Т. Мива, М.Джимбо, Э.Датэ
Солитоны: дифференциальные уравнения,
симметрии и бесконечномерные алгебры
Перевод с английского С. 3. Пакуляк под ред. А. А. Белавина
Москва
Издательство МЦНМО
2005

УДК 517.958 Издание осуществлено при поддержке РФФИ
ББК 22.31 (издательский проект №04-01-14717).
М57 XL
Мива Т., Джимбо М., Датэ Э.
М57 Солитоны: дифференциальные уравнения, симметрии и
бесконечномерные алгебры / Пер. с англ. С. 3. Пакуляк. — М.: МЦНМО,
2005.—112 с: ил.
ISBN 5-94057-162-Х
/
В книге рассмотрены различные алгебраические конструкции, применяемые в
теории интегрируемых систем. Большое внимание авторы уделили уравнениям Кор-
тевега—де Фриза и Кадомцева—Петиашвили.
Книга предназначена для студентов и аспирантов физико-математических
специальностей.
УДК 517.958, ББК 22.31
SOL1TON NO SURI
by Tetusij Miwa, Michio Jimbo, and Etsuro Date
© 1993 by Tetusij Miwa, Michio Jimbo, and Etsuro Date
Originally published in Japanese in 1993 by Iwanami Shoten, Publishers, Tokyo.
This Russian language edition published in 2005
by MCCME Publishing House, Moscow
by arrangement with the autors c/o Iwanami Shoten, Publishers, Tokyo.
Translation from the English language edition: Miwa Т., Jimbo M., Date E.
Solitons: Differential Equations, Symmetries and Infinite Dimensional Algebras.
Cambridge University Press, 2000. All Rights Reserved.
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ
Тэцудзи Мива, Микио Джимбо, Эцуро Датэ
СОЛИТОНЫ: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СИММЕТРИИ
И БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ АЛГЕБРЫ
Редактор О. А. Васильева
Подписано в печать 03.03.05 г. Формат 60 х 90 l/i6. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Печ. л. 7. Тираж 1000 экз. Заказ №170т
Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002,
Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. 241-05-00.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Полиграфические ресурсы».
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга».
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. 241-72-85. E-mail: biblio@mccme.ru
© Miwa Т., Jimbo M., Date E., 1993
ISBN 5-94057-162-Х © МЦНМО, перевод на русск. яз., 2005.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Уравнение КдФ и его симметрии 8
§ 1.1. Симметрии и группы преобразования 8
§ 1.2. Симметрии уравнения КдФ 12
§ 1.3. Лаксова форма эволюционного уравнения (вспомогательные
линейные дифференциальные уравнения) 15
Глава 2. Иерархия КдФ 18
§2.1. Псевдодифференциальные операторы 18
§ 2.2. Высшие уравнения КдФ 20
§ 2.3. Бесконечное число коммутирующих симметрии 21
§ 2.4. Иерархия КП 23
Глава 3. Уравнения Хироты и вершинные операторы 26
§ 3.1. Производная Хироты 26
§ 3.2. КдФ и я-солитонные решения 29
§ 3.3. Вершинные операторы 31
§ 3.4. Билинейное тождество 34
Глава 4. Исчисление фермионов 38
§4.1. Алгебра дифференциальных операторов 38
§4.2. Фермионы 40
§ 4.3. Представление Фока 41
§ 4.4. Дуальность, заряд и энергия 44
§ 4.5. Теорема Вика 46
Глава 5. Бозон-фермионное соответствие 49
§ 5.1. Использование производящих функций 49
§ 5.2. Нормальная форма операторов 50
§ 5.3. Построение бозонов из фермионов 52
§ 5.4. Изоморфизм пространств Фока 53
§ 5.5. Представление фермионов через бозоны 55

4 Оглавление
Глава 6. Группы преобразований и т-функции 59
§ 6.1. Групповое действие и орбиты 59
§6.2. Фермионная реализация алгебры Ли gl(oo) 60
§ 6.3. Группа преобразований иерархии КП 64
Глава 7. Группа преобразований для уравнения КдФ 67
§ 7.1. Иерархия КдФ в сравнении с иерархией КП 67
§ 7.2. Группа преобразований уравнения КдФ 68
Глава 8. Конечномерные грассманианы и соотношения Плюккера 72
§8.1. Конечномерные грассманианы 72
§ 8.2. Координаты Плюккера 75
§ 8.3. Соотношения Плюккера 77
Глава 9. Бесконечномерные грассманианы 82
§ 9.1. Случай конечномерного пространства Фока 82
§ 9.2. Описание вакуумной орбиты 86
§ 9.3. Диаграммы Юнга и характеристические полиномы 88
Глава 10. Билинейное тождество 94
§ 10.1. Билинейное тождество и соотношения Плюккера 94
§ 10.2. Соотношения Плюккера и уравнение Хироты 96
Решение упражнений 100
Указания к литературе 107
Предметный указатель 111

Предисловие
Волны и колебания являются основными формами движения, и их
исследования продолжаются с древнейших времен. Волны маленькой
амплитуды описываются линейным дифференциальным уравнением, и их
поведение может быть детально изучено. Когда амплитуда не мала,
дифференциальное уравнение становится нелинейным, и его анализ, вообще говоря,
становится крайне сложной проблемой.
Пример нелинейного волнового уравнения
ди с ди &*и п /п 1Ч
д1 + 6иТх + дх5 = °' (0Л)
которое описывает волны на мелководье, был предложен физиками Корте-
вегом и де Фризом в конце XIX столетия, и теперь это уравнение
называется уравнением КдФ. В частности, если искать решение в форме бегущей
волны и(х, t) =/(* — ct), то уравнение (0.1) можно решить. Предположив,
что граничные условия на бесконечности таковы, что и(ху t) —► 0
достаточно быстро при х —> ±оо, мы можем найти следующее точное решение
. уравнения (0.1):
их (х, t) = \ sch2 (£(х - ct + 5)), (0.2)
где 8 — постоянная интегрирования. Движение, описанное этим
уравнением, является уединенной волной, локализованной в небольшой области
пространства. Известно, что, кроме этого решения, уравнение (0.1) имеет
множество точных решений ti2(xj), u$(xj) и т.д.
Решения un(xj) содержат 2п произвольных параметров с,-, 5,- и при
/ < 0 или при /» 0 ведут себя как суперпозиция независимых
изолированных волн вида (0.2). Изолированные волны могут догонять друг
друга или сталкиваться друг с другом на конечном промежутке времени, но
после столкновения возвращаются в исходное состояние (если не
считать возможного фазового сдвига) и продолжают движение не
аннигилируя. Волновое движение с таким частицеподобным поведением называется
солитоноМу а решение un(xj)y состоящее из п изолированных волн,
называется п-солитонным.
Для линейного дифференциального уравнения выполняется принцип
суперпозиции, который гласит, что если известны его частные решения щ,
i= 1,...,Л/, то другие решения, содержащие произвольные постоянные,

6
Предисловие
N
могут быть получены как линейные комбинации £ ^щ. Принцип супер-
позиции не применим к уравнению КдФ в силу его нелинейности. Тот факт,
что, несмотря на это, существуют его точные решения, содержащие
произвольное количество параметров, является замечательным и
исключительным явлением. Это позволяет предположить, что уравнение КдФ играет
особую роль среди обыкновенных нелинейных дифференциальных
уравнений.
В классической механике есть понятие абсолютно интегрируемой
системы (для краткости мы говорим интегрируемая система).
Рассмотрим механическую систему с / степенями свободы
dqi __ дН dpi дН . . f /п ^
где Н — гамильтониан. Скажем, что (0.3) — это вполне
интегрируемая система, если она имеет / независимых первых интегралов F\(q,p) =
= H(qyp)y...,Ff(q,p). Когда это условие выполнено, общее решение
уравнения (3) может быть найдено из системы
Fi(qyp) = Ch 1=1,...,/,
где С, — произвольные постоянные. В настоящее время известно, что
уравнение КдФ можно интерпретировать как систему, интегрируемую в
этом смысле, но имеющую бесконечно много степеней свободы.
Существование бесконечного набора точных решений, таких как солитонные
решения, отражает факт полной интегрируемости.
Вначале замечательные свойства уравнения КдФ рассматривались
исключительно как свойства данного уравнения. Их универсальная
природа стала постепенно проясняться в результате интенсивных исследований,
проведенных в конце 60-х гг. прошлого века. В настоящий момент
известно огромное количество интегрируемых нелинейных дифференциальных
(и разностных) уравнений. Общепринятое название для них —
солитонные уравнения. Типичным примером таких систем можно считать цепочку
Тоды, открытую японским физиком Мориказу Тодой. Было разработано
много различных методов нахождения точных решений этих уравнений.
Среди них метод обратной задачи рассеяния, который решал задачу с
начальными данными, билинейный метод, созданный Рюго Хиротой, теория
квази-периодических решений, основанная на римановых поверхностях и
тэта-функциях, и т.д.
В то же время, с развитием этой области математики получили новую
интерпретацию старые классические результаты. Среди таких
результатов следует отметить, в частности, применение тэта-функций в
классической механике, возникновение нелинейных дифференциальных уравнений

Предисловие
7
в дифференциальной геометрии» исследование коммутативных подколец в
кольцах дифференциальных операторов и многие другие. Можно сказать,
что уравнение КП (Кадомцева—Петвиашвили), которое обобщает
уравнение КдФ, уравнение Тоды, производная Хироты и т.д. уже существовали до
своего открытия в других формах. Теория интегрируемых систем является
парадигмой, обеспечивающей единую точку зрения на эти разнообразные
результаты.
В чем состоит главный принцип, стоящий за полной интегрируемостью
всех этих систем? Этот принцип можно кратко сформулировать как
экстремально высокую степень симметрии, заложенной или спрятанной в
системе. Вместо слов «высокая степень симметрии» можно также сказать
«действие большой группы преобразований». Одной из целей настоящей
книги является обсуждение понятия группы бесконечномерных
преобразований, действующей на пространствах решений интегрируемых систем.
Нашими основными примерами будут уравнения КдФ и КП. Японский
математик Микио Сато обнаружил, что все решения уравнения КП
образуют бесконечномерный грассманиан, и установил алгебраическую природу
вполне интегрируемых систем. Мы хотим, не углубляясь в детали,
объяснить основы теории Сато и дальнейшее развитие этих идей, предпринятое
в исследованиях Масаки Кашивары и настоящих авторов. Мы оставляем
за читателем право судить, насколько мы преуспели в достижении нашей
цели.
Мы попытались написать книгу так, чтобы ее мог прочесть студент,
имеющий базовые знания по дифференциальному исчислению, анализу,
линейной алгебре и теории функций комплекной переменной. Из последней
понадобится умение вычислять вычеты.
Наконец, мы хотим поблагодарить Сигэки Сугимото, Такеси Судзуки и
Масато Хаяси за прочтение рукописи и полезные замечания.
Тэцудзи Мива
Микио Джимбо
Эцуро Датэ
Киото и Осака, 1992 г.

ГЛАВА 1
УРАВНЕНИЕ КдФ И ЕГО СИММЕТРИИ
Мы будем исследовать симметрии уравнения КдФ, имеющие форму ин-
финитезимальных преобразований нелинейных эволюционных уравнений.
Само уравнение КдФ является нелинейным эволюционным уравнением,
но, как будет показано, оно получается из условий совместности
некоторых линейных уравнений.
Лучшим путеводителем в математике и естественных науках является
понятие симметрии. Следуя этому компасу, поднимем якорь и отправимся
вперед, в океан солитонных открытий.
§ 1.1. Симметрии и группы преобразования
Итак, что такое симметрия? Например, рассмотрим симметрии
окружности. Интуитивно понятно, что окружность переходит сама в себя
(1) при вращении вокруг своего центра
либо
(2) при отражении относительно диаметра.
Как можно выразить наше интуитивное представление в точных
математических терминах? В координатной плоскости (х,у) окружностью является
множество точек, удовлетворяющих уравнению
х' + у^г2. (1.1)
Вращение плоскости является линейным преобразованием
(й-Gs: -£:)(;)• (,-2>
так же как и вращение вместе с отражением
(х'\ /cos8 sinO\ (x\ n Qv
W~U»n8 -cosej [у)' (Ы)

§1.1. Симметрии и группы преобразования
9
Линейное преобразование, заданное формулой
О-С X)- (|«>
является симметрией окружности, если оно сохраняет условие (1.1).
Другими словами, преобразование (1.4) является симметрией
уравнения (1.1), если точка (х',у') есть решение уравнения (1.1) при условии,
что точка (хуу) удовлетворяет уравнению (1.1).
Обозначим преобразование (1.2) через 7X9), а (1.3) — через S(6).
Набор всех обратимых линейных преобразований образует группу при
композиции. Другими словами, если определить произведение двух матриц
с ненулевыми детерминантами Т\ = (а| ' ] и T<i = (ас2 .2j как Т\ • Тч =
= ffl| .4 (а2 *), то групповые аксиомы !) будут удовлетворены:
(1) ассоциативность: (Т\ • Гг) • 7з = h • (7*2 • 7з);
(2) существование единицы: Т • id = id • Т, где id = [ Q j j;
(3) наличие обратного элемента: Т- Г-1 = Т"1 • Г = id.
В частности, элементы, оставляющие окружность (1.1) инвариантной,
также образуют группу. Она называется группой преобразований
окружности. В силу периодичности 7X8) = T(Q') или S(6) = S(6;) тогда и только
тогда, когда 6 = 6х + 2ял, где л — целое число. Групповой закон выглядит
следующим образом:
Г г(е,)Г(е2) = г(е, +е2),
17-(61)-5(e2) = s(82)-7'(-6,) = s(e,+e2), (i.5)
ls(e,).s(e2) = r(e,-e2).
Если рассматривать правила композиций преобразований (1.5) вместо
самих преобразований, симметрии окружности перестают быть просто
преобразованиями плоскости и описываются в рамках абстрактного
группового закона.
Рассмотрим только вращение окружности 7X9). Если параметр б
равен 0, то 7X0) = id, и, изменяя 0, мы можем рассматривать преобразование
(х(0)\_ /cosG -sin6\/*\ nfi.
\y(B))~\sme cosBjKy) {i0)
как процесс, который перемещает непрерывным образом данное решение
(х,у) алгебраического уравнения (1.1) вдоль окружности. Дифференцируя
!) См. любой учебник по теории групп, например: Зуланке Р., Онищик А.Л. Алгебра
и геометрия. Т. 1. — М.: МЦНМО, 2004. — Прим. ред.

10
Гл. 1. Уравнение КдФ и его симметрии
равенство (1.6) по 9, получим
±(ХЩ = (° -1)(х®) (,7)
Преобразование (1.6) полностью определяется этими уравнениями вместе
с начальным условием
(ЖЮ- <'-8>
Матрица (. "Л является инфинитизимальным генератором
вращения в смысле, который будет объяснен ниже. Имеется соотношение
Тт = е*(°Г,о).
Раскладывая его по малому параметру 9, получим
7-(8) = l+e(J "01)+О(82). (1.9)
В общем случае, если /?(9) — преобразование, зависящее от параметра 9
и удовлетворяющее равенствам /?(9i + 9г) = R(Q\)R(Q2) и /?(9) = 1 + ВХ +
+ 0(92), то скажем, что X является инфинитизимальным генератором
однопараметрического преобразования /?(9) = евх (ср. обсуждение понятия
алгебры Ли в конце этого параграфа). Если /?(9) действует на исходный
объект /, то мы напишем /*(9) = /?(9)/ и
^ = ^/?(6)/ = ^(9). (1.10)
Мы будем интересоваться в основном преобразованиями функций
(в том числе инфинитезимальными). Например, для функции двух
переменных f(x,y) рассмотрим дифференциальное уравнение
{& + $-'2)«х'У)=0' <1Л1>
где г — константа, не зависящая от (хуу). Для алгебраического
уравнения (1.1) мы искали решение в двумерной плоскости (jc,*/), а для
дифференциального уравнения (1.11) решение f(x,y) должно быть найдено
в бесконечномерном векторном пространстве функций двух переменных.
Вращение в плоскости (х, у) индуцирует действие g^ T(Q)g на
пространстве функций g от двух переменных (х,у), задаваемое формулой (см. (1.6))
(T(Q)g)(x,y)=g(x(-Q),y(-Q)).

§1.1. Симметрии и группы преобразования
II
Рассмотрев /г(х,#;8) = (T(Q)f)(x,y), можно получить инфинитезимальное
преобразование
|/W.0>-(*£-,£)/W.e>.
Оператор х(д/ду) - у(д/дх) является инфинитизимальным генератором
преобразования. Уравнение (1.11) обладает вращательной симметрией, т. е.
если функция / является решением уравнения (1.11), то и T(B)f также будет
решением. Уравнение (1.11) также инвариантно относительно
параллельного переноса (хуу) н-> (х + а, у + Ь). В пространстве функций
параллельный перенос задается формулой
f(x + а,у + Ь) = ead/dx+bd/dyf(x, y)y (1.12)
где производные о~ и ^- есть инфинитезимальные генераторы сдвигов.
Раскладывая экспоненту в соотношении (1.12) в ряд, получим не что иное,
как разложение Тейлора функции / в окрестности точки (х,у)
(впоследствии мы будем часто пользоваться этим фактом, ср. упражнение 1.1).
В следующих главах нам понадобятся начальные сведения об алгебрах
Ли. Предположим, что XwY есть линейные дифференциальные операторы,
которые являются инфинитезимальными генераторами групповых
операторов еех и eQY. Рассмотрим их произведение и назовём коммутатором
операторов А и В следующую разность:
[АУВ]=АВ-ВА.
Непосредственные вычисления показывают, что
eBXeQY _ ев^+вУ+(1/2)е2|Х,К]+(1/12)в31Х-У,(Х,К]]+~.
В правой части этой формулы, в экспоненте многоточие означает
слагаемые старшего порядка по 9. Можно показать, что все эти слараемые могут
быть записаны с использованием только коммутатора [•, •], исключая
произведения. Если [X, Y] = 0, что означает коммутативность операторов X
и У, то eexeeY = eB{X+Y). В этом случае композиция eexeeY двух
преобразований совпадает с преобразованием ее(*+к\ соответствующим генератору
X + Y. В общем случае групповые преобразования eexeBY и eB{X+Y) не
совпадают, но разность между ними может быть выражена через коммутатор
инфинитезимальных генераторов.
Алгебра Ли является векторным пространством g вместе с
правилом, определяющим для любых двух элементов X, Y € g их коммута-

12
Гл. 1. Уравнение КдФ и его симметрии
тор [Ху Y] e д, удовлетворяющий следующим соотношениям:
(1) [*,к] = -[кдь
(2) [[X, Y],Z] + [[У, Z] Д] + [[Z. Jf], Y) = 0, (1.13)
(3) [o^ + pKfZ]=a[^Z]+p[y,Z]
(коэффициенты а, (3 действуют скалярным умножением в векторном
пространстве д). Если не заботиться о сходимости, то для алгебры Ли g набор
преобразований
+ G = {ex:Xe&}
образует группу. Забегая вперед, отметим, что, когда рассматриваются
бесконечномерные симметрии, как это происходит в теории солитонов, очень
часто работать с алгеброй Ли g бывает относительно легко, даже в
случаях, когда рассмотрение группы преобразований G приводит к трудностям.
§ 1.2. Симметрии уравнения КдФ
Как объяснялось выше, существует два различных варианта
реализации инфинитезимального генератора вращения:
га
оператором к QJ в двумерном пространстве;
оператором х-~— у-~- в бесконечномерном пространстве.
Можно рассмотреть также нелинейные инфинитезимальные
преобразования. Запишем следующее дифференциальное уравнение для функций
с двумя переменными u(xj):
ди ди <Ри п .А.
dt=um + dZ- (,14)
Это уравнение КдФ — основной герой настоящей главы. В
уравнении (1.14) коэффициенты при и(ди/дх) и &*и/дх? были выбраны равными
единице, но можно сделать их произвольными ненулевыми константами,
умножая /, х и и на любые постоянные множители. Различные уравнения,
получаемые таким образом, также называются уравнениями КдФ.
Уравнение КдФ описывает инфинитезимальное преобразование функции и,
зависящей от координаты х, с течением времени /, задаваемое оператором
£,/ х ди , д*и /I 1сч
*(и)-и& + а?- (,15)
Вообще говоря, уравнение вида du/dt = К(и) называется эволюционным
уравнением. Уравнение называется линейным или нелинейным в
зависимости от структуры оператора К(и). Если К(и) — линейный оператор,

§ 1.2. Симметрии уравнения КдФ
13
то преобразование и н-> К(и) является инфинитезимальным генератором,
описанным в § 1.1.
Отныне будем полагать, что К(и) является инфинитезимальным
генератором, даже в случае, когда он нелинейный. Будем интерпретировать
эволюционное уравнение, включая нелинейный случай, как инфинитезималь-
ное преобразование функции и займемся поиском симметрии уравнения
КдФ среди этих преобразований. Поставим задачу следующим образом:
имеет ли уравнение КдФ
^ = К(и) (1.16)
симметрию вида
§£ = *(")• 0-17)
Какой смысл заключен в утверждении, что уравнение (1.16) имеет
симметрию (1.17)? Рассмотрим функцию трех переменных и(ху t,s). В
последующем для простоты обозначений будем использовать следующие
обозначения производных (и производных высших порядков):
(du/dt) = ии д?и/дхг = иххх = и3х и т. д.
Полином от функции и и ее производных их, иХХ1 и$х и т.д. называется
дифференциальным полиномом от и относительно х. Например, полином
(1.15) является дифференциальным полиномом от и.
Пусть К(и) — дифференциальный полином от и. Рассмотрим (1.17) как
эволюционное уравнение по времени 5 и предположим, что оно может быть
решено при заданном начальном значении и(х, /,s = 0). Другими словами,
начиная с функции двух переменных и(х, /,s = 0) в момент времени s =
= 0 и решая уравнение (1.17), можно получить функцию u(xjys = As) в
момент времени As. Сказать, что уравнение (1.17) является симметрией
уравнения КдФ, означает, что если u(xj,s = 0) есть решение уравнения
(1.16) в момент времени s = 0, то и(х, t,s) тоже будет решением в любой
момент времени s.
Рассматривая переменные / и s как равноправные, можно
переформулировать вопрос следующим образом: предположим, что / и s — две
независимые временные переменные и что нам задана функция и(х, t =
= 0, s = 0) при / = 0 и s = 0. Тогда существует два способа определить
функцию и(ху As, At) в момент времени (Д/, As):
w(x,/ = A/,s = 0)-^ u(xJ = At,s = As)
u(x,t = 0,5 = 0) Bl > u(xJ = 0ys = As)
(1.18)

14
Гл. 1. Уравнение КдФ и его симметрии
В этой диаграмме стрелки вверх означают решение уравнения (1.16),
а стрелки направо — решение уравнения (1.17). Если композиции
стрелок А |, Лг и Вь ^2 Дают одинаковый результат, тогда очевидно, что
уравнение (1.17) является симметрией уравнения (1.16). Переходя к предельному
случаю, когда величины Д/, As в (1.2) очень малы, мы видим, что для
выполнения равенства А\ о A<i = B\ оВ2 необходимо, чтобы было
справедливо равенство
!*<«) = £*<«). (1-19)
Выполняется ли равенство (1.19) при произвольном выборе К(и)?
Например, если мы выберем К(и) = и2, то получим
левая часть = (иих + u^x)s = и2их + и(и2)х + (u2)zx =
= Зи2их + 6ихихх + 2ии3х,
правая часть = (u2)t = 2и2их + 2иа%х.
Очевидно, что уравнение (1.19) приводит к дополнительному условию
О = и2их + 6ихихх. Таким образом, для произвольного выбора К(и)
уравнения (1.16) и (1.17) несовместимы и уравнение (1.17) не является
симметрией уравнения (1.16).
Если в (1.15) присвоить функции и степень 2, производной их —
степень 3, а производной ихх — степень 4, то правая часть будет однородна
и будет иметь степень 5. В поисках симметрии будем считать генератор
инфинитезимальных преобразований однородным дифференциальным
полиномом (опустив доказательство того, что при этом мы не теряем
общности).
Наиболее общий вид однородного дифференциального полинома
степени 7 таков:
С1и2их + С2иизх + Сгихихх + С4и5х. (1.20)
Подставим выражение (1.20) для К(и) в уравнение (1.17) и предположим,
что С\ = 1. После длинных, но простых вычислений увидим, что
остальные коэффициенты С/ определяются однозначным образом при условии
совместности уравнений (1.16) и (1.17):
0j = и2их + 2ииЪх + 4ихихх + ^и5х. (1.21)
Замечание 1.1. Существуют однородные дифференциальные полиномы
степени 3 и 5, но результирующие симметрии функции u(xj) отвечают
простым параллельным переносам х ь-> х + Ах и / н-* / + At.
Продолжая вычисления аналогичным образом, можно убедиться, что
для каждой нечетной степени существует ровно одна симметрия. Однако

§ 1.3. Лаксова форма эволюционного уравнения
15
W
остается непонятным, как можно повторить эти вычисления для
произвольного нечетного числа. Случай, отличающийся от уравнения КдФ,
рассмотрен в упражнении 1.2.
§ 1.3. Лаксова форма эволюционного уравнения
(вспомогательные линейные дифференциальные
уравнения)
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
Pw = k2w, где P=j-2+u. (1.22)
Пусть и — функция от х и Р — оператор, действующий на функциях
от х. Число k2 есть собственное значение оператора Р, a k
называется спектральной переменной. Если и = 0, то w = ekx является одним из
решений. В общем случае решение линейной задачи может быть найдено
в виде формального степенного ряда вида
=«*(■* +а+ £ + ...). (,.23)
Слово формальный означает, что сходимости этого степенного ряда не
требуется. Подставляя выражение (1.23) в уравнение (1.22), получаем
рекуррентное соотношение на коэффициенты формального ряда
Если предположить, что wq = 1, то остальные функции о/у, / ^ 1, могут быть
последовательно определены (с точностью до констант) интегрированием
по х.
Введем теперь временную переменную / и позволим данной функции
и = u{xj) изменяться с изменением /. Будем решать уравнение (1.22)
с учетом зависимости функции w от времени, определяемой линейным
оператором. Оператор Р в уравнении (1.22) является дифференциальным
оператором второго порядка. Поэтому мы будем искать дифференциальный
оператор третьего порядка
£ = *». В = ^ + Ь^ + Ь2. (1.24)
Решением этого уравнения является функция w(xj;k) от двух
переменных *, / при любом фиксированном значении k. Известно, что в момент
времени / = 0 (при условии независимости и от k) функция w(xy t = 0; k)
удовлетворяет уравнению (1.22). Верно ли это при других значениях
времени /? (Чтобы этот вопрос имел смысл, следует считать, что при / Ф 0

16
Гл. 1. Уравнение КдФ и его симметрии
не возникает зависимости функции и = и(х, t) от k.) Если уравнение (1.22)
выполняется, то, дифференцируя обе части по /, получим
№ + [P,B])w = 0. (1.25)
Здесь [РУВ] = РВ - ВР является коммутатором дифференциальных
операторов РиВи дР/dt = du/dt. Итак, уравнение (1.25) включает только
производные по jc, и, тем самым, оно является обыкновенным
дифференциальным уравнением (не зависящим от к). Если (1.25) как уравнение на
w справедливо для произвольных значений 6, тогда оно имеет
бесконечно много независимых решений. Однако это невозможно, за исключением
тривиального дифференциального оператора. Таким образом,
f + [/>,B] = 0. (1.26)
Приравнивая к нулю коэффициенты при операторах д* и дх, получим
следующие условия на коэффициенты и и Ь\у Ь2 операторов Р и В:
3 3
Ь\ = £"> b2 = J*/*,
тогда как нахождение свободного члена сведется к уравнению КдФ
-QJ = 2"»х +-jUtx- (1.27)
При этом предполагается, что функции и, Ь\, Ь2 и их производные по х
стремятся к нулю при х —► ±оо. Из этого условия определяются
постоянные интегрирования в формулах для Ь\ и Ь2. Итак, условия (1.22) и (1.24)
совместны, только если и(х, t) является решением уравнения КдФ. Условие
совместности (1.26) эквивалентно уравнению КдФ и называется лаксовой
формой этого уравнения.
Суммируем приведенные выше аргументы схематически:
линейная система уравнений: Pw = k2w и -^- = Вт
4 условие совместности
дР
представление Лакса для уравнения КдФ: -^т = [ВУР]
(1.28)
Заменяя линейный дифференциальный оператор третьего порядка
(по х) В линейным дифференциальным оператором более высокого
порядка, получим нелинейное эволюционное уравнение, которое называется вые-
шим уравнением КдФ и содержит производные более высокого порядка.
Уравнения этого типа будут рассмотрены в следующей главе (см. также
упражнение 1.3).

Упражнения к главе 1
17
Упражнения к главе 1
1.1. Какая функция получается из f(x) =x при инфинитезимальном
преобразовании х2д/дх?
1.2. Определите симметрию уравнения
ди о
-щ = if их + и***.
(Подсказка: рассмотрите К(и) = Аи4их + Ви2и^х + CuuxU2X + Dt^ + £м5*
и вычислите (d/dt)(K(u)), (d/ds)(K(u)) с помощью метода, изложенного
после уравнения (1.19). Затем сравните коэффициенты для определения
Л, В, С, D, £.)
1.3. Какое уравнение получится из уравнения Лакса (1.26) при
изменении ролей операторов Р (1.22) и В (1.24)?

ГЛАВА 2
ИЕРАРХИЯ КдФ
Ценность математики состоит в ее свободе определять новые
концептуальные понятия и объекты. Наверное, вы еще помните то невероятное
чувство, которое ощутили, когда впервые столкнулись с комплексными
числами. В этой главе мы рассмотрим оператор, обратный к
дифференциальному оператору д/дх. Это позволит нам легко построить и изучить
высшие уравнения КдФ.
§ 2.1. Псевдодифференциальные операторы
Говоря об операторах, мы обычно представляем себе некоторые
операции, применяемые к функциям. Однако сейчас мы сконцентрируем
внимание на композиционных свойствах операторов. Иногда, в зависимости
от ситуации, мы сможем сопоставить операторам некоторые операции.
В частности, вскоре мы увидим, что может быть определена отрицательная
степень дифференциального оператора.
Для простоты обозначений будем писать д, подразумевая производную
по х. Для функции / от х рассмотрим оператор &1 о /, полученный как
композиция умножения на / и применение оператора д". Мы можем также
записать оператор &1 о f в следующем виде:
(см. упражнение 2.1). Здесь &f надо понимать как/-ю производную
функции / и ( . J — биноминальный коэффициент, определенный формулой
'n\_n(n-[)...(n-j+\) 00
/0-D-1 ' KlZ)
О-
Для натурального числа /" это определение имеет смысл при любых
значениях п. Если п — натуральное число, то f .) = О при /" ^ п + 1 и поэтому
можно считать, что сумма по / в формуле (2.1) берется по всем натураль-

§ 2.1. Псевдодифференциальные операторы
19
ным числам. Будем использовать формулу (2.1) для определения
композиции умножения на функцию / и действия оператора д" для любых значений
п. Рассмотрим выражение вида
^ = £//«■"'. (2-3)
которое мы назовем (формальным) псевдодифференциальным
оператором порядка не выше а. Произведение псевдодифференциальных
операторов задается формулой (2.1) (см. упражнения 2.2-2.3).
Пример 2.1. Извлечем квадратный корень из оператора Шрёдингера
д2 + и. Для этого определим оператор
X = d + J2fnd-n (2.4)
л=1
с неизвестными функциями fn и вычислим его квадрат:
х2 = а2 + 2£/пд,-я + 5>/„)0-л + £ (~n)fn(dlfm)d-m-n-1.
Если потребовать, чтобы выполнялось равенство X2 = д2 + и, то можно
рекуррентно определить все функции /„. Выпишем несколько первых
членов оператора X:
(Я2 + „)'/* = д + \ид-* - \ихд~2 + (!£ - £)д~> +... (2.5)
Определим действие псевдодифференциального оператора L,
определённого формулой (2.3), на степенные ряды вида
»=*«*(«* +а+ ■} + ...). (2.6)
Прежде всего, в случае wo = 1, W\ = w^ = ... = 0 естественно потребовать
чтобы выполнялось равенство
оо
так как dn(ekx) = knekx для любого натурального числа п. Теперь степенной
ряд w из формулы (2.6) может быть записан в виде
w = Mekx, где М = ^ш7#Ч

20
Гл. 2. Иерархия КдФ
Таким образом, действие оператора L на w определяется композицией
операторов Lw = L(Mekx) = (Lo M)(ekx). Из приведенных аргументов не
следует, что действие псевдодифференциальных операторов корректно и
непротиворечиво определено, но в данный момент мы не хотим
углубляться в тонкости доказательства правильности наших определений.
§ 2.2. Высшие уравнения КдФ
Пусть М — псевдодифференциальный оператор порядка п е Z,
оо
/=0
Определим операторы М± следующим образом:
п
M+ = J2&dn~l> Af_=Af-Af+. (2.8)
/=о
Тогда Af+ является дифференциальным оператором.
Пример 2.2. Вернемся к оператору Шрёдингера Р = &* + и,
рассмотренному в примере 2.1, и вычислим (д? + и)3/2, используя равенство (2.5).
Сравнив соотношения (1.24) и (1.27), убедимся, что
В = ((02 + и)3/2)+. (2.9)
Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть / — положительное
нечетное число. Положим
B/ = ((d2 + w)//2)+ (2.10)
и рассмотрим соответствующую лаксову форму уравнения (1.26).
Очевидно, что для Р = дР + и выполняется равенство [Р, Р'/2] = 0 и,
следовательно,
[Р,В/] = -[Л(Я//2)-]. (2.11)
В левой части равенства оба оператора Я и В/ являются
дифференциальными, следовательно, коммутатор [Р, В{\ тоже является
дифференциальным оператором. В правой части равенства Р является дифференциальным
оператором порядка 2, а (Р'/2)_ — псевдо-дифференциальным
оператором порядка не выше — 1. Поэтому коммутатор — [Р, (Р7/2)-] будет
псевдодифференциальным оператором порядка не выше чем 2 + (-1) - 1 =0
(см. упражнение 2.4). Тогда коммутатор (2.11) является
дифференциальным оператором степени 0, т. е. просто функцией.
Эта функция является дифференциальным полиномом от функции и
по х. Обозначим Ki(u) = [Р, (Р7/2)-]. С другой стороны, производная dP/dt

§ 2.3. Бесконечное число коммутирующих симметрии
21
равна du/dt, и лаксова форма (1.26) эквивалентна следующему
нелинейному эволюционному уравнению на функцию и:
ди „ . ч
-qI = Ki(u).
При выводе уравнения (1.27) из (1.26), вычисляя коэффициенты Ь\, Ьъ, мы
основывались на том, что слагаемые дифференциального оператора [Я, 5]
порядка выше чем 0 должны обращаться в 0. Но в силу вышесказанного
эти условия автоматически выполняются для оператора (2.10).
§ 2.3. Бесконечное число коммутирующих симметрии
Воспользуемся переменными */, занумерованными положительными
нечетными числами / (см. упражнение 2.5), и рассмотрим систему
уравнений
щ=Ш для/=1,3,5 гда/С/(и) = -[Л(Я//2)+]. (2.12)
В частности, для / = 1,3 получим
ди ди 3 , 1
дГхши* " 5£ = 2е"* + 4"*-
Другими словами, х\ = jc, *з = / (см. упражнение 2.6). Покажем теперь,
что все эти потоки попарно совместны. Необходимо доказать, что
&К№-±Ш. (2-13)
В частности, рассмотрев случай / = 3, получим, что функции Kt(u), I ^ 5,
обеспечивают симметрии уравнения КдФ. При всех других значениях /
и / уравнение (2.13) обеспечивает коммутативность симметрии,
задаваемых функциями К/(и) и Ki(u). Это означает, что композиция эволюции по
временам х/ и jc/ не зависит от порядка в том же смысле, как и на
диаграмме (1.2).
Доказательство. Мы имеем
Тогда для любой функции f(P) от Р справедливо равенство
Тем самым,
^(^)+=(^)+=-(к.(^)+])+

22
Гл. 2. Иерархия КдФ
Используя теперь тот факт, что
(И*. </**)+])+ = [</*")+. <^)+] + ([(^2)_,(^/2)+])+ =
= [(Pi/2)+,(P,/2)+)-([(Pi/2)+,Pl/2])+,
два слагаемых в правой части уравнения (2.14) можно записать в виде
[Л[(^/2)+,(^/2)+]] - [*№")+'**))+)• (2-15)
Применяя тождество Якоби (1.13) к соотношениям (2.14) и (2.15), левую
часть равенства (2.13) можно переписать как
[p.([/^.(/^+])+] + [[л <i"V] .</**)+].
что совпадает с правой частью равенства (2.14) для переставленных
индексов /'. и /. D
Уравнение (2.12), полученное таким способом, называется уравнением
КдФ /-го порядка. Вся система уравнений называется иерархией КдФ.
Суммируем наш результат в виде диаграммы
{Pw = k2wy
^- = (^)+ш, где/-2 = Я
4 условия совместности
иерархия КдФ: ^- = [(Ll)+, Р]
Итак, при поиске симметрии уравнения КдФ в виде инфинитезималь-
ных преобразований (2.12) мы нашли бесконечно много попарно
коммутирующих симметрии. В действительности симметрии уравнения КдФ этим
не исчерпываются. Существует гораздо большее семейство некоммутиру-
ющих симметрии. Однако до того как мы ими займемся, обобщим наши
рассуждения еще больше.

§ 2.4. Иерархия КП
23
§ 2.4. Иерархия КП
Вместо квадратного корня из оператора Шрёдингера (д2 + и)1/2
рассмотрим псевдодифференциальный оператор
L = 0+£/,a-/ (2.16)
/=|
порядка 1 и соответствующую задачу на собственные значения
Lw = kw. (2.17)
Введем бесконечный набор переменных х = (*1,*2,хз,...) и положим х\ =
= jc. Пусть
w = eW»»(, + »L +Н£+ ...), Где 5(*.A) = f>*/. (2.18)
— формальное решение задачи (2.17) (см. упражнение 2.7). Заметим, что
Э £&*)=#£{х*)л (2Л9)
OXj
Рассмотрим систему линейных уравнений
^.=BjW, где B, = (U)+, (2.20)
и заметим, что условие совместности для (2.17) и (2.20) записывается в
ВИДе 9L
Щ = [В,,Ц. (2.2.)
Эти соотношения содержат бесконечный набор нелинейных эволюционных
уравнений для бесконечного числа функций /ь/г, ••• от бесконечного числа
переменных (л?ь.*2,<*з, •••)• Уравнение (2.21) называется иерархией КП,
Если оператор L удовлетворяет условию
(L2)-=0,
то иерархия КП редуцируется к иерархии КдФ. В этом случае L2 = д2 + и
и бесконечный набор функций /ь/г,... определяется единственной
функцией и. Более того, если число / четно, то [B-hL\ = 0 и, следовательно,
dxj
Итак, от бесконечного набора переменных остаются только те, которые
имеют нечетные индексы.

24
Гл. 2. Иерархия КдФ
Иерархия КП, определенная выше как уравнение относительно
бесконечного числа неизвестных функций, может быть записана через одну
неизвестную функцию. Эта неизвестная функция т называется х-функция.
Ниже мы обсудим это утверждение, не приводя доказательств.
Будем искать решение уравнения (2.20) в виде формального ряда вида
оо
w = Me*{x'k\ где М = 1 + ^ wfi'1. (2.22)
Подставляя выражение (2.22) в уравнение (2.17), получаем соотношение
L = ModoM~l (2.23)
между псевдодифференциальными операторами (см. упражнение 2.8). Из
равенства (2.23) следует, что можно использовать функции (Ш|,Ш2,...)
вместо неизвестных функций (/ь/г,.--)- В действительности из условий
совместности (2.21) можно показать, что все эти функции могут быть
выражены через одну функцию т по формуле
w = -^ —t - -^ '-&**) (2.24)
(см. упражнение 2.9). Из этого соотношения можно выразить (w\yW2,...)
через функцию т, например,
ш^-^.т-1, (2.25)
! 2 \дх\ дх2)
*= а-к^ (226)
Итак, иерархию КП можно рассматривать как бесконечную систему
нелинейных дифференциальных уравнений относительно функции т,
зависящей от бесконечного набора переменных (*ь*2,хз,...)• В последующем
т-функция т будет играть фундаментальную роль при обсуждении неком-
мутирующих симметрии иерархий КдФ и КП. Исходная йеизвестная
функция и в уравнении КдФ может быть выражена через т следующим образом:
w = 2^1nx. (2.27)
Иерархия КП содержит следующее уравнение относительно и (см.
упражнение 2.10)
4 0*2 дх\дх3 2й дх 4дх*)' {Z0)

Упражнения к главе 2
25
Упражнения к главе 2
2.1. Объясните связь между уравнением (2.1) и правилом Лейбница в
дифференциальном исчислении.
с» оо
2.2. Пусть L = 52 fk^~k и М = £ gk<P~k- Вычислите композицию
LoAf (для краткости часто обозначаемую просто как LM).
2.3. Вычислите (д + х)~1.
2.4. Пусть Ц и L2 — два псевдодифференциальных оператора
порядков ai и <Х2 соответственно. Каков порядок операторов L\L2 и [Z,i,L2]?
2.5. Объясните, почему не имеет смысла рассматривать четные
значения / в уравнениях (2.12)?
2.6. Чему равна производная ^— в уравнениях (2.12)?
2.7. Получите соотношения между /ь /г в равенстве (2.16) и w\y w<i в
равенстве (2.18).
2.8. Определите М"х для М = 1 +v\d"1 + щд"2 + ...
2.9. Уравнения (2.25) и (2.26) могут быть переписаны как
dim
= -ал,
дх{
^1
^- = -2ш2 + ш|-жг.
Докажите, что эти уравнения совместны.
2.10. Выведите формулу (2.28).

ГЛАВА 3
УРАВНЕНИЯ ХИРОТЫ И ВЕРШИННЫЕ
ОПЕРАТОРЫ
Теория японского математика Хироты для уравнений билинейного
типа является классическим примером свободы творчества в математике.
В 1970 г. Хирота изобрел метод нахождения решений уравнения КдФ и
других солитонных уравнений. В то время была совершенно непонятна
связь этого метода с другими областями математики. Однако хорошая идея
в математике никогда долго не остается в изоляции. В этой главе будет
описана связь между уравнениями Хироты и вершинными операторами,
которые появились впервые в теории элементарных частиц.
§ 3.1. Производная Хироты
Для заданных функций f(x) и g(x) одной переменной х можно написать
разложение Тейлора произведения f(x + y)g(x - у) в окрестности точки
у = 0 в следующей форме:
f(x + y)g(x-y) = f^y}(Dixf.g)yi. (3.1)
Оператор (/,#) к* Щ. g будем называть производной Хироты.
Пример 3.1. Легко проверить, что
Uxte~dxg гдх> °х!е-дх*ё 2дхдх+гдх*'
Заметим, что выражение D^/ • g надо понимать как единое целое и не
следует думать, что Dx есть некоторый отдельный оператор. Более
того, выражение D^/ • g не есть произведение некоторого объекта D*/ на
функцию g. Производная Хироты для функций многих переменных
определяется аналогичным способом. Для двух функций многих переменных
/ = /(Х|,х2,...) и# = £(х,,х2,...) определим

§3.1. Производная Хироты
27
где сдвиги Xi*->Xi±yi определены так же, как и в (1.12). Разложив левую
часть этого равенства в ряд Тейлора по (ух^уъ, •••)» получим
f'g + yi(Dif-g) + y2(D2f-g) + .: + ^y2{(D2J-g) + -
Сравнение с рядом Тейлора для правой части определит все производные
Хироты.
Пример 3.2. Пусть / есть функция двух переменных (*, /). Тогда
Справедливы следующие соотношения:
Воспользуемся формулой (2.27) для определения новой неизвестной
функции т и перепишем уравнение КдФ (1.27) как уравнение
относительно т. Интегрируя один раз по ху получим
д2 / Я2 \2 д4
Учитывая вышеприведенные формулы, последнее соотношение можно
переписать с использованием производных Хироты:
(4DtDx-D4x)TT = 0. (3.2)
Будем обозначать через (Di,D2,...) производные Хироты по
переменным (*1,*2,...)• Уравнением Хироты называется выражение вида
P(D,,D2,...)t-t = 0, (3.3)
где P(D|,D2,...) есть полином относительно (Dj,D2,...)- Посмотрим, как
решается это уравнение. Если полином Р — нечётная функция, то Рт • т =
= 0 для любой функции т. Например, Dxx • т = (дт/дх)х - х(ск/дх) = 0.
Будем всегда считать полином Р четной функцией, что означает
выполнение равенства
P(DUD2,...) = P(-Du-D29...).
Предположим также, что Р(0) = 0, значит, функция т = 1 всегда будет
решением уравнения Хироты. Будем искать решение в виде
T=l+e/i+0(e2).

28
Гл. 3. Уравнения Хироты и вершинные операторы
Взяв в уравнении (3.3) члены первого порядка по е, получим следующее
линейное уравнение для f\\
P(0i.ft....)/i=Of где di = ^. (3.4)
Выбрав набор таких комплексных чисел &i,&2f-« что
Я(*ь*2,...) = 0,
получаем, что функция
является решением уравнения (3.4). В более общей ситуации, если
существуют несколько таких наборов (kf, k^\...), что P(k\\ k\\...) = 0,
функция
/|=]^су^+^+- (3.5)
/=»
опять будет решением уравнения (3.4). Конечно, функция 1 4-е/ь вообще
говоря, не является решением уравнения (3.3) во всех порядках по е.
Однако для п = 1 мы можем оборвать разложение на линейном по е слагаемом
и прямым вычислением убедиться, что функция
удовлетворяет уравнению (3.3). Например, для уравнения КдФ (заменив е
на с) получим, что функция
T=l+ce2kx+2k*'
есть решение уравнения (3.2). Это решение называется односолитонным.
Решение уравнения Хироты, которое может быть представлено как
полином по экспонентам
от переменных х\,*2,..., называется солитонным решением. Выражение
k\X\ +Л2*2 + ".
называют экспонентой. В частности, солитонное решение, имеющее п
различных экспонент, называется п-солитонным.
Выделенным свойством уравнения КдФ как интегрируемой системы
является не то, что оно может быть записано в виде уравнения Хироты, а то,
что при любом п для решения, обладающего линейным приближением 1 +
+ е/ь функция /| будет иметь вид (3.5), т.е. будет существовать я-соли-
тонное решение. Произвольное уравнение Хироты всегда имеет солитон-
ные решения для п = 1,2. Следующее наблюдение является эмпирическим

§ 3.2. КдФ и п-солитонные решения
29
фактом: существование /г-солитонных решений при п ^ 3 до некоторой
степени эквивалентно интегрируемости рассматриваемой системы.
Рассмотрим случай п = 2. Предположим, что для /=1,2 найдены такие
наборы (ft^ftjf,...), что P(*j/),^'),...) = 0. Рассмотрим
т = 1 + г Y, ^*|+^+- + е2/2 + 0(е3).
Слагаемые второго порядка по е в уравнении P(D\, D2, ...)т • т = 0 равны
P(di,d2,...)h + WW™ - А®,4" - 42>-...)Х+*?>*'+^"+^»**+- = 0.
Разрешив последнее уравнение относительно /г, получим
/2" р<> + *<2).4,) + 42).-)
и, обрывая разложение функции т на члене второго порядка по с, найдём
2-солитонное решение. Для Р = ADtDx - D\y выбирая ft(1) = (2ftb2ftf) и
ft(2) = (2ft2,2ft!), получаем
(*1 + *2Г
(см. упражнение 3.1).
§ 3.2. КдФ и /г-солитонные решения
В этом параграфе будут получены /г-солитонные решения уравнения
КдФ. В §3.4 будет доказано, что эти решения совпадают с т-функцией
иерархии КдФ. Введем параметры С|,...,сл, fti,...,ftn и расширим набор
из двух переменных (х, /) до бесконечного набора переменных х\ = jc, *з =
= t, Х5, Х7 и т.д. Для набора переменных Х|,*29хз,... из Ф°РМУЛЫ (2.18)
введём обозначение
оо
5(x,ft) = 5>,ft''
и определим экспоненты 5/ вместе с множителями а„> формулами
Ь = 2§ft?'+%+i = «xf ft,) - «х. -ft,). (3.6)
/=1

30
Гл. 3. Уравнения X и роты и вершинные операторы
Пусть задано множество / = {1,... ,я}. Сумма
т(*,,*з,...) = £ (И*) (И аЛ ехР (£Ц (3.8)
УС/ \/€7 ) I //€/ ) \'€/ /
по всем возможным поднаборам У из / дает я-солитонное решение
иерархии КдФ.
Пример 3.3. В случае п = 3 выполняется равенство
т = 1 + С|в5' + c2eh + сзе^ + с^а^е1^1'1 + с\Сза^1'^+
+ С2СзД2зе52"Кз + с\с2сза\2а \za&£x+*2+§3.
Другими словами, функция т(*1,*з,...) удовлетворяет уравнению
(4D|D3-Df)x-x = 0.
(см. упражнение 3.2).
Введение бесконечного набора переменных требует комментария. Эти
переменные соответствуют коммутирующим симметриям уравнения КдФ,
рассмотренным в гл.1, т.е. иерархии КдФ. Зададимся вопросом о
возможности записи высших уравнений КдФ в билинейной форме Хироты.
Записывая уравнение КдФ порядка 2/ + 1 обычным образом через
неизвестную функцию и, мы получим нелинейное дифференциальное уравнение
относительно двух переменных х\ и *2/+i-
Переписать это уравнение в форме Хироты, используя только
операторы D\ и D2/+1, невозможно, но для любого л-солитонного решения (3.8)
можно попробовать найти такой полином Р, что
P(DbD3.".)T-T = 0. (3.9)
Очевидно, что искомое уравнение Хироты необходимо искать в виде
полинома, содержащего произвольное конечное число производных Хироты.
В качестве примера такого полинома для /z-солитонного решения вида (3.8)
можно рассмотреть полином
D\ - 20D?D3 - 80D23 + 144D,D5.
Для детального изучения этой проблемы присвоим оператору D2/+1 степень
2/4-1 и найдем число уравнений порядка / (включая тривиальные):
порядок
количество уравнений
12 3 4 5 6 7
10 2 13 2 5
Вообще говоря, количество уравнений Хироты из иерархии КдФ
порядка т равно А - В, где А и В — количества способов представления

§ 3.3. Вершинные операторы
31
числа т в виде суммы положительных целых чисел со следующими
ограничениями:
А = количество разбиений числа т на сумму нечетных положительных
целых чисел,
В = количество разбиений числа т на сумму положительных целых чисел,
сравнимых с 2 mod 4.
Например, существует еще одно линейно независимое уравнение
порядка 6: D* + 4Df - 32D3. Можно спросить, все ли уравнения,
появляющиеся таким образом и переписанные как уравнения относительно
функции и, совпадают со всеми уравнениями иерархии КдФ, рассмотренной в
гл. 1? Это в действительности так, но в данной книге мы не будем
заниматься исследованием этого вопроса (см., однако, (3.27)).
§ 3.3. Вершинные операторы
Введение бесконечного набора переменных было существенным шагом
для демонстрации симметрии уравнения КдФ. Во-первых, это позволило
описать существование коммутирующих симметрии ещё одним способом,
а во-вторых, ещё более важна та роль, которую бесконечный набор
переменных играет для формулировки некоммутирующих симметрии, к
которому мы сейчас и перейдем.
В формуле (1.10) было введено понятие инфинитезимального
преобразования. Будем использовать е вместо 9 и рассмотрим инфинитезимальное
преобразование т-функции
^Ф1,Х3,...)=^Т(Х1,Х3,...).
Наша цель — найти инфинитезимальные преобразования такого вида,
которые переводят решение т для иерархии КдФ в другое решение той же
иерархии. В действительности мы увидим, что, начиная с п-солитонного
решения тя, описанного формулой (3.8), можно найти такой оператор X,
что функция
тл+!=ееЧ,
является (п + 1)-солитонным решением.
Пусть k — параметр, имеющий тот же смысл, что и в обозначении
(2.18). Рассмотрим линейный оператор
^)-exp(2g^«^I)exp(-2gwq-^g^). (3..0)

32
Гл. 3. Уравнения Хироты и вершинные операторы
Оператор такого вида называется вершинным оператором. Название
пришло из теории элементарных частиц, но мы не будем углубляться в
объяснение его смысла. Действие оператора X(k) на функцию /(*ь*з,...)
приводит к результату
(см. (1.12)).
Лемма 3.1. Справедливо равенство
Доказательство. Докажем, что два оператора А к В, заданные
формулами
Л = -2 V 1^ *1_, В = 2У41+1х2,+1,
^(2/+1)А2'+1^2/+Г Z^2 2'+ь
удовлетворяют соотношению
ЛрВ _ (*1 -^ЛЛ
~(*1+*2)2
Для этого нам понадобится следующая формула, доказательство которой
оставим в качестве упражнения (см. упражнение 3.3):
если [А, В] — скаляр, то еАеве'А = е^е*. (3.11)
(Под словом скаляр мы понимаем оператор, не содержащий ни операторов
дифференцирования по переменным хьдгз,..., ни операторов умножения на
них.) В рассматриваемом случае
=-|п(1%+|л(1-|)',
,2

§ 3.3. Вершинные операторы
33
значит, оператор [А, В] является скаляром, причём
JA,B] _ (*1 ~" *2)
~(kx+k2r
что и доказывает лемму. □
В процессе доказательства было видно, что для большей аккуратности
следует рассматривать выражение (k\ — k2)2/(k\ + k2)2 как его разложение
в ряд Тейлора по степеням числа k2/k\. Из леммы можно, в частности,
получить, что
ecX{h) = l+cX(k).
Таким образом, оператор ecX(k) • 1 дает 1-солитонное решение. В общем
случае я-солитонное решение в форме (3.8) получается из действия
оператора
x = eciX(k>) вил?*Х(км).\т (3.12)
Получим и исследуем вершинные операторы и /г-солитонные решения
для уравнения КП. Уравнение КП (2.28) в форме Хироты имеет вид
(D? + ЪО\ - 4D, D3)t • т = 0. (3.13)
Мы оставляем это вычисление читателю как интересное упражнение.
Положим P(k\,k2,k%) = k\ + 3*2 - 4Ai*3- Тогда решение уравнения
P(k\,k2yk$) = 0 может быть найдено в виде
(*ь*2.*з) = (Р - яУ - q\p* - Q3) (3.14)
для любых р, q. Более того, для двух разных решений
(Аь*2.*з) = (Р\ ~ ЯиР\ - <7?.Р? - <7?)>
2 „3
мы имеем
(*1. *2. *3) = (Р2 - ?2,Р2 - ?2>Р2 " 92)
P(k\ - *{, *2 " *2> *3 ~ *з) = (Р1 ~ Р2)^1 ~ Q2)
P(k\ +k'{1k2 + kf2,k3 + k'3) {pi-q2)(q\ -P2V
В я-солитонном решении (3.8) положим
ь=£^' - «!>*/=«^л) - «*.*/) (315>
л __ (Pi - Pi')(Qi - qi') /о 1 сч
а"' 7^ ТТЛ ТТ • ^** Ь'
(Pi - Qi'nQi - Pi')

34 Пл. 3. Уравнения Хироты и вершинные операторы
Вершинный оператор X(p,q)y дающий я-солитонное решение
уравнения КП, равен
X{p4q) = exp(fy' - q')x^j ехр(- £ j(p^ - ЯЧ)щ^ (3.17)
(см. упражнение 3.4). Тогда формула
т = ^i^i^i) ... ecnX(pn.qn). J (3.18)
дает дг-солитонное решение. С учетом равенства (3.15) и (3.16) оно может
быть записано в виде
т(*,,х2,...) = £ (Цс,\ ( J] <чЛ exp (5>Y (3,9)
УС/
О*)®-)-'©')-
В следующем параграфе мы докажем, что эта т-функция действительно
удовлетворяет иерархии КП. Условия р,- = -<7/ редуцируют решение
иерархии КП (3.19) до решения иерархии КдФ (3.8).
§ 3.4. Билинейное тождество
Докажем, что функция (3.18) является решением иерархии КП.
Ключевым для этого доказательства является следующий результат.
Теорема 3.1 (билинейное тождество). Для любых х и х' положим
l = l(x,k), Z' = Z(x',k).
Тогда справедливо следующее тождество:
0 = /^("-^-2P'-№+^+2P-")' {320)
где i — мнимая единица.
Здесь контурный интеграл § ^—: означает, что подынтегральная
функция раскладывается в ряд в окрестности точки k = oo и берется
коэффициент при k~l. Если подынтегральная функция является голоморфной на
комплексной плоскости за исключением полюсов в конечном числе точек
k € С, то интеграл может быть вычислен как сумма вычетов в этих точках
(см. упражнение 3.5).
Доказательство. Докажем равенство (3.20). Нужно показать,
что если в формуле (3.19) заменить х\ на х\ — тг- и аналогично x'j на x'j +
+ тг-1 то, вычисляя сумму вычетов в полюсах, мы получим 0. Вычисляя

§ 3.4. Билинейное тождество
35
Аналогично
величину 5/ из равенства (3.15) в точке (х\ - —,ЛГ2 - ^И»---)» получим
Ч/=1 / •
Вычет в точке k = ^ равен
i£JCl\l£J /l//€/ J /€У\{/}
*£(П<<У1ЬЛ
=c^, - л)^»-^' £ m «л / n a«'\ П 7^re^'x
iiJCI\l€J /I We/ I /еУ ^' 4I
Qi - P/
E5/
Pi
e/€y/ .
Вычет в точке k = р\ вычисляется аналогичным образом, и при сложении
эти два вычета взаимно уничтожаются. □
Воспользуемся теперь билинейным тождеством, чтобы
продемонстрировать, что т-функция обеспечивает решение иерархии КП, заданной в
следующих двух формах:
(i) как система линейных уравнений (2.20) и
(Н) как система билинейных уравнений (3.9).
Положим
Jx _ ! х _ _±_ ^
w{Xyk) = Ч*1 *'*2 2f'-)fm9 (3.21)
4*1 + 7»*2 + ТГГо» •• )
w*(x9 k) = -^ £ 2£f—i^W). (3.22)

36
Гл. 3. Уравнения Хироты и вершинные операторы
Тогда эти функции имеют вид
wb.k) = ^(l+J£*f), (3.23)
w*(x, к) = *-««•*> (\ + f; ?jp\ (3.24)
и, как мы только что доказали, удовлетворяют уравнению
/
^w(xyk)w*(x\k) = 0. (3.25)
Получим систему (2.20) из уравнения (3.25). Для этого нам необходимы
два следующих простых утверждения относительно уравнения (3.25):
(1) для любого дифференциального оператора Q по переменным
(jti,jt2,...) из уравнения (3.25) следует равенство
/
^:(Qw{xM^(x\k) = Q\
(2) если степенной ряд вида
оо _
*(*,*) = в*™. £S (3.26)
удовлетворяет уравнению
f^w(x,k)w*(x\k) = 0,
то w\ = й>2 = ••• = 0 (см. упражнение 3.6).
Докажем равенства (2.20). Определим оператор L формулами (2.22) и
(2.23) при помощи функции w, заданной соотношением (3.22). Для
оператора
справедливо уравнение
dxj v^'+
Qw = ~ Lfw + (U)-wt
где в силу равенства (2.17) комбинация (dw/dxj) — Uw имеет вид (3.26).
То же справедливо и для оператора (U)-w = (U)m expf J2 */jc/ )•
Следовательно, функция Qw имеет вид (3.26). Тогда в силу утверждений (1) и (2)
мы получим Qw = 0. D

Упражнения к главе 3
37
Уравнения Хироты на т-функцию возникают из билинейного тождества
следующим образом. Делая замену переменных Xj = Xj + yn x'j = Xj - yjy
получаем
X т(х, - yX + -,*2 - 1/2 + ^2 • - ) =
= /gexp(2g^),xp(g(s,,-i7)D,),.,.
Раскладывая функцию
oo
exp (2 f) k'y^ exp ф [у, - £) D,) (3.27)
в ряд по степеням (уi, (/2,...) и вычисляя коэффициент при £""!, мы получим
различные уравнения типа Хироты (см. упражнение 3.7).
Упражнения к главе 3
3.1. Найдите какие-либо решения уравнения (3.2), полиномиальные
по х и /.
3.2. Проверьте, что 3-солитонное решение уравнения КдФ
удовлетворяет соотношению (3.2).
3.3. Докажите формулу (3.11).
3.4. Вычислите произведениеX(p\iq\)X(p21q2) и коммутатор [X(p\yq\),
^(P2,?2)L следуя методу, изложенному при доказательстве леммы 3.3.
Обращается ли этот коммутатор в нуль?
3.5. Найдите т-функцию иерархии КП, полиномиальную по трем
переменным (*ь*2»*з)- Другими словами, вы должны найти полином, который
является решением уравнения (3.20).
3.6. Докажите утверждение (2), касающееся ряда (3.26).
3.7. Докажите, что уравнение (3.13) следует из (3.27).

ГЛАВА 4
ИСЧИСЛЕНИЕ ФЕРМИОНОВ
Изучая солитоны и их основные свойства, мы начинаем понимать
алгебраические структуры, стоящие за симметриями солитонных уравнений.
В этой главе будут введены и изучены фермионы и их исчисление,
необходимое для описания указанных симметрии.
§ 4.1. Алгебра дифференциальных операторов
До сих пор мы рассматривали инфинитезимальные преобразования
дифференциальных уравнений (или функций) в терминах эволюционных
уравнений. В случае уравнений КдФ и КП, которые имеют бесконечно
много симметрии, а также для рассмотрения соответствующих иерархий как
единых целых были введены функции от бесконечного числа переменных
х — (*1,*2, ...)• В данный момент для определенности мы ограничимся
рассмотрением полиномов от этих переменных. Хотя количество переменных
бесконечно, каждый полином есть конечная сумма мономов и,
следовательно, включает в себя лишь конечное число переменных. Вычисляя вес
полинома, мы присвоим каждой переменной хп вес п.
Говоря про преобразования функций, мы обычно имеем в виду такие
базовые операции, как дифференцирования и умножения на мономы,
составленные из переменных хп. Определим операторы ап и а*, действующие
на полином /(jc), по правилам
MM = |£w. (a*nf)(x)=xnf(x). (4.1)
Эти операторы удовлетворяют следующим коммутационным
соотношениям, называемым каноническими коммутационными
соотношениями:
[ат,ап]=Оу [а*тУа*]=0 и [ат,а*п]=Ът,п. (4.2)

§4.1. Алгебра дифференциальных операторов
39
Можно рассмотреть операции произведения и суммирования
дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами
Е^-**-^,4,-(й7)Р,(^Г-- (43)
что превращает этот набор операторов в алгебру.
Будем рассматривать {аЛ»ЯяЬ=1,2,... как набор абстрактных символов,
удовлетворяющих соотношениям (4.2). Символы ап и а* будем называть
бозонами. В более общей ситуации из набора символов S и набора
соотношений R между ними, пользуясь произвольное число раз
операциями умножения, суммирования и умножения на числа, можно получить
алгебру, порожденную этим набором S и этими определяющими со-
отношениями R. Алгебра В, порожденная набором S = {аПуа*}п=\2,„>
с определяющими соотношениями (4.2) называется алгеброй Гейзенбер-
га. Применяя последовательно канонические коммутационные
соотношения, можно единственным образом выразить любой элемент алгебры В как
линейную комбинацию следующих элементов:
7Р*
для т\ < ... < mr, n\<...<ns и <х/,(3/ = 1,2,..
unt\ ••• итг ип\ ••• ums
Представлением алгебры А в векторном пространстве V
называется линейное отображение р: А —> End(K), удовлетворяющее соотношению
p(ab) = р(а)р(Ь) для всех а,ЬеА. Если алгебра А задана образующими S
и определяющими соотношениями /?, то существование представления
алгебры означает, что линейное отображение p(s) в V задано для каждого
5 е S и что соотношения R выполнены.
В соответствии с этим определением формулы (4.1) означают, что,
задав р(ап) = д/дхп и р(а*) = хп (умножение на переменную хп), мы
определим представление алгебры Гейзенберга В в пространстве всех
полиномов С[х] =С[Х|,*2,*з,...]. Пространство представления С[х] называется
бозонным пространством Фока. Операторы дифференцирования ап =
= д/дх„ называются операторами уничтожения, а операторы умножения
а*=хп — операторами рождения. Заметим, что все операторы рождения
коммутируют между собой, так же как и операторы уничтожения.
Элемент 1 € С[лг] называется вакуумным вектором и обладает
следующими очевидными свойствами:
(1) любой оператор уничтожения ф переводит вакуумный вектор в
нуль: <р • 1 = 0;
(2) пространство Фока порождается этим вектором:
С[х] = В-1:={а-1:а€В}. (4.4)

40
Гл. 4. Исчисление фермионов
Другими словами, пространство С[х] обладает базисом
{ammi...a*mr-l:0<mi^...^mr}, (4.5)
полученным последовательным применением операторов рождения к
вакуумному вектору.
Возможно, читателю не понравится, что о простых вещах говорится
слишком громоздким языком. В последующем бозоны будут
использоваться в их абстрактной форме (4.2), а не как конкретные операторы
дифференцирования и умножения. Поэтому наберитесь терпения и продолжайте
следовать логике нашего изложения.
§ 4.2. Фермионы
Кроме алгебры бозонов В, мы будем работать в основном с другой
алгеброй Лу полученной из тех же канонических коммутационных
соотношений заменой коммутатора [X, Y] = XY - YX на антикоммутатор
[X,Y]+:=XY+YX.
Определение 4.1. Введем символы фл, ф* и следующие базисные
соотношения между ними, называемыми каноническими
антикоммутационными соотношениями (можно считать, что индексы п принадлежат
любому множеству, но удобно выбрать индекс п Е Z + 1/2, принадлежащий
множеству полуцелых чисел):
[Фт,Ф„]+ = о, №;,ф;]+ = о и [ф;,фя]+ = *«+-..<>. (4.6)
Символы ф„, ф* называются фермионами, а алгебру Л с
соотношениями (4.6), которую они порождают, — алгеброй Клиффорда. Обратите
внимание, что соотношения (4.6) содержат как частный случай
определяющее свойство фермионов
ф2=о, ф;2=о.
Так же как и в случае с бозонами, используя последовательно
соотношения (4.6), можно изменить порядок перемножения символов фт, ф*
в любом мономе, так что произвольный элемент алгебры Л будет записан
как линейная комбинация упорядоченных мономов вида
Фт,.-.фтгф;1-.:Фл,. (47)
где т\ <...<тг и n\<...<ns.
Замечание 4.1. Вопрос о том, насколько хорошо определена алгебра Л
и не содержит ли она внутренних противоречий, заслуживает отдельного

§ 4.3. Представление Фока
41
и тщательного изучения. Аргументы не очень сложны, но их приведение
уведет нас далеко от основного содержания этой книги, поэтому мы их
опускаем [К Приведем только окончательный вывод: элементы (4.7)
линейно независимы и образуют базис векторного пространства Л.
Суммируем сходства и различия между бозонами и фермионами. Для
простоты ограничимся случаем только двух образующих а, а* и ф, ф*.
Изученное нами сведём в табл. 4.2. Алгебра Клиффорда Л,
порожденная конечным числом фермионов, всегда конечномерна, тогда как алгебра
Гейзенберга В бесконечномерна даже в случае двух образующих.
Та бл и ца 4.1
Свойства и различия между бозонами и фермионами
образующие
соотношения
базис
Алгебра Гейзенберга В
Бозоны а, а*
аа* - а*а = 1
ата*п длят, /1 = 0,1,2,...
Алгебра Клиффорда Л
Фермионы ф, ф*
фф* + ф*ф=1,ф2 = ф*2 = 0
1,ф,ф*,фф*
Фермионы можно реализовать в виде матриц. В приведенном примере
достаточно положить
♦-G *)• ♦•-(! S)
(ср. упражнение 4.1). Наоборот, бозоны не могут быть представлены
никакой матрицей конечного размера: предположив, что Л, Л* — матрицы
размера пх пу удовлетворяющие соотношению АА* - А*А = 1,
немедленно приходим к противоречию, взяв след этого соотношения 0 = Тг(ЛЛ*) -
-Тг(ЛМ) = Тг(1) = я.
§ 4.3. Представление Фока
Обсудим фермионный аналог представления Фока бозонов в
пространстве С[х,,х2,х3,...].
Рассмотрим диаграмму, составленную из черных и белых камней, как в
игре «го», выстроенных вдоль вещественной оси и занумерованных
полуцелыми числами. Потребуем при этом, чтобы далеко справа (когда п > 0)
все камни были черными, а далеко слева (когда л<0) — белыми.
Диаграммы такого вида называются диаграммами Майя (см. рис. 4.1).
1) См., например, Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы. Гл. 9, §9. — М.: Наука,
1966.

42
Гл. 4. Исчисление фермионов
Обозначив через т\у т2>... положения черных камней, можно
сопоставить каждой диаграмме Майя возрастающую последовательность
полуцелых чисел
т = {"*/}/>ь гп\ <т2<т3<..., (4.8)
где, как мы знаем, т1+\ = rrij + 1 для достаточно больших /. Обозначим
через Т векторное пространство, порожденное набором диаграмм Майя,
••• О О • • О О • О • О •••
_ Ё _ 3 - i ! 3
2 2 2 2 2
Рис. 4.1. Диаграмма Майя
и назовем его фермионным пространством Фока. Базисный вектор,
отвечающий диаграме (4.8), обозначим как |т). Определим левое действие
фермионов на пространстве Фока по следующим правилам:
((-I)1""1 |...,m/_,,m/+i,...),
если т,- = —л для некоторого номера /, (4.9)
О в противном случае,
ф;и = <
(-1)' |...,т;,Я,Ш/+1,...),
если /я,- <n< ntj + 1 для некоторого номера /, (4.10)
0 в противном случае.
В случае /= 1 равенство (4.9) нужно интерпретировать как |/Л2,тз,...),
а для / = 0 равенство (4.10) нужно интерпретировать как |я,т|,т2,...).
Можно проверить, что канонические антикоммутационные
соотношения (4.6) для такого действия выполнены. Фермионы ф„ порождают белые
камни на позициях -п (или, что эквивалентно, уничтожают там черные
камни), тогда как фермионы ф* порождают черные камни на позициях п
(или уничтожают там белые камни).
Поделим все фермионы на два класса:
фермионы {фл,фя} для п<0 называются операторами рождения,
фермионы {фя,фл} ДЛЯ п > 0 называются операторами
уничтожения.
Тогда все операторы рождения антикоммутируют между собой, а все
операторы уничтожения антикоммутируют (будем говорить, что операторы
X и Y антикоммутируют, если XY = —YX). Рассмотрим вектор, отвечающий
диаграмме, где все позиции с отрицательными номерами п < 0
заполнены белыми камнями, а с положительными п > 0 — черными. Для этого
вектора, который мы обозначим символом |vac), выполняются равенства

§ 4.3. Представление Фока
43
rrtj =/'- 1/2, /= 1,2,... Назовем этот вектор вакуумным. Он обладает
следующими свойствами:
(1) любой оператор уничтожения ср обращает в нуль вакуумный вектор:
ср |vac) = 0.
(2) пространство Фока Т порождается вакуумным вектором:
Т = Л • |vac) := {a |vac): а е Л}.
Известно, что пространство Фока полностью характеризуется этими двумя
свойствами. Применяя последовательно операторы рождения к
вакуумному вектору, можно получить (с точностью до знака) вектор, отвечающий
любой диаграмме Майя:
фт, .--фт.Фп,...ф*5 |vac) для Ш\ <...<гпг<0 и П\ <...<ns<0. (4.11)
Элементы (4.11) линейно независимы и образуют базис в Т.
Пример 4.1. Следующий пример помогает лучше понять структуру
представления Фока и правило знаков, которые возникают у векторов
пространства Т. Введем «ложный вакуумный вектор» |fi), который
уничтожается всеми фермионами ф„, п е Ъ +1/2. Тогда «настоящий» вакуумный
вектор |vac) можно формально рассматривать как вектор, полученный
последовательным применением бесконечного числа операторов ф* к \Q):
|vac> = ФТ/2Ф3/2Ф5/2 - -1^> •
Легко убедиться, что элемент в правой части этого равенства уничтожается
всеми операторами уничтожения фЛ,ф^ для п > 0.
Соответствующая структура вакуума в физике элементарных частиц
называется морем Дирака: вакуумный вектор представляет собой не
состояние, в котором совсем отсутствуют частицы, а состояние, в котором
присутствуют античастицы, заполняюющие все возможные «дырки».
Применяя теперь операторы рождения, получаем
ф-з/2 |vac) = Ф-.3/2ФТ/2Ф3/2Ф5/2 ••• lfi> = -Ф1/2Ф-З/2Ф3/2Ф5/2 ••• lfi> =
= Н>1/2Ф5/2Ф7/2 •••№)>
Ф-з/2 lvac> = Ф13/2ФТ/2Ф3/2Ф5/2 ••• №>
и т.д., что объясняет, в частности, и правило знаков. Эти формулы про-
иллюстрированны на рис. 4.2 как уничтожение черного камня (что
эквивалентно рождению белого камня) на месте с номером 3/2, и наоборот,
уничтожение белого камня (рождение белого) на месте с номером —3/2.

44
Гл. 4. Исчисление фермионов
§ 4.4. Дуальность, заряд и энергия
Аналогично пространству Фока Т определим дуальное пространство
Фока Т*. В этом случае мы будем описывать диаграмму Майя
положениями белых камней ...,яз,Я2»Я1 {щ GZ+ 1/2). Элементам векторного
••• О О О • • • •••
_ 1 I
2 2
- О О О •
_\_ 1
2 2
Рис. 4.2. Операторы рождения и уничтожения
пространства J* сопоставим диаграммы Майя, а базисные векторы
запишем как
(n| = (...,/23,/t2v/l||, гДе ...<Лз<Л2</1|,
и Лу+1 = щ — 1 для достаточно больших значений /'. Определим правое
действие фермионов на пространстве Т* по следующему правилу:
(п|фл = <
<п|<КН
(-1)/(...,/1/+|1/1,Л/1...|,
если /1,-+1 <п<п\ для некоторого номера /, (4.12)
О в противном случае;
(-1)1*-1 (...,/1Ж,П/.|,...|,
если /2 = -я, для некоторого номера *, (4.13)
О в противном случае.
Дуальный вакуумный вектор (vac| определяется диаграммой (п|, где /i/ =
= —/ + 1/2 для / = 1,2,..., и, так же как для пространства Фока,
справедливы следующие утверждения:
(1) любой операторы уничтожения ср аннулирует вакуумный вектор:
(vac|<p = 0;
(2) дуальное пространство Фока порождено дуальным вакуумным
вектором:
Т* = (vac| -Л := {a |vac): а € Л}.
Рассмотрим набор
(vac| фт, ...фт,<К, ...<К, для 0<т, <...<тг и 0<п{ < ... <ns

§4.4. Дуальность, заряд и энергия
45
как базис в F*. Будем использовать дираковские бра- и кет-
обозначения (и\ для элементов пространства Т* и \и) для Т, традиционные для
квантовой физики. Действие а е Л на элементы из пространств Т* и Т
запишем как (и\а и а \и). Между двумя пространствами Фока существует
спаривание Т* х !F —► С, обозначаемое ((w|,|t/)) »-> (u\v) и определяемое
формулой
(n|m) = 5т|+П|,о8т2+Л2.о8тз+лз.О ••• у (4.14)
где (n| = (.../Z3^2^i| и |т) = |mim2tfZ3...). Тогда выполнены следующие
свойства:
(vac|vac) = 1 и ({u\a)\v) = (u\(a\v)) для всех аеА. (4.15)
Последнее выражение в дальнейшем будем писать как (ы|а|у).
Та бл и ца 4.2
Заряды и энергии фермионов
Фермион ф„ ф*
заряд 1 -1
энергия — п —п
Электрический заряд и энергия фермионов фл и ф* определены
в табл. 4.4. Зарядом и энергией монома, составленного из ф„ и ф*, по
определению следует считать сумму зарядов и энергий каждого фермиона,
поэтому заряд монома (4.7) равен г - 5, а его энергия -(гп\ + ... + mr +
+ Л| + ... + /!,).
Заряд и энергию можно определить также для базисных элементов \и)
пространства Фока Т. Для этого положим
заряд (или энергия) вектора |vac) = О,
заряд (или энергия) вектора a |vac) = заряд (или энергии) монома а,
где а — такой моном, составленный из фермионов, что a |vac) Ф 0.
Аналогично для дуального пространства Фока Т* мы определим
заряд (или энергия) вектора (vac| = 0,
заряд (или энергия) вектора (vac|a = —заряду (или энергии) монома а
(обратите внимание на знак минус). Обозначим через J7} ) векторное
подпространство пространства Фока, порожденное базисными векторами

46
Гл. 4. Исчисление фермионов
с определенным зарядом / и энергией d, т. е.
= линейная оболочка {ф,„, ...фтгфл, • ••Фл, |vac):
mi <... <mr<0, n\ < ... <ns <0, г-5 = /и - У]/я/ - У^Лу==</}.
Тогда пространство J7 раскладывается в прямую сумму векторных
пространств Т = 0/^/ и ■F/ = 0rf^/rf). Аналогичные утверждения
справедливы для дуального пространства Фока.
Для каждого целого числа / рассмотрим диаграмму Майя, получаемую
сдвигом исходной вакуумной диаграммы на / шагов направо (на -/ шагов
налево, если / < 0). Обозначим через |/) = |/ + 1/2,/ + 3/2,/ + 5/2,...)
соответствующий вектор пространства Т. Аналогичным образом определим
элемент (/| = (...,/ - 5/2,/ - 3/2,/ - 1/2| € Т*. Другими словами, векторы
|/) и (/| определены так:
{(уас|ф|/2...ф-/-|/2 для /<0,
(vac| для/ = 0,
<vac| ф7/2 - - - ф/_ i/2 апя/>0;
{Ф7+1/2 - • - Ф-1/21 vac> для/<0,
|vac> для / = 0,
ф_/+1/2...ф_1/2|vac> для />0.
Среди векторов определенного заряда / эти векторы имеют минимальную
энергию d = /2/2. Заметим, что из определения следуют равенства
(/|ф„ = 0 для п<-1 и (/|ф*=0 для п<1\ (4.16)
фл|/> = 0 для я>-/ и ф* |/> = 0 для п>1. (4.17)
§ 4.5. Теорема Вика
Объясним, каким образом спаривание (4.14) между пространством
Фока и его дуальным пространством может быть единственным способом
выведено из свойств (4.15). Для целей дальнейшего изложения
определим вакуумное среднее элемента а € Л как число (vac|a|vac), которое
для сокращения записи мы обозначать просто (а). Тогда из
соотношений (4.15) и определения операторов рождения и уничтожения следуют
такие свойства вакуумных средних:
i
<<М„>=о, (ф;ф;> = о, (фтф:)=5т+л.0в (Я<о).

Упражнения к главе 4
47
В последнем выражении 9(Р) есть булева характеристическая функция
утверждения Р, равная 1, если утверждение Р справедливо, и 0 в
противном случае.
Например, последнее среднее в формулах (4.18) вычисляется
следующим образом. Очевидно, что правая часть отлична от нуля только в случае
п<0<т. Но тогда из соотношений (4.6) следует, что левая часть равна
(&т+л,0 - флфш) = 8w+„fo(l)-
Продолжая вычислять аналогичным образом, получим
(Ф^ФтФ:>=о,
(ФаФ/ФЖ) = <ф*ф;хф/ф;> - <ф*ф;ш;>.
Технику вычисления средних легко извлечь из разобранных примеров.
Используя антикоммутационные соотношения (4.6), последовательно
переносим все операторы уничтожения направо, а операторы рождения
налево, пока не получим нуль, встретив вакуумные векторы на концах. Однако
каждый раз, когда переставляются два фермиона, из антикоммутатора
возникает числовое слагаемое. Складывая эти слагаемые, получаем вакуумное
среднее.
Понятно, что любой моном а по фермионам фиф* имеет
вакуумное среднее (а) = 0, за исключением случая, когда количество фермио-
нов фиф* совпадает. Следовательно, пространства Т\ и Т\ ортогональны,
если k Ф /. Отметим, что пространства F^ ) и Т\е) также ортогональны,
за исключением случаев, когда k = / и d = е.
Когда количество фермионов фиф* совпадает, необходимо принять
во внимание все комбинаторные способы их расположения. Важно только
помнить об изменении знака, когда переставляются два фермиона.
Обозначим через W = (0rt€z^«) ® (0ябг^Фл) набор всех возможных
линейных комбинаций фермионов. Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 4.1 (теорема Вика). Для w\,...,wr€ W справедливы
равенства
(О, если г нечетно,
£sign(a)(wa(i>tt/o(2))... <wo(r.|)tt;o(r)>v если г четно,
где sign(a) — знак перестановки и сумма идет по всем таким
перестановкам о, что а(1) < а(2),...,а(г— 1) < а(г) и а(1) < а(3) < ... <
< о(г — 1), другими словами, по всем способам парного группирования
элементов до,-.

48
Гл. 4. Исчисление фермионов
Упражнения к главе 4
4.1. Рассмотрим алгебру Клиффорда, порожденную двумя
элементами {ф,ф*} и соотношениями ф2 = ф*2 = 0, [ф,ф*]+ = 0. Определим
представление Фока Т, как в основном тексте, с таким вакуумным вектором
|vac) е Т, что ф |vac) = 0. Докажите, что элементы v\ = |vac), V2 = ф* |vac)
образуют базис пространства Т, в котором действие фермионов фиф*
задано матрицами
♦~G D- *-(? »)•
4.2. Запишите теорему Вика для случая п = 6.
4.3. Докажите, что (фШ| ...фтЖ, •••Ф*,) = det(<cpw-cp*/>). Используя
этот факт, докажите что спаривание (4.15) невырожденно на Т* х Т[.
Билинейная форма F: V х W —► С невырожденна, если
F(u, до) = 0 для всех о; € №=Ф- у = 0,
/^(u, до) = 0 для всех у € V => до = 0.

ГЛАВА 5
БОЗОН-ФЕРМИОННОЕ СООТВЕТСТВИЕ
Хотя описание бозонов и фермионов в предыдущей главе было
представлено почти одинаковым образом, их основные свойства существенно
различаются. Тем не менее, оказывается, можно выразить один тип
операторов через другой. Технически это становится возможным благодаря
использованию бесконечных сумм бозонных и фермионных операторов. Эти
суммы являются производящими функциями, которые часто используются
в квантовой теории поля.
§ 5.1. Использование производящих функций
Производящие функции являются важным средством, позволяющим
проводить вычисления. Поясним это на примере. Введем переменную k и
определим фермионные производящие функции как формальные ряды
Ф(*)= £ <М-л-,/2 и ф*(А)= £ ф^-"-1'2. (5.1)
n€Z+l/2 /26Z+I/2
В последующем мы будем сталкиваться с тождествами между
формальными рядами. Равенство J^ankn = Yl^nkn означает запись в виде одной
формулы бесконечного числа равенств ап = Ьп.
Пример 5.1. Вычислим вакуумное среднее производящих
функций (5.1). Используя соотношение (4.18), получаем
<ФО»)Ф*(0>= £ £ ®mVn)p-m-i/2q-n-l/2 = Y>p-"-i4n. (5.2)
m€Z+l/2 fl€Z+i/2 л=0
Окончательно это выражение может быть записано в виде
<Ф(Р)Ф»> = ^. (5.3)
Правую часть равенства (5.3) следует понимать как разложение по
степеням переменных р, q при \р\ > \q\.

50
Гл. 5. Бозон-фермионное соответствие
Пример 5.2. Используя теорему Вика, легко получить равенство
<ф(/?,)...фЫф*Ы...Ф*(<7,)> = с1е1((ф(Р/)ф*(^))) = det (^т).
Правая часть этого выражения, как рациональная функция, может быть
записана в виде
П (Pi - Pj)(Qj ~ Qi)
(ф(Р|)...фЫф-Ы...ф-(^))= К/</^п {p_Qj) . (5.4)
i </</<«
Эту формулу следует понимать как разложение по степеням
переменных ph qj при |pi| > ... > \рп\ > \qn\ > ... > |?i|.
Замечание 5.1. Равенство детерминанта
det i~^~)
правой части
соотношения (5.4) называется тождеством Коши. Чтобы его доказать,
необходимо умножить детерминант на Yl (Pi ~~ Qj) и заметить, что получив-
шийся полином имеет нули на всех диагоналях рх = /?/ и q-t = q-t для / ф] и
поэтому делится на fj (р,- - pj)(qj — qi). После этого для доказатель-
ства тождества достаточно сравнить старшие степени полиномов.
§ 5.2. Нормальная форма операторов
Работая с дифференциальными операторами, мы обычно пишем их в
«нормальном» порядке, когда дифференцирования расположены справа,
а умножения на функции слева. Если не зафиксировать какой-нибудь
порядок, то такие выражения будут плохо определены, например, (д/дхп)хп =
= х + п(д/дхп) +1. Выбор упорядочения в произведениях придает смысл
операторам даже тогда, когда они содержат бесконечные суммы.
оо
Пример 5.3. Рассмотрим оператор Эйлера ^2(пхпд/дхп)у который
умножает взвешенный однородный полином f(x) на его вес d = deg,/.
Напомним, что переменные хп взвешены с весами degjc„ = п. Этот оператор
определяет вес однородного полинома. Его действие корректно определено
на любом полиноме, хотя он и содержит бесконечную сумму. Если переста-
оо
вить порядок в произведении операторов и рассмотреть £ п(д/дхп)хп, то
такой оператор не будет иметь смысла даже при действии на постоянную
оо
функцию 1. В этом случае мы получаем £ п(\ + х„д/дхп) • 1 =оо.
Введем удобное обозначение. Для любого полинома /?, составленного
из операторов дифференцирования и умножения, обозначение :р: вводится
индуктивно по следующим правилам:

§ 5.2. Нормальная форма операторов
51
(1) :р: есть линейная функция от р и все операторы
дифференцирования и умножения коммутируют внутри двоеточий;
(2):1:=1, :p.-jL:»:p:-jL „ :x„ ■ р: = хп:р:.
Обозначение : р: называется нормально упорядоченной формой
оператора р или просто нормальной формой оператора р.
Пример 5.4. Например, :хп-^— : = : ^— хп : = хп^— и
ОХп ОХп ОХп
. еХп+д/дхп. _ ^п^/дхп
Заметим, что, действуя на полиномы оператором умножения на е*я, мы
выходим из кольца полиномов. Однако действие на полиномах
оператора ед/дХп не приводит к такому результату, так как этот оператор является
оператором сдвига f(x) »-*/(...,хп + 1,...) и не меняет кольца полиномов.
Действуя по аналогии, введем нормальную форму для элементов
алгебры Клиффорда a G Л. Для этого будем использовать такое же
обозначение : •:, как и в предыдущем случае, которое можно назвать бозонной
нормальной формой. В случае необходимости различать нормальные
формы операторов будем использовать нижние индексы: : • :д для бозонной и
: • :f для фермионной нормальных форм. Последнюю определим с помощью
следующих аксиом:
(1) :а: есть линейная функция элемента а, и все фермионы внутри
двоеточий антикоммутируют друг с другом;
(2) :1:=1,и
: а • ср: =: а: ср, если ср — оператор уничтожения, .- -.
: ф*. а: = ср*: а :, если ф — оператор рождения.
Например, для квадратичных по фермионам мономов из этих аксиом
следует равенство
:«: =
т.е.
"" \-фж.
если т < 0 или п > О,
если т > 0 или п < О,
Отметим, что выражения, содержащие бесконечные суммы, определены
как операторы, действующие на пространстве Фока, если они записаны в
нормальной форме. В следующем параграфе этой главы будут приведены
примеры таких операторов.

52
Гл. 5. Бозон-фермионное соответствие
§ 5.3. Построение бозонов из фермионов
Определим операторы #„, где п е Z, при помощи следующей
производящей функции:
£яя*-я-«=:ф(Л)ф*(Л):. (5.6)
пег
Сравнивая коэффициенты при Лл, получаем
Я„ = £ гф-уф)^:. (57)
/GZ+I/2
Заметим, что любой элемент |и) из пространства Фока получается
последовательным применением фермионных операторов к вакуумному
вектору |vac). Тогда очевидно, что : ф-/ф/+я -\и) = 0 для всех значений индекса /',
кроме конечного числа. Тем самым, Нп \и) является конечной суммой для
любого вектора \и).
Определим коммутационные соотношения между операторами (5.7).
Для этого воспользуемся следующими тождествами между коммутаторами
и антикоммутаторами:
[АВ, С] = А [В, С]+ - [Л, С]+В, (5.8)
[АВ,С]=А[В,С] + [А,С]В. (5.9)
Используя равенство (5.8), получим следующие коммутационные
соотношения с фермионными операторами:
[яя,фт] = фт+л, [ял,ф;] = -ф;+я. (5.Ю)
Теперь, используя соотношения (5.9) и (5.10), легко получить следующие
равенства:
[Нт, Нп ] = тЪт+п,о (5.11)
(см. упражнение 5.1). Соотношения (5.11) похожи на бозонные
коммутационные соотношения. Действительно, если для всех п = 1,2,...
положить ап = Н„и па* = //_„, то соотношения (5.11) совпадут с
каноническими коммутационными соотношениями (4.2). Итак, используя бесконечные
суммы произведений фермионных операторов, мы смогли реализовать
бозоны через фермионы!
Оператор Но отличается от всех остальных #„, п ф 0. Он единственный
среди операторов (5.7), который коммутирует со всеми операторами Нп.
Однако если мы положим л = 0в (5.10), то увидим, что оператор Но
измеряет заряд. Действительно, следующие утверждения равносильны:
элемент а имеет заряд, равный / «Ф=> [Wq, а] = la.

§ 5.4. Изоморфизм пространств Фока
53
§ 5.4. Изоморфизм пространств Фока
По определению оператор Нп имеет заряд 0 и энергию, равную -я.
Заметим, что каждый оператор Нп переводит в себя подпространство TidT
с определенным значением заряда /. Сейчас мы объясним, как можно
естественным образом отождествить каждое из этих подпространств Т\ с бо-
зонным пространством Фока С[*ь ...,хп]. Для того чтобы рассматривать
все заряды одновременно, введем переменную z и определим пространство
С[2,г-,,х,,х2,хз,...] = 0г/С[д:,,Х2,хз,...]. (5.12)
Кроме того, определим
оо
//(*) = £*„//„. (5.13)
Заметим, что в силу соотношений (4.17) для каждого / справедливо
равенство
#(*)|/> = 0, (5.14)
где |/) было определено в конце §4.4.
Каждому элементу фермионного пространства Фока \и) G Т поставим
в соответствие полином по переменным z±l и х согласно следующему
правилу:
Ф(И) = ^2/(/|^)|(/>. (5.15)
/ez
Если элемент \и) имеет определенный заряд т, то из бесконечной суммы
по m в правой части остаётся единственное слагаемое с / = т. Правая
часть в действительности определяет полином; мы вскоре увидим, как это
применяется в конкретных примерах, но начнём со следующего
утверждения.
Теорема 5.1 (изоморфизм пространств Фока). Соответствие
Ф:Г->С[г,г-\хих2,х3,...Ъ |и)~Ф(И), (5.16)
является изоморфизмом векторных пространству и
Ш) = <;
Ф<#/„|«))-{Й£Ф(|в>)' еСЛИЛ>0' (5Л7)
-пх-пЩ\и)), если п<0.
Доказательство. Прежде всего заметим, что все операторы Нп
при п > О коммутируют между собой и поэтому
А </| *"<*> \и) = </| A^W |Ы) = </| еНМНп И,

54
Гл. 5. Бозон-фермионное соответствие
что доказывает первую строчку в (5.17). Учитывая соотношения
(/| еН{х)Н-п \и) = (/| еН{х)Н-пе-Щх)еН{х) \и) (5.18)
и [//(*),//_„] =пхп, получаем
е"МН-пе-нЫ = Н-п + [//(*),#_„] + -[//(*), [//(*),Н.п)\ +... =
= Н-п + пх„.
Однако в силу соотношений (4.16) мы получаем, что (/|Я_Л = 0.
Следовательно, правая часть равенства (5.18) может быть записана в виде
(/!(//-„ + пхп)е"М \и) = пхп (1\ ен" |и),
что доказывает вторую строчку в (5.17).
В частности, для \и) = |/) из формулы (5.14) следует, что Ф(|/)) = zl.
Применяя последовательно операторы Я_я к этому вектору, получим, что
элемент 27, умноженный на любой моном от переменных хл, можно
представить в виде Ф(\и)) для некоторого вектора \и). Это говорит о том, что
отображение (5.17) есть сюръекция, т.е. отображение «на». Оно является
также и инъекцией, т.е. отображением «в», но это следует из вычислений
характеров, которые мы опускаем (см. упражнение 5.5). D
Для того чтобы увидеть, что при отображении (5.17) устанавливается
соответствие между полиномами, являющимися элементами фермионного
пространства Фока, необходимо проделать предварительные вычисления.
Так, из определения (5.13) и коммутационных соотношений (5.10) получаем
[Я(х),ф(*)]=5(х,А)ф(*) и [Н(х),У(к)] = -ЦхуЩ*(кЪ
оо
где l{x,k) = £ knxn (ср. с (2.18)). Вычисление, подобное тому, что было
п=\
проделано после формулы (5.18), приводит к соотношениям
Г еН{х)Щ)е"Н{х) = е^к)Щ),
{ енМу(к)е-"М = <Г^*У (*)• ^
Определим полиномы рп(х) из следующего формального разложения
экспоненты:
оо
e\ixji) = ^Рп(х)кп =
= l+jt,*+(jc, + ^2+^3 + jC2Xi + £i^3+ (520)

§ 5.5. Представление фермионов через бозоны
55
Из соотношений (5.19) и (5.20) (вместе с аналогичными уравнениями в
которых была произведена замена х i-> —х) следуют равенства
= *«+*i*«+i + U2 + -jM<|»«+2 + ..., (5.21)
/=° =ф;_Х1ф;+1 + ^_ДС2 + ^ф;+2 + ... (5.22)
Тогда полиномиальные представления для Ф(|н)) являются результатом
применения этих формул.
Пример 5.5. Для вектора ф_5/2 |vac) получим
Ф(ф_5/2 |vac)) = z (11 eH(x)ty-$/2 |vac) =
= z (vac| Ъ\/2еН{х)*{-ь/2е-Н{х) |vac> = zf x2 + §\
где в последнем равенстве было использовано соотношение (5.21).
Аналогичным образом, для вектора ф-з/2ф!_з/21уас) мы имеем
Ф(ф-з/2ф1з/2 |vac» = (уас|е/|(х)ф.з/2в"/|(дг)^(дг)ф1з/2«"Я(г) |vac) =
= (vac| (ф-3/2+^1ф-1/2+ (^2+-^]ф1/2 + ...) X
Х (Ф-3/2 - *1<1>-1/2 + •••) lvac) =
= U3 + x2*i + ^Н • 1 + (х2 + ^J • (-л) =*з - у.
Из приведенных примеров ясно, что при описанном выше изоморфизме
любой конечный вектор фермионного пространства Фока отобразится в
полином.
§ 5.5. Представление фермионов через бозоны
Теорема 5.1 утверждает, что фермионное пространство Фока может
быть отождествлено с бозонным пространством Фока. Таким образом,
должна существовать возможность реализовать действие фермионов на
первом пространстве как применение некоторых операторов на втором.
Сейчас мы опишем эту конструкцию.

56
Гл. 5. Бозон-фермионное соответствие
Введем операторы kH° и ек на пространстве (5.12) следующими
формулами:
(kH«f)(z,x):=f(kz,x) и (eKf)(zyx):=zf(zyx).
Определим операторы
'Щк) = &*е-***-1)е*к*9
y*(k) = e-4x*h^k~X)e-Kk-"\ (5' ]
i
где
А=(±.
С|'2 9x2*3 9x3
П=1
Как было сказано выше, Но является оператором, измеряющим заряд,
и, так как вектору |/) заряда / из фермионного пространства Фока ставится
в соответствие элемент zly мы получаем, что kH°zl = k!zl> и обозначение kH°
естественно. Появление оператора еК более неожиданно, но может быть
мотивировано следующими аргументами. Определим ср(&) как формальный
РЯД
(f(k) = ]Г ^/ГЛ + Но In k + /С. (5.24)
Этот ряд соответствует первообразной для производящей функции
бозонов, так как он удовлетворяет соотношению d(f(k)/dk = £ Hnk~n~l.
«Полег
стоянная интегрирования» /С не является корректно определённым
оператором, но, для того чтобы определить коммутационные соотношения между
операторами ек и //„, мы можем зафиксировать коммутационные
соотношения !>
[Я0,/С] = 1 и [К,Нп] = 0 для п^О. (5.25)
Если, кроме того, мы считаем, что К — оператор рождения, а Но —
оператор уничтожения, то равенства (5.23) можно просто записать в виде
Ф(*) = ***>:* Ф(Л)* = :e'^k):B.
Теорема 5.2 (бозон-фермионное соответствие). Производящие
функции фермионов ф(£) и ф*(&) реализуются в бозонном
пространстве Фока формулами (5.23), т. е. для любого вектора \и) G Т
выполняются равенства
Ф(ф(*)И) = Ф(*)Ф(И) а Ф(ф*(А)|и» = »*(А)Ф(|||».
() Из определения оператора ек очевидно, что он, действуя на элементы рассширенного
пространства Фока (5.12), меняет их заряд и, следовательно, не коммутирует с оператором //о,
который определяет заряд. Конкретный вид коммутационных соотношений (5.27) выбирается
исходя из сравнения фермионного вакуумного среднего (5.3) с нормально упорядоченным
произведением операторов в соотношениях (5.25). — Прим. перев.

§ 5.5. Представление фермионов через бозоны
57
Доказательство. Доказательства этих формул совершенно
одинаковы, поэтому мы докажем утверждение только для ф(А). По
определению
щс*) И)=С *1 м е"{х)№) и=*ш Сг' ^ Ф(*)^(Х) и •
i i
Оператор e~^k~X) действует как оператор сдвига: f(x) »-> f(x - £(£"*)), где
Поэтому утверждение теоремы сводится к проверке справедливости такой
леммы.
Лемма 5.3. Выполняются следующие равенства:
(1\ ф(Д) = Л'"1 (/ -11 *-"<'<*"'», (5.26)
(/|ф*(А) = А-/-1 (1 + 1\е»№~1)). (5.27)
Доказательство. Для простоты рассмотрим случай / = 0.
Общая ситуация рассматривается аналогично. Чтобы доказать
соотношение (5.26), достаточно проверить, что равенство
<ф|/2*-1е-"(е(*~')Ч(Р|) •' • Ф(Р„-1)Ф*Ы ■ • ■ УШ) =
= (Ф(*)Ф(Р0 • • -Ф(Д.-|)Ф*Ы • • -ФЧ?1)> (5.28)
справедливо для любых значений п. Докажем формулу (5.28), вычислив
независимо левую и правую части. Переставляя оператор e~H^k ^
направо, пользуясь формулами (5.19) и заметив, что
мы можем записать левую часть равенства (5.28) в виде
п-\
П(*-р/)
/=1
П(*-*/)
/=1
/^<Ф(Р)Ф(Р1)-Ф(Р|.-1)Ф*Ы-Ф*(^)>-
Интеграл в последней формуле возник из представления Ф1/2 = 4 о^ф(р).
Для вычисления среднего воспользуемся теоремой Вика (см.
формулу (5.4)). После этого интеграл легко вычислить, раскладывая
подынтегральное выражение в ряд по р в окрестности точки р = оо. Полученный
результат совпадает с правой частью равенства (5.28) в силу тождества

58
Гл. 5. Бозон-фермионное соответствие
Кош и:
<Ф(*)Ф(р.) • ••<№>-0Ф*ы • ••<!»• to)) =
"П(*-р.) П (/><-/>/) П (я,-яд
" fl(k-a-) П (Pi-Qj) '
Итак, лемма и, следовательно, теорема 5.2 доказаны. □
Упражнения к главе 5
5.1. Докажите формулу (5.11).
5.2. Вычислите Ф(ф_5/2ф1з/21уас))-
5.3. Пусть хп — переменная, взвешенная с весом /г, а операторы,
имеющие энергию d, обладают весом d. Убедитесь, что оператор //(*),
заданный формулой (5.13), однороден с весом 0. Используя это обстоятельство
и то, что элемент (/| имеет вес /2/2, покажите, что полином Ф(|«)),
отвечающий элементу \и) € rf®, имеет вес d - /2/2.
5.4. Производящая функция размерностей векторных пространств
равная
/€Z
d}>l2/2
называется характером пространства Фока Т. Используя то
обстоятельство, что элементы (4.11) образуют базис в Т, докажите формулу
ch^= Д (l+V)(l+z-V).
/6Z+1/2
5.5. Покажите, что, вычисляя характер бозонного пространства Фока,
можно получить равенство
/€Z /=l
Используя это утверждение и результат упражнения 5.3, проверьте
формулу (тройное тождество Якоби)
П(1 - **М)<1 - аГ V)<1 - Я1) = £(-z)V(/-,)/2.
/=i /€Z
Обратно, из предположения, что тройное тождество Якоби справедливо,
следует, что отображение (5.16) является инъекцией.

ГЛАВА 6
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И т-ФУНКЦИИ
В начале этой главы мы показываем, что линейное пространство
квадратичных по фермионам мономов имеет естественную структуру
бесконечномерной алгебры Ли. В оставшейся части главы будет изучаться группа,
отвечающая этой алгебре. Будет показано, что эта группа есть группа
преобразований уравнения КП, переводящая одно его решение в другое. На
языке геометрии это означает, что группа передвигает вакуумный вектор
по орбите, каждая точка которой есть некоторая т-функция (см. гл.2). Эта
орбита есть подмногообразие в огромном бесконечномерном
пространстве всех функций, и уравнения, которые определяют эту орбиту, являются
уравнениями Хироты.
§ 6.1. Групповое действие и орбиты
В пространстве, в котором задано действие группы, траектория
движения точки под действием этой группы образует некоторую поверхность.
Очевидно, что эта поверхность будет обладать высокой степенью
симметрии, просто потому, что она получена групповым действием.
Утверждение, что группа G действует на множестве S, означает, что
точка gxeS определена для всех элементов группы g£ G и каждой точки
х € S. При этом должны выполняться условия (g\g2)x = g\(g2x) и ех =
= jc, где е е G есть единица в группе. Подмножество Gx = {gx: g € G} С 5
называется орбитой точки х при действии группы G на S.
Центральной темой этой главы будет орбита некоторой бесконечномерной группы в
некотором бесконечномерном пространстве.
Пример 6.1. Возьмем диагональную матрицу
-с-j
и рассмотрим группу
G = {geM3x3W:'gJg = J} (6.1)

60
Гл. 6. Группы преобразований и -z-функции
всех вещественных матриц размера 3x3, сохраняющих У. Пусть лГо есть
точка с координатами
*о = I 0 I .
\°/
Тогда что представляет собой орбита точки лГо при действии группы С?
Легко увидеть, что точка То принадлежит двуполостному гиперболоиду,
заданному уравнением
(6.2)
Действительно, из определения группы G следует, что для всех элементов
g € С справедливы равенства
'(гЗ>)Лг*Ь) = ''xogJg'xo = '*o/*b = 1.
Отсюда легко увидеть, что орбита GТо точки j?o есть двуполостный
гиперболоид (6.2) (см. упражнение 6.1).
§ 6.2. Фермионная реализация алгебры Ли gl(oo)
Обозначим буквой W набор всех линейных комбинаций фермионов.
Замечательным свойством фермионных операторов является то, что
антикоммутатор [до,до']+ любых двух элементов до, о/ € W есть комплексное
число. Вычисляя коммутатор (не антикоммутатор) квадратичных по фер-
мионам мономов, получаем
[ДО1ДО2,ДОзО;4] =W\[W2,WzW4\ + [ДОьДОзДО4]ДО2 =
= ДО1[ДО2,ДОз]+а;4 - ДО1ДОз[ДО2,0;4]+ + [ДО1,ДОз]+^4^2 - Ws[W\,W4]+W2
и видим, что правая часть этого равенства опять квадратична по фермио-
нам. Отсюда следует, что множество
W{2)
= | ^до/доу: до, е WI с Л
мономов, квадратичных по фермионам, замкнуто относительно
коммутатора и, тем самым, образует алгебру Ли. Заметим, что антикоммутаторы
[до,до']+ естественным образом задают поле комплексных чисел С в W&K
Рассмотрим подалгебру в №(2), образованную элементами с зарядом,
равным нулю. Любой такой элемент может быть единственным образом

§ 6.2. Фермионная реализация алгебры Ли д((оо)
61
записан в виде
где о>тп»
а0 е С. (6.3)
m,/i€Z+l/2
Проводя такие же выкладки, как и выше, легко проверить, что
[ф-шф^.ф-ш'фЯ = 5ят/ф_тф^ - 8Л/тф-т/ф^, (6.4)
где m,/z 6Z + 1/2. Рассмотрим коммутатор элементарных матриц
Етп = (8/m8/n),tyeZ+l/2
(матрица Етп имеет элемент 1 на пересечении m-й строки и /г-го столбца
а все остальные её элементы равны 0). Из сравнения формулы (6.4) и
коммутатора элементарных матриц [£тл,£т'Л'] = 5ят/£т„/ -Ьтп'Епт* следует,
что элементы ф-тфл имеют точно такие же коммутационные соотношения.
В главе 5 для определения бозон-фермионного соответствия
рассматривались операторы //„, которые выражались через нормально
упорядоченные произведения фермионных операторов. Рассмотрение таких
операторов эквивалентно наложению некоторых условий на бесконечную
матрицу А = (am/i)mt/i€z+i/2 B (6.3). Эти условия равносильны рассмотрению
произведений фермионных операторов, имеющих нормальную форму:
т%п
Такая модификация приводит к изменению коммутационных
соотношений (6.4). Предположим вначале, что сумма в формуле (6.5) конечна.
Замечая, что нормальное произведение :ф-тфя: отличается от ф_тфл только
на константу, получаем
[хАм=Х>/Ыф-|Ф;.ф-*фп=Х)в**«(*/*Ф-'Ф/ - »лФ-*ф/) =
= £ в//*//СФ-'Ф/: + 8//0(/ < 0)) - £ 6«а<Д:ф-*ф;: + 5*ув(/ < 0)) =
= *и.*1+*>(Л,В), (6.6)
где ^^
со(Л, В) = ]Г al7ft/7(9(/ < 0) - в(/ < 0)) = -со(В, Л) (6.7)
и 9 — булева характеристическая функция, которая была определена после
соотношений (4.18). Итак, модификация формулы (6.5) приводит к
появлению в формуле (6.6) слагаемого со(Л,В), не содержащего фермионных
операторов. Потребуем, чтобы матрица А = (а,у) удовлетворяла
следующему условию:
существует такое N > 0, что ац = 0 для всех /,/, |/ - /| > N. (6.8)

62
Гл. 6. Группы преобразований и х-функции
Область значений индексов для ненулевых элементов матрицы А показана
на рис. 6.1. Затемненные области указывают множество значений индексов
в суммировании в формуле (6.7).
Рис. 6.1. Условие конечности (6.8)
К примеру, матричные коэффициенты оператора Нп из формулы (5.7)
равны ац = 8,+л,/ и удовлетворяют условию (6.8). Если это условие
выполнено, то даже для бесконечных матриц коммутатор и сумма в формуле (6.7)
содержат конечное число слагаемых. В предположении (6.8) для любого
элемента \и) пространства Фока можно увидеть, что Хд \и) содержит
только конечное число членов.
Определение 6.1. Алгебра Ли fll(oo) определена как векторное
пространство
д[(оо) = {Хд: матрица А удовлетворяет условию (6.8)} 0 С, (6.9)
с коммутатором, определенным формулой (6.6).
Коммутатор [-,-], определенный формулой (6.6), удовлетворяет
тождеству Якоби, что является следствием условия коцикличности
постоянного слагаемого (о(Л,А), определённого формулой (6.7):
6)(Л, [В,С]) + о>(В, [С,Л]) + <*(С, [АУВ]) = 0 (6.10)
(см. упражнение 6.2).
Заметим, что коммутатор между фермионами и элементом Хд € fll(°°)
индуцирует линейное преобразование фермионных операторов:
[;Сьф_Л] = 5>т/1ф--т, [ад;] = £(-д™)Ф; (б.и)
т т
(в силу условия (6.8) суммы в правых частях этих формул опять
конечны). Матрицы преобразований для фиф* контраградиентны друг другу

§ 6.2. Фермионная реализация алгебры Ли gl(oo)
63
(т. е. получаются одна из другой транспонированием и умножением на -1),
поэтому можно записать тождество
£ ((и\хА^пИ(и'|ф>'> + (к|ф-л*)№Ф>0) =
/i€Z+l/2
= £ ((^ф.Л^Х^^И + ^^-^г;}^^^!^» (6.12)
nez+\/2
для любых (w|,(w'|,|u),|i/). Это тождество окажется впоследствии очень
важным.
Элементы fll(°°) имеют заряд 0, и поэтому их действие на Т переводит
каждое подпространство фиксированного заряда Т\ в себя. Другими
словами, пространства Т\ являются пространствами представления алгебры
Ли fll(oo). Воспользуемся теперь бозон-фермионным соответствием, чтобы
проинтерпретировать эти представления в пространстве (полиномиальных)
функций от х. Применим результат теоремы 5.2 для произведения
производящих функций фермионных операторов ф(р)ф*(*7). В равенстве
Ф(/?)Ф*(<7) = E(p)E*(q)eKpHoe-Kp-Ho
учтем, что
e-t04>-l)e-ti*4) = 1 C-Ux*)c-U6j>-1)
\-q/p
и, используя соотношение рн°е~к = р~1е~крн°, получим следующее
выражение:
Ф(р)Ф*(<7) = -i—^(^)-5(^)в-^'р",)+5(^",)/7//о?"Яо.
Ограничив действие этого оператора на подпространство с зарядом / = О,
можно исключить операторные сомножители pHoq"H°, так как они
действуют в этом подпространстве тривиальным образом. Учитывая
формулы (5.3) и (5.2), можно представить нормальное произведение :ф(р)ф*(?): =
= ф(Р)Ф*(?) ~ (Ф(Р)Ф*(?)) через вершинные операторы (3.17) для
уравнения КП
Z(P'4) = j=j(X{ptq)-l). (6.13)
Суммируем наши выводы в следующей теореме.
. Теорема 6.1 (представление алгебры д((оо) вершинными
операторами). Пусть операторы 1ц действуют на бозонном
пространстве Фока C[jci,jc2,*3,•••) и определены производящей функцией
Z(p,q)= £ %>-'-'/V'-1/2. (6.14)
i/6Z+l/2

64
Гл. 6. Группы преобразований и х-функции
Тогда соответствие
^2 йтп : ФтФл : ^ ^2 amnZ-mn
определяет представление алгебры Ли gl(oo) на пространстве
С[х|,х2,*з,...].
§ 6.3. Группа преобразований иерархии КП
Наших знаний уже достаточно, чтобы объяснить, как можно
воспользоваться бозон-фермионным соответствием, чтобы единообразно
построить систему линейных уравнений, определяющих иерархию КП и т-функ-
ции.
Определим группу С, соответствующую алгебре Ли fll(oo), как
С := {eXieXi ...е*': Х{ е gl(oo)}. (6.15)
Непротиворечивость определения оператора е* требует отдельного
изучения, но в данный момент мы не будем вдаваться в эти детали. Объект,
который мы хотим изучить, есть орбита вакуумного вектора под действием
группы G:
G |vac) = {g |vac>: g € G}. (6.16)
Используя бозон-фермионное соответствие, можно рассматривать
точку орбиты (6.16) как функцию
Ф) = т(х;£) = (vac| *"<*>£ |vac>. (6.17)
Матричный элемент (6.17) называется т-функцией. Для любого
элемента g € G определим волновую функцию w(x, k) и дуальную волновую
функцию w*(x,k) следующим образом:
„М) = Ш£^Ж>, (6.,8,
(vaqe^wglvac)
(vacletfWglvac)
Учитывая соотношения (5.19), (5.26) и (5.27), приходим к выводу, что эти
функции могут быть отождествлены с т-функциями (3.21)—(3.22),
построенными в гл.З. Покажем теперь как из формул (6.17)—(6.19) можно
получить билинейное тождество.
Теорема 6.2. Справедливо равенство
Res(w*(x,k)(x',k)) = 0 для всех хух'. (6.20)
Л=оо

§ 6.3. Группа преобразований иерархии КП
65
Доказательство. Заметим сначала, что если g E G, то
rt€Z+l/2 n€Z+l/2
Эта формула для g = ^ есть следствие своего инфинитезимального
варианта (6.11). Для любого п либо ф_л, либо ф* есть оператор уничтожения,
поэтому, используя вышеприведенную формулу, получим
- Res«w| ф*(^)я IvacX^^^)^ |Vac» =
fc=oo
= Y, ("1Ф^кас)((/,|ф_лг|уас)= Y, ("1вФЛуас>Ивф-1||уас>=0.
n€Z+l/2 fl€Z+l/2
Выбирая (w| = (lle^W и (w'| = (-\\еН{х')^ получим искомую формулу. □
Пример 6.2. Приведем пример полиномиального решения уравнения
КП. Пусть а и Ь — константы и X = аф_1/2ф!_3/2 + Н-з/2ф!-1/2-
Соответствующий групповой элемент равен
g = е* = 1 + аф-1/2ф!3/2 + *Ф-3/2ф-1/2 + я6ф_1/2ф13/2ф-3/2ф1|/2-
Далее получаем
(ф_1/2(х)ф1з/2М> = *2 - 2^1' <Ф-3/2Мф!|/2W> = *2 + 2Х«»
<ф-,/2Мф*_3/2 (*)ф-3/2Мф*-,/2(*)> = -*1*3 +4 + 4 (621)
(при вычислении последнего выражения использована теорема Вика).
Искомая т-функция равна
Ф;#) = 1 +а(х2- ^xfj +ь(х2 + ^4) +ab(-xixz + 4 + ^V
Так как awb произвольны, мы видим, например, что в пределе при a, b —►
—► оо формула (6.21) также дает решение уравнения КП.
Как мы уже видели в конце гл. 3, из формулы (6.20) следует, что
функция w(x, k) должна удовлетворять серии уравнений в лаксовой форме
относительно переменных *ь*2»*з,••• Поскольку тождество (6.20)
эквивалентно соотношению (3.20), из него получаем иерархию
дифференциальных уравнений на т-функцию в форме Хироты. Справедливо и обратное
утверждение (см. гл.9). Можно показать, что полином t(jc),
удовлетворяющий билинейному тождеству, с необходимостью может быть записан
в виде (6.17) для некоторого g e G. Подводя итог, можно сказать, что
т-функции действительно являются точками орбиты вакуумного вектора
|vac) при действии группы G. Вне зависимости от того, как записывает-

66
Гл. 6. Группы преобразований и t-функции
ся иерархия КП, в виде дифференциальных уравнений Хироты либо как
система линейных уравнений на соответствующие волновые функции, эта
иерархия есть не более чем уравнения, характеризующие орбиту. Суммируя
вышесказанное, получаем
для фермионов: пространство Фока D G |vac),
для бозонов: С[х\, *2, *з,...] D {т-функции}.
По определению группа G естественно действует на орбитах. При
построении солитонных решений вершинные операторы (6.14), введенные
аксиоматически, являются квадратичными комбинациями фермионов и
образующими алгебры Ли, действующей на орбите инфинитезимальными
преобразованиями. Другими словами, вершинные операторы задают инфини-
тезимальные преобразования решений иерархии КП (или т-функций).
Упражнения к главе 6
6.1. Проверьте, что формула (6.1) определяет группу G. Покажите, что
орбита, проходящая через точку То, определяется формулой (6.2).
6.2. Проверьте условие коцикла (6.10) для любых матриц Л, В, С,
удовлетворяющих условию (6.8).
6.3. Получите равенство (6.21) и убедитесь, что прямая подстановка
этого выражения в уравнение КП (3.13) дает нуль.

ГЛАВА 7
ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КдФ
От иерархии КП вернемся к частному случаю иерархии КдФ.
Пространство решений при этом сужается, и соответствующая группа
преобразований становится меньше. Дадим краткое введение в теорию аффинной
алгебры Ли sfe, которая является алгеброй инфинитезимальных
преобразований иерархии КдФ.
§ 7.1. Иерархия КдФ в сравнении с иерархией КП
Иерархии КП и КдФ были изучены в гл.2 и 3. Сейчас сравним их
свойства. Обе иерархии были сформулированы как системы нелинейных
дифференциальных уравнений в частных производных и получены из
условий совместности систем линейных дифференциальных уравнений вида
2j^ = {Ln)+w9 Lw = kw, где L = d'+fid'l+f2d'2 + ... (7.1)
Обе иерархии могут быть записаны в форме уравнений Хироты и имеют
я-солитонные решения для любых п. Например, 2-солитонное решение
задано формулой
т = 1+ c{eli + c2el* + cic2ai2ell+l2.
Более детальное сравнение этих иерархий приведено в табл. 7.1.
Иерархия КдФ может быть получена как редукция иерархии КП. Как
уже объяснялось в гл. 2, условие редукции на языке
псевдодифференциальных операторов выглядит следующим образом: L2 —
дифференциальный оператор. Из системы линейных уравнений (7.1) очевидно, что в таком
случае коэффициенты ш/ разложения в степенной ряд (3.23) функции w не
зависят от времен с четными номерами *2,*4»*б»••• Более того, т-функ-
ция т определяется при помощи функций ш/ из соотношения (3.21).
Следовательно, т-функции иерархии КдФ получаются из т-функций иерархии
КП наложением условия
|1 = 0 для п = 2,4,6,... (7.2)

68
Гл. 7. Группа преобразований для уравнения КдФ
Например, если потребовать, чтобы выполнялось условие
Ч\ = -Pi (73)
для параметров qn Pj всолитонных решениях иерархии КП, то времена
*2, JC4, *б» ... исключатся автоматически и получатся солитонные решения
иерархии КдФ (см. табл. 7.1).
Так как решения иерархии КдФ оказались частным случаем решений
иерархии КП, можно предположить, что группа преобразований, которая
переводит решения иерархии КдФ в себя, будет подгруппой
соответствующей группы иерархии КП. Сейчас мы исследуем этот вопрос.
§ 7.2. Группа преобразований уравнения КдФ
Учитывая условие (7.3) для солитонных решений, потребуем, чтобы
параметры /?, q в вершинных операторах (6.14) удовлетворяли соотношению
р2 = q1. Для двух решений этого соотношения q = ±p получим
w \ \п нечётно / \ п нечётно / /
Первый оператор есть в точности производящая функция бозонов, тогда
как второй совпадает с вершинным оператором для уравнения КдФ,
введенным в гл. 2. Кроме бозонов, пропорциональных переменным хп с
четными номерами я, эти операторы первого типа сохраняют условие (7.2) и,
следовательно, обеспечивают инфинитезимальные преобразования
иерархии КдФ. Какую же алгебру образуют эти преобразования?
Чтобы переформулировать условие (7.4) на фермионном языке,
ограничим произвольные квадратичные комбинации фермионов элементами вида
:ф(/>)ф*(/>): и :ф(р)«П-р):. (7.5)
Легко увидеть, что это условие эквивалентно следующему. Вместо
линейных комбинаций общего положения Ха = Л атп: Ф-лфл : необходимо
рассмотреть комбинации, которые инвариантны относительно сдвигов
индексов:
фл^фл-2, Фп-Фл+2.
Это эквивалентно следующему условию на элементы матрицы А:
атп = am+2,/i+2 а™ всех т, п. (7.6)
Понятно, что бесконечная матрица А = (атп)у удовлетворяющая
условию (7.6), определяется своими элементами атп с индексами т = ±1/2

Таблица 7.1. Иерархия КдФ в сравнении с иерархией КП
Иерархия КП
иерархия КдФ
Временные переменные
Псевдодифференциальный оператор
Нелинейное уравнение
*1.*2.*3.---
Х|,*3.*5.««-
4дх1~дх\дхг 2UЭх 4дх*) dxz 2Uдх + 4 дх*
Уравнение Хироты
(D{ + 2>D\ - 4D,D3)t • т = О {D\ - 4D,D3)x • т = О
Солитоны
g = (Pi - Pj)(4i - Я/)
4 (Pi - Я/)(Я1 - Pj)
5/ = 2 £ Pj*n
/1=1.3,5,-

70
Гл. 7. Группа преобразований для уравнения КдФ
и п € Z + 1/2. Удобно выразить ее как лорановский полином по одной
переменной / (или как полином по переменным /, t~l) следующего вида:
ДЦ\ — V^ Л*-1/2.-1/2+/ Я_|/2,|/2+Л {I
4^ V а1/2.-1/2+/ ^1/2.1/2+/ /
С учетом этих обозначений формула (6.7) может быть переписана в виде
со(А, В) = Res (Tr (^(ОЖ*))) (7-7)
(см. упражнение 7.1). Алгебра Ли, возникающая таким образом,
называется аффинной алгеброй Ли !)
доопределение 7.1 (аффинная алгебра Ли sfe). Рассмотрим
пространство, порожденное матрицами, элементы которых являются лоранов-
скими полиномами по /, и элементом с:
& = {("('J _Р«(1)):«W,P(0.y(0ecu,/-']}ecc.
Это пространство имеет структуру алгебры Ли с коммутатором:
[Л(/),В(0] = H(/),B(/)]mat + Res (Tr (^WB(O)) • с,
[сД®Л(/)]=0 для всех*.
Элемент с коммутирует со всем элементами алгебры, т.е. является
центральным элементом. Индекс «mat» означает коммутатор матриц. Эта
алгебра называется аффинной алгеброй Ли s^.
Подведем итог. Пусть В{2) — алгебра Гейзенберга, порожденная
переменными с нечетными номерами хп, д/дхп (для п = 1,3,5,...). Действие
алгебры В(2) на вакуумный вектор 1 € С[х] порождает подпространство
С[*1,хз,*5,...],
которое можно интерпретировать как орбиту этого действия. Вершинные
операторы (7.4) действуют на этом пространстве. Таким образом,
алгебра В® и операторы (7.4) образуют представление аффинной алгебры sfe.
В этом представлении центральный элемент с действует умножением на 1.
В общем случае, если элемент с действует как умножение на скаляр £,
будем говорить, что представление имеет уровень k. Инфинитезимальные
преобразования, которые переводят решейия КдФ в себя, образуют
аффинную алгебру Ли sfe (точнее, ее представление уровня 1). Точки орбиты
!) Ограничение (7.6) фиксирует алгебру д^» которая имеет подалгебру бесследовых матриц,
описанную в определении 7.1. — Прим. перев.

Упражнения к главе 7
71
вакуумного вектора при действии s^, т. е. т-функции, дают решения
уравнения КдФ в форме Хироты.
Замечание 7.1. Вместо редукции, рассмотренной в этом параграфе,
можно точно так же рассмотреть редукцию ре = qe для произвольного
натурального числа £. Получим другую серию солитонных уравнений.
Соответствующие инфинитезимальные преобразования образуют серию алгебр
Ли sle. Афинные алгебры Ли являются примерами бесконечномерных
алгебр Ли, которые часто используются в приложениях.
Упражнения к главе 7
7.1 Проверьте справедливость формулы (7.7).

ГЛАВА 8
КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ГРАССМАНИАНЫ
И СООТНОШЕНИЯ ПЛЮККЕРА
Эта глава посвящена введению в теорию многообразий Грассмана.
Связь между этим классическим понятием проективной геометрии и
материалом данной книги основана на соотношениях Плюккера. Эти
соотношения будут объяснены для случая конечномерных векторных пространств
как введение в материал, изложенный в следующих главах.
§ 8.1. Конечномерные грассманианы
Область математики, о которой пойдет речь далее, возникла как
развитие проективной геометрии, а также может восприниматься как
дополнение к стандартному курсу линейной алгебры. Метод подачи материала,
которому мы будем придерживаться, не должен показаться современному
читателю выпадающим из контекста книги, тогда как у читателя XIX в.
вызвал бы существенное концептуальное сопротивление. Материал, к
изложению которого мы приступаем, тесно связан с так называемой
линейной геометрией, которая была областью исключительно плодотворных
исследований в математике XIX в. и оказала влияние на современные
исследования.
Пусть V — я-мерное векторное пространство. Для любого такого т,
что 0 ^ т ^ УУ, обозначим через Gr(m, V) или Gr(m, N) набор всех т-мер-
ных подпространств в V. Существуют различные наборы этих множеств
в зависимости от выбора V, N и т, но все они будут называться много-
образиями Грассмана или грассманианами.
В случае т = О существует только одно 0-мерное подпространство {0}
в любом векторном пространстве V, поэтому грассманиан Gr(0, V)
содержит всего одну точку {0}. Теперь рассмотрим т = 1. Тогда грассманиан
Gr(l, V) есть набор одномерных векторных подпространств в V. Другими
словами, элемент грассманиана Gr(l, V) определяется ненулевым вектором
v e V, и два вектора v, v' задают одну и ту же точку грассманиана Gr(l, V)
тогда и только тогда, когда они линейно зависимы, т. е. один вектор равен
другому, умноженному на некоторое ненулевое число. Грассманиан Gr(l, V)

§ 8.1. Конечномерные грассманианы
73
обычно называют комплексным проективным пространством и
обозначают Р(К) или Pyv-i(C) (будем рассматривать коэффициенты из поля
комплексных чисел С).
Рассмотрим, например, N = 2. В этом случае пространство Pi (С)
одномерно и называется комплексной проективной прямой. Точка в Pi (С)
определяется вектором tf = (ai,U2) с координатами vi,t/2€C. Векторы,
для которых V2 = 0 задают точку в Pi (С). Такие векторы образуют
целую линию, но в соответствии с определением проективного пространства
все они определяют одну и ту же точку, называемую бесконечной
точкой в Pi (С). Векторам vy для которых V2 ф О поставим в соответствие
число tf|/u2- В результате вы получим взаимно однозначное соответствие
между точками пространства Pi (С) за исключением бесконечной точки и
точками комплексной плоскости. Если удалить одну точку из двумерной
сферы, то последняя превратится в плоскость (представьте себе сферу,
сделанную из бесконечно растягиваемой резиновой пленки; см.
упражнение 8.1).
Пространство Pi (С) может быть отождествлено с двумерной
сферой. Более аккуратное рассмотрение позволяет доказать, что
пространство Pi (С) гомеоморфно двумерной сфере и даже изоморфно ей как
комплексное многообразие. Аналогично можно догадаться, что
пространство P/v-i(C) содержит копию пространства С^-1, хотя теперь фактор
Р^-1(С)\С^_1 содержит более чем одну точку.
Проективное пространство P(V) и грассманиан Gr(m, V) имеют,
вообще говоря, структуру алгебраических многообразий. Хорошим введением
в теорию алгебраических многообразий является глава 1 в монографии
И. Р. Шафаревича 1К А сейчас мы сделаем полезное упражнение,
которое может дать представление об этом предмете, а именно вычислим
размерность грассманиана. Размерность многообразия совпадает с числом
непрерывных параметров необходимых для определения точки этого
многообразия; грубо говоря, представление о размерности можно получить по
аналогии с размерностью векторного пространства, или можно вспомнить
несколько примеров, таких как сферы (хотя здесь мы, как правило,
имеем в виду размерность над С). В случае проективного пространства точка
в Р(К) задается фиксацией ненулевого вектора с точностью до умножения
на число, следовательно, dimP(V) = N — 1.
Обобщим это рассуждение на случай произвольной размерности т.
Для этого рассмотрим базис в V как набор N линейно независимых
векторов (t>i,...t//v). Таким образом, элемент в пространстве V
задается строчкой векторов длины N. Ясно, что m-мерное векторное
подпространство W С V определено при помощи т линейно независимых векто-
!) И. Р. Шафаревич. Основы алгебраической геометрии. 3-е изд. — М.: МЦНМО, 2005 г.

74 Гл. 8. Конечномерные грассманианы и соотношения Плюккера
ров (До|,...дот). Пусть
wk
(8.1)
Другими словами, мы задаем m-мерное векторное подпространство W cV
матрицей М = (vy) размера т х N и ранга т. Матрица М = Мw называется
остовом пространства W. Однако при определении подпространства W с
помощью матриц остова мы получаем избыточную информацию.
Действительно, два остова М\ и М2 определяют одно и то же подпространство W
тогда и только тогда, когда М2 = gM\, где g e GL(m,C). Для вычисления
размерности грассманиана Gr(m, V) достаточно перенумеровать базис в V
таким образом, чтобы матрица М приняла вид
/1
л
\
где m(N — m) матричных элементов блока справа произвольны.
Следовательно, размерность грассманиана Gr(m, V) равна m(N — m).
Существует другой способ вычисления этой размерности. Выберем
базис в W и расширим его до базиса в V. Свобода в выборе базиса в V
определяется группой преобразований GL(/V,C). Однако среди матриц этих
преобразований есть те, которые оставляют подпространство W (как
множество) неизменным, и они имеют вид
т
N-m
rtij
N-m<
\
N
*
0
>
*
*
>
Множество матриц такого вида является подгруппой в GL(yV,C) и
называется параболической подгруппой. Из этого следует, что пространство
Gr(m, V) имеет
N2 - m2 - (N - mf - m(N - m) = m(N - m)
степеней свободы, т. е. его размерность равна m(N — т).
Следующим нетривиальным примером грассманиана после
проективного пространства является случай, когда N = 4 и т = 2. Это
многообразие Gr(2,4) вкладывается в проективное пространство Ps(C). Это об-

§ 8.2. Координаты Плюккера
75
стоятельство было открыто Плюккером и подробно изучено Клейном и др.
(см. упражнение 8.1).
§ 8.2. Координаты Плюккера
Как было отмечено в предыдущем параграфе, грассманиан Gr(m%V)
имеет структуру алгебраического многообразия. Смысл этого названия
состоит в том, что точки грассманиана Gr(m, V) имеют координаты,
являющиеся решениями системы алгебраических уравнений, и что все эти
решения соответствуют точкам в Gr(m, V). К примеру, окружность есть
алгебраическое многообразие: точка на плоскости имеет две координаты (хуу)у
и окружность — это множество всех точек, координаты которых
удовлетворяют уравнению
х2 + у2 — г2 = 0 для некоторого фиксированного г > 0.
Если рассматривать алгебраическое многообразие в этом простом
смысле, то мы должны, во-первых, указать пространство, в котором
содержится наше многообразие, и, во-вторых, указать, каким способом оно
в него вкладывается. Существует множество способов вложения.
Например, когда мы рассматриваем окружность, то часто не очень интересуемся,
в каком пространстве она лежит. Хотя мы не будем вдаваться во все эти
тонкости, нас будут интересовать пространства, в которые вложены грас-
сманианы.
Начнем опять со случая т = 1. Как уже было отмечено, точка
грассманиана Gr(l, V) =P(V) задается одномерным векторным подпространством
в К, которое натянуто на ненулевой вектор v = (tfi,02»---»tyv) € У- Будем
считать компоненты вектора v е V координатами точки в F(V). Эти
координаты называются однородными координатами пространства F(V) и
не должны одновременно быть равными нулю:
(vl9...,vN)*(0 0).
Между однородными координатами и точками в P(V) нет взаимно
однозначного соответствия. Заметим, что необходимым и достаточным
условием того, что два набора координат (i/|,t/2,...,t>/v) и (v\,v'2^^yVfN) задают
одну и ту же точку, является существование такого ненулевого числа с, что
v'i = сщ для всех i = 1,... ,ЛЛ Таким образом, мы будем представлять себе
пространство P(V) как пространство, состоящее из точек с координатами
такого вида.
Для произвольного т в качестве пространства, в котором
содержится грассманиан Gr(m, V)y обычно берут некоторое проективное
пространство достаточно большой размерности. Объясним, как это можно сделать.
Каждая точка W e Gr(m, V) в грассманиане есть тгмерное векторное под-

76 Гл. 8. Конечномерные грассманианы и соотношения Плюккера
пространство W CV, соответствующее матрице Mw = (и//) с т строчками
и N столбцами. Рассмотрим все миноры размера т х т в матрице М:
где а = (он,... ,ат) и 1 ^ си < ... < ат ^ N. Количество этих миноров,
очевидно, равно f J. Изменение базиса в М приводит к умножению
матрицы М слева на невырожденную матрицу Л размера т х т из группы
GL(m,C). Следствием такого преобразования будет одновременное
умножение всех миноров va на число det Л (см. упражнение 8.2).
Так как существует ( J различных способов выбора миноров размера
т х т из матрицы М, миноры va могут быть взяты как однородные
координаты проективного пространства размерности ( _ ]. Можно показать,
что различным точкам Wy W € Gr(m, V) будут соответствовать
различные наборы (va), (v'J. Эти координаты (va) называются координатами
Плюккера точки W e Gr(m, V).
Существует альтернативный способ введения координат Плюккера. Мы
предполагаем, что читатель знаком с понятием тензорного произведения
векторных пространств, в противном случае ему следует обратится к
подходящему учебнику2). Рассмотрим m-кратное внешнее произведение Дт V
пространства V. Необходимое и достаточное условием того, что т векторов
w\,..., wm € V линейно независимы, состоит в том, что W\ Л ... Л wm ф О Е
€ Дт V. Если W С V есть /л-мерное векторное подпространство, то набор
w\,..., wm будет базисом в нем. Из того, что w\ А... Л wm Ф О, следует, что
подпространство W соответствует ненулевому вектору в Дт V. Однако это
соответствие зависит от выбора базиса. Пусть и/,,... ,w'm — другой базис
и Л — матрица, которая связывает эти базисы:
т
тогда
w\ Л ... Л w'm = det(h)w\ Л ... Л wm
(см. упражнение 8.2). Изменение базиса в W приводит к умножению
вектора на скаляр. Тем самым, мы видим, что существует корректно
определенное отображение Grass(m, V) —► Р(Дт V), называемое вложением
Плюккера. Соотношение между координатами Плюккера и системой
обозначений (8.1) задается равенством
2) См., например, Ленг С. Алгебра. Гл. XVI. — М.: Мир, 1968.

§ 8.3. Соотношения Плюккера
77
С этой точки зрения не очень удобно считать, что индексы ct|,...,<xm
координат Плюккера упорядочены, т.е. ol\ < ... < am. Более естественно
полагать, что координаты Плюккера кососимметричны по индексам. Этому
соглашению мы будем придерживаться в последующем изложении.
§ 8.3. Соотношения Плюккера
Итак, координаты Плюккера (vait„,am) точки в Gr(m, V)
кососимметричны по индексам. Однако не каждый набор из ( J координат, который
меняет знак при перестановке индексов, есть образ некоторого элемента
в Gr(m, V).
Легко увидеть, что между координатами Плюккера для всех точек
грассманиана Gr(m, V) нет линейных соотношений (см. упражнение 8.4).
Однако между ними есть квадратичные соотношения следующего вида.
Теорема 8.1. Пусть 1 ^oti,...,am_i ^ N и 1 ^рь...,рт+| < N —
два набора попарно различных индексов. Тогда выполнено
следующее квадратичное соотношение:
/л+1
2(-1)/"IW«i.-a.-iA.«*i.-A-iA+i.-Ah-i=0- <8'2)
/=1
Соотношения Плюккера часто записывают в виде
т
vai._(«Mt;Pi.-l0M = 2^ °«|.-л-1 Адц.|.-Л|11;Р|.-А-.|лА+|.-А. (8-3)
1=1
для любого s. Формула (8.3) может быть получена из (8.2) перенумерацией
индексов.
Доказательство. Распишем левую часть формулы (8.2) более
подробно:
:»ift •
UmfJ, •
•• »«,_,
•• Wmft_,
«Ift+l •
l>mp/+1 •
•• »ifc*i 1
•* Vn$m+l 1
Раскладывая первый определитель по последнему столбцу, получим
m+1 m
т+\
£н>'
/=1
-1
»1«, .- flam_, dft
U/naj ••• ^тат_| ^тр/
°ift
«■Р,_, W|ft+,
"ifc,
f/яр, ••• fmp(_, Ump/+I ... t»mpm+|

78 Гл. 8. Конечномерные грассманианы и соотношения Плюккера
*>1а, •
Vma\
- "Ц.-1
•• "m*m-,
Сумму по i в рассматриваемой формуле можно представить как
разложение по строке следующих определителей:
»ф, .
Утр, •
"/Р. •
•• «НА-.
"•Р.
У/пр,
у|р/+| •
•• ^IPm+l
- ^Pm+I
•• U/Pm+I
Но все эти определители содержат повторяющиеся строки и, значит, равны
нулю. D
Это соотношение может быть также доказано с использованием
разложения Лапласа определителя размера 2т х 2т (см. упражнение 8.5).
Пример 8.1. Запишем соотношения Плюккера явно в случае Л/ = 4 и
т = 2. Как уже упоминалось, после проективного пространства это первый
нетривиальный пример грассманиана. В этом случае линейно
независимыми координатами будут
*>12, *>13, ^14, *>23» *>24»*>34,
и, выбирая {1}, {2,3,4} в формуле (8.2), мы получим
^12^34 - U|3t>24 + V\aV2Z = 0.
Утверждение, обратное теореме 8.1, тоже справедливо.
Теорема 8.2. Любой ненулевой набор чисел (уа,,-.,ат)» кососиммет-
ричный по перестановке индексов и удовлетворяющий
соотношениям Плюккера (8.2), является координатой Плюккера точки
грассманиана Gr(m, У), т. е. т-мерного векторного подпространства в V.
Доказательство. По предположению (ув| ,_,«„) есть ненулевой
вектор. Предположим, что v\„m ф 0 (всегда можем ограничиться этим
случаем, перенумеровав базис в V, если необходимо). Домножая вектор на
константу, всегда можно добиться, чтобы выполнялось равенство
V\„m = 1.
Такая нормировка будет предполагаться в последующем. Пусть
wij = vuj-\jj+\m,m для 1=1,...,/я и /=1,...,ЛЛ

§ 8.3. Соотношения Плюккера
79
Тогда по построению
wq = 8/у для у ^ т.
(8.4)
Это определяет т векторов W{ = (о/д,...,m/,w), /= l,...,m, на которые
натягивается m-мерное векторное подпространство W cV. Обозначим
w{
ai.-.ая,
Wmai
Wmam
Нужно доказать, что
w*l,~*m=v*L~,*m для всех аь...,ат.
(8.5)
Возьмем набор aj,...,am попарно различных индексов. Пусть Yi»-«-.Ys —
индексы среди ai,...,am, которые больше чем ту и Pi,...,ps — индексы
из набора 1,...,/я, которые отсутствуют в списке ai,...,am. Упорядочим
элементы в списке ai,...,am следующим образом:
1 Pi - I.yi.Pi + 1 Ps ~ l,Ys.Ps+ 1 т.
Так как соотношение (8.4) выполнено по предположению, раскладывая
определитель размера тх т для wait„t0Lm nom-s столбцам, не
содержащим Y/, получаем
И.т, ••• Щггш\
Wa
^PsY,
Докажем равенство (8.5) индукцией по s. Это соотношение очевидно
для s = О или 1. Предположим, что оно выполнено для s < /. Из
соотношений Плюккера (8.3) имеем
.01..
— 2^i 0ai.-.«r-i./.«f+i,-.,am0|i-.f/-l.«r^+l,-.,m»
/=1
где число г произвольно. Выберем значение г, для которого <хг = Y/. Тогда
для /^Pi,...,P/ получим, что
Ua|t~,ar-|(/lar+|(_.,am — U.
Действительно, числа от 1 до т, не входящие в набор {ai,...,am}, — это
в точности Pi,..., Р/. Когда i = Р/, среди индексов вектора tv~..a,_,,p,.ar+,.-..<*«
есть номер, пропущенный в наборе от 1 до т, который равен / — 1. По
предположению индукции
V{
а |, ~ ,ar _ i Д ,ar+1, ~ ,aw
a>ia, .
\wmax .
- *■*-!
•• tt'ma,.,
Wlft W**r+i '
0>mpy Wmctr+, •
•• WlcJ
•• Wm«m|

80 Гл. 8. Конечномерные грассманианы и соотношения Плюккера
Используя последовательно эти рассуждения, указанный определитель
можно записать как
иа\ ,~.,аг» | .Py.o^+i ,~,am
«ton •
«ton •
«to+m •
«ton •
•• ««Pit,-!
•• «Ъ-it,-,
•• «tor,-i
•• «to+i T,_,
•• «tor,-i
«»PiP/
«to-rft
«toft
«to+iP/
«toft
Раскладывая его по последнему столбцу и используя тот факт, что о^р, ■
= 8*/, получаем
^ai,-.,a,_|,p/far+,,~,a/n — ( Ч
Теперь воспользуемся нормировкой U|t_,m — 1 и положим i = p/, ar = у/.
Поскольку 0|,_,i-i,Y/ti+i.-..m = ^y/» соотношения Плюккера (8.3)
превращаются в равенства
«to* •
«to-in •
«to+m •
«tori •
•• «tor,-.
•• «to-iT,-i.
•• «'P/+,Y,_|
" «,P,Y,-,
»«,..л.=5^(-1)/+/»э/Т|-
/=1
«*|T|
"»|Y,-
«ty-lY,-!
WP/+|Y|-|
Собирая эту сумму в определитель, получаем
K.Y, ... wplY,_, wplY,
FP/Y, ... И*т,-| «*гт,|
что доказывает утверждение. D
Можно также доказать, что квадратичные соотношения обеспечивают
все соотношения, определяющие грассманианы, или, другими словами, все
соотношения более высокой степени могут быть получены как следствия
квадратичных соотношений Плюккера.
Упражнения к главе 8
8.1. Постройте взаимно однозначное соответствие между двумерной
сферой без одной точки и точками плоскости.

Упражнения к главе 8
81
8.2. Пусть W — m-мерное подпространство в V и М — остов
подпространства W. Докажите, что если Л G GL(m,C), то координаты Плюк-
кера для остова hM равны координатам Плюккера для /W, умноженным на
det(A).
8.3. Докажите, что различные точки грассманиана Gr(m, V) имеют
различные координаты Плюккера.
8.4. Докажите, что координаты Плюккера не удовлетворяют никаким
линейным соотношениям.
8.5. Приведите альтернативное доказательство соотношений
Плюккера с помощью разложения Лапласа.

ГЛАВА 9
БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ГРАССМАНИАНЫ
В главе 6 было показано, что пространство всех т-функций для
иерархии КП образует орбиту вакуумного вектора при групповом действии.
В этой главе будет показано, что эта орбита является грассманианом, и
будут рассмотрены определяющие этот грассманиан уравнения, т. е.
билинейное тождество. В процессе изложения будут обсуждаться группа
Клиффорда и характеристические полиномы.
§ 9.1. Случай конечномерного пространства Фока
В предыдущей главе был определен конечномерный грассманиан и для
него было введено понятие координат Плюккера и соотношений Плюк-
кера, которые выполняются между ними. В этой главе будет рассмотрена
соответствующая теория в рамках пространств Фока, т. е. будет изучен
вопрос описания множества векторных подпространств фиксированной
размерности в бесконечномерном векторном пространстве. Чтобы связать эту
теорию с материалом предыдущей главы, начнем рассмотрение с
конечномерной алгебры Клиффорда и соответствующего конечномерного
пространства Фока.
Пусть N — некоторое натуральное число. В этом параграфе будут
использоваться фермионы с индексами, не превосходящими N по
абсолютной величине: |/| < N. Предположим, что фермионы ф,-, ф* удовлетворяют
каноническим антикоммутационным соотношениям (4,6), и пусть Ац —
конечномерная алгебра Клиффорда, которую они порождают. Обозначим
через Vyv и V^ векторные пространства, натянутые на фермионы ф,- и ф*
соответственно:
\i\<N \1\<Ы
Положим

§9.1. Случай конечномерного пространства Фока
83
Пусть Ты — конечномерное фермионное пространство Фока,
определенное так же, как и в гл. 4. Вакуумный вектор, заряд и энергия определены
аналогичным образом.
Если g — обратимый элемент из An, to определим Tg при помощи
соотношения
Tg(a) = ёаё"Х для а £ An.
Заметим, что An содержит и необратимые элементы, например, ф^.
Очевидно, что Tg есть автоморфизм алгебры An и выполнены следующие
соотношения:
Tgg> = TgTg>, Tg-i = Tgl и Гс=1 для сеС\{0}. (9.1)
Из этого следует, что множество
G(Wn) = {g€AN'. существует обратный элемент g"1 и Tg(w) е Wn
для всех до € Wn},
образует группу, называемую группой Клиффорда.
Отображение, переводящее пару элементов до, до' е Wn в их
антикоммутатор (до,до') = [до,до']+ ЕС, является невырожденной симметричной
билинейной формой на Wn. Пусть
0(WN) = {Те OL{WN): (T(w), T(w')) = (до,до') для всех до,до' € WN}.
Это ортогональная группа, соответствующая форме (-,—). По
определению группы Клиффорда элемент ge G{Wn) задает элемент Tg Е 0(Wn).
Теорема 9.1. Справедливы следующие утверждения:
(i) любой элемент Те 0(Wn) представим в виде T=Tg для
некоторого ge G(WN)\
(ii) Tg = Tg' тогда и только тогда, когда g = cg* для с е С\{0}.
Утверждение (i) может быть доказано исходя из того соображения, что
группа 0{Wn) состоит из отражений, но мы опустим это доказательство.
Учитывая соотношения (9.1), для доказательства утверждения (ii)
достаточно рассмотреть случай gf = 1. Тогда Tg = 1 и элемент g коммутирует
со всеми элементами из An, т. е. g лежит в центре алгебры An, Однако
известно, что центр алгебры An совпадает с С (см. упражнение 9.1).
Приведем без доказательства формулу, которая позволяет
восстановить g с точностью до скалярного множителя, если задан элемент Tg e
е 0(Wn). (См„ например, работы М. Сато и др. 1978-1980 гг.) Для упро-

84
Пп. 9. Бесконечномерные грассманианы
щения обозначений введем величину
Wi= <
(Ф/-1/2 А™ 1= 1,...,Л/,
ф!л/-1/2 для i = W + 1,...,2/V,
Фглн-1/2-i для •/ = 2jV + 1,..., ЗУУ,
1фзлч-!/2-/ Д™ i = 3N+ I,..AN
и следующие матрицы размера 4W х 4W:
где /г/v — единичная матрица размера 2N х 2/V.
Пусть задан элемент ТG 0(Wn), и пусть матрица £+ + Е-Т невырож-
денна. Определим
/? = (/?//) = (Г-1)(£+ + £_Г)-,У
и построим элемент ge G(Wh) по правилу
AN
g=(g):e*:, где р = j ]T fyw/W/.
Этот элемент и является искомым, т.е. Г= Tg. Здесь (g)2 = g*gdet(£+ +
+ Е-Т), где * есть сопряжение Клиффорда, антиинволюция, определенная
соотношением до* = -до для до € W. (Антиинволютивность сопряжения *
означает, что (ab)* = Ь*а* для любых а,Ь € Луу, т.е. при сопряжении
меняется порядок множителей.) Для g Е G(HP) имеем g*g = gg* € С. Эту
формулу можно получить и в случае когда матрица £+ + £_ Т вырожден-
на, но мы этого делать не будем.
Определим подгруппу Gn в группе Клиффорда следующим условием:
С/у = {а € А: существует такой элемент а"1, что
aVNa~x = VN и al^a"1 = VJJ}. (9.2)
Предположим теперь, что заданы два таких невырожденных линейных
преобразования Vn -» Vn и Кдг -* Vy*,, что
Ф'иЕа^/ и Ф-/^ЦМ'-/> где (*«)=(fl/yr'- (9-3)
Вспомнив определение билинейной формы (-,-) на UPyv, увидим, что
эти линейные преобразования определяют ортогональное преобразование
bWn.

§ 9.1. Случай конечномерного пространства Фока
85
Для данного элемента \и) € Ты обозначим
VN(\u)) = {veVN:v\u)=0}.
Это векторное подпространство в У#. Например,
Mvac»= 0 Сф,.
0<i<N
В более общем случае, если \и) = фт, •••фт.фл, •••Фя, lvac)» гДе т\ < ••• <
< тг < 0 и ^1 < ... < пг < О, мы получим
vN(\u)) = / 0 Сфд еСфт, е... еСфШг.
/ 0 Сфл
I 0<i<N J
Отсюда видно, что dim(Vyv(|">)) = N = -z dim(VV).
Однако если \и) = (ф-1/2ф1,/2 + Ф-з/2ф13/2) lvac)» T0
Vn(\u))= 0 Сф/,
5/2</<yV
и размерность этого подпространства уменьшается по сравнению с
предыдущим случаем и равна N - 2. Вообще говоря, если элемент \и) имеет
заряд 0, то dim V^(\u)) ^ /V (см. упражнение 9.2).
В последующем мы будем рассматривать элементы вида \и) =g|vac)
для geGN.
Лемма 9.2. Для любых g,g* €Gm следующие утверждения
равносильны:
V/v(g|vac)) = Vyvtelvac)) «=> g = cgf для некоторого сеС\{0}. (9.4)
Доказательство. Предположим, что g e G#. Для и е V^(g |vac))
по определению имеем ug\vac) = 0. Заметив, что ug = gTg-i(u), можно
увидеть, что
V*fe|vac» = r,(W|vac»). (9.5)
(В действительности это тождество справедливо для любого элемента \v) €
е Ты, взятого вместо вакуумного вектора |vac).) Следовательно, для
доказательства леммы достаточно доказать утверждение (9.4) только в случае
gf = 1. Предположим, что g € йы и поэтому
Vyv(g|vac)) = VWflvac)).
Тогда ф/g |vac) = 0 для / > 0. Как отмечалось ранее, вы — GL( V/v).
Следовательно, используя формулы (9.2) и (9.3), можно увидеть, что ф*£|уас) =
= 0 для ; > 0. Из свойства единственности вакуумного вектора следует, что
g |vac) отличается от |vac) на скалярный множитель. □

86
Пп. 9. Бесконечномерные грассманианы
Таким образом, действие группы GL(Vyv) невырожденных линейных
преобразований пространства V/v переводит элемент V/v(|vac)) в
векторное подпространство той же размерности N, и обратно, каждое
подпространство в Vyv той же размерности есть образ вектора V/v(|vac)) при
действии элемента из GL(V/v). Отсюда следует, что орбита G/v |vac)
вакуумного вектора может быть отождествлена с грассманианом л-мерных
векторных подпространств в VV Уравнения, задающие грассманиан, есть
соотношения Плюккера, поэтому для грассманиана, обсуждаемого выше,
соотношения Плюккера в то же время есть уравнения, определяющие
орбиту вакуумного вектора. В следующем параграфе будет приведено
уравнение, описывающее орбиту вакуумного вектора в бесконечномерном
случае, который, естественно, включает и случай конечномерного
пространства Фока.
§ 9.2. Описание вакуумной орбиты
Вернемся к обсуждению билинейного тождества из гл. 6.
Теорема 9.3 (билинейное тождество). Элемент \и) пространства
Фока, имеющий нулевой заряд, принадлежит орбите вакуумного
вектора тогда и только тогда, когда
53 ф;н®ф-/И=о. (9.6)
/6Z+1/2
Первая часть доказательства такая же, как и в гл. 6, но для удобства
чтения приведем её снова.
Доказательство. В случае \и) = |vac) либо фермион ф*, либо
фермион ф_,- являются операторами уничтожения, поэтому равенство (9.6)
выполняется.
Пусть Ха — элемент алгебры Ли gl(oo), имеющий следующие
коммутационные соотношения с фермионными операторами (см. (6.12)):
[*/ьфЛ = £(-я/,)ф; и [Хл^-Л^^аМ-,.
/ у
Из этих формул легко получить, что
£ [^,ф;]|уас)®ф./|уас)+ £ <|>Mvac)®[XA,^]\wac) = 0.
/6Z+1/2 /6Z+I/2
Отсюда соотношение (9.6) инвариантно при действии еХл, т.е. оно
справедливо, если \и) есть точка на орбите вакуумного вектора.

§ 9.2. Описание вакуумной орбиты
87
Докажем теперь обратное. Начнем со следующего тождества. Если
положить ср* = ф!_£. + ф* и ср = ф,- + ф_/, то
[<р,ф*]+ = 2 и eKi4>>/2= 1 — ф*ср eG.
Используя это тождество, получим
(1 - (Ф-m, +Ф;)(Фт, +ф-Я1))ф«, ..-ф«,ф; -ф; ivac> =
= (-l)r-4«.-^«^-^;|vac> (9.7)
для любых т\ <... <тг <0 и п\ < ... <яг <0.
Пусть \и) — элемент из Т с зарядом 0. Тогда \и) есть линейная
комбинация слагаемых, каждый из которых получен из вакуумного вектора |vac)
применением одинакового числа фермионов ф/ и ф*. Среди этих слагаемых
возьмем то, которое содержит минимальное число фермионов ф/. Если
таких слагаемых несколько, то возьмем любое из них (например, мы можем
упорядочить их лексикографически по возрастающим значениям индексов
у ф и взять наименьший). Это слагаемое имеет одинаковое число
фермионов ф/ и ф*, и поэтому в нем можно последовательно редуцировать
количество пар фермионных операторов, используя (9.7). Итак, любой
вектор \и) € (Ты)о может быть приведен надлежащим действием элементов из
группы G к виду
|vac) + £c/^;|vac) + ...,
/\/<о
где многоточием обозначены слагаемые, включающие в себя
произведение по крайней мере четырех фермионов. Действуя теперь оператором
ехР (~ ]С с//ф|ф/Л € б, можно редуцировать элемент пространства Фока
V «V<o ')
к виду
|i/') = |vac) + ]Г с//«ф/ф/ф*ф/1уас> + -
/,/А/<0
Как мы уже убедились выше, соотношение (9.6) инвариантно при действии
группы G. Используя это обстоятельство, получаем
2>;И®Ф-/Ю=о.
Из вида элемента \uf) очевидно, что ф*|и') ф 0 для / < 0, поэтому
ф_;|н')=0 для -г>0,
и аналогично
ф;|^) = 0 для />0.
Это доказывает, что вектор \и!) отличается от вакуумного вектора |vac)
умножением на скаляр. D

88
Гл. 9. Бесконечномерные грассманианы
Суммируя вышесказанное, мы видим, что билинейное тождество (9.6)
является в действительности соотношением Плюккера. В следующей главе
эти соотношения будут переписаны при помощи бозон-фермионного
соответствия и мы получим другой способ выведения соотношений Плюккера,
которые были изучены в гл. 8. Кроме этого, возникнут связи с другими
областями математики. Для этого нам необходима некоторая дополнительная
информация, которой мы посвятим следующий параграф.
§ 9.3. Диаграммы Юнга и характеристические полиномы
Сейчас сделаем небольшое отступление, которое поможет нам в
следующей главе понять связь между результатами предыдущего параграфа
и соотношениями Плюккера. Построим характеристические
полиномы, которые образуют один из возможных базисов в кольце полиномов.
Этот базис применяется в другой области математики, а именно в
комбинаторике. Однако, в этом параграфе мы объясним, как при помощи
бозон-фермионного соответствия базис (4.11) пространства Фока (Tn)o
с зарядом нуль описывается характеристическими полиномами.
Начнем с объяснения, что такое характеристический полином. Введем
понятие диаграммы Юнга. Эти диаграммы могут быть описаны
множеством различных способов, например как набор не увеличивающихся
положительных целых чисел (/i,...,/r). В графическом представлении
диаграмму Юнга можно изобразить как рисунок, составленный из квадратной
черепицы в четвертом квадранте плоскости, так что ряды черепицы
выровнены по левому краю и количество квадратов в первом ряду равно f\, во
втором /г и т.д. Единственное требование состоит в том, что количество
квадратов в рядах не увеличивается при переходе вниз с одного ряда на
другой, (см. рис. 9.1).
Рис. 9.1. Диаграмма Юнга I: Y = (5,3,1)
Известно 1\ что если ограничить число строк диаграммами, имеющими
не более чем п рядов, то такие диаграммы параметризуют неприводимые
представления общей линейной группы GL(n,C).
'* См., например, Fulton W.t Harris У. Representation Theory. Chap. 15. — Springer-Verlag,
1991.

§ 9.3. Диаграммы Юнга и характеристические полиномы 89
Диаграммы Юнга имеют следующее альтернативное описание (см.
рис. 9.2).
Рис. 9.2. Диаграмма Юнга II: К = (4,1|2,0)
Пусть Y = (/ь... ,/г) — диаграмма Юнга, и пусть 5 — ее диагональная
ширина вдоль диагонали северо-запад — юго-восток, измеренная от
верхнего левого угла. Обозначим числами т\ > ... > ms количество квадратов,
лежащих в каждом горизонтальном ряду выше этой линии (не включая те,
которые находятся на диагонали) и п\ > ... > ns — количество черепиц,
лежащих ниже этой линии в каждом вертикальном ряду (не включая те,
которые лежат на диагонали). Тогда диаграмму Юнга можно задать этими
наборами чисел:
y = (mi,...,ms|rti,...,/2s).
Используя это обозначение, определим характеристический
полином, отвечающий диаграмме Юнга К, следующим образом:
Ху(х) = det(Am,n,(x)),
где
hmn(x) = (-1Г ^р/+т+1(х)рл_/(-х) = (-1)я+| J>+m+,(x)pn.t(-x)
&о /<о
и полиномы Шура /?,-(*) были определены формулой (5.20) (положим
Pi(x) = 0, если / < 0). Удобно обозначить
qn(x) = (-l)npn(-x).
Полином hmn(x) = Х(т+\,\п)(х) есть характеристический полином,
отвечающий крючкообразной диаграмме Юнга (т + 1, Iя), где Iя означает
последовательность (1,1,..., 1) длины п. Отметим, что рп(х) = Х(л)М есть
характеристический полином, отвечающий диаграмме Юнга, состоящей из
одной строчки длины я, и qn(x) = Х(\я)(х) — диаграмме (Iя) в виде столбца,
составленного из п одиночных квадратов.

90
Гл. 9. Бесконечномерные грассманианы
Пример 9.1. Приведем несколько примеров, где различные диаграммы
Юнга указаны в качестве индекса полинома %:
X0W = 1. Х0)М =*i. X(2)W = у + *2,
JC2 X3 X4
X(U)M = y-*2, Х(2,пМ = у-*з> Х<2,2)М = -^-*1*з + 4
Для краткости более не будем углубляться в детали. Скажем только,
что характеристический полином для диаграммы Юнга Y можно получить
из матрицы представления дял неприводимого характера группы GL(az,C),
определяемого К, записывая сумму степеней собственных значений этой
матрицы через симметрические функции. (Это определение не зависит от
размера матриц п при условии, что оно больше, чем количество строчек в
диаграмме Юнга.) Интересующимся читателям следует обратиться к
специальным учебникам 2К В последующем полином хкМ будем называть
характеристическим полиномом. Известно, что характеристические
полиномы образуют базис в кольце полиномов.
Теорема 9.4. Бозон-фермионное соответствие устанавливает
изоморфизм между векторами пространства Фока с зарядом нуль
вида
для mi<...<mr<0 и /zj <... <яг<0
и характеристическими полиномами для диаграммы Юнга
следующего вида:
Г = (-т,- 1/2 -т, - 1/2 |-/1,-1Д ....-л,-1/2),
, <4Z>/+l/2)+r(r-l)/2
умноженными на (-l)/ssl
Для доказательства мы воспользуемся следующей леммой. Определим,
как в гл. 5, фермионы, зависящие от времен:
фя(х) = еН{х%е~Н(х\ ф;(х) = eH{x)ty*ne-H{x)
и, используя формулы (5.21) и (5.22), запишем
оо оо
ФпМ = ^Ф,1+/Р/М и ф;(*) = ]£ф;+/ру(-х).
/=0 /=0
2) См., например, книгу Макдональд И. Г. Симметрические функции и многочлены
Холла. — М., Мир, 1985.

§ 9.3. Диаграммы Юнга и характеристические полиномы
91
Лемма 9.5. Для т,п>0 выполняется равенство
hmn(x) = (-1)" (vac| ф-т-1/2(*)ф1,,-|/2М |vac).
Доказательство. Подстановка указанных формул приводит к
соотношениям
оо
(vac| ф/(хЩ(х) |vac) = J] (vac| ф/+5ф;+/ |vac) ps(x)pt(-x) =
-У-1/2
= ]Г JZ PsWP/(-^)*i+y+*+/.o = 5^ P-i-j-tMM-x) =
-s</0</<-/ /=0
-/-1/2
= J] p>/+1/2+/(;r)P-/-i/2-/(-X) = (-l)/'+1/2/l_/_.|/2,-./-|/2W. □
/«0
Для доказательства теоремы 9.4 осталось сравнить определение
характеристического полинома и формулировку теоремы Вика.
Возникающие здесь диаграммы Юнга могут быть более просто
выражены в терминах диаграмм Майя. Объясним связь между
диаграммами Майя и диаграммами Юнга (см. рис. 9.3). Опишем это
соответствие на конкретном примере» надеясь, что ситуация с общим
случаем будет ясна из этого примера. Рассмотрим диаграмму Майя т =
= {—7/2,-5/2,-1/2,3/2,7/2,...}, где многоточие означает, что начиная
с этого места все позиции заняты черными шарами.
Представим себе бесконечную рулетку с метками, отвечающими целым
числам. На этой рулетке между метками располагаются белые или черные
камни в соответствии с заданной диаграммой Майя. Будем сгибать рулетку
в зависимости от положения этих камней и в соответствии со следующим
правилом. Начнем с номеров / < 0, где все камни с номерами i < -7/2
белые. Для этого сегмента диаграммы Майя поместим нашу рулетку
вертикально. Когда при движении вдоль диаграммы Майя мы встретим черный
камень, повернем рулетку направо на 90°. Когда начнутся появляться одни
черные камни, будем продолжать выкладывать рулетку направо до
бесконечности.
В рассматриваемом примере рулетка располагалась вертикально до
метки -4. Присутствие черных камней на позициях -7/2 и -5/2 привело к
повороту рулетки направо на два шага от -4 до -2. Затем один шаг вверх
(для -3/2), один вправо (для -1/2), вверх (для 1/2), вправо (для 3/2),
вверх (для 5/2). Так как все камни, начиная с позиции 7/2, черные, далее
рулетка направлена горизонтально направо.
Этим способом диаграмма Юнга может быть определена как область
плоскости, ограниченная продолжениями вертикальной и горизонтальной

92
Гл. 9. Бесконечномерные грассманианы
частей рулетки и ее искривленной части. Заряд диаграммы Майя
отождествляется с числом I + 1/2, если два продолжения горизонтальных
участков встречаются в интервале от / до / + 1. В настоящем примере
заряд равен —1 (см. рис. 9.3). Диаграмме Юнга можно приписать заряд,
О
о о • о о
7_5_3_1 1 3 5 7
"2 2222222
-1
-2
-3
-4
1 2 3
» I »
7 _5
+ 22
Рис. 9.3. Диаграмма Майя т = {-7/2,-5/2,-1/2,3/2,7/2,...}
и соответствующая ей диаграмма Юнга
если сначала расположить ее в четвертом квадранте плоскости, так чтобы
левый верхний угол диаграммы совпал с началом координат, и затем
сместить ее вверх или вниз (но не в сторону), так чтобы левый верхний угол
достиг нужного заряда. Чтобы перейти от заряженной диаграммы
Юнга к диаграмме Майя, проделаем те же шаги в обратном порядке. Этим
устанавливается взаимно однозначное соответствие между заряженными
диаграммами Юнга и диаграммами Майя.
Рассмотрим диаграмму Майя с белыми камнями при — тГ < ... < —т\
между метками с положительными номерами, и с черными камнями при
п\ < ... < ns между метками с отрицательными номерами.
Соответствующая диаграмма Юнга может быть описана следующим образом. Ее
диагональная ширина равна max(r,s). Если г ^ s, то количество квадратов
справа от диагональной линии в каждой последовательной строке равно
-mi - l/2-(r-s)>...>-mr- 1/2-(г-5),
а число квадратов ниже диагонали в каждом столбце есть
-п\ - l/2 + (r-s)>...>-/is- 1/2 + (г-s)>r-s- 1 >...>0.
Если О г, то количество квадратов справа от диагональной линии в
каждой строке равно
-mj + l/2 + (s-r)>...>-mr+ 1/2+ (s - г) >s - г> ... > 1,

Упражнения к главе 9
93
а число квадратов ниже диагонали в каждом столбце равно
-л, - 1/2 - (s - г) > ... > -ns - 1/2 - (s - г).
Упражнения к главе 9
9.1. Докажите, что конечномерная алгебра Клиффорда A(Wn),
введенная в § 9.1, изоморфна алгебре всех матриц размера 22N x 22N (ср. гл. 4,
упражнение 4.1). Используя этот результат, докажите, что центр алгебры
A(Wh) совпадает с С.
9.2. В случае конечномерного пространства Фока докажите, что
dim Vyvfl")) ^ ^ Для элемента \и)у имеющего нудевой заряд.
9.3. Проверьте соотношение между диаграммами Юнга и диаграммами
Майя, описанное в §9.3, в частном случае
т = {-11/2, -7/2, -3/2, -1/2,5/2,7/2,13/2,...}.
9.4. Определите характеристические полиномы, отвечающие
следующим диаграммам Юнга:
(а) К, =(3,1);
(б) У, =(3,2,1);
(в) К, =(4,2,1).

ГЛАВА 10
БИЛИНЕЙНОЕ ТОЖДЕСТВО
В этой главе будет показано, что билинейное тождество, которое
обсуждалось в предыдущих главах, может быть переписано как соотношения
Плюккера для бесконечномерного грассманиана. Эту главу можно
рассматривать как упражнение по применению теоремы Вика. Кроме того, из
соотношений Плюккера будет получено уравнение Хироты.
§ 10.1. Билинейное тождество и соотношения Плюккера
Пусть \и) efo — элемент пространства Фока с зарядом нуль и
f(x;\u)) = (vac\e"M\u).
Тогда вследствие бозон-фермионного соответствия этот матричный
элемент как функция времени х — элемент бозонного пространства Фока,
соответствующего вектору \и). Так как характеристические полиномы хк(*)
образуют базис полиномиального кольца, мы можем разложить /(*; \и)) по
этому базису:
/(д:;И)*^ск(И)хк(х).
Y
где xy(x) — характеристический полином для диаграммы Юнга Y и
суммирование происходит по всем диаграммам Юнга. В этом параграфе будет
показано, что необходимым и достаточным условием того, что левая часть
этого равенства есть т-функция для иерархии КП, является условие, что
коэффициенты су(\и)) удовлетворяют соотношениям Плюккера.
В главе 4 было показано, что пространство Фока Fq с зарядом нуль
порождено векторами вида
/(^/|) = фя,1...ф«гф;1...ф;г|уас>1
где т = (mi,...,mr) ил = (Л|,,..,лг). Однако в этой главе
использование такой параметризации базисных векторов не совсем удобно, так как
это ведет к многочисленным несущественным знакам в формулах.
Чтобы избежать этого, занумеруем базисные векторы пространства Фока Ti

§ 10.1. Билинейное тождество и соотношения Плюккера
95
диаграммами Майя а = (ay)y^i. Для этого мы расширим понятие диаграмм
Майя, В главе 4 последовательность а полуцелых чисел была названа
диаграммой Майя, если выполнялись следующие условия:
(i) ay < ay+i для всех / ^ 1,
(ii) ay 4- 1 =ay+i для достаточно больших у.
В этой главе мы опустим условие (i) и потребуем только выполнения
условия (ii). Такую последовательность чисел а назовем заряженной
диаграммой Майя,
Пусть a — заряженная диаграмма Майя. Положим
/=.lim(/-a/-i).
Целое число / назовем зарядом диаграммы а. Сопоставим диаграмме a
вектор |а) € Т\. Очевидно, что |а) есть вектор пространства Фока с
зарядом /.
Если условие (i) выполнено, то
|«)=ф:,ф;ф; •••№>• с0-1)
Пусть диаграмма а имеет вид
a= f/t|,.,.,/!*-, 2»--»~mr- 1,-/яг+ l,...,-mi - 1Э/И| + 1,... J.
Тогда вектор |а) совпадает с фШ|... фт,фл, ••• Фяг lvac) c точностью до знака.
Определим |а) = 0, если ау = а* для некоторых индексов у Ф k.
Выбирая такую перестановку индексов а: {1,2,..,} -* {1,2,...}, что o(j) =y
почти для всех у, из диаграммы а можно получить диаграмму 0: Ру = ао(у).
Подберем эту перестановку таким образом, чтобы для диаграммы р было
выполнено условие (i), В этом случае |а> = sign(a) ||3).
Для краткости будем говорить, что диаграмма а есть диаграмма Майя,
даже если она не удовлетворяет условию (i). Для полуцелого числа b
и диаграммы Майя а обозначим через а @ b диаграмму Майя вида
(&,<хьсх2,<»<)• Для диаграммы Майя а обозначим через аЭау диаграмму
(ab...,ay_i,ay+i,...). Если |a)GJv, то |aeft>€7/+i и |а0а/) €5/_|.
В §9.2 (теорема 9.3) было показано, что необходимым и достаточным
условием того, что элемент
/=5>(a)|a>
a
принадлежит орбите вакуумного вектора |vac), является соотношение
£ ф;/®(|м/=о. (Ю.2)
iez+i/2

96
Пп. 10. Билинейное тождество
В формуле для элемента / суммирование проходит по диаграммам Майя
в строгом смысле, т.е. по элементам с зарядом нуль. Удобно
использовать обозначение с(а) и для произвольной заряженной диаграммы Майя.
Положим с(а) = 0, если |а) = 0. Для диаграмм аир, описанных выше,
положим
с(а) = sign(a)c(P).
Основным результатом этой главы является переформулировка
условия (10.2) на языке коэффициентов с(а). Пусть у — диаграмма Майя с
зарядом 1, а 8 — диаграмма Майя с зарядом —1. Тогда условие (10.2)
эквивалентно следующему:
5](-1)Мтет/И5ег/) = о. (Ю.З)
/=1
Доказательство этого факта несложно, и мы оставляем его читателю.
Приведем пример для у = {-1/2,1/2,3/2,...} и 5 = {-3/2,5/2,7/2,...}:
0 = с({1/2,3/2,5/2,...})с({-3/2,-1/2,5/2,7/2,...})-
-с({-1/2,3/2,5/2,...})с({-3/2,1/2,5/2,7/2,...}) +
+ с({-1/2,1/2,5/2,7/2,. ..})с({-3/2,3/2,5/2,7/2,...}). (10.4)
§ 10.2. Соотношения Плюккера и уравнение Хироты
Используя результаты предыдущего параграфа, покажем, что
соотношения Плюккера приводят к билинейным дифференциальным уравнениям
Хироты.
Для элемента g £ G определим функцию
i(x;g) = (vac\eH{x)g\vac),
которая является элементом бозонного пространства Фока вследствие бо-
зон-фермионного соответствия. Это есть т-функция иерархии КП. Так как
характеристические полиномы образуют базис в полиномиальном кольце,
можно представить функцию x(jc;g) как их линейную комбинацию:
*(*:*) = ^CY(g)XY(x)>
Y
где хуМ — характеристический полином, соответствующий диаграмме
Юнга У, и суммирование происходит по всем диаграммам Юнга. В
предыдущем параграфе было показано, что коэффициенты cy(g) удовлетворяют

§ 10.2. Соотношения Плюккера и уравнение Хироты
97
соотношениям Плюккера. Будем называть эти коэффициенты cy(g)
координатами Плюккера для т-функции t(jc).
Напомним, что т(х) есть элемент полиномиального кольца С[х\,х2»...].
Обозначим через <?/ частные производные по переменным jq, и пусть
C[c?i,c?2,•••] — полиномиальное кольцо, порожденное д\. Это кольцо
является коммутативным кольцом дифференциальных операторов с
постоянными коэффициентами. Используя подстановку х{ ь-> (1//)9/ для каждого
полинома р(х), запишем дифференциальный полином р(дх) Е C[di,#2,...].
Формула
<Р0хШ))=Р(Шх)\х_4) (Ю.5)
описывает невырожденное спаривание между полиномиальными
кольцами C[c?i,c?2,...] и C[jcj,jc2,...]. Легко увидеть, что при этом спаривании
элементы
^mi. m2.... Jm|^o,m2^0^
образуют дуальные базисы. В частности, если как в гл. 4, присвоить
переменной jc/ степень / и символу dt — степень -/, то можно записать
разложения этих колец в однородные компоненты:
C[jc,,x2,...] = 0C[jc]n и С[д,,&,...] = 0С[&]_,,.
Спаривание (p(dx)J(x)} индуцирует такое невырожденное спаривание
между С[х]п иС[дх]-Пу что (С[дх]-тХ[х]п) = 0 для тфп.
Если перейти к базису кольца C[*i,jc2,...], образованному
характеристическими полиномами, то будет справедливо следующее соотношение
ортогональности (см. упражнение 10.3).
Лемма 10.1. Для любых двух диаграмм Юнга К, Y1 выполняется
равенство
(хИ&),Ху'М)=&ут'.
Другими словами, любой полином f(x) € C[xi, jc2, ...] может быть
записан как линейная комбинация характеристических полиномов:
/(^Х/кхуМ,
Y
а коэффициенты су вычисляются следующим образом:
CY = <XY(8xhf{x)).

98
Пп. 10. Билинейное тождество
Это соотношение ортогональности позволяет получить много
интересных следствий. Для geG положим g(x) = eH(x)ge~H(x) и рассмотрим
следующую цепочку равенств:
<х + *;«) = (vac| e^+^g | vac) = (vac| eH(x)eH{y)g |vac) =
= *(x;g(y)) = ][>(гДОЫ*). (10.6)
Y
Тогда в силу леммы 10.2 получаем
суШ) = (хуФх)Мх + У\В)) = ХуФхЫх + у\в)\х^.
Используя соотношение
dx(x + y\g) = dz(x + y;g)
dxi dyt
вместе с разложением
<х + У\ g) = Yl cy(S)Xy(x + У),
Y
нетрудно получить, что
cy(g(y)) = ХгФуЫх + y;g)\x_^ = XY(8y)*iyig)-
Это позволяет сформулировать следующую лемму.
Лемма 10.2. Пусть Cy(g) — координаты Плюккера функции
*(x\g) для элемента g € G. Рассмотрим временную эволюцию g(x) =
— eH(x)ge-H(x) груППОвого элемента g. Пусть z(x\g) — т-функция
соответствующей иерархии КП. Тогда справедливы следующие
соотношения:
0) cY(g) = XY0xHx\g)\x^
00 суШ) = Ху(Шх-*В).
В частности, функции {cy(g(x))} также являются координатами
Плюккера для т-функции иерархии КП.
С учётом того, что координаты Плюккера удовлетворяют соотношениям
Плюккера, из утверждения (и) предыдущей леммы получаем, что т-функ-
ция удовлетворяет билинейным дифференциальным уравнениям Хироты.
Пример 10.1. Запишем соотношения Плюккера, которые
рассматривались в конце § 10.1, через т-функцию. Используя таблицу
характеристических полиномов из примера 9.1 и лемму 10.2, соотношение Плюккера
(10.4) можно записать как следующее дифференциальное соотношение на

Упражнения к главе 9
99
т-функцию:
О = ±т(х) • (dt - Адхдг + З^)т(лг) - \dxz(x) • (flf - дъЫх) +
+ j(ef + ft)TW-(fl?-ft)xW.
Если преобразовать это дифференциальное уравнение в форму Хироты,
мы получим
(D? + 3Di-4D,D3)T.T = 0,
что совпадает с уравнением КП в форме Хироты, которое уже появлялось
в гл.З.
Упражнения к главе 10
10.1. Докажите условие (10.3).
10.2. Покажите, что соотношение Плюккера (10.4) есть то же самое
соотношение Плюккера, что и в §8.3. Объясните причину этого факта.
10.3. Найдите матрицу, описывающую связь базисов
{*3,*2*Ь*?/6} и {X(3)W.X(2.I)W.X(1.U)W}
в пространстве кубических полиномов. Проверьте соотношение (10.2) для
этого случая.
10.4. Определите соотношение Плюккера, из которого получается
дифференциальное уравнение в билинейной форме Хироты
(D]D2 + 2D2D3 - 3D|D4)t • т = 0.

Решение упражнений
Глава 1
1.1. Необходимо найти такую функцию F(xft), что
F(x,0)=x и dF/dt = x2{dF/dx).
Разложите эту функцию по степеням переменной / в виде F(x,0) = х + ta\ +
+ t2a2 4-... и подставьте в уравнение. Сравнивая коэффициенты при разных
степенях переменной /, вы получите, что а\ = х2 и т.д. Постарайтесь угадать общую
формулу для коэффициентов сц. О т в е т: х/(\ — tx).
1.2. Для решения задачи следует рассмотреть дифференциальный
полином К(и) = Аи4их + Ви2и^х + CuuxU2x + DiPx + Еи$х, вычислить (d/dt)(K(u)) и
(d/ds)(K(u)), следуя методу, изложенному после уравнения (1.19), и затем
приравнять коэффициенты, чтобы определить Л, В, С, Dt E. Ответ:
2 wV + и2иЪх + 4иихи2х + и* 4- -=иЪх.
on
1.3. Из уравнения ^- 4- [В, Р] = 0 получим Ъиуу 4- и*х 4- Ь(иих)х = 0. Это
уравнение называется уравнением Буссинески.
Глава 2
2.1. Представьте 9 о/ как оператор, действующий на функции по правилу
Ф ° /Kg) = #(/g) = (/#)& + (df)g Аналогично (д" о /)(g) есть л-кратная
производная от произведения fg, которая может быть вычислена по правилу Лейбница:
(9я о /)(g)=егцй = £ (п) (в»Л(в"_*в).
2.2. Ответ:
f>^-'. где s: ("TO***-
/=о /+/ч-л=/
или, другими словами,
£ (а7 )(/Л')^"/^-
/А*'=0

Решение упражнений
101
2.3. Пусть (d + Jc)-1 = Е^|(-1)я"",а/1-1^"я- Перемножая, получим (д +
+ х)(ао#~1 — aid"2 Н-аг^"*3 — •••) = 1, а приравнивая коэфициенты при д~п,
получим ао = 1, а„ - хап-\ + да„-\ = 0 для п ^ 1. Таким образом, ао = 1. fli = *,
fl2 = *2 + 1 ♦ аз = *3 + 3jc, a4 = jc4 + бх2 + 3, а общее решение имеет вид
п №n(n-\)(n-2)...(n-2k+\)„n_2k
а"~^ 246...2* * '
2.4. Ответ: ordL|,/.2 = ai 4-аг и ord[L|Z,2] =ai +аг — 1.
2.5. Если / четно, то (Я//2)+ = Р1^2 и, следовательно, [Р, (Я772)*] = 0.
2.6. Ответ:
/о5/2ч я5 5"яЗ *5 a2_,/25 15к2\Л 15 15
(/>°/z)+ = дг + у 9* + — цхУ + ( —ихх + -^- 19+ jgWxxx + у""*;
[Л (Я572)*] = —^(иЪх + lOwwxxx + ЗОнЧ + 20н„и,„).
2.7. Мы имеем
Lel(xjt) = (д + /,9"' + /2D-2 + ...)(1 + wid-1 + ку29"2 + ...)^(хЛ) =
= (9 + ш, + (5ш, + ш2 + /Од"1 + (дш2 + юз + /io>i + /г)9"2 + ...)e*w\
и поэтому
9ш|+/|=0 и dw2 + f\W\ +/2 = 0.
Глава 3
3.1. Вычислив
D,Dxf.f = 2ffxt-2ftfx и D4xf.f = 2ff<x-8fxhx + bfL
приведём уравнение (3.2) к виду
8#,/ - 8///, - 2#4* + в/,/* - 6/L = 0.
Присвоим переменной jc вес 1, а переменной / — вес 3 и будем искать
однородные решения степени не выше 6. Очевидно, что любой полином степени не
выше 3 есть решение. Для степени 4 решение имеет вид /jc, для степени 5 решений
нет, а для степени 6 получим 3 решения
-±x6+l,tx3+t\ -{tx3+t2 и е.
45 3 3
3.3. Рассмотрим действие В н-> [А, В], и обозначим его ad(>4)(£) = [А, В]. Тогда
еАВе'А = етА)В
и, следовательно,
eAeBe-A=exp(ad(A)B).
Но так как ad(>4)(£) — скаляр, ad(A)nB = 0 для п ^ 2. Отсюда следует, что
еАеве~А = ехр(Д + [А, В]) = е{тев.

102
Решение упражнений
3.4. Мы имеем
X(p\,qi)X(p2,q2) = C(p\,q\,p2,q2):X(p\,q\)X(p2,q2):,
(Р\ ~Р2)(д\ -д2)
где C(/?i,<7i,P2,?2) =
(р\ -q2)(q\ -Р2У
Обозначение : : следует понимать как указание на то, что внутри двоеточий мы
изменили порядок операторов, переставив все операторы дифференцирования
направо, а все операторы умножения налево. (Это все подробно объясняется в гл. 5.)
Например,
А _ А - А
'Х]дх{ '"' дххХГ'"Ххдхх'
Выражение C(p\,q\,p2,q2) симметрично при перестановке 1 4->2, поэтому на
первый взгляд кажется, что коммутатор должен обратиться в нуль. Однако если мы
разложим оператор X(p,q) по степеням переменных р и q с коэффициентами Хтп:
*(p,?) = £WV>
коммутаторы [Ят1Л| Дт2л2) не обязательно должны обращаться в нуль. Это про-
оо
тиворечие может быть разрешено следующим образом: £ х" есть ненулевой
л=—оо
формальный степенной ряд по х. Но мы можем просуммировать
' —1 оо ,
и получить 0 как рациональную функцию:
jT1 1
1-jc-1 1-х
Поэтому на величину C(p\,q\yp2,q2) следует смотреть как на формальный
степенной ряд
0 -P2/Pi)(l -92/<7i)
0-<72/Pi)0-P2/<7l)'
разложенный по степеням переменных <7г/р| и рг/<7ь и в этом смысле она не равна
оо
нулю. Обозначим Ъ(х) = £ «*"• Этот формальный ряд обладает тем свойством,
л=-оо
что f(x)b(x) = f(\)b(x) для любого формального степенного ряда /(jc), если
значение /(1) определено. Используя это обозначение, можно увидеть, что
[Х(Р.,ЫД(Р2,?2)] =
= (l-^/p,)(l-?2/P2)5(g2W( _ (l-?l/Pl)(l- Я2/р2)ъГРЛХф }
(l-<72/Pl) Wl/ (l-^l/P2) ^2'
Таким образом, вершинные операторы образуют алгебру Ли.
Jl Ji X X X
3.5. Ответ jci, JC2 + у, х2 - у, хз + *1*2 + -g-, *з - у и хз-*1*2 + -J-.
В этом случае для /г 6 С единственный полюс находится в точке k = 0.

Решение упражнений
103
3.6. Положив Xj = x'j для всех у и вычисляя вычет, получим w\ = 0. Затем, после
дифференцирования по х\ и аналогичного рассуждения, мы получаем й>2 = 0 и т.д.
Глава 4
4.1. По определению фи| = ф|уас) = 0 и ф^ = фф*|уас) = v\. Аналогично
для ф*.
4.3. Применяя теорему Вика, получаем (фт.фт,) = 0 и (ф^фл,) = 0, поэтому
единственные слагаемые, которые не обратятся в нуль, — это
(Ф^Ф«о(1>)-"(Ф'»$Фяо(5))
для каждой перестановки о. Заметив, что для тождественной перестановки о = id
и она имеет знак +1, получаем определение детерминанта.
Рассматривая спаривание векторов
(и\ = (уас|фт, ...фшЖ, •••Фя,* И = Ф-т; ...ф-«;ф!.я{ ...ф1я;|уас)
для 0 < гп\ < ... < тг, 0 < п\ < ... < ns и 0 < т\ < ... < /Л5, 0 < л^ < ... < п'г и
рассуждая, как выше (с точностью до знака), получаем
det^,**.,,;» det«<Kt4,_m;» = ± П 5т,я; П 8»*Ч'
1=1 *=1
что эквивалентно утверждению о невырожденности спаривания.
Глава 5
5.1. Из соотношения (5.10) следует, что
[Нт,Н„] = ^[//т.ф-уфн»] = Е(Ф-/+«ФИЛ " Ф-УФи-п+п)-
/ /'
Неправильное вычисление выглядит так: если в первом слагаемом сдвинуть
индекс суммирования / н->/ + т то суммы совпадут и, следовательно, сократятся.
При правильном вычислении слагаемые в скобках следует сначала переписать
в нормально упорядоченном виде
: ф-у+тфн/i - Ф-/Фн-т+я • + &от+я,о(е(/ < т) - 0(/ < 0)).
После этого мы получим, что сумма нормально упорядоченных слагаемых действует
на каждый вектор как конечная сумма, поэтому перенумерация jy-*j + m возможна
и сумма этих слагаемых дает 0. Остальные члены после суммирования дают вклад
тЬт+п,о-
5.2. О т в е т: х4 + -^х\ - ^А - «*?.
5.3. В разложении еН{х) = £ fj(x)ai только те элементы а/ имеют энергию — d +
+ /2/2, для которых (/|а/|м) Ф 0. Следовательно, соответствующие коэффициенты
fi(x) все имеют вес d — г/2.
5.4. Для каждого п слагаемое фя (соответственно ф„), появляющееся в (4.11),
дает вклад в характер слагаемого zq~n (соответственно z~xq~n).

104
Решение упражнений
5.5. Характер пространства С[*|,*2,хз,...J равен
Е <7""+2",'+-=П Ё *ят"=П*1 - «*>"'•
Ш|.т2.-^0 л=1 т„=0 л=1
Мы знаем, что элемент (/| имеет заряд / и энергию /2/2. Теперь, из-за того, что мы
отождествили подпространство Ti с z'Qjci,*2»*з,...], характер всего пространства
Фока Т равен указанному в формулировке задачи. Вторая часть получается из
упражнений 5.3 и 5.4 заменой z на —zq"1^2.
Глава 6
6.1. Первую часть мы опустим. Что касается второй части, то видно, что сечение
z = 0 кривой (6.2) содержится в орбите. Используйте, например, элементы
(а Ь 0\
gl=[b a 0 .
\0 0 \)
Тогда группа G содержит вращения вокруг оси jc, задаваемые матрицей
/10 0 \
^2=10 cos0 -sin9 I ,
\0 sinG cos6/
что и дает кривую (6.2).
Глава 7
7.1. Достаточно доказать, что для X, Y € sfe элементы A (t) = Mm и B(t) = К/я €
€ sh удовлетворяют соотношению <*>(Л, Б) = тЪт+п,о Tr(XY).
Глава 8
8.1. Представьте, что сфера касается плоскости своим южным полюсом, и
рассмотрите стереографическую проекцию сферы на плоскость из точки северного
полюса.
8.3. Пусть W — m-мерное векторное пространство V и Мх? = (и//) (1 < / < /л
и 1 </'^ Л/) — остов в W. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы
вектор (х\,..., jc/v) G V принадлежал W, состоит в том, что матрица размера (т +
+ 1) х W, полученная из М добавлением этого вектора как строки, должна иметь
ранг т. Поэтому для любого набора индексов (Р|,...,рш+|) можно получить
m+l
^(-lyxp^p,.^.,,^,.^^, =0.
/=о
/ N \
Набор из ( J гиперплоскостей в V определяется координатами Плюккера
для W единственным образом, и само пространство W содержится в пересечении
всех этих плоскостей. Мы должны доказать, что вышеприведенная система
линейных уравнений на jc/ имеет пространство решений размерности не выше т, и тогда

Решение упражнений
105
получим, что пространство W совпадет с этим пересечением и единственным
образом определяется координатами Плюккера.
Для этого предположим, что Ув,.~.«« есть одна из ненулевых координат
Плюккера. Выберем (pi,...,pm+i) = (ai,...,am,i) для /#Р/ и запишем линейное уравнение
т
У Л ') ХЩ У«| —.а/-1 .«/+1 .-.am.' "+" \ Ч xiv*i ,~,*т = 0.
Перенумеровав координаты Плюккера, получим
т
/=0
Разбивая множество {1,...,Л/} = {oci,...,am} U {am+i,...,ayv} на два
подмножества и рассматривая это уравнение для каждого i = am+i,...,a/v, легко увидеть,
что матрица коэффициентов размера (N — т) х N для этой системы уравнений
имеет ранг N — т. Действительно, минор, образованный столбцами с номерами
am+i,...,ayv, равен (vai.„.am)N'~m #0.
8.4. Пусть Х^св|.-.«туоч.-.««I =0 есть соотношение линейной зависимости. Мы
должны доказать, что са},-..*т =0. Рассмотрим m-мерное подпространство,
натянутое на первые т стандартных векторов у, = (а,у) для / = 1,... ,т, у,у = 5,у. Тогда
координаты Плюккера этого подпространства есть ui,_,m = 1 и tfa,.-.,^ = 0 для
{ai,...,am} ф {1,...,т}. Следовательно, Ci,_,m =0.
8.5. Проделайте разложение Лапласа для определителя
dp, •
knp, •
»ip, .
Утр, •
•• иФ«+|
•• ^Эт+1
•• <Ч*т+1
0 .
0 .
Vm*\ •
.. 0
.. 0
•• и«па„_,
по первым верхним т строкам.
Глава 9
9.1. Обозначим символом AVn внешнюю алгебру, порожденную пространством
Vn. Как векторное пространство, она имеет размерность 22/v. Можно отождествить
её с подалгеброй в An, порожденной элементом ф,-. Тогда ф,- и ф* соответствуют
следующим линейным операторам в ЛУ#:
ф/: ф/, Л ф/2 Л ф,-3 Л ... *-+ ф,- Л ф/, Л ф/2 Л ф|3 Л ...;
ФГ: ф|, Л ф;2 Л ф1з Л ... •-♦ [ф,, ф/, ]+ф,2 Л ф/3 Л ... - [ф/, ф/2]+ф,, Л ф/з Л ... + ...
Это соответствие осуществляет изоморфизм между алгеброй An и алгеброй всех
матриц размера 22N x 22N.
Утверждение о том, что центр алгебры изоморфен множеству комплексных
чисел, может быть показано следующим образом. Пусть а — центральный элемент
в An- Так как элемент а коммутирует с оператором Но = £/>0 ф-/ф* - £/<0 ф* ф-/,

106
Решение упражнений
его заряд равен нулю. Определим
а = 5^с(т,,...,тг,Л|,...,яг)фт| •••Ф»»гфл| •••Фл,
(слагаемое, для которого г = 0, есть константа). В этой формуле надо предполагать
линейную независимость элементов ф,„, ...фшгфя, •••Фя, в правой части.
Рассмотрим коммутатор [ф/п, ...фтгфя, •••Фя,.ф/1- Этот коммутатор отличен от нуля только
при / = —п/ для некоторого / и тогда равен
(-о'-'Фт, ...<m£, -..Ф^.Ф^, ...ф;г.
Очевидно, что эти слагаемые линейно независимы, поэтому каждый коэффициент
при них должен быть равен нулю. Мы получим искомое утверждение, если
рассмотрим также коммутатор [ф*,а].
9.2. Предположим, что dim V(\u)) = N 4- г. Для подходящего элемента ge G
можно записать
TgV(\u)) = 0 Сф, = У(ф_,+,/2...ф-,/2|уас»,
Используя формулу (9.5) и замечание, следующее после этой формулы, получим
К(|и»=К(вф-г+1/2...ф-1/2|уас».
Но так как элемент ^сохраняет заряд, это противоречит тому, что вектор \и) имеет
заряд 0.
9.4. Ответ:
(a)-jt4-Jci/2 + jt2Jt?/2 + jtl/8;
(б) jc5jc, - 4 - аг3аг?/3 + jcf/45;
(в) хвх\ - x4xz + x4x2xi - х*х]/Ь - jc§jci/2 - хъх\/2 -хъХчх\/2 - *з**/24 +
+ лфс,/6 - х\х]/\2 + x2Jcf/24 + jcJ/144.
Глава 10
10.1. Используйте равенства ф*/2фот(^) =P-m-i/2W - фтМФ*/2 и
Л_т_1/2,_„_|/2М = -/|-т+|/2-я-3/2М+Р-т-1/2М<7-я+1/2М'
10.3. Ответ:
/1 -1 1\
(X(3),X(2.i).X(|3)) = (^3^2^i^i/6)/4, где А = 1 0 -1 .
V 2 -1/
Преобразуя (Оз.ФгЭьд?) с помощью матрицы М"1, получим
(X<3)(ex),Xfti)(ft).X(i3)(ar)).
10.4. Ответом является сумма (или разность) соотношений Плюккера (10.4),
определенных набором, содержащим пустую диаграмму Юнга заряда —1 и
диаграмму Юнга (1,1,1,1) заряда 1, и соотношений Плюккера, определенных набором,
содержащим пустую диаграмму Юнга заряда —1 и диаграмму Юнга (2,1,1)
заряда 1.

Указания к литературе
Данный учебник базируется в основном на результатах по солитонным
уравнениям и их симметриям, полученных Киотской школой, возникшей вокруг Ми-
кио Сато. Пик деятельности этой группы в данной области приходится на 1981 г.
Читателям, желающим изучить эти результаты более подробно, мы рекомендуем
следующие работы:
Sato M. Lecture notes taken by N. Umeda // Kyoto Univ. RIMS Lecture Notes.
V.5. 1989 (на японском языке);
Sato M. Soliton equations and universal Grassmann varieties: Lecture notes
taken by M. Noumi // Saint Sophia Univ. Lecture Notes. V. 18. 1984 (на японском
языке);
Date E., Kashiwara M., J i m b о М., Miwa T. Transformation
groups for soliton equations // Proc. Japan Acad. 1981. V.57A. P. 342-347,
387-392; J. Phys. Soc. Japan. 1981. V.50. P. 3806-3812, 3813-3818; Physica.
1982. V.4D. P. 343-365; Publ. RIMS, Kyoto Univ. 1982. V. 18. P. 1111-1119,
P. 1077-1110;
Date E., Kashiwara M., J i m b о M., Miwa T. Transformation
groups for soliton equations: Nonlinear integrable systems — classical theory and
quantum theory (Kyoto, 1981). Singapore: World Scientific, 1983. P. 39-119;
Jimbo M., Miwa T. Solitons and infinite-dimensional Lie algebras // Publ.
RIMS. Kyoto Univ. 1983. V. 19. P. 943-1001.
Есть несколько книг, в которых рассматриваются основы теории солитонов,
метод обратной задачи рассеяния, квазипериодические решения и т.д. и их
физические и инженерные приложения, но в данной книге мы всех этих вопросов не
касались. Укажем несколько книг для тех, кто может читать на японском языке:
Та па к а Т., Date E. The KdV equations. Tokyo: Kinokuniya, 1979;
H i го t a R. Solitons by the direct method. Tokyo: Iwanami, 1992.
Среди наиболее существенных успехов в математических исследованиях
начиная с 1970 г. и по настоящее время (1992 г.) является прогресс, достигнутый при
взаимодействии между различными областями математики и физики (среди
которых теория представлений, дифференциальные уравнения, алгебраическая
геометрия, теория чисел, операторные алгебры, топология, комбинаторика и т.д.).
Развитие теории солитонов было одним из первых таких достижений. Несомненно,

108
Указания к литературе
теория солитонов как ключ к пониманию истории математики в конце XX в. могла
бы быть замечательной темой для очерка, но в данный момент мы не взялись бы за
такую задачу (скорее всего, это просто невозможно!). Не ясно даже, закончится ли
этот процесс в ближайшее время. Мы надеемся, однако, что читатель с интересом
просмотрел нашу книгу, и в заключение хотим предложить ему некоторое описание
современного состояния литературы в данной области.
Первым и центральным объектом, изучаемым в нашей книге, следует считать
бесконечномерные алгебры Ли. Наиболее важными среди этих алгебр являются
алгебра Каца—Муди и, в частности, аффинные алгебры Ли. Этой теме посвящена
книга
К а ц В. Бесконечномерные алгебры Ли. М.: Мир, 1993.
Гамильтонова редукция по Дринфельду—Соколову представляет собой
альтернативную точку зрения на связь между теорией солитонов и аффинными
алгебрами Ли:
Дринфельд В. Г., Соколов В. В. Алгебры Ли и уравнения типа
Кортевега—де Фриза // Итоги Науки и Техники. ВИНИТИ. Современные
проблемы математики. М., 1984. V.24. С. 81-180.
Утверждение о том, что вершинные операторы обеспечивают действие афинных
алгебр Ли на пространстве солитонных решений, играет в этой книге центральную
роль. В следующих работах вершинные операторы рассматриваются с точки зрения
теории представлений:
Lepowsky J., Wilson R. L. Construction of the affine Lie algebra A\l) //
Comm. Math. Phys. 1978. V.62. P. 43-53;
. F re n k e I I. В., К а с V. G. Basic representations of affine Lie algebras and
dual resonance models. // Invent. Math. 1980/81. V.62. P. 23-66.
В этих работах рассматривается только случай представлений уровня 1.
Рассмотрение общих уровней требует совершенно другого подхода:
Wa k i m о t о М. Fock representations of the affine Lie algebra A\l) // Comm.
Math. Phys. 1986. V. 104. P. 605-609.;
Feigin B. L., Frenkel E. V. Representations of affine Kac-Moody algebras
and bosonization // Physics and mathematics of strings, V. Knizhnik memorial
volume, L. Brink and others (eds.). Singapore: World Scientific, 1990. P. 271-316.
В основе конформной теории поля лежит теория представлений
бесконечномерных алгебр. Таким способом можно построить конформно-инвариантную
квантовую теорию поля, содержащего безмассовые частицы:
Belavin A. A., Polyakov A.M., Zamolodchikov А. В. Infinite
conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory // Nuclear Phys.
1984. V.241. P. 333-380.
В следующих работах вершинные операторы, связывающие различные
неприводимые представления бесконечномерных алгебр Ли, играют роль операторов,
действующих на поля:

Указания к литературе
109
Tsuchiya A., Kanie Y. Vertex operators in conformal field theory on P1
and monodromy representations of braid group // Conformal field theory and
solvable lattice models (Kyoto, 1986): Adv. Stud. Pure Math. V. 16. Academic Press,
Boston, MA, 1988. P. 297-372.
Можно построить теорию массивных полей как деформацию конформной
теории поля, и это есть не что иное, как квантование теории солитонов:
Zamolodchikov А. В. Integrable field theory from conformal field theory //
Integrable systems in quantum field theory and statistical mechanics: Adv. Stud.
Pure Math. V. 19. Academic Press, Boston, MA, 1989. P. 641-674;
Eguchi Т., Yang S.-K. Deformations of conformal field theories and soliton
equations // Phys. Lett. 1989. V. 224. P. 373-378;
F e i g i n B. L., F г e n k e I E. V. Free field resolutions in affine Toda field
theories // Phys. Lett. 1992. V.276. P. 79-86.
Еще одним приложением теории солитонов является алгебраическая
геометрия. Решения солитонных уравнений, которые рассматривались в настоящей книге,
представлялись только в виде полиномов или рациональных функций от экспонент.
В следующей работе рассматривается наиболее общая ситуация, развивающая
старую идею о том, что решения дифференциальных уравнений в эллиптических
функциях могут быть получены из решений в терминах 9-функций на алгебраических
кривых:
Кричевер И. М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных
уравнений // Успехи матем. наук. 1977. Т. 32, вып. 6 (198). С. 183-208.
С этим направлением японский читатель, владеющий японским языком, может
ознакомиться в приведённой выше книге Датэ и Танаки. Обратная проблема
состоит в проверке условий при которых 9-функция, определяющая т-функцию для
уравнения КП, соответствует алгебраической кривой. Гипотеза Новикова по этому
поводу была положительно подтверждена в следующей работе Т. Шиоты:
S h i о t а Т. Characterization of Jacobian varieties in terms of soliton equations
// Invent. Math. 1986. V.83. P. 333-82.
В следующей статье было получено обобщение теории 0-функций при решении
задачи конформной теории поля о построении квантовой теории поля на римановых
поверхностях:
Tsuchiya A., Ueno К., Yamada Y. Conformal field theory on universal
family of stable curves with gauge symmetries // Integrable systems in quantum
field theory and statistical mechanics: Adv. Stud. Pure Math. V. 19. Academic
Press, Boston, MA, 1989. P. 459-566.
Третье направление — интегрируемые системы с бесконечным числом
степеней свободы. Мы уже упоминали конформные теории поля. Важные работы,
которые появились до создания КТП, — следующие статьи по теории корреляционных
функций в модели Изинга, уравнению Пенлеве и изомонодромным деформациям:

110
Указания к литературе
Wu Т. Т., McCoy В. М., Tracy С. A., Barouch E. Spin-spin
correlation functions for the two-dimensional Ising model: exact theory in the scaling
region // Phys. Rev. 1976. V. 13. P. 316-374;
Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Holonomic quantum fields// Publ. RIMS.
Kyoto Univ. I. 1978. V. 14. P. 223-267; II. The Riemann-Hilbert problem. 1979.
V. 15. P. 201-278; III. 1979. V. 15. P. 577-629. IV. 1979. V. 15. P. 871-972; V.
1980. V. 16. P. 531-584,
Уравнение КдФ применяется и в теории квантовой гравитации, связанной с
пространством модулей алгебраических кривых:
Konts^vich M. Intersection theory on the moduli space of curves and the
matrix Airy function // Comm. Math. Phys. 1992. V. 147. P. 1-23.
Уравнения Пенлеве появились также в топологической квантовой теории поля,
связывающей конформную теорию и теорию солитонов:
Cecotti S., Fend ley P., Intriligator К., Vafa С. A new super-
symmetric index // Nuclear Phys. 1992. V.386. P. 405-452.
Четвертым направлением следует считать теорию квантовых групп. Квантовые
группы были введены независимо Дринфельдом и Джимбо:
D г i n f e I d V. G. Quantum groups // Proceedings of the ICM (Berkeley, 1986).
Providence, RI: AMS, 1987. P. 798-820;
Jimbo M. Quantum groups and the Yang—Baxter equation. Tokyo: Springer,
1990 (на японском языке).
Квантовые группы возникли из теории точно решаемых решетчатых моделей и
квантового метода обратной задачи рассеяния:
Вахтер Р. Точно решаемые модели статистической механики. М.: Мир, 1985.
Склянин Е., Тахтаджан Л., Фаддеев Л. Квантовый метод
обратной задачи рассеяния // I. Теорет. матем. физ. 1979. Т. 40. С. 194-220.
Кроме теории решаемых решетчатых моделей, квантовые группы используются
во многих областях, таких как теория инвариантов в низкоразмерной топологии,
представления в группе кос в конформной теории поля, симметрии точно
решаемых массивных теорий поля и т.д. В заключение приведем некоторые ссылки на
последние направления, а именно на теорию (/-деформаций вершинных операторов:
Frenkel I. В., Reshetikhin N. Yu. Quantum affine algebras and
holonomic difference equations // Comm. Math. Phys. 1992. V. 146. P. 1—60;
S m i г n о v FA. Dynamical symmetries of massive integrable models // Infinite
analysis (Kyoto, 1991): Adv. Ser. Math. Phys. V. 16. World Scientific, River Edge,
NJ, 1992. P. 813-837, 839-858;
D a v i e s В., F о d a O., Jimbo M., Miwa Т., N a k а у a s h i k i A. Di-
agonalization of the XXZ Hamiltonian by vertex operators // Comm. Math. Phys.
1993. V. 151. P. 89-153.

Предметный указатель
Алгебра Ли, 11, 13, 63, 65, 69, 73, 89,
105
аффинная sfe, 70, 73
бесконечномерная, 62, 74, 112
— бозонная, 40
— операторная, 52, 40, 66, 111
Антикоммутатор, 42, 54, 63, 86
Бозон, 41,51,54, 71
Вектор вакуумный, 41, 44, 47, 49, 54,
62,67,73,74,85,88,91,98
Вика теорема, 48, 49, 52, 68, 94, 97,
106
Гейзенберга алгебра, 41, 43, 73
Генератор инфинитезимальный, 11, 14,
15
Геометрия проективная, 75
Грассманиан, 75, 77, 78, 83, 85
Грассманиан бесконечномерный, 7, 97
Группа, 10, 13
— бесконечномерная, 7, 62
— квантовая, 114
— преобразований, 7, 9, 10, 13, 62,
67, 70, 71
Групповое действие, 7, 11, 62
Диаграмма Майя, 43, 45, 94, 96, 98,
99
заряженная, 98, 99
— Юнга, 91,99
заряженная, 95
Дирака море, 45
Значение собственное, 16
Заряд, 45, 47, 48, 58, 63, 66, 86, 88,
91,93,95,98
Иерархия КдФ, 23, 31, 32, 35, 70, 71
— КП, 24, 25, 35, 37, 39, 67, 69, 70,
71,85,99,101
Квантовая теория поля, 51, 112
Клиффорда алгебра, 42, 49, 53, 85, 96
— группа, 85, 87
— сопряжение, 87
Коммутатор, 12, 17, 39, 54, 63, 65, 73,
105
Компонента однородная, 100
Координаты однородные, 78, 80
Кош и тождество, 52, 60
Лакса форма уравнения, 16, 18, 21, 68
Оператор вершинный, 27, 32, 33, 35,
66,69,71,74, 105, 112, 114
— , нормальная форма, 52, 55
— псевдодифференциальный, 19,21,
24, 26, 70
— рождения, 41, 44, 46, 48, 49, 59
— уничтожения, 41, 44, 46, 48, 49, 59,
68,89
Орбита, 62, 63, 67, 68, 69, 73, 85, 89,
98
— вакуумная, 89
Остов, 77
Переменная спектральная, 16
Плюккера вложение, 79
— координаты, 78, 79, 81, 84, 85, 101
— соотношения, 75, 80, 83, 84, 89,91,
97,99, 102
Подгруппа параболическая, 77
Полином дифференциальный, 14, 15
однородный, 15, 52
— характеристический, 85, 91

112
Предметный указатель
Представление, 41, 43, 66, 67, 73, 91,
112
Преобразование инфинитезимальное,
9, 11, 13, 18,33,40,69,71,74
Произведение нормальное, 64
Пространство комплексное
проективное, 76
— проективное, 77 у 78, 81
Прямая комплексная проективная, 76
Решение солитонкое, 29, 33, 35, 38,
69,70,71, 112
— л-солитонное, 29
Симметрия, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 31, 32,
40,62
— бесконечномерная, 13, 22, 23
Система интегрируемая, 6, 7, 30, 113
Солитон, 5, 40, 111
Соответствие бозон-фермионное, 51,
59,66,67,91,93
Соотношения антикоммутационные
канонические, 42, 44, 85
— коммутационные бозонные, 54
канонические, 40, 42, 54
Среднее вакуумное, 48, 49, 51
Теория представлений, 111
Тоды цепочка, 6
Тождество билинейное, 35, 37, 67, 85,
89,91,97
Точка бесконечная, 76
Уравнение Буссинеска, 103
— дифференциальное, 11, 13,40, 102
линейное, 5, 16, 70
нелинейное, 5, 6, 25
— КдФ, 5, 7, 9, 13, 16, 17, 23, 27, 32,
38,40,70,71,74, 114
высшее, 17, 21, 31
— КП, 7, 34, 40, 62, 66, 68, 69, 113
— солитонное, 6, 27, 74, 111, 113
Уровень, 73, 112
Условие коцикла, 65, 69
Фермион, 40, 42, 51
Фока представление, 43, 45, 49
— пространство, 54, 56, 65, 85, 89
бозонное, 41, 55, 58, 61, 66, 97
фермионное, 44, 58
Функция волновая, 67
дуальная, 67
— производящая, 51, 54, 58, 61, 66
т-функция, 25, 30, 33, 35, 39, 62, 67,
70,74,85,97,99, 102, 113
Характер, 60, 107
Хироты билинейный метод, 6, 27
— производная, 7, 27, 32
— уравнение, 27, 32, 62, 69, 70, 74, 97
дифференциальное, 101, 102
Экспонента, 12, 29, 31
Энергия, 45, 47, 48, 55, 60, 86