Текст
К. ИОСИДА
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ
Перевод с английского
В. М. ВОЛОСОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Мое кв а 1 967
УДК 517. 43
Это обстоятельный учебник по функциональному анализу, на-
написанный на высоком научном уровне.
Книга отличается последовательностью и систематичностью изло-
изложения, широтой охвата предмета (наряду с вопросами, относящимися
собственно к функциональному анализу, подробно излагаются его
приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных
и другим областям математики), а также тем, что кроме традицион-
традиционного материала в ней приводится ряд результатов новейших иссле-
исследований. Автор—профессор Токийского университета К. Иосида —
известный специалист в области функционального анализа. В основу
книги положен курс лекций, читавшийся им в течение ряда лет.
Для самостоятельного изучения книги требуется математическая
подготовка примерно в объеме 2—3 курсов физико-математических
факультетов. Ее можно рекомендовать аспирантам и студентам стар-
старших курсов физико-математических специальностей, а также всем,
желающим усовершенствовать свои знания по функциональному
анализу.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3
Предисловие переводчика
В отечественной и переводной литературе по функциональному
анализу, весьма обширной в настоящее время, имеется довольно
много книг учебного характера и монографий. Здесь можно, напри-
например, упомянуть книги А. Н. Колмогорова, С. В. Фомина [2*] *),
В. И. Смирнова [1*], Л. А. Люстерника, В. И. Соболева [1*],
Г. Е. Шилова [3*], Ф. Рисса, Б. С. Надя [3], Б. 3. Вулиха [1*],
Л. В. Канторовича, Г. П. Акилова [1], Н. И. Ахиезера, И. М. Глаз-
мана [1], И. М. Гельфанда (с соавторами) [1], [3], [5], такие сочи-
сочинения энциклопедического характера, как книги Н. Данфорда,
Дж. Шварца [1], Э. Хилле, Р. Филлипса [1], Н. Бурбаки [2] и ряд
других.
И тем не менее книга К. Иосида будет, как мы считаем, полез-
полезной и нужной для читателей, обладающих достаточной математической
подготовкой (примерно в объеме программы 2—3 курсов физико-
математических факультетов) и желающих углубить свои знания
по функциональному анализу. Дело в том, что от обычных учебников
курс профессора К. Иосида отличается более широким охватом раз-
различных разделов функционального анализа, современным, близким
к уровню развития науки самых последних лет подходом к изложе-
изложению материала и большим числом интересных приложений. Так, на-
например, с самого начала широко используется понятие полунормы,
рассматриваются такие вопросы, как теорема Хёрмандера о гипоэл-
липтических операторах, отрицательные нормы Лакса, ядерные опе-
операторы и пространства, теория почти-периодических функций на то-
топологических группах, ряд задач теории марковских процессов,
интегрирование уравнения диффузии в евклидовом и римановом про-
пространствах и некоторые другие задачи, не являющиеся традиционными
для учебника общего типа.
Часть содержания книги, в особенности двух последних глав
(эргодическая теория, диффузионные процессы и эволюционные урав-
уравнения), непосредственно связана с собственными научными интересами
автора. Последнее обстоятельство в известной степени определило
*) Здесь и далее ссылки относятся к списку литературы в конце книги.
Звездочкой отмечены дополнительные названия, внесенные переводчиком
в основной авторский список. — Прим. перев.
Предисловие переводчика
и выбор приложений, значительная часть которых относится к выше-
вышеупомянутым разделам математики. Многие результаты, вошедшие
в книгу, раньше можно было найти лишь в специальных журналах
(в особенности это относится к некоторым японским авторам); ряд
результатов ранее не публиковался. С другой стороны, от больших
по объему монографий, посвященных специальным вопросам и до-
доступных лишь квалифицированным математикам, эта книга отличается
последовательным изложением материала, постепенным нарастанием
сложности и трудности изучаемых проблем, достаточно детальным
рассмотрением основных понятий и, как правило, подробными дока-
доказательствами— именно теми чертами, которые делают эту книгу
учебником повышенного типа, преследующим в первую очередь цели
подготовки читателя к изучению специальной литературы и самостоя-
самостоятельной научной работе.
Следует отметить серьезный недостаток книги — в ней почти сов-
совсем нет упражнений для самостоятельного решения. Это обстоятель-
обстоятельство, а также весь стиль изложения, рассчитанный на сравнительно
квалифицированного читателя, делает книгу трудной для первоначаль-
первоначального ознакомления с основами функционального анализа. Поэтому
можно порекомендовать в качестве предварительной подготовки по-
познакомиться с книгами А. Н. Колмогорова, С. В. Фомина [2*] или
Л. А. Люстерника, В. И. Соболева [1*]. При работе над книгой
может также оказаться полезным справочник „Функциональный анализ"
(см. Н. Я. Виленкин и др. [2*]) в особенности при затруднениях
с терминологией.
Несмотря на обилие включенных в книгу вопросов и широту
охвата различных разделов функционального анализа, некоторые важ-
важные в теоретическом и прикладном плане проблемы остались в книге
не затронутыми. Читатель не найдет в ней, например, теорем о не-
неподвижных точках, нелинейных операторных уравнений, теории опе-
операторов в пространствах с конусом; такие важные понятия, как по-
положительные операторы и функционалы, рассмотрены недостаточно
подробно. Понятно, впрочем, что на нынешнем уровне развития
функционального анализа никакой учебник не может охватить всех
важных вопросов. Для изучения таких разделов читателю придется
обратиться к другим книгам, в частности, упомянутые выше вопросы
подробно освещены в книгах М. А. Красносельского [1*], [2*].
При переводе этой книги мы старались по возможности макси-
максимально приблизить терминологию к нормам, принятым в отечествен-
отечественной литературе. Текст перевода снабжен рядом примечаний, касаю-
касающихся главным образом терминологии и обозначений и поясняющих
детали формулировок некоторых определений и доказательств теорем.
В. М. Волосов
Предисловие
В основу этой книги положены лекции, читавшиеся автором
в Токийском университете в течение последних десяти лет. Книга
была задумана как учебник по курсу функционального анализа, охва-
охватывающему общую теорию линейных операторов в функциональных
пространствах и ее важнейшие приложения в различных областях
современного и классического анализа. Ее можно использовать и для
самостоятельного изучения предмета.
Предварительные сведения, необходимые для чтения этой книги,
приводятся (с доказательством или без) в введении в разделах „Тео-
„Теория множеств", „Топологические пространства", „Пространства с ме-
мерой", „Линейные пространства". Далее, начиная с главы, посвященной
понятию полунормы, излагается общая теория банаховых и гильбер-
гильбертовых пространств, которые рассматриваются в тесной связи с тео-
теорией обобщенных функций С. Л. Соболева и Л. Шварца. В основном
этот курс адресован студентам старших курсов, но мы надеемся,
что книга будет полезна и тем, кто занимается исследовательской
работой в области теоретической и прикладной математики. При
желании читатель может после изучения гл. IX („Аналитическая тео-
теория полугрупп") перейти прямо к гл. ХШ („Эргодическая теория
и диффузионные процессы") и к гл. XIV („Интегрирование эволю-
эволюционных уравнений"). Такие разделы теории, как „Слабые топологии
и сопряженность в локально выпуклых линейных топологических
пространствах" и „Ядерные пространства", представлены в виде при-
приложений соответственно к гл. V и X. Читатель, интересующийся в пер-
первую очередь приложениями теории линейных операторов, может
опустить этот материал при первом чтении книги.
При работе над книгой автор пользозался ценными советами и
критическими замечаниями многих своих друзей. Автор чрезвычайно
признателен госпоже К. Хилле, любезно взявшей на себя труд про-
прочитать рукопись и корректуры книги. Без ее помощи было бы
Предисловие
трудно преодолеть стилистические трудности языка, не являющегося
для автора родным. Автор также многим обязан своим старым друзьям
профессорам Иельского университета Э. Хилле и Какутани и про-
профессору Станфордского университета Филлипсу, ценными советами
и указаниями которых автор пользовался при работе над рукописью
этой книги во время своего пребывания в 1962 г. в Иельском и
Станфордском университетах. Профессор С. Ито и доктор Коматсу из
Токийского университета во многом помогли автору при чтении кор-
корректуры, исправляя ошибки и улучшая изложение. Автор выражает
им всем свою глубокую благодарность.
Автор благодарен также профессору Гейдельбергского универси-
университета Шмидту и профессору Калифорнийского университета (Беркли)
Като, чья поддержка постоянно воодушевляла автора, когда он писал
эту книгу.
Косаку Иосида
Токио, сентябрь 1964 г.
Введение
В этой главе мы хотим ввести некоторые понятия и сформули-
сформулировать ряд теорем, которые в дальнейшем будут постоянно исполь-
использоваться. Эти понятия и теоремы относятся к теории множеств,
топологическим пространствам, пространствам с мерой и линейным
пространствам.
/. Теория множеств
Множества. Запись х?Х означает, что х является элементом
множества X; х(^Х означает, что элемент х не принадлежит мно-
множеству X. Множество, состоящее из всех х, обладающих некоторым
свойством Я, мы обозначим через {х; Р). Таким образом, {у; у — х} —
это множество, состоящее из единственного элемента х\ такое мно-
множество будет обозначаться символом [х]. Пустым называется мно-
множество, не содержащее ни одного элемента, оно обозначается сим-
символом 0. Если каждый элемент множества X принадлежит также
и множеству К, то X называется подмножеством множества К,
и это отношение выражается записью X с К или У з X. Если X —
множество, элементами которого служат множества X, то множество
всех х> таких, что х ? X для некоторого X ?Ж, называется объеди-
объединением множеств X из $; оно обозначается М X. Пересечение
Х?эе
множеств X из X определяется как множество всех х, принадлежа-
принадлежащих каждому из множеств X ?Х; оно обозначается Q X. Два
множества называются непересекающимися, если их пересечение пусто.
Если последовательность {Xn}n==l 2 состоит из попарно непересе-
непересекающихся множеств, то для обозначения их объединения будет также
применяться символ 2 Xп.
/г-1
Отображения. Термины отображение, функция и преобразо-
преобразование употребляются в дальнейшем как синонимы. Символ /: X —> У
означает, что / — однозначная функция, областью определения
которой служит множество X, а область значений содержится
8 множестве К; каждому элементу х ? X функция / ставит в соот-
10 Введение
ветствие однозначно определенный элемент f(x)~y?Y. Для двух
отображений /: X->У и g: У —>Z мы можем определить их ком-
композицию gf: X-> Z с помощью соотношения (gf)(x) = g(f (x)).
Символ / (М) обозначает множество {/(х)\ х^М}, при этом / (М)
называется образом множества М при отображении /. Символ f~x{N)
обозначает множество [х\ f(x)?N}, которое называется прообразом
множества N при отображении /. Ясно, что
К1 = /(/(К1)) для всех К, с/(Л');
XY С Z (/ (Хх\) для всех Хх С Л'.
Если /: X—>Y и для каждого y?f(X) существует только один
элемент х ? X, такой, что f(x) = y, то говорят, что для / суще-
существует обратное отображение или что / является взаимно одно-
однозначным отображением. Обратное отображение имеет область опре-
определения f (X) и область значений Х\ оно определяется соотношением
х
Область определения и область значений отображения / обозна-
обозначаются соответственно D(f) и /?(/)• Таким образом, если / имеет
обратное отображение, то
f~l(f(x)) = x для всех x?D(f);
/(Г\У)) = У Для всех у ?/?(/).
Говорят, что функция / отображает множество X на множество Y,
если f (Х)= У. Если же f (X) С У, то говорят, что / отображает X
в У. Функция / называется продолжением функции g, a g — суже-
сужением /, если D (/) содержит D (g) и f (x) = g (х) для всех х из D (g).
Лемма Цорна
Определение. Пусть Р — некоторое множество элементов а,
Ъ Предположим, что для некоторых пар (а, Ь) элементов мно-
множества Р определено бинарное отношение а<^Ь> обладающее сле-
следующими свойствами:
а < а,
если а<^Ь и Ь<^а, то а~Ь,
если а<^Ь и Ь<?^с, то а<^с (транзитивность).
Тогда говорят, что множество Р частично упорядочено 1) отно-
отношением <^.
]) Иногда частично упорядоченным называют множество, удовлетво-
удовлетворяющее только первому и третьему из указанных условий. — Прим. перев.
2. Топологические пространства 11
Примеры. Если Р — множество всех подмножеств некоторого
данного множества X, то отношение включения множеств (Л с В)
частично упорядочивает Р. Множество всех комплексных чисел
z=x-\-iy, w = и -{-iv, ... станет частично упорядоченным, если по-
положить z<^w при х^.и и y<Cv-
Определение. Пусть Р — некоторое частично упорядоченное мно-
множество элементов a, b Если а <^с и Ь<^с, то с называется
мажорантой элементов а и Ь. Если, кроме того, с < я? для всякой
мажоранты d элементов а и Ь, то с называется верхней гранью
этих элементов; в этом случае мы пишем с = sup (а, Ь) или а V Ь.
Такой элемент множества Р единствен, если он существует. Анало-
Аналогичным образом определяются миноранта и нижняя грань элемен-
элементов а и Ь\ последняя обозначается inf(a, b) или a/\b. Если для
каждой пары (а, Ь) элементов частично упорядоченного множества Р
существуют верхняя и нижняя грани а \/ b и а /\ Ь, то множество Р
называется структурой.
Пример. Совокупность всех подмножеств М некоторого фикси-
фиксированного множества В становится структурой, если отношение
частичного упорядочения Мх <^ М2 определить с помощью включения
множеств Мх с М2.
Определение. Частично упорядоченное множество Р называется
линейно упорядоченным, если для всякой пары (а, Ь) элементов
множества Р выполняется одно из двух соотношений а <^ b или
Ь*^а. Всякое подмножество частично упорядоченного множества
частично упорядочено тем же отношением порядка; оно может ока-
оказаться линейно упорядоченным этим отношением. Если множество Р
частично упорядочено, a S — некоторое подмножество множества Я,
то элемент т?Р называется мажорантой подмножества 5, когда
s^m для всякого s?S. Если некоторый элемент т?Р обладает
тем свойством, что из соотношений р ? Р и т <^ р следует равенство
р = т> то т называется максимальным элементом.
Лемма Цорна. Пусть Р—непустое частично упорядоченное мно-
множество, такое, что всякое его линейно упорядоченное подмножество
имеет в Р мажоранту. Тогда Р содержит по крайней мере один
максимальный элемент.
Известно, что лемма Цорна эквивалентна аксиоме выбора (аксиоме
Цермело) теории множеств.
2. Топологические пространства
Открытые и замкнутые множества
Определение. Система т подмножеств множества X определяет
в X топологию, если она содержит пустое множество, множество X,
объединение множеств любой подсистемы системы т и пересечение
12 Введение
любого конечного числа множеств из т. Множества системы т назы-
называются открытыми множествами топологического пространства
(X; т); мы часто будем опускать символ т и говорить о топологи-
топологическом пространстве X, В дальнейшем мы всегда, кроме тех случаев,
когда это особо оговаривается, будем предполагать, что топологиче-
топологическое пространство X удовлетворяет следующей аксиоме отдели-
отделимости Хаусдорфа.
Для каждой пары (xv лг2) различных точек xv лг2 простран-
пространства X существуют непересекающиеся открытые множества
Oj, G2, такие, что xx?Gv х2? G2.
Окрестностью точки х пространства X называется всякое множе-
множество, содержащее открытое множество, которому принадлежит х.
Окрестность подмножества М пространства X определяется как мно-
множество, являющееся окрестностью для каждой точки множества М.
Точка х пространства X называется точкой накопления, или пре-
предельной точкой, некоторого подмножества М пространства X, если
всякая ее окрестность содержит по крайней мере одну точку т?М,
отличную от х.
Определение. Всякое подмножество М топологического простран-
пространства X можно рассматривать как топологическое пространство, если
за открытые подмножества множества М принять пересечения вида
М П О, где О — открытые множества пространства X. Введенная
таким способом топология называется относительной топологией М
как подмножества топологического пространства X.
Определение. Множество М топологического пространства X
называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные
точки. Легко видеть, что М замкнуто в том и только том случае,
когда множество Мс = X — М, называемое дополнением множе-
множества М, является открытым. Выражение вида Л — В обозначает здесь
и далее совокупность всех точек х?А, не принадлежащих множе-
множеству В. Если М cz X — некогорог подмножество пространства X,
то пересечение всех замкнутых подмножеств из X, содержащих М>
называется замыканием множества М; мы будем обозначать его Ма
(верхний индекс „а"—первая буква немецкого термина „abgeschlos-
sen" — замкнутый).
Множество Ма, очевидно, замкнуто и М с Ма\ нетрудно видеть»
что М = Ма тогда и только тогда, когда множество М замкнуто
Метрические пространства
Определение. Пусть X и К — некоторые множества. Символом
X X У мы обозначим множество всех упорядоченных пар вида (л:, у),
где х?Х, у?У. Мы будем называть его произведением множеств
X и Y. Множество X называется метрическим пространством,
если в области X X X определена функция d, множество значений
2. Топологические пространства 13
которой принадлежит полю R1 вещественных чисел, удовлетворяющая
следующим условиям:
d(xv jc2)>0; d(xv д:2) = 0 тогда и только тогда, когда хх = лг2;
d(xv Xo) = d(x2> xx);
d(xv x3)^.d(xXt x2)-\-d(x2, x3) (неравенство треугольника).
Функция d называется расстоянием или метрикой пространства X.
Каждой точке х0 метрического пространства X и всякому положи-
положительному числу г мы сопоставим множество
которое называется открытым шаром радиуса г с центром в точке лг0.
хМножество М метрического пространства X мы назовем „открытым",
если вместе со всякой точкой хо?М оно содержит также и неко-
некоторый шар с центром в точке х0. Совокупность всех таких „откры-
„открытых" множеств удовлетворяет аксиоме открытых множеств, сформу-
сформулированной в определении топологического пространства.
Таким образом, метрическое пространство X является топологи-
топологическим. Нетрудно заметить, что точка лг0 метрического пространства X
является предельной точкой некоторого множества М в том и только
том случае, когда для всякого е > 0 существует по крайней мере
одна точка т Ф х0 множества М, такая, что d(m, x0) < е. Евкли-
Евклидово ^-мерное пространство Rn становится метрическим, если поло-
положить
/« V/«
d(x, у) = [2 (xi — у и2) , где х = (хх хп)% у = (ух уп).
Непрерывные отображения
Определение. Пусть /: X->У — некоторое отображение топо-
топологического пространства X в топологическое пространство К. Ото-
Отображение / называется непрерывным в точке хо?Х, если любой
окрестности U точки / (х()) соответствует некоторая окрестность V
точки лг0, такая, что f(V)^U. Отображение / называется непре-
непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке своей области опре-
определения D(f) = X.
Теорема. Пусть X, К—топологические пространства и/: X ~> Y.
Отображение / непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз
при этом отображении всякого открытого множества из К предста-
представляет собой открытое множество из X.
Доказательство. Если отображение / непрерывно и U — откры-
открытое множество из К, то множество V = f1 (U) представляет собой
окрестность всякой точки х0 ? X, удовлетворяющей условию / (х{)) ? U',
Т. е. является окрестностью всякой входящей в него точки и, следо-
14 Введение
вательно, открытым множеством. Обратно, если для всякого откры-
открытого множества U 9 / (х0) пространства К соответствующее множество
V = /~ (U) пространства X открыто, то отображение / по опреде-
определению непрерывно в точке хо?Х.
Бикомпактность
Определение. Говорят, что система множеств Ga, а?Л, по/сры-
по/срывает множество ХУ если X содержится как подмножество в объе-
объединении ^J Oft. Подмножество М топологического пространства X
называется бикомпактным 1), если всякая система открытых множеств
пространства X, покрывающая М, содержит конечную подсистему,
которая также покрывает множество М.
Из приведенной выше теоремы следует, что непрерывный образ
бикомпактного множества бикомпактен.
Предложение 1. Бикомпактные подмножества топологического
пространства замкнуты.
Доказательство. Предположим, что бикомпактное множество М
топологического пространства X имеет предельную точку х0, не
принадлежащую М. По аксиоме отделимости Хаусдорфа для всякой
точки т?М существуют непересекающиеся открытые множества
От> Хл и GXOfm пространства X, такие, что m?GmiXo, xo?GXo.m.
Система множеств (От> х ; т ? М} очевидно покрывает М. В силу
бикомпактности множества М существует конечная подсистема
{Gm.iX\ i=l, 2, ..., ri\t покрывающая М. Тогда множество
п
f]Ox , т. не пересекается с М. Но поскольку д:0 — предельная точка
л
множества М, открытое множество Q Gx t т.Э *о Должно содержать
некоторую точку т?М, отличную от х0. Таким образом, мы при-
приходим к противоречию, и поэтому множество М должно быть зам-
замкнутым.
Предложение 2. Замкнутое подмножество Мх бикомпактного
множества М топологического пространства X бикомпактно.
Доказательство. Пусть {Ga} — произвольная система открытых
множеств пространства X\ покрывающая Mv Так как множество Мх
замкнуто, то Мf = X — М\ есть открытое множество пространства X.
Поскольку Мх с Ж, система открытых множеств, состоящая из всех
множеств {Ga} и множества Aff, покрывает М. Множество М биком-
1) Автор применяет здесь термин compact — компактный; в русской мате-
математической литературе такие множества часто называют бикомпактными.—
Прим. перев.
2. Топологические пространства 15
пактно, поэтому система, состоящая из М{ и выбранных подходящим
образом множеств {Ga.; /=1, 2, .... я), покрывает М. Таким об-
образом, система (Оа<; /==1, 2, .... я} покрывает Жр и поэтому
Ж] — бикомпактное множество.
Определение. Подмножество топологического пространства назы-
называется относительно бикомпактным, если его замыкание биком-
бикомпактно. Топологическое пространство называется локально биком-
бикомпактным, если каждая точка этого пространства имеет бикомпакт-
бикомпактную окрестность.
Теорема. Всякое локально бикомпактное пространство X может
быть вложено в бикомпактное пространство К, отличающееся от X
одним дополнительным элементом, причем это вложение можно осу-
осуществить так, чтобы относительная топология пространства X как
подмножества пространства К совпадала с исходной топологией в X.
Такое пространство К называется одноточечным бикомпактным
расширением пространства X.
Доказательство. Пусть у — некоторый элемент, отличный от точек
пространства X. Обозначим через {U} класс всех открытых множеств
пространства X, для которых множества Uс — X—U бикомпактны.
Заметим, что само пространство X принадлежит классу {U}. Пусть
Y — множество, состоящее из всех точек пространства X и эле-
элемента у. Открытыми множествами пространства К мы назовем множе-
множества, которые либо не содержат у и представляют собой открытые
подмножества пространства X, либо содержат элемент у, и их пере-
пересечения с множеством X входят в класс {?/}. Нетрудно заметить,
что при этом множество К становится топологическим пространством
и относительная топология в X совпадает с первоначальной топо-
топологией.
Пусть теперь {V} — некоторое семейство открытых множеств,
покрывающее К. Тогда среди множеств семейства {V) имеется неко-
некоторое множество вида U0U{y}, где ?/0 ?{?/}. Согласно определению
класса {?/}, множество Uo бикомпактно как подмножество простран-
пространства X. Это множество покрывается системой множеств вида V П Х%
где V^jV}. Поэтому некоторая конечная подсистема Vx П Х%
^ъ[\Х, ..., Vn[\X покрывает ?/0« Следовательно, система, состоя-
состоящая из множеств Vv V2 Vn и множества UQ U {у}, покрывает К,
т. е. пространство К бикомпактно.
Теорема Тихонова
Определение. Пусть каждому элементу а из некоторого множества
Индексов А поставлено в соответствие некоторое топологическое про-
пространство Ха. Произведение JJ Ха множеств Ха определяется как
Множество всех функций /, заданных в области 4, таких, что
16 Введение
a для каждого а?Л. Мы будем писать /== Ц/(а) и на»
зывать /(а) а-координатой функции /. В случае когда А—множе-
/7
ство целых чисел A, 2, .... п), произведение Д Хк обычно запи-
сывают в виде Хх X Х2 X • • • X Xп. Определим теперь „открытые"
множества произведения J] Xa как всевозможные множества вида
а? А
JJ Оа, где Оа—открытые множества пространств Ха, совпадающие
а? А
с Ха для всех, кроме конечного числа, значений а. Тем самым
в произведении Д X вводится топология, называемая тихоновской.
?А
Пространство X = JJ Ха, топологизированное таким способом» на-
а^А
зывается тихоновским произведением.
Теорема Тихонова. Произведение X = JJ Ха системы биком-
а?А
пактных топологических пространств Ха бикомпактно.
Замечание. Известно, что всякое замкнутое ограниченное множе-
множество точек вещественной числовой прямой R1 бикомпактно по отно-
отношению к топологии, которая определяется функцией расстояния
d(x, у) = | х — у | (теорема Больцано — Вейерштрасса). Отметим
кстати, что в общем случае подмножество М метрического простран-
пространства называется ограниченным, если оно содержится в некотором
шаре 5(jc0, r) этого пространства. Из теоремы Тихонова, в част-
частности, следует, что множество
— oo<ai<AT/<ft/<oo (/=1, 2, .... п)
(параллелепипед), лежащее в ^-мерном евклидовом пространстве Rn%
бикомпактно. Отсюда видно, что пространство Rn локально биком-
бикомпактно.
Доказательство теоремы Тихонова. Система множеств назы-
называется центрированной, если пересечение множеств любой ее ко-
конечной подсистемы непусто. Рассматривая дополнения открытых
множеств, образующих покрытие пространства X, нетрудно заметить,
что топологическое пространство бикомпактно тогда и только тогда,
когда для любой центрированной системы {Ма; а?А) подмножеств
этого пространства пересечение [^ Ж« непусто.
Пусть теперь [S] — некоторая центрированная система подмно-
подмножеств 5 пространства Л^ == JJ Ха- Рассмотрим систему {N} под-
множеств TV пространства X, обладающую следующими свойствами:
A) система [S] содержится в системе \N) как подсистема;
2. Топологические пространства 17
B) система [N] центрированная;
C) система [N] максимальна в том смысле, что она не является
собственной подсистемой никакой другой центрированной си-
системы, содержащей систему [S] в качестве подсистемы.
Существование такой максимальной системы {/V] можно доказать
с помощью леммы Цорна или принципа трансфинитной индукции.
Для каждого множества N системы {/V} определим множество
ууа={/(а); /?А/} ^ Х(Г Через {;VU} мы обозначим систему
{7Va; A/?{iV}). Система (A/a), как и {Л/}, является центрирован-
центрированной. Поскольку множество Ха бикомпактно, существует по крайней
мере одна точка ра?Ха, такая, что />a? Q Naa. Мы должны теперь
показать, что точка р = JJ ра принадлежит множеству Q №.
Поскольку точка, вида ра принадлежит пересечению Q N^
всякое открытое множество Ga пространства Xa , содержащее ра,
пересекается с каждым множеством Nao?{Nap}. Поэтому открытое
множество
G(ao) = | л:; * = П/а. где хпо
пространства X должно пересекаться с каждым множеством N
системы {Л/}. Согласно свойству C) максимальности системы {N},
множество О^а° должно принадлежать {Л/}. Поэтому пересечение
любого конечного числа множеств типа О@о) при а0 ? А также должно
принадлежать системе [N] и, следовательно, такое множество пере-
пересекается с каждым множеством N?[N\. Всякое открытое множество
пространства X, содержащее точку р, по определению содержит
некоторое пересечение указанного выше типа; отсюда мы заключаем,
что точка р = JJ ра должна принадлежать пересечению Q Na.
Теорема Урысона
Предложение. Бикомпактное пространство X является нормаль-
ним, т. е. для любых непересекающихся замкнутых множеств Fl
и F2 из X существуют такие непересекающиеся открытые множества
G, и О2, что Fj с О,, F2c G2.
Доказательство. Для всякой пары элементов (*, у), таких, что
•*€^V У € ^2» существуют такие непересекающиеся открытые мно-
множества G(x, у) и G(y, x)t что x?G(x, у), y^G(yy x). Множе-
Cfrfco F2 как замкнутое подмножество бикомпактного пространства X
бикомпактно, поэтому, выбрав произвольный фиксированный элемент х,
ИЫ можем покрыть F2 конечным числом открытых множеств вида
2 К. Иски да
18 Введение
G(yv х), G(y2, л:) О(УП(х)> *)• Положим
П(Х) П{Х)
gx= U °(уу *) и °w= П °<х' уд
Тогда для этих непересекающихся открытых множеств О^ и О(х)
справедливы соотношения F2 ? Gx, х ? О(лг). Множество Fx также
бикомпактно и поэтому может быть покрыто конечным числом от-
открытых множеств О(хх), О(лг2), .... G(xk). Тогда, как нетрудно
видеть, множества
Qi = U0<*7> и °2=П0*/
У-1 7-1
удовлетворяют условиям нашего предложения.
Следствие. Бикомпактное пространство X является регулярным,
т. е. для всякого непустого открытого множества G\ из X существует
непустое открытое множество G2, такое, что (Ог) С G\.
Доказательство. Положим F1 = (g[)c и F2={x}, где x?G[.
За множество Ог можно теперь принять множество О2, построенное
при доказательстве предыдущего предложения.
Теорема Урысона. Пусть А% В — непересекающиеся замкнутые
подмножества нормального пространства X. Тогда существует такая
вещественная непрерывная функция f(t), заданная на множестве X,
что
0</@<1 на X, /@ = 0 на Л, /@=1 на #•
Доказательство. Сначала убедимся в том, что каждому рацио-
рациональному числу вида r = k/2n (k — 0, 1 2п) можно поставить
в соответствие некоторое открытое множество G(r) таким образом,
что A)Л С 0@), ? = GA)C и B) G(r)ecG(r') при любых значе-
значениях г < /*'. Это доказывается с помощью индукции по п. Так как
пространство X нормально, то при п = 0 существуют непересекаю-
непересекающиеся открытые множества О0 и Gv такие, что А с О0, # с Ор и
остается лишь положить О0 = О@). Допустим теперь, что множе-
множества G(r) построены для чисел г вида kj2n~l и условия B) при
этом выполняются. Возьмем некоторое целое нечетное значение As>0.
В этом случае G((&— l)/2")fl с G((Aj + l)/2rt), так как числа (А^—1)/2Л
и (А5+-1)/2Л имеют вид k'l2n~\ где 0<А^/<2Л. Следовательно,
поскольку X — нормальное пространство, существует открытое мно-
множество G, удовлетворяющее условиям G((k—1)/2")й?0, Оа с
С О ((/г -f- 1)/2л). Полагая G{kj2n) = Gy мы завершаем доказательство
пр индукции.
2. Топологические пространства 19
Определим теперь функцию f(t) соотношениями
f(t) = Q на множестве О@),
f{t)= sup г для всякой точки t?G(O)c.
t (О (г)
Тогда по условию A) f(t) — O на множестве Л и f(t)=l на мно-
множестве В. Остается убедиться в непрерывности функции /. Для
всякого t0 ? X и любого положительного целого числа п выберем такое
значение г, чтобы выполнялось условие f (t0) < г < f(tQ)~\- 2~~"~~1.
Положим О — О (г) П С/ (г — 2"~п)аС (при этом мы условимся, что
G(s)=? 0, если 5 < 0, и 0E) = ^, если 5 > 1). Открытое мно-
множество О содержит точку tQ, так как из неравенства f(to)<r сле-
следует, что to?G(r), а из соотношения (г — 2~Л~1)</(/0) вытекает,
что *0? 0(г — гH е^(г~2"л)аС. Далее, если t?G,wt?G(г),
и поэтому /@<П кроме того, ^°(^ — 2"TC^a(/' — 2"T и»
следовательно, г — 2~п <^ f (t). Таким образом, мы показали, что
для точек t?G выполняется неравенство \f(t) — /(^o)l ^ 1/2Л,
откуда и следует непрерывность функции /.
Теорема Стоуна — Вейерштрасса
Теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функ-
функций полиномами. Пусть f(x) — вещественная или комплексная непре-
непрерывная функция, заданная на замкнутом интервале [О, 1J. Тогда суще-
существует последовательность многочленов Рп{х), которая при п->оо
равномерно сходится к f(x) на отрезке [О, 1]. Следуя С. Бернштейну,
можно положить
(i-*rp. A)
Доказательство. Дифференцируя тождество
по переменной х и умножая на х, мы получаем соотношение
/7-0
Аналогично, дифференцируя указанное тождество по х дважды и
умножая на л:2, получаем формулу
п(п-1)хЦх + у)"-2= 2
р-0
20
Введение
Полагая
мы выводим соотношения
/>=-0
Следовательно,
2
р-0
ргр(х) +
B)
2. C)
/>0
D)
Так как f(x)— непрерывная функция, то |/(#)|<^ М < оо на
отрезке [0,1]. В силу равномерной непрерывности /(х) для всякого
е > 0 существует такое 6 > 0, что
х — х'\<6. ф)
2 I
\p-nx | > 6л I
/(хОКе, когда
Из формулы C) мы заключаем, что
/(*)-
2
р-0
р-0
| 2
I | р—пх | < бл
Для первого слагаемого в правой части последнего неравенства мы,
учитывая формулы C) и неравенство гр(х)^0, выводим оценку
2
\ Р-ПХ\<6П
/7 = 0
Для второго слагаемого из формулы D) и условия
кает неравенство
выте-
выте| р-пх | > Ьп
<2М
\р-пТ\>6п ^ ^ П<Ъ<
_ 2Мх(\— х)
~ пЬ2
М
2Ь2п
> 0 (при п->оо).
Из приведенных оценок и следует утверждение теоремы.
Теорема Стоуна — Вейерштрасса. Пусть X — бикомпактное
пространство и С(Х) — множество всех вещественных непрерывных
функций, определенных на X. Через В обозначим подмножество
множества С (X), удовлетворяющее следующим трем условиям:
A) если /, g?B, то произведение f-g и линейные комбинации
2. Топологические пространства 21
а/ Ч-pg* с вещественными коэффициентами а, р также принадлежат В,
B) постоянная функция 1 принадлежит В и C) предел /^ всякой
равномерно сходящейся последовательности \fn) функций, принадле-
принадлежащих подмножеству В, также принадлежит В. Тогда В~С(Х)
в том и только в том случае, когда для любой пары (sv s2) раз-
различных точек пространства X существует функция х из множества В,
удовлетворяющая условию х (s{) Ф х (s.2) (в этом случае говорят, что
множество В разделяет точки пространства X).
Доказательство. Необходимость указанного условия следует из
того, что бикомпактное пространство нормально, и поэтому по
теореме Урысона существует такая непрерывная вещественная функ-
функция ЛГ, ЧТО X (Sx) ф X (S2).
Для доказательства достаточности удобно ввести обозначения,
принятые в теории структур:
(/ V g) (s) = max (/ (s), g (s)), (/ Л g) (s) = min (/ (s). .g (s)),
Согласно предыдущей теореме, существует последовательность поли-
полиномов \Рп), такая, что
Следовательно, \\f(s)\—Pn(f(s))\<\ /п, если — п < / (s)< п.
Отсюда, согласно условию C), следует, что |/| ?В, если /^В, так
как всякая функция f(s)?Bc:C(X) ограничена на бикомпактном
аространстве X. Поэтому, учитывая соотношения
мы заключаем, что множество В замкнуто по отношению к структур-
структурным операциям V и Л-
Пусть элемент h?C(X) и точки slt S2^X выбраны произвольно,
но так, что sx Ф s2. Тогда мы можем найти функцию f5S ?B, такую,
что /55зE1) = ЛE1) и fSS2(s2) = h(s2). В самом деле, выберем функ-
функцию g?B так, что g(sx) Ф g(s2)i и возьмем такие вещественные
числа аир, что функция / =а? + р удовлетворяет условиям
Пусть теперь заданы произвольное е>0 и точка t?X. Тогда для
всякой точки s? X существует окрестность U (s), такая, что fst(u) >
> h (и) — е для всех и ? U (s). Пусть далее множества U (Sj),
i/E2), .. ., U (sn) покрывают бикомпактное пространство Х\ положим
/, = /vv ... v/v.
22 Введение
Тогда ft(zB и ft(u)]>h(u)—? для всех точек и^Л'. Кроме того,
ft(t)^h(t), так как /s t(t) = h(t). Следовательно, существует такая
окрестность V (t) точки t, что ft(u)<h(u)~\-E при всех #6^@-
Пусть множества V(tx), V(t2)y ..., V(tk) покрывают бикомпактное
пространство X. Определим функцию / соотношением
/ = /(,л ... л/,.
Тогда /?# и /(и)>А(и)— е для всех точек и? X, ибо /,(#)>
> /г (и) — 8 для и?Х. Кроме того, для любой точки и ? X и, в част-
частности, для и ?!/(/;) справедливы неравенства /(и)<; f\. (и) < h(u)-\-z.
Таким образом мы показали, что \f (u)—h(u)\ < 8 на множестве Х>
откуда и следует наше утверждение.
Попутно мы доказали два следствия.
Следствие 1 (Какутани — Крейн). Пусть X—бикомпактное про-
пространство и С(Х) — совокупность всех вещественных непрерывных
функций, заданных на X. Обозначим через В подмножество мно-
множества С(Х), удовлетворяющее следующим условиям: A) если
/' ?"€^' то / V g> f Л S и линейные комбинации af-\-$g с вещест-
вещественными коэффициентами а, р принадлежат В; B) постоянная функ-
функция 1 принадлежит В; C) предел /^ всякой равномерно сходящейся
последовательности {/„} функций из множества В также принадле-
принадлежит В. Тогда В — С(X) в том и только в том случае, когда мно-
множество В разделяет точки пространства X.
Следствие 2. Пусть Л" —бикомпактное пространство и С(X)—мно-
С(X)—множество всех комплексных непрерывных функций, определенных на X.
Пусть подмножество В множества С(Х) удовлетворяет следующем
условиям: A) если /, g?B, то произведение / • g и линейные комби-
комбинации ct/H-pg* с комплексными коэффициентами а, р принадлежат В,
B) постоянная функция 1 принадлежит В, C) предел /^ всякой
равномерно сходящейся последовательности [fn] функций, принадле-
принадлежащих множеству В, также принадлежит В. Тогда В = С(Х) в том
и только в том случае, когда множество В удовлетворяет следующим
условиям: D) В разделяет точки пространства Х\ E) если f(s)?B,
то комплексно сопряженная функция f(s) также принадлежит В.
Теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных пе-
периодических функций тригонометрическими полиномами. Пусть
X — окружность единичного круга пространства R2. Множество X
представляет собой бикомпактное пространство по отношению к обыч-
обычной топологии, и всякая комплексная непрерывная функция, задан-
заданная на X, может быть представлена некоторой заданной в области
~оо < х < оо непрерывной функцией f (х), имеющей по х период 2я.
Если за множество В, о котором говорится в следствии 2, принять
2. Топологические пространства 23
совокупность всех тех функций, заданных на пространстве X, которые
являются линейными комбинациями с комплексными коэффициентами
тригонометрических функций
einx(n = 0, ±1, ±2, ...).
а также тех функций, которые являются пределами равномерно схо-
сходящихся последовательностей таких линейных комбинаций, то мы
получим теорему Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных
функций тригонометрическими полиномами: Всякая непрерывная
комплексная функция / (л:) периода 2я может быть равномерно аппрок-
аппроксимирована тригонометрическими полиномами вида 2 cneinx.
п
Полные пространства
По определению последовательность {хп} элементов метрического
пространства X сходится к пределу х?Х% если lim d(xn, л;) = 0.
/2->ОО
Из неравенства треугольника d(xn, xm)<Cd(xn, x)-\-d(xmt x) мы
заключаем, что сходящаяся последовательность [хп} из пространства X
удовлетворяет условию Коти
lim d(xn. xJ = 0. A)
п, т->оо
Определение. Всякая последовательность элементов метрического
пространства ХУ удовлетворяющая условию A), называется фунда-
фундаментальной последовательностью. Метрическое пространство X
называется полным, если всякая фундаментальная последовательность
этого пространства сходится к пределу, являющемуся точкой про-
пространства X.
Нетрудно заметить, что, согласно неравенству треугольника, пре-
предел последовательности {хп}, если он существует, является един-
единственным.
Определение. Подмножество М топологического пространства X
называется неплотным в X, если его замыкание Ма не содержит
никаких непустых открытых множеол пространства X. Множество М
называется плотным в X, если Ма = Х1). Говорят, что М является
множеством первой категории, если его можно представить в виде
счетного объединения множеств, каждое из которых неплотно в Х\
в противном случае М называется множеством второй категории.
х) Аналогично определяются множества, плотные или неплотные в про-
произвольном подмножестве В с X. Множества, плотные или неплотные во всем
пространстве Ху называются также соответственно всюду плотными и нигде
не плотными. — Прим. перев.
24 Введение
Теорема Бэра о категориях
Теорема Бэра — Хаусдорфа. Всякое непустое полное метрическое
пространство является множеством второй категории.
Доказательство. Пусть {Мп\—последовательность замкнутых
множеств, объединение которых образует полное метрическое про-
пространство X. Предположив, что ли одно из множеств Мп не содержит
непустых открытых подмножеств, мы придем к противоречию. В самом
деле, в этом случае множество М({ — открытое и М^а~Х\ следова-
следовательно, Mi содержит замкнутый шар Sx ~ {x; d (xv x)^.rl}t центр
которого хх может быть выбран.сколь угодно близким к любой точке
пространства X. При этом мы можем считать, что 0<rj<l/2.
Те же рассуждения показывают, что открытое множество М^ содержит
замкнутый шар S.2= {x; d(x2, х)<^г2], принадлежащий Sl и такой,
что 0<г2<1/22. Повторяя эти рассуждения, мы получим после-
последовательность [Sn] замкнутых шаров Sn={x', d(xn, х)^гп), обла-
обладающих следующими свойствами:
0<г„<-^. Sn+l^Sni Sn(]Mn = 0 (д=1, 2, ...)•
Последовательность {хп} центров этих шаров является фундаменталь-
фундаментальной, так как xm?Sn для любых значений я < т, и поэтому
d(xn> xm)<^rn < 1/2Л- Пусть точка л:^ ~ предел последовательно-
последовательности {хп}. Ее существование гарантируется условием полноты про-
пространства X. Из соотношений d(xn, л^Х*/{xiv xm)-\-d{xm, X
^.rn-\-d(xm, xOQ)->rn (при т->оо) мы заключаем, что x
при всех значениях п. Следовательно, точка х^ не принадлежит
ни одному из множеств Мп и поэтому не содержится в объедине-
оо
нии М/И,^^^, что противоречит условию х^?Х.
Теорема Бэра 1. Пусть М — множество первой категории в би-
бикомпактном топологическом пространстве X. Тогда дополнение
Мс — X — М плотно в X.
Доказательство. Мы должны показать, что Мс пересекается
со всяким непустым открытым множеством О пространства X. Мно-
оо
жество М можно представить в виде M = U^//f гДе Мп — неплот-
иые замкнутые множества. Поскольку множество М\ = М" неплотно,
открытое множество Mi пересекается с О. Пространство X, будучи
бикомпактным, регулярно, следовательно, существует непустое откры-
открытое множество Ор такое, что О? с G П М\. Таким же способом мы
можем выбрать непустое открытое множество О2, удовлетворяющее
условию О? ? Gi П ^2'- Повторяя это построение, мы получим после-
2. Топологические пространства 25
довательность непустых открытых множеств {Gn}, для которых выпол-
выполняются соотношения
OSnSOnnAlJ+1 (л=1, 2, ...)•
Последовательность замкнутых множеств {Gan} монотонна1) по я и
поэтому центрирована. Ввиду бикомпактности пространства X суще-
ствует точка х?Х, такая, что at^^G^. Из условия x?G° следует,
л«1
что л;? G, а из соотношений at^OJ+i ? On П М^-и (л = 0, 1,2, . . .;
оо
G0=G) мы заключаем, что л;?[|МЛ = М . Итак, мы показали, что
/i-i
множество G П Мс непусто.
Теорема Бэра 2. Пусть {лгл(О}—последовательность веществен-
вещественных непрерывных функций, заданных на топологическом простран-
пространстве X. Предположим, что в каждой точке t пространства X суще-
существует конечный предел этой последовательности:
Тогда совокупность всех точек разрыва функции х образует мно-
множество первой категории.
Доказательство. Для любого множества М пространства X
обозначим через М1 объединение всех открытых множеств, содержа-
содержащихся в М. Множество М1 называется внутренностью2) множества М.
Положим Pm(E)=[t?X; \x(t) — xm(t)\^e, e>0}, O(e) =
оо оо
= МЯ^(б). Нетрудно убедиться в том, что множество G = QGA/ai)
совпадает с множеством точек непрерывности функции x(t). В самом
деле, допустим, что функция x(t) непрерывна в некоторой точке t = t0.
оо
Покажем, что tQ? f]G(\/ri). Поскольку lim xn(t) = x(t), существует
/7 = 1 Л->°°
такой номер т, что |лг(/0) — ^mC^o)!4^8/^- ^ СИЛУ непрерывности
функций х(t) и xm(t) в точке t = t0, существует открытое мно-
множество t//t9*o. такое, что \x(t) — д:(/0)|<е/3, \xm(t) ¦-xm
при любых i^Ut^ Поэтому для t?Uto выполняется неравенство
1) Последовательность {Mrf множеств Mt (/= 1, 2, ...) называется моно-
хрнной, если Mt с Mi+l (/ = 1,2,...) или Mt 3 Mi+l (/=1,2.. .).—Прим.
ререв.
2) Множество М1 называют также открытым ядром множества М. —-
Прим, перев.
26 Введение
Отсюда следует, что ^?Р1т(е), и поэтому /0?G(e). Так как е>0
оо
произвольно, то to?[]Q(l/n).
с»
Обратно, пусть to?[]G(l/ri). Тогда для любого е>0 имеем
л=-1
/0?G(e/3), и, значит, существует т, при котором *о 6 ^/я (е/3)« Сле-
Следовательно, найдется открытое множество Uto Э Аэ. такое, что для
всех точек t?U(o выполняется неравенство \x(t) — л;т(/)|<^е/3.
Отсюда, учитывая, что функция xm(t) непрерывна, а е>0 произ-
произвольно, мы заключаем, что функция x(t) непрерывна в точке t = tQ.
Теперь посл^ эгих предварительных рассуждений введем множество
(*=1. 2, ...)}.
Оно замкнуто, так как все функции xn(t) непрерывны. Кроме того,
оо
X =l\Fm(e), так как iim xn(t) — x(t). По той же причине Fm(e)ci
il л^°°
00
cPw(e), Следовательно, ^FM^F), и поэтому (J F'm(e) с О(е).
/л-1
С другой стороны, для любого замкнутого множества F множе-
00
ство (F— F1) замкнуто и неплотно. Значит, X — \J Flm (e) =
/71 — 1
~[)(Fm(e)—Fmie))—множество первой категории. Поэтому его
подмножество G(e)c — X — 0(е) также является множеством первой
категории. Отсюда следует, что множество исех точек разрыва функ-
ОО СХ)
ции x(t)t которое можно выразить в виде X —Q O(l/n)== \J G A/я)с,
/Z-1 П~\
представляет собой множество первой категории.
Теорема. Подмножество М полного метрического пространства X
относительно бикомпактно тогда и только тогда, когда оно вполне
ограничено, т. е. для любого е > 0 существует конечная система
точек тх, mv . . ., тп множества М, такая, что всякая точка этого
множества удалена не более чем на е по крайней мере от одной
из точек mv пц, ..., тп. Другими словами, множество М вполне
ограничено, если для каждого е > 0 его можно покрыть конечной
системой шаров радиуса < е, центры которых принадлежат М.
Доказательство. Предположим, что множество М не является
вполне ограниченным. В таком случае существуют положительное
число е и бесконечная последовательность \тп) точек множества М,
такие, что d{mUim^)^z для всех 1Ф]. Поэтому если покрыть
2. Топологические пространства 27
бикомпактное множество Ма системой открытых шаров, радиусы кото-
которых меньше е, то никакая ее конечная подсистема не может покры-
покрывать множество Ма, ибо такая подсистема не может покрывать его
бесконечное подмножество (/й^сЛсЖ Значит, всякое относи-
относительно бикомпактное подмножество пространства X должно быть
вполне ограниченным.
Обратно, пусть М—вполне ограниченное подмножество полного
метрического пространства X. Тогда его замыкание Ма полно и вполне
ограничено. Мы должны показать, что Ма бикомпактно. С этой целью
мы сначала убедимся в том, что всякая бесконечная последователь-
последовательность точек {рп} множества Ма содержит подпоследовательность
|/?(л)Л, сходящуюся к некоторой точке множества Ма. Множество М
вполне ограничено, поэтому для любого е > 0 существуют точка
qe?Ma и подпоследовательность [рпг) последовательности [рЛ> такие,
что d(pn>i q\<,EJ2 для всех выбранных значений п!. Поэтому
d(Pn" Pm)<d{Pn" <7е)+<*(<7е> Pm>)<* ПРИ всех п'> m'• ПОЛОЖИМ
е=1 и построим соответствующую последовательность [рг), а затем
для 6=1/2 применим предыдущие рассуждения к последователь-
последовательности {рг}' В результате мы получим такую подпоследователь-
подпоследовательность \рпЛ последовательности {рп*\* что для всех выбранных зна-
значений индексов
Повторяя это построение, мы получим подпоследовательность [р (* + i)]
последовательности \р (#)], причем для всех выбранных значений
индексов
P)<
Теперь подпоследовательность {/^Л\Л первоначальной последователь-
последовательности \рп) определяется при помощи диагонального процесса
она, очевидно, удовлетворяет условию Iim d(p(y, р )=0. По-
этому, учитывая полноту множества Ма, можно утверждать, что
существует точка р ? Ма, такая, что
Теперь мы покажем, что множество Ма бикомпактно. Заметим,
*1То существует счетное семейство [F] открытых множеств F про-
пространства Х% обладающее следующим свойством: для любого откры-
открытого множества U пространства X и всякой точки х ? U П Ма
28 Введение
найдется множество F?[F], такое, что x?FczU. Это утверждение
можно доказать следующим образом. При любом заданном 8 > О
множество Ма, поскольку оно вполне ограничено, можно покрыть
конечной системой открытых шаров радиуса е с центрами, принадле-
принадлежащими Ма. Полагая последовательно е=1, 1/2, 1/3, ... и рас-
рассматривая счетное семейство соответствующих конечных систем от-
открытых шаров, мы и получим требуемое семейство [F] открытых
множеств.
Пусть {?/} —любая система открытых множеств, покрывающая Ма.
Через {F*} мы обозначим подсемейство семейства {F)t определенное
следующим условием: F?[F*} в том и только в том случае, когда
F?{F} и существует множество U?{U], такое, что FczU. Из
этого свойства семейства {F*} итого факта, что система {U} покры-
покрывает множество Ма% мы можем заключить, что счетное семейство
открытых множеств {F*} покрывает Ма. Построим теперь подси-
подсистему {U*} системы {U}, а именно выберем для каждого из множеств
F?{F*} ровно по одному множеству U*?[U), такому, что FczU*.
Тогда {U*} — счетное семейство открытых множеств, покрывающее Ма.
Мы должны показать, что некоторая конечная подсистема системы [U*]
покрывает множество Ма. Пусть множества семейства {U*} занумеро-
занумерованы в последовательность Uv U2, .... Допустим, что ни при каком
п
значении п конечное объединение \\U;- не покрывает множество Ма.
В таком случае при каждом п должна существовать точка
было показано выше, последовательность \хп)
содержит подпоследовательность {*(,*)}, сходящуюся к некоторой
точке, скажем х^. множества Ма. Тогда л;^ ? UN при некотором ЛЛ
и поэтому xn?UN для бесконечного числа значений п и, в част-
частности, для некоторого п > N. Но это противоречит тому, что по
построению хп?[М— Ll^r ^так» мы доказали, что множество Ма
бикомпактно.
3. Пространства с мерой
Меры
Определение. Пусть S — некоторое множество. Пара вида E, 93)
называется о-алгеброй1) или о-аддитивным семейством подмно-
подмножеств множества S, если 93 — семейство подмножеств множества 5,
1) Говорят также „а-кольцо" или яв'поле*.-~Прим. перев.
3. Пространства с мерой 29
удовлетворяющее следующим условиям:
S?$; A)
если В ? 93, то Вс = (S - В) ? 2?; B)
оо
если Ву ?8G=1, 2, ...). то \jBj?*8 (о-аддипшвностьI). C)
Пусть E, 93) есть а-алгебра подмножеств множества S.
Тогда тройка E, 93, пг) называется пространством с мерой,
если т — неотрицательная а-аддитивная мера, т. е. функция, опре-
определенная на 93 и удовлетворяющая следующим условиям:
/я(?)>0 для всякого ??93; D)
л* i °/ = 2jm(Bj) для всякой последовательности
{у} попарно непересекающихся подмножеств из Ъ
(свойство счетной аддитивности, или о-аддитив-
ности, меры /я); E)
множество 5 можно представить в виде счетного объ-
объединения множеств Bj?93, таких, что m{Bj)<^oo
(/=1, 2, ...) (свойство о-финитности). F)
Значение m(S) называется т-мерой множества В, а множества
В ? 93 называются ^-измеримыми.
Измеримые функции
Определение, Вещественная (или комплексная) функция x(s)t
определенная на множестве S, называется ^-измеримой (или, ко-
короче, измеримой), если выполняется следующее условие:
для всякого открытого множества О вещественной пря-
прямой R1 (или комплексной плоскости С1) множество
{s; x(s)?G] принадлежит 93. G)
Функция x(s) может принимать значение оо.
Определение. Говорят, что некоторое свойство Р, относящееся
к точкам s множества 5, выполняется почти всюду по мере т (со-
(сокращенно т-п. в.), если оно выполняется для всех s, за исключением
1) Из A), B), C) следует, что пересечение счетного числа множеств
оо / оо \С
тоже входит в 93: Q #;- = I f\ BCj I ? 23. — Прим. перев.
jml \у-1 /
30 Введение
некоторого множества, принадлежащего семейству 23 и имеющего
w-меру нуль.
Вещественная (или комплексная) функция x(s), определенная
т-п. в. на множестве S и удовлетворяющая условию G), называется
^-измеримой функцией, заданной т-п. в. на множестве S или,
короче, ^-измеримой функцией.
Теорема Егорова. Если В— такое 23-измеримое множество, что
т(В)< оо, и если {fn(s)} — некоторая последовательность 23-изме-
римых функций, принимающих конечные значения m-п. в. на В, схо-
сходящаяся т-п. в. на В к конечной 93-измеримой функции /($), то
для каждого е > 0 существует 23-измеримое подмножество Е czB,
такое, что т{В — ?)<Се, и на множестве Е последовательность
{fn(s)} сходится к f(s) равномерно.
Доказательство. Удаляя, если это окажется необходимым, из
множества В некоторое множество m-меры нуль, мы можем считать,
что функции fn (s) принимают конечные значения и последователь-
последовательность {/„($)} сходится к f(s) всюду на В.
со
Множество Вп= Q {$6^ \f(s) — /*E)|<8} является 23-из-
Л-л + 1
меримым, и Bn^Bkt если n<k. Поскольку lim fn(s) = f(s) на В,
я->оо
ОО
мы имеем В = \J Вп. Поэтому в силу а-аддитивности меры т
1
= lim т(В„).
Следовательно, lim т(В — Вп) — 0, и поэтому для любого произ-
Л->0О
вольно заданного положительного числа г| существует достаточно
большой номер &0, такой, что т(В — Bk) < г\ при k^>k0.
Таким образом, для всякого положительного целого числа k су-
существуют множество Cftcfi, такое, что т(С^)^е/2Л, и такой но-
номер Nk, что
— /„(*) К 51 ™« всех n>Nk и s?B — Ck.
оо
Положим Е = В — JJ Ck. Тогда мы получим
/г-1
3. Пространства с мерой 31
и при этом на множестве В последовательность {/„($)} сходится
равномерно.
Интегралы
Определение. Вещественная (или комплексная) функция x{s),
определенная на множестве S, называется простой, если она при-
принимает конечное отличное от нуля постоянное значение на каждом
из некоторого конечного числа, скажем п, попарно непересекающихся
п
93-измеримых множеств Bj и равна нулю на S — М В;. Значение
простой функции х (s) на Bf обозначим через Xj. Простая
функция х (s) называется т-интегрируемой на множестве S,
п п
если ^л\ х :\m(Bj) <^ оо\ величина 2 Xjin(Bj) называется т-ин-
тегралом функции x(s) по множеству S. Этот интеграл мы будем
обозначать через Г x(s)m(ds)> или, короче, Г x(s), или |л:E)втех
случаях, когда это не может привести к недоразумению. Произвольная
вещественная (или комплексная) функция x(s), заданная т-п. в. на
множестве S, называется т-интегрируемой по S, если существует
последовательность [xn(s)) простых интегрируемых функций, схо-
сходящаяся rn-п. в. к функции x(s)t и при этом
lim
п,
[ | хп (s) - xk E) | т {(is) ¦= 0.
Нетрудно показать, что при этих условиях существует конечный
предел lim \ xn(s)m(ds), который не зависит от выбора аипрокси-
мирующей последовательности \хп($)}. По определению за интеграл
функции x(s) no S относительно меры т принимается предел
lim \ xn(s)m(ds). Этот интеграл мы будем обозначать через
J x(s)m(ds)-t иногда будем использовать сокращенные обозначения
J x(s)m(ds) или j x(s).
32 Введение
Свойства интеграла
A) Если x(s) и y(s) интегрируемы, то функция ал:(s) -f-fiy(s)
также интегрируема и
j (ax(s) +-№(s)) m(ds) = a J x(s)m(ds) + $ J y(s)m(ds).
s s s
B) Функция x(s) интегрируема тогда и только тогда, когда
интегрируема функция |a:(s)|.
C) Если x(s) интегрируема и x(s)>0 т-п. в., то f x(s)m(ds)^Ot
s
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда
m-п. в. x(s) = 0.
D) Если функция х (s) интегрируема, то для произвольного мно-
множества /??93 за m-интеграл Г x(s)m(ds) по В принимается
в
величина
J х ($) т (ds) = Г Св (s) х (s) m (ds)t
в s
где СB(s) — характеристическая функция множества В,
т. е.
CB(s)=\ для s?B и CB(s) = 0 для 5^5 — В.
При этом функция ^(/2)= Г х (s) m (ds), определенная на
в
множествах ??93, является а-аддитивиой, т, е. для любой
последовательности попарно непересекающихся множеств {Bj},
принадлежащих 93, справедливо равенство
E) Ф)^нкция X (В)% определенная выше, абсолютно непрерывна
относительно меры mt т. е. если т (В) = 0, то X (В) = 0.
Это условие эквивалентно требованию lim Х(В) = 0* при-
т(В)->о
чем сходимость равномерна по ??93.
Лемма Лебега—Фату. Пусть {*„($)}—некоторая последовав
тельность вещественных интегрируемых функций. Если существует
вещественная интегрируемая функция х (s), такая, что х (s) > xn ($)
почти всюду для я=1, 2, ... (или x(s)-^xn(s) почти всюду для
3. Пространства с мерой 33
i=l, 2, . ..). то
f ( lim xn(s)\m(ds)> Urn [ xn(s)m(ds)
[или /lim jcn (s)\ m (ds) <% lim лгя E) m (ds) ;
у ^ \rt->oo / «->oo 5 у
в случае когда функция lim xn(s) /или lim .x^(s)\ неинтегрируема,
мы полагаем lim \ xn(s)nt(ds) = — со (или lim j xn(s)nt(ds)=oo\.
Определение. Пусть E, 23, т) и (S', 23', т!) — два пространства
с мерой. Обозначим через 23 X ^' наименьшую а-алгебру подмножеств
множества S X ^'» содержащую все множества вида В X В', где
??23, #'?93'. Доказано, что существует единственная а-финитная
а-аддитивная неотрицательная мера т X м'> определенная на 2J X 33'»
такая, что
(т X гп') (В ХВ') = т (В) т' (В'\
Мера тХт' называется произведением мер т и т!'. Далее можно
офычным способом определить 23 X ©'-измеримые функции х (s, s')t
заданные на множестве 5 X $'* и ^ X т'-интегрируемые функции
x(s, s'). Величина интеграла по SXS' от т X /я'-интегрируемой
функции x(s, s') будет обозначаться через
J J x (s, s') (m X m') (ds dsf) или J [ x (s, s') m (ds) rn' (dsf).
SxSf SxSr
Теорема Фубини—Тонелли. Некоторая S X 23'-измеримая функ-
функция х (s, s') тогда и только тогда т X /^'-интегрируема по S X S',
когда по крайней мере один из повторных интегралов
Ш| х (s> sf) | т (ds) \ mf (dsf) или f f Г | x (s, s') | mf (dsf) \ m (ds)
J 5 15' J
конечен, причем в этом случае
J j x(st s')m(ds)m'(ds')= J П x(s, s')m(ds)\m'(dsf) -
SxS' S' \S J
x(st s')m'(ds')]m(ds).
s is'
Топологические меры
Определение. Пусть 5 — некоторое локально бикомпактное про-
пространство, например я-мерное евклидово пространство Rn или какое-
нибудь его замкнутое подмножество. Бэровскими подмножествами
3 К. Иосида
34 Введение
пространства S называются элементы наименьшей cr-алгебры под-
подмножеств пространства 5, содержащей все бикомпактные Gu-множе-
ства этого пространства, т. е. все его бикомпактные множества,
являющиеся пересечениями счетного числа открытых множеств этого
пространства. Борелевскими подмножествами пространства 5 на-
называются элементы наименьшей а-алгебры подмножеств простран-
пространства S, содержащей все бикомпактные множества этого простран-
пространства.
Если 5 — некоторое замкнутое подмножество евклидова простран-
пространства R'\ то его бэровские и борелевские подмножества совпадают,
так как в Rn всякое бикомпактное (замкнутое ограниченное) мно-
множество представляет собой О6-множество. Если, в частности, S — это
вещественная прямая R1 или замкнутый интервал из R1, то бэровские
(борелевские) подмножества можно определить как элементы наимень-
наименьшей а-алгебры подмножеств пространства 5, содержащей все полуот-
полуоткрытые интервалы вида (a, b]?S.
Определение. Пусть 5 — локально бикомпактное пространство.
Неотрицательной мерой Бэра (Бореля) на 5 называется а-аддитив-
ная мера, определенная для всех бэровских (борелевских) под-
подмножеств пространства 5 таким образом, что мера каждого биком-
бикомпактного множества конечна. Мера Бореля т называется регуляр-
регулярной, если для каждого борелевского множества В справедливо соот-
соотношение
т(В)= inf m(U\
UzzB
где нижняя грань берется по всем открытым множествам U, содер-
содержащим В. Таким же образом можно определить регулярность меры
Бэра, но при этом оказывается, что она всегда регулярна. Доказано,
что всякая мера Бэра может быть единственным образом продолжена
до некоторой регулярной меры Бореля. Поэтому мы будем далее
рассматривать лишь меры Бэра.
Определение. Комплексная функция f(s), заданная на локально
бикомпактном пространстве 5, называется бэровской функцией на
этом пространстве, если для каждого бэровского множества В
комплексной плоскости С1 множество f~l(B) является бэровским
множеством в 5. Если 5 представляется в виде счетного объедине-
объединения бикомпактных множеств, то всякая непрерывная функция оказы-
оказывается бэровской. Всякая бэровская функция измерима по отношению
к а-алгебре всех бэровских подмножеств пространства 5.
Мера Лебега
Определение. Предположим, что 5 — вещественная прямая R]
или какой-нибудь ее замкнутый интервал. Пусть F(x) — некоторая
монотонная неубывающая функция на 5, непрерывная справа:
3 Пространства с мерой 35
Р(х)— inf F(y). На полуоткрытых интервалах (а, Ь\ определим
х <у
функцию m соотношением m((a, b]) = F (b) — F (а). Такая функ-
функция m может быть единственным образом продолжена до некоторой
неотрицательной меры Бэра на S. Продолженная мера m оказывается
конечной (т. е. m(S)<oo) тогда и только тогда, когда функция F
ограничена. Если m — мера Бэра, определенная таким способом
с помощью функции F(s) = s, то она называется мерой Лебега.
Мера Лебега в пространстве Rn строится из п одномерных мер
Лебега при помощи образования произведения мер.
Для меры Лебега и соответствующего ей интеграла Лебега
справедливы следующие две важные теоремы.
Теорема 1. Пусть М—бэровское множество в пространстве Rn
с конечной мерой Лебега | М |. Обозначим через В 0 С множество
В 0 С = В U С — В П С, которое называется симметрической раз-
разностью множеств В и С. Тогда
4?,"
где М -j- h — [x?Rn\ x = m-\- h, т?М), m~(mv ..., mn)t
h = (hv .... hn), /я + А=(/я^А, /яя4-Лд) и |А| =
\l/2
?,") ¦
Теорема 2. Пусть О — открытое множество из R". Для любой
интегрируемой по Лебегу функции /(х), заданной на G, и произ-
произвольного е > 0 существует определенная в О непрерывная функция
Се(лг), такая, что множество {x?G; Ce(x) Ф 0}а представляет собой
бикомпактное подмножество множества G и
Замечание. Пусть т — некоторая мера Бэра на локально би-
бикомпактном пространстве S. Подмножество Z пространства 5 назы-
называется множеством т-меры нуль, если для всякого е > 0 можно ука-
указать такое бэровское множество В, содержащее Z, что т (В) < е.
Меру т можно распространить на класс т-измеримых множеств
(так мы будем называть множества, отличающиеся от бэровских
множеством m-меры нуль). Если некоторое условие выполняется
во всех точках, кроме тех, которые образуют множество /я-меры
1) Интеграл I ф (л:) dx обозначает здесь и далее интеграл Лебега. —
__ G
Прим. перев.
36 Введение
нуль, то говорят, что это условие справедливо почти всюду по мере т
(m-п. в.)- На функцию, которая т-п. в. совпадает с бэровской функ-
функцией, можно также распространить понятие интегрируемости.
4. Линейные пространства
Линейные пространства
Определение. Множество X называется линейным простран-
пространством над некоторым полем К, если выполняются следующие
условия:
X—аддитивная абелева группа; A)
определена операция умножения на скаляр: каждому
элементу х ? X и всякому а?К поставлен в соответ-
соответствие некоторый элемент множества X, обозначае-
обозначаемый ах, причем
; х, у?Х), B)
(а, р ? К; х?Х),
= а(р*) (а, р?/С; х?Х),
1 .х~х A обозначает здесь единичный элемент поля К).
В дальнейшем мы будем рассматривать линейные пространства
только над полем R1 вещественных чисел или над полем С1 ком-
комплексных чисел и в зависимости от этого соответствующее линейное
пространство будет называться вещественным или комплексным.
Итак, далее мы под линейным пространством понимаем веществен-
вещественное или комплексное линейное пространство. Элементы поля коэф-
коэффициентов мы будем обозначать греческими буквами, а элементы
пространства X — латинскими. Нулевой элемент пространства X
(так мы называем нулевой элемент аддитивной абелевой группы X)
и число нуль обозначаются одним и тем же символом 0; это не вызы-
вызывает никаких неудобств, поскольку 0 • х = (а — а)л: = ал: — ал: = 0.
Элемент аддитивной абелевой группы X, являющийся обратным
для элемента х, обозначается —х; легко видеть, что —х — (—1)л:.
Определение. Элементы линейного пространства X называются
также векторами этого пространства. Векторы xv x2, •-., хп про-
пространства X называются линейно независимыми, если из соотно-
п
шения 2а;оеу = 0 следует, что а1 = а2= ... =аЛ = 0. Векторы
называются линейно зависимыми, если это соотношение выпол-
выполняется, когда хотя бы один из коэффициентов а^ отличен от 0.
Если в X имеется п линейно независимых векторов, но любые
4. Линейные пространства 37
п-\-1 векторов линейно зависимы, то пространство X называется
п-мерным. Если же число линейно независимых векторов бесконечно,
то говорят, что X — бесконечномерное пространство. Всякая сово-
совокупность п линейно независимых векторов я-мерного линейного про-
пространства X называется его базисом; при этом всякий вектор х
п
из X единственным образом представляется в виде *=2а/У/»
У-1
где ух, у2, .... уп— базис пространства X. Подмножество М линей-
линейного пространства X называется линейным подпространством или,
короче, подпространством, если при любых х, у ? М всякая линей-
линейная комбинация ах-\-$у также принадлежит М. Множество М
является, следовательно, линейным пространством над тем же полем
коэффициентов, что и пространство X.
Линейные операторы и линейные функционалы
Определение. Пусть X, Y — линейные пространства над одним и
тем же полем коэффициентов К. Отображение Т : х -> у ~Т (х) = Тх,
определенное на некотором линейном подпространстве D простран-
пространства X и принимающее значения из Y, называется линейным, если
Т (ах, -+¦ р*2) = а (Тх,) + р (Тх2).
В частности, из этого определения следует, что
Г-0 = 0, Т(—х) = — (Тх).
Введем следующие обозначения:
^Tx, х?П(Т)\ =/?(Г);
Tx = 0}=N(T).
Множества D(T)t R(T) и N (Т) называются соответственно областью
определения, областью значений и нуль-подпространством
(ядром) отображения Т. Отображение Т называется также линейным
оператором, действующим из области D(T)czX в пространство К,
или линейным преобразованием области D(T) в область R(T)?Y,
или, несколько грубо, линейным оператором из X в У. Если
область значений R(T) содержится в скалярном поле /С, то Т назы-
называется линейным функционалом, заданным на D(T). Если линей-
линейный оператор Т отображает D{T) на R(T) взаимно однозначно, то
обратное отображение Т~1 определяется как линейное отобра-
отображение области R(T) на D(T), удовлетворяющее условиям
Т~1Тх = х для x?D(T); ТТ~гу = у для y?R(T);
Т~ называется также обратным оператором или обращением
оператора Т. Поскольку Т (хх — х2) = Тхх — Тх2, справедливо сле-
следующее утверждение.
38 Введение
Предложение. Линейный оператор Т имеет обратный оператор Т 1
тогда и только тогда, когда из соотношения Тх = 0 следует, что
jt=O.
Определение. Пусть Г1 и 7\>—линейные операторы, причем их
области определения D(TX) и D(T2) принадлежат линейному про-
пространству X, а области значений R(TX) и R(T2) содержатся в линей-
линейном пространстве К. Тогда по определению ТХ = Т2 в том и только
в том случае, когда D(T})=D(T2) и Тгх=Т2х для всех
х 6 D (Ti) = D (Т2)- Если D (т\) ? D (Т2) и Тхх = Т2х для всех
x?D(Tx), to оператор Т2 называется расширением, или продолже-
продолжением, оператора Tv а Тх называется сужением Т2\ в этом случае
мы будем писать Тх cz T2.
Замечание по поводу обозначений. Численное значение Т(х)
линейного функционала Т в некоторой точке x?D(T) мы иногда
будем обозначать через (л:, Г), т. е.
Т(х) = (х. Т).
Факторпространства
Предложение. Пусть М — некоторое линейное подпространство
линейного пространства X. Два вектора xv X2?X называются
эквивалентными относительно подпространства М (или сравни-
сравнимыми по модулю Ж), если (хх — х2)?М; в этом случае мы пишем
xl = x2(tnou M). Из этого определения вытекают следующие
свойства:
A) jc = *(modAf);
B) если хх==х2(mod Ж), то x2^xl(mod M);
C) если xx = x2(mod M) и x2 = xz(mod M), то хх = хъ(mod Ж).
Доказательство. Свойство A) очевидно, так как х — х = 0?М.
Утверждение B) следует из того, что если (хх — х2)?М, то
(^2—^) = —(хх — х2)?М. Наконец, C) справедливо потому, что
если (хх—х2)?М и (х2 — х3)?М, то (хх ~ хг) — (хх- х2)-{-
Совокупность всех векторов пространства X, сравнимых по
модулю М с некоторым фиксированным вектором х, мы будем обо-
обозначать через %х. Тогда в соответствии со свойствами B) и C)
все векторы из 1Х взаимно сравнимы по модулю М. Множество ^
называется классом эквивалентности по модулю М% а каждый
отдельный вектор из \х называется представителем класса \х.
Класс полностью определяется любым из своих представителей,
т. е. из соотношения у?1х вытекает, что ^ = ?у. Следовательно,
всякие два класса %х, %у либо не пересекаются (если У(?|Д либо
совпадают (если У^1Х). Таким образом, все пространство X раз-
разбивается на классы \х векторов, взаимно эквивалентных по модулю М.
4. Линейные пространства 39
Теорема. Если в совокупности всех классов эквивалентности
определить сложение классов и умножение класса на скаляр формулами
то это множество классов можно рассматривать как новое линейное
пространство.
Доказательство. Приведенные выше определения операций над
классами не зависят or выбора представителей х, у соответственно
классов 1Х, |у. В самом деле, если (х{ — л:) ? М, (у, — у) ^ Ж, то
(ахх — ал:) = а (дг, — л:) ^ М\
Таким образом, мы показали, что ^|+У1 = ^+у и ^а^^^-
Итак, вышеуказанные операции определены однозначно, и при
этом выполняются все аксиомы линейного пространства.
Определение. Линейное пространство, построенное таким спо-
способом (пространство классов эквивалентности), называется фактор-
пространством пространства X по подпространству М и обозна-
обозначается Х/М.
Литература
Топологические пространства: Александров — Хопф [1],
Бурбаки [1J, Келли [1].
Пространства с мерой: Халмош [1], Сакс [1].
ГЛАВА I
Полунормы
Полунорма вектора линейного пространства является некоторым
аналогом понятия длины. Чтобы ввести в бесконечномерном линейном
пространстве топологию, удобную для приложений к задачам класси-
классического и современного анализа, иногда необходимо использовать
систему бесконечного числа полунорм. Одна из больших заслуг мате-
математиков группы Бурбаки состоит в том, что они показали, как важно
для функционального анализа изучение локально выпуклых про-
пространств, определяемых с помощью системы полунорм, удовлетво-
удовлетворяющих аксиоме отделимости. В случае когда такая система полу-
полунорм сводится к единственной полунорме, соответствующее линейное
пространство называется нормированным линейным пространством.
Если, кроме того, это пространство полно по отношению к тополо-
топологии, определенной указанной полунормой, то оно называется бана-
банаховым пространством. Понятие полного нормированного линейного
пространства независимо друг от друга ввели около 1922 г. С. Банах
и Н. Винер. Некоторое видоизменение понятия нормы, которое мы
в данной книге называем квазинормой, было предложено М. Фреше.
Мы рассмотрим также некоторый специальный вид предельного пере-
перехода— индуктивный предел локально выпуклых пространств, кото-
который используется при изучении обобщенных функций, или распре-
распределений; соответствующая теория была развита Л. Шварцем на основе
обобщения понятия функции, предложенного С. Л. Соболевым.
/. Полунормы а локально выпуклые линейные
топологические пространства
Как было сказано во введении, понятие полунормы играет важную
роль при изучении линейных топологических пространств. Мы начнем
с определения полунормы.
Определение 1. Вещественная функция р(х), заданная на линей-
линейном пространстве X, называется полунормой, если выполняются сле-
следующие условия:
Р (* + У) <^ Р 0*0 + Р (У) (полуаддитивность), A)
B)
42 /. Полунормы
Пример 1. Евклидово я-мерное пространство Rn точек
х = (хх хп) с координатами л^, х2 хп является я-мерным
линейным пространством относительно операций
ах = (axv ax2, .... ахп).
В этом пространстве функция р(х)— max \хЛ представляет собой
полунорму. Как будет показано далее, функция р(х) =
при q^\ тоже является полунормой в R .
Предложение 1. Всякая полунорма р(х) удовлетворяет следую-
следующим условиям:
/>@) = 0; C)
р(хг — х2)^>| р(хг) — р(х2)\; в частности, /?(л:)>0. D)
Доказательство. Имеем р @) = р @ . л:) = 0 • р (х) = 0. В силу
полуаддитивности р (xl — x2)-{'p (х2) ^ р (хх), и поэтому р (хх—х2) ^
!> р (хг) — р (х2). Таким образом, р(хх — х2) = | —11 • р (х2 — хх) >
^> Р (х2) — Р (хг), откуда следует D).
Предложение 2. Пусть р (х)—некоторая полунорма в X, с—любое
положительное число. Тогда множество М={х?Х\ p(jc)<c) удо-
удовлетворяет следующим условиям:
; E)
М выпукло, т. е. если х, у?М и 0<а<1, то
ад: + A_аK,еМ; F)
Ж уравновешено, т. е. если л: ? М и |а|< 1, то ах ? М; G)
Ж является поглощающим, т. е. для любого jc ^ Л'
существует такое а > 0, что а~1х?М; (8)
/?(.*;)= inf ас. (9)
а>0, а х
Доказательство. Свойство E) следует из C): G) и (8) вытекают
из B). Утверждение F) является следствием полуаддитивности A) и
условия B). Наконец, справедливость соотношения (9) вытекает из
У. Локально выпуклые линейные топологические пространства 43
эквивалентности следующих трех предложений:
[от1* ? М] ^± [р (cr U) < с] ^ [р (х) < ас] (а > 0).
Определение 2. Функционал
рм(х)= inf a (9')
а>0, а ^
называется функционалом Манковского1) выпуклого уравновешен-
уравновешенного поглощающего множества М пространства X.
Предложение 3. Пусть некоторое семейство [р^{х)\ у€П полу-
полунорм линейного пространства X удовлетворяет следующей аксиоме
отделимости:
для всякого х0 Ф 0 существует полунорма Ръ(х)
из этого семейства, такая, что р (хЛфО, A0)
Выберем некоторую конечную систему полунорм из этого семей-
семейства, скажем р (х), /?v (л:), .... о (л:), и систему п положитель-
Ч Y2 УП
ных чисел elt г2, ..., гп и рассмотрим множество
U={x?X\ Pb,(xXe.(j=U 2..... л)}. (И)
Тогда ?/ — выпуклое уравновешенное поглощающее множество. Будем
теперь рассматривать множества вида U как окрестности вектора х = 0
пространства Х\ за окрестности любого другого вектора х0 примем
по определению множества вида
лго4-?/=-{у6*; y = xQ±u, u?U). A2)
Рассмотрим множество О пространства Х% содержащее некоторую
окрестность каждой из своих точек. Тогда совокупность {О} всех
таких подмножеств О удовлетворяет аксиоме открытых множеств,
приведенной в § 2 введения.
Доказательство. Сначала мы покажем, что всякое множество О0
вида О0= [х?Х\ ру(х)<с] является открытым в смысле данного
выше определения. Пусть х0 ? О0 и ру (х0) = р < с. Тогда окрест-
окрестность х0 4- U точки *0, где U = {x?X\ /?y(jc)<2"'(c — Р)}, со-
содержится в О0, так как если u?U, то ру(х0 -\- w
+ (XKP)
') Применяется также название опорная функция (или функция Мин-
ковского). — Прим. пере в.
44 /. Полунормы
Следовательно, для всякой точки хо?Х существует открытое
множество вида дг0 -f- O0, содержащее х0.
Ясно, что объединение любого числа и пересечение конечного числа
определенных выше открытых множеств также являются открытыми
множествами.
Таким образом, нам остается лишь показать, что выполняется
аксиома отделимости Хаусдорфа: если хх Ф х2, то существуют непере-
непересекающиеся открытые множества Gx и О2, такие, что
Так как окрестность любой точки xt определяется соотношением A2),
достаточно доказать A3) для случая л^ —0, х2ф0. Согласно A0),
мы можем выбрать р (х) так, что р (х) = а > 0. Тогда множество
Ог = {х?Х; р (л;)<а/2}, как было показано выше,—открытое.
Разумеется, Gl^0 = хх. Остается показать, что множества Gx и
02 = ^2+0! не имеют общих точек. Допустим противное: пусть
существует у ? Gx П О2. Так как у ? О2, то у = х2 + g = х2—(— g)>
где g— некоторая точка, принадлежащая Olt и поэтому из неравен-
неравенства D) следует, что /?Y2(y)> /\2(*2)~~ P(~S) >« —2» =<х/2,
поскольку —g, так же как и g, принадлежит Ov Но y?Glt и по-
поэтому р (у) < а/2. Полученное противоречие доказывает наше утвер-
утверждение.
Предложение 4. Если принять определенные выше множества О
за открытые, то X станет линейным топологическим простран-
пространством, т. е. линейным и одновременно топологическим простран-
пространством, для которого непрерывны отображения Ху^Х->Х\ (л:, у)->
->х-\-у и КУ^Х->Х\ (а, х)->ах. Кроме того, каждая из полу-
полунорм ру(х) есть непрерывная функция на X.
Доказательство. Для любой окрестности U точки л; = 0 суще-
существует окрестность V этой же точки, такая, что
== {w? X; w = vljrv2, где vl%
так как полунорма полуаддитивна. Следовательно, отображение (х, у)~>
->х~\-у непрерывно при х = х0, у = у0, так как
(* + У) — (х0 + у0) = (х — аго) + (у — у0).
Для любой окрестности (/ точки а: = 0 и всякого скаляра а Ф О
множество а?/—{лг^Л*; х = аи, u?U) в свою очередь является
окрестностью точки х = 0. Поэтому из соотношения B) и равенства
а* — аол;о = а (х — х0) —(а — Oq) х0
1. Локально выпуклые линейные топологические пространства 45
мы заключаем, что отображение (а, х)-+ах непрерывно при а = Оо,
х = х0.
Непрерывность полунормы ру (х) во всякой точке х = х0 сле-
следует из неравенства | ру (х) — ру (х0)|< ру(х — х0).
Определение 3. Линейное топологическое пространство X назы-
называется локально выпуклым линейным топологическим простран-
пространством, или, короче, локально выпуклым пространством, если
всякое открытое множество этого пространства, содержащее точку
х = О, содержит также некоторое выпуклое уравновешенное и погло-
поглощающее открытое множество.
Предложение б. Функционал Минковского рм(х) всякого вы-
выпуклого уравновешенного и поглощающего подмножества М линей-
линейного пространства X представляет собой некоторую полунорму на X.
Доказательство. Так как М — выпуклое множество, из вклю-
включений
С М при любом е > О
следует, что
е* , РмЫ + г У гм
* РЮ + Р1у) + * ' PW + e
и поэтому рм(х + у)^.рм(х)-\-рм(у)-\-2е. Поскольку е > 0 взято
произвольно, отсюда следует, что функция рм(х) полуаддитивна.
Аналогично, из того что М — уравновешенное множество, вытекает
соотношение рм (ах) = \ а \ рм (х). Таким образом, доказана следующая
Теорема. Всякое линейное пространство X, топологизированное
указанным выше способом с помощью некоторого семейства полу-
полунорм Ру(х), удовлетворяющего аксиоме отделимости A0), является
локально выпуклым пространством, в котором каждая полунорма
ру(х) непрерывна. Обратно, всякое локально выпуклое простран-
пространство представляет собой некоторое линейное топологическое про-
пространство, топологизированное с помощью семейства полунорм, за
которые можно принять функционалы Минковского выпуклых уравно-
уравновешенных и поглощающих открытых множеств пространства X 1).
Определение 4. Пусть /(х) — комплексная функция, заданная
на некотором открытом множестве Q пространства Rn. Носителем
1) Для дальнейшего полезна следующая эквивалентная формулировка
этого предложения: топология всякого локально выпуклого линейного топо-
топологического пространства X может быть определена семейством полунорм,
состоящим из всех непрерывных в этой топологии полунорм, заданных
на Х. — Прим. пере в.
46 /. Полунормы
supp(/) функции f(x) называется наименьшее замкнутое множе-
множество (топологического пространства Q), содержащее множество
{x?Q\ /(х)фО). Иными словами, носитель f(x) — это наименьшее
замкнутое множество пространства Q, вне которого функция f(x)
тождественно равна нулю.
Определение б. Обозначим через Ск(Q) @<&<оо) совокуп-
совокупность всех комплексных функций, определенных на множестве Q,
которые имеют непрерывные частные производные до порядка k
включительно (бесконечно дифференцируемых, если k = оо). Симво-
Символом Co(Q) обозначим подмножество функций из C*(Q), носители
которых являются бикомпактными подмножествами Q (мы назовем их
функциями с бикомпактными носителями). Классический пример
функции из множества C^{Rn) представляет собой функция f(x),
определяемая условиями
/(*) =
\1/2
при |*| = (jS5j
A4)
О при \х\^>\.
Пространство ©
Множество C*(Q) является линейным пространством относительно
операций
/i (х) + /2 (х). (а/) (х) = а/ (*).
Для всякого бикомпактного подмножества К из Q и любого не-
неотрицательного целого числа т ^ k (т < оо при k = оо) определим
полунорму
РК mU)= SUp |D7(*)|. /€C*(Q).
где
Тогда введение в множестве C*(Q) топологии, определяемой построен-
построенным выше семейством полунорм, превращает его в локально выпук-
выпуклое топологическое пространство, которое мы обозначим через (?* (Q).
/. Локально выпуклые линейные топологические пространства 47
Предельный переход lim Д = / в этом пространстве $*(Q) сов-
Л~>оо
падает с равномерной сходимостью lim Dsfh(x) = Dsf(x) на всяком
Л->оо
бикомпактном подмножестве К множества Q при любом значении
s, 151 <^ k (| s | < оо, если k = сю).
Предложение б1)* Пространство (S*(Q) является метрическим.
Доказательство. Пусть Кх с К2 S • . . ? Кп с ... — некоторая
монотонно возрастающая последовательность бикомпактных под-
сх>
множеств из Q, такая, что Q= ^J Kn. Определим для каждого
я- 1
положительного целого числа h функцию расстояния
Тогда сходимость lim fs = f в пространстве 6* (Q) определяется
S-+OO
расстоянием
<*(/. g)=li 2-Hdh(f, g).(l+dh(f, g))-\
Мы должны еще показать, что функции dh(f, g) и d(ft g) удовле-
удовлетворяют неравенству треугольника. Для dh (/, g) неравенство тре-
треугольника выводится следующим образом: полуаддитивность полу-
полунормы рк (/) позволяет заключить, что неравенство треугольника
выполняется, если при любых комплексных а, р и у справедливо
неравенство
Это последнее неравенство нетрудно вывести из другого неравенства,
справедливого для любых неотрицательных вещественных a, p и у:
Для функции d (/, g) неравенство треугольника доказывается анало-
аналогичным образом.
Определение 6, Пусть X — линейное пространство, а \Ха] —
семейство линейных подпространств из X, такое, что X есть объе-
объединение множеств Ха. Предположим, что все Ха—локально выпук-
1) Если в топологическом пространстве X можно ввести метрику, при
которой топология X как метрического пространства совпадает с исходной
топологией, то говорят, что пространство X метризуемо. Предложение 6
утверждает, что пространство (?*(Q) метризуемо. — Прим. перев.
48 /. Полунормы
лые линейные топологические пространства, причем для любых alt a2
выполняется следующее условие: если Хпх (? Хп2, то топология в Ха,
совпадает с относительной топологией Ха, как подмножества про-
пространства Ха2. Назовем „открытыми" множествами те и только
те выпуклые уравновешенные и поглощающие множества U простран-
пространства X, для которых пересечения вида U(\Xa со всеми Ха?{Ха)
представляют собой открытые множества пространства Ха, содержа-
содержащие нулевой вектор х = О этого пространства. Если X — локально
выпуклое линейное топологическое пространство, топология в кото-
котором определена указанным выше образом, то X называется индук-
индуктивным пределом 1) пространств Ха.
Замечание. Выберем из каждого пространства Ха некоторую
выпуклую уравновешенную окрестность Ua вектора х = О этого про-
пространства. Тогда выпуклая оболочка объединения V = \\Uai т. е.
множество °
u?X\ «=2 *JVJ' vj€V* Py>°C/=1- 2, .... л),
П Л
2 Ру= 1, п — произвольное конечное целое число/,
71 J
очевидно, является выпуклым, уравновешенным и поглощающим, и
при этом пересечения U (] Ха представляют собой выпуклые и уравно-
уравновешенные окрестности вектора х = 0 пространства Ха для всех Ха.
Совокупность всех таких множеств U, соответствующих произволь-
произвольному выбору окрестностей Ua, представляет собой фундаментальную
систему окрестностей нулевого вектора х = 0 индуктивного пре-
предела X пространств Ха, т. е. всякая окрестность нулевого вектора
индуктивного предела X пространств Ха содержит некоторое мно-
множество U, принадлежащее построенной выше совокупности. Этот
факт оправдывает приведенное выше определение индуктивного пре-
предела 2).
1) Другие определения индуктивного предела см. в книгах Бурбаки [2],
Канторович — Акилов [1]. — Прим. перев.
2) Определение «оправдывается" в том смысле, что пространство X,
построенное указанным способом, действительно является в силу приведен-
приведенных рассуждений локально выпуклым линейным топологическим простран-
пространством, так как если в качестве множеств 1/а выбрать открытые выпуклые
уравновешенные и поглощающие окрестности нулевых векторов про-
пространств Хф то соответствующие множества типа U будут открытыми
выпуклыми уравновешенными и поглощающими окрестностями нулевого
вектора пространства X, и при этом всякая окрестность (в том числе и
открытая) нулевого вектора пространства X будет содержать некоторое
множество типа U. — Прим. перев.
1. Локально выпуклые линейные топологические пространства 49
Пространство
Операции
(А + Л) (*) = Л (*) + /2 (*). (<*/) (*) = «/ (*)
позволяют рассматривать С™ (Q) как линейное пространство. Обозна-
Обозначим через ?)#(Q) множество всех функций /?Co°(Q), таких, что
supp (/) ? Л\ где К — любое бикомпактное подмножество из Q. Опре-
Определим в <S)K(Q) семейство полунорм
Рк,т(Л= sup \Dsf(x)\> где m<oo.
Тогда ©#(Й) превращается в локально выпуклое линейное топологи-
топологическое пространство, причем если Кх ? К2* то топология D^(Q)
совпадает с относительной топологией D^(Q) как подмножества
пространства ?)#2(?2). Индуктивный предел пространств $)^(Q), где К
пробегает совокупность всех бикомпактных подмножеств из Q, является
локально выпуклым линейным топологическим пространством. Тополо-
гизированное таким способом множество С^° (Q) мы обозначим через
©(Q). Следует заметить, что определенная в 3)(Q) функция
P(/) = stip|/(*)|
x?Q
— это одна из полунорм, определяющих топологию в пространстве
D(Q). В самом деле, если мы положим (/ = {/?CS°(Q); /K/)^l}.
то пересечение U П lbK (Q) совпадает с множеством Uк = j / ^ ?)к (Q);
Предложение 7. Сходимость Ит/л = 0 в пространстве 5S)(Q)
h-+oo
означает, что выполняются следующие два условия: A) в Q суще-
существует бикомпактное подмножество /С, такое, что supp (Д) 5=
S K(h= 1, 2, . . .); B) для любого дифференциального оператора /У
последовательность {Ь^/лС-^)} сходится к 0 равномерно на множе-
множестве /С.
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать лишь утвержде-
утверждение A). Допустим противное и предположим, что существуют последо-
последовательность {xW} точек множества Q, не имеющая предельных точек
в Q, и подпоследовательность {ffij 0*0] последовательности
такая, что Д. (л;*^) ф 0. Тогда полунорма
/,(/)= 2 2 sup
4 К. Иосида
50 /. Полунормы
где монотонно возрастающая последовательность бикомпактных под-
оо
множеств Kj множества Q удовлетворяет условию ^J Kj = Q, при-
чем xW?Kk — Kk_x (k= 1, 2, . ..) и АГо = 0, определяет некоторую
окрестность U = {/?CS°(Q); /?(/)<! l} нулевого вектора простран-
пространства 5)(Q). Но, с другой стороны, ни одна из функций fnk не со-
содержится в U. Зто противоречие и доказывает наше утверждение.
Следствие. Сходимость Пт/Л = / в пространстве ©(Q) озна-
Л->оо
чает, что выполняются следующие два условия: A) в Q существует
такое бикомпактное подмножество /С, что supp (fh) S К (h = 1, 2, .. .);
B) для любого дифференциального оператора Ds последовательность
\iyfh(x)) сходится к Dsf(x) равномерно на К.
Предложение 8 (теорема об аппроксимации). Всякая непрерывная
функция /?Со(/?л) может быть равномерно аппроксимирована в про-
пространстве Rn функциями из С2°(/?л).
Доказательство. Пусть Qx(x) — функция, определенная соотно-
соотношением A4); положим
A0)
где а>0 и ha > 0 выбраны так, что J 6a (x) d х = 1.
if
Определим теперь регуляризацию fa функции /
fa(x)~jf(x-y)Qa(y)dy= $ f(y)Qa(x-~y)dy, A6)
if if
где л: — у — (хг — yv x2 — у2» •••• хп — Уп)- Интеграл A6) сходится,
так как /и8в имеют бикомпактные носители. Кроме того, поскольку
/*(*)= J /(y)ee(x-y)rfy.
supp (/)
носитель функции fa будет содержаться в сколь угодно ма(лой окрест-
окрестности носителя supp(/) при достаточно малом а > 0. Далее, диф-
дифференцируя под знаком интеграла, мы получаем
A7)
2. Нормы и квазинормы 51
и поэтому fa принадлежит Со° (/?"). Наконец, поскольку
J
я"
имеем (е > 0)
I/.<*)-/(*),!<
J
/(Jf)l
J
Первое слагаемое в правой части не превосходит 8, а второе при
достаточно малых а > 0 обращается в нуль. В самом деле, в силу
равномерной непрерывности / как непрерывной функции с биком-
бикомпактным носителем существует столь малое а > 0, что из условия
I/O0 — /Ml > е следует неравенство \у — х\> а. Тем самым наше
предложение доказано.
2. Нормы и квазинормы
Определение 1. Локально выпуклое пространство называется
нормированным, если его топология определяется единственной по-
полунормой, принимающей нулевое значение только при л; = 0.
Таким образом, линейное пространство X называется нормиро-
нормированным, если каждому х ? X поставлено в соответствие вещественное
число ||лг||, называемое нормой вектора х, такое, что выполняются
следующие условия:
|| х || >0; || х ||== 0 тогда и только тогда, когда л; = 0; A)
Н* + У|К11*||-Н|у|| (неравенство треугольна а)\ B)
||ах|Ыа|-11*11- C)
Топология нормированного линейного пространства X определяется,
следовательно, метрикой
УM3||* — у||. D)
52 /. Полунормы
В самом деле, нетрудно убедиться в том, что функция d(xt у) удо-
удовлетворяет аксиоме расстояния:
d(x, y)>0; d(x, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;
d(x, y)<^.d(x, z)\-d(z> у) (неравенство треугольника);
d(x, y) = d(y, x).
Действительно, rf(i, y) = ||jc — у|| = ||У — x\\ = d(y, х) и d(x, y) =
= \\x-y\\ = \\x-z + z-y\\^\\x-z\\ + \\z-y\\ = d(x. z) + d(z, у)
согласно A), B), C) и D).
Сходимость lim d(xn, л;) = 0 в нормированном пространстве X
/1->оо
мы будем обозначать записью 5 -lim xn = x или просто хп->х
л->оо
и будем при этом говорить, что последовательность [хп] сильно
сходится к элементу х. Термин „сильная" сходимость вводится,
чтобы отличить этот вид предельного перехода от „слабой" сходи-
сходимости, которая будет определена позже.
Предложение 1. В нормированном линейном пространстве X
выполняются следующие условия:
если 5-lim xn = x, то lim ||хя||= ||jc||; E)
если lim an = a и s- lim xn = xy то s- lim алл:л = ал:; F)
П-+ОО П-+ОО /1->ОО
если s- lim хп = х и 5- lim yn = у,
Л->ОО П-+ОО
то е- lim (xn-\-yn)=x + y. G)
Доказательство. Условия E), F) и G) уже доказаны, по-
поскольку X — локально выпуклое пространство, топологизированное
с помощью единственной полунормы /? (*) = II * II- Однако можно
провести и прямое доказательство. По определению полунормы
откуда следует E). Свойство G) вытекает из неравенства ||(
-(^ + ^I1 = 11(^-^) + (У-^IК11^-^11 + 1|У-^1|. Нако-
Наконец, из неравенств ||ах — аяхя||<||а* —аях|| +1| алл: — алл:л ||<
<^|а — ап | • || jc ||-f-1 ая | • ||jc — лгя|| и ограниченности последователь-
последовательности {ап} мы выводим F).
Определение 2. Линейное пространство X называется квазинор-
мированным линейным пространством, если каждому элементу
х?Х поставлено в соответствие вещественное число ||х||, называе-
2. Нормы и квазинормы 53
мое квазинормой1) вектора х% таким образом, что выполняются
условия A), B) и
|| — х || = || х ||, lim || <хЛjc К ===== 0 и lim ||ахя|| = 0. (З7)
Предложение 2. В квазинормированном линейном пространстве X
выполняются условия E), F) и G).
Доказательство* Ясно, что в доказательстве нуждается лишь со-
соотношение. F). Из доказательства предыдущего предложения видно,
что для этого необходимо доказать следующее утверждение:
если lim ||л;л|| —0, то lim ||а^я|| = 0,
Я->ОО Я->ОО
причем сходимость равномерна по а на всяком
ограниченном множестве значений а. (9)
Мы приводим здесь не опубликованное ранее доказательство утвер-
утверждения (9), принадлежащее Какутани. Рассмотрим функционал
рп (а) = || ахп ||. определенный на линейном пространстве Z?1 веще-
вещественных чисел, в котором норма определена как абсолютная вели-
величина. Из неравенства треугольника для рп(а) и условия (З7) следует,
что функционал /?л(а) непрерывен в R1. Значит, из условия
lim /?я(а) = 0, согласно C0 и теореме Егорова (введение, § 3),
й->оо
можно заключить, что существует некоторое измеримое по Бэру
множество А вещественной прямой R1, обладающее следующим
свойством:
мера Лебега |Л| множества А положительна
и Птря(а) = 0 при а?Л, причем сходимость
равномерна по а?А. A0)
Так как мера Лебега на вещественной прямой непрерывна относи-
относительно сдвига, имеем
\(А -f- а) © А | —i>0 при о—> 0,
где через В ©С обозначена симметрическая разность В [} С — В (] С.
Поэтому существует такое положительное число а0, что при |сг|<^а0
справедливо неравенство | (А -\- а) © А \ < | А |/2 и, следовательно,
I А | > 0. Таким образом, для любого вещественного числа а,
1) Термин „квазинорма* иногда употребляется в несколько ином смысле
(см., например, Плеснер [1*]). Величину, названную здесь квазинормой, на-
называют иногда просто нормой (например, Данфорд — Шварц [1]). — Прим.
перев.
54 /. Полунормы
удовлетворяющего условию | <т | ^ сг0, справедливо представление
а = а — а', где а?Л, а'?А.
Но тогда на основании неравенства рп(о) = рп(а — а') </?„ (а) ~f
-\-рп(о*') мы можем заключить, что
lim рл(а) = 0 равномерно относительно а, для которых |а|^а0.
Л-»оо
Пусть М — произвольное положительное число. Тогда, выбирая не-
некоторое положительное число k^M/o0 и учитывая, что pn(ko)^,
<^.kpn(o), мы устанавливаем, что условие (9) действительно выпол-
выполняется при |а|^ М.
Замечание. Приведенное выше доказательство легко модифици-
модифицировать так, что оно будет применимо и для комплексных квазинор-
мированных пространств X.
Как и в случае нормированных линейных пространств, предель-
предельный переход iim ||л;— лгя|| = О в квазинормированном линейном
л->оо
пространстве мы будем записывать в виде s- lim лгл = л; или просто
«->оо
хп->х и будем говорить, что последовательность \хп) сильно схо-
сходится к х.
Пример. Пусть в локально выпуклом пространстве X топология
определена с помощью счетного числа полунорм рп(х) (#= 1, 2, ...)•
Тогда X является квазинормированным пространством с квазинормой
л-1
В самом деле, в этом случае сходимость lim pn(xh) = 0 (n=\t 2,...)
эквивалентна тому, что 5-lim jca = 0 по отношению к определен-
ной выше квазинорме ||л:||.
3. Примеры нормированных линейных пространств
Пример 1. Пространство С (S). Пусть S—некоторое топологи-
топологическое пространство. Рассмотрим множество С E) всех вещественных
(или комплексных) ограниченных непрерывных функций x(s)t задан-
заданных на 5. Множество С E) с операциями
(* +¦ У) (s) = х E) + у E), (ах) (s) = a* (s)
3. Примеры нормированных линейных пространств 55
И нормой
|| х || = sup х (s)
образует нормированное линейное пространство. В этом пространстве
формула s- lim xn = x означает равномерную сходимость последо-
Я->оо
вательности \xn(s)} к x(s).
Пример 2. Пространство Lp(Sy 93, m) или, короче, L? (S)
A<^р<оо). Обозначим через Lp (S) совокупность всех веществен-
вещественных (или комплексных) 93-измеримых функций х (s), заданных гп-п. в.
на 5, таких, что (л:^)!7' m-интегрируемы по 5. Множество Lp (S)
с операциями
(л: -+- у) (s) = x(s) + y E), (ал:) (s) = ах (s)
является линейным пространством. Действительно, сумма ((|У())
принадлежит LP(S), если обе функции х($) и у (s) принадлежат LP(S);
это следует из неравенства | а:(^) —J— у (s)\p -< 2^A Ar^^ + ly (s)\p).
Норму в пространстве LP(S) мы определим соотношением
\\x\\=n\x(s)\pm(ds)\llP. A)
Полуаддитивность этой нормы выражается неравенством
\x(s)\p m(ds))Vp + (j\y(s)\> m(ds))Vp, B)
которое называется неравенством Минковского. При р = 1 оно
очевидно. Для доказательства неравенства Минковского в общем
случае 1 < р < оо нам потребуется следующая лемма.
Лемма 1. Пусть 1 < р < оо. Определим сопряженный с р по-
казателъ рг соотношением
Тогда для любых двух неотрицательных чисел а и Ь выполняется
неравенство
56 /. Полунормы
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда
СР I
Доказательство. Функция f(c) = f—г— с при с>0 при-
принимает минимальное значение только в точке с=\, и это значение
равно 0. Полагая c = abl/(iP~l\ мы получаем неравенство D).
Доказательство неравенства B). Докажем сначала неравенство
Гёльдера
J | * (s) у (s) |< (J \x («) \РI1Р ¦ ( J | у (з) f)Vp' E)
для удобства мы пишем z(s) вместо z (s) m (ds) \. С этой целью
5 /
допустим, что оба выражения А = ( J |л:E)|р) Р и В—( [ \y(s)\p'\
отличны от нуля, так как в противном случае почти всюду x(s)y(s) = 0,
и тогда формула E), очевидно, справедлива. Подставляя a = \x(s)\/A
и Ь = \у($)ЦВ в неравенство D) и интегрируя, мы получаем
1 Ар \ ВР' =
АР~^~ ' ВР'
АВ ^ р АР^ р'
откуда следует E).
Теперь в силу E) мы имеем
J
Так как р'(р—1) = /?, из последнего неравенства вытекает B).
Замечание 1. Знак равенства в формуле B) имеет место тогда
и только тогда, когда существует такая неотрицательная постоян-
постоянная с, что х (s) = су (s) т-п. в. (или у (s) = ex (s) т-п. в.). Последнее
следует из того, что, согласно лемме 1, в неравенстве Гёльдера E)
знак равенства может быть в том и только в том случае, когда
т-п. в. |*(*)у(*)|>0 и \x(s)\^c\y{8)\l/u"l) (или
3. Примеры нормированных линейных пространств 57
Замечание 2. Условие ||л;|| = ( | | a:(s)|p) = 0 эквивалентно
требованию, что х($) = 0 m-п. в. Будем поэтому считать всякие две
функции из IP E) эквивалентными, если их значения m-п. в. сов-
совпадают. При таком соглашении Lp E) становится нормированным
линейным пространством. Предельное соотношение 5- lim хп == х
в пространстве Lp (S) иногда называют сходимостью в среднем по-
рядка р последовательности функций xn(s) к функции x(s).
Пример 3. Пространство L°°E). Определенная на множестве S
93-измеримая функция x(s) называется существенно ограниченной,
если существует такая постоянная а, что т-п. в. j л: (s)| -^ а. Нижняя
грань таких чисел а называется существенной верхней гранью для
(л:(s)\ и обозначается символом
vrai max I x (s) I или essential sup | x (s) |.
?S ?S
Пространство L°°(St 93, m) или, короче, L°°(S) — это множество
всех 93-измеримых существенно ограниченных функций, заданных
т-п. в. в 5. Введение операций
(х + у) (s) = х (s) + У E), (ах) (s) = ах (s)
и нормы
|| х || = vrai max |.v(s)|
превращает это множество в нормированное линейное пространство,
если условиться считать всякие две функции из L°°(S)t значения
которых совпадают т-п. в., эквивалентными.
Теорема 1. Пусть полная мера m(S) множества 5 конечна.
Тогда для всякой функции х ($) ^ L°° (S) имеем
lim ([\х(s) \р т(ds)\l/P = vrai шах |х(s) |. F)
Доказательство. Ясно, что
(\\х (s) \р т (ds))l/P < т (S)Vp vrai max \x(s) |,
откуда lim I \ \x(s) \p\ <; vrai max | x (s) |. Но по определению вели-
чины vrai max | x (s) \ для всякого е>0 существует множество В по-
ложительной m-меры, в каждой точке которого выполняется неравен-
58 /. Полунормы
ство | х E)| !> vrai max | x (s) |— e. Следовательно,
( f | x (s) \p m (ds)\Vp > (m (B) )l/p f vrai max | x (s) \ — e\.
(
Поэтому lim ( f|*(s)|p) P> vrai max | x(s)\—e и соотношение F)
действительно справедливо.
Пример 4. Рассмотрим дискретное топологическое простран-
пространство 5, состоящее из счетного множества точек, обозначенных
1, 2 Термин „дискретное" означает здесь, что каждая точка
множества 5 = -{1, 2, ...} представляет собой открытое множество
пространства S. Определим линейные подпространства (с0), (с) и
AР)(\ <р<оо) пространства С({1, 2, ...}).
(с0): Рассмотрим некоторую ограниченную последовательность {!„}
вещественных или комплексных чисел. Такая последовательность
определяет на дискретном пространстве 5={1, 2, ...} непрерывную
функцию х(п) = 1п. Назовем х = {|Л} вектором с компонентами |л.
Совокупность всех векторов л;={|л}, удовлетворяющих условию
lim !л = 0, образует нормированное линейное пространство (с0)
/1->СХ)
с нормой
(с): Совокупность всех векторов д:={^л}, для которых суще-
существуют конечные пределы lim ?Л, образует нормированное линейное
/*-> ос-
пространство (с) с нормой И* || = sup | х(п) | = sup||/z |.
2
п = \
(//?)A <^р < оо): Множество всех векторов х— {|rt}, для которых
| |Л \р < оо, образует нормированное линейное пространство (/р)
п \
с нормой ||л:|| = \2j \\п \Р) • ^ак абстрактное линейное простран-
V/i-i /
ство AР) является линейным подпространством пространства
С({1, 2, ...}). Оно является также частным случаем пространства
LP(S, 93, /я), когда m({l}) = m({2})= ... = 1.
(/°°) = (/я): По аналогии с общим случаем пространства ^E)
обозначим через (/°°) или (т) линейное пространство С({1, 2, ...})
с нормой || # || = sup | х(п)\ = sup||rt |.
п п
Пространство мер. Пусть 93 — некоторая о-алгебра подмножеств
множества 5. Рассмотрим множество А E, 2?) всех вещественных
(или комплексных) функций <р(?), заданных на 93 и удовлетворяю-
3. Примеры нормированных линейных пространств 59
щих следующим условиям:
| ф (В) | Ф оо для всех В ? 93, G)
/ оо \ оо
ф( 2 ^/1= 2 Ф(#/) для всякой последовательности {ВЛ
попарно непересекающихся множеств из 93.
Вещественные функциии ф(#), удовлетворяющие этим условиям,
мы будем называть обобщенными1) мерами. Пространство Л E, 93)
мы назовем пространством обобщенных (соответственно комплекс-
комплексных) мер, определенных на E, 93).
Лемма 2. Рассмотрим некоторую вещественную функцию
Ф ? A (S, 93). Полная вариация функции ф на S, определяемая
формулой '
V(q>; 5) = Р(Ф; 5)+|К(ф; 5)|, (9)
конечна; здесь
\7(ф; В)= sup ф(^) и 1/(ф; В)= inf ф(^) A0)
В, с Я, "" B\SzB'
— соответственно положительная и отрицательная вариации
функции ф на подмножестве В ? 93.
Доказательство. Поскольку ф@) = О (это следует из условий
G) и (8)), имеем V(q>\ ?)>0>^(ф; В). Допустим, что У(ф; 5) = оо.
Тогда существует такая убывающая последовательность [Вп\ мно-
множеств из 93, что
Это можно доказать по индукции. Выберем В, = 5 и допустим, что
множества В2, В3 Вк определены так, что для них указанные
условия выполняются. По первому из этих условий при n = k суще-
существует такое множество 5 ?93, что В с Bk< \y(B)\'^\y(Bk)\-\- k.
Поэтому остается лишь положить ВЛ + 1 = В для случая К(ф; В) -- оо
и Вкп = Bk — В, если V(ф; В)< оо. В самом деле, в последнем
случае К (ф; Вк-В) = сю и |ф(Я* - Я)| >|ф(Я)| - |ф(Я*)|>*.
что завершает доказательство по индукции. Так как последователь-
последовательность \Вп) убывает, имеем
/1=1
') Автор применяет здесь термин signed measure. Вещественные функ-
функции типа ф (В) называют также зарядами. - Прим. перев.
60 У. Полунормы
откуда в силу счетной аддитивности функции
— lim ф(?/1) = оо или —оо,
я->оо
что противоречит условию G).
Теорема 2 (разложение Жордана). Пусть ф^ЛE, 93) — веще-
вещественная функция. Тогда положительная вариация К(ф; В)у отрица-
отрицательная вариация V(ф; В) и полная вариация У(ф; В) счетно адди-
аддитивны на множествах В ?93. Кроме того, имеет место разложение
Жордана
; В) для любого ??93. A1)
Доказательство. Пусть \Вп) — последовательность попарно не-
непересекающихся множеств из 93. Для любого множества В ?93, такого,
00 ОО
что 55 2 ^л» справедливо неравенство ф(#) = 2
л1 л1
2
л=.1
оо_ _ / °° \ °°
< 2 V(q>\ Вп)у и, следовательно, V ф; 2 #Л <2
С другой стороны, если Сл?93 — некоторое подмножество множества
ВЛ(п=и 2, . . .). то \/(ф; S Вл)>ф( 2 Сл)= 2 ф(Ся). и поэтому
\ 1 / 1 / 1
2
л-1
/ оо \ оо
V [ф; 2 Вп > 2 ^(Ф» ^я). Отсюда вытекает свойство счетной
\ л-1 / я = 1
аддитивности для У(ф; В); для V(q>\ В) и К(ф; В) оно доказывается
аналогичным образом. Чтобы вывести разложение A1), заметим, что
для любого множества С ? 93, такого, что Сс5, справедливо нера-
неравенство ф(С) = ф(В)—ф(В—С)<ф(В) — \/(ф; Я), откуда V(q>; ?)<
)—К(ф; В). Точно так же получаем, что У(ф; В) ^ф(В) —
( ). Эти неравенства и приводят к формуле (И).
Теорема 3 (разложение Хана). Пусть ф ? Л E, 93) — некоторая
обобщенная мера. Тогда существует такое множество Р?93, что
Ф (В) > 0 для любого J5cP, В ? 93;
Ф(?)<0 для любого BcPc^=S — P, В?93.
Представление 5 = Р-\- (S — Р) называется разложением Хана
множества «S относительно функции ф.
3. Примеры нормированных линейных пространств 61
Доказательство. Для каждого положительного целого п выберем
множество #Л6», такое, что Ф(#„) > К(Ф; S) — 2~\ Тогда из A1)
вытекает, что
V(<p; Яя)>_2-" и К(Ф; 5-Вя)<2-". A2)
Последнее неравенство в A2) выводится из соотношений
V(<v; S-Bn) = V(q>; S) — V(<p; Вп) и V (<р; Вя) > <р (Ва).
Положим теперь 1)
оо оо
Тогда
при любом значении k. Поэтому в силу а-аддитивности функции
1/(ф; В) получаем
откуда следует, что К(ф; 5 — Я) = 0. С другой стороны, отрица-
отрицательная вариация V(q>; В) является неположительной мерой, и
поэтому, учитывая A2) и повторяя рассуждения, аналогичные приве-
приведенным выше, получаем неравенство
; Я)|< Ш
откуда следует, что К(ф; Я) = 0. Это завершает доказательство
теоремы.
1) Верхним пределом Игл Ап последовательности {Лп} множеств
Л->С5О
Апс S (п=*1, 2,...) называется множество, содержащее те и только те
точки из S, которые входят в бесконечное число множеств Ап. Нижним
пределом lim An называется множество, состоящее из тех и только тех
янГоо
элементов, которые принадлежат всем множествам Ап, за исключением,
быть может, конечного числа. Из этих определений вытекает, что lim Лл =
/2->ОО
ОО ОО ОО СО
в П U Ап и !!Е Ап = U П Ап- — Прим. перев.
52 /. Полунормы
Следствие. Полная вариация V(q>\ S) обобщенной меры ф опре-
определяется формулой
= sup x(s)y(ds)
sup
I/
A3)
где а; ($) пробегает все 93-измеримые функции, заданные на S, для
которых sup | х (s) | <^ 1.
Доказательство. Если мы положим *(s)=l при s?P н x(s)=— 1
при $?S — Я, то в правой части A3) получится У(ф; В). С другой
стороны, как нетрудно видеть,
I/
<. sup I x(s)\ • И(ф; flte) = sup| x(s)| • У(ф; о);
st S * s (S
тем самым формула A3) доказана.
Пример б. Пространство А E; 93). Множество A (S; 93) задан-
заданных на 93 обобщенных мер ф, в котором определены операции
(а,Ф! + а2Ф2) (В) = а,ф, (В) + а2ф2 (В), В 6 93,
где av а2 вещественны, является вещественным линейным про-
пространством. Линейное пространство А E; 93) с нормой, определяемой
формулой
= sup Г x(s)q>(ds)
sup
A4)
является нормированным линейным пространством.
Пример в. Множество А E; 93) комплексных мер ф с операциями
КФ, + <?Р2) (В) = а1ф1 (В) + а2ф2 (В). В 6 33,
гдеара2—комплексные числа, является комплексным линейным про-
пространством. Оно становится нормированным линейным пространством,
если ввести норму
||ф||= sup I { x(s)cp(ds)
p
SUP |jfE)|
A5)
где верхняя грань берется по всем комплексным 93-измеримым функ-
функциям, заданным на S, для которых sup | x(s)\ ^ 1. Правую часть
формулы A5) мы будем называть полной вариацией функции ф
на 5 и обозначать К(ф; S).
') В § 3 введения был определен m-интеграл Г x(s) m(ds) для неот-
в
щательных мер т\ для обобщенных и комплексных мер ф интеграл
x(s)y(ds) строится совершенно аналогично. — Прим. перев.
в
4. Примеры квазинор миро ванных линейных пространств 63
4. Примеры квазинор мир о ванных линейных пространств
Пример 1. Пространство (S*(Q). Определенное в § 1 гл. I ли-
линейное пространство (S*(Q) станет квазинормированным, если за ква-
квазинорму принять || х || = d (х, 0), где d(xt у)— определенная ранее
функция расстояния.
Пример 2. Пространство М E, 93, т). Пусть т (S) < оо и
M(St 93, т)— множество всех комплексных 93-измеримых функций
х(s), определенных на множестве S и таких, что |лг($)| < со /и-п. в.
Множество M(S, 93, т) с алгебраическими операциями
(х + У) (s) =:x(s)-\-y (s), (ax) (s) = ах (s)
и квазинормой
\\x\\ = j\x(s)\(l+\x(s)\)-]m(ds) A)
(при условии, что х = у тогда и только тогда, когда m-п. в. х (s) =
y(s)) образует квазинормированное линейное пространство. Неравен-
Неравенство треугольника для квазинормы \\x\\ следует из соотношений
Как показывает следующее утверждение, при такой квазинорме ото-
отображение {а, х]-+ах непрерывно.
Предложение. Сходимость 5- lim хп=х в пространстве МE, 93, т)
п ->оо
эквивалентна асимптотической сходимости (или сходимости по
мере) в 5 последовательности функций {#„($)} к x(s), т. е. сходи-
сходимости
lim m[s?S; \x(s) — xn(s)\^e}=0 для любого е > 0. B)
п > оо
Доказательство. Соотношение B) следует из неравенства
А т {ВЬ) < ||* || < т(Вь) + уА^ т (S - Вь\
где
Bb=[s?S; \
Замечание. Нетрудно видеть, что эквивалентная топология
в пространстве М E, 93, т) может быть введена и с помощью квази-
квазинормы
||*||= inf arcigle + m{s?S; |*(s)|^e)]. (Г)
64 /. Полунормы
Пример 3. Пространство Ък (Q). В линейном пространстве ф^ (Q)
(гл. I, § 1) можно ввести квазинорму, полагая || х \\ = d(x, 0), где
d(x, у)— функция расстояния1), определенная в гл. I, § 1.
д. Предгильбертовы пространства
Определение 1. Вещественное или комплексное нормированное
линейное пространство X называется предгильбертовым, если его
норма удовлетворяет условию
у||2). A)
Теорема 1 (Фреше, фон Нейман, Йордан). В вещественном
предгильбертовом пространстве X определим функцию двух пере-
переменных
(*, 3;) = 4-1(И^ + У||2-||^-У||2)- B)
Эта функция обладает следующими свойствами:
(о*. у) = а{х. у) (аб/?1). C)
(* + у. г) = (х. г) + (у. г). D)
(*. у)-(у, *). E)
(х, *)=||*||2. F)
Доказательство. Соотношения E) и F) очевидны. Из A) и B)
мы выводим, что
G)
Взяв у = 0, мы получим (л:, 2)—2 (у, z \, так как @, z) — 0 со-
согласно B). Отсюда при помощи соотношения G) мы получаем свой-
свойство D). Кроме того, из предыдущего ясно, что свойство C) выпол-
выполняется для рациональных а вида а = т/2". В нормированном линей-
линейном пространстве функции || ckjc —|— у || и || ах — у\\ непрерывны по а.
Следовательно, и функция (ах, у), согласно B), непрерывна по а.
Тем самым свойство C) доказано для всех вещественных значений а.
Следствие (фон Нейман, Йордан). Определим в комплексном нор-
нормированном линейном предгильбертовом пространстве X функцию
(х, у) = (*. y)i + '(*. iy)v
1) Имеется в виду метрика типа той, что использовалась в доказатель-
доказательстве предложения 6. — Прим. перев.
5. Предгильбертовы пространства 65
где
* = /=Г. (х. y\ = 4-l(\\x+y\\2-\\x-yf). (8)
Для этой функции выполняются условия D), F) и, кроме того,
(а*. у) = а(*. у) (а 6 С1). C')
(х, У) = (уГТ) E0
(черта означает комплексно сопряженное число).
Доказательство. Пространство X является вещественным пред-
предгильбертовым пространством, поэтому соотношения D) и C') выпол-
выполняются при вещественных а. Из (8) мы получаем, что (у, х)х—(х, у)р
(ixt ly\ = (xt 3О1. откуда (у, ix)x = (—lly, tx\ = — (ty, x\ =
= — (л:, /у),. Итак,
(у. *) = (у. * Xl
Точно так же мы получаем
(i*. у) = (/*, у^+ '('*. iy\ = -(xt ty)x + t(x. y\ = t(x, у),
и, следовательно, свойство C') доказано. Наконец, утверждение F)
справедливо потому, что
(*, др), = || х ||2 и (х, ^), = 4-1(|1+'|2-|1-Л2Iк1|2 = 0.
Теорема 2. Если в вещественном (или комплексном) линейном
пространстве X каждой паре элементов х, у?Х поставлено в соот-
соответствие некоторое вещественное (соответственно комплексное) число
(а:, у), причем функция (л:, у) удовлетворяет условиям C'). D), E')
и дополнительному требованию
(х, д:)>0; (*, *) = 0 тогда и только тогда, когда л; = 0, (9)
то X представляет собой вещественное (соответственно комплекс-
комплексноеI) предгильбертово пространство.
Доказательство. Для всякого вещественного числа а мы из C')»
D) и E') выводим соотношение
. у)у. д: + а(лг, y)y) = ||*||2 + 2a|(*, y)|2 +
+ а21 (*. У) |21| У ||2 > 0, где || х || = + (х9 xjk;
таким образом, |(дг, у) |4 —1| х ||2. | (х, у)|2 • ||у||2<0. Отсюда мы
получаем неравенство Шварца
1) Имеется в виду пространство X с нормой, определяемой форму-
формулой F): ||л:||2 = (*, х)> — ирим. перев.
б К. Иосида
66 /. Полунормы
в котором знак равенства имеет место в том и только в том случае,
когда х и у линейно зависимы (это следует из второй части усло-
условия (9)).
Из A0) для нормы || х || выводится неравенство треугольника
Наконец, соотношение A) легко проверяется, и это завершает дока-
доказательство теоремы.
Определение 2. Число (х, у), определенное выше, называется
скалярным (или внутренним) произведением двух векторов хну
предгильбертова пространства X.
Пример 1. Пространство'L2 E, 93, т) является предгильбертовым
пространством со скалярным произведением
С*. у)= J x(s)J(s)m(ds).
s
Пример 2. Нормированное линейное пространство (/2) является
предгильбертовым пространством со скалярным произведением
Пример 3. Пусть Q — открытая область пространства Rn и k —
произвольное неотрицательное целое число, 0 ^ k < сю. Совокуп-
Совокупность функций /^C*(Q), для которых
где dx = dxx dx2 . .. dxn — мера Лебега в /?rt, образует предгиль-
предгильбертово пространство Hk(Q) со скалярным произведением
(/. *)*= S JDlfW.DlgWdx. A2)
Пример 4. Рассмотрим пространство CJ(Q), где
a Q — открытая область в Rn. Если ввести в этом пространстве ска-
скалярное произведение A2) и норму A1), то получится предгильбер-
предгильбертово пространство, которое мы обозначим //q(Q).
Пример б. Пусть О — открытая ограниченная область комплексной
^-плоскости. Через Л2(О) обозначим множество всех голоморфных
функций /(z), определенных в области G, таких, что
A3)
5. Предгильбертовы пространства 67
Множество A2(G) с нормой A3), алгебраическими операциями
(/ + g) (z) = f(z) + g (z)t (a/) (z) = а/ (г) (а ? d)
и скалярным произведением
(/. «0= J j f(z)gTT)dxdy A4)
о
представляет собой предгильбертово пространство.
Пример 6. Класс H-L2 Харди — Лебега, Обозначим через H-L2
совокупность всех функций f(z)t голоморфных внутри единичного
круга [z\ |2|<1} комплексной ^-плоскости, таких, что
\
/(re'e)|2dO <оо. A5)
\6 '
/2Я
sup . f
Тогда если f(z)= ^cnzn — разложение f(z) в ряд Тейлора, то
функция
2л 1 °° 2Л _
монотонно возрастает по г в области 0 < г < 1 и ограничена сверху.
Поэтому, как нетрудно проверить, величина
II2
^И
I
^И |/<)Р S
представляет собой норму, для которой выполняется условие A), так
как пространство (/2) предгильбертово.
Замечание. Зададим произвольную последовательность {сп}?A2)
и рассмотрим функцию
Согласно неравенству Шварца,
Л/2 / оо ч1/2
jl = k I \n = k
оо
поэтому ряд ^jcnzn равномерно сходится во всяком круге |г|<^р,
где 0<р<1. Следовательно, функция f(z) голоморфна в единич-
единичном круге |,г|<1, и при этом для нее выполняется условие A5),
68 /. Полунормы
т. е. f(z) принадлежит классу H-L2. Тем самым доказана сле-
следующая
Теорема 3. Соотношение
л-0
устанавливает взаимно однозначное соответствие между функциями
класса Харди — Лебега H-L2 и элементами предгильбертова про-
пространства (/2). При этом
oo oo
ал nti f (y\ . ¦ ^S /» y™ * ^ i Г \ & (9 1 - ^,
ССЛИ J \&) ^J tl l Л) * б \*/ ^вш
то /(г) + ^(г:)^>{с„ + й?яЬ а/(г)<->{ася} и
/ оо \1/2
\л«0 /
Таким образом, H-L2 как предгильбертово пространство изо-
изоморфно (/2).
6. Непрерывность линейных операторов
Предложение 1. Пусть X и Y — линейные топологические про-
пространства над одним и тем же полем К. Для того чтобы линейный
оператор Т, действующий из области D (Г) с X в пространство К,
был непрерывным всюду в D(T)t необходимо и достаточно, чтобы
этот оператор был непрырывным в точке л; = 0 (лг = О — нулевой
вектор).
Доказательство. Это утверждение следует из линейности опе-
оператора Т и равенства Т • 0 = 0.
Теорема 1. Пусть Xt Y — локально выпуклые пространства,
а {/?}, [q] — системы полунорм, определяющие топологию соответ-
соответственно в Л' и К. Тогда линейный оператор Т, действующий из
области D(T)czX в К, непрерывен в том и только в том случае,
когда для каждой полунормы #?{#} существуют полунорма р?{р]
и положительное число р, такие, что
q(Tx)^lp(x) для всех x?D(T). A)
Доказательство. Условие A) является достаточным, так как
Т .0—0, и поэтому из A) вытекает непрерывность оператора Т
в точке x — 0?D(T)t а это означает, что оператор Т непрерывен
всюду на D(T).
Докажем необходимость этого условия. Если оператор Т непре-
непрерывен в точке л: = 0, то для всякой полунормы q?[q) и любого
положительного числа е найдутся полунорма р?{р} и положитель-
положительное число б, такие, что из соотношений §x?D(T) и р(х)^6 сле-
следует неравенство q(Tx)<^e. Пусть х — произвольная точка из D(T).
б. Непрерывность линейных операторов 69
Выберем такое положительное число X, что Хр (*)<#• Тогда
Xx?D(T), и поэтому q (Т (Хх)) ^ е. Следовательно, q()^/
Итак, если р(л;) = 0, то можно выбрать Я, сколь угодно большим,
и тогда q(Tx) = 0\ если же р(х)фО, то мы возьмем Х = Ь/р(хУ,
таким образом, в любом случае q (Тх) ^ Р/? (х), гдер = е/6.
Следствие 1. Пусть X— локально выпуклое пространство, а
/ — некоторый линейный функционал на ?>(/)? Л\ Функционал /
непрерывен тогда и только тогда, когда существуют полунорма р
из системы {/?}, определяющей топологию в Л\ и положительное
число р, такие, что
для всех x?D(J). B)
Доказательство. Справедливость этого утверждения следует
из того, что абсолютная . величина |а| образует систему полунорм,
определяющих обычную топологию поля вещественных или комплекс-
комплексных чисел а.
Следствие 2. Пусть Х% К — нормированные линейные простран-
пространства. Линейный оператор Г, действующий из области D(T) g X в К,
непрерывен тогда и только тогда, когда существует такая положи-
положительная постоянная р, что
|| для всех x€D(T). C)
Следствие 3. Рассмотрим два нормированных линейных прост-
пространства X и К. Линейный оператор Г, действующий из области
D(T)czX в К, имеет непрерывный обратный оператор Т~1 тогда
и только тогда, когда существует такая положительная постоянная у»
что
||Г*||>у1|*1| для всех x?D(T). D)
Доказательство. При выполнении условия D) из соотношения
Тх = 0 следует, что л: = 0, и поэтому обратный оператор Г"
существует. Его непрерывность вытекает из предыдущего следствия 2
и неравенства DI).
Определение 1. Пусть Т — непрерывный линейный оператор,
отображающий нормированное линейное пространство X в норми-
нормированное линейное пространство К. Определим величину
||T|| = infp, где Я={Р;||7*||<р||х|| для всех х?Х]. E)
Из линейности отображения Т и следствия 2 вытекает, что
') Необходимость условия D) здесь совершенно очевидна — она сле-
следует из условия непрерывности обратного оператора Т~г. — Прим. перев.
70 Л Полунормы
Величина ||ГЦ называется нормой оператора Т. Непрерывный ли-
линейный оператор, отображающий нормированное линейное простран-
пространство X в нормированное линейное пространство К, называется также
ограниченным линейным оператором, действующим из Л" в К,
так как для такого, оператора Т норма || Тх || ограничена на единич-
единичном шаре [х?Х\ ||х||<;1} пространства X.
Определение 2. Пусть Т и 5 — линейные операторы, причем
D(T)cX, D(S)cX и Я (Г) с К, /?E)сК.
Определим для операторов операции сложения и умножения на
скаляр:
(Г + S) (х) =Tx + Sx для х ? D (Г) fl D (S), (аТ) (х) = а (Тх).
Пусть Т—линейный оператор из D(T)czX в К, a S — линейный
оператор из D(S) с К в Z. Тогда произведение ST операторов Г, 5
определяется формулой
(ST)x = S(Tx) для х?{х\ x?D(T) и Tx?D(S)};
T-\-St аТ и ST являются, очевидно, линейными операторами.
Замечание. Произведения ST и TS не обязательно совпадают
даже в том случае, когда X = К = Z. В качестве примера рассмот-
рассмотрим линейные операторы Tx = tx(t) и Sx(t) = Y—* Ж*^9 дей"
ствующие из L2(Rl) в L2(Rl). В этом примере мы получаем пере-
перестановочное соотношение (ST — TS) x (t) = У— 1 х (t).
Предложение 2. Если Т и S — ограниченные линейные опера-
операторы, отображающие нормированное линейное пространство X в нор-
нормированное линейное пространство К, то
||Г + 5||<||Г|| + ||5||, ||о7|| = |а|.||Г||. G)
Если Т — ограниченный линейный оператор, действующий из норми-
нормированного линейного пространства X в нормированное линейное про-
пространство К, а 5 — ограниченный линейный оператор, действующий
из К в нормированное линейное пространство Z, то
II57" || < || S||-1| ГЦ. (8)
Доказательство. Мы докажем лишь последнее неравенство; соот-
соотношения G) доказываются аналогично. Имеем ||STx||<||51| • ||Тх||<1
<IISII ¦ IIгII-II*II: таким образом, ||5Г||<||5|| • || ГЦ.
Следствие. Пусть Т—ограниченный линейный оператор, ото-
отображающий нормированное линейное пространство X в X. Тогда
II Щ< II ?Т. (9)
где Тп определяется по индукции формулой Тп —-. ТТп (п = 1, 2,. . .);
Т° = 1 — тождественный оператор, отображающий каждый элемент
х в себя, т. es Ix = x.
7. Ограниченные множества и борнологические пространства 71
7. Ограниченные множества и борнологические
пространства
Определение 1. Подмножество В линейного топологического
пространства X называется ограниченным, если оно поглощается
каждой окрестностью U элемента х — О, т. е. если для каждого U
найдется такая положительная константа а, что a~lBczU. Символ
а"/? обозначает здесь множество а~1В = [х ?Х\ x = a~~1bt b?B}.
Предложение. Пусть Х% Y — линейные топологические прост-
пространства. Тогда непрерывный линейный оператор, отображающий X в Vt
переводит всякое ограниченное множество пространства X в огра-
ограниченное множество пространства К.
Доказательство. Обозначим через В произвольное ограниченное
множество пространства Х\ пусть V — некоторая окрестность точки
у = 0 пространства К. В силу непрерывности оператора Т сущест-
существует такая окрестность U точки л; = 0 пространства X, что TU =
= {^я; и 6 U] ^V- Выберем теперь такое а > 0, что В с at/. Тогда
ТВ с T(aU) = a(TU) с aV. Это показывает, что ТВ — ограниченное
множество пространства К.
Определение 2. Локально выпуклое пространство X называется
борнологическим% когда выполняется следующее условие:
если уравновешенное выпуклое множество М прост-
пространства X поглощает всякое ограниченное множество A)
из X, то М является окрестностью нуля простран-
пространства X.
Теорема 1. Локально выпуклое пространство X является бор-
нологическим тогда и только тогда, когда всякая полунорма на X,
ограниченная на каждом ограниченном множестве, непрерывна.
Доказательство. Заметим сначала, что полунорма р(х) прост-
пространства X непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна
при лг = О. Это следует из свойства полуаддитивности: р(х — у)<>
>|р(*)-РО0| (гл. I. § 1 D)).
Необходимость. Пусть полунорма р(х) пространства X огра-
ограничена на всяком ограниченном множестве из X. Множество М =
= {х?Х\ р(х)^\} выпукло и уравновешенно. Если В — некото-
некоторое ограниченное множество из X, то sup p(b) = a < оо, и по-
этому В cz аМ. По предположению пространство X — борнологи-
ческое, следовательно, множество М является окрестностью нуля.
Отсюда видно, что полунорма р (х) непрерывна при х = 0.
Достаточность. Пусть М—выпуклое уравновешенное мно-
множество из X, которое поглощает всякое ограниченное множество
пространства X. Пусть р — функционал Минковского множества М.
72 /. Полунормы
Тогда функционал р ограничен на каждом ограниченном множестве,
поскольку множество М по предположению поглощает каждое ог-
ограниченное множество. Следовательно, функционал р(х) при сделан-
сделанных предположениях непрерывен. Поэтому Мх = {л: ? Х\ р (л:)< 1/2} —
открытое множество, принадлежащее множеству М и содержащее
точку л; = 0. Отсюда следует, что М — окрестность нуля.
Пример 1. Всякое нормированное линейное пространство является
борнологическим.
Доказательство. Пусть X— нормированное линейное простран-
пространство. Тогда единичный шар S=[x?X\ ||л:||<^1} является органи-
ченным множеством в X. Пусть некоторая полунорма р(х), задан-
заданная на Х% ограничена на S, т. е. sup р (х) = а < сю. Тогда для
любого у=?0 имеем
Таким образом, полунорма р непрерывна при у = 0 и, следовательно,
непрерывна в любой точке х?Х.
Замечание. Как будет показано далее, квазинормированное ли-
линейное пространство M(S; 93) не является локально выпуклым. По-
Поэтому квазинормированное пространство не обязательно должно быть
борнологическим. Тем не менее справедлива следующая
Теорема 2. Линейный оператор 7\ действующий из одного ква-
зинормированного линейного пространства в другое такое простран-
пространство, непрерывен тогда и только тогда, когда Т переводит ограни-
ограниченные множества, в ограниченные.
Доказательство. Как было показано в гл. I, § 2 (предложе-
(предложение 2), квазинормированное пространство является линейным топо-
топологическим пространством. Поэтому необходимость сформулирован-
сформулированного условия следует из предыдущего предложения; остается дока-
доказать достаточность.
Пусть Т отображает ограниченные множества в ограниченные.
Предположим, что 5- lim xk = 0. Тогда lim || хк Ц ===== 0» и поэтому
k ->oo Л->оо
существует такая последовательность целых чисел \nk), что
lim/t? = oo, в то время как lim /t^||jc^|| = O.
Л->оо k ->оо
Мы можем, например, выбрать nk следующим образом:
nk равно наибольшему целому числу, не превосходя-
превосходящему ||*л||~1/2, если хкФ$\ ял = &, если дгл = 0.
Теперь мы имеем || nkxk \\ = \\ xk + xk+ ... +**ll< **ll**ll. от-
откуда s- \imnkxk = 0. Но в квазинормированном пространстве по-
*->оо
следовательность {nkxk}, сходящаяся к л: = 0, является ограничен-
8. Обобщенные функции и обобщенные производные 73
ной. Отсюда в силу сделанных предположений {T(nkxk)) = [nk^xk\ ~~
тоже ограниченная последовательность. Поэтому
s- Jim Txk = s-tim п? (Г(*Л)) = 0.
и, таким образом, оператор Т непрерывен при л; = 0, а следова-
следовательно, непрерывен всюду.
Теорема 3, Пусть X — некоторое борнологическое простран-
пространство. Если линейный оператор Т, действующий из Л' в локально
выпуклое линейное топологическое пространство К, отображает вся-
всякое ограниченное множество в ограниченное, то он непрерывен.
Доказательство. Обозначим через V некоторую выпуклую
уравновешенную окрестность нуля пространства Y. Пусть р —
функционал Минковского множества V. Рассмотрим функцию
q(x) — р(Тх); она является полунормой в X, ограниченной на всяком
ограниченном множестве из X, поскольку всякое ограниченное мно-
множество из Y поглощается указанной окрестностью V. Так как про-
пространство X — борнологическое, полунорма q непрерывна. Поэтому
множество [х?Х; Тх?Vй) = [х?Х\ #(*)<; 1} является окрест-
окрестностью нуля пространства X. Таким образом, непрерывность опера-
оператора Т доказана.
8. Обобщенные функции и обобщенные производные
Непрерывный линейный функционал, заданный на локально вы-
выпуклом линейном топологическом пространстве D(Q), введенном в § 1
гл. I, представляет собой „распределение" или „обобщенную функ-
функцию* Л. Шварца. Для исследования обобщенных функций нам по-
потребуется такая теорема.
Теорема 1. Пусть В — некоторое ограниченное множество в (
Тогда в Q существует такое бикомпактное подмножество /С, что
supp(<p)?AT для всех <р??, A)
sup |DAp(je)| < сю для всякого дифференциального оператора ОЛ
B)
Доказательство. Допустим, что существуют последовательность
функций {ф/} Е В и последовательность точек {/?/}, такие, что: A°)
последовательность [pt] не имеет в Q предельных точек; (°
(*=1, 2, ...)• Тогда
р(фJ
представляет собой непрерывную полунорму на всяком пространстве
©^(Q) (гл. I, § 1). Следовательно, для любого е>0 множество
( р(ф)<С81 является окрестностью нуля пространства
74 У. Полунормы
35^ (Q), Так как D(Q) — индуктивный предел пространств ?#(&), то
множество (q)?D(Q); /?(ф)<е} является окрестностью нуля в 35 (Q).
Поэтому функция р непрерывна в точке 0 этого пространства,
а следовательно, и всюду в 35 (Q). Таким образом, полунорма р
ограничена на ограниченном множестве В, принадлежащем 35 (Q).
В то же время p{yj)^>i (/=1. 2, ...). Это доказывает справед-
справедливость утверждения A).
Допустим теперь, что A) имеет место, а B) не выполняется.
Тогда существуют дифференциальный оператор D*0 и последователь-
последовательность функций {ф,} S В, такие, что sup | Dio(pi(x)\ > / (/= 1, 2, .. .)•
Поэтому если мы положим
/7(q)) = sup | Оу°ф (лг) | для Ф 6 ?>#(?).
то /?(ф) будет непрерывной полунормой пространства 3)
/Кф/) >/(/== 1, 2, .. .). Таким образом, последовательность (/}
не может быть ограниченной в 35^ (Q) и тем более в D(Q). Полу-
Полученное противоречие показывает, что условие B) тоже выполняется.
Теорема 2, Пространство 35 (Q) является борнологическим.
Доказательство. Пусть #(ф)— некоторая полунорма простран-
пространства 35 (Q), ограниченная на каждом ограниченном множестве из I) (Q).
В силу теоремы 1 из § 7 гл. I нам нужно лишь доказать, что полу-
полунорма q непрерывна в 35 (Q). Для этого покажем, что q непрерывна
на пространстве J)^(Q), где К — любое бикомпактное подмножество
из Q. Поскольку 35 (Q) — индуктивный предел пространств 35^ (Q), мы
сможем заключить, отсюда, что q непрерывна на 35 (Q).
Но полунорма q действительно непрерывна на любом простран-
пространстве 35# (Q). В самом деле, при сделанных предположениях она огра-
ограничена на всяком ограниченном множестве квазинормированного
линейного пространства 35^ (Q) и, следовательно, по теореме 2 пре-
предыдущего параграфа непрерывна на 35^ (Q). Таким образом, полу-
полунорма q непрерывна и на 35 (Q).
Теперь мы можем дать определение обобщенной функции.
Определение 1. Линейный функционал Г, заданный и непрерыв-
непрерывный на пространстве 35 (Q), называется обобщенной функцией, или
распределением, в области Q. Величина Г(ф) называется значением
обобщенной функции Т на основной функции ф?35(?2).
Из теоремы 1 § 7 гл. I и предыдущей теоремы 2 вытекает сле-
следующее утверждение.
Предложение 1. Для того чтобы линейный функционал Г, задан-
заданный на 35 (Q), был обобщенной функцией в Q, необходимо и доста-
достаточно, чтобы он был ограничен на любом ограниченном множестве
из S)(Q), т. е. на всяком м*юже?ТВ? jB??)(Q), удовлетворяющем
условиям A) и B).
8. Обобщенные функции и обобщенные производные 75
Доказательство. Это следует из того, что функционал Г(ф)
непрерывен тогда и только тогда, когда непрерывна полунорма
|7Ч)|
|
Следствие. Линейный функционал 7\ заданный в пространстве
Co°(Q), представляет собой обобщенную функцию в области Q тогда
и только тогда, когда выполняется следующее условие:
каждому бикомпактному подмножеству К из Q соот-
соответствуют положительная постоянная С и положитель-
положительное целое kt такие, что |71(ф)|^!С sup | Оуф (лг)| C)
\j\<k, x?K
для всех ф ? 5)^ (Q).
Доказательство. Функционал Т, непрерывный на индуктивном
пределе 35 (Q) пространств 35^ (Q), должен быть непрерывным на
каждом пространстве 35A-(Q). Отсюда вытекает необходимость усло-
условия C). Достаточность этого условия очевидна, так как из него
следует, что функционал' Т ограничен на всяком ограниченном мно-
множестве, принадлежащем 35 (Q).
Замечание. Приведенное выше следствие весьма полезно для
приложений, так как его можно принять за удобное определение
обобщенной функции.
Пример 1. Пусть комплексная функция f(x), заданная почти
всюду в области Q, является локально интегрируемой в Q по от-
отношению к мере Лебега dx = dxl ... dxn в /?", т. е. для любого
бикомпактного подмножества К из Q имеем j \f(x)\dx < oo. Тогда
к
формула
Tf (ф) = J / (х) q(x)dx, Ф 6 © (Q). D)
определяет в Q обобщенную функцию Tjl).
Пример 2. Пусть т(В) есть а-конечная ст-аддитивная комплекс-
комплексная мера, заданная на бэровских подмножествах В открытого мно-
множества Q пространства Rn. Тогда формула
т (Ф) = J
(dx\ ф 6 2) (Q). E)
определяет в Q обобщенную функцию Тт.
]) Обобщенные функции вида Tfy соответствующие локально интегри-
интегрируемым функциям /, в математической литературе на русском языке назы-
называются регулярными. В дальнейшем автор часто отождествляет регулярную
обобщенную функцию Tf и функцию / (смысл и правомерность такого отож-
отождествления выясняются в замечании к определению 2 и в ходе дальней-
дальнейшего изложения) и пишет Т = /, имея в виду, что Т = Tf. — Прим. перев.
76 /. Полунормы
Пример 3. В примере 2 можно, в частности, положить
Т6 (ф) = ф (/?), где р — произвольная фиксированная
точка из Q, ф?35(й). F)
Формула F) определяет в Q обобщенную функцию Г6 , которая
называется Ь-функцией Дирака, сосредоточенной в точке р ? Q.
В частном случае, когда р = 0 (начало координат в Rn)t мы будем
обозначать 7\ через Т& или просто 6.
Определение 2. Множество всех обобщенных функций в Q мы
обозначим через ©(Q)'. Это множество с операциями
Л G)
образует линейное пространство. Пространство S)(Q/ называется про-
пространством обобщенных функций в Q или сопряженным к S)(Q).
Замечание. Две обобщенные функции T/t и Т/2 равны (т. е.
Tfx (ф) = Т/2(ф) для всех ф?55(?2)) тогда и только тогда, когда
почти всюду fx(x) = f2(x). Если это утверждение доказано, то можно
установить взаимно однозначное соответствие f<->Tj между множе-
множеством всех локально интегрируемых на Q функций и некоторым под-
подмножеством пространства 35 (Q/ (функции fx и /2, для которых
/х(х) = /2(х) почти всюду, считаются эквивалентными), при котором
Га/. G')
В этом смысле понятие обобщенной функции действительно является
обобщением понятия локально интегрируемой функции. Для того чтобы
доказать сформулированное выше утверждение, достаточно убедиться
в том, что если \ f (x)y(x)dx = 0 для всех ф?Со°(?2), то локально
Q
интегрируемая функция / почти всюду в открытой области Q про-
пространства Rn обращается в нуль. Введем меру Бэра |л(Б)= \ f(x)dxl);
в
тогда последнее условие означает, что Г ф (л:) |л (dx) = 0 для всех
Q
Фб^о°(^)- Отсюда на основании предложения 8 § 1 гл. I следует,
что Г ф (л:) [I (dх) = 0 для всех ф?Со(?2). Пусть В — некоторое би-
Q
оо
компактное О6-множество, принадлежащее Q, т. е. В=^Ол, где
J) Здесь и далее под мерами Бэра подразумевэются произвольные (в том
числе и комплексные) о-аддитивные функции множеств, определенные на
бэровских подмножествах В области Q. — Прим. перев.
8. Обобщенные функции и обобщенные производные 77
Gn — открытые относительно бикомпактные множества из Я. По тео-
теореме Урысона из § 2 введения существует непрерывная функция
/„(*). такая, что 0</Л(лг)<1 для л;?Я, fn(x)=l при x?Gan+2
и fn(x) = 0, когда x?Gan— Gn+\ (д=1, 2, ...) (не ограничивая
общности, можно считать, что \Gn) — монотонно убывающая после-
последовательность открытых относительно бикомпактных множеств из Я,
причем G*+2 S G/j+i). Полагая ф = /л и я->оо, мы видим, что
\i(B) = 0 для всех бикомпактных О6-множеств В из области Я. Бэров-
ские множества области Я входят в наименьшую а-алгебру подмно-
подмножеств, содержащую бикомпактные О6-множества области Я. Отсюда,
вследствие ст-аддитивности меры Бэра \х, мы можем заключить, что |i
обращается в нуль для всех бэровских множеств из Я. Следовательно,
функция / (так называемая плотность меры \х) почти всюду в Я равна
нулю.
При помощи следующего предложения мы сможем определить
операцию дифференцирования обобщенных функций.
Предложение 2. Если Т — некоторая обобщенная функция в Я,
то формула
(^) (8)
определяет в Я другую обобщенную функцию S.
Доказательство. Легко проверить, что 5 — линейный функцио-
функционал на 2) (Я), ограниченный на всяком ограниченном множестве из
)
Определение 3. Обобщенная функция 5, определенная форму-
формулой (8), называется обобщенной производной от Т (по перемен-
переменной хх). Мы будем писать
k
таким образом,
Замечание. Определенное выше понятие представляет собой обоб-
обобщение обычного понятия производной. В самом деле, если функ-
функция / непрерывно дифференцируема по xv то
= f ••• f -37-/(*)<p(*)rf*i ••• dxn = Te/ (ф);
это можно получить при помощи интегрирования по частям, учитывая,
что функция ц>(х) тождественно равна нулю вне некоторого биком-
бикомпактного подмножества области Я.
78 /. Полунормы
Следствие. Всякая обобщенная функция Т в Q бесконечно диф-
дифференцируема в смысле приведенного выше определения и
где l/HS/i. D> д>Д
j
{1
... dxJnn
Пример 1. Функция Хевисайда И(х) определяется соотноше-
соотношениями
Н(х)—1 при л;>0 и Н(х) = 0 при х < 0. A2)
Мы имеем
где Гб0 есть Ъ-функция Дирака, сосредоточенная в начале коорди-
координат пространства R1. В самом деле, для всякой функции б^^1
с»
= - J Ф' (х) dx = -[<v (*)C = Ф @).
Пример 2. Пусть функция f(x) имеет ограниченную и непрерыв-
k
ную производную в открытом множестве R1 — М Xj пространства R1.
Скачком функции f(x) в точке x = Xj назовем величину
/( + O) — f(xj — 0). Так как
ТО
-hb-Tj. + yafy A2")
где функционал 6Х =Тьх (ф) определяется формулой F).
Пример 3. Пусть f(x) = f(xv x2, .... хп) — непрерывно диф-
дифференцируемая функция на замкнутой ограниченной области Q с Rn
с гладкой границей 5. Продолжим функцию / на все простран-
8. Обобщенные функции и обобщенные производные 79
ство R", полагая / = 0 вне области Q. Интегрируя по частям, получаем
= J / (*) Ф (*) cos (v, Xj) dS + J -g- Ф (jc) rf*.
5 Q '
где v — внутренняя нормаль к границе 5, (v, xj) == (дг;., v) — угол
между положительным направлением оси Xj и нормалью v, a dS —
элемент поверхности. Отсюда
&TTf=TAL + Ts> где
ff/(*)cos(v. *y)q>(x)rfS. A2'")
5
Следствие. Если функция f(x) = f(xv x2, .... хп) принадлежит
классу С2 на множестве Q и равна нулю вне Q, то из формулы A2'")
и соотношения -г- = V -t— cos (лгу, v) вытекает формула Грина
J Xj
(дг/)(ф)=гд/(ф)+1|-фМrfs- J fwQdS. A2-)
где А = 2 d2ldx2i — оператор Лапласа.
/-1 ;
Предложение 3. Если Т — обобщенная функция в Q и /?C°°(Q),
то соотношение
A3)
определяет в Q другую обобщенную функцию S.
Доказательство. Дифференцируя произведение /ф при помощи
формулы Лейбница, нетрудно убедиться в том, что 5 — линейный
функционал на D(Q), ограниченный на всяком ограниченном множе-
множестве из D(Q).
Определение 4. Обобщенная функция 5, определенная форму-
формулой A3), называется произведением обобщенной функции Т на
функцию /.
Формула Лейбница. Обозначим функционал 5, определенный
в A3), через /Г; тогда
ggj. (И)
поскольку, согласно формуле Лейбница для производной d(f(p)/dXjt
Формулу A4) можно обобщить следующим образ(?м.
80 /. Полунормы
Пусть Р(|) — некоторый полином относительно переменных
|lt ?2 I/I- Рассмотрим линейный дифференциальный оператор
в частных производных P(D) с постоянными коэффициентами, который
получается, если в многочлен Р&) подставить вместо переменных |у
операторы Z-?— (мнимый коэффициент Г1 вводится для удобства
изложения теории преобразования Фурье в гл. VI).
Теорема 3 (Формула Хёрмандера — обобщенная формула Лейб-
Лейбница). Имеет место формула
A5)
(а)>о
где а = (а1( а2, ..., ak)t 1ОуО, (a) = k при к
|ззг
ак Jtml * oxaj
D0 = I при (а)=0. A7)
Доказательство. Повторное применение формулы A4) дает тож-
тождество вида
P(D)(fT)= 2 DJ.Qa{D)Tt A8)
<a)>0
где Qa(D) — дифференциальные операторы, явный вид которых мы
должны найти. Не ограничивая общности, можно допустить, что эти
операторы выбраны инвариантными относительно перестановки индек-
индексов а. В самом деле, этого всегда можно добиться, деля каждое
слагаемое, относящееся к данному значению (а), на число таких сла-
слагаемых, повторяя каждое новое слагаемое нужное число раз и пере-
перегруппировывая полученные таким способом члены.
Так как A8) — тождество, мы можем подставить в него /(*) =
= е1 {'• *> и Т = е1 <*• Ч где <*. |) = S xfa. (x, Ч> = |j хуЧу.
Тогда, применяя очевидную формулу
Р(О)е1(хЛ>=РA)е1<хЛ>, A9)
мы получим соотношение
Л(Л). где |а
') При выводе этой формулы используются следующие очевидные свой-
свойства регулярного функционала Т^, соответствующего непрерывно дифферен-
дифференцируемой функции ф: DTy = T{D^ и /Т^ = Т^^у — Прим. перев.
9. В-пространства и F-пространства 81
С другой стороны, по формуле Тейлора
откуда следует, что Qa(^)==T^r p(a)(Vi)-
9. В-пространства и F-пространства
В квазинормированном линейном пространстве X из равен-
равенства lim || хп — jc || == 0 вытекает в силу неравенства треугольника
л-»оо
IIлгЛ — л;т||<||л:,, — л:|| + ||а: — л;т||, что последовательность {хп}
удовлетворяет условию Коши
"m K-*J| = 0, A)
п, m->oo
т. е. является фундаментальной.
Определение 1. Квазинормированное (соответственно нормиро-
нормированное) линейное пространство X мы будем называть ^-простран-
ством (соответственно /^-пространством), если оно полно, т. е. если
всякая фундаментальная последовательность \хп) элементов простран-
пространства X сильно сходится к некоторой точке х^ этого пространства:
"т 11*я—*» || = 0. *оо€*- B)
л->оо
Предел jCoo. если он существует, определяется однозначно; это сле-
следует из неравенства треугольника || х - - х' ||<; || х — хп \\ +1| хп—хг ||.
Полное предгильбертово пространство называется гильбертовым.
Замечание. Термины /^-пространство и /^-пространство — это
сокращения названий пространство Фреше и пространство Банаха,
Заметим, что в книгах Бурбаки пространством Фреше называются
локально выпуклые пространства, являющиеся квазинормированными
и полными.
Предложение 1. Пусть Q — некоторое открытое множество про-
пространства Rn. Обозначим через S(Q) = C°°(Q) локально выпуклое
пространство, наделенное квазинормой в соответствии с предложе-
предложением 6 § 1 гл. I. Пространство @(Q) является ^-пространством.
Доказательство. Условие lim ||/л — /т|| = 0 в простран-
п, т->оо
стве 6(Q) означает, что для любого бикомпактного подмножества К
из Q и всякого дифференциального оператора Da последователь-
последовательность {Dafn(x)} сходится при я->оо равномерно на множестве К.
Следовательно, существует такая функция / (а:) ? С°° (Q), что
§ К. Иосидэ
82 /, Полунормы
Iim Dafn(x)=Daf(x) равномерно на К. Поскольку Da и К здесь
произвольны, отсюда следует, что Iim ||/я — /|| = 0 в простран-
Л->ОО
стве (S(Q), что и требовалось доказать.
Предложение 2. Пространство Lp (S) = Lp (S, 23, т) является
^-пространством. В частности, L2(S) и (/2) — гильбертовы простран-
пространства.
Доказательство. Пусть Iim \\хп — хт|| = 0 в IP E). Тогда
я, т->со
можно выбрать такую подпоследовательность {*/*.}» что
Применяя неравенство треугольника и лемму Лебега — Фату к последо-
последовательности функций
мы видим, что
yt (s) = | *„, (s) | + Д | xnk+l (s) - хПк (s) 16 L" E),
Поэтому почти всюду существует конечный предел Iim yt(s). Следо-
/->00
вательно, почти всюду существует конечный предел Iim xn (s) =
= Xoo(s) и ХооEN^E), так как I хл Ш < Iim у,
Применяя лемму Лебега — Фату еще раз, получаем
|| *оо - Хпк \\р = J f Пт | хй/ E) - хПк (s) \p^ m (ds) <
Поэтому Iim Цдгоо — д:^|( = 0. Используя теперь неравенство тре-
треугольника и условие сходимости Коши A), мы убеждаемся в том, что
Iim И*,» — *л||^ Пт llxoo — *ль1|Ч~ ^т II х"ь — ^л|| = 0'
Этим завершается доказательство нашего утверждения. Одновременно
мы доказали важное
Следствие. Всякая последовательность [xn] ?LP (S), удовлет-
удовлетворяющая условию сходимости Коши A), содержит некоторую
9. В-пространства и Р-пространства 83
подпоследовательность \*пЛ* такую, что
конечный предел iim xn (s) = Xoo(s) существует почти всюду,
*ооE) 6 LP E) и ^- Игл хп == лгоо. C)
я->оо
Замечание. При доказательстве предыдущего предложения и
следствия мы предполагали, что 1 <^ р < оо. Однако полученные
результаты справедливы и для р = оо, причем доказательство в этом
случае оказывается даже более простым. Мы предлагаем читателю
самостоятельно провести это доказательство.
Предложение 3. Пространство Л2(О) является гильбертовым
пространством.
Доказательство. Пусть {fn(z)\—произвольная фундаментальная
последовательность из Л2 (О). Так как Л2 (О) — линейное подпро-
подпространство гильбертова пространства L2(G), существует такая под-
подпоследовательность lfnk(z)], что
конечный предел iim fnb(z) = foo(z) существует почти всюду,
Uet-ЧО) и Iim t\fao(z)-fn(z)\*dxdy = 0.
л->оо J
Мы должны показать, что функция f<x>(z) голоморфна в области G.
Для этого допустим, что круг \z — 20|^р содержится в О. Разло-
жение Тейлора /„ (z) — fm (z) == 2 Cj B — z$ Дает
\\fn-fm\f> j
2Я
\Ъ с fie1* 2 lkr*e-M dQ ) r dr =
0 \o J k
p
j /-0
> я I c012 p2 = яр21 /„ (^0) - /m (zQ) p. D)
Отсюда вытекает, что и сама последовательность [fn (z)} равномерно
сходится во всяком замкнутом круге, содержащемся в области О.
Поскольку функции fn(z) голоморфны в О, то и fo0(z)= Iim fn(z) —
я->оо
голоморфная функция во всей области О.
84 / Полунормы
Предложение 4. При условии m(S) <С оо пространство M(S, 33, т)
является /^-пространством.
Доказательство. Пусть {хп}— некоторая фундаментальная последо-
последовательность элементов пространства М E, 93, т). Так как сходимость
в M(S, 93, т) — это сходимость по мере, то можно выбрать из
{•*;„($)} такую подпоследовательность [xnk(s)]t что
т(Я,)<2-* для Bk={s?S; 2~* < | хПк+1 (s) - Xnk(s)\}.
Последовательность
сильно сходится к некоторой функции, принадлежащей М (S, 93, т).
оо оо
В самом деле, если s(? |J Bjt то 2 \Хп]+{ E) — х«- E) |^
оо / оо \ оо оо
<2 2~у<21-/, и /n(jJJ5J<2 ^(^)<22";<21"/;поэтому,
полагая ?->оо, мы видим, что последовательность {-^(з)} сходится
m-п. в. к некоторой функции xO0(s)^M(St 93, т). Следовательно,
lim \\хп —лгоо|| = 0, а так как lim \\хп — #т|| = 0, то мы полу-
чаем, что lim ||хл — л^ЦгтО.
Л-»0О
Пространство (s). Совокупность (s) всех числовых последователь-
последовательностей {1п} с квазинормой
оо
и операциями
образует /^-пространство. Доказательство полноты для пространства (s)
проводится так же, как для пространства М (S, 93, т). Квазинорма
|| {|л} || = inf arc tg {е-|- количество чисел |л, удовлетво-
8>0
ряющих неравенству ||J > e}
определяет в пространстве (s) эквивалентную топологию.
Замечание. Ясно, что пространства СE), (с0) и (с) являются 5-про-
странствами. Полнота пространства AР) следует из полноты IP (S).
Таким образом, по теореме 3 § 5 гл. I пространство Я-L2, так же
как и (/2), является гильбертовым.
Пространства Соболева Wk'p(Q). Пусть Q — открытое мно-
множество в Rn и k — некоторое положительное целое число. Обозначим
? В-пространства и F-пространства 85
через Wfc>p(Q) A <^р < оо) совокупность всех комплексных функций
= f(xv х2 хп)% заданных на Q, таких, что / и все ее
п
п
sf
обобщенные производные Dsf порядка М = Л|$у<;& принадлежат
LP(Q)!). Множество Wk'p(Q) с операциями
(Л + Л) (*) = /i W + /2 (х). (а/) (х) = а/ (х)
и нормой
образует нормированное линейное пространство, если считать всякие
две функции /j и /2 одним вектором пространства Wk'p(Q)t когда
fx(x) = f2(x) почти всюду в области Q. Нетрудно заметить также,
что Wk>2(Q) — это предгильбертово пространство со скалярным
произведением
/
Предложение б. Пространство Wk'p(Q) является Б-простран-
ством. В частности, Wk(Q)=Wk'2(Q)—это гильбертово пространство
с нормой || f \\k = || / ||Л| 2 и скалярным произведением (/, g)k = (/, g)kt 2.
Доказательство. Пусть {/Л} —фундаментальная последователь-
последовательность элементов пространства Wk*p(Q). Тогда последовательность
{D5fh) при любом дифференциальном операторе D5, для которого
151 <J k, является фундаментальной последовательностью простран-
пространства IP (Q). Поэтому в силу полноты Lp (Q) существуют такие функ-
функции fl*>?Lp(Q) (|i|<ft). что lim Г | ?ffh(x) — /E) (х) \р dx = 0.
Применяя неравенство Гёльдера (гл. I, § 3) к бикомпактным мно-
множествам, принадлежащим Q, нетрудно убедиться в том, что /л—ло-
/л—локально интегрируемая функция на Q. Следовательно, для любой
функции
= J
') Обобщенные производные для функций ввел С. Л. Соболев (см., на-
например, [2]). — Прим. перев.
86 /. Полунормы
Используя неравенство Гёльдера еще раз, мы, учитывая равенство
lim f I/л (*) —/@) (*) |р d* == 0, получаем
lim TDs (Ф)= (—1)|J| ТАо) (Dq>) = DT (
Л->оо УЛ J J
Аналогично, принимая во внимание равенство lim \\Dsfh(x)—
— f<s>(x)\pdx = 0, находим
11 m ?>/ (Ф)= Т>)(<p).
Следовательно, DsT.(o)=T,(sI а это означает, что обобщенная
производная D<s/@) равна/(<У). Это показывает, что Пт||/Л—/@)||л,п = 0
Л->оо
и, таким образом, пространство Wk'p(Q) полно.
10. Пополнение
Полнота F-пространств (и ^-пространств) играет важную роль
в функциональном анализе, поскольку к таким пространствам можно
применить теоремы Бэра о категориях, которые приводились в введе-
введении. Следующая теорема о пополнении будет часто использоваться*
в этой книге.
Теорема (о пополнении). Пусть X — квазинормированное линей-
линейное пространство; допустим, что оно не полно. Тогда X изоморфно
и изометрично плотному линейному подпространству некоторого
F-пространства Х, т. е. существует взаимно однозначное соответ-
соответствие х*г+х между X и некоторым плотным линейным подпростран-
подпространством из X, такое, что
(?+У)=^ + й (р^) = ах. |Й| = ||х||. A)
Пространство X определяется однозначно с точностью до изометри-
изометрического изоморфизма и называется пополнением пространства X.
Если X — нормированное пространство, то X является fi-npo-
странством.
Доказательство. Доказательство этой теоремы опирается на идею
Кантора, которая используется при построении вещественных чисел
на базе множества рациональных чисел.
Совокупность всех фундаментальных последовательностей {хп}
пространства X можно разбить на классы эквивалентных последова-
последовательностей, полагая \хп) — {уп}* если Пт ||л:л — уя|| = 0. Класс,
Л->ОО
содержащий последовательность [хп\, обозначим через {хп}'. Сово-
10. Пополнение 87
купиость X всех таких классов х={хп}' с операциями
является линейным пространством. Так как | ||xj|— ||*m|| |-<||л:я—хт\\,
то предел lim ||*я|| существует. Положим
Л->ОО
Нетрудно заметить, что приведенные определения векторной суммы
{хл}4" {Уп)'> умножения на скаляр а[хп}' и величины IK^J'H не
зависят от конкретного выбора представителей классов [хп)' и {ул}'.
Например, если {хп} — {х'п}> то
1*т II хп II ^ *im II хп II ~1~ ^[т II хп — хп II ^ ^1т II хп II*
Л-»ОО Л->ОО Л->00 Л->ОО
Аналогично получаем неравенство lim || х'п || <^ lim ||^л||, откуда
Я->ОО Я->ОО
11К'}11 = 11КП1-
Покажем, что ||{агл}л||—квазинорма. Для этого мы должны убе-
убедиться в том, что
\ХпУ\\ = 0 и lim . |1а{хяП1 = 0.
||
а-»0
Первое из этих соотношений эквивалентно равенству
lim lim || cxjc^ || = 0.
a-»0 /i->oo
а второе — условию lim ||ахл|| = 0. Оба эти требования выполняются,
/|->оо
так как функция ||ах|| непрерывна по обеим переменным а и л:.
Чтобы доказать полноту построенного здесь пространства X, до-
допустим, что \xk) = { {xW} }—произвольная фундаментальная после-
последовательность из X. Для каждого к мы можем выбрать такое зна-
значение nk, что
\\x^-x(nk)k\\<^1 при т>пк. B)
Далее можнр показать, что последовательность {дг^} сходится к классу,
содержащему фундаментальную последовательность элементов про-
пространства X вида
%4. } ()
Чтобы убедиться в этом, обозначим через х№ класс, содержащий
последовательность
88 /. Полунормы
Из неравенства B) следует, что
II:: —с*) и i?m и ^.(*) v(*
\\лк — х>пъ I — \\лт лп
и поэтому
- Чт) II = II 3?> - 4m) II «II ЯЛ) - ^ II4-
Отсюда видно, что C) — это фундаментальная последовательность
элементов пространства X. Пусть х — класс, содержащий после-
последовательность C). Тогда из неравенства E) вытекает неравенство
Как было показано выше,
* - * II < li
следовательно, мы доказали, что lim Цд: — je(*)|| = O, и, таким обра-
зом, lim || а: — xk || = 0.
k->oo
Приведенное доказательство показывает, что соответствие
— {Х, X X, ...}' =
действительно является изометрическим изоморфизмом и образ про-
пространства X в X является плотным в X. Последнее утверждение
этой теоремы вполне очевидно.
Пример пополнения. Пусть Q — открытое множество в Rn
и k < оо. Пополнение пространства Со (Q) с нормой
=(
мы обозначим через //* (й). Таким образом, Н* (Q) — это пополнение
предгильбертова пространства /?о (Q), которое было определено в § 5
гл. I (пример 4). Поэтому Н$(п)—гильбертово пространство. По-
Пополнение предгильбертова пространства #*(Q), которое опреде-
определялось в § 5 гл. I (пример 3), мы обозначим через Hk(Q).
Элементы пространства Н* (Q) можно выделить с помощью сле-
следующей процедуры: пусть {fh} —последовательность из Co(Q), фунда-
фундаментальная по норме j|/||fc. Тогда в силу полноты пространства Z.2(Q)
10. Пополнение
I п
существуют такие функции /E) (х)?L2(Q) Г |^| ===== 25у
что
lim
Л-»оо
Г | /<*> (х) — tffh (х) |2 dx = 0 (йГх = Л^ tf л;2 .. .
Так как скалярное произведение — это непрерывная функция по
норме L2(Q), то для любой основной функции ф (л:) ? Со° (Q) спра-
справедливы соотношения 1)
Т E) (Ф)= lim {Dsfh% ц)= lim (-1
' Л->оо Л
Л->оо
Поэтому f{S)?L2(Q) и, следовательно, f(s) является обобщенной
производной функции /@) :/(<y> = D5/<°>.
Итак, мы доказали, что гильбертово пространство Н* (Q) является
линейным подпространством гильбертова пространства UP*(Q) (про-
(пространства Соболева). Вообще говоря, H*(Q) является собственным
подпространством пространства Wk (Q). Однако справедливо следующее
Предложение, Hi (/?") = Wk (/?Л).
Доказательство. Мы знаем, что пространство Wk(Rn) состоит
из всех таких функций f(x)?L2(Rn), обобщенные производные
/ п \
которых 1У/(х) I |s|= 2 sj <^ *) также принадлежат L2(Rn)t причем
норма в Wk(Rn) определена формулой
Пусть f?Wk(Rn). Определим функции fN следующим образом:
fN(x) = aN(x)f(x),
где функции aN(x)?CS°(Rn) (N=l, 2, ...) выбраны так, что
аЛГ(л:)=1 при |х|<Л/ и sup \DsaN(x)\ < оо.
Тогда по формуле Лейбница
Dsf(x)-DsfN(x) = 0 при |*|<W
и Dsf(x) — DsfN(x) равняется линейной комбинации членов вида
где |«| + |'|<*. при \x\>N.
1) Определение символа ( , > см. в § 4 введения. — Прим. перев.
90 /. Полунормы
Следовательно, поскольку Dsf?L2(Rn) при |s|<&, мы видим, что
\\m\\DsfN — D'f\]o = 0, и поэтому lim \\fN — f\\k = 0.
N-»oo 7V->oo
Таким образом, теперь достаточно показать, что для любой функ-
функции f?Wk(Rn) с бикомпактным носителем существует такая после-
последовательность {/,(*)} Е С? (Ля). что Нт||/ —/||Л = 0. С этой
р->оо
целью рассмотрим регуляризацию (гл. I, § 1 A6)) функции /:
а>0.
j
Дифференцируя, находим, что
Vfa (*)=// <У) Dffia (X - У) dy = (- 1)' S' J / (у) DSyQa (x-
Rn R"
= (ZJT,) (8ei x) = J D4/ (y) • 6a (x - y) dy,
где
Отсюда, используя неравенство Шварца, получаем
<( f Qa(x — y)dy\ j [ j\Dsyf(y)~Dsxf(x)\2Qa(x — y)dy\dx=*
= J Г j\Dsyf(y)-Dsyf(y+e)\2dy~\Qa(e)de,
|e|<o L/гЯ J
где
Мы знаем, что внутренний интеграл в последнем выражении справа
стремится к 0 при е—>0 (теорема 1 из § 3 введения); следовательно,
lim f \Dsfa(x) — Dsf (x)\2dx = 0. Таким образом, lim ||/Л—/||Л = 0,
fl->0 ^ а->0
откуда и вытекает существование последовательности \fp) ?C™(Rn),
такой, что lim \\fp — /||Л = 0. Поэтому пополнение Ho(Rn) про-
р->оо
странства Co(Rn) по норме || ||Л совпадает с пространством Wk(Rn).
Следствие. H%() k() k()
//. Факторпространства В-пространств 91
//. Факторпространства В-пространств
Пусть X — некоторое нормированное линейное пространство,
а М— замкнутое линейное подпространство в X. Рассмотрим фактор-
пространство Х/М, т. е. пространство, элементами которого служат
классы эквивалентности ? по модулю М. Поскольку М замкнуто,
эти классы ? также замкнуты в X.
Предложение. Положим
II111= inf ||*||; A)
тогда || ?|| удовлетворяет всем аксиомам, определяющим норму.
Доказательство. Если ? = 0, то класс ? совпадает с Ж и со-
содержит нулевой вектор пространства X. В этом случае из A) сле-
следует, что || ?|| = 0. Допустим теперь, что для некоторого ? мы имеем
|| ?||==0. Тогда из A) вытекает, что этот класс содержит последо-
последовательность [хп], для которой lim ||#л|| = 0, поэтому нулевой вектор
Л-* 00
пространства X в силу замкнутости класса ? в Л' принадлежит ?.
Это означает, что ?=М и, следовательно, ? — нулевой вектор про-
пространства Х/М.
Теперь предположим,, что ?, t)?X/M. По определению A) для
любого е > 0 существуют такие векторы х ? ?, у ? tj, что
Следовательно, ||лг + У||<||*|| + ||у||<Ш + И11 + 2е. С другой
стороны, (x-f-y)€(?+rl). и поэтому, согласноA), ||?4-'П||<|1л:+У||-
Таким образом, Ц^ + лИ^ЩН + НлИ + Зе. Так как г произвольно,
мы приходим к неравенству треугольника ||? + л11^||&11 + ||л11*
Наконец, нетрудно проверить, что аксиома [|а?|| = |а| • ||?|| также
выполняется.
Определение. Пространство Х/М с нормой A) называется нор-
нормированным факторпространством.
Теорема. Если X есть ^-пространство, а М — замкнутое линей-
линейное подпространство в X, то нормированное факторпространство Х/М
тоже является /^-пространством.
Доказательство. Пусть {?„} — фундаментальная последователь-
последовательность в Х/М. Тогда {?л} содержит такую подпоследовательность {? },
и
что || ?л —?я (| < 2~k~2. Далее по определению A) нормы про-
пространства Х/М в каждом из классов (?я — ?я ) можно выбрать
такой вектор yk, что
92 /. Полунормы
Пусть хп 6ЕЛ- Тогда ряд хп -\~yi-\~y2-\- ••• сходится по норме;
следовательно, в силу полноты пространства X он сходится к не-
некоторому элементу х?Х. Пусть | — класс, содержащий х. Мы до-
докажем, что ? = s-lim ln.
Обозначим через sk частичные суммы хп
написанного выше ряда. Тогда lim Цл: — s^|| = 0. Но, с другой СТО-
Л-froo
роны, из соотношений хп?1п, Ур€Aп ~%>п) слеДУет» что
^61Л » и поэтому, согласно A),
-Ц||<||*-**И° при *->оо.
Учитывая теперь тот факт, что последовательность {|л} фундамен-
фундаментальная, и применяя неравенство || | — %п || < || \ — Ц || +1| Ц — \п ||,
мы получаем lim ||| — |л||=:0, что и требовалось доказать.
л->оо
12. Разбиение единицы
В следующем параграфе мы введем понятие носителя обобщенной
функции. Для этого мы определим здесь разбиение единицы и дока-
докажем его существование.
Предложение. Пусть О — открытое множество в Rn. Пусть се-
семейство [U} открытых подмножеств U из G образует базу от/сры-
от/срытых множеств в О, т. е. всякое открытое подмножество из G
можно представить в виде объединения открытых множеств, входя-
входящих в семейство {?/}.
Тогда из семейства {?/} можно выделить систему открытых мно-
множеств, обладающую следующими свойствами:
объединение множеств этой системы совпадает с G; A)
всякое бикомпактное подмножество множества G имеет
непустые пересечения лишь с конечным числом множеств
этой системы. B)
Определение 1. Систему открытых множеств, удовлетворяющую
условиям A) и B), мы назовем локально конечным открытым по-
покрытием области О, соответствующим системе {U}.
Доказательство предложения. Множество О можно представить
в виде объединения счетного числа бикомпактных подмножеств, на-
например, всех замкнутых шаров из G с рациональными радиусами и
центрами.
Поэтому существует последовательность бикомпактных подмно-
подмножеств Кг такая, что A°) КТ S Кг+Х (г = 1, 2, . ..); B°) О является
12. Разбиение единицы 93
объединением множеств Кг\ C°) каждое множество Кг содержится во
внутренности К1г+\ множества Кг+\. Положим
Ur = K^i — Kr И Уг = Кт — К1т-1>
причем условимся, что /ео = /(_1 = 0 (пустое множество). По по-
оо
строению множества Ur открыты, а Vт бикомпактны, причем G = М Vr.
Для каждой точки х ? Vr выберем теперь такое открытое множество
U(x\ r)?{U}> что x?U(x; r)?.Ur. Так как Vr бикомпактно, су-
существует такая конечная система точек х^\ х() х^1^ множе-
hr
ства Vr, что Vr S M U (хУ\ г). Тогда система открытых множеств
/-1
U{х^\ г) (г = 1, 2, ...; 1<л^Лг) образует локально конечное
открытое покрытие множества О, соответствующее системе {?/},
так как всякое бикомпактное множество из G имеет непустые пере-
пересечения лишь с конечным числом множеств Uг.
Теорема {разбиение единицы). Пусть О — открытое множество
в пространстве Rn. Допустим, что семейство открытых множеств
М такая
рр р
[Gt; i?I) покрывает G, т. е. 0= М Gt. Тогда существует
система функций (аДл:); j?J) класса Со° (/?"), что
для каждого j ?J носитель supp(ay) содержится в не-
некотором множестве Gt; C)
О < а) (х) <; 1 для каждого J ? У; D)
2аДд:)=1 для всех лг^О1). E)
Доказательство. Возьмем произвольную точку лг<°> ? О и выберем
множество Git содержащее *<0>. Пусть замкнутый шар 5(л:(°); г)
с центром х^ и радиусом г лежит в Gt. Построим, как в § 1
гл. I A4), функцию р(г(о) (х) ? Со° (/?л), обладающую следующими
свойствами:
Р$>)С*)>0 при \х — лг(О) | < г, р^о)(л;) = 0 при | х — лг(О)|>-г.
Положим t/(^)= {x; P^)(jc)=^0}. Тогда t/JfosO,. U
и, кроме того, множества supp(p((O)) бикомпактны.
!) Далее доказано, что при каждом x?G отлично от нуля лишь конеч-
конечное число функций ау(лс), у?/, поэтому запись ^o>j(x) имеет смысл.
— Прим. перев.
94 /. Полунормы
Согласно доказанному предложению, существует локально конеч-
конечное открытое покрытие {Upj?J} множества G, соответствующее базе
{U%y, л:@)^О, г > О} открытых множеств из О. Пусть р;(лг) — лю-
любая функция семейства {р(Г(о)С*0}» определяющая множество Uj.
Тогда, поскольку {Up j?J} —локально конечное открытое покрытие
множества G, для каждой фиксированной точки х ? О имеется лишь
конечное число функций P;-(jc), отличных от нуля в х. Поэтому
сумма sW= SP/W действительно определена на множестве О и
положительна в каждой точке л: области О. Следовательно, функции
удовлетворяют условию теоремы.
Определение 2. Система функций {(Ху(.к); j?J), определенная
выше, называется разбиением единицы, соответствующим покрытию
{О Ь
13. Обобщенные функции с бикомпактными носителями
Определение 1. Мы будем говорить, что обобщенная функция
jT?S)(Q)' обращается в нуль на открытом множестве U области Q,
если 7(ф) = 0 для всякой функции ф?55(?2), носитель которой со-
содержится в U. Носителем suppG1) обобщенной функции Т мы на-
назовем наименьшее замкнутое подмножество F из Q, такое, что обоб-
обобщенная функция Т обращается в нуль на множестве Q — F.
Чтобы обосновать это определение, мы должны доказать суще-
существование наибольшего открытого множества в Q, на котором обоб-
обобщенная функция Т обращается в нуль. Это вытекает из следующей
теоремы.
Теорема 1. Если обобщенная функция Г^Ф(?2/ обращается
в нуль на каждом множестве Ut некоторого семейства [V\\ i?I)
открытых множеств области Q, то Т обращается в нуль на мно-
множестве U = М U\.
Доказательство. Пусть ф?2)(й) — функция, для которой
зирр(ф)с;?/. Построим разбиение единицы {ay(jt); J?J)9 соответ-
соответствующее покрытию множества Q, состоящему из всех множеств
семейства [U^ i?I) и множества Q — зирр(ф). Тогда ф=2а/Ф —
конечная сумма, и поэтому 71(ф) = .2 ^(а/Р)- Если носитель supp(a;)
содержится в некотором множестве Uit то по предположению
Г(ауф) = 0; если supp(a;) содержится в Q — зирр(ф), то а;ф = 0
и, следовательно, 7'(а;ф) = 0. Таким образом, Г(ф) = 0.
13. Обобщенные функции с бикомпактными носителями 95
Предложение 1. Подмножество В пространства й(й) ограничено
тогда и только тогда, когда для любого дифференциального опера-
оператора D^ и всякого бикомпактного подмножества К из Q семейство
функций [П*/(х)\ f?B) равномерно ограничено на К.
Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из
определения полунорм, с помощью которых в пространстве й (Q)
вводится топология.
Предложение 2. Линейный функционал Т на (?(Q) непрерывен
тогда и только тогда, когда он ограничен на каждом ограниченном
множестве пространства 6(Q).
Доказательство. Поскольку (S(Q) — квазинормированное линей-
линейное пространство, это утверждение следует из теоремы 2 § 7 гл. I.
Предложение 3. Обобщенная функция ^^©(Q/ с бикомпактным
носителем может быть единственным образом продолжена до непре-
непрерывного линейного функционала TQ на 6(Q)i такого, что T0(f) — 0
для всякой функции /?б(й), обращающейся в нуль в некоторой
окрестности носителя suppG1).
Доказательство. Пусть supp G1) =/С где К — бикомпактное под-
подмножество области Q. Для каждой точки х°?К н произвольного е > О
выберем шар S(x°\ е) с центром х° радиуса е > 0. При любом до-
достаточно малом е > 0 бикомпактное множество К покрывается ко-
конечным числом шаров вида S(x°; е), где х°?К. Пусть {cLj(x)) j?J) —
разбиение единицы, соответствующее этой конечной системе шаров.
Тогда функция ф = 2 О/(#). где Кг — любая бикомпакт-
ная окрестность множества К, содержащаяся во внутренности упо-
упомянутой выше конечной системы шаров, удовлетворяет следующему
условию:
и ф (а:) = 1 в некоторой окрестности множества К.
Определим теперь значения функционала T0(f) для функций /?C°°(Q)
соотношением 710(/)==71(ф/). Это определение не зависит от выбора
функции ф. В самом деле, если функция ij^^C^Q) равна 1 в не-
некоторой окрестности множества К, то для любой функции /?C°°(Q)
функция (ф — $i)/62)(^) обращается в нуль в окрестности мно-
множества К и, таким образом, 7(i|)/)— 7A1?,/) = Т ((ф — ^{)f)-= 0.
Применяя формулу Лейбница для дифференцирования ф/, не-
нетрудно заметить, что если / пробегает ограниченное множество про-
пространства S(Q), то ф/ пробегает ограниченное множество простран-
пространства S)(Q). Таким образом, поскольку обобщенная функция ^©(Q)'
ограничена на ограниченных множествах из ?)(Q), функционал То
Ограничен на ограниченных множествах пространства S(Q). Следова-
Следовательно, по теореме 2 § 7 гл. I, о которой мы упоминали выше,
То—непрерывный линейный функционал на (§(Q). Пусть теперь
96 / Полунормы
функция /?®(Q) обращается в нуль в некоторой окрестности U(K)
множества /С. Тогда, выбирая функцию i|?^C^(Q), которая обра-
обращается в нуль на множестве Q — ^(/С), мы убеждаемся в том, что
f
T0(f) = T®f) 0.
Предложение 4. Пусть К' — носитель функции ф, определенной
выше при построении функционала То. Тогда существуют такие по-
постоянные С и k, что
|7о(/)|<С sup \DJf{x)\ для всех /6С°°(О).
Доказательство. Так как Т — непрерывный линейный функционал
на D(Q), то для всякого бикомпактного множества К' из Q суще-
существуют такие постоянные С и k', что
|Г(ф)|<С' sup |D4p(x)| для всех
(см. следствие предложения 1 в § 8 гл. I). Но для любой функции
g ? С°°(Q) мы имеем ф = i|)g* ? 2)*" (Q). Поэтому, дифференцируя
с применением формулы Лейбница, мы получаем
sup |D>(i|tf)(*)|<C" sup \D*g(x)\,
*' x$K' \]\<k't х?К'1
где постоянная С" не зависит от выбора g. Полагая теперь g = f
и k = k', мы убеждаемся в справедливости утверждения.
Предложение б. Пусть SQ — линейный функционал на C°°(Q),
такой, что для некоторой постоянной С, положительного целого
числа k и бикомпактного подмножества К области Q имеем
ISo(/)|<С sup \D*f(x)\ для всех /6C°(Q).
\j\<k, x(K
Тогда сужение функционала 50 на CS°(Q) представляет собой об-
обобщенную функцию Г, носитель которой содержится в /С.
Доказательство. Заметим, что если функция / тождественно
равна нулю в некоторой окрестности множества /С, то 50(/) = 0.
Поэтому если функция i|)?CJ5°(Q) равна 1 в окрестности мно-
множества /С, то
50(/) = 50(ф/) для всех /6 С00 (О).
Легко видеть, что если / пробегает некоторое ограниченное мно-
множество функций из пространства S)(Q), то, согласно формуле Лейб-
Лейбница, ф/ пробегает некоторое множество функций {ф/}, которое
содержится в множестве вида
{geC°(Qy, м4р |?>*(*)| = С» <оо|.
Таким образом, функционал 50(ф/) = 71(/) ограничен на ограничен-
ограниченных множествах пространства S)(Q), и поэтому Т—непрерывный
линейный функционал на D(Q)
13. Обобщенные функции с бикомпактными носителями 97
Тем самым мы доказали следующее утверждение.
Теорема 2. Совокупность всех обобщенных функций в Q с би-
бикомпактными носителями совпадает с пространством S(Q)' всех
непрерывных линейных функционалов на S(Q), т. е. с простран-
пространством, сопряженным к 6(Q). Линейный функционал Т на C°°(Q)
принадлежит $(Й)' тогда и только тогда, когда для некоторых
постоянных С и k и бикомпактного подмножества К из Q мы имеем
sup \D*f(x)\ для всех f?C°°(Q).
\<kZK
Теперь мы докажем теорему, в которой дается общий вид
обобщенных функций с носителями, состоящими из одной-единствен-
ной точки.
Теорема 3. Пусть открытое множество Q пространства Rn
содержит начало координат. Тогда всякая обобщенная функция
Г?©(?2)', носитель которой состоит из одной точки — начала коор-
координат, может быть представлена в виде конечной линейной комбина-
комбинации 6-функций Дирака, сосредоточенных в точке л; = 0, и их произ-
производных.
Доказательство. По предыдущей теореме 2 для всякой такой
обобщенной функции Т существуют константы С и k и бикомпакт-
бикомпактное подмножество К области Q, содержащее начало координат,
такие, что
|Г(/)|<С sup \&f(x)\ для всех /?C°°(Q).
\j\<k,x?K
Докажем, что если D;/@) = 0 для всех значений у, таких, что
|у|^&, то Г(/) = 0. С этой целью выберем функцию °°
равную 1 в некоторой окрестности нуля, и положим
Так как / = /е в окрестности начала координат, то Г(/) = е
По формуле Лейбница производная функции /е порядка <^ k пред-
представляет собой линейную комбинацию членов вида |е |~^О;ф . Dlft
где |f| + |/|^ftr Поскольку, согласно сделанным предположениям,
Dlf@) = 0 при |/|<^/г, мы, применяя формулу Тейлора, находим,
что производная порядка \s\ от /е является величиной О(е* + 1-l«si)
на носителе функции ф(л:/е). Поэтому при е | ОХ) производные
функции /е порядка <] k стремятся к нулю равномерно в окрест-
окрестности начала координат. Следовательно, 71(/) = Iim Г(/е)=г 0. Для
Произвольной функции /?S)(Q) обозначим через fk сумму членов
ее тейлоровского разложения в окрестности начала координат до
') Стрелки | и f обозначают здесь и далее приближения к предель-
предельному значению соответственно слева и справа. — Прим. перев.
7 К. Иосяда
/. Полунормы
порядка k включительно. Тогда, как было показано выше,
Это показывает, что Т является линейной комбинацией линейных
функционалов, значения которых определяются значениями произ-
производных порядка не выше k функции / в начале координат; тем
самым доказано утверждение теоремы.
14. Прямое произведение обобщенных функций
Сначала мы докажем следующую теорему об аппроксимации.
Теорема 1. Пусть * = (*,. х2 xn)?Rn. у = (уР у2 ym)?Rm,
z = хХУ = (*р *2> • • • • хп> У\* Уъ Уш) € Rn+m- Тогда для всякой
функции фB) = <р(л;, y)?C™(Rn+m) можно выбрать такие функции
(") и Vij(y) ?C™(Rm)t что последовательность функций
Ф/(^> У)= S uiJ(x)viJ(y) A)
при /~>сю стремится в топологии пространства ф(/?й+т) к функции
) ( )
Доказательство. Мы докажем эту теорему для случая m = /i= 1.
Положим
CXD ОО
J J Ф (с Л) ехр (- ((х - |J + (у - лJ )/40 rf? ^л B)
при ^> 0 и Ф(л:, у, 0) =
Замена переменных %х = (| — х)/2 j/"^, tj, = (t) — у)/2 \/"Г приводит
функцию Ф к виду
— °° °° _ 2 2
— ОО —ОО
ОО ОО
Отсюда, поскольку I I * ldlxdx\x — n% получаем
— 00 —ОО
Щх, у, О —ф(*. у)|<
ОО ОО
^) J / |ф(*+2|1/7; у-Ь2л/7)-ф(дг, y)U-5
-ОО -ОО
<--¦{ И + I! }¦
14. Прямое произведение обобщенных функций 99
Так как функция ф ограничена, а функция е-Ъ2~^2 интегрируема
в /?2, то первый интеграл в правой части последнего неравенства стре-
стремится к нулю при Т f со. Второй интеграл стремится к нулю, когда
11 О, при любом -фиксированном Т > 0. Таким образом, мы доказали,
что ПтФ(лг, у, t) = <p(x, у) равномерно по (jc, у) в R2.
Теперь, учитывая бикомпактность носителя supp(cp) и вычисляя
частные производные, мы с помощью формулы интегрирования по
частям находим
dyk )
dxmdyk
J -со со
при ? > 0
И
Таким образом, мы, как и выше, получаем, что
) равномерно по (*. у). C)
Нетрудно видеть, что функция Ф(л:, у, f)t определенная формулой B),
может быть при t > 0 продолжена как голоморфная функция на
комплексные значения х и у в области | х | < со, | у | < со. Поэтому
для любого заданного у > 0 функцию Ф(лг, у, t) при фиксированном
t > 0 можно разложить в ряд Тейлора
который абсолютно и равномерно сходится в области | х \ ^ у»
lyl^V и может быть почленно продифференцирован:
дт+кФ(х, у, t) _
^ « U dxm dyk '
m,«0 5*0 '
Выберем произвольную последовательность {^} положительных
чисел ^, такую, что tx \ 0. Согласно доказанному выше, для каждого
значения tt мы можем взять такой полином Pt(xt у), представляю-
со т
щий собой отрезок ряда 2 2 сз,т(*дxsym~\ что в топологии
т=0 5=0
пространства (?(/?2)
= ф(дг. у),
100 /. Полунормы
т. е. на всяком бикомпактном подмножестве К пространства R2 мы
имеем \\т DsPi(x1 у) — О*<р(лг, у) равномерно на множестве К
для любого дифференциального оператора Ds. Выберем теперь такие
функции 9(x)^Co3(R]) и o(y)^Co>(Rx)t что р(х)о(у)=\ на мно-
множестве $ирр(ф(л;, у)). Тогда, как нетрудно видеть, функции
щ(х, y) = p(x)o(y)Pi(x, у) удовлетворяют условиям теоремы.
Замечание. Совокупность всех функций, принадлежащих (
которые представимы в виде
k
2^ (*)¦/()>). где Фу (х) 6 ? Ю.
мы будем обозначать через 35 (/?") X 3) (/?т). Согласно доказанной
выше теореме 1, множество ?> (/?") X 3) (/?т) плотно в D(/?"+m)
в топологии пространства 2)(/?"+т). Линейное подпространство
2> (#") X S) (/?m) пространства D(/?rt+w), снабженное относительной
топологией, называется прямым произведением пространств ?)(/?л)
и ?)(/?т).
Теперь мы можем определить прямое произведение обобщенных
функций. Для того чтобы явно указать независимые переменные
х — (ху, х2 хп) функции <p00? ©(/?л), мы будем обозначать
пространство lb{Rn) через фх). Точно так же пространство 3)(/?т),
состоящее из функций ф(у) (у = (ур у2 ym))t мы обозначим
через (Dy). Аналогично через (©дгху) мы обозначим простран-
пространство ?)(/?л+т), состоящее из функций х(х> У)- Соответственно сим-
символом Т(х) мы будем обозначать обобщенные функции Г^ФС/?")^
==(®лг)/» чтобы подчеркнуть, что Т применяется к функциям ф(лг)
переменной х.
Теорема 2. Пусть Т{х)?фх)\ 5(УNB)У)'. Тогда можно единствен-
единственным способом определить обобщенную функцию W = ^(лгХуN(®^ху)/»
такую, что
W(и(х) v(y)) = Т(х)(и (х)M(у) (v(у)) для и ?(J)^), v ? (Dy). D)
W (ф (jc, у)) = Siy) (Tix) (ф (x, у))) =
= 7<*) E(у) (Ф (*. У))) Для ф ^ (D*xy) E)
(теорема Фубини).
Замечание. Обобщенная функция W называется прямым произ-
произведением, или тензорным произведением, обобщенных функций Т(х)
и 5(V). Мы будем писать
w = T(x)XS(y) = S(y)XT(x). F)
Доказательство теоремы 2. Пусть 93={ф(л:, у)} — ограничен-
ограниченное множество пространства (ЗХгХу). Для фиксированной точки у@)
14. Прямое произведение обобщенных функций 101
множество {ф(лг, у@)); ф?23} представляет собой ограниченное мно-
множество пространства ($)х). Покажем, что
является ограниченным множеством пространства C5 (о)). Доказа-j
тельство проводится следующим образом.
Поскольку 33 — ограниченное множество пространства E5* х у),
существуют такие бикомпактные множества Kx?Rn и Ку ?Rm* что
8ирр(ф)с{(л;, y)€Rn+m; х?Кх, у?Ку) для всех ф?33.
Отсюда следует, что ф(лг, у°)) = 0 и ф(У°>) = Т[х) (ф(л:,
так как у@)(?/Су. Таким образом,
supp (ф) ? /Су для всех ф ? 93. (8)
Теперь мы должны убедиться в том, что для любого дифферен-
дифференциального оператора Dy, действующего в Rmt выполняется условие
sup|Dyi|?00|<oo при ФО0 = Ги)(Ф(л;, у)),
у. Ф
Чтобы доказать это, возьмем, например, оператор D —д/дуг Тогда,
поскольку Т(Х) — линейный функционал,
У2, ..-, Ут)
1> У2» ¦»»> Ут)
Если ф пробегает множество Ф, то функции переменных л:, стоящие
в фигурных скобках при значениях параметра y?Rm и таких Л, что
|Л|^1, образуют в пространстве (?)х) ограниченное множество. Это
видно из того, что $ — ограниченное множество пространства ($)х х у).
Поэтому, полагая h -> 0 и применяя предложение 1 из § 8 гл. I,
мы видим, что условие (9) действительно имеет место.
Итак, на основании того же предложения 1 мы можем заклю-
заключить, что множество значений
г, у))); ф?93} A0)
ограничено. Следовательно, упомянутое предложение 1 показывает,
что равенство
A), у))) A1)
определяет некоторую обобщенную функцию
гично соотношение
, у))) A2)
102 /. Полунормы
задает обобщенную функцию W() ? (?)х х у). Ясно, что
W{1)(и(х)v(y)) = W{2)(и(*)v(y))= Т(х)(и(х)). S(y)(v(у)) A3)
для и6(®*) и бу
Поэтому из предыдущей теоремы 1, учитывая непрерывность
обобщенных функций WA) и W{2\ мы заключаем, что Wil)—W^2K
Это и доказывает нашу теорему, так как можно положить W = №A) =
= W{2) !)•
Литература к главе I
О локально выпуклых линейных топологических пространствах
и банаховых пространствах см. Бурбаки [2], Гротендик [1], Кёте [1],
Банах [1], Данфорд—Шварц [1], Хилле—Филлипс [1]. По поводу
обобщенных функций см. Шварц Л. [1], Гельфанд—Шилов [1],
Хёрмандер [6], Фридман [I]2).
1) Ясно, что условие E) определяет W единственным образом. — Прим.
перев.
2) О нормированных пространствах см. также Дэй [1*]. — Прим. перев.
ГЛАВА II
Приложения теоремы Бэра — Хаусдорфа
Свойство полноты fi-пространств (и /^-пространств) позволяет
применить к ним теорему Бэра — Хаусдорфа (см. введение) и уста-
установить такие важные принципы функционального анализа, как тео-
теорема о равномерной ограниченности, теорема о резонансе, тео-
теорема об открытости отображения и теорема о замкнутом гра-
графике. Основные результаты, составляющие содержание этих теорем,
принадлежат Банаху [1). Свойство почленной дифференцируемости
последовательности обобщенных функций следует из теоремы
о равномерной ограниченности.
/. Теорема р равномерной ограниченности
Теорема 1 (о равномерной ограниченности). Пусть X — линейное
топологическое пространство, непредставимое в виде объединения
счетного числа своих замкнутых неплотных подмножеств. Предпо-
Предположим, что на X определено семейство непрерывных отображений
[Та; а?А] пространства X в квазинормированное линейное про-
пространство К. Пусть для. всякого а ? А и любых х, у ? X выполня-
выполняются неравенства
\\Та(х + у)\\^\\Тах\Ш\Тау\\ и \\Та(ах)\\ = \\аТах\\ при а>0.
Если множество [Тах\ а?А] ограничено при всяком фиксирован-
фиксированном х?Х, то s-\imTax = 0 равномерно относительно а?А.
о
Доказательство. Для произвольного заданного е > 0 и всякого
положительного целого п рассмотрим множество Xп= \Х
sup {||я~17'а.*|| + ||л~17'л(—х)\\) <е } . Ввиду непрерывности отобра-
жений Та каждое из множеств Xп замкнуто. Из предположения, что
со
множество {||TV*||; а?А] ограничено, получаем Х = \\Хп. Отсюда
в силу предположений, сделанных относительно пространства X\ сле-
следует, что какое-то из множеств Xп* скажем ХПо, должно содержать
окрестность вида U = xo-\-V некоторой точки хо?Х, где V~-такая
окрестность нуля пространства Х% что V = — V, При этом для точек
104 /У. Приложения теоремы Бэра — Хаусдорфа
х ? V справедливо неравенство sup || ft^1Ta (xQ + ¦*) II ^ ?• Поэтому
Тем самым теорема доказана, так как операция cut умножения на
скаляр в линейном топологическом пространстве непрерывна по обеим
переменным а и х.
Следствие 1 (теорема о резонансе)? Пусть [Та\ а? А] —семейство
ограниченных линейных операторов, отображающих ^-пространство X
в нормированное линейное пространство К. Тогда если множество
{ll^V^lh a6^} ограничено при каждом фиксированном х?Х, то и
множество {||7"J|; a?A) ограничено.
Доказательство. По теореме о равномерной ограниченности для
всякого е>0 существует такое 6>0, что из условия ||*||^6 выте-
вытекает неравенство sup||ra.x;|]^e. Поэтому sup|| Гв||^е/6, что и ДОКаЗЫ-
вает наше утверждение.
Следствие 2. Пусть {Тп} — последовательность ограниченных
линейных операторов, отображающих /^-пространство X в нормирован-
нормированное линейное пространство К. Предположим, что предел s-\'\mTnx = Tx
й-»оо
существует при каждом фиксированном х?Х. Тогда Т — тоже огра-
ограниченный линейный оператор, отображающий X в Y, причем
||Т||<Игп_||Гя||. A)
Я->ОО
Доказательство. Ограниченность последовательности {Ц^агЦ} при
каждом фиксированном х ? X вытекает из непрерывности нормы.
Поэтому, согласно предыдущему следствию, sup ||ГЛ|| < оо, откуда
\\Т jc||-^sup||ТЛ|| • ||а:|| (я=1, 2, ...). Итак, еще раз используя
непрерывность нормы, мы получаем
что и приводит к неравенству A). Наконец, ясно, что Т — линейный
оператор.
Определение. Оператор Г, полученный описанным выше способом,
называется сильным пределом последовательности {Тп} (говорят
также, что последовательность [Тп] сильно сходится к Т). В этом
случае мы будем писать 7* = ^-lim Т*Л.
/2->ОО
Теперь мы докажем теорему о существовании для ограниченного
линейного оператора ограниченного обратного оператора.
2» Теорема Витали — Хана — Сакса 105
Теорема 2 (К. Нейман). Пусть Г—ограниченный линейный оператор,
отображающий /^-пространство X в себя. Допустим, что ||/—Г||< 1,
где I — тождественное отображение (fx = л:). Тогда для Т существует
единственный обратный ограниченный линейный оператор Г, кото-
который выражается следующим рядом К. Неймана:
T~lx = s-\lm(/ + (/ — Т) + ([ — ТJ+ . . . +(!-T)n)xt х?Х. B)
Доказательство. Для любого х ? X справедливо неравенство
||2||?||(|
||л = 0 II л—0
<Sll</-n*l|-ll*IKSll(/
Л-0 /1-0
Ряд в правой части этого неравенства сходится, так как f|/ — Т(| < 1.
Поэтому из полноты пространства X следует существование огра-
ограниченного линейного оператора, равного пределу s-lim 2(/—Г)л.
&->оо я—О
Этот оператор является обратным для 7\ как следует из равенства
¦r-s-lim S (/ — T)nx = s-\im(I — (I — T){ S(/ — T)n x) =
k-+oo n=Q k-^oo \«-0 /
= л; — s- lim (/ — T)*+1 x = x
/ oo \
и аналогичного равенства ^-lim 2 С — Г)я I Гл; = a:.
Й>\л-0 /
2. Теорема Витали — Хана — Сакса
Эта теорема относится к сходящимся последовательностям мер.
Она опирается на следующее
Предложение. Пусть E, 93, т) — некоторое пространство с мерой.
Обозначим через 93О совокупность всех множеств В ? 2Э, для которых
т(?)<оо. Всякие два множества Вх и В2 из 93 условимся считать
эквивалентными, если т(В1 э ?2) = 0; введем функцию расстояния
d(Bv В2) = т (В{ е 52)» где ^ е В2 = Вх U ^2 — Й! П В2. A)
Множество 93О (с метрикой A)) образует метрическое пространство,
которое мы обозначим через (93О). Элементами этого пространства слу-
служат классы В множеств ВХ?Ч5О, таких, что т(В о Вх) — 0. Про-
Пространство (93О) является полным метрическим пространством.
106 //. Приложения теоремы Бэра — Хаусдорфа
Доказательство. Обозначим через Св($) характеристическую
функцию множества В:
CB(s)=l при s?B, CB(s) = 0 при s(?B.
Тогда
d (В,, В2) = J | С*, E) - С*2 E) | m {ds). B)
Таким образом, метрическое пространство (93О) можно отождествить
с некоторым подмножеством ^-пространства Ll(S> 93, m). Допустим,
что некоторая последовательность {^Bn(s)}^ r^e ?Л?23О, удовлетво-
удовлетворяет условию
lim d{Bn. Bk)= lim \\CB (s)-CB (s)\m(ds) = 0.
Л, *-»со л, Л->оо X « I
Тогда так же, как при доказательстве полноты пространства L1 E, 93, т),
можно выбрать такую подпоследовательность [CBn,(s)\t что m-n. в. суще-
ствует предел lim Св , (s)=C(s)u lim Г I C(s)—CB , (s)\ m(ds)=0.
л'->оо л'->с» д/ ' '
Очевидно, что С (s)-— это характеристическая функция некоторого мно-
множества ^б^о» и поэтому lim d^B^ Bn) = 0.
Л->ОО
Это и показывает, что пространство (93О) полно.
Теорема (Витали — Хан — Сакс). Пусть E, 93, т)—некоторое про-
пространство с мерой. Пусть {Хп(В)}-~последовательность комплексных
мер, таких, что их полные вариации | Хп |E) конечны при п= 1, 2, ... .
Допустим, что все меры ХП(В) m-абсолютно непрерывны и что для
каждого множества ??93 существует конечный предел lim кп(В) =
Л->ОО
= Х(В). Тогда меры ХП(В) являются равностепенно (по п) /я-абсо-
лютно непрерывными, т. е. если т(В)->0, то кп(В)->0 равно-
равномерно по п. При условии m(S) < оо мера Х(В) а-аддитивна на 93.
Доказательство. Каждая мера 1п порождает на пространстве (93О)
однозначную функцию Хп(В)='кп(В); однозначность вытекает из
m-абсолютной непрерывности меры Хп(В), в силу которой значе-
значение Хп(В) не зависит от выбора множества В из класса В. Непре-
Непрерывность функций %п(В) эквивалентна m-абсолютной непрерывности
меры Ъп(В), т. е. каждое из этих свойств влечет за собой другое.
Следовательно, при любом е > 0 множества
2. Теорема Витали — Хана — Сакса 107
замкнуты в C3О), и в силу предположения lim Хп(В) = Х(В) мы
л->оо
оо
имеем (93О) = (J Fk (e). Так как полное метрическое пространство (93О)
есть множество второй категории, по крайней мере одно множество
FkQ(e) содержит непустое открытое множество, принадлежащее (93О).
Это означает, что существуют такой класс ВО?08О) и такое число
г| > 0, что из неравенства d(B% B0)^.r) следует неравенство
С другой стороны, любое множество #?93О, для которого т(В
может быть представлено в виде В = В{ — В2, где d(Bv B0
d(B2, В0)^г). Например, можно положить Вх = В[}В0, В2 — В0—.
— В(]В0. Таким образом, если т(В)^ц и k^>k0, то
Отсюда, ввиду произвольности е > 0 и m-абсолютной непрерыв-
непрерывности Xk0, мы заключаем, что если /и(?)->0, то кп(В)->0 равно-
равномерно по п. Это означает, что и А,(?)->0 при т(В)->0. С другой
стороны, ясно, что функция X обладает свойством конечной адди-
/ п \ п
тивности, т. е. Х\ 2 ?/)= 2 ^(^/)- Отсюда и из доказанного ра-
l Я(ВH ф А
\У / У
венства lim Я(В)=0 вытекает, что функция А, также и а-адди-
т(В)-+0
тивна, если т E) < оо.
Следствие 1. Пусть [кп(В)) — последовательность комплексных мер
на S, таких, что их полные вариации |ЯЛ|E) конечны при каждом /t.
Если для каждого В?23 существует конечный предел lim Xn(B)t
Л->ОО
то функции {Хп(В)} оказываются а-аддитивными равномерно относи-
относительно /г, т. е. lim Хп(Вк) = 0 равномерно но п для всякой убы-
вающей последовательности [Bk] множеств Вк?Ъ, такой, что
Доказательство. Рассмотрим функцию
т(В) = 2 2" J]ij E), где iij (В) = Xj E)/| Xj \ E).
Она а-аддитивна, так как Xj обладают этим свойством, н, кроме
того, 0<т(#)<1. Каждая из функций Xj и [ij /yi-абсолютно
108 II. Приложения теоремы Бэра — Хаусдорфа
непрерывна. Следовательно, по доказанной выше теоремеlim А,л (/?Л)=0
Л-»оо
равномерно по /г, так как lim m(Bk) = Q.
Л->оо
Следствие 2. Функция X (В), фигурирующая в доказанной выше
теореме, является о-аддитивной и m-абсолютно непрерывной и в том
случае, когда тE) = оо.
3. Почленная дифференцируемость последовательности
обобщенных функций
Исследование сходимости последовательностей обобщенных функ-
функций проводится очень просто. Это показывает следующая
Теорема. Пусть \Тп) — последовательность обобщенных функций
Тя??)(?2)'. Пусть для каждой функции ф?35(й) существует конеч-
конечный предел lim 71л(ф)=Г(ф). Тогда Т — тоже обобщенная функция.
й-»оо
принадлежащая 3)(Q)'. В этом случае мы будем называть Т пределом
последовательности \Тп) в пространстве 3)(Q)' и писать Т =
тф(ап
/1>ОО
Доказательство. Линейность функционала Т очевидна. Пусть
К — любое бикомпактное подмножество области Q. Тогда каждая
обобщенная функция Тп определяет некоторый линейный функционал
на ^-пространстве 35^ (Q). Кроме того, эти функционалы непре-
непрерывны. В самом деле, используя предложение 1 из § 8 гл. I, не-
нетрудно показать, что они ограничены на всяком ограниченном мно-
множестве из 35^B). Поэтому, согласно теореме о равномерной огра-
ограниченности, линейный функционал Т ограничен на всяком ограниченном
множестве из 3)#(Q). Таким образом, Т оказывается непрерывным
линейным функционалом на любом пространстве вида 35^ (Q). Так
как 7) (Q) — индуктивный предел пространств ?)^ (Q), функционал Т
должен быть непрерывным линейным функционалом и на простран-
пространстве S)(Q).
Следствие (теорема о почленной дифференцируемости). Пусть
Т= lim Тп(?)(пУ). Тогда для любого дифференциального опера-
тора D* справедливо соотношение D*T= lim
Я->оо
Доказательство. Так как lim Тп = Т C5 (QH> то
lim Гя((-1)'" D\)
/1->ОО
для всякой функции q)?5D(Q). Поэтому
(DJT)((f>)= lim (DjTn)((f) для любой функции cp?3)(Q).
4. Теорема о сгущении особенностей 109
4. Теорема о сгущении особенностей
Теорему Бэра — Хаусдорфа можно применить для доказательства
существования функций с различными особенностями. Например,
можно доказать существование непрерывной функции, не имеющей
ни в одной точке конечной производной.
Теорема Вейерштрасса. На отрезке [0, 1] существует непрерыв-
непрерывная вещественная функция х (t)t которая ни в одной точке tQ отрезка
[0, 1/2] не имеет конечной производной xf (t0).
Доказательство. Функция x{t) обладает в точке t = t0 конеч-
конечными правыми верхним и нижним производными числами в том и
только в том случае, когда существует такое положительное целое /г, что
sup h~l\x(t0 + h)— *(*0I<л-
2~1 >Л>0
Обозначим через Мп совокупность всех функций x(t)?C [0, 1], удо-
удовлетворяющих написанному выше условию в некоторой точке t0 от-
отрезка [0, 1/2]; различным функциям x(t) могут соответствовать раз-
разные точки tQ отрезка [0, 1/2]. Теперь достаточно показать, что всякое
множество типа Мп неплотно в С [0, 1]. Действительно, если это так,
оо
то множество С[0, 1]— М Мп непусто, поскольку, согласно теореме
Бэра — Хаусдорфа, полное метрическое пространство С[0, 1] не может
быть множеством первой категории.
Легко видеть, что из определения нормы пространства С [0, 1]
и бикомпактности отрезка [0, 1/2] следует замкнутость множеств Мп
в С[0, 1]. Далее для всякого полинома z(t) и произвольного е>0
мы можем найти функцию у (t) ?С[0, 1] — Мп, для которой
sup |г(О — y(?)| = ||? — у || <; е. Можно, например, выбрать в ка-
честве у (t) непрерывную функцию, график которой представляет
собой ломаную линию. Следовательно, согласно теореме Вейерштрасса
об аппроксимации непрерывных функций полиномами, множества Мп
неплотны в С [0, 1].
Приведенная ниже теорема о сгущении особенностей, устано-
установленная Банахом [1] и Штейнгаузом, опирается на следующее утвер-
утверждение.
Теорема (Банах). Рассмотрим некоторую последовательность огра-
ограниченных линейных операторов [Тп\, отображающих ^-пространство X
в нормированные линейные пространства У п. Тогда множество
В = \х?Х\ Ш \\Тпх\\ <ool
л-»оо
либо совпадает с X, либо является в пространстве X множеством
первой категории.
НО //. Приложения теоремы Вэра — Хаусдорфа
Доказательство. Покажем, что если В является множеством
второй категории, то В = X. По определению множества В для
всякого х ?В справедливо соотношение lim sup || /г~17"ял: || = 0.
fc-»OO П > 1
Значит, для любого е > 0
ВЯ \jBk, где Вк = [х?Х\ sup || k'lTnx |
Ввиду непрерывности операторов Тп каждое множество Bk зам-
замкнуто. Поэтому если В — множество второй категории, то одно из
множеств Bkt скажем Bko, содержит некоторый шар положительного
радиуса. Иными словами, существуют точка х0 ? X и число 6 > 0,
такие, что sup || к^хТпх || <^е при ||л: — л:0||^6. Следовательно, по-
п > 1
лагая х — х0 = у, мы при условии || у \\ ^ 6 получаем неравенство
\\ko]Tny\\^\\ko1Tnx\\ + \\kQlTnxo\\<2e. Таким образом,
sup ||7>||<2e,
п>\, \\*\\<к?1Ъ
и поэтому В= X.
Следствие (теорема о сгущении особенностей). Пусть {Tpt q)
(^=1, 2, ...)—последовательность ограниченных линейных опера-
операторов, отображающих /^-пространство X в нормированное линейное
пространство Yp (р = 1, 2, . ..). Допустим, что для каждого р су-
существует такая точка хр? X, что lim || Тр хр \\ = оо. Тогда множество
<7>оо
В = \х?Х; \im\\T х\\ = оо для всех р=1, 2, ...I
является множеством второй категории.
Доказательство. При каждом фиксированном р множество
Вр = J х ? Х\ lim || Т х || < оо I является множеством первой
категории — это вытекает из сделанных предположений и предыдущей
оо
теоремы. Поэтому В = X — М Вр должно быть множеством второй
/7 = 1
категории.
На этом результате основывается общий метод построения функ-
функций с разного рода особенностями.
Пример. Существует вещественная непрерывная функция x(t)
периода 2л, такая, что частичная сумма её ряда Фурье
/«(*; 0= So(«*coskt + bhsinkt) = ± J x(s)Kq(s9 t)ds. A)
4. Теорема о сгущении особенностей 111
где Kq(s, t) = sin((q-{-2~l)(s— 0)/2sin2~1E — t)t удовлетворяет
условию
lim \fq(x\ t)\=oo на множестве Pcj[0, 2л] мощности континуума. B)
q->oo
Более того, множество Р можно выбрать так, чтобы оно содер-
содержало любую счетную последовательность {tj} с [0, 2л].
Доказательство. Множество всех вещественных непрерывных
функций x(t) периода 2л с нормой ||*||= sup |л:@| образует
О < / < 2л
вещественное ^-пространство, которое мы обозначим С2я. ИзA) сле-
следует, что при всяком заданном значении to?[O, 2л] функцию fq(x\ t)
можно рассматривать как ограниченный линейный функционал на С2л.
Кроме того, норма этого функционала fq(x\ t0) равна величине
я t
— f \Kq(s, tQ)\ds — полной вариации функции ~ f Kq(s, to)dt. C)
-я -л
Нетрудно заметить, что выражение C) стремится к со при q->oo
для всякой фиксированной точки t0.
Поэтому если мы возьмем произвольную счетную плотную после-
последовательность {tj} cz [0, 2л], то, согласно предыдущему следствию,
множество
Ш |/ (х; t)\ = oo для t = tvt2,.
будет множеством второй категории. Отсюда следует, что множество В
непусто, так как пространство С2я полно. Покажем, что для любой
функции х ? В множество
, 2л]; Ш \fq(x\ Ol = ool
<7-»oo )
имеет мощность континуума. С этой целью положим
^„={'?[0. 2Л]; \/д(х; 0!<«Ь Fm=f\Fm,q.
Так как функция x{t) и тригонометрические функции непрерывны,
множества Fm , а следовательно, и Fm замкнуты в отрезке [0, 2л].
оо
Если мы сможем показать, что ^J Fm — множество первой катего-
рии в отрезке [0, 2л], то отсюда будет следовать, что Р =
= 1[0, 2л]— М Fm)${tj} является множеством второй категории.
^ m*-l /
Действительно, в этом случае Р не может быть счетным множеством,
а поэтому, согласно известной гипотезе континуума, должно иметь
мощность континуума.
112 //. Приложения теоремы Бэра — Хаусдорфа
Таким образом, для завершения доказательства мы должны убе-
убедиться в том, что каждое Fm является множеством первой катего-
категории в [0, 2я]. Допустим, что некоторое Fmo представляет собой мно-
множество второй категории. Будучи замкнутым множеством в [0, 2я],
Рщй должно содержать некоторый замкнутый интервал [а, р] отрезка
[О, 2л]. Но тогда sup \fq(*\ ОК^о для всех значений
>1
7>
а это противоречит тому факту, что множество Р содержит плотное
подмножество [tj] отрезка [0, 2я].
Замечание* Тот факт, что множество Р имеет мощность конти-
континуума, можно доказать и не прибегая к гипотезе континуума; см.,
например, Хаусдорф [1].
б. Теорема об открытости отображения
Теорема (теорема Банаха об открытости отображения). Пусть
Т — непрерывный линейный оператор» отображающий F-простран-
ство X на F-пространство К. Тогда Т отображает каждое открытое
множество пространства X на открытое множество пространства К.
Для доказательства этой теоремы нам потребуется следующее
Предложение. Пусть X, Y — линейные топологические про-
пространства. Рассмотрим непрерывный линейный оператор 7\ отображаю-
отображающий X в Y. Предположим, что область значений R(T) оператора Т
является множеством второй категории в К. Тогда каждой окрест-
окрестности U нуля пространства X соответствует некоторая окрестность V
нуля пространства К, такая, что V с (TU)a.
Доказательство* Пусть W — такая окрестность нуля простран-
пространства X, что W = — W и W+.WcU. Для любого х?Х имеем
х/п-±0 при п—>оо, поэтому x?nW для достаточно больших зна-
оо оо
чений д. Следовательно, X = \J(nW) и R(T)= \jT(nW). Поскольку
R(T)—множество второй категории в К, существует такое целое
положительное п0, что множество (T(n0W))a содержит некоторое
непустое открытое множество. Так как (T(nW))a = n(T(W))a, а мно-
множества n(T(W))a и (T(W))a гомеоморфны, то множество (T(W))a
тоже содержит некоторое непустое открытое множество. Пусть
3>0=7л;0, где xo?W — точка этого открытого множества. Тогда,
поскольку отображение х-* — хо-{-х является гомеоморфизмом, су-
существует такая окрестность V нуля пространства К, что V с —,уо +
-\-(T(W))a. Элементы множества — yQ-\-T(W) представляются в виде
— yo+Tw = T(w — лг0), где w?W. Но w — xQ?W-\-W с U, так
как W = — W и W+WcU.
Поэтому —Уо~Ь^(^) S T(U)> и, следовательно, переходя к за-
замыканиям, мы получаем — yo+(J{W))a 5(Г(?/))°, откуда Кд-
+ (Г (W) )а с (Т (?/) )а = (TUf.
5. Теорема об открытости отображения 113
Доказательство теоремы. Будучи полным метрическим про-
пространством, К представляет собой множество второй категории. По-
Поэтому, согласно доказанному выше предложению, замыкание образа
при отображении Т всякой окрестности нуля пространства X содержит
некоторую окрестность нуля пространства У.
Обозначим через Хе, К8 шары соответственно в простран-
пространствах Л\ К с центром в начале координат и радиусами е > 0. По-
Положим el. = e/2/(/ = 0, 1,2, ...). Тогда, как было показано выше,
существует такая последовательность положительных чисел {^}, что
= 0 и Гъ&(ТХг)а (/ = 0.1.2,...). A)
Выберем произвольную точку у?К11о. Мы покажем, что существует
такая точка х?Х2г0, что Тх = у. Из условия A) при / = 0 следует
существование такой точки х0 ? ХВй, что || у — 7\ro|| < r\v Так как
(у—7**о) 6 *%,,, то снова из условия A) при /=1 мы заключаем,
что существует точка Xi?XBl, для которой ||у — Тх0 — Тх{\\<Ц2-
Повторяя этот процесс, мы придем к такой последовательности [хД
элементов xt?XB.t что
У-Т Z*i <n»+i (« = 0.1.2....).
Из неравенств
IK
я \
вытекает, что последовательность { 2 xk \ фундаментальна. Поэтому
U-o J
n
существует s- lim SJP* = -r€^'» так как пространство X полно.
Кроме того,
II J S ll
| —0
Оператор Г непрерывен, поэтому у = Тх. Тем самым мы показали,
что всякий шар вида X2eQ отображается оператором Т на некоторое
множество, содержащее шар К^.
Пусть теперь О — непустое открытое множество в X и х ? О.
Пусть U — такая окрестность нуля пространства X, что x-\-U cz О.
Через V обозначим окрестность нуля пространства К, удовлетворяю-
удовлетворяющую условию TV з V. Тогда ГО з Г (л: + ?/) = Тх + Ш э 7\к +1/-
Следовательно, множество ТО содержит окрестность каждой своей
точки. Это показывает, что оператор Т отображает открытые мно-
множества пространства X на открытые множества пространства К,
$ К. Иосида
114 //. Приложения теоремы Бэра — Хаусдорфа
Следствие. Если непрерывный линейный оператор Т взаимно
однозначно отображает одно /^-пространство на другое ^-простран-
^-пространство, то обратный оператор Т~1 тоже непрерывен.
6. Теорема о замкнутом графике
Определение 1. Пусть X и К — линейные топологические прост-
пространства над одним и тем же скалярным полем. Тогда произведение
X X У с операциями
\xv yi} + {*2' У2} = {^1 + ^2. У1 + У2Ь <Ч*. у} = {ах, ау}
представляет собой линейное пространство. Если определить откры-
открытые множества в этом пространстве как множества вида
GxXG2={{x. у}; x?Gv у€О2}.
где Gv G2 — открытые множества соответственно в X, К, то X X У
будет линейным топологическим пространством. Если, кроме того,
X и К — квазинормированные линейные пространства, то X X У
с квазинормой
||{*. у}Н=AИ12+1М12I/2. О)
является квазинормированным пространством.
Предложение 1. Если X и К — два ^-пространства (F-прост-
ранства), то X X У также является ^-пространством (^-простран-
ством).
Доказательство. Утверждение вытекает из эквивалентности со-
соотношения s- lim {хп, уп) = {х, у] и равенств s- Игл хп = х,
Я->ОО Л->ОО
s-\imyn = y.
Определение 2. Графиком О(Т) линейного оператора Г, дей-
действующего из D(T)c:X в пространство К, называется множество
{ {*, Га:}, лг?ОG)} пространства X X У. Пусть *, К —линейные
топологические пространства. Оператор Т называется замкнутым
линейным оператором, если его график 0G) образует замкнутое
линейное Подпространство пространства Л'ХК. Если X и Y — ква-
квазинормированные линейные пространства, то линейный оператор Г,
действующий из D(T)czX в К, замкнут тогда и только тогда,
когда выполняется следующее условие:
если (jfj с ОG), s-lim лгл=:л: и s- lim Txn = у,
я->оо п ->оо
то x?D(T) и Тх = у. B)
Таким образом, понятие замкнутого линейного оператора является
обобщением понятия ограниченного линейного оператора. Говорят,
6. Теорема о замкнутом графике 115
что линейный оператор 7\ отображающий множество D(T) с X в про-
пространство К, допускает замкнутое расширение, если замыкание
графика G(T) в X X У представляет собой график некоторого ли-
линейного оператора, скажем 5, отображающего некоторую область
D(S)cX в К.
Предложение 2. Если X, Y — квазинормированные линейные
пространства, то оператор Т допускает замкнутое расширение тогда
и только тогда, когда выполняется следующее условие:
если \хп) с DG), s-limxrt = 0 и 5- lim Txn = у,
Я->ОО Л->ОО
то у = 0. C)
Доказательство. Необходимость условия C) очевидна, так как
если замыкание графика G(T) в пространстве X X У служит гра-
графиком О E) некоторого линейного оператора 5, то у = 5 • 0 = 0.
Докажем его достаточность. Определим линейный оператор 5 сле-
следующим образом:
x?D(S) тогда и только тогда, когда существует та-
такая последовательность {хп} с D(T); что s- lim xn = x D)
Я->ОО
и существует s-lim Тхп = у; положим Sx = y
и назовем его наименьшим замкнутым расширением оператора Т.
Из условия C) следует, что у однозначно определяется по лг.
Остается лишь доказать, что оператор 5 замкнут. Пусть wn?D(S)9
s- lim wn = w и s- lim Swn = и. Тогда существует последователь-
ность {*„} с DG), такая, что К —-^K II^JK
(я=1, 2, . . .). Отсюда 5-limдгл=5- lim wn, s-\imtxn=s- lim Swn = u,
П -> OO Л->ОО Л->ОО Я-> OO
и поэтому xe/?D(S)! 5w = tt.
Пример замкнутого оператора, не являющегося непрерывным.
Положим X = К = С[0, 1]. Обозначим через D множество всех функ-
функций x(t)?X, для которых x'(t)?X. Определим оператор Т на
D(T)=D равенством Тх = х'. Оператор Т не является непрерыв-
непрерывным, потому что, например, для функций xn(t) = tn
ll*«ll=l. ЦГ*Л= sup \x'n(t)\= sup \nt*-l\ = n A1=1.2....).
0</<l 0</<l
Однако этот оператор замкнут. В самом деле, пусть [хп]
S'Vim хп = х и 5-lim Гхл = з;. Тогда ^@ равномерно сходится
Л-> ОО П -> ОО
к у(^), а ^„@ равномерно сходится к x(t) при #->оо. Следова-
Следовательно, функция д:@ имеет непрерывную производную y{t). Отсюда
вытекает, что x?D{T) и Тх — у.
8*
116 77. Приложения теоремы Бэра — Хаусдорфа
Примеры операторов, допускающих замкнутые расширения.
Обозначим через Dx линейный дифференциальный оператор
Dx = 2 Cj(x)D> E)
1Л<*
с коэффициентами Cj(x)?Cfc(Q), где Q — открытое множество про-
пространства Rn. Рассмотрим множество D всех функций /(#)?
?L2(Q)fl Ck(Q), для которых Dx f (x) ? L2 (Q). Определим линейный
оператор 7\ отображающий область DG)=DcL2(Q) в прост-
пространство L2(Q), формулой (Г/) (а:) = Dxf (x). Этот оператор Т допу-
допускает замкнутое расширение. Действительно, пусть \fh) cz D такая
последовательность, что $-Пт/Л = 0, 5- lim Dxfh = g. Для любой
Л->оо Л->оо
функции ф (л:) ? С*[ (Q) с помощью интегрирования по частям можно
вывести равенство
J DJ (х) <р (*) <** = J / (*) • ?>> W ^, F)
Q Q
где D^. — дифференциальный оператор, формально сопряженный
к, Dx:
D'M*)= S (-1IУ|^У(^(^)Ф(^)). G)
\j\<k
Формула F) следует из того, что проинтегрированный член, возни-
возникающий при интегрировании по частям, обращается в нуль, так как
ф(л:)?С*[(О). Поэтому в силу непрерывности скалярного произведе-
произведения в пространстве L2(Q) мы, полагая в формуле F) / = /Л и пере-
переходя к пределу при Л->оо, получаем равенство
J g(x)<f(x)dx = J 0 • D'x<p(x)dx = 0. (8)
Q Q
Так как функция ф(х)?С?(О) выбиралась произвольно, то ^ (а:) = О
почти всюду, т. е. g = 0 как элемент пространства Z,2(Q).
Предложение 3. Обратный оператор Г" замкнутого лийейного
оператора из D(T)g:X в К, если он существует, является замк-
замкнутым линейным оператором.
Доказательство. Графиком оператора Г служит множество
{ {Тх, х}; x?D(T)}, принадлежащее пространству К X X. Поэтому
утверждение следует из того, что отображение {дг, у] -> {у, х) про-
пространства X X У на КХ^ является гомеоморфизмом.
Теперь мы докажем теорему Банаха о замкнутом графике.
Теорема 1. Всякий замкнутый линейный оператор Г, отображаю-
отображающий /^-пространство X в F-пространство К, непрерывен.
Доказательство, График 0G) оператора Т представляет собой
замкнутое линейное подпространство ^-пространства X X У*
7. О приложении теоремы о замкнутом графике 117
как пространство X X У полно, множество G(T) является F-прост-
ранством. Соотношение U [х, Тх) = х определяет взаимно однознач-
однозначное непрерывное линейное отображение U ^-пространства G(T) на
/^-пространство X. Следовательно, по теореме об открытости ото-
отображения обратное к U отображение U~l непрерывно. Равенство
V {х, Тх} == Тх определяет в свою очередь линейное непрерывное
отображение V пространства О (Г) на множество /?(Г)сК. Итак,
оператор 7 = VI/", отображающий пространство X в К, непре-
непрерывен.
Следующая теорема о сравнении двух линейных операторов при-
принадлежит Хёрмандеру.
Теорема 2. Рассмотрим ^-пространства Xt (/ = 0, 1, 2; Л"о = А')
и линейные операторы Tt (/ ===== 1, 2), отображающие области D(Tt)czX
в пространства Xt. Тогда если оператор Тх замкнут, а оператор Т2
допускает замкнутое расширение, причем D(TX) c^ D(T2)t то су-
существует такая постоянная С, что
\\Т2х\\<С(\\Тхх\\* + \\х\\>I/2 Для всех х? D(TX). (9)
Доказательство. График ОG\) оператора Г, представляет со-
собой замкнутое подпространство пространства X X Xv Следова-
Следовательно, отображение
2 A0)
определяет линейный оператор, отображающий ^-пространство G(TX)
в В-пространство Xv Докажем, что этот оператор замкнут. Допу-
Допустим, что последовательность \хп> Т[хп] сильно сходится в G(TX),
а последовательность Т2хп сильно сходится в Х2. Поскольку опе-
оператор Тх замкнут, существует такой элемент x?D(Tx), что
х = s- lim хп и Тхх = 5- lim Тххп. По предположению х ? DG2),
Л->ОО Л->0О
а так как оператор Т2 допускает замкнутое расширение, то предел
5- lim T2xn существует и непременно равен Т2х. Значит, отображе-
П ->0О
ние A0) замкнуто, а следовательно, по теореме о замкнутом гра-
графике оно должно быть непрерывным. Это и доказывает справедли-
справедливость неравенства (9).
7. Об одном приложении теоремы о замкнутом
графике (теорема Хёрмандера)
Всякое обобщенное решение ]) и ? L2 уравнения Лапласа
l) Обобщенные решения ввел С. Л. Соболев (см., например, [2]). —
Прим. перев.
118 //. Приложения теоремы Бэра — Хаусдорфа
представляет собой функцию класса С°° после поправки на неко-
некотором множестве меры нуль из области, где / ? С°°. Этот результат
известен под названием леммы Вейля\ он играет важную роль
в современной теории потенциала, см. Вейль Г. [1]. Обобщениям
леммы Вейля посвящена обширная литература. Исследования Хёр-
мандера [1] представляются в этой области наиболее многообещаю-
многообещающими. Мы начнем изложение с принадлежащего Хёрмандеру опреде-
определения гипоэллиптического оператора.
Определение 1. Пусть Q — открытая область пространства Rn,
Говорят, что функция и {х) {х ? Q) принадлежит классу L\oc (Q), если
для любого открытого подмножества Q' с Q, замыкание которого
бикомпактно в Q, выполняется условие Г \u(x)\2dx < oo. Линейный
а'
дифференциальный оператор в частных производных с постоянными
коэффициентами вида
pilJ- ±_А_ 1_
Гу дх^ . дх^ .... . d
где P(l) = P(llt |2, ..., 1п) — многочлен от |р |2 |л, на-
называется гипоэллиптическим, если всякое обобщенное решение
я 6 ^?ос (Й) уравнения Р (D) u = f является функцией класса С00
после поправки на множестве меры нуль, принадлежащем области,
где /6С°°.
Теорема (Хёрмандер). Если оператор P(D) гипоэллиптичен, то
для сколь угодно большой положительной постоянной Сх существует
такая положительная постоянная С2, что любое решение ?=!-f-ft1
алгебраического уравнения Р(?) = 0 удовлетворяет следующему ус-
условию:
если hl=f2hy|2) <C2, то |C|=fS|Cy|2) <CV B)
Доказательство. Пусть U — совокупность всех обобщенных ре-
решений1) я??2(?У) уравнения P(D)u = 0, т. е. множество таких
функций u?L2(Q), что
J uP' (D) ф dx = 0 для всех ф ^ С™ (Q'). C)
1) Из условия C) и правил дифференцирования обобщенных функций
следует, что обобщенное решение, и ? L\oc (Qf) уравнения Р (D) и = 0 опре-
определяется равенством (Р (D) Ти) ср = 0 для всех <р ^ Cg° (йО. — Прим. перев.
7. О приложении теоремы о замкнутом графике
119
где сопряженный к P(D) дифференциальный оператор P'(D) оп-
определяется многочленом
-h -
D)
Можно показать, что U — замкнутое линейное подпространство про-
пространства L2(Q'). Действительно, линейность U следует из линейно-
линейности оператора P(D). Возьмем теперь последовательность \uh) с (/,
такую, что s-\\muh=:u в L2(Qr). Тогда вследствие непрерывности
Л->оо
скалярного произведения в Z,2(Q')
0 = lim f uh Pr(D)фdx = f uP'(D)ydx, т. е. u?U.
Таким образом, U — действительно замкнутое линейное подпростран-
подпространство пространства L2(Q') и поэтому является ^-пространством.
Так как оператор P(D) — гипоэллиптический, мы можем считать,
что всякая функция и ? U в области Q' принадлежит классу С°°.
Пусть Qi — любая открытая подобласть с бикомпактным замыканием
в Q'. Тогда для любой функции и ? U функция du/dxk принадлежит
С°° в Qi (&=1, 2 п). Согласно результатам предыдущего па-
параграфа, отображение
(*=!• 2 п)
определяет замкнутый линейный оператор. Следовательно, по теореме
о замкнутом графике существует такая положительная постоянная С,
что
Для всех
Если применить это неравенство к функции и (х) = е1 (лг> ?>, где
I = I + (Ц = (ii + 'Л(. |2 + ^2 in Ч- inn) — некоторое решение
уравнения Р(?) = 0 и (jc, S)==
to получится соотношение
J
fl'
Отсюда следует, что величина |?| ограничена, если ограничена |rj|.
120 //. Приложения теоремы Бэра — Хаусдорфа
Замечание. Позже мы докажем, что из условия B) следует
гипоэллиптичность оператора P(D). Этот результат также принадлежит
Хёрмандеру. Отсюда, в частности, видно, что лемма Вейля является
непосредственным следствием результатов Хёрмандера. Действительно,
п
корни алгебраического уравнения —2 Су = 0 удовлетворяют усло-
условию B).
Литература к главе II
Банах [1], Бурбаки [2], Данфорд — Шварц [1], Хилле — Филлипс
[1], Хёрмандер [6].
ГЛАВА III
Ортогональная проекция и теорема Ф. Рисса
о представлении линейного функционала
/. Ортогональная проекция
В предгильбертовом пространстве можно ввести понятие ортого-
ортогональности двух векторов. Это позволяет отождествить гильбертово
пространство с его сопряженным, т. е. с пространством заданных
на нем ограниченных линейных функционалов. Этот результат соста-
составляет содержание теоремы Ф. Рисса [1] о представлении, на кото-
которую по существу опирается вся теория гильбертовых пространств.
Определение 1. Рассмотрим произвольные векторы х, у пред-
предгильбертова пространства X. Если (х, у) = 0> то мы будем говорить,
что вектор х ортогонален вектору у, и писать х J__ у. Если х J_ У»
то и У ±.х\ кроме того, х J_ x тогда и только тогда, когда jc= 0.
Пусть М — некоторое подмножество предгильбертова пространства X.
Через М1- мы обозначим совокупность всех векторов пространства X,
ортогональных каждому вектору т?М.
Теорема 1. Пусть Af—замкнутое линейное подпространство гиль-
гильбертова пространства X. Тогда М1- также образует замкнутое линей-
линейное подпространство пространства X и называется в этом случае
ортогональным дополнением подпространства М. Всякий вектор
х ? X может быть единственным образом представлен в виде
х = т-{-п, где т?М и п^М1-. A)
Элемент т в формуле A) называется ортогональной проекцией
вектора х на подпространство М\ мы будем обозначать этот эле-
элемент через Рмх. Оператор Рм мы будем называть оператором проек-
проектирования, или проектором, на подпространство М. При этом, так
как М? (M-L) , справедливо соотношение
Доказательство. Множество М^- представляет собой линейное
подпространство, поскольку скалярное произведение (х, у) является
линейной функцией х. Множество М-*- замкнуто, потому что скаляр-
скалярное произведение непрерывно. Единственность разложения A) сле-
следует из того, что единственный вектор, ортогональный самому себе,—
это нулевой вектор.
122 ///. Ортогональная проекция и теорема Ф. Рисса
При доказательстве существования разложения A) мы можем счи-
считать, что М Ф X и x(jrM, ибо если х?М, то всегда существует
тривиальное разложение с т — х и п = 0. Итак, поскольку М зам-
замкнуто и х (? М, мы имеем
я?== inf \\х — т\\ >0.
Пусть {тп} ? М — минимизирующая последовательность, т. е.
lim ||л: — mn\\=d. Эта последовательность фундаментальная. В са-
я>оо
мом деле, используя равенство ||а + #
справедливое для элементов всякого предгильбертова пространства
(см. формулу A) § 5 гл. I), мы получаем
\\mk-mnf=\\(x-mn)-(x-mk)f =
(так как (тп -f- mk)j2 ? M)
4rf2 = 0 при /г, я->оо.
Так как гильбертово пространство ЛГ полно, существует такой эле-
элемент т?Х, что 5- НттЛ = т. При этом т?М, поскольку М зам-
/1->ОО
кнуто. Кроме того, в силу непрерывности нормы Ца: — m\\=d.
Запишем теперь х в виде х = т -+¦ (л: — т). Если мы положим
/г = д: — /п, то остается лишь показать, что #?М-Ч Для всякого
элемента т' ?М и любого вещественного числа а мы имеем
(/я + (ш'N^' и поэтому
^2О|д: — т — ат'\\2 = (п — am', п — am') —
= || я ||2 —а (л, т')~а(т\ п) — а21| т' ||2.
Отсюда, так как || п \\ — d, мы получаем 0 < — 2а Re (я, т') +
-f-a2!!/^!!2 для всех вещественных а. Следовательно, Re(#, m')=*Q
для всякого элемента т' ^ М. Заменяя т' на im', мы получаем, что
1т(п, т') = 0, и, таким образом, (п, т') = 0 для любого вектора
т'?М.
Следствие. Для любого замкнутого линейного подпространства М
гильбертова пространства X справедлива формула М = М^-^-^(М±) .
Теорема 2. Проектор Р = РМ является ограниченным линейным
оператором, причем
р__р2 (идемпотентность оператора Р), B)
(Рх, у) = (х, Ру) для любых х, у?Х
{симметричность оператора Р). C)
/. Ортогональная проекция 123
Обратно, ограниченный линейный оператор Р, отображающий гиль-
гильбертово пространство X в X и удовлетворяющий условиям B)
и C), является проектором на подпространство Ж = R (Р).
Доказательство. Свойство B) следует из определения ортого-
ортогональной проекции. При помощи представления A')» учитывая, что
Рх I Р„|У, мы выводим равенство
Далее пусть y = x-\-z, x?Mt z?ML и w=ti-\-v> u?M,
v ? Ж1; тогда у + w = (х-\-и) -f- (z + v), где {х-\-и) ? Ж, B+^) ? Ж-1,
и поэтому в силу единственности разложения A) PM(y-\-w) =
= РЛ|У + ^>ж<а;- Аналогично устанавливается, что Рм(аУ)==а^мУ-
Таким образом, Рм—линейный оператор. Ограниченность опера-
оператора Рм следует из неравенства
II * II2 = II рм* + рм±* II2 = CV + Рм±х> Рмх+Рм±х>> =
=11^ II2+11 Vх II2 > 11^ II2-
Отсюда, в частности, видно, что
IIMK1. D)
Обратное утверждение теоремы доказывается следующим обра-
образом. Так как Р — линейный оператор, множество M=R(P) пред-
представляет собой линейное подпространство: Условие х ? Ж эквива-
эквивалентно существованию такого элемента у ?Л\ что х = Ру, а это
в свою очередь, согласно B), эквивалентно соотношению х = Ру =
= Р2у = Рх. Значит, условие х ? Ж эквивалентно равенству х = Рх.
Подпространство Ж замкнуто; в самом деле, если хп ? Ж и
5-Нтл:/1 = у, то вследствие непрерывности Р и условия хп = Рхп
Я~>ОО
имеем 5- ПтРл;/1 = Ру, т. е. у = Ру.
;/1
Остается показать, что Р = РМ. Если л: ? Ж, то Рл: = х = Рмх%
2l если у ? Ж-1-, то Ржу = 0. В последнем случае, кроме того,
(Ру, Ру) = (у, Р2у) = (у, Ру) = 0, и поэтому Ру = 0. Следова-
Следовательно, для любого элемента у ? X мы имеем
т. е. Ру =
Операторы проектирования характеризуются также следующей тео-
теоремой.
124 ///. Ортогональная проекция и теорема Ф. Рисса
Теорема 3. Для того чтобы ограниченный линейный оператор Р,
отображающий гильбертово пространство X в себя, был проектором,
необходимо и достаточно, чтобы Р удовлетворял условиям Р = Р2
и ||Я||<1.
Доказательство. Мы должны доказать лишь достаточность этих
условий. Положим M^R(P) и /V = N(P) = {у; Ру = 0}. Рассу-
Рассуждения, использованные при доказательстве предыдущей теоремы 2,
позволяют установить, что множество М замкнуто и что условие
х ? М эквивалентно равенству х = Рх. Множество N вследствие
непрерывности оператора Р тоже образует замкнутое линейное подпро-
подпространство. В разложении х — Рх-\-(/— Р)х мы имеем Рх?М и
(/ — P)x?N\ последнее очевидным образом следует из тождества
2
Теперь мы должны показать, что N — M1. В силу равенства
Р = Р2 для всякого х ?X мы имеем у = Рх — x?N. Поэтому,
в частности, если x?N^t то Рх = лг-f- у, где (л:, у) = 0. Но тогда
||*||2>||Р*||2=||*||24-||у112. откуда у = 0. Итак, мы доказали,
что для х ? N1 справедливо равенство х = Рх, т. е. N^~ ? М = R (Я).
Обратно, пусть z?M = R(P)t так что z~Pz. Тогда имеет место
ортогональное разложение z = y-\-x, у ? N, л; ? ЛЛ-Ч и поэтому
z = Pz = Ру 4- Рх = Рл: = л;, где последнее равенство доказано
выше. Отсюда следует, что Ж = R (Р) с ЛГ-Ч Таким образом, М = ЛЛ^
и N — M1, поскольку N = (N^) .
2. „Почти ортогональные" элементы
В произвольном нормированном линейном пространстве, вообще
говоря, нельзя ввести понятие ортогональности; можно, однако, до-
доказать следующее утверждение.
Теорема (Ф. Рисе [2]). Пусть X — некоторое нормированное
линейное пространство, а М — его произвольное замкнутое линейное
подпространство. Допустим, что М Ф X. Тогда для любого е > О,
удовлетворяющего неравенству 0 < г < 1, существует такой элемент
хе ? X, что
= 1 и dis(xe, Al)=inf-||*e-m||>l-e. A)
Такие элементы хе мы называем „почти ортогональными" подпро-
подпространству М.
Доказательство. Пусть у ?Х — М. Тогда dis(y, M) =
= inf ||у — т\\ =а>0, так как Л4—замкнутое множество. Поэтому
существует такой элемент те?М, что \\у — tfte]|<!af 1
3. Теорема Асколи — Арцела 125
Вектор хв — (у —.|це)/||у_ те\\ удовлетворяет условию ||хе|| = 1 и
Следствие 1. Допустим, что в нормированном линейном про-
пространстве X имеется последовательность замкнутых линейных под-
подпространств Мп, удовлетворяющая условиям МпсМп^х и МпФМп+1
(л= 1, 2, . . .). Тогда существует такая последовательность {уп}> что
У„€Л*„. ||у„|| = 1 и dis(yn+1, Ж„)>1 (я=1, 2, ...)• B)
Следствие 2. Единичный шар S= [x?X\ \\х\\^\) ^-простран-
^-пространства X бикомпактен тогда и только тогда, когда пространство X
конечномерно.
Доказательство. Достаточность этого условия следует из тео-
теоремы Больцано — Вейерштрасса, согласно которой всякое ограничен-
ограниченное замкнутое множество в Rn бикомпактно. Необходимость дока-
доказывается следующим образом. Предположим, что шар 5 бикомпактен
в бесконечномерном ^-пространстве X. Тогда, используя предыду-
предыдущее следствие, можно построить последовательность {уп}> удовле-
удовлетворяющую условиям ||уя|| — 1 и ||ут —Ул||> 1/2 при т > /г, а это,
очевидно, противоречит предположению о бикомпактности шара 5.
3. Теорема Асколи—Арцела
Следующая теорема позволяет привести пример относительно
бикомпактного бесконечного подмножества бесконечномерного ?-про-
странства.
Теорема (Асколи — Арцела). Пусть 5—произвольное бикомпакт-
бикомпактное метрическое пространство, и пусть С E) обозначает 5-простран-
ство всех вещественных (или комплексных) непрерывных функций
x(s) на S с нормой \\x\\ = sup |x(s)|. Тогда последовательность
{xn(s)}ciC(S) относительно бикомпактна в C(S), если она удовле-
удовлетворяет следующим условиям:
функции xn(s) равномерно ограничены (по /г), т. е.
sup sup \xn(s)\ <oo; A)
1 ?S
функции xn(s) равностепенно непрерывны (по /г), т. е.
lim sup 1^E0-^@1=0. B)
6*0 Л>1 dlE'5ff)<6
126 ///. Ортогональная проекция и теорема Ф. Рисса
Доказательство. По теореме Больцано — Вейерштрасса всякая
ограниченная последовательность комплексных чисел содержит сходя-
сходящуюся подпоследовательность. Следовательно, при любом фиксиро-
фиксированном 5 из последовательности {xn(s)} можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность. С другой стороны, поскольку метрическое
пространство S бикомпактно, существует счетное плотное подмножество
{sn} с 5, такое, что для любого е > 0 найдется конечное подмно-
подмножество {sn:t \^.rij^k (г)} множества {sn}, удовлетворяющее условию
sup inf dis(s, S/i.Xe. C)
Этот факт доказывается следующим образом. Так как множество 5
бикомпактно, оно вполне ограничено (см. § 2 введения). Поэтому
для любого 6 > 0 существует конечная система точек из 5, такая,
что всякая точка множества 5 удалена на расстояние ^ 6 от неко-
некоторой точки этой системы. Придавая 6 значения 1, 2, З, ...
и объединяя соответствующие конечные системы, мы получаем по-
последовательность [sn], обладающую требуемым свойством.
При помощи диагонального процесса можно выбрать из {xn(s)}
подпоследовательность {•*;„, (s)}, сходящуюся одновременно во всех
точках sv s2, ..., sk Так как функции xn(s) равностепенно
непрерывны, для любого е>0 найдется такое 6 = 6(е)>0, что при
dis(s', s")^.b для всех значений п=\, 2, ... справедливо нера-
неравенство \xn(s')—xn(s")\^.e. Поэтому для любой точки s?S най-
найдется номер у, /<!&F), такой, что
I *„• (*) -*„,.<*> I < I *„' (*> - *„' (%)\ + \х„. (snj) - хя. (snj
Следовательно, lim max I xn, (s) — x , (s) I <^ 2e, т. е.
n', m'-»oo s
lim I xn, — xm, H = 0; отсюда нетрудно вывести утверждение
я\ m'->oo
теоремы.
4. Ортогональный базис. Неравенство Бесселя
и равенство Парсеваля
Определение 1. Множество 5 векторов предгильбертова про-
пространства X называется ортогональным семейством {системой),
если х J_ у для любой пары различных векторов х, у, принадлежа-
принадлежащих 5. Если, кроме того, ||д:||=1 для всех х ?5, то 5 называется
ортонормированным (ортонормальным) семейством (системой).
Ортонормированное семейство S гильбертова пространства X назы-
называется полной ортонормированной системой, или ортонормиро-
ортонормированным базисом, пространства X, если 5 не является собственным
4. Ортогональный базис 127
подмножеством никакой другой ортонормированной системы прост-
пространства X.
Теорема 1. Во всяком гильбертовом пространстве X, содержа-
содержащем хотя бы один ненулевой вектор, имеется по крайней мере одна
полная ортонормированная система. Кроме того, для любой ортонор-
ортонормированной системы 5 пространства X существует полная ортонор-
ортонормированная система, содержащая S как подмножество.
Доказательство (опирающееся на лемму Цорна). Пусть 5 — не-
некоторая ортонормированная система в X. Такие системы в X обя-
обязательно существуют: например, если х Ф О, то можно рассматривать
в качестве такой системы вектор х/ЦхЦ. Рассмотрим совокупность [S]
всех ортонормированных систем, содержащих 5 как подмножество;
множество [S] станет частично упорядоченным, если положить Sx <^52,
когда Sx с S2. Пусть [S'\—некоторая линейно упорядоченная под-
подсистема системы {5}; множество JJ S' является ортонормированной
?{}
системой и служит мажорантой системы {S'}. Тогда по лемме Цорна
существует максимальный элемент So системы {S}. Ортонормирован-
Ортонормированная система 50 содержит 5 и в силу свойства максимальности должна
быть полной ортонормированной системой.
Теорема 2. Пусть 5={л:а; а?Л} — некоторая полная ортонор-
ортонормированная система гильбертова пространства X. Для любого эле-
элемента f?X определим его коэффициенты Фурье (по отношению
к системе 5) формулой
/« = (/> •*«)• (О
Тогда справедливо равенство Парсеваля
B)
Доказательство. Сначала мы докажем неравенство Бесселя
2 B')
Пусть аР а2, ..., ctn — любая конечная система индексов а. Для
всякой конечной системы комплексных чисел са , са са ввиду
ортонормированности системы (л;а} имеет место равенство
II / IP - 2 cajfa- ± 7./., + S | ca/
128
///. Ортогональная проекция и теорема Ф. Рисса
Поэтому минимум выражения
2j
У-»
при фиксированных
значениях аР а2 ап достигается, когда ca. = faf (J = 1» 2 я).
Таким образом,
D)
и, следовательно, 2 I/a J2
у-i1 л
Поскольку индексы ар а2, ..., ал были выбраны произвольно, мы
заключаем, что fa Ф 0 не более чем для счетного множества эле-
ментов а, скажем для av a2, ..., ал, .... так что неравенство
Бесселя B') действительно выполняется. Покажем теперь, что /==
п ( п \
=5- lim 2/а,^а.« Прежде всего последовательность \ 2/аЛ,
фундаментальна, так как в силу ортонормированности системы {л;а}
1 S /вЛу|Г = ( S /«/«,. 2 /e^e/)= 5i I/а, I2,
И /»* / У И V/«* У ; У-А? 'V y^1 /J
a последнее выражение, как следует из неравенства D), стремится
п
к нулю при &->оо. Положим /'^^s-lim 2 /а,ха и покажем,
что вектор (/ — /0 ортогонален к каждому вектору системы 5.
В силу непрерывности скалярного произведения
и если
(у= 1, 2, .. .)> то
(/-/'. *«)= I'm (/-21 /a
а) = 0-0 = 0.
/
Таким образом, вследствие полноты ортонормированной системы
5={л:а} непременно (/ — //) = 0. Отсюда, учитывая непрерывность
нормы и неравенство D), мы получаем
п 2
/—2 /оЛ.
у-1 * J
п
0= lim
Л-»ОО
Что и требовалось доказать.
4. Ортогональный базис 129
Следствие 1. Справедлива формула
ОО П
/ = 2 /оЛ, = s- lim 2 /аЛ, E)
которая называется разложением Фурье элемента f ?Х.
Следствие 2. Обозначим через 12(А) пространство L2(A, 33, m),
в котором /и({а})=1 для каждой точки а множества Л. Тогда
гильбертово пространство X изометрически изоморфно гильбертову
пространству 12(А), а именно соответствие
F)
взаимно однозначно и удовлетворяет условиям
= || {/а} \\2 = 2 |/а|2- (?)
Пример. Множество функций { -_ еш\ /г = 0, ± 1, ± 2, ... |
образует полную ортонормированную систему в гильбертовом про-
пространстве Z,2@, 2л).
Доказательство. Требуется доказать лишь полноту этой системы.
Из C) следует, что
2
^>
где fj = (/, е'до-
е'довели функция /?L2@, 2л) непрерывна и периодична с перио-
периодом 2л, то левая часть этого неравенства может быть сделана сколь
угодно малой согласно теореме Вейерштрасса об аппроксимации не-
непрерывных функций тригонометрическими полиномами (см. § 2 введе-
введения). Таким образом, множество всех конечных линейных комбинаций
вида 2г/^/;/ плотно по норме в подпространстве пространства
У
Z,2@, 2л), состоящем из всех непрерывных функций периода 2л.
Последнее же подпространство плотно по норме в пространстве
?2@, 2л). Следовательно, всякая функция f?L2(Ot 2л), ортогональ-
ортогональная ко всем функциям системы 1 г eint 1, должна совпадать с нуле-
{ у 2л )
вым вектором пространства Z,2@, 2л). Тем самым доказано, что
функции -/==" eint образуют полную ортонормированную систему
в Z,2@, 2л).
9 К. Иосида
130 ///. Ортогональная проекция и теорема Ф. Рисса
д. Орпюгонализация (по Шмидту)
Теорема (теорема Шмидта об ортогонализации). Пусть задана
конечная или счетная последовательность [xj\ линейно независимых
векторов предгильбертова пространства X. Тогда можно построить
ортонормированную систему той же мощности, что и {лгу}, поро-
порождающую1) то же линейное подпространство, что и {xj}.
Доказательство. Ясно, что хх + 0. Определим векторы yv у2> ...
и uv и2, . .. следующими рекуррентными соотношениями:
п
Уп + 1 = Хп + 1— 2 (Хп+1, Uj)Uj, Ил + 1 = Уя + ,/||У,
Если [xj]—конечное множество, то этот процесс на некотором
шаге заканчивается. В противном случае он продолжается неогра-
неограниченно. Заметим, что уп Ф 0, так как векторы xv x2t .... хп ли-
линейно независимы. Таким образом, векторы ип определены корректно.
По индукции легко установить, что каждый вектор ип является
линейной комбинацией векторов xv x2, ..., хп и, обратно, каждый
вектор хп есть линейная комбинация векторов uv u2 ип. Поэтому
замкнутые линейные подпространства, натянутые на векторы xv x2, ...
и их% и2 совпадают.
Так как ||tfj||=l, то y2J_wi» и поэтому и2т\_иг- Аналогично
из условия \\их\\ = 1 следует, что УзХа1 и» следовательно, иг ]_ uv
Повторяя эти рассуждения, мы убеждаемся в том, что вектор их
ортогонален к и2, и3, . . ., ип, . . . . Далее из условия' ||и2||=1 мы
заключаем, что УзХи2 и» следовательно, и3 1И2- Продолжая эти
рассуждения, мы видим, что uk J_ ит при любых k > т. Таким
образом, множество {Uj} образует ортонормированную систему.
Следствие. Допустим, что гильбертово пространство X сепара-
бельно, т. е. в нем имеется счетное плотное подмножество. Тогда
в пространстве X существует полная ортонормированная система,
содержащая не более чем счетное множество элементов2).
1) Замыкание множества всех конечных линейных комбинаций 2 с)х)
(п = 1, 2, ...; xj?A), где А — подмножество линейного топологического про-
пространства X, образует замкнутое линейное подпространство в X, которое
называют натянутым на А. Говорят также, что А порождает это подпро-
подпространство. — Прим. перев.
2) Заметим, что никакая ортонормированная система сепарабельного
гильбертова пространства X не может содержать более чем счетное мно-
множество элементов. — Прим. перев.
5. Ортогонализация (по Шмидту) 131
Доказательство. Допустим, что счетная последовательность {а,})
векторов пространства X образует в X плотное множество. Пусть
хх— первый отличный от нуля элемент последовательности {#у},
х2— первый из элементов #у, не лежащий в замкнутом подпро-
подпространстве, натянутом на вектор xv наконец, хп— первый из элемен-
элементов cij, не принадлежащих замкнутому подпространству, натянутому
на векторы xv лг2, .... xn-v Ясно, что замкнутые линейные под-
подпространства, натянутые на векторы {яу} и {лгу}, совпадают со всем про-
пространством X, так как множество [а,]) плотно в X. Применяя теперь
к системе {Xj} процесс ортогонализации по Шмидту, мы получим
ортонормированную систему {Uj}, которая не более чем счетна и
порождает пространство X.
Система [uj] полная, так как в противном случае существовал бы
ненулевой вектор, ортогональный ко всем элементам Uj и поэтому
ко всему пространству X, натянутому на векторы и у
Пример ортогонализации. Примем за множество 5 интервал
(я, Ь)и рассмотрим вещественное гильбертово пространство L2(St 8, m),
где 93 — совокупность всех бэровских подмножеств интервала (я, Ь).
Применяя к системе одночленов
процесс ортогонализации, мы получим систему так называемых поли-
полиномов Чебышева
P0(s) = const, Px{s\ P2E), P3(s) Pn(s), ..,,
удовлетворяющих условиям
ь
fPi(s)Pj(s)m(ds) =
(в^=1 при / = /, 6ij = 0 при i ф j). В частном случае, когда
а = — 1, ?=1 и m(ds) = ds, получается система полиномов Ле-
жандра. Если а = — оо, b = oc w m(ds) = e~s2 ds, мы получаем
полиномы Эрмита, и, наконец, при д = 0, ? = оои m(ds) — e~~s ds
получаются полиномы Лагерра.
Нетрудно заметить, что в случае — оо<а<?<оо ортонорми-
роаанная система {Pj(s)) будет полной. В самом деле, можно рас-
рассуждать так же, как при доказательстве полноты тригонометри-
тригонометрической системы (см. пример в § 4). Нужно только вместо теоремы
Вейерштрасса об аппроксимации тригонометрическими полиномами
воспользоваться теоремой Вейерштрасса об аппроксимации алгебраи-
алгебраическими многочленами. По поводу доказательства полноты систем
полиномов Эрмита и Лагерра мы отсылаем читателя к работам Сегё A]
или Иосида [1].
9*
132 ///. Ортогональная проекция и теорема Ф. Рисса
6. Теорема Ф. Рисса о представлении линейного
функционала
Теорема (теорема Ф. Рисса). Пусть на гильбертовом простран-
пространстве X задан ограниченный линейный функционал /. Тогда существует
однозначно определенный вектор yf пространства X, такой, что
/U) = (*f У/) для всех х?Х и ||/|| = ||У/||. A)
Обратно, если у ? X — произвольный вектор, то формула
fy(x) = (x, у) для всех х?Х B)
определяет на пространстве X ограниченный линейный функцио-
функционал /у, причем || /у || = || у ||.
Доказательство. Единственность вектора yf очевидна, так как
если (х, z) = 0 для всех х?Х, то 2 = 0. Чтобы доказать его
существование, рассмотрим нуль-многообразие N = N(f)= [x ?Х;
/(лг) = О} функционала /. Так как /—непрерывный линейный функ-
функционал, то /V представляет собой замкнутое линейное подпростран-
подпространство. Утверждение теоремы тривиально, когда N = X: в этом случае
можно положить у/=0. Допустим, что N + X. Тогда существует
элемент у0ф0, принадлежащий ортогональному дополнению /V1 (тео-
(теорема 1, § 1, гл. III). Определим yf соотношением
У/ = (/Ы/||^112)Уо- C)
Покажем, что этот вектор yf удовлетворяет условию теоремы. Если
x?Nt то обе части равенства f(x) = (x, yf) равны нулю. Если х
имеет вид х = ау0, то
(х, yf) = (ау0. yf) = (ау0. y^fpr Уо) = «/ (Уо) = / (ау0) = / (х).
Поскольку функционал f(x) и скалярное произведение (л:, у-) зависят
от х линейно, равенство f(x) = (x, yf) будет доказано, если мы
убедимся в том, что пространство X натянуто на вектор у0 и под-
подпространство N Чтобы доказать последнее утверждение, мы, учи-
учитывая, что /(У/)^=0, напишем тождество
Первое слагаемое в правой части принадлежит N, так как
таким образом, пространство X натянуто на N и у0 и представле-
представление /(лг) = (лг, yf) доказано.
6. Теорема Ф. Рисса о представлении линейного функционала 133
Используя это представление, мы получаем
= sup |/(x)|= sup |(*. у )|< sup \\x\\.\\yf\\ = \\yf\\;
1Ш1<1 ||*||<1 J ||jr||<l J J
кроме того,
ll/ll =|
Отсюда
11/1И11У/Ц.
Заключительное утверждение теоремы вытекает из неравенства
|/у(лг)| = |(аг, У)\<\\х\\ • ||у||.
Следствие 1. Пусть X — гильбертово пространство. Совокуп-
Совокупность Хг всех ограниченных линейных функционалов на X пред-
представляет собой гильбертово пространство, причем существует взаимно
однозначное соответствие f+-+yf между Хг и X, при котором со-
сохраняется норма. Это соответствие позволяет отождествить X' с X
как абстрактное множество.
Однако нельзя отождествить X' и X как линейные пространства,
так как соответствие f +->yf является сопряженно-лине иным:
где аг и а2 — комплексные числа.
Доказательство. Нетрудно проверить, что множество Хг со ска-
скалярным произведением (fv f,\ = (y у.\ действительно образует
гильбертово пространство и утверждение следствия 1 становится
очевидным.
Следствие 2. Всякий непрерывный линейный функционал 7\
заданный на гильбертовом пространстве Х\ можно отождествить
с однозначно определенным элементом t пространства X с помощью
формулы
Т (/ /) ^я всех f?X'. E)
Доказательство. Это утверждение вытекает из того, что про-
произведение двух сопряженно-линейных преобразований является ли-
линейным преобразованием.
Определение. Пространство X' называется сопряженным к- X.
Мы можем, следовательно, отождествить гильбертово пространство X
с его вторим сопряженным X" — (Х')\ как показывает следствие 2.
Это свойство гильбертовых пространств называется рефлексивностью.
Следствие 3. Пусть X — гильбертово пространство, а X1—его
сопряженное. Тогда для любого множества F из Л", плотного в Х\
имеет место формула
С6)
134 ///. Ортогональная проекция и теорема Ф. Рисса
Доказательство. Можно допустить, что х0Ф0, так как в про-
противном случае формула F) очевидна. Ввиду того что (л;0, лго/||лго||) =
= ||лго||, существует ограниченный линейный функционал /0 на X,
такой, что ||/о||=1 и /оС*о) = ||*о11- Так как /(*о) = С*о. У/) не-
непрерывно по у* и соответствие f +-+yf сохраняет норму, мы видим,
что формула F) действительно имеет место вследствие плотности
подмножества F в X'.
Замечание. Первоначальное определение Гильберта относилось
к пространству (/2) (см. Гильберт [1]). Аксиоматическое определение
(гл. I, § 9) гильбертова пространства в предположении его сепара-
сепарабельности дал фон Нейман [1]. Приведенную выше теорему о пред-
представлении линейного функционала без предположения о том, что
рассматриваемое гильбертово пространство сепарабельно, доказал
Ф. Рисе [11. В этой работе Рисса было подчеркнуто, что вся теория
гильбертовых пространств может быть развита на основе этой теоремы.
7. Теорема Лакса — Мильграма
Теорема Лакса — Мильграма [1], представляющая собой вариант
теоремы Рисса о представлении линейного функционала, оказалась
полезной в ряде исследований последних лет, относящихся к вопросам
существования решений линейных дифференциальных уравнений в част-
частных производных эллиптического типа.
Теорема (Лаке, Мильграм). Пусть X—гильбертово пространство,
и пусть В(х, у)—комплексный функционал, заданный на гильбертовом
пространстве X X X и обладающий свойствами
полу шоралине иное ши:
В(агхх-{-а2х2, y) = axB(xv у) + а2В(х2, у),
. у2),
ограниченности: существует такая положительная постоянная у» что
\В(х, V)|<Yll*|HM|. B)
положительности: существует положительная постоянная 6,
такая, что
В(х. jc)>6||jc||2. C)
Тогда существует определенный единственным образом ограни-
ограниченный линейный оператор 5, обладающий ограниченным обратным
линейным оператором S, такой, что
(х. y) = B(xt Sy) для всех х и у?Х и ||S||<6-i. ||5^||<у. D)
7. Теорема Лакса — Мильграма 135
Доказательство. Обозначим через D совокупность всех элемен-
элементов у?Л\ для которых существует такой элемент у*, что (л:, у) =
= В(х,у*) для всех х?Х. Множество D непусто: 0?D, ибо
О* = 0 • у*. Элемент у* однозначно определяется элементом у. В самом
деле, если Т2>—такой элемент, что В(х, Т2>)=О для всех х, то до=0,
поскольку 0 == В (w, w)^b\\w ||2. Так как скалярное произведение
(х, у) и функционал В(лг, у) полуторалинейны, равенство Sy = y*
определяет линейный оператор 5 с областью определения DE) = D.
Оператор 5 непрерывен, и ||5у||^6~1||У|| (Уб^(^))» потому что
b\\Sy |р< В(Sy, Sy) = (Sy, у)< || Sy || • || у ||.
Область D~D(S) образует в X замкнутое линейное подпрост-
подпространство. Это доказывается следующим образом: если yn?D(S) и
s- lim yn = yoe>t то, согласно доказанной выше непрерывности опе-
/1->ОО
ратора 5, {5ул}— фундаментальная последовательность, поэтому суще-
существует предел z = s- lim Syn. Скалярное произведение тоже не-
/1->оо
прерывно, поэтому lim (*, уп) = (х, у^). Кроме того, ввиду усло-
л->оо
вия B) lim B(xt Syn)=B(x, z), и так как (х, уп) = В(х, Syn)t
т0 (-^» Уоо)== В (*• z)> следовательно, у^ ? D и Sy^ = z, а это и^
означает, что D = D(S) — замкнутое линейное подпространство.
Итак, первая часть теоремы, т. е. существование оператора 5,
будет доказана, если мы убедимся в том, что D(S) = X. Для этого
допустим, что О(8)фХ. Тогда существует такой вектор WQ^Xt что
<т0Ф0 и <o;0^DEI. Рассмотрим линейный функционал F(z) =
= B(z, wo)t заданный на X. Функционал F(z) непрерывен, так как
IF (z) I = IВ (*' wo) I ^ Y || * || * II ^о II- Поэтому, согласно теореме
Рисса, существует вектор w'0?X, такой, что B(z, wo) = F(z) =
= B, wQ для всех z?X. Это показывает, что w'Q?D(S) и SWq=swq.
Но поскольку 6||^0||2<^^(%. <а;о)==('а;о> <а;о)===о» мы П0ЛУчаем
^ = 0, что противоречит первоначальному допущению.
Докажем теперь существование обратного оператора S. Из усло-
условия Sy = 0 следует, что (л:, у) = В (х> Sy) = 0 для всех х ? X,
откуда у = 0. Как и выше, можно показать, что для всякого у?Х
существует такой вектор у', что (z, y') = B(z, у) для всех z?X.
Следовательно, y = Sy' и оператор 5" определен на всем прост-
простанстве X. Так как |(s, S'ly)\ = \B(zt y)j <vII «II
lk
Конкретные приложения теоремы Лакса—Мильграма мы рассмот-
рассмотрим в дальнейших главах. В следующих черырех параграфах мы при-
приведем нескольно примеров непосредственных приложений теоремы
Рисса.
136
///. Ортогональная проекция и теорема Ф. Рисса
8. Одно доказательство теоремы Лебега — Никодима1)
Эта теорема формулируется следующим образом.
Теорема (Лебег — Никодим). Пусть E, 23, т) — пространство
с мерой и v(B)— некоторая а-конечная а-аддитивная неотрицатель-
неотрицательная мера, заданная на семействе 93. Если мера v /я-абсолютно непре-
непрерывна, то существует неотрицательная m-измеримая функция p(s),
такая, что
\(В)= | p(s)m(ds) для всех #?93, для которых v(B) < оо.
в
A)
Более того, „плотность) p(s) меры v(B) (по отношению
к мере т(В)) определена однозначно в том смысле, что любые две
из них совпадают m-п. в.
Доказательство (фон Нейман [2]). Легко видеть, что функция
p(B) = m(B)-\-v(B) представляет собой а-конечную а-аддитивную
неотрицательную меру, заданную на 93. Пусть {#„}— последователь-
оо
ность множеств из 93, такая, что S= М Вп, Вп с Вп+Х и р(Вп) < оо
для л=1, 2, .... Если мы сможем доказать теорему для всякого
множества В д: Вп (при произвольном фиксированном п) и построить
плотность рп E), то теорема будет верна для любых множеств В ? 93.
В самом деле, в этом случае функцию р($) можно определить сле-
следующим образом:
p(s)=pl(s) При s?#p P(s) = Pn + \(s) ПРИ 56^л + 1 — &п* '
я=1, 2
Таким образом, мы можем без ограничения общности считать,
что, рE)<оо. Рассмотрим гильбертово пространство L2(S, 93, р).
Формула
/ (х) = J х (s) v (ds), x?L* E, 23, р),
определяет ограниченный линейный функционал на L2(S, 93, р),
так как
1) Эту теорему обычно связывают с именами Лебега, Радона и Нико-
Никодима. Исторические и библиографические справки по этому вопросу можно
найти в книге Данфорда — Шварца [1] (стр. 256). — Прим. перев.
2) Функцию р (s) называют .производной Радона — Никодима функ-
функции v(B) по мере т* и обозначают зерез dv/dm. — Прим. перев.
8. Одно доказательство теоремы Лебега — Никодима 137
где ||лг||р = / Г \x($)\2p(d$)\2. Тогда по теореме Рисса существует
Is /
единственный элемент y?L2(St 93, р), такой, что
j x{s)v{ds)= j x(s)y(s)p(ds) =
s s
— J
s
J
s
J x(s)J(s)v(d$)
s
для всех x?L2(S, 23, p). Выбирая в качестве х неотрицательные
функции и рассматривая вещественные части обеих частей последнего
равенства, мы можем считать у (s) также вещественной функцией;
тогда для всех неотрицательных функций x(s)?L2(S, 93, р)
= j x(s)y(s)m(ds). B)
Покажем, что р-п. в. 0<^у($)<1. Для этого положим
Е1 = {$; y(s)< 0} и Е2= {$\ y(s)> 1}. Пусть x(s) в форму-
формуле B)— характеристическая функция С^ (s) множества Е\. Тогда левая
часть B) будет неотрицательной, а поэтому Г y(s)m(d$)^0. Отсюда
вытекает, что т(Ех) — 0, а следовательно, v(?1) = 0 и p(ZJj) = O,
так как функция v m-абсолютно непрерывна. Таким же способом,
принимая за х(s) характеристическую функцию Се2($)» можно по-
показать, что р(?2) = 0. Следовательно, 0^у($)<1 р-п. в. на S.
Пусть функция x(s) 93-измерима и р-п. в. неотрицательна. Тогда,
поскольку рE) < оо, „усеченные" функции xn(s) = min(x(s), n) тоже
принадлежат L2(St .93, р) (л= 1, 2, ...) и
jxn(s)(\—y(s))v(ds)=jxn(s)y(s)m(ds) (я=1. 2,...). C)
Эти интегралы монотонно возрастают с ростом л, поэтому
xn(s)(\— y(s))vDs)= Urn \ xn(s)y(s)m(ds) = L^tt. D)
/2-ЬОО У
Л->ОО с
о
Так как подинтегральные функции р-п. в. неотрицательны, по лемме
Лебега — Фату
J lim (*„(*)(!— y(s)))v(ds)=
S •¦>» 5 E)
J ihn (xn(s)у(s))mids) = J x(s)у(s)m(ds)
s "*» s
138 ///. Ортогональная проекция и теорема Ф. Рисса
при условии, что когда функция лг($)A —у(s)) не является v-инте-
грируемой, соответствующая правая часть считается равной оо; то же
относится к функции х (s) у ($). Если функция х ($) у (s) гя-интегри-
руема, то по лемме Лебега — Фату
f tim(xn{s)y(s))m(ds)= f x($)y(s)m(ds). F)
Эта формула верна и в том случае, когда функция x(s)y(s) не
является m-интегрируемой, если считать, что L — oo. При том же
условии справедливо неравенство
G)
Таким образом, мы имеем
J *(s)(l-y(s))v(ds) = J x(s)y(s)m(ds) (8)
для всех 93-измеримых и р-п. в. неотрицательных функций х($), при
условии, что если одна из частей этого равенства обращается в оо, тр
и другая часть равна оо.
Теперь положим
Тогда (при тех же условиях, что и для формулы (8))
J z (s) v (ds) = J z(s)p (s) m (ds) (9)
для всякой 23-измеримой и р-п. в. неотрицательной функции z($).
Если теперь за z(s) принять характеристическую функцию Св($)
множества В ?93, то получится формула
v(S)= j p(s)m(ds),
справедливая для всех В ?93. Заключительное утверждение теоремы
легко выводится из определения A) плотности p(s).
Замечание. Прямое доказательство теоремы Лебега — Никодима,
основанное на разложении Хана (теорема 3, гл. I, § 3), можно найти
в работе Иосида [2]. Это доказательство воспроизведено в книге
Халмоша [1]. См. также Сакс [1], Данфорд — Шварц [1].
9. Воспроизводящее ядро 139
Я Воспроизводящее ядро
Пусть А — некоторое абстрактное множество, и пусть система X
комплексных функций, заданных на Л, образует гильбертово про-
пространство со скалярным произведением
(/. *) = (/(«). *<<*))« *)• (I)
Комплексная функция К (а, Ь)% определенная в области Л X Л» назы-
называется воспроизводящим ядром пространства X, если выполняется
следующее условие:
для любого фиксированного значения Ь ? А функция
К (а, Ь) принадлежит X как функция переменной а, B)
/(?) = (/(я), К (а, Ь))а и, следовательно, fjb) = (К (я, *), /(а))в. C)
Следующая теорема относится к вопросу о существовании вос-
воспроизводящего ядра.
Теорема 1 (Ароншайн [1], Бергман [1]). Для того чтобы суще-
существовало воспроизводящее ядро К пространства X, необходимо и
достаточно, чтобы для любого у0 ? А существовала положительная
постоянная СУо, зависящая от у0, такая, что
1/(УоI<СУо||/|| для всех /?Х. D)
Доказательство. Применяя к выражению /(yo)=(/(^)' K(x% уо))х
неравенство Шварца, мы видим, что
1№I<И/11 • («Ч*. Уо). К{х, Уо»1/2= 11/11 • К (У* Уо)Ш. E)
откуда вытекает необходимость условия D). Для доказательства
достаточности применим теорему Рисса к линейному функционалу
F (/)=г/(у0), заданному для функций /? X. Тогда в пространстве X
существует единственный вектор g (лг), такой, что для каждой
функции f?X
Таким образом, функция g (x) = K(x, у Л является воспроизводящим
ядром пространства X. Из приведенного доказательства видно, что
воспроизводящее ядро определяется единственным образом.
Следствие. Имеет место формула
sup |/(УоI=(А:(Уо^о)I/2» F)
11/1! <1
1) Запись (/ (a), g (a))a отмечает, что соответствующие функции при-
принадлежат X как функции переменной а (они могут зависеть еще от каких-то
параметров). — Прим. перев.
140 ///. Ортогональная Проекций и теорема Ф. Рисса
причем верхняя грань достигается для функции
/0(Х) = рК {х, УоЖК (Уо. У0) I/2. 1р| = 1 • G)
Доказательство. Знак равенства в неравенстве Шварца E) по-
появляется в том и только в том случае, когда f (х) и К(х, у0) линейно
зависимы. Из двух условий f(x) = aK(xt у0) и ||/||= 1 мы получаем
, Уо)I/2.
т.е. |а|=(^(у0. Уо)Г1/2-
Отсюда ясно, что равенство в формуле E) достигается для функ-
функции /0(лг).
Пример. Рассмотрим гильбертово пространство A2(G). Для всякой
функции /? Л2(О) и любой точки z?G (см. гл. I, § 9 D)) мы имеем
,)|2< (яг2)*1 f |/(z)|2dxdy (z = x+ iy).
Поэтому в пространстве A2(G) имеется воспроизводящее ядро. Обо-
Обозначим его через KQ(z, z'). Ядро KQ(z, z') называется ядром
Бергмана области G комплексной плоскости.
Следующая теорема Бергмана иллюстрирует роль ядра K0(z, zf)
в теории конформных отображений.
Теорема 2. Пусть G — односвязная ограниченная открытая область
комплексной плоскости, и пусть z0— произвольная точка этой области.
По теореме Римана существует единственная регулярная функция
w = f(z\ zQ) переменной z, отображающая взаимно однозначно и
конформно область G на круг |w|^p0 комплексной w-плоскости
таким образом, что
Ядро Бергмана K0(z\ z0) связано с функцией fQ{z\ z0) соотношением
z
" / KQ{t; zo)dt, (8)
где интеграл берется по любой спрямляемой дуге, лежащей в обла-
области О и соединяющей точки z0 и z.
Доказательство. Положим
Л2\{0)= {f(z)\ f(z) голоморфна в О, /'(*)? Л2 (С),
9. Воспроизводящее ядро 141
и для производной функции / ? Л\ (О) рассмотрим число
|| /' |р = J | /' (z) P dxdy. z = x + /у. (9)
о
Если через z = q)(w) обозначить функцию, обратную к w = fo{z\ z0),
то для всякой функции f?A\(G)
так как из условий Коши — Римана
хи = Уу* xv — — У и
следует, что
dx d? = дд{и1] du dv + {х»у* ~ y**Jdadv =
= {х\ Ч- yl) dudv=^\ ф' («) |2 rftt dv.
Пусть / ? Л? (G); разложим в степенной ряд выражение F(w) =
())
оо
^cnwn при
оо
Тогда F'(w) = f'(q>(w))q)'(w)= I -f 2^w/l"!» и поэтому
'|р= J J
л-2
2
dudv =
РО
о о
2
о-
Отсюда видно, что minimum||//|| = ]/rH р0, и этот минимум достигается
/С Л? (О)
тогда и только тогда, когда F(w) = f(q>(w)) = w, т. е. тогда и только
тогда, когда f(z) = fo(z\ z0).
Для любой функции /?Л?(О) положим g(z) = f(z)l\\f'\\. Тогда
|| ^'11= 1. Рассмотрим множество
A2(G)= [g(z); g(z) голоморфна в О;
= O. g'(zQ)>0 и 11^11=4-
142 111. Ортогональная проекция и теорема Ф. Рисса
Из сказанного выше следует1), что
maximum #'(*0) = —^ = (/л~ро)~ ,
\\f\\
\\fo\\
и этот максимум достигается тогда и только тогда, когда функ-
функция g{z) равна функции
go(z) = fo(z; *o)/||/J|| = /o(* *o)//«Po-
Используя G), находим
Отсюда, полагая z = zQ, получаем
тем самым доказана формула
10. Отрицательная норма по Лаксу
Обозначим через #o(Q) пополнение предгильбертова пространства
со скалярным произведением (<р, фM и нормой ||<р||5, опреде-
опредеф
ленными формулами
(ф. ¦), = S J ^Ф (х). /Уф(х) rfx, || Ф ||, = (Ф, фI/2. A)
Каждый элемент Ь ?//o(Q) = ?2(Q) определяет на пространстве //о(й)
непрерывный линейный функционал
Д(«0 = («.»>). ^6^o(Q)- B)
Согласно неравенству Шварца,
Определим теперь для элементов ft ^Wo(Q) = L2(Q) отрицатель-
отрицательную норму
= sup |Д(»)|= sup |(w. ft)b|. C)
\\w\\s<l
]) Действительно, всякой функции ? (*) ? Л2 (G) соответствует единствен-
единственная функция f(z) = g(z)lg'(zo)?A\(G\ такая, что ^(г) = /(г)/1|/'||, по-
этому maximum g' (z0) = (minimum || /|| J. — Прим, пере в.
2 l
10. Отрицательная норма по Лаксу 143
Из этого определения видно, что
II»IU
а так как \\b\\_s>\(wj\\w\\$t *)J. то
| 0|НЦ. E)
Следовательно,
ll»L, = ll/ftlU= ^jCw. »H| для любого »6«о@). C0
Докажем следующую теорему.
Теорема 1 (П. Лаке [2]). Сопряженное к #o(Q) пространство #o(Q)'
можно отождествить с пополнением пространства Hq(Q)==L2(Q) по
отрицательной норме.
Для доказательства нам потребуется следующее
Предложение. Множество F всех непрерывных линейных функ-
функционалов вида Д, заданных в Н$(О), плотно в гильбертовом про-
пространстве //J(Q)', сопряженном к пространству #o(Q).
Доказательство. Множество F тотально на #о (Q) в ™м смысле,
что если для некоторого фиксированного w ? #o(Q) мы имеем fb(te;)=O
для всех &?#o(Q), то te; = O. Это следует из того, что всякий
элемент w?Ho(Q) в то же время является элементом простран-
пространства //o(Q).
Допустим, что множество F не является плотным в гильбертовом
пространстве Hq (Q) ; тогда во втором сопряженном пространстве
Ho(Q)" = (H5o(Q)')' найдется такой элемент ТфО, что 7(Д) = 0 для
всех fb?F. В силу рефлексивности гильбертова пространства #о (Q)
в нем найдется элемент t?Ho(Q), такой, что Т (/) = /(/) для всех
/?tf*(Q)'. Поэтому T(fb) = fb(t) = O при всех ft?tf|](Q). Множен
ство F, как показано выше, тотально, следовательно, t = 0, а это
противоречит тому, что Г Ф 0.
Следствие. Имеет место формула, двойственная к C')*
||г»||,= sup \(w, bH\ для всех w?Ho(Q). F)
Доказательство. Так как множество /7={Д; ^^Яо(й)} плотно
в #о(й), это утверждение вытекает из следствия 3 § 6 гл. III.
Доказательство теоремы 1. Множество F плотно в сопряжен-
сопряженном пространстве Hq(Q)', и соответствие
144 ///. Ортогональная проекция и теорема Ф. Рисса
взаимно однозначно и сохраняет отрицательную норму. Отсюда выте-
вытекает теорема 1.
Обозначим пополнение пространства Hq(Q) по отрицательной
норме \\b\\_s через Hos(Q). Тогда
Для всякого непрерывного линейного функционала / на Hq (Q) обо-
обозначим через {w, /) его значение в точке w?Ho(Q). Таким образом,
для всякого элемента 6?#o(Q)
fb (w) = (wt bH = (w. fb) = {w. b), w 6 H30 (Q)t (8)
а неравенство E) можно записать в виде
К». *> КII «II,-11*11-,; О)
при этом получается обобщенное неравенство Шварца.
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 2 (П. Лаке [2]). Всякий непрерывный линейный функ-
функционал g{b) на Hos(Q) может быть представлен с помощью некото-
некоторого фиксированного элемента w?Hq(Q) в виде
gw(b) = {wt b). A0)
Отсюда, в частности, следует, что
//5(Q)' = //0-*(Q). Я0-5(О)/ = Я05(О). (И)
Доказательство. Если b ? H°Q (Q), то {w, b) = fb (w) = (w, b)Q.
Так как множество F=[fb; b?Hl(Q)} плотно в гильбертовом про-
пространстве Hq(Q)', то, как следует из (9), выражение {w, b) = (bt wH
при всяком фиксированном w?Hq(Q) определяет линейный функцио-
функционал gw, непрерывный на плотном подмножестве F пространства Hq(Q)'.
Норму этого функционала на множестве F обозначим через ||§"да||5.
Тогда ввиду F)
\\gwl= sup \(b,wH\= sup |(w.ft)b| = |ML. A2)
Вследствие непрерывности мы можем продолжить функционал gw,
определенный на F, до непрерывного линейного функционала на
пополнении множества F (по отрицательной норме), т. е. функцио-
функционал gw может быть продолжен до непрерывного линейного функцио-
функционала на пространстве Hq(Q)' = Hqs (Q). Это продолжение мы по-
//. Локальная структура обобщенных функций 145
прежнему будем обозначать через gw. Итак,
\\gw\\= sup \gw(b)\ = \\w\\s. <13)
Следовательно, принимая во внимание полноту пространства //o(Q),
мы можем рассматривать совокупность О всех непрерывных линейных
функционалов gw на Я^(й) как замкнутое линейное подпространство
из HqS(Q)', имея в виду соответствие gw^-^w. Если это замкнутое
подпространство G не является плотным в Hos(Q), то найдется
непрерывный линейный функционал /фО на Hqs(Q), такой, что
/(#V) = 0 Для всех gw?.G- H° так как гильбертово пространство
Hqs{Q) рефлексивно, такой функционал / определяется соотношением
f(gj = gw(fo)> fo€HoS(&)> и поэтому элемент /0, согласно C0,
должен быть равен нулю. Последнее противоречит тому, что / Ф 0.
Тем самым доказано, что Hqs(Q) =#o(Q).
Замечание. П. Лаке ввел понятие отрицательной нормы, имея
в виду использовать его при исследовании вопроса о существовании
производных (в обычном смысле) у обобщенных решений линейных
дифференциальных уравнений в частных производных. Проблемы,
связанные с дифференцируемостью обобщенных решений, мы рас-
рассмотрим в дальнейших главах. Следует заметить, что понятие отрица-
отрицательной нормы можно также естественным образом ввести с помощью
преобразования Фурье. Это было сделано Лере [1] раньше, чем
П. Лаксом. Более подробно мы коснемся этих вопросов в главе,
посвященной преобразованию Фурье.
//. Локальная структура обобщенных функций
Всякая обобщенная функция локально совпадает с обобщенной
производной некоторой функции. Точнее справедлива следующая
Теорема (Л. Шварц [1]). Пусть в некоторой области Qc/?" задана
обобщенная функция Т. Тогда для любого бикомпактного подмно-
подмножества KcQ существуют положительное целое число то = то(Т, К)
и функция f(x) = f(x\ T, /С, mo)?L2(K), такие, что
= J /(*) дх??дп^х)дх7 dx *лявсех q>esv(Q)- <o
Доказательство. Согласно следствию § 8 гл. I, существуют
положительная постоянная С и положительное целое гп, такие, что
|Г(Ф)|<С sup |D4p(*)| Для всех <pG©*(Q)- B)
10 К. Иосида
146 ///. Ортогональная проекция и теорема Ф. Рисса
Поэтому найдется такое положительное 6, что
из неравенства рт (ф) = sup | DAp (х) | < 6,
I/Km, х?К
следует неравенство |Г(ф)|<;1. C)
Введем обозначение
~дхТ = дх{ д*| ... dxsn ^
и покажем, что существует положительная постоянная е, такая, что
при mo = m+ 1
Ядт°Ф (х)
— щГ~
следует неравенство рт(ф)<6. E)
Это можно доказать при помощи повторного применения неравенства
J % \d^(xv ..., *,_,, у, xi+v
-со, xt)
-СО, JT^)
\К(\(-оо, xt)
J
где ^ — диаметр множества /С, т. е. максимальное расстояние между
двумя точками бикомпактного множества К.
Рассмотрим отображение ф (х) -> ф (л:) = дщ(р (хIдхщ простран-
пространства D^(Q) в себя. С помощью интегрирования легко убедиться
в том, что если ф(л;) = 0, то ф(лс) = О. Таким образом, это ото-
отображение взаимно однозначно. Поэтому функционал Г(ф) (Фб^/гОЭ))
определяет линейный функционал 5(ф)=Г(ф), где ф(лг)=^т°ф(л:)//^л:то.
Из C) и E) видно, что 5 — непрерывный линейный функционал на
предгильбертовом пространстве X, состоящем из функций ф указан-
указанного вида, с нормой || ф || = | Г |ф(л;)|2*/лЛ . Следовательно, по тео-
\к I
реме Рисса о представлении линейного функционала в пополнении
пространства X существует единственным образом определенная функ-
Литература к главе III 147
ция f(x), такая, что
Г (Ф) = S (Ф) - J (^^) • / (*) rf* для всех Ф 6 $* (О).
Поскольку пополнение пространства Л^ содержится в L2(К) как замк-
замкнутое линейное подпространство, теорема тем самым доказана.
Литература к главе III
Общее изложение теории гильбертовых пространств можно найти
б книгах: Ахиезер — Глазман [1], Данфорд — Шварц [2], Надь [1],
Рисе —Надь [3], Стоун [1].
10*
ГЛАВА IV
Теоремы Хана — Банаха
В гильбертовом пространстве естественным образом вводится поня-
понятие ортогональных координат относительно ортогонального базиса —
за эти координаты принимаются значения ограниченных линейных
функционалов, определяемых векторами базиса. Это наводит на мысль
рассматривать непрерывные линейные функционалы в линейном топо-
топологическом пространстве как обобщенные координаты. Вопрос о суще-
существовании нетривиальных непрерывных линейных функционалов в об-
общем локально выпуклом линейном топологическом пространстве
решается с помощью теорем Хана — Банаха о продолжении функ-
функционала.
/. Теорема Хана— Банаха о продолжении линейных
функционалов в вещественных линейных пространствах
Теорема (Хан [2], Банах [1]). Пусть X— вещественное линейное
пространство и р(х)— вещественная функция, заданная на X и удо-
удовлетворяющая следующим условиям:
Р (х + УХ^ Р 00 + Р (У) (полуаддитивность), A)
р (ах) = ар (х) для а>0. B)
Пусть М — вещественное линейное подпространство в ^ и /0 — веще-
вещественный линейный функционал, заданный на М:
fo(ax-\-$y) = afo(x)-\-$fo(y) для х, у?М и вещественных а, р. C)
Пусть /0 удовлетворяет неравенству /0 (л:) -< р (х) на М. Тогда суще-
существует вещественный линейный функционал F, определенный на X,
такой, что 1) F служит продолжением /0, т. е. F(x) — fQ(x) для
всех х?М\ 2) Z7(*)</>(*) на Х-
Доказательство* Предположим сначала, что пространство X
натянуто на Ж и некоторый элемент хо(?М, т. е.
X — {х = т~\-ахъ\ т?М% а — вещественные числа}.
Так как х0(? М, представление элементов х ? X в виде х — т-]-ах0
определяется однозначно. Следовательно, полагая
F (х) = F (т + ал:0) = /0 (ш) + см?.
1. Теорема Xaha — Ванаха в вещественных пространствах 149
Где с — произвольное вещественное число, мы получим вещественный
линейный функционал F на X, являющийся продолжением /0. Мы
должны теперь выбрать с таким, что F(x)^, р (л:), т. е. /0(/w)-f-
-\-ас^ p(m-\-ax0). Последнее неравенство эквивалентно следующим
двум условиям:
а>0,
Чтобы выполнялись эти условия, мы выберем с так, что
/о (*') — р(гп' — хо)<Сс<Р (гп" + *0) — /0 {т")
для всех т', т"?М. Такой выбор возможен, поскольку
/о ("О + /о ("*") = /о (*' + "*") < Р (т' + *") =
= /? (w' — х0 + ^Ч" ^о) <Р(т' — *о) + Р (Л|" + ^о)-
Итак, остается лишь выбрать с между двумя числами
sup [/oOiO —PC*'—*оI и inf [Р(^4-^о)-/о(Ю].
Рассмотрим теперь семейство всех вещественных линейных продол-
продолжений g функционала /0, для которых при всех х из области опре-
определения g выполняется неравенство g(x)-^ P(x). Мы можем частично
упорядочить это семейство, полагая h>- gt если функционал h служит
продолжением g. Тогда по лемме Цорна существует максимальное
линейное продолжение g функционала /0, для которого неравенство
g (x) -^ p (х) выполняется при всех х из области определения g.
Остается показать, что область определения D(g) функционала g
совпадает с пространством X. Если бы это было не так, мы могли бы,
приняв D(g) за подпространство Ж, а сам функционал g за /0,
построить продолжение F функционала gt удовлетворяющее нера-
неравенству F(x)^p(x) для всех х из области определения F. Но это
противоречит максимальности линейного продолжения g.
Следствие. Если на вещественном линейном пространстве X за-
задана функция р(х), удовлетворяющая условиям A) и B), то су-
существует определенный на X линейный функционал /, такой, что
—/>(—*)</(*)</>(*). D)
Доказательство. Возьмем произвольную точку хо?Х и опре-
определим множество М=[х\ х = ах0, а—любые вещественные числа}.
Положим fo(axo) = ap(xo). Тогда /0 представляет собой вещест-
вещественный линейный функционал с областью определения М. На
множестве М неравенство /0W<p(jf) выполняется. В самом
деле, если а > 0, то ар (д:0) = р (axQ)t a если а < 0, то
150 IV. Теоремы Хана —Банаха
ар(*о)< — а/?(— х0) = /? (ах0), поскольку 0 = р@)< р(х0) +
-|-р(—д:0). Значит, существует линейный функционал/, определенный
на пространстве X, такой, что f(x) = fo(x) на Ж и f(x)<^p(x)
на X. Поскольку — / (х) = / (— х) < р (— л;), мы получаем
2. Обобщенный предел
Понятие последовательности [хп] счетного числа элементов хп
можно, обобщить, вводя понятие обобщенной последовательности
элементов, соответствующих направленному множеству индексов,
которое может быть и несчетным. При этом возникает понятие пре-
предела обобщенной последовательности, или обобщенного предела
по направленному множеству, обобщающее понятие предела по-
последовательности.
Определение. Частично упорядоченное множество А элементов
а, р, ... называется направленным множеством, если оно удовле-
удовлетворяет следующему условию
для всякой пары а, р элементов множества А
существует такой элемент у?А, что а -< у, р -< у. A)
Допустим, что каждой точке а направленного множества А поста-
поставлено в соответствие некоторое множество /(а) вещественных чисел;
/(а), таким образом, представляет собой вещественную функцию,
не обязательно однозначную, заданную на направленном множестве А.
Такая функция /(а) называется обобщенной последовательностью.
Если для любого е>0 существует элемент ао?А, такой, что
из соотношения Oq-< а вытекает неравенство |/(а)—а|^е, где
а — некоторое вещественное число, причем это неравенство спра-
справедливо для всех значений / в точке а, то а называется пределом
обобщенной последовательности /(а), или обобщенным пределом
/(а) по направленному множеству А. Для обозначения этого пре-
предела мы будем применять запись
lim /(<z) = a.
Пример. Рассмотрим некоторое разбиение А отрезка [0, 1J:
Совокупность Р всех разбиений вида Д отрезка [0, 1] становится
направленным множеством, если ввести отношение частичного упо-
упорядочения следующим образом: пусть разбиение Д7 имеет вид
О = *о<*1< ••• <*Я1=1; тогда запись Д-<Д' означает, что
п^т и что каждое из чисел tt равно некоторому из t). Пусть
2. Обобщенный предел 151
x(t)— вещественная непрерывная функция, заданная на [О, 1]. За
/(Д) примем множество вещественных чисел вида
"Ё @+1-'/)*('/)•
где t'j — произвольная точка отрезка [/у, fy+lj.
Таким образом, /(Д)— это множество всех интегральных сумм
Римана для функции x(t), относящихся к разбиению Д. Интеграл
1
Римана | x(t)dt представляет собой не что иное, как обобщенный
о
предел /(Д) по направленному множеству Р.
Следующая теорема связана с существованием предела обобщен-
обобщенной последовательности.
Теорема (Банах). Пусть л:(а) — вещественная ограниченная функ-
функция, определенная на направленном множестве А. Совокупность всех
таких функций с операциями
(х + у) (а) = х (а) + У (а), фх) (а) = р* (а)
образует вещественное линейное пространство, которое мы обозначим
через X, На пространстве X можно определить линейный функционал
(обозначим его LIM* (а)), удовлетворяющий неравенствам
lim х (а) < LIM х (а) < fim x (а),
^^4 <*?А °€л
где
lim л;(а) == sup inf лг(Р), lim.x;(p) = inf sup x{[
Если обобщенный предел lim л; (а) существует, то
UMjc(a)= lim л: (а).
Доказательство. Положим р(х)= \1т х(а). Как нетрудно про-
af A
верить, функция р(х) удовлетворяет условиям теоремы Хана — Ба-
Банаха. Следовательно, существует определенный на X линейный функ-
функционал /, такой, что —р(—x)^f(x)-Kp(x) при х?Х. Нетрудно
убедиться в том, что lim х (а) = — р (— л;), поэтому, полагая
LIM х (а) = / (х), мы завершаем доказательство теоремы.
6Л
152 IV. Теоремы Хана — Банаха
3. Полные локально выпуклые линейные
топологические пространства
Определение. По аналогии с числовыми обобщенными последо-
последовательностями можно определить обобщенные последовательности {лга}
элементов линейного топологического пространства X. Говорят, что
обобщенная последовательность {лга} сходится к элементу х про-
пространства X, если для всякой окрестности U (х) элемента х суще-
существует такой индекс а0, что xa?U(л;) для всех индексов а >- а0.
Обобщенная последовательность {ха\ называется фундаментальной,
если каждой окрестности U @) нулевого вектора пространства X
можно сопоставить такой индекс а0, что (лга — х*) ? U @) для всех
индексов а, р >- а0. Линейное топологическое пространство X назы-
называется полным, если всякая фундаментальная обобщенная последо-
последовательность, принадлежащая X, сходится к некоторому элементу
х ? X в смысле приведенного выше определения.
Замечание. Можно ослабить условие полноты и потребовать
только, чтобы каждая обычная последовательность из Х% фундамен-
фундаментальная как обобщенная последовательность, сходилась к некоторому
элементу х?Х. В этом случае пространство называется секвен-
секвенциально полным. Для нормированных линейных пространств эти
определения полноты эквивалентны. В общем случае, однако, не вся-
всякое секвенциально полное пространство является полным.
Пример локально выпуклого секвенциально полного линей-
линейного топологического пространства. Допустим, что некоторая по-
последовательность \fh(x)) функций пространства ©(Q) удовлетворяет
условию lim (fh — Д) = 0. Согласно следствию из предложения 7,
h, k->oo
гл. I, § 1, мы тем самым предполагаем, что в области Я существует
бикомпактное подмножество /С, такое, что supp(/A) ? К (h = 1, 2,...)
и lim (Dsfh(x) — Dsfk(x)) — Q равномерно на К для любого
h, k-^oo
дифференциального оператора Lf. Тогда, применяя теорему Асколи —
Арцела, легко доказать существование такой функции /^S)(Q), что
lim Dsfh(x) = Dsf(x) равномерно на множестве К для всякого диф-
h->oo
ференциального оператора Lf. Таким образом, в D(Q) существует
предел lim /л = /, и, следовательно, пространство 3)(Q) секвен-
циально полно. Точно так же можно доказать, что и пространство
S(Q) секвенциально полно.
Как и в случае нормированного линейного пространства, спра-
справедлива следующая
Теорема. Всякое локально выпуклое линейное топологическое
пространство X может быть вложено в некоторое локально выпук-
выпуклое полное линейное топологическое пространство, в котором X
образует плотное подмножество.
4. Теорема Хана — Банаха в комплексных пространствах 153
Доказательства этой теоремы мы не приводим. Литература по
этому вопросу указана в книге Дьедонне [1]. См. также Кёте [1].
4. Теорема Хана —Банаха о продолжении линейных
функционалов в комплексных линейных пространствах
Теорема (Боненблюст — Собчик). Пусть X— комплексное ли-
линейное пространство и р(х)— некоторая определенная на X полу-
полунорма. Пусть М — комплексное линейное подпространство в ^ и
/ — заданный на М комплексный линейный функционал, такой, что
1/001 ^ Р(х) на Л4- Тогда существует определенный на всем про-
пространстве X комплексный линейный функционал F, такой, что
A) F служит продолжением /; B) | F (х) | < р (х) на X.
Доказательство. Заметим, что если в комплексном линейном
пространстве ограничиться умножением векторов лишь на веществен-
вещественные числа, то это пространство можно рассматривать как веществен-
вещественное. Если / (х) = g (х) -f- ih (х), где g(x) и h(x)— соответственно
вещественная и мнимая части f (х), то g и h — вещественные линей-
линейные функционалы, определенные на М. При этом
I/WKPW и |А(*)|<|/(*)|.<Р(*) при
Так как для каждого х ? М
g (ix) + ih {lx) = f (ix) = if (x) = t (g (x) + ih (x)) =
TO
h(x) = — g(tx) для всех х ? M.
По теореме, доказанной в § 1 этой главы, мы можем продолжить g
до вещественного линейного функционала G, определенного во всем
пространстве X и удовлетворяющего условию 0(х)^р(х) при
х?Х. Следовательно, —G(x)~G(—х)</?(—х)~р(х), и по-
поэтому \О(х)\ ^ р(х). Определим теперь функционал
Легко видеть, что F — комплексный линейный функционал, опреде-
определенный на X, так как F{ix) = G(ix) — Ю(— х) = G(lx)~\-lG(x) =
= iF{x). Функционал F служит продолжением /, поскольку при
х?М
F(x) = G (х) —10 (ix) = g(x)- ig (tx) = ?(*) + '* (*) = / (x).
Чтобы доказать неравенство \F(x)\ <! р (х), запишем F(x) в виде
F(x) = re~iQ. Тогда \F(x)\ — eiQF(x)= F(eiQx), и выражение F(eiQx)
оказывается вещественным и неотрицательным. Поэтому \F(x)\ =
= \О (еюх)\ < р (е*х) = | е*\ р (х) -•= р (х).
154
IV. Теоремы Хана — Банаха
5. Теорема Хана — Банаха о продолжении линейных
функционалов в нормированных линейных пространствах
Теорема 1. Пусть X—нормированное линейное пространство,
М — его линейное подпространство, а /1 — непрерывный линейный
функционал, заданный на М. Тогда существует определенный на всем
пространстве X непрерывный линейный функционал /, такой, что
1) / служит продолжением f{; 2) ||/il| = ||/||.
Доказательство. Положим р (х) = || f{ || • || х ||. Тогда р(х) — не-
непрерывная полунорма, определенная на всем пространстве X, причем
\fi(x)\^p(x) на М. По теореме предыдущего параграфа суще-
существует определенный на всем пространстве X линейный функционал /,
служащий продолжением/! и удовлетворяющий условию |/(л;)|<^р(л;).
Таким образом, ||/||^ sup р (х) = || fx ||. С другой стороны, по-
скольку / — продолжение /р справедливо неравенство || /1| > || Д ||.
В результате мы получаем 11/^1 = 11/1)
Приложение к проблеме моментов
Теорема 2. Пусть X — нормированное линейное пространство.
Допустим, что заданы последовательность элементов \хп) ? X, после-
последовательность комплексных чисел {ая} и положительное число у.
Тогда для того чтобы существовал определенный во всем простран-
пространстве X непрерывный линейный функционал/, такой, что /(^) = а/
(/=1, 2, ...) и ||/||*CY' необходимо и достаточно, чтобы для вся-
всякого положительного целого п и любых комплексных рр р2» •••» Р«
удовлетворялось неравенство
2 Ра
<у
Доказательство. Необходимость этого условия следует из опре-
определения нормы ||/||. Докажем его достаточность. Рассмотрим мно-
множество
z\ z = 2 $txit
где /г и
произвольны?.
Если имеются два представления вида
одного и того же элемента г ? Х\, то по условию теоремы
|/Л - ДMr
<v
=0.
6. Существование нетривиальных непрерывных функционалов 155
I п \ п
Поэтому формула /,{ 2 Р/*/) = 2 РА определяет
на множестве Л',
непрерывный линейный функционал fv Для завершения доказатель-
доказательства остается лишь, используя теорему 1, продолжить /, до непре-
непрерывного линейного функционала / на Л\ такого, что || /1| = || fx ||.
Замечание* В § 9 будет показано, что всякий непрерывный ли-
линейный функционал / на пространстве С [0, 1] может быть пред-
представлен в виде
1
f(x)=jx(t)m(dt)9
где т — единственным образом определенная мера Бэра на интер-
интервале [0, 1]. Поэтому если мы возьмем Xj(t) = t*~l G=1, 2, ...),
то теорема 2 даст условие разрешимости так называемой проблемы
моментов
1
JV'W)^/ G=1. 2. •••)•
о
6. Существование нетривиальных непрерывных
линейных функционалов
Теорема 1. Пусть X — вещественное или комплексное линейное
топологическое пространство, х0—его произвольная точка и р(х) —
непрерывная полунорма на X. Тогда существует определенный на X
непрерывный линейный функционал F, такой, что F(xo)=p(xo) и
для всех х ? X.
Доказательство. Обозначим через М множество всех элементов
вида ах0 и определим функционал/ на М формулой f(axo) = ap(xQ).
Тогда / — линейный функционал на Ж, причем выполняется условие
\f(dxo)\=\ap(xo)\ = p(axQ). Согласно теореме из § 4, существует
продолжение F функционала /, такое, что .\F(x)\ <; р(х) при всех
х?Х. Следовательно, функционал F(x) непрерывен в точке лг = О
вместе с полунормой р(х), и, следовательно, как линейный функ-
функционал он непрерывен во всех точках пространства X.
Следствие 1. Пусть X — локально выпуклое пространство,
а х0 Ф О — некоторый его элемент. Тогда существует непрерывная
полунорма р(х) на X, такая, что р(хо)ФО. Поэтому, согласно
теореме I, существует непрерывный линейный функционал /0 на X,
такой, что
при
156 IV. Теоремы Хана —Банаха
Следствие 2,. Пусть X— нормированное линейное пространство,
а х0Ф0 — некоторый его элемент. Тогда существует непрерывный
линейный функционал /0 на X, такой, что
/о(*о) = И*о11 и ||/о1|=1.
Доказательство. Примем за р(х) норму \\x\\ и применим след-
следствие 1. Тогда ||/о1К1. так как |/о(*)К||*||. Но, с другой сто-
стороны, fo(xo) = \\xo\\, и поэтому || /01|=1.
Замечание. Следующая теорема доказывается так же, как пре-
предыдущая, с использованием теоремы из § 1.
Теорема 1'. Пусть X — вещественное линейное топологическое
пространство, х0 — некоторая его точка, а р(х) — вещественный
непрерывный функционал на X, такой, что
Р(х~{-У)<Р(х) + Р(У) и р (ах) = ар (х) для а>0.
Тогда существует непрерывный вещественный линейный функционал F
на X, такой, что F (х0) = р (х0) и —р(—x)^F(x)<^p(x) при
х ?Х.
Теорема 2. Пусть X — локально выпуклое линейное топологи-
топологическое пространство. Пусть М — линейное подпространство в Х%
з. f — непрерывный линейный функционал на М. Тогда существует
непрерывный линейный функционал F на X, представляющий собой
продолжение /.
Доказательство. Так как функционал / непрерывен на^ множе-
множестве М и пространство X — локально выпуклое, существует открытая
выпуклая уравновешенная окрестность U точки лг = 0 пространства X',
такая, что |/(*)|^1 при всех x?M()U. Обозначим через р функ-
функционал Минковского множества U. Тогда р представляет собой непре-
непрерывную полунорму пространства X и U = [х\ р(х)<, 1}. Для каждой
точки х?М выберем число а>0 таким, что а>/?(лг). Тогда
/?(лг/а)< 1, и поэтому |/(х/а)|><1, т. е. |/(л:)|<^а. Переходя
к пределу при а|/?(лг), мы видим, что | / (х) \ <; р (х) при х ? М.
Поэтому, согласно теореме из § 4, существует определенный на всем
пространстве X непрерывный линейный функционал F, служащий
продолжением /, причем | F(x)\ <^ р(х) для всех х?Х.
Теорема 3 (Мазур). Пусть X — вещественное или комплексное
локально выпуклое линейное топологическое пространство и Af—неко-
Af—некоторое его замкнутое выпуклое уравновешенное подмножество. Тогда
для любой точки хо(?М существует непрерывный линейный функ-
функционал /р на X, такой, что fo(xo)> 1 и |/0(^)|<1 на М.
Доказательство. Ввиду того что подмножество М замкнуто, суще-
существует выпуклая уравновешенная окрестность V точки х — 0, такая,
что M()(xo-\-V) = Q. Из того, что окрестность V уравновешенная
и выпуклая, вытекает, что Ш +-9-) П (А:о + -2-) — ®* ^ак как мно"
6. Существование нетривиальных непрерывных функционалов 157
жество (^о + "9") является окрестностью точки лг0, замыкание U
множества (М-^-тН не содержит х0. Поскольку М 5 О, замкнутое
выпуклое уравновешенное множество U представляет собой окрест-
окрестность нуля, так как U содержит как подмножество множество V/2.
Пусть р — функционал Минковского для U. Множество U замкнуто,
поэтому для любой точки xo(fcU выполняется неравенство р(хо)> 1;
кроме того, /?(x)<;i, если x?U.
Отсюда на основании следствия 1 теоремы 1 мы заключаем, что
существует непрерывный линейный функционал /0, заданный во всем
пространстве X, такой, что /0(лг0) = р(х0) > 1 и |/0(х)|<р(х)
для всех х?Х. Поэтому, в частности, l/oOOl^1 на М.
Следствие. Пусть М — замкнутое линейное подпространство
локально выпуклого линейного топологического пространства X. Тогда
для любой точки х0 ? X — М существует заданный на всем простран-
пространстве X непрерывный линейный функционал /0, такой, что fo(xo)> 1
И /0(л;)=0 на М. Кроме того, если X — нормированное линейное
пространство и dis (лг0, М) > d > 0, то можно выбрать функционал /0
так, что ||/о||<1/Л
Доказательство. Первая часть утверждения вытекает из линей-
линейности подпространства М. Для доказательства заключительной части
следует положить U = {л;; dis (л;, M)<!rf} в доказательстве теоремы 3.
Замечание. Следующая теорема доказывается так же, как преды-
предыдущая, с использованием теоремы 1'.
Теорема 3' (Мазур). Пусть X—локально выпуклое веществен-
вещественное линейное топологическое пространство и М — его замкнутое
выпуклое подмножество, такое, что М^О. Тогда для любой точки
хо(?М существует определенный на всем пространстве X непрерыв-
непрерывный вещественный линейный функционал /0, такой, что /0(а:0)> 1
и /0 (х) < 1 на Ж.
Теорема 4 (Мазур). Пусть X — локально выпуклое линейное
топологическое пространство и М — некоторая выпуклая уравновешен-
уравновешенная окрестность нуля в X. Тогда для любой точки хо(^М суще-
существует непрерывный линейный функционал /0 на X, такой, что
/o(*o)>suPl/o(*)l-
хам
Доказательство. Обозначим через р функционал Минковского
множества М. Тогда р (х0) >- 1 и р (х) <; 1 для х ? М. Функционал р
непрерывен, так как М — окрестность нуля в X. Поэтому, согласно
следствию 1 теоремы 1, существует такой непрерывный линейный
функционал /: на X, что /0(х0) = р(х0)> 1 и | /0(х)|< р (л:)< 1
при л:?М.
158 IV. Теоремы Хана — Банаха
Теорема 5 (Хелли). Пусть X — некоторое ^-пространство и
/р/2 /п — конечная система ограниченных линейных функцио-
функционалов на X. Зададим произвольно п чисел а,, а2, .... ал.
Для того чтобы при каждом е > 0 нашелся элемент хг ? X,
удовлетворяющий условиям
/i(*e) = <*/ ('=»¦ 2. .... п) и ||*e||<Y + e
(Y — произвольное положительное число), необходимо и достаточно,
чтобы при любом выборе п чисел р,, р2, . .., Р„ выполнялось неравенство
Доказательство. Необходимость этого условия вытекает из опре-
определения нормы непрерывного линейного функционала. Докажем его
достаточность. Без ограничения общности можно допустить, что функ-
функционалы fj линейно независимы, так как в противном случае из {fj}
можно выбрать подсистему линейно независимых функционалов, поро-
порождающих то же линейное подпространство, что и {fj}.
Рассмотрим отображение х -> ф (л;) = (fx (л;), /2(#) /я(х))
пространства X на гильбертово пространство /2(я), состоящее из всех
/ п \1/2.
векторов вида * = (?Р ?2, •••• ?*)• с нормой ||*|| = ( 2 \lj\2J •
По теореме об открытости отображения (гл. II, § 5) при любом е > О
образ ФEв) шара Se= {x ?Х; ||а:||-^у-+-^} содержит нулевой вектор
пространства 12(п) в качестве своей внутренней точки. Предположим,
что элемент (а,, а2, .... ая) не принадлежит фEе). Тогда, согласно
приведенной выше теореме Мазура, существует непрерывный линейный
функционал F на пространстве /2(я), такой, что
«2 <*л)) > SUP
Так как 12(п) — гильбертово пространство, функционал F опреде-
определяется некоторым элементом (рр р2 РлN^2(л) таким образом,
что ^((а,, а2 ал))= 2а/Ру- Следовательно,
ПРИ IMKY + e-
Но верхняя грань правой части последнего неравенства при
равна (Y + c) S //Р/ • а эт0 противоречит условию теоремы. Полу-
Ну—1 II
ченное противоречие и доказывает наше утверждение.
7. Операторные топологии 159
7. Операторные топологии
Пусть ХУ Y — локально выпуклые линейные топологические про-
пространства над одним и тем же скалярным полем (полем вещественных
или комплексных чисел). Обозначим через L(X, К) совокупность
всех непрерывных линейных операторов, отображающих X в Y. Мно-
Множество L(X, Y) с операциями
(aT + f>S)x = aTx+$Sx, где Г. S?L(X, К) и х?Х,
образует линейное пространство. В этом линейном пространстве можно
ввести различные топологии.
A) Топология простой сходимости. Эта топология соответствует
сходимости в каждой точке пространства X х)\ она определяется
семейством полунорм вида
=р{Т\ xv х2 хп\ <7)= sup
где xv x2 хп — произвольно выбранная конечная система эле-
элементов пространства Х> a q — любая непрерывная полунорма на. К.
Пространство L (X, К) с такой топологией мы будем обозначать
через LS(X, К)!). Ясно, что это локально выпуклое линейное топо-
топологическое пространство.
B) Топология ограниченной сходимости. Эта топология соот-
соответствует равномерной сходимости на ограниченных множествах,
принадлежащих X 2). Она определяется семейством полунорм вида
Р<Т)=р(Т; В; 0 = sup q(Tx).
где В — произвольное ограниченное множество из Х% & q — любая
непрерывная ограниченная полунорма на К. Пространство L(X, Y)
с такой топологией мы обозначим через Lb(Xt К). Ясно, что это
локально выпуклое линейное топологическое пространство.
Всякое конечное множество точек пространства X ограничено,
поэтому топология простой сходимости слабее, чем топология огра-
ограниченной сходимости, в том смысле, что открытые множества про-
пространства LS(X, Y) принадлежат семейству открытых множеств про-
пространства Lb(Xt К), но не наоборот.
!) Эта топология соответствует сходимости в каждой точке х'?Х в том
смысле, что условие существования в пространстве Ls (X, Y) обобщенного
предела lim Та = Т в этом случае эквивалентно сходимости lim Tax =* Тх для
СА а?А
всех х С X. — Прим. перев.
2) При такой топологии условие lim Ta=*T эквивалентно равномерной
относительно значений *?В сходимости НтТах**Тх обобщенной после-
довательности Тах на всяком ограниченном множестве Вс! — Прим.
перев.
160 IV. Теоремы Хана — Банаха
Определение 1. В случае когда X и К — нормированные линей-
линейные пространства, топологию в LS(X, К) обычно называют сильной
операторной топологией, а топологию в Lb{Xy К)— равномерной
операторной топологией 1).
Сопряженные пространства. Слабая и слабая* топологии
Определение 1'. В частном случае, когда К является полем
вещественных или комплексных чисел с обычной топологией, L(X, Y)
называется пространством, сопряженным к X, и обозначается через Хг,
Пространство Х\ таким образом, состоит из всех непрерывных линей-
линейных функционалов на X. Топологию простой сходимости в простран-
пространстве X' мы будем называть в этом случае слабой* топологией 2).
Сопряженное к X пространство Л", топологизированное таким спо-
способом, мы назовем слабым* сопряженным пространством', иногда
мы будем обозначать его через Xw*. Топологию ограниченной схо-
сходимости в пространстве Хг мы назовем сильной топологией. Про-
Пространство Xf с такой топологией мы иногда будем обозначать Xfs и
называть сильным сопряженным пространством.
Определение 2, Для любых х ? X и хг ? Х/ обозначим сим-
символом (а:, а;') или х'(х) значение функционала хг в точке х. Таким
образом, слабая* топология в X', т. е. топология пространства X'w*t
определяется семейством полунорм вида
р{х')=р(х'\ xv x2 хя)= sup \{xJt x')\t
где xv x2, .... хп — произвольная конечная система элементов про-
пространства X. Сильная топология в X', т. е. топология простран-
пространства Xs, определяется системой полунорм вида
р(х') = р(х'\ В) = $\\$\(х, х')\,
х В
где В— произвольное ограниченное множество пространства X.
Теорема 1. Если X — нормированное линейное пространство,
то его сильное сопряженное X's представляет собой ^-пространство
с нормой
" "|= sup
1) Существуют и другие интересные и важные для приложений типы опе-
операторных топологий (см., например, Данфорд—Шварц [1], Бур5аки [2]).—
Прим. перев.
2) Если X — нормированное пространство, то „слабая* топология" в X'.
согласно приведенным ранее определениям, — это „сильная операторная тбпо-
логия" в Х'. — Прим. перев.
8. Вложение пространства X во второе сопряженное X" 161
Доказательство. Обозначим через В произвольное ограниченное
множество из X. Тогда sup||ft|| = p < оо, и поэтому из неравенства
следует, что /?(/; В) = sup|/(*)|< sup |/(л:)|<сф. С дру-
Ь?В |Цг|КЭ
гой стороны, единичный шар 5={л;; ||#||<^1} пространства X
является ограниченным множеством, и поэтому ||/||=р(/; 5). Это
показывает, что топология пространства Xs эквивалентна топологии,
определяемой нормой ||/||.
Полнота пространства X's доказывается следующим образом. Пусть
последовательность {/я}, принадлежащая X'St удовлетворяет условию
lim ||/я — /т|| = 0. Тогда для любого х?Х мы имеем |/л(л:) —
я, т->сх>
— /wWKII/я- /mil • ||а:||->0 при я, т~>оо, следовательно, суще-
существует конечный предел lim fn(x) = f(x). Линейность функционала/
/1->ОО
вполне очевидна. Его непрерывность вытекает из того, что lim /л(д:)==
л->оо
— /(л;) равномерно на единичном шаре S. Отсюда же следует, что
Нт ||/„-/||=0.
Следующая теорема доказывается совершенно аналогично.
Теорема 2. Если X, Y — нормированные линейные пространства,
то равномерная операторная топология пространства Lb(X, Y) опре*
деляется нормой оператора
Определение 3, Назовем слабой топологией локально выпуклого
Линейного топологического пространства X топологию, определяемую
Семейством полунорм вида
р(х)=р(х; х[. х'2 д:л)= Sup \(x, х))\.
1 < /<Я
tie x'v x'T ..., х'п — произвольная конечная система элементов про-
пространства X'. Пространство X с такой топологией мы будем иногда
обозначать через Xw.
8> Вложение пространства X во второе
сопряженное пространство X"
Сначала докажем следующую теорему.
Теорема 1 (Банах). Пусть X — локально выпуклое линейное
топологическое пространство и X1 — его Сопряженное. Линейный
функционал f(x') на X1 имеет вид
f(x') = (xot x')t
где Хо—некоторая точка из X, тогда и только тогда, когда функ-
функционал / непрерывен в слабой* топологии пространства X'.
11 К. Иосида
162 tV. Теоремы Хана — Банахи
Доказательство. Необходимость приведенного условия очевидна,
так как выражение | (х0, х') | представляет собой одну из полунорм,
определяющих в X' слабую* топологию. Достаточность доказывается
следующим образом. Из непрерывности функционала f (xf) в слабой*
топологии пространства X' вытекает, что существует конечная си-
система •точек xv х2 хп, такая, что I/OOI^C sup \(xjt х')\.
i < j < п
Поэтому
если fi{xf)={xi, .v') = 0 (/=1, 2 п), то /(*') = ().
Рассмотрим линейное отображение L : X' --> /2(дг), определенное
формулой
Д*') = (Л(*'). /2(*'), .... /,(*'))¦
Из условия L (х'Л = L (х'Л вытекает равенство L(x[ — х'Л = 0, а это
означает, что fi{x[ — ^ = 0 (/=1, 2 п) и, следовательно,
/ (х^ — х0 = 0. Поэтому формула
F(L(x'))=F(fx(x')t /2(*') fH(x')) = f(x')
определяет непрерывное линейное отображение Ft заданное на под-
подпространстве L{Xf) пространства 12(п). Это отображение может быть
продолжено до непрерывного линейного функционала, определенного
на всем пространстве /2(#). Такое продолжение возможно, так как
пространство 12{п) конечномерно (этот случай, очевидно, проще, чем
продолжение функционала в бесконечномерном линейном простран-
пространстве, так что нет необходимости привлекать теорему Хана — Банаха).
Это продолжение мы обозначим той же буквой F. Если элементы
пространства 12(п) записывать в виде
п
(Ур У2 Уп)— 2 У//. ™е ** —@. 0 0, 1, 0, 0 0),
причем 1 стоит в выражении для et на 1-й месте, то ясно, что
п
У2. • • • • Уп) = 2 УМ* ау = F (*,).
2
Поэтому
f{x')= iloy/y(^)= jL*j(xj, x')=(%ajxjt x).
й Достаточность Сформулированного условия доказана.
Следствие. Для каждой точки хо?Х формула fo(x') = (xQt x')
определяет на пространстве Xs непрерывный линейный функционал
8: Вложение пространства X во второе сопряженное X" 163
/0(лг'I). При этом отображение
х0 —> /0 = jXq
пространства X в пространство (Х'Х удовлетворяет условию
J(x{ + х2) = Jxx + J*2* J(ax) =
Теорема 2. Если Л' — нормированное линейное пространство, то
отображение J изометрично, т. е. ||/jt||== || *||.
Доказательство. Так как |/0 (*') I = I <*o- *'>1<11*оИ • II*'II»
т0 II /о II ^11 хо II- ^ другой стороны, если х0Ф0, то, согласно след-
следствию 2 теоремы 1, § б, существует такой элемент х'0?Х', что
< ) \\\\ |||| (О < > |К||
откуда || /01| > || х01|. Тем самым мы показали, что || Jx \\ — \\x\\.
Замечание. Пространство (Х'У как сильное сопряженное к Xfs
представляет собой 5-пространство. Следовательно, нормированное
линейное пространство X можно рассматривать как линейное под-
подпространство ^-пространства (Х%, вложенное с помощью отобра-
отображения x->Jx. Поэтому сильное замыкание2) множества JX в
fi-пространстве (ХУ дает конкретную реализацию пополнения про-
пространства X.
Определение 4. Нормированное линейное пространство X назы-
называется рефлексивным, если оно может быть отождествлено со своим
вторым сопряженным пространством (X'Y с помощью определенного
выше соответствия x->Jx. Мы уже знаем (гл. III, § 6), что гиль-
гильбертовы пространства рефлексивны. Как замечено выше, (Х'У
является ^-пространством, поэтому всякое рефлексивное нормиро-
нормированное пространство должно быть /^-пространством.
Теорема 3. Пусть X — некоторое ^-пространство и х^ — произ-
произвольный ограниченный линейный функционал на X's. Тогда для любого
б>0 и всякой конечной системы элементов fv /2 /„ про-
пространства X's существует элемент хо?Х, такой, что
и fj(xo) = *o(fj) С/=1. 2 «).
1) Функционал /о СО = (•*<>> *')> как было показано, непрерывен в сла-
слабой* топологии Х'т*у поэтому он непрерывен и в более сильной топологии
X's. — Прим. перев.
2) То есть замыкание в сильной топологии пространства (Xs)y — Прим
перев.
164
IV. Теоремы Хана— Банаха
Доказательство. Применяя теорему Хелли (теорема 5, § 6), мы
устанавливаем, что для любой системы чисел рр р2» •••• Рл
2
где Y=|K'
Применяя эту теорему еще раз, мы находим элемент хо?Х, для
которого ||*ol|<Y + e = |K'|| + e и л:0(/у) = ау (У=1, 2 л).
Следствие. Единичный шар S= {x ?X; ||jt||<^l} В-простран-
ства X является плотным в единичном шаре пространства (ХУ
в слабой* топологии пространства (X'SY.
9. Примеры сопряженных пространств
Пример 1. Пространство (со)/ = (/1).
Всякому элементу / ? (с0)' соответствует единственным образом
определенный элемент )^= {цп} 6С1)» такой, что
л-1
О)
для всех л:= Цп} ?(с0). Обратно, каждый элемент у = {Ля}
определяет некоторый элемент /у?(с0)', такой, что
<*./,)= 2 бл. и и /, ||=ц у и
<ю
для всех *={Ы60
Доказательство. Определим вектор ek формулой
^ = @, 0 0, 1, 0, 0, ...)
Для любых х={1п}?(с0) и /6 (Со)'
=1, 2, ...).
(х. />= lim
2
/1-1
= Игл
так как s-\\m J^lnen = x. Положим цп==1п\цп\ при t]n Ф 0 и
? > ОО Л-1
ея = оо при х]п = 0. Выберем точку л;*"») = {|л} ^ (с0) так, что
= 6-1 при
= 0 при п>п0. Тогда ||лг(ло)||= 1, и по-
9. Примеры сопряженных пространств 165
этому II/H = sup \{х. /)| > [(jc<«o), />|= 2 \ЧП I- Полагая
», мы видим, что у/=КN('1) и 1| У, || = Sh
Я1
< II * II • IIУ II ^я всех
Обратно, если у={Лл}€(^1)» то
х= [1п] ?(с0)» и поэтому у определяет элемент /У6(со)'» для кото-
которого ||/у||<||у||.
Пример 2. Пространство (с)/ = (/1).
Всякий элемент х={Ъп}€(с) можно представить в виде
2(|л Ь1|5о
->оо л-1 л->оо
Таким образом, для всякого элемента
< 2 F. - lo) *„. /> =
хя-1
-io)V B)
где т^ = ^0, /) и 'п/1 = ^л> /) (я= 1, 2, . . .)• Как и в предыдущем
примере, выберем точку аг<л»>= {|я} ?(с0) ? (с), для которой
= 0 и ((Ч /> 2
Тогда {ЛЯ}СЮ6('1). так как |(*<Ч />|<|| ^^|| . ||/11- Положим
теперь
00
n5- S л„=п0.
я-1
Из условия B) получаем
{х. /> = Ь,Ло+ ЗбиЛ». где *={?,} ? (с) и ^= Игл Бя. B0
Положим снова т|я = гп \ цп \ при х\п Ф 0 и ел = оо при Ля = °
(я=0, 1, 2, ...)• Возьмем элемент *={!„}€ 00' такой, что
/t</t0 И ^л==е0 ПРИ /t>/t0-
В этом случае ||jc||<1, L= lim ^^^е-1 и {х, /) =
п ->оо
§ 1tl.. Поэтому KI+Д|П.К||/Ц-
166 IV- Теоремы Хана —Банаха
Обратно, если выбрать у—{цп}™ так, что ||у ||== |Ло1 +
оо
+" 2 I Л/, | < °°» т0 элемент
1
Ло ¦ Uni 1„ + 2 |„Л„.
П -> ОО Л=1
где *={?„}*6(с), определит вектор /у?(с)\ такой, что||/у||<
л=1
Таким образом, мы показали, что (с)'^/1).
Пример 3. Пространство Lp(St 33, m)' = Lq(St 23,
<со и р-1 + ^= 1).
Всякому элементу f?Lp(S)' соответствует некоторый элемент'
gS)t такой, что
{х. /) = J х (s) у, E) I» (Л) для всех х ? L* E) и || /1| = || у, ||. C)
Обратно, произвольная точка у ?Lq(S) определяет некоторый
элемент fy?Lp(S)', такой, что
<*. /у>= jx{s)y(s)m(ds) для всех x?Lp(S) и ||/у|| = ||у||. C0
s
оо
Доказательство. Пусть 5= М Bjt где множества 5у удовлетво-
ряют условию 0 < m(Bj) < оо; положим В(л)= М#у. При любом
/1
/-1
фиксированном /г характеристическая функция CB(s) всякого множе-
множества Sc5(rt)l) принадлежит LP(S). Поэтому функция множества
ф(В) = (Сл, /) а-аддитивна и /^-абсолютно непрерывна на множе-
множествах В с В{п). По теореме Лебега — Никодима (гл. III, § 8) суще-
существует функция уп (s) ? l) (В(л), 33(л), т), такая, что
ф(Я)= jyn(s)m(ds) для всех В ? В(п)t
в
где 33(л) — это семейство множеств вида $(л) = {В П S(/l);
Поэтому, полагая у($) = у„($) для s?B(n\ мы получаем
• /)== y(s)m(ds) Для всех ??33(л) (л=1, 2, ...).
1) Здесь и далее подразумевается, что множества В с BSn\ о которых
идет речь, принадлежат S3. — Прим. перев.
9. Примеры сопряженных пространств 167
Следовательно, для всякой простой функции х
(х. />= J x(s)y(s)m(ds). D)
Выберем x?Lp E) и положим
*) ПРИ |*(*)|<Л. s?B{*\
0 при других значениях $.
Разобьем множество точек [z\ \z\^n) комплексной плоскости на
конечное число непересекающихся бэровских множеств Мп kt t
(?= 1, 2 dk^ n) диаметра <^ \\k. Для каждой из функций xn(s)'(~
?Z,°°(S, 23, m) определим функцию xnik(s) следующим условием:
для точек s, в которых хп (s) ^ ЖЛ Л t, значение
хп k(s) равно постоянной z, выбранной так, что z
принадлежит замыканию Mani kt t множества ЖЛ) Л ( и
|^|= inf \w\.
Тогда |*Я1Л($)|<|хя($)| и lim xn%k(s) = xn(s)t поэтому, со-
к -> оо
гласно лемме Лебега — Фату, 5- lim xnk = xn (n=lt 2, . . .).
k -> оо
Применяя лемму Лебега — Фату еще раз, находим, что
k ->oo
Так как 5- lim xn = x, мы видим, что (л:, /)= lim (xn, /). Для
п -> оо /I ->оо
всякого комплексного числа г положим a(z) = e~m при z — reiQ и
а@) = 0. Тогда || jc|| > ||(| хп \ • а(у))|| и, следовательно,
Л ->оо *
a= f lim Jpn,*(s)y(*)i»(^)= f xn{s)y(s)m(ds). E)
J ^oo J
5
Отсюда на основании леммы Лебега — Фату мы заключаем, что
11/11 • II* II ^ | I x(s)\ • \y(s)\ m(ds) и, таким образом, функция
х (s) у (s) принадлежит Ll(S). Поэтому, полагая в формуле E) п ->оо,
мы получаем соотношение
(х, /)= I х ($)у (s) m (ds) для всех x?Lp(S).
168 IV. Теоремы Хана — Банаха
Покажем теперь, что y?Lg(S). С этой целью определим функ-
функции yn(s):
(y(s) при s?B(n\ |y(s)|O,
I 0 при других значениях s.
Тогда yn?Lg(S) и, как было доказано выше,
11/НМ1>(|*|-*О0. />= j\x(s)\.\y(s)\m(ds)>
S
>j\x(s)\.\yn(s)\m{ds).
s
Полагая х (s) = | уп (s) \g/p и применяя неравенство Гёльдера, полу-
получаем
/ г
Отсюда ||/||>Цул|| = М |УЛ(^)Г^(^)) при р>1, а при
р=г=1 мы имеем || / || > || уп \\ = essential sup |-уя («) |.
s ^S
Полагая п-+оо и применяя лемму Лебега — Фату, мы находим,
что y?Lg(S) и ||/|| ^|| У ||« С одной стороны, всякая точка y?Lg(S)
определяет с помощью формулы (а:, /)= | х (s) у ($) т (ds) некото-
рый элемент f?Lp(S)' (это вытекает из неравенства Гёльдера). При
этом неравенство Гёльдера показывает, что ||/|1^||у||- Итак, дока-
доказательство закончено.
Замечание. Попутно мы доказали, что
('*)' = (/*) A<Р<оо, р-1+f-i=i).
Пример 4. Допустим, что пространство с мерой E, 33, т), такое,
что тE)<оо, обладает следующим свойством: для любого множе-
множества В ?93, мера которого удовлетворяет неравенству 0</w(S) =
= 6<оо, и произвольного положительного целого п существует
подмножество Вп в В, такое, что 6(#+ 1)~!<^ tn(Bn)<^bn~l. Тогда
не существует никакого непрерывного линейного функционала, при-
принадлежащего пространству Ж E, 93, т)\ кроме тождественно равного
нулю.
Доказательство. Всякий элемент х ?Ll(S, 93, т) принадлежит
пространству M(S, 93, /я), и топология в /,!E, 93, т) сильнее, чем
в М E, 93, т), поэтому сужение любого функционала / ? М E, 93, т)г
на Ll(St 93, т) определяет непрерывный линейный функционал
9. Примеры сопряженных пространств
fo?Ll(S, 93, m)f. Таким образом, существует функция у ?L°°(S, 93, m),
такая, что
(х, f) = (x, /0)= j x(s)y(s)m(ds) для всех x?Ll(S, 93, m),
s
Так как множество Ll(St 93, m) плотно в М E, 93, т) в топологии
пространства M(S, 93, m), то из условия / Ф О вытекает, что /Q =? 0.
Тогда существует такое е > 0, что множество В = {s; \y(s)\^e]
имеет меру m (В) = 6 > 0. Пусть ?„ ? В — множество, указанное
в условии теоремы. Положим y(s) = reie для s?B и введем функцию
xn(s): xn(s) = e~ie при s?Bn и д:лE) = 0 при прочих значениях s.
Тогда функции zn(s)= nxd(s) сходятся по мере к нулю, т. е.
s- lim г„ = 0 в пространстве МE, 93, т). Но, с другой стороны,
Я-»-ОО
<гя. />= lim <*„, /0>= lim f zn(s)y(s)m(ds)>6e > 0.
n->oo rt->oo *f
lim
it->oo n->oo rt->oo *f
о
что противоречит непрерывности функционала /. Итак, предположе-
предположение / Ф 0 приводит к противоречию.
Пример б. Пространство L°°E, 93, /я)'.
Пусть задан некоторый элемент /?Z,°°(S, 93, /я)'. Для всякого
множества ??93 определим функцию фE) = /(Ся), где Св($) —
характеристическая функция множества В. Тогда выполняются сле-
следующие условия:
если В{(]В2 = 0, то ф (В, + В2) = ф (В,) + Ф (В2). F)
т. е. функция ф конечно аддитивна;
вещественная часть tyx(B) и мнимая часть ф2(?) функций ф(б)
имеют ограниченные полные вариации, т. е.
вир|*,(Я)|<оо A=1. 2); G)
в
если т(В) = 0, то ф(В) = О, т. е. функция ф
т-абсолютно непрерывна. (8)
Условие F) следует из линейности функционала /, а G) и (8) вы-
вытекают из неравенства | ф (В) \ << || /1|. || Св ||.
Для произвольной точки лг?/,°°E, 93, т) рассмотрим разбиение
круга. {z\ I^I^H^II} комплексной плоскости z на конечное число
непересекающихся бэровских множеств Av A2 Ап, диаметры
Которых не превосходят некоторого положительного числа 6. Поло-
Положим Bi={s?S; x(s)^At}. При любом выборе точек ai^Ai спра-
справедливы неравенства
170 IV. Теоремы Хана — Банаха
и поэтому
<И/Н-е.
Пусть теперь л-*оо так, что при этом е | 0; тогда
/(*)= Iim Еа4ф(Вг) (9)
/1
независимо от способа разбиения [z\ \z\<^,\\x\\) — ^Ai и выбора
/-1
точек at ? Л,-. Предел, стоящий в правой части выражения (9), на-
называется интегралом Радона функции x(s) по конечно аддитив*
ной мере ф. Таким образом,
f(x)— Г х ($) ф (ds) (интеграл Радона)
для всех x^Lco(Si 33, /и), A0)
и поэтому
11/11= sup \\x(s)Mp(ds)
esssupl дгE)| <1
I/
(П)
Справедливо и обратное, а именно если функция ф удовлетворяет
условиям F), G) и (8), то выражение A0) определяет некоторый
элемент /?L°°(S, 93, т)', и при этом имеет место формула A1).
Мы доказали, следовательно, что Z,°°(S, 93, т)' — это простран-
пространство, состоящее из всех функций множества ф, удовлетворяющих
условиям F), G) и (8), с нормой, определяемой формулой A1). Пра-
Правая часть формулы A1) называется полной вариацией функции ф.
Замечание. Из полученных результатов следует, что при
1 < р < оо пространство LP(S, 93, т) рефлексивно. Однако простран-
пространство D{St 93, т\ вообще говоря, не является рефлексивным.
Пример в. Пространство С E)'.
Пусть 5 — бикомпактное топологическое пространство. Тогда про*
странство C(S)', сопряженное пространству С E) комплексных не-
непрерывных функций на 5, можно представить следующим образом:
каждому элементу / ? С (S)' соответствует единственным образом
определенная комплексная мера Бэра \х на S, такая, что
/ (*) = J х (s) \х (ds) для всех х 6 С E), A2)
и поэтому
11/11= sup x(s)\i(ds)
sup|jr(s)|<l
I/
A3)
Литература в главе IV \?\
где выражение в правой части равно полной вариации меры \х на
множестве S.
Обратно, всякая мера Бэра \i на 5, такая, что правая часть фор-
формулы A3) для нее конечна, определяет при помощи формулы A2)
непрерывный линейный функционал / ? С (S)', и его норма выражается
формулой A3). Более того, если мы возьмем вещественный функцио-
функционал / на вещественном 5-пространстве C(S), то соответствующая
мера \i тоже будет вещественной. Если же, кроме того, функционал /
положителен, т. е. f(x)^>0 для всех неотрицательных функций
х (s), то и соответствующая мера \i оказывается положительной,
т. е. м,(В)>0 для всякого множества ??23.
Замечание. Сформулированный выше результат известен как тео-
теорема Рисса — А. А. Маркова — Какутани и представляет собой одну
из основных теорем теории топологических мер. Доказательство можно
найти в курсах теории меры, например в книгах: Халмош [1], Дан-
форд— Шварц [1].
Литература к главе IV
По поводу теорем Хана — Банаха и связанных с ними вопросов
см. Банах [1], Бурбаки [2], Кёте [1].
Важную роль выпуклых множеств в нормированном линейном
пространстве заметил Мазур [2]. Доказательство теоремы Хелли, при-
приведенное в этой книге, принадлежит Мимура [не опубликовано].
ГЛАВА V
Сильная сходимость и слабая сходимость
В этой главе мы рассмотрим некоторые важные проблемы, от-
относящиеся к сильной, слабой и слабой * сходимости, включая во-
вопросы, связанные со сравнением сильной и слабой измеримости,
сильной и слабой аналитичности и пр. Мы познакомимся также с тео-
теорией интегрирования функций, принимающих значения в ?-пррстран-
стве, т. е. с интегралами Бохнера. В приложении к этой главе из-
излагается общая теория слабых топологий и сопряженности в локально
выпуклых линейных топологических пространствах.
/• Слабая сходимость и слабая* сходимость
Слабая сходимость
Определение 1. Последовательность \хп) элементов нормирован-
нормированного пространства X называется слабо сходящейся, если для каж-
каждого функционала f?X' существует конечный предел lim /(*„).
/1->ОО
Если существует такой элемент х^^Х, что lim /(хп) = /(дс^) для
/1->ОО
всех f?Xfs% то говорят, что последовательность [хп] слабо схо-
сходится к элементу х^. В этом случае, согласно теореме Хана —
Банаха (следствие 2 теоремы 1, гл. IV, § 6), элемент х^ определен
единственным образом; мы будем писать w- lim xn = х^ или
1)хп->хО0 слабо". Пространство X называется секвенциально слабо
полным*). если всякая слабо сходящаяся последовательность его эле-
элементов слабо сходится к некоторому элементу этого пространства.
Пример. Пусть {xn(s)} — последовательность равномерно огра-
ограниченных непрерывных функций из С [0, 1], сходящаяся к некоторой
разрывной функции z(s) на отрезке [0, 1]. Тогда, поскольку С [0, 1]'—
пространство мер Бэра на [0, 1] с ограниченными полными вариациями,
1) Автор применяет здесь термин „секвенциально слабо полное простран-
пространство", который обычно используется, чтобы отличить этот вид полноты от
понятия полноты, связанного со сходимостью фундаментальных обобщенных
последовательностей. Для нормированных пространств эти понятия эквива-
эквивалентны,— Прим. перев.
/. Слабая сходимость и слабая * сходимость 173
последовательность {xn(s)} представляет собой пример слабо сходя-
сходящейся последовательности из С [0, 1], которая не сходится слабо
ни к какому элементу пространства С [0, 1].
Теорема 1. (Г) Если s- lim хп = х^, то w-lim хп = лг^;
я->оо /|->оо
обратное, вообще говоря, неверно. B°) Всякая слабо сходящаяся
последовательность [хп] сильно ограничена!); в частности, если
W- lim a:/j = jcoo, to последовательность {||^л||} ограничена и ЦагЦ
л->оо
Доказательство. (Г) Первое утверждение вытекает из неравен-
неравенства |/(*„) — /СО1<1|/1|-|1*л — *ooll- Тот Факт» что обратное
утверждение неверно, можно продемонстрировать на примере после-
последовательности {хп} из гильбертова пространства (/2) вида
Действительно, значение всякого непрерывного линейного функцио-
оо
нала из (/2)' в точке *={?„} имеет вид 2 &ЯЛЯ. г^е {Л„}6(/2)-
Поэтому w- lim xn — Q, но последовательность [хп] не сходится
/1->ОО
сильно к нулю, так как ||л;л||=1 (я=1, 2, ...).
B°) Рассмотрим последовательность непрерывных линейных функ-
функционалов Xя, определенных на В-пространстве X's формулой Лгл(/) =
г=^лгл, /). Применяя к ней теорему о резонансе (гл. II, § 1), мы
получим доказательство второго утверждения теоремы.
Теорема 2 (Мазур). Пусть w- lim xn = хм в нормированном ли-
Л->оо
нейном пространстве X. Тогда для всякого е > 0 найдется такая
выпуклая комбинация 2 а/хЛа/^-О, 2 «/=4 элементов х1%
/-1 J J\ J y-i у / y
«n II
AToo— IjCtyATy <e.
Доказательство. Рассмотрим совокупность Мх всех элементов
п п
вида 2 а/*/» Для которых ау>0, S01/^^ Заменяя *„ и дс, со-
у-1 J J J j-i J '
Ответственно на (х^ — jc,) и (Xj — jc,), мы можем считать, что
О ? Мх. Предположим, что || хт — //1| > е для некоторого е > 0 и
всякого и ? Мг. Множество М = [v ? X; \\v — и ||<; е/2 для некото-
некоторого и?Мх) представляет собой выпуклую окрестность нуля в X,
и для всех v ? М выполняется условие || х^ — v || > е/2. Обозначим
») То есть ограничена по норме: sup || хп |] < оо. — Прим. перед.
п
174 V. Сильная сходимость и слабая сходимость
через р (у) функционал Минковского множества М. Так как хО0 =
— Р" и0. где р(и0) = 1иО<р<1,то/?(лг^) = р > 1. Рассмотрим
вещественное линейное подпространство Хх = [х ? Х\ х = yaQi
— оо < y < 00} и положим /, (х) = Y для х = уа0 ? Xv Вещественный
линейный функционал fx на Х{ удовлетворяет условию /х(х)^р(х)
при х?Хх. Поэтому, согласно теореме Хана — Банаха (гл. IV, § 1),
существует вещественное линейное продолжение / функционала /р
определенное на вещественном линейном нормированном простран-
пространстве X, такое, что f(x)<^ip(x) на X. Функционал Минковского
р (х) непрерывен по х, так как М — окрестность нуля. Поэтому /
представляет собой непрерывный вещественный линейный функционал,
заданный на вещественном линейном нормированном пространстве X.
Кроме того,
sup /(*)< sup /(*)< sup p{x)= КГ1
?М ?М ?М
Поэтому, как нетрудно видеть, элемент лг^ не может быть слабой
предельной точкой множества Mv а это противоречит предположению
xQ0== w- lim xn.
Я->ОО
Теорема 3. Для того чтобы последовательность \хп) элементов
нормированного линейного пространства X слабо сходилась к неко-
некоторому элементу х^^Х, необходимо и достаточно, чтобы выпол-
выполнялись следующие два условия: A°) sup || дгя || < оо; B°) lim /(агя) =
П /1->ОО
= /(д:оо) для каждого / из некоторого сильно плотного подмноже-
подмножества D1 пространства X's.
Доказательство. Ясно, что требуется доказать лишь достаточ-
достаточность. Для любого g ?X'S н произвольного е > 0 существует элемент
/ ? D', такой, что || g — /1| < е. Поэтому
откуда lim | g (xn) — g (х^) \ < 2е sup || хп ||. Это показывает, что
Я->ОО 1 </Z
l»m g(xn) = g(xO0).
/1->OO
Теорема 4. Для того чтобы последовательность {хп} элементов
пространства L1 E, 23, пг) слабо сходилась к некоторому элементу,
Хсо 6 Lx E, 35, /я), необходимо и достаточно, чтобы последовательность
{|| хп ||} была ограничена и чтобы для любого множества В ? 33 су-
существовал конечный предел lim f xn(s)m(ds).
Доказательство. Необходимость приведенных требований оче-
очевидна, так как характеристические функции CB(s) множеств
принадлежат ^E, 33, m) = V(S, S3, m)'.
/. Слабая сходимость и слабая * сходимость 175
Докажем достаточность. По теореме Витали — Хана — Сакса функ-
функция множества ф(?)= lim ( хп (s) m (ds) (В ?23) а-аддитивна и
m-абсолютно непрерывна. Поэтому, согласно теореме Лебега — Нико-
дима, существует элемент х^ ? L1 E, 23, т), такой, что
lim
J xn (s) m (ds) = f x^ (s) m (ds) для всех В ? 93.
k
Следовательно, для всякого разбиения вида 5 = 2 В] множества 5,
где Bj ?23, выполняется условие
lim f xn(s)y(s)m(ds) = f xO0(s)y(s)m(ds)t
где y(s) — функция вида y(s) — ^aiCB(s). Такие функции y(s)
y-i J J
образуют сильно плотное подмножество пространства Z,°°(S, 23, m) =
= Ll(S, 23, m)'t поэтому, согласно доказанной ранее теореме 3, усло-
условия теоремы 4 достаточны для слабой сходимости {.*;„} к элементу
Теорема 5. Пусть в пространстве Ll(St 23, пг) последователь-
последовательность {л:л} слабо сходится к элементу xoo^Ll(St 23, m). Эта после-
последовательность сильно сходится к х^ тогда и только тогда, когда
последовательность {xn(s)\ сходится к xQO(s) по яг-мере на всяком
23-измеримом множестве В, для которого т(В)<оо.
Замечание. Говорят, что последовательность {xn(s)} сходится
к xoo(s) по m-мере на множестве В, если для всякого е>0 w-мера
множества {s?B; \xn(s) — ^EI^-8} стремится к нулю при п->оо
(см. предложение в гл. I, § 4). Пространство (I1) представляет собой
пример пространства вида Ll(S, 23, /я), в котором 5={1, 2, ...}
нт({п})= 1 для /г = 1, 2 В этом случае (Z1)' = (/°°), и слабая схо-
сходимость последовательности {atJ (хп = (?ь ^Л) ^Я)» • • •)) к точке
^=Ш°0). lt] l{k°\ • • .)означает, что lim l{kn)=l{^ (ft= 1. 2. ...).
Последнее нетрудно обнаружить, выбирая функционал /?A1)' так,
что f(x) = {x, /) = %к для х ={!•>]} ?A1). Значит, в данном частном
случае последовательность \хп) действительно сходится к хт по
/it-мере на каждом 23-измеримом множестве В конечной /и-меры. Мы
получаем такое
Следствие (И. Шур). Если последовательность {хп} слабо сходится
в пространстве (Iх) к некоторому элементу л:^ ? (Z1), то s- lim хп = х^.
/г->оо
Доказательство теоремы 5. Необходимость условия теоремы
очевидна, так как из сильной сводимости в пространстве Ll(St 23, т)
176 V. Сильная сходимость и слабая сходимость
следует сходимость по m-мере. Докажем достаточность. Последова-
Последовательность [хп — х^) слабо сходится к л: = 0, поэтому
lim f (xn(s) — xoo(s))m(ds) = 0 для всякого ??93. A)
П + Ooj
Рассмотрим последовательность неотрицательных мер вида
фл(Я)= J \xn(s) —x^Wlmids). ??93.
в
Тогда
lim tyn(Bk) — 0 равномерно по п для всякой убывающей
последовательности \Bk) с 93, такой, что []Вк = 0. B)
Действительно, в противном случае нашлось бы такое е > 0, что
каждому k соответствовало бы некоторое /гЛ, такое, что ПтяЛ = <
и ф„Л0В*)>е. Тогда либо
либо
n(xnk(s) — xO0(s))\m(ds):
и поэтому существуют множества Ви с Bk, такие, что
(&= 1, 2, .. .)•
Но это противоречит тому, что меры, образующие последователь-
последовательность {ФЛ(?)}, Фя(?)= J (^W-^(s))w№), согласно условиюA),
в
/и-абсолютно непрерывны равномерно относительно п (см. доказа-
доказательство теоремы Витали — Хана — Сакса в гл. II, § 2).
Пусть теперь Во — произвольное множество семейства 93 меры
/rc(fi0)<oo. Покажем, что
Ппи|)л(^о) = О. C)
/г->оо
Допустим, что существуют е > 0 и подпоследовательность {фЛ из {ф1,
такие, что
фя,(#0)>е (»'=!. 2, ...)• D)
/. Слабая сходимость и слабая * сходимость 177
Согласно условию теоремы, последовательность {(xn(s)— -^(s)) схо-
сходится по m-мере к л; = 0 на множестве Во. Поэтому найдутся подпо-
подпоследовательность \{Хп" (s) — л:^ (s))} последовательности {(хП' (s) —
и множества Вп с BOt такие, что т(в"п)^.2~п и \хП" (s) —
— xoo(s)\<elm(Bo) ПРИ s?{B0 — Bn). Положим Bk = \jB"n. Тогда
множества Bk образуют убывающую последовательность, такую, что
>— 12 ^
и поэтому ml f\Bk\ = 0. Таким образом, используя следствие из
теоремы Витали — Хана — Сакса, мы можем на основании условия A)
заключить, что lim tyn(Bk) = 0 равномерно по п. Значит,
ip . [В*) ^ч фп» (в Л "Т" ^ \т (^o/i ' т \ о — я)"
Но при п->оо правая часть этого неравенства имеет предел, не пре-
превосходящий е, что противоречит условию D). Полученное противо-
противоречие доказывает C).
Возьмем теперь последовательность {в'к} множеств Bk ? 23, такую,
оо
что m(Bk) <oo F=1, 2, ...) и S = \jB'k. Тогда
j\xn(s) — xoo(s)\m(ds) =
?-1
S t
Первое слагаемое в правой части, согласно C), стремится к нулю
при п->оо и всяком фиксированном t. Второй интеграл стремится
к нулю при ?->оо равномерно по п (это вытекает из B)). Тем самым
мы доказали, что s-lim *„ = л;^ в пространстве LX(S, S, m).
Я->ОО
В следующей теореме рассматривается аналогичная ситуация для
пространства ©(Q/.
Теорема в. Рассмотрим последовательность \Тп) обобщенных функ-
функций, принадлежащих пространству D(Q/. Если lim Tn = T в слабой *
топологии пространства S)(Q)'t то lim ТЯ = Т и в сильной топологии
пространства 2)(Qy,
12 К. Иосида
178 V. Сильная сходимость и слабая сходимость
Доказательство. Сильная топология пространства 3)(Q)' опреде-
определяется (см. определение 1, гл. IV, § 7) семейством полунорм вида
рв(Т) = sup
где 33 — любое ограниченное множество в 35 (Q).
Слабая* топология пространства ©(Q/ определяется семейством
полунорм вида
pF(T) — sup |;Г(ф)|> гДе 3 — любое конечное множество в D(Q).
Таким образом, предел lim Tn-—T в слабой * топологии про-
я~»оо
странства 35 (Q)'— это в точности то же самое, что предел lim Tn =
(()'), определенный в гл. И, § 3.
Пусть теперь 23 — произвольное ограниченное множество в 5D(Q).
Тогда в области Q найдется бикомпактное множество /С, такое, что
supp(9)c/C для любого элемента ф?ЭЗи sup |DAp(#)|<oo
для всякого дифференциального оператора DJ (теорема 1, гл. I, § 8).
Поэтому, согласно теореме Асколи — Арцела, множество 33 биком-
бикомпактно в 35^ (Q). Применяя к последовательности [Тп—Т) теорему
о равномерной ограниченности, мы обнаруживаем, что для любого
е>0 существует окрестность U нуля пространства S)^(Q), такая,
что
sup |(ГЯ —
Бикомпактное подмножество 33 пространства %)K(Q) можно покрыть
конечной системой множеств вида ф,- -f- U, где ф^ ^ 33 (/ = 1, 2, . . ., k).
Следовательно,
для всех
Так как lim (Тп — Т)(ц>1)= 0 для / = 1, 2, .... k, то
Я->оо
НшG'я-Г)((р) = 0
равномерно относительно ф?23. Это и доказывает нашу теорему.
Теорема 7. Всякое рефлексивное ^-пространство X слабо сек-
секвенциально полно.
Доказательство. Пусть последовательность {л:я} элементов про-
пространства X слабо сходится. Каждая точка хп определяет с помощью
формулы Хп(х') = (хп, х') на пространстве Xs непрерывный ли-
линейный функционал Хп. Поскольку Xfs есть ^-пространство (тео-
(теорема 1, гл. IV, § 8), мы можем применить теорему о резонансе. По-
1. Слабая cxoduMocfb и слабая * сходимость 179
этому конечный предел \\тХп(х') (который существует согласно
Я-»со
условию теоремы) определяет на пространстве Xs некоторый непре-
непрерывный линейный функционал. Так как пространство X рефлексивно,
существует такой элемент хоо?Л\ что (дг^, лг')= lim Хп(х')=±
>
= lim {хп, х'), а это означает, что jeoo = w-lim хп.
Я->оо t rt->oo
Теорема 8. Пусть X — гильбертово пространство. Если после*
довательность \хп) элементов пространства X слабо сходится к л:^ ? X,
то s- \imxn = xO0 тогда и только тогда, когда lim \\xn|| = ||jc<x>J|.
Л->ОО /7->ОО
Доказательство. Необходимость следует из непрерывности нормы*
Достаточность вытекает из равенства
Действительно, при п->оо предел правой части равен || агоо |р —-
HIJPHIJP+llJP o
Слабая41 сходимость
Определение 2. Последовательность элементов {fn} простран-
пространства Xs, сопряженного нормированному линейному пространству X,
называется слабо* сходящейся, если для каждой точки х?Х суще-
существует конечный предел lim/„(#). Говорят, что последовательность
л->оо
слабо* сходится к элементу f^^X^ если lim fn(x) = fQ0(x)
1
для всех х?Х. В последнем случае мы будем писать <o'*-lim//I = /oo
П-+ОО
или nfn-^foo слабо*".
Теорема 9. (Г) Если 5-lim fn = fQO> ™ <w*A\mfn = /да; обратное,
1 со'
Л->оо
вообще говоря, неверно. B°) Если X есть ^-пространство, то всякая
слабо* сходящаяся последовательность \fn) S Xs слабо* сходится
к некоторому элементу f^^X's и ||/^||< Ит || fn||.
/7->ОО
Доказательство. A°) Первая часть этого утверждения следует
из того, что | /п (х) — /«„ (а:) | < || /л — /т ||. || х ||. Тот факт, что обрат-
обратное утверждение в общем случае неверно, обнаруживается на при-
примере, приведенном в доказательстве теоремы 1.
B°) Согласно теореме о резонансе, foa(x)= lim fn(x) есть непре-
рывный линейный функционал на X и И/оЛ^ lim ||/л||.
Теорема 10. Если X есть ^-пространство, то последователь-
последовательность [fn)CiX's слабо * сходится к некоторому элементу /то g X's
12*
180 V. Сильная сходимость и слабая сходимость
тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
A°) последовательность {||/я||} ограничена; B°) lim fn(x) = fQO(x)
П-+ОО
на всяком сильно плотном подмножестве в X.
Доказательство. Теорема доказывается аналогично теореме 3.
Сильное и слабое замыкания
Теорема 11. Пусть X — локально выпуклое линейное топологи-
топологическое пространство, М — его замкнутое линейное подпространство.
Тогда множество М замкнуто в слабой топологии пространства X.
Доказательство. Если это не так, то существует некоторая точка
хо?Х — Ж, являющаяся предельной точкой множества М в слабой
топологии пространства X. Но тогда, согласно следствию теоремы 3
из гл. IV, § 6, найдется такой непрерывный линейный функционал /0
на X, что /0(л;0)= 1 и /о(дс) = О при х?М. Поэтому х0 не может
быть предельной точкой множества М в слабой топологии простран-
пространства X.
2. Слабая компактность в рефлексивных
В-пространствах1). Равномерная выпуклость
Теорема 1. Пусть {хп}—- ограниченная по норме последователь-
последовательность элементов рефлексивного ^-пространства X. Тогда из {хп}
можно выбрать подпоследовательность [xn>}t слабо сходящуюся к не-
некоторой точке пространства X2).
Мы докажем эту теорему в предположении, что пространство X
сепарабельно, поскольку в конкретных приложениях этой теоремы
обычно приходится иметь дело с сепарабельными функциональными
пространствами. Общий случай несепарабельного пространства будет
рассмотрен в приложении.
Лемма. Если сильное сопряже;\ioe пространство X's нормирован-
нормированного линейного пространства X сларабельно, то и пространство X
сепарабельно.
1) Множество А топологического пространства X называется компакт*
ным, если любая его сеть (обобщенная последовательность) содержит под-
подсеть, сходящуюся к некоторому х?А. Если это относится'только к обычным
последовательностям, то множество называют „секвенциально компактным".
Если каждая сеть содержит подсеть, сходящуюся к некоторому х ? X, не обя-
обязательно принадлежащему Л, то множество А называют относительно ком-
компактным. В зависимости от рассматриваемой топологии говорят о сильной,
Слабой и т. п. компактности. В метрических пространствах понятия компакт-
компактности и секвенциальной компактности совпадают. Отметим, что в метриче-
метрическом пространстве для бикомпактности множества необходимо и достаточно,
чтобы оно было замкнутым и относительно компактным. — Прим. перев.
2) Здесь, таким образом, говорится о слабой относительной секвенциаль-
секвенциальной компактности ограниченных по норме множеств рефлексивного ?-про-
странства. — Прим. перев.
2. Слабая компактность в рефлексивных В-пространствах 181
Доказательство. Пусть {х'п} — счетная последовательность, сильно
плотная на поверхности единичной сферы ix' ? X's; || д:/1| = 1J про-
пространства X's. Выберем точки хп ? Xтак, что.||хя||=1 и \(xnt х'п)\^-?-
Обозначим через М замкнутое линейное подпространство простран-
пространства X, натянутое на точки последовательности \хп). Предположим,
что МфХ, и возьмем некоторый элемент хо?Х — М. Согласно
следствию теоремы 3 (теоремы Мазура), гл. IV, § 6, существует
такой элемент Хо?Х'$, что ||лго||=1, (лг0, х'о) ф 0 и {х% л:о) = О
для всех х?М. Поэтому {xnt лго) = О (п= 1, 2, ...) и, следова-
следовательно, 1/2<|(л:л, Ял) | < | (л:л, х'п) — (хп, х'о)\-\г\(хп, х'0)\, откуда
1/2 < Цл:,,!! • || АГй — лго|| = ||а:« — лго||. Но это противоречит тому, что
последовательность {х'п} сильно плотна на поверхности единичной
сферы пространства Xs. Отсюда вытекает, что М = X, и, стало быть,
линейные комбинации элементов последовательности {хп} с рацио-
рациональными коэффициентами образуют плотное множество в X. Это и
доказывает лемму.
Доказательство теоремы 1. Мы уже говорили, что простран-
пространство X предполагается сепарабельным, а потому и пространство
{x's)'s — X сепарабельно. Но тогда по предыдущей лемме простран-
пространство X's тоже сепарабельно. Выберем счетную последовательность {х'п},
сильно плотную в пространстве Xs. Последовательность {хп} огра-
ограничена по норме, поэтому последовательность {(хп, х{)} ограничена.
Следовательно, можно выбрать подпоследовательность {хПх} S {•*„} так,
чтобы последовательность {хПх, х[} сходилась. Последовательность
{(^я,. *2)} тоже ограничена, и поэтому существует подпоследователь-
подпоследовательность {хп2} с {л:,,,}, такая, что сходится последовательность {{хП2, х'2)}.
Продолжая такое построение, мы придем к последовательности 1хп ] С
?{*я,}> для которой числовая последовательность [(хп , х'\\ схо-
сходится при значениях j= 1, 2, ..., /+1. Следовательно, диагональ-
диагональная подпоследовательность 1хп } первоначальной последовательности
\хп) обладает тем свойством, что для нее сходятся числовые после-
последовательности Ыхп , лг'М при j = 1, 2, .... Поэтому, согласно тео-
теореме 3 предыдущего параграфа, для всякого х' ? X' существует ко-
конечный предел lim /хп , а:^1). Но тогда по теореме 7 предыдущего
«параграфа существует и принадлежащий пространству X предел
«Mim х„ .
1) Ссылка на теорему 3, гл. V, § 1, здесь не вполне точна. Применяя
метод, аналогичный использованному при доказательстве упомянутой теоремы,
мы можем следующим образом показать, что конечный предел Нт (хп , х'}
182 V. СильнаА сходимосН U Слабая сходимость
Теорема Мильмана
Д. П. Мильман показал, что В-пространство рефлексивно, если
оно равномерно выпукло, т. е. для любого е > 0 существует такое
6 = 6(е)>0, что из условий ||*||<1, ||у||<1 и \\х — у||>е
(л;, у ?Х) следует неравенство ||* + У11^2A—б). Всякое предгиль-
предгильбертово пространство равномерно выпукло, как видно из формулы
Известно, что пространства Lp и AР) равномерно выпуклы при
1 < р < со (см. Кларксон [1]).
Теорема 2 (Мильман [1]). Всякое равномерно выпуклое В-про-
странство X рефлексивно.
Доказательство (принадлежащее Какутани). Выберем некоторый
элемент x'q€CX'sYs* такой, что II #? 11=1. Тогда найдется последова-
последовательность {fn}?X's, такая, что ||/я||=1. <(/„)>! — *~г
(п= 1, 2, ...). По теореме 5, гл. IV, § 6, для любого п существует
такой элемент хп?Х, что
/iW=*;w=i-2 »)и nx-ii<ii*eii+i>-Bl+ji''1-
Поскольку
мы имеем lim ||^я||= 1.
Если допустить, что последовательность \хп) не сходится сильно,
то найдутся такое е >0 и такие номера я1<т1<л2<т2< ...
— < Ч < Щ < • • •. что е< || Xnk — Xmk(I (k = 1, 2, ...). Отсюда,
учитывая, что пространство X равномерно выпукло и lim ||||1
П-+ОО
мы заключаем, что Ит II хПь-\-хт 11-4^2A — 6(е))< 2. Но nk < mfc
существует при любом х'?Х'\
\ (
Первое и последнее слагаемые можно сделать сколь угодно малыми, выбирая
из {^^} элемент х^ достаточно близкий по норме к х (это возможно в силу
плотности \х^ и ограниченности норм ||^л||)> а второе слагаемое стремится
к нулю при л, т->оо. Таким образом, последовательность {{хПп, *')} фун-
фундаментальна ври всяком х' ?Х' и имеет поэтому конечный предел. — Прим.
перев.
3. Теорема Данфорда и теорема Гельфанда — Мазура 183
поэтому /„t(Je«J = /(l(|(*1«J = Jfo(/.4) и. следовательно,
2A - V
Ввиду того что jl/Л 11=1, мы получаем неравенство
что противоречит предыдущему неравенству lim II хПи-\-хт\\ < 2.
Мы доказали, таким образом, что предел s- lim лгл = лг0 суще-
Л->ОО
ствует и при этом
«=1.2....). A)
Покажем теперь, что решение уравнения A) единственно. В самом
деле, если существует элемент х0 Ф х0, удовлетворяющий уравне-
уравнению A), то из равномерной выпуклости пространства X следует, что
|| х0 + х01| < 2. Кроме того. /, (х0 + х0) - 2< (/,) (/=1.2....).
Поэтому
откуда || х0-f-х01| ^ lim 2 (l—i~l) = 2, что противоречит неравен-
ству ||
Наконец, пусть /0 — произвольная точка пространства Xs. Если
мы убедимся в том, что /о(*о) = *о(Л>)' то отсюда будет следовать,
что (Xrs)s SX и тем самым рефлексивность пространства X будет
доказана. Чтобы показать, что /0(х^ = х1(/^, возьмем вместо после-
последовательности /i, /2 /л» • • • последовательность/0, /lt ..,/„, ... и
повторим построение, проведенное выше. Это даст нам элемент х0 ? X,
такой, что
Йо||=Ь Л(*о)=<(Л) 0 = 0. 1 «••••)•
Но тогда, как показывают предыдущие рассуждения, хо = хо, и это
завершает доказательство теоремы.
3. Теорема Данфорда и теорема Гельфанда — Мазура
Определение 1. Пусть Z — открытая область комплексной пло-
плоскости. Отображение х(С)» определенное в области Z, со значениями
в некотором ^-пространстве X называется слабо голоморфным по ?
в области Z, если для каждого элемента f?Xf числовая функция
/(* (О )=<*(?)./>
переменной ? голоморфна в Z,
184 V. Сильная сходимость и слабая сходимость
Теорема 1 (Данфорд [2]). Если функция л;(С) слабо голоморфна
в области Z, то существует отображение л;'(С), определенное в области Z
и принимающее значения из X, такое, что для всякой точки С
А->оо
Иными словами, слабая голоморфность влечет за собой сильную голо-
голоморфность.
Доказательство. Пусть С — произвольная спрямляемая жорда-
нова дуга, ограничивающая замкнутую ограниченную область С, цели-
целиком лежащую в области Z. Пусть Со 6^ — ?• Обозначим через Zo
произвольную открытую область, содержащую Со» замыкание которой
лежит во внутренности области С. По теореме об интегральном пред-
представлении голоморфной функции
— l f /<*<О
Поэтому если две несовпадающие точки СоЧ~^ и Со+5" принадле-
принадлежат области Zo, то
По предположению расстояние от области Zo до кривой С положи-
положительно. Следовательно, для любого фиксированного элемента / ? X'
абсолютная величина правой части последнего равенства равномерно
ограничена, когда точки Со» Со+ Л и Со+ 5" пробегают область Zo.
Отсюда по теореме о резонансе
sud II { )-*(Со)
Ввиду полноты пространства Л' функция лг(С) оказывается сильно
голоморфной в каждой точке Со 6 ?•
Следствие I (обобщение интегральной теоремы Каши). Из силь-
сильной голоморфности функции л: (С) следует ее сильная непрерывность.
Поэтому можно естественным образом определить криволинейный
интеграл Г х(С)^С со значением из X. Можно показать, что
с
х (С) dt, = 0 для замкнутой кривой С @ — нулевой вектор про-
с
странства X).
J
с
3. Теорема Данфорда и теорема Гельфанда — Мазура 185
Доказательство. Так как всякий функционал f?X' линеен и
непрерывен, имеем
Правая часть равна нулю согласно интегральной теореме Коши. Так
как элемент / ? Хг выбирается произвольно, то в силу следствия 2
теоремы 1, гл. IV, § б, ] л;(С)й?? = О, что и требовалось доказать.
с
Из приведенного утверждения можно вывести ряд следствий, ана-
аналогичных известным теоремам теории функций комплексного пере-
переменного.
Следствие 2 (обобщение интегральной формулы Коши). Для вся-
всякой внутренней точки ?а области С
Следствие 3 (разложение Тейлора). Для всякой внутренней
точки Со замкнутой области С ряд Тейлора функции х(?) в окрест-
окрестности точки ?^=?о сильно сходится внутри круга с цент-ром в точке ?о,
целиком лежащего в области С:
где
Следствие 4 (обобщение теоремы Лиувилля). Если функция х(?)
сильно голоморфна на всей комплексной плоскости | С | < оо и
sup ||* (С) II < оо, то x(Z) представляет собой постоянный век-
|tl<oo
тор *@).
Доказательство. Взяв в качестве кривой С окружность |?| = /\
мы при г—>оо получаем
| = -gr sup ||Л(С)|| Г-Ш->0 (Й=1. 2. ...)•
Поэтому тейлоровское разложение х (С) в окрестности точки 5 = 0
Сводится к единственному постоянному члену д:@).
Следствие 4 мы используем далее для доказательства теоремы
Гельфанда — Мазура.
Определение 2. Коммутативное поле X над полем комплексных
чисел называется нормированным полем, если оно является #-про-
186 V. Сильная сходимость и слабая сходимость
странством и при этом выполняются следующие условия:
11*11=1, где е — единица умножения в поле X,
II *У II ^11* II 41УII» где ХУ — умножение в поле X.
Теорема 2 (Гельфанд [2] — Мазур [1]). Всякое нормированное
поле X изометрически изоморфно полю комплексных чисел, т. е.
любой элемент х поля X имеет вид х — 1е, где I — комплексное
число.
Доказательство. Допустим противное: существует такой элемент
х?Х, что (л: — \е)Ф0 для всех комплексных чисел ?. Так как
X — поле, ненулевой элемент (л: — Ъ,е) имеет обратный (л: — 1е)~1 ? X
Покажем, что функция (л: — Хе)*1 сильно голоморфна по X
в области \Х\ < со. В самом деле,
= /Г1 (х — (А, + A) е)~1 [е — (л: — (X + А)е)(х — Хе)~г} =
= A" (x — (k + A)e)~l {e — e + h(x — he)} —
С другой стороны, в силу условий A) ряд yM^-f-i (Ay~1)/Il, где
у = (лг— Хе)> сходится при достаточно малых значениях |А|. Умно-
Умножая этот ряд на (у — he), мы видим, что он определяет обратный
к (у — he) элемент (у — he) = y~l(e — Ау1)". Поскольку сумма
этого ряда сильно непрерывна по А, функция (л: — Хе) сильно голо*
морфна по X и ее производная1) равна (д: — Хе)
Далее, если |А|>2||л;||, то, как и выше,
(л: — Я,*) = — Ам (е — Х~1х)~1 = — X~l (e -f 2 (AT1 x)n] ,
откуда
Кроме того, функция (х — А,*), будучи непрерывной по А, ограни-
ограничена в бикомпактной области | X \ ^ 21| х \\ комплексной плоскости А.
Тогда, согласно теореме Лиувилля, (л: — Хе) обращается в по-
постоянный вектор х~1=(х — 0 • е)~х. Но, как показано выше,
5- lim (л: — А^)=0, поэтому л:" = 0, откуда е = x~lx = Qt что
невозможно.
1) Под производной здесь понимается функция типа х* (?0), фигурирую-
фигурирующая в формулировке теоремы \. — Прим. перев.
4. Слабая и сильная измеримость. Теорема Петтиса 187
4. Слабая и сильная измеримость. Теорема Петтиса
Определение 1. Пусть (S, 33, т) — пространство с мерой и x(s)—
отображение, определенное на S, со значениями из /^-пространства X.
Отображение x(s) называется слабо 23-измеримым, если для любого
элемента f?X' числовая функция / (л: ($) )={х ($), /) переменной 5
23-измерима. Отображение x(s) называется простым, если оно прини-
принимает постоянные отличные от нуля значения на каждом из множеств Bj,
образующих конечную систему непересекающихся 33-измеримых мно-
множеств, причем m(BjXoot и х($)^=0при 5?5-~^JBj. Отображениеx(s)
называется сильно ^-измеримым, если существует последовательность
\xn(s)\ простых отображений, сильно сходящаяся x(s) m-n. в. на S.
Определение 2. Функция (отображение) х($) называется сепа-
рабелънозначной, если область ее значений {a;(s);s?S} сепара-
бельна. Она называется т-почти сепарабелънозначной, если суще-
существует 93-измеримое множество Во m-меры нуль, такое, что множе-
множество {x(s)-y s?S — Во] сепарабельно.
Теорема (Петтис [1]). Для того чтобы функция х($) была сильно
33-измеримой, необходимо и достаточно, чтобы она была слабо 33-изме-
римой и m-почти сепарабельнозначной.
Доказательство. Необходимость этого условия доказывается сле-
следующим образом. Всякое сильно 93-измеримое отображение является
и слабо 93-измеримым, так как простые функции слабо 33-измеримы
и в силу сильной 93-измеримости х ($) существует последовательность
простых функций {xn(s)}> такая, что s- lim xn($) = х(s) для всех s,
Л->0О
за исключением некоторого множества ?0€^ m-меры нуль. Объеди-
Объединение областей значений функций хп($) (#= 1, 2, ...) счетно, а за-
замыкание этого множества сепарабельно и содержит область значе-
значений {x(s); s?S — 50}.
Докажем теперь достаточность. Не ограничивая общности, можно
допустить, что сама область значений {x(s); s?S) сепарабельна.
Поэтому можно считать пространство X сепарабельным: если это не
так, то вместо X можно рассматривать наименьшее замкнутое линей-
линейное подпространство, содержащее область значений функции х ($).
Покажем сначала, что числовая функция ||#($)|| 33-измерима. Для этого
мы используем лемму, которая будет доказана ниже. Эта лемма утвер-
утверждает, что пространство X', сопряженное сепарабельному В-про-
странству, удовлетворяет следующему условию:
существует последовательность \fn) ? X\ ||/я||<^1,
такая, что для всякого элемента /0 ? X', || /01| <^ 1, можно
выбрать подпоследовательность {/л,} S |/я], обладаю- ^ '
щую тем свойством, что
lim / , (х) — /0 (д:) для всех х ? X.
л'*оо
188 V. Сильная сходимость и слабая сходимость
Рассмотрим множества
A = {s; ||*(*)||<а} и Af={s; \f(x(s))\^a}.
где а — произвольное вещественное число и / ? X1. Если мы сможем
оо
показать, что А = Q А/ то в силу слабой 33-измеримости х($)
функция ||jc(s)|| будет 93-измеримой.
Очевидно, что Лс Q Af. Но, согласно следствию 2 теоремы 1,
II/IK1
гл. IV, § 6, для всякого фиксированного значения 5 существует эле-
элемент fo?X's, такой, что ||/0||=1 и fo(x(s)) = \\x(s)\\. Поэтому
имеет место и обратное включение ^4э Q А^ т. е. А = Q Л*.
ll/IKl II/IK1
оо оо
Согласно лемме, мы имеем ^ А*— {] А/ , и поэтому А = fl Л/
ll/IKl У-1 /-1
Поскольку область значений {x(s); s?S] сепарабельна, эту область
для любого целого положительного п можно покрыть счетной систе-
системой открытых шаров Sjn (J=l, 2, ...) радиуса ^ \/п. Пусть
центры сфер Sjt n находятся в точках Xjt n. Как показано выше,
функция ||х(s) — Xjt n\\ 93-измерима как функция переменной $. Сле-
Следовательно, множества Bjy п = {s ^ S; х ($) ^ SJf n) 95-измеримы и •
оо
S=llBj n. Определим функции xn(s), полагая
'"
xn(s)~ xit п, когда 5 ^ В'и п =5*, я— И BJt n.
/1
оо
Тогда, поскольку S=2^J «» Для каждой точки s?S справедливо
неравенство \\х($) — xn(s)\\< \\n. Каждая из функций хп($) сильно
S-измерима, так как множества В\п S-измеримы. Отсюда следует,
что функция х ($), равная сильному пределу последовательности {.*;„($)},
тоже сильно 23-измерима.
Доказательство леммы. Пусть последовательность {xn(s)\ сильно
плотна в пространстве X. Рассмотрим отображение /-хрл(/) =
= i/(*i). /(^а). ..-./(*!.)} единичного шара S'= {f?X'; ||/||<1}
пространства Хг в /г-мерное гильбертово пространство /2(/t) векторов
/ п \1/2
«р Ь. •-.. In) с нормой ||(|р |2, .... Ш=B1Ы2] • ПР°СТ"
ранство /2(/t) сепарабельно, поэтому для каждого фиксированного п
существует последовательность \fntk) (k= I, 2, . . .) из 5', такая,
что множество {фл(/„,^), k=l, 2, ...} плотно в образе ФлE7)
шара S'.
5. Интеграл Бохнера 189
Итак, мы показали, что для любого элемента fo?Sf можно вы-
выбрать такую подпоследовательность {/„,m/J} (я=1, 2. ...)• чт0
/о(^)|<»/л(/=1.2. ....л). Поэтому lim /я, mj| (*,) =
==/о(л:*) (* = 1» 2, . ..) и, следовательно, по теореме 10, гл. V, § 1,
lim /лт (х) = fo(x) для всех х?Х.
5. Интеграл Бохнера
Допустим, что на пространстве с мерой (S, 93, т) задана простая
функция х (s), принимающая значения в В-пространстве X. Пусть х ($)
принимает значение xi Ф 0 на множестве В^?93 (*=1, 2, ..., я),
где Bt не пересекаются, m(Bt) < оо (/== 1, 2, .... я) и, кроме того,
/ п \
х($) = 0 при s$lS—2^/)- Тогда можно определить т-интеграл
| x($)m(ds) функции х (s) по множеству S, полагая его равным
xtm (Bt). Далее с помощью предельного перехода можно построить
*-i
fit-интеграл для функций более широкого класса. Дадим теперь точ-
точные определения.
Определения. Функция x(s), определенная на пространстве с ме-
мерой (S, 93, т) и принимающая значения в В-пространстве X, назы-
называется т-интегрируемой по Бохнеру, если существует последова-
последовательность простых функций {х„($)}, сильно сходящаяся к х($) m-п. в.
в 5 так, что при этом
lim J ||х(s) — xn(s)\\nt(ds)= 0. A)
Для любого множества В ?93 т-интеграл Бохнера функции x(s)
по множеству В определяется как
Г x(s)m(ds)==s- lim f CB(s) xn(s) m(ds), B)
? л->оо J
где Св($)—характеристическая функция множества В.
Для обоснования корректности этого определения нужно убедиться
В том, что сильный предел, стоящий в правой части B), действительно
существует и что величина этого предела не зависит от выбора ап-
аппроксимирующей последовательности функций \xn(s)}.
Обоснование корректности определения. Функция x(s) сильно
93-измерима, и поэтому условие A) имеет смысл, так как 93-измери-
мость функции ||х($) — хп($)\\ была установлена в процессе доказа-
190 V. Сильная сходимость и слабая сходимость
тельства теоремы Петтиса. Предел s- lim Г хп (s) m (ds) существует,
так как пространство X полно и
П-+СО
II J xn (s) m (ds) - J xk (s) m (ds) || =
II в в II
< \\\xn(s)-xk(s)\\m(ds)<
J (xn (s) - xk (s)) m (ds)
\\xn(s)-x(s)\\m(ds) +
— xk(s)\\m(ds).
Независимость предела от выбора аппроксимирующей последователь-
последовательности вполне очевидна, так как из двух различных аппроксимирующих
последовательностей можно образовать одну последовательность, ап-
аппроксимирующую ту же самую функцию х (s).
Теорема 1 (Бохнер [1]). Для того чтобы сильно 93-измеримая
функция x(s) была m-интегрируемой по Бохнеру, необходимо и до-
достаточно, чтобы норма ||#(s)|| была т-интегрируемой.
Доказательство. Докажем необходимость условия теоремы. Мы
имеем ||*E)||<||хяE)|| + ||*($) — хп(s)\\. Из условия A) и т-ин-
тегрируемости нормы ||л;я($)|| следует, что норма ||x(s)|| тоже /^-ин-
/^-интегрируема и
11| х (s)|| m (ds) <j\\xn (s) || m (ds)+ J || x (s)- xn (s)\\ m (ds).
в в в
Более того, поскольку
J III *n (*) || -1| xk (s) || | m (ds) < J || xn (s) — xk (s) || m (ds),
в в
то в силу условия A) предел lim Г || хп (s) \\ m (ds) существует и
J || х (s) || т (ds) < lim J || xn (s) \\ m (ds).
В л->оо в
Докажем достаточность. Пусть {xn(s)\ — произвольная последова-
последовательность простых функций, сильно сходящаяся к x(s) /тг-п. в.
Введем вспомогательные функции yn(s):
*(*)> если ||
0, если \\xn(s)\\>\\x(s)\\(l-i-n-i).
Полученная последовательность простых функций {у„($)} удовлетво-
удовлетворяет неравенствам || Уя (s) || ^|| х (s) || • A -h^") и, кроме того,
5. Интеграл Вохнерй 191
lim \\x(s)— ул (s*) || ===== 0 m-п. в. Так как функция ||x(s)|| m-интегри-
л->оо
руема, то к функциям ||jc(s)— }>„($)||<1 2||#(s)||(l -\-п~х) можно при-
применить лемму Лебега — Фату; мы получим
lim f \\x(s)-yn(s)\\m(ds) = 0,
откуда следует, что функция x(s) m-интегрируема по Бохнеру.
Следствие 1. Приведенное выше доказательство показывает, что
|| х (s) \\m (ds) ^ x(s)m(ds)
i II в
и поэтому интеграл \ x(s)m(ds) m-абсолютно непрерывен в том
в
смысле, что
s- lim f x(s)m(ds) = Q.
п
Свойство конечной аддитивности Г x(s)m (ds) = V \ x(s)m (ds)
y-i
интеграла очевидно, а так как интеграл Г ||x(s)\\m(ds) о-аддитивен,
в
то и интеграл \ x(s)m(ds) а-аддитивен, т.е.
в
оо
если В=У.В> и т(В ;)< оо (j = 1, 2, ...),
л
то f x(s)m(ds)==s- lim V Гл:E)т(^).
/-1 *у
Следствие 2, Пусть ограниченный линейный оператор Т опре-
определен на В-пространстве X и действует в ^-пространство К. Если
функция x(s), принимающая значения в пространстве X, т-интегри-
руема по Бохнеру, то функция Tx(s) со значениями из К тоже
m-интегрируема по Бохнеру и
J Тх (s) m (ds) =T J x(s)m (ds).
192 V. Сильная сходимость и слабая сходимость
Доказательство. Выберем произвольную последовательность про-
простых функций {yn(s)}, удовлетворяющую условию
и *-"т уя(*) = *(*) "*-п.в.
Так как линейный оператор Т непрерывен, то | Туп (s) m (ds) =
в
= Т Г уп (s) m (ds). Более того, из непрерывности Т следует, что
l|71yJI(*)IKII7'Mly«(*)ll<FM|xE)||-(i4-/i)
и 5-lim Tyn(s)-~ Tx (s) m-п. в.
Следовательно, функции Tx(s) тоже m-интегрируемы по Бохнеру и
f Tx (s) m (ds) = s- lim f Tyn(s) m(ds) —
J П-+О0 «J
= 5-lim T { yn(s)m(ds) = T Г x(s)m(d$).
п-+°° в
Теорема 2 (Бохнер [1]). Пусть S есть я-мерное евклидово про-
пространство, 93 — семейство бэровских множеств этого пространства
и пг(В) — мера Лебега множества В. Если функция х(s) m-интегри-
руема по Бохнеру, a P(s0; а) обозначает я-мерный куб с центром so?S
и сторонами длины 2а, то
s-\\m Bа)~п Г х(s)m(ds) = х(%) для m-почти всех точек sQ?S.
Эту теорему называют теоремой о дифференцировании интеграла
Бохнера.
Доказательство. Введем обозначение
D(x\ sOt a) = Bа)"" J x(s)m (ds).
ЯE0;а)
Если {xn(s)}—последовательность простых функций, таких, что
ЛКИО + л) и m-п. в. 5-lim xn(s) = x(s), то
D(x\ s0. a) — x(sQ)=D(x — xk) s0, a)+D(xk\ % a)— x(so)>
и поэтому
ГТт ||D(x; s0, а) — д:(*0)||< lim D{\\x — xk\\\ % аL-
а ^ 0 а ^ О
+ Hi || D (х4; sQ, а) - ^ft (s0) || +1| xk (s0) - х ($0) ||.
*0
5. Интеграл Бохнера 193
Первый предел в правой части содержит интеграл Лебега от число-
числовой функции и m-п. в. равен ||x(s0) — xk(s0)\\. Второй член m-п. в.
равен нулю, так как функция xk(s) простая. Следовательно,
Ш|| D(*; sOi а)—х(s0)||< 21|xk(s0)- х
>0
для m-почти всех значений sQ. Полагая &~>оо, мы получаем утвер-
утверждение теоремы 2.
Замечание. В отличие от известных свойств числовых функций
произвольная, а-аддитивная и m-абсолютно непрерывная функция
множества, принимающая значения в некотором ^-пространстве, не
обязательно должна быть представима в виде некоторого т-интеграла
Бохнера. Это подтверждается следующим примером.
Пример. Пусть 5 = [0, 11, 23 — семейство бэровских множеств
отрезка [0, 1], т(В)—мера Лебега множества В?23. Рассмотрим
совокупность т [1/3, 2/3] всех вещественных ограниченных функций
? = ?(в), заданных на замкнутом интервале [1/3, 2/3], с нормой
||||| = sup 11(9)|. Определим на отрезке [0, 1] функцию x(s) = |(9; s)t
в
принимающую значения из множества т [1/3, 2/3]:
графиком на s, у-плоскости вещественной функции
y=yQ($)t равной 6-координате |@; s) функции х(s),
является ломаная линия, соединяющая три точки
(О, 0), (в, 1) и A, 0) в указанном порядке.
Тогда если 5 Ф s't то
t^ e. функция х (s) удовлетворяет условию Липшица (по норме).
Рассматривая выражение (x(s) — x(s')) как функцию интервала
с концами s и $', принимающую значения из множества т [1/3, 2/3],
мы можем, как это обычно делается, построить а-аддитивную т-абсо-
лютно непрерывную функцию множества х(В), определенную на
бэровских множествах отрезка [0, 1].
Если функция х(В) может быть представлена в виде т-интеграла
Бохнера, то, как вытекает из предыдущей теоремы, функция х (s)
должна быть ли-п. в. сильно дифференцируемой 1) по 5. Обозначим
соответствующую сильную производную х (s) через т](9; s); ее зна-
значения принадлежат множеству т [1/3, 2/3]. Тогда для всякого
') Здесь и далее дифференцируемое™ понимается как существование
Предела х' (s)« Hm —^—^—I LL, в зависимости от топологии, в ко-
торой рассматривается этот предел, возникают понятия „сильной", „слабой*
(к т. п.) дифференцируемости и производной х' (s). — Прим. перев.
13 К. Иосида
194 Приложение к гл. V. Слабые топологии и сопряженность
9 ?[1/3, 2/3] /и-п. в. по переменной 5 выполняется условие
0= lim ||*~!(*(* + *) —*(*)) —*'(*)Н>
s + h) — ? (в; *)) —
Это означает, что функция ?F; s) дифференцируема m-п. в. по 5
при всех значениях в ?[1/3, 2/3], что противоречит ее построению.
Литература к главе V
Банах [1], Данфорд—Шварц [1], Хилле — Филлипс [1].
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ V
Слабые топологии и сопряженность
в локально выпуклых линейных
топологических пространствах
Изложение построено так, что читатель может пропустить это
приложение при первом чтении и приступить непосредственно к изу-
изучению следующих глав.
/• Поляры
Определение. Пусть X — локально выпуклое линейное топологи-
топологическое пространство. Для каждого множества М ?^ X определим его
(правую) поляру М° формулой
AP=lx'?X'; sup К*, *'>!'<
Аналогично для всякого множества М' ? Хг определим его (левую)
поляру °М' формулой
*М'=\х?Х\ *vlv\(x.x')\<\\=X[\{M'?% B)
где пространство X рассматривается как вложенное во второе со-
сопряженное (x's)'s. За фундаментальную систему окрестностей нуля
в X\ определяющих слабую топологию пространства X, можно при-
принять систему множеств вида °М\ где М' пробегает все конечные
множества из X'. Фундаментальной системой окрестностей нуля
в слабой * топологии пространства Xе служит система множеств
вида М°, где М пробегает все конечные множества из X. Наконец,
фундаментальной системой окрестностей нуля, определяющих сильную
топологию пространства Х\ является семейство множеств вида Ж0,
где М пробегает совокупность всех ограниченных множеств из X.
/. Поляры 195
Предложение. Поляра М° представляет собой уравновешенное
выпуклое множество, замкнутое в слабой * топологии пространства X'.
Доказательство. Линейный функционал f(x') = (x, x') непре-
непрерывен в слабой * топологии пространства Хг при любом фиксиро-
фиксированном значении х?Х. Поэтому множество М°= Г\ {т}° замкнуто
в слабой * топологии пространства X'. Уравновешенность и выпуклость
множества М° очевидны.
Об одном приложении теоремы Тихонова
Теорема 1. Пусть X — локально выпуклое линейное топологиче-
топологическое пространство и А — некоторая выпуклая и уравновешенная
окрестность нуля в X. Тогда поляра А0 бикомпактна в слабой*
топологии пространства X'.
Доказательство. Обозначим через р(х) функционал Минковского
множества А. Для произвольных фиксированных значений х ? X
рассмотрим на комплексной плоскости С шары Sx= {z?C; |z|<^
<!/? (x)} и их тихоновское произведение S= Ц Sx. Множество S,
согласно теореме Тихонова, бикомпактно. Всякий элемент х1?Х'
определяется совокупностью значений х'(х)= (х, х')> х?Х. Так
как х?(р(х)-\-е)А при любом е > 0, то из условия х'?Х' сле-
следует, что (х, х') = ((р(х)-{-&)а, х')> где а — некоторый элемент
из А. Поэтому если х'?А°, то \х'(х)\^р(х)-\-г, т. е. x'(x)?Sx.
Таким образом, множество А0 можно рассматривать как подмноже-
подмножество в 5. Более того, нетрудно проверить, что топология, индуциро-
индуцированная на поляре А0 слабой* топологией пространства Х\ совпадает
с топологией, индуцированной на множестве А0 топологией тихо-
тихоновского произведения 5= JJ Sx.
Итак, для нашей цели достаточно показать, что А0 — замкнутое
подмножество в S. Допустим, что у = ТТ у(х) — некоторый элемент
замыкания множества А0 в слабой * топологии пространства S. Возь-
Возьмем произвольное е > 0 и любые две точки xv x2?X. Совокупность
всех #== JT u(x)?S> таких, что
?Х
образует окрестность элемента у в пространстве S. Эта окрестность
содержит некоторую точку х'?А°, и, поскольку хг—непрерывный
линейный функционал на X, имеют место неравенства
13*
196 Приложение к гл. V. Слабые топологии и сопряженность
Отсюда видно, что у(хх-{-х2) = у (х{)-\- у (х2)- Точно так же можно
убедиться в том, что у фх) = $у (*), поэтому у— линейный функ-
функционал на X. Из представления y—J\y(x)?S следует, что
IУ (х) I ^ Р (•*)• Функционал р(х) непрерывен, поэтому у (х) — это
непрерывный линейный функционал, т. е. у?Х'. С другой стороны,
у представляет собой предельную точку множества А0 в слабой * топо-
топологии, и, следовательно, для любого е > 0 и произвольной* а ? Л
найдется такой элемент xf ? Л°, что | у (а) — (а, х') \ ^ е. Значит,
|У(в)|<К«. *')| + е<1+е, откуда |у(а)|<1. т. е. у?А*.
Следствие. Единичный шар S*= [x'?Х'\ \\х'\\<СЦ простран-
пространства Xs, сопряженного нормированному линейному пространству Xt
бикомпактен в слабой* топологии пространства X'.
Об одном приложении теоремы Мазура
Теорема 2. Пусть М — выпуклое уравновешенное замкнутое мно-
множество в локально выпуклом линейном топологическом простран-
пространстве X. Тогда Af = °(M°).
Доказательство. Ясно, что М ? °(Ж0). Если существует элемент
jco?o(MH—уИ, то по теореме Мазура (теорема 3, § 6, гл. IV) най-
найдется элемент х'0?Х', такой, что ^0, л^) > I и |(*, д:^|<1 для
всех х ? Ж. Последнее неравенство показывает, что x'Q ? М°, поэтому
элемент х0 не может принадлежать множеству °(М°).
2. Бочечные пространства
Определение. Пусть X — локально выпуклое линейное тополо-
топологическое пространство. Всякое выпуклое уравновешенное поглощаю-
поглощающее замкнутое множество такого пространства называется бочкой.
Если каждая бочка пространства X является окрестностью нуля, то
пространство X называется бочечным.
Теорема 1. Если локально выпуклое линейное топологическое
пространство X не является множеством первой категории, то X
представляет собой бочечное пространство.
Доказательство. Пусть Т — некоторая бочка пространства^.
Так как множество Т — поглощающее, X можно представить в виде
объединения замкнутых множеств пТ = [nt\ /?7*}, где п принимает
все положительные целые значения. Если X не является множеством
первой категории, то по крайней мере одно из множеств пТ содержит
внутреннюю точку. Следовательно, и множество Т содержит некото-
некоторую внутреннюю точку х0. Если *0 = 0, то Т оказывается окрестно-
окрестностью нуля в X. Если же л;0=?0, то —^о€^« потому что множество
Т — уравновешенное. Поэтому точка —х0, так же как и х0, является
внутренней для Т. Отсюда вытекает, что множество Г, будучи вы-
2. Бочечные пространства 197
пуклым, содержит О = (лго — хо)/2 как внутреннюю точку, и теорема
доказана.
Следствие 1. Все локально выпуклые F-пространства и, в частно-
частности, все ^-пространства и пространство б(/?Л) являются бочечными.
Следствие 2. Метрическое линейное пространство 3)^ (/?") является
бочечным.
Доказательство. Пусть {ф^} —последовательность элементов
пространства ?># (/?"), фундаментальная относительно функции рас-
расстояния
Функции D*q>k(x) последовательности {D*q>k(x)} при любом диффе-
дифференциальном операторе D; равностепенно непрерывны и равномерно
ограничены, т. е.
lim sup | DJq>k (xl) — D% (л:2) | = 0 и sup | DJ(pk (x) | < oo.
Это следует из неравенства sup 1-х—D*q>k (x) < oo, справедли-
вого для всякой координаты xs. По теореме Асколи — Арцела суще-
существует подпоследовательность \О^щ> (л:)}, равномерно сходящаяся на
множестве К- При помощи диагонального процесса мы можем по-
построить такую подпоследовательность {qv (x)} последовательности
{ф*С*0Ь что последовательность [п^щ* (х)} равномерно сходится на
множестве К при любом дифференциальном операторе DK Поэтому
lim DJq>k" (x) — DJq>(x), где q>(x)= lim щ» (х),
причем эти предельные переходы равномерны на множестве К. Это
Означает, что метрическое пространство 3)^(/?л) полно и поэтому не
может быть множеством первой категории.
Замечание. A) Из приведенного доказательства следует, что вся-
всякое ограниченное множество пространства ?)(/?") относительно би-
бикомпактно в топологии пространства 55(/?л). В самом деле, любое
ограниченное множество 5cJ) (Rn) должно содержаться в некотором
пространстве вида 35л-(/?л), где К — бикомпактное множество в /?".
Кроме того, из ограниченности В вытекает равномерная ограничен-
ограниченность и равностепенная непрерывность функций {DAp; ф??} при
любом операторе DK B) Совершенно аналогично можно убедиться
втом, что всякое замкнутое множество пространства (?(Rn) относи-
относительно бикомпактно в нем.
Следствие 3. Пространство 3)(/?л) является бочечным.
Доказательство. Пространство 3)(/?л) является индуктивным пре-
пределом пространств {3)А'(Я'1)Ь к<>гДа К пробегает все бикомпактные
198 Приложение к гл. V. Слабые топологии и сопряженность
подмножества пространства Rn. Поэтому наше утверждение вытекает
из следующего предложения.
Предложение. Допустим, что некоторое локально выпуклое ли-
линейное топологическое пространство X является индуктивным пре-
пределом своих бочечных подпространств Ха, <х?Л. Тогда X — бочеч-
бочечное пространство.
Доказательство. Обозначим через V некоторую бочку простран-
пространства X. В силу непрерывности тождественного отображения Та: х-+х
подпространства Ха в X прообраз Г (V) = V П Ха, так же как и
множество V, замкнут. Поэтому множество V П Ха образует бочку в Ха.
Поскольку пространство Ха—бочечное, множество V f| Ха является
окрестностью нуля в Ха. Следовательно, множество V является окрест-
окрестностью нуля в X, ибо X — индуктивный предел подпространств Ха.
Теорема 2. Пусть X — бочечное пространство. Тогда определен-
определенное в § 8 гл. IV отображение x~>Jx пространства X в (х'3)'$ является
топологическим отображением пространства X на JX, при условии,
что в JX взята его относительная топология как подмножества про-
пространства (x's)'s.
Доказательство. Рассмотрим в пространстве Xs произвольное
ограниченное множество В'. Тогда поляра (В')° = [х" ? {Х%\
sup | {x't х") | ^ 1} множества Bf является окрестностью нуля
х'?В'
в \Xs)s и, кроме того, выпуклым уравновешенным и поглощающим
множеством, замкнутым в (x's)s*
Поэтому (В')° П X = °(В') — это выпуклое уравновешенное и по-
поглощающее множество в X. Как поляра множество 0(?0 замкнуто
в слабой топологии пространства X и, следовательно, замкнуто
в исходной топологии X. Таким образом, множество °(?') = (?')° П ^
образует бочку в пространстве X и поэтому является окрестностью
нуля в X. Отсюда следует, что отображение x-+Jx пространства X
в \Хф непрерывно, так как топология пространства (x's)'s опреде-
определяется фундаментальной системой окрестностей нуля вида (В')°, где В'
пробегает все ограниченные множества пространства X'.
Пусть теперь U — произвольная выпуклая уравновешенная и замк-
замкнутая окрестность нуля в X. Тогда, как показано в предыдущем
параграфе, U = %U°). Значит, JU = JX (\(U°)°. С другой стороны,
U0—ограниченное множество пространства XSt ибо для всякого
ограниченного множества В cz X существует такое а > 0, что аВс(/
и, следовательно, (aBf^U0. Это означает, что множество (t/°)°
является окрестностью элемента О^ЛГ^- Поэтому образ JU окрест-
окрестности U точки О^ЛГ представляет собой окрестность нуля подпро-
подпространства JX в его относительной топологии как подмножества про-
пространства (X's)'s.
3. Полу рефлексивность и рефлексивность 199
3. Полу рефлексивность и рефлексивность
Определение 1. Локально выпуклое линейное топологическое
пространство X называется полурефлексивным, если всякий непре-
непрерывный линейный функционал, заданный на пространстве Xfs% может
быть представлен в виде
(х, х'), где х — некоторый элемент из X. A)
Таким образом, пространство X полурефлексивно в том и только
в том случае, когда
v ( v'V /о\
•A iff \у\. S/W*' \")
Определение 2. Локально выпуклое линейное топологическое
пространство X называется рефлексивным, если
Х={Х%. C)
Согласно теореме 2 предыдущего параграфа, справедливо
Предложение 1. Полурефлексивное бочечное пространство реф-
рефлексивно.
Из определения 2 вытекает
Предложение 2. Пространство, сильно сопряженное рефлексив-
рефлексивному пространству, рефлексивно.
Теорема 1. Для того чтобы локально выпуклое линейное тополэ-
гическое пространство X было полурефлексивным, необходимо и
достаточно, чтобы всякое замкнутое ограниченное множество в X
было бикомпактным в слабой топологии этого пространства.
Доказательство. Пусть пространство X полурефлексивно, и
пусть BczX— некоторое замкнутое ограниченное множество. Рас-
Рассмотрим множество N = М аВ н обозначим через Conv (TV) выпук-
выпуклую оболочку множества N, т. е. совокупность всех выпуклых ком-
бинаций х = 2 ajnj I ay > 0. 2 ay = * • * = 1 • 2» • • • ) элементов rij
множества ЛЛ Замыкание Т = Conv(N)a множества Conv(N) обра-
образует в пространстве X замкнутое выпуклое уравновешенное и огра-
ограниченное множество. Но тогда по теореме 2 из § 1 этого приложе-
приложения Т = °(Т°). Множество Т ограничено в X, поэтому Г°—окрестность
нуля в X's. Следовательно, по теореме 1 из § 1 этого приложения
множество (Г0H бикомпактно в слабой * топологии пространства (Xs)w*>
Отсюда, учитывая полурефлексивность пространства X, мы заклю-
заключаем, что множество Т = °(Т°) бикомпактно в слабой топологии про-
пространства X.
Обратимся теперь к доказательству достаточности. Выберем произ-
произвольный элемент х" (*(х'3)'3. Из сильной непрерывности х на Xs
200 Приложение к гл. V. Слабые топологии и сопряженность
следует, что в пространстве X существует ограниченное множество В%
такое, что
\{х\ /)|<1 для всех х'?В°, т. е. х (Я0H.
Мы можем, не ограничивая общности, считать множество В выпуклым
уравновешенным и замкнутым в X. По условию теоремы множество В
бикомпактно в слабой топологии пространства X. Следовательно,
В — Bwa% где Bwa обозначает замыкание В в слабой топологии про-
пространства X. Поскольку Xw можно вложить в (X's)'w* как линейное
топологическое подпространство, справедливо включение (В0H :э
^Bwa = B. Поэтому остается показать, что х" — предельная точка
множества В в пространстве (x's)w*- Рассмотрим отображение
*-> ф (*) = {(*, х[у (х, .*:?)} пространства X в /2(я), где
х[ х'п?Х'. Обраа <р(?) выпуклого и слабо бикомпактного мно-
множества В будет при этом выпуклым и бикомпактным. Если элемент
Ux'v x"y .... (х'п% х")} не принадлежит <р(?), то по теореме Ма-
зура найдется такая точка {сх ся}^Р(п), чт0
sup 12 с, <*. х[) | < 1 и B ct (x'h />) > 1 ¦
Но тогда ^c,xf,f В0, а это означает, что х!' не принадлежит мно-
i l
жеству (В0H.
Теорема 2. Для того чтобы локально выпуклое линейное топо-
топологическое пространство X было рефлексивным, необходимо и до-
достаточно, чтобы оно было бочечным и чтобы всякое ограниченное
замкнутое множество в нем было бикомпактно в слабой топологии
пространства X. В частности, пространства 2)(/?Л) и ®(/?л) рефлек-
рефлексивны.
Доказательство. Достаточность сформулированных условий уже
доказана. Докажем, что первое условие необходимо.
Пусть Т — некоторая бочка пространства X. Мы должны пока-
показать, что Т поглощает всякое ограниченное множество В простран-
пространства X, т. е. В0 id аТ° (а > 0). В самом деле, если это так, то
множество Т° ограничено в X's% поскольку В0 — окрестность точки
0?Л^. Согласно предложению и теореме 2 из § 1 этого приложе-
приложения, Т = °(Т°). По условиям теоремы пространство X рефлексивно,
поэтому 0(Т°) = (Г0H и, следовательно, T = (T°f. Таким образом,
бочка Т является окрестностью точки Q?X = (x's)'s. Поэтому про-
пространство X — бочечное.
Убедимся теперь в том, что всякая бочка Т пространства X
поглощает любое ограниченное множество В с: X. По усло-
условиям теоремы замкнутое выпуклое и уравновешенное множество
4. Теорема Эберлейна — Шмульяна 201
/С —Conv/ U а/?) бикомпактно в слабой топологии Л'. Положим
\|а|<1 /
К = ^J /гДГ и обозначим через р(х) функционал Минковского множе-
ства К. Тогда, поскольку К слабо бикомпактно в К, функционал
р(х) определяет в К норму. Это означает, что система (а/С) (а > 0)
образует фундаментальную систему окрестностей нормированного
линейного пространства К и К является S-пространством, потому
что множество К бикомпактно. Следовательно, пространство К—бо-
К—бочечное. С другой стороны, так как К ограничено в X, топология,
определяемая в пространстве К нормой р(х), сильнее, чем относи-
относительная топология К как подмножества пространства X. Множество Т
как бочка пространства X замкнуто в X. Следовательно, множество
Т [\Y замкнуто в Y относительно топологии, определяемой нор-
нормой р(х). Поэтому множество T(]Y— бочка /^-пространства К, и,
следовательно, оно является окрестностью нуля в ^-пространстве К.
Таким образом, мы доказали, что Т (]Y и тем более Т поглощает
множество /СЭВ.
4. Теорема Эберлейна — Шмульяна
Эта теорема имеет ряд очень важных приложений.
Теорема (Эберлейн — Шмульян). Для того чтобы 5-простран-
ство X было рефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы вся-
всякая сильно ограниченная последовательность его элементов содержала
подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой точке прост-
пространства X.
Для доказательства нам потребуются следующие две леммы.
Лемма 1. Если сильно сопряженное X's к ^-пространству X
сепарабельно, то и само пространство X. сепарабельно.
Лемма 2 (Банах). Для того чтобы линейное подпространство М'
сопряженного Хг к В-пространству X было замкнуто в слабой*
топологии, необходимо и достаточно, чтобы М' содержало все слабо*
предельные точки всякого сильно ограниченного подмножества из М'.
Лемма 1 уже доказана в § 2 гл. V.
Необходимость условия леммы 2 очевидна; остается доказать его
достаточность.
Доказательство (Хилле — Филлипс [1]). Из условия следует, что
множество М' сильно замкнуто. Пусть точка x'Q(fcM'. Можно пока-
показать* что для всякой постоянной С, удовлетворяющей неравенству
0<С< inf || хг — д:Л|, найдется элемент х^Х, такой, что Ц*о||<>
х* ?М.'
<1/Си
(jc0> лф = 1. (х0, *') = 0 для всех х'?М'. A)
202 Приложение к гл. V. Слабые топологии и сопряженность
Отсюда следует, что сильно замкнутое множество М' должно содер-
содержать все свои слабо* предельные точки.
Для доказательства существования х0 возьмем возрастающую по-
последовательность чисел {Сл}, такую, что С, = Си 1ппС/1 = оо.
/1->ОО
Тогда найдется конечное подмножество ах единичного шара 5 = {л: ? X;
||л:||<;1}, такое, что из неравенств Цл:'— х'о||<;С2 и sup |(лг, х')-~
х?о
— (л:, ^о)|^^ слеДУет» что х'^М'. Действительно, если это не
так, то каждому конечному подмножеству а шара S соответствует
у у
элемент х'а ? М\ такой, что
X \ О
Эти множества а мы можем частично упорядочить с помощью отно-
отношения включения; обозначим слабые* замыкания множеств [х'а,; о'>-о\
через N'Q. Ясно, что множества N'Q образуют центрированное семей-
семейство. Но в то же время, поскольку множество М' содержит слабо*
предельные точки всех своих сильно ограниченных подмножеств, из
следствия теоремы 1 § 1 этого приложения вытекает, что множество
слабо* бикомпактно. Следовательно, N'g сг Мгс, при С' = С2 + || х0\\
и поэтому найдется элемент x[?[]N'ac: М'. Значит, supl/л:, J^[)—
— (x' xo) I ^ ^г 0ТКУла || х[ — х'о || < Сг вопреки предположению
О < Cj < inf || л:' — x'J\. Итак, множество о{ существует.
х' ^ М.'
Повторяя эти рассуждения, мы можем построить последователь-
последовательность конечных подмножеств ov a2, ... шара S, такую, что
если ||*'—*?||<СЛ и sup|(x, x')-(x, x^
(/=1, 2, .... k— 1), то х'$М'.
Но тогда, поскольку ПтС/ = оо, мы видим, что если
/->оо
|(лг, х*) — (х9 ^)|<С для всех x^^-^jOj (y=l, 2, . ..).
то х'(?М'. Занумеруем последовательно точки множеств ^
(J = 1, 2, . . . ); мы получим последовательность {хп}. Тогда
lim хп = 0 и, следовательно, L (xf) == {{хп, х')} — это ограничен-
ное линейное отображение пространства X's в ^-пространство (с0).
4. Теорема Эберлейна — Шмульяна 203
Мы знаем, что точка {(хп, х'о)} €(со) лежит на расстоянии > С от
линейного подпространства L(M'). Поэтому, согласно следствию тео-
теоремы 3, гл. IV, § 6, существует непрерывный линейный функционал
К}€(*о)' = ('1). такой> чт0
и 2 ап (хп> х') = 0 для всех х'?М'.
ОО
Ясно, что элемент хо= ^апхп удовлетворяет условию A).
Следствие. Пусть (л:', x'^ = F(x')— линейный функционал, оп-
определенный на сопряженном X' к 5-пространству X. Если множе-
множество N(F) = N(x'o)=[x'?X'\ F(x') = Q] слабо* замкнуто, то
существует элемент хо?Х, такой, что
F (*') = (*'. •<) = (лг0, х') для всех х'?Х\ B)
Доказательство. Предположим, что N(F) Ф X', так как в про-
противном случае мы могли бы взять л:0 = 0. Пусть x'Q?X' — такой
элемент, что F(xQ=l. Так же, как в лемме 2, можно показать
(см. A)), что найдется элемент хо?Х, для которого
<*<>• хо)=1 и (*о. ^) = ° Для всех x'?N(F). C)
Поэтому для всякой точки хг ? X' функционал
удовлетворяет условию F(y') — Qt т. е. y'?N(F). Отсюда, исполь-
используя C), мы получаем условие B).
Доказательство теоремы. Необходимость. Пусть \хп) — после-
последовательность из X, такая, что ||#я|| = 1. Сильное замыкание Хо
линейного подпространства, натянутого на элементы последователь-
последовательности {хп}у является сепарабельным /^-пространством и, следовательно,
бочечным пространством. Покажем, что пространство Хо рефлексивно.
Всякое ограниченное сильно замкнутое множество Во в Хо является
также ограниченным и сильно замкнутым в X, поэтому Во биком-
бикомпактно в слабой топологии X, так как X по предположению реф-
рефлексивно. В то же время Хо как сильно замкнутое линейное под-
подпространство пространства X замкнуто в слабой топологии X (тео-
(теорема 3, гл. IV, § 6). Следовательно, множество Во бикомпактно
в слабой топологии пространства Хо. Поэтому, согласно теореме 2
предыдущего параграфа, пространство Хо рефлексивно. Таким
204 Приложение к гл. V. Слабые топологии и сопряженность
образом, ХО = ((ХОУУ. По лемме 1 пространство (X0)'s сепарабельно.
Пусть {х'\—сильно плотная последовательность в пространстве (X0)'s.
Тогда слабая топология пространства Хо определяется счетной
системой полунорм рт(х) — |(л\ л:^)| (т=1, 2, ...)• Отсюда не-,
трудно получить, что последовательность {хп}, бикомпактная в сла-
слабой топологии Хо, слабо секвенциально компактна и в Хо, и в X.
Итак, остается лишь выбрать из {хп} такую подпоследовательность
{хП'}> чтобы для т=19 2, ... существовал конечный предел
lim (*„,, х'т).
л'->оо
Достаточность. Обозначим через М произвольное ограничен-
ограниченное множество в Л* и предположим, что всякая бесконечная после-
последовательность элементов множества М содержит подпоследователь-
подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому элементу пространства X,
Мы должны показать, что замыкание М множества М в слабой
топологии пространства X слабо бикомпактно в Л\ В самом деле,
тогда пространство X будет рефлексивным по теореме 2 предыду-
предыдущего параграфа. Поскольку Xwcz(xyw*, мы имеем M = M(]Xwt
где через М обозначено замыкание множества М в слабой* тополо-
топологии пространства (X'XW,. Обозначим через S'r шар радиуса г > 0
с центром в точке 0 ^ X's, При помощи соответствия
} 6 П h'>
где
Ix' — lz; IsKsupK*', m)\h
множество М можно отождествить с некоторым замкнутым подмно-
подмножеством тихоновского произведения JJ 1Х'. По теореме Тихонова
множество Д 1Х' бикомпактно, и поэтому М бикомпактно в слабой*
топологии пространства {X'^f. Остается, таким образом, лишь убе-
убедиться в том, что М s Xw.
Пусть *о€(^?)' — предельная точка множества Ж в слабой*
топологии пространства (ЛО'. Чтобы доказать включение х^?Хт%
нужно только показать, что множество N {х^ = [х' ? Х'\ (хг, л^)=0}
слабо* замкнуто. Действительно, если это так, то по доказанному
выше следствию найдется такой элемент хо?Х, что (*', *?) = (д:0, х')
4. Теорема Эберлейна — Шмульяна 205
для всех х* ?Х1. Сначала мы покажем, что
'
для каждого конечного множества x'v xfv .. ., х'п про-
пространства X' существует такой элемент z ?М, что
Это утверждение доказывается следующим образом. Так как эле-
элемент x'q входит в слабое* замыкание множества М, найдутся такие
гтеЖ что
К**- *',)-
г
Согласно предположениям, из \zm) можно выбрать подпоследова-
подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому элементу z ? Xt поэтому
z ? М> так как слабое замыкание множества М содержится в М.
Таким образом, утверждение D) доказано.
Далее, если для всякого г>0 множество N(xnA{\S'r слабо*
замкнуто, то, согласно лемме 2, и множество М(лг^) слабо* замкнуто.
Пусть у'о принадлежит слабому* замыканию множества N(x'^nS[9
Нужно показать, что Уц?М(х'?){\3[' С этой целью возьмем произ-
произвольное е > 0 и построим три последовательности
{*„} с Ж, {*„} s м и {У;} s n (^) n 5;
следующим образом: согласно D), можно выбрать zx?M так, что
(zv Уо)= (Уо* хо)' ^ак как г\ пРинаДлежит слабому замыканию
множества Ж, можно выбрать хх?М так, что \{xv у'^ — (zv Уо)|"^
•^е/4. Наконец, поскольку у'о лежит в слабом* замыкании множе-
множества N (х^\ П 5[, можно найти элемент y[?N (jiQ f| S[, такой, что
\(xv y[) — (xv у^\^г/4. Повторяя эти рассуждения и принимая
во внимание D), мы получим последовательности
{2„}=^. {хп)яМ и {y'n)GN(x)nS'v
обладающие такими свойствами:
к*.. у:>-<*.. /.>|<т (*=о. 1 «-о. E)
206 Приложение к гл. V. Слабые топологии и сопряженность
Отсюда видно, что
| V4)' о/ \ /* Уп/1 "^ 4 4 2 ^ '* ^ '
Так как {хп} с М, из {л:л} можно выбрать подпоследовательность,
слабо сходящуюся к некоторой точке х?М. Без ограничения
общности можно допустить, что сама последовательность [хп] слабо
сходится к х ? М. Отсюда на основании E) мы заключаем, что
\(х, у')|^-е/4. Так как w-\\mxn = х, то по теореме Мазура (тео-
п
рема 2, гл. V, § 1) существует выпуклая комбинация tf=2<iyJCy
(<Ху>0, 2cty=1)» такая, что Цл: — ii||^e/4. В силу F) получаем
Следовательно,
Так как е>0 произвольно, то (y'Qt jcJ) = O, откуда о(о)
Вспоминая, что множество 5J замкнуто в слабой* топологии, мы,
наконец, получаем у'0€М(х'{Л(\8[.
Замечание. Существует обширная литература, посвященная сла-
слабым топологиям и сопряженности в 5-пространствах; см., например,
библиографию в книге Данфорда —г Шварца [1].
Параграфы 1—3 этого приложения дают модифицированное и
упрощенное изложение материала, имеющегося в книгах Бурбаки [1]
и Гротендика [1]. Интересно отметить, что приемы, необходимые
для доказательства столь глубокой теоремы Эберлейна [1] — Шму-
льяна [1], имеются в той или иной форме уже в книге Банаха [1].
ГЛАВА VI
Преобразование Фурье и дифференциальные
уравнения
Преобразование Фурье представляет собой один из сильнейших
методов исследования в классическом и современном анализе. В по-
последние годы область применения метода Фурье значительно расши-
расширилась в связи с развитием теории обобщенных функций Соболева [1]
и Л. Шварца [1]. В работах Эренпрейса, Мальгранжа и особенно
Хёрмандера [6] этот метод успешно применяется к исследованию ли-
линейных дифференциальных уравнений с частными производными.
/. Преобразование Фурье быстро убывающих функций
Определение 1. Обозначим через ©(/?") совокупность всех функ-
функций / ?C°°(Rn)t удовлетворяющих условию
sup | Л>7(*)| < оо (х*= Д xty A)
при произвольных а = (а,, а2 ал) и р==(рр р2 рл), где
OLj, Py — неотрицательные целые числа. Такие функции мы будем на-
называть быстро убывающими (при л:->оо).
Пример. Функция ехр(—1*|2) и все функции /?Со°(/?л) —
быстро убывающие.
Предложение 1. Множество ®(/?л) с алгебраическими опера-
операциями сложения функций и умножения функций на комплексные
числа и с топологией, определяемой системой полунорм вида
p(f)= sup \P(x)Daf(x)\t где Р(а:) — полином, B)
x?Rn
образует локально выпуклое линейное топологическое пространство.
Предложение 2. Множество ©(/?") замкнуто по отношению
к действию линейных дифференциальных операторов в частных про-
производных с полиномиальными коэффициентами.
Предложение 3. Множество C™(Rn) плотно в пространстве ®(/?л)
в топологии в(#л).
Доказательство. Пусть /6®(ЯЛ); выберем такую функцию
(/?"), что ф(л:)=1 при |*|<1. Тогда при любом е>0
208 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
имеем fe(x\==f(x)ty(ex)?C™(Rn). Применяя формулу Лейбница
дифференцирования произведения функций, мы видим, что выражение
представляет собой линейную комбинацию конечного числа членов
вида
сР/(х).(г)™[оЦ(у)}у_„. где
и слагаемого Оа/(*)(ф(елг)— 1). Отсюда видно, что при е|0 функ-
функция /е(лг) стремится к f(x) в топологии пространства ® (/?"),
Определение 2. Для всякой функции / ? 3 (Rn) определим ее
преобразование Фурье f формулой
J е-'*. *>f(x)dx% C)
п
Б^у и
21
dx = й?лг, й?лг2 .. . ^лгл. Функция
J e*«- ^F)rfg. D)
где g* ^ © (Лл). называется обратным преобразованием Фурье
функции g.
Предложение 4. Преобразование Фурье /->/ линейно и непре-
непрерывно отображает пространство в(/?л) в себя. Обратное преобра-
преобразование Фурье g->g также отображает ®(/?") в себя линейно и
непрерывно.
Доказательство. Формально дифференцируя C) под знаком
интеграла, мы получаем
J €-*&»(—t)la***f(x)dx. E)
Интеграл в правой части, согласно A), сходится равномерно
по |, поэтому такое дифференцирование допустимо. Следовательно,
?л). Интегрируя по частям равенство C), мы находим, что1)
J F)
Отсюда
|Р1||р/2//Eлри)^. G)
!) Здесь и далее подразумевается \ . — Прим. перев.
/. Преобразование Фурье быстро убывающих функций 209
а это и означает, что отображение /->/ непрерывно в топологии
пространства © (Rn). Отображение g-> g рассматривается аналогично.
Теорема 1 (формула обращения Фурье). Имеет место следующая
формула обращения Фурье:
f(x) = Bn)-n* J «"*'*>/<»<*6 = /(*). (8)
т. е. /=/ и аналогично / = /. (80
Отсюда вытекает, в частности, что преобразование Фурье взаимно
однозначно и взаимно непрерывно отображает пространство <S(Rn)
на себя, и обратное преобразование Фурье представляет собой, таким
образом, отображение, обратное преобразованию Фурье.
Доказательство. Справедливо следующее соотношение:
J g(I) /<S)el«'bdl=le(у)/(х + У)dy (f,g?<S>(/?")). (9)
Действительно, левая часть этого равенства равна
J ff (S){Bя)"п/2 J *-<*.»/(у)dy } «'<*¦ *>rf| =
= Bя)"я/2 | { J ^ (|) е-'<Ь у-л rf|} /(у) dy =
= J g(y — x)f(y)dy=
Возьмем теперь произвольное е > 0 и заменим g (|) функцией g" (e|);
тогда
Bя)"я/2 J «-'<». !>?(е!)Л! = Bл)-л/2е-" J
Следовательно, в силу (9)
J g(e|) f(l)e«*-bdl=fg(y)f(x-\-ey)dy.
Далее, следуя Ф. Риссу, положим g(x) = e-lxP/2; тогда при е|0
ррлучится равенство
J
Как известно,
Bя)-в/2 J *-l*l'/W.*>dje = e-lyi'/2, A0)
14 К. Иоснда
210 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
т. е. f g (у) dy = Bя)л/2. Кроме того, g* @) = 1. Подставляя эти вы-
выражения в предыдущее равенство, мы и получаем соотношение (8).
Замечание. Для полноты изложения приведем здесь вывод фор-
формулы A0). Напишем очевидное тождество
к а,
-A, -A,
Возьмем теперь криволинейный интеграл от функции е-*2/2, которая
голоморфна по переменной z*=t-\-iut по замкнутому контуру, со-
состоящему из следующих четырех направленных отрезков, располо-
расположенных в указанном порядке:
— А,, А,; К k-\-iv; k + iv% —k + iv; —l-\-lv, — A,,
где v > 0. По теореме Коши этот интеграл равен нулю. Таким об-
образом,
)~1/2 V j
Bя) J j
-А, -А,
+ Bя)~1/2 J e-i-b+Wftidu -ЬBяГ1/2 J e-
v 0
Второй и третий члены в правой части стремятся к нулю при
А,->оо. Отсюда, используя A0'). мы получаем
Bя)~ш J e-tvte-iut dt = е-«а/2BяГ1/2 J «"'2/2dt = e~a^.
—oo —c»
Мы вывели формулу A0) для л=1; случай произвольного п без
труда сводится к рассмотренному.
Следствие (равенство Парсеваля1)). Имеют место следующие ра-
равенства:
f(l)g(l)dl= j f(x)g(x)dx, A1)
J f(l)g(l)dl= J f{x)g{x)dx. A2)
f2? f\f^}) = f*g, A3)
l) Равенством Парсеваля обычно называют формулу A2). — Прим. перев.
/. Преобразование Фурье быстро убывающих функций 211
где свертка f * g функций fug определяется формулой
A4)
Доказательство. Формула A1) получается из (9), если положить
л: = 0. Соотношение A2) получается из A1), так как преобразова-
преобразование Фурье функции g равно g. Далее имеем
Bя)~л/2 J (/'*
. A5)
Функции fug принадлежат ©(/?"), поэтому /^6®(ЯЛ)» т- е-
правая часть A5) принадлежит в(/?"). Нетрудно заметить, что
свертка / * g двух функций из ® (/?") тоже принадлежит <& (/?").
Тем самым первая из формул A3) доказана. Вторая формула A3)
выводится аналогично формуле (9) с помощью соотношения A5).
Теорема 2 (формула Пуассона). Пусть ф^в(/?!) и ф^©(Z?1) —
преобразование Фурье функции ф. Тогда
00 ОО
S A6)
Доказательство. Положим f(x)— 2 ФС* + 2ял). Так как
Л—-ОО
функция ф(лг) быстро убывает на бесконечности, нетрудно показать,
что этот ряд абсолютно сходится, а его сумма f(x) принадлежит С°°,
причем f(x-\-2n) = f(x). В частности, ряды в правой и левой части
формулы A6) абсолютно сходятся. Остается лишь доказать, что их
суммы совпадают.
Коэффициенты Фурье ck функции f(x) по отношению к полной
ортонормальной системе {Bя)~1/2e~ikx\ k = Q, ±1, ±2, ...} гиль-
гильбертова пространства А2 @, 2л) равны
2л оо 2л
2я)~1/2 J
J
/I--00 О
2л(я+1)
J
л--оо 2ял
14*
212 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
Следовательно, поскольку /?L2@, 2я),
С»
/(*)= 2 <р(* + 2ял) = 1. i. m.
S
оо
Но Ф(*N®(ЯЯ)» поэтому ряд 2 Ф (*)*'** сходится абсолютно.
Л»-оо
Отсюда
оо оо
полагая х = 0, мы получаем формулу A6).
Пример. Из формулы A0) получаем
Bя)/2 J «-"•«-"»Ас =
— ОО
Применяя A6), мы выводим так называемую Q-формулу
2. Преобразование Фурье медленно растущих
обобщенных функций
Определение 1. Непрерывный линейный функционал 7\ опреде-
определенный на множестве в (/?"), называется медленно растущей обоб-
обобщенной функцией (в Rn), Совокупность всех медленно растущих
обобщенных функций мы обозначим через ®(/?л)'. Сопряженное
к <B(Rn) пространство в (/?")'» снабженное сильной топологией со-
сопряженного пространства, представляет собой локально выпуклое
линейное топологическое пространство.
Предложение 1. Поскольку C™(Rn) содержится как подмно-
подмножество в пространстве ®(/?л), а топология пространства 3)(/?л) силь-
сильнее, чем топология ®(/?л), то сужение всякой медленно растущей
обобщенной функции на C™(Rn) представляет собой обобщенную
1) Здесь I. i. m. обозначает предел в среднем, т. е.
2я . Л
5->ОО
о
Ит /(*)- 2
Это следует из общего результата, установленного в гл. III, § 4, следствие 1,
формула E). — Прим. перев.
2. Преобразование Фурье медленно растущих обобщенных функций 213
функцию в Rn. Две различные медленно растущие обобщенные функ-
функции, суженные на С?° (/?"), определяют две различные обобщенные
функции в Rn, так как множество С?°(/?л) плотно в ©(/?") по от-
отношению к топологии © (/?л). Следовательно, обобщенная функция из
©(/?")', равная нулю на С^° (/?"), должна обратиться в нуль на ©(/?").
Таким образом,
©(/?")'??>(#")'• A)
Пример 1. Обобщенная функция, заданная в /?", носитель кото-
которой бикомпактен, принадлежит пространству ©(/?")'. Поэтому
"'©'. B)
Пример 2. Неотрицательная о-финитная мера \x(dx), сг-аддитив-
ная на бэровских множествах пространства Rn, называется медленно
возрастающей мерой, если для некоторого неотрицательного k
oo. C)
Такая мера \х определяет медленно растущую обобщенную функ-
Т* (Ф) = J Ф (х) (х (dx)t Ф ? © (/?л). D)
В самом деле, условие ф ^ © (/?л) означает, что ф(дг) = О (A -f-1 х |2)"**)
при |л;|->оо.
Пример 3. Как частный случай примера 2 можно рассматривать
медленно растущую обобщенную функцию вида
= J
Ф 6 © (Я").
Определяемую произвольной функцией / пространства Lp(Rn)(p^ 1).
В самом деле, функция f?Lp(Rn) порождает медленно возрастаю-
возрастающую меру \x(dx)=\f(x)\dx; в этом можно убедиться, применяя
Н интегралу
неравенство Гёльдера.
Определение 2. Функция /?С°°(/?Л) называется медленно воз-
возрастающей (при х->оо), если для всякого дифференциального опе-
оператора D* существует такое неотрицательное целое N, что
| = 0. E)
214 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
Совокупность всех медленно возрастающих функций мы будем обо-
обозначать через OM(Rn). Множество ?)M(Rn) с алгебраическими опе-
операциями сложения функций и умножения их на комплексные числа
и топологией, определяемой системой полунорм вида
Р (/) = Рн о* (/) = sup | А (*) D*f (х) |. / 6 Ом Ю. F)
где h(х) —произвольная функция из <3(/?л), a Dy- произвольный диф-
дифференциальный оператор, образует локально выпуклое линейное топо-
топологическое пространство. Применяя формулу Лейбница дифференциро-
дифференцирования произведения функций, легко видеть, что Н (х) D*f (х) ? © (Rn) и,
следовательно, полунормы ph Dj(f) конечны для каждой функции
/?Ож(/?")• Кроме того, если' ph D/(/) = 0 для всех h?&(Rn) и
любых операторов D*t то f(x) = 0. Последнее нетрудно установить,
если положить D = I и взять й?*3)(/?л).
Предложение 2. Множество C™(Rn) плотно в &M(Rn) в топо-
топологии пространства OM(Rn).
Доказательство. Пусть f^OM(Rn). Выберем такую функцию
(), что ф(*)=1 при |jc|<1. Тогда/в(х) = /(х)ф(ехN
6 при любом е>0. Как в предложении 3, § 1, гл. VI, не-
нетрудно показать, что /г(х) стремится к f(x) в топологии простран-
пространства OM(Rn) при е | 0. Это и доказывает наше предложение.
Предложение 3. Всякая функция f^OM(Rn) определяет мед-
медленно растущую обобщенную функцию
7>(Ф) = J / (*) <р (х) dx, Ф 6 ® (Rny G)
Определение 3. Как и в случае обобщенных функций в Rn, мы
можем определить производную медленно растущей обобщенной функ-
функции Т формулой
о''7(ф) = (- 1)|Л:г(Мр), ф6®(/?я). (8)
так как отображение ф (*) -> DJq> (x) пространства ®(/?я) в себя ли-
линейно и непрерывно в топологии ©(/?"). Можно также определит^
умножение функции / ? V>M (Rn) на обобщенную функцию Т ? © (/?я/
(/Г)(ф)=7(/ф), Фб®(/?я), (9)
поскольку отображение ф (л:) -> / (х) ф (х) пространства в(/?Л) в себя
линейно и непрерывно в топологии <?(/?л).
Преобразование Фурье медленно растущих обобщенных функций
Определение 4. Так как отображение Ф(лО->Ф(*) пространства
/?;| на себя линейно и непрерывно в топологии ©(/?"), мы можем
определить преобразование Фурье Т медленно растущей обобщен-
2. Преобразование Фурье медленно растущих обобщенных функций 215
ной функции Т как медленно растущую обобщенную функцию вида
f(fp) = T<ti), Фб$(/?л). (Ю)
Пример 1. Если f?Ll(Rn), то
ff = Tp где /(*) = BяГл/2 JV'<**>/(&)*& (И)
это получается при помощи изменения порядка интегрирования:
if \яп J
Замечание. Ясно, что определенное таким способом преобразо-
преобразование Фурье медленно растущей обобщенной функции является обоб-
обобщением обычного преобразования Фурье для функций.
Предложение 4 (формула обращения Фурье). Введем обозна-
обозначение
= /(-*). A2)
Тогда формулу обращения Фурье из предыдущего § 1 можно запи-
записать в виде
/ = /. /€©(*")• A3)
Следствие 1 (формула обращения Фурье для обобщенных функ-
функций). Для медленно растущих обобщенных функций формула обра-
обращения имеет следующий вид:
Г = У\ где 71(ф) = Г(ф). A4)
В частности, преобразование Г->7 линейно отображает простран-
пространство © (/?")' на себя.
Доказательство. По определению имеем
f (ф) = Т (ф) = Т (ф) = f (ф) для всех ф ? 6 (/?").
Следствие 2. Преобразование Фурье Г->7и обратное ему пре-
преобразование представляют собой линейные отображения пространства
S (/?")' на себя, непрерывные по отношению к слабой* топологии
<5 (#")':
если ПтГЛ(ф)=Г(ф) для всех ф?®(#"),
если
то
UmTh
Л->оо
h *
Л->оо
(ф)
:ф)=
= Г(Ф)
= Г(Ф)
для
для
всех
всех
216 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
Обращение преобразования Фурье Т ->Г определяется обратным
преобразованием Фурье Т->Т, где
• A00
Пример 2. Имеют место формулы1)
v Тг = Bя)я/2Г6. A6)
Доказательство. Мы имеем f6 (ф) = Ть (ф) = <р @) =
BлГя/2 J 1 •ф(у)^У = Bя)"<|у2Г1(ф). Кроме того,
Пример 3. Имеем
где Xj — координата в пространстве Rn.
Доказательство. Используя формулу E), § 1, гл. VI, получаем
По формуле F), § 1, гл. VI, находим
Теорема Планшереля. Если f?L2(Rn)t то преобразование
Фурье f j обобщенной функции Т^ определяется некоторой функцией
/2ЯП), т. е.
= TT, где
11/11 = ( J I ?{х)\ЧхУ = ([ | /WPrfxy^U/ll. B0)
У V
¦) Здесь Г, обозначает регулярную обобщенную функцию Tj с /аи1,—
Прим. перев.
2. Преобразование Фурье медленно растущих обобщенных функций 217
Доказательство. Из формулы A2) предыдущего § 1, следует,
что ||ф|| = Цф||- Применяя далее неравенство Шварца, получаем
ff(x)y(x)dx
Rn
. B1)
По теореме Рисса о представлении функционалов в пространстве
L2(Rn) должна существовать единственная функция f?L2(Rn)t та-
такая, что
?/ (Ф) = J Ф (*) 7 (*) dx = Г7(Ф),
n
а это означает, что
J f(x)(p(x)dx= j f(x)(p(x)dx для всех фб^/?"). B2)
» n
Кроме того, поскольку ®(/?") плотно в пространстве L2(Rn) в то-
топологии L2(Rn)t из неравенства B1) следует, что ||/||> ||/||. Таким
образом, H/IK||/||<||/1|. Но, с другой стороны, из A3) и B2)
вытекает, что
= j f(x)y(x)dx= J/(- x)cf(x)dx
в? в? r?
для всех
и поэтому почти всюду выполняется равенство
f ( у\ f ( *Л f ( y\ /OQ\
J \Jb) J \ X) J \Л), \^&)
Следовательно, ||7|| = ||/||. Отсюда, принимая во внимание неравен-
неравенство ||/||<||/|| <||/||. мы получаем формулу B0).
Определение б. Функцию f(x)?L2(Rn), построенную при дока-
доказательстве теоремы Планшереля, мы назовем преобразованием Фурье
функции f(x)?L2(Rn).
Следствие 1. Для любой функции f?L2(Rn)
2 J *-'<*>у>/(у)rfy. B4)
|jr|<A
Доказательство. Положим
и Д(*) = 1
218 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
Тогда lim ||/л —/|| = 0, и поэтому по формуле B0) Iim|| fh — /||=0.
Л->оо А->оо
Последнее означает, что /(х) = 1. i. m. /Л(л0 почти всюду. По фор-
Л->оо
муле B2)
J Л <*)<Р (*)** = J Л (*
= J /()
1*|<А I я" /
Из неравенства Шварца следует, что функция fh(x) интегрируема
в области |х|<^Л, поэтому, изменяя порядок интегрирования, мы
находим, что
J
J
Следовательно, почти всюду Д (д:) = Bя)~я/2 j e"i{x*y)f(y)dyi
откуда получается формула B4).
Следствие 2. Преобразование Фурье /->/ отображает прост-
пространство L\Rn) на себя взаимно однозначно, и при этом
(f>g) = (f*b для всех /, geLHR"). B5)
Доказательство. Обратное преобразование Фурье /->/ для
функций из L2(Rn) определяется формулой
/ (*) = 1. 1. т. BяГл/2 f el <*. у>/ (у) dy\ B6)
оно отображает L2(Rn) в себя так, что ||/|| = ||/||. Ясно, что ото-
отображение /->/ обратно отображению /->/. Отсюда следует, что
преобразование Фурье /—>/ действительно отображает простран-
пространство L2(Rn) на себя взаимно однозначно и сохраняет норму.
Используя равенство
и учитывая линейность преобразования Фурье, мы получаем B5).
Теорема Парсеваля для преобразования Фурье обобщенных
функций. Пусть fx(x) и /2(х) — функции из L2(Rn), и пусть fx(u)
и /2(#) — их преобразования Фурье. Тогда
J /1 («) /2 («) Л = J /1 W/2(- ^) ^. B7)
2. Преобразование Фурье медленно растущих обобщенных функций 219
откуда
J fx{*)h(n)*Hu'*dx= jfi(y)/2(x-y)dy. B8)
if if
Таким образом, если произведение f\(ti)f2(u), так же как и оба
сомножителя, принадлежит L2(Rn), то оно является преобразованием
Фурье выражения
j fx(y)f2(x-y)dy. B9)
if
Последнее утверждение справедливо и в том случае, если допустить,
что функции fi(x), /2(jc) и B9) принадлежат L2(Rn).
Доказательство. Нетрудно заметить, что
BяГя/2 J fj=r*)e-"*.»dx ==/&).
if
Отсюда, используя B5), мы получаем B7). Рассматривая выражение
f2(x— у) как функцию переменной у, зависящую от параметра л:,
мы видим, что преобразование Фурье этой функции равно произве-
произведению f2(u)ei{u>x)t также зависящему от параметра х. Отсюда,
используя B5), мы получаем B8). Остальная часть утверждения вы-
текает из B8), так как / = /.
Отрицательная норма. В главе I, § 9, было приведено опре-
определение пространства Соболева №*'2(Q). Пусть f(x)?W*l2(Rn).
Поскольку f(x)?L2(Rn)t выражение \f(x)\dx определяет в про-
пространстве Rn медленно возрастающую меру. Это позволяет опреде-
определить преобразование Фурье 7\ медленно растущей обобщенной функ-
функции 7у По формуле A7)
Согласно определению пространства Wk'2(Rn), DaT/^L2(Rn) при
всех laK^1). Поэтому, применяя теорему Планшереля, доказанную
для функций из L2(Rn), мы получаем
0. где || ||э-норма в пространстве L2{Rn).
') Запись DaTf?L2(Rn) (и другие подобные ей) надо понимать в том
смысле, что DaT/ — регулярный функционал вида Гф, где ф?12(Ял) (ясно,
что здесь t|>—обобщенная производная Daf). — Прим. перев.
220 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
Следовательно, A + \x\2)k/2ff?L2(Rn)t и поэтому нетрудно пока-
*" —[ 2j J ' /I эквивалентна норме
f C0)
в том смысле, что существуют две положительные постоянные сх и с2,
для которых
*1<||/ШН»<с2 при всех
Таким образом, мы можем перенормировать пространство Wk'2(Rn),
введя норму || /\\'к , и пространство Wkt (Rn) можно определить как
совокупность всех функций f?L2(Rn) с конечной нормой ||/||^.
Преимущество такого определения состоит в том, что теперь можно рас-
рассматривать также отрицательные показатели к. Тогда, как и в случае
пространства L2(Rn) с обычной мерой Лебега dx, сопряженным к пере*
нормированному таким способом пространству Wkf2(Rn) является
пространство W~k>2(Rn) с нормой ||/||1*, Это заметил Л. Шварц [5]
еще до того, как П. Лаке [2] ввел понятие отрицательной нормы.
3. Свертки
Определим свертку двух функций /, g?C(Rn)t одна из которых
обладает бикомпактным носителем, формулой
A)
(ср. со случаем, когда /, ?б<5(/?л), гл. VI, § 1). По аналогии
с формулой A) назовем сверткой обобщенной функции Г^2)(/?л)/
и функции ф ? Ъ (Rn) (или обобщенной функции Т ? S (/?")' и функции
®л выражение
B)
где символ Гдо указывает на то, что Т применяется к основной функ-
функции переменной у.
Предложение 1. Мы имеем (Т * ф) (а:) ? С°° (Rn) и Бирр(Г*ф)с
с supp^-fsupp^), т. е.
1) Отметим для дальнейшего, что если Т = Г^ — регулярная обобщенная
функция, то (Т * Ф) (л:) = (Гф*ф) (л:) =- Гф [у) [у(х — у)] = J ф(у)ф {х—y)dy »
= (г|?*ф) (х). — Прим. перев.
3. Свертки 221
Кроме того,
Da (Т * Ф) = Т * (Оаф) = (DaT) * ф. C)
Доказательство. Пусть ф ? 35(#л)(или ф ? @(/?л)). Если lim xh=x.
Л->оо
то lim ф(д:л — у) = у(х— у) в пространстве 35 (Rn) функций неза-
Л-»оо
висимой переменной у (или в пространстве 6(/?л)). Следовательно,
обобщенная функция Т^((р(х — У)):=G" * Ф)(*) непрерывна по л:.
Отношение включения для носителей, указанное в формулировке
предложения, вытекает из того, что 71|У}(ф(л: — у))=0, если только
носители Т и ф(л;— у) как функции от у не пересекаются. Пусть
$1 — единичный вектор пространства Rn вдоль оси Xj\ рассмотрим
выражение
Т[у] ((Ф (х + /^у — У) - Ф (х — у) )/А).
При Л—>0 функция, стоящая под знаком функционала, сходится
как функция от у в пространстве 35 (Rn) (или в пространстве 6 (/?"))
K.(dq>ldXj)(x — у). Тем самым мы показали, что
Наконец,
откуда и следует формула C).
Предложение 2. Если ф и ф принадлежат пространству 35 (Rn)
и Т62)(RnY (или Фб®(/?л), Фб^КЯ") и Г?®(/?")'). то
(Г * ф) * ф = Г * (ф * ф). D)
Доказательство. Аппроксимируем функцию (Ф*ф)(х) суммой
Лимана вида
где Л > 0, а /г пробегает все точки пространства /?л с целыми коор-
координатами. Тогда при h | 0 функция
D%(*) = Л"л 2 ?>°Ф(х — kh) ф (kh),
k
где Da — произвольный дифференциальный оператор, сходится рав-
равномерно по х на всяком бикомпактном множестве точек х к функ-
функции ((Оаф)*ф)(л;) = (Оа(ф*ф))(л;). Поэтому, учитывая, что Г —не-
—непрерывный линейный функционал, мы получаем
Л*0
= lim /Гл 2 (Т * ф) (л: — АЛ) ф (АЛ) = ((Г * ф) *
что и требовалось доказать.
222 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
Определение. Пусть функция ф ? © (Rn) неотрицательна, Г ф dx= 1
Rn
и вирр(ф) с [x?Rn\ \х\^\). В качестве примера такой функции
можно взять
при
и ф(л:) = 0 при \х\ > 1.
Выражение вида е~"дф(л:/е)(е > 0) мы обозначим через %(х) и на-
назовем свертку Т * фе усреднением для 71 ? D (/?")' (или Г ? E (Rn)f).
Теорема 1. Пусть 7 ?5)(/?")'(или Г^/?")')- Тогда ПтG1*фе)=7
в слабой* топологии пространства 35(/?ЛУ (или (S (/?")').
Для доказательства нам понадобится
Лемма. Для любой функции ф??)(/?") (или Ф6®(Я")) в про-
пространстве D(/?") (или 6¦(/?")) справедливо соотношение Птф*фе = ф.
Доказательство. Заметим, что
По формуле C) имеем Da (ф * фе) = (/Заф) * фе. Следовательно, мы
должны показать, что Пт(ф * Фе) (л:) = ф (л:) равномерно на всяком
бикомпактном множестве точек х. Поскольку Г <pe(y)dy= I, имеем
(¦ * Фе) (*) — Ф (аг) = J {ф (л: — У) - ф (х)} Фе (у) rfy.
Отсюда получается утверждение леммы, так как
| Фе(У)^У=1 и функция ф(д:) равномерно непрерывна на всяком
бикомпактном множестве точек л:.
Доказательство теоремы 1. Так как ф(л:) = ф(—л:), то
Г(ф) = G*ф)@). E)
Поэтому мы должны теперь показать, что lim ((Т * фе) *^) @) =
= G*ф)@). Но, согласно соотношению D), (Т *фе)*ф = Т *(фе*ф).
Следовательно, по формуле E) (Т * фе)(ф)= Г((фе *ф)"). Применяя
теперь доказанную выше лемму, находим, что lim (Г * ф)(ф) =
= 71((Ф)~)= ^(Ф)« чт0 и требовалось доказать.
Эта запись означает, что supp(фе) = {у ?Rnt \ у |<е}. — Прим. перев.
3. Свертки 223
Докажем теперь теорему, характеризующую операцию свертки.
Теорема 2 (Л. Шварц). Пусть L — непрерывное линейное отобра-
отображение пространства ?)(/?") в ё(/?л), удовлетворяющее условию1)
для всех h?Rn и ф635(/?л)» F)
где xh — оператор сдвига, определяемый формулой
—А). (?)
Тогда существует единственным образом определенная обобщенная
функция Т??) (/?")', такая, что L(p = T*(p. Обратно, для всякой
обобщенной функции Г ? 35 (Rn)' формула Lcp = Т * ф определяет не-
непрерывное линейное отображение L пространства 35 (Rn) в 6(/?л),
удовлетворяющее условию F).
Доказательство. Так как преобразование ф->ф отображает про-
пространство ?>(/?") линейно и непрерывно на себя, то линейное ото-
отображение Т : ф->(?ф)@) определяет обобщенную функцию Т ?35 (Rn)'.
Следовательно, по формуле E) (?ф)@) = Г(ф) = (Г * ф)@). Если здесь
Заменить ф на тлф и использовать условие F), то получится соотно-
соотношение (?ф) (А) = (Т * ф) (Л), которое и нужно было вывести. Обратное
утверждение теоремы без труда доказывается с помощью определе-
определения B), предложения 1 и свойства E).
Следствие. Пусть 7^ ?5)(Л")' и T2€<?(Rny. Тогда свертку Тг*Т2
можно определить как обобщенную функцию при помощи непрерыв-
непрерывного линейного отображения L пространства 35 (Rn) в (?(/?Л) следую-
следующим образом:
G, * Г2) * Ф = L (ф) = Тх * G2 * ф), Ф ? ? (/?*). (8)
Доказательство. Преобразование ф->72*ф отображает непре-
непрерывно и линейно пространство 35 (Rn) в себя, потому что носитель
suppG2) бикомпактен. Следовательно, оператор ф—>71*(Г2*ф) ли-
линейно и непрерывно отображает 2)(/?л) в (§(/?л). Нетрудно проверить,
«что L удовлетворяет условию F).
Замечание. Из D) видно, что если обобщенная функция Т2 опре-
определяется некоторой функцией из 5) (/?"), то определение свертки
Тх * Т2 согласуется с приведенными ранее определениями.
Заметим, что свертку Тх * Т2 можно определить также формулой
Ф ??> (/?*), (80
где Т1{х) X Т2{у) — прямое произведение Тх и Т2. По этому поводу
см. Л. Шварц [1].
!) О дифференциальных операторах, инвариантных относительно сдвига,
СМ. Хёрмандер [7*]. — Прим. пере в.
224 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
Теорема 3. Пусть Тх ? 35 (Rn)' и Т2 ? (§ (/?")'. Тогда при помощи
непрерывного линейного отображения L
можно определить другую „свертку" Т2\Т_\ТХ формулой
Можно доказать, что операция свертки коммутативна в том смысле,
что Т2 |Х| Л = Г, * Г2.
Доказательство. Преобразование ф-^Г^ф отображает непре-
непрерывно и линейно пространство 3D(/?") в 6(/?Л). Поэтому преобразо-
преобразование ф -> Т2 * (Т{ * ф) определяет непрерывное линейное отображение
пространства S)(Rn) в (?(/?*)• Таким образом, свертка ^GlI^i опре-
определена корректно. Далее, для любых двух функций фр ^^
учитывая предложение 2, мы получаем равенства
так как операция свертки функций коммутативна и множество
$\xpp(T2*<Pi) бикомпактно, поскольку T2?(?,(Rny. Аналогично
Таким образом, (Тх * Т2) * (ф, * ф2) = (Т2 Щ Т{) * (ф, * ф2). Отсюда, со-
согласно E) и доказанной ранее лемме, следует, что G1*Г2)(ф) =
= G2|Х|Г1)(ф) для всех Фб^(^Л)» а это и означает, что G1*Г2) =
(^111^
(^111^
Следствие. Если по крайней мере две из трех обобщенных функ-
функций Tv T2t Тъ имеют бикомпактные носители, то
TX*{T2*TZ) = {TX*T2)*TZ. (9)
Кроме того,
Da (Тх * Т2) = {DaTx) * Т2 = Г, * (DaT2). A0)
Доказательство. Из определения свертки ТХ*Т2 и свойства E)
получаем
аналогично
откуда следует (9).
3. Свертки 225
Правило дифференцирования A0) доказывается следующим обра-
образом. Используя равенство C), находим, что
A1)
откуда
{iff) * Ф = Т * (D°q>) = Т * ((ОаТь) * <р) = (Г * ЯаГ6) * Ф,
т. е. в силу E)
DaT = (DaTb)*T. A2)
Теперь, используя свойства коммутативности (теорема 3) и ассоциа-
ассоциативности (9), мы и выводим требуемое равенство
Tf (Г, * Т2) = (DaTb) * (Г, * Т2) = ((О°Г6) * Г,) * Т2 = (ОаГ,) * Г2 =
* (Г2 * Г,) = ((D°76) * Г2) * Г, = (DaT2) * Г,.
Преобразование Фурье свертки. Докажем сначала одну теорему,
уточнением которой служит теорема Пэли — Винера в следующем
параграфе.
Теорема 4. Преобразование Фурье обобщенной функции Т?(&(Rn)'
определяется функцией
ТA) = BлГп"Т1х](е'ШЛ>)- A3)
Доказательство. При е|0 обобщенная функция Те = Т*фр стре-
стремится к Г в слабой* топологии пространства ё (/?*)', и тем более
в слабой топологии <5(/?л)'. Это следует из доказанной ранее леммы
и равенства
Так как преобразование Фурье непрерывно в слабой* топологии про*
странства &(Rn)\ то Нт(Г*фв)==Т в слабой* топологии 3(/?*)'¦
Таким образом, для обобщенной функции, определяемой функцией
G*фе)(л:), формула A3) очевидна. Следовательно,
Bnf\f *\)(|) = (Т * Фе)и, (*-'«*• *);
в силу E) правая часть равна (Т[х] *(фе* ^-/<-*''^))@)=^
i== Т[Х\ (Фе * е~1 {х> *>)¦ Последнее выражение при е | 0 стремится
к Тщ (е*{х* &) равномерно по ? на всяком ограниченном множестве
точек | комплексного я-мерного пространства. Теорема 4 доказана.
Теорема б. Если свертка обобщенной функции Т ? @ (/?л/ с функ-
функцией ф?€>(/?") определена соотношением (Т*ф)(л;)= ^'[у](ф(-^—У))»
то линейное отображение L : ф -> 71 * ф пространства ® (/?Л) в ® (/?л)
характеризуется непрерывностью и инвариантностью относительно
сдвига: xhL — Lxh.
15 К. Иосида
226 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
Доказательство. Теорема доказывается аналогично теореме 2.
Теорема 6. Если Г ? 6 (/?")' и ф? ©(#"). то
ф7\ A4)
Если Tx?<5(Rny и Г2 ?(?(/?'% то
G1^7>2) = Bji)/iy2f2.f1; A5)
последнее имеет смысл, так как по теореме 4 обобщенная функ-
функция Т2 регулярна и определяется некоторой функцией.
Доказательство. Пусть ф?®(/?"). Тогда преобразование Фурье
функции ф-ф разно (формула A3), гл. VI, § 1) выражению
Bл)"Л/2ф*$-=Bл)~Л/2ф*ф. Поэтому
откуда и следует A4).
Пусть фе—усреднение Г2*ф8. Тогда преобразование Фурье свертки
Тх * фе = Г, * (Г2 * фе) = (Tj * Г2) * фе равно, согласно формуле A4),
выражению
Bл)я/2 Г, • фв = Bл)я/2 Г, • Bя)л/2 Г2 • фе = Bя)л/2 (Г^>2). фе.
Полагая 8 | 0 и учитывая, что Нтфе(л:)=1, мы получаем A5).
4. Теоремы Пэли — Винера. Преобразование Лапласа
Для преобразования Фурье функций класса C™(Rn) справедлива
Теорема Пэли — Винера для функций. Целая голоморфная
функция /7(?)=/7(?1, ^2 in) от п комплексных переменных
?j = ?^. _|_/т);. (у=1, 2 п) является преобразованием Фурье —
Лапласа
/2 | ilx A)
функции /^Со°(/?л), носитель которой supp(/) содержится в шаре
|л;|<;? пространства /?л, тогда и только тогда, когда для любого
целого N существует положительная постоянная CNi такая, что
4f Теоремы Пэли — Винера. Преобразование Лапласа 227
Доказательство. Необходимость следует из формулы
п
J[ {Ц;Р FQ = Bя)- п/2 J е~1 «• *> tff (л;) Ас,
которая получается интегрированием по частям.
Докажем достаточность. Положим
C)
Rn
При условии B) выражение C) имеет смысл. Как и в случае функ-
функций из $b(Rn)> можно показать, что преобразование Фурье /(?) функ-
функции f(x) равно F(g) и / (х) ? С?°(/?"); последнее вытекает из фор-
формулы дифференцирования
Iff(х) = BлГ*/2 J
при выполнении условия B). Условие B) и теорема Коши позволяют
перейти в формуле C) к интегрированию в комплексной области и
получить
'2 JV C')
при любом вещественном т] вида i\ = ax/\x\, где а > 0. Полагая
N = п-\-1, мы получаем отсюда неравенство
/2 J (
я?
Если |х|>5, то, полагая af-f-oo, мы находим, что /(л:) = 0.
Следовательно, supp(/) с {л: ^/?Л; |лг|^5}. Теорема доказана.
Эту теорему можно распространить на обобщенные функции
с бикомпактными носителями.
Теорема Поли — Винера для обобщенных функций из © (/?")'
(Л. Шварц). Для того чтобы целая голоморфная функция /7(?) =
= /7(С1, Сг Сл) от п комплексных переменных Су = lj + ^Лу
(у = 1, 2, ..., /г) определяла преобразование Фурье — Лапласа1)
*) Имеется в виду функция /Г(?) = ^(?ь •••» ?л) комплексных перемен-
переменных ?/, которая при вещественных значениях ?/ = хь обращается в функцию
F(хь .... лгл), определяющую преобразование Фурье f обобщенной функции
: f = Гг
15*
228 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
некоторой обобщенной функции Т ? й (/?")', необходимо и достаточно,
чтобы существовали положительные постоянные В, N и С, такие, что
|f(S)|<C(l+|S|)^^"-^. E)
Доказательство. Необходимость следует из того (теорема 2,
гл. I, § 13), что если Т ?(&(Rn)'t то существуют такие положитель-
положительные постоянные С, В и /V, что
|Г(ф)|<С 2 sup |Орф(л:)| для всех ф? (?(/?").
1Э|<ЛГ || <Я
Остается только положить ф(лг)=^~/ u» s> и применить формулу A3)
предыдущего параграфа.
Перейдем к доказательству достаточности. При выполнении нера-
неравенства E) F(%) принадлежит <5(/?л)', и поэтому определяет преоб-
преобразование Фурье некоторой обобщенной функции 71 ?©(/?")'. По фор-
формуле A4) предыдущего параграфа преобразование Фурье обобщенной
функции 7е = 7*фе равно Bя)/1/2Г • фе. Поскольку носитель вирр(фе)
лежит в шаре |л;|<^е пространства Rn, по предыдущей теореме
Кроме того, обобщенная функция f определяется функцией F(?>)>
2 f
поэтому обобщенная функция Bя)л/2 f • фе определяется функцией
Bя)Л/2 F (|) • фе (?). Последняя функция может быть аналитически про-
продолжена на все комплексное я-мерное пространство, и это продолже-
продолжение удовлетворяет оценке типа E) с постоянной В-\-г вместо В.
Таким образом, по предыдущей теореме supp Ge) = supp (T * фе) при-
принадлежит шару |л:|<;?-|-е пространства Rn. Отсюда, полагая е | О
и используя лемму из предыдущего параграфа, мы видим, что носи-
носитель supp(Т) принадлежит шару |а:|^5 пространства Rn.
Замечание. Приведенная выше формулировка и доказательство
теоремы Пэли — Винера взяты из книги Хёрмандера [2].
Преобразование Фурье и преобразование Лапласа. Пусть
g(t)?L2(Qt oo). Тогда, как показывает неравенство Шварца, при л:> О
g(t)e-tx?D@t oo)fU2@, oo).
Применяя теорему Планшереля, мы получаем для преобразования
Фурье
оо
/ (* + 1у) = Bл)/2 J g (t) е-**е-«> dt =
О
oo
= Bл)"/21 g(t)e-< ^+/У) dt (x > 0) F)
4. Теоремы Пэли — Винера. Преобразование Лапласа 229
неравенство
со
\ |/(*-Ну)Р<*У=/ \g(t)\*e-**dx^,j \g(t)\4t. G)
о
Функция f(x-\-iy) голоморфна по переменной z = x-±-iy в правой
полуплоскости Re(z) = x > 0. Это можно установить, дифференци-
дифференцируя F) под знаком интеграла; такое дифференцирование законно,
поскольку g(t)te~tz как функция переменной t принадлежит Ll@t со)
и Z,2@, оо) при Re(z) = x > О1). Тем самым мы доказали следующую
теорему.
Теорема 1. Пусть g(t)?L2(O, оо). Тогда (одностороннее) пре-
преобразование Лапласа
оо
g(t)e"tzdt (Re(*)>0) F0
принадлежит так называемому классу Харди—Лебега #2@), т. е.
A°) функция f(z) голоморфна в правой полуплоскости Re(?)>0;
B°) для каждого фиксированного х > 0 функция f(x-\-iy) как функ-
функция от у принадлежит L2(—оо, со), и при этом
sup ( Г \f(x+iy)\*dy) <оо. G0
Эта теорема допускает следующее обращение.
Теорема2(Пэли—Винер). Пусть /(*N#2@). Тогда для f(x-\-iy)
существует граничная функция f(iy)^L2(—оо, оо) в том смысле,
что
со
0t (8)
1) Если доопределить g (t) на (— оо, оо), полагая g(t) = O для t < 0, то
к функции g(t)e~tx можно при х > 0 применить теорему Планшереля и
следствие 1 из этой теоремы. В этом случае существует функция f(x + iy) =*
= (ge~tx) = 1. i. m. Bя)-1/2 Г e-txg(t)e-ltydt. Поскольку g(j)e-ix?
h*co J
e~iiy dt.
интеграл сходится к / в обычном смысле: /=Bя)~1/2 Г e~txg(t) e~iiy
о
Йрименяя к / формулу B0) (§ 2, гл, VI). мы и получаем неравенство G). —
рим. перев,
230 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
и при этом обратное преобразование Фурье
N
?(О = BяГ1/21.1.т. \ f(iy)eitydy (9)
/V-»oo JN
обращается в нуль при t < 0, а сама функция f(z) получается как
преобразование Лапласа функции g(t).
Доказательство. Пространство L2(—оо, оо) локально слабо
бикомпактно, поэтому существуют последовательность {хп} и функ-
функция f(iy)?L2(—оо, со), такие, что
хп10 и w-lim f{n
я-»оо
Так как
N ( 6 Л 6 Г оо
J J|/(* + W|2^Uy< J J
-TV I +0 J +0 [ -оо
при любых 6 > 0 и N > 0, то для всякого 6 > 0 можно найти такую
последовательность [Nk)t что
б
lim Nk = oo и lim f \f(x ± iNJ\2dx = 0.
Применяя неравенство Шварца, мы обнаруживаем, что
lim [\f(x±lNk)\dx = 0. A0)
Отсюда вытекает формула
ОО
f(z) = Bл)-1 J -^-Л (Re(«)>0); (И)
— OQ
ее можно вывести следующим образом. По теореме Коши об инте-
интегральном представлении
f(z) = Bniyl jj^jdZ (Re(s)>0). A2)
с
где контур интегрирования С, охватывающий точку z% можно соста-
состарить из направленных отрезков
— iNkt xx-\-iNk.
xo — iNk9
xx% —NH I(
4. Теоремы Пэли — Винера. Преобразование Лапласа 231
Полагая k ->оо и принимая во внимание A0), получаем
При ATj —> оо второе слагаемое в правой части стремится к нулю; это
видно из G') и неравенства Шварца. Полагая в первом слагаемом
хо = хп, мы при п~>оо получаем формулу A1). Аналогично выво-
выводится равенство
с»
J TT=Tdt==0 при
Определим теперь вспомогательную функцию h(x):
Л (дг) = 0 при л:<0 и h(x)=e~zx при х > 0 (Re Br) > 0).
Тогда
J h(x)eixtdx = J
—оо О
откуда по теореме Планшереля
Ы.».B„Г' Г^ = { °2Х "РИ Х<"' ReW>0. A4)
w-»co J z — it ( e~zx при л: > О,
Точно так же получаем
{-f" "РИ *<; 0.A40
ЛГ->оо ЛГ
Теперь, применяя к выражению (И) равенство Парсеваля B7) из
гл. VI, § 2, мы видим, что функция f(z) действительно представляет
собой одностороннее преобразование Лапласа функции g(t), опреде-
определяемой формулой (9). Применяя равенство Парсеваля к выраже-
выражению A3), мы находим также, что g(t) = O при t < 0.
Докажем, наконец, что имеет место формула (8).
Складывая A1) и A3), мы получаем для функции f(z) предста-
представление в виде интеграла Пуассона
оо
-? J (tJJyP+jfldt для всех х > 0. A5)
Учитывая, что
—СО
232 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
мы находим, что
Поэтому
где функция ц(/+1 $) непрерывна по s, обращается в нуль при 5 = 0
и 0<ц(/+;*)<4||/+||2.
Чтобы показать, что правая часть стремится к нулю при х 10,
зададим призвольное е>0 и выберем такое 6 = 6(е)>0, чтобы
при |s|<;6 выполнялось неравенство И»(/+; s)<ie. Разобьем инте-
интеграл на три слагаемых:
=? J + J
I 6
J
-ОО -6 6 J
Из A6) видно, что |/2|<^е; кроме того,
1||+H2 (У=1, 3).
Отсюда ясно, что интеграл слева стремится к нулю при х | 0. Это
и доказывает теорему.
Замечание 1. Первоначальная формулировка и доказательство,
этой теоремы имеются в работе Пэли — Винера [1]. По поводу одно-
одностороннего преобразования Лапласа медленно растущих обобщенных
функций см. Л. Шварц [2].
Замечание 2. Сато [1] принадлежит удачная идея определить „обоб-
„обобщенную функцию" как „граничное значение аналитической функции".
Эту идею можно пояснить следующим образом. Обозначим через 93
совокупность всех функций <р(г), определенных и регуляоных в верх-
верхней и нижней полуплоскостях комплексной ^-плоскости, и пусть SR —
совокупность всех функций, регулярных на всей комплексной пло-
плоскости. Множество 93 представляет собой кольцо по сложению и
умножению функций, а Ш — подкольцо кольца 93. Сато называет
класс вычетов (mod 91), содержащий функцию ф(г), „обобщенной
5. Теорема Титчмарша 233
функцией" ф(х) на вещественной оси Z?1, определяемой функцией ф(х).
„Обобщенная производная" d(p(x)/dx обобщенной функции ф(х) есте-
естественным образом определяется как класс вычетов (mod 9ft), содержа-
содержащий производную dq>(z)/dz. Так, например, „дельта-функция 6(х)"
при таком определении — это класс вычетов (mod Я), содержащий
функцию —Bnt)~l z~l. Теория Сато „обобщенных функций многих
переменных" допускает следующую весьма интересную топологическую
интерпретацию. Пусть М — вещественное я-мерное аналитическое
многообразие и X— комплексификация М. Тогда я-мерная группа
относительных когомологий Нп(Х mod(X— М)) с коэффициентами
в пучке ростков регулярных функций, заданных в X, приводит
к понятию „обобщенной функции на Ми. Таким образом, класс отно-
относительных когомологий является естественным определением „обоб-
„обобщенной функции".
Замечание 3. Более подробное изложение преобразования Фурье
обобщенных функций можно найти в книгах Л. Шварца [1] и Гель-
фанда — Шилова [1]. В последней книге, кроме пространств типа
2) (/?"), <5(/?п) и OM(Rn), вводится еще целый ряд классов основ-
основных функций, для которых определяются обобщенные функции и изу-
изучаются преобразования Фурье соответствующих обобщенных функ-
функций. См. также Фридман [!] и Хёрмандер [6].
5, Теорема Титчмарша
Теорема (Титчмарш). Пусть f(x) и g(x) — непрерывные веще-
вещественные или комплексные функции, определенные в области 0<^х < ос,
такие, что выражение
X
l О)
обращается тождественно в нуль. Тогда по крайней мере одна из
функций f(x) или g(x) должна тождественно равняться нулю.
Существуют различные доказательства этой важной теоремы,
например, принадлежащие Титчмаршу [1], а также Краму и Дюф-
реснуа. Доказательство, которое мы даем здесь, принадлежит Рылль-
Нардзевскюму [1]; оно приводится также в книге Микусинского [1].
Это доказательство элементарно в том смысле, что в нем не исполь-
используется теория функций комплексного переменного.
Лемма 1 (Фрагмен). Если функция g(u) непрерывна в отрезке
то для t из области 0<^t^T имеет место формула
lim
Г t
-f ekx«-u)g(u)du= f g(u)du. B)
о
234
VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
Доказательство. Напишем очевидное разложение
При любых фиксированных х и t ряд слева сходится равномерно
относительно и в отрезке 0 <; и ^ 7\ поэтому его можно почленно
интегрировать. Выполняя интегрирование и применяя лемму Лебега —
Фату, мы получаем формулу B).
Лемма 2. Если функция /(/) непрерывна при 0 ^ t <! Т и
т
М для значений я=1, 2, .... где положительная
J entf(t)dt
постоянная М не зависит от я, то функция f(t) тождественно равна
нулю в отрезке 0 <! t ^ Т.
Доказательство. Воспользуемся неравенством
ft-1 О
?.1
Если t < Г, то выражение справа стремится' к нулю при я—>оо.
Поэтому, полагая g(u) — f(T — и) и применяя лемму 1, мы видим,
что Г / (Т — u)du = 0 при всех 0 <^ t ^ Г. Так как функция / непре-
о
рывна, отсюда следует, что f(t) = Q для всех t из отрезка 0<^<[7\
Следствие 1. Если функция g(x) непрерывна при
существует такое положительное число N, что
х
J xng(x)dx
то g(x) =
i
при
= 1, 2, ...).
Доказательство. Полагая х = ег% X = ет и xg(x) = / (?), мы полу-
получаем по лемме 2, что f(t) = Q при 0<!*<;7\ Поэтому и xg(x) = 0
при l^x^.Y. Отсюда следует, что g(x) = 0 при I^a:^^.
Следствие 2 (теорема Лерха). Пусть функция f(t) непрерывна
в области 0<*<7 и J tnf (t)dt = O (л= 1, 2, . ..); тогда /@ = 0
При всех значениях
, Г].
5. Теорема Титчмарша
235
Доказательство. Пусть t0 — произвольная точка интервала (О, Т)\
положим t = tox, T = t0X, f(t) = g(x). Тогда
xng(x)dx =
=1, 2, ...).
и поэтому Г xng (x) dx = f xng (x) dx < f | g (x) \ dx = N
1 0 0
(n=l, 2, ...)• Применяя следствие 1, мы видим, что g(x) = 0 для
\^.х^Х, откуда f(t) — O при to^t<^T. Так как ^ — произволь-
произвольная точка интервала (О, Г), то /(?)=() на всем отрезке О^^-^Г.
Доказательство теоремы Титчмарша. Докажем сначала эту тео-
теорему в частном случае, когда f = g: если функция f(t) непрерывна
и (f*f)(t)==jf(t — u)f(u)du = O при всех значениях 0</<27\
о
то /@ = 0 при 0<*<7\
Производя в равенстве
ГвяBг-о ( f(u)f(t — u)du)dt = O
о ^о /
замену переменных и = Т — г>, t = 2T — v — w, мы получаем
J I en(v+w)f(T — v)f(T — w)dvdw = 0t
A
где Л — треугольник v-\-w^§% v^iT, w>^T на плоскости v, w.
Обозначим через Д' треугольник вида ^-f-w^O, v^ — 7, w^>—T.
Тогда объединение Д-f- к' представляет собой квадрат —T>^vtw^T.
Полученное выше равенство показывает, что интеграл от функции
en{v+w)f(T — v)f(T — w) по квадрату Л + А' равен интегралу от
этой же функции по области Л'. Интеграл по А + А' представляет
собой произведение двух однократных интегралов, а в интеграле по А7
выполняется неравенство еп (v+w) ^ 1. Поэтому
м
J enaf(T
-Т
v)f(T — w) dv dw
Д+Д'
J236
VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
где А — максимум |/@1 ПРИ 0<^<27\ а 2 Г2— площадь треуголь-
треугольника Л'. Отсюда
т
J enaf(T — u)du
и, кроме того, | e'll&f('l' — u)du <^,ГА. Таким образом,
т то
[ enuf(T — u)du = f — Г <A + /2)ГЛ (я=1, 2, ...)
О -7- -Г
и в силу следствия 2 f(t) = O для всех ??[0, Т].
Теперь мы можем доказать теорему Титчмарша для общего случая.
Допустим, что Г / (t — u)g(u) du~0 при 0 <^ t < оо. Тогда
для
всех значений 0 ^ t < оо
t
Это можно записать в виде
где
Следовательно,
и поэтому
К/
(/i * ^i)l @ + К/
==t j f(t — u)g(u)du
0
gx)\ @ = 0.
Последнее означает, что [(/*g>i)*(/*gr1))(O==0, так как (f*g) @=0.
Это приводит к рассмотренному выше частному случаю; мы видим,
что (/*#!> @ = 0, т. е.
t
J f(t — u)ug(u)du = O @<*<oo).
о
Из этого равенства, применяя аналогичные рассуждения, мы получаем
6. Операторное исчисление Минусинского 23?
Повторяя эти рассуждения, мы находим, что
u)ung(u)du = O @<*<оо, л=1, 2, ...)•
J
о
о
Отсюда, согласно следствию 2,
f (t — u)g(u) = Q при 0^#<;?<oo.
Если предположить, что имеется точка и0, в которой
то f{t—ио) — О при всех t^>u0, т. е. /(г>)==0 для всех г>>>0.
Поэтому либо / (г>) = 0 при всех v ^ О, либо g (v) = 0 при всех v ^ 0.
б. Операторное исчисление Минусинского
В своей книге „Electromagnetic Theory" (London, 1899) физик
Хевисайд ввел операционное исчисление и успешно применял его
к обыкновенным дифференциальным уравнениям, связанным с задачами
электротехники. В этом исчислении встречались операторы, точный
смысл которых был не вполне ясен. Интерпретация таких операторов,
предложенная самим Хевисайдом, приводит к ряду трудностей. Интер-
Интерпретация, предложенная его последователями, основывается на теории
преобразований Лапласа, поэтому при таком подходе остается неяс-
неясным, насколько в действительности широка область применимости
операционного метода. Предложенная Микусинским теория, основан-
основанная на операции, обратной свертке, позволяет придать операционному
исчислению простую и ясную форму, допускающую приложение
к обыкновенным дифференциальным уравнениям с постоянными коэф-
коэффициентами, а также к некоторым уравнениям в частных производных
с постоянными коэффициентами, разностным и интегральным уравнениям.
Операция, обратная свертке. Обозначим через С совокупность
всех непрерывных комплексных функций fit), определенных при
0<^<оо. В этом параграфе мы будем обозначать функции сим-
символом {/@} или /. а через fit)—значение функции / в точке t.
Свертку вида < Г fit — s)g"(s)dte[ функций / и g мы будем обо-
1о I
значать через {/@) • {#40} или / * g-
(I 1
lo J
Как было показано в гл. VI, § 3,
f . g = g . f (коммутативность), B)
/ . ig . /г) = (/ . g). h (ассоциативность). (З)
238 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
Кроме операции „умножения" / • g, определенной как свертка /
и g, мы можем ввести также операцию сложения
[f(t)) + lgV)) = {fV) + g(t)}. D)
При этом выполняется распределительный закон
g. E)
Множество С образует кольцо по сложению f~\-g и умножению / • g.
Нулем в этом кольце служит функция, тождественно равная нулю;
мы будем обозначать ее через 0; С — это кольцо без делителей
нуля, т. е. если /.^ = 0 в С, то по крайней мере одна из функ-
функций / или g равна 0. Последнее вытекает из доказанной выше теоремы
Титчмарша. Введем операцию, обратную „умножению" f . g = f * g,
как операцию, обратную свертке, т. е. определим „отношение"
: — двух функций f,g(z С, где g Ф 0, следующим образом:
равенство а'Ь = c/d эквивалентно а • d — b • с, /^ч
в частности, а/b = с эквивалентно а-~ b • с,
а с а.с G)
(8)
(9)
Мы получаем коммутативное поле Q.
Оператор. Отношение а/b мы будем называть „оператором".
Всякий элемент а?С представляет собой пример оператора, так как
его можно отождествить, согласно (9), с а • bjbijb Ф ОI).
Единица или 6-оператор. Оператор с/с(сФ0) представляет
собой единицу операции умножения в поле Q. Действительно, со-
согласно G) и (9), имеем
f-f-т- "°>
Кроме того, по правилу F) с/с — Ь/Ь. Мы будем называть с/с еди-
единицей, или Ь-оператором, и обозначать через 1:
j а а < а
' Т~"Т' ~~Т'
b
а
Ь
а
b
d
1 с
~т~ d
а •
Ь-
с
с
b-d *
a-d-\-b -с
b-d
(с Ф 0).
1) Если в С существует функция ф, такая, что / = ^-Ф, то „отноше-
„отношение" fig обозначает функцию ф. Если для fug такой функции ф нет,
то „отношение" f/g формально присоединяется к С как „обобщенный*
элемент поля Q или „оператор" (по терминологии Микусинского). См. Мину-
Минусинский [1], [2*]. — Прим. перед.
6. Операторное исчисление Минусинского
239
Заметим, что оператор 1 = с/с не принадлежит множеству С; в самом
деле, примем за с функцию {1}. Если допустить, что {1}/{1} =
= {/(?)}? С, то должно получиться равенство
J l.f(s)ds =! J/(*)<**= {1}.
о I j
которое, очевидно, неверно.
Оператор интегрирования. Обозначим через h оператор, опре-
определяемый функцией {1}:
*={!}. A2)
и назовем h оператором интегрирования. В самом деле, это назва-
название оправдывается тем, что для любой функции / ? С, как мы уже
видели выше,
*•{/(')} = {1} •{/(')}={ \ f(s)ds
l о
A3)
Замечание. В книге Микусинского, на которую мы уже ссыла-
ссылались, для функции {1} применяется символ /. Мы будем использо-
использовать для этой цели символ h в честь Хевисайда. Всякую локально
интегрируемую функцию {/@} (* ^ 0) можно отождествить с операто-
оператором I f f(s)ds
h. Таким образом, отношения в поле Q предста-
вляют собой „обобщенные функции".
Скалярный оператор. Пусть а — произвольное комплексное число
и {а} — функция, тождественно равная а. Оператор
= {а}//* A4)
называется скалярным оператором, так как
Доказательство. Имеем
240 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
Замечание. Как следствие мы получаем формулу
т. е. действие оператора [а] в точности совпадает с умножением на
скаляр а. Поэтому скалярный оператор {1}/{1} можно отождествить
с оператором 1, а оператор [а] — с числом а.
Оператор дифференцирования. Обозначим оператор \\h сим-
символом s:
A7)
Оператор 5 называется оператором дифференцирования, потому
что если функция /={/@)?С имеет непрерывную производную
/'={/'(/)}. то
в/=/4-/@). где /@)={/@)}/Л. A8)
Доказательство. Умножим обе части равенства
{/@} = {/@)}+ J f'Ods =* • /@) + * • [/'«))
I о J
на 5 и используем то, что 5 • h = h • 5 = 1.
Следствие 1. Если функция/= {/@} имеет непрерывную произ-
производную я-го порядка /(/1)= {/(/1) (?)}, то
/(nW . f-sn~x . f@)-sn-2 • /@)— ... -s . f<n-2\0)-f<n-l\0),
A9)
где-/(У)@) —оператор умножения на /Л@), т. е. /(У)@)= {/Л@)}/А.
Доказательство. При /г = 2 мы имеем
/@).
В общем случае доказательство проводится по индукции.
Следствие 2. Имеет место формула
l/(s-a) ={*«<} B0)
и более общее соотношение
(п= 1, 2, ...)• B1)
6. Операторное исчисление Минусинского 241
Доказательство. Согласно A8), s- {eat} = [aeat)-{-l=a
таким образом, формула B0) доказана. Далее,
1/E — аJ ={*«'} . \еа'} = | J ea«-*)easds \ = \eat j ds
lo J l о
Продолжая таким образом, получим общую формулу B1).
Приложение к интегрированию линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Мы проиллюстрируем эти приложения на примерах.
Пример 1. Требуется решить уравнение
r" (t\ xf (t\ (\x (t\ — 9
Решение. Запишем это уравнение в операторной форме
х" @ — х' @ — 6х @ = 2/5.
Тогда, учитывая A9), получаем
с* . v* ___ с . v* ^О^ — V*' ^0^ —— с v* 1 у» /О^ — R v* —— 9/о
О Лг " О • Л> \\j 1 ~~~ Л> \\J J "~~~ о Л ]— Л \\J I ~~~ иЛ лл\ о .
Подставляя начальные значения, мы приходим к уравнению
S2X — 5 — 5-АГ+1 —6х = 2/5, Т. е. E2 — 5 — 6) • ЛГ = 5— 1
Теперь применяем формулу B0):
_ 52 — s Ч- 2 11,8 1 ,4 1
S-E— 3)-E + 2) 3 5^15 5 — 3^5 5 + 2 ~
Пример 2. Пусть к — произвольная отличная от нуля постоян-
постоянная. Требуется решить уравнение
= 0, л;@) = а, х7(О) = р.
Решение. В операторной форме это уравнение запишется так:
S2. x_as — pjt.X2Xz==Qt т е (sr2 -f- Л.2) • л; =
Разлагая на простейшие дроби, получаем
_ у . 6
52 + Л2 ~ "*"
16 К. Иосида
52 + Л2 5 + Д * 5 —
242 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
где as + P = YO — ih) + b(s-{-ik), т. е.
+4). •-»-(—4)-
Следовательно,
* = ТГ + т) Т+а + Т (а~ т) 7=7Г =
Пример 3, Требуется решить систему уравнений
х' (?) - а* (?) - ру @ = р*°<, / @ + р* (О - ау (О = О
с начальными условиями л;@) = 0, у@)=1.
Решение. Решая уравнения в операторной форме
s - х — ал: — ру = p/(s — a), s • 3; — 1 + рх — ау = О,
получаем
2Р (JР2
откуда
Т
2E —aI _ 1 . 1 1
(s — aJ-f P2 s —a s —a —/p ' s —a + /p s —a
_ ^(a-/p) / _ e<x*} = {^ B Cos P* — 1)}.
Дальнейшее развитие этого метода и приложения см. у Мику-
синского [1], [2*], а также Эрдейи [1].
7. Лемма Соболева
Всякая обобщенная функция бесконечно дифференцируема в обоб-
обобщенном смысле (см. гл. 1, § 8). Поэтому дифференцируемость
в обобщенном смысле не связана непосредственно с обычной диф-
ференцируемостью. Однако имеет место следующий результат, весьма
важный для современного подхода к уравнениям в частных про-
производных.
Теорема (лемма Соболева). Пусть О — ограниченная открытая
область пространства Rn. Допустим, что функция и(х) принадлежит
Wk(Q) при k > 2~1#-f-0» где a — неотрицательное целое число.
Таким образом, мы предполагаем, что все обобщенные производные
7. Лемма Соболева 243
функции и(х) до порядка к включительно принадлежат L2(G). Тогда
для всякого открытого подмножества Gx области G, замыкание кото-
которого G\ образует бикомпактное подмножество области G, существует
такая функция ul(x)^Ca(Gl)i что почти всюду в Qx выполняется
равенство и (х) = их (х).
Доказательство. Выберем из Со°(/?") функцию а(х), удовлетво-
удовлетворяющую условиям
О\ ? supp(a) cz О, 0^а(лс)^1 и а(лг)=1 при
Определим на пространстве R" вспомогательную функцию v(x):
= a(x)u(x) при x?G; v(x) — 0 при x?Rn — G.
Тогда v(x) = и (х) при всех x?Gx. Так как функция v(x) локально
интегрируема в Rn, она определяет некоторую обобщенную функ-
функцию, принадлежащую 2) (Rn)'. Из предположения и ? Wk (G) следует,
что обобщенные производные Dsv(х)?L2(Rn) при |s|<&. Например,
обобщенная производная
да . д
dxj w— dxj
принадлежит L2(Rn)t потому что обе функции и и du/dxj принад-
принадлежат L2(G)t а функция а(х) бесконечно дифференцируема и ее
носитель содержится в некотором бикомпактном подмножестве откры-
открытой области О.
Преобразование Фурье v(x) -> v (у) приводит к равенству
По теореме Планшереля преобразование Фурье сохраняет /Лнорму,
поэтилу (Dsv)(y)?L2(Rn) при |s|^^. Таким образом,
В частности,
5Ял)- (Ю
Возьмем систему неотрицательных целых чисел q=(qv q2* • • •» Яп)'
Из A) следует, что
• • yQn интегрируема по Rn при всех j?| +-тг<^* B)
244 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
В самом деле, возьмем любое положительное число С. Применяя
неравенство Шварца, получаем
J \ну)уЫ* ¦¦¦у9пп
f
/ f
|у|<с |y|<c
J
lyl>c
x J
|y|>c
Второй сомножитель в правой части последнего неравенства, сог-
согласно A), конечен. Первый множитель тоже конечен, если
2|?|—2* + и—1 < —1. т. е. если k>j+\q\.
так как
dy = dyxdy2... dyn = г"-1 drdun, C)
где dQn—элемент гиперповерхности единичной сферы пространства Rn
с центром в начале координат. По теореме Планшереля
v(x) = l.l.m.Bn)-"p f d(y)txp(i(y, x))dy;
поэтому, так же как при доказательстве полноты пространства L2(Rn)9
мы можем выбрать последовательность \hf) положительных целых
чисел h так, что для почти всех точек x?Rn
v(x) = lim BлГл/2 f 5
Но, как показано выше, функция v (у) интегрируема по всему про-
пространству /?л, поэтому правая часть последнего равенства равна
\i(y)exp(i(x, y))dy.
т. е. v(x) для почти всех значений x?Rn совпадает с vx (x). Усло-
Условие B) позволяет дифференцировать выражение для vx (x) под знаком
интеграла до порядка а включительно, причем результат диффе-
дифференцирования непрерывен по х. Полагая их(х) = vx(лг) при
мы завершаем доказательство теоремы.
8. Неравенство Гординга 245
Замечание. Первоначальное доказательство этой теоремы, при-
принадлежащее С. Л. Соболеву, можно найти в работах Соболева [1],
B], Канторовича — Акилова [1].
8. Неравенство Гординга
Рассмотрим интегральную квадратичную форму для функции
и(х) = и(хг, х2 xn)^C°°t имеющей бикомпактный носитель,
принадлежащий ограниченной области G пространства Rn:
В [и, и]= 2 (cstDsu, D'u^, A)
HI, \t\<m
где комплекснозначные коэффициенты cst непрерывны в замыкании Ga
области G, а (#, v\ — скалярное произведение в L2(O).
Имеет место следующая
Теорема (Гординг [1]). Для того чтобы существовали положи-
положительные постоянные с, С, такие, что неравенство
||«||2m<CReS[«. и) + С||«||02 B)
выполняется при всех функциях tf?Co°(G), достаточно, чтобы для
некоторой положительной постоянной с0
Re S с«1%<>со\1\2т C)
1*1. m-m
для всех х?О и всех вещественных векторов ! = (?,, |2 im)-
Замечание. Неравенство B) называется неравенством Гординга.
Если условие C) выполняется и коэффициенты cst ? Ст в области Оа,
то дифференциальный оператор
?= 2 &с«& D)
\s\,\t\<m
называется сильно эллиптическим в G.
Доказательство. Сначала мы покажем, что для всякого е > О
найдется постоянная С(е)>0, такая, что для любой функции
#?Co°(G) выполняется неравенство
NlL.^IMll+cooiMlo- E)
Чтобы убедиться в этом, мы будем считать, что и ?Cq° (/?*), полагая
и = 0 вне G. Применяя преобразование Фурье и теорему Планше-
реля, получаем
246 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
Таким образом, неравенство E) следует из того, что выражение
s
п п
где Ы=25/» И=2*/» стремится к нулю равномерно относи-
У-l У-1
тельно переменных у = (ур у2 ул) при С f oo.
Допустим, что коэффициенты с5/ постоянны и отличны от нуля
только при |s| = |f|=/it. Применяя преобразование Фурье и(х)-+
->#(|) и теорему Планшереля, а также учитывая C), мы приходим
к неравенству
Re В [и. u] = Re f S^i'l«
где сх > 0 — постоянная, не зависящая от и. Таким образом, в дан-
данном частном случае условие B) выполняется, так как справедливо
условие E).
Теперь перейдем к случаю переменных коэффициентов cst. Вначале
допустим, что носитель функции и содержится в некотором шаре
достаточно малого радиуса с центром в начале координат. Используя
полученный ранее результат, мы приходим к неравенству
J c« <*>D%u' *****+c (*> IM&
\s\+\t\<2m
где с'о > О—некоторая постоянная, не зависящая от и. Если носитель
функции и расположен в столь малом шаре, что колебания функ-
функций cst в пределах этого множества достаточно малы, то второе
слагаемое в правой части будет не больше чем г"^!! я ||^. Третье
слагаемое в правой части не превосходит величины ||и||т • ||и||т_,,
умноженной на некоторую положительную постоянную. Следовательно,
2Л>||2т<1*еВ[«, в]-Ьconstant • || « ||т • ||«!]„,_, + С(е) ||a|g.
где „constant" здесь и далее обозначает положительные постоянные.
Тогда, поскольку неравенство
F)
9. Теорема Фридрихса 247
выполняется при любом е > 0, мы получаем оценку вида
|| и \?т < constant. Re В [и, и] + constant. || и \fm^ + С (е). || и |g.
откуда, учитывая E), мы выводим условие B).
Наконец, перейдем к общему случаю. Построим разбиение еди-
единицы в области О:
N
1=2 ©у. «veCo^G) и (оу(д:)>0 при х?О,
так, чтобы носители всех функций ©у были заключены в достаточно
малом шаре с центром в начале координат. Тогда, применяя правило
Лейбница дифференцирования произведения функций, неравенство
Шварца и выведенную ранее оценку, получаем
Re В [и, и] = Re 2 f cstDsuDQ dx = Re 2 2 f (AcstD'uD'u dx =
s, t J s, t j J
= Re 2 S cst&(«,«) O' E^) ** + О (|| и L • II« L-i) >
Далее, применяя неравенство E), мы приходим к условию B). Заметим,
что постоянные с, С в формуле B) зависят от области О, так как
они связаны ссои cst.
9. Теорема Фридрихса
Рассмотрим сильно эллиптический оператор
L= 2 &с«(х)& A)
\s\>\t\<m
с вещественными коэффициентами cst (х) ? С°°, определенными в огра-
ограниченной открытой области G пространства Rn. Пусть функция f(x)
с локально интегрируемым квадратом определена в области G. Функ-
Функция и(х) с локально интегрируемым квадратом в области G называ-
называется обобщенным решением уравнения
?« = /. B)
если
(a, L*<p\. = (J, го)., где L* =
*= 2 (-lfl^D%t(x)Dst C)
248 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
для всякой функции (jp?CjJ°(G). Выражение (/, gH обозначает здесь
скалярное произведение в гильбертовом пространстве L2(G). Обоб-
Обобщенные решения, таким образом, понимаются в смысле теории обоб-
обобщенных функций.
В отношении дифференцируемости обобщенных решений справедлив
следующий важный результат.
Теорема (Фридрихе [1]). В области Gx с О, где функция / имеет
интегрируемые с квадратом обобщенные производные до порядка р
включительно, всякое обобщенное решение уравнения B) обладает
интегрируемыми с квадратом обобщенными производными до порядка
Bт -\-р) включительно. Иными словами, если / принадлежит WP(GX),
то обобщенное решение и уравнения B) принадлежит Wp+2m (Oj).
Следствие. Если р = оо, то по лемме Соболева существует такая
функция и0(х) ?С°°(Oj), что и(х) — ио(х) для почти всех x?Gv
Поэтому после поправки на множестве меры нуль обобщенное реше-
решение и (х) уравнения B) будет принадлежать С00 во всякой подобласти
области О, в которой f(x)?C°°. Следовательно, такое исправленное
решение в области, где /(лО^С0*, представляет собой классическое
решение (т. е. решение в смысле обычного, а не обобщенного диф-
дифференцирования) дифференциального уравнения B).
Замечание. Если ? = Д (оператор Лапласа), то сформулирован-
сформулированное выше следствие совпадает с леммой Вейля (см. гл. II, § 7).
Имеется обширная литература, касающаяся обобщений леммы Вейля
для произвольных эллиптических операторов L; такие обобщения
часто называют теоремами Вейля — Шварца. Мы ограничимся здесь
указанием на работы П. Лакса [2] и Ниренберга [1], [2].
Приведенное ниже доказательство принадлежит автору (не опу-
опубликовано). Сходное доказательство предложил Берс [1]. Следует
заметить, что всякую недифференцируемую локально интегрируемую
функцию f(x) можно рассматривать как обобщенное решение гипер-
гиперболического уравнения
дхду =0;
это следует из формулы
dx=o (ф(*'
Доказательство теоремы Фридрихса. Для наших целей доста-
достаточно ограничиться рассмотрением вещественных функций. Мы можем
также допустить, что сильно эллиптический оператор L удовлетво-
удовлетворяет неравенству Гординга
6Ы* D>0).
(y>o)
9. Теорема Фридрихса 249
для любых ф, Ф6С^°@). Если это не так, можно заменить L опе-
оператором f-\-aL, подобрав подходящую константу а Ф 0. Второе из
написанных неравенств легко выводится с помощью интегрирования
по частям. Мы считаем здесь, что все производные коэффициен-
коэффициентов cst(x) до порядка т включительно ограничены в области G, так
что постоянные 6 и Y не зависят от выбора основных функций
Ф Ф6(
Предположим, что область Gx представляет собой параллелепипед
0<*у<2я (/=1. 2 п) E)
и что все коэффициенты оператора L и функции / периодичны по
каждой из переменных Xj с периодом 2л. При этих условиях можно
считать, что функции ф (х) заданы на бикомпактном пространстве
без границы, а именно на я-мерном торе Gv определяемом форму-
формулой E), и обобщенные функции, принадлежащие С°°(ОХУ, соответ-
соответствуют пространству основных функций ф^С0О@1), состоящему из
всех функций ф(лс)==ф(д:1, лс2, .... хп)?С°°, периодических по каждой
из переменных Xj с периодом 2я. Заметим, что, поскольку Gx — область
без границы, нет необходимости накладывать дополнительные огра-
ограничения на носители основных функций q>(x).
Условие v?Wq (Gj) в наших предположениях означает, что для
коэффициентов Фурье vk функции v(x)t входящих в разложение
Фурье
v(x)— 2 vk ехР (** • х)
[* = (*! *л). Х-=(ХХ Хп) И k-X=2ikjXj], (б)
выполняется условие
(aJi) G)
В самом деле, интегрируя по частям, мы легко обнаруживаем,
что коэффициенты Фурье обобщенной производной Dsv удовлетво-
удовлетворяют следующим соотношениям:
уЧ. где s = (sv, s2 sn).
Применяя теперь равенство Парсеваля к коэффициентам Фурье функ*
ции Dgv^L2(GlI мы получаем соотношение G).
Для дальнейшего удобно ввести пространства Wq (Ox) с любыми
целыми показателями q, считая, что последовательность [wk\ k=z
= (kv k2 kn)) комплексных чисел wk% обладающая свойством
250 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
wk=^w^.kf принадлежит Wg(G{), если для нее выполняется требова-
требование G). В таком пространстве Wq (Gx) можно ввести норму || [wk] \\q =
= /2 I wk I2 0 -f-1 * \2)g) • Если применить равенство Парсеваля
к полной ортонормированной системе {Bя)~л/2 ехр(/& • х)} простран-
пространства L2(Ox)t то легко обнаружить, что при q^Q норма ||z/|| =
= ( 2j j I Dsv(x)\2dx} эквивалентна норме || \vk) \\q% где v(x) —
\s\<q Ot
~ 2 vk exP (** * x)>
k
Из приведенного доказательства неравенства G) видно, что если
/€W(Gi). то D*/6V45|(Oi) и q)/6W(Gi) Для функций
Ф 6 ^0° (Ох). Следовательно,
если f?WP(Gx), то для любого дифференциального
оператора N порядка q с коэффициентами из Cq(G^)
мы имеем Nf^Wp4ql(Ox). (8)
Для того чтобы доказать теорему в рассматриваемом сейчас слу-
случае периодических функций, мы сначала покажем, что можно, не
ограничивая общности, считать обобщенное решение tt?Z,2(Gj) =
= W°(G1) уравнения B) принадлежащим Wm(Gl). Это можно обо-
обосновать следующим образом. Положим
где и(х) — рассматриваемое решение. Тогда, как нетрудно заметить,
v(x)?W2m(Gx) и v представляет собой обобщенное решение урав-
п
нения (/ — &)mv — u, где Л — оператор Лапласа ^д2/дх2,. Поэтому
функция v(x) оказывается обобщенным решением сильно эллиптиче-
эллиптического уравнения порядка 4т:
Если мы покажем, что предположения u?Wm, Lu = f9 где L — опе-
оператор /и-го порядка, влекут за собой условие u?W2m+pt то обоб-
обобщенное решение v?W2m(Gx) уравнения порядка 4т на самом деле
будет принадлежать W*m+p(Gl). Тогда из условия (8) будет следовать,
что u = (l — t±)mv принадлежит WAm+p~2m (Qx) = WpVlm(Qx). Таким
образом, допущение u?Wm(Gx), где и — рассматриваемое обобщен-
обобщенное решение уравнения B), не ограничивает общности (здесь число т
равно половине порядка 2т оператора L). Итак, будем считать, что
9. Теорема Фридрихса 251
Неравенство Гординга D) выполняется для операторов L и (/—Л У",
поэтому мы можем применить теорему Лакса — Мильграма (гл. III,
§ 7), а именно билинейные формы, определенные на C°°(GX):
(ф, ф)' = (<р, Гф)о и (Ф, ф)" = (Ф, (/-ДГфH. (9)
можно продолжить до непрерывных билинейных форм, определенных
на Wm(Gx), таким образом, чтобы для любых ф, i|)^U^m(G1) выпол-
выполнялось условие
(ГФ, ф)' = (ф| ф)т, (Г"Ф, ф)" = (ф, ф)т,
где Тг и 71" — взаимно непрерывные взаимно однозначные линейные
отображения пространства Wm(Gx) на себя. Но тогда Tm— T"(Т')~1 —
это взаимно непрерывное взаимно однозначное линейное отображе-
отображение Wm(Gx) на себя, такое, что
(ф, ф)' = (Гтф, ф)" для всех ф, фб^"*^). A0)
Можно показать, что
для любого у^>1 оператор Тт отображает Wm+*(G{)
на себя взаимно однозначно и взаимно непрерывно. A1)
В самом деле,
(Ф. ^(/-Л)^ = (Гщф. (/-Л)т+Ч)о Д^ всех Ф, Ф6С°°(О,).
С другой стороны, если применить теорему Лакса — Мильграма
к сильно эллиптическим операторам (/ — A)^L и (/ — h)m+J, то можно
установить, что существует взаимно непрерывное взаимно однознач-
однозначное линейное отображение Tm+J пространства Wm + J(Gl) на себя,
такое, что
(Ф, ?*(/ — Д)УФ)о = G\п+/Р. ('-Af+/4>)o Д^ всех <р, Фб^^).
Поэтому функция w = (Tm+J — Тт)ц) при любом выборе ф^С0О@1)
является обобщенным решением уравнения (/ — A)m+^w = 0. Но такое
решение w(x) должно тождественно равняться нулю. Действительно,
коэффициенты Фурье wk функции до (л;) удовлетворяют условию
0=((/
и поэтому ^==0 для всех значений к. Таким образом, разность
(Tm+j — Тт) обращается в нуль на С00^). Множество С°°(ЬХ) плотно
в wm+-/(O1)e Wm(Gx), так как множество тригонометрических поли-
полиномов 2 *>м exp(fA- л:) плотно в пространстве Wm*j(Gx). Поэтому
\k\ <оо
Tm*j=Tm на пространстве Wn+J (О,).
252 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
Теперь мы можем доказать теорему о дифференцируемое™ для
рассматриваемого периодического случая. Для ф? С00 (Oj) выполняется
условие
Следовательно, для функций
тши ~ 2 ^ exp (/ft • а:), ф (*) ~ 2 Ф* е*Р С* •
мы, применяя равенство Парсеваля, получаем
G>, (/ - дг ч%=2 *, A+1 * рг ¦»=2 /»
Так как функция Ф6СЭО@1) выбиралась произвольно, то
'*О+|*|Т = /*. и поэтому rme6WrP+2m(O1). ибо f?Wp(Ox).
Отсюда, согласно A1), и ^ U^p+2m (О,). Следует отметить, что полу-
полученный нами вывод о том, что u?Wp+2m(Gl), верен даже тогда,
когда 0>р>A — /я), т. е. когда {/*} ?Н7Р(О) со значением р
из отрезка 0^-/?^A—т). Действительно, /;-f-2m ^>m+1, и
поэтому можно использовать условие A1).
Теперь нужно провести заключительную часть доказательства,
относящуюся к общему случаю непериодических функций. Следующие
далее рассуждения принадлежат П. Лаксу [2].
Мы хотим сейчас доказать теорему о дифференцируемости в общем
случае для некоторой окрестности произвольной точки л:0 области О.
Пусть Р(*) ? С^°(G)—функция, равная тождественно единице в не-
некоторой окрестности точки а:0. Обозначим $и через и'. Функция и'
служит обобщенным решением уравнения
Lu' = tf-\-Nu9 A2)
где N — некоторый дифференциальный оператор порядка не выше
Bт—1), коэффициенты которого, так же как и функция (J, обра-
обращаются в нуль вне некоторой окрестности V точки х°, причем опе-
оператор N нужно применять к и в обобщенном смысле. Обобщенную
функцию PZ + Nw обозначим через /'.
Пусть параллелепипед О, содержит окрестность V; представим
себе, что коэффициенты оператора L изменяются по прежнему закону
внутри V, а вне окрестности V становятся периодическими, не теряя
свойств дифференцируемости и эллиптичности. Такое видоизменение
оператора L обозначим через V\ Тогда функция иг будет обобщен-
обобщенным решением уравнения
Uu' = f'% где /' = p/-fAtet A3)
10. Теорема Мальгранжа — Эренпрейса 253
в области О. К этому обобщенному решению и' можно применить
результаты, полученные ранее для периодического случая. Мы можем
допустить, что обобщенное решение и' принадлежит Wm(Gl). По-
Поскольку оператор N имеет порядок не выше Bт—1) и его коэф-
коэффициенты обращаются в нуль вне окрестности V, выражение /' =
= P/-f-M*. согласно (8), должно удовлетворять условию
/ ? Wpf (Ох), где// = тт(/?, т—Bт— 1))= min(/?, I— m)^\—m.
Поэтому для обобщенного решения и' уравнения A3) выполняется
условие
и ?WP\GX), где / = min(p + 2m, I —m +
Следовательно, в некоторой окрестности V точки х° функция и имеет
интегрируемые с квадратом обобщенные производные до порядка
р" ^(т-\-\). Значит, выражение /' = Р/-\-Nti обладает в окрест-
окрестности точки х° интегрируемыми с квадратом обобщенными производ-
производными до порядка
, р" — Bт — l))>min(p, 2 —m).
Еще раз применяя полученный выше результат, мы найдем, что и'
в некоторой окрестности точки х° имеет интегрируемые с квадратом
обобщенные производные до порядка
pW = min(p-\-2mt 2 — т-\-2т) = min (p + 2m, т+2).
Повторяя этот процесс, мы установим, что в некоторой окрестности
точки х° функция и обладает интегрируемыми с квадратом обобщен-
обобщенными производными до порядка р-\-2т включительно.
10. Теорема Мальгранжа — Эренпрейса
В вопросах, связанных с существованием решений, между обыкно-
обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных
производных имеется заметное различие. Классический результат
Пеано утверждает, что для существования решения обыкновенного
дифференциального уравнения dy/dx = f(xt у) достаточно лишь
одного условия — непрерывности функции /. Это утверждение рас-
распространяется также на уравнения высших порядков и на системы
уравнений. Однако для уравнений в частных производных дело
обстоит совсем не так. В 1957 г. Леви [1] построил уравнение
которое вовсе не имеет решений, даже при /^С°°, если только
функция / не аналитическая. Пример Леви привел Хёрмандера [3J
254 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
к развитию систематического метода построения линейных дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных, не имеющих решений.
Важно, таким образом, выделить классы линейных уравнений в част-
частных производных, для которых решения существуют.
Обозначим через Я(?) многочлен относительно переменных
?i» ?2» • • •» ?/*• и ПУСТЬ P(D) — линейный дифференциальный оператор,
который получается при замене переменных ?;- операторами Dj =
= t~l-?—. Оператор P(D) можно записать в виде
P(D)= 2 caDa1 где па=
m>(a)>0
a = (ap a2, .... ak), причем l<cty<>, и (a) = k.
Определение 1. Фундаментальным решением, соответствующим
оператору P(D), называется обобщенная функция Е в Rn, такая, что
Важность понятия фундаментального решения заключается в том,
что выражение
u = E*f, где /6 С (/?"),
удовлетворяет уравнению
P(D)u = f.
В самом деле, из правила дифференцирования A0), § 3, гл. VI сле-
следует, что P(D)u = (P(D)E)*f = 6*f = f.
Пример. Пусть P(D) — оператор Лапласа Д= V—^~ в прост-
пространстве Rn при /г^-3. Тогда обобщенная функция
E=Tg, где
(Sn — площадь поверхности единичной сферы в Rn)t является фунда-
фундаментальным решением для Д.
Доказательство. Переходя к сферическим координатам (rfjc =
= | х |л~! d | х | • dSn)t мы видим, что функция g(x) локально инте-
интегрируема в пространстве Rn. Следовательно,
Д7\ .2-1|(ф)= lim
eio
Выберем два положительных числа е и R > е так, чтобы носитель
supp(<p) содержался внутри шара |а:|^/?. Рассмотрим область
10. Теорема Мальгранжа — Эренпрейса 255
0:е<1| х | <! R пространства Rn и применим формулу Грина; мы получим
где 5 — граница области G, состоящая из двух частей: |л;|==еи
|л:| —/?, a v — внешняя нормаль к поверхности 5. Поскольку на по-
поверхности | х | = /? функция ф обращается в нуль, мы, учитывая,
что Л | а: |2""л = о при хфО и что —-г-= ——г в точках внутрен-
С V и I X |
ней граничной поверхности |х | = е, получаем
= - J e'-^rfS+ J B-Л)б1"
Я* |jr|-e Ul-e
п
При е | 0 выражение дф/d | х \ = 2 (*//! а: |) • dtp/dxj ограничено, и
площадь поверхности |лг| = е равна Sntn~l. Поэтому первое слагае-
слагаемое в правой части стремится к нулю при е | 0. Используя непре-
непрерывность функции ф, мы с помощью аналогичных рассуждений уста-
устанавливаем, что второй член справа стремится при е | 0 к величине
B — #Mл-ф@). Это показывает, что Tg является фундаментальным
решением для оператора Лапласа Д.
Существование фундаментального решения для всякого линейного
дифференциального уравнения в частных производных с постоянными
коэффициентами доказали независимо Мальгранж [1] и Эренпрейс [1]
в 1954—1955 гг. В приведенном ниже изложении этих результатов
мы следуем Хёрмандеру [4].
Определение 2. Положим
\Ю)>0
A)
где
Мы будем говорить, что дифференциальный оператор с постоян-
постоянными коэффициентами Q(D) слабее, чем P(D), если
Q&XCP&), |6 Я". B)
где С — некоторая положительная постоянная.
Теорема 1. Если Q — ограниченная область пространства Rn и
/?Z,2(Q), то в области Q существует такое решение и уравнения
P(D)u = ft что Q(D)u?L2(Q) для всех операторов Q, которые
слабее оператора Р. Здесь подразумевается, что операторы P(D) и
Q(D) применяются к функции и в обобщенном смысле.
Доказательство опирается на следующую теорему.
256 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
Теорема 2. Для всякого е > 0 существует такое фундаменталь-
фундаментальное решение ?, соответствующее оператору P(D), что
sup \(\7i(l+iVi)\IPa))dl u?C%{Rn\ C)
где С — положительная постоянная, не зависящая от и, а и — пре-
преобразование Фурье — Лапласа функции и:
Правая часть неравенства C) при этом, согласно теореме Пэли —
Винера (гл. VI, § 4), оказывается конечной.
Вывод теоремы 1 из теоремы 2. Заменим функцию и в фор-
формуле C) выражением Q(D)u*v, где и и v принадлежат С^° (/?").
Тогда из формулы A0) § 3 гл. VI получаем
| (Q(D)E * и * v)@) | = | (Е * Q(D) и * v)@) |< CN(Q(D) и * v),
где
N(u)= sup J (| w(| + /r))|/P(|)) • d\.
Преобразование Фурье — Лапласа выражения Q (D) u*v, согласно
формулам A7) § 2 гл. VI и A5) § 3 гл. VI, равно Bя)й/2<? (С) и (С) v (?).
Так как по формуле Тейлора
где (- л)"- П(-«V»,). W
условие B) приводит к неравенству
\Qa + lr\)\IP®<C' при|т||<е и l
где постоянная С может зависеть от е. Следовательно,
N(Q(D)u*v)^Bn)n/2C' sup f | u
Обозначая через || || норму в пространстве L2(Rn) и используя тео-
теорему Парсеваля для преобразований Фурье, мы получаем
при
10. Теорема Мольгранжа — Эренпрейса 257
для функции v имеет место аналогичная оценка. Поэтому, в силу
неравенства Шварца,
N(Q(D)и * v)<CC"\\u(x)e*\*\ \\-\\v(x)e*l*i\\
для всех и, v?C™(Rn)t
где С" — постоянная, которая может зависеть от е.
В результате мы приходим к соотношению
j(Q(D)E *u){x)v{—x)dx
Rn
' ¦)• E)
Условимся теперь через il(Rn) обозначать гильбертово пространство
функций w(x) с нормой
Множество C™(Rn) плотно в L2e(Rn)t и, как легко показать, LLe(Rn)
представляет собой пространство, сопряженное к Ll(Rn)t поэтому,
разделив обе части неравенства E) на ||г*(*)*е|<|гЧ1 и взяв веРхнюю
грань по всем функциям v?C™(Rn), мы получаем неравенство
Это означает, что отображение
u->Q(D)E*u F)
можно продолжить с C™(Rn) на L\(Rn)t так что это продолжение
будет непрерывно и линейно отображать пространство Le{Rn) в L_e(Rn).
Итак, для завершения доказательства теоремы 1 нам остается лишь
положить /j = / в области Q, fx = 0 в области Rn — Q и принять
за решение и функцию и = Е * fv
Для доказательства теоремы 2 нам потребуются три леммы.
Лемма 1 (Мальгранж). Пусть /(г)—-функция, голоморфная в об-
области |z|^l комплексной плоскости г% a p(z) — полином, коэф-
коэффициент которого при старшем члене равен А. Тогда
л
|Л/@)|<Bя)-1 J |/(««)/>(«*)И. G)
-Л
17 К. Иосида
258 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
Доказательство. Обозначим через Z] нули полинома p(z), ле-
лежащие внутри единичного круга \z\ < 1, и запишем p(z) в виде
z-zj
Тогда функция q(z) регулярна в единичном круге и |p.B)| = \q(z)\
при |z| = l. Следовательно,
я я
Bл) J \/(е
— Я
Я
-1
>Bл)
Лемма 1 следует из того, что величина \q@)/A\ равна произведению
абсолютных величин нулей функции р (г), не лежащих внутри еди-
единичного круга.
Лемма 2. Пусть выполняются условия леммы 1 и, кроме того,
степень многочлена p(z) не превосходит т, тогда
(8)
Доказательство. Мы можем, не ограничивая общности, предпо-
предположить, что степень многочлена p(z) равна т и
Р (*)=Д (*-*/)•
Применяя предыдущую лемму к многочлену jj (z — zj) и голоморф-
т
ной функции/(г) • IJ (z — zj), мы получим
т я
1/@) П *j\«?*rl {\f(e*)p(e*)\dQ.
Такое же неравенство имеет место, если в левой части взять произ-
произведение любых (т — k) чисел, выбранных из т чисел Zj. Производ-
Производная р№@) состоит из т\\(т — k)\ слагаемых такого типа, умно-
умноженных на (—1)т"л, откуда и вытекает неравенство (8).
у р (
Лемма 3. Пусть функция FQ = F(t>v ?2> ...; С„) голо-
/ п у/2
морфна в области |t| = |2lC/l ) < оо и степень полинома
W-1 /
10. Теорема Мальгранжа — Эренпрейса 259
/>(?)=/>(?,, Сг С„)не превосходит/». ПустьФ@ = Ф(С,. С» ?„)—
неотрицательная интегрируемая функция с бикомпактным носителем,
зависящая лишь от |?,|, |^| |?„|. Тогда
<oo
где dt> — мера Лебега d?, </тц ••• ^л ^Л« (Сл
Доказательство. Возьмем произвольную целую голоморфнуй)
функцию f(z) и применим неравенство (8) к функциям f{rz) и
р (rz), где г > 0. Это приводит к неравенствам вида
п
J
Пусть ф(г) — произвольная неотрицательная интегрируемая функция
с бикомпактным носителем. Умножая обе части последнего неравен-
неравенства на 2ягф(г) и интегрируя по г, мы получаем новое неравенство
где dt = г dr dQ и интегрирование распространяется на всю комплекс-
комплексную /-плоскость. Теперь можно легко доказать лемму 3, применяя не-
неравенство A0) последовательно к каждой из переменных ?р ?г» . . ¦, Сл-
Доказательство теоремы 2. Положим P(D)u=vt где w?CJJ° (/?").
Тогда Р(С)м(С) = ?(С). Применим лемму 3, взяв F (С) = «(Е + С),
многочлен Я(? + ?) (вместо Р(?)) и положив |Ф(?)| = 1 при |?|<е
и Ф(?) = 0 при |?|>е. Так как Я(|)<21 ОаЯ(|)|, мы выводим
а
из (9) неравенство
ISF)^(» к с, J i*a+s)/>a-H)i <*?=?, j iSF+oi*
ltl<e |tl<e
Используя формулу обращения Фурье, мы получаем отсюда нера-
неравенство
|и@)|<BяГл/2 \\ia)\dl<C[ J
ltl<
<q J Г J A5F4-Г+/Л01/^@)^'^l ^.
С другой стороны,
P(l + l')lP(l)<C2 ПРИ ||' |< 6,
17*
260 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
так как
поэтому величина | DaP(? + ?0\/РA) ограничена, когда
Значит,
где
<C8|M|'. СИ)
= I
и C3 — постоянная, зависящая только от е.
Заметим кстати, что из теоремы Пэли — Винера гл. VI, § 4, вы-
вытекает, что функция \\v\Y ограничена. Рассмотрим теперь простран-
пространство C^(Rn)—пополнение пространства С^°(/?л) по отношению к норме
\\v\\'. Тогда по теореме Хана — Банаха о продолжении линейный
функционал L:v — P(D)u->u@) (где u?C™(Rn)) может быть про-
продолжен до некоторого непрерывного линейного функционала,
заданного на пространстве С?° (/?"). Как и в случае пространства
Ll(Rn)t мы заключаем, что существует ограниченная почти всюду
по мере (Р&))~1 d\dr\ бэровская функция k(Z>-+-ir\), такая, что про-
продолжение линейного функционала L представляется в виде
J L J J
Когда последовательность функций Vh(x)?C™(Rn) стремится к нулю
при h->oo в топологии пространства $)(/?л), последовательность
vh(x)ei{XiVi) тоже стремится к нулю в топологии ?)(/?") равномерно
относительно г\ при |т)| ^е. Поэтому, как и в § 1 гл. VI, нетрудно
показать, что при |л|<^е выражение vh(l)-\-iVi) как функция пере-
переменной | стремится к нулю в топологии пространства ®(/?л) равно-
равномерно относительно У). Поэтому в силу A2) функционал L определяет
обобщенную функцию Т ? D (Rn)'. Таким образом, по формуле E)
из § 3 гл. VI
= (f *т/)@). A3)
Полагая Е=^Г, мы получаем доказательство теоремы 2; при этом
неравенство C) следует из A1).
//. Дифференциальные операторы с переменными коэффициентами 261
//. Дифференциальные операторы с переменными
коэффициентами
Теорема существования, доказанная в предыдущем параграфе, мо-
может быть распространена и на некоторые линейные дифференциаль-
дифференциальные операторы вида
P(x,D) = %aa(x)Da, A)
а
где коэффициенты аа(х) непрерывны в ограниченной открытой об-
области Q пространства Rn.
Допустим, что оператор Р(х, D) удовлетворяет в области Q
условию
sup Я(*. »/Я(у. ?)<оо, B)
\
где Р(х, ?) = [2 \Р^а\х* 1)\2\ • а х рассматривается как параметр
Примеры. Дифференциальный оператор P(xt D)= 2
с вещественными ограниченными принадлежащими С°° коэффициентами
aSt t (x) = аи s (х), заданными в области Q, называется сильно эллип-
эллиптическим в Q (см. гл. VI, § 9), если существует такая положитель-
положительная постоянная б, что
/ п \т
2 Isas *(*)б'<>*[ 2 й) в области Q. C)
l*U*l-* ' V/-1 /
В этом случае, как нетрудно видеть, оператор Р(лг, D) удовлетво-
удовлетворяет условию B). Допустим теперь, что оператор Р(х, D) сильно
эллиптичен в открытой области Q пространства Rn~l. Тогда оператор
рассматриваемый в топологическом произведении Q^ [хп; Q < xn}t
называется параболическим оператором. Нетрудно проверить, что
оператор D) удовлетворяет условию B) в области QX {хп> ® < хп\ш
Теорема (Хёрмандер [5]). Допустим, что Р(х, D) удовлетворяет
условию B) в ограниченной открытой ббласти Q пространства R*.
Тогда для любой точки x°?Q существует открытая подобласть Qx
области Q, такая, что jc° ^ Qt и уравнение Р(лг, D)u = f при всякой
функции /?Z,2(Q,) имеет обобщенное решение w?Z,2(Q,), для кото-
которого Q (D) w ? Z,2 (Ц), где Q(D)—любой оператор, который слабее,
чем P(xt D), в каждой фиксированной точке x?Qv
Доказательство. Введем обозначение Р(х°, D) = P0(D). Сово-
Совокупность всех дифференциальных операторов с постоянными коэф-
коэффициентами, которые слабее P0(D)t образует конечномерное линейное
262 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
пространство, ибо степени многочленов Q(|) для таких операторов
Q(D) не могут превосходить степени многочлена, соответствующего
оператору P0(D). Поэтому существуют операторы PX(D), P2(D)t ...
...,PN(D), образующие базис этого пространства. Следовательно,
N
P(xt D) = P0 (D) + S */ (x) Pj (D), bj (*°) = 0, E)
где коэффициенты bj (х) непрерывны в области Q и определены един-
единственным образом.
Как было установлено в предыдущем параграфе, существует огра-
ограниченный линейный оператор Т, действующий из L2(QX) в L2(QX),
такой, что
P0(D)Tf = f для всех /6^2(Ц). F)
и все операторы Pj(D)T ограничены как операторы, отображающие
пространство L2(QX) в себя. Здесь Qx может быть любой открытой
подобластью области Q. При этом мы должны принять за Tf суже-
сужение E*fx на область Qp где /| = / в Q{ и f} = 0 в Rn — Qp
Уравнение Р(х, D)u = f эквивалентно уравнению
N
Л> (D) и + 2 bj (х) Pj (D) u = f. G)
Мы будем искать его решение в виде и = 74/. Подставляя это
выражение в G) и используя F), получаем
N
v+Zbj(x)Pj(D)Tv = f. (8)
Обозначим сумму норм ограниченных линейных операторов Pj(D)Tt
отображающих пространство L2(QX) в себя, через С. Поскольку
функции bj(x) непрерывны и bj(x°) — Ot мы можем выбрать область
Й|Э*° столь малой, что
C\bj(x)\<jf для всех *?&, (У=1, 2 N).
Можно также считать, что написанное выше неравенство выполняется
для всех точек х, принадлежащих бикомпактному замыканию обла-
N
сти Qv Тогда норма оператора 2 bj(x)Pj(D)T меньше 1, и поэтому
уравнение (8) можно решить с помощью ряда Неймана (теорема 2,
гл. II, § 1)
12. Гипоэллиптические операторы. Теорема Хёрмандера 263
где А — ограниченный линейный оператор, отображающий про-
пространство L2(QX) в себя. Следовательно, функция и —ТА/ и будет
искомым решением уравнения Р(х, D)u = f.
§ 12. Гипоэллиптические операторы. Теорема Хёрмандера
В гл. II, § 7, мы определили понятие гипоэллиптичности опера-
оператора и доказали теорему Хёрмандера, утверждающую, что если опе-
оператор P(D) — гипоэллиптический, то для любой сколь угодно боль-
большой положительной постоянной Сх найдется такая положительная
постоянная С2, что все решения ? = | + /т) алгебраического уравне-
уравнения Я(?) = 0 обладают таким свойством:
из неравенства \ц\ < С{ вытекает неравенство |?| < С2. A)
Для доказательства обратного предложения, а именно что из усло-
условия A) следует гипоэллиптичность оператора P(D), нам потребуется
следующая лемма.
Лемма (Хёрмандер [1]). Если выполнено условие A), то
2 \Р{а\1)\21 2 \Р(а)A)Г-+0 при 161-00. i?R\ B)
|см>о №|>о
Доказательство. Сначала мы покажем, что для всякого вещест-
вещественного вектора Q?Rn
> 1 при |&|->оо, teRn. C)
Без ограничения общности можно допустить, что система коор-
координат в пространстве Rn выбрана так, что 6 = A, 0, 0 0).
Тогда по условию A)
О при hl<Ci и |||>С2.
Следовательно, если |^| >С1 + С2 и Р(СО = О, то Ц — E'|>ci-
Действительно, полагая ?/ = ^/4"^т1/» мы находим, что выполняется
по крайней мере одно из двух неравенств \r\'\ >Cj или ||'| < С2,
так что || — \'\^Су Возьмем теперь произвольные фиксированные
значения переменны* ?2 \п и обозначим через tk такие числа,
что векторы (tk% ?2, .... 1п) представляют собой нули многочлена Р.
Тогда
Поэтому если |^| >С, -|-С2> то \tk — \\\^CX и, следовательно, вы-
выражение
т
rw
11
/»<» hh
264 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
удовлетворяет неравенству
Г1A + СГ1Г1 при |6
При достаточно больших значениях С2 мы можем взять сколь угодно
большие значения Ср откуда и вытекает C).
По формуле Тейлора
(а)
(а) 7-1
и поэтому
/-1 (а) /-1
где т](/) — произвольные вещественные векторы и ti — любые ком-
комплексные числа. Величины k, tt и t^l) можно подобрать так, чтобы
коэффициенты 2 ^СП(/))а ((а)^т) принимали любые заданные зна-
/1
чения и зависели от а симметрично. В самом деле, в противном слу-
случае должны были бы существовать постоянные Са ((а)>^/п), сим-
симметричные как функции а и не все равные нулю, такие, что
2 01° = 0 при любых т|, что невозможно. Итак,
(а)
k
Я(а) F)= 2**^F+ Л(/)) при вещественных значениях т|Ю.
/-1
Но при (а) Ф 0 главные члены в правой части должны уничтожиться,
k
и поэтому 2 */ = 0. Отсюда, учитывая C), мы получаем условие B).
/-1
Следствие. Допустим, что полиномы Pj(|)h Р2Ш удовлетворяют
условию B). Тогда многочлен />(|) = Я1(|)Р2A) тоже удовлетво-
удовлетворяет B). Если, кроме того, операторы Qj(D) слабее, чем. Pj(D)
(у=1, 2), то оператор Ql(D)Q2(D) слабее, чем P(D).
Доказательство. Применяя формулу Лейбница дифференцирова-
дифференцирования произведения функций, мы видим, что Я*а)(&) представляет собой
линейную комбинацию произведений производных многочленов Р^Ц)
и ^2A) порядков, в сумме не превосходящих (а). Следовательно,
условие B) выполняется и для многочлена Я(?). Второе утверждение
этого следствия доказывается аналогичным образом.
Теперь мы можем доказать теорему Хёрмандера.
Теорема (Хёрмандер [1]). Для того чтобы оператор P(D) был
гипоэллиптическим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие B).
12. Гипоэллиптические операторы. Теорема Хёрмандера 265
Доказательство. Необходимость следует из результатов гл. II,
§ 7 и только что доказанной леммы. Перейдем к доказательству до-
достаточности.
Обозначим через Q произвольную открытую подобласть простран-
пространства Rn. Мы будем говорить, что обобщенная функция #??&)'
принадлежит классу //foc(Q). если при любой функции
преобразование Фурье и0 функции ио = %и удовлетворяет (см. гл. VI,
§ 2) условию
i\ < со, т. е. а0 = <рои ? ЯП * (/Г). E)
Rn
По лемме Соболева (гл. VI, § 7) достаточность условия этой
теоремы следует из такого утверждения:
если полином Я(|) удовлетворяет условию B) и обоб-
обобщенная функция и ? 5D (Q)' такова, что Р (D) и ? #?Ос (й),
где 5 — некоторое положительное число, то функция и ' '
принадлежит #?Oc(Q)-
В самом деле, если утверждение F) справедливо и P(D)u?Cco
в области Q, то P(D)u?Hs[0C(Q) при любом положительном $ — это
вытекает из формулы Лейбница дифференцирования произведения
функций.
Доказательство утверждения F) опирается на две леммы.
Лемма 1. Если f?Wkt2 (/?") и ф 6 С(#л) (*§о), то ф/6 Wk> 2(/Г).
Лемма 2. Пусть многочлен Р(|) удовлетворяет условию B).
Тогда можно указать такую положительную постоянную |i, что
I ^(а) (?) &ц |/| Р(?)| -> 0 при | ?1~>-оо(??/?л) для любого а =?0.
Доказательство леммы 1 будет дано ниже, а лемму 2 мы здесь
доказывать не будем (читатель может обратиться к книгам Хёрман-
дёра [6] и Фридмана [1]).
Закончим теперь доказательство теоремы. Выберем из Q две произ-
произвольные открытые подобласти Qj и Qo, такие, что их замыкания Q?
и Qo бикомпактны и Qfs Qo, Qo ^ Q- По теореме Шварца (гл. III,
§ 11) всякая обобщенная функция a^J)(Q/, если ее рассматривать
как обобщенную функцию, принадлежащую пространству $)(Q0)',
представляет собой обобщенную производную вида D*v некоторой
функции v?L2(Q0). Пусть <p6CJJ°(Q0) — такая функция, что q>(x)= 1
в области Q,. Тогда и = и0— D'q>v как обобщенная функция при-
принадлежит ^(Qj)'. Поскольку q>v?L2(/?"), существует такое целое k%
266 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
возможно отрицательное, что
Я(а> (D) и0 = P{a) (D) DV ? VP*'2(Rn) для всех а. G)
Применяя лемму 1 и обобщенную формулу Лейбница (см. гл. I, § 8),
мы получаем
Р (D) <№ = Ф1Я (D) я0 + 5] -L ОоФ1 . Я(а) (D) «о. (8)
(а) > 0
Отсюда, так как P(D)uq?H[0C(Q), мы заключаем, что для любой
функции q>,6CS°(Qi)
0^\Г*1'2(/?л), где ftjrrrmin^, Л). (9)
Следовательно, преобразование Фурье #! (?) функции Wj (^=9! (jc) и0 (х)
удовлетворяет неравенству
J IЯ (I) ^i(I)I2A + III2)*1 d\ < оо, A0)
откуда по лемме 2
т. е. ^(DJa^^1^2^71) при всех а ^ 0. A1)
Пусть Q2 — открытая подобласть области Q,, такая, что замыка-
замыкание Qf бикомпактно и содержится в Q,. Тогда для всякой функции
мы можем с помощью (8) и A1) доказать, что
2(/?л) при A2 =
и поэтому
P{a\D)<$2ux?Wk^2{Rn) при всех а^=0.
Повторяя приведенные рассуждения конечное число раз, мы прихо-
приходим к выводу, что для всякой открытой подобласти Q' из Q, замы-
замыкание которой бикомпактно и содержится в Я, справедливо вклю-
включение
P{a)(D)<pu€Ws'2(Rn) для любых а^Ои ф?С~(?2').
Если теперь выбрать такое а, чтобы Р(а) (|) = constant Ф 0, то
Ф# ^ Ws*2(Rn), что и требовалось доказать.
Доказательство леммы 1. Преобразование Фурье функции ф/
имеет вид (теорема 6, гл. VI, § 3)
12. Гипоэллиптические операторы. Теорема Хёрмандера 267
таким образом, мы должны доказать, что
я" /г"
при любом значении s > 0. Используя полученные ранее соотноше-
соотношения и неравенство Шварца, мы можем мажорировать этот интеграл
выражением
J
] A2)
Так как
TO
(i + UI2M<4|5|(i + hl2)|5l(i + U-^|2)^ A3)
С помощью A3) правая часть A2) оценивается сверху: она не пре-
превосходит величины Г | ф (л) I dt\, умноженной на
Rn
If \Rn
Этот последний интеграл сходится, так как f ?Ws>2(Rn) и
$ (г)) ? <S (Rn). Лемма 1, таким образом, доказана, и это завершает
доказательство теоремы.
Замечания о некоторых дальнейших исследованиях
1. Линейный дифференциальный оператор Р(х, D), коэффициенты
которого принадлежат C°°(Q), называется формально гипоэллипти-
ческим в Q с/?л, если он удовлетворяет следующим двум усло-
условиям: A) оператор P(jc°, D) гипоэллиптический при каждом фикси-
фиксированном .jt°?Q; B) Р(jc°, l) = O(P(x', D) при |?|->оо (l?Rn)
для любых фиксированных л:0, xf ^ Q. Хёрмандер [5] и Мальгранж [2]
доказали, что для таких операторов всякое обобщенное решение
tf^S)(Q/ уравнения Р(х, D)u = f будет принадлежать С°°
после поправки на множестве меры нуль, лежащем в открытом под-
подмножестве множества Q, где /^С°°. Доказательство, приведен-
приведенное выше для операторов с постоянными коэффициентами, можно
268 VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения
изменить так, что оно будет применимо к операторам такого типа; см.,
например, Петре [1].
2. И. Г. Петровский [1] показал, что все обобщенные решения
«??)(/?")' уравнения P(D)u—0 являются аналитическими функциями
в пространстве Rn тогда и только тогда, когда однородная часть Ят(|)
многочлена Р(?), состоящая из членов высшей степени т, не обра-
обращается в нуль при ?6/?л. Если это условие выполняется, говорят,
что оператор P(D) является (аналитически) эллиптическим. Пока-
Показано также, что в этом случае показатель т должен быть четным,
а оператор P(D) — гипоэллиптическим. Отметим, что гипоэллиптич-
ность таких операторов P(D) может быть также установлена с по-
помощью теоремы Фридрихса (гл. VI, § 9). В самом деле, если Pm(Q
не обращается в нуль, то с помощью преобразования Фурье легко
убедиться в том, что один из операторов P(D) или —Р (D) сильно
эллиптичен. Доказательство теоремы Петровского см., например,
в работах Хёрмандера [6], Трева [1], Морри — Ниренберга [1].
ГЛАВА VII
Сопряженные операторы
/. Сопряженные операторы в локально выпуклых
линейных топологических пространствах
Обобщение понятия транспонированной матрицы приводит
к понятию сопряженного оператора.
Теорема 1. Пусть X, Y — локально выпуклые линейные тополо-
топологические пространства, и пусть X'st Ys — их сильные сопряженные.
Пусть Т — линейный оператор, действующий из области D (Т) с А'вК,
Рассмотрим точки {x't у') произведения X*s X Ys> удовлетворяющие
условию
(Тх, /) = (*, х') для всех x?D(T). A)
Элементы х' однозначно определяются элементами у' тогда и только
тогда, когда область D(T) плотна в пространстве X.
Доказательство. В силу линейности задачи мы должны рассмо-
рассмотреть следующее условие:
если (jc, лг') = О для всех x?D(T). то х' = 0.
Таким образом, достаточность вытекает из непрерывности линейного
функционала х'. Допустим, что D(T)a Ф X. Тогда по теореме Хана —
Банаха найдется такой элемент л^=?0, что (лс, л;^ = 0 для всех
x?D(T), а это неверно. Полученное противоречие доказывает не-
необходимость приведенного условия.
Определение 1« Из доказанной теоремы следует, что соотноше-
соотношение A) определяет некоторый линейный оператор Т': Т'у1 = х' тогда
и только тогда, когда D(T)a = X. Оператор Т' в этом случае назы-
называется сопряженным к Т. Его область определения D(T') предста-
представляет собой совокупность всех у' ? Y's* для которых существуют эле-
элементы x'?X'st удовлетворяющие условию A) и Т'у' = х'. Таким
образом, V — линейный оператор, действующий из области D(T') ? y's
в пространство X's* такой, что
(Тх. у') = (*, Т'у') для всех x?D(T) и / ? D(Г). B)
Теорема 2. Если D(T) = X и оператор Т непрерывен, то опе-
оператор Т' линейно и непрерывно отображает пространство Ys в Xs.
Доказательство* Выражение (Тх, у') при любом yf ? Y's пред-
представляет собой непрерывный линейный функционал, заданный для
270 VII. Сопряженные операторы
х?Х, поэтому найдется такой элемент х'?X's, что Т'у'~х'. Пусть
В— некоторое ограниченное множество в X. Тогда, поскольку опе-
оператор Т непрерывен, образ Т • В = [Тх\ х?В) представляет собой
ограниченное множество в К. Поэтому, в силу определяющего соот-
соотношения {Тху у') = {х% х')% если элемент у' стремится к нулю в то-
топологии ограниченной сходимости пространства У (см. гл. IV, § 7),
то соответствующий элемент хг тоже стремится к 0^' в тополо-
топологии ограниченной сходимости пространства X'. Это означает, что
линейный оператор Т', действующий из Ys в X's> непрерывен.
Пример 1. Пусть X = Y есть я-мерное евклидово пространство
с (/2)-нормой. Для произвольного непрерывного линейного оператора
T?L(X> X) положим
Тх = у, где x = (xv х2, .... хп) и y = (yv у2, .... уп).
п
Тогда у,= 2 h)x) (*= *• 2, .... я), и поэтому для элементов
{Тх, z) = (у, г) = S Уу«; = 2 (S V;) *< = S *y (S tu
/2
Таким образом, T'z = wt где Wy=2^y^C/=l» 2 п)- Это
показывает, что матрицей оператора Т служит транспонированная
матрица оператора Г.
Пример 2. Пусть X = К — вещественнее гильбертово простран-
пространство (/2). Определим операторы Tn?L(X, X):
Tn(xv x2 xk% . . ,) = (хп, лгл+1, л:/Н.2. • • .)•
Тогда из равенства
(Tn(xv x2t ...). (zv z2, ...)) = хпг{-)гxn+xz2-+-xn+2zz+ ...
мы находим, что
Tn(zu Z2. ...) = @, 0 0, zu
/ oo \l/2
Таким образом, \\Tn(xv x2, .. .)ll = ( S x2m) ~^° ПРИ л~>оо и
НТ'л^ь 2^2, . . .)|| =||BГ1, 02. •..)!!• Отсюда вытекает
Предложение 1. Отображение Т->Т' пространства L(X, К)
в пространство L(y's, X's) в общем случае может и не быть непре-
непрерывным в топологии простой сходимости пространства операторов,
т. е. из условия lim Tnx = Tx для всех х?Х может и не следо-
/. Сопряженные операторы в локально выпуклых пространствах 2/1
вать, что Игл Т'пу'**Т'у' для всех у'?К' в топологии сильного
сопряженного пространства X*s.
Теорема 2'. Пусть 7— ограниченный линейный оператор, ото-
отображающий нормированное линейное пространство X в нормирован-
нормированное линейное пространство К. Тогда сопряженный оператор 7" пред-
представляет собой ограниченный линейный оператор, действующий из Y's
в X's, и
FII=|| гц. О)
Доказательство. Из определяющего равенства (Тх, у') = (х, х')
мы выводим
\\ТУII = ||*'||= sup |<*. *')| = sup |G*. у')|<
\\х\\<\ \\х\\<\
<||у'||. sup || 7* ||< ||/И ГЦ;
|Цг||<1
это означает, что || Т' || ^ || 7 ||. Обратное неравенство доказывается
следующим образом. Для всякого элемента xQ ? X найдется функ-
функционал /о ? К', такой, что ||/о||=1 и fo(Txo) = (Тх0, /0) = || Тх01|.
Поэтому элемент f'Q = Г'Д удовлетворяет равенству (xQt /^ = II TxQ ||
и, следовательно,
II Тх01| = <л:0, Г/о> < || ТII • || /01| • |! х01| = || 7' ||. || х01|,
т. е. ||Г||<||Г||.
Теорема 3. A°) Если операторы Т и 5 принадлежат ?(Л\ К), то
(аГ4-р5)/ = (аГ/4-р5/). B°) Рассмотрим линейные операторы Г, 5,
области определения DG), D(S) и области значений Z?^) и R(S)
которых принадлежат X. Тогда если S?L(Xt X) и D(T)a = X, то
(S7Y = Г^'. D)
Если, кроме того, D(TS)a = X, то
(TS)' з Д'Г', т. е. G5/ — расширение оператора ST'. E)
Доказательство. Утверждение A°) очевидно. Докажем B°). Если
y€D((ST)')t то для любого x?D(T) = D(ST) выполняется равен-
равенство (Тх, S'y) = (STx, y) = (xt (STY у). Это показывает, что
57у6О(Г) и T'S'y = (STYy, т. е. (ST)'?T'S'. Обратно, пусть
y?D(T'S')t т. е. S'y?D(T'). Тогда для любого x?D(T) = D(ST)
справедливо равенство E7лс, у)=.(Тх, S'y) — (x, T'S'y). Послед-
Последнее означает, что у ?D((STY) и E71)'у = T'S'y, поэтому Г5'сEГ)'.
Таким образом, формула D) доказана.
Чтобы доказать включение E), возьмем у ?D(S'T')= D(T'). Тогда
(TSx, y) = (Sxt T'y) = (x, S'T'y) для всех x?D(TS). Отсюда
^DTSf и (TSYy = S'T'y, т. е. 5'Г с (Г5)'.
272 VII. Сопряженные операторы
2. Сопряженные операторы в гильбертовом пространстве
Обобщение понятия транспонированной комплексно сопряжен-
сопряженной матрицы приводит к понятию сопряженного оператора в гиль-
гильбертовом пространстве.
Определение 1. Пусть линейный оператор Т отображает область
D(T)czX в К, где X и К — гильбертовы пространства. Допустим,
что D(T)a=X, и обозначим через Т оператор, сопряженный к Т.
Таким образом, (Тх. у') = (х, Ту') для всех x?D(T), y'?D(T).
Обозначим через Jx взаимно однозначное сохраняющее норму сопря-
сопряженно-линейное отображение X's$f*-+ у, ? Х> определенное в след-
следствии 1 § 6 гл. III. Обратное отображение обозначим через Jy. Тогда
(Тх. у') = у'(Тх) = (Тх. JYy'),
(х. Г/)= (Г/)(*) = (*. ^^УО-
Следовательно,
(Тх. Jyyf) = (x. JxT'y'), т. е. (Тх. у) = (*. JxT'jyxy).
В частном случае, когда X = К, мы будем писать
и называть Т* оператором, сопряженным к оператору Г, отобра-
отображающему гильбертово пространство X на себя.
Замечание. Если X — конечномерное комплексное гильбертово
пространство (/2), то, как и в примерах предыдущего параграфа, легко
убедиться в том, что оператору Т* соответствует матрица, транспо-
транспонированная и комплексно сопряженная к матрице оператора Т.
Как и в предыдущем параграфе, можно доказать следующую теорему.
Теорема 1. Оператор Т* существует тогда и только тогда, когда
D(T)a = X. Если это условие выполнено, то оператор Т* опре-
определяется следующим образом: элемент у?Х принадлежит D(Г*) тогда
и только тогда, когда существует элемент у*?Х, такой, что
(Тх. у) = (х. у*) для всех x?D(T). A)
При этом Т*у = у*.
Э
При этом Т*у = у*.
Эту теорему можно сформулировать в других терминах, если
использовать понятие графика G(A) линейного оператора А (опре-
(определение см. в § 6 гл. II).
Теорема 2. Определим непрерывный линейный оператор V, ото-
отображающий пространство X X X в себя:
V{x, y} = {-y, х). B)
Тогда для того чтобы множество (VG(T))^- было графиком некото-
некоторого линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы D{T)a = X.
3. Симметрические и самосопряженные операторы 273
В этом случае
G(T*) = (VG(T)I. C)
Доказательство. Условие {—Тх, х) J_ {у, у*} эквивалентно ра-
равенству (Тх, у) = (х, у*). Поэтому теорема 2 следует из теоремы 1.
Следствие. Оператор Т* — это замкнутый линейный оператор,
так как ортогональное дополнение всякого линейного подпростран-
подпространства образует замкнутое линейное подпространство.
Теорема 3. Пусть Т — линейный оператор, отображающий область
D(T)c:X в пространство X, причем D(T)a = X. Тогда для того
чтобы оператор Т допускал замкнутое линейное расширение, необ-
необходимо и достаточно, чтобы существовал оператор Г** = (Г*)*, т. е.
чтобы D(T*)a=X.
Доказательство. Достаточность. По определению Г** з 7\ по-
поэтому оператор 7** — G*)*, согласно предыдущему следствию, замкнут.
Необходимость. Пусть S — замкнутое расширение оператора 7\
Тогда график 0E) содержит G(T)a как замкнутое линейное подпро-
подпространство, поэтому G(T)a представляет собой график некоторого ли-
линейного оператора. Ввиду непрерывности скалярного произведения
Q(T)a=G(T)lL = (O(TI}1; кроме того, так как VG(T*) = G(ГI,
мы получаем (VG (T*) I= G GI L. Поэтому (VG (Г*) у1 — это график
некоторого линейного оператора. Значит, согласно теореме 2,
D(T*)a = X, и оператор Т** существует.
Следствие. Если для оператора Т выполняется условие D(T)a=X,
то Этот оператор является замкнутым и линейным тогда и только
тогда, когда Т = Т**.
Доказательство. Достаточность этого условия очевидна. Необ-
Необходимость вытекает из доказанной выше формулы G(T)a = О (Г**).
В самом деле, равенство G(T)=G(T)a показывает, что Т=Т**.
Теорема 4. Если линейный оператор Т определен во всем про-
пространстве X и замкнут, то он непрерывен.
Доказательство. Утверждение следует из теоремы о замкнутом
графике.
Теорема б. Если Т — ограниченный линейный оператор, то Т* —
тоже ограниченный линейный оператор и
|| Т || = || Т* ||. D)
Доказательство. Доказательство проводится так же, как в пре-
предыдущем параграфе.
3. Симметрические и самосопряженные операторы
Эрмитовой матрицей называется матрица, совпадающая со своей
транспонированной комплексно сопряженной матрицей. Известно, что
такую матрицу можно привести к диагональному виду с помощью
18 К. Иосида
274 VII. Сопряженные операторы
поворота в комплексном векторном пространстве, на котором эта
матрица действует как линейный оператор. Обобщение понятия эрми-
эрмитовой матрицы приводит к понятию самосопряженного оператора
в гильбертовом пространстве.
Определение 1. Пусть X — гильбертово пространство. Линейный
оператор 7\ действующий из области D(T)czX в пространство X,
называется симметрическим]), если Т* :э 7\ т. е. если Т* служит
расширением оператора Т. Заметим, что если оператор Т* суще-
существует, то D(T)a = X.
Предложение 1. Если оператор Т — симметрический, то Т** —
тоже симметрический.
Доказательство. Так как оператор Т симметрический, имеем
~ 1Э D(T) и D{T)a = X. Поэтому D(T*)a = X и, следовательно,
оператор т** = (Т*)* существует. Оператор Т** безусловно является
расширением 7\ так что О(Г*)зО(Г). Еще раз используя, что
D(T)a = X, мы видим, что D(T**)a = X, и поэтому существует опе-
оператор Т*** = (Т**)*. Поскольку 7* 3 7\ имеем 71** с Т*, и поэтому
71*** Э Г**. Отсюда следует, что Т** — симметрический оператор.
Следствие. Всякий симметрический оператор Т обладает замкну-
замкнутым симметрическим расширением Т** = (Т*)*.
Определение 2. Линейный оператор Т называется самосопряжен-
самосопряженным, если Т = Т*.
Предложение 2. Всякий самосопряженный оператор замкнут. Если
симметрический оператор определен во всем пространстве, то он
является ограниченным и самосопряженным.
Доказательство. Будучи сопряженным самому себе, самосопря-
самосопряженный оператор замкнут. Второе утверждение следует из того, что
определенный во всем пространстве замкнутый оператор ограничен
(теорема о замкнутом графике).
Пример 1 (интегральный оператор типа Гильберта — Шмидта).
Пусть —оо^а<?^оо. Рассмотрим пространство L2(a, b). Через
К (s, t) обозначим комплексную функцию, измеримую в области
и удовлетворяющую условию
ь ь
?, t)\2dsdt<oo.
Для функций x(t)?L2(a, b) определим оператор К формулой
ь
(K-x)(s)= I K(st t)x(t)dt.
1) Симметрические операторы называют также эрмитовыми. — Прим.
перев.
3 Симметрические и самосопряженные операторы 275
Из неравенства Шварца и теоремы Фубини — Тонелли следует, что
ь ь ь ь
J |(/С • x)(s)\2ds^ J f\K(s. t)\2dtds J | x(t)\2dt.
a a a a
Таким образом, К — ограниченный линейный оператор, отображаю-
отображающий пространство L2(a, b) в себя, причем
\\К\\<
Нетрудно показать, что оператор /С* определяется формулой
ь
(/С*у)(О= f K(s* t)y(s)ds. Таким образом, оператор К будет само-
а
сопряженным в том и только в том случае, когда К (s, t) = K(tt s)
почти всюду в области изменения переменных tt s.
Пример 2 (оператор координаты в квантовой механике). Пусть
X — L2(—со, оо). Обозначим через D множество D={x(t)\ x(t)
и t-x(t) принадлежат L2{—оо, оо)}. Тогда оператор Г, определен-
определенный на множестве D формулой Тх (t) = t • х (t), является самосопря-
самосопряженным.
Доказательство. Ясно, что Da = X, так как линейные комбина-
комбинации характеристических функций конечных интервалов образуют
в L2{—оо, оо) сильно плотное множество. Пусть y?D(T*)\ положим
Г*у = у*. Тогда для всех х?О = Г
jtx(t)y(t)dt= \x(t)y*(t)dt.
—оо —оо
Если за x{t) принять характеристическую функцию интервала [a, t0],
to >о
то \t*y(t)dt—\ y*(t)dtt и поэтому, дифференцируя, мы находим,
а а
что почти всюду ?0 • y(tQ) = y*(tQ). Таким образом, y?D n T*y(t) —
= t-y(t). Обратно, ясно, что если y?Dt то y?D(T*) и T*y(t) =
Пример 3 (оператор импульса в квантовой механике). Пусть
X==L2(—оо, оо). Обозначим через D совокупность всех абсолютно
непрерывных на каждом конечном отрезке функций x(t)?L2(—oo, оо),
обладающих производными x'(t)?L2(—оо, оо). Тогда формула
Tx(t) = rlx (t) определяет в области D самосопряженный линейный
оператор.
18*
276 VII. Сопряженные операторы
Доказательство. Определим семейство непрерывных функций
xn(t)t заданных при /?(—со, оо) и зависящих от параметра а:
xn(t)=\ при /6[о. tol
xn(t) = 0 при *<а — п'1 и *>*0 + Л-1,
xn(t)—линейная функция на отрезках
[а — пг\ а] и [t0, to+n-Ц.
Линейные комбинации функций вида xn(t) со всевозможными значе-
значениями а, t0 и п образуют в пространстве L2(—оо, со) плотное мно-
множество. Поэтому и множество D плотно в X.
Пусть у ? D(T*) и Т*у = у*. Тогда для всех x?D
Если за x(t) принять функцию xn(t\ то
а *о+л~1 оо
п J rlW)dt-n J rlJ(F)dt= \xn{t)y*{t)dt.
а-я 'о -оо
Отсюда, полагая п->со, мы получаем, что i~l(y(o) — y(tQ)) =
to
— ) y*(t)dt для почти всех значений а и t0. Из неравенства Шварца
а
следует, что функция у* (t) интегрируема на всяком конечном интер-
интервале. Значит, функция y(t0) абсолютно непрерывна по t0 на любом
конечном интервале, и поэтому i~ly (t$)= y*(tQ) при почти всех t0.
Следовательно, у ? D и T*y(t) = Г1 у (/). Обратно, пусть у ? D. Тогда,
интегрируя по частям, мы обнаруживаем, что
ь ъ
J rlx'(t)JV)dt = rl lx(t)W)\ba+ \x(t){rxy'(t))dt.
a a
Из интегрируемости произведения x(t)y(t) в области (—со, оо) мы
заключаем, что ljm |[*(ОУ@1в| = 0» откуда
а^ оо Ь^оо
— оо,
J rlx'(i)y(f)dt = J *@(*~У (t))dt.
—оо —со
Значит, y?D(T*) и T*y(t) = rly'(t).
Теорема 1. Если самосопряженный оператор Т имеет обратный
оператор Т~\ то Г тоже оказывается самосопряженным оператором.
3 Симметрические и самосопряженные операторы 277
Доказательство. Равенство Т = Т* эквивалентно соотношению
(VG(Г)I = 0G). Кроме того, G(T~l)= I/G(— 7). Поэтому, учи-
учитывая, что (- 7)* = —7* = —7, получаем (КО (— Г) I = О (— 7),
и, следовательно,
Последнее означает, что G)*=7~1. В этом доказательстве мы
использовали тот факт, что (VG(—T))a = VG(—7) вследствие зам-
замкнутости оператора (— 7).
Следствие. Если для симметрического оператора 7 в гильберто-
гильбертовом пространстве X выполняется условие D(T)=X или условие
R(T) = X, то этот оператор самосопряженный.
Доказательство. Случай D(T)==X уже был рассмотрен. Обра-
Обратимся к условию R(T) = X. Если Тх = 0, то 0 = G\к, у) = (х. Ту)
для всех y?D(T). Так как R(T) = X, то из полученных соотноше-
соотношений следует, что л; = 0. Поэтому обратный оператор 7 существует
и непременно является симметрическим, как и Т. Но D(T~]) =
= /?G) = Л\ и поэтому определенный во всем пространстве сим-
симметрический оператор 7 должен быть самосопряженным. Тогда по
теореме 1 и оператор 7 = G")" будет самосопряженным.
Самосопряженные операторы можно строить при помощи замкну-
замкнутого линейного оператора. Точнее, справедлива
Теорема 2 (фон Нейман [5]). Если замкнутый линейный опера-
оператор 7, заданный в гильбертовом пространстве X, удовлетворяет
условию D(T)a=X, то операторы 7*7 и ТТ* оказываются само-
самосопряженными, а операторы (/ + 7*7) и (/-f-77*) (тоже самосопря-
самосопряженные) обладают ограниченными обратными линейными операторами.
Доказательство. Мы знаем, что множества G(T) и V0G*) обра-
образуют в произведении X X X замкнутые линейные подпространства,
ортогональные друг другу и порождающие пространство X X X.
Таким образом, для всякого h ? X имеет место однозначно опреде-
определенное разложение
{А, 0} = [х. Тх) + {- 7*у, y)t где х 6 D(T). У 6 О(Г). A)
Поэтому h = x — 7*у, 0 = Тх + у. Следовательно,
x?D(T*T) и а:+7*7л; = й. B)
Вследствие единственности разложения A) элемент х однозначно
определяется элементом А, и поэтому существует определенный во
всем пространстве X обратный оператор (/-f-7*7)~x.
Для любых A, k?X положим
х = (/ + 7*7)"'А, у = (/ + 7*7)"! к.
278 VII. Сопряженные операторы
Тогда х и у принадлежат области D(T*T), и так как оператор Т
замкнут, то (Г*)* = Т. Следовательно,
= (*. у)+(Тх. Ту) = (х. у) + (х. Т*Ту) =
откуда вытекает, что (f-\-T*T)~l — самосопряженный оператор. При
этом оператор (/+Г*7)-1 как самосопряженный оператор, опреде-
определенный во всем пространстве, ограничен. По теореме 1 обратный
к нему оператор A-\-Т*Т) тоже является самосопряженным. Поэтому
и оператор Т*Т самосопряжен.
Поскольку оператор Т замкнут, (Г*)* = 7\ и из доказанного выше
вытекает, что ТТ* = G1*)* Т* — самосопряженный оператор и оператор
(/+ ТТ*) обладает ограниченным линейным обратным. Теорема доказана.
Теперь мы приведем пример несамосопряженного симметрического
оператора.
Пример 4. Пусть Ar = L2@, 1). Обозначим через D совокупность
всех абсолютно непрерывных функций x(t)?L2(Qt 1), удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям л;@) = л;A) = 0 и x'(t)?L2(P, 1). Тогда оператор Tv
определенный формулой Txx(t) = rlx'(t) в области D=DG11),
является симметрическим, но не самосопряженным.
Доказательство. Мы докажем, что Т\ = Тг, где оператор Тъ
определяется условием
) = rlx{t) для x(t)?D(T2),
D(T2)= [x(t)?L2(Qt 1); x(t) — абсолютно непрерывные
функции, такие, что x'(t)?L2@9 1)}.
Множество D — D(TX) плотно в /,2@, 1), поэтому оператор Г* суще-
существует. Пусть y?D(r*) и Г1у==У\ Тогда для любой функции
T
1
J rlx'(t)J(t)dt=
о
Интегрируя по частям и вспоминая, что х@)= л;A) = 0, находим
1 1 t
fjfjdt = — f x'(f)Y*(f)dtt где V(t)=
о
3. Симметрические и самосопряженные операторы 279
1
Отсюда, принимая во внимание, что x(l)= J xf(t)dt = 0, мы полу-
чаем, что для любой постоянной с
1
J x'(f)(Y* @— rly(t)—l)dt = 0 при всех
о
С другой стороны, для всякой функции z(t)?L2@t 1) функция
t 1
Z(t)= f z(t)dt— t Г z(t)dt безусловно принадлежит D(T^). По-
0 О
этому, принимая Z(t) за x(t), мы получаем
J z(t)-\z{t)dt\(Y* (t)-rly(t)-c)dt = O.
О 0 J
1
Если теперь выбрать постоянную с так, чтоГ (К* (t)^-i"yy (t)—c) dt = 0,
о
то окажется, что
1
J г (О (К* @ — Г'у (t) — 7)dt = 0.
о
Следовательно, ввиду произвольности z?L2@, 1) должно выпол-
няться равенство Y*(t)= { y*(t)dt = rly(t) + c. Значит, y?D(T2)
о
и Т2у = у*. Это и показывает, что Т^ с Гг. При помощи интегриро-
интегрирования по частям можно также получить, что T2czT\, и поэтому
Т2 = Т1
Теорема 3. Если оператор Н- ограничен и самосопряжен, то
||Н||= sup \{Hx. х)\. C)
1И<1
Доказательство. Положим sup \{Нх% х)\ = у. Так как \{Нх%
\\х\\<1
<;||#л;||. \\x\\, имеем Y< 11^11- Для любого вещественного Я.
\(H(y±Xz), y±bz)\ = \(Hy, y)±2^Re(Яy, z) + X4Hz, z)\<
Следовательно,
280 VII. Сопряженные операторы
Взяв А,=||у II/H z ||, мы приходим к неравенству |Re(//y, z)\^y\\y\\'\\z\
Подставляя zel® вместо z, мы выводим соотношение |(// |
4. Унитарные операторы. Преобразование Кэли
Симметрический оператор, вообще говоря, может и не быть огра-
ограниченным. При исследовании свойств симметрического оператора И
существенную роль играет непрерывный оператор (Я—//) (//-(-Z/)",
который называется преобразованием Кэли оператора И. Мы начнем
с определения понятия изометрического оператора.
Определение 1. Ограниченный линейный оператор 7\ отображаю-
отображающий гильбертово пространство JC в себя, называется изометриче-
изометрическим, если он не изменяет величины скалярного произведения:
(Тх, Ту) = (х, у) для всех х, у?Х. A)
Если, в частности, R(T) = X, то изометрический оператор Т назы-
называется унитарным оператором.
Предложение 1. Для ограниченного линейного оператора Т усло-
условие A) эквивалентно другому условию изометрии:
|| Тх|| = ||х|| для всех х?Х. B)
Доказательство. Совершенно ясно, что из A) вытекает усло-
условие B).
Допустим теперь, что выполняется B). Тогда
4 Re (Г*. Ту) = \\Т{х + у)\?-\\Т{х-у)\? =
H 2 . У).
Заменяя у на iy, мы видим, что 41т(Гдг, Гу) —41т(л;, у); таким
образом, действительно из требования B) следует A).
Предложение 2. Ограниченный линейный оператор Г, отображаю-
отображающий гильбертово пространство X в себя, является унитарным тогда
и только тогда, когда Т =Т~1.
Доказательство. Если оператор Т унитарный, то условие B)
обеспечивает существование обратного оператора, и при этом
D(T~1) = R(T) = X. Далее из условия A) следует, что Т*Т = [, и
поэтому 7*= Г. Обратно, если оператор Т удовлетворяет условию
7"* = Г, то T*T — It откуда следует инвариантность скалярного
произведения. Кроме того, R(T) = D(T"l) = D(T*)= X, так как
Т*==Г, и, следовательно, оператор Т унитарный.
Пример 1. Пусть X = L2(—оо, оо). Тогда оператор Г, опре-
определяемый условием Tx(t) = x(t-\-a), где а — произвольное веще-
вещественное число, представляет собой унитарный оператор, заданный
в пространстве Z,2(—оо, оо).
4. Унитарные операторы. Преобразование Кэли 281
Пример 2. Преобразование Фурье пространства L2(Rn) на себя
является унитарным, так как при этом скалярное произведение
(/, g)= Г f(x)g(x)dx не меняется.
if
Определение 2. Пусть X — гильбертово пространство. Линейный
оператор 7\ отображающий область D(T)czX в А" и обладающий
тем свойством, что D(T)a = X, называется нормальным, если
ТГ = ГГ. C)
Самосопряженные и унитарные операторы являются нормальными.
Преобразование Кэли
Теорема 1 (фон Нейман {1]). Пусть Я— замкнутый симметриче-
симметрический линейный оператор в гильбертовом пространстве X. Тогда
существует непрерывный (не обязательно определенный во всем про-
пространстве X) обратный оператор (H-{-if)~\ а оператор
с областью определения D(UH) = D ((Я
является замкнутым и изометрическим (\\Uhx\\ = ||дг||); кроме того,
существует обратный оператор (/ — UИ)~ и
H = t(f + UH)(I-UH)-\ E)
Поэтому, в частности, множество D(H) = R(f—UH) плотно в X.
Определение 3. Оператор UH называется преобразованием Кэли
оператора Н.
Доказательство теоремы 1. Для любого элемента x?D(H)
((H±if)x, (H±if)x) = (Hxt Hx)±(Hxt ix)±(ix, Hx) + (x, x).
Из свойства симметрии оператора Н следует, что (Ял:, 1х) =
= —i(Hx, х) = — i(x, Нх)= — (/л;, Ял:), и поэтому
*0*|р=||//*|р+1И». F)
Следовательно, равенство (Я ¦+-¦//) х = 0 означает, что л: = 0, и по-
поэтому существует обратный оператор (Я+//). Этот оператор
оказывается непрерывным, так как ||(Я -f- М) х\\^\\х\\- Из F) видно,
что || UHy || = || у ||, т. е. оператор Ьн изометричен.
Убедимся в том, что оператор Uн замкнут. В самом деле, пусть
(Я +- //) хп = уп -> у и (Я — //)лгл = zn-> z при п-+оо. Тогда,
используя равенство F), мы видим, что || ул—,ут||2 = || // (лгЛ—*m)||2 +
+ II хп — *т II2» откуда (хп — хт) -> О, Я (хп — хт)->0 при л, т -> оо.
282 VII. Сопряженные операторы
Оператор Я замкнут, поэтому л;=$-lim хп ?О(Я)и $- Urn Нхп =
я->оо /1->оо
Таким образом, (Я-f //) хп->у=(Я+//) л:, (Я—//) л;л -> г=(Я—//) л:
и, следовательно, UHy = zt а это и означает, что оператор (Уя
замкнут.
Из равенств у = (Я ¦+¦ U) х и V ну = (Я — //) л: мы выводим соот-
соотношения 2~1(/ — UH)y = ix и 2~l(l + UH)y — Hx. Поэтому если
(/—?/я)у = 0, то * = 0, откуда (/+ UH)y = 2Ял: = 0. Но тогда
у — 2 ((/ — UH) у-f- (/ 4- ?/я) у) = 0. Следовательно, обратный опе-
оператор (/ — UHyl действительно существует. Эти же вычисления
показывают, что
т.е. Н =
Теорема 2 (фон Нейман [1]). Пусть ?/— замкнутый изометри-
изометрический оператор, такой, что /?(/ — U)a = X. Тогда существует един-
единственным образом определенный замкнутый симметрический опера-
оператор Я, для которого U служит преобразованием Кэли.
Доказательство. Убедимся сначала в существовании обратного
оператора (/ — Iff1. Допустим, что (/ — (/) у = 0. Для любого
z = (/ — U)w?R(I — U) в силу изометричности оператора U мы
имеем (у, w) = (Uy, Uw). Следовательно,
(у, z) = (у, w)—(у, ?/<аО = (?/у, f/w)—(у,
Поскольку /?(/ — U)a = X, из последнего равенства следует, что
у = 0. Поэтому обратный оператор (/—Ufl существует. Положим
l ((l
р рр (f уу
— Ufl. Тогда множество D(H)= D((l— U)~l) =
= /?(/ — (/) плотно в X. Покажем, что Я — симметрический опе-
оператор. Возьмем произвольные элементы х, у?О(Я) = /?(/ — U) и
положим х = (/ — U) и, у = (/ — U) w, где ut w?X. Тогда
(Uu, Uw) = (u, w), и поэтому
— (u, Uw)) =
т. е. оператор Я симметрический. Теперь нужно показать, что UH = U.
Для элемента x = (I — U)u имеет место равенство Hx = i(I + U)u,
и поэтому (H + tH)x = 2iut (Я — il)x = 2iUu. Таким образом,
D(UH)={2iu;u€D(U)) = D(U) и UHBlu) = 2lUu = UBiu\ от-
откуда ин = и.
Для завершения доказательства теоремы 2 покажем, что опера-
оператор Я замкнут. В самом деле, оператор Я отображает множество
всех элементов вида (/ — U)u на множество элементов вида t(I ~\-U)u.
Если две последовательности вида (/ — U)un и /(/ -\-U)un сходятся
4, Унитарные операторы. Преобразование Кэли 283
при л—>оо, то последовательности unn Uun тоже сходятся при я->оо.
Так как U — замкнутый оператор, то
ип->и, (l — U)ua-+(/ — U)u; t(I + U)ua-»t(l+U)u.
Отсюда и следует, что оператор Я— замкнутый.
Следующая теорема касается структуры оператора, сопряженного
симметрическому оператору.
Теорема 3 (фон Нейман [1]). Пусть Я— замкнутый симметри-
симметрический оператор в гильбертовом пространстве X. Положим
Ъ 1 \ G)
где ?/я = (Я — //)(//4-//у1 — преобразование Кэли оператора Я.
Тогда
Х%=[х?Х; H*x = ix}, Хн={х?Х; H*x = — ix}> (8)
и всякий элемент x?D(H*) представляется единственным образом
в виде
так что
Н*х = Нх0 4 1х г + (— /*2). (9)
Доказательство. Если х ? D (UH)L = D ((Н ¦+- /Z)I. то
(xt (# + //)y) = 0 при всех y?D(H). Следовательно, (х, Ну) =
= — (л*, /v) = (/a:, у), и поэтому x?D(H*)t H*x = ix. Из послед-
последнего условия вытекает, что (х, (H-\-tI)y) = Q для всех y?D(H),
т. е. ^6?>((Я + //)~1) z=zD(Uff)L. Тем самым доказано первое из
соотношений (8); второе доказывается аналогично.
Множества D(UH) и R(UH) образуют в X замкнутые линейные
подпространства, так как UH — замкнутый изометрический оператор.
Следовательно, всякий элемент х?Х единственным образом разла-
разлагается в сумму элемента из D(JUH) и элемента из D(Uн)^~. Рассма-
Рассматривая такое ортогональное разложение элемента (Н*-\-И)х, мы
получаем
(//*+//)* = (Я-H/)*0-f*', где xo?D(H)t x'?D(UH)K
Но (// + //)A;0 = (//*-f il)xo, так как xo?D(H) и Я с Я*. Кроме
того, поскольку х' ?D(UH)^ и имеет место формула (8), Н*х' = ix'.
Таким образом,
х9 = (Я*+ //)xv хх = B/) х9 ? D(UH)\
и поэтому
(//• + //) х = (Я* +10 *0 + (Я*
где
284 VII. Сопряженные операторы
Следовательно, учитывая (8), мы видим, что (х— х0— хх) h
так как Н*(х—-х0— хх)= ~ 1(х — х0 — хх). Тем самым доказы-
доказывается свойство (9). Остается доказать единственность разложения (9).
Это делается следующим образом. Допустим, что 0 = лг0 —|— jCj -f- лг2.
где х0 ? D(#), хх ? D(Uн)L, х2 ? R(UH)L. Тогда, так как Н*х0 = Нх0,
Н*хх = ixv Н*х2 = — 1х2, мы имеем
О = (Я* + //) 0 = (Я* + //) (*0 + хх + х2) = (Я + II) х0 + 2ixv
Отсюда (Н-\-И)хо = О, 2/л:1 = 0, так как всякий элемент простран-
пространства X единственным образом разлагается в сумму элементов мно-
множеств D(UH) и D(UH)^~. Эти рассуждения показывают, что существует
обратный оператор (H-\-il)~x, и поэтому аго = О и дг2 == 0—лг0—aTj =
= 0 — 0 — 0 = 0. Поэтому разложение вида (9) единственно для
любого элемента множества D(H*).
Следствие. Замкнутый симметрический линейный оператор Н
в гильбертовом пространстве X является самосопряженным тогда и
только тогда, когда оператор Uн (преобразование Кэли оператора Н)
унитарен.
Доказательство. Условие D(H) = D(H*) эквивалентно требова-
требованию D(UH)^- = R(UH)^ = {0}. Последнее же соотношение в свою
очередь эквивалентно тому, что оператор Uн унитарен, т. е. ото-
отображает пространство X на себя взаимно однозначно и изометрично.
5. Операторы с замкнутой областью значений
Теорема Банаха [1] об операторах, имеющих замкнутую область
значений, формулируется следующим образом.
Теорема. Рассмотрим два ^-пространства X и К; пусть Т — замк-
замкнутый оператор, действующий из X в К, такой, что D(T)a = X.
Тогда следующие четыре утверждения эквивалентны:
множество R(T) замкнуто в К; A)
множество R(Tf) замкнуто в Х'\ B)
^; (у, у*) = 0 для всех ym?N(T% C)
, (л:, **) = 0 для всех x?N(T)}i). D)
Доказательство. Доказательство этой теоремы мы разобьем на
пять этапов.
I. Доказательство эквивалентности A)«->B) можно свести к част-
частному случаю, когда Т — непрерывный линейный оператор, такой, что
DT X
1) Здесь NG") и N (Т') — нуль-многообразия операторов Т и Т\ т. е.
) {x?X\ 7\* = 0}, N{T')={y*?Y'\ Г у* = 0}.- Прим. перев.
5 Операторы с замкнутой областью значений 285
График G = G(T) оператора Т образует в пространстве X X У
замкнутое линейное подпространство, поэтому множество G с нормой
|| {х, у} || = || х ||-+-1| у || пространства X X У является /^-пространством.
Определим равенством
5 [х, Тх) = Тх
непрерывный линейный оператор S, отображающий пространство G
в К. Тогда сопряженный к S оператор S' линейно и непрерывно
отображает У в Gr, и при этом
{[х. Тх}, S'y) = {S[x. Тх), у*) = {Тх, у*) = {{х, Тх}, {О, у*}),
Следовательно, функционал S' у*— {О, у*} ?(Х X У)' = Х' X У'
обращается в нуль во всех точках области О. Но условие
({*, Tx}t [x\ y"}) = Q(x?D(T)t yt 6 У- ^* 6 -^0 эквивалентно требо-
требованию (л:, лг*) = (— Тх, у\) (x?D (Т)), т. е. равенству — Т'у\ = х*.
Поэтому
. У*6V-
Так как элемент у* был выбран произвольно, мы видим, что
R E0 = R (— Г) X У = R (Т') X Кг. Поэтому множество R E')
замкнуто в пространстве X' X ^ тогда и только тогда, когда R(T')
замкнуто в X', и так как R(S) = R(T), множество R(S) замкнуто
в У тогда и только тогда, когда R(T) замкнуто в К. Таким образом,
действительно достаточно доказать эквивалентность условий A)««->B)
в частном случае ограниченного линейного оператора 5 вместо исход-
исходного оператора Т.
II. Пусть Т — ограниченный линейный оператор, отображающий
/^-пространство X в fi-пространство Y. Докажем, что в этом слу-
случае A)->B).
Мы будем рассматривать Т как ограниченный линейный оператор Тх,
отображающий пространство X в /^-пространство К, = R (Т)а = R (Г).
Нужно показать, что справедливо утверждение B). Для элементов
у* ? Y\ оператор Т\ определяется соотношением
По теореме Хана — Банаха функционал у* может быть продолжен
до функционала y*?Y' таким образом, что (Тх, у^ = (Глг, у*)
(х ? D(T)=X). Следовательно, Т[у\=Гу\, и поэтому R(T[) = /?(Г).
Таким образом, мы можем, не ограничивая общности, считать, что
/?(Г)=К. Тогда по теореме об открытости отображения (гл. II, § 5)
найдется такое с > 0, что для каждого у ? У существует элемент х ? X,
удовлетворяющий условиям Тх = у, || * ||< с || у ||. Поэтому для
286 VII. Сопряженные операторы
всякого у* из D(T')
|<У. У*)| = IG*, />I = I<*. ТУ)|<||х||. ||Гу*||<с||у||
Следовательно,
\[У*\\ = sup |<у. у*>|<??||ГУ||.
НН<1
и, таким образом, обратный оператор (Т')~1 существует и непреры-
непрерывен. Более того, оператор (Г'), будучи обратным к непрерывному
линейному оператору, является замкнутым линейным оператором.
Отсюда видно, что область D(Gv)~1) = /?(r/) должна быть замкну-
замкнутой в X'.
III. Пусть X и У — два 5-пространства и Т — ограниченный
линейный оператор, отображающий X в Y. Тогда B)->A).
Как и на втором этапе доказательства, будем рассматривать Г
как ограниченный линейный оператор Г,, отображающий X в 5-про-
странство Yl = R(T)a. Условие Г[у* = 0 влечет за собой Соотношение
(Тгх. у\) = (Тх, уЪ = (*. 7>;> = 0, x?D{Tx) = D<T)=*X%
а это означает, что у\ = 0, так как множество R (Гг) = R (Г) плотно
в пространстве Yx = R (Т)а. Таким образом, должен существовать
оператор, обратный к Т[. Как было показано, множество /?(г') =
= R\T\) замкнуто, поэтому Т[ — непрерывный линейный оператор,
отображающий ^-пространство (R(T)a)' = Y[ на ^-пространство R(T[)
взаимно однозначно. Тогда по теореме об открытости отображения
оператор (т[) непрерывен.
Теперь мы докажем, что множество R(T) замкнуто. С этой целью
достаточно показать, что утверждение
существует такая положительная постоянная 8, что
образ {Г,лг; ||х||<;е} множества {а:; ||л:||<!е} не
является плотным ни в каком шаре вида НуИ^л"
(л=1, 2, ...) пространства Yl = R(T)a = R(Tl)a9
приводит к противоречию.
В самом деле, если это утверждение неверно, то, как показывает
доказательство теоремы об открытости отображения, R (Тх) =
= /?(Г)=К,. Итак, допустим, что существует последовательность
{уп} S Yv такая, что
s-llm yn = 0t Уй^{Г1лг; ||лг||<е}л (л=1, 2, ...).
Так как {Г^; || х || <; е}а — замкнутое выпуклое уравновешенное мно-
множество В-пространства Yv то по теореме Мазура (гл. IV, § 6)
5. Операторы с замкнутой областью значений 287
существуют определенные на В-пространстве К, непрерывные линей-
линейные функционалы /Л, такие, что
/п(Уп)> sup |/ЛG»| (л=1, 2, ...)•
Поэтому \\T[fn\\ <в-1||/я||-||уя||. а так как s-limyrt = 0, то
Л->ОО
оператор Т[ не может иметь непрерывного обратного. Последний
вывод неверен, и, следовательно, множество R(T) должно быть
замкнутым.
IV. Покажем, чтоA)->C). Во-первых, очевидно, что соотношение
(Тх, у*> = <*. ТУ). x?D(T)t y*?D(T')
влечет за собой включение /?(Г)? N(T')¦*-. Покажем, что если усло-
условие A) выполняется, то NG')J с R(T). Для этого предположим, что
существует некоторый элемент Уоб^Т"I, не принадлежащий R(T).
Тогда по теореме Хана — Банаха найдется такой элемент у* ? К', что
(у0, У*0)Ф0 и (Тх, Уо) = О для всех x?D(T). Отсюда мы заклю-
заключаем, что (л;, 7^ = 0 (x?D(T)) и, следовательно, Г'у* = 0, т. е.
Уо^Л^ГО1. Но последнее неверно, и поэтому N (ГО1 ? # (Т).
Импликация C)-*A) очевидна, так как множество N(T')*- замкнуто
вследствие непрерывности выражения (у, у*) по переменной у.
V. Убедимся в том, что B)->D). Включение R(T')c N(T)L
получается так же, как в случае утверждения C). Докажем, что
из B) следует включение N(T)^L с R(T'). С этой целью возьмем
элемент x*?N(T)-L и для всякого элемента вида у = Гл: определим
функционал /jCy) формулой /1(у) = (лг, х*). Это однозначная функ-
функция у, так как из равенства Тх = Тх' следует, что (х — x')?N (Г),
и, поскольку x*?N(TIt имеем ((л: — х'\ лг*) = О. Поэтому /,(у) —
действительно линейный функционал, определенный для элементов
вида у = 7лг. Из утверждения B) следует A), поэтому, применяя
теорему об открытости отображения к оператору 5, построенному
на первом этапе доказательства, мы можем выбрать решения хп
уравнений уп = Тхп при произвольно заданных значениях уп таким
образом, чтобы из соотношения 5-lim уя = 0 вытекало условие
л->оо
$- lim *„ = (). Итак, /1(у) = (лг, х*) — непрерывный линейный функ-
Л-»ОО
ционал, определенный на множестве Yl = R(T). Пусть f?Yf — про-
продолжение функционала /,. Тогда
f(Tx) = fx(Tx)=(x. х*).
Это показывает, что Г'/ = а:*. Следовательно, N(T)^ Е
288 VII. Сопряженные операторы
Тот факт, что из D) следует B), очевиден, так как (х> х*) —
непрерывный линейный функционал относительно х.
Следствие 1. Пусть X и К — два 5-пространства и Т —замк-
—замкнутый линейный оператор, отображающий область D(T)czX в К,
такой, что D(T)a = X. В этом случае
R(T) =Y тогда и только тогда, когда оператор Т'
имеет непрерывный обратный; E)
R{J')=z X1 тогда и только тогда, когда оператор Т
имеет непрерывный обратный. F)
Доказательство. Предположим, что /?(Г)=К. Тогда если
ГУ = О, то в силу условия (Тх, у*) = (х, Tfy*){x?D(T)) мы имеем
у*=.О, откуда следует существование обратного оператора (Г7).
Так как R(T)=Y и выполняется условие B), множество R(T')
замкнуто; таким образом, по теореме о замкнутом графике опера-
оператор (Г') непрерывен.
Допустим, что оператор Тг имеет непрерывный обратный. Тогда
#G*0= {О}, и поэтому, согласно C), R(T) = Y.
Предположим, что R(T') = Xf. Тогда если Гл; = 0, то ввиду
соотношения (Тх, у*) = (х, Т'у*) (у*?D(T')) можно утверждать,
что лг = О. т. е. оператор Т имеет обратный оператор Т~1. Так как
справедливо утверждение A) и R(T') = Х\ то множество R(T)
замкнуто; по теореме о замкнутом графике оператор Т~1 должен
быть непрерывным.
Наконец, предположим, что оператор Т имеет непрерывный обрат-
обратный Т~[. В этом случае N(T)= [0] и из D) следует, что R(T') = X'.
Следствие 2. Пусть X — гильбертово пространство со скалярным
произведением (и, -и) и Т — замкнутый линейный оператор, такой, что
область определения D(T)cz X плотна в X и R(T)cz X. Допустим,
что существует такая положительная постоянная с, что
ReGX и)>с|И|2 для всех u?D(T). G)
Тогда R(T*)=X.
Доказательство. Неравенство Шварца показывает, что
|| Та ||. || и || > Re(Tu, и)^>с\\и \\2 для всех u?D(T).
Поэтому || Ти\\^с\\и|| (и ?D(T)) и, следовательно, существует непре-
непрерывный обратный оператор Г"*1. Применяя предыдущее следствие,
мы видим, что R(T')~X. Таким образом, /?(Г*) = R(T') = X.
Литература к главе VII 289
Замечание. Линейный оператор 7\ отображающий область
D(T) с X в X, называется диссипативным, если
Re(Ги, й)<0 для всех u?D(T). (8)
Условие G) означает, таким образом, что оператор (— Т) „строго"
диссипативен.
Литература к главе VII
Общие сведения, касающиеся гильбертовых пространств, см.
в работах М. Стоуна [1], Ахиезера — Глазмана [1], Данфорда —
Шварца [5].
Теорема об операторах с замкнутой областью значений по существу
доказана еще в работе Банаха [1].
19 К. Иосида
ГЛАВА VII!
Резольвента и спектр
Пусть область определения D(T) и область значений R(T) линей-
линейного оператора Т лежат в одном и том же комплексном линейном
топологическом пространстве X. Рассмотрим линейный оператор
где X — произвольное комплексное число, а / — тождественный опе-
оператор. Исследование множества тех значений X, при которых опера-
оператор 7\ не имеет обратного оператора, и изучение свойств оператора,
обратного к 7\, в тех случаях, когда он существует, составляют со-
содержание так называемой спектральной теории операторов.
Нам предстоит, таким образом, изучить общую теорию операто-
операторов, обратных операторам типа Тк.
/. Резольвента и спектр
Определение. Если при X = XQ область значений R (ТКо) плотна
в пространстве X и оператор 7\ обладает непрерывным обратным
оператором (XqI— Г)", то говорят, что комплексное число Хо при.-
р J) р о р
надлежит резольвентному множеству р(Г) оператора 7\ Оператор
(XqI — Г) мы обозначим через R(X0\ T) и назовем резольвентой
оператора Г в точке Х = Х0. Совокупность всех комплексных чисел X,
не принадлежащих резольвентному множеству р(Г), называется спек-
спектром оператора Т; это множество мы обозначим через о (Г), Спектр
о (Г) можно разбить на три попарно непересекающихся множества
Я0(Г), С0(Т) и Ra(T)t определяемых следующими условиями:
Ра(Т) — множество комплексных чисел А,, при которых оператор 7\
не имеет обратного; Р0(Т) называется точенным спектром
оператора Т.
Са (Т) — множество комплексных чисел X, при которых оператор Тк
обладает обратным оператором с плотной в X областью
определения, но оператор Т^1 не является непрерывным;
С0(Т) называется непрерывным спектром оператора 7\
/. Резольвента и спектр 291
Ra(T) — множество комплексных чисел X, таких, что Тк имеет обрат-
обратный оператор, область определения которого не является
плотной в Х\ R0(T) называется остаточным спектром
оператора Т.
Из приведенных определений, учитывая линейность оператора 7\
мы выводим следующее
Предложение. Для того чтобы А,0?Ро(Г), необходимо и доста-
достаточно, чтобы уравнение Тх = XqX имело ненулевое решение х Ф 0.
В этом случае число Хо называется собственным значением опера-
оператора 7\ а решение х — собственным вектором оператора 7\ соответ-
соответствующим собственному значению А,о. Нуль-подпространство N (KqI — Т)
оператора 7\в называется собственным подпространством опера-
оператора 7\ соответствующим собственному значению XQ. Оно состоит
из вектора л; = 0 и всех собственных векторов, соответствующих А,о.
Размерность собственного подпространства, соответствующего А,о, на-
называется кратностью собственного значения А,о.
Теорема. Пусть X — комплексное /^-пространство и Т — замкну-
замкнутый линейный оператор, область определения и область значений ко-
которого принадлежат X. Тогда при любом Х0?р(Т) резольвента
(А^/ — Т) представляет собой непрерывный линейный оператор, опре-
определенный во всем пространстве X.
Доказательство. Поскольку Ло принадлежит резольвентному мно-
множеству р(Т), множество R(XqI— Т) = D((Xof — 7")") плотно в X,
причем существует такая положительная постоянная с, что
\\(У — Т)х\\^с\\х\\ при всех x?D(T).
Мы должны показать, что /?(Я^/—Т)~Х. Предположим, что
для некоторой последовательности [хп] S X существует предел
$-\im(ko[ — Т)хп = у. Тогда из написанного выше неравенства сле-
я->оо
дует, что предел s-lim л;/1 = л; тоже существует. Так как оператор
Я->00
Т — замкнутый, то (А^/ — Т) х = у. Поэтому R (А,о/ — Т) = X, ибо,
согласно предположениям теоремы, R(Xof — Т)а=Х.
Пример 1. Если пространство X конечномерно, то всякому огра-
ограниченному линейному оператору Т соответствует некоторая матрица
(/jy). Как известно, собственными значениями оператора Т являются
в этом случае корни так называемого векового, или характеристи-
характеристического, уравнения матрицы (ttj)\
й*№и-*и) = 0. A)
где det(;4) обозначает определитель матрицы А1).
1) Заметим, что кратность характеристического корня Яо как корня
уравнения A) может оказаться большей или равной (но не меньшей), чем
кратность собственного значения Яо, определенная как размерность соответ-
соответствующего собственного подпространства. — Прим. перев,
19*
292 VII/. Резольвента и спектр
Пример 2. Пусть X~L2(—оо, оо) и оператор Т определяется
формулой
Т. x(t) = tx(t).
Здесь, таким образом, D(T)—{x(t)\ x(t), tx(t)?L2(—со, со)} и
Tx(t) = tx(t) для x(t)?D(T). Тогда всякое вещественное число А,о
принадлежит непрерывному спектру С0(Т).
Доказательство. Условие (kof — Т) х = 0 означает здесь, что
(Хо—t)x(t)=0 почти всюду, и поэтому почти всюду х (t) — Q. Сле-
Следовательно, при любом вещественном Хо оператор (kof— 71)" суще-
существует. Все функции y(t)?L2(—оо, со), обращающиеся тождественно
в нуль в некоторой окрестности точки t = Xq (эти окрестности могут
быть разными для различных функций y(t))t входят поэтому в область
определения D((Xof — Т)~г). Следовательно, множество D((Xof — 71))
плотно в L2(—со, оо). С другой стороны, легко видеть, что опе-
оператор (А,о/ — Т)" не является ограниченным на совокупности таких
функций y(t).
Пример 3. Примем за X гильбертово пространство (/2) и опре-
определим оператор То условием
Тогда число X = 0 принадлежит остаточному спектру оператора 7\
так как множество R(T0) не является плотным в X.
Пример 4. Обозначим через Н самосопряженный оператор, за-
заданный в гильбертовом пространстве X. Тогда всякое комплексное
число А,, для которого Im(A,)=^=0, входит в резольвентное множество
р(#) и резольвента R(k\ H) представляет собой ограниченный линей-
линейный оператор, удовлетворяющий оценке
Кроме того,
lm((M — H)xt х) = Im(X)\\х||2 для всех x?D(H). C)
Доказательство. Если х ? D(H), то скалярное произведение (Нх, х)
вещественно, так как (Нх, x) = (xt Hx) = (Hxt x)t Отсюда следует
условие C). Применяя далее неравенство Шварца, мы приходим к не-
неравенству
\\(Х1-Н)х\\.\\х\\>\«Х1-Нх). лг)|>|1т(Х)|.|Н2. D)
откуда видно, что
\\A1 - Н)х\\>\\т(Щ.\\х\1 x?D(H). E)
Следовательно, если Im(A,)=?0, то обратный оператор (К! — Я)"
существует. Кроме того, область значений R(kl — Н) плотна в X,
2. Резольвентное уравнение и спектральный радиус 293
если выполняется условие Im (А,) Ф 0. В самом деле, в противном случае
должен был бы существовать элемент у Ф 0, ортогональный R(XI — //),
и для этого у при всех x?D(H) выполнялось бы условие
((XI— H)xt y) = 0t что эквивалентно требованию (х, (А/—Н)у) = 0
для всех x?D(H). Но область определения D(H) самосопряженного
оператора И плотна в X, поэтому из условия (х, (XI— Н)у) = 0
при всех х ? D (Н) вытекает, что (XI — Н)у = 0, т. е. #у = А,у,
а это противоречит тому, что значение (Ну, у) вещественно.
Таким образом, по доказанной выше теореме при всяком ком-
комплексном А,, для которого 1т(Х)Ф0> резольвента R(X\ //) предста-
представляет собой ограниченный линейный оператор, удовлетворяющий
оценке B).
2. Резольвентное уравнение и спектральный радиус
Теорема 1. Пусть Т — замкнутый линейный оператор, область
определения и область значений которого принадлежат комплексному
В-пространству X. Тогда резольвентное множество р(Г) образует
открытую область комплексной плоскости и функция R(i\ T) голо-
голоморфна по А, в каждой из компонент области рГ (компонентой назы-
называется максимальное связное подмножество).
Доказательство. По теореме предыдущего параграфа резольвента
/3(А,; Т) при всяком А,?р(Г) представляет собой непрерывный линей-
линейный оператор, определенный во всем пространстве X. Пусть А,0?р(Т);
рассмотрим ряд
)
Т)п\. A)
)
Этот ряд сходится по норме операторов в круге || R (А,о; Т) || • | А,о — А, | < 1
комплексной плоскости и определяет внутри этого круга голоморф-
голоморфную функцию переменной А,. Если умножить 5 (А,) слева или справа
на (А, — А,о) / -f- (V ¦— Т) = № ~~ Л» то получится тождественный
оператор /; это означает, что ряд S(X) представляет резольвенту
R(X; T). Тем самым показано, что при любом А,0?р(Г) существует
круговая окрестность точки А,о, принадлежащая р(Г), в которой резоль-
резольвента R(k; T) голоморфна.
Теорема 2. Если А, и \i принадлежат р(Т) и если операторы
R(X] T) и /?(fx; T) определены во всем пространстве X и непре-
непрерывны, то справедливо равенство
R (X; Т) - R Ох; Т) = Qi - X) R (X; Т) R Qi; T)t B)
которое называется резольвентным уравнением г).
1) Равенство B) называют также тождеством Гильберта- — Прим-
переэ-
294 VII/. Резольвента и спектр
Доказательство. Непосредственные вычисления дают
Я (A,; T)=R(X; 7Hi/ —Г) Я (|i; T) = R(k; Т){(ц — ХI +
+ (U-T)}R(\i; Г) = 0i-А,) Я (A,; T)R(\i; Г)+Я0х; Г).
Теорема 3. Если ограниченный линейный оператор Т отображает
комплексное Б-пространство X в себя, то существует предел
Нт||Г||1/|| = га(Г). C)
я-»оо
Предел го(Т) называется спектральным радиусом оператора Г; для
него имеет место оценка
D)
Если \Х\> ra(T)t то резольвента Я (А,; Г) существует и предста-
представляется рядом вида
Л (А,; Т) = ^1'пТп"\ E)
л-1
который сходится по норме операторов.
Доказательство. Положим inf || Тп ||1/л=г. Достаточно показать, что
>1
>
lim ||Гл||1/л<>. Для каждого е>0 выберем такое целое положи-
Л->00
тельное число mt что || Тт ||1//п <^ г + е. Далее для произвольного це-
целого п обозначим через q величину, удовлетворяющую условиям
п= pm~\-q, 0^q^.(m—1) (p — целое). Тогда, используя нера-
неравенство ||ЛВ||<;|| А|| • ||ВЦ, мы получаем
| Тп ||1/л < || Тт \\р/п . || Т \fn < (г + е)тр/л || Т fn.
Поскольку рт/п-* 1 и q/n->0 при /г->эо, должно выполняться нера-
неравенство \\т\\Тп\\1/п^.г-\-г. Так как е было выбрано произвольно,
Л->ОО
отсюда следует, что lim ||ГЛ||1/Л<>, что и доказывает существование
предела roG)==lim ||ГЛ||1/Л.
Л-»оо
Поскольку ||ТЯ||<||Г||Я, мы имеем lim ||Гя||1/"<||71||. Отсюда
/1->ОО
следует, что ряд E) сходится по норме операторов при А,>гоG).
В самом деле, если |Х\ ^ ro-f-e, где е > 0, то, согласно C),
|и"лГл||<(г0(Г)+б)~л.(г0G1)+2"'1е)'г для достаточно больших
значений п, откуда видно, что ряд E) сходится. Умножая этот ряд
на (XI — Т) слева или справа, мы получаем тождественный оператор /,
поэтому резольвента R (X; Т) действительно представляется рядом E),
3. Статистическая эргодическая теорема 295
Следствие. Для всякого ограниченного линейного оператора 7\
отображающего /^-пространство X в себя, резольвентное множество
р(Г) непусто.
Теорема 4. Для всякого ограниченного линейного оператора
Т ?L(X> X) (где X — некоторое /^-пространство) имеет место формула
го(Г)= sup \Ц. F)
Доказательство. По теореме 3 имеем ro(r>^sup \Ц. Поэтому
остается лишь установить неравенство ro(T)^s\ip \X\,
Функция /?(>.; Г), согласно теореме 1, голоморфна по к при
| sup |А,|. Поэтому она обладает однозначно определенным раЗЛО-
^е а (Г)
жением в ряд Лорана по положительным и неположительным степеням А,
сходящимся по норме операторов при \Ц > sup |А,|. По теореме 3 этот
Ь?(Т)
оо
ряд Ломана должен совпадать с рядом 2 Х~пТп~1. Следовательно,
/2-1
lim || Х~пТп || = 0 при |^| > sup |Я|, и поэтому для любого е>0
к€(Т)
при достаточно больших значениях п выполняется неравенство
^ff sup |А»Г\Л. Это показывает, что
^(Т) )
го(Г)= lim ||Г ||1/л< sup |A,|.
к?(Т)
Следствие. Если \Х\ <го(Г), то ряд 2^ "Тп 1 расходится.
Доказательство. Обозначим через г наименьшее неотрицательное
оо
число, такое, что при |А,|>г ряд 2 Х~пТп~1 сходится по норме
операторов. Существование такого числа г^>0 доказывается так
же, как в случае обычных числовых рядов по степеням АГ1.
Тогда при |А,|>г мы имеем lim || к~пТ" \\ = О, и поэтому, как и при
доказательстве неравенства го(Г)<^ sup |A,|, мы приходим к нера-
неравенству lim \\Тп||1/Л«^г. Это и показывает, что го(Г)-^г.
Л-*0О
3. Статистическая эргодическая теорема
Статистическая эргодическая теорема, о которой будет идти
речь в этом параграфе, позволяет для частного класса непрерывных
линейных операторов построить собственное подпространство, соот-
соответствующее собственному значению К = 1 Мы рассмотрим здесь
296 VIIf. Резольвента и спектр
статистическую эргодическую теорему и ее доказательство с точки
зрения спектральной теории в формулировке, предложенной автором
этой книги. Краткий исторический очерк развития эргодической тео-
теории в связи со статистической механикой будет приведен в гл. XIII.
Теорема 1. Пусть X— локально выпуклое линейное топологи-
топологическое пространство и Г — непрерывный линейный оператор, ото-
отображающий пространство X в себя. Допустим, что
семейство операторов [Тп\ я=1, 2, ...} равносте-
равностепенно непрерывно в том смысле, что для всякой не-
непрерывной полунормы q на X существует такая непре-
непрерывная полунорма q' на X, что
supq(Tnx)<Cq'(x) Для всех х?Х. A)
1
Тогда замыкание R(f— Т)а области значений /?(/ — Т) удовлетво-
удовлетворяет условию
eX; lim 7> = 0. Tn=n'^ Tm\, B)
я->оо m«l J
откуда, в частности,
R(f-Trf]N(f-T)={0\; (З)
Доказательство. Так как ТпA — Т) = п"х(Т — Tnhl)t из усло-
условия A) следует, что если w?R(f — 7), то \\mTnw — 0. Допустим
л->оо
теперь, что z?R(f — Т)а. Тогда для всякой непрерывной полунормы
qr на X и любого е > 0 существует такой элемент w?R(I — Г),
что q'(z — w)<e. Поэтому если за q и qr принять полунормы,
п
фигурирующие в условииA), тоq(Tn(z—w))^n~l 2
— «0<е. Следовательно, q(n)Cq(n)\y(n())^
e, и поэтому lim Tnz=0, Это показывает, что R(I—T)a?i
lim Тпх =
Обратно, допустим, что элемент х?Х удовлетворяет условию
lim Гллс = О. Тогда для всякой непрерывной полунормы q на X и
л-»оо
любого е > 0 найдется такой номер /г, что q (х — (л: — Тпх)) =
(T)<t. Но
/л-1
2
ш-1
3. Статистическая эргодическая теорема 297
поэтому (л: — Тпх) ? /? (/ — Т). Значит, элемент х должен принадле-
принадлежать замыканию R (/ — Т)а.
Теорема 2 (статистическая эргодическая теорема). Пусть выпол-
выполняется условие A). Допустим, что для некоторого элемента х?Х
можно выбрать подпоследовательность {Тп>х) последовательности
{ГдЛ:}, для которой существует слабый предел
w-\\m Tn.x = x0?X. D)
Тогда Тх0 = х0 и lirn Тпх = х0.
Я->00
Доказательство. Так как ТТп—Тп=п~1(Тп+1—Т), из A) следует,
что lim (ТТпх—Тпх)=0. Поэтому для любого элемента / ? X' предел
я-»оо
lim {ТТп>х, /)== lim (Tn>xt T'f) существует и равен lim (TV*,/)=
л'->оо Я'-»оо л'-»оо
= (л:0, /). Следовательно, {х0, f) = (TxOt /). Поскольку функционал
f?X' был выбран произвольно, последнее означает, что TxQ — x0.
Из равенства Tmx = TmxQ-\-Tm(x — xQ) = xo+Tm(x — xQ) мы
выводим соотношение Тпх = х0 -f- Тп (х — л;0). Но х — х0 =
==<a;-lim (л: — Тп>х) и, как доказано выше, (х — Tnx)?R(f — Г).
/z->oo
Поэтому, применяя теорему 11 из § 1 гл. V, мы видим, что (х — #о)€
?/?(/ — Т)а. Отсюда по теореме 1 lim Тп(х — л;0) = 0, и мы дока-
Л->00
зал и, что lim Тпх = х0.
п-+оо
Следствие. Пусть выполняется условие A) и ограниченные мно-
множества рассматриваемого пространства X слабо секвенциально ком-
компактны J). Тогда для любого х ? X существует предел lim Тпх=х0 ? Х%
/г->оо
и оператор Го, определенный равенством Гол: = л:о, представляет
собой непрерывный линейный оператор, такой, что
2 E)
F)
Г0). G)
Кроме того, пространство X можно следующим образом представить
в виде прямой суммы2):
X=R(!-T)a®N(I — T)t (8)
т. е. всякий элемент х?Х единственным образом может быть за-
записан в виде суммы элемента из R (/ — Т)а и элемента из N {I — Т).
1) См. стр. \1Ъ. — Прим. перев.
2) Запись А = В © С (прямая сумма), где Д Ву С — подпространства
некоторого линейного пространства Ху в общем случае означает, что
<Д= {х?Х\ x = y-\-z, y?Bt х?С, представление x — y-\-z единственно}.
— Прим. перев.
298 VII/. Резольвента и спектр
Доказательство. Очевидно, что То — линейный оператор. Его
непрерывность вытекает из того, что последовательность {Тп}, со-
согласно условию A), равностепенно непрерывна. Далее, поскольку
Тл:0 = л:0, ясно, что ТТ0 = Т0, откуда ТпТ0=Т0, ТпТ0=Т0 и,
следовательно, Tl = Го. С другой стороны, Тп—ТпТ = п~1(Т—Тп*1),
и поэтому из условия A) следует, что Т0 = Т0Т. Свойство F) до-
доказывается следующим образом. Пусть Тх = х; тогда Тпх = х>
Тпх = х, поэтому Тох = х и х ? /? (Го). Обратно, если х ? R (Го),
то из равенства Го=Го следует, что Тох = х, а так как TT0 = TQ,
то Тх = ТТох = Тох = х ?N (/ — Т). Таким образом, собственное
подпространство оператора 7\ соответствующее собственному зна-
значению Х=\, совпадает с R(T0). Тем самым свойство F) до-
доказано. Далее по теореме 1 N(T0) = /?(/ — Т)а. Но из равенства
Т1=ТО следует, что R(/ — То) с N(Го), и если x?N(TQ\ то
x = x—TQx?R(l — Го). Поэтому N(То) = /?(/ — Го). Из условий
F) и G) выводится разложение (8) и без труда устанавливается его
единственность, так как / = (/ — То)-\-То.
Замечание. Собственное подпространство N(Xf — Т) оператора Г,
соответствующее собственному значению Х> для которого | X | = 1,
можно рассматривать как область значений R(T(X))% где оператор Т(Х)
определен соотношением
•= Нтя-»УD-
Статистическая эргодическая теорема фон Неймана. Пусть
E, 33, т) — пространство с мерой, и пусть Р — взаимно однозначное
отображение множества 5 на себя, сохраняющее меру, т. е. Р • В ?93
тогда и только тогда, когда В ?93 и т(Р • В)= т(В).
Определим линейный оператор Г, отображающий пространство
Z,2(S, 93, т) на себя, равенством
Используя условие сохранения меры при преобразовании Р, нетрудно
убедиться в том, что Т — унитарный оператор, и поэтому выполняется
условие A) равностепенной непрерывности, так как ||Гл||=1
(п= 1, 2, . ..). Поскольку ограниченные множества гильбертова про-
пространства L2(S, 33, m) слабо секвенциально компактны, наши рассуж-
рассуждения приводят к статистической эргодической теореме фон Ней-
Неймана: при указанных выше условиях для любого x?L2(St 93, т)
предел
s- lim n~x 2j Tmx = x0?L2(S, 93, т) A0)
л->оо т —1
существует и Тх0 = xQ.
4. Обобщение эргодических теорем Хилле о псевдорезольвентах 299
Замечание. Приведенные здесь теоремы 1 и 2 взяты из работы
Иосида [3]. См. также Какутани [1J и Рисе [4]. Статистическая
эргодическая теорема фон Неймана опубликована в работе фон
Неймана [3].
4. Обобщение эргодических теорем Хилле
о псевдорезольвентах
Хилле ввел понятие псевдорезольвенты, обобщающее понятие
резольвенты. При доказательстве эргодических теорем для псевдо-
псевдорезольвент можно использовать ту же идею; что и при установле-
установлении эргодических теорем в предыдущем параграфе (см. Иосида [4],
Като [1]). Эти эргодические теоремы можно рассматривать как обобще-
обобщение абелевых 1) эргодических теорем Хилле (см. Хилле и Филлипс [1]).
Мы начнем с определения псевдорезольвенты.
Определение. Рассмотрим алгебру2) L(X, X) всех непрерывных
линейных операторов, отображающих локально выпуклое комплекс-
комплексное линейное топологическое пространство X в себя. Всякая функ-
функция JK% заданная на некотором множестве D(J) комплексной ^-пло-
^-плоскости, принимающая значения из L(X, X) и удовлетворяющая условию
4— ^ = A^ — ^)ЛЛ (Резольвентное уравнение), A)
называется псевдорезольвентой.
Предложение. Все псевдорезольвенты Jh, X?D(J), имеют общее
нуль-подпространство, которое мы обозначим через N (У), и общую
область значений /?(У). Аналогично все операторы (/ — Мк), k?D(J)t
имеют общее нуль-подпространство N(f— У) и общую область зна-
значений /?(/—У). Кроме того, умножение псевдорезольвент коммутативно:
B)
Доказательство. Меняя ролями X и \i в равенстве A), мы находим,
что
J» - Л=0- - Ю Vx = - ох - я,) ух.
откуда следует свойство B). Первая часть утверждения следует из A)
и B). Утверждения, относящиеся к оператору (/ — ^Ух), вытекают
х) Теоремами абелева типа называют предложения, устанавливающие
существование некоторого „сильного" предела в предположении существо-
существования „слабого" предела. Противоположные по характеру теоремы, устана-
устанавливающие существование „слабого" предела в предположении, что этот
предел может быть получен некоторым „более сильным" способом, назы-
называются теоремами тауберова типа. —Прим. перев.
2) Алгеброй называется множество X, являющееся одновременно век-
векторным пространством над некоторым скалярным полем К и кольцом и
удовлетворяющее условию а (лгу) = (ал:) у = х (ay) (xt у ? X, а ? /С), где
лгу —операция умножения в кольце. — Прим. перев.
300 V7/7. Резольвента и спектр
из равенства
/>Л) (/(?)Л)('Ч) 00
которое представляет собой видоизменение условия A).
Теорема 1. Псевдорезольвента УЛ служит резольвентой некото-
некоторого линейного оператора А в том и только в том случае, когда
N(J)= {0}; при этом множество /?(У) совпадает с областью опре-
определения D(A) оператора А.
Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточ-
достаточность. Предположим, что N(J)—{0}. В этом случае обратный опе-
оператор У^1 существует при всех X?D(J). Тогда
XI - Л = ii/ - у;1 (*,, ii ? DC/)). C)
В самом деле, из A) и B) видно, что
( * М
Теперь можно положить
Л = (У-У,). D)
Тогда Jk = Ckf — Ay1 для всех
k C y ?()
Лемма 1. Допустим, что существует последовательность {Хп}
комплексных чисел из области D(J), для которой
lim Я,л = 0 и семейство операторов {knJ\n\
равностепенно непрерывно. E)
Тогда
/?(/-УГ={*6*; lim KAnx = °\ F)
и, следовательно,
У)*={0}. G)
Доказательство. Из A) следует, что
И(^-Ю = A-^(^-^Г1)И-^(^-^Г1Ч. (8)
Отсюда видно, что если x?R(f — ixJ^) = R(f — У), то lim knJlnx = 0,
/1->оо
так как имеет место условие E). Пусть y?R(l — J)a. Тогда для
всякой непрерывной полунормы q на X и произвольного е > 0
найдется такой элемент x?R(I — У), что q(y — л:)<е. По усло-
условию E) для всякой непрерывной полунормы qr на X можно указать
такую непрерывную полунорму q на Х% что выполняются неравенства
Поэтому UmlnJkny = 0, поскольку lnJhny = Vx^+ КАп(У ~
4. Обобщение эргодических теорем Хилле о псевдорезольвентах 301
Обратно, допустим, что для некоторого элемента х ? X выпол-
выполняется условие lim knJkflx = 0. Тогда для всякой непрерывной ПОЛу-
нормы q на X и любого е > 0 существует такое Хп, что
q(x— (л: — XnJk л;))<е. Следовательно, элемент х должен при-
принадлежать области R(f — XnJky = R(l — J)a. Лемма доказана.
Лемма Г. Предположим, что существует такая числовая после-
последовательность [кп] с: О(У), что
lirn \к„\ = оо и семейство операторов (А,„Л ]
равностепенно непрерывно.
Тогда
/?(/)«={*€*; lini V^* = *} F0
\ я->оо I
и, следовательно,
N(JHR(J)a={0}. G0
Доказательство. Из условия A) мы получаем соотношение
Поэтому если x?R(Jlx) = R(J)t то, согласно E0» Hm XnJK х — х.
Пусть у ? /? (У)а. Тогда для любой непрерывной полунормы q на X
и всякого е > 0 существует такой элемент х ? /? (У), что # (У — л:)< е.
Из условия E0 следует, что для всякой непрерывной полунормы q'
на X найдется такая непрерывная полунорма q на X, что
Следовательно, из условия E0 и равенства
КАпу~ у = (КАп*-
можно заключить, что lim XnJky = y.
Я-»ОО П
Обратно, пусть для элемента х ? X выполняется условие
lim X JK x = x. Тогда для всякой непрерывной полунормы q на X и
Произвольного е >Ч) найдется такое значение Хп> что q(x—XnJK x\ < е.
Поэтому элемент х должен принадлежать области RUk\a = R(J)a.
Теорема 2. Предположим, что выполняется условие E). Допустим,
что для некоторого х?Х можно выбрать такую подпоследователь-
подпоследовательность [п'} последовательности {я}, что существует слабый предел
w-lim ln'An,x = xh?X. (9)
/Г -»ио
Тогда х„= lim Х,Л дг, xk?N{l-J) и xp = {x —
302 VIIL Резольвента а спектр
Доказательство. Полагая в равенстве (Г) \i — kn> и я'->оо, мы
видим, что ввиду условия E) (/ — kJk)x = (I — Мк)(х — xh), т. е.
(/_ЯУ^)л:Л = 0. Поэтому xh?N(I — J) и
КАп* = *п + К\ (* - **)• A0)
Итак, остается лишь показать, что lim XnJk (x — xh) = 0, а для
Я->оо П
этого по лемме 1 достаточно проверить, что (х — xh)^R(f— J)a.
Но (х — XnJK x\?R(l — У), откуда, согласно теореме 11, гл. V, § 1,
вытекает, что (х — х/г) ? R (/ — J)a.
Следствие 1. Допустим, что ограниченные множества в X слабо
секвенциально компактны; пусть выполняется условие E). Тогда
X-^Nif — J)@ R{f — Jf. A1)
Доказательство. Для любого х?Х положим xh— lim lnJk x
/!-»ОО П
и хр = (х — xh). Тогда хн и хр служат однозначно определенными
компонентами разложения х по формуле A1):
Теорема 2\ Пусть выполняется условие E')- Допустим, что для
некоторого элемента х? X можно выбрать подпоследовательность {п'}
последовательности {п}, такую, что существует слабый предел
w-lim K>hn,x = xh*?X. (90
Л'->ОО
Тогда xh'= lim Khx и xh.?R(J)at xp> = (х — xh>)?N(У).
Я>ОО П
Я->ОО
Доказательство. Полагая в условии (8) \i — Xn> и п'->оо, мы
на основании E') заключаем, что Мк(х — лгл') = О, а это означает,
что (х — а:а'N^(^)- Поэтому
Таким образом, остается лишь показать, что lim A,^ х^ = х^%
П->ОО П
2l для этого, согласно лемме 1', достаточно убедиться в том, что
Xh'^R(J)a- Но 'kn'J-Kn'Xh' €^O» и поэтому, согласно теореме 11,
гл. V, § 1, xh.?R(J)a.
Следствие 1'. Пусть выполняется условие E>). и ограниченные
множества в X слабо секвенциально компактны. Тогда
X = N(J)@R(J)a. (ПО
Доказательство. Для произвольного х ? X компонентами разло-
разложения jfr — Xh'-{-Xp> служат элементы Xh'=. lim hnJk x и лу =
П-+ОО П
= (х — xh.) (xh. е ^ VY> xP' ? N (У)).
Замечание. Из полученных результатов вытекает такое следствие:
в рефлексивном ^-пространстве X псевдорезольвента Ух, удовлетво-
5 Среднее значение почти периодической функции 303
ряющая условию E'). служит резольвентой некоторого замкнутого
линейного оператора А с плотной областью определения тогда и
только тогда, когда R(J)a = X. Этот результат принадлежит Като [1].
Доказательство легко получить при помощи теоремы Эберлейна,
согласно которой ограниченные множества ^-пространства X слабо
секвенциально компактны тогда и только тогда, когда оно рефлексивно.
б. Среднее значение почти-периодической функции
В качестве приложения статистической эргодической теоремы мы
приведем доказательство существования среднего значения почти-
периодической функции.
Определение 1. Множество О элементов g, A, . .. называется
группой, если в О для любой пары элементов (gt h) определено про-
произведение gh, удовлетворяющее следующим условиям:
gh?Q\ A)
(gh)k~ g(hk) (ассоциативность); B)
существует единственный элемент е ? G, такой, что
eg — ge = g для всех g ? О; элемент е называется еди-
единицей группы О; C)
для всякого g ? О существует единственный элемент
g~l?G, такой, что gg~l = g~lg = e\ элемент g"x
называется обратным к g. D)
Ясно, что элемент g служит обратным для g~x% так что (g')^1 =S*
Если для всех g, h?G выполняется условие gh = hg, то группа
называется коммутативной, или абелееой.
Пример. Множество всех комплексных матриц порядка я, опре-
определители которых равны единице, является группой по отношению
к операции умножения матриц. Это так называемая комплексная уни-
модулярная группа порядка п. Единицей в этой группе служит
единичная матрица, а элементом, обратным к а, является обратная
матрица а. Аналогично определяется вещественная унимодуляр-
ная группа. При п ^> 2 эти группы некоммутативны.
Определение 2 (фон Нейман [4]). Рассмотрим некоторую абстракт-
абстрактную группу О. Заданная на О комплексная функция f(g) называется
почти-периодической 1) на О, если выполняется следующее условие:
множество функций [fs(g> K)\ ^6^}, где fs(g, A) =
= f(gsh), заданных на произведении G X б, вполне
ограничено в топологии равномерной сходимости на
ОХО (т. е. по метрике d(f}(g, A), f2(g4 A)) =
= sup |/,-/2|). (б)
]) Элементарное определение почти-периодической (по Бору) функции
приводится в § 10 гл. XI. — Прим. перев.
304 VIII. Резольвента и спектр
Пример. Пусть О — множество R1 всех вещественных чисел с
групповой операцией, определенной как сложение; это так называемая
аддитивная группа вещественных чисел. Функция f(g) — eia*t
где а—вещественное число и i=Y—1, является почти-периодической
на Л1. Это следует из равенства f(gsh) = eias. eias • eiah и того
факта, что множество [еш\ t^R1} вполне ограничено как множество
комплексных чисел, равных по модулю единице.
Предложение 1. Пусть f(g)—почти-периодическая функция, опре-
определенная на группе О. Следуя А. Вейлю, определим функцию
i0= sup \f(gsh) — f(guh)\ (s, u?G). F)
Тогда
d\s(s, u)= dis (asbt aub) G)
при любых la, b?G.
Доказательство. Утверждение следует из определения F) и
свойств группы.
Следствие 1. Множество Е всех элементов s?G, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию dis (s, e) = 0, образует инвариантную подгруппуг)
группы О, т. е. обладает следующими свойствами:
если ev e2?Et то ехе2?Е и аеха~г?Е
для любого элемента а ? О. (8)
Доказательство. Пусть dis(?p ?) = 0 и dis(*2. *) = 0. Тогда
из условия G) и неравенства треугольника (которое здесь, как не-
нетрудно проверить, выполняется) получаем
^!^, г) = 0 + 0 = 0»
т. е. dis C^i^2» О = 0. Аналогично если dis(?p e) = 0, то
dls (aexa~l, e)= dis (aexa~lt aea~l) = 0.
Следствие 2. Условимся записью s = u(modE) обозначать тот
факт, что su~l ?E (s, u? О). Тогда условие ^^^(modf) эквивалентно
равенству dis E, «)==0.
Доказательство. Утверждение следует из равенств
dis^w", e) = dis (s, eu)=dis(s, и).
Следствие 3. Отношение s=u(modE) является отношением экви-
эквивалентности, т. е. обладает следующими свойствами:
SEEssOnodf), (9)
если s = u(modE), то tt = $(modZJ), A0)
если sx = s2(tnodE) и s2 = Sa(mo<iE)t то sx = s3(modE). A1)
') Эту подгруппу называют также нормальным делителем группы G,
"-Прим. перец.
5. Средние значение почти-периодической функции 305
Доказательство. Это вытекает из неравенства треугольника и
следствия 2.
Теперь мы можем определить факторгруппу по подгруппе Е, или
группу классов вычетов по модулю Е, которую мы обозначим
через G/E, аналогично тому, как определялось факторпространство
линейного пространства. Обозначим через 1Х множество всех эле-
элементов группы О, эквивалентных относительно подгруппы Е фикси-
фиксированному элементу x?G, т. е. класс вычетов (modf), содержащий
элемент x?G. Совокупность всех классов вычетов \х с операцией
умножения
1Лу = 1су A2)
образует группу О/Е. Для обоснования корректности определения A2)
произведения ^|у нужно показать, что
если хх = х2(шйЕ), ух===у2(то<1Е), то д:1у1^д:23;2(тоA?>). A3)
Это вытекает из свойства G) и следствия 2:
= dis(ATj, x2)+dis(yv y2) = 0 + 0 = 0, т. е. dis(x,yp л;2у2)=0.
Поскольку функция /(*), фигурирующая в определении F), при-
принимает одно и то же постоянное значение на всех элементах класса \х%
мы можем рассматривать f(x) как функцию ^(l*), заданную на фак-
факторгруппе G/E.
Следствие 4. Факторгруппа G/E с функцией расстояния
у ly)=dis(AT, у) A4)
образует метрическое пространство.
Доказательство. Если ^^^^modf) и y = yx(modE)t то
dis(AT, y)<dis(*, xx)+u[s(xv y1)+dis(y1, y) =
Аналогично dis(^p yj)<;dis(A:, y)t откуда d\s(xt y)= dis(jC|V yx).
Это показывает, что функция расстояния A4) в пространстве G\E
определена корректно.
Следствие б. Группа G/E является топологической группой
по отношению к метрике dis (Ejr» ly)» т- е- операция умножения |^у
непрерывна как отображение пространства (G/E) X (О/Е) на GjE и
операция I непрерывна как отображение группы GjE на себя *).
{) Группа Я, являющаяся в то же время топологическим простран-
пространством Л, называется топологической группой, если отображение X X X 3
Э{*. У}-*ху~х$.Х непрерывно. В следствии 5 используется, очевидно,
эквивалентное определение. — Прим. перев.
?0 К- Иосид*
306 VUL Резольвента и спектр
Доказательство. Из G) следует, что
dis(s«, sV)<dis(s«, s'u) -f dis(s'«, sV) = dls(s. s')+<Hs(«. «0
и
dis(s~l, и~1)= dis(ss-1tt, su~lu)=
Приведенные рассуждения позволяют установить следующую
теорему.
Теорема 1 (А. Вейль). Топологическая группа GjE с метрикой A4)
представляет собой вполне ограниченное метрическое пространство,
и функция f(x) порождает функцию F(&x)( = f (x))t которая равно-
равномерно непрерывна на группе G/E.
Доказательство. Равномерная непрерывность функции F(?x) сле-
следует из неравенства
I F (Ы ~ F Цу) | = | / (х) - / (у) |< dis (xt у) = dis &х9 |у).
Тот факт, что пространство G/E вполне ограничено, вытекает из
почти-периодичности функции f(x) и свойств G) и A4).
Таким образом, при помощи этой теоремы теория почти-перио-
почти-периодических функций сводится к изучению равномерно непрерывных
функций f(g), заданных на вполне ограниченной топологической
группе О, метризованной с помощью функции расстояния dis(g*j, g2)>
удовлетворяющей условию G). Это обстоятельство мы и используем
для доказательства существования среднего значения почти-периоди-
почти-периодической функции.
Поскольку пространство О вполне ограничено, для всякого е > 0
существует конечная система точек gv g2 gn, такая, что
min dis (gt ^)<<e для всех g ? G. Придавая е значения 1, 2~\ 3~\ ...
1 < / < л
и объединяя соответствующие конечные системы точек gA gn,
мы получаем счетное множество {gt} точек О, плотное в О. Выбе-
Выберем произвольную последовательность положительных чисел а;-, удов-
оо
летворяющих условию 2а/—!• Обозначим через C(G) совокуп-
7-1
ность всех равномерно непрерывных комплексных функций h(g), за-
заданных на О. Множество C(G) с операциями сложения функций,
умножения функций на комплексные числа и с нормой || h || = sup]/*(g*)|
образует ^-пространство. Определим оператор Г, отображающий
C(G) в себя, формулой
(T.h)(g)= Jj a jh(gjg). A5)
По условию равномерной непрерывности функции h(g) на G для
всякого е>0 существует такое 6>0, что из неравенства dis(g\ g')-*Cb
следует неравенство \h(g) — h(g')\^.e. Отсюда, согласно G), мы
5. Среднее значение почти-периодической функции 30?
получаем неравенство | h (gjg) — h (g]gf) |< e (/—1,2, ...) при
d\s(g, gf)<Cb- Следовательно, T — ограниченный линейный опера-
оператор, отображающий пространство C(G) в себя, так как а;- > 0 и
оо
2а.-=1. Аналогичные рассуждения показывают, что функции
hn(g)> определяемые равенствами
п
hn{g) = n-* 2 (Tmh)(g) (лг=- 1, 2, ...) A6)
m = l
оо
(их можно представить в форме hn(g)= 1&$ ,h(g'g\ Р,->0>
y=i J ч J ' J
ОО
2Р/=1). равномерно ограничены и равностепенно непрерывны
(относительно /г). Поэтому, согласно теореме Асколи — Арцела, по-
последовательность {hn(g)} содержит подпоследовательность, равно-
равномерно сходящуюся на множестве О.
Таким образом, согласно статистической эргодической теореме,
существует такая функция h*(g)?C.(G), что
lim sup \hn(g)— h*(g)\ = 0 и Th* = h*. A7)
?G
Предложение 2, Полученная выше функция h*(g) тождественно
равна постоянной.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать функ-
функции h (g) и h*(g) вещественными. Допустим, что существуют точка
go 6 ^ и положительная постоянная 6, такие, что
Функция h*(g) равномерно непрерывна, поэтому найдется такое по-
положительное число е, что из условия dis(g*', g*")*^8 будет вытекать
неравенство | h*(g') — h*(g")\-*Cb. В частности, /г*(^)<Р —6 при
dis(g*0, g")^e. Так как построенная ранее последовательность {gj}
плотна в О, для всякого е > 0 существует такой индекс п, что для
любой точки g?G справедливо неравенство min dis(g\ g"/)<8. Сле-
1/
довательно, согласно G), для любой точки g ^ G
min dis(g. gjg)<*-
KJ<n
Допустим, что этот минимум достигается при j = у0. Тогда
«Уо)Р ^ Р
20*
308 VIИ. Резольвента и спектр
вопреки тому, что точка g выбиралась совершенно произвольно.
Поэтому функция h*(g) тождественно равна постоянной.
Определение 3. Постоянное значение h*(g) мы назовем левым
средним значением функции h(g) и обозначим его через Mlg(h(g)):
п
Mlg(h(g)) = \\mn-1 ^(Tmh)(g). A8)
я->оо m —1
Теорема 2 (фон Нейман). Среднее значение Mlg обладает следую-
следующими свойствами:
2° Mlg{hl{g)+h2{g))=Mlg(hi{g))+Mlgh2{g))\
3° <A)=1;
4° если h(g)^0 на множестве О, то g
если, кроме того, h(g)^kOt то Mg(fi(g))> 0;
5° \Mlg(h(g))\^Mlg(\h(g)\);
6° <i <
7° M
8° M
9° M
Доказательство. Свойства 1° — 3° и первая часть 4°, а также
5° и 6° следуют непосредственно из определения A8); свойство 7°
легко доказывается с помощью предложения 2. Докажем равен-
равенство 8°.
Определим линейный оператор Т' формулой
(T'h)(g)= ^ajh(ggj).
Это позволяет по аналогии с Mlg(h(g)) определить правое среднее
значение Mrg(h(g)) функции h(g). Функционал Mrg(h(g)) удовле-
удовлетворяет условиям Г—3°, первой части 4°, условиям 5°, 6° и 8°.
Остается лишь показать, что правое и левое средние значения со-
совпадают. По определению левого среднего значения для всякого
е > 0 существуют последовательность элементов {kj} SO и после-
последовательность положительных чисел р^, удовлетворяющих условию
р,= 1, такие, что
sup
A9)
5. Среднее значение поч1и-периодической функции ЗС9
Аналогично существуют последовательность элементов {$y}?G и по-
/00 \
г.ледовательность положительных чисел уЛ Sy/=m» такие, что
7\у-1 J I
sup
/»1 J ч J/ б
Из условия 7° и неравенства A9) мы получаем
<е. B0)
sup
2 Y/MC*;**)-^* (*(*))
точно так же из B0) и условия 8° находим
sup I ^y$jh(kjgSi) — Mg(h(g))
Из этих неравенств видно, что M'g {h (g)) == Mrg (h (g)).
Заметим, что линейный функционал Mg(h(g))t заданный на C(G)t
однозначно определяется условиями 1° —3°, первой частью 4° и
5° — 7° (или 8°). В самом деле, согласно B0),
для вещественных функций h(g).
Поэтому для вещественной функции h(g) значение функционала
Mg(h(g)) должно совпадать с правым средним Mrg(h(g))t а следо-
следовательно, и с левым средним Mlg(h(g)). Поэтому Ж^= Mrg — Mlg.
Так как Mg = Mrgt то для Mg справедливо утверждение 8°. Кроме
того, линейный функционал Mlg(h(g~1)) удовлетворяет условиям
1°—3°, первой части4°, 5°, 6° и 8°, поэтому Mlg(h(g~l))= Mrg(h(g))=
= Mlg(h(g)), т. е. имеет место равенство 9°.
Наконец, докажем вторую часть утверждения 4°. Допустим, что
^(?*о)>О« Так как пространство G вполне ограничено, для любого
е>0 существует конечная система элементов s{t s2, ..., sn, такая,
что
min sup | h (gst) — h(gs)\<e для всех s?G.
i<n g?0
Это следует из равномерной непрерывности функции h(g) и равен*
ства dis (gst, gs) = dis (slt s). Следовательно, при е = h [go)j2 для
всякого s?G найдется такой индекс i(l^i^n)t что
310 VllL Резольвента и спектр
Отсюда, поскольку функция h(g) неотрицательна, мы получаем
п
2 h (gos-f >s) > h (go)/2 > 0 для
всех
Взяв правые средние значения от обеих частей этого неравенства,
мы приходим к неравенству
К ( 2 h (gosT ls)j = nMrs (Л (s)) > h (?0)/2 > 0,
которое и доказывает вторую часть утверждения 4°.
Замечания. Идея введения метрики A4) восходит к работе
А. Вейля [1]. Приложение статистической эргодической теоремы к
доказательству существования среднего значения почти-периодиче-
почти-периодической функции принадлежит автору настоящей книги. См. также
Маак [I]1).
6. Резольвента сопряженного оператора
Лемма 1. Пусть X и К — комплексные Я-пространства и Г--
линейный оператор, такой, что D(T)a = X и /J(T)gK. Тогда опе-
оператор (Г')" существует в том и только в том случае, когда
г) /7%\п V
1\ ум ) / .
Доказательство. Если Т'у* = 0, то
{х. Т'у*0) = (Тх, у*) = 0 для всех x?D(Г),
откуда y*o(R(T)a) = O. Значит, из условия R(T)a = Y следует, что
у* = 0, и поэтому оператор Т' обладает обратным оператором.
С другой стороны, если yo^R(T)at то по теореме Хана — Банаха
существует такой линейный функционал y^Y\ что у*(уо)=1 и
Уо(/?(Т)а)== 0. Следовательно, {Тх, уо) = О для всех x?D(T), и
поэтому Уо6?>(Г') и Т'у*= 0, в то время как у1(уо)ФО, т. е.
у*^0. Таким образом, условие R(T)a=?Y приводит к выводу, что
оператор Т не имеет обратного.
Теорема 1 (Филлипс [2]). Пусть линейный оператор Т имеет об-
обратный оператор и D(T)a = X, R(T)a=Y, где X и К —два
^-пространства. Тогда
') По элементарной теории почти-периодических функций см. также
Б. М. Левитан [1*]. — Прим. перев.
6. Резольвента сопряженного оператора 311
При этом оператор Т~\ определенный на пространстве К, огра-
ограничен тогда и только тогда, когда оператор Т замкнут и оператор
(Т')~х ограничен на пространстве Xrs-
Доказательство. Оператор G1)' существует, так как множество
D(T~~1) = R(T) плотно в К. Существование оператора (Т')~1 сле-
следует из леммы 1. Докажем равенство A). Если у ? R (Т) и у* ?D(T'L
то
Это означает, что /?(г') с D((T"l)f) и (Т~1)' (т'у*) = у* для всех
y*?D(T'). Таким образом, (Т~1)' служит расширением оператора
1. Далее, если x?D(T), то
(х.х) = (Т1Тх9х) = (Тх.(Т-1)'х) для всех
Поэтому ^((ООЕО^Ои Г/G")/** = ^ Для всех/ 6(())
Следовательно, (Г'1)'— сужение оператора (Г')". Отсюда вытекает
справедливость равенства A).
Если, кроме того, Т~1 — ограниченный оператор на К, то и опе-
оператор (Т~1)' ограничен. Очевидно также, что при этих условиях
оператор Т замкнут. Обратно, если оператор (Т')~[ ограничен на
пространстве X's, а оператор Т замкнут, то для всех x?R(T) и
х*?Х\ согласно A), справедлива оценка
*. />|Ч<*. (г-)У>н<*. (го- *•>!<
Отсюда, поскольку оператор Г при указанных условиях замкнут
и /?G1)а = К, оператор Г" должен быть ограниченным.
Лемма 2. Пусть Т — линейный оператор, такой, что D(T)a — X
и R(T)S К, где X и К—два /^-пространства. Если множество R(T')
слабо* плотно в Х\ то оператор Т имеет обратный.
Доказательство. Допустим, что существует элемент х0 Ф 0, для
которого Тхо = О. Тогда
(х0, Гу) = G\*0, у*) = 0 для всех y*?D(T').
Это показывает, что слабое* замыкание множества R(T') является
собственным подпространством в Х\ вопреки условию теоремы.
Поэтому обратный оператор Г~1 существует.
Теорема 2 (Филлипс [2]). Пусть X — комплексное В-простран-
ство и Т — замкнутый линейный оператор, такой, что D(T)a = X и
RTX. Тогда
и Я (A,; T)' = R(k\ Г) для всех ^р(Г). B)
312 VIII. Резольвента и спектр
Доказательство. Если А,?р(Г), то по теореме 1 А-бр(Г') и
R(Л; Ty = R(X; T'). Если 1?р(Т')9 то по лемме 2 оператор (А,/—Г)
имеет обратный (Л/ — Г), и оба эти оператора замкнуты. Из леммы 1
следует, что множество D {(Xf — Т)" ) = R (Xf- — Т) сильно плотно
в К. Поэтому, согласно теореме 1, Х?р(Т). Теорема доказана.
7. Операторное исчисление
Рассмотрим ограниченный линейный оператор T?L(X, X), где
X — комплексное ^-пространство. Мы определим функцию f(T) от
оператора Т формулой, аналогичной интегральной формуле Коши:
T)dl.
Для этого обозначим через F(T) совокупность всех комплексных
функций /(Я), голоморфных в некоторой окрестности спектра о(Т)
оператора Т. Эти окрестности не обязательно связны и могут за-
зависеть от f(X). Пусть f?F(T), и пусть открытое множество
U^o(T) комплексной плоскости содержится в области голоморф-
голоморфности функции /. Допустим также, что граница Г этого множества
состоит из конечного числа спрямляемых жордановых кривых, ориен-
ориентированных в положительном направлении. Тогда ограниченный ли-
линейный оператор f (T) определяется формулой
f(l)R(X; T)dk*). A)
Согласно интегральной теореме Коши, значение / (Г) зависит
только от функции / и оператора Г и не зависит от выбора
области U.
Следующая теорема служит основой операторного исчисления.
Теорема (Данфорд). Если функции fug принадлежат множе-
множеству F(T) и а, р — произвольные комплексные числа, то справедливы
следующие утверждения:
а/ + Р? 6 F (Т) и а/ (Т) + fig (T) = (а/ + fig) (Г); B)
C)
если разложение Тейлора f (Х)= ^апХп функции /
сходится в окрестности U спектра о (Г), то /(Г)==
со
= ^jCLnTn (сходимость понимается в смысле топологии,
/2-0
определяемой нормой оператора); D)
') Автор называет правую часть A) интегралом Данфорда. — Прим.
7. Операторное исчисление 313
пусть функции fn?F(T) (/i=l, 2, ...) голоморфны
в некоторой фиксированной окрестности U спектра а(Г);
если последовательность функций fn(X) равномерно
сходится в области U к функции /(А,), т0 последова-
последовательность fn(T) сходится к f(T) в топологии, опреде-
определяемой нормой оператора; E)
если f€F(T). то /6^(П и /(Г) = /Gу. F)
Доказательство. Утверждение B) очевидно.
Доказательство утверждения C). Пусть Ux и U2 — открытые
окрестности спектра а (Г), границы Г\ и Г2 которых состоят из ко-
конечного числа спрямляемых жордановых кривых, и пусть f/i + FjS^»
а множество U2-\-T2 содержится в области голоморфности функций
/ и g\ Используя резольвентное уравнение и интегральную формулу
Коши, мы получаем
T)dX> j g(\i)R(\i; 7-)rf|i =
г, г2
= - Dл2) J J f(k)g fa) Oi -1)'1 (R (k T)-R Ox;
r, r2
= Bni) j f(k)R(k; T)iBni)~l J (\i-iy1
r, I r2
— BЯ/Г1 J g(\i)R([i't T) iBni)~l J (ii — Xy
= BЯ/) j f(k)g (X) R (k; T) dl = (f. g) (T).
г,
Доказательство утверждения D). По предположению область U
содержит внутри некоторый круг вида [X; \Ц^га(Т)-\-г, е>0},
где га(Т) — спектральный радиус оператора Т (теорема 4, гл. VIII,
оо
§ 2). Поэтому степенной ряд / (X) = 2 о,пкя равномерно сходится
/2-0
в круге С={А,; |Л|<>а(ГL-е} при некотором е>0. Отсюда,
с»
используя разложение резольвенты в ряд Лорана R(X; Г)= ^X"nTn
/7-1
(гл. VIII, § 2, E)) и интегральную формулу Коши, мы выводим
314 VIU. Резольвента и спектр
равенство
.j
S f
-1
f 2ft
/f-0 Я-1 j, fc-0
где Гс-—граница круга С, что и требовалось доказать.
Утверждение E) выводится из A), а F) доказывается с по-
помощью A) и формулы B) предыдущего параграфа.
Следствие 1 (теорема об отображении спектра). Если функция /
принадлежит множеству F(T), то /(оG)) = o(f(T)).
Доказательство. Пусть Х?о(Т). Определим вспомогательную
функцию g* формулой g(V>) = (f(X) — f(\i))l(X — \i). По предыдущей
теореме f(X)f— f(T) = (XI— T)g(T). Поэтому если оператор
(/(X)/ —/(Г)) имеет ограниченный обратный В, то g(T)B будет
ограниченным оператором, обратным (XI — Т). Таким образом, из
условия X ? а (Т) следует, что / (X) ? a(/ (T)). Обратно, пусть
X?o(f(T)); предположим» что X(?f(o(T)). Тогда функция g{(\x)^:
— (/(МО — А,)" принадлежит F(T) и, следовательно, по предыдущей
теореме gl(T)(f(T) — А,/) = /, а это противоречит предположению
о том, что X?o(f(T)).
Следствие 2. Если f?F(T)t g^F(J(T)) и h(X) = g(/(X)), то
функция h принадлежит F(T) и h(T) = g(f(T)).
Доказательство. Включение h?F(T) вытекает из следствия 1.
Пусть t/j—открытая окрестность множества o(f(T))t граница кото-
которой Fj состоит из конечного числа спрямляемых жордановых дуг,
и множество Ux -f- Г{ содержится в области голоморфности функ-
функции g. Пусть U2 — окрестность множества о(Т), граница которой Г2
состоит из конечного числа спрямляемых жордановых кривых» и
множество U2 + Г2 содержится в области голоморфности функции /,
причем /(?/2 + Г2) S Uv Тогда
R(Х- J
г,
при всех значениях ^^Г^ так как оператор, стоящий в правой
части (обозначим его через 5), удовлетворяет, согласно свойству C),
уравнению (Xf — / (Т)) 5 = S(X/ — / (Т)) = /. Применяя формулу
8. Изолированные особые точки резольвенты 315
Коши, мы получаем
г, г2
J Л (|х; Г) ? (/ (Ю) rf|i = А (Г),
г2
что и требовалось доказать.
Замечание. Идея построения операторного исчисления на основе
формулы A) восходит к работам Пуанкаре по теории непрерывных
групп A899 г.). Приведенное здесь изложение операторного исчи-
исчисления заимствовано из книги Данфорда — Шварца [1]. В следующей
главе, посвященной полугруппам, мы распространим формулу A) на
неограниченные замкнутые операторы.
8. Изолированные особые точки резольвенты
Пусть Хо — изолированная особая точка резольвенты R (k; T)
замкнутого линейного оператора 7\ отображающего комплексное
fi-пространство Х в себя. Тогда резольвенту R(k\ Т) можно раз-
разложить в ряд Лорана
; Т)= 2 (Х-Х0)«Ап, An = Bni)~x \ (X-lQyn'} R(X; T)dl,
A)
где С — граница круга |А,—-^ol^8 достаточно малого радиуса е > О,
не содержащего никаких других особых точек резольвенты, кроме
А, = А,0, причем интегрирование выполняется в направлении положи-
положительного Обхода С, т. е. против часовой стрелки. С помощью ре-
резольвентного уравнения можно доказать следующую теорему.
Теорема 1. Все операторы Ап (/г = 0, ± 1, ±2, ...) взаимно
перестановочны (т. е. АП1АП2 — АП2АП{; nv /i2 = 0, ±1, ±2, ...) и
являются ограниченными линейными операторами. При этом
TAk = AkT (/5 = 0, ±1, ±2,...),
AkArn — 0 при /г^О, т<^ — 1,
An = (-l)nAS+'1 при 2
A_p_q+l = A_pA_q при р,
Доказательство. Ограниченность операторов Ап, их взаимная
перестановочность и перестановочность с оператором Т вытекают
непосредственно из интегрального представления A).
316 V//L Резольвента и спектр
Подставим разложение A) резольвенты R(X\ Т) в резольвентное
уравнение R(X; Г)-/?(|и; Т) = (р, — X) R(X; T)R(\x; Г). Это при-
приводит к формуле
А a-h)k-to-h)k v 'a a a i^m a.y»
Коэффициенты при Лл в левой части можно записать в виде
(X-lo)n-l+(X-lo)n-\ii-kQ)-\- ... -Hix-^)"-1 при
X^fr-Xo)-"} при я<0.
Отсюда следует, что слагаемые, содержащие произведения вида
(X— X0)k(\x — XQ)m со значениями k^O и пг-^—1, должны обра-
обратиться в нуль, и поэтому AkAm = 0 при k^>0, m^ — 1. Следо-
Следовательно, функции
п—0
должны каждая в отдельности удовлетворять резольвентному урав-
уравнению. Подставляя в резольвентное уравнение
([i; T)
разложение /?4 (X; Т)= ^Ап(Х — Х0)п, мы получаем
/7-1 V/7-0 ' /\G-0 ^
где h = (X — XQ), k = (VL — X0).
Разделив обе части этого равенства на (k — h), мы приходим
к равенству
-^iAp(ftp-1 + hp-2k+ ... +*'-!)= 5 А"ЛМ^,.
/7-1 /7,7-0
откуда следует, что — Ар+д_И = АрАд (р, 9>0). Отсюда, в част-
частности, имеем
Аналогично из резольвентного уравнения для функции R~ (X; Т)
мы, полагая (X — Хо)~1 — h, (\i — X0)~l — kt найдем
8. Изолированные особые точки резольвенты 317
откуда Л_р_д+1 = A_pA__q (/?, q^\). Это дает, в частности,
Л_1 = л1ь Л_2= Л_1Л_2. .. .. А„п — А-\А_п (я> 1).
Теорема доказана.
Теорема 2. Имеют место формулы
ЛЛ+1 при
) (T~Xof)nA^ ПРИ л>1. C)
=i4.1 —Л
Доказательство. Из интегрального представления оператора Ak
видно, что область значений R(Ak) принадлежит области определения
оператора 7\ поэтому оператор Ak можно умножать слева на Г.
Утверждение теоремы вытекает из тождества
Л--ОО
если приравнять коэффициенты, стоящие слева и справа при одина-
одинаковых степенях (к — Хо).
Теорема 3. Если А,о — полюс порядка m резольвенты R(X] T)f
то Xq является собственным значением оператора Т. Кроме того,
—ТУ) и R(r — A^) = R((Xof~T)n) при n>m.
D)
Отсюда, в частности, следует, что
Пл) при п>т. E)
Доказательство. Поскольку А_г — ограниченный линейный опе-
оператор, удовлетворяющий условию Л?.1 = Л_ь то, как нетрудно
видеть,
^(i4.1)=/?(/-i4.1). F)
Введем обозначения
Допустим, что х ? Nn> где п ^ 1. Тогда из равенства G—УУ* Ап„х =
^ ЯЛ= i4.j — / ВИДНО, ЧТО
О = Ап_х (Т - У)л х = (Т- у)п Ап_хх == (Г-V) V = А-хХ-х,
318 VllL Резольвента и спектр
откуда х— А_хх ? Х2. Следовательно, при п^> 1 множество Nn
принадлежит Х2. Обратно, пусть х ? Х2. Тогда х = А_ху, и так
как Л_1 = л1ь то х= А_хА_гу=,А_хх. Поэтому (Г — XQf)n x =
= А_(п+Х)х, поскольку (Г — XQf)n A_x = A_(nil). По условию тео-
теоремы Л_(л+1) = 0 при п^>т, .поэтому X2c.Nn при ri^m. Эти
рассуждения показывают, что
Nn=zX2 при л>т. (8)
Далее по условиям теоремы Л_т=?0и(Г—У) А__т= Л__(т+1) = 0;
значит, число Хо является собственным значением оператора Т.
Так как (Т — Xof)n Ап_х — А_х — /, то *, = N (Л__,) =
= /?(/— ^_j)c /?Л. Если /г^т, то из условия х ?Rn()Nn следует,
что х = 0. Действительно, если х — (Я,о/ — Г)" у и (А,(/ — Г)Л х = 0,
то, согласно (8), y?N2n — Nn, и поэтому л; —0. Предположим
теперь, что х ? /?„ при п^т, и представим элемент х в виде
аг = л:1 + л-2, где aTj = (/—А_х) х ?XV x2= A_xx ^ Х2. Тогда
аг2=л:^—Xi?R,v так как A'j ? /?л. Но из условия (8) видно, что
х2? X2 = Nn1 и поэтому x2^Rn(]Nn, т. е. х2 = 0. Это показывает,
что л: = л:1^Аг1. Тем самым мы доказали, что Rn = Xx при п^-пг.
Теорема 4. Допустим, что Т — такой ограниченный линейный
оператор, что подпространство Х2 — R(A_X) пространства X конечно-
конечномерно. Тогда Хо является полюсом резолввенты R (А/, Т).
Доказательство. Обозначим через хх, х2, .... xk базис линей-
линейного пространства Х2. Векторы xv Txv T2xv .... Tkxx принадле-
принадлежат X2 и линейно зависимы. Поэтому существует не равный тожде-
тождественно нулю полином Px(k), такой, что Р[(Т)хх — 0. Точно так же
существуют не равные тождественно нулю полиномы Я2(^)» • • •• ^лМ»
такие, что Pj(T)Xj = 0 (у — 2, 3 k). Тогда для полинома Р(X) =
мы получаем соотношения Р (Г) Xj = 0 (у = 1, 2 /г),
и поэтому Р(Т)х = 0 при любом лт^Л^.
Разложим полином Р(А,) на множители. Это разложение всегда
s
можно записать в виде P(k) = ajl(k — Xj) j (а Ф 0), где v0>0,
Vj^> I и Xj Ф Хо при у > 0. Теперь покажем, что (Т — Xof)v°x = 0
для всякого вектора х?Х2. В самом деле, предположим, что это
не так; пусть хо?Х2 — вектор, для которого (Г — Х01У°х0Ф0. Тогда,
поскольку Р(Т)хо — О, мы видим, что существуют по крайней мере
одно значение X — Xj (у=^=0) и полином Q(X), такие, что
(Г - Xj/) Q (Г) (Т - у )Vo хо = О,
h. Изолированные особые точки резольвенты 319
и при этом y — Q(T)(T — X0/)v° л;0 =? 0. Поэтому у?Х2 представляет
собой собственный вектор оператора 7\ соответствующий собствен-
собственному значению Xj. Следовательно, (XI — Т)у = (Х— Xj)y. Умножая
обе части этого равенства на R(X\ Г), мы получаем соотношение
у = (X — kj) R (Х\ Т) у, откуда следует, что
^ R(X\ T)ydX=:Bmy{ [ (X — X^'ydX^ 0,
с с
где С — окружность достаточно малого радиуса с центром в точке Хо.
Таким образом, мы приходим к противоречию, и, следовательно, должно
существовать целое положительное т, такое, что (Г — XJ)m Х2 — $-
Поскольку Х2= R(A_X) и (Г — Х0!)п Л^ = Л__(Л+1), мы видим, что
Л_(/м1) = 0 для всех п^т, т. е. Хо является полюсом резоль-
резольвенты R(X\ T).
Литература
Материал § 6 взят из книги Филлипса [2]; изложенное в § 8
заимствовано из работ Нагумо [1] и А. Тейлора [1]. Некоторые ре-
результаты, приведенные в этих параграфах, могут быть обобщены
на локально выпуклые линейные топологические пространства. См.,
например, § 13 следующей главы1).
1) По спектральной теории линейных операторов см. также А. И. Шес-
нер [1*]. — Прим. перев.
ГЛАВА IX
Аналитическая теория полугрупп
Аналитическая теория полугрупп ограниченных линейных опе-
операторов, заданных в ^-пространстве, изучает функции экспонен-
экспоненциального типа в бесконечномерных функциональных пространствах.
Эта теория связана с задачей определения ограниченной операторно-
значной функции T(t)t t^O, удовлетворяющей уравнению
T(t + s)=T(t).T(s)9 Г@) = /.
Этой проблеме были посвящены исследования Хилле [2] и Иосида
[5], опубликованные в 1948 г.1)
Для решения этой задачи использовалось понятие инфинитези-
мального производящего оператора А полугруппы T(t), который
определяется как
Порождение полугруппы T(t) оператором А изучалось в терминах
спектральных свойств инфинитезимального оператора.
Основные результаты теории полугрупп, как будет далее пока-
показано, представляют собой естественное обобщение теорем Стоуна [2],
относящихся к однопараметрической группе унитарных операторов
в гильбертовом пространстве. В гл. XIV будут рассмотрены при-
приложения теории полугрупп к исследованию стохастических про-
процессов и уравнений эволюционного типа, включая уравнение диф-
диффузии, волновое уравнение и уравнение Шрёдингера.
В этой главе теория полугрупп непрерывных линейных операто-
операторов будет развита не только для банаховых пространств, но и для
общих локально выпуклых линейных топологических пространств.
1. Полугруппы класса (Со)
Предложение (Э. Хилле). Пусть X — некоторое В-пространство
и Tt?L(X, X), t^-Q, — однопараметрическое семейство операторов,
обладающее следующим полугрупповым свойством:
TtTs = Tt+s при всех t% 5>0. A)
1) Исторический очерк развития теории полугрупп и подробная библио-
библиография имеются в книге Данфорд — Шварц [1], а также у Хилле —Фил-
липса [1]. — Прим. перев.
/. Полугруппы класса (Сп) 321
Если для всякого положительного числа а функция р (t) = In || Tt \\
ограничена сверху на интервале вида @, а), то
ln\\Tt\\. B)
Доказательство. Из неравенства || Tt+S || = \\TtTs || < || Tt || • ||7J|
следует, что р(t + s)< р(t) + р(s). Пусть $ = init~lp(t). Оче-
*>о
видно, р либо конечно, либо равно — оо. Допустим сейчас, что
Р — конечное число. Для произвольного е>0 выберем такое число
а>0, что /?(а)^(Р + е)а. Возьмем произвольное значение />0
и обозначим через п целое число, удовлетворяющее неравенству
па<С* <(п-\-\)а. Тогда
па Р(а) | РV —па) <^
i
По предположению величина p(t — па) ограничена сверху при/->со.
Полагая /->оо, мы выводим из последнего неравенства формулу
fi = \imt~l p(t). Случай, когда р = — оо, рассматривается совершенно
аналогично.
Определение 1. Пусть семейство операторов {7^;/>0}с
czL(X, X) удовлетворяет условиям
TrTs=Tt+s для всех t, s>0, (Г)
Г0 = Л C)
s-\\mTtx = Tttix для любого /0^0 и любого х ? X. D)
t->t0
В этом случае мы будем называть семейство [Tt] полугруппой
класса (Со).
С помощью доказанного выше предложения можно показать,
что всякая полугруппа [Tt] класса (Со) подчиняется требованию
|| Г, ||< Ate*, 0</<oo, E)
где М>0 и р<со — некоторые постоянные.
Доказательство этого свойства совсем просто. Нужно только по-
показать, что для всякого интервала вида @, а) (зо > а > 0) нормы
|| Г, || ограничены при /?@, а). Допустим противное и предположим,
что существует такая последовательность {^}с@, а), что \imtn =
я->ао
= to<Ca и || 71/JI > п. Тогда, согласно теореме о резонансе,
последовательность ||7"/„л;|| должна оказаться неограниченной по
21 К. Иосида
322 IX. Аналитическая теория полугрупп
крайней мере при каком-то одном х?Х, что противоречит условию
сильной непрерывности D).
Замечание. Умножая операторы семейства [Tt] на множитель
е~&, мы, очевидно, получим новую полугруппу класса (Со), которая
будет удовлетворять условию равномерной ограниченности
||7J<M при 0<*<оо. F)
Если, в частности, М<;1, т. е.
||Г,||<1 при 0<^<оо, G)
то полугруппа \Tt) называется сжимающей полугруппой класса (Со).
Следующая теорема относится к условию сильной непрерывности D).
Теорема. Пусть семейство [Tv ?>0} операторов Tt?L(X, X)
удовлетворяет требованиям A0 й C); тогда свойство D) эквивалентно
условию
W'Wm Ttx = x для каждого х?Х. (8)
но
Доказательство. Допустим, что условие (8) выполняется. Обо-
Обозначим через х0 произвольный фиксированный элемент пространства X.
Покажем, что s-lim TtxQ = TtQx0 при любом to^O. Для этого рас-
смотрим функцию х(t) = TtxQ. Во всякой точке tQ^0 функция x(t)
слабо непрерывна справа, так как w-\imTtxo = W'\\mThTtoxo=Tt х0.
Убедимся теперь в том, что нормы ||7Y*0|| ограничены в некоторой
окрестности t = 0. В самом деле, если допустить противное, то должна су-
существовать такая последовательность [tn}, что tn \ 0 и lim || Ttnx0 \\ = сю;
Л->ОО
это противоречит следствию 1, гл. II, § 1, условия которого ввиду
слабой непрерывности функции x{t) = Ttx0 справа выполняются. Сле-
Следовательно, как показывает условие (I7)» функция TtxQ — x(t) огра-
ограничена на всяком бикомпактном множестве значений t. Более того,
функция x{t) оказывается слабо измеримой. Это вытекает из того,
что всякая непрерывная справа вещественная функция f(t) измерима
по Лебегу; это можно показать, основываясь на том факте, что мно-
множество {t; f(t)<ia] при любом значении а представляется в виде
объединения интервалов с положительными длинами. Пусть \tn) —
совокупность всех положительных рациональных чисел. Рассмотрим
всевозможные конечные линейные комбинации вида 2 $jX (tj), где
Ру — рациональные числа (если X — комплексное линейное прост-
пространство, то в качестве Ру берутся числа вида Ру = aj-\-ibj с рацио-
рациональными aj, bj). Эти комбинации образуют счетное множество
М={хп), такое, что множество [x(t); ?>0} содержится в сильном
замыкании М. Действительно, предположив противное, мы нашли бы
число /', такое, что x(t') не принадлежит Ма. Но множество Ма
/. Полугруппы класса (Со) 323
является замкнутым линейным подпространством пространства Xt
и поэтому, согласно теореме 11, гл. V, § 1, оно слабо замкнуто.
Поэтому предположение x{t')^Ma противоречит слабой непрерыв-
непрерывности справа функции x(t)t т. е. условию x(t') = W'\\mx(tn)«
Теперь мы можем применить теорему Петтиса (гл. V, § 4), и,
следовательно, функция x(t) оказывается сильно измеримой. По-
Поскольку норма || а: @1| ограничена на всяком бикомпактном множестве
3
точек Л можно рассматривать интеграл Бохнера Г x(t)dtt для ко-
а
торого справедливо неравенство
x(t)dt
3
<j\\x(t)\\dt для всех 0<а<р<оо.
а
3 3+*
3 3
Интеграл \ x(t-\-s)dt= \ x(t)dt сильно непрерывен по s, так как
а а+s
функция x{t) ограничена по норме на всяком бикомпактном мно-
множестве значений t. Это свойство Данфорд [3] использовал для
доказательства сильной непрерывности функции x(t) при t > 0. Мы
будем здесь следовать доказательству Данфорда.
Возьмем произвольное е > 0 и выберем числа а, т|, р и \ так,
чтобы 0 < а < л < Р < 6-е < \. Так как х &) = Тгх0 = TJ^x0 =
Г —л), то
3 3
а
Ввиду A0» C) и ограниченности \\Tt\\ в некоторой окрестности / = 0,
вытекающей из следствия 1, гл. II, § 1, справедливо неравенство
SUP II^Till^00- Поэтому из соотношения
3
®-а){хA ± г)-х®} = j ^{хЦ ± е-г))-ха-Ч)} dn
а
следует оценка
1-е
sup ||Гл||. f \\x(x±E)-x(x)\\dx.
3 jj
Правая часть последнего неравенства стремится к нулю при е | 0 —
это нетрудно обнаружить, аппроксимируя х(х) простыми функциями.
Мы установили, таким образом, сильную непрерывность функ-
функции x(t) при t > 0. Непрерывность x(t) в точке /==0 доказывается
21*
324 IX. Аналитическая теория полугрупп
следующим образом. Для любого положительного рационального
числа tn имеем Ttx(tn)=TtTt х0 = х(t + tn). Отсюда на основании
сильной непрерывности функции x(t) при t > О, которая была до-
доказана выше, мы заключаем, что s- lim Ttx (tn) = x (tn). Каждое зна-
t |0
чение xm ? M представляет собой некоторую конечную линейную
комбинацию элементов вида x(tn)t и поэтому s-\im Ttxm = xm
t *о
(т— 1, 2, .. .). Но, с другой стороны, для любого значения ^?[0, 1]
sup \\Tt\\.\\x0~xm\\.
Следовательно, lim || x(t) — xo\\^(\ + sup || Tt\\\\\ xm — л:0||, так
/^0 V o</<i J
что s- lim x(t)= xQ, поскольку inf ||jc0 — л:т|| = 0.
2. Равностепенно непрерывные полугруппы класса (Со)
в локально выпуклых пространствах. Примеры полугрупп
Мы перейдем теперь к изучению полугрупп в общих локально
выпуклых пространствах.
Определение. Пусть X — локально выпуклое линейное тополо-
топологическое пространство и {Г,}, t^0t Tt?L(X, X)t —однопараметри-
ческое семейство операторов, для которого выполняются следующие
требования:
Ttrs=Tt^st Го = /, A)
lim Ttx = Ttox для всех to^>O и любого х?Х, B)
семейство {Tt} равностепенно непрерывно (последнее
условие означает, что для всякой непрерывной на про-
пространстве X полунормы р (х) существует непрерывная C)
полунорма #(лг), такая, что p(Ttx)<^.q(x) для всех
значений /^0 и всех элементов х ? X).
В этом случае мы будем говорить, что в локально выпуклом
пространстве X определена равностепенно непрерывная полугруппа
класса (Со).
Полугруппы {Г,}, удовлетворяющие условиям (Г). C), D) и F)
предыдущего параграфа представляют собой пример равностепенно
непрерывных полугрупп класса (Со).
Приведем теперь примеры конкретных полугрупп.
2. Равностепенно непрерывные полугруппы класса (С0) 325
Пример 1. Возьмем пространство С [0, сю] ограниченных и равно-
равномерно непрерывных вещественных (или комплексных) функций x(s)t
заданных в промежутке [0, оо). Определим на С [0, оо] с помощью
формулы
G» (*) = *(* + *)
операторы Tt, t^O. Условие A) здесь, очевидно, выполняется.
Свойство B) вытекает из равномерной непрерывности функций x(s).
Наконец, ||Г, ||^1, так что {Tt} — это сжимающая полугруппа
класса (Со), и условие C), очевидно, выполняется. В этом примере
можно заменить С [О, оо] пространством С [ — оо, оо] или Lp (— оо, оо).
Пример 2. Возьмем пространство С[—оо, оо]. Рассмотрим гаус-
совскую плотность вероятностей
Nt(u) = Bntyy2e'uV2tt — оо < « < оо, t > 0.
Определим операторы Tt% t^O, отображающие пространство
С [ — со, оо] в себя:
оо
(Ttx)(s)= f Nt(s — u)x(u)du при *>0,
—оо
(Ttx)(s) = x(s) при * = 0.
оо
Каждый оператор Tt непрерывен, так как Г Nt(s — u)du=\t и
—оо
поэтому
оо
По определению Го = /, а полугрупповое свойство TtTs= Tt+S сле-
следует из известной формулы теории гауссовских случайных величин:
vfpt . g-v
Эту формулу можно вывести, применяя преобразование Фурье и
используя формулы A0) и A3) гл. VI, § 1. Чтобы убедиться в силь-
сильной непрерывности функции Tt по переменной t% заметим, что
оо
х ($)— f Nt(s — u)x(s)du.
— оо
Поэтому
00
G» (s) — *(*)= J Nt (s — a) (jc (и) — *(«)) du,
326
IX. Аналитическая теория полугрупп
а это выражение заменой переменной ?s — и)/у t = z приводится
к интегралу
оо
J Nl(z){x{s--V7z)-x{s))dz (Nx = Nt\t=l).
— ОО
Так как функция x(s) равномерно непрерывна в промежутке (— оо, оо),
для любого е > 0 найдется 6 = 6(г) > 0, такое, что |x(sx)—д:E2)|<б
при условии \sx— $2|<^6. Разбивая написанный выше интеграл на
слагаемые, мы приходим к неравенству
|G»E)— хE)|< J N{(z)\x{s-y7 .z)-x(s)\dz +
|>Т.*|<6
J Nx{z)dz +
+ 2||х|| J Nx(z)dz<t + 2\\x\\ J Nx(z)d*.
I vr.z I > 6 I vr.z I > 6
Второй член в правой части этой суммы стремится к нулю при
оо
/->0, так как интеграл Г Nx{z)dz сходится. Таким образом,
—оо
lim sup \{Ttx)(s)—a;(s)| = 0 и, следовательно, s-lim Ttx — x. Тем
/^o s t+o
самым, учитывая теорему предыдущего параграфа, мы доказали ра-
равенство B).
В этом примере можно заменить пространство С[—оо, ос] на
Lp(—оо, оо). Рассмотрим случай пространства Ll{—оо, оо). Тогда
по теореме Фубини
оо оо
||7>||< J $ Nt(s-u)\x(u)\dsdu^\\x\\.
— ОО —ОО
Сильная непрерывность доказывается так же, как в предыдущем
примере:
|7>-*||= j
Jx (z) (x(s — Yt . z) — x (sj) dz
I00 -
J \x(s—V7*z) — x(s)\ds
-oo
<2 j N1(z)dz-\\x\\.
3. Инфинитезимальный производящий оператор 327
Отсюда по лемме Лебега — Фату
QO / 00 \
Пт||7>г —*||< f N^llim f | x(s — }/7. z) — x(s)\ds )dz = O.
<*° -со V*°-o° /
так как интеграл Лебега непрерывен по параметру в смысле сходи-
сходимости в среднем — это легко показать, аппроксимируя x(s) простыми
функциями.
Пример 3. Рассмотрим пространство С[—оо, оо]. Пусть А, > О,
\i > 0. Определим равенством
операторы Tt, f^>0, отображающие пространство С [— оо, оо]
в себя. Тогда
оо
^1
m=0
v + t)
i
(Xw)m
ml
oo
/>'
oo
p
Г72-О
(Xt)k
ml
(p-
J — ffl
У (? ¦•—¦ M
m)! ч ^
¦ ¦ ч
J. (
/7 = 0
т. е. полугрупповое свойство имеет место. Нетрудно также убедиться
в том, что определенные здесь операторы Tt образуют сжимающую
полугруппу класса (Со).
3. Инфинитезимальный производящий оператор
равностепенно непрерывной полугруппы класса (Со)
Пусть равностепенно непрерывная полугруппа [Tt\ t^>0] класса (Со)
определена на локально выпуклом линейном топологическом про-
пространстве X. Предположим, что X — секвенциально полное про-
пространство. Инфинитезимальный производящий оператор А полу-
полугруппы [Tt] мы определим как предел
Лх= lim h~\Th —I)x. A)
h 1,0
Таким образом, Л — линейный оператор с областью определения
?)(Л)= i xf X\ lim h~l(Th— I)x существует в X I,
i л ф о )
328 IX. Аналитическая теория полугрупп
и Ах= lim h"l(Th — 1)х для x?D(A). Множество D(A) не пусто,
h ^0
поскольку вектор л; = 0 во всяком случае принадлежит D(A). В дей-
действительности же область D(A) существенно шире. Имеет место
следующая
Теорема 1. Множество D(A) плотно в пространстве X.
Доказательство. Положим фл (s) = ne~ns, n > 0. Рассмотрим
умноженное на п преобразование Лапласа функции Ts
С%х= $q>n(s)Tsxds для х?Х, B)
о
где интеграл понимается в смысле Римана. Обычная конструкция
интеграла Римана от числовых функций может быть перенесена на
функции со значениями из локально выпуклого секвенциально пол-
полного пространства Х% если вместо абсолютной величины числа ис-
использовать определенные на X непрерывные полунормы р.
Сходимость несобственного интеграла следует из равностепенной
непрерывности полугруппы Tfi соотношения
и секвенциальной полноты пространства X.
Из неравенства
оо
Р (Сфя*) < J ™-»*р G» ds < sup p G»
можно заключить, что Сф — это непрерывный линейный оператор,
принадлежащий А (Л", X). Покажем, что
Фл) с D(A) для любого п > 0 C)
lim СцХ = х при всех х?Х, D)
п
п
с»
Из этого, очевидно, будет следовать, что множество [J R (Сф \ и
/7 = 1
тем более область D(A) плотны в X.
Для доказательства утверждения C) мы используем формулу
h'1 (Th -1) Cvv = А -' J сря (s) ThTsx ds - A J Ф„ (s) 7> rfs.
3. И нфинитезимальный производящий оператор 329
Линейность и непрерывность оператора Т1г позволяют изменять по-
оо оо
рядок операций в форме Тh Г . . . = \ Th . . ., поэтому
оо оо
/Г1 GА - /) С%х = /Г1 J Фл E) Г5+Лх ^ - /Г1 J Фл E) 7> ds =
о о
со h
enh If If
_ - j ox h n j e sx s —
/г О
etih | /. I If
h \ n J \ h J n s
l о Jo
Выражение yn(s)Tsx непрерывно по s, значит второе слагаемое
в правой части последнего выражения стремится к — ц>п @) Тох =
= — пх при А10. Эти же соображения показывают, что первое
слагаемое в правой части стремится к яСф х при А 10. Следова-
Следовательно, Сф^д; принадлежит ?(Л) и
АС х = п(С /\х х?X E)
оо
Теперь выведем формулу D). Так как \ ne~ns ds=l, то
о
оо
Сцпх — х=^п\ e~ns (Jsx — х) ds,
о
оо б оо
р (Сцпх — х) < п f e~nsp(Tsx — x)ds = n f ... + л [ ... =.
J J J
О 0 6
где 6>0 — произвольное положительное число. Для любого е>0
мы, поскольку функция Tsx непрерывна по 5, можем выбрать 6 > О,
такое, что p(Tsx — х)<е при 0<5<6. Поэтому
6 оо
J{ < гп f e~ns ds < ея f e~ns ds = e.
о о
При фиксированном значении 6 > О
оо
h < П \ е~П8 (Р (TsX) -Ь Р (Х)) ds -> ° ПРИ Л t °°»
б
так как множество {7^л;} равномерно ограничено при s^>0. Отсюда
и вытекает справедливость соотношения D).
330 IX. Аналитическая теория полугрупп
Определение. Определим для полугруппы операцию дифференци-
дифференцирования Dt формулой
DtTtx= lim ti~x(Ti+h— Tt)xt
Л->0
имея в виду те значения х?Х, при которых предел, написанный
в правой части, существует.
Теорема 2. Если x?D(A), то x?D(DtTt) и
DtTtx=ATtx=TtAx, *>0. G)
Таким образом, оператор А перестановочен с оператором Tt, или,
как говорят, операторы А и Т( коммутируют друг с другом.
Доказательство. Если x?D(A), то, поскольку оператор Tt не-
непрерывен,
TtAx=T( lim h~\rh — I)x= lim /Г1 (TtTh—Tt)x =
Л *0 h*0
= lim h~l(Tt+h — Tf)x= lim A (Th — I)Tfx= ATtx.
h Ц) h i 0
Следовательно, если х ? D (А), то Ttx ? D (А) и TtAx = ATtx =
= \\mh~x(Tt+h — Tt)x. Мы, таким образом, показали, что правая
производная от Ttx (в смысле определения F)) существует при всех
x?D(A). Теперь мы убедимся в том, что и левая производная тоже
существует и совпадает с правой производной.
С этой целью выберем произвольный функционал fo?X'. Тогда
из приведенных выше рассуждений следует, что при всяком фикси-
фиксированном значении х числовая функция fo(Ttx) = (Ttxt f0) непре-
непрерывна по t при />0 и обладает правой производной d*fo{Ttx)jdtt
равной значению fo(ATtx) = fo(TtAx). Отсюда мы заключаем, что
производная d]~f0(Tfx)jdt непрерывна по t. Ниже доказывается
известная
Лемма. Если хотя бы одно из производных чисел
D+/@. D+f@> D~f{t) или D-f(t)
непрерывной вещественной функции f(t) является конечной непре-
непрерывной функцией от t, то f(t) дифференцируема и ее производная
непрерывна и совпадает со значениями D±f(t).
Применяя эту лемму, мы видим, что функция fo(Ttx) дифферен-
дифференцируема по t и
t
/о О\х -*) = /«, G» - /о (Тох) = J (d+f0 (Tsx)lds)ds =
TsAxds).
4. Резольвента инфинитезимального производящего оператора А 331
Так как функционал /0 ? Хг был взят совершенно произвольно, то
отсюда вытекает, что
t
Ttx — х = I* TsAx ds для каждого х ? D (Л).
о
Функция TsAx непрерывна по s, и поэтому последнее равенство
означает, что выражение Ttx дифференцируемо по t в топологии
пространства X и
И-ft
= Y\mh~x f
Л-»0 j
Утверждение G) тем самым доказано.
Доказательство леммы. Покажем вначале, что условие Dhf(t)^>0
при a <^t <^b влечет за собой неравенство / ф) — / (а) ^> 0. Допу-
Допустим противное, пусть f (b)— /(я)< — е(# — а), где е > 0 — неко-
некоторое фиксированное положительное число. Тогда для функции
g(t) = f @~/ (я) + е (t—a) справедливо неравенство D*g (a) =
==D+/(a) +е > 0, а так как g-(a) = 0, то при некотором значении
t0 > я, лежащем вблизи точки a, g(t0) > 0. Поскольку функция g(t)
непрерывна и g (b) < 0, найдется такое значение tx (a < ?0 < tx < d),
что ^(/j) = 0 и g"@<0 при tl_<t<b. Значит, DHg-(^)<0, что
противоречит условию D+g(t{)= D+f (tx)-\-e > 0.
Применяя далее аналогичные рассуждения к функциям вида
f(t) — at и fit — /(О» МЫ приходим к следующему заключению: если
одно из выражений Q^f (t) удовлетворяет неравенствам
на некотором сегменте [tv t2],
то ct<^(/(^2) — /(^i))/(^2 — Л)^Р* Следовательно, точные верхние
и нижние грани функций D*f (t) на любом отрезке вида [tv t2]
одинаковы. Это и приводит к заключению о том, что если для не-
непрерывной вещественной функции / (t) хотя бы одно из четырех выра-
выражений D*/ (t) непрерывно на сегменте [t{, t2], то все четыре произ-
производных числа совпадают и равны производной f (t), что и требовалось
доказать.
4. Резольвента инфинитезимального
производящего оператора А
Теорема 1. Оператор (nl — А) при значениях п > 0 обладает
обратным оператором R(n; А) = (п/—A)~l ?L(X, X), и
GO
R(n; A)x= J e~nsTsxds при всех д:^^. A)
332 IX. Аналитическая теория полугрупп
Иными словами, все вещественные положительные числа принадлежат
резольвентному множеству р(А) оператора Л.
Доказательство. Убедимся сначала в том, что оператор (/г/—А)
существует. Для этого допустим, что имеется такой элемент х0 Ф О,
что (nf—Л)л;0=0, т. е. Ахо = пхо. Возьмем непрерывный линей-
линейный функционал fo?X', такой, что fo(xo)=U и положим <р(*) =
= fo(TtxQ). По теореме 2 предыдущего параграфа функция q>(t)
дифференцируема, так как по предположению xQ?D(A), и
¦^ = /о (DtTtx0) = /0 (TtAx0) = /0 (Ttnx0) = /кр (/).
Если мы решим это дифференциальное уравнение при начальном
условии ф @) =/0 (лг0) = 1, то получим (p(t) = eni. Но функция
ф (t) = /0 (Ttx0) ограничена по Л так как выражение Ttx0 равномерно
ограничено при t ^ 0, а функционал /0 непрерывен. Полученное
противоречие показывает, что обратный оператор (п/—А) должен
существовать.
По формуле E) предыдущего параграфа ЛСФ лг = /г(Сф —Л л\
и поэтому (nf — А)Сц х — пх для всех х?Х. Оператор (/г/ — А)
отображает, таким образом, область /?(СфJ с: ?>(Л) на все про-
пространство X взаимно однозначно. Поэтому тем более этот оператор
отображает множество D{A) на пространство X однозначно в обе
стороны, так как обратный оператор (nf — А)~г, как было показано,
существует. Следовательно, R (Сф^) = D (А) и (/г/ — А)~1 = п~1Сцп%
Теорема доказана.
Следствие 1. Правая полуплоскость комплексной Х-плоскости
является резольвентным множеством р(А) оператора Л, и
с»
R(l; A)x = (ll—A)~1 x= J e~ktTtxdt
о
при Re(A,)>0 и любом х?Х. B)
Доказательство. При фиксированном вещественном значении т
операторы [e~ixtTt\ t^O} образуют равностепенно непрерывную полу-
полугруппу класса (Со). Инфинитезимальный производящий оператор этой
полугруппы, как нетрудно заметить, равен (А — 1x1). Поэтому для
любого а>0 резольвента /?(а + /т; Л) = ((а + /т)/ — А) суще-
существует и
оо
/?((a-f h)I— A)x= J e-(a+^sTsxd$ при всех х?Х. B;)
4. Резольвента инфинитезимального производящего оператора А 333
Следствие 2. Имеют место следующие утверждения:
D(A)=R((kI — Л)) = /?(/?(А,; Л)) при Re(A,)>0, C)
AR (к; А) х = R (к; А) Ах = (kR (к; А)-1)х при х ? D (Л), D)
Л/? (к; A)x = (kR(k; A) -I)x для всех х ? ЛГ, E)
lim>-/?(A,; Л)л; = л: при jc ? А\ F)
?v -f CO
Доказательство. Эти утверждения с очевидностью вытекают из
условия D) предыдущего параграфа и определения резольвенты
R(k\ A) = (kl — A)~\
Следствие 3. Инфинитезимальный производящий оператор А
обладает следующим свойством:
если xh?D(A) и lirn xh = x ? X, lim Axh — y ^ X,
h->oo /z-»oo
то x?D(A) и Ах = у.
В этом смысле оператор А можно назвать замкнутым оператором
(ср. гл. II, § 6).
Доказательство. Положим (/— A) xh = zh. Тогда Нт2А = лг—у.
/г->оо
Отсюда, вследствие непрерывности оператора (/ — Л)",
lim (/ - Afxzh = (/ - A)~l (х - у),
Л->оо
т. е. х = A — Л)" (л: — у), (/ — А)х = х — у. Это и показывает,
что у = Ах.
Теорема 2. Семейство операторов
{(kR(k; A))n) G)
равностепенно непрерывно относительно значений ^>0и/г=1,2
Доказательство. Из резольвентного уравнения (гл. VIII, § 2, B))
R(\x; A)—R(k; A) = (k — \x)R([i\ A)R(k; Л),
учитывая, что, как показывает услрвие B), lim R (jli; Л)у==
= R(k; А) у (у?Х), мы получаем
lim (jx — А,) (# О*; Л) - /? (А,; Л)) jc =
A)xjdk = — R{k\ AJx, x?X.
Следовательно, резольвента /?(А,; А)х бесконечно дифференцируема
По к при Re(A,)> 0 и
dnR(k\ A)xldkn = (—l)nn\R(k; Л)л + 1 х (я = 0, 1, 2, . . .)• (8)
334 IX. Аналитическая теория полугрупп
С другой стороны, дифференцируя равенство B) п раз по к, мы
видим, что
оо
dnR (к Л)x\d\n = J t-к(— tf Ttx dt. (9)
о
Дифференцирование под знаком интеграла в (9) оправдано, так как
оо
семейство {7^*} равномерно ограничено по t и | e~kttndt = (n\)l'kn+1
о
при Re(A,)>0. Таким образом,
e'UtnTtxdt
6
для всех х?Х и Re(A,)>0, A0)
и поэтому для всякой непрерывной на X полунормы р и произ-
произвольных к > 0, п > 0
Отсюда ввиду равностепенной непрерывности семейства [Tt] и сле-
следует справедливость теоремы 2.
5. Примеры инфинитезимальных производящих
операторов
В дальнейшем нам потребуется определенный для любого п > 0
оператор
Jn = (f — n^A)"l = nR(n; Л), A)
для которого, очевидно, выполняется условие
А/„ = «(У„-/). B)
Пример 1. Рассмотрим полугруппу операторов вида (Ttx)(s) =
= x(t-\-s), определенных на пространстве С[0, со]. Полагая
уп (s) = (Jnx)(s) = n J e~ntx (t+s)dt = n J е-лС
0 ^
получаем
оо
y'n(s) = — лв"л(s-s)x (s)-f /г2 J *-"^-^@dt^ — nx(s)+nyn (s).
5. Примеры инфинитезимальных производящих операторов 335
Сравнивая полученное равенство с общей формулой B)
(AJnx)(s) = n((Jn-f)x)(s),
мы находим, что Ауп (s) = у'п (s). Поскольку R (Jn)=R(R(n; A))—D{A\
отсюда следует, что
Ay(s) = y'(s) при любом y?D(A).
Обратно, пусть теперь обе функции y(s) и y'(s) принадлежат про-
пространству С [0, оо]. Покажем, что y?D(A) и Ay(s) — y'(s). С этой
целью определим с помощью соотношения
y'(s) — ny($) = — nx (s)
вспомогательную функцию x(s). Полагая (Jnx) (s) = yn (s), мы, со-
согласно полученным выше результатам, получим равенство
У'п (s) — пУп (*) = — пх E).
Значит, функция w(s) — y(s) — yn(s) удовлетворяет уравнению
<w' (s) = nw(s), и поэтому w(s) = Cens. Но функция w должна при-
принадлежать С [0, оо], а это может быть только при значении С = 0.
Следовательно, у (s) = уп (s) ^ D (А) и А у (s) = yr (s).
Таким образом, область определения Ь(А) оператора А совпа-
совпадает с множеством всех функций у?С[0, оо], первые производные
которых также принадлежат пространству С [0, оо], и для таких
функций Ау = у'. Это означает, что дифференциальный оператор d/ds
представляет собой инфинитезимальный производящий оператор полу-
полугруппы заданных на функциональном пространстве С [0, оо] опера-
операторов сдвига по аргументу /.
Пример 2. Мы покажем сейчас, что оператор двукратного диф-
дифференцирования d2/ds2 является инфинитезимальным производящим
оператором полугруппы интегральных операторов с гауссовским ядром.
Рассмотрим пространство С[—оо, оо] и определим следующим обра-
образом операторы Tt:
со
(Ttx)(s) = Bл/Г1/2 J e-<s-vW<x(v)dv при / > О,
-оо
(Ttx) (s) == x E), когда * = 0.
Вводя переменную а по формуле t = а2//*, мы находим
336 IX. Аналитическая теория полугрупц
Воспользовавшись формулой
оо
J е-(оЧ-ф>) do = iy- е~2<\ С = /я| 5 — V | //2 > 0, C)
О
вывод которой мы приведем позже, получаем
оо
Уп 00 = J
Так как функция x(v) по предположению непрерывна и ограни-
ограничена, мы можем дважды продифференцировать yn\s) под знаком
интеграла:
S
I
— лгE) —a:
+ Y2 Yn { x (v) e~V2n (*-') Л> [ == — 2/гх (s) + 2nyn (s).
-oo I
Сравнивая полученные выражения с общей формулой B)
(Ауп) (s) = (AJnx)(s) = n((Jn — l) x) (s) = /г (уя E) - х (s)).
мы находим, что Л>>лE) = улE)/2. Таким образом, поскольку R(Jn) =
= /?(/? (я; Л))=Ь(Л), мы доказали, что Лу E) = у" (s)/2 для всякой
функции y?D(A). Обратно, допустим теперь, что функция у(s)
и ее вторая производная у" (s) принадлежат пространству С [— со, ос].
Введем вспомогательную функцию x(s):
у" (s) — 2пу (s) = — 2пх (s).
Полагая yn(s) = (Jnx)(s), мы, как показано выше, получаем
y"n(s)-2nyn(s) = -
Тогда функция w (s) = у (s) — уп (s) удовлетворяет уравнению
w"(s) — 2nw(s) = 0t и поэтому w(s) = Cxev**s + C2e-y**s. Функ-
Функция w(s) по предположению должна быть ограниченной в промежутке
(— со, оо), а это возможно только в том случае, когда Сх и С2
равны нулю. Отсюда вытекает, что y(s) = yn(s), и поэтому у ? D(A),
l
1 d2
Итак, дифференциальный оператор у-т-г представляет собой
инфинитезимальный производящий оператор полугруппы определенных
б. Показательная функция непрерывного линейного оператора 337
на функциональном пространстве С[—со, со] интегральных опера-
операторов с ядром типа плотности вероятности гауссовского распределения.
Вывод формулы C). Известно, что
Введем в этот интеграл новую переменную интегрирования а.
х = о— с/о. Тогда получится соотношение
оо оо
У я"/2 = J e-Q-'W A + с/о2) do = е2с j *-<ач-с*/а») (i _|_c/o2)do =:
V7 УТ
rfa -f J ^-(^+^2/a2) , JL
do
Vc
Yc
j
\ е-&+с2№ do— J e-Wfl+Vdt = e2c J e-&+*№dt.
j
Полагая в последнем интеграле o=^c/t, мы и находим, что
— °° °
Y7 Y7
Упражнение. Показать, что для полугруппы [Tt] определенных
на пространстве С[—со, со] операторов
оо
инфинитезимальным производящим оператором служит оператор А
вида
который называется разностным оператором.
6. Показательная функция непрерывного линейного
оператора, степени которого равностепенно непрерывны
Предложение. Рассмотрим локально выпуклое секвенциально
полное линейное топологическое пространство X. Пусть линейный опе-
оператор B?L(X, Х)У и предположим, что степени этого оператора,
образующие семейство [Bk\ Лг = 1,2,...}, равностепенно непрерывны.
Тогда для каждого элемента х ? X ряд
*-0
A)
сходится.
Доказательство. Для всякой непрерывной на X полунормы /7,
согласно допущениям, сделанным относительно свойств операторов Вк,
22 К. Иоснда
338 IX. Аналитическая теория полугрупп
существует непрерывная определенная на пространстве X полу-
полунорма q, такая, что
k для всех k > 0 и всех х?Х.
Следовательно,
I m
Р S ЦВ? x\k ! < Ц- **р (В*х)/Л !<?(*)• 2
\Л ) k k
{m
2 (tB)k
фундаментальна, а так как пространство Л^ секвенциально полно по
предположению, то эта последовательность сходится. Предел этой
последовательности и представляет собой сумму ряда A).
оо
Следствие 1. Отображение х-> 2 (tB)kxjk\ определяет при
ft»0
каждом значении t^>0 непрерывный линейный оператор. Мы обо-
обозначим этот оператор через zxp(tB).
Доказательство. Используя равностепенную непрерывность семей-
п
ства [Bk], нетрудно показать, что операторы Вп==. 2 {tB)kjk\ равно-
степенно (относительно t) непрерывны при изменении t на любом
бикомпактном множестве числовой оси. В самом деле,
п п
Р (ВЛх) < 2 t*p (Bkx)/k !<?(*)• 2 t*lk l<e(-q (x).
Поэтому и предел exp(tB) последовательности {Вп} удовлетворяет
неравенству
р (ехр№ *)<ехр@ • q(x) (t > 0), B)
а это говорит о непрерывности оператора ехр(^).
Следствие 2. Рассмотрим два оператора В и С, принадлежащих
L (X, X), степени которых образуют равностепенно непрерывные
семейства [Bk] и [Ck]. Пусть, кроме того, ВС = СВ. Тогда
ехр (tB) • ехр (tC) = ехр (* (В + С)). C)
Доказательство. Очевидно, что
)< Цс1Иа*-%)< 2 с^ (с5^) <2* sup flr(c*jc).
0 0 0<
Следовательно, операторы семейства [2~* (B-\-C)k) равностепенно
непрерывны, и поэтому можно определить функцию exp(t(B -(-С) ).
Используя теперь свойство перестановочности ВС = СВ, мы можем
7. Представление равностепенно непрерывной полугруппы класса (Со) 339
представить ряд
/CO. \ / ОО \
в виде 2 (tB)klk\ )( 2 (tC)kx/kl), как и в случае обычных число-
\*-о /\k-o )
оо
вых рядов вида 2 (t(b~\~c))klk-
fc-0
Следствие 3. Для всякого элемента х ? X
lim А"*1 (ехр(АД) — 1)х = Вх. D)
Поэтому, используя полугрупповое свойство
ехр ((t + А) Д) = ехр (tB) • ехр (АД), E)
справедливость которого следует из предыдущих рассуждений, мы
можем определить оператор дифференцирования
Dt ехр (tB) х = ехр (tB) -Вх — В ехр (tB) x. F)
Доказательство. Как и раньше, для произвольной непрерывной
на X полунормы р мы получаем неравенство
со
р(А"*1 (ехр(АД) — 1)х — Да:)< 2 hk'lp(Bkx)/k\^
00
<?(•*)• 2 л*/*1-
где #—некоторая непрерывная полунорма. Выражение, стоящее здесь
справа, стремится к нулю при А | 0, что и доказывает наше утвер-
утверждение.
7. Представление равностепенно непрерывной полугруппы
класса (Со) с помощью соответствующего
инфинитезимального производящего оператора
Докажем следующую основную теорему.
Теорема. Предположим, что локально выпуклое линейное топо-
топологическое пространство X секвенциально полно. Рассмотрим линей-
линейный оператор А с плотной в X областью определения D(A) и
областью значений R(A) с X. Допустим, что при /г= 1, 2, ... суще-
существует резольвента R(n\ A) — (nI — Л) ?L(X, X). Тогда, для того
чтобы оператор Л был инфинитезимальным производящим оператором
некоторой единственным образом определенной равностепенно непре-
непрерывной полугруппы класса (Со), необходимо и достаточно, чтобы
22*
340 IX. Аналитическая теория полугрупп
операторы семейства {(/—n"lA)~m\ были равностепенно непрерывны
относительно значений п= 1, 2, ... и т=&0, 1, 2
Доказательство. Необходимость условий уже доказана. Перейдем
к доказательству достаточности. Введем оператор
^(/-/г-М) A)
и покажем, что при выполнении условий теоремы
lim Jnx = x для любого х?Х. B)
Л->оо
Действительно, для x?D(A) имеем AJnx = JnAx = n(Jn — f)x, и
поэтому выражение Jnx — х = n~lJn(Ax) стремится к нулю при
/г->оо, так как множество {Jn(Ax)\ равномерно ограничено относи-
относительно значений п=\, 2 Поскольку область D(A) плотна в X
и операторы семейства \Jn) равностепенно (относительно п) непре-
непрерывны, \im Jnx — х для всякого х?Х.
П-+О0
Положим
Г(/° = ехр(Шй) = ехр(tn(Уя-/)) = ехр(— nt)ехр(ntJn\ t > 0. C)
Множество {jkn} степеней операторов Jn равномерно (относительно п
и k) ограничено, поэтому можно определить выражение вида exp(tnJn).
Следовательно, согласно оценке B) предыдущего параграфа,
оо
р (ехр (ntJn) лг)< 2 (nt)k (Л I) р D*) < ехр (nt). q (дг).
Это означает,-^что операторы семейства \Т\п)\ равностепенно непре-
непрерывны при /^0 и д=1, 2 т. е.
piAn)x)<q{x). D)
Заметим теперь, что JnJm = JmJn при п, m > 0. Таким образом, опе-
оператор Jn перестановочен с любым из операторов Т\т\ Поэтому, ис-
используя равенство DtT\n)x = AJnT\n)x = T\n)AJnx, вытекающее из
результатов предыдущего параграфа, мы получаем
a - AJm)xds).
E)
7. Представление равностепенно непрерывной полугруппы класса (Со) 341
Отсюда следует, что если x?D(A), то существует непрерывная
на X полунорма q, такая, что
t
р (Т\п)х - T\m)x) < J q ((AJn — AJm) x) ds = tq( (JnA — JmA) x).
о
Поэтому, учитывая доказанное выше равенство B), мы приходим
к выводу, что равномерно относительно значений t, изменяющихся
на любом фиксированном бикомпактном множестве числовой оси,
Пт p(T(tn)x-T{tm)x)=0.
л, m->oo
Так как область D(A) плотна в секвенциально полном простран-
пространстве X, а операторы семейства {т\п)} равностепенно непрерывны
относительно t ^ 0 и п, мы приходим к выводу, что при каждом
х ? X равномерно относительно значений t ^> 0, принадлежащих
любому фиксированному бикомпактному множеству числовой оси,
существует предел lim т[п)х — Ttx. Поэтому семейство \Tt) равно-
л-»оо
степенно непрерывно при ^0, и в связи с установленной равно-
равномерной (относительно t) сходимостью выражение Ttx непрерывно
по t при *>0.
Покажем теперь, что операторы Tt обладают полугрупповым
свойством TtTs—Tt+s. Из равенства T*t+S = т\п)Т^п) мы выводим
неравенство
р GW* - Tin)Tsx) + р (T\n)Tsx - T,Tsx)
p (Tt+Sx - Tltx) + q (f.n)x - Tsx)+
при п->оо. Таким образом, p(Tt+sx — TtTsx) = Q при произвольном
выборе непрерывной на пространстве X полунормы р, а это и озна-
означает, что Tt+s=TtTs.^
Обозначим через А инфинитезимальный производящий оператор
построенной равностепенно непрерывной полугруппы {Tt} класса (Со).
Мы должны показать, что Л = Л. Возьмем элемент x?D(A). Тогда
lim T*in)AJnx = TtAxt причем здесь имеет место равномерная отно-
П-+оо
сительно t сходимость на всяком бикомпактном множестве значений t.
В самом деле, из неравенства D) видно, что
р (TtAx - lfAJnx) < p {TtAx - t^Ax) + р (Т)п)Ах - T{tn)AJnx)
342 IX. Аналитическая теория полугрупп
и выражение в правой части этого неравенства стремится к нулю
при я->оо, так как lim JnAx = Ах. Из приведенных рассуждений
л-»оо
следует, что
Ttx — x= lim (i\n)x — x) = lim f T{sn)AJnx ds =
л-»оо л-»оо J
t t
= f (\\mT{sn)AJnx)ds= f TsAxds.
о "-^
и поэтому предел lim t~l (Ttx — л;) = Пт Г1 \ T Axds существует
и равен Ах. Мы тем самым доказали, что если x?D(A), то x?D(A)
и Ах = Ах, т. е. оператор А служит расширением Л. Оператор А
как инфинитезимальный производящий оператор полугруппы [Tt] обла-
обладает тем свойством, что при п > 0 оператор (п/—Л) отображает
область D(A) на пространство X взаимно однозначно. Но, согласно
сделанным «предположениям, оператор (nf — А) отображает взаимно
однозначно область D(А) на X. Поэтому расширение Л оператора А
должно совпадать с А.
Обратимся, наконец, к доказательству единственности полу-
полугруппы \Tt). Предположим, что некоторая равностепенно непрерыв-
непрерывная полугруппа {7^} класса (Со) имеет оператор А в качестве инфи-
нитезимального производящего оператора. Рассмотрим полугруппу Т\п\
Так как оператор А коммутирует с Tt, мы видим, что и опера-
операторы AJn и Т[п) перестановочны с 77. Поэтому для элементов х? D(A)
мы, как и при выводе формулы E), получаем равенство
р (Т\п)х - 7>)= p(jDs {Tt-sT{sn)x) ds) =
= р И (- ft-sT{sn)) (A - AJn) xds]. F)
Отсюда, учитывая, что lim AJnx — Ax для всех x?D(A), мы, ис-
л->со
пользуя доказательство существования lim T[n)x (х?Х), заключаем,
л->оо
что lim T\n)x = ftx для всех х?Х. Следовательно, Ttx = ftx для
Л -> СЮ
всех х?Х, т. е. Tt = ft% и полугруппа {Г,} определяется, таким
образом, однозначно.
7. Представление равностепенно непрерывной полугруппы класса (Со) 343
Замечание. Приведенное выше доказательство показывает, что
если оператор А является инфинитезимальным производящим операто-
оператором равностепенно непрерывной полугруппы [Tt] класса (Со), то
Ttx= lim ехр(М(/ —я-М)")*' х ?Х, G)
я->оо
причем в G) имеет место равномерная относительно t сходимость
на всяком бикомпактном множестве значений t. Это — теорема
о представлении для полугрупп.
Следствие 1. Если X является ^-пространством, то условия по-
последней теоремы можно сформулировать так: D(A)a = X и резоль-
резольвента (/ — п~1А) существует, причем
||(/ — я-МГт||<С (л=1, 2, ...; |||=1, 2, ...), (8)
где положительная постоянная С не зависит от п и т. В частном
случае, когда полугруппа [Tt] сжимающая, эти условия можно сфор-
сформулировать так: D(A)a = X и существует резольвента (/ — п~хА)~1,
удовлетворяющая оценке
^/-п-^АГ1^! (я=1, 2. ...)• О)
(Последнее утверждение называют теоремой Хилле—Иосида.)
Замечание. Условие (9) ввели независимо Хилле [2] и Иосида [5].
Это требование было обобщено в форме (8) Феллером [1], Филлип-
сом [3] и Миядера [1]. Заметим, что в (8) и (9) не обязательно рас-
рассматривать значения п=\, 2, ...; достаточно, чтобы эти условия
выполнялись для всех достаточно больших п. Распространение теории
полугрупп на локально выпуклые линейные топологические прост-
пространства, рассмотренное в этой книге, было предложено Л. Шварцем [3].
Следствие 2. Пусть X — некоторое ^-пространство и семейство
[Tt\ t^O) ограниченных линейных операторов из L(X, X) удо-
удовлетворяет условиям
TtTs^Tt+s у. *>0). Го = /, A0)
s-\\mTtx = x для всех х?Х, A1)
^о
для всех *>0, где постоянные М>0 и
0 не зависят от t.
Тогда оператор (Л — рА) служит, очевидно, инфинитезимальным
производящим оператором равностепенно непрерывной полугруппы
{St~-e~^Tt; t^O], где оператор А определяется соотношением
Ax = s-\\mt~l(Tt — 1)х. Отсюда на основании следствия 1 мы
заключаем, что замкнутый линейный оператор А с областью опре-
определения D(A)a = X и областью значений R(A)c:X является
инфинитезимальным производящим оператором полугруппы [Tt}t
344 IX. Аналитическая теория полугрупп
удовлетворяющей условиям A0), A1) и A2), в том и только в том
случае, когда существует резольвента (/ — п~1(А—р/))~* и
||(/ — n'l(A — p/))""w||<M для т= 1, 2, ... и всех A3)
достаточно больших п.
Это условие можно переписать в виде неравенства
||(/ —л-МГл||<МA—я-1рГт для |||=1, 2, ... и
всех достаточно больших п.
В частности, если полугруппа {Tt} удовлетворяет требованиям
(Ю), (П) и
\\Tt\\^e& при всех *>0, A4)
то A3') можно заменить неравенством
Ц(/_^1ЛГ1||<A_^1РГ1
для всех достаточно больших п.
Приложение теоремы о представлении для полугрупп к дока-
доказательству теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерыв-
непрерывных функций полиномами. Рассмотрим полугруппу операторов
(Ttx)(s) = x(t-{-s)t определенную на пространстве С[0, оо]. По тео-
теореме о представлении
(Ttx) (s) = х (t + s) = s- Urn exp (tAJnx) (s) =
причем предельный переход s- lim происходит равномерно относи-
л->оо
тельно t на всяком бикомпактном множестве значений t. Из этого
результата легко выводится теорема Вейерштрасса о полиномиальной
аппроксимации непрерывной функции. Возьмем произвольную функ-
функцию z(t)t непрерывную в замкнутом интервале [0, 1]. Предполо-
Предположим, что функция jc(s)?C[0, оо], и пусть x(s) = z(s) при 5 ? [0, 1].
Подставим в представление полугруппы значение 5 = 0; тогда полу-
получится равенство
оо
G» @) = х (О = 5- 11m S tm (AJn)m x @)/m!,
где предельный переход равномерен относительно t при ??[0, 1].
Отсюда следует, что функция z(t) является пределом последователь-
последовательности полиномов, равномерно сходящейся на сегменте ??[0, 1].
8. Сжимающие полугруппы и диссипативные операторы 345
8. Сжимающие полугруппы и диссипативные операторы
При изучении сжимающих полугрупп Люмер и Филлипс использо-
использовали некоторый аналог скалярного произведения. По терминологии
этих авторов инфинитезимальные производящие операторы таких полу-
полугрупп называются диссипативными операторами1).
Предложение (Люмер). Во всяком нормированном линейном про-
пространстве X (вещественном или комплексном) каждой паре {х, у)
элементов этого пространства можно поставить в сэответствие число
[л:, у] (вещественное или комплексное в зависимости от типа про-
пространства) таким образом, что
[х-\-у, z] = [x. *]-+-[у, г]. [кх, у] = к[х, у],
[х9 *] = |И|2. \[х, у]|<||A)
Функция [а:, у\ называется полускалярным произведением.
Доказательство. Согласно следствию 2 теоремы 1 гл. IV, § б,
для всякого jco? X существует по крайней мере один ограниченный
линейный функционал fXo?X't такой, что ||/*в|| = ||*о|| и (хо9 Лго) =
=:||л;0||2. Выберем для каждого хо?Х такой функционал fXo каким-
нибудь однозначным способом и положим
[х, у] = (х. /у>. B)
Ясно, что этим определяется полускалярное произведение.
Определение. Допустим, что в комплексном (или вещественном)
Я-пространстве X определено полускалярное произведение [xt у].
Линейный оператор А с областью определения D(A) и областью зна-
значений /?(Л), лежащими в пространстве X, называется диссипатив-
ним (по отношению к [а:, у]), если выполняется условие
Re \Ах. х] < 0 для всех х ? D(А). C)
Пример. Возьмем в качестве X гильбертово пространство. Тогда
симметрический оператор Л, для которого (Лаг.дгХ^О при всех
x?Xf является диссипативным оператором по отношению к [а:, у] =
= (аг, у), где (а:, у) — это обычное скалярное произведение в гиль-
гильбертовом пространстве.
Теорема (Филлипс и Люмер). Пусть область определения D(A)
и область значений R(A) линейного оператора А принадлежат ком-
комплексному (или вещественному) ^-пространству X и D(A)a=X.
Тогда оператор А порождает определенную на пространстве X сжи-
сжимающую полугруппу класса (Со) в том и только в том случае, если
он диссипативен (по отношению ко всем полускалярным произведе-
произведениям [х, у]) и /?(/— А) = Х.
') Для гильбертовых пространств определение диссипативного оператора
приводилось на стр. 289. — Прим. перев.
346 IX. Аналитическая теория полугрупп
Доказательство. Докажем достаточность указанных условий. До-
Допустим, что оператор Л диссипативен. Выберем произвольное число
X > 0. Топц обратный оператор (А,/ — Л)~1 существует, и
ИСАУ — ЛГ^И^^НуН при y?D((A,/ — А)'1). В самом деле, если
у = Хх — Ах, то
X || х ||2 — X [х, Jc]
= Re [у, *]<||у||-|И|. D)
так как оператор А диссипативен. По условию теоремы R(l — A) = Xt
так что значение Х = 1 принадлежит резольвентному множеству р(Л)
оператора Л, и из D) следует, что ||/?A; Л)||< 1. Если |А,~- 11< 1,
то резольвента R(X; Л) существует и представляется в виде
Я (A,; A)=RA; Л)(/ + (А,—1)/?A; Л)) =
(см. теорему 1 гл. VIII, § 2). Кроме того, из D) следует, что
||/?(А,; Л) || <^ Я, при значениях
довательно, применяя формулу
А) || <^ Я, при значениях X > 0, для которых | А* — 11 < 1. Сле-
; Л)),
которая справедлива при значениях \i > 0, удовлетворяющих нера-
неравенству ||li — А,|-||/?(А,; Л)||< 1,. мы убеждаемся в том, что резоль-
резольвента R([i\ А) существует и ||Я(м»; Л)!!^^*. Повторяя этот про-
процесс, мы устанавливаем, что резольвента R(X; А) существует для
всех значений А, > 0 и удовлетворяет оценке ||/?(А,; Л)||^А,""\ По
предположению множество D(A) плотно, и поэтому, применяя след-
следствие 1 предыдущего параграфа, мы обнаруживаем, что оператор Л
порождает сжимающую полугруппу класса (Со).
Перейдем к доказательству необходимости условий теоремы. Пусть
[Tt; t^O}—сжимающая полугруппа класса (Со). В этом случае
Таким образом, для элементов х, принадлежащих области определе-
определения D(A) инфинитезимального производящего оператора Л полу-
полугруппы [Tt],
Re^;c, x] ¦¦= lim Re [t~l [Ttx — x, д:]}^0.
Поэтому оператор Л диссипативен. Кроме того, Re(/—Л) =
= D(/?A; А))=Х, так как Л — это инфинитезимальный произво-
производящий оператор сжимающей полугруппы класса (Со).
9. Равностепенно непрерывные группы класса (Сп) 347
Следствие. Если область определения О(Л)с X замкнутого ли-
линейного оператора А плотна в /^-пространстве X и R(A)^Xf при-
причем как оператор А, так и сопряженный ему оператор Аг диссипа-
тивны, то А порождает некоторую сжимающую полугруппу класса (Со).
Доказательство. Достаточно показать, что /?(/ — А)—Х. Но
оператор (/—Л) замкнут, как и оператор Л, и ограничен, по-
поэтому область /?(/—А) образует в пространстве X замкнутое ли-
линейное подпространство. Следовательно, если предположить, что
/?(/ — А)ФХ, то должен существовать нетривиальный функционал
х'?Х\ такой, что
((х—Ах), х') — 0 для всех x?D(A).
Но это означает, что х1—A'x'=Ot что противоречит диссипатив-
ности оператора А', поскольку х'ФО.
Замечание. Дальнейшие сведения о диссипативных операторах
см. Люмер — Филлипс [1]. См. также Като [6].
9. Равностепенно непрерывные группы класса (Со).
Теорема Стоуна
Определение. Равностепенно непрерывную полугруппу [Tt]
класса (Со) мы назовем равностепенно непрерывной группой
класса (Со), если существует равностепенно непрерывная полугруппа
{ft} класса (Со), удовлетворяющая следующему условию. Если опре-
определить операторы St формулой
( Tt при t > О,
' 17\-0 при *<0,
то семейство {St, —оо < t < оо} операторов St обладает группо-
групповым свойством
StSs = St+s (—оо<*. *<оо), SQ = L A)
Теорема. Рассмотрим локально выпуклое секвенциально полное
линейное топологическое пространство X. Пусть область определе-
определения D(A)ciX некоторого линейного оператора А плотна в X и
R(A)c:X. Тогда А служит инфинитезимальным производя-
производящим оператором некоторой равностепенно непрерывной группы
класса (Со) операторов St ?L(Xt Л'I), удовлетворяющих условию A),
1) Оператор А считается по определению инфинитезимальным произво-
производящим оператором группы {St}, если А порождает полугруппу {S,;/>0},
а оператор (— А) порождает полугруппу {S^t)\t^O\, —Прим. пере в.
348 IX. Аналитическая теория полугрупп
в том и только в том случае, когда операторы (/ — n~lA)~m опре-
определены во всем пространстве X при любых значениях п= ±1,
±2, ... и т = 1, 2, ... и равностепенно непрерывны относительно
указанных значений индексов п и т.
Доказательство. Необходимость. Положим Tt = St при ?^>0
и f( = S_t для значений ? ^ 0. Обозначим через Л и Л соответственно
инфинитезимальные производящие операторы полугрупп [Tt] и {Tt}.
Мы должны показать, что Л== — Л. Допустим, что x?D(A)\ тогда,
полагая xh = h~l (fh — 1)х и используя равностепенную непрерыв-
непрерывность Th% мы для любой непрерывной на X полунормы р найдем
такую непрерывную полунорму qt что одновременно для всех h ^ 0
и любых x?D(A) будет выполняться неравенство
p( (Th ~ /) Ах).
Отсюда следует, что lim Thxh = Ах% т. е. условие х ? D(A) влечет за со-
бой равенство Ax = lim Th(h~l (fh — /))х = lim /Г1 (/— Th)x = — Ax.
Следовательно, оператор — А представляет собой расширение опе-
оператора А. Применяя аналогичное построение, можно показать, что А
служит расширением оператора А. Поэтому А = —Л.
Достаточность. Допустим, что оператор Л удовлетворяет усло-
условиям теоремы. Для значений t ^> 0 определим операторы Tt и Тt с по-
помощью следующих соотношений:
Ttx = lim T\n)x = lim exp(M (/ — n~lA)~l) x,
ftx= lim f(tn)x== lim exp(M(/— n'lA)"l)xt
Л->ОО /1->ОО
где /Г= — Л. Операторы Tt и 7^, как нетрудно видеть, образуют
равностепенно непрерывные полугруппы класса (Со). При t^-О ввиду
свойства равностепенной (относительно п) непрерывности [7* } для
всякой непрерывной на X полунормы р найдется такая непрерывная
полунорма qt что
р (Ttftx - T\n)ffx) < p(Ttftx - TWri + pirPTtx - 7f >7f
Поэтому lim Т\п)Т\п)х-=ТгТгх. Таким образом, исходя из равно-
/1->ОО
степенной непрерывности Т\п)Т[п\ мы установили равностепенную непре-
9. Равностепенно непрерывные группы класса (Сп) 349
рывность операторов TtTt. С другой стороны, поскольку операторы
(/ — я-М)-1 и (/ — /п-МГ1 перестановочны, Т\п)Т^п) = Т{^Т\п\ Зна-
Значит, {TT^n)){Tfff)^T{tnlsf{Pls% и поэтому операторы (Г,Г^при
t ^> О обладают полугрупповым свойством (TtTt) (TSTS) = 7\+J7\+J;
следовательно, G^7^}—это равностепенно непрерывная полугруппа
класса (Со). Если л;? D(A)= D(A), то
lim h~l(Thfh — f)x = lim Thh~l (fл — /) л:+ lim Л (Гл — /) x =
ло л*о л^о
и, таким образом, инфинитезимальный производящий оператор А{
полугруппы [Ttft] обращается в нуль для каждого x?D(A). Этот
оператор Ах должен быть замкнутым, так как оператор (/ — Ах)
является обратным оператором для непрерывного линейного опера-
оператора (/ — Ax)~l?L(Xt X). А так как Ах обращается в нуль на плот-
плотном подмножестве D(A)=D(A) пространства X, то Ах — это нуле-
нулевой оператор, принадлежащий L(X, X). Отсюда вытекает, что
G\Г,)л; = Птехр(*. О -(/—-п~{ • 0)~ )х — х, и поэтому Ttft = I.
п->со
Следовательно, положив St = Tt при t^O и S^t = ft при^^-0,
мы получим равностепенно непрерывную группу операторов St,
— со < / < со, для которой оператор А служит инфинитезимальным
производящим оператором.
Следствие 1« В случае когда X является Б-пространством, усло-
условия этой теоремы можно сформулировать так: D(A)a = X и суще-
существует резольвента (/ — п~1А)~1, удовлетворяющая оценке
||(/-n-M)-m||<Af B)
для всех т=1, 2, ... и всех достаточно больших \п\ (л^О), где
М > 0 — независимая постоянная.
Для группы St, удовлетворяющей неравенству
для всех /?(— оо, оо) (Р>0),
условия теоремы сводятся к следующим: D(A)a = X и резольвента
(/ — л~М)-1 существует, причем для всех /и=1, 2, ... и доста-
достаточно больших \п\ (/igO) справедливо неравенство
||(/-я-М)-т||<Л!A_|Л-1|рГт. C)
Для частного случая, когда ||S,|К>Р|" при всех t?(—оо, оо),
условия теоремы можно сформулировать так: D(A)a=zX и резоль-
350 IX. Аналитическая теория полугрупп
вента (/ — п~1А)~] существует, причем
для всех достаточно больших \п\ (я^О).
Доказательство проводится так же, как для следствия 1 и след-
следствия 2, § 7, гл. IX.
Следствие 2(теорема Стоуна). Пусть [Ut% —оо < t < оо} -группа
класса (Со) унитарных операторов Uft заданных в гильбертовом про-
пространстве А\ Тогда инфинитезимальный производящий оператор А этой
группы представляется в виде /#, где Н — некоторый самосопряжен-
самосопряженный оператор.
Доказательство. Так как Ut — унитарные операторы, то (Utx, у) =
= (аг, UTly) = (x, U_ty)t и поэтому
(Лаг, у) = (х, —Ау) для всех х, y?D(A).
Последнее означает, что оператор —iA=H симметрический. Так
как А — инфинитезимальный производящий оператор группы [Ut]t
то оператор (/ — п~гА)~1 = (/— n~~liH) должен быть ограниченным
линейным оператором, для которого выполняется неравенство
H^ — tt-i///)-1!!^! при я=±1, ±2 Полагая я=±1, мы
видим, что преобразование Кэли оператора Н представляет собой
унитарный оператор, и поэтому оператор Н самосопряженный.
Замечание. Если оператор А имеет вид А = Ш9 где Н — само-
самосопряженный оператор, заданный в гильбертовом пространстве X,
то условие D) следствия 1, как можно показать, используя теорию
преобразования Кэли, выполняется. Следовательно, оператор А пред-
представляет собой инфинитезимальный производящий оператор некоторой
сжимающей полугруппы Ut, определенной в пространстве X. Не-
Нетрудно обнаружить, что операторы Ut будут в этом случае унитар-
унитарными. В самом деле, сжимающий оператор Ut, отображающий гиль-
гильбертово пространство X в себя, обладает при этих условиях обратным
оператором f/f1 = U_t. Оператор UJ1 отображает пространство X
в себя и тоже является в данном случае сжимающим оператором.
Поэтому оператор Ut должен быть унитарным.
10. Голоморфные полугруппы
В этом параграфе мы введем один важный класс, полугрупп,
а именно полугруппы операторов Tt, которые как функции параметра t
могут быть голоморфно продолжены на некоторый сектор комплекс-
комплексной плоскости, содержащий положительную вещественную полуось t.
Вначале нам потребуется следующая
Лемма. Рассмотрим локально выпуклое секвенциально полное ли-
линейное топологическое пространство X. Пусть [Tt\ tf >0} czL(Xt X)—
10. Голоморфные полугруппы 351
некоторая равностепенно непрерывная полугруппа класса (Со). Пред-
Предположим, что TtX с D(A) при всех *>0, где D(A) — область опре-
определения инфинитезимального производящего оператора Л полугруппы
\Tt). Тогда для всех х ? X функция Ttx бесконечно дифференци-
дифференцируема по t при t > 0 и
Т\п)х = (Тг,п)Ях для всех t > О, A)
где Т\ = О,Г,, f't = D,7,\ .... Г(/л) = DtTtn-l\ a D, — оператор диф-
дифференцирования.
Доказательство. Если t > *0 > 0, то 7^* = ЛГ,л; = Tt_foATtoxt
так как операторы Л и Ts перестановочны при s^O. Таким обра-
образом, T'tX c:Tt-t0X ? D(A) при / > 0, и поэтому производная т\х
существует для всех t > 0 и х?Х. Оператор А замкнут, следо-
следовательно,
T'tx=*Dt(ATt)x = A. lim n(Tt+Vn — Tt)x=*
/1->ОО
= Л (Л^) х = ATmATtl2x = (T'tftf x.
Повторяя эти рассуждения, мы и получим формулу A). Лемма доказана.
Возьмем теперь некоторое комплексное локально выпуклое сек-
секвенциально полное линейное топологическое пространство X и задан-
заданную в нем равностепенно непрерывную полугруппу [Tt\ t ^-0}c:L(Xt X)
класса (Со). Для такой полугруппы рассмотрим следующие три условия:
(I) Ttx ? О(Л) при всех значениях t > 0, и существует такая по-
положительная постоянная С, что операторы семейства {{CtTft)n\ равно-
равностепенно (относительно значений п^>0 и /?@, 1]) непрерывны.
(II) Функция Tt допускает слабо голоморфное продолжение 7\,
определяемое формулой
со
тъ.х = 2 (* — 0яТ\п)х/п ! в области |argЯ,|< arctg(Ce~l), B)
и семейство операторов {е^Т^ равностепенно непре-
непрерывно относительно к в области |argA,|< arc tgB~kCe~l), C)
где k — некоторое положительное число.
(III) Существует такая положительная постоянная С,, что опера-
операторы семейства {(C{kR(k; A))n\ равностепенно непрерывны относи-
относительно й^Ои значений к в области Re(A,)> \-\-г% где г—некото-
г—некоторое положительное число (здесь Л — инфинитезимальный производящий
оператор полугруппы [Tt]).
Имеет место следующая
Теорема. Условия (I), (II) и (III) попарно эквивалентны.
Доказательство. Импликация A)->(И). Возьмем произвольную
непрерывную полунорму pf определенную на пространстве X. Тогда
352 IX. Аналитическая теория полугрупп^
по предположению найдется такая непрерывная на X полунорма q,
что p({tT^ax)^C'nq(x) (С>0) для 1>?>0, /*>0 и всех л; ? Л\
Следовательно, согласно A), при значениях t > О
^ • Р (A CT'tln)n х) <
С*)* • ?(*), когда 0<*/л< 1.
Поэтому ряд в правой части B) сходится при |argA,| < arcig(C^">1),
и функция Ткх вследствие секвенциальной полноты пространства X
действительно оказывается определенной для всех х?Х. При этом,
очевидно, для любых х ? X и / ? X' числовая фун-кция f(Ttx) (t > .0)
допускает голоморфное продолжение f(Tkx) в области |arg^|<
< arctg(Ctf-1), т. е. функция Ткх оказывается слабо голоморфной.
Применяя теорему Хана — Банаха, мы видим, что Т^х представляет
собой продолжение Ttx в области |argA,|< arc'ig(Ce). Положим
теперь St = e~'Tt. Тогда Si^e^'T't—е~*То откуда ввиду неравен-
неравенства 0<^?~"'<^1 (t^Q) и условия (I) следует, что семейство опе-
операторов [B~kCtS't)n} при некотором k > 0 равностепенно непрерывно
относительно значений ?>0 и /г^-0, так как операторы семейства
[Tt] равностепенно непрерывны относительно ?>0. Таким образом,
[S(] — равностепенно непрерывная полугруппа класса (Со), такая, что
StX с D(A — /) = О(Л) при t > 0, где (А—/) — инфииитезималь-
ный производящий оператор полугруппы St. Применяя к St тот же
способ рассуждений, который использовался для Tt% мы можем по-
показать, что е-1Тх представляет собой слабо голоморфное продолже-
продолжение функции 5/ = ^-^Г^ и удовлетворяет оценке C).
Попутно мы можем получить такое
Следствие (Хилле). Если при тех же условиях X является ком-
комплексным fi-пространством и lim \\tTt \\ < е~\ то X==D(A).
t ^ о
Доказательство. При любом фиксированном значении t > 0
и поэтому ряд
- о"
S
сильно сходится в некотором секторе вида
F — некоторое положительное число) комплексной Х-плоскости. Точка
X = 0 является внутренней точкой этого сектора, откуда и следует
наше утверждение.
10. Голоморфные полугруппы 353
Импликация (!!)-> (III). До формуле A0), § 4, гл. IX
1 °°
e"utnTtxdt при Re(A,)>0, x?X. D)
j
о
Следовательно, полагая St — e~'Tt, мы получаем
((о +- 1 ¦+-ix)R(о +- 1 -\- iv. А))"'' х =
<т>0.
Возьмем значение т < 0. Так как подинтегральное выражение слабо
голоморфно, мы можем, используя оценку C) и интегральную тео-
теорему Коши, перейти от интегрирования по вещественной полуоси
0 -<! t < с>о к интегрированию по лучу гет @ <; г < оо), содержащемуся
в секторе 0 < argA, < arctgB~/?C^~1) комплексной Х-плоскости. Это
дает нам выражение
((о-И-Мт)Я@+1+/т; А))п11х =
п\
о
и, следовательно, по формулам C)
р (((а + 1 4- Л) R (о + 1 + ix; A)f x) <
< SUp p(Sr юх) (в + Ч-'т)'* • f g(-acos8+tslne)rr"</r
0<Г<оо Ч ' т J
p
0<Г<оо
где ^' — некоторая непрерывная полунорма, заданная на X. Анало-
Аналогичная оценка легко устанавливается и при т > 0. Отсюда, используя
условие G) § 4 этой главы, мы и выводим условие (III).
Импликация (III) ->A). Для любой непрерывной полунормы pt
определенной на пространстве X, существует такая непрерывная
на X полунорма д, что
р {(CXXR (X; А))пх) < q (х) при Re (А,) > 1 4- е, е > 0, п > 0.
Поэтому если Re (к0) > 1 + е, то
23 К. Иосида
354 IX. Аналитическая теория полугрупп
Таким образом, при |А, — ^ol/^il^ol< 1 резольвента R(X\ А) суще-
существует и определяется рядом
R (X; А) х = 2 (К - W R (h'> л?'"' x*
и при этом
p(R(X; Л)л:)<A-СГ'^оГ1- I* — K\)~l g(R(K A)x).
Следовательно, согласно (III), существует ^такой угол 60?(л/2, я),
что в секторах л/2 <^ arg X <; 0 и -60^arg^^ — л/2, а также
в области Re(A,)>0 при достаточно больших значениях |А,| резоль-
резольвента R(X', А) существует и удовлетворяет неравенству
p(R(k Л) дО<щ ?'(*). E)
где q' — некоторая непрерывная на X полунорма. Поэтому интеграл
ttx = Bл/) J euR {l\ A)xdX (t > 0, х 6 X) F)
с2
будет сходиться, если за контур интегрирования С2 принять кривую
Х = Х(о) (— оо < о < оо), где функция Я (о) выбрана так, что
Игл |А,@)| = оо и
|а|^с»
J + e<arg^(a)<90, -eo<argfc(a)< —-J —e.
когда соответственно о f оо и о | — оо (е>0 — некоторое поло-
положительное число), а при небольших значениях \а\ кривая Я,(а) лежит
в правой полуплоскости комплексной ^-плоскости.
Покажем, что ft совпадает с самой полугруппой Tt. Для этого
сначала убедимся в том, что l\mftx = x для всех x?D(A). Возьмем
произвольный элемент xo?D(A) и выберем комплексное число XQt
лежащее справа от контура интегрирования С2. Обозначим (Х01 — А)х0
через у0. Тогда, используя резольвентное уравнение, мы находим,
что
i; A)R(X0;
с2
j R(X; A)yodX-
с2
BЯ/Г1 \e^(X0-XrlR(X0; A)yodX.
с,
10. Голоморфные полугруппы 355
Второй интеграл в правой части обращается в нуль, в чем нетрудно
убедиться, смещая влево контур интегрирования. Следовательно,
Условие E) позволяет перейти здесь под знаком интеграла к пределу
при / | 0, и это приводит к равенству
lim ftx0 = Bл/Г] f (Я,о - к) R (A,; A) y0 dK y0 = (V - A) x0.
Для того чтобы оценить последний интеграл, образуем замкнутый
контур интегрирования, состоящий из дуги круга |Я.| = г, лежащей
справа от С2, и части контура С2, стягиваемой этой дугой, а остав-
оставшуюся часть контура С2 отбросим. При г f oo интеграл по отброшен-
отброшенной части контура С2 и по дуге окружности стремится ввиду E)
к нулю. Поэтому интересующий нас интеграл равен вычету подинте-
гральной функции относительно точки Я^, т. е. равен /?(А,0; Л)уо==хо.
Мы показали таким образом, что \\n\ftx0 — x0 при xo?D(A).
Докажем теперь, что fftx = ATtx при />0 и х?Х. Так как
R (к; A)X = D (А) и AR (X; А) = IR (Я.; А) - /, то интеграл
Bл/)" | euAR(k\ A)xdk сходится из-за наличия множителя еи.
с2
Аппроксимируя интеграл F) суммой Римана и используя тот факт, что
А — замкнутый оператор (т. е. если Пгпд:л==а: и lim Axn = y,
то х? D(A) и Ах = у\, нетрудно установить, что написанный выше
интеграл равен ATtx. Таким образом,
( euAR(k; A)xdK t>0.
c2
Но, с другой стороны, дифференцируя F) под знаком интеграла, мы
получаем
Г//д: = Bл/)~] [ euXR(k\ A)xdk, t>Q. G)
с2
Последние два интеграла отличаются друг от друга на слагаемое
Bл/) Г eltxdk, которое равно нулю, так как величина последнего
с2
интеграла не меняется при смещении контура интегрирования влево.
Мы показали, следовательно, что функция x(t) = ftx0 (xo?D(A))
удовлетворяет условиям 1) lim x(t) = xOt 2) dx(t)jdt = Ax(t) при
23*
356 IX. Аналитическая теория полугрупп
t > 0 и 3) при / f оо функция x(t) имеет экспоненциальный порядок
роста (это вытекает из F)). Но, поскольку х0 ? D(A) и полугруппа [Tt]
равностепенно относительно значений t^z-О непрерывна, функция
x(t) = Ttx0 удовлетворяет условиям \imx(t) — xOt dx(t)jdt = Ax(t)
при t^>0, и при этом x(t) ограничена при t^>0. Введем функцию
y(t) = x(t)~- x(t). Тогда limy@ = 0, dy(t)ldt = Ay(t) при *>0
и у (t) имеет экспоненциальный порядок роста при t \ оо. Поэтому при
достаточно больших положительных значениях Re (А,) можно рассма-
рассматривать преобразование Лапласа
оо
L(X; y)= J e~"
о
Используя замкнутость оператора А и аппроксимируя написанный
ниже интеграл суммой Римана, мы находим, что
Р Э Э
| е~иу' (О dt = | е~иАу (t) dt = A J *-*'y (t) dt,
a a a
0<a <p<oo.
Интегрируя по частям, получаем
3 3
J *-*y @dt = e~Wy (p) — e~kay (a) + A, J *-*'y @ rf/.
a a
При a 10 и р f оо этот интеграл стремится к XL(X; у), так как
у@) = 0, а у(Р) имеет при р f op экспоненциальный порядок роста.
Еще раз используя замкнутость оператора Л, мы находим, что
AL{\\ y) = XL(X; у) при достаточно больших положительных Re (А,).
Поскольку при Re(A.)>0 обратный оператор (XI — Л)" существует,
мы обнаруживаем, что L (Х\ у) = 0 при достаточно больших положи-
положительных значениях Re (А,). Следовательно, для любого непрерывного
линейного функционала / ? Xf
оо
Г e~xtf(y(t))dt = O при достаточно больших положительных Re (А.).
о
Положим X = o-{-tx и введем функцию
-*'/(у @) при *>0,
о при /<0.
Тогда из полученного выше равенства вытекает, что преобразование
Фурье оо
BЛГ1 f e-"<ga(t)dt
//. Дробные степени замкнутых операторов 357
тождественно обращается в нуль в области — оо < т < оо. Следо-
Следовательно, по формуле обращения Фурье функция ga(t) тождественно
равна нулю. Таким образом, /(у (?))== О, и поэтому по теореме
Хана —Банаха у(*) = 0.
Мы видим теперь, что ftx—Ttx при всех />0 и x?D(A).
Область D(A) плотна в X и Тп Tt?L(X, X)t откуда ясно, что
ftx = Ttx при всех ?>0 и х?Х. Доопределяя ft при ? = 0 как
7*0 = /, мы получаем совпадение ft = Tt для всех t^-О. Используя
теперь формулу G), мы находим, что
Т\ х = Bл/) J eKtXR (Х\ A)x dX (t > 0),
с2
и поэтому, учитывая A) и E), получаем
(T'tln)nx = T'fx = Bл/)-1 J eKtXnR (X\ A) xdX, t> 0.
с2
Следовательно,
(tft)n х = Bл/)" J enU (tX)n R(X; A) x dX, t> 0.
c.
Отсюда на основании (III)
При 0 < t <; 1 последний интеграл мажорируется величиной Сз, где
С3 — некоторая положительная постоянная. Эту оценку можно полу-
получить, разбивая путь интегрирования С2 на две части, лежащие соот-
соответственно в областях Re(A,)J>0 и Re(^)<0, и используя известное
интегральное представление гамма-функции. Отсюда и вытекает усло-
условие равностепенной непрерывности, фигурирующее в (I).
Замечание. Результаты этого раздела принадлежат Иосида [6].
См. также Хилле — Филлипс [1] и Хилле [3].
//. Дробные степени замкнутых операторов
Пусть X — некоторое ^-пространство и [Tt\ />0} с L(X, X) —
равностепенно непрерывная полугруппа класса (Со). Введем функцию
а+/оо
при
при X
358 IX. Аналитическая теория полугрупп
где 0 > О, / > О, 0<а<1 и ветвь функции za выбрана так, что
Re (za) > 0 при Re (z) > 0. Эта ветвь является однозначной функцией
на комплексной ^-плоскости с разрезом по отрицательной части
вещественной оси. Сходимость интеграла A) обеспечивается множи-
множителем е~***. Следуя Бохнеру [2] и Филлипсу [5], мы можем показать,
что операторы, определяемые формулами
-tx-
==/г —
оо
при ? —0,
образуют равностепенно непрерывную полугруппу класса (Со). Более
того, можно показать, что полугруппа {ft} голоморфна (Иосида [81»
Балакришнан [1]). Инфинитезимальный производящий оператор А = Аа
полугруппы [tt] оказывается связанным с инфинитезимальным опера-
оператором полугруппы {Tt} соотношением
Аах = — (--А)ах для всех x?D(A), C)
где нецелые степени (— А)а оператора (—А) определяются равенством
j для JcgD(A). D)
о
или эквивалентной формулой
оо
(— Л)вх = Г(— о) [ Х~а-1 (Тк - f) х dl, x?D(A). E)
0
Формулы D) и E) установлены Балакришнаном. Для резольвенты
оператора Аа известна следующая формула Като:
оо
О*/ - Л„Г' - «"«L J (г/ - Л) / ^ dr. F)
л J \кг — 2\ira cos ал + гм
Эти результаты говорят о том, что среди равностепенно непре-
непрерывных полугрупп класса (Со) содержится обширный класс голо-
голоморфных полугрупп.
Для доказательства перечисленных результатов мы приведем ряд
предложений, касающихся свойств функции /ла(А,).
Предложение 1. Имеет место представление
оо
е-1^ = J e-uft,a(X)d\ (/ > 0. а > 0). G)
77. Дробные степени замкнутых операторов 359
Доказательство. Используя множитель e~zttt, обеспечивающий
сходимость интеграла A), нетрудно убедиться в том, что функция ftta(K)
имеет экспоненциальный порядок роста. По интегральной теореме
Коши интеграл A) не зависит от выбора значений о > 0. Выберем
а > а = Re (z) > 0; тогда по теореме о вычетах
1 V
= ^ J
O-loo
О { / оо
1
J —±
~ 2я/
О-1са
Предложение 2. При всех X > 0
Да(^>0 (А,>0). (8)
Доказательство. Положим aa — g(a), e~tx = h(x)\ тогда
(_l)^1^)(a)>0 (я=1,2. ...). ^(a)>0
и (—1)яА(я)(х)>0 («=0.1.2,...) при а>0 и л:>0.
Следовательно, функция k(a)^= h(g(a)) —e~ta(x и ее производные
удовлетворяют неравенствам
X (_l)"i ^(^i+1)(a) .. .(—1)^ gr( 'v ^)(a)> о (9)
(здесь коэффициенты D<^ p^ > 0, ро>2, р,>0, .... />v > 0.
причем Ро^2 Pt~n (v произвольно, я= 1, 2, ...))•
У-1 /
Доказательство предложения 2 легко выводится теперь из фор-
формулы обращения Поста — Уиддера
которую мы далее установим. Действительно, из (9) и A0) вытекает,
что /Ла(А,)>0 при А,> 0.
Обратимся к выводу формулы A0). Дифференцируя равенствр
G) п раз, находим
оо
J *
360 IX. Аналитическая теория полугрупп
Подставим это выражение в правую часть A0) и покажем, что предел
о
равен fua(k). По формуле Стирлинга
lim ппУ2ш1еп
И-»ОО
и поэтому нам нужно доказать, что
где Хо > 0 — произвольное фиксированное положительное число.
Зафиксируем теперь какое-нибудь положительное число ц < к0 и
разобьем интеграл в правой части A1) на три слагаемых:
о— "П
0 0 А,о-Л
Поскольку функция хв1"*-* монотонно возрастает на сегменте [0, 1]
от 0 до 1 и функция //а ограничена по s, мы видим, что lim 7j = 0.
я->оо
В промежутке [1, оо] функция хех~х монотонно убывает от 1 до
нуля, и поэтому
а так как ftt(x(s) при 5 f оо растет экспоненциально, то
>O при
Функция ft,a(s) непрерывна по s, поэтому для всякого положитель-
положительного е > 0 можно выбрать ц > 0 столь малым, чтобы при Xq — ц ^
^ s ^ ^о + Л выполнялось неравенство /^ а (А,о) — е ^ Д а (s) ^
/ (^) + 8- Таким образом,
Да,0 A2)
где
//. Дробные степени замкнутых операторов 361
Приведенные рассуждения можно, в частности, применить к функции
оо
/г(а)==а-1= J e'kadK
о
(в этом случае /,|в(А,)=1 и k(n)(n/k0) = (- l)nnl(hJn)*+*). Подста-
Подставляя эту функцию в A0), мы легко убеждаемся в том, что для ft a(A,)= 1
формула A0) справедлива. Равенство A1) эквивалентно A0), и поэтому
оно тоже должно выполняться при fta(X)= 1. Поскольку lim Jx =0
«->оо
и lim У3 = ° ПРИ любой функции /,а, отсюда следует, что
л->со
1= lim Bлко)''Jo-
Это последнее соотношение позволяет на основании неравенств A2)
установить справедливость формулы A1) в общем случае. Из A1)
вытекает эквивалентная формула A0),
Предложение 3. Имеют место тождества
оо
Л+*а(Ь)= J Ла^-^Л.аО*)*- О5)
о
Доказательство. Функция ft,a(k) неотрицательна, и к интегралу G)
можно применить лемму Лебега — Фату:
оо
Г Ит(в-'-в/||а(Л,))Л<Нт«-/ва=1.
Следовательно, функция Да(Я.) интегрируема по А, в промежутке
@, оо), поэтому, применяя лемму Лебега — Фату и равенство G) еще
раз, мы и получаем A4). Далее из G) мы выводим
- I*) Л. а(Ю d\l}dk =
= J *-(^)а/,,а(* - Mdfr ~ |i) • J ^вЛ,
a>0.
Теперь, используя обращение преобразования Лапласа, аналогично
тому, как это было сделано в предыдущем параграфе, мы и получаем
формулу A5).
362 IX. Аналитическая теория полугрупп
Предложение 4. Для производной функции /Ла по переменной t
выполняется равенство
?А, = 0, *>0. A6)
о
Доказательство. Перейдем в формуле A) от интегрирования по
прямой z = o>0 к контуру, состоящему из двух лучей z = re~m
(О < г < оо) и z = reiQ (О < г < ооI), где -^-<^ 0 < л; тогда для
функции /Ла получится выражение
оо
Л, а E) = -1 J exp (sr cos 9 - tr* cos ав) X
о
Xsin(srsin9 — trasinaQ + Q)dr. A7)
Аналогично, переходя в формуле
a+ioo
к интегрированию по лучам z = re~iB и z = reiB @ < г < оо), мы
получаем равенство
оо
К а (*> = dftM(S) = "^ J еХР EГ C0S 9 — tr" C0S a9> X
о
X sin (sr sin 9 — tra sin aO -f-a9 + 9) ra fifr. A8)
Выберем теперь значение 9 = 9а = я/A +а); тогда
a(s) = T J exP(Er + ^«)cos9a)sin((sr-^«)sin9a)r«rfr. A9)
Выражение A9) показывает, что производная f'ta($) интегрируема
по 5 в промежутке @, оо), так как под знаком интеграла в A9)
содержится множитель вида ra@<a<l). Это позволяет продиф-
продифференцировать выражение A4) по t под знаком интеграла, что и
приводит к соотношению A6).
Теперь мы можем доказать следующую теорему.
Теорема 1. Семейство операторов \Tt) образует голоморфную
полугруппу.
]) Луч re *e проходится из бесконечности к началу координат, а луч
— из начала координат в бесконечность. — Прим. пе±ев.
//. Дробные степени замкнутых операторов 363
Доказательство. Тот факт, что {f,} обладает полугрупповым
свойством ftfs—Tt+s(t, s > 0), вполне очевиден вследствие B) и A5).
Из определения B) и равенства A7) следует, что
f x = -75— f Tsx ds [ exp ((sr -f tra) cos 8ft) X
X sin ((sr — tra)sm 9a + 8n) dr, B0)
где 9 = 9a = jt/( 1 4~a)- Переходя в B0) к новым переменным
s = vtl». r = ufll\ B1)
мы получаем
оо оо
л 1 Г Г л
Т х = — 7^/i/a х dv ехр ((uv -f- wa) cos 6a) X
о о
X sin ((uv — ua) sin 9a 4- 9a) du. B00
Внутренний интеграл в B0') равен я/Ьа(г>), поэтому, используя A4)
и равномерную (относительно значений t ^ 0) ограниченность мно-
множества {||^/^||}, мы устанавливаем оценку
|| ftx || < sup || Ttx || f fh a (v) dv = sup || Ttx ||. B2)
как функция f\%Av) интегрируема в промежутке [0, оо), то
но перейти в B0 ) к пределу при 11 0, откуда ввиду A4) мы
чаем
оо
S'\\mftx= f /, Av)dv • д: = х.
Таким образом, {Г,} — равностепенно непрерывная полугруппа класса
(Со), и для нее справедлива оценка B2).
Поскольку функция /J a($) = dfta(s)!dt интегрируема по проме-
промежутку [0, оо) и операторы полугруппы [Tt\ равностепенно непре-
непрерывны, мы можем продифференцировать выражение B) по t под
знаком интеграла
> = J ft. а (О Tsx ds = ±JTsxdsjexp( (sr + tr*) cos 60) X
0 0 0
X sin ((sr — tra)sin 9a) ra dr. B3)
364 IX. Аналитическая теория полугрупп
Делая в B3) замену переменных B1), находим
о
Отсюда следует оценка
так как операторы семейства {Tt} равностепенно непрерывны отно-
относительно значений />0 и интеграл от функции /i,a(x>) по проме-
промежутку [0, оо) сходится. Полученная оценка говорит о том, что
полугруппа {ft} голоморфна.
Теорема 2. Инфинитезимальный производящий оператор Аа полу-
полугруппы {ft} связан с соответствующим оператором полугруппы [Tt]
формулой C), в которой выражение (— А)а определяется равенст-
равенством D) или эквивалентным соотношением E). Кроме того, имеет ме-
место представление F).
Доказательство. Из формул A6) и B3) мы получаем
оо оо
ftx=zli J (Ts~/)xdsj exP((sr-Hr°)cos6a)X
о о
X sin ((sr — tr") sin 0a) ra dr. B4)
Если x?D(A)t то s-lims-l(Ts — f)x = Axt и нормы \\(TS — I)x\\
равномерно ограничены по 5 при s>0. Поэтому, переходя в B4)
к пределу при 11 0, мы находим, что
s-lim f\x = -~ J {Js — l)xds J exp (sr cos 0a) sin (sr sin 9a) ra dr =
CO
= (^T(-a)y1 J s-^^
Действительно, если учесть, что (a+lNa = jt, To известные из тео-
теории Г-функций формулы
оо
Г (z) = с* J е~СГг*-х dr (Re (z) > 0, Re (с) > 0) B5)
о
и
ГГ B6)
//. Дробные степени замкнутых операторов 365
приводят к следующему результату:
00 СО
~ J exp(sr cos 9a)sin(sr sin9a)radr = (л1)~1\т J е"г{еШа) ra dr
о
-a-l -ГA+«) _, Г( )Г1
~^ l{ a)) S
—5 Г(-а)ГA+а)
Теперь, учитывая, что функция ftx непрерывна в точке ^ = 0, а ин-
финитезимальный производящий оператор Аа замкнут, и используя
равенство f'tx == AaTtx (при t > 0), мы выводим формулу
= (— Г(— a)) J Гв"!(Г,-
о
со
Отсюда, из формул (tl — А)'1 — J e~tsTsds и B5), B6) получаем
о
оо| оо J
а)-1 J J e-'tadt Ul-Ts)xds =
l J
0
= -^~ jta"l(tf — Ay] Axdt для всех x?D(A).
о
Полагая, наконец, в формулах A7) и B) 0 = я, находим
О
сю со
==я ' f dr J e~srTsds ( exp( — \xt — tra cos ал)sin (tras\n ал)dt ~
оо о
00 OO
= л~' j (rl — A)~l Г exp (— [it — tra cos ая) sin (tra sin ая) dt
о
sinaji
366 IX. Аналитическая теория полугрупп
Замечание. Формула B) была предложена Бохнером [2] без по-
подробного доказательства. См. также Филлипс [5]. Тот факт, что опе-
операторы ft образуют голоморфную полугруппу, доказали Иосида [8],
Балакришнан [1] и Като [2]. Формулы D) и E) принадлежат Бала-
кришнану, который показал, что для замкнутого оператора Л, удо-
удовлетворяющего условию
резольвента /?(А,; A) = (kf — А)"
существует при Re(^)>0 B7)
и sup |Re(A,)| -\\R(b; A)\\<oo,
Re(К) > О
формула D) определяет линейный оператор (— А)а. Он показал
также, что (— А)а обладает обычными свойствами выражений с дроб-
дробными степенями. А именно справедлива
Теорема 3. Пусть замкнутый линейный оператор А удовлетворяет
требованию B7). Тогда формула D) определяет линейный оператор
(— Л)а, обладающий следующими свойствами:
(— Af(— Afx = (—Af^x при x?D(A2) и а, р > О, а + р<1,
B8)
$- Iim (— Af x = - Ах для х ? D (Л), B9)
а*1
если1 S- iim IR (А,; А) х = 0, то 5- iim (— Af x = x. C0)
При этом если за А принять инфинитезимальный производящий
оператор равностепенно непрерывной полугруппы [Tt] класса (Со), то
где через Аа обозначен оператор Ла, определяемый формулой Като F).
Замечание. Формулу C1) установил Ватанабе [1].
Доказательство. Согласно B7), величина \\ra~\rl — А)~\— Ах)\\
имеет при г f оо порядок О (г0-2), и, поскольку (г/ — Л)" (— Ах) =
= х — г (г/ — А)" х, эта норма ввиду B7) при г|0 представляет
собой величину порядка О (г0-). Поэтому интеграл в правой части
формулы D) будет сходиться.
Вполне очевидно, что (— Afx?D(A) для x?D(A2). Чтобы
в этом убедиться, достаточно аппроксимировать интеграл суммами
Римана и использовать свойство замкнутости оператора А. Поэтому
//. Дробные степени замкнутых операторов 367
мы можем определить выражение (— А)а(— Af х\
sin ал
п\ J •* Rfa A)R(\i\ A) A xdXd\i.
J
о о
Разбивая путь интегрирования на две части, для которых соответ-
соответственно X > \х и X < \хч мы получаем
(-Af(—Afx =
0
CO
X J ^а+Э/?(^а; Л)/?(X; A)A2xdX.
о
Для элементов х? D(A) можно воспользоваться равенством
R(X; A)(—A) = f — XR(X; A)
и резольвентным уравнением
#(h; A)— R(\i; A) = (\x — X)R(X; A)R(\i; Л),
что приводит к формуле
(— А)а (— А) х = • —-— • S- lim (с
^1 0
X /Vp
о
ОО / 1 ч
г / sin an sinftft г а^1 + аа-1 — в~а — а""^ \
о \ о /
X Xa+V~lR(X; A)(-Ax)dX.
Выражение, стоящее справа в круглых скобках под знаком инте-
интеграла, оказывается равным n^sinn^a + P) — чтобы вычислить эту ве-
величину, достаточно разложить множитель A — а) в ряд по степе-
степеням а. Мы получаем, таким образом, формулу B8).
Для вывода равенства B9) используем формулу | A,a
о
= n/sinan. Это приводит к следующему результату:
оо
( _ A f х - (- А) х = ^- J %а-' [R (X; А) — jLj /) (- Ах) dX.
368 IX Аналитическая теория полугрупп
Зафиксируем некоторое произвольное значение С > 0 и разобьем
путь интегрирования на две части: от нуля до С и от С до оо.
При фиксированном С интеграл, соответствующий первой части,
стремится к нулю при af 1, так как выражение /?(Я; Л)(—Ах) =
= х— XR(k; А)х ограничено (по норме) при X > 0. Второй инте-
интеграл не превосходит по норме выражения
IR(Я; Ay-
Но х — XR(k; A)x = R(k; A)(— Ax), и поэтому, учитывая B7),
мы видим, что 5- Пт Л,/? (Л,; А)х = х. Поэтому предел
может быть сделан сколь угодно малым, если выбрать достаточно
большое значение С. Отсюда и вытекает B9).
Для доказательства формулы C0) мы опять разобьем интеграл
на две части, соответствующие промежуткам от нуля до С и
от С до оо. В силу условия B7) второй интеграл будет стремиться
к нулю при а|0. Поскольку R(k; А)(—Ах) = х — XR(l\ A)x и
по предположению s-lim М?(А,; Л)л: = 0, первый интеграл при до-
статочно малых значениях С > 0 будет близок к величине
(ал) sinart • Сах, которая стремится к х при a | 0. Отсюда и сле-
следует формула C0).
Покажем теперь, что если оператор А порождает равностепенно
непрерывную полугруппу [Tt] класса (Со), то имеет место свой-
свойство C1). Используя представление F), мы получаем
= / J
Этот двойной интеграл, как нетрудно показать, абсолютно сходится
по норме, и поэтому можно изменить порядок интегрирования. Это
дает нам формулу C1), так как внутренний (после изменения порядка
интегрирования) интеграл приводится к виду
где в качестве контура / можно взять берега разреза комплексной
^-плоскости, проходящего по отрицательной части вещественной оси,
и равен выражению
//. Дробные степени замкнутых операторов 369
Пример дробной степени оператора. Если а =1/2, то, взяв
значение 8 = я, мы получаем из формулы A7) выражение
W> = *~' f •-"в1п(/г1Я)* = я-1уТ*B3/7Г3*-ад1. C2)
О
Возьмем полугруппу {Tt}, образованную интегральными операторами
с ядром Гаусса (типа гауссовского распределения вероятностей):
оо
G»(а) = —т= f e-<u-v*iux(v)dv, х?С[— оо, оо].
— СО
Тогда
сю f оо
-оо ( О
оо
= J
-оо
= 4 J
—оо
т.е. операторы ft 1/2— это интегральные операторы с ядром Пуас-
Пуассона. Инфинитезимальный производящий оператор Л полугруппы [Tt]
представляет собой в этом случае дифференциальный оператор d2/ds2t
в то время как инфинитезимальным оператором Л, порождающим
полугруппу ft% служит сингулярный интегральный операторг)
оо
1 • 1 С
У
X (S — V) — X (
4 К
У -CO
а не дифференциальный оператор d/ds2).
[) Действительно, согласно формуле A), гл. IX, § 3, производящий опе-
оператор полугруппы {^1/2} определяется выражением
(Л1/2х) (s) = s- Hm Л-1 (Тн$ 1/2 — /) х (s)»
s-lim h~l
- \
x(t)dt
я J /i2 + (s —О2 я J /^24.E — ^2 t
—00 —00 J
CO CO
.. 1 Г X(t) — X(S) .. ,. 1 Г X(S— V) — X(S)
-hm— y> \' dt = s- hm — „2V.A2
— CO —CO
—Прим. пере в.
2) Это не противоречит доказанным выше теоремам, так как свойство
B8) было установлено в предположении, что а -|- р < 1. — Прим. перев.
24 К. Иосида
370 IX. Аналитическая теория полугрупп
12. Сходимость последовательностей полугрупп.
Теорема Троттера—Като
Обозначим через ехр(М) полугруппу класса (Со), для которой
оператор А служит инфинитезимальным производящим оператором.
Следующая теорема относится к вопросу о сходимости последо-
последовательности полугрупп.
Теорема 1. Рассмотрим комплексное локально выпуклое секвен-
секвенциально полное линейное топологическое пространство X. Пусть
{ехр(Мл)} S L{X, X)— некоторая последовательность равносте-
равностепенно непрерывных полугрупп класса (Со), такая, что операторы
семейства [exp(tAn)} равностепенно непрерывны относительно t >- 0
и п= 1, 2, . . ., т. е. для всякой непрерывной полунормы р(х),
заданной на X, существует такая непрерывная на X полунорма q{x),
что
p(exp(tAn)x)^q(x) для всех *>0, х?Х и л=1, 2 A)
Допустим, что для некоторого комплексного числа Хо, у которого
Re(A,0)>0, выполняется условие
lim R(ko\ An)x = J(K0)x существует при всех
Л-»ОО
и при этом область значений R(J(k0)) плотна в X. B)
Тогда оператор J(k0) представляет собой резольвенту инфинитези-
мального производящего оператора А некоторой равностепенно не-
непрерывной полугруппы (ехр(М)} класса (Со), определенной в про-
пространстве X, и
lim ехр(Мл)лг —ехр(М)л; при всяком х?Х. C)
Л->со
Кроме того, на всяком бикомпактном множестве значений t в фор-
формуле C) имеет место равномерная (относительно /) сходимость.
Для доказательства этой теоремы нам потребуется следующая
Лемма. Пусть операторы Tt = ехр (М), заданные в простран-
пространстве X, образуют равностепенно непрерывную полугруппу класса (Со).
Тогда для всякой непрерывной на X полунормы р(х) найдется
такая непрерывная заданная на пространстве X полунорма q(x),
что
р G> - (/ - */1-М)-я х) < B/гГ1^ {А*х)
для всех x?D(A2) и /г == 1, 2
Доказательство. Обозначим оператор (f—n~ltA)~n через Г(/, /г).
Мы знаем (см. гл. IX, § 7), что семейство {T(t, п)\ равностепенно
непрерывно относительно значений t^-О и л=1, 2, .... Кроме
12. Сходимость последовательностей полугрупп 371
того (см. гл. IX, § 4), для любого x?D(A)
DtT(tt п) = A — п-ЧА)-п-1Ах=А(/ — п-ЧАуп-1х,
DtTx = TtAx = ATtx.
Следовательно, поскольку операторы Tt и T(t, n) перестановочны,
Ttx — T(t, п) х = J [DST (t — s. n) Tsx] ds =
о
= j7(f_s, n)Ts(Ax —{l — Lz±Ay Axjds. x?D{A). E)
о
Поэтому если x?D(A2), то, ввиду того что
(/— m-M) Ax= — m (/ — (/ —/ii-M)) jc.
имеем
О
Отсюда, учитывая, что полунорма <7(лг) непрерывна в X и ее выбор
не зависит от х и п, мы получаем
- Г (*, Л) х) < 1
Следствие. При любых 5 > 0 и t > 0 для всякой непрерыв-
непрерывной полунормы р(л:) можно указать такую непрерывную на X
Полунорму qx (x), не зависящую от t и s, что
> — (/ — 5Л)~тх) < ^, (i4jc) + Ц- q(A2x) при всех jc 6 О (Л2). F)
где [?/$] — целая часть tjs (наибольшее целое число, не превосхо-
превосходящее t/s).
Доказательство. Полагая t = nst получаем
р (Tnsx - (/ - ^)-л х)
Если ^ = п$ + w, где 0^#<s и /г = [//5], то
= рМ Год: rfo j < J р (Г0Л;с) йГо < sq{ (Ax).
\ns J ns
Таким образом, следствие доказано.
Доказательство теоремы 1. Формула A) и оценка A1) из § 4
гл. IX показывают, что при рассматриваемых условиях семейство
24*
3?2 IX. Аналитическая теория полугрупп
{(Re(l)R(I; An))m) равностепенно непрерывно (относительно значе-
значений Re(A,)>0, л=1, 2, ... и т = 0, 1, 2, ...). Отсюда и из
условия B) следует, что существует некоторый оператор Л, такой,
что J(lo) = (lo[ — A)'1 и
lim R(k; Ап)х = R(k-, A)x при всех Re(A,)>0,
Л->оо
причем сходимость равномерна относительно к G)
на всяком бикомпактном множестве из правой
полуплоскости Re (Я) > 0.
Для того чтобы доказать сформулированное утверждение, обратим
внимание на то, что
R(X; А„)х= 2 (А« —Я.У"Я(\>; An)m+lx (при | X - Хо |/Re (Хо)< 1),
/я=0
причем написанный здесь ряд, в силу равностепенной непрерывности
операторов семейства {(Re(A,0)/?(A,0; An))m) относительно значений
п=\, 2, ... и /я —0, 1, 2 сходится равномерно в области
\Х — А,о |/Re (к0) ^1 — е, п = 1, 2, .... где е > 0 — некоторое фикси-
фиксированное достаточно малое положительное число. Следовательно,
для любого 6 > 0 существуют такое значение т0 и такая непрерыв-
непрерывная на X полунорма д(х)> что
; An)x — R(K- Л
2
2 1оМ(<> я
/я-»0
для всех at?-Y.
Поэтому, учитывая условие B), мы видим, что равномерный предел
lim R(k; An)x = J(X)x существует при \Х — *о 1/^е(*о) ^ 1—е<
Л->ОО
Это обстоятельство позволяет расширить область сходимости после-
последовательности {/?(*; Ап)}, и, таким образом, последовательность
{R(X\ Ап)} сходится при п->оо к J(X)x при Re(A,)> 0, а на всяком
бикомпактном множестве значений Я, лежащем в правой полупло-
полуплоскости Re(A,)>0, эта сходимость равномерна. Отсюда следует,
что оператор «/(*) является псевдорезольвентой, поскольку он,
очевидно, так же как и R{%\ An) (п=1, 2, ...), удовлетворяет
резольвентному уравнению. Но в данном случае /?(У(Я,0))а = X, и
по эргодической теореме о псевдорезольвентах (гл. VIII, § 4) опе-
оператор У(Я) служит резольвентой некоторого замкнутого оператора А,
так что J(X) = R(l; А) и область D(А) = /?(/?(А,; А)) плотна
в пространстве X.
Эти рассуждения показывают, что операторы ехр(М) образуют
равностепенно непрерывную полугруппу класса (Со) в пространстве X.
12. Сходимость последовательностей полугрупп 373
Мы должны теперь убедиться в справедливости утверждения C).
Из F) следует, что при любом х?Х и произвольных s > О, t >О
р ((ехр (Мя) - (/ — sAn) yu/s] (/ - Ап)~2 х) <
Операторы
An(f-An)-l = (f-An)-l-f,
Ап (I - Anf2 =An(f- An)~x (I - А„Г\
A2n(f-Anr2 = (An(f-An)-J
равностепенно непрерывны относительно значений я=1, 2, ....
С другой стороны, из G) вытекает, что
Ит (/ - sAn)~m (/ - АпГ2 х = (/ - М)-'"" (/ - Л)'2 х.
причем сходимость в этом равенстве равномерна по s и t, если зна-
значения s > 0 отграничены от 0 и оо, а / изменяется на произвольном
бикомпактном множестве из [0, оо). Кроме того, из условия F)
видно, что
р ((ехр (М) - (/ - sA)'m) (/ - Ay2 х) <
при любых х?Х, 5>0 и ^^-0. Поэтому, выбирая величину s>0
достаточно малой, мы приходим к заключению, что
Нш ехр(Мл)з; = ехр(М)з; при всех у?R(I; AJX>
л->оо
и при этом сходимость равномерна относительно значений t из всякого
бикомпактного множества в [0, со). Поскольку множество /?A; АJX
плотно в X, мы видим, что условие C) выполняется, так как полу-
полугруппы ехр(М) и ехр(Мл) равностепенно непрерывны относительно
значений t^-О и лг = 1, 2 Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть последовательность (ехр(Мл)} равностепенно
непрерывных полугрупп класса (Со), заданных в пространстве Х%
равностепенно непрерывна относительно значений t^-О ил=1,2
Если для каждого элемента х ? X существует предел
lim ехр (tAn) х = ехр (М) х,
Я->ОО
причем последовательность {ехр(Мл)л;} сходится к exp(tA)x равно-
равномерно на всяком бикомпактном множестве значений t J> 0, то
lim R(X\ An)x = R(l\ A)x для всякого xfX и Rea)>0,
374 IX. Аналитическая теория полугрупп
причем последовательность {RCk; An)x) сходится равномерно на
всяком бикомпактном множестве из правой полуплоскости Re(A,)>0.
Доказательство. Имеет место представление
Л (A,; A)x-R(X; Ап)х = JV*'(exp(M) — exp (tAn))xdt.
о
Разбивая путь интегрирования на два участка [О, С] и [С, оо) (С > 0),
мы легко устанавливаем справедливость утверждения теоремы.
Замечание. Для случая банахова пространства X теорема 1 была
доказана Троттером [1]. В этой работе доказательство того факта,
что оператор У(А,) есть резольвента R(k\ Л), проведено не вполне
четко. Последнее было отмечено Като. Доказательство, приведенное
в этом параграфе, использует конструкцию, которую применил Като
при модификации теоремы Троттера для случая В-пространств (до-
(доказательство Като не опубликовано).
13. Сопряженные полугруппы.
Теорема Филлипса
Рассмотрим локально выпуклое секвенциально полное линейное
топологическое пространство X, и пусть [Tt\ t^>0}^L(Xt X) —
некоторая равностепенно непрерывная полугруппа класса (Со). Тогда
семейство [7*; r^Ojci^, Л"), где звездочкой обозначены
сопряженные операторы, как это видно из теоремы 3 § 1 гл. VII,
обладает полугрупповым свойством: Т* • Г* = 7^+4» Г* = /* (/* —
тождественный оператор из L(X't X')). Но {Т*, t > 0} может,
вообще говоря, и не быть полугруппой класса (Со). Дело в том,
что отображение 7/->Г* не обязательно должно сохранять непре-
непрерывность по переменной t (см. предложение 1 § 1 гл. VII). Мы
можем, однако, показать, что операторы семейства {Т*} равносте-
равностепенно непрерывны относительно значений t ^ 0*.
Предложение 1. Если семейство [St\ *>0} gi(X, <Y) равносте-
равностепенно непрерывно относительно значений t ^ 0, то операторы
S*€(S*» ^Ojci^', Xr) тоже равностепенно непрерывны от-
относительно t ^0.
Доказательство. Из предположений теоремы следует, что мно-
множество М St • В ограничено в пространстве X при любом выборе
ограниченного множества В ?. X. Обозначим через W и V поляры
множеств В и ^J St • В:
U'=tx'?X';sup\{b,
13. Сопряженные полугруппы. Теорема Филлипса 375
Тогда U' и V представляют собой некоторые окрестности вектора
#' = 0 пространства Xfs. Из неравенства \(Sfi> •xr'M —|(?, S*a;') |<^1
(при b?B, x'?V) мы заключаем, что S*V с V' для всех t%0.
Это и говорит о том, что семейство IS*] равностепенно непрерывно
относительно значений t ^ 0.
Обозначим через Л инфинитезимальный производящий оператор
полугруппы Tt. Тогда D(A)a = X, R(A)czX и при X > 0 сущест-
существует резольвента (XI—A)~l ?L(X, X), причем
операторы {Хт (XI—Л)~т} равностепенно непрерывны
относительно значений Я > 0 и /я = 0, 1, .... A)
Теперь мы можем доказать следующее
Предложение 2. При значениях X > 0 существует резольвента
(ХГ—А*У1 и
г (АГ1У B)
(ср. с теоремой 2, гл. VIII, § 6).
Доказательство. Воспользуемся равенством (X/ — А)* = XI* — Л*.
Оператор {{XI—A))*?L(X/) X') существует, поскольку (XI—А)~1?
?L(XfX). Покажем, что оператор (XI* — Л*) существует и равен
((XI—Л)")*. Для этого допустим, что найдется такой элемент
х' 6 А", что (XI* — А*) х1 = 0. Тогда 0 = (х, (XI* — А*) х') ==
== ((А/—A)xt х') для всех л: ?D (Л). Но R(Xl—Л) = X, и поэтому
мы видим, что х' = 0. Это означает, что оператор (XI* — Л*)
существует. Для элементов х?Х, x'?D(A*)
(Xi x') = ((XI — А) (XI — Л) х. х') = ((XI — Л) х, (XI* — Л*) а:7).
Таким образом, мы имеем D(((XI — Л))*) з R(XI*— А*) и
((XI—АУ1)\ХГ— А*)х' = х' для всякого x'?D(A*). Отсюда сле-
следует, что ((XI — Л))* 3 (ХГ — Л*). С другой стороны, если
x?D(A) и x'?D(((XI — А))*), то
,(лг, x') = ((XI — A)~l(XI — A)x, x/) = ((XI — A)xt ((XI—А)~1)* х').
Следовательно, D(A*) = D((XI— А)*) з R(((XI—А)'1)*) и
(XI-A)i(XI — AYl)*x' = x' при любом х' ?D(((XI — A))*),
т. е. ((XI — A))* S (ХГ — Л*). Мы, таким образом, доказали
утверждение B).
Далее, имеет место
Теорема. Пусть пространство Х\ сильно сопряженное некото-
некоторому локально выпуклому секвенциально полному линейному топо-
топологическому пространству X, тоже секвенциально полно. Рассмо-
376 IX. Аналитическая теория полугрупп
трим равностепенно непрерывную полугруппу [Tt\ t^-0] cL(A\ X)
класса (Со) с инфинитезимальным производящим оператором А.
Обозначим через Х + замыкание D(A*)a области D(A*) в сильной
топологии сопряженного пространства X1. Пусть Tf — сужение опе-
оператора Т] на область Х+. Тогда Т??1(Х+, Х+) и операторы
семейства {Г/; t^-O) образуют равностепенно непрерывную полу-
полугруппу класса (Со), инфинитезимальный производящий оператор А +
которой представляет собой наибольшее из сужений оператора А*
с областями определения и значений, принадлежащими простран-
пространству Х+.
Замечание. Р. Филлипс [2] доказал сформулированную выше
теорему для частного случая ?-пространства X. Приведенное здесь
обобщение этого результата принадлежит Коматсу [4].
Доказательство теоремы. Используя равностепенную непре-
непрерывность семейства {kmR(k; A)m) относительно значений к > О и
/я = 0, 1, 2 а также резольвентное уравнение R(k\ A)—R(\x\ Л)=
= 0а — k)R(k\ A)R(\i; A)t мы на основании предложений 1 и 2
устанавливаем, что
(А/* — л*) — О*/*— А*)'1 =Ф - W— Л*)~] (ixl*- A*fl C)
и что
операторы {^т(^/* — Л*)~т} равностепенно
непрерывны относительно 1>0 и w = 0, 1, 2 D)
Поэтому, обозначая через J(X) сужение оператора (AY* — Л*) на
область X*t мы находим, что
У (А,) - У (|1) = Qi - к) J(k) У (|i) C0
и что
семейство {kmJ(k)m} равностепенно непрерывно
относительно к > 0 и /ю = 0, 1, 2, .... D7)
Так как пространство X1 секвенциально полно, то на основании D')
мы аналогично тому, как это делалось в § 7 гл. IX, заключаем,
что \imkJ(k)x=:X при всех л:^А^. Таким образом, R(J(k))a = X*>
и поэтому, согласно условию G'), гл. VIII, § 4, N(J(k))= {0}.
Отсюда вытекает, что псевдорезольвента J(k) должна быть резоль-
резольвентой некоторого замкнутого линейного оператора Л+, заданного
в пространстве X*'. Поскольку Л"*" секвенциально полно и выпол-
выполняется требование D/). А+ представляет собой инфинитезимальный
производящий оператор некоторой равностепенно непрерывной полу-
полугруппы класса (Со) операторов Tf ?L(X*t X+). Для любых элемен-
13. Сопряженные полугруппы. Теорема Филлипса 377
тов
и поэтому на основании результатов предыдущего параграфа,
устремляя т->оо, мы устанавливаем равенство (Ttx, y')=z(x, Tfy').
Значит, Tty = Tf у , а это и показывает, что оператор Т/ является
сужением оператора Tt на область X*.
В заключение покажем, что А+ служит наибольшим из сужений
оператора А*, области определения и значений которых принад-
принадлежат Х+. Из проведенного выше построения оператора Ai видно,
что он представляет собой сужение оператора А*. Допустим, что
x'?D(A*) и что х?Х\ Ах ?Х + . Тогда (XI* — А*)х'? Х+ и,
следовательно, (К/ — А ) (XI —А*)х' = х'. Применяя к обеим
частям последнего равенства оператор (А/ —Л+), мы находим, что
А х'= Af х. Это говорит о том, что А? является наибольшим
из всех сужений оператора А , области определения и области
значений которых принадлежат пространству Х+.
ГЛАВА X
Вполне непрерывные операторы
Пусть X и К — комплексные fi-пространства и S — единичный
шар пространства X. Оператор T?L(X, Y) называется вполне не-
непрерывным, если образ TS шара S относительно бикомпактен
в пространстве К. Для вполне непрерывных операторов удается
получить полное решение задачи о собственных значениях;
классическая теория Фредгольма, относящаяся к линейным интеграль-
интегральным уравнениям, переносится на линейное функциональное уравнение
Тх — Хх = у с комплексным параметром А,. В этой главе мы изложим
теорию вполне непрерывных операторов, следуя работам Рисса [2]
и Шаудера [1].
/. Бикомпактные множества в В-пространствах
Всякое бикомпактное множество в линейном топологическом про-
пространстве должно быть ограниченным. Обратное, вообще говоря,
неверно; мы знаем (гл. III, § 2), что замкнутый единичный шар
нормированного линейного пространства X сильно бикомпактен
тогда и только тогда, когда пространство X конечномерно. Пусть
5 — бикомпактное метрическое пространство S, и пусть С E) — это
В-пространство всех вещественных или комплексных непрерывных
функций х(s) на 5 с нормой ||а:|| = sup | x(s)\. Мы знаем (гл. III, §3),
s(S
что подмножество (xa(s)} cz C(S) сильно относительно бикомпактно
в С (S) тогда и только тогда, когда функции a:u(s)cz (A:a(s)} равно-
равномерно ограничены и равностепенно непрерывны (относительно а).
Для пространства Lp (S, SB, m), 1 <; р < оо, имеет место следующая
Теорема (Фреше — Колмогоров). Пусть 5 — вещественная прямая,
2) есть a-алгебра бэровских подмножеств В пространства S и
т(В)= \ dx — обычная мера Лебега множества В. Тогда подмно-
в
жество К пространства Lp(St 23, т) A>^/?<оо) сильно относи-
относительно бикомпактно в том и только в том случае, когда выполняются
1. Бикомпактные множества в В-пространствах 379
условия
sup || х || -sup/ f \x(s)\p ds)Vp < oo. A)
lim f | x(t-\-s) — x(s)\pds = O равномерно по x?/C, B)
lim Г \x (s)\p ds = 0 равномерно по x?K. C)
a * °° \s\ > a
Доказательство. Допустим, что множество К сильно относи-
относительно бикомпактно. Тогда К ограничено, и поэтому условие A)
выполняется. Возьмем произвольное е > 0. Тогда найдется конечная
система функций fv /2 /л, принадлежащих Lp, такая, что
для всякой функции / ? К существует индекс у, при котором
II/ — fj II *С е- В противном случае можно было бы построить бес-
бесконечную последовательность {/;} cz /С, удовлетворяющую неравен-
неравенствам || fj — fi || > е при j Ф /, что противоречит относительной
бикомпактности множества /С. Исходя из определения интеграла
Лебега, выберем систему gv g2 gn простых функций, таких,
что ||/у — ?/||^е С/=1. 2 п). Так как всякая простая функ-
функция gj(x) обращается в нуль вне некоторого достаточно большого
интервала, мы для достаточно больших значений а имеем
г ¦VP
\f(s)\»ds+ j
—оо
\f(s)-gj(s)\pds+ J \f(s)-gj(s)\pds\ -
-co /
Up
,1/p
<}\f-g,\H[\\gjW<ts+ I \gj(*)\pds
Отсюда вытекает условие C), так как ||/ — g^-II^H/ — /у114"
4~ II// — ^"у||^2е. Доказательство условия B) опирается на тот
известный факт, что для характеристической функции С, (s) конечного
оо
интервала / справедливо равенство lim | |C7(s + t)-~Cf(s)\pds = 0
—со
(§ 3 введения). Последнее означает, что условие B) выполняется
для простых функций gj(s) (/=1, 2, ..., п). Следовательно, для
380 X. Вполне непрерывные операторы
любой функции / ? К
(со \1/р
[ ]
/->0 \
(Г со \ 1/p
,*, ч J"
\-co
\—со
(
^—со / \—со
1/р / с» \1/р
l +1 J]
,1//'
если функция /;- выбрана так, что ||/—/у||^е. Это неравенство
доказывает условие B).
Перейдем к доказательству достаточности. Определим оператор
сдвига Tt равенством (TJ)(s) = f (t-\-s). Условие B) означает, что
S- lim TJ = / равномерно в области / ? К. Определим среднее
10
а
значение формулой (Maf)(s) = Ba)~l \ (Ttf)(s)dt. Используя нера-.
-а
венство Гёльдера и теорему Фубини — Тонелли, мы приходим к не-
неравенству
I
\MJ-f\\<\
\.
( ?
<Be)"M 1
\ ш)
\-oo
/ г
< Ba) f
Таким образом,
оо |
J J
*> 1 J
-CO ^ -i
a
rf' {
CO
dt J
—CO
H
a
"Ba)
l/(*
l/(«-
V-
"M/(s+o — /(«)|л
/
>
+ 0-/(*)|P^-Ba)"/p'd5
y/p
-ЬО — f(s)\"ds\ ,
/
-/||< sup ||7,/-/||,
J
если
.i/p
<
1 < /? < oo.
и, следовательно, 5-limAlfl/ = / равномерно в области f?K.
а 4-0
Итак, достаточно доказать относительную бикомпактность множе-
множества {Maf\ f^K\ для достаточно малого фиксированного а > 0.
/. Бикомпактные множества в В-пространствах 381
Покажем, что при фиксированном а > О функции семейства
{fl)(s); f?K] равномерно ограничены и равностепенно непре-
непрерывны. Как и выше, мы имеем
(а \1/р
Bа) f |/E,+ 0-/E2 + 0 Г Л -
-« /
Это неравенство и условие B) показывают, что функции семейства
{(Maf)(s); f?K] равностепенно непрерывны при фиксированном
а > 0. Равномерная ограниченность доказывается аналогично. Таким
образом, по теореме Арцела—Асколи для любых а > О, <х>0 и
е > О можно указать конечное число функций Mafv Maf2 Mafn,
где fj?K (y=l, 2 #), таких, что для всякой функции f?K
найдется номер у, при котором sup | (Maf) (s) — (Ма/Л (s) | < e.
Норма || Maf — Mafj || удовлетворяет неравенству
a
IIMJ - MJj II" < J | (MJ) (s) - (MJj) (s) \" ds +
-a
+ J \(MJ)(s)-(MJj)(s)\pds. D)
\s\>a
Согласно неравенству Минковского, второе слагаемое в правой части
не превосходит
+ ( J \fj(s)-(MJJ)(s)\"ds\1/P)P ¦
\\s\>a I )
Величина || M(,f — /|| сколь угодно мала при достаточно малом
а > 0, и в силу условия C) интегралы | \f(s)—fj(s)\pds и
|д|>а
I I f j(s)—(Maf j)(s)\pds могут быть сделаны сколь угодно малыми
\s\>a
для достаточно больших значений a > 0, если а > 0 ограничено.
Первый член в правой части неравенства D) при соответствующем
значении индекса j не превосходит 2аер. Указанные оценки равно-
равномерны относительно f?K. Отсюда следует, что множество
[Maf\ f?K) относительно бикомпактно в пространстве Lp при
достаточно малом а > 0.
382 X. Вполне непрерывные операторы
2. Вполне непрерывные операторы и ядерные операторы
Определение 1. Пусть X, К —два ^-пространства и 5 —еди-
—единичный шар в X. Оператор T?L(X, Y) называется вполне непре-
непрерывным, если образ Т • 5 шара 5 относительно бикомпактен в про-
пространстве К.
Пример 1. Пусть К (х, у)—вещественная или комплексная не-
непрерывная функция, заданная в области — со < а <; х, у <J Ъ < оо.
Интегральный оператор К вида
ь
(Kf)(x)=JK(x.y)f(y)dy A)
а
вполне непрерывен как оператор, принадлежащий L(C[a, b\, С [а, Ь]).
Доказательство. Ясно, что К отображает С [а, Ь\ в С [а, Ь\.
Положим sup|/C(AT, у)| = Л1. Тогда ||Kf ||<ф - а)М\\ f ||, т. е.
х* у
функции, принадлежащие множеству /Со, равномерно ограничены.
Согласно неравенству Шварца,
ь ь
| (Kf) (х,) - (К f) (x2) \2<j\K(xvy)-K (х2. у] ' dy • J
а а
откуда видно, что функции, образующие множество KS, равно-
равностепенно непрерывны, т. е.
lim sup |(/C/)(jc,) —(/f/)(je2)|==0 равномерно в области f?'S
6*0 |гд|<6
Таким образом, по теореме Асколи — Арцела (гл. III, § 3), множе-
множество KS относительно бикомпактно в пространстве С [а, Ь].
Пример 2. Пусть вещественная или комплексная функция К (аг, у),
заданная на множестве E, 35, т) X E, ЧУ, т), где E, SB, m) — про-
пространство с мерой, S-измерима по каждому из аргументов л; и у,
причем
[ J | К (*, у) |2 т (dx) m (dy) < оо. B)
i 5
Такая функция К называется ядром Гильберта — Шмидта. Опре-
Определим интегральный оператор Гильберта — Шмидта
= [ K(x. y)f(y)m(dy\ /^L2E)^L2E, 23, m), C)
s
принадлежащий L(L2(s), Z.2E)). Интегральный оператор Гильберта —
Шмидта вполне непрерывен.
2. Вполне непрерывные операторы и ядерные операторы 383
Доказательство. Выберем из единичного шара пространства L2(S)
произвольную последовательность {/„}. Мы должны показать, что
последовательность \Kfn) относительно бикомпактна в L2(S). По-
Поскольку ограниченные множества гильбертова пространства L2 E)
слабо секвенциально компактны, мы можем без ограничения общ-
общности считать, что \fn) слабо сходится к некоторому элементу
f?L\S)\ в противном случае можно выбрать подходящую подпо-
подпоследовательность. Согласно условию B) и теореме Фубини—ТОнелли,
мы имеем
Г \К(х, у)\2m(dy) < оо для m-почти всех х
Следовательно, для таких х
\\m(Kfn)(x) = \\m
о
s
с другой стороны, согласно неравенству Шварца,
J l*(*. y)\2m{dy) J |/
< J |/С(аг, y)\2m(dy) для /тг-почти всех x?S. D)
s
Следовательно, по лемме Лебега — Фату lim | \(Kf n)(x)\2 m(dxy=z
— I \(Kf)(x)\2m(dx). Если мы покажем теперь, что W'\imKfn=Kf,
s n-*°°
то, согласно теореме 8 гл. V, § 1, отсюда и из полученного выше
будет следовать, что s-lim Kfn = Kf. Как и в случае D), для любой
Я->оо
функции h?L2(S) выполняется неравенство
J \(Kh)(x)\2m(dx)<C j j \K(x. y)\2m(dy)m(dx). J \h(y)\2m(dy),
s s s
и поэтому
f 1^(*• y)\2m(dx)m(dy))il2. E)
s
384 X. Вполне непрерывные операторы
Таким образом, из условия w- iim fn — f мы получаем w-lim Kfn—Kf,
Й-*ОО
так как для любой функции g?L2(S)
g)= lim(fn. K*g) = (f, K*g)
Теорема. (Г) Линейная комбинация вполне непрерывных опера-
операторов представляет собой вполне непрерывный оператор. B°) Произ-
Произведение вполне непрерывного оператора и ограниченного линейного
оператора (при любом порядке сомножителей) является вполне не-
непрерывным оператором. Иными словами, множество вполне непре-
непрерывных операторов, принадлежащих L(X, X), образует замкнутый
двусторонний идеал алгебры операторов L(X. X). C°) Если после-
последовательность {Tn}dL(X, К) вполне непрерывных операторов схо-
сходится в равномерной операторной топологии к некоторому опера-
оператору 7\ т. е. Iim ЦТ1 — Тп\\ = 0, то оператор Т вполне непрерывен.
я->оо
Доказательство. Утверждение A°) и первая часть утвержде-
утверждения B°) следуют непосредственно из определения вполне непрерыв-
непрерывного оператора. Замкнутость идеала вполне непрерывных операторов
алгебры L(Xt X) в равномерной операторной топологии вытекает
из C°).
Докажем C°). Выберем из замкнутого единичного шара 5 про-
пространства X произвольную последовательность {xh\. Так как опера-
операторы Тп вполне непрерывны, мы можем при помощи диагонального
процесса построить такую подпоследовательность [х^], что предел
s-UmTnXft' существует для каждого фиксированного п. Тогда
Л'-»оо
\\Txh> - Тхг \\<\\Txh* — Tnxh>\\ + ||7W — Tnxk>\\ +-
+ \\Тяхк^- Txk>||<||Г - Г,|| + \\TnXv - Tnxk>|| + ||Гя - ГЦ,
и поэтому Iim ||Тхц' — Тх^|К2 \\Т — Тп\\. Значит, последова-
тельность {Txkr) элементов 5-пространства К фундаментальна, что
и доказывает утверждение C°).
Ядерные операторы. Рассмотрим приложение доказанной теоремы
к ядерным операторам, введенным Гротендиком [2].
Определение 2. Пусть X, К—два В-пространства и оператор Т
принадлежит L(X, К). Если существуют последовательности [/„jCA'',
К и последовательность чисел {сп\, такие, что
m П F)
и Тх = s- Iim ^сп/х, ff^)yn при всяком а:^^,
m -> оо п — 1
') Через К* здесь обозначен интегральный оператор с ядром К* (х, у) =
в/((у, х), сопряженный оператору /<. — Прим. перев.
2. Вполне непрерывные операторы и ядерные операторы 385
то оператор Т называется ядерным оператором, отображающим
X в К.
Замечание. Существование предела, указанного в условии F),
очевидно, так как
Условие ядерности F) требует, чтобы s- lim ^jCn/xt f'n)yn был
m->oo л = 1
равен Тх для каждого фиксированного элемента х?Х.
Предложение. Ядерный оператор Т вполне непрерывен.
Доказательство. Определим оператор Тп формулой
j -I / \ JI J
Так как его область значений R(Jn) конечномерна, то, применяя
теорему Больцано — Вейерштрасса, нетрудно показать, что опера-
оператор Тп вполне непрерывен. Кроме того, из F) и неравенства
II Ту Т у II
видно, что lim || Г — Тл1| = 0, и поэтому оператор Т должен быть
Я->ОО
вполне непрерывным.
Пример ядерного оператора. Пусть О — ограниченная открытая
область пространства Rn; рассмотрим гильбертово пространство Н* (О).
Пусть (k — у) > п. Тогда отображение
У (8)
определяется ядерным оператором, принадлежащим L(Hq(G), Я^())
Доказательство. Мы можем допустить, что область О содер-
содержится внутри прямоугольного параллелепипеда Р:
0<а:;<2л G=1, 2, ..., п).
Напомним, что Hq(G) — это пополнение пространства Hq(G) = Cq(G)
по норме ||<р||А = / 2 J \Dsq(x)\2dx\l/2 (см. гл. I, § 10). Про-
J
должим функции, принадлежащие Й0(О), на все пространство Rnt
полагая их равными нулю в области Р — О, так, чтобы они были
25 К. Иосида
386 X. Вполне непрерывные операторы
периодическими с периодом 2л по каждой из переменных xs. Функ-
Функции
/2 (9)
п
где Р = (РР Р2 Ря) — набор из п целых чисел и рлг=2 $sxsi
1
5 — 1
образуют полную ортонормированную систему в пространстве L2 (Р)=
= #о(Я). Обозначим через Dsq> (ф?#о@)) обобщенные производ-
производные. При |s|<^& разложение Фурье для функций Dscp(x) (<p?//o(G))
в пространстве L2(P) имеет вид
р. где
, /рH= J ф(^O^00^. A0)
V /р)о = (-1 У"
Используя формулу
р
и равенство Парсеваля
2 К^Ф. /р)о|2= J
мы получаем неравенство
^ "
Следовательно, функционал /p6^o@)'i определяемый соотноше-
соотношением
удовлетворяет условию sup Ц/^Ц < оо. Кроме того, для функциона-
функционалов
выполняется условие sup || у« \\j < со, так как Dsf~ = Ц (/р*M//в-
Ввиду того что для положительных целых чисел р^ при условии
2. Вполне непрерывные операторы и ядерные операторы 387
(k — j)ln > 1 имеет место неравенство
^^А /П I Л| I I Л1 V Ь mm { """""" Z—i I УЛ I Л» I I Л Ч И I ""^^
^^ (Pi '
f 1 V* ~ m
Hit) (рг) 1Ы <«>•
Pi Pa
справедлива оценка
Ср|<оо. где Ср = (
Таким образом, мы получили разложение Фурье
что завершает доказательство.
Замечание. Если для заданного ограниченного линейного опера-
оператора K?L(L2(S)t L?(S)) существует полная ортонормированиая си-
система собственных функций {фу}, удовлетворяющих уравнениям
/Сфу = Яуфу (У = 1, 2, ...)» то из разложения Фурье
вытекает, что
Kf = ?kj(f, Фу)Ф/.
Таким образом, если все собственные значения L>0 и
/-1
то из написанного выше представления видно, что оператор К ядер-
ядерный. Поскольку Ху = (/Сфу, фу), то возникает вопрос о сходимости
со
ряда вида Sl^Py Фу|« ^сли К — интегральный оператор, опреде-
определенный ядром
J K2(z, x)Kx(z< y)m(dz).
s
J
s
где /С, (л;, у) и К2(х> у) — ядра типа Гильберта — Шмидта, то
сю
условие 2К^Фу» Фу)|<°° выполняется. Действительно, в этом
25*
388 X. Вполне непрерывные операторы
случае
S. Фу)! =
2 1
1/2
Используя равенство Парсеваля, мы получаем оценку
оо оо
2
m
J ( J
m (dz) =
2
т (dz) =
оо
Аналогично 2 H^VPylP < °°» откуда следует, что 2 К^Ф/» Фу)| < °°-
Для ограниченного линейного оператора АГ, определенного в се-
парабельном гильбертовом пространстве X и удовлетворяющего усло-
00
вию sup 2 К^Фу» Фу)| < °°» гд>е {фу} и {фу}—произвольные
{Фу}, {Фу} /-1
полные ортонормированные системы пространства X, величина
оо
SUP 2 1(^Ф/» Ф/)| называется следовой нормой. Если оператор К
{Фу}, {Фу} У-1
с неотрицательными собственными значениями при любом выборе
ортонормированного базиса {фу} пространства X удовлетворяет усло-
оо
вию 2 (^Ф/» Ф/) < оо, то /С называется оператором с конечным
У-1
следом1). По общей теории операторов указанных типов и ядерных
операторов см. работы Гельфанда — Виленкина [3] и Шаттена [1].
1) Числа clk = (К(рг фл) (/, Л—1, 2, ...), где {ср.}—ортонормированный
базис сепарабельного гильбертова пространства Ху образуют (по определе-
нию) матрицу оператора К в базисе {ф Л. Величина 2 (#Фу Фу)= 2\cjj <
< оо называется следом матрицы оператора К с конечным следом. — Прим.
перев.
3. Теорема Реллиха — Гординга 389
3. Теорема Реллиха — Гординга
Теорема (Гординг [1]). Пусть О — ограниченная открытая область
пространства/?". Если оператор Т ? L (Я* (О), Я* (О)) при j<k
удовлетворяет неравенству
||7ф||*<СЦф||/ Для всех ФбЯ*(О), A)
где С > О — некоторая постоянная,
то он вполне непрерывен как оператор, принадлежащий
?(Яо*@), Я? (О)).
Доказательство. Из определения пространства H$(G) (гл. I, § 10)
вытекает, что достаточно убедиться в справедливости следующего
утверждения: если для некоторой последовательности [(pv}czHq(G) =
= Co(G) выполняется неравенство ||<pv||*<^1 (v=l, 2, . . .), то
последовательность {7\pv} содержит подпоследовательность, сильно
сходящуюся в пространстве Я* (О). Преобразование Фурье (pv(?) =
= Bл)~л/2 Г 9v(x)exp(—ix%)dx, согласно неравенству Шварца,
о
удовлетворяет условию
л J dx J
QO
<pv(*) |2 dx
и, следовательно, функции {(pv(?)} равномерно ограничены относи-
относительно ??/?л и v=l, 2 Так как нормы ||<pv||0 ограничены
в совокупности, мы можем считать, что некоторая подпоследова-
подпоследовательность [фЛ слабо сходится в пространстве L (G) = Hl(O). Для
всякого фиксированного l?Rn функция ехр(—ixQ принадлежит
L2(G), поэтому последовательность ограниченных функций <pv, (|) =
— (<PV" Bл)"я/2ехр(— 1хЩ сходится в каждой точке \. Отсюда,
учитывая условие A) и равенство Парсеваля для преобразования
Фурье (гл. VI, § 2), мы получаем
- - т%> I- IIт (<v - %•) \\1 < С2 II %¦ - v II2, =
390 X. Вполне непрерывные операторы
\l\<r t=
J
J
\\\>r
где Cj — положительная постоянная. При всяком фиксированном г > 0
первое слагаемое в правой части стремится к нулю, когда
v', \i' -> со — это вытекает из леммы Лебега — Фату. Второй член в
правой части при г > 1 не превосходит выражения
l*l<*
|*K*
где С2>0 — некоторая постоянная. При j < А последний член стре-
стремится к нулю, когда г->оо. Следовательно,
Теорема доказана.
Теорема Шаудера
Теорема (Шаудер). Оператор T?L(Xy Y) вполне непрерывен
тогда и только тогда, когда он обладает вполне непрерывным сопря-
сопряженным оператором Т.
Доказательство. Пусть 5, S1 — замкнутые единичные шары
соответственно в пространствах X. и V. Допустим, что оператор
T?L(X, К) вполне непрерывен. Выберем из множества S' произ-
произвольную последовательность |y'j. Функции Fj(у) == (у, y'j) (?Y)
равностепенно непрерывны в том смысле, что
*|| (У, г?Г).
Кроме того, на любом ограниченном множестве значений у функции
''у 00 6 С7/00} равномерно ограничены относительно J, так как
5. Теория Рисса — Шаудера 391
\Fj(y)\ К\\ УII- К последовательности {Fj(y)} функций, определенных
на бикомпактном множестве (Т - S)at можно применить теорему
Асколи — Арцела, согласно которой существует подпоследователь-
подпоследовательность {Fj>(y)}, равномерно сходящаяся в области у ?(Т • S)a. Таким
образом, поскольку Fj,(Tx) = (Txy Уу,) = (л;, T'y'jty последова-
последовательность Uxt Т'у'М равномерно сходится на шаре лг?5, и поэтому
последовательность G1'• УуЛ сходится в сильной топологии про-
пространства X'. Тем самым доказано, что оператор Т1 вполне не-
непрерывен.
Обратно, пусть Т — вполне непрерывный оператор. Тогда по
доказанному выше оператор Т" вполне непрерывен. Поэтому мно-
множество Т" • S", где S" — замкнутый единичный шар в пространстве Xй\
относительно бикомпактно. Мы знаем, что пространство К может
быть изометрически вложено в Y" (теорема 2 гл. IV, § 8). Отожде-
Отождествляя У с образом в Y" при этом вложении, мы видим, что
Т - S Е V • S". Значит, множество Т • 5 относительно бикомпактно
в сильной топологии К", а поэтому и в сильной топологии про-
пространства К. Итак, мы показали, что оператор Г вполне непрерывен.
5. Теория Рисса — Шаудера
Для дальнейшего рассмотрения потребуется следующая
Лемма (Рисе [2]). Пусть вполне непрерывный оператор V при-
принадлежит L(X, X), где X — некоторое ^-пространство. Тогда при
любом комплексном A^=?0 область значений /?(А,0/ — V) сильно
замкнута.
Доказательство. Можно считать, что А,о= 1. Возьмем произ-
произвольную сходящуюся последовательность {у„}5/?(/ — V), пределом
которой.служит некоторый элемент у?Х. Последовательности {уп}
соответствует последовательность [xn)^Xt такая, что уя = (/—У)*я.
Если последовательность {jtj ограничена, то, поскольку оператор V
вполне непрерывен, найдется подпоследовательность (а:лЛ, для которой
последовательность (УлгЛ сильно сходится. Так как хп, =уп, -\-Vxn,.
то последовательность [хпЛ сходится к некоторому х?Х, и по-
поэтому у = (/ — V)x?R(f — V).
Рассмотрим теперь случай, когда последовательность [хп\ не
ограничена, т. е. не ограничено множество {||*Л||}. Положим Г =
— (/ — V) и введем последовательность чисел ап = dis (хп> N (Т)),
где N(T)=[x; Тх = 0]. Выберем из множества М(Г) такие эле-
элементы wn, что bn^\\xn — wa ||<A +-^1)«я. Тогда Т(хп — <о/я) =
= Тхп> и поэтому, если последовательность {ая} окажется ограни-
ограниченной, мы сможем при помощи тех же рассуждений, что и выше,
доказать включение у ^/?(Г)=/?(/—V). Допустим, что lim аЛ = оо.
392 X. Вполне непрерывные операторы
Поскольку элементы zn = (хп — wn)/1| хп — wn || удовлетворяют усло-
условиям ||гЛ||= 1 и 5- lini Tzn = 0, можно, как и выше, показать, что най-
Я->ОО
дется такая подпоследовательность [zn,]> для которой s- lirn zn, —wQ
и s- lim Tz , — 0. Это означает, что wo?N(T). Если положить
л'-»оо
ип — zn — wQt то в равенстве
хп> — Wn> — W0 II **' ~ Wn' || = Un' || *п' ~ Wn' ||
второе и третье слагаемые левой части принадлежат N'(Г), откуда
II ипг 1| ' ||хп' — wnf\\^>an" ^° эт0 ПРИВ°ДИТ к противоречию, так
как S- lim и =0, II jc —^КО + л)^ и lim аЛ = оо.
л'->оо п->оо
Теперь мы можем перейти к изложению теории Рисса — Шау-
дера. Сформулируем результаты этой теории в вине трех теорем.
Теорема 1. Рассмотрим вполне непрерывный оператор V?L(X, X).
Если Хо Ф 0 не является собственным значением Vt то Хо принадлежит
резольвентному множеству оператора V,
Доказательство. По доказанной выше лемме и условиям теоремы
оператор Га,0 = (Ао/ — V) осуществляет взаимно однозначное отобра-
отображение пространства X на множество /?(Гх0), сильно замкнутое в X.
Поэтому, согласно следствию теоремы об открытости отображения
из § 5 гл. II, оператор 7\0 имеет непрерывный обратный. Покажем,
что R(TiQ) = X. Допустим противное, тогда топологический образ
Х\ = Тх0Х пространства X будет замкнутым собственным под-
подпространством в X. Построим последовательность Лг2 = 7\0Лгъ
^3 = Тх0Х2> ...; тогда Хп+{ представляет собой замкнутое собствен-
собственное подпространство в Хп (Х0 = Х; п = 0, 1, 2, ...). По теореме
Рисса из гл. III, § 2 в этом случае должна существовать такая по-
последовательность {ул}, что уп?Хп, ||уя||=1 и
Поэтому если п > т, то
К: уут - Ууп)=ут+{- у. - (V* ~
где
Но тогда \\Vyn—Vym\\^>\X0\l2t что невозможно, так как оператор V
вполне непрерывен.
Теорема 2. Пусть V — вполне непрерывный оператор, принадле-
принадлежащий L(X, X). Тогда A) его спектр представляет собой не более
чем счетное множество точек комплексной плоскости, не имеющее
предельных точек, за исключением, быть может, точки А, = 0;
B) каждое отличное от нуля число, принадлежащее спектру опера-
оператора V, является собственным значением V конечной кратности;
C) отличное от нуля число является собственным значением опера-
5. Теория Рисса — Шаудера 393
тора V тогда и только тогда, когда оно одновременно является
собственным значением сопряженного оператора V.
Доказательство. По теореме 1 всякое отличное от нуля число,
принадлежащее спектру оператора 1/, должно быть собственным
значением V. То же самое верно и для сопряженного оператора V,
так как по теореме Шаудера оператор V вполне непрерывен одно-
одновременно с V. Резольвентные множества операторов V и V совпа-
совпадают (гл. VIII, § 6), и тем самым утверждение C) полностью дока-
доказано. Так как собственные векторы, соответствующие различным
собственным значениям оператора 1Л линейно независимы, доказа-
тельстэо утверждений A) и B) будет закончено, если мы приведем
к противоречию следующее предположение:
существует последовательность [хп] линейно незави-
независимых векторов, таких, что Vxn = Xnxn (n— 1,2,...)
и lim А,Л = Я,=?О.
Для этого рассмотрим замкнутые подпространства X п% натянутые на
векторы xv x2, .... хп. По теореме Рисса (гл. III, § 2) найдется такая
последовательность {уп}, что уп?Хп, ||уя||= 1 и dis(yrt, Лгл_1)> 1/2
(л = 2, 3, ...). При п> т
где
К1 V- ~ *-
п п
В самом деле, если уя= Sf^/i то У„ — ^« VyM = 2 Р^^ —
'* ^"^ J J fl fl ft Т^^. J J
ft
— 2 $*h~lk,x,CXm ,. Аналогично можно показать, что 7> ym?Xm.
Иа приведенного построения следует, что
а это противоречит предположению о том, что оператор V вполне
непрерывен, и условию lim Хп = к Ф 0.
Теорема 3. Пусть Я,0=^0 — собственное значение вполне непре-
непрерывного оператора V?L(Xt X). По предыдущей теореме А,о служит
также и собственным значением сопряженного оператора V. Можно
доказать следующие утверждения: A) кратности ^0 как собственного
значения оператора V и оператора V одинаковы; B) уравнение
(А,о/ — V)x = y при заданном значении у?Х допускает решение
х?Х в том и только в том случае, когда у^^(^о^ — V)Ll), т. е.
Здесь N(W — V')*-={y€X; (у, /> = 0,
' — V') = {/€*'; V'f Л/}) Я
394 X. Вполне непрерывные операторы
тогда и только тогда, когда для всякого непрерывного линейного
функционала f?X\ удовлетворяющего уравнению V'f = Xof, спра-
справедливо равенство {у> f) — 0; C) для того чтобы уравнение
(kof — Vf) = g при заданном g?X' допускало решение /? Х\
необходимо и достаточно, чтобы g^N(X0I— V)L, т. е. чтобы для
всякого элемента х?Х, удовлетворяющего уравнению Vx — XQx,
выполнялось соотношение (х, g) = 0.
Доказательство. Так как собственное значение Х0Ф0 представ-
представляет собой изолированную особую точку резольвенты R(X; V) =
= (А/— V), то R(X; V) можно разложить в ряд Лорана
Я (A,; V)= 2 (Х-Х0)пАп.
/|=-ОО
Нас интересует вычет А_.х =Bя/) | R(X; V)dX. Как было уста-
|Х-М-е
новлено в гл. VIII, § 8, оператор А_х идемпотентен, т. е. ^ii = А„\.
Полагая (kf — V) = (Я," V — Vx), мы найдем из равенства
(ЯУ —Vr)(A,/ + VrA) = A что V^^vil^Vb + r2!), и поэтому one-
ратор VK вполне непрерывен вместе с оператором V. Следовательно,
Л_1 = Bш')" J
l J A,dA,.A + Bjtf) J КхЛ = Bя/)" J
I xx1 |AAl UX
Отсюда на основании теоремы из § 2 гл. X мы заключаем, что опе-
оператор А_х вполне непрерывен.
Так как А_ХХ = А_х (А_1Х) и оператор А_х вполне непрерывен,
единичный шар нормированного линейного пространства А_ХХ отно-
относительно бикомпактен. Таким образом, по теореме Рисса из гл. III,
§ 2, область значений R(A_X) конечномерна. С другой стороны, если
o(W—vylx = (k — к0У1 х. так как (XI—V)x=
= (Х — Х0)х. Значит, А_хх = BкС)~х \ (X — X0)~l dX • х = х и,
\l-lo |=е
следовательно, условие Vx = Хох, х Ф 0, эквивалентно условию
Vx = Xox, 0 Ф х? R(A_X). Аналогичные рассуждения показывают,
что уравнение V'f--=Xof, /Ф0, эквивалентно условию V'f = Xof,
0фf?R(Af_i). Но пространства R(A{) и /?(/lli) должны иметь
одинаковые размерности. Действительно, если AL\f — g, то A'_\g =
= ^li (AL\f)^= gt а последнее равенство эквивалентно условию
5. Теория Рисса —Шаудера 395
(xt g):={A^lxt g) для всех х?Х; поэтому g можно рассматривать
как функционал, заданный на конечномерном пространстве R(A_{).
Далее по известной теореме теории матриц уравнение Vx = Хох
(в пространстве R(A_X)) и уравнение с транспонированной матрицей
Vff = Xof (в пространстве R(aL\)) имеют одинаковое число линейно
независимых решений. Таким образом, утверждение A) полностью
доказано. Утверждения B) и C) вытекают из леммы и теоремы
об операторах с замкнутой областью значений (гл. VII, § 5).
Обобщение теории Рисса — Шаудера. Допустим, что степень Vя
оператора У?1*(Х, X) при некотором положительном целом значе-
значении п представляет собой вполне непрерывный оператор. Тогда по
теореме об отображении спектра (гл. VIII, § 7) o(Vn) = o(V)n!),
и, поскольку оператор Vn вполне непрерывен, множество o(Vn)
должно быть конечным или счетным, причем в последнем случае оно
может иметь предельную точку только в нуле. Тем же условиям
должно удовлетворять и множество 0(V). Поскольку оператор Vn
вполне непрерывен, оператор
Bл/) J R(X; Vn)dk
при всяком Х0Ф0 из o(Vn) и достаточно малом е имеет конечно-
конечномерную область значений. Следовательно (гл. VIII, § 8), Хо служит
полюсом резольвенты R(k; V"). Но (А/7 — Vn) = (l — y)(A/l~1/-f
V .. -|-Vn~l\ и поэтому
Последнее означает, что всякое число А,о Ф 0, принадлежащее мно-
множеству o(Vn), является полюсом резольвенты /?(А,; V) и, следова-
следовательно, собственным значением оператора V. Этот факт позволяет
распространить теорию Рисса — Шаудера на операторы V, какая-либо
степень Vn которых вполне непрерывна. Это обобщение весьма важно
с точки зрения приложений к некоторым конкретным задачам теории
интегральных уравнений, таким, как задача Дирихле для потенциалов;
см., например, Келлог[1]. Можно показать, что для значения А,о=1
изложенная выше теория применима также к операторам V? L(Xt X),
для которых существуют положительное целое т и вполне непре-
непрерывный оператор K?L(X, X)t такие, что \\К — Уш||< 1; см. по
этому поводу Иосида [9]. Заметим, что если ядра Kx{s, t) и /C2(s, t)
ограничены и измеримы в области O^s, f>^l, то интегральный
') Здесь a (V)n =a{k\ X — цл, ц ?а (К)}. — Прим. перев.
396 X. Вполне непрерывные операторы
оператор Г, определяемый соотношением
1
х E) -* (Тх) (s) = (КхК2х) (s), где (KjX) (s) =\Kj (s, t) x (t) dtt
0
вполне непрерывен как оператор, принадлежащий L(Ll(Ot 1), Ll@> 1)).
См* Иосида — Мимура— Какутани [10].
6. Задача Дирихле
Пусть О — открытая ограниченная область пространства Rnt
и пусть
1
— сильно эллиптический дифференциальный оператор с веществен-
вещественными коэффициентами cst (х) = cts{х) ? С°° (Ga). Мы будем рассма-
рассматривать здесь только вещественные функции. Пусть заданы f^L2(G)
и ux?Hm(G). Рассмотрим обобщенное решение uQ? L2 (О) уравнения
Lu = f, A)
удовлетворяющее условию
Последнее условие означает, что каждая из обобщенных производных
ф1ио-&их\ |у|</я, B)
представляет собой предел в метрике пространства L2(G) некоторой
последовательности вида {Dj%tj}t где ф^^С^(О) (гл. I, § 10).
Таким образом, грубо говоря, оно дает граничное условие
DJu0 = DJux на границе Г области О при |у|<т. C)
В этом смысле задача A) называется задачей Дирихле для опе-
оператора L.
Мы изложим здесь эту задачу в том виде, в каком она была
сформулирована и решена Гордингом [1].
Сначала решим задачу
и + aLu = /, (и — их) ? Н? (О), D)
где положительная постоянная а выбрана так, что для всех ф ? CjJ0 (G)
выполняется неравенство Гординга
6. Задана Дирихле 397
Здесь L*= 2 (— 1) Dcst(x)D\ a 6 — некоторая положи-
\s\, \t\<m
тельная постоянная. Такое а существует, если предположить, что
коэффициенты cst(x) непрерывны в замыкании Ga области О. Выпол-
Выполняя m-кратное интегрирование по частям, мы получим также не-
неравенство
|(Ф + а!*ф, фH1< YIIФL • IIФ \\т Для любых ф. ф 6 Cg°(О), F)
где у — другая положительная постоянная, не зависящая от ф и ф.
Аналогичным способом выводится равенство
а\, и,H= 2 ((-1) "l+l" D<cs(D\ Ul\= S (-1)И (cstD\ D'MlH,
s, t s, t
справедливое при любых их^Нт{0) и ф??о°((/). Учитывая, что
коэффициенты cst ограничены в области Gй, и применяя неравенство
Шварца, мы получаем
|(/Лр, я^оКл 2 ||^ф1Н|ЯЧ11о ГЧ= sup |*„(*)
\s\t\t\<m \ stt\x
Выражение в правой части не превосходит произведения нормы
на некоторую положительную постоянную.
Эти рассуждения показывают, что линейный функционал
F (ф) = (ф + aL*ф, U{)Qt ф е с~ (О),
может быть продолжен до ограниченного линейного функционала,
определенного в области Я^(О), которая является пополнением
по норме ||ф||т. Аналогично, исходя из неравенств
мы приходим к выводу, что линейный функционал (ф, /H
можно продолжить до ограниченного линейного функционала, опре-
определенного для функций ф^Я^(О). По теореме Рисса о представле-
представлении линейных функционалов для гильбертова пространства H™(G)
существует такая зависящая от / и их функция f' ?H™(Q), что
(ф/)о(ф+ф«1)о = (ф.Лш Для всех
Применяя к гильбертову пространству Н™@) теорему Лакса—Миль-
грама (гл. III, § 7), мы находим, что
(Ф. /)о - (ф + а/Лр. их\ = (Ф, f')m = В (Ф, Sf\ S/ е И о (О). G>
где
. фH для ФбС(О), Фб^оШ(°)- (8)
398 А'. Вполне непрерывные операторы
Это означает, что
(Ф. /)о = (ф + а?'<р. ux + Sf'H Для всех
и, таким образом, функция ио = ux-{-Sf' ?L2(G) представляет собой
интересующее нас решение уравнения D).
Перейдем теперь к исходному уравнению A). Если функ-
функция uo?L2(G) удовлетворяет условию A), то для функции
и2 = и0 - их ? Н™ (О) имеем
ГФH = (/, Ф)о,
Интегрируя, как и выше, по частям, мы приходим к неравенствам
|(«р /ЛрH1<а||ф||т {а > 0 — постоянная),
К линейному функционалу (/, фH — (вр 1?фH в пространстве H™(G)%
заданному на функциях Фб^о°(^), можно применить теорему Рисса
о представлении. Следовательно, существует единственным образом
определенная функция v?H™(G), такая, что
(Л Ф)о — («р ^*ф)о = (^ Ф)т Для всех ФбС~(О).
Применяя к (v, ф)ш теорему Лакса — Мильграма, мы получаем такой
оператор Sx (Sxv ? Н™ (О)), что
(*, ф)т = В (V, ф) для всех ф 6 С~ (О), г/ 6 Я? (О).
Таким образом, задача Дирихле A) эквивалентна следующей задаче: для
заданной функции Sxv?H™(G) найти решение u2?H™(G) уравнения
(«а, ГфH = В (V, ф). Ф 6 С (О). A0
Для произвольно заданной функции и ? L2 (О) = #? (О) справед-
справедливо неравенство
Таким образом, по теореме Рисса о представлении линейного функ-
функционала в гильбертовом пространстве H™(G) существует единствен-
единственным образом определенная функция u'—Tu?H™(G), такая, что для
всякой функции Фб^о°(^)
(в. Ф)о = («', Ф)т и ||и'||га<||«||0.
Поэтому на основании теоремы Лакса — Мильграма мы получаем
1||«t (9)
Приложение к гл X. Ядерное пространство Гротендика 399
Таким образом, согласно A'), для всех функций <p?C?°(G) выпол-
выполняется равенство
= B(SxTu2, ф) + аЯE1§ v, ф),
т. е.
В(и2 — SxTu2 — aSxv, ф) = 0.
Так как 5(ф, ф)>0 при ф Ф О, имеем
u2 — SxTu2 = aSxv. A")
Правая часть aS^^H™ {G) представляет собой известную функцию.
Условие || Sj7*« ||m <^ в"1| tf ||q говорит о том, что оператор SXT, ото-
отображающий пространство H™(G) в себя, вполне непрерывен (теорема
Реллиха — Гординга из § 3 гл. X). Поэтому можно применить изло-
изложенную ранее теорию Рисса — Шаудера. Это приводит к следующей
альтернативе:
либо однородное уравнение и — 5,Гя = 0 обладает
нетривиальным решением u?H™(G), либо неоднородное
уравнение и — SxTu — w при всяком w?H™(G) имеет
единственное решение
Первая возможность соответствует случаю, когда (и, ф ~|~ а?*Ф)о =
= (и, фH, т. е. случаю Zw = 0. Возвращаясь к исходному уравне-
уравнению A), мы можем сформулировать такой результат.
Теорема. Имеет место следующая альтернатива: A°) либо «одно-
«однородное уравнение Lu — 0 имеет нетривиальное решение u?H™(G);
B°) либо для всякой функции f?L2(G) и произвольной функции
ui?Hm(O) существует единственное решение uo?L2(G) уравнения
Lu==ft удовлетворяющее граничному условию и—их
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ X
Ядерное пространство Гротендика
Понятие ядерного оператора, определенное в гл. X, § 2 для
^-пространств, можно следующим образом обобщить для локально
выпуклых пространств.
Предложение I. Пусть X — локально выпуклое линейное топо-
топологическое пространство, и пусть К — некоторое /^-пространство.
Допустим, что существуют равностепенно непрерывная последова-
последовательность (/'} непрерывных линейных функционалов на X, ограни-
400 Приложение к гл. X. Ядерное пространство Гротендика
ченная последовательность {у;} элементов пространства К и после-
п
довательность {с А неотрицательных чисел, такая, что 2 с\ < °°-
Тогда равенство
п
T-x = s-\im Цс,(х, f')y. A)
определяет на пространстве X непрерывный линейный оператор 7\
действующий из X в К.
Доказательство. В силу равностепенной непрерывности последо-
последовательности {/'} существует непрерывная полунорма р на Я\ такая,
что sup |(л;, /у)| </?(#) Для всех лг?Л\ Поэтому при /я > я
p||y|| s/r
Это неравенство показывает, что правая часть формулы A) суще-
существует и определяет на X непрерывный линейный оператор Г, дей-
действующий из X в ^-пространство К.
Определение 1. Оператор Т вида A) мы назовем ядерным опе-
оператором, отображающим локально выпуклое пространство X
в ^-пространство Y.
Следствие. Ядерный оператор Т является вполне непрерывным 1)
в том смысле, что он отображает всякую окрестность нуля в X
в относительно бикомпактное множество пространства К.
Доказательство. Определим оператор Тп формулой
Оператор Тп вполне непрерывен, так как образ множества V=
= {х\ р(х)<1} пространства X при отображении Тп относительно
бикомпактен в К. С другой стороны,
2 ',<*./;>yj </>(*) sup ||yy || 2 <V
и поэтому последовательность \Тпх) сильно и равномерно сходится
в области V к Тх. Это и означает, что оператор Т вполне непрерывен.
Приведем типичный пример ядерного оператора (ср. § 2, гл. X).
1) В предыдущих разделах понятие вполне непрерывного оператора
определялось лишь для отображений fi-пространств друг в друга. — Прим.
перев.
Приложение к гл. X. Ядерное пространство Гротендика 401
Пример. Пусть К — бикомпактное множество пространства Rn.
Тогда при {к — /) > л тождественное отображение Т простран-
пространства Hq(K) в #о(/С) является ядерным оператором.
Предложение 2. Пусть X — локально выпуклое линейное топо-
топологическое пространство и V — выпуклая уравновешенная окрестность
нуля в X. Рассмотрим функционал Минковского Ру(х)~ inf A,
х/1 ? V, I > 0
множества V. Как известно, ру(х) представляет собой непрерывную
полунорму на X. Положим
Nv= [х?Х\ Ру(х) = 0} = {х?Х; 1х ? V для всех 1>0].
Тогда Nv является замкнутым линейным подпространством прост-
пространства X и факторпространство Ху ¦-= XjNv с нормой
||#[|у== pv(x), где х — класс вычетов по подпростран-
подпространству Nv, содержащий элемент х, B)
является линейным нормированным пространством.
Доказательство. Пусть (х — x^^Ny. Тогда Ру(х{)^ pv(x)~\-
—х) — ру(х)\ точно так же pv(x)<C Pv(x\)- Таким обра-
образом, если х и х{ принадлежат одному и тому же классу вычетов
по подпространству Nv, то pv(x)= pv(xl). Ясно, что||х||к^-0
и ||0|[к—0. Кроме того, если ||х||к —0, то для х ?х справедливо
включение x?Nv и, следовательно, х = 0. Неравенство треугольника
получается здесь непосредственно: || х-\-у \\v = pv(x-\-y)-*C Py(x)~h
+ Pv(y)=: \\x\\v+\\y$v (^6-^УбУ)- Наконец, \\ax\\v = pv(ax) =
= | ex \pv(x)= \a\ • \\x\\y (x?x), и доказательство закончено.
Следствие. Эквивалентность двух условий
*(ytSV^ C)
позволяет определить каноническое отображение
Ху2-+ХУх (К2Е1Л),
ставя в соответствие классу xv (mo&Nv\ содержащему х, класс
xVi (mod Ny), содержащий х. Это-отображение непрерывно, так как
Перейдем теперь к понятию ядерного пространства, которое ввел
Гротендик [2].
Определение 2. Локально выпуклое линейное топологическое
пространство X называется ядерным пространством, если для вся-
всякой выпуклой уравновешенной окрестности V нуля в X существует
такая выпуклая уравновешенная окрестность t/сК нуля, что
26 К. Иосида
402 Приложение к гл. X. Ядерное пространство Гротендика
каноническое отображение
Т: Хи->ХУ, D)
где Xv—пополнение нормированного линейного пространства Xv,
является ядерным.
Пример 1. Рассмотрим топологическое произведение /?л =
==П^а' Ra==R> где R —вещественная прямая, А— некоторое мно-
жество; RA представляет собой множество всех конечных веществен-
вещественных функций, заданных на А, топологизированное системой полунорм
Пространство RA является ядерным пространством.
Доказательство. В данном случае множество N^ состоит из всех
функций x(a)?RAt таких, что для некоторого конечного множества
{uj?A\ у=1, 2 п] мы имеем л:(ау) = 0 (у=1, 2 п).
Следовательно, пространство Xv~ RA/NV совпадает с пространст-
пространством функций Ху(а), удовлетворяющих условию лги(а) = 0 для а Ф uj
(/=1, 2 я), с нормой
И-МаI!и= SUP \*(flj)\-
Kj<n
Пусть Л^—совокупность всех функций x(a)?RAt таких, что х(аа)=0
при а?А', где А1 — любое конечное множество целых чисел, содер-
содержащее числа 1, 2, ..., п. Тогда U С V и каноническое отображе-
отображение XU = RAINU-+RAINV = XV является ядерным. В самом деле,
это отображение является непрерывным линейным отображением
с конечномерной областью значений.
Пример 2. Всякое ядерное 5-пространство X должно быть
конечномерным.
Доказательство. В 5-пространстве X для любой выпуклой урав-
уравновешенной окрестности нуля V пространство Ху совпадает, очевидно,
с X. Таким образом, если ^-пространство X — ядерное, то тождест-
тождественный оператор Х->Х вполне непрерывен, и поэтому, согласно
теореме Рисса (гл. III, § 2), пространство X должно быть конечно-
конечномерным.
Пример 3. Пусть К — некоторое бикомпактное множество в Rn.
Тогда пространство 3)д-(/?л), определенное в гл. I, § 1, является
ядерным.
Доказательство. Как в гл. I, § 1, пусть
Рк,*(Л= sup
есть одна из полунорм, определяющих топологию в 3)^ (/?"). По-
Положим Кл={/6 »*(/?*); Р/Ы/ХИ. Тогда NVk=[0) и XVk =
= XINV ~l?)K{Rn)INv —не что иное, как пространство ?)K(Rn),
Приложение к гл. X. Ядерное пространство Гротендика 403
нормированное при помощи pKt k. Если (k — J) > я, то, как и
в примере, приведенном после следствия из определения 1, нетрудно
показать, что каноническое отображение XVk в Xv осуществляется
ядерным оператором. Следовательно, пространство Ък{Ип) ядерное.
Теорема 1. Для того чтобы локально выпуклое линейное топо-
топологическое пространство X было ядерным, необходимо и достаточно,
чтобы для любой выпуклой уравновешенной окрестности V нуля
в X каноническое отображение X ->XV было ядерным.
Доказательство. Необходимость. Пусть U S V — выпуклая
уравновешенная окрестность элемента х = 0?Х, такая, что кано-
каноническое отображение Хи->ХУ является ядерным. Каноническое
отображение Т: X -> Ху можно представить как произведение кано-
канонического отображения Х->Хи и ядерного канонического отобра-
отображения Хи->Ху. Поэтому оператор Г должен быть ядерным.
Достаточность. Допустим, что каноническое отображение
Т: X—>XV определяется ядерным оператором
Множество Ua = {x?X; |(л:, /у)|<« при /=1, 2,...} при
любом а > 0 представляет собой выпуклую уравновешенную окрест-
окрестность нуля в пространстве X, так как семейство {/^] с X' равно-
равностепенно непрерывно. КрОме того,
pj\\v%cj для БСех х^и*
Выберем теперь столь малое а > 0, чтобы правая часть последнего
неравенства стала меньше 1. Тогда ||^а:||и<1 и Ua с V. Каждый
из функционалов f. можно рассматривать как элемент сопряженного
пространства X' , и поэтому
а
Tx = Tz = %Cj(x. Qy, при {х-г)?Ыи^
Следовательно, каноническое отображение Хи ->XV определяется
ядерным оператором
Теорема 2. Пусть X — ядерное локально выпуклое линейное
топологическое пространство. Тогда для всякой выпуклой уравно-
уравновешенной окрестности V нуля в X найдется такая выпуклая урав-
уравновешенная окрестность W S V нуля в X, что пространство Xw
будет гильбертовым.
26*
404 Прилоокение к гл. X. Ядерное пространство Гротендика
Доказательство. Ядерное каноническое отображение Хи->ХУ
(U S V)% определяемое оператором
т~Хи=Ъс;(Хи, /;>/,.
можно представить в виде произведения двух операторов а: Хи->{12)
и р: A2)-±XV следующего вида:
а: ~хи->{су(хи, /;>},
Р {У2
Непрерывность оператора а вытекает из неравенства
а непрерывность р доказывается с помощью соотношений
| 2 Cfljyj |?< S Cj || У, ||* S | 6; |2 < SUP || у, ||2К
Обозначим через U2 прообраз в (I2) единичного шара пространства Ху
при отображении р. Множество О2 служит окрестностью нуля про-
пространства (/2) и поэтому содержит некоторый шар 5 с центром
в точке 0?(/2). Пусть W — прообраз в X этого шара 5 при непре-
непрерывном отображении а, определенном как произведение непрерыв-
непрерывного канонического отображения X -> Хи и непрерывного отобра-
отображения а: Хи~>A2). Тогда ясно, что W С V, и, следовательно, для
любого класса lc
= inf A,= inf h = \\a
x/l?W,k>0 ax/k<=S,k>0
(r > 0 — радиус сферы 5).
Так как || |L2) — норма в гильбертовом пространстве (/2), то Xw —
предгильбертово пространство. Следовательно, Xw (пополнение Xw)
представляет собой гильбертово пространство.
Следствие. Пусть X — ядерное локально выпуклое пространство.
Тогда для любой выпуклой уравновешенной окрестности V нуля
в X существуют такие выпуклые уравновешенные окрестности Wx
и W2 нуля в X, что
W2 ? Wx с V, XWx и Хщ—гильбертовы пространства
и канонические отображения X->Xwt> XX
Xwx->Xy являются ядерными.
Приложение к гл, X. Ядерное пространство Гротендика 405
Таким образом, ядерное локально выпуклое пространство X обладает
фундаментальной системой {Va} окрестностей нуля, такой, что про-
пространства XVa являются гильбертовыми.
Некоторые дополнительные сведения о ядерных пространствах.
Можно доказать следующие утверждения:
1. Любое линейное подпространство и всякое факторпространство
ядерного пространства являются ядерными.
2. Топологическое произведение любого семейства ядерных про-
пространств и индуктивный предел всякой последовательности ядерных
пространств также являются ядерными пространствами.
3. Пространство, сильно сопряженное к индуктивному пределу
последовательности ядерных пространств, каждое из которых является
^-пространством, представляет собой ядерное пространство.
Доказательства этих предложений см. в книге Гротендика [1,
стр. 47]. Из свойства 2 вытекает, что пространство 5) (/?"), пред-
представляющее собой индуктивный предел последовательности {©/^(Я");
г==1, 2, ...} (здесь через Кг обозначен шар |x|<> простран-
пространства /?л), ядерно. Поэтому, согласно утверждению 3, 2)(/?л)'— тоже
ядерное пространство. Ядерными являются также пространства Q?(Rn)t
&(Rny, ©(Я") и <&(R*y.
Важность понятия ядерного пространства была отмечена недавно
в работе Минлоса [1], который доказал следующее обобщение тео-
теоремы Колмогорова о продолжении мер.
Пусть X—ядерное пространство, топология которого опреде-
определяется счетной системой выпуклых уравновешенных окрестностей
нуля, и пусть X' — пространство, сильно сопряженное к X. Мно-
Множество вида
¦Z'={/'€*': *i<<*i. Л<*|. '=1. 2 п)
называется цилиндрическим множеством в X', Допустим, что на
семействе всех цилиндрических множеств определена неотрицательная
функция множества fx0, и эта функция a-аддитивна на цилиндрических
множествах Z', соответствующих фиксированным точкам xv x2 хп.
Тогда при некоторых условиях совместности и непрерывности
функция jli0 может быть единственным способом продолжена до неот-
неотрицательной о-аддитивной функции множества, определенной на
наименьшем о-аддитивном семействе множеств из X't содержащем все
цилиндрические множества из X'.
Доказательство и приложение этих результатов см. в книге
Гельфанда — Виленкина [3].
ГЛАВА XI
Нормированные кольца и спектральное
представление линейных операторов
Линейное пространство А над некоторым скалярным полем (F)
называется алгеброй или кольцом над полем (F), если для каждой
пары элементов х, у? А однозначно определено произведение ху?А%
удовлетворяющее следующим условиям:
(ху) z — x (у 2) (ассоциативность),
х (у + z) = ху -)- xz (дистрибутивность),
Если существует элемент е ? Л, называемый единицей алгебры, такой,
что ех~ хе~ х для всех x?At то Л называется алгеброй с еди-
единицей. Единица е алгебры Л, если она существует, определяется
однозначно. Действительно, если допустить, что ег — другая единица
алгебры Л, то ее' = е = е'. Если операция умножения ху комму-
коммутативна, т. е. ху — ух для любой пары xt y?At то А называется
коммутативной алгеброй. Пусть А — некоторая алгебра с еди-
единицей е. Если для данного элемента х?А существует такой элемент
дг'^Л, что хх' = х'х == е, то х' называется элементом, обратным
к х. Если элемент х'\ обратный к х% существует, то он определен
единственным образом. В самом деле, если, х" — другой элемент,
обратный к х% то
х" (хх') = х"е = х" = (х"х) х' = ех' = х'.
Элемент x't обратный к х (если он существует), будет обозначаться
через х'1.
Алгебра, называется банаховой алгеброй или, кратко, В-алгеброй,
если она является ^-пространством и выполняется условие
И*1И1У||. B)
Неравенство
II *яул - *>• II < II *Ж - у) 1Ж1 (*« - *) у II <
показывает, что произведение ху непрерывно по совокупности пере-
переменных х, у.
Исторические замечания 407
Пример 1. Пусть X — некоторое ^-пространство. Пространство
L(X, X) с операциями сложения операторов T-\-S и умножения
операторов TS образует Б-алгебру с единицей. Единицей алгебры
L(Xt X) служит тождественный оператор /, а нормой элемента Т
алгебры L(X, X) является норма оператора ||Г||.
Пример 2. Пусть 5 — бикомпактное топологическое пространство.
Пространство С(S) является В-алгеброй с операциями (х{-\- x2)(s) =
— xx(s)-\-x2(s), (ax)(s) = ах(s)t (xxx2)(s) = xx(s)x2(s) и нормой
II II - I / _ Ч I
Пример 3. Обозначим через В совокупность всех непрерывных
функций x(s) на отрезке 0<;s-^l, представимых в виде абсолютно
сходящихся рядов Фурье
оо с»
x(s)= 2 cne2*1"*, где 2 \с„\<оо. C)
Я».-со я=»-оо
Нетрудно убедиться в том, что множество В с обычными опе-
операциями сложения и умножения функций и нормой
11*11= 2 Kl W
представляет собой коммутативную fi-алгебру с единицей.
В двух последних примерах единицей служит функция ?($)=1
и ||*||=1. В дальнейшем мы будем рассматривать коммутативные
В-алгебры с единицей е> для которых
11*11=1. E)
Такие алгебры мы будем называть нормированными кольцами.
Исторические замечания. Понятие банаховой алгебры ввел в ана-
анализ Нагумо [1]. Он показал, что теоремы Коши теории функций
комплексной переменной, могут быть распространены на функции со
значениями из 5-алгебры, и применил эту теорию к исследованию
резольвенты ограниченного линейного оператора в окрестности изо-
изолированной особой точки. В результате оказалось возможным абстракт-
абстрактное изложение этого вопроса, данное нами в гл. VIII, § 8, этой
книги. Иосида [И] доказал, что связная группа, вложенная в некото-
некоторую 5-алгебру, является группой Ли в том и только в том случае,
когда она локально бикомпактна. Этот результат обобщает соответ-
соответствующий результат фон Неймана [6] по теории матричных групп;
ср. Хилле — Филлипс [1], где воспроизводится результат Иосида [11].
Начало развитию теории идеалов нормированных колец было по-
положено Гельфандом [2]. Он показал, что нормированное кольцо
может быть представлено как кольцо непрерывных функций, задан-
заданных на пространстве максимальных идеалов рассматриваемого
408 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
кольца. Это представление позволяет изучить спектральное разложе-
разложение ограниченных нормальных операторов в гильбертовом простран-
пространстве, не прибегая к интегрированию (см. Иосида [12]). Результаты,
относящиеся к этому вопросу, будут изложены в дальнейших пара-
параграфах. Гелъфандовское представление позволяет также дать новое
доказательство тауберовой теоремы Винера [2]. Мы приведем это
доказательство в последнем параграфе этой главы. Более подробное
изложение теории банаховых алгебр можно найти в работах Най-
марка [1], Риккарта [1], Гельфанда — Райкова — Шилова [5].
/. Максимальные идеалы нормированного кольца
Мы будем рассматривать здесь коммутативные й-алгебры В
с единицей е, такие, что ||^||==1.
Определение 1. Подмножество J алгебры В называется ее иде-
идеалом, если (ax~\-$y)€J и zx?J для любых х% y?J и всякого
z? В. Сама алгебра В и множество {0} образуют идеалы В. Идеалы,
отличные от В и {0}, называются нетривиальными. Нетривиальный
идеал J называется максимальным идеалом, если он не вхо-
входит как собственное подмножество ни в какой другой нетривиальный
идеал.
Предложение 1. Всякий нетривиальный идеал 70 алгебры В
содержится в некотором максимальном идеале J.
Доказательство. Обозначим через [Jq] совокупность всех нетри-
нетривиальных идеалов, содержащих /0. Упорядочим множество [70] с по-
помощью отношения включения, полагая ^ <^</2' если Л является
подмножеством в У2- Допустим, что {Уа}—линейно упорядоченное под-
подмножество из [70], и положим Л= (J Ja- Покажем, что Л—мажо-
ранта для {Ja}. Действительно, если х,у 6 Л, т0 найДУтся идеалы
Л, и Уа2, такие, что x?Jai, у?Ле2. Множество {Ja} линейнб упо-
упорядочено, поэтому Jat*KJa2 либо Jttl )> Ле2, т. е. элементы х и у
оба принадлежат Jai либо Уа?. Поэтому либо (*—)>) 6 Ле3 <= </р,
либо (х — у) ? Уа, с Ур, и аналогично либо zx ? Ja2 с /р, либо zx ^
бЛс.^^в ПРИ всяком z?B. Это показывает, что Л — идеал. Эле-
Элемент е не входит ни в один из идеалов Уа, поэтому он не содер-
содержится и в L= M 7а. Следовательно, идеал Л не тривиален и
содержит все идеалы Ja. Отсюда по лемме Цорна мы заключаем,
что должен существовать по крайней мере один максимальный идеал,
содержащий Уо.
Следствие. Для того чтобы элемент х алгебры В обладал обрат-
обратным элементом л:^^ (х~1х — хх~1 = е), необходимо и достаточно,
чтобы х не содержался ни в каком максимальном идеале.
У. Максимальные иоеалы нормированного кольца 409
Доказательство. Если элемент х~1?В существует, то всякий
идеал J^x должен содержать элемент xx = et и тогда У совпа-
совпадает с самой алгеброй В. Обратно, если х не содержится ни в каком
максимальном идеале, то идеал xB~{xb; Ь?В\Ф{0} должен со-
совпадать с В, так как в противном случае нашелся бы по крайней
мере один максимальный идеал, содержащий хВ 9 х = хе. Так как
хВ = В, существует такой элемент Ъ ? В, что хЪ = е. Из коммута-
коммутативности алгебры В следует, что xb — bx = et т. е. b = x~l.
'Предложение 2. Всякий максимальный идеал У является замкнутым
линейным подпространством в В.
Доказательство. Так как алгебраические операции (сложение,
умножение и умножение на скаляры) непрерывны в В, сильное замы-
замыкание Ja идеала У также представляет собой идеал, содержащий У.
Допустим, что Уа=?У. Тогда Ja — Bt ибо идеал /максимален. Поэтому
e?Ja и, следовательно, найдется такой элемент л:?У, что \\е—х\\ < 1.
Этот элемент х имеет обратный лг1, который можно записать в виде
ряда Неймана
В самом деле, неравенство \\(е — д:)||Л <^||?—х\\п обеспечивает схо-
сходимость этого ряда к некоторому элементу из В, и этот элемент
является обратным к х> что обнаруживается, если ряд Неймана
умножить на х = е — (е — д:). Из приведенных рассуждений следует,
что e~x~lx?Jt т. е. J не может быть максимальным идеалом.
Таким образом, Ja — J.
Предложение 3. Для элементов идеала J алгебры В определим
следующее отношение:
х == у (mod У), или х~ у (mod У), или просто х — у,
если (л: — уN^
Это отношение является отношением эквивалентности, т. е.
х ~ х (рефлексивность);
если х — у, то у — х (симметрия);
если х — уму — z, то х~z (транзитивность).
Обозначим через х множество [у; (у — x)?J}; оно называется клас-
классом эквивалентности (mod J), содержащим х. Тогда классы (х-\-у),
ах и (ху) определяются независимо от выбора элементов х и у
соответственно из классов хну.
Доказательство. Мы должны показать, что если х — х\ у — /,
то (х-\-у)~(х'-\-у'), ал:'—ал:' и ху^->х'у'. Эти утверждения
очевидны, так как У—идеал. Например, если (х—x')?J и (у—/N^«
то ху — х'у' = (х — х!) у + х' (у — у') ? У.
410 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Следствие. Множество всех классов л;(тос1У) с операциями
ах = ах, ху = ху B)
образует алгебру.
Определение 2. Построенная выше алгебра называется алгеброй
классов вычетов алгебры В по идеалу У и обозначается через B(J.
Отображение х->х алгебры В на B = B/J удовлетворяет усло-
условиям B) и является, таким образом, гомоморфизмом.
Предложение 4. Пусть У—максимальный идеал алгебры В. Тогда
B — B/J является полем, т. е. каждый отличный от нуля элемент
1с ? В имеет обратный элемент х~1?В, такой, что х~1х = хх~1 —~е.
Доказательство. Допустим, что для некоторого элемента
обратного х~1 не существует. Тогда множество хВ = [xb\
является идеалом в В, который нетривиален, так как он не содер-
содержит е, но содержит хФО. Прообраз идеала при гомоморфизме
является идеалом. Отсюда следует, что алгебра В содержит некото-
некоторый нетривиальный идеал, в который идеал У входит как собствен-
собственное подмножество. Это противоречит максимальности идеала У.
Теперь мы можем доказать следующую теорему.
Теорема. Пусть В — нормированное кольцо над полем комплекс-
комплексных чисел, и пусть У— некоторый максимальный идеал в В. Тогда
алгебра B = B/J изоморфна полю комплексных чисел, т. е. каждый
элемент х ? В единственным образом представляется в виде д:==^,
где | — некоторое комплексное число.
Доказательство. Покажем, что алгебра В = BjJ с нормой
||*|| = in! || л: || C)
образует нормированное кольцо. Если мы докажем это, то отсюда
будет следовать, что В/У—нормированное поле, и тогда по теореме
Гельфанда — Мазура (гл. V, § 3) нормированное поле B — B/J изо-
изоморфно полю комплексных чисел.
Ясно, что ||а*|| = |а| • ||*||; кроме того,
= inf J| ^
Неравенство ||ху ||^||^|| • ||у|| выводится аналогичным способом.
Если || х || = 0, то найдется такая последовательность (^j С х, что
s- lim хп — 0. Поэтому (л: — xn)?J для любого х?х и, следова-
Л->ОО
тельно, s- lim (х — хп) = х. Это показывает, что x?Ja = J, т.е.
Я->оо
/. Максимальные идеалы нормированного кольца 411
# = 0. Значит, равенство ||л:|| = 0 эквивалентно равенству лг=О.
Из определения нормы ||х|| видно, что || * || ^ || * || = 1. Если ||7||<1,
то существует элемент x?Jt для которого \\е — л:||<1. Как при
доказательстве предложения 2, мы убеждаемся в существовании об-
обратного элемента х~г, что противоречит следствию из предложения 1.
Таким образом, ||г||=1. Наконец, поскольку В — банахово прост-
пространство и идеал /, согласно предложению 2, является замкнутым
подпространством в В, факторпространство B = B/J полно по отно-
отношению к норме C) (гл. I, § 11). Теорема доказана.
_ Следствие. Обозначим число ?, фигурирующее в представлении
х -- ?#, через x(J). Таким образом, для каждого х?В мы получаем
комплексную функцию x(J), определенную на множестве {/} всех
максимальных идеалов алгебры В. При этом
(а*) СО = а* (У).
(y)() ()y() и *(У)=1. w
Кроме того,
sup |jc(/)|<||jc||, E)
JC<J>
и
из равенства sup |л:G)| = 0 вытекает равенство х = 0
У€Ы л (to
тогда и только тогда, когда (| У={0}. ^ '
Доказательство. Отображение x-±x = x(J)e алгебры В на
алгебру классов вычетов B = B/J является гомоморфизмом, т. е.
выполняются условие B), а следовательно, и условие D). Неравен-
Неравенство E) выводится следующим образом:
111=111 -NI = IHI=
Свойство F) очевидно, так как л;(У) = 0 тождественно на {У} тогда
и только тогда, когда л:? Q У.
Определение 3. Представление
x-*x(J) G)
коммутативного нормированного кольца В с помощью кольца функ-
функций л: (У), заданных на множестве {У} всех максимальных идеалов У
рлгебры В, называется гельфандовским представлением кольца В.
412 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
2. Радикал кольца. Полупростые кольца
Определение 1. Пусть В — нормированное кольцо над полем
комплексных чисел и [J] — совокупность всех его максимальных
идеалов У. Идеал /?== Q J называется радикалом кольца В.
Нормированное кольцо 5, радикал которого /?= Q J совпадает
с идеалом {0}, называется полупростым.
Теорема 1. Для всякого элемента х?В существует предел
lim ||^Я||1/Л, и
Я->0О
lim ||*11/Л= sup |*(/)|. A)
п + оо ус{у)
Доказательство. Положим а= sup |л:(У)|. Из неравенства
jc{j)
IIх" II > IIх" СО И=|* (J) Г следует, что || xh || > ал, и поэтому
л-Voo
Мы должны показать, что lim || хп ||1/я <^ а.
Выберем число р так, что |р|>а. Тогда x(J)—р=^0 для всякого
максимального идеала /? {У}, а это означает, что (х—$е) ^7. Поэтому
существует обратный элемент ($е — л:). Обозначим Р" через X.
Обратный элемент фе — д:)~1 = k(e—kx) существует при любом X,
удовлетворяющем условию^ | < а*1. Кроме того, как и в теореме 1
гл. VIII, § 2, мы видим, что функция Х(е—kx)~l голоморфна по А,
при |А.| < а". Поэтому можно написать для Х(е—хХ)~1 разложение
Тейлора
А,(е — хХу1 = k(e + lxl + №х2 + ... + Хпхп +••.).
оо
Ряд Неймана (е—kx)~l = 2 ^"х" сходится при ||Я,л||< 1, следова-
тельно, хп = хп. В силу сходимости написанного выше ряда Тейлора
lim \\Xnxn\\ = 0 при \k\<a-K
П-+ОО
Таким образом, ||^я|| = |А,|~Я • ||А,яля|| < \Х\~п при достаточно боль-
больших /г, если |А,|<а~\ и поэтому
я->оо
2. Радикал кольца. Полупростые кольца 413
при всяком X, удовлетворяющем условию |А,|">а, т. е.
Пт ||;сл||1/Л<а.
Теорема доказана.
Следствие. Радикал R = Q У нормированного кольца В совпа-
дает с множеством всех обобщенных нилыготентных элементов
х?В, которые определяются условием
lim ||jt"||1/w=:O. B)
Л->ОО
Определение 2. Спектром элемента х?В называется совокуп-
совокупность всех комплексных чисел X, для которых в кольце В не суще-
существует обратного элемента (х — А,*).
Если X принадлежит спектру элемента х, то существует такой
максимальный идеал У, что (х—-Xe)?J. Обратно, если элемент (х—Хе)
входит в некоторый максимальный идеал У, то обратного элемента
(х— А,*) не существует. Таким образом, справедлива следующая
Теорема 2. Спектр элемента х?В совпадает с совокупностью
всех значений, принимаемых функцией x(J) на множестве {У}, состоя-
состоящем из всех максимальных идеалов У нормированного кольца В.
Введение топологии в пространстве максимальных идеалов.
Приложение теоремы1 Тихонова. Для каждого элемента У0?{У}
определим фундаментальную систему его окрестностей следующим
образом:
{Je{J}\\xi(J)~xi(J0)\<ei (/=1,2 я)}, C)
где гь > 0, п > 0, xt?B выбраны произвольно. Тогда {У) становится
топологическим пространством, и каждая функция*(У) (x?B)t опре-
определенная на {У), непрерывна в этой топологии. Мы должны лишь
проверить выполнение аксиомы отделимости. Пусть Уо, ^^{У} и
Jo ф Jx\ покажем, что найдутся окрестность Vo идеала Уо и окрест-
окрестность V, идеала Ур пересечение которых VoflV'j пусто. Пусть лго?Уо,
xo(fcfv Тогда д:0(У0) = 0 и д:0(У1) = а Ф 0. Окрестности
не пересекаются.
Теорема 3. Пространство {У}, топологизированное таким спо-
способом, бикомпактно.
Доказательство. Поставим в соответствие каждому элементу х ? В
бикомпактное множество точек комплексной плоскости z
Kx={z; \z\K\\x\\).
414 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Тогда топологическое произведение
s=Ukx,
х(В
согласно теореме Тихонова, бикомпактно (см. введение). Каждому
максимальному идеалу У0?{У} сопоставим точку
х СВ
Это соответствие определяет взаимно однозначное отображение
У0->5(У0) пространства {У} на некоторое подмножество Sx простран-
пространства 5. Топология пространства (У) совпадает при этом с относи-
относительной топологией 5, как подмножества пространства 5. Следова-
Следовательно, если мы сумеем доказать, что S{ является замкнутым
подмножеством бикомпактного пространства 5, то отсюда будет сле-
следовать, что его топологический образ {У} бикомпактен.
Для того чтобы доказать замкнутость Sv рассмотрим произволь-
произвольную предельную точку со= JJ kx?S множества St в пространстве S.
х?В
Покажем, что отображение х —>ХХ представляет собой гомоморфизм
алгебры В в поле комплексных чисел (К). Если это будет доказано,
то вследствие изоморфности алгебры B/Jo и поля (К) мы сможем
утверждать, что идеал У0={л;; А^ = 0} алгебры В максимален и
(х— hxe)?JQ, т. е. x(J0) = Xx. Отсюда будет следовать, что пре-
предельная точка со = XT ^лг==: IT xVo) принадлежит Sv
х?В х (.В
Итак, мы должны доказать, что
^х+у = ^х - V Кх = а^х* ^ху = ^*V К=\-
Покажем, например, что ^.у = А,ж+^у (прочие свойства устанавли-
устанавливаются аналогичным способом). Поскольку со = \\ Хх — предельная
^В
точка множества Sv для любого е > 0 существует такой максималь-
максимальный идеал У, что
Но так как (x-{-y)(J)= л:(У)+у(У) и е>0 выбрано произвольно,
отсюда вытекает, что ЯЛГ+у = Хх-\-Ху.
Мы можем теперь сформулировать результаты приведенного выше
исследования гельфандовского представления д:~>д:(У) нормирован-
нормированного кольца В в виде следующей теоремы.
Теорема 4# Всякое нормированное кольцо В над полем комплекс-
комплексных чисел гомоморфно отображается на кольцо функций л: (У), задан-
заданных на бикомпактном пространстве {У} максимальных идеалов У
кольца В. Радикал R кольца В состоит из тех и только тех эле-
2. Радикал кольца. Полупростые кольца 415
ментов, которые при гомоморфизме x->x(J) переходят в функцию,
тождественно равную нулю на [J]. Гомоморфизм x->x(J) является
изоморфизмом тогда и только тогда, когда кольцо В полупростое.
Приложение теоремы Стоуна — Вейерштрасса
Полученное выше кольцо функций x(J) плотно в пространстве
йсех непрерывных комплексных функций, заданных на {У}, в топо-
яогии равномерной сходимости, если кольцо В симметрично в сле-
следующем смысле:
для всякого х ? В существует элемент х* ? В,
такой, что x*(J) = x(J) на {J}. D)
Примеры гельфандовских представлений
Пример 1. Пусть B = C(S), где S — произвольное бикомпактное
топологическое пространство, а Уо — некоторый максимальный идеал
В-алгебры C(S). Тогда найдется такая точка so?S, что x(so)—O
для всех x?J0. Действительно, если допустить противное, то для
любой точки sa?S найдется элемент xa?JOt такой, что xa(sa) Ф 0.
Так) как функции xa(s) непрерывны, существуют окрестности Va
точек sa, такие, что xa(s) Ф 0 в Va. Поскольку рассматриваемое
пространство 5 бикомпактно, можно выделить конечную систему
п
окрестностей V^, Уа^ .... Van* покрывающую 5: \J Va =5. Но
тогда функция
не обращается в нуль ни в одной точке s?S, и поэтому существует
элемент x~lt x'1(s) = x(s)~lt обратный элементу x?JQ, что про-
противоречит максимальности идеала Уо. Итак, существует такая точка
$0?5, что x(sQ) — 0 для всех л;?У, и поэтому идеал Уо содержится
в максимальном идеале f={x?Bt x(sQ) = 0]. Но так как идеал Уо
по предположению максимален, то J0 = f. Таким образом, между
элементами У пространства {У} максимальных идеалов нормированного
кольца B = C(S) и точками s?S можно установить взаимно одно-
однозначное соответствие.
Пример 2. Пусть В — множество всех функций x(s), заданных
на отрезке 0<^s^l, которые разлагаются в абсолютно сходящиеся
ряды Фурье
оо оо
^ ""' S к,|<ОО.
416 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Множество В с операциями (x+y)(s) = .x;(sL-y(s), xy(s) = x(s)y(s),
(ах) (s) — ах (s) и нормой ||^|| = 2ку| образует нормированное
кольцо. Пусть Уо—некоторый максимальный идеал кольца В. Положим
e**is = Xv Тогда х-1 — е~2л1* и \xx(JQ)\=\t так как |
< || хг || = 1 и | л:-1 (Уо) | = I *! (J0)~l | < || х~х || = 1. Следовательно,
найдется такое значение so?[O 1], что хх (Jo) = e1:lis\ Таким образом,
для элемента xn = e2nisn = х" выполняется условие хп (Jo) ^= e2Tiison,
оо
и поэтому x(JQ)= 2 cne2nis»n = x(s0). Итак, для всякого макси-
мального идеала Jo кольца В существует такая точка s0 @<^50<^ 1),
что гомоморфизм x->x(J0) определяется равенством х (Уо) = х (sQ)
для всех х ?В. Ясно также, что отображение x~>x(s0) определяет
гомоморфизм алгебры В в поле комплексных чисел. Следовательно,
пространство максимальных идеалов кольца В можно отождествить
с пространством [e2nis\ 0<JXJ 1}.
Следствие (теорема Винера). Если сумма абсолютно сходящегося
оо
ряда Фурье x(s)= 2 cne2jlisn не обращается в нуль на отрезке
Я=,_ оо
[О, 1], то функция \/x(s) тоже разлагается в абсолютно сходящийся
ряд Фурье, В самом деле, х не принадлежит никакому максимальному
идеалу нормированного кольца, рассмотренного в примере 2.
Пример 3. Положим Bl = C[Ot 1J и определим для функций
х, у?&\ операции и норму следующим образом:
(х + У) (s) = x(s) + y (s), (ax) (s) = a* (s),
= f x(s-t)y(t)dt, ||*||= sup \x(s)\.
Тогда Вх образует коммутативную 5-алгебру без единицы. Присо-
Присоединим к ней формально единицу е как символ, определенный пра-
правилами ех = хе = х^^е\^^Л, и положим В— {z — Xe-\-x; х^В^.
Множество В с операциями
(У4- *i)+(V + ^2) = (*! + ^2) е + (х{ + х2),
а (Хе + х) = оХе + ах,
(V + л^) (V + ^2) = Khe+^1*2 + Mi + ^1^2
и нормой
представляет собой нормированное кольцо. Возьмем произвольный
элемент х?Вх и положим УН == sup | л: (^) | = || jc ||. По индукции
3. Спектральное разложение ограниченных нормальных операторов 417
получаем 1)
Таким образом, всякий элемент х?В{ является обобщенным ниль-
потентным элементом кольца В, поскольку lim (я!I/п = со.
3. Спектральное разложение ограниченных
нормальных операторов
Пусть X— гильбертово пространство, и пусть система М огра-
ограниченных нормальных операторов, принадлежащих L(X, X)t удовле-
удовлетворяет следующим условиям:
если 7\ S? Ж, то TS = ST (перестановочность); A)
если Т?М, то Т*?М. B)
Например, система М, состоящая из некоторого ограниченного
нормального оператора T?L(X, X) и сопряженного ему оператора Г*,
очевидно, удовлетворяет условиям A) и B).
Пусть М' — совокупность всех операторов из L(X, X\ комму-
коммутирующих с каждым из операторов Т ? М, и пусть В = М" = (М')' —
множество всех операторов из L(X, X), коммутирующих со всяким
оператором 5 ? М'.
Предложение 1. Всякий элемент семейства В является нормаль-
нормальным оператором. Множество В с операциями сложения операторов,
умножения операторов и умножения операторов на числа, оператор-
операторной нормой || Г || и единицей / (/ — тождественный оператор) пред-
представляет собой нормированное кольцо над полем комплексных чисел.
Доказательство. Из условия A) видно, что М с Mft поэтому
Л)' 3 #. Следовательно, Мш = (М")' з М'\ и, таким образом,
В=М" — коммутативная алгебра. Тождественный оператор / при-
принадлежит В и служит единицей алгебры В. Из условия B) вытекает,
что всякий оператор, принадлежащий В, должен быть нормальным.
Поскольку произведение операторов TS и операция Т—>Т* перехода
к сопряженному оператору непрерывны по отношению к норме опе-
операторов, нормированное кольцо В полно по операторной норме.
Теорема 1. Гельфандовское представление
ВЭТ-+ТУ) C)
устанавливает изоморфизм нормированного кольца В и алгебры C({J})
всех непрерывных комплексных функций Г (У), определенных на
1) Степени xk(s) понимаются здесь в смысле определенного выше умно-
умножения.— Прим. перев.
27 К. Иоснда
418 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
бикомпактном пространстве {У} всех максимальных идеалов У алгебры В,
причем
|| Т ||= sup |Г(У)|; D)
значения Г (У) вещественны при всех У?{У} тогда и
только тогда, когда оператор Т самосопряженный; E)
Г(У)^>0 при всех У? {У} тогда и только тогда, когда
оператор Т самосопряженный и положительный, т. е. F)
(Тх, *)>0 для всех х?Х.
Доказательство. Покажем сначала, что для всякого нормального
ограниченного оператора Т выполняется равенство
|| 7* || = || Т || ». G)
Если оператор Т нормален, то оператор Н — ТТ* = Т*Т является
самосопряженным. Поэтому, согласно теореме 3 гл. VII, § 3,
||Г|Р = sup (Тх,Тх)= sup \(T*Tx,x)\ = \\H\\ = \\T*T\\=\\TT*\\.
\\х\\<\ \\х\\<1
Поскольку (Г*J = (Г2)*, оператор Т2 является нормальным, как и 7\
Таким образом, ||Г2||2= ||Г*2Г2||, что ввиду перестановочности
ТТ* = Т*Т равно || (ГТJ1| = || Н2 \\. Поскольку Н2 — самосопряженный
оператор, можно опять применить теорему 3 гл. VII, § 3:
||Н21|= sup (Hx,Hx)= sup
!1И<1 Н*И<1
Следовательно, || Г2||2 = ||Я2|| = ||Я||2 = (||Г||2J, т. е. ||Г2|| = ||Г||2.
Предел lim || 7*Л ||1/я, как мы знаем (C), § 2, гл. VIII), существует;
Л-»оо
поэтому из G) видно, что ЦТ||= lim ||ГЛ||1/Л. Применяя теперь тео-
Л->оо
ремы 1 и 4 предыдущего параграфа, мы убеждаемся в том, что ото-
отображение C) является изоморфизмом и выполняется условие D).
Доказательство свойства E). Пусть самосопряженный оператор
Т?В при некотором J0?{J} удовлетворяет условию Г(У0) = а + ^»
где ЬфО. Тогда самосопряженный оператор 5 = (Г — aI)jb?B удо-
удовлетворяет уравнению (/-f-52) (Уо) = 1 -|-/2 = 0, и поэтому оператор
(/-f-52) не имеет в В обратного элемента. Но по теореме 2, гл. VII,
§ 3, оператор (/ + 52) должен иметь обратный оператор, непременно
принадлежащий В. Полученное противоречие говорит о том, что для
самосопряженного оператора Т?В функция Г (У) должна быть веще-
вещественной. Допустим теперь, что некоторый оператор Т?В не является
самосопряженным. Представим Т в виде
8. Спектральное разложение ограниченных нормальных операторов 419
Первое слагаемое в правой части представляет собой самосопряжен-
самосопряженный оператор, поэтому (Г — Г*)/2/ — тоже самосопряженный оператор,
отличный от нуля. Поскольку отображение C) определяет изоморфизм,
найдется такой максимальный идеал Jq?[J}* что —^—(Jo) Ф 0.
7* —I— у* Т Т*
Следовательно, значение Г(У0) =—-^—(Л>) + /—щ—М>) не веще-
вещественно.
Доказательство свойства F). Покажем сначала, что
Г* (У) = 7G) при всех У? {У}. (8)
Это ясно, так как самосопряженным операторам (Т^-Т*)/2 и
(Т—T*)/2i соответствуют вещественные функции. Отсюда и из усло-
условия D), согласно результатам предыдущего параграфа, следует, что
нормированное кольцо В может быть представлено как кольцо всех
непрерывных комплексных функций на {/}, удовлетворяющих усло-
условиям E) и (8). Допустим, что Т(У)>0 при всех У? {У}. Тогда функ-
функция S(J) = Г(УI/2 непрерывна на {У}. Поэтому, так как представле-
представление C) дает изоморфизм, S2=T. Согласно E), мы имеем S = 5*.
Значит, (Тх, x) = (S2x, x) = (Sxt S*)>0. Для того чтобы доказать
теперь, что условие (Тх, х) ^> 0 для всех х ? X влечет за собой не-
неравенство Г(У)>0, У? {У}, положим Г, (У) = max (Г (Д 0) и Г2(У) =
агТ^У)— Г (У). Тогда по доказанному выше операторы Г, и Т2 оба
принадлежат В и являются самосопряженными и положительными:
(Ту*, х)>0 для всех х?Х (/=1. 2). Кроме того, Т2 = ТХ — Т и
Tj72 = 0, так как 711(У)Г2(У) = 0.
Итак, мы имеем
0<(ГГ2*, Т2х) = (—Т\х> T2x) = — {iix, х) = —(Т2Т2х, 7»<0.
Значит, {т\х, х) = 0, и по теореме 3 гл. VII, § 3, должно быть
71 = 0, а так как ||Г2||= lim ||Г2||1/Л, отсюда следует, что Г2 = 0.
Таким образом, мы показали, что Т = ТХ и Г(У);>0 при всех
Условимся в дальнейшем писать Г!>0, если Т — самосопряжен-
самосопряженный положительный оператор. Будем также писать 5 ^ Г, если
(S-r)>0.
Теорема 2. Пусть [Тп)?В — последовательность самосопряжен-
самосопряженных операторов, такая, что
(\ *** Т* ^" Т s* ^ Т* ^ у* С ^ О /04
U «^. / < *^. I о *^» ... *^^, / п *^, » • • >^ь О ^~ D- \у)
Тогда при любом х?Х существует предел s- lim Tnx = Tx, т.е.
Л-»ОО
существует предел Т = s- lim Тд, и, кроме того, Т?В,
in —— io ^
27*
420 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Доказательство. Заметим прежде всего, что, согласно F),
если ?, F?B и ?>0, /?>0, то ?+/7>0 и Я/7>0. A0)
Поэтому 0 ^ f\ ^ Гг ^ ... *< Т2п ^ ... ^ 52. Следовательно, при
любом х?Х существует конечный предел lim (Т2пх9 х). Кроме того,
Я->ОО
Я, Л-»ОО Я,Л-»ОО Л-ЮО
так как в силу F) справедливо неравенство 7iL*!> Тп + ьТп^ Т2п.
Таким образом, lim ((Тп — 7J2 а:, л:) = lim || Тпх — Ттх ||2 = 0,
л, т->оо я, т-^оо
и предел 5- Ит Тпх = Тх действительно существует. Из доказатель-
ства видно, что Т?В и n
Теорема 3. Пусть некоторая последовательность вещественных
функций [Tn(J)}> где Тп?В, удовлетворяет условию
0<Г1G)<Г2(У)<...<Гя(^Х...<а при У6{/}, A1)
где а — конечная постоянная. Тогда из теоремы 2 и условия F)
следует существование предела $-lim Тп = Т. В этом случае
Я->0О
О={76{У};Г(У)^ Ит Tn{J))
Я->оо
есть множество первой категории и множество Dc =[J] — D плотно
в {У}.
Доказательство. Согласно теореме 2, Т^Тп% и поэтому Г(У)>.
>- lim ТпG) при У? {У}. По теореме Бэра (§ 2 введения) точки раз-
Я->оо
рыва предельной функции lim Tn(J) образуют множество первой
категории. Поэтому если допустить, что D не является множеством
первой категории, то найдется по крайней мере одна точка J0?D,
в которой предел lim Tn(J) непрерывен. Иными словами, сущест-
вуют положительное число б и открытое множество V(JQ)$JQ, при-
принадлежащее {У}, такие, что
Г(/)>б+ lim Tn(J) при всех J?V(J0).
Л->оо
Поскольку бикомпактное пространство {J} нормально и T(J)^>
^ lim Tn(J) при */?{/}¦ мы можем, согласно теореме Урысона,
Я->ОО
построить открытое множество Vj (Уо)Э Уо и функцию W(J)?C({J}),
такие, что 0 < W (У) < б при всех У 6 {У}. V\ (У0)а S V (Уо), 1^ (У) = 6/2
в области VX(J^)]\ UP (У) =2 0 на множестве V(yo)c. Следовательно,
TJ W(J lim Tn(J) при всех У6И» и, согласно F),
S. Спектральное разложение ограниченных нормальных операторов 421
T — W^>Tn (я=1, 2, ...)• Так как №(/)=? 0, то вследствие изо-
изоморфизма C) UP =? 0. Так как W^>0, то, используя F) еще раз,
мы получаем, что Т — W^s-Wm Tn, а это противоречит соотно-
П-+О0
шению T = s-\im Т„.
' л'
П-+СО
Наконец, поскольку пространство {7} бикомпактно, дополнение
Dc={7}— D множества первой категории D должно быть плотным
в {У}.
Перейдем теперь к изложению результатов Иосида [12].
Спектральное разложение (спектральное представление)
операторов нормированного кольца В
Рассмотрим множество С ({7}) всех комплексных ограниченных
функций 7"G) на {У}, таких, что каждая из функций T'(J) отли-
отличается от некоторой непрерывной функции Т G) только на множестве
первой категории. Условимся отождествлять функции множества
С7 ({7}), отличающиеся друг от друга на множестве первой катего-
категории. Тогда семейство С ({7}) разбивается на соответствующие классы
функций. Ввиду того что дополнение всякого множества первой ка-
категории плотно в бикомпактном пространстве {7}, каждый класс Т!
содержит в точности одну непрерывную функцию Т G), соответ-
соответствующую вследствие изоморфизма ?«->С({7}) некоторому эле-
элементу Т?В.
Для произвольного оператора Т ? В и всякого комплексного числа
Z = k-{-J[i обозначим через Ея элемент из В, который соответствует
классу Erz% содержащему характеристическую функцию E'(f) множе-
множества {7? {7}; RerG)<A,, lmT(J)<\i). Ясно, что для всякого Т?В
найдется такая последовательность непрерывных функций fn ком-
комплексной переменной, что ?^G)== lim fn(T(J))t и поэтому E'g(J)?
?С7({7}). Тогда если
1{ = — а — -4=-<Л,<...<А,я = а= sup
у2 Ь)
хл = р= sup I ii
(sup (lf — ^/-iJ+sup(M'/ — M^-i^Y^^s (e>0 произвольно),
V У ' J
TO
BCex
422 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Отсюда, согласно определению EZ(J), мы получаем
V.+*/Vnv-. при
так как дополнение множества первой категории плотно в бикомпакт-
бикомпактном пространстве {У}. Поэтому вследствие D)
Полученный результат запишем в следующей форме:
A2)
Выражение A2) мы назовем спектральным разложением нормаль-
нормального оператора Т.
4. Спектральное разложение унитарного
оператора
Если унитарный оператор Г принадлежит нормированному кольцу В,
то, поскольку
71. A)
значения, принимаемые функцией Г (У) на {У}, — это комплексные
числа, по модулю равные единице. Благодаря этому можно упростить
спектральное разложение Г Г z dEz унитарного оператора 7\
Характеристическая функция ^(У) множества (У? {У}; arg(r(y))?
, в)} @<6<2я) принадлежит С'({У}). Полагая E'Q(J) = 0 и
(У) = /, мы получаем
(о = во<е1<... <вя = 2л).
Пусть E$(J) — непрерывная функция, определенная на {У} и от-
отличающаяся от ^(У) лишь на множестве первой категории. Обозна-
Обозначим через Eq оператор из кольца В, соответствующий ?е(У) при
4. Спектральное разложение унитарного оператора 423
изоморфизме В^Т«-> Г (У). Тогда, как и в предыдущем параграфе,
мы получим
|г-- -,
Учитывая, что e2jti=l, мы можем записать полученный результат
в виде
2Л
j B)
о
где F(Q) = EQ+0-E+0 при 0 < в < 2л, /7@) = 0, /7Bя) = Л
Через Ее+0 здесь обозначен оператор, который определяется усло-
условием EQbOx = s- lim E{),x (существование этого предела будет дока-
0' ^0
зано ниже).
Теорема 1. Система операторов F(в) @-< 9 <]2л) удовлетворяет
следующим условиям:
каждый из операторов F (8) — проекционный оператор,
перестановочный со всяким ограниченным линейным C)
оператором, коммутирующим с оператором Т;
F(Q)F(Q')=F(min(Q, 60); D)
F@) = 0, FBn) = f; E)
F(Q-)rO)= F(Q) при 0<6<2л в том смысле,
что 5-lim F(Q')x = F(Q)x для всех хСХ. F)
Доказательство. Достаточно доказать, что операторы EQ
;в; удовлетворяют следующим условиям:
каждый оператор EQ является проекционным C')
оператором и принадлежит В\
EqEq' = Emln @t 0/)i D')
?o = o, й?я = /: E0
д: = 5-Пт Е&х при всех дг^АГ и 0<0<2л. F0
Из определений следует, что E^(J) = Eq(J) и ^(У) =Eq(J).
Поэтому, применяя результаты предыдущего параграфа, мы видим,
что Eq = Eq и ?е = ?е; этим доказывается C0- Свойство D0
выводится на основании тех же соображений из равенства Eq(J)Eq>(J)=
= Emin@ в')(^); аналогично доказываются и условия E0- Пусть
424 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
теперь Вл | В. Тогда ?"е (У)^>?е j (У) ^ Eq(У), и поэтому, как было
установлено в предыдущем параграфе, предел $- lim Eq =?" суще-
Л->00 П
ствует и Е(У) = ?'в(У)= Нш ?е (У) всюду на {У}, за исключением,
быть может, некоторого множества первой категории. Поэтому
Пример 1. Рассмотрим линейный оператор Г, определяемый усло-
условием
Ту (s) = eiey (s), где y(s)?L2(—oo, oo).
Оператор Т унитарен. Определим операторы F (В)@ <! В ^ 2я): если
2я/1 < $<2яО+ 1)(/г=0, ±1, ±2 ), то положим
) = y(s) при
I = 0 при
Легко видеть, что
2я
Т= j e
о
Пример 2. Пусть линейный оператор Г, определяется равенством
Ясно, что оператор Тх унитарный. Преобразование Фурье
п.
U.m. Bя)/2 f e~istx(t)dt
определяет оператор ?/, такой, что Их (t-\- 1) = e/5(/A:(^) == eisy(s).
Поэтому
т.е. Tl = U'lTU (Т — оператор из предыдущего примера). Таким
образом,
2я
^#UFX(% где F{(Q) = U~l F(Q)U.
о
Единственность спектрального разложения. Поскольку Т~1=Т*
и Г(У) = Г*G) = Г(У)-1, нетрудно установить, что
to G)
4. Спектральное разложение унитарного оператора 425
Пусть max|e/e^ — *'e'-i|<e. Тогда из соотношения
мы получаем, используя свойство D), равенство
где
Отсюда
2я
Т2 =
О
и вообще
2Я
Тп = J einBdP(Q) (я = 0, ±1, ±2,...). (8)
о
Если теперь допустить, что имеется другое спектральное разложение
Т= Г eiB dFx F), удовлетворяющее условиям C) — F), то для вся-
0
кой функции рF), представляющей собой полином относительно
е* и е-*,
2я
Это равенство по непрерывности справедливо и для всякой непре-
непрерывной функции рF), такой, что /?@) = рBя). Выберем некото-
некоторые значения 60 и в,, 0 < в0 < в, < 2я, и определим для достаточно
больших целых п > 0 непрерывные функции рпф) следующего вида:
Р/1(в) = 0 при 0<е<90 и 81+~<8<2л,
ря(в)=1 при ео+^<е<ер
рпф) — линейные функции при во^6^6о-|
и e<e<e+
426 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Тогда, учитывая условие F), мы при п->оо получим равенство
2я
. у)-(Л(в)*. уI =
f
справедливое для всех х, у'?Х. Следовательно, полагая 6010 и
используя условия E) и F), мы получаем, что F (Qx) = Fx (в). Это
и показывает, что спектральное разложение унитарного оператора
определяется единственным образом.
J. Разложение единицы
Определение 1. Семейство проекционных операторов (Е(Х);
— оо<А,<оо}, определенных в гильбертовом пространстве X, на-
называется разложением единицы, если оно удовлетворяет следую-
следующим условиям:
|i)). A)
= /, где E(—oo)x = s- lim
o)x = s-llmE(k)x. B)
где ?(A, + 0)x = *-Iim?(|i)x. C)
Предложение 1. При любых х, у?Х функция (Е(к)х% у) пред-
представляет собой функцию от к ограниченной вариации.
Доказательство. Пусть Хх < h^ < ... < Кп. Из условия A)
следует, что Е(а, р] = ?(р) — Е(а) — проекционный оператор. Учи-
Учитывая это соображение, мы с помощью неравенства Шварца полу-
получаем
В самом деле, согласно свойству ортогональности
Е{kj.v lj\ ¦ Е(Xj.v kj] = 0 ЦФ J), D)
5. Разложение единицы 427
•втекающему из условия A), имеем
11*1Р>|1*(Ч. *J*IP=*2ll*(*i. *«+i]*IP E)
при т> п.
Следствие. При всяком А,, — со < X < оо, существуют опера-
операторы ?(А,-|-0)=$-Пт ?(А/) и ?(А, — 0) = s-lim ?А/
Доказательство. Из неравенства E) видно, что если Ял f А,, то
lim \\E(kJt А,л]л;||2 = 0,
У, ft->oo
и аналогичное соотношение справедливо при кп | А,.
Предложение 2. Пусть /(А,) — непрерывная комплексная функ-
функция, определенная при А,?(—оо, оо), и пусть х?Х. Тогда при
—-со<а<р<оо можно определить интеграл
Э
jf(X)dE(L)x
а
как s-lim римановых сумм
когда тах|Я,у+1 — Ху| стремится к нулю.
Доказательство. Функция /(Л,) равномерно непрерывна на би
компактном интервале [а, р]. Пусть |/(А.)—/(А/)|<е при |Я—А/К
для всех Л,, Л/ ? [а, р]. Рассмотрим два различных разбиения сег
мента [а, р]:
и построим суперпозицию
a = v,< ... <vp = p,
этих разбиений. Тогда если |а?60**. ^+1). to
2
= S*?(v,, vJ+ll x, где |в,
428 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Следовательно, как и при выводе неравенства E), квадрат нормы
левой части не превосходит величины
откуда и вытекает справедливость предложения 2.
оо
Следствие. Можно определить интеграл \ f(k)dE(X)x как пре-
дел s-lim Г f(X)dE(k)x, если последний существует.
а*-со, р*оо J
Теорема 1. Для заданного х?Х следующие три условия экви-
эквивалентны !):
00
J / (X,) dE (Я.) х существует; F)
— ОО
00
G)
оо
формула F (у) = J / (A,) d (E (X) у, х) определяет
—со
ограниченный линейный функционал. (8)
Доказательство. Мы докажем импликации F)->(8)->G)->F).
со
F)->(8). Аппроксимируем интеграл Г / (A,) dE (A,) x суммой Ри-
—оо
мана; скалярное произведение элемента у на эту сумму определяет
ограниченный линейный функционал от у. Отсюда на основании тео-
теоремы о резонансе и равенства (у, Е (К) х) = (Е (X) у, х) мы полу-
получаем (8).
(8)->G). Применим оператор С (а, р] к римановой сумме, аппрок-
Э
симирующей интеграл у= \ f(X)dE(k)x. Используя свойство A),
a
мы находим, что у = Е(а, р] у. Применяя A) еще раз, получаем
со Э'
=* f f(X)d(E(X)xt y)= Hm Г f(k)d(E(X)x. у) =
1) Интеграл F) определен в предложении 2. Интегралы G) и (8) в слу-
случае непрерывной функции / (X) строятся аналогично. — Прим. перев.
5. Разложение единицы
429
3'
lim
= lim
a'
Следовательно, ||у||2<||/7||-||у||. т. е. ||y||<||F||. С другой сто-
роны, аппроксимируя римановыми суммами интеграл
Р
мы получаем, согласно A), равенство
\ 2 3
откуда \\f(X)?d\\E(X)x\?<\\F\f. Полагая а| — оо и pfoo. мы
а
приходим к неравенству G).
G)->F). При a/<a<p<p/ мы, как и выше, получаем
II 3' Р
]f(l)dE(X)x-j
а'
Таким образом, F) следует из G).
Теорема 2. Пусть /(А,) — непрерывная вещественная функция.
Тогда равенство
оо
(Нх,у)= J f(X)d(E(X)x. у).
—ОО
где *?D= jc; J \f(X)?d\\E(X)x\?< oo J
(9)
— произвольный элемент,
430 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
определяет самосопряженный оператор Н с областью определения
D(H) = D и НЕ(Х)^Е(Х)Н, т. е. оператор НЕ(Х) служит расши-
расширением оператора Е(к)Н.
Доказательство. Для любого у ? X и произвольного е > 0 най-
найдутся такие значения аир (—со < а < р<оо), что ||у—?(а, р] у\ <е.
Кроме того,
—оо а
Следовательно, ?(а, p]y?D и, согласно B), Da = X. Оператор//
симметрический, поскольку
, л:).
Если y?D(H*)t то ввиду соотношения A)и включения Я (a,
при всяком z?X имеем
= (HE(at ftz, y)= j f(X)d(E(X)z, у),
а
где у* = Н*у. Отсюда по теореме о резонансе выражение
оо
lim (z, Е(а, М/)— {/&•)<* №(Х) г. y)=F(z)
a^oo, p^oo
—оо
представляет собой ограниченный линейный функционал. Следова-
Следовательно, по предыдущей теореме
оо
/(*)Р«*||Я(Я.)у|Р<оо. т. е. уеО.
Таким образом, D= D(H)zd D(H*). Поскольку оператор //сим-
//симметрический, И с //*, и поэтому // = //*, т. е. оператор // само-
самосопряженный.
Пусть, наконец, x?D(H). Применяя оператор Е(\х) к суммам
оо
Римана, аппроксимирующим интеграл Нх= Г f (k)dE(\)x, мы
— оо
в силу A) получаем
со
= J
— ОО
оо
5. Разложение единицы 431
Следствие 1. В частном случае /(А,) = А, мы имеем
оо
(Нх, у) = JKd(E(k)x. у), x?D(H), y?X. A0)
—СЮ
Это равенство мы запишем в символической форме
оо
и будем называть последнее выражение спектральным разложением
или спектральным представлением самосопряженного оператора Н.
оо
Следствие 2. Для оператора Н = \ f(k)dE(k), определяемого
—оо
формулой (9), справедливо равенство
оо
||Я*|Р = j\/(X)\U\\E(X)xf для всех х?D(Я). A1)
— ОО
В частности, если Н — самосопряженный ограниченный оператор, то
(Нпх, у)= j f(K)nd(E(X)x, у) для всех х. у?Х A2)
(л = 0. 1, 2, ...)•
Доказательство. Поскольку Е(К)Нх = НЕ(Х)х для всех
x?D(H), мы, согласно A), имеем
(Нх, Нх)= J f(X)d(E(X)x, Hx)= J f(X)d(HE(k)x, *) =
= J
Последнее утверждение следствия доказывается аналогично.
Пример. Легко видеть, что оператор Н умножения на независи-
независимую переменную
Нх (/) = tx (/). х @ ? L2 (— оо. оо),
ОО
допускает спектральное разложение //= Г XdE(k), где
432 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
В самом деле,
сю оо А, оо
J %*d\\E(X)x\f= J Wrfx ||*(/)|»# = J *»|*(*)|»Л = ||Я*1Р.
— ОО —ОО —ОО —ОО
ОО ОО К ОО
J ld(E(l)xt y)= J ^ J x{t)J(t)dt = J tx(t)W)dt = (Hx, y).
6. Спектральное разложение
самосопряженного оператора
Теорема 1. Всякий самосопряженный оператор //, определенный
в гильбертовом пространстве X, допускает единственное спектраль-
спектральное разложение.
Доказательство. Преобразование Кэли U — UH = (H — //)(#-+-
+ //)"*1 самосопряженного оператора Н является унитарным
2л
(гл. VII, § 4). Пусть U — f eiQdF(Q) — спектральное разложение опе-
о
ратора U. Тогда
F Bл — 0) = s-lim F Bя — 0) = /7Bл) = /.
Действительно, в противном случае проекционный оператор /7Bл) —
— FBn — 0) не был бы нулевым. Тогда существовал бы такой эле-
элемент у Ф 0, что
(FBn)-FBn-0))y = y.
Но, поскольку F(Q)F(Q')=F(min(Q, Q'))t
2л
Uy= J ^е^(/7F)(/7Bл)--/:'Bл--0)))з; = (/7Bл)--./:'Bл-0))у = <у.
о
Последнее означает, что (у, z) = (Uyt Uz) = (yt Uz) и, следовательно,
(у, z — Uz) = 0 для всех z ? X. Область значений R (/ — U), где
t/ — преобразование Кэли самосопряженного оператора Я, как мы
знаем (гл. VII, § 4), плотна в X. Поэтому у=;0, что противоречит
сделанному предположению.
Положим
таким образом устанавливается топологическое соответствие между
областями 0<8<2л и — оо<А,<оо, и поэтому Е(k)t так же
б. Спектральное разложение самосопряженного оператора 433
как и F(Q)t представляет собой разложение единицы. Покажем теперь,
что самосопряженный оператор
сю
совпадает с оператором Н. Так как H — i(l-{-U)([ — ?/)~\ мы
должны лишь убедиться в том, что
(H'(y-Uy), *) = (/(y + t/y), x) для всех х9 уб*-
Поскольку D(H')a = X, мы можем ограничиться рассмотрением зна-
значений х из области D(H'). Так как F(Q) F(Q')= F(min(Q, 9')), то
2л
(y — Uy. FQ)x) = J(l— «*')*'С7(в')У. ^F)^) =
о
2л е
= l(l — e**')de'(F(Q)F(Q')y. x)= J A — е**')<1(Р{0')у. х).
о о
Поэтому
(у-Uу, Н'х)= J Ы{у —
— оо
2л
J /
о lo J
2Л
m{Fb U, x).
Доказательство единственности спектрального разложения.
сю
Допустим, что оператор Н= Г XdE(k) допускает другое спектраль-
—оо
оо
ное разложение Н= \XdE'(k), такое, что E'(k0) Ф Е(к0) при не-
— 00
котором Хо. Полагая
Я, = — ctg 6, Ef (Я) == F' (9),
мы получаем, что Fr (90) Ф F(80), где А,о=— ctg,90. Выполняя вычи-
вычисления, аналогичные проведенным выще, можно показать, что
28 К. Иосида
434 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
оо 2rt
преобразование Кэли оператора f XdE'(k) совпадает с \ elQdF'(Q).
—оо О
Таким образом, получается, что унитарный оператор U допускает
2Л
два различных спектральных представления U=\eiBdF(Q) и
о
2Л
U = f eiQ dF' @), что противоречит результатам § 4 гл. XI.
о
Итак, мы доказали (гл. VII, § 3 и 4) следующий важный резуль-
результат, принадлежащий фон Нейману [1].
Теорема 2. Всякий симметрический оператор Н допускает замк-
замкнутое симметрическое расширение //**. Замкнутый симметрический
оператор Н допускает единственное спектральное представление
в том и только в том случае, когда он является самосопряженным.
Для того чтобы оператор Н был самосопряженным, необходимо и
достаточно, чтобы его преобразование Кэли было унитарным.
Замечание. В приложениях иногда встречаются операторы //,
которые не являются сами самосопряженными, но имеют самосопря-
самосопряженный оператор #*. Такие операторы Н называют в существенном
самосопряженными. По этому вопросу см. работу Като [7], где
рассматриваются операторы Шредингера в квантовой механике.
Спектральное представление квантовомеханического
оператора импульса Я,
Оператор Нх определяется следующим образом:
Нхх @ = у ? х (О. х @ 6 U (- оо, оо).
Обозначим через U преобразование Фурье
п
= l.i.m Bл)/2 f ешу (s) ds.
я->со •
-•я
Оператор U унитарный и Lfmmlx(t) = U*x(t) = Ux(—/). Обозначим
через Е(к) разложение единицы, определенное формулой A3) § 5
гл. XI, и построим семейство операторов {Е'(Х)}, где Е'Ск) =
ss=UE(k)ir~l. Тогда [Е'(к)} тоже будет разложением единицы.
оо
Мы покажем, что Их= [ kdE'(k). Если обе функции y(s) и sy(s)
6. Спектральное разложение самосопряженного оператора 435
принадлежат 12(—оо, oo)(]Ll(—оо, оо), то
= Bя)~1/2
или символически
H = UsU-\ A)
Следовательно, для самосопряженного оператора *) Н = $. =
оо
= Г kdE(k) мы получаем
для всех функций y(s)t принадлежащих вместе с sy($)
пересечению L2(—оо, oo)(]Ll(—оо, оо).
Для любой функции у (s) ? D (Н) = D (s •) обозначим через уп ($)
функцию, которая определяется соотношением yn(s) = y(s) при
\s\ <^п, yn(s) — 0 при |$|>я. Ясно, что обе функции yn(s) и
syn (s) принадлежат L2 (— оо, оо) f| L1 (— оо, оо) и, кроме того,
s- lim уп = у, $-\\тНуп = Ну. Так как самосопряженные опера-
П-+ОО /1->ОО
торы U~lHxU и Н замкнуты и (U~lHxU)yn = Hyn% мы находим, что
{UHxU)y = Hy для всех y?D(H).
Отсюда видно, что оператор U~XHXU является самосопряженным рас-
расширением самосопряженного оператора Н. Переходя к самосопря-
самосопряженному оператору Я*, мы устанавливаем, что Н* = Н служит
расширением оператора (U~lHx(j) = U~XHXU. Следовательно,
U~lHxU = #, и поэтому
00 ОО
X= J Xd(UE(X)U"l)= J XdE'(l).
{) Запись H=*s- обозначает здесь оператор умножения на s. — Прим.
перев.
28»
436 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
7. Вещественные и полуограниченные операторы.
Теорема Фрадрихса
Вещественные операторы и полуограниченные операторы,
которые определяются ниже, допускают самосопряженные расшире-
расширения. Теорема Неймана позволяет построить для таких операторов
спектральное представление.
Определение 1. Пусть X = L?(S, 93, т). Рассмотрим симметри-
симметрический оператор Я, отображающий пространство X в себя. Опе-
Оператор Я называется вещественным, если выполняются следующие
условия: 1) для x(s)?D(H) мы имеем х (s) ? D (Я); 2) оператор Я
переводит вещественные функции в вещественные.
Пример. Рассмотрим вещественную непрерывную функцию f(s),
заданную при —оо < s < oo. Умножение функций, принадлежащих
L2(—оо, оо), на f(s) определяет в пространстве X = L2(—оо, оо)
вещественный оператор.
Теорема 1 (фон Нейман [1]). Всякий вещественный оператор Я
допускает самосопряженное расширение.
Доказательство. Обозначим через U==UH преобразование Кзли
оператора Я. Тогда область определения D(U)={(H-\-tf)x; x?D(H)}
состоит из функций, комплексно сопряженных к функциям из области
значений R(U) = {(Я — //)х; x?D(Я)}. Поэтому если определить
расширение Ux оператора U соотношениями
UX = U в области D(U)t ^ (S *аФа) = 2 *аФ<г где
\ о / о
{фа} — произвольная полная ортонормированная система
гильбертова пространства D(U)^-,
то расширение будет унитарным'. Поэтому существует такое само-
самосопряженное расширение Я, оператора Я, что Ux = Uh1 (гл. VII, § 4).
Определение 2. Говорят, что симметрический оператор Я полу-
полуограничен сверху (или полуограничен снизу), если существует такая
вещественная постоянная а, что
(Нх, лг)<а||л:||2 (или (Нх, х)>а||х||2) для всех x?D(H).
Если (Ял:, х)^0 при всех x?D(H), то Я называется положи-
положительным оператором.
Пример. Пусть функция q(s) непрерывна и неотрицательна
в области (—оо, оо). Определим для функций х($) с бикомпактными
носителями, принадлежащих С2, оператор Я следующего вида:
(Нх) (s) = - х» (s) + q(s)x (s).
Оператор Я, как нетрудно проверить при помощи интегрирования
по частям, является положительным оператором в гильбертовом про-
пространстве L2(—оо, оо).
7. Вещественные и полуограниченные операторы 437
Теорема 2 (Фридрихе [3] )• Всякий полуограниченный оператор Н
имеет самосопряженное расширение.
Доказательство (принадлежащее Фрейденталю [1]). Если опера-
оператор Н полуограничен сверху, то оператор —Н полуограничен снизу,
поэтому достаточно рассматривать полуограниченные снизу опера-
операторы. Если Я—такой оператор, то для оператора //, = #+0—аК
при всех x?D(Hx) выполняется неравенство (Н^, х)^>\\х\\2. Так
как оператор вида af самосопряженный, можно считать, что рассма-
рассматриваемый симметрический оператор Н удовлетворяет условию
(Нх, х)>||х||2 при всех x?D(H). A)
Введем в области D(H) новое скалярное произведение (лс, у)'
и соответствующую норму \\x\\\ полагая
|| х ||' = (Ях, х). (х. уУ = (//*. у). B)
Так как для симметрического оператора Н выполняется условие A),
нетрудно видеть, что множество D(H) с новым скалярным произве-
произведением (а:, уУ и нормой \\x\\' превращается в предгильбертово про-
пространство. Обозначим через D(H)' пополнение этого предгильбертова
пространства.
Покажем, что пространство ?>(//)', рассматриваемое как абстракт-
абстрактное множество без топологии, является подмножеством множества Х%
состоящего из всех элементов исходного гильбертова пространстза.
Фундаментальная последовательность [xn)f в предгильбертовом про-
пространстве D(H) удовлетворяет условиям ||агя — *т 1Г>||*я — хт\\ и
Игл || хп — хт ||' = 0. Поэтому последовательность {хп) является
П, ГП-+ОЭ
фундаментальной в исходном гильбертовом пространстве X. Если мы
докажем, что для произвольной фундаментальной последователь-
последовательности {уп} cD(H)'
из соотношения lim HyJI'^O не может следовать
равенство lim ||уя|| = 0, C)
это будет означать, что отображение
{*„}'-*{*„} D)
взаимно однозначно переводит множество всех фундаментальных по-
последовательностей пространства D(H) в некоторое подмножество мно-
множества фундаментальных последовательностей пространства X. При
этом условимся всякие две фундаментальные последовательности [хп}\
{)'D ([xn}> \zn)^X) отождествлять, если lim ||хя—2j|' = 0
Mim || *я — 2я|| = 0\ Так как пространство X полно, то всякую
\ Я->ОО /
фундаментальную последовательность {л:л} ? X можно отождествить
438 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
с элементом х?Х, таким, что lim \\хп — лс|| = О. Следовательно,
D(H)' как абстрактное множество (без топологии) можно рассматри-
рассматривать, согласно D), как подмножество из X.
Докажем теперь C), вспоминая, что скалярные произведения
непрерывны в пространствах D(H)' и X, и поэтому если
Ит \\хп — *J|' = 0. Нт ||*J|' = a>0 и Пт ||*J| = 0, то
л, т-»оо й->оо л->оо
а2= lim (xn, xm)'= Пт (Нхп, хт)= Пт (Нхп% 0) = 0,
п, т-*оо п, т->оо я->оо
что противоречит предположению а=?0.
Положим далее
D=D(H*)(]D(Hy, E)
Так как D(H)?D(H*)> то О(Я)?О?О(Я*). Поэтому можно
определить расширение Н оператора Я, рассматривая сужение опе-
оператора Н* на область D — D(H). Остается показать, что Я —само-
—самосопряженный оператор.
Сначала убедимся в том, что оператор Н симметрический. Пусть
х, y?D; тогда найдутся последовательности {хп}', [уп)' с D(H)t
такие, что \\х — а:д||'->0, \\у — Ул|Г->0 при я->оо. Следовательно,
ввиду непрерывности скалярного произведения в пространстве D(H)'
существуют конечные пределы Пт (хп, утУ = lim (Hxn, ут) =
п, т->оо я, т->оо
= Нт (хп, Нут). Общее значение этих пределов равно величине
я, т-»оо
Пт \\т(Нхп, ут)— Пт (Нхп, у)= Нт (хп, Йу) = (х, Ну),
л->оо л->оо
а также величине
Пт Пт (Нхп, ут)= Нт (а:, Нут)= Пт (Нх. ут) = (Нх, у),
откуда видно, что Я — симметрический оператор. Значит, Я с (Я)*.
Возьмем теперь произвольные элементы x?D(H\ y?X. Для них
верно неравенство
К*. у)|<11*1Н1у||<И*1М|у||.
и поэтому выражение f(x) = (xt у) определяет на предгильбертовом
пространстве D(H) ограниченный линейный функционал. Функцио-
Функционал f(x) можно благодаря непрерывности продолжить до ограничен-
ограниченного линейного функционала, определенного во всем гильбертовом
пространстве D(H)'. Применяя к гильбертову пространству D(H)'
теорему Рисса о представлении линейного функционала, мы убеждаемся
8. Спектр самосопряженного оператора 439
в существовании единственного элемента у'?О(Я)', такого, что
= (*, у) = (х, /)' = (Их, у') для всех х ? D (Я).
Это доказывает, что /?D(H*) и Я*/ = у. Значит, /^Йи Ну' = у.
Тем самым мы показали, что R(H) = X, и на основании следствия
из теоремы 1 гл. VII, § 3, оператор Я должен быть самосопряженным.
8. Спектр самосопряженного оператора.
Теорема Крылова — Вайнштейна. Кратность спектра
Теорема 1. Рассмотрим в гильбертовом пространстве X самосо-
самосопряженный оператор И = Г XdE(l). Обозначим через о (Я), Р0(Я),
Са(Н) и Ra(H) соответственно спектр, точечный спектр, непрерывный
спектр и остаточный спектр оператора Я. Тогда (Г) о (Я) есть не-
некоторое множество на вещественной прямой; B°) Х?Ра(Н) в том и
только в том случае, когда Е(ко)ФЕ(ко— 0), и при этом собствен-
собственное подпространство оператора Я, соответствующее собственному
значению А,о, совпадает с R(E(X0)— E(Kq — 0)); C°) включение
А,0?Со(Я) эквивалентно условию Е(Х0) = Е(к0 — 0) и Е(Хх)фЕ(к2)
при любых Хх < к0 < %2> D°) множество Ra(H) пусто.
Доказательство. Мы уже знаем, что резольвентное множество р(//)
самосопряженного оператора И содержит все комплексные числа к
с \т(к)Ф0 (гл. VIII, § 1). Отсюда вытекает утверждение A°). Из
сю
определения разложения единицы {?(А,)} следует, что А,о/ = А/0 f dE(k)t
—с»
оо
и поэтому (Я — А,о/)= Г (I — X0)dE(k). Отсюда, как и в следствии 2
—оо
теоремы 2 § 5 гл. XI, мы получаем
оо
|| (Я - V) х |Р = J (Я - ^ d || Е (Я.) х |Р, х 6 D (Н). A)
— ОО
Так как Е(—оо) —0, а функция ||?(A,)jt||2 непрерывна справа по А,,
то Их = XqX в том и только в том случае, когда
при 1>10,
при Х<ХО>
т. «. Их = 10х тогда и только тогда, когда (Е(А,о) — Е(Хо — 0)) х = х.
Отсюда вытекает утверждение B°). Докажем теперь D°). Если
^б^С'')» то» согласно A°), Ко — вещественное число. Соотношение
440 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
R(H— ^(/)а = D((H — ко!)~1)а Ф X показывает, что существует эле-
элемент уФ 0, ортогональный к R(H— Xof)t т. е. ((Я— к(/)х9 у)=0
для всех x?D(H). Следовательно, (Нх, у) = (кох, у) = (х, коу), и
поэтому y?D(H*) и Н*у = Хоу. Это означает, что Hy = koyt т. е.
Хо является собственным значением оператора Я. Но отсюда следует,
что X0?Ra(H)(]Po(H)f а множества Ra и Ра, как мы знаем, не пе-
пересекаются. Поэтому множество Ra(H) пусто.
Пусть теперь вещественное число Хо не принадлежит спектру а (Я).
Тогда существует резольвента (kof — Я). Значит, оператор Яяо =
з=(Я — kof) имеет непрерывный обратный (Я — A^/). Согласно D°),
это условие эквивалентно тому, что А,0?р(Я) и существует такое
положительное число а, что
||(Я — V)*II><HI*II ПРИ всех
Последнее условие ввиду A) эквивалентно неравенству
при всех x?D(H). B)
Предположим теперь, что ?(А,1) = ?(А,2), где A,j < Хо < %% и Я,о
= Я2—Я0<а. Тогда
что противоречит неравенству B). Отсюда с использованием утвер-
утверждений (Г), B°), D°) и B) мы получаем C°).
Замечание. В примере из § 5 гл. XI был построен самосопря-
самосопряженный оператор Я, непрерывный спектр которого состоит из всех
вещественных чисел.
Теорема 2. Пусть Я — произвольный ограниченный самосопря-
самосопряженный оператор. Тогда
sup A,= sup (Ял:, х), inf l= inf (Hxt x). C)
?{H) ||l k?(H) ||||1
Доказательство. Так как величина (Hxt x) = (xt Hx) == (Я*, х)
— число вещественное, можно рассматривать
(*!= inf (Hx, х) и а2= sup (Ял:, х).
\\х\\<\ \\х\\<\
Пусть Xq?o(H). Тогда по теореме 1 для любой пары (Хг, Я^) веще-
вещественных чисел, таких, что к{ < Я,о < А^, существует элемент у =
зжу^к ФО, такой, что (^(А^) — ?(^i))y = y. Можно считать, что
8. Спектр самосопряженного оператора 441
|| у || = 1. Следовательно,
(Яу, у)= J Xd(E(k)y9 y) = $ ЩЕ(к)у\р =
-Е(Я.,))УII2 = J U||(Е(I)-Е(А,,))у f.
Полагая Я,, f Я,о и %2 \ Я,о, мы найдем, что (Яу^ ^,
Это показывает, что sup Я,== sup Я,0
Предположим, что а2(?а(#). Тогда теорема 1 гарантирует суще-
существование пары (А,р Я,2) вещественных чисел, таких, что Х1 < а2 < Я,2
и Е(Х2) = Е(Х{). Поэтому/ = / — ?(Я,2) + ?(Я,,), (f— ЕA2))Е(Х{) =
=E(K{)(F — ?(Я,2)) = 0, следовательно, либо оператор (/ — E(X2)),
либо оператор ?(^j) отличен от нулевого. Если (/ — Я(Я,2))=?0, то
найдется такой элемент у с нормой ||у||=1, что (/ — E(Jl2))y = y.
В этом случае
(Ну, у)= J Ы||?(Я)у|Р= J
в случае
(Я2Г, 2)<Л<а2
для некоторого элемента -г с нормой ||^||=1, удовлетворяющего
уравнению Е(Я,,) z = z. Таким образом, предположение о том, что
а2(?а(#), приводит к противоречию, и мы доказали, что sup Я, =
= sup (Нх, х). Аналогично можно показать, что inf Я,= inf (Hx, х).
Цлг|1<1 к?о(Щ \\х\\<\
Теорема 3 (Крылов — Вайнштейн). Рассмотрим самосопряженный
оператор Я и для произвольного элемента х ?D(H) с нормой || х \\ = 1
определим числа
ах = (Нх, х) и *х = \\Нх\\. D)
Тогда для всякого е>0 можно указать значение Я,0^о(Я), удовле-
удовлетворяющее неравенству
«,-^-<2~^<^о<«,+^-«I/2 + е. E)
Доказательство. Из соотношений
= (НЧ, х)= J
442 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
вытекает равенство
#-<?= J Ш\\Е(к)х\?-2ах f
Допуская, что функция || ?: (A,) jc ||2 сохраняет постоянное значение
в интервале *? fo —(р? — с?I/2 —е, ах + ^2х~а1)т + г]* мы ПРИ"
ходим к противоречию
что и доказывает теорему1).
Замечание, Так называемый принцип Рэлея состоит в том, что
при вычислении спектра оператора Н за приближение принимается
величина а^. Если мы вычислим р^., то теорема 3 позволит опреде-
определить верхнюю границу погрешности такого приближения. Конкретные
приложения таких оценок погрешностей см. в работе Иосида [1].
Кратность спектра. Мы начнем с изучения спектра самосопря-
самосопряженного оператора Н в я-мерном гильбертовом пространстве Xп;
такому оператору соответствует самосопряженная матрица Н =
= ( XdE(X). Пусть Хх, &2, •••» hp (/*<!п) — собственные значения
/ р \
оператора Н соответственно кратностей m,, m2 mp I 2 mj == п] •
Обозначим через Xj , Xf , ..., xj ортонормированные собственные
векторы оператора Я, соответствующие собственному значению Xj
(Hxj =XjXj}t такие, что система Ixj ; 5=1, 2 тЛ поро-
порождает собственное подпространство EXj = R(E(Xj) — E(Xj — 0)) опе-
оператора Н, соответствующее собственному значению Xj. Тогда совокуп-
совокупность векторов {д:^; у ===== 1, 2 р\ 5=1, 2 т^ образует
в пространстве Хп полную ортонормированную систему, и поэтому
всякий вектор у ? Xп единственным образом представляется в виде
линейной комбинации векторов xjs :
Обозначая через РЛ оператор (E(Xj) — E(Xj — 0)) проектирования
на собственное подпространство Ек , мы получаем для любых а < р
!) Так как функция Е(Х) оказывается не постоянной в промежутке E),
то в нем, согласно теореме 1, найдется по крайней мере одна точка
Х?(Н). —Прим. перев.
S. Спектр самосопряженного оператора 443
соотношения
\ty G)
ау д;< при а<А
О при А,у(?(а, р].
Поэтому при фиксированных значениях а < р и фиксированном ли-
линейном подпространстве М пространства Xп множество
\{Е (р) -Е (а)) у; у ? Щ
не содержит подпространства Ек , если размерность dim (Ж) подпро-
подпространства М меньше mj. Кроме того, можно найти такое подпростран-
подпространство М размерности dim (М) = т^ чтобы при а < Яу. ^ р множество
{(?(Р)~ Е(а))у; у?М) содержало собственное подпространство ?*,;.
В самом деле, таким является, например, подпространство, содержащее
векторы xj^ д:у2, ..., xjm . Отсюда, в частности, следует, что усло-
условие тх = т2 = ... = тр = 1, р = п, имеет место тогда и только
тогда, когда существует такой вектор у ? Xп, что множество векторов
{(?(Р) — Е(а))у; а < р произвольны} порождает все пространство Хп.
Эти рассуждения приводят нас к следующим определениям.
Определение 1. Спектр самосопряженного оператора
#= Г XdE(X), заданного в некотором гильбертовом пространстве X,
называется простым, если существует фиксированный вектор у ? X,
такой, что линейное подпространство, натянутое на множество векто-
векторов {(Е(р)— Е(а))у; а<р}, сильно плотно в пространстве X.
Определение 2. Подпространство XxczX гильбертова простран-
пространства X называется порождающим подпространством оператора //,
если сильное замыкание в пространстве X линейного подпространства,
натянутого на множество векторов
M=[(E(t) — E(a))z; z?X,, a<p},
совпадает с Х% т. е. линейная оболочка М сильно плотна в X. Наи-
Наименьшее из чисел dim(A'1), где Хх пробегает все порождающие под-
подпространства оператора Я, называется общей кратностью спектра
самосопряженного оператора Н. Общая кратность спектра оператора
вида В = (?(Ро) — E(ao))Ht где а0 и р0 — произвольные фиксирован-
фиксированные числа, такие, что Oq < р0, называется кратностью спектра са-
самосопряженного оператора Н в интервале (Oq, p0].
444 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Определение 3. Кратностью спектра самосопряженного one-
ратора Н = \ XdE(k) в точке k = k0 называется предел при п->оо
последовательности кратностей спектра оператора Н в интервалах
0
Пример. Оператор координаты квантовой механики, т. е. опера-
оператор Н% определяемый в пространстве ?2(—оо, оо) условием Hx(t) =
= tx(t), обладает простым спектром.
Доказательство. Мы знаем, что для этого оператора спектраль-
спектральное разложение //= \ kdE(X) определяется функцией Е(к) вида
( x{t) при t^K
' v f [0 при t > A,.
Возьмем произвольный ряд 2 С1 < °° (ck > 0) и определим функцию
k
y(t)?L2(—оо, оо) условием
ck>0 при ft —l<^<ft (ft = 0, ±1, ±2, ...)•
Нетрудно заметить, что совокупность всех линейных комбинаций век-
векторов вида (?(Р) — Е(а))у (а < р) сильно плотна в множестве всех
ступенчатых функций с бикомпактными носителями и, следовательно,
сильно плотна в пространстве L2(—оо, оо).
Унитарная эквивалентность самосопряженных операторов.
Два самосопряженных оператора Нг и Н2 в /t-мерном гильбертовом
пространстве X называются унитарно эквивалентными, если суще-
существует такая унитарная матрица U, что Hx = UHJJ~l. Известно, что
операторы Нх и Н2 унитарно эквивалентны тогда и только тогда,
когда эти операторы имеют одни и те же собственные значения со-
соответственно одних и тех же кратностей. Таким образом, собствен-
собственные значения и их кратности являются унитарными инвариантами
самосопряженной матрицы.
Исследование вопроса об унитарных инвариантах самосопряжен-
самосопряженных операторов в бесконечномерных пространствах восходит к работе
Хеллингера [1], опубликованной в 1909 г. См. также М. Стоун [1].
В указанных работах рассматривалось сепарабельное гильбертово
пространство. Результаты, относящиеся к несепарабельным гильбер-
гильбертовым пространствам, см. в работах Веккен [1], Накано [1], а также
Халмош [2]. Иосида [13] доказал следующую теорему.
Пусть Н — произвольный самосопряженный оператор в гильбер-
гильбертовом пространстве X. Обозначим через (#)' совокупность всех
ограниченных линейных операторов, принадлежащих L(X% X), кото-
которые перестановочны с Я. Два самосопряженных оператора Нх и Н2
унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существует
взаимно однозначное отображение Т множества (НХУ на множе-
9. Разложение элемента пространства 446
ство (Н2У> устанавливающее изоморфизм колец операторов (Нх)' и
(#2)' таким образом, что (Т - В)* = Т - В* для всякого В?(НХ)'.
Таким образом, алгебраическая структура кольца (Нх)' предста-
представляет собой унитарный инвариант самосопряженного оператора Hv
9. Разложение элемента пространства. Условие
отсутствия непрерывного спектра
Пусть Я= Г kdE(k)— самосопряженный оператор в гильберто-
гильбертовом пространстве X. Ввиду свойств ?(-|-оо) = / и Е(—оо) = 0
с оператором Н можно связать представление всякого элемента
х ? X в виде
х= s-lim J dE(k)x = s-l\m (fi(A,)—?(A1))jc, x?X.
A)
Иногда в конкретных случаях легче найти резольвенту (А,/—//)",
чем построить спектральное разложение Н = f k dE (к). Тогда вместо
разложения A) удобнее воспользоваться формулой
+ ((«4- iv)l—H)~ lxdu\, x?X, A0
i J
к выводу которой мы сейчас переходим.
Доказательство формулы (V). Если уФО, то
для всех л;?Л\ Действительно, аппроксимируя интеграл римановой
суммой и учитывая соотношение Е (X) Е (А/) = Е (min (А,, V)), мы при
Im (fx) ^ 0 получаем
446 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
оо
откуда видно, что
00
— H) J u + il_
при всех х?Х, т. е.
J u + il-X
— ОО
Поэтому
~l
— to)/ — H)~lxdu+
H)~xxdu
-с»
оо
= J
—to—)+
о Э
Последнее выражение при г; \ 0 сильно сходится к
J
а+о
= n/(fi(P) + fi(p — О))лг —
откуда и вытекает формула (I')-
Замечание. В работе Г. Вейля [2] строилось разложение по соб-
собственным функциям для дифференциального оператора второго по-
порядка вида
J 2nldE(X)x+ni(E(p) —E(p —
о
—Е(а — О))х =
a — 0))xt
9. Разложение элемента пространства 447
где q(x)<—непрерывная функция на открытом интервале (а, Ь). Эта
задача разрабатывалась далее М. Стоуном [1] и была решена окон-
окончательно Титчмаршем [2] и Кодаира [1), которые привели явные
формулы для этого разложения. Это разложение представляет собой
конкретное применение формулы A). Трудным моментом в этой тео-
теории является вопрос о возможности выбора граничных условий на
концах х — а и х — b, при которых оператор
становится самосопряженным оператором в гильбертовом простран-
пространстве L2(a, b). Эти исследования играют важную роль, поскольку они
позволяют выработать единый подход к классическим разложениям
теории специальных функций, таким, как разложения в ряды Фурье,
представления в виде интегралов Фурье, разложения по полиномам
Эрмита, по полиномам Лагерра и бесселевым функциям. Не вдаваясь
в подробности, мы отошлем читателя к цитированным выше книге
Титчмарша и работе Кодаира. См. также Наймарк [2], Данфорд —
Шварц [5] и Иосида [1|. В последней книге дано элементарное изло-
изложение этого вопроса.
Если самосопряженный оператор Н не имеет непрерывного спек-
спектра С0(Я), то разложение A) можно заменить разложением в ряд.
Имеет место
Теорема 1. Пусть Н= Г XdE(X)—вполне непрерывный само-
самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве X. Тогда A°)
непрерывный спектр С0(Н) не содержит вещественных чисел, за ис-
исключением, быть может, нуля; B°) совокупность всех собственных
значений оператора Н образует не более чем счетное множество
вещественных чисел, не имеющее предельных точек, кроме Х = 0\
C°) собственные подпространства Е^ оператора //, соответствующие
собственным значениям Яо Ф О, конечномерны.
Доказательство. Рассмотрим произвольный отрезок [А/, А,"]
вещественной оси, не содержащий точки А,*=0. Тогда область зна-
значений R(E(X") — Е(Х')) конечномерна. Действительно, если допустить
противное, то процесс ортогонализации Шмидта (гл. III, § 5) позво-
позволяет построить счетную ортонормированную систему {xj), содержа-
содержащуюся в области R(E(X") — Е(к')). Тогда, согласно неравенству
Бесселя
2 К/. */I2<НЛР Для всех/ 6 X.
существует равный нулю предел до- lim #, = 0. Но, так как опера-
/->00
тор Н вполне непрерывен, существует подпоследовательность [xj*)9
448 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
для которой s-lim Их у =ге;-Нт Их у — 0. С другой стороны,
/'->оо ;'->оо
f= J Wd\\E(\)x,.f= J
что противоречит полученному ранее предельному равенству. Итак,
мы показали, что подпространство R(E(k") — Е(К')) конечномерно.
Если непрерывный спектр С0(И) содержит число А,о Ф 0, то
по теореме 1 предыдущего параграфа s-lim (? (А,0-|-е)—? (Яо—е))лг = О
^0
для всех х?Х. Как показано выше, при достаточно малых е>0
область значений R(E(X0-{-г) — Е(Х0 — е)) конечномерна, причем ее
размерность монотонно убывает, когда е | 0. Поэтому (Е(К0-{-г) —
— Е (Хо — е)) = 0 при достаточно малом е > 0, и, следовательно,
по теореме 1 предыдущего параграфа число ^0 не может входить
в непрерывный спектр С0(Я).
Таким образом, теорема доказана.
Следствие 1, Пусть [Xj]—система всех отличных от нуля соб-
собственных значений самосопряженного оператора И. Тогда для любого
элемента х?Х справедлива формула
х = (Еф) — Е @—0)) x + s- lim Jb(E(kj) — E(kj — O))x. B)
/1
Доказательство. Формула B) вытекает непосредственно из пред-
представления A).
Следствие 2 (теорема Гильберта—Шмидта). Для всякого х?Х
h
//* = $-lim %к:(Е(ХЛ — ЕA, — 0))х. C)
J J J
Доказательство. Это равенство является следствием непрерыв-
непрерывности оператора И и соотношений И (Е @) — Е @ — 0)) = 0 и
H(E(kj) — E(lj- 0))x = lj(E(kj) — E(Xj — 0))x. Последнее ра-
равенство вытекает из того, что область значений R (E (kj)—E (Xj—O))
совпадает с собственным подпространством Е^ оператора Я, соот-
соответствующим собственному значению kj.
10. Теорема Петера — Вейля — Неймана 44Ф
Замечание. Сильно сходящаяся последовательность C) сходится
равномерно на единичном шаре {#; ||дг||<;1}. Действительно,
II l^| >e
= J >А/1| ?(>,)* IP
-e
10. Теорема Петера —Вейля —Неймана
Рассмотрим вполне ограниченную топологическую группу О,
метризованную с помощью функции расстояния, удовлетворяющей
условию (гл; VIII, § 5)
dis(лг, у) = dis{axb% ayb) для всех х, у, a, b?Q. A)
Пусть f(g) — равномерно непрерывная ограниченная комплексная
функция, определенная на группе О. Для любого е > 0 положим
B)
Вследствие непрерывности функции / множество V открыто и со-
содержит единицу е группы О. Поэтому пересечение U = V(]Vlt
где Vr" = {y", у?V), тоже представляет собой открытое множе-
множество, содержащее е. Введем теперь функцию
где
dlS^5? C)
. y)\
j
На основании предыдущего можно утверждать, что
функция k(x) ограничена и равномерно непрерывна на О;
*(*)=*С*-1). 0</5(д:)<1 на О; к(е)=1; D)
k(x) = 0 для всех х? UC.
Следовательно, для любых лг, ^6^ мы получаем неравенство
29 К. Иосида
460 X/. Нормированные кольца, спектральное представление оператордб
Взяв от обеих частей этого неравенства средние значения (гл. VIII,
§ 5 и 6), мы найдем, что
I My (ft (у) )/(*)- Му (ft (у) f (у-1*)) | < гМу (ft (у)).
Поскольку k (у) щк О и k (у) ^ 0, мы имеем Му (ft (у)) > 0. Поэтому
| /(*) — Му (ко(у) f (у 1х)) |<е, где k0(х) = ft (*)/Л!,(A(x)). E)
Вследствие инвариантности My (g (у-])) = Му (g (у)) = Жу (g (ay)) =?
среднего значения из E) вытекает оценка
— My(ko(xy-*)f(y))\<* при всех x?G. F)
Предложение 1. Обозначим через C(G) совокупность всех равно-
равномерно непрерывных ограниченных комплексных функций h(g)% задан-
заданных на группе G. Множество C(G) с нормой || Л ||0 == sup | Л CS") | об-
разует ^-пространство. При любых b, h?C(G) функция
(Ь X h) (х) = Му (Ъ (xy-i) h (у)) G)
тоже принадлежит пространству C(G).
Доказательство. Поскольку dis (д:, z) = dis (axe, azc) и функ-
функция b(g) равномерно непрерывна, для любого 6>0 можно указать
такое ц = ц F) > 0, что
при всех х, х', удовлетворяющих условию dis (х, х')
Поэтому, как и при выводе неравенства Шварца, мы приходим
к неравенству
| Му (b (*y-i) h (у)) - Му (b (x'y-i) h (у)) р <
< Му ((Ь(ху-1) -b(лг'у-1)J) • Afy(|A(y) р) <62ЖУ (| h(у) Р), (8)
справедливому при всех х% х\ для которых dis(Ar, лгО^Л- Отсюда
и вытекает справедливость предложения 1.
Предложение 2. Множество C(G) с обычными операциями сло-
сложения функций и умножения функций на комплексные числа и ска-
скалярным произведением
(ft. h) = (b X h*) (e) =* My (ft (y-i) Л (у-*)) = Afy (ft (у) Л (у)), (9)
где h* (у) = Л (у1)» образует предгильбертово пространство. Это
предгильбертово пространство мы обозначим через C(G).
Доказательство. Это утверждение доказывается очевидным об-
образом.
10. Теорема Петера — Вейля — Неймана 451
Предложение 3. Обозначим через C(G) пополнение предгиль-
предгильбертова пространства C(G). Норма гильбертова пространства C(G)
определяется как ||А|| = (А, АI/2. Линейное отображение Т простран-
пространства C(G) в себя
*6С A0)
непрерывно в пространстве С (О) и может быть продолжено до вполне
непрерывного линейного оператора 7\ отображающего гильбертово
пространство C(G) в себя.
Доказательство. Мы имеем Л1уA)=1, поэтому
= (А. ЛI/2 = Л1у(Л(у)ЛООI/2<8ир|А(у)| = ||А||0. A1)
у
Непрерывность оператора Т в пространстве C(G) вытекает из не-
неравенства Шварца для функции G), и, так как множество C(G)
плотно в гильбертовом пространстве C(G), можно расширить Т до
ограниченного линейного оператора f в C(G). Из (8) следует, что
оператор 7\ отображающий C(G) в С (О), вполне непрерывен — это
легко доказывается с помощью теоремы Асколи — Арцела. Таким
образом, учитывая A1), мы устанавливаем, что f — это вполне не-
непрерывный оператор, отображающий 6(G) в C(G).
Так как множество C(G) плотно в пространстве C(G)t продол-
продолженный оператор Т вполне непрерывен и отображает С (О) в себя.
Теперь мы можем перейти к изложению теории Петера —
Вейля — Неймана, касающейся представления почти-периодических
функций.
Из свойства ko(xy~l)= ko(yx~l) видно, что вполне непрерывный
оператор f является самосопряженным в гильбертовом пространстве
C(G). Согласно теореме Гильберта — Шмидта предыдущего пара-
параграфа,
п
fh — s- Jim 2 ктРк h равномерно по h при ||А||<:1, A2)
\ т
л -> оо т — \ т
где {А,т} — совокупность всех отличных от нуля собственных зна-
значений оператора 7\ a Pi — оператор проектирования на собствен?
ное подпространство оператора 7\ соответствующее собственному
р
значению %т.
т
Функция /(g*), определенная в начале этого параграфа, при-
принадлежит С (О), поэтому ff = Tf?C (О). Собственные подпро-
подпространства R(Pk \ = Pk -C(G) конечномерны, следовательно* для
29*
452 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
каждого собственного значения Хт существует конечная система [hm.]t
/=1,2 пт, элементов пространства С (О), таких, что всякий
элемент h?R(Pi )=P^ C(G) может быть единственным образом
представлен в виде линейной комбинации векторов hn XJ = 1 пт).
Запишем это разложение в виде
Pk h= ^Cjhmjt где С: — комплексные числа. A3)
т /1 j J
Тогда fhm. = hmhm , так как Ат ?/?(/\^). Поэтому, применяя не-
неравенство (8) к оператору 7\ определяемому формулой A0), мы-
видим, что элемент hm = k^l(Thm) должен принадлежать C(G). От-
Отсюда, учитывая A3), мы заключаем, что для каждого собственного
значения Хт оператора f собственное подпространство R(P\ ) =
= Pif • C(G) натянуто на элементы hm ?C(G).
Следовательно, согласно A2),
п
(Tf)(x) = 8-\im 2 hmfm(x) в сильной топологии про-
л->с» т—1
странства C(G), где fm = f\ • f?C(G) при каждом т.
Используя теперь для оператора Г, заданного выражением A0),
неравенство (8), мы видим, что
y() равномерно по х. A4)
я-*оо \ ш-1 /
С другой стороны, поскольку My (k0 (у)) = 1, из F) следует, что
\Mz(ko(xz-*)f(z))-Mz(ko(xz-i)My(ko{zy-i)f(y))\<?s.
Объединяя последнее неравенство с условием .F), получаем
ye, A5)
т. е. |/(*)-(Г2/)(лг)|<2е.
Вспоминая теперь, что TR (Рх \ ? R (Р^ \ мы можем сформу-
сформулировать полученные результаты в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Функция f(x) может быть равномерно аппроксими-
аппроксимирована на множестве О линейными комбинациями собственных функ-
функций оператора 7\ соответствующих отличным от нуля собственным
значениям.
Выберем теперь некоторое фиксированное собственное значение
ХфО оператора f и обозначим элементы базиса {hj} czC(G) соот-
соответствующего собственного подпространству /\-С(О)через ех(х),
10. Теорема Петера — Вейля — Неймана 453
е2(х) ek(x). Тогда вследствие инвариантности среднего значе-
значения мы для всякого элемента а ? О получаем соотношение
= My(k0(xa • а~1у~1)
Левая часть представляет собой результат применения оператора Т
к функции ej (у а) переменного у, поэтому при любом заданном а ? О
функция ej(xa) переменной х должна единственным образом выра-
выражаться в виде линейной комбинации функций ех(х)% е2(х) **(#)•
Таким образом,
k
ej(xa)= 2 dn(a)e((x) G=1, 2 ft), A6)
или в векторных обозначениях
e(xa)=:D(a)e(x). A60
Из равенств е(х • ab) = D (ab) e {x)t e (xa • b) = D(b)e (xa) =
— D(b) D(a)e(x) мы, учитывая линейную независимость элемен-
элементов ех(х), е2(х), .... ek(x\ заключаем, что
D(ab) = D(b)D(a) и D(e) — единичная матрица
порядка k. A7)
Применяя процесс ортогонализации, можно считать, что {ej(x)} —
ортонормированная система в С (О). Тогда из A6) следует, что
и поэтому элементы djt(a) матрицы D(a) принадлежат C(G). Ввиду
инвариантности среднего значения имеем
My (*j (У а) */ №)) = ^у (*j (У) et (у)) = б/у.
Следовательно, матрица D(a) определяет линейное преобразование
ортонормированной системы {ej(x)} в ортонормированную систему
[ej(xa)\. Поэтому матрица D(a) должна быть унитарной. Матрица
D(a)'t транспонированная к D(a), тоже унитарна и
D (ab)' = D (a)' D (b)\ D (е)' — единичная матрица
порядка k.
Таким образом, матрицы D(a)' дают унитарное матричное пред-
представление группы G, при котором матричные элементы представ-
представляют собой непрерывные функции от а. Полагая х = е в A6), мы
замечаем, что каждый элемент ej(a) является линейной комбинацией
матричных элементов представления D(a)',
454 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Таким образом, доказана следующая
Теорема 2 (Петер — Вейль— Нейман). Рассмотрим вполне ограни-
ограниченную топологическую группу О, метризованную с помощью функ-
функции расстояния, удовлетворяющей условию dis(jc, у) = dis (axb, ayb).
Пусть f(g)—комплексная ограниченная равномерно непрерывная
функция, заданная на группе О. Тогда функцию f(g) можно аппрок-
аппроксимировать равномерно на группе О линейными комбинациями мат-
матричных элементов унитарного равномерно непрерывного матричного
представления D(g)' группы О.
Вспоминая теорему Вейля из гл. VIII, § 5, мы получаем такое
Следствие. Пусть О—абстрактная группа и f(g) — почти-перио-
почти-периодическая функция на О. Функция f(g) может быть равномерно
аппроксимирована на группе G линейными комбинациями матричных
элементов унитарного матричного представления D(g)' группы О.
Замечание 1. Обозначим через d порядок матрицы D(g)' уни-
унитарного представления группы О. Каждая матрица вида D(g)' опре-
определяет линейное отображение некоторого фиксированного */-мерного
гильбертова пространства Xd на себя. Представление D(g)' назы-
называется неприводимым, если не существует отличного от {0} соб-
собственного линейного подпространства пространства Xй% инвариантного
относительно отображений D(g)'tg?G. Если же в Xd существует
собственное линейное подпространство Ха%хФ\$\% инвариантное по
отношению ко всем отображениям D(g)'\ g?G, то представление
D(g)' называется приводимым. В этом случае ортогональное допол-
дополнение Xj; 1 подпространства Xdi t в Xd тоже инвариантно относительно
всех D(g)\ так как матрицы D(g)'t g?Gt унитарны. Если за базис
пространства Xd принять ортонормированную систему, составленную
из ортонормированных базисов подпространств Ха,\ и Х^\% то пред-
представление D(g)' преобразуется к виду
(Dx(g)f 0 \
0 D2(g)T
где U — фиксированная унитарная матрица. Таким образом, приво-
приводимое унитарное представление D(g)' распадается на унитарные
представления Dl(g)/ и D2(g)' группы О, соответствующие гильбер-
гильбертовым пространствам Ха,\ и Х^\, в прямую сумму которых разла-
разлагается пространство Xd% или, как говорят, приводимое представле-
представление D(g)' разлагается в прямую сумму представлений Dx(g)' и
?*2 (?")'• Продолжая этот процесс, мы в конце концов придем к не-
некоторой фиксированной унитарной матрице Ud% такой, что пред-
представление UdD(g)'Udl разлагается в сумму неприводимых представ-
представлений группы О. Следовательно, в формулировках теоремы 2 и
следствия мы можем ввести требование, чтобы все матричные пред-
представления D(g)f были неприводимыми,
11. Двойственность и некоммутативные бикомпактные группы 455
Замечание 2. В частном случае, когда Q — аддитивная группа
вещественных чисел, неприводимое унитарное представление D(g)'
имеет вид
D (g)' = eiast где а — произвольное вещественное
число, / = ]/—1. A9)
В самом деле, поскольку унитарные матрицы D(g)\ g?Gt пере-
перестановочны, представление D(g)' разлагается на одномерные уни-
унитарные представления х(Ю> представляющие собой комплексные ре-
решения уравнения
il i x
B0)
Непрерывные решения уравнения B0), как известно, имеют вид
X(S) = eiag- Следовательно, всякая непрерывная почти-периодиче-
почти-периодическая функция f(g)> заданная на аддитивной группе Q вещественных
чисел, может быть равномерно на G аппроксимирована линейными
комбинациями функций eias с вещественными а. Этот факт составляет
содержание основной теоремы теории почти-периодических (по
Бору) функций. По первоначальному определению Бора [1] непре-
непрерывная функция f(x) (—со < х < оо) называется почти-периоди-
почти-периодической, если для всякого е > 0 существует такое положительное
число /? = /?(е), что всякий интервал вида (t, t-\-p) содержит по
крайней мере одно значение т, такое, что
| / (х -f т) — / (х) | < е при всех х ? (— оо, оо).
Бохнер [4] показал, что непрерывная функция f(x) (— оо < х < оо)
является почти-периодической по Бору тогда и только тогда, когда
выполняется следующее условие: для всякой последовательности ве-
вещественных чисел \ап) система функций lfa (jc); fa С*) = /С* + #я)}
вполне ограничена в топологии равномерной сходимости в интер-
интервале (—оо, оо). Это утверждение было обобщено фон Нейманом [4]
на почти-периодические функции на группе. Результаты фон Ней-
Неймана содержат как частный случай теорию Петера — Вей ля [1] не-
непрерывных представлений бикомпактных групп Ли. Результат Бора
может быть получен непосредственно из приведенных здесь и ранее
результатов, так как если \s — / | -> 0, то [sup | / (asb) — / (atb) \ ] -> 0.
//. Теорема двойственности для некоммутативных
бикомпактных групп
Пусть О — бикомпактная {топологическая) группа. Это озна-
означает, что группа О является одновременно бикомпактным тополо-
топологическим пространством, причем отображение
(х, у)->ху~1
456 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
топологического произведения О X О на пространство G непре-
непрерывно.
Предложение 1. Всякая непрерывная комплексная функция /(?*),
определенная на бикомпактной группе G, равномерно непрерывна
в следующем смысле:
для любого е > 0 существует такая окрестность U (е)
единичного элементае группы О, что | /(л:)—/(у) | <С е A)
при всех х, у, для которых ху~1 ? U (е) или х~ху ? U (е).
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна в каждой
точке a?G, для любого е > 0 и всякого элемента а?О найдется
такая окрестность Va точки а, что для всех x?Va выполняется
неравенство | / (х) — / (а) \ < е/2. Рассмотрим окрестность Ua эле-
элемента е вида Ua = Vaa~l = [va~l; v?Va). Очевидно, что если
ха~' ? Uд, то \f(x) — f (а) | < е/2. Обозначим через Wa такую
окрестность элемента е, что W2a S Ua% где W2a = {w\W2\ Wi ? Wa
(f=l, 2)}. Ясно, что система всех открытых множеств вида Wa»at
где а — произвольный элемент группы О, покрывает все простран-
пространство О. В силу4 бикомпактности О существует конечное множество
{аь\ /=1, 2 п), такое, что система открытых множеств
Wa. •#/(/= 1, 2, ..., п) покрывает О. Обозначим через U(е) пересе-
пересечение всех открытых множеств системы {Wa/}. Множество U(е)
является, очевидно, окрестностью элемента е. Покажем, что если
xy~l?U(e)t то \f(x) — /(у)|<е. Действительно, поскольку си-
система множеств Wa • at покрывает G, найдется такой номер &, что
уа^1 ?Wa cUa , и поэтому |/(у) — /(ak)|<е/2. Кроме того,
, так что
Из последних двух неравенств мы заключаем, что |/(.v) — e
Начиная с окрестности Vа элемента е, обладающей тем свойст-
свойством, что если x~xa?Ua, то )/(#) —f(a)\ < е/2, мы получим
такую окрестность U(е) элемента е, что из условия x~ly?U(e)
будет следовать неравенство |/(лг) — /(у)| < е. Взяв пересечение по-
построенных выше двух окрестностей вида 0 (е)% мы и получим окрест-
окрестность, существование которой утверждается в формулировке пред-
предложения 1, /
Следствие. Всякая непрерывная комплексная функция f(x), за-
заданная на бикомпактной группе G, почти-периодична на О.
Доказательство. Пусть U(e) — окрестность элемента е, фигури-
фигурирующая в предложении 1. При любом a?G множество U(e)a пред-
представляет собой окрестность элемента а. Система открытых множеств
[U(e)a;a?G] покрывает бикомпактное пространство О, поэтому
некоторая конечная система {U(e)at; /=1, 2 п) тоже покры-
покрывает О. Значит, для всякого a?G найдется некоторый элемент вида
//. Двойственность и некоммутативные бикомпактные группы 457
ak с номером k < п, такой, что аа~1 ? U (е). Но так как (ax)(akx)~l«
=хаа~1, отсюда следует, что sup|/(ajc) — f(akx)\<e. Аналогично
X
строится конечная система элементов {bj\ /=1, 2 т}, такая,
что для любого элемента b ? О существует элемент вида йу с но-
номером j <; m, удовлетворяющий неравенству
sup | / (atxb) — /(a^bj) | < e.
Поэтому для любой пары элементов a, b?G мы можем найти такие
ak и bj(k^nt J<^m)t что
sup | / (a*ft) — / (akxbj) |< 2e.
Это показывает, что множество функций {fatb(x); fa%b(x) = /(алгй),
at6^O} вполне ограничено по норме ||A|| = sup |A(jc)|. Следова-
X
тельно, непрерывная функция f(x), заданная на группе О, почти-
периодична.
Теперь можно обобщить результаты Петера — Вейля — Неймана,
изложенные в предыдущем параграфе, распространив их на непре-
непрерывные комплексные функции f(x)t заданные на бикомпактной
группе О. Для такой функции f(x) и для любого е>0 определим
множество
Множество V содержит элемент е и ввиду непрерывности функции /
является открытым. Пространство О нормально, поэтому,, согласно
теореме Урысона, существует такая определенная на О непрерывная
вещественная функция kx (x)t что
0<Ai(*)<l при x?Q, kx(e)=lt kx(x)=:Q для всех x?Vc.
Тогда непрерывная функция
ik(*)=2-|(ftI(*)+ftI(jf)) B)
удовлетворяет условию k(x~l) = k(x) и
при
= 0 для всех x?Uct где U = V[)Vl.
Поэтому если обозначить В-пространство всех непрерывных ком-
комплексных функций А (а:), определенных на группе О, с нормой
| = sup|A(x)| через C(G), то можно определить линейный опера-
тор Г, отображающий пространство C(G) в себя, полагая
458 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Здесь, как и в предыдущем параграфе,
ko(x)=k(x)IMx(k(x)) D)
и C(Q) — предгильбертово пространство, которое получается из C(G),
если ввести скалярное произведение
')• E)
Отсюда, как и в предыдущем параграфе, мы приходим к следую-
следующей теореме.
Теорема 1. Всякая непрерывная комплексная функция f(g), за-
заданная на бикомпактной группе О, почти-периодична и может быть
равномерно аппроксимирована на О линейными комбинациями матрич-
матричных элементов непрерывных унитарных неприводимых матричных
представлений группы G.
Два матричных представления A{(g) и A2(g) группы О мы назо-
назовем эквивалентными, если существует такая фиксированная невы-
невырожденная матрица В, что В"ХАХ (g) В = А2 (g) для всех g ? О.
Предложение 2 (лемма Шура). Если представления Ax(g) и A2(g)
неприводимы и не эквивалентны, то не существует никакой матрицы В,
кроме В = 0, для которой тождественно относительно g ? О выпол-
выполнялось бы условие
Ax{g)B = BA2{g). F)
Здесь подразумевается, что В — прямоугольная матрица, имеющая пх
строк и п2 столбцов, где л,, п2 — соответственно порядки матриц
^i(e) и A2(g).
Доказательство. Обозначим через Хх и Х2 линейные простран-
пространства, в которых действуют соответственно линейные преобразования
Ax(g) и A2(g). Матрицу В в F) можно рассматривать как матрицу
линейного отображения х2->хх = Вх2 пространства Х2 в Хх. Линей-
Линейное подпространство пространства Xv состоящее из векторов вида
хх = Вх2, инвариантно по отношению к преобразованию Ax(g), так
как Ах (g) х{ = Вх2, где х2 = А2(g) х2 ^ Хг Из неприводимости пред-
представления Ax(g) мы заключаем, что либо Вх2 = 0 для всех х2?Х2,
т. е. ^ = 0, либо ХХ = ВХ2. С другой стороны, множество векто-
векторов х2 пространства Xv таких, что Влг2==0, инвариантно по отно-
отношению к преобразованию A2(g)9 так как для таких элементов
BA2(g)х2 = Ах (g)Вх2 = 0. Представление A2(g) также неприводимо,
поэтому либо Вх2 = 0 для всех х2 ^ Х2 и тогда В = 0, либо х2 = 0 —
единственный вектор пространства Х2, такой, что Вдг2 = 0. В послед-
последнем случае различные векторы пространства Х2 переводятся линейным
отображением В в различные векторы пространства Хх. Это озна-
означает, что при В Ф 0 отображение В-пространства Х2 на Хх взаимно
однозначно. Отсюда следует, что матрица В невырожденная (пх = п2)
И. Двойственность и некоммутативные бикомпактные группы 459
и представления Ax(g) и A2(g) эквивалентны, а это противоречит
сделанным предположениям.
Предложение 3 (соотношения ортогональности). Пусть Ax(g) =
= (я)у(?>)) и A2(g) = (a%l(g)\ — непрерывные унитарные неприводи-
неприводимые матричные представления бикомпактной группы О. Тогда спра-
справедливы следующие соотношения ортогональности:
= 0, если Ax(g) и A2(g) не эквивалентны;
= я-1о/Ло„, где пх — порядок матрицы Ах (g).
Доказательство. Обозначим порядки матриц A^g) и A2(g) соот-
соответственно через пх и п2. Возьмем произвольную прямоугольную мат-
матрицу В из пх строк и п2 столбцов и положим A(g)=z Ax(g)BA2(g~l).
Тогда матрица A = Mg(A(g)) удовлетворяет условию Ax(g)A =
= AA2(g). В самом деле, в силу инвариантности среднего значения
g
= Mg(Al(yg)BA2((yg)-1)) = A.
По лемме Шура матрица А должна быть нулевой. Положим B = jt
где все элементы, кроме одного, скажем bjl% равны нулю. Тогда,
согласно условию унитарности A2(g~l) = A(g)', мы получаем
Далее мы, как и выше, получаем, что Al(g)A==AAl(g)t где
А = Mg(Ax(g)BAx(g~1)). Обозначим через а любое из собственных
значений матрицы А. Для матрицы (Л —а/Л1), где /я, — единичная
матрица порядка nv выполняется равенство
Al(g){A-a/lh) = (A-ar,l)Al (g).
Тогда по лемме Шура матрица (А—a/rtl) либо невырожденна, либо
(А — а/Л1) = 0. Первая возможность исключена, так как a — собствен-
собственное значение А% поэтому Л=а/Я|. Взяв след \х (сумму диагональ-
диагональных элементов) обеих частей равенства
A = Mg(Ax(g)BAx(g-i)),
находим, что
Выбрав теперь матрицу B = (bjt) так, чтобы 6^=1, а все про-
прочие элементы равнялись нулю, мы из равенства
видим, что
460 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Следствие. Существует множество U взаимно неэквивалентных
непрерывных унитарных неприводимых матричных представлений
U(g) = (uij(g)) бикомпактной группы О, удовлетворяющее следую-
следующим трем условиям:
A°) для любой пары различных точек gv g2?G существует такая
матрица U(g)?\\, что U(gx)ФU(g2)\
B°) если U(g)?l\, то комплексно сопряженное представление
U (g) тоже входит в U;
C°) если Ux (?"), U2(g)? U, то произведение представлений
^iG=f)X ^(S*)» определенное ниже, разлагается в прямую сумму
конечного числа представлений, принадлежащих it.
Доказательство. Произведение представлений Ux (g) X U2 (g)
определяется следующим образом. Обозначим через (е\, е\ е]\
и (е\% е\ efy ортонормированные базисы конечномерных гиль-
гильбертовых пространств, в которых действуют соответственно опера-
операторы Ul(g) и 02(g). Произведение этих гильбертовых пространств
натянуто на произведение базисов, состоящее из пт векторов
*)Х *у (*= !• 2 п\ j = 1, 2 т). По отношению к этому
базису произведение Ux(g)X^2(g) представлений Ul{g)^=z[
и U2(g) = (u2M(g)) определяется формулой
(t/i (g) X U2 (g))(e\X e)) = 2 «J/ (g) *\i № (e\ X e)\
Рассмотрим максимальную систему It взаимно неэквивалентных
непрерывных неприводимых унитарных представлений U (g), удовле-
удовлетворяющую условию B°). Тогда из теоремы 1 легко выводится усло-
условие A°). Условие C°) тоже выполняется, так как произведение уни-
унитарных представлений унитарно и разлагается на неприводимые
представления, принадлежащие семейству U.
Теперь мы можем перейти к формулировке теоремы двойствен-
двойственности (теоремы Таннака). Обозначим через Ш совокупность всех
полиномов Фурье
т. е. конечных линейных комбинаций элементов ufj(g), где (и{»> (#)) ? U
и yW — комплексные числа. Множество Ш с операцией умножения
элементов, определенной как умножение функций, представляет собой
кольцо с единицей и (единицей служит функция «(#•)== 1 при g?B);
в этом кольце операции сложения элементов и умножения элементов
на комплексные числа определяются как операции сложения функций
и умножений функций на комплексные числа. Пусть Z — множество
всех линейных гомоморфизмов Т кольца 9) на поле комплексных
чисел, удовлетворяющих условиям
Ги=1, Тх = Тх (черта означает переход к комплексно
сопряженным выражениям). (8)
И. Двойственность и UeKOMMytaTueHbie бикомпактные группы 461
Семейство X. не пусто, так как каждый элемент g ? О порождает
такой гомоморфизм Т :
T = x(g). (9)
Из условия A°) для U видно, что
если gx*gv то Tgi + Tg%. A0)
Предложение 4. Множество X можно рассматривать как группу,
содержащую О в качестве подгруппы.
Доказательство. Определим произведение Т=Т{-Т2 в X сле-
следующим образом. Обозначим через
(/,/=1, 2 па)
представления, входящие в U. Для элементов u[aJ (gh) =2 tt/* Of) «(Ла] (Л)
положим
Из соотношений ортогональности G) видно, что функции вида «<«> (g)t
где (и(Ж?Г)NИ, линейно независимы на G. Это позволяет линейно
продолжить оператор Т на все кольцо 91. Нетрудно видеть, что про-
продолжение Т принадлежит % и что множество Z с операцией умно-
умножения Т = ТХ'Т2 представляет собой группу. В этой группе % еди-
единицей служит элемент Те (е — единица группы О) и Tgl = Tg~l.
Группа О, как вытекает из A1) и A0), может быть изоморфно вложена
в группу Z с помощью соответствия g «-> Tg.
На самом деле имеет место следующий более тонкий результат.
Теорема 2 (Таннака). Соответствие g <-* Tg определяет изомор-
изоморфизм групп О и J, т. е, O = Jb том смысле, что каждый элемент
Т? X равен некоторому отображению вида Tg:
Tx = x(g) для всех лг? Я. A2)
Доказательство. Введем в группе X слабую топологию, считая
множества вида
{Т?Х; ir^-Г^Ке, (/=1, 2, .... п)} A3)
окрестностями единичного элемента Те?Х. Группа X с такой топо-
топологией образует бикомпактное топологическое пространство. В самом
деле, из условий (8) и A1) видно, что 2 \Tu$(g)\2 = (T - 7*)A)= 1.
а это означает, что X можно рассматривать как замкнутое подмно-
подмножество топологического произведения
462 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
бикомпактных пространств, к которому можно применить теорему
Тихонова. Нетрудно видеть, что изоморфное вложение g^^^g
является топологическим отображением, ибо взаимно однозначное не-
непрерывное отображение одного бикомпактного пространства на другое
представляет собой топологическое отображение. Таким образом, О
можно рассматривать как замкнутую подгруппу бикомпактной группы 2.
Каждый элемент x(g)?4fl порождает определенную на бикомпакт-
бикомпактной группе 2 комплексную функцию х(Т)~Т • х, которая непре-
непрерывна в слабой топологии пространства 2, причем х (Т ) = х (g).
Множество всех таких непрерывных функций х(Т) образует кольцо
siiB) непрерывных комплексных функций, заданных на ?, удовле-
удовлетворяющее следующим условиям:
1) 1 = «G) 6W (Ж);
2) для любой пары различных точек Tv Т2?2 существует такая
функция х(Т) 6sJt(J). что х(Гх)фх(Г2)\
3) если л: G*) ? JR B), то комплексно сопряженная функция
х(Т) = х(Т) также принадлежит 91B).
Допустим теперь, что множество Ж— О не пусто. Так как би-
бикомпактное пространство 2 нормально, мы можем воспользоваться
теоремой Урысона и утверждать, что существуют точка То ? B — G)
и непрерывная функция у (Г), заданная на 2, такие, что
3>0О>0 при Г 6 Ж. y(g) = y(Tg) = 0 при g^O, у(Т0)=\.(\4)
Так как кольцо ffiB) удовлетворяет условиям 1)— 3), мы
можем (см. введение) применить к нему теорему Стоуна — Вейер-
штрасса. Таким образом, для любого е > 0 найдется функция
jc(«•) = SYjy«S^(в"N8*. такая» чт0 \yiT) — ^i^u(fj(T)\<:^ при
всех Т?2 и, в частности, \y(g) — 2YWtfW(S)I < 8 Для всех зна-
значений g?G. Мы можем, не ограничивая общности, допустить, что
wno) (ё) =и (ё) = 1 и чт0 ^i^ входит в линейную комбинацию
x(S) = ^yfJu{iJj(g) (можно считать, что yA<}o) = O). Взяв от выраже-
выражений у (Т) — 2 У{$и$ (?) и У (ё) — 2 Y($#(/y (g) средние значения
(соответственно в бикомпактных группах 2 и О) и используя соот-
соотношения ортогональности G), мы получаем
|ЛГг(у(Г))-^|<е, \Mg(y(g))-yW\<t. A5)
Но неравенства A5) не могут одновременно выполняться, так как
из условия A4) видно, что Mg(y (#))== 0 и Мт(у(Т)) > 0. Полу-
Полученное противоречие доказывает теорему.
Замечание 1. Приведенное выше доказательство теоремы Таннака
взято из работы Иосида [14]. Первоначальное доказательство см.
в работе Таннака [1]. Поскольку непрерывное неприводимое унитар-
12. Функции самосопряженных операторов 463
ное матричное представление бикомпактной абелевой группы О опре-
определяется непрерывной функцией % (g) на G, удовлетворяющей условиям
ft) и lxte)l = 1.
из теоремы Таннака вытекает как частный случай известная теорема
двойственности Понтрягина [1]. Дальнейшие ссылки см. в книге
Наймарка [1].
Замечание 2. При определении средних значений непрерывных
функций fk(g) (Л = 1, 2, ..., т) (заданных на G) методом, данным
в гл. VIII, § 5, следует заменить прежнюю функцию расстояния
метрикой
dtetei. ft)= sup l/ikteffi*) —/*teft*)|.
f\ h?G;
, 2, .... m
12. функции самосопряженных операторов
Пусть А/== Г XdE(k) — спектральное разложение самосопряжен-
самосопряженного оператора /У, заданного в гильбертовом пространстве X. Для
произвольной комплексной бэровской функции /(Я) рассмотрим
множество
D(J{H)) =
; J
A)
где интеграл берется относительно меры Бэра mt определенной фор-
формулой m((Xv Я^1) = ||?(Я^)л;|р — ^(А,,)^!!2. Как и в случае непре-
непрерывных функций /(А,), рассмотренных в гл. XI, § 5, нетрудно убе-
убедиться в том, что интеграл
f(l)d(E(l)x, у), x?D(f(H)), ye*. B)
взятый относительно бэровской меры т, которая определяется соот-
соотношением m((kv k2\) = (E(l2)x, у) — (Е(Хх)х, у), существует и
конечен. Кроме того, выражение B) как функция аргумента у пред-
представляет собой величину, комплексно сопряженную некоторому огра-
ограниченному линейному функционалу. Поэтому выражение B) можно
в соответствии с теоремой Рисса об общем виде непрерывного линей-
линейного функционала в гильбертовом пространстве (§ 6 гл. III) записать
в виде скалярного произведения (/ (Н) х, у), где z = f (И) х?Х.
Это позволяет с помощью A) и B) определить линейный опера-
оператор f(H)> являющийся функцией самосопряженного оператора //:
оо
/(")--= J/tt) </?(*). C)
464 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Пример 1. Если Я— ограниченный самосопряженный оператор
и /(Я)= 2 (ХуДЛ то, как и в гл. XI, § 5,
Пример 2. Если /(А,) = (А,— 0(^4""'• т0 оператор /(Я) совпа-
совпадает с преобразованием Кэли Uн оператора Я. В самом деле, в этом
случае D(/ (Я)) = Л', так как | / (К) | = 1 при вещественных Я.
Кроме того, ?(Jl,)?(A^) = iE1(niin(>l1, A,2)), и поэтому если составить
1
произведение ограниченного самосопряженного оператора (Я—//)'1 =
= J (k — t)~ldE(X) на оператор /(Я) = J f(K)dE(k\ то получится
оператор (H-\-llj~x = J (A.-+ i)~ldE(k). Следовательно, f(H) = UH.
Пример 3. Как и в § 5 гл. XI, мы имеем
оо
||/(Я)*|Р= J|/(A,)prf||?(*)*|P при всех x?D{f{H)). D)
Определение. Рассмотрим в гильбертовом пространстве X не-
некоторый линейный оператор А, не обязательно ограниченный, и огра-
ограниченный линейный оператор В, Если
для всякого x?D(A) мы имеем Bx?D(A) и АВх = ВАх, E)
т. е. если АВ^эВА, то мы будем писать В?(Л)' и говорить, что
оператор В перестановочен с А. Таким образом, через (А)' обозна-
обозначается совокупность всех ограниченных линейных операторов, пере-
перестановочных с А.
Теорема 1. Для всякой функции /(Я) самосопряженного опера-
оператора И = \ XdE(X)t определенного в гильбертовом пространстве X,
справедливо соотношение
F)
т. е. всякий ограниченный линейный оператор, перестановочный с Я,
перестановочен и с оператором /(Я). (Так как, согласно теореме 2
гл. XI, § 5, Е(Х)?(Н)\ то мы видим, в частности, что всякий
оператор Е(А,) перестановочен с /(Я).)
Доказательство. Пусть S? (Я/. Покажем, что оператор «S пере-
перестановочен со всяким оператором Е(Х). Для этого убедимся сначала
в том, что оператор 5 перестановочен с преобразованием Кэли Uн
оператора Я. Возьмем произвольней элемент x^D(H)\ тогда? по-
12. Функции самосопряженных операторов 465
скольку 5 6 (Я)',
S(H + iI)x = (H + iI)Sxt (H — il)Sx = S(H — il)x.
Полагая (H-\-if)x = y, мы из первого равенства заключаем, что
Поэтому
(H-\-lf)~lSy = S(H + И)~1 у для всех
т. е. SUH = UHS.
Поскольку оператор 5 перестановочен с Uн, он перестановочен
2
2л
и с любой его степенью (UH)n = J eniQ dF (в) (л = 0, ±1. ...) и,
о
следовательно,
2я / 2rt \ 2я
eni*d(SF(Q)x, l J ]
Отсюда, как и при доказательстве единственности спектрального
разложения унитарного оператора в § 4 гл. XI, мы находим, что
SF(Q)=F(Q)S. Это показывает, что SE(k) = E(k)S, так как
Я(—ctg9)=/7(9). Таким образом, для x?D(f(H))
(S J f(k)dE(k)x, y)= J f(k)d(SE&)xt y)= J f(k)d(E(X)Sxt y),
т. e. Sf(H)Sf(H)S.
Доказанная теорема допускает следующее обращение.
Теорема 2 (Нейман — Рисе — Мимура). Пусть самосопряженный
оператор Я определен в сепарабельном гильбертовом пространстве X.
Рассмотрим в X замкнутый линейный оператор Г, такой, что
D(T)a — X. Для того чтобы оператор Т был равен некоторой
функции /(Я) оператора Я, где f(k) — всюду конечная бэровская
функция, необходимо и достаточно, чтобы
(Г/Э(Я/. G)
Доказательство. Мы должны лишь доказать, что условие G)
является достаточным. Можно считать оператор Я ограниченным,
ибо в противном случае можно перейти к оператору Я1==агс1§Я.
Так как | arctgA, )<;я/2, оператор Я, является ограниченным и само-
самосопряженным. По теореме 1 оператор H = tgHl перестановочен
с любым оператором из семейства (Я,/. Таким образом, по уело*
вию теоремы
GУЭ(//)'Э (//,)',
30 К-
466 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Если теорема будет доказана для оператора Hv то
где f2(l) =
Итак, будем считать, чтэ//—ограниченный самосопряженный оператор.
Первый этап. Для всякого фиксированного элемента х0 ? D (Т)
мы можем найти такую бэровскую функцию F(k)t что Тхо = F{H)xQ.
Это построение проводится следующим образом. Обозначим через
М(х0) наименьшее замкнутое линейное подпространство простран-
пространства X, натянутое на векторы xQt Нх0, Н2х0, ..., Нпх0, .... Пусть
L — оператор проектирования на подпространство М(х0). Тогда
(T)'$L. В самом деле, НМ(х0)^ М(хо)% поэтому HL = LHL и
LH^=(HL)* = (LHL)*=LHL = HL, т. е./,?(//)'. Отсюда, согласно
условиям теоремы, {T)f^L.
Следовательно, Тх0 = TLx0 = LTx0 ? М (л:0), и поэтому найдется
такая последовательность [рп(Щ полиномов рл(^), что
Q. (8)
л-»оо
Тогда, согласно формуле D),
оо
|| р„ (Н) xo-pm(H)xotf=j\pn (X) - pm (Я.) fd\\E (X) х0 |р.
— ОО
Теперь, как и при доказательстве полноты пространства L2(S, 93, m),
мы приходим к выводу, что существует бэровская функция F(X)
с интегрируемым квадратом относительно меры mt определяемой
условием m((kv k2] ) = ||?(А,2)л;0||2 — ЦЕ^)^^, такая, что
оо
lim f| F(l) -pn(X)\U\\E(l)xof = O.
/l->oo J
—со
Следовательно, для оператора F(H) имеет место соотношение
lim ||(/>(//)-/>„(//))*„|Р =Hm
П-+О0 /1->ОО
—оо
Это показывает, что Тхо= F(H)x0. Функция F(X) конечна m-п. в.
(имеется в виду мера /и, определенная условием m((Xv Я2]) =
= || Е (Я2) а:0 ||2 — || Я (Кх) х01|2), поэтому, переопределяя F (X) в тех
точках, где |/7(Х)| = оо, например полагая ^(^^О в таких точках,
мы приходим к всюду конечной бэровской функции F(k)t удовле-
удовлетворяющей поставленным ранее требованиям.
Второй этап. Поскольку пространство X сепарабельно и
a = Xi можно выбрать счетную последовательность [gn] с D(T),
12. Функции самосопряженных операторов 467
сильно плотную в X. Положим
/l = SV /2 = #2-^2> •-.. fn = gn-yZiLkgn> (9)
где Lk — оператор проектирования на замкнутое линейное подпро-
подпространство M(fk).
Согласно первому этапу доказательства, (T)'$Lkt поэтому
Lkgn?D(T\ откуда следует, что fn?D(T) (д=1, 2, . . .). A0)
Покажем теперь, что
/,^ = 0 при 1фк A1)
и
'=2Х A2)
fc-1
Предположим, что равенство A1) доказано для /, k < п. Тогда
при /< п
V.=L^n - h (% ^.) = L,sn - Це. = hen - Ltin=0.
Lfl*'fH = H*'LJu = Q (ft'=l. 2, ...)•
Последнее означает, что подпространства M(fn) и M(ft) взаимно
ортогональны и, следовательно, LiLn = LnLi-=Q. Таким образом,
свойство A1) оказывается справедливым для всех значений /=?&.
оо
Введем теперь оператор Р = 2 Lk и убедимся в том, что Р#л = ^л
(я=1, 2, ...). Действительно, из равенств (9) следует, что
Кроме того, Pfn=zfn, так как fn?M(fn). Поэтому, ввиду того
что, как показывает условие A1), PLk = Lkt мы получаем Pgn = gn
(#=1, 2, ...). Но множество {gn} плотно в пространстве Х\ сле-
следовательно, P = f.
Третий этап. Выберем такую последовательность \сп) положи-
положительных чисел, что существуют пределы
k 00
s-lim 2ся/я и 5-Игл 2<Я7УЯ.
Л-»оо л-1 Л-»оо я-1
Например, можно положить cn = 2~n(\\fn\\-\-\\Tfn\\yl. Оператор Т
замкнут; следовательно,
о 2я*€() о Уо2
я-1 /i-l
30*
468 XL Нормированные кольца, сйекЧраЛьНОе представление операторов
Отсюда на основании результатов, установленных на первом этапе
доказательства,
Txo = F(H)xo. A4)
Пусть В ? (НУ — ограниченный самосопряженный оператор. Тогда по
предположению В?(Т)'. Согласно теореме 1, оператор F(H) пере-
перестановочен с В, поэтому
Обозначим через еп (X) характеристическую функцию множества
и положим
nm где Рп =
Докажем, что
TPn = F(H)Pn. A6)
Для этого заметим, что из условия A1) и включения fm?M(fm)
со
вытекает равенство Lmx0 = 2 cn^mfn — cmfm- Следовательно, учи-
/1-1
тывая A5), мы приходим к соотношению
откуда видно, что для элементов А подпространства, натянутого на
векторы Hkfm при фиксированном т% мы имеем
F{H)Pnh = TPnh. A60
Эти векторы А образуют в подпространстве M(fm) плотное множе-
множество, и если индекс т пробегает все положительные целые значения,
то множество векторов А будет уже плотно во всем пространстве X.
Следовательно, мы Построили плотное в пространстве X, множество
векторов А, для которых выполняется равенство A6/).
По условию D) операторы Рп ограничены. Из доказанной ниже
теоремы 3 (операторное исчисление) следует, что оператор F(H)Pn
равен операторной функции Fn(H)t где
F(X) при
Таким образом, оператор Fn(H)= F(H)Pn ограничен.
Возьмем теперь произвольный элемент h*?X и выберем такую
последовательность {А^} линейных комбинаций hj векторов вида H*fm,
что A*=s-lim Ay. Из доказанного ранее следует, что такой выбор
У->оо
последовательности {Л} осуществим. Так как каждый оператор вида
12. Функции самосопряженных операторов 469
F(H)Pn непрерывен, то
F(H)Pnh* = s- lim F(H)Pnhj.
/->оо
Но 5- lim Pnhj = Pnh*, поэтому, принимая во внимание условие A6')»
У->оо
мы видим, что замкнутый оператор Т удовлетворяет равенству A6).
Четвертый этап. Пусть y?D(F(H)). Положим ул = Ялу. По-
Поскольку функция F(k) всюду конечна, s- lim Ял = /. Следовательно,
s- lim yn~s-\im Рпу = У- Таким образом, s- lim F(H)Pny =
= 5-lim Fn(H)y= F(H)y при всех y?D(F(H)), и ввиду свой-
ства A6) мы получаем, что Tzd
Пусть теперь y?D(T) и ул = Рпу. Тогда
Tyn = TPny=F(H)Pny (согласно A6)),
ТР„У = РпТу (так как Я, = «,(//) 6 («У)-
Из приводимой ниже теоремы 3 (операторное исчисление) следует
что функция F(H) оператора Н представляет собой замкнутый опе-
оператор. Поэтому, полагая в написанных выше равенствах я->оо, мы
получаем соотношение F (Н) э Г. Итак, доказано, что Т = F (Н).
Операторное исчисление
Теорема 3. A°) Пусть fjX) — функция, комплексно сопряженная
к функции /(X). Тогда О(/(Я))= D(J(H)) и для любых элемен-
элементов х. y?D{f{H))=D(f{H))
A7)
B°) Если x?D(f(H))t yeD(g(H))t то
, у). A8)
C°) Если x?D(f(H)), то(а/)(Я)д: = а/(Я)лг. Если x?D(f(H))(\
ПО((?)<")). то
(f+g)(H)x = f(H)x + g(H)x. A9)
D°) Если х?0(/(#)), то условие f(H)x?D(g(H)) эквивалентно
условию x?D«J-g)(H)), где (/ . g) (X) = f (k)g(X), и
. B0)
470 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
E°) Если функция f(fc) всюду конечна, го /(#) является нормаль-
нормальным оператором и
/(Я)* = /(//). B1)
В частности, если функция /(А) вещественна и всюду конечна, то
оператор f(H) самосопряженный.
Доказательство. A°) Равенство D(f(H)) — D(f(H)) очевидно;
кроме того,
со
(f(H)x. y)= j f(k)d(E(X)x, у) =
х) = (х. f(H)y).
B°) Как уже известно (теорема 1), оператор Е(к) при всех X
перестановочен с g(H). Поэтому
= $ f(X)d(E(X)x,
f(l)d(x,E(k)g{H)y) =
—ОО
00
— ОО
00
g(\x)d(y,E(ix)x)
—oo
oo
= J ni)g(l)d(E(X)x, y).
Утверждение C°) очевидно.
D°) Допустим, что элемент х удовлетворяет условию
Тогда, поскольку ?(А,)?(|л) = Е(пип(А„ \i))t из условия
J | ?(Ь) Ml E (*)/(//) * |р <оо
12. Функции самосопряженных операторов 471
ввиду перестановочности E(k) с f(H) следует, что
оо
<*>> j\g(ty\2d\\E(X)f(H)x\\* =
Эти вычисления могут быть проведены в обратном порядке, откуда
видно, что при x?D(f(H)) условия f{H)x?D(g(H)) и
х 6 & ((/ • S) (Н)) эквивалентны и
оо
(g(H)f(H)x, y)= j g(k)d(E(l)f(H)x, y) =
00
= jg(.l)f(l)d(E(X)x, y)^((g-f)(H)x, у).
E°) Положим h(l) = \f(l)\+a, k(k)=h(X)~\ g(l)=f (l)h(k)~\
где а — произвольное целое положительное число. Обе функции k(k)
и g(K) ограничены. Поэтому D(k(H)) = D(g(H)) = X. Но тогда
из D°) следует, что
/ (Я) = h (И) g(H) = g (H) h (H). B2)
Из A°) и равенства D(k{H))=X вытекает, что k(H)*=k(H),
т. е. оператор k (Н) самосопряженный. Из D°) видно, что x=s
= h(H)k(H)x для всех х?Х и x = k(H)h(H)x при х?D(h(Я)).
Следовательно, Л(Я) = k(H)~l. Отсюда на основании теоремы 1
р
гл. VII, § 3, мы заключаем, что оператор h (H) самосопряженный.
Поэтому область определения D(f(H))=D(h(H)) плотна в про-
пространстве X, что позволяет определить сопряженный оператор f(H)*<
472 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Покажем, что /(#)* = /(#). Обозначим через [у, у*} произвольную
пару элементов у, у*?Л\ удовлетворяющих условию (f(H)xt у) —
= (лг, у*) при всех л: ?D (/(//)). Тогда, согласно B2) и равенству
g(H)* — g(H) (которое следует из (Г)), мы получаем
(f(H)x. y) = (g(H)h(H)x, у) = (*(//)*. g(H)y).
Отсюда для элементов x?D(f (H))= D(h(H)) с учетом самосо-
самосопряженности оператора h(H) следует, что
Используя снова условие B2), мы находим, что /(Я)у = у*, и по-
поэтому /(//)* = /(Я). Значит, в силу D°) оператор /(Я) нормаль-
нормальный, т. е. /(#)*/(Я) = /(//)/(//)*. Теорема доказана.
Следствие. Если функция /(А,) всюду конечна, то оператор /(Я)
замкнут.
Доказательство. Это утверждение следует из того, что /(//)** =
= /(//)* = /(Я) = / (Я).
Историческое замечание. Теорема 2 первоначально была дока-
доказана фон Нейманом [7] для случая ограниченного самосопряженного
оператора Т (см. Рисе [5]). Общий случай произвольного замкнутого
линейного оператора Т был исследован Мимура [2]. Приведенное
в этой книге изложение заимствовано из работ Мимура [2] и Надя [1].
13. Теорема Стоуна и теорема Бохнера
Теорема 1 (Стоун). Пусть [Ut\ —оо < t < оо} —произвольная
однопараметрическая группа класса (Со) унитарных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве X. Тогда
где /,(>
А — инфинитезимальный производящий оператор группы {Ut}. A)
Обратно, для любого самосопряженного оператора Я, заданного
в гильбертовом пространстве X, семейство операторов
\Ut = ft (Я), ft (A,) = exp (ttk), — оо < t < оо}
образует однопараметрическую группу класса (Со) унитарных опера-
операторов Ut.
Доказательство. По доказанной ранее теореме о представлении
полугрупп
?/jt = s-lim
13 Теорема Стоуна и Теорема Вохнера 4?3
где оператор Н определяется условием 1Н = А. Поскольку функция
= exp(tik(\ — п-ЧХ)~1) по абсолютной величине не превосходит
txp((- ntl2)l(n2 + k2)), для оператора // = J ldE(X) = i~[A спра-
справедливо равенство
со
exp(«//(/-n-W)-V J
—оо
и, кроме того,
ехр(-р^рщ) - ехр(Пк) f d\\E(X)ж|р =
Это доказывает, что
Для доказательства обратного утверждения теоремы заметим, что
по теореме 3 предыдущего параграфа
/о <//) = /.
Кроме tofo, функция /,(//) сильно непрерывна в точке /
так как
при
Таким образом, операторы Ut^ftiH) образуют однопараметрическую
группу унитарных операторов класса (Со).
Замечание. Первоначальное доказательство этой теоремы см.
у М: Стоуна [2). Ср. с изложением фон Неймана [8). Другое дока-
доказательство этой теоремы, предложенное Хопфом [1], опирается на
следующую теорему Бохнера.
Теорема 2 (Бохнер). Для того чтобы непрерывную комплексную
функцию /(О» —°° < * < °9» можно было представить в виде
/@= je^dv(k), B)
—ОО
где v(K) — неубывающая непрерывная справа функция,
474 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
необходимо и достаточно, чтобы функция f (t) была положительно
определенной в следующем смысле:
C)
для всякой непрерывной комплексной функции ф с бикомпактным
носителем.
Доказательство теоремы 1, данное Хопфом, опирается на то, что
функция f(t) = (Utx, x) удовлетворяет условию C); это видно из
неравенства
оо оо оо оо
J J" (Ut_sx, х)ф(О?(F) dtds= J J (Utx. Usx
(оо
jq>(t)Utxdt,
ds =
Вывод теоремы 2 из теоремы 1. Обозначим через g совокуп-
совокупность всех комплексных функций х (t) (— оо < t < сю), которые
обращаются в нуль всюду, за исключением, быть может, конечного
множества значений t\ эти конечные множества могут быть различ-
различными для разных функций x(t). Введем в множестве g операции
у) (t) = x(t) + y @, (cu) (t) = ax @.
— (*)
(*. У)= 2 /С — s)A:(Oy(s) для любых х, у 63 О-
— СО</, 5 <ОО
Нетрудно видеть, что при этом для множества g выполняются все
аксиомы предгильбертова пространства, за исключением требования
лг = О, если (х, х) = 0. Условие (х, х)^>0 для всех х?§ следует
непосредственно из положительной определенности функции f(t).
Рассмотрим множество !Я= {# ?g;'(¦*• х) = 0}. Факторпростран-
ство g/5? с операциями х -|- у = (х + у), ax = (ax) и скалярным
произведением (jc , у) = (х, у), где х —класс вычетов mod ЭТ, со-
содержащий x^g, представляет собой предгильбертово пространство.
Пусть X — его пополнение. Определим для элементов х (t) ? g опе-
оператор сдвига ?/т:
E)
') Запись ^ / (^ — s) х @ у (s) означает здесь суммирование по
— O0<t, S <СО
всем значениям t (их число конечно), при которых выражение
f {t — s) x (t) у (s) отлично от нуля. — Прим. перев.
14. Каноническая форма самосопряженного оператора 475
Операторы Ux естественным образом распространяются на предгиль-
предгильбертово пространство X = §/9?. Эти операторы Ux удовлетворяют
условиям
(Uxxt Uxy) = (лг, у), UXUO = UX+O и ?/0 = /, F)
поэтому ?/т можно расширить до унитарных операторов 0х% задан-
заданных во всем гильбертовом пространстве X, которые образуют одно-
параметрическую группу \0х\ —оо<т<оо} класса (Со). Сильная
непрерывность операторной функции Ut по переменной t вытекает
из непрерывности функции f(t).
Применяя к группе [Ut] теорему Стоуна, мы находим, что
с»
0(= Г eitKdE(X). Выберем из множества g функцию
— схэ
1 при ? —т,
О при t Ф т,
где значение т фиксировано. Из соотношений D) и E) следует, что
/ (т) = (Uxx0, x0). Поэтому
/(т) =
что и завершает доказательство теоремы Бохнера.
Замечание. Идея использования положительно определенной
функции для построения предгильбертова пространства с опера-
операциями D) была использована в раЙоте Надя [3] для исследования
ряда интересных задач, относящихся к гильбертовым пространствам.
14. Каноническая форма самосопряженного оператора
с простым спектром
Пусть самосопряженный оператор И = \ X dE (X), заданный
в гильбертовом пространстве Х% обладает простым спектром (см.
§ 8 гл. XI). Тогда существует Элемент у ? Х% такой, что множество
{(?(Р) — Е(а))у\ а<Р} порождает линейное подпространство, плот-
плотное в X. Положим
V* У). (О
Ясно, что а (А,) — монотонная невозрастающая ограниченная и непре-
непрерывная справа функция. Обозначин через а (В) меру Бэра, опреде-
определенную на бэровских множества^ пространства R1, которая поро-
порождается функцией а ((а, Ь]) = а0) — а (а). Рассмотрим совокупность
476 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
?j(—оо, оо) всех комплексных измеримых по Бэру функций /(А,)
(— оо < X < оо), удовлетворяющих неравенству
(оо ч 1/2
Jl/Wc(rfX)J <oo.
Если условиться считать совпадающими всякие две функции
/, g(zL2a, которые совпадают о-п. в., и ввести в L2a скалярное произ-
оо
ведение (/, g% = Г / (К) g (A,) a (dk), то множество /.д превратится
—оо
в гильбертово пространство, для которого мы сохраним обозначение
Ll(— оо, оо).
Теорема. Поставим в соответствие каждой функции
/
?LCT(—оо, оо) вектор / гильбертова пространства X, определенный
равенством
со
/= jf(k)dE(l)y. B)
— ОО
Соответствие /(А,)—>/ является взаимно однозначным изометриче-
изометрическим отображением пространства L2a(—оо, оо) на X. Обозначим это
отображение через V: f = Vf. Тогда оператор Hx = V~lHV
в пространстве L2a(—оо, оо) есть не что иное, как оператор умно-
умножения на X:
и Я/(ЯN^(оо, сю)}
и (Я,/) (Я) = X/ (I) при всех / (Я) 6 D (Я,). ( }
Доказательство. Так как E(X)E(\x) = E(min(K \i)), мы имеем
оо
— ОО
со
—ОО
и поэтому
ой оо
(/, ?) = J / (X) d (Е (X) y,g)= | / (*,) Ш) о (d\) = (/, g)r D)
14. Каноническая форма самосопряженного оператора 477
Отсюда видно, что оператор V отображает область D(V)=Z,j(—оо, со)
на
I —
множество |/; /= Г / (X) dE (X) у, f?L2a(—сю, ее)
взаимно
однозначно, линейно и изометрично. Следовательно, область значе-
значений R(V) является замкнутым подпространством пространства X.
Но множество R(V) состоит из элементов вида \dE(X)y =
а
= (?(Р) — E(a))yt —оо < а < р < оо, и так как по предположе-
предположению оператор Н обладает простым спектром, R(V) = R(V)a = X.
Тем самым первая часть теоремы доказана.
Из равенства
на основании условия D) выводится соотношение
я.
(E(l)l g)= J f(V>)gW)o(d\i). E)
—оо
оо
Таким образом, неравенство Г h2d(E(X)f, /) < оо, эквивалентное
—оо
оо
условию / ? D (Я), равносильно требованию Г № | / (X) |2 a (dX) < оо.
—оо
При выполнении последнего условия из соотношения B0) § 12 гл. XI
вытекает формула
=:Hf= jkdE(k)f,
откуда ввиду условий D) и E)
8)а = (VlHVf, g)a =
-90
478 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
С другой стороны,
Поэтому
(H{f)(X)=Xf(l) о-п. в.,
что и завершает доказательство.
Замечание. Существует тесная связь между самосопряженными
операторами с простым спектром и так называемыми матрицами
Якоби. См. по этому поводу М. Стоун [11, стр. 275. Каноническая
форма самосопряженных операторов, спектр которых не обязательно
является простым, рассматривалась фон Нейманом [9]{).
15. Индекс дефекта симметрического оператора.
Обобщенное разложение единицы
Определение 1. Обозначим через U = UH = (H — //)(#-\-U)~l
преобразование Кэли замкнутого симметрического оператора //,
определенного в гильбертовом пространстве X. Рассмотрим под-
подпространства Хн = D(yHy- и XH = R (?///)L и обозначим через
т= d\m(Xff) и п= dim(XJi) соответственно размерности Хн и Л7/.
Пара чисел (т, п) называется индексом дефекта оператора Н,
Для того чтобы симметрический оператор Н был самосопряженным,
необходимо и достаточно (см. гл. VII, § 4), чтобы его индекс
дефекта был равен @, 0).
Предложение 1. Индекс дефекта (т, п) замкнутого симметри-
симметрического оператора Н можно определить следующим образом: т есть
размерность линейного подпространства {х?Х; H*x — ix}, n -- раз-
размерность линейного подпространства {х?Х; Н*х = — ix\.
Доказательство. Справедливость этого утверждения с очевид-
очевидностью вытекает из теоремы 3 § 4 гл. VII.
Пример 1. Пусть Ar = Z,2@, 1). Обозначим через D совокуп-
совокупность всех абсолютно непрерывных функций x(t)?L2@t 1), таких, что
х@) = х(\) = 0 и x'(t)?L2@, 1). Тогда оператор Tx:Txx(t) =
= rlx'(t)t заданный в области D=DGj), имеет индекс дефекта
О» 1).
Доказательство. Как было показано в примере 4 § 3 гл. VII,
оператор Т\ = Т2 определяется условием
T2x(t) = rix'(t) в области D(T2)= {x(t)?L2@, 1);
функции x(t) абсолютно непрерывны и х'(t)?L2(Ot 1)}.
1) См. также Ахиезер — Глазман [1]. — Прим. пере$.
/5. Индекс дефекта симметрического оператора 4?9
Следовательно, решение y?Z,2@, 1) уравнения Т\у = Т2У = 1у опре-
определяет обобщенное решение дифференциального уравнения
/(') = -У (О (У. /€^2@. О). A)
Функция z (О = у (t) exp (О является тогда обобщенным решением
уравнения
*'(*) = 0 (г. г'6?2@. О). B)
Покажем, что существует такая постоянная С, что z @ = С при
почти всех значениях ??@, 1). С этой целью возьмем произвольную
функцию хо@€Со°@, 1). удовлетворяющую условию J
о
и произвольную функцию лг@6?о°@. 1) и положим
1 /
«@ = х @ — лг0 (О J х (О Л. г» @ = J «(s) ds.
о о
1
Так как Г u(s)d$ = 0, то w?CS°@, 1). Поэтому, согласно B),
о
1 1
— J z(t)w'(t)dt = — J
т. е.
1 1 1
J z(t)x(t)dt = C J а:(ОЛ. где С= J z(t)x^(t)dt.
0 0 О
Отсюда ввиду произвольности выбора функции дг@6^о°@» 0 сле-
дует, что z(t) = C при почти всех значениях *?@, 1).
Следовательно, решения уравнения T*y = iy имеют вид у @ =
= С ехр (— 0- Таким же способом можно обнаружить, что решения
уравнения 7*у==~- iy имеют вид у(О = Сехр(/). Отсюда видно,
что оператор Т имеет индекс дефекта A, 1).
Определение 2. Симметрический оператор Я, заданный в гиль-
гильбертовом пространстве X, называется максимальным симметриче-
симметрическим оператором, если не существует никакого собственного сим-
симметрического расширения оператора Н.
Предложение 2. Всякий максимальный симметрический опера-
оператор Н замкнут и Н ==//**. Всякий самосопряженный оператор
является максимальным симметрическим оператором.
Доказательство. Согласно предложению 1 § 3 гл. VII, опера-
оператор Н** служит замкнутым симметрическим расширением оператора //,
откуда и вытекает первая часть доказываемого предложения. Пусть
480 XL Нормированные кЬльцй, спектральное представление операторов
Яо—некоторое симметрическое расширение самосопряженного опе-
оператора Я. Тогда, поскольку Я ? Яо и Яо S #о, мы имеем
//Oc//Jc Я*, а так как Н = Н\ то Яс Яо s H. Это и означает,
что самосопряженный оператор Я является максимальным симметри-
симметрическим оператором.
Следствие 1. Всякое максимальное симметрическое расширение Яо
заданного симметрического оператора И является также расширением
оператора /У**.
Доказательство. Из соотношения Я?Я0 следует, что Яо ? Я*
и Я** С #о*. Значит, в соответствии с предыдущим предложением
//о = #о, чт0 и доказывает следствие 1.
Следствие 2. Если симметрический оператор Я удовлетворяет
условию Я* = Я**, то единственным его максимальным симметри-
симметрическим расширением служит самосопряженный оператор Я*.
Доказательство. Оператор Я**, будучи самосопряженным, должен
быть максимальным симметрическим оператором. Поэтому всякое
максимальное симметрическое расширение Яо оператора Я, которое,
согласно следствию 1, служит также и симметрическим расширением
оператора Я**, совпадает с оператором Н**~Н*.
Теперь мы можем перейти к следующему определению.
Определение 3. Симметрический оператор Я, удовлетворяющий
условию Н* — Н**, называется в существенном самосопряженным.
Этот термин ввел фон Нейман. По терминологии фон Неймана само-
самосопряженный оператор Я называется гипермаксимальным.
Пример 2. Пусть X = L2( — оо, оо); определим оператор Я
формулой Hx(t) = t-x(t) для *(О6?о(—оо. оо)- Ясно, что
Я — симметрический оператор X. Нетрудно показать, что в данном
случае //* есть не что иное, как оператор координаты, определенный
в примере 2 § 3 гл. VII, так что оператор Я — в существенном само-
самосопряженный. Оператор Я, определяемый условием Hx(t)=si~lx'(t)
для функций x(t)?Co(— oo, оо), тоже является в существенном само-
самосопряженным оператором, заданным в пространстве X = L2(—оо, оо).
В самом деле, в этом случае Я* — оператор импульса, о котором
говорилось в примере 3 § 3 гл. VII.
Теорема 1. Допустим, что индекс дефекта (т, п) некоторого
замкнутого симметрического оператора Я удовлетворяет условию
Тогда существует замкнутое симметрическое расширение Я' опера-
оператора Я, индекс дефекта которого равен (т\ п').
Доказательство. Пусть {фг ср2 <рр, фр+1 Фр+тф
[\|)j, ф2, .... ф/;, il^j, ..., Ф^+л) — полные ортонормальные систе-
системы соответственно подпространств Хн = D^UhI и XJj=R(Uh)l.
15. Индекс дефекта симметрического оператора 481
Определим изометрическое расширение V оператора ?/я, полагая
Vx = UHx при
р р р
V • 2 <?Р/ = 2 «Л ДЛЯ л: = 2 «/Ф, 6 *#•
2
Расширение V э ?/я определено, таким образом, в области D(V) —
= D{UH)@\z?X\ :=2«Л L причем R (V) = R {U н) 0
; «=2М)м- По теореме 1, гл. VII, § 4, имеем
/?(/ — UHf = X. Отсюда ввиду условия R{I— V)^ R{I— Uн) мы
по теореме 2, гл. VII, § 4, можем заключить, что существует един-
единственное замкнутое симметрическое расширение Нг оператора Я,
для которого V = (Н' — iI)(H' -\-U)~l. Индекс дефекта оператора W
равен (m't n')t так как dim (^(l/I) = /»', dim(/?(VrI) = /t'.
Следствие. Для того чтобы замкнутый симметрический опера-
оператор Н с индексом дефекта (mt n) был максимальным симметрическим
оператором, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере одно
из чисел mt n равнялось нулю.
Доказательство. Необходимость этого требования вытекает
на теоремы 1. Достаточность легко доказывается. Пусть для опре-
определенности /я = 0; тогда UH(i=zUH для любого замкнутого симме-
симметрического расширения Но оператора Я, так как D(UH) = X.
Отсюда H0=i\f + UHr)(l — UHyl = i(l + UH)(f~UHyl = Я.
Аналогично доказывается, что и в случае д = 0 оператор Н не может
иметь собственное замкнутое симметрическое расширение.
Пример 3. Пусть {фр ф2, .... ф„, ...}—произвольная полная
ортонормированная система (сепарабельного) гильбертова простран-
пространства X. Тогда условие
со оо оо
U . 2 <?Р/ = 2 <ВД>,+1. где 2 IЩ Р < со,
/1 /1 i
определяет замкнутый изометрический оператор ?/, такой, что
D(U)==X и dim(/?((/I)=l. Если R(I — U)a^Xf то найдётся
элемент х Ф 0, такой, что х ? R(f — (/)-k Следовательно,
((/—?/)*, х) = 0, и поэтому (?/*, *) = ||x||2==||?/x||2. Отсюда
|| (f-U)x |Р = |1 х |р - (Ux. x) - (x, Ux) +1| Ux |P =
НРН1112НИ2Р
31 К. Иосида
482 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
т. е. Ux = x\ следовательно, согласно определению оператора ?/,
х = 0. Полученное противоречие показывает, что /?(/ — U)a=X.
Таким образом, по теореме 2, гл. VII, § 4, оператор U должен быть
преобразованием Кэли некоторого замкнутого симметрического опе-
оператора Я. Индекс дефекта этого оператора Я равен @, 1), поскольку
D(U)-=X, и подпространство R(U)^ натянуто на вектор фР Итак,
оператор Я симметричен и максимален, не будучи самосопряженным.
Теорема 2 (Наймарк [3]). Пусть индекс дефекта замкнутого
симметрического оператора Яр заданного в гильбертовом простран-
пространстве Xv равен (т, п). Можно построить гильбертово пространство А\
содержащее Хх как замкнутое линейное подпространство, и замкну-
замкнутый симметрический оператор Я, определенный в X, индекс дефекта
которого равен (/я + я, т-\~п), удовлетворяющие условию
где Р(ХХ)— оператор проектирования пространства X на подпро-
подпространство Хх.
Доказательство. Рассмотрим гильбертово пространство Х2 той же
размерности, что и Хх. Построим в пространстве Х2 замкнутый
симметрический оператор Я2 с индексом дефекта (/г, т). Можно,
например, положить Х2=-Хх и #2 = — ^г ^ этом слУчае
{х ? Х2; Н\х = ix) = {л: 6 ^i; н\х = -ix}t [х ? Х2\ Н\х = -ix) =
= {^^^1; Hix = ix], так что индекс дефекта оператора Н2 дей-
действительно равен (п, т).
Определим теперь в пространстве Хх X Х2 оператор Н вида
И [х. у] = [Нгх. Н2у) при [х9 у}еХ,Х X*
где
Оператор Я, заданный в гильбертовом пространстве X = Хх X Х2,
как нетрудно заметить, симметричен и замкнут. Условие Я* {л:, у) =
— i{x,y) (или условие Я* {#, у) = — i{x,y}) означает, что
H*ix = ix, H2y = iy (соответственно н\х = — ixt Я2У = — /у). Сле-
Следовательно, индекс дефекта оператора Я действительно равен
(/я + я, т-\~п).
Следствие. Пусть в соответствии с теоремой 1 Я — самосопря-
самосопряженное расширение построенного выше оператора, и пусть Я =
= Г KdE(k) — спектральное разложение оператора Я. Так как
Я и тем более Я служат расширениями оператора Яр если рас-
рассматривать Нх как оператор в пространстве X = Хх X ^2» т0 имеет
15. Индекс дефекта симметрического оператора 483
место следующее:
Если x^D(Hx)cX{ = P(Xx)Xt то х = Р(Х{)х? D(H)
и
с»
х)х = J XdF(X)xt C)
где F(X) = P(Xl)E(X)P(Xl).
Система1) операторов {F(X); —оо < к < оо} удовлетворяет, оче-
очевидно, следующим условиям:
F(k) при каждом X есть самосопряженный оператор в Хх\
если
^i<^2» то (F(Xx)x, x)^(F(X2)xt x) при любом х?Хх\
F(X + 0) = F(X); D)
F(—oo)x = s- lim
F(co)x = s- lim /7(А,)л; = л; при всех лг^Л'.
Замечание 1. Для замкнутого симметрического оператора Нх мы
получили представление вида
со
Нхх = J XdF(X)x при всех x?D(H{),
—оо
где семейство операторов {F(X); —оо < X < оо} удовлетворяет усло-
условиям D). Это представление мы назовем обобщенным спектральным
разложением замкнутого симметрического оператора Нх.
Пример 4. Пусть Xl = L2(—оо, 0); обозначим через Dx сово-
совокупность всех абсолютно непрерывных функций x(t)?L2(—со, 0),
таких, что л;@) = 0 и x'(t)?L2(—оо, 0). Тогда оператор Н{, опре-
определенный формулой H{x(t)~i-Xx'(t) на Д1 = О(Я1), симметричен
и максимален, а его индекс дефекта равен @, 1) (это устанавливается
так же, как в примере 1). Положим Лг2 = ?2@, оо), а в качестве
области D2 S Х2 выберем множество всех абсолютно непрерывных
функций x(t)?L2@, оо), таких, что л;@) = 0 и x'(t)?L2@, оо).
Оператор Н2 вида H2x(t) = i~l x'(t) при x(t)?D2= D(H2) пред-
представляет собой максимальный симметрический оператор с индексом
дефекта A, 0). Теперь можно положить X = Хх X ^2==^2(—°°» °°)»
и тогда оператор Я, построенный в доказательстве теоремы 2, опре-
определяется формулой Нх (t) = l-lx'(t) для функций х @6 ?2(— °°» оо),
таких, что л;@) = 0 и x'(t)?L2(—оо, оо).
1) Систему операторов F (Л), удовлетворяющих условиям D), называют
обобщенным разложением единицы. — Прим* nepes.
31*
484 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Замечание 2. Так как оператор //== Г k dE(X)t о котором гово-
говорится в теореме 2, служит расширением оператора Hv для элементов
x?D(Hx) справедливо равенство
||//,*|р = ||//*|р= J Л
—оо
ОО 00
= J ХЧ{Ё(%)х, х) = J ХЧ(Ё(Х)Р(Х1)х,
-ОО —ОО
ОО
= jl2d(F(k)x, х).
— ОО
ОО
Однако из условия Г X2d(F(k)x, х) < оо не следует, вообще говоря,
—оо
что x?D(Hx). Следующая теорема относится к этому вопросу.
Теорема 3. Если Нх — максимальный симметрический оператор, то
условие x?D(H{) эквивалентно неравенству
J №{F(X)x, *)<оо, х?Х{, E)
— ОО
где f/7^)}—обобщенное разложение единицы, соответствующее
обобщенному спектральному разложению \ XdF(k) оператора Я,
в пространстве Xv
Доказательство. Вычисления, проведенные в замечании 2, пока-
оо
зывают, что условие | №d(F(X)xt х) < оо влечет за собой нера-
-оо
оо
венство J №d\\E(\)x\f <оо> а это означает, что x?D(H). Опе-
—оо
ратор
если его рассматривать как оператор, действующий в пространстве Xv
является симметрическим расширением оператора Нх и D(H') =
= D(H)\r]Xv Поэтому из свойства максимальности Нх следует, что
Я, =#'. Таким образом, D(HX) = D(H') = D(H)(]XX и вследствие
оо
равенства Н' = Р(Х1)НР(Х1) условие J X2d\\E(X) x\\2 < оо при
16. Групповое кольцо L l 485
х?Хх влечет за собой включение x?D(Hx). Без труда также уста-
устанавливается, что для любого элемента x^D(Hx) выполняется нера-
неравенство
оо оо
J X2d(F(X)x, x)= J
Замечание 3. По теореме 1 всякий замкнутый симметрический
оператор может быть расширен до некоторого максимального сим-
симметрического оператора Нх, и поэтому, применяя к этому расшире-
расширению теорему 3, мы видим, что условие E) в этом случае имеет
место. Детальное изложение вопросов, касающихся обобщенного
спектрального разложения, см. в работах Ахиезера — Глазмана [1]
или Надя [3]. Спектральное представление, полученное для самосо-
самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, может быть
с некоторыми модификациями распространено на определенный класс
линейных операторов в банаховом пространстве. Эти результаты,
принадлежащие Данфорду, можно рассматривать как обобщение „тео-
„теории элементарных делителей" для бесконечномерных пространств.
См. Данфорд—Шварц [6].
16. Групповое кольцо D и глауберова теорема Винера
Обратимся к еще одному важному приложению гельфандовского
представления, а именно к доказательству тауберовой теоремы Винера
с помощью функционально-операторного подхода.
Линейное пространство Ll(—оо» оо) образует кольцо по отноше-
отношению к операции умножения, определенной как операция свертки
(fXg)(t) = (f*g)(t)= J f(.t — s)g(s)ds. A)
— CO
В самом деле, по теореме Фубини — Тонелли
со оо оо оо
J J f(t-s)g(s)ds rf/< J \f(t-s)\dt J \g{s)\ds =
— CO —CO —CO — CO
CO 00
= / \f(t)\dt. J |*@|<tf.
— CO —OO
так что (f*g)(t)?Ll(— оо, оо), если /, g?D(— 00, оо). Получен-
Полученное неравенство показывает, что
H/XsiKII/11-Ш. B)
r*e II II—норма в пространстве Ll(—со, оо).
486 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Таким образом, мы доказали
Предложение 1. Если формально присоединить к кольцу Iх еди-
единичный элемент е и условиться считать элементами этого кольца
символы z вида
, x?Ll(—oot оо), C)
то Z,1 можно рассматривать как нормированное кольцо, в котором
операции и норма определяются следующими правилами:
(V+х{) -[- (V + *2> = (К + h)е + (*i + *2>«
л:) = (сЛ) г + ах<
+ Ж1 X -«2.
Полученное таким способом нормированное кольцо L1 называется
групповым кольцом аддитивной группы R1 вещественных чисел!).
Наша ближайшая задача состоит в том, чтобы найти все максималь-
максимальные идеалы этого кольца Z,1. Один из этих идеалов — само простран-
пространство Ll(—oo, oo) = /0, из которого кольцо L1 было получено при-
присоединением единицы е. Найдем теперь все максимальные идеалы
f Ф f0 кольца /Л
Для произвольного максимального идеала / нормированного
кольца L1 обозначим через (zt f) комплексное число, которое соот-
соответствует элементу z при гомоморфизме колец Lx->LljI, Таким
образом, (zt /0)=А, для ? = ta-f-je, x?fQ.
Рассмотрим максимальный идеал / кольца L1, отличный от /0.
Тогда существует функция x?Ll(—оо, оо) = /0, такая, что (л;, /)=?0.
Положим
X(o)«=(xe, f)/(xt /), где *„(*)=¦*(/ +а). E)
Тогда определенная для всех вещественных значений а функция %(а)
обладает тем свойством, что х@)=1 и | х(<*)КИ х \\1\(х, /)| (по-
(последнее неравенство вытекает из того, что |(л:а, /)|^||л:а|| = || jc||).
Таким образом, функция %(а) ограничена по а. Кроме того,
откуда видно, что функция %(а) непрерывна по а, так как, согласно
условию B) из § 1 гл. X,
со
lim f
l) Общее определение группового кольца абстрактной коммутативной
локально бикомпактной топологической группы см., например, в книге Гель»
фанда—Райкова — Шилова [5). — Прим. перев,
16. Групповое кольцо L l 487
Из очевидного равенства (лга+р X х) (t) = (ха X *р) @ следует,
что
откуда
X (а + Р) = X (а) X (Р)- F)
Из равенства F) вытекает, что существует единственное веществен-
вещественное число 1 = 1A), такое, чтх)
Х(а) = ехр(/-?(/)-а). G)
Действительно, так как %(па) = %(а)п и функция %(а) ограничена,
имеем |х(а)|<1. Но х(а)Х(—<*) = Х@)= 1, поэтому | х(а)| = 1 •
Таким образом, функция %(а), будучи непрерывным решением урав-
уравнения F) с абсолютной величиной 1, должна иметь вид G). Из
свойства хау(у — х ХУа следует, что %(а) (у, /) = (уа, /), откуда
видно, что величина ?(/) в действительности не зависит от выбора
функции x?Ll(—оо, со) и однозначно определяется идеалом /.
Всякое непрерывное решение уравнения F), абсолютная величина
которого тождественно равна единице, называется непрерывным уни-
унитарным характером аддитивной группы Z?1 вещественных чисел.
Характер х(°0» построенный выше, мы будем называть непре-
непрерывным характером группы R1, порожденным максимальным идеа-
идеалом / Ф /0.
Покажем теперь, как, зная характер х(°0» порожденный идеалом /,
можно определить максимальный идеал / или, что то же самое, как
восстановить величину (z, I) по заданному характеру х«
Для любой функции y(t)?Ll(—оо, оо) имеем
оо оо
<*ХУ)(9= J x(t — s)y(s)ds= J x_,(f)y(s)ds.
— оо —оо
Поэтому из свойства E), учитывая непрерывность гомоморфизма
колец Z1—>/,!//, мы получаем
оо
(хХУ. /) = (*. /)(У. /) = (*. О J X(— s)y(s)ds.
— ОО
Отсюда, ввиду того что (л:, /) Ф 0, мы выводим соотношение
00
(У. /) = /у (*) ехр (-/•!(/)• *) ds. (8)
— ОО
Следовательно, для любого элемента z = he -f- х, где х ^ L1 (— оо, со),
со
с, /) = Я,+ J *(s)exp(— t-l(I)-s)ds. (9)
488 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Итак, максимальный идеал Л порождающий данный характер /,
определяется однозначно.
Возьмем теперь произвольный (непрерывный, унитарный) характер
Х(а)==ехр(/ • I • а) группы R1 и определим отображение
оо
z-+X-\- J x(s)txp(—i- |. $)ds (z = le+-xt x?D(—оо, оо)).
— оо
A0)
Ясно, что формула A0) определяет гомоморфизм кольца Z,1 на поле
комплексных чисел, так как по теореме Фубини — Тонелли
00
J (*,X*2)(Oexp(-z. |-о<« =
-00
оо оо
= J *,(f)exp(—*•!¦/)<«. J х2(Оехр(-/.|.О<#.
— ОО —ОО
Это означает, что всякий непрерывный характер % определяет неко-
некоторый максимальный идеал /. Мы будем говорить, что идеал /,
построенный таким способом, порождается характером /. Нетрудно
заметить, что идеал, порожденный некоторым характером, порождает
этот характер и, обратно, характер, порожденный максимальным
идеалом, порождает этот идеал. Кроме того, очевидно, что всякий
идеал порождается единственным характером и, обратно, всякий
характер порождается единственным идеалом.
Тем самым доказана следующая
Теорема 1 (Гельфанд [4], Райков [1]). Существует взаимно одно-
однозначное соответствие между множеством всех максимальных идеалов
/ ф L1 (— оо, оо) группового кольца L1 аддитивной группы R1 веще-
вещественных чисел и множеством всех непрерывных унитарных характе-
характеров х(а) группы R1. Это соответствие определяется формулой (9).
Покажем, что нормированное кольцо Z1 является полупростым
или, что то же самое (см. гл. XI, § 2), справедлива
Теорема 2. В нормированном кольце L1 не существует обобщен-
обобщенных нильпотентных элементов, отличных от нулевого.
Доказательство. Пусть x?Ll(—со, оо) и у ?Z,2(—со, со). Тогда,
применяя неравенство Шварца, мы получаем
/ оо оо \1/2
(
x(.t-s)y(s)ds
xV-s)\ds J \x{t-s)\.\y(s)?ds
По теореме Фубини — Тонелли левая часть принадлежит L2(— оо, оо) и
(И)
16. Групповое кольцо L l 489
где || ||2 — норма в пространстве L2(—оо, со). Следовательно,
формула
оо
(Txy)(t)*= J x(t — s)y(s)d$ для всех x?Ll(—oo9 оо) A2)
— со
определяет ограниченный линейный оператор Тх% отображающий про*
странство L2{—сю, оо) в себя, и, кроме того,
|. A3)
7^ = 7>, где x*(f)=*x(—t). A4)
Используя теорему Фубини — Тонелли еще раз, мы приходим к заклю-
заключению, что
ТХТХ = Тх хх* = Тх*хх— ТХТХ% т. е. Тх~нормальный оператор. A5)
Поэтому (см. гл. XI, § 3) || Тх\\2— lim (|| Тх\\^х/п. Учитывая теперь, что
I г
дг 12.
п сомножителей
мы видим, что если х — обобщенный нильпотентный элемент, то
||71je||2 = 0. Основываясь на этом, легко доказать, что в этом случае
х — нулевой вектор пространства D (— оо, оо).
Допустим теперь, что z = Xe-\-x, где x?Ll(—оо, оо) — неко-
некоторый обобщенный нильпотентный элемент нормированного кольца /Л
Тогда для любого максимального идеала / кольца L1 должно выпол-
выполняться соотношение (г, f) = k-\-(xt /) = 0. Следовательно, преобра-
преобразование Фурье
оо
Bя)-1/2 f х(*)ехр (-/-I- t)dt
должно тождественно равняться —Bл) 1/2А,. Отсюда следует, что
А, = 0, так как по известной теореме Римана — Лебега
Jx(9exp(—
при
490 XL Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Таким образом, всякий обобщенный нильпотентный элемент z ? D
имеет вид z = 0 • е-\-х = х, где x?Ll(—оо, оо), и поэтому, как
показано выше, z = x — Q.
Теперь мы можем сформулировать и доказать следующую глаубе-
глауберову теорему Винера [2].
Теорема 3. Допустим, что преобразование Фурье
BлГ
некоторой функции x(t)?Ll(—оо, оо) не обращается в нуль ни при
каком вещественном |. Тогда для всякой функции у (t) ?Ll(—оо, оо)
и любого е > 0 можно указать положительное целое число N, ком-
комплексные числа ар <х2 aN и вещественные числа рр р2 Рлг»
такие, что
dt
A6)
Доказательство. Достаточно, очевидно, показать, что существует
такой элемент z?Ll, для которого
I. A7)
1) Действительно, пусть z = ke-\- g, g^Ll(—со, со). Примем за комби-
нации ^o>jx(t — Ру) суммы вида A~kx(t)-{- У! x{t — k\i) g(u)du.
У-i Л--ЛГ, b{
Тогда
lim
J x(t — u)g(u)du—
+ lim
(/ —Л|А) f
|
W->0
max
lim
J \g(u)\du=0.
16. Групповое кольцо L l 491
Покажем сначала, что
lim I \y(t) —;
—со
где ум</)-=4" fy(t-s)l-aC°saSds.
В самом деле, так как | A — cos as) (as2) ds = л при a > 0, то
ОО
lim
а->со
Далее, используя равенство
a a
BяГ1/2 J A-| ||/a) ^« ^ = (|-I/2 J (l-l)cosa| • rf| =
0
u2a
6
2 у/2 1 — cos wa
и применяя теорему Планшереля (гл. VI, § 2), мы находим, что
N
Поэтому найдется функция вида 2а/* (* ~" РД такая» что Ц
У-1
N N
- 2 aJx V-Р/> II < у Таким образом, || у - 2 аУ-* ^-Р/) II < у + Т " е'
что и требуется установить. — Прим. перев.
492 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Следовательно, согласно равенству Парсеваля для преобразования
Фурье, функция y№(t) удовлетворяет при |?|>а уравнению
со
J У°> (/) ехр (— / • I ¦ t) dt = 0. B0)
— 00
Таким образом, без ограничения общности можно считать, что
функция y?Ll(—оо, оо) в равенстве A7) удовлетворяет условию
при \Ц>а, B1)
где а — фиксированное достаточно большое положительное число.
Выберем теперь положительное число р и достаточно большое
положительное число у такими, чтобы оба отрезка [—р—у» —P + Yl
и [Р — Y» P + Yl содержали отрезок [—а, а]. Обозначим через С,(?)
и С2(?) соответственно характеристические функции отрезков [—у» Yl
и [—р, Р]. Тогда
1 при ?6 [—а, а],
«'F) = BРГ1 J сх (I - Л) С2(Tfl dx\ =
О при достаточно
B2)
больших
;и(!)<; 1 для всех вещественных \.
Равенство Парсеваля для преобразования Фурье показывает, что
Поэтому, используя теорему Планшереля, мы видим, что функция и (t)
принадлежит Ll(—оо, оо)П?2(—оо, оо). Значит, можно применить
теорему 1 и, следовательно,
/(О = «(') = Bя)/2(«. /|), B3)
где It — некоторый максимальный идеал, отличный от /0. Кроме того,
по теореме Планшереля, обратное преобразование Фурье функции /(/)
равно u(Q, т. е.
вF) = Bя)-1/8(/. /.ft). B4)
Выберем теперь элемент кольца Llt равный е — Bя)~1/2/ = ?\ Тогда
из доказанного выше следует, что
1; (g* /|) = 0 при всех ?6 [—а, а];
^ B5)
(gt /^) = 1 для всех достаточно больших | ? |.
С другой стороны, поскольку x*(t) = x(—t)t имеет место соотно-
соотношение Т*77|) = (**, /|). Таким образом, в соответствии с предполо-
16 Групповое кольцо L х 493
жением теоремы (л:*Х*. f{) = \(x% /^)|2>0 для всех вещественных
значений ?. Значит, элемент
удовлетворяет условию (g-{-x*Xx, О > 0 Для всех максимальных
идеалов / кольца ZA Следовательно, в кольце D должен существо-
существовать обратный элемент (g-\-х*Х х)~х. Обозначим через z элемент
z = (g + xXxYlXx*Xy. B6)
Из D) следует, что xyjz принадлежит Lx(—оо, со). Кроме того,
для всякого вещественного числа \
Отсюда ввиду условия B5) и предположения (у, /$) = 0 при | ? |
мы получаем
(х X ?» h)= (У» h) ПРИ всех вещественных I.
По теореме 2 нормированное кольцо D является полупростым. Сле-
Следовательно, л:Х2 = у, что и завершает доказательство теоремы 3.
Следствие. Пусть функция kx(t) принадлежит пространству
Lx(— oo, сю) и преобразование Фурье этой функции не обращается
В нуль ни при каких вещестренных значениях аргумента. Возьмем
произвольную функцию k2{f), принадлежащую Lx{—oo, oo), и любую
функцию /@» ограниченную и измеримую по Бэру в промежутке
(— оо, оо). Допустим, что существует такая постоянная С, что
Тогда
Доказательство. Можно считать, что С = 0. Для функций k2{t)
вида k2 (t) = (xXb{) (f). где х (t) ? Z,1 (— оо, оо), условие B8),
очевидно, выполняется. Нетрудно показать, что равенство B8) спра-
справедливо и для таких функций k2(t)t которые можно представить
в виде k2 @ = s-\\m k{n\t) в пространстве Ll(— со, оо), где
П->ОО
k{n) (t) ? Ll (— оо, оо) — функции, для которых соотношение B8) имеет
место. В таком случае по теореме 3 равенство B8) выполняется и для
произвольной функции k2(t)?Ll(—оо, оо).
lim
t->oo
lim
f->oo
00
/•
J *'
— 00
00
— 00
CX)
: J kx(t)dt.
—oo
00
: \k2{t)dt.
—oo
B7)
B8)
494 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Замечание. Н. Винер [1], [2], [3], применяя это следствие, дал
единую трактовку некоторых классических результатов, относящихся
к предельным соотношениям для рядов и интегралов, и получил новые
доказательства теорем о простых числах. См. также Питт [1]. При-
Приведенное здесь доказательство теоремы 3 заимствовано из работ Фу-
камия [1) и Сигала [1]. См. также Наймарк [1], Риккарт [1] и би-
библиографию, приведенную в этих книгах. Чтобы проиллюстрировать,
насколько широки приложения указанного следствия, мы воспроизво-
воспроизводим здесь принадлежащее Винеру доказательство так называемой
специальной тауберовой теоремы. В формулировке Литлвуда эта тео-
теорема звучит следующим образом.
сю
Теорема 4. Предположим, что ряд 2 апхП сходится при | х | < 1
/2-0
к функции s(x); пусть
lim s(x) = C. B9)
ж-Я-О
Кроме того, лопустим, что
sup п | ап | = К < оо. C0)
Тогда
л-0
C1)
Доказательство. Положим f(x) = 2jan. Так как
0
И1
2j
-0
24'Т+ 2
П Х /I-|jr| + l
С»
< Ж + К J e-uwl du = const,
i
то функция f(x) ограничена.
Поэтому, интегрируя по частям, мы находим, что
s(e~x)= 2 ane~nx = f e~ttX df{u) = \ xe~uxf(u)du.
»-» -о о
16. Групповое кольцо L l 495
Отсюда
оо оо
C = 1im f xe-axf(u)du=lim f e~* e~eX{~1 f (e*) e*dr\. C1')
x->0 ^ |->oo J
и
Последнее соотношение можно переписать в виде
оо оо
lim f *,(*- s)f(es)ds = C f kx(t)dt, где kx(f) ^ е~*е-*~*% C2)
*->co J ^
— OO —CO
так как
Кроме того, имеет место равенство
оо оо
J kt(t)e-iaidt= f xiue-*dx = ГAЧ-/и)Ф0.
-со 0
Поэтому мы можем применить доказанное следствие и получить для
функции
ГО при *<0,
**@ = (в-, ПрИ ^>0
предельное соотношение
оо со
-'dt = C J
—оо
Отсюда следует, что при А, > О
"Г"
о о J
J f(y)dy =
¦тт [ [/ (У) — / (*)] dy |. C3)
1_
К
х
496 XI. Нормированные кольца, спектральное представление операторов
Из условия C0) видно, что при достаточно больших значениях х
U ) \y\
Используя соотношение C3), мы приходим к оценке
Пт | /(л:)_ С|<2А,/С,
х->оэ
а так как положительное число А, можно выбрать произвольно, то
Jf->00
откуда и вытекает формула C1).
ГЛАВА XII
Другие теоремы о представлении в линейных
пространствах
В этой главе мы докажем три теоремы о представлении, относя-
относящиеся к линейным пространствам. Первая из них, теорема Крейна —
Мильмана, утверждает, что непустое выпуклое бикомпактное под-
подмножество К локально выпуклого линейного топологического про-
пространства совпадает с замыканием выпуклой оболочки так называемых
крайних точек множества К. Две другие теоремы относятся к функ-
функциональным представлениям векторных структур.
1. Крайние точки. Теорема Крейна — Мильмана
Определение, Пусть К — некоторое подмножество вещественного
или комплексного линейного пространства X. Непустое подмножество
М с К называется крайним подмножеством /С, если выпуклая ком-
комбинация вида akx-\-{\—a)k2, 0<a< 1, двух точек kx и k2 мно-
множества К принадлежит М только в том случае, когда обе точки k{
и k2 лежат в М. Крайнее подмножество множества /С, состоящее из
одной точки, называется крайней точкой А\
Пример. В трехмерном евклидовом пространстве поверхность замк-
замкнутого шара является крайним подмножеством этого шара, а всякая
точка этой поверхности представляет собой крайнюю точку.
Теорема (Крейн — Мильман). Всякое непустое бикомпактное вы
пуклое подмножество К локально выпуклого линейного топологиче-
топологического пространства X содержит по крайней мере одну крайнюю точку.
Доказательство. Само множество К служит крайним подмноже-
подмножеством для /С. Обозначим через 9№ совокупность всех бикомпактных
крайних подмножеств N множества К. Упорядочим 9R с помощью
отношения включения. Ясно, что если Ш{—линейно упорядоченное
подмножество в 3Rt то непустое множество Q М служит бикомпакт-
ным крайним подмножеством в К, которое представляет собой мино-
миноранту для ЗЯХ.
Следовательно, по лемме Цорна семейство 9№ содержит минималь-
минимальный элемент Жо. Допустим, что в Мо входят две различные
точки xQ и у0. Тогда на X определен непрерывный линейный
функционал /, такой, что / (лт0) Ф f (y0). Можно считать, что
Re/(;to)=? Re/(y0). Так как множество MQ бикомпактно, подмножество
32 К. Иосида
4S8 XII. Теоремы о представлении в линейных пространствах
Мх = 1л: ? MQ'9 Re / (л:) = inf Re / (у)\ является собственным в Мо. Но,
с другой стороны, если кх и k2 — такие две точки из /С, что aft1-(-
-f-(l—o)k2^Mx при некотором значении а, удовлетворяющем нера-
неравенству 0<<х<1, то, поскольку Мо — крайнее подмножество, обе
точки kx и k2 должны принадлежать Мо. Из определения множе-
множества Мх вытекает, что kx и k2 лежат в Мх. Следовательно, Мх
является замкнутым крайним собственным подмножеством в Mq. Но
последнее заключение противоречит тому, что Мо — минимальный
элемент из Ti. Отсюда вытекает, что Мо состоит из одной точки,
которая и является крайней точкой множества К.
Следствие. Пусть К — непустое бикомпактное выпуклое подмно-
подмножество вещественного локально выпуклого линейного топологического
пространства X. Обозначим через Е совокупность всех крайних точек
множества К. Тогда К совпадает с наименьшим замкнутым множе-
множеством, содержащим все выпуклые комбинации вида 2аЛ (ty^O,
2^=1^ точек et?Et т. е. К представляет собой замыкание выпу-
выпуклой оболочки Conv(?) множества Е.
Доказательство. Множество Conv(?)fl принадлежит /С, так как К
бикомпактно, выпукло и Е S К. Допустим, что существует точка ft0,
принадлежащая (К — Conv(E)a). В этом случае можно выбрать точку
с ? Conv(?)fl так, что(&0—c)(fc(Conv(E)a—с). Множество (Conv(?)*—с)
выпукло, бикомпактно и содержит точку лг = О, следовательно, по
теореме Зг гл. IV, § б, существует непрерывный вещественный функ-
функционал / на X, такой, что
f(k0 — c)>\ и /(? —с)<1 при (ft —с) g (Con v (?)*
Положим Кх= I x?K\ /(jc) = sup/(у) 1. Тогда, поскольку
множество КХ(]Е должно быть пустым. Кроме того, так как мно-
множество К бикомпактно, Кх представляет собой замкнутое крайнее
подмножество в /С. С другой стороны, всякое крайнее подмножество
множества Кх является также крайним подмножеством в /С, и поэтому
любая крайняя точка из Кх (существование таких точек вытекает из
предыдущей теоремы) является также крайней точкой множества /С.
Но множество Кх П Et как было показано, пусто, и мы приходим
к противоречию.
Замечание. Приведенные выше теорема и следствие были впервые
доказаны Крейном и Мильманом [1]. Данное здесь доказательство
заимствовано у Келли [2]1). Отметим, что крайними точками единич-
1) Приведенное доказательство опирается на теорему 3', гл. IV, § 6, от-
относящуюся к вещественным пространствам, но доказываемое утверждение
справедливо и для комплексных пространств, см., например, Данфорд —
Шварц [1]. — Прим, перев.
2. Векторные структуры 499
ногЬ шара 5= {х?Х, ||х||< 1} гильбертова пространства X служат
точки поверхности этого шара, т. е. точки, имеющие норму 1 (см.
гл. I, § 5 A)). Приложения понятия крайних точек к конкретным
функциональным пространствам см., например, в книге Гофмана [1].
Простой пример. Обозначим через С [0, 1) пространство веще-
вещественных непрерывных функций x(t)t заданных на сегменте [0, 1],
с нормой || х || = max | x (t) |. Сопряженным пространством X ж=. С [О, 1 ]'
служит пространство вещественных бэровских мер на [0, 1] с огра-
ограниченными полными вариациями. Единичный шар К пространства X
бикомпактен в слабой * топологии X (см. теорему 1 из приложения
к гл. IV). Нетрудно заметить, что между крайними точками из К и
линейными функционалами ft ? X вида /х> ft\ = x(t\ tQ?[0t 1],
существует взаимно однозначное соответствие. В таком случае сформу-
сформулированное следствие означает, что всякий линейный функционал / ? X
может быть представлен как слабый * предел функционалов вида
п п
2 а, (*)('/). где а,>0. 2<ь=1 и *,?[0, 1].
Шоке [1] установил недавно следующий более точный результат:
если X — метрическое пространство, то множество Е является О6-мно-
жеством и для любого х? К существует неотрицательная мера Бэра
\ix(B), определенная на бэровских множествах В из Xt такая, что
\хх(Х-~Е)=0, М?)=1 и x=j
Е
По поводу единственности \хх см. Шоке — Мейер [2] и указанную
там литературу.
2. Векторные структуры
Понятие „положительности" в применении к конкретным функцио-
функциональным пространствам весьма важно как в теоретическом отношении,
так и для практических приложений. Абстрактная трактовка понятия
„положительности" была предложена Риссом [6] и разрабатывалась
в дальнейшем многими авторами, в частности, Фрейденталем [2] и
Биркгофом [1]!). Соответствующие результаты составляют содержание
теории векторных структур. Мы начнем с определения вектор-
векторной структуры.
1) Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах интен-
интенсивно разрабатывался советскими математиками — Л. В. Канторовичем [2*],
М. Г. Крейном [3*], [4*] и др. Исторические сведения по этому вопросу и
подробную библиографию см., например, в монографии Б. 3. Вулиха [2*]. —
Прим. перед.
32*
500 XII. Теоремы о представлении в линейных пространствах
Определение 1. Вещественное линейное пространство X назы-
называется векторной структурой, если X является структурой по
отношению частичного упорядочения х ^ у, удовлетворяющему
условиям
если лг<у, то лг+2<УН-г; A)
если х < у, то ал: < ау (или ал: > ау)
при всех а > 0 (соответственно а <! 0). B)
Предложение 1. Для произвольного элемента х векторной струк-
структуры X определим выражения
х+ = х V 0 и х" == х Л 0. C)
Тогда
* Vy = (* —У)+ + У. *ЛУ = —((—*) V(—У)). D)
Доказательство. Утверждение следует из того, что взаимно
однозначные отображения x->x-\-z и х->ах (а>0) простран-
пространства X на себя сохраняют отношение частичного упорядочения,
установленное в X.
Пример. Совокупность A(S, 93) всех вещественных а-аддитивных
функций множества х(В)% заданных и конечных на а-аддитивном
семействе (S, 93) множеств В с 5, с операциями
(х + у) (В) = х(В) + у (В). (ах) (В) = ах (В)
и отношением частичного упорядочения x^yt определяемым усло-
условием х(В)^.у(В) при В ?93, образует векторную структуру. В этом
случае х+ есть не что иное, как положительная вариация V(х\ В)
меры х на множестве В:
х+(В)= sup x(N)=V(x\ В). E)
N?3
Доказательство. Мы должны показать, что V (х; В) = (л: V 0)(fl).
Ясно, что V(x; Б)>0 и лг(В)<7(лг; В) на 93. Если 0<уE) и
х(В)^у(В) для В^ЗЗ. то у(Я) = у(Л0 + У(Я — N)>x(N) при
любом Wcfl, так что у (B)^-V(x; В) на семействе 93.
Предложение 2. Для всякой векторной структуры Jf выполняются
следующие условия:
у) = (ах) v (ау) при а > 0, G)
а (х v у) = (ах) л (ау) при а < 0, (8)
_Л)у(—у). jc- = ^(-~x)+, jp+=-(-л)". (9)
2. Векторные структуры 501
Доказательство. Свойства F) — (9) вытекают из A) и B).
Следствие.
x-\-y = x\/y-\-x/\yt в частности х = х+ + jc". A0)
Доказательство. Мы имеем
х V У — х — У = 0\/(У — х) — у = (— у) V (— х) = — (У Л х).
Предложение 3. Всякая векторная структура X обладает сле-
следующими свойствами:
х v у = у v х (коммутативность), A1)
A2)
(ассоциативность)
A3)
A4)
A5)
Доказательство. Мы должны доказать только свойство дистри-
дистрибутивности. Ясно, что (л: Л У) V z << х V z, у V z. Пусть w < х V zt
у V z. Тогда w^x\Jz = x-\-z — x/\z, и поэтому х-\-г^
^w-\-x Л z. Точно так же у-\- z^w-\- у /\ z. Следовательно,
¦ ==: Slip \X, у, Z), 1
: = inf (л:, у, г), j
^) Л (у V я). 1
ч, у 7 д ч } (дистрибутивность)
\ z)\/ (у Az). )
w + (а: Л z) Л (У Л z) = (w-+- Jf Л ^) Л (w +-у Л *)<
и поэтому
w<(x Ay) + z — (л: Л У) Л лг = (х Л У) V*.
Тем самым мы установили A4); свойство A5) доказывается при по-
помощи подстановки в A4) соответственно —xt —у и —z вместо
х, у и z.
Замечание 1. Дистрибутивное тождество
х Л (У V г) = (х Л У) V (х Л г) A6)
в произвольной структуре может и не выполняться. Структуры,
удовлетворяющие этому тождеству, называются дистрибутивными.
Модулярное тождество:
если х < zt то х V (У Л z) = (x N/ У) Л z A7)
слабее дистрибутивного тождества A5). Структуры, удовлетворяющие
условию A7), называются модулярными. Рассмотрим некоторую
группу О. Совокупность всех инвариантных подгрупп N группы О,
частично упорядоченная отношением включения, образует модулярную
структуру, если определить Nx V N2 как инваРиантную подгруппу,
592 XII. Теоремы о представлении в линейных пространствах
порожденную подгруппами Nx и N2 *), a NX/\N2 — как инвариант-
инвариантную подгруппу Nx П N2.
Замечание 2. Типичным примером дистрибутивных структур
являются булевы алгебры: дистрибутивная структура В называется
булевой алгеброй, если выполняются следующие условия: A°) в В
существуют элементы 0 (нуль) и / (единица), такие, что О^д:^/
для любого х ? В\ B°) для любого х ? В существует однозначно
определенный элемент х', называемый дополнением х, такой, что
х V^ = /, х Л *' = 0. Совокупность всех подмножеств некоторого
фиксированного множества, частично упорядоченная отношением
включения, представляет собой пример булевой алгебры.
Предложение 4. Определим для векторной структуры X понятие
абсолютной величины элемента
M = *V(—*)• A8)
Тогда
1*00; | j\r | == 0 тогда и только тогда, когда Jt = O. A9)
|* + У|<М + М. |а*| = |а|.|х|. B0)
Доказательство. Справедливо равенство
х+ /\(—х-)=х+ д(—*)+ = 0. B1)
Действительно, 0 = х—х = х V (— х)-\- х Л (— х) > 2 (х/\ (— х)),
и поэтому ввиду A4) О = (л;Л(—х))\/ 0 = хь /\(—х)+. Таким
образом,
л:+ — х" = х+ + (— х)+ = х+ V (— х)+.
С другой стороны, из неравенств х V (— х)^х /\ (— х)^—((—х) V х)
следует, что х V (—х)^0, откуда, согласно B1),
Итак, мы показали, что
х)+ = х+ \/(—х)+ = х\/ (—х). B2)
Остается доказать A9) и B0). Если х = хf -}- х" Ф 0, то либо х f,
либо (—л:~)>0, так что | jc | = л;+ V (— х~) > 0. Далее |оис| =
V(—ax) = \a\{x\/(—x))=\a\ \x\. Из условия | х\+ \у\>
, —х — у получается неравенство \х | + \у | >(д: + у) V
\ + \
Замечание. Разложение х = х+-{- дг", х+ /\ (— д:"") = 0, назы-
называется жордановым разложением элемента х. Элементы х+, х~
1) Если G — мультипликативная группа, то инвариантная подгруппа,
порожденная инвариантными подгруппами Nlt N2> определяется как под-
подгруппа элементов вида xy(x?Nu у?N2). — Прим. перев.
2. Векторные структуры 503
и \х\ отвечают соответственно положительной вариации, отрица-
отрицательной вариации и полной вариации функции x(t) с ограничен-
ограниченной вариацией.
Предложение б. Для всякого у?Х имеем
/\y — xxf\y\- B3)
Доказательство. Для любых а, Ь?Х
| а—Ь | = (a—b)+—(a—b)~ = а V b—b-(a А b—Ъ) = а V *—а Л *•
Поэтому правая часть B3), согласно A0), A4) и A5), равна
(х V У) V *i -(* V У) Л (*i V У) + (* Л У) V (*! Л У) —
— (х Лу)Лхх =
= (* V^i)Vy-(^A ^) V
Определение 2. Последовательность {д:,;} элементов векторной
структуры X называется О-сходящейся к элементу х ? ХЛ
х= O-lim xn, если существует такая последовательность {wn}, что
| я|<„ и wn^ 0. Здесь г»л | 0 означает, что wx >w2 > . . .
и д «;/2 = 0. Если O-lim хя последовательности {хп} существует,
>1 /1>
то он определяется однозначно. В самом деле, если допустить, что
О- lim хп = хн0- Игл *„ = у, то|л:—*я|Оя, w;l | Ои |у—^я|<«я,
Л->ОО Л->ОО
«я|0. Поэтому \х — у|<|дг — хп\ + \хп — у|<дая + «я и
(wn-\-un) j 0, так как wrt+ Л «я > Л («^я + «я)- Отсюда вытекает,
л>1 л>1
ЧТО X = ^
Предложение 6. Операции * + у, дгХ/уилгЛУ непрерывны
по отношению к O-lim.
Доказательство. Пусть O-lim xn = x, О-Мт уп = у. Тогда
Л->ОО Я->ОО
|х+у—д:я—Ул1<|^—^Я|4-|У—Уя| и, следовательно, О- lim (*я+уя)=
= jc + y. Из B3) видно, что
I л
х vv I^Ia:vv х v v 1 —4— I jc vv x
я л *п I ^ ' л У n л " I ' I n л ^ xn
откуда О- lim (*я X Уя) = (О- lim xn) VA (О- lim yn).
/1->СО /1->ОО Л>
Замечание. При произвольном а
O-lim а • хп = а • О- lim дгл.
Однако в общем случае
О- lim апх Ф ( lim an\ х.
л->оо
504 XII. Теоремы о представлении в линейных пространствах
Первое соотношение вытекает из равенства | ах — ахп | = | а | |*—хп |.
Что касается второго утверждения, то его справедливость устанавли^
вается с помощью следующего контрпримера. Ввведем в двумерном
векторном пространстве пар (?, ц) вещественных чисел | и ц отно-
отношение лексикографического частичного упорядочения, полагая
A\> Л1) ^ (^2» %) в том и только в том случае, когда либо |j > ?2»
либо li = ^2 и Лх^Лч- В результате, как нетрудно видеть, мы полу-
получаем векторную структуру. В этой структуре
1)>0 = @, 0) (лв1, 2, ..,).
Поэтому О- lim n~l(l, 0)Ф0. С помощью жорданова разложения
л-*оо
y = y+-f-)T можно установить, что необходимым и достаточным
условием справедливости равенства
О- lim а„л: = ал: B4)
ал-»а
является так называемая аксиома Архимеда
О-lim n~1x = Q для всех л;>0. B5)
/|->ОО
Определение 3. Подмножество (л:а) векторной структуры X
называется ограниченным, если существуют элементы у и z, такие,
что y^xa^z для всех ха. Векторная структура X называется
полной, если всякое ограниченное множество {л:а} из X обладает
в X верхней гранью sup.x:a и нижней гранью infjca. Если для
a a
всякой ограниченной последовательности \хп) с X в векторной
структуре X существуют sup xn и inf xn, то X называется о-пол-
л>1 >1
>
ной векторной структурой !). В a-полной векторной структуре X
определим верхний и нижний пределы ограниченной последова-
последовательности
О- lim xn — inif sup хЛ, О-lim Jcrt==supMnf хЛ. B6)
/i->oo т \п^т ) п+оо т \п>т )
Предложение 7. Для того чтобы существовал предел О- lim xn=x,
П-+СО
необходимо и достаточно, чтобы О-lim A:rt = O-lim xn = x.
1) Термины „полная" и „a-полная векторная структура" обычно относят
к случаям, когда произвольные множество {ха} с X или соответственно
последовательность {хп} с X имеют в X верхние и нижние грани. Если
таким свойством обладают ограниченные множества или последовательности,
то применяют названия условно полная и условно о-полная векторная
структура. — Прим. перев.
2. Векторные структуры 5Q5
Доказательство. Пусть |* — ^„К^л» wn I ®- Тогда х —- wn <!
>,,. так что О-fim (jc — wn) — x < О- Шп л:л <
<^ О- lim (л: -f- wn) = х, откуда О - lim xn = х. Аналогично устанавли-
Л-»оо /1->оо
вается, что О-lim хп = х.
/1->оо
Перейдем к доказательству достаточности. Введем обозначения
ип= sup дгт, г>л== inf л;т, ал—х;л=^л. По предположению wn | 0.
/и > л т > я
<
> >
Далее а:я<«Л== а: + («л —лг)<л: + («л —^я) = ^ + ^Л и анало-
аналогично д:я>л: — г»я, откуда видно, что | л: — xn\^.wn. Таким об-
образом, О-lim xn = x.
Я->00
Предложение 8. Во всякой сг-полной векторной структуре X
выражение ах непрерывно по а, х относительно предельного пере-
перехода O-lim.
Доказательство. Пусть О- lim хп = х, lim an = а; тогда
/1->ОО Л->ОО
О- lim | а 11 д: — хЛ | = 0. Поскольку | ах — апхп |< (ах — ахп
+1 ахп-апхп N а I • \х ~хп 1+1 а~ап \\хп\> т0» полагая sup | хп \=у
л>1
и SUp |а — а^|_ря1 мы сводим задачу к доказательству того, что
О- lim РЛу = О. Предел О- lim рлу = ^ существует, так как у>0 и
, и O-lim 2~1рлу = 2~1г. Поэтому для любого п найдется та-
л->с»
кое п0, что рл <;2-1рл. Отсюда видно, что z — 2~lz, откуда 2 = 0.
Предложение 9. Для того чтобы существовал предел О- lim xn
последовательности \хп) элементов a-полной векторной структуры X,
необходимо и достаточно, чтобы
О- lim \xn — xm\ = 0. B7)
П, /Я-»ОО
Доказательство. Необходимость условия B7) с очевидностью
вытекает из неравенства | хп — х^ |<| хп — х \ + \_х — хт |. Если по-
положить \хя — хт\ = уям. то O-lim хп^хт+ О- lim уят. О- lim >
>д:т — O-Jnn улт. Таким образом,
л->оо
0 < О- iim хя — О- lim л:л < О- lim /О- fim улт — О- lim ynm\ **-. 0.
Отсюда следует достаточность условия B7).
506 XII. Теоремы о представлении в линейных пространствах
Предложение 10. Векторная структура X является а-полной
тогда и только тогда, когда всякая монотонная ограниченная после-
последовательность [хп) имеет sup хп в X.
Доказательство. Мы должны доказать лишь достаточность усло-
условия теоремы. Пусть \zn)—произвольная ограниченная последова-
последовательность из X. Положим хп = sup zm. Тогда по предположению
<
в X существует sup хп = z и z = sup ( sup zm\. Точно так же в X
п > 1 п >1 \т < п )
существует
inf zn = inf ( inf zm
> 1 <
)¦
3. В-структуры и F-структуры
Определение. Вещественное fi-пространство (или /^-пространство)
называется В-структурой (соответственно F-структурой), если оно
является векторной структурой и
неравенство |*|<^|у| влечет за собой |[#|[^||у||. A)
Примеры. Пространства С E) и LP(S) образуют fi-структуры по
естественному отношению частичного упорядочения, когда х^у,
если *($Ху($) при s?S для случая СE).и x(s)<^.y(s) т-п. в.
на 5 для пространства LP(S). В пространстве M(S, 58, m), удовле-
удовлетворяющем условию m(S)<oo, отношение частичного упорядочения
можно ввести так же, как и в LP(S); при этом Ж E, 93, т) оказы-
оказывается /^-структурой. Если аналогичным способом упорядочить про-
пространство А E, 93) и ввести в нем норму
где |#|(S) — полная вариация х на 5, то получится В-структура
A(S> 93). В силу условия A) и свойства | лг| = |(| * |)|
11*11= IKM)!!1). B)
В пространстве A(S, 93), кроме того, выполняется условие
если *>0, у>0. то ||* + У|| = ||*|| + ||уВ. C)
1) Меры х-=х(В)(ВСS3) частично упорядочиваются по правилу, ука-
указанному в примере гл. XII, § 2. Выражение | х \ в левой части равенства
|*| = |(|J|)| обозначает абсолютную величину х(В), т.е. полную вариа-
вариацию х на множествах ??33, рассматриваемую как мера, заданная на семей-
семействе 93; величина | (I х \) \ — это абсолютная величина меры | х \ (?), т. е.
полная вариация \х\ на множествах В как функция, заданная на S3.
—Прим. перев.
3. В-структуры и F-структуры 507
Какутани называет ^-структуру, обладающую свойством C), абст-
абстрактным ^-пространством. Из C) следует, что
если |*|<|у|. то ||*||<||у||. D)
Норма в векторной структуре A(S, 93) оказывается непрерывной по
отношению к предельному переходу O-lim, т. е.
если O-lim хп = х, то lim ||хп\\ = \\х||. E)
/*->ОО Л->ОО
В самом деле, в А E, 93) условие O-lim хп = х эквивалентно су-
Л->оо
ществованию последовательности уп ? А (S, 93), такой, что уп (S) | 0
и | х — xn\(S)^ynE). Нетрудно заметить также, что пространство
М E, 93, т) как векторная структура удовлетворяет условиям D) и E).
Предложение 1. Всякая а-полная F-структура X, удовлетво-
удовлетворяющая требованиям D) и E), является полной. В частности, Л E, 93)
и Ж E, 93, т) — полные векторные структуры.
Доказательство. Пусть {ха} & X — ограниченное множество.
Можно, очевидно, допустить, что 0^ха<С* Для всех а. Покажем,
что supA:a существует. Рассмотрим совокупность {zJ всех элемен-
a р
п
тов z$ вида 2|з= V *ау. т- е. множество всех верхних граней все-
всевозможных конечных подмножеств из {*а}. Положим Y = suP||^bII-
Р
Тогда найдется такая последовательность \z$), что lim ll^p || = \.
' ] ->ОО '
Положим гп= sup z$:, тогда предел O-lim zn = w существует и
из определения величины у и условия E) следует, что ||w|| = Y' до-
докажем теперь, что i2;==supjca. Допустим, что xa\/w>w при не-
a
котором ха. Тогда, согласно D), || ха V w || > ||^|| = Y« Но так как
*а V w = O- lim (xa V 2„), ха V zn ? {*в}, то ввиду E) имеет место
Р
равенство ||jca Va;||= ^m II-^a V zn II ^Y» что противоречит сделан-
/1->оо
ным допущениям. Следовательно, 'Ш^-лГц для всех ха. Предположим,
что для некоторого элемента и при всех а выполняется условие
ха^.и. Допустим, что w /\u<w. Тогда вследствие D) || w /\ и \\ < Y.
вопреки тому, что w /\ и > г^ для всех 2р. Таким образом,
w = supxa.
а
Замечание. В векторной структуре С (S) из условия О- lim xn = x
П->СО
не следует, вообще говоря, что s- lim xn = x. В Л1E,93, т) соотно-
шение 5- lim xn = x не гарантирует равенства O-lim xn — x. По-
следнее подтверждается следующим примером. Пусть #,($), л:?E), ,,,—
508 XII. Теоремы о представлении в линейных пространствах
характеристические функции Ътрезков
[**]¦ Iff]. Kb [МЬ [*¦*]¦ [4-4Ь КИИ]-
принадлежащих отрезку [0, 1]. Последовательность {xn(s)} с М([0, 1])
сходится по мере к нулю, но она не сходится к нулю почти всюду,
т.е. 5-lim лгЛ = О, но О-lim хп Ф 0.
Предложение 2. Пусть X — произвольная F-структура. Допу-
Допустим, что последовательность \хп) S X удовлетворяет условию
5-lim хп==х. Тогда последовательность [хп] ^-сходится кх
/1->ОО
относительно равномерно !), т. е. из любой подпоследовательности
{уп} <= [хп} можно выбрать подпоследовательность {уЛ(^} S [уп\ и
такой элемент z?X, что
|УЛ<*> —^К** (*=Ь 2> •••)• F)
Обратно, если последовательность [хп] ^-сходится относительно
равномерно к х% то s- lim xn = x.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно рассматривать
лишь случай л; = 0. Если lim ||уя|| = 0, то найдется такая последо-
вательность {n(k)\ положительных целых чисел, что || kyn(k) ||< k~2.
оо
Тогда, полагая z= 2 I ^Уп (k) I» мы убеждаемся в справедливости
условия F). Обратно, допустим, что F) выполняется для х = 0.
Тогда (Ул^К*"*. и поэтому ||уя(Л) У^ЦА*!!- Следовательно,
$-\\т yn{k) = Q. Последнее означает, что не может существовать
подпоследовательность {уп} последовательности {хп}, для которой
Пт||у„||>0.
Замечание. Предложение 2, сформулированное и доказанное выше
в абстрактной форме, в применении к ^-структуре M(S, ЗЭ, т)
выражает, очевидно, тот факт, что при условии тE)<оо всякая
сходящаяся по мере последовательность из M(S, 95, т) содержит
некоторую подпоследовательность, сходящуюся т-п. &.
1) Если из всякой подпоследовательности {у„} с {хп} можно выбрать
подпоследовательность {гп} cz {yn}, которая сходится (в том или ином
смысле) к хЛ то говорят, что "{*„} ^-сходится (в соответствующем смысле)
к х. Если для любого е > 0, начиная с некоторого номера N (е), выполняется
неравенство \хп — х\^.ги (л]>#(е)), где и — фиксированный элемент из X,
то говорят, что [хп] сходится к х относительно равномерно. Тип сходи-
сходимости, определяемый условием F), представляет собой комбинацию указан-
указанных видов сходимости, откуда и происходит его название. — Прим. перев.
4. Теорема Банаха о сходимости 509
4. Теорема Банаха о сходимости
Теорема Банаха относится к вопросу о сходимости почти всюду
последовательности линейных операторов с областями значений в про-
пространстве измеримых функций. См. Банах [2]. Предлагаемая ниже
абстрактная формулировка этой теоремы, выраженная в терминах
теории векторных структур, принадлежит Иосида [15].
Теорема. Пусть X — вещественное ^-пространство с нормой || ||,
и пусть Y есть а-полная F-структура с квазинормой || ||1# Допустим,
что
из равенства О- Iim уп = у следует равенство lim || Ул Hi = 11У Hi- О)
Пусть [Тп]—некоторая последовательность ограниченных линейных
операторов, принадлежащих L(X, Y). Предположим, что
О-lim | Тпх | существует для точек х?Х, образующих
/1->ОО
множество О второй категории. B)
Тогда для всякого х ? X существуют оба предела О- lim Tnx и
Л->ОО
О- lim Tnx и равенство
Л-»со
f = (O- llm Tnx\—[O- lim Tnx\ C)
определяет (не обязательно линейный) непрерывный оператор Т, дей-
действующий из Л' в К.
Замечание. Пространство МE, 93, ш) при условии //i(S)<oo
удовлетворяет требованию A), если определить в нем квазинорму
формулой ||y||i=J \y(,s)\(l + \y(s)\Tl-m(ds) и считать, что
тогда и только тогда, когда yi(s)<^y2($) /я-п. в. При
таком же способе частичного упорядочения пространство LP(S, 23, m),
где wE)^oo, тоже удовлетворяет условию A).
Доказательство теоремы. Положим Тпх = уп, у'п = sup | ym |,
я> т
у' =. sup |уп\ и рассмотрим операторы Vпх = угп и Vx = у\ опре-
л> 1
деленные по крайней мере для всех х ? О и отображающие О в К.
Из равенства B3), § 2, следует, что каждый из операторов V'п сильно
непрерывен вм<есте с Тк. Согласно A), lim \Vпх — Vjc||1 = 0, по-
этому lim Н*^^!^!!*"^!!; кроме того, lim ||*-iVrJc||1 = Ol
так как выражение ау непрерывно в F-пространстве У по а, у.
510 XII. Теоремы о представлении в линейных пространствах
Следовательно, для любого е > 0
) D)
Вследствие сильной непрерывности Vn каждое из множеств Qk сильно
замкнуто в пространстве X. По предположению О есть множество
второй категории, поэтому некоторое множество вида О*0 должно
содержать шар пространства X. Таким образом, найдутся элемент
хо?Х и число 6 > 0, такие, что при ||jc0 — #||^6 выполняется не-
неравенство sup || Ao'V^Hj <^е. Полагая z = x0— х, мы видим, что
sup || kolVnz ||, < sup || fto~ V«*o Hi + SUPII *blVnX ||, < 2e,
n > 1 n > 1 n > 1
и поскольку Vn(kolz)= ko]Vnzt отсюда вытекает, что
nz\\y^2e при ||
Таким образом, 5- lim Vn>z = Q равномерно относительно п.
Множество О плотно в X, поэтому выражение V • х фактически
определено для всех х?Х и сильно непрерывно в точке л: = 0,
причем V • 0 = 0. Следовательно, ввиду того что
|Г.*|<2У-* и || f хх - fх2 \\х < || Т(хх-х2)\\19
выражение Т - х сильно непрерывно в каждой точке х ? X.
Следствие. Если выполняется условие A), то множество 0 =
= \х?Х; О-lim Tnx существует! либо совпадает со всем про-
I /1->-О0 J
странством X, либо является множеством первой категории.
Доказательство. Предположим, что О — множество второй кате-
категории. Тогда, согласно доказанной теореме, оператор Т сильно не-
непрерывен и отображает X в Y. Поэтому множество О = [х ? Х\
Тх = §) сильно замкнуто в X. А так как, кроме того, О является
линейным подпространством в X, то G = X, ибо в противном
случае О не было бы плотным в X.
5. Представление векторной структуры при помощи
функций точки
Предположим, что векторная структура X содержит „единицу" /,
обладающую такими свойствами:
/ > 0 и для любого / ? X существует а > О,
такое, что — с*А</<а/, A)
5. Представление векторной структуры функцией точки 511
Для векторной структуры X такого типа имеет место предста-
представление, аналогичное представлению нормированного кольца с помощью
функций, заданных на максимальных идеалах.
Назовем элемент f?X нилъпотентным, если |
(л== 1, 2, ...). Совокупность R всех нильпотентных элементов ?
называется радикалом векторной структуры X. Из условия B0)
§ 2 гл. XII видно, что радикал R представляет собой линейное под-
подпространство в X. Кроме того, радикал R является идеалом в X
в том смысле, что
если f?R и |?|<|/|, то g?R. B)
Лемма. Рассмотрим две векторные структуры Хх и Х2. Линей-
Линейный оператор Г, отображающий Хх на Х2> называется гомомор-
гомоморфизмом структур, если
T{xVy) = (Tx)V(Ty). C)
Оператор Т является гомоморфизмом структур тогда и только тогда,
когда множество N={x?Xx; Тх = 0} образует идеал в Xv
Доказательство. Пусть Т — гомоморфизм структур. Пусть ?
и |у|<|*|. Тогда, поскольку Т(\ х |) = Т\х V — х) = (Тх) V
V(?4— *)) = 0, мы находим, что 0<Гу+ =Т(у+ /\ \ х |)==
= Гу+ Д Т\ а: | ===== 0, и поэтому y*?N. Аналогично устанавливается
тот факт, что y~?N% и, таким образом, у = у+-|~У~ ?ЛЛ
Предположим теперь, что линейное подпространство N == [х?Хх\
Тх = 0} является идеалом в XV В этом случае линейное простран-
пространство Х2 изоморфно факторпространству XxjN. Мы должны пока-
показать, что (л; v у) = л; ду, где через х обозначен класс элементов
пространства Xv эквивалентных по подпространству N, содержа-
содержащий лгС Для этого заметим, что если у = z, то у — z?N% и тогда,
согласно условию B3), § 2 этой главы,
так что класс вычетов (х)(у) определяется независимо от выбора
элементов х и у соответственно из классов х и у.
Замечание. Утверждение доказанной леммы можно сформулиро-
сформулировать следующим эквивалентным способом: пусть N — некоторое ли-
линейное подпространство векторной структуры X. Эквивалентность
a = #(modN) произвольных элементов a, b как векторов линейного
пространства влечет за собой их эквивалентность (modAf) как эле-
элементов векторной структуры тогда и только тогда, когда jV является
идеалом в X. Иными словами, для произвольных элементов вектор-
512 XII. Теоремы о представлении в линейных пространствах
ной структуры требование
из условия а = ?, a'==bf(mod/V) следует,
что a^b = a'^b' (mod N)9
выполняется в том и только в том случае, когда N — идеал в X.
Идеал N назовем нетривиальным, если N Ф {0}, X. Нетривиаль-
Нетривиальный идеал N называется максимальным, если он не содержится как
собственное подмножество ни в каком другом идеале, отличном от X.
Совокупность всех максимальных идеалов /V векторной структуры X
обозначим через 9И. Векторную структуру, не содержащую нетри-
нетривиальных идеалов, назовем простой. Векторная структура X/N клас-
классов элементов из Ху эквивалентных по произвольному идеалу N ? 9№,
является простой. Далее будет показано, что всякая простая век-
векторная структура с единицей линейно-структурно изоморфна
векторной структуре вещественных чисел, причем неотрица-
неотрицательным элементам соответствуют неотрицательные числа,
а единице I—число 1. Векторная структура X линейно-структурно
гомоморфна X/N (N ? 9№); таким образом каждому элементу / ? X
можно поставить в соответствие вещественное число, которое мы обо*
значим через f(N).
После этих предварительных рассуждений мы можем сформули-
сформулировать и доказать следующую теорему.
Теорема 1. Радикал R совпадает с идеалом Q N.
Доказательство. Первый этап. Пусть X — простая векторная
структура с единицей /. Тогда X = {а/; — оо < а < оо}.
Доказательство. Структура X не может содержать нильпотент-
ных элементов / Ф 0, так как в противном случае в X содержался бы
нетривиальный идеал N = {g; \ g | ^ г\ | / | при некотором г\ < оо}.
Поэтому, согласно условию A), для X выполняется аксиома Архи-
Архимеда
О- lim n~l\x\ — 0 для всех х?Х. D)
Я->ОО
Предположим, что существует элемент /0?А\ такой, что j
при любом вещественном у: Положим
а= inf а', р= sup p'.
Тогда из D) вытекает, что р/</0<]а/ и Р<а. Следовательно,
(/о — 6/)+ Ф °» (/о — 6/Г * 0 при всех р < б < а. Поскольку хь Д
Л (— *~)=0, множество No—[g; \ g К т](/0 --б/)+ при некото-
некотором Т1 < оо} образует нетривиальный идеал, что противоречит сде-
сделанным допущениям.
5. Представление векторной структуры функцией точки 513
Второй этап. Для всякого нетривиального идеала No найдется
максимальный идеал Nv содержащий No.
Доказательство, Обозначим через {NQ} совокупность всех не-
нетривиальных идеалов, содержащих NQ. Введем в множестве {No}
отношение порядка, полагая Nai <J Ma2 в том случае, когда Мщ
является подмножеством в NU2. Пусть {Na}—произвольное линейно
упорядоченное подмножество из {No}. Положим N~— [J Na.
Покажем, что N~ служит мажорантой для {Na}. Действительно, если
х, у ? Л/«, то существуют идеалы Nai и Na2, такие, что x?Nai и
•Уб^а2- Так как подмножество {Na} линейно упорядочено, то
Nax ? Na2 (или Nai з Л/а2), и элементы хну оба принадлежат NU2
(соответственно A/a,). Это показывает, что (ух ~\- 6у) ? Ма2 S А^з и
что из условия | z | ^ | х | вытекает включение z ? Nul S А/р. Еди-
Единица / не входит ни в один идеал Na и поэтому не содержится в /V«
Таким образом, N~ представляет собой нетривиальный идеал, содер*
жащий каждый из идеалов Na, т. е. является мажорантой для [Ма].
Отсюда на основании леммы Цорна мы заключаем, что найдется по
крайней мере один максимальный идеал, содержащий No.
Третий этап. Покажем, что R S Q ЛЛ Пусть / > 0 и /t/<</
(п= 1,2,...). Тогда nf(N)<CI(N)=i (n= 1,2,.. .) для любого
N?ЗЯ и, следовательно, f(N) = Q, т. е. /?ЛЛ
Четвертый этап. Убедимся в том, что R з Q N. Пусть / > О
не является нильпотентным элементом. Мы должны показать, что
найдется идеал N ? Ш, не содержащий /. Это доказывается следую-
следующим образом.
Так как / > 0 — не нильпотентный элемент, найдется такое целое
число я, /что nf^f. Мы можем предположить, что nf^-I, ибо
в противном случае f (? N при любом Л/^9№, и наше утвержде-
утверждение оказывается тривиальным. Допустим, что р = / — (п • /) Д / > 0.
В этом случае неравенство т - р^-I не выполняется ни для какого
положительного целого т. Действительно, в противном случае
/я/ ^ / — (п • /) Л I и, следовательно,
Тогда, согласно условию F) § 2 гл. XII,
(п • / — A — /я-1)') Л т~Ч = (п • / — A —т-*I) Л 0 <0,
откуда в силу дистрибутивности векторной структуры вытекает соот-
соотношение
0 = {(/!•/ — A—m-ООЛ W/} V 0 = (!!•/ — A-ая-1)/)' Дг1/,
33 К. Иосида
514 XII. Теоремы о представлении в линейных пространствах
т. е. (п- f — (I — m-x)I)+ Д/ = 0. Положим b = (n-f — A—да-1/)"*"
и допустим, что b > 0. По условию A) найдется а > 1, при котором
?<а/. Тогда 0<b = b/\af, и поэтому 0 < (а^) Л /<* Л Л
что противоречит равенству b Д / = 0. Таким образом, ? = 0, т. е.
Л#/^О—tn~l)I. Последнее же противоречит тому, что я«/^/.
Из приведенных рассуждений видно, что множество N0={g; | g | <J
^т]|/?| при некотором т] < со} образует нетривиальный идеал. Как
установлено на втором этапе доказательства, No содержится по край-
крайней мере в одном максимальном идеале ЛЛ Но тогда 0 = p(N) =
= 1 —-(п- f(N)) ,\ 1, откуда видно, что /(N)>0, т. е. /<?ЛЛ
Итак, теорема 1 доказана.
Векторная структура X — ^/Z?, так же как и X, представляет
собой векторную структуру с единицей /. Идеал f]N, пересечение
_ iv ___
всех максимальных идеалов N векторной структуры X, является,
согласно теореме 1, нулевым и X не содержит отличных от нуля
нильпотентных элементов. Следовательно, для X выполняется аксиома
Архимеда
О- lim я-1|/"| = 0 для всех f?X. E)
П
Пусть N — произвольный максимальный идеал в X. Тогда фак-
торпространство XjN образует простую векторную структуру и, как
было показано на первом этапе доказательства теоремы 1, струк-
структура XjN линейно-структурно изоморфна векторной структуре веще-
вещественных чисел, причем неотрицательным элементам соответствуют
неотрицательные числа, а единице — число 1. Вещественное число,
отвечающее элементу / при гомоморфизме X->XjN, обозначим
через f{N). Через Ш обозначим множество всех максимальных идеа-
идеалов X. Таким образом, справедлива
Теорема 2. Соответствие f->f(N) определяет линейно-струк-
линейно-структурно изоморфное отображение структуры X на векторную струк-
структуру FCR) ограниченных вещественных функций на 9№, удовлетво-
удовлетворяющее условиям A°) \f\->\f(N)\\ B°) f(N)=\ на §Г; C°) F(Wl)
разделяет точки множества 9№, т. е.
для любых двух различных точек Nv N2 множества Tt
существует по крайней мере один элемент f?X>
такой, что f(Nx) Ф f\N2). F)
в. Представление векторной структуры функцией множества 515
Замечание. Введем топологию в множестве ЗЯ, принимая мно-
множества вида
[N^Wt; \ft(N)-ft(Nd\<*i ('=1. 2. .... л).
где —/<;/<;/ для всех /}
за окрестности точки No. Пространство ЗЯ оказывается в этом слу-
случае бикомпактным, так как его можно отождествить с некоторым
замкнутым множеством, принадлежащим топологическому произведе-
произведению (той же мощности, что и множество всех элементов f?X, удо-
удовлетворяющих неравенствам —/^/<^У) замкнутых интервалов [—1, 1].
Доказательство этого утверждения сходно с доказательством анало-
аналогичных фактов для множества всех максимальных идеалов нормиро-
нормированного кольца, приведенным в гл. XI, § 2. Более того, каждая из
функций f(N)?F(ffl) непрерывна на бикомпактном пространстве 9Й,
топологизированном таким способом. Отсюда на основании теоремы
Какутани — Крейна (§ 2 введения) мы можем заключить, что множе-
множество F(ffl) плотно в /^-пространстве С (Ж). Приведенные в этом
параграфе две теоремы заимствованы из работы Иосида — Фука-
мия [16]. См. также Какутани [4] и М. Г. Крейн —С. Г. Крейн [2].
6. Представление векторной структуры при помощи
функций множества
Обозначим через X некоторую а-полную векторную структуру.
Выберем произвольный положительный элемент х из X и назовем
его „единицей* в X. Мы будем обозначать выбранную „единицу"
символом 1, и в тех случаях, когда это не может вызвать недоразу-
недоразумений, писать а вместо а- 1. Неотрицательный элемент е?Х будем
называть „квазиединицей", если е /\ A—е) = 0. Конечные линейные
комбинации вида 2а/^ квазиединиц et мы будем называть „конечно-
значными" элементами, а всякий элемент у ? X, который выражается
как O-!im последовательности конечнозначных элементов, назовем
„абсолютно непрерывным" (по отношению к единице 1). Всякий эле-
элемент z ? Ху для которого | z \ /\ 1=0, будет называться „сингуляр-
„сингулярным" (по отношению к единице 1).
Приведем абстрактную формулировку известной в теории инте-
интегрирования теоремы Радона — Никодима.
Теорема. Всякий элемент из X может быть единственным обра-
образом представлен в виде суммы абсолютно непрерывного и сингуляр-
сингулярного элементов.
Доказательство. Первый этап. Если / > 0 и / /\\Ф§, то
найдутся положительное число а и квазиединица еа ф 0, такие, что
33*
516 XII. Теоремы о представлении в линейных пространствах
f^aea. Например, мы можем положить
еа= V Ист1/-а/Л ОЛИ- (I)
Доказательство. Положим ya = a~lf — а/ Л 1- Тогда
2^аЛ1 = { V BлуаЛ2)}Л 1=*а.
так что еа — квазиединица. Неравенство />ага выводится из соот-
соотношения
пуаЛ 1 = ш-1/Л[1+л(а-1/Л 1)] —
<(я+ О»/ Л (л+ 1) —я(а-7 Л 1)<а/ Л 1 <a~*f.
Если мы сможем показать, что уа Л 1 > 0 для некоторого а > О,
то еа > 0 при таком а. Предположим, что такого положительного
значения а не существует. Тогда при любом а из интервала 0 < а < 1
а (а-1/ — or1/ ЛОЛ а-1 = 0.
Таким образом, (/ — / Л «) Л 1 =0. и, полагая а | 0, мы находим,
что / Л 1 = 0, а это противоречит предположению f /\ \ Ф0.
Второй этап. Пусть /^-0 и f^ae, где а > 0, а е — некото-
некоторая квазиединица. Тогда при 0 < а' < а мы имеем еа> ^е и f^a'ea>t
где еа' определяется формулой A).
Доказательство. Для упрощения выкладок мы, не ограничивая
общности, можем положить а=1. При 0<6< 1
Поскольку е — квазиединица, мы имеем 2е/\\—е,е/\\ = е. Сле-
Следовательно, те /\ 1 =е при т^\. Так как 1 <A —б), мы полу-
полу1
У1
чаем, что A—ЬУ1е /\ \ = е. Поэтому из приведенного выше нера-
неравенства следует, что
откуда, согласно A), е^е{_ь.
Третий этап. Совокупность всех квазиединиц образует булеву
алгебру: если ех и е2 — квазиединицы, то ех V е2 и ех/\е2 — тоже
квазиединицы и, кроме того, 0^^-^ 1. Квазиединица A — я) служит
дополнением к е, а 0 и 1 являются соответственно наименьшим и
наибольшим элементами в множестве всех квазиединиц.
6. Представление векторной структуры функцией множества 517
Доказательство. Условие е/\(\—е) = 0 эквивалентно равен-
равенству 2е Л I = е. Поэтому если ех и е2 — квазиединицы, то
2(^Л^)Л 1=B^Л О Л Bе2 Л l) = *i Л е2,
так что *, Л *2 и *i V ^2 также принадлежат множеству квазиединиц.
Четвертый этап. Пусть / > 0. Положим / = supp^o, где верхняя
грань берется по всем положительным рациональным числам р. Как
выяснено на третьем этапе доказательства, верхняя грань конечного
множества элементов вида р^р представляет собой конечнозначный
элемент. Следовательно, элемент / абсолютно непрерывен по отно-
отношению к единице 1. Покажем, что элемент g = f — / сингулярен
по отношению к единице 1. Для этого допустим, что он не сингу-
сингулярен. Тогда, как показано на первом этапе доказательства, найдутся
положительное число а и квазиединица е, такие, что g^-ae. Поэтому
f^ae и, как показано на втором этапе, существуют число ар
0 < аг < а, и квазиединица ettl ^> е% такие, что / ^ а,га1. Можно
считать, что число аг рационально. Тогда / ^ a,?ai и, следовательно,
/ = /-f-g"^'2a1^ai. Применяя снова результаты второго этапа дока-
доказательства, найдем число а[ из промежутка 0 < а[ < ах и квазиеди-
квазиединицу ?2a'^*a f для КОТОРЫХ f^2a[e2a'. Опять-таки можно допу-
допустить, что 2а[ рационально, и тогда f^2a[e2a'. Отсюда следует,
что / = / + ^>За^. Повторяя этот процесс, мы можем доказать,
что для любого рационального числа ап, удовлетворяющего нера-
неравенствам 0 < ап < а,
(я=1. 2, ...)•
Если взять ал ^ а/2, то (я-f- 1)але ^ 2~[пае. Следовательно, / ^ пае
(я= 1, 2, . ..), где a > 0, е > 0. Но последнее заключение приводит
к противоречию, так как по предположению векторная структура X
является 0-полной и в ней должна выполняться аксиома Архимеда.
Пятый этап. Напишем жорданово разложение / = /++/~
произвольного элемента / ? X. Применяя к каждому из элементов
/"*" и /" результаты четвертого этапа, мы находим, что элемент /
разлагается в сумму абсолютно непрерывного и сингулярного эле-
элементов. Единственность такого разложения будет установлена, если
мы покажем, что всякий элемент h?X, являющийся одновременно
сингулярным и абсолютно непрерывным, равен нулю. Но если эле-
элемент h абсолютно непрерывен, то А = О-НтАя, где Ал — конечно-
значные элементы, а для каждого коне.чнозначного элемента Ал суще-
518 XII. Теоремы о представлении в линейных пространствах
ствует такое положительное число ал, что |Ая|^ая«1. Так как
элемент h одновременно сингулярен, то | h \ /\ \ hn | = 0. Поэтому
|А| = |А|Л|*| = О-Нт(|А|Л|*я|) = 0.
Я->00
Приложение к теореме Радона — Никодима. Рассмотрим случай
^ = ^4E, 93). Мы уже знаем (предложение 1, гл. XII, § 3), что
векторная структура A(S, 93) является а-полной и в ЛE, S)
х+ (В) = sup х E0 = V (х; В), B)
В' СВ
где V(x\ В) — положительная вариация х на В. Нам потребуется
следующее вспомогательное
Предложение. Пусть х > 0 и z > 0—элементы структуры А E, 93)
и х Л 2 = 0. Тогда найдется такое множество В0?Ч&, что л;(В0) = 0
и z(S — ?0) = 0.
Доказательство. Так как х /\ z = (x — z)~ + z9 то из B) сле-
следует, что
(хЛ*)(В)= inf (x-z)(Bf)+z(B)= inf \x{B') + z(B-B% C)
В'Е.В В' с В
Отсюда, используя предположение х Л з = Of мы находим, что
inf [х (В)+ ^ E - В)] = (* Л *) E) = 0.
Следовательно, для любого е > 0 найдется такое множество Вг ? 93,
что л;(?е)<е, z(S — Ю<е. Положим Во= /\ { \/ В9_Д Тогда
из cr-аддитивности функций a:(J5) и z (В) следует, что
со
0<лг(В0)= lim х( V ^a-«W Hm S2"" = 0.
0<,гE — Bo)= lim z(S— V V«
Следствие. Пусть ^ — квазиединица векторной структуры A(St 23)
по отношению к некоторому элементу х > 0. Тогда существует
множество ?j?93, такое, что
е(В)^=х(В(]В1) для всех 5?93. D)
Доказательство. Так как (л: — е)/\е — Ъу найдется такое мно-
множество ?О?93, что e(B0) = 0t (x—e)(S—B0)=0. Поэтому e(S—BoJ=
= x(S — B0)=e(S) и, следовательно, е(В) = х(В—Во) ==х(В(] Вх),
где В{ = S — Во.
Теперь мы можем доказать теорему Радона — Никодима теории
интегрирования. Из следствия видно, что квазиединица е по отноше-
отношению к элементу х > 0—это не что иное, как сужение е (В)=х(В П В0)
6. Представление векторной структуры функцией множества 519
меры х1). Следовательно, всякий конечнозначный элемент из A (S, 33)
можно рассматривать как интеграл вида
J
B(]Bi
т. е. как неопределенный интеграл от простой функции. Значит,
абсолютно непрерывные элементы из А E, 33) представляют собой
неопределенные интегралы по отношению к мере х(В). Доказанное
выше предложение утверждает, что сингулярному (по отношению
к единице л;) элементу g соответствует множество fio?33, такое,
что л;E0) = 0, g(B) = g(BnBv) для всех В ?33. Такую меру g(B)
называют сингулярной (по отношению к х(В)). Мы показали, таким
образом, что всякий элемент /?ЛE, 93) представляется в виде
суммы неопределенного интеграла (по отношению к х(В)) и сингу-
сингулярной (по отношению к х(В)) меры g(B), причем это разложение
единственно. Полученный результат и составляет содержание теоремы
Радона — Никодима.
Замечание. Приведенная в этом параграфе теорема взята из ра-
работы Иосида [6]. Ср. Рисе [6], Фрейденталь [2] и Какутани [5]. По
поводу дальнейших ссылок см. Биркгоф Г. [I]2).
1) Если S3 есть а-аддитивное семейство мложе.тв В с S, то семейство
$'= {?'??; 15'сВ0} = {Б/ = В0ПД Я?ЯЗ}, где Яо?8, называется суже-
сужением SB на В«. Соответственно сужение функции множества х (?), заданной
на $, на семейство В'.называется сужением х на Во. Мера е (В) = х (В(]В{),
которая рассматривается в D), фактически определена на множествах вида
В' = В{]В{ и является сужением х на В\. — Прим. перев.
2) По теории векторных структур см. Канторович [2*], Вулих [2*]; общие
сведения по теории структур см. также в книге Куроша [1*]. — Прим. перев.
ГЛАВА XIII
Эргодическая теория и теория диффузионных
процессов
Эргодическая теория и теория диффузионных процессов пред-
представляют собой широкое поле для приложения результатов аналити-
аналитической теории полугрупп. С математической точки зрения эргоди-
эргодическая теория связана с изучением „временных средних" вида
t
lim t~l I Tsds для полугрудп операторов Tt, а теория диффузионных
<*°° о
процессов изучает стохастические процессы с помощью исследования
свойств инфинитезимальных производящих операторов полугрупп,
внутренне связанных с рассматриваемыми стохастическими процессами.
/• Марковский процесс с инвариантной мерой
В 1862 г. английский ботаник Броун, наблюдая под микроскопом
за движением мельчайших частиц цветочной пыльцы, взвешенных
в жидкости, обратил внимание на хаотическое движение этих частиц,
беспрестанно меняющих свое положение и нагфавление движения.
Для описания такого рода явлений рассматривается так называемая
переходная* функция P(t, х, s, Е); величина P(t, x, st Е) соответ-
соответствует вероятности того, что частица, занимающая положение х
в момент времени t% будет находиться в точке, принадлежащей мно-
множеству Е, в последующий момент времени s. Введение такой пере-
переходной функции основывается на гипотезе о том, что хаотическое
движение частиц после момента времени t совершенно не зависит от
истории их движения, относящейся ко времени, предшествующему t.
Иными словами, предполагается, что хаотическое движение после мо-
момента t полностью определяется расположением этих частиц в момент
времени t. Это предположение о том, что ансамбль частиц не имеет
памяти, приводит к тому, что переходная функция P(t, x, s, E)
должна удовлетворять уравнению вида
P(tt х, s, E)= J P(t, х, и, dy)P(u, у, s, Е) при t<u< s, A)
где интегрирование выполняется по всему пространству «S, занятому
хаотическим движением частиц.
Л Марковский процесс с инвариантной мерой 521
Процесс, который развивается во времени в соответствии с
переходной функцией P{ty x, s, E), удовлетворяющей уравнению A),
называется марковским процессом, а уравнение A) называется
уравнением Чепмена — Колмогорова. Понятие марковского про-
процесса является естественным обобщением понятия детерминирован-
детерминированного процесса, при котором P(tt x, s, ?)=1, если у??(у =
= у(лг, t> s))y и P(t, x, s, Е) = 0, если у(??, т. е. когда ча-
частица, занимающая положение х в момент времени /, в любой
последующий фиксированный момент 5 с вероятностью 1 попадает
в положение у = у(ху tt s). Марковский процесс Р называют одно-
однородным во времени, если P(t, x, s, E) как функция t и s зависит
только от разности (s — t). В этом случае для изучения процесса
приходится рассматривать переходную функцию P(t, х, ?), опре-
определяющую вероятность перехода частицы из положения х в точку
множества Е по прошествии t единиц времени. Уравнение A) при-
приобретает тогда форму
P(t + s, х, ?)= J P(t, x, dy)P(s, у, Е) при t% s > 0. B)
Процесс P(t, xy E) порождает в соответствующем функциональном
пространстве X некоторое линейное преобразование Tt, определяемое
формулой
(TJ)(х) = J P(t. х, dy)f (у), f?X. C)
для которого имеет место полугрупповое свойство
T<+s = TtTs (t.s>0). D)
Основная математическая проблема статистической механики свя-
связана с существованием временнбго среднего значения
lim
1 f TJ ds. E)
Рассмотрим в качестве примера детерминированное механическое дви-
движение, описываемое некоторой системой уравнений Гамильтона с га-
гамильтонианом, не зависящим явно от времени t. В этом случае
траектория движения, выходящая из точки a;?S, приходит по про-
прошествии t единиц времени в точку yt(x)?St и при этом., согласно
классической теореме Лиувилля, отображение x->yt(x) множества S
на себя оставляет инвариантным так называемый „фазовый объем"
в пространстве «S; в этом смысле отображение x->yt(x) сохраняет
меру. Оператор Tt определяется в этом случае как
OV) (*) = /(>>,(*))¦ F)
522 Я///. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
Известная эргодическая гипотеза Больцмана утверждает, что
среднее по времени движения от некоторой физической
величины, связанной с вышеописанным движением, со-
совпадает с ее пространственным средним значением.
Если предположить, что Г dx < оо, где dx — элемент фазового
объема, то математически эта гипотеза выразится соотношением
t
limf1 { f(ys(x))ds= [ f(x)dxl[dx для всех f?X. G)
'¦« 5 § '§
Естественным обобщением понятия преобразования х -> у( (х),
сохраняющего меру, в случае марковского процесса P(t, x% Е) является
предположение о существовании так называемой инвариантной меры
т (dx):
J m(dx)P(tt х, Е) = т(Е) для всех *>0 и всех Е. (8)
Эти предварительные рассуждения приводят нас к следующему
определению.
Определение* Пусть 93 — некоторое а-аддитивное семейство под-
подмножеств В множества 5, содержащее само 5. Допустим, что при
любых t > О, х ? 5 и произвольном Е ? 95 определена функция
P{tt х, E)t удовлетворяющая требованиям
/>(*, х. ?)>0, P(t9 х, S)=l; (9)
при любых фиксированных tux функция Р (t% х, Е)
а-аддитивна относительно множеств ??93; A0)
при фиксированных t и Е функция Р (t, x, E)
93-измерима по переменной х\ A1)
st х, ?)== J P(tt x, dy)P(s, у, Е) A2)
s
(уравнение Чепмена — Колмогорова).
При выполнении этих условий говорят, что Р(t, x, E) определяет
марковский процесс в фазовом пространстве E, 93). В тех слу-
случаях, когда мы будем дополнительно предполагать, что E, 93, т)
образует пространство с мерой т, такое, что выполняется условие
J m(dx)P(tt х, Е) = т(Е) для всех ??93, A3)
P(t% xt E) будет называться марковским процессом с инвариант-
инвариантной мерой т(Е).
1. Марковский процесс с инвариантной мерой 523
Теорема 1. Рассмотрим марковский процесс Р (/, х, Е) с инва-
инвариантной мерой mt такой, что //гE)<оо. Норму пространства
Хр = Lp E, 33, пг) обозначим символом \\/\\р9 /?^>1« Тогда усло-
условие C) определяет ограниченный линейный оператор Tt?L (Хр1 Хр),
такой, что Ti+s=TtTs (t, s > 0), и при этом
оператор Tt положителен в том смысле, что при
f^0 пг-и. в. также и (Ttf)(x)^0 пг-п. в., A4)
Trl = l. A5)
IIVII* < II/Ир ПРИ /e^P=^p(S. 93, т\ когда р=1, 2 и оо. A6)
Доказательство. Утверждения A4) и A5) очевидны. Пусть
/6/,°°E, 93, т). Тогда ввиду (9), A0) и (И) функция ft(x) =
= (^/)W6^°°E. 33. т) определена и ||/,L<||/L. Следовательно,
учитывая (9) и A3), мы видим, что для f?L°°(S> 93, т) при зна-
значениях р = 1 или р = 2
= {J*(rf*)|f/>(*.*.«O/(y)T'<
\jm(dx)l\P(t, x. dy)\f(y)f. fP(t, x, dy)- 1"]11/P =
Возьмем неотрицательную функцию / ? Lp E, 93, m)(p=l или /? = 2)
и положим nf(s)= min(/(s), л), где я — целое положительное число.
Тогда на основании установленных выше результатов мы приходим
к неравенствам 0<U(*))t<(a+ifWt И IIU)t\\Р<WJ\\Р<II/ 11р.
Поэтому, полагая ft(s)— lim (nf(s))t и применяя лемму Лебега —
Фату, мы находим, что ||/Jp<||/||p. т. е. ft?Lp(S, 93, т). При-
Применяя лемму Лебега — Фату еще раз, получаем неравенство
/,(*)= lim f P(t. x, dy)(Jiy))> \ Pit x, dy)( lim (п/(У))) =
P(t x, dy)f(y).
Следовательно, функция /(у) интегрируема по отношению к мере
P(t> x0, dy) при тех значениях х0, для которых ft(x0)=fcoo, т. е.
т-п. в. относительно переменной х0. Отсюда по лемме Лебега — Фату
f Pit *0. Щ \\тиЩ= "m f P(tt x09 dy)(nf(y)).
V
524 XIII. Эргодическая теория, Теория диффузионных процессов
Таким образом, /,(*„)= J Я(Л х0, rfy)/O0 «-п. в. и ||/,
Для произвольного элемента / ?LP (S, 23, m) аналогичный результат
получается, если применить положительный оператор Tt в отдель-
отдельности к /+ и /"".
Теорема 2 (Иосида). Рассмотрим марковский процесс P(tt x, E)
с инвариантной мерой т, такой, что тE)<оо. Тогда для любой
функции / ? LP E, 33, т) при р = 1 или р = 2 выполняется утвер-
утверждение статистической эргодической теоремы
п
s~ lim л-1 2 Tkf — f* существует в I*(S, 93, т)
при всех f?Lp(St 93, ш) и Txf* = f; ( )
кроме того,
J f(s)m(ds)= J f(s)m(ds). A8)
Доказательство. В гильбертовом пространстве L2E, 23, /я)
утверждение A7) статистической эргодической теоремы выполняется
на основании условия A6) и общей статистической эргодической
теоремы из гл. VIII, § 3.
Поскольку m(S) < oo, мы замечаем, применяя неравенство Шварца,
что всякая функция /^L2E, 93, т) принадлежит пространству
Ll(S, 33, т) и ||/||i<||/|b-^(SI/2. Поэтому соотношение
Иш
Г |/*E)_д
статистической эргодической теоремы и равенство Txf* = /* спра-
справедливы для всякой функции /^L2E, ©, т). Используя еще раз
требование тE)< оо и равенства
—я/||1== lim Г (/E)-,
/1-»оо ^
), п\
мы видим, что L2(S, 23, //г) плотно в L!E, 93, т) (в топологии Z,1).
Это означает, что для любых / ? L1 E, 93, т) и г > 0 найдется
такая функция /е? Z*(S, 93, т)(] D(S, 93, ш). что ||/ — /л\\х<г.
Отсюда на основании A6) мы находим, что
«-1 2 П/ - п- & Тк/е I < || / - /е ||, < е.
*1 Л1 ||
2. Индивидуальная эргодическая теорема и ее приложения 525
Соотношение A7) статистической эргодической теоремы выполняется
для /8 в пространстве D (S, 23, т), и поэтому полученное выше не-
неравенство показывает, что A7) выполняется также в Ll(S, 93, m)
и для функции /.
Поскольку из сильной сходимости вытекает слабая сходимость,
условие A8) следует из A7).
Замечание 1. Приведенная выше теорема 2 принадлежит Иосида [17}.
п
См. также работу Какутани [6], где сходимость lim я 2 (Tkf)(x)
fe 1
m-n. в. доказана для произвольной функции /?Z,°°(S, 93, /я). Можно
показать, что в случае, когда полугруппа Tt сильно непрерывна
по tt выражение 5- lim л 2 ^kf B О7) можно заменить на
л->оо Л —1
/
5- lim t~l \ TJ ds. Мы не будем здесь приводить деталей послед-
последнее J
них утверждений, их можно найти в книгах по эргодической теории
Хопфа Э. [1] и Джекобса [1]. Укажем также на интересный доклад
Какутани [8] о развитии эргодической теории от доклада Э. Хопфа
в 1937 г. до Международного конгресса математиков в 1950 г.
(Кембридж).
Для обоснования эргодической гипотезы G), нам придется до-
доказать так называемую индивидуальную эргодическую теорему,
чтобы убедиться в существовании
lim л-1 2J G\/)(х) = f*(x) /гс-п. в.
В следующем параграфе мы рассмотрим сходимость т-и. в. после-
п
довательности вида п 2 (Tkf)(x). Наша цель будет состоять в том,
чтобы, используя теорему Банаха о сходимости из § 4 гл. XII, вы-
вывести т-и. в. сходимость из сходимости в среднем.
2. Индцвидуальная эргодическая теорема и ее приложения
Вначале будет доказана
Теорема 1 (Иосида). Пусть Хх — некоторая вещественная а-пол-
ная /^-структура с квазинормой ||*||р такая, что
если О-lim xn = x, то lim \\хя\\х =||*||i. A)
П->оо П-+оо
Предположим, что некоторое линейное подпространство X простран-
пространства Хх представляет собой вещественное fi-пространство с нор-
526 XIII. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
мой ||* ||, такой, что
если 5- lim хп = х в X, то s- lim хп = х в Xv B)
Л->ОО Л-»ОО
Рассмотрим последовательность \Тп) ограниченных линейных опера-
операторов, отображающих X в себя, удовлетворяющую следующему
условию:
для значений х, образующих в X множество 5 второй
категории, существует верхний предел О-lim | 71,,* |. @)
Л-»оо
Допустим, что некоторому z? X соответствует такой элемент
z?X, что __
»m \\Tnz-z\\ = 0, D)
л-»оо
Т~г=! (л=1. 2, ...). E)
О- lim (Tnz — ThTkz) = Q при * = 1. 2 F)
Л->ОО
Тогда
О-lim Tnz = z. G)
Л-»0О
Доказательство. Положим ^ = ^ + B: — z). Определим теперь
равенством
Тх = О- lim ГЛд: — О- lim Гя* (8)
оператор Т, действующий из S в ^,. Тогда ввиду E)
f — г).
Из F) следует, что f(z — Tkz) = 0 (ft=l, 2, ...) и ввиду D)
lim || (г — г) — (г — Т"Л2т)|| = 0. Поэтому, применяя теорему Банаха
Л->оо _
из § 4 гл. XII, мы находим, что f(z — 2) = 0. Следовательно.
0<Тг<;0, т. е. О-lim Tnz = w существует.
/1->оо _
Мы должны теперь показать, что w = z. Из D) и B) мы полу-
получаем, что \\m\\Tnz — (г||1 = 0. Кроме того, из A) и условия
/1->оо
О-lim Tnz = w следует, что lim \\Tnz — w||1==0. Таким обра-
зом, w = z. Теорема доказана.
Пусть теперь Хх — вещественное пространство М E, 93, пг),
г X — вещественное пространство L1 E, 93, пг). При этих условиях
справедлива следующая индивидуальная эргодическая теорема.
2. Индивидуальная эргодическая теорема и ее приложения 527
Теорема 2 (Иосида). Рассмотрим ограниченный линейный опера-
оператор Г, отображающий пространство D(St 93, m) в себя, и допустим,
что //гE)<оо. Предположим также, что
||ГЛ||<С<оо (д=1, 2, ...), (9)
lim
Л->оо
m—1
< оо m-n. в. A0)
Пусть для некоторого элемента z?Ll(S, 93, т)
lim n~1(Tnz)(s) = 0 m-n. в. (II)
последовательность {л 2 ^т<2: [ содержит подпо-
l m-l J
следовательность, слабо сходящуюся к некоторому A2)
элементу z ? D E, 93, m).
Тогда
-lim л %Tmz = z, Tz = J, A3)
1
lim re-' 2i(Tmz)(s) = z(s) /и-п. в. A4)
1
Доказательство. Возьмем пространство М E, 93, /я) и будем
рассматривать Х{ = Л1 E, 93, //г) как F-структуру с квазинормой
11*11!= | | л:(s) |A +| x(s)\)~l m(ds), а в качестве В-структуры
s
X примем X = D E, 93, m) с нормой || * || = J | * (s) | m (ds). Через Тп
п
обозначим выражение п~1 2 Тт- Условия теоремы 1, как нетрудно
l
Проверим, нап
... +Тя)г —
ml
проверить, здесь выполняются. Проверим, например, требование F).
Из равенства
2+ ... +Tk+n)z
и A1) мы находим, что lim (Tnz — TnTkz)(s) = Q m-n. в. для зна-
чений ^ ===== 1, 2, .... Возьмем теперь арифметическое среднее по k\
тогда для значений k= 1, 2,... получим, что lim (Tnz—TUTkz)(s)=0
Л->0О
m-n. в. Условия D) и E), совпадающие с A3), следуют из стати-
статистической эргодической теоремы гл. VIII, § 3.
528 XIII. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
Замечание. Приведенные выше две теоремы взяты из работ
Иосида [15] и [18]. В этих статьях приводятся также некоторые
другие эргодические теоремы, вытекающие из теоремы 1.
Следующий результат, принадлежащий Э. Хопфу [3], касается
некоторого общего условия, из которого, в частности, вытекает A1).
Теорема 3. Пусть Т — некоторый положительный линейный опе-
оператор, отображающий вещественное пространство D E, 93, пг) в себя,
/Лнорма которого удовлетворяет неравенству. ||Г||^1. Если
f?Ll(St 93, m) и функция p?Ll(S, 93, m) такова, что p(s)>0
m-n. в., то
lim I (Tnf)(s) 2 (TJp)(s) \ = 0 /я-п. в. на множестве, где р (s) > 0.
Если /пE)<оо и Т- 1 = 1, то, полагая p(s)=l, мы получаем из
приведенного выше соотношения условие A1).
Доказательство. Достаточно доказать теорему для случая
Возьмем произвольное число е > 0 и рассмотрим функции
%
Обозначим через xn(s) характеристические функции множеств
{s?S'> gn(s)>0}. Так как xngn =-g+ = max(g, 0) и ?л+1-Ь
-\-tp = Tgni то, учитывая положительность оператора Т и неравен-
неравенство || Т |К К находим
J xn+xp- m{ds)= J xn+l(gn,
s s
= J *n+\Tg* ' m{ds)K J *n+1Tgt
s s
J Tg+ • m(d$)^ J g+ • m(ds).
s s
J J
s s
Суммируя полученные неравенства по п> начиная со значения п = 0,
получаем
{ St • «i(ds) + z J p • 2 л:Л • in (Л) < J *+ • m(ds),
s s fc~l s
откуда следует, что
2. Индивидуальная эргодическая теорема и ее приложения 529
Таким образом, ряд 2л:лE) сходится m-п. в. на множестве, где
/?(s)>0. Следовательно, на множестве точек, где р($)>0, должно
/ft-п. в. при достаточно больших значениях п выполняться неравен-
неравенство gn(s)<0.
Мы, таким образом, доказали, что (Tnf)(s) < е 2 (Tkp)(s)
m-п. в. для достаточно больших значений п на множестве, где
р($)> 0. Поскольку значение е> 0 выбиралось произвольно, отсюда
вытекает утверждение теоремы.
Следующая теорема, принадлежащая Чакону — Орнстейну [1],
касается условия, из которого как частный случай следует A0).
Теорема 4 (Чакон, Орнстейн). Пусть положительный линейный
оператор Т отображает вещественное пространство D (S, 93, ш)
в себя и его ?!-норма удовлетворяет неравенству H^Hi^l. Пусть
функции / и р принадлежат Ll(St 93, m) и p(s)>0; тогда
конечен m-п. в.
с»
на множестве, где 2 (TnP)(s) > 0*
/1-0
Если тE)<оо и Г- 1 = 1, то, полагая p(s)=l, мы получаем из
приведенного выше соотношения условие A0).
Для доказательства этой теоремы нам потребуется следующая
лемма.
Лемма (Чакон — Орнстейн [1]). Если / = /++/"" и
Ш 2 (Г*/)(*)> 0
/!-»ОО Л—0
на некотором множестве В, то найдутся последовательности [dk]
и [fk] неотрицательных функций, такие, что для любого N
f l\d -mds) If m(ds <f/+ m(ds) A5)
oo
2^(s) = — f~(s) на множестве В, A6)
Доказательство. Обозначим через d0, /0, /в1 выражения
34 К. Иосида
530 X1I1. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
и определим по индукции величины
Заметим, что
/~ + <*о + ..- +^<0 A9)
и что равенство достигается на множестве, где //(s)>0, для
/i=<r/i-i+/~+^+... +^_,)+=
= <?ft-i — fi+Г +
= (rf| + /" + rfo+ •••
Из A8) получаем соотношение
j B0)
По определению ft неотрицательны, так же как и dt в силу A8)
и A9). Из B0) мы находим, что
S 2^Ч2B1)
/«О ;=0 Л=0 У-0
Докажем теперь неравенство
Для этого заметим, что
и что вследствие положительности оператора Т и условия A9)
при 1<У<я. B3)
Перепишем теперь неравенство B2) в виде
B4)
2(/ + /)< 2
у-о у-о
Теперь мы докажем, что
S;()+/()> -п. в. на В. B5)
2. Индивидуальная эргодическая теорема и ее приложения 531
Из замечания, сделанного ранее но поводу условия A9), следует,
что B5) переходит в равенство, выполняющееся ш-и. в. на множестве
C={s?S; fj(s)>Q при некотором У>0}. Остается лишь убе-
убедиться в том, что условие B5) справедливо для множества В— С.
Последнее утверждение вытекает из того, что вследствие B4) нера-
неравенство
оо
выполняется и на В, и на множестве В — С.
Заметим, далее, что условие A7) совпадает с B0) и что A6)
вытекает из A9) и B5). Наконец, A6) следует из неравенства
J Bоdk
m(ds)> j (Jldk + T.f)jm(ds) =
m (d$),
которое в свою очередь вытекает из условия A8) и предположений,
сделанных относительно оператора 7\ В самом деле, неравенство A5)
легко теперь устанавливается с помощью индукции по у, так как
Доказательство теоремы 4, Достаточно доказать теорему в пред-
предположении, что /($)>0 на 5, причем нужно установить лишь ко-
конечность указанного в теореме верхнего предела в случае, когда
jp($)>0. Первое из этих замечаний вполне очевидно, а второе до-
доказывается следующим образом. Если допустить, что указанный верх-
верхний предел конечен во всякой точке s, в которой р (s) > 0, то
115 { 2 (r'+V)M/ 2 (THkp) wl конечен
л *оо I /-о ' у-о J B6)
m-n. в. на множестве, где (Tkp)($) > О,
откуда следует, что предел lim | 2 0^/)(s)/ 2 (TJp)(s)\ конечен
m-n. в. на множестве, где (Т р)($)>0.
Итак, покажем, что при /(s)J>0 на 5 верхний предел
im I 2 (TJf)(s)J 2 (^V)E)f конечен в тех точках, где p(s) > 0.
34»
532 XIII. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
Для этого допустим противное. Тогда предел
/1->оо I У-0 ' У-0
бесконечен m-п. в. на некотором множестве Е положительной
m-меры и р (s) > р > 0 на множестве ?, где р — некоторая положи-
положительная постоянная. Тогда найдется такое положительное значение а,
что
m-п. в. на множестве Е. Заменяя / на (/—ар) и применяя дока-
доказанную выше лемму, мы выводим из условий A5) и A6) неравенства
оо
[if — ap)+m(ds)> [ 2 ***(*)>- [(f — ap)-m{ds).
? s k-° в
Однако при af оо выражение — Г (/—ap)~m(ds) стремится к оо,
Е
а величина Г (/—ap)*m(ds) при а|оо ограничена. Полученное
5
противоречие и завершает доказательство теоремы.
Из доказанных в этом разделе утверждений вытекает
Теорема 5* Пусть положительный линейный оператор Т отобра-
отображает пространство Ll(S, 33, m) в себя и его /Лнорма удовлетворяет
условию ||7*Hi< 1. Если тE)< оо и Т - 1 = 1, то для любой функ-
{п \
сходится в среднем, эта последовательность сходится и /w-п. в.
Из теоремы 5 вытекает
Теорема 6. Пусть P(tt х, Е) — марковский процесс с инвариант-
инвариантной мерой т, определенный на пространстве с мерой E, 95, т),
причем тE)<оо. Тогда для линейных операторов Tv определяемых
равенством (T(f)(x)= f P(tt x, dy)f{y), справедливы следующие
s
утверждения:
1. (Статистическая аргодическая теорема)
Для любой функции f?Lp(S, 93, т) в пространстве
LP(S, 93, т) существует s- lim /Г1 2 гл/ = /*» и
ТХГ = Г (Р=1. 2).
2. Индивидуальная эргодическая теорема и ее приложения 533
2. (Индивидуальная эргодическая теорема)
Для любой функции f?Lp(S, 33, т) при значениях
р = 1 или р = 2 существует m-п. в. конечный
lim n~l 2(^/)E)» равный /*(s) т-п. в., и, кроме B8)
того, J / (s) m (ds) = J f*(s) m (ds).
Доказательство. По теореме 2 предыдущего параграфа усло-
условие B7) статистической эргодической теоремы выполняется, и поэтому
можно применить теорему 5.
Замечание. Если оператор Tt определяется сохраняющим меру
преобразованием х -> yt (х) пространства 5 на 5, то утверждение B7)
совпадает со статистической эргодической теоремой фон Неймана [3],
а результат B8) — с индивидуальной эргодической теоремой Бирк-
гофа Дж. [1] и Хинчина [1].
Исторические замечания. Первое теоретико-операторное обобще-
обобщение индивидуальной эргодической теоремы типа Биркгофа — Хинчина
л
было предложено Дубом [1]. Он доказал, что выражение п" 2 (Tkf)(x)
сходится m-п. в., если оператор Tt определяется некоторым марков-
марковским процессом P(tt xt Е) с инвариантной мерой т на пространстве
с ^ерой E, 25, т), такой, что тE)=1, а функция / является
характеристической функцией некоторого множества из 93. Каку-
тани [6] заметил, что метод Дуба можно применить с тем же резуль-
результатом и в том случае, когда функция / ограничена и 93-измерима.
Далее Э. Хопф [2] доказал эту теорему в предположении, что / является
/я-интегрируемой. Данфорд и Дж. Шварц [4] обобщили результат
Хопфа, доказав, что утверждение B8) справедливо для линейных
операторов Г,, не увеличивающих норм ни в Z1, ни в Z,00, не пред-
предполагая положительности Tt, но при дополнительном ограничении,
что Tk = T\ и 7'1 • 1 ===== 1. Отметим, что в доказательстве Хопфа и
Данфорда — Шварца используются идеи доказательства нашей тео-
теоремы 1. Чакон и Орнстейн [1] доказали B8) для положительного
линейного оператора Г, с /^-нормой, не превосходящей 1, без пред-
предположения о том, что Tt не увеличивает ?°°-нормы и, более того,
не используя теорему 1. При этом, естественно, предполагалось, что
Tk = T* и Tj. 1 = 1. Мы не будем углубляться в детали, относя-
относящиеся к этому вопросу поскольку в данной главе рассматриваются
марковские процессы и для обоснования эргодической теории вполне
достаточно теоремы 6, которая вытекает из нашей теоремы 1.
534 X11J. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
3. Эргодическая гипотеза и Н-теорема
Рассмотрим марковский процесс P(tt xt Е) с инвариантной мерой т%
определенный в пространстве с мерой E, 93, /я), таком, что m(S)= 1.
Предположим, что процесс P(tt x, Е) удовлетворяет следующему
условию эргодичности:
среднее значение по времени
/»= lim п-1%(
/I > ОО k = l
совпадает т-п. в. со средним значением по пространству,
т. е. с величиной
п
»т л У f *>(*. *. dy)f(y) A)
для всякой функции f?Lp(St 93, т) при значениях
р = 1 или р = 2.
Так как f /* (лс) w (cfлс) = J / (jc) m (dx), то условие A) можно
записать в следующей эквивалентной форме:
/*(*)= const т-п. в. для всякой f?Lp(S, 93, т) (р=1, 2). (Г)
Мы приведем здесь три различные интерпретации эргодической
гипотезы A), (Г).
1. Обозначим через хв(х) характеристическую функцию множества
?93. При выполнении A') для любых двух множеств Bv 526^
средняя по времени вероятность того, что точки множества Вх
будут перенесены в множество В2 за k единиц времени» равна
произведению т(Вх)т(В2). Иначе говоря,
m{Bl)m{B2). B)
Доказательство. Если /, g?L2(S, 93, m), то из сильной схо-
п
димости n~l *2iTkf->f* в пространстве L2(S, 93, т) следует
ввиду (Г), что
lim я 2GV. *) = (Л g) = f*(x) \g(x)m(dx) =
о
= J f(x)m(dx) J g(x)m(dx) для m-п. в. л\
Полагая f(x) = %B(x)> ?(*) = Хд(*)» мы и полУчаем B).
3. Эргодическая гипотеза и Н-теорема 535
Замечание. Так как множество всех линейных кэмбинаций функ-
функций Хв(х) плотно в пространстве LP(S, 93, m) при р=\ и р = 2,
мы видим, что условие B) эквивалентно эргодической гипотезе A').
Соотношение B) утверждает, что любая часть пространства 5 равно-
равномерно (в смысле среднего по времени) переносится в любую другую
часть 5.
2. Статистическая эргодическая теорема гл. VIII, § 3 утверждает,
что область значений R(T*) отображения /->Г*/=:/* образует
собственное подпространство оператора Г,, соответствующее собствен-
собственному значению 1. Следовательно, эргодическая гипотеза A') фак-
фактически утверждает, что подпространство R(T*) одномерно.
Таким образом, эргодическая гипотеза, относящаяся к процессу
P(t, xt Е), может быть интерпретирована в терминах, относящихся
к спектру оператора Тх.
3. Марковский процесс Р(Л л:, Е) называется метрически тран-
транзитивным или неразложимым, если удовлетворяется следующее
условие:
5 нельзя разложить в сумму непересекающихся мно-
множеств 5Р 52€®' таких, что т(Вх)>0, m(#2)>0 и C)
ЯA, а:, ?) = 0 для всякого x^Bt и ?cflj (/ ф у).
Из эргодической гипотезы вытекает условие C) и, обратно, из C)
следует эргодичность процесса.
Доказательство. Допустим, что условие эргодичности для мар-
марковского процесса P(t, x, E) выполняется и что множество 5 раз-
разложено в сумму множеств Вх и 52» удовлетворяющих условиям,
указанным в C). Характеристическая функция /в (л:) удовлетворяет
уравнению Гд^ = хв, так как
при
Но, поскольку т(В1)т(В2) > 0, функция %в (х) = х*в (х) не может
т-и. в. обратиться в константу.
Допустим теперь, что процесс P(t, x, E) неразложим. Пусть
Txf = f. Покажем, что выражение f*(x).= f(x) т-и. в. обращается
в константу. Поскольку оператор Г, отображает вещественные функ-
функции в вещественные, мы можем, не ограничивая общности, допустить,
что функция / вещественна. Если f(x) не обращается т-п. в.
в константу, то найдется такая постоянная а, что оба множества
?,= {*€?; /(*)>«} и B2={s?S; /E)<o)
будут иметь положительные m-меры. Так как Tx(f — а) = / — а, то,
рассуждая как на стр. 537 в связи с угловой переменной, мы
536 XIII. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
получим, что
Т, (/ - а)+ = (/ - а)\ Тх (/ - а)- = (/ - а)".
В результате мы получим, что РA, х, ?) = 0 при x?Bit
Е S Bj (i Ф у), а это приводит к противоречию.
Замечание. Понятие метрической транзитивности было введено
Дж. Биркгофом и Смитом [2] для случая сохраняющего меру ото-
отображения x->yt(x) множества 5 на себя.
Пример эргодического отображения, сохраняющего меру.
Возьмем в качестве 5 шор, т. е. множество всех пар 5={лг, у}
вещественных чисел х, у, причем 5={аг, у) и s'—[x', yr) отожде-
отождествляются, когда x=E=x'(mod1) и y = /(modl). Будем считать,
что 5 топологизировано с помощью обычной топологии вещественных
чисел для координат х> у. Рассмотрим отображение
пространства 5 на себя, которое, очевидно, оставляет инвариантной
меру dxdy, определенную на S. Допустим также, что вещественные
числа а, р линейно независимы по модулю 1 в следующем смысле:
если какие-нибудь целые числа п, k удс^влетворяют уравнению
па -|~ Ар == 0 (mod 1), то п = й = 0. При указанных условиях отобра-
отображение $->Tt$ эргодично.
Доказательство. Пусть функция f(s)?L2(S) инвариантна отно-
относительно преобразования Tv т. е. равенство / (s) = f(sx) справед-
справедливо dxdy-n. в. на «S. Нам нужно убедиться в том, что dxdy*n. в.
на «S справедливо равенство /(s) = /*(s)== const. Рассмотрим коэф-
коэффициенты Фурье функций f(s) и
1 1
J J f(s) exp (- 2я/ {kxx + k2y)) dx dy,
о о
1 1
j j f G,*) exp (- 2rt (klX+*jy)) dx dy.
0 0
Так как Txs= {х-\-а, у + Р} и мера dx dy инвариантна относительно
отображения s—>Txst последний из этих интегралов совпадает с
J J / (s) exp (— 2я/ (V + k2y)) exp Bя/ (kxa + k$)) dx dy.
о о
3. Эргодическая гипотеза и Н-теорема 537
Так как коэффициенты Фурье, соответствующие функциям /($) и
/(Г^), определяются однозначно, то
ехрBя/(й1а+&2Р))= 1 при всех kv k2,
1 1
для которых f f /(s)exp(—2ni(kxx-\- k2y))dxdy Ф О,
о о
Следовательно, учитывая предположения, сделанные относительно а
и р, мы видим, что должно выполняться условие
1 1
Г Г f(s) ехр (—2ni(k<x-\- k2y))dxdy = 0 при Щ~{-ЩФЪ.
о о
Поэтому выражение f(s) = f*(s) должно m-п. в. обратиться в кон-
константу.
Угловая переменная. Пусть оператор Т( определяется марков-
марковским процессом P(t, х, Е) с инвариантной мерой т, определенным
на E, 93, т), причем тE)=1. Допустим, что функция f(s)?
?L2(S, 8, т) является собственным вектором оператора Tv со-
соответствующим собственному значению к с абсолютной величиной,
равной 1:
Тогда Г,|/|"=|/|. В самом деле, ввиду положительности опера-
оператора Г, имеем (Tx\f \)(x)>\(Tlf)(x)\ = \f(x)\, т. е.
. х. dy)\f(y)\>\f(x)\.
В последнем неравенстве в действительности т-и. в. должно иметь
место равенство — это можно установить, интегрируя обе части
по мере т и учитывая инвариантность меры т. Следовательно, если
процесс P(t, х, Е) эргодичен, то функция \f(x)\ должна т-п. в.
обратиться в константу. Поэтому если мы положим
0<в(х)<2я,
то
Тх ехр (/в (*)) = к ехр (/в (а:)).
В случае, когда ^=?1, выражение в(дг) называется угловой пере-
переменной марковского процесса P(t, x, E).
Гипотеза перемешивания. Рассмотрим марковский процесс
P(t, х%Е) с инвариантной мерой m на E, 93, тп) при условии m(S)= 1,
и пусть оператор Tt определяется этим процессом. Рассмотрим еле-
538 XIII. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
дующее требование, более сильное, чем эргодическая гипотеза:
"т (ГЛ/. ?) = (/•. g)= \ f(x)m(dx) f g(x)m(dx)
для всякой пары {/, g} векторов /, g?L2(S, 93, m). D)
Условие D) называется гипотезой перемешивания для марковского
процесса P(t, x, Е). По аналогии со случаем эргодической гипо-
гипотезы последнее предположение можно интерпретировать следующим
образом: всякая часть множества S в течение достаточно дол-
долгого промежутка времени переносится равномерно в любую дру-
другую часть 5. По поводу примеров отображений x-^yt(x)t сохра-
сохраняющих меру и удовлетворяющих условию перемешивания, мы
отсылаем читателя к упоминавшейся ранее книге Э. Хопфа.
//-теорема. Пусть P(t, х, Е)— марковский процесс с инвариант-
инвариантной мерой т на E, 33, т), такой, что m(S)—l. Рассмотрим
функцию
H(z) = — zlnz. *>0. E)
Может быть доказана следующая
Теорема (Иосида [17]). Пусть неотрицательная функция /(#)€
? L1 (S, 93, т) удовлетворяет неравенству Г / (л:) ln+/ (x) m (dx) < оо,
5
где 1п+|г| равен 1п|г| при |z|>l и нулю при |z|<l (в этом
случае говорят, что f(x) принадлежит классу Зигмунда). Тогда
JH(f (х)) т (dx) < J H ((TJ) (х)) т (dx). F)
5 5
Доказательство. Так как для функции H(z) = — z\nz имеем
H"(z) = <0 при z > 0, то она является вогнутой. Поэтому
j P(t, x, dy)H(f(y))<fi(jP(t' x. dy)f(y)\,
s \s J
т. е. среднее от H(f(x)) с весом P(tt x, dy) не превосходит зна-
значения H(z) при z> равном взвешенному среднему от f (х). Интегри-
Интегрируя полученное неравенство относительно меры m(dx) и учитывая
инвариантность меры т(Е), мы и получаем F).
Замечание. Из полугруппового свойства Tt+s=TtTs и неравен-
неравенства F) без труда выводится соотношение
J Н ((Ttf) (х)) т (dx) < J Н ((Г/2/) (х)) т (dx) при любых tx < t2, F0
которое можно рассматривать как аналог классической И-теоремы
статистической механики.
4. Эргодическое разложение марковского процесса 539
4. Эргодическое разложение марковского процесса с локально
бикомпактным фазовым пространством
Допустим, что 5 — некоторое сепарабельное метрическое про-
пространство, ограниченные замкнутые подмножества которого биком-
бикомпактны. Обозначим через 93 совокупность всех бэровских подмно-
подмножеств 5 и рассмотрим марковский процесс P(tt xt Е) на E, 93).
Допустим, что
если /(*NС°оE), то и /,(*)= Jpp, х, dy) f (уNCgE). A)
Целью этого параграфа является разложение пространства 5 на так
называемые эргодическую часть и диссипативную часть. Это раз-
разложение можно рассматривать как обобщение результатов Крылова-
Боголюбова, относящихся к детерминированному обратимому процессу
переноса в бикомпактном метрическом пространстве 5 (см. Кры-
Крылов— Боголюбов [1]). Возможность такого обобщения для
бикомпактного метрического пространства 5 при условии A) была
указана в работе Иосида [17], и это обобщение было получено не-
независимо М. Бебутовым [1]. Распространение результатов на случай
локально бикомпактного пространства 5 было дано К. Иосида [19].
Мы будем следовать последней цитированной работе.
Лемма 1. Допустим, что некоторый линейный функционал /,(/),
определенный на нормированном линейном пространстве Cq(S) с нор-
нормой || /1| = sup | / (л:) |, неотрицателен в том смысле, что при
f(x)^>0 на множестве 5 выполняется неравенство L(f)^>0. Тогда
L(f) можно представить в виде
? СО = J / (х) ф (dx) при всех / ? С°о E) B)
5
с помощью единственным образом определенной меры ф(?), которая
а-аддитивна, неотрицательна для любых бэровских подмножеств Е
пространства 5 и удовлетворяет условию регулярности
ф (Е) = inf ф (G), где О =) Е — произвольное открытое C)
° множество.
Доказательство. Мы отсылаем читателя к книге Халмоша [1].
Неотрицательную о-аддитивную регулярную меру ф(?"), опреде-
определенную на семействе 93 и удовлетворяющую условию фE)<^1, мы
будем называть сейчас инвариантной мерой марковского процесса,
если
ф (Е) = [ ф (dx) Р (/, х. Е) для всех t > 0 и Е ? 95. D)
540 XIII. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
Докажем следующую лемму.
Лемма 2. Для любой функции /?Co(S) и произвольной инва-
инвариантной меры ф(?)
lim я-i 2 fk (х) = /* (х) (д (х) = f Я (А, х, rfy)/ (у)) E)
существует ф-п. в. и
= j f(x)<f(dx). F)
Утверждение этой леммы следует непосредственно из теоремы 6
предыдущего параграфа.
Допустим теперь, что некоторая последовательность ,/, 2/. з/» • • •
плотна в нормированном линейном пространстве Cq(S). Существование
такой последовательности гарантируется предположением, сделанным
относительно пространства 5. Применяя лемму 2 к последователь-
последовательности j/, 2/ з/« • • • и объединяя все множества ф-меры нуль, на
которых условия вида E) не выполняются, мы можем построить
такое множество N нулевой ф-меры, что
для всякого х (? N и любой функции / ? Со E) существует
lim n-i2 /,(*) = /*(*). G)
Мы будем говорить, что бэровскому множеству S' S S соответст-
соответствует максимальная вероятность, если фE — S') = 0 для всякой ин-
инвариантной меры ф. Из предыдущего ясно, что таким свойством будет
п
обладать множество S' всех значений х, для которых lim я*1 2 fk (x)
л->оо ?-1
существует при любом выборе функции /?СоE). Следовательно,
если существует такая инвариантная мера, что фE)>0, то найдутся
некоторый элемент g?Cl(S) и такая точка лс0, что
п
gm (*„) = iiiii л-' 2 ёи (х0) > 0. (8)
л->оо
В самом деле, если допустить противное, то /*(л;) = 0 на множестве 5
для всех /6^оE), и тогда, согласно F), f f(x)q>(dx) = 0.
s
Допустим теперь, что для некоторой функции g?Co(S) в какой-
либо точке х0 выполняется условие (8). Предположим, что подпоследо-
подпоследовательность \п'\ ряда натуральных чисел выбрана таким образом,
4. Эргодическое разложение марковского процесса 541
п'
что lim «Г1 2 gk(xo) = ?**(xo)- Применяя диагональный метод,
мы можем выбрать из \п') такую последовательность {я"}, что
п*
lim (л") 2 (jf)k(xo) будет существовать для значений у= 1, 2
л»*оо Л1
л»-*оо
Ввиду плотности последовательности {у/} в пространстве С^E) мы
замечаем, что
для всякой функции /? Со E) существует
lim (n'T1 2 /*(%> = Г* (*<>)•
л"->оо Л-1
Если мы теперь положим /***(дго) = LXo(f)t то
^.CO=^e(/i). (9)
В самом деле, из условия A) следует, что /^Cj^S), и поэтому
По лемме 1 существует такая регулярная мера ф^. (?), что
LxSf) = f"*(xo)= J f(*)Vx%(dx). A0)
5
При этом, конечно,
,в A1)
и поэтому ввиду (9)
J f J
s \s
J /<*)Ф*(Л0= J f J ЯA. х.
s \s I
Пусть теперь функция f(x) стремится к характеристической функции
бэровского множества Еу тогда, как нетрудно видеть, ф^. (Е) оказы-
оказывается инвариантной мерой. Ввиду (8) и A0) LXu (g) = g*** (x0) =
te f ?Мфг (dx) > 0, и поэтому ф^ E) > 0. Таким образом, до-
казана
Теорема 1. Для того чтобы не существовало никаких инвариант-
инвариантных мер, кроме тривиальной, необходимо и достаточно, чтобы
п
lim л->2 /*(*) = /•(*) = 0 на 5 для всякого /6^E). A2)
Определение. Марковский процесс P(t, x> E), определенный
в E, 93) и удовлетворяющий условию A2), мы назовем диссипативным.
542 XIII. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
Пример* Возьмем в качестве пространства 5 полупрямую @, оо)
и пусть 33 — семейство всех бэровских подмножеств из промежутка
(О, оо). Тогда равенства
P(tt х, Е)=\ при (лг-ИN?. P{t. xt ?) = 0, когда
определяют диссипативный марковский процесс P(t, x, Е).
Обратимся теперь к случаю, когда процесс P{tt х, Е) не дисси-
пативен. Пусть
{
x?S; /*(*) = Ит л 2 /*(*) = О *ля всех
/6Со0$) | •
/г->оо
Так как это множество совпадает с
{*€# (;/)*(*) = 0 при /=1, 2, ...},
то оно является бэровским множестром. Назовем D дассипатавной
частью S. Мы покажем ниже, что cp(D) = O для всякой инвариант-
инвариантной меры ф, и поэтому, поскольку процесс P(t, x, E) предпола-
предполагается не диссипативным, множество So — S—D не пусто. Мы уже
знаем, что найдется бэровское множество Sx S So максимальной
вероятности, такое, что
всякой точке x?Sx соответствует некоторая нетри-
нетривиальная инвариантная мера ух(Е)> такая, что f*(x) =
= Urn я-i S Д (х)= Г /(у)ухт= f
Для любой инвариантной меры ф выполняется равенство F), и по-
поэтому ввиду A3)
J
= J ( J
5, \5,
/
Мы приходим, таким образом, к соотношению
A4)
5i
Тем самым установлена
Теорема 2. Всякая инвариантная мера ф может быть представлена
в виде выпуклой комбинации инвариантных мер фу(?) (здесь у рас-
рассматривается как параметр).
С помощью A1) и A4) мы заключаем, что
является множеством максимальной вероятности.
4. Эргодическое разложение марковского процесса 543
Для всякой функции /?Со E) и любой инвариантной меры ф
имеет место равенство
J Ф(Лс)( J (ГО0-/*(*)JФЛ<Ц==О, A5)
так как левая часть равна здесь выражению
( { Г (уJ Фх (<О0) - 2 J f (х) ф (rf*) / J /• (у) Фж (dy)\ 4-
2 J /* (*)* ф (rf*) + J /* (xf ф (rfx) = 0,
s2 s2
поскольку 52={л:^5; лг^5р Ф;гE1)=1} и справедливы усло-
условия A3), A4) и F). Применяя A5) к последовательности ,/, 2/.
з/ мы видим, что
{ = 0 для всех /6Cg(S)|
является множеством максимальной вероятности.
Мы можем теперь установить так называемое эргодическое раз-
разложение S. Положим для любого x?Sz
3> Г {У) = Г (х) для всех / 6 Cg E)}. A6)
Мы можем теперь доказать, что всякое множество вида Ех
содержит некоторое множество Ех, обладающее следующим свойством:
Фж(?,) = Ф*(?,) и РA.У.ЁХ)=1 при всяком у?Ёх. A7)
Доказательство. Из определения множества S3 видно, что
f*(y) = f*(x), если вариация меры ух(Е) в точке у отлична от нуля.
Следовательно, ф^ (Ех) = ух E3) = 1. Таким образом, вследствие
инвариантности меры ф^. мы получаем
= J ЯA, z. Ex)<fx(dz).
Так как 0^ЯA, z, Ex)^l, то существует бзрэвское множество
Е1 S Ех, такое, что
если ух(Е1) = ух(Ех) и z?E\ то ЯA, z, Ех) = 1,
Положим теперь
?»{?Я1 P(l, z, ?0=
544 XIII. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
Ввиду того что
J .РA, г, E*)<fx(dz) = <fx(Ei) = (fx(Ex)= J ЯA, г, Ex)yx(dz),
должно выполняться равенство
Е»
Если z?E2, то по определению Е2 выполняется равенство
P(l, z, ?1)=1, и мы, таким образом, находим, что ф^Я1— ?2) —0.
Рассмотрим теперь множество
Тогда, как и выше, доказывается, что ф^ (Е3) = ф^ (f^). Продолжая
этот процесс, мы построим такую последовательность множеств [Еп],
что
и РA, 2г. ?я)=1, если ^e^"+* (я>0. *>1.
В результате мы можем построить множество Ёх = Q Еп, которое и
будет обладать нужными свойствами.
Мы, таким образом, приходим к следующей теореме.
Теорема 3. Переходная функция P(t, у, Е) определяет на всяком
множестве вида Ёх марковский процесс, который эргодачен в сле-
следующем смысле:
Ёх нельзя разложить на две части А и В, такие, что
ф(Л)'ф(?)>0 для какой-либо инвариантной меры ф A8)
и ЯA, а, В) = 0 при а?А, ЯA, *, Л) = 0, если Ь?В.
Доказательство* Пусть ф —произвольная инвариантная мера в Ёх,
удовлетворяющая условию ф(Ё^)=1. Тогда на основании A4) мы
заключаем, что ф(?)= j Ф (ОД ф* (?) ПРИ любом Ед:Ёх. Так как
по определению Ёх для любой точки г?Ёх выполняется равенство
?) Е) то
К
5. Броуновское движение в однородном римановом пространстве 545
Таким образом, на Вх может быть определена лишь одна-един-
ственная инвариантная мера (рх(Е). Отсюда и вытекает эргодичность,
выражаемая свойством A8). Действительно, допустим, что Ёх может
быть разбито на две части, удовлетворяющие соответствующим тре-
требованиям, в противоположность тому, что утверждает A8). Тогда
вследствие инвариантности меры ф
ф(С)= |ЯA, z, C)y{dz) при любом СсЁх.
Определим теперь меру ф условием
(Ф(С)/ф(Л) при С?Л,
Ф(С)==( 0 при ССД.
Тогда мера ф окажется, как нетрудно видеть, инвариантной на Ёл,
что противоречит однозначной определенности меры ф.
5. Броуновское движение в однородном
римановом пространстве
Существует интересная взаимосвязь между марковскими процес-
процессами и дифференциальными уравнениями. Уже в начале тридцатых
годов А. Н. Колмогоров доказал, что при выполнении некоторых
условий регулярности, относящихся к переходной функции P(t, x, Е),
функция
u(t. x)= j P(t. x, dy)f(y)
удовлетворяет дифференциальному уравнению типа уравнения диф-
диффузии
где дифференциальный оператор А эллиптичен по отношению к ло-
локальным координатам (xv x2 хп) точки х фазового пространства 5.
Мы применяем здесь и далее эйнштейновские сокращенные обозначе-
обозначения, принятые в тензорном исчислении; например, запись a'(x;)
/I
означает У\а'(х)~д^7 • По П0В°ДУ вывода уравнения A) мы отсылаем
читателя к работе А. Н. Колмогорова Ul, Основная идея этой работы
связана с изучением локальных характеристик марковских процессов.
35 К. Иосида
546 X1J1. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
Следуя идеям работы Хилле, представленной на Скандинавском
конгрессе 1949 г. (см. также Хилле [9]) и исследованию Иосида [29]
1948 г., Феллер [2] начал в 1952 г. систематическую разработку
этого нового направления в теории вероятностей, используя резуль-
результаты аналитической теории полугрупп. Его исследования были продол-
продолжены Дынкиным [1], [2], К. Ито—Мак-Кином [1], Рэем [1], Хантом [1],
Юшкевичем [1], Маруяма [1] и многими молодыми исследователями,
в особенности в Японии, СССР и США. Результаты этих исследова-
исследований составляют содержлние так называемой теории диффузионных
процессов. В настоящее время находится в печати книга К. Ито — Мак-
Кина [1], посвященная изложению этой теории1). Мы приведем здесь
обзор наиболее характерных аспектов этой теории, относящихся
главным образом к аналитическим методам.
Рассмотрим локально бикомпактное пространство 5, и пусть
8 — совокупность всех бэровских множеств из S. Для того чтобы
определить понятие так называемой однородности в пространстве
марковского процесса P(t, x, ?), определенного в пространстве 5,
мы предположим, что «S представляет собой /i-мерное ориентирован-
ориентированное связное риманово пространство класса С°°, такое, что полная
группа ® изометрических преобразований S на себя, которая
является группой Ли, транзитивна на 5. Последнее означает, что для
каждой пары {jc, у) точек jc, y?S существует некоторое изометри-
изометрическое преобразование Af?®, такое, что М-х~у. В этом случае
процесс P(t, х, Е) называется однородным в пространстве, если
P(tt x% E)=--P(t, Ж. л:, М -Е) для всех x?S, E ?93 и М?®. B)
Однородный во времени и в пространстве марковский процесс,
определенный на S, называется броуновским движением на S, если
выполняется следующее условие непрерывности линдеберговского
типа:
~1
[ P(t, х, dy) — 0 при любых е > 0 и x?S. C)
\\mt
Предложение. Рассмотрим /^-пространство C(S) всех ограничен-
ограниченных и равномерно непрерывных функций f(x)t определенных в 5,
с нормой ||/|| = sup | /(л:) |. Определим семейство операторов [Tt\
X
с помощью условия
f Pit, x, dy)f(y) при />0,
s D)
f(x) при * = 0.
1) Английское издание этой книги вышло в свет; русский перевод нахо-
находится в печати. — Прим. первв.
5. Броуновское движение в однородном римановом пространстве 547
Тогда семейство [Tt] образует в пространстве С (S) сжимающую
полугруппу класса (Со).
Доказательство. Из условий P(t. х, Е) > 0 и P(tt x, 5)=1
мы находим, что операторы Tt положительны и
Полугрупповое свойство Tt+s = TtTs непосредственно следует из
уравнения Чепмена — Колмогорова. Если мы теперь определим линей-
линейный оператор М' соотношением (M'f) (x) — f(M. л;), /И?®, то
оказывается, что
TtW=*lA'Tv *>0. E)
В самом деле,
= \P(t. М-х.
Возьмем произвольно две точки х и х\ и пусть преобразование
М таково, что М-х = х'; тогда
(Jtf)(х)-(V)(*') = (Ttf)№~(M'Ttf)(*) = Tt(f- M'
Следовательно, выражение (T(f)(x) равномерно непрерывно и огра-
ограничено, так как функция f(x) по предположению равномерно непре-
непрерывна.
Для того чтобы доказать сильную непрерывность оператора Т(
по t, достаточно, согласно теореме из гл. IX, § 1, проверить тот
факт, что Tt слабо непрерывен справа в точке * = 0. Поэтому до-
достаточно показать, что равномерно относительно х существует
\lm(Ttf)(x) = f (х). Запишем неравенства
I/
I/
P (t, x,
x, dy)[f(y)-f{x)]
-/(*)]
сЦх,у)>е
P(tx,dy)lf(y)-f(X)}
J P(t, x, dy)[f{y)-f{x)\
+ 2Ц/Ц J P(t, x, dy).
d(x,y)>e
Первый член в правой части этого неравенства равноиерно по х
стремится к нулю при е 10, а второй член при любом фиксиро-
35*
548 XIIL Эргодическия теория, теория диффузионных процессов
ванном г > 0 стремится к нулю при 11 О равномерно относительно х.
Последнее утверждение с очевидностью вытекает из условия C) и
требования однородности рассматриваемого процесса в пространстве.
Таким образом, действительно \lm(Tgf)(x) = f(x) существует и рав-
равномерен по х.
Теорема. Выберем произвольно некоторую точку х0 простран-
пространства S. Рассмотрим группу ®0= {М?®; М • хо = хо} s © так назы-
называемых изотропных преобразований. Предположим, что группа ®0
бикомпактна. По известной теореме Э. Картана замкнутая подгруппа
группы Ли является также группой Ли, поэтому подгруппа ®0 группы ©
образует группу Ли. Пусть А — инфинитезимальный производящий
оператор полугруппы Tv При указанных здесь условиях имеют ме-
место следующие результаты.
1. Если / ? D (А) П С2 E), то в системе координат (atJ, х2 xfy
соответствующей окрестности точки х0,
(А/)(хо)=а*{
где
*0. dx). G)
J (xu*-xQ(x' — xt)P(t. x0. dx), (8)
и эти пределы существуют независимо от выбора е при достаточно
малых значениях е > 0.
2. Множество D(A)(]C2(S) „велико" в том смысле, что для
любой функции h(x) класса С°° с бикомпактным носителем су-
существует некоторая функция f(x)? D(A)()C2(S), такая, что значе-
значения /(*0), df/дх^ d2f/dxlodx? сколь угодно близки соответственно
к *(*0). dh/дх^ d*kldx*odxi.
Доказательство. Первый этап. Пусть функция h(x) с биком-
бикомпактным носителем принадлежит классу С°°. Если / ? D (А), то
„свертка"
</® *)(*)= J f(My • x)h(My . x^dy (9)
принадлежит классу С00 и входит в область D (А) (здесь Му обозна-
обозначает элемент общего вида группы ©f a dy — некоторая фиксирован-
фиксированная правоинвариантная мера Хаара, определенная на © и удовлетво-
удовлетворяющая условию dy = d(y • М) при любом М ?©). Написанный выше
интеграл существует, потому что группа ©0 изотропных преобразо-
преобразований бикомпактна, а функция h обладает бикомпактным носителем.
5. Броуновское движение в однородном римановом пространстве 549
Ввиду равномерной непрерывности / и бикомпактности носителя
функции h мы можем аппроксимировать интеграл (9) равномерно от-
k
носительно х римановыми суммами вида ^fCMy - jc)C,:
и
(f®h)(x) = s-\\m 2
Поскольку TtM' = M'tv оператор М' коммутирует с Л, т. е. из
f?D(A) следует, что M'f?D(A) и AM'f=M'Af. Полагая g(х) =
*=(Af)(x), мы видим, что g?C(S) и
Л (? f{Mh • x)c)j= S (AM'y, •
k
причем правая часть — выражение 2 ^"(^у^' x)^i —стремится при
*->со к величине (g& h)(x) = (Af(gh)(x). Ввиду замкнутости ин-
финитезимального порождающего оператора А свертка f®h?D(A)
и A(f®h)=Af&h. Так как 5 = ©/©0. то можно найти такую
координатную окрестность U точки л:0, что для всякого x?U бу-
будет существовать некоторый элемент М= М(х)?®, удовлетворяю-
удовлетворяющий следующим двум условиям:
1. М(х) - х = х0.
2. Выражение М(х)-х0 аналитически зависит от координат
(л;1, jc2, ..., х") точки х?5.
Эти утверждения вытекают из того факта* что множество [Му?®;
Му . л: = xo}t представляющее собой один из смежных классов
группы © по подгруппе Ли ©0, образует в @ аналитическое подмно-
подмногообразие. Следовательно, поскольку мера dy правоинвариантна,
(/<&*)(*)= J f(MyM(x)x)h(MyM{x)x0)dy =
о
= J / (Му . *0) h {МуМ (х) • х0) dy.
о
Правая часть последнего соотношения бесконечно дифференцируема
в окрестности х0 и
#(/«¦*)(*) = J7(My • *о)Dsxh(MyM(x) - *о)<*У. (Ю)
с/
Второй этап. Учитывая, что множество D(A) плотно в
С E), и выбирая соответствующим образом / и Л, мы приходим к
550 ХШ. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
заключению, что
существуют функции Fl (x)t F2(x) Fn(x)?D (А) класса С°°,
л d(F*(x) Fn(x)) . Л /|1Ч
такие, что якобиан А) ' * > 0 в точке л:0, A1)
О \Х , . , ., X )
и при этом
найдется некоторая функция Fo (x) ?D (А) класса С°°,
удовлетворяющая неравенству
-*?J. A2)
Функции Fl(x), F2(x)> .... Fn(x) мы можем использовать как
координаты в некоторой окрестности вида \х\ dis (л:0> х) < е} точки х0.
Обозначим эти новые локальные координаты через (л:1, х2 хп).
Так как FJ (х) ? D (Л), то
Urn Г1 f P(t, xQi dx)(FJ(x)~ FJ(x0)) = (AFJ)(x0) =
о
= lim Г1 f P (ft x0, dx)(FJ (x) — Fj (x0) )
dIeU.jroXe
независимо от выбора е при достаточно малых значениях е>0 —
это вытекает из условия Линдеберга C). Следовательно, для коор-
координат х1, х2 xn(xJ—Fj) существует конечный
lim Г1 J (x*- xl)P(tt x0. dx) = a'(xo)t A3)
**° dis(jr,jro)<e
не зависящий от г при достаточно малых значениях е > 0. Исполь-
Используя условие Линдеберга C) еще раз и учитывая, что F0?D(A), по-
получаем
1 J Я (ft x0, dx)(FQ(x) - F0(x0)) =
5
. xOt dx)(F0(x)-F0(x0)) =
j (^^f^) P(t, x0,
dis Uo, i0X °X f+0(
где 0 < 0 < 1. Первый член, стоящий в правой части последнего
равенства, имеет предел, равный al(x0)—j-. Поэтому ввиду поло-
5. Броуновское движение в однородном римановом пространстве 551
жительности P(t, х, Е) и условия A2) мы заключаем, что
lim * J 2(*' — хоТр(*> xq> dx)<oo. A4)
^° dls(jiro,A-)<e i = x
Третий этап. Пусть f?D(A)f)C?. Используя степенное разло-
разложение для выражения f(x) — /(дг0), мы подучаем
L = r1 f (f(x) —
= *~1 I (f(x)-
dis (jr, je0) > e
dls(jr, jfo)<e
J r ¦
I t** — oJl •* ~"~^ 6/ /У v ' v
. x0.
^ e).
где С/у(е)->0 при e 10. Из C) следует, что HmCj(/, e) = 0 при
фиксированном е > 0 и что UmC2(t e) = a'(^o)"~4 независимо от е
^о дх10
при достаточно малых е > 0. Используя условие A4) и неравенство
Шварца, мы устанавливаем, что имеет место ограниченная по t > О
сходимость limC4(f, e) = 0. Левая часть рассматриваемого равенства
имеет при t \ 0 конечный предел (Af) (x0). Поэтому разность
iTmC3(*, e) —ПтС3(*. е)
может быть сделана сколь угодно малой, если взять достаточно ма*
лые е > 0. Но из A4), C) и неравенства Шварца вытекает, что эта
разность не зависит от г при достаточно малых е > 0. Следовательно,
независимо от е при достаточно малых значениях е > 0 сущест-
существует конечный предел limC3(l, e). Поскольку мы можем выбрать
функцию F ? D (А) f| C°° E) так, чтобы производные d2F/dx^dxJ
(/, j = 1, 2 п) были сколь угодно близки к произвольно выбран*
ным константам а^, то, применяя рассуждения, аналогичные исполь-
552 XIII. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
зованным выше, мы устанавливаем, что существует конечный
ПтГ1 J (x'-xfr(x'-xQP(t,xo.dx)=W(xo). A5)
**° dls (or, л-о) < е
И
ИтС3(*, е) =
Тем самым доказательство теоремы завершено.
Замечание. Формулировка и доказательство приведенной выше
теоремы взяты из рабэты Иосида [20]. Следует заметить, что 6^(
x) и
blj (xo)lill)j ^-0 для всякого вещественного вектора
(lv Ъ* •••• In)* так как
06)
Броуновское движение на поверхности трехмерной сферы*
В частном случае, когда пространство 5 есть поверхность трех*
мерной сферы 53 и группа © является группой вращений 53, ин-
финитезимальный производящий оператор Л полугруппы, индуциро*
ванной броуновским движением на поверхности S, имеет, как
можно показать, вид
А = СА, где С— некоторая положительная постоянная,
а Л — лапласиан на поверхности 53:
По существу, таким образом, имеется лишь" одно броуновское дви-
движение, определенное на поверхности 53. Подробнее по этому вопросу
см. Иосида [27].
6. Обобщенный лапласиан (Феллер)
Пусть, в частности, 5 — некоторый открытый интервал (rv r2)
вещественной прямой (конечный или бесконечный) и 93 — семейство
всех бэровских множеств из (гр г2). Рассмотрим определенный
на E, S3) марковский процесс P(t, лг, Е), удовлетворяющий усло-
условию Линдеберга вида
ПтГ1 I P(t, х, tfy)-=0 при всех .v, y?(rv r2) и е > 0. A)
6. Обобщенный лапласиан (Феллер) 553
Обозначим через C[rv г2] ^-пространство вещественных ограничен-
ограниченных равномерно непрерывных функций /(л:), определенных в (rvr2),
с нормой || /|| = sup |/ (а:) |. Тогда равенства
X
(TJ) (х) = J Р (*, х, dy) f (у) при t > О,
(Ttf)(x) = rf(x) при t = Q
определяют в пространстве C[rv г2] некоторую сжимающую полу-
полугруппу положительных операторов [Tt). Предположим, что в точке
? = 0 оператор Т( слабо непрерывен справа, тогда по теореме гл. IX,
§ 1, [Tt] является полугруппой класса (Со). Приводимые ниже две
теоремы Феллера касаются инфинитезимального производящего опе-
оператора А полугруппы Тv
Теорема 1. Оператор А обладает следующими свойствами:
А • 1 = 0, C)
А локален в том смысле, что если функция f?D(A)
обращается в нуль в некоторой окрестности точки х0,
то (Л/)(*о) = О. D)
если функция / ? D (А) имеет в точке х0 локальный
максимум, то (Af)(x^>^0. E)
Доказательство. Свойство C) вытекает из условия Tt - 1 = 1.
Из A) следует, что независимо от достаточно малых значений е > 0
справедливо предельное соотношение
(Af) (х0) = Urn Г1 f Р (t, xot dy) (/ (у) - f (*0)).
У
Поэтому вследствие неравенства P(t, xtE)^0 мы и приходим к
условиям D) и E).
Теорема 2. Допустим, что линейный ояератор Л, заданный в не-
некотором линейном подпространстве D(A) пространства C[rv r2],
отображающий C[rv r2] в себя, удовлетворяет условиям C), D) и
E). Предположим, кроме того, что оператор А не вырождается
в том смысле, что имеют место следующие два свойства:
существует по крайней мере одна функция fo?D(A),
такая, что (Afo)(x)> 0 при всех x?(rv r2), F)
уравнение А • v = 0 имеет решение v, линейно незави-
независимое от функции 1 во всяком подинтервале (xv x2)
интервала (гр г2). G)
Тогда уравнение A- s = 0 имеет в (гр г2) строго возрастающее
решение s = $ (х\ такое, что можно определить строго возрастающую
554 XIII. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
(но не обязательно непрерывную или ограниченную) функцию m~
заданную на (гр г2), вида
X
(.W). (8)
так, чтобы имело место представление
(Af)(x)=DmDtf(x) при *6(г,, г2) для любой функции f?D(A).
О)
Здесь правые производные Dp, определенные относительно строго
возрастающей функции р = р (х), понимаются как выражения
1. / — q\ B точках непрерывности р,
о) A0)
-^ в точках разрыва /?.
Доказательство. Первый этап. Пусть функция u?D(A) удо-
удовлетворяет уравнению А • и = 0 и и (хх) = и (л;2), где гх < хх < дс2 < г2.
Тогда функция «(.v) должна обратиться в константу в проме-
промежутке (хх, лг2). Действительно, если допустить противное, то мы при-
придем к противоречию. В самом деле, предположим, например, что
функция и(х) достигает локального максимума в некоторой внутрен-
внутренней точке х0 промежутка (xv x2) (случай минимума исследуется ана-
аналогичным способом). Тогда найдется некоторое значение е > 0, такое,
что и (х0) — е > и (xj = и (х2). Возьмем какую-нибудь функцию
/0??)(Л), удовлетворяющую условию F). Тогда при достаточно боль-
большом значении 6 > 0 функция F (х) = /0 (л:) -f- Ьи (х) будет удовле-
удовлетворять неравенству F(x0) > F(xt) (/—I, 2). Следовательно, функ-
функция F(x), определенная в сегменте [xv a:2], будет иметь в некоторой
внутренней точке x'Q максимум, в то время как (АР){{\(А/Л(?10
что противоречит условию E).
Второй этап. На основании результатов первого этапа и усло-
условия G) мы заключаем, что существует строго возрастающее непре-
непрерывное решение $(л;) уравнения A -s = 0. С помощью этой функ-
функции 5 мы можем изменить параметризацию рассматриваемого интер-
интервала таким образом, чтобы
обе функции 1 и х удовлетворяли уравнению A-f — O A1)
(написанное условие будет выполняться в новых переменных, для
которых сохранены прежние обозначения). Теперь мы можем пока-
показать, что
если (Ah)(x)> 0 для всех х из подинтервала (лс,, дс2)
интервала (г,, г2), то h(x) выпукла вниз в (xv лг2). A2)
€. Обобщенный лапласиан (Феллер) 555
Действительно, функция u(x)~h(x)— cur—р, которая удовлетво-
удовлетворяет неравенству (Аи)(х) = (АН)(х) > О при всех х из (лгр л;2),
не может иметь локального максимума ни в какой внутренней точке
промежутка (xv лг2).
Третий этап. Пусть f?D(A). Тогда из A2) и F) следует,
что для достаточно больших значений б>0 обе функции /j(jf)==
= /(*) + VoCr) и f2(x) = bfo(x) выпуклы вниз. Функция /(*) =
= /i(*) — Л(*) как разность двух выпуклых функций должна обла-
обладать правой производной в каждой точке х прэмежутка (г,, г2).
Положим
Для функции gt = / — //0 выполняется условие Л • ^ =
= Л/ — М/0 = ф — Лр0. Поэтому на основании A2) мы заключаем,
что если /< min ф (jc)/% (дг), то ^(а:) выпукла
JCi < X < Xt
вниз в промежутке (xv хЛ, и поэтому D*gt(x) в про-
промежутке (jc,, дг2) возрастает.
Применяя такие же рассуждения для случая / > max ф(х)/фо(л;Х
<
мы устанавливаем, что для любого подинтервала (xv x2) из (rv r2)
имеют место неравенства
Поскольку функция фС*)/Фо(*) непрерывна, из полученных выше
неравенств следует, что
Последнее соотношение и выражает в интегральной форме тот факт,
что A.f^D^Dtf.
Замечание 1. Оператор D^Dt мы можем рассматривать как обоб-
обобщенный лапласиан в том смысле, что операции Dt и Dm отвечают
соответственно обобщенному градиенту и обобщенной дивергенции
в одномерном случае. Феллер называет функцию s = s(x) канони-
канонической шкалой, а т = т (х) — канонической мерой марковского
процесса, о котором здесь говорилось. Результаты первого этапа
доказательства показывают, что функции 1 и s образуют фунда-
фундаментальную систему линейно независимых решений уравнения
556 XIII. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
A'V~O, так как всякое решение уравнения A*v — 0 может быть
единственным образом записано в виде линейной комбинации функ-
функций 1 и s(x). Каноническая шкала процесса P(t, х, E) определяется
с точностью до некоторого линейного преобразования, т. е. всякая
другая каноническая шкала sx должна иметь вид sx = as-f"P» где a > 0.
Отсюда следует, что каноническая мера mv соответствующая sx, имеет
форму тх = а~1т.
Замечание 2. Теорема 2 указывает представление инфинитези-
мального производящего оператора А во внутренней точке х про-
промежутка (гр г2). Для полного определения оператора А как инфи-
нитезимального производящего оператора сжимающей полугруппы
класса (Со) положительных операторов Tt% действующих из простран-
пространства С[гр г2) в C[rv r2), нужно определить краевые условия,
т. е. граничные условия для оператора А в обеих граничных точ-
точках гх и г2, чтобы получить полное и конкретное описание области
определения D(A) оператора А. Следуя классификации Феллера [2]
и [6] (ср. Хилле [6]), граничные точки г, (или г2) подразделяют
на так называемые регулярную границу, границу-выход, границу-
вход и естественную границу. Для описания этой классификации
введем следующие четыре величины:
dm(x)ds(y), m<i= jj ds(x)dm(y),
ri<y<x<rl
dm(x)ds(y)t \i2= j j ds(x)dm(y).
r2 > у > x > r2 r2 > у > x > r2
Граничная точка г/ (/=1, 2) называется
регулярной, если ot < оо, \it < сю,
границей-выходом при о{ < оо, ^ = 00,
границей-входом в случае at = 00, \xi < 00,
естественной границей, если ot = 00, \xt = 00,
причем указанные условия не зависят от выбора г[ и г'г Для иллю-
иллюстрации различных случаев рассмотрим следующие простые примеры.
Пример 1. Пусть D%Dt — d2fdx2% S = (—оо, оо). Здесь можно
положить s = x и т = х. Следовательно,
I
> У > X > Г2
dxdy = oo9
оо > у > х > г2
6. Обобщенный лапласиан (Феллер) 557
и, таким образом, точка оо является естественной границей. Точно
так же и точка —оо служит естественной границей.
Пример 2. DmDt = d2jdx2t S = (— оо, 0). Мы можем опять поло-
положить s = х, т — х. В этом случае — оо оказывается естественной
границей, а 0 — регулярной границей.
Пример 3, Пусть D+Df = x2d2fdx* — d/dx, S = @, оо). Строго
возрастающее непрерывное решение s = s(x) уравнения D^D^$=Q
X
можно взять в этом случае в форме s(x)= I e~l/t dt, и тогда
Поэтому здесь ds = e~Xix dx< dm = x~2el/x dx. Следовательно,
l
dxe-1» dy = J [— exi*\xy e"^ dy < oo,
0
0<y <jr< 1
|xx = j j e-1'* dxy-ЧЧУ dy= J e~V* [— ех'У]* dx = oo.
0<y <je< 1 0
Таким образом, точка 0 — это граница-выход. Аналогично получаем
оо
e-liy dy = J [— e{'x\\ . e~x'ydy = oo,
1
oo
|x2 = J J e-1/* dxexiyy~2 dy = J *-1A* [- в1/У]* д?лг = со.
oo> у > jt> 1 I
Поэтому оо является естественной границей.
Пример 4. D^Dt = x2d2/dx2 + d/dxt S = @, 2). Как и выше,
мы находим ds = exl* dx, drn = x~2e~Vx dx, и поэтому нетрудно
убедиться в том, что 0 служит границей-входом, а точка 2 является
регулярной границей.
Вероятностная интерпретация вышеприведенной классификации,
предложенная Феллером, заключается в следующем.
Вероятность того, что частица, локализованная в начальный момент
времени во внутренней части открытого интервала (гр г2), достигнет
по истечении некоторого конечного промежутка времени регулярной
границы или границы-выхода, положительна, в то время как частица
не может (в вероятностном смысле) прийти в течение конечного
промежутка времени ни к границе-входу, ни к естественной границе.
558 XIII. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
Литература
Работа Феллера [2] была опубликована в 1952 г. Доказательство
теоремы 2, приведенное в этом параграфе, заимствовано из статей
Феллера [3] и [4]; к этому вопросу относится также и доклад Фел-
Феллера [б]. Мы отсылаем читателей также к книгам К. Ито—Мак-Кина[1]
и Дынкина [3*], а также к другим работам, указанным в библио-
библиографии в этих книгах.
7. Расширение диффузионного оператора
Допустим, что возможные состояния некоторой системы, описы-
описываемой марковским процессом (не обязательно однородным во вре-
времени), представляются точками х некоторого /i-мерного риманова
пространства R класса С00. Обозначим через P(s, x, t, Е), s-^t,
переходную функцию — вероятность того, что точка х, отвечающая
некоторому состоянию системы в момент времени st будет перенесена
в некоторый последующий момент времени t в бэровское множе-
множество Е S R.
Рассмотрим вопрос о форме оператора Ast определяемого условием
= l\mrl J Р{8. х, s + t. dy)(f(y)-f(x)). /?Cg(«). A)
Условие непрерывности линдеберговского типа записывается для про-
процесса такого вида в форме
lim t~l f P(st xt s + f, dy) = 0 при любом
'*° </<лг,у)>е /2)
положительном е, где d(xt у) — расстояние по
геодезической между точками х и у.
Мы, однако, не будем сейчас предполагать, что условие B) выпол-
выполняется для. рассматриваемого процесса Р ($, х, tt E). Имеет место
следующая
Теорема. Предположим, что существует такая возрастающая
последовательность {*} положительных целых чисел, что для неко-
некоторой фиксированной пары точек {s, х) выполняются следующие
условия:
равномерно по к существует
lim* J P($t x, s + ft~\ rfy)=sO; C)
e*°° 4(x, y)>e
выражение k J \\}^:\^\\i P(s* *• $-{-k~\ dy)
R
равномерно ограничено относительно к. D)
7. Расширение диффузионного оператора 559
Допустим, что для некоторой функции / (*) ? Со (/?) существует
конечный
lira*! \ P(s. xt s + k~l. dy)f(y) — f(x)\. E)
Тогда при любом выборе фиксированных локальных координат
Ор х2, .... хп) точки x?R выполняется соотношение
где
функция 0E, х, ?) неотрицательна и а-аддитивна на
бэровских множествах E&R и 0E, jc, /?)< со; G)
функция р (х, у) непрерывна по х, у, и р (х, у) = 1 при
У)<б/2, Р(аг, у) = 0 при d(x, у) > б F —неко-
—некоторая фиксированная положительная константа); (8)
квадратичная форма b(j(s, x)l^j удовлетворяет нера-
неравенству fyy($, ^)|<|у>0. (9)
Замечание. Формула F) получена в работе Иосида [26]. Эта
формула определяет расширение диффузионного оператора, имею-
имеющего форму эллиптического дифференциального оператора второго
порядка, о котором говорилось в предыдущем параграфе. Третье
слагаемое в правой части F) представляет собой сумму бесконечного
числа разностных операторов. Появление такого члена объясняется
тем, что, как это допускалось, условие B) Линдеберга может не
выполняться. Формула F) выражает в теоретико-операторной форме
факт, который можно рассматривать как полную аналогию резуль-
результатов Леви — Хинчина — К. Ито, относящихся к так называемым без-
безгранично делимым законам теории вероятностей. См. по этому
поводу Хилле — Филлипс [1].
Доказательство теоремы. Рассмотрим последовательность не-
неотрицательных о-аддитивных мер вида
х, E) =
x, s И-*, dy). A0)
560 XIII. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
Из C) и D) следует, что
функция Gk(s, х, Е) ограничена равномерно
относительно множеств Е и индексов k, A1)
равномерно по k существует
f Gk(s, x, </у) = 0. A2)
lim
Следовательно, при фиксированных [s, x) линейный функционал Lk,
определяемый равенством
Lk (g) =JGk E, x, dy) g (y), g e Co° (/?),
ft
неотрицателен и непрерывен в нормированном линейном простран-
пространстве Со (R) с нормой || g || = sup | g (x) |, причем нормы функциона-
x
лов Lk равномерно ограничены относительно k.
Так как нормированное линейное пространство Со(/?) сепара-
бельно, мы можем выбрать из последовательности \k\ такую подпосле-
подпоследовательность {&'}, чтобы существовал lim Lw (g) = L(g) и при
этом выражение L(g) представляло собой некоторый неотрица-
неотрицательный линейный функционал в пространстве Со(/?). Из леммы,
относящейся к теории меры, доказательство которой можно найти
в книге Халмоша [1), следует, что в этом случае существует неко-
некоторая неотрицательная 0-аддитивная мера G(s, x, E), такая, что
0E, х% /?)<оо и
lim f Ok(s. x, dy)g(dy)= f O(s, x, dy)g(y)
для всех g?Co(R).
Воспользуемся теперь соотношением
>(s, x, s+k~\ dy)f(y)-f(x)\ =
\ =
XGk(S, x, rfy)+ J tffy'*)* tot-*/>¦&
вытекающим из определения и свойств Gk (s, х, Е). Член вида {...}
Э первом интеграле в правой части A4) при достаточно малых зна-
8. Марковские процессы и потенциалы 561
чениях d(y, x) можно записать в виде
где Xj = Xj + 0 (yy — лгу), 0 < 0 < 1. Отсюда следует, что вели-
величина {...} ограничена и непрерывна по у. Следовательно, ввиду A2)
и A3) первое слагаемое в правой части A4) стремится при 6 = А'->оо
к J {...} О (s, х, dy). Поэтому вследствие E) существует конечный
/?
I1, J dto\% (yJ" хд Ш7 °*
х> dy) =
Отсюда, учитывая C), мы, полагая
x) = lim lim k j (У/ — ^/)(Уу-~xj)P(s> xt 5+A, rfy),
_ l л t LI ^ *
получаем формулу F).
8. Марковские Процессы и потенциалы
Пусть равностепенно непрерывная полугруппа {Tt} класса (Со)
определена на некотором функциональном пространстве X равенством
(Ttf)(x)= j P(t, x, dy)f(y), где P(tt x, dy) — марковский процесс,
5
заданный в пространстве с мерой E, 83). Обозначим через А инфини-
тезимальный производящий оператор полугруппы \Tt). По аналогии
с частным случаем, когда А представляет собой лапласиан, элемент
/?А\ удовлетворяющий уравнению Л./ = 0, называется гармони-
гармоническим. Из этого определения следует, что элемент / является
гармоническим в том и только в том случае, если к (XI — A)~l f — f
при всяком к > 0. Если при некотором g элемент /?Х представим
в форме / = lim(A7 — A) gt то / называется потенциалом. На-
1 + 0
+
звание это употребляется потому, что для такого элемента / ввиду
замкнутости оператора А справедливо уравнение Пуассона
А • /«= lim А(кГ — A)-1 g = lim{— g + b(U — Ay1 g) = -g.
к + 0 ЯфО
Допустим теперь, что X является векторной структурой и одновре-
одновременно локально выпуклым линейным топологическим простран-
пространством, причем всякая монотонно возрастающая ограниченная по-
последовательность элементов из X слабо сходится к некоторому
элементу пространства X, ббльшему, чем элементы этой последова-
последовательности. Предположим также, что резольвента J^==(X/ — А)
36 К. Иосида
562 XIII. Эргодическая теория, теория диффузионных процессов
положительна в том смысле, что при /^0 выполняется неравен-
неравенство Jkf^0. Принятые здесь предположения и терминология под-
подсказываются аналогией с частным случаем, когда А представляет
собой лапласиан, рассматриваемый в соответствующим образом выбран-
выбранном функциональном пространстве.
Естественно назвать субгармоническими те элементы f?Xt для
которых выполняется неравенство А . / ^> 0. Ввиду положительности Jk
субгармонический элемент / при всех значениях X > 0 удовлетворяет
неравенству >Ц./^/- Мы докажем сейчас теорему, являющуюся
аналогом хорошо известной теоремы Рисса, относящейся к обычным
субгармоническим функциям (см. Радо [1]).
Теорема. Всякий субгармонический элемент х можно разложить
на сумму гармонического элемента xh и потенциала хр, где гармони-
гармоническая часть xh элемента х равна xh ••= lim XJkx, и xh представляет
А^0
собой так называемую наименьшую гармоническую мажоранту х
в том смысле, что всякий гармонический элемент хн ^> х удовлетво-
удовлетворяет неравенству xH^xh.
Доказательство (Иосида [4]). Из резольвентного уравнения
А—^ = 0* —*Wi* О)
мы получаем
Так как элемент х субгармоничен, то ввиду положительности Jk
из A, > \i следует, что XJkx ^> [U^x ^ х.
Следовательно» слабый предел w- lim XJkx = xh вследствие предпо-
ложений, сделанных относительно ограниченных монотонных после-
последовательностей из X, существует. Поэтому, используя эргодиче-
скую теорему из гл. VIII, § 4, мы видим, что существует предел
д:л= lim KJkx и элемент xh — гармоничен, т. е. ХУАлгл = л;л для всех
Л^0
А, > 0. Кроме того,
хр = (х — xh)= \im
к ^ о
= lim(— А)(М~ А)-гх= lim (Я/ — А)'1 (—Ах),
к+о к+о
откуда следует, что элемент хр является потенциалом.
Предположим, что некоторый гармонический элемент хн удовле-
удовлетворяет неравенству хн^х. Тогда вследствие положительности XJk
и свойств гармонического элемента хн
хн = МКхн^XJkx и, следовательно, хн^ lim XJkx = xh.
k^Q
8. Марковские процессы и потенциалы 563
Исследования Ханта и Дуба. Хант [1] предложил условия, при
которых линейный оператор, принадлежащий Z^Cof/?*), Со(#я)),
служит некоторой резольвентой полугруппы, индуцированной марков-
марковским процессом P(t, х, Е) в пространстве Rnt и рассмотрел также
вопросы теории потенциалов, связанных с этим марковским процес-
процессом. Мы рекомендуем читателям превосходное изложение теории Ханта
в книге Мейера [1]. В исследованиях Дуба [2] изучались граничные
значения гармонической функции f(x), когда х стремится к границе
в ходе соответствующего марковского процесса. Основной метод
исследований Дуба опирается на предельную теорему, относящуюся
к систематически развитой им теории мартингалов 1).
1) По материалу главы XIII см. также на русском языке Феллер [9*],
Гихман, Скороход [1*], Дуб [4*], Дынкин [3*], Лоэв [1*], К. Ито [У].—
Прим. пере в.
36*
ГЛАВА XIV
Интегрирование эволюционных уравнений
Обычная экспоненциальная функция служит решением следующей
задачи с начальными значениями:
Мы рассмотрим уравнение диффузии
т
где А = 2 d2/dx2j — лапласиан в Rm. Поставим вопрос об отыскании
решения u = u(xt t), t > О, этого уравнения, удовлетворяющего на-
начальному условию u(xt O) = /(jc), где f(x) = f(xv ..., хт) — не-
некоторая заданная функция переменных х. Мы исследуем также вол-
волновое уравнение
Ди, —оо < t < оо,
с начальными значениями
и (х, 0>= / (х). (dufdt)M = g (*),
где / и g — заданные функции. Это уравнение можно записать
в векторной форме
д (и\ /0 /\/м\ т ди
v) = (b 0)(vh V =
и при этом начальные условия можно взять в следующем виде:
. 0)/ \g(x))'
Таким образом, в выбранном подходящим образом функциональном
пространстве волновое уравнение приобретает форму уравнения диф-
диффузии (или уравнения теплопроводности): в левой части стоит произ-
производная по параметру tt играющему роль времени, а в правой — не-
некоторый оператор дифференцирования по пространственным коорди-
координатам, короче, волновое уравнение приобретает форму, аналогичную
уравнению dy/dt = ay. Поскольку решение последнего уравнения
/. Интегрирование уравнения диффузии в ?2(Лт) 565
выражается экспоненциальной функцией, естественно предположить,
что уравнение теплопроводности и волновое уравнение можно решить,
определив соответствующим образом функций экспоненциального типа
от операторов
/О Г
д " U о,
рассматривая их в подходящем функциональном пространстве. Эти
соображения приводят к идее приложения теории полугрупп к реше-
решению задачи Коши общего вида. Заметим, что уравнение Шредингера
Г1 ди/dt = Hu = (b + U(x)) и,
где U (х)—некоторая заданная функция, представляет собой другой
пример так называемого эволюционного уравнения вида
Ни
5 A)
где А — некоторый линейный оператор в некотором функциональном
пространстве, не обязательно непрерывный.
Уравнение вида A) можно назвать однородным во времени эво-
эволюционным уравнением. Интегрирование такого уравнения может
быть проведено с помощью теории полугрупп. В трех параграфам
этой главы мы рассмотрим некоторые характерные примеры, относя-
относящиеся к интегрированию такого рода. Мы распространим также эту
теорию интегрирования и на уравнение вида
-%L = A(t)u, a<t<b, B)
которое естественно назвать неоднородным во времени эволюцион-
эволюционным уравнением.
/. Интегрирование уравнения диффузии
в пространстве L\Rm)
Рассмотрим уравнение диффузии вида
%jt t>0, A)
где дифференциальный оператор
" " B)
строго эллиптичен в m-мерном евклидовом пространстве Rm. Мы
предположим, что коэффициенты аЧ Ь1 н с вещественны и принад-
566 XIV. Интегрирование эволюционных уравнений
лежат функциональному пространству С°°(/?т) и что
р^С), p|()|, sup | ^(л:)|,
V х х х
4<oo. C)
Предположение о строгой эллиптичности оператора А означает, что
существуют такие положительные постоянные А^ и |ы0, что
мо 2 %) > «" (*) Uj > К Jj1?
D)
при всех x?Rm и любом вещественном векторе
Обозначим через #о пространство всех вещественных функций
/W6C(/?m) с нормой
am v 1/2
fdx + %ffXjdx) . E)
и пусть Яо — пополнение Щ по норме ||/||^ Пусть также Но — по-
пополнение Й\ по норме
f^ F)
Мы ввели, таким образом, два вещественных гильбертовых простран-
пространства #о и //{}, причем Н\ и ^о плотны в Я? по норме || ||q. Из
предложения, доказанного в гл. I, § 10, мы знаем, что ti\ совпадает
с вещественным пространством Соболева Wl (Rm). Известно также,
что #о совпадает с вещественным гильбертовым пространством L2 (Rm).
Обозначим скалярные произведения в гильбертовых пространствах
Hi и Но соответственно через (/, g)x и (/, g)Q.
Для того чтобы проинтегрировать уравнение A) в комплексном
гильбертовом пространстве L2(Rm) при условиях C) и D), нам по-
потребуются некоторые леммы, которые будут также играть важную
роль в следующих параграфах.
Лемма 1 (об интегрировании по частям). Пусть /, ?"?#0. Тогда
(л/. «%=- \ *"f*$»,**- f
Rm Rm
G)
/. Интегрирование уравнения диффузии в L2(Rm) 567
т. е. при вычислении (Л/, g^ можно интегрировать по частям, и
члены, содержащие производные второго порядка, исчезают.
Доказательство. Из C) и того факта, что функции fug при-
принадлежат //J, мы заключаем, что выражения вида a^fxxg интегри-
интегрируемы по пространству Rm. А так как функции fug обладают
бикомпактными носителями, то
J al'fXiXjgdx = - j aiJfXigXjdx~ J
Rm Rm Rm
Замечание. Оператор А*, формально сопряженный оператору А%
определяется как
^x). (8)
Как и выше, легко получается следующий результат: если /, g?
то при вычислении (Л*/, gH можно интегрировать по частям, и при
этом члены, содержащие производные второго порядка, исчезают, т. е.
(A*f, gH = - | a4fXigxdx- \ a<JtfgXjdx-
Rm Rm
- jblfgXldx+ fcfgdx. G0
Rm Rm
Следствие. Существуют такие положительные постоянные х,
Y и б, что при всех достаточно малых положительных значениях а
абII/»'<(/-аЛ/, А<A+ау)||/||' при
? при
при /. g?Hl
при /. tf€tfo;
10V. g)o~(f. Л«%К*11/У*1Ь при /, geRl A1)
Доказательство. Условия (9) и A0) доказываются с помощью
C), D), G), G') и с использованием неравенства
A2)
которое выполняется при любых положительных а и v. Действи-
Действительно, мы можем воспользоваться оценкой
568 XIV. Интегрирование эволюционных уравнений
Условие A1) выводится из соотношения
(ЛЛ tf).i-</. Ag)o =
= - J {2аЦ/х? + а?/* - 2blfXig - *?,
Лемма 2 (о существовании решений уравнения и -- аЛ# = /).
Пусть положительное число а0 выбрано так, что утверждения дока-
доказанного выше следствия выполняются для значений 0 < a ^ Oq.
Тогда при любой функции /(х)?Йо уравнение
f @<a<a0) A3)
имеет однозначно определенное решение u^Hl()
Доказательство. Определим для функций и, v?Ho билинейный
функционал В (ut v) = (u — aA*ut vH. Из вышеприведенного след-
следствия вытекает, что
аб||«||'<В(«, и).
Поэтому мы можем продолжить В (и, v) по непрерывности до били-
билинейного функционала B(u,v), определенного для функций и, v?Hq>
так, чтобы выполнялись условия
v)\<{\+*i)\\u\\x\\v\\x%
«|(J<fi(e, и).
Линейный функционал /?(и) = (и, f\, определенный на Н\, ввиду
неравенств \(и9 /H |<||tt||o||/lb^llttllill/lh является ограниченным
линейным функционалом. Следовательно, по теореме Рисса об общем
виде линейного функционала, если ее применить к Яо, найдется един-
единственный элемент т; = г>(/)?//о. такой, что (и, /)} = (и, v(f))v
Применяя теперь к гильбертову пространству Н10 теорему Миль-
грама — Лакса, мы видим, что
(и, /)о = (я, v(J))x = B(u. Sv(f)) при всех и?Н1 A5)
где 5 — некоторый ограниченный линейный оператор, отображающий
пространство Н\ на себя.
Пусть теперь и пробегает Со>(/?т), и пусть элементы l
выбраны так, что Ит||г/Л — - Sv(f)\\{ = 0. Тогда
В(и, Sv(f)) = \imB(ut vn)=\hr\B(ut vn) =
> /1->0О
— aA*u, va\ = {u — a.A*
U-+QQ
1. Интегрирование уравнений, диффузии в L2(Rm)
так как норм? || ||, больше, чем норма || ||о. Следовательно,
A50
т. е. выражение Sv(f)?Hl представляет собой обобщенное решение
уравнения A3). Поэтому, учитывая строгую эллиптичность оператора
(/ — аЛ) и тот факт, что /?Со°(/?т), мы видим, что на основании
следствия теоремы Фридрихса из гл. VI, § 9, мы можем считать,
что функция w = Si;(/)?#o является решением уравнения A3), при-
принадлежащим классу С°°(/?ш). Таким образом, u = Sv(f)? HlnC°°(Rm).
Единственность построенного таким способом решения и уравне-
уравнения A3) устанавливается следующим образом. Пусть функция и ? #о П
(]C°°(Rm) удовлетворяет уравнению и — аЛи = 0. Тогда Au^Hq(]
nC°°(/?m) ? Wo, так что выражение (и—аАи, u)Q определено и равно
нулю. Допустим, что элементы ип?Й\ выбраны так, что
Пт||и — аЛ IJj = 0. Интегрируя по частям, мы получаем на основа-
П-+СО
нии (9) оценку вида
0 = (и — аАи, и)о== \im(u — aAut «,)b>aft||e||?,
Л->00
откуда заключаем, что и = 0.
Следствие 1. Существуют такие положительные постоянные Oq
и Tjo, что для любой функции /б^о уравнение
обладает единственным решением u=^u^H](]C°°{Rm) и при этом
справедлива оценка
li«/llo<(« —^о —tior'H/lb- A7)
Доказательство. Неравенство Шварца приводит к оценке
иЫ-А)и\\ь-\\и\и>\((а/-А)и9 иH\ при и?Й\. A8)
Интегрируя по частям, мы находим
((а/ - А) и, и\ = а || ir |? + f а%«, dx +
+ J afy*j udx — [ Ь'или dx - [ сии dx.
Rm kni km
570 XIV. Интегрирование эволюционных уравнений
Следовательно, учитывая C), D) и A2), получаем
Таким образом, учитывая A8), мы видим, что при значении
2A + 2)
\\(af-A)u\\0^(a~k0 — ПоI1«|1о при всех a?//J. A70
если выбрать v>0 столь малым, чтобы (к0 — ш2ц\) и г]э были по-
положительны. Далее, выбирая а0 столь большим, чтобы для значений
сь^-йо+^оЧ^Ло можно было применить лемму 2, мы устанавливаем
существование решения уравнения A6).
Решение и = W/?#dnC°°(#m) уравнения A6) можно аппрокси-
аппроксимировать последовательностью функций, принадлежащих #о и схо-
сходящихся к и по || ||j-норме. Эти соображения и позволяют вывести
оценку A7) из A8) и A70-
Следствие 2. Будем рассматривать сейчас А как оператор, дей-
действующий из области D(A) — (af— A)~1Hq&Ho з Hq. Тогда наи-
наименьшее замкнутое расширение А оператора А в Н* обладает при
значениях a > ct0-f-^o H"'Hj резольвентой (a/ — А) , которая пред-
представляет собой оператор, отображающий пространство #о а себя, и
удовлетворяет оценке
Доказательство. Справедливость этого утверждения с очевид-
очевидностью вытекает из следствия 1, если учесть гот факт, что множе-
множества D(A) и Й1 оба плотны в #<j по норме || ||0.
Мы видим теперь, что, согласно следствию 2 из гл. IX, § 7,
А представляет собой инфинитезимальный производящий оператор
некоторой полугруппы Tt класса (Со) в 5-пространстве #о, для ко-
которой при значениях *>0 выполняется неравенство ||71/||л<е<^+^)/.
Теперь может быть доказана
Теорема 1. Обозначим через Н\ комплексное пространство всех
комплексных функций f?C™(Rm) с нормой
/. Интегрирование уравнения диффузии в L2(Rm) 571
Пусть пространства #о и //§ служат пополнениями комплексного
пространства Й\ соответственно по нормам ||/||, и \\f\\o- Мы знаем,
что Й\ совпадает с комплексным пространством Соболева Wl(Rm)
(см. гл. I, § 10). Очевидно также, что Щ есть не что иное, как
гильбертово пространство L2(Rm). Будем рассматривать А как опе-
оператор, действующий из области D (А) = (а/ — A) Hl0 S L2 (Rm)
в L2(Rm). Тогда наименьшее замкнутое расширение А оператора А
в пространстве L2 (Rm) служит инфинитеэимальным производящим
оператором некоторой голоморфной полугруппы Tt класса (Со), оп-
определенной в L2(Rm), для которой при 1^>0 справедлива оценка
|| Г,||„ <**•+*>'.
Доказательство. Из предыдущего следствия 2, учитывая вещест-
вещественность коэффициентов дифференциального оператора А, мы заклю-
заключаем, что область значений R(af — А) = (а/ - A) D (А) плотна
в пространстве L2(Rm) по норме || ||о при значениях а > ао +А'о+Ло-
Кроме того, если выбрать функцию (и -f- iv) ? L2 (Rm) так, чтобы
?DA то
Поэтому обратный оператор (a/ — Л) является ограниченным ли-
линейным оператором, отображающим L2(Rm) в себя, и при этом
|| (а/ — АГ1||0<(а — А,о — т^) для всех значений a>ao + A4) + %
Отсюда мы видим, что, учитывая теорему гл. IX, § 10, нам до-
достаточно лишь убедиться в том, что
ЛГ%<оо. B0)
Для функций w?D(A) выполняется условие
H((a + lr)/-i4)«y«||0>|(((a + /t)/ —i*)«r. wH\. B1)
Интегрируя теперь по частям, мы, как и при выводе неравенства A7),
находим, что
— A)w, w)o\ =
Re/ jaiJwXiwXjdx+ J a*Jw.x wdx —
— I tfwjc^ dx — J cwwdx\
Точно тек же мы получаем, что
572 XIV. Интегрирование эволюционных уравнений
Предположим, что найдется такой элемент wo?D(A)t ||ub||o?>0, что
— A)w0, wQH | < 2 A11 — Щ*>оЩ>
при достаточно больших т (или достаточно больших значениях — т).
Тогда для таких больших т (или — т) должно выполняться неравенство
и поэтому
Теперь мы видим, что утверждение теоремы 1 непосредственно
следует из B1).
Теорема 2. При любой функции f?L2(Rm) выражение и (f, x) —
= (T(f)(x) бесконечно дифференцируемо по t и х при t > 0 и x?Rm,
и функция u(tt х) удовлетворяет. у равнению диффузии A) и началь-
начальному условию limII и(/, х) — /(лг)||о==О.
Доказательство. Обозначим k-ю сильную производную Т( в про-
пространстве L2(Rm) по переменной t через Г(Д Так как Tt — голоморф-
голоморфная полугруппа класса (Со) в L2(Rm)t то
при *>0 (* = 0. 1. ...)¦
Оператор А служит наименьшим замкнутым расширением А в L2(Rm}; и
поэтому AkTJ ? L2(RV) при всяком фиксированном t > 0 {к = 0, 1, ...),
если применять оператор Ак в смысле теории обобщенных функций.
Поэтому, согласно следствию из теоремы Фридрихса (гл. VI, § 9), при
всяком фиксированном значении t > 0 функция и (Л х) совпадает с
некоторой функцией класса С°°(/?т), за исключением, быть может,
значений на некотором множестве меры нуль.
Используя теперь оценку И^ИоО^10*'. мы замечаем, что если
применить эллиптический дифференциальный оператор
(в смысле теории обобщенных функций) любое количество раз к функ-
функции u(t, д^), то полученная при этом функция будет локально инте-
интегрируема с квадратом в произведении пространств {t\0<tf <оо} X Rm.
Применяя следствие теоремы Фридрихса из гл. VI, § 9 еще раз, мы
устанавливаем, что функция и (t, x) совпадает с некоторой функцией
класса С°° при ?>0 и x?Rm всюду, за исключением, быть может,
Некоторого множества точек (I, х) меры нуль в произведении про-
пространств {t; 0 < t < оо} X Rm- Таким образом, мы можем рассматри-
рассматривать u(t, x) в этом смысле как классическое решение уравнения A),
удовлетворяющее начальному условию lim||ii(f, л:) — /С*)||о = О-
2. Уравнение диффузии в бикомпактном римановом пространстве 573
Замечание. Построенное выше решение u(t> x) обладает следую-
следующим свойством „единственности продолжения вперед и назад":
если u(tQ, лг) = О на каком-то открытом множестве
G g:Rm при некотором фиксированном t0 > 0, то B2)
u(t, лг) = О при всяком *>0 и x?G.
Доказательство. Из голоморфности полугруппы Tt класса (Со)
следует, что
II " II
lim Г/в+Л/—2(*0~V^*r/e/H =0
я->оо || *=0 110
при достаточно малых значениях h. Поэтому, как и при дока-
доказательстве полноты пространства L2(Rm), можно указать такую под-
подпоследовательность {#'} ряда натуральных чисел, что
п'
u(to-{-h, л:)= lim 2(^0"* hkAku(t0, x)
/i'-»oo fc—0
при почти всех х ? Rm.
Как следует из предположения B2), Aku(t0, х) = 0 в О, н поэтому
u(tQ-\-h, л:) = 0 в области G при достаточно малых h. Повторяя это
построение, мы и убеждаемся в справедливости утверждения B2).
Литература
Результаты этого раздела взяты из работы Иосида [21]. В отно-
отношении свойства „единственности продолжения вперед и назад" спра-
справедливо более точное утверждение: и (tt х) = 0 при всяком t > 0 и
любых x?Rm. Это следует из результата Мизохата [3], который
установил для решений u(t, x) уравнения диффузии свойство „един-
„единственности продолжения по пространству": если u(tt л:) = 0 при всех
t>j) и *?G, то u{t% л:) = 0 при любых t > 0, x?Rm. По поводу
голоморфности полугруппы Tt% о которой говорилось выше, см. также
Филлипс [6]. Заметим, что свойство единственности продолжения ре-
решений уравнения теплопроводности du/dt = hu было впервые сфор-
сформулировано и доказано Ямабе — С. Ито [1).
Существует весьма полное исследование параболических уравнений
с помощью методов теории диссипативных операторов. См. по этому
поводу филлипс [7].
2. Интегрирование уравнения диффузии
в бикомпактном римановом пространстве
Рассмотрим связное ориентированное m-мерное риманово простран-
пространство R класса С°° с метрикой
со
574 XIV. Интегрирование эволюционных уравнений
Пусть А — некоторый линейный дифференциальный оператор в част-
частных производных второго порядка с< коэффициентами класса С°°,
определенный в R:
Допустим, что коэффициенты а1* образуют симметричный контрава-
риантный тензор, а величины bl(x) при преобразовании координат
(л:1, jc2, ..., xm)->(xl. х2 xm) преобразуются по правилу
так что значение (Af)(x) определяется однозначно независимо от
выбора локальных координат. Мы предположим также, что оператор А
строго эллиптичен в том смысле, что существуют такие положи-
положительные постоянные А,о и \х0, что
т т
НчJ l2j^>aiJ(x)lilj ^>\ Sly Для любого вещественного
вектора (?р .... |от) и любого x?Rm. D)
Исследуем в целом задачу Коши для уравнения диффузии в про-
пространстве R: найти решение u(t, x). удовлетворяющее условиям
где f(x)—заданная функция на /?.
Докажем следующую теорему.
Теорема. Если R бикомпактно, так что его можно рассматривать
как пространство без границы, то уравнение E) при любой начальной
функции / ? С°° (R) допускает единственное решение и (*, л:), принад-
принадлежащее классу С°° по переменным (t, x), t > 0, х ? R. Это решение
можно представить в виде
u{t, x)=jP(tt x.dy)f(y). F)
где P(t, xt E) — переходная функция некоторого определенного в R
марковского процесса.
Доказательство. Обозначим через C(R) ^-пространство веще-
вещественных непрерывных функций /(*), заданных на R, с нормой
||/||^ sup |/(д:).|. Покажем сначала, что
при любых f^CTiR) и п>0
шах П (д:)> / (X) > miri h (л:), G)
где *(*)
2. Уравнение диффузии в бикомпактном римановом пространстве 575
Пусть функция f(x) достигает максимума в точке Х==х0. Выберем
локальную систему координат в точке х0 так, чтобы а^(хо) = Ьц
F^ = 1 при i = j и б/у = О при 1Ф]). Благодаря условию D) такой
выбор действительно возможен. Тогда
h ) = / (*<>) - п~
поскольку в х0 как в точке максимума
д*о д\хо)
Таким образом, max A(jc)^/(jc). Аналогично можно показать, что
/(x)>minA(x).
X
Будем теперь рассматривать А как оператор, действующий
из D(A) = Cco(R)cC(R) в С (/?). Из G) видно, что обратный опе-
оператор (/—л'М) существует при п > 0 и ||(/ — ^^"Vll^llgil
для элементов g из области значений /?(/ — л""М) = (/ —/1~М)/)(Л).
При достаточно больших я эта область значений сильно плотна в С (/?),
так как из результатов предыдущего параграфа следует, что для лю-
любой функции g€C°°(R) и достаточно больших Л>0 уравнение
u-*-nrxAu = g обладает единственным решением #?С°°(/?). Дей-
Действительно, ввиду бикомпактности R к рассматриваемому римаиову
пространству R без границы можно применить лемму 1 об интегри-
интегрировании по частям. Далее С°°{/?) сильно плотновС(/?) — это можно
установить, применяя к функциям из C(R) методы, указанные в пред-
предложении 8, гл. I, § 1.
Отсюда следует, что наименьшее замкнутое расширение А опе-
оператора А в C(R) удовлетворяет следующим условиям:
резольвента (/ — п~1А)~1 определена при достаточно
больших п > 0 как ограниченный линейный оператор, (8)
отображающий C(R) в себя;
на пространстве R во всех точках, где Л(лг)>-0, вы-
выполняется неравенство ((/ — n~lA)~l h)(x)^0\
(/ — я-МГ1. 1 = 1. A0)
Положительность оператора (/ — n~*AS~l, указаннай в (9), следует
из G). Уравнение A0) вытекает из тога, что А • 1=0.
Следовательно, А служит инфинитезимальным производящим опе-
оператором некоторой сжимающей полугруппы Tt класса (Со), опреде-
576 XIV. Интегрирование эволюционных уравнений
ленной на C(R). Как и в предыдущем параграфе, можно показать,
что из строгой эллиптичности оператора А вытекает, что при любой
функции f?C°°(R) выражение u(t, x) = (Ttf)(x) определяет функцию
класса С°° по переменным (t, х) при t > О и х ? /?, так что и (t, x)
является классическим решением уравнения E).
Пространством, сопряженным к С(/?), служит пространство бэров-
ских мер на /?, откуда легко с учетом (9) и A0) выводится заклю-
заключительное утверждение теоремы.
3. Интегрирование волнового уравнения
в евклидовом пространстве Rm
Рассмотрим волновое уравнение
-JL = Au, — оо</<оо, A)
где дифференциальный оператор
k и » B)
строго эллиптичен в m-мерном евклидовом пространстве Rm. Допу-
Допустим, что коэффициенты aij, bl и с вещественны, принадлежат С°°
и удовлетворяют требованиям C) и D), гл. IV, § 1. Как и ранее,
обозначим через Но пространство всех вещественных функций f(x)
из Со°(/?т) с нормой
. 1/2
и пусть #о и Но — пополнения Й\ соответственно по нормам
Лемма. Для любой пары элементов {/, g) из Й\ уравнение
'/ 0\ /0 l\\lu\ If
имеет при всяком целом и, таком, что |«"'| достаточно мало, един-
единственное решение (в, «}, и, v^Hlf\Ca>(Rm), удовлетворяющее оценке
((и - OqAu, иH -f a0 (v, v)oI/2 <
< A - р | я Г1)"' ((/ - ««Л/, /)о + а0 (g, Ш. D)
3. Интегрирование волнового уравнений, в Rm 577
где Oq и р — не зависящие от п и {/, g) положительные постоянные.
Доказательство. Пусть щ?Н\ПС°°(Rm) и Vi^Hlf\C°°(Rm) —
решения соответственно уравнений
их — n~2Aux = f и vx— n~2Avx — g. E)
Существование таких решений при достаточно малых значениях \п~1\
было доказано в лемме 2, гл. XIV, § 1. Тогда функции
u = ul-\-n~lv{t v = n~lAux-\-vx F)
удовлетворяют C), т. е. и — n~lv?=ft v — n~xAu = g.
Докажем теперьD). Заметим, что Au=n(v—g)?НЪп C°°(/?w)s//o»
и поэтому, ввиду того что /, gp6^o°(^m)» имеем Av = n(Au — Af)?
? Н\ П C°°(Rm) ? Яо. Отсюда вследствие C)
(/ —а0Л/, /H = (w — n~lv — а0А(и — n~lv), и —n~lvH =
п-г(и, v)o-{-aorrl(Au, v)
2(у — a0Avt v)
и
О ) ( lA v —
Теперь мы можем, применяя предельный переход, доказать, что
условия (9), A0) и (И) из гл. XIV, § 1 выполняются для f = u
и g = v. Следовательно, согласно неравенству A2) из гл. XIV, § 1,
найдется такая положительная постоянная C, что
r. g)o)V2>
v)q — (Av, u)q\ —
при достаточно больших \п\.
Полученная выше оценка для решений {u,v}, принадлежащих
Hlf\Cco(Rm)i показывает, что эти решения однозначно определяются
выбором {/, g].
Следствие. Произведение пространств //J X "§• элементами кото-
которого служат векторы
(«,<,)', где u?Hl v€H°0, G)
образует В-пространство с нормой
")| = || 1«. «}'|| =<*(«. «) + ao(l;. VHI/2, (8)
37 К. Иосида
578 XIV. Интегрирование эволюционных уравнений
где B(f, g)— продолжение по непрерывности относительно нормы
|| ||j билинейного функционала
определенного при /, g?fil. Мы знаем, что выражение В (и, иI/2
эквивалентно норме ||#||, (см. гл. XIV, § I):
ао6||и||?<в(«. «)<A+0^I1 «||?. (9)
Будем рассматривать в качестве области определения О (Я) оператора
0 /
U о
совокупность векторов {и,. v}'?Hq X #о* таких, что элементы
и, v?Hq выражаются формулами F). Тогда доказанная выше лемма
говорит о том, что область значений оператора
0
где 3 = (
содержит все векторы вида {/. g}\jy которых /, g?Ho. Поэтому
наименьшее замкнутое расширение 31 оператора 31 в пространстве
ЯоХ^о обладает тем свойством, что оператор C—п~1%) с цело-
целочисленным лараметром п допускает при достаточно больших \п\
обращение C — л?!), определенное всюду в Hq X $ и удовле-
удовлетворяющее неравенству
Р|я-11Г1- A1)
Теперь может быть доказана
Теорема. Для любой пары функций {/(л;), g(x)} из Со°(Rm)
уравнение A) обладает решением u(tt x) класса С00, которое
удовлетворяет начальным условиям
«<0, *) = /(*). «/@. JC>-?W A2)
и оценке
(В(«, в) + ао(«,. ^)oI/2<exp(p|/|)(i5(A /) + ao(^, gH)l/2. A3)
Замечание. Формула (9) показывает, что В(ц, и) играет роль
энергии волны— решения u(t, x) уравнения A), а величину (ut, ut)Q
можно рассматривать как кинетическую энергию волны u(t, x).
Таким образом, A3) выражает тот факт, что полная энергия волны
возрастает не быстрее, чем ехр(р|/|), когда /~>±оо. Такая
энергетическая оценка вообще характерна для волновых уравнений.
4. Неоднородные во времени уравнения в рефлексивном пространстве 579
Доказательство теоремы. Оценка A1) показывает, что % служит
ийфинитезимальиым производящим оператором некоторой группы Tt
класса. (Со) в ti\ X #о. которая удовлетворяет условию
||Г/||<ехр(р|/|), -оо</<оо. A4)
По предположению для значений ? = ()> 1, 2, ...
** (Л в **( Я6 c~iRm) х ^R'n) s И*х
Поэтому если положить
/в(*. х)
\v(t. x)
то ввиду перестановочности 31 с Г, мы получаем
д* (и {t, x)\ _ д*Т
для fe = 0, 1,2 Здесь через dkTtjdtk мы обозначаем &-ю силь-
сильную производную в пространстве //J X ^о- Учитывая теперь строгую
эллиптичность оператора А и то, что Н\ с #о = L2(Rm), мы, как
И при доказательстве теоремы 2 гл. XIV, § 1, заключаем, что
t((tt х) принадлежит по переменным (/, л:) при —оо < / < оо и
x?Rm классу С°° и удовлетворяет уравнению A) с начальными усло-
условиями A2) и оценке A3).
Замечание. Результат, изложенный в этом разделе, взят из ра-
работы Иосида [22J. Ср. с работой Лионса [1]. П. Лаке любезно
сообщил автору, что метод интегрирования, приведенный в этом
разделе, весьма сходен с его методом, указанным в Abstract 180,
Bull. Amer. Math. Soc, 68 A952), 192. Отметим, что наш метод
может быть также модифицирован для интегрирования волнового
уравнения в открытой области риманова пространства. Существует
И другой подход к интегрированию волновых уравнений, основанный
на теории диссипативных полугрупп. По этому поводу см. Филлипс
[8] и [9]. Последний метод тесно связан с развитой Фридрихсом [2]
теорией симметричных положительных систем. Ср, также Лаке —
Филлипс [3].
4. Интегрирование неоднородных во времени
эволюционных уравнений в рефлексивном В-пространшве
Обратимся к задаче интегрирования уравнения вида
A)
Здесь неизвестная функция х (/) рассматривается как элемент некото-
некоторого В-пространства Х> зависящий от вещественного параметра t%
37*
580 XIV. Интегрирование эволюционных уравнений
a A(t) — заданный, вообще говоря, неограниченный линейный опе-
оператор с областями определения D(A(t)) и значений R(A(t))> лежа-
лежащими в Х% которые также могут зависеть от t.
В работах Като [3], [4] была предпринята первая успешная по-
попытка решения задачи об интегрировании уравнения A). Т. Като ввел
следующие предположения:
1. Область определения D(A(t)) не зависит от t и сильно плотна
в Х% и при а>0 существует резольвента (/ — аЛ(^))" как огра-
ограниченный линейный оператор из L(X, X) с нормой, не превосхо-
превосходящей 1.
2. Оператор B(t, s) = (f — A(t))(/ — ^(s))" равномерно огра-
ограничен по норме при t^s.
3. Хотя бы при одном значении 5 функция fi(/, s) имеет по t
ограниченную по норме вариацию, т. е. для всякого разбиения сег-
сегмента [а, Ь] вида s = t0 < tx < ... <.tn = t
Л-1
4. Хотя бы при одном значении $ функция B(t, s) слабо диффе-
дифференцируема по t и слабая производная —У.' s* сильно непрерывна
по t.
При указанных условиях Т. Като доказал, что предел
о
U(t,8)xQ= s*llm П ехр ((tj+l — tj) A (tj))х0
существует при всех хо?Х и дает единственное решение A) с на-
начальным значением х($) = х0 по крайней мере при всех xo?D(A(s)).
Метод Като представляет собой по существу абстрактное обоб-
обобщение классического метода ломаных для обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений ¦ ¦ xJt' —a(t)x (t). Этот прием весьма прост и
естествен по идее, но соответствующее доказательство довольно
громоздко, так как рассматривается В-пространство общего типа.
Като [3] показал, что его доказательство упрощается для случая
рефлексивного В-пространства.
Другой метод интегрирования уравнения A) был предложен
Лионсом [2]. Он предположил, что A(t) — эллиптический дифферен-
дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами, зависящими от /,
и построил обобщенное решение x(t), преобразуя уравнение A)
к интегральной форме в конкретных функциональных пространствах,
таких, как пространство Соболева Wkf2(Q) и некоторые его видо-
видоизменения.
4. Неоднородные во времени уравнения в рефлексивном пространстве 581
Мы не приводим здесь детали исследований Като и Лионса, их
можно найти в оригинальных работах Като [3], [4] и Лионса [2].
Мы отсылаем читателя также к статье Ладыженской — Вишика [1],
в которой используется идея, аналогичная методу Лионса. Заметим,
что цитированная книга Лионса содержит весьма полный список
литературы (вплоть до 1961 г.). относящейся к интегрированию
эволюционных уравнений.
В этом разделе мы изложим метод интегрирования уравнения A),
опирающийся на некоторую лемму единственности и свойство секвен-
секвенциальной слабой компактности ограниченных множеств рефлексивного
fi-пространства. Наша основная идея может быть описана следующим
образом.
Если оператор A (t) = А не зависит от t и А служит инфини-
тезимальным производящим оператором некоторой полугруппы Tt
класса (Со) в X, то решение x(t) уравнения
^ B)
где D(A) — область определения Л, выражается формулой
— a) An)x0, C)
П-+ОО
~lA)~x
где Ап = A(J — n~lA)~x. Исходя из аналогии с этим случаем, когда
А не зависит от времени, предположим, что при наличии зависи-
зависимости от / оператор A (t) подчиняется следующим двум ограниче-
ограничениям:
А при a^t^b является замкнутым линейным опера-
оператором с плотными областью определения D (A (t)) с X
и областью значений R(A(t))? X, причем при А,>0
существует резольвента (%/ — A (t))", удовлетворяющая D)
~\
при I > М неравенству ||(/ — %'1А (ОГЧ^О — ^'1 М)
где М не зависит от X и tt
сильная производная dA(t)'ljdt = B (t) также суще-
существует и сильно непрерывна по t при a^t<^b. E)
Рассмотрим теперь следующую задачу с начальными условиями:
dxn{t)\dt = Ап @хп (t). a </ <*, хп(а)^А (а)'1 у, F)
где у — произвольный элемент из X и An{t)=A(t)(l—я"
= n(Jn(t) — /)tJn(t) = (f — д-М(О). Из E) следует, что резоль-
резольвента Jn(t) сильно непрерывно дифференцируема по t% и поэтому
Jn (t) равномерно непрерывна по t в операторной норме. Следовательно,
582 A7V. Интегрирование эволюционных уравнений
задача F) допускает единственное решение хп (/), которое, например,
можно получить последовательными приближениями, принимая за
первое приближение ехр((/ — а)Ап(а)) А (а)~1у. Мы приходим, таким
образом, к вопросу об отыскании условий, при которых последо-
последовательность {#„(/)} сходится слабо или сильно к решению x(t) задачи
с начальными значениями вида
= А(а)~1у. (Г)
Цель этого параграфа состоит в том, чтобы для некоторых част-
частных случаев получить ответ на этот вопрос.
Лемма. Если решение A') существует, то оно должно удовле-
удовлетворять неравенству вида
1И0||<1Иа)||-ехр((*--а)Л1). G)
Доказательство. Мы следуем здесь рассуждениям, основная идея
которых использовалась Като [3]. При 6 > О
= (/ — 6Л @ )~1х (/) _ 6 ((/ - ЬА @)-l-/) A (t) x{t)+o (б).
)~x
Из D) следует, что s-lim (/ — ЬА (t) )~xz = z при любом z ? X (см. B)
в § 7 гл. IX). Поэтому из оценки D) мы получаем
и, следовательно, d* \\x(ty\\/dt^M\\x(t)\\. Это и доказывает лемму.
Теорема 1. Допустим, что X -рефлексивное fi-пространство,
тогда всякая ограниченная последовательность из X содержит слабо
сходящуюся к некоторому элементу из X подпоследовательность.
Кроме D) и E), потребуем также, чтобы выражение
A(t)B(t)= A(t)[dA(t)~x jdt\ было сильно непрерывным по t. (8)
Тогда существует единственное решение x{t) задачи A') и x(t) =
= w- Urn xn(t).
Доказательство. Так как An(t)=n(Jn(t) — I) и ||«
<A - п~]М)"\ то при б > 0 и п > М
||- ЬпA -п-1М)-х\\х\\ = (\ -ЬМ(\ - n-'M)-l)\\x\\.
Поэтому для достаточно малых б > 0 существует ограниченное обра-
обращение (/--6ЛЛ (/))"" \ удовлетворяющее оценке ||(/— бЛ1
4. Неоднородные во времени уравнения в рефлексивном пространстве 583
—ЬМ{\ — п~1М)~1. Отсюда, учитывая доказанную лемму, мы
видим, что решение xn(t) задачи F) удовлетворяет условию
п~х М)-\ (9)
Таким образом, xn(t) однозначно определяется начальным условием
лгл(д) = А(ауху, и мы можем положить
xH(t) = Un(t, a)xn{a) = Ua(t, а) А {а) у,
где
Ц </,('¦ e)||<exp((* а)Мх). A0)
Положим теперь
У„(О =4.(О</,('. a)A(ay]y = An(t)xn(t)^=dxn(t)!dt. (И)
Из E) следует, что оператор An(t) сильно непрерывно дифферен-
дифференцируем по t и
dAn (/)/rf/ •= - An{t) В(t) An @, A2)
так как
Поэтому yn(t) служит решением задачи с начальным условием вида
A3)
Учитывая (8), мы заключаем, что выражение Ап (t) В(t)=Jn (/) A (t) В (t)
сильно непрерывно по t% и поэтому ввиду D) равномерно ограничено
по t и п. Следовательно,
при а</<& и п>М (С<оо). A4)
При 5> 0 имеем yn(t + G) = yn(t) + 6An(t)y(t) -6AB(t)B(f)ye(*) +
•+оF). Отсюда, как и при доказательстве леммы, мы получаем
и поэтому
11Ул(ОН<||Уя(«I|ехр((/-а)(А!4-С)) =
A.5)
Отсюда, поскольку dxn(t)ldt = yn(t)t мы видим, что функция xn(t)
ограничена и сильно непрерывна по t равномерно относительно t и /i.
Из рефлексивности Л' теперь следует, что найдется такая подпосле-
подпоследовательность \п'\ натурального ряда {я}, что одновременно для
584 XIV. Интегрирование эволюционных уравнений
всех t? [a, b] существует слабый предел w- lim xni (t) == x (t).
Покажем теперь, что
x(t)?D(A(t)) и функция A(t)x(t) = w-\im An,(t)xn,(t) A6)
nf ->oo
ограничена и сильно измерима по t.
Для этого мы сначала докажем, что А (/) х (t) сильно непрерывна
по t. В приводимом ниже доказательстве мы используем тот факт,
чхп для сопряженных jQnepaiopoB (см.теорему 1на гл. YI1I, § 6)
имеют место соотношения
Jn «У = ((l-n-'A(t) )-1)' = (/' - /Г1 А (О').
Так как X рефлексивно, то, как будет показано ниже, D(A(t)r)
сильно плотно в сопряженном пространстве X'. Поэтому из нера-
неравенства ||-/я@'||^0 — n~lAi)~lt которое следует из D) и A7), вы-
вытекает, что 5-lim Jn(t)ff'=:f' при любом f'?X'. Следовательно,
Л ->ОО
поскольку -on lim xni (t) = x (/), мы приходим к тому, что
w-lim Л'@ */>'(') = *(')• A8)
Соотношения A7) показывают, что
(A(t)Ja(t)xn(t), (л@-1O') = <Л@^@. Г).
и поэтому ввиду A8)
lim ( А (О У„, @ xnf (t), (A it)'1)' /') = (* @. /' )• A9)
>
Теперь из A7) мы выводим, что область значений
= D(;4(?/) сильно плотна в Л^. Действительно, если допу-
допустить противное, то рефлексивность X гарантирует существование
такого элемента wo?X, х/и0Ф01 что O = (i0o, (А (^))///)==
= ( Л (О^» /')• Отсюда следует, что A (t)~lwo = Ot т. е. wo = O>
что противоречит сделанным допущениям. Поэтому, поскольку функ-
функция yn{t) = An(t)xn(t) ограничена по t и п, мы заключаем, что
должен существовать слабый предел w-lim Anr(t)xnr(t) = u(t). Из
A9) видно, что {и(t), (A(t)-1)'f')={x(t), /'). так что
l
Из сильной непрерывности An (t) х„ (t) no t следует, что замы-
замыкание множества \An(t)xn(t); о</<й, /f= 1, 2, ...} сепарабельно,
4. однородные во времени уравнения в рефлексивном пространстве 585
и по*iому из слабой измеримости u(t) — w-\\m An,(t)xnr(t) по /,
согласно теореме Петтиса из гл. V, § 4, вытекает сильная измери-
измеримость. Чтобы доказать, что u.(t) сильно непрерывно по tt перепи-
перепишем A3) в интегральной форме
Уп С) = Un С а) уп (a) — \ип С *) К (*) В (s) уп (s) ds. B0)
Второй член в правой части B0) равномерно относительно t и п
сильно непрерывен по t — это следует из A0), A4) и ограниченности
yn(t) no t и п. Первый член в правой части Un(tt a)yn(a) будет
сильно непрерывным по t равномерно относительно tun, если выра-
выражение Ап(а)уп(а)= A(a)Jn(a)Jn(a)y окажется ограниченным по п.
Последнее легко устанавливается способом, который был использован
выше при доказательстве сильной непрерывности по t функции хп @ =
= Un(tt а)хп{а). Но Ап(а)уп(а)= A(a)Jn(a)Jn(a)y ограничено по л,
если у принадлежит области D(A(a)) определения оператора А (а),
которая сильно плотна в X. Отсюда на основании леммы мы заклю-
заключаем, что первый член в правой части B0) сильно непрерывен по t
равномерно относительно tun при всяком у? X. Итак, функция уn(t)
сильно непрерывна по t равномерно относительно tun. Это показывает,
что слабый предел u(t)= A(f)x(t) = wA\m yn,(t) сильно непрерывен
Л'->ОО
по t. Далее, устремляя л'->оо в соотношении
/ t
хп, @ = xnr (a) + J Anr (s) xnt (s) ds = A (a)' ly + J Anr (s) xni (s) ds,
a
мы находим, что
J A(s)x(s)ds. B1)
Поэтому ввиду сильной непрерывности и (t) = A (t) x (t) no t уравнение
A) удовлетворяется. Поскольку решение x{t)t согласно лемме, одно-
однозначно определяется начальным значением х(а), мы видим, что сама
последовательность {х„@} должна слабо сходиться к x(t).
Замечание. Приведенный выше результат взят из работы Иосида
[28]. Как указал автору Т. Като, из нашего условия (8) следует, что
область определения D(A(t)) оператора A(t) не зависит от t. Дей-
Действительно, положим A (t) (dA (t)~ * /dt) = С (t) и пусть W (t)—решение
уравнения dWjdt = — С{t)W(t) с условием W(a) = I. Тогда
XIV. Интегрирование эволюционных уравнений
и поэтому
Это и показывает, что область D(A (t)) = R(A(t)~ *) не зависит от t.
Теорема 2. Пусть X — гильбертово пространство. Предположим,
что, кроме D) и E), A(t) удовлетворяет следующим дополнитель-
дополнительным условиям:
оператор A(t) — самосопряженный и
{А @ х, х) < -1| х f при х ? D (А @). B2)
существует такая постоянная а, 2~* <!а ^ 1, что функ-
функция (— A(t))aB(t) ограничена по t по операторной B3)
норме.
Спектральное разложение A(t)= \XdEt(K) позволяет определить
—оо
здесь с помощью формулы
(-Л (/))«= j(~XfdEt(k) B4)
—оо
дробную степень (—A(t))a.
При этих условиях последовательность {#„(*)} слабо сходится
к единственным образом определенному сильно непрерывному решению
интегрального уравнения B1).
Доказательство* Доказательство теоремы 1 показывает, что нам
нужно лишь убедиться в равномерной ограниченности [уп {t)\ no t и д.
Воспользуемся равенством
-2 Re (Л, (/)?(/) у. (')« уя@). B5)
Так как оператор — An(t) = — A(t)(J — n~lA(t))~l самосопряжен и,
так же как и — А (/), неотрицателен, неравенство Шварца приводит
к условию
которое справедливо при любом е > 0. Так как
•1
Лп it) = А (/) Jn (t) = f к A - /Г >kfl dEt (I),
4. Неоднородные во времени уравнения в рефлексивном пространстве 587
спектр —- Ап (t) лежит в интервале [A — и")"» со). А так как
2~1^а^1, мы видим, что если значение е>0 выбрано соответ-
соответствующим образом, то при всех t и п
Отсюда мы заключаем на основании. B2) и B3), что правая часть
B5) меньше, чем
где К не зависит от / и й.
Следовательно, || уп (t) || < || уп (а) || • exp ((t -— а) /С1/2), и поэтому
функция yn(t) ограничена по t и п.
Замечание. Пусть X = L?(Ot 1) и A(t) — оператор умножения
на — (l+|* — s |"^) в пространстве Z,2@, 1):
Если р>2, то, выбирая а>1/2 так, чтобы 0A — a)— i;>0, мы
убеждаемся в том, что условия теоремы B) выполняются. Аналогич-
Аналогичный случай был недавно изучен Танабе [1]. Нам кажется, что метод
Танабе не может быть применен к случаю р=1. При 0=1 мы
имеем 5@ = A +\t — s\)~*t если t > s, и B(t) = — A +|<~* |)~2.
если t < s. Значит, правая часть B5) в этом случае неположительна,
и поэтому 11^@11^11^(^I1. Теорема 2, таким образом, применима
и при р= 1.
Литература. Идея аппроксимации решений уравнения A) реше-
решениями уравнений F) была впервые предложена автором (см. Иосида
[23]). В этой статье не предполагалось, что ^-пространство X
рефлексивно. Уравнение A) рассматривалось в пространстве Iх ъ пред-
предположении, что A{f)—эллиптический дифференциальный оператор
второго порядка, коэффициенты которого подчиняются сильным
требованиям гладкости. Доказано, что аппроксимирующие решения
xn(t)?Ll стремятся при /if оо к обобщенному решению дифферен-
дифференциального уравнения A). Тот факт, что предельная функция x(t)
является классическим решением уравнения A), доказывался с помощью
подходящим образом подобранного параметрикса уравнения, сопря-
сопряженного A):
где A*(s) — оператор, формально сопряженный A (s) (см., например,
Иосида [241 и [251), Ср- также с работой С. Ито [1|. Как указал
Кисынский [1] в замечании при чтении корректуры, требование реф-
рефлексивности пространства X в теореме A) может быть опущено,
588 XIV. Интегрирование эволюционных уравнений
5. Метод Танабе и Соболевского
Пусть X — комплексное fi-пространство. Рассмотрим в X эволю-
эволюционное уравнение с заданной неоднородностью f (t)\
&=,4*@+/(/). a<*<6. A)
В этом случае решение x(t)?Xt удовлетворяющее начальному усло-
условию х(а) = хо? X, формально может быть получено с помощью
так называемого принципа Дюамеля из решения ехр((/ — а)А)х
однородного уравнения dxjdt = Ах:
t
ехр((/-5)Л)./E)^. B)
а
Это приводит к мысли о том, что неоднородное во времени урав-
уравнение вида
ЩР-=А«)х«). *<*<*, C)
может быть решено в пространстве X с помощью следующей фор-
формальной процедуры. Перепишем уравнение C) в виде
^-=A(a)x(t)-\-(A(t)-A(a))x(t). D)
Согласно B), решение x(t) уравнения D) с начальным условием
х(а) — х0 будет выражаться как решение абстрактного интегрального
уравнения
t
x(t)=exp((t-a)A(a))X(>+ J txp((t-s)A(s))(A(s)-A(a))x(s)ds.
a
E)
Применяя для решения E) формальный метод последовательных
приближений, мы получаем приближенные решения:
Xl(,t) = exp((t-a)A(a))x0,
(О = ехр ((t — а) А (а)) хо+
t
+ J ехр ((t—s) A (s)) (A (s)~A (а)) ха (s) ds.
а
Таким образом, решение x(t) уравнения E) будет формально пред-
представляться формулой
— s)A{s))R(s, a)x9dst F)
5. Метод Танабе и Соболевском 689
где
m-l
f (Л@ — ЛE))ехр((/ — s),4(s)) при s<t,
*•<'¦•>={ О при ,>/. G)
e)= J
= 2, 3,
Танабе [2] обосновал описанную выше формальную процедуру
интегрирования, используя теорию голоморфных полугрупп (она из-
изложена в гл. IX, § 10). Следуя методу Танабе, мы допустим, что
выполняются следующие условия:
Л (t) при всяком t ? [я, Ь\ представляет собой замкну-
замкнутый линейный оператор с плотной в X областью опре-
определения и областью значений X, причем резольвентное
множество p(A(t)) оператора A(t) содержит некоторую
фиксированную угловую область в комплексной ^-пло-
^-плоскости, состоящую из начала координат 0 и множества (8)
e}, где 8>-J.
Резольвента (kl — A(t))~l сильно непрерывна по t%
равномерно относительно значений Я из любого биком-
бикомпактного множества, лежащего в 0.
Существуют такие положительные постоянные М и N,
что при А,?в и t?[at b]
(9)
если | k | > M% причем дли вещественных значений X
можно положить N = 1.
Область определения D(A(t)) оператора A(t) не зави-
зависит от tt так что по теореме о замкнутом графике из гл. II,
§ 6, оператор A(t)A(s)~l принадлежит L(X, X). Пусть
также существует такая положительная постоянная /С,
что при 5, t% r?{a, Ь] A0)
\\A{t)A{sTl- A{r)A($rl\\<K\t-r\.
При этих условиях может быть доказана следующая
Теорема. При любых хо?Х и s?[а, Ь) уравнение
C0
690 XIV. Интегрирование эволюционных уравнений
обладает единственным решением x(t)?X. Это решение выражается
формулой
x(t) = U(t. s)x(s) = U(tt s)xo> A1)
где
t
W(t. s)= jtxp((t — a)A(a))R{a, s)da, A2)
R(tt s) выражается формулой G).
Для доказательства нам потребуются следующие три леммы.
Лемма 1. Функция R(tt s) сильно непрерывна при a<5<f<ft,
и существует такая постоянная С, что
\\R{t. s)\\<KCeKp(KC(t-s)). A3)
Доказательство. Из (8) и (9) следует, что каждый оператор A (s)
порождает некоторую голоморфную полугруппу, определяемую (см.
гл. IX, § 10) выражением
ехр(МE)) = Bя/)" J 6х1 (U— A(s))~ldk A4)
а
где С — гладкий контур, соединяющий в в точки оо?~"/в и оо*/е.
Следовательно, поскольку A(s)(k I—A(s)) = %(kl - A(s))~l — I,
при (b — a) > i > 0
J|exp(M(*))||<C и И(*)ехр(М(*))|| <Ct~\ A5)
где положительная постоянная С не зависит от t > 0 н s ? [a, b].
Из G) следует, что
/?,(/. s) = (A(t) — A(8))A(8)-lA(s)exp((t — 8)Ai8)). t>s,
и поэтому ввиду A0) и A5)
С. A6)
Из (8) и A4) с очевидностью следует также, что функция R{(tt s)
сильно непрерывна в области a -^s < t ^b. Продолжая этот процесс,
мы по индукции заключаем, что
t
J (KC)m(o - s)m
s
t
- I)!)"'.
5. Метод Танабе и Соболевского 591
и поэтому A3) действительно выполняется. Аналогичным способом
можно доказать сильную непрерывность R(tt s) при a^s <
Лемма 2. Для значений s < т < t имеет место неравенство
\\R(t, s)-R(x, s)\\<Cx(^^ + (t-x)ln^=±), A7)
где положительная постоянная Сх не зависит от $, т и t<
Доказательство. Из G) мы получаем
Условия A0) и A5) показывают, что норма первого члена в правой
части мажорируется величиной KC(t — x)(t — s)~l. Второй член в
правой части может быть записан как
J -^
X-S
t-s
(А (т) — A (s) )A (s) J A (sJ exp (aA (s)) da.
и ввиду A5)
I А (sJ ехр (оA (s)) do ^ Г
Т-5 II X-S
< J BC/aJdo = 4C2 [ — 1] = 4C2(/ - x)(t — s)~l(x — s)~\
X — S
Таким образом.
^l. A8)
С другой стороны, вследствие G)
J
00 СО J
S ^m^» 5)— %Rm{X9j)=* \ Rx(t, 0)R@, S)dO-
m-2 m-2 ^
т
— J /?,(т. a)R(a, s)da=
S
t X
/?!</. a) —/?,(t. o))R{ot s)da.
592 XIV. Интегрирование эволюционных уравнений
Норма первого слагаемого в правой части последнего равенства мажо-
мажорируется выражением
t
I #, (t, о) || ¦ || R (a, s) || da <АГ2С2 ехр (КС (b — a))(t — т).
T
Норма второго члена ввиду A3) и A8) не превосходит
j\\Rx(t, a)-Rl(x9 a) ||.|| Я (а, *)||<*а<
9 X
' — а))
Отсюда и следует A7).
Лемма 3. При s < t
||4@{exp((f —s)i4(*)) —exp((f — s) Л (s))} ||<C2, A9)
где положительная постоянная С2 не зависит от 5 и t.
Доказательство. Из A4) получаем
А @ {ехр ((* - s) A {t)) - ехр ((* - 5) Л E))} =
= Bл/) J /('"s) Л (О (W - Л (О Г1 (Л @ - Л (s) HXI - A (s) Г1 d%.
с
С другой стороны, A(t)QJ — A(t)yx = b{)J — A{f)Y1 — !, и по-
этому ввиду A9)
||Л@(^/~Л@Г1||<тх^+1 при Я6в и t?[a9 ft]. B0)
Отсюда с помощью A0) и неравенства
|| (Л (о - л E)) (Я/ -л E) г11| <
мы и получаем A9).
Доказательство теоремы. Перепишем выражение W(t, s) из A2)
в следующем виде:
t
W{tt s)= Jexp((/ — x)A(t))R(t.
. s)-R(t, s))dx.
5. Метод Танабе и Соболевского
Аппроксимируя интегралы римановыми суммами и используя свойство
замкнутости оператора A{t), мы видим, что можно применить A(t)
к каждому члену правой части написанного равенства. Действительно,
согласно A9), ко второму члену из правой части оператор A{t)
можно применить. К третьему члену A(t) можно применить ввиду
A5) и A7). Кроме того,
— x)A(t))R(t. s)dx=[exj>((t-s)A(t)) — /]R(t, s),
так как А(*)ехр((* — т) A(t)) = — dexp((t — т) A(t))/dx. Отсюда
мы находим, что
A(t)U(t. s)^A(t)txp((t-s)A(s))+{txp«t-~s)A(t))—I}R(t,
t
. s)-R(t, s))dx. B1)
Приведенные выше рассуждения показывают, что оператор A (t) U (t, s)
сильно непрерывен в области а ^ 5 <t<^.b и
\\A(t)W(t, s)||<C3 и \\A(t)U(tt 5)||<C3(/ - *)-*. B2)
где положительная постоянная С3 не зависит от s и t.
Определим теперь для значений s < (t — h) < t выражение
t-h
Uh(tt s) = txpat-s)A(s))+jtxp«t-x)A(x))R(Tts)dT. B3)
Голоморфная полугруппа exp (tA (и)) дифференцируема при t > О,
и поэтому
-~Uh(t, s) = A(s)txp((t — s)A(s))+exp(hA(t — h))R(t — h, s)+
t-h
-\- Г Л(т)ехр((^ — т)Л(т))/?(т, s)dx.
5
Отсюда ввиду G)
t% s) — A(t)Uh(t, $) = ехр(ЛЛ (t — h))R(t — ht s)— R\(t> s)—
t-h
— f Rt(t, т)/?(т, s)dx. B4)
38 К. Иосида
594 XIV. Интегрирование эволюционных уравнений
Из (8), A3) и A4) следует, что ехр(ЛЛ(/ — ti))R(t-~ Л, $) при A j О
сильно сходится к /?(*, s). Поэтому
(*, 8)-A(t)Uk(f. s))*o =
s)—R\(t* s)~ f ^i(^ o)R(a, $)do)x0t xo?X. B5)
v i 1
Правая часть B5), как это можно показать, используя G), обра-
обращается в нуль. Так как
s-\imA(t)Uh(tt s)xo = A(t)U(t. s)x0,
то, применяя рассуждения, использованные при выводе B1), мы по-
получаем из B5) соотношение
8A\m-tuk(t9 s)xo=A(t)U(tt s)x0 при t > 0 и хо?Х. B6)
Так как правая часть B6) сильно непрерывна при t > s, то интегри-
интегрируя B6) и учитывая, что s-HmUh(tt s)AT0 = t/(/, s)x0, мы получаем
Л*0
^% s)xQ=A(t)U{tt s)x0 при t>s и дго6^. B7)
Таким образом, x(t)=*U (t, s) х0 служит решением уравнения (З7).
Единственность полученного решения может быть доказана аналогично
тому, как это делалось в предыдущем разделе.
Литературные указания и замечания
Формулировка приведенной выше теоремы и доказательство за-
заимствованы из работы Танабе [2]. Для того чтобы более четко про-
проиллюстрировать идею Танабе, мы несколько усилили условия его тео-
теоремы. Так, например, условие (9) можно заменить более слабым
требованием
()-l—A(r)A(s)-l\\<gKx\t — r\p. где 0<р<1.
По поводу деталей мы отсылаем к цитированной выше работе Та-
Танабе, которая представляет собой усовершенствованный вариант ста-
статей Танабе [3] и [4]. Следует заметить, что аналогичные методы были
независимо развиты советскими математиками. См., например, статью
Соболевского ? 1J и литературу, указанную в этой работе.
Литературные указания и замечания 595
Исследования Коматсу. В работе Коматсу [1] сделано одно важ-
важное замечание, относящееся к изложенному выше результату Танабе,
Пусть А — некоторая выпуклая комплексная окрестность веществен-
вещественного сегмента [а, Ь], вложенного в комплексную плоскость. Допус-
Допустим, что оператор A(t) определен при /?Д и удовлетворяет требо-
требованиям (8) и (9) (с заменой условия t ? [а, Ь] на t ? Д)). Кроме того,
допустим, что существует ограниченный линейный оператор Ло, ото-
отображающий X взаимно однозначно на область определения D опе-
оператора А (О» которая предполагается не зависящей от I, причем функ-
функция B(t)^=A(t)A0 сильно голоморфна при ??А. При этих предпо-
предположениях Коматсу показал, что построенный выше оператор U(t, s)
сильно голоморфен при t?k, если |arg(* — $)\ < 9а.при некотором 00,
О < в0 < я/2« Этот результат может быть использован для установле-
установления свойства «однозначности продолжения вперед и назад» решений
неоднородных во времени уравнений диффузии, о котором говорилось
в § 1 гл. XIV. По этому поводу мы отсылаем читателей к работам
Коматсу [2], [3] и Котаке — Нарасимхана [1].
Исследования Като. Для того чтобы освободиться от условия
независимости области D (A (t)) от Л Като [6J доказал, что в при-
приведенной выше теореме условие A0) можно заменить следующим:
при некотором положительном целом k область
D((— A(t))llk) не зависит от t. (Здесь (— A(t))l/fc —
дробная степень, определенная в гл. IX, § 11.) Кроме
того, существуют постоянные
/С2>0 и у. 1—A-1
такие, что
при s, t?[a, b].
Некоторые результаты последних работ Танабе и Като —
Танабе. Имея в виду ту же цель, что и Като в упомянутой выше
работе, Танабе [1] разработал метод, позволяющий заменить условие
A0) условием
оператор A(t)~l имеет при a^.t^.b сильную первую
производную, такую, что при некоторых положитель-
положительных постоянных /С3 и а выполняется неравенство
dA(t)~l dA(s)~x \^„и c|e
dt Ts ||
Кроме того, существуют такие постоянные N > 0 и р,
0<р< 1, что
38*
596 XIV. Интегрирование эволюционных уравнений
Подробнее по этому поводу см. Като — Танабе [8]. Укажем, что
идея этого исследования заключается в использовании выражения
ехр((? — a)A(t))x0 в качестве первого приближения вместо функции
ехр((* — а)А(а))х0.
Исследования Нельсона, касающиеся фейнмановских интег-
интегралов. В работе Нельсона [2] дается интерпретация фейнмановских
интегралов, связанная с интегрированием уравнения Шредингера ме-
методом полугрупп.
Исследования Агмона и Ниренберга. Агмон и Ниренберг [1]
изучали поведение решений уравнения -г -^ Ли = О при 11 оо
в некоторых 5-пространствах.
Библиография
Агмон (Agmon S.)
[1] (совм. с Ниренбергом (Nirenberg L.)) Properties of solutions
of ordinary differential equations in Banach space, Comm. P. AppL
Math,. 16 A963), 121—239.
А к и л о в Г. П.
[1] См. Канторович — Акилов [1].
Александров П. С.
[1] (совм. с Хопфом (Hopf H.)) Topologie, В. I, Springer, 1935.
Ароншайн (Aronszajn N.)
[1] Theory of reproducing kernels, Trans. Amer. Math. Soc, 68 A950),
337—404.
Ахиезер Н. И.
[1] (совм. с Глазманом И. М.) Теория линейных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве, Гостехиздат, 1950.
Балакришнан (Balakrishnan V.)
[1] Fractional powers of closed operators and the semi-groups generated
by them, Pacific J. Math., 10 A960), 419—437.
Банах (Banach S.)
[11 Курс функцюнального aнaлiзy, Кшв, 1948.
[2] Sur la convergence presque partout de fonctionnelles lineaires, Bull.
Sci. Math. France, 50 A926), 27—32, 36—43.
Бебутов М. B.
[1] Markoff chains with a compact state space, Матем. сб., 10 E2) A942),
213—238.
Бергман (Bergman S.)i
[1] The kernel function and the conformal mapping, Math. Surveys, № 5,
1950.
Б е р с (В е г s L.)
[1] Lectures on elliptic equations, Summer Seminar in Appl. Math. Univ.
of Colorado, 1957.
Биркгоф Г. (Birkhof f G.)
[1] Теория структур, ИЛ, М., 1952.
Биркгоф Дж. (В i r k h о f f G. D.)
{1] Proof of the ergodic theorem, Proc. Mat Acad. Sci., USA, 17 A931)»
656—660.
[2] (совм. со Смитом (Smith P. A.)) Structure analysis of surface
transformations, /. Math. Pures et Appliq., 7 A928), 345—379.
Библиография
Боголюбов Н. Н.
[1] См. Крылов — Боголюбов [1].
Бор (В о h r H.J
[1] Fastperiodische Funktionen, Springer, 1932.
Бохнер (Bochner S.)
{1] Integration von Funktionen, deren Wert die Elemente eines Vektorrau-
mes sind, Fund. Math., 20 A933), 262—276.
[2] Diffusion equations and stochastic processes, Proc. Nat Acad. Sci. USA,
35 A949), 369—370.
[3] Vorlesungen fiber Fouriersche Integrate, Akademie-Verlag, 1932.
[4] Beitrage zur Theorie der fastperioaischen Funktionen, Math. Ann., 96
A927), 119—147.
Браудер (Browder F. E.)
[1] Functional analysis and partial differential equations, I, Math. Ann.,
138 A959), 55—79. (Русский перевод: сб. Математика, 4:3 A960),
79—106.) И, Math. Ann., 145 A962), 81—226.
Бур бак и (Bourbaki N.)
[1] Topologie generate, Hermann, 1940—1942. (Русский перевод: Общая
топология. Основные структуры, Физматгиз, М., 1958. Общая тополо-
топология. Числа и связанные с ними группы и пространства, Физматгиз, М.,
1959.)
B] Топологические векторные пространства, ИЛ, М., 1959.
Ватанабе (WatanabeJ.)
fl] On some properties of fractional powers of linear operators, Proc.
Japan Acad., 37 A961), 273—275.
В ей ль A. (Weil A.)
[1] Sur les fonctions presque periodiques de von Neumann, C. R. Acad.
Sci. Paris, 200 A935), 38—40.
В ей ль Г. (Weyl H.)
[1J The method of orthogonal projection in potential theory, Duke Math. /.,
7 A940), 414—444.
[2] Ober gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitaten und die
zugehorigen Entwicklungen willkurlicher Funktionen, Math. Ann., 68
A910), 220—269.
[3] См. П е т e p — В е й л ь [1].
В е к к е н (W e с k e n F. J.)
[1] Utritarinvariante selbstadjungierte Operatoren, Math. Ann., 116 A939),
422-455.
Виленкин Н. Я.
[1] См. Гельфанд — Виленкин [З].
[2*] (совм. с Гориным Е. А. и др.) Функциональный анализ, «Наука»,
М., 1964.
Винер (Wiener N.)
[1] См. Пэл и — Винер [1].
?21 Tauberian theorems, Ann. of Math., 33 A932), 1—100.
[3] The Fourier integral and certain of its applications, Cambridge, 1933.
Библиография 599
Витали (Vital! G.)
[1] Sull'integrazioni per serie, Rend. Circ. Mat. di Palermo, 23 A907).
137—155.
В и ш и к М. И.
[1] См. Ладыженская — Вишик [1].
В у л и х Б. 3.
[1*] Введение в функциональный анализ, Физматгиз, М., 1958.
[2*] Введение в теорию полуупорядоченных пространств, Физматгиз, М.
1961.
Гельфанд И. М.
[1] (совм. с Шиловым Г. Е.) Обобщенные функции, вып. 1—3, Физ-
Физматгиз, М., 1958.
J21 Нормированные кольца, Матем. сб., 9 E1) A941), 3—24.
13] (совм. с Виленкиным Н. Я.) Некоторые применения гармониче-
гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства (Обобщенные
функции, вып. 4), Физматгиз, М., 1961.
[4] (совм. с Райковым Д. А.) К теории характеров коммутативных
топологических групп, ДАН СССР, 28 A940), 195—198.
[5] (совм. с Райковым Д. А. и Шиловым Г. Е.) Коммутативные
нормированные кольца, Физматгиз, М, 1960.
Гильберт (Hilbert D)
[1] Wesen und Ziele einer Analysis der unendlich vielen unabhangigen Va-
riablen, Rend. Circ. Mat. Palermo, 27 A909), 59—74.
Гихман И. И., Скороход А. В.
[1*] Введение в теорию случайных процессов, М., 1965.
Глазман И. М.
[1] См. Ахиезер — Глазман [1].
Гординг (G a rding L.)
[1] Dirichlet's problem for linear elliptic partial differential equations, Math.
Scand.t I A953), 55—72.
[2] Some trends and problems in linear partial differential equations, Int.
Congr. of Math. 1958, Edinburgh, 87—102.
Гофман (Hoffman K.)
[1] Банаховы пространства аналитических функций, ИЛ, М., 1963.
Гротендик (Grothendieck A.)
[1] Espaces vectoriels topologiques, sec. ed., Sociedade de Mat. de S3o
Paulo, 1958.
[2] Produits tensoriels topologiques et espaces nuckeaires, Memoirs of
Amer. Math. Soc, № 16 A955).
Данфорд (DunfordN.)
[1] (совм. со Шварцем (Schwartz J.) Линейные операторы, Общая
теория, ИЛ, М., 1962.
[2] Uniformity in linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 44 A938),
305-356.
[3] On one parameter groups ot lfnear transformations. Ann, of Math., db
A938), 569-573.
600 Библиография
[4] (совм. со Шварцем (Schwartz J.)) Convergence almost every-
everywhere of operator averages, /. Rat. Mech. Anal., 5 A956), 129—178.
[5] (совм. со Шварцем (Schwartz J.)) Линейные операторы.
Спектральная теория, изд-во «Мир», М., 1966.
[6] (совм. со Шварцем (SchwartzJ.)) Linear operators, v. 3, Inter-
science (в печати).
Джекобе (Jacobs К.)
[1] Neuere Methoden und Ergebnisse der Ergodentheorie, Springer, 1960.
Джон (John F.)
[7] Плоские водны и сферические средние в применении к дифференциаль-
ным уравнениям с частными производными, ИЛ, М., 1958.
Дуб (Doob J. L.)
{1] Stochastic processes with an integral-valued parameter. Trans Amer.
Math. Soc, 44 A938), 87—150.
B] Probability theory and the first boundary value problem, ///. /. Math.,
2 A958), 13—36.
[3] Probability methods applied to the first boundary value problem, Proc.
Third Berkley Symp. on Math. Statist, and Prob. II A956), 49—80.
[4*] Вероятностные процессы, ИЛ, М., 1956.
Дьёдонне (Dieudonne J.)
[1] Recent advances in the theory of locally convex vector spaces, Bull.
Amer. Math. Soc, 59 A953), 495—512.
Дынкин Е. Б.
[1] Марковские процессы и полугруппы операторов, Теория вероятн. и ее
применения, 1 A956), 25—37.
[2] Инфинитезимальные операторы марковских процессов, Теория вероящ
и ее применения, 1 A956), 38—60.
[3*] Марковские процессы, М„ 1963.
Дэй (Day М. М.)
[1*] Нормированные линейные пространства, ИЛ, М., 1961.
Иосида (Yosida К)
[1] Lectures on differential and integral equations, Interscience, 1960.
[2] Vector lattices and additive set functions, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 16
A940), 228—232.
[3] Mean ergodic theorem in Banach spaces, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 14
A938), 292—294.
[4] Ergodic theorems for pseudo-resolvents, Proc. Japan Acad., 37 A961),
422—425.
[5] On the differentiability and the representation of one-parameter semi-
semigroups of linear operators, /. Math. Soc. Japan, 1 A948), 15—21.
[6] Holomorphic semi-groups in a locally convex linear topological space,
Osaka Math. J., 15 A963), 51—57.
[7] (совм. с Какутани (Kakutani S.)) Operator-theoretical treat-
treatment of Markoff process and mean ergodic theorems, Ann. of Math., 42
A941), 188—228.
[8] Fractional powers of infinitesimal generators and the analyticity of the
semi-groups generated by them, Proc. Japan Acad., 36 A960), 86—89
Библиография 601
<[9] Quasi-completely continuous linear functional operators, Jap. J. Math»,
15 A939), 297—301.
{10] (совм. сМимура (MimuraY.) иКакутани (KakutaniS.))
Integral operators with bounded measurable kernel, Proc. Imp. Acad.
Tokyo, 14 A938), 359—362.
[11] On the group embedded in the metrical complete ring, Jap. J. Math.,
13 A936), 7—26.
[12] Normed rings and spectral theorems, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 19
A943), 356—359.
[13] On the unitary equivalence in general euclid spaces, Proc. Japan Acad.,
22 A946), 242—245.
[14] On the duality theorem oi non-commutative compact groups, Proc. Imp.
Acad. Tokyo, 19 A943), 181—183.
[15] An abstract treatment of the individual ergodic theorems, Proc. Imp.
Acad. Tokyo, 16 A940), 280—284.
[16] (сов. с Фукамия (Fukamiya M.)) On vector lattice with a unit,
II, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 18 A941), 479—482.
[17] Markoff process with a stable distribution, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 16
A940), 43—48.
A8] Ergodic theorems of Birkhoff — Khintchine's type, Jap. J. Math., 17
A940), 31—36.
[19] Simple Markoff process with a locally compact phase space, Math. Ja-
ponicae, 1 A948), 99—103.
[20] Brownian motion in a homogeneous Riemannian space, Pacific J. Math.,
2 A952), 263—270.
[21] An abstract analyticity in time for solutions of a diffusion equation,
Proc. Japan Acad., 35 A959), 109—113.
[22] An operator-theoretical integration of the wave equation, /. Math. Soc.
Japan, 8 A956), 79—92.
[23] Semi-group theory and the integration problem of diffusion equations,
Internat. Congress of Math. 1954, Amsterdam, v. 3. (Русский перевод:
сборник «Международный математический конгресс в Амстердаме»,
Физматгиз, М., 1961.)
[24] On the integration of diffusion equations in Riemannian spaces, Proc.
Amer. Math. Soc, 3, 6 A952).
B5] On the fundamental solution of the parabolic equations in a Rieman-
Riemannian space. Proc. Amer. Math. Soc, 3 A952).
[26] An extension of Fokker — Plank's equation, Proc. Japan Acad., 25
A949), 1—3.
[27] Brownian motion on the surface of 3-sphere, Ann. of Math. Statist.,
20 A949), 292—296.
[28] On the integration of the equation of evolution, /. Fac. Sci. Univ. To-
Tokyo, Sect. 1, 9, part 5 A963), 397—402.
[29] An operator-theoretical treatment of temporally homogeneous Markoff
processes, /. Math. Soc. Japan, 1 A949), 244—253.
И т о K. (I t б К.)
[1] (совм. с Мак-Кином (McKean H. P.)), Diffusion processes and their
sample paths, Springer, 1965 (готовится русский перевод).
[2*] Вероятностные процессы, ИЛ, М., вып. 1, 1960, вып. 2, 1963.
И то С. (ltd S.)
[1] The fundamental solutions of the parabolic differential equations in
differentiable manifold, Osaka Math., J., 5 A953), 75—92.
[2] (совм. с Ямабе (Yamabe H.)) A unique continuation theorem for
solutions of a parabolic differential equation, /. Math. Soc Japan, 10
A958), 314—321,
602 Библиография
Какутани (Kakutani S.)
[1] Iteration of linear operations in complex Banach spaces, Proc. Imp.
Acad. Tokyo, 14 A938), 295—300.
[21 См. Иосида — Мимура- Какутани [10].
[3j Weak topology and regularity of Banach spaces, Proc. Imp. Acad. To-
Tokyo, 15 A939), 169—173.
[4] Concrete representation of abstract (M) -spaces, Ann. of Math., 42
A941), 994—1024.
Con
[5] Concrete representation of abstract (L) -spaces and the mean ergodic
theorem, Ann. of Math., 42 A941), 523—537.
[6] Ergodic theorems and the Markoff processes with a stable distribu-
distribution, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 16 A940), 49—54.
17] См. Иосида—Какутани [7].
8] Ergodic theory, Proc. Internat. Congress of Math., 1950, Cambridge,
v. 2, 128-142.
Канторович Л. В.
[1] (совм. с Акиловым Г. П.) Функциональный анализ в нормирован-
нормированных пространствах, Физматгиз, М., 1959.
[2*] (совм. с Вулихом Б. 3., Пинскером А. Г.) Функциональный
анализ в полуупорядоченных пространствах, Гостехиздат, 1950.
Като (Kato Т.)
[1] Remarks on pseudo-resolvents and infinitesimal generators of semi-
semigroups, Proc. Japan Acad., 35 A959), 467—468.
[2] Note on fractional powers of linear operators, Proc. Japan Acad., 36
A960), 94-96.
[3] Integration of the equation of evolution in a Banach space, /. Math.
Soc. of Japan, 5 A953), 208—234. (Русский перевод: сб. Математика,
2:4 A958), 117—135.)
[4] On linear differential equations in Banach spaces, Comm. Pure and
AppL Math., 9 A956), 479—486.
[5] Fractional powers of dissipative operators, /. Math. Soc. of Japan, 13
A961), 246—274; II, ibid., 14 A962), 242—248.
Abstrac
[6] Abstract evolution equations of parabolic type in Banach and Hilbert
spaces, Nagoya Math. J., 19 A961), 93—125.
[7] Fundamental properties of Hamiltoman operators of Schrddinger type,
Trans. Amer. Math. Soc, 70 A950), 195—211.
[8] (совм. с Танабе (Tanabe H.)) On the abstract evolution equa-
equation, Osaka Math. J., 14 A962), 107-133.
Келли (Kelley J. L.)
[1] General topology, van Nostrand, 1955.
[2] Note on a theorem of Krein and Milman, /. Osaka Inst. Sci. Tech.,
Part 1,3 A951), 1—2.
К е л л о г (К е 11 о g О. D.)
[1] Foundations of potential theory, Springer, 1929.
Кёте (Kothe G.)
[1] Topologische lineare Raume, B. I, Springer, 1960
Кисынский (Kisynski J.)
[1] Sur les operateurs de Green des problemes de Cauchy abstraits, Stud
Math.,2b A964), 285—328.
Библиография 803
Кларксон (Clarkson J. A.)
(I] Uniformly convex spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 40 A936), 396—414.
Кода ир а (К о d a i га К)
A} The eigenvalue problem for ordinary differential equations of the se-
second order and Heisenberg's theory of S-matrices, Amet. J. of Math., 71
A949), 921-945.
Колмогоров А. Н.
[1] Об аналитических методах в теории вероятностей, УАДО, 5 A938),
5—41.
[2*1 (совм. с Фоминым С. В.) Элементы теории функций и функцио-
функционального анализа, Изд. МГУ, вып. 1, 1954; вып. 2, 1960.
Коматсу (KomatsuH.)
[1] Abstract analyticity in time and unique continuation property of solu-
solutions of a parabolic equation, /. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1, 9,
Part 1 A961), 1—11.
[2] A characterization, of real analytic functions, Proc. Japan Acad., 36
A960), 90-93.
[3] A proof of Kotake — Narasimhan's theorem, Proc. Japan Acad., 38
A962), 615—618.
[4] Semi-groups of operators in locally convex spaces (в печати).
Котаке (Kotake Т.)
[1] Sur 1'analyticite de la solution du probleme de Cauchy pour certains
classes d'operateurs paraboliques, С R. Acad. Sci. Paris, 252 A961),
3716-3718.
[2] (совм. с Нарасицханом (Narasimhan M. S.)) Suf la гё-
gularite de certains noyaux associes a un operateur elliptique, C. R.
Acad. Sci. Paris, 252 A961), 1549—1550.
Красносельский М. A.
[1*] Положительные решения операторных уравнений, Физматгиз, М.,
1962.
[2*] Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений,
Гостехиздат, 1956.
К р е й н М. Г.
[1] (совм. с Мильманом Д. П.) On extreme points of regularly convex
sets, Studia Math., 9 A940), 133—138.
[2] (совм. с К р е й н о м С. Г.) Об одной внутренней характеристике про-
пространства всех непрерывных функций, определенных на хаусдорфовом
бикомпактном множестве, ДАН СССР, 27, Ня 5 A940), 427—431.
[3*1 Про позитивш аддитивш функцюнали в лшшних нормированих про-
просторах, Зап. Харьковск. мат. общ., D), 14 A937), 227—237.
[4*] О линейных операторах, оставляющих инвариантным некоторое ко-
коническое множество, ДАН СССР, 23 A937), 749—752.
К р е й н С. Г.
[1] См. КрейнМ. Г. — КрейнС. Г. [2].
Крылов Н. М.
[1] (совм. с Боголюбовым Н. Н.) La theorie generate de la mesure
dans son application a l'etude des systemes de la mecanique non line-
aires, Ann. of Math., 38 A937), 65—113.
604 Библиография
К у р о ш А. Г.
[1*] Лекции по современной алгебре, Физматгиз, М., 1962.
Ладыженская О. А.
[1] (совм. с Вишиком М. И.) Краевые задачи для уравнений в част-
частных производных и некоторых классов операторных уравнений, УМН,
11:6 G2) A956), 41—97.
Лаке (Lax P. D.)
[1] (совм. с Мильграмом (Milgram A. N.)) Parabolic equations,
in Contributions to the theory of partial differential equations, Prince-
Princeton, 1954.
[2] On Cauchy's problem for hyperbolic equations and the differentiabi-
differentiability of solutions of elliptic equations, Comm. Pure and Appl. Math., 8
A955), 615—633. (Русский перевод: сб. Математика, 1 : 1 A957),
43—59.)
[3] (совм. сФиллипсом (Phillips R. S.)) Local boundary conditions
for dissipative system of linear partial differential operators, Comm.
Pure and Appl Math., 13 A960), 427—455.
Л ев и (Lewy H.)
[1] An example of a smooth linear partial differential equation without so-
solutions, Ann. of Math., 66 A957), 155—158.
Левитан Б. М.
[1*] Почти-периодические функции, М., 1953.
Л ере (Leray J.)
[1] Hyperbolic differential equations, Princeton, 1952.
Лионе (L i о n s J. L.)
[1] Une remarque sur les applications du theoreme de Hille — Yosida,
/. Math. Soc. Japan, Я A957), 62—70.
Г2] Equations differentielles operationnelles, Springer, 1961.
[3J Espaces d'interpolation et domaines de puissance fractionaires d'opera-
teurs, /. Math. Soc. Japan, 14 A962), 233—241.
[4] Les semi-groups distributions, Portugaliae Math., 19 A960), 141—164.
Лоэв (Loeve M.)
[1*] Теория вероятностей, ИЛ, М., 1962.
Л ю м ер (Lu mer G.)
[1] Semi-inner product spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 100 A961), 29—43.
[2] (совм. с Филлипсом (Phillips R. S.)) Dissipative operators
in a Banach space, Pacific /. Math., 11 A961), 679—698.
Люстерник Л. А., Соболев В. И.
[1*] Элементы функционального анализа, «Наука», М., 1965.
Маак (Maak W.))
[1] Fastperiodische Funktionen, Springer, 1950.
М а з у р (М a z u r S.)
[1] Sur les anneaux lineaires, C. R. Acad. Sci. Paris, 207 A936), 1025—1027.
[2] Uber konvexe Mengen in linearen normierten Raumen, Stud. Math., 5
A933), 70—84.
Библиография 605
Мак-Кин (McKean H.)
[1] См. Ито К. —Мак-Кин [1].
Мальгранж (Malgrange В.)
[1] Existence et approximation des solutions des equations aux derivees
partielles et des equations de convolution, Ann. Inst. Fourier, 6 A955—
1956), 271—355.
[2] Sur une classe d'operateurs differentiates hypoelliptiques, Bull. Soc.
Math. France, 58 A957), 283—306.
Маруяма (MaruyamaG.)
A] On strong Markoff property, Mem. Kyushu Univ., 13 A959).
M e й е р (Meyer P. A.)
[1] Seminaire de theorie du potentiel, sous la direction de M. Brelot —
G. Choquet —J. Deny, Faculte des Science de Paris, 1960—1961.
[2] См. Ш о к е — M e й е р [2].
Мизохата (Mizohata S.)
[1] Hypoellipticite des equations paraboliques, Bull. Soc. Math. France,
85 A957), 15—50.
[2] Analyticite des solutions elementaires des systemes hyperboliques ct
paraboiiques, Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto, 32 A959), 181—212.
[3] Unicite du prolongenient des solutions pour quelques operateurs diffe-
rentiels paraboliques, Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto, Ser. A, 31 A958),
219—239.
D] Les probleme de Cauchy pour les equations paraboliques, /. Math. Soc.
Japan, 8 A956), 269—299.
[5] Systemes hyperboliques, /. Math. Soc. Japan, 11 A959), 205—233.
Минусинский (Mikusinski J.)
[1] Operational Calculus, Pergamon, 1959. (Русский перевод первого изда-
издания: Операторное исчисление, ИЛ, М., 1956.)
Мильграм (MilgramA. N.)
[1] См. Л акс — Мильграм [1].
Мильман Д. П.
[1] О некоторых признаках регулярности пространств типа (В), ДАН
СССР, 20 A938), 243—246.
[2] См. Крейн М. Г. —Мильман [1].
М и м у р а (М i m u r a Y.J!
[1] См. Иосида — Мимура—-Какутани [10].
[2] Ober Funktionen von Funktionaloperatoren in einem Hilbertschen Raum,
Jap. J. Math., 13 A936), 119—128.
Ми н л ос Р. А.
[1] Обобщенные случайные процессы и их продолжение до меры,
Тр. Московского матем. общ., 8 A959), 497—518.
Миядера (Miyadera I.)
[1] Generation of a strongly continuous semi-group of operators, Tohoku
Math. J.t 4 A952), 109—121.
606 Библиография
Морри (Mo г re у С. В.)
[1] (совм. с Ниренбергом (Nirenberg L.)) On the analyticity of
the solutions of linear elliptic systems of partial differential equations,
Comm. Pure and Appl. Math., 10 A957), 271—290.
Нагумо (Nagumo M.)
[1] Einige analytische Untersuchungen in linearen metrischen Ringen, Jap.
J. Math., 13 A936), 61-80.
B] Re-topologization of functional spaces in order that a set of operators
will be continuous, Proc. Jap. Acad., 37 A961), 550—552.
Надь (Nagy В. von Sz.)
[1] Spektraldarstellung linearer Transformationen des Hilbertschen Raumes,
Springer, 1942.
[21 См. Рисе—Надь [3].
[3] Prolongements des transformations de l'espace de Hilbert qui sortent
de set espace, Acad. Kjado, Budapest, 1955.
Наймарк М. A.
Г1] Нормированные кольца, Гостехиздат, М., 1956.
Щ Линейные дифференциальные операторы, Гостехиздат, М., 1954.
[3] О спектральных функциях симметрического оператора, ИАН СССР,
сер. матем., 17 A943), 285—296.
Накано (Nakano H.)
[1] Unitarinvariante hypermaximale normale Operatoren, Ann. of Math.,
42 A941), 657—664.
Нарасимхан (Narasimhan M. S.)
[1] См. Котаке — Нарасимхан [2].
Нейман (Neumann J. von)
[I] Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren, Math.
Ann., 102 A929—1930), 49—131.
[2] On rings of operators, III, Ann. of Math., 41 A940), 94—161.
[31 Zur Operatorenmethode in der klassischen Mechanik, Ann. of Math., 33
A932), 587—643.
[4] Almost periodic functions in a group, I, Trans. Amer. Math. Soc, 36
A934), 445—492.
[5] Uber adjungierte Funktionaloperatoren, Ann. of Math., 33 A932),
249—310.
[6] Uber die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transforma-
Transformationen und ihrer Darstellungen, Math. Z., 30 A929), 3—42.
[7] Zur Algebra der Funktionaloperatoren und Theorie der normalen Ope-
Operatoren, Math. Ann., 102 A929—1930), 370—427.
[8] Ober einen Satz von Herrn M. H. Stone, Ann. of Math., 33 A932),
567—573.
Нельсон (Nelson E.)
[1] Analytic vectors, Ann. of Math., 60 A959), 572—615.
[2] Feynmah integrals and the Schrodinger equations, /. of Math. Physics,
5 A964), 332—343.
Ниренберг (Nirenberg L.)
[II Remarks.on strongly elliptic partial differential equations, Comm. Pure
and Appl. Math., 8 A955), 643—674.
Библиография 607
[2] On elliptic partial differential equations, Ann, Scuola Norm. Sup. Pisa,
13 A959), 115—162.
С M Н
(),
[3] См. M о р р и — Ниренберг [1].
[4] См. Агмон-—Ниренберг [1].
Орнстейн (Ornstein D. S.)
[1] См. Чакон — Орнстейн [1].
Петер (Peter F.))
[1] (совм. с Вейлем Г. (Weyl H.)) Die Vollstandigkeit der primitiven
Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe, Math. Ann.,
97 A927), 737—755.
Петре (Pee t re J.)
[1] A proof of the hypoellipticity of formally hypoelliptic differential
operators, Comm. Pure and Appl. Math., 16 A961), 737—747.
Петровский И. Г.
[1] Sur l'analyticite des solutions des systemes d'equations differentielles,
Матем. сб., 5 D7), A939), 3—70.
Петтис (Pettis В. J.)
[1] On integration in vector spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 44 A938),
277—304.
П и т т (P i 11 H. R.)
[1] Tauberian theorems, Tata Inst. of Fund. Research, 1958.
Плеснер А. И.
[1*] Спектральная теория линейных операторов, Физматгиз, М., 1965.
Понтрягин Л. С.
[1] Непрерывные группы, М., 1954.
Пэли (Paley R. Е. А. С.)
[1] (совм. с Винером (Wiener N.)) Преобразование Фурье в ком-
комплексной области, Физматгиз, М., 1964.
Радо (Rado Т.)
[1] Subharmonic functions, Springer, 1937.
Р а й к о в Д. А.
[11 См. Гельфанд—Райков [4].
[2] См. Гельфанд — Райков — Шилов [5].
Риккарт (Rick art С. Е.)
[1] General theory of Banach algebras, van Nostrand, I960*
Рисе (Riesz F.)
[1] Zur Theorie des Hilbertschen Raumes, Acta Sci Math. Szeged, 7 A934),
34—38.
[2] Uber lineare Funktionalgleichungen, Acta Math.t 41 A918), 71—98.
(Русский перевод: УМН, 1 A936), 176—199.)
[3] (совм. с Надем (Nagy В. von Sz.V) Лекции по функциональному
анализу, ИЛ, М., 1954.
608 Библиография
[4] Some mean ergodic theorems, /. London Math. Soc, 13 A938),
274—278.
[5] Sur les fonctions des transformations hermitiennes dans l'espace de
Hilbert, Ada Sci. Math. Szeged, 7 A935), 147-159.
[6] Sur la decomposition des operations lineaires, Proc. Internat. Congress
of Math. 1928, Bologna, v. Ill, 143—148.
P ы л л ь-Н ардзевский (Ryll-NardzewskiC.)
[1] См. Минусинский [1].
Рэй (Ray D.)
[1] Resolvents, transition functions and strongly Markovian processes,
Ann. of Math., 70 A959), 43—72.
Сакс (Saks S.)
[1] Теория интеграла, ИЛ, М., 1949.
[2] Addition to the note on some functionals, Trans. Amer. Math. Soc, 35
A933), 967—974.
Cere (SzegoG.)
[1] Ортогональные многочлены, Физматгиз, М., 1962.
Сигал (Segal I. E.)
[1] The span of the translations of a function in a Lebesgue space, Proc,
Nat Acad. Sci. USA, 30 A944), 165—169.
Смирнов В. И.
[1*] Курс высшей математики, т. 5, Физматгиз, М., 1959.
Смит (Smith Р. А.)
[1] См. Биркгоф — Смит [2].
Соболеве. Л.
[1] Об одной теореме функционального анализа, Матем. сб., 4 D6), A938),
471—498.
[2] Некоторые применения функционального анализа в математической
физике, Л., 1950.
Соболевский П. Е.
[1] Об уравнениях параболического типа в банаховых пространствах, Тр.
Моск. матем. общ., 10 A961), 297—350.
Стоун (Stone М. Н.)
[1] Linear transformations in Hilbert space and their applications to analy-
analysis, Colloq. Publ. Amer. Math. Soc, 1932.
[2] On one-parameter unitary groups in Hilbert space, Ann. of Math., 33
A932), 643—648.
Танабе (T a n a b e H.)
[1] Evolution equations of parabolic type, Proc. lapan Acad., 37 A961),
610—613.
[2] On the equations of evolution in a Banach space, Osaka Math. /., 12
A960), 365-613.
[3] A class of the equations of evolution in a Banach space, Osaka Math.
/., И A959), 121—145.
Библиография 609
[4] Remarks on the equations of evolution in a Banach space, Osaka Math.
/., 12 A960), 145—166.
[5] См. К а т о — T а н а б е [8].
Таннака (Tannaka Т.)
[1] Dualitat der nicht-kommutativen bikompakten Gruppen, Tohoku Math.
J., 53 A938), 1-12.
Тейлор (Taylor A.)
[I] Introduction to functional analysis, Wiley, 1958.
Титчмарш (Titchmarsh E. C.)
[1] Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат, 1948.
[2] Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциаль-
дифференциальными уравнениями второго порядка, ч. I, ИЛ, М., 1960; ч. II, ИЛ,
М., 1961.
Трев (Treves F.)
[1] Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоян-
постоянными коэффициентами, «Мир», М., 1965.
Т р о т т е р (Т г о 11 е г Н. F.)
[1] Approximation of semi-groups of operators, Pacific I. Math., 8 A958),
887—919.
Феллер (Feller W.)
[1] On the generation of unbounded semi-groups of bounded linear opera-
operators, Ann. of Math., 58 A953), 166—174.
[2] The parabolic differential equation and the associated semi-group of
transformations, Ann. of Math., 55 A952), 468—519. (Русский перевод:
сб. Математика, 2 : 2 A958), 120—153.)
[3] On the intrinsic form for second order differential operators, ///. /.
Math., 2, 1 A958), 1—18.
[4] Generalized second order differential operators and their lateral con-
conditions, ///. /. Math., 1, 4 A957), 459—504.
[5] Some new connections between probability and classical analysis, Proc.
Internat. Congress of Math. 1958, Edinburgh, 69—86.
[6] On differential operators and boundary conditions, Comm. Pure and
A pp. Math., 8 A955), 203—216.
[7] Boundaries induced by non-negative matrices, Trans. Amer. Math. Soc,
83 A956), 19—54.
[8] On boundaries and lateral conditions for the Kolmogoroff differential
equations, Ann. of Math., 65 A957), 527—570,
[9*] Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1, «Мир», М.,
1964.
Ф и л л и п с (Phillips R. S.)
[11 См. Хилле — Филлипс [1].
[2] The adjoint semi-group, Pacific J. Math., 5 A955), 269—283.
[3] An inversion formula for Laplace transform and semi-groups of linear
operators, Ann. of Math., 59 A954), 325—356.
!41 См. Люмер — Филлипс [2].
5] On the generation of semi-groups of linear operators, Pacific J. Math.,
2 A952), 343—369.
[6] On the integration of the diffusion equation with boundaries, Trans.
Amer. Math. Soc, 98 A961), 62—84.
39 К. Иосида
610 Библиография
[7] Dissipative operators and parabolic partial differential operators, Cotnm.
Pure and Appl. Math., 12 A959), 249—276.
[8] Dissipative hyperbolic systems, Trans. Amer. Math. Soc, 86 A957),
109—173.
{9] Dissipative operators and hyperbolic systems of partial differential
equations, Trans. Amer. Math. Soc.t 90 A959), 193—254.
[10] См. Лаке — Филлипс [З].
Фойаш (Foias С.)
[1] Remarques sur les semi-groupes distributions d'operateurs normaux,
Portugaliae Math., 19 A960), 227—242.
Ф о м и н С. В.
[1*] См. Колмогоров — Фомин [2*].
Фрейденталь (Freudenthal H.)
[1] Uber die Friedrichssche Fortsetzung halbbeschrankter Hermitescher
Operatoren, Proc. Acad. Amsterdam, 39 A936), 832—833.
[2] Teilweise geordnete Modulen, Proc. Acad, Amsterdam, 39 A936),
641—651.
Фридман (Friedman A.)
[1] Generalized functions and partial differential equations, Prentice-Hall,
1963.
Фридрихе (FriedrichsK. О.)
{1] Differentiability of solutions of elliptic partial differential equations,
Comm. Pure and Appl. Math., 5 A953), 299—326.
[2] Symmetric positive systems of differential equations, Comm. Pure and
Appl. Math.t 11 A958), 333—418.
[3] Spektraltheorie halbbeschrankter Operatoren, I—HI, Math. Ann., 109
A934), 465—487, 685—713; 110 A935), 777—779.
Фукамия (Fukamiya M.)
[1] Topological methods for Tauberian theorem, Tohoku Math. /., 64 A949),
77—87.
[2] См. Иосида — Фукамия [16].
Халмош (Halmas P. R.)
Ш Теория меры, ИЛ, М., 1958.
2] Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity,
Chelsea, 1951.
Хан (H a h n H.)
[1] Uber Folgen Ifnearer Operatoren, Monatsh. fur Math, und Phys., 32
A922), 3—88.
[2] Uber lineare Gleichungssysteme in linearen Raumen, /. reine und an-
Mth 157 A927) 214229
Ш
[2]
gy
gew. Math., 157 A927), 214—229.
Ube di Itte d H H
g , (),
[3] Uber die Integrate des Herrn Helllnger und die Orthogonalinvarianten
der quadratiscnen Formen von unendhch vielen Veranderlichen, Monatsh.
fur Math, und Phys., 23 A912), 161—224.
Хант (Hunt G. A.)
[1] Марковские процессы и потенциалы, ИЛ, М., 1962.
Хаусдорф (HausdorffF.)
[1] Теория множеств, Гостехиздат, М., 1937.
Библиография 611
Хелли (Helly E.)
[1] Ober Systeme linearer Gleichungen mil unendlich vielen Unbekannten,
Monatsh. fur Math, und Phys.t 31 A921), 60—91.
Хеллингер (HellingerE.)
[1] Neue Begrundung der Theorie quadratischer Formen von unendlich vie-
vielen Veranderlichen, /. reine und angew. Math., 136 A909), 210—271.
Хёрмандер (Hormander L.)
[1] К теории общих дифференциальных операторов в частных производ-
производных, ИЛ, М., 1959.
[2] Lectures on linear partial differential equations, Stanford Univ., 1960.
[3] Linear partial differential equations without solutions, Math. Ann., 140
A960), 169—173.
[4] Local and global properties of fundamental solutions, Math. Scand., 5
A957), 27-39.
[5] On the interior regularity of the solutions of partial differential equa-
equations, Comm. Pure and Appl. Math., 9 A958), 197—218.
[6] Линейные дифференциальные операторы с частными производными,
«Мир», М., 1965.
[7*] Оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига, ИЛ, М.,
1962.
Хилле (Hi lie E.)
[1] (совм. с Филлипсом (Phillips R. S.)) Функциональный анализ
и полугруппы, ИЛ, М., 1962. (Второе издание книги [2].)
[2] Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, М., 1951.
[3J On the differentiability of semi-groups of operators, Acta Sci. Math.
Szeged, 12 В A950), 19—24.
[4] On the generation of semi-groups and the theory of conjugate fun-
functions, Proc. R. Physiogr. Soc. Lund, 21 A951), 1—13.
[5] Une generalization du probleme de Cauchy, Ann. Inst. Fourier, 4 A952),
31—48.
[6] The abstract Cauchy problem and Cauchy's problem for parabolic dif-
differential equations, /. d'Analyse Math., 3 A954), 81—196.
[7] Perturbation methods in the study of Kolmogoroffs equations, Proc.
Internal Congress of Math. 1954, Amsterdam, v. HI, 365—376.
[8] Linear differential equations in Banach algebras, Proc. Internat. Sym-
Symposium on Linear Analysis, Jerusalem, 1960, 263—273.
[9] Les probabilites continues en chaine, С R. Acad. Sci., 230 A950),
34-35.
Хинчин А.Я.
[1] Zu Birkhoffs Losung des Ergodenproblems, Math. Ann., 107 A933),
485-488.
X о п ф Г. (Н о р f H.)
[1] См. Александров — Хопф [1].
Хопф Э. (Hopf E.)
П] Ergodentheorie, Springer, 1937.
[2] The general temporally discrete Markoff processes, /. Rat. Mech. and
Anal, 3 A954), 13—45.
C] On the ergodic theorem for positive linear operators, /. reine und
angew. Math., 205 A961), 101—106.
Чакон (С h а с о n R. V.)
[1] (совм. сОрнстейном (Ornstein D, S.)) A general ergodic theo-
theorem, ///. /. Math., 4 A960), 153—160.
39*
612 Библиография
Шаттен (Schatten R.)
[1] A theory of cross-spaces, Princeton, I960.
Шаудер (Schauder J.)
[1] Ober lineare, vollstetige Funktionaloperationen, Stud. Math., 2 A930),
1—6.
Шварц Д ж. (Schwartz J.)
[4
См. Данфорд — Шварц
См. Даноорд — Шварц
См. Даноорд — Шварц
См. Данфорд — Шварц
Шварц Л. (Schwartz L.)
[1] Theorie des distributions, I, II, Hermann, Paris, I960, 1951.
[2] Transformation de Laplace des distributions, Comm. Sem. Math, de
VVniv. de Lund, tome suppl. dedie a M. Riesz A952), 196—206.
[3] Lectures on mixed problems in partial differential equations and the
representation of semi-groups, Tata Inst. Fund. Research, 1958.
[4] Les equations devolution liees au produit de compositions, Ann. Inst.
Fourier, 2 A950—1951), 165—169.
[5] Expose sur les travaux de Garding, Semiriaire Bourbaki, May, 1952.
Ш и л о в Г. Е.
[11 См. Гельфанд — Шилов [1].
[2J См. Гельфанд—Райков — Шилов [5].
[3*] Математический анализ, второй специальный курс, «Наука», М., 1965.
ШмульянВ. Л.
II] Ober lineare topologische Raume, Матем. сб., 7 D9), A940), 425—448.
Шоке (Choquet G.)
[1] La theorie des representations integrales dans les ensembles convexes
compacts, Ann. Inst. Fourier, 10 A960), 334—344.
[2] (совм. с Мейером (Meyer P. A.)) Existence et unicite des repre-
representations integrales dans les convexes compacts quelconques, Ann, Inst.
Fourier, 13 A963), 139—154.
Эберлейн (Eberlein W. F.)
[1] Weak compactness in Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 33
A947), 51—53.
Эрдейи (Erdelyi A.))
[1] Operational calculus and generalized functions, Reinhart, 1961.
Эренпрейс (Ehrenpreis L.)
[1] Solutions of some problems of division, Amer. /. Math., 76 A954),
883—903.
Юшкевич A. A.
[1] О строго марковских процессах, Теория вероятн. и ее применения,
2:2 A957), 187—213.
Ямабе (YamabeH.)
Ш см. И то С, —Ямабе[2].
Именной указатель
Агмон (Agmon G.) 596
Акилов Г. П. 48, 245
Александров П. С. 39
Ароншайн (Aronszajn N.) 139
Ахиезер Н. И. 147, 289, 478, 485
Балакришнан (Balakrishnan V.) 358,
366
Банах (Banach S.) 41, 102, 103, 109,
120, 148, 161, 171, 194, 201, 206,
284, 289, 509
Бебутов М. В. 539
Бергман (Bergman S.) 139
Берс (Bers L.) 248
Биркгоф Г. (Birkhoff G.) 499, 519
Биркгоф Дж. (Birkhoff G. D.) 533,
Боголюбов Н. Н. 539
Бор (Bohr H.) 455
Бохнер (Bochner S.) 190, 192, 358,
366
Бурбаки (Bourbaki N.) 39, 41, 48, 81,
102, 120, 160, 171, 206
Ватанабе (Watanabe J.) 366
Вейль A. (Weil A.) 304, 306, 310
Вейль Г. (Weyl H.) 118, 446, 455
Веккен (Wecken F. J.) 444
Виленкин Н. Я. 388, 405
Винер (Wiener N.) 41, 232, 408, 490,
494
Вишик М. И. 581
Вулих Б. 3. 499, 519
Гельфанд И. М. 102, 186, 233, 388,
405, 407, 408, 486, 488
Гильберт (Hilbert D.) 134
Гихман И. И. 563
Глазман И. М. 147, 289, 478, 485
Гординг (Garding L.) 389, 396
Гофман (Hoffman К.) 499
Гротендик (Grothendieck A.) 102,206,
384, 401, 405
Данфорд (Dunford N.) 53, 102, 120,
136, 138, 147, 160, 171, 184, 194,
206, 289, 312, 315, 320, 447, 485,
498, 533
Джекобе (Jacobs К.) 525
Дуб (Doob J. L.) 533, 563
Дынкин Е. Б. 546, 558, 563
Дэй (Day M. М.) 102
Дюфреснуа (Dufresnoy J.) 233
Иосида (Yosida К.) 131, 138, 299,
320, 343, 357, 358, 366, 395, 396,
407, 408, 421, 442, 444, 447, 462,
509, 515, 519, 525, 528, 538, 539,
546, 552, 559, 562, 573, 579, 585,
587
Ито К. (Ио К.) 546, 558, 563
Ито С. (Ito S.) 572, 587
Йордан (Jordan P.) 64
Какутани (Kakutani S.) 22, 53, 182,
299, 396, 515, 519, 525, 533
Канторович Л. В. 48, 245, 499, 519
Като (Kato Т.) 299, 303, 347, 366,
374, 434, 580—582, 585, 595
Келли (Kelley J. L.) 39, 498
Келлог (Kellog О. D.) 395
Кете (Kothe G.) 102, 171
Кисынский (Kisynski J.) 587
Кларксон (Clarkson J. A.) 182
Кодаира (Kodaira K.) 447
Колмогоров А. Н. 378, 545
Коматсу (Komatsu H.) 376, 594, 595
Котаке (Kotake T.) 595
Крам (Crum M. M.) 233
Крейн М. Г. 22, 497—499, 515
Крейн С. Г. 515
Крылов Н. М. 539
Курош А. Г. 519
Ладыженская О. А. 581
Лаке (Lax P. D.) 134, 143, 145, 220,
248, 252, 579
614
Именной указатель
Леви (Lewy H.) 253
Левитан Б. М. 310
Лере (Leray J.) 145
Лионе (Lions J. L.) 579—581
Лоэв (Loeve M.) 563
Люмер (Lumer G.) 345, 347
Маак (Maak W.) 310
Мазур (Mazur S.) 157, 171, 173, 186
Мак-Кии (McKean H.) 546, 558
Мальгранж (Malgrange В.) 207, 255,
257, 267
Маруяма (Maruyama G.) 546
Мейер (Meyer P. А.) 499, 563
Мизохата (Mizohata S.) 573
Микусинский (Mikusinski J.) 237,
238, 242
Мильграм (Milgram A. N.) 134
Мильман Д. П. 182, 497, 498
Мимура (Mimura Y.) 171, 396, 472
Минлос Р. А. 405
Миядера (Miyadera I.) 342
Морри (Моггеу С. В.) 268
Нагумо (Nagumo M.) 319, 407
Надь (Nagy В. Sz.) 147, 472, 475,
485
Наймарк М. А. 408, 447, 463, 482, 494
Накано (Nakano H.) 444
Нарасимхан (Narasimhan M. S.) 595
Нейман (Neumann J. von) 64, 134,
277, 281, 299, 303, 308, 407, 434,
436, 455, 472, 473, 478, 533
Нейман К. (Neumann С.) 105
Нельсон (Nelson E.) 596
Ниренберг (Nirenberg L.) 248, 268,
596
Орнстейн (Ornstein D. S.) 529, 533
Петер (Peter F.) 455
Петре (Peetre J.) 268
Петровский И. Г. 268
Петтис (Pettis В. J.) 187
Питт (Pitt H. R.) 494
Плеснер А. И. 53, 319
Понтрягин Л. С. 463
Пэли (Paley E. R. А. С.) 232
Радо (Rado Т.) 562
Райков Д. А. 408, 486, 488
Риккарт (Rickart С. Е.) 408, 494
Рисе (Riesz F.) 124, 134, 147, 299,
378, 391, 472, 499, 519
Рылль-Нардзевский (Ryll-Nardzew-
ski С.) 233
Рэй (Ray D.) 546
Сакс (Saks S.) 39
Cere (Szego G.) 131
Сигал (Segal I.) 494
Скороход А. В. 563
Смит (Smith P. А.) 536
Соболев С. Л. 41, 85, 117, 207, 245
Соболевский П. Е. 594
Стоун (Stone M. Н.) 147, 289, 320,
350, 444, 447, 473, 478
Танабе (Tanabe H.) 589, 594, 595
Таннака (Tannaka Т.) 362, 461
Тейлор (Taylor A.) 319
Титчмарш (Titchmarsh E. С.) 233,
447
Трев (Treve F.) 268
Троттер (Trotter H. F.) 374
Феллер (Feller W.) 343, 546, 556—
558 563
Филлипс (Phillips R. S.) 102, 120,
194, 201, 299, 310, 311, 319, 320,
343, 345, 357, 358, 366, 376, 407,
559, 573, 579
Фрейденталь (Freudenthal H.) 347,
499, 519
Фреше (Frechet M.) 64, 378
Фридман (Friedmann A.) 233, 265
Фридрихе (Friedrichs К.) 248, 347,
579
Фукамия (Fukamiya M.) 494, 515
Халмош (Haltnos P. R.) 39, 138, 171,
444, 560
Хан (Hahn H.) 148
Хант (Hunt G. А.) 548, 563
Хаусдорф (Hausdorf F.) 112
Хевисайд (Heaviside О.) 237
Хелли (Helly E.) 158
Хеллингер (Hellinger E.) 444
Хёрмандер (Hormander L.) 102, 117,
118, 207, 223, 228, 233, 253, 255,
261, 263—265, 267, 268
Хилле (Hille E.) 102, 120, 194, 201,
299, 321, 343, 352, 357, 407, 546, 556,
559
Именной указатель
615
Хинчин А. Я. 533
Хопф Г. (Hopf H.) 39, 538
Хопф Э. (Hopf E.) 473, 474, 525, 528,
533
Шилов Г. Е. 102, 233, 408, 486
Шмидт (Schmidt E.) 130
Шмульян В. Л. 201, 206
Шоке (Choquet G.) 499
Чакон (Chacon R. V.) 529, 533
Шаттен (Schatten R.) 388
Шаудер (Schauder J.) 378, 390
Шварц Дж. (Schwartz J.) 53, 102,
120, 136, 138, 147, 160, 171, 194,206,
289, 315, 447, 485, 498, 533
Шварц Л. (Schwartz L.) 41, 102, 145,
207, 220, 227, 232, 233, 343
Эберлейн (Eberlein W. F.) 201, 206
Эрдейи (Erdelyi A.) 242
Эренпрейс (Ehrenpreis L.) 207, 255
Юшкевич А. А. 546
Ямабе (Yamabe H.) 573
Предметный указатель
Абсолютно непрерывная функция 32
Аксиома отделимости полунорм 43
Хаусдорфа 12
Алгебра 406
а-алгебра 28
Асимптотическая сходимость 63
База открытых множеств 92
Базис линейного пространства 37
Банахова алгебра (В-алгебра) 406
Банахово пространство (В-простран-
ство) 81
Бикомпактная топологическая группа
456
Бикомпактное множество 14
Борелевские подмножества 34
Борнологическое пространство 71
Бочечное пространство 196
Бочка 196
Булева алгебра 502
Быстро убывающие функции 207
Бэровские подмножества 33
— функции 34
Векторная структура 500
Верхний предел последовательности
множеств 61
Вещественный оператор 436
Внутренность множества 25
Воспроизводящее ядро 139
Вполне непрерывный оператор 378,
382
— ограниченное множество 26
В существенном самосопряженный
оператор 434, 480
Выпуклая оболочка 48
Выпуклое множество 42
Гельфандовское представление 411
Гильбертово пространство 81
Гипотеза перемешивания 537
Гипоэллиптический оператор 118
График линейного оператора 114
Группа 303
Групповое кольцо 486
Диссипативный марковский процесс
541
— оператор 289, 345
Задача Дирихле 396
Замкнутое множество 12
— расширение 115
Замкнутый линейный оператор 114
Замыкание 12
Идеал 408
Измеримая функция (множество) 29
Изометрический оператор 280
Изометрическое отображение 163
Инвариантная подгруппа 304
Индекс дефекта 478
Индивидуальная эргодическая теоре-
теорема 533
Индуктивный предел 48
Интеграл Бохнера 189
— Лебега 35
— Пуассона 231
— Радона 170
Интегральный оператор Гильберта —
Шмидта 382
m-интегрируемая функция 31
Инфинитезимальный производящий
оператор 327
Квазинормированное линейное про-
пространство 52
Класс Харди —Лебега 67, 229
Компактное множество 180
Коэффициенты Фурье 127
Крайняя точка (подмножество) 497
Кратность собственного значения 291
— спектра 443, 444
Лемма Вейля 118
— Лебега — Фату 32
— Соболева 242
— Цорна 11
Линейное отображение (оператор,
функционал) 37
— пространство 36
— топологическое пространство 44
Линейно независимые векторы 36
— упорядоченное множество 11
Предметный указатель
617
Локально бикомпактное пространство
15
— выпуклое пространство 45
— интегрируемая функция 75
— конечное открытое покрытие 90
Максимальный идеал 408
— симметрический оператор 476
— элемент 11
Марковский процесс 521
с инвариантной мерой 522
Медленно возрастающая мера (функ-
(функция) 213
— растущая обобщенная функция
212
Мера 29
— Бореля 34
— Бэра 34
— Лебега 35
Метрическое пространство 12
Множество меры нуль 35
— первой (второй) категории 23
(/^-множество 34
Направленное множество 150
Неплотное подмножество 23
Непрерывное отображение 13
Непрерывный спектр 290
— унитарный характер 487
Неприводимое представление 454
Неравенство Бесселя 127
— Гёльдера 56
— Гординга 245
— Минковского 55
— треугольника 51
— Шварца 65
Нетривиальный идеал 408
Нижний предел последовательности
множеств 61
Норма вектора 51
— оператора 70
Нормальное пространство 17
Нормальный оператор 281
Нормированное кольцо 407
Нормированное поле 185
— пространство 51
— факторпространство 91
Носитель обобщенной функции 94
— функции 45
Нуль-подпространство оператора 37
Область определения (значений) опе-
оператора 37
Обобщенная мера 59
Обобщенная последовательность 150
— производная 77
— функция 74
Обобщенное решение 247
— спектральное разложение 483
Обобщенный нильпотентный элемент
413
Обратное преобразование Фурье 208,
216
Обратный оператор 37
Ограниченное подмножество линей-
линейного топологического пространства
Ограниченность функционала 134
Ограниченный линейный оператор 70
Одноточечное бикомпактное расши-
расширение 15
Окрестность 12
Операторное исчисление Данфорда
312
Микусинского 237
Оператор с конечным следом 338
Ортогональный вектор (дополнение,
проекция) 121
Ортонормированная система (семей-
(семейство, базис) 126
Остаточный спектр 291
Открытое множество 12
Относительная топология 12
Относительно бикомпактное подмно-
подмножество 15
— компактное множество 180
Отрицательная норма 142, 219
Параболический оператор 261
Перестановочное соотношение 70
Плотное подмножество 23
Поглощающее множество 42
Полная вариация функции 59, 62, 170
Полное линейное топологическое про-
пространство 152
— метрическое пространство 23
Положительность функционала 134
Положительный оператор 436
Полугруппа класса (Со) 321
Полугрупповое свойство 320
Пол>норма 41
Полуограниченный оператор 436
Полупростое кольцо 412
Полу рефлексивность 199
Полускалярное произведение 345
Полуторалинейность функционала
134
Поляра 194
618
Предметный указатель
Пополнение пространства 86
Порождающее подпространство опе-
оператора 443
Потенциал 561
Почти-периодическая функция 455
Предгильбертово пространство 64
Предельная точка 12
Преобразование Кэли 280, 281
— Лапласа 229
— Фурье 208, 214, 217
— Фурье — Лапласа 226
Приводимое представление 454
Принцип Рэлея 442
Проблема моментов 155
Проектор 121
Произведение мер 33
— множеств 12, 15
— операторов 70
Производная Радона — Никодима 136
Простая функция 33
Простой спектр 443
Пространства Соболева 84
Пространство мер 58
— с мерой 29
— Фреше (F-пространство) 81
Прямое произведение обобщенных
функций 100
Псевдорезольвента 299
Равенство Парсеваля 127, 210
Равномерная операторная топология
160
Равномерно выпуклое пространство
182
— ограниченные функции 125
Равностепенно непрерывная группа
класса (Со) 347
полугруппа класса (Со) 314
— непрерывное семейство операторов
296
— непрерывные функции 125
Радикал 412
Разбиение единицы 92
Разложение единицы 426
— Жордана 60
— Фурье 129
— Хана 60
Разностный оператор 337
Расширение оператора 38
Регулярная обобщенная функция 75
Регулярное пространство 18
Резольвента 290
Резольвентное множество 290
— уравнение 293
Рефлексивность 133, 163, 199
Ряд Неймана 105
Самосопряженный оператор 274
Свертка 211, 220, 224
Секвенциально компактное множе-
множество 180
— полное пространство 152
— слабо полное пространство 172
Сепарабельное пространство 190
Сеиарабельнозначная функция 187
Сжимающая полугруппа класса (Со)
322
Сильная измеримость 187
— операторная топология 160
— сходимость 52, 54
— топология 160
Сильно эллиптический оператор 245,
261
Сильный предел 104
Симметрическая разность 35
Симметрический оператор 274
Скалярное произведение 66
Слабая измеримость 187
— сходимость 172
— топология 161
Слабая * сходимость 179
— топология 160
Слабо голоморфное отображение 183
Следовая норма 388
Собственный вектор (значение, под-
подпространство) 291
Сопряженное пространство 133
Сопряженный дифференциальный
оператор 119
— оператор 269, 272
Спектр 290, 413
Спектральное разложение нормально-
нормального оператора 422
самосопряженного оператора
431
унитарного оператора 422
Спектральный радиус 295
Статистическая эргодическая теорема
297, 532
фон Неймана 298
Структура 11
Сужение оператора 38
Существенно ограниченная функция
57
Сходимость в среднем 57
— по мере 63
Тауберова теорема Винера 490
Теорема Ароншайна — Бергмана 139
— Асколи — Ариела 125
— Банаха о замкнутом графике 116
об открытости отображения 112
Предметный указатель
619
Теорема Бохнера 473
— Бэра 24, 25
— Бэра — Хаусдорфа 24
— Вейерштрасса 109
об аппроксимации непрерыв-
непрерывных периодических функций триго-
тригонометрическими полиномами 22
функций полиномами
19
— Винера 416
— Витали — Хана —Сакса 106
— Гельфанда — Мазура 186
— Гильберта — Шмидта 448
— Данфорда 184
— двойственности Таннака 460
— Егорова 30
— Крейна — Мильмана 497
— Крылова — Вайнштейна 441
— Лакса — Мильграма 134
— Лебега — (Радона) — Никодима
136
— Лерха 234
— Мильмана 182
— о пополнении 86
представлении для полугрупп
343
равномерной ограниченности
103
разбиении единицы 93
резонансе 104
сгущении особенностей 110
— Парсеваля 218
— Петера — Вейля — Неймана 454
— Планшереля 216
— Пэли —Винера 226, 227, 229
— Радона — Никодима 515
— Реллиха — Гординга 389
— Рисса о представлении линейного
функционала 132
— Стоуна 350, 472
— Стоуна — Вейерштрасса 20
— Титчмарша 233
— Тихонова 16
— Троттера — Като 370
— Урысона 18
— Филлипса 374
— Фридрихса 248, 347
— Фубини — Тонелли 33
— Хана —Банаха 148, 153, 154
— Хёрмандера 118, 264
о сравнении операторов 1Г7
— Хилле —Иосида 343
— Шаудера 390
— Шмидта об ортогонализации 130
— Эберлейна — Шмульяна 201
Теория Рисса — Шаудера 392
Тихоновское произведение 16
Топологическая группа 305
Топологическое пространство 12
Топология простой (ограниченной)
сходимости 159
Тотальное множество 143
Точечный спектр 290
Точка накопления 12
Унимодулярная группа 303
Унитарно эквивалентные операторы
444
Унитарный оператор 280
Уравнение Чепмена — Колмогорова
521
Уравновешенное множество 42
Условие Коши 23
— Линдеберга 546
Усреднение 222
Факторгруппа 305
Факторпространство 39
Формально гипоэллиптический опе-
оператор 267
Формула Лейбница 79
— обращения Поста — Уиддера 359
Фурье 209, 215
— Хёрмандера 80
Фундаментальная обобщенная после-
последовательность 152
— последовательность 23
— система окрестностей 48
Фундаментальное решение 254
Функционал Минковского 43
Функция Хевисайда 78
Характеристическая функция множе-
множества 32
Центрированная система 16
Частично упорядоченное множество
10
Эволюционное уравнение 565
Эквивалентные матричные представ-
представления 458
Эргодическая гипотеза Больцмана
522
Ядерное пространство 401
Ядерный оператор 385, 400
Ядро Бергмана 140
— Гильберта — Шмидта 382
Оглавление
Предисловие переводчика 5
Предисловие 7
Введение 9
1. Теория множеств 9
2. Топологические пространства 11
3. Пространства с мерой 28
4. Линейные пространства 36
Литература ¦ 39
I. Полунормы . * - 42
1. Полунормы и локально выпуклые линейные топологические
пространства 42
2. Нормы и квазинормы 51
3. Примеры нормированных линейных пространств 54
4. Примеры квазинормированных линейных пространств 63
5. Предгильбертовы пространства 64
6. Непрерывность линейных операторов 68
7. Ограниченные множества и борнологические пространства ... 73
8. Обобщенные функции и обобщенные производные 71
9. /^-пространства и /^-пространства 81
10. Пополнение 86
11. Факторпространства /J-пространств 91
12. Разбиение единицы 92
13. Обобщенные функции с бикомпактными носителями 94
14. Прямое произведение обобщенных функций 98
Литература к главе I 102
П. Приложения теоремы Бэра — Хаусдорфа 103
1. Теорема о равномерной ограниченности 103
2. Теорема Витали — Хана — Сакса 105
3. Почленная дифференцируемость последовательности обобщенных
функций 108
4. Теорема о сгущении особенностей 109
5. Теорема об открытости отображения 112
6. Теорема о замкнутом графике 114
7. Об одном приложении теоремы о замкнутом графике (теорема
Хёрмандера) 117
Литература к главе II 120
Оглавление 621
III. Ортогональная проекция и теорема Ф. Рисса о представлении
линейного функционала 121
1. Ортогональная проекция 121
2. „Почти ортогональные* элементы 124
3. Теорема Асколи — Арцела 125
4. Ортогональный базис. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля 126
5. Ортогонализация (по Шмидту) 130
6. Теорема Ф. Рисса о представлении линейного функционала ... 132
7. Теорема Лакса — Мильграма 134
8. Одно доказательство теоремы Лебега — Никодима 136
9. Воспроизводящее ядро 139
10. Отрицательная норма по Лаксу 140
И. Локальная структура обобщенных функций 145
Литература к главе III 147
IV. Теоремы Хана —Банаха 148
1. Теорема Хана — Банаха о продолжении линейных функционалов
в вещественных линейных пространствах 148
2. Обобщенный предел 150
3. Полные локально выпуклые линейные топологические простран-
пространства 152
4. Теорема Хана — Банаха о продолжении линейных функционалов
в комплексных линейных пространствах 153
5. Теорема Хана — Банаха о продолжении линейных функционалов
в нормированных линейных пространствах 154
6. Существование нетривиальных непрерывных линейных функци-
функционалов 155
7. Операторные топологии 159
8. Вложение пространства X во второе сопряженное простран-
пространство X" 161
9. Примеры сопряженных пространств 164
Литература к главе IV 171
V. Сильная сходимость и слабая сходимость 172
1. Слабая сходимость и слабая * сходимость 172
2. Слабая компактность в рефлексивных ^-пространствах. Равно-
Равномерная выпуклость 180
3. Теорема Данфорда и теорема Гельфанда — Мазура 183
4. Слабая и сильная измеримость. Теорема Петтиса 187
5. Интеграл Бохнера 189
Литература к главе V 194
Приложение к главе V. Слабые топологии и сопряженность в локально
выпуклых линейных топологических пространствах 194
1. Поляры * . > . 194
2. Бочечные пространства 196
3. Полурефлексивность и рефлексивность * 199
4» Теорема Эберлейна — Шмульяна 201
622 Оглавление
VI. Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения 207
1. Преобразование Фурье быстро убывающих функций 207
2. Преобразование Фурье медленно растущих обобщенных функций 212
3. Свертки 220
4. Теоремы Пэли — Винера. Преобразование Лапласа 226
5. Теорема Титчмарша 233
6. Операторное исчисление Микусинского 237
7. Лемма Соболева 242
8. Неравенство Гординга 245
9. Теорема Фридрихса 247
10. Теорема Мальгранжа — Эренпрейса 253
11. Дифференциальные операторы с переменными коэффициентами 261
12. Гипоэллиптические операторы. Теорема Хёрмандера 263
VII. Сопряженные операторы 269
1. Сопряженные операторы в локально выпуклых линейных топо-
топологических пространствах 269
2. Сопряженные операторы в гильбертовом пространстве 272
3. Симметрические и самосопряженные операторы 273
4. Унитарные операторы. Преобразование Кэли 280
5. Операторы с замкнутой областью значений 284
Литература к главе VII 289
VIII. Резольвента и спектр 290
1. Резольвента и спектр 290
2. Резольвентное уравнение и спектральный радиус 293
3. Статистическая эргодическая теорема 295
4. Обобщение эргодических теорем Хилле о псевдорезольвентах 299
5. Среднее значение почти-периодической функции 303
6. Резольвента сопряженного оператора 310
7. Операторное исчисление 312
8. Изолированные особые точки резольвенты 315
Литература 319
IX. Аналитическая теория полугрупп 320
1. Полугруппы класса (Со) 320
2. Равностепенно непрерывные полугруппы класса (Со) в локально
выпуклых пространствах. Примеры полугрупп 324
3. Инфинитезимальный производящий оператор равностепенно не-
непрерывной полугруппы класса (Со) 327
4. Резольвента инфинитезимального производящего оператора А 331
5. Примеры инфинитезимальных производящих операторов .... 334
6. Показательная функция непрерывного линейного оператора,
степени которого равностепенно непрерывны 337
7. Представление равностепенно непрерывной полугруппы класса
(с0) с помощью соответствующего инфинитезимального произ-
производящего оператора 339
8. Сжимающие полугруппы и диссипативные операторы 345
9. Равностепенно непрерывные группы класса (Со). Теорема Стоуна 347
10. Голоморфные полугруппы «, . 350
Оглавление 623
11. Дробные степени замкнутых операторов 357
12. Сходимость последовательностей полугрупп. Теорема Троттера —
Като 370
13. Сопряженные полугруппы. Теорема Филлипса 374
X. Вполне непрерывные операторы 378
1. Бикомпактные множества в ^-пространствах 378
2. Вполне непрерывные операторы и ядерные операторы 382
3. Теорема Реллиха — Гординга 389
4. Теорема Шаудера 390
5. Теория Рисса — Шаудера 391
6. Задача Дирихле 395
Приложение к главе X. Ядерное пространство Гротендика 399
XI. Нормированные кольца и спектральное представление линейных
операторов 406
1. Максимальные идеалы нормированного кольца 408
2. Радикал кольца. Полупростые кольца 412
3. Спектральное разложение ограниченных нормальных опера-
операторов 417
4. Спектральное разложение унитарного оператора 422
5. Разложение единицы 426
6. Спектральное разложение самосопряженного оператора 432
7. Вещественные и полуограниченные операторы. Теорема Фрид-
рихса 436
8. Спектр самосопряженного оператора. Теорема Крылова—Вайн-
штейна. Кратность спектра 439
9. Разложение элемента пространства. Условие отсутствия непре-
непрерывного спектра 445
10. Теорема Петера — Вейля — Неймана 449
П. Теорема двойственности для некоммутативных бикомпактных
групп 455
12. Функции самосопряженных операторов 463.
13. Теорема Стоуна и теорема Бохнера 472
14. Каноническая форма самосопряженного оператора с простым
спектром 475
15. Индекс дефекта симметрического оператора. Обобщенное разло-
разложение единицы 478
16. Групповое кольцо L1 и тауберова теорема Винера 485
XII. Другие теоремы о представлении в линейных пространствах ... 497
1. Крайние точки. Теорема Крейна — Мильмана 497
2. Векторные структуры 4S9
3. В-структуры и /''-структуры 506
4. Теорема Банаха о сходимости 509
5. Представление векторной структуры при помощи функций точки 510
6. Представление векторной структуры при помощи функций мно-
множества 515
624 Оглавление
XIII. Эргодическая теория и теория диффузионных процессов . . . 520
1. Марковский процесс с инвариантной мерой 520
2. Индивидуальная эргодическая теорема и ее приложения .... 525
3. Эргодическая гипотеза и //-теорема 534
4. Эргодическое разложение марковского процесса с локально
бикомпактным фазовым пространством 539
5. Броуновское движение в однородном римановом пространстве 545
6. Обобщенный лапласиан (Феллер) 552
7. Расширение диффузионного оператора 558
8. Марковские процессы и потенциалы 561
XIV. Интегрирование эволюционных уравнений 564
1. Интегрирование уравнения диффузии в пространстве L2 (Rm) 565
2. Интегрирование уравнения диффузии в бикомпактном рима-
римановом пространстве , 573
3. Интегрирование волнового уравнения в евклидовом простран-
пространстве Rm 576
4. Интегрирование неоднородных во времени эволюционных урав-
уравнений в рефлексивном В-пространстве 579
5. Метод Танабе и Соболевского 588
Литературные- указания и замечания 594
Библиография 597
Именной указатель 613
Предметный указатель 616
К. Иосида
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Редактор Н, Плужникова Художник К. П. Сиротов
Художественный редактор В. И. Шаповалов Технический редактор М. П. Грибова
Сдано в производство 27/1 1967 г. Подписано к печати 7/VI 1967 г. Бумага тип. № 1
60x90716-19,5 бум. л. 39,0 печ. л. Уч.-изд. л. 36,73. Изд. № 1/3772. Цена 2 р. 85 к.
Зак. 539
(Темплан 1967 г. изд-ва «Мир», пор. № 9)
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР". Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29.