Текст
В. А. Любецкий
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
В. А. Любецкий
ОСНОВНЫЕ понятия школьной МАТЕМАТИКИ
Допущено Министерством просвещения СССР в качестве учебного пособия для студентов педагогических институтов по специальности № 2104 «Математика»
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1987
ББК 22.1
Л 93
Рецензенты:
кафедра высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики МОПИ' нм. Н. К. Крупской (зав. кафедрой — доцент М. М. Рассудовская);
доктор физ.-мат. наук, профессор М. М. Постников (МГУ нм. М. В. Ломоносова)
Василий Александрович Любецкнй
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
Зав. редакцией Р. А. Хабиб Редакторы* Т". В. Автономова, Н. Р. Брумберг Младшие редакторы Л. £. Козырева, Е. А. Сафронова Художник В. П. Трифонов Художественный редактор Е. Н. Карасик Технический редактор С. С. Якушкина Корректор Т. А. Воробьева
ИБ № 9715 । 1
Сдано в набор 04.12.85. Подписано к печати 02.02.87. Формат 60XS0'/;6 Бум. офс. № 2. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Усл печ. л- 25,0. Уел. кр.-отт. 50.19. Уч.-изд. л 25,98. Тираж 58000. Заказ № 227. Цена I р> 10 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещенно Государственного комитета РСФСР ио делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москаа, З-fi проезд Марьиной ро61и. fl. Отпечатано с диапозитивов Смоленского полпгряфкомбинвтв Росглавполяграфпрома Государственной комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли. 214020. г. Смоленск, ул Смольянинова, I на Саратовском ордене Трудового Красного Зпвмеци полиграфическом комбинате Росгла »-полнграоппома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли. 410004, Сарвтов. ул. Чррнышеаского. 59. '
Любецкнй В. А.
Л93 Основные понятия школьной математики: Учеб, пособие для студентов пед. ин-тов по спец. № 2104 «Математика».-L М.: Просвещение, 1987.—400 с': ил.
В учебном пособии излагаются основные понятия школьной математиккДэлементарные фуцю-цнн. угол, вектор, плоскость, плвинметрни, измерение величии, площадь и мера плоской фигуры. решение алгебраических уравнений, геометрические построения, основания понятия чнЬда) с точки зрения математических курсов пединститута: выясняется место этих основных понятий в системе представлений высшей математики. |
„ 4309000000-389 ои
Л ТОЗ(ОЗ)—87----35“8в
ББК 22. V
© Издательство. «Просвещение», 1
ОГЛАВЛЕНИЕ
нсловне'...................................................... 7
Вные термины и символы, используемые в книге 11
_Г л а в'а I Элементарные функции. Угол'
И&ценне Л............................................................. 19
Линейная функция................................................... 22
Р* 1. Аксиоматическое определение линейной функции................... 22
2. Свойства линейной функции................<..................... 22
Мг 3. Теорема существования и единственности линейной функции ... 23
№2. Показательная функция ..................24
№ 1. Аксйоматнческое определение показательной функции............'. 24
№' 2. Свойства показательной функции.................................... 24
Р 3. Теорема существования н единственности показательной функции . 26
КЗ. Логарифмическая функция..............................................30
К 1. Аксиоматическое определение логарифмической функции ...... 30
R 2. Свойства логарифмических функций. Теорема существования и един-№' ствеиностн логарифмической функции................................... 31
В4. Степенная функция. . .'......................................... 32
1. Аксиоматическое определение степенной функции.................. 32
Вр 2. Теорема существования и единственности степенной функции ... 34
Б, 3. Свойства степенных функций...................................'. 34'
Функции косинус н сняус числового аргумента........................ 35
В; 1. Экспоненциальная функция и ее периодичность....................... 35
К 2. Теоремы существования и единственности экспоненциальной функ-u . цнн................................................................. 40
’’ 3. Функции косинус и синус числового аргумента: аксиоматические оп-
; ределеиия и свойства.................................................. 45
к 6. Угол. Функции косинус и синус углового аргумента. Измерение углов... 48
1. Введение...................................................... 48
2. Определение угла в .арифметической плоскости................... 49
3. Конструктивные определения функций косинус н сннус углового аргумента. Свойства этих функций.................................... 53
4. Измерение углов ...».................- . s................... 55
5. Обсуждение "полученных результатов . . . ...................... 60
Г л а в а II 1
i Вектор. Плоскость. Планиметрия Введение .' ........................................................... 64
| 1. Сравнение различных подходов к понятию вектора..................... 66
1. Вектор как пара чисел; Свободный вектор. Вектор как параллель-1 ’ -иый перенос . ..................... . . ................., .. . 66
2. Вектор как дифференцирование. Вектор как класс касающихся кривых .............................................................. 70
3. Вектор как тензор............................................... 75
5 2. Понятие плоскости . . .'............................................ 77
1. Аффинная плоскость............................................ 77
2. Школьные геометрические понятия в аффинной плоскости ...... 80
3. Плоскость с формой............................................ 84
4. Проективная плоскость......................................... 89
3. Аксиоматический подход к определению плоскости...............• • 94
1. Два типа аксиоматического определения плоскости . . . . . . 94
2. Аксиоматическое теоретике-множествен ное определение плоскости . . 95
3> Аксиоматики плоскости Евклида — Гильберта, Лобачевского и Рима-
на ...................................•................ . . . 98
4. Двумерные римаяовы многообразия как модели аксиоматических определений плоскости...........................................1. . 106
$ 4. Основные группы-школьной планиметрии н их действие в плоскости .' . . 113
1 .Аффинные .отображения.........................................113
2. Основные группы школьной планиметрии, действующие в арифметической плоскости.............................................?- • 118
3. Поднятие группы бнекций а арифметической плоскости в векторную . * и аффинную плоскости........................................ 123
, $ 5. Понятие планиметрии...............................................126
1. Клейновский подход в геометрии: понятие о планиметрии данной группы .........................................................'. 126
2. Евклидова планиметрия — планиметрии ортогональной группы .' . .’ 129
' - - Г л а в а III
Измерение величии. Площадь и мера плоских фигур Введение..................-............................................ 134
$ 1. Примеры измерений и величин.........................................137
$ 2. Положительная скалярная величина . .'...............................140
$ 3. Измерение площади многоугольника.................................. 154-
1. Конструктивное определение площади многоугольника. Свойство конечной аддитивности................................................154
2. Инвариантность функции площади относительно эквиаффнниой группы .......................................................... . . 158
$ 4. Сравнение конструктивного и аксиоматического определений' площади многоугольника. Сравнение различных способов измерения площади многоугольника ...................................................* .' . . 161
1. Аксиоматическое определение площади многоугольника и его сравнение с конструктивным Определением . .......... 161
*2. Определение нлощадн многоугольника с помощью движений . . 165
3. Способы измерения площади многоугольника....................... 167
$ 5. Сравнение конструктивного и аксиоматического определений меры плоской фигуры. Вычисление меры простейших криволинейных фигур . '. . . (78
1. Измерение плоских криволинейных фигур............................178
2. Неизмеримые множества............................................191
3. Аксиоматическое определение меры . ..............................193
4. Сравнение конструктивного и аксиоматического определений меры . . 202
5. Вычисление меры простейших криволинейных фигур.................. 205
6. Сравнение борелевской меры с мерами Жордана и Лебега . . . 20^.
т
4 . ‘ .'I
Г л а в a IV
Алгебраические уравненнп степеней, меньших млн равных 5, н геометрические построевнп
Ц&. Связь между разрешимостью алгебраических уравнений в радикалах н выполнимостью традиционных геометрических построений....................210 •
' 1. Кубические уравнения и квадратичные расширения.................210
2. Построение циркулем и лниейкой . . . .•.........................212
I 3. Проблемы удвоения куба, трисекции угла н построения правильного семиугольника с помощью циркуля и лняейки .... - 218 *
, 4. Геометрические построения, включающие операцию выбора произволь-
ной точки в заданной фигуре ....................................221
5. Геометрические построения с помощью одного циркуля..............224
$f"2. Задача о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Критерий разрешимости. Пример неразрешимого в радикалах алгебраического уравнения 5-й степени.................'....................•............227
I. Постановка задачи о разрешимости алгебраического уравнения в радикалах. . ..................................................... 227 i.
2. Понятие разрешимой группы.......................................232
3. Определение, симметрической и знакопеременной групп.............233
4. Разрешимость симметрической в знакопеременной групп .’..... 236
5. Понятие группы Галуа. Формулировка тедремы Галуа................241
6. Пример алгебраического уравнения, группа Галуа которого совпадает с симметрической группой 5-й степени.............. . . .' . . 247
...... 7. Доказательство необходимого условия в теореме Галуа............254
Яг3. Решение алгебраических уравнений степени, меньшей или равной 4, в радикалах......................................................... . . 261
I. План решения в радикалах алгебраических уравнений с разрешимой-группой Галуа .................................................... 261
2. Разрешимость в радикалах алгебраических уравнений с циклической группой Галуа.....................................................262
3. Разрешимость в радикалах квадратного уравнения................266
4. Разрешимость в радикалах алгебраических уравнений с разрешимой группой • Г алуа...................................................268
5. Разрешимость в радикалах кубического уравиейня................269
ч .. Г л а в а V , .
Логико-математические освоваинп понятно числа
r'ij 1. Понятие натурального ряда ’.................................. . 273
I. Финитный подход к определению натурального ряда................273
2. Теоретико-множественный н аксиоматический подходы к определению натурального .ряда................................................ 275
3. Сравнение определений целых чисел..............................281
$2. Определение рационального числа как линейной функции.................282
, 5'3. Основные подходы к определению вещественных чисел. ....... 287'
I. Определение вещественного числа как фундаментальной последовательности ....................................................... 287
2. Продолжение алгебраических операций с поля на его пополнение. . . 291
3. Определение вещественного числа как сечения....................296
4. Определение вещественного числа как последовательности знаков . . -301 ?$,4-, Основные подходы к определению комплексных чисел ....... 308 $ 5. Роль алгебраической замкнутости, локальной компактности' и упорядоченности средн свойств комплексных н вещественных чисел..................310
$ 6.'Связь полей вещественных и комплексных чисел." Продолжение линейного порядка с поля на его алгебраическое расширение н метрическое пополнение ....................................................... 320
.5
Приложение 1 (к главе I)
1. Группы, изоморфные прямой н окружнрсти....................... 324
2. Длина дуги. Определение функций косинус и синус числового аргумента на основе понятия длины дуги . ,..........................332
Приложение 2 (к главе III)
Доказательство теоремы о моделях системы положительных скалярных' величин.................> ......................................341
. f
Приложение 3 (к главе IV)
Доказательство некоторых вспомогательных алгебраических утвержде- , ний .............................................................. 346
Приложение 4
Сферическая, гиперболическая и эллнвтическая плоскости
$ 1. Точки, прямые и отрезки в сферической, эллиптической н гиперболической плоскостях................................................ 354
$ 2.'Метрики в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях-. 366
§ 3. Группы движений и измерения углов в сферической, эллиптической н гиперболической плоскостях........................................383
ПРЕДИСЛОВИЕ
Задача этой книги — показать место основных понятий Школьной математики в гораздо более широкой системе представлений высшей математику и в этих рамках строго и последовательно изложить понятия школьной (элементарной) математики с тонки Зрения высшей математики (которая отождествляется с содержанием пединститутских курсов алгебры и теории чисел, анализа, геометрии, математической логики и теории алгоритмов).
Хорошо известно, что многие выпускники пединститутов — будущие учителя, испытывают затруднения в своей профессиональной 'области — школьной математике. Это касается умения решать элементарные задачи и, в еще большей/степени, понимания тонких вопросов элементарной математики, умения связывать те обширные математические теории, которые изучаются в течение четырех-пяти лет в пединституте, с конкретными вопросами элементарной математики. Цель пособия — помочь преодолеть две последние из отмеченных трудностей, способствуя тем самым усилению профессиональной направленности в подготовке учителя.
В первых главах рассматриваются наиболее традиционные понятия школьной математики: элементарные функции, угол, измерение углов (глава I); вектор, плоскость, планиметрия (глава II); величина, площадь и мера плоской фигуры (глава III), геометри-' .ческне построения циркулем и линейкой, решение алгебраически^ уравнений низших степеней в радикалах (глава IV).
5 Менее элементарную направленность имеют глава V и приложение 4. Поэтому чуть подробнее коснемся их содержания. В § 1 глады V детально рассматривается построение системы натуральных чисел —основы всех числовых систем. В § 2 этой главы традиционный подход к понятию рационального числа сравнивается с другим .подходом, в рамках которого, рациональное число — функция. В § 3 рассматриваются основные способы перехода от рациональных чисел — дискретного объекта к вещественным и комплексным • числам — непрерывным объектам (в § 5 эта линия изложения продолжается переходом от рациональных чисел к нечисловым р-ади-неским полям). В целом § 3, 4, 5 пятой главы посвящены алгебротопологическим свойствам вещественных чисел; включение этого материала связано с тем, что именно сочетание алгебраических
и топологических свойств создает вещественным и комплексным числам уникальное положение в математике. Приложение 4 содержит подробное изложение элементарных вопросов неевклидовой планиметрии. Ясное понимание евклидовой планиметрии (о которой говорится в главе II), по-видимому, предполагает для контраста знакомство с неевклидовой планиметрией.
Для согласования терминологии и обозначений после предисловия приводится материал, содержащий некоторые общие понятия высшей математики; эти понятия играют в книге подсобную роль — языка,'на котором говорится о школьной математике. Правильно рассматривать их как специализированную часть русского языка, подобную языку врача, химика или биолога. Разумно обращаться к этому материалу лишь в том случае, если какие-то обозначения или термины, употребляемые в книге, оказываются для читателя новыми и их смысл не ясен из контекста.
Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями школьной математики на том предварительном уровне понимания, который выносится из школы и первых трех курсов пединститутов. Также предполагается некоторая опытность читателя в оперировании с основными алгебраическими, топологическими и логическими понятиями из упомянутых математических курсов; однако фактическое сбдержание этих курсов может быть не знакомо (или почти 'не знакомо) читателю. Поэтому изложение в книге ведется постепенно, как правило, с полными определениями и доказательствами; от читателя в основном требуется умение не спеша разбирать временами довольно длинные построения. Параграфы 5, 6 пятой главы предъявляют более высокие требования к читателю, так как изложение в них носит обзорный характер. В книге встречаются довольно абстрактные понятия, такие, как индуцированная топология, топологическое пространство, подгруппа, гомоморфизм, связность, локальная компактность, действие, модуль, однако они употребляются исключительно для случаев Я, R>0, Д С, S', S2. Конечно, для таких простейших случаев эти понятия можно заменить соответствующими частными, внешне- более простыми выражениями. Например, вместо 'локальной .компактности можно говорить о наличии окрестности, являющейся отрезком или дугой, включающей концы. Такая замена вряд ли приведет к упрощению существа дела и в то же время сделает многие формулировки внешне тяжеловесными и специфически привязанными к каждому из отдельных случаев; тем более, что эти понятия рассматриваются в основных математических курсах. Для некоторых категорий читателей такая замена абстрактных терминов соответствующими элементарными выражениями может быть полезным упражнением, относящимся по существу не к математике, а к русскому языку.
Степень детальности в рассмотрении того или иного понятия школьной математики различна н зависит от внимания, которое ему уделяется в основных математических курсах.
Так, понятия элемёнтарной функции, угла и измерения углов
Iix элементарных аспектах известны студенту старших курсов ти на том же уровне, что н выпускнику школы. Поэтому здесь оженне носит систематический характер.
Понятие вектора обычно определяется аксиоматически, как эле-т произвольного векторного пространства. При всей важности ого аксиоматического подхода нужно представлять себе и кон-тные модели аксиоматического определения вектора, в том числе-голькопростейшую модель вектора как направленного отрезка, енно разнообразие этих моделей придает понятию вектора фун-[ентальное значение. Поэтому подробно рассматриваются разные конструктивные подходы к понятию вектора. ’
Понятие геометрической плоскости тщательно изучается в курсе щетрии, поэтому мы касаемся его бегло, только'в плане адекват-ти различных определений плоскостй интуитивному представле-> о ней. Понятие планиметрии с аксиоматической точки зре-также подробно рассматривается в курсе геометрии, и мы аемся его только в обзорном порядке. Однако при всей важности коматического понимания планиметрии существенна и клейнов-я точка зрения на нее. Поэтому подробно рассматривается йновский подход' и, в частности, вычисляются все инварианты Ортогональной группы, которые и образуют с этой точки зрения евклидову планиметрию.
Понятие величины подробно рассматривается в книге, так как в сущности оно отсутствует в основных математических курсах. .Столь же подробно рассматриваются и сравниваются различные ^способы измерения площади многоугольника, ив этой связи напоминается аксиоматическое определение площади многоугольника.
. Мера понимается как продолжение функции площади с множества многоугольников на более широкое множество криволинейных фргур. В то же время мера определяется аксиоматически и эти подхода тщательно сравниваются. Затем на основе'аксиоматического определения меры (без использования интегралов) вычисляются ее значения для круга, сектора, сегмента и т. п. элемен-.тарных плоских фигур. В курсе анализа- рассматривается мера Лебега только на прямой, здесь по существу рассматривается мера ^Лебега на плоскости. Таким образом, в этом вопросе, как и в других, автор стремился обеспечить преемственность излагаемого материала ь цо отношению к основным курсам.
Подробно рассматриваются классические задачи об удвоении объема куба, трисекции угла и построении правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки. При этом доказывается невозможность таких построений.
Л Затем подробно изучается вопрос о разрешимости в радикалах ^Ц-ебраических уравнений степени, меньшей или равной 5. Доказывается теорема Галуа. На ее основе находятся известные формулы для решения уравнений степени, меньшей или равной 4.
'\ "В книге большинство .вопросов рассматривается с точки зре-|йия инвариантов подходящей группы преобразований, т. е. инвариан
тов действия подходящей группы; иными словами, с точки зрения непрерывных гомоморфизмов простейших групп. Можно надеяться, что такая точке зрения придает книге цельный, единообразный характер.
В книге можно найти материал для факультативных занятий в школе. Однако вопросы преподавания математики в школе и вопросы изложения ее в школьных учебниках здесь не рассматриваются. В этом, как и 'в других отношениях, автор старался еле-' довать духу книги Ф. Клейна «Элементарная математика с точки зрения высшей». Книга Ф. Клейна своей конкретной содержательностью мало похожа на ряд современных изложений элементарной математики, в которых на первый план выдвигаются вопросы формально-логического порядка, например вопросы такого типа, как является ли элементарная функция множеством пар или отношением; кажется, что такого рода вопросы маловажны для существа дела.
Автор неоднократно читал лекционный курс, одноименный с названием книги, для слушателей факультета повышения квалификации преподавателей и студентов пятого курса математического факультета. Эти лекции были отпечатаны н после некоторой правки составили рукопись книги; поэтому особенности, терпимые в лекционном изложении, к сожалению, перешли в книгу.
Приложение 4 написано П. В. Семеновым. Автор благодарит его также за большую помощь в подготовке рукописи.
Автор глубоко признателен В. Т. Базылеву, К. И. Дуничеву, Л. Я- 'Куликову, I}. И. Мишину, А. И. Москаленко, Р. С. Черка-' сову, Е. П. Шимбиревой, Е. А. Щеголькову за ценные советы и указания во время работы над курсом и книгой.
Автор посвящает книгу своим детям Василине и Елене.
ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ и символы, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В КНИГЕ*
Знак Tt означает «равно по определению»^ «эквивалентно по определению».
1. Множество. Слова множество, совокупность, семейство, класс употребляются нами как синонимы. Элементы множеств сами являются множествами, элементы элементов множеств также являются множествами и т. д.
Отметим операцию объединения множеств: (J Хч±(х| 3у е Х(х е у)].
Не следует путать знаки е и =.
Когда говорят об объекте или математическом объекте, то обычно имеют а виду какое-то множество.
Основной принцип наивной теории .множеств (только ее мы и будем использовать) состоит в том, что для любого свойства (высказывания, предиката) <р(х) с переменной х существует совокупность всех тех н только тех множеств хо, которые обладают этим свойством, т. е. для которых выполняется (истинно) q>(xo), Эта совокупность множеств записывается в виде (х|ф(х)).
2. Функция. Слова функция, отображение употребляются нами как синонимы. Функция, как правило, обозначается одной буквой, например, f или g и записывается в виде {(•) или f : X-+Y, где X н У некоторые множества. Иногда бывает удобно записывать функцию в виде y=f(x) или даже f(x); в этом случае переменная х пробегает ее область определения, а переменная у — область значений. Если функция обозначена, например f, то ее область определения обозначается 0(f), а область значений — R(f). •<
Запись f: X-*Y имеет одну двусмысленность: как правило, она означает,' что D(f)=X. Однако иногда D(J)czX. Например, часто записывают i-: R-*-R, хотя
1 Подробнее изложение всего ниже следующего материала читатель найдет в учебных пособиях по основным математическим курсам' для пединститутов, например:
L Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел,— М.: Высшая школа, 1979.—559 с.
2. Базылев В. Т., Дуничев К. И., Иваницкая В. П. Геометрия: Учеб, пособие для студентов 1 курса физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов.— М.: Просвещение, 1974.—352 с.
Базылев В. Т., Дуничев К. И. Геометрия:, Учеб, пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тон.— М.: Просвещение, 1975.—368 с.
3. Нечаев В. И. Числовые системы.— М..- Просвещение, 1975.—192 с.
4. Колмогоров А. Н„ Драгалин А. Г. Введение в математическую логику,— М.: Изд-во МГУ, 1982,—112 с,
В' дальнейшем ссылки на этн пособия будут содержать только фамилию автора и страницы. > ч
II
D(— J =A\(0|. Если нужно подчеркнуть, что функция f не обязательно, определена на всем множестве X, т. е. D(J)^X; то пишут ft X'^Y. В этом случае функцию f называют частично определенной. Конечно, всегда определяется соотношение R(f)sY и часто выполняется R(f)czY. Запись ft xt-»~y означает, что функция f переводит
- объект х в объект у, т. е. f(x)=y. Запись fj Х|, где XtSD(f), по определению обозначает сужение функции ft X-*-Y на множество Xi, т. е. (ft Xt)(x)^f(x), где хеХ, н (ЛХ,) t Xi-t-Y.
3. Декартово произведевие и множество всех подмножеств. Структура. Топология. Над множествами часто выполняет две операции: одна из них -- декартово пронзведеине семейства множеств {Ха|, где индекс а пробегает некоторое множество индексов А, а вторая — «булеан».
А именно, дркартовым произведением называется множество ff'zA-»- U XB|VaeA(f(a)<=XB)). аеА <
Оно обозначается П Ла- Если ^=(1, 2|, то П ,Х„ равно декартову произведе-ае/1 абЛ
нню Х1ХХ2 двух множеств X! н Xj. Если А=(1, 2, .... л), то П Ла равно декар-
тову произведению XtXXsX.-ХХЯ ровно п множеств Х|, .... Х„.
Булеаном множества X (множеством всех подмножеств множества X) называется множество (у |у=Х| = [у| Vz(z е y^z е X)}. Оно обозначается ^(Х).
Если X — произвольное множество, то отношением на X называется любое ' подмножество множества Х"ч*ХХ —XX, где п. произвольное натуральное число.
п г
Иногда ^термин «отношение» употребляется в более широком смысле: отношением на X называется произвольное подмножество любого множества Y, которое получается из множества X последовательным применением конечное число раз, начинай- с X, двух операций: декартова произведения и булеана. Например, множество Y может равняться ^(Х), или (^(Х))", или ХХ^(Х), или Х‘х (^(Х"))", где п, m, k произвольные натуральные чиСла.
Структурой (системой) с носителем X называется конечное множество, состоящее нз множества X и какого-то набора операций и отношений как на самом множестве X, так и, может быть, еще на некоторых вспомогательных множествах Ci.... Ck. Последние множества называются константами структуры. Структура
записывается в виде набора множеств (X, ft, .... fn, Pt, , Pm, С,.С»), где
X исходное множество, называемое носителем структуры, ft..f„ — операции на X
' ,(илн на X н вспомогательных множествах Ci, .... С») и Pi, ..., Pm — отношения ' на множествах X, С|...С*. Элементы этого набора обычно удовлетворяют некоторым
условиям -(аксиомам). Уже то обстоятельство, что все множества fi являются операциями, а все множества Р/ — отношениями, означает, что множества (объекты) ft и Pj удовлетворяют'Определенным условиям (аксиомам).
3 курсе алгебры имеют дело с частным случаем понятия структуры — понятием алгебраической системы. В этом курсе приводятся многочйсленные примеры алгебраических систем, которые одновременно являются и примерами структур.
Другим типичным примером структуры является любой набор множеств вида ' <Х, Ж), где Х=^(Х)^ (и в этом смысле Т можНо назвать отношением на-X), для которого выполняются следующие трн аксиомы:
1.2
1) 0, Xel;
2) (Xa, .... Xa, ... eX)s>(UXa)eX (или точнее: ((Xa|=X)=>(yXa)eX);
3) (VeJMfirel.
. Такой набор множеств (X, X) называется топологическим пространством, ^множество X называется топологией этого пространства. Элементы множестна X -Называются открытыми множествами данного топологического пространства (X, X). &уква' ^'употребляется в- книге только для обозначения открытых множеств топо-Йогйческих пространств.
Напрнмер^наборы (X, (0, Х)> н <Х, ^(Х)> являются топологическими про-, ^граиствами. Первое из инх называется антидискретным, а второе — дискретным , ^апологическим пространством. Соответственно топологии (0, X) называется антн-[ьйскретной, а топология ^(Х) — дискретной. Поэтому не дискретная топология в Множестве X — это такая топология X, для которой Х#^(Х). , ,с." Пересечение любого семейства топологий в множестве X является топологией множестве X.
4. База. Непрерывная функция. Базой топологии в множестве X называется такое семейство его подмножеств Т (т. е. для которого выполняется
условие: U^=X,h V^i,^ie^'Vxe(^i('|^2)3^e^'(xe^S^i('|^2). Любая база топологии в множестве X задает топологию в нем, определяемую как семейство вида х^б(иУ|Проверьте, что это семейство множеств действительно является топологией в множестве X. Любое непустое семейство То подмножеств множества X задает топологию в X, определяемую базой следующего вида -
... OKiU'i. .... К«еТо, л>0) (проверьте).
Семейство То называется прёдбазой топологии в множестве X. Одна и та же топология задается, как правило, многими разными базами и предбазамн.
Есдн .в множестве X задано отношение порядка <1,то топология в X, определяемая предбазой топологии, состоящей из всех множеств вида {хеХ|а<х) и {хеХ|\<Ь); где а, Ь—любые фиксированные элементы из X, называется порядковой топологией. Соответствующая этой предбазе база состоит из всех интервалов в X, т. е. всех множеств вида (хе X|а<х< Ь|. В множестве вещественных чисел Я всегда рассматривается интервальная топология. Совпадает ли с • порядковой топологией в R топология в R, определенная базой, состоящей из всех множеств вида (хе=Я|а<х)?
В метрическом пространстве (X, р), где р—метрика К X, всегда рассматривается топология, определяемая базой, состоящей нз всех шаров, т. е. всех мно--жеств. вида ^0> ч±Цх е X|p(a, x)cg), где аеХ и вещественное число £>0.
Функция f:' X-*-Y, где множества X и У имеют соответственно тополбгни X* и Ху, называется непрерывной, если
VtfeXyfT'We^x).
Если X н У метрические пространства и функция f вида [: Х-*У, то f непрерывна (в выше указанном смысле) тогда и только тогда, когда ।
Уд е= X V е >, 036 > 0(рх (а, х) < 6=> р у (f (a), f (х)) < е)
(проверьте). 1
* - Интервальная топология в R совпадает с топологией, определяемой в R обычной метрикой р (х, р)=|=ь|х—у|. • - '
13
Отметим, что'существуют такие топологические пространства ()l, X), для которых топология X не определяется никакой метрикой в X. Такие топологические пространства называются неметризуемыми. В элементарной математике неметрнзу-емые топологический пространства не встречаются. Поэтому можно считать, что все рассматриваемые в книге топологические пространства являются метрическими н топологии в ннх определяются базами, являющимися множествами всех "Шаров; в этом смысле понятие топологического пространства является для нас излишним.
Гомеоморфизмом топологических пространств (X, Х;у ) и (У, Ху) называется любая биекция ft Х**-У, для которой функции f и f~' непрерывны.
Топологическое пространство X называется отделимым (хаусдорфовым), если выполняется- условие:
Vx, yeX(x=£y^30t, ^!еХх(хе^!Дуе^!Д ^1f|^!=0).
Топологическое пространство называется компактным -(компактом), еслншз всякого покрытия его открытыми множествами можно выделить его конечное подпокрытие.
Если ft X++Y непрерывная биекция отделимого топологического пространства X в компакт У, то f гомеоморфизм (докажите).
1>. Индуцирование топологии. Часто -используют следующие три способа опре-. деления (задания) топологии.
Прн первом способе множество X является подмножеством множества У и в У уже фиксирована какая-то топология Ху. Тогда в X по определению рассматривается топология Хуч=ь(^ПХ|^еХу). Она называется топологией, индуцированной множеством У.
Прн втором способе множество X является областью определения какой-то функции f вида ft X-+Y н в множестве У уже фиксирована какая-то топология Ху. Тогда в множестве X по определению рассматривается топология XJp*(f~,(^)|^eXy). Она называется топологией, индуцированной функцией f. Например, если Х = У н f(x)**x, ft X—>У, то топологии в множестве X, индуцированные функцией f н множеством У, совпадают.
Поэтому первый способ определения топологии является частным случаем второго способа. Если в множестве X заданы две топологии Х( и Х2 и XiEX2, то топология Х| называется более слабой (меньшей), чем топология Х2, а топология Х2 называется более сильной (большей), чем топология Х>. Ясно, что в любом множестве- X самой слабой является антнднскретная топология н самой сильной — дискретная топология.
Топология, индуцированная в множество X, с помощью функции f, где ft Х-*У, совпадает со слабейшей'(наименьшей) топологией в X, относительно которой эта функция непрерывна (проверьте).
.Второй способ определения топологии можно обобщить следующим образом. Пусть {fa) (где индекс а пробегает множество Д) — семейство функций нрда fat Х->УО н в каждом из множеств Уа фиксирована какая-то топология X». Тогда в множестве X рассматривается ' топология, определяемая предбазой
А Л^-eXJ. Она называется топологией, индуцированной семейством функций {fa|ae4|.
Топология, индуцируемая в множество X, семейством функций (fal а еА| совпадает со слабейшей (наименьшей) топологией в X, относительно которой все функции непрерывны.
Например, в декартовом произведении Х= П Ха семейства множеств {Ха| • аеЛ
14
к(Й1,и во всех множествах Ха фиксированы какне-то Топологии Ха) всегда рассмат^ [рйвается топология, индуцируемая следующим семейством функций (называемых проекциями): (
? ’ Ра: Х->Ха, Ра(№(а), где feX.
Она называется топологией произведения. Базой топологии произведения яиляется ‘семейство всех множеств вида
КII *«, е * «, А - А *а. е 0 «.).
где{аь а„| какое-то конечное множество индексов из Л и ^а, е2а,,^а<| е!ал н ;Л>0.
*" Например, в плоскости R1 всегда рассматривается топология произведения. •Точка из J?2 отождествляется с комплексным числом а+Ы, следовательно, множества R2 и С также отождествляются. Поэтому в множестве комплексных чисел С также всегда рассматривается топология произведения.
•В подмножествах множеств R и С, как правило, рассматривается топология, индуцируемая соответственно множествами R и С. Поэтому топологии в множествах FartfO, 1), Гяч*(0, 1, 2, .... m—1), N, Z, Q и S (где S —окружность единичного радиуса с центром в точке 0=^^ ) задаются по первому способу определения топологии. Эти топологии в множествах Fi, Fm, N и Z являются дискретными н совпадают с порядковыми топологиями в них. Топология, индуцируемая в Q множеством R, также совпадает с интервальной топологией в Q, но не является дискретной. ч •
В множествах R3 и R" (где п>1) всегда рассматривается топология произведение, а в подмножествах множества Я" — топология, индуцируемая объемлющим множеством Я". Например, в S2 (сфере единичного радиуса в Я3 с центром в точке /0\
0=^0 ) ) всегда рассматривается индуцированная топология.
Третий способ определения топологии в множестве X обычно применяется в том , случае, если' X является областью значений какой-то функции f вида f: У->Х и в множестве У уже фиксирована топология Ху,. Тогда в множестве X определяется топология Ххъ*{0^Х\[~'(0)еХу}- Она называется топологией, индуцированной^ функцией f в ее область значений.
Топология, индуцируемая в множество X с помощью функции f вида f: У->-Х, совпадает с сильнейшей (наибольшей) топологией в X, относительно которой функция f непрерывна (проверьте).
Важным применением третьего способа определения топологии является случай, когда топология определяется в фактор-множестве Х[~, т. е. в множестве X, факторизованном некоторым отношением эквивалентности •*-. А именно, каноническим отображением называется функция <р: Х-*(Х/~), определяемая равенством । где [л] класс эквивалентности, (содержащий элемент х. В множестве Х/~
всегда определяется наибольшая топология, относительно которой каноническое отображение непрерывно. Иными'словами, подмножестао в множества (X/ ~) по определению открыто в нем тогда и только тогда, дргда <р~'(^) открыто в X.
Такая топология встречается, например, при изучении следующего важного фактор-множества. Положим х~у, если (x-y)eZ и х, yeR. Образуем фактормножество T^±R | ~ н индуцируем в 7* топологию из R с помощью канонического
15
отображеиня ф: R-+T. Функция f([x])»fces"i' является гомеоморфизмом топологических пространств Т и S, что существенно используется прн построении тригонометрических функций.
в. Компактные н свпзные топологические пространства. Все обычные топологические пространства и, в частности, пространства,' встречающиеся в элементарной математике, 'отделимы. Поэтому в дальнейшем все топологические пространства 'предполагаются отделимыми.
Любой отрезок [а, ft] в R с топологией, индуцированной множеством R, является компактом. Любой интервал ]а, ft] в R, где — оо<а<й< 4-а>, с топологией, индуцированной множеством R, не йвляется компактом. Из курса анализа известно, что подмножество X^R" с топологией, индуцированной в нем множеством R", является компактом в том и только том случае, если X замкнуто и ограничено. Топологическое пространство (X, X) называется локально компактным, если Vx&X30teX(x^0, ~S— компактно); запись ~S обозначает замыкание множества 0 (Замыканием множества У называется множество всех его точек прикосновения). Конечно, ~0 рассматривается с топологией, индуцируемой множеством X.
Как правило, топологические пространства, встречающиеся в элементарной математике, локально компактны. Например, таковы топологические пространства R, С, S, S2, Z, N.
В любом компактном пространстве X выполняется свойство: нз всякой последовательности (х„): N-*~X можно выбрать сходящуюся подпоследовательность ]хп,): JV->X. Здесь (л*| :/V—н
Следующий абзац используется только в главе V. Прн первом чтении его можно -пропустить. f
Обозначим С([0. 1], R) множество всех непрерывных функций вида f: [О, Определим метрику p(fi, ^>±зир(1Л(х)—fs(x)|x«=[0, 1))- Набор <С([0, 1], Л), р> — метрическое пространство. В любой наперед заданной е-окрестностн нуля этого
метрического пространства содержится последовательность е-
, ” При этом для 1 +л
нее не существует сводящейся подпоследовательности; поэтому пространство С([0, 1], R) не локально компактно. Замечательная теорема Рисса утверждает: пусть в векторном пространстве 3" над полем скаляров R или С определена топология, относительно которой обычные операции над векторами непрерывны, тогда локальная компактность Ж влечет конечномерность SF. Поскольку векторное пространство С([0, 1], R) с покоординатно ' определенными операциями явно' не конечномерно, to по теореме Рисса вновь получаем, что оно не локально компактно.
Топологическое пространство (X, х’) называется связным, если оно обладает свойством:
130i,'0it=X(X*=0l(J0i/\0l(\0t==0).
1
Множество У в топологическом пространстве (X, X) (т. е. УеХ) называется связным, если
13К'01&ЦУ~(0'(} У)0 (^яП У) Л ((У|П У) П (<^П У) = 0))-;
'Последнее условие эквивалентно тому, что У, как топологическое прЪстраиство с топологией, индуцированной в нем множеством X. связно.
Обозначим Я>0 и Я>о соответственно множества всех неотрицательных чисел ,
и всех строго положительных чисел. Аналогичен смысл обозначений Я<0 н
0
Ifi
Множества Л, R>0, R>o> Я<о> R<o> (а> S и S’ связны в соответствующих iлогических пространствах R и R2, а множества [a, b] (J {с, d] и Jo, b[(J]c, d[, где
с, не связны в пространстве R.
к Тело. Модуль. Алгебра. В курсе алгебры определяются понятия группы, ' фр, поля. Определение тела получается из определения поля (см. [1], с. 146), 5иой слова «коммутативное кольцо» на' «кольцо». Обозначим' R+ множество ^вещественных чисел R с операцией сложения, т. е. аддитивную группу поля ветвенных чисел. Обозначим R* множество всех вещественных чисел без нуля (ерацней умножения, т. е. мультипликативную группу поля вещественных чисел, значим R ’множество вещественных чисел, строго больших нуля, с операцией
. ,г>ження — это мультипликативная группа. Обозначим Z+ множество целых чисел ft Зычной операцией сложения.
SАналогично: К+ — обозначение аддитивной группы кольца (или , векторного ^ранства) К. Обозначим К' множество всех обратимых элементов кольца К н ^©•ножество всех ненулевых элементов кольца К,. В этих множествах рассматривается операция умножения индуцированная кольцом К; относительно нее множество Д&вляется группой.
,^'Если в определении векторного пространства (см. [1], с. 245) заменить поле Ц^ляров F на кольцо скаляров F, то получается более широкое понятие модуля
кольцом F. Модуль над полем F — то же самое, что и вёкториое пространство полем F.
-'% Если ЗГ векторное пространство над полем R и а, ЬеЗГ, то обозначим
[а, Ь]ч±(х е ЗГ | ЭХ(0 < 1 < 1 Дх=Х-а-(-(1--Х)-Ь)) (отрезок), ]а, Ь[аа={х е ЗГ I =1Х(0 < X < 1 Дх=Х.а+(1-Х)4)| (интервал), (а, й)те(Х.(й — а) | XeR) (прямая).
гОбовиачнм (а, ft) упорядоченную пару точек а, Ь, ее часто называют вектором. Элементы множества R2 записываются в зависимости от ситуации одним из следующих способов: (х, у) или <х, у), илн( .
Н;/ Понятие линейной алгебры (алгебры) над полем скаляров F определяется в >(1', с. 298). Если в этом определении' заменить поле F на кольцо'скаляров F, то •подучится определение линейной алгебры (алгебры) над кольцом F.
' Условимся записывать матрицу. А=( а" а>2 | в виде (об), где а ( a“Y \O2i.O22/ • \021/
Л)Ь«е^а,Л . Конечно, записи det A, delf0" а‘2^ и I аи а,г I обозначают . \ 022/ , \ 021 022/ ' 02| 022 1
однр и то же — определитель матрицы А.
Отношением порядка называется алгебраическая система вида (X, <J), где множество С является подмножеством множества X2 и для него выполняются условия:
, VxeX((x, х>е<),
Vx, i/, zeX(«x, у) е= < Д (у, х) е= <=>х=у)Д
Д(<х, у), <у. z) е= <=»<х, z).e= <)).
Ив^йи словами, .отношение порядка на X — это двуместный предикат на множе-ств&.Х, обладающий обычными свойствамй рефлексивности, антисимметричности и "транзитивности.
17
8. Изоморфизмы. Вложение. Морфизм. Средн обшематематнческих понятий одним из центральных является понятие изоморфизма. Если даны две структуры (X, ....
fa, Pi, .... Р„) и < У, gi, ge, Qi, .... Q&), то они называются изоморфными в том случае, когда существует бнекцня ф: Х*+У между носителями X и У этих структур, для которой выполняются следующие свойства (пусть для определенности ft: X2->-XHgr.yi-^y, н Pi =^(X)hQi Е^(У)): Vxi,x2, хз(Л(Х|,*2)= xi<>£i (Ф(*0.
=Ф(хз)). w)eQi), где ф(щ)ч±(ф(х)|хеа>|, а также аналогичные
свойства выполняются для соответствующих друг другу функций f<-*+gt и соответствующих друг другу отношений здесь 1—2, .... п и /=2.........т. Сама функция
ф называется изоморфизмом структур (X, ...) н (У, ...). Интуитивно биекция ф отождествляет'элементы х и ф(х), а также у и ф~|(у), где хеХ и уеК.
Если ф: Х-+У инъективная функция и для нее выполнены свойства из предыдущего определения изоморфных структур, то она называется вложением структуры (X,1...) в структуру (У, ...). Наличие вложения ф означает, что структура (X, ...) отождествляется с частью структуры (У, ...); а именно, она отождествляется с частью /?(ф) носителя У второй ^структуры.
Если ф: Х->У произвольная функция, для которой выполнены свойства из определения изоморфных структур, то она называется морфизмом структур (X, ...) и (У, Изоморфизмы, вложения и морфизмы для разных видов (родов) структур широко встречаются в высшей математике. Они имеют соответствующие названия. Некоторые из этих названий приведены в следующей таблице. '
№ Вид (род) структур <Х,.„> н <К...> • Название азоморфнзмв Название вложения Название морфизма
1 Топологические пространства <А.^Х> и <У, ^у> Гомеоморфизм Топологическое вложение Непрерывная функция
2 Метрические пространства <Х. рх(-, •)> и < У, ру(-, •)> Кольца <Х. +х, -х. -х.Ох. Jx^ и +у. —’ Y' Метрический изоморфизм Метрическое вложение Непрерывная функция
3 Кольцевой изоморфизм Кольцевой мономорфизм Кольцевой гомоморфизм
4 г/оля 7тела) (X, +х, — х. 'Х> • Ох• 'х ) и анало- гично (У, ...) Изоморфизм Мономорфизм Гомоморфизм
5’ Векторные пространства, модули <Х, 4-х, ,-х, <ок, О*. К) н аналогично, (У, где К — поле, (тело, кольцо) Линейный изоморфизм Линейное вложение Линейная функция
6 Линейные алгебры (X, 4*х> — х, <щ, Ох. ‘х. Х> и аналогично (У, ...) Алгебраический изоморфизм Алгебраическое вложение Алгебраический гомоморфизм
7 Линейные алгебры с делением <Х, 4-х, -х-“1. х. ~,х. Од, 1*» К> н аналогично <у. •••> Алгебраический изоморфизм Алгебраическое вложение Алгебраический гомоморфизм
8 Группы (X, -х. -1 х, 1х > илн <*. 4-х. —х. 0х> н аналогично <У, ...) Групповой Г рупповое Групповой
изоморфизм вложение гомоморфизм
1 Г1о поводу обозначений и понятий из строк 5—7 этой таблицы см. Куликов Л. Я., с. 246,, 298, 300.
18
Глава!
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. УГОЛ *
ВВЕДЕНИЕ
\ В математическом курсе для студентов пединститутов «Числовые системы» рассматриваются числа н числовые множества. Мы также 'Остановимся на понятиях числа и числового множества в главе V. А. пока будем употреблять эти понятия в том интуитивном смысле, „в каком они используются в школе. В главе I мы будем иметь дело с отображениями одних числовых1' множеств в другие. А именно будем изучать элементарные функции вида f: R-*-R. Начать, конечно, следует с самых простых и в то же время самых важных функций — линейной, показательной, логарифмической, степенной, косинуса', синуса, арккосинуса и арксинуса. Эти функции мы будем называть базисными элементарными функциями.
Первые четыре названия относятся к семействам функций, ко- < торые зависят от одного числового параметра: у—й'Х, у=с?,' у—х?, y==logox, а_ последние четыре — к индивидуальным функциям: y=cosx, y=sinx, y=arccosx, y==arcsinx. 6 этой главе под понятиями «косинус» и «синус», «арккосинус» и «арксинус» удобнее понимать также семейства функций, зависящие от одного числового параметра, а именно семейства вида y==cos-i- и у —
=sin —, y=a-arccosx и y = a«arcsin х. Ясно, что функции из одного такогоасемейства имеют аналогичные между собой свойства.
Элементарные функции определяются на основе базисных элементарных функций путем применения к ним последовательно несколько раз трех операций над функциями: сложения, умножения и композиции функций. Например, элементарными функциями ' являются функции z/== cos(x2), i/==(cosx)2, j/=((log2(cos(x3)))4--|-5slnx)-х372 и т. д. Они получаются из базисных функций соответственно следующими цепочками операций: у = (cos х)°(х2), y=(x2)o(cosx), t/i = (cosx)o(x3), {/2 = (log2x)oi/i, y3 — (5x)o(sin x), yt— =Уг+уз, y=J/4<»(x3'2). ”
Три упомянутые операции над функциями назовем базисными операциями.
Для каждой из -базисных элементарных функций существует много разных способов ее определения. Например, 1пх можно определить как функцию, обратную к е*, и как функцию вида
19
j —, x>Q. В свою очередь е* можно определить как сумму ряда i
Л, —г, и как решение дифференциального уравнения у'—у- с на-ЛЯ*О t
чальным условием y(Q)— 1, и как частный случай показательной функции а* при a=&₽tlimf 1 + -Ц * Часто поступают в обратном '
порядке: а* определяют через е“ и In а с помощью равенства а*^е‘,п °. Степенную функцию х“ с областью определения j?>0 также можно определить с помоТцью ряда х°=1-^а-^х-{-+ хг + S a^a~V-(a~n + 1). (х— iy»; но тогда приходится делать ограничение 0<х<2, —1, 0, 1, ... и для таких «особых»,
значений' х и а определять функцию отдельно. Разумеется, х° можно определить и как e°'njt и т. д.
Аналогичное, если не большее, разнообразие наблюдается и в способах определения косинуса и синуса, арккосинуса и арксинуса.
Естественно было бы попытаться определить базисные элементарные функции единым, универсальным способом-, что позволило бы прояснить их основное содержание н ответить, например, на вопросы: пЬчему эти функции рассматриваются,-совместно, что у них общего и почему именно эти функции играют выдающуюся роль в математике и ее приложениях?
Такой-единый подход возможен в рамках аксиоматического' метода и основан на том фундаментальном наблюдении, что каждая из алгебраических базисных элементарных функций, т. е. линейная, показательная, логарифмическая и степенная функции, является непрерывным гомоморфизмом «всего лишь двух числовых групп и-Я в себя или друг в друга. Это проверяется тривиальным
''вычислением не основе определения непрерывного гомоморфизма. - Соберем эти непрерывные гомоморфизмы соответствующих групп в таблицу.
Таблица 1
R+
/?+ ах а*
К' Iog„x(«a0) xf
I
20
icb в таблице, например, на месте 2,1 обозначает все функ-вида у== logax и функцию у=0. Если для какой-то пары J Gi и (?2 из множества групп R} возможен непрерывный морфизм' вида ft G|-»-Ga, который отличается от указанных блице 1, то он имеет такое же право называться базисной ентарной функцией, как и перечисленные функции а-х, ах, х°. Иными словами, если понимать термин «базисные эле-арные функции» как синоним слов «непрерывные гомоморфиз-то вопрос состоит в том, не существуют ли какие-то Пока не ружейные базисные элементарнее функции (непрерывные го-ффизмы). Ответ таков: не существует других непрерывных морфизмов межДу группами из множества (R+, X], кроме тех, <оторые указаны в таблице Г. Иными словами^ не могут быть Обнаружены (открыты) новые базисные элементарные функции, пр крайней мере если не привлекать групп, отличных от групп R* и R . | Для функций y=cosx н y=sinx не выполняется условие гомоморфности f(x*y)—f (х)ХЦу), какие бы операции нз числа сложения и умножения вещественных чисел мы ни подставили вместо ^знаков >|с и X.
Однако по своим! свойствам при решении задач и т. д. эти две функции встречаются обычно вместе. Поэтому их естественно рассматривать как две половинки одной функции. А именно рассмотрим функцию y==fa(x)^(cosx/a, sinx/a): R-*~C. Поскольку coszx/a-|-.sin2x/a=l, то ft R-»-S, где S — окружность единичного радиуса, S =С. Во множестве S имеется одна естественная групповая операция: умножение точек из S как комплексных чисел. При Этом нейтральным элементом является число 1. а симметричным элементом к числу z—a-^bi является число z=a—bi. Получается группа! Она обозначается также S. Легко проверить, что функция fat R+-*-S — непрерывный гомоморфизм групп Я+ н S. Поэтому функции cosx/a=Pi (f0(x)) и sin х/а=Ръ являются двумя половинками непрерывного гомоморфизма fa. Опять-таки следует спросить: нельзя-ли с помощью новой группы S обнаружить .какие-то новые «элементарные функции»? При этом опять термин' «элементарные функции» понимается как «непрерывные гомоморфизмы групп R+, R’ и S и, кроме того, все те функции, которые получаются из этих гомоморфизмов базисными операциями». В частности, мы спрашиваем: нет ли каких-то непрерывных гомоморфизмов из группы R+ в группу S, отличных от fa(’), где ае/(‘? Ответ: любой непрерывный гомоморфизм вида совпадает
с функцией fa(x) или с функцией fu(x)sl.
Функции вида f0(x) называются экспонентами. Это связано с тем, что по формуле Эйлера выполняется условие:
fa(x) = ёх,а = cos -S-+ i sin -у=f i (x/a).-
21
Д- <•) ft Итак, еслй мы хотим определить косинус функции косинус и синус, то нуж-экспонента но рассмотреть непрерывные гомо-
• синус морфизмы из группы я+ В Груп-' рг{) пу S н затем применить функции Рис 1 Pi(‘) и р2(«) (рис. 1).
Поэтому план изложения в каждом параграфе этой главы примерно таков: сначала аксиоматически определяются базисные элементарные функции, затем из аксиом выводятся их основные свойства; после этого доказывается существование и единственность этих аксиоматически определенных объектов. ' • 1
"Ответим, что такой план аксиоматического изложения материала достаточно традиционен для пединститутскнх курсов алгебры, геометрии и математического анализа.
$ 1. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
1. Аксиоматическое определение линейной функции.
Определение 1. Линейной функцией называется любой непрерывный гомоморфизм группы Я+ в себя, т. е. любая функция / из множества R в себя, обладающая свойствами:
1) f(*+y)=f(x) +t(y) для всех х, y^R;
2) / непрерывна.
Определение Г. Линейной функцией с коэффициентом а, где aeR, называется любая линейная функция, обладающая до-, полнительным свойством: '
3) —
Линейную функцию с коэффициентом а будем обозначать
2. Свойства линейной функции. Всюду ниже f — произвольная линейная функция. Прн перечислении свойств f продолжим нуме-рацию из определений 1 и 1'.
4) /(6)=0. ‘ ,
> По свойству 1 f(0)=i7(P4-0)=f(0)-{-f (0). Поэтому^/(0)=0. 5)
> к—*)-H(x)=f(—*+*)=f(0)=0. Поэтому f(—x)=—/(*}. Следующее свойство f связано с умножением в R. Оно довольно неожиданно, так как в самом определении линейной функции ничего не говорится об операции умножения, а используется только опера-цня сложения:
.6) f(Kx)=kf (х) для всех К, x^R.
|> а) Если K—n^N, то равенство f(nx)=nf(x) легко доказывается индукцией. , '
б) Если Х=— п, nsN, то из п. а и свойства 5 следует, что
22
= —f(nx) = ( — n)f(x).
а) .Если A.==-jp n<=N,to f(x)=/^ n^-i-x\\=nf^-~-x^ , и поэтому^
; Г) Если
f X —reQ,
rTO ' r=i(mez,
v nsQ)
и ,,
;f(rx)==f(m^-l-x^==-^7(x)==rf(x). Наконец, пусть к иррационально. ^Возьмем любую последовательность рациональных чисел {гл}Г-1, сходящуюся к X. Тогда f(Xx)==f((lim rrt)x)=f(lim (г„х))=
ч П-*«» П-*-СО
' =limf(r„x)= lim (r„f(x))== (lim rn)f(x)=Xf(x). n-*oo rt->oo
Заметим, что непрерывность f нужна только в третьем равенстве этой цепочки.
. ' 3. Теорема существования и единственности линейной функции.
> С существованием линейных функций никаких^трудностей не возникает. Действительно, фиксируем число asR и определим функцию f(-) равенством f[x)=a-x для всех чисел x^R. Легко видеть, что таким образом определенная функция /(•) удовлетворяет определению 1' и, следовательно, является линейной функцией.
Единственность же функции /(•), обладающей свойствами 1—3, следует из свойства 6. ч
Действительно, f(x)sf(l-*x)=x-f(l)=a-x, и если g также обла-'--’ дает свойствами 1—3, то g(x)ssa>x, т. е. f(x)=g(x) при всех хеЯ Тем самым доказана следующая теорема. ___
Теорем а‘ 1. Пусть число a&R. Существует 'единственная линейная функция 1а(х) с коэффициентом а. При этом 1а(х)-а-х для всех чисел x^R.
Замечание. В школьной математике линейной называют функцию у = а-х+Ь. В высшей математике ее называют аффиннолинейной или, короче, аффинной функцией. Подробнее этот вопрос обсуждается в главе II. Во всяком случае функция у=а-х+Ь при 6=#0 не удовлетворяет определению 1.
, Упражнение 1. Докажите, что линейная функция f(-) является изоморфизмом тогда и только тогда, когда f(l)=^=0. Укажите в этом случае явный вид обратной к f(-) функции и покажите, что она также линейная. __
23
Рис. 2
Следствие 1. Если топологическая группа G изоморфна группе Я+, то для всякого geG существует единственный непрерывный гомоморфизм вида fg: R+->-G, для которого fe(l)=g. Если g не является нейтральным элементом в G, то ft — изоморфизм. (> Пусть ф: G->-R+ некоторый изоморфизм и
ей. Определим ft: R+->-G равенством что бчень удобно изобразить как «построение» третьей стороны в сле-
дующем треугольнике, «стороны» которого являются непрерывными гомоморфизмами (рис. 2).
Тогда (й как композиция непрерывных гоморфизмов также является непрерывным гомоморфизмом; и если g не нейтрален, то а=ф(£)=/=0. Поэтому 1а, как и ф, изоморфизм. Следовательно, — изоморфизм. Кроме того, /*(1)=Ф~1М1))= = ф-'(а)=(?.
Если существует еще один непрерывный гомоморфизм ht: R-+G со свойством ) = g, то композиции ф°Лв: Я+-»-Я+ есть непрерывный гомоморфизм со свойствами фоЛ4(1)=а, н по теореме 1 фойл=/а, т. е. йе=ф~ 'о/а=[е.
§ 2. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
1. Аксиоматическое определение показательной функции.
Определение 2. Показательной функцией называется любой непрерывный гомоморфизм из группы R+ в группу R, т. е. любая функция /(•) из множества R в множество /?>0, обладающая свойствами:
•) f (x + y)=f(x)f(y) для всех х, y<=R;
2) f (•) непрерывна.
Определение 2х. Показательной функцией с основанием а, где а>0, называется показательная функция, обладающая дополнительным свойством: f(l)=a, т. е. любая функция f из R в R со свойствами:
О f (x + y)=f(x)f(y) для всех х, уc~R;
2) f непрерывна;
3) /(D = a.
Любую показательную функцию с основанием а обозначим ах. Подчеркнем, что пока не выяснено, существует ли хотя бы одна функция.ах, а если таковая существует, то единственная ли она. Положительный ответ будет дан в п. 3 этого параграфа. После этого а* становится обозначением одной определенной функции. Но сначала установим некоторые свойства аксиоматически определенного объекта — функции ах.
Мы не определили показательную функцию с основанием а<0, так как такая функция была бы определена не при всех значениях аргумента х. Например, ( — 2)1/2 не является вещественным числом.
2. Свойства показательной функции. Начнем со свойств 1—3 нз определения 2х и перепишем их, используя для показательной функции введенное обозначение ах:
24
1) ах+у = ах-ач;
2) ах непрерывна;
3) а'=а;
4) а° = 1.
а° = а0+0 = а°-о0, поэтому а°(а°—1) = ^=0. Поскольку любое значение показательной функции по определению положительно, то а°#=0, и следовательно, а° = <м. к ' 5) a ' =
а х-ах—а х+х=а°= 1. Поэтому = (ах)~‘.
6) (а*)х = а*Л для всех b, xgR.
sj> Рассмотрим при фиксированном b «треугольник» из непрерывных гомоморфизмов (рис. 3), где f—показательная функция с основанием а, т. е. Дх)=а*, и g — линейная функция с коэффициентом Ь, т. е. g^-b-x. .
Тогда ft=fog как композиция непрерывных гомоморфизмов является непрерывным гомоморфизмом из R+ в R. т. е. является
показательной функцией с основанием ft(l)=f(g(l))=f(b)=aA.
Поэтому h(x)—(ab)x. С другой стороны, h(x)=f(g(x))=f(bx)—
—а.
7) Функция ах монотонно возрастает, если а>1, и монотонно убывает, если 0<а<1.
t> Разберем случай а> 1. Сначала докажем, что ar> 1 приге<?>0.
Если г =—, neJV, то, предположив, что ап ^1, получим, что о=(а’) ^1, так как произведение п чисел из [0; 1] лежит в [0; 1]. Это противоречит условию а>1. Если r= — (m, neJV), то I
аг — (^ап^ >1. Докажем, что ах>1 при любых х>0. Если хо>О н xn=Trmrn, где rr.eQ>0, то по непрерывности а* получаем, что
ох"= Игл ar’^ 1. п
Если предположить, что ах’ = 1, то аналогично началу этого доказательства можно показать, что arx’=l при всех reQ. Так как множество (r-xolreQ) всюду плотно на R, то непрерывность функции ах влечет, что она тождественно равна единице, что противоречит условию а>1. Следовательно, ах’>1, и теперь легко доказать возрастание ах при а>1: если х>у, то х=уЧ-г, где г>0 и ах=ау+г = ау-аг>ау, так как ах> 1 и ау>0.
Упражнение 2. Докажите, что:
а) множество {r-xol г е Q}, где хо#=О, всюду плотно на R;
25
б) если ах° = 1, где хо#=О, то агх° = \ для всех r^Q;
в) Iх — функция, тождественно равная единице;
г) свойство 7 выполняется и при условии 0<а<1.
8) Показательная функция с основаниями а=?М является изоморфизмом группы /?+ на группу R .
[> Пусть а=^=1, а>0. По определению а1 — гомоморфизм, из /? + в Л' а по свойству 7 ох- инъективное отображение. Поэтому достаточно проверить, что ах сюръективно, т. е., что для любого Уо е/? найдется х0 е/?, такой, что аХо=у0. Рассмотрим случай а> 1. Тогда найдется натуральное число п, такое, что п-а>у0. Действительно, по свойству архимедовости вещественных чисел такое натуральное число п существует. Аналогичным образом выберем
m<=N так, чтобы ат>—. Тогда а-т<уо-
</о
Наконец, рассмотрим непрерывную функцию а* на отрезке [ — пг, п]. По построению тип число уо лежит на отрезке [а~т, а"], и по теореме о промежуточном значении непрерывной функции найдется число xos[ — т, л], такое, что ах<,=у0.
Упражнение 3. Докажите свойство 8 для 0<а< 1.
Свойство 8 и упражнение 2 удобно объединить в отдельное свойство:
9) Показательная функция с основанием а является изоморфизмом групп R + и R тогда и только тогда, когда
3. Теорема существования и единственности показательной функции. Доказательство существования и единственности показательной функции с основанием а>0 существенно сложнее доказательства аналогичной теоремы для линейной функции. Существование и единственность функции а* мы получим как следствие теоремы.
Теорема 2. Топологические группы R + и R изоморфны.
Если бы мы уже доказали существование хотя бы одной показательной функции, например функции ех, то она и была бы изоморфизмом групп R+ и R . Поэтому доказательство теоремы 2 тривиально вытекает из факта существования хотя бы одной показательной функции с основанием а=/=1. Однако пока мы не зиаем, существует ли хотя бы одна показательная функция с основанием а=5& 1, и в этом заключена вся трудность доказательства теоремы 2.
Мы дадим два доказательства этой теоремы, которые будут основаны на существенно разных идеях.
Первое из иих использует сформулированную ниже теорему 3. В ней утверждается, что существуют ровно две связные топологические группы, нейтральные элементы которых имеют окрестности, гомеоморфные какому-нибудь интервалу в R. Очевидно, одна из таких групп — это группа (которая по .теореме 2 изоморфна и в этом смысле не различается с группой R ).
Определим вторую из этих групп, которую будем обозначать буквой Т, а операции в Т — ф и ф.
26
R
Л X R
©
7
T x T
Рис. 4
функцией (каноническим отображением) назы-
<р вида которая
определим операцию сложения
задается формулой
ф следующим образом:
с помощью операции + к операции ф называется
По определению обозначим че-ЕЬ Т множество, которое являет-Е& фактор-множеством множества £ по отношению эквивалентности К х~уч>(х—y)<=Z. К* Следовательно, элементами
множества Т являются произвольные подмножества R вида (..., х—-1, №, х-|-1, х + 2, ...), где х — фиксированное число из R.
№ Канонической гаается функция |(хМх].
j В множестве Г
t Операция ф в фактор-множестве Г определяется ® исходном множестве К (такой переход от операции + [иногда опусканием операции в фактор-множество). Конечно, такое опускание не всегда возможно: может случиться, что результат операции ф изменится, если классах эквивалентности [х] и [у] выбрать какие-то другие представители х' н у' вместо х и у. В данном случае это не так.
Действительно, если х’ е=[х] н у’ е[у], то х' + у' е[х+ у |, так как (х' 4-у') —- (х + у)= _ =(х'—х) +(y' — y)eZ, Поэтому [х'+у'] = [х+у]. То же самое можно проиллюстри-, ровать рисунком (см. рис. 4).
Для нахождения суммы двух элементов из множества Т необходимо сначала , поднять их в R, затем сложить их прообразы в Я и потом полученную сумму опустить' в Г. Аналогично определяется н операция вычисления симметричного элемента в Т относительно операции ф, которая обозначается ф.
Определим во множестве Т топологию, а именно:
(множество 0 открыто в Г) ^(множество ф_|(<?) открыто в /?). Иными словами, У 7-^{^’|ф^'(^)еЗ:я}. Такая топология называется фактор-топологией. Поскольку для отображения ф прообраз всякого открытого в Т множества по определению открыт в R, то каноническое отображение ф непрерывно.
Предложение 1. а) Каноническое отображение ф: R-+T непрерывно и открыто.
б) Фактор-топология Т т содержит по включению всякую топологию в Т, относительно которой ф непрерывно.
в) Структура < Г, 0, ®, 0, г > является топологической группой, которая связна и компактна.
[> а) Первое утверждение доказано выше.
Напомним, что отображение f; Х->У называется открытым, если образ любого открытого в X множества открыт в У, т. е.
(f(tf)e
Упражнение 4. Приведите примеры, показывающие, что
27
из непрерывности функции f(-) не вытекает ее открытость и, наоборот, открытость функции необязательно влечет ее непрерывность.
Пусть 0 — открытое в R множество. Нужно доказать, что f(0) открыто- ₽ Т. Рассмотрим множество 0 + Z = (J (0-\-п).
, n е Z
Множество (^4-п), где « — фиксированное целое числб, открыто в R (почему?). Поэтому и множество 0^0 + 2 открыто в R. Если x^0t и у~х, то у&01 (такое множество 0i называется насыщенным относительно отношения ~). Выполняется ф(^)= =<p(^i): если у—<р(х) и х&0, то х=а + п, где а<=0, <р(а) — = 1а], ф(х) =1а-]-п], = <р(а)= ф(х). Выполняется ф_|(ф(^|)) — если ф(х)=ф(г/), где у&0\, то [х]=[у], х-у-^-п, x<=.0t. По определению топологии в Т получаем, что <f(0i') — tf(0) открыто в Т.
б) Пусть —топология в Т, относительно которой фг R-+T непрерывна и 0 е ^'т. Тогда ф_| (^)s к и по определению т0 <= Тт. Другими словами,
Учитывая это утверждение, фактор-топологию 3^? часто определяют как наибольшую среди всех топологий в Т, относительно которых непрерывно каноническое отображение ф: R-+-T.
в) Проверка того, что алгебра {Т, ®, Q, 0) является коммутативной группой, рекомендуется читателю в виде легкого упражнения. Докажем непрерывность групповых операций в Т. Пусть 0 т. Для нахождения прообраза открытого в Т множества 0 относительно операции ® (см. рис. 4 на с. 27), можно сначала образовать множество ф“'(^)> которое в силу непрерывности ф (или в силу определения топологии в Т) принадлежит У R, и затем образовать-,относительно операции прообраз 0' множества ф~‘(^),
который принадлежит R,, так как — непрерывное отображение вида R2-+R. Затем для полученного прообраза 0' следует найти образ при отображении фХф, т. е. множество (фХф)(^')> где (фХф)(<х, г/>)ч=ь<ф(х), ф(у)>. Это последнее множество открыто в TXT.
Действительно, если 0' открыто в RXR, то по определению топологии произведения 0'= 11(^аХИа), где множества Ua и Va открыты в Я. Тогда (фХф)(2?')= 11(фХф)(£ЛХ Иа), и нужно доказать, что все слагаемые в этом объединении открыты в TXT, т. е. доказать, что (фХф)(6/ХУ) открыто в Т, когда множества U и V открыты в R. Выполняется (фХф)(^Х И) = ф(^)Х ф(Ю-Из этого предложения следует, что множества ф({/) и ф(У) открыты в Г, и тогда по определению топологии произведения множество ф(С/)Хф(Ю открыто в TXT.
Поэтому операция ф непрерывна. Непрерывность операции Q проверяется аналогично.
Множество Т связно, так как является непрерывным образом связного множества R. /
Множество Т компактно, так как является непрерывным обра-- зом компакта [0, 1].
Операции ф и 0 в Т обычно записываются короче: и —.
28
Т е о.р е м a 3. Пусть G — связная топологическая группа, в ко-!юй нейтральный элемент е имеет открытую окрестность зооморфную какому-нибудь интервалу в R. Тогда G изоморфна или Т.
Доказательство теоремы 3 содержится в приложении к этой iBe, а сейчас мы используем ее для доказательства теоремы 2. Первое доказательство теоремы 2. Применим теоре-3 в случае, когда G—R. Нейтральным элементом в этой группе гжит число 1, в качестве 0 е можно взять любой интервал из южительных чисел, содержащий 1. Например, U-; или 16, Л г 1
Тогда гомеоморфизмо.м будет являться тождественное ото-
зжение 6 е, на себя. Так как /?>0 связно, то R изоморфно /?+ « Т. Но R не может быть изоморфно Т, так как Т компактно, ?>0 нет. Следовательно, группы Я+ и R изоморфны и теорема .2 сазана.
Второе доказательство теоремы 2. Сейчас мы не бу-„ з опираться на топологические свойства групп /?+ и R . Вместо ? этого явно укажем вид одного определенного изоморфизма между ‘ этими группами. Определение этого изоморфизма совпадает с из-; вестным из анализа определением функции е* с помощью ряда. ; Иными словами, мы определим функцию е“, которая и будет слу-, жить этим изоморфизмом. Отметим, что такое доказательство имеет ' характер искусственного приема. Непонятно, например, какие свойства и R обеспечивают существование такого ряда. Кроме того, трудно представить себе, что такой ряд можно в самом деле угадать, не знад_его заранее.
°°
Итак, определим функцию ф: /?->/? равенством ф(х)ч=е2 —г-п = 0 п‘
По признаку Даламбера этот ряд сходится в каждой точке к из R. Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности. Поскольку внутри интервала сходимости сумма степенного ряда непрерывна,’ то функция ф(х) является непрерывной на всем множестве R. По теореме о произведении абсолютно сходящихся рядов получаем, что произведение ф(х)-ф(у) является суммой абсолютно сходящегося ряда с общим членом вида
X" , , х"-1 у X-2 у2 , , ,
л! (л-1)! ’ iP (л-2)! 2! ’’” (л-fe)! fcl ’ ~
। 4/" 1 ... 1 г* „п—k .Ji_(х+у)"
+ у1- л! £0Сй х -----~
Таким образом, функция ф является непрерывным гомоморфизмом.
Докажем, что ф(/?)==Я>0..
Если ф(х)==0 для какого-то хе/?, то ф(1)=ф(х-|-(1 —х))= =ф(х)-ф(1—х)==0, но ф(1)>1. Поскольку ф(Я) — связное мно
29
жество и подмножество множества /?, не содержащее 0 н содержащее число ф(1)>>1, то ф(/?)— связное подмножество /?>0.
Поскольку ф(п) = (ф(1))"->4'°°> то ф(/?) не ограничено сверху, и, следовательно, sup ф(/?)= + °о. Поскольку ф( —п)== ==(Ф(1))_'* -» 0, то inf ф(/?)=0. Поэтому ^>{R) — R>0.
Инъективность функции ф вытекает из ее монотонного возрастания, которое очевидно для положительных чисел: если х>у^0, то хл>ул. Для отрицательных чисел монотонность функции ф вытекает из равенства ф( —х) = (ф (х))_|. Если t/<O<x, то неравенство ф(«/) = (ф( — у)Г' <ф(0) доказывает монотонность функции и в этом случае.
Теперь докажем теорему существования и единственности для аксиоматического объекта — функции ах.
Теорема 4. Существует единственная показательная функция с основанием а, а>0, т.е. единственная функция f из R в R>n со свойствами:
1) f (x+y)=f(x) f(y) для всех х, y<=R;
2) f непрерывна;
3) f (I)—а.
t> Пусть ф(-): R+++R — изоморфизм, существование которого утверждается в теореме 2. Если ф(1)==а, то все доказано. Если хр(1) =/=а, то положим /(а)з±ф(ф^'(1)• х). Очевидно, f(l)=a и /(•) — непрерывный гомоморфизм.
§ 3. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
1. Аксиоматическое определение логарифмической функции.
Определение 3. Логарифмической функцией называется любой непрерывный гомоморфизм группы R в группу R+, т.е. любая функция f из множества R>0 в множество R, обладающая свойствами:
1) t(*-y)=f(*) + f(y), 2) ^'непрерывна.
Определение 3'. Логарифмической функцией с основанием а, где а>0, называется логарифмическая функция, обладающая дополнительным свойством:.
3) f(a) = l.
Из свойства 1, т.е. из гомоморфности /(•), аналогично тому, как это делалось в § 1, 2, получим свойство:
4) /(1) = 0.
При а— 1 свойства 4 и 3 противоречат друг другу. Поэтому логарифмическая функция с основанием а~ 1 не существует. Часто ограничение а=/=1 включают в само определение логарифмической функции по основанию а, что, как мы видим, находит свое объяснение с аксиоматической точки зрения.
Логарифмическую функцию с основанием а обозначим logax.
30
|’ак и в предыдущем параграфе, возникают вопросы о существова-ин хотя бы одной такой функции Iog.x и о ее единственности, •ни будут решены позже. Перечислим основные свойства Iog.x предположении, что такая функция* существует и единственна.
2. Свойства логарифмических функций. Теорема существования единственности логарифмической функции. Начнем со свойств
—-.3 н перепишем их, используя введенное обозначение Iog.x.
'' 1) log.(x-y) = logax + logay для всех х, ye/f>0;
2) функция Iog.x непрерывна;
3) log.a=l.
Упражнение 5. Докажите следующие свойства функции Iog.x:
4) log. (0=0;
5) iog.x ' = — Iog.x при x>0;
6) log. ( -0 = log.x —log.y при x, y>0;
7) log.(ax) = x для всех хей.
t> Доказательство проводится по схеме, аналогичной той, которая использовалась в § 1 при доказательстве свойства 6. Иначе говоря, свойство 7 последовательно проверяется в случаях: а) х=яеЛР, б) х= —я, яеЛГ; в) х=^—, яеЛГ; г) x=reQ;
д) х — любое число.
Рассмотрим, например, случай В: n-logaa1/n =
= log. а',п -f-.. ,-f- log. al/n = log. al/n •... al/n = log. (al/n)n = n Рвз n раз
= log.a=l, что доказывает свойство 7 для таких чисел х.
Упражнение 6. Докажите свойство 7 в случаях а, б, г, д, используя в случае д непрерывность Iog.x и приближения любого вещественного числа х рациональными числами.
Свойство 7 имеет важное следствие. Оно говорит о том, что композиция (log.x)°ax равна тождественной функции id: Функция log.(-): сюръективна, так как для любого x^R по
свойству 7 x = log.(ax). Она инъективна: если г/i, у2еЛ>0 и yi^yz, то yi = ax', у2 — ах' и loga(ax,)=xi, log.(aXi)=x2 и Х|=/=х2, так как иначе yi =уг. Поэтому log. х — бнекция. Далее, log. (a log“x)= — lOg.X И log.(x)= log.x, И ПО инъективности функции loga(-) получаем alog,x=x. Итак, мы доказали свойство:
8) (ax)o(log.x) = id.
Следовательно, обе функции Iog.x и ах являются биекциями и этн биекции взаимно обратны. Таким образом, получено свойство:
логарифмическая функция по основанию а является биекцией, которая взаимно обратна с показательной функцией с основанием а.
31
10) Всякая логарифмическая функция по основанию а является изоморфизмом группы /? на группу R+.
• > Функция loga-x обратна к функции а\ а#1. Функция ах — изоморфизм, а любая функция, обратная к изоморфизму, является изоморфизмом.
Следствием свойства 9 и монотонности показательной функции (свойство 7, § 2) является монотонность функции logax:
11) функция logaX монотонно возрастав?, если'а > 1, н монотонно убывает, если 0< д<1.
Наконец, приведем, еще два традиционных свойства.
12) loga (х®) = b logox прн всех b<=R н хей>0.
|> По свойству 8 a'°8lX — х. Далее, ai”l°8“x=(al°8°v)b=xb. Поскольку показательная функция с основанием а=£ 1 инъективна, то-loga(x*)= Ь • lOgflX.
13) logo X — logo С-lOgcX.
> По свойству 8 al0R“x=x.
По свойствам показательной функции с основанием а н свойству 8 получаем а!1°8'с)'|08сх = (а|ов-с)lo8tх =сl08i' =х.
Как и выше, доказательство заканчивается ссылкой на инъективность функции ах при а#1.
Теорема 5. Существует единственная логарифмическая функция с основанием а > 0, т. е. функция из R.a в R со свойствами:
О f(x y)=-f(x)+f(y);
2) f непрерывна;
3) f(a) = l.
|> Существование. Поскольку а>0 и а^1, то функция а* будет изоморфизмом группы R+ на группу R . Тогда изоморфизм, обратный к ней, обладает свойствами 1—3. Поэтому он является логарифмической функцией с основанием а.
Единственность. Если существуют две функции со свойствами 1—3, то каждая из них по свойству 8 будет обратной функцией к одной и той же функции, а именно к показательной функции а*. Поэтому эти две функции совпадают.
§ 4. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
1. Аксиоматическое определение степенной функции.
Определение 4. Степенной функцией называется любой непрерывный гомоморфизм группы R в себя, т. е. любая функция /, отображающая множество /?>0 в себя, обладающая свойствами:
I) f(xy)= f (х) /(у) для всех х, y<^R>0;
2) f непрерывна.
Определение 4'. Степенной функцией с показателем степени а, где число a^R, называется степенная функция, обладающая дополнительным свойством:
3)-/(2)==2°.
32
Любую степенную функцию с показателем 'степени а будем «рбозначать через х°.
Здесь мы несколько отступим от плана изложения, принятого № § 1—3. Сначала мы обсудим альтернативное определение стеленной функции (замечание 2), затем докажем теорему суще-|^твования—И единственности аксиоматического объекта — степен-;ной_ функции. Что же касается свойств степенной функции, то 1они будут перечислены в п. 3 и оставлены в качестве упражнения.
Замечания 1. В свойстве 3 из определения 4' число 2 не играет никакой специальной особой роли. С таким же успехом это свойство можно сформулировать в виде /(137) =(137)“ илн же /(£) ==("7’) • Единственное число, которое бессмысленно написать вместо числа 2, — это число 1. Дело в том, что для числа 1 свойство 3 выглядит так: /(1) = 1°= 1, и точно такое же равенство вытекает из свойства 1.
2. Обозначение 2° (или^-^ ) в свойстве 3 понимается в смысле значения показательной функции с основанием 2 (или -у) в точке а. На этом пути можно по-новому определить функцию х° как функцию, которая каждому положительному числу х ставит в соответствие значение показательной функции с основанием х и аргументом а.
Такое определение степенной функции содержит важный момент: оно иллюстрирует «двойственность» между функциями и их аргументами. Функции и их аргументы в определенном смысле взаимозаменяемы.
Более точно: фиксируем некоторое значение аргумента х и каждой функции /, определенной в точке х, из множества функций F поставим в соответствие значение этой функции в точке х, т. е. число /(х). Тем самым фиксированное число х канонически определяет функцию, заданную на множестве функций F. Другими словами, аргумент х и функция f «поменялись местами». В этом смысле степенная функция х° является функцией, канонически определяемой фиксированным числом а, на множестве F, состоящем из всех показательных функций.
3. Для некоторых значений а степенная функция х° допускает продолжение на более широкую область определения, нежели R>0. Например, если a=neN, то по четности или нечетности (в зависимости от п) х_ продолжается на Л<0. Кроме того, по непрерывности 0" полагают равным 0. Если же а=— п, пеАГ, то х“ продолжается только на R<0. Если а>0, то можно доказать, что Пш х° = 0. Чтобы не нарушалась непрерывность функции х°, а ***0.4"
в этом случае полагают значение 0“ равным 0.
'2 1.1КИЗ 227
31
я'-------------При нечетном tietf функция х|/п до-
Рнс. 5
пускает естественное продолжение на всю числовую прямую, а при четном п е N подобное продолжение невозможно. Такая ситуация связана с инъективностью или неинъективностью функции х", так как ра-
венство (х’)" = х (§ 2, свойство 6) по су-
ществу задает х п как функцию, обратную к ха. Поэтому, скажем.
функцию Xе5 можно считать определенной для всех хей, а
функцию Xя ~ только для неотрицательных х.
Мы хотим изучать функцию х°, ие накладывая условий на значение показателя степени а. Поэтому приходится считать функцию х° определенной на множестве /?>0, в противном случае пришлось бы учитывать специфические особенности числа а.
2. Теорема существования и единственности степенной функции.
Теорема 6 Существует единственная степен' 1 функция с показателем степени а, где ac=R.
> Существование. Рассмотрим треугольник из непрерывных гомоморфизмов (рис. 5), где f(-) переводит число 2 в число 1, а g(') переводит число 1 в число 2°. Такие /(•) и g(-) существуют по теоремам 5 и 4. Тогда й(-) как композиция непрерывных гомоморфизмов является непрерывным гомоморфизмом, переводящим число' 2 в число 2°.
В обозначениях § 2 получаем х°= (2°)log4Jr.
Единственность. Если функции hi и hi обладают свойствами 1—3 из определения 4', a f=log2x, то функции и g2^hiof~( являются двумя различными непрерывными гомоморфизмами из группы /?+ в группу R , которые оба переводят число 1 в число 2°. Это противоречит единственности показательной функции с основанием 2° (теорема 4). *
' 3. Свойства степенных функций.
4) Г‘ = 1;
- 6) (Х1,)',=Х,"';
7) *”=!;
8) функция хи монотонно возрастает при а>9 и монотонно убывает при а<0;
9) функция хи является изоморфизмом группы на себя тогда и только тогда, когда а#=0.
Упражнение 7. Докажите перечисленные выше свойства степенной функции.
3.1
§ 5. ФУНКЦИИ КОСИНУС И СИНУС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА
Можно было бы начать этот параграф с определения, аналогичного определениям из § 1—4. Однако прежде чем сделать это, мы попытаемся объяснить, почему нам придется рассматривать непрерывные гомоморфизмы уже знакомой нам группы /?+ в новую для нас группу S — комплексных чисел, по модулям равных единице.
При любом из многочисленных способов определения косинуса н синуса эти определения похожи. Аналогичны свойства этих функций, аналогичны методы их исследования и аналогично их использование в процессе решения задач.
Так как косинус н синус обычно сопутствуют друг другу, то естественно их рассматривать вместе, т. е. как функцию f (x)=₽fc(cosx, sinx), которая отображает R в R2. Учитывая, что одним из ожидаемых свойств тригонометрических функций является тригонометрическое тождество cos2x-j-sin2x=l, мы приходим к тому, что следует рассматривать непрерывную функцию из R в S.
Поскольку мы хотим, чтобы эта функция была похожа на линейную, показательную, логарифмическую и степенную функции, то нужно потребовать, чтобы она являлась не просто непрерывным отображением, а непрерывным гомоморфизмом, в данном случае из группы /?+ в группу S. Любой такой непрерывный гомоморфизм назовем экспонентой (экспоненциальной функцией).
Непрерывное отображение R в S для наглядности можно изобразить следующим механическим способом. Представим себе прямую R в виде бесконечной натянутой нити, которую произвольным непрерывным образом «наматывают» на обруч — окружность S. В случае произвольного непрерывного отображения R в S слово «наматывать», быть может, не слишком удачно: ведь нить при этом может не покрывать всю окружность или покрывать всю окружность, но при этом произвольным образом и в произвольных местах менять направление намотки и т. п.
Однако если, кроме непрерывности отображения R в S, потребовать его гомоморфность (относительно сложения в R и умножения в S), то это слово очень точно отражает то, что происходит на самом деле. Оказывается (теорема 7), что всякую экспоненту на интуитивном уровне можно описать так: все точки вида ..., —а, 0, а, 2а, ..., где а некоторое фиксированное положительное число, перейдут в точку leS и при этом отрезки .... [ — а, 0], [0, а], [а, 2а], ... равномерно, периодически и в постоянном направлении накладываются на всю окружность S. Теорема 7 показывает, что периодичность возникает «сама собой», как следствие свойств непрерывности и гомоморфностн.
Сначала мы займемся изучением произвольных непрерывных отображений множества R в множество S.
1. Экспоненциальная функция и ее периодичность.
35
Рис, 6
= , так как |ВЕ\ = 1 — у и
Лемма 1. Окружность, из которой удалена какая-то одна фиксированная точка, гомеоморф-на числовой прямой.
|> Доказательство заключается в аналитическом задании хорошо известного отображения — стереографической проекции_р(-, • ), которая точке С(х, у) сопоставляет точку D на оси Ох (рнс. 6).
Из подобия треугольников ВЕС и OBD следует, что | OD | = |£С| = |х|.
После этого нетрудно проверить, что отображение р: S\(B)-+R,
задаваемое формулой р(х, у) =
1-</
и является гомеомор
физмом.
В следующей лемме мы соберем необходимые в дальнейшем сведения о непрерывных функциях, определенных на отрезке.
Лемма 2. Пусть функция g: J-+R непрерывна на отрезке J. Тогда g(J) — отрезок. Если g(•) инъективна, то g(-) монотонна. [> Первая часть леммы является по существу объединением трех известных теорем о функциях, непрерывных на отрезке:
a) g(T) ограничено, так как существует m — infg(/) и М = = sup'g(/);
б) m=g(x0) и M=g(x\) для некоторых точек х0, Xie/;
в) если mCcCAf, то прн некотором хе/ выполняется g(x)=c.
Докажем вторую часть леммы. Если g не монотонна на /, то найдутся такие точки х^хг^хз, что или g(xi)<g(x2) и g(X3)<g(x2), или g(*i)>g(*2) И g(x3)>g(x2).
Для определенности рассмотрим первый случай. Пусть g(xt) ^ё(хз) (рис. 7). Тогда g(x4) — промежуточное значение функции g на отрезке [х2х3], такое, что g(xi) = g(x<) Для некоторой точки х<е[х2Хз], что противоречит инъективности функции g. Следующая лемма показыва-
ет, что прямуюнельзя непрерывно и биективно отобразить на всю окружность.
Лемма 3. Пусть f :JR->S— непрерывное и сюръективное отображение. Тогда найдутся такие числа xi и х2, что f(xt) = = f(X2>-|> Допустим, что f инъективно.
315
Уберем из множества S точку f(0) и рассмотрим функцию вида g=p°f, где р — стереографическая проекция из точки /(0). Тогда функция g инъективно и непрерывно отображает множество #\{0) на множество R. При этом -прямая R разбивается на два непересекающихся множества:
Л + ч^(х| 3/>0(x=g(/))) и А_ =₽t{x| 3t<0(х = g(t))]. Поскольку R связно, то в одном из этих множеств найдется предельная точка другого.
Пусть x0=g(ft)), где /о > 0, и xn->x0, где (хп)еЛ_. Выберем такой отрезок J, состоящий из положительных чисел, что /о — внутренняя точка J. В силу монотонности g на / (лемма 2) х0=£(/0)— внутренняя точка g(J). Поэтому все хп, начиная с некоторого номера, лежат в Л+, что противоречит выбору х„.
Теперь посмотрим, что' дает объединение свойств непрерывности и гомоморфности в случае отображения из группы в - группу S.
Определение 5. Экспоненциальной функцией (короче, экспонентой) называется любой непрерывный гомоморфизм из группы R+ в группу S, т. е. любая функция из множества R в множество S, обладающая свойствами:
1) f (х + у) =f(x) f (у) для всех x,-y^R;
2) f непрерывна.
Отметим, что если в*§ 2—4 выражение f (х) • f (у) было произведением чисел из R>0, то теперь так обозначается и произведение комплексных чисел, равных по модулю единице. Следовательно, хотя название и обозначение операции умножения остались преж
ними, речь идет о двух принципиально разных операциях.
Упражнение 8. Докажите, что: a) S — топологическая группа; б) если f — экспонента, то f(0) = leS, /(—x) = (f(x)) и
f(y}
в) ядро экспоненты f — замкнутая подгруппа в группе R+;
г) если Н — замкнутая подгруппа в группе R+, то возможны только три случая: H=R, Н={0} н /7= (я • а| n eZ] при некотором фиксированном а>0.
Приведите пример, показывающий, что утверждение г неверно,
если Н — незамкнутая подгруппа.
Лемма 4. Образ любой экспоненты — замкнутое подмножество в множестве S.
> Пусть какое-то число zaeS и f(xn) = z„->z0 (см. рис. 8). Требуется доказать, что zo=/(xo) при некотором хоеЯ Если zo=l, то f(O) = zo, и все доказано. Допустим, что Zo =# 1, т. е. Re(zo) < 1.
Как важное следствие равен-
ства f(—x) = (f(x))~ (упражнение 8, б) получаем, что множество f(R) симметрично относительности Ох. Поэтому можно считать, что число го лежит в верхней полуокружности и, следовательно, имеет вид Zo=xo-|-4-\/l-^xT, где — 1^х0<1. Эти ограничения
на число хо влекут неравенства х0<~у < 1.
Рассмотрим комплексное число 2=д/'^^'Н
Легко видеть, что г2=г0. Докажем, что г е/(/?), и тогда (z = f(x))=^-(z2=f(2*x)), что н требуется доказать.
Для этого рассмотрим непрерывную функцию вида g— =pi °f :/?->[—1, 1], где pt — проектирование на ось Ох, т. е. pi(x, у)з±х. Отметим, что g(0) = l.
При достаточно большие п числа xn=g(/„) = pi (г„) будут меньше
числа д/-1^0. так как хп-»х0 и д/ 1 >х0. Поэтому число
Д/ 11 будет промежуточным значением функции g на любом
отрезке с концами в .точках О и tn при достаточно больших п. Из непрерывности g следует, что д/ 0 =g(f) при некотором t из отрезку [О, Д]. Но это означает, что число д/ 1 -Нд/
или число д/ -1~^л'1) равно f(t). По симметричности
множества f(R) получаем, что оба эти числа и, в частности, число z лежат в /(/?)-
Теорема 7. Пусть f:R ’’-«-S — произвольная экспонента, отличная от постоянной. Тогда существует такое число а>0, что f (t±a)—f(t) при всех t^.R и при этом функция f биективно отображает полуинтервал [О, а[ на всю окружность S.
> Обозначим И ядро экспоненты* f, т. е. множество тех t^R+, для которых f(()=l. Возможны три случая (упражнение 8): a) H=R; б) 77 = {0}; в) Н— (n-a|neZ) при некотором фиксированном а>0.
Случай а невозможен, так как f отлична от постоя иной.'Докажем, что н случай б невозможен. Допустим, Н— (0). Это означает, что функция f ннъективна. Действительно, если f(/i)=f(72), то f(7i — /г)=1, т. е. (7|—/г) е/7 и /|=/г. Тогда по лемме 3 функция f ие сюръективна. Выберем какое-то число z0<£f(R) и обозначим через р стереографическую проекцию нз точки г0. Образуем не-йрерыдную инъективную функцию вида g=pof, определенную на множестве R (рис. 9). По лемме 2 эта функция монотонна. При
зк
этом множество g(R) замкнуто (лемма 4), связно (как непрерывный образ связного множества) и ограничено (так как z0 не принадлежит /(/?) вместе с некоторой ее окрестностью). Другими словами, множество g(R) — отрезок/что противоречит непрерывности н монотонности функции g.
Итак, возможен только случай в, когда ff={n-a\n^Z), где число а>0. Так как f(a)=l, то (t)-f (a)=f(t) и f(t — a)=
=f(0* (f(o))-1 т. e. число a — период функции f.
Проверим, что а является главным периодом этой функции: если какое-то число Ь, где 0 < b < а, также является периодом функции f, то Ь^Н. Однако Ь^п-а ни при каком значении п из Z. Получим противоречие. Итак, а — главный период экспоненты f.
Осталось доказать биективность функции f на [0, а[. Отображение f инъективно на [0, а[: если f(/|)=f(<2) при 0<gi|<f2<a, то f(/2—Л) = 1, т. е.' О <(/2—6) <а и (<г—Л)е Н — противоречие.
Докажем, что функция f сюръективно отображает отрезок £ 0, -j-] на одну из четвертей окружности S. Действительно, 1 =f(a) = =^(4’”г) =0(”г)) * т- е- число ^("г) —'.корень уравнения z*—1=0. У этого уравнения имеются всего четыре корня, это числа ±1 и ±i. Однако /^-0¥=1, так как 0<-|-<а, и
—1, иначе 2= 1, что противоречит не-
равенствам 0<-£-<а.-Остались две возможности: /^--0 =/ или х. Рассмотрим случай, когда =i. Образуем непрерывную функцию вида pi(f(/)), определенную на отрезке ^0, Если при некотором значении t из этого отрезка pi(f(0)<0, то и найдется число /ое(О, /), для которого pi(f(<o))=O (рис. 10). Последнее означает, что[(10) = ±i. Неравенство f(l0) = i противоречит инъективности f на отрезке ^0, с[0, а[> а из равенства
w
f(i0)=— i следует, что f(—io) — i и f(a — lo) = i, гдё ^-<a— t0<a, что также противоречит инъективности f на [0, а[. Следовательно, pi(f(0)^O на^О, -j-] . Аналогично доказывается и неотрицательность функции рг(/(0) на отрезке [ 0, -у J . Поэтому значение f(l) лежит в пер-непрерывности значения функции
вой четверти окружности. По
Pi(f(O) ПРИ “Г"] пробегают отрезок [0, 1], и, следовательно, образ f^O, -fj) совпадает с первой четвертью окружности S.
Если теперь 2о=Хо4-й/о^З н х0<0, i/o^O, то z0=i(y0—ix0)— + где Следовательно, функция f
сюръективно отображает отрезок -%-, -% L 4 Z Аналогично рассматриваются отрезки случай, когда [(-%) =—i-
на вторую четверть S.
а Зд 2 ’ 4
. О И
2. Теоремы существования н единственности экспоненциальной функции.
Определение 5'. Экспонентой с основанием а, где число а>0, называется любая экспонента, у которой а — главный период и «отображение происходит в положительном направлении». Иными слонами, экспонентой с основанием а называется любая функция /(•) из множества R в множество S со свойствами:
>) /(* + ») =/(*) 7 («О Для всех х, y<=R;
2) f непрерывна; ।
3) « — главный период /;
о
Экспонента с основанием а>0 обозначается ео(х). Подчеркнем, что теорема 7 позволяет из свойств 1 и 2 вывести существование такого числа а>0, которое является главным периодом экспоненты. Поэтому свойство 3 заключается только в фиксировании некоторого числа о>0 в качестве .главного периода экспоненты.
Что означает фраза «отображение в положительном направлении»? Можно сказать, что она по определению означает наличие свойства 4.
Однако мы попробуем объяснить это менее формально.
40
Обозначим 7" .-(-$) касательную прямую к окружности S в точке zeS. Отложим на прямой Г/S) какой-то вектор p(z) с началом в точке z. Поступим таким образом для каждой точки z из S (рис. 11).
Получится отображение вида р(-): S-»?R2. Его можно интерпретировать как некоторое множество R(p) касательных векторов p(z), параметризованных точками z окружности S. Такое отображение р(-) называется касательным векторным полем Ha'S. Если функция р(-) вида р: непрерывна, то и поле называют непре-
рывным.
Касательное векторное поле называют невырожденным, если для любой точки z выполняется p(z)=#=0. Далее до конца этого пункта предполагается, что все рассматриваемые касательные векторные поля непрерывны и невырождениы.
Для любой точки zeS, очевидно, существуют такие неравные точки z1 и zj, что одни отрезок [zi, z] целиком принадлежит единичному кругу D, а второй отрезок [z, zj целиком ему не принадлежит. Произвольно выберем такие две точки. Внешним вектором в точке z назовем любой вектор вида X-z, z2, где ХеЯ>0; обозначим его p(z). Если точка z2 лежит на нормали к прямой T^S), то внешний' вектор X-z, zj называется внешней нормалью и обозначается n(z). Правой (положительной) ориентацией S называется касательное векторное поле р(-), для которого базис (p(z), p(z)) является правым для всех точек г. Последнее по определению означает, что определитель матрицы вида (q(z)p(z)) положителен для всех точек z (он не может равняться нулю, так как по условию p(z) невырожденно).
Аналогично определяется левая (отрицательная) ориентация S. Такое определение ориентации достаточно для практических подсчетов, однако оно имеет принципиальный недостаток: существует много разных правых и левых ориентаций. Если произвольно выбрана какая-то функция Х(-) внддЦ-): S->-R>0 и р(-): S-*-/?2— правая ориентация, то касательное векторное поле Х(-)-р(-) также правая ориентация. И кроме того, оно использует понятие внешнего вектора q(z), которое также неоднозначно н основано на том, что S — определенная часть Я2.
Более глубокая форма того же определения выглядит следующим образом.
Касательные векторные поля р/-) и р/-) называются одинаково направленными (эквивалентными), если для каждой точки zeS векторы р/z) и pjz) одинаково направлены. Иными словами, если существует такое отображение Х(-): S-*R>0, то pi(z)=X(z)-ps(z) для всех точек zeS.
Оказывается, если pi(-) н р/-)— непрерывные и невырожденные касательные векторные поля, то возможны только два случая:
а) р,(-)н р/-) одинаково направлены (эквивалентны-);
б) pi(-) и р/-) противоположно направлены, т. е. р/-) и —р/-) одинаково направлены (эквивалентны).
41
Итак, ориентацией окружности S называют любой из двух классов эквивалентности в множестве всех непрерывных невырожденных касательных векторных полей относительно указанного выше отношения эквивалентности. Правой (положительной) ориентацией S называют тот из этих двух классов эквивалентности, в который входит правое векторное поле р+(-), т.е. такое, что базис <n(z), p+(z)) правый для всех точек zeS. Правая ориентация как класс эквивалентности однозначно определяется любым своим представителем, т. е. правой ориентацией как отдельным касательным векторным полем, у которого все базисы р(г)> правые. И наоборот, такое отдельное векторное поле однозначно определяет класс эквивалентности в множестве векторных полей, т. е. правую ориентацию. Поэтому два приведенных определения правой (и левой) ориентации по существу,не отличаются друг о? друга.
В приложении к этой главе г. 326—340 доказывается, что свойство 4 в определении 5' эквивалентно тому, что отображение из множества R в множество S, осуществляемое экспонентой /, таково, что касательное векторное поле р вида p(f(x))^f'(x) является правой ориентацией окружности S. Здесь f'(x)=r*(<p'(x), ф'(х)), где f(x)=<p(x)+n|>(x), или, иными словами, 4>(x)q±Ref(x) н ф(х)^Jmf(x). Вектор f'(x) по определению откладывается от точки f(x)=(<p(x), ф(х)). Следовательно, он лежит на прямой 7}W(S). Поэтому отображение р(-) действительно является касательным векторным полем на S. Это свойство касательного векторного поля р(-) и имеют в виду, когда говорят: «Отображение f(-) происходит в положительном направлении» (рис. 12).
Теоремы существования и единственности для экспоненциальной функции сформулируем и докажем в два этапа, первый из которых — единственность такой функции.
Теорема 8. Если [() и g( ) — любые экспоненты с основанием. а>0, го они совпадают.
> Как и во второй части доказательства теоремы 7, достаточно . Допустим, Рассмотрим новую функцию h:R+-+S, где
проверить совпадение функций f и g на отрезке [о, ~
это не так. 1 , ____
Легко показать, что h — экспонента. Поскольку h не
постоянная экспонента, то по теореме 7 функция й(-У имеет какой-то
главный период Ь>0. При этом -^-=п-Ь при некотором neJV, так как =t и = и, следовательно, у—
период функции h. Опять же по теореме 7 получаем й[0, Ь] = ==Л[0, -~-j =S. Число й(х) при хер, является отношением комплексных чисел из первой четверти окружности (по доказательству теоремы 7). Поэтому число Л(х) не может лежать ни во второй, ни в третьей четверти, что противоречит равенству й^О, =S.
42
я'------------1-°---------
Г
5 4—----------—-------------7=/? +/Z+
Рис. 13
Упражнение 9. Докажите, что:
а) если fug-, экспоненты, то и функция — экспонента;
б) если -7Ф77-= а + Pi; где a, b, с, d>0, To аС^О.
С “f- ul
Теорема 9. Для любого числа а;>0 существует экспонента с основанием а.
Внимательно рассмотрим следующую схему, составленную из непрерывных гомоморфизмов (рис. 13).
Здесь 1а — линейная функция с коэффициентом а, т. е. 1а(х)=
= а-х и /<Г1 (х) =х, ф— каноническое отображение множества R в фактор-множество Т, а функция f+ (-) определяется следующим образом.
Поскольку S — связная топологическая группа, нейтральный элемент которой имеет окрестность, гомеоморфную открытому интервалу (докажите!), то по теореме 3 группы S и Т изоморфны.
Пусть f:T-+S — один нз таких изоморфизмов. Рассмотрим относительно f образ элемента -J еТ, т. е. образ класса эквивалентности, содержащего представитель
Поэтому число — корень уравнения z*—1=0, и, следовательно, ^{il; ±0- Однако случай /([у])^1 невозможен, так как^([0])=1 и функция /() инъективиа. Случай — = —1 также невозможен, так как тогда =(^([-?"])) ’ чт0
снова противоречит инъективности функции f(-). Следовательно, возможны только два случая: /([-£-]) =i и ^([т]) ~~~11
Если /([-7]) = t> т0 положим f+ (• )=**/(•)• Если
43-
то положим f+(>)4± — f(.). Итак, функции, соответствующие на рисунке 13 сплошном стрелкам, определены. Функции, соответ-ч ствующие на этом рисунке пунктирным стрелкам определяются по сплошным стрелкам! Положим ea^f+ «фо/Г1 Функция еа — непрерывный гомоморфизм, так как она является композицией непрерывных гомоморфизмов. Найдем Н — ядро функции еа(-). При изоморфизме f+(-) в число 1 перейдет элемент [0]еТ, в который при отображении <р перейдут все целые числа, т. е. все г. В целые числа при отображении /Г'(’) перейдет множество {n-a|neZ). Другими словами, H = {n-a|geZ}, и поэтому верно свойство 3.
Наконец, число относительно функции перейдет в число и число относительно ф(-) перейдет в класс эквивалентности [, а класс по построению функции f+(-) перейдет в-число I.
Поэтому =i, что доказывает свойство 4 для функции efl(-).
Замечания. 1. Можно дать «механическое» описание е0(>): при отображении /Г‘(’) полуинтервалы ..., [—а, 0[; [0, а[; [а, 2а[, ... сжимаются соответственно в полуинтервалы ...; [—1, 0[; [0, 1[; [1, 2[; ... . При отображении ф(-) эти полуинтервалы отождествляются с одним и тем же полуинтервалом1 [0, 1[, который затем при изоморфизме f+(-) «наматывается» биективно в положительном направлении на окружность S.
2. Наиболее употребительны экспоненты с основаниями 1 и 2л. Первая из них обозначается (х), а вторая е2п(х).
Выделение экспоненты ei(-) происходит потому, что при а=1 функции 1а н la1 совпадают с тождественной функцией на R, и, следовательно, et =f+o<p; поскольку ea^f+ , то получаем ео(х) = е,(-^).
Выделение экспоненты е2д(-) происходит по более сложным, отчасти историческим причинам — это экспонента с наиболее привычным, «тригонометрическим» главным периодом 2л.
3. Как и в случае показательной функции (см. второе доказательство теоремы в § 2), можно доказать существование функции еа(-), используя вместо теоремы 3 ряды определенного вида:
' <*)
Это определение выглядит более привычно для функции в|(-):
________, «1
1 Здесь ‘Полуинтервал [0, 1[ отождествляется с Т по канонической бнекцин <р:|0, l[~Т. .
44
Можно использовать ряд только для определения функции в|(-) и тогда функцию еа(-) определить как ei(~) •
Итак, функция еа(х) определена нами двумя способами: во-первых, аксиоматически в определении 5' и, во-вторых, явной конструкцией (конструктивно) с помощью вышеуказанного ряда. Возникает вопрос: эквивалентны ли эти определения, т. е. задают ли они одну и ту же функцию? Ответ положителен.
Чтобы в этом убедиться, нужно только проверить, что сумма ряда 2 (2л^-( -Ц удовлетворяет всем четырем аксиомам из л~0 п‘ X в /
определения 5'. Это делается прямыми вычислениями, аналогичными тем, которые составляют второе доказательство теоремы 2. Этим четырем аксиомам удовлетворяет только одна функция (по теореме 4), которая и была нами обозначена ₽0(*)- Поэтому еа(-) совпадает с суммой этого ряда. Тем самым равенство (>|с) можно рассматривать не как определение его левой части с помощью правой части, а как утверждение о совпадении его левой части (аксиоматически введенной в определении 5') с его правой частью (понимаемой как сумма конкретного ряда).
Сумму ряда 2 — по традиции обозначают Таким образом,
1 п = 0 п!.
мы приходим к важным равенствам:
еа(х)==е ° , Ci(x)=e2lUx, ₽2Я(х)=е/х.
3. Функции косинус и синус числового аргумента: аксиоматические определения и свойства. =- *
Определение 6. Косинусом и синусом называются функции, определенные следующим^ равенствами:
(«2л(х)) = />| (^г), sin (ж)) = Р; (^),
где Р> и Р> — обычные функции из С в /?, определенные равенствами Р|(х-Нр) = ж, Pi(x+ty)=^- I
Это определение использует одну конкретную экспоненту е2л(х), выбранную средн всех возможных экспонент еа(х). Иными словами, оно использует одно конкретнее число 2л, выбранное среди всех чисел а>0. В качестве основания экспоненты число 2л ничем не лучше любого другого числа а>0. По крайней мере в элементарной математике при решении задач и в -теоретических вопросах с тем же успехом вместо cosx и sinx можно рассматривать следующие функции: /
cosaX4^Pi(£?a(x))=P| (e“ ), sino£=₽tP2(eo(x)) = P2(e° \
Однако, следуя исторической традиции, обычно рассматривают именно функции cos2nx=cosx и sin2nx=sinx.
Как определить число 2л? Первый способ определения заключается в том, что сначала дается определение длины окружности S, затем доказывается, что эта длина существуем, и число 2л определяется как длина окружности S. Если начинать разговор о длине окружности, то неестественно отрывать его от общего понятия длины кривой на плоскости и, например, от понятия длины дуги * окружности, которое в свою очередь требует определения понятия дуги. Этот материал вместе с определением тригонометрических функций и меры угла на основе понятия длины дуги, (фактически на основе понятия интеграла) мы поместим в приложении 1 к этой главе в конце книги.
Другой способ определения числа 2л аксиоматический: числом 2л называется такое число а>0, для которого выполняется соотношение ,
Конечно, при таком аксиоматическом определении числа 2л вознйкает вопрос о его существовании и единственности. Если
/ ,2л
I — X воспользоваться равенством ₽0(х)=еа , то по правилу Лопиталя предел в равенстве (^с) равен
/2-ж 2л.
(е а ~1)'1 \ а ) I =_Н_
- (х)' I о ] I о 1 •
Приравняв это выражение i, получим:
— i—i, а=2л. а
Однако это рассуждение опирается на замечание 2 к теореме 9, которое уже использует число 2л. Строгое доказательство*существования и единственности числа, определяемого равенством (*), довольно сложно.
Свойства тригонометрических функций cosx и sinx непосредственно следуют из определения экспоненты е2я(-) с основанием 2л и из свойств операции произведения комплексных чисел. Например, основное тригонометрическое тождество cos2x-|-sin2x=l является'просто следствием того, что значения функции ₽(•) лежат на единичной окружности 3. Из гомоморфности экспоненты
46
получаем егп(х-|--0 =₽2n(x)-e2n(-0 = (cosx4-isinx)i=—sinx-|--Н cos x=cos(x-|-/sin(x-{--70 , откуда вытекают формулы приведения для аргументов х и х-{--2-. Гомоморфность экспоненты в2Я(-) в точности эквивалентна формулам сложения, т. е. свойству б из упражнения 6.
Упражнение 10. Докажите, основываясь на аксиоматическом определении-функций cosx и sinXj следующие их свойства:
a) cos(—х) = cosx, sin(—х)=—sinx;
б) cos(xixz)=cosх 1-COSX2—sinх(-sinxz;
sin (X|-|-X2) = sin X| • COS X2-BCOS X| • sin X2;
в) функции cosx и sinx непрерывны и имеют главные периоды ,2л.
Вычислите cosx и sinx при х—0, л, 2л.
Вычислите cosx и sinx при х — ± ±-£-, ±-т-.
6 о 4
Найдите для функций cosx и sinx промежутки, на которых они имеют постоянный знак.
Докажите формулу cosxi —cosx2= —2sin • sin — и
используйте ее при доказательстве строгого убывания функции cosx на отрезке [0, л]. Объясните возможность определения функции arccosx как функции, обратной к cosx на отрезке [0, л], и зависимость этого определения от выбора отрезка, на котором рассматривается COSX.
Установите участки монотонности для sin х и определите arcsin х ак функцию, обратную к sinx.
Докажите формулы приведения для аргументов х и х-|-я,
> U Х±у:
Докажите, что уравнение zn=z0=cos х-|-4 sinx имеет ровно п корней, лежащих на S, которые получаются при подстановке чисел k—Q, 1.... п — 1 в равенство
п п
Докажите, что cos^-^ =Р|(₽гяо(х)) й sin(-^ =Р2(е2ш»(х)). Это дает интерпретацию числа а, так как период функций cos^-^ и sinf-^-J равен 2ла.
47
§ 6. УГОЛ. ФУНКЦИИ КОСИНУС И СИНУС УГЛОВОГО АРГУМЕНТА. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
1. Введение. В предыдущем параграфе были определены и изучены тригонометрические функции числового аргумента, причем это было сделано, с одной стороны, достаточно геометрично, а с другой стороны, без всякого использования углов на плоскости.
Однако на практике тригонометрические функции углов рассматриваются столь же часто, как и тригонометрические функции чисел.
Для построения тригонометрических функций углов необходимо:
а) определить, что такое угол;
б) уметь переходить от углов к комплексным числам — элементам S.
Второе необходимо потому, что косинус и синус угла а по традиции определяются как первая и вторая координаты той точки z из S, которая однозначно соответствует исходному углу а.
Кроме этих вопросов, в данном параграфе рассматривается соответствие между углами и вещественными числами, которые измеряют эти углы, и на этом пути формируется еще одно определение тригонометрических функций числа.
Прежде чем перейти к реализации этой программы, нужно' подчеркнуть, что понятие угла предполагает уже известным понятие плоскости. Это видно хотя бы из выражения «угол а в плоскости Р», которое употребляют иногда вместо слов «угол а». Поэтому возникает вопрос, в какой плоскости мы собираемся определять и рассматривать углы. Интуитивное представление о плоскости формируется у ребенка очень рано,, едва ли не раньше, чем интуитивное представление о числе. Однако (и это далеко не общеизвестно!) в математике изучается несколько неэквивалентных (в строго математическом смысле) определений плоскости, каждое из которых только в большей или меньшей степени соответствует интуитивному представлению о плоскости.
Перечислим основные подходы к введению понятия плоскости (которые будут подробнее рассматриваться в § 2 главы II):
1) арифметическая плоскость, т.е. декартово - произведение множества вещественных чисел R на себя, такая плоскость обозначается R2-,
2) векторная плоскость, т. е. произвольное двумерное векторное пространство над полем /?;
3) аффинная плоскость;
4) проективная плоскость;
5) аксиоматически определенная плоскость (по Евклиду — Гильберту или в другой аксиоматике).
В рамках каждого из этих подходов можно определить понятие угла в данной плоскости. В этом параграфе мы рассмотрим простейший вид углов — углы в -арифметической плоскости R2. Иными сло-
48
вами, в этом параграфе под словом «плос-кость» всюду понимается арифметическая плоскость, т. е. множество R2. - д _______________
Напомним, что лучом (с началом-в точке а
Оч±(0, 0) называется любое множество точек рис i4
вида | X е R >0}, где (х, у) — какая-то фиксированная точка в/?2, не равная точке О.
Точка в R2 с числовыми координатами х и у записывается в равной
мере( J или (х, у).
2. Определение угла в арифметической плоскости.
Определение 7. Обозначим X множество всех лучей в /?2 с началом в точке О. В множестве № определим отношение эквивалентности: (а, Ь) ~ (г,. S (c = z-a Д d—z-b). Углом
называется любой класс эквивалентности в множестве X2 по этому отношению эквивалентности. Множествб всех углов, т. е.' фактормножество X2, обозначим Ап (от латинского single — угол). Угол, содержащий пару лучей (а, Ь), обозначим |(а, Ь>|.
Сравним это определение угла с более распространенным элементарным определением, когда углом называют (упорядоченную) пару лучей, выходящих нз одной точки (рис. 14).
В определении 7 (первом определении угла) в качестве точки О для всех углов берется одна и та же-точка О. Однако это различие не существенно: в случае второго определения угол аОЬ рассматривают «с точностью до параллельного переноса», т. е. Z. аОЬ и Z. а'О'Ь' считают равными, если существует такое £ из R2. что О=О'-|-£, а=а'-{-£, b = Поэтому всегда можно перейти к «равному» углу с вершиной в точке О. Следовательно, вершину угла можно не указывать и Z_ab в смысле второго определения однозначно задает угол [(ай)] в смысле первого определения.
Почему угол в первом смысле — это класс пар лучей, а угол во втором смысле — это одна пара таких лучей? Дело в том, что при втором определении всегда добавляют: углы ХаЬ и /Led по определению «равны», если существует поворот А (геометрическое преобразование А плоскости R2 определенного вида), для которого Л(с) = а и A(d)=b. Геометрические преобразования, которые называют поворотами, как раз совпадают с умножением на фиксированное комплексное число z из S (см. ниже изложение мелким шрифтом). Поэтому такое «равенство» углов на самом деле задает отношение эквивалентности в множестве пар лучей, совпадающее с тем, которое указано в определении 7. Итак, угол в смысле второго определения, рассматриваемый с точностью до этого «равенства» (отношения эквивалентности), соответствует классу всех пар лучей, эквивалентных данной паре лучей, т. е. соответствует углу в смысле первого определения. Это показывает, что определение 7 является точной формулировкой обычного понятия угла.
49
Прежде чем изучать определенное Нами понятие угла, рассмотрим понятие поворота в арифметической плоскости и покажем, что повороты в R2 — это биейцин (преобразования) вида /: Я2-»-/?2, которые определяются формулой f(u)**z-u, где иеЛ’н z — фиксированное число из S.
Напомним, что скалярным пронзведеннем В R'2 называется отображение вида
(-, ): R2XR2-*-R, определяемой равенством Длиной
вектора (точки) из R'2 с координатами хну называется число V(£• £) =
= •>/ х2 + . Множество всех матриц размера 2X2 из вещественных чисел обозна-
чим Мз- Каждая матрица А =(011 а'2^ определяет функцию gi-M-S, где \ Л21 022/
A-ETfcf 0цх-|-Д|2у\ Множество Мз относительно обычных операций сложения и \ O2|X + O22l//
умножения матриц является кольцом, но не телом и не полем. Обозначим GLt множество всех матриц с определителем, не равным нулю, т. е. GLi^[A еМг | det А#=0|. Это множество относительно обычной операции умножения матриц является группой, в которой симметричным элементом для А является элемент А~’ н нейтраль-
ным элементом является матрица Матрица А называется ортогональной,
если выполняется условие А'=А~1, где А1 — транспонированная матрица.
Упражнение 11. Докажите, что:
а) условие А‘=А~' эквивалентно сохранению скалярного произведения, т.е. условию Vg, neS’((S, г|)=(Л|, Лц)), и эквивалентно условию: столбцы матриц А образуют ортонормированную систему векторов. Последнее означает:
//ац\ / а|Д\ ( 1, если \\ ан) ’ \ а21)) ( 0, если <=#/:
- б) определитель всякой ортогональной матрицы равен числам +/ или —1.
Обозначим 0} множество всех ортогональных матриц. Относительно обычной операции умножения матриц множество 02 является группой.
Нам будут нужны ортогональные матрицы с положительным определителем. Множество' таких матриц обозначим S02, т.е; 50гч=ЧЛ е 02| deL4 > 0| =
= {Л^0а1<1еЫ = + Ч-
Лемма 5. Матрица А=\ а" 0,2) eS02 тогда и только тогда, когда для не-\ ац Озз/
которого числа t<^R выполняются условия an=a22=cost и а^= — а5| = — sin t. > Обозначим eiTfc^ и . Так как матрица Л ортогональна, то Лц -|-П21 =
=(Леь Лв|)=(в|, в|) = 1. Поэтому точка (ап, Лг,) лежит на единичной окружности S. Так как экспонента е2л(х)=е‘' является отображением Я+ на S (теорема 7), то для некоторого числа t&R выполняется an=cost it a2i = sin/.
Из равенств (Ле2, Аег)=а2зА-азг= 1 и (Лец Ле2)=аиЯ|г-|-а21а22=0 получаем / ац оигХ / ац аг’А __ / 1 0\ \ аз! агз) \ Д|2 Я33) \0 1/
Поэтому произведение Л на транспортированную матрицу А' равно единичной матрице. Прн умножении перемножаются и их определители det(Л')=бе1 А. По условию det Л>0/отсюда •
det Л =лц -Лаг—Л2| - Л|2= 1.
50
Поэтому для неизвестных а13 н а33 имеем два линёйных уравнения:
«22 cos t—Д|2 sin Z = 1, Д22 sin /+ai2cos Z=0.
Решая эту систему, получаем, что O23=cos < = ац, ац=—sint=—агь Тот факт, , /cosZ —sinZ\
что любая мвтрнца виде Z sjn * Л принадлежит 302, проверяется прямым вычислением.
Следствие. Матрица А принадлежит S02 тогда и только тогда, когда ее столбцы образуют ортонормированную систему векторов и ее определитель равен 1. _
Упражнение 12. а) Проверьте, что GL3 и О3 —группы и О3—подгруппа GL3.
б) Докажите, что SO3— коммутативная группа а отображение f:SO3->-S, < cost—sin Z\ . , . . . .
sin Z • cos t) ’*cos sln является изоморфизмом этих групп.
Топология в З, конечно, индуцируется топологией в R2, т. е.
Топологию в SO3 определим с помощью биекции из упражнения 12, б, а именно: е • При таком определении топологии в SO3 биекция )(_•), очевидно, является гомеоморфизмом. И следовательно, топологические группы SO3 и S изоморфны.
Может возникнуть вопрос, нет ли другого определения топологии в SO3, которое не было бы связано с окружностью S. Действительно, множество М3 канонически биективно с Я4 с помощью биекции g(-); [ 0,1 a,2J *►(«!!, 012, вгь а33).
\ а3\ а33/
Поэтому топологию в М3 можно индуцировать н из Я4, а именно:
я'-
Поскольку в М2 имеется топология, то ее можно индуцировать и в SO3 как часть Мг, а именно: ^'s0)^{^nS02l^e^"A)1). Итак, в SO2 определено две топологии: одна — индуцированная топологией в S, другая — индуцированная топологией в Я4.
Упражнение 13. Докажите, что эти две топологии в SO3 совпадают.
Теперь определим операцию сложения углов.
Определение 8. Пусть даны два угла |(a, ft}] и |<с, d)|. Ясно, что луч с (как и любой луч) пересекает окружность S ровно в одной какой-то точке л (рис. 15) и луч &
пересекает S в какой-то точке z. Число принадлежит S, и поэтому пара лучей ~ У эквивалентна паре (с, d),
т- е,[( "7‘с* V’d )] =' При
этом
Рис. 16
— с — Ь. Положим |(o, b) 14-1 < c,
Геометрический смысл этого определения очевиден: для сложейия углов нужно первую сторону второго угла повернуть до совпадения со второй стороной первого угла и затем образовать объединение полученных углов.
У п.р а ж н е н н е 14. Докажите, что:
а) это определение не изменится, если вместо преобразования луча с в луч b будет преобразован луч b в луч с;
б) множество всех углов Ап относительно операции 4- является коммутативной группой, в которой нейтральным элементом является угол [ ( а, а } ] и симметричным элементом для угла [ < а, b } ] — угол [<Ь, а)].
в) Сформулируйте эквивалентное определение операции сложения с помощью поворотов, т. е. используя матрицы из SO2 вместо комплексных чисел из S.
Определим теперь отображение Л(>) вида A; An-+S. Для этого отметим, что в каждом угле а = [<а, 6)] содержится единственная пара лучей вида с)- Назовем ее каноническим пред- „ ставнтелем угла а. Вторая сторона с каноническЪго представителя (R>0, угла пересекает S в единственной точке, которая по определению и является значением отображения А(-) на аргументе а (см. рис. 16).
Ясно, что отображение A(-):An->S — биекция.
Й множестве Ап определим топологию, индуцированную топологией в S. А именно: 0 е Лп (А (0) е s). Иными словами, множество 0 = Ап называется открытым, если подмножество А(0) множества S открыто в S.
Таким образом, группы SOt и S можно не различать. Элементы группы SOi называются поворотом плоскости. Итак, поворотА как функции вида £н>А •£ совпадает с умножением на комплексное число z из S, соответствующее матрице А, т. е. с функцией gi-*-z-g.
Упражнение 15. Докажите, что:
а) алгебра (Ап, -|-, —, О^п, Ап > является топологической группой;
б) биекция А(-) является гомеоморфизмом.
Предложение 2.
а) Функция A‘.An~^S является изоморфизмом групп Ап и S.
б) Функция f :C'->-An, определяемая равенством
f(z)
является непрерывным гомоморфизмом.
Здесь запись Х-г обозначает луч, выходящий из точки 0 и проходящий через точку г.
52
t> а) Биективность функции A(-) отмечалась выше. Гомеоморфность этой функции в сущности очевидна, так как топология в Ап определялась выше как раз так, чтобы эта функция оказалась гомеоморфизмом; впрочем, ее гомеоморфность отмечалась в упражнении 15, б.
Остается проверить гомоморфность функции А, т. е. равенство
Л(а4-₽)=Л(а).Л(₽).
По определению операции а 4-0 получаем:
«4-0 = [<*>о. ?-Л(а)>]4-[<*>о. (р)>] = [<Я>о, Х(Л(а). Л(0))>]’
Отсюда по определению функции Л(-) имеем А’(а4-0)=А(а) • А(0).
б) По доказанному в п. а функция А~‘(-) существует и непрерывна. Она имеет вид Л_,(«):8-»-Лп (и как обратная к изоморфизму сама является изоморфизмом). Функция f является композицией функции Л1 и функции гн>-р- . Вторая из этих функций, очевидно, есть непрерывный гомоморфизм. Композиция двух непрерывных гомоморфизмов является непрерывным гомоморфизмом.
3. Конструктивные определения функций косинус н синус углового аргумента. Свойства этих функций.
Определение 9. Косинусом и синусом угла а называются функции, определяемые соответственно равенствами
- - ‘ ’ cos PdA(a)), bin a т* P> (Л(a)),
где ггеЛл. ’
Свойства этих функций углового аргумента легко вытекают из их определения и из свойств операции умножения комплексных чисел:
I) cos 0=1, sin0 = 0 просто потому, что при гомоморфизме Л(-), как и при любом гомоморфизме, нейтральный элемент 0 в группе Ап переходит в нейтральный элемент 1 в группе 8, координаты которого равны числам 1 и 0.
2) co$d = 0, sin d = 1, где d — прямой: угол, т. е. угол, определяемый равенством d^A~l(i).
3) cos 2d—— I, sin 2d = 0, где 2d=₽td4-d и 4-определенная
выше операция сложения в группе
Ап. Действительно, 2d=A_‘(04" ----------<
4-Л-1 (0 = А~1(Ы) = А~'(-1),
A(2d)= — 1. Угол 2d называется / /\ а
развернутым углом. I _ у' \
4) cos (— a) s== cos a, sin (-- a) = I 0 ~~ T #
-.— sin а (рис. |7). \ X. Ла
|> По гомоморфности функции \ ,
A(*) получаем l = A(a)-A(—a), ' x. _^Zx
A( —a) = (А(а))-1 и n. 4 следует из
определения сопряженного числа. Рнс- 17
5) cos (at +«?) = Pi(A '(at a2)) = Р\(A- ‘(a,) • A ~ ’(as)) = Pi((cosai + / sin at)(cos a2 + ' sin a2)) = Pt(cos a,cos a2 —sin a,sin a2, sin atcos a2-r-4os assin a2) =>cos atcos a2 —sin a।sin a_>.
Одновременно мы доказали другую хорошо известную формулу: sin (at + a2) = sin atcos a2 + cos atSin a>.
6) cos2 a 4- sin ’ a = 1, VaeA/i.
7) j?~“uji ~cos(^г> "'“И где z< u— любые точки из R2,
отличные от точки 0. Как всегда, ||£|| обозначает длину вектора £. Отсюда следует известное неравенство Коши — Буняковского:
(?, u)2 С Цг||2-||и||2.
t> Докажем этот пункт, используя для тренировки повороты, а не комплексные числа.
Рассмотрим точку и матрицу W^SOz, которая соот-
ветствует комплексному числу -И-. Для этой матрицы выполняется соотношение = 1 eS. Так как W сохраняет скалярное
произведение, то
(1ЙГ’ м") =( *’ ^(тт)) ‘
Последнее скалярное произведение по определению (учитывая 1 = =(1, 0)) равно
-к <*>• cos[ { х1м') ]
В последнем равенстве используется определение угла как класса
эквивалентности и равенство = /?>0
Осталось заметить, что луч Vz совпадает с
лучом _i_.z
ана-
и
логично луч Х-u совпадаем с лучом
8) Теорема Пифагора: для любых точек А, В, С, если угол АВС прямой, то |СА|2 + |СВ|2= |АВ |2 (см. рис. 18).
|> Для упрощения записи обозначим z—CA и и=СВ. Тогда АВ =u—z. По свойствам скалярного произведения получаем: ||и,—z||2 = (u—z, и —г)=^(и, и) —2(и, z) -j- (г, z)=||u||24-||z||2 — -2||u|| • ||z||cos[<X-z, X.«>]=||z||2+||«||2.
.54
* 4. Измерение углов. Что такое градусная и радианная мера угла? Что такое 1° и 1 радиан? Чем градусная мера отличается от радианной и что у них общего? Грамотный школьник скажет, что градусной мерой угла является некоторое число. Отсюда кажется, что градусная мера угла является какой-то функцией вида An-+R. Однако это не совсем так.
С прямым углом в качестве '
градусной меры можно связать не только число 90, но и числа 270, 450, 810 и т. д. Получается, что одному углу соответствует несколько чисел в качестве его градусной меры. Правда, в школе
иногда выходят из положения, говоря, что эти числа относятся к разным углам. Так возникают углы «против часовой» и «по часовой стрелке», «в два оборота,с лишним против часовой стрелки» и т. п.
В то же время мы хотели бы остаться иа той простой и ясной точке зрения, что угол — это пара лучей, рассматриваемая с точностью до поворотов. Поэтому приходится признать, то все числа 270, 450, 810 и т. д. являются градусной мерой прямого угла d. Другими словами, одному и тому же углу (элементу Ап) соответствует бесконечно много различных чисел (элементов R) в качестве градусной меры этого угла. Тем- самым измерение углов является «многозначной функцией» из множества Ап в множество R. И это в принципе правильная точка зрения. «Многозначности» можно избежать, если поступать следующим образом: сопоставлять не углам числа, а, наоборот, числам углы. Возвращаясь к конкретному примеру, любому из чисел 270, 90, 450 и вообще всем числам вида 90 + 360-п, где neZ, поставим в соответствие (уже однозначно!) прямой угол d. Так как и Ап являются группами, то в соответствии с идеями всей этой главы следует рассматривать не произвольные функции из множества R в множество Ап, а только такие функции, которые непрерывны н сохраняют групповые операции, т. е. непрерывные гомоморфизмы вида R+-*-An.
Переход к непрерывным гомоморфизмам можно объяснить и более конкретным образом: при любом способе измерения углов естественно ожидать, что число нуль будет мерой нулевого угла, что симметричным углам а и —а будут соответствовать симметричные числовые меры х и —х, что при небольшом изменении числовой меры соответствующие углы мало изменятся. Эти интуитивно желательные свойства меры углов выполняются тогда, когда рассматриваются непрерывные гомоморфизмы из группы в группу Ап.
Определение 10. Мерой углов называется любой непрерыв-
55
Рис. 19
________f . д«ый гомоморфизм вида f(.) ' т. е. г ~~~ любая функция f из множества R в множест-
во Ап, обладающая свойствами:
1) f (x-f-y) = f (х) +f (у) для всех х, у^ R;
-2) /() непрерывна.
Подчеркнем, что в свойстве 1 слева знак + является групповой операцией в R, а справа знак + является группово! операцией в Ап. В свойстве 2 непрерывность f понимается относительно топологии ТАа в группе Ап и топологии R в группе^.
Поскольку группы Ап и S изоморфны (предложение 2), то непрерывные гомоморфизмы из /?+ в Ап тесно связаны с непрерывными гомоморфизмами из /?+ в S, т. е. с экспонентами.
Теорема 10. Всякая мера углов f():R^~+An имеет вид f(x) = 0, или f(х) ^А ~ '-е„(х), или f(x)=A~ ‘*еа(х), где еа(х) — экспонента с каким-то основанием а>0. Здесь z — комплексное число, сопряженное комплексному числу z.
> Рассмотрим треугольник, состоящий из непрерывных гомоморфизмов (рис. 19).
Функция Aaf является некоторой экспонентой. По теореме 7 она либо тождественно равна числу 1 из S (тогда /(•) тождественно равно 0 из Ап)', либо имеет некоторый главный период а>0. Если при этом Aof^-^ =si, то A»f удовлетворяет всем условиям определения 5', и по соответствующей теореме существования и единственности получаем Aof=ea(-1 и f (•)=Л~1<>£0(«). Если же А т0 функция (Л of)~ :хн»-(Л of(x))- удовлетворяет всем
условиям определения 5'.
Поэтому (A°f)~ = еа(*) и /=Л_|оео.
Случай, когда Aof(-^——i или, что то же самое, когда f(•) = А ~1 о ёа (•), соответствует прямой «намотке» R на окружность S под действием функции ёо, т. е. намотке в отрицательном направлении. Действительно, точки ео(х) и ёа(х) симметричны относительно осн Ох, и если под действием функции еа прямая R наматывается на окружность S в положительном направлении, то-под действием функции ёа намотка будет происходить в обратном, отрицательном направлении.
2л 2л . -
—IX _ --1х
Замечание. Так как еа(х)-=еа и еа(х)-.= е а , то случай меры углой- вида А~'оёа соответствует параметру (—а); таким образом, если только отображение f(-) не тождественный нуль, то ему однозначно соответствует некоторое число а из R*. Если тождественно нулевому отображению f сопоставить параметр 0, то каждой мере углов f :Д+-»-Ап соответствует ровно одни числовой параметр. • '
56
Условимся впредь не рассматривать тривиальную меру углов f(x)=0.
Число а, однозначно соответствующее по теореме 10 н предыдущему замечанию любой мере углов f (•), будем называть основанием этой меры /(•) и саму меру обозначать Основанием меры может служить любое число из R*. Как н в случае экспонент, будем рассматривать только меры углов с основание^ а>0, т. е. только меры углов, отображающие /}+ в S в положительном rta-правлении. Другими словами, будем всегда считать, что =
=i, где число а>0 — главный чпериод функции (A°f). Экспоненты и меры углов с основанием а<0 легко сводятся к экспонентам и мерам углов с основанием-а>0.
Меру углов с основанием а>0 можно определить и чисто аксиоматически.
Определение II. Мерой углов с основанием а>0 называется любая мера углов f( ), обладающая дополнительными свойствами:
3) а — главный период функции /(•);
4) = d, где d — прямой угол.
Теорема о существовании и единственности меры углов fa с фиксированным основанием а>0 очевидным образом вытекает из теорем о существовании и единственности экспоненты (теоремы 8 и 9) и теоремы 10, так как f0(-) = А-1 °е0(-).
Определение 12. Будем говорить, что:
а) угол а имеет меру х по основанию а>0 (числовая мера угла а равна х, мера угла а равна х), если a = f0(x);
б) угол а имеет главную меру х по основанию а>0 (главная мера угла а равна х), если
a. = fa(x) н хе';0; а[;
в) радианная мера угла а равна х, если а = ^2л(х);
г) градусная-мера угла а равна х, если a=f ^(х).
Отметим, что главная мера угла является биекцией между множествами Ап и [0, а). Поэтому можно образовать функцию, обратную к этой биекции, которая будет иметь вид Ап-»-[0, а). Допуская вольность речи, эту функцию будем также называть главной мерой' угла.
Рассмотрим конкретный угол a = —d. Тогда:
а) мера угла (— d) по основанию а>0 равна любому числу из множества ~^а , —р -р, ...} . Действительно, значение экспоненты еа(х) для любого числа х из этого множества равно — i н А~’( —i) — —d, т. е. — </=А_|»ео(х) =fa(x);
б) главная мера угла (— d) по основанию а>0 равна числу в частности, при а = 2л получаем число
в) главная радианная мера угла ( — d) равна числу у-; г) главная градусная мера угла (—d) равна числу 270. „ Эти подсчеты можно провести, пользуясь .формулой еа(х) — 2л * 2л , ,3л
— 1х Зд — fa /
= г“ (см. § 5). Например, если х~~, то е“ 2~е3 ~
=cosy + isiny , и поэтому — </=Л“'(— г)—Л_'(еа ‘|)=,
( / За\ за
=Ы т. е. число ~7г~ главная мера угла (—а) по основанию 7 4 2я.
х-ХЯ
а>0. Или другой пример, когда а=2л и х=л:₽0(х)=^‘!п = е‘" = = — 1. Учитывая Л~'(— 1) = A~>(t)+A~>(i)=d-)-d=2d, получаем, что число л — главная радианная мера угла 2d.
Упражнение 16. а) В соответствии Ь определением 12 найдите различные меры углов d, 2d, 3d, .... nd, где nd по определению угол, равный dAr„.-^-d, n&N.
б) Определим углы и как решения уравнений 2x=d и £ О
3x=d. Докажите, что ± “ Т=^1(‘^’±
. (Используйте изоморфизм Л(-) и свойства умножения комплексных чисел.)
в) Найдите меры углов ±у-; ±4-|-.
Предложение 3. Если х — мера угла а по основанию 2п, то cosx=cosa и sinx=sina.
t> Действительно,
a=f2n(x)-t>a=A_| ое2п(х)^-Л(а) = ₽2я(х)^-о(Р|Л(а) = Pi(e2n(x)) Д (РгЛ(а) = Рг(е2л(х))^ o(cosa=cosx) A (sin а = sin х).
Это важной наблюдение позволяет определить тригонометрические функции числового аргумента на основе тригонометрических функций углового аргумента. При этом тригонометрические функции угла естественно определить по любому положительному основанию, а не только по основанию 2л.
Определение 13. Косинусом (синусом) числа х по основанию с> 0 называется косинус (синус) такого угла а, мера которого по основанию а равна х:
(cos,, х = cos rx) A(s!fiuX=sin x<
/
Предложение 4.
coso х = cos( ) и sinox = sin(-^-) ,
где cos(-) и sin(-) — тригонометрические функции числа, вве-
денные в § 5. -
t> (coso х—cos a) A (sin0 x=sin a)oA40 (x) = a о a =
=A 1»₽0(x)^A(a) = ₽0(x)=₽i(-^-)=g2n(-?y!-) Сле-
довательно, у точек единичной окружности А (а) и е[ —совпа-2 лх •
дают первая и вторая координаты, т.е. cosa = cos— и sina =
2лх —
= sm----.
а
. Предложение 4 позволяет получать свойства функций cosox
и sin0 х на основе свойств функций cos х и sin х.
Упражнение 17. Покажите, что:
а) функции coso х и sin0 х непрерывны и имеют главный период а:
б) £o(x)=cosox-H.sinax;
в) функция coso(-) четна и функция sin0 (•) нечетна;
г) ₽0(—x)=cosax—isinox и выразите функции cos0x и sinox через функцию £<,(•) и, в частности, через функцию £,(•);
h д) cosj (х) =cosa(-y-) (формула перехода к новому основанию).
Обычно рассматриваются меры углов с основанием а, равным 2л, или 360.-11ЛИ 400.
Важно сравнить следующие определения:
радианом называется угол, главная мера которого по основанию 2л равна числу 1, т.е. 1 рад f2„(l) =А~‘og2n(l) =
градусом называется угол, главная мера которого по основание 360 равна числу 1,т.е. 1° (1) =А_| °б?зв0 (1) = А-1 ’
десятичным градусом называется угол, главная мера которого по основанию 400 равна числу 1, т. е.
1 десятичный градусч=* Аоо(1)=А~|о^00(1)==А~|о£/-^Й ;
градусом по основанию а>0 называется угол, главная мера которого по основанию а равна числу 1, т^ё.
1о^о(1)=А-^1)=А-‘о<?|(-1-) .
Уравнение г"=1 имеет ровно п корней, и все они лежёт на
единичной окружности, так как условие z" = l влечет |г|" = = 1, |z| |г| =1. Среди них по многим причинам выделяет-
ся такой корень го, для которого все остальные корни являются его натуральными степенями. Такой корень называют первообраз-" иым. Комплексное число ₽„(!) является как раз первообразным корнем уравнения z"=l. Действительно, (еп (1))" = е„(п-1) = 1, и все числа вида (en(l)V, где j^Z, являются корнями этого
уравнения: ((₽п(1))')п =((^и(1)У')/ = Р=1. В этом смысле число ₽п(1) =
-=е п является^п-й ^астью окружности S (рис. 20). Как мы увидим,
длина дуги 1, ₽„(!) равна числу и в этом смысле число ₽п(1), и дугу 1, еп(1), и угол, «опирающийся» на эту дугу, можно называть n-й частью окружности. Поэтому говорят, что угол 1° —А_,ое360(1) является «одной трехсотшестидесятой частью окружности» или «одной девяностой частью прямого угла», так как
90.,(Л- 1 °езв0(1)) = А-1 (гзвп(1Г) = А" 1 (*3eo(9O))=Ar'(t)=d.
Аналогично для одного десятичного градуса:
ЮО.(А-'о^00(1))=А-'(^00(1)"’») =
= А'‘(^(ЮО))» А-'^оо^)) =A_|(i)=d.
Поэтрму угол 1 десятичный градус можно назвать «одной четырехсотой частью окружности» или «одной сотой частью прямого угла». Для 1 радиана подобные выкладки не проходят (почему?).
5. Обсуждение полученных результатов. Рассмотрим диаграмму, составленную из непрерывных гомоморфизмов (рис. 21), по которой вспомним оба определения тригонометрических функций числового аргумента, отношение между этими определениями и определением тригонометрических функций углового аргумента.
На этой диаграмме жирными стрелками указаны основные непрерывные гомоморфизмы, а обычными стрелками — производные (вспомогательные) непрерывные гомоморфизмы. Пунктиром обозначены функции, которые не являются гомоморфизмами, а также изоморфизм между группами SO2 и S, использование которого носит чисто технический характер.
Например, для определения тригонометрических функций угла нужно пройти по стрелке А(-) и затем по стрелке <Pi(-) и
60
рг(-)- Первое определение тригонометрических функций числа заключается в прохождении стрелки ео(«) (или 1а и затем е», или 1а' и затем <р и f+) и снова стрелок pi(-) и рг(')-
При втором определении тригонометрических функций числа нужно пройти стрелку /0(-), затем А(-) и pi(-) и рг(-). Для установления связи между этими подходами следует вспомнить, что пройти по /»(•) — это jo же самое, что пройти по е0(-) и затем по Л(-) в обратном направлении.
Наконец, следует подчеркнуть, что наиболее нетривиальным моментом во всей этой схеме является существование стрелки (изоморфизма) /+() (теорема 3): без нее нельзя было бы включить в схему группу Т.
Вернемся теперь к вопросу, который мы обсуждали во введе-.нии к этой главе (полезно' еще раз прочесть его). А именно к вопросу о том, не существует ли функция, которую можно отнести к базисным элементарным функциям с тем же основанием, как н изученные выше функции от линейной до -тригонометрической. В точной постановке этот вопрос состоит в том, существует ли непрерывный гомоморфизм основных числовых групп (к которым во всяком случае относятся группы /?+, R - и S), который не выражался бы с помощью базисных операций и уже рассмотренных непрерывных гомоморфизмов. Как мы увидим, ответ иа этот вопрос отрицательный; инымн словами, нет оснований отнести еще какую-то функцию к числу базисных элементарных функций. Для решения Этого вопроса построим таблицу всех непрерывных гомоморфизмов между любыми двумя парами групп из множества числовых групп (R+, R, S).
Пусть f — непрерывный гомоморфизм вида f:R ->S. Выберем какое-нибудь основание показательной функции, например, а—2 и рассмотрим непрерывный гомоморфизм 2X:R+-+R . Эта функция является биекцией 2х :R++R>0 и изоморфизмом групп R+ и R0. Образуем композицию непрерывных гомоморфизмов f°2x. Она является непрерывным гомоморфизмом вида /?+->S, и следовательно, fo2x = e^'a нлн /о2х=1. Подставляя вместо аргумента х функцию, обратную к функции 2х, т. е. функцию log2X, получим f(x) =
или Поэтому pi(f) = COS — • IOg2X И рг(0 =
I a
= sin—log2X или f(x) = l. Все эти функции, очевидно, элементарные. Итак, обе половинки любого непрерывного гомоморфизма вида f:R->S являются элементарными функциями.
Пусть f:S-+R+ — какой-то непрерывный гомоморфизм. Рассмотрим композицию непрерывных гомоморфизмов вида f°e“:R+-*R +, где t^R. Получился непрерывный гомоморфизм, и по таблице 1 имеем foe“ = a-t, где а — какое-то фиксированное число. Итак, функция f вида Как превратить функцию вида f:S-+R
в функцию вида g:R-+R? Естественный ответ состоит в том, что нужно в f подставить функции, «обратные» к проекциям pi(-)
bl
f_________ и рг(-), т. e. точке x сопоставить
•? - " *” । точку z из S+, где S+ — верхняя
I f полуокружность, или точке у сопо-
f - ♦ ставить точку г нз правой полу-
Я *--------,'71 окружности. Здесь — 1 х + 1
и — Аналогичным
Рнс' 22 образом можно считать, что z из
• нижней или левой полуокруж-
ности, но ничего нового при этом не получится (проверьте). Точка г по х вычисляется в виде z=₽'“r“osx и по у в виде z=₽'orc5inx.
Вспомним, что /?(arccosx) = [0, л] и /?(arcsin х)= Г—4--у-1.
L & & J
Поэтому из функции f(-) получаем g(x) = /(z) = f(g'“rc'“x) = . =a-arccosxw аналогично g(x) =f(z) =f(e‘ “rc5ln x) =a-arcsin x. Итак, arccosx и arcsinx — две половинки непрерывного гомоморфизма вида Таким образом, все гомоморфизмы вида
сводятся к функциям a-arccosx и а-arcsinх, которые являются элементарными функциями.
Пусть p.S-A-R— какой-то непрерывный гомоморфизм. Выбирая, например, изоморфизм {/ = log2x :R’->R + , получаем непрерывный гомоморфизм вида ((log2x)°f)Как было только что проверено, он имеет вид поэтому Iog2(f(tfw)) =**•/, f(^() =2°',
где а — какое-то фиксированное вещественное число. Половинки функции f являются элементарными функциями вида 2и 2<i arcsin* Таким.образом, половинки всех непрерывных гомоморфизмов вида S-►/? суть элементарные функции.
Наконец, пусть f — какой-то непрерывный гомоморфизм вида Рассмотрим диаграмму (рис. 22), где функция g определяется как композиция е" ofo(eix)_|. Это определение корректно, так как функция е1' на отрезке ( — л, -|-л] биективна, н поэтому существует функция (₽“) . Функция g непрерывна и является «локальным гомоморфизмом», т. е. для достаточно малых • чисел х, у выполняются соотношения g(x-by)=g(x) 4-g(y) н g(—х) = = —g(x). Требование малости х и у существенно, так как иначе может оказаться, что числа g(x) + g(y) или — g(x) не принадлежат отрезку ( — л, л]. Используя функцию g, нетрудно показать, что функция f вида где а — фиксированное веществен-
ное число. Аналогично предыдущему одна нз половинок этой функции вида х^е‘в,сст гь->е,а‘ cos (a-arccosx), т. е. вида g(x) —
= cos(a-arccosx). Другая аналогичного вида. Таким образом, и в этом случае половинки всех непрерывных гомоморфизмов вида 3->S — элементарные функции,
Итак, соберем все непрерывные гомоморфизмы рассмотренных числовых групп в одну таблицу, продолжающую таблицу 1 из введения к этой главе:
Таблица 2
R о: *
R и • ' u*i - L < "
R 1"Ц И -'>1 и ' V 'i (
S -И • t е'1- *2“ Г* Г “ *
Остается последний вопрос: почему рассматриваются именно такие числовые группы, как R+,-R и S? Все они являются подгруппами полей R и С. И поэтому можно спросить, почему рассматриваются такие числовые поля, как R и С. Выбор именно этих полей в качестве базисных (основных) полей в элементарной математике обсуждается в главе V. Впрочем, и без детальной аргументации ясно, что поля /? и С суть основные поля по крайней мере в элементарйой математике и ее приложениях.
' Подгруппа какого-то поля К — это по определению подгруппа его аддитивной группы К+ или его мультипликативной группы К*. Итак, кандидатами на рассмотрений являются подгруппы следующих групп: /?+, /?’, С+ и С*. Разумно рассматривать нетривиальные подгруппы, носители которых связны. По крайней мере это простейшие подгруппы, кроме тривиальных. Тривиальные группы приводят к постоянным функциям' и поэтому не представляют интереса. Если G — связная подгруппа R+ и G#=[0}, то G содержит какое-то е=/=0 и интервал (0, е). Если е<0, то его можно заменить на ( — е). Следовательно, для любого числа существует такое хе (О, е) и пеЛГ, что
= еЦ-...-|~8. Тогда п-ееб, (0, n-e)sG, XeG- Поэто.му R^G и п
G S.R, т. е. R—G. Если G — подгруппа R* и G =#= {!),’ то существует е=/=4, eeG и (1, e)eG, и аналогично получаем, что R>t^G, R>o = G- Итак, /?+ и R — единственные связные подгруппы поля R.
Для поля С дело обстоит чуть сложнее. Для краткости изложения заменим свойство связности группы G на также очень естественное свойство компактности группы G. Если G — компактная подгруппа поля С, то G — ограниченное множество в обычной метрике пространства С. Легко доказать, что S — единственная ограниченная и, в частности, компактная подгруппа поля С.
Глава II
ВЕКТОР. ПЛОСКОСТЬ. ПЛАНИМЕТРИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Целью этой главы является сравнение различных подходов к_ определению и пониманию основных геометрических объектов: вектора, плоскости, планиметрии.
Для упрощения вычислений мы ограничимся двумерным случаем. Аналогичное сравнение в более высоких размерностях отличается лишь удлинением технических выкладок.
Напомним, что векторным пространством X над полем К называется алгебраическая система вида (X, 4~> —, 0, , К), где X — некоторое множество с определенной в нем двуместной операцией + вида ХХХ->Х, относительно которой X является коммутативной группой, а также двуместной операцией вида: • : КХХ-+Х, где К — носитель поля К. При этом операция умножения обладает обычными свойствами:
А • (х 4" у) — Ах Ау, (А р.) • х=Ах -f- р.х, А-(ц-х) = (А-ц)-х, 1/с-х=х,
где — единичный элемент поля и А, ц, х, уеХ. (Одну
двуместную операцию •: ХХХ-кЗГ часто трактуют как бесконечное семейство одноместных операций где ы>х(х)ч^=А-х и А
пробегает К )
Можно рассматривать векторные пространства над телом К и даже над кольцом К (в последнем случае вместо «векторное пространство* говорят «модуль над К»).
Если между векторными пространствами Xi и Хг над одним н тем же телом К можно установить линейную биекцию f :Х1++Х2, т. е. такую биекцию, при которой выполняется }(кх + ц.у) = =Af(x)4-pf(y), то S'\ и ЗГч называются изоморфными пространствами, а функция f называется линейной биекцией или линейным изоморфизмом. Изоморфные пространства часто отождествляются. Наконец, размерностью векторного пространства S над телом К называется натуральное число равное максимальному
числу линейно независимых элементов в S (если, конечно, такое натуральное число существует). Если в векторном пространстве X существует хотя бы одна бесконечная система векторов, всякая ко-
64
вечная подсистема которой линейно независима, то говорят, что X 'бесконечномерно. Напомним, что любые векторные пространства \ над К одной и той же (конечной) размерности изоморфны между собой. В дальнейшем принимается, что Vn 4-...4-1 #=0).
Векторное пространство X над К размерности 2 назовем векторной плоскостью. При таком аксиоматическом определении векторной плоскости как всегда возникает вопрос о существовании хотя бы одного примера векторной плоскости. Иными словами, возникает вопрос о существовании хотя бы одной модели соответствующей аксиоматики.
Типичным примером векторной плоскости (моделью аксиоматики векторной плоскости) является множество №, где К — носитель поля (или тела) К, с покоординатно определенными операциями сложения и умножения на скаляры.Эту векторную плоскость обозначают №. В качестве поля К часто рассматривают поля R или С. Можно построить много примеров векторных плоскостей над R, которые хотя все и изоморфны векторной плоскости R2, тем не менее по их интуитивному пониманию и по сфере их приложений совсем не похожи друг на друга и на плоскость R2. Эти примеры отражают различные подходы к понятию вектора, обычно определяемого как элемент произвольной векторной плоскости над R. В них сначала определяются сами векторы, т. е. элементы будущего множества ЗГ, затем — операции над векторами и только после этого возникает векторная плоскость ЗГ над R. Каждый из этих подходов (примеров аксиоматически определенной векторной плоскости) в той или иной мере использует множество R2, поэтому их нельзя считать вполне независимыми друг от друга. Тем не менее, знакомство с каждым из них кажется полезным для осознания всей широты концепции вектора. Эти подходы к понятию вектора когда-то мотивировали аксиоматическое определение векторного пространства.
Такие два пути: от аксиоматического определения к примеру (модели) и от примера (модели) к аксиомам — типичны для всей математики.
Два определения понятия вектора считаются эквивалентными, если соответствующие этим определениям векторные пространства изоморфны. Параграф 1 содержит примеры векторных плоскостей.
Параграфы. 2 и 3 посвящены ретроспективному обсуждению интуитивного понятия плоскости. При этом рассматриваются два подхода: один н? них использует понятие векторной плоскости, как уже известное, заранее заданное'понятие (подход Вейля). Второй из них является чисто аксиоматическим подходом в том смысле, что он не связан ни с какими предварительными представлениями о векторах, числах и т. п. объектах; этот подход основан на аксиоматике инцидентности или аксиоматике Евклида — Гильберта (здесь же приводятся аксиоматики Лобачевского и Римана).
В связи с аксиоматическим подходом очень кратко рассматривается та структура, в рамках которой определяются все обычные 3 Заказ 227 <j5
модели евклидовой и неевклидовой планиметрий; а именно — двумерное риманово многообразие.
В § 4—б обсуждается роль теории групп в геометрии. В § 4 описываются основные из таких групп, а в § 5 изучаются' такие объекты и величины, которые остаются неизменными при преобразованиях плоскости под действием фиксированной группы G. Все такие объекты и величины по определению образуют планиметрию группы G. Этот подход, наряду с аксиоматическим, позволяет определить понятие планиметрии (клейновский подход). В качестве G рассматриваются подгруппы аффинной группы.
§ 1. СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПОДХОДОВ К ПОНЯТИЮ ВЕКТОРА
1. Вектор как пара чисел. Свободный вектор. Вектор как параллельный перенос. Мы приведем шесть подходов к понятию вектора. В первом из них вектором называется пара вещественных чисел. В последующих определениях прямо или косвенно используются числа или пары чисел и, следовательно, эти подходы взаимозависимы. Тем не менее каждый из этих подходов имеет самостоятельное значение и в соответствующем круге вопросов и приложений математики принимается за исходное определение вектора. Если мы примем какое-то одно определение вектора за исходное, то все другие можно рассматривать как свойства определяемого понятия.
Итак, мы приводим ряд определений вектора, нумеруя их 1а, 16,-..., и после каждого из них определяем функцию ф, которая является изоморфизмом между множеством всех векторов в смысле определения 1а и множеством всех векторов в смысле текущего определения. Поэтому после этих определений (в теореме 1) можно сделать вывод, что все они эквивалентны.
а) Определение 1а. Вектором называется произвольная упорядоченная пара вещественных чисел.
В этом случае покоординатно определяются операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр — вещественное число. Другими словами, вектором называется произвольный элемент из множества /?2, и в этом множестве рассматриваются обычные операции и •.
Очевидно, это определение сохраняет смысл, если в нем заменить поле R на произвольное тело /(.
б) Определение 16. Вектором называется произвольный класс эквивалентности в множестве (R~xR2) h относительно отношения эквивалентности:'
О (a, b) ~ (с, d}+±(c— a—d—b),
d где a, b, c, dc—R2.
Смысл такого отношения эквивалентности виден из рисунка 23. Класс эквива-Ри 23 ' лентностн с представителем (а, Ь), как
66
всегда, обозначается [<а, Ь>]. Сложение ‘векторов и их умножение на числа определяются естественным образом:
[<а, Ь>]-Н<а', b + b’)] и
b)]=₽t[(X-a, Х-Ь)].
Итак, вектор в этом смысле — это как раз то, что называют свободным вектором. Множество всех векторов в смысле определения 16 совпадает с фактор-множеством (Я2ХЯ2)/~, или, что то же самое, с (Я4)/~.
Чтобы связать первое определение со вторым, положим: Ф(х)=Н<0, х>], ф:ЯЧ((Я2ХЯ2)/~).
Функция ф(-)—изоморфизм'. Действительно, функция ф(-) инъек-тивна: если х=£у н ф(х) = ф(у), то <0, х> ~ <0, у), 0—у—х, х—у, — противоречие. Она сюръективна: в любом классе эквивалентности [<а, b >] из (Я2 ХЯ2)/ ~ содержится представитель вида <0, х>, где x — b — а, так как а—0 — Ь — (Ь — а). Ясно, что ф(х)=[<0, х>]. Поэтому ф- биекция. Она сохраняет операции, т.е. ф(х-(-£/) = =ф(х) + Ф(у) и ф(Х-х) = Х-ф(х). Проверьте это самостоятельно. Итак, ф биекция и гомоморфизм и, следовательно, изоморфизм.
в) Следующее определение вектора связано с его трактовкой как параллельного переноса плоскости, т. е. некоторой биекции (преобразования) плоскости в себя.
Параллельный перенос в плоскости Я2 определяется как отображение h :Я2->-Я2. для которого /Е(x)4=tx-f-i, где £ — фиксированный элемент Я2. Ясно, что /^действительно биекция Я2 на себя. Операции над такими биекциями определяются как (fi + /П)ч=^/Е^/П и i — где — гомотетия с коэффициентом X.
Часто дают другое определение параллельного переноса, которое использует только метрику и понятие прямцй, а именно: параллельным' переносом называется такая биекция /:Я2-»-Я2, что для любых двух различных точек a, b&R2 выполняются условия: р(а, /(а)) = р(Ь, /(6J) и р(а, ft) = p(/(a), f(b)), причем прямая' (/(a), f(b)) либо совпадает с прямой (а, Ь), либо не пересекается с ней. Здесь р обычная метрика в Я2, т. е.
р(а, Ь) = -т/(й|— Я|)2+ (Ь2 — а2)2,
где а=(Э ’ МЙ (см-рис-24)-Сложение параллельных переносов опять-таки определяется как их композиция, а X-/; где например Х>0 определяется условиями (если /#=
67
для любой точки ае/?2 точка (k-f)(a) лежит на луче a, f(a) и р(а, (X-f)(a)) = X-p(a, f (а)), если f=idRi, то X-f=f.
Теперь можно определить вектор как параллельный перенос. Это и есть наше третье определение вектора.
Можно определить параллельный перенос, не используя метрику в /?2. Такое определение предпочтительнее, так как с геометрической точки зрения в плоскости нет какой-то одной, выделенной метрики. Например, метрики в R2
p(a,‘bW±:|ai — Ь|| + |Я2—М и
р(а, Ь)ч±тах{|а| —ftil, |аг —W), v
как и любые другие обычные метрики ничем не хуже метрики р(а, (a j _ ft) )2 4- (а2—&2)2 .
Иными словами, при аксиоматическом определении плоскости метрика обычно не входит в число исходных понятий; если она и может быть определена как производное понятие (например, в аксиоматике Евклида — Гильберта), то только в результате сложных построений.
Итак, займемся определением параллельного переноса/ которое вместо метрики использует аддитивную группу (/Г)+.
Множество всех биекций любого фиксированного множества X на себя обозначим 1s (от лат. isomorfism).
В множестве Is(X) бинарная операция определяется как композиция Двух. биеКЦИЙ
Упражнение 1. а) Укажите нейтральный элемент в мно-3Kecree Is(X) относительно операции композиции.
б) Укажите в Is(X) элемент, обратный к элементу f относительно операции композиции.
в) Докажите, что ls(X) — группа относительно операции композиции.
г) Является ли она коммутативной группой?
Каждому элементу &е/?2 сопоставим определенную биекцию ft из Is(Z?2), определяемую равенством ft(x)=x-|-£. Возникает отображение F: из множества R2 в множество Is(/?2). На-
помним, что бинарной операцией в группе (/?2)+ является операция покоординатного сложения элементов множества R2.
Упражнение 2. Докажите, что:
а) Отображение F'.£t-+ft является гомоморфизмом. группы (R2)+ в группу Is(/?2);
б) Ядро Ker(F) гомоморфизма F состоит только из нуля группы (R2)+, что эквивалентно утверждению: функция F инъективно;
в) Для любых двух точек а и Ь из множества R2 найдется такой элемент £ из группы (R2)+, что fi(a)=‘b.
Обобщим рассмотренное выше отображение F^h»-//. Для этого группу U?2)4" заменим произвольной группой (G, •, — 1, е) и множество R2 — произвольным множеством X. Всякий гомоморфизм F группы G в группу Is(X) называется действием группы G
68
ца множестве X. Отметим, что здесь не только F является отображением (функцией), но и каждое значение отображения F, т. е. каждое F(g), также является функцией вида Х-+Х, которую будем обозначать не нужно путать F : G->Is(X) и fg : Х-»-Х.
Действие F группы G на множестве X называется эффективным, если отображение F инъективно, или, что то же самое, если ядро F состоит только нз нейтрального элемента е группы G.
Действие F группы G на множестве X называется транзитивным, если для любых элементов xi и хч из X найдется такой элемент g из G, что fg(xi)=x2.
По упражнению 2 построенное выше конкретное отображение
Группы (/?2)+ в Is (Я2) является эффективным и транзитивным действием группы (Л2)4" на множестве Я2-
Определение 1в. Пусть F — произвольное эффективное и транзитивное действие группы (Т?2) + на произвольном множестве X. Параллельным переносом (вектором) называется любое значение отображения F, т. е. любая биекция из множества Is(X) вида F(i,), где geDfF). Как и в общем случае, это значение обозначим h-
Множество всех векторов в этом смысле совпадает с областью значений отображения F, т. е. с R(F). Сумму векторов н умножение вектора на число определим с помощью действия F и одноименных операций в R2, учитывая что отображение F является биекцией между R2 и своей областью значений R(F), а именно положим f,+f^+n и (*)
где Keif, £, rjel?2. Интересно, что сложение в этом смысле векторов можно определить без использования R2, как композицию
f f 6+11-
Это соответствует тому, что (/?2)+ кай группа (и даже как векторное пространство над Q) изоморфна любой группе (/?")+, где-п>1. Но чтобы определить умножение векторов на скаляры по формуле (^с), необходима именно группа (/?2)+: если п=1, то чему равно в формуле (^с)? Если п = 3, то в R(F), где F — действие (Я3)+ в X, найдутся три линейно независимых вектора в смысле определения 1в.
Чтобы сравнить это определение вектора с его первым определением, положим ф(^)ч±Е(^): R2-+R(F). Биектнвность функции ф сразу вытекает из условия эффективности действия F и того, что R(F) — область значений F. Гомоморфность ф сразу вытекает из условия, что F — действие.
До сих пор мы не использовали условие транзитивности действия F. Какова его роль? Оно обеспечивает то обстоятельство, что множество X обладает свойствами собычной плоскости». Точнее говоря, оно обеспечивает выполнение в Х_ д в у х аксиом Вейля:-
еэ
1) Для любой точки а из X функция вида Я2->X, определяемая соотношением где £ — переменная и а — фиксировано,
является биекцией (отсюда сразу вытекает, например, что X равномощно с Я2).
По аксиоме 1) для любых точек а и b из X существует равно одно £еЯ2, для которого выполняется fE(a) = ft. Такое £ обозначим g(a, b). Ясно, что g : X2-»-/?2. Интуитивно g(a, b) — тот элемент из (Я2)+, который переводит точку а в точку Ь.
2) Va, b, c<=X(g(a, b) + g(b, c)+g(c, а)=0).
Из этих аксиом легко вывести, что
Va, be=X(g(a, b)= — g(b, a».
Поэтому вторая аксиома выражает собой обычное правило параллелограмма: g(a, b)+g(b, c)=g(a, с).
Итак, благодаря транзитивности действия F любое не просто «вектор в произвольном множестве X», а «вектор в множестве X подобном обычной плоскости».
(Интересующиеся геометрией, конечно, заметили, что с помощью транзитивного н эффективного действия F группы (Я2)+ мы определили аффинную плоскость X, которая подробнее рассматривается в § 2.1.)
Последнее определение параллельного переноса сохраняет смысл, если в ием заменить группу (Я2)4" произвольной группой G.
2. Вектор как дифференцирование. Вектор как класс касающихся кривых. Пусть £ — фиксированный элемент из Я2- Каждой дифференцируемой в точке 75ч±( функции вида f: Я2->Я поставим в соответствие число, которое будем обозначать db(f). Возникает отображение dt из множества всех таких функций f в Я- Оказывается, что отображение dl можно определить аксиоматически, не используя самого вектора Поэтому, отождествляя Е, и dit вектором можно назвать само отображение db определенное аксиоматически, без использования Такова вкратце идея следующего способа определения вектора. Перейдем к точным формулировкам.
Обозначим А множество всех непрерывно дифференцируемых в точке 75 функций вида f : ^/->Я, где некоторая зависящая от f окрестность точки 75. Условие непрерывной дифференцируемости означает, что первые частные производные функции f существуют, во всех точках окрестности а в самой точке О эти частиыелроиз-водные непрерывны. „Первые частные производные обозначают fx(', •) и %(•, •) или /((•, •) и Щ*, •)• Элементы множества А можно поточечно складывать н умножать между собой, а также умножать и а вещественные числа:
' (fi4-f2)(z>₽tfi(z)4-f2(z),
(h • /г) (гН 1 (z) • f2(z), ze & h П 6 f2, M(zH-(/(z)), КеЯ.
70
При этом выполняются обычные свойства операций сложения, умножения и умножения на вещественные числа. Поэтому множество А вместе с этими операциями в нем является не только векторным пространством над полем R, но и алгеброй над полем R. Можно доказать, что векторное пространство А бесконечномерно над полем R.
Фиксируем элемент £ из Л2. Каждой функции f^A поставим в соответствие число (называемое производной функции f в точке *0 по направлению вектора £), равное
Возникает отображение вида dE(-):
Легко доказать, что
ОН, 4-f'(0, 0Н2,
где • Иными словами, d6(f) является скалярным произ-
ведением вида (f'(0), £), где f'(O)=₽t( ’ ') . Проверьте эти утверждения. V V
Можно по-другому объяснить, ?что такое dj(-), а именно: дифференциалом функции f(x, у): R2-*-R в точке а называется выражение вида ^(a)-dx+fJ(a)-dj/(^).
В этой записи за таинственными обозначениями dx и dy скрываются аргументы отображения. Запишем их в виде £=( , где gi=dx и %a=dy, т.е. 5=
_/ Лс\ '
\ dy) •
Поэтому аргументами дифференциала являются f, а н g, и дифференциал, как отображение, определяется формулой (*), т.е.
d(J, a, g).
где • Следовательно, производную функцию ((•, •) в точке б по
направлению g можно определить формулой
б, 5).
Отображение d(f, О, 5) имеет два аргумента: f и g. Из иих фиксируем аргумент £ и будем считать переменным аргумент f. Получится отображение вида А-t-R, которое и было определено выше как dj(-): A-*-R.
Итак, определено отображение dE(-): A-+R.
Упражнение 3. Докажите, что для любого фиксированного выполняются соотношения:
•a) ^(f + g)=^(f)+d6(g), Vf, £<=Л;
б) Vfa=R, Vf(~A-,
в) ^(f*g) = ^(f)-g(0)4-f(U)-dE(g), Vf, ge=A.
' 71
Функции Pi(-) и Pz(’), как всегда, суть проекции точек из R2 соответственно на первую и вторую координатные оси, т. е. Pi(£)= = |ь Р2(|)=|2,'где • Тогда Ph Р^А. Если . то
dj(Pi)=lim ------^1^ = Пт z-|!. = g| и аналогично dAP^—^i. От-сюда вытекает, что разным векторам g н т| соответствуют разные отображения dE(-) и </ (•). Действительно, если </,()=</(•), то g,=dE(Pl)=d4(/5|)=rli и |2=</5(Р2)=^(Р2)=п2, т.е. |=Л. Поэтому соответствие |H>-dE инъективно.
В дальнейшем удобно рассматривать отображение dE(-) как определенное не на всей алгебре А, а на ее части: подалгебре В, по определению состоящей из всех функций вида f: Of-+R, которые имеют во всех точках окрестности О; частные производные сколь угодно высокого порядка. Оказывается, что свойства отображения dE(-), приведенные в упражнении 3, однозначно характеризуют его без использования вектора
Определение 1г. Вектором называется любое отображение вида d : В-*/? со свойствами:
1) <i(f + g)=d(f) + d(g), Vf, g<=B;
2J- d(K-f) = K-d(f), Vf<^B;
3) d(f.g)=d(f).g(®)+f(O) d(g), V/, geB.
Чаще такое отображение называют дифференцированием. Условие 3 из определения 1г называют правилом Лейбница, так как оио похоже на равенство (J'gY — f'-g+f-g'-
Векторы в -смысле этого определения, конечно, существуют.
Например, по упражнению 3 любое отображение dE(-) является вектором. Однако неясно, существует ли хотя бы одни вектор в смысле определения 1г, отличный от всех отображений вида dE.
Упражнение 4. Докажите, что:
а) А и В — алгебры, и В — подалгебра А;
б) множество всех векторов в смысле определения 1г является векторным пространством над R относительно поточечно определенных операций:
/ .(</14-d2)(f)^d1(f)4-t/2(f) и ^-d)(f)^-d(f)-,
'в) если функция h тождественно равна единице, то для любого вектора </(•) выполняется d(h)=^0-
г) если h — постоянная функция, то для любого вектора </(•) выполняется </(Л)=0;
д) если функции fug совпадают в некоторой окрестности & точ-ки~О, то для любого вектора </(•) выполняется d(f)=d(g) (указание: используйте существование такой функции h^B, что h равна нулю вне в н. тождественно равна единице в некоторой окрестности точкиТ), замыкание которой содержится в
е) пусть отображения dx, dy: B->-R определены равенствами ып Um »> „ « ,im ад- »>->(» °> .
х-»0 * !/—О У
-72
Они являются векторами. Векторы dx(-) и dy(-) часто обозначают
дх I о “ а71- о-
ж) выполняется dx(Pi)=l, dx(p2)=0, dv(Pi)=O, dy(P2)—l.
Подход к определению вектора, изложенный в этом пункте, широко используется в математике, например в дифференциальной геометрии и топологии при определении касательного вектора к абстрактному многообразию (поверхности, необязательно расположенной в некотором /?").
Отметим, что из упражнения 4д следует^ что дифференцирование на самом деле 'задано на фактор-миожестве множества В. определяемом отношением эквивалентности (fug совпадают в некоторой окрестности точки 75). Фактормножество В/ ~ является н фактор-алгеброй. Ее называют алгеброй ростков бесконечно дифференцируемых функций в нуле. Оиа обозначается O“(D). Аналогично определяются понятия алгебр ростков дифференцируемых и непрерывных.функций в Куле. Итак, любой вектор </(•) опускается на O“(D) и является по существу отображением вида (б))-»-Я со свойствами 1—3 нз определения 1г.
Сумма двух векторов () н d2(-) определяется как поточечное сложение:
(di+di)(f)^dl(f)+d2(f). '
Аналогично (X-d) •</(/)).
В случае определения 1 г вектора сложнее установить его связь с первым определением вектора. Для этого, нужна следующая
Лемма 1. Для любого вектора d (•) : B-+R выполняется yf^B(d(f) — d(Pi)-dje(f)+d(P2)-dy(f)), где отображения dt(-) и dy(’) определены в упражнении 4е и функции Pi(^), Р2(’) определены после упражнения 3; Pi (•), Р2С) еВ.
Любой точке нз В2 сопоставим отображение £5(-) вида
B-+R, определяемое формулой g5(f)=f=fcli'dx(f)+l2’dy(f), где Легко проверить, что для любого отображения gE(-j выполняются свойства 1—3 из определения 1г, т. е. для любого £ нз R2 отображение gi—вектор в смысле определения 1г. Рассмотрим функцию ф(|)ч±£5. Она инъективна: если £вж(|£) ’ И
=ф(л), то ф(ё)(Р|)=ё|-1+ё2-О=||, ф(я)(Р|)=Я1-1 4-Я2-0=т]1, т. е. || = т]| и, аналогично, |2='Н2- Поэтому 5==Л — противоречие.
Ценность леммы 1 в том, что она позволяет проверить сюръективность функции ф. Действительно, для любого вектора d выберем в качестве £ пару чисел • По лемме 1 получим ф(£)=</. Итак, ф — биекция. Гомоморфность функции ф очевидна: Доказательство леммы 1 приводится ниже, после теоремы 1.
Следующий способ определения вектора связан с таким наблюдением. Рассмотрим множество всех кривых в R2, проходящих че
73
рез начала'-координат 6=^°^ и имеющих в этой точке'одну и ту же скорость (один и тот же касательный вектор). Имеют ли две кривые одинаковую'скорость в точке 75, можно определить, не используя понятия касательного вектора. Следовательно, это множество кривых можно отождествить с касательным вектором, тем самым интуитивно понимая вектор как множество кривых. Перейдем к точным формулировкам.
Напомним, что кривой (гладкой кривой), проходящей через точку О, называется любое отображение ф :/?-»-/?2, <р(/) = ( е R2,
t&R, для которого функции х(/) и y(f) имеют непрерывные первые производные во всех точках их области определения, и, кроме того, б=ф(/0) для некоторого to^R. (В качестве ооласти определения кривой можно выбрать любой промежуток в R, но. можно пользоваться и приведенным определением.) Для определенности будем считать, что в качестве точки to всегда выбирается число 0. Множество всех кривых, проходящих через 75, обозначим S.
Определение 1д. Вектором называется любой класс эквивалентности в множестве S относительно отношения эквивалентности:
Ф1 ~ф2ч=*Пт (0~*М*>И = о.
Другими словами, ф| эквивалентно ф2, если разность ф|(/)— — Фг(0'яри /->0 является бесконечно малой более высокого порядка, чем А
Суммой 1ф|]4-[ф2| Двух векторов (двух классов эквивалентности) называется вектор (класс эквивалентности) вида [ф|4-фг]-Аиалогично X• [ф]ч*[Х• ф].
Пусть фе5 и ф(0=(^’)е/?2, где x(t), y(t): R-+R. Функцию ф определим следующим образом: ф([ф])з*(х'(0), y'tfl))- Прежде всего проверим, что функция ф определена корректно, т. е. не зависит от, выбора представителя в классе [ф]. Если ае[<р], то а~ф, и
“«-О
пт “ЛЦг55.=о.
Учитывая, что и(0)=х(0)=0, получим и'(0)=х/(0)- Аналогично &'(())= £/'(()), т. е. функция ф корректно определена.
Докажем инъективность функции ф. Так как ф гомоморфизм (проверьте), то для этого достаточно убедиться в том, что Кегф=
= ([б]). Если ф([ф])=(0, 0), то по теореме Лагранжа
= х'(Х/) и y(t)—y(O)=y'(iit)’t. где и ц./ какие-то фиксированные
74
точки из отрезка [О, J]. Функция -у- ограничена. Точки Х(, стремятся к точке 0 при f->0. Функции х'(Х() и стремятся соответственно к числам х'(0) и у'(0), при f->0. Наконец, х'(0)=у'(0)=0. Поэтому получим
при /->0. Следовательно, <р эквивалентна тождественно равной нулю кривой, Г. е. <ре|б]. Итак, функция ф инъективна.
Докажем ее сюръективность: если (х, у)Е/?2 и ф(/)ч=*(/-х, t-y), то Ф([ф])=(х, у). Итак, функция ф — изоморфизм.
Отметим, что в определениях 1г и 1д используется только метрика (расстояние между точками) в R2, т. е. в них /?2 рассматривается как метрическое пространство независимо от его векторной структуры. Метрика используется в понятиях предела и производной.
3. Вектор как тензор. Последний подход к пониманию вектора основан на фундаментальной концепции тензора, которая связана с преобразованием координат фиксированного вектора при переходе от одного базиса в R2 к другому. Мы ограничимся изложением концепции тензора только для интересующего нас случая вектора.
Сначала напомним, как преобразуются координаты фиксированного вектора |=х-в|-|-t/-e2 при переходе от одного базиса е= <в|, е2> к другому базису е'= {е\, е2>- Пусть Ae.t = =(а2|'аи) — матРии1а перехода от базиса е к базису е', т. е. числа aij удовлетворяют условиям:
(e'i = Д| । • в\ -|- Д|2-в2,
( е'ч = О2| • ₽1 а22 • ₽2-
Из этих условий выразим векторы е\ и е2:
^22 . ац .
е<—е,—3^7е’е2’
2 det4s-if 1 + det Д,.-,'в2'
Поэтому матрица перехода от базиса е' к базису е, т. е матрица Ле еЧ равна (OVe)"1)'.
Если £=x'-ef4-4/'-e2=x-ei 4-у*е2, то х'-(ацв| 4-а!2е2)4-+y'-(a2iel+a22e2)=xe,+ye2> х' +“21 ==
I Oi2X +а22у — у, \yj
и (/) ' Отметим’ что (4«)"1=И?.'Х Для
краткости вместо Ае- е иногда будем писать А, Итак,
е'=Ае,,.-е и =(Л/е)'.^ .
75
Сравнение этих равенств показывает, что если базисы преобразуются друг в друга матрицей А, то соответствующие координаты одного и того же фиксированного вектора £ преобразуются матрицей (Л-1)'.
Определение 1е. Обозначим Е совокупность всех базисов в J?2. Вектором называемся любое отображение f: E-+R2, обладающее свойством Уе', ее = (Д7.1 ,)' •/(«)), где матрица перехода от базиса е к базису е’.
Отметим одну особенность этого определения: если известно хотя бы одно значение функции f(-), то любое другое ее значение однозначно вычисляется по нему. Следовательно, если К’) н #(•) —два вектора н 3e<=£(f(e)=g(e)), то Ve'e£(f(e/) = = £(₽')). Кроме линейной, ни одна нз привычных функций не обладает таким свойством. Операции над векторами в этом смысле определим поточечно:
(f- +f2) (е)^П(е)+Г2(е), (k-f)
Упражнение 5. Докажите, что:
а) определения операций сложения векторов и умножения вектора на число, сформулированные в 1д и 1е, корректны:
б) множества векторов, определенных в 1д и 1е, образуют векторные плоскости;
в) если Ае.е — матрица перехода от базиса е к базису,е', то det (А г)^0.
г) Используя явный вид матрицы Л“‘, проверьте, что det(4“‘)=(det Л)~‘ и det(4')=det А.
Определим функцию ф(-) равенством где е0 — какой-'
то один фиксированный базис в R2. Легко видеть, что ф(-)— гомоморфизм.
Чтобы проверить инъективность ф(-), убедимся, что ядро ф(-) тривиально. Пусть ф(/)=(0, 0)е/?2. Докажем, что тогда f : £-> ->R2 — нулевой вектор, т. е. функция из £ в R2, тождественно равная нулю. Действительно, по определению f имеем Де)=(Лв-Л)7(ео). Так как Део)=(0, 0), то для любого базиса ее£ выполняется f(e)=(O, 0). Итак, функция ф(-) инъективна. Докажем ее сюръективность. Пусть (*о, У о)— любая наперед заданная точка из R2: Определим отображение f:E-+R2 равенством Де)ч=ь(Л“|о)С(хо; у0), где е — любой элемент из £. Надо доказать, что определенная таким образом функция f:E-+R2 является вектором, т. е.
Г(е')=(Лг'е)'-Г(4
Так как матрица перехода Ле.,в0 от е0 к е! равна произведению (Лс) • (Лсп) матриц перехода от еп к е и от е к е', то, учитывая равенство ((BC)_|)'=(C~IB“I)'=(B_,), (С-1)', получаем:
f(e')=GVJo)' f (еоМИе,,-Ле,00)-7 f(e0)=
76
f(eo)=(A?.’)‘ Ke).
Итак, функция ф-бнекцця и гомоморфизм и, следовательно, изоморфизм.
Итак, выше доказана следующая теорема.
Теорема 1. Определения вектора 1а — 1е эквивалентны. ^Доказательство леммы 1. Нужно проверить, что для любой функция feB выполняется d(f)=d(Pi)’dx(f)-}-d(P2)~d!,(J). Фиксируем какую-то точку g=(|i, |2) и рассмотрим функцию. g(t)^f(t-l)=Kt'^t, Ь£2), зависящую только от числового аргумента t, т. е. g(-) . R-+R. Применим к ней как к функции от t формулу Ньютона-Лейбница на отрезке [О, 1]: ;
g(l)-g(O)=f(l)~f(O)=^'(/)-dL о
Поскольку функция g(-) является композицией функций /нН•£(->-H*-f(/-g), то по правилу дифференцирования композиции получаем:
Поэтому f(|)-f(6)=|1.$rE1(/.|).d/+^.{f'E2(/.|)-d/ = P1(|).
о , о ,
•fi(S)4-P2(g)-b(g), где И h^fUt.frdt.
о о
В полученное равенство подставйм сначала точку |=(|i°, 0) и затем точку | = (0, £2). В первом случае получим 0).
Это равенство выполняется при любых g,. Поэтому, переходя в нем к пределу при gi->0, получим fi(6)=f'E1(0, 0). Аналогично f2(0)= = K,(Q, 0). Используя упражнение 4г, получим:
d(f)=d(f(0)4-Prf.4-P2-f2)=rf(f(0))4-d(P1)-fi(0)4-P1(0)-d(f1) +
4-d(P2)-f2(0)4-P2(0)-d(F2)-d(P1)-di(f)4-d(P2)-d2(f).«
В этом рассуждении существенно использовалось, что все рассматриваемые функции бесконечно дифференцируемы, так как иначе функции ft и f2 могут не принадлежать области определения отображения d.
§ 2. ПОНЯТИЕ ПЛОСКОСТИ.
1. Аффинная плоскость. Когда в школе формируют интуитивное представление о плоскости, то. говорят о плоскости стола или плоскости доски, неограниченно продолженной во все стороны. В высшей математике плоскость часто определяют как R2. Однако R2 мало соответствует такому интуитивному представлению о плоскости: в R2 имеется абсолютно выделенная точка 0ч=^ ’, абсолютно выделенные оси хну, точки с рациональными и иррациональными, алгебраическими и трансцендеитнымн координатами и т. д. Ничего подобного нет в неограниченно продолженной плоскости классной доски. Там все точки и прямые одинаково нераз
77
личимы. Чтобы лучше выразить интуитивное представление о плоскости (геометрической плоскости), вместо R2 рассматривают векторную плоскость 33. В 33 уже нет точек со специфическими координатами, нет выделенных осей. Но в 33 еще имеется абсолютно выделенное начало — точка 75. Поэтому делают следующий шаг и переходят к аффинной плоскости.
Напомним, что двумерным аффинным пространством над телом К (аффинной плоскостью над К) называется четверка объектов А=(А, S'к, g, К}, где Л — произвольное множество, S'к— двумерное векторное пространство над телом К и g — функция, согласующая множества А и 33, а именно функция g-.A'!-+3' и она по определению удовлетворяет условиям Вейля (в которых g(a, •) обозначение функции, получающейся из функции £(•, •) фиксированием первого агрумента значением а, где аеА):
1) для любой точки а из Л функция g(a, •):A-+S~ является биекцией множеств Л и 33\
2) для любых а, Ь, с^А выполняется соотношение g(a, b) + g(b, c) + g(c, а)=0.
Удобно представить себе вектор g(a, b) как вектор с началом в точке а и концом в точке Ь. Чтобы подчеркнуть такое интуитивное представление, часто используют обозначение g(a, b)^a^b.
Элементы множества Л называются точками; они соответствуют интуитивному представлению о точках: все они совершенно одинаковы 'и ни одна из них ничем не выделяется перед другими. Элементы множества 33 называются векторами. Таким образом, в понятии аффинной плоскости происходит разделение точек и векторов, чего нет в арифметической и векторной плоскостях. Если фиксирована аффинная плоскость <Л, 33к, g, К), то дЛя краткости будем называть аффинной плоскостью и само множество Л. В обозначении а, b часто не пишут запятую и опускают стрелку у верхней черты. Аффинную плоскость обозначим Л2.
Упражнение 6. Докажите, что:
а) а, а—0; ___
б) а, Ь = —Ь, а, в) a,b-\-b, с=а, с; г) (а, 6- = 0)ч>(а=6).
Подчеркнем, что в множестве Л нет никаких операций, т. е. Л ни группа, ни кольцо, ии векторное пространство. Однако наличие отображения g :AXA-+S~ со свойствами 1—2 позволяет определить действие на множестве Л аддитивной группы S~+; в этом, смысле всякий вектор из 33+ можно рассматривать как некоторое преобразование множества Л. Более точно, фиксируем вектор н каждому элементу аеЛ поставим в соответствие такой элемент ЬеЛ, что g(a, Ь) = £. Этот элемент обозначим а-{-|. По
78
аксиоме 1 для любых а и £ такой- элемент b существует и единствен.
Тем самым определена функция ff вида h А-+А, fa; ан>-*а+|; она называется параллельным переносом в аффинной плоскости А на вектор g. Если В пробегает все множество S, то каждому | соответствует своя конкретная функция : А->-А. Получается отображение F : ^-»-Is(A),
Предложение 1. Отображение F: Е является эффективным и транзитивным действием аддитивной группы S+ векторной плоскости S на множестве А, где А — носитель аффинной плоскости (А, В. К).
> Докажем, что для фиксированных векторов £ -и п из S и для всех точек а^А выполняется (а4"ё)4-11 = а4_(И_11)-
Пусть. Ь = а.-{-£ и с=(а4-|)4-т]. Тогда а, 6 = £, Ь, с=т], и поэтому а, с = а, Ь-}-Ь, с = |4-т], т. е. с = а-^(£4~т1)-
Перепишем равенство (а4-£)4-п = а4_(В'Ьт1) в терминах отображения Fify-t-fiH получим, что fn°ft—f6+п- ^то означает гомоморф-ность отображения F, а из нее вытекает равенство f-i°fi = idA> где id4 — тождественное отображение множества А на себя.
Если f5(ai)=fE(a2), то a, =f_Ео^(а2)=а2, т. е. функция fi инъективна. Сюръективность функции fE очевидна: fE(a)= = 6о|=а, Ь, н достаточно положить а=&Ь + ( — |). Итак, доказано, что отображение F : £t-»-fE является гомоморфизмом группы ЗГ+ в группу Is (А). Следовательно, F — действие S~+ на множестве А. Пусть |еКег F, т. е. fE = id^ или же fE(a)=a для всех аеЛ. Выберем какую-нибудь одну точку а и по определению fi получим |=а, а=0. Следовательно, F инъективно. Иными словами, действие F эффективно.
Наконец, докажем транзитивность действия F.
Пусть а и b — элементы А. Положим £ч=ьа, Ь. Тогда f Е(а)= = 6.
Доказанное предложение представляет интерес в связи с тем, что подводит нас к новому пониманию аффинной плоскости. Оказывается, что задание на произвольном множестве А эффективного и транзитивного действия аддитивной группы S+ произвольной векторной плоскости S позволяет рассматривать А как аффинную плоскость над S. (Такое понимание плоскости непосредственно связано с определением 1в вектора.) Говоря точнее, верно утверждение, обратное к предложению 1.
Те.ор е м а 2. Пусть F : §-+fi — произвольное эффективное и транзитивное действие аддитивной группы. S+ какой-то векторной плоскости SK на произвольном множестве А. Определим ' g:AXA-+S условием (g(a, b)==l)^(ft(a) = b). Тогда (A, SK, g, К) -— аффинная плоскость.
> Пусть для некоторого сеЛ выполняется fE(c)=c. Докажем, что тогда fE(a)=a для всех ае/. Действительно, в силу транзитив-
79
I
иости действия F для любого аеЛ найдется такой вектор что f„(c) = a. Тогда f6(a)=f(l)+EHn(a)=fI)ofEof;l(a)=fi)of6(c)= = f„(c)=a.
Поэтому ^==1<1д, и в силу эффективности действия F подучаем равенство £=Т).
Докажем, что g(a, b) определено однозначно. Если fEi(a)= = f^a)=b, то и по доказанному выше
fii-E2 = idd, т- е. ji = ^2. Следовательно, такое равенство g(a, = | верно только прн одном Существование такого £ следует из транзитивности действия F. Проверим аксиомы Вейля.
1) Фиксируем ае.4 Тогда надо показать, что g(a, •): A-+S — биекция.
[> Если g(a, bi)=g(a, b2)=l, то fi(a)=bl и fE(a)=b2, и так как fE— однозначное отображение, то Ь| = Ь2. Сюръективность g(a, •) очевидна: если положить b = fi(a), то g(a, b)=%.
2) Достаточно показать, что g(a, b)+g(b, c)=g(a, с). Если | = g(a, b) и r\ — g(b, с), то fi(a)=b, fn(b)=c, и поэтому f6+n(a)= =fn+6(a)=fnofE(a)^c, т. е.
g(a, c)=£4-Ti.
Например, R2 можно рассматривать как аффинную плоскость, а именно как </?2, R2, g, R), где первое R2—просто множество, второе R2 — векторная плоскость над R н g(a, b)^b—а.
Аналогичным образом любую векторную плоскость ЗГ над К (например, С2 над С) обычно рассматривают как аффинную плоскость вида {S, S, g, К), где первое S— просто множество, второе S— векторная плоскость над К и #(|, т])ч±т] —
2. Школьные геометрические понятия в аффинной плоскости. Прямой / в аффинной плоскости (A, SK, g, К) называется множество точек аффинной плоскости вида {a-j-X-a, Ь|ХеК], где а и b — любые две, не равные между собой точки из А. Вектор а, Ь называется' направляющим вектором прямой I.
Если поле (или тело) К упорядочено (в этом случае порядок всегда линейный), то в аффинной плоскости (A, Sк, g, К) естественным образом определяется понятие луча с началом в точке а, проходящего через точку (Ь=/=а), а также и понятие отрезка с концами в точках а и Ь. А именно: лучом называется множество точек аффинной плоскости вида {a-|-X-a, b |Xе/<>0}, где а и b — какие-то фиксированные точки из А, a=£b. Отрезком с- концами в точках а н Jb называется множество точек аффинной плоскости вида {a4-X-a,&|0K<A,< 14, a^b; оно обозначается [а, &].
Отметим, что для отрезка, определяемого точками а и о, не фиксируется, какая нз этих точек первая и какая — вторая. Действительно, легко .видеть, что множества (a4-X-a, 1К) и
{Ь+дх-Ь, а |0к<а< 1J совпадают.
чо
a
b
Рис. 25
Далее будем рассматривать случай, когда К совпадает с полем К.
у Чтобы показать, каким образом переносятся многие геометрические понятия из /?2 в аффинную плоскость, в оставшейся части г этого пункта остановимся на понятиях многоугольника, площади Многоугольника и топологии в аффинной плоскости. Этот материал предполагает известным содержание § 3 из главы Ш. Поэтому при первом чтении его можно пропустить и перейти к следующему п, 3.
Пусть / — некоторая фиксированная прямая в аффинной плоскости. Рассмотрим в множестве А\1 отношение эквивалентности: (а~Ь)ч±([а, Ь]П/= 0), т. е. точки а и Ь эквивалентны, если отрезок [a, ft] содержится в (А\1).
По теореме Паша для любых трех попарно различных точек а, Ь, с из множества А\1, если прямая / (см. рис. 25) пересекает один нз отрезков [a, ft], [ft, с] или [с, а], то она пересекает еще одни из этих отрезков, а третий из них не пересекает. Поэтому среди точек а, Ь, с обязательно найдутся две эквивалентные точки и, следовательно, в рассматриваемом фактор-множестве (Л\/)/~ существует не более двух различных классов эквивалентности. С другой стороны, не трудно проверить, что в (Л\/) существуют две не эквивалентные точки. Поэтому в фактор-множестве (А\Г)/ ~ имеется ровно два класса эквивалентности. Каждый из нйх по определен нию называется открытой полуплоскостью. Открытая полуплоскость в объединении с прямой I называется замкнутой полуплоскостью или кратко — полуплоскостью.
Пусть а, Ь, с — точки аффинной плоскости А, не лежащие на одной прямой. Треугольником с вершинами в точках а, Ь, с называется пересечение всех полуплоскостей, содержащих эти три точки (рис. 26). Другое эквивалентное определение состоит в том, что треугольником называется пересечение всех выпуклых множеств, содержащих эти три точки. При этом множество X, где Х&4, называется выпуклым, если для любых точек х, у из X в X содержится отрезок [х, у].
Чтобы определить понятие многоугольника в аффинной плоскости аналогично определению многоугольника в арифметической плоскости Л2, нужно сначала определить понятие внутренности треугольника.
81
Границей треугольника Д называется объединение трех отрезков, соединяющих его вершины. Внутренностью треугольника Д называется множество (Д\дД), где <ЭД — граница треугольника. После этого поиуГгие многоугольника определяется точно так же, как и в случае арифметической плоскости R2.
Многоугольником в аффинной плоскости А называется любое множество, представимое в виде объединения конечного числа треугольников, внутренности которых попарно не пересекаются.
Напомним, что линейной биекцией (изоморфизмом)
двух векторных плоскостей S и .3/ называется биекция, обладающая свойством линейности:
f(bi Ч + *2• т])==Х| .f(g)-|-Х27(т0, VXi, Х2€=Я, Vg.ne-^-
Теперь мы хотим непосредственно связать понятия многоугольника в арифметической и аффинной плоскостях; эТо делается с помощью понятия репера. Пусть e=(et, е2) — произвольный базис в векторной плоскости S. Обозначим We отображение из множества /?2 в S\ определяемое равенством
Wc({x, y^^x-ei+y’d.
Так как е базис в S, то We — линейная биекция из /?2 на S. Верно й обратноё: для любой линейной биекции W: R2-+S~ найдется такой базис е в что W=We. Действительно, достаточно положить 0» и е2^^(<0, I». Тогда W({x, y))=W(x-
-(I, 0)-{-£/• <0, 1 ))=х*в| 4-у-е2= We({x, у)). Поэтому рассмотрение линейных биекций между /?2 и S эквивалентно рассмотрению произвольных базисов в S.
В соответствии с первой аксиомой Вейля для любой фиксированной точки а из А обозначим ga биекцию g(a, •): A++S. Соединяя некоторую биекцию ga с какой-то линейной биекцией W: /?2-м-++S, получаем биекцию ga'°W . R2+*-A и обратную биекцию W'-’ogo : A++R2.
Пара (a, W) или, что то же самое, пара (а, е), где а — точка в A, W — линейная биекция и е — базис в S, называется репером в аффинной плоскости А.
Итак, выбор и фиксирование репера в плоскости -А позволяет отождествить плоскости А и R2 с помощью биекций U^’ogo или IPr'ogo. Репер <а, е) можно задать, например, тремя не коллинеарными точками в А: первая из них — сама точка а, вторая н третья — такие точки b и с, что а, Ь = е\ на, с = е2.
Нетрудно показать, что множество и является многоугольником в Л тогда и только тогда, когда для любого репера (a, W) множество 1Р~1о£а(и) является многоугольником в R. Или эквивалентным образом, когда существует репер (a, W}, для которого множество ^-loga(u) является многоугольником в/г.
Упражнение 7. Докажите два последних утверждения. Множество всех многоугольников аффинной плоскости А обо
82
значим U л. В частности таким же образом определяется множество всех многоугольников в векторной плоскости S'. -
Функцию площади (многоугольнику) в аффинной плоскости А можно определить как любую функцию вида softer‘°£а, где (а, е) — какой-то репер в А и s — какая-то площадь в R2. То же самое можно Сформулировать чуть иначе.
Определение 2. Функцией площади в аффинной плоскости (А, S, g} называется любая функция которая для
любого репера (a, порождает функцию площади sAog^loW в R2.
Удобно показать участвующие в этом определении отображения:
R Д Us- Ua-^R ><).
Теперь рассмотрим понятие открытого множества в векторной плоскости $" и в аффинной плоскости А.
Определение 3. Топология в А (и в JF) определяется базой, состоящей' из внутренностей всех треугольников.
Как эта топология связана с топологией в арифметической плоскости /?2?
Предложение 2. Для любой линейной биекции W:/?2->-S и любой точки а е А функции W и ga— гомеоморфизмы.
> Так как W биекция, то нужно только проверить, что W и IP-1 — непрерывные функции. Это следует из того, что внутренности треугольников образуют предбазы топологий в /?2 и в X, а для любого треугольника Д, и U?-I(A) — внутренности
треугольников.
Упражнение 8. Проверьте, что в векторной плоскости S треугольник Л с вершинами а, Ь, с и его внутренность Л являются множествами соответственно вида
{Х|д-|-Z.2&| X|, Z.2, Хз^О, ~|“Х24-^-3 = 1}
и
Z.2&-)-ХзС [ Л|, Z.2, Хз}>0, X|А.2"I-Хз^= 1}.
Аналогично, так как gd — биекция, то нужно только проверить непрерывность функций gd и g/1, где de А. Действительно, если w — выпуклое множество, содержащее точки а, Ь, с, то grf(w)— выпуклое множество, содержащее точки gd(a), gd(b), gd(c), так как {g(d, x-j-Xx, 1) совпадает с отрезком в S’, соединяющим
точки g(d, х) и g(d, у) в S.
Поэтому IP’-’ogo : А->/?2 — гомеоморфизм и, следовательно, топологию в А можно эквивалентным образом определить с помощью репера (a, W) и топологии в /?2. А именно, множество У, УеА назовем открытым, если существует репер {a, 1F), для которого множество 1Р_|о£а(У) открыто в R2.
Упражнение 9. Проверьте, что:
а) семейство (У^А|3(а, W)—репер (И?,_|оёа(У) — открыто)} образует топологию в А;
83
б) два определения топологии в аффинной плоскости эквивалентны. ’
П р е д л о ж е_и и е 3. Пусть <в|, IFt > и (а2, 1F2> — любые два репера в аффинной плоскости A uY ^А. Если множество Wr'°ga, (Y) открыто в R2, то и множество Wrl°ga,(Y) открыто в R2. Поэтому определение топологии в А с помощью репера не зависит от выбора репера.
|> Второе из этих множеств (обозначим его Х2) выражается через первое (обозначим его Х|) в виде
X2=W’2-,ogo,og-<JW’1(Xl),
где композиция IPr'ogo.og^^i — гомеоморфизм. Образ открытого множества при гомеоморфизме — открытое множество.
Так как векторная плоскость S является частным случаем аффинной плоскости Л, то мы определили топологию ив5“. Сформулируйте два аналогичных определения топологии специально для случая векторной плоскости.
Упражнение 10. Докажите, что:
а) топологии в векторной и аффинной плоскости отделимы и локально компактны;
б) в топологии векторной плоскости операции сложения векторов и умножения векторов на числа непрерывны;
в) в топологии аффинной плоскости любой параллельный перенос fi :А->-А, где | — фиксированный элемент из S, является гомеоморфизмом.
Отметим, что можно доказать совпадение между собой и с построенной выше топологией в S любых двух отделимых топологий в S, для которых непрерывны главные операции векторной плоскости: сложение векторов и умножение векторов на числа. Поэтому указанную топологию в S можно определять и аксиоматически.
Упражнение 11. Проверьте, что топологии в векторной плоскости X и аффинной плоскости А можно эквивалентным образом определить как наименьшие топологии, относительно которых следующие семейства {W : W — линейная биекция} и
{ga:X->-a^A} состоя? из непрерывных функций.
3. Плоскость с формой. Плоскостью с формой над R называется аффинная плоскость <Л, S, f, R), для которой в векторной плоскости S фиксирована некоторая билинейная функция g, т. е. функция g: SXS-+R, обладающая следующими свойствами:
1) Я(Л.*64-И Т], |)=X-g(|, 0+|x.g(n, ty;
2) g& X-n + l^bWd. VX, p^R, V|, n,
Плоскостью с формой над С называется аффинная плоскость (A, S, ft С), для которой в векторной плоскости S фиксирована некоторая билинейная или полуторалинейная функция g : З'Х.У'-г -<-С; понятие билинейной функции определяется в этом случае как и выше, а полуторалинейная функция по определению обладает свойствами:
84
i) я(М+н-ть У+и-яОъ О.
2) п)+й-я& £). vx, |ieC, V£, n,
Здесь X и p. — комплексные числа,, сопряженные к комплексным числам X и ц, т. е. (X=x-j-iy)=>{X=x—1у).
~ Билинейную и полуторалинейную функции часто называют формами.
Любую векторную плоскость можно рассматривать как аффинную плоскость; основным примером плоскости с формой является векторная плоскость в которой задана билинейная или полу-торалинейная форма g.
'Примеры.
I. В определим билинейную форму g(-, *) = 0.
2. В /?2 определим билинейную форму g(x, y)=xi-r/i Ц-хг-г/г, где х=(*^ н у=(^'). Эта форма—обычное скалярное произведение; оно обозначается (х, у).
3. В С2 определим полуторалинейную форму
g(X, У) = Х|-У14-Х2-У2 -или билинейную форму
£1(X, y) = Xi-t/i4-X2‘£/2.
4. В R2 определим билинейную форму
5. В R2 определим билинейную форму ।
g(x, t/) = X|-t/|— X2-J/2.
Эта форма обычно называется псевдоскалярным произведением и обозначается (х, y)i.
Форма g(>, •) называется:
а) симметричной, если g(x, y)=g(y, х), Vx, (/£$“;
б) кососимметричной, если g(x, y)=—g(y, х), Vx, у^3~;
в) эрмитовой, если g(x, у)= g(y,x), Vx, у^&‘,
г) положительно определенной, если g(x, х)> О, Vxe^, x=/=Q\
д) невырожденной, если условие Vxe^(g(x, у) = 0) влечет у=0 и условие Vt/e^(g(x, у)=0) влечет х=0.
Упражнение 12. а) Про каждую из форм I-—5 определите, какими свойствами из числа а — д она обладает.
б) Докажите: из положительной определенности формы вытекает ее невырожденность, обратное утверждение неверно.
в) Докажите, что билинейная форма g(-, •) на R2 невырожденна тогда и только тогда, когда det( g"g'2) =#0, где gif^gfei, ei), \ g2l J?22/
i, j=l,2 и <ei, ег> —стандартный базис в R2.
г) Докажите, что любая билинейная форма g на R2 представима в виде g(x, y)=gn-Xit/i4-gi2-Xii/2 + g2i-X2t/i4-g22-X2t/2, где х= =(xi, Х2), y—(yi, У2) и коэффициенты ga определены в п. в.
Теорема 3. Для того чтобы функция g(-, •) : 3T2-+R была билинейной, симметричной и положительно определенной, необ
85
ходимо и достаточно, чтобы существовала такая линейная биекция W:R2*S, что Vx, y<=R-((x, y)=g(W(x), W(y)), где (•, •) — обычно^ скалярное произведение в R.
|>Достаточность. Пусть W : /?2->Х — такой изоморфизм, что Vx, t/efl2((x, y)—g(W(x), №(у)У). Тогда для любых векторов
т\е=ЯГ выполняется g(|, Ц?-’•Т])=(1Р’_|-т), №“'•£)=
= £(П, В), т. е. функция g(‘, •) симметрична. Если вектор S и £ =/= ¥=0, foiH 1Р_'|=#0, так как W—изоморфизм. Поэтому g(|, |)= -= (U7’_|g, fl?-'£)>(), т. е. функция #(•, •) положительно определена. Далее, для любых векторов -ц, Ве-З" и скаляров X, ре/? получаем:
Я(Ь.В+ц.т!, £)=(^“'(*&+|И)),
Аналогично проверяется второе условие из определения билинейности функции g(-, •).
Необходимость. Матрицей формы g(>, •) в каком-то базисе (в|, ег) назовем следующую матрицу:
<?i) /gn g)2\
\ g(<?2.ei) g(<?2,e2)/ kg2i g-гг) '
Фиксируем в S некоторый базис {ei, 22) и по матрице формы #(•, •) в этом базисе построим такой новый базис {₽", eg], в котором матрица формы g(-, •) имеет особенно простой вид:( . Построение такого базиса выполняется следующим образом.
Если gn=g22=0, то положим ei=ei 4-22 и е2 — е2. Тогда gu^gte'i, ₽0=g(ei + e2, ei + ₽2)=2^12=5^0, так как все числа gii. £12, и g22 не могут быть равны нулю в силу невырожденности формы g(-, •). Поэтому с самого начала можно считать, что число gii или число g22 отлично от нуля. Поменяв, если надо, местами векторы в| и е2, получим, что gn=/=0.
ПОЛОЖИМ е1 = в| Н 62= — 77-*’2| 4-₽2.
gn
Тогда g(e'it 20=g(et, — ^-ei4-e2)= — ^-g(eh ei)4-g(«?i, 22)=0 = Й» *» о I ‘ о 11
32, е().
ри этом {el, е2} — базис, т. е. векторьг ef и е2 линейно независимы, так как определитель матрицы перехода Ае.е от базиса {ei, е2} к паре векторов {ef, е2} отличен от нуля:
1 gl2 det(0
Если бы существовало а = (“^е/?2, для которого otief4-06222= — 0, ТО 0= СС| (О| |б| 4-а12е2)4-®2(а2|2| 4“а2222) = (й| |0С| 4“а21аг)2| 4“ 4"(О|20С| 4“а220С2) в2-
86
По условию e=[elt е2)— базис, поэтому А'е.е-а=0, det4'e. г= = det Ае-=#0, а=(Д'е,.е)-1,0=0 — противоречие.
Итак, в базисе {ef, е2) матрица формы g(-, •) имеет вид
(g'i> о \ \ 0 ёзг/
При этом g!।>0 и g22>0, так как форма g(>, •) положительно определена и g'u^gW, е'\\ g22=.g(e2, е2)- Положим е"^
— ef н е2з± е2. Тогда в базисе - ег) матрица
Я(*, •) имеет искомый вид( ) . В качестве искомого изоморфизма выберем функцию W, которая по определению точке х — — ( *') е/?2 составляет вектор из S с координатами xi. 2 в базисе
е", т. е. 1Р’(х)ч±Х|е"-{-х2е2. Легко убедиться, что эта функция действительно изоморфизм. Для любых точек х, уе/?2, где х= =(3 и У=(у?) ’ полУчаем х1У|4-х2У2 = (х, у) И g(Wx, Wy)— = g[x\e"4-х2е%, t/ie"4-t/2e2)=Xi-t/i4-x2-t/2.
Следствие. Пусть g(-. — билинейная н симмет-
ричная форма, которая необязательно положительно определена. Тогда в S найдется такой базис e=(ei, е2), в котором матрица формы g(-, •) имеет один из следующих видов:
1 0\ / -1 о\ / — 1 о\ / 1 о\ / — 1 о\ / о о\ /
0.1/’\ о -1/'\ о I) ’ V о о) ’ \ оо/Лоо/’
[> Если g(-, •) не тождественно равна нулю, то, как и при доказательстве теоремы 3, найдется базис e'=(ef, е2), в котором матрица g( -, •) имеет диагональный вид ( 8‘' ? V Далее все зависит
\ О
от знаков g(|. Если gfi>0, то положим ei^—==е( и получим, что
I vSh
gn=l. Если gh<0, то положим еу** . -el и получим, что gn = V-gli
g(e'i, ef)= —1. Дальнейшее очевидно.
Всякую билинейную, симметричную и положительно определенную форму в векторной плоскости называют евклидовой. Векторная плоскость S, в которой фиксирована некоторая евклидова форма, называется евклидовой векторной плоскостью. Аффинная плоскость, для которой в соответствующей ей векторной плоскости задана некоторая евклидова форма, называется аффинной евклидовой плоскостью.
Выделение класса евклидовых плоскостей среди всех возможных векторных плоскостей связано с тем, что в евклидовой
87
плоскости можно с помощью формы определить длину вектора и* расстояние между точками.
Предложение. 4. Пусть < А, ЗС, f, g) — аффинная евклидова плоскость, 'где g( •, •) — евклидова форма в векторной плоскости ЗГ.
Тогда: а) функция || • || : 3~->-R >0, определенная равенством \\x\\**^g(x, х), является нормой в векторной плоскости
б) функция Ра(‘. ) •' АХ А-*-/? >о, определенная равенством рА(а, b)=&Hf (а, Л)|| = ||а, Ь\\=-^в(аП>, а^Ь) , является метрикой в евклидовой плоскости А, инвариантной относительно любого параллельного переноса.
> а) По теореме 3 найдется такой изоморфизм W : /?2-*-^, что для всех векторов g, выполняется
U7-’.T1) = g(|> г))-
Пусть ||||| = 0. Тогда 0=7^(О)=-д/^-1 где . Следовательно, Х|=Х2=0, т. е. и^_|^ = 0 и
g=U7.(U7-'.g)=O. Далее, ||Х*У =V£(M. М)= l)= IM•
*||||| для любого скаляра h^R.
Для проверки того, что функция || • || является нормой, осталось доказать неравенство |||4-nil CH£11-HInil Для всех векторов £, n е S'. ч
Пусть x=U7’_|*g) у=1₽’-|.Т1 и ||х||Я2—норма элемента х в /?2, т. е. ||х|| R24*-^x2 4-х!, где х = (*‘). Используя неравенство Коши — Буняковского для нормы || - Ида, т. е. неравенство |(х, t/)IC <1И1«2-||у|1Я!. получим ||£ + nll2=g(£+n» £+п)=(*+у. *+«/)= = ||х||22 +2(х, y)4-||y||2R2<(||x||R24-||y||R2)2 = (g(|, |) +г(т), т|))2= =(И£11 + 11п11)2*
б) По п. а векторная плоскость ЗС является векторным пространством^ нормой. Поэтому в ЗГ, как и во всяком нормированном-пространстве, каноническим образом определяется метрика р(|, т])ч± 4*111—rill для любых векторов £, Тот факт, что таким образом определенная функция является метрикой, не-
посредственно следует из того, что’ функция || • || является нормой. Более того, функция р(*, *) инвариантна относительно параллельных переносов, т. е. для любых векторов £, т], выполняется
р(14Ч- п+0=11(£+О-(п+£)И = 111-яИ =р(1 п).
Докажем теперь, что функция рл; определенная ра-
венством рл(а, Ь)чь ||д, &|| для всех точек а, Ь^А, является
88
^метрикой в А. Если р(а, й) = 0,' то а, 6=0, и по свойствам фунй1 щи и g(a, b)^a, Ь-.А'->~ЗГ получаем, что а — Ь (см. упражнение 6 „В п. 1 этого параграфа).
____По свойствам этой же функции g: А2->~Х имеем также, что 'Ь, а= — а, Ь, н, следовательно, рА(Ь, а)=||Ь, а|| = || —а, Ь|| =
= Ц а, Ь||=р(а, 6).
Наконец, учитывая равенство а, 6 + 6, с=а, с (снова упражнение 6 в п. 1 этого параграфа), получаем, что
рл(а, с)=||аГё||=||аГЗ+К^|К1|аГТ|Ц-||^с||=Рл(а, Ь)+
+ Ра(Ь, с).
Следовательно, рл(-, •) — метрика в А. Если ректор то Рл(д + 1. Ь-Н)=Рд(а, Ь). Действительно, если а' = а + £ и Ь' = Ь + £, то а, а' = Н=6, 6' и “
а, Ь — а, а' + а', b'-\-b', 6 = £ + а', 6' — |=а', Ь' и
ц5т = ц5Г5||.
Следовательно, метрика рл(-., •) инвариантна относительно па-,раллельных переносов.
В евклидовой плоскости можно обычным образом определить школьные геометрические понятия. Приведем несколько таких определений. Два вектора £ и ri из & ортогональны, если g(|, ri) = 0. Множество всех векторов, ортогональных к фиксированному ненулевому вектору обозначим т. е.
т|)=0}.
Упражнение 13. Докажите, что:
а) — подпространство исходного векторного пространства ЗГ;
б) подпространство g1 не состоит из одного нуля и не совпадает со всем пространством ЗГ\
в) подпространство g1 — прямая;
г) пусть g — какая-нибудь (не обязательно евклидова) форма на тогда точно так же определим множество найдите его для всех тех форм g, которые приводились выше в виде примеров.
4. Проективная плоскость. Понятие проективной плоскости наряду с понятиями арифметической плоскости /?2, векторной плоскости ЗА и аффинной плоскости Аг является отражением интуитивных представлений о «плоскости стола или плоскости доски, неограниченно продолженных во все стороны». Вопрос о том, какое из этих четырех понятий наиболее адекватно отражает основные свойства реально существующих плоскостей и, в частности, тех плоскостей, которые рассматриваются в физике, представляет собой важную и трудную задачу. Она рассматривается, в частности, в теоретической физике.
Напомним, что вещественной проективной плоскостью называется множество всех прямых в R3, проходящих через какую-то
89
одну фиксированную точку R3, например через точку О. Другое эквивалентное определение состоит в том, что вещественной проективной плоскостью называется фактор-множество (/?3\ \{О))/~, где x~y=₽t3Xe/f*(X-•*=У);
Действительно, любой класс эквивалентности [х] этого фактормножества состоит из всех точек прямой • х|Xе/?}, кроме начала координат. При этом соответ-
ствие [х]н»-/х является биекцией (проверьте).
Точно так же можно определить комплексную проективную плоскость и вообще проективную плоскость над произвольным телом К. А именно, проективной' плоскостью РАК) иад телом К называется фактор-множество (№\{О))/~, где (х~у)ч=*ЭХе/<’ (Х-х = у)
и \{О|) — мультипликативная группа тела К. Веществен-
ную проективную плоскость Р2(/?) будем обозначать Р2. Элементы проективной плоскости будем называть проективными точками.
В Р2 определяется топология; например, как фактор-топологня:
где ф<- {(/?3\]О))->-Р2, ф(х)=₽*:[х] — каноническое отображение и
—топология в множестве /?3\]О}, индуцированная топологией в /?3.
Для того чтобы пояснить связь между понятиями проективной и аффинной плоскости, рассмотрим в /?’ произвольную плоскость, не проходящую через начало координат. Например, плоскость А2, определяемую уравнением z= —1 (см. рис. 27).
Очевидно, структура (А2, R2, f), где А2=₽Ч(х, у, — 1)|х, уе e/?}s/?3, f(a, b)^{b—a)<~R2 и а, Ь^А2, является аффинной плоскостью с носителем А2. Здесь точка b — а имеет вид (xi—х, i/i—у, 0), но мы отождествляем ее с точкой (Х|—х, У\—у) из R2. Для каждой точки а^А2 обозначим через_/а прямую, проведенную через точку а и начало координат О. Тогда соответствие ф; ан->-/а инъективно, но не сюръективно отображает аффинную плоскость А2 в проективную плоскость Р2. С помощью соответствия ф каждую точку аффинной плоскости А2 можно отождествить с проективной точкой 1а — элементом проективной плоскости Р2 и, следовательно, можно отождествить аффинную плоскость А2 с некоторым подмножеством проективной плоскости Р2. Именно в этом смысле говорят, что проективная плоскость является «расширением» аффинной плоскости А2. При этом расширение происходит за счет тех прямых, проходящих через начало координат (проективных точек), которые не являются образами точек а из А2 гри дан-
9U
'^iom соответствии ф: at->la. Другими словами, расширение Аг •происходит за счет проективных точек, которые, как прямые в /г парал-лельиы плоскости Аг (в данном случае — за счет всех I прямых, проходящих через точку75 и лежащих в плоскости z=0).
Такие проективные точки называют бесконечно удаленными.
Множество всех проективных__точек, лежащих в какой-то одной плоскости, проходящей через О, называют проективной прямой. Поэтому множество всех бесконечно удаленных точек, очевидно, образует проективную прямую (в данном случае определяемую плоскостью z = 0). Эта проективная прямая называется бесконечно удаленной проективной прямой. Если в качестве Аг вместо z= —1 выбрать какую-нибудь иную плоскость и аналогичным образом определить функцию ф и понятие бесконечно удаленной проективной точки, то, очевидно, бесконечно удаленными окажутся другие Проективные точки, которые составят другую бесконечно удаленную ^проективную прямую.
Поэтому выделение среди проективных точек бесконечно удаленных ,и среди проективных прямых бесконечно удаленной зависит от произвола в выборе аффинной плоскости Аг и, следовательно, субъективно. Иными словами, бесконечно удаленная проективная точка сама по себе, безотносительно к выбору плоскости Аг, ничем не отличается от любой другой проективной точки.
Аналогичным образом обстоит дело с бесконечио_удаленной прямой. Для сравнения заметим, что, например, точка О в векторной плоскости SF определяется однозначно, независимо ии от каких произвольных выборов и- в этом смысле объективно. Каждой прямой / в плоскости Аг (с уравнением г— — 1) сопоставим прямую в плоскости z=0, которая является пересечением плоскости z = 0 с плоскостью, проходящей через точку О и прямую /. Тем самым всякой прямой I в плоскости Аг соответствует проективная бесконечно удаленная точка /«, (рис. 28). Обозначим ф1 (/)=₽*/м и получим отображение множества всех прямых в плоскости Аг в множество всех прямых в плоскости z=0, проходящих через точку "О. Отображение ф|(-) сюръективно, но не инъективно: всякой проективной точке соответствует семейство параллельных прямых I в плоскости А2: если I параллельно Г, то ф|(/)=ф( (/')• Факторизуем мио-
жество всех прямых в плоскости А2 отношением эквивалентности 1\\Г и на это фактор-множество X опустим отображение ф|, т. е. положим ф2 ([/])ч±ф|(/). Такое ф2 корректно определено и является биекцией между' X и множеством всех проективных точек бесконечно удаленной проективной прямой (проверьте!). Классы эквивалентности из X называются еще связками параллельных прямых в Л2. Поэтому бесконечно удаленные проективные точки и связки параллельных прямых в Л2 могут быть отождествлены с помощью отображения ф2. Отображение ф2 показывает, насколько проективная плоскость Р2 шире аффинной плоскости Л2, а именно Р2 состоит из всех точек Л2 и еще из всевозможных связок параллельных прямых в Л2.
Соответствие ф:ан>-/а позволяет переносить многие понятия, определенные в аффинной плоскости Л2, в проективную плоскость Р-2.
. Иногда бывает удобно еще одно определение проективной плоскости. А именно, назовем проективной плоскостью фактормножество, полученное в результате факторизации сферы S2 по следующему отношению эквивалентности: (х ~ ,у)ч±(х= — у) (рис. 29). В этом фактор-миожестве н определяется фактор-топология; при этом в S2 рассматривается топология индуцируемая из R3.
Ясно, что каждый класс эквивалентности [х] из фактор-мно-ж ест в a (S2/~ 1) состоит ровно из двух точек, он однозначно определяет прямую в /?3, проходящую через начало координат, т. е. однозначно определяет проективную тбчку в смысле предыдущего определения проективной плоскости. Эту биекцию вида (S2/~i)-*--*(/?3\{б))/~ обозначим f.
Упражнение 14. Докажите, что:
а) биекция f — гомеоморфизм; поэтому проективная плоскость Р2 гомеоморфна сфере S2 с отождествленными диаметрально противоположными точками;
, б) канонические отображения <р: (/?3\]О))-»-Р2=₽*К1?3\]О})/ ~ и q>i : S2-*(S2/~i) непрерывны и открыты;
в) множество Y, KsP2 открыто в Р2 тогда и только тогда, когда множество Х={/П52//еУ) открыто в S2.
Отметим, что' у каждой проективной точки I в Р? имеется окрестность в' в Р2, гомеоморфная окрестности в S2 некоторой точки на сфере. На рисунке 29 такая окрестность в' состоит из всех прямых, проходящих через точки окрестности в х и О. Соответствующий'гомеоморфизм определяется формулой где Ze^', а te точка пересечения прямой I и окрестности &х. Поэтому проективная плоскость Р2 локально гомеоморфна сфере S2 и, следовательно, локально гомеоморфна арифметической плоскости R2. Топологические пространства, локально гомеоморфные R2, называются двумерными многообразиями. Например, R2, S2, Р2 и все обычные поверхности, рассматриваемые в курсе анализа, являются двумерными многообразиями.
92
Во втором определении проективной плоскости S2/ ~ । можно Заменить сферу 8- на ее верхнюю половину S+^zeS~|P3(z)^0). Получится еще одно определение проективной плоскости как фак-тор-множества (S+ / ~ i) с фактор-топологией в нем. Легко видеть, что проективная плоскость Pz гомеоморфна этому фактор-прост-ранству, т. е. полусфере S+, у которой на границе отождествлены диаметрально противоположные точки.
Проективные прямые в Р2, как легко видеть, соответствуют в S2/~i окружностям больших кругов_(т. е. сечениям сферы S2 плоскостями, проходящими через точку О), у которых диаметрально противоположные точки отождествлены. Такие «окружности» гомеоморфны обычным окружностям, поэтому все проективные прямые гомеоморфны S. В частности, они «замкнуты», в отличие от аффинных прямых: если «идти» по проективной прямой все время, «вперед», то когда-нибудь вернешься в ту точку, из которой вышел.
Упражнение 15. Опишите проективные прямые в проективной плоскости S+/~ । и в ее проекции на плоскость Оху. Эта проекция'— гомеоморфизм на круг D, у которого отождествлены противоположные точки границы (так получается еще одно возможное определение проективной плоскости).
Вероятно, у читателя возник вопрос, в каком смысле эквивалентны пять указанных выше определений проективной плоскости; в каждом из них проективная плоскость определялась как конкретное топологическое пространство, эти пять топологических пространств гомеоморфны между собой; следует Ли отсюда, что любое гомеоморфное нм топологическое пространство также можно назвать проективной плоскостью. Заметим, что для каждого из этих пяти топологических пространств X определяется и семейство его подмножеств, состоящее из всех проективных прямых в X. При этом указанные гомеоморфизмы переводят проективные прямые одного топологического пространства в проективные прямые другого топологического пространства. Итак, проективная плоскость — нечто большее, чем просто топологическое пространство: в ней определено понятие прямой. Любое топологическое пространство с выделенным в нем семейством подмножеств (элементы которого называются проективными прямыми), гомеоморфное Pz (причем гомеоморфизм переводит прямые в прямые), можно назвать проективной плоскостью.
Если представить себе, что полусфера 8+ сделана из тонкой резины, и попытаться физически осуществить отождествление диаметрально противоположных точек ее границы 8, то мы убедимся, что такую операцию нельзя реально осуществить без самопересечений и разрывов. В этом смысле проективная плоскость является примером двумерного многообразия, которое физически не реализуемо в трехмерном пространстве К3.
Чем проективная плоскость предпочтительнее аффинной плоскости? Какая из них более адекватно отражает интуитивное представление о плоскости, а также о реальной физической плоскости?
93
Не входя подробно в обсуждение этих сложных вопросов, отметим, что в проективной плоскости любые две проективные прямые пересекаются (имеют общие проективные точки). Это непосредственно вытекает'из определений проективной точки н проективной плоскости. В случае аффинной плоскости, как и в случаях арифметической и векторной плоскостей, это не так — в них имеются параллельные прямые. Это уникальное свойство проективной _ плоскости удобно и важно для теории и приложений.
На второй вопрос, казалось бы, нужно сразу ответить, что понятие аффинной плоскости более адекватно отражает интуитивное представление о геометрической плоскости. Однако любая проект тнвная точка в проективной плоскости и проективной прямой имеет окрестность, гомеоморфную окрестности аффинной точки в аффинной плоскости н аффинной прямой. Поэтому локально проективные плоскость и прямая не отличимы от аффинных плоскости и прямой. Глобально они совсем не похожи друг на друга: например, проективная прямая гомеоморфна окружности.
В заключение отметим, что проективную плоскость можно определять и в более абстрактном духе, подобном предшествующему определению аффинной плоскости. А именно, пусть К — произвольное тело (например, /<=/?) и S—произвольное трехмерное векторное пространство над А. Проективной плоскостью Pz(I(, S) назовем множество всех одномерных линейных подпространств в S.
§ 3. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПЛОСКОСТИ
1. Два типа аксиоматического определения плоскости. В предыдущем параграфе понятие плоскости определялось с помощью наперед заданного поля R или арифметической плоскости, которые понимаются как фиксированные множества с фиксированными операциями в них. При таком подходе поле R и арифметическая плоскость /?2 считаются заранее известными, индивидуально выделенными математическими объектами, н в этом смысле они являются своего рода константами. Поэтому подход к понятию плоскости, в предыдущем параграфе правильно было бы назвать конструктивным или структурным. Он связан с именем Г.- Вейля.
Конечно, можно выписать все аксиомы, характеризующие поле R или плоскость /?2, и добавить их к аксиомам, характеризующим векторную плоскость, а в случае аффинной плоскости добавить еще две аксиомы Вейля и таким образом получить аксиоматическое (без всяких констант) определение аффинной плоскости. Аналогично можно определить проективную плоскость. Однако такая аксиоматика представляется искусственной. Это проявляется, например, в том, что она будет включать различные мало связанные между собой сорта переменных: переменные по последовательностям, по вещественным числам, по элементам векторной плоскости, по4 элементам аффинной, плоскости и т. д.
Z 94
Традиция, возникшая после создания общей теории множеств, предлагает определять понятие плоскости с помощью такой аксиоматики, которая с самого начала использует понятия множества н принадлежности одного множества другому множеству (в качестве его элемента). Такой подход к понятию плоскости называют теоретико-множественным. Его иногда путают с евклидовым подходом; однако он принципиально отличается от евклидова подхода тем, что все фигурирующие в нем объекты по определению считаются множествами. А именно, прямые и плоскости считаются множествами точек, прямые — подмножествами плоскостей. Конечно, в евклидовом подходе не имеются в виду никакие множества.
Мы кратко рассмотрим аксиоматические определения плоскости как теоретико-множественного, так и евклидова типа. Начнем с аксиоматических определений первого типа. Они привлекательны замечательной простотой входящих в них аксиом.
Этот параграф помещен вслед за § 2 с целью более полного освещения концепции плоскости. В этом отношении он, конечно, примыкает к предыдущему параграфу. Однако материал этого параграфа не используется в дальнейшем и его можно или вообще опустить или прочесть после изучения главы. Вопросы, затрагиваемые в этом параграфе в связи с логическими аксиомами, выводом, предикатом «истинно», а также теорему 7, можно пропустить.
2. Аксиоматическое теоретико-множественное определение плоскости.
Классической аффинной плоскостью называется пара (Х.^У), где Уе^(Х), удовлетворяющая следующим аксиомам (в них для наглядности элементы множества X Называются точками, а элементы множества У называются прямыми).
А|. Через любые две различные точки можно провести единственную прямую, т. е. Vx, уЕХ(х#=у=>3!/еУ(х, уе/)).
Аг. Для любой прямой / и любой точки х существует единственная прямая /|, проходящая через х и совпадающая или не пересекающаяся с I (прямая Ц называется параллельной прямой /), т. е. Э!/|еГ(хе/|Л((/=/|)\/-13уеХ(уе/Луе/|))).
А3. Существуют три точки-, не лежащие на одной прямой (не коллинеарные), т. е. Эх, у, 2еХУ/£У“1(х, у, z^l).
Например, R2 или S' к, где S' ц— векторное пространство над полем (или телом) /С и, в частности, № — классические аффинные плоскости. В них точками являются элементы этих множеств, а прямыми — подмножества вида (X• £|XеК}, где £— произвольный фиксированный элемент из S', |=А0. Однако существуют классические аффинные плоскости, противоречащие нашему интуитивному представлению о плоскости.
Например, пусть X состоит из четырех точек, У — из шести прямых, показанных на рисунке 30.
Каждая из этих прямых по определению со-стоит ровно из двух точек. рнс зо
95
Упражнение 16. а) Проверьте выполнение аксиом А| — Аз для приведенной выше структуры, состоящей из четырех точек и шести прямых (аффинная плоскость, у которой носитель X конечное множество, называется конечной аффинной плоскостью).
б) Проверьте выполнение аксиом А|—Аз для аффинной плоскости (А, ЗС, g, К), где К — любое тело (см. § 2 этой главы).
Существование конечных аффинных плоскостей, с одной стороны, является недостатком приведенной аксиоматики: хорошо, если
аксиоматика имеет только такие модели, которые мы подразумеваем, когда пишем ее аксиомы. С другой стороны, получая следствия аксиом А|—Аз, мы тем самым изучаем не только привычные аффинные плоскости вида & к, но и конечные аффинные плоскости, расширяя область применений геометрии. С аналогичной ситуацией мы сталкиваемся при изучении аксиоматики Пеано.
Классической проективной плоскостью называется пара множеств (X, У), где Уе^(Х), которая удовлетворяет следующим . аксиомам (в них элементы множества X называются проективными точками, а элементы - множества У — проективными прямыми):
П|. Через'любые две различные проективные точки можно провести единственную проективную прямую, т. е. П^Аь
П2. Любые две проективные прямые имеют общую проективную точку, т. е. V6, /2е У ЗхеХ(хе/| Дхе12).
П3. Существуют три проективные точки, не лежащие на проективной прямой, т. е. Пз^ьДз.
П4-.ч.Каждая проективная прямая содержит хотя бы три различные проективные точки, т. е. V/еУЗх, у, геДх, у, f=l/\x=£y=£z/\x^z).
Например, Р2 или Р2(/(,^'), . где — трехмерное векторное пространство над полем или телом К, в частности Р2(№) — классические проективные плоскости. Как и в случае аксиоматики аффинной плоскости, эта аксиоматика имеет и неожиданные модели. Например, определим структуру {X, У), в которой X состоит из семи проективных точек и У — из семи проективных прямых, каждая из
которых по определению является конечным множеством проективных точек; чтобы указать эти множества, применим к конечной аффинной плоскости, показанной на рисунке 30, следующий общий прием. Добавим к точкам аффинной плоскости в качестве новых
точек связки параллельных прямых, т. е. семейства попарно параллельных прямых. В рассматриваемом случае таких связок три. ' Поэтому в новой модели будет семь проективных точек. Эти связки называются бесконечно удаленными проективными точками. К' прямым, имеющимся в аффинной плоскости, добавим в качестве новой, бесконечно удаленной прямой множество, Состоящее
96
из всех бесконечно удаленных' точек. Поэтому в новой модели будет семь проективных прямых (рис. 31).
Упражнение 17. а) П роверьте -выполнение аксиом П, — Пд для приведенной выше структуры из семи проективных точек и ’'семи проективных прямых.
б) Проверьте выполнение аксиом П| — Пд для проективной плоскости- Р2(№), где К — произвольное тело.
Классическая проективная плоскость; у которой носитель X — конечное множество, называется конечной проективной плоскостью.
Рассмотрим семейство всех классических проективных плоскостей. Это семейство содержит не только все проективные плоскости вида Pz(K3), где К — любое тело, но и конечные проективные плоскости. Оказывается, что семейство «настоящих» проективных плоскостей, т. е. проективных плоскостей вида Р2(№), где К какое-то тело, можно выделить из семейства всех классических проективных плоскостей добавлением всего одной дополнительной аксиомы, называемой аксиомой Дезарга.
ПБ. Пусть pi, р2, рз. qi, qi, qz — шесть попарно различных точек, и прямые (р„ р,) пересекаются в какой-то одной точке а, отличной от каждой из шести точек р„ р*. 4=1, 2, 3 (см. рис. 32). Тогда три точки S*. определяемые как пересечения прямых (р,, pj) и (рь р/) лежат-на какой-то одной прямой, где |4, j, k} — всевозможные перестановки трех индексов 1, 2, 3. . - "
Точка а, в которой пересекаются эти три прямые, называется перспективой. Точки pi, рч, р3 и pt, р2, рз удобно представлять как вершины двух треугольников (они заштрихованы на рис. 32). , Поэтому аксиому Дезарга можно переформулировать: если треугольники (pi, р2, р3) и (pi, р2, р3) перспективны, т. е. имеют точку перспективы, то точки пересечения соответствующих сторон этих треугольников лежат на одной прямой.
Теорема 4. Пусть (X, У) классическая проективная плоскость. Множество X— биективно (биекцию обозначим f) с Р<2(К) ' (К — некоторое тело) так, что (/ (I) 11 ее У} совпадает с множеством всех проективных прямых в Р2\(К) в том и только в том случае, если в (X, У) выполняется аксиома Дезарга.
4 Заказ 227
97
Любую классическую проективную плоскость, удовлетворяющую аксиоме (Дезарга, называют дезарговой проективной плоскостью.
Среди всех ' дезарговых проективных плоскостей естественно выделить семейство проективных плоскостей вида Рг(А3), где К — поле. Оказывается, что это семейство можно выделить добавлением к аксиоме Дезарга еще одной, новой аксиомы, называемой аксиомой Паппа. 1
П„. Пусть две различные проективные прямые 1\ и /2 содержат по две тройки попарно различных точек pi, рг, рз.е/i и 41, 42. 43^2- Три точки St, определяемые как пересечения прямых (р/, 4j) и (р/, qi), лежат на одной прямой, где (i, /, k) — всевозможные перестановки индексов 1, 2, 3 4 (см. рис. 33).
Теорема 5. Пусть (X, У) классическая проективная плоскость. Множество X— биективно (биекцию обозначим f) с Рз(К) (К — некоторое поле) так, что (f (1) 11 е У) совпадает с множеством всех проективных прямых в Р2 (К3) в том и только в том случае, если в (X, У) выполняется аксиома Паппа.
Отметим, что из аксиом П| — П<, П6 следует аксиома П5, т. е. всякая классическая проективная плоскость, удовлетворяющая аксиоме Паппа, удовлетворяет аксиоме Дезарга. Однако из аксиом П|.— П5 нельзя вывести аксиому П6, так как существуют де-зарговы проективные плоскости, в которых аксиома Паппа не верна.
Примером такой плоскости является любая проективная плос-кость вида Р2(К3), где К — тело, но не поле. Например, К—тело кватернионов.
В аксиоматиках А| — Аз и П| — П< с самого начала предполагается, что объекты X и У, составляющие пару {X, У), являются множествами. Поэтому приведенные аксиоматики являются теоретико-множественными. Это обстоятельство принципиально отличает их от аксиоматик* типа Евклида — Гильберта.
3. Аксиоматики плоскости Евклида—Гильберта, Лобачевского и Римана. Эти аксиоматики не предполагают заранее, как в случае теоретико-множественных аксиоматик, что прямая — это множество точек.
Поэтому нельзя понимать предикат «точка лежит на прямой» как предикат «точка принадлежит (в смысле теории множеств) прямой, являющейся множеством точек». Аналогично нельзя понимать предикат «прямые / и 12 параллельны» как предикат «множества /| и /а совпадают или не пересекаются» и т. д.
Аксиоматика Евклида — Гильберта состоит из пяти групп аксиом, включающих, в частности, аксиомы Ai —A3, в которых теперь не предполагается заранее, что «прямые» являются какими-то множествами. Напомним эту аксиоматику.
I. Аксиомы, касающиеся двухместного vпредиката «лежит» («проходит», «содержит»). Этот предикат обозначают хе/, где х — точка и I — прямая, и читают: «Точка х лежит на прямой I».
1. Через любые две различные (не равные) точки проходит
98
ровно одна прямая (можно провести ровно одну прямую), т. е.
2. Всякая прямая содержит хотя бы две различные (не равные) точки.
3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой, т. е. 1.3ч±Лз.
В этих и следующих аксиомах используется еще один двухместный предикат х=у, который читается: «Точки хну совпадают (являются одной и той же точкой)». Тогда выражение «различные точки» записывается в виде хФу.
II. Аксиомы, касающиеся трехместного предиката «между». Его обозначают [х, у, z], где х, у, г — точки, и читают «х, у, г — три различные точки, лежащие на одной прямой, и точка у лежит между точками х и z».
1. Если точка х лежит между двумя точками у и z, то эти три точки х, у, г попарно различны, лежат на одной прямой и х лежит между z и у.
2. Среди трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
3. Если две различные точки х и у лежат на одной прямой, то существует лежащая на этой прямой точка z, для которой у лежит между х и z.
4. Пусть х, у, z три точки, не лежащие иа одной прямой, и I прямая, не содержащая этих точек. Если-/ проходит через внутреннюю точку отрезка [х, у], то она проходит или через внутреннюю точку отрезка [х, z], или через внутреннюю точку отрезка [.V. 2].
Из первых трех аксиом этой группы легко вытекает (проверьте), что для любых двух различных точек х и у на прямой, проходящей через них, между точками хну лежит какая-то точка г, отличная от х и у. Назовем отрезком н обозначим [х, у] множество всех точек z, лежащих между х и у. В четвертой аксиоме внутренней точкой отрезка [х, у] называется такая его точка z, которая не равна х илн. у; такая точка существует. Впрочем, пбявление множеств в четвертой аксиоме не по существу: ее легко сформулировать без ис-ч пользования отрезков. А именно,
Vx, у, z( |Э/(х, у, ZG=/)=>(3u([x, и, y]A«=#xA«=#y))^-=>Эг>(([х, u, z А«#=хА».¥=у)V([f/. v, z] A^=AyA^#=z))).
III. Аксиомы, касающиеся двух предикатов «конгруэнтности».
Первый из них обозначают [х, yj~|z, uj и читают «х=/;у и г=/=и и отрезок [х, у] конгруэнтен отрезку [z, uj». Второй из них обозначают Z_xyz~ /Lx'y'z' и читают «х, у, z — три точки, не лежащие на одной прямой, и х', у', г' — три точки, не лежащие на одной прямой, и угол Z_xyz конгруэнтен углу zlx'y'z'». Первый из этих предикатов четырех местей, а второй — шестиместен.
1. Для любой прямой н любой точки на ней и любого отрезка существуют ровно два отрезка, лежащих на этой прямой по разные
4*
99
стороны от этой точки и конгруэнтных данному отрезку. Запишем эту аксиому точнее:
V/VxVy, z(xe/Ay=#z=>Vtt, х, w]=^3!r3!s
(г, selA([u, г, х] V[C и, х]) Д[г, x]~[y,'z]A
Д([х, s, w]V[x. v, s])A[x, s]~[y, z]).
/
2. Если два отрезка конгруэнтны какому-то третьему отрезку, то они конгруэнтны между собой.
3. Если [х, у] и [у, г] два отрезка на одной прямой, не имеющие общих внутренних точек, и [х', у'] и [у', z'] — два отрезка такжГе иа одной прямой, не имеющие общих внутренних точек, и пары отрезков [х, у] и [х', у'], [у, г] и [у', г'] конгруэнтны, то отрезки [х, г] и (х', г'] конгруэнтны.
4. Для любого луча и любого угла (пары лучей, имеющих общую вершину) и любой стороны плоскости, определяемой первым лучом, существует ровно одни луч, расположенный по данную сторону от первого луча, и такой, что он вместе с Первым лучом образует угол, конгруэнтный данному углу (см. рис. 34). Любой угол конгруэнтен себе.
5. Пусть х, у, z три точки, не лежащие иа одной прямой и х', у', z' также три точки, не лежащие на одной прямой. Если [х, у]~[х', у'], [х, z]~[x', г'] и Z. yxz~ y'x'z', то Zxyz~ ~ Z- Z'y'z' и Z xzy~ Л. х'г'у' (рис. 35).
В четвертой аксиоме «сторона плоскости, определяемая данным лучом» задается точкой, не лежащей на прямой, определяемой этилг-лучом; например, точкой z, показанной на рисунке 34.
В пятой аксиоме тройки точек х, у, г и х', у', z' можно назвать треугольниками. Тогда эта аксиома выражает один из признаков равенства треугольников.
Запишите все эти аксиомы аналогично аксиоме Ш| и убедитесь, что они не используют других предикатов, кроме тех, которые названы выше.
IV. Аксиома параллельности.
Для всякой прямой и всякой точки, не лежащей на ией, существует единственная прямая, прохрдящая через эту точку и не пересекающаяся с исходной прямой, т. е. 1У=>Аг.
Кроме этих четырех групп аксиом, в аксиоматику. Евклида — Гильберта часто включают еще одну группу аксиом.
100
Vi. Аксиома Архимеда. Для любой прямой н любого отрезка и любых двух точек х и у, лежащих на этой прямой, существуют натуральное число.п и последовательность длины п из точек этой прямой, для которой [х. Хь хг]. [xi, хг, х3] и т. д., и все отрезки [х, Xi], [xh хг], [хг, х3], .... [xn_|, хп] конгруэнтны исходному отрезку, и точка у находится между точками х и хп.
V2. Аксиома Кантора. Для любой последовательности вложенных друг в друга отрезков существует точка, которая нм _ всем принадлежит.
Понятия «луч», «не пересекаться», «быть по разные стороны», «быть вложенными» и т. п., использованные в формулировках аксиом, опишите самостоятельно-.
Эти две аксиомы называют аксиомами второго порядка, так как в них фигурируют новые объекты (иными словами, новые переменные): натуральные числа и последовательности, а также новый двуместный предикат «последовательность длины п».
Рассмотрим язык Г|, содержащий предикатные знаки вида е •; [•, , .];
•]~[-, ); (•, -)||(-, ), соответствующей арности (их аргументные
места показаны точками), а также содержащий переменные первого сорта х, у, г, и, а, з, ... и второго сорта I, а. ... и два вида кванторов Эх; Vx; 3Z; VZ, и, наконец, содержащий знаки Л; V; П ;=►;«• и скобки (;). Отметим, что все предикатные знаки кроме 'одного е иа аргументных местах могут иметь переменные только первого сорта. Предикатный знак ,£! иа аргументном месте > имеет переменную первого сорта, а иа аргументном месте переменную второго сорта. Формулой в языке Г1 называется слово, полученное в результате применения следующего индуктивного правила:
1) Формулой называется любое из следующих слов: xel\ [х, у, z|; [х, </]~[z, и]; Z.xyz~ zLx'y'z',
где переменные х, I, у. г, и, х1. у1, г' могут быть заменены на любые другие переменные того же сорта;
2) Если ф и ф формулы, то формулой называется любое из следующих слов: (ф)Л(Ф), (ф)\/(ф), (“!<₽), (ф)=>(ф), (фА^Ф), Зх(ф)Ух(ф), 3/(ф), Ух(ф), где переменные х и I могут быть заменены иа любые переменные того же сорта.
Упражнение 18. Запишите формулами языка все аксиомы групп I—JV. Получившийся список аксиом (аксиоматическая система) называется элемен-
тарной планиметрией.
Аксиоматической теорией Евклида— Гильберта (в-языке Г>) называется семей-
ство всех формул (в языке Г|), которые могут быть получены (вытекают, выво
дятся) из аксиом групп I—IV н перечисленных ниже логических аксиом по следу-
А" А=>В А
1 Ющкм правилам вывода: ——=----- (модус поненс) и ?- (правило обобще-
В
ния). Здесь и в ниже следующих логических аксиомах А, В, С—любые формулы нашего языка и £, г] — любые переменные одного и того же вида. Сами эти правила понимаются традиционно: если формулы, перечисленные над чертой, выводимы.
101
то формула, написанная под чертой, по определению считается выводимой. Налом ним обычный список логических аксиом:
1) Л=>(В=>Д);
2) (Л=>(В=> С))=>((Д=>В)=НЛ=>С)):
3) Л=>(В=>Д ДВ);
4) Л Д В=>Л;
5) ДДВ=>В;
6) (Л=>-С)=^((В=>С)=>(Л v В=>С));
7) Л=>Л\/В; .
8) В=>Л\/В;
9) (Л=>В)=>((Л=>-1В)=>ПЛ);
10) “1 -)Л=>Л;
11) У&4=>Л(ф);
12) У£(С=>Л) =>(С=>-У£Л), где С не содержит
13) Л(ф)=>Э£Л;
14) У£(Л=>С)=>(3|-Л=>С), где С не содержит
Ясно, что аксиомы второго порядка ие могут быть записаны в языке Гь Для этого нужно, по крайней мере, два новых сорта переменных: одни — переменные л, т, k.... которые пробегают натуральные числа, другой — переменные а,
р, у, .... которые пробегают последовательности точек. Кроме того, нужны соответствующие новым переменным кванторы Эл, Ул, За, Уа и два функциональных знака: двуместный функциональный знак а(л) и одноместный функциональный знак л'— и, наконец, еще новый двуместный предикат л<т. Первый из функциональных-.знаков читают «а — последовательность точек, и л — натуральное число; а(л) — точка, являющаяся значением последовательности а иа натуральном числе л». Второй функциональный знак читают: «л — натуральное число, ил' — непосредственно следующее за ним число, т. е. л'=н+ 1». Предикат п^т читают: «лит — натуральные числа, и число л меньше или равно числу tm». Читателю предлагается самостоятельно определить соответствующий язык. Обозначим, его Г?. Запишем на этом языке аксиомы пятой группы:
V. 1. VZVz, uVx, </(г#=иДх, у е Z)=>3n3a (Ут < л(а(т) е Z) Да(1) = х Д ДУт<л([а(т), а(т')] ~ [z, «ОД[и, у. а(н)().
V. 2. УаУр(УлУх(|а(л'), х. Р(н')|=>[а (л), х, р(л)1)=>3</, Ун([а(р), у, Р(л)|)).
Запись т<л означает (т^л) Д(т#=л).
Конечно, в первой нз этих аксиом можно считать, что а — произвольная конечная последовательность точек. Мы ие делаем этого, чтобы ие вводить еще одного сорта переменных «конечные последовательности точек». -
В языке Г2 определяется соответствующая аксиоматическая теория Евклида — Гильберта точно так же, как и в случае языка Г|. Оиа обозначается Г2.- Сформулируйте ее аналогично определению теории Г|. '
Аксиоматика Лобачевского по определению состоит из всех аксиом групп I—V за единственным исключением: аксиома IV заме-.нена на аксиому
102
IVa. Для любой прямой и любой точки, не лежащей иа ией, существуют две различные прямые, проходящие через эту точку и не пересекающиеся.с данной прямой.
Аксиоматика Римана по определению состоит из всех аксиом групп I, III—V, за исключением того, что аксиома IV заменена на аксиому
IV6. Любые две прямые пересекаются.
Обратите внимание, что в аксноМах Евклида — Гильберта н в аксиомах IVa и IV6 смысл знака е отличается рт смысла внешне такого же знака в аксиомах предыдущего пункта и в аксиомах теории множеств.
Множество всех формул в языке Г|, которые выводимы из аксиоматики Лобачевского (из аксиоматики Римана), называется аксиоматической теорией геометрии Лобачевского (соответственно аксиоматической теорией геометрии Римана) в языке Г|. Аналогично определяются аксиоматические теории Лобачевского и Римана в языке Г2. .
Как и в случае любой аксиоматической системы, возникает первостепенный вопрос: существуют ли модели этих трех аксиоматик? Опишем в общих чертах, как строятся все обычные модели этих аксиоматик. В следующем пункте определяется специальный вид метрических пространств (X, р> (которые называются двумерными римановыми многообразиями). Элементы множества X называются точками. За счет особого вида этих пространств определяются такие нх подмножества, которые называются прямыми. Семейство всех прямых в X обозначим У. В произвольном метрическом пространстве нет оснований назвать некоторые его подмножества прямыми, с тем чтобы для этих прямых выполнялась большая часть упомянутых выше аксиом. Таким образом в двумерном римановом многообразии определяются точки и прямые. Предикат «лежит» означает, что точка х является элементом прямой I как множества; «между» [х, у, z] означает, что Э/(х, у, z^l) и выполняется х=А=у=£%, р(х, z) = p(x, у)+р(у, z). Движением, как всегда, называется биекция f : Х++Х, для которой Vx, t/eX(p(x, t/)=p(f(x), f(y)). Любые два множества u>i н w2, содержащиеся в X, называются конгруэнтными, если существует движение f, для которого f(u>i)=to2. В частности, таким образом определяется конгруэнтность отрезков и углов. (Угол yxz определяется как объединение лучей [х, у) и [х, z). Луч, как и отрезок, определяется с помощью понятия «между».) Натуральные числа и последовательности точек из пятой группы аксиом определяются как обычно. Таким образом, все исходные знаки н, следовательно, все формулы языка Г2 интерпретируются (получают явное определение) в римановом многообразии (X, р). Если при этом все аксиомы данной аксиоматики «истинны», то риМаново многообразие (метрическое _пространство) (X, р) называется соответственно моделью аксиоматик Евклида — Гильберта, Лобачевского или Римана.
103 ,
Итак, мы указали интерпретацию всех формул языка Гг с помощью метрического пространства <Х, р) н некоторого (пока еще не определенного) семейства У подмножеств множества X. Набор (X, У, р) назовем евклидовой системой.
Подчеркнем, что наравне с понятием прямой осталось не определенным понятие «истинно». Последнее понятие не является чем-то самоочевидным и наряду со всеми другими не определяемыми, исходными понятиями этих аксиоматик требует интерпретации (явного определения). Приведем одно из возможных определений двуместного предиката «истинно», обозначая его • 11= • 2. На первое аргументное место подставляются произвольные евклидовы системы У, р),^ иа второе аргументное место подставляются
объекты, которые получаются из формул <р с переменными Х|,..„ 'хп подстановкой вместо переменных первого сорта «точек» из X и вместо переменных второго сорта «прямых» 'из У. Здесь переменные Х|,.„, хп— это все свободные переменные, входящие в формулу ф; последнее записывается в виде ф(х|, .... хи). (Мы считаем известным понятие свободной переменной: переменной х, не входящей в ф в виде Эх(._..), Ух(...).) После такой подстановки получается объект ф(х|, ..., хп), где х;еХ иди х,еУ в зависимости от сорта'переменной х,-. Этот объект,. конечно, не удовлетворяет определению формулы, но, допуская вольность_ речи,_ будем называть его также формулой. Данное определение ф(х.|,..., х„) буквально годится только для языка Г|, так как в языке Г2 имеются еще два сорта переменных; ио точно так же оно переносится на этот более широкий случай (уточните).
Определим предикат (X, У, р>|=ф(хь ..., хп) индукцией по длине формулы ф.
Пусть ф^*(хе/). По определению выполняется М|=ф, если х, как элемент, принадлежит множеству I в смысле теории множеств. Пусть <p=t[xi, Х2, Хз]; по определению он выполняется, если p(xi, х3)=р(х|, х0-(*-р(х2, хз). Пусть qw±(W|-~W2), где w 1 и W2 отрезки или углы; по определению выполняется предикат Л1]=ф, если существует такое движение f: Х+*Х, что Ды>|) = ау2.
Если фч±(ф|Лф2), то (М |=ф)ч±(Л(1=ф|)Л(Л4|=ф2). Если фч± Ч±(ф|\/ф2), ТО (М |= ф)^*(М |=ф1) V (Л41=ф2). ЕСЛИ _ф^± |ф|, то (ЛЦ==ф)ч± |(М|=ф|). Случаи ЛЦ=(ф|=>ф2) и М|= (ф|-4>фг) определяются аналогично.
Если фч*(3хф| (х)), то (М|=ф)ч*ЭхеХ(Л(|=ф|(х)).
Если фч±(Ухф|(х)), то (Л(|=ф)ч±УхеХ(Л1 |=ф|(х)).
Случаи М |= Э/ф| (/) и М|=У/ф|(/) определяются аналогично.
В аксиоматику Римана не входит предикат «между», в этом случае он не участвует в формулах и в определении предиката М |= ф.
Предикат М|=ф ойределяется в рамках теории множеств и, следовательно, его выполнение или невыполнение зависит от того, что истинно и что ложно в этой теории. Таким образом теория мио-
104
жеств оказалась необходимой и для евклидова аксиоматического подхода в геометрии. Правда, в отличие от аксиоматики из п. 2 Здесь теория множеств возникает на другом уровне: в связи с определением предиката истинности. Итак, с учетом определения предиката «истинно» мы приходим к следующему понятию.
Теоретико-множественной моделью аксиоматики Евклида — Гильберта (соответственно аксиоматики Лобачевского и Римаиа) называется евклидова система вида У, р), в которой
все аксиомы Евклида — Гильберта (соответственно двух других аксиоматик) истинны.
Теоретико-множественную модель любой из этих аксиоматик называют еще аксиоматически определенной плоскостью соответственно Евклида — Гильберта, Лобачевского илй Римана.
Теорема 6. Евклидова система Af0^ {R2, Y, р >, где Y семейство всех (обычных) прямых в R2 и р( , •) — обычная метрика в R2, является теоретико-множественной моделью аксиоматики Евклида — Гильберта и, следовательно, аксиоматически определенная плоскость Евклида — Гильберта существует.
|> Доказательство этой теоремы состоит в непосредственной и очевидной проверке всех аксиом. Она оставляется читателю в качестве упражнения.
Следствие. Все формулы, выводимые в аксиоматической теории Евклида — Гильберта, истинны в Мо.
О В теореме 6 говорится об истинности в Мо самих аксиом. Легко проверяется, что все логические аксиомы истинны в ЛТ0, и если формулы над чертой в двух правилах вывода истинны в Мо, то формулы под чертой также истинны в Л4о. Эти утверждения непосредственно вытекают из определения предиката МI =<р и не зависят от конкретного вида формул и системы Мо- Отсюда индукцией по длине вывода получается Следствие.
В конце книги в приложении 4 строятся теоретико-множественные модели» аксиоматик Лобачевского и Римана (ими оказываются верхняя половина двуполостного гиперболоида и проективная плоскость) и, следовательно, существуют аксиоматически определенные плоскости Лобачевского и Римаиа.
Предыдущее следствие, как видно из его доказательства, универсально: если рассматривается любая аксиоматическая теория А и М структура, "в которой истинны все аксиомы теории А (т. е. М модель А), то в М истинны и все формулы, выводимые в теории А. Обратное утверждение почти всегда не верно. Обратное ' утверждение имеет вид: если А — некоторая аксиоматическая теория и М — структура, в которой истинны все аксиомы теории А (т. е. М модель А), то всякая формула, истинная в М, выводима в теории А. В тех редких случаях, когда для аксиоматической теории А существует хотя бы одна модель М, для которой выполняется последнее утверждение, теория А называется полной. В противном случае теория А называется неполной. Итак, почти все аксиоматические теории не полны. Яо аксиоматическая теории Евклида— Гильберта (в языке Г|) относится к числу редких исключений: она полна.
105
Теорема 7.
а) Элементарная планиметрия, г. е. аксиоматическая теория Евклида — Гильберта (в языке Г,) полна.
б) Существует такой алгоритм И, определенный на множестве всех формул языка Г.1, что
®(<|>)= 11, если <р истинна в евклидовой системе Мо, I 0, если ч> ложна в Мо-
Аксиоматическая теория, для которой выполняется утверждение 8 б), называется разрешимой. Итак, элементарная планиметрия Г| — полная и разрешимая теория. Оба эти утверждения яе верны для аксиоматической теории Евклида — Гильберта в языке Гз. Поскольку обычная школьная планиметрия совпадает с аксиоматической теорией Евклида — Гильберта в языке Г|, то ЭВМ может ответить на любой вопрос, возникающий в ней. Для этого нужно запрограммировать на ЭВМ алгоритм И. Это на самом деле осуществлено. По-вндимому, к такой ситуации применимы слона «машинная математика».
4. Двумерные римановы многообразия' как модели аксиоматических определений плоскости. Кратко рассмотрим вопрос о том, как могут определяться структуры (системы), в которых интерпретируются (получают смысл) все исходные понятия, встречающиеся в аксиомах Евклида — Гильберта, Лобачевского и Римана, и, сле-дбвательно, интерпретируются сами аксиомы одноименных аксиоматических систем. При этом одни аксиомы могут оказаться истинными, а другие ложными. Среди этих систем найдутся и такие, в которых все аксиомы соответствующих аксиоматических систем истинны, они называются моделями этих аксиоматических систем.
Напомним, что мы рассматриваем только Двумерный случай, т. е. случай планиметрии.
*В качестве множества X в евклидовой системе выбирается двумерное многообразие (поверхность) X (см. с. 92). Типичными примерами таких множеств являются важные и во многих других отношениях поверхности: арифметическая плоскость R2, сфера S2, верхняя половина двуполостного гиперболоида вращения {х^__х%__Х% ' 1
э— , (которую мы обозначим +S2) и проективная плоскость Р2. Гиперболоид вращения обозначим S2. Отметим, что поверхности S2 и- S2 определяются аналогично, как множества вида [хЕ/?3|р(х, 0)=1}, Где в первом случае р(х, 0)= ~\/х2 + х?Ц-xl, а во втором случае р(х, 0)= -\/х2 —х§—х2. Очевидно, гиперболоид вращения S2 состоит из двух связных частей, гомеоморфных между собой (рис. 36).
Знак в записи +32 означает связную компоненту множества Sf, т. е. одну нз двух его «одинаковых половинок». Не важно, ка
106
кую именно нз них выбрать, и мы произвольно выбираем верхнюю половинку.
Три из указанных поверхностей, а именно R2, S2, S?, являются подмножествами множества R3. Напротив, четвертая поверхность Р2 не является подмножеством R3 н не гомеоморфна такому подмножеству.
В R3, как и в любом векторном пространстве над полем R, можно выбирать разные билинейные формы (см. § 2 п. 3). Если в векторном пространстве R3 выбирается форма
(х, у)^Х1У1+Х2У2 + ХзУз,
то получившееся пространство с формой обозначают также- R3. Если в том .же векторном пространстве R3 выбирается другая форма
(х, t/)|4=«|t/| — Х2У2 — ХзУз,
то получившееся пространство с формой обозначают R3.
В соответствий с общим определением метрики в пространстве с формой, в R3 определяется метрика р(х, у)=л/(х—х—у)н<^ частности, р(х, Ъ)= yx^ + xl + xl, а в R® определяется метрика pi(x, у)= =-yj(x—y, и, в частности,
pi(x, 0)=-7х|—Х2—Хз.
Итак, S? — сфера с центром в точке 0 радиуса 1 в пространстве R3. Точки (1, 0, 0) и (—1, 0, 0) называются соответственно северным и южным полюсами сфер S2 и S2.
Следующая часть этого пункта посвящена обсуждению важного понятия касательной плоскости к двумерному многообразию - в одной из его точек.
Пусть X одна из трех поверхностей R2, S2, +S2 и а^Х. Обычным. образом определяется понятие касательной Плоскости к поверхности X в точке а. Обозначим ее Та(Х). В случае X=R2 касательная плоскость Ta(R2) — это само R ,х у которого начало координат перенесено в точку а. Элементами касательной плоскости Та{Х) являются обычные векторы в R3 с началом в точке а; они называются касательными векторами в точке а к поверхности X.
Множество всех векторов в R3 с началом в точке а обозначим Ta(R3). Поэтому Ta(X)sTa (R3) для любой точки-а еХ. На рисунке
107
Рис. 39
t|gx 37 отражено взаимоотношение объектов-
а, Т'а(Х) и 7”a(Rs)» на нем векторы т], £
/ \ Т/ X принадлежат Га(Х) и Та(|?3).
/ \ Элементы касательной плоскости Та(Х)
\Д\5г складывают и умножают иа вещественные Г дО J числа обычным образом, поэтому Т’а(Х)— двумерное векторное пространство над \ / полем R.
В любой из четырех перечисленных по-верхностей X определена топология. Для "ч первых трех из них топологии совпадают с
Рнс зд топологиями, индуцированными из Л3, а для
последней — с топологией проективной пло скости (рис. 38). Для любой точки оеХ можно указать ее окрестность 0 а, гомеоморфную открытому кругу б. На рисунке 39fa: Д<->^а соответствующий гомеоморфизм.
Упражнение 19. Укажите такие 0а, fa, б для перечисленных выше четырех поверхностей.
Поскольку в X определена топология, то возникает семейство всех непрерывных функций f:X-*4f. Оно обозначается С(Х, R) и образует относительно поточечно определенных операций сложения, умножения, а также умножения на вещественные числа (бесконечномерную) алгебру над полем R.
Каждая из трех первых поверхностей X определяется .уравнением f(x, у, z) = 0 в R3 с бесконечно дифференцируемой Левой частью, которое для любой фиксированной точки а е X имеет ненулевую производную f'(а) от своей левой части f. Производная (градиент), как всегда, определяется равенством f'(a)^(fi(a), f'y(a), f£(a)). Пусть, например, У(а) =#0. По теореме о неявной функции из курса анализа можно разрешить уравнение f(x, у, z) = 0 относительно переменной г в некоторой окрестности 0а точки а. Здесь 0а —открытое множество из топологии в X. Иными словами, найдется функция z = g(x, у), определенная, например, в открытом
108
круге б, которая бесконечно дифференцируема и задает гомеоморфизм Ga(x, у, g(x, у)) вида Ga:6++0a. Бесконечно дифференцируемый гомеоморфизм Ga‘D(Ga)++&a, область определения которого 6(Ga) любое открытое связное множество в R2, называется картой на X в точке а. Следовательно, вся поверхность X покрывается областями значений некоторых карт.
Функцию f^C(X, R) назовем бесконечно дифференцируемой, если для любой точки аеХ функция (f°Ga): D(Gay+R бесконечно дифференцируема.
Чтобы получить пример бесконечно дифференцируемЗй функции на X, достаточно рассмотреть любую бесконечно дифференцируемую функцию Л : /?’->/? от трех переменных н сузить ее на X. Тогда для'любой точки а^Х композиция (/i<>Ga): D(Ga)->/? будет, очевидно, бесконечно дифференцируемой функцией.
Семейство всех бесконечно дифференцируемых функций на X обозначим С°° (X, /?);'конечно С°°(Х, /?)sC(X, R). Ясно, что элементы семейства С°° (X, R), как и семейства С(Х, R), можно поточечно складывать, перемножать, а также умножать на вещественные числа, т. е. оба эти семейства — (бесконечномерные) алгебры над полем R.
Обозначим Ва(Х) семейство всех функций f вида f: &f-+R, где некоторая (зависящая от f) окрестность точки а топологии в X, для которых композиция (f°Ga): £>(Ga)-»-/t бесконечно диф‘ ференцнруема. Две функции из Ва(Х) по определению не различаются, если они совпадают в какой-нибудь окрестности точки а. Ясно, что семейство Ва(Х) совершенно аналогично семейству В, используемому в определении 1г. Для любой функции f из С°°(Х, R) сужение f на любую окрестность точки а принадлежит Ва(Х). В частности, С°°(Х,/?)=Ва(Х).
Точно, как в определении 1г, сформулируем понятие вектора на X в точке а. А именно, вектором на X в точке а назовем любое, отображение (дифференцирование) вида d(-): Ва(Х)->-/?, обладающее свойствами из определения 1 г (где точка 0 заменена на точку а).
Упражнение 20. Докажите, что все ректоры на X в точке а образуют векторную плоскость, изоморфную Та(Х).
Указание. Чтобы построить этот важный изоморфизм, нуж- • но любую функцию f из Ва(Х), определенную, например, в окрестности &а, продолжить по нормалям к поверхности X в некоторую окрестность уже в топологии /t3 точки а до функции ft, а затем 'для фиксированного вектора £ йз Та(Х) положить dE(f)^dt(fi) — производной по направлению £ от функции ft: Тогда dE: Ba(X)->/f. Положим ф(ё)^</£; отображение ф переводит Та(Х) в множество всех дифференцирований на X в точке а. Это отображение ф является искомой биекцией и изоморфизмом.
Другое описание этого изоморфизма также полезно: пусть /а —
109
якобиан отображения Ga, т. е. матрица ° . Эта
матрица задает, линейную биекцию между Tb(R2) и Та(Х) вида |н>-/а-|, где Ga(b)=a. Можно положить: d6(f)4=tdn(foGo), где т)ч± =ffc/a-l(£), a dn — дифференцирование по направлению q в точке Ь.
Спрашивается, зачем рассматривать дифференцирования и алгебру Ва(Х), если множество всех дифференцирований в точке а с помощью изоморфизма ф отождествляется с гораздо более наглядным объектом Та(Х)? Дело в том, что для поверхности Х = Р2 не ясно, что такое Та(Р2), а дифференцирования в точке а^Р2 определяются для поверхности Р2 так же, как для трех предыдущих поверхностей. А именно, согласно первому определению проективной плоскости Р2 совпадает с фактор-миожеством (/?3\]О})/~. Каждый класс эквивалентности имеет вид (<Х-х, Ъ-у, k-z) |Хе/?*|, где <х, у, г) е/?3\]О). Если хотя бы один представитель этого класса имеет ненулевой член на одном из своих трех мест, то и любой представитель этого класса на этом же месте имеет ненулевой член. Поэтому множество Р2 представимо в виде {(х, у, z)]|x=# =#0}U{[<x, у, z>]|4/=#0)U{[<x, у, z>]|z=#0). Эти три множества обозначим соответственно Х|, Х2, Х3; они попарно пересекаются.
У п р а ж н е н и е 21. Докажите, что множества Х|, Х2, Х3 открыты. в топологии плоскости Р2.
Между множествами Х| и/?2 фиксируем гомеоморфизм ft : X1** **/?2,' 'определяемый равенством fi([<x, у, z е/?2.
Аналогично f2([<x, у, z)])=pt/-^-, е/?2, f2: X2++R2 и
Гз([<х, у, 4])^, f) е«2, Гз : Хз**/?2.
Упражнение 22. Проверьте, что функции ft, f2l f3 действительно являются гомеоморфизмами.
Если проективная точка /=[<х, у, z>] одновременно принадлежит Х|И Х2, то fi(0=(-7’ "f) ’ "f") и в°зникает отоб-
ражение f2t : (-у, -7) ^(“7’ у) вида f2i ' T f21 ((u> v))= =(-t, т) ’ где (u> w)e^2 и Якобиан (производная) f2l отображения f2t равен ( “ ।) и невырожден во всей области 1? и
определения £>(/21). Аналогично определяются отображения f 12, ..., f23- .
Упражнение 23. Докажите, что все отображения f2t, fst, f23 гомеоморфизмы, у которых, как и у обратных к ним отображений, существуют частные производные их компонент любого
г НО
порядка, а якобианы всюду невырождены^ (Такие отображения называются диффеоморфизмами.)
Для любой точки 1^Р2 фиксируем в качестве ее окрестности одно'из множеств Х|, Х2, Х3, содержащее /,.и в качестве соответствующего этой окрестности гомеоморфизм^ фиксируем одно из отображений /Г1, fF1, /Г1 с тем же номером.
Так же, как выше (/ в роли а, Xt в роли'^а, f~' в роли Ga), определяем алгебру Bi(P2) и ее дифференцирования в точке I. Полученное семейство дифференцирований (векторов) назовем касательной плоскостью к поверхности Р2 в точке / и обозначим Tt(P2).
Упражнение 24. Пусть точка I принадлежит одновременно, например, Х| и Х2 и d—дифференцирование в Bi(P2). Оно соответствует какому-то вектору | в смысле d(ft)=dB(fto/f *) и вектору т] в смысле d(h)= d'), где h пробегает Bi(P2), определяемое соответственно fr1 и ff1. Докажите, что н получается из £ умножением на якобиан f2i.
Если на двумерном многообразии X для каждой из его точек а заданы окрестность этой точки (?а и гомеоморфизм Ga и при этом отображения Gba D(Ga)-+D(Gb), определенные как GrioGa, являются диффеоморфизмами, то говорят, что X —'.двумерное гладкое многообразие. Не входя в детальное разъяснение этого понятия, ограничимся тем, что интересующие нас четыре поверхности, как было довольно подробно разобрано, являются гладкими многообразиями, т. е. для них определены все упомянутые объекты ffa, Ga, Gba и они обладают нужными свойствами. Главное для нас, что для такого X и каждой его точки а определена касательная ^плос-кость Та(Х).
Теперь перейдем к описанию формы в касательных плоскостях ,к интересующим нас поверхностям. '
Если поверхность X содержится в R3 и в R3 фиксирована билинейная форма g, то можно сузить эту форму на X: если |, т\^Та(Х), то, учитывая Ta(X)^Ta(R3), положим ga(£, т1)- Хотя форма.
g одна и та же для всех точек a^R3, но форма ga(Ji, п) может зависать отточки a^R3. Для любой фиксированной точки ас^Х форма ga(£, л): (Ta(X))2-+R очевидно, билинейная. Если X не содержится в R3, как, например, в случае Х = Р2, то менее ясно, откуда может возникнуть такая билинейная форма ga(^, я) (зависящая кроме своих обычных аргументов £, ri из Та(Х) еще и от точки аеХ).
Пусть для двумерного гладкого многообразия X определена функция g от трех аргументов а^Х и £, ri<=Ta(X), которая при фиксированной точке а является евклидовой формой на Та(Х). Если при этом для любой карты Ga: D (Ga)-+t7a функция gi(u, g, r])^t ^g(Ga(u), d^ d2), где di(ft)4=tdE(ft<>Ga) и d2(h)^dn(h<>GaY Vh^Ba(X), бесконечно дифференцируемая по своим аргументам и, g, ri всюду в P(Ga)X/?2X/?-, то пара <Х, g) называется двумерным римановым многообразием.
in
В случае поверхностей R2, S2 и +82 форма в них по определению является сужением формы в содержащем их векторном пространстве /?3. Точнее, в R2 — это обычное скалярное произведение (не зависящее от точки a&R2) или, что то же самое, сужение в R2 обычнбго скалярного произведения в R3; в S2 и +82 — это сужения форм, определенных соответственно в R3 и R3.
Упражнение 25. Проверьте, что сужение (не евклидовой) формы (|, т|)| в R3 на +82 является евклидовой формой.
Итак, приведены три примера двумерных римановых многообразий. Четвертым примером будет проективная плоскость Рч. Нужно только определить форму в Рч'. если два вектора (диффе-ренциррвания) d\, йч принадлежат касательной плоскости Та(Рч), то а принадлежит хотя бы одному из множеств Х|, Хч, Хз- Пусть, например, аеА';. Тогда в касательном пространстве ТixW(R2) найдутся векторы £ и т) (т. е. попросту найдутся векторы | и ri в R2 с началом в точке а), для которых di(ft)=dE(/iofrl) и йч(К}= = УйеВоСРг). Векторы £ и в однозначно определяются
по d\ и d4 (почему?). Положим
ga(d\, d4)^(^, Т|)> I
где (•, •) —обычное скалярное произведение в /?2. Проверьте: если а^Хч и все то же самое проделать для [ч(а) и соответствующих gi и т]| в Tli{a(R2), то численное значение ga(di, d2) не изменится. Далее X — одно из этих четырех многообразий.
Пусть а, Ь^Х и а — произвольная инъективная непрерывная кривая, соединяющая точки а и Ь, т. е. а : [/о, где i0, ti^R и а(/о)=Д, а(/|)=Ь, а также для любой точки се/?(а) композиция (Gr'°a): [/о, является гладкой кривой в своей области определения. Так как X связно, то нетрудно доказать, что для любых точек а и b из X такое а существует, но далеко не единственно. Такое а называют путем (кривой) на множестве X из точки а в точку Ь.
В X следующим образом определяется метрика:
р(а, ft)=ptinf J{oT/ga(o(a'(0. “'(О ’dt> ' (*)
где а любой путь на X из а в Ь. Эта точная нижняя грань, очевидно, существует и функция р действительно удовлетворяет трем аксиомам метрики. Более того, можно доказать, что эта точная нижняя грань достигается на некотором (для многих пар точек а, Ь — единственном) пути на многообразии X, соединяющем точки а и Ь. Такой путь (кривая) называется кратчайшей геодезической между точками а и Ь из X.
В случае X=R2 эта точная нижняя грань достигается на прямолинейном отрезке, соединяющем точки а н Ь, и метрика р совпа
112 ।
дает с обычной метрикой в R2. В этом случае кратчайшими геодезическими являются отрезки. В случае Х = 82 эта точная нижняя грань достигается иа меиьшей дуге окружности большого круга, определяемого как пересечение сферы с плоскостью, проходящей через точки Она, Ь; следовательно кратчайшими геодезическими являются эти дуги. Говоря в предыдущем случае об отрезке и в этом случае о меньшей дуге большого круга, мы подразумеваем нх обычную параметризацию. Уточните ее и проверьте прямыми подсчетами эти утверждения.
В случае *8? эта нижняя грань достигается на дуге, которая определяется как пересечение +82 с плоскостью, проходящей через точки а, b и О (проверьте). Здесь также подразумевается обычная параметризация этой дуги. - - В случае Р2 путь а, соединяющий проективные точки i' и Г из Р2 определяет путь ои на сфере S2. А именно. а|(/)^а(/)П52. Однако а] — не функция в обычном смысле этого слрва, а «двузначная функция». Для любого t «значение» oti(/) состоит из двух диаметрально противоположных точек.
При этом /?(<Х|) несвязное множество, которое состоит из двух компонент связности. Сопоставляя паре диаметрально-противоположных точек oti (0 точку на сфере в одной (произвольно выбранной-нефиксированной) из этих компонент связности, получим путь ,a2(Z) на сфере S2. Значение интеграла в формуле (^с) для пути а равно значению такого же интеграла для пути а2.'Таким образом получаем, что в случае Р2 нижняя грань в формуле (^с) достигается на дуге, соединяющей проективные точки /' и /" и состоящей из проективных точек Z, для которых /f]S2 содержится в образах двух меньших дуг окружности большого круга на S2, соединяющих точки V |~|82 и /"Г|32 в S2. Такие дуги являются кратчайшими в Р2. Сама метрика равна длине любой из этих двух меньших дуг, соединяющих точки Г flS2 и /"f]S2 и равна радианной мере угла, о котором говорилось выше.
Прямой в римановом многообразии называется такая кратчайшая геодезическая а, что не существует кратчайшей геодезической <Х|, для которой /?(a)c:/?(ai). Интуитивно это определение означает, что а нельзя продолжить на X за пределы /?(а).
Итак, евклидовы системы (X, У, р) обычно определяются следующим образом: X — двумерное римаиово многообразие; р — метрика в этом многообразии, определяемая по формуле (^с), и У — все прямые в X.
$ 4. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ ШКОЛЬНОЙ ПЛАНИМЕТРИИ И ИХ ДЕЙСТВИЕ В ПЛОСКОСТИ
1. Аффинные отображения. В школе функцию у=а-х-}-Ь называют линейной. В высшей математике линейной называют функцию, обладающую свойствами*.
из
f(xi+x2)=f(xi)4-f(x2), f(X-x)=X./(x).
Функция у=й.'Х-\-Ь в случае Ь=#0 не обладает ни одним из этих свойств и в этом смысле не может быть названа линейной. Откуда же возникло школьное название? Дело в том, что у = а-х-\-Ь — линейная функция относительно аффинной структуры в арифметической прямой R; поэтому ее правильнее называть аффиннолинейной или короче — аффинной функцией. Далее рассматриваются аффинные плоскости только над полем R.
Определение 4. Пусть <А, X, g) аффинная плоскость. Отображение f : А->А называется аффинным, если найдется вспомогательное отображение h : Х-+Х, обладающее двумя свойствами:
1) для любых точек а, Ь^А выполняется
h(^Tb)=f(^~f(b);
2) ft — линейное отображение из X в X.
Как мы увидим, для аффинного отображения f существует ровно одно отображение ft, обладающее этими двумя свойствами. Оно называется дифференциалом отображения f.
Рассмотрим первое из этих свойств подробнее. Если X произвольное множество и f произвольное отображение из X в X, то через.
обозначим отображение из Х%Х в себя, определяемое равенством
Пусть {A, S, g) — аффинная плоскость и f произвольное отображение из А в А. Первое из свойств в определении 4 заключается в том, что следующий набор функций: f®f, g, g — коммутативен относительно какой-то функции ft вида ft: S-+S (рис. 40). Иными словами, существует функция Л : для ко-
торой
ft£“ftj=f (a), f(ft).
Чтобы найти значение Л(|), где из условия-коммутативности этой диаграммы, т. е. из приведенного выше равенства, нужно сделать два шага. Первый шаг состоит в том, что выбираются любые точки а и ft из А, для которых а, Ь = £. Второй шаг — к паре элементов (а, Ь) применяется композиция отображений fCx)f то есть образуется
А'А--------;------------f(a), Дй). Второй шаг (после вы-
/7 д бора точек а и ft) выполняется
" 5 однозначно, но первый шаг, т. е.
X --------------------X выбор .самих точек а и Ь, для ко-
Л торых а, Ь = £, неоднозначен: су-
Рис 40 ществует бесконечно много раз-
114
личных точек а и Ь, для которых а, Ь = £. Свойство коммутативности диаграммы как раз означает, что при фиксированном векторе g значение gf(a), f(b)) при условии а, Ь = | не зависит от выбора точек а и Ь. Иначе говоря, если взять другие точки а' Ь', для которых а', Ь' = |, и применить к паре <а', Ь') композицию отображений g°(f®f), то коммутативность диаграммы означает, что результат будет таким же, как при исходном выборе точек а и Ь. ' ____
В нашем случае, равенство а, Ь = £ означает, что Ь = аЧ-В, поэтому коммутативность диаграммы означает, что f(a), f(a4-£) не зависит от выбора точки а^А при фиксированном векторе g. Следовательно, вектор f(a), J (a-f-Q зависит только от вектора и поэтому можно определить отображение вида f(a-H).
которое и обозначено на диаграмме h. Отсюда ясно, что первое свойство в определении 4 уже обеспечивает, что h по f образуется единственным образом, а именно, h(£)=f(a), ДаИтак, первое свойство в определении 4 аффинного отображения f заключается в существовании такого отображения h : Х-+Х, что'
^4-|)=Г(а)4-Л(1) (*)
для любых точек аеЛ и любых векторов ge.3".
Второе свойство в определении 4 состоит в том, что это однозначно определяемое по f отображение h линейно.
В геометрических терминах равенство (.^с) означает, что переносу точки аеЛ на вектор соответствует при отображении f: А-+А перенос точки f(a) на вектор Л(£)е.5Г.
Итак, если f — аффинное отображение аффинной плоскости {А, X, g) в себя, то h, однозначно определяемое по f, называется дифференциалом отображения f и обозначается D(f). Иными словами, (Df)(a, b)^f(a), f(b) для всех точек а, -Ь^А. Такое (Df) (•): Х-+Х всюду определено и является линейным отображением. Используя дифференциал, можно переписать равенство (>К) в красивой форме
f(a4-|)=f(a)4-(Df)(|), УаеЛ, У£е^.
Приведем примеры аффинных отображений и их дифференциалов.
а) В аффинной плоскости (X, X, g), где первое X — множество, а второе X — векторная плоскость и g(a, by&b — a, рассмотрим отображение f : которое линейно, как отображение вектор-
ной плоскости X в себя. Тогда f является аффинным отображением аффинной плоскости X в себя и Действительно,
f(|)=f(a4-^)-f(a)=g(f(a), Да +1)) = f (a), Да+&
поэтому (Df) (£)=Д|).
б) Пусть и /Д') — параллельный перенос в аффинной
плоскости {A, &,'g), т. е. Тогда аффинное отобра-
жение и Z)(/j) = idx — тождественному отображению X на себя.
Действительно, если положить (O/E)4±idx, то Dtk линейное отображение X на себя и (т])=п = ((а + п)+Ь—(а4-£)=
= h(a 4"П) — h(a) = h(a), /Е(а4-т1) •
в) Пусть f: Л->Л аффинное отображение аффинной плоскости {А‘, X, g) в себя и Определим Для всех йеЛ
Тогда fi аффинное отображение и Dft=Df. _______________________
Действительно, Dfi—линейно и (£>fi)(r|)=fi(a), f,(a-{-T])= = f(a), f(a4-n\ так как fi(a), fi(a4-r])=fifa), f(a) 4-?(a), f(a4-rj)4--bf(a 4- q), f, (a 4- n) = — f(a+i\)+g=f (a), f(a4-T|).
г) Пусть f линейное отображение векторной плоскости X в себя и £ — фиксированный элемент из X. Из примеров а) — в) видно, что в аффинной плоскости {X, X, g), определенной в примере а), всякое отображение fi(x)^tf(x)4-| является .аффинным отображением.
Покажем, что верно и обратное утверждение: всякое аффинное отображение fi аффинной плоскости <Х, X, g) в себя представимо в виде fi(x)=f(x)4-| для некоторого вектора и некоторого линейного отображения f векторной плоскости X в себя. Действительно, положим g^tfi(O) и f(x)^tfi(x) — £. Тогда fi(x)=f(x)4~£ для всех хеХ и f — линейное отображение X в себя, так как в силу аффинности fi получаем: *
fi(a4-x) = fi (a)4~(Ofi) (х).
Положив а=?±0, получаем fi(x)=fi(O)4-(Pfi) (х),
f(x)=f1(x)-^=f1(x)-f1(O)=(Df1)(x), т. е. f(x)=(Dfi) (х), а Df,—ло определению линейная функция, д) Рассмотрим одномерный вариант предыдущего примера. Любое линейное отображение f одномерного векторного пространства /? в себя имеет вид (см. главу I, § 1):
f(x) = a-x, где a^f(l).
Поэтому множество всех функций вида у=а-х-\-Ь, где а и b из R, совпадает с множеством всех аффинных отображений аффинной прямой R в себя. Поэтому функции вида у=ах-\-Ь правильно назвать аффинными.
е) В примере в) показано: если отображение ft является композицией аффинного отображения f и переноса /Е('), т. е. fi(x)4=t 4^f(x)4-|, то fi также аффинное отображение н Dft = Df. Покажем, что выполняется 'и обратное утверждение:, из совпадения дифференциалов двух аффинных отображений f и ft следует, что каждое нз них является композицией другого с некоторым параллельным переносом.
Пусть f и fi аффинные отображения с одинаковыми дифференциалами, т. е. Df = Dff. Фиксируем точку ое,4 и положим
116
fe**f(a), fi(a). Докажем, что для любой точки йеЛ выполняется [равенство f,(b) = f(b) + i. /
Обозначая г)=₽=?=а, bej, получаем:
fi(b)=f,(a + 1))=fl(a)+(Dfl)(n)=fl(a)+(Df)(n)=fl(a)-j-
+(f(a), f(a + n)-m)=m + m f(a+T|)-H=f(a+T|)+£ = =f(b)4-&-
Упражнение 26. Докажите, что отображение аффинной плоскости в себя является аффинным тогда и только тогда, когда оно переводит любую прямую снова в прямую.
.Предложение 5. а) Композиция foh двух аффинных отображений f и h аффинной плоскости в себя снова является аффинным отображением и D (foh)=D (J)oD(h).
б) Аффинное отображение f аффинной плоскости (А, S, g) в себя является биекцией множества А на себя тогда и только тогда, Кргда дифференциал Df является биекцией множества S на себя.
|> а) Так как Df и Dh линейны, то композиция DfoDh— линейное отображение X в себя. >
Кроме того, (Foft)(a+|) = f(ft(a+|)) = f(ft(a)4-Dft®)=Hft(a))+ ' Df(Dh(^))=(foh)(a)+(DfoDh)(^).
Следовательно, отображение foh аффинно и его дифференциал равен (Df)»(Dh). _____ ____
б) Выполняется f(a) = f(b)of(a), f(b)=.Oo(Df)(a, b)=0 -Ф> oa, be Ker (Df).
Если Df инъективно,"то в силу линейности Df, Ker(Df)= = {0), и поэтому f(a)=f(b)oa=b, т. e. f инъективно. _
Если f инъективно, т. e. f(a)=f(b)oa = b. то Df(a, b) = 0o -<s-a=b, t. e. Df(a, b)=0oa, b = 0. Поэтому Ker(Df)={0) .и Df инъективно.
Пусть Df сюръективно и a — некоторая фиксированная точка из А. Для любой точки ЬеД вектор f(a), Ь^Х и найдется такой вектор пеХ, что (Df) (n)=f(a), b. Поэтому f (a-}-i])=f(a)-}-Df(i\)= =f(a) + f(a), b = b, t. e. f сюръективно.
Если f сюръективно, то для любого вектора ijeX найдется такая точка ЬеЛ, что f(bJ=f(a)-H, где а — некоторая фиксированная точка из А. Тогда, обозначая Ь, получим:
(Df} (n)=f(a), f(a^)=f(a), f(b)=$,
т. e. Df сюръективно.
Упражнение 27. Докажите, что:
а) множество всех линейных биекций векторной плоскости X на себя с композицией в качестве бинарной операции является группой;
' б) множество всех аффинных биекций аффинной плоскости (Л, X, g\ с композицией в качестве бинарной^ операции является группой.
117
Пусть Л : Х->Х — линейное отображение и е — произвольный базис в X. Обозначим Te(h) матрицу отображения h в базисе е, т. е. Te(h)We~' (^) = Ж-1 (Л(|)), Обозначим det Л определитель
матрицы Ге(й).
Предложение 6. а) Для любого линейного отображения h: Х-+Х число det h не зависит от выбора базиса е.
б) Аффинное отображение f: Л->Л является биекцией в том и только в том случае, если detDf^O.
Пункт а доказывается прямым подсчетом. Пункт б непосредственно вытекает из предложения 56. '
Определение 5. Множество всех аффинных биекции аффинной плоскости (Л, X, g) с композицией в качестве групповой операции называется аффинной группой и обозначается Aff (А). '
2. Основные группы школьной планиметрии, действующие в арифметической плоскости. До конца этого параграфа мы перечислим основные группы биекций плоскости на себя и одновременно отметим'некоторые их свойства. Эти группы с определенной точки зрения лежат в основании школьной планиметрии.
В этом пункте рассмотрим случай арифметической плоскости /?2, а в следующем пункте перенесем указанные для R2 группы биекций в векторную и аффинную плоскости.
Любое линейное отображение W нз R2 в себя однозначно определяет матрицу ( =^. Для которой УхеД3(1Р’(х)=Л-х),
так лак в R2 имеется выделенный базис , (°)} . А именно, 0«0 "(X-
Обычно само линейное отображение U7 и соответствующая ему матрица Л обозначаются одной и той же буквой. Прн этом композиции линейных отображений соответствует произведение этих матриц. Поэтому группа, состоящая из всех линейных отображений R2 в себя, и любая ее подгруппа называются матричными группами.
Множество всех вещественных (2X2) — матриц обозначим Mat (2, R) или кратко М2. Множество М2 отождествляется с множеством R* с помощью биекции: Л**(а|i, ai2, 021, а22\ По этой биекции в М2 переносится структура метрического пространства, а
2 2
именно: ^(Рц—Ьц)2} 2. Значит, предыдущая биек-
ция — изоморфизм метрических пространств М2 и /?4. Из неравенства |ац —&ц| Ср((а//). (bf/)) следует, что функция (а^ь^-ап .вида M2-*-R является непрерывной. Аналогичным образом непрерывны и функции
(a//)i->ai2, (а//)н>а2|, (a<j)i->a22
вида M2-+R.
Функция (a//)t->-det(a/j) непрерывна, так как det(ay)=an-а22 —
— ai2‘a2i н правая часть этого равенства является разностью произведений непрерывных функций.
а) Общая линейная группа по определению состоит из всех невырожденных матриц вместе с обычной операцией умножения двух матриц. Она обозначается GL2. Так как функция det: (а, t-»-det(a,j) непрерывна и GL2 = {(ai/)|det(aI7)+=0), то GL2 является прообразом открытого множества относительно непрерывной функции det(-). Поэтому множество GL2 открыто в метрическом пространстве Л12.
Покажем, что множество GL2 плотно в пространстве М2, т. е. в любой окрестности любой матрицы (а1() точки из М2 найдется матрица точка из множества GL2.
Если (ati)e.GL2, то в силу открытости GL2 элемент (а,/) имеет окрестность, целиком содержащуюся в GL2, т. е. целиком состоящую из невырожденных матриц.
Пусть (a;/)^GL2, т. е. det(а|() = аца22 —ai2a22=0.
Определим функцию f(0=₽tdet(a” + t . где t^R. Тогда
f(t) = (fli 14-С (агг + О—012-021 — /2 + <(O|i + а22) + ацо22 — Ot2-a2l =•* = 0 + /(<Х| । + а22).
Функция f(t) является параболой, проходящей через начало координат, ветви которой направлены вверх (рис. 41).
Для малых чисел /, отличных от нуля, f(t) также отлично от нуля ц соответствующие этим t матрицы ) принадлежат
GL2. л м+<
Поскольку
// а„+/ а.2 \ , / а., а12\\ \\ Й21 e-ii+v X Й21 Д22//
то матрица 4(/)ч=^ + < ди-н) ПРИ ^>0 стремится к матрице
^=(а"а'2)’ Следовательно, в любой окрестности матрицы Л = (а,/) найдется невырожденная матрица At.
119
б) Линейная группа по определению состоит из всех матриц определителем, равным +1 или — 1 вместе с обычной операцией умножения двух^матриц. Она обозначается Л2 и является подгруппой общей линейной группы GL2. Она замкнута в М2, так как являемся прообразом замкнутого множества {—1, 1) относительно непрерывной функции det (•). Линейная группа L2, как мы увидим в главе Ш, играет решающую роль в понятиях площади и меры плоской фигуры. А именно 12 — наибольшая из матричных групп, под действием которых площадь фигуры не меняется. Отметим ее подгруппу SLz (специальная линейная группа), по определению состоящую из всех матриц 4еМ2, для которых det А = 1.
в) Ортогональная группа по определению состоит из всех матриц, для которых совпадают транспонированная и обратная матрицы, вместе с обычной операцией умножения двух матриц. Она обозначается О2. Носитель группы О2 можно определить и как множество всех матриц, сохраняющих обычное скалярное произведение в /?2 (см. гл. I, § 7).
Если матрица ЛеО2, то А‘ = А~' и det А = det (А') = det (Л ~‘)=
det А '
Следовательно, (det Л)2 = 1 и det Л = ± 1. Поэтому О2 — подгруппа Л2.
Отметим подгруппу SO2 ортогональной группы (группа по- -воротов), которая по определению состоит из всех матриц ЛеО2 с определителем, равным +1. Напомним (гл. I, § 7), что всякий элемент'Л eSO2 имеет вид ( . где / — некоторое фик-
сированное число из /?.
Следовательно, SO2 — ограниченное множество в метрическом пространстве М2. Нетрудно показать, что всякий элемент
Ле(О2\ХО2) имеет вид где /—некоторое фикси-
рованное число из R.
Следовательно, O2=(SO2)U(O2\SO2) — ограниченное множество в метрическом пространстве М2.
Из непрерывности отображений и вытекает,
что О2 и SO2 — замкнутые множества в пространстве М2. Поэтому О2 и SOi — компактные множества и, следовательно, компактные матричные группы.
г) Группа гомотетий по определению состоит из всех матриц вида /•£, где t — фиксированное число из R* и Е — единичная матрица, вместе с обычным умножением двух матриц в качестве (групповой операции. Эта группа обозначается Я2. Группа Я2, очевидно, изоморфна группе /?* — ненулевых вещественных чисел с умножением в качестве групповой операции. 1
Ее Подгруппа SH2 (группа собственных гомотетий) по определению состоит из всех матриц вида t-E, где />0. Она изоморфна группе /?'—всех строго положительных вещественных чисел с
/
120
операцией умножения чисел (см. гл. I, § 2). Группы SH2 и Я2 замкнутые подгруппы общей линейной группы -GL2.
д) Группа линейных подобий по определению состоит из всех матриц, получаемых в результате умножения матриц из ортогональной группы Ог йа матрицы нз группы гомотетий Я2, вместе с операцией умножения матриц. Грудпа линейных подобий, очевидно, изоморфна прямому произведению О2Х/?*-
Группа собственных линейных подобий состоит из всех матриц, получаемых в результате умножения матриц из SO2 иа матрицы из 8Я2; она изоморфна прямому произведению O2XR'. Итак,
SL.2 <= L2 cz GL2 с. М2
и и .• и
SO2 С1О2<^О2Х11- ^> Нч п и
SH2
Здесь все включения, кроме GL2c:,M2, являются включениями подгруппы в группу и все группы, кроме GL2, замкнуты в пространстве М2. Из этих групп только SO2 и О2 — компактные группы.
Опишем действие матричных групп в множестве R2. Пусть G — любая из приведенных выше матричных групп и.4еб. Кратко говоря, действие матриц А из группы G на точку х из/?2 по определению состоит в умножении матрицы А на эту точку х, т. е. At->-A-x. Здесь функция, состоящая в умножении фиксированной матрицы на переменную точку (вектор) из R2, обозначается А-х подобно тому, как функция синус обозначается sin х.
Подробнее действие группы G определяется как отображение . F, задаваемое равенством В(Д)ч±Л-х для всех матриц A^G. Значение отображения F, т. е. F(X), также является функцией, но уже вида /?2->/?2. Функция А-х является линейной биекцией, так как G группа и, следовательно, вместе с любым А она содержит Л-1, т. е. det А =^0. Итак, F — отображение матричной группы G в группу Is(/?2), т. е. F имеет вид F : G->Is(/?2). При этом F— гомоморфизм, так как
F(A • В)=(Л • В) -х = А • (Вх) = F (Л)оВ(В).
Обозначим F(A)^fA.
Предложение 7. Пусть G—матричная группа и F построенное выше отображение G в Is (R2). Тогда F является эффективным действием группы G в множестве R2.
> Как проверялось выше, произведению матриц Л| и Л2 соответствует линейное отображение, являющееся композицией линейных отображений fAi н fAt. Поэтому F — гомоморфизм из G в Is(/?2). Если fA = idR/, то А = Е, т. е. ядро гомоморфизма F состоит из {£}. Следовательно, F инъективный гомоморфизм (эффективное действие) G в R2.
Мы будем отождествлять матрицы и соответствующие нм лнией-
121
ные функции и поэтому будем отождествлять любую матричную группу G с'ее образом F(G)eIs(/?2), где F— описанное выше эффективное действие G в R2.
Действие F : Ai-rf А матричной группы G в множестве R2 не является транзитивным. Например, все отображения fA линейны и, следовательно, все они переводят начало координат в себя. Существует простой способ «усилить» действие F таким образом, чтобы оно стало транзитивным. Согласно § 2 этой главы группа (/?2)+ транзитивно и эффективно действует в множестве R2 при помощи параллельных переносов /Е(-): хн>-х4-£, «добавление» группы R2 к любой матричной группе G определяет уже эффективное и транзитивное действие новой группы в множестве R2. А именно, пусть G — матричная группа. В множестве GXR2 рассмотрим следующую бинарную операцию:
(А,, |i)-(A2, ЬМЛ.-Аг; А,-h + U
Упражнение 28. Покажите, что:
а) множество GXR2 замкнуто относительно этой операции; б) эта бинарная операция ассоциативна;
относительно этой бинарной операции
в) пара (Е, О') является нейтральным элементом;
г) пара (А-1; — А_||) является обратным элементом к элементу и. а-
Из упражнения. 28 следует, что множество GXR с определенной в нем бинарной операцией является группой. Эта группа называется полупрямым произведением групп G и (/?2)+. Определим действие этой группы в множестве R.
f <л.«> =**(A*x+S)-
Функция F((A, S) является композицией линейного
отображения А и параллельного переноса /Е(-). Следовательно, /<ЛЕ> —биекция множества R2 иа себя и отображение F вида F :6Xtf2->Is(tf2).
Предложение 8. Отображение F: (A, £><-»-/<д,|> является аффективным и транзитивным действием группы Gx(R2)+ в множестве R2.
|> Проверим гомоморфность F и тем самым докажем, что F действие:
f <A|.Ei>°f <A2.E2>W = / <Ai.Ei>(f <А2.Ег>(Х))=/ <Ai.Ei>(A2-x + g2) = A|A!5x4-4-А||2+ё1= <А|-Аг, Ai-g2-|-|i>.
Докажем эффективность действия F, т. е. инъективность гомоморфизма _ F или, что эквивалентно, проверим равенство Ker F={(£, О)).
Пусть /<лл> совпадает с единицей в группе Is(/?2), т. е. f(л. Е> =idsj. Следовательно, для всех точек хе/?2 выполняется /<л E>(x)=A-x4-g=idR2(x)=x. Положив х=0, получим £=0 и тогда из равенства Ах = х, Vxe/?2, получим А=Е.
122
Докажем транзитивность f, т. е. для любых точек х и у из R2 найдется такой элемент <А, из GXR2, что f $Лг)(х)=у. Для этого'положим A4=t£eG и &&у — х.
- Будем отождествлять элемент <А,’Е) e(GX/?2) и соответствующую ему биекцию /(Л. Е) множества R2 на себя. В главе III действие F используется для случаев, когда группа G совпадает с L? и О2. Группу Gi4±L2X(/?2)+ будем называть эквиаффинной группой.
Рассмотрим аффинную плоскость (R2, R2, g), где g(a, b)^b—a.
Из примера г) в п. 1 следует, что множество всех аффинных отображений аффинной плоскости R2 в себя совпадает с множеством отображений R2 в себя вида xi-M-x-j-fc, где А —линейное отображение и £е/?2. Следовательно, GL2X(/?2)+ является как раз аффинной группой плоскости R2, т. е.
Aff (R2)=GL2X(R*}+.
Группа О2Х(№)+ называется группой движений аффинной плоскости R2. Можно доказать, что она состоит из всех биекций R2 на себя, сохраняющих обычную метрику в R2. Группа SO2Xtf2 называется группой собственных движений аффинной плоскости R2. Группы (О2ХЯ2)Х(Я2)+ и (О2Х5Я2)Х(/?2)+ называются соответственно группами подобий и собственных подобий аффинной плоскости R2.
3. Поднятие группы биекций в арифметической плоскости в векторную и аффинную плоскости. Пусть X — векторная плоскость над полем R. Фиксируем в X некоторый базис e={ei, е2) и через We обозначим функцию вида R2-+X, определяемую равенством
^«хь x2>)3=txiei4-x2e2.
Легко проверить, что эта функция — изоморфизм. С помощью изоморфизма We: любая биекция Т плоскости R2 на себя
«переносится» в X. А именно отображение 7\-+We°T<>Wr>^TB каж- -дой биекции Т els(/?2) ставит в соответствие биекцию Те множества X на себя. Это соответствие удобно показать на следующей коммутативной диаграмме (рис. 42).
- Определение 6. Пусть.G — некоторая группа биекций R2 на себя не— некоторый базис в векторной плоскости X. Поднятием группы G в X относительно базиса е называется множество всех биекций плоскости S на себя вида We-T -W7', где TeG, вместе с бинарной операцией композиции. Это поднятие будем обозначать Ge.
Предложение 9. Поднятие Ge группы G в векторную плоскость S относительно произвольного базиса е является подгруппой группы Is(.ST) изоморфной исходной группе G.
|> Пусть Tie, T2e^Ge. ТОГДЭ Т ie°T2e = (We°T i°W7 ') =
===U^’e°(7’i °T2)°Wr1 =(Г|оТ2)? Ge и id X = IP’eoidj?2 ° We Следо-
123
Prtc. 42 Рис. 43
вательно, множество Ge содержит единицу группы Is(A) и замкнуто относительно композиции, которая является групповой операцией в Is(X), т. е. Ge — подгруппа группы Is(X).
Докажем, что отображение вида Т\->Те является изоморфизмом групп G и Ge- Его гомоморфность следует из уже доказанного равенства (7’|оТ2)е=(Т|)ео(7’2)е. Это соответствие по определению сюръективно. Докажем его инъективность. Если Те = id X, т. е. We- Т• W71 = = idx, то T=IP’rl°id X°IP’e=idlf2. Следовательно, ядро соответствия Ть-+Те состоит только из элемента idA2-
Если выбрать другой базис е' ={ef, е2) в векторной плоскости X, то возникает два поднятия в X группы G: одно — относительно базиса е и другое — относительно базиса е'. Возникает вопрос: совпадают ли группы Ge и Ge. для различных базисов е и е'? Для одних групп G ответ положителен, для других — отрицателен.
Тем не менее по предложению 9 группы Ge и Ge, всегда изоморфны между собой, так как обе они изоморфны группе G- Иначе говоря, поднятие Ge группы G в векторную плоскость X однозначно с точностью до изоморфизма групп.
В этом смысле группа Ge ие зависит от выбора базиса, е, и ее называют поднятием в плоскости X группы G.
Разберем' подробнее несколько примеров.
а) Пусть G=GLz и е, е'—два базиса в X. Докажем, что в этом случае Ge (как множество!) совпадает с т. е. множества Ge И Ge’ равны, Ge=Ge’ .
Возьмем биекцию Te.^Ge, и докажем, что Te.eGe. Иными словами, найдем матрицу Ti^GL2, для которой Te’=WeTiWrl (рис. 43).
Поскольку биекция Те.е Ge>, то для некоторой матрицы Ге eGL2 выполняется Te’ = We.TW7.\ Обозначая We-£ изоморфизм W'-We’, получим Te’=We’TW7’' = We{WrlWe’TW7’'We)W7' = = We(W e’.eTW^eWr' = WeTiW7', -ГДв Г, We’. е Т W^e ЯВЛЯ6ТСЯ изоморфизмом R2 на себя как композиция изоморфизмов W7’e И Т И W-e'.e плоскости R2 на себя.
Следовательно, TieGL2. и тем самым доказано включение Ge.<=Ge.
Аналогично проверяется и обратное включение GesGe,.
б) Пусть группа G совпадает с . группой L2 или группой SL2. Докажем,,что и в этом случае группа Ge (как множество) совпадает с группой Ge'- Аналогично предыдущему примеру, если Te'=We-TW7l, где TeG, то 7>= WeTtWr', где Г, = We'.eTW7.le, и
124
W;.e—изоморфизм /?2 на себяГ Тогда det Ti = det(F^,e)*(det ?)•
Следовательно, если det 1=1, то det 7*1 = 1, и если det 7*= — 1, то н detli = —1. Поэтому если ТеНг или Т <=SL2, то T^L2 или Т । <= SL2.
Значит, Ге, = (Т|)е, где TieG. Поэтому Ge-sGe. Обратное включение проверяется аналогично.
в) Пусть Т — параллельный перенос в плоскости R2 на фиксированный вектор |=<Х|, х2>. Тогда Те — параллельный перенос в плоскости X на вектор Xi-ei Н-хг-вг, а Те;—перенос в X на вектор xiei-f-x2e$.
Если ef = anei-f-ai2e2 и 62 = 0216.1-f-022^2, то,Тс,— перенос на вектор (Х|О|| Н-Х2а2|)б| 4-(х|О|24"^2О22)б2.
Следовательно, Те> является параллельным переносом в X, который получается поднятием с помощью W е, параллельного переноса в /с на вектор |'= <Х|Оц Н-хгОгь xtal2-]-x2a22).
Поэтому группа G=(/?2)+ также дает пример группы биекций в /?2, для которой поднятия GB и Gf< совпадают (как.множества) для любых"базисов е и е'.
г) Пусть G = 02 или G=SO2 и е, е' — два базиса в векторной плоскости X. В этом случае поднятия Ge и GB. группы G относительно базисов е и е', вообще говоря, не совпадают между собой (как множества). Однако если рассматривать евклидову плоскость X, т. .е. векторную плоскость X с фиксированной в ней положительно определенной, симметричной и билинейной формой g(-, ), то среди всех базисов в X выделяется некоторое особое множество базисов, относительно которых поднятия группы G в X совпадают между собой (как множества). А именно семейство-таких базисов состоит из всех таких е={в|, е2}, для которых g(e\, в|)= =g(e2, 62)= 1 и g(ei, ег)=О. Такие базисы называются ортонор-мированными относительно фиксированной формы g(\, •).
Пусть e={ei, е2) — какой-то ортонормироваиный базис относительно евклидовой формы g(-, •) в векторной плоскости X. Тогда изоморфизм We: /?2->Х переводит обычное скалярное произведение в R2 в евклидову форму g(-, •) в X. Точнее, для любых точек х, y^R2 выполняется (х, y)=g(We'X, We»y\
Действительно, g(We-x, We-y) = g(x\e\ + х2е2, ytet + y2e2) = xt • •!/i-g(*i. ei)-f-X|-y2-g(ei, e2) + x2-y}-g(e2, el) + x2y2-g(e2,e2)=xlyl + +x2y2=(x, y).
Докажем, что если e и e' — какие.-то ортонормированные базисы в векторной плоскости X с евклидовой формой g(-, •), то множества Ge и Ge. совпадают, Ge=Ge>. Пусть Te — WB. TW^,' где 7'е G. Тогда,, как и в п. а и б, выполняется:
Т', = 1 We'T Wj 1 We) We~ ' = WeTt We~ ',
где r^We’.eTW^H We..e^We-'We’.
125
Так как We и We переводят скалярное произведение в R2 в евклидову форму g(’, •) в X, то изоморфизм We, е сохраняет скалярное произведение в R2, и тем самым УЛ,еО».’
Следовательно, Ti = We>,eTW^\^O2.
Если T^SO2, т. е. Т ^О2 и det7'=l, то Tt^SO2. Поэтому TieG и Те, = WeTt Wr1 е Ge. Следовательно, Gf,^Gf. Обратное включение следует из того, что все рассуждения можно повторить, поменяв местами ортонормированные базисы е и е'.
д) Аналогичным образом поднимаются в X и группы биекций в R2 вида GX(/?2)+, где G — матричная группа.
Нетрудно показать, что поднятие группы GX(R2)+ относительно базиса е совпадает с группой GeX X , где Ge — поднятие группы G в векторную Плоскость X относительно базиса е.
Поэтому, например, поднятие аффинной группы GL2X(R2)+ аффинной плоскости R2 относительно любого базиса е не зависит от выбора этого базиса и совпадает с аффинной группой векторной плоскости (X, X, g).
Поднятие группы биекций векторной плоскости S' в аффинную плоскость (A, S', g) выполняется при помощи биекций fa вида fa: A-+S~. Точнее, рели Т — биекция в S', то определяется биекция Та в А вида Ta^fr' -Т-fa.
Если G группа биекций в S', jo в множестве {Та | Те G), конечно, рассматривается операция композиции; полученная группа обозначается Ga.
В зависимости от выбора группы биекций в плоскости S' ее поднятие в аффинную плоскость <А, X, g) зависит или не зависит от выбора точки а из А.
Иными словами, множества {Та|Те G) и {Ть|Те G), где G группа биекций в S', могут совпадать (как два подмножества) для любых точек а, b нз А или для некоторых точек а и Ь.
В любом случае группы Ga и Gb изоморфны н в этом смысле группа Ga не зависит от выбора точки а из А.
> ч
§ 5. ПОНЯТИЕ ПЛАНИМЕТРИИ
Цель этого параграфа—изложить представление' о планиметрии, предложенное Ф. Клейном.
1. Клейновский подход в геометрии: понятие о планиметрии данной группы. Рассмотрим совершенно произвольные множества X н У, группу G, действие F(-) группы G на множестве X, т. е. гомоморфизм F(-): G->-Is(X), где Is(X) — группа всех биекций множества X на себя.
Определение 7а. Функция ф : Х"->У, где пеАГ, называется G-инварнантом (или точнее инвариантом действия F группы G на множестве), если Vg<=GVx......... хп^Х(^(х\, хп) —
fe(x„))).
Если У — числовое множество, то ф называется скалярным G-ннварнантом. Если Х = 1/"‘ и U является носителем некото
126
рого кольца, а ф — многочлен от т переменных с коэффициентами из этого кольца, то ф называется алгебраическим G-инвариантом.
Например, рассмотрим в качестве ф обычное расстояние между двумя точками в R2. В этом случае положим X=R2, п — 2, ф= = р(*. •). K=/?>0, 6 = О2Х/?2. Функция F определяется как всегда:
Р(<ЛЛ»=Д.х+^:₽2->/?2,
Тогда функция ф является G-инвариантом, т. е.
V<A, !;>еб Ух, 1/е/?2(ф(х, у)=ф(Л-х-Н, А-у + Ъ))-
Рассмотрим следующий пример. Пусть ф — обычное скалярное произведение в R2, т. е. 'ф(х, t/)=(x, y)^x(-yi +х2-у2. Тогда положим X—R2 и « = 2. Функция ф(Х|, х2, у\, у^^х\-у\-\-х2-у2 есть многочлен над₽ от четырех переменных. Пусть ¥—R и G = O2 и, как всегда, F(A)^A-b:R2-+R2. Тогда функция ф является (^-инвариантом, так как согласно одному нз определений ортогональной матрицы выполняется соотношение УЛеО2 Ух, уе/?2(ф(х, у)= =ф(Л-х, А•(/)). Более того, ф является алгебраическим О2-иива-рнантом.
Бывают полезны G-инварианты иного рода.
Определение 76. Пусть ф — произвольная функция вида Р(Х)-+¥, которая, может быть, частично определена. Функция ф : & (X)->-У называется G-инвариантом (или, точнее, инвариантом действия F группы G на множестве X), если
Vge=G Уюе=Д(ф) (ф(ге>) =ф (fK (w))), где Р(ф) — область определения функции ф(),, Р(ф) <=& (X).
Например, обозначим U множество всех многоугольников (или для простоты — всех треугольников) в плоскости R . Площадь Т(-) многоугольника (соответственно треугольника) не меняется под действием группы GS^L2X (Л2)+ на множестве R2. А именно V<A, ^>eGs Vue(/(7'(u)=T(A-u-f-|)), где А-х-Н1хе е U}. Для случая многоугольников это утверждение доказывается в главе III, для случая треугольников его легко и полезно проверить непосредственно. Итак, площадь многоугольника или треугольника также является примером Gs-инварнанта.
Другие аналогичные примеры можно построить, если в качестве U выбрать семейство всех прямоугольников или еще какое-нибудь семейство элементарных плоских фигур.
Наконец, приведем определение еще одного вида 6-иива-риантов.
Определение 7в. Пусть P(xi, х„)— n-местный предикат на множестве X, т. е. функция вида Р : Хп->{0, 1). Предикат Р называется G-инвариантом (G-инвариантиым предикатом), если
- Vge=GVxi, .... хп^Х(Р(х\.....xrt)oP(fg(Xi), .... fg(xn))),
где F — действие группы G на множестве X.
127
1
Можно рассматривать G-инварнантный предикат Р как частный случай G-иивариаитной скалярной функции в смысле определения 7а. В этом случае нужно положить Уч±{0, 1).
Например, X=R2 и п = 4 и P(xi, х2, х3, х4)^х{ =£х2/\х3=£ =^xi/\(_xlx2)[[(x2x4), где (xix2) — прямая, проходящая через точки xi и х2, а (х3х<) — прямая, проходящая через точки х3 и х«, и знак || означает, «параллельно». Очевидно, что этот предикат является (ОгХ/Н’ИИвариантом. Можно заменить знак || на знак ± — перпендикулярно.
Следующий пример. Пусть X = P(R2), п=1 и Р (w) — предикат «ws/?2 и w — треугольник (или многоугольник и т. п.)». Тогда Р(-) есть ОЛг-инвариантный предикат. Этот пример подробно рассматривается в следующей главе.
Аналогично определяется понятие G-инвариаита в случаях, когда -ф(-) или Р (•) заданы на множествах, которые получаются нз X с помощью операций взятия множества всех подмножеств и декартова произведения множеств. Например, если ф — функция из множества (Р(Х)^ХХ" в множество У, то ф называется G-инвариантом, если
Vo/i, ..., Wk^P(X) Vx4, ..., х„еХ(ф(Ш|, ... «у*, х.......хл)=Ф(|в(аУ|), .... fff(x„)).
Например, ф(о\ х) — расстояние между точкой х и замкнутым множеством w. Здесь w^R2, x^R2, т. е. ф(о\ x>₽tinf (z, х).
Следующий пример: P(wi, w2) — множества он и w2 пересекаются. Здесь wi, w2^R2. Очевидно, функция ф(-, •) является О2Х₽2-инвариантом, предикат Р(-, •) является М2-инвариантом.
Если фиксировано некоторое действие F группы G на множестве X, то будем называть G-геометрией совокупность всех G-инва-рнантов всевозможных указанных выше видов. Если G есть матричная группа или группа вида ОХ(Л2)+, где G — матричная группа, то ее действие в R2 раз и навсегда фиксировано. Оно состоит просто в умножении точки х из R2 или каждой точки х из фигуры w на матрицу А из G (или соответственно в преобразовании вида A-x-f-g точки или фигуры). Поэтому для таких групп можно не указывать, о каком действии идет речь; всегда-подразумевается указанное действие.
Знаменитое клейновское понимание геометрии состоит в том, что предметом геометрии является изучение всевозможных G-геометрнй относительно различных групп G, их действий F и множеств X.
В случае школьной планиметрии в качестве,.множества X выступает арифметическая плоскость R2, или векторная плоскость 3F, или аффинная плоскость А2. Если рассматривается векторная или аффинная плоскость, то обычно подразумевается модель аксиоматики векторной плоскости — арифметическая плоскость J?2, в которой не выделен никакой базис, или модель аксиоматики аффин-
128
В)й плоскости вида </?2, R2, g), где первое R2— множество, вто-
R2 — арифметическая или векторная плоскость и g(a, Ьу&Ь — а.
ругими словами, в случае векторной* плоскости в R2 «забывают» |р стандартном базисе, а в случае аффинной плоскости в R2 «забывают» еще и о начале координат.
| В качестве группы G в школьной планиметрии выбирается : одна из групп биекций в R2, или. в векторной, или в аффинной [.плоскости, о которых подробно говорилось в предыдущем параграфе. Вопрос о выборе действия этих групп не возникает: каждая \из них действует в той плоскости, из биекции которой она состоит. [Действие сводится просто к вычислению значения какой-то из -этих биекций.
В соответствии с клейновским пониманием геометрии полное изучение школьной планиметрии состоит в описании всех инвариантов этих групп.
Реализуем клейнову программу для случая группы G = O2 и арифметической плоскости R.
2. Евклидова планиметрия — планиметрия ортогональной группы. Пусть (-, ’) — обычное скалярное произведение в R2. Рассмотрим функцию || • ||2:определяемую равенством ||х||2ч=* =₽t(x, х). Так как ||х||2ч^(х, х)=х24-х2, то функция || • ||2 является многочленом над полем R относительно двух координат Х| и х2 вектора х. При этом функция ||-1|2 является инвариантом группы О2, так как согласно одному из определений О2 выполняется соотношение \МеО2 Vxe/?2(||x||2= ||А-х|р). Поэтому она является алгебраическим (второй степени) О2-инвариантом от одной векторной переменной х или от двух вещественных переменных Х| й х2.
Нетрудно построить другие примеры алгебраических О2-ин-вариантов, используя функцию ||-||2. Например, таковыми являются следующие функции:
хн>-(х, х)2—8-(х, х)+1, XJ-*(X, x)l983+(x, x)l°0l4-2.
Вообще, любая функция вида xw-Pfc((x, х)), где хе/f2 и Рк — произвольный многочлен над полем R какой-то й-ой степени от одной числовой переменной, является О2-инвариантом. Оказывается, верно и обратное утверждение: всякий алгебраический над вещественным полем О2-инвариант от одной векторной переменной х равен композиции многочлена над полем R от одной переменной и функции ||х||2ч=ь(х, х), где хе/?2.
Предложение 10. Пусть f: R2-+R — многочлен (над полем R) от двух вещественных переменных Х| и х2 (и следовательно, от. одной векторной переменной х=(*‘) ), который Ог-инва-ршштен, т. е.
Vxe/?2(f(x) = f(A-x)).
5 Заказ 227
129
Тогда найдется такой многочлен (над тем же полем R) Р(а) от одной вещественной переменной а, что Vx е/?2 (f(x) = Р((х, х))).
>' Пусть f(xi, х'2)— многочлен от двух вещественных переменных и х=(*‘) е/f2. Фиксируем как&й-то один вектор х=^х^ . Найдется такой поворот W^O?, который переводит точку в точку (‘‘'J1')- Тогда по условию Ог-инвариантиости функции f(-) выполняется f(xi, х2) = f(||x||, 0). Если в многочлен f(-, •) всюду подставить вместо его второй переменной число нуль и затем выполнить арифметические действия, то получится некоторый многочлен над полем R от одной переменной Х|. Этот многочлен обозначим, Р(-), он является искомым многочленом. Итак, f(xi, х2) = Р(||х||). Теперь рассмотрим поворот ДеО2, переводящий точку в точку ( ) и аналогично получим:
f(x>, й) = Д-||х||, 0) = Р(—||х||).
Учитывая предыдущее равенство, получаем Р(—||х||) = Р(||х||). Вектор х пробегает всю плоскость /?2, поэтому значение функции Ц-Ц пробегает все множество /?>(|. Значит а) =
= Р(а)). Следовательно, многочлен Р(-) является четной функцией: последнее возможно только в том случае, если он ни разу не содержит свою переменную xi в нечетной степени. Действительно, соберем вместе все четные одночлены, входящие в Р, их сумма является четной функцией. Вычтем эту функцию нз четной функции Р(-). Разность двух четных функций является четной функцией. Следовательно, эта разность является постоянной. Определим многочлен Q(-), который получается из многочлена Р(-) понижением всех входящих в него степеней переменной Х| вдвое, т. е. заменой х? на х"/2. Очевидно, Q(x2) = P(xi). Итак, f(x)= Р(||х||) = =р (-V*i+*2)) = Q(4+4) = <Ж X))=Qo(x, X).
Теперь обобщим предложение 10 на случай алгебраических Ог-инвариантов от двух векторных переменных х и у и соответственно от четырех вещественных переменных хь х2, t/i, t/2, где х=(*^ , . Простейшими алгебраическими Ог-инвариантами
от двух векторных переменных являются следующие функции:
<Х, у > (—>-(х, X), <Х, £/>Н>-(х, у), (X, y>t+,(y, у),
где х, y^R2. Оказывается, что любой другой алгебраический (над полем R) О2-ннвариант от двух векторных переменных х=(Х|) и выражается через эти простейшие инварианты
130
с помощью подстановки' их в некоторый многочлен над полем R от трех переменных ои, a2, аз.
Теорема 8. Пусть f .R4+R — многочлен (над полем R) от четырех вещественных переменных хь х2, yJt у2, который О2-ин-вариантен, т. е.
УАееО, Vx=(j), y=(fy ^R2(f(x, y)—f(A-x, A-у)). Тогда найдется такой многочлен Р(а, 0, у) (над полем R) от трех переменных а, 0, у, что Чх, y<=R2(f(x, у) = Р((х, х), (х, у), (У> У)))=Р°<(Х> х), (х, у), (у, у)).
> Фиксируем пару векторов и в плоскости /?2-
Рассмотрим поворот W^O2, переводящий вектор х в вектору . При этом W-y есть какой-то вектор у' с координатами у'\ и у'2. Тогда (х, y) = (W-x, W-y) = ||х|| • у\ и ||у||2 = (у, у) = (Wy, Wy) = = (УП2 + (У2)2.
Следовательно, t/{ = и II *11
, /.. ||2 (х, у)2 Цх||2-11</112-(х. У)2
Можно считать, что у2^0, так как в противном случае рассмотрим композицию преобразования W и симметрии относительно оси Ох. При этом вектор перейдет'в вектор и вектор останется на месте.
В силу О2-инвариаитности функции f(-) получаем:
f(x, y) = f(W-x, ^•y) = f((lo") ’C'))=Fh/^’
_(*’ У) *)(У.. /^4
Vm’V (X. x) /’ w
где F(/i, /2, tb) — многочлен, который получается из многочлена f(xi, х2, хз, х4) аннулированием переменной х2. Оставшиеся три вещественные переменные переобозначим tt, /2, 6, т. е. ti — это переменная xi, t2 — переменная х3, t3 — переменная х4.
Итак, мы уже выразили функцию f(x, у) через функции (х, х), (х, У)< (у> у), но пока что с использованием нежелательных опера--ций деления и извлечения квадратного корня.
Если рассмотреть композицию преобразования W и симметрии относительно оси Оу, то в силу О2-инвариантности функции f(-) получим, что значения многочлена F(-) не меняются при одновременном изменении знака у переменных ii и i2, т. е. •
131
' F(— ti, ~t2, i3) = F(ti, t2, t3).
По аналогичной причине выполняется F(/h t2, —/з) = F(ti, tz, <з).
Многочлен F(-) является линейной комбинацией одночленов вида C-fi-t2,t3. Из равенства F(/|, t2, — t3) = F(ti, t2, t3) следует, что k должно быть четным числом для всех одночленов в многочлене F(-}.
Действительно, фиксируя t\ — t2= 1, получим многочлен F(1, 1, t3) от одной переменной, который является четной функцией и поэтому содержит четные степени k. В свою очередь из равенства F( — — tz, t3)= F(ti, t2, t3) следует, что для любого одночлена C-fi-t2-t3 многочлена F(-) число п + т четно, т.е. числа пит одновременно четны или нечетны.
Действительно, полагая tt=:t2=t и /з=С получим многочлен F(t, i, 1) от одной переменной /. В каждый одночлен этого многочлена переменная t входит со степенью (n-j-m), и сам многочлен четный.
Итак, для каждого одночлена C-t"-t2 возможны два случая: либо все числа п, т, k четны, у. е.
. = (t2)*(tiy ,
либо числа п, т нечетны и число k четно, т. е.
W щ, mi. kie=N.
Возвращаясь к равенству (:<<), получаем, что функция f(x, у) является многочленом относительно функций (х, х), ,
(* У)-(А «Г. И (х, у).
(х, х)
Приводя все одночлены в F(-) к общему знаменателю, получаем, что
. . Fi((x, х), (х, у), (у. у))
f(X’ ’ <**)
' X)
где Fi(>, •, •) — новый многочлен от трех вещественных переменных и /еЛГ. Аналогичным образом можно доказать, что
f(x, у) (* У)’ (у- у»,
где G(-, -, •)—многочлен от трех вещественных переменных и seAL Следовательно, разность вида {у, yf-Fi((x, х), (х, у), (у, у)) — — (х, х)'Gi((x, х), (х, у), (у, у)) тождественно равна нулю при всех х и у из R2.
Рассмотрим многочлен Я(-, .-, •) от трех переменных:
Н(а, 0, y)4=tys ’ F|(а, 0, у) —a1- Gi(a, 0, у).
Для любых чисел а 0, у 0, 0, если а0 у2, можно подобрать такие х и у из R2, что а = (х, х), 0 = (х, у), у—(у, у). Поэтому область, в которой многочлен Н тождественно равен нулю, содержит
132
внутренние точки, т. е. многочлен Н тождественно равен нулю при всех а, 0, у.
’ Пусть г — максимальная степень, с которой переменная а входит одновременно во все одночлены многочлена Fi(a, 0, у), т. е. F\ — — аг’Р(а, 0, у), где многочлен Р(а. 0, у) не делится нацело на a в кольце многочленов /?[а, 0, у]. Если бы г было меньше I, то Я(а, 0, у) = ar(ys • Р(а, 0, у) — а‘~' --Gi (а, 0, у))ч± аг- Н|(а, 0, у) = 0.
Многочлен Hi обращается в нуль в области ((а, 0, у)|а=#0}, в которой имеются внутренние точки, и поэтому Я|(а, 0, у) тождественно равен нулю. Поэтому Р(-, •, •) нацело делится на а в кольце многочленов /?[а, 0, у]. Полученное противоречие доказывает, что г > /.
Поэтому частное Fl^a’ Р* является многочленом относительно
переменных а, 0, у.
Возвращаясь,к равенству получаем, что f(x, у) является Многочленом относительно (х, х), (х, у), (у, у).
Алгебраические Ог-ииварианты от любого числа векторных переменных также выражаются через скалярные произведения с помощью многочленов. Однако доказательство этого факта значительно сложнее приведенных здесь доказательств для случаев п=1, 2.
Глава1 III
ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЛИЧИН.
ПЛОЩАДЬ И МЕРА ПЛОСКИХ ФИГУР
ВВЕДЕНИЕ
Связанные между собой понятия измерения и величины весьма сложны; их полное обсуждение далеко выходит за рамки нашего курса. В школьной математике имеют дело с такими частными случаями измерений, как измерения длины, площади и объема, и с таким частным случаем величин, как положительные скалярные величины.
Все же сделаем несколько замечаний, касающихся общей концепции измерения и величины.
Когда речь идет об измерении, то явно или неявно предполагаются известными ответы на следующие вопросы:
что измеряется?
каким образом измеряется?
что является результатом измерения?
Когда мы говорим об измерении, то. способ измерения предполагается' явно реализованным, например, в виде алгоритма нли схемы каких-то вычислений, или в виде физического прибора, или сочетания прибора и некоторых вычислений. Кратко говоря, предполагается известной некоторая инструкция для измерения.
Инструкция для измерения задает (определяет) сюръективное отображение Т из семейства всех измеряемых объектов U на семейство всех возможных результатов измерения RT. Конечно, нет оснований думать, что произвольное отображение может быть реализовано некоторым измерением. _
Пусть фиксировано какое-то измерение, т. е. в конечном счете фиксировано некоторое сюръективное отображение вида T‘.U^~RT. Величиной относительно измерения Т интуитивно хотелось бы назвать то общее у измеряемых объектов и и v, что обеспечивает одинаковый результат их измерения посредством инструкции (отображения) Т. Более точно величиной относительно фиксированного измерения Т будем называть всякое множество вида 7'_|(Х), где X фиксировано И принадлежит RT. Системой однотипных величин относительно фиксированного измерения Т будем называть совокупность всех множеств вида 7'_|(Х), т. е. совокупность U4=t{7"_,(X)|Хе/?г). Это множество, очевидно, совпадает с фак-тор-множеством множества U по отношению эквивалентности и~ и^(Т(и) = Т(и)). Классы эквивалентности записываются в виде
134
[«], где ue{/; поэтому будем записывать величины в виде [и], где и— один нз измеряемых объектов. Ясно, что [м]=7'“|(Г(ы)). Измеряемые объекты мио будем называть равновеликими, если они принадлежат одной величине, т. е. если [м] = [о]. Ko-
tt
Рнс. 44
нечно, последнее эквивалентно тому, что Т(н)=Г(о).
Что представляет собой семейство /?г? Распространенная точка зрения, по-видимому, состоит в том, что RT— некоторое подмножество множества R, ио тогда концепция измерения и величины с самого начала предполагает известным понятие вещественного числа. Последнее кажется нежелательным по многим причинам; например, концепции измерения и величины возникли и плодотворно изучались (скажем, во времена Евклида) задолго до возникновения точных определений вещественного числа и множества R. Скорее наоборот, понятие вещественного числа сформировалось в результате изучения многих разных измерений и соответствующих им величин и на основе того подмеченного в математической практике Наблюдения, что многие разные измерения приводят по существу к одинаковым системам величин; на современном языке можно сказать — приводят к системам величин, изоморфным /?.
На систему однотипных величин U «переносится» измерение Т, первоначально определенное на множестве измеряемых объектов U. Точнее, измерением системы однотипных величин U называется отображение определяемое равенством 7'/([м])ч=ьТ(м).
Тогда Т(м) = (7'/оф)(м), где ф:£/->1Г—каноническое отображение множества U на фактор-миожество т. е. <р(м)^к[м].
Как всегда такое отображение V называется опусканием отображения Т на U (рис. 44).
Отображение Т' отличается от Т тем, что Т' -биективно, и поэтому существует обратное отображение :RT-+U. Итак,
распространенное выражение «измерение величины объекта в точности означает вычисление композиции- 7'/(ф(м)).
В конкретных ситуациях иногда удобно считать первоначальными понятия U и Т и по ним определять понятия U и Т', а иногда наоборот — удобнее считать первоначальными И и Г' и по ним определять U и Т.
Примерами измерений в физике являются измерения:
скорости, ускорения и массы материальной точки (в классической механике);
импульса, энергии и момента импульса частицы (в специальной теории относительности);
электрической и магнитной напряженности (в классической теории электромагнитного поля);
массы покоя, спина, заряда и времени жизни частицы (в теории элементарных частиц).
Вопросы о том, как фактически осуществлять эти измерения и да
135
же как определять соответствующие этим измерениям объекты U, RT и Т, являются предметом глубоких физических и математических теорий.
В школьной математике традиционными являются измерения величии углов (относительно измерения углов), отрезков и кривых' (относительно измерения длины), многоугольников, некоторых криволинейных фигур и поверхностей некоторых тел (относительно измерения площади), многогранников и тел вращения (относительно измерения объема) и т. п. -
Итак, измерение — это некоторое отображение, система величин— некоторое фактор-множествй (а величина — класс эквивалентности или иными словами — элемент соответствующего фак-тор-множества). Конечно, такая схема очень поверхностна, так как вся нетривиальная часть концепции измерения и величины состоит как раз в том, какие именно отображения являются измерениями (и как эти отображения задаются) и какие именно фактор-множест-ва образуют системы величин. На этот счет мы ограничимся рядом примеров измерений и величин; они приводятся ниже в § 1. В § 2 приводятся такие примеры систем величин, для которых можно определить операцию сложения и отношение порядка, похожие по их свойствам на сложение и порядок в множестве вещественных чисел Я (правда, операция и отношение в системе величин определяются с помощью самой алгебраической системы /?). Обобщая эти примеры, мы приводим в § 2 строгое, математическое определение частного случая понятия величины — определение положительной скалярной величины. Это определение аксиоматическое и не использует /?. Как и в случае любого аксиоматического определения, лучше, приступать к его изучению после тщательного знакомства с примерами — моделями этого аксиоматического определения.
Возникает интересный вопрос, можно ли определить понятия величины, системы величин, операцию сложения величин, .порядок между величинами, не используя измерение, которое в конкретных примерах с необходимостью апеллирует к понятию вещественного числа? Более того, если бы удалось определить систему величин U, обладающую рядом естественных свойств без использования измерения Т, то, может быть, функция измерения этих величин Т' возникла также без использования Т как изоморфизм между U и /? вида Т':!!-►/?: тогда с помощью Т' можно было бы определить само измерение Т. Ответ на первый вопрос кратко намечается.в примерах а), б) из § 2 (где действительно все определяется с помощью группы-преобразований евклидовой плоскости вместо измерения Т). Ответ на второй вопрос содержится в теореме 1.
После этого речь пойдет об измерении плоских фигур. В § 3, 4 напоминаются конструктивное и аксиоматическое определения площади многоугольника, доказывается в сущности совпадение этих определений, на этой основе устанавливается эквивалентность различных конкретных способов измерения площади многоугольника.
136
В § 5 продолжается изучение измерения плоских фигур, а именно, в нем рассматривается конкретное измерение (называемое мерой , Лебега), которое применимо не только для всех многоугольников, "Являющихся, так сказать, прямолинейными фигурами, но и для очень , мйогих криволинейных фигур, например для круга, внутренности эллипса, сектора, сегмента и т. п. Это новое измерение (обознача-чемое М) также определяется конструктивно и аксиоматически и затем доказывается в сущности совпадение этих двух определений. Естественно, что для многоугольников мера и площадь совпадают, т. е. мера' является продолжением функции площади с множества всех многоугольников на более широкое множество плоских фигур. Такое продолжение называется «мерой», термин «площадь» мы относим к случаю многоугольников.
§ 1. ПРИМЕРЫ ИЗМЕРЕНИЙ И ВЕЛИЧИН
а) Отрезок на арифметической прямой R можно определить как упорядоченную пару точек <а, Ь), где a, b^R и а^Ь. Другое определение отрезка на R (или в R) можно получить, сказав, что отрезком называется любое множество вида [а, — X) • а +
-J-X-й | Os£X< 1), где a, b^R и а^Ь. Мы будем пользоваться без специальных оговорок любым из этих двух эквивалентных определений^ (Может быть, первое из них предпочтительнее в том отношении, что (а, Ь)—конечное множество, а [а, 6]—бесконечное множество, если а#=6). Множество всех отрезков в смысле первого определения обозначим U.
Положим Т(ц)ч±Ь — а, где и — (a, b) ^U. Такое Т назовем измерением длины отрезка. Тогда RT=R>0.
Можно в качестве множества измеряемых объектов выбрать £/ч=ь/?2. Тогда положим Т(и)^Ь — а, где и— {а, Ь) е/?2. Получим RT=R.
В соответствии с общим определением, величиной отрезка (от- _ носительно измерения длины) называется совокупность всех отрезков, имеющих одинаковую длину. Ясно, что Т((а, Ь)) = = 7’(<с, б/))-Ф>(ЗЛе/?+((а+Л=с)Д(b'-\-h = d))). Поэтому оказывается (!), что величину отрезка можно определить и не используя самого измерения Т. А именно, величиной отрезка (а, Ь} называется класс эквивалентности
[<а, b >]=<=*{<с, d") е/?2|Зйе/?+(<а, й> 4-й = <с, d>)}, где a, b^R и а^Ь. В этом определении вместо отображения Т используется группа /?+ (точнее — действие группы /?+ в множестве R, определяемое отображением где йе/?+ и
/А(х)ч±х+й; здесь F : R->Is(R), fh'R-^R)- Система величин И состоит из всех классов эквивалентности [<а, £>)], т. е. совпадает с фактор-множеством множества отрезков относительно отношения эквивалентности:
(<а, Ь) ~ <с, б/>)ч=*ЗЛе/?+(<а, .&> +й= <с, d>).
137
Здесь, конечно, ((а, 6) 4-Л)ч=*<а + Л, b+h), поэтому условие {at b) h = (с, d) эквивалентно условию f a-\-h=c,
\bA-h-d.
б) Напомним, что аффинной евклидовой прямой Л(|) называется' структура вида (А, f, g), где А — множество, любым двум точкам а и b которого сопоставляется вектор f(a, b)^a, b из одномерного векторного пространства 5^(|) таким образом, что одноместная функция (при фиксированном a) f(a, •): Л->является биекцией и а, b -|- 6, с + с, а —0. При этом в ^"(|) фиксирована некоторая симметричная, билинейная, положительно определенная форма #(-, •). (Сравните это определение с определением аффинной евклидовой плоскости в главе II, § 2, п: 2—3.)
Пусть U = A2 и Т(<а, b))^]g(a; b , а, Ь) . Легко доказать, что при фиксированном векторе ё из .ЗГ(|' выполняется Т((а, 6)) = = с-[Х|, где с некоторая постоянная, зависящая от е, и а, Ь —
Такое Т называют измерением длины отрезка в аффинной евклидовой прямой. ч
в) Этот пример предполагает, что читатель знаком с понятиями кривой и ориентации кривой. При первом чтении его можно пропустить. Если на кривой а в R2 задана некоторая ориентация а, то а в паре с этой ориентацией называется ориентированной кривой и обозначается (а, о). Пусть U — множество всех ориентированных кривых в R2. ь
Определим 7'(<а, о >)=₽*( zfcA V(х/)2 + (у/)2 dt); здесь <а, о> т.~е.
х = х(/), “
6 — кривая и, следовательно, по опреде-У=У(0-
а(/)=
лению х(-) и {/(•)— непрерывно дифференцируемые функции вида [а, Ь]-*-/?, а оее ориентация. Перед интегралом по определению лтавится знак + в том случае, если ориентация ст совпадает с ориентацией, определяемой на кривой а отображением (*'(•), у'(-)):[а, b]-+R2 (и стандартной ориентацией R) и ставится знак— в противном случае.
Тогда Т называется измерением длины ориентированной кривой и RT =/?U {— 00; + 00} Для такого измерения каждая величина состоит из весьма разнообразных объектов.
г) Пусть U — множество всех параллельных переносов'в арифметической плоскости R2, т. е. множество всех отображений ви-- да h-.R?^R\ h где £ какой-то фиксированный элемент
из R2. Интуитивно «размер» параллельного переноса можно измерить вектором £=/^(0). Определим TtU-^R2 равенством Тогда RT=*R2. Отметим, что в данном* случае отображение Т биективно и величина- параллельного переноса f является классом эквивалентности .^-состоящим ровно из одного объекта ...
% ’ <
138
Рис. 45
M*/m(|x|,iyi)
д) Пусть U — множество углов в R2 с вершиной в точке 0ч±(0-, 0), т. е {/ = Ап. Определим значение Т'(и), где и е U, как главную меру угла и по основанию 2л. Тогда /?г = [0, 2л[.
е) Пусть U=R2 и || || —некоторая норма в R2, т. е. || || произвольная функция из R2 в R>0 со свойствами:
1) ||м|| = 0ом = 0,
2 ||Х• и|| = |Х| • ||м||,
3) ||«+у|| < ||«|| + ||у||.
Положим Т(и)*± || и ||. Тогда величина вектора и является классом эквивалентности [м] = 7'_|(Т(м)) = 7'_|(||м||). Он состоит из всех векторов v из R2, которые имеют одну и ту же норму, равную норме вектора и. Поэтому [и] — «сфера» радиуса ||и|| с центром в точке 0, т. е. [и] = |ие^| ||п|| = ||и||). Семейство' U всех величин относительно, такого измерения состоит из всех гомотетичных «сфер», т. е. две такие сферы получаются друг из друга умножением на некоторое фиксированное число Х>0 (рис. 45).
ж) Пусть U — семейство всех интегрируемых (по Лебегу). функций, определенных на отрезке [0, 1]. Определим Т: U-+R ра-
।
венством ТДи])^ u(x)dx, где ы(-)е£/. Тогда RT=R и величина о
[и] состоит из всех функций, отличающихся от данной функции и на множестве меры нуль. В этом случае семейство всех величин совпадает с пространством L([0; 1]), которое изучается в курсе анализа.
з) Пусть U — множество всех событий в некотором пространстве элементарных событий и Т'(м) по определению равно вероятности события u^U. Тогда /?г=[0, 1] и U состоит из классов равновероятных событий.
139
§ 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ СКАЛЯРНАЯ ВЕЛИЧИНА
Напомним, что системой (однотипных) величин относительно фиксированного измерения Т: U-+RT называется фактор-множество U в множестве U по следующему отношению эквивалентности: v^T(u)= 7(у). Множество И можно определить и как ЦЧ±{7'~|(Х)|Хе7?г}. Элементы такого множества, т. е. отдельные величины, будем обозначать буквой w с индексами или без них. В каждом из нижеследующих примеров будет показано, что в системе величин можно определить операцию сложения + и отношение порядка < (что, в частности, оправдывает термин «система»), относительно которых это семейство изоморфно алгебраической системе (R>Q, +, <> или ее подсистеме некоторого одно- ’ го и того же простого вида. Этн примеры приведут нас к аксиоматическому описанию одного класса семейств величин. Входящие в этот класс величины называются положительными скалярными величинами. После этого будет доказано, что соответствующая аксиоматика имеет модели только одного, простого вида, связанные с системой R.
а) Рассмотрим измерение длин отрезков, т. е. функцию Т((а, Ь))^Ь— а, где a, b<=R и а^Ь. Величиной длины отрезка ^называется любое множество вида[<а, Ь)]ч±{<с, d)|c, d^R /\с^ d /\3h^R+((c, d) +’A = <a, b))], где a, b^R и a^b.
В соответствии с общим определением все такие множества об--•разуку семейство величин U относительно данного измерения Т. Отображение Т опускается на фактор-множество U (см. введение) и получается биекция вида Т': U-*»-/?С помощью этой бйекции и системы /?>0 определим операцию сложения +, порядок и элемент 0 в множестве U: (wi + w2)^(T')~\T'(wi) + T'(w2)), 0ич*(Г)“‘(0), гДе 0 — число из R.
Получилась алгебраическая система (U, +, 0ц>, которая,
очевидно, изоморфна системе 0). Изоморфизм опре-
деляется биекцией Т'/?>0.
, С помощью группы (точнее — с помощью действия этой группы в множестве R) можно определить не только семейство величин U, но и структуру в II. А именно, суммой ДВУХ величин [<а, &)] и [<с, d>] назовем величину [<а, d'>], в которой d'^fh(d) и fh определяется условием ^(с) = й. Попросту говоря, в группе /?+ находится такое й, что й = с + й, и затем полагают сумму величин, равной классу эквивалентности с представителем <а, d-\~h) (рис. 46).
. Нулем в U назовем такую величину, которая содержит отрезок <а, а), где a^R.
Аналогично положим [<а, d)], если d’^b, . где
d/4=tf(1(d) и fa определяется условием fh(c)=b.
У п-ра ж н е н и е 1. Проверьте, что операции сложения и порядки в U, определяемые с помощью биекции Т' и группы R+, соответственно совпадают.
140
Итак, операцию и порядок в U о b с d можно определить с помощью од- —<-----1------1----h—I--------
йих только параллельных перено- .
сов на прямой /?, как это часто ис‘ 46
делается .в школе (где прямая R заменяется интуитивным представлением об «евклидовой прямой»). По-видимому, в таком же духе понимали операции иад величинами,
«возникающими из отрезков», и в те времена, когда не существо-
вало понятие вещественного числа.
Пусть X теоретико-множественная модель прямой в аксиоматике Евклида — Гильберта, т. е. X — множество, в котором выполняются все аксиомы Евклида — Гильберта для случая прямой. Пусть фиксирована группа G, которая транзитивно действует в множестве X, т. е. F:G->Is(X) и Г(Л)ч*7л: и выполняется Vх,
yeX3h^ G(fh(x) = у).
Точно так же, как и. для случая G=R+ и X—R, можно определить фактор-множество множества всех отрезков в X (т. е. определить семейство величин 21) и определить операцию сложения в 21, элемент 0а и порядок в 21. Эти определения вместо измерения Т и множества R используют группу преобразований F(G) прямой. Получилась алгебраическая система <21, 0а).
Если наложить условие на группу G, состоящее в том, что определяемая по этой группе система (21, -(-, 0а ) удовлетворяет определению 1 (прочтите его, полагая, что У=1, и, следовательно, множество I в этом определении можно опустить), то по теореме I (прочтите ее) возникает сюръективное отображение вида Т': Оно служит измерением системы величин U. В этом
смысле группа преобразований F(G) определяет не только систему величин U (включая структуру 4-, 0ц в ней), но и само измерение этих величин. По Г' легко определяется и измерение Т самих отрезков в X.
б) Рассмотрим двумерный аналог примера а). А именно, пусть U — множество всех треугольников в арифметической плоскост# J?2. Напомним, что треугольником называется множество, состоящее из трех точек, не лежащих иа одной прямой. Эти три точки называются вершинами треугольника. Другое определение треугольника состоит в том, что треугольником называется любое множество вида {X, ‘й-(-Хг• b -|-Хз• с | Xi, Хг, Хз 0, X, -|-Х2-|-Хз= 1), где (о, Ь, с} — произвольное множество из трех точек, не лежащих на одной прямой. Как и в случае отрезка, мы будем пользоваться любым из этих двух эквивалентных определений без специальных оговорок.
Упражнение 2. Докажите, что множество (Xi«a-|-X2*t>-|-4-Хз*с|Хь Хг, Хз О Л Xi-J-Хг-ЬХз = 1} совпадает с пересечением всех полуплоскостей в R2, содержащих три точки а, Ь, с.
Последняя характеристика треугольника иногда также принимается за его определение.
Пусть Д=(а, Ь, с} — треугольник. Положим, Т( д)ч±-^-| det
141
(<L>c)l’ где паРы чисел> образующие координаты точек а, Ь, с, располагаются в, столбцы и в круглых скобках находится матрица ' размера 3X3. Такая функция Т называется измерением йлощади треугольника. При этом и величина треугольника А яв-
ляется классом эквивалентности [Д], состоящим из всех треугольников Д1, у которых площадь равна площади треугольника Д. Возникает система величин U. Как и в примере 1, измерение Т опускается на это семейство и возникает измерение величин Т', которое является биекцией вида С помощью этой
биекции и системы /?>0 определим операцию сложения + и порядок в множество U.
Добавим к U новый элемент, который обозначим 0ц. Его можно представлять себе как множество всех отрезков в плоскости /?2. Иными словами, к множеству U добавляются все отрезки в /?2. Отрезком в /?2, естественно, называется пара точек {а, Ь), где а, бе/?2. В частности, точки а и b могут совпадать, и в этом случае говорят о вырожденном отрезке; но в данном контексте удобнее иметь в виду только невырожденные отрезки. Невырожденные отрезки можно рассматривать как вырожденные треугольники. Итак, к U добавляются все вырожденные треугольники, измерение Т по определению продолжается на них значением нуль,-и они образуют новый класс эквивалентности 0ц, входящий в К. В результате Г' на классе 0ц имеет значение нуль и получается биекция вида Т': U++R>0. По ней число 0 соответствует величине 0u-.v.
Получилась алгебраическая система вида (U, 4-, 0), которая, очевидно, изоморфна системе 0). Изомор-
физм определяется биекцией Т':
Теперь мы хотим, как и в примере а),' определить систему величин U, структуру в ней и измерение величин Т", не используя самого измерения Т. Как и в примере а), вместо измерения Т мы используем группу преобразований плоскости /?2 (затем /?2 можно будет заменить «евклидовой плоскостью»). Сначала рассмотрим одно вспомогательное
Предложение I. Для любой невырожденной матрицы А (т.е. любой матрицы А из GL?) и любого треугольника Д = = {а, Ь, с) множество А- Дч±(А-а, А-b, А-с) является треугольником.
[> Нужно доказать, что три точки А-а, А ~Ь и А-с не лежат на одной прямой. Допустим, что оии лежат на одной прямой. Из курса алгебры известно, что отображение плоскости на себя, задаваемое невырожденной матрицей А, переводит различные ее точки в различные. Поэтому векторы Аа—Ас = А-(а— с) и АЬ—Ас—А-(Ь — с) отличны от нуля, и так как они
А-а А-b А-с коллинеарны (рис. 47), то при
------1-----1-----1-------- некотором Хе/?, Х#=0 выполняет-
Рис. 47 ся Аа—Ас=Х(АЬ—Ас). Следова-*
142
тель'но, Л (а—с) = Л(Х(6— с)) и по той же теореме из курса алгебры получаем, что а — с — ЦЬ — с). Поэтому векторы а—с и Ь— 'с кoлi лииеарны, т. е. точки а, Ь, с лежат на одной прямой. Это противоречит условию предложения 1.
Напомним, что множество L2
состоит из всех матриц размера
2X2 с определителем, равным +1
или —1. Ясно, что функция f <Ai г>(х)ч=ьЛгде Ле£2 и |е(/?2)+, является биекцией вида /г**/?2 (иными словами — является преобразованием’ плоскости). Такие функции будем называть эквиаффинными. Множество всех эквиаффинных функций относительно операции композиции образует группу преобразований плоскости (проверьте). Обозначим ее Gs.
Упражнение 3- Пусть Д произвольный треугольник. До
кажите, что:
а) для любой матрицы А из L? выполняется Т (Д)=Т (Л • Д), аналогично для любой пары (Л, из ЬгУ^П2 выполняется Г(Д)=Т(Л.Д+^ т.е. T(b) = Ttf(A 5>(Д)).
б) Для любой матрицы А из (ОАгХ^г) выполняется =£Т(А-,\). Поэтому Аг — наибольшее подмножество в GL2 и Л2Х/?2 наибольшее подмножество в GL2X/?2, для которых соответствующие множества преобразования плоскости R2 сохраняют измерение Т.
Теперь рассмотрим основное
Предложение 2. Треугольники Д и Д1 имеют одинаковую площадь (т.е. Т(Д) = Т(Д1)) в том и только в том случае, если ЭЛ е/?2(Д1 = Л • Д-|-у. Поэтому величина [Д] равна (ДЭ<Л, g>e(L2X/?2) (Д1=Л-Д + ^)}.
Обозначим Д’1 треугольник с вершинами в . точках
»•(?)•(»)
Лемма 1. Для любого треугольника Д существует пара (Л, e(jL2X/?2), для которой треугольник Л-Д-|-| является треугольником вида & и Т(\) — Т(\,~).
•Последнее равенство, очевидно, эквивалентно тому, что Л= = 2-Т(Д), и тому, что [а] = [Д’1]. Треугольник Дх назовем каноническим представителем величины [Д] (рис. 48).
Доказательство предложения 2 легко вытекает из леммы 1: пусть Д и Д| два треугольника и треугольники-Д’1 = = Л1-Д+11 и Д’11 =Л2-Д1 +£2 получаются по ней. Тогда Д1 = =Л2-‘.(ДХ1-?1у Если Т(Д) = 7^), то Т(Дк) = Т(Дх‘) и Дх = = ДХ‘, и Х = Х|. Поэтому Д1=Л2'(Л1-Д-|-||—|2) = (Л2-Л1)-Д-|-+(Л2-‘(£1-Ь)) и
А ^{А2 1 • Л,) ge L2, ^(Л2"1 • & - Ы) *2-
143
Наоборот, если существует такое преобразование f : что Д1=Л-Д + 5, то согласно упражнения За) выполняется
T(A,)=m
> Теперь докажем лемму 1. Положим — а. Тогда треугольник A'qptA-J-l имеет одну из вершин в точкеД). Две другие его вершины £>-)-£ и с-|-| обозначим соответственно Ь' и с'. По упражнению За) легко проверяется Т(Д')=Т(Д). Рассмотрим треугольник Д\ в котором Х=2-Т(Д/) = 2-Т(Д). Очевидно, Т(Д) = = Т(ДХ). Найдем матрицу В из Lt, для которой В-ДХ = Д'. Тогда В-‘.Д' = ДХ и ^-‘.(Д+^В-1 • Д + в-‘.? = Дх, причем В"1 е£2. Это и требуется доказать в лемме.
Из условия В 0) = Ь' вытекает, что первый-столбец в матрице В
равен Ь'. Из условия = с1 вытекает
в( = т. е. второй столбец в В равен -j-c'. Итак, В — =^Ь'уС'). Осталось проверить, что ВеАг.
Действительно, detB = -J-det(6', c') = -^-det(-l * nldetBI =
X X \ 0 Ь' с у
Упражнение 4. Докажите, что для любого треугольника Д существует преобразование плоскости вида f<A Е), где и
| е/f2, сохраняющее площадь треугольника, при котором он перейдет в треугольник вида Д~х, показанный на рисунке 48. Условие сохранения площади треугольника равносильно тому, что [Д] = [Д~Х] = = [ДХ].
Итак, мы построили группу Gs преобразований плоскости /?2, с помощью которой в сущности уже определили все то, о чем говорилось перед предложением 1. Действительно, величина определяется как множество треугольников вида
{Д> IЭ<Д, О е(£2ХЛ2)(Д>=Л.Д+а J
где Д какой-то фиксированный треугольник. Множество всех таких величин обозначим U. По предложению 2 это то же самое множество U, которое определялось в начале этого примера -с помощью измерения Т. Сумму двух величин [AJ и [Д2] определим как величину с представителем Дч=^^ ?) ’ ( о) ’ (~ о*)} ’ где веРшина
возникает из канонического представителя Д’” первой величины, а вершина ( — возникает по упражнению 4 из представителя Д-х* второй величины.
144
? . По определению выполняется [Ai] [Аг], если Xi^Xz, где точки Xi и Х2 на прямой Л возникают из канонических представителей :ДМ и Д’1’ этих двух величин. Моя^ет быть, более эстетично не использовать здесь прямую Я, а исходить из второго определения треугольника. Тогда по определению выполняется [AJ [Аг], если Д’” с д’”, где-Д’” и Д’” канонические представители этих величин. Ясно, что эти два определения порядка в U эквивалентны.
Упражнение 5. Докажите, что операции сложения и порядки в определяемые с помощью биекции Т' и с помощью группы Gs, соответственно совпадают. (Сравните это упражнение с упражнением 1).
Добавим к множеству U элемент 0„ (его описание не зависит ни от измерения Т, ни от группы Gs) и получим ту же, что и раньше, алгебраическую систему (U, +, sg, 0ц>, определенную с помощью группы Gs без использования самого измерения Т. Конечно, и второе определение этой системы величин использует понятие вещественного числа тем “косвенным образом, что треугольники рассматриваются в арифметической плоскости Я2 и определение группы Gs использует представление преобразований плоскости матрицами. (Последнее предполагает фиксирование базиса в плоскости, а векторная плоскость с фиксированным базисом канонически изоморфна /?2 и в этом смысле неотличима от Я2', впрочем, понятия векторной и даже аффинной плоскости используют Я в качестве поля скаляров.)
Если мы хотим определить эту систему величин, не используя понятия вещественного числа, то нужно идти по пути, указанному в'конце примера а). А именно, пусть теперь X — теоретико-множественная модель аксиоматики Евклида — Гильберта для случая плоскости, т. е. X — множество, в котором выполняются все соответствующие аксиомы. Пусть фиксирована группа G, которая действует в множестве X, т. е. F : G-HsX и F(h)^fh :Х^.Х, где Лей. Точно так же, как и для случая G=GS и Х=Я2, можно определить фактор-множество множества всех треугольников в X (т. е. определить семейство величин U). Чтобы определить в U операцию сложения и порядок, уже нужны условия на группу G такого типа: для любых треугольников Д|. и Дг существуют эквивалентные им (относительно G) треугольники А’’1 и А-*’, которые имеют одну общую сторону и по одной стороне на общей прямой по разные стороны от общей вершины этих сторон. Иными словами, нужно, ч^обы любые две величины [Ai]’ и [Аг] содержали треугольники, расположенные друг относительно друга так, как. треугольники Д’” и Д-’”, а также, как треугольники Д’” и Дх’. Тогда в U определяется, как и раньше, алгебраическая система вида <U, +, -0ц>. Некоторые дополнительные условия на G обеспечивают, что эта система удовлетворяет определению 1, и тогда по теореме 1 возникает биекция вида Г: U++R>0. Она является измерением величин, входящих вК, и определяет измерение Т треугольников в X.
в) Рассмотрим только такие отрезки из примера а), которые
145
содержатся в одном фиксированном отрезке (ао, Ьо). Измерение Т из примера а) сузим на множество U\ всех таких отрезков. Это сужение также .является измерением, которое мы обозначим -Ть Система Ui величин относительно нового измерения Т} является частью старой системы U величин относительно старого измерения Т. Такой переход от системы величин U к системе величин Ui можно пояснить, например, следующим образом: величина длины отрезка связана с реальным измерением расстояния «от пункта а до пункта Ь». Если b — а больше 10 километров, то нужно учитывать кривизну поверхности Земли и использовать особые методы измерения длинк, отличные от случая, когда Ь — а меньше 10 километров.
Отношение порядка в Uj определяется так же, как и в U, т. е. порядок в Ui является сужением порядка в U. Однако операцию сложения в Ui нельзя определить как сужение операции сложения в U, так как сумма величин [(а, 6)] + [(а, с)] может не принадлежать Uj. Поэтому мы вынуждены определить операцию сложения только для части величин: для величин, которые содержат представитель вида (do, b) и 2-(6 —ао)^(6о —do). Иными словами, обозначим
/♦*{амеШ1|3 (d, 6>eiw([d, 6]s[a0, a<'^&uj')).
Для величин из / операция сложения определяется точно так же, как и для величин из II, т. е. как сужение операции 4- из И на множество /. При этом она не выводит за пределы Hi, т. е. "+ :
В частности, может случиться, что о)ь и ап-|-а)2 не принадлежит /. В результате получилась система вида (Из, /, +, 0ц>. Она изоморфна алгебраической системе в вида
<Я>о. [0, X], +, <, 0>, где X=Ti^d0, • Изоморфизм
задается биекцией : Ui*-»-[0, X], являющейся измерением величин из Ui.
В данном случае понятие «изоморфизм» означает, что биекция fsptT'i обладает свойствами:
1) Va), w' е
2) Vw, w’ e I(w-\-w' e = f(w) + Да»'));
3) f(0u)=0.
Такое, связанное с дополнительным носителем / понимание изоморфизма отличается от того, как мы понимали изоморфизм jb примерах а) — б).
г) Рассмотрим только такие треугольники из примера б), которые являются подмножеством какого-либо фиксированного квадрата «о. Для них определим обычное измерение Т площади треугольника. Получается система величин Ui, которая содержится в системе U величин из примера б). Структура в И индуцируется в Ui с тем единственным отличием, что операция сложения сужается не на все Ui, а. на его часть /^(ш|ЗАе а<(Д = где
146
иi — «половина» квадрата и$. Последнее означает, например, что существует параллельный перенос £, для которого uo=«=ui4-
+ («i+£) (см- Рис- 49).
Полученная система в Ui имеет вид <Ui, /, 4-, 0ц>. Она изоморфна системе в
R>0 вида <Л>0. [°. Ц +• °>. гДе
l = SUp (Т(Д) | Д SU1}. При этом изоморфизм
Рис. 49
задается биекцией Т',
суженной с U на Ц(.
д) Обозначим U множество всех многоугольников в арифметической плоскости R2 и Т измерение, которое каждому многоугольнику сопоставляет его площадь. Понятия многоугольника и его площади рассматриваются в следующем § 3; зДесь их можно по-
нимать иа интуитивном уровне.
В соответствии с общим определением величины величиной площади многоугольника и называется множество всех многоугольников и', которые имеют площадь, равную площади многоугольника м, т. е. множество [м]ч±|м' е U | 7\и') = Т(ц)|. Возникает соответствующая система величин U. Для нее по Т определяется измерение величин Т'. Функция Т' является биекцией вида T:U.++R>0. Точно как в примере б), добавим к системе величин U новую величину Оц и продолжим на нее измерение Т' значением нуль; .в результате получим биекцию вида T':U++R>Q. С помощью нее перенесем в U операцию сложения и порядок в R>0- Получим алгебраическую систему вида (U, +, 0ц), которая, очевидно,
изоморфна системе +, ^,0). Изоморфизм задается биекцией Т'.
Как и в примерах а), б), опишем эту систему величин и структуру в ней без использования измерения Т.
Предложение 3. Многоугольники и и и' имеют одинаковую площадь в том и только в том случае, когда существуют треугольники Ль ... , Дя, попарно не имеющие общих внутренних точек, и треугольники Ль ..., Ал, также попарно не имеющие общих внутренних точек, для которых
и— (J Д,-, и' = ОД/ i = 1 i — 1
и найдутся такие пары <4i, £i), ..., (Ап, £я) из множества L2XR2, что Д1 = 41 • Д1 -ь 51, .... Д£ = 4Я • Дя 4- §п.
Запись Д14-...4-Дп обозначает множество AiUA2U—UAn в том случае, когда любые два треугольника А,- и Л,, где i=/= j и 1 /, / п,
не имеют общих внутренних точек.
> Пусть и = Д1 + — + Дп и и' = Д1 + ...4-Д^ и Д,'=Д,Л+&, где (At, It) ^(LzXR2) для всех ]^п. Тогда по предложению 2 площади треугольников Д< и Д,' равны. Так как площадь многоугольника и равна сумме площадей составляющих его треугольников Д(, то получаем Т(м) = !(«')•
Для доказательства утверждения в обратную сторону используем
147
следующую лемму, доказательство которой почти совпадает с доказательством аналогичной леммы 1 из предложения 2.
Лемма 2.,Пусть А — произвольный треугольник и X — произвольное положительное число (рис. 50). Тогда для треугольника Д1,1' с вершинами в точках * ( о) ’(о)}’ г&е выполняется:
а) Т(А) = Г(Дк х ),
б) найдется такая пара (А, £> e(L2X/?2}, что Д1,1'=А-Д4-£.
Продолжим доказательство предложения' 3 и допустим, что Т(ц) = Т(и'). Выберем произвольное разложение многоугольника и на треугольники, т. е. и = Д1 + — Ч- Д*. Используя лемму 2, построим треугольники Д’”, Д’”-’”, .... Дх‘-’’ у которых Х1=2’Т(Д1) и Х|=Х(_1+2-7'(Д,_1) при \<i^k (см. рис. 51). Объединение этих треугольников — треугольник Д“ с вершинами в точках {(о) ’(D’( О*)}’ П° постРоению k*=2*T(u) и Т(Д“) = Г(ц).
Если провести аналогичное построение для многоугольника и' и его произвольного разложения на треугольники Д(, ... Дт, то получим треугольник Д“', Яля которого Т(Ди') = Т(и'). Поэтому Т(Д“) = Т(Д“ ) и, следовательно, треугольник Ди совпадает с треугольником Д“'.
Пусть pi, |12, — Рп нумерация точек из множества {Xi, ..., X*. Хь ... Х„) в порядке их возрастания. Рассмотрим разложение от-резка^О, 2-Т(м)] на отрезки [щ, pj-н]. При этом каждый из треугольников Д’”, Дх,\ ..., Д’*+1-разлагается точками р.ь ..., р.п на конечное число треугольников.
Тогда и каждый из треугольников Дь Д2, .... Д* разложится на конечное число треугольников. Например, если Д’” = Д1*14-+ Д1*" •**4- Д"’- •*’ и Д’” =4«Д1-|-!-1 (рис. 52), то при эквиаффинном преобразовании, обратном к эквиаффинному' преобразованию
-l + gi, треугольники Д •“, Д11” % Д1*’1 И1 перейдут в треугольники Vi, ?2, Vs, попарно не имеющие общих внутренних точек и в объединении дающие весь треугольник Дь Тем самым и весь многоугольник и будет разложен на треугольники: u= V1 + — 4-Vn. Аналогичным образом и весь многоугольник и' будет разложен на треугольники м'= V( +... 4-При этом по предложению 2
14Я
треугольники V/ и Vf будут иметь одинаковую площадь, так как оба они получаются в результате эквиаффинного преобразования одного и того же треугольника. А именно, i-ro треугольника в разложении треугольника Д“ = Д“' на треугольники, определяемые точками pi, .... рп.
Предложение 3 позволяет, сформулировать то обстоятельство, что многоугольники и и и' имеют одинаковую площадь, не используя самого измерения площади. А именно, многоугольники и и и' назовем равносоставленными, если существуют их разложения на треугольники и' = Д(4-... + Д£ и и — Д1 + ...-}-Дп, для которых каждый треугольник Д. эквиаффинно преобразуется в треугольник Д,', где i=l, ... п. По предложению 3 многоугольники и и и' равновелики (т. е. имеют одинаковую величину площади) в том и только в том случае, если они равносоставлены. Итак, получено описание семейства величин U, не использующее измерение Т.
' Определим операцию сложения и порядок в Ш также без использования измерения Т. Выберем такие представители щ и «2 величин a»i и а»2, что «1П«2=0- Это всегда можно сделать с помощью параллельного переноса. Тогда суммой w величин и »2 из U назовем величину, содержащую «| U «2- (В подразумеваемое здесь определение многоугольника не входит условие связности.)
Чтобы определить отношение порядка ап^дог, нужно, как и в доказательстве предложения 3, заменить представителей и\ и «2 величин a»i и а»г на эквивалентные им треугольники Д“’ и Д“’ и положить (a»i а^ч^Д"1 ЕД"1.
Аналогичное определение этой системы величин можно сформулировать и в «евклидовой плоскости».
Упражнение 6. Докажите, что определенные выше операции сложения и порядки в U, совпадают.
е) Рассмотрим только такие величины из предыдущего семейства величин U, которые содержат многоугольник, являющийся подмножеством какого-то фиксированного квадрата «о. Семейство всех таких величин обозначим Uj. Поскольку U|CU, то в Ui определены операция сложения и отношение порядка, индуцированные- структурой в U. Однако значение операции сложения может
149
иъ не принадлежать Ui (рис. 53). Поэтому ее приходится ограничить на множество I, состоящее из всех таких величин w из Ui, которые содержат многоугольник, являющийся частью «половины» квадрата и0. Таким же образом мы поступали в примере 2. Получается система вида (Hi, /, + , 0ц>. Легко доказать изоморфность этой системы с алгебраической системой <Я>0. [О, X], +, , 0 ), где X — площадь квадрата
Uo, Этот изоморфизм задается биекцией Т'
W1+W! не определено из предыдущего примера, суженной на Uj.
. Рис- 53 ж) в качестве последнего примера рас--
смотрим группу углов Ап (см. гл. I). Операция сложения углов была определена и относительно нее имеется нейтральный элемент 0. Отношение порядка определяется следующим образом: если точка А (а) из верхней полуокружности, т. е. Рг(А(а))>0, то положим (рис. 54) Я(а)ч±Я >04-с. где <Я>0. с> — канонический представитель угла а и А(-) функция вида A:An->S, определенная в § 5, п. 2 главы I. Если Рг(А(а))=0, то
р/а) = ( Яй0, если Pi(A(a))>0,
I +Я2, если Pi(A(a))<0, где +Я2 — верхняя полуплоскость (т. е. +/?2^={(х, у) еЯ21у>0)). Если Р2(А(а))<0, то Я(а)^=+Я2U(Я^о + с), где <₽>0, с> ек. Такое’Я(а) — подмножество Я2- Как раз такое подмножество обычно для наглядности связывают с углом а. Теперь положим: (а^Р)чл:Я(а) = Я(Р). Итак, в Ап возникла система уже привычного вида (Ап, 0). Однако для этой системы не выполняется
свойство, имевшее место во всех предыдущих примерах: Va, Р, у(а^р=Ф-а-|-7^р-|-7).
Например, если a — d и p=y=2d. Тогда а^Р и a4-y = 3d, Р4-у=0. Чтобы сохранить это принципиально важное свойство, приходится, как и в некоторых предыдущих примерах, сузить операцию сложения на множество /ч±(аеAn|a<2d).
Как легко проверить, теперь это свойство выполняется.
Рнс. 54.
150
Главная мера угла по какому-нибудь фиксированному основанию а>0 определяет изоморфизм этой системы величин с соответствующей алгебраической системой в R>0 айда <[0, а[, [0, “/йЬ + , <, 0). Изоморфизм задается биекцией fa 1: Ап-*-[0, а[. Здесь понятие изоморфизма определяется также, как в примере в).
Такой же анализ величин скалярной скорости, массы, объема, температуры, заряда и т. п. приводит к удивительному экспериментальному открытию: самые разные (хотя и не все) системы величин изоморфны алгебраическим системам в /?>0 одного и того же вида и соответствующими изоморфизмами являются измерения величин.
Изученные примеры мотивируют следующее аксиоматическое определение.
Определение 1. Системой положительных скалярных величин называется пятерка объектов <V, I, + , <, а>о), где V — произвольное множество, /s=V и < — бинарное отношение на V, причем шое/ и ------бинарная операция, определенная на мно-
жестве I со значениями в V (но не обязательно в /). При этом должны выполняться следующие аксиомы.
1) Операция + ассоциативна, т.е. Van, а»2,
(a»i + а)2, а)2~Ь +/(а’24-а’з) — (ап+ 102) + ®з,
и ап— ее нейтральный элемент, т.е. V а/е/(шо + а) = ш-|-ап = ш).
2) Отношение < является линейным порядком в множестве V и ап — наименьший относительно этого порядка элемент в V; кроме того, подмножество / множества V обладает свойством:
Va»e/VaneV(an< а»=>ап е /).
3) Операция + и порядок < согласованы на /, т. е.
Van, ап. an е/(an < an=>(an+ an < an-J-an Д а?3-|-an < an-l-an).
4) Из большего элемента множества / можно «вычитать» меньший элемент множества /, т. е.
Van, ane/(an < ап=>Эш е/(an-|-a; = an)).
5) Множество />Шо = {а?е/| w0^w Д а/=^ц)0) не пусто и не содержит наименьшего элемента.
6) Всякая последовательность элементов из множества /, возрастающая и ограниченная сверху элементом из /, имеет точную верхнюю грань, принадлежащую множеству /.
Запись ап<а>2, как всегда, означает (ап<ап)Д(ап=^102).
По аксиоме 4 можно определить частично определенную бинарную операцию вычитания вида /2-*-/. А именно, по аксиоме 4 для любых элементов ап и Wz из /, удовлетворяющих условию ап<ап, существует w из /, для которого wi + а) = ап. Причем такое w единственно: если ап-|-а> = а>2 и ап4-а>' = ап, то по аксиомё 3 uu<a)'=s-an4-a/<an + ai', а)2<а’2, что невозможно. (Ради этого рассуждений в аксиоме 3 вместо отношения <. написано отиоше-
151
ние с.) Итак, элемент w существует, принадлежит / и единствен; поэтому можно определить бинарную операцию, которая паре (а)ь 1412) сопоставляет элемент w. /
Элементы множества V называют величинами.
Вместо аксиомы 6 иногда рассматривают более слабую аксиому — аксиому Архимеда:
6') Vl0i, ME l(wo<iw=^3n е
Здесь запись n-w означает, что все суммы а»-)-a)4-a)-J-ai, ....
2 3
ai-f-... + а» принадлежат /, и поэтому определена сумма
rt— 1
n-a)^=t((n— 1)а)-|-а>).
В примерах а)—ж) были указаны системы, очевидно удовлетворяющие аксиомам 1—6; следовательно, каждая из них является примером системы положительных скалярных величин.
- Бывают и другого рода системы величин. В физике — это системы, состоящие из величии импульса m-о, или момента импульса [х, р], или спина. Здесь т — масса частицы, и — ее скорость их — положение. В математике — это, например, системы величин ориентированной площади или параллельного переноса. Такие системы величин не. изоморфны алгебраическим системам в R — они имеют векторный характер. Однако эти системы величин изоморфны алгебраическим системам в R”. Они могут быть аксиоматически определены подобно определению положительной скалярной величины.
Кажется удивительным, что любая система, удовлетворяющая аксиомам 1—6, т.е. любая система положительных скалярных величин, изоморфна алгебраической системе в /? >0 вида [О, X], + . 0). Правда, системы из предыдущих примеров а)—ж)
допускали такой изоморфизм, но почему невозможны другие примеры, не допускающие такого изоморфизма.
Следующая теорема является итогом длительного развития математики.
Теорема 1. Для любой системы положительных скалярных величин (V, I, +, гС, wo> существует инъективная функция f : I-+-Rобладающая свойствами:
а) для всех величин wi, wt<^I выполняется
wi + w2 <= l=>f (w, + wa) = f(wi) + f (wo);
б) V Wi, wt <= V(wi < (wi) < f (wj));
B) f(w0) ~-0;
г) функция f биективно отображает множество I на отрезок вида [0, X] или [0, Х[, где 0<Х^ оо (если Х= ос, то речь идет об отрезке второго вида).
Полезно сначала объяснить идею доказательства теоремы- на конкретном примере.
Пусть на евклидовой прямой X (которая вовсе не совпадает с R) дан отрезок [а, 6] и мы хотим «измерить его длину» относитель-
152
)—I----Н-------1-----к-=—I-------1-------1----1------1-------1----1------h
, 0 e а а, аг af Ch, n5 a6 a-, aa a9 b
Рис. 55 в '
но некоторого фиксированного отрезка [о, е], который совершенно условно будем называть единичным отрезком. Начнем с того, что будем последовательно откладывать отрезок [о„ е] от точки а вдоль отрезка [а, 6], и остановимся в тот момент, когда увидим, что при следующем откладывании мы выйдем за пределы отрезка [а, 6]. Отметим, что «откладывание» состоит в действии на множество [о, е] некоторой группы преобразований множества X. Если X=R, то это группа параллельных переносов /?+; а именно, [а, О|] = =[о, е] + а, [ai, а2] = [о, е] + а+е, [а2, а3] = [о, e]-j-a-j-2e, ... и т. д. (рис. 55).
Например, пусть мы сделали 198 откладываний, начиная с точки а, отрезок [о, е] 198 раз ртложился внутри отрезка [а, 6] и 199 откладывание вывело нас за пределы отрезка [а, 6]. Будем записывать это обстоятельство следующим образом: 198/(ай:ое), и говорить, что длина отрезка [а, 6] относительно [о, е\ равна числу 198 с точностью до целых (по недостатку). Если мы хотим увеличить точность измерения длины отрезка [а, 61, то единичный отрезок о, е] нужно разделить на 10 равных частей, затем взять отрезок о, £i], где ei — первая точка этого деления, и найти длину отрезка а, 6] относительно отрезка [о, ei] с точностью до целых. Иными словами, найти число (ab : ое^. Ясно, что это число будет лежать в пределах от 1980 до 1989. Пусть, например, (ab :oej) равно числу 1983. Какое же число следует назвать приближением длины отрезка [а, 6] относительно отрезка [о, е] с точностью до десятых? Разумеется, не число 1983, а число -‘^3 = 198,3. По построению 10 = = (ое:ое»), и длиной отрезка [а, 6] относительно отрезка-[о, е] с
, . (ab:oet)
точностью до десятых (по недостатку) назовем число ^ое.ое
Отметим, что понятие «разделить отрезок на 10 частей» опять-таки апеллирует к действию группы преобразований множества X. Если X—R, то это группа Я* и отрезок [о, определяется как такой отрезок, для которого Qo, eJ-J-o-ej) U([о, ei]-|- 1 -^1)11 ... ... U ([о, ei] + 9-<?i) = [o, е].
Дальнейшее очевидно: нужно последовательно вычислять следующие отношения натуральных чисел (рациональные числа):
(аЬ'.оег) (а&:ое3) (а&:ое„)
(ое:ов2) ’ (ое:ое3) ’ (ое:ое„) *
где [о, еп] — десятая часть отрезка [о, еа_ 1].
По построению такая последовательность монотонно возрастает . и ограничена сверху.
153
В нашем конкретном примере такой верхней границей служит число 1990. Следовательно, у этой последовательности существует предел, который, по определению и называется длиной отрезка [а, 6] относительно единичного отрезка [о, е].
В предыдущем построении каждый последующий отрезок [о, еп] совсем не обязательно полагать равным именно одной десятой части предыдущего отрезка [о, en-i). С таким же успехом можно производить деление отрезка [о, еп_ например, на семь равных отрезков. (Не следует думать, что таким образом получится длина отрезка [а, Ь] в семеричной системе счисления.) Более того, не обязательно предполагать, что отрезок [о, е„] является целой частью отрезка [о, en_i): существенно только «стремление» отрезка [о, еп] к нулю. Это условие опять-таки апеллирует к действию группы преобразований множества X: оно означает, что число итераций (повторений) преобразования отрезка [о, еп] (в частности, число параллельных переносов отрезка [о, еп]), которое необходимо, для того чтобы объединение всех перенесенных отрезков равнялось отрезку [о, е], стремилось к бесконечности.
Итак, длину отрезка [а, 6] относительно отрезка [о, е] можно определить таким образом: положим
И } (ое:ое')’
где е' е[о, е], тогда искомая длина равна
Г([a, 61)4=tlim е*-* о
Наиболее тонким моментом в этом определении является вопрос о точном смысле выражения <е' стремится к о».
Мы не будем рассматривать этот вопрос в данном конкретном случае, а решим его в общем виде для любой положительной скалярной величины (V, /, -4-, а»о>, и таким образом полу-
чим доказательство теоремы 1. Этот материал содержится в приложении 2.
Отметим, что длину отрезка [а, 6] относительно отрезка [о, е] можно определить и через приближения с избытком как Пт
УЛо (ое:ое')-Н
§ 3. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА
1. Конструктивное определение площади многоугольника. Свойство конечной аддитивности. В этом параграфе удобнее пользоваться вторым определением треугольника как множества вида
Ач^(Х1 • Q Хг • 6 "I-Хз* С | X), Хг, Х3>0, X) -|- Хг 4“ Хз=! 1), где тройка точек ц, Ь, с из плоскости /?2 не лежит на одной прямой. Стороной треугольника А называется отрезок, соединяющий какие-то из точек а, Ь, с; ясно, что любая сторона „треугольника состоит из всех точек вида Xi•а4~^2,^ + ^з,с, у которых одни из
154
параметров Хь Х2, Х3 тождествен-но равен нулю. Сами точки a, b, с называются вершинами треуголь- if- -\//
ника. 1£гт77/// / V . _ _у
Многоугольником мы называем Рис 5б
любое подмножество арифметической плоскости /?2, которое представимо в виде объединения конечного числа треугольников, не имеющих общих внутренних точек. Иными словами, подмножество и плоскости /?2 называется многоугольником, если существуют такие треугольники Аь Аг, .... Ап, что:
I) и— U А„ I
2) г#=]=Ф-А,-ПА; = 0, где А — множество внутренних точек А (внутренность А).
Это определение многоугольника существенно шире обычного. Множество треугольников (Ai, ..., Ап), для'которого выполняются условия -1) и 2), называется разложением многоугольника и (рис. 56). Любой многоугольник имеет бесконечное число различных разложений на треугольники. Два из них показаны на рисунке 57.
Отметим, что определение многоугольника зависит от выбора топологии в /?2, так как в нем используется понятие внутренности треугольника. Правда, внутренность треугольника можно определить, исподьзуя вместо топологии векторную структуру в /?2. А именно, А = (Xj • о-|-Хг* 6-I-Х3• с | Xj, Хг, Х3?>0, Xi-|-Х2"|_Хз=: 1).
Понятие разложения не следует путать с понятием триангуляции. Триангуляцией называется разложение, удовлетворяющее еще одному дополнительному условию: любые два треугольника А/ и А/ при j пересекаются или по общей вершине, или по общей стороне, или вообще не пересекаются. Однако для наших целей,это условие излишне.
Если w и а/1, ... wn — любые подмножества /?2 и для них выпол-
няются условия: о/ = 0 wi и f) Wj = 0, то семейство
i=> 1
{о/ь ..., о/п) будем называть разложением множества w и писать w — Wi +... + а/п. Запись o/i + ..-4-ом означает, что семейство {о/ь
..., wn} является разложением множества ' ин (J ... U wtt. Напомним, что произвольное подмножество w плоскости /?2 называется * < выпуклым, если Vx,-(/e®([x, t/]sw), где
X. [х, у]ч=*(Х-х+(1 — 1}.
X Упражнение?. Докажите, что:
Рис а) пересечение любых двух треугольников —
пустое множество' или точка, или отрезок, или выпуклый многоугольник (рис. 58); б) для любого выпуклого многоугольника можно получить его разложение, соединив отрезками одну из его вершин со всеми остальными вершинами.
Множество всех многоугольников в арифметической плоскости /?2 обозначим U.
Нустьи е U и и = Л1 + -..4-Л/1. Обозначим Т(м) число Т(Д1) 4----4--ЬЦАп), где число Т(Д,) определяется в примере б) из предыдущего параграфа. Интуитивно'Т(м) — площадь многоугольника и.
Здесь мы сталкиваемся с типичным для темы многоугольников вопросом: зависит ли данное определение числа Т(и) от выбора разложения {A>, .... Дп} многоугольника и на треугольники? Иными словами, верно ли следующее ((м = Д14-.-4-Ля)А(м = Л1 + — + + Дт))^Т'(Д1)4-... + Г(Дп)=Т(Д1)Ц-... + Т(Дт). Если это не так, то определение числа Т(м), где u^U, задает функцию от двух аргументов вида Т(ц, {ДД), но не функцию от одного аргумента вида Т(м). Нам нужна именно вторая функция, так как измерение площади-многоугольника должно зависеть только от самого многоуголь-
ника.
Предложение 4. а) Допустим, что данное определение числа Т (а), где u^U, не зависит от выбора разложения многоугольника и на треугольники, т. е. оно определяет функцию вида T:U-^R>0. Тогда эта функция конечно-аддитивна, т.е.
Vu, v^U(T(u+v) = T(u) + T(v)).
б) Если существует хотя бы одна конечно-аддитивная функция вида f:U-^R>0, значение которой на любом треугольнике Д = =={а, Ь, с) равно f(&) =у- | det( с) । ’ ТО опРе^ел€ние числа Т (й) не зависит от выбора разложения для^произвольного многоугольника и, т. е. оно определяет функцию вида T:U-+-R>0.
в) Если треугольник Д разложен на два треугольника Д, и Дг отрезком, соединяющим одну из его вершин с точкой на противоположной стороне, то Т(Д} = Т(Д1} 4-Т(Дг}.
|> а) Свойство .конечной аддитивности, очевидно, эквивалентно свойству VneAZVub .... «п е {/(T(ui4-...4-un) = T-(ui) + ...-|-T(un)), откуда и происходит его название.
Если Т является функцией от и, ы = Д| + ... + Д« и ц = Д{ + ...+ 4-Дт, то, как легко проверить, м4-ц = Д|4-.--4-Дл + А1 + ---4-Дт. т. е. {Д1, .... Д„, Д[, .... Дт) — одно .из разложений многоугольника u-)-v.
Поэтому Т(м4-ц) = Т(Д1) + ... + 7'(Дт) = 7'(и) + 7'(у)-
156
б) Если « = Л14- — + Ди и и=Д1 + ...4-Д^, то Т(Д1) + ... + Т(Дп) = W(a>)+...+Г(Д„) = f(u) = f (Д 0 +... + кд;,) = Т(Д0+... -ь т(д'т). !’ в) По лемме 1 из § 2 существует эквиаффинное преобразование
Е, сохраняющее площадь треугольника, при котором треугольник Д перейдет в треугольник вида Д’1. При этом преобразовании [треугольники Д1 и Д? перейдут в треугольники Д{ и Д£ той же площади (по предложению 2) и треугольники Д( и Д£ разлагают треуголь-. ;ник Дк отрезком, соединяющим одну из его вершин с точкой на 'противоположной стороне (почему?). Осталось проверить, что ?Т(ДХ) = Т(Д1) + Т(Д$), что следует из легкого прямого подсчета.
Замечание. 1) Казалось бы, объединяя рассуждение из доказательства предложения 4 а) с предложением 4 в), можно доказать, что.число Т (и) не зависит от разложения и на треугольники. А именно, если м = Д1-|-!.. + Дп = Д{'4-... + Дт — два разложения одного многоугольника и, то образуем третье разложение {Д,- П А/), где н Возможно для какой-то пары I, j множество
Д( f| Д/ не треугольник, а выпуклый многоугольник. Тогда нужно разбить его на треугольники по упражнению 7 б). Для простоты ( записи допустим, что такой случай не встречается. Тогда внутренности треугольников Д,,ч±(Д/ПА/) попарно не пересекаются и Д,= =Дп4-...4-Д/ш, Д/=Д1/4-...+Дп/. Если эти разложения получаются последовательно так, что применимо предложение 4 в), то по индукции Т(Д<)= Т(Дц)4-.”4-ПА/т) и ТЩ) = Т(Д1/)4-... + Т(Дя/). Тогда Т(Д1) + ... + Т(Д„)=2 Т(Д1/)=Т(Д04-...+-Т(Да что и нужно до-
казать для определения функции Г ;{/-*-/? >0. Однако это рассуждение не годится, так как не всегда применимо предложение 4 в). -
2) Верно, что определение числа Т(и) не зависит от разложения и, и существует несколько весьма разных доказательств этого факта. Каждое из них не просто и с методической точки зрения имеет свои трудности. Мы докажем этот факт следующим образом. Множество всех треугольников обозначим Uo и для Д={а, Ь, с) из Uо положим Т0(Д) = -|-| det^ [ J.) I ‘ ОпРеДеление Функции• ' Tf>:Uo-^R>o не требует никаких обоснований, так как оно носит совершенно явный характер. В § 5 мы продолжим функцию То с множества Uo на очень широкое множество S, включающее все многоугольники, т. е. UczS’, и это продолжение М (называемое мерой Лебега) будет обладать свойством конечной аддитивности (и даже более сильным свойством счетной аддитивности) не только на U, ио и на всем множестве S’. Используя предложение 4 б) и функцию М | U, сразу 'получим независимость числа Т(м) от разложения и. Методическим недостатком такого подхода является необходимость принять в качестве гипотезы независимость числа Т(и) от разложения и (вплоть до теоремы 7 в) из § 5). Конечно, можно переставить местами параграфы 3 и 5, но тогда нарушится историческая (и, вероятно, логическая) последовательность в развитии темы измерения плоских фигур: понятие меры Лебега возникло поз
157
же, чем понятие площади, и является его развитием, а также было мотивировано свойствами функции Т. Кроме того, определение функции М и проверка ее конечной аддитивности требуют кропотливых рассуждений, далеко уводящих от темы многоугольников.
Итак, в этом параграфе мы установим характерные свойства функции Т, принимая в качестве гипотезы, что она существует. В следующем параграфе эти свойства будут положены в основу аксиоматического определения площади многоугольника.
В заключение напомним два определения, которые часто используются в дальнейшем.
Как обычно, фигурой называется произвольное подмножество в R2. Поскольку в R2 фиксирована топология, то для любой фигуры определены понятия внутренней и граничной точки. В частности, они определены для многоугольника. Если точка с при каждом разложении многоугольника является вершиной некоторого треугольника из этого разложения, то назовем с вершиной многоугольника. Легко доказать, что вершина является граничной точкой многоугольника и, но обратное неверно.
2. Инвариантность функции площади относительно эквиаффин-ной группы. Напомним, что линейной биекцией векторной плоскости X, в частности R2, называется биекция f:X-+-X, обладающая свойством
VX1, Х2 <= R Vx, 'у е X(f (Xj • х 4- Х2 • у) = Xi • f (х) 4- Х2 f (у)).
Аффинной биекцией векторной плоскости X называется биекция f:X-+X вида f(x)qpt(ft(x) +g), где h:X-+X линейная биекция и g фиксированный вектор из X.
Упражнение 8. Докажите, что: а) для любого многоугольника и любой линейной биекции A:R2-+R2 множество А (и) также является многоугольником;
б) для любого линейного отображения A:R2-*-R2 выполняется Vxe/?2(A(x)=A-х), где матрица A4=^A((q)) а((0))); при этом отображение А является биекцией в том и только том случае, если det А #=0, т. е. A^GL2. Обычно отображение А и матрицу А обозначают одной буквой я не различают. Так же будем поступать и мы.
В этом пункте мы снова рассмотрим эквиаффинные преобразования fAi 5, с которыми имели дело в примере б) из § 2, и группу 0s всех эквиаффинных преобразований опишем более подробно и в более абстрактном духе. При первом чтении можно пропустить этот материал и перейти непосредственно к теореме 2.
Как и раньше, обозначим £2 множество всех (2X2) —матриц из вещественных чисел с определителем 4-1 или —1. Рассмотрим декартово произведение множеств £2 и R2. Каждому g= (A, g) из L2X/?2 поставим в соответствие отображение fg:R2-+R2, определенное следующим образом: fg(x)^A -x4-g, где А-х — результат умножения матрицы А на вектор х. Иногда вместо fg пишут fA Е.
158
Если fg(xi) = fg(x2), то A • Х1-4-1=Л>х2-|-^ и Л(х!~ х2)=0. Учитывая, что det Л#=0, получаем ‘ Xi—х2 = О и xi=x&. Следовательно, fg — инъективное отображение /?2 в себя. Поскольку /г(Л-1(£о — I)) = =Л(Л~‘(£о—£))-Ьё = 1о. то отображение fg сюръективно. Поэтому оно биективно. Итак, fg принадлежит множеству всех биекций R2 на себя, которое мы обозначаем Is(/?2). Соответствие задает
отображение множества L2XJ?2 в множество Is^2). Это соответствие инъективно: если F(gi) = F(g2), то fgl(x) = fg,(x) для всех хе/?2, т. е. для всех хе/?2 выполняется Л1-х+£1=Л2*х-Н2. Полагая х=0, получим Bi = |2. Поэтому Л1-х=Л2-хдля всех хе/?2. Значит, Л1=Л2 и, следовательно, gi = g2.
Будем отождествлять множество L2X/?2 с множеством значений /’’(^гХ/?2) описанного инъективного отображения F: L2X/?2-^Is(/?2) (рис. 59).
Докажем, что для любых пар gi и g2 из L2X« выполняется fg,°fg,^R(F).
Рассмотрим биекцию h^fgl<>fgi :R-+R и найдем такое е — = <Л, что fg = h. Для этого вычислим /t(x)=fg;,(fgl(x))= /7,(Л2-х + £2) = Л1 •(42-x-i-£2) + £i. Положим Лч±Л1-Л2е£2 и £ч±Л1-£2 + |ь Ясно, что Л <= L2 и £е/?2. Если теперь g^(A, |>eL2X/?2, то Vxe/?2(/t(x)=fg(x)).
Иными словами, композиция двух биекций, являющихся образами произвольных пар gi и g2 из L2X/?2 при отображении F, будет образом некоторой пары g при этом отображении. Этот факт мотивирует определение следующей бинарной операции в множестве L2XJ?2:
<ЛЬ £,> • <Л2, |2>=^<Л1-Л2, Л^+б,).
Упражнение 9. Докажите, что: а) относительно этой операции в множестве L2 X к найдется нейтральный элемент;
б) относительно этой операции всякий элемент g из L2y.R2 имеет обратный элемент (в том же множестве);
в) относительно этой операции множество L2\R2 образует группу (коммутативна ли она?);
г) отображение F — инъективный гомоморфизм группы L2~%.R2 в группу Is(/?2) и изоморфизм группы L2XR2 и подгруппы R(F) группы Is(/?2).
159
Пусть даны две группы G\ и G2, групповую операцию в Gi обозначим • и групповую операцию в G2 обозначим + . Кроме того, пусть задан грмоморфизм группы Gi в группу Is(G2), который мы обозначим £!->£(•), где g(-): G2->G2. Если в декартовом произведении групп Gi и G2 групповую операцию определить по формуле
(gi, М • <g2, h2}^(gi-g2, £1(Л2) + Л1>,
то получится группа (проверьте); она называется полупрямым произведением групп Gi и G2. Таким образом, выше мы определили полупрямое произведение групп L2 и (/?2)+. Напомним, что в примере б) из § 2 мы назвали эквиаффинной группой Gs множество всех биекций плоскости R2 на себя вида f<A 5)(х) = Л>х + |, где A^L2 и Sje/?2, а хе/?2, вместе с операцией композиций таких биекций. Согласно упражнению 9 г) полупрямое произведение L2X(/?2)+ изоморфно эквиаффинной группе Gs плоскости /?2.
Роль этой группы видна из следствия 2 к следующей теореме. Теорема 2. Функция Т обладает свойствами: а) конечной аддитивности, т. е.
Vu, vt=U(T(u + v) = T(u) + T(v));
б) Gs — инвариантности, т.е. Vu^U V <А, е£2Х/?2
(7(ц) = Т (А-« + £))’.
[> Пункт а) этой теоремы обсуждался в замечании 2 после предложения 4.
Докажем пункт б). Для этого сначала проверим:
VueG V <А, £> eL2X/?2(A-u-|-£«=t/).
Если и — многоугольник и Д1, ..., Дя — его разложение, то треугольники fu(Ai), .... fg(An) не имеют общих внутренних точек. Действи-тельно, fg — гомеоморфизм /?2 иа себя, а при гомеоморфизме внутренние точки фигуры переходят во внутренние точки образа этой фигуры. Поэтому fe(u) — многоугольник и fu(Ai), ..., fg(&n) — его разложение.
По предложению 2 выполняется: VAVg= (Л, ei2XR2
. ' Т(д)=г(Гг(д)).
Следовательно, Т(/е(«)) = Т(МД1)+... + Ге(Дя))= Т (^(Д1)).+ .-• +
4-Тав(Дя)) = Т(Д1)4-...4-Т(Дя)=Т(«).
Следствие 1. Если g= (А, £), где |е/? и А — линейная биекция плоскости R2, то Vu<=U
T(fK(u)) = \detA\-T(u).
[> Для треугольников такай формула пройеряется прямым подсчетом, который, по существу, был выполнен в примере б) из § 2. Затем используется пункт а) теоремы 2V
Итак, биекция fg изменяет площадь Г(м) в | det А | раз. Поэтому
160
«обходимым и достаточным условием сохранения числа Т(м) под ействйем биекции fe является равенство det А = ± 1 • Отсюда получаем
f Следствие 2. Группа Lz — наибольшая среди всех групп, содержащихся в GLz, относительно которых инвариантна функция Т, L группа Gs — наибольшая среди всех групп, содержащихся в юлупрямом произведении GLzXR2, относительно которых инвариантна та же функция Т.
| Замечание. Свойство конечной аддитивности включено в формулировку теоремы 2, для того чтобы эти два свойства (конечной аддитивности и Gj-инвариантности) прозвучали вместе. №\ы увидим, что как раз они однозначно характеризуют функцию Т. Юснованное на этих свойствах аксиоматическое определение по существу функции Т содержится в следующем § 4.
( Следствие 3. Пусть И/,—гомотетия с коэффициентом Л#=0 .плоскости Л2, т. е. Тогда
j Уые0(Т(Я*(ы)) = /г2Т(ы)).
!|> Гомотетия является частным случаем преобразования из следствия 1.
Свойство функции Т, содержащееся в этом следствии, называют гомотетииностью площади.
§ 4. СРАВНЕНИЕ КОНСТРУКТИВНОГО И АКСИОМАТИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА.
СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ ИЗМЕРЕНИЯ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА
1. Аксиоматическое определение площади многоугольника и его сравнение с конструктивным определением. Часто фигурой называют произвольное подмножество R2. В таком случае совокупность всех фигур в /?2 совпадает с *Р(/?2). Измерение площади фигуры должно задавать, можёт быть, частично определенную функцию вида f:ф(/?2)-»-/? >0, обладающую свойствами, похожими на свойства функции Т; а именно, свойствами аддитивности и инвариантности, так как кажется, что любой процесс измерения приводит к функции, обладающей этими двумя свойствами. Поскольку конкретное измерение — функция Т — определено на множестве всех многоугольников U, то представляется естественным, предположение, что измерение f применимо, по крайней мере, ко всем многоугольникам, т.е. ()s0(f). Что еще можно включить в 0(f)?
Практика указывает на необходимость и возможность измерения площади у таких фигур, как круг, внутренность эллипса, сектор, сегмент, кольцо, и других элементарных криволинейных фигур с сохранением при этом основных свойств аддитивности и инвариантности. Поэтому область определения 0(f) шире множества U и включает большое число разнообразных криволинейных фигур. Однако
6 Закиi 227
161
нельзя определить измерение, обладающее этими основными свойствами и пригодное для измерения любых фигур, т. е,
Традиционным является деление фигур на «прямолинейные» (многоугольники) и «криволинейные». Имеется много оснований,-Для того чтобы различать эти два случая. Поэтому отдельно рассмотрим измерение площади многоугольника и измерение площади криволинейной фигуры. Соответственно возникают две функции s и р, причем D(s) = U, a D(p) — более широкое множество, включающее все те фигуры, площадь которых можно измерить; в частности, UczD(ii). Поскольку функции s и р. имеют общий интуитивный источник в виде измерения Т, то естественно считать, что s — сужение р, на U и р — продолжение s на D(p). Первую из этих функций будем называть функцией площади, а вторую — мерой. В соответствии с этой терминологией р(а») называют не площадью, а мерой фигуры w.
В этом параграфе аксиоматически определяется функция s, при этом за аксиомы принимаются свойства аддитивности и инвариантности, точнее — свойству функции Т из теоремы 2. В следующем § 5 аксиоматически определяется мера — за аксиомы опять-таки принимаются свойства аддитивности (в ее сильном виде) и инвариантности.
В теореме 3 доказывается, что любая аксиоматически определенная функция площади s отличается от функции Т на постоянный множитель: «(•) = с•!(•). Поэтому свойства аддитивности и ин-вариантнрсти по существу однозначно определяют измерение Г, т. е. возможно, по существу, только одно измерение площади многоугольника. Это удивительное обстоятельство используется затем для установления того, что на первый взгляд весьма различные способы измерения площади многоугольника приводят к одному и тому же численному результату.
Определение 2. Функцией площади называется любая функция s:ll-^R .п, обладающая свойствами:
1) конечной аддитивности, т. е. V«, v^U
s(u4~v) =s(«)-f-s(v);
2) Gs-инвариантиости, т.е. Vu^UVg<= (L2XR2) " s(u) = s(jg(u)).
Теорема 2 из предыдущего параграфа утверждает, что функция Т удовлетворяет этому определению и, следовательно, хотя бы одна функция площади существует. Очевидно, что любая функция вида с •!(•), где c£R>(!, также является функцией площади. Таким образом, существует бесконечное число различных функций площади. Существует ли функция площади, которая не имеет вида с •?(•)? Отрицательный ответ на этот вопрос содержится в следствии 1 к приводимой ниже теореме 3.
В теореме 3 потребуются две леммы.
Лемма 3. Множество точек разрыва монотонно возрастающей функции h:R-*-R не более чем счетно.
162
Пусть К — множество точек разрыва функции Л, хе/(. Множество {Л(/)|х</} ограничено снизу, например числом Л(х). Поэтому Существует число bx^inf Л(/). Аналогичным образом существует |число aX4*sup h(i). Очевидно, ах^6х.*Точке х поставим в соответ-й <<х
'ствие интервал ]ах, 6Д. Из монотонности h следует, что интервалы ija*. М и ]ах., bz[ дизъюнктивны при х^х'. Так как х — точка разрыва функции Л, то ах=/=6х, а именно, ах<Ьх. Поэтому ]ох, 6Д— непустой интервал. Итак, множеству К биективно соответствует некоторое семейство попарно ие пересекающихся интервалов на оси Оу. Такое семейство не более чем счетно. Поэтому и множество К не более чем счетно.
Упражнение 10. Докажите, что: а) если щ и и2 прямоугольники, стороны которых соответственно равны по длине, то и2 получается из щ с помощью композиции параллельного переноса и поворота; -
б) если s — функция площади и и\, и2 — прямоугольники из пункта а), то s(«i) = s(u2).
Лемма 4. Пусть s:l)-+-R>0 — некоторая функция площади. Тогда найдется такая постоянная с>0, для которой з(их,у) = =с-х-у, где их,у любой прямоугольник, у которого стороны имеют длину соответственно х и у.
[> По упражнению 10 б) можно считать, что их.у — прямоугольник вида (рис. 60).'
Обозначим s(u*. у) в виде s(x, у). Фиксируем произвольное значение у0>0 и рассмотрим функцию /t(x)^=fcs(x, уо): /?>о->₽>о-Из конечной аддитивности площади $ и ее инвариантности относительно параллельных переносов следует, что Л(Х1-(-Х2) = Л(Х1) + 4-Л(хг). Поскольку Л(хг)>0, то получаем, что функция h строго возрастает. Так как множество /?>0 несчетно, то по лемме 3 функция h имеет хотя бы одну точку непрерывности, которую обозначим хо- Докажем, что функция h непрерывна в любой точке вида xo + t где t — произвольное число. Действительно, Л(хо + + < + Ax) —Л(хо + 0 = Л(хо+Лх) —Л(хо)-»-О при Дх-»-0. Следовательно, функция непрерывна на всем множестве /?>0 (рис. 61).
Допустим, что Л(0) inf* Л(х) =е>0. Тогда Л(1) = пЛ(-^-) > >пе-»-оо при п-*-оо. Поэтому Л(0) = 0.
Продолжим Л на множество Я<0 по нечетности. Получим непрерывный гомоморфизм вида По теореме 1 из главы I
Х0+ЛХ XJ-f *0+МДХ X
Рис. 60
Рис. 61
163
получаем, что Л — линейная функция, т. е. Л(х) = ах, где ач±Л(1)= = s(l, уо).
Число а, вообще говоря, зависит от фиксированного выше числа у0. Поэтому а = а(уо). Положим c=s(l, 1). Тогда s(x, у) = а(у)-х и по упражнению 4г) a(y) = s(l, y)=s(y, 1). Поэтому а(у) = = а(1) -t/=s(l, 1)-у = с-у и s(x, у) = с-Х‘у. .
Теорема 3.' Фиксируем многоугольник u.>eU и число Хо > 0. Существует и притом ровно одна функция площади s:U-*-R для которой s(uo) = Хо.
> По теореме 2 из предыдущего параграфа функция !(•) является площадью. Если Т(ио)=^^о, то рассмотрим функцию-s(u)qpty^yl(u). Тогда «(•) — функция площади, для которой s(«o) = = Хо--Это доказывает существование искомой функции.
Пусть функции S1(-) и 8г(*) являются функциями площади. По лемме 4 Si(mx. у) = С| -Х'У и S2(ux. <,) = сг-х-у. Разбивая их, у диагональю на два прямоугольных треугольника и используя конечную аддитивность и инвариантность функции площади относительно поворота на угол 180° , получаем, что значение функции «,(•) для любого прямоугольного треугольника равно половине произведения постоянной Ci на произведение длин катетов. Здесь i= 1, 2. Разбивая любой треугольник А высотой на.два прямоугольных треугольника, получаем, что значение функции s,(-) равно половине произведения постоянной с-, на произведение длины высоты и длины стороны треугольника, на которую опущена высота (рис. 62). Следовательно, si(A)= 8г(А)ч±с• 82(A), где Пусть теперь Si(u0) = s2(uo) = = Хо>О и Ai, ..., Ая — некоторое разложение ио- По конечной аддитивности функций 81 и 82 получаем Si(uo) = Si(AiАп) = = Si(Ai)+...-|-Si (Ая) = С-82 (Al) 4- с- 82 (А2) + ... +c-S2(An) = = с • (8г(А1) +... -|-82(Ап)) = с-82(^0) — с • Хц.
Отсюда следует, что с=1 и тем самым функции Si и 8г тождественно совпадают.
Замечание. Часто в качестве многоугольника ио выбирают квадрат со стороной, длина которой равна заранее выбранной единице измерения длин отрезков в R, и полагают, Хо равным 1. В этом смысле выбор некоторого отрезка в R в качестве масштаба длины однозначно определяет функцию площади в R2. В этом смысле измерение длин отрезков определяет измерение площадей „ многоугольников.
Следствие 1. Если две функции площади совпадают хотя бы
Рис. 62
164
на одном многоугольнике, то они совпадают на всех многоугольниках, т. е. тождественно равны. Любая функция площади имеет вид сТ(.).
,> Первое утверждение непосредственно вытекает из теоремы 3. Если s функция площади и и0 любой фиксированный многоугольник, то выберем постоянную с>0 таким образом, что s(uo) = =C‘T(uo). Тогда по первому утверждению функции s и с-Т тождественно совпадают.
Следствие 2. Если й s2 две произвольные функции площади, то существует постоянная с, для которой si (•) = c-s2(-).
Следствие 3. Пусть Нь — гомотетия с коэффициентом k =/= 0. Всякая площадь, обладает свойством гомотетичности: Vu^U
s(Hfc(U)) =k2-s(u).
[> По следствию 1 s(-) = c-T(-). Так как функция Т обладает свойством гомотетичности (следствие 3 к теореме 2), то и s обладает этим свойством.
2. Определение площади многоугольника с помощью движений. В этом пункте рассмотрим вопрос о возможных переформулировках свойства Gs-инвариантностн. А именно, вопрос о возможности заменить группу Gs на ее «маленькую» подгруппу, состоящую из всех движений в плоскости J?2.
Множество движений /(Я2) определяется как совокупность всех пар вида (А, £), где А еО2 и £еЯ2, т.е.
7(Я2)^О2ХЯ2.
Напомним, что О2 — это множество всех ортогональных (2X2) — матриц над полем R. Групповая операция в О2 определяется обычным образом как произведение двух матриц. В множестве У(/?2) = ОгХЛ2 определим групповую операцию по формуле
-<А„ £>> • <А2, Ь>^<АгА2, ЯрЬН)-
Следовательно, /(Я2) — полупрямое произведение групп О2 и (Я2)+ и, в частности, подгруппа группы Gs.
' Пусть теперь g= <А, g> eO2XJ?2. Как и в случае группы Gs, определим функцию fg rR2-+R2 формулой fJx)^A •% + £ н определим отображение F(g)^[s; F: O2XR2^-ls(R2). Легко проверить, что отображение F инъективно и, следовательно, множество О2 X R2 биективно со множеством функций [fg | gеО2 X Я2}. Каждая функция fg также является биекцией, но другого вида, чем F.
Отображение F: O2Xfl2->-Is(/?2) является, очевидно, инъективным гомоморфизмом, т.е. F(gt)°F{g2)=,F(gfg2). Следовательно, отображение F: О2 ХЯ2-«->Я(Л) является изоморфизмом. Обычно отождествляют группы О2Х« и R(F).
Упражнение 11. Докажите, что: а) О2 и /(Я2)— группы и J (Я2) — подгруппа группы Gs;
б) 7 (Я2) содержит все параллельные переносы, осевые симметрии и собственные повороты (все элементы группы SO2, см. § 7 главы I).
165
Каждая биекция fg переводит любую прямую снова в некоторую прямую и сохраняет -расстояние (метрику) в R2. Действительно. НШ - ШН2 = || Л -x-R-Л .у-£||2 = IIА (х—у)||2 = II х-у II2.
Можно доказать, что любая биекция ф :/? <->R2, которая сохраняет расстояние (метрику) в R2 (т.е. Vx, уе/?2(р(х, у) = = р(Ч>(«). Ш)). W р(х, д)=^/(х—у, х—д) =Л/(Х1—у,)2+(х2—у2)2) имеет вид '
ф(х) = Л-х-Н,
где £е/?2 и ЛеОг и, в. частности, она переводит любую прямую снова в прямую. Поэтому любая такая биекция ф вида ty=fg, где g е J(J?2), и, следовательно, R(F) состоит из всех преобразований плоскости, сохраняющих метрику. Отсюда происходит название группы /(J?2). Иногда такая характеристика множества /?(F) при--- нимается за определение группы движений; поскольку при этом используется только метрическая структура в R2, то это определение годится для любого метрического пространства.
Как мы увидим ниже, свойства конечной аддитивности и Gs-инвариантности эквивалентны свойствам конечной аддитивности и У(/?2)-инвариантности. Мы предпочитаем говорить именно о Gs-инвариантности функции площади. Во-первых, потому что G, — наибольшая из групп, сохраняющих функцию площади (см. следствие 2 к теореме 2). Во-вторых, определение группы G, не использует понятие скалярного Произведения в R2 и, следовательно, в определенном смысле основано на меньшем числе исходных понятий" по сравнению с определением группы 7(/?2).
Можно описать некоторую «количественную» разницу между группами О2 и L2 и, следовательно, между группами 7(/?2) и Gs. Всякий элемент А из О2 имеет определитель, равный +1 или —1 (см. § 7 главы I). В первом случае ЛеБОг, а во втором случае А =А'оЕ', где А' е SO2 и Е' =( — ®). Следовательно, множество
О2 является дизъюнктным объединением вида SO2|JSO2, где множество SO24=t(A • Е' 1А е SO2}.
Последнее множество в топологии, индуцированной О2, гомео-морфно SO2. Отсюда легко проверить, что О2 гомеоморфно множеству S2 с топологией произведения в нем.
Как мы видели в § 7 главы I, всякий элемент A eSO2 представим в виде ( —со"/) и« следовательно, зависит от одного произвольно
выбираемого числового параметра te [0, 2л[. Поэтому всякий элемент Айз О2 однозначно соответствует nape (det Л, t), где /е[0, 2л[. Первый элемент этой пары дискретен (принимает только два значе-, ния). Пренебрегая дискретным параметром, естественно сказать, что группа О2 ^одномерна». В то же время группа L2 «трехмерна», так как на четыре числа, составляющих матрицу Л из £,2, имеется одно ограничение вида deM = ±l. Иными словами, можно произ-
' к.с>
^вольно задать три числовых параметра и тогда оставшийся четвертый параметр определится по этим трем из уравнения detA=±l. §ПраЬда, это уравнение имеет два решения и, следовательно, Четвертый параметр определится по трем другим опять-таки с точностью до дискретного параметра. Пренебрегая дискретным Параметром, мы говорим, что группа трехмерна. В этом смысле Ог — маленькая подгруппа группы L2.
Группы J(J?2) и Gs получаются из О2 и L2 одной и той же добавкой:’умножением на (/?2)+. Последняя группа двумерна. Поэтому группа /(/?2) трехмерна (задается тремя произвольными параметрами), а группа Gs пятимерна (задается пятью произвольными параметрами). В этом смысле 7(/?2)— маленькая подгруппа труп-
• пы Gs.
Отметим, что группа (/?2)+ изоморфна подгруппе группы 7(/?2). А именно: (/?2)+ изоморфна подгруппе (<Е, |)|£е/?2} с помощью функции £<-►( Е, £). Эта подгруппа двумерна и в этом смысле является маленькой подгруппой в группах J(/?2) и Gs.
В доказательстве теоремы 3 не используется в полном объеме инвариантность функции площади s. Действительно, в лемме .4 используется инвариантность s относительно параллельных переносов и поворотов для доказательства того, что s(u*. у) не зависит от расположения прямоугольника их. у со сторонами х и у. В самой же теореме 3 используется инвариантность s относительно центральной симметрии и некоторых движений плоскости (при разбиении произвольного треугольника на прямоугольные треугольники и рассмотрении произвольных прямоугольных треугольников). Поэтому; если f:U-+R>0 конечно-аддитивная и J(J?2)— инвариантная функция, то для нее остаются верными доказательства теоремы 3 и ее следствия 2, т. е. f(') = с-Т(-). Так как функция Т Gs-инвариантна, то и функция f Gs-инвариантна и, следовательно, является функцией площади. Отсюда получаем
Следствие 4 к теореме 3. Всякая функция вида s'. U-*-R>0 со свойствами конечной аддитивности и J (В2)-инвариантноети об- -' ладает свойством Gs-инвариантности, следовательно, является функцией площади.
3. Способы измерения площади многоугольника.
В этом пункте мы рассмотрим четыре способа измерения площади многоугольника, которые соответственно определяют четыре функции Т1(‘)—и докажем, что все они приводят к одинаковому численному результату, несмотря на явные различия в их определениях (инструкциях для измерения). А именно, каждая из этих четырех функций совпадает с функцией Т. В случае функции Г/и Т2 такое совпадение легко получить непосредственно на основе их определения. В случае функций Т3 и Т4 необходимо использовать теорему 3 о единственности функции площади: мы докажем, что функции Т3 и Т4 являются функциями площади и совпадают с Т ' на некотором многоугольнике (а именно, на треугольнике для
Г67
случая Тз и на параллелограмме для случая Т^). Отсюда цо следствию 1 вытекает совпадение функций Т3 и с функцией Т. -
Определение 3. Фиксируем произвольную прямую I в плоскости /?2 (рнс. 63). Через каждую вершину многоугольника и проведем прямую, параллельную I. В результате и разобьется на фигуры, которые разлагаются на конечное число трапеций. Обозначим Ь, и В, — длины оснований и h, — длину высоты i-ой трапеции. Положим
Т>(и)**± s (Ь.+В,)^
В этом определении мы рассматриваем в качестве трапеции и треугольник, считая, что длина одного из оснований равна нулю. Разобьем i-ую трапецию диагональю на два треугольника Л,, и Д1з.
Упражнение 12. Докажите, что площадь Т треугольника равна половине произведения длины основания на длину высоты, опущенной на это основание.
По этому упражнению -у(6|-|-В,)Л, = Т(ДХ,) -|- Т(Д(з) и Ti(u) совпадает с2 (Т(Д(1)-|-Т(Д(з)). Поскольку треугольники Ди, Д12,'— в i совокупности образуют некоторое' разложение многоугольника и, то Т|(ц) = Т(ц). Тем самым доказано
Предложение 5. Функция Л является функцией площади, которая тождественно совпадает с Т.
Как следствие предложения 5, получаем независимость значений функции Т| от выбора прямой /, что довольно сложно доказать непосредственно.
Идея следующего способа измерения площади многоугольника состоит в следующем: в плоскости фиксируется некоторый луч I и некоторый отрезок /, выходящий из вершины луча и не лежащий на нем (например, в случае арифметической плоскости R2 — это луч'/?>0 н отрезок К 0)О)}); для произвольного многоугольника и и какого-нибудь его разложения на треугольники по каждому из этих треугольников образуем равновеликий параллелограмм, у которого одна сторона лежит на луче /, а другая совпадает с отрезком t', затем сдвинем эти параллелограммы вдоль луча I таким образом, чтобы они пересекались не более чем по граничному отрезку и тем самым образуем общин параллелограмм □(«), у
1(58
которого одна сторона Ц лежит на луче /, а другая совпадает с отрезком /. Теперь, чтобы измерить площадь исходного многоугольника и, нужно измерить только длину отрезка Л. Кажется, что задача измерения длины боЛее простая, чем задача измерения площади. При этом важно, что переход от каждого треугольника к соответствующему параллелограмму и от исходного многоугольника и — к параллелограмму □ (и) происходит «чисто геометрическим» способом. Мы не будем уточнять слова, взятые в кавычки, а проведем все построение в арифметической плоскости R2. Начнем, как всегда, с треугольника.
Пусть Л — треугольник с вершинами в точках а, Ь, с. Обозначим Дх— треугольник с вершинами в точках (0, 0),- (0, 1) и (X, 0), где X'cpt2 • Г (Д) = | det (а, b а, с)|. По предложению 2 существует элемент g группы Gs, для которого /г(Д) = Дх (рис. 64).
. Отметим, что такой элемент g = (А, £) можно выбирать многими способами. Например, можно положить — b и
6, а Ь, с). Следовательно, и преобразование fg, переводящее Д в Дх, может быть выбрано многими способами.
Упражнение 13. Укажите вид всех таких элементов g= (А, !> sGSl для которых [е(Д) = Л\
Теперь замени треугольник Дх прямоугольником с вершинами в точках (0, 0), (0, 1), (Л, 1) (рис. 65). Ясно, что
Т(Ы±)=Т(ДХ) = Т(Д). v 7 v
2
Пусть Д1, ..... Дп — некоторое разложение исходного много-
угольника и. Каждый из треугольников Д, заменим на прямоугольник ux‘/2=ptu/. Полученные прямоугольники сдвинем по оси абсцисс
Рис. 65
169
друг за другом и получим один прямоугольник □(«) с вершинами в точках (0, 0), (0, 1), (х(и), 0), (х(м), 1) (рис. 66).
. Определение 4. Пусть и — многоугольник. Определим Т2(и) -как число х(и), построенное вышеуказанным способом.
Из построения х(и) непосредственно следует, что функция Т2 совпадает с функцией Т, поэтому верно следующее
Предложение 6. Функция Т2 является функцией площади, которая тождественно совпадает с Т.
Чтобы перейти к очередному способу измерения площади многоугольника, нам потребуются некоторые, наглядно очевидные свойства многоугольников. Тем не менее их доказательства довольно сложны и у нас нет места, чтобы их привести.
Предложение 7. а) Граница любого многоугольника является объединением конечного числа отрезков, которые* (без их концов) попарно не пересекаются и не содержат вершин многоугольника. (Эти отрезки условно назовем сторонами многоугольника (рис. 67). Все отрезки здесь и далее подразумеваются невырожденными.)
б) Если с внутренняя точка любой стороны t многоугольника и, то- найдется такой открытый круг 0С с центром в тачке с, что один из полукругов 0c\t состоит только из внутренних точек и, а другой не пересекается с и (рис. 68).
в) Множество всех сторон многоугольника можно разбить на конечное число подмножеств, каждое из которых обладает следующим свойством: концы всех входящих в него отрезков, кроме одного, мож-
ко пронумеровать таким образом, что концы каждого отрезка имеют соседние номера.
J (Объединение отрезков, входящих в любое из этих подмножеств, называется простой ломаной. Пуцкт в) говорит, что граница любого многоугольника является объединением конечного числа простых ломаных).
г) Пусть и и v многоугольники без общих внутренних точек. Все стороны многоугольников и и и можно разложить на отрезки, которые в совокупности попарно не пересекаются (здесь и далее без учета их концов); любой из этих отрезков либо содержится в и и не пересекается с v, либо содержится в v и не пересекается с и, либо содержится в u(\v; отрезки первых двух, типов разлагают любую сторону многоугольника u-j-v.
Границу многоугольника и будем обозначать д(й).
Пусть с любая внутренняя точка сторону t многоугольника и. Через точку с проходит перпендикуляр к стороне t. Точка с разбивает этот перпендикуляр на два открытых луча. По предложению 7 б) пересечение ровно одного из этих двух лучей с открытым кругом &с состоит из точек, ие лежащих в и. Вектор п единичной длины, лежащий на этом луче, с началом в точке с называется нормальным вектором к стороне t многоугольника и (рис. 68).
Упражнение 14. Докажите, что нормальный вектор п к стороне многоугольника не зависит от выбора внутренней точки с на этой стороне.
Определение 5. Фиксируем какую-то точку с в R2. Выберем на каждой из прямых, проходящих через стороны многоугольника и, по произвольной точке а,. Пусть m число сторон многоугольника и,
Положим (с, а,, п,) • где п, — нормаль-
ный вектор к i-он стороне, I,— длина i-ой стороны и (•, •) — скалярное произведение в Я2. •
Предложение 8. Функция Т3 обладает следующими свойствами:
а) ее значения не зависят от выбора точек с иа,;
б) она является функцией площади;
в) она совпадает с функцией Т.
|> а) Если а!— какие-то другие точки на прямых, определяемых сторонами многоугольника и, то при фиксированном с получаем S(c, a(, й() /,= £(<?, alt n^k+^ai, а/, й/)-^=2(с, а,-, й/).-/,-, так как по определению nt перпендикулярно at, al.
Фиксируем теперь все точки at и заменим точку с на какую-то точку с'. Тогда 2(с', at , nt)‘lt = 2(c, ait п^'Ц+^с, с', ni)-h. Докажем, что второе слагаемое равно нулю. Оно, очевидно, равно (с', с, 2/гП|)- Поэтому достаточно показать, что 2/(-п, = 0.
i i
171
Рис. 69
Рис. 70
Вместе с нормальными к i-ой стороне многоугольника и векторами rii рассмотрим вектора е,-, которые получаются из щ поворо-
Выберем любую внутреннюю точку d на Лой стороне многоугольника и и отложим от нее вектор ei. Конец вектора лежит на прямой, проходящей через Лую сторону многоугольника, а точка d разбивает эту прямую на два луча, в каждом из которых лежит ровно по одной граничной точке Лой стороны многоугольника и (рис. 69). Концом Лой стороны назовем ее граничную точку, лежащую на том из этих двух лучей, который'содержит конец вектора е<. Началом Лой стороны назовем вторую из ее граничных точек.
Легко видеть, что если а —начало, а b — конец Лой стороны многоугольника и, то векторы а, b и а коллинеарны. Так как h — длина Лой стороны, то а,
По предложению 7 в) разобьем границу исходного многоугольника на простые ломаные и пуСть ai, ... ап соответствующая нумерация вершин некоторой простой ломаной.
Каждый из векторов а2, Яг, а3, а3, а*, ..... ап, fli совпадает с одним из векторов 6-^. Поскольку Я2 + ... + яп, Я1==0, то
часть всей суммы 2he,, относящаяся к этой простой ломаной, равна нулю. Так как каждая из сторон многоугольника и входит ровно в одну из этих простых ломаных, то получаем
2 в; = 0.
В силу линейности функции W и равенства ei=W-nt получаем:
W- (2 lrni) = 2 liW-hi= 2 /,-Я=0.
Так как функция W является биекцией, то 2/,-<?, = 0.
б) Докажем конечную аддитивность функции Т3. Пусть многоугольники и и v не имеют общих внутренних точек (рис. 70). Обозначим Л, .... tn последовательность отрезков, о которой говорится в предложении 7 г). Рассмотрим сумму
172
-~(S(c, at, rej)*6+S(c, bj, (j|c)
* 1 /
Каждое слагаемое в этой сумме соответствует стороне k одного из многоугольников и и и, а сторона k разлагается некоторыми отрезками I...... t,p\ обозначим их длины соответственно 1и, ....
llt. Стороне k соответствует слагаемое вида (с, а , п) • /, равное (с, а., й) 4-(с,, а, й) так как по упражнению 14 нормальный вектор п к стороне k является и нормальным вектором к каждой из сторон tit, tlf. Подставим в выражение (Ис) все такие суммы. Если отрезок 6 принадлежит пересечению границ д(и)Пд(р), то в первой н второй сумме в выражении (э|с) по одному разу используется сторона It. При этом многоугольники и и v расположены по разные стороны от нее, т. е. внешние нормали к этой стороне противоположны. Поэтому соответствующие слагаемые в первой и второй сумме сокращаются. Остается сумма по всем отрезкам из числа ti... tn, которые входят только в д(и) илн только в <?(и).
По предложению 7 г) эти отрезки разлагают границу d(u4-p). Слагаемые, относящиеся к одной стороне многоугольника u + p, имеют одинаковые нормали, и отсюда получаем, что оставшаяся сумма равна Тз(м + и). (Рассуждение, которое мы привели в этом пункте, апеллирует к интуиции. Его строгое изложение не просто).
Так как ортогональная матрица А из О3 сохраняет скалярное произведение, то число Тз(/Л(и)), если выбрать в качестве с точку /л(с), совпадает с числом Т’з(и), подсчитанным относительно точки с. Поэтому Т3 инвариантна относительно всех преобразований плоскости вида где А ^О3.
Инвариантность функции Т3 относительно параллельных переносов по существу доказана в пункте а). Действительно, пусть се/?2 и £е/?2 и с'ч^с-|-£. Выберем произвольно точки а,- на сторонах многоугольника и и положим afefcOt-l-j;. Тогда точки а/ будут лежать на сторонах многоугольника и + £ и с', а', =с, а, . Так Как вектор и/ при параллельном переносе с помощью вектора ! не меняется, то значение Т3(и) относительно точки с и точек ai совпадает со значением Т3(и-\-%) относительно точки с' и точек а/. Поэтому Тз(«)= Гз(и + 5). Отсюда по следствию 4 к теореме 3 получаем, что Т3 — функция площади.
в) Поскольку доказано, что функция Т3 является функцией площади, то по теореме 3 достаточно проверить совпадение функций Т3 и Т на каком-нибудь одном треугольнике А. Например, рассмотрим треугольник Д с вершинами в точках (0, 0), (0, 1), (1, 0). Точку с положим равной (0, 1)____и положим ai4*(l, 0), а3ъ*-а3^с.
Тогда с, а3 = с, а3=0, п\=с, аь (с, ait zzi) = l, /1 = 1. Поэтому Тз(Д)=-у((с, а 1, П1)-/1 + (с. «2. П2)-/2+(с, а3, п3) • /3) =
~= Т(Д).
Следующее определение измерения площади важно по
173
двум причинам. Во-первых, в нем множест-/'"'>/ во Я2 рассматривается только как векторное пространство: не используются ни длина (метРика)> ни скалярное произведение в J?2; например, оно без. всяких изменений приме-/ нимо к векторной и после незначительной
7 переработки — к аффинной плоскости. Во-
р))С ?! вторых, возникающая функция 74 может
быть продолжена на более широкую область определения, чем t/, с сохранением ее основных свойств — конечной аддитивности и Gs-инвариантности. В то же время для функций Т,—Т3 совсем не видно, как осуществить такое продолжение.
Перейдем к определению этого способа измерения и соответствующей ему функции Т4. Для этого выберём в R2 два произвольных- линейно независимых вектора и е3, т. е. выберем базис {fi, вг). Базисным назовем параллелограмм ио с вершинами в точках о, ei, е2, в1 + в2 (рис. 71). Разложим R2 на параллелограммы, являющиеся параллельными переносами базисного параллелограмма uq с помощью всевозможных векторов вида п • gj 4-m-e2> где п, m^Z. Все полученные параллелограммы назовем ячейками нулевого ранга.
Далее, разложим R2 на параллелограммы, являющиеся параллельными переносами параллелограмма ut с вершинами "Ъ точках о, -^2, То^1 + То62 с помощью всевозможных векторов вида где п, m^Z. Все полученные
параллелограммы назовем ячейками первого ранга. Параллелограмм м2 является в геометрическом смысле сотой частью базисного параллелограмма ио- Продолжая таким образом, для каждого числа i получим разложение R2 на ячейки i-ro ранга, являющиеся параллельными переносами параллелограмма ui с верши-- I - I _ I - I -
нами в точках о, —-^2, То'^'^То'^2 С г,омощью всевозможных векторов все того же вида 4-/п«^е2, где п, m^Z. (Переносы выполняются все время целочисленными векторами вида и-^4-т-т1, где |, tj два фиксированных вектора.)
Пусть>Х=/?5 и rii — число .ячеек 1-го ранга, целиком содержащихся в множестве X, a Ni — число ячеек i-ro ранга, пересекающихся с множеством X. Каждая из ячеек i-ro ранга, целиком содержащаяся в X, состоит из ста ячеек (i-J-l)-ro ранга, целиком содержащихся в X. Поэтому ni+1 Г00 • zij и, следовательно,-
по "•* " Аналогично
1001 100! 1003 1001 1002
. Так как N^ni, то —при всех i, ieN. 1003 100' 100' и 1
174
^Действительно, если />/, то >-2*->, а если /</ то ' 100'Ю01 100' ’ h °
j W| N, > n;
\ioo' loo' юс*'
, • Определение 6. Фиксируем положительное число $0. Верхней площадью фигуры X назовем число или знак +<», равные
s (X)^so • lim—Нижней площадью фигурй X назовем число
( — ос lOv
или знак +°°> равные s. (Л)• lim —Фигуру XsR1 назовем
измеримой по Жордану, если ее верхняя н нижняя площадь совпадают. В этом случае их обще.е значение обозначим Тц(Х).
Замечания. 1) Часто функцию Т< определяют с помощью ортонормированного базиса {вь ег), что уже влечет наличие евклидовой структуры в плоскости.
2) Иногда функцию Л строят, используя понятие площади многоугольника. Тогда нижнюю площадь фигуры X определяют как точную верхнюю грань площадей любых, содержащихся в X многоугольников, а верхнюю площадь — как точную иижнюю грань площадей любых, содержащих X многоугольников. Легко доказать, что для ограниченных фигур таким образом получается та же самая функция Т4.
3) Выбор числа «о является по существу выбором масштаба, так как значение функции Т4 на базисном параллелограмме ио, как мы увидим ниже, райно $0; иными словами, базисному параллелограмму произвольно приписывается площадь $о.
! 4) Для любой фигуры X верхняя и нижняя площади существу-
ют, так как числовая последовательность возрастает, а
I 10и J
числовая последовательность убывает и ограничена снизу числом 0.
5) Приведем пример ограниченной и не измеримой по Жордану фигуры X. Пусть «о=[0, 1]Х[0, 1]. Положим
Хч±{Г1-ё1 + г2"в2|Г1, г2е(<?П(0. !))}•
Тогда нижияя площадь фигуры X равна нулю, так как никакая ячейка целиком не содержится в X, т. е. все гц = 0. Любая ip ячеек 1-го ранга, содержащаяся в и0, пересекается с X, и других ячеек i-го ранга, пересекающихся с X, нет. Поэтому Л^=10(У. Следовательно, верхняя площадь X равна $о > 0.
Явное вычисление функции Т4 для многих конкретных фигур довольно сложно. Приведем несколько примеров такого вычисления.
а) Докажем, что значение функции Т4 на параллелограмме и с вершинами в точках a-ei+B-^, A-ei-J-B-e?,
+ b'e<i, где B^b и где А^'а, равна s0 • (Л — а)(В — ft).
[> Рассмотрим «сетку», состоящую из ячеек i-го ранга (рис. 72).
175
' Рис. 72 /
В отрезке [а«еь A -ej] целиком содержится а< каких-то отрезков, полученных в результате пересечения этой сетки с прямой (A.-<?i | k^R}. С тем же отрезком пересекается А, таких отрезков. Аналогичным образом определим натуральные числа bi и Bi для отрезка [b-ез, В-ез]. Тогда tii=arbi и М=А(-Вг и At щ4-2, Bi 6/-I-2. Для краткости_записи предположим, что длина векторов ej и ез равна 1. Тогда 1
Следовательно, -^=^-^С(Л-а)-(В-Ь)С-£= А н
N',-4, _ A.-Bt-tu-bi < (ai+ty-tbi+ty-ai-b, 2 / Qf i Ь 2 \
10tf 10ff "" 10tf lff\ Iff ’’ Iff Iff/^
<-^((A—a) + (B —6)+2)-*0 при i-»-oo.
Отсюда получаем lim $o-—^7= lim $o •—^- = s0« (A — a)• (В —&)•
б) Значение функции T4 на любом одноточечном множестве равно нулю.
[> В этом случае все л< = 0 и Следовательно, верх-
няя и нижняя площади одноточечного множества равны нулю. '
в) Значение функции Т4 на любом отрезке равно нулю.' |> Проведем через концы отрезка прямые, параллельные векторам е\ и ез. Тем самым отрезок- будет диагональю параллелограмма и с вершинами в точках а-ё1 + Ь-в2, а-е^В-ез, А-е^В-ез, А-е^ А-Ь-ег. ' 1
Если XiS%2, то ясно, что верхняя площадь множества ^ меньше или равна верхней площади множества Хз. Поэтому верхняя площадь отрезка не больше «о-(А — а)-(В— Ь). Разобьем средними линиями параллелограмм и на четыре параллелограмма. Тогда отрезок содержится в объединении - двух параллелограммов и его верхняя площадь не превосходит числа 2 • ^^--So = -y• (А—а)-(В-Ь'). Продолжая такие деления
средними линиями, получим, что верхняя площадь отрезка не превосходит числа 21 •Л~а • В~Ь • So =-у-(Л —fl)»(B—Р): Устремляя I к оо, получим, что верхняя площадь отрезка равна 0. Для отрезка, параллельного е^ или ез, доказательство аналогично.
Упражнение 15. Докажите, что: а) Значение функции Т4 на множестве, состоящем из конечного числа любых точек, равно нулю.
176
б) Если множество Xj П Хг состоит из конечного числа точек и Т4(Х1)=Т4(Х2)=0, то СДОХЛО.
в) Значение Т4(-) на объединении конечного числа отрезков равно нулю. Указание: по индукции с учетом пункта б).
г) Если XiS%2, то s*(Xi) «*(Хг) и s.(Xi)< «.(Хг).
Предложение 9. а) Область определения функции Т4 содержит множество всех многоугольников U и ее сужение на U является функцией площади. При некотором выборе числа «о выполняется равенство
т41 и=т.
б) Ограниченная фигура X измерима по Жордану тогда и только тогда, когда
Ve>03«i, «ге sXsui) Д (T4(U2) —TtfUi) <е).
> а) Очевидно, ограниченная фигура X измерима по Жордану тогда и только тогда, когда при i-*-oo.
„ КИУ
Ячейки i-го ранга, входящие в число Nt, но не входящие в число п/, пересекаются с границей многоугольника, т.е. число Nt — щ меньше, чем число ячеек i-го ранга, пересекающихся с конечным числом
П
отрезков, составляющих границу многоугольника. Поэтому 10(у 'стремится к верхней мере этого объединения конечного числа отрезков, равной, согласно упражнения 15, в) нулю.
Проверим конечную аддитивность функции Т4. Пусть и и и многоугольники без общих внутренних точек. Ясно, что множество ячеек i-го ранга, пересекающихся с и 4-и, равно объединению двух множеств: ячеек i-го ранга,, пересекающихся сии пересекающихся с v. Поэтому Ni(u-\-v) = Ni(u}-\-Ni{v) —rh где и — число ячеек i-го ранга, пересекающихся и с и, и с и. При достаточно большом i число и совпадает с числом ячеек, пересекающихся с границей и или и, т. е.~—->0 при i-*- оо. Отсюда Нт — =
lOtf '-*« юо'
J— те- ^(“+*)=ад+т
Пусть |е/?2 и u^U. Рассмотрим сетку, полученную в результате параллельного переноса с помощью вектора В сетки i-го ранга. Обозначим N[ и п!—число ячеек этой сетки, соответственно пересекающихся и содержащихся в множестве « + В- Тогда Ni=Nf и П(=п'. Согласно примеру а) функция Т4 конечно-аддитивна на' прямоугольниках со сторонами, параллельными векторам е^ и е2, и при параллельном переносе ячеек любого ранга значения на них этой функции не меняются; поэтому значение Т4 на многоугольнике, образованном ячейками исходной сети, содержащимися в и, равно значению Т4 на многоугольнике, образованном ячейками новой сетки, содержащимися в u-J-В- С учетом предложения 9в получаем Т4(и) = Т4(ы + 1)-
177
Свойстро Gs-инвариантности, вытекает из инвариантности относительно преобразований вида f <Л, 5)(х)ч±А «х-ЬЕ, где А е Ог. Одиако проверить инвариантность Т4 относительно ортогональных матриц — • не простая задача. В случае сетки, у которой и
s04=fcl, такая Ог-инвариантность будет доказана (см.- § 5, следствие 2 к предложению 14) с использованием принципиально нового понятия меры. А именно, мы докажем, что мера является Ог-инва-риантной функцией, которая на множестве многоугольников совпадает с функцией Т4.
б) Пусть фигура X измерима по Жордану и пусть i таково, что 7\(Х) —и Mi — многоугольник, который является
объединением ячеек i-ro ранга, целиком содержащихся в X. Пусть у таково, что s0 — Г4(Х) <и многоугольник мг является объединением ячеек /-го ранга, пересекающихся с X. Тогда выполняется
и T4(m2)-T4(m1) = So-^—so-j^r<e.
Наоборот, пусть многоугольники Uj и таковы, что Uj еХ ^м2 и Л («г) — Т4(М1) <е. Так как по пункту а) все многоугольники измеримы по Жордану, то T4(u2) = s*(m2) и T4(mi) = s.(ui). Следовательно, T4(ui)=is,(ui)^ s.(X) s (мг) = Т4(м2) и поэтому $*(Х) —$,(Х)<в. Так как последнее неравенство верно при всех е>0, то получаем: s*(X)='s,(X). Поэтому фигура X измерима по Жордану.
Замечание. Функцию Г4 можно было бы использовать в качестве конечио-аддитивной функции из предложения 4 а) и тем самым доказать независимость определения числа Т(м) от выбора разложения многоугольника на треугольники.
Аналогичным образом можно использовать функцию’ Т3.
§ 5. СРАВНЕНИЕ КОНСТРУКТИВНОГО
И АКСИОМАТИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛЕНИЙ МЕРЫ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕРЫ ПРОСТЕЙШИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ФИГУР
1. Измерение плоских криволинейных фигур. Теперь мы хотим определить такую процедуру измерения плоских фигур, которая была бы применима не только для многоугольников, но и для криволинейных фигур, по крайней мере таких, как круг, сектор, сегмент и т. п.
Необходимость и возможность такого измерения были осознаны очень давно. '
Аналогично функции площади Т конструктивно определим функцию М; на множестве йсех многоугольников она будет совпадать с
178
Т, т. е. Т — сужение М на U и М — продолжение Т с U на некоторое широкое семейство S' плоских фигур. По основным свойствам функция М будет похожа на функцию Т.
В этом параграфе условимся называть прямоугольником множество в /?2, определяемое одним из неравенств вида
а^.х^.Ь, a<ix<ib,.
a<x^b, а<х<Ь
и одним из неравенств вида
c^y^d, c^.y<d, c<y^d, c<y<d.
Ясно, что стороны всякого прямоугольника параллельны координатным осям. Прямоугольник может быть открытым или замкнутым или не открытым и не замкнутым множеством относительно обычной топологии в /?2. Комбинируя одно из неравенств первого типа с одним из неравенств второго типа, получаем 16 типов прямоугольников. Любой замкнутый прямоугольник является многоугольником.
Назовем элементарной фигурой (элементарным множеством) любую фигуру в R2, которая представима в виде объединения конечного числа прямоугольников. Обозначим t/j семейство всех элементарных фигур. Ясно, что замыкание и любой непустой элементарной фигуры и является многоугольником и множество (м\м) является объединением конечного числа отрезков. В этом смысле любая элементарная фигура — почти многоугольник.
Упражнение 16. .Докажите, что объединение, пересечение и разность двух элементарных фигур является элементарной фигурой? В частности, любая элементарная фигура — дизъюнктное объединение прямоугольников. •
Обозначим □„ фиксированный квадрат в плоскости R2 с вершинами в точках ( ~’ ( п) ’ Где п
Определение 7. а) Обозначим f функцию, которая прямоугольнику с вершинами ( , ( ^) • ( с) ’ ( </) сопоставляет
число (6—а) (d—c).
Внешней мерой в плоскости R2 назовем отображение вида
1 ц’: (Я2)-Я U{+ °о),
определяемое формулой:
р, (X) ть in 2J f(u„)|X^ J и„, ия — прямоугольники}.
179
Семейство прямоугольников (u„) и соответствующее множество U ип называется, покрытием исходной фигуры X. Бели в определении р.’ использовать какой-то один вид прямоугольников, например только замкнутые прямоугольники, то получится такая же функция ц.* (проверьте).
б) Фигуру (множество) X, содержащуюся в □„ прн некотором значении п, назовем измеримой по Лебегу (измеримой), если для любого положительного числа е найдется такая элементарная фигура «, что множество. Хди+*(Х\и) (J (и\Х) имеет внешнюю меру, меньшую е, т. е. ц.'(Хдм) <е.
Здесь X А У^±(Х\У) U (У\Х) — симметрическая разность.
в) Фигуру (множество) X в R2 назовем измеримой, если для любого числа фигура измерима. Семейство всех измеримых фигур (измеримых множеств) обозначим S.
Объединение семейства (Ха) попарно не пересекающихся множеств будем обозначать LJ Ха. Такое объединение называется дизъюнктным. “
Упражнение 17. Докажите, что: а) Если X — любая прямая, то ц.*(Х)=0; если X — любая полоса ширины е, где ее/?>0, и бесконечной длины, то ц*(Х)= + оо.
б) Любая элементарная фигура и любое объединение счетного числа прямоугольников являются измеримым множеством.
в) Если фигура X лежит в квадратах Оп и то измеримость. X, как части □«, эквивалентна измеримости X, как части □ т. Поэтому в определении 76) можно использовать любой квадрат □ содержащий X. Для любой ограниченной фигуры найдется такой квадрат, поэтому для нее определение 76) не зависит от выбора содержащего ее квадрата.
г) Если фигура X, содержащаяся в квадрате измерима, то и пересечение X Q Пт также измеримо, где п, tn — любые натуральные числа.
д) Ограниченная фигура измерима в смысле определения 76) в том и только том случае, если она измерима в смысле опреде-ленияТв); поэтому для ограниченных фигур определения 76) и 7в) совпадают; следовательно, определение 7в) является, обобщением определения 76) со случая ограниченных фигур на случай произвольных фигур.
Теорема 4. Внешняя мера любого прямоугольника равна произведению длин его сторон.
[> Пусть и — прямоугольник. Он покрывает сам себя и поэтому p’(U)<f(U). Допустим,-что р.*(ы)<7 (м). Тогда существует покрытие
(ип) прямоугольника и, для которого S f(u„) < f(u).
в I
Немного увеличив прямоугольники мп, можйо заменить их открытыми прямоугольниками м„, для которых S f(u'n) <f(u), а немного умень-- шив прямоугольник и, можно заменить его замкнутом чрямо-^
180
угольником и', для которого S /Хи")<7 (“’)• Из открытого покрытия п
{w„}, компакта и', выберем конечное подпокрытие. Еще уменьшив, заменим его на конечное дизъюнктное покрытие (иД содержащееся в и'. Итак,
т т
= И S /(о*) <[(«').
Через все стороны всех прямоугольников Vk проведем прямые. Получится сетка в и.
Семейство всех прямоугольников, определяемое сеткой, обозначим {&е). Тогда
U vi=u'. и S f(u£) < f(u'’},
так как каждое vt разобьется на конечное число прямоугольников, для которых сумма значений f, как проверяется прямым элементарным подсчетом, равна С другой стороны, тем же элементарным подсчетом получим S f(v'e) — f(u') — противоречие.
е
Теорема 5. а) Если X s U Хп, где X и Хп — произвольное конечное или счетное семейство множеств в Кг, то
р’ W < f р‘ (Х„). (*)
Если сумма в правой части имеет хотя бы одно слагаемое, равное + оо, то она по определению равна + °о. Свойство (>|с) внешней меры р* называется счетной полуаддитивностью.
б) Если измеримые множества X . и Х> содержатся в квадрате □ „ и не пересекаются, то р' (XHJ Х>) = р’ (X,) + р’ (ЛСг)- Это свойство р* называется конечной аддитивностью.
в) Для любых множеств X и Y, если X^Y, то р’ (X) ^р’(К). Это свойство р’ называется монотонностью.
г) Для любого множества X
р (Х) = lim p’fXnOJ.
й— ле
|> а) По определению р* для каждого множества Хп найдется такое его покрытие прямоугольниками {u„J, что
XnsUu„, и S рХХр’М+у-
тл& e— любое положительное число. Тогда X е U мя, и р*(Х)^ ’ л. k
^2 S р*(мЯ1) 2 р* (Хп)4- е. В силу произвольности е получаем тре-
л k 9 п
буемое неравенство.
б) По пункту а) достаточно доказать неравенство: >
181
ц’ (ХО + н’^Сн’^иХг).
Для любого е>-0 выберем такие элементарные фигуры У1 и Уг, что р*(Х|ДУ1)<е и р*(Хг Д Уг) <в. Обозначим X=Xi (J Хг и У = У1U Уг- Здесь У — элементарная фигура, так как У1 и Уг таковы. Так какХ1ПХг=0 и У1ПУ2^(Х1 Д У,)и(ХгД У2), то р.*(У1 П Уг) *£2е. Для дальнейшего доказательства нужна следующая
Лемма 5. Для любых фигур X и Y выполняется
^и’(ХдУ).
[> Пусть ц*(Х)^ц*(У) (в противном случае поменяем местами X и У). Так как Х^(Уи(ХДУ)), то по пункту а) получаем р*(Х)^ ^ц.*(У)-Ь|1*(-КДЦ что Дает искомое неравенство.
Продолжим доказательство и по лемме 5 получаем |ц.*(Х) —ц*(У)| ig ц.*(Х Д У)^2е, где последнее неравенство следует из включения
ХД У=(Х. Д УОи&ДУг).
Аналогичным образом при 1=1, 2 получаем
| р’(У<) - h’W । н’(Х А К) 8 и, следовательно,
| ИФ(У>) + н’(^) > (ц’(Х>) + М))1 28.
Для продолжения доказательства нужна еще одна
ЛеМма 6. Функция р* на множестве всех элементарных фигур Ui обладает свойством аддитивности:
Vи, vg= I7i (p*(uU ®) 4-Ц*(«Пр) = И*(«) +и’(®))-
[> Доказательство непосредственно вытекает из того, что значение р* на элементарной фигуре равно сумме значений функции f, т. е. сумме обычных площадей дизъюнктных прямоугольников, составляющих эту фигуру (проверьте это подробно).
Теперь по лемме 6 получаем
р-(У) = р*(У, и У2) = р’(У>) 4- н’(У2) - п У2)
И окончательно получаем, что
|р7Х)-(|1’(Х1) + (1’(Хг))|<б8. ч
Следовательно, р‘(Х) p’(Xi) + р‘(Хг).
в) Так как любое покрытие множества У является и покрытием множества X, то свойство монотонности непосредственно следует из определения верхней меры.
г) Так как ХП □*=ХП □*+! и XROt^X для любого /геАГ, то по свойству монотонности получаем: числовая последовательность p‘(XRD*) возрастает и ограничена сверху р*(Х).
Поэтому предел, входящий в проверяемое равенство, существует; обозначим его t, и следует только показать, что Выберем
такие покрытия У*, что ХПП*^У* и <н’(Х R п*)4-е,
182
где е — положительное число. Можно считать, . что У*^О* (иначе заменим Yk на У*П □ *), и последовательность {Ул} возрастает. Тогда
ХеуУ*=уУк где У*ч=ь(У*\У*-1), yf^y,.
По пункту а) теоремы
оо т
р’(Х)С 2 lim 2 н’(П)= Пт (^(У,) + (р*(У2)-
джг) гл-*оо £=«1 т-*-со
- Ц (УО) + - + (Н (Ут) - Н(Ут-О)) =
= lim р.*(Ут)г^ lim (р.‘(ХП □„))-(-е), m-^ao т-^оо
где мы использовали пункт б) этой теоремы. Пбэтому — е
и ц*(Я)
Замечание. Термины «фигура» и «подмножество плоскости /?2» означают (формально говоря) одно и то же. В геометрическом контексте, в частности в связи с темой многоугольников, чате употребляют первый термин; в связи с мерой чаще употребляют второй термин. Поэтому в дальнейшем будем говорить о множествах, имея в виду подмножества в R2 (фигуры).
Семейство множеств называется кольцом множеств (кольцом), если оно замкнуто относительно операций объединения и разности. Любое кольцо множеств замкнуто относительно операций пересечения и симметрической разности. '
По упражнению 16 семейство всех элементарных фигур является кольцом множеств.
Семейство множеств называется о-кольцом, если оно — кольцо множеств, которое замкнуто относительно операции счетного объединения. Из соотношения ПХп = U^n\(U(UXi)VGi) вытекает, что п п п п
любое о-кольцо замкнуто относительно операции счетного пересечения.
Следующее определение является основным в этом параграфе^ Определение 8. Сужение функции р' иа семейство S’ всех измеримых множеств называется мерой Лебега и обозначается М, т. е. для всех X из S
М(Х)=^р’(Х).
Ясно, что М: S-*- *>oU{+ оо}.
Теорема 6. а) Семейство S всех измеримых множеств является 0-КОЛЬЦОМ.
6) Мера Лебега М обладает свойством счетной аддитивности:
VX €= S V|X.) <==Я (X = JJ (Хп^М(Х) = 2 t М (Хп)).
Последнее равенство понимается так: если одна нз его частей равна -J-оо, то и другая часть равна + °°; если одна из его частей равна числу, то и другая часть равна тому же числу.
[> Отметим следующее свойство операции симметрической разности
183
ХдУ двух множеств X и У: каждое из трех множеств (X. и Х2) Д (У1 и УД (X, п х2) Д (У1 п Уб), (Х|\Х2) д (У1 \У2) содержится в множестве (Xi Д У|)11(Х2 Л У2). Доказательство этих включений проводится обычным теоретико-множественным рассуждением.
а) Сначала проверим, что S кольцо. Пусть Х| и Х2 — измеримые множества, содержащиеся в каком-то квадрате При .любом фиксированном е>0 найдутся элементарные множества У| и У2, для которых
И’(Х,ДУ,)<-|.
Тогда У1\У2 также элементарное множество, и по свойству полуаддитивности функции ц* получаем
ц’((Х1\Х2)Д(У|\У2))Сн’(Х| Д У0 + 1ЛХ2 Д У2)<е.
Следовательно, множество Х|\Х2 измеримо.
Если Х| и Х2 произвольные измеримые множества, то, используя равенство (Х,\Х2) П Пп = (Х| Q □n)\(X2Q □ „), получим, что множество Xi\X2 измеримо. Аналогично проверяется замкнутость двух множеств семейства S относительно операции объединения. Итак, семейство S является кольцом.
Докажем часть пункта б) данной теоремы, а именно — конечную аддитивность функции М, т. е. для множеств Хь X2e.Z проверим соотношение A4(Xj UX2) = Af(Xi) + Af(X2). При этом мы используем, что для ограниченных множеств X, и Х2 это соотношение уже доказано в предыдущей теореме 5 б). По теореме 5 получаем М(ХиУ>=ИтМ((ХиУ)П □я)=НтМ((ХП П»)и(УП □»)) =
= lim(M(Xn □„)4-Af(yn □»)) = 11тМ(ХП □»)+ИтМ(УП □») =
= Л4(Х) + М(У).
Теперь мы можем завершить доказательство пункта а). Пусть даны произвольные измеримые множества Хь Х2,... . Докажем измери-
. мость множества Хч=»= U^n. Для этого достаточно из измеримости множеств (Х„п Пт) вывести измеримость множества ХПОт = = и(ХпППт). Поэтому будем исходить сразу из предположения, что" все множества Х„ лежат в некотором E)OT. Представим X в
виде объединения U Х'п попарно не пересекающихся измеримых, п = 1
множеств Х^ХП\'j 'Xt.Тогда S M(Xk) = M(li ХЬ}=М( U хА=
= < р.*(Х) р*(Пга)< + оо и, следовательно, ряд
S М(Х'к) сходится. Для любого е > 0 выберем натуральное число гц, ДЛЯ k» 1
которого 2 М(Хл)<45 Т. ё. р.*( и ХЛ)<4-. Затем выберем
' п~т+\ * п=т+\ Л
184
элементарное множество У, для которого Q Xj) д у) <~ Так как ( U Ji) Л Г= (( .U,«) AT) lj( „5 ',«).
то |1’(ХД У)<е. Поэтому множество X измеримо. -
б) Наконец, докажем счетную аддитивность меры М.
Пусть измеримые множества Х„, где n^N, попарно не пересеваются. По пункту а) этой теоремы множество UXn измеримо.
п
Тогда по конечной аддитивности и монотонности функции М получаем
jj (хя) = 2 (М(х„) пи (х„).
Переходя к пределу при ги->-оо, получаем
f М(ХП)СМ( и Хп) .
С другой стороны, по доказанной счетной полуаддитивностн функции ц получаем
U Х„) = Л U Хя) < £ ц(Х„)= f М(ХЯ).
Следовательно, м( U Х„) = 2 Af(X„).
Теорема 7. а) Любой многоугольник является измеримым множеством, т. е. U .
б) Для любого треугольника А = (а, Ь, с) выполняется
М(Л)=4-| del( “ | .
в) Пусть и — многоугольник и {А|, ..., Ая)— его разложение на треугольники. Тогда число Т(и)+±Т(&\) + ...4-Т(Ая) не зависит от выбора разложения и на треугольники и, следовательно, определяется конечно-аддитивная функция Т:U-»-R >0.
г) Функция Т — сужение меры М на семейство V, т. е. Т = — М\ U и М— продолжение Т с семейства U на семейство S. |> а) Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами длины ао и Ьо, параллельными координатным осям; для определенности допустим, что он расположен, как показано на рисунке 73 а). Разделим один из его катетов, например параллельный оси ординат, на k равных частей, где £еАЛ Проведем через точки деления прямые, параллельные оси абсцисс, и образуем семейство нз k прямоугольников, покрывающее А. Обозначим это покрытие У*. Тогда Yk А А содержится в объединении У£ заштрихованных
185
иа этом рисунке прямоугольников, сумма их верхних мер меньше, чем (Ьо во\ । । / До\ .
\"л—Г/ ’ т-е- она меньше, чем —— •«, которое
k слагаемых
стремится к 0 при k-^-oo. Последнее означает, что треугольник Д измерим.
Если Д произвольный треугольник, то разложим его на п прямоугольных треугольников со сторонами, параллельными координатным осям, и еще один треугольник Дп+| (на рисунке 73, б показано такое разложение для н=4). Пусть переменная п пробегает только четные натуральные числа. Образуем прямоугольник ип с диагональю [а, &]. Ясно, что Дп+i и произведение длин сторон прямоугольника ип стремится к нулю при п-+-<х>. Для каждого из первых п прямоугольных треугольников Д/ выберем такое покрытие У/ прямоугольниками, которое описано выше. Как и выше, У/\Д/ содержится в конечном объединении У,- соответствующих прямоугольников. Тогда-Д Д, У<) U Ап+1 и ( Д (У,) А Д £=( Д ((У/\А<))и ип «=( Д (U и„.
Сумма внешних мер всех прямоугольников из последнего объединения сколь угодно мала. Поэтому треугольник Д измерим.
По теореме 6 а) получаем, что любой многоугольник, как ' объединение треугольников, является измеримым ^множеством.
б) Рассмотрим функцию 7’0(Д)=а=^-^-| det^ * Д | , определенную на множестве Uo всех треугольников. Значение этой функции То на прямоугольном треугольнике Д, очевидно, равно --"°. Докажем,-что и р.‘(Д) = Л1(Д) = ао^* &° .
Рассмотрим покрытие данного треугольника Д прямоугольниками из пункта а) этой теоремы. Тогда
И-(Д) s А. А+h.. ... + £. »&_
186
=^1 +2+... + Л) = ±±±‘.при оо.
Рассмотрим объединение У£ ровно k прямоугольников, вписанных в А (они показаны горизонтальной штриховкой на рис. 80). Тогда
• И’(У^) = fe°-<fe-|)-Q°=-^L(14-2+...+fe-l) =
= k_^ k1 2 2
Поэтому и’(Д)>-52д51. Итак, М(Д) = р’(Д) = -^=Т0(Д).
Функции То и М, очевидно, инвариантны относительно параллельных переносов. Поэтому значения этих функций совпадают для любого прямоугольного треугольника со сторонами, параллельными координатным осям.
Пусть Д произвольный треугольник. «Разложим» его на прямоугольные треугольники, как показано на рисунке 736). Точнее, Д = (Д| Н-Дг-НДз + Дч)) —Дз- Для каждого из треугольников Д(, Д2, Дз + Дч, Дч значения То и М равны. По теореме 6 б) функция М аддитивна, т.е. Л1(Д)=Л4(Д|)4-Л1(Д2)4-ЛГ(Дз4-Дч)—Л4(Дч), а по предложению 4в) для данного конкретного разложения треугольника Д функция То аддитивна, т.е. То(Д| + Д2) = То(Д|) + То(Д2), То(Лз +Дч)= Т0(Дз) -+-То(Дч), То(Д) = Т0(Д| + Дг)-Ь То(Дз).
Итак, Т0(Д) = М(Д).
в) По предложению 4б)~ число Т(ы) не зависит от выбора разложения многоугольника и на треугольники, если существует хотя бы одна конечно-аддитивная функция на множестве U всех многоугольников, которая совпадает с То на множестве Uo всех треугольников. Но такая функция нами построена! Ею является функция М f U.
г) Функции Т и М на множестве Uo всех треугольников совпадают, так как на Uo совпадают Т и То. Обе функции Т й М ад- Л" дитивны (однако Т конечно-аддитивна, а М счетно-аддитивна). Следовательно, они совпадают на множестве всех многоугольников.
Следствие 1. Верхнюю меру ц* можно определить с помощью функции площади Т и семейства U всех многоугольников. А именно:
г
|Г (X) = inf[ S Т (u„) I. X и ия, иа е .
[> Обозначим |Л|(Х) правую часть этого равенства., В определении |Г можно использовать только замкнутые прямоугольники. Поэтому Ц|(Х)^р*(Х). Для любого покрытия многоугольниками по счетной полуаддитивности верхней меры ц получаем
187
n’(«n)=f T(u„\ П=* 1 rt = 1
т.е. h’WCMX).
Следствие 2. Верхняя мера ц* является Gs-инвариантной функцией.
|> Пусть fAi f:/?2-»-/?2 эквиаффннное преобразование, т. е. fA ?(х) = где А е Li и |е/?2. Если X покрывается семейством многоугольников {«„}, то f(X) покрывается семейством многоугольников {f(u„)} и f ТЦ(и„)).
п = I ,|=|
Отсюда непосредственно вытекает, что p,’(X) = p*(f(X)).
Следствие 3. а) Семейство 3? измеримых множеств замкнуто относительно эквиаффинных преобразований.
б) Мера М является G,-инвариантной функцией.
[> а) Если и f:R2-^R2 эквиаффинное преобразование, т.е. f (х) =А-x + l, где Ле12 и то так как соотноше-
ние ц*(Х Л У) < е (где У — элементарная фигура) влечет соотношение p*(f(X) ДЦУ))<е. Множество /(У) является многоугольником (но не обязательно элементарным множеством). Поэтому /(У) еУ, т. е. найдется элементарное множество У(, для которого р’(ЦУ) Л У|)<е. Значит, |i*(f(X) Л У)<е. Здесь полезно разобрать
Упражнение 18. Докажите, что пара pj>, где р(Х,
У) = р*(ХдУ), метрическое пространство; Х~ Уч±ц (ХДУ) — 0.
б) Это утверждение — частный случай следствия 2.
Замечание. Итак, измерение М : З’-^R U (°°)> действительно, похоже на измерение Т: U-^-R>0; во-первых, измерение М обладает двумя главными свойствами измерения Т: оно аддитивно и Gj-инвариантио; во-вторых, на многоугольниках значения М совпадают со значениями Т. В то же время определяются эти измерения весьма по-разному.
Следствие 4. а) Все открытые и замкнутые множества измеримы.
б) Для любого непустого открытого множества 0 выполняется М(/?)>0.
[> а) Любое открытое в топологии R2 множество явл'яется объединением счетного числа прямоугольников со сторонами, параллельными координатным осям. По теореме 6а) получаем проверяемое утверждение.
б) Любое непустое открытое в R2 множество в содержит невырожденный прямоугольник и со сторонами, параллельными осям. По свойству монотонности меры получаем A1(^)^Af(«)= = Т(м)>0.
Следствие 5. Если X, произвольное вещественное число из R >0 и X — любое измеримое множество с непустой внутренностью X, то существует функция ц: S’-^-R >0 U (°° }, обладающая свойствами:
188
1) счетной аддитивности,
2) Gs-инвариантности,
3) И(Х) = ?..
[> Так как М то можно определить функцию
Ясно, что ц.:S’-+R>оU{°о) и ц обладает свойствами 1), 2)..Кроме того, p(X)=7^M(X) = X.
Следствие 6. Если ц — счетно-аддитивная функция вида ц: S-+R >0 U (°°)> которая на множестве U\ всех прямоугольников равна произведению длин сторон многоугольников, то ц=Л4. (Это своеобразная форма для утверждения о единственности функции М.) > Если то существует элементарное множество У, для
которого ц.’(Хд У)<е. По лемме 5 выполняется |Л1(Х) —/И(У)| <е. Повторяя доказательство леммы 5, легко показать, что |ц(Х)— — ц.(У)| ^р(ХдУ), и по счетной полуадднтивности ц (вытекающей из ее о-аддитивности), получаем ц(Х Л У) «£ц.*(Х Л У) <е. По аддитивности ц имеем ц(У) = Л!(У), т. е. |Л4(Х)—ц,(Х)| ^2е.
Следствие 7. Мера М обладает свойством гомотетичности: VXe/?>0VX^y (М(Х) = Х2-М(Ял(Х))), где Н^х^Х-х.
[> Доказательство сразу вытекает из гомотетичности площади Т:
М(Нх(Х)) = inff f Т(Н>.(ипУ)] = inf( X2 • £ Т(й„)\ = К2 М(Х). ' п = I ' ' п = I '
Обозначим © наименьшее о-кольцо, содержащее все открытые в топологии R2 множества. Такое И существует и единственно. Его легко образовать обычным в таких случаях способом: пусть (/?а) семейство всех о-колец, содержащих семейство У всех открытых множеств. Это семейство не пусто, так как содержит-, например, У (Я2)- Поэтому П Ла является семейством подмножеств в R2. Пересечение любых а-колец, содержащих У, является а-кольцом, содержащим У, которое содержится в любом о-кольце, содержащем У. Поэтому ®=ПЛа; в частности, семейство содержит У, поэтому ®£У.
а-Кольцо ® содержит, кроме открытых множеств, все замкнутые множества (как/?2\^), все одноэлементные множества, все отрезки, все прямые и т. д. В частности, U s®.
Обозначим сужение функции М на семейство ®, т. е.
Измерение (функция) ц.^ называется борелевской мерой в R2.
Множества, принадлежащие п-кольцу К, называются борелев-скими множествами.
Обозначим /?'>0ч=ь/?>0U(оо).
Следствие 8. Пусть X, произвольное число из R>0 и w произвольное борелевское множество с непустой внутренностью w.
189
Функция p(X)^t
Ня-О»)
Р?(X) обладает
свойствами:
. 1) счетной аддитивности,
2) Gs-инвариантности,
3) p(w) = L
[> Так как p.^(w)>0, то определение функции р корректно.
Свойство 1) непосредственно вытекает из о-аддитивности функции М, свойство 3) очевидно. Проверим свойство 2). Пусть f:/?2-»J?2 эквиаффинное преобразование и seB. Если f(iw).E©, то из Gs-инвариантности функции М непосредственно вытекает
рг(ам) = р s-(f(ay)).
Но почему Если /? есть ©-кольцо множеств, содержа-
щее Т, то f (/?) есть о-кольцо множеств, содержащее и любое a-кольцо /?|, содержащее представимо в виде f(/?), для некоторого a-кольца R, содержащего (так как f гомеоморфизм). Множество w принадлежит всем ©-кольцам, содержащим поэтому f(w) принадлежит всем ©-кольцам, содержащим F, т. е. f(w)e».
Итак,
[/ с S с 7 с ^(/?2)
Т р^ М
R >о R >0 Я>о ₽>0
Три построенйые нами измерения Т, р^ и М являются последовательными продолжениями друг друга на все более широкие классы множеств (фигур). Легко видеть, что и можно доказать,
что и j?=/=^(/?2).
Знак «?» указывает на естественно возникающий вопрос: нельзя ли определить такое широкое измерение f, которое пригодно сразу для всех фигур, т.е. DП) = &(J?2), и f, обладающее основными свойствами измерений Т, рг и ,М; а именно, свойствами:
1) аддитивности (конечной или счетной),
2) Gs-инвариантности.
Если f(‘)=0 или f(-) = 4-oo, то D(f)=^(J?2) и эти свойства выполняются. Но такие измерения не содержательны. Решение этого вопроса может зависеть от того, какой вид аддитивности имеется в виду в свойстве 1): конечная аддитивность (характерная для Т) или счетная аддитивность (характерная для М и р^). Не входя в обсуждение этих двух случаев, условимся свойство 1) понимать как счетную аддитивйость, которая отражает счетную аддитивность измерение М, давшего жизнь измерениям Г и р7. Отрицательный ответ на вопрос о существовании такого широкого измерения содержится в следующем п. 2.
Замечание. 1) Задача, поставленная в начале этого пункта, выполнена: определено измерение р* (которое в сущности совпадает; с М и р^), весьма похожее на измерение Т, которое, однако, применимо для всех обычных криволинейных фигур. Возии-
190
кает вопрос', чему численно равен результат этого измерения для круга, сектора, сегмента и т.п. Оказывается, что численно получаются те обычные ответы, которые .хорошо известны из школы. Это будет доказано ниже в пункте 5 этого параграфа; к нему можно перейти прямо сейчас, пропустив пункты 2—4.
2) Определения и доказательства этого пункта и, прежде всего, основополагающее определение 7, используют последовательность квадратов Убедитесь, что для любой другой последовательности прямоугольников ип, если Mnsun+i, U«п = R2, все результаты п
этого пункта сохраняются. В частности, получается то же самое семейство измеримых множеств S и те же функции ц.’, М,
~ 2. Неизмеримые множества. Итак, решим вопрос, поставленный -в' конце предыдущего Пункта: раз уж мы хотим продолжить функцию площади Т на более широкую область определения (как можно более широкую область определения), то нельзя ли ее продолжить на семейство всех фигур t?(R2) с сохранением ее основных свойств? По-видимому, был исторический момент, когда это казалось возможным. Потом было обнаружено, что не существует определенной на семействе всех фигур функции f (кроме тождественно равной нулю или 4-°о),. которая счетно-аддитивна и Gs-инвариантна (или хотя бы инвариантна относительно «маленьких» подгрупп группы Gs)- Это соответствует интуитивному ощущению, что нельзя предложить содержательный процесс измерения, применимый для совершенно произвольной фигуры. Условия аддйтивности и инвариантности измерения f представляются обязательными, так как они, по-видимому, соответствуют экспериментам, связанным с реальными измерениями, и вообще представляются основой всякого процесса измерения.
Утверждение о несуществовании такой функции f вытекает из следующего примера Витали. Обычно его рассматривают в курсе анализа—III для случая множеств, лежащих на прямой R. Поскольку мы занимаемся изучением множеств (фигур) в плоскости R2, то рассмотрим двумерный вариант этого примера.
__ Пусть D замкнутый единичный круг в R2 с центром в точке О единичного радиуса, т. е. D^((x, у) | х’+у2 1}. Рассмотрим в мно-
жестве следующее отношение эквивалентности: точки а и b эквивалентны, если они получаются друг из друга поворотом на угол,”главная мера которого (по основанию 2л) рациональна, т.е.
а~6^Эг€=([0, 2л[Пр)(Л,(6) = а).
где Ar =(~j~ ~• Легко проверить, что это действительно отношение эквивалентности. Тем самым множество разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности. Выберем в каждом из этих классов эквивалентности по одной, какой угодно точке, и множество всех этих и только этих точек обозначим X,
На рисунке 74 основанием «столбика» является точка [а] из фактор-множества D/~, «столб_ик» над этой точкой совпадает с
191
множеством [а]. Если <p:D-*-D/~ каноническое.отображение, то столбик над [а] совпадает с множеством ф~'([а]). Столбики попарно не пересекаются. Bz каждом столбике мы выбрали по одной точке, и ати точки образуют множество X. Докажем, что
Рис. 74 иЛ(Х) = Я\{б)
г <= ([0, 2л[П Q).
Действительно, любая точка а входит в какой-то класс эквивалентности. По определению множества X в этом классе эквивалентности найдется кцкой-то элемент ateX. Поэтому а~а' и а=Аг-а' при некотором ге[0, 2л[ПР> т. е. аеА,(Х).
Докажем, что
- Лг,(Х)ПДДХ)=0
при Г|5*=т2. Действительно, предположим, что а е {А Г1(Х)) П (Л Г,(Х)). Получаем а=А r. а' — А г, •а", где а' и а" е X. Пусть Г| >г2. Тогда а"=А~1 оАг,а'=АГ1~,га', т. е. а" ~а', что противоречит определению множества X.
Воспользуемся инвариантностью функции f относительно поворотов, т. е. частным случаем Gs-инвариантности. Тогда значения функции f на всех множествах вида АГ(Х) одинаковы и равны f(X). Поэтому проколотый круг D\(6) представляется в виде объединения счетного числа (так как Q счетно) попарно непересекающихся множёетв ДГ(Х), для которых значения функции f равны между собой и равны f(X). По свойству счетной аддитивности получаем:
f(0\|6))=2 КАГ(Х)).
r^Q
Следовательно, f(Z?\{0)) равно -|-оо, если f(X)>0, и равно О, если f(X) = O.
Кажется в равной мере странным, чтобы результат измерения «проколотого круга» D\(0) равнялся нулю или бесконечности. Допустим f(D\(0)) = 0. Тогда на любом прямоугольнике, содержащемся в £>\(0}, значение функции f равно нулю. По инвариантности f относительно группы параллельных переносов (₽2)+, т. е. также по весьма частному случаю Gs-ннвариантности, й по счетной аддитивности значения функции f на любом прямоугольнике равны 0. Отсюда значение функции f на любом открытом множестве и на любом многоугольнике равно нулю. (По свойству внешней регулярности, которое мы докажем в теореме 9, отсюда вытекает, что f тождественно равна 0.) Допустим, f (D\(0)) = °о. -Тогда на любом прямоугольнике, содержащем D, значение функции f равно оо. По инвариантности функции f относительно группы (R2)+ и свойству аддитивности значения функции f на всех прямоугольниках и, следовательно, на всех открытых множествах и всех многоугольниках равны оо. (По тому же свойству внешней регулярности
192
ютсюда вытекает, что f тождественно равна оо). Итак, хотя мы строго не доказали, что fs^O или f = <х> (это сразу следует из теоремы 9а), получена следующая более слабая
г. Теорема 8. Не существует функции (R2)-^R'^0, обладающей свойствами счетной аддитивности и G.-инвариантности, кото-рая хотя бы на одном многоугольнике (или на одном открытом множестве) имела значение, не равное 0 и -|- оо.
Эту теорему также можно доказать, используя вместо инвариантности функции f относительно поворотов, ее инвариантность относи-'тельно «параллельных переносов». Точнее, вместо £>\Дб) рассмотрим квадрат [О, 1[Х[0, 1] и вместо поворотов Аг рассмотрим по существу
параллельные переносы:
/ х ( x+zY если х + г< 1, о ./ А\ о /
'У' (*)’ если х-*гг~^ 1,
где г<=([0, 1[Л Q)-
Если положить (хфу = 2)ч±(е2п‘х • е2пф = е2я'г), где х, у, ze[0, 1[, то легко проверить, что множество [0, 1[ является группой относи-
тельно бинарной операции ф и =(Х®0‘
Упражнение 19. Допустим, существует функция f, удовлетворяющая условиям теоремы 8. Докажите, что f([0, 1[Х[0, 1]) равно О или -J-оо. Отсюда получите еще Одно доказательство ^теоремы 8.
3. Аксиоматическое определение меры. Теперь мы хотим перейти от конструктивного определения измерения М (аналогичного конструктивному определению измерения Т) к аксиоматическому определению измерения М (аналогичного аксиоматическому определению в § 3 измерения Т как функции площади). Главная трудность состоит в том, что определение М существенно использует прямоугольники, определение которых связано с R2, точнее, с декартовой структурой в /?2. Если рассмотреть произвольную плоскость, например векторную, то до тех пор, пока в ней ие фиксирован базис, нельзя говорить о прямоугольниках и их площади. В пункте 1 мы выделили основные свойства функции М: это счетная аддитивность и ^-инвариантность. Правда, мы отмечали, что многие свойства функции М вытекают из ее инвариантности относительно маленьких подгрупп группы Gs. «Самой маленькой» из, таких подгрупп является группа параллельных переносов (/?2)+. Оказывается, что из свойств счетной аддитивности и (Я2)"1"-инвариантности уже вытекает свойство Gs-инвариантности! Поэтому в аксиоматическом определении функции М естественно Сформулировать аксиомы в их более слабой форме, как поступают, например, при аксиоматизации элементарной геометрии.
Напомним, что семейство всех борелевских множеств в плоскости /?2 обозначается © — оно определяется с использованием только топологии в R2. Мы приходим к следующему определению.
7 Заказ 227 . • 193
Определение 9, Борелевской мерой (короче — мерой) называется любая функция вида со свойствами:
1) счетной аддитивности: если то
4 U =f p.(tt’n).
\ И = I / л I
2) (R )+-инвариантности: для любых g/е® и £е=/?2 выполняется p.(w) = р,
Замечание. 1) Согласно определения 9 мерами являются функции, тождественно рав.ные нулю или бесконечности. С точки зрения реальных Измерений они малоинтересны. Условимся в дальнейшем называть борелевской мерой (мерой) только функции, удовлетворяющие определению 9 и отличные от двух упомянутых функций. В этом смысле меры также существуют: любая функция вида с-р.^-), где с постоянная из7?>0, является мерой.
2) Почему в определении 9 в качестве области определения D(p) выбирается о-кольцо, содержащее топологию 'Т в /?2? В случае измерения М было доказано, что D(M) есть о-кольцо, содержащее У. . Второй аргумент: так как конечные объединения и конечные пересечения многоугольников являются снова многоугольниками, то для получения даже простейших «криволинейных» фигур из «прямолинейных» фигур приходится рассматривать операции счетного объединения и счетного пересечения. Например, замкнутый круг D получается как пересечение счетного числа «-угольников, описанных около D при и, стремящемся к бесконечности, а открытый круг-/) получается как объединение счетного числа и-угоЛьников, вписанных в него. Допуская операции счетного объединения и счетного пересечения, естественно потребовать замкнутость Л(ц) относительно них, т. е. потребовать, чтобы Л(ц) было о-кольцом. С другой стороны, все элементарные фигуры (после вычитания их границы, которая не влияет на измерение) являются открытыми множествами, а любое открытое множество является счетным дизъюнктным объединением прямоугольников; поэтому У включается в D(p). Мы приходим к тому, что Л(ц) есть о-кольцо, содержащее У, и нет причин считать, что D(p) шире наименьшего о-кольца, содержащего У. Итак, D(p) = ®.
Почему так выбрана область значений /?(р)? Так как в D(p) входят пустое множество, все прямоугольники и вся плоскость /с и мы ожидаем, что результаты их измерения будут соответственно равны 0, любому строго положительному числу и -|-оо, то все элементы из /?>0 будут результатами некоторых измерений. *
3) Определение 9 без всяких изменений переносится на любую топологическую группу вместо топологической группы (J?2)+-.
Цель оставшейся части этого пункта — вывести основные свойства произвольной борелевской меры из ее аксиоматического определения 9.
Упражнение 20. Докажите, что: а) Всякое открытое в R2 множестве представимо в виде счетного объединения возрастающей последовательности компактных множеств.
194
б) Всякое замкнутое в R2 множество представимо в виде счетного пересечения убывающей последовательности открытых множеств. Если F компакт, то эту последовательность можно начать с- ограниченного множества. Напомним, что возрастающая последовательность множеств определяется как такая, что Х„сХ„+1, VnsiV, а убывающая — как такая, что Xn3Xn+i, Чп<=Ы.
в) Семейство борелевских множеств можно определить как наименьшее о-кольцо множеств, содержащее семейство С всех компактов.
Предложение 10. Семейство борелевских множеств совпадает с наименьшим семейством множеств, содержащим все компакты и замкнутым относительно двух операций:, счетного объединения и счетного пересечения.
[> Второе из этих семейств временно обозначим В'. Оно содержит все открытые множества. Так как © содержит семейство С всех компактов и замкнуто относительно этих операций, то В' SS- Проверим, что В' замкнуто относительно операции дополнения 1 . После этого получим, что семейство В' замкнуто относительно операции разности \ так, как Х\У=ХП~]У, и, значит. В' есть о-кольцо, содержащее У, т. е. и, следовательно, И = В'. Итак, нужно
только проверить, что семейство В' замкнуто относительно операции дополнения-] .
'' Рассмотрим семейство B"^{w бВ'П w еВ']. Ясно, что В" ^В'. Любой компакт с содержится в В", так как*] с — открытое множество-
Если {&у„}^В", -то множества J w„ и (] wn принадлежат В", так п = 1 «= I
как] wn е В'; например, в первом случаев U мм = П ( ~\wn)^B'.
Так как В' наименьшее семейство с данными свойствами, то B'sB", что требовалось доказать.
Упражнение 21. . Проверьте, что следующие множества борелевские: а) множества точек плоскости, у которых соответственно обе координаты рациональны, обе иррациональны, одна (первая) — рациональна, а другая (вторая) — иррациональна;
- б) окружность, любая дуга окружности, эллипс, синусоида и их дуги и другие обычные кривые из курса анализа.
Нумерация свойств в следующем предложении продолжает их нумерацию из определения 9.
Предложение 11. Пусть wn, w — произвольные борелевские множества. Любая мера р- обладает следующими свой-
ствами:
3) М0) =0,
если Wi то р (w) = р (wi) + р (w\wi); кроме того, выполняется p(wi U W2) + p(w, f] w2) = p(wj) 4- p(w2);
4) «монотонность»: если Wi ew2, то p(wi) p(w2);
5) «непрерывность снизу»: если — возрастающая
последовательность множеств, то
I 195
Щ и W„)= lim
6) «непрерывность сверху»: если и>\ ЗШгЗ... — убывающая последовательность множеств и p(u»i) < + оо, то
и( П ®«) = Hm p(wn);
7) «счетная полуаддитивность»: если ws.-U им, то
Л=1
|Л(И»Х S ii(wn);
п=* 1
8) «внутренняя регулярность для -открытых множеств»: если 0 — открытое множество, то
ц(&) = sup{p(c) |се^, с — компакт];
9) р (0) > 0 для любого непустого открытого множества в;
10) если значение меры конечно хотя бы для какого-то одного непустого открытого множества, то ее значение конечно для любого ограниченного борелевского множества;
11) если & открытое множество, то
p(^) = inf[£ И (и„j | в s U ип,
'л —1 л=I /
V.
где Ui — семейство всех прямоугольников в R2.
> 3) Выполняется р(а») — р.(и>lj 0) = р(и>) + р(0)- Если р(0) = = -|-оо,тор=+оо,а такую функцию мы условились не называть мерой (см. замечание 2 к определению 9). Поэтому 0 р(0) < + °°
и р(0) = р(0 lj 0) = р(0) + р(0) и Н(0),= О- Далее, р(ам) = — p.(t0i и (w\Wi)) = p(a»i) + p(t0\tiyi) и p'(o>i U ^2) = р(и/i u (w2\wi))=
+ |л(аУ2\аУ1) = p(aMi) + p(ay2\(wi П ^г)) = р(кп) + р(пу2) — — |х(аУ1 П “’г). Отметим, что последнее равенство использует предположение о конечности р(аУ2), так как иначе р(оУ2\(аУ1 П а’2)) = = оо — оо=? Однако проверяемое равенство остается верным и в том случае, если p(oii f] 102) = °о, так как тогда его левая и правая части равны оо. Пдследнее проверяется непосредственно по свойству монотонности.
4) Так как р(>)^>0, то p(tti)=p(aii)4- p(w\w1)^p(at>1).
5) Если все значения меры р(а)я) конечны, то р (у =
= [1(W! и(ау2\йУ1)и (W3\W2) p.(wi)+ s ц(ау*+1\ау*) =
1 *= 1
= limf |л(иУ1)4- J p(ayt + i\t0*)| =lim [p(aMi) 4-p(iw2) — p(aMi)+ ••• + n->ooL - k—\ J П-+0О
+ p(a»n) —p(a)rt-i)]= lim p(ttin). Если хотя бы одно значение
196
•Н(а’л) бесконечно, то проверяемое равенство непосредственно ^очевидно по свойству монотонности. м
; 6) По свойству 4) имеем: Vra(p(iwn) < +оо) и р^П
Последовательность множеств (t0i\zwn) возрастающая и f) (a»i\a)n)=
л= 1
' 00 / 00 \
= iwi\ U w„. По свойствам 3) и 5) получаем ц. ( f) цу„1 =
1 \ п-1 /
(00 ч
и (®|\шп)) = lim [р(аУ1) — р(аУ1\амп)]= lim p(iwn).
Л®1 / ft-*00 л-*оо
(Заметим, что условие р(ап)<оо существенно: если wn — полу-
плоскость справа от прямой -х=п, то П «>л=0 и левая часть п = 1
•равна 0, а правая равна оо. Это условие доставит нам много хлопот в дальнейшем.)
7) Докажем сначала, что р( U При т = 2 это
неравенство проверялось при доказательстве свойства 3. Допустим, такое неравенство выполняется для какого-то числа т. Тогда
К Л,’и') ?)'+
-|-p(aym+1) S р(ам„).
п = I
По индукции замечаем, что такое неравенство выполняется для . всех т. По свойству 5) получаем:
0 = lim U С lim S Н(“'«)= S н(“’«)>
\ п=| / т-*оо \ rt=H / /п-*оо п— । я==|
Теперь из свойства монотонности следует, что
g(iw)^p( U S p(«fn)-
В) По свойству монотонности число р(^) — верхняя грань множества чисел'{p(c)|cs^, с — компакт). С другой стороны, по упражнению 20 a) 0 = U сп, где cnsc„ + i и с„ — компакты. По • л =* 1
свойству 5) р(^)= Пт р(сп). Следовательно, р(^)точная верхняя
грань множества чисел (р(с) | с S с — компакт).
9) Предположим, что для некоторого непустого открытого множества выполняется р(^) = 0. По свойству монотонности р(/5)= =0, где б — некоторый открытый круг, содержащийся в в. Параллельно перенося Z), получим круги с центрами во всех точках с рациональными координатами, которые по свойству (/?2)+-ин-вариантности имеют одну и ту же меру, равную мере ц(Д). Получим покрытие всей плоскости счетным числом множеств, каждое из которых ^имеет меру нуль. По свойствам полуаддитивности и мо
197’
нотонности получаем, что функция р тождественно равна нулю. Однако мы условились не считать такую функцию мерой. -
10) Если для' некоторого непустого открытого множества в выполняется ц.(^)< + оо, то р(/5)< + где /5 — открытый круг, содержащийся в 0. Любое ограниченное множество w можно покрыть конечным числом открытых кругов, являющихся параллельными переносами круга б. Действительно, в силу ограниченности, w содержится в каком-то замкнутом круге D|. Такой круг является компактом. Покроем D\ параллельными переносами открытого круга б. Из этого покрытия выберем конечное подпокрытие. В силу полуаддитивности получим, что ц(Ъ) < + оо.
11) Правую часть проверяемого равенства обозначим X. По свойству полуаддитивности ц.(^)^Х. Как легко проверить, любое открытое множество 0 является дизъюнктным объединением счет-
ного числа прямоугольников, т. е. ^ = LJ Wk, и по свойству о-аддитивности м
н(*)=ЬМ.
л = 1
Замечание. Условимся в дальнейшем называть борелевской мерой (мерой) только те меры в смысле определения 9 и замечания после него, у которых значение хотя бы иа одном открытом множестве конечно. Иными словами, мы будем в дальнейшем рассматривать только меры, значения которых конечны на любых ограниченных борелевских множествах (см. предложение 11.10)). Отсюда-сразу вытекает, что меры любого одноточечного множества, любого отрезка и любой прямой равны нулю (проверьте). Это означает, в частности, что в предложении 11.11) можно считать все прямоугольники Uk, покрывающие множество 0, замкнутыми прямоугольниками.
Теорема 9. Для всякого борелевского множества we® выполняются свойства:
a) p(w) = inf{p(^) I w<=:0, & —открыто};
б) р (w) — sup(р (с) | с sw, с — компактно};
QC ПО
в) р (w) = infl 2 ц (Вй) | w s U ик, ик е VJ ч-i J
Борелевское множество w называется внешне регулярным, если для него выполняется свойство из пункта а). Борелевское множество w называется внутренне регулярным, если для него выполняется свойство из пункта б). Таким образом, пункты а) и б) утверждают, что любое борелевское множество внешне и внутренне регулярно. Мы докажем только внешнюю. регулярность произвольного борелевского множества, оставляя утверждение о его внутренней регулярности в качестве упражнения 23 г). Для доказательства теоремы 9 нам потребуются следующие леммы.
Лемма 7. Если каждое множество wn внешне регулярно, то и множество J w „внешне регулярно.
п= 1
198
[> Для любого е>0 выберем такие открытые множества вп, что и p(^n) p(ttin) + Используя включение
(( Д1^л) \( „U !Шп)) — получим —
- ;*( .5,4 - Ч( .5,4 х( .5,4) < •*( Л, \4) <
< S ц(^п\а’п)<е S 4г=е-•’0=1 П= 1
Следовательно, множество и^л внешне регулярно.
Лемма 8. Если {wn) — убывающая последовательность внешне регулярных борелевских множеств и значение меры p(wi) конечно,
QO
то множество (] шл внешне регулярно.
[> Согласно предложению 11.6 выполняется ц.(а>) = Пт р(а)п). По
п —*• 00
любому числу Х>р(ву) найдется число п, для которого Х>ц.(а>„). В силу внешней регулярности множества wn найдется открытое множество в, для которого w„cz в -м Х>р(^). Поэтому а»<=^ и р(^) —р(а;)^ X—ц(а»). Последнее означает внешнюю регулярность .множества w. (Условие ц.(ап)<-|-оо существенно, так как оно используется в предложении 11.)
Лемма 9. Всякое открытое множество и всякий компакт внешне регулярны.
[> Первое утверждение очевидно. Всякий компакт с по упражнению и замечанию после предложения И представим в виде с= U & п, где вп— открытые множества и 0п + \<=^п и значение меры p(^i) конечно. По лемме 8 компакт с внешне регулярен.
Обозначим ©о семейство всех множеств, представимых в виде конечного дизъюнктного объединения собственных разностей ком-' -пактов. Напомним, что разность множеств Х\У называется собственной, если УеХ. Конечно, Сс®0 с 93-
Упражнение 22. Проверьте, что ©о — кольцо множеств.
Лемма 10. Всякое множество из ©0 внешне регулярно. <
[> По определению запись означает, что да —an U...L1 w„,
где каждое ап вида Wi=c\c!, ctczCi и с„ с!—компакты. Если все множества wt внешне регулярны, то по лемме 7 и множество w внешне регулярно. Поэтому остается проверить только внешнюю регулярность множеств Wi. Например, пусть 1=1. По лемме 9 компакты ci и с{ внешне' регулярны. Поэтому для любого е>0 найдется открытое множество для которого Cj cz в и ц-(^) — — p(ci)^e. Так как сДс! cz ^\с(, то |л(^\с() —р.(сДс() = = р((^\cf)\(ci\ci))= |i(i?\ci)= р(^) — р(С1)<в. Так как множество в\с( открыто, то полученное неравенство означает, что множество С1\с( внешне регулярно.
- 199
Условимся обозначать n=i\°° w„ пересечение убывающей последовательности множеств. Иными словами, = о)я^ч=ь когда Vn(iwn+i sa»n). Аналогично условимся обозначать (°*/я + 1 U когда Vn(wn Е®„+|). Конечно, операции
°°/п = 1 и n = i/°° являются частными случаями операций U и,П. п = 1 'п = I
Следующая лемма по-новому характеризует борелевские множества и поэтому представляет самостоятельный интерес.
Лемма 11. Семейство S3 борелевских множеств совпадает с наименьшим семейством фигур, содержащим семейство ®о и замкнутым относительно операций счетного объединения возрастающей последовательности множеств и счетного пересечения убывающей последовательности множеств.
Смысл такой характеристики семейства борелевских множеств в том, что за счет некоторого усложнения исходного семейства множеств — вместо С берется ®о — можно упростить операции, порождающие S3,—вместо U .и П берутся °°/n=i и я = 1\°°. [> Это второе семейство множеств обозначим А. Как всегда,' легко проверяется, что оно существует,- Ясно, что Ис®, так как и 53 замкнуто относительно более общих операций U и П -, а rt — I л=1
А — наименьшее семейство. Докажем, что А является а-кольцом. Тогда, так как S3 наименьшее a-кольцо, содержащее С (см. упражнение 20в)), и .А о-кольцо, содержащее С, получим, что ВеЛ и, следовательно, А = 53.
Сначала докажем, что А — кольцо. Обозначим
- Л((Х) = (У| У\Х, Х\У, хи Те Л},
где X какое-то фиксированное множество. Ясно, что (Уе/((Х))4> -о(ХеК(У)). Если (Уп) — какая-то возрастающая или убывающая последовательность множеств из Х(Х), то (для определенности рассмотрим второй случай)
УП)\Х=Я=1\°°(УЯ\Х)<=Л, X\(n=iV УП)=Я=1\~(Х\УЯ)€=Л, хи(я^1\°° Уя) = „=1\“(ХиУя)еЛ,
т. е. множество (Л=|\°°УЯ) принадлежит семейству множеств Х(Х). Следовательно, семейство множеств Х(Х) замкнуто относительно _ операций °°/я=1 и n=.i\°°. По упражнению 22 семейство 53О является кольцом. Поэтому, если an, ffi2ESo, -то оп\о)2, адг\ап, tiyiU®2<=53o. Следовательно, (ап, а>2е53о)=>ап еК(а)2) и для любого фиксированного множества ®2 из 53о- Так как Л — наименьшее семейство множеств, то ЛеК(о)2). Поэтому Vwi еЛ (wi еХ(а?г), Ш2еК(®|)). Так как w2— любое множество
200
из ©о, то Va»i еД(ЭЗоsK(a)i), A<=K(w\)), т.е. Vwi, W2^A(u>2^ е K(iwi)). Последнее означает, что семейство множеств А — кольцо.
Теперь проверим, что А является d-кольцом. Пусть {%„) — произвольная последовательность множеств из А. Множества Xn5PtXiU„.U,Xn принадлежат А, так как оио является кольцом.
Тогда U = (“/„=! по определению семейства А.
Лемма 12. Пусть с — произвольный компакт в R2. Обозначим Я (с) наименьшее семейство подмножеств множества с, содержащее все компакты Со, cosc и замкнутое относительно операций счетного объединения и разности. Обозначим Ъо(с) семейство всех множеств вида (ei\cf) LJ...LJ (сп\с'п), где ct<=ci и все ci, с’> — компакты, содержащиеся в с. Обозначим А (с) наименьшее семейство множеств, содержащее Ъо(с) и замкнутое относительно операций °°/n=i и n=i\°°. Тогда
Ъ(с)=А(с) и = (wf]c|we®).
Отметим, что компакты в R2, содержащиеся в с, можно характеризовать как компакты в топологическом пространстве с с индуцированной топологией. Эта лемма (кроме последнего равенства) говорит то же самое, что лемма.Ц, с той разницей, что в ней Вт заменено на с. Доказательство сохраняется без всяких изменений -(проверьте!).
[> Доказательство теоремы 9. а) Произвольное борелев-
ское множество w представимо в виде w= (J (wf)са), где^, с„ — п = 1
возрастающая последовательность компактов, например концентри-
ческих кругов, для которых U cn=R2. Если любое ограниченное п — 1
борелевское множество внешне регулярно, то по лемме 7 произвольное борелевское множество внешне регулярно. Таким образом, доказательство теоремы 9а) свелось к доказательству ее частного случая, когда рассматривается ограниченное борелевское множество. Ограниченное борелевское-множество w удобно тем, что для него значение, меры ц(и?) конечно (по замечанию после предложения 11), и потому условие конечности значения меры в лемме 8 обеспечено. Итак, идея доказательства теоремы 9а) в следующем: все борелевские множества и, в частности, всё ограниченные бо-релевские множества по лемме 11 получаются из множеств, входя-
щих в ®о, операциями (J и n=i\"; все множества, входящие в Я30> п — 1
внешне регулярны и операции U и n=i\“ почти сохраняют внеш-л = 1
нюю регулярность. Поэтому все ограниченные борелевские мно-' жества внешне регулярны. Повторим это рассуждение строго.
Пусть w произвольное ограниченное борелевское множество. Какой-то замкнутый круг с содержит w в своей внутренности,
201
т. е. w^c. Поскольку р.(с)<оо, то любое борелевское множество, содержащееся в с, имеет конечную меру. В частности, любое борелевское множество вида им Пс имеет конечную меру, т. е. все значения меры ц на семействе ®(с) конечны. Рассмо!рим семейство всех внешне регулярных подмножеств'круга с. Оно содержит семейство 3Jo(c) и по леммам 7 и 8 замкнуто относительно операций и, и п = 1\°°. Поэтому оно содержит семейство Л(с) и по лемме 12 содержит 53(ic). С другой стороны, оно содержит w. Итак, w внешне регулярно.
Пункт б) теоремы 9 мы не доказываем. . -
в) Эта принципиально важная формула непосредственно вытекает из пункта а) теоремы 9 и внешней регулярности меры на открытых множествах.
Упражнение 23. Докажите, что
а) пересечение любой последовательности внутренне регулярных борелевских множеств конечной меры внутренне регулярно;
б) объединение возрастающей последовательности внутренне регулярных борелевских множеств внутренне регулярно;
в) объединение двух не пересекающихся внутренне регулярных множеств внутренне регулярно; ,
г) любое борелевское множество внутренне регулярно.
Из этого упражнения вытекает доказательство теоремы 96).
Теорема 9 имеет принципиальное значение для всей концепции меры. В. ее пункте а) устанавливается тесная связь между топологией в R2 и мерой в R . А именно, любое значение меры однозначно определяется по ее значениям на открытых множествах — маленькой части семейства всех борелевских множеств. Подчеркнем, что понятия меры и топологии, судя по их определениям, не связаны между собой, не предполагают друг друга и наличие тесной связи между ними является неожиданностью.
В пункте в) теоремы 9 устанавливается тесная связь между декартовым строением множества R2 и мерой в R2. А именно, любое значение меры однозначно определяется по ее значениям на простейших фигурах — замкнутых прямоугольниках, которые определяются за счет того, что R2 — декартово произведение RXR. Связь между декартовым строением множества и мерой в нем опять-таки является неожиданностью.
Итак, если указана инструкция для измерения всего лишь замкнутых прямоугольников, то любое значение любой меры однозначно, определяется по этой инструкции. В частности, однозначно определяется мера круга, сектора, сегмента и т. д.
4. Сравнение конструктивного и аксиоматического определений меры. Пусть ц произвольная аксиоматически определенная мера. По теореме 9в), любое ее значение p,(i0) однозначно вычисляется по значениям вида ц(и), где и произвольный замкнутый прямоугольник. Если смотреть на меру ц., как на измерение, то ее значения иа замкнутых прямоугольниках — простейших многоугольнн-
202
ках — естественно считаю равными значениям какой-то функции площади s. Функция площади s аксиоматически определялась в § 4, п. 1 и там же доказывалось, что она имеет вид s(-)=c-T(-), Vtzel/. При этом Ui — небольшая часть U. ' Итак, если Vue(/|(n(u) = $(u)), то n.(ny) = inf{S с-Т{и„)} = c-M{w), т. е. ц. по существу совпадает с М. Это мотивирует следующую теорему.
Теорема 10. а) Фиксируем любое борелевское множество wo конечной меры с непустой внутренностью и любое положительное число Xq. Существует мера для которой y.(wo)=ko.
А именно, iL^tc-u.^, где с^±—
urn'll) z
б) Для любых двух мер и р* выполняется:, если их значения совпадают на каком-то борелевском множестве конечной меры с непустой внутренностью, то они всюду совпадают, т. е. Ц|==Ц2-
[> а) По определению меры приведенному в конце пункта 1, утверждение этого пункта очевидно.
б) Начнем со следующей леммы.
Лемма 13. Пусть р — любая мера и р,([0,/]Х[0,/])арьс. Тогда для любого прямоугольника их, у, длины сторон которого равны числам х и у, выполняется ц(их, У) = с-х-у.
[> Разобьем квадрат [0,1]Х[0,1] на п2 маленьких квадратов со сторонами , не имеющих общих внутренних точек. По (₽2)+ инвариантности меры получаем, что значения меры на этих квадратиках равны между собой. Тогда по конечной аддитивности меры получаем:
п п
Если х и у — рациональные числа вида х—-^ и у=-^ , то аналогичным образом прямоугольник иху разбиваем на (fem)-(sn) квадратиков со стороной —, не имеющих общих внутренних точек. Тогда
1*(«х. tf)={km) {sn)• ц(и £ J_ )=с• {km)• {sn)• (-£ )2 = с• = с • x • у.
Если x и у — произвольные вещественные числа, то их, у—
= U где uXl, у, ^иХи у, возрастающая последователь-п =» 1
ность и хп,уп — рациональные числа такие, что lim хП=х и limy„=y. л—*-оо
Тогда по предложению 11. 5) получаем
(/)=Hm ц{их„ у.)=с-limх„-'уп = с-х-у.
Перейдем к доказательству пункта б) теоремы. Рассмотрим две произвольные меры: р.|И р.2- Положим
203
С1ч*Ц1([0,1]Х[0,1]), С2ч=41.2([0,1]Х[0,11) и . . С1
Тогда для любого прямоугольника ах. у выполняется pi(«x, y) = ci X Хх-у = с-с2-х-у = с-р2(дх> g), т. е. меры pi и р2 почти совпадают на всех прямоугольниках. Если борелевское множество w представимо в виде U и*. где {м*}е£Л, то по счетной аддитивности мер выполняется pi(w)=c • р(а>). Так как в этом виде представляется любое открытое множество в R2, то меры pi и ц.2 почти совпадают на всех открытых множествах.
По внешней регулярности мер получаем*, что для любого бо-релевского множества w выполняется pi(t0) = inf {pi(^)/nys^, (^<=У R2)=c-inf^e^'R2)=c-p2(tt>), т. е. pi и р2 почти совпадают всюду.
По условию для некоторого oio из ® с непустой внутренностью выполняется pi(t0o)=P2(t0o). По предложению II pt(t0o)>O и получаем, что с = 1. Следовательно, меры pi и р2 в точности совпа-_дают.
Следствие I. а) Любая аксиоматически определенная мера р равна с-ц.,г.
б) Любые две аксиоматически определенные меры pi и рг отличаются самое большее на постоянную, т. е. pi^c-p2, где с>0. [> а) Выберем любое ограниченное борелевское множество и/о с непустой , внутренностью, например квадрат или друг. Пусть р(цуо) = ^о. По теореме 10а) существует мера вида с-рг, имеющая одинаковое с мерой р значение на и»о. По теореме 106) p = c-pJ?.
б) Это утверждение непосредственно вытекает из пункта а).
Следствие 2. а) Любая мера Gs-инвариантна, т. е. свойства счетной аддитивности и ^-инвариантности функции вида f : S -+R '>0 эквивалентны свойствам счетной аддитивности и Gs-инвариантности этой функции.
б) Сужение любой аксиоматически определенной меры на множество всех- многоугольников является функцией площади.
Итак, установлена связь аксиоматических определений функцни площади и меры.
[> а) По следствию 1а) любая мера р имеет вид с-р*-. По следствию 7 к теореме 7 функция р^ является Gs-инвариантной функцией. Следовательно, такова же функция р. ,
б) Это утверждение непосредственно вытекает из пункта а)., Упражнение 24. Если f — гомеоморфизм вида f : R2++R2, то 'для любого борелевского множества w множество f(w) борелевское.
Следствие 3. Любая мера р обладает свойством гомо-тетичности: если Нк — отображение гомотетии с коэффициентом k из R>Ot то Vw<^^(n(Hl:(w))) = k2-p,(w).
[> Доказательство вытекает из следствия 1а) и следствия 6 к теореме' 7.
204
5. Вычисление меры простейших криволинейных фигур.
Предложение 12. Мера образа любой гладкой кривой равна нулю.
[> Пусть a:R-*R2 гладкая кривая, т. е. , где функ-
ции х(-) и «/(•) имеют непрерывные производные при всех значениях аргумента I. Сначала разберем случай, когда t меняется на отрезке [0, 1]. Поскольку функции х' и у' непрерывны на отрезке [О, 1], то оии ограничены на нем. Обозначим
Af^max[(x'(f))2+(y'(f))2|/<=[0, П)+1-
Пусть fi, f2e[0, 1] и По теореме Лагранжа, применяемой к отрезку [fi, f2] и функциям x(f). и y(f), получаем:* , ll(x(Z2), y(f2))-(X(f.),. y(f!))||2=[x(f2)-х(Л)Г + [y(f2)-y(ttf=[(f2-
-fI).X'(f3)]24-[(f2-/I)i/'(/4)P<M(/2-fl)2,
где f3 и tn — некоторые точки отрезка [fi, t2]. Разобьем отрезок [О, 1] иа п равных частей. По доказанному неравенству образ —целиком содержится в открытом круге с центром
-в точке и радиусом (рис. 75). Тем более
этот образ содержится внутри квадрата со стороной - . Так
как значенне меры ц на этом квадрате равно значению функции с-Т, где с — некоторая постоянная, то образ всей кривой покрыт п квадратами, мера каждого из которых равна о^-. Поэтому . Устремляя п к бесконечности, получаем, что и(/?(а))=оя
В общем случае кривая а(0=(^) определена на всей прямой R, интервале или полуинтервале. Рассмотрим, например, первый из этих случаев. Разобьем R на отрезки ..., [—1, 0], [0, 1], ... и затем воспользуемся счетной полуаддитивностью любой меры.
Следствие. Мера любой окружности равна нулю.
Отметим, что Существует непрерывное, но не гладкое отобра-
Рнс. 75
•205
жение вида-[О, 1]—образ которого совпадает со всем квадратом [О, 1]Х[0, 1]. Ойо называется кривой Пеано. Поэтому .в предложении 12 условие гладкости кривой существенно. .
До конца этого параграфа будем обозначать ц меру, значение которой на квадрате (О, 1]Х[0, 1] равно числу 1. Ясно, что эта мера совпадает с ц.^., а на всех многоугольниках совпадает с функцией площади Т. 1
Предложение 13» а) Мера единичного круга D равна л.
б) Мера сектора в круге D, опирающегося на центральный угол, главная мера которого по какому-то основанию а > 0 равна х, равна -|-л.
[> а) Так как мера обладает свойством (|?2)+-ннвариантности, то утверждение этого пункта не зависит от того, в какой точке находится центр круга.
Экспонента еа с основанием а>0 является непрерывным гомоморфизмом вида еа: R+-+S, который биективно отображает полуинтервал [0, а[ на единичную окружность S, являющуюся границей D. Пусть
. 2л — sin —, п
2я cos —
2л cos---
п
. 2л sin —
где н>3. Если Дп — треугольник с вершинами в точках {0, 1, z), то 2л
. cos— 1 . о
•JW—Я2„„)l-TsinT='1(A">-sin — (г п
Пусть W
п п
Тогда U7(A„)— треугольник с вершинами в точках {0, z, z2} и в силу Gj-иива'риантности меры n(U7(An))'=n.(An)=^-sin .
Положим un^An + IF(XI)4-IF2(An)-4-...4-№',_1(An) и получим правильный «-угольник и„', вписанный в D. При этом ц(ия)= 2л 2л sin —
= «•-^-sin-^ = л—ПРИ «-*-оо (отсюда Уге(ц.(м„)^ • п „
<H(D)) и л<ц(2?)). } •
Если п = 2', где 1=2, 3, 4, .... то многоугольники иП образуют возрастающую последовательность. Очевидно, D = Uun и по не-' ' л X ,
прерывности снизу ц(/5)= lim ц(и„)=л. Мера окружности равна нулю. Поэтому ц(Д)=л.
206
Упражнение 25. Докажите, что для любой точки г^б существует номер п, для которого zgu„.
б) Сначала разберем случай, когда главная мера по основанию а>0 угла, иа который опирается сектор,,равна числу —. Другими словами, найдем меру сектора w с вершинами {0, 1, г}, где z=
(а\ a'n'z 2л 2л., . <<
—)=е =<cos —, cos —> (см. доказательство, пункт а)).
2л 2л . cos— —sin—.
Тогда D = wU^(a>)U...U«7',“1(“'), где £ "J <=SO2.
4 sin— cos—z n t n
Пусть D — круг без отрезков [0, 1], [0, z], [0, z2],..., [О, zn~l] и w — сектор без отрезков [0, 1] и [0, г]. В силу (^-инвариантности меры получаем ц(й>)=ц(№(10))=... = |л(№п~'(«!>)). Так как значение меры на любом отрезке равно нулю, то по равенству
б = w(J U7(uy)|J...U
получаем, что n = p(D) = p(D) = ra-ц(йу).
Следовательно, р,(ш) = р,(и?)=-^-л=-^-л, где х=-^-'.
Если главная мера по основанию а>0 угла, на который опирает-ся сектор w't равна числу—а, то т<п, так как — ae[0, а[. Для такого сектора w’ выполняется au' = ny|JW(te/)U...U где w и W описаны выше. При этом слагаемые пересекаются только по отрезкам [0, zj, .... [О, zm~']. Тогда исходный сектор w' (без конечного числа отрезков) представим в виде twj U?(t0)U---U UlV""-1(iw). Следовательно, p(iw')=m-p(tt/)=m-p(tt/)=-^-n=-^-л, где х = — -а. п
Наконец, если главная мера по основанию а>0 угла, образующего сектор w, равна иррациональному числу х, то сектор w без одного отрезка можно представить в виде объединения возрастающей последовательности секторов w„, опирающихся на углы, главные меры которых по основанию а являются рациональными числами гп, и числа гп сколь угодно приближаются х по недостатку. Тогда
ц(иу) = ц(10\[О, z])=n(Ut0n)= lim n(t0„)= lim ~^п=— л. п п-*-оо п-*оо fl fl
Замечания: I) Значения меры на круге произвольного радиуса легко получаются по*свойству гомотетичности меры.
2) Значения меры на кольце, образованном концентрическими окружностями радиусов У? и г, легко получить, используя свойство аддитивности меры: p(w)=n(R2— г2).
207
3) Меру сектора w чаще, всего находят при измерении углов по основанию а = 2л или а = 360° . Если а = 360° , то ц(йу)=
Л О -
——— х
360 ’
4) Мера сегмента находится.как разность мер сектора и треугольника:
ц(ш)=-|-х(рад)—i-|det(a6)|.
6. Сравнение борелевской меры с мерами Жордана и Лебега. Обозначим G семейство всех множеств, которые одновременно являются борелевскими множествами и измеримы по Жордану (см. пункт Зг в § 4). По предложению 9 и теореме 7а выполняется U^G^3&. В определении 6 функция 1\ зависела от числа So и базиса {*?i, е?}. В плоскости R2 выберем канонический базис ei=(0) , = и число «о=1. Иными словами, выберем ту
единственную функцию Т*, для которой TXfO, 1]2)=1. В примере а) после определения 6 подсчитано, что Л([а, 6]Х[с, d])=(c—а)Х . X(d — b). Сужение этой функции на G обозначим цси назовем мерой Жордана.
Предложение 14. Мера р,г: >0 является продолже-
нием меры Жордана цс: G-+R>0.
[> Пусть w^G. По определению 6 ц.с(йу) является пределом числовой, последовательности При любом i объединение всех ячеек i-го ранга, пересекающихся с w, покрывает w; поэтому
. По тбму же определению 6 ц.о(г0) является пределом числовой последовательности При любом i объединение всех ячеек i-го ранга, содержащихся в и/, содержится в w, поэтому
Поскольку pG(w)=s*(w)=s*(w), то pc(ny)=p^(iw), VuyeG.
Следствие 1. Функции и’ Т тождественно совпадают. [> Обе этн функции определены на множестве U. И обе они совпадают с р? ) U.
Следствие 2. Функция Т4, рассматриваемая на множестве G, Gs-инвариантна.
(> Если и A^GS, то Л(ку)е^, так как А гомеоморфизм R2 на себя. Если w измеримо по Жордану, то по предложению 96) для любых е>0 найдутся такие многоугольники и\ и «2, что U\^w~Ui и Г^Иг)—T4(ui)<e.4огда Л(М1)<Л(г0)<Л(м2)- Так как Л(«1) и А (м2) — многоугольники и для многоугольников функция Г4 совпадает с функцией Т, которая Gs-инвариантна, то Т4(Л(иг))—
• 208
— Л(Д(М1))<е. Следовательно, A(w) измеримо по Жордану. В силу б5-инвариантности меры рг (следствие 36) теоремы 7) получаем: <
(А (ну))=р а (4 (о»))=р ^(4 (u»)) = р = р G(w) = Т4 (w).
Мера Жордана р0) как и мера р^, является Gs-инвариантной функцией, совпадающей, на семействе всех многоугольников U с функцией Т. Однако — и это ее принципиальное отличие от меры рд.— мера Жордана лишь конечно-аддитивна, в то время как р^о-аддитивиа.
Множество всех точек квадрата [О, 1]Х[0, 1], у которых обе координаты рациональны и строго положительны, счетно. Поэтому оно борелевское и его мера р^ равна нулю. В § 3 показано, что это множество неизмеримо по Жордану. Следовательно, G строго содержится в 98. С другой стороны, G строго содержит U, так как, например, круг — борелевское множество, измеримое по Жордану, которое не является многоугольником.
Соотношение между площадью, мерой Жордана, мерой р^. и мерой М представлено на следующей коммутативной диаграмме:
U с G cz В cz S
Функция площади Т 1- мера мера мера
р0 Жордана p<r М
R >о cz ^?>о.= ^?эо —
При этом мера Жордана является продолжением функции площади Т с U на G, а мера р^— продолжение меры Жордаиа р0 с G на S8, а мера Лебега М — продолжение меры рус Я на S'.
Глава IV
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ, МЕНЬШИХ ИЛИ РАВНЫХ 5, И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
§ 1. СВЯЗЬ МЕЖДУ РАЗРЕШИМОСТЬЮ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ И ВЫПОЛНИМОСТЬЮ
ТРАДИЦИОННЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ
1. Кубические уравнения и квадратичные расширения. Начнем этот параграф с рассмотрения алгебраической стороны вопроса о возможности того или иного традиционного геометрического построения. Под традиционными геометрическими построениями понимается построение, выполняемое последовательным применением конечное число раз циркуля и линейки. Что это точно значит, мы обсудим ниже.
Все построения в этом параграфе производятся в арифметической плоскости R2.
Числовым полем называется любое подполе поля С. Например, числовым полем является само поле С, поле R, поле Q, поля Q(V2), Qb/3), Q(i) и т. п.
Пусть Р — числовое поле и z0 — фиксированное комплексное число. Напомним, что расширением поля Р, порожденным числом Zo, называется такое наименьшее (относительно отношения порядка числовое поле Pi, которое содержит поле Р и число Zo, т. е. P^Pi и Zo^P. Легко доказать, что такое поле Pi существует, единственно, так как оно совпадает с пересечением всех подполей Р' поля С, для которых Р<=Р‘ и zoeP'. Оно обозначается P(z0). Это обозначение было использовано выше.
z Пусть Р — числовое поле и Zo, z}, ..., z„ — любые фиксирован--ные комплексные числа. Расширением поля Р, порожденным числами z0, Zi, ..., z„, называется наименьшее числовое поле Р’, содержащее Р (т. е. PsP') и z0, .... z„— элементы Р'. Такое расширение обозначается P(zo.. z„). Ясно, что оно совпадает с пере-
‘ сечением всех числовых полей, содержащих поле Р и числа Zo, .... z„.
Следовательно, поле P(zo. z„) существует и единственно.
Упражнение 1. Докажите, что:
а) пересечение любого числа подполей поля С является подполем поля С;
б) найдется хотя бы одно подполе Р‘ поля С, для которого Р^Р' и Zo^P, где Р — фиксированное числовое поле и z0 — фиксированное комплексное число;
в^ расширение P(zo) поля Р, порожденное числом zo, содержит все числа вида ki-\-k2-zo, где ki, k2^P;'
г) если Zo<=P, то P(z0)=|/ti +k2>z0\ki, k2^P};
210
д) выполняются соотношения P(z0, Z|)=(P(zo))(zi), P(zo, Zi, z2)= =(P(z0, Zi))(z2) и T. Д.
Все поля, которые рассматриваются в этой главе, являются числовыми полями. Поэтому числовое поле будем называть просто полем. Собственным называется любое расширение Pi поля Р, для которого
Напомним два определения из курса алгебры:
а) Простым квадратичным расширением ' поля Р называется любое поле вида P(zq), где z2eP. .
б) Поле Р’ называется квадратичным расширением поля Р, если найдется такая цепочка полей Рч^Ро<= Pi <=...<= Pj3f*P', вложенных друг в друга, что любое поле Р,- является простым квадратичным расширением поля Pj_i, i = l. 2, ..., s. •
Предложение 1. Если уравнение z3 + az2 + 6z+c=O с коэффициентами из поля Р не имеет решений в поле Р, то это уравнение не имеет решений и в любом его квадратичном расширении Р'. [> Рассмотрим сначала случай, когда поле Р' является собственным простым квадратичным расширением вида P(zq) поля Р. Допустим, что уравнение z3 +аг2 + Ьг-|-с=0'(Я«) имеет корень Zi в поле Р'ч=ьР(го), где zq^P, 2§еР. Согласно упражнению 1 ,г существуют числа fei, k2 из Р, для которых
Zi4±fei+fe2-Z0.
Проверим, что zi является корнем квадратного уравнения
z24-Xz + B = 0, (Яс ЯО
где А, В^Р.
Действительно, (z—(k 1 k2z0))• (z—(A 1 — k2z0))= z2—2feiz+(fe2 — — k2zo)=z2 -|- A z + B.
Здесь A^ — 2k\^P и B^k2 — £2z2<=P, так как ZqgP,
Если многочлен z34-az2-|-6z+c разделить на многочлен z2-H A-AzA-B, то получим z3A-az2A-bzA-c=(zlA-AzA-B)(zA-a—Л)+ A-CzA-D, где С, D,eP.
Так как чисдо z\ — корень одновременно уравнений (Я<) и (Я< Я^). то zi — корень уравнения СгА~О = 0. При С=^0 получаем равенство z\ = —^^.Р. Но тогда и z0=——-еР, чТо противоречит условию Zo^P.
ч Если допустить, что С=0, то из равенства Czi-|-£>=0 следует Ь=0. Тогда из равенства
z3A-az2A-bzA-c=(z2A-AzA-B)(zA-a — Д) •
вытекает, что уравнение (Я«) имеет корень z=A— а, принадлежа* Щий Р, что также противоречит условиям теоремы.
Пусть теперь поле Р' — квадратичное расширение поля Р и \
211
Рч±Ро<=Р1<= ...c:Ps^P' — цепочка таких вложенных друг в друга полей, что для всех 1= 1, 2, s поле Pi является простым квадратичным расширением поля Pt-\.
В соответствии*с доказанным выше уравнение z3-^-az-j-bz-^-c = =0 не имеет корней в поле Его коэффициенты а, Ь, с содержатся в Р и, следовательно, содержатся в Р\. Поэтому Сравнение- (Я<) не имеет корней и в поле Рг, и т. д. рассуждаем для всех чисел 3, .... s.
• Следствие, а) Пусть а и b — целые числа, сумма которых отлична от —2 и разность которых отлична от нуля. Тогда уравнение z3+az2 + 6z-|-1 =0 не имеет решений ни в каком квадратичном расширении поля Q.
б) Пусть п — целое число, не являющееся кубом никакого другого целого числа. Тогда уравнение z3 — п=0 не имеет решений ни в каком квадратичном расширении поля Q.
[> а) По предложению 1 достаточно показать, что уравнение z3 + az? + 6z+l =0 не имеет рациональных корней. Но всякий рациональный корень многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, является делителем свободного члена. Поэтому рациональными корнями уравнения z3-|-a^2 + 4-6z+l=0 могут быть только числа 1 и —1. При z=l получаем z^ + az^ + bzH- 1 =a-\-b 4-2 = 0 и при z—— 1 получаем z34-az24" 4-6z-|- 1 =а — b = 0, что противоречит условию.
б) Так же как и в случае а, достаточно доказать отсутствие рациональных корней'у уравнения Z3— п = 0. Если zo — рациональный^ корень этого уравнения, то z0 — делитель числа п, т. е. n = z0-k, где k^Z. Тогда Zo — k = 0. Аналогичным образом k = z0X Хт, где m^Z. Тогда zQ = m и п = т3, что противоречит условию следствия.
2. Построение циркулем и линейкой. Рассмотрим задачу три-
секции угла, т. е. задачу о построении с помощью циркуля и линейки такого угла 0, для которого выполняется равенство
3-0ч±04-р4-р = а, где а — некоторый наперед заданный угол.
Конечно, выражение «построить с помощью» заранее неясно и требует уточнения и определения. Необходимость такого уточнения особенно видна из способа трисекции произвольного угла, который предложил еще Архимед. В его построении используются только циркуль и линейка. Но линейка используется особым" образом. Напомним этот способ Архимеда.
Пусть фиксирован угол 0<а<180° . Можно считать, что он
задается парой лучей, один из которых-совпадает с положитель-
Рис. 76
ным направлением оси Ох (см. рис. 76). Продолжим с помощью линейки горизонтальную сторону угла влево и проведём с помощью __ циркуля полуокружность произ-л вольного радиуса R с центром в вершине угла О.
212
На линейке отметим такие две точки А и В, что расстояние |Л, В| равняется R. Затем подберем такое положение линейки, при котором точка А окажется на продолженной -стороне угла и точка В окажется на полуокружности и в то же время линейка пройдет через точку пересечения полуокружности со второй стороной угла. Таким образом задается угол 0 (см. рис. 76). Угол 0 как раз равен третьей части угла а, так как а=180° —(180° — — 40)—0 = 30.
Можно ли считать, что таким образом задача о трисекции угла а с помощью циркуля и линейки решена? Ответ зависит от того, что же назвать «построением с помощью циркуля и линейки».
Определим это важное понятие. Для этого сначала определим три отображения фь ф2, фз, которые будем называть простыми CL-построениями. Здесь буква С от английского слова circle — окружность, а буква I от line — прямая.
Пусть Мь М2, Мз, Мц — четыре произвольные точки в плоскости R2. Тогда:
1) значение ф1(Л41, Мз, Мз, М4) по определению равно точке пересечения прямых (Мь М2) и (Мз, МД проходящих соответственно через точки Mi и М2, М3 и М<;
2) значение ф2(Мь М2, М3, М<) по определению равно неупорядоченной паре точек, в которых пересекаются прямая (Mi, М2) и окружность, с центром в Мз радиуса ||М3, M4II; если прямая (Mi М2) и окружность (М3, ||Мз, М41|) касаются?то ф2(Мь М2, М3, М4) равно их трчке касания;
3) значение ф3(М1, М2, М3, М<) по определению равно неупорядоченной паре точек, в которых пересекаются окружности с центрами в точках Mi и Мз радиусов ||Mi, М2|| и ||М3, М4||; если эти окружности касаются, то ф3(Мь М2, М3, М<) равно их точке касания.
Прямые и окружности, определяемые точками Mi, М2, М3, М4,, могут совпадать, или не пересекаться, или вообще не быть определенными, например, если Mi = M2 или М_ = М(. В этих случаях считаем, что отображения фь ф2, ф3 не определены. Поэтому отображения фь. ф2, ф3 являются частично определенными. Итак; ф|, 2.3:(₽2)‘1-»-i?2U-^’2(i?2) — частично определенное отображение (частично определенная функция), а Р2(Х) обозначает семейство всех двуэлементных подмножеств множества X.
По аналогии с определением расширения поля (см. п. 1) сформулируем определение С£-расширения (расширения с помощью циркуля н линейки) какого-либо множества в арифметической плоскости R2.
Определение I. а) Простым С£-расширеннем множества X<=R2 называется любое множество вида
XU<p.(M„ М-2, Мз, Мл), (*)
где ф, — одно из простых С£-построений i=l, 2, 3-и М\, М2, М3, М.( — такие фиксированные точки из X, для которых опреде-ленО’данное отображение (•).
б) Множество Х'^Л2 называется С£-расшнрением множества Х^=Л2, если найдется такая цепочка вложенных друг в друга множеств вида A^tXocsJVic: ..aXs^X', что при всех i= 1, s множество X, является простым С£-расшнрением множества Xi-i-
Запись (>|с) нуждается в пояснении: если ф;(М1, М4) — не-
упорядоченная пара, т. е. множество, состоящее из двух точек, то запись (>{;) обозначает объединение двух множеств X и ф,(Л4|,.... М4); если <p<(A4i, ..., М<)— отдельная точка из R2, то она обозначает объединение X и [<p;(Afi, .... Mi)}-
Определение 2. а) Будем говорить, что точку М в плоскости № можно С£-построить (построить циркулем и линейкой), если найдется такое С£-расшпрение X множества, состоящего ровно из двух точек н { , что МеХ.
б) Будем говорить, что вещественное число х можно (CL)-построить; если можно ^-построить точку (*!•
в) Будем говорить, что комплексное число х-|~Ф можно CL-построить, если можно С£-постронть точку .
Предложение 2. а) Точку (можно CL-построить
тогда и тцрько тогда, когда можно CL-построить обе ее координаты х и у. '
б) Если числа aub можно CL-построить, то можно CL-построить и числа а-\-Ь; а — Ь;а- Ь; где Ь =/= 0. Если при этом число а0, то
можно CL-построить и число ^/а.
[> а) Допустим, точку М(х, у) можно С£-построить. Обозначим Mi=f±^ °) , М2 = ( хи рассмотрим пару точек фз(-Л£1, М, М2, M)=₽t а±{М, М'} (см. рис. 77). Точка <pi(Mi, М2, М, М') равна Точке^*) .
Итак, доказано, что число х можно С£-построить. В дальнейшем мы не будем столь формально записывать ход С£-построе-ния. И в необходимых случаях будем просто приводить чертеж.
Продолжим доказательство.
Построим ось ординат, т. е. перпендикуляр к прямой (Мь М2) в точке Mi, ж, опустив на нее из точки М перпендикуляр, получим точку (. Образуем точки пересечения прямой (Mi, М2) и ок-
Рис. 77
ружности((2) ,(^
и получим точ-
214
ки ( и ( Q . Поэтому число у можно CL-построить. ''
Наоборот, пусть числа х и у можно CL-построить. Проведем перпендикуляры к координатным осям соответственно в точках (О И ( у) И ПОЛУЧИМ ТОЧКУ = .
б) На рисунке 78а) приведено построение числа — Ь, на рисунке 786) — построение_числа а-|-6; далее построение числа а-b сводится к проведению прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку (рис. 78в).
в) Построение числа -у также сводится к проведению параллельной прямой, проходящей через данную точку (рис. 78,г).
г) Построение числа -у/а сводится к делению данного отрезка пополам (рис. 78д).
Следствие 1. Любое рациональное число можно CL-no-строить. Любой элемент из квадратичного расширения поля Q можно CL-построить.
Следствие 2. Если вещественные или комплексные числа а, Ь, с можно CL-построить, то можно CL-построить все корни квадратного уравнения ах2+6х + с = 0.
Упражнение 2. Запишите с помощью цепочки простых CL-построений следующие конкретные построения:
а) построение перпендикуляра к прямой (Mi, М2) в точке Mi, где М\ и Мл — уже построенные точки и М\ =^=Мз;
б) построение прямой, проходящей через точку М3, параллельно прямой (Mi, М2), где Mi, Мл, Мз — построенные точки и Mi =#Мг;
в) деление отрезка пополам;
г) проведение биссектрисы угла М2М1М3, где Mi, М2, М3 — уже построенные точки;
215
д) построение чисел л/2, л/3, -yfi7, д/23.
Следующая лемма и теорема 1 являются основными утверждениями этого параграфа. Они устанавливают тесную связь между квадратичными расширениями поля Q и CL-расширениями множества^) ;(;)}.
Лемма 1. Пусть X — множество в арифметической плоскости К2, координаты всех точек которого лежат в некотором поле Р, и X' — любое простое CL-расширение этого множества. Тогда найдется такое простое квадратичное расширение Р' поля Р, что координаты всех точек из X' лежат в Р'.
> По определению множество X' йолучается из множества X добавлением значения одного из трех отображений фь ф2, фз, которые и были названы простыми CL-построениями. Поэтому достаточно построить поле Р' в каждом из следующих трех случаев:
1) Пусть X' = Хи(ф1 (Afi, М2, М3, M<i)). По определению простого CL-расщирения отображение ф1 определено в точках Mi, М2, М3, Mt- Обозначим х, у координаты точки ф1(М(, М2, М3, Mt) пересечения прямых (All, М2) и (М3, Mt) (см. рис. 79). В этом случае к множеству X добавляется точка (х, у) и поле Р' должно содержать подполе Р(х, у).
Вычислим координаты х и у. Из условия принадлежности трех точек одной прямой имеем:
. I Х|— х у\— 4/1 _Q и I Хз —х 4/3 —4/1 _Q I х2—х 4/2—4/1 I х<— х //< — 4/1
Поэтому для неизвестных х и у получается система линейных уравнений
( (У1 -У2)х-)т(Х2 — Х\)у=Х2У\ —Х\У2, I G/3—yt)x -j- (xt — Хз)у=Xty3 — x3yt.
системы
из двух
Все коэффициенты и свободные члены этой поле Р. Переобозначив, их, получим систему
(a'xift'u —с*’ где ai' bit Cl^P и (d2X-f- О2У — С2,
Отсюда получаем:
I °' I а2
b' I ^°-0 2 I —
лежат в
£162 — Cibi fl 1 £2 — Аг£|
Х =—г------Г И У =—Г--------г-
fl|v2—Й201 Д|02 — fl20)
216
Следовательно, хеРиуеР. Поэтому в данном случае Р(х, у) = = Р и в качестве поля Р' можно взять само поле Р, так как поле Р является простым квадратичным расширением самого себя.
2) Пусть X' =ХU(<p2(Mi, М2) М3, М4)). Отображение <р2 опре-' делено для данных аргументов, и к множеству X добавляется точка (х, у), показанная на рисунке 80, и, может быть, еще другая точка (х', у'). Поле Р' должно содержать подполе Р(х, у, х', у').
Для неизвестных х и у получается система из двух уравнений
КУ1 — У2)х+(Х2—х\)у=х2у\ —Х1У2, t (X — ХзГ + (у — Уз)2 = (х4 — Хз)2 + (У 4 — Уз)2.
Переобозначив ее коэффициенты, получим систему.
1ах-\-Ьу=с,
1(х — А)2 + (у — В)2 = С2, где а, Ь, с. А, В, С2^Р.
Так как точки Мi и М2 различны, то число а или число b не равно нулю.
Пусть, напрнмер, 6=#=0. Тогда из первого уравнения у=с~^, и, подставив это выражение во второе уравнение, получим квадратное уравнение с коэффициентами а, р, у из поля Р:
а-х2 + 0-х+у=О.
Это уравнение должно иметь решение (иначе отображение ф2 не определено). Поэтому его дискриминант б^р2—4ау>0. Из формулы для корней квадратного уравнения следует, что х является элементом поля Р(д/б), которое есть простое квадратичное расширение поля Р.
Поскольку у=с~ь‘х t т0 и уеР(д/б). Аналогично получаем, что х', у'^Р(^/8). Итак, Р' = Р(у/б).
3) Пусть Х' = Хи(фз(М1, М2, М3, М4)). Отображение фз определено для данных аргументов, и к множеству X добавляется точка (х, у), показанная на рисунке 81, и может быть еще другая точка (х', у'). Поле Р' Должно содержать подполе Р(х, у, х', у'). '
Для неизвестных х и у получается система из двух уравнений
|(х-Х1)24-(у—У1)2=(х2 — Х1)2 + (У2 — У\)\=с2 I (х — Хз)2 + (у — Уз)2 = (х4 — Хз)2 + (У4 — Уз)2 =г2.
Заменяя первое уравнение на разность первого и второго уравнений, получаем
2(хз — Х1)х + 2(у3—У1)У= = с2 — г2 + х2 — х2+у2 — у2, (х-х3)2 + (у-уз)2 = А
217
Переобозначая коэффициенты, получаем: • ах+Ьу=С,
(х—Л)2Н-(у —В)2 = г2, где а, Ь,С, А, В, г2<=Р.
Как и во втором случае, число а или число b не равно нулю, такj£aK точки Л4| и Мз различны. Поэтому, рассуждая аналогично второму случаю, получаем, что х и у лежат в некотором простом квадратичном расширении поля Р.
Теорема 1. Точку М(х, у) арифметической плоскости R'2 можно CL-построить в том и только в том случае, когда найдется такое квадратичное расширение Р поля Q, что х^Р и у^Р.
> Достаточность. Пусть Q^Po cz Р{ c...cz PS^P — такая цепочка вложенных друг в друга полей, что при всех i=l, 2, ..., s поле Pi является простым квадратичным расширением поля A-i и х, у^-Р. По следствию 1 к предложению 2 все рациональные числа можно CL-построить.
Так как любой элемент из простого квадратичного расширения Р\ поля Q является корнем квадратного уравнения с рациональными коэффициентами (см. упражнение 1г), то по следствию 2 к предложению 2 все числа из поля Р\ можно CL-построить. Аналогичным образом все числа из полей Рз, Рз, PS = P можно CL-построить.^Если теперь хеР и у^Р, то по предложению 2,а можно CL-построить и точку Af=(x, у).
Необходимость. Пусть точку М можно CL-построить, т. е. найдется такая цепочка множеств
{(о) ( J)}
вложенных друг в друга, что при всех i= 1, 2. s множество Xi
является простым (с2-)-р.асширением множества Xi-1 и AfeX. Координаты всех точек множества Xi лежат в некотором простом квадратичном расширении Р\ поля Q, так как координаты всех точек множества Хо лежат в Q и применима лемма 1.
Аналогично координаты всех точек множества Хг лежат в некотором простом квадратичном расширении Рз поля Р\ и т. д. Поэтому, пройдя всю цепочку множеств XoazXic...CzXs = X, получим цепочку Q4=fcPo<=Pi <=...<= PS^P простых квадратичных расширений поля Q и, следовательно, получим квадратичное расширение Р поля Q, в котором лежат координаты всех точек • множества X.
3,. Проблемы удвоения куба, трисекции угла и построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки. В этом пункте мы уточним постановки упомянутых классических проблем и докажем невозможность их положительного решения. План доказательства невозможности соответствующих построений будет таким:
— сначала покажем, что если какая-то из этих проблем имеет
218
положительное решение, то можно CL-построить хотя бы один вещественный корень определенного кубического уравнения с целыми коэффициентами; > '
— по следствию к предложению 1 получим, что эти кубиче--ские уравнения не имеют ни одного решения ни в каком квадратичном расширении поля Q;
— отсюда по основной теореме 1 получим невозможность CL-построения корней этих кубических уравнений и заключим, что положительное решение каждой из этих проблем невозможно.
Предложение 3. Если проблемы удвоения куба, трисекции угла и построения правильного семиугольника имеют положительное решение, то соответственно следующие кубические уравнения имеют вещественные корни, которые можно CL-пдстроить:
а) х3—2 = 0;
б) х3—Зх—/ = 0;
в) xi-\-xi—2x—l = 0.
[> а) Проблема удвоения куба заключается в следующем.
Дан куб единичного объема, точнее, дан отрезок, являющийся ребром такого куба, т. е. отрезок единичной длины. Требуется найтн куб, объем которого вдвое больше объема исходного куба. Точнее, найти ребро такого куба.
Длина искомого ребра является вещественным корнем кубического уравнения х3— 2=0. Слова «требуется найти» означают «найти циркулем и линейкой». Поэтому ну?кно найти конечную последовательность простых CL-построений, которые начинаются с единичного отрезка и заканчиваются отрезком длиной -\/2. Поэтому положительное решение проблемы удвоения куба эквивалентно CL-построению вещественного числа л/2.
б) Если возможна трисекция любого угла, то она возможна, в частности, для угла в 60°, одна из сторон которого совпадает с положительным направлением оси Ох. При этом слово «возможна»; как и в п. а, означает существование некоторой последовательности простых CL-построений, которые начинаются с точек (0, 0) и (1, 0) и закончатся любой точкой М на луче, образующем угол в 20° с положительным направлением оси Ох (см. рис. 82).
Допустим, что такую точку можно CL-построить. Тогда число cos 20° (cos 20°, (!))• По ской фо
1
Т=СО
или
1 =(2 cos 20°)3 —3(2 cos 20°). Рис. 82
219
можно CL-построить, так как можно CL-построить точку sin 20°) в виде значения отображения <р2^ ( о)
'/А
известной тригонометриче-рмуле получаем:
s 60° = 4 cos3 20° — 3 cos 20°
]Соз20*Зш20*)
-1
о
СО$20°
Поэтому число 2 cos 20° является вещественным корнем уравнения
х3 —Зх— 1 = 0.
Итак, из возможности положительного решения проблемы трисекции угла следует, что можно CL-построить хотя бы один вещественный корень уравнения
хз^Зх_1=0.
в) Проблема построения циркулем и линейкой правильного семиугольника состоит в CL-построении правильного семиугольника, вписанного в окружность единичного радиуса. Без ограничения общности можно считать, что центр окружности является на-
чалом координат и одна из вершин правильного семиугольника сов-
падает с точкой ( ’
Что означают слова «CL-построить правильный семиугольник»?
Естественно считать, что- они означают возможность CL-построить все его вершины или, что эквивалентно (докажите), озна-. чают возможность CL-построить его вершину в верхней полуплоскости, ближайшую к точке 1.
/— .2л
Этой вершиной является точка е 7, так как (е 7)7=е2я'=1.
,2л
Если можно CL-построить точку е 7, то можно построить и точку 'т
е , так как она является пересечением биссектрисы угла
- 4"
Z. 1, 0, е и единичной окружности с центром в точке 0 (см. упражнение 2, г).
Итак, из положительного решения этой проблемы вытекает возможность CL-построения точки е 7 cos у, slny^ и CL-построения вещественного числа 2-cosy.
Рассмотрим комплексное число Z4=fccos у 4"» sin -у „Тогда z7 = 1 или (z7—l)=(z—1)(z6-|-z5 + z,,4-z34-z2-|-z4-1)=0. Так как z=#=l, то нулю равен второй сомножитель. Поделим его на z3 и получим
(z3 + pr) + (z2 + ^-) + (z+4-) + l=°.
Слагаемые, стоящие в скобках, являются вещественными числами, так как числа zn и z_” комплексно сопряжены.
Рассмотрим вещественное число Х1ч=ьг-|——=2-cosу. Тогда x?=(z2 + y) 4-2 и x?=(z34-y)4-y +^=(z34-y)4-3xt.
220
Поэтому х3—3xi4-x? —2 + xi +1 =x? + xi—2xi — 1 =0.
Итак, из возможности положительного решения проблемы построения правильного семиугольника* следует возможность CL-построения одного из вещественных корней уравнения х3 + х2 — ’ — 2х—1=0.
Теорема 2. Проблемы удвоения куба, трисекции угла и построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки неразрешимы.
[> По предложению 3 для доказательства теоремы 2 нужно установить, что нельзя CL-построить ни один из вещественных корней следующих кубических уравнений:
а) х3 —2=0;
б) х3—Зх—1=0;
в) х3 + х2 — 2-х—1=0.
По следствию к предложению 1 ни один из этих вещественных корней не лежит ни в каком квадратичном расширении поля Q. По теореме 1 это как раз и означает невозможность их (CL)-построения.
Замечание. Иногда в понятие «построение циркулем и линейкой» включают еще одну операцию:,выбор произвольной точки плоскости. Эта операция обсуждается в следующем пункте.
4. Геометрические построения, включающие операцию выбора произвольной точки в заданной фигуре. В задачах на построение, кррме первоначальных точек и ( о) ’ част0 с сам°г° начала задаются еще некоторые простейшие плоские фигуры, например
точки, прямые, окружности, многоугольники и т. п.
Например, в такой задаче на построение, как «вписать в данный треугольник квадрат, все вершины которого лежат на сторонах исходного треугольника», явно подразумевается наличие наперед заданного произвольного треугольника. Фактически такой треугольник произвольно выбирается перед началом построения. Для многих других построений также характерно, что иа некоторых их-шагах используются операции типа операций выбора произвольной течки, проведения произвольной прямой, выбора произвольной точки на данной прямой и т. п. При этом понятие CL-построения на первый взгляд заменяется на некоторое более широкое понятие по
строения.
Например, решение упомянутой выше задачи выглядит так. Выбирается произвольная точка D на одной из сторон треугольника АВС. Затем CL-строится квадрат с вершиной в точке D, с двумя другими вершинами на сторонах треугольника АВС и еще с одной вершиной D' внутри треугольника АВС (рис. 83). После
Рнс. 83
221
этого CL-строится точка D"^(BC)(\(AD') и затем строится искомый квадрат.
Отметим, что- все упомянутые выше операции произвольного выбора сводятся к операции выбора произвольной точки. Например, выбор произвольной прямой означает выбор двух различных точек этой прямой, выбор произвольной окружности означает выбор ее центра и любой точки, лежащей на ней и т. д. Поэтому ниже будем говорить лишь об операции выбора произвольной точки.
Пусть различные точки А и В уже CL-построены и для решения некоторой задачн на построение нужно выбрать произвольную точку отрезка [Л, В]. Как понимать термин «произвольную»? Если его понимать как «любую точку, лежащую на этом отрезке», то мы попадаем в трудное положение: таких точек континуальное множество.
Упражнение 3. Докажите, что множество всех точек в R2, которые можно CL-построить, счетно.
Поэтому нельзя CL-построить в этом смысле произвольную точку, лежащую даже на одном каком-то отрезке [Л, В], где А^В. Впрочем, интуитивно ясно, что нельзя явно описать, построить, сконструировать каждую по отдельности точку из несчетного множества точек. Поэтому слова «построить произвольную точку» отрезка [Л, В] понимают как возможность построить хотя бы одну точку данного отрезка, отличную от его концов Л и В. Как мы сейчас увидим, на любом отрезке [Л, В] имеется хотя бы одна точка, которую' можно CL-построить. Поэтому в качестве произвольной точки данного отрезка можно выбирать именно ее. Итак, последовательное добавление на каждом шаге CL-построения в таком смысле произвольной точки не приводит к получению точек, которые нельзя было бы построить без операции выбора произвольной точки. Таким образом, операция выбора произвольной точки не расширяет множества всех точек, которые можно . CL-построить!
Чтобы доказать упомянутые выше утверждения, спроектируем отрезок [Л, В] на каждую из осей координат. Одна из этих проекций является невырожденным отрезком, в котором (по свойству плотности множества Q в множестве R) содержится рациональное число Xi (рис. 84, а). Рациональное число, конечно,, можно CL-построить. Восстановив перпендикуляр из этой точки до пересечения с отрезком [Л, В], найдем в этом отрезке CL-построенную точку М.
Аналогичным образом, если требуется выбрать произвольную' точку на уже CL-построенной окружности или дуге окружности, ее можно выбрать из множества точек плоскости, которые сами по себе могут быть CL-построены (рис. 84, б).
Свойство плотности множества Q в множестве R помогает и в тех случаях, когда требуется выбрать произвольную точку внутри или вне заданной плоской фигуры ю. При этом всегда подразумевается, что внутренности фигуры ш и ее дополнения Сю
222
a)
Рис. 84
не пусты. Тогда плотность множества Q2 в R2 означает, что вшив Сш найдутся точки с рациональными координатами и, следовательно, найдутся точки, которые сами по себе могут быть CL-построены.
Итак, выбор в таком смысле (!) произвольных точек на отрезках, прямых, дугах и т. д. приводит к образованию точек, которые могут быть сами CL-построены.
В заключение коснемся еще одного расширения понятия авиастроения. Если изменить определения 1, б н 2, а в том и только в том отношении, что н? 0-м шаге CL-расширения, кроме точек ( о) -и ( о) ’ по опРеДелению считается построенной еще одна фиксированная, наперед заданная точка Mi с координатами xi и у\, то получится новое, более широкое понятие построения, которое назовем параметрическим CL-построением с числовыми параметрами Х\ и t/|. Если на 0-м шаге по определению считаются построенными несколько таких точек , то получается
понятие параметрического С^-построеиия с числовыми параметрами Xi, у\.. хп, уп. Аналогично доказательству теоремы 2 легко
проверить, что точку М в арифметической плоскости R2 можно параметрически CL-построить с параметрами Xi, yi, ..., хП, уп в том и только в том случае, когда обе ее координаты лежат в некотором квадратичном расширении поля Q(xi, у\, ..., х„, уп). Далее получаются результаты, аналогичные тем, которые изложены выше. В частности, если понятие параметрического CL-построения расширить, допуская выбор в том смысле, как и раньше, произвольных точек, то множество всех точек, которые можно параметрически CL-построить, не расширится.
Поле Q(xi, у\... хп, Уп) состоит нз счетного числа элементов.
Более того, счетно любое квадратичное расширение этого поля и счетно объединение всех его квадратичных расширений. Поэтому множество всех точек, которые можно параметрически CL-no-строить с любыми наперед фиксированными параметрами Xi, yi, ....
223
хп, уп, счетно. Несчетность множества всех точек арифметической плоскости R2 означает, что для любых фиксированных параметров xi, t/i, хп, Уп найдутся точки, которые нельзя параметрически CL-построить с этими параметрами.
5. Геометрические построения с помощью одного циркуля. В этом пункте покажем, что любую точку, которую можно CL-no-стройть (т; е."построить с помощью циркуля и линейки), можно и С-построить, т. е. построить с помощью только одного циркуля. Этот факт был доказан Мором в 1672 году. Изложим доказательство Г. Моро о совпадении множества точек, которые можно С-построить, и множества точек, которые можно CL-построить.
Начнем с определения С-построения. Оно формулируется в точности так же, как определение 1, с единственным отличием: из функций ф|, фг, фз разрешается использовать только функцию фз. Остальные определения п. 2 остаются без всяких изменений.
Идея доказательств.а совпадения множеств Точек плоскости, которые можно CL-построить и С-построить, состоит в том, что если коэффициенты квадратного уравнения можно С-построить, то оба его корня можно С-построить. Кроме того, все целые числа можно С-построить. Отсюда следует, что все точки любого* квадратичного расширения поля Q можно С-построить (объясните почему); по теореме 1 получаем совпадение двух интересующих нас множеств точек плоскостй.
Лемма 2. Если А и В — любые точкой на плоскости, то можно С-построить две точки, расстояние между которыми равно 2Ц.4,-£||, и две точки, расстояние между которыми равно д/ЗХ Х11АГВЦ. ______________
[> Обозначим рч±||Л, ВЦ (см. рис. 85).
Проведем окружность радиуса р с центром в точке В, и пусть: а) С — точка пересечения исходной окружности с окружностью радиуса р с центром в точке А;
б) D — точка пересечения исходной окружности с окружностью радиуса р с центром в точке С, отличная от точки А;
в) £ — точка пересечения исходной окружности с окружностью радиуса р с центром в точке D, отличная от точки С\
Тогда ||Л, £||=2-р и ||Л, D\\=^/3-p.
Лемма 3. Если на плоскости заданы две пары точек, расстояние между первыми двумя точками равно р и между вторыми дву-
221
Рис. 88
Рис. 87
мя точками равно g, то можно С-построить пары точек, расстояния между_которыми равны соответственно числам:
а) ^Р2 — ^ при p>g, .
- б) ^2-р,
Vp2+^
P4-JL« p—g При p>g,
д) 2\ipg-
[> Ограничимся рисунком 86 с изображениями искомых построений. Отметим, что фактически не нужно соединять отрезками никакие точки, показанные на этом рисунке.
а) По лемме 2 построим отрезок длины 2-g (его середину обозначим О) н из его концов проведем окружности радиса р. Возьмем любую из точек пересечения этих окружностей (такая точка существует, так как p>g, обозначим ее Е). Пара точек (О, Е) искомая. Только для наглядности искомые пары точек соединены сплошными отрезками, а вспомогательные точки соединены пунктирными отрезками.
б) По лемме 2 построим отрезок ^/3 -р и затем применим п. а) к расстояниям -у/З-р и р, получим -у/2-р=д/(-\/Зр)2 —р2.
в) Применим а) к расстояниям -у/2-р (п- 6) и -\/р2 — g2 (п. а), получим Vp2 + я2 = л/(л/2р)2 — (л/р2 — S2)2
г) По п. а) (см. рис. 87) по отрезкам р и g образуем отрезок ОЕ и симметричный ему отрезок OEi (точка Е\ определяется как вторая точка пересечения окружностей, о которых говорилось в п. а). Из точек Е и Е, проведем окружности радиуса -^/Й-р2 —g2 (такой радиус С-построим по пунктам б), а)). Обозначим точки пересечения этих окружностей А и В. Расстояние между А и началом отрезка g равно р—g, а расстояние между В и началом отрезка g равно pA-g- ______________
д) Все получается из равенства 2-y[pg=y(p + g)2 —(р — g)2. И
Лемма 4. Если в трапеции (рис. 88) расстояние |А, В| = = |С, D\=p, и |В, С| = 1,5р, и |А, О| =3р, и Е принадлежит [АО], а |В, В| = |С, Е| =р, то Е — середина [АО].
[> Если точка М — основание перпендикуляра, опущенного из точ-3
ки В на отрезок [А, О], то, очевидно, [А4, Е| = —р, и так как |А, Е| =
8 Заказ 227
225
р
Рис. 89
Рис. 90
Рис. 91
Д АВЕ — равнобедренный. Поэтому \В, Е\ =
3
=^-р, то треугольник = |А, В\=р.
Лемма 5. Если на плоскости заданы две точки А и В на расстоянии р друг от друга, то можно С-построить точки, находящиеся на расстоянии друг от друга.
[> По лемме 2 построим такие две точки С и D, которые расположены, как показано на рисунке 89.
Пусть L — любая из двух точек пересечения окружностей радиусов 2р с центрами в точках С и D. Проведем окружности радиуса р с центрами в точках С и L. Получим точку их касания — точку Оь Она является серединой отрезка [С, Lj. Аналогично найдем точку Ог — середину отрезка [D, L|. Наконец, пусть Е — точка пересечения окружностей с центрами в точках О, и Ог и радиусов р, отличная от L. По лемме 4 точка Е — середина отрезка [А, В].
Лемма 6. а) Для любых трех точек А, В, С, не лежащих на одной прямой, можно С-построить основание D перпендикуляра, опущенного из С на прямую, проходящую через точки А и В (рис. 90).
б) Если на плоскости даны точки A, B,C,D и |А, Bl =р, |С, D| = = g, то можно С-построить точки на расстоянии y>p-g-
в) Если на плоскости даны точки А, В, С, D, Е, F и |А> В\=р, -|С, D\—g, |£, F\=a, то можно С-построить точки на таком рас-
стоянии х, что (рис. 91).
[> а) Пусть С' — точка пересечения окружностей, с центрами А и В и радиусов |А, С| и |В, С| соответственно, отличная от С. По лемме 5 можно С-построить середину D отрезка [С,” С']. Она является искомым основанием перпендикуляра.
б) ~
в)
Р и g _ а-Р Я
Теорема 3. Произвольную точку в арифметической плоскости R2 можно CL-построить в том и только в том случае, когда • ее. можно С-построить.
[> По определению возможность С-построения некоторой точки
Следует из леммы Зд и леммы 5.
Можно считать g>a, так как в противнбм случае заменим (по лемме Зг) на соответственно п-р и n-g. Тогда |К, Х| =
226
влечет возможность ее CL-построения. Докажем обратную импликацию.
По лемме Зг можно С-построить все целые числа, т. е. точки вида^) при всех n^Z. По лемме 6в можно С-построить все рациональные числа,,т. е. точки вида( при всех reQ. Если числа а, Ь, с можно С-построить, то по леммам 3, 5, 6 из формулы z= = —Для корней квадратного уравнения az2 + 6z-|-4-с=0 следует возможность С-построения его корней.
Следовательно, доказана* .возможность С-прстроения любого числа из любого квадратичного расширения поля Q. По теореме 1, если точку М можно CL-построить, то обе ее координаты лежат в некотором квадратичном расширении поля Q. Поэтому ее координаты можно С-построить. По лемме Зв можно С-построить н саму точку.
$ 2. ЗАДАЧА О РАЗРЕШИМОСТИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ. КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ.
ПРИМЕР НЕРАЗРЕШИМОГО В РАДИКАЛАХ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 5-Й СТЕПЕНИ
1. Постановка задачи о разрешимости алгебраического уравнения в радикалах. Пусть f(x)=x”4-Qi + — +ап— произволь-
ный фиксированный многочлен с комплексными (или, в частности, с вещественными) коэффициентами* ai, ..., ап и старшим коэффициентом, равным 1. Иными словами feC[x] или, в частности, feifpc]. Нас интересует очень старый, классический вопрос: можно ли комплексные корни уравнения f(x)=O (которые по основной теореме алгебры, разумеется, существуют) выразить через коэффи- _ циенты данного уравнения с помощью таких рациональных действий над числами, как сложение 4-> вычитание —, умножение •, деление:, а также извлечение корня любой степени? Точнее, существует ли такая конечная последовательность множеств, у которой 0-е множество состоит из всех коэффициентов исходного уравнения, a (i‘4-l)-e множество получается из i-ro множества добавлением ровно одного числа; это число является результатом выполнения одного из рациональных действий или действия извлечения корня, которые применяются к числам, содержащимся в'ьм множестве; при этом последнее множество в этой конеч-'. ной последовательности множеств содержит хотя бы один корень исходного уравнения? Другой вопрос: возможна ли аналогичная последовательность множеств, у которой последнее множество содержит все корни исходного уравнения? Подчеркнем: речь здесь идет о конечных последовательностях конечных множеств.
227
Например, если f=x2-f-2xH—то эта последовательность конечных множеств выглядит следующим образом:
0) {1, 2, 1/2К
1) (1, 2, 1/2, 0), где 0=1-1, • /
2) I, 2, 1/2, 0, -2}, где -2 = 0-2,
3 {1, 2, 1/2, 0, -2, V2),
4) (1, 2, 1/2, 0, —2, -2+д/2},
, Г- г- -2+-/2,
5) (1, 2, 1/2, 0, —2, д/2, -2 + ^2, -
и последнее число в 5-ом множестве является корнем исходного уравнения. Второй корень исходного уравнения получается анало- . гичной цепочкой множеств, в которой 4-е множество вместо числа ( —2+V2) содержит число (—2—>/2). Конечно, эти последовательности множеств не являются ни единственно возможными, ни наиболее короткими, однако мы не интересуемся этой стороной дела.
В рассматриваемой задаче дано уравнение f(x)=0. Конкретно это значит, что даны его коэффициенты и, в частности, старший коэффициент 1. Поэтому не вызывает сомнения то положение, что 0-е множество состоит из Чисел, 1, Ль .... ап. Рациональные действия отражают структуру полей R и С, которые^вляются основными полями, по крайней мере в элементарной математике (обоснование этого тезиса содержится в главе V). Иными словами, рациональные -действия над числами — простейшие действия (операции, функции), по крайней мере в элементарной математике. Поэтому не вызывает сомнения и другое положение: если образовано множество Р/-1, содержащее числа ai и а2, то законно его расширение одним из чисел Я1+я21 Я] —Яг, Я|-а2, а^Яг.
Расширенное множество обозначается Pi. Переход от множества Pt-\ к множеству Pi можно аргументировать и таким образом: если числа fli и я2 CL-построены, то можно CL-построить и любое из чисел Я14-Яг, fli — я2, Я1-я2, аияг (см. § 1.2). Почему при переходе от множества Р,_\ к множеству Pi, кроме рациональных операций, допускается еще операция извлечений корня? Отчасти это объясняется возможностью CL-построить число \/fl (см. § 1.2), отчасти историческими причинами, а отчасти тем, что число д/я определяется простейшим уравнением х2 = я, часто возникающим иа практике.
Современные теоретико-множественные традиции создали привычку рассматривать любой интересующий нас объект как элемент совокупности всех подобных ему объектов. (Это часто приводит к возникновению бесконечных множеств там, где по существу нужны только конечные множества.) Переформулируем в этом духе обсуждаемую нами задачу. Нулевое множество — это поле Р<р& 4tQ(fli...~я„). Оно называется полем коэффициентов исходного
уравнения f(x)=0. (Если fli, ..., олей, то PoeR.)
228
Иногда из каких-то внешних соображений разумно считать, что 0-е множество содержит, кроме коэффициентов, еще какие-то числа. Иными словами, 0-е множество совпадает с каким-то числовым полем Р, включающим поле коэффициентов Ро. В дальнейшем, как правило, будем рассматривать такой более общий случай.
Если уже образовано (i—1)-е множество — поле Pt-\, то переходят к i-му множеству — полю P^Pi-i (^-i), где a,_i — какой-то фиксированный элемент из' Р/-\ и, как всегда, по определению обозначает один из корней уравнения х'"=а1-1. Удобно определить поле Pi несколько шире: как Р<йе^Р<-1(&, л/а, — i ), где
т.
2л
Как мы знаем из главы 1, выполняется =e2nJ=cos2n+sin 2л =
= 1, т.е. одйн из корней ^1. Кажется вполне естественным получать корни исходного уравнения, используя ие только корень m-й степени из какого-то заранее образованного числа а(_|, но и корни тон же степени из числа 1. Кроме того, число £ ие просто один из корней m-й степени из числа 1: любой корень m-й степени из 1 полу-чается из числа £ в виде £(, где Действительно, £'=е т и (£'/" =
=e2”,l‘=cos 2л/+1 sin 2л/ = 1. Поскольку все числа £' при 1</<т различны н всего их т, то они исчерпывают все т чисел вида VI ,• т. е. все т корней уравнения х™ = 1. Число £ называется первообразным корнем /n-й степени.
Такое определение поля Pi имеет то важное техническое преимущество, что все числа вида тУа-i , т.е. все т корней уравнения xm=a/-i, содержатся в Pi. Действительно, пусть 0 — какой-то одни корень /n-й степени из числа ai-|. Тогда все т чисел £-0, .... £^-0. £т-0 различны и для них выполняется (£^0)т =
_g/m.0m_(gmy.a| | = |.a(_|_a(_| Поэтому онн исчерпывают все корни уравнения x”=ai_,.
Можно поступить еще следующим эквивалентным образом: добавим к нулевому 2л
множеству. Р все числа вида е ”, где т=2, 3, 4 ... . Иными словами, с самого начала заменить 0-е поле Р на его расширение, содержащее множество | е т |/пеЛ^>2| • Тогда для любого i-ro множества выполняется
так как все такие числа £ содержатся в Р и, следовательно, в Р(_|. То обстоятельство, что поле Pi содержит соответствующие первообразные корни, будет существенно использоваться в дальнейшем.
(Мы использовали понятие поля, порожденного числовым полем Р н некоторым множеством X, где ХеС. Оно определяется как наименьшее числовое поле, содержащее Р и X. Ясно, что такое поле совпадает с пересечением всех числовых полей, содержащих множества Р и X.)
229
, Поле P^Pi-t ) называется про'стым радикальным рас-
ширением поля J?t-\ (ср. § 1.1). За s шагов образуется цепочка (последовательность) полей
P<=Pi<=...<=Ps, (*)
которая называется радикальной цепочкой или радикальным рядом длины s. Последнее из этих полей, т. е. поле Ps, .называется радикальным расширением исходного поля Р.
Определение 3. а) Уравнение f(x)=O называется разрешимым в радикалах, если существует хотя бы одна радикальная цепочка вида (^с), для которой поле Содержит все корни этого уравнения.
б) Говорят, что уравнение f(x) = 0 имеет корень, выражающийся в радикалах, если существует хотя бы одна радикальная цепочка вида (>к), в которой Ps содержит какой-то корень этого уравнения.
Если уравнение разрешимо в радикалах, то оно, конечно, имеет корень, выражающийся в радикалах, А именно таковым является любой из его корней. Оказывается, что при некотором условии на исходное уравнение выполняется и обратное утверждение (см. следствие к теореме 6 в п. 7).
Для уравнения х2-|-2хН—£-=0, с которого мы начинали этот пункт, радикальная цепочка полей имеет вид:
QcQ(V2), s = 1.
Для любого квадратного уравнения х2 + 6х + с = О с конкрет-’ ными фиксированными коэффициентами b и с радикальная цепочка полей имеет вид:
Q(b, c)<=Q(b, с, -ylb2 — 4c), s = l.
Мы использовали утверждение следующего упражнения.
Упражнение 4. Докажите, что для любого числового поля Р и любых чисел 01, ..., am+i выполняется
P(ai, .... am)(am+i)=P(a.. am + i). _
Для любого кубического уравнения х34-ах2 + Ьх-|-с=0 с фиксированными коэффициентами а, Ь, с также выпишем радикальную цепочку полей:
Q(a, b, c)(=Q[a, b, с, ~\Jcz
c=Q^a, b, с, d, — -f-4-d) c=P3=₽tQ(a, c, d, ,
P=~4+b, q = ^^ + c и d=V(f)2 + (-03-
230
Ясно, что эта радикальная цепочка выписана на основе форму-
3 I----- 3 I———
лы Кардано: X\=^J—^-\-d-y~\l—1—d—которая дает
один из корней Xi исходного уравнения.
Над полем Рз исходное уравнение нацело делится на многочлен (х—xi) и в результате получается квадратное уравнение, коэффициенты которого содержатся в поле Рз. Делая еще один, 4-й шаг, образуем расширение Ра, содержащее квадратный корень из дискриминанта этого квадратного уравнения. Таким образом получим радикальную цепочку полей, означающую, что исходное кубическое уравнение разрешимо в радикалах.
Аналогично для любого уравнения четвертой Степени х44-ах34--J-6x2-)-cx-|-d—О, используя формулу Феррари, легко выписать радикальное расширение поля коэффициентов, содержащее два корня Xi и х2 исходного уравнения. Затем, поделив исходное уравнение на (х — Xi)-(x — х2) над этим радикальным расширением, получим квадратное уравнение и продолжим радикальную цепочку до такого радикального расширения, которое содержит все корни исходного уравнения. f
Действительно, образуем радикальное расширение Р$, содержащее по крайней мере один корень у\ следующего кубического уравнения («резольвенты Феррари»):
у3 —6-у2+(ас —4d)-y-|-(4&d—a2d —с2)=0.
Соответствующий ему радикальный ряд обозначим:
Рос:Р1 cz...(=Ps.
Продолжим этот ряд
Ро cz Pi <=...<= Ps cz Ps(^/D), где D — дискриминант следующего квадратного (!) уравнения:
x2 + f.x + f =
= л/(т-6+У1) •*2+(т^'-с)
(Подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.) Мы получили искомое радикальное расширение, так как yi^Ps и два корня Xi и х2 исходного уравнения 4-й степени являются корнями этого квадратного уравнения и, следовательно, принадлежат Р*(-у[Ь).
Итак, любое (с конкретными числовыми коэффициентами) уравнение степени, меиьшей или равной 4, разрешимо в радикалах. Однако если мы напишем уравнение 5-й степени, например уравнение
х5-Нх + й = 0, где k — фиксированное натуральное число, то совершенно не вид
231
но, разрешимо ли это уравнение в радикалах и от чего зависит наличие или отсутствие такой разрешимости.
Более того, Для уравнений степени <4 и даже для большинства уравнений 3-й степени совсем не ясно, чем объясняется их разрешимость в радикалах; да и формулы Кардано и Феррари, позволившие выше построить соответствующие радикальные расширения, выводятся довольно искусственными преобразованиями.
Ответы на эти вопросы даются ниже, в теореме Э. Галуа (п. 5). В § 3 на ее основе будут получены формулы для решения в радикалах уравнений степени, меньшей или равной 4. Основным понятием в теореме Э. Галуа является понятие разрешимой группы, к которому мы вынуждены сейчас перейти.
2. Понятие разрешимой группы.
Определение 4. а) Разрешимым рядом конечной группы G называется последовательность (цепочка) групп вида
G^G0^ Gi ... Gs^je},
в которой любая группа G, является нормальным делителем предыдущей группы G, 1 (где i=l, ..., s) и все фактор-группы G,-\/Gt являются циклическими группами.
б) Конечная группа G, обладающая хотя бы одним разрешимым рядом, называется разрешимой группой. Конечная группа, не обладающая ни одним таким рядом, называется неразрешимой группой. 1
Для бесконечных групп также определяется понятие разрешимой* группы; мы не будем его рассматривать.
Напомним, что нормальным делителем группы G называется любая ее подгруппа Н со свойством Vg^G(gHg~' ^Н). Например, любая подгруппа абелевой группы является ее нормальным делителем; сама группа G и ее травиальная подгруппа (е) всегда являются нормальными делителями исходной группы G.
Упражнение 5. Приведите примеры нормальных делителей группы GL2 и примеры ее подгрупп, не являющихся ее нормальными делителями.
Напомним, что циклической называется группа, все элементы которой являются степенями какого-то одного ее элемента. Этот элемент называется образующим группы.
«Например Z+ есть циклическая группа с образующей 1 и Ft— множество вычетов по модулю п с операцией сложения вычетов — циклическая группа с образующей 1. В частности, Г5={0, 1, 2, 3, 4) и 2= 1 + 1, 3= 1 +1 +1 и т. д.
Упражнение 6. Докажите, что:
а) всякая циклическая группа абелева;
б) любая подгруппа и любая фактор-группа циклической группы сами являются циклическими группами.
Важным примером циклической группы является множество всех корней m-й степени из числа 1 с операцией умножения их как комплексных чисел. Как мы видели в п. 1, все корни уравнения хт=1,
232
—I------
R
Рис. 92
т. e. числа вида образуют множество {£, £2; .... t,m 1). где ,2л
£=e m (рис. 92). Таким образом, число t; — образующий элемент этой группы. Легко проверить, что эта группа изоморфна F&.
Конечной называется группа, содержащая конечное число элементов. Число элементов в ней иногда называется порядком группы.
Примером разрешимой группы является любая конечная циклическая группа G, так как в этом случае разрешимый ряд имеет вид Gro{ej.
Простой называется группа G, не имеющая нормальных делителей кроме (е) и G. Например, легко доказать, что F/-^- простая группа для любого простого числа р.
Важным примером неразрешимой группы является любая конечная, простая и не циклическая группа. Действительно, для такой группы G любой ее разрешимый ряд может иметь только вид Gro{e).
Но G/(e)“G; поэтому G — циклическая группа, что противоречит исходным условиям на группу, т. е. она не может иметь никакого разрешимого ряда. В следующем пункте,приводится, к сожалению, не Простой пример группы с таким набором свойств.
3. Определение симметрической и знакопеременной групп. Пусть фиксировано натуральное число п >2 и множество X.. состоит из п элементов. Например, можно считать, что Хчь ч*{1, 2, .... п]. Обозначим S„ семейство всех биекций множества X на себя. Раньше мы неоднократно встречались с семейством всех биекций произвольного (не обязательно конечного) множества У на себя и обозначали это семейство Is(K). Поэтому Sn = Is(X). В семействе биекций Is(K) и, в частности, в S„ рассматривается операция композиции двух биекций. Относительно этой операции семейство (множество) Is(K) и, в частности, Sn является группой. В ней нейтральным элементом является .тождественная биекция id и симметричным элементом к биекции f является обратная биекция f~'.
Если множества Xi и Х2 состоят из одинакового числа элементов, то группы Is(Xi) и Is(X2) изоморфны. Поскольку изоморфные группы обычно не различаются, то природа элементов множества X не играет никакой роли. Любую биекцию о из S„ записывают в
233
вияе или (1.L1)’' где *" = аН Ее называют перестайовкой (подстановкой). Ясно, что группа S„ имеет порядок и!
Группа S„, как и матричная группа и произвольная группа вида Is(X), действует на множестве л, которое для определенности можно представить себе как множество, состоящее из первых п натуральных чисел, т. е. Х = {1, ..., «}. А именно, определим отображение £(•): где функция Иными словами, биекция
о как элемент группы Sn переводит точку I в точку <j(i). Ясно, что F — эффективное и транзитивное действие группы Sn на множестве Х=(1, ..., и}. Напомним, что действие F называется эффективным, если функция f инъективна; действие F называется транзитивным, если выполняется Vi, jeX3oeSn(fa(i)=j). Если G произвольная подгруппа S„, то ограничение действия F на G является действием G на том же множестве Х={1, ..., «}, т. е. элементу о из G по-прежнему соответствует функция f„, где fa(i)^to(i). Обычно объекты о и f„ отождествляются и обозначаются одинаковой буквой о. Произвольная подгруппа G группы S„ действует эффективно, но не обязательно транзитивно. Например, подгруппа G^idJ.He может перевести число 1 в число 2. Подгруппа G называется транзитивной, если ее действие транзитивно. Иными словами, подгруппа G группы Sn называется транзитивной, если _
Vi, jeX3aeG(a(i)=/).
В множестве {+1, —1} в качестве групповой операции определяется обычное умножение чисел +1 и —1. Полученная группа изоморфна группе F2.
Перестановка а, оставляющая на месте все элементы множества (1, .... и}, кроме каких-то двух его элементов, называется транспозицией. Иными словами, перестановка о — транспозиция, если для фиксированных i и j выполняется a(i)=j, o(/)=i и VZs=/=i, j(o(/t)= (1 2 3\
2 j J транспозиция, а перестановки и ('^ не транспозиции. Транспозицию,
переставляющую элементы i и j, обозначим' оц. Порядок индексов i и /, очевидно, не важен.
Если i, /,’ k, I различные числа, то
Oif Oki = Okl'Oll,
ио в общем случае это равенство не выполняется. Например, Oiio<jjk(i) = k и a/ftoor(/(i)=j ,и j может не равняться k. Напомним, что запись f-g по определению означает то же самое, что и &□
Обозначим v(o) число пар i, j в верхней строке перестановки о, для которых i</ и o(i)>o(/).
234 ,
Теорема 4. а) Множество всех транспозиций порождает группу S„, т. е. любой элемент о из S„ представим в виде
б) Функция е(о)з=е(—l)v!n’ является гомоморфизмом групп е(-) ; Sn—►{—1; +1).
в) Для любой транспозиции otj выполняется е(ог/)= — 1.
[> а) Докажем это утверждение индукцией по п. Если п=2, то любое о из Si вида^ и, следовательно, доказываемое утверждение верно.
Если для всех о нз S„ это утверждение уже доказано, то рассмотрим aeS„+i. Разберем два случая: о содержит неподвижную точку и а произвольная перестановка. В первом случае пусть для конкретности а(1)=1. Рассмотрим перестановку а', состоящую из всех столбцов о, кроме первого. Такое o'eSn. Точнее, в верхней строке о' находятся числа 2, ..., «4-1, и мы заменяем их соответственно числами 1, ..., п. Для такого о' применяем индуктивное предположение. Получаем и затем заменяем все
элементы всех этих перестановок на соответствующие прежние числа 2, .... «4-1. Таким образом, • Добавим ко всем транспозициям .... л и,+1 столбец
(. Получаются снова транспозиции, которые мы обозначим ЛГ|<»» ...» Тогда оЛ/ил/ii(+1.
Пусть теперь о произвольная перестановка и в ней число 1 переходит в какое-то число k\. Умножим о на транспозицию а\ь„ тогда транспозиция o-oi.t, содержит неподвижную точку 1. Применим к ней уже рассмотренный случай, т. е. представим ее в виде o-Oi. к । =«1 •••••Or, где oi, .... at — транспозиции. Тогда о = =Oi •...•(!(• ой*! и oi?L, = oi. к,— транспозиция.
б) Пары чисел i, j из верхней строки перестановки а, для которых i<j и а(»)>а(/), называются инверсиями перестановки Поэтому число v(a) равно числу инверсий в перестановке а.
Рассмотрим произведение (<П (/—i). Положим
Легко проверить соотношение
а(Р)=е(о)-Р.
Если т — любая перестановка, то аналогично проверяется
(т • а) Р = П а(т(/)) — а(т(/)) = е(а)• П (т(/)—т(0). /</ <</
Поэтому
е(т-а)-Р=(т-а) (Р)=е(о)- Д'(т(/) —t(i))= = е(ст) • т(Р)= е(о) • е(т) • Р.
235
Сокращая на число Р и переставляя сомножители в правой части этого равенства, получим е(т>о)=е(т)-е(о).
Далее, e(id)>P=id (Р)=Р= 1 -Р и e(id)=l. Отсюда, как и для любого гомоморфизма, вытекает:
Итак, функция е(-)— гомоморфизм.
в) Рассмотрим транспозицию о/,,-,, где можно всегда считатц что Тогда е(ог/,/,)-Р=чог/,/,(Р)= — Р, так как произведение
Oi.dP) ровно в одном сомножителе отличается от произведения Р и эти сомножители отличаются знаком —. Поэтому е(щ,ь)= = -1.
Следствие, а) Перестановка id не представима в виде произведения нечетного числа транспозиций.
б) Четность или нечетность числа транспозиций в представлении (*) не зависят от выбора такого представления.
[> а) Если id = oi°...OO2/+1, то e(id)=e(oi)... 8(02/4-1), что приводит к противоречию.
б) Если о = О1°...°Oi и о = afo...oo'/', то е(о) = е(о1)...е(щ) и I четно, если e(o)=-f-l. С другой стороны, е(о)=е(о()...е(а^) и I' четно, если е(о)= + 1. Поэтому I и’ /' оба-четны и оба нечетны.
Множество {oeSn|e(o)= + 1) с операциями, индуцированными в него из группы S„, называется знакопеременной группой степени п и обозначается Ап.
Так как Лп = Кеге, то группа А„ есть подгруппа S„. Иными словами, А„ состоит из всех перестановок с четным числом инверсий. Такие перестановки называются четными.
Упражнение?. Докажите, что ядро любого гомоморфизма является нормальным делителем области определения этого гомо-морфизма. В частности,, группа АП есть нормальный делитель группы S„. Если f : Gi-»-G2 гомоморфизм групп, то группы Gi/Кег f и Я (f) изоморфны.
4. Разрешимость симметрической и знакопеременной групп. Рассмотрим вопрос о том, при каких значениях n^N>2 группы Sn и АП являются простой и разрешимой группой.
Для группы Sn вопрос о разрешимости легко сводится к такому же'вопросу для группы АП. А Именно, если группа Ап неразрешима, то по следующему упражнению группа S„ также неразрешима.
Упражнение 8. Докажите, что любая подгруппа разрешимой группы разрешима. Если упражнение покажется трудным, то можно обратиться к лемме 12 из приложения 3.
Если группа АП разрешима, то и группа S„ разрешима, т. к. разрешимый ряд для Ап можно продолжить до разрешимого ряда для Sn. Действительно, если разрешимый ряд для А„ имеет вид
Л„2эО|2Э...о{е},
то разрешимый ряд для Sn имеет вид
S„ Л „=>...=> G„ =>... о {/?},
236
т. к. Ап нормальный делитель Sn. (упражнение 8) и S„/A„ состоит из двух элементов. (По упражнению 7 получаем S„/A„ = =Sn/Ker е(-')^/?(е)={—1; -j- •). т. *е. группа Sn/A„ изоморфна циклической группе {—1; +1), и, следовательно, сама является циклической группой.)
Итак, решим поставленный выше вопрос для группы А„. При п=2 группа Аг состоит из одного элемента id, так как группа 52=^ ! г) ’( 2^)} и втоРая перестановка нечетная, т. е. Аг простая и разрешимая группа.
При п=3 группа Аз состоит из трех элементов, которые легко найти перебором всех элементов группы S3. Впрочем, легко доказать, что А„ состоит из -£-«! элементов. Поэтому в Аз три элемента. Итак, выпишем все элементы групп S3 и Л3:
е_{/123\ /123\ / 1 2 3\ / 1 2 3\ /123\ Х123\\
°3 Ц 1 23/ ’ \ 1 32/ Л32 1/ Ч 2 1 3/ Ч 23 1/ Ч 3 1 2/J ’
Очевидно, что А3 циклическая группа с образующим элементом, например, g . Поэтому она, как и любая циклическая группа, имеет тривиальный разрешимый ряд
Л3о(е},
т. е. А3 простая и разрешимая группа.
При п = 4 группа Л4 состоит из 12 элементов, которые нетрудно выписать:
Mi=(l 2) (3 4), <г = (13)(2 4),
Si=(I2 3), S2=(12 4),
s5=(14 5), s6=(14 3),
/З=(14)(2 3), s3=(13 2), s4=(13 4), s7=(2 3 4), s8=(2 4 3),
где используется удобный способ записи перестановок: запись (ij) (AZ) обозначает, что элементы i и j переходят друг в друга, а элементы А и Z переходят друг в друга, т. е. обозначает перестановку (///*) ‘ Запись (i / А) обозначает, что i переходит в j, j в A, k в i, а все оставшиеся элементы переходят в себя, т. е. обозначает перестановку Нейтральный элемент любой группы обычно обо-
значают е. В нашем случае e=id.
Множество {id', /1, /г, /з} образует, как легко проверить, непосредственными подсчетами, подгруппу в Л4, которая является абелевой и цмеет порядок 4. Она. называется клейновской группой и обозначается В4.
Прямым подсчетом проверяется, что В4 нормальный делитель в Л4.
237
Упражнение 9. Проверьте сформулированные выше утверждения относительно группы А 4.
Поскольку фактор-группа А4/В4 состоит из трех элементов, то из пункта а) следующей леммы вытекает ее цикличность.
Лемма 7. а) Любая конечная группа простого порядка циклическая.
б) Любая конечная, циклическая и простая группа имеет простой порядок.
[> а) В любой конечной группе G, порядок которой является простым числом р, всякий ее элемент g, отличный от нейтрального элемента I, имеет порядок n(g), равный порядку р всей группы. Действительно, всевозможные степени элемента g образуют подгруппу в G. Эта подгруппа состоит из «(g) элементов.
По теореме Лагранжа число n(g) делит число р (в кольце Z), т. е. n(g)—l или n(g)=p. Если n(g)=l, то g = e, что исключается выбором элемента g. Поэтому n(g) = р.
Итак, выберем в G любой не нейтральный элемент g. Тогда «(g) = р и множество {g1, g2. g"te)}, содержащееся в G, состоит
из р попарно различных элементов. Но в G всего р элементов. Поэтому это множество совпадает с G и G циклическая группа с образующей g.
б) Пусть g — образующая группы G и порядок группы G равен -п. Допустим, что число m делит число п (в кольце Z). Тогда мно-
Л
жествр всех степеней элемента gm образует подгруппу в G, состоящую ровно из tn элементов (почему?). Так как G простая группа, то т=1 или т = п.
Поскольку Вц абелева группа, то все ее подгруппы являются нормальными делителями группы В4 (но не обязательно всей группы Л4). Например, образуем ее подгруппу С4^=(е, 6}. Она является циклической группой, так как ее порядок — простое число 2.
Порядок фактор-группы В4/С4 также равен 2, и поэтому она циклическая группа. Итак, найден разрешимый ряд для группы Л4:
Л4оВ4гэС4гэ(е}.
Следовательно, Л4 разрешимая, но не простая группа.
Теорема 5. а) Все группы Аа и Sn при 2^ п<4 разрешимы, б) Группы А5 и S5 неразрешимы.
[> Пункт а) уже доказан выше. Осталось проверить первое утверждение пункта б), так как из него, как мы видели, вытекает второе утверждение.
Для этого докажем, что произвольный нормальный делитель Go в группе Л5 тривиален, т. е. Go={e} или Оо=Л5. Это означает, что группа Л 5 проста. Если для группы Л5 существует разрешимый ряд, то он имеет вид: Л6о(е}. Тогда группа Л5=Л s |{е} циклична и
1 •
одновременно проста, ее порядок равен —51=60. Такое сочетание свойств группы невозможно по лемме 76.
238
Итак, вся оставшаяся часть доказательства теоремы 5 посвящена проверке утверждения: если Go нормальный делитель группы А5 и Go=#={e}, то Go=A5. При первом чтении эту проверку можно опустить.
Лемма 8. Нормальный делитель Go группы А 5, <?о =И= {«V содержит перестановку
. _ / 1 2 3 4 5 \
01 \ fci fcs fej ’
для которой a(i) = i при некотором i, 1
[> Пусть ogGo и a=/=e; о — четная перестановка вида
( 1 2 3 4 5 \ \ k? ki kJ
Допустим, что в о нет неподвижной точки, т. е. У/(о(/)т^/). Тогда в о элемент 1 переходит в какой-то элемент ki=£ 1; если ki переходит в 1, то оставшиеся трл элемента й, iz, i3 должны переходить по закону (й i2 /3), так как иначе в о будет неподвижная точка. В этом случае (назовем его первым) о вида о= ( .
Пусть hi переходит в £/=#=!, &; если k, переходит в ki или k) переходит в 1, то мы приходим к первому случаю {проверьте). Значит, kj переходит в один из двух оставшихся элементов й и 1’2, например в й. Если й переходит в 1, то /2 неподвижная точка. Поэтому получаем второй случай:
/ • hkih й\ \ ktkiit h\) ’
Перестановка принадлежит Go, т. к. Go нормальный
делитель, поэтому a1^fca/a(a/)~la_| eG0. В первом случае положим u'^(izi3ki) и, подсчитав, получим, что перестановка oi относится ко второму случаю. Во втором случае положим и, подт.
считав, получим перестановку оизрЦ! kj й), которая имеет неподвижные точки.
Если в перестановке о имеется неподвижная точка, то, переобозначая элементы множества X, на котором действуют перестановки, можно считать, что неподвижно число 5. Столбец в такой перестановке будем опускать.
Пусть Go нормальный делитель А5 и Goф {<?}. Выберем в Go какую-то четную перестановку о=( четвертого по-
рядка и рассмотрим вопрос о том, какой вид она может иметь.
Если относительно перестановки о никакое число i не переходит ни в какое другое число /, т. е. Vi(or(t)=i), то о=е. Это невозможно. Поэтому обозначим i число, которое о переводит в какое-то другое число /, где i^j. Остальные два числа в верхней строке этой перестановки о обозначим Ли/.
239
1) Чему равняется значение перестановки а на числе j? Иными словами, в какое число переводит перестановка о число /? Назовем первым тот.случай, когда o(j)=i. Тогда о — перестановка вида( • Число k, не равное числам i и j, не может перейти ни в I, ни в ]. Следовательно, число k переходит в k (и тогда число I переходит в число /) или число k переходит в число / (тогда число / переходит в k). При первой возможности перестановка о — транспозиция, что противоречит ее четности. Остается только вторая возможность.
Итак, в первом случае перестановка о имеет вид:
а
ijk[\ / ilk/
2) Если первый случай не имеет места, то число j переходит в какое-то число k, где j. При этом само k переходит или в число i, или в число I. Назовем вторым случаем тот, когда k переходит в i. Тогда I может перейти только в себя. Следовательно, во втором случае перестановка о имеет вид:
3) Третьим случаем назовем тот, когда число k переходит в число I и, следовательно, I может перейти только в i. Итак, в третьем случае, перестановка о имеет вид:
Поскольку Оо — нормальный делитель группы G, то для любой перестановки о' перестановка вида о'о^')-1 принадлежит Go. Следовательно, и перестановка вида oi5pt(o/o(o/)_|')-0_1 принадлежит Go.
В первом случае положим a'=(jkl), во втором и третьем случаях положим o'=(i) (jkl).
В каждом из этих случаев подсчитаем ог.
2) о. (i k l) ((I j k) (/)) ((i) (/ k j)) ((А / i) (/))=( l) (jk);
з) о.=(о(/л/)((1-/л/))((0(^/))((/л/о)=(;^^ =(»/*)(/).
В последнем случае поступим с аь как мы поступили с о во втором случае, и по п. 2 получим перестановку (i /) (/ k).
Итак, во всех случаях в Go содержится перестановка вида (//)(/*).
Докажем, что Go содержит любую перестановку вида (Л1«2)Х где все числа kit k^'ks, k< попарно различны. Для этого
240
образуем перестановку °2=( f'и подсчитаем перестановку вида °2((* 0(/^))°2"1 =(^1^2) (Л3Л4). Кроме того, обозна-
чим oo4±<J2-(i/) и подсчитаем:
Oo((i /)(/ = 02-* =
=<Ja(i 0 (j Л) 02-' =(М2)(Ы<).
Перестановки о0 и 02 отличаются на транспозицию (i /). Поэтому одна из них четная, а другая нечетная. Четную из них обозначим Оз- Поэтому ОзеД5 и (i/)(j fe)eG0 и
(й1Й2)(йзЛ4)=0Гз(‘ 0(/ Л)оГ'-
Поскольку Go — нормальный делитель, то (й1Й2)(^зЙ4)е Go-Накрнец, рассмотрим произвольную четную перестановку о из группы 4S. По теореме 4а она разлагается в произведение четного числа транспозиций. Разобьем это произведение на соседние пары транспозиций. Если каждая такая пара содержится в Go, то и произведение всех пар содержится в Go-
Пусть (kik2) (k3kt) — одна из таких пар. В ней числа ki и k2, k3 и kt по определению транспозиции различны. Если множества {Л1, Лг} и (Лз, kt} равны, то эти две транспозиции совпадают, а в представлении (*) из теоремы 4, очевидно, отсутствуют одинаковые соседние транспозиции. Если эти два множества дизъюнктны, то все числа ki, k2, k3, kt попарно не равны. Уже доказано, что любое такое произведение двух транспозиций содержится в Go.
Итак, осталось рассмотреть случай, когда эти два множества имеют один общий элемент. Например, пусть k\ = k3. Тогда получится перестановка (k\k2)'{k\kt). В множестве из пяти элементов (ведь п = 5), кроме трех различных чисел k\, k2, kt, найдутся еще два различных числа /1 и /2, отличных от этих трех чисел. По доказан-^ ному перестановки (Л1Л2)’(^^) и (l\l2)-(k\kt) принадлежат Go и~ (й1й2) (Л1Й4)=(Л1Й2) (/1/2М/1/2) (Й1Й4)- Поэтому (Й1Й2) (kikt)^ Go- Итак, доказано, что G0 = X5.
Следствие. Группа А5 является простой группой, а группа " S 5 не является простой группой.
Замечание. По существу повторяя доказательство теоремы 5, б, легко проверить, что для п>5 все группы вида Ап суть простые и неразрешимые группы, а все группы вида Sn — не простые и неразрешимые группы.
5. Понятие группы. Галуа. Формулировка теоремы Галуа. Пусть фиксирован многочлен f(x)=x"4-aix"-14-...-|-an и все его коэффициенты 1, ai, .... а„ принадлежат некоторому числовому полю Р. Тогда Q=PsC.
Например, Р — поле коэффициентов уравнения f(x)=O, т. е. Р^= 4±=Q(ai, .... а„).
241
Обозначим xi, ..., х„ все (вещественные и комплексные) корни уравнения f(x) = 0.
Как хорошо известно, над полем К^Р(х\, х„) многочлен f
раскладывается в произведение многочленов первой степени, т. е в произведение линейных многочленов:
VxeK(f(x)=(x —xi)... (х —х„)).
Наоборот, если над некотором полем К, где Р^К, многочлен f раскладывается в произведение линейных многочленов, то, очевидно, К содержит все корни уравнения f(x) = O.
Определение 5. а) Полем разложения многочлена [(•) из кольца всех многочленов Р[х] называется поле вида Р(х\, хп), где хь .... х„ — все корни уравнения f(x) = 0. Поле разложения такого многочлена f будем обозначать Р/.
б) Пусть Р и К — два произвольных поля, для которых Р^К. Группой Галуа поля К над полем Р называется множество всех автоморфизмов поля К, т. е. множество всех изоморфизмов вида W: К++К., для которых любая точка из Р неподвижна:
Vk<=P(W(k) = k). (*)
Как всегда, в множестве таких автоморфизмов в качестве групповой операции рассматривается операция композиции двух автоморфизмов.
Условие (Я<) можно записать в эквивалентном виде IFf P = id/>. Группа.Галуа поля К над полем Р обозначается G(K, Р). Очевидно, в ней симметричным элементом к функции f является функция f~' и нейтральным элементом — тождественная функция id вида id.K^K.
в) Группой Галуа уравнения f(x) = O называется группа Галуа поля разложения Р/ многочлена f над полем коэффициентов Ро этого уравнения, т. е. группа Галуа вида G(Pf, Ро).
Группой Галуа многочлена f .из кольца Р[х] и группой Галуа соответствующего уравнения f(x) = 0 называется группа G(P/, Р). При этом поле Р может быть шире поля коэффициентов Ро уравнения f(x)=0.
Напомним, что многочлен f из кольца Р [х] называется неприводимым над полем Р, если он ие представим в виде произведения двух многочленов из Р (х], степени которых больше или равны 1. В противном случае многочлен [ называется приводимым над Р. Мы будем рассматривать только многочлены степени, большей или равной 1, не оговаривая в дальнейшем это обстоятельство.
Если какой-то многочлен неприводим над полем Р, то он ие имеет корней в Р. Обратное неверно, например, для многочлена (х>+х+ I)2 над полем R.
В курсе алгебры доказывается критерий неприводимости для произвольного многочлена над полем Q. Он называется критерием Эйзенштейна и формулируется следующим образом^ пусть и многочлен получается' из f умножением f
иа наименьшее общее кратное знаменателей всех коэффициентов в [. Тогда fieZ[x]. Если все коэффициенты многочлена fi, кроме старшего, делятся иа ка
242
кое-то простое число q и свободный член в fi ие делится на число <f, то исходный .многочлен f неприводим над полем Q.
Например, по этому критерию любой многочлен вида х2+р‘х+р, где р — .какое-то фиксированное простое число, неприводим над Q, так как в качестве числа q можно выбрать исходное число р.
Для произвольного поля Р даже в случае Qc:P^R Неизвестно каких-либо явных критериев неприводимости над ним произвольного многочлена. Уравнения над такими полями гораздо труднее исследовать.
Неприводимым уравнением над полем Р назовем уравнение вида f(x)=O, где многочлен [ неприводим над Р.
Понятие неприводимого над полем Р уравнения интересно для нас тем, что в случае, когда многочлен f 'приводим над Р, любой аопрос о корнях уравнения f(x)=O сводится к вопросу о корнях сомножителей I и, таким образом, сводится к вопросу о корнях нескольких, уже неприводимых над Р уравнений.
Поэтому в дальнейшем будем-считать, что вер рассматриваемые уравнения и многочлены неприводимы над исходным полем Р (если специально не оговорено противное).
Важность-группы Галуа видна из следующей фундаментальной теоремы и того замечания, которое за ией следует.
Теорема Э. Галуа. Неприводимое уравнение f(x) = = 0, где f еР[х], разрешимо в радикалах в том и только в том случае, если его группа Галуа G(Pj, Р) разрешима.
Замечания. Ц Эта теорема не только сводит вопрос о выразимости с помощью радикалов корней уравнения Дх)=0 над полем Р к вопросу о свойствах одной определенной группы. Она дает больше: группа Галуа для многих конкретных уравнений сравнительно легко и явно вычисляется и для нее сравнительно легко' выясняется, разрешима ли она. Для таких уравнений теорема Галуа становится практическим критерием разрешимости уравнения в радикалах.
2. Теорема Галуа остается верной и для произвольных, не обязательно неприводимых уравнений. Мы не рассматриваем этот.-более сложный случай хотя бы потому, что любое уравнение сводится к неприводимым уравнениям.
В этом параграфе мы докажем первую часть теоремы Галуа (теорему 6), а в следующем параграфе — ее вторую часть.
Теорема 6. Если неприводимое уравнение f(x)~0, где /еР[х'[, разрешимо в радикалах, то'его группа Галуа G(Pt, Р) разрешима.
Чтобы лучше уяснить формулировку этой теоремы, сначала рассмотрим ее применения, а только потом, в пункте 7 этого параграфа разберем ее доказательство. Для применения этой теоремы, в первую очередь, нужно научиться вычислять группу Галуа данного уравнения. Даже для многочлена второй степени f(x)=x2 + a-x + b пока неясно, как её фактически находить. Ниже излагаются предложения 4—8 и теорема 7, которые позволяют явно вычислять группу Галуа для многих конкретных много
'243
членов. При этом в доказательствах используется следующее вспомогательное.
Предложение 4. а) Любое поле вида К (at, ..., as) состоит в точности из значений в точке (а}, as) всех таких рациональных функций f из поля К (xif .... xs), которые определены в згой точке.
б) Если а — корень неприводимого над полем К многочлена g степени п, то поле К (а) состоит в точности из значений в точке а всех многочленов степени меньшей или равной п—1 из кольца К[х]. Размерность векторного пространства с носителем К (а) над полем К равна числу п.
в) Пусть числа а\, аП являются корнями каких-то многочленов над полем Р и К^Р(а\, ..., аП). Тогда любой злемент из поля К является значением в точке (ait ..., а„) некоторого многочлена из кольца K[xi, .... хп]. (Числа at, а„ называются алгебраическими над Р.)
г) Любое неприводимое уравнение не имеет кратных корней. > а) Если f(xi, Xj)(=K(xi, .... х$), то, конечно, f(ai, ..., as)^K(ait ..., as). Обозначим KiqptKfai,.... as) и X5pt(f(ai,..., as)|f eK(xi,.... x3)} и получим ХеКь Множество X содержится в С, и относительно обычных операций над числами это множество, очевидно, является полем, содержащим поле К и числа вь .... as. Поэтому поле Ki содержится в X. Следовательно, К\=Х.
б) Очевидно, выполняется X4=t(f(a)|f eK[x])s/((a) и KsX, оеХ. Если X— поле, то K(a)sX, и, следовательно, К(а)=Х. Проверим, что множество X является полем. Для этого достаточно установить, что (f(a))-1eX, если /(а)=#=0.
Многрчлены f и g взаимно просты над К, так как если бы они имели общий делитель степени ^1, то он, являясь нетривиальным делителем неприводимого многочлена g, совпадал бы с k-g, где АеР. Тогда f(x)=k-g(x)-h(x) и f(a)=O. Получили противоречие.
Поскольку g и f взаимно просты, то по известной теореме* из курса алгебры существуют многочлены hi и Лг над полем-Л, для которых
f (*) • Ai (х)+g(x) .Л2(х)з 1.
Тогда f(a)-Ai(a)=l и (f(a))“* =Л((а) и Л1(а)еХ.
Итак, Х = д(а). Любой многочлен f из кольца К[х] можно по-( делить с остатком на многочлен g. Получится f=g -gi + r, где gi, г — многочлены из К[х] и г из степени —1. Тогда f(a)=r(a).
Поэтому Х= (r(a)|reK[x], степень r^n— 1).
Отсюда следует, что любой элемент k из К(а) представим в виде А=йо4-Л1’а+...4-Аи-1’а"_|. Поэтому линейные комбинации над полем К. элементов (чисел) 1, а,..., а"-1 образуют все множество К(а). Убедимся, что эти элементы линейно независимы. Если они линейно зависимы, то существуют такие скаляры (числа) k0, ..., kn-i из
1 См.: Куликов Л. Я-. с. 527.
244
К., не все равные нулю, что ko-\-k\a-\-...-\-kn-\an ’ = 0. Обозначим g\(x)^ko + kl-х + ... + kn-i-Х""1.
-Число а является корнем этого многочлена над К. Поэтому многочлены gi и g имеют над полем К(а) наибольший общий делитель степени >1. По замечательному свойству алгоритма Евклида этот наибольший общий делитель является многочленом над полем ’/(. Поэтому многочлен g имеет делитель над полем К степени от 1 до п — 1, что противоречит его неприводимости над этим полем.
Итак, множество
{1, а, .... а""1)
является базисом в векторном пространстве К(а) над полем скаляров К. (Вспомним, что любое поле является векторным пространством над любым своим подполем!) Следовательно, размерность К(а) над К равна п.
в) Доказательство проведем индукцией по п. Если тг=1, то К=Р(а\) и утверждение 4,в является частным случаем утверждения 4, б.
Допустим, что утверждение доказано для всех натуральных чисел, строго меньших тг.
Пусть Lv*P(ai, ..., a„-i) и k^K^P(ait .... ал)=Цал). По предложению 4,6 найдется такой многочлен Л(х) с коэффициентами из поля L, что Л = уо+Т1-ал + -- + ут-а", где y,-eL.
По предположению индукции все коэффициенты у; многочлена Л(х) равны значениям в точке (аь ..., ал_1) каких-то многочленов hi над полем Р, зависящих от и —1 переменной. Положим по определению
g(Xl, .... Xn)^tfto(xi, .... Хл-1) + Л1(Х1, ...’, x„_i)-x„4-...+
х +M*i, ••••
Тогда g(xi, .... хп) — многочлен над Р и
fe = ft(a„)=g(a1, а2, .... a„-i, ап).
г) Допустим, уравнение f(x)=O над полем Р степени п и имеет корень хо кратности ^2. Тогда этот корень является и корнем уравнения f'(x) = O. Следовательно, наибольший общий делитель g многочленов f(x) и f'(x) над полем Р(х0) имеет степень >1. При этом сами f(x) и f'(x) являются многочленами именно над полем Р. Следствием алгоритма Евклида является утверждение о том, что g является многочленом именно над полем 1Р. Поэтому g — делитель f над Р. Степень многочлена g, с одной стороны, >1 и, с другой стороны, ^(и— 1), так как g — делитель и многочлена f'. Это противоречит условно о неприводимости многочлена f над полем Р.
1 См.: Куликов Л. Я., с. 454, 471.
245
Предложен и’е 5. Для любого алгебраического уравнения 1(х)=хл + а1-хп-' + ... + ап = 0
его группа Галуа G(Pt, Р) изоморфна подгруппе группы Sn над полем Р.
[> Поле разложения Р; многочлена ) обозначим К, т. е.
♦tP(xi,хп), где Хь хп — все корни исходного уравнения f(x)=0. Разумеется, х,еК.
Для доказательства этого принципиально важного утверждения определим инъективный гомоморфизм (вложение) ф вида ф : G(K, P)-*-Sn. Тогда ф является изоморфизмом вида ф : G(K, Р)к-> -<-*/?(ф) и /?(ф) является подгруппой группы Sn.
Поскольку изоморфные объекты, в частности изоморфные группы, обычно не различают, то наличие такого изоморфизма означает, что группу G(K, Р) можно отождествить с группой /?(ф) и, следовательно, отождествить с подгруппой группы Sa-
Рассмотрим сначала случай (основной для нас), когда многочлен f неприводим над Р и, следовательно, по предложению 4,г все его корни xi, ..., хя различны. В этом случае не играет роли, писать ли сам корень х< или его номер i, так как корни хь ..., х„ и их номера 1, ..., п находятся в фиксированном биективном соответствии.
Итак, положим:
w₽eC<*’p>-
Числа вида W‘X, являются корнями уравнения f(x)=O, так как W (f(x/))=r(0)=0 и U7(f(x,))=f(U7.x,-), т. е. f(IT.x,)=0. Здесь используется тот факт, что W'(xn+ai-xn-14-...4-an)=(U^*x)n + aiX Х(^'*х)п-14-... + an для любого элемента
Если х(#=х/, то W’Xt^W-Xj, так как W: К-+К — инъективная функция. Поэтому в нижней строке таблицы () находятся п различных чисел. Все они корни уравнения f(x)=0, а всего таких корней не более п. Следовательно, в нижней строке содержатся все п корней этого уравнения, т. е. эта таблица определяет биекцию верхней строки на себя. Поэтому она является элементом группы S„, т. е. ф : G(K, P)-*Sn. Функция ф(-) инъективна. Если и (UP-xi,-..., W-xn)=(W'-Х\, ..., №"-х„), то для любого
числа k из поля К по предложению 4,а найдется представление в виде
Ж:::: где ft'’ .............
Тогда W• k = h'^'x...= ^’;х............= W'.k.
hi{w-х\, lF-xn) ft2(W"-x w -x„J
Получили противоречие. (Конечно, вместо предложения 4,а можно было сослаться на предложение 4,в.)
246
.—Хт
Осталось проверить, что "ф — гомоморфизм. Действительно, ф(№1о№2)=((1Г| ^2)>Х1 ) = ( =(г».х,...) Х
Х( .’) =Ф(^>Н(^)-
Если исходное уравнение f(x)=0 не предполагается неприводимым, то среди его корней xi, ..., хп могут быть равные.
Пусть среди них попарно различных корней ровно т, где т^п. Тогда множество чисел [1, ..., т} биективно с множеством попарно различных корней Xi, ..., хт, и, следовательно, для функции
w-xi w-x ) ПРОХ°ДИТ то же самое рассуждение, что и выше. В результате группа G(K, Р) вкладывается в группу Sm, где т^п. Но любая группа Sm изоморфна подгруппе в S„ с помощью инъективного гомоморфизма вида
ф1 ( 1 W 1 -т «+1-..п\
* \ kt ... km) \ kt... k„ т 4-1 ... п)
Поэтому и в случае кратных корней группа G(K, Р) также изоморфна подгруппе группы Stt.
Замечание. Таким образом, группе Галуа G(Pt, Р) раз и навсегда фиксированным способом соответствует некоторая подгруппа группы Sn всех перестановок корней уравнения п-ой степени f(x)=0 или, что то же самое, всех чисел (номеров этих корней) 1, ..., п. Группа Галуа G(Pf, Р) называется транзитивной, если соответствующая ей подгруппа группы Sn транзитивна. Как уже отмечалось, любая подгруппа группы S„ действует на множестве {1, ..., п]. Поэтому группа Галуа G(Pf, Р) действует не только на множестве Pf, но и на его части — множестве всех корней исходного уравнения.
Предложение 5 имеет принципиальное значение, потому что оно позволяет искать группу Галуа исходного уравнения среди под--групп одной, конкретной группы Sn. В частности-, из него следует, что группа Галуа всегда конечна. Предложение 5, теорема 5 и упражнение 8 немедленно дают первое глубокое следствие теоремы Галуа (которое, правда, другим способом в основном было получено в п. I).
Теорема 7. Любое уравнение степени ^.4 имеет в качестве группы Галуа какую-то подгруппу группы S< и, следовательно, разрешимую группу. Поэтому исходное уравнение разрешимо в радикалах.
В следующем пункте мы продолжим исследование вопроса о том, какой конкретный вид имеет группа Галуа исходного (неприводимого) уравнения.
6. Пример алгебраического уравнения, группа Галуа которого совпадает с симметрической группой 5-й степени.
Предложение 6. Пусть К — поле разложения какого-то
247
многочлена f над полем Р, т. е. K — Pf, и g — какой-то неприводимый над Р многочлен. Тогда для любых двух корней а и Ь уравнения g(x) = O, содержащихся в поле К, найдется такой элемент Wo из. группы Галуа G(K,P), что
W0(a) = b.
[> Пусть в множестве G(K, Р) ровно m элементов. Перенумеруем все элементы группы G(K, Р), начиная, как обычно, с единичного элемента: W\^id, W2, .... Wm.
Рассмотрим все числа вида'
Г,(а)... Wm(a) (*)
и докажем, что в этой последовательности чисел содержится число Ь. Тогда b вида b = Wt(a), где-/ — какое-то число от 1 до tn, и, следовательно, искомое IFo равно Wi.
Все числа из последовательности (э|с) содержатся в поле К, так как Wt: Если W^G(K, Р), то для любого /, где l^i^tn,
число W‘Wi(a)=;(W-Wi)(a) находится в последовательности чисел (Яс),так как произведение биекций W-Wi совпадает с каким-то элементом W,, где 1^/^т, группы G(K, Р). Образуем многочлен над полем К вида
W).
Очевидно, он степени tn и множество его корней в точности совпадает с множеством чисел в последовательности (>К), и> главное, все его коэффициенты а не меняются под действием на них любых биекций W из-6(/(, Р), т. е. W-a = a. Последнее легко проверить, явно выписывая коэффициенты этого многочлена (сделайте это, например, для т=3).
В приложении 3 в конце книги доказывается следующая
Лемма 9. Любое число k из поля К^Р/ неподвижное под . действием всех изоморфизмов из группы Галуа G(K, Р), т. е. VW<=G(K, Р) (W(k)=k), принадлежит полю Р.
Поэтому все коэффициенты многочлена й принадлежат полю Р, и, следовательно, й многочлен над полем Р. Число a=U7i(a) является корнем многочленов и g, и й. Поэтому g и й имеют наибольший общий делитель степени, большей или равной I над полем К и, следовательно, над полем Р (см. доказательство предложений 4,6, г). Поскольку многочлен g неприводим над Р, то таким делителем может быть только k-g, где йеР.
Итак, g делит й над полем Р, и, следовательно, каждый корень g является корнем й. В частности, корень b многочлена g является корнем многочлена й, т. е. одним из чисел в последовательности (4с). Поэтому b совпадает с каким-то числом IFz(a), и тогда искомое Wo равно W/.
Именно в упомянутой лемме 9 из приложения 3 используется условие о том, что поле K^Pf является полем разложения какого-то
248
многочлена f. При первом чтении разумно принять эту лемму без4 доказательства.
Замечания. 1. Многочлены f и g могут совпадать, но могут и отличаться.
2. В дальнейшем мы будем часто использовать предложение 6 для группы Галуа G (К, Р) и неприводимого многочлена g над полем Р. При этом, конечно, нужно проверять условие этого предложения, касающееся вида поля К, т. е. проверять существование-уакого многочлена f, что K=Pf. Это не всегда легко, однако во всех рассматриваемых далее случаях это так, т. е. возможен выбор такого многочлена [, что К=Рр Такую проверку иногда будем оставлять для самостоятельной работы.
3. Если числа а и b являются корнями приводимого уравнения g(x)=0 над полем Р, тр в общем случае неверно, что эти числа являются корнями какого-то одного неприводимого над Р уравнения (в последнем случае числа а и b называются сопряженными над полем Р).
4. Пусть К — поле разложения некоторого многочлена над полем Р и g неприводимый над Р многочлен. Если X множество всех корней многочлена g, то группа G(K, Р) транзитивно действует на множестве X.
Из предложения 6 уже вытекает ответ на вопрос о конкретном виде группы Галуа для неприводимого уравнения степени, меньшей или равной 3, и после некоторых дополнительных усилий — для неприводимого уравнения степени, меньшей или равной 4. А именно для неприводимого уравнения 2-й степени f(x)=O над полем Р группа Галуа G(Pf, Р) является подгруппой группы S2. Таких подгрупп ровно две: {id] и Зг- По предложению 6 группа Галуа транзитивна, т. е. в ней содержится биекция, переводящая различные корни исходного уравнения друг в друга. Такая подгруппа ровно одна: Зг. Итак, G(Pf, P)=S2.
Упражнение 10. Докажите, что транзитивными подгруппами группы Зз являются ровно две подгруппы: сама группа S3.. и ее знакопеременная подгруппа Аз.
Поэтому группа Галуа неприводимого уравнения 3-й степени совпадает/с З3 или А3.
Как узнать для конкретных уравнений, какой из этих двух случаев имеет место? Дискриминантом кубического уравнения f(x)= =х3-|-а-х24-6-х+с = 0 называется число
Dt = a2‘b2—4-63 —4-а3-с — 18а-b • с—27-с2.
Очевидно, Df^P.
Упражнение И*. Докажите, что G(Pf, P) = S3, если^/Df^P, и G(Pf, Р) = А3, если -\[Dt^P.
Указание. Проверьте, что Dt= ^П (х<—х/)2, где хь .... хп — все корни уравнения и-й степени (здесь и = 3).
Для неприводимого уравнения 4-й степени можно, Хотя и не
2 и
сколько более длинно, чем в случае уравнения 3-й степени, подсчитать все транзитивные подгруппы группы S4.
Упражнение 12*. Докажите, что транзитивными подгруппами группы St являются ровно 6 подгрупп: сама группа St, зна-кбпеременная группа At, клейновская группа Bt, группа Biz*
Л, ti, /3, O12, 41'012, /2'012, /3'012) и еще две группы вида (23)-Bi'(23) и (24)-Bi-(24). а также циклическая группа 4-го порядка с образующим Элементом (1 2 3 4).
Поэтому группа Галуа неприводимого уравнения 4-й степени совпадает с одной из этих 7 групп. Например, если исходное уравнение не имеет корней в поле Р (это наиболее содержательный случай, так как иначе можно перейти к уравнению над полем Р более низкой степени), то его группа Галуа либо S4, либо At-Какой из этих двух случаев имеет место, можно узнать по дискриминанту исходного уравнения, он определяется с помощью произведения, которое для случая уравнения 3-й степени приведено в упражнении 11.
Однако, не так легко явно найти группу Галуа неприводимого уравнения 4-й и, тем" более, 5-й степени, основываясь только на предложении 6. На помощь приходит то обстоятельство, что можно и далее конкретизировать ее вид.
Предложение 7. Если уравнение f(x) = O рассматривается над полем Р, содержащимся в R, и уравнение имеет ровно два невещественных корня, то его группа Галуа G(Pf, Р) содержит хотя бы одну транспозицию.
[> Поскольку коэффициенты многочлена f — вещественные числа, z то его невещественные корни сопряжены, т. е. имеют вид ai.2 =
=а±Ы. Остальные корни аз, ..., ап этого многочлена по предположению вещественные числа. Поле разложения многочлена f определяется как Pf=P{a\, ..., я„), а любой его элемент / по предложению 4,в имеет вид:
/ = g(ai, ..., яп),
где g(X\, ..., x„)eP[xi, ..., хп]. Поскольку все коэффициенты многочлена g — вещественные числа, то
t=g(at, а2, .... an) = g(a2, аь а3, .... яп)еРг.
Положим IF(/)ч±/, где (•) — функция сопряжения комплексного ' числа. Тогда W : Pf-*-Pf и V/ге P(W(k) = k).
Легко проверить, что W— изоморфизм, поэтому W^G(Pf, Р).
В соответствии с предложением 5 этому изоморфизму соответ-ствует перестановка Oi2=( „ ) , которая является транспозицией. \2 13... п/
Из предложений 6 и 7 получаем следствием неприводимое уравнение, удовлетворяющее условиям предложения 7, имеет транзитивную группу Галуа, содержащую транспозицию.
250
Это сочетание двух свойств — транзитивности и наличия транспозиции— позволяет по-новому подойти к отысканию группы Галуа для неприводимого уравнения с вещественными коэффициентами 3-й степени, которое имеет ровно один вещественный корень. А именно его группа Галуа содержит транспозицию, например, 02— ( J g (см. список всех элементов группы S3 на с. 249). Группа Галуа транзитивна, т. е. содержит перестановки, переводящие, в частности, 1 в 2 и 1 в 3. Пусть, например, это будут перестановки 04 = ( * 2 и о3 = ( * - Тогда она содержит перестановку
\ 2 I о / \ и 2 I /
(1 2 3\ / 1 2 3\
312)=о и перестановку o2.<j4= f з J =оБ. Поэтому G(Pf, P)=S3. Продолжите это рассуждение, разобрав в нем все возможные варианты значений Ог и о4, о3. Аналогичные, но более длинные рассуждения позволяют по-новому найти группу Галуа' для неприводимого уравнения 4-й степени с вещественными коэффициентами, имеющего ровно два невещественных корня. Однако главный вывод из этого сочетания свойств группы Галуа содержится в следующем предложении 8.
Отвлечемся сейчас для обсуждения одного вспомогательного вопроса, важного при практическом использовании предложения 7. Каким образом узнать, имеет ли уравнение f (х) = 0 ровно два невещественных корня? Для этого служит одна из наиболее фундаментальных теорем алгебры — теорема Штурма ([1|, Q. 524), которую мы сейчас напомним.
Пусть f—многочлен степени, большей или равной 1, с вещественными коэффициентами. Положим:
fo4±f, где [' — производная функция f, и fo=gi-fi — ft. degf2<degfi, fi=g2-fs — fa, degfa < degf2,
fm~2^.&m — I * fm — I fm, deg fm <C deg fm — 1-
Таким образом, конечная последовательность fo, ft, f2, ..., f„ получается при-, мененнем к многочленам f и [' алгоритма Евклида с той разницей, что всякий > раз знак остатка меняется иа противоположный.
Для определения числа вещественных корней многочлена f необязательно знать саму последовательность - fo, ft, fi, .... fm, достаточно знать последовательность знаков старших коэффициентов и последовательность степеней многочленов fo. ft, ... ..., f„. Поэтому если каким-либо приемом можно найти эти две последовательности, не вычисляя самих многочленов ft, то этого достаточно. Последовательность многочленов fo, fi, .... fm называется последовательностью Штурма.
Например, пусть f(x)=x5—п-х+п, где п — любое фиксированное натуральное число. Соответствующая последовательность Штурма находится следующим образом: fi(x)=₽tf'(x)=5x< — л; f(x)=fi(x)-g(x)-|-r(x), где
Xs —пх+п | бх4 —п 4 . 1
--ЛХ + Л -=-Х
251
4 4
II r(x)=—g-nx + n, отсюда f2(x)=-=-/w—л; fi(x)=fa(x)-<7(x)+'’(*). где degr< О D
. <degf2, t. e. degr=O
и r — постоянная. Поэтому найдем г, не выполняя фактически деления f( иа ft.
5 5-54
Корнем многочлена ft, очевидно, является число хо= — и r~fi(x0)= ;—и.
5®
Пусть л>—=12, 21 ... . Тогда r<JO и й>0. Выпишем знаки и степени 4-1
многочленов из последовательности Штурма:
++++ 5 4 10
Теперь по теореме Штурма нужно подсчитать число перемен знаков в верхней последовательности (оно, очевидно, равно нулю) и вычесть его из числа перемен знаков в следующей последовательности; — 4- — 4-, которая образуется" по правилу (- 1)Б • (+ 1), (-1)« - (+ 1). (- !)'.( + 1). (- 1)» - (+ 1).
В данном случае получится число 3. Это означает, что исходное уравнение f(x)=O имеет ровно три вещественных корня и, следоаательио, ровно два невещественных корня при л >13.
П р е д л о ж е и и е 8. Транзитивная подгруппа группы Sp простой степени р, содержащая транспозицию, совпадает с Sp.
Прежде чем доказывать это предложение, приведем его важное Следствие. Неприводимому уравнению простой степени над числовым полем Р, содержащемся в R, которое имеет ровно два невещественных корня, соответствует в качестве группы Галуа группа Sp.
[> Оно непосредственно вытекает из следствия к предложению 7 и предложения 8.
[> Изложим доказательство предложения 8, которое при первом чтении лучше пропустить. Обозначим транзитивную подгруппу, о которой говорится в этом предложении, буквой G. По условию она содержит какую-то транспозицию вида (й,-й>) и, кроме нее, может быть, еще какие-то транспозиции, содержащие число й» Выпишем их все:
(ЙЙ), (Й, Й), -, (Ййп)- (*)
Следовательно, во-первых, G содержит все транспозиции вида (йй). где /<т, так как
(йй)=(йй)-(й, й)-(йй),
и, во-вторых, G не содержит ни одной транспозиции вида (/4), где 1 и /т^=й, —, im, так как в противном случае она содер-
жала бы транспозицию (й/)=(йй) (fa) (йй).
Последнее противоречит тому, что список (М<) содержит все транспозиции, содержащие й- Это второе утверждение о гГодгруп-
252
пё G будет в дальнейшем доказательстве часто использоваться; обозначим его (Я< Я<).
Мы хотим показать, что на самом, деле выполняется т = р и, следовательно, среди чисел й, im находятся все числа от 1 до р.
Тогда G содержит любую транспозицию, так как для любых чисел i, j выполняется (i/) = (iii) (i\j) (йО-
Отсюда по теореме 4,а подгруппа G содержит все перестановки, т. е. G = SP, что и требуется доказать.
Допустим, выполняется т<р. Тогда существует число j, 1 отличное от всех чисел i\, im. Поскольку G транзитивна, то существует перестановка OieG, для которой О1(й)=/.
Пусть oi вида
_ __/ Й ‘2 — >т ... \
1 \ / /2 - ’
' Тогда выполняется a~'(i\ik)<3i=(jjk)^G для любого числа k, где
Действительно, (сгГ1 (ziifc)cri) (})=/*, и аналогичным образом jt переходит в j. Для /=й=/, jk получаем, что оГ'(Г)^Ы\, й, т. е. (оГ'(йй)О1)(0=(оГ1О1)(/) Ни одно из чисел j\^j, /2, ...» не совпадает ни с одним из чисел ii, »2, im. Действительно, число / отличается от всех чисел й, йп по его выбору. Допустим, например, /г=йп, тогда, как только что доказано, транспозиция (jj2)=(jim) принадлежит G, что противоречит доказанному выше утверждению (Яс Яс).
Итак, мы нашли 2т попарно различных чисел {й, ..., i,n, j\, /2, ..., jm}, и, следовательно, 2т^р.
Если выполняется 2т <р, то совершенно аналогично существует число k, l^k^p, отличное от всех этих 2т чисел. По транзитивности подгруппы G существует перестановка и2еб, для которой аг(й)=Л- Пусть о2 вида
„ __( i\ il — im .\
2 \kk2 ... km ...) ’
Как и в случае перестановки ой, доказывается, что ни одно из чисел ki^k, kz, ..., km не равно ни одному из чисел й, —, im- И, кроме того, ни одно из чисел ki,..., km не равно ни одному из чисел /1, /2, jm- Действительно, если, например, kz = jm, то G содержит транспозицию
О1ОГ1 (ЙЙ)О2ОГ1 = (оГ1 (kjim).
Поскольку Л#=/1, /2, ..., jm, ТО ОГ'^^Й, Й>, йп, ЧТО ПрОТИВОрв-чит утверждению
Итак, мы нашли множество попарно различных чисел {й, i2, Гт, jl, jz, —, jm, Л1, kz, ..., km}, СОСТОЯЩве ИЗ Зт ЭЛвМвНТОВ. ПОЭТОМУ Зт^р. Ясно, что когда-то такое построение оборвется и будет выполняться равенство g-m = p, поэтому число т делит число р, но по условию теоремы р — простое число и т^2. Поэтому т = р.
253
По следствию к предложению 8 еще раз по-новому получаем, что неприводимые уравнения степени 2, 3, 5 над полем Р, где P^R, у которых ровна два невещественных корня, имеют в качестве группы Галуа соответственно группы S2, S3, S5. К уравнению 4-й степени это-следствие неприменимо.
Теперь непосредственно из следствия к предложению 8 получаем второе глубокое следствие теоремы Галуа.
Теорема 8. Любое уравнение вида
х5 — р-х+р = 0,
где р — фиксированное простое число, большее или равное 13, имеет группой Галуа неразрешимую группу и, следовательно, ено неразрешимо в радикалах.
Замечание I. Теоремы 6, 7, 8 являются основными применениями теоремы Галуа к вопросу о решении в радикалах уравнений степени, меньшей или равной пяти.
2. Как мы увидим в § 3, теорема 7 не только утверждает разрешимость в раднкалах любых уравнений с разрешимой группой Галуа, но и позволяет по этой группе фактически найти в радикалах корни таких уравнений.
7. Доказательство необходимого условия в теореме Галуа. Докажем теорему 6, приведенную на с. 243, которая, очевидно, является необходимым условием в теореме Галуа (сравните эти теоремы). Доказательство теоремы 6 довольно сложно и длинно. Оно состоит из нескольких частей, концы которых будут отмечаться знаком ' . Читатель с пользой для себя может сформулировать эти части как самостоятельные утверждения. В процессе доказательства мы используем несколько лемм, доказательства которых содержатся в приложении 3 в конце книги. При первом, чтении разумно принять эти леммы на веру.
Общий план доказательства приводится1 ниже на с. 258.
Пусть неприводимое над полем Р уравнение f(x)=O разрешимо в радикалах. Это по определению означает, что существует радикальная цепочка полей вида
Р с с . (*)
в которой поле Р'< содержит все корни исходного уравнения. Тем самым PfsPs-. Существенную роль в доказательстве играет следующее определение.
Поле К называется нормальным расширением поля Р, если Р<=К, а К конечномерно над Р, и любое неприводимое над Р уравнение g(x)=0, имеющее в К хотя бы один корень, содержит в К все свои комплексные корни.
.Лемма 10. Для того чтобы поле К являлось нормальным расширением поля Р, необходимо и достаточно, чтобы К являлось полем разложения некоторого многочлена над Р.
Следствие. Если поле К является полем разложения ка
254
кого-то многочлена над Р, то число элементов в группе Галуа G(K, Р) совпадает с размерностью dimPK поля К над полем Р.
Лемма 11. Любое радикальное расширение Р',> поля Р содержится в некотором нормальном радикальном расширении К поля Р.
По лемме 11 вместо цепочки (*) можно рассмотреть радикальную цепочку
Р^РосР,с...сР5^/(, (**)
в которой новые поля Pi, ..., Ps, может быть, отличаются От полей Pi, P's,, входивших в исходную радикальную цепочку, но поле К содержит прежнее радикальное расширение P's, и'потому содержит поде Pf. Следовательно, К содержит все корни исходного уравнения и — ради чего мы перешли от цепочки (Я<) к цепочке (4: *)— поле К есть нормальное расширение исходного поля Р.
По определению радикальной цепочки каждое поле Р, является простым радикальным расширением предыдущего поля Pi-i.
Напомним, что простым радикальным расширением поля Pt-i мы назвали поле вида P,-=ftP;_i(^, ^ai-i), где a(_i—какой-то фиксированный элемент из Pi-i и £— первообразный корень щ-й Степени из единицы. Поле Р; является полем разложения уравнения над полем P,-_i вида g(x)^(xm — a;_i)=0.
Действительно, пусть 0 — какое-то одно значение корня m-й степени из числа Oj_i, т. е. Q^^/ai~i- Тогда Р, содержит Pt-i и все rti корней 0,’0«£, 0’&'. —, 0*£m_1 уравнения g(x)=0 (см. п. 1).
Поэтому Pg^Pi. Наоборот, Pg содержит Pt-i и числа 0 и ©•£ как корни уравнения g(x)=0. Поэтому Pg содержит Р^ и числа 0 и £ = 0 • t
= ~> т- е- Pi^Pg- (Здесь существенно используется то, что уравнение g(x)=0 и соответственно его поле разложения Pg рассматриваются именно над полем P,_i.)
По лемме 10 получаем, что каждое Pi является нормальным расширением поля Pi-i.
Образуем цепочку групп Галуа вида
G(K, P)=G(K, Ро), .... G(K, Р.). G(K, Р,)=И.(***)
Оказывается, эти группы включены друг в друга и при этом в обратную сторону по сравнению с исходной цепочкой (sic*)! А именно
G(K, P)=>G(K, Pi)=>...=>G(K, P<)=>...=>G(/(, Ps).
Действительно, если W<=G(K, Pi), то W : К -+K—изоморфизм и V7eP;(IF£) = <), Тогда тем более VfeePr-i(IF(fc)=fe), так как Pf-i<=P(. Обозначим группы, составляющие цепочку (***), соответственно G, G(, ..., Gt, .... Gs={id].
1) Поскольку P/-i<=P;(=K и Pt — нормальное расширение Pt-i, то Gt — нормальный делитель G;_i. Докажем это.
255
Пусть W — какой-то элемент группы G(K, Pt-i). Положим Pi. За счет нормальности Pi над A-i получаем Vt(=Pi(W'(t) = W\t)^P;). Действительно, Pt— конечномерное векторное пространство над полем Р(_| какой-то размерности е. Поэтому для любого фиксированного t из Pi выполняется 1, f1, t2, ..., ie — линейно зависимая система элементов над Pt-i, так как иначе в Pi над Р,-\ существовал бы базис из (е+1)-го элемента.
Итак, существуют числа (скаляры) Ло, ke из P.-i, для которых выполняется
Ло* 1 Ч"... Ч" ke’. Iе—0.
Поэтому g(/)=±0, где ^(х)з=ьЛоЧ---Ч"Ле’Хе — многочлен над P,_i.
Если многочлен g приводим над Pt-i, то t является корнем одного из сомножителей g. Таким образом, найдется неприводимый над Pi-i многочлен, корнем которого является число t. Этот неприводимый над Pi-\ многочлен также обозначим g. Так как t корень многочлена g, то W-t также его корень.
По нормальности поля Pt под полем Pt—i корень W(t) принадлежит Pt.
Итак, W': Pt-^-Pi, следовательно, W'^G(Pi, Pt-i). Образно говоря, под действием W множество А-_( остается на месте, а множество Pi перемешиваемся в себе.
Получилось отображение Л : вида G(K, Pt-i)-+G(Pt, Pt-i).
Легко проверить, что оно гомоморфизм. Вычислим его ядро: KerA = {IFeG(K, P1_l)|IT' = id}=(ir eG(K, Р,_,)| V/<=P;(IF(/)= = /)}=(?(/<, р(). По упражнению 7 получаем: G(K, Pi) нормальный делитель группы G(K, Р;-1), т. е. G< нормальный делитель G(_i.
По тому же упражнению 7 : G(K, P(_i)/Ker h = G(K, Pt-i)/G(K, Pi)^R(h), где /?(Л) подгруппа группы G(Pt, P,-_i).
2) Покажем, что R(h) = G(P„ Pt-i). Тогда группа G;-i/G( изо- морфна группе G(Pt, Pt-i) и, следовательно, их можно не различать.
Для определенности рассмотрим случай, когда /=1. Здесь в свою очередь возможны два случая и £ ^Р.
Рассмотрим первый из них, когда Тогда Pi^Pfa, 0)= = Р(0), где 0 один из корней и a0^.R. Фиксируем это число 0. Уравнение z"‘ = ao, может быть, приводимо над Р, однако для его корня 0 найдется неприводимое иад Р уравнение g(x)=0, для которого g(0)=0. Оно имеет какую-то степень /, где l^tn. По предложению 46 поле Р\ как векторное пространство /-мерно над “полем Р, и это обстоятельство будет использовано чуть дальше.
Фактор-множество G(K, P)/G(K, Pi) содержит ровно I элементов. Действительно, два изоморфизма W и W' из G(K, Р) считаются эквивалентными и попадают в один класс, если eG(K, Pi). По лемме 10 из нормальности К'над Р вытекает, что поле К — поле разложения какого-то мног-очлена над Р. Для уравнения g(x)=0 и любого его корня 0/, где 1^/^/, по предложению 6 найдется такой автоморфизм W^G(K, Р), что IF(0)=0(. Этот
256
автоморфизм обозначим через Wt- Таким образом получилось / автоморфизмов UZi, W2, №3, —, Они попарно не эквивалентны,
так как если бы WfWj~'^G(K, Pi), то Wf 1Г)-1(0)=0 (ведь OePij и IF((0)= IF/(0), O/ = 0i, Wt=Wj. Поэтому в рассматриваемом фак-тор-множестве содержится / разных классов эквивалентности
С другой стороны, никаких иных классов эквивалентности в нем нет.
Действительно, произвольное W из G(K, Р) эквивалентно одному из изоморфизмов №;,чт. е. [№]=[№/], так как число 1Г(0) равно одному нз чисел 0(; поэтому Ц7(0)=0,= Ц7/(0), U^r1°W'(0)=0, (IFF'oW^l'P^idp,, Wrl°W^G(K, Pi). Это и означает, что автоморфизмы W и Wi эквивалентны. Итак, в фактор-множестве G(K, P)/G(K, Pi) ровно I элементов. Следовательно, и в группе Р(Л), биективной с этим фактор-множеством, ровно I элементов. Поскольку поле Pi /-мерно над полем Р, то по следствию к лемме 10 группа G(Pi, Р) состоит ровно из / элементов, и, следовательно, P(/i)=G(Pi, Р).
Итак, случай iJeP полностью разобран.
Отметим, что доказательство последнего равенства не использовало никаких свойств числа 0^ кроме одного: это число является корнем неприводимого уравнения g(x)=0 над полем Р. Воспользуемся этим, чтобы доказать такое же равенство во втором случае, когда £^Р. Тогда Р1=^Р(£, 0).
Найдется такое число а, что Р(£, 0)=Р(а) и а корень уравнения неприводимого над полем Р. Поэтому второй случай сводится к первому. Убедитесь в этом, повторив все рассуждения сначала. Чтобы указать такое а, можно использовать соответствующий результат из курса алгебры или решить следующее
Упражнение 13. а) Пусть ai — корень неприводимого над полем Р уравнения fi(x)=O и а2— корень другого неприводимого над полем P(af) уравнения [г(х)=0. Пусть 0i = ai, 02, > 0Я— все корни уравнения fi(x)=0 и yi=a2, уг, .... ут— все корни уравнения f2(x)=0.
Наконец, пусть рациональное число с отлично от всех чисел вида
?', где 1=1, 2, .... п и i = 2, ..., tn и a^ai-)-c-a2. Докажите, что Ti—Ti
P(ai, a2)=P(a).
б) Построенное число а является корнем некоторого неприводимого над полем Р уравнения.
в) Далее по индукции получаем аналогичную «свертку»
Р(аь а2, а3)=Р(а,, аг)(а3)=Р(а)(аз)=Р(а, а3)=Р(а'), где число а' образуется по числам а и аз точно так же, как выше число а было образовано по числам ai и а2. Таким же образом поступаем для всех полей вида P(ai, ..., ап).
Указание к б. P(ai, а2)=Р(а) конечномерно над полем Р.
9 Заказ 227
257
Итак, можно образовать фактор-группы всех
= 1, s и они отождествляются соответственно с группами
G(P(, Р,_,).
3) Следующий принципиально важный шаг нашего доказательства состоит в том, что все группы G(Pi, Pt-\) и, следовательно, все группы Gi-i/Gi разрешимы.
После этого получается почти то самое, что нужно доказать в теореме 6. Действительно» цепочка групп (>|с >|с >|с) состоит из нормальных делителей и фактор-группы Gt-i/Gi разрешимы, что «почти то же самое», что они цикличны. Поэтому (>|с >|с >|с) разрешимая цепочка для группы G**G(K, Р), т. е. G(K, Р) разрешима. Группа G(K, Р) «почти то же самое», что группа G (Pf, К). Поэтому G(Pf, Р) разрешима. это и требуется доказать в теореме 6.
Разрешимость всех групп G(Pi, Pi-\) проверяется, конечно, одинаково. Для определенности мы будем рассматривать случай, когда i== 1, т. е. докажем, что группа G (Pi, Р) разрешима. Для этого мы собираемся вложить группу G(Pi, Р) в одну конкретную разрешимую группу, которую ниже определим и обозначим Gn. Иными словами, G(Pi, Р) окажется подгруппой разрешимой группы G„, и тогда можно будет воспользоваться следующей леммой.
Лемма 12. Любая подгруппа и любая фактор-группа разрешимой группы сама является разрешимой группой. -
Сейчас, когда доказательство теоремы 6 должно в целом просматриваться, полезно еще раз обратить внимание иа следующий общий план этого доказательства:
I) Даны многочлен f над полем Р и радикальная цепочка Р<=Р(<=...(= Р',-, где Pi^P's..
2) Получаем радикальную цепочку PcPi(=...<= К, где К есть нормальное расширение поля Р и Pj^K-
3) Поле Pit&Pi-ifc, есть поле разложения многочлена g(x)^xm — сц11, нормальное над полем Р/_(.
4) Получаем цепочку групп Gro Gi гэ...гэ Gz-i гэ G,<2 ...ro{id}, где Gi—'нормальный делитель группы G,_|.
5) G(_i/G,sP(ft)=G(P(, Р/_!).
6) Группа G(Pi, Р/_1) разрешима, так как существует ее вложение h\ в разрешимую группу G„ (лемма 12).
7) Разрешимость групп Gz-i/G; «все равно», что их цикличность.
8) Разрешимость группы G(K, Р) влечет разрешимость группы - G{P,. Р).
Поскольку оставшаяся часть доказательства теоремы 6, с одной стороны, уже просматривается, а с другой стороны, носит более технический характер, чем раньше, то при первом чтении ее разумно пропустить.
4) Определим группу G„ и, главное, докажем, что она разрешима.
Пусть Fn одновременно множество н кольцо, состоящее из всех.
258
-вычетов по модулю натурального числа п, т. е, Fa^Z/~ ь где отношение эквивалентности fo~ifo определяется условием, что
j остатки от деления чисел k\ и fo на число п (в кольце Z) равны, вместо fo~fo часто пишут fo = fo(rnodzz). Элементы множества F„ обозначаются как обычно [Л] или' иногда k. Кольцевые операции в множестве Fn определяются как обычно:
[foj-Hfol^lfo+fo], [foHfofcHfo • fo], o^t[o].
Легко проверить, что такая система действительно является Кольцом.
- Упражнение 1.4. Докажите, что элемент [fe] из кольца Fn обратим в нем тогда и только .тогда, когда число k взаимно просто с числом п (в кольце Z).
Обозначим К' множество, состоящее из всех обратимых эле-,'ментов кольца К, и определим в нем бинарную операцию, индуцированную умножением в К. Если К тело, то К*= К'. В частности, множество Fn, определяемое по кольцу Ftt вида F'tt={[foeFn|fo взаимно просто с и}.
Упражнение 15. Проверьте: если К — кольцо, то'К' — группа. В частности, F'n есть конечная абелева группа.
Обозначим Gn^t({/s eZ | k взаимно просто с n]XZ)/~2, где ,(fo Z)~2(fo, /1) означает k^\k\ и Класс эквивалентности относительно отношения эквивалентности ~2 обозначим [Л, /1. В множестве Ga определим операции: [Л, /]•[/, l-t-^r] и [fo Z]_1^t
fo1-/], где k~l любой представитель из класса эквивалентности [Л]—*, содержащегося в F'a, а также положим 1 c„*t[l, 0].
Упражнение 16. Проверьте, что эти операции корректно определены и относительно них множество Gn является группой.
При и>3 группабп не абелева, так как, например, [1, 2]-[а, 0]= =[а; 2а] и [а, 0]-[1, 2]=[а, 2].
Положим ф : Ga-*-F'n, ф([Л, /])ч±[Л].
Упражнение 17. Докажите, что функция 4» корректно^ определена и является сюръективным гомоморфизмом.
Отсюда по упражнению 7 получаем
(Ga/ Ker ф) a? F'tt.
Ядро функции ф равно Кегф = {[й, /]|ф([Л, /])=[1]}={[Л, /]|[Л]= =[l]]=([fo /]|й~11}={[1, /]|/<=Z].
Положим ф1: Кег ф-»-Ря, ф|([1, /])ч=ь[/]. Функция ф! является изоморфизмом между подгруппой Кегф группы Gn и аддитивной группой кольца Fn, т. е. Кегфё?А„ь.Группа Ft циклическая с образующей [1]. Поэтому Кегф также циклическая группа.
Итак, мы нашли цепочку групп Gnro Кег фгэ([1, 0]) (>К) Для группы Gn. При этом Кег ф, нормальный делитель в группе Gn и Кегф/{[1, 0]}=КегфааГ^ — циклическая группа, и' также Gn/Кег ty^Fh — конечная абелева группа, и, следовательно, к ней
259
применима ниже указанная лемма 13. Поэтому обе фактор-группы 0,,/Кегф и х(Кег ф)/Ц1, 0]) в цепочке групп (Я<) разрешимы.
Лемма 13. Любая конечная абелева группа разрешима.
Теперь воспользуемся следующей леммой.
Лемма 14. Если группа G обладает цепочкой групп
G^Go^> Gi ю G2^> ...^> Gs = [id},
в которой все Gi являются нормальными делителями предыдущих групп G/-1 и все фактор-группы Gi-i/G, разрешимы, то G обладает разрешимой цепочкой групп и, следовательно, является разрешимой группой.
Мы приходим к тому, что группа Gn разрешима.
5) Следующий шаг состоит в том, чтобы вложить группу G(P\, Р) в группу G„ и тем самым доказать, что группа G(Pi, Р) изоморфна подгруппе группы Ga. Отсюда по лемме 12 немедленно получится, что группа G(P\, Р) разрешима. Тогда по той же лемме 12 и группа G/Gi разрешима.
Аналогично разрешимы все группы вида Gi_\/Gi. Поэтому цепочка (>|с >|с Я<) состоит из нормальных делителей (все G; — нормальные делители G<-i) и все фактор-группы G;_|/G, разрешимы. По лемме 14 это означает, что исходная группа G(/(, Р), ради которой и проводились все эти построения, разрешима. Это почти то самое, что требуется доказать в теореме 6.
Итак, вложим группу G(P\, Р) в группу вида G„ при некотором значении числа п. Напомним, что Pi^P(£, 0), где Q=!^/ao.
ЕсЛИ W^G(P\, Р), то число — корень уравнения хт=1, и, следовательно, существует натуральное число k, для которого = (почему?). Это число k взаимно просто с числом т. Действительно, если это не так, то существует число 1, для которого k = t‘Ti и т=1-г2. Тогда (£*У’=£*’" =£ im, так как kr2 = = Ьг\Г2 = г\т, и далее = (£m)r'= 1Г| = 1. Поэтому число С* является корнем степени г2 из 1, где г2<т. Отсюда &=1Г_1(&®) и £г* = = W~l ((^XJ)= №-1(1)= 1, т. е. £г’ = 1, где г2<т. Согласно опре-
—' 2л 2л
делению 3 в п. 1 получаем = е т , т. е. cos—г2=1, — г2= = 2?л, где 0<-^<1 и q—целое число. Получили про-
тиворечие.
Число W'(G)—корень другого уравнения хт = ао. Поэтому су-ществует7 натуральное число /, для которого IF(0) = £(*0. Положим Й1(№)ч±:[й, /]. Ясно, что функция Ai вида Ai : G(P\, P)-+Gm.
Упражнение 16. Проверьте, что функция hi корректно определена.
Функция Л1—гомоморфизм: если Ai(IFi)=[£, Z] и /11(^2)= =[/, г], т. е. Wi(t,) = ^, W'1(0)=&/.0t W2($=t‘, №»(©)=£'-0, то (Fi.r2)(e)=r2(e)=e-' и (WiW2)(e)=w2^‘Q)=(w2(^)‘<r-e= = £"+'•0. Итак, hi(Wi • Г2)=[й-t, bt+r]=h(Wi)-h(W2). Функция Л,
260
инъективна, так как Kerfti={id}. Действительно, если Л|(№)=[1, 0], то №(£)=£' = £ и IF(0)=&o-0 = 0. По предложению, 4,6 отсюда вытекает, что любой элемент поля Ri=P(&, 0) неподвижен относительно W, т. е. JT=idP1. Итак, h\ — инъективный гомоморфизм, и, следовательно, функция h\ — изоморфизм вида h\ : G(P\, Р)++ <->-/? (Л i), где /?(Л1)—подгруппа Gm. Поэтому группа G(P\, Р) изоморфна подгруппе R(h\) группы Gm с Помощью изоморфизма Ль • Это и нужно было доказать.
Итак, группа G(K, Р) разрешима.
6) Нас интересует группа G(Pf, Р), где Pf^K. Как перейти от разрешимости группы G(K, Р) к разрешимости группы G(Pf, Р)? Для этого применим следующую лемму.
Лемма 15. Если поле К — нормальное расширение поля Р и поле разложения Pf некоторого многочлена над Р содержится в К, то группа Галуа G(Pf, Р) изоморфна фактор-группе G(K, P)/(G(K, Pf).
Отсюда по лемме 12 независимо от разрешимости группы G{K, Pf) получаем, что группа G(Pf, Р) разрешима. Итак, теорема 6 доказана.
Следствие. Неприводимое над полем Р уравнение f(x) = O имеет корень, выражающийся в радикалах, в том и только в том случае, если оно разрешимо в радикалах.
[> Пусть это уравнение имеет корень, выражающийся в радикалах. По определению это означает, что существует радикальное расширение Ps исходного поля Р, содержащее этот корень. По лемме 2 существует нормальное радикальное расширение К поля Р, содержащее Ps и, следовательно, содержащее один из корней исходного уравнения. В силу нормальности поля К над полем Р оно содержит и все остальные корни неприводимого над Р уравнения f(x)==O.
§ 3. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ СТЕПЕНИ? МЕНЬШЕЙ ИЛИ РАВНОЙ 4, В РАДИКАЛАХ
1. План решения в радикалах алгебраических уравнений с разрешимой группой Галуа. В этом параграфе мы изложим способ, в сущности алгоритм, решения в радикалах тех алгебраиче-" ских уравнений, которые имеют корни, выражающиеся в радикалах, т. е. по теореме Галуа таких уравнений, которые имеют разрешимую группу Галуа. Конечно, этот способ не будет столь простым, как подстановка коэффициентов квадратного уравнения в формулу — Ь± ~\]bs—4ас
------------. Но этого и нельзя ожидать; даже аналогичные 2а ,
формулы для уравнений 3-й и 4-й степени, т. е. формулы Кардано и Феррари, настолько не просты, что при численном решении этих уравнений на ЭВМ они обычно не используются. Наш же способ
261
решения алгебраических уравнений в принципе годится для любых уравнений, а не только для уравнений 3-й и 4-й степени.
Кроме того, в этом параграфе мы докажем теорему Галуа в полном объеме, а именно докажем утверждение, обратное к теореме 6.
План этого способа решения в радикалах алгебраического уравнения состоит в следующем. Пусть
f (х)=х" 4- а\хп~14-... 4- ап=0 —
любое уравнение п-й степени над полем Р с разрешимой группой Галуа. Последнее означает, что группа G(Pf, Р) разрешима.
На протяжении всего этого параграфа будем предполагать, что исходное поле Р содержит первообразные корни из 1 всех степеней. Если в каком-то конкретном примере это не так, то всегда можно расширить поле Р, добавив к нему все корни из единицы всевозможных степеней.
Разрешимость группы Галуа означает существование разрешимого ряда
G(Pf, P)=>Gi =>...=> G,=M.
в котором все G; — нормальные делители групп G;_i и все фактор-группы //(-isptGi-i/G; циклические.
Будем строить корни уравнения f(x)=O индукцией по переменной s. Начальный шаг соответствует случаю s = l, т. е. случаю, когда сама группа Галуа G(Pf, Р) циклическая. Индуктивный шаг состоит в переходе от s— 1 к s, т. е. предполагая, что мы умеем по любой разрешимой группе вида G(Pf, Р) с разрешимым рядом длины s— 1 построить все корни уравнения f(x) = 0 (точнее — построить радикальное расширение поля Р, содержащее поле Pf и, в частности, содержащее все корни исходного уравнения), мы должны указать способ построения для разрешимой группы вида G(Pf, Р) с разрешимым рядом длиной $ всех корней уравнения f(x)=O, т. е. опять-таки построить радикальное расширение К поля Р, содержащее поле Р/.
2. Разрешимость в радикалах алгебраических- уравнений с циклической группой Галуа.
Теорема 9. Если группа Галуа уравнения f(х) = 0 над полем Р циклическая, т. е. группа G(Pf, Р) циклическая, то само поле Pf является радикальным расширением поля Р и даже его простым радикальным расширением.
[> Пусть W^G(Pf, Р) и W — образующая группы G(Pf, Р). Тогда все элементы этой группы вида W™, W‘, W2, .... W"~l, где n — число , элементов в ней. Обозначим £ первообразный корень из 1 степени
-/ п, т. е. комплексное число .
По предположению, сделанному в п. 1, это число £ принадлежит Р.
Обозначим K^tPf. ^Определим семейство функций, зависящее
262
от числового параметра /:({/, 1Г1 (Л)+ &2/> ^(Л)+
4-£(n-1>,/.Wn~'(k)= W'(k), где t — фиксированное целое
число и переменная k пробегает множество К. Все функции из этого семейства функций вида
(£', k):K^K.
Функция (£', k) называется t-й резольвентой Лагранжа. Рассмотрим значение Л) 1-й резольвенты Лагранжа в какой-то точке k из поля К- Ясно, что P(k)sK. Подполю P(k) соответствует подгруппа G(K, Р(Л)) группы G(K, Р). Так как по условию группа G(K, Р) циклическая, то любая ее подгруппа циклическая.
Упражнение 19. Если Gi — подгруппа циклической группы G и g — образующая группы G, то элемент gd, где d — число элементов в группе G/Gi, является образующей в группе Gj. Число d называется индексом подгруппы G\ в группе G.
Согласно упражнению 19 элемент W, где d — индекс подгруппы G(K, Р(Л)) в группе G(K, Р), является образующей в группе G(K, P(k)). В частности, Wd^G(K, P(k)). Поэтому Wd(k)=k и Wi'd+i(k)=Wi°(Wd°...oWd)(k)=Wl(Ji) для любых чисел i и /.
Отметим, что число d классов эквивалентности в фактор-множестве G(K, P)/(G(K, P(k)) делит общее число п элементов во множестве G(K, Р), так как есть число элементов в любом классе эквивалентности. Любое натуральное число / представимо в виде l=i‘d-\-j, где —1 и /, j — натуральные числа.
п — 1 “ m — 1 4— 1
Тогда (&, k)= go rd+/- W‘-d+i(k) =
= g^',d+/-W"W= £•№'(*). £o' rd. Если4<«, TO
^=/=1, и поэтому 20 rd = lH4d + --K<ra-11’d=-4-q3------7z|j =
= 0, так как £” = 1.
Следовательно, условие d<n влечет (£*, fc)=0, поэтому условие (£, й)^0 влечет d=n, так как d^n. Но равенство d = n означает, что каждый класс эквивалентности состоит из одного элемента, и, в частности, группа G(K, P(k)) состоит из одного элемента, т. е. G(K, P(A))={id}.
Отсюда вытекает, что P(k) = K. Действительно, по ниже ука-, заиной лемме 16 поле К является полем разложения какого-то неприводимого многочлена g над полем P(k). Поэтому К= = Р(^) (Уь Уз), гце у\,..., ys — различные корни уравнения g(x)=0.
Допустим, s>2. По предложению 6 найдется автоморфизм W из G(K, P(k)), для которого W(y\)=y2- Такое W, конечно, не может быть равно id. Получили противоречие. Поэтому s=l, т. е. .многочлен g первой степени (почему?), и, следовательно, Л1-у14-Лг=
263
= 0, где ki, k2e.P(k). Отсюда у\ — — k\ l-k2 и P(k)(y\) = P(k), P(k)=K.
Лемма 16. Если поле К является полем разложения какого-то многочлена над полем Р и P<=L<=K, то поле К является полем разложения и над полем L.
' > Поле К имеет вид K=P(xi, хП), где xi, хп —все корни какого-то многочлена f над полем Р. По упражнению 13 поле К Можно представить в виде К = Р(а), где а—корень какого-то неприводимого многочлена g(x) над полем Р. Это g(x) является многочленом и над полем L. Очевидно, выполняется K = P(a)sL(a)e sK, поэтому L(a) = K.
По лемме 10 из § 2 п. 7 поле К нормально над полем Р и, следовательно, содержит все корни уравнения g(x)=0. Так как Ца)— наименьшее поле над L, содержащее один из корней уравнения g(x) = 0, а именно корень а, то Ца) — поле разложения многочлена g(x) над полем L.
Итак,
УАеад, k)^0^K^Pf=P(k)). (*)
Дальнейший план доказательства таков: найдем число ko из поля Pf, для которого a) йо)=/=О,
и затем убедимся, что
б) Pf=P(ko) совпадает с P(kt) и k\ — значение радикала какой-то степени из какого-то элемента поля Р.
Отсюда будет следовать, что Pf — простое радикальное расширение Р, что и требуется доказать.
Начнем с п. а. Поле Pf по определению вида Pf^P(xi, ..., xs), где х\, ..., xs — корни уравнения Дх)=0. По упражнению 13 найдется такое число а, что Pf^P(Xi, xs)=P(a).
Докажем, что значение 1-й резольвенты Лагранжа хотя бы на одном из чисел а, а2, ..., ап~1 отлично от нуля, т. е. хотя бы одно из чисел (£, а), ..., (£, ап-1) не равно нулю. Допустим противное.
Тогда
а + &-ад + ...+Г-1-^я-1(а)=0,
а2-К- №(а2)4-...-К"-1 • Гп-,(а2)=0,
ап"1 -К •' W(an~1)+1 ’• W"-' (ап~')=0.
Так как (£, 1)= 1 -Н+-.. + £”-1 =0, то столбцы следующего определителя линейно зависимы:
1 1 ... 1
a W(a) ... Wn-'(a)
a2 W(a2) Wtt~'(a2)
att~' -W(an-{)Wtt-'(an-') .
Следовательно, он равен нулю. С другой стороны, мы сейчас
264
покажем, что он не равен нулю, и это приведет к противоречию. Так как W — гомоморфизм, то указанный выше определитель равен следующему определителю размером тгХ п:
11 ... 1
a W(a) ’ ... IF”-1 (а) а2 (IF(а))2 ... (IF”-1(a))2
а""1 (<F(a)y_|... (U7"-1‘(a)jn-1.
Как известно из курса алгебры, этот определитель (называемый определителем Вандермонда)1 равен произведению всевозможных разностей чисел a, W(a),-..., Wn~,(a). Но никакие два числа из этой последовательности чисел не равны между собой.
Действительно, если ^(а)= Й^(а), где —1, то
Wl~‘(a)=a.
Поле К конечномерно над полем Р. Любой элемент поля К, в частности элемент а, является корнем некоторого алгебраического уравнения над Р просто потому, что числа а®, а*, ..., ат не могут быть линейно независимы при всех т (иначе К над Р было бы бесконечномерно). По предложению 4,6 любой элемент k из поля Р(а) является значением многочлена над Р в точке а, поэтому Wl~i(k)= . = k.
Следбвательно,
Уй<=К(№'-'(й) = й), IF'"' = id,
где j—i^n.— 1, поэтому число элементов в группе G(Pf, Р)= ={W°^E, IF1, ..., IFn-l| меньше или равно п— 1, что противоречит определению числа п.
Итак, п. а доказан, т. е. найдется такое число ko, для которого . число fei=ffc(^’, й0) 5&0 (и следовательно, Pf = P(£o)).
Перейдем к п. б и проверим, что Pf = P(k0) совпадает ,с P(fei) и, кроме того, число k" принадлежит Р. Тогда- а0ой”.<=Р и Р( = = Р(-\[ао). Это завершит доказательство теоремы 9. Отметим, что k0 лкэбое число, для которого (&’, йо)=#=О.
Пусть t — любое целое число. Рассмотрим /-ю резольвенту Лагранжа (£', х) в точке ko и вычислим:
W, k0)) = W(k0 + • IF1 (ko) + ... + ^a-''>,-Wn-'(ko))=W(ko) + t‘-^W\ko)+... + ^n-2}‘ Wn-l(ko) + tala-'},Wn(k’o)=W(ko)^i -W2(k0) + - + .„ + &("-2)<.и7"-1(Ло)_|_^-1)'.Ло = Г'.(&', ko), так как TF(^)=&' (ибо ^eP) и IFn=id и
Итак, W((V, йо))=£~Ч^ k0). В частности, W(&, k0))=X"'- (£, ko). Возведем обе части этого равенства в /-ю степень и получим:
W(& ko)‘) = t~‘-(t, k0)‘, (*)
1 См.-.-Куликов Л. Я-, с. 471.'
265
так как W — гомоморфизм.
‘ Разделим предыдущее равенство на это: гаг/ (£ *>) \__________________ (5 , Ло)
\ (£, *о)'/ (С- W
Функция W и, следовательно, любая ее степень оставляют неподвижным число Ги • (5. «о)
По лемме 9 из § 2 п. 6 это Ьзначает, что число принадлежит полю Р, так как G(K, P)={W°, IF1, ..., IF”-1}. Обозначим это число с,. Итак, V/eZ (с(еР Д(£', k0) = cr(t, W) и все числа вида (£', Ло), где t^Z, принадлежат полю P(ki). Вычислим сумму резольвент Лагранжа:
S '(£', 4= 2-' SV'- w‘(k0)= s'iF'(feo). sV'. / — О (—0 1«о («о t^o
Если Z=j^=O, то &'=#=! и У ^' '=^-7—-!•=(), так как £”=1, и r-о ь —i
S (£', k0)=n-k0.
t—o
Замечательная формула! Поскольку все числа вида (£', k0) принадлежат Р(Л1), то k0 из P(ki) и P(fe0)sP(fei). Но K=P(k0), поэтому. KsP(kj). Так как k\^K, то P(kt)sK и K^Pf=P(k\).
В формулу (>|с) подставим t = n и получим Ц/(/г") = Л”. Поэтому любая степень IF и, следовательно, все элементы группы G(K, Р) оставляют число kf неподвижным. По лемме 9 из § 2 получаем, что /г"еР. Следовательно, число ki является корнем уравнения над полем Р вида хп = ао, где a0^k\.
3. Разрешимость в радикалах квадратного уравнения. Прежде чем двигаться дальше по плану, намеченному в п. 1 (прочтите еще раз), применим теорему 9 к случаю, квадратного уравнения.
Пусть f(x) = x2 + ai-х+аг и ai, a2sR Поле разложения этого многочлена вида P(xj, хг), где хь хг — два корня уравнения f(x) = 0.
Пусть многочлен f неприводим иад полем Р, и, следовательно, Х1т^Х2 (иначе уравнение f(x)=0 сводится к линейному уравнению над Р и решается тривиально). Группа Галуа этого уравнения G(Pf, Р) совпадает с симметрической группой второго порядка Зг (см. с. 233), т. е. G(Pf, Р)={Е, IF}, где IF(xi)=X2. Эта группа циклическая. Поэтому можно применить предыдущую теорему 9. Будем строить корни этого уравнения в соответствии с ходом доказательства теоремы 9. Обозначим K^Pf- Поскольку G(K, P)^Sz, то и = 2! = 2. Первообразный корень 2-й степени из единицы является числом (—1), т. е. £= —1. Число & принадлежит Р.
Рассмотрим 4-ю резольвенту Лагранжа:
((-I)', k) = k+(-l)'.W(k). ’
266
Пусть k=x\ и / = 1 или /=2. Тогда
Г((—1>'. х1)=х1-х2еК, 1((— 1), Xi)=xi-+x2eK.
Единственным неявным шагом в доказательстве теоремы 9 является нахождение числа /г0: для этого в теореме применялось упражнение 13. Конечно, в конкретных примерах можно найти число ko подбором. Например, в нашем случае за ko можно принять k'o= =Xi, и тогда (£*, Й6)=*1—х2=/=0. Следовательно, за нужно принять число Й1=(£’, k'o)=X]— хг. Однако для лучшего понимания доказательства теоремы 9 найдем число ko таким же путем, как и в этом доказательстве, т. е. используем упражнение 13. Число xlt как и число х2, имеет неприводимым многочленом над Р сам исходный неприводимый многочлен f(x). Нужно выписать все его корни, один раз начиная с xi, а другой раз начиная с х2, образовать числа в/-в | , «Л . Л <
-——, где z = l,2 и j = 2. А именно TI—У1 1
Х| хг —xi хг —xi
Выберем рациональное число с, отличное от чисел 0 и 1. Например, с= — 1. Тогда q = Xi-]-C'X2=Xi — х2. Случайно получилось значение 1-й резольвенты ((—I)1, xi). Найдем все числа вида (£, а), (£, а2), ..., ..., (£, а”-1),.но га = 2, и в этой последовательности чисел ровно одно число (£/а)=(— 1, Xi—x2)=Xi—Xa+(—l)’*IF(xi — x2)=xi—x2 — —(х2—xi)=2(xi — х2)=^0, как и должно быть по общей теории. Итак, ko^xi— Х2 и fei = 2(xi —х2).
В соответствии с доказательством теоремы 9 (впрочем, это ясно и непосредственно):
K^PS=р(а)=P(kQ)=P(kl) = Р(2(хг— х2)).
Далее fc”=4(xi — х2)2.
Обозначим счМ(х1— х2)2.
По общей теории (что легко проверить и непосредственно) сеР. Итак, 2(xi — х2) = -^--\/с и K^Pf—P^/c), где сеР, что и означает построение с помощью рациональных действий и радикалов корней Xi, х2 исходного уравнения.
Конечно, мы не получим обычной формулы для решения квадратного уравнения, но теория Галуа не ориентируется на это. Впрочем, эти формулы легко получить. Из теоремы о симметрических многочленах* вытекает, что Xi+x2=—ai и xi«x2 = a2 (теорема Виета). Обозначим Xi—х2 = Л(. Отсюда xi.2= ~g|:fcfe|
1 См.: Куликов Л. Я., с. 232.
267 ।
±-\/(т)2_а2-
=Xi-|-x2—2xi-x2= (xi-j-x2)2 —4xix2 = а2 —4аг и Xi. 2 = _ —± "\/a?—4а2 а,
— 2 — 2
4. Разрешимость в радикалах алгебраических уравнений с раз
решимой группой Галуа. В этом пункте рассмотрим индуктивный шаг из того плана, который был изложен в п. 1.
Теорема 10. Если группа Галуа уравнения f(x) = O над полем Р разрешима, т. е. группа G(Pf, Р) разрешима, то существует радикальное расширение поля Р, содержащее поле разложения Pf. Теоремы 6, 10 вместе составляют теорему Галуа, которая является основой теории Галуа.
[> В соответствии с п. 1 и учитывая теорему 7, нам осталось проверить индуктивный шаг.
Пусть K^Pf и группа G(/C, Р) имеет разрешимый ряд вида G(K, Р)о G 1=> ...=> Рассмотрим подполе поля К (соответствующее группе Gi): VW^Gi(W(k)=k)} (проверьте,
что это действительно подполе).
Лемма 17. Пусть К — поле разложения какого-то многочлена над полем Р и G\ — нормальный делитель группы Галуа G(K, Р). Пусть L^LGt^{kf=K\VWf=Gi(W(k):=k)}. Тогда £С| является полем разложения некоторого многочлена над полем Р. О Если IFeGi и IFoeG(K, Р), то по определению нормального делителя выполняется W1 еG\. Поэтому Vfee/C1(W'r1lV'W'o(^)= = k, WWo(k)=Wo(k)), т. е. число IFo(fe) неподвижно относительно всех автоморфизмов W из группы G\. По определению поля £С| получаем №0(/г)еЛС|. Если k корень какого-то неприводимого над Р уравнения, принадлежащий £С1, то для любого другого корня k\ этого уравнения по лемме 10 из пункта 7 § 2 получаем k\^.K и по предложению 6 найдется автоморфизм из группы G(K, Р), для которого IFo(fe)=fti. Поэтому k\^LGv Поле К над полем Р конечномерно (по лемме 10 из п.*7), тем более поле £0| над полем Р конечномерно (почему?).
Итак, мы доказали, что:
1) для любого неприводимого над полем Р уравнения, если поле £С1 содержит один его корень, то £0| содержит все его корни;
2) поле £С|над полем Р конечномерно.
Эти два свойства означают, что поле £С| — нормальное расширение поля Р (см. определение на с. 254).
.По лемме 1.0 получаем, что £С1 — поле разложения некоторого многочлена над полем Р. По леммам 10 и 15 выполняется
G(LC„ P)=g(G(K, P)/G(K, L0|)).
По лемме 18 из приложения 3 G(K, LC|)=Gi. Поэтому G\LGi, P)—G(K, Р)/Gi, по условию данной теоремы 10 это означает, что группа G(LC1, Р) циклическая. Следовательно, по теореме 9 поле LGi является простым радикальным расширением поля Р.
268
Группа G(K, LGi)=G\ не только разрешимая, в ртличие от исходной группы G(K, Р) она имеет разрешимый ряд длины s—1; а именно, таковым является часть исходного ряда от группы Gi до группы Gs. Поэтому к полю К над полем АС| применим индуктивный шаг нашего доказательства. Это означает, что поле К содержится в радикальном расширении поля АС|, которое мы обозначим К; поле К и является искомым.
Действительно, LGi—радикальное расширение Р и К —радикальное расширение АС|, поэтому поле К — радикальное расширение поля Р, при этом К содержит K^Pf, что и требовалось доказать.
5. Разрешимость в радикалах кубического уравнения. Применим теорему 10 к уравнению 3-й степени. Рассмотрим неприводимое уравнение 3-й степени
над полем Р. Конечно, р, q^P. Легко проверить прямым подсчетом, что произвольное уравнение 3-й степени у3-|-а1У2-|-а2у-|-аз=0 заменой переменной х=у-|-у приводится к виду Дх)=0. Корни „ xi, хь хз уравнения f(x)=O в силу его неприводимости различны, и
его поле разложения Pf вида Pt^P(xi, х2, х3).
По упражнению 11 группа Галуа этого уравнения совпадает с S3, если д/ — 4р3 —27<?2 Р, и совпадает с Д3, если -у/ — 4р3—27р2<=Р.
Для определенности рассмотрим первый случай. Тогда, в частности, G(Pf, Р) состоит из 3! = 6 элементов. Как мы знаем, эта группа разрешима, но не цикличиа. Ее разрешающий ряд вида
S3=> А з=>{е)
(см. с. 238). Будем строить корни этого уравнения в соответствии с ходом доказательства теоремы 10. Обозначим К^Р/.
В нашем случае О1=Лз н группе Gi соответствует промежуточ*. ное поле L^LCl^{k^K\VW^G\(W(k)=k)}. Группа Gi конечна, циклична с каким-то образующим элементом W, ее легко описать:
0|_л,= (г-е=(;^ , к'ЧИЭ}
Поле L бесконечно, и его нельзя описать столь явным образом. Однако по предложению 4,в K=(g(xb х2, x3)lg(u, v, ki)eP[u, v, a»]), и, следовательно, L=(g(xi, x2, x3)|geP[o, v, w]Ai(*i>, x3) =
= g(x2, X3, Xi) = g(X3, Xi, X2)).
Ясно, что Более тонким моментом являются нера-
венства: P=?=L и L^K.. Действительно, число аоч*(Х1— x2)(xi — —хз)(х2—х3) принадлежит L, так как W-ao = ao, IF 'Оо = Оо, но (1 2 3\
32 J -Оо^Оо. Число X,
269
принадлежит Л, на не принадлежит L, так как, например, IF-xl^ =Й=Х1.
Итак Р г~ L
Ясно,’ что G,sG(K, L)<=G(K, Р). Поэтому G(K, L)=Gt или G(K, L)=G(K, Р). Второй случай невозможен, так как, например, (1 2 3\
32 -1 из G(K, Р). Итак, G(K, L)=Gi. То же самое, т. е. G(K, L)=G\, получается по лемме 18.
По лемме 15 получаем G(L, P)=G(K, P)/G(K, L) = S3/A3=. e. группа Галуа поля L над полем Р циклична.
Так как G(K, L) также циклическая группа, то ее разрешимый ряд длины 1, т. е. индуктивный спуск, о котором говорится в п. 1 и доказательстве теоремы 10, закончился. Иными словами, к полю К над полем Айк полю L над полем Р применима теорема 9, соответствующая начальному шагу индукции.
Сначала рассмотрим поле К над полем L. При этом п = 3, так как группа G(K, L) содержит три элемента, и | первообразный корень третьей степени из 1, а именно, % — е3 =cos-^-|-isin-^= 3 3
=_____'
2 ' 1 2 ‘
По нашему общему предположению в п. 1 число £ принадлежит Р и, следовательно, L.
Согласно доказательству теоремы 9 нужно представить К в виде K—L(a), где а, конечно, можно найти в точном соответствии с доказательством теоремы 9 по лемме 16 и упражнению 13. Но можно найти а, основываясь на том, что это число должно быть не инвариантно относительно действия группы G(K, L)=A3; действительно, если а инвариантно относительно G(K, L), то по лемме 9 выполняется ае/. и, значит, ие выполняется L(a)=K. Именно так, на основе такой неинвариантности чуТь выше проверялось, что число не принадлежит L. Далее L(a)=K, так как если L(a)(=K, то dimi.(fl)K^2. Значит, по следствию к лемме 10 выполняется |G(K, L)|> | G(K, L(a)l>2. и так как {E)sG(K,L(a))cz <=G(K, L), то получаем (E)=^G(K, А(а))^4з— противоречие.
Найдем числа k0 и k\. Для этого нужно вычислить 1-ю резольвенту Лагранжа в точках а и а2:
(£, - a) = x14-^.W7'(xI)-|-^.W72(x1)=x14-;.x2-b^-X3 = x1-bU24-^3, (£, а2)=х?-К’- W'(xf)-H2-
так как^-^2=^3=1 и, следовательно, = Как проверя-
лось в доказательстве теоремы 9, одно из этих чисел не равно 0.
Для определенности рассмотрим первую из этих двух возможностей. Тогда ko=d и k\ =xi4-£'Х2-)-£ -хз и по той же теореме 9:
K**Pi=P{x\, х2, x3)=L(a)=L(xi-|-??*24-£-*3) и csjfcfe’eL.
, 270
.Последнее соотношение можно проверить и непосредственным возведением числа Л1 в куб. Итак, Pf — простое радикальное расширение поля L значением радикала видй k\=^/c, где ceL
Иными словами, K=Pf=L{-\[c), c^L. Теперь рассмотрим поле L над полем Р. Его группа Галуа G(L, P)=Z2 циклична, поэтому и ;к ней применима все та же теорема 9. Опять нужно найти число ,а, для которого L = P(a). Его можно найти, как и в доказательстве теоремы 9, на основе леммы 16 и упражнения 13.
Можно облегчить себе задачу, найдя подбором такое число, которое инвариантно относительно Gi, но не инвариантно относительно G(K, Р)=5з. Чуть выше проверялось, что таким числом является а0. Тогда Р(=Р(ао)&1 и, как и выше, проверяется, что P(d0)=
В соответствии с теоремой 9 нужно на^ти n^\G(L, Р)\=2 н £ = е2 = —1 (отметим, что ЕеР и и вычислить 1-ю
резольвенту Лагранжа в точке оо, получим (£’, ao)=(xi—X2)(xi — — Хз)(Х2 —Хз) —(Х2 —Х1)(Х2 —Х3)(Х1—Хз) = 2ао=Й=О, что и должно быть по теореме 9. Поэтому k0 = a и ki = 2ao и со = й2еР.
Последнее можно проверить и непосредственным возведением числа ki в квадрат. Следовательно, L = P(-^cq).
Итак, получили радикальную цепочку Рс=Р(д/с^)а:Р(д^) д/с), где соеР и
Эта радикальная цепочка объясняет, почему в формуле Кардано внутри находится квадратный радикал, а снаружи — кубический. Сравните структуру этой формулы (см. с. 231) с этой радикальной цепочкой.
Конечно, мы не получили на этом пути и не должны получить саму формулу Кардано.
Сделаем это сейчас. Для этого вычислим 1, 2, 3-ю резольвенты Лаграижа в точке а:
(Ei a)=xi-|-£'Х2-Ь£'Хз,
(Е2. а)=х1 + Е2’1 • Г'(а)+£2'2.«72(а)=х14-^Х2-Ь^х3,
(Е®, а) = Х14-^3'1-Х2-Ь^У'2*Хз = Х1Ч-Х2-ЬХз = 0, где последнее равенство получено по той же теореме о симметрических многочленах, что и в п. 3 (иначе говоря, по теореме Виета). „Это равенство соответствует теореме 7. Складывая эти три равенства, получим (£, d)-НЕ2. a)+(E3. a)=3x, -Ь(Е-К-Н)-х24-(Б-ЬЁ4- !) •хз=£.Х1, так как Е + Ё+1 = -±+^-±-1^ +1 =о. Отсюда х, = 4-(£, а)-|-.4-(£2> а)- Итак, уже найдено значение одного О о
корня xi и осталось только найти значения резольвент Лагранжа (Е, а) и (Е2, а). Для этого возведем число fci=(E, а)=^Е> xi) в куб и получим:
271
Л?=х?+х? 4~Хз -Ь 3£х?хг 4- 3£х2х3 4~ 3£х ixi 4" 3£х2хз 4- 3£х |Д$ 4“ З&гх з 4"
4- 6х IХ2Х3=(х, 4- xi 4- Хз)
. 4- Х?Х3) 4- 6 ( XIХ2Х3) 4- i I *2 4- *2Хз 4- XI Хз — XI х| — х2х2 — х?х3).
В скобках выделены симметрические многочлены, т. е, алгебраические инварианты группы Хз. Выразим эти симметрические многочлены через элемеитарные симметрические многочлены1.
Учтем, что по теореме Виета Х| -Ьх24-Хз=0, Х|Х24-ХьХз4-Х2Хз = =Р, Х|Х2х3= — q.
Получим
' Я?4-Х2~|-Хз= 1—9<у,
х 1 х2 4- Х2Х3 4~ х । xi 4- х । xi 4- Х2Х3 4- х2хз — 3q,
х 1X2X3= —q.
Очевидно, a0=(xi—хг)(Х| — x3)(x2—Хз)=Х|Х24-х^х34-Х|Хз—Х|Х2—
—х2х2 —х?х3.. Поэтому (£, а)3=(£, Х|)3= —-у-р-Н’-^р-ао- Аналогичные вычисления показывают, что (£2, а)3 = (£2, Х|)3 = — -у-р — Зл/З
—I—2~а°- Аналогичным образом и в соответствии с общей теорией получаем а§= — 4р3 — 27q2.
Итак,
Х2=-Ьд/ -v+‘^fV-4p3-2792 4--. -Ъ ’ ч •
один из корней исходного уравнения. Поделив исходное уравнение на (х —Xi), мы перейдем к квадратному уравнению, для которого уже известна формула решения в радикалах.
1 См.: Куликов Л. Я; с. 499.
Глава V
ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА
§ 1. ПОНЯТИЕ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА
Термин «число» может пониматься как натуральное, целое, рациональное, вещественное и комплексное число. Понятие числа неразрывно связано с определенными операциями и отношениями в множестве чисел: сложением, вычитанием, умножением, делением -чисел и порядком, метрикой, топологией в множестве чисел. Определения соответствующих числовых структур (числовых систем) начинаются с определения исходного множества натуральных чисел и исходной структуры — структуры натурального ряда.
Существуют принципиально разные подходы к определению натурального числа и натурального ряда N и соответственно разные подходы к введению операций и отношений в N. Рассмотрим три принципиально разных подхода к определению натурального ряда, или, как еще говорят, три точки зрения на натуральный ряд. Каждую из них можно распространить и на другие математические объекты и таким образом на всю математику или, по крайней мере, на ту ее часть, которая тесно связана с приложениями. Это финитная, теоретико-множественная и аксиоматическая точки зрения.
1. Финитный подход к определению натурального ряда. Рассмотрим два алфавита А1|={|} и А12={0, 1). Натуральным числом называется любое непустое слово в алфавите А1| или любое не-г пустое слово, не начинающиеся со знака 0, в алфавите Ah- Интуитивно слова ШИ и .101 соответствуют тому, что в арабской записи обозначают знаком 5.
ч
Связь между этими двумя определениями натуральных чисел задается вычислимой функцией вида /: |...| |i-»-ai...o7, где
Л
n=ai-2l 1-|-...-|-а/-2°. (jjj)
Конечно, при таком определении функции f нужно обосновать ее вычислимость, т.е. нужно построить алгоритм И, для которого V<p(<p— слово в алфавите Д/1)=>/(ф)=2Ц<р) Обычно это делается в курсе теории алгоритмов.
Поскольку понятие машины Тьюрннгв и описание процесса ее работы никак - не опираются ца представление о натуральном числе и не используют операций над натуральными числами, то алгоритм Я позволяет определить функцию f без всякого упоминания об п, I, 2*. •, Которые фигурируют в формуле (*).
273
Итак, возможно определение функции f как алгоритма Я, и такое определение использует только слова и машины Тьюринга.
Обозначим /(<р) длину слова <р. Отметим, что /(f(<p)X(log2(/(<p)+1), т. е. запись натурального числа в алфавите А1г существенно короче записи того же натурального числа в алфавите АЦ. Поэтому с практической точки зрения определение натурального числа с помощью алфавита А1ч удобнее. (Действительно, 2,-l + ...+2e=2'— 1, и если л=2/—I, то Z=loga(л-j-l); если в представлении п по формуле (*) встречаются вулн, то / еще меньше.)
Пусть фь q>2 — слова в алфавите А1ь Определим предикат ф1 ф2. А именно: выполняется ф1Сфг, если следующий алгоритм 21 иа входном слове вида ф1й«ф2 выдает выходное слово 1, и не выполняется ф1^ф2, если тот же алгоритм 21^ на том же входном слове выдает выходное слово 0. Таким образом, алгоритм 21 по существу является определением предиката Этот алгоритм задается машиной Тьюринга, которая перерабатывает слово вида фи^фг в слово вида 1 или 0. Условимся, что все наши алгоритмы начинают работу в конфигурации:
<Pi <Ра
*
Программа, определяющая алгоритм 21 и, следовательно, определяющая предикат ^. такова:
|So~*-0Si 4"1
|S1—*-|S! 4" 1
*S1—*S2-M
1«2-ь>К5з-1
*S3— *$2+1
15з-> *, |S3— 1
0S3-+0So + l 0S2->OS4-1 *S0-HSs-H *.|S4-b0S4,-l
> I 5 S—* 0 S S H" 1
Аналогично определяется операция сложения. А именно выполняется соотношение ф1Ч-ф2=фз, если следующий алгоритм'21+ на входном слове ф1*ф2 выдает выходное слово фз. Алгоритм 21+ и, следовательно, операция сложения определяются следующей программой:
I So —► | So -j-1
* So-*-1 So 4-1
0 So-*- 0S i 1 |Si-»-0SiO
Аналогично определяются операции ф1 — фг (в случае, когда ф2<ф1). ф1 • фг и ф1:ф2 (в случае, когда фг делит ф)). Предикаты фг<ф1 и «фг делит ф1» также определяются программами машин Тьюринга.
274
Упражнение 1. Укажите программы для машин Тьюринга, определяющие перечисленные операции и предикаты.
Такое понимание натурального ряда очень просто и наглядно.
В сущности оно является взглядом иа натуральный ряд с точки зрения ЭВМ. Такая точка зрения на натуральный ряд и другие математические объекты называется финитной. Ее недостатком является то, что с финитной точки зрения трудно и, может быть, даже невозможно последовательно развить всю элементарную и тем более всю вузовскую математику. Однако значительные части элементарной математики можно построить, оставаясь на финитной точке зрения.
Итак, финитная точка зрения состоит в рассмотрении математического объекта как слова и алгоритма.
2. Теоретико-миожествеииый и аксиоматический подходы к определению натурального ряда. Второе возможное понимание натуральных чисел — теоретико-множественное. Теоретико-множественный подход в математике состоит в рассмотрении математического объекта как множества. Иными словами, в рамках этого подхода все изучаемые понятия сводятся к двум исходным понятиям: «множество» и «принадлежность», которые считаются интуитивно ясными и не определяемыми. Одноместный предикат «х — множество» иногда обозначается Af(x), двухместный предикат «множество х является элементом (принадлежит) множества у» обозначается хеу.
Часто думают, что элементами множества являются какие-то особые, отличные от множеств объекты. С теоретико-множественной точки зрения это не так: любой элемент любого множества сам является множеством, а его элементы в свою очередь являются множествами и т. д.
Вернемся к натуральным числам. В рамках второго подхода число нуль определяется как пустое множество 0, т.е. Озр*0. Число 1 определяется как множество, состоящее из одного элемен-
та 0, т.е. 1 ч*{0). Число 2 определяется как множество, состоящее • из двух элементов 1 и 0, т. ё. 2ч*{0, 1). И аналогично дальше: Зч*(0, 1, 2}, 4ч*{0, 1, 2, 3}, 5ч*{0, 1, 2, 3, 4). Заметим, что при таком’ понимании натуральных чисел для всякого натурального числа п •-выполняются свойства Vx(xen=>(x— натуральное число) Д х<п);
п < топ ет\ птоп <=т.
Теперь перейдем к строгим определениям.
Определим предикат Tr(x)qptVy, г(уегД2ex=>i/ex), т.е.
Т г (х)-»- Vy (у е хоу sx).
Предикат Тг(-) определен на семействе всех множеств, так как в качестве х можно подставить любое множество. Интуитивный смысл суждения Тг(х) в том, что любой элемент у из х сам состоит из элементов множества х. Например, Тг(О), Тг(1), Тг(2) и т. д., где множества 0, 1, 2... определены выше.
275
Ординалом называется такое множество х, для которого выполняется условие (Тг(х) Д Vyex(Tr (у))).
Интуитивный, смысл этого условия в том, что элементы у множества х сами состоят из элементов множества х и, кроме того, элементы z элементов у множества х также состоят из элементов множества х. (К этому не сразу привыкаешь.)
Семейство всех ординалов называется ординальным рядом и обозначается On. Как мы увидим, ординальный ряд в значительной мере соответствует интуитивным представлениям, о натуральном ряде. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим свойства ординального ряда. Очевидно, пустое множество является ординалом. Назовем его нулем и обозначим 0. Очевидно, множество {0} также является ординалом. Назовем его единицей и обозначим 1. Столь же легко проверить, что все указанные выше множества 2, 3, 4, ... являются ординалами.
Произвольный ординал обозначим а или 0. Определим отношение а Ср как аер и отношение а^р как
(a<p)V(a = p).
Отношение транзитивно по определению ординала.
Ординалы обладают важным свойством: l(a<a). Последнее вытекает из особой аксиомы, принятой в теории множеств и называемой «аксиома фундирования»: Vx=^03y(yex Д 13ze ex(zey)). Из нее вытекает ~|3u(ueu). Действительно, если такое и существует, то рассмотрим множества х = (м) и увидим, что для него не выполняется аксиома фундирования.
Следующее свойство ординалов записывается формулой:. (аСР) Л (РСа)=>а = р, т. е. структура <Оп, является порядком. (Напомним, что порядком называется любое частично упорядоченное множество. Порядок называется полным, если любое непустое подмножество носителя порядка содержит наименьший элемент. Порядок называется линейным, если Vx, y(x<yVуС*)-)
Из аксиомы фундирования тривиальным образом заключаем, что порядок (On, ) является полным. Сложнее доказать, что этот порядок является линейным. Проверим последнее. Для,этого обозначим <р(а, р)ч^(а<рV« = pVP<a). Допустим, За, р(Г <р(а, р)). Пусть ай наименьший ординал, для которого 3р1 ф(ао, р), и пусть Ра наименьший ординал, для которого Г <р(ао, Ро). Проверим, что Ро=ао. Если ре ро, то <р(а0, Р), т. е. а0< р V а0=р V Р< «о-Если ао С Р. то аоС Ро, т. е. ф(а0, ро). Поэтому р <а0, т. е. ре а0. Если ро = ао, то опять-таки ф(ао, Ро), поэтому РоСао. Пусть ре(ао\Ро). Поскольку реа0, то ф(р, ро), т. е. P<poVP= = ро V Ро < Р- Поскольку Р1^ ро, то р = ро V Ро < Р- Так как р < ао, то ро < ао, т. е. ф(ао, ро). Противоречие.
Итак, доказано
Предложение 1. Система ( On, С > является полным линейным порядком с наименьшим элементом 0.
276
Предложение 1 показывает, что система ординального ряда обладает основными свойствами системы натуральных чисел.
Положим a'^(aU[a|). (Иногда вместо а' пишут
Предложение 2. Для любого ординала а множество а' является ординалом и а' наименьший ординал, строго больший а (т. е. а' ординал, «непосредственно следующий» за а). Кроме того, выполняется свойство: а' = ₽'=>а = ₽.
[> Очевидно, что а' ординал и а<а'. Если ₽<а', то 0еа или Р=а,т.е. р<а. Поэтому предположение о существовании такого р, для которого р>а и ₽<а', влечет противоречие. Если а' = р' и а=7^Р, то аер и ре а, т. е. аеа, что невозможно.
Для ординального ряда легко доказывается и следующее свойство, обычно называемое трансфинитной индукцией:
((Va<p(q>(a)))=xp(p))=>Vp(<p(P));
где ф любая формула.
Иногда считают, что ф произвольное свойство, не уточняя что такое «свойство». Мы будем подразумевать, что ф формула языка теории множеств, которая определяется следующим индуктивным образом: слово вида хеу называется формулой, где х и у любые непустые слова в алфавите (|); если ф и ф— формулы и х любое непустое слово в алфавите (|), то слова вида (фДф), (ф\/Ф), ( ~1ф). (<Р=^Ф). (Эхф), (¥хф) называются формулами. Таким образом, любая формула языка теории множеств (кратко говоря — формула) является словом определенного вида в алфавите {Д, V. ~1, =►, 3, V, е, |, (,)).
Множество всех таких слов (формул) называется языком Церме-ло — Френкеля (языком ZF). Непустые слова в алфавите (|) называются переменными. Интуитивно переменную х представляют себе как произвольное множество, а запись ф(х) — как утверждение, что множество х обладает свойством ф.
Докажем свойство трансфинитной индукции. Образуем семейство (₽| Пф(₽)) и допустим, что оно непусто. Поскольку
{01 ~1ф(Р))= У {Р<а| -|ф(0)), то одно из слагаемых — непустое множество и в силу полноты порядка в семействе On это множество имеет наименьший элемент. Обозначим его 0о. Итак, ”1ф(ро) и Va, <ро(ф(а))- По условию отсюда вытекает ф(р0) — противоречие.
Итак, доказано
Предложение 3. Для структуры <Оп, выполняется свойство трансфинитной индукции.
Аксиомами Пеано называются следующие три аксиомы, характеризующие структуру вида {X, [(•), хо), где f:X->-X, хоеХ:
1) VxeX(f(x)=/=x0);
2) fW=№)=>x=y;
3) (ф(хо)ДУхеХ(ф(х)=>ф(Цх)) УхеХ(ф(х)), где ф(-) — любая формула.
277
Третья аксиома называется аксиомой математической индукции.
В аксиоме математической индукции фигурирует произвольная формула ф(-), например, вида Эх1Эх2УхзЗх4фо(х, Хь х2, х3, х<). Поскольку интуитивно переменные х(, х2, х3, х< суть произвольные множества и переменная х — произвольное множество из X, а Фо(-) выражает некоторое свойство множеств Х|, х2, х3, х«, х, то, чтобы пользоваться аксиомами Пеано, нужно постулировать какие-то свойства множеств. В противном случае нельзя доказать ничего содержательного об этих Х|, .... х«, х. В этом смысле аксиоматика Пеано не полна, т. е. предполагает, что к ней должны быть до-’ бавлены какие-то аксиомы, Характеризующие свойства переменных, йными словами, характеризующие свойства множеств, входящих в формулу ф(-). Например, в качестве таких аксиом можно выбрать все аксиомы теории Цермело — Френкеля (теории ZF).
Однако в этой главе мы не будем фактически развивать аксиоматическую систему Пеано (фактически получать следствия из ее аксиом), и поэтому для нас не важен конкретный вид этйх дополнительных аксиом.
При аксиоматическом подходе натуральным рядом называется любая система вида (X, Д-), х0>, для которой выполняются аксибмы Пеано. Такую систему называют моделью аксиоматики Пеано. При аксиоматическом подходе главный вопрос состоит в том, как привести хотя бы один пример натурального ряда. Иными словами, как построить хотя бы одну модель натурального ряда.
И тай', при аксиоматическом подходе натуральный ряд понимается как произвольная модель аксиоматики Пеано. Мы не касаемся здесь-формально-аксиоматического подхода, когда с аксиоматикой Пеано вообще не связывается представление о каких-либо моделях; вместо этого из аксиом Пеано и аксиом теории ZF по законам логики только лишь выводятся формальные следствия.
Является ли система {On, ()', 0} моделью аксиом Пеано? Как проверялось выше, эта система имеет нужный вид ’ и для нее выполняются аксиомы 1—2.
Попробуем из свойства трансфинитной индукции, которое выполняется для этой системы, вывести аксиому математической индукции. Если это удастся, то система {On, ()', 0> окажется моделью • аксиоматики Пеано. Для этого достаточно из посылки математической индукции вывести посылку трансфинитной индукции. Допустим, что Уа<0(ф(а)), и тогда проверим ф(0). Если 0=0, то свойство ф(0) дано в посылке математической индукции. Если 0=^0 и существует такой ординал лгеОп, что х' = 0, то х-<0. Поэтому выполняется ф(х), и по посылке математической индукции получаем ф(х'), т. е/ ф(0). Таким образом, системе On для того, чтобы являться моделью аксиоматики Пеано, не хватает ррвно одного свойства: ,
V0eOn(0=^D=>3xeOn(x' = 0)). (4=)
278
Такое х называется ординалом, непосредственно предшествующим ординалу р, и обозначается р — 1.
Ординал а называется предельным, если он отличен от ординала 0 и ГЭр(р' = а). В противном случае он называется непредельным.
Предложение 4. Предельный ординал существует, и, следовательно, система (On, ()', 0) не является моделью аксиоматики Пеано.
[> Одна из аксиом теории множеств (аксиома бесконечности) утверждает ЗХ(О е X Д Уу е Х(у' е X)).
Пусть Z — множество всех ординалов, принадлежащих множеству X, которое существует по аксиоме бесконечности. Пусть а = = (]Z. Множество а является ординалом, так как УиеаЭие е2(цеи), но и ординал, поэтому и Sv и usa. Кроме того, если veuea, то иеа и vscl.
Лемма 1. Выполняется соотношение (р sa)-ф>(Р<а).
[> Если р<а, то реа и по определению ординала psa. Допустим, что Г(Р < а), тогда a < Р, т. е. а е р. Но а &а, поэтому ae(p\a) и получаем Г(Р^а).
Продолжим доказательство предложения 4. Ординал а больше всех ординалов, входящих в множество Z, так как peZ=>psa, и можно применить лемму 1. Проверим, что a — наименьший ординал среди тех, которые всех, элементов из Z. Действительно, если бы выполнялось Уи то УмеZ(usp), (IJZ)sP
и a = (UZ)<p.
Поскольку ОеХ, то 0Ч« и соотношение 0<0'<а влечет а=/=0.
Предположим, что Эр(р' = а). Тогда р<а и р не может быть С всех ординалов из Z, т. е.
3yeZ(p<y).
Поэтому а=р/<усу/, но /eZ (по определению множеств Z и X); поэтому у' С «> т. е. а < а. Получили противоречие.
Итак, семейство всех предельных ординалов непусто. Поэтому в нем существует наименьший элемент. Обозначим его N. Следовательно, все элементы N непредельные ординалы. Поэтому для множества N выполняется свойство (s)c).
. Сузим операцию (•)' иа такое множество N. Конечно, ОеАГ и условие аеЛГ влечет а'еЛГ. Аксиома математической индукции выполняется в системе <ЛГ, (•)', 0>, а все остальные аксиомы Пеано тем более выполняются для нее. Итак, доказана следующая важная теорема.
Теорема 1. Система (N, (•)', 0> является моделью аксиом Пеано.
С точки зрения аксиоматического подхода эта теорема устанавли,-вает, что хотя бы один натуральный ряд существует, а именно таковым является система <ЛГ, (•)', 0>. Эта конкретная модель аксиоматики Пеано называется стандартным натуральным рядом.
279
Возможны и другие модели аксиоматики Пеано, которые даже не биективны стандартному натуральному ряду.
Аксиоматический подход предполагает (имеет своей целью) получение всевозможных следствий по законам логики из некоторой системы аксиом. Любое такое следствие истинно (выполняется) в произвольной модели исходной системы аксиом. Поэтому аксиоматический подход позволяет изучать сразу и одновременно все модели исходной системы аксиом (всю совокупность моделей исходной системы аксиом). В нашем случае он позволяет изучать сразу все модели аксиом Пеано. Если мы захотим изучать свойства, присущие только какой-то одной из этих моделей, например, стандартному натуральному ряду N, то аксиоматический подход не позволит этого: все, что по законам логики вытекает из аксиом Пеано, выполняется сразу во всех моделях этих аксиом.
Интуитивно мы представляем себе натуральный ряд как какой-то один определенный объект, обычно как стандартный натуральный ряд; поэтому аксиоматический подход, быть может, не дает вполне адекватного описания идеи натурального ряда.
Бывают системы аксиом, которые имеют всего одну модель, точнее— у которых любые две модели изоморфны. Такие системы аксиом называются категоричными.
Изучение всех моделей категоричной системы аксиом равносильно изучению ее единственной модели. К сожалению, интересные и категоричные системы аксиом большая редкость. Некатегорична и аксиоматика Пеано.
Определим операции в натуральном ряду N.
Пусть х — какое-то фиксированное натуральное число из N. Рассмотрим множество Х^{пеЛг|Э?(/(<7)=я Д?(1)=хД Vi<Zn, q(i-]-l) = q(i)')}, где q(-) — произвольная конечная последовательность, l(q) — ее длина и q( 1), q(2), ... q(n) — все ее значения. По свойству вполне упорядоченности множества N множество X совпадает с N, т.е. X=N (докажите).
Интуитивно множество X состоит иа всех таких натуральных -чисел п, для которых можно сделать п шагов по правилу <?(i-|-l) = = ?(i)'.
Рассмотрим множество У=₽ь(гаеЛГ|r{l(fl)) = n=l(r)/\q(\) = = г(1) Д Vi<ra(?(i4- l) = <7(i)' Д r(j+ 1) = r(i)'))=>9(n) = r(/i)), где ?()> г(’) — произвольные конечные .последовательности и q(l)... q(n) и г(1).г(п)— их значения. По свойству вполне упо-
рядоченности множества N множество У совпадает с N (докажете). Интуитивно множество У состоит из всех таких натуральных чисел п, для которых любые две последовательности <?(•) и /(•), совпадающие вначале и образующиеся по одинаковому правилу «/(i-J-1) = = q(iy и r(i-J- l)=r(i)', за п шагов не могут разойтись, т. е. не может случиться, что q(n)^=r(n).
Может показаться, что равенства X=N и Y=N выполняются тривиально и не зависят ,от аксиом натурального ряда. Это не так. Представим себе, что те же самые.множества X и У определены
280
для множества Nh похожего на множество N, а именно 1,
2, 3... п, ..., (оо)- Иными словами, в множестве Ni после всех
обычных натуральных чисел находится еще одно «число», которое мы обозначим «о- Рассмотрим две последовательности <?(•) и г(-) длиной (оо, определяемые равенствами <7(1)=2 = г(1), <?(л-|-1) = — q(n)' и г(я-Н)=г(я)' и <7((Oq) = 2, г (<оо)=3.
Последовательности <?(•) и г(-) длиной (о0, они одинаково начинаются, строятся по одинаковому правилу, а в конце расходятся, т.е. 9((оо)#=г(«>о)- Поэтому woe/Vi и (о^ёУ и Y^=Nt.
Представим себе, что множество Nz имеет вид 0-И->-2, ч3; где стрелка показывает непосредственно следующее число. Тогда 4т±:0////= 1,5ч=ь0""' = 2, и таким образом определяются все «числа» 6, 7, 8, ... . Для такого «натурального ряда» Аг, например, 4^ёХ, если х=0, так как ?(1) = х, q(2) = x', q(3) = x", q(4) = x"', но 4=1 н х^=х"', что невозможно.
Положим (х-|-п)=рьг, если
3?(/(?) = пД
/\q^)=x/\^i<n(q(i+l} = q(i)')/\q(n)=z), (*)
где х, п, z^N. Рассматривая упомянутые выше множества X и У, легко показать, что для любых чисел х, n^N такое число г существует и единственно. Поэтому условие (*) действительно определяет двуместную операцию вида №->-ЛЛ Аналогично определяется операция умножения.
Для этих операций легко проверяются все свойства обычных операций сложения и умножения, натуральных чисел; например все свойства, выражаемые аксиомами, сформулированными в книге В. И. Нечаева «Числовые системы» (с. 53).
Будем рассматривать совокупность всех этих аксиом как аксиоматическое определение системы натуральных чисел вида {X, + , •, х0, Х|>, где < бинарное отношение на X и +, • двуместные операции в X, а хо, Х| элементы X. Тогда нами доказана' следующая теорема.
Теорема 2. Система (N, С, -, 0, 1> является моделью аксиоматического определения системы натуральных чисел.
Конкретная модель, о которой говорится в теореме 2, также называется стандартным натуральным рядом. Существуют модели аксиоматики системы натуральных чисел, которые не изоморфны модели из теоремы 2.
3.’ Сравнение определений целых чисел. Совсем кратко рассмотрим определения целых чисел. Финитное определение целого числа аналогично финитному определению натурального числа. А именно, целым числом называется пустое слово или любое слово рида о<р, где ф — любое непустое слово в алфавите Alt и а — один
281
из двух знаков или —. Как и раньше, алгоритмически определяются операции и отношение порядка
Упражнение 2. Напишите программы для машин Тьюринга, определяющие эти операции и отношение порядка. .
ТеоретикоАмножественное определение целого числа опирается на понятие пары. Парой называется множество X, обладающее свойством Эу, zVu(u^ Хои = у \/u=z).
Такое множество существует и единственно, его легко указать: х=1у,г}-
Упорядоченной парой называется множество X, обладающее свойством Зу, z Vu V ы= {г> у))- Такое множество
существует и единственно, его легко указать: Х = ({у), (у, z}). Ойо обозначается (у, г).
Теперь целое число можно определить как пустое множество или упорядоченную пару вида (а, п), где ае{4-, —} и гаеЛГ. Операции и отношение порядка в N легко индуцируют одноименные операции и отношение порядка в множестве всех целых чисел. Определите их самостоятельно.
Аксиоматическое определение целых чисел содержится, например, у В. И. Нечаева в книге «Числовые системы» (с. 95).
$ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА КАК ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ
Читатель может по аналогий с определениями предыдущего параграфа самостоятельно сформулировать финитное, теоретикомножественное и аксиоматическое определения рационального числа. Поэтому больше не будем обращать внимание на эту сторону делд.
Сравним два по существу разных определения рационального числа. Оба они, как и все последующее изложение, находятся в рамках теоретике-множественного подхода.
В соответствии с Традицией будем в дальнейшем считать, что натуральный ряд N не содержит числа 0.
Первое определение рационального числа хорошо известно. Рациональным числом называется любой класс эквивалентности в множестве Z~X.N относительно следующего отношения эквивалентности:
(х, п) ~i <у, m)^x-m=y-n.
Иными словами, множеством рациональных чисел называется фактор-множество вида (ZXA0/~i- Элементы этого фактор-мцо-жества называются рациональными числами.. Проверьте, что является отношением эквивалентности в множестве ZXAT. Вместо
(х, п) по традиции пишут Множество рациональных чисел обозначается Q. Положим: п
282
Проверьте, что эти определения корректны, т. е. не зависят от выбора представителей в классах эквивалентности. В общ^м случае далеко не всегда возможно опустить операции на фактормножество именно потому, что возникает зависимость от выбора представителя.
Легко проверить, что система Q=(Q, +, —, ,0. 1. }
является упорядоченным полем, где
sign (x)=₽s
4-1, если х^О, — 1, если х<0.
В этой системе может вызвать недоумение сложный вид формулы, определяющей операцию сложения, причем сложение определяется сложнее, чем умножение. Причина такого вида этой формулы станет ясна из второго определения рационального числа.
При втором определении рациональным числом будем называть класс эквивалентности в множестве всех частично определенных функций вида Z-»-Z. Например, число 3/2 при первом определении' понимается как множество пар вида { 3^'п. | пеАГ}, а при втором определении — как множество функций, одна из которых вида -|(x):Z +Z , где -|(х)^±^-|- х) и х кратно числу 2. Что означает здесь операция умножения • (обратите внимание, что запись з з
-g— х нельзя понимать как умножение рационального числа -у на целое число х, так как еще не определено не только умножение рациональных чисел, но и само понятие рационального числа — мы •только собираемся определить, что такое рациональное число)? Можно ли вычислить, например, -у(5) = и получить в результате число, принадлежащее Z? Если сузить область определения .функции -|-(х) до подгруппы Z вида £)(-|-) =₽*{2• k I k е Z}, то, во-первых, ясно, как определить операцию умножения: -|(2Л)=₽ь-|- 2fer*= .ч±3-Л, где 3«Л есть обычное умножение двух натуральных чисел.
во-вторых, имеет желательный вид Ясно, что функ-*36
„дни —-(•) и -А-\ с областями определения соответственно {2й) и 2. 4
_{4А), где feeZ, разумно отождествить.
283
Перейдем к точным определениям.
Рассмотрим множество
: G-»-Z | Vgi, gz £= G(J(gi +g2) = f(gi) -b №2))}, где G — произвольная нетривиальная подгруппа в группе Z+. Напомним, что нетривиальной называется любая подгруппа, отличная от нулевой подгруппы {0}. В G определены не только групповые операции -|- и —, но и операции умножения на элементы из Z, а именно n-g^tg-]-g: G-»-G. Поэтому G— модуль над
кольцом Z. Если feX, то, очевидно, выполняется VraeZ Vg е G(f(n-g) = n-f(g)). Поэтому f не только гомоморфизм группы G в себя, но и Z—гомоморфизм (Z — линейная функция) модуля G в себя.
' В дальнейшем используем следующее свойство произвольной подгруппы группы Z+: такая подгруппа либо тривиальна, либо имеет вид {и- /| п eZ), где I — фиксированное число >0.-Докажем это свойство.
Допустим 3geG(g#=0). Если g<0, то ( —g)>0 и (-g)eG, т.е. 3geG(g>0). В множестве (g е G I g > 0} найдется наименьший элемент I. Очевидно, [п 11 п е Z}sG. Если ge G, то по архимедовости группы Z+ (пусть, например, g>0) найдется натуральное число п, для которого п.' l^g <(п-Н) • I- Если n-l^g, то (g — nt) eG и 0< g—nl < /, что противоречит определению числа /.
(Дадеко не для любого кольца К подгруппы G его аддитивной группы К+ обладают таким свойством.)
Группа Z+ обладает еще одним важным свойством: пересечение любых двух нетривиальных подгрупп группы Z+ является снова нетривиальной подгруппой в Z+. Действительно, если Gi и Gz — такие подгруппы, то по доказанному свойству они имеют вид {п • /11 п е Z) и (га • Z2I п е Z). Тогда G\ П Gi = {п1з | п е Z), где 1з — наименьшее общее кратное чисел Ц и It.
Положим
(0(Л)ля(/2))=м да) л ед).
т. е. функции fi и fz эквивалентны, если они совпадают на пересечении их областей определения. Определим рациональное число как любой класс эквивалентности в множестве X относительно отношения эквивалентности ~2. Иными словами, определим множество рациональных чисел как фактор-множество вида 'Х/~2 и элементы этого фактор-множества назовем рациональными числами. Итак,
Q^(X/~i).
Определим операции и отношение порядка в этом фактор-мно-жестве: -
[ЛЖ/гМЛГ G) + (f2r G)], [ЛЖЖМг],
284
где в правой части обозначает поточечное сложение функций и ° обозначает композицию двух функций, и
[ft] < [ft^Vfce G(*>0=>ft (Л) < f2(A)),
Проверьте, что эти определения корректны, т. е. не зависят от выбора представителей в классах эквивалентности.
Получилось упорядоченное поле
(? = <<?, 4-, 0, 1>, где
-[fl=[-ft (МО], l^[id]
н 0 в квадратных скобках — функция вида Z->-Z\ тождественно равная .О и id(x)=x, xeZ.
Если D(f) = {n«/|rt eZ), где />0 и f(/)=^eZ, то функция f однозначно определяется парой (k, I). Действительно, область определения D(f) задается образующей /еЛГ и функция .
= n-f(l) определяется числом fceZ. Поэтому функцию f обозначим fkj. Соответствие g: {k, является биекцией множества
Z'X.N и множества X (проверьте)'.
Очевидно, id = fi.,. Проверим, что 1 = [ft 1] и [f*. z]-1 =[ftignp)./. ш]-(В последней формуле знак числа k переходит на число /, делая знаменатель натуральным числом.)
Действительно,
[ft. /]• 1 = [ft. /]•№]= [ft. /oid],
функция в квадратных скобках определена только на числа вида п-l. Поэтому
(ft. i • id)(n • /) = k - п = fk, i(n -1).
Аналогично проверим: [f*. z]-[ft, z]“ ’=[/*, /1 - [ft. »] = 1, где для простоты записи рассмотрим случай й^О. Поскольку [ft. z]=/=0, то Л>0. Образ функции ft, k(-) содержится в D(ft. z), так как ft k(n-k) = ^=п-1; следовательно, область определения функцииft, z°ft * совпадает с областью определения функции fz, к. Поэтому fk. i°fi *(«•£)= = fk. i(n-l) = n-k = id(n-fe) и [ft. z]• [ft. = [id | {«•£}]= 1, так как -(id f {n• Л})~2id.
Предложение 5. Определения упорядоченного поля Q как фактор-множества (Z\N)/ и как фактор-множества X/ ~2 эквивалентны.
> Нужно установить, что система (ZXAQ/~i изоморфна системе X/ ~2. Биекция g, которая определена выше, обладает свойством:
”71—2/*»./»• Поэтому биекция g опускается до биекции gi вида ((ZXN)/ ~|)**-(Х/ ~2), где [g <k, /»].
\
285
Осталось проверить, что функция gt — гомоморфизм, который сохраняет отношение порядка.
Для этого выяислим ,.]4-[ffc„
Нужно по определению сузить функции Z1 и ,, на пересечение их областей определения, но мы сузим их ещё больше, на множество (ra’/i/jIneZ). При этом перейдем к эквивалентным функциям, которые соответственно равны f*1Zli llh и Z1Zj. Они имеют общую область определения. Тогда
Cf fella, Illi 4“ f *iZi, 6/j)(ra" М2) = 11^1/2+ ПЛ2/1 = «• (fe|/2-b^2/|) = = f b,l,+b,h.
Итак,
[f ki. Z,1 4” [f fti, /a] If ftiZi-f-ZMi, lila]
и H4 +[£] « w*-,J+|f
Наглядно это можно изобразить диаграммой:
Она означает, Что gi(x4-y) = gi(*)4-gi(y).
Аналогично вычислим Z1] - z,] = [h.. i,°h,. zj Чтобы ие
разбирать вопрос об области определения композиции заменим функцию fkli tl на эквивалентную ей функцию f*1Zli Z|Z1.
Получаем fk„ h°f i,i,(n'М2) = n • k\ • kz = f /цлг, iti,(.n‘hh) и
[fЛь i, ] ’ [f*1, zj = [f k,k,. mJ
Соответствующая диаграмма выглядит так:
Г—1 Г—1 = Г*ГМ
L Л J L ZjJ L Irfe]
4 I
[/лц Z.J °[ffek z/| z.z,] .
i '
Итак, функция gi — гомоморфизм.
Аналогично вычислим предикат порядка: zj^tfb. z,H>
z,zi]^[/ан,, ziZi]’*’”Vne>o(f(Mi, hi, (n'М2)fk,h.
Теперь очевидно, что [T]<[-^]^*bZ,]<[fb,zJ '
286
По поводу того, какое из этих двух определений рационального числа лучше, приведем слова Платона (который предпочитал именно второе определение): «там, где вычислитель делит, ученые умножают».
§ 3. ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Вещественные и комплексные числа рассматриваются в курсах анализа и алгебры, изучаются в курсе «Числовые системы»; в этом и следующем параграфе мы рассмотрим основные способы их определения.
Обычно пользуются одним из трех способов определения вещественного чибла: по Коши, по Дедекинду и по Кантору. Каждый из этих способов имеет важное общематематическое значение.
Для введения комплексных чисел пользуются также одним, из трех способов: комплексификацией векторного пространства R2 (над полем Jf), алгебраическим расширением поля R и пополнением •метрического пространства Q2.
1. Определение вещественного числа как фундаментальной последовательности. Напомним, что при таком подходе в множестве Q рассматривают функцию р(х, у)^(х—у) вида p:Q2->Q. Относительно этой функции определяются понятие фундаментальной последовательности (множество всех таких последовательностей обозначим X) и понятие эквивалентности ~ двух фундаментальных последовательностей (эти определения ниже напоминаются в общем случае, когда вместо пары (Q, р) рассматривается произвольное метрическое пространство (X, р>). Затем вещественным числом называется любой класс эквивалентности в множестве X относительно отношения эквивалентности ~. Соответственно множество R определяется как фактор-множество Х/~. После этого определяется функция
р(М W=H{p(*». У"))].
где в фигурных скобках пишутся фундаментальные последовательности в множестве Q, а в квадратных скобках пишутся классы эквивалентности — элементы множества R. Легко проверить, что если [хл} и {уп) фундаментальные последовательности, то [р(х„, уя)] фундаментальная последовательность и правая часть в этом определении не зависит от выбора представителей в классах эквивалентности [{хп}] и [{«/„}]. Эта функция р называется метрикой в R, и по . ней, как обычно, определяется топология в R. Кроме того, в R определяются операции: f(x„J [{j/n)]=₽fc[{х„
— xn)], [{хп}] *ч*[{хп ’)], а также выделенные элементы:
0=₽fc[{0}J, где в правых частях записи {0} и {1} обозначают
тождественно нулевую и тождественно единичную последовательности; наконец, в R определяется порядок:
287
dU«}] < Ы) **3mVn> m(xn <y„).
Конечно, нужно проверить, что правые части в этих определениях не зависят от выбора представителей в левых частях, а также то, что в правых частях действительно находятся фундаментальные последовательности. Это легко сделать.
Упражнение 3. Докажите? что система вида
<*, +, -, ., 0, 1, <, р)
является (линейно) упорядоченным метрическим полем (определение такого поля приводится ниже в начале п. 2).
Цель пунктов 1, 2 показать, что этот хорошо известный подход к определению системы вещественных чисел есть проявление общематематических закономерностей.
Пусть (X, р> метрическое пространство, где р(-, -)X2-*-R метрика.
Например, X = Q и р(х, у)=|х — у|. Обратите внимание, что в этом примере функция р имеет вид: р(-, •) :X2->Q. Поэтому в этом и в ряде других важных случаев структура метрического пространства не предполагает заранее известным множество вещественных чисел R, и, следовательно, оно может быть использовано для определения вещественного числа.
Напомним: фундаментальной последовательностью называется такая последовательность х = {xn}:N-^-N, для которой выполняется свойство VeeQ>03nVm, k>n(p(xm, хП)<.е,). Множество всех фундаментальных последовательностей обозначим X.
В этом множестве определим отношение эквивалентности.
А именно две последовательности (хл) и {ул) назовём эквивалентными, если VeeQ>03nVrn>n(p(xm, ут)<г). Как всегда, это отношение эквивалентности обозначим ~. Фактор-множествоХ/~ назовем пополнением метрического пространства X и обозначим X.
В фактор-множестве X определим метрику по формуле
Р (М Ы ** Km Р (х„, уп). (*)
Легко проверить, что это действительно метрика и, следовательно, пара (X, р) образует новое метрическое пространство. Например, проверим существование предела в формуле (*):
I р(*п. Уп) — p(xm, ут) | = | р(х„, уя) Н-р(ул, Хт)— (р(у„, Хт) +
4-р(*т. Ут)) < I р(хл, Хт) | 4- | р(ул, l/т) |-*0, Т. е. {р(хл, у„)}— фундаментальная последовательность. Из полноты множества /? вытекает, что рассматриваемый предел существует.
Каким образом новое метрическое пространство (X, р> связано с исходным метрическим пространством (X, р>?
Положим 1(х)ч*[(хл}], где Тогда функция i вида 1:Х->-Я и I — инъективная функция. Если отождествить объекты х и i(x), to множество X будет частью множества X и функция р, определенная на множестве (X?, будет продолжением функции р, определенной
288
Рис. 93
на множестве X2. Во всяком случае, выполняется формула
Vx.y <=Х(р(х,. у) = p(i(x), i(y)}. .
Теорема 3. а) Множество R(i) плотно в X. Фундаментальная в X последовательность переходит относительно функции i в фундаментальную в X последовательность, которая, кроме того, имеет предел в X (рис. 93).
б) Метрическое пространство (X, р) полно.
[> а) Пусть а — произвольный элемент множества X.
Если а = [(хя}], то рассмотрим последовательность (хя). В соот-ветстрни с определением пополнения X все элементы хя принадлежат X и сама последовательность (хя) фундаментальна в X. Покажем, что Km i(x„) = a. Для этого фиксируем какое-то значение переменной п, например равное гп. Получим p(i(xm),a)— lim p(xm, хя), так как по определению i(xm) = [(xm, xm, ..., xm, ...}].
Фундаментальность последовательности (хя) означает, что lim p(xm, х„) = lim (lim p(xm, хя)) nt. n-*-CO nt-* co n-*oo
равен нулю, поэтому с ростом m величина p(i(xm), а)-стремится, к нулю.
. Итак, любая точка а из X является пределом элементов вида i(xn) из /?(i). Это значит, что /?(i) плотно в X.
Если {хя} — фундаментальная в X последовательность, то она принадлежит X и а = [{хя)] принадлежит X. По доказанному i(x„)->a. В частности, последовательность (/(х„)) фундаментальна в X.
б) Пусть {ат} — произвольная фундаментальная в X последовательность. При любом фиксированном пг ее элемент am принадлежит X, поэтому она имеет вид [(xkm))], где все х(ят) — элементы X. Например, если т = 5, то а5 вида [[xf’J, х£5’, х^1, х|5’, ..., х£5), ...)]. По определению X любая последовательность {xkm)} при фиксированном m фундаментальна в X. Для каждой точки am из X выберем из соответствующей ей последовательности x$mJ, ..., xj,m)... такой один элемент-ут, что p(i(ym), am) = lirn р(ут, Это возможно
для любого фиксированного т, так как {xV”\ ..., xkm), -..}— фундаментальная последовательность.
10 Заказ 227 . 289
Найденное уш совпадает с одним из членов последовательности х\т\ ... х^ Пусть это будет какой-то пт-й член этой последовательности, т.е. ут=№1-
Осуществив выбор такого ут для каждого т, мы получим последовательность {уь ..., ут, ...), в которой каждое ут=х(”).
Последовательность .... ут — ^... образует "что-то вроде
диагонали в матрице (хЗД
Полученная последовательность {ут) фундаментальна в X, так как р(Ут. Ут,) = р(^(Ут). t(ym,)Xp(i(ym). am) + p(a„,, am,)-b + p(ami,i(yffll)X(^-4-^;+p(am, ami)->0 при m, От|->оо.
Поэтому {ym) e X и [{ym}] e X. Этот класс эквивалентности обозначим an. По доказанному в п. а выполняется i(ym)-»-ao при т-*-оо.
С другой стороны, последовательности (i(ym)) и (am) с переменней т эквивалентны в Я, так как p(i(ym), am)<—. Первая из них . имеет пределом точку а0, поэтому вторая из Чиих также имеет пределом этот элемент ао.
Если У— метрическое пространство и У| — подмножество У, то в У1 всегда рассматривается индуцированная метрика, т.е. Рг,(У1. Уа^РгСУь Уг), где у I, i/2 е У,.
Следствие. Если X и У — метрические пространства, У полно и существует метрический изоморфизм »:Х**У|, где У| — плотное подмножество множества У, то У метрически изоморфно X.
[> Пусть у — произвольный фиксированный элемент из У. Каждой последовательности {ул]еУ|, сходящейся к точке у, сопоставим последовательность (х„), для которой yrt=i(xn), т.е. xn=i-1(y„). Поскольку биекции i и 1~1 сохраняют метрики, то (хя) — фундаментальная в X последовательность.
Легко проверить, что множество 1(ул))| lim {уп}=у,
{ул} = У1) является классом эквивалентности в X, т.е. является элементом X.
Положим ((y^cLy, f: У-»-Х. Нетрудно убедиться и в том, что f — биекция и метрический изоморфизм. Например, ' р Y(y', у") =, = lim ру(у', уй'), где у'п->-у' и у"-* у", {уй}, [у"]sУь И продолжаем: п-н со
ру(у', у")= Um PxW, хй), где y^ = i(x'n), y"=i{x$, и далее
= К*ЙГЯ)-
Напомним, что изоморфные (в данном случае метрически изоморфные) объекты обычно не различаются. Поэтому можно считать, что метрические пространства X и У совпадают. Следствие показывает, что при фиксированном исходном метрическом пространстве X метрическое пространствб X единственно (с точностью до метрического изоморфизма). Следовательно, пополнение метриче
290
ского пространства X однозначно определяется как такое У, которое удовлетворяет двум аксиомам:
1) У — полное метрическое пространство;
2) X метрически изоморфно некоторому подмножеству Уь которое плотно в У.
Итак, пополнение Я можно определить аксиоматически.
Вернемся теперь к случаю, когда метрика р имеет вид p:X2->-Q.
В этом случае lim р(хл, дп) может не существовать в Q..
Последовательность (р(х„, уп)}, конечно, остается фундаментальной, но ее предел может принадлежать не Q,a3. Поэтому формулу (♦} приходится изменить, положив
Р([(Хл)], [{f/n)])=₽^[{p(x„, «/„)}].
В этой формуле {хл} и — последовательности в X, а {ал)ч^{р(хл, у„)}—последовательность в Q. Следовательно, классы эквивалентности в левой части принадлежат X, а класс эквивалентности в правой части принадлежит Q.
• Если теперь рассмотреть случай X=Q н р(х, у) = (х—y):Q2->Q, то мы получим то определение множества вещественных чисел, которое было проведено в начале этого пункта. Итак, пополнение $ можно' принять за определение множества R.
2. Продолжение алгебраических операций с поля иа его пополнение. Метрическим полем называется система, являющаяся одновременно полем и метрическим пространством, т. е. система вида
_ (X, +, -, -, 0, 1, р>, где (X, +, -, -, 0, 1>-
поле и (X, р> — метрическое пространство, в которой выполняются аксиомы «согласования»: непрерывны функции -|- и • (вида X2—»-Х) и функции (вида Х-»-Х)* и (•)“' (вида Х*-»-Х*). Например, Q и R — метрические поля (проверьте).
В первом определении вещественных чисел использовалась только метрика в множестве Q; иными словами, оно основано только на структуре метрического пространства в Q. Структура •-поля и порядок в Q никак не используются в первом определении вещественных чисел.
Пополнение метрического пространства всегда является метрическим пространством, поэтому естественно, что — метрическое пространство. В какой мере закономерно, что R еще и поле? Хотелось бы алгебраические операции в метрическом пространстве X перенести на его пополнение X, с тем чтобы X превратилось в одноименную с X алгебраическую систему. Например, операции в Q продолжаются в /?=₽£$ и R превращается в одноименную с Q алгебраическую систему — поле.
Итак, нас интересует вопрос, когда возможно продолжить алгебраические операции в метрическом поле X на его пополнение X, с тем чтобы X тоже было полем, а X его подполем. Если это возможно, то возникает вопрос, единственно ли такое продолже
291
ние операций и зависит ли оно от каких-либо особенностей метрического поля Q или имеет место для любого метрического поля X?
В этом пункте мы увидим, что такое продолжение возможно, единственно и является проявлением общей закономерности.
Удобно считать, что исходное метрическое пространство X не только изоморфно множеству/?(i)sX, но является подмножеством метрического пространства X. Действительно, всегда можно заменить в X подмножество R(t) на множество X. Поэтому в дальнейшем будем считать, что X — подмножество X.
Теорема 4. Если X и Y метрические пространства, У полно и f:X-»-Y равномерно непрерывная функция, то существует единственная равномерно непрерывная функция f:X-+Y, для которой
Функция f называется продолжением по непрерывности функции f. Если функция f не равномерно непрерывна, то ее продолжение даже до непрерывной функции не всегда возможно. Напри-
мер, непрерывную функцию (—) Г (0, 1] нельзя продолжить до непрерывной функции, определенной на отрезке [О, I].
[> Если (х„) — фундаментальная последовательность в X, то по равномерной непрерывности функции f последовательность (f(xn)) фундаментальна в У. В силу полноты Y существует lim f(xn). Положим , ,
g:{x„}t-*lim f(xa). И-* CD
Эта функция опускается на фактор-множество X; и получается функцйя вида gi:[{xn)]b>lim f(xn).
Итак, если а^[{хп}] еХ, то gi(a)^g((x„)). Ясно, что функция gi вида gi'.X-^-Y — продолжение функции f.
Осталось проверить, что функция gi равномерно непрерывна.
Действительно, пусть a' = [{xi}] и а"=[[х$] две точки из X. Тогда
Pr(gi(a'). gi(“"))=Pr(limf(xi), limf(x"))=limpy(f(xn), n n n
Пусть дано любое число 8>0. Выберем число 6 > 0, для которого выполняется рх(х', х") <6=>py(f(x'), f(x"))<8. Тогда условие px(a', a//) = limpx(xi, х£)<6 обеспечивает соотношение Эп0Уи> ио(рУ(/(х£), Дх?))<8), т. е. py(gi(a'), gi(a")) <8. HTaK,y=g|.
Единственность такого продолжения сразу следует из того, что две непрерывные функции, совпадающие на плотном множестве, совпадают всюду. Равномерная непрерывность влечет непрерывность функции g|.
Теорема 4 подсказывает идею продолжения операций с множеством X иа множестве X.
Если f — унарная операция (например, f(x)=—K или f(x)= =х-‘:Х*-»Х*), то можно считать, что эта функция вида f:X-»-X или вида Х*-+л. Если функция f равномерно непрерывиа, то можно непосредственно применить теорему 4. В топологической группе,
292
/ •
топологическом кольце, топологическом поле и т. п. все алгебраические операции по определению непрерывны, но откуда возьмется ;их равномерная непрерывность?
Если X компакт и f — непрерывная функция на X, то по известной теореме из курса анализа f равномерно непрерывна на X. Однако метрическое поле лишь в редких, случаях является компактом. , Например, если X = Q и топология в Q определена обычной метрикой pQ(x, у)з±(х—у), то Q не является компактом.
Если X локально компактное пространство, то для любой точки а из X найдется компактная окрестность Ха этой точки в пространстве X. Тогда функция f Г (Хо) равномерно непрерывна и к ней можно применить теорему 4. Но и локальная компактность неполного метрического поля X редко встречается. Например, она не имеет места в интересующем нас случае X = Q (докажите).
Тем более замечательно, что даже без всякого дополнительного предположения вроде локальной компактности можно продолжить операции, имеющиеся в X на пополнение X.
Теорема 5. Если X метрическая абелева группа, метрическое кольцо или тело, то операции, имеющиеся в X, продолжаются до операций в X и относительно них X является одноименной алгебраической системой. При этом X — соответственно подгруппа, подкольцо, подтело в X.
Напомним несколько определений.
Метрической группой называется система вида (G, •, _|, е, р), в которой (G, •, е)—группа и (X, р) — метрическое пространство и выполняются «аксиомы согласования»: групповые операции • и _| непрерывны и, наконец, метрика обладает свойством
Vgo, gi, g2eG(p(gi, g2)=p(gogi, gog2))
(инвариантность слева).
(Метрика р определяет в G топологию, относительно которой G является и топологической группой. Проверьте это.) Определение метрического кольца (тела) дается ниже.
В случае абелевой группы метрику и топологию в G удобнее задавать с помощью функции |g| ч=*р(0, g), которая обладает свойствами |-1:G-*~R>0, lgl=0^g=0,1—g| = |g|, Igi4-g2| Clgil-h H-lgal, Vg. gi> g2eG.
Упражнение 4. Проверьте, что в метрической группе действительно выполняются эти свойства. Докажите, - что для любой абелевой группы G и для любой функции I -1: G-»-R+, обладающей этими четырьмя свойствами, в G возникает структура метрической группы, если положить p(gi, g2)qpt|gi—gil-
В элементарных группах метрика, как правило, задается именно такой функцией |-|.
Лемма 2. Для любой абелевой метрической группы (G, +, —, О, | < | > функция f'.g~>—g равномерно непрерывна.
293
<1 Пусть дано число 8>0. Если |gi — g2l <8, то |(—gi) — ( — £2)! = = l/(gi)— №2)1 <8 и в качестве 6 можно выбрать само 8.
В доказательстве даже_не используется непрерывность функции f.
Лемма 3. Всякий непрерывный гомоморфизм, f абелевой ‘Метрической группы G в абелеву метрическую группу Gi равномерно непрерывен.
[> Пусть дано число 8>0. По непрерывности' функции f в точке нуль найдется число 6>0, для которого
Igl <6=>|f(g)| <8. Если |g|—g2|<6, то lf(gl) — f(£2)l = = lf(g>-g2)l<8.
В доказательстве используется непрерывность функции f только в одной точке — в нуле.
Лемма 4. Для любой абелевой метрической группы G функция •: G2-*-G равномерно непрерывна.
|> Операции в декартовом произведении G2 определим покоординатно. Легко проверить, что относительно них G2 — абелева группа. Тогда функция • является гомоморфизмом группы G2 в группу G и к ней применима лемма 3.
Доказательство теоремы 5.
Случай группы. По лемме 2 функция gn—g равномерно непрерывна, и к ней применима теорема 4. По лемме 4 функция gi-g2 равномерно непрерывна, и к ией применима теорема 4.
Аксиомы абелевой группы представляют собой тождества, выполняющиеся на множестве G2, плотном в (<?)2. По непрерыв--ности левых и правых частей этих тождеств они выполняются и иа всем множестве б.
Случай кольца. Кольцо (К, -Ь, —, 0, •, 1) содержит абелеву группу {К, +, —, 0). По уже доказанному случаю теоремы 5 система (X, 4-. —, 0)—абелева группа. Осталось продолжить функцию ki-ko: К2-»-К до функции вида (Х)2-»-^. Однако уже в простейшем случае K=R функция x-y:R2-+R и даже функция x2:R-+R не равномерно непрерывны. Поэтому леммы 2—4 не применимы. Причина этого в том, чтр метрика в А, инвариантная относительно всех параллельных'переносов вида k*-+k-\-ko, не инвариантна относительно гомотетий вида /гн>-/г- ko-
Лемм а 5. Пусть Xi, Хо, Хз полные метрические абелевы группы, aG\ и Go плотные подгруппы соответственно в Xi иХ. Всякая непрерывная билинейная форма }(•, -):GiX во-*~Хз продолжается до непрерывной билинейной формы вида X, ХХо-*~Х3.
Закончим сначала доказательство второго случая теоремы 5.
Поскольку k\-ko‘.K?-*-R — непрерывная билинейная форма, то по лемме 5 продолжим ее на (К)2 до функции вида (Х)2->л. Аксиомы кольца являются тождествами, выполняющимися на множестве №, плотном в (X)2. По непрерывности левых и правых частей этих тождеств они выполняются и на R.
[> Доказательство леммы 5. Если {gi) и [gi'} — фундаментальнее последовательности соответственно в Gi н Go, которые
291
сходятся соответственно к Точкам go и go, то ff(g„, gj)} — фундаментальная последовательность в Хз.
Действительно, начиная с достаточно больших п, т, величины p(gn, gm) и p(g", gm) сколь угодно малы. Выполняется тождество Кх', y') — f(x, y) = f(x'—x, у' — y)4-f(xz — X, y' — yi)-^-
+Kx — Xit y' — y).
Мы покажем, что слагаемые в его правой части при достаточно малых |х'—х| и |у'—у| и подходящем выборе х, и. у\ сколь угодно малы.
По непрерывности функций f(-, •) в точке (0, 0) для любого числа 8>0 существует такое число 6>0, для которого |х|, |у|< <26=>|f(x, у)| <8. Если |х' —х|, |у'—у| <26, то |f(x'—х, У— У)1 <е.
Пусть Xi <= 0gii t и У\е 0eli J. Тогда
Vx', xG=^gSeVy', y^0eS, 4(lf(x'— x, у'— yi)-h + f(x —xi, у'—у)| <28).
Функции xw-f(x, yi) и yt->f(xi, у) непрерывны. В частности, они непрерывны в точке нуль. Поэтому, уменьшив, если нужно, 6, можно обеспечить: |х'—х| <26=> |f(x' —х, yi)| <8 и |у'—у|<26=> =>lf(*i, У'~У)1<е.
Итак, фундаментальность последовательности {/(gi, giO) доказана.
По полноте Хз эта последовательность имеет предел. Положим <{gi}, {£"}> b*limf(g;, gi')- Такая функция поднимается до функции g(-, •): <[&£)]. [feЛ]>ь* lim g"), которая является продолжени-
ем /(•). Аргумент этой функции как раз пробегает 6iX^2=XiXX2. Непрерывность функции g проверяется точно так же, как в доказательстве теоремы 4. Эти два доказательства и в целом похожи.-
Условие билинейности функции g записывается тождеством, которое выполняется на плотном множестве GiXGj. По непрерывности оно сохраняется и на Х|Х^2.
Случай тела. Тело (К, -Ь, —, 0, -, 1) содержит кольцо
{К, 4-, —, 0, •, 1>. По доказанному случаю нашей теоремы 5 (К, +, —, 0, •, 1)—кольцо. Осталось только продолжить функцию k~1: до функции вида k~1: (А*) Л->АГ. Тогда аксио-
мы тела проверяются точно так же, как проверялись аксиомы группы и кольца. Однако для продолжения этой функции нельзя применить леммы 2—4 или лемму 5. Это видно из простейшего примера K=R и k~' = ±<R*^R.
Пусть {&„} фундаментальная последовательность в К, не сходящаяся к нулю в К- Если фундаментальная последовательность, то положим {£„}»-»-Нт (Й7 ). Эту функцию поднимем до функ-
295
ции вида [{£„}]»-*-lim Лп 1 и таким образом осуществим продолжение п
функции k~'. Осталось проверить фундаментальность последовательности (fer1). По определению метрического тела в нем метрика р определяется с помощью функции вида | • |: /(->-/? со свойствами:
|й| =0^й = 0,
|fei-fe2| = |feil- |Л2|,
|fei 4*fe2l |fei I 4* |fe2|, Vfe, fei, kz^K..
А именно, p(fei, ki)^\ki — k2\.
(Не для любого поля можно определить хотя бы одну такую функцию, но для элементарных полей, в частности, для всех числовых полей она может быть определена.) Функцию | -1 с этими свойствами называют абсолютным значением. Итак, метрическое тело определяется как тело с абсолютным значением, в котором все' операции непрерывны.
Докажем, что последовательность (fer1) фундаментальна.
По условию о том, что Птй„=^0, существует число 8>0, для которого ЭяоУи > Ло(|Лп| ^е)п.
Для любого числа 8|>0, увеличив, если нужно, п0, можно считать, что V/i, т>по(|/гл —/гЛ| <8|).
Тогда |fer1 — fem 11 = -4- Число 8 фиксировано, а
|Кл1 • |Rml V
число 81 можно сделать сколь угодно малым. Поэтому последнюю дробь можно сделать сколь угодно малой при всех п, т > по. Теорема -5 полностью доказана.
3. Определение веществеииого числа как сечеиия. В этом пункте мы разберем второй подход к определению вещественного числа. Как и первый подход, он имеет в качестве отправной точки множество рациональных чисел Q. Однако теперь множество Q рассматривается не как метрическое пространство и не как поле, а как упорядоченное множество. Системы (Q, р) и (Q, } имеют
общий носитель, но по существу являются разными объектами. Наша цель состоит не в том, чтобы фактически определить вещественные числа с помощью упорядоченного множества (Q, )
(это делается в курсе «Числовые системы»), а в том, чтобы разобрать сам способ такого определения и выяснить, зависит ли он от каких-то специфических свойств упорядоченного множества (Q, С этой целью приведем общее определение класса систем, простейшим представителем которых является конкретная система ( Q, 4-, —, 0, •, С У • Пусть К является либо полем Q, либо полем R.
Определение 1а. Линеалом называется система вида (X, + , —, •, О, где система (X, 4-, —, •, 0) — векторное пространство иад полем К, а < — отношение порядка в множестве X, для которой выполняются аксиомы:
1) (X, О — решетка, т. е. для любых двух элементов § и q из X существуют точные верхняя и нижняя грани множества (i. п);
296
2) + W I, П. tel;
3) 0 sC X Д £ sC r)=>X£ Хт), где £, т] el и Xe/J.
Напомним, что точная верхняя грань sup{xa) множества (ха) определяется как элемент х из частично упорядоченного множества X, для которого выполняются свойства:
1) Va;
2) VyeX((Va(xa<y)=>x<y).
Аналогично определяется точная нижняя грань inf [xa) множества (xj. Здесь {х<4 — произвольное семейство элементов какого угодно частично упорядоченного множества X.
Вместо sup{xa) часто пишут supxa или \/ха. Легко проверить: ' . a
если существует точная верхняя грань, то она единственна. Вместо sup(x, у} обычно пишут х\/у. Аналогично, не может существовать двух inf (xa). Вместо последнего обозначения часто пишут infxa или a
Дха- Вместо inf{x, у} пишут хДу. а
Приведите примеры решеток и примеры отношений порядка, не являющихся решетками. Те и другие упорядоченные множества часто встречаются в элементарной математике.
Определение 1 сохраняет свой смысл, если в нем упорядоченное поле К заменено любым другим упорядоченным полем или упорядоченным кольцом К. (В последнем случае X является модулем над А.) Например, можно взять K=Q', этот случай будет в дальнейшем основным.
Примерами линеалов являются системы (Q, +, —, 0, над полем Q и {R, 4-, —, 0, ) над полем Q, и вторая из этих
систем над полем R, где -Ь, —, С суть обычные операции и отношение порядка между числами. Другими примерами линеалов являются система (Я2, 4-, —, 0, > над полем Q и эта же
система над полем R, где отношение порядка определяется формулой (<X|, yi>C <х2, У2>)зрь(х1 Сх2 ЛУ1 С«/2>, а также система (С(Х, R), 4-, —, О, О с обычными покоординатными операциями и отношением порядка (f С£)=*=*Ух 6=X(f(x)<g(x)).
Условимся в дальнейшем рассматривать множество Q как линеал именно над полем Q.
Порядок в множестве X называется условно полным, если любое непустое ограниченное сверху подмножество множества X имеёт в X точную верхнюю грань.
Отсюда легко вытекает, что любое непустое ограниченное снизу подмножество множества X имеет в X точную нижнюю грань. Например, порядок в R условно полный, а порядок в Q не является таким.
Определение 16. Я-простраиством называется любой условно полный линеал.
Определение 1в. Линеал называется архимедовым, если выполняется условие: Vj>0 ({n-jflnеЛГ} ие ограничено сверху).
297
Любое ^-пространство архимедово. Действительно, если множество {га• у | п е АГ} ограничено сверху и у>0, то обозначим Zz₽t =₽fcsup{га-у | га eJV): Тогдд Vra(ra-y^z); (га—1) • у z—у. Поскольку коэффициент (га —1) пробегает весь натуральный ряд, то [ra-y)^z —у, z<2-у, ОС — у, у^О — противоречие.
Линеал, не являющийся К-пространством, также может быть архимедовым. Например, архимедовым ие К-пространством является интересующий нас линеал Q (над полем Q).
Теорема 6. Для ^любого архимедова линеала X существует такое К-пространство X и такая функция I: Х-^>-Х, что R(i) плотно в X в следующем смысле:
У£б=хад<=х (£=suP(i(u>));
кроме того, функция I является Инъективным гомоморфизмом линеалов (вложением).
Последнее означает, что функция i инъективна и i(£4-r)) = =^)-Н(п)Л>1)=М& и »(V Ы= у Ш
Конечно, /?(t) — подлинеал X, этот подлинеал обладает свойством, о котором говорится в следующем упражнении. При наличии этого свойства подлинеал называется правильным, так что /?(г) — правиль-. ный подлинеал в X.
Упражнение 5. Для любого подмножества w<=R(i) существование sup w, вычисленного относительно R (I), эквивалентно существованию sup w, вычисленного относительно Я, и, если один из этих-двух sup существует, то они оба равны. Приведите примеры двух упорядоченных множеств X и Y (X<=Y и порядок в X — ограничение порядка в Y), для которых такое утверждение не верно.
Ниже будет доказано, что К-пространство X, указанное в теореме 6, определяется по архимедову линеалу X единственным образом с точностью до изоморфизма линеалов. Это К-пространство называется пополнением линеала X.
Второе определение множества вещественных чисел состоит в том, что вещественным числом называется любой элемент пополнения Q архимедова линеала О. Иными словами, множеством вещественных чисел называется Q. По теореме 6 множество $ оказывается условно полным линеалом. Таким образом, второе определение вещественного числа, как и его первое определение, является частным случаем соответствующей общей конструкции, которая применяется далеко не только для случая Q.
Доказательство теоремы 6. /
[> Если а^х, то обозначим as (соответственно а‘) множество всех ' верхних (соответственно всех нижних) границ множества а. Конечно, множество as или а* может быть пустым. Обозначим asl результат последовательного вычисления (с?у.
Подмножество а£Х называется сечением, если a^=a5‘. Конечно, всегда выполняется a sa'‘. Поэтому а сечение, если as' £a. На
29R
пример, все множество X и пустое множество 0 являются сечениями.
По определению множество X Состоит из всех сечений, кроме двух сечений X и 0.
Упражнение 6. Докажите, что все сечения в линеале ( Q, ) имеют вид {reQIrs^X}, где X — какое-то фиксированное вещественное число. Отсюда видна связь второго определения вещественного числа с обычным определением вещественного числа с помощью сечения, по Дедекинду.
Для любого множества asX множество asf сечение, так как as/s = ai. Упорядочим множество X отношением порядка (а^р)з± =₽t(asp); здесь и далее а, р— произвольные элементы множества X. Легко проверить, что это действительно отношение порядка.
Покажем, что упорядоченное множество X условно полно. Для непустого ограниченного сверху в X множества сечений (aT)sX положим ач±(1) av)s‘. Если сечение реХ ограничивает v
сверху множество (ат), то U«TsP и (Ja?)” Sps' = P- Поэтому а=/=Х. т _ ?
Кроме того, а#=0. Итак, txeX и Vy(aT^a).
Проверим, что а= V аг Если Vу(а? С ао), то U a? sao, (U а?/' szS’ = а0, т. е. а<а0.
Положим i(-):&->-as, где а^{г)еX|7]<£}. (Любое множество вида а5 называется компонентой.) Легко видеть, что функция i вида i: Х-»-Х инъективна.
Упражнение 7. Докажите, что в случае линеала (Q, )
такая функция i является гомоморфизмом линеала Q в линеал его сечений Q.
Теперь нужно в общем случае проверить, что_ функция i является гомоморфизмом линеалов. Например, проверим, 4Toi( V£v) = = Vi(Br)- Если g= VyBt, to нужно проверить, что t(g)=a{ = V Х£?)= = VTati. Как мы уже видели, ач±(и Ta£t)s'= V ya5t. Достаточно установить, что a5 = a. Если т]Еа; то rjCL но Hqea.
Здесь Х*а — умножение на скаляр X, а Ха — другое умножение: все элементы а умножаются на X.
Для а, реХ положим a-fc;P4=t(a-|-P)s', где в левой части складываются элементы а, реХ, а в правой части складываются подмножества a, psX. Если XezQ или Хей и аеХ, то в случае Х>0 положим Х«ач=ь{Х«|||еа}; если же Х<0, то положим Х-а = = Ха5. Наконец, если Х=0, то положим X-a=s=tO=₽fc[q | q 0}.
Проверим, что множество Х-а является сечением. Например, рассмотрим случай, когда Х<0. Если £еа, т|Еа’, то X-|^X-ri; значит, по определению получаем X-ge(Xas)s, т. е. Ха^(Ха8у.
Наоборот, если г|е(Ха5У, то т]>Х*£, Vgeas и , значит,
•_>эд
4~,Tld. 4 e asl = a, qeA,a, (Xas)ssXa. Итак, Xa=(Xasy.
Проверим теперь,” что (Xas)®‘<=.ka>s. Если £e(Xas)s', то
Vr] e a и т] ^4” I, 4"' I G a’> £=M> где П e«s, и по определению X-a получаем:
Следовательно, операция • вида • : KXi-»-i, где К совпадает с Q или R.
Итак, в X определены операции и • нужного вида, имеется элемент 0 и отношение порядка
Чтобы убедиться в том, что линеал X относительно этих операций и отношения порядка является /(-пространством, осталось проверить аксиомы из определения 1а и то обстоятельство, что (X, -, О, С ) — векторное пространство. Аксиомы 1—3 очевид-
ны. Из аксиом векторного пространства также очевидны все аксиомы, кроме ассоциативности и дистрибутивности операции сложения векторов относительно операции умножения на скаляр.
Их проверку оставим в качестве упражнения.
Итак, линеал X есть К-пространство.
Проверим плотность множества /?(i)={a5|£еХ) в X. Если аеХ, то а=и(а5||еа), так как а обладает свойством: =>Яеа- Поэтому a=a! =(Uat)s'= V la?
Следствие. Пусть X5 и линеалы и ?) есть K-пространство и существует вложение i линеала X в линеал , образ которого плотен в 9. Тогда ?) изоморфно X.
Слово «изоморфно» означает существование биекции f: -*-»-Х, для которой
f(yi +У2) = f (t/1) + f(yz), f(X-y) = X7(y),
f (V У у) = V v f (Ух)-_ V
. Для простоты записи будем считать, что Х£?) и = Этого всегда можно добиться, отождествляя элемент | из X и элемент /(|) из ?).
[> Положим f (•): е X | £ < у]. Очевидно, ау — сечение в X.
Если У1#=уг и ад, =а.У2, то в силу плотности X получаём yt=y2 — противоречие. Если a — сечение в X, то положим y-^sup ra. Тогда &у = а. Действительно, если l^cty, то г]£а!=Н<1/,
|eas'=a. Если |еа, то £еак и ун»-а. Итак, функция f — биекция множеств и X. Легко проверить, что она изо-- морфизм.
В любом линеале X определяется функция
Щеглах (|, -<}.
Она называется абсолютной величиной в X. В случае R или Q эта функция является (обычной) абсолютной, величиной.
Итак, при втором подходе к понятию вещественного числа R**Q получается как условно полное упорядоченное множество
300
и одновременно векторное пространство над полем Q. Однако пока в множестве R не определена операция умножения. Поэтому умножение на числа (скаляры) из Q' которое определено в множестве R, продолжим до умножения на числа (скаляры) из R. А именно, если то для любого сечения положим
a-ai=₽t[r-ai|rea}. Получилась операция вида R2-»-R. Легко проверить, что для нее выполняются обычные свойства умножения. Поэтому R является кольцом и полем.
4. Определение вещественного числа как последовательности знаков. Третье определение вещественного числа основано на интуитивном представлении о вещественном числе как последовательности целых чисел или, более точно,— последовательности цифр (знаков). Вероятно, это наиболее элементарное, школьное представление о вещественном числе.
Множество вещественных чисел, определенное в соответствии с п. 1 или п. 2, обозначим R. Наряду с этим множеством рассмотрим декартово произведение Zx(Fq)N., где q—фиксированное натуральное число, большее единицы, и 1, .... q — 1}.
Рассмотрим множество всех последовательностей вида хо, -Х| х2 х3 ..., где xjgZh XieF5, x2eF9, ... . Любой член х, такой последовательности назовем знаком. Обозначим R' подмножество множества ZX(F,)JV, состоящее из всех таких последовательностей х0, Xi, х2, хз, ..., у которых знаки х, не равны тождественно (q— 1), начиная с некоторого места. Например, при q= 10 множество /?' не содержит последовательностей, у которых, начиная с некоторого места, идут одни девятки. Элементй множества R' будем называть q-дробя ми, или, короче, дробями.
Определим каноническую (фиксированную) биекцию <р между множествами R' и R. Пусть дробь х=х0, Х|Х2х3 ... принадлежит множеству R'.
Положим rn5ptr„(x)^±:Xo + -..4- "V, <p(x)qpt lim гп. Очевидно, что q п-*оо
{rn}— фундаментальная последовательность в Q, поэтому сущестйу-ет lim гп. Итак, y.R'-*R.
Чтобы увидеть связь между дробями и измерением отрезков, которое рассматривалось в главе III, определим функцию <р по-другому, не используя рациональные числа гп. Для этого разделам отрезок Доч±[хо, хо-f-l], содержащийся в R, на q равных отрезков, не имеющих общих внутренних точек, которые в соответствии с обычным отношением порядка в R занумеруем слева направо соответственно цифрами 0, 1, 2, ..., q— 1. Обозначим Д| тот из этих отрезков, который имеет номер Х|.
Аналогичным образом разделим отрезок Д| на q равных отрезков и обозначим Д2 тот из полученных отрезков, который имеет номер х2. Продолжая этот процесс, получим систему вложенных ' отрезков
До — Д| — Д2 э...,
301
в которой длина га-го отрезка Дп равна -L. Поэтому длина отрезка Дп стремится к нулю с ростом индекса п. По теореме Кантора, которая, как известно, выполняется в множестве R, существует единственное вещественное число ХеЯ, принадлежащее всем отрезкам Дп. Поскольку все xi не могут, начиная с некоторого номера, равняться <?—1, то Х=/=хо4-1, т. е. Хе[х0, хо+1[, и точно так же вещественное число X не равно правому концу никакого отрезка Дп. Поэтому при каждом делении можно образовывать отрезки без их правых концов.
Обозначим ф(х) полученное число х. Оставим читателю проверку того, что эти два определения функции <р эквивалентны. Биективность функции ф : хь>ф(х)легко проверяется при первом ее определении. Проверим то же самое для ее второго определения.
Предложение 6. Функция (p'.R'^R является биекцией. [> Пусть х=х0, Х|, хз ... и у = уо, yt, уг ••• — две различные дроби из множества R'. Если хо=£уо, то ф(х)е[хо, Хо-Н[ и ф(у)е[уо, y0+i[, поэтому ф(х)=?ь=ф(у)- Если хо = уо и Xi=^=yi, fo ф(х) лежит в х,-м по счету отрезке (при делении отрезка[х0, хоН-Цна <7 равных частей) и ф(х) ие совпадает с его правым концом, а ф(у) аналогичным образом лежит в другом, </|-м отрезке и не совпадает с его, правым концом. Поэтому ф(х) и ф(у) лежат в непересекающихся отрезках и, следовательно, ф(х)=#ф(у). Рассуждая таким образом дальше, получим, что из условия х^у вытекает ф(х)=^ф(у). Итак, ф(-) — инъективное отображение. 4
Пусть даио вещественное число ХеЯ и х05±[Х] — целая часть X. Если Х=хо, то Х=ф(хо, ООО ...), где дробь Хо, ОООеЯ'. Пусть X — не целое число. Если после деления отрезка Д0=[х0; х0-|- 1] на <7 равных отрезков X окажется концом одного из этих отрезков, то Х=ф(х0, xiOO ...), где Х| — номер того отрезка, левым концом которого является X. Если X не совпадает с концом ни одного нз этих отрезков, то X принадлежит ровно одному из этих отрезков, номер которого обозначим хь Продолжая этот процесс, мы либо остановимся на каком-то Шаге, т. е. получим, что Х=ф(хо, Х|Х2...х„00...), либо построим некоторую дробь вида х=хо, Х1Х2Х3 из множества ZX(F?)JV. Легко проверить, что такая дробь х лежит в Я' и ф(х) = Х. Тем самым доказана сюръективность отображения ф.
Так как R'— подмножество декартова произведения ZX(Fq)N, то естественно ожидать, что операции и отношения, определяемые в декартовом произведении, индуцируют аналогичные по свойствам операции и отношения в R'. В свою очередь операции и отношения в декартовом произведении естественно определять на основе уже имеющихся операций и отношений в сомножителях декартова произведения.
Итак, третье определение вещественного числа состоит в том, что вещественным числом называется любая дробь, т. е. любой элемент множества R'. Множество R' определяется без использования* вещественных чисел в смысле их первого и второго опреде
302 -
лений, поэтому третье определение вещественных чисел не зависит от двух предыдущих определений.
Пока не ясно, как при таком подходе к понятию вещественного числа определить обычные операции и отношения в множестве R'. Конечно, можно воспользоваться биекцией <p:R'->-R и перенести операции и отношения, определенные в п. 1 и 2, с множества R иа множество R', т. е., например, положить:
Вместо этого мы хотим определить операции и отношения в множестве R', используя именно структуру декартова произведения в R'. В этом и состоит принципиальное отличие третьего подхода к определению вещественного числа от двух первых подходов. Наряду с пополнением метрических пространств (первый подход), пополнением линеалов (второй подход), наш третий подход—перенос структуры с сомножителей на декартово произведение — также имеет важное общематематическое значение. Перейдем к конкретным построениям.
Определение 2. Пусть х = Хо, xjx2 ... и у=уо, У\Уг ... — две различные дроби из R' и n^min (fceZ>0|xA#=^}. Положим (х<у)^(хп<уп). Иными словами, отношение порядка в R' определяется следующим образом: .
если х0 < уо, то хо, х,жг... < у0, yiy2...;
если ха = у0 и Xi <yi, то х0, х’(х2... < уо, и т. д.
Итак, отношение порядка в декартовом произведении индуцируется отношениями порядка в сомножителях этого произведения. Такой порядок называется лексико-графическим. С аналогичным порядком встречаются при расположении слов в словаре в алфа-, витиом порядке. Например, при ?=10 выполняется 0,19842... < <0, 19845... .
Обозначим О'ч=Ю, 00 ... . Дробь хе/?' назовем положительной (отрицательной), если 0'<х (соответственно х<0').
Упражнение 8. Докажите, что:
а) для любых дробей х и у из R' выполняется одно и только одно из трех соотношений: х=у (т. е. хп=уп при всех п=0, 1, 2 ...), или х<у, или у<х;
б) если х<у и у<2, то х<г;
в) если l„=f±0, 0 ... 0100 (знак 1 на п-м месте) и при всех n^N выполняется О'^х<1л, то х=0';
г) если х — хо, xix2 ... е/?-' и Х(„)ч^х0, Х|Х2...х„00... е/?', то х является точной верхней гранью множества (Х(„) | п е /V);
д) вышеуказанная биекция ф строго монотонна, т. е. (х<у)о -<=Кф(х)<ф(у)).
Теорема 7. Любое непустое ограниченное сверху множество X ^R' имеет в R' точную верхнюю грань.
[> Пусть c = cq,cic2c3C4 ... — некоторая фиксированная верхняя грань множества X, т.е. для всех хеХ выполняется х^с. Здесь х<с, как всегда, означает х<с\/х=с. Рассмотрим множество
303
Xospfcfy eZ\Эх eX(xo=y)}. Тогда XosZ и Хо непусто, так как X непусто, и Хо ограничено сверху, так как ХоС^о Для всех х^Х. Следовательно, в Хо найдется наибольший элемент. Обозначим его Ьо- Конечно, bo^Z.
Рассмотрим множествоХ1ч±{уеГ?|ЭхеХ(хо = 6оЛх1 =!/)}• Тогда XisF9={0, 1, 2, ... <?_|) и Х| не пусто, так как найдутся элементы из X, у которых на нулевом месте стоит Ьо. Следовательно, в Xi найдется наибольший относительно обычного порядка в Fq элемент. Обозначим его Ьг, конечно b\^Fq.
Если знак Ьп уже построен, то положим по индукции 5±maxXn+i, где Хл+е Fq | Эхе Х(хо = 6о Д — Л хп = = 6пДх„+1=у)).
Если не все Ьп, начиная с некоторого номера, равны q — 1, то положим b^bo, b\bi ...^.R'.
Если это не так, т.е. при некотором гаеЛГ выполняется Ьп+\ = = йп4-2 = ^п+з = ... = q 1 и bn=£q 1, то положим bt&bo, b\b2...bn-\Ь'пОО..., где b'n = bn-]-l.
/Докажем, что 6 = supX. Рассмотрим сначала случай, когда последрвательность [6Л) не имеет «хвоста», состоящего сплошь из знаков (q—1). Пусть хеХ. Покажем, что x^Zb. Если x=£b, то положим zz = min(jfe|xa#=6i}, т- е- xo = bo, Х| = 6|, ..., x„_i = 6rt_|, хл#= т^=6Я. ' e
Тогда х„еХ„, а по построению 6„ = тахХ„, т. е. хп < Ьп и, значит, х Ь. Следовательно, b — Ьерхняя грань X. Рассмотрим любую дробь-хе/?', меньшую Ь, и докажем, что х уже не является верхней гранью X.
Пусть хо = 6о, X| = 6i, ..., Хд_| =&п_|, хп <ЬП. Так как множество Хп не пусто, то найдется такая дробь j/eX, что yo = bo, yi = bi, ... ..., уп-1 = bn—i,1 Уп = Ьп>хп. Значит, у>х, т. е. х не является верхней гранью X.
Случай, когда все знаки Ьп, начиная с некоторого номера, равны q—l, рассматривается аналогично.
Конечной дробью назовем такую дробь х=х0, Х1Х2Х3 ..., хе/?', у которой все знаки хл, начиная с некоторого места, равны нулю. Множество всех бесконечных (не конечных) дробей обозначим R". Арифметические операции в R' определяются сначала для конечных дробей, т. е. для элементов из R'\R", а уже затем для бесконечных дробей. При этом используется равенство x=supx(rtj, приведенное в упражнении 8. По определению положим:
х 4- y4Ftsup(x(„) 4- у(п)). п
При этом сумму конечных дробей х(Л) и у(л) определим обычным, школьным правилом:
на местах с номером, большим п, у этой суммы стоят нули; на н-м месте стоит знак (ал 4-6„)(mod <?);
на (и — 1)-м месте стоит знак (an_i4-6„_i)(mod q), если из «предыдущего разряда не переносится единица», т.е. если а„4-6ле{0,
304
1,q — 1}; в противном случае, если ал4-6„е{у, у4-1,2q — 2}, то на (л —1)-м месте стоит знак (а„_| -|-6п_|4- i)(modq), аналогично на k-м месте стоит или знак (a*j-6*)(mod q), или знак (а*4~ 4-6*4-l)(mody); последнее имеет место тогда и только тогда, когда сумма, которая находится на предыдущем, (й-|-1)-м месте, т. е. 'dfe+i4-6*+i или а*+14-6*-|-14-1, превышает q— 1; здесь А=1, ..., п;
наконец, на 0-м месте стоит знак ао-|-6о или знак аоН-^о-Н в соответствии с результатом сложения цифр на первом месте.
• Упражнение 9. Докажите, что:
a)- sup(x(n)4-y(n)) существует;
б) операция сложения коммутативна в множестве R'\R" и, следовательно, в множестве R';
в) множество R' относительно этой операции сложения образует группу и множество R'\R" — ее подгруппу;
г) ограничение биекции q>:R'++R на множество Z'^{aе/?'|0 = = ai = a2 = ...} является изоморфизмом группы (Z', 4", 0'} и группы <Z, Н-, 0>;
д) множество всех конечных дробей счетно, а множество всех бесконечных дробей континуально.
Отметим, что в наших обозначениях, например, при у=10 противоположным элементом для дроби 1, 100... является дробь (— 2), 900..., а противоположным элементом для дроби 0,2300... является дробь (—1), .7700..." . Таким образом, в равенстве
— (1,100...) = ( —2), 900...
минус в левой части относится ко всей дроби, а минус в правой части относится только к целой части дроби.
Аналогично определяется и умножение дробей:
если х>0, у>0, то x-y=₽tsup(x(n)-y(nj), п
если Х<0, У<0, ТО X-yqptSUp(( — Х(Я)) (—У(П))), п
если х <0, у > 0, то х • у^ — sup ((—X(„j) • t/<raj),
если х^0, у<0, то x-y=₽t — sup (x(nj • (—y(nj)).
При этом для конечных положительных дробей умножение, как и сложение, определяется по обычному правилу:
х-у=(х0, Х1 ... Хп 00 ...)-(уо,’у< ... у* 00 ...)ч± =^q~k • (у* • X 4- уу*_ 1 • х 4-... 4- у*у0 • х).
Здесь, как всегда, т-х= х4---4~* для ЛК)бых /пеАГ и хе/?'.
m раз
Для нахождения q~k-(co, С|С2...св0) следует записать целое число с0 в у-ичной системе счисления й перенести запятую на k знаков влево.
Подчеркнем, что строгое доказательство обычных свойств операций сложения и умножения в /?', т. е. проверка того, чт<? система (/?', -)-, •, О', Г, <> является линейно упорядоченным полем,
305
довольно сложно. Например, почему умножение коммутативно и любой ненулевой элемент обратим? Мы не будем останавливаться ha этих деталях.
Перейдем к описанию топологии в множестве R'. Здесь возможны два пути. Первый из них заключается в использовании уже определенного порядка в /?': интервалом с концами в-точках а и b называется множество всех дробей хе/?', лежащих'между а и Ь. Множество X<=R' называется открытым, если каждая его точка входит в X вместе с некоторым содержащим ее интервалом Или, эквивалентным образом, если X является объединением какого-то семейства интервалов. Другими словами, топология в R' определяется базой
а<х<6}|а, b<=R' и а<Ь}.
Эта топология называется порядковой топологией в R'.
Второй путь основан на том, что R' является подмножеством декартова произведения Zx(Fq)N. В других главах уже не раз использовалось то, что во всяком декартовом произведении топологических пространств каноническим образом определяется топология, а именно топология произведения. Напомним, что базой топологии произведения в декартовом произведений П Ха, где Ха какие-то топологические пространства, называется семейство всех множеств вида Д ^а, где все 0а открыты в Ха и за исключением аеА
конечного их числа все 0Л совпадают с Ха. Если изменить это определение, считая, что все 0а, кроме какого-то одного, совпадают с Ха, то получится определение предбазы топологии произведения.
В случае декартова произведения %Х(РЧУ все сомножители по определению имеют дискретную топологию, т. е. в Z и Fq по определению любые подмножества открыты. Поэтому в ZX(Fqy возникает определенная топология произведения. Она индуцирует в R' топологию, которую мы также назовем топологией произведения в R'. Оказывается, что порядковая топология и топология произведения в R' почти совпадают.
Рассмотрим конкретный пример при </=10. Элемент х из R' лежит в'интервале ]0, 19842.'.., 0, 19845...[, если х--0, 1984 х5х6х7... , где х5 равно знакам 3 или 4, а цифры х6, х7, ... произвольны. Эта часть исходного интервала совпадает с произведением
(0} X (1) X {9} X (8} Х'{4} X {3, 4} X Fq X Fq X
и, следовательно, принадлежит базе топологии произведения в R'. Аналогичным образом легко исчерпать весь исходный интервал объединением множеств, открытых в топологии произведения. Поэтому база порядковой топологии содержится в топологии произведения, т. е. Порядковая топология в R' содержится в топологии произведений в R'.
Обратное включение для этих топологий неверно. Например, •
306
при <7 = 10 рассмотрим следующий элемент предбазы топологии произведения в R':
^=f*zx{3)x/>xXx....
Ясно, что х из R' лежит в б тогда и только тогда, когда на первом месте в х находится знак 3, Поэтому множество б совпадает с
объединением счетного числа полуинтервалов 1Г [га, 300..., га,
400...[. Следовательно, б не является открытым множеством в порядковой топологии.
' Однако, если из множества R' и соответственно из множества б исключить все дроби вида га, 300..., то в оставшемся от R' множестве оставшееся от б множество будет открыто в топологии, индуцированной порядковой топологией в R'. Этот конкретный пример нетрудно обобщить (сделайте это в качестве упражнения) и в результате получить следующее
Предложение 7. В множестве R" всех бесконечных дробей совпадают топологии, индуцированные порядковой топологией и топологией произведения в R'.
Определение вещественного числа как ^-дроби имеет две принципиальные особенности: 1) оно зависит от произвольного выбора натурального числа при этом не видно и на самом деле нет оснований предпочесть одно значение q другому; 2) начальные ОТреЗКИ X(n)=₽fcXo, Х1Х2-.Х„00... ПРОИЗВОЛЬНОЙ Дроби Х = Хо, Х1Х2Х3..., конечно, задают ее приближения рациональными числами гп в том смысле, что гл-*-ф(х) при га-^-оо, где га=1, 2, ... . Однако эти приближения отнюдь не являются наилучшнми в смысле близости дробей хп к х.
Сформулируем последнее обстоятельство подробнее.
Определение 3. Рациональное число —, где п N, называется иаилучшим приближением числа х, если для всех натуральных чисел mCn и для всех целых чисел а из неравенства — #= m , k
=/= — следует неравенство
Оказывается, что возможно такое определение вещественных чисел," также основанное на произведении пространств, что, во-первых, оно не зависит ни от каких параметров (вроде q) и, во-вторых, каждое число х в смысле этого определения задается (определяется) как такая последовательность хо, Х1Х2Х3... хл..., у которой начальные отрезки Х|П|3±;хо, Х|Х2...хл00... являются наилучшими приближениями "числа х.
Такой подход к определению вещественного числа рассматривается в курсе «Числовые системы».
307
§ 4. ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Множество комплексных чисел , можно определить просто как R2. Тогда абсолютное значение в C^R2 определяется по формуле |г| 4±-y(Pi(z))2 -|-(Р2(2))2 и сложение — по естественной формуле
(Pi(z)-|-Pi(«), P2(z)-HP2(m)). Получается метрическая группа.
Более того, R2, как и любое Rn, имеет структуру векторного пространства над R: умножение на скаляр ХеР определяется по формуле
X-£=₽t<X-Xi, .... Х-х„>, где £ = <Х|, .... Хп).
Вопрос состоит в том, как определить в R2 операцию умножения.
Если положить z-m^±:(Pi(z)-Pi(m), P2(z)’P2(m)>, to (R2, •>
образует кольцо, но не поле (почему ?). Следовательно, это не то умножение, которое нам «хотелось бы иметь» в С. Правильное умножение в С определяется по следующей нетривиальной формуле:
Z-Z|5±<X-U — y-V, X-U-|-y-M>4±X-Z|-|-!/-(l-Z|), (*)
где z=(x, у), Z|=<«, v) н i-Zi^.
Здесь матрица J по определению равна
... ' 'Ц?-!))-
Подчеркнем, что запись i-z по определению обозначает результат умножения матрицы J на вектор z==(*).
Упражнение 10. Проверьте, что таким образом получается метрическое поле С^(С; 4-; •; 0, 1; | • | >.
Формула (Я<) дает ответ на следующий общий вопрос: можно ли при некоторых значениях п превратить множество Rn в векторное пространство над С. Например, при п = 2 получилось, что C^&R2 — одномерное векторное пространство над С. Оказывается, что любое четномерное над полем R векторное пространство /?2л можно наделить структурой векторного пространства над полем С. Для этого определим в R2n умножение на комплексное число z= (х, у) по следующей формуле:
в которой |е/?2л и i-g^±:J2n-g, где
—матрица размера 2иХ2и, а Е — единичная
(пХп) — матрица и 0 — нулевая (пХп) — матрица.
При этом над полем С векторное пространство R2n имеет размерность п. Такое- наделение множества R2n структурой комп- лексного векторного пространства играет существенную роль, например д квантовой.механике.
308
Упражнение 11. Проверьте, что указанная структура в множестве R2n действительно является комплексным векторным пространством размерности п над С.
Когда n —1, умножение векторов из R2n на скаляр из С превращается в определенное выше умножение комплексных чисел.
Второе ойределение С, обычно используемое в алгебре, существенно опирается на структуру поля в R. Оно состоит в том, что множество комплексных чисел определяется как простое алгебраическое расширение поля R с помощью любого из квадратных корней вида д/(— 1) . Эти два корня обозначаются соответственно i и — i.
В главе IV (с. 230) определялось понятие простого алгебраического расширения. Однако оно использовало поле С и поэтому не годится сейчас, когда мы хотим определить само это поле. Приведем новое определение простого алгебраического расширения произвольного поля К, которое не использует поле С. Оно эквивалентно определению из главы IV (докажите).
Многочлен называется унитарным, если его старший коэффициент равен 1.
Пусть f — унитарный, неприводимый над полем К многочлен степени >0. Простым алгебраическим расширением поля К с помощью многочлена f называется фактор-кольцо L^K[x]/(f). Здесь К[х| — кольцо многочленов с коэффициентами из К от одной переменной х и (/)— главный идеал в этом кольце,, порожденный многочленом f, т. е. Q)apt(g-f |geK[x]}. Операции в L определяются с помощью исходных операций в кольце К[х].
Упражнение 12. а) Докажите, что такое фактор-кольцо L является полем.
6) В силу неприводимости многочлен f не имеет корней в поле К. Допустим, что найдется такое поле Е, что К — подполе поля Е и в Е уравнение f(x) = O имеет какой-то корень хо. Тогда для любого многочлена geK[x] в поле Е можно вычислить g(xo) и значение g(x0) принадлежит Е. Докажите, что поле L изоморфно подполю поля Е вида
Lt-^{g(x0) | gs ВД.
Следовательно, поля L и Li можно не различать.
Поле L\ можно использовать вместо поля L, его определение .проще и нагляднее, однако во многих случаях неясно, как найти необходимое для его определения поле Е и даже существует ли оно. Если поле С уже определено и KsC, то в качестве Е всегда можно взять поле С (почему?). Конечно KsLiSE.
Итак, второе определение поля С таково: полем комплексных чисел называется простое алгебраическое расширение поля R с помощью многочлена f(x)^tx2-|-1.
Оба приведенных определения поля С, может быть, не вполне удачны в том отношении, что в них множество С определяется с помощью множества R, т. е. комплексные числа появляются как вторичный объект по отношению к вещественным числам-. Однако
309
нет оснований рассматривать комплексные числа как понятие, которое основанб на вещественных числах.
Поэтому рассмотрим третье определение комплексных чисел: в множестве Q2 определим структуру метрического поля, при этом умножение определим с помощью формулы (*). Затем 'по теореме 3 определим множество комплексных чисел как пополнение метрического пространства Q2. При таком подходе метрика в пополнении (<?2)Л возникает сразу, а алгебраические операции в (<?2)Л определяются как продолжение алгебраических операций в поле Q2 в соответствии с теоремой 5.
§ 5. РОЛЬ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ЗАМКНУТОСТИ, ЛОКАЛЬНОЙ КОМПАКТНОСТИ
И УПОРЯДОЧЕННОСТИ СРЕДИ СВОЙСТВ КОМПЛЕКСНЫХ И ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
I. Рассмотрим теперь комплексные н вещественные числа с новой точки зрения: в какой мере определяют эти поля совокупности их наиболее характерных свойств, принимаемых за аксиомы.
Прежде всего возникает вопрос, каковы эти наиболее характерные свойства. Само собой разумеется, что одним из них является то, что С и К поля.
Для поля С наиболее яркими свойствами, характерными именно для него, являются алгебраическая замкнутость и нулевая характеристика (это чисто алгебраические свойства); континуальная мощность (теоретико-множественное свойство); наличие топологии и непрерывность относительно этой топологии алгебраических операций, т. е. свойство быть топологическим полем (алгебро-топологическое свойство); локальная компактность и недискретность топологии (чисто топологические свойства).
Если какое-то поле К, отличное от С, обладает этими свойствами, то вряд ли можно считать, что оно «хуже» или «менее важно», чем поле С. Таким образом, возникает вопрос, в какой мере определяют поле С перечисленные выше свойства. Кажется важным, хотя бы в обзорном порядке, познакомиться с ответами на этот вопрос, хотя, к сожалению, мы не сможем привести доказательства соответствующих теорем.
Теорема Штейница. Всякое алгебраически замкнутое поде К нулевой характеристики и- континуальной'мощности алгебраически изоморфно С.
Слова «алгебраически изоморфно»' означают наличие биекции вида для которой
Г(2г + г2) = «21)-ЬД22), f(0)=0, f(Zl.Z2)=f(Zl) • f(z2), /(!)=!.
Эта теорема не дает оснований отождествить К и С, так -как биекция f не является «полным изоморфизмом» в том смысле, что она может не сохранять, например, норму, метрику, абсолютное значение или топологию, которые имеются в С. Например, по той
зю
причине, что такие понятия в К не определены; в то же время поле С неразрывно связано с его топологическими и метрическими свойствами. - '
Теорема Штейиица, как и другие подобные ей теоремы, имеет замечательное следствие, которое мы сейчас сформулируем.
Язык теории колец по определению содержит знаки +, —, •, 0, 1 и обычные логические знаки =, |, (,), Д, V» 1 >. =>, 3, V.
Переменной называется любое слово в алфавите (|). Формула определяется как слово вида /| = /г, где /|, /г— записи применения к переменным || и постоянным 0, 1 операций + , —, •• а также
Л
любое слово вида ф| Д фг, Ф1 \Лф2, 1 фь Ф1=>ф2, фг*>ф2, Ухфь Зхфь где ф| и фг — формулы, ах — переменная.
Такие fi, ts называются термами. Например, слова || 4-0, || Ч- III, (II-(11 +П1)) — ° термы.
Если формула ф выполняется (истинна) в поле К, то пишут К1=ф-
Следствие. Если замкнутая формула ф в языке теории колец истинна в С, то для любого алгебраически замкнутого поля К нулевой характеристики и континуальной мощности формула ф истинна в К, т. е. (С |= ф)=>(/<|= ф).
[> Следствие вытекает из утверждения: для любой формулы ф со свободными переменными х....... х„ и любых комплексных чисел
21, .... zn выполняется .... z„))-tt-(Kt=‘ ф(|(г|), f(zn))), где
f — биекция из теоремы Штейница. Эта эквивалентность проверяется индукцией по дйине слова ф.
Область применений теоремы Штейница ограничена в силу слишком жестких ограничений на мощность и характеристику поля К. Дело в1 том, что существует много важных полей, не имеющих континуальной мощности. Например, поле алгебраических чисел — счетно, а с другой стороны, существуют поля мощности, большей континуума. В равной мере существует много важных полей конечной характеристики. Например, поле FP4=t{0, ..., р— 1) вычетов по простому основанию р имеет характеристику р; поле , всех формальных степенных рядов с коэффициентами из Fp, имеет характеристику р. Ко всем этим полям теорема Штейница неприменима.
Упражнение 13. Проверьте последние утверждения.
Теорема Робинсона. Если С|= ф, то существует такое натуральное число п, что для любого алгебраически замкнутого поля К характеристики нуль или т, где т^п, выполняется К1= ф.
Такого типа теоремы называются теоремами переноса. Это удивительные теоремы. Рассмотрим, например, теорему Робинсона. В поле С имеются такие удобные свойства и структуры, как топология, мера, интеграл Коши, дифференциальные уравнения и т. д. Они ни в коей мере не свойственны произвольному полю К. Даже соответствующие понятия нельзя сформулировать для произволь-
31 1
яого поля К. Тем ие менее, если с использованием всех этих средств доказано С1= <р, то отсюда автоматически вытекает, что и для поля К выполняется /С|= <р.
Если посмотреть на С с точки зрения наличия в нем нормы || -||, то нужно обратить внимание на то, что С — полная нормированная алгебра с делением над полем С. Напомним, что алгеброй с делением называется любая алгебра А, в которой всякий отличный от нуля элемент имеет обратный, т. е, алгебра, которая как кольцо является телом. Термин «нормированная» означает, что на алгебре Л "определена функция || > || :A-*-R>0, обладающая свойствами:
||х|| =0-ф>х=0, УхеЛ;
||Х-х|| = |Х| • ||х||, УХеС, хеЛ;
II*4-у11 < 11*11 + IIt/ll. V*. У^А;
Н*-у11 < 11*11 • IIу|1. V*. уеЛ; Ml = 1,
где е — единичный элемент в алгебре Л. «Полная» означает, что метрическое пространство Л с метрикой р(х, y)5pt||x—у|| является полным.
1 Теорема Гельфанда-Мазура. Полная нормированная коммутативная алгебра с делением А над полем С изоморфна С.
Слово «изоморфна» означает здесь существование биекции вида f:C++A, для которой
f(Z,-|-Z2) = f(Zi)-H(Z2), Д0)=0, f(Zl.Z2) = f(Zl).f(Z2), /(т)=^2)Г1’К,) = 1. I|zll = llf(z)ll-
Языком теории нормированных алгебр назовем расширение языка теории колец, полученное добавлением нового сорта переменных и нового знака || -1| и соответствующим расширением понятий терма и -формулы. Старые переменные будем обозначать k, а'новые — г. Интуитивно переменная k пробегает алгебру Л, а переменная z пробегает поле С.
Следствие. Если ф—замкнутая формула в языке теории алгебр и С |= <р, то для любой алгебры Л, удовлетворяющей условиям- последней теоремы, выполняется Л |= ф.
|> Для доказательства индукцией по длине слова ф' проверяется утверждение:
С|=ф(й1... kn, z.... г„)ч^
оЛ|= ф(ДЙ|)....f(kn), 21, .... Zn),
где [:С++А —.биекция из теоремы Гельфанда-Мазура.
До сих пор мы имели дело только с полями R и С. Существует еще несколько полей, весьма похожих на поля R и С. Однако удивительное обстоятельство состоит в обратном: похожих на R и С полей совсем немного: кроме самих R и С, ровно два! Прежде чем продолжать нашу линию изложения, придется отвлечься и определить эти два поля.
В п. 1 мы определяли поле R как пополнение по Кошц метриче
312 ‘
ского пространства (Q, р(-, •)>, где р(х, у)=г*|х—у|. Можно ли в множестве Q задать другие метрики, не похожие на эту «обычную» метрику |х—у|? Можно и следующим‘образом. Пусть р — фиксированное простое число. Обозначим vp(x) число вхождений р в разложение целого числа х на простые множители. Например, vp(pn)=7z; vp(2)=0, если р=/=2; если р = 3, то vp(21)=l. Число х = 0 не имеет разложения на простые множители. Поэтому определим функцию Vp(’) в точке 0 равенством Vp(0)=₽fc ооЯсно, что vp(-):Z—ЛГи(°о)- Продолжим функцию vp(*) на Q. Для этого положим Vp^^4±Vp(n) —Vp(m).
Ясно, что получится функция вида vp(-): Q-*-Z|J(<»). Функция. vp(«) называется р-адическим показателем.
Упражнение 14. Докажите, что:
1) Vp0) = 0; vp(0)=oo;
2) Vp(x-|-y)=min(vp(x), vp(y)};
3) Vp(x-y)=Vp(x)-|-Vp(y), Vx, yeZ.
(Любая функция вида v(-): /С->Ги(оо}, где /( — произвольное кольцо и Г — линейно упорядоченная групйа (например, r=Z+), обладающая свойствами 1 —3, называется Г-нормированием кольца К. Таким образом, функция vp(-) является Z-нормированием поля Q.)
Положим и рр(х, у)^=|х —yip: Q2->Q>0-
Функция 1 • |р называется р-адическим абсолютным значением, а функция рр(-, •) — р-адической метрикой.
Упражнение 14. а) Докажите, что функция | • |р обладает свойствами:
1) |х|р=0-Ф>х = 0;
2) |х-|-у|р< |х|рЧ- |у|р (и даже |х-|-у|р< тах{|х|р, |у|р));
3) |х.у|р=|х|р.|у|р, Vx, yeZ. '
Любая функция вида |-|: где К — произвольное кольцо, обладающая
свойствами 1—3, называется абсолютным значением в кольце К. Таким образом, функция | • I,, является абсолютным значением в поле Q.
б) Проверьте, что (Q, рр> — метрическое пространство.
По теореме 3 метрическое пространство (Q, рр> имеет пополнение. Оно называется множеством р-адических чисел, обозначается Qp и является полным метрическим пространством. По теореме 5 алгебраические операции в поле Q продолжаются до алгебраических операций в Qp, как это было и в случае R. Относительно этой метрики и этих операций Qp метрическое поле.
Поле рациональных дробей K(t) с коэффициентами в каком-то поле К определяется как множество пар (г, у) многочленов из /Ср], где <7#=0, факторизованное отношением эквивалентности ((г, q) ~ (Г|, q\})^(r-qi=q-ri). Последнее равенство понимается, над полем К.-. Операции в этом множестве определяются, как обычно,
313
с помощью операций в (ЛС[£])2. По традиции элементы поля K(t) записываются в виде -^-и называются дробями.
Определим в кольце Рр[/] Z-нормирование, а именно: v(x) по определению равно наибольшему натуральному числу п, для которого Г можно вынести из х. Цапример, v(tn) = п, v(l)=0, v(f2-J-2f3 + 4-3/4-Н6) =2. Ясно, что функция v(-) вида v(-): Рр[/]-»-Л/. Положим v(0) = оо. Продолжим функцию v(-) на множество Рр(0, а именно
^v(x) — v(y), где х, yeFp[/]. Ясно, что теперь функция v(-) вида v(-): FP(C->ZU(°°}-
Упражнение 16. Докажите, что;
а) функция v(-) действительно является Z-нормированием в поле Рр(/);
б) функция v(x): Fp(t) -*Q>0 является абсолютным зна-
чением в поле Fp(fy
в) функция р(х, y)5pt|x—у| :(Fp(/))2-^-Q>0 является метрикой в множестве Fp(t).
По теореме 3 метрическое пространство (Fp(t), р> имеет пополнение. Оно называется полем формальных степенных рядов иад полем Fp, обозначается Рр[[/]] и является полным метрическим пространством. По теореме 5 алгебраические операции в поле FP(Z) продолжаются до операций в />[[<]]. Относительно этой метрики и этих операций />[[<]] есть метрическое поле. Любой элемент х из FP[[x]] можно представить в виде ряда x = a_m-/-m4-a_nl + i
-|-...-|-a0x04-ai/l-|-a2<2-|-..--|-Oi/,-|--", т.е. в виде х= £ аЛ где ,=п \
neZ и все а, из Fp (или, что то же самое, все а,- — целые числа от 0 до р — 1). Конечно, такой ряд больше похож на ряд Лорана, но по традиции его называют степенным рядом. Продолжение функции v(-) на Fp[[7]], определяемое как номер первого ненулевого члена в этом ряду, является Z-нормированием поля РДи||. Замечательно, что и любой элемент х из Qp также можно 'представить в виде аналогичного ряда x=a_mp~m-H-.-ha0p°4-OiPl+
т. е. в виде х= £ aip1, где zzeZ и 0<a;<p —1. Аналогичное продолжение функции vp(i) на Qp, определяемое как номер первого ненулевого члена в этом ряду, является нормированием поля Qp.
Упражнение 16*. Докажите, что топологии, определяемые метриками в множествах R, С, Qp, Fp[[fjJ, локально компактны и не дискретны (отличны от дискретной топологии).
Поля R, С, QP, Fp[[x]] называются классическими локальнокомпактными полями. Любое из этих полей. обозначим Р. Нас интересуют поля К, которые содержат поле Р и являются конечномерными пространствами над Р; иными словами, поля К, которые
314
являются конечномерными расширениями поля Р. Учитывая важность таких полей, опишем их явным образом.
.. Системой вида Р“, где n^N и Р— классическое локально компактное поле, называется набор <Р", + , —, 0, 1, •), в котором Рп — декартово произведение носителя поля Р самого на себя п раз.
' Операции сложения и вычитания в системе Рп определяются покоординатно:
x4-yqpfc(xi4-y Xn4-yn) И (— х)ч±( — X —Х„), ГДв X, у (== Р" И х=(Х1,_.... х„), у=(уь .... уп). Аналогично 0ч±(0, ..., 0), где в правой части 0 — нуль поля Р, и 1 =г±=(1, 0, 0, ..., 0), где в правой части 1 — единица поля Р.
Очевидно, <Р", +, —, 0, •>—векторное пространство размерности п над полем Р. И наоборот, любое векторное пространство К над полем Р размерности п (с фиксированным в нем базисом) отождествляется с Рп. Нетривиальный момент состоит в том, как определить умножение в системе Рп.
При определении умножения х-у в системе Рп (как и вообще в случае алгебры) руководящей идеей является билинейность функции Jj(x, уутх-у. Выберем в Рп как векторном пространстве над Р какой-то базис {ii, ..., irt), тогда для любых х и у из Рл выполняется X = X|-t|4- — 4-xn-tn и y = yi-ii4-...
Принимая билинейность операции умножения за аксиому, по-* л
лучим х-у= S xi-xs(ifis). Таким образом, вопрос о том, как
I. 5» I
умножать произвольные векторы х и у из Рп, сводится к вопросу, как умножать п векторов, базиса на себя. Умножений вида iris, где 1 С «Сга, ровно га2; чему равно iris, не вытекает из аксиомы билинейности умноженйя. Наиболее прямой способ указать, чему равно iris — это задать таблицу следующего вида:
ii
в которой на пересечении /-ой строчки и s-ro столбца находится какой-то элемент из Р". Мы хотим, чтобы относительно этого умножения (как и в случае любой алгебры) существовала единица е, у.е. такой элемент, что е-х=х-е^=х. Поэтому обозначим ц=е и по определению положим it-is=e‘is = is-e=is. Тогда предыдущую таблицу можно уменьшить до таблицы вида:
315
in
Конечно, умножение, которое таким образом определено в множестве Рп, .зависит от выбора этой таблицы. Поскольку выражение ii-is заменяется на элемент из Рп вида cts 1 • ii -(-••• 4-c/sn • in, то удобно
записать ifis= ^cwik, где Cisk <=P, и тогда
(х/• xs)(iz • 4) Д (xz• xs) • cisk • ik, где (xz • xs) • ctsk e P.
Элементы cisk; очевидно, однозначно определяют таблицу 1, и, следовательно, операцию умножения в Рп. Они называются структурными константами системы Р".
Легко проверить, что при любом выборе структурных констант система Рп (относительно данных операций сложения и умножения) является кольцом и, У следовательно, алгеброй над полем Р.
Vx^Pn(x=£0==>3y <=Рп(Х'у—у'Х = е)).
Иногда эта алгебра оказывается полем, т. е. кроме предыдущего свойства, в ней выполняется Vx, у е P"(x•«/=«/• х).
Последнее соотношение, конечно, эквивалентно тому, что iris=is‘ii для всех I и s.
Итак, телом вида Рп назовем любую систему вида (Р'1, —, 0, 1, •}, которая является телом.
Полем вида Рп назовем любую систему вида ( Рп, 4-, —, 0, 1, • ), которая является полем. Повторим, что везде Р — одно из четырех классических локально-компактных полей.
Например, P=R, п = 2 и C22i = —1, С222 = 0, е=1. Тдгда получается система вида R , которая, как легко видеть, совпадает с полем С (проверьте) и, следовательно, является полем вида R2. Другой пример. Пусть P=R, п = 4, е=1 и умножение определяется следующей таблицей:
i 7 k
/ -1 k -j
7 —k -1 i
k i —4 — 1
316
Получается система вида R*, в которой умножение не коммутативно. Будет ли она телом?
Если Х = Х14-Х2-г4-Хз-/ + *4‘£> ТО ПОЛОЖИМ XqptXi—X2"i —х5'/ — — Xt‘k.
Очевидно, x-x=xi 4-X2+X3-I-X4
Положим \х\^л/х’Х И Х-,^±:-г4т.
I I V |х|2
Если х=^0, то |х[ =^0 н элемент х определен. Легко проверить, что х• х—1 =х~1 • х = 1.
Итак, эта система является телом вида /?4. Его обозначают Н и называют телом кватернионов. Легко проверить, что | • | — абсолютное значение в теле Н.
Теорема П о н т р я г и н а-К о в а л ьск о го., а) Любое локально-компактное недискретное поле К изоморфно либо полю R, либо полю С, либо одному из полей вида Qp, (Fp[[x|])n для некоторых значений чисел т, р и п.
б) Если, кроме того; поле К связно, то оно изоморфно R или С.
в) Если К — локально-компактное, недискретное тело, то оно изоморфно или одному из перечисленных в пункте а) полей, или телу кватернионов Н..
Слово «изоморфно» означает существование биекции вида f ;Кгде /Со — тело одного из пяти перечисленных выше видов, для которой:
Д0)=0,
и 4 — гомеоморфизм.
Языком теории топологических колец назовем расширение языка теории колец, которое получается добавлением нового ..сорта переменных, обозначаемых б, знака е и соответствующим расширением понятий терма и формулы. Интуитивно переменная k пробегает множество К, и переменная б пробегает топологию -2е7 (К).
Следствие. Если ф— замкнутая формула в этом языке и R |= «р и С |= ф, то для любого локально-компактного, недискретного и связного поля К выполняете^ К |= ф.
[> Следствие доказывается точно так же, как и предыдущие следствия, с использованием изоморфизма f из теоремы Понтрягина-Ковальского.
Для полноты картины напомним теорему Фробениуса, в частном случае известную из курса «Числовые системы».
Теорема Фробениуса.
Пусть К — максимальное упорядоченное поле, L — тело, являющееся конечномерным векторным пространством над полем К, причем К содержится в центре тела L. Тдгда либо L — K, либо L — поле вида К2, либо L — тело вида К4.
Во втором и третьем случаях умножение в № определяется
317
так же, как соответственно в поле R2 и теле R\ Поэтому L — аналог вещественных или комплексных чисел, или кватернионов.
(Напомним: если К, L — кольца и K^L, то в L фиксируется структура модуля" над К, в которой сложение и вычитание определяются как одноименные операции в L и где k е К и teL, определяется как умножение в L цвух. элементов й и £ из L.)
Максимальным называется такое упорядоченное поле К, которое не имеет собственного алгебраического расширения, являющегося упорядоченным полем. (Напомним: понятие упорядоченного поля всегда включает условие о линейности порядка.) Например, <?(л/2) — не максимальное, a R — максимальное поле. Действительно, всякое алгебраическое расширение К поля R содержится в С, так как все алгебраические замыкания R изоморфны между собой и изоморфны С. Поскольку K=£R, то К содержит какое-то число z^(C\R). Тогда К содержит число i и, следовательно, совпадает с С. Но С нельзя упорядочить, так как i2 =— 1.
2. Для R наиболее яркими свойствами, характерными именно для этого поля, являются линейная упорядоченность и условная полнота. В частности, абелева группа R^ — линейно упорядоченная и условно полная группа. (Напомним, что бтношение порядка С в множестве X называется линейным, если выполняется условие Vx, уеДхСу V уС*)- Отношение порядка в множестве X называется условно полным, если всякое непустое ограниченное сверху или снизу подмножество множества X имеет точную верхнюю или соответственно точную нижнюю грань.
Теорема 9. а) Всякая линейно упорядоченная и условно полная абелева группа G изоморфна одной из групп (О'), Z+, R + . Слово «изоморфно» означает существование биекции вида f: Go^~°G, для которой f (х,+*2) =f (xi) -hf (x2), f (0) =0, xe^yof (x)<f (y), где Go — носитель одной из трех упомянутых групп.
б) Всякое линейно упорядоченное и условно полное поле К изоморфно полю R. Слово «изоморфно» означает существование биекции вида f(-) : K++R, сохраняющей операции и отношение порядка в полях К и R.
Поскольку нас интересует поле R, ограничимся Доказательством п. б); п. а) доказывается аналогично н по существу сводится к упражнению 7 из главы I.
> Сначала докажем две леммы.
Лемма 6. Характеристика любого упорядоченного поля К равна б, и К содержит подполе, изоморфное упорядоченному полю Q. [> В поле выполняется свойство V/г=/=0 (/г2>0). Действительно, /г^О или /г :^0. В первом случае /г2^0. Во втором случае 0^—k, так что ( —/г)2^ 0 и (й)2 = (— 1). (— l)k • k = (— kf 0, поскольку в любом поле (—1)?»1. В частности, 1 = Г->0. Поэтому 4=^1 -j-...-Ц >0, так что К—поле характеристики 0.
п раз
Функция fo, по определению равная fo(n)^n-1 — биекция между
318
множеством Z и частью/?(f0) поля К- Положим =(п-1 )(zn-1) ’.
Элемент еще обозначают • 1. Эта функция f является про-
должением функции f0. Она — биекция между Q и частью R(J) поля К. Функция f является гомоморфизмом и, следовательно, алгебраическим изоморфизмом полей Q и /?(f). Кроме того, функция /о сохраняет порядок. Отсюда ясно, что функция f сохраняет порядок. Итак, поле R(j) изоморфно Q и R(f)^K.
Конечно, множество К не обязательно содержит множество Q, т.е. неверно, что QsK, но в К имеется часть R(f), которая биективна с Q посредством функции f. Как обыино, изоморфные объекты, не различаются, и поэтому в дальнейшем мы будем обозначать QaptR(f) или, что то же самое, предполагать QsK.
Лемма 7. а) Линейно упорядоченная условно полная абелева группа (например, R+) архимедова.
б) Архимедовость поля К влечет порядковую плотность множества Q в упорядоченном множестве К.
Слова «порядковая плотность» означают:
V£i, /г2еКЭгеС(/г|</г2=>/г|<г</г2).
[> а) Пусть х>0 и допустим, что множество {nxfneJV} ограничено каким-то элементом. Тогда существует yo4d=sup{ra-x). Поэтому
-Уо (п-Ь 1) • х и Vя ((у о—х)^п-х), что противоречит определению уо.
б) Пусть Л|<Л2. Тогда! k = kz — й|>0 и существует п, для
которого поэтому 0<—<k.
Доказательство пункта б) теоремы 9.
По лемме 7 любой элемент /геК является точной верхней гранью множества всех рациональных чисел Обозначим это множество Хь, Xk^Q^R. Оно ограничено сверху в R;. обозначим X* его точную верхнюю грань в множестве R. Положим f:K—R
Функция f — аддитивный гомоморфизм. Его ядро тривиально. Поэтому функция f инъективна. Положительные элементы поля К переходят в положительные элементы поля R. Поэтому функция f сохраняет порядок.
В силу условной полноты поля К функция f сюръективна.
Для k, />0 выполняется Дй •/)=/(£) •[(/). Поэтому для любых k, I е К выполняется такое же соотношение. Итак, f — изоморфизм.
Упражнение 18. В кольце Q[x] определим порядок, при котором элемент f из Q[x] положителен, если его старший коэффициент положителен. Проверьте, что таким образом Q[x] становится упорядоченным кольцом. Порядок в нем, продолжается на его поле частных Q(x) по формуле(—^о\^(1-у^0). Поле Q(x) — неархимедово упорядоченное поле4(так как в нем элемент х бесконечно большой). Докажите.
319
Языком теории упорядоченных колец назовем расширение языка теории колец, которое получается добавлением нового знака < и соответствующий расширением понятий терма и формулы.
Следствие. Если <р — замкнутая формула в этом языке и R |=<р, +о для любого линейно упорядоченного и условно полного поля К выполняется К |= <р.
В этом пункте не использовалось то важное обстоятельство, что R метрическое пространство и в нем определено даже абсолютное значение. Однако отношение порядка уже определяет абсолютное значение в R по формуле |х| 5±тах{х, — х). Поэтому следствие остается верным и в том случае, если добавить к языку еще один новый знак | • |.
Отметим, что в любом линеале L можно определить функцию |x|=t*max (х, —х), которую иногда называют абстрактной нормой в L. Ее свойства похожи на свойства абсолютного значения I • I в линеале R.
§ 6. СВЯЗЬ ПОЛЕЙ ВЕЩЕСТВЕННЫХ И КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.
ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПОРЯДКА С ПОЛЯ
НА ЕГО АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ И МЕТРИЧЕСКОЕ ПОПОЛНЕНИЕ
1. Мы привыкли, что поля R и С тесно связаны между собой, например, соотношением C=R(i), и свойства этих полей своеобразно контрастируют между собой: R упорядоченное поле и даже максимальное упорядоченное поле, но оно алгебраически не замкнуто, а С не упорядочиваемое, но зато алгебраически замкнутое поле. Является ли такая связь проявлением общей закономерности? На этот вопрос Положительно отвечает следующая
Теорема Эйлер а-Л а г р а н ж а. Пусть К — упорядоченное поле. Следующие свойства эквивалентны:
а) поле К — максимально;
б) поле K(i) — алгебраически замкнуто, где i один из квадратных корней из элемента (—/) Поля К;
в) всякий положительный элемент поля К является квадратом и каждый многочлен нечетной степени над полем К имеет корень в К.
2. Для любого упорядоченного Поля выполняется свойство (й2>0).
Действительно, если k>0, то, умножая на k, получим й2^0; если ЙСО, то, прибавляя — k, получим ОС—Л и ОС^2, но равенство Л2 = 0 влечет й = 0; отсюда получаем проверяемое свойство.
Когда рассматривают какое-то поле К, то обычно стремятся определить на его носителе такое отношение линейного порядка, при котором оио будет упорядоченным полем. Причина этого понятна: упорядоченные поля легче изучать. Особенно естественной
320
кажется такая попытка в том случае, еслй поле К является расширением (в алгебраическом смысле) или пополнением (в метрическом смысле) какого-то упорядоченного поля Ко, где Ко<=К- Тогда порядок в Ко хотелось бы прбдоджить до порядка в К- Однако это не всегда возможно.
Например, порядок в поле Q продолжается до линейного порядка в поле R, но порядок в R нельзя продолжать до линейного порядка в С. Действительно, если бы в С существовал какой угодно (пусть даже не продолжающий порядок в R) линейный порядок, согласованный со структурой поля в, С, т. е. относительно него С являлось упорядоченным полем, то мы получили бы противоречие: i2>0, —1 >0, 0^1, 0> 1, 1 = 12>0, 1> 1. При этом не помогает то обстоятельство, что С — простое алгебраическое расширение R вида /?(>/— 1 ), хотя линейный' порядок продолжается с Q на его простое алгебраическое расширение Q(-\/2).
Аналогичным образом дело обстоит в случае пополнения даже такого простого поля, как Q. Существуют такие пополнения поля Q (относительно двух разных метрик), что на.одно из иих продолжается порядок в Q, а на другое не продолжается. А именно, линейный порядок в поле Q продолжается на его пополнение относительно обычной метрики р(х, у)ч=Чх—у| и обычного абсолютного значения |-| в Q, этим пополнением является R. Линейный порядок в кольце Z продолжается на пополнение Z относительно той же метрики и того же абсолютного значения, что и в предыдущем примере. В этом случае пополнение совпадает с исходным Z. Однако линейный порядок в Q не продолжается на его пополнение относительно р-адической метрики и р-адического абсолютного значения, т. е. не продолжается на Qp, и аналогичным образом линейный , порядок в Z не продолжается на его пополнение относительно р-адического абсолютного значения | • |р, т. е. на Zp, например, при р=5. В этом случае пополнение Zp не совпадает с исходным Z.
Поскольку Zs sQ5 , то для поля Q5 это утверждение вытекает, из более сильного утверждения: кольцо Z5 не допускает линейного - -упорядочения, согласованного с операциями в нем. Последнее вытекает из следующей теоремы.
Теорема 10. В кольце Z5 существует элемент е, для которого е2 = — 1. . ~
Отсюда точно так же, как и в случае 12 =— 1, получаем невозможность линейного упорядочения, согласованного-с операциями в кольце Zo-
Итак, простые алгебраические расшир'ения <?(л/2) и R(-^/—2) соответственно допускают н не допускают продолжение порядка с исходного поля. Аналогично метрические пополнения R и соответственно допускают и не допускают продолжения порядка с исходного поля <?. _
Оставшаяся часть этого пункта посвящена доказательству теоремы 10, при первом чтении ее можно пропустить.
Прежде чем доказывать теорему 10, отметим, что даже такие
11 Заказ ВД7 ' . 321 1
привычные поля, как Fp, могут обладать неожиданными свой-ствами. Например, многочлены хр и х над полем Fp, как функции на этом поле, тождественно равны, так как по теореме Ферма VхеFp(x? = x(modр)), хотя как многочлены они различны. Таким образом, многочлены, совпадающие как функции, могут иметь разный степени и разные коэффициенты при соответствующих степенях. Такое невозможно в поле характеристики нуль..
Поскольку (—- 1) = (р— l)(modp), то для одних р в поле Fp существует корень а. Для других р в fip такого корня не существует. Например, в F5 выполняется -у/— 1 =2, так как — 1 = = 22(mod 5), но в F-, уравнение х2= — 1 не имеет решения, т.е. не существует л/ — 1. Как по простому числу р узнать, существует ли в поле Fp корень -7—1? Пусть /пеЛГ; Положим:
4-1, если уравнение х2 = — 1 (mod т)
( —1) имеет решение в кольце Fm,
— 1, в противном случае или общее:
-Н, если уравнение x2=a(modm) имеет решение в кольце Fm,
— 1, в противном случае, где aeZ.
Обозначение^ называется символом Якоби. Если т — простое число, то оно называется символом Лежандра.
В курсе теории чисел доказывается, что = (—0 2 • гДе р=^2 и р простое число.
Следовательно, в поле Fp существует корень -у/— I' в том и только в том случае, если четное число.
Отсюда мы снова получаем, что в Г7(и в F3) корень -у/— 1 не существует, а в F5 существует.
Если существует решение уравнения x2 = a(mod nt),
тб а называется квадратичным вычетом по модулю m^N.
Лемма 8. Пусть р^2 и Xo^O(modp).
Число а = J хгр‘ (где 1) является квадратом ка-
кого-то чисЛач"в ZP- в том и только в том случае, если число Хо — квадратичный вычет по модулю р~
Отсюда сразу вытекает доказательство теоремы 10, так как в поле F5 элемент —1 является квадратом и, Следовательно,
322
полемме 8 в кольце Zs элемент —1 = (—1)-р°4-0-р14-0-р24-.-. также является квадратом. (Отметим, что элементы^— 1) в поле F5 и кольце Z6 совсем разные.) * \
[> Осталось проверить лемму 8. Пусть коэффициент хо является квадратичным вычетом по модулю р, т. е. существует число х, для которого xo = x2(modp). Положим f(y)^(y)2 — а, где yeZp. Найдем peZp, для которого f(P)=Q. Для этого построим фундаментальную последовательность (рп) в Zp, для которой pn==x(modp) и f(pn)aE0(modp'1+l) для всех п>0. При л=0 положим ро = х. При этом y=f(po) = х2 — а является последовательностью с нулевым начальным членом.
Поскольку v₽(y)>I и 4=pv'W>-y0, то — =pv'(T) -yoeZp, т. е.
р делит Д₽о). ' Р
Допустим, уже построены элементы ро, ..., ря-ь
Разложим функцию f(y)=f (р„_|) 4-2- р„-1 • (у — р„_|)4-2- (у — — Р«-1) По степеням (у —р„_,), где f(p„_|)=р".у0.
Здесь 2-рп_| не делится на р, так как иначе х делилось бы на р и х0 делилось бы на р2, т. е. Xo = 0(modp). Поэтому 2-pn_i обратим в кольце Zp. Следовательно,
f(pn-i+y-p") =p"-yo-|-2-pn_|-yp'‘4-2-i/2-p2'' =
= рп-(у0-|-2рл_| у) + 2-р2л.у2
и можно выбрать такое yeZp, что
yo4-2p„_|-t/ = 0(mod р).
Тогда f(p„_| +y-pn) = 2-p2n-y2=0(modpr + ").
Положим р„5±р„_ 14-у-р".
Первое из условий, которые мы хотим получить, выполняется:
рп — х = (р„_|— х)-|~у-рл = 0(тобр), -а второе условие очевидно.
Последовательность (ря) фундаментальна, так как
vP(Pn —Pn-i)> п и Vp(a4-P)>min(vp(a), vp(p)).
В силу полноты Zp предел этой последовательности существует в Zp. Обозначим его р. По непрерывности многочлена получаем f(p)=limf(p„) и Vp(f(P„))-*-oo, поэтому vp(f(p))=oo и Др)=О.
Теперь докажем лемму в обратную сторону: пусть число a является квадратом, т. е. а = р2. Тогда, в частности, хо= = t/o(modp). * -
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 (к главе I)
1. Группы, изоморфные прямой и окружности. Цель этого приложения состоит в доказательстве теоремы 3, которая утверждает, что любая связная топологическая группа G, нейтральный элемент е которой имеет окрестность, гомеоморфную какому-нибудь открытому интервалу на прямой R, изоморфна топологической группе R+ или топологической группе Т. Поскольку обычно все математические объекты рассматриваются с точностью до изоморфизма, то эта теорема говорит о том, что существуют ровно две связные топологические группы, единичные элементы которых имеют окрестности, гомеоморфные интервалу на прямой R. Более того, эта теорема конкретно указывает эти две группы.
В основном тексте главы мы встречались с такими конкретными топологическими группами, как R+, R', Т, S, Ап, Ог, SO2. Сейчас нам потребуются некоторые свойства произвольной топологической группы G. Условимся в этом дополнении записывать групповую операцию мультипликативно.
Предложение I. а) Если go некоторый фиксированный элемент топологической группы G, то отображения g-^-g'go, &-+gog u g~+gl являются гомеоморфизмами G на себя.
б) Пусть go — некоторый фиксированный элемент топологической группы G, a F — замкнутое, 0 — открытое и X 'произвольное подмножество G. Тогда множества F-g0^{g-gB\g^F\, go'-F^{go‘g\g^F}, F'[^{g~l\g^F} замкнуты в G, а множества 6'X, X-ff и 0~' открыты в G.
в) Гомоморфизм ф из топологической-группы G'i в топологическую группу <Г2 непрерывен в том и только в том случае, если он непрерывен в одной точке его области определения — единице «I группы G|. /
> а) Пусть 4(g)?*g’go для всех g^G. Из равенства <p(gi) = = ф(£г) следует, 4TOgi = <p(gi)g6"‘ = <p(go)- go~l =gs, т. e._<p инъективное отображение G в -себя. Кроме того, <₽(gg6~') = (ggo-1)go = g, что доказывает сюръективность отображения <р.
Докажем непрерывность отображения <р в произвольной точке geG. Для любой окрестности 0 точки <p(g) = g’go ₽ силу непрерывности операции умножения -в G найдутся окрестность ТОЧКИ g И ОКреСТНОСТЬ ^2 ТОЧКИ go, ДЛЯ КОТОРЫХ Поэто
324
му, в частности, q>(^i)=^igo<=^i^2E^- Итак, для любой окрестности б точки <p(g) найдена окрестность б । точки g, образ которой при отображении <р содержится в б_\ это доказывает непрерывность отображения <р.
Докажем непрерывность обратного к ф отображения ф~*. Так 'как Ф-‘(g) =£*£(Г1 для всех ge G, то ф-1 отличается от ф заменой go на go . В силу произвольности go можно считать, что go и есть go-1. По доказанному -выше получаем, что ф"1 непрерывное отображение.
Гомеоморфность отображений gi-»-g-g и g-+g~' доказывается аналогично.
б) Рассмотрим прообраз замкнутого множества F при отображении g->-g-go~l, которое, как доказано в пункте а), непрерывно. Нетрудно-видеть, что этот прообраз является множеством F~g0 = ={g-gol geQ Но прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении замкнут. Поэтому замкнуто и множество F*go.
Аналогично доказывается замкнутость множеств go«F и F~' и открытость множеств б'go, go-^, б~\ где б открытое под-' множество в G. Тогда множества б X4±{g-golgе б, goeX) = = U б -go к Х-б = U go' б открыты как объединения открыло Е X go С= X
тых множеств.
в) Если гомоморфизм ф:С|->бг2 непрерывен в каждой точке geGi, то он, в частности, непрерывен и в единице et е Gi. Пусть наоборот, гомоморфизм i|>:Gi-»-G2 непрерывен в единице et группы G|. Докажем, что функция ф непрерывна в каждой точке . gieGi. Для любой окрестности б точки g2=₽fc'|’(gi)е Gz рассмотрим множество gf'-б, которое по пункту б) является окрестностью единицы е2 в группе Gz- В силу непрерывности отображения ф получаем, что найдется такая окрестность б\ единицы et -в группе Gi, что ф(^|)^gГl - б^_ Рассмотрим множество g\6\, которое по пункту б) является окрестностью точки g\ в группе Gi. Так как отображение ф гомоморфно, то ф^|бi)Еф^,)ф(^i) и, следовательно,
ф(g|(*?|)^ф(g|)ф(^l) = g2ф(<*?l)Sg2(g2_|^) = ^.
Итак, для любой окрестности б точки ф^|) найдется такая окрестность g\6\ точки gi, что ф^|^|)Е^. Это доказывает непрерывность функции ф (см. рис. 94).
Упражнение 1. Докажите, что:
а) если множество б открыто в топологической группе G, то в
Рис. 94
325
/
ней открыты множества 02+t0 -0 = {g-gi\g, g,e 0}, ^3,..., 0п и т. д. Опишите вид таких множеств в случае, когда G= R' и 0 = =Н4
б) если gi, gk — некоторые элементы в топологической, группе G и g^gt' gz2 .-gk‘, где nt^Z, то для'любой окрестности 0 элемента g найдутся такие окрестности 0>, .... 0k элементов g\, ..., gk, ЧТО 0Г 0?... 0nk‘<=0-, '
в) для того чтобы любое одноточечное подмножество топологической группы G было замкнуто в ней, необходимо и достаточно, чтобы для любых элементов gt и gz из G нашлись такие открытые множества 0\ и 0г, что g\e.0\, g$^0z и 0\(]0z~0’, g\=/=gz-
Указание. Для окрестностей Vi и Vz элементов gi и g2, таких, что gz^Vi и gt&Vz, рассмотрите окрестность 0 единицы е, для которой ^^-'s(gFfV’i)n(gr‘Уг); положите 0\^gx0 и 0z^gz0-
Напомним, что топологическое пространство называется отделимым (хаусдорфовым), если для любых двух точек х и у, х=£у найдутся окрестности 0Х и 0У этих точек хе.0х и у^0у, которые не пересекаются между собой. Для^ топологической группы по упражнению 1, в это условие эквивалентно замкнутости любого, одноточечного подмножества. Всюду ниже рассматриваются только отделимые топологические группы и специальное упоминание об' отделимости опускается. - ,
Мы.разобьем доказательство теоремы 3 на три шага.
Определение I. Отображение fzX-+Y топологического пространства X в топологическое пространство Y называется открытым, если образ любого открытого в X множества при отображении f открыт в У. •
' Лемма 1. Пусть f:R+-»-G открытый непрерывны^ гомоморфизм топологической группы R+ на топологическую группу G, G^{e}. Тогда G изоморфна R+ или Т.
[> Рассмотрим Ker f — ядро гомоморфизма f. Множество Ker замкнуто в R+, так как f непрерывно и множество (а) замкнуто в G. Кроме того, Kerf, как и ядро любого гомоморфизма, является подгруппой в R+. Но замкнутые подгруппы в R+ уже описаны нами в упражнении 8 главы I, § 5, поэтому Кег/=/?+, или Kerf = {Oj, или Ker f = («-a|n е Z) при некотором а>0. Случай Ker f=R^ невозможен, так как иначе получаем = а это противоречит условиям f(R+) = G и G #=(£}-
Пусть Kerf=(O). Тогда гомоморфизм f является биекцией R+ на G. Легко видеть, что обратная биекция f~‘ является гомоморфизмом группы G на группу R+. Поэтому для доказательства изоморфности топологических групп R+ и G достаточно проверить, что f~‘ непрерывно. Пусть U — открытое в R+ множество. Так как f является биекцией, то прообраз U при отображении f~' совпадает с образом U при отображении f. Но f(U) открыто в G по условию этой леммы. Осталось рассмотреть третий случай.
326
Пусть при некотором а>0 выполняется
Ker f= (n«a| п е Z}. Рассмотрим диаграмму v/ из непрерывных гомоморфизмов, показан- у ную на рисунке 95, на ней 1а(х)^а-х (т.е. т------------------------► 0
1а — непрерывный гомоморфизм /?+ на , ) Рис. 95
и <p:/?+->/? + /Z+qptT —канонический непрерывный гомоморфизм /?+ на Т (см. гл. I, § 2). Построим изоморфизм ф топологических групп Т и G.
Для любого |/1еГ положим ф([/])3₽ь/:о/а(/). Проверим, что элемент ф([ф не зависит от выбора представителя в классе эквивалентности И. Если то t\—teZ и /0(6)= la(t) + п-а, где neZ, и (/o/a)(/l) = (fo/a)(/)-|-f(n.a) = (fo/a)(/), так как f гомоморфизм и его ядро содержит число п-а.
Докажем, что ф непрерывно. Пусть ff- открыто в G. Тогда ф-‘(^)= <p((fo/0)“'(^)), но fda непрерывно как композиция непрерывных функций, а ф открытое отображение; ф — гомоморфизм:
W1J * (*г!) = Ф ([*•' <2))=(f «/o)Ui • h) = =(f« /а)(Л) • = Фа/11) • Ф([Ы).
так как fola, как композиция гомоморфизмов, является гомоморфизмом.
Отображение ф инъективно: если [6]¥=[/2]. то — и (/а(Л) — /0(/г)) Кег /, т. ё.
f(/a(6)- /а(/2))=#0, f(/0(6))-f(/a(^))^O, (H°W >) ^ (ИШ
Оно сюръективно, так как f<4a сюръективно и достаточно использовать определение ф. Итак, ф биекция и изоморфизм.
Обратное отображение ф_| непрерывно, так как ф открыто. Проверим последнее: если в открыто в Т, то ф(^) =(Ц)(ф_|($)) и <р~‘(^) открыто в R+, а f°la открытое отображение (почему?).
Определение 2. Две топологические группы Gi и Gi называются локально изоморфными, если их единичные элементы имеют такие окрестности и и найдется такая биекция f из на <^9, что:
а) функция f гомеоморфизм,
б) для всех х, у^&, если x-y^fi, то произведение f(x)f(y) "принадлежит и f(x) • j(y) =f(x-y). Сама биекция называется локальным изоморфизмом топологических групп G\ и G2. \
Замечание. Если в определении 2 опустить условие биектив-нрсти / и соответственно условие непрерывности f~l, то получится определение локального гомоморфизма группы G\ в группу G2.
Лемма 2. Связная топологическая группа G, локально изо^ морфная топологической группе R+, изоморфна группам R+ или Т. [> Пусть f — локальный изоморфизм групп 1?+ и G. Покажем, что можно построить открытый, непрерывный гомоморфизм R* на G. Тогда по лемме I получим, что G изоморфна R+ или Т.
327
Пусть U — окрестность нуля в R+ и V — окрестность е в G, между которыми функция f устанавливает биективное соответствие. Перейдем, может быть, к меньшей, чем U, но связной окрестности нуля в R+ (т. е. к интервалу)" и образу этой окрестности относительно отображения f. Эти окрестности также обозначим U и V. Сужение f иа
U также обозначим f. Тогда биекция f: U++V является локальным изоморфизмом., Для каждого вещественного числа х по архимедовости группы ₽+ найдется такое натуральное число п, что —еУ. Положим J(x)&=(f( —\\ (рис. 96).
Докажем, что элемент /(х) не зависит от выбора натураль-
. ного числа п. Пусть также принадлежит U при некотором
теЛГ. Тогда -jj-^-еС/,и в силу локальной гомоморфности f получаем:
(G)r=(44^)))'-(U))”-«^))"=(a))"-Докажем, что J — гомоморфизм' R+ в G. Для этого при любых х, y^R + выберем такое пеЛГ, что —, —, —еУ. Тогда
<^-f(v)-f(i)-"°'(^)
т.е. в группе G элементы /^-0 и
/^-0 коммутируют между собой. Отметим, что группа G заранее не предполагается коммутативной. Поэтому
=(о-e))-(G)-e))= • •
п раз /
=(e))’-c0))'-M-to
Ясно, что гомоморфизм f в окрестности U совпадает с локальным изоморфизмом f и, в частности, f непрерывно в нуле топологической группы R+. Следовательно, функция f непрерывна в каждой Точке топологической группы R+. Аналогично из открытости локального
328
I
изоморфизма f и совпадения f и f в окрестности U следует открытость отображения f (проверьте). Итак, f — непрерывный и открытый гомоморфизм из Я + в G. Остается доказать сюръективность отображения [.
Рассмотрим открытие в G множества =₽*={gtg21 gi, V}, V^qpfcV’.y, V2^V2-V, ... и открытое множество У®, по определению равное объединению 0 Vn. Покажем, .что V" не только открыто в G. Если G\V® не~пусто, то мы получаем разбиение G множества V®. Рассмотрим окрестность go- ^“'^(gog-1 Ige ^точки go. Так как g0 — предельная точка И®, то в этой окрестности найдется хотя бы один элемент из У®, отличный от go. Тогда при некотором п этот- элемент "принадлежит V". Поэтому найдутся Такие gi, g2, .... gn из V, что gig2.T.gn=gog-1, где geV.
' Поэтому g0=g|g2...g„ge V"+ eV®, т. е. V® замкнуто в топологии группы G. Поскольку У® замкнуто в G, то дополнение G\V® открыто в G. Если G\V® не пусто, то мы получаем разбиение G на два непустых непересекающихся и открытых множества У® и ^ОХЙ®. Это противоречит связности G. Следовательно, Vх —G. Пусть теперь g^G и gi, ..., gn — такие элементы из V, что g = =gig2, gn- Так как gi, ..., gn из V, то найдутся числа хь ...,
из и, для которых g! = f (х,).gn = f(xn). Поэтому f(xi4-...-|-xn) =
== f(Xi)L... • fl(Хп) = f(xi) •... • f(x„) = gI...gn=g. Следовательно, отображение f сюръективно.
Лемма 2 устанавливает связь между легальными свойствами '"связной топологической группы и ее глобальными свойствами. Неожиданным следствием леммы 2 является, например,' коммутативность группы G. Другое следствие — наличие у каждого элемента g^G окрестности, замыкание которой компактно в G. Оба эти следствия трудно получить другим способом.
Следующая лемма 3 удивительна в том отношении, что, основываясь на чисто топологическом свойстве группы G (локальная .гомеоморфность с /?), она позволяет получить сведения об ее, алгебраической (групповой) структуре. Интересно также, что в ее доказательстве приходится существенно использовать один из основных результатов главы III, а именно, теорему 5 о моделях системы положительных скалярных величин. Поскольку здесь мы доказываем теорему 3, являющуюся основой многих построений в главе I, то оказывается, что тема элементарных функций и тема измерений величин имеют общие основания.
Лемма 3. Пусть G — топологическая группа, нейтральный элемент е которой имеет окрестность, гомеоморфную некоторому интервалу в R. Тогда топологическая группа G локально изоморфна R+.
Краткая формулировка: если топологическая группа G локально гомеоморфна R, то она локально изоморфна
О Пусть U окрестность нейтрального элемента е и ]а, — интервал в R, 0^котором говорится в лемме 3, a • &[—
329
h(Us) соответствующий гомеоморфизм
------Л,-------------------- окрестности U н интервала ]а, Ь[.
n(el Для начала «улучшим» окрест-
z , ность U. Так как произведение и
переход к обратному элементу яв-ляются непрерывными операциями / j в топологической группе G, то
б/ у найдется такая окрестность в
3 единичного элемента е, что
Рис. 97 S t/f] t/~', ' 0 ^U,
, Положим (М
=s=t^ U и получим U\^U. Так как h:U-^-]a, 6[ — гомеоморфизм, то Л(С/|) — открытое подмножество ]а, Ь[. Поэтому ft(Gi) состоит из не более чем счетного числа попарно непересекающихся интервалов. Пусть ]а*, 6’[ — тот из этих интервалов, который содержит число й(е). Тогда С/гч^/г”1 (]а', b*[) — окрестность е. Докажем, что /i(C/r‘), как и й(С/2) = ]а1, £>*[, является открытым интервалом, содержащим число й(е). Каждому числу t е]а‘, й’[ сопоставим число й(й-1(/))-1, которое принадлежит ]а, &[, так как й_|(/)е[/2. Такое соответствие задает непрерывную функцию, являющуюся композицией биекций и потому отображающую биективно ]о', й'[ на й(С/Г|). Образ непрерывной биекции на интервале—интервал (докажите). Поэтому й(С/г’)—интервал, который, очевидно, содержит й(е). Наконец, положим С/Зч± &U2U U2 1 и получим окрестность е,. для которой U3—U3', U3-U3^U\-U\^U и Й(С/3)— интервал (рис. 97).
Пусть gt, По определению положим g\^gz, если h(g\)^
^.h(gfi, т. е. перенесем порядок с интервала ]а, Ь[ на окрестность U. Определим е U | g > е) и I^{g е U31 g > е).
Докажем, что пятерка объектов (V, /, •, е, ^}, где • есть умножение в группе G, является системой положительных скалярных величин (по поводу последнего понятия см. главу III, определе--ние 1). Тогда по теореме 1 из главы III получим, что существует строго возрастающая функция f :I-^R >0, для которой [(e) = О, f(x-y)=f(x) + f(y) при всех х, у^1 и f биективно отображает / на [О, X] или [О, Х[, где 0<Х<оо. Эта функция f и будет искомым локальным изоморфизмом.
Итак, проверим условия из определения 1 в глайе III.
1) Операция! ассоциативна и е — ее нейтральный элемент по определению групповой операции в G.
2) Отношение является линейным порядком на V, так как это отношение является переносом обычного линейного порядка в интервале ]а, й[. По определению V элемент е — наименьший относительно этого порядка элемент в V. Пусть хе/, yeV и у<х, т.е. y^U и й(е) < й(у)< Й(х). Так как хеО'э и h(U3) — интервал, то ft(y)eft(G3), т. е. yell3.
Поэтому у^1.
330
3) Докажем, что для любых х, у, zeC/з из условия х<у следуют условия x-zcy-z и z-xCz-у. Рассмотрим функцию <р:С/з-*Л?, определяемую равенством <p(z)^h(y'Z) — h(X’Z).
„Так как групповые операции в G и*/? непрерывны и функция /^непрерывна, то и функция <р непрерывна. Поэтому непрерывной функцией на интервале h(U3) является композиция <роЛ—11 h,(U3). Эта функция нигде не обращается в нуль, так как в противном случае получим: (/i(yz)=/i(xz)), что эквивалентно yz=xz н У=х.
Так как l)(/i(e)) = <p(e) = /i(y)/—й(х)>0, то получим, что функция фо/i-1 положительна на всем интервале h(U3). Поэтому для любого z из U3 выполняется (h(yz)—/i(xz)>0), т. е. (xz<yz).
. Аналогично доказывается второе неравенство zx<zzy.
4) Пусть х, уе/и х<у. Так как окрестность U3 симметрична, То х~’ е(7з и по свойству 3 е=х~1 •х<х“1 -у. Так как е^х, то аналогично получаем: х-| = х-1 •е<х~1-х = е. Поэтому •
•у^у. Обозначим z^x’ ^yeV. По последнему свойству 2) получим z^I. Поэтому y — x-z для z из /.
5) Рассмотрим любой элемент х из U3, отличный от е. Если х>е, то не пусто. Если х<е, то по свойству 3) получим е^х1 и х~‘е U3, т.е. I>е не пусто.
, Допустим, что т — наименьший элемент в />г. Пусть t любое число из интервала ]h(e), h(m\. Тогда /ё/г(С/з), так как h(U3) — интервал, содержащий Л(е) и h(m), т.е. /1~'(/)еС/з и e<h~l(t) по определению отношения <• Поэтому — элемент в />е, 'который меньше т. Получили противоречие.
6) Пусть Xi хг С ••• возрастающая последовательность элементов из I. Тогда Л(Х|)^/г(хг)^... — возрастающая последовательность чирел из интервала h(U3). Если последовательность {хл) ограничена сверху элементом хе/, то последовательность {Л(хл)} ограничена сверху числом. /г(х) из h(U3). Так как h(U3) — интервал, то точная верхняя грань последовательности )/i(xh)) принадлежит Л(С/з). Легко видеть, Что значение функции h~l на этой точной верхней грани совпадает с sup(xn).
Итак, доказано, что пятерка (V, /, •, е, С ) является системой положительных скалярных величин и, следовательно, к ней действительно применима теорема 1 из главы III. Пусть f:I-+R >0 — строго возрастающая функция из этой теоремы.
1 Для элементов х из С/з\/ определим f,(x) равенством Дх)ч* — f(x~'), где х-1 уже обязано принадлежать / (почему?). Получилась функция f: U3-+R. Она строго возрастает на множестве U3. Действительно, если е^хСу, то по упомянутой теореме 1 f(x)<f(y); если х<е<у, то f(x)<0< f(y); если х<у<е, то е<х~1 <у~1 и 0<f(x_|)< f(y~‘), т.е. Дх)<Ду). Так как окрестность U3 симметрична, то и множество Д(/з) симметрично относительно нуля. По теореме 1 из главы III множество Д/) является
331
числовым промежутком в R, содержащим нуль. Поэтому 'f(U3) является числовым промежутком, содержащим нуль строго внутри себя.
Докажем, что* f(x-y) = f(x)-^-f(y) для всех таких точек х, y^U3, что x-t/eC/з. Если х, у^1, то е^.х-у и, следовательно, х-у^1. Для таких х и у равенство f(х• у) = f(х) f(у) обеспечивается теоремой 1. Если х, y^U3\I, то хсе, усе и, следовательно, Х'усе. Тогда f(x-y)=-f((x-y)-1)=-f(y-,'X-,)=-(f(y-1)-bf(x-1))=f(x)-|-f(y). Если xces^y и х-усе, то f(x)=f (xy-y-l)=f(xy)+f(y~l) и f(x-y)= =f(x)-f(y~4=f(*)+f(y)-
Аналогично разбирается случай, когда хСе^у и.ху^е.
Итак, доказано, что f — локальный гомоморфизм.
Так как f — строго возрастающая функция на U3, то 7° b й([/3) — строго возрастающая функция на интервале h(U3).
При этом образ ')(Л(С7з)) совпадает с образом f(U3), который, как отмечалось выше, является промежутком, симметрии-' ным относительно нуля. Следовательно, функция foh~' непрерывна на интервале h(U3), а функция f=(foh~')<>h непрерывна на U3.
Аналогично функция h°f~l на промежутке К^з) непрерывна как обратная к непрерывной, строго возрастающей функции
Следовательно, и функция f~l =h~'o(hof~l) непрерывна.
Следствие. Связная топологическая группа G, локально гомеоморфная R, коммутативна.
Замечание. Без условия связности следствие неверно. На-.пример, пусть G = Q3. Тогда G не коммутативна, но у ее единичного элемента имеется окрестность, гомеоморфная ин-
тервалу в R, так как O2=SO2U(O2\SO2), а множество SO3 связно и гомеоморфно окружности.
t> Доказательство теоремы 3. Пусть G — связная топологическая группа, нейтральный элемент которой имеет окрестность, гомеоморфную какому-нибудь интервалу на числовой прямой. Тогда по лемме 3 группа G локально изоморфна R+ и по лемме 2 оиа изоморфна R+ или Т.
В частности, если G компактна, то G изоморфна-7. В противном случае G изоморфна R+.
2 . Длина дуги. Определение функций косинус и. сииус числового аргумента иа основе понятия длины дуги.
1. Обозначим [а, 6| множество вещественных чисел, которое является отрезком, или (конечным или бесконечным) интервалом, или (конечным или бесконечным) полуинтервалом. Иными словами, по определению |а, 6| — любое связное подмножество множества R.'
Напомним, что кривой (точнее, гладкой кривой) называется любое отображение а вида а : [а, 6| -*-Л2, которое обладает свойством: функции х(/)=Р|(а(0) и y(t)=P3(a.(fy) имеют непрерывные- производные в каждой точке их области’ определения,,Итак,
332
eR2- Напомним, что a'(/)»t^*,^ ^R2 и |g|2 = '=(£, ^)=x24-y2, где • Длиной -Кривой а: [а, 6|->-/?2 на-
зывается число или символ 4-оо, которые определяются как
/a^(-V(x'(0)2H-(y'(0)2 dt=] \a'(J)\dt. (*)
а / a
Если область определения кривой а совпадает с интервалом или полуинтервалом с концами а и Ь, где— oo^Za, 6^4-00, то интеграл в (*) может оказаться несобственным; в этом случае формулу (*) нужно понимать так:
г. » b — г '
a + e ь>0
если а и b конечные величины, и
\а'(t)\dt,
— оо
если а= — оо и 6 = 4-00 (аналогично интерпретируются случаи а=— оо, Ь<4-00 и —оо<а, 6 = 4-00).
• Дугой в плоскости R2 называется любое подмножество множества №, являющееся образом некоторой кривой. Любую кривую а, образ которой совпадает с дугой М, назовем заданием дуги ;М. Ясно, что для одной той же дуги можно найти много различных заданий. Например, отрезок в плоскости R2 с концами в точках <0, 0> и < 1, 1 > является дугой, и любая из следующих кривых служит ее заданием:
t), 0</<1;
a2(/)=₽*<3/4-1, 3/4-1 >, а3(/)ч=ь</3, /3>, ч 0</< 1;
a4(/)a±t(/2, /2>, —1</<1;
а5(/)^(/2, /3>, -^.</^1.
Легко подсчитать, что /в| =/а, =/аа =-^, а lat=2^2, 1а5=^. В качестве еще одного примера рассмотрим различные задания единичной окружности S=((x, у> е/?2|х2-|-у2= 1}:
а|(/)ч*(cosI, sin/), . 0CJC2n;
«2(6^ (cos (/2), sin(/2)>, -^Г</С‘уЗл;
• а3(/)я=ь(cos/, sin/>, 0</<4л. ,
Легко подсчитать, что 1а.1=1а, = 2я, а /а,=4л.
Итак, различные кривые, задающие одну и ту же дугу, могут иметь различную длину. Выясним, при каких условиях два различных задания ?(/), a^Z/^Z6 и а(т)', c^x^Zd одной и,той же дуги М имеют' одинаковую длину.
ззз
Предложение 1. Пусть у : |с, 6|->Я2 и а : |с, <f| ->К2 две кривые, задающие одну и ту же дугу М, то есть Л) = =а(|с, d[) = M. Если найдется такая функция f: |с, 11,
что О‘(т)=у (f(r)) и производная f' (т) непрерывна й отлична от, нуля при всех те|с, dl, то 1у = 1а (см. рис. 98)'.
[> Так как функция /' (т) непрерывна и отлична ст гуля на множестве |с, d|, то f'(T) либо всюду на этом множестве положительна, либо всюду отрицательна. Рассмотрим, например, случаи, когда f'(T)<0 ПРИ всех т€=|с, Тогда функция f монотонно убывает и f(c) = b и f(d)=a. Рассмотрим замену переменной t= = f(r). По теореме о замене переменной в определенном интервале получаем для кривой у (/)=₽* (х(/), у(/)>:
h= W(*'(o)2w(o)2 dt= fVWWwvwjF r (,t)dT= ad 4
=S dx=
C r
где последнее равенство справедливо по определению 1а, так как по условию I
a(T)=v(f(T))= <Х(КТ)): = <(*°DW; (у°Г)W5-
Определение!.
- а) Дуга М называется простой, если цайдется такое ее задание . а: \а, Ь\-+Р2, что функция а инъективна и а' (f)^(Q, 0) для всех t из |а, 61.
б) Параметризацией простой дуги М называется любое ее задание а : |а, 61удовлетворяющее условиям п. а), т. е. функция а инъективна и а'(7)=#(0, 0> для всех t из |а, 61.
в) Длиной простой дуги М называется длина любой ее' параметризации.
Это определение простой дуги существенно шире обычного; мы принимаем его ради того, чтобы окружность S оказалась простой дугой.
Предложение 2. Пусть а: [а, Ь]-+М произвольная параметризация простой дуги М. Функция а является гомеоморфизмом отрезка [а, 6] и множества М.
[> По условию функция а инъективна. Она сюръективна, так как
334
t
Г- . .
по определению дуги выполняется Л4 = а([а, f]). Поэтому функция а : [а, &]->Л4 — биекция. В множествах [а, t] и Л4, конечно, рассматриваются топологии, индуцированные соответственно из Л и R2. По условию а непрерывна к, следовательно, непрерывна в топологиях множеств [а, Ь] и М (почему?). Осталось проверить, что функция а-1 : М Ь] непрерывна, или, что то же самое, функция а : |а, открыта, или, что то же самое, функция а замкнута. Последнее по определению означает: для любого замкнутого в [а, Ь] множества F его образ а (Г) замкнут ь М. Но последнее утверждение является общим (j актом: если f: Х-+ Y — непрерывная биекция компактного топологического пространства X в отделимое топологическое пространство У, то функция / замкнута. Действительно, если F — замкнутое подмножество X, то F компактно (почему?); образ компактного множества F относительно непрерывной функции f компактен (почему?). Поэтому множество f(F) компактно. Любое компактное' подмножество множества Y замкнуто (почему?). (Где в этом рассуждении используются компактность X, отделимость У и непрерывность f?)
. Проверим, что длина простой дуги М не зависит от выбора параметризации этой дуги.
Предложение 3. Пусть у : |а, &|->Л2 и а : |с, d | ->Л2 две параметризации одной и той же простой дуги М. Тогда Zv=/a. [> По предложению 1 для доказательства достаточно найти такую функцию f : |а, &|-*->|с, d|, что функция f'(x) непрерывна и отлична от нуля при всех т и а(т)=у(^(т))'при всех те|с, d\. По предложению 2 функция а (и аналогично функция у) является гомеоморфизмом любого отрезка [т0, tJ, содержащегося в ее области определения, н подмножества а([т0, Т|]) множества М. Рассмотрим функцию f, определенную равенством ^(т)ч±у_|(а(т)), где те |с, d\. Очевидно, f — биекция. Проверим, что функция f непрерывна. Для этого достаточно проверить непрерывность функции f в каждой точке ее области определения — промежутка |с, d\. Пусть точка т« из |с, d|; положим /o=f=tf(i-o)=y_| (а(то)) и выберем отрезок [6, 6], содержащий точку /о и содержащийся в области определения функции у—промежутке |а, &|. При этом отрезок [/ь <2] должен содержать точку to внутри, т. е. /ое]/|, /2[. Последнее невозможно только в том случае, если промежуток |а, Ь| содержит один из концов и этот конец совпадает с to (пусть, например, a=t0), тогда в качестве отрезка [Z|, /2] выберем [а, /2], и точка to опять-таки принадлежит открытому в |а, Ь| множеству [ai, h[. По предложению 2 непрерывная биекция у, суженная на отрезкок [/|, /2], является гомеоморфизмом. Поэтому Л1|^±: i±=y(]/i, /2[)— открытое в М множество, которое содержит точку а(т0). Тогда ^ч±а_|(Л4|)=|_|(]6, tz[) открытое в |с, d| множество; содержащее точку то. Функция у-1 /2[ непрерывна, и поэтому функция непрерывна как• композиция непре-
рывных функций f=y_,oa. В частности, она непрерывна в точке т0.
Итак, функция f является непрерывной биекцией; любая непре-335
рывная биекция вида |с, d|->1a, b| является строго монотонной функцией (почему?). Поэтому дробь имеет постоянный
знак при всех значениях т,-Т| Из |с, d\ и т=#Т|.
Остается проверить, что функция f непрерывно дифференцируема и функция Г(т)#=0 при всех те|с, d|. Пусть т, Tie|c, d| и T|=jtT обозначим /|=f(xi), /=f(x); По теореме Лагранжа а'(т|)‘—а(т)—<ж(т|)-ж(т), у(т()—у(т)> = <(xi — т)-Х'(т2), _(ti— т)Х Ху'(тз)>, где т2 и т3 какие-то числа, лежащие между Т| и т. Аналогично, применяя теорему Лагранжа к функции у(/)= (xi(/), yi(/)>, получим:
а(т!)—а(т)=у(/(т!))—у(/(т)) = =Y(<i)-Y(0=<*i(<i)-*i(0. =
= <(Л-/)-х((/2),
где /2 и 1э какие-то числа, лежащие между числами t и i,. Найдем длину вектора а(т|) — а(т) по первой и второй нз этих формул и приравняем полученные результаты:
(Т1 -T)2((xz(TZ))2+(i/'(T3))2)=(fi -02(W(^))2+(yl(<3))2).
Поэтому
( ((т.)-/(т)\ 2 / / -/V (И<+№)У
\ Т|-Т / W(G))2+(yI(b)/
Перейдем к пределу при Т|->т. Тогда т2->т, тз-*т и в силу непрерывности функций х'(-) и у'(-) получим:
(х' (т2))2 -j- {у' (тз))2-> | а' (т) |2 =# 0.
В силу непрерывности f получим: /|->/, /2-*<, и по непрерывности фуИКЦИЙ Х|(«), yf(-)
(xW)2WW->ly'(/)l2^o.
Итак, доказано, что lim ( 2 = Как отмеча-
чал ось выше, дробь имеет постоянный знак. Поэтому, извлекая
корень, получим f' (т)=е • ।¥= 0 ПРИ всех те|с, d|, где г — постоянная, равная 4-1 или —Г.
Функция f'(-) непрерывна, так как она является частным двух непрерывных функций и |у'(/(т))| = (f (т))]2 + [У1(KT))f *0.
2. Цель этого приложения — определить тригонометрические функции с помощью длины дуги окружности. В частности, определить cos х, где хе]0, л[, как первую координату такой точки 2 на верхней полуокружности 5+<л{(х, у) eSly^O) окружности S, что дуга 1^2, соединяющая точки 1 и 2 и лежащая в S+, имеет
336
I
длину х. Для этого нужно доказать, что множество 1, z действительно является простой дугой, т. е. по определению I нужно найти ее параметризацию, затем вычислить.ее длину и определить число л. При этом нельзя пользоваться тригонометрическими функциями, так как мы их собираемся еще определить. Следовательно, в нашем распоряжении остаются, только рациональные функции, частные от деления двух многочленов.
Оказывается, что окружность S можно параметризовать кривой, .ие связанной с тригонометрическими функциями. А именно, ее можно параметризовать такой кривой а(/)= (х(/), У(0)> что функции х(/) и у(/) будут рациональными функциями от переменной t, т. е. они будут 0авны частному двух многочленов от одной переменной t. Такие параметризации называются рациональными.
Чтобы найти рациональную параметризацию окружности S, вспомним (см. § 5 этой главы) определение стереографической проекции р окружности S на прямую R из точки (а, Ь), лежащей на S.
Обычно в качестве точки (а, Ь) выбирается точка (0, 1), но сейчас удобнее выбрать в этом качестве точку ( — 1, 0), так как в этом случае р((0, 0))=0. Итак, по определению каждой точке <х, y}eS, отличной от точки ( — 1, 0>, сопоставим точку р((х, у)), равную пересечению прямой, проходящей через точки <*•—1, 0) и (х, у}, с осью ординат. Отображение р : (х, у)>-* н»-р({х, У}) является гомеоморфизмом множеств S\(( —1, 0)} и R (см. рис. 99).
Обозначим а функцию, обратную к биекции р; она имеёт вид а : — 1, 0)}, оказывается, что функция а как раз опре-
деляет рациональную параметризацию окружности.
Предложение 4. Определенная выше функция а: R-+ -»-S\{( — 1, 0}} задается формулой '
“W= < TF7’ ьйО . (**)
и является параметризацией простой /
дуги (S\{<—1, 0»). -----
Сначала проверим, что формула /7 (М<^|с) действительно определяет функ- [ / цию, обратную к стереографической /aXS—-— \
проекции р, т. е. проверим, что для всех 0--------п—~
t^R точка a(f), вычисленная по фор- \\\\. /
муле (Яс Я<), совпадает с точкой (х, у>, J
являющейся пересечением окружности S н прямой, проходящей через точки ( — 1, 0} и (0, /) (рис. 99). Дейст- \
вительно, эта прямая задается уравнением y=tx-\-t. Поэтому для точки (х, у} получаем: Рис. 99
12 Заказ 227
337
1 =x2 + t/2=x2 + ^2(l-f-x)2; x2(l-H2)+2x/2 + /2— 1 =0;
X -^ztz-V^-Ht-4-!) _ — t2±l _ 1— t*
X . 1-H2 1 + i2 Ц-? ’
так как по условию хф— 1. Тогда у=/(хЦ- l)=-j-q7p > т. е. а(/)=
Из доказанного, в частности, следует инъективнбсть функции а, определенной на /?, и равенство a(R)=(S\{( — 1, 0>}). Проверим, что функция а(/)=(х((), у(()> является гладкой кривой и V/<= eR(a'(/)#= (0, 0>). Вычислим х' ну':
2(1 + **)—2*2* _ 2(1 —I2) . ,,А_ 2<(1 + О-(<»-1)21 _ 41
w (1+12)2 (1+/2)2 ’у ® ~L (i+S* (i+z2)2
и получим, что они — непрерывные функции, одновременно не обращающиеся в нуль ни в какой точке t^R, так как |а'(/)| =/= 0. Следовательно, (S\(( — 1, 0>}) простая дуга и а ее параметризация. Отметим для дальнейшего, что
Упражнение 2. Аналогично доказательству предложения 4 проверьте, что любая компонента связности в множестве S\{zi, 22}, где 21, 2г точки из S (т. е. любая дуга в наивном смысле этого слова) является простой дугой в смысле определения 1; кроме того, дуга 1, 2 (определяемая как {(х, у} eS+11 ^x^Re г}, если 2£5+; и точно так же с заменой S+ на S\S+, если 2eS\S+) параметризуется кривой al4 [0, /], где а(/)=2.
Определим число л как длину верхней полуокружности S+.
Из упражнения 2 ясно, что эта полуокружность является простой дугой с параметризацией. Поэтому наше определение числа л означает (
л= £|a'(/)|d/=2$
Предложение 5. а) Длина простой дуги fS\{( — 1, 0}}) равна 2л.
б) Длины всех дуг вида (S\[(a, b}}), где (а,Ь) — фиксированная точка из S, одинаковы и равны 2л.
+ »
t> а) По предложению 3 длина дуги $\{( — 1, 0>) равна утрт-, — оо '
Следовательно, требуется доказать, что
-f- оо 4~ 1
f 2d! g f 2dt
j i + i2 j T+?’
— oo — I
что, в силу четности функции * д, эквивалентно равенству
1 ’т't 1
338
+• “>
f 2dt
J 1+/* o
Так как $ f(t)dt=\f(t)dt+ J 0 0 I
I
то остается доказать
равенство । + CO
( \ dt
J t+? j t+f-
0 I
Выполним замену переменной / = — в несобственном интегра-' +»> • т .
4*00 04* j 0 4* I
f dt ___ f т7 ______ f dr ______ f dr
\ T77“ I'*7’
где те[0, 1].
Так как значение интеграла от Непрерывной функции на отрезке [0, 1] равно значению интеграла от этой же функции на полуинтервале ]0, 1], то получаем
* 4- °о I
f dt _____ f dr
j T+?— J 1+?’ I о
где te[0, 1].
б) Определим следующую параметризацию у: R-»-R2 дуги S\«a, &»:
1 _/2 п/
?(0= {—ax + by, — bx — ay), где ^^7. У=Т+?-
Иными словами, параметризация у является композицией А°а параметризации а дуги S\((—1, 0)) и поворота А : R2-+R2, при котором точка ( — 1, 0) перейдет в точку (а, Ь). Тогда, учитывая равенство а2-|-&2=1, получим
4” ОО
1у= $ V((-“^(0+&-y(0D2+((&^(0+a-y(0)')2^= — оо
. 4“00
= £ л/(*'(0)2+(у'(0)2 •Л=/«=2л.
— со
Упражнение 3. Докажите, что:
а) длина дуги Sn{<*> У) 1уС0) равна я; >
339 - ' '
б) длина любой полуокружности, т. е. любой компоненты связности множества (S\{z, —z}), где z — фиксированная точка окружности, равна'л; тот же результат получается, если к полуокружности добавить любой из ее концов или оба конца;
в) длины всех четвертей окружности одинаковы и равны -у-независимо от того, содержат ли они свои концы.
Все упомянутые длины, как и численное значение постоянной л, вычисляются без использования тригонометрических функций. Действительно, во всех случаях возникают интегралы с подынтегральной функцией y-p-f. Эта функция является суммой членов бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем (— /2), т. е.
ТТ?=2 (-*2)п при |/|<1.
1-Ь* Л=зО
Поэтому интегрирование сводится к вычислению значений по суще-
I 1-в
р J. р оо
ству многочленов. Например: л= \ -г—-^ = lim \ У, (—t’fX J 1-|-Z s-»0— J я = о
'-*0+ 2П-|-1 n=m + l ^Л-|-1
У? 1 °° /1 о\2л4-1
Х2 (-1)"-^7-7 + 2• lim 2 (-1)"-( Г1. •
,1=о 2л+1 п = т-|-| 2л+1
По 'признаку Лейбница сходимости знакопеременных рядов
I у ( 1У (1—е)2"-*-1 1 < |1-е|гт*‘
I + } 2л^1 I 2т+1 •
Поэтому при любом фиксированном m модуль разности между числом л и суммой 20—+ не пРевышает
1, т. е. равняется сумме числового ряда 2- У и сколь угодно точно приближается начальным отрезком этого ряда.
Упражнение 4. Докажите, что вся единична# окружность является простой дугой и ее длина равна 2л.
Указание: соедините параметризации двух полуокружностей, например правой полуокружности, включающей точки (.!?) и
_ J , и левой полуокружности, не включающей этих точек; получится параметризация, определенная на полуинтервале.
Теперь перейдем к определению функции cos(-) и sin(-).
Определение 3. Пусть число хе ]- л, л[ и | — такое чис-
' '—J f 2dt
ло, что длина простой дуги 0,а(|) равна числу х, т. е. \ -~г=х.
' о
340
Тогда положим cosx4=fex(^) = -J—и sin хч=ьу(^) = 7-7^2 • Доопре-
I т£ I -"гъ
'.делим эти функции cosx и slnx в точках х=±л соответственно значениями (—1) и 0 и затем продолжим их на множество всех вещественных чисел R периодически с периодом 2л.
Итак, получено новое (по сравиеиию с § 5, 6) определение тригонометрических функций.
Существование и единственность числа для которого Е *
Г 2d/ -
\ -j-q-p=x можно получить и независимо от понятия простои дуги, о
6
S2d/ т+?— о функции с переменным верхним пределом (рис. 100).
Упражнение 5. Проверьте, что таким образом определенные функции cos х и sin х удовлетворяют аксиоматическому определению одноименных функций в § 5, 6. Отсюда по теореме 8 о единственности аксиоматически определенных тригонометрических функций получаем, что оба определения функций cosx и sinx совпадают.
П Р И ЛОЖ ЕН И Е 2 (к главе Ш)
Доказательство теоремы о моделях системы положительных скалярных величии.
Итак, докажем теорему 1 из главы III. Пусть элементы х, уе/ и у^х0. Обозначим наибольшее целое число п>0, для которого уп определено и не,превосходит х (рис. J01):
(х : y)=₽tmax{n|neZ>0 и ул<х).
Лемма 1. а) Для любых х, у, z&I, z=£x0 выполняется (х: z) + (y .z)^((x y) :z)<(x: z) + (y : z) + l.
341
х° у уг .... у” х у'”'
Рис. 101 1
. б) Для любых X, у, 2f=l, Z#=y0, у^=х0 выполняется (х: 2) +1 < ((у -. 2) +1) ((х : у) +1).
> а) Пусть (x:z)=n, (у : z) = m. Тогда zn<x<z'*+l и zm<y< ^z'"+*. По аксиоме ‘2 из определения 1 системы положительных скалярных величин (из главы Ш) в части, касающейся /, получаем: z", zme/ и z^z*” определено. Так как на / ршожение • и порядок согласованы (аксиома 3), то 2n’Zm=zn*m^x-y, т. е.
<((x«y):z).
Если zn + l-z'n+l определено, то аналогичным образом х*у< <zn+m+2, т. е. ((х-у): г)<п + <и + 2.
Если же z('t+'n+2) не определено, то по определению функции (х: у) также получаем ((х-у): z)<n-|-m+2.
б) Пусть (y:z)=n, (x:y)=m. Тогда zn<y<zn + l и ym<x<
<y"i + l.-
Если z(n+l)(m+l) определено, то х<уЯ1'|~|<гл'|~|-...-ая'|~| =
= z(n + l) (m-H), т е Q. . г).^(и-]-4)(т-|-1) и . z)_|_ 1 <(П-|- 1)(/п+1).
Если 2Х«+0("’+0 не определено, то по определению функции (х : у) также получаем (х : z)<(n+1) (m+1) и (х:г)Ц-1С <(«+'!) И+1).
Лемма 2. а) Пусть а^Хо любая фиксированная величина из I. Найдется такая последовательность {zn]e.I, zn=/=x0, что последовательность {(a:zn)}, neN строго возрастает.
б) В множестве I найдется счетное всюду плотное подмножеств во I^r т. е. такое счетное подмножество, что для любых х, у^1, у<х найдется такое 2^1 что у<г<х.
t> а) Произвольно выберем Zie/, zi^xo и произвольно выберем 2\ из' условия xo<zf<Z|. По аксиоме 4 найдется такое г", что 2\=г\’2'{. Из аксиомы 3 следует: x0<zy<Z|. Положим z2 = =min{zi, z").
Произвольно выберем z2 из условия x0<z2<z2. По аксиоме 4 2г2 = г2-гг. Положим Z3=min{z2, г#} и т. д.
По построению z2 + i<zn и (а : zrt + i)>2-(a : zn).
t> б) Обозначим (zn) последовательность величин, построенную в п. а).' Для’каждого neJV определим множество
/лч±{г^|ЛеЛГ, zje/}.
Положим/„= J /п£/.
Докажем, что для любого ге/, z=^xg найдется z„<z. Действительно, если zn>z прн всех я, то (а: гп)<(а: г) при всех п, что противоречит неограниченности последовательности {(а: zn)}.
342
Тем самым лемма 2,6 уже доказана для у=х0. Рассмотрим случай, когда х0<у<х. Пусть z такое, что х=у-г. Тогда x0<2z и можно выбрать гп так, что x0<zn<z. Рассмотрим элемент 2;lto:z',)+l>e/ao. По определению числа* (у: zn) он больше у. Кроме Того, нз неравенства zn<2z и равенства x=y-z следует,
что
zF:Z“) + l) = Z^:z,,)’ZnCy-Zn<y-Z = X.
Фиксируем некоторый элемент ае/, а^=хо («единицу измерения»). Определим для каждого ze/, z#=x0 функцию fz'.I-+Q>0 следующим образом: fz(x) .
Отметим, что по лемме 1,6 для всех х, z^I, z,=/=x0 выполняется • «)+!•
. Учитывая пример, разобранный в главе Ш после формулировки теоремы 1, можно интуитивно представить себе fz(x) как измерение х относительно единицы измерения а с точностью г (с избытком). Сейчас, используя теорему Тихонова о компактности топологического произведения топологических компактных пространств , относительно топологии произведения, мы построим функцию f, предельную для семейства функций {/г|ге/}, которая и будет- искомым изоморфизмом структур (V, I, •, х0, и (R>0, [О, ХЦ-» гО, <>.
Для каждого хе/ рассмотрим отрезок вещественных чисел [О, (х:а)+Ц и рассмотрим декартово произведение этих отрезков по всем хе/, т. е. определим
П ДО. (х '• а) + 1). хе/
Элементами X являются все такие функции вида ф: I-+R, что 0^ф(х)^(х:а)+1, Vxe/.
Так как по определению fz(x) неотрицательно, то при любом zf=I, z#=xo, получаем /геХ.
Открытая окрестность ^(<р) элемента ф. Пусть <реХ. Фиксируем конечное число элементов xi, хг, ..., хп&/ и конечное число строго положительных чисел е(, 8а, ..., 8Я. Для каждого значения индекса i фиксируем в отрезке [0, (х:а)-|-1] открытую 8z окрестность Ф(х().
Напомним, что топология произведения J х в множестве X
определяется таким образом, что состоит из всех тех функций феХ, значения которых в точках xi попадают в фиксированные 8z— окрестности (рис. 102). В остальных точках значения функции произвольны. Иными словами
^(ф)5^*....хл. ..Е„(фМ
=^{ф«=Х||ф(х;) —ф(х2)| <8z, Vi(l<£<n)}.
343
Упражнение. Семейство множеств вида б Х|......Хл......е„(ф)>
где n^N, xi^I, ezeZf>0, среХ образуют базу топологии в множестве X. Докажите.
Лемма 3. а] Топологическое пространство (X, х) компактно.
б) Пусть Xz4=fc{fz, |x0<2/<z) и Хг — замыкание множеств Хг в топологическом пространстве X. Тогда пересечение Г](Хг-| zeZ>0) непусто.
[> а) Этот пункт но существу состава лет содержание упомянутой выше теоремы Тихонова, его доказательство мы опустим.
б) Пусть Zi, z2..2п^1>ХГ1. Тогда для Z4±min{zi, .... z„) выпол-
п п —
няется П п Хг1, т. е. пересечение любого конечного j—। । <ss L
числа множеств вида Хг непусто.
Допустим, что n{Xz|zf=/>20}= 0. Тогда для всякого среХ найдется такое ze/>2(1, что <р^Хг и, следовательно, <р не йринад-лежит Хг вместе с некоторой своей окрестностью ^(<р). Получили открытое покрытие всего компактного пространства. Выберем его конечное подпокрытие.^(<pi), ^(<р2), , ^(<рл).
Тогда пересечение соответствующих множеств Хг....Хг, пусто,
так как всякая точка <реХ лежит в некотором множестве ^(<pz) и по построению ^(<р()л не содержится в Х2, и, следовательно, не содер-п —
жится в П Хг,. Получили противоречие.
Пуодъ f — любой элемент из пересечения |"| {Хг I z i= I >хо). Докажем, что функция f : I-► R является искомым изоморфизмом.
Лемма 4. Фиксируем ж, у^1. Для всех, ж, у^.1 выполняется f(xy)=f(x)+f(y).
> Добавив по единице к частям неравенства
(х : z)+(y : z)<((x>y): z)<(x : z)+(y : z)+ 1
(лемма l,a) и разделив их почленно (а : z)+1, получим, что при всех ге/>г() выполняется
^Ь(х-у^их) + Ш
т. е. 0<fz(x)4-fz(y)—fi(x>y)^—-. Выберем такую последо-(а. 1
вательность гл, что последовательность {(а : zn)} строго возрастает (лемма 2,а), и рассмотрим открытую окрестность
± ±(Г)={феХ| №)-Д2)|<-1-} п ’ п '
X.S.X.».-
для трех значений^ равных х, у, х-у.
Так какf]{X2|zfe/>xo}, то. в окрестности «?(/) найдется элемент g из Хг.. Поэтому 0(f) окрестность и элемент g. Поэтому а. 0(f) найдется элемент из Хг„ вида функции где хо<г'п<2П. По определению 0(f) имеем
344
<Ку)<Му)+±.
-Мх-у}-~<-Кх-у)<-Мх'У}+-^-
Складывая эти неравенства, получим
—CfnW+fsf »)-(«,(*•«)—7<Кх)+^)-«''«ХЫх)+
Устремляя п к бесконечности, получим f(x)4-f(y)—f (ху) = 0. Лемма 5. Выполняется a) f(xo)=O.
б) f строго возрастающая функция на 1, -
t> a) Дхо)=Дхо-Хо)=Дхо)+Дхо). Поэтому Дхо)=О. i
б) Допустим, что при некотором z>Xo выполняется /(z) = 0. Тогда для любого z' из условия Xo<z'<z по аксиоме 4 получаем: z=z'-z" и 0=f (z) = f(z'-z")=f(z')+f(z")>O. Следовательно, /(z')= =0, Более того: так как для любого хе/ выполняется x=zl*:z,X Xz', где z'<z, то f(x)=(x:z)-f(z) + f(z')=O и, следовательно, f Тождественно равно нулю на /. Но это противоречит’ равенству Да)=1, которое вытекает нз того, что [г(а)=1 при всех ze/>J0.
Итак, если z>xo, то f(z)>0. Если теперь х>у, то х=у-г, где z>x0 и Дх)=Ду-х)=/(у)+Дг)>Ду).
Лемма 6. Для любого элемента хе/ и для любого числа t, удовлетворяющего условию O^t^f(x), найдется такое у^1, что f(y)=t-
[> По лемме 2,6 выберем в / счетное всюду плотное подмножество /„, при этом в качестве Zi выберем элемент а. Докажем, что множество f(J „) всюду плотно на отрезке [0, Дх)]. Напомним, что I „ включает в себя такие элементы zn, что (а : z„+i)^2-(a : z„). Выполняется неравенство (o': z„+i)^2rt. Поэтому (z2n+i)<a.
Так как функция f строго возрастает, то 2”-f(zn+i)=f( zV-f-i)^ <Да)=1, т. е. f(zll+l)<2-".
Следовательно, множество точек f(xo), f(zn+O, f(z„+i), .... f (z£+i), где k=(x : zrt+1)+1, с одним и тем же шагом, меньшим 2~п, расположено в порядке возрастания на отрезке [0, Дг£+( )]э[0, Д*)], прэтому множество всюду плотно на [0, Дх)].
Пусть t произвольное число из отрезка [0, Дх)] и (Дул)}— такая возрастающая последовательность чисел из множества [0, Дх)]|"| ПД/„), предел которой равен t. В силу монотонности f последовательность (ул) монотонно возрастает в !„ и она ограничена элементом х. По аксиоме 6 существует y^supy„, который принадлежит /. По монотонности f получаем: f(y)2j?sup f{yn]=t. Допустим, что Ду)>/. Тогда найдется такой ге/что /<Дг)<Ду), и по монотонности f получаем yn<.z<.y, Уп, что противоречит равенству у=sup ул.
п
Леммы 4—6 доказывают теорему 1.
345
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 (к главе IV)
, Доказательство некоторых вспомогательных алгебраических утверждений
Мы начнем это приложение со следующего упражнения, продолжая нумерацию из главы IV.
Упражнение 20. Докажите, .если поде L конечномерно над полями Р и К и Р^К, то поле К. конечномерно над полем Р и dim PL = dim KL- dim p K.
Лемма 10. Для того чтобы поле L являлось нормальным расширением поля Р, необходимо и достаточно, чтобы поле L являлось полем разложения некоторого многочлена над Р.
[> Пусть поле, L является нормальным расширением поля Р, т. е.:
а) поле L конечномерно над полем- Р;
б) если L содержит один корень неприводимого над Р уравнения, то L содержит и все корни этого уравнения.
Условие конечномерности L над Р означает наличие конечного • базиса {Л... k$} в поле L над полем Р. В частности, L = P (feh ..., fes).
- Числа ..., ks являются корнями некоторых неприводимых уравнений над Р. Действительно, рассмотрим, например, последовательность степеней числа ki:
1 = А“, Ai, Ai, Ai, ....
В силу конечномерности L и Р при некотором п число k" равно линейной комбинации /о + Л&1+...-Нл-|А"-1, где Ь^Р. Поэтому fei является корнем уравнения g(x)=xn ——... — iix — to = O над P. Раскладывая многочлен g(x) над полем Р на неприводимые множители, получим неприводимый многочлен, корнем которого является k.
Для чисел kt, ..., ks обозначим эти неприводимые многочлены соответственно gi, .... gs. По условию б все корни всех этих многочленов содержатся в поле L. Поэтому все корни многочлена go(x)4±gi(jc)- • •gs(x)также содержатся в поле L. Следовательно, поле L содержит поле разложения Pg, многочлена go, т. e.~Pg,^L.
С другой стороны, Числа ki, ..., —некоторые корни многочле-
на go, поэтому L = P(fei, ..., ksj^Pg,,, и, следовательно, L = Pg,.
Докажем теперь обратное утверждение: поле разложения Pf любого многочлена f над Р является нормальным расширением поля Р. ' ,
-Конечномерность поля Р/ над полем Р вытекает йз упражнения 4, предложения 4,6 и упражнения 20.
Пусть k — некоторый элемент поля Р/, являющийся корнем некоторого неприводимого над Р многочлена /i|. По предложению 4,в найдется такой многочлен g(x(, ..., х„) над Р, что fe=g(a,|. art),
где ah .... an— все корни многочлена f.
Рассмотрим многочлен
346
- lx-g<fc*............. “"))
ueS,
степени nl, где многочлены g^(') определяются равенствами' go(Xl, Xn)^g(xa{l}, .... xo(n)).
Докажем, что коэффициенты многочлена й(х) лежат в поле Р. Рассмотрим, например, коэффициент при х"|_|, равный— 2 go(ai, ..., ап). Многочлен— 2 g<< хп), значением которого являет-ся этот коэффициент, очевидно, не'меняет своего значения под действием на его аргументы любой перестановки'о из Sn. Иными словами, он является алгебраическим инвариантом группы S„. Такой многочлен называется симметрическим.
В курсе алгебры* доказывается, что значение любого симметрического многочлена над (числовым) полем Р на корнях ои, .... ал любого многочлена f над Р принадлежит полю Р. Поэтому этот и, аналогичным образом, любой другой коэффициент многочлена h принадлежит Р.
Итак, й — многочлен над Р степени п! и число й=£(аь ..., ал) является корнем h. По условию k является также корнем неприводимого многочлена h\. В силу неприводимости йь многочлен й нацело делится на й(, т.. е. й(х)=й|(х)-йг(х).
Поэтому все корни многочлена й| являются корнями многочлена й, т. е. лежат среди чисел вида go(ah ..., a„), aeSn, которые очевидно лежат в P/ = P(ai, „., ал).
Следствие. Если поле К является полем разложения какого-то многочлена f над полем Р, то число элементов группы Галуа G(K, Р) совпадает с размерностью dimP/< поля К над полем Р. [> По условию поле имеет вид K=P(xit ..., хл), где хг, х„ корни многочлена f. . -
По упражнению 13 найдется такое число а, что tf=P(a). По конечномерности К над Р существует неприводимый над Р многочлен g, корнем которого является число а. Все его корни различны. По лемме 10 поле К является нормальным расширением поля и поэтому содержит все корни уравнения g(x) = 0.
Обозначим эти корни Х|=а, хг, .... хт. По предложению 4,6 выполняется dimp/<=degg = m.
Установим биекцию между элементами группы G(K, Р) и корнями xi, ..., Хщ. Элементу W^G(K, Р) по определению соответствует корень W(a) уравнения g(x)=0, т. е. отображение из О(К, Р) в множество {xi, ..., хш} зададим соответствием Это соот-
ветствие инъективно, так как
W (а)= (а)=> W Г1 (W(a))=a
1 См.: Куликов Л. g., с. 498.
347
и по предложению 4,6 функция (BTr’oW) тождественна на К, т. е. HT~lol₽'=id, и поэтому = Докажем сюръективность этого отображения.
Пусть xi любой из корней .... хт. По все тому же предложению 4,6 любой элемент k из К однозначно представим в виде k = = io + ti‘'a + — + /«-i'ат~'- Определим функцию Wi из поля К в себя следующим образом:
. ЙГ((/оЧ“^1а + ... + ^т— |Дт I ‘Х™
Так как Wi(a)=xi, то для доказательства сюръективности отображения №н>-№(а) достаточно проверить, что функция Wi является элементом группы Галуа G(K, Р). Ясно, что WMP=id и что Wt(k-\-f)= = для всех kit Остается проверить, что Wi(k-t)=
= Wi(k)-Wl(t) для всех k, t(=K.
Пусть h — произвольный многочлен над Р и многочлен г является остатком от деления й на g, т. е.
h(x)=h0(x')‘g(x)+r(x).
Так как степень многочлена г строго меньше гп, то по определению Wt получаем, что Wt(r(a))=r(Wt(a)). Так как числа Wi(a)=Xi и а являются корнями многочлена g, то получаем:
- Wl^=Wl(r(a))=r(Wi(a))=h(Wl(a)'). ’
Итак, для любого многочлена й над полем Р выполняется
^(А(а))=й(Г/(а)).
Пусть теперь k и t произвольные элементы поля К- Тогда предложению 4,в найдутся такие многочлены hi и йг над полем Р, что й=й|(а) и <=йг(а).
Используя доказанное выше равенство Wi(h(a)) = h[Wi(cty, получаем
Wi(k-i)= Wl(h{a).h2(a)) = Wl((hlh2) (a))=(h>-h2) (Wi(a))=h,(Wi(a))X Xh2(Wi(a))= W^a)) Wi(h2(a))= №/(й) Wi(t).
Теперь нетрудно установить инъективность функции W,:K-^K, так как в силу ее линейности достаточно проверить равенство Кег №(=(0).
Действительно, если k — отличный от нуля элемент К, для которого Wi(k)=0, то
\ = Wi(l)=Wi(k>k-')=Wi(kyWi(k-"), ,
что противоречит равенству Wi(k)=0.
Итак, построенная функция Wi линейно и инъективно отображает поле К в себя. Рассматривая поле К как век^бриое пространство над полем Р и учитывая, что всякая линейная инъективная функция из конечномерного векторного пространства в себя является сюръективной функцией, получаем, что функция Wi сюръективна н, значит,
348
она является изоморфизмом поля К, оставляющим на месте любой элемент поля Р. Другими словами, доказано, что Wi^G(K, Р).
Лемма 11. Любое радикальное расширение поля Р содержится в некотором нормальном радикальном расширении поля Р. [> Доказательство проведем индукцией по длине s радикального ряда РсР|С...сР^|СРг£К, в котором по определению все поля Pt являются простыми радикальными расширениями полей Р/_ь 2л.
В частности, K = PS_|(^, ^а — 1), где aePs-i и i,—em .
Если $=1, то поле K=PS, как это проверялось на с. 255, является полем разложения уравнения х"‘— а=0 над Р. Следовательно, по. лемме 10 К само является нормальным расширением поля Р.
Допустим, что лемма доказана для всех полей К, имеющих радикальный ряд длины, меньшей s. Тогда поле Ps_| уже содержится в йекотором нормальном радикальном расширении L поля Р. Построим искомое радикальное расширение К поля Р.
Для этого рассмотрим уравнение
xm — а=0, aePs-i.
Полем его разложения является поле K=Ps- Для числа а рассмотри любой неприводимый над Р многочлен g(x), среди корней кото-joro содержится число а. Обозначим все его корни ai = a, аг, ..., ац. 3 силу нормальности L над Р все эти корни принадлежат L.
Пусть ои, аг, .... а* — произвольные корни соответственно уравнений х"1 —Д|=0, .... х"1 —а*=0 над L. Положим поле К равным расширению поля L с помощью чисел ai, ..., а* и числа ^ = ет , т. е. ai, .... a*).
Ясно, что поле К. является радикальным расширением поля L. Так как L радикально над Р, а К. радикально над L, то поле Л радикально над полем Р._
Докажем, что /CsK. Для этого достаточно заметить, что все корни уравнения '
xm —a=0, aePs^i
исчерпываются числами ai, £ah £2ai, ..., Jjm_|ai, т. e. поле К содержится в поле Pj-i(£, ai), и так как Ps-i то
KsLfa, ai)=L(£, a(, .... at)—К. i
Наконец, докажем нормальность К над Р. Так как L нормально над Р, то по лемме 10 поле L является полем разложения некоторого многочлена h(x) над Р. Обозначим все его корни Х|,- .... хп. Тогда L=P(xi, ..... х„) и д=Р(х... хп, £, ah ..., а*). Рассмотрим
многочлен
f (х) h (х\‘ g (xm)=h (х) (хт—а i) (xm — а2).. .(X—ak),
349
где второе равенство получается из соотношения g(x)=(x — ai)... ...(x — ak).
Коэффициенты многочлена f лежат в поле Р, так как коэффициенты многочленов h и g лежат в Р. Поле разложения Pf многочлена f над Р содержит поле К, так как числа ж,,.... х„, ои,.... а*,С=^!со-_ а> держатся в К.
Наоборот, любой корень многочлена f. равен либо одному из чисел Х|, хп, либо одному из чисел ^-а,, 0^/^п, и поэтому Pf^K- Следовательно, поле К совпадает с полем разложения Pf. Отсюда по лемме 10 получаем нормальность поля К над полем Р.
Лемма 9 (см. § 2 п. 6). Любое число из поля разложения Pf многочлена f над полем Р, неподвижное относительно действия всех изоморфизмов из группы Галуа G(Pf, Р), принадлежит Р. t> Обозначим K^Pf и VW^G(K, P)(W(x')}. Ясно,
что L — поле и промежуточное поле, т» е. PsL ^К- Докажем, что L = P.
Сначала докажем, что группы G(K, L) и G(K, Р) совпадают. Первая из них является подгруппой второй, так как P^L^K. Наоборот, если ЙГеО(К, Р) и xeL, то по определению поля/. W(x)=x, т. е. ГеО(К, L).
По лемме 16 поле К является полем разложения некоторого многочлена над полем L.
Так как поле К по условию также является полем разложения некоторого многочлена над полем Р, то можно применить следствие к лемме 10 и ^получить, что dimP/<=dimpL. Поскольку то по упражнению 20 получаем, что dimPL=l, т. е. L = P.
Лемма 12. Любая подгруппа и любая фактор-группа разрешимой группы являются разрешимыми группами.
О Пусть
G => G । =>... => Gn {е} —
цепочка вложенных друг в друга групп, в которой все G, являются нормальными делителями Gi-t и все фактор-группы. цик-
личны. Для подгруппы HcG рассмотрим цепочку групп
Н => Hi о... => Нп={е],
где Hi^GiQHi-i.
Можно определить группу Н, несколько иначе. Рассмотрим гомоморфизм
<р,_| : Ht-i-i-Gt-i, tfi-i(g)^g.
Тогда группа Hi прообраз группы Gz, т. е. Л,-=ф;~'|(О/). По упражнению 5 прообраз нормального делителя при гомоморфизме является нормальным делителем (проверьте). Поэтому из гомоморф-ности функции ф/_| вытекает, что Hi—нормальный делитель Hi-i. Следовательно, определена фактор-группа Ht-i/Hi, которая
350
очевидным образом вкладывается в циклическую группу Gi-i/Gi-А Именно Итак, группа Hj — i/Ht изоморфна
Подгруппе циклической группы Gi-i/Gt. Но всякая подгруппа циклической группы сама циклична. Следовательно, все фактор-груп- » .пы цикличны, что доказывает разрешимость подгруппы
HczG. 4
Если Н—нормальный делитель группы G и ф:О->О|Я— канонический гомоморфизм G на фактор-группу G/Н, то из цепочки ' трупп для G возникает цепочка групп для G/H:
0/Я=ф(0)оф(01)=>... => <p(Grt)z3 ф((е))=И,
где е' — единичный элемент фактор-группы G/Н. При этом q>(Gz) как гомоморфный о/5раз нормального делителя1 в Gi-i является нормальным делителем в <p(Gz-i), а также фактор-группа <p(G/—i)/ /q>(G<) изоморфна фактор-группе G|_|/G, и поэтому циклична. Следовательно, фактор-группа G/Н разрешима.
Лемма 13. Любая конечная абелева группа разрешима.'
Доказательство проведем индукцией по числу п элементов в группе G. Если п«=1, то утверждение леммы очевидно. Пусть утверждение леммы доказано для всех абелевых групп с числом элементов, меньших a, a G — абелева группа, которая состоит из п различных элементов. Возьмем любой элемент g группы- G, отличный от единичного, и рассмотрим циклическую подгруппу Н группы G, порожденную этим элементом. Так как g^e, то подгруппа Н группы G нетривиальна, и поэтому число элементов в фактор-группе G/Н строго меньше п (фактор-группу G/Н можно рассматривать, так как в абелевой группе любая подгруппа является нормальным делителем). По индуктивному предположению абелева группа G\^G/H разрешима.
Рассмотрим следующую диаграмму:
G\^*G/H Г) Gi =>... => Gn => (е'} 4>t <Pt ф| <Pt
где q>:G-*-G/H— канонический гомоморфизм группы G на фактор-группу G/Н и Gf =>Gg =>...=> G£=>(e'} — разрешимый ряд для группы Gr* с единичным элементом е' н по определению G^**-ч^Ф^ЧОг),..., Опч±ф“1 (Gi,). Отметим, что ф_,((е'))=Я и ф_,(О()=О.
Ряд G|ZdG2=>...zoG„zoH естественно назвать опусканием ряда G(zdG2=>... =>G£:o{e'| при помощи гомоморфизма ф. По построению фактор-группы G'/G,'+i -циклические при всех 1=1, 2, ..., п.
Так как фактор-группы Ф-,(О£)/ф_,(О(+|) изоморфны G*/G(+i. то получаем, что и фактор-группы G*/G*+i цикличны.
Учитывая, что группа И по построению циклична, окончательно получаем, что ряд
G । О2=>... => Gn => Я=> {е} явдяется разрешимым рядом для группы G.
351
Лемма 14. Если для группы G можно указать цепочку групп
G = G0o Gi =>... => Gs=(е),
в которой все Gt — нормальные делители Gt-i и все группы Gt-i/Gt разрешимы, то группа G разрешима.
[> Пусть фо: G->G/G| — канонический гомоморфизм групп G = Go на фактор-группу G/Gj. Опустим, как в лемме 7, разрешимый ряд для группы G/Gi с помощью гомоморфизма фо. Получим ряд групп:
Оо^Яо. |=>Я0.2=>...=>Яо. Ло=>Gi,
в котором все фактор-группы О0/Я0. ь Но, \/Но. 2, .... Яо. n,/Gi цик-личны.
Далее с помощью канонического гомоморфизма ф) группы Gi на фактор-группу G1/G2 опустим разрешимый ряд для группы G1/G2. Получим ряд групп:
О|=)Я|, |=>Я|.2=>...=)Я|.П,=)О2,
в котором все фактор-группы G\/H\, 1, Я|, 1/Я1,2, .... Ht,n,/Gz цикличны.
Произведя аналогичные опускания разрешимых рядов для групп Gi-i/Gz с помощью канонических гомоморфизмов ф|- । : : Gz-i^-Gz-i/Gz при всех <=0,- 1, ..., s—1, получаем разрешимый ряд для группы G:
0 = Оо=)Я0. 1=)...=эЯо. и.=>0| = = 0|=>Я|. |=>...=>Я|. =>g2 = ...= = Gs-i=>Hs-i, i=>...=>Hs-i, n,_,=>Gs={e}.
Лемма 15. Если поле К является нормальным расширением поля Р и поле разложения Pf некоторого многочлена f над Р содержится в К, то группа Галуа G(Pf, Р) изоморфна фактор-группе G(K, P)/G(K, Pf).
[> Доказательство заключается в построении такого гомоморфизма h : G(K, P)-*G(Pf, Р), что его ядро Кегй совпадает с G(K, Pf), а образ этого гомоморфизма совпадает с G(Pf, Р). Тогда по упражнению 7. получим, что группа G(Pf, P)=R(h) изоморфна факторгруппе G (К, P)/G(K, Pf)=G(K, P)/Kerh.
Пусть W^G(K, P). По определению положим h.(W) = W\Pf. Чтобы доказать h(W)&G(Pf, Р), достаточно проверить, что переводит элементы поля Pf в элементы поли Pf. Фиксируем feePf. В силу конечномерности К над Р найдется неприводимый над Р многочлен g(x), корнем которого является число k, т. е. g(k)= =0. Ясно, что число WQi) также является корнем уравнения g(x)== =0. В силу нормальности поля Pf над полем Р (лемма 10) все корни уравнения g(x)=0 лежат в Pf. Поэтому W(k)(=Ph т. е. й(№)<=
Итак, построено отображение h: G(K, P)-*-G(Pf, Р). Так как h(WioWz)=(WioW2)]'Pf = Wi\PfoW2\Pf = h(Wi)oh(W2), то й являет-
352
ся гомоморфизмом группы G(K, Р) в группу G(Pf, Р). Так как (IFeKer Pf = 'uip)o(W <=G(K, Pf)), то ядро этого го-
моморфизма совпадает с группой Галуа G(K, Pf), т. е. Кегй = =6 (К, Pf)- Осталось проверить, что образ /?(й) гомоморфизма h совпадает с G(Pf, Р), т. е. проверить сюръективность гомоморфизма h.
По упражнению 13 найдется такой элемент а, что Pf=P(a). Рассмотрим неприводимый над Р многочлен g степени I, корнем которого является число а. По предложению 4,6 размерность поля Pf=P(a) над Р равна I, и по следствию к лемме 10 получаем, что число элементов в группе Галуа G(Pf, Р) равно I.
Покажем, что фактор-множество G(K, P)/G(K, Pf) содержит по крайней мере I элементов. Действительно, в сйлу нормальности поля К все корни аг, ..., а/ уравнения g(x)=0 лежат в К. Для любого а,- из этих I корней найдется по предложению 6 такой изоморфизм W ^G(K, Р), что Й7(а)=а;. Этот изоморфизм W обозначим Wi. Все I изоморфизмов .... Wt задают попарно различные классы эквивалентности в множестве G(K, P)/G(K, Pf), так как ([IF/]=[rw])4>(rr,oIFmeG(/<, Pf))^(Wr'°Wm(a)=a)^al = am-, мы использовали, что Pf = P(a). Равенство af = am приводит к противоречию с тем, что у неприводимого над Р уравнения g(x)=0 нет кратных корней.
Итак, доказано неравенство |G (К, P)/G(K, Pf)\^l, где |Х| — число элементов в множестве X.
По упражнению 7 |/?(й)| = \G(K, P)/G(K, Pj)\^l, а так как R(h)cG(Ph Р), то /?(/!)</, т. е. R(h)=G(Ph Р).
Лемма 18. Пусть К поле разложения некоторого многочлена над полем Р и Н произвольная подгруппа группы Галуа G(K, Р), а также LH^{k^K\VW&H (W(k)=k)] — промежуточное поле, т. е. P<=LH<=G(K, Р). Тогда G (К, L)=H.
[> Очевидно, H^G(K, LH). Обозначим т число элементов в группе Н. Если порядок группы G(K, LH) меньше или равен т, то все доказано. По следствию к лемме 10 порядок группы G(K, LH) равен т. е. нужно показать, что
Перенумеруем все элементы группы Н, начиная, как обычно, с единичного элемента: W2, .... Wm. Поле К, как поле разло-
жения, имеет вид K=P(xlt..., хп), где ..., хп все корни одного н того же уравнения. По упражнению 13 найдется такое число а^Кт, что К=Р(а). т
Рассмотрим многочлен h(x)= П((х—Й7<(а))- Множество его корней совпадает с множеством чисел {a, W2(a), .... Й7т(а)}. Для любого изоморфизма Wf=H это множество чисел переходит в себя, т. е. (а, .... IFm(a)}={II7fc), ..., (Й7-Й7т) (а)}. Поэтому любой симметрический многочлен от корней а, .... Ч7т(а) и, в частности, любой коэффициент многочлена h(x) не меняется под действием любого W из Н. Следовательно, все коэффициенты многочлена h принадлежат LH, т. е. h многочлен над LH. .
353
Если h приводим над LH, то перейдем к неприводимому над LH сомножителю hi, корнем которого является число а.
Итак, d'eg/ii^deg/i = m. По предложению 46 выполняется dimlhK— deg tn, так как K=LH(a).
ПРИЛОЖЕН И E 4 сферическая» гиперболическая и эллиптическая плоскости
$ 1. Точки, прямые и отрезки в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях
1. В данном приложении все ссылки без указания главы относятся к главе II.
Определение I. а) Сферической точкой (s-точкой) называется любая точка <х, у, z} из /?3, для которой ж2+у2 + г2= 1, т. е. любая точка сферы радиуса 1 с центром в точке О=рь ( 0, 0, 0 ) е е/?3.
' б) Сферической прямой (s-прямой) называется множество s-точек, лежащих в любой плоскости, проходящей через начало координат О (рис. 103).
Определим предикат «s-точка А лежит на s-прямой I» как теоретико-множественную принадлежность, т. е.4е(. Аналогично определяется предикат «s-точки А к В равны между собой»: он означает теоретико-множественное равенство троек чисел А и В.
Легко видеть, что при таких определениях на всякой s-прямой I лежат хотя бы две различные s-точки А и В и найдутся три попарно разные s-точки, не лежащие ни на какой одной s-прямой I. Тем
самым при нашем определении «точек», «прямых» и предикатов «лежит», «равно» выполняются аксиомы 12 и 13 из аксиоматики Евклида — Гильберта (см. гл II, § 3). Однако аксиома Ь не выполняется, для s-точек и s-прямых.
Действительно, через любые две диаметрально противополож-
ные s-точки можно провести континуальное число различных s-пря--мых. Отметим, что нарушение аксиомы I, происходит только для диаметрально противоположных s-точек, так как если s-точки А н В не диаметрально противоположны, то точки О, А, В не лежат на одной прямой в /г и через них можно провести единственную плоскость, которая в пересечении с S2 даст ту единственную s-прямую, на которой лежат s-точки А н В. •
Сферической плоскостью называется множество S . Модель аксиоматически определенной-эллиптической плоскости (см. §3) получается из сферической плоскости в результате попытки
354
Рис. 104
обеспечить выполнение аксиомы Л, т. е. попытки приблизить сферическую плоскость к евклидовой. Для этого нужно отождествить диаметрально противоположные- точки в S2.
2. Определение 2. а) Эллиптической точкой (е-точкой) называется любая неупорядоченная пара диаметрально противоположных точек в S2.
б) Эллиптической прямой (е-прямой) называется множество неупорядоченных пар диаметрально противоположных точек, содержащихся в пересечении S2 с плоскостью, проходящей через начало координат О.
Следовательно, е-точки и е-прямые — это проективные точки и проективные прямые в уже знакомой нам проективной плоскости Pz (см. § 2). Как и в случае s-плоскости, предикаты «е-точка А лежит на е-прямой» и «е-точка А равна е-точке В» определяются теоретико-множественно.
Упражнение-1. Проверьте для множеств е-точек и е-пря-мых выполнение аксиом первой группы из аксиоматики Евклида-Гильберта.
Замечание. Как и в случае проективной плоскости Р%, можно не рассматривать точек нижней полусферы:
S1=p«=(<x, у, z> e=S2|z<0}.
Напомним, что верхняя полусфера определяется как S + у, z)eS2|z^0).
При таком подходе е-точкой называется любая точка верхней полусферы S+, в которой точки границы заменены парами диаметрально противоположных точек (рис. 104). При этом е-прямой является верхняя полуокружность любого экватора, у которой концы отождествлены (рис. 105). Из такого представления видно, что е-прямые «похожи» на окружности.
Перейдем к аксиомам второй группы. В первую очередь отметим, что в этих s- и е-плоскостях нельзя ввести понятие «между», согласующееся с понятием «конгруэнтно», которое определяется с помощью движений в S2. Иными словами, нельзя определить предикат «между», для которого выполняются все аксиомы второй и третьей групп аксиоматики Евклида—Гильберта. Пока иллюстрируем это обстоятельство следующим образом. Если для s-точек А, В, С, изображенных на рисунке 106, s-точка В лежит между А и С, то, выполняя движения — повороты на 120° и 240°, по-
355
Рис. 106
лучим, что А лежит между В и С и С лежит между Я и В, что противоречит аксиоме Пг- Здесь основным моментом является то, что поворот вокруг оси, перпендикулярной к плоскости АВС, является s-движением, а s-движение сохраняет предикат между.
Аналогичное рассуждение годится для е-плоскости. Поэтому в s- и е-плоскостях понятие отрезка между двумя точками приходится вводить особо, не используя понятия «лежать между»./Ограничимся случаем s-плоскости, в е-плоскости определение отрезка аналогично.
Определение 3. Пусть А н В — две различные s-точкн. Если А и В диаметрально противоположны, то s-отрезком [А, В], называется пересечение S2 с любой замкнутой полуплоскостью, проходящей через О, границей которой является прямая (АВ). Если А и В -не диаметрально противоположные точки, то «-отрезком [А, В}, называется пересечение S2 с тем геометрическим углом Z. АОВ, радианная мера которого меньше л.
Упражнение 2. Если в s-плоскости ввести понятие «точка С лежит между точками А и В», как Се [А, В],, то а) аксиомы Иг и Из выполняются;
б) аксиома II। не выполняется;
в) любая s-точка лежит между любыми диаметрально противоположными s-точками. Докажите.
Рис. 107 ' 356 '
3. Определение 4. а) Гиперболической точкой (Л-точкой) называется любая точка (х, у, г) из R3, для которой — x2+jr + z2 = = — I и х>0. Множество всех ft-точек назовем й-плоскостыо (рис. 107).
б) Гиперболической прямой (ft-прямой) называется непустое множество всех й-точек, лежащих в некоторой плоскости, проходящей через начало координат О (рис. 108).
Из курса аналитической геометрии хорошо известно, что по-. верхность52ч±((х, у, z> е№| -х2-)--|-y2-|-z2= — 1} является дву-
полостным гиперболоидом с вершинами в точках (1, 0, 0} и ( — 1, 0, 0). В пересечении с плоскостями у=0 или z—О этот гиперболоид образует гиперболы - — x2 + z2 — —1 или — х2+у2 = = — 1 с асимптотами x=±z или х=±у. В пересечениях с вертикальными плоскостями х=хо, где |х0| I, гиперболоид S2 образует окружности I — 1 ’ (Рис’ *07)'
Упражнение 3. Докажите, что:
а) функция (х, у, —x2+y2+z2 непрерывна;
б) множество S2 замкнуто и неограничено в R3;
в) множество' значений непрерывной функции (х, у, z>m-x, определенной на S2, состоит из двух лучей ]— оо, —11 и [I, + оо[;
г) в топологии, индуцированной пространством R, множество S2 разбивается на два непересекающихся замкнутых и связных подмножества +S2^((x, у, z>eS2|x> 1} и ~S2=ptS21+S2.
Часто гиперболоид S2 называют гиперболической' сферой. В дальнейшем будем обозначать S?, +S2 и ~S2 соответственно Sa, Sa, + и Sa, —.
Упражнение 3 показывает, что гиперболическая сфера является дизъюнктным объединением своих «полусфер» 5Л. + и SA, _ с «вершинами» в (1, 0, 0} и (—1, 0, 0) соответственно.
Так как полусферы SA-_ + и Sa, - не пересекаются, то рассмотрение пар диаметрально противоположных точек по аналогии с переходом от сферической планиметрии к эллиптической эквивалентно рассмотрению точек какой-нибудь одной из полусфер. Согласно определению 4 ft-плоскость совпадает с полусферой SA, +. В Sa, + всегда рассматривается топология, индуцированная множеством R3.
Часто удобно следующее параметрическое задание й-плоскости
Sa, +:
(*)
x=x(t, <p)=chf, y=ylt, <p)=sh/«cosq>, z=z(t, <p)=shf-sinq>,
357
где O^fCoo, 0^<р<2л,и гиперболические косинус и синус определяются равенствами
chf-Ц^, Shl=<=£.
Упражнение 4. а) Проверьте, что функции х, у, z, определенные в (*), удовлетворяют уравнению — J?+y2-f-22 = — 1.
б) Докажите, что (*) задает гомеоморфизм полосы ]0, -|- оо[х Х[0, 2л[ и S„. +\{< 1, О, О».
в) Используя (*), докажите, что для любых различных h-точек Л1=(Х1, уь Z|> и А2 = <*2, У2, Z2> число Х| • Х2 4- У1 • У2 + 2| • 22 меньше — 1.
г) Используя п. в), докажите, что для любых h-точек Ai и А2 и для любой точки В' из обычного интервала ]4i, А2[ интервал ]0, В'[ пересечет h-плоскость в некоторой h-точке В и В' — не h-точка.
Из курса аналитической геометрии известно, что пересечение плоскости с поверхностью второго порядка в R3 либо пусто, либо является кривой в этой плоскости, порядка не выше двух, т. е. является одним из следующих мйожеств в плоскости: точка, прямая, пара пересекающихся прямых, пара параллельных прямых, эллипс, гипербола, парабола.
Предложение 1. Любая h-прямая является ветвью некоторой гиперболы.
[> Пусть й-прямая I есть пересечение Sh. + и некоторой плоскости л, проходящей через точку О, а Г есть пересечение Sh. _ с той же плоскостью л, т. е. ZJ Г есть пересечение плоскости л с поверхностью
, Sh={<x, у, z>elf3|—x2+yz+z2= —1}
второго порядка в R3. Тогда l\Jl' есть кривая в плоскости порядка не выше двух. Так как плоскость л н двуполостный гиперболоид Sh симметричны относительно начала координат О, то и кривая 1\)1' в плоскости л симметрична относительно О. Так как поверхность Sh не связна, то и кривая /(Jf' не связна. Поэтому ZU^z есть либо пара параллельных прямых, либо гипербола. Докажем, что первое невозможно. Допустим противное н на одной из этих двух параллельных прямых возьмем три различные точки А, В~С. Какие-' то две из этих точек принадлежат одной из «половинок» Sh : SA, + или Sh, -. Применив, если надо, центральную симметрию, получим, что они лежат на SA. +. Тогда по упражнению 4,г середина D отрезка между этими двумя точками не лежит в SA. + . Точка D не может лежать и в Sh, тад как ее .первая координата не меньше единицы. Следовательно, D^Sh. Противоречие.
Итак, кривая /(J/' является гиперболой в плоскости л, а 1= =(Sh. .+ П") и /'=(Sh. -П1*) нейтрально симметричны. Следовательно, / является ветвью гиперболы ZU I'-
Для й-точки и й-прямой предикат «лежит» определяется как теоретико-множественная принадлежность.
. 358
Понятие «между» для ft-точек сводится к аналогичному понятию для лучей с началом в точке О, лежащих в одной полуплоскости. А именно: пусть I — прямая, проходящая через точку О, и L — открытая полуплоскость, границей которой является прямая /. Для_ любых лучей Ц и I2 с началом в точке О таких, что 6\(0}c:L /г\{О)с:£, определим геометрический угол I16I2 как множество всех сумм векторов О, А 4-0, В, где А е 1\, В€=12. Будем говорить, что луч /з в полуплоскости L с началом в точке О лежит между 1\ и /2, если /3cz/|O/2- Пусть теперь A-точки А, В, С лежит на ft-прямой (Sa, +£| Пл), где л — некоторая плоскость в R3; проходящая через точку О. По предложению 1 ft-прямая (Sh. +Пл)—ветвь некоторой гиперболы в плоскости л. Рассмотрим лучи /| и /2 в плоскости л, являющиеся асимптотами этой ветви гиперболы. Тогда, как известно из курса аналитической геометрии, угол Цбк меньше развернутого угла. Поэтому во множестве всех лучей /р=г±:[О, D), где De(Sh, +П Пл), по указанному выше способу вводится понятие «между» и ровно один из лучей 1А, 1В, 1С лежит между двумя другими. По определению будем говорить, что соответствующая ft-точка лежит между двумя другими ft-точками.
Предложение 2. Множества всех h-точек и всех h-прямых в h-плоскости удовлетворяют аксиомам первой и второй групп аксиоматики Евклида — Гильберта.
J> Пусть А и В — различные ft-точки и А= (х, у, г). Если точки б, А, В лежат на одной прямой, то для некоторого ХеЯ имеем: ' В=(Ххг Ху, Хг}. Так как В ёсть A-точка, то — i2x2-|-X2y2-|-X2z2= — — 1 и, следовательно, Х2=1. Так как первые координаты ft-точек не меньше единицы, то —I.
Следовательно, Х=1 и А = В, что Дротиворечит предположению о различности А и В. Поэтому точки б, А, В не лежат на одной прямой и через эти точки можно провести единственную плоскость л, которая в пересечении с Sh, + даст единственную А-пря-мую, проходящую через ft-точки А и В. Итак, аксиома h проверена. Аксиомы 12 и 1з очевидно выполняются в ft-плоскости.
Аксиомы порядка П( и Ш для ft-точек выводятся из теоретикомножественных свойств предиката г. Проверим аксиому Пз.
Пусть А, В, С — три различные ft-точки, не лежащие на одной ft-прямой, л — плоскость, проходящая через начало координат, и Z=(Sa, +Пл) — соответствующая ft-прямая. Допустим, что I пересекает, во внутренней точке одну из сторон ft-треугольника АВС. Пусть, например, / пересекает ft-отрезок [А, В]* в ft-точке D. Так как ft-точка D лежит между ft-точками Л и В, то луч 10 лежит между лучами 1А их 1В, и поэтому он пересечет обычный отрезок [А, В] в некоторой внутренней точке D'. Рассмотрим плоскости л и (АВС). Во-первых, они пересекаются в точке D'. Во-вторых, они не совпадают, так как О^(АВС). Действительно, включение Ое(АВС) означало бы, что ft-точки А, В, С лежат на одной ft-прямой (Sa, + П П(АВС)), что противоречит условию. Следовательно, плоскости л и
359
Рнс. 109
(АВС) пересекаются по некоторой прямой, которая лежит в плоскости (АВС) и пересекает сторону [Д, В] треугольника АВС во внутренней точке D'. По аксиоме П3, верной для евклидовой плоскости (АВС), эта прямая пересечет еще одну сторону треугольника АВС. Пусть, например, она пересекает отрезок [В, С] во внутренней точке Е'. Так как точка Е' лежит на отрезке [В, CJ то, см. упражнение 4,г, луч [О, Е') пересечет ft-отрезок [В, С]л в некоторой й-точке Е. По построению EeSa, + Пл. Следовательно, й-прямая I пересекает еще одну сторону й-треугольни-ка с вершинами А, В, С (рис. 109). -
4. В этом пункте рассмотрим стереографические проекции «-, е- и й-плоскостей в арифметическую плоскость R2. В каждом из этих трех случаев за центр стереографической проекции возьмем полюс соответствующей сферы. Получатся три стереографические проекции, которые позволяют «перенести» «-, е- и й-точки и «-, е- ’и й-прямые из соответствующих плоскостей в арифметическую плоскость R2. Возникающие в R2 после переноса образы соответствующих течете и прямых можно описать в терминах плоскости R2 без явного упоминания «-, е- и й-точек и прямых и соответствующих стереографических проекций. Часто «-, ё- и й-плоскостями называют возникающие таким образом структуры в R2. Начнем с «-плоскости.
Пусть Е^(0, 0, —1> — южный полюс сферы
S2={<x, у, z>elf3|x2-|-y2+z2=l).
Для любой точки Ле$2, отличной от Е, определим. Р(Д) как точку пересечения луча [Е, Д) с горизонтальной плоскостью (Оху). Тогда отображение Р является биекцией S2\(E) на (Оху). Эта биекция называется стереографической проекцией «проколотой» сферы S2\(E) на плоскость (Оху) (рис. НО).
Предложение 3. а) Пусть А= (х, у, z} — любая з-точка, отличная от Е. Тогда
fw-<тт-,'ifr »> •
б) Пусть I — любая s-прямая, проходящая через точку Е, Тогда Р(1) — прямая в плоскости (Оху), проходящая через точку О.
360
в) Пусть I — любая s-прямая, не проходящая через точку Е. Тогда Р(1) — окружность в-плоскости (Оху), пересекающая окружность у}|х24-у2 = 1) в двух диаметрально противо-
положных точках.
[> а) Пусть В = ( . 0^ • Так как Д#=Е, то 2=^ — 1,
и поэтому векторы Е,^Д=(х, у, l-|-z) и Е, В= / ТТ-*
, 1 коллинеарны, т. е. точка В лежит на прямой {ЕА).
Ясно также, что Be (Оху). Следовательно, Р(Д)=В.
б) Если s-прямая I проходит через Е, то по определению I она проходит и через северный полюс (0, 0, 1 >, т. е- плоскость л, которая в пересечении с S2 дает I, содержит прямую (Oz). Тогда нетрудно видеть, что Р{1) является прямой, по которой пересекаются плоскости л и (Оху). Действительно, Д Д елр52=>Р(Д)е елП(Оху) и, наоборот, Р(Д)е(лр(Оху))=>Д = Р_,(Р(Д))ел(152=>-=>4е1.
в) Пусть I—s-прямая, полученная в пересечении S2 и плоскости л, проходящей через О. Так как Е&.1, то можно считать, что плоскость л задается уравнением ax-|-&y4-z=0. Пусть А = = <х, у, 2>е(=52Пл и точка Р(Д) имеет в плоскости Оху коор-
динаты х'
_ 1-Z3 __
О+гУ
и у', т. е.
1 — (ax-|-fej/)2_ (1 + z)2
, X f U т»
х=7+7 и У=Т+Г Тогда ^-(ax' + fey')2. т. е.
(х')2+(у')2 =
{х')2 +(«/')2+(ax' + by')2 = —j—5.
U ~гг1
С другой стороны, x=x'(l-|-z) и y = y'(14-z), т. е.
ax' (1 +z)+by' (1 4-2)4-24.1 = 1,
и поэтому
ax' 4- by' 4-1=——. I z
Окончательно получаем, что
(х')2 4- {у')2+{ах' 4- by')2=(ax' 4- by’ 4-1 )2={ax' -|- by' ? 4- 2ах' 4-4-2&у' -]-1
и
(х'— а)2 4-(у'— Ь)2 = 1 4-а2-|-Ь2,
т. е. Р{1) — окружность в плоскости Оху радиуса у/14-а2 + &2 с центром в точке (а, Ь). Эта окружность пересекается с горизонтальным экватором в двух диаметрально противоположных точках, в которых прямая лП(Оху) т. е. прямая ах' + Ьу' = 0 пересекает окружность S'5Pfc{(x', у'>|(х/)24-(у')2= 1)
Упражнение 5. Докажите, что:
361
а) если B=(x, у} — точка в плоскости Оху, то -Р *(В)= = / 2х \ .
\ Ц-^+У ’ 1+xW l+x2+j/!/*
б) если m — Прямая в плоскости (Оху), проходящая через точку О, то Р~'(пг) есть s-прямая, проходящая через точку Е\
в) если пг— окружность в плоскости (Оху), пересекающая окружность S'=((x, у>|х2+у2 = 1) в двух диаметрально противоположных точках, то Р~1 (пг) есть s-прямая, не проходящая через точку Е. *
Результаты предложения 3 и упражнения 5 показывают, что при указанной стереографической проекции s-точкам в s-плоскостн соответствуют все точки арифметической плоскости № и еще одна точка, ч отличная от всех точек плоскости I?2, которую мы назовем бесконечно удаленной точкой и обозначим оо. Не существенно, как представлять себе эту бесконечно удаленную точку. При той же стереографической проекции s-прямым в s-плоскости соответствуют все обычные прямые в /?2, проходящие через начало координат, а также все окружности в R2, пересекающие единичную окружность в диаметрально противоположных точках, рисунок U 1. С помощью этой стереографической проекции s-плоскость отождествляется с множеством а s-прямые в
s-плоскости отождествляются с указанными выше прямыми и окружностями в Д2и(°°}. Поэтому s-плоскостью иногда называют само .множество /?2(J{oo) вместе с указанными в нем прямыми и окружностями; иногда элементы этого множества и эти прямые и окружности называют соответственно s-точками и s-прямыми.
Теперь рассмотрим е-плоскость. Ограничим стереографическую проекцию Р на верхнюю полусферу у S2| х 0}.. Та-
кое ограничение задает биекцию множества S+ на замкнутый единичный круг D в арифметической,плоскости R2.
При таком ограничении стереографической проекции е-точкам в е-плоскости соответствуют либо точки открытого круга
У) |*2+У2< 1). либо пары диаметрально противоположных точек единичной окружности S* (рис. 112). Поэтому е-плоскости соответствует круг D, в котором каждая гранйчная точка а заменена на (неупорядоченную) пару {а, —а) диаметрально проти-
' 362
воположных точек. При этом точка —а заменяется на ту же пару {а, —а}. Рассмотрим две различные, е-точки, которым соответствуют точки А и В открытого круга D. Если.точки О, А, В лежат на одной прямой, то е-прямой, проходящей через две данные е-точки, соответствует диаметр крута D, на котором лежат точки 'А и В. При этом концы диаметра отождествляются с одной и той же парой, состоящей из этих концов. Если точки О, А, В не лежат на одной прямой, то соответствующая е-прямая в е-плоскости перейдет в ту часть s-прямой, проходящей через точки А и В, которая лежит в круге D. Другими словами, эта е-прямая перейдет в ту дугу окружности, проходящей через А и В и пересекающей S1 в двух диаметрально противоположных точках, которая лежит в‘круге D. Как и выше, концы этой дуги отождествляются, рисунок 11§. Иногда е-плоскостью называют множество всех точек круга D, объединенное с множеством всех пар диаметрально противоположных точек окружности S', вместе с указанными выше «диаметрами» и «дугами» в этом множестве. Элементы этого множества и эти «диаметры» и «дуги» иногда называют Соответственно е-точкйми и е-прямыми. Рассмотренные структуры, состоящие из «-точек и s-прямых, е-точек и е-прямых в арифметической плоскости R2, назовем плоскими моделями s- и е-планиметрий. Теперь укажем две плоские модели /i-планиметрии.
363
Построим плоскую модель й-планиметрии, используя стереографическую проекцию из южного полюса F= ( — 1, 0, 0} гиперболической сферы Sh- Эта модель носит название первой модели Пуанкаре плоскости Лобачевского (=й-плоскости).
Для любой точки А положим по определению Р(Л) равным точке пересечения луча [F, Л[ и плоскости Oyz.
Предложение 4. а) ПустьА = {х, у, z) — любая h-точка.
Тогва Р(Л}= (о, .
б) Отображение Р является биекцией множества Sh, + на открытый круг у, z> |^ + г2<1} в плоскости (Oyz).
в) Пусть I — h-прямая, проходящая через северный полюс (1,- 0, 0>. Тогда Р(1) — диаметр круга D.
г) Пусть I — h-прямая, не проходящая через точку, П. Тогда Р(1) —дуга окружности, пересекающей границу круга D под прямым углом.
t> а) Пусть Вч* 0, узрр • Так как Л—й-точка, то хф — 1 и векторы £, Л = (1+х, у, z> и Е, В= ( 1, ~~\
\ 1 -гХ 1 -|-х /
коллинеарны, т, е. точка В лежит на прямой (Е, Л). Ясно, что Be(Oyz). Следовательно, В = Р(Л) (рис. 114).
б) Пусть А — й-точка и Р(Л)=(0, У, Z). Тогда по п. а. у2 । ?2 у2+z2 _ . х2 — 1 х2+2х + 1 — 2х—2 . 2 ,
(1+х)2 (1+х)2 (1+х)2 1 + х ’
т. е. Р(Л)еЙ. Прямым подсчетом нетрудно проверить, что если В=<0, У, £)ей, то Л^/ , У
является й-точкой и Р(Л)=В. Отсюда следует инъективность и сюръективность отображения Р.
в) Пусть I — й-прямая, проходящая через W и l=Sh. + (]л, где л — плоскость, проходящая через О и, тем самым, задаваемая уравнением axA-byA~cz = 0. Так как NЕл, то а = 0. Поэтому
Рис. 114
364
для координат Y и Z точки Р(Д), где A^l=Sh, + ПлиД=(х, у, г), получаем, что
bY+cZ = ^^ = 0.
Но уравнение bY+cZ = 0 как раз и задает диаметр круга D.
г) Подставим выражения для х, у, г через Y, Z, полученные в п. б, в уравнение ax-\-by+cz=0 плоскости л, проходящей через начало координат. Получим
„ l + ^+Z2 . . 2У . 2Z _п а l-f1—Z2 + Ь 1-У2—Z2*"с' l-^-Z2 0
или a-(l + Y2 + Z2)+2bY+2cZ = 0.
Разделив на а#=0 и выделив полные квадраты, получаем
Поэтому образом й-прямой лП^л, + при стереографической _ \1ьг+сг—аг
проекции Р является дуга окружности радиуса -1—-------- с
центром в точке . Пусть В — одна из то-
чек пересечения этой окружности с границей круга D (рис. 115). Тогда |ОВ|2=1, |О,В|2=-^±ф^ и Юб,|’=-4 + 4« т- е-ст а а
|ОО||2= |ОВ|2 + |О1В|2, и по обратной теореме Пифагора получа-‘ ем, что угол Z. OBOj — прямой.
Упражнение 6. Докажите, что
а) если В={0, У, Z>eZ), то Р~|(В)=( i-r-Z*
2Z \ .
i—у4—z2 / ’
б) если пг — диаметр круга £), то Р“'(/п)— h-прямая, проходящая через северный полюс N;
в) если m — дуга окружности, пересекающей границу круга D под прямым углом, которая лежит внутри круга, то Р~'(т) — h-пря-мая, не проходящая через N.
Вторая плоская модель й-планиметрии получается из первой плоской модели й-планиметрии переходом от открытого единичного круга t) к открытой верхней полуплоскости в арифметической плоскости R2. При этом R2 и С отождествляются, а переход выполняется с помощью дробно-линейного отображения
(*) iz + l ч
где ze/5. В анализе отображение (*) рассматривают и для любых г из CU{oo}.
Прямое вычисление показывает, что при отображении (5|<):
365
Рнс. I 16
а) число 0 переходит в число I, и’вообще все вещественные числа, кроме —1, переходят в чисто мнимые числа;
б) число —1 переходит в оо, а окружность |z| = l переходит в вещественную ось;
в) прямые в первой модели Пуанкаре 4-планиметрии перейдут в полуокружности или лучи в открытой верхней полуплоскости, которые пересекают вещественную ось под прямым углом.
Наглядно действие отображения (*) можно описать следующим образом. Представим себе, что граница единичного круга D сделана из тонкой резины, а внутрь круга D налита жидкость. Мы разрываем резину в точке —1 и растягиваем границу в вещественную ось. При этом жидкость равномерно и без перемешивания "выливается и заполняет всю верхнюю полуплоскость (рис. 116).
Итак, A-точками во второй плоской модели Пуанкаре А-плани-метрии (плоскости Лобачевского) называются точки верхней открытой полуплоскости, а A-прямыми называются полуокружности или лучи, перпендикулярные к ее границе.
Сферическую (эллиптическую, гиперболическую.) плоскость, т. е. множество всех s-точек (е-точек, A-точек) н множество всех s-прямых (е-прямых, A-прямых), далее будем обозначать S1 2(E2, И2). Построенные в п. 4 этого параграфа плоские' модели будем обозначать S2P, Е~Р, iPPx (первая модель Пуанкаре А-цланиметрии) И №₽2 '(вторая модель Пуанкаре А-планиметрии).
| 2. Метрики в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях
1. Определение 5. Пусть Л и В — две s-точки. Радианная мера одного из четырех углов, образованных прямыми (ОА) н (ОВ), не превосходит л. Сферическим расстоянием («-расстоянием) между А и В называется радианная мера этого угла.
Это s-расстояние между s-точками А и В можно также определить, используя понятие длины кривой.. Напомним, что длиной кривой
366
Ф: [а, называется число д/(х/(0)24~(У/(С)2+(2'(0)2 а
где к'', у', г' — производные функций #(0» z(0 (см- приложение 1, пункт 2). Так как радианная мера центрального угла равна длине дуги единичной окружности, на которую он опирается, то получим, что «-расстояние между диаметрально противоположными «-точками равно л, а для других пар точек оно равно длине меньшей дуги, соединяющей эти точки в плоскости, проходящей через них и точку О.
Обозначим р5(Л, В) — s-расстояние между Л и В. В этом обозначении индекс s иногда опускается.
Упражнение 7. Докажите, что:
а) Р»('« •) является метрикой на множестве S2.
Указание. Используйте стереометрическую теорему: сумма радианных мер двух плоских, углов любого трехгранного угла не меньше радианной меры третьего плоского угла;
б) р»(Л, B)=2arcsin где |Л, В|—обычное евклидово расстояние между точками А и В;
в) |Л, В|Ср,(Л, В);
г) рдл В|-
Указание. Рассмотрите треугольник ЛОВ и гомотетию с центром в точке б и коэффициентом ----‘ .
Метрика р»(-, •), как и всякая метрика, задает на S2 топологию. Оказывается, что эта топология совпадает с топологией, задаваемой евклидовой метрикой | , • |, т. е. совпадает с топологией, индуцируемой пространством /?3.
Предложение 5. Топология на S2, задаваемая сферическим расстоянием, совпадает с топологией, задаваемой евклидовым расстоянием.
> Пусть |Л, В|<-у/2. Тогда, по п. б) и г) упражнения 7 р,(Л, В)<——= 1...... |Л, В1С-Д1Л, В| <3|Л, В|.
Vhw
Если же |Л, В|>-у/2, то
р,(Л, В)<л=|^.|Л, В|<-^|Л, В|<3|Л, В|.
Используя упражнение 7 в), получаем, что для любых s-точек Л и В/
|А В|СрДЛ, В)<3|Л, В|. (*)
367
Рассмотрим евклидову окрестность s-точки А радиуса 8>0, т. е. U(A, e)^{BeS2| |Л, В| <в). Из (*) получаем, что U(A, е) содержит р — окрестность s-точки А радиуса 8, т. е. если
С/Р(Д, 8) = {^е52|р(Д, В)<8), то С/Р(Д, е)с=С/(4, в).
Но тогда, если UcS2 и U — открыто в топологии, задаваемой метрикой |-, • |, то всякая точка ЯеU входит в U с некоторой евклидовой окрестностью U(A, 8) и поэтому входит в U с р-ок-рестиостью С/Р(Д, 8), т. е. U — открыто и в топологии, задаваемой метрикой р(«, ).
Обратное утверждение аналогичным образом выводится из (*) с использованием включения U^A, сС/р(Л, е).
Следующая теорема 1 показывает, что сферический отрезок между s-точками А и В является кратчайшим путем среди всех кусочно-гладких путей, соединяющих А и В. Напомним (§ 1, п. 2), что понятие s-отрезка не может быть определено на основе понятия «между», так как последнее отсутствует в s-планиметрии. Тем не менее, с метрической точки зрения' s-отрезок удовлетворяет естественному требованию к отрезку, как пути, имеющему наименьшую длину.
Напомним: если т:[0, &] — гладкая функция из [0, 1]
на [а, &], для которой т' везде отлична от нуля, а ф: [а, =—
кривая в R3, то длина кривой ф равна длине кривой «рот. Другими словами, длийа гладкой кривой не зависит от способа параметризации этой кривой (см. приложение 1, пункт 2, предложения 1, 3).
Теорема 1. а) Длина сферического отрезка с концами в, s-точках А и В равна ps(A, В).
б) Пусть- ф : (О, 1]->S2 — любая кусочно-гладкая кривая на S2, у которой ф(0)=4 и ф(1 )=В. Тогда длина 1Ч кривой ф больше или равна р« (А, В)\
> а) Это утверждение доказано в начале этого параграфа, так как сферический отрезок совпадает с дугой, на которую опирается соответствующий угол. Сейчас по существу проверим, что радианная мера угла равна длине дуги, на которую он опирается. Введем ортонормированную систему координат в1- R3 таким образом, чтобы точка А имела координаты (1, 0, 0), а у точки В вторая координата была неотрицательна и третья координата равна нулю. Тогда параметрическое задание s-отрезка, между А и В имеет вид:
x(/)=pcos/, y(/)=sin/, z(i)=0, /е[0, а].
Здесь а — радианная мера того геометрического угла, образованного лучами [0/4) и (ОВ), который не превосходит развернутого угла. Поэтому длина .отрезка в этой системе координат равна
а _____ __
J-ysin2 f+cos21 й/ = а = ря(Л, В),-рисунок 117. о
368
Для завершения доказательства остается напомнить, что длина кривой в R3 не зависит от того, в какой из ортонормироаан-ных систем координат вычисляется соответствующий интеграл.
б) Сначала рассмотрим случай, когда образ <р состоит из конечного числа «-отрезков. Доказательство проведем индукцией по числу п звеньев такой сферической ломаной (s-ломаной). Если и=2, то образ ф состоит из s-отрезков и [CB]S и по п. а)
этой теоремы, а также по неравенству треугольника для метрики р5 получим, что /ф = р(Л, С)+р(С, В)^р(Л, В).
Если s-ломаная Г состоит из («+1)"го звена, то, соединив s-отрезком s-точку В с началом n-го звена этой s-ломаной, получим новую s-ломаную Г', состоящую уже из п звеньев. Длина Г' по предположению индукции не меньше р(Л, В) и по неравенству треугольника для метрики р не больше длины Г. Поэтому и длина Г не меньше р(Л, В).
Пусть теперь <р: [О, 1]->S2 — любая кусочно-гладкая кривая, у которой ф(0)=Д и ф(1)=В. Рассмотрим конечное разбиение Т отрезка [0, 1] и соответствующее ему конечное разбиение Тч образа
ф. Пусть Г — ломаная, состоящая из прямолинейных отрезков с вершинами в точках разбиения Тч, а Г5 s-ломаная с вершинами в этих же точках. Длина /(Г,) s-ломаной Г,, как доказано выше, не меньше р(Л, В), а длина /(Г), как это доказы&ается в курсе анализа, не больше длины 1Ч кривой ф, т. е. р(Л, B)</(rs) и До-
пустим от противного, что меньше р(Л, В), т. е. при некотором 8>0 выполняется р(Л, В)=/,4-8.
Но тогда Z(rs) — I (Г)>р(Л, В)— 1ч=ъ, т. е. при любом разбиении Т длина s-ломаной .превышает длину ломаной Г не меньше
чем на некоторое постоянное число 8>0, что противоречит тому, что /(Г,) — /(Г) стремится к нулю при диаметре разбиения Т, стремящемся к нулю.
2. Определение 6. Пусть Ае={Л, -Л| и ВГ=|В, — В] — две е-точки. Рассмотрим два геометрических угла, образованных лучами [О, А) и [О, В) и лучами [О, А) н [О, (— В)). Радианная мера одного из этих углов не превосходит л/2. Эллиптическим расстоянием (е-расстоянием) между А< и Ве называется радианная мера этого угла (рис. 118).
Отметим, что е-расстояние между Ае и Ве равно меньшей из длин тех четырех дуг, на которые точки А, —А, В, —В разбивают окружность, проходящую через них. Если же все эти четыре дуги имеют одинаковую длину, то прямые (ОЛ) и (ОВ) перпендикулярны и в этом случае е-расстояние равно л/2.
Для иллюстрации понятия.е-расстояния рассмотрим е-плоскость как верхнюю полусферу S+ с отождествленными диаметрально про-тиположными точками ее границы. Пусть две s-точки Л и В не
13 Ukhi 227
369
лежат на границе S+- Если меньший из углов Z ЛОВ не больше прямого, то е-расстояние между Ае и Ве равно длине соответствующей дуги АЙ экватора, проходящего через Л и В. Если же угол Z. ЛОВ тупой, то е-расстояние между Ле и Ве равно сумме длин двух дуг АС и В, ( —С), где С и ( — С) — точки пересечения границы полусферы S+ и экватора, проходящего через Л и В; причем углы Z ЛОС и Z ВО, (— С) — острые, рисунок 119.
е-Расстояние между е-точками Ле и Ве обозначим ре(Ле, Ве).
Индекс.е иногда опускают. Отметим, что
ре((Л, —Л), (В, —В))=т1п(р,(Л, В), л-р,(Л, В)}.
Теорема 2. а) Функция р,- является метрикой 'в е-плоскости.
б) Отображение s-плоскости в е-плоскость вида
Р:А^{А, -Л)=Ле
является локальным гомеоморфизмом, т. е. для любой s-точки А найдутся такие окрестности V (А) и V(Ae) у соответственно точек А и Ае, что сужение отображения Р является гомеоморфизмом V (А) на V(AJ.
[> а) В доказательстве нуждается лишь неравенство треугольника для функции ре. Пусть Ле, Ве, Се три е-точки. Выберем s-точки Л и В-так, что Ле=(Л, —Л}, Ве=(В, —В} и угол Z ЛОВ не превосходит прямого, т. е. р(Ле, Ве)=ре(Л, В). Введем в R3 систему координат таким образом, гчтобы s-точка Л была северным полюсом сферы S2, а у s-точки В первая" координата равнялась нулю и вторая и третья были неотрицательны (рис. 120).
Тогда можно считать, что s-точка С, где Се=(С, —С), лежит в верхней полусфере. Если С лежит в первом или втором, октанте, то все три угла Z ЛОВ, ЛЛОС, Z ВОС не превосходят прямого, т. е. s-расстояния между Л, В, С совпадут с ^-расстояниями между Ле, Ве, Qe и для таких Ае, Ве, Се неравенство треугольника для е-расстояния следует из неравенства треугольника для s-расстояния. Пусть С лежит в четвертом октанте и угол Z ВОС — тупой. Тогда
р(Ве, Ce) = ps(-B, С)<Р,(В, С)< ' <PsH, В)-]-ре(Л, С)=р(Ле, Ве)-|-р(Ле, Се).
370
Если Z. ВОС — не тупой, то
р(Ве. Се)=р,(В, С)<р,(Л, В)+р4(Л, С) = = р(Ле, Ве)+р(Л, Се).
Случай, когда С лежит в третьем октанте, разбирается аналогично.
б) Пусть А — любая s-точка, К(Л) — ее открытая окрестность радиуса -2- и V(Л f) — открытая окрестность Ле=(Л, —Л} радиуса
у-.(рис. 121).
Так как К(Л) не содержит диаметральных s-точек, то отображение Р инъективно на Р'(Л). Так как для любых s-точек В и С из К(Л) угол Z. ВОС является острым, то ps(B,-С)=ре(Р(В), Р(С)), т. е. отображение Р сохраняет расстояния. Следовательно, Р(У(Л))== = 1/(Ле), т. е. Р — биекция К(Л) на К(Ле). Кроме того, Р: К(Л)-> ->К(Ле) и Р~' : К(Ле)->-К(Л) непрерывны как отображения, сохраняющие расстояние.
Замечание. В доказательстве п. б) теоремы 2 точка Л не обязательно должна быть центром окрестности К(Л).
Предложение 6. Пусть А есть s-точка и <р — непрерывное отображение отрезка [0, 1] в е-плоскость Ё1 такое, что <р(0) =Ае, где Ле={Л, —Л). Тогда найдется единственное непрерывное отображение ф отрезка [0, 1] в s-плоскость S2 такое,' что ф(0)=Л и Роф(<) = ф(/) для всех /е[0, 1].
_ [> Для каждой е-точки ф(/) выберем открытую ре-окрестность радиуса Так как ф[0, 1] — компактно (непрерывный образ компакта — компакт), то из такого открытого покрытия <р[0, 1] можно выбрать конечное подпокрытие ......... Vn. При этом можно
считать, что И| совпадает с открытой рв-окрестностью а-точки Ае радиуса По теореме 2 б) ограничение отображения Р‘ на
Р5-окрестность V (Л) s-точки Л радиуса -2- является гомеоморфизмом.
371
I—» — -----1
0 t, t2 7
Рис. 122
Пусть
ti =sup{/^0|Vt<7, ф(т)еУ||.
Тогда /|>0 и q>([0, /i))czV|. Определим непрерывное отображение <р полуинтервала [0, Л) в s-плоскость равенством <р(/)=Р-1оф(/), где Р~' —обратное отображение к гомеоморфизму Рг У(Л). В результате мы «подняли»- отображение <pf[O, /|) до отображения Ф так, что ф(0)=Л и Роф(/)=ф(/) (рис. 122). .
Возьмем е-точку на кривой ф(/), лежащую в Vi П Vz, и, используя п. б) теоремы 2, аналогичным образом «поднимем» в s-плоскость окрестность Vz, а вместе с ней и участок кривой ф([0, 1)), где Через п таких «поднятий» мы получим искомое отображение ф.
Замечание. Нетрудно видеть, что если поднимать кривую ф в кривую ф с началом в s-точкё— А, то это поднятие будет отличаться от первого_лишь знаком.
Отображение ф называется поднятием отображения ф.
Определение 7. а) Непрерывная кривая ф в е-плоскостн Е2 называется кусочно-гладкой, если кусочно-гладко ее поднятие Ф в «-плоскости S2.
б) Длиной кусочно-гладкой кривой ф в е-плоскости Е2 называется длина поднятия ф в s-плоскости S2.
Ясно, что определение 7 не зависит от того, в какую из точек А и —А поднимается начало Ле=(Л, —Л) кривой ф. Используя указанную связь между s-кривыми и е-кривыми, нетрудно показать, что е-отрезок имеет наименьшую длину из длин всевозможных кусочно-гладких е-кривых, соединяющих концы отрезка. При этом основным моментом является тот факт, что поднятие е-отрезка является s-отрезком. После этого доказательство по существу сводится к аналогичному факту для s-отрезков (теорема Ч).
3. Определение 8. а) Гиперболическим скалярным произведением в Е3 называется следующая функция
(<Х|, уь Z|>, (Xz, tfz, Zz))h^ — XiXz+yttJz + ZiZz.
б) Гиперболическим расстоянием (ft-расстоянием) между точками А и В называется квадратный корень из числа (А-~В, A — B)h-
в) Пусть ф: [a, b]-^-R3 — гладкая кривая. Ее гиперболической ' длиной (ft-длиной) называется
- SV-(^)!+(^)s+(^)^-= .
»
372
= у(*)> z(0>-
Замечание. В пунктах б) и в) этого определения под квадратным корнем -у/a при а^О понимается арифметический корень, а при а<0 понимается чисто мнимое число /-у— а, где -у]—а ариф-метический корень.
Упражнение 8. а) Докажите, что h-скалярное произведение симметрично, билинейно, но не положительно определено.
6) Найдите множество точек в R3, находящихся, на нулевом h-расстоянии от точки О.
Арифметическое пространство R3, рассматриваемое вместе с гиперболическим скалярным произведением, называют псевдоевкли-довым пространством и обозначают R3-, при этом ft-расстояния между точками R3 могут быть положительными, нулевыми и чисто мнимыми числами, а ft-длины кривых в R3 могут быть комплексными числами.
Замечательно, что гладкие кривые, целиком лежащие в ft-плоскости Я2, имеют вещественную положительную ft-длину или, как говорят, метрика на Я2, индуцированная из псевдоевклидова пространства R3, является евклидовой.
Для доказательства этого факта достаточно проверить, что ft-длина любого касательного к гиперболической сфере Я2 вектора положительна.
Рассмотрим параметрическое задание ft-плоскости
x=ch/, y=sh /cos <р, z = sh/sin<p, 0</<оо, 0Сф<2л,
см. § 1, п. 3. Фиксируем число /^0 и рассмотрим векторы е.= / е„= / 21 \
\ dt ’ dt ’ dt / \ <?q> ’ <?<p ’ <?<p / ’
образующие базис в касательной плоскости к Я2 в точке (х, у, z). Тогда
ei= (sh t, ch t cos <p, ch t sin ф), ^2= (0, —sh / sin ф, зЬ/созф).
Ясно, что («|, е2)л = 0 и для всех a, pelf таких, что а2 + р2=#0, получаем
(aei + ре2, + ₽г2)л = az(eiet )2 -|- ₽2(е2е2)л =
= a2( —sh21 + ch2 /(cos2 ф-l-sin2 ф))+Р2 sh2 /(sin2 фЦ-cos2 ф) = = a2 + Pz*sh2 />0.
При /=0 касательная плоскость в точке (х, у, z> = (l, 0, 0> задается уравнением х=1 и наше утверждение легко проверяется непосредственным вычислением.
Пусть A=(aij), где 1 /СЗ, такая матрица, что
373
— flfi4“fl2i -j-flii = — 1
, . —fl?2“|_fl22_l_ 032=—А?з4_А23_|“АзЗ= 1
'5*<' , —A| I A| 2 4* Й21Й22 4“ ДЗ|А32=—Al |A|3 4“ A21A23 + й31а33 =
= — a 12Л13 + й22Л2з + йзгАзз—0.
Обычный базис ei= (1. 0, 0), 02= (О, 1, 0), 03= (0, 0, 1) при линейном отображении R3 на себя, задаваемом матрицей А, перейдет в базис 0ь 02, 0з. В последнем базисе кривая <р имеет па-. раметрическое задание:
х' (Л=а 11 х (/)+a wy(t)+а 13z(/) у'(t)=а21x(t)-j- a22y(t)4- а2з2(0 ’ г'(/)=аз|х(04-аз2у(04-йзз z(f),
где ф(/)=(х(/), у(/), z(t)} — параметрическое задание <р в базисе 0i, 02, 0з. Тогда прямое вычисление с учетом (М<) показывает, что
Поэтому длина кривой <р при переходе от координат х, у, z к координатам х', у', г' не изменится, если этот переход задается матрицей А с условием (*). Нетрудно также видеть, что линейное отображение, задаваемое матрицей А, сохраняет гиперболическое скалярное произведение (проверьте)Линейные отображения, задаваемые матрицами с условием (М<)> называются движениями псевдоевклидова пространства R3.
Для-^дальнейшего важно уметь задавать й-прямые параметрически. Поступим следующим образом. Сначала параметрически зададим 1о — й-прямую Н2(]Оху. Учитывая параметрическое задание всей й-плоскости № (см. § 1), получаем параметрическое задание й-прямрй 1о
, [x=ch/
У —sh t
2 = 0. t^R.
Для любой й-прямой / = Я2Пл найдем движение Т псевдоевклидова пространства R3, при котором й-прямая /0 перейдет в й-прямую I. Композиция параметрического задания й-прямой /о с движением Т даст тогда параметрическое задание й-прямой I.
Предложение 7. Для любой плоскости л, проходящей через начало координат и пересекающей И2, найдется линейное .движение , Т псевдоевклидова пространства R3, которое отображает плоскость Оху на плоскость л. При этом в базисе ei = Teit е2=Те2, е2 — Те2 — h-прямой Н2(]л имеет вид — (х')24-(у')2= — Ь х'>1 и поэтому задается параметрически
x' = cht y' = sht z'=0, t<=R.
374 Ч
[> Пусть Д = (сЬ/, costpsh/, sin <psh t) — вершина ft-прямой Я2 fl л. т. е. вершина ветви гиперболы в плоскости л. Рассмотрим ft-точку В = (ch t, 0, sh t), которая прлучается из точки А в результате поворота на угол а=^—ф) вокруг оси.Ох, рисунок 123. Такой поворот задается матрицей:
/1 ° 0 \
I 0 cos а — sin а \0 sin а cos оу
и поэтому является движением пространства R3. Обозначим этот поворот Ra. При повороте /?а ft-плоскость И2 перейдет на себя, плоскость л перейдет в плоскость л', проходящую через прямые (ОВ) и Оу, а ft-прямая Я2 fl л перейдет в ft-прямую Я2 fl л' с вершиной в ft-точке В.
Рассмотрим движение Т। пространства R3, задаваемое матрицей
ch t 0 sh t \ 0 10 sh I 0 ch 11 При этом движении ft-точка Я=(1, 0, 0) перейдет в ft-точку В = = <ch/, 0, sh0, а ось Оу останется на месте. Поэтому движение Т\ переводит плоскость Оху на плоскость л', положим Tv^R^'°T\-Тогда Т есть движение, как композиция движений, и Т переводит плоскость Оху на плоскость л.
Так как Т сохраняет гиперболическое скалярное произведение (•, то Т переводит ft-плоскость Я2 на себя. Следовательно, Т переводит ft-прямую Я2 fl Оху на ft-прямую Я2 fl л. Так как г — координаты для точек ft-прямой' 1т{\Оху равны нулю, то z'-координаты (третьи координаты в базисе e't, ei, вз) для точек /r-прямой Я2Пл также равны нулю. В плоскости л выполняется (ef, ef)A= —1, (ез,. ва)л = 1, (ef, ^)й = 0 и ft-прямая Я2Пл в этой плоскости имеет вид (Сел|(С, С)А= —1). Если C=xef+y'*2,
375
То получаем, что — I =(С, С)л = — — (x'^-j-fy')2. Так как при этом efe/гПл, то х'^1 для всех точек СеЯ2рп.
Определение 9. Пусть А и В — две ft-точки и [А, В}, есть ft-отрезок с концами в А и В, т. е. отрезок ветви некоторой
гиперболы. Гиперболическим расстоянием между ft-точкамн А и В называется ft-длина кривой [А, В},. Гиперболическое расстояние обозначим р/,(•, •).
Теорема З а) Для любых h-точек А| и А2 выполняется
p(Ai, A2) = arcch (— (Ai, А2)л).
б) Функция р/, является метрикой в h-пдоскости Н2.
в) h-Отрезок с концами в h-точках А| и А2 имеет длину, наименьшую из h-длин всех кусочно-гладких h-кривых с концами в А, и Аг-
[> а) Напомним, что arcch (•)—гиперболический арккосинус — является положительной ветвью отображения, обратного к ch(>).
Более точно, решая уравнение х==—— относительно f^O, по-лучим / = 1п(х±-^/х2—1), т. е. arcch x-?=ln(x-|- -\/х2 — 1), х^1 (рис. 124).
Пусть x=ch и y=sh t. Если у^О, то и и поэтому t — arcch х= 1п(х + ух2 — 1)=1п(х-|-у)-
Если у<0, то и /<0, и поэтому
1 = — arcch х=1п(х — -\/х2— 1)=1п(х-|-у).
Докажем теперь требуемое равенство для ft-точек А| и лежащих на ft-прямой (Я2 (] Оху).. Зададим эту й-прямую x=ch i,
At, ~ na-
раметрически
y=sh t, t^R, z=0.
Согласно определению 9,
рл(А|, A2)h = ph((xi, yh 0>, (x2, y2, 0>) =
<2 ------------------ <2
= j -\/ —sh2 f^-ch2 tdt= J dt = ti —1\.
/I <i-
/
Здесь мы предположили, что t\/2. В общем случае й^расстояние • равно |/2 —
Пусть Х|-у2—х2-у1>0. Тогда
376
Рй(Д|, Яг)—1^2— /|| — | In | = 11п(Х2 + у2) (Х|—У|)| = = |1п((Х|Х2 — У|{/г) + (Л|1/2 — У|Х2))|.
Так как х^уг— хгу^О, то для доказательства равенства ph (Л|, ^2)=arcch (xi*2 — У\У2) достаточно проверить, что
(X|f/2 — X2t/l)2 = (x1X2 — t/iy2)2— 1
ИЛИ, ЧТО Х?(Х2— 1) + х!(х?— 1) = Х?>х1+(4— 1)(*2— 1)~ 1-
Но последнее равенство, очевидно, верно.
Случай Х|у2—^2i/i<0 разбирается аналогично.
Пусть теперь At и Д2 — произвольные ft-точки. Если Ai=A2, то (Л|, Лг)л= —1 и равенство рь(Ль Лг)=агссЬ(—(Ль Лг)л), очевидно, верно. Если Д1#=Д2, то проведем через точки О, At, Дг плоскость л и согласно предложению 7 выберем такой базис ef, е2, ез, в котором /i-прямая Я2 f] л, проходящая через точки Д] и Аг, имеет вид — (х/)2+(у/)2 = 1, х'>1. Тогда в координатах х', у', г' можно провести аналогичные разобранному выше случаю вычисления и получить, что в этих координатах выполняется требуемое равенство. Так как переход от координат х, у, г к координатам х', у', г' осуществляется с помощью движения пространства R3\ (см. предложение 7), т. е. не меняется р*(-, •) и (-, •)*, то требуемое равенство верно и в первоначальных координатах.
б) В доказательстве нуждается лишь неравенство треугольника, т.’ е. неравенство
arcch(—(Д|, Д2)лХагссЬ( —(Д|, Лз)л)4-агссЬ(—(Дг, Лз)л)-
Так как обе части этого неравенства неотрицательны, то, в силу монотонности функции ch(-) на [0; +<»), это неравенство эквивалентно неравенству
— (Ль Дг)СсН(arcch(— (Ль Дз)) + + ar cch (—(Дг, Лз))=(Ль Лз)(Лг, Лз) + +^Иь Л3)2— 1 д/(Л2, Дз)2-1 .
Или
-(Л1, Л2)-(Ль Лэ)(Лг, Лз)<л/(^ь Л3)2— 1 ^(Аг, Лз)2-1 . Если левая часть отрицательна, то неравенство, очевидно, верно. Если левая часть неотрицательна, то неравенство при возведении в квадрат перейдет в эквивалентное неравенство
(Л,, Лг)2 + (Ль Лз)2(Л2, Лз)2 + 2(Ль Лг)(Ль Лз)(Л2. Лз)<
<1 - (Ль Дз)2-(Л2, Лз)*+И1, АзГ(А2, ЛзГ • или же
-1+2(Дь Д2)(Д., Дз)(Лг, Дз)+(Дь Л2)2+(Ль Лз)2+(Лг, Лз)2<0.
Оказывается, что в‘левой части последнего неравенства стоит определитель матрицы А=(ац), где aip*(Ai, Aj). Это проверяется прямым подсчетом с использованием того, что ац = аг2=йзз= — 1.
377
Пусть векторы О, Ai, О, Аг, О, Аз линейно независимы и С — матрица линейного отображения, переводящего эти векторы в е(=(1, 0, 0), е2=(0, 1, 0>, ез=<0, 0, 1>. Как известно из курса алгебры, матрица Е, составленная из /i-скалярных произведений (ez, ej), равна (УАС, где С— матрица, транспонированная к матрице С. Поэтому det£ = det(C'AC)=(detC)2det А.
/-Ю0
Но так как £=( 010 1 , то det£ =— 1<0, и, следовательно,
4 оо г detA<0. ' ____
Если один ца векторов О, At есть линейная комбинация двух других, то одна из строк матрицы А, в силу билинейности формы (•, •),.есть линейная комбинация двух других, и поэтому det А=0.
в) Доказательство в точности повторяет схему доказательства теоремы 16).
4. Метрику в плоских моделях неевклидовых плоскостей S2, £2 и Н2 определим следующим образом. Для любых двух точек А и В из какой-либо плоской модели сначала отобразим эти точки в точки Л' и В' соответствующей неевклидовой плоскости с помощью биекции, обратной к той биекции, по которой строилась эта плоская модель (см. § 1, п. 4). Затем найдем расстояние между точками А' и В' в соответствующей неевклидовой плоскости (см. пп. 1—3 этого параграфа). По определению положим расстояние между точками А и В в плоской модели равным расстоянию между точками Л' и В' в соответствующей неевклидовой плоскости. Хотелось бы, однако, уметь вычислять расстояния в плоских моделях неевклидовых плоскостей в терминах самих плоских моделей, т. е. без перехода к расстояниям, в S2, £2 или И2.
Рассмотрим плоскую модель S2P сферической плоскости S2.
Тео'рем а 4. В плоской модели S2P сферической плоскости S2 для любых конечных s-точек А и В
ps(A, В)—2 arcsin —— — ------
->/1 + 10. А\^\ + \О, В\-и
ps(оо, В) = 2 arcsin —- 1 — u
V-l+IO, Bl2
где I A, ВI — евклидово расстояние между точками А и В плоскости Оху.
> Пусть 8=<Л. Y. 0>. Тогда ₽-(В) - (
\ (см. § 1). Найдем евклидово расстояние |£, Р-|(В)|. Так как £=<0, 0, -1> и |О, В|2=Х2 + Л то |£, Р-‘(В)|2 = _ 4Х2 4 У2 / 1-10, Вр . X2 _ 4
(1 + Ю, В|*)* ' (1 + Ю, Bl^k l + ю, Вр-1" / ц-ю, Вр"
373
Учитывая связь (см. упражнение 7) между «-расстоянием р,(£, Р_,(В)) и евклидовым расстоянием |f, Р~'(В)|, получаем ps(oo, В)=рЛЕ, Р~‘(В))=2 arcsin |£’ = 2 arcsin - 1
2 , -Vu-Ю. SI2
Пусть теперь А и В — конечные «-точки в S2P и Д'=рьР_|(Д), В' = Р~'(В). Тогда |Д, £|2=1 + |О, Д|2, |В, £|2=1 + |О, В|2 и tg Z ОЕА=\О, Д|, tg Z ОЕВ=\О, В|. >
Так как |О, £| = |О, Д'|=1, то (Д', £| =2 cos ОЕА = = 2 ---= 2 — и аналогичным образом |В', £| =
-Vl + tg2 Z ОБА -х}\ + \0, А|2 2
л/1 + Ю. В|2’
Следовательно,
|Д', В/|2=|Д/, £|2+|В', £|2-2|Д\ £| |BZ, £|.cos Z_ АЕВ = = * ___4_______________8__________
1 + |О, А|21 +10. В|2 Vr+IO. 4141 + 10. В|2
(1+10, 4|)а)+(1 + 10, BI2)-|А, В|2 4|А, В|2
2^4-10, A|2VT+IO, В|2 (1 +10. А|2)(1 + IО. В|V
Для получения конечного результата остается воспользоваться формулой: р(Д', В') = 2 arcsin!.
Упражнение 9. Используя результат теоремы 4, проведите аналогичные вычисления для е-расстояния в плоской модели Е2Р эллиптической плоскости Е2.
Выясним, каким образом вычисляется расстояние между двумя точками в модели №Р|. С этой целью удобно плоскость Oyz, в которой лежит открытый единичный круг Л, точки которого являются точками Я2Р|, рассматривать как комплексную плоскость С.
Напомним, что сложным (двойным) отношением упорядоченной четверки комплексных чисел zit z2, гз, z< называется комплексное число
((2|, 22)(2з. 24))^±^:^.
Сложное отношение можно определить и в расширенной комплексной плоскости Си(оо). Например, если z2=oo, то следует рассмотреть lim г,~гз’: 22~гз-, который равен г‘~гз и который по z2-<-«> Z|—Z< Z2 —Z4 Г Г Z|—Z,
определению называется сложным отношением четверки ((zi, оо) (2з, 24)).
Теорема 5. Пусть Zi и г2 — две точки из HP, и (zt, z2) — прямая в Н2Р\, проходящая через z\ и хг, т. е. дуга окружности, проходящей через г( и г2 перпендикулярно к границе круга D. Обозначим и и v — точки пересечения этой окружности с границей
379
круга D (рис. 125). Тогда расстояние между zt и Zi в модели НРР\ равно
|1п ((Zi, г2) (и, v))l.
[> Как и при доказательстве теоремы 3, рассмотрим сначала частный случай. А именно, пусть 2( = Р(А|), z2 — P(A2), где й-точки Ai = (ch sh Л, 0), А2 = (ch t2, sh t2, 0) лежат на й-прямой H2f\Oxy и P : Fr-^-б — стереографическая проек
ция из южного полюса F= ( — 1, О, 0>, см. § 1, п. 4. Тогда комплексные числа 2| н г2 являются вещественными и из подобия треугольников следует, что
sh <i ___ sh 1г
1 +ch /| ’ z—1+chG’
В рассматриваемом случае «=1, v= — 1. Поэтому
Zi — u_1 zi —1 _ sh /| — 1 — ch h _ —e~'i —1 __ ___/.
Z| — и zi + 1 sh/i +1+ch/| e*>-f-1
Аналогично ^~“=—e~l >, и поэтому |ln((Z|, 2г), (u, u))| = = 1 In g_r I = |<2 — 61, что по вычислениям из теоремы 3 равно рЛ(А|, Аг).
Пусть Zi и 22 — произвольные различные точки из Я2Р| и 2| = р(Д4^ z2 = P(A2). Через точки О, Аь А2 проведем плоскость л и пусть Т — движение пространства R?, переводящее плоскость Оху наплоскость л (см. предложение 7). Тогда й-точки Af^T-^Ai) и А2^Т~‘ (Аг) лежат на й-прямой Н2()Оху и рл(А(, A2)=p«(Ai, Аг).
Так как для точек zf = P(A(), z2 = P(A2) равенство |ln((zf, z2), (—1, 1))|=рл(А{, Аг) уже доказано, что достаточно проверить равенство двух сложных отношений ((zh z2), (и, и)) и ((z{, г2), (и', и')), где 2|=РГР_|(21), 22 = Р7’Р-,(22), и=РТР~((и'), v = PTP-'(v'), u' = 1, и' = — 1.
По предложению 7 T = RalTl. Поэтому РТР-1 =(РРГ‘Р_|)Х Х(Р7’|Р~|) и достаточно проверить, что отображения
i1 ch I 0 sh Ц
РЛР-1, где Т,= о 10 и ррв-'р-', где Ра=
\ sh I 0 ch 11 / 1 0 0 \
= 1 0 cos а —sin а \ 0 sin а cos а) открытого круга t> в себя сохраняют сложное отношение.
Отображение PRaP~l является поворотом круга t> вокруг начала координат на угол а, т. е. отображением вида zi->r“z, которое, очевидно, сохраняет сложное отношение.
Из курса теории- аналитических функций' известно, что. при дробно-лииейных отображениях, т.е. при отображениях вида
380
2i-> az~!~y, a, b, с, d^C, ad — bc^Q, cz+d
2а
сложное отношение сохраняется. Мы* * не будем полностью доказывать, что отображение PTtP~' является дробно-линейным.
Укажем лишь, как можно найти формулу, задающую это отображение.
Пусть B=(ch/, 0, sh/)- Тогда рю=
При стереографической проекции Р й-прямая Н2[\Оху перейдет в диаметр ]— 1, 1[ круга и, а /z-прямая с вершиной в ft-точке В перейдет в дугу окружности, проходящую через точку 1а и пересекающую под прямым углом границу круга D. Нетрудно найти радиус R этой окружности. Действительно, 1 -\-R2=(R + a)2, поэтому sh21 '
I —^-_|_cti _ 14-ch2 /-f-2 ch/ —sh2 / = 2(1+ch I) = 1
2sh/ 2(1 +ch /)-sh I 2(1 +ch /)sh I sh I'
1+ch t
Следовательно, при отображении PTlP~l точка О перейдет в точку sh / /(?—efclR -Лт )
*T+ch"? точка 1 перейдет в точку е 2 №1 , а точка —1 пе-
./ л , I \ Ц Т ~агс,б /
рейдет в точку е 2 ’.По трем парам соответствующих точек дробно-линейное отображение однозначно определяется. Упражнение 10. Докажите, что:
а) ((2|, Z2)(Z3, Z4))=((zh Z2)(z4, Z3))~1 =((z2, Z|) (z3, Z4))~1 = =((z3, z4)(2h z2));
, б) в модели HiP\ выполняются аксиомы непрерывности (V группа);
в) расстояние между точками 0 и равно 1п 3, а между 0 и 0,99 равно In 199.
Перейдем ко второй модели Пуанкаре №Р2 й-планиметрии. Переход от первой модели №Р| Пуанкаре ко второй модели Н2Р2 осуществляется при помощи дробно-линейного отображения вида zi > , а при дробно-линейных отображениях сложное отноше-
ние сохраняется. Поэтому расстояние между точками Ш| и <о2 в Н2Р2 определяется по формуле
рл(<1)|,(!)•>)= |1П(((О|, (о2), (и, и))|, где и и v — точки пересечения вещественной оси Ох окружностью, лроходящей через точки Ш| и <о2 верхней полуплоскости и перпендикулярно вещественной оси. Напомним, что Re® и 1пгы — вещественная и, соответственно, мнимая часть 'комплексного числа (О.
381
Предложе ние 8. а) Если Rea)i = Re(i)2, т. е. и, и (о2 лежат на луче, перпендикулярном к оси Ох, то расстояние между <0, И «2 равно |1п.(^)| ;
б) если Re <1)1=#Re юг, то расстояние между т, и (о2 равно I ( tg 44/2) I ’ г&е Ф' “ Ф2 — аргументы комплексных чисел (0| — — (1)0 и ®2 — <оо и (оо — центр окружности, проходящей через . о>1 и (1)2 перпендикулярно оси Ох.
> а) Пусть (i)|=x-Hyi и (i)2 = x4-i(/2. Тогда и=х и и= оо, и поэтому М-.,<«)(«, »))1 = Ип^А'ГХ:
: - lim I щ £L. «+»-»! _ I l„^| .
X 4-11/2— ool Q-ool 1/2 хЧ-П/l— O 1 1 !/l 1
б) Пусть точка (о лежит на верхней полуокружности с центром в вещественной точке (о и и и о — точки пересечения полуокружности с осью Ох (рис; 126).
Можно считать, что u<zv. Найдем отношение .
Ш — V
Пусть |о) — и| и |о) — и| модули соответствующих комплексных чисел, т. е. длины отрезков [ш, и] и [ш, и]. Обозначив за а и р аргументы комплексных чисел <л — и и (о—и, получаем, что а> — и |м —ule*1 |<д— |ш —u| е~1~2 (й — v |<й — vie® |<й —t>| |<й—о|
= — <4^—так как р=а + -£-. |(Й — и| г 1 2
Поэтому — <ctgа= — ictg-|-, где ф-аргумент комплекс-
ного числа (о — (оо и ф=2а, так как ф—центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол а.
Следовательно, расстояние между (i)( и (02 (рис. 127) равно
|ln((O,, (02) (U, o))|= I In
—tctg?
-«•ctg?
382
Следствие, а) Всякий сдвиг вдоль вещественной оси является движением в модели /Т2/^;
б) всякая гомотетия с вещественном центром и положительным коэффициентом является движением в модели (Напомним, что гомотетией с центром в точке а и коэффициентом X называется преобразование вида На, Дх)ч*а-|-Х«(х—а): /?2-»-/?2).
$ 3. Группы движений и измерения углов в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях
1. В любом метрическом пространстве М с метрикой р в нем определены понятия движения и конгруэнтности.
Определение 10. а) Движением (изометрией) метрического пространства (М, р) называется любое отображение f пространства А1 на себя, для которого р(х, y)=p(f (х), f(y))> Vx,y& &М. Множество всех движений пространства {М, р) обозначим IsoAf.
- б) Два подмножества Xi 'и Хг метрического пространства (М, р) называются конгруэнтными, если существует движение в пространстве М, переводящее Xi на Х2. Конгруэнтность множеств и Хг записывается Х\~Х2.
Упражнение II. Покажите, что:
а) множество IsoAf относительно операции композиции является группой;
б) обозначим Iso(Af, х0)ч±(^е Iso Af |Дхо)=Хо}; тогда Iso(Af, хо) — подгруппа группы IsoAf;
в) отношение конгруэнтности в семействе всех подмножеств метрического пространства (М, р) является отношением эквивалентности;
г) в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях с определенными в них метриками (см. § 2) выполняется аксиома II h аксиоматики Евклида— Гильберта.
Цель этого параграфа—рассмотреть группы движений и поня-,.тие конгруэнтности в s-, е- и ft-плоскостях. Сразу отметим, что группы IsoS2, IsoE2 и Iso Я2 попарно не изоморфны. Замечательно, что тем не менее подгруппы Iso(S2, хо), Iso(E2, х0) и Iso (Я2, хо) этих групп, т. е. группы движений с неподвижной точкой Хо, изоморфны между собой (для любой точки Хо) и все они изоморфны хорошо известной группе — группе всех движений Iso(R, О) арифметической плоскости R2 с неподвижной точкой О.
Начнем с рассмотрения движений в сферической плоскости. Для подмножества X множества М и отображения f : X-*-Y назовем отображение gM-+Y продолжением отображения f на М, если gl X=f. Одно и то же отображение имеет, вообще говоря, много различных, продолжений.
Теорема 6.а) Существует такой изоморфизм ф группы Iso S2 на группу Oa^Iso (7?3, О), что для всех felsoS2 движение е О3 есть продолжение движения f.
.483
б) Для любой s-точки А подгруппа Iso (S2, А) группы IsoS2 всех движений s-плоскости изоморфна группе Оч.
> а) Как всегда, в арифметическом • пространстве If3 рассматривается метрика
Р (Л, В) = || А — В || =₽tn/> । — х2)2+(01 — УгТ+(zi — z2)2,
где А= (xi, yt, Zi) и В=(х2, уч, 2ч). Построим отображение ф : 1роВ2->-Оз. Если felsoS2, то для всех Л elf3 положим
. б, если Л = 0
Ф(ОИ)={ цлн(^) , если Л¥=б.
Докажем, что ф(|)е Iso (If3). Если одна из точек Л или В совпадает с О, то равенство
||Ф(ЛИ)-Ф(Л(В)11 = 1И-вц,-
очевидно, верно. Пусть Л и В — отличные от б точки из If3 и
Л i^t; д , В,^—. Тогда Л| eS2 и В\eS2 и так как по построению 1ИН ||о||
отображения ф отображение ф(Л является продолжением f, то f^)eS2, f(Bi)eS2 и ПКА?)—f(Bi)|| = ||Л।~Bi||. Следовательно треугольники (О, А,, ВО, (б, f(At),-f(Bi)} равны между собой и угол Z f(At), б, f(Bi) равен углу Z Ль О, В(. Рассмотрим треугольники (б, Л, В) и {б, ф(/)(Л), ф(Л(В)). В них ||ф(/)(Л)|| = ^IIIHII^HOI^IMII.II^OI^IMII и аналогично ||Ф(Л(В)||_= ||В||.
Кроме того, угол Z ф(/)(Л), О, ф(/)(В) равен углу Z f(At), б, f(Bi),. а угол Z Л, О, В равен углу Z Лh О, Bi (рис. 128). Следовательно, эти треугольники равны между собой, и поэтому 11Ф(ЛИ)-Ф(Л(В)|| = ||Л-В||.
Итак, построено такое отображение ф из Iso(S2) в Оз, что ф(Л есть продолжение f на If3 для всех felsoS2.
Проверим гомоморфность отображения ф. Пусть f и g из Iso(S2) и Л elf3. Так как
II "Мн«)11 ”«л«-11вШ11 =||Л|'
то
*(ГН(0(Л)=»(Л(М1-^) = II 11-411-е(|и)|| X
||Л11-«(дтг) 11,411 II
Следовательно, ф (/)°Ф(£)=.ф(/°£). • -Проверим инъективность отображения ф, т. е. проверим, что Кегф = 1<1|52. Пусть ф(/)=
)=МН(<^)) =Ф(МИ).
384
= id^3. Тогда ф(/)(А)=||АЦХ
для всех точек А Ф б.
Если ||А || = 1, т. е. ЛеЗ2, то КА)=А, т. е. f = id| S2.
Наконец, проверим сюръек
тивность отображения ф. Пусть W любое линейное движение в if3, для которого IF(O)=O. Положим f(B)^W(B) для любых BeS2. Тогда f <= Iso S2 и ф(/)= W, так как
в силу линейности W имеем, .что
= ИИ"iiTii №(А)=№(А) Для любых Af=R\ А^О.
Итак, -ф — изоморфизм групп Iso(S2) и Оз-
б) Фиксируем s-точку А_и пусть А х—плоскость, проходящая через начало координат О ортогонально прямой (ОД). Если feIso(S2, А) то, по построению из п. а,
ф(Пеко(Л3, б) и ф(|)(А)=((А)=А
Так как ф(/) есть движение Л3 с неподвижными точками б и А, то для любой точки В из плоскости А ± точка ф(/) (В) также лежит в плоскости А±, т. е. ф(^)|Ах— движение плоскости А± с неподвижной точкой О. Изоморфность отображения ф означает, что отображение
является изоморфизмом группы Iso(S2, А) на группу Iso(A±, б). Остается доказать, что последняя группа изоморфна группе О2ч± -pfclso (R2, б).
В плоскости А х выберем (см. глава II, § 4) базис {е{, е?} ор-тонормированный относительно ограничения на А± скалярного произведения из R3 н определим изоморфизм W из А± в R2 равенством
ЙГ(х-е(+у-^) =Ftx-ei + t/-e2
где {ai, е2) — обычный базис в R2. Тогда для любых точек В и С из А
ЦВ-С||Дх = ||ЩВ)-ИГ(С)и
и соответствие Th*-WoToW~{, где TeIso(A±, б), задает изоморфизм группы Iso (Ах, б) на группу Iso (j?2, б).
Предложение 9. Всякое движение пространства Л3 с неподвижной точкой б является линейным отображением R3 в себя.
> Пусть W е Iso (Л3, б) и С — середина некоторого отрезка (А, В], где А, ВеЛ3. Тогда
|| F(Q- Г(А)|| = || Г (С)- F(B)|| = 4-|| F(A)- F(B)||.
385
Следовательно, в треугольнике {ИГ(Л), ЙГ(С), №(В)} сумма длин двух сторон равна длине третьей стороны, Поэтому точка, ЙГ(С) лежит на прямой (Л7(Л), W(BJ), и так как она равноудалена от его концов, то W(C)— середина отрезка [№( Л), №(В)]. Итак, для любых Л, В elf3
В частности, при В = б в силу условия ЙГ(О)=О получаем, что =-1-йГ(Л) для всех Л elf3. Поэтому для любых Л, Belf3
№(Л + В)= г(2'Л + —= ^(2Дл1±-^^= №(Л)+ Г(В)„
так как -у ЙГ(2-Л)= =№(Л)и аналогично -|F(2-B)=
= W(B\
Теперь проверим, что для всех Xelf и Л elf3
1Г(Х-Л)=Х.Г(Л)
Если Х=у-, пеЛГ, то это равенство получается по индукции из равенства В7 б у) = у ^(Л)- Если , п, m&N, то
т раз nt раз
= -£.№(Л) = Х-№(Л).
Если Х>0, то Х= lim X*. гДе X* — двоично-рациональные числа, k~*-ec '
т. е. числа вида -у. Так как отображение W сохраняет расстояние, то ИГ — непрерывное отображение If3 в себя, и поэтому^
№(Х-Л)= №(lim Х*-Л)= №(lim (Х*-Л))= lim 1Г(Х*-Л)= = lim (хГ- 1Г(Л))=(Ит*М- №(Л)=Х~ Г(Л).
Наконец, если Х<0, то_
Г(Х.Л)+1Г((-Х).Л)=Г(Х.Л+(-Х).Л)=1Г(б)=б, '
и поэтому ,№(Х-Л)=-№((-Х)-Л)-----(-Х).№(Л)=Х-№(Л).
Из предложения 9 следует, что любой элемент группы Iso (If3, б) задается матрицей размера (3X3). Как и в главе II, мы не будем делать различия между линейным отображением пространства If3 в себя и той матрицей, которой это линейное отображение задается.
386
Обозначим W‘ матрицу, транспонированную к матрице W. Нетрудно видеть, что при указанном отождествлении
л О3=(^еМа1(ЗХЗ)| №•№'=№'•№=£},
где
/1 ° о\ £=( о i о ) f \0 0 1 /
Упражнение J2. Докажите, что:
а) если W (= Оз, то det W= ± 1;
б) множество SO3=pfc(№eO3|det W= 1} — подгруппа группы. Оз:
в) множество (£, —£) — формальный делитель группы Оз, а фактор-группа Оз/{Е, — £} изоморфна группе SO3;
гу любой элемент W из SO3 задает линейное отображение R3 в себя, являющееся, поворотом вокруг некоторой прямой, проходящей через начало координат О;
д) если -ф : О3-> G — такой сюръективный гомоморфизм группы Оз на группу G, что Ker у={£, — £}, то существует изоморфизм Ф: 0->-50з группы G -на группу SO3, для которого y°(p.= idq.
2. Перейдем к движениям в эллиптической плоскости £2. Для каждого движения felsoS2 определим отображение e-плоскости £2 в себя вида
МИ, -Д})я*{ДД), -КА)}.
Предложение 10. Отображение у: ± является гомоморфизмом группы IsoS2 в группу Iso£, ядро которого состоит из двух элементов ids2 и — ids2.
t> Пусть Де={Д, —Д} и В.е=[В, —В} — две е-точки. Не уменьшая общности, можно считать, что В — точка, для которой радианная мера угла Z АОВ не больше л/2, т. е. число р(Де, Д.) равно длине дуги А, В (рис. 129). Так как felsoS2, то длина дуги ДД), ДВ) равна длине дуги Д, В и поэтому не превосходит л/2. Но тогда
387
p({f(4), —/(Л)},, (f(B), —ДВ)}) равно длине дуги f(A), f(B), т. e. р(/±(Л£), /±(В£))=р(Л£, Be). Следовательно, f±e!so(E2).
Пусть f, gelspS2. Тогда для любой е-точки Л£={Л, — Л) выт полняется
(f±°g±)He) = f±(g±He)) = f±(te0), -£(Л)}) = {Г(£(Л)), -/(г(Л))}= =(f°g)± ИД
т. е. отображение <р: является гомоморфизмом группы
IsoS2 в группу IsoE2.
, Пусть [еКегф, т. е. для любой е-точки Л£=(Л, —Л) выполняется /±(Л£) = Л£. Тогда для любой s-точки Л
ДЛ)=Л или ДЛ)=-Л.
Рассмотрим такие s-точки Ль Л2, Аз, Лч, Л3, для которых векторы О, Л(, О, А/, О, Л* линейно независимы для любых попарно различных I, j, k из множества (1, 2, 3, 4, 5). Тогда для каких-то трех из этих точек, например, для Ль Л2, Аз выполняется ДЛ,)=Л; или f(A,)=—At, z=l, 2, 3. Так как вектора О, Л|, О, Лг, О, Аз образуют базис пространства R3, то продолжение ф(/) движения f на все пространство If3(см.. теорема 6,а) совпадает с idR3 или с — idfl3. Следовательно, и [=ф(/)Ь S2 совпадаете idSa или с—idS2-
Теорема 7. а) Для любой е-точки Ае группа Iso (Е2, Ае) изоморфна группе О2.
б) Группа Iso (Е2) изоморфна группе SO3.
t> а) Пусть Ге Iso (Е2, Л£). Для каждого aejo, рассмотрим множество Sa всех s-точек, удаленных от s-точки Л на s-расстояние a; Sa есть окружность, являющаяся пересечением сферы S2 с плоскостью, перпендикулярной прямой (ОЛ) и удаленной от точки-Л на евклидово расстояние 1— cos а (рис. 130).
Для любой s-точки BeSa соответствующая е-точка В£= (В, —В) при движении Г перейдет в некоторую е-точку С£; при этом ровно одна из точек С или —С, задающих е-точку С£={С, —С), лежит на окружности Sa. Положим по определению Гв(В) равной именно этой s-точке.
Упражнение 13. Докажите, что при фиксированном aejo, ;
а) отображение Та есть двиЖёние окружности Sai
б) соответствие задает гомоморфизм группы Iso(E2, Л£) в группу Iso(Sa);
в) если B&Sa и точка С есть пересечение окружности "S₽, Р е ] 0, с полуплоскостью, определяемой прямой (ОЛ) и
388
I
точкой В, то точка Т$(С} есть пересечение окружности Sp с полуплоскостью, определяемой прямой (ОА) и точкой В.
Упражнение 13,в показывает, что движение Т индуцирует во всех окружностях Sa, aejo, «одно и то же» движение. В теореме 6,а доказано, что группа Iso(S2) движений сферы изоморфна группе Оз. Аналогичный результат верен и для группы Iso(Sa) движений окружности Sa: она изоморфна группе Oz. Поэтому для доказательства п. а этой теоремы осталось проверить, что гомоморфизм вида Т|->Га есть изоморфизм группы Iso(S2, Ае) на группу Iso(Sa) для любого фиксированного aejo, -у|- .
Пусть 7’a=idSa. По упражнению 13,в получаем, что для всех . ре]0, -у[ движение Гр есть idS|i. По построению движений Гр это означает, что движение Ге Iso (S2, Ае) тождественно на всех е-точ-ках Ве, удаленных от Ае иа е-расстояние меньше -у. Так как любая е-точка Се, Для которой
Ре(Ае, (?<)=-£.
. есть предел последовательности е-точек Ве. п, для которых
ре(Ае, Ве.п)<~,
и так как движение Г, как и всякое движение, непрерывно, то
Г(Сг)=Г( lim Ве, n)= lim T(Be.n) = lim Bt. ,,=Ct. rt*-*ao n-*ao п-ч-ое
- Следовательно, T — idE? и гомоморфизм Ть-*-Та инъективен.
Пусть felso(Sa). Докажем, что для некоторого Ге Iso (£2, Ае) выполняется Ta = f. Группа Iso(Sa) изоморфна группе Ог линейных движений арифметической плоскости R2, а всякое линейное движение плоскости R2 есть композиция ортогональных отражений. Поэтому в силу гомоморфности отображения Гн*Гв достаточно проверить существование таких Telso(£2, Ае), что Ta=f, лишь для движений f, которые задаются ортогональными отражениями. Обозначим ла плоскость, содержащую окружность Sa, и пусть Оа центр этой окружности. Пусть отражение f есть отражение в плоскости ла относительно прямой (О, В), B&Sa- Пусть g — движение сферы S2, являющееся ортогональным отражением относительно плоскости (АОаВ), и g±4±T — соответствующее а-движение е-плоскости Е2. Тогда по построению reIso(E2, Ае) и Ta=f. .
б) В силу результата упражнения 12 д) для доказательства этого пункта достаточно проверить сюръективность гомоморфизма
389
Ф :из группы Iso(S2), изоморфной группе Ог, в группу Iso(£2).' Напомним, что Ker<p=(ids2, — idsa}, см. предложение 10.
Пусть у движения Т elso.(£2) есть неподвижная точка Дг, т. е. Те Iso (£2, Аё), и пусть на окружности Sa, ае]о> -£[ , движение Т действует как некоторое ортогональное отражение. Тогда движение geIso(S2), для которого g± = T построено выше в п. а).
Пусть TeIso(E2, Де). Тогда по п. а) Т однозначно определяется движением raeIsofSa) при некотором aejo, -у
жение Га в композицию ортогональных сражений. Тогда движение Г есть композиция Т\о...°Тп, где T(eIso(E , Де) и движения Ti, а в окружности Sa есть отражения, Следовательно, для неко-
торых движений g,eIso(S2) выполняется (gi)± = Ti. В силу гомо-морфности «р : для движения g^glo...ogn выполняется
. Разложим дви-
g± =(gl°...°gn)± =(gl)±°-°(gn)± =Г1о...оТп = Т„.
Пусть движение Г е Iso (Е2) не имеет неподвижных точек. Тогда возьмем любую s-точку А и любую из-диаметрально противоположных s-точек, задающих е-точку Г({Д, —Д}). Рассмотрим движение geIso(S2), переводящее эту s-точку в s-точку А. Тогда композиция е-движений (g)±°T оставляет неподвижной е-точку Д₽=(Д,—Д) и по доказанному выше (g)±°r=f± для некоторого движения felsofE2). Отсюда получаем, что T=(g)±'of± = =(g~‘°f)±. где g_|ofeIso(S2).
3. Группа движений гиперболической плоскости сложнее групп, разобранных в пунктах 1, 2, т. е. групп Iso(S2) и Iso(E2).
Для упрощения технических деталей будем рассматривать группу движений второй модели Пуанкаре РгРг. Нам потребуется сле-' дующий факт из курса теории аналитических функций: всякое отображение f комплексной плоскости С на себя, сохраняющее сложное отношение комплексных чисел, представимо в виде
“=f<2>=S?м"
cZ'fa cz-f-a
где а, b, с, d^C и ad — Ьс^О. Напомним, что z— комплексное число, сопряженное с числом z.
Так как согласно § 2 ft-расстояние в Я2Рг как раз задается сложным отношением, то движение в №?2 следует искать среди отображений azA-b az~^b
вида (о = или со = , которые называются дробно-
линейными отображениями соответственно первого и второго ’ рода.
390 , -
Упражнение" 14. Докажите, что:
а) множество всех дробно-линейных отображений первого рода, т. е. множество всех отображений'вида — где а, Ь, с, deC и ad—Ьс^О, относительно операции композиции образует группу;
б) всякое отображение вида = г&е а> b, с, deC и ad—bc=£O, сохраняет сложное отношение комплексных чисел;
в) отображение где является гомо-
морфизмом группы ОЬг(С) всех невырожденных комплексных матриц размером 2X2 на группу всех дробно-линейкых отображений первого рода;
г) множество всех дробно-линейных отображений вида '(!)= где а, b, с, d^R и ad—bc=\ относительно операции ; композиции образует группу;
д) множество всех дробно-линейных отображений второго родр вида ю = где a, b, с, d^R и ad—bc= — l, не образует cz-Y-d
группы; однако в объединении с множеством всех дробно-линей-' ных отображений из п, г оно (относительно операции композиции) образует группу.
Теорема 8. а) Любое дробно-линейное отображение вида
ш = где a, b, с, d<^R и ad — bc=\, сг-[-а
или вида = где a, b, с, d^R и ad — bc= — 1 является дви-cz-\-d
жением во второй модели Пуанкаре геометрии Лобачевского.
б) Любое движение во второй модели Пуанкаре геометрии Лобачевского имеет один из двух видов, указанных в пункте а.
[> а) Пусть (о(г)= где a, b, с, d&R и ad — bc=l. Тогда
<o(z)=
(az+Z>)(cz+d)(az+Z>) (cz+d)
|cz+d|2
|cz+d|2
gc|zl‘ + Z>d । adz+bcz
|cz+d|2 lcz+d|2
_ac|z|2+fed . ad+bc p > • ad-be ,
- b i«+di’Re2+*i«+Ji“Im?' 'e-
1т“(2>=^тЬг1т2-
391
Поэтому из условия Imz>0 следует условие Imw(z)>0, т. е. отображение ш(«) переводит верхнюю полуплоскость на себя. Кроме того, (<)(•), как и всякое дробно-линейное отображение первого рода, сохраняет сложное отношение четверок комплексных чисел (упражнение 14,6). Следовательно, ш(-) отображает Н2Рг на себя и при’ этом сохраняет й-расстояния, т. е. является движением во второй модели Пуанкаре.
Пусть <o(z)= где a, b, с, d^R и ad — bc= — 1, и ш0(*)— az-Y-d
отображение, задаваемое формулой <oo(z)^ —z, т. е. ш0(’) является отражением относительно оси ординат. Нетрудно видеть, что a>o(-)elso (№Р2), и, если Ю|(г)^~?)г^А то (o(z)=wi(wo(z)). Как показано выше, отображение Ш|(-) является движением в Н2Рг, так как ( — а), Ь, ( — с), deR и ( — a)d + b(c)= 1. Следовательно, отображение ш(-), как композиция двух движений, является движением в №Рг.
б) Пусть движение во второй модели Пуанкаре является дроб-но-линеиным отображением первого рода, т. е. ю= cz_^a > где а, Ь, с, d^.C и ad — bc=+0. Тогда ш(>) переводит верхнюю полуплоскость в себя и переводит ось абсцисс в себя, т. е. для всех xeR выполняется
^=( =^±4=4*)=^-
' ' \ cx+d/ • cx+d ' cx+d
Пусть и d#=0. Тогда при х->оо получим ~=~ .или С С
= -y=XsR, а при х = 0 получим: (~) = ~ = ii^R т. е. а = Хс н b = pd, где X, цеЯ. При х=1 получаем: '
с г
т. е. —^- = rf=R. c+d c+d
Допустим, что комплексные числа 0, с, d не лежат на одной прямой. Тогда множество {c-hfd|telf)—прямая, проходящая через точки с и c + d, а множество (r(c-|-d)|re/?)—прямая, проходящая через точки 0 и c + d, и эти прямые пересекаются только в точке c + d. Поэтому из условия c-|--^-d = r(c-hd) следует,; что -^-=1 или Х=ц и, следовательно, | “ *| = | =cd(X—ц)=0. Получаем противоречие с условием ad — bc+О. Итак, числа 0, с, d, ' а вместе с ними и числа а = кс, b = iid лежат на одной прямой. Сокращая числитель и знаменатель дроби на с#=0, получим ®(2)=4Йг'. где
392
a', b', d'eR и I “ *1 » 1 а ।
Из условия л ^,/1 /л\ т a'i+6' т (a'i+b’){d' — i) a'd'—b’
0<(1Ш следует, что t = a'd' — &'>0,и, полагая , у=г
, получим для всех zeC равенство ю(*)=-аг+Р где а, р, у, бе
ч
Случай, когда с = 0 или d=0, а также случай, когда <о = __az+fe cz+d, разбирается аналогично.
Замечание. Если a, b, с, d^R и ad — bc>0, то равенство ^cz+d также задает^движение в Я2Р2, так как
а b
=1.
a b — z+— / \ yt it
“(2) = ~с--d И
“7s2 Ч—7= < it Аналогично, если а, b, с, d^R ш(г)=^Ц- также задает движение в f^Pz. cz-f-d
Теорема 8 позволяет установить тесную связь между группой Iso(//2P2) движений в плоскости Лобачевского и группой L2, с которой мы уже встречались в главе Ш. Напомним, что
с d iHi и — t^ad—bc<.0, равенство
и наибольшая группа Gs биекцией плоскости R2, относительно которой инвариантна площадь, есть полупрямое произведение группы Lz на группу (R2)+ всех параллельных переносов плоскости.
Следствие -1. Группа Iso(ff2P2) изоморфна фактор-группе группы Lz по подгруппе, состоящей из двух элементов Е = =(;?)»-н -«-.у
[> Пусть Г = (“ е£2. Определим отображение ф : L2-*Iso(//2P2)
равенством фг(2)^^+^, если ad — bc=i, и равенством ф^г)^ ci+d’ если ad~bc= — 1. Тогда ф — гомоморфизм (см. упражнение 14) и по теореме 8,6 отображение ф — сюръективно.
393
Пусть Ге Кегф, т. е. 1l’r = ~~pj=z Для всех геС. Тогда при всех zeC, z^=—d/c выполняется cz2 ^-dz — az^-d или cz2-|-+(d— a)z + &=0, т. е. квадратное уравнение имеет бесконечно много решений. Это возможно только в случае с=& = 0 и a—d. Так как ad—bc=l, то Т—Е или Т=,—Е.
Пусть Г=(“*) et2 и ad—&с=-г1. Допустим, что Ге Кегф, т. е. фг(г)= a*+-b=z для всех zeC. Для вещественных чисел z, cz+d
т. е. когда z=z, получаем, что квадратное уравнение cz2-\-(d— — a)z-\~b=0 имеет бесконечно много решений: все числа кроме —с”’ Поэтому c=b=O, a=d, т. е. фг(г)=г для всех zeC. В частности фг(0= — i=£i, т. е. Г^Кегф.
Итак, Кегф = {Е, —£}, а группа Iso(/72P2) изоморфна факторгруппе Ьг по ее подгруппе Кегф.
Следствие 2. Группа движений Iso(№P2, zo) с неподвижной точкой Zo изоморфна фактор-группе группы Ог по подгруппе, состоящей из двух элементов Е и — Е.
[> Пусть ze=i. Рассмотрим ограничение гомоморфизма ф : L2-> ^Iso(//2P2) (из следствия 1) на подгруппу О2 группы L2. Докажем, что ф(О2)=15о(Я2Р2, 0- Пусть w(.)elso(№p2, t) и = для некоторых чисел a, b, с, d^R и ad—bc=l (см. теорему 8,6).
Тогда ^^y=l^ai+b= — c+dioa=d, b = — c и ad—bc = = а2 + &2=1, t. e. a —coscp и & = sinq> для некоторого «ре[0, 2л[. Следовательно, выполняется тождество ш(-) = фг(-) для
cos ф si" е SO2.
\ — sin ф cos ф/ /
Если <o(z)= ~1~~, где ad — bc= — 1, то аналогично из равен-cz-\-d
ства w(i)=t получаем тождество ш(-) = Фт(,)) где —cosq) е
eO2\SO2. Так как по следствию 1 КегфсО2, то' Кег(ф| О2)= = Кегф={£, —£}. Поэтому следствие 2 доказано для числа zo=t.
Пусть zo=Xo+“/o, £/о >О К (Oo(z)^te x<|Z~yo. Тогда wo(-)G eIso(№P2), (Oo(0=zo и, как легко проверить, соответствие н-шо’й'шо'1 является изоморфизмом групп Iso(№P2, Zo) и Iso(№P2, 0. И
Следствие 3. Группа движений Iso(W2P2, Zo) с неподвижной точкой Zo изоморфна О2.
4. Перейдем теперь к свойствам приятия «конгруэнтность». Мы подробно остановимся на проверке аксиом III группы аксиоматики Евклида — Гильберта во второй модели Н2Рг Пуанкаре.
394 '
Обозначим Оо A-прямую, проходящую через A-точки i и т. е. полуокружность в верхней полуплоскости, проходящую через точки —1, I, 1, а через af обозначим пересечение A-прямой а0 с первой четвертью, т. е. А-луч (/, 1).
Предложение 11. Для любого числа d>0 на h-луче а& найдется единственная h-точка z(d), для которой
ph(i,.z(d))=d.
[> По формуле для A-расстояния из предложения. 8 получаем Для любой точки 2ео«+ /
PA(i, z) = | In(-il) | ,
'где <р— величина угла между лучом [0, z) и положительным направлением оси абсцисс.
Поэтому
(p(t, z) = d)ч>(ed = -У^(ф=2arctg(e-‘,)).
Итак, искомая точка z(d) находится по формуле z(d)=cos(2arctg(e d))+isin(2arctge *)= "м +» , - м 1 -f- в I -+• &
Теорема 9. Два h-отрезка конгруэнтны между собой тогда и только тогда, когда их h-длины равны между собой.
[> Так как А-длина A-отрезка равна A-расстоянию между его концами (см. определение 9) и так как при A-движениях А-расстояния сохраняются, то A-длины конгруэнтных A-отрезков равны между собой. Докажем обратное утверждение.
Пусть [zi, Zz]h—произвольный А-отрезок, A-длина которого равна d>0, т. е. ph(zi, z2)=d. Докажем, что он конгруэнтен A-отрезку [z, 2(Д)]л, где z(d)— A-точка на луче абн, построенная в предложении 11.
Рассмотрим сначала случай, когда Rezi#=Rezz, т. е. когда A-точки Zi и zz не лежат на одной вертикали. Параллельным переносом вдоль оси абсцисс переведем A-прямую (zi, z2), т. е. полуок ружность, перпендикулярную оси абсцисс, проходящую через точки Z| и zz, в_полуокружность, перпендикулярную оси абсцисс с центром в точке О. Затем подходящей гомотетией с центром в точке О переведем последнюю полуокружность в полуокружность оо. Так как по следствию из предложения 8 указанные отображения верхней полуплоскости в себя являются А-движеииями, то, тем самым, на A-прямой а0 найден A-отрезок [гз,- конгруэнтный А-отрезку [Zi, ZZ]ft.
Найдем движение ш(-)е Iso(HzPz), переводящее A-точку гз в I и
395
переводящее все точки й-прямой ао в точки этой же й-прямой. Для этого нужно записать ш(-) в виде ю(г)= и решить относительно а, Ь, с, d систему уравнений:
“(1)=£Т^= 1 ' ' ' c+d ' ' —c+d
агз+6 . >
(0(2з) =-ГТ—1
' ' сгз+Ь
Обозначив Z3=cos <р-Н'sin <р, 0<Ф<л, получим ш tz\ = z cos ф+sin-ф-!
' ' г (sin ф— l)+cos ф
Отметим, что I c?s<fl , sin<₽— Ч =2 sin ф(1 — sin ф)>0, так как
I Я1Пф—1 СОвф ।
1^Б1'пф>0, и если 8Шф=1, то ф=-2-, что означает совпадение 23 с t.
При й-движении ш(«) ft-отрезок [гз, 2«]л перейдет в конгруэнтный ему й-отрезок [i, z]/,. Если z лежит в первой четверти, то z = z(d). Если z лежит во второй четверти, то при отражении относительно оси ординат, являющемся й-движением, й-отрезок [t, z]* перейдет в й-отрезок [i, z(d)]h-
Йт'ак, искомое й-движение, переводящее [гз, 2ч]л на [i, z(d)]h, построено как композиция некоторых й-движений.
Случай, когда Rezi=Rez2, сводится к разобранному случаю указанием произвольного й-движения, переводящего вертикаль {z|Rez = ReZi, Imz>0) в какую-нибудь полуокружность в.верхней полуплоскости, перпендикулярную оси абсцисс. Таким й-движением является, например, дробно-линейное отображение ю(з)= при Rez(#=0 и дробно-линейное отображение
ш(2) = —2— при Re 21 = 0
Z ”г" 1 ~
Пусть теперь [zi, 2г]л и [zf, 2$]л — й-отрезки, й-длины которых равны между собой и равны числу d>0. По доказанному выше каждый из этих й-отрезков конгруэнтен одному и тому же й-отрез-ку [t, z(d)]ft. Следовательно, по аксиоме ПЬ (см. упражнение 11,г) эти ft-отрезки конгруэнтны.
Следствие 1. В й-плоскости выполняется аксиома П1(. > Достаточно доказать выполнимость аксиомы III । во второй модели НРРг Пуанкаре й-планиметрии.
Пусть даны й-прямая а, й-точка z на ией и некоторый й-отрезок й-длины d>0. Как и в теореме 9 построим движение <п(«)е е Iso (Н*Рг), переводящее й-прямую а в й-прямую ао, а точку z в
396
i. При этом для фиксированного на й-прямой а луча с началом г можно считать, что при этом движении данный луч перешел в луч а£. По предложению И на луче абь существует единственная -й-точка z(d), для которой
p(t, z(d))=d
Тогда w-l(z(d))— та единственная й-точка на фиксированном луче с началом в z, которая удалена от точки z на й-расстояние d. Так как й-длина й-отрезка [z, <o_,(z(d))]* равна d и равна й-длине фиксированного й-отрезка, то по теореме 9 эти ft-отрезки конгруэнтны.
Следствие 2. В й-плрскости выполняется аксиома Шз. [> Сначала проверим, что для й-точки z, лежащей между й-точка-ми Zi и z2, выполняется
p(Z|, z2) = p(zi, z)+p(z, z2)
Пусть Rezi#=Rez2> x0 — центр полуокружности, перпендикулярной оси абсцисс и проходящей через Zi и z2, и фь ф2> <р — величины углов, образованных лучами [хо, Zi), [хо, z2), [х0, z) с положительным направлением оси абсцисс.
Пусть для определенности <pi<ф2. Тогда 0<ф|<ф<ф2<л и в силу монотонности функций tg(-) на промежутке ^0, и 1п(-) на луче (0, 4-оо) получаем
t _ф
p(z„ z) = | | =ln(tgf) -ln(tg<f)
tg 2
tg-Si
p(z2, z)= | | = ln(tgf )^ln(tg-f)
tg 2
p(Z|, z2)=ln(tg-^)-ln(tg-^-)
Следовательно, «равенство треугольника» в этом случае выполняется. Аналогично рассматривается случай ReZ|=Rez2.
Пусть теперь ft-точка z' лежит между й-точками zf и z2 и й-отрезки [zi, z]h, [z, z2]a конгруэнтны й-отрезкам [z{, z']*, [z', г2]л. Тогда по теореме 9
p(zh z)=p (z'i, z') и p(z, z2)=p(z', z2).
'.Поэтому
р(2|, Z2)=P(Z|, z) + p(z, z2)=p(z{, z') + p(z', z£)=p(zi, zi).
Следовательно, по теореме 9 й-отрезки [zh z2]/, и [zf, z2]* конгруэнтны.
Предложение 12. Пусть дан геометрический угол с вер-
397
шиной в точке i, одна из сторон которого лежит в первой четверти и горизонтальна, т. е. есть луч (zIRez^O, Imz=l}. Тогда в фиксированной h-полуплоскости с границей Оо существует единственный h-луч с вершиной в точке i, касающийся второй стороны
1
'i(d)
этого геометрического угла. р
> Если данный геометрический угол пря- ис
мой, то искомым А-лучом будет являться та часть оси абсцисс, которая лежит в выбранной /i-полуплоскости с границей ао (рис. 131). Если этот угол не прямой, то проведем из точки i перпендикуляр ко второй стороне этого угла, обозначим Zo точку его пересечения с осью абсцисс (рис. 132). Тогда искомым А-лучом является та часть полуокружности с центром в точке 2о и радиусом ||х, z0||, которая лежит в выбранной А-полуплоскости с границей ао.
Единственность такого А-луча следует из единственности перпендикуляра, проведённого из точки I ко второй стороне угла.
Теорема 10. Два h-угла конгруэнтны между собой тогда и только тогда, когда геометрические углы, образованные касательными. проведенными из вершин этих углов, конгруэнтны как углы а арифметической плоскости R1.
[> Если два A-угла конгруэнтны и ш(-) — движение ьН'Рг, переводящее одни из этих A-углов в другой, то ш(«) — дробно-линейное отображение первого или второго рода. Поэтому оно сохраняет углы между кривыми, т. е. переводит геометрические углы между касательными, проведенными в точках пересечений кривых, в конгруэнтные геометрические углы.
Рассмотрим любой A-угол с вершиной в A-точке z0 и фиксируем точки Zi и z2 на сторонах этого угла. Пусть ш(-) — движение в Я2Р2, переводящее z0 в i и z( в z(d), где d=₽tpA(z0, z/). Это А-движеиие переводит одну из сторон данного A-угла с вершиной в точке Zq в луч at- Верхней А-полуплоскостью с границей ао назовем множество точек из верхней полуплоскости, удаленных от 0 иа расстояние, большее единицы. Если при отображении ш(>) точка z2 переходит в нижнюю полуплоскость с границей ао, то рассмотрим А-движение, при котором точки i и z(d) неподвижны, а нижняя и верхняя А-полуплоскости с границей ао поменяются местами. Примером такого А-движеиия является инверсия с центром в течке 0 относительно единичной окружности.
Рис. 132
398
Композиция этих двух й-движеиий даст й-движеиие, при котором й-угол с вершиной в точке Zo перейдет в конгруэнтный ему ft-угол с вершиной в точке I, одна из сторон которого — луч а$~, - а другая лежит в верхней ft-полуплоскости с границей ао.
Пусть дай ft-угол с вершиной в й-точке z6, геометрический угол которого, образованный касательными к сторонам, коигруэитеи соответствующему геометрическому углу рассмотренного выше й-угла"с вершиной в ft-точке zo. Проведя для ft-угла с вершиной в гб аналогичные построения, получим, что этот угол также конгруэнтен ft-углу с вершиной в точке I, одна из сторон которого—луч а£, а другая сторона лежит в верхней полуплоскости с границей а0. Итак, для двух ft-углов с вершинами в точках Zq и г'о построены конгруэнтные им й-углы с вершиной в точке I с одной общёй стороной — лучом абь. Так как при ft-движеииях геометрические углы, образованные касательными, переходят в конгруэнтные им углы, то геометрические углы, образованные касательными к сторонам этих двух ft-углов с вершиной /, конгруэнтны. По предложению 12 получаем, что эти два й-угла с вершиной в i совпадают между собой. Следовательно, данные й-углы с.вершинами в Zo и z6 конгруэнтны одному и тому же й-углу с вершиной в i и поэтому конгруэнтны между собой. '
Следствие 1. В ft-плоскости выполняется аксиома Ш4. [> Пусть дан ft-луч с вершиной в точке z0, фиксирована й-полу-плоскость, заданная этим лучом, и дай некоторый й-угол. Аналогично доказательству следствия 1 из теоремы 9, с помощью некоторого ft-движения переведем h-луч с вершиной zo в й-луч а$~ таким образом, чтобы фиксированная й-полуплоскость перешла в верхнюю й-полуплоскость с границей ао. Затем отложим в верхней ft-полуплоскости единственный (по предложению 12) ft-луч, образующий с й-лучом й-угол, конгруэнтный данному. С помощью движения (<)() перенесем этот й-угол в й-угол с вершиной в Zo- Получим й-угол с вершиной в точке Zo, лежащий в фиксированной й-полуплоскости, одна из сторон которого совпадает с данным й-лучом и который коигруэитеи данному й-углу.
Следствие 2. В й-плоскости выполняется аксиома 111-,. > Пусть для двух ft-треугольииков (zo, Zi, z2) и {z6, zf, г2} выполняется pA(Z0, Z|) = pA(Zo, Z|)=d|, pA(Z0, Z2) = pA(Zo, Z2) И Й-уГЛЫ Z Z1ZOZ2 и Z. z'iZoz's конгруэнтны. Рассмотрим й-движеиия ш(-) и ш'(-), при которых
w(Zo) = w'(Zo) = i, w(Z|)=w'(Z|)=z(d|) и w(z2), <i)'(z2) лежат в верхней ft-полуплоскости с границей ао- Так как в полуплоскости {z| Im z> I) от луча (z 1 Re z^O, Im z= 1) можно отложить ровно один геометрический угол, конгруэнтный данному (аксиома 1П4 для евклидовой плоскости), то, используя предложение 12, получим, что точка w(z2) и ш'(гг) лежат иа одном и том же ft-луче с вершиной в точке I.
Так как pA(w(z2), *) = pA(z2, z0)=pA(z$, z6)=pA(w'(z2,/)), то по
399
аксиоме 1П| (следствие 1 из теоремы 9) получим, что 10(22) = = 0/(22). Следовательно, оба й-треугольиика при /(-движениях шиш” перейдут в одни и тот лее й-треугольиик (t, z{d), c6(z2)). Поэтому й-угол Z- 2о222 при й-движеиии ((о')_,о(о перейдет в й-угол Z. 262'22. Следовательно, эти й-углы конгруэнтны.
Упражнение 15. Докажите, что:
а) в модели Пуанкаре Н2Рг плоскости Лобачевского выполняются аксиомы Архимеда и Кантора;
б) в модели Пуанкаре H2Pi не выполняется аксиома параллельности (см. рис. 133);
в) в сферической и в эллиптической плоскостях выполняется аксиома Кантора (отметим, что аксиома Архимеда. в этих плоскостях не имеет смысла, так как в них отсутствует понятие «между»);
г) в сферической и в эллиптической плоскостях не выполняется аксиома IV (аксиома параллельности), но выполняется аксиома IV,б: любые две различные прямые пересекаются между собой.