то их не будем считать ни со-
направленными, ни противоположно направленными.
Направление.
Угол между направлениями: угол между лучами ОА и ОВ дан-
ных направлений называется углом между этими направ-
лениями.
Внешний угол треугольника. Определение. Угол, смежный
с внутренним углом треугольника, называется его внеш-
ним углом (величина этого угла также называется внеш-
ним углом треугольника).
Виды треугольников (разносторонние, равнобедренные, равно-
гторонние, остроугольные, прямоугольные, тупоугольные
треугольники).
Параллельный перенос. Определение. Параллельным пере-
носом называется отображение плоскости на себя, при ко-
тором все точки плоскости смещаются в одном и том же
направлении на одно и то же расстояние.
Полоса. Края полосы. Определение. Непустое пересечение
двух полуплоскостей с различными параллельными грани-
цами называется полосой, если оно отлично от полуплос-
кости. Границы этих полуплоскостей называются краями
полосы.
30

Средняя линия треугольника. Определение. Средней лини-
ей треугольника называется отрезок, соединяющий середи-
ны двух сторон треугольника.
МНОГОУГОЛЬНИКИ
Замкнутая ломаная. Определение. Ломаная называется
замкнутой, если конец ее последнего звена совпадает с на-
чалом первого.
Простые ломаные (несоседние звенья замкнутых ломаных не
пересекаются).
Внутренняя область и внешняя область относительно ломаной:
замкнутая ломаная I разбивает множество непринадлежа-
щих ей точек плоскости на два подмножества. Их назы-
вают внутренней областью и внешней областью относитель-
но этой ломаной (во внешней области найдется прямая,
которая вся расположена в этой области. Во внутренней
области такой прямой нет).
Граница многоугольника. Внутренняя область многоугольника.
Многоугольник. Определение. Объединение простой замк-
нутой ломаной и ее внутренней области называется много-
угольником. Сама ломаная называется границей много-
угольника, а ее внутренняя область — внутренней областью
многоугольника.
Стороны многоугольника. Вершины многоугольника: звенья
. границы многоугольника называются сторонами много-
угольника, а вершины ее — вершинами многоугольника.
Диагональ многоугольника: отрезок, соединяющий две несосед-
ние вершины многоугольника, называется его диагональю.
- Выпуклая фигура. Определение. Плоская фигура называ-
ется выпуклой, если ъй принадлежит отрезок, соединяющий
любые две ее точки.
Внутренний угол многоугольника.
Внешний угол многоугольника. Определение. Внешним уг-
лом выпуклого многоугольника называется угол, смежный
с его внутренним углом.
Параллелограмм. Определение. Четырехугольник, противо-
положные стороны которого попарно параллельны, называ-
ется параллелограммом.
VII класс
МНОГОУГОЛЬНИКИ
Необходимые и достаточные условия (если из истинности вы-
сказывания Q вытекает истинность высказывания Р, то Р
называют необходимым условием Q, a Q—достаточным
условием Р).
31

Прямоугольник. Определение. Параллелограмм, у которо-
го углы прямые, называется прямоугольником.
Ромб. Определение. Параллелограмм, все стороны которо-
го равны, называется ромбом.
Квадрат. Определение. Квадратом называется прямоуголь-
ник, у коюрого все стороны равны.
Трапеция. Определение. Четырехугольник, две стороны ко-
торого параллельны, а две другие непараллельны, назы-
вается трапецией.
Основания трапеции. Боковые стороны трапеции: параллель-
ные стороны трапеции называются ее основаниями, а не-
параллельные — боковыми сторонами.
Равнобедренная трапеция: боковые стороны трапеции конгру-
энтны.
Прямоугольная трапеция: если один из углов трапеции пря-
мой, то она называется прямоугольной.
Средняя линия трапеции: отрезок, соединяющий середины бо-
ковых сторон трапеции, называется средней линией тра-
пеции.
Площадь многоугольника.
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
Скрещивающиеся прямые. Определение. Две прямые, ко-
торые не пересекаются и не параллельны, называются
скрещивающимися.
Параллельные плоскости. Определение. Две плоскости на-
зываются параллельными, если они не имеют общих то-
чек или совпадают.
Прямая параллельна плоскости: прямая параллельна плоско-
сти, если она не имеет с этой плоскостью общих точек или
лежит в ней.
Прямая призма.
Грани прямой призмы: многоугольники, из которых состоит по-
верхность прямой призмы, называют ее гранями.
Основания призмы: боковые грани. Две конгруэнтные между
собой грани, лежащие в параллельных плоскостях. Осталь-
ные грани — прямоугольники. Их называют боковыми гра-
нями.
Ребра прямой призмы. Вершины: стороны граней призмы на-
зываются ее ребрами, а концы ребер — вершинами.
Боковые ребра: ребра, не лежащие в основании призмы, на-
зывают боковыми ребрами.
Прямой параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед: пря-
мая призма, в основании которой лежит параллелограмм,
называется прямым параллелепипедом. Если же в основа-
нии прямой призмы лежит прямоугольник, то она называ-
ется прямоугольным параллелепипедом.
32

Куб: прямоугольный параллелепипед, все ребра которого кон-
груэнтны между собой, называется кубом.
Пирамида. Основание пирамиды. Боковые грани пирамиды.
Вершина пирамиды. Многогранники.
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
Хорда окружности. Хорда круга: отрезок, соединяющий две точ-
ки окружности, называется хордой этой окружности (он
же называется и хордой соответствующего круга).
Диаметр окружности (круга): хорда, проходяи\ая через центр
окружности, называется диаметром.
Радиус окружности: отрезок, соединяющий точку окружности с
ее центром, называется радиусом этой окружности.
Касательная к окружности: прямая, имеющая с окружностью
точно одну общую точку, называется касательной к этой
окружности.
Центральный угол окружности: угол с вершиной в центре ок-
ружности называется ее центральным углом.
Дуга окружности: часть окружности, принадлежащая ее цент-
ральному углу, называется дугой этой окружности.
Полуокружность: дуга, соответствующая центральному углу в
180°, называется полуокружностью.
Угловая величина дуги (величину центрального угла считают
угловой величиной дуги, соответствующей ему).
ВЕКТОРЫ
Вектор.
Нулевой вектор: тождественное отображение Е называется ну-
левым вектором.
Длина вектора.
Сумма двух векторов. Определение. Суммой двух векторов
а и Ь называется отображение плоскости на себя, являю-
щееся результатом последовательного выполнения от обра-
-► -►
жений а и Ь.
Коплинеарные векторы: два не нулевых вектора называются
коллинеарными, если их направления совпадают или про-
тивоположны. Нулевой вектор считается коллинеарным
любому вектору.
Противоположный вектор (если отображение есть вектор, то
обратное к нему отображение называют противоположным
вектором).
Разность векторов.
Произведение вектора на число. Определение. Произведе-
нием вектора а на число х называется вектор, имеющий
(при аФО) направление вектора а. если х положительно,
33

и противоположное направление, если х отрицательно.
Длина этого вектора равна произведению длины вектора
—►
а на модуль числа х.
Композиция отображений.
ПОДОБИЕ
Подобные фигуры: если фигуру Ф можно отобразить на фигу*
ру Ф\ так, что для любых точек X и Y первой фигуры от-
ношение расстояния \X\Y\\ между их образами к расстоя-
нию \XY\ между самими точками X и У равно одному и
тому же числу k>0, то говорят, что фигура Ф\ подобна
фигуре Ф с коэффициентом подобия к.
Гомотетия. Определение. Гомотетией с центром О и коэф-
фициентом k-ФО называется отображение плоскости на се-
б я, при котором образом произвольной точки X является
такая точка Х\, что ОХ\=ЮХ.
Преобразование подобия (подобие): отображение плоскости на
себя, при котором все расстояния между точками изме-
няются в одном и том же отношении k>0, называется пре-
образованием подобия или просто подобием.
Пропорциональные отрезки (отрезки называют пропорциональ-
ными, если пропорциональны их длины).
Среднее пропорциональное (среднее геометрическое): отрезок
х называется средним пропорциональным (или средним
геометрическим) между отрезками шип, если выполняет-
ся равенство пг: х=х: п.
VIII класс
ПОВОРОТЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
Поворот (поворот полностью определяется заданием: а) его
центра О, б) угла поворота а; угол поворота считается на-
правленной величиной, числовое значение которой может
быть как положительным, так и отрицательным).
Единичная окружность. Синус. Косинус. Функция угла.
Координаты вектора: координатами вектора называются коор-
динаты его конца.
Тангенс угла: отношение s па называется тангенсом угла а
cos а
и обозначается tg а.
Угловой коэффициент прямой.,
34

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Формула Герона. Теорема синусов. Задачи на решение тре-
угольников.
ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ
МНОГОУГОЛЬНИКИ
Вписанный угол: угол, вершина которого принадлежит окруж-
ности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в
эту окружность.
Вписанный многоугольник, описанная окружность: многоуголь-
ник, все вершины которого принадлежат окружности, на-
зывается вписанным в эту окружность, а окружность —
описанной около этого многоугольника.
Описанный многоугольник, вписанная окружность: многоуголь-
ник, стороны которого касаются окружности, называется
описанным около этой окружности, а окружность — впи-
санной в этот многоугольник.
Дельтоид (выпуклый четырехугольник, составленный из двух
равнобедренных треугольников с общим основанием, на-
зывается дельтоидом).
Правильный многоугольник. Определение. Многоугольник,
у которого все стороны конгруэнтны и все углы конгру-
энтны, называется правильным.
Апофема правильного многоугольника: отрезок перпендикуля-
ра, проведенного из центра правильного многоугольника к
его стороне, называется апофемой этого правильного мно-
гоугольника (апофема является радиусом вписанной ок-
ружности).
Длина окружности. Длина дуги. Площадь круга.
Сектор: часть круга, ограниченная двумя его радиусами, назы-
вается сектором.
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
Стереометрия: часть геометрии, в которой изучаются простран-
ственные фигуры, называется стереометрией.
Скрещивающиеся прямые. Определение. Две прямые, ко-
торые не пересекаются и не параллельны, называются скре-
щивающимися.
Пересекающиеся плоскости. Параллельные плоскости.
Определение. Две плоскости называются параллельны-
ми, если они не имеют общих точек или совпадают.
Параллельность прямой плоскости. Прямая, пересекающая
плоскость.
Плоскость, перпендикулярная прямой. Перпендикуляр к пдос-
кости.
35

Основание перпендикуляра. Расстояние. Расстояние между
плоскостями.
Ортогональная проекция точки на прямую. Ортогональная про-
екция точки на плоскость. Ортогональная проекция пря-
мой на плоскость.
Пятиугольная прямая призма.
Грани прямой призмы (многоугольники, из которых состоит по-
верхность прямой призмы, называют ее гранями).
Основания прямой призмы. Боковые грани, ребра, вершины,
боковые ребра и высота прямой призмы.
Правильная призма: прямая призма называется правильной,
если ее основание — правильный многоугольник.
Прямой параллелепипед: прямая призма, в основании которой
лежит параллелограмм, называется прямым параллелепипе-
дом.
Прямоугольный параллелепипед (если в основании прямой при-
змы лежит прямоугольник, то она называется прямоуголь-
ным параллелепипедом).
Куб: прямоугольный параллелепипед, все ребра которого кон-
груэнтны между собой, называется кубом.
Измерения прямоугольного параллелепипеда: длипы трех ре-
бер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из ка-
кой-нибудь одной его вершины, называются измерениями
прямоугольного параллелепипеда.
Единица измерения объема (единицей измерения объема бу-
дем считать объем куба с длиной ребра е, где е — единица
измерения длины).
Объем многогранника (объем фигуры Ф): всем многогранни-
кам, а по возможности и другим фигурам Ф можно по-
ставить в соответствие определенные числа У(Ф)>0, об-
ладающие свойствами: 1. Если фигуры Ф\ и Ф2 конгруэнт-
ны, то У(Ф,)=1/(Ф2).
2. Если многогранник Ф является объединением многогран-
ников Ф\ и Ф2, не имеющих общих внутренних точек, то
1/(ф) = 1/(ф1) + 1/(ф2).
3. Если фигура Ф есть часть фигуры Ф\, (т. е. подмноже-
ство Ф{), то У(Ф)^У(Ф\).
4. Для куба Е с длиной ребра е V(E) = l.
Основание пирамиды. Боковые грани пирамиды. Вершина пи-
рамиды.
Правильная пирамида: пирамида называется правильной, если
основанием ее является правильный многоугольник, а вер-
шина проектируется в центр основания.
Апофема правильной пирамиды: высота боковой грани пра-
вильной пирамиды, проведенная из вершины пирамиды,
называется апофемой пирамиды.
Основания цилиндра. Боковая поверхность цилиндра. Цилинд-
рическая поверхность. Высота цилиндра. Основание кону-
36

са. Боковая поверхность конуса. Образующая конуса. Вы-
сота конуса.
Сфера: множество всех точек пространства, находящихся на
данном расстоянии от данной точки, называется сферой.
Центр сферы.
Радиус сферы: отрезок, соединяющий центр сферы с одной из
ее точек, называется радиусом сферы.
Шар: множество всех точек пространства, находящихся отдан-
ной точки на расстоянии, не большем данного, называется
шаром.
Центр шара. Радиус шара.
Диаметр шара: отрезок, соединяющий две точки поверхности
шара (сферы) и проходящий через его центр, называется
диаметром шара.
Большой круг (шара) (если секущая плоскость проходит через
центр шара, то в сечении получается круг, радиус которо-
го равен радиусу шара; такой круг называется большим
кругом).
ЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ
Система аксиом планиметрии.
Открытый луч. Луч. Замкнутый луч.
Прямая разделяет не принадлежащие ей точки. Определе-
ние. Прямая р разделяет не принадлежащие ей точки А
и В, если отрезок АВ имеет непустое пересечение с пря-
мой р.
Открытая полуплоскость.. Полуплоскость. Граница полуплос-
кости.
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
IX-X КЛАССОВ
IX класс
ПРИНЦИП МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
Ийдукция (индукцией называют метод рассуждений, ведущий
от частных примеров к некоторому общему выводу).
Принцип математической индукции: если предложение А (п),
в котором п — натуральное число, истинно для л=1 и из
того, что оно истинно для n=k (где k — любое натураль-
ное число), следует, что оно истинно и для следующего чис-
ла n=k + lt то предложение А(п) истинно для любого на-
турального числа п.
Метод математической индукции (на принципе математической
индукции основан метод доказательства, называемый ме-
тодом математической индукции).
Полная индукция (полная индукция приводит к общему выво-
ду на основе рассмотрения каждого из конечного числа
возможных частных случаев).
37

Неполная индукция (неполная индукция приводит лишькправ-
доподобному выводу на основе рассмотрения достаточно
большого числа случаев).
Математическая индукция (математическая индукция — это
специальный метод доказательства общих высказываний,
верных для каждого натурального числа, т. е. высказыва-
ний вида: «Для каждого натурального числа п верно
А(п)>).
Обобщение принципа математической индукции: если предло-
otcenue А(п), в котором л— целое число, истинно при п =
= ш и из того, что оно истинно для числа n = k, где k —
любое целое число, большее или равное пг, вытекает, что
оно истинно для следующего числа n = k+\, то предложе-
ние А(п) истинно для любого целого значения п^пг.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Комбинаторика (задачи, в которых приходится составлять из
конечного числа элементов различные комбинации и про-
изводить подсчет числа всех возможных комбинаций, со-
ставленных по некоторому правилу, получили название
комбинаторных, а раздел математики, занимающийся их
решением, называется комбинаторикой).
Перестановки (в комбинаторике установленный в конечном мно-
жестве порядок называют перестановкой его элементов).
Число перестановок.
Упорядоченное множество (множество вместе с заданным по-
рядком расположения его элементов называют упорядочен-
ным множеством).
Размещения (в комбинаторике конечные упорядоченные мно-
жества называют размещениями).
Число размещений.
Сочетания (в комбинаторике конечные множества называют
сочетаниями).
Число сочетаний. Треугольник Паскаля. Формула Ньютона.
Разложение степени бинома.
Биномиальные коэффициенты (коэффициенты С* формулы
Ньютона называют биномиальными коэффициентами).
Вероятность события (вероятностью события называют отно-
шение числа благоприятствующих ему случаев к общему
числу исключающих друг друга случаев).
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА,
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И ИХ ПРЕДЕЛЫ
Периодическая десятичная дробь. Определение. Бесконеч-
ная десятичная дробь ао, а\9 а2, а3... называется периодиче-
38

ской, если существуют такие натуральные N и р, что а„+/> =
=ап для всех n^zN.
Иррациональные числа: действительные не рациональные чис-
ла называются иррациональными.
Сумма действительных чисел. Определение. Суммой дей-
ствительных чисел х и у называется такое действительное
число z, которое при любом целом неотрицательном п
удовлетворяет неравенству
Xn+yn^z<x'n+y'n
(здесь для чисел х и у приближения с точностью до 10~п
обозначены соответственно через хп, уп (по недостат -
к у) и через хп', уп' (по избытку)).
Произведение неотрицательных действительных чисел. Опре-
деление. Произведением двух неотрицательных действи-
тельных чисел х и у называется такое действительное чис-
ло z, которое при любом целом неотрицательном п удовле-
творяет неравенствам
ХпУп<гп<х'пу'п.
Числовая прямая (множество R всех действительных чисел на-
зывают числовой прямой).
Точки числовой прямой (элементы множестваЯ, т. е. числа, на-
зывают точками числовой прямой).
Числовая плоскость (множество упорядоченных пар действи-
тельных чисел называют числовой плоскостью).
Точка числовой плоскости (любую упорядоченную пару дейст-
вительных чисел называют точкой числовой плоскости).
Координатная плоскость: обычная геометрическая плоскость
с выбранной на ней системой координат называется коор-
динатной плоскостью.
Прямая (прямая в числовой плоскости): множество точек (х:
t/)e /?2, координаты которых удовлетворяют уравнению
ax + by + c=0, в котором хотя бы одно из чисел а или Ь
отлично от нуля, называется прямой.
Круг (круг в числовой плоскости): множество точек (х; г/)е
е/?-, координаты которых удовлетворяют неравенству х2 +
-f #2^r2 (r>0), изображается в координатной плоскости
кругом радиуса г с центром в начале координат, и поэтому
в числовой плоскости это множество также называется кру-
гом радиуса г с центром в точке (0; 0).
Плотность подмножества рациональных чисел в множестве всех
действительных чисел.
Бесконечная числовая последовательность. Определение.
Бесконечной числовой последовательностью называется
числовая функция, определенная на множестве N нату-
ральных чисел.
Другое выражение этого определения: числовой последо-
.'.')

вательностью называется отображение множества N в мно«
жестве R.
Предел последовательности. Определение. Число а называ-
ется пределом последовательности (хп), если для любого
положительного числа г найдется такое натуральное число
N, что при всех п>N выполняется неравенство \хп — а|<е.
Окрестность точки: интервал ]а — е; а + е[ называется е-окрест*
ностью точки а.
Сходящаяся последовательность (последовательность, имеющую
предел, называют сходящейся).
Расходящаяся последовательность (последовательность, не
имеющую предела, называют расходящейся).
Сумма бесконечной геометрической прогрессии (предел
limSn = —- , где |</|<1, называют суммой бесконечной
п-+оо 1 —q
геометрической прогрессии).
Числовой ряд. Определение. Для заданной числовой
последовательности (хп) выражение хх-\-х2+ ... +хп+ ...
называют числовым рядом, а хп — п-м членом этого
ряда.
Частичная чгумма. Определение. Сумма п первых членов
ряда называется п-й частичной суммой этого ряда и обо-
значается через Sn.
Сумма ряда. Определение. Если существует предел после-
довательности (Sn) частичных сумм ряда, то говорят, что
этот ряд сходится, а указанный предел называется суммой
ряда.
Ограниченная последовательность. Определение. Последо-
вательность (хп) называется ограниченной, если сущест-
вуют два числа m и М такие, что для всех п выполняется
неравенство m^xn^.M.
Бесконечно впалая последовательность. Определение. По*
следовательность называется бесконечно малой последова-
тельностью или просто бесконечно малой, если ее предел
равен нулю. Иными словами, последовательность (хп) на-
зывается .бесконечно малой, если для любого числа е>0
найдется такой номер N, что при всех n>N будет \ап—0| =
= |ап|<е.
Возрастающая последовательность. Определение. Последо-
вательность (хп) называется возрастающей, если каж-
дый ее член, начиная со второго, больше предыдущего, т. е.
если для любого п выполняется неравенство хп+\>хп.
Убывающая последовательность. Определение. Последова-
тельность (хп) называется убывающей, если каждый ее
член, начиная со второго, меньше предыдущего, т. е. если
для любого п выполняется неравенство хп+}<Схп.
Невозрастающая последовательность. Определение. После-
довательность (хп) называется невозрастающей, если каж-
40

дый ее член, начиная со второго, не больше предыдущего,
т. е. для любого п выполняется неравенство хп+\^хп.
Неубывающая последовательность. Определение. Последо-
вательность (хп) называется неубывающей, если каждый
ее член, начиная со второго, не меньше предыдущего, т. е.
если для любого п выполняется неравенство xn+i^xn.
Монотонная последовательность: неубывающие и невозраааю-
щие последовательности называются монотонными после-
довательностями (в частности, возрастающие и убывающие
последовательности монотонны).
Длина окружности. Определение. Длиной окружности на-
зывается предел последовательности периметров правиль-
ных вписанных многоугольников.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНАЯ
Числовая функция, область определения функции, множество
значений функции (числовая функция есть отображение
некоторого подмножества D множества R на другое
подмножество Е множества R. Множество D называют
областью определения, а множество Е — множеством
значений функции. \ Числовая функция есть такое множе-
ство f пар чисел (х; у), что для любого числа х имеется
в этом множестве не более одной пары (х; у) с первым
элементом х).
Возрастающая функция: функция f называется возрастающей
на множестве Е, если для любых хх и х2, принадлежащих
множеству Е, из х{<х2 вытекает f(Xi)<f(x2).
Убывающая функция: функция f называется убывающей на
множестве Е, если для любых хх и х2, принадлежащих мно-
жеству Е, из Х\<х2 вытекает f(*i)>f(*2).
Независимая переменная (в формуле y=f(x) переменную х
называют независимой переменной (или аргументом функ-
ции)).
Зависимая переменная (каждому значению независимой пере-
менной из области определения D(f) функции f соответст-
вует определенное значение y=f{x) зависимой переменной
у из множества значений E(f) функции /).
Приращение независимой переменной: если х и х0 — два зна-
чения независимой переменной из D(f), то разность из
х—х0 называется приращением независимой переменной
и обозначается через кх.
Приращение функции, приращение зависимой переменной:
разность между новым значением функции f(x0+Ax) и пер-
воначальным ее значением f(x0) называется приращением
функции f в точке х0 и обозначается &f(x0). Короче,
&f(x0) называют приращением зависимой переменной и
обозначают через Д/ или Ду.
41

Возрастающая функция, убывающая функция: функция назы-
вается возрастающей, если ее приращения в каждой точке
л'о положительны при любых положительных приращениях
независимой переменной; убывающей, если ее приращения
в каждой точке х0 отрицательны при любых положитель-
ных приращениях независимой переменной.
Главная часть приращения функции.
Средняя скорость изменения функции: средней скоростью изме-
нения функции на промежутке [х0\ х] = [дг0; х0+Д*] назы-
вается отношение приращений функции и независимого пе-
ременного №>> = /(*о+А*)-/(Хо) 9
Ддс Ддг
Скорость изменения функции в точке: предел средней скорости
при стремящемся к нулю приращении независимого пере-
менн0го lim^ =lim Л*о+**)-/Ы
д.гч-0 Дл: ддгн.0 Дл:
называется скоростью изменения функции в точке х0. Для
' скорости изменения функции в точке х0 принято название
«производная».
Производная: производная от функции f в точке х0 обознача-
ется J (хо) и по определению f (х0) =lim-1-2 ——^-'
ьх-+о Д*
Непрерывность функции в точке, Определение. Функция f
называется непрерывной в точке jc0, если при стремлении
точки х к точке х0 значение функции f(x) стремится к зна-
чению f(x0).
Предел функции. Определение. Число b называется пре-
делом функции f(x) при х, стремящемся к а, если для лю-
бого положительного числа г найдется такое положитель-
ное число б, что при всех хфа, удовлетворяющих неравен-
ству \х—а|<б, будет выполнено неравенство \f(x)—b|<e.
Другое определение: число Ь называется пределом f(x)
при х, стремящемся к а, если при любом еХ) существует
такая окрестность точки а, что для любого х=^а из этой
окрестности будет \f(x)— &|<е.
Бесконечно малая функция: функция а называется бесконечно
малой при х, стремящемся к а (или в точке а), если
lima(jt) =0.
х-»а
Разрывные функции. Точка разрыва. Функции, непрерывные в
точке: функции, для которых равенство \imf(x)=f(a) не
х-+а
выполнено, называются разрывными, а точка а называется
их точкой разрыва; функции, для которых такое равенство
выполнено, называются непрерывными в точке а.
Производная. Определение. Производной функции f в точ-
1?

ке Хо называется предел отношения приращения Л/ функ-
ции f в точке х0 к приращению Дя, когда это последнее
стремится "к нулю.
Дифференцирование функции: операция нахождения производ-
ной У от данной функции f называется дифференцировани-
ем этой функции.
Дифференцируемая функция: функция f, имеющая в каждой
точке некоторого промежутка производную, называется
дифференцируемой в этом промежутке.
Формула Лейбница (формула для вычисления производной
произведения двух функций).
Сложная функция. Отображение. Композиция отображении.
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Критические точки (внутренние точки области определения
функции, в которых производная функции равна нулю или
не существует).
Точка минимума функции. Определение. Точка х0 из обла-
сти определения функции f называется точкой минимума
этой функции, если найдется такая б окрестность ]х()—S;
х0 + 6[ точки х0, что для всех хфх0 из этой окрестности вы-
полняется неравенство f(x)>f(xo).
Точка максимума функции. Определение. Точка х0 из облас-
ти определения функции f называется точкой максимума
этой функции, если найдется такая Ь-окрестность ]х0—6;
*о+6[ точки х0, что для всех х=х0 из этой окрестности вы-
полняется неравенство f(x)<Cf(x0).
Экстремум функции (точки минимума и максимума называют-
ся точками экстремума данной функции, а значения функ-
ции в этих точках называют экстремумами функции).
Квадратичная функция: функция f(x) = ax2+bx+c=0, где а^О,
называется квадратичной.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ,
ИХ ГРАФИКИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
180
Рядиан (радиан — это градусов).
т.
Синус и косинус числового аргумента. Определение. Пусть
Pt = Rt(PQ) есть точка координатной плоскости, получаю-
щаяся из единичной точки .оси абсцисс Я0 при повороте
вокруг начала координат на t радиан. Ордината yt точки.
Pt называется синусом числа t, а абсцисса xt точки Pt на-
зывается косинусом числа t, т. е. Xt = cost, yt = s\nt.
Тангенс и котангенс числового аргумента. Определение.
Тангенсом числа а называется отношение синуса этого чис-
43

ла к его косинусу, т. е. tga=-^-^-
cos а
Определение. Котангенсом числа а называется отно-
COS 0L
шение косинуса этого числа к его синусу, т. е. ctga=^— .
sin a
Четная функция. Определение. Функция f называется чет-
ной, если вместе с каждым значением переменной х из об-
ласти определения f значение —х также входит в
область определения этой функции и при этом выполняет-
ся равенство f( — x)=f(x)t т. е.. для любых противополож-
ных значений переменной х из области определения f зна-
чения функции f равны.
Нечетная функция. Определение. Функция f называется не-
четной, если вместе с каждым значением переменной х из
области определения f значение —х также входит в об-
ласть определения этой функции и при этом выполняется
равенство f(—x) = —f(x), т. е. для любых противополож-
ных значений переменной х из области определения f зна-
чения функции f противоположны.
Периодическая функция. Определение. Функция f называ-
ется периодической, если для нее существует такое число
1ф0, что при любом х из области определения функции
числа х—1 и х + l также принадлежат этой области и вы-
полняется равенство f(x—l)=f(x)=f(x + l). В этом случае
число I называется периодом функции f.
X класс
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
ИХ ГРАФИКИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
ПерЁый замечательный предел (предел при х-*0 иногда
X
называют «первым замечательным пределом»).
Вторая производная (производную от производной f функции
f называют второй производной функции f и обозначают
Г).
Выпуклость вниз. Выпуклость вверх.
Дифференциальное уравнение (уравнение, выражающее зави-
симость между функцией и ее производными, называют
дифференциальным уравнением).
Сжатие и растяжение числовой плоскости: отображение число-
вой плоскости на себя (х\ у)-+(х\ ky) (где k>0) называ-
ется при /е<1 сжатием к оси Ох в отношении 1 :k и рас-
тяжением от оси Ох в отношении l:k при k>\. Можно
не различать термины «сжатие» и «растяжение» и в обоих
случаях говорить о сжатии. Отображение числовой плос-
кости на себя (х; y)-+(kx; у) будем называть сжатием к
оси Оу в отношении 1 :k (где k>0).
Формулы приведения.
44

Арксинус (обратную функцию по отношению к синусу на от*
резке — "Т; "о" называют арксинус и обозначают
arcsin).
Арккосинус (обратную функцию по отношению к косинусу на
отрезке [0; я] называют арккосинус и обозначают arccos).
Арктангенс (обратную функцию по отношению к тангенсу на
промежутке — — ; — называют арктангенс и обозна-
чают arctg).
Арккотангенс (обратную функцию по отношению к котангенсу
на промежутке ]0; л[ называют арккотангенс и обознача-
ют arcctg).
ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
Первообразная. Определение. Функция F называется пер-
вообразной на заданном промежутке для функции f, если
для всех х из этого промежутка F'(x)=f(x).
Общий вид первообразной. Криволинейная трапеция.
Приращение первообразной.
Интеграл. Определение. Интегралом от а до Ь функции f
называется приращение первообразной F этой функции:
F(b)-F(a).
Пределы интегрирования. Нижний предел интегрирования.
Верхний предел интегрирования. Знак интеграла. Подын-
тегральная функция. Переменная интегрирования. Отрезок
интегрирования. Формула Ньютона — Лейбница.
Интеграл с переменным верхним пределом.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ, ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ
Показательная функция ехра: показательная функция ехра пол-
ностью определяется такими ее свойствами: 1) ехра(1) =
=а; 2) ехра(*)>0 пРи любом хе/?; 3) при любых дейст-
вительных х и у ехра (*+*/) <ехра (х) -ехра (у); 4) при
а>1 функция ехра возрастает на всей числовой прямой,
а при 0<а< 1 — убывает.
Натуральный логарифм (функцию, обратную к ех, называют
натуральным логарифмом, обозначают In).
Дифференциальное уравнение: дифференциальным уравнением
называется уравнение, выражающее соотношение между
значением независимой переменной х и соответствующими
ему значениями функции f и ее производных \r, f", ...
Логарифмическая функция loga (логарифмическую функцию при
основании а рассматривают как функцию, обратную функ-
ции ах).
Модуль перехода.
45

Иррациональное уравнение (уравнения, в которых переменная
содержится под знаком корня, называют иррациональными)»
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Равносильные уравнения: два уравнения называются равно-
сильными, если дни имеют одно и то же множество реше-
ний.
Система уравнений (система уравнений — это конечное множе-
ство уравнений).
Решение системы уравнений (решением системы уравнений с
двумя переменными называют упорядоченную пару чисел,
являющуюся решением каокдого из уравнений, входящих в
систему).
Множество решений системы уравнений (множество решений
системы уравнений есть пересечение множеств решений вхо-
дящих в систему уравнений).
Равносильные системы уравнений: две системы уравнений на-
зываются равносильными, если они имеют одно и то же
множество решений.
Линейное уравнение: линейным уравнением с переменными хх,
*2>..., хп называется уравнение вида alx{+a2X2+...+anxn = b.
Треугольная система уравнений.
Метод Гаусса: решение системы линейных уравнений приведе-
нием к треугольной форме называется методом Гаусса.
Числовое пространство (числовое пространство /Р — множество
упорядоченных троек действительных чисел).
Выводное уравнение. Выводная система.
Решение системы неравенств: если задана система неравенств
f(x\ У)>0,
£(*;*/) >0,
то решением этой системы называется упорядоченная па-
ра чисел, удовлетворяющая каждому неравенству этой си-
стемы; поэтому множество решений системы есть пересече-
ние множеств решений, входящих в эту систему неравенств.
Линейное программирование. Задачи линейного программиро-
вания.
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Периодическая десятичная дробь (см. IX класс).
Множество действительных чисел: объединение множества ра-
циональных чисел и множества иррациональных чисел есть
множество действительных чисел.
Сумма действительных чисел (см. IX класс). Произведение дей-
ствительных чисел (см. IX класс). Числовая прямая (см.
IX класс). Точки числовой прямой (см. IX класс). Число-
вая функция, область определения функции, множество
46

значений функции (см. IX класс). Абсцисса и ордината
точки.
График функции: графиком функции f называется множество
точек (х; у) на координатной плоскости, где y=f(x), а х
пробегает все множество D(f).
Обратная функция (пусть задана функция y=f(x), т. е. неко-
торое соответствие между множествами D(f) и E(f); если
обратное соответствие есть функция, то ее называют функ-
цией, обратной функции f).
Взаимно обратные функции (если функция g является обрат-
ной по отношению к функции f, то функция f является об-
ратной по отношению к функции g; функции fug назы-
вают взаимно обратными).
Обратимая и необратимая функции (функцию, которая имеет
обратную, называют обратимой, а функцию, которая не
имеет обратной, — необратимой).
Четная функция: числовая функция f называется четной, если
область ее определения симметрична относительно точки О
(т. е. для каждой точки x^D(f) точка — x^D(f) и для
любого х из области определения верно равенство f(x) =
Нечетная функция: числовая функция называется нечетной, ес-
ли область ее определения симметрична относительно точ-
ки О и для любого х из области определения верно равен-
ство f(x)=— /( — х).
Периодическая функция, период функции (см. IX класс).
Прямая пропорциональность (переменную у называют прямо
пропорциональной переменной х, с коэффициентом пропор-
циональности k, если соответственные значения этих пе-
ременных связаны соотношением y=k(x), где k — некото-
рое действительное число, отличное от нуля).
Обратная пропорциональность (переменную у называют обрат-
но пропорциональной переменной х, если соответственные
k
значения этих переменных связаны равенством у=—, где
k — некоторое действительное число, отличное от нуля; чис-
ло k называют коэффициентом обратной пропорциональ-
ности).
k
Гипербола: график функции у=— называется гиперболой. Ги-
перболой называют любую кривую, получающуюся из гра-
k
фика функции у= — при помощи перемещений и сжатий
к осям.
Линейная функция: линейной функцией называется функция
вида y = kx + b, где k и b — некоторые числа.
Квадратичная функция, квадратный трехчлен: функция у=
= ах2 + Ьх + с, где а, Ь, с — некоторые действительные чис-
47

ла (аФО), называется квадратичной, а выражение ах2+
-hbx+c—квадратным трехчленом.
Двскриминант квадратного трехчлена (выражение Ь2 — 4ас на-
зывают дискриминантом квадратного трехчлена и обозна*
чают буквой D: D = b2—4ac).
Квадратное уравнение (квадратным уравнением называют
уравнение вида ax2+bx-\-c = Q при а=й=0).
Бесконечная числовая последовательность (см. IX класс).
Аналитический и рекуррентный способы задания последовав
тельности.
Возрастающая последовательность, убывающая последователь-
ность, невозрастающая последовательность, неубывающая
последовательность (см. IX класс).
Предел последовательности, сходящаяся последовательность,
расходящаяся последовательность (см. IX класс).
Принцип математической индукции, метод математической ин-
дукции (см. IX класс). Перестановки, упорядоченное мно-
жество, размещения, сочетания (см. IX класс).
Треугольник Паскаля (таблицу, п-я строка которой состоит из
(п+1) числа (яе Z0) С J, СА, СЦЛ ..., Спп, называют тре-
угольником Паскаля).
Предел функции (см. IX класс).
Непрерывность функции в точке: функция f называется непре-
рывной в точке х0, если limf(x) =f(x0).
ДГ-Д'о
Приращение независимой переменной; приращение функции;
производная; дифференцируемая функция (см. IX класс).
Точка минимума; максимума; точки экстремума (см. IX кл.).
Критические точки функции (внутренние точки области опреде-
ления функции /, в которых производная равна нулю или
не существует, называют критическими точками функции).
Среднее арифметическое (средним арифметическим чисел а и b
называют число —-
2
Среднее геометрическое чисел (средним геометрическим чисел
а и b (а>0; 6>0) называют число Уа-Ь).
Неравенство Бернулли (см. IX класс). Арифметическая про-
грессия; геометрическая прогрессия (см. VIII класс),
ГЕОМЕТРИЯ IX-X КЛАССОВ
IX класс
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
Точка. Прямая. Плоскость. Расстояние. Множество.
Фигура (всякое множество точек в геометрии называют фи-
гурой).
48

Пространство (множество U всех рассматриваемых в стерео-
метрии точек называют пространством).
Пересекающиеся плоскости: две плоскости, пересечением кото-
рых является прямая, называются пересекающимися плос-
костями.
Пересекающиеся прямые: две прямые называются пересекаю-
щимися, если они имеют единственную общую точку.
Параллельные прямые. Определение. Две прямые называ-
ются параллельными, если они лежат в одной плоскости и
не имеют общей точки или совпадают.
Открытое полупространство.
Замкнутое полупространство (объединение открытого полупро-
странства и его границы называют замкнутым полупрост-
ранством (или просто полупространством)).
Выпуклая фигура: фигура называется выпуклой, если она со-
держит отрезок, соединяющий любые две ее точки.
Тетраэдр (четырехгранник). Сечение многогранника.
Скрещивающиеся прямые. Определение. Две прямые на-
зываются скрещивающимися, если они не пересекаются и
не,параллельны.
Параллельность прямой и плоскости. Определение. Прямая
и плоскость называются параллельными, если они не име-
ют общей точки или прямая лежит в плоскости.
Связка параллельных прямых. Параллелепипед. Прямоуголь-
ный параллелепипед.
Параллельные плоскости. Определение. Две плоскости на-
зываются параллельными, если они не имеют общей точки
илимсовпадают.
Параллельная проекция точки.
Параллельная проекция фигуры (параллельной проекцией фи-
гуры Ф\ назовем множество Ф\ параллельных проекций
всех точек данной фигуры).
Изображение фигуры (в стереометрии изображением фигуры
(оригинала) будем называть любую фигуру, подобную па-
раллельной проекции данной фигуры на некоторую пло-
скость.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА.
ВЕКТОРЫ
Отображение фигуры; образ точки (если каждой точке М фи-
гуры Ф ставится в соответствие единственная точка М{
фигуры F, то такое соответствие называют отображением
фигуры Ф в фигуру F; точку М\ при этом называют об-
разом точки М).
Образ фигуры: множество Ф\ образов всех точек фигуры Ф на-
зывается образом фигуры Ф.
Симметричные точки (относительно центра): точки М и М\
49

называются симметричными относительно центра О, если
точка О является серединой отрезка МА1\.
Центральная симметрия.
Преобразование пространства. Определение. Отображение
пространства на себя, при котором любые две различные
точки имеют различные образы, называется преобразова-
нием пространства.
Обратное преобразование. Композиция преобразований.
Тождественное преобразование: преобразование пространства,
отображающее каждую точку на себя, называется тожде-
ственным преобразованием.
Перемещение. Определение. Преобразование пространства,
сохраняющее расстояния, называют перемещением.
Конгруэнтность фигур. Определение. Фигура Ф\ называется
конгруэнтной фигуре Ф, если существует перемещение, ото-
бражающее Ф на Ф\.
Сонаправленные лучи. Противоположно направленные лучи.
Направление (в пространстве): множество всех лучей, каждый
из которых сонаправлен с одним и те и же лучом, называ-
ется направлением в пространстве.
Вектор. Определение. Вектором (параллельнын перено-
сом), определяемым парой (А, В) несовпадающих точек,
называется преобразование пространства, при котором
каждая точка М отображается на такую точку М{, что луч
ЛШ, сонаправлен с лучом АВ и расстояние \ММ{\ равно
расстоянию \АВ\.
Направление вектора; длина вектора (вектор, заданный парой
(А, В) несовпадающих точек, обозначается АВ; направле-
ние, определяемое лучом АВ, называется направлением
вектора АВ, а расстояние \АВ\ — длиной вектора АВ).
Нулевой вектор (условимся, что любая пара совпадающих то-
чек задает тождественное преобразование, которое мы бу-
дем называть теперь нулевым вектором).
Откладывание вектора (пусть даны вектор а и точка А; можно
—► ->
построить единственную точку В такую, что АВ = а\ это
построение называют откладыванием вектора а от точки
А).
Сумма векторов.
Правило треугольника (равенство АВ + ВС=АС называют пра-
вилом треугольника).
Правило многоугольника.
Противоположные векторы: два вектора называются противо*
положными, если их сумма равна нулевому вектору.
50

Разность векторов: вектор с называется разностью векторов а
и Ь, если с + Ь = а.
Формула вычитания векторов: ОВ — ОА=АВ.
Коллинеарные векторы: два ненулевых вектора называются
коллинеарными, если их направления совпадают или про-
тивоположны, если среди двух векторов имеется хотя бы
один нулевой вектор, то такие векторы также будем счи-
тать коллинеарными.
Произведение вектора на число. Определение. Произведе-
наем ненулевого вектора а на число х называется вектор,
имеющий направление вектора а, если х положительно, и
противоположное направление, если х отрицательно. Длина
этого вектора равна произведению длины вектора а на мо-
дуль числа х. .+ _*
Для случаев, когда а=0 или х=0, примем дополнитель-
ные определения: jcQ=0 для любого х; 0а=0 для любого а.
Правило параллелограмма.
Компланарные векторы. Определение. Три ненулевых век-
тора называются компланарными, если лучи, задающие их
направления, лежат на прямых, параллельных одной и той
же плоскости. Если среди трех векторов имеется хотя бы
один нулевой, то такие векторы также будем считать комп-
ланарными.
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам: если
-+. -*
заданы неколлинеарные векторы а и Ь, то представление
вектора с, компланарного с а и Ь, в виде суммы xa+yb на-
зывается разложением вектора с по векторам а и Ь.
Правило параллелепипеда.
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам: если
заданы некомпланарные векторы а, Ь, с, то представление
вектора d в виде суммы xa + yb + zc называется разложени-
ем вектора d по векторам а, Ь, с.
Выпуклый угол (выпуклый угол — угол, удовлетворяющий оп-
ределению выпуклой фигуры).
Угол между двумя направлениями (углом между двумя на-
правлениями называют величину угла мерюду любыми дву-
мя лучами этих направлений, имеющими общее начало).
Угол между двумя ненулевыми векторами. Определение.
Углом между двумя ненулевыми векторами называется
угол между направлениями этих векторов.
51

Перпендикулярные векторы (если угол между векторами а и Ь
равен 90°, то векторы называют перпендикулярными и за-
-► -*■
писывают a_Lb).
Угол между двумя пересекающимися прямыми (углом между
двумя пересекающимися прямыми называют величину
меньшего из углов, определяемых этими прямыми).
Угол между двумя скрещивающимися прямыми: углом между
двумя скрещивающимися прямыми называется угол между
двумя пересекающимися прямыми, соответственно парал-
лельными данным скрещивающимся прямым. Если две пря-
мые параллельны, то угол между ними считается равным,
0°.
Взаимно перпендикулярные прямые (две прямые называют вза-
имно перпендикулярными, если угол между ними равен 90°).
Скалярное произведение двух векторов. Определение. Ска-
лярным произведением двух ненулевых векторов называет-
ся число, равное произведению числовых значений длин
этих векторов на косинус угла между векторами. Если из
двух векторов хотя бы один вектор нулевой, то скалярное
произведение этих векторов принимается равным нулю.
-> -►
Скалярный квадрат вектора (произведение а*а будем записью
-*- —*•
вать а2 и называть скалярным квадратом вектора а).
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.
ДВУГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
Перпендикулярность прямой и плоскости. Определение.
Прямая и плоскость называются взаимно перпендикуляр-
ными, если прямая перпендикулярна каждой прямой, лежа-
щей в плоскости.
Перпендикуляр к плоскости (прямую, перпендикулярную плос-
кости, будем кратко называть перпендикуляром к этой
плоскости).
Наклонная к плоскости (прямую, пересекающую плоскость, но
не перпендикулярную к ней, называют наклонной к плос-
кости).
Ортогональное (прямоугольное) проектирование на плоскость.
Ортогональная проекция.
Симметричные точки (относительно прямой): точки М и М\ на-
зываются симметричными относительно прямой I, если от-
резок ММХ перпендикулярен I и делится этой прямой по-
полам.
Осевая симметрия. Определение. Преобразование прост-
ранства, при котором каждая точка отображается на сим-
метричную ей точку относительно заданной прямой I, на-
зывается осевой симметрией.
52

Симметричные точки (относительно плоскости): точки М и М\
называются симметричными относительно плоскости а, ее-
ли отрезок ММ[ перпендикулярен к этой плоскости и де-
лится ею пополам.
Симметрия относительно плоскости. Определение. Преоб-
разование пространства, при котором каждая точка ото-
бражается на симметричную ей точку относительно задан-
ной плоскости, называется симметрией относительно этой
плоскости.
Расстояние между фигурами (если среди расстояний между
точками, одна из которых принадлежит фигуре Фи а дру-
гая— фигуре Ф2, существует наименьшее, то его называют
расстоянием между фигурами Ф{ и Ф2).
Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых: отрезок, имею-
щий концы на двух скрещивающихся прямых и перпенди-*
кулярный к ним, называется общим перпендикуляром скре-
щивающихся прямых.
Угол между наклонной и плоскостью. Определение. Углом
между наклонной и плоскостью называется угол между на-
клонной и ее проекцией на плоскость.
Двугранный угол. Определение. Пересечение двух полупро-
странств, границами которых служат непараллельные плос-
кости, называется двугранным углом.
Грани, ребро и внутренняя область двугранного угла (каждый
двугранный угол ограничен двумя полуплоскостями, на-
зываемыми его гранями; прямая, являющаяся общей гра-
ницей граней, называется ребром двугранного угла; все
точки двугранного угла, не принадлежащие граням, обра-
зуют его внутреннюю область).
Линейный угол двугранного угла. Определение. Пересече-
ние двугранного угла и плоскости, перпендикулярной к его
ребру, называется линейным углом двугранного угла.
Величина двугранного угла. Определение. Величиной дву-
гранного угла называется величина его линейного угла.
Величину линейного угла для краткости также именуют
линейным углом.
Прямой, острый и тупой двугранные углы (двугранный угол на-
зывают прямым, острым или тупым в зависимости от того,
будет ли линейный угол этого двугранного угла прямым,
острым или тупым).
Угол между плоскостями (величину меньшего из двугранных
углов, определяемых двумя пересекающимися плоскостями,
назовем углом между этими плоскостями; если две плос-
кости параллельны, то угол между ними считается равным
0°).
Взаимно перпендикулярные плоскости (две плоскости называ-
ются взаимно перпендикулярными, если угол между ними
равен 90°).
53

Многогранный угол: пусть даны многоугольник Ф=АВС... и
точка S, не принадлежащая его плоскости; объединение
всех лучей, имеющих общее начало S и пересекающих дан-
ный многоугольник Ф, называется многогранным углом.
Вершина, ребра и грани многогранного угла: точка S называет-
ся вершиной многогранного угла, лучи SA, SB, ... — его
ребрами; углы ASB, BSC, ... называются гранями много-
гранного угла или его плоскими углами.
Внутренняя область многогранного угла (множество всех то-
чек многогранного угла, не принадлежащих граням, назы-
вают его внутренней областью).
X класс
КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ
Прямоугольный базис. Координаты вектора. Прямоугольная
система координат в пространстве. Начало координат. Ко-
ординатные векторы. Координаты точки. Абсцисса. Орди-
ната. Аппликата. Координатные оси.
Координатные плоскости (плоскости, проходящие через каж-
дые две координатные оси, назовем координатными плос-
костями).
Координатное пространство (пространство, в котором задана
система координат, называют координатным пространст-
вом).
Уравнение фигуры. Уравнение первой степени. Уравнение плос-
кости.
Координатные формулы преобразования.
Гомотетия пространства. Определение. Гомотетией с цент-
ром О и коэффициентом кФО называется преобразование
пространства, при котором образом произвольной точки М
является такая точка М\, что OM{=kOM.
МНОГОГРАННИКИ
Простая многогранная поверхность (многогранная поверх-
ность) : простой многогранной поверхностью называется
объединение многоугольников, удовлетворяющих следую-
щим условиям: 1) для любых двух вершин этих много-
угольников существует ломаная, составленная из их сто-
рон, для которой взятые вершины служат концами; 2) про-
извольная точка поверхности либо является точкой только
одного из данных многоугольников, либо принадлежит об-
щей стороне двух и только двух многоугольников, либо яв-
ляется вершиной только одного многогранного угла, плос-
кими углами которого служат углы данных многоугольни-
ков.
54

Грани, ребра и вершины многогранной поверхности: много-
угольники, составляющие многогранную поверхность, на-
зываются ее гранями; стороны этих многоугольников на-
зываются ребрами, а вершины — вершинами многогранной
поверхности.
Замкнутая многогранная поверхность (если каждое ребро мно-
гогранной поверхности содержится в двух ее гранях, то эту
многогранную поверхность называют замкнутой).
Внешняя и внутренняя области замкнутой многогранной по-
верхности.
Многогранник. Определение. Объединение замкнутой мно-
гогранной поверхности и ее внутренней области называет-
ся многогранником.
Поверхность и внутренняя область многогранника. Грани, реб-
ра и вершины многогранника.
Диагональ многогранника (отрезок, который соединяет две вер-
шины многогранника, не принадлежащие одной грани, на-
зывают диагональю многогранника).
Развертка поверхности многогранника.
Призма. Определение. Многогранник, две грани которого —
п-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а ос-
тальные п граней — параллелограммы, называется п-уголь-
ной призмой.
Основания, боковые грани, боковые ребра и боковая поверх-
ность призмы.
Прямая призма: призма, боковые ребра которой перпендику-
лярны плоскостям оснований, называется прямой призмой.
Наклонная призма (если боковые ребра призмы не перпенди-
кулярны плоскостям оснований, то ее называют наклонной
призмой).
Правильная призма: прямая призма, основанием которой яв-
ляется правильный многоугольник, называется правильной
призмой.
Параллелепипед. Определение. Параллелепипедом называ-
ется призма, основанием которой служит параллелограмм.
Прямой параллелепипед: если боковые ребра параллелепипе-
да перпендикулярны к плоскости его основания, то парал-
лелепипед называется прямым.
Прямоугольный параллелепипед: прямой параллелепипед, осно-
ванием которого служит прямоугольник, называется пря-
моугольным параллелепипедом.
Измерения прямоугольного параллелепипеда: длины трех ре-
бер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной
вершины, называются измерениями прямоугольного парал-
лелепипеда.
Куб: прямоугольный параллелепипед с равными измерениями
называется кубом.
Площадь поверхности многогранника: площадью поверхности
55

многогранника называется сумма площадей всех его гра*
ней.
Перпендикулярное сечение призмы.
Пирамида. Определение. Многогранник, одна из граней ко-
торого произвольный многоугольник, а остальные грани —
треугольники, имеющие общую вершину, называется пира-
мидой.
Основание, вершина, боковая грань, боковое ребро и высота пи-
рамиды.
Правильная пирамида. Апофема правильной пирамиды.
Усеченная пирамида. Высота усеченной пирамиды.
Правильная усеченная пирамида: усеченная пирамида называ-
ется правильной, если она является частью правильной пи-
рамиды.
Апофема правильной усеченной пирамиды.
Правильный многогранник. Определение. Многогранник
называется правильным, если все его грани — конгруэнт-
ные правильные многоугольники и все его многогранные
углы имеют одинаковое число граней.
Объем многогранника: каждому многограннику может быть по-
ставлена в соответствие положительная величина, назы-
ваемая его объемом, так, что выполняются следующие свой-
ства:
1) единицей измерения объемов является объем куба, дли-
на ребра которого принята за единицу измерения длин;
2) конгруэнтные многогранники имеют равные объемы;
3) если многогранник является объединением нескольких
многогранников, любые два из которых не имеют общих
внутренних точек, то объем данного многогранника равен
сумме объемов всех таких многогранников.
ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ
Эллипс: параллельная проекция окружности (отличная от от
резка) называется эллипсом.
Центр симметрии эллипса (центр эллипса).
Хорда и диаметр эллипса: отрезок, соединяющий две точки эл-
липса, называется хордой, а хорда, проходящая через
центр,— диаметром эллипса.
Касательная к эллипсу (проекцию касательной к окружности
называют касательной к эллипсу).
Оси симметрии эллипса. Диаметр эллипса. Сопряженные диа-
метры эллипса.
Фигура вращения (если фигура Ф получена при вращении не*
которой фигуры вокруг оси, то Ф называют фигурой ера-*
щения).
Сечение фигуры вращения (сечением фигуры вращения будем
называть непустое пересечение данной фигуры и плоско-
56

сти). Осевое сечение — сечение, плоскость которого прохо-
дит через ось вращения.
Цилиндр. Определение. Фигура, полученная при вращении
прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону, на-
зывается цилиндром.
Образующая цилиндра.
Конус. Определение. Фигура, полученная при вращении
прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его
катет, называется конусом.
Поверхность конуса. Усеченный конус.
Сфера. Определение. Множество всех точек пространства,
находящихся на положительном расстоянии R от данной
точки, называется сферой.
Центр сферы. Радиус сферы.
Хорда сферы: отрезок, соединяющий любые две точки сферы,
называется хордой.
Диаметр сферы: хорда, проходящая через центр сферы, назы-
вается диаметром сферы.
Шар. Определение. Множество всех точек пространства,
расстояние от каждой из которых до данной точки не боль-
ше положительного расстояния R, называется шаром.
Поверхность шара. Центр, радиус и хорда шара.
Внутренние точки шара (все точки шара, не принадлежащие
его поверхности, называют внутренними точками шара).
Уравнение сферы. Сечение сферы.
Касательная плоскость к сфере (или к шару). Определе-
ние. Касательной плоскостью к сфере (шару) называется
плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку.
Точка касания сферы и плоскости. Касательная прямая к сфе-
ре (шару).
Объем фигуры: не только многогранникам, но и многим другим
фигурам (например, цилиндру, конусу, шару) можно по-
ставить в соответствие положительные величины (объемы
этих фигур), обладающие следующими свойствами а): кон-
груэнтные фигуры имеют равные объемы;
б) если фигура Ф\ содержится в фигуре Ф2, то объем фигу-
ры Ф\ не больше объема фигуры Фг.
Объем цилиндра. Объем конуса. Объем шара.
Площадь сферы.
КРАТКАЯ СВОДКА СВЕДЕНИЙ ПО КУРСУ
ПЛАНИМЕТРИИ
Здесь повторяются определения следующих понятий плани-
метрии. Основные (неопределяемые) понятия планиметрии. Ак-
сиома. Определение. Теорема. Геометрическая фигура. Выпук-
лая фигура. Пересечение фигур. Объединение фигур. Лежать
между. Отрезок. Ломаная. Открытый луч. Луч. Открытая полу-
57

плоскость. Полуплоскость. Угол. Отображение. Образ точки. Об-
раз фигуры. Конгруэнтные фигуры. Перемещение. Поворот. Цент-
ральная симметрия. Центрально-симметричная фигура. Осевая
симметрия. Ось симметрии фигуры. Фигура, симметричная от-
носительно оси. Параллельные прямые. Сонаправленные лучи.
Направление. Угол между двумя направлениями. Параллель-
ный перенос. Средняя линия треугольника. Многоугольник, гра-
ница и внутренняя область многоугольника. Параллелограмм.
Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Трапеция. Средняя линия тра-
пеции. Площадь многоугольника. Окружность. Круг. Касатель-
ная к окружности. Вписанный угол. Вписанный многоугольник.
Описанная окружность. Описанный многоугольник. Вписанная
окружность. Правильный многоугольник. Длина окружности.
Вектор (параллельный перенос). Нулевой вектор. Единичный
вектор. Коллинеарные векторы. Сумма векторов. Разность век-
торов. Произведение вектора на число. Подобные фигуры. Го-
мотетия. Пропорциональные отрезки. Преобразование подобия.
Средний пропорциональный отрезок.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Открытая пространственная область (фигуру Ф называют от-
крытой пространственной областью, если каждая ее точка
является внутренней и любые две ее точки можно соеди-
нить ломаной, содержащейся в Ф).
Граничная точка открытой области. Граница области.
Замкнутая пространственная область: объединение открытой
пространственной области и ее границы называется замк-
нутой пространственной областью.
Ограниченная фигура: фигура называется ограниченной, если
существует такая величина R, что расстояние между лю-
быми двумя точками данной фигуры меньше R.
Тело. Определение. Ограниченная замкнутая пространствен-
ная область называется телом.
Внутренняя область и поверхность тела (множество всех внут-
ренних точек тела называют внутренней областью тела, а
границу этой области — поверхностью тела).
Поворот пространства вокруг оси. Определение. Поворо-
том пространства вокруг оси I называется перемещение про-
странства, при котором все точки прямой I, и только они,
отображаются на себя.
Шаровой сегмент: фигура, полученная при вращении кругового
сегмента вокруг диаметра, перпендикулярного его хорде,
называется шаровым сегментом.
Шаровой сектор (шаровым сектором называют фигуру, полу-
ченную при вращении кругового сектора вокруг оси, содер-
жащей один из его граничных радиусов).

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В данной работе сделана попытка рассмотреть всю совокуп-
ность символов, обозначений и понятий в учебниках и учебных
пособиях по математике средней школы. Такой обзор может
помочь учителю представить себе общую картину введения
основных понятий, обозначений и символов, их распределение
по учебникам и учебным пособиям, не прибегая к утомитель-
ному просмотру всех учебных книг. Несмотря на то, что вклю-
ченный в книгу материал имеет констатирующий характер (отра-
жает фактическое положение), при его подготовке возникли
большие затруднения. В первую очередь они связаны со значи-
тельными различиями изложения учебного материала в разных
учебных книгах. Во введении были указаны выделенные нами
концентры, в пределах которых соблюдаются определенные
принципы освещения и внешнего оформления основного содер-
жания обучения. Однако внутри таких концентров и даже в пре-
делах одного учебника не всегда осуществляется единый методи-
ческий подход к введению и выделению основных понятий. Встре-
чаются случаи, когда в пределах одной учебной книги понятия
вводятся по-разному, поясняются или определяются. Так, одни
понятия вводятся по всей строгости с помощью явного определе-
ния, другие— при помощи одних лишь разъяснений, заменяющих
определение, третьи — с помощью пояснительных примеров, а
четвертые — в общем тексте учебника, как бы попутно, без осо-
бого выделения. При этом часто и внешнее оформление не под-
чиняется единому подходу (отличаются шрифтовые выделения,
отделение или отсутствие такового от основного текста и т. п.).
Дополнительные трудности возникли при объединении мате-
риала из разных учебных пособий и особенно из разных кол-
центров. В связи с этим выделенная нами совокупность понятий
может в одном месте с определенной точки зрения оказаться
неполной, а в другом — избыточной, а поэтому некоторые вол-
росы такого выделения представляются дискуссионными. Однп-
ко мы надеемся, что данная работа поможет наметить единпе
подходы к оформлению учебного материала в учебной книге,
разумеется, с учетом возрастных особенностей школьников и
специфики конкретного содержания. Это в свою очередь помо-
жет решению одной из проблем учебника математики: окажет
59

влияние на упорядочение и приведение в систему понятий школь-
ного курса математики. Учителю книга даст возможность уви-
деть всю систему понятий и их место в курсе.
Рассмотрение системы понятий помогает выяснить роль и
место символов и обозначений в курсе математики. Изучение
школьниками символики курса математики имеет большое обще-
образовательное и воспитательное значение не только потому,
что в наше время, время математизации наук, она готовит уча-
щихся к научному, абстрактному мышлению, но и потому, что
готовит учащихся к жизни в условиях, когда все больше и боль-
ше встречаются и функционируют условные знаки и знаковые
системы.
Человек на протяжении всей жизни имеет дело с символами
и знаками самой разнообразной природы: Герб и флаг нашей
Родины, пятиконечная красная звезда; символика пионерской и
комсомольской атрибутики; символы нотной грамоты; денежные
знаки; знаки дорожного движения; азбука Морзе, световые и зву-
ковые сигналы; условные знаки географических карт; различные
обозначения в курсах физики, химии, черчения и других предме-
тах, в современном производстве и технике и т.д. Многие из этих
символов имеют идейно-воспитательную направленность, помо-
гают учащимся ориентироваться в информации, которую им
необходимо воспринимать и обрабатывать.
Математическая символика является составной частью мно-
гих видов информации. Школьный курс математики является
одним из наиболее естественных мест для систематического и
сознательного усвоения учащимися общих принципов использо-
вания и переработки знаковой информации.
Знаки и знаковые системы детально обсуждаются в книге
'«Психологические проблемы переработки информации», пред-
ставляющей собой сборник статей («Наука», 1977.) Обсуждая
эту проблему в самом широком плане, статьи сборника указы-
вают на ее злободневность в плане подготовки современного
человека к восприятию и переработке знаковой информации.
При этом достаточное внимание уделяется той роли, которую
играют математические знаки в абстрактном мышлении челове-
ка, затрагиваются вопросы обучения математике с позиций
усвоения знаков и знаковых систем.
Обсуждая терминологию, авторыч первой статьи сборника
«Психологические аспекты методологии и общей теории знаков
и знаковых систем» М. В. Гамезо, Б. Ф. Ломов, В. Ф. Ру-
бах и н освещают и тонкости смыслового различия терминов
«математические знаки» и «математическая символика».
В плане данной работы эти терминологические различия не
являются принципиальными. Мы пользуемся общепринятым
толкованием термина «математическая символика» и учитыва-
ем, что в области программирования для ЭВМ широко исполь-'
зуется термин «символ» в смысле «знака». Среди математиче-
6)

ских символов есть устоявшиеся названия «знаки математиче-
ских действий (операций)», «знаки отношений» и др.
Изучение сихмволики курса математики связано с усвоением
знаний других дисциплин учебного плана. Математические сим-
волы и обозначения встречаются в обиходе и окружающей уча-
щихся действительности, при изучении всех предметов школы.
Вместе с тем изучение математических символов, обозначений и
понятий в других предметах не всегда согласовано, особенно
в период перехода на новое содержание обучения. Различие
в употреблении символов и обозначений нередко приводит к на-
рушению ГОСТов.
Материал данной книги может помочь общей работе по со-
гласованию преподавания разных учебных предметов, устано-
вить более тесные межпредметные связи и тем самым способ-
ствовать восприятию учащимися целостной картины изучаемых
ими явлений и фактов.
Рассмотрение с единых позиций символики в других предме-
тах, ее межпредметное согласование и как следствие из этого
неизбежное сокращение числа изучаемых учащимися символов,
ликвидация разнобоя и противоречий употребления символов —
несомненный резерв совершенствования обучения. Такая работа
могла бы служить одновременно частью решения общей фило-
софской и психологической проблемы переработки знаковой
информации человеком нашего общества.

Список учебников и учебных
пособий по математике
для средней школы
1. Моро М. И., Бантова М А., Бельтюкова Г. В. Математика. Учебник для
1 класса. Д\., «Просвещение», 1977.
2. Моро М. И., Бантова М. А. Математика. Учебник для 2 класса. М., «Про-
свещение», 1977.
3. Пчелко А. С, Бантова М. А., Моро М. И., Пышкало А. М. Математика.
Учебник для 3 класса. М.. «Просвещение», 1977.
4. Виленкин Н. Я., Нешков К. И., Шварцбурд С. И., Чесноков А. С, Се-
мушин А. Д. Математика. Учебник для 4 класса средней школы. Под
ред. А. И. Маркушевпча. M.t «Просвещение», 1977.
5. Виленкин Н. Я., Нешков К. И., Шварцбурд С. И., Чесноков А. С, Се-
мушин А. Д. Математика. Учебник для 5 класса средней школы. Под
ред. А. И Маркушевича. М., «Просвещение», 1977.
6. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Муравин К. С. Алгебра. Учебник
для 6 класса средней школы. Под ред. А. И. Маркушевича. М., «Про-
свещение», 1977.
7. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Муравин К. С, Суворова С. Б. Ал-
гебра. Учебное пособие для 7 класса средней школы. Под ред.
А. И. Маркушевича. М., «Просвещение», 1977.
8. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Монахов В. М., Муравин К. С, Су-
ворова С. Б. Алгебра. Учебное пособие для 8 класса средней, школы.
Под ред. А. И. Маркушевича. М., «Просвещение». 1977.
9. Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Нагибин Ф. Ф., Черкасов Р. С.
Геометрия Учебное пособие для 6 класса средней школы. Под ред.
А. Н. Колмогорова. М., «Просвещение», 1977.
10. Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Нагибин Ф. Ф., Черкасов Р. С.
Геометрия. Учебное пособие для 7 класса средней школы. Под ред.
А. Н. Колмогорова. М., «Просвещение», 1977.
11. Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Гусев В. А., Черкасов Р. С. Гео-
метрия. Учебное пособие для 8 класса средней школы. Под ред.
А. Н. Колмогорова. М., «Просвещение», 1977.
12. Колмогоров А. Н., Вейц Б. Е., Демидов И. Т., Ивашев-Мусатов О. С,
Шварцбурд С. И. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9
класса средней школы. Под ред. А. Н. Колмогорова. М., «Просвеще-
ние», 1977.
13. Колмогоров А. Н., Ивашев-Мусатов О. С, Ивлев Б. М., Шварц-
бурд С. И. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 10 класса
средней школы. Под ред. А. Н. Колмогорова. М., «Просвещение», 1977.
14 Клопский В. М., Скопец 3. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное
пособие для 9 класса средней школы. Под ред. 3. А. Скопеца. М.,
«Просвещение», 1977.
15. Клопский В. М., Скопец 3. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное
пособие для 10 класса средней школы. Под ред. 3. А. Скопеца. М.,
«Просвещение», 1977.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
1. Символы 6
2. Обозначения 8
3. Понятия 13
Математика I—111 классов Н
Математика IV—V классов 15
Алгебра VI—VIII классов .... 19
Геометрия VI—VIII классов 27
Алгебра и начала анализа IX—X классов 37
Геометрия IX—X классов 48
Общие замечания 59
Список учебников и учебных пособий по математике для средней
школы , 62

51
А72
Антипов И. Н. и Шварцбурд Л. С.
А72 Символы, обозначения, понятия школьного курса ма-
тематики. Пособие для учителей. М., «Просвещение»,
1978. 64 с.
Книга содержит справочный материал по школьному курсу математи-
ки. В ней выделены система символов и обозначениА, а также основные по-
нятия курса математики средней школы. Сведения даны в соответствии с
действующими учебниками и учебными пособиями по математике.
л 60501—620
А 151—78 51
103(03)-78
© Издательство «Просвещение», 1978 г.

ИБ № 3281
Игорь Николаевич Антипов
Людмила Семеновна Шварцбурд
СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПОНЯТИЯ
ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ
Редактор Э. К. Викулина
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технические редакторы Н. Н. Бажанова,
Л. М. Дербикова
Корректор Т. А. Кузнецова
Сдано в набор 24.10.77. Подписано к печати 24.05.78.
60X90Vi6. Бумага тип. № 3. Литер, гарнит., высокая
печать. Условн. печ. л. 4. Уч.-изд. л. 3,85. Тираж
150 000 экз. Заказ № 2873. Цена 10 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство
«Просвещение» Государственного комитета Совета Ми-
нистров РСФСР по делам издательств, полиграфин и
книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41
Типография им. Смирнова Смоленского облуправления
издательств, полиграфии и книжной торговли,
г. Смоленск, пр. им. Ю. Гагарина, 2,